Plasmas collisionnels: Physique des décharges RF et micro-onde 9782759812479

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PLASMAS COLLISIONNELS

Physique des décharges RF et micro-onde

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PLASMAS COLLISIONNELS

Physique des décharges RF et micro-onde Michel Moisan et Jacques Pelletier

17, avenue du Hoggar Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France

Plasmas collisionnels

Physique des décharges RF et micro-onde Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Sciences de la Matière de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1. Comité de lecture de la première édition : ––Michel Aubès, Professeur à l’Université Paul Sabatier (Toulouse) ––Jacques Derouard, Professeur à l’Université Joseph Fourier (Grenoble) ––Ana Lacoste, Professeur à l’Université Joseph Fourier (Grenoble) ––Bachir Saoudi, physicien à l’Université de Montréal ––avec le concours de Cédric de Vaulx et Didier Rieu Mise en page : Danielle Kéroack ; figures : Danielle Kéroack et Sylvie Bordage ;  illustration de couverture : Alice Giraud, d’après les photos fournies par Ana Lacoste (Université Joseph Fourier). Cette nouvelle édition a été suivie par Stéphanie Trine, Anne-Laure Passavant et Sylvie Bordage. Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) : Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki) • Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki) • La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels (J.P. Franc et al.) • Outils mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky) • Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous la direction d’E. du Trémolet de Lacheisserie) • Physique des diélectriques (D. Gignoux & J.C. Peuzin) • Supraconductivité. Introduction (P. Mangin & R. Khan) • Spectroscopie de résonance paramagnétique électronique. Fondements (P. Bertrand) • Spectroscopies infrarouge et Raman (R. Poilblanc & F. Crasnier) • La mécanique quantique. Problèmes résolus, Tome I et II (V.M. Galitski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan) • L’air et l’eau (R. Moreau) • Turbulence (M. Lesieur) • Les milieux aérosols et leurs représentations (A. Mailliat) • Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) • Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) • Symétrie et propriétés physiques. Des principes de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière) • Energie et environnement. Les risques et les enjeux d’une crise annoncée (B. Durand) • En Physique, pour comprendre (L. Viennot) • Naissance de la Physique (M. Soutif) • Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l’espace (J. Lilensten & P.L. Blelly) • Sous les feux du Soleil, vers une météorologie de l’espace (J. Lilensten & J. Bornarel) • Méthodes numériques appliquées (J.P. Grivet) • Analyse numérique et équations différentielles (J.P. Demailly) • Analyse statistique des données expérimentales (K. Protassov) • Minimum Competence in Scientific English (J. Upjohn, S. Blattes & V. Jans) • Approximation hilbertienne (J. Gaches & M. Attéia)

et d’autres titres sur le site internet : https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Symboles et abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chapitre 1. Le milieu plasma : définition et principales grandeurs . . . . 11 1.1. Définition et nature essentielle du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Un plasma est un milieu à comportement collectif . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2. Un plasma est un milieu macroscopiquement neutre . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3. Premiers exemples de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Domaines d’étude et d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Fusion thermonucléaire contrôlée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Astrophysique et physique de l’environnement spatial . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3. Pompage des lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4. Chimie dans les plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5. Traitement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.6. Stérilisation d’objets médicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.7. Analyse élémentaire (chimie analytique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.8. Éclairage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.9. Écrans plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.10. Sources d’ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Plasmas collisionnels 1.2.11. Propulseurs ioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Différents types de décharge en laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1. La décharge en courant continu ou alternatif de basse fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2. La décharge de haute fréquence (HF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.3. La décharge par rayonnement laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4. Densité électronique et température d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Domaine des valeurs de densité électronique des plasmas . . . . . . . . . 26 1.4.2. Concept d’équilibre thermodynamique et définition de la température d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3. Divers niveaux d’écart par rapport à l’équilibre thermodynamique complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5. Fréquence propre d’oscillation des électrons d’un plasma . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.1. Origine et description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.2. Calcul de la fréquence propre des électrons du plasma . . . . . . . . . . . 34 1.6. Longueur de Debye : effet d’écran dans les plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6.1. Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6.2. Calcul du potentiel exercé par un ion dans un plasma à deux températures : définition de la longueur de Debye . . . . . . . 37 1.7. Phénomènes de collision dans les plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.1. Types de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.2. Échange de quantité de mouvement et transfert d’énergie lors d’une collision entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7.3. Section efficace microscopique différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7.4. Section efficace microscopique intégrée (totale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.7.5. Section efficace macroscopique totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.7.6. Expression de la température d’un plasma en électron-volt . . . . . . . 61 1.7.7. Fréquence de collision et libre parcours probable entre deux collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.7.8. Fréquence moyenne de collision et libre parcours moyen . . . . . . . . . . 64 1.7.9. Exemples de sections efficaces collisionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Table des matières

VII

1.8. Mécanismes de perte et de création des particules chargées . . . . . . . . . . . 72 1.8.1. Mécanismes de perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.8.2. Mécanismes de création . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.8.3. Équation de conservation des particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Chapitre 2. Mouvement individuel d’une particule chargée dans E et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1. Équation générale du mouvement d’une particule chargée . . . . . . . . . . . . 79 2.1.1. Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.1.2. Équation des forces vives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2. Analyse de cas particuliers de E et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.1. Champ électrique seul (B = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2.2. Champ magnétique constant et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2.3. Champ magnétique (légèrement) non uniforme ou (lentement) variable dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Chapitre 3. Description hydrodynamique d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.1. Considérations élémentaires sur l’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . 133 3.1.1. Présentation sommaire de l’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . 133 3.1.2. Approximation du terme de collisions élastiques de Boltzmann : relaxation de la fonction de distribution vers un état isotrope . . . . 136 3.1.3. Deux méthodes classiques de recherche de solution analytique de l’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.2. Fonctions de distribution et notions de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.2.1. Densité de probabilité de présence dans l’espace des phases . . . . . . 139 3.2.2. Fonction de distribution simple (cas de particules corrélées) . . . . . . 140 3.2.3. Fonction de distribution simple (cas de particules non corrélées) . 140 3.2.4. Fonction de distribution double (cas de particules corrélées) . . . . . . 141 3.2.5. Fonction de distribution double (cas de particules non corrélées) . 142 3.2.6. Fonction de distribution à N-tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.3. Fonctions de distribution et grandeurs hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . 143

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Plasmas collisionnels

3.4. Conductivité électrique due aux électrons d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.4.1. Forme cinétique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.4.2. Forme hydrodynamique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.5. Équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.5.1. Équation de continuité (1er moment hydrodynamique : moment d’ordre zéro en w) . . . . . . 153 3.5.2. Équation de transport de quantité de mouvement (2e moment hydrodynamique : moment d’ordre un en w) . . . . . . . . 155 3.5.3. Équations du moment d’ordre deux en w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.5.4. Équations des moments d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.6. Fermeture des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.7. Modèle du plasma d’électrons de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.8. Diffusion et mobilité de particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.8.1. Les concepts de diffusion et de mobilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.8.2. Solution de l’équation de Langevin avec dérivée particulaire nulle (dv/dt = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.9. Modes propres de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.9.1. Notions de modes propres de diffusion : étude d’une post-décharge temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.9.2. Distribution spatiale de la densité des particules chargées en régime stationnaire de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.10. Diffusion en régime ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.10.1. Hypothèses nécessaires à une description analytique complète du régime de diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.10.2. Équations régissant la diffusion ambipolaire et le régime de transition de la diffusion libre vers la diffusion ambipolaire . . . . 189 3.10.3. Valeur de l’intensité du champ électrique de charge d’espace . . . . . 191 3.10.4. Expression de la densité des charges ρ0 sur l’axe : limite de validité du calcul analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.10.5. Conditions à remplir pour qu’une décharge en mode de diffusion soit en régime ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Table des matières

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3.11. Diffusion ambipolaire en champ magnétique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.12. Régime de chute libre par opposition à celui de diffusion . . . . . . . . . . . . . 199 3.13. Loi d’échelle Te (pR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.13.1. Hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 3.13.2. Dérivation de la relation Te (p0 R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.14. Notion de gaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.14.1. Cas d’un potentiel de paroi positif par rapport au potentiel du plasma : gaine électronique . . . . . . . . . . 208 3.14.2. Cas d’un potentiel de paroi négatif par rapport au potentiel de plasma : gaine ionique . . . . . . . . . . . . . . . 210 3.14.3. Potentiel flottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Chapitre 4. Introduction à la physique des décharges HF . . . . . . . . . . . . . 215 4.1. Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.2. Transfert de puissance du champ électrique à la décharge . . . . . . . . . . . . . 217 4.2.1. Décharge en courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.2.2. Décharges HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.2.3. Décharges HF en présence d’un champ magnétique statique . . . . . . 223 4.2.4. Évolution de la valeur de θ en fonction de n ¯e dans diverses conditions de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.3. Influence de la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.3.1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.3.2. Fonction de distribution en énergie des électrons en régime non stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.3.3. FDEE en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.3.4. Trois cas limites de l’influence de ω sur la FDEE stationnaire . . . . 237 4.3.5. Influence de ω sur la valeur de la puissance θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.3.6. Densité d’espèces produites par seconde à densité de puissance absorbée constante : efficacité énergétique . . . . . . . . . . 240 4.3.7. Résultats expérimentaux et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.3.8. Conclusion sommaire à l’étude des propriétés des plasmas HF à basse pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

X

Plasmas collisionnels 4.4. Les plasmas HF à haute pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.4.1. Observation expérimentale des phénomènes de contraction et de filamentation à la pression atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.4.2. Modélisation du phénomène de la contraction à la pression atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 4.4.3. Validation par un modèle auto-cohérent des hypothèses émises sur la contraction à la pression atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.4.4. Décharges à pression atmosphérique en expansion résultant de l’addition de traces de gaz rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.4.5. Résumé des propriétés des plasmas HF à haute pression . . . . . . . . . 262

Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 A1.

Rappels sur la fonction de distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann (M-B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

A2.

Expression complète de la loi de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

A3.

Équilibre thermodynamique local partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

A4.

Représentation des collisions binaires dans les repères du centre de masse et du laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

A5.

Interactions collisionnelles de nature coulombienne. Limitation de leur portée (logarithme coulombien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

A6.

Ionisation par étapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

A7.

Notions de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

A8.

Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

A9.

Orientation de w2⊥ dans le trièdre de référence (E 0⊥ ∧ B, E 0⊥ , B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

A10. Force agissant sur une particule chargée dans la direction d’un champ B faiblement non uniforme axialement . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Table des matières

XI

A11. Le moment magnétique, un invariant dans l’approximation du centre de guidage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 A12. Vitesse de dérive d’une particule chargée soumise à une force F D dans un champ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 A13. Vitesse de dérive magnétique dans le repère de Frenet associé aux lignes de force d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 A14. Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 A15. Expression des termes de l’équation de transport de la pression cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 A16. Fermeture de l’équation hydrodynamique de transport de pression cinétique dans le cas d’une compression adiabatique . . . . . . . . 476 A17. Compléments de calcul pour l’expression de Te (pR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 A18. Propagation d’une onde plane électromagnétique dans un plasma et épaisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 A19. Plasmas d’onde de surface (POS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 A20. Intégrales utiles et expressions des principaux opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Avant-propos

Dans les années soixante, la physique des plasmas tirait sa visibilité presque exclusivement de l’engouement pour la réalisation d’un réacteur qui produirait de l’électricité par fusion thermonucléaire contrôlée. Depuis, les applications des plasmas se sont heureusement multipliées et diversifiées, l’une des plus connues, en dehors de l’éclairage, étant l’indispensable opération de gravure dans la fabrication des puces en micro-électronique. En ce début du XXIe siècle, l’utilisation des plasmas est en pleine expansion et nous pouvons croire, d’après les publications des travaux de recherche actuels, qu’un nombre sans cesse plus grand d’applications industrielles verra le jour. Dans ce développement, les plasmas créés par des champs électromagnétiques de fréquences radio et de micro-ondes jouent un rôle particulièrement important. Le présent manuel, qui concerne essentiellement la physique des plasmas utilisés en laboratoire et dans l’industrie, est davantage centré sur la compréhension des mécanismes physiques que sur leur description détaillée et finement mathématisée. À ce premier niveau de contact avec cette discipline, il est, en effet, bien important d’assimiler les phénomènes physiques caractéristiques avant d’aborder le formalisme très développé de la théorie cinétique avec son approche microscopique statistique. Pour traduire ces phénomènes physiques en équations, nous ferons appel au modèle hydrodynamique, modèle de type fluide, où les grandeurs physiques sont des valeurs macroscopiques résultant de moyennes statistiques prises sur les grandeurs microscopiques. Ce manuel, destiné aux étudiants des premiers cycles universitaires et aux ingénieurs tournés vers les applications, se situe à un niveau de difficulté moindre que celui de Delcroix et Bers (respectivement, Université Paris XI et Supélec, et MIT, ÉtatsUnis), leur traité constituant, en revanche, une suite intéressante sur le plan théorique. L’ouvrage est divisé en quatre chapitres. Dans le chapitre 1, sont introduites de façon progressive et de plus en plus précise les notions fondamentales de la physique des plasmas. Le chapitre 2 examine de manière détaillée la trajectoire d’une seule particule chargée soumise à des champs électrique E et magnétique B de différentes configurations, mettant l’accent sur le transfert d’énergie du champ E à la particule et sur sa giration cyclotronique en présence d’un champ B. Le chapitre 3 montre comment obtenir les équations hydrodynamiques (aussi appelées équations de transport) à partir de l’équation cinétique de Boltzmann et fait usage de celles-ci, notamment dans l’étude de la diffusion. On y décrit également la formation des gaines ionique

2

Plasmas collisionnels

et électronique et leurs caractéristiques. Le quatrième et dernier chapitre aborde les mécanismes propres au fonctionnement des décharges de hautes fréquences, à faible pression (< 10 torrs) et à forte pression (> 100 torrs). On y présente, en particulier, une analyse du bilan de puissance création-perte d’un électron de la décharge (puissance θ), l’effet de la fréquence du champ HF sur les propriétés du plasma et sur certaines applications. Enfin, une des propriétés propres aux décharges à forte pression est la présence d’ions moléculaires dans des gaz monoatomiques ; leur cinétique de création et de perte peut être prépondérante, notamment dans le phénomène de contraction, une caractéristique qui apparaît dans certaines décharges à forte pression. Notons que des éléments essentiels à la compréhension de ce dernier chapitre, tout à fait original, ont été progressivement introduits dans ce but au cours des chapitres précédents. En dehors des développements traditionnels, le contenu de cet ouvrage est accompagné d’un grand nombre de remarques et de notes de bas de page qui donnent un éclairage particulier ou qui précisent certains points. Quarante-cinq exercices dont les solutions, largement détaillées, sont données en fin d’ouvrage, apportent des compléments souvent indispensables. Le lecteur trouvera, sous forme d’annexes, des éclaircissements aux sujets traités dans le texte principal et des développements mathématiques ainsi qu’un formulaire de relations mathématiques utiles. À la toute fin, un index alphabétique renvoie à des termes nécessitant d’être définis, dont la première apparition dans le texte est portée en caractères italiques et repérée dans l’index par un numéro de page en caractères gras. Note pour la seconde édition Des retours sur l’enseignement effectué à partir de la première édition de cet ouvrage ont suggéré un certain nombre de clarifications et de compléments par rapport à la version initiale. Par ailleurs, afin d’apporter un meilleur éclairage et une plus large couverture de la matière traitée dans ce manuel, de nouveaux exercices, dont certains entièrement originaux ou en lien avec des problématiques actuelles, ont été ajoutés. Michel Moisan, Jacques Pelletier

Remerciements

Les auteurs tiennent d’abord à saluer la contribution inestimable et indéfectible de Danielle Kéroack (Ph.D. en physique du solide) aussi bien à la dactylographie du manuscrit et en particulier à la transcription de centaines d’équations que comporte l’ouvrage, qu’à leur utilisation pour en tracer des courbes, cela en faisant la chasse au double emploi de symboles et en relevant des incorrections dans les solutions numériques des exercices et plein d’autres choses encore. En plus d’avoir à décrypter nos corrections manuscrites hiéroglyphiques comportant des renvois en tous sens, elle a dû composer avec les modalités complexes du logiciel d’édition Latex, en s’acquittant par ailleurs de ses activités en laboratoire. Le présent ouvrage a grandement bénéficié au cours de sa préparation des commentaires et suggestions d’un certain nombre de lecteurs, de formations diverses et d’intérêts différents selon qu’il s’agissait d’enseignants, de chercheurs ou d’étudiants, et que nous souhaitons remercier. Plus particulièrement, il convient de souligner pour la première édition le travail considérable de relecture critique tant sur le fond que sur la forme effectué par Bachir Saoudi (Ph.D. en physico-chimie) qui, par ses nombreuses questions de non-spécialiste en physique des plasmas, nous a obligés tantôt à clarifier ou préciser la rédaction d’un passage, tantôt à développer davantage un sujet. Sa très grande maîtrise du français a contribué à alléger l’écriture et à éviter des tournures incorrectes. La professeure Ana Lacoste, chargée de la formation en plasma (Master) à l’Université Joseph Fourier de Grenoble, a été une interlocutrice de premier ordre auprès de laquelle nous avons pu évaluer l’intérêt d’incorporer certains développements, plus particulièrement au chapitre 4 ; elle a également participé à la rédaction d’une annexe et proposé des exercices avec leur solution. Le contenu du chapitre 4, dans sa forme initiale, doit beaucoup à deux jeunes chercheurs en physique des plasmas, Kremena Makasheva et Yassine Kabouzi, qui ont été à l’origine d’une grande partie des résultats présentés sur les plasmas HF à la pression atmosphérique. La version plus récente de ce quatrième chapitre a fait grandement appel aux travaux d’un autre jeune chercheur, Eduardo Castaños-Martìnez. En dernière lecture, nous avons pu compter sur Antoine Royer, chercheur reconnu et de grande expérience (spécialiste des interactions entre particules neutres) dont les critiques nous ont poussés à prendre des positions plus nuancées, parfois de compromis, au niveau de la présentation de certains éléments du premier chapitre, sachant bien que nous ne

4

Plasmas collisionnels

pouvions ni tout développer complètement ni non plus traiter trop superficiellement certains aspects. Remerciements pour la seconde édition Pour cette deuxième édition, nous avons encore pu bénéficier de la précieuse assistance de notre collaboratrice Danielle Kéroack. Nous tenons aussi à souligner les judicieuses idées et suggestions proposées pour la présente version de notre manuel par Luc Stafford, professeur à l’Université de Montréal. Cette seconde édition, outre de nombreuses clarifications, ajouts, et corrections apportés à divers développements, a profité de l’addition d’exercices, qui constituent en fait autant de nouveaux supports didactiques complétant le texte principal. Michel Moisan, Jacques Pelletier Janvier 2014

Symboles et abréviations

Liste des symboles Les vecteurs sont représentés par des lettres en caractère gras, A. Les tenseurs sont aussi imprimés en gras : un tenseur d’ordre 2 est souligné une fois, A ; un tenseur d’ordre 3, deux fois, A.  a0 B c Cr dΩ dw D D(r, w) De , Di Da Ds e e ˆi e E ED E Da E DM Ecin E¯cin Ej

moyenne prise sur la fonction de distribution des vitesses (ou en énergie) des particules rayon de la première orbite électronique de l’atome d’hydrogène de Bohr induction magnétique vitesse de la lumière dans le vide flux de particules réfléchies par un miroir magnétique angle solide élémentaire volume élémentaire dans l’espace des vitesses, aussi noté d3 w ; en coordonnées cartésiennes, dwx dwy dwz vecteur déplacement (induction) électrique densité de probabilité de présence coefficient de diffusion libre des électrons, des ions coefficient de diffusion ambipolaire coefficient effectif de diffusion valeur absolue de la charge élémentaire base du logarithme népérien vecteur de base de l’axe i du repère choisi champ électrique champ électrique de charge d’espace champ électrique de charge d’espace en diffusion ambipolaire parfaite champ électrique de dérive magnétique énergie cinétique énergie cinétique moyenne énergie du niveau j d’un atome

6

Plasmas collisionnels f fpe , fpi f (r, w, t) F F DC gj h H I J J Jc Jp kB kij lge , lgi x  me mi M M n ni , ne ng N N0 Nd ND Nn N

N0 Nj p p p0 ph Px Pa Pt Pα

fréquence d’un champ, d’une onde fréquence propre des électrons, des ions du plasma fonction de distribution des vitesses des particules force force centrifuge de dérive de courbure magnétique poids statistique (dégénérescence quantique) de l’état j d’un atome constante de Planck champ magnétique tenseur unité d’ordre 2 Jacobien (d’une matrice de transformation de repère) densité de courant courant de conduction courant de polarisation constante de Boltzmann coefficient de réaction épaisseur de gaine électronique, ionique libre parcours entre deux collisions successives libre parcours moyen entre deux collisions successives masse de l’électron masse de l’ion masse de l’atome tenseur lié à la force magnétique densité de plasma (ou de particules quelconques) densité des ions, des électrons densité de plasma à la lisière de gaine densité de molécules (atomes) densité des atomes à la pression de 1 torr (133 Pa) et à 0 ◦ C nombre de particules déviées élastiquement par un centre diffuseur nombre de particules dans la sphère de Debye densité de noyaux d’atomes (de molécules) nombre total de particules dans un système densité d’atomes dans l’état fondamental densité d’atomes dans l’état excité j vecteur quantité de mouvement pression du gaz "pression" réduite (sans unité) pas d’une hélice section efficace macroscopique pour une interaction de type x puissance moyenne (sur une période du champ HF) absorbée, par unité de volume, par les électrons puissance totale absorbée impulsion totale gagnée ou perdue par les particules de type α

Symboles et abréviations q Q r rB rBe , rBi Rg R R R Rα s s0 S(f ) t T Te , Ti TeV Tg T Tc u uk u U UeV v vB vg , vph vth wα w αβ w DE w DC w DM W Z

charge de la particule tenseur de flux d’énergie thermique vecteur position rayon de Larmor rayon de Larmor des électrons, des ions position instantanée du centre de guidage rayon interne du tube à décharge rapport de miroir réactance énergie cinétique totale gagnée ou perdue par les particules de type α au cours d’une collision paramètre d’impact paramètre d’impact critique moyen opérateur de collision temps température d’un système en équilibre thermodynamique température des électrons, des ions température en électron-volt température du gaz neutre période du champ HF période cyclotronique vitesse d’une particule relativement à la vitesse moyenne des particules énergie caractéristique des électrons énergie d’une particule différence de potentiel ; aussi énergie énergie des électrons en électron-volt vitesse moyenne au sens hydrodynamique (section 3.3) vitesse de Bohm vitesse de groupe, de phase d’une onde vitesse la plus probable d’une particule dans une distribution de Maxwell-Boltzmann vitesse de la particule α dans le modèle des trajectoires individuelles (section 2.1) ; vitesse microscopique (individuelle) d’une particule dans une distribution des vitesses (section 3.1) vitesse relative des particules α et β vitesse de dérive électrique vitesse moyenne (sur une période cyclotronique) de dérive de courbure magnétique vitesse moyenne (sur une période cyclotronique) de dérive magnétique travail charge(s) positive(s) de l’ion

7

8

Plasmas collisionnels αi β γ Γ δ δc

0

p η ηv θ θa θp κ λ λD λDe , λDi Λ μ μe , μi μ0 μαβ ν νi , ν¯i νid νie ν0 νr νra νrm ρ ρc ρie σ ˆ σ ˆt σ ˆtc σ ˆtm σ

degré d’ionisation nombre d’onde rapport d’adiabaticité thermodynamique flux de particules (nombre de particules incidentes par unité de surface, par seconde) coefficient de transfert d’énergie lors d’une collision élastique profondeur caractéristique de pénétration du champ HF dans un milieu permittivité du vide permittivité électrique du plasma relative à celle du vide coefficient de saturation des états relais dans un processus d’ionisation par étapes coefficient de viscosité du fluide puissance absorbée par électron ; aussi, angle polaire puissance HF moyenne absorbée par électron puissance moyenne perdue par électron conductivité thermique du gaz longueur d’onde longueur de Debye longueur de Debye des électrons, des ions longueur caractéristique de diffusion moment magnétique orbital mobilité électronique, ionique perméabilité magnétique du vide masse réduite des particules de type α et β fréquence moyenne de collisions pour le transfert de quantité de mouvement fréquence moyenne d’ionisation fréquence d’ionisation directe fréquence d’ionisation par étapes fréquence d’un photon fréquence moyenne de recombinaison en volume fréquence de recombinaison à trois corps fréquence de recombinaison dissociative densité de charges rayon de courbure magnétique coefficient d’ionisation par étapes section efficace microscopique différentielle section efficace microscopique totale (intégrée) section efficace microscopique totale n’enregistrant que le nombre de collisions section efficace microscopique totale pour le transfert de quantité de mouvement conductivité électrique

Symboles et abréviations τ Υ(r, w, t) φ(r) φ0 φg φp ϕ Φ(r) Ψ ω ωc ωce , ωci ωpe , ωpi

temps caractéristique variable microscopique quelconque potentiel électrique potentiel appliqué potentiel du plasma à la lisière de gaine potentiel du plasma angle azimutal énergie potentielle électrique tenseur de pression cinétique pulsation d’un champ électrique alternatif pulsation cyclotronique pulsation cyclotronique des électrons, des ions pulsation des électrons, des ions du plasma

Liste des abréviations CC CM EM ETL FDEE HF MO RCE RF UV

Courant continu (par exemple, décharges en CC) Centre de masse Électromagnétique Équilibre thermodynamique local Fonction de distribution en énergie des électrons Haute fréquence Micro-onde Résonance cyclotron électronique Radiofréquence Ultraviolet

9

Constantes

Constantes physiques Célérité (vitesse) de la lumière dans le vide Masse de l’électron (au repos) Valeur absolue de la charge de l’électron Rapport e/me Masse de l’atome d’hydrogène Masse de l’atome d’hélium Permittivité du vide Perméabilité du vide Nombre d’Avogadro Nombre de Lochsmidt Constante de Stefan-Boltzmann Constante de Boltzmann Constante de Planck

c = 299 792 458 m s−1 me = 9,10938 × 10−31 kg e = 1,60219 × 10−19 C e/me = 1,75882 × 1011 C kg−1 MH = 1,67372 × 10−27 kg MHe = 6,64648 × 10−27 kg

0 = 8,85419 × 10−12 F m−1 μ0 = 4π × 10−7 H m−1 NA = 6,02214 × 1023 mole−1 NL = 2,68678 × 1025 m−3 σSB = 0,56704 × 10−7 W m−2 K−4 kB = 1,38066 × 10−23 J K−1 h = 6,62607 × 10−34 J s  = h/2π = 1,05457 × 10−34 J s

Source : National Institute of Standards and Technology (NIST), États-Unis

Autres constantes Mobilité ionique réduite (760 torrs, 273 K) de He+ dans He

μi = 10,4 × 10−4 m2 V−1 s−1

Fréquence moyenne approximative de collisions électron-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement dans l’hélium à la "pression réduite" p0 Densité moléculaire à 1 torr et 0 ◦ C

ν/p0 = 2,4 × 109 s−1

N0 = 3,53 × 1022 molécules m−3

Chapitre 1 Le milieu plasma : définition et principales grandeurs caractéristiques

1.1. Définition et nature essentielle du plasma Un plasma est un milieu composé d’électrons et d’ions, libres de se mouvoir dans toutes les directions de l’espace ; ce milieu gazeux se distingue d’un gaz classique, composé exclusivement de particules électriquement neutres, par la nature de l’interaction qui existe entre particules chargées. Dans un gaz classique, l’interaction entre particules électriquement neutres est à courte portée et, lorsque la pression du gaz n’est pas très supérieure à la pression atmosphérique, elle ne met généralement en cause que deux particules à la fois (interaction binaire). Dans ce cas, pour deux particules se dirigeant l’une vers l’autre et séparée d’une distance r, l’interaction est d’abord attractive (force en 1/r7 dite de Van der Waals) puis, immédiatement avant le "contact" et de façon abrupte, elle devient répulsive (parfois modélisée par une dépendance de la force en 1/r13 , section 1.7.9) 1 . Au contraire, l’interaction entre particules chargées (attractive ou répulsive suivant les charges en jeu) est à longue portée, puisque la force coulombienne entre particules est en 1/r2 (section 1.7.1) et, de ce fait, chaque particule chargée peut interagir simultanément avec un très grand nombre d’autres particules chargées. En conséquence :

1.1.1. Un plasma est un milieu à comportement collectif Considérons, à titre d’illustration, un plasma dont les particules seraient, en première approximation, quasiment au repos (agitation thermique extrêmement faible) 1

Cette interaction est souvent décrite de façon simplifiée comme une collision entre "boules de billard", négligeant alors la phase attractive initiale de l’interaction.

12

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

et supposons que les ions et les électrons ne se recombinent pas pour former des atomes neutres : on aboutirait à un état stationnaire où, spatialement, les charges positives et négatives alterneraient et seraient réparties de façon presque uniforme ; à deux dimensions, on aurait, très schématiquement, la distribution de la figure 1.1.

Figure 1.1 – Distribution spatiale (très) idéalisée des charges positives et négatives dans le cas où les particules du plasma sont (presque) au repos.

Une répartition uniforme des charges signifie, en particulier, qu’il n’y a pas de variation locale importante de l’intensité du champ électrique. Cependant, si par hypothèse une perturbation survient qui déplacerait ne serait-ce qu’une charge, toutes les charges du voisinage vont se mouvoir pour compenser l’écart local ainsi créé à l’équilibre. Ceci montre que le plasma est constitué de particules capables d’un comportement collectif.

1.1.2. Un plasma est un milieu macroscopiquement neutre Considérons un volume donné de plasma. Les particules chargées y sont en mouvement de façon aléatoire (agitation thermique) mais, du fait des forces coulombiennes qu’elles exercent, elles ne peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres de manière à créer des différences locales de densité de charges trop importantes : l’écart (moyen) entre les charges croît, bien entendu, avec l’énergie thermique mais décroît avec la densité nette des particules chargées. En effet, comme l’enseigne l’équation de Poisson 2 : ∇ · E = ρ/ 0 (1.1) où E est l’intensité du champ électrique (local), ρ, la densité nette (locale) des charges positives et négatives, et 0 , la permittivité du vide, plus ρ est grand, plus l’intensité de E est élevée 3 et, en conséquence, plus les forces de rappel induites par une séparation de charges sont importantes 4 . Pour cette raison, dans la mesure où les dimensions du volume de plasma considéré sont très supérieures à la distance maximum de séparation ainsi permise entre particules, ce volume contiendra, statistiquement, autant de charges positives que de charges négatives. La distance maximale (moyenne) de non-neutralité électrique est appelée longueur de Debye et notée λD ; nous préciserons à la section 1.6 sa dépendance en densité de particules chargées et en énergie (thermique) moyenne. Nous pouvons ainsi affirmer que le plasma contenu dans un 2

C’est une variante de l’équation de Maxwell ∇ · D = ρ où D est le vecteur déplacement (induction électrique).

3

La relation (1.1), à une dimension, conduit à E = ρx/0 .

4

Pour ρ donné, la force de rappel |Ee| croît avec x, l’écart à la neutralité (pour laquelle x = 0 et E = 0).

13

1.1− Définition et nature essentielle du plasma volume V beaucoup plus grand que la sphère de Debye, ment neutre.

4 3 3 πλD ,

est macroscopique-

De façon générale, nous dirons qu’un plasma est un milieu quasi-neutre (sous-entendu, neutre sur un volume plus grand que la sphère de Debye) et, de ce fait, nous poserons ne = ni = n où n est la densité du plasma, ne et ni désignant respectivement la densité des électrons et celle des ions, dans la mesure où ces derniers n’ont qu’une seule charge positive.

1.1.3. Premiers exemples de plasma Avant d’aller plus loin, examinons, en guise de premiers exemples, deux types très différents de plasma : le Soleil : c’est un milieu complètement ionisé où il n’y a pas d’atomes électriquement neutres ; en son centre, les atomes ont même perdu tous leurs électrons. Comme l’ont montré les astrophysiciens, plus de 99,9 % de la matière (visible) de l’Univers est sous forme plasma, ce qui en fait donc l’état de la matière le plus répandu.

Figure 1.2 – Schéma de principe d’une décharge électrique en courant alternatif comme, par exemple, dans le cas d’un tube d’éclairage de type fluorescent. En courant alternatif, R est une réactance (une résistance en courant continu) qui permet d’assurer la stabilité de la décharge.

la partie lumineuse d’un tube d’éclairage de type fluorescent : l’ampoule est remplie d’un gaz rare (en général, de l’argon) à environ 3 torrs (≈ 400 Pa) 5 avec une gouttelette de mercure dont la pression de vapeur partielle est de l’ordre du mtorr (0,1 Pa) à température ambiante. Un champ électrique (alternatif de 50 ou 60 Hz), d’intensité suffisante, appliqué au gaz à l’aide de deux électrodes comme le montre la figure 1.2, rend ce gaz électriquement conducteur, produisant ce que l’on appelle une décharge électrique dans le gaz ; une partie de cette décharge émet de la lumière. Dans le cas d’un tube fluorescent classique, c’est le rayonnement UV émis par les atomes de mercure (raie Hg I 254 nm) qui est transformé en lumière visible, grâce à un composé de phosphore déposé sur la paroi du tube. Le gaz, dans ce cas, n’est que partiellement ionisé et "froid" (≈ 300 K) alors qu’il est "chaud" dans le cas d’une étoile. 5

Le torr est une unité pratique de pression utilisée dans de très nombreuses données expérimentales alors que l’unité du système international est le pascal (1 torr  133 Pa). L’avènement de jauge à pression affichant la valeur en pascal devrait, à terme, faire disparaître le torr.

14

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Remarques générales : 1. Terminologie : différence entre gaz ionisé et plasma. La plupart des décharges de laboratoire ne sont pas vraiment des plasmas car elles ne contiennent pas que des particules chargées, mais aussi des atomes et des molécules électriquement neutres, constituant plutôt un gaz ionisé. Strictement parlant, il conviendrait, en effet, de réserver l’appellation plasma à un gaz ne comportant que des particules chargées, mais, dans la pratique, les deux termes plasma et gaz ionisé sont souvent confondus ; l’appellation plasma froid désigne nécessairement un gaz ionisé. La différence entre plasma et gaz ionisé peut se caractériser plus précisément par le degré d’ionisation αi du milieu : αi =

ni ni + N

(1.2)

où N est la densité des molécules (atomes) électriquement neutres. Pour αi ≤ 10−4 , on devrait plutôt parler de gaz ionisé que de plasma, car les interactions majoritaires sont dans ce cas des collisions électron-neutre, donc des collisions à courte portée. Cependant, même dans ce cas, la propagation d’une onde électromagnétique (EM) s’y effectue bien grâce aux particules chargées, mais son atténuation est alors liée aux collisions électron-neutre plutôt qu’aux interactions coulombiennes. 2. Les plasmas, quatrième état de la matière. Dans la séquence "solide-liquide-gazplasma", qui correspond à une énergie moyenne croissante des constituants, le plasma apparaît comme l’état de plus haute énergie. Ainsi, quand l’énergie moyenne des électrons atteint au moins 5 à 10 % du seuil de l’énergie d’ionisation du gaz (section 1.7.9), on obtient un gaz ionisé, mais que partiellement ; quand l’énergie moyenne avoisine ou dépasse l’énergie du seuil d’ionisation, le gaz est entièrement ionisé. En laboratoire, ce "chauffage" se réalise de l’extérieur au moyen d’un champ électrique ou de photons. 3. Les plasmas, milieux radiatifs. Un plasma est un système thermodynamique (section 1.4.2) qui comprend, en effet, outre des particules chargées (et des atomes électriquement neutres, dans le cas d’un gaz ionisé), des photons, émis et absorbés par ces particules. Il faut noter, cependant, qu’un milieu peut émettre des photons sans qu’il s’agisse d’un plasma ou d’un gaz ionisé, puisqu’il suffit que les atomes soient excités dans un état non ionisé. 4. Présence d’ions négatifs. Outre les ions positifs, de charge Ze où e est la valeur absolue de la charge élémentaire d’un électron, on trouvera dans la plupart des décharges électriques, et en particulier dans les décharges de gaz dits électronégatifs (par exemple SF6 ), des ions négatifs (avec une seule charge négative, par exemple − − H− , O− , O− 2 , Cl , SFx ) qui résultent d’un processus de capture d’un électron. On aura, néanmoins, toujours quasi-neutralité, de sorte que :  − (ne e + ni− e) + nz Ze = 0 , (1.3) z

1.2− Domaines d’étude et d’applications

15

où nz est la densité des ions positifs de charge Ze (ions dits multi-chargés) et ni− , celle des ions négatifs de charge −e. Il faut cependant noter, à titre d’exemples, que les plasmas d’azote, de mercure ou de gaz rares ne contiennent pas d’ions négatifs. 5. Origine du terme "plasma". Ce terme a été introduit par Tonks et Langmuir en 1929 pour désigner la partie "colonne positive" (chapitre 4) de certaines décharges électriques dans un gaz. Tiré du grec πλασμα, ce mot signifie "figure modelée" (par exemple de cire ou d’argile), mais veut également dire fiction, fausse apparence ! Le lien entre le sens étymologique de ce terme et le phénomène physique qu’il décrit n’est pas évident.

1.2. Domaines d’étude et d’applications (exemples) Bien que la plus grande partie des travaux de recherche en physique des plasmas soit motivée par des applications, cette discipline, en raison de la très grande variété des phénomènes observables dans un plasma, a contribué de façon importante à certains domaines de la physique fondamentale dont celui, par exemple, des effets non linéaires. La physique des plasmas est une discipline qui fait appel à l’électromagnétisme, à l’hydrodynamique, à la mécanique statistique et à la physique atomique et moléculaire. Pour avoir une vue d’ensemble du vaste domaine de la physique des plasmas, examinons quelques sujets d’étude en mettant l’accent sur l’aspect applications.

1.2.1. Fusion thermonucléaire contrôlée Dans l’espoir de produire de l’énergie et de remplacer, dans l’avenir, le pétrole aussi bien que la filière actuelle des centrales à fission nucléaire, on envisage des réactions de fusion du type D + T → 4 He + neutron + 17,6 MeV 6 , D + D → T + proton + 4,0 MeV , où le deutérium (D) et le tritium (T) sont des isotopes de l’hydrogène. Théoriquement, 1 kg de D-T pourrait donner autant d’énergie que 107 litres de mazout. Ces réactions sont possibles si les noyaux de deutérium et de tritium peuvent entrer suffisamment en contact, ce qui nécessite des énergies incidentes minimum de 10 keV pour vaincre la barrière de potentiel répulsif, de nature coulombienne, entre les noyaux chargés positivement (voir exercice 1.2). Deux méthodes de chauffage et de confinement sont présentement à l’étude : le confinement magnétique, davantage proche de l’hypothétique réacteur susceptible d’être couplé au réseau électrique, et le confinement inertiel, 6

1 MeV = 106 × 1,6 × 10−19 J (voir section 1.7.6 pour plus de détails).

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

qui permet d’effectuer des études fondamentales avec une approche toute différente. Jusqu’à présent, et dans les deux cas, on n’a pas encore obtenu une réaction positive de fusion (énergie rendue plus grande que l’énergie fournie pour amorcer la réaction), les phénomènes de pertes n’étant pas tous maîtrisés. Examinons brièvement ces deux approches : La machine à confinement magnétique Le confinement des particules chargées par un champ magnétique (section 2.2) est essentiel pour éviter les pertes d’énergie du plasma de fusion sur les parois et la destruction de celles-ci 7 . Le type de réacteur le plus fréquent est de configuration toroïdale (formant un système fermé sur lui-même), mis au point à l’Institut Kurchatov de Moscou sous la direction de l’académicien L.A. Artsimovitch et appelé tokamak 8 . Il comprend un champ magnétique principal, dit toroïdal, et différents autres champs magnétiques de moindre intensité (plus de détails à la toute fin du chapitre 2). On chauffe initialement le plasma par induction selon le principe du transformateur, le secondaire étant le plasma, et on y ajoute du courant et de l’énergie, par exemple, par des champs de hautes fréquences (HF) dont la fréquence correspond à des modes propres du système (par exemple la résonance cyclotron) ou à des ondes de plasma. Cependant, les impuretés émanant des parois par suite de leur bombardement par les particules du plasma accaparent une très grande partie de l’énergie destinée à vaincre la répulsion nucléaire entre les éléments devant entrer en fusion, empêchant la réaction de fusion de se poursuivre ; ce problème n’est pas encore totalement résolu. De plus, divers types d’instabilité peuvent se manifester et conduire, par exemple, le plasma à "s’étouffer" ou à toucher les parois. Commencée au début des années 50 par les Militaires, une partie de la recherche sur la fusion fut rendue publique en 1958 et dotée de budgets civils importants dans plusieurs pays. Toutefois, vers le milieu des années 90, certains gouvernements se montrèrent plus critiques à l’égard de ces travaux et en réduisirent les budgets (cas de la fermeture du Tokamak de Varennes par le gouvernement canadien), arguant de ce que l’on était encore trop loin d’un réacteur commercial ; en effet, on n’avait toujours pas atteint en 2013 les conditions d’auto-entretien de la fusion. Les recherches se poursuivent néanmoins sur plusieurs installations en Europe, dont le Joint European Torus (JET) à Culham, Angleterre et Tore Supra à Cadarache, France. Le JET sert principalement à étudier les instabilités de transport, alors que Tore Supra met en oeuvre des bobines supraconductrices permettant d’accroître l’intensité du champ magnétique toroïdal tout en minimisant les pertes ohmiques. Ces diverses études ont mené au projet ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), tokamak de plus grande taille, doté de bobines supraconductrices et financé par la communauté internationale (figure 1.3). Cette installation devrait entrer en service à Cadarache après 2020 et la phase d’exploitation durer une vingtaine d’années. 7

L’idée d’un confinement magnétique a été émise en 1950 par A. Sakharov et I. Tamm.

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Acronyme russe pour chambre toroïdale et bobine magnétique : TOROIDALNA KAMERA et MAGNITNA KATUXKA

1.2− Domaines d’étude et d’applications

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Figure 1.3 – Vue schématique, en coupe, du réacteur ITER. Les petits rayons horizontal et vertical sont respectivement de 2,0 et 3,7 m alors que sur le JET, ils ne font respectivement que 1,25 et 2,10 m. Le grand rayon d’ITER est de 6,2 m comparativement à 2,96 m pour le JET. La puissance électrique requise, en régime c ITER Organization). continu, est de 110 MW. (

Le système à confinement inertiel On tire, par exemple, avec un faisceau laser UV intense sur une pastille de deutérium, "pelant" celle-ci et provoquant la compression de la matière ainsi extraite vers le centre de la pastille : pour arriver à la fusion, le transfert de l’énergie laser à la matière doit être plus rapide que son expansion subséquente dans la chambre du réacteur, d’où le recours à un laser de forte énergie à très courte impulsion.

1.2.2. Astrophysique et physique de l’environnement spatial Les étoiles et le flux de plasma émis par le Soleil, appelé vent solaire, constituent deux formes distinctes de plasma (au sens strict), le premier étant très dense, le second, au contraire, très dilué et, pour ainsi dire, sans collision. Plus près de la surface de la terre, il y a les couches ionosphériques ionisées par le vent solaire (mises en évidence à partir de 1954). Les particules chargées de ces couches (couche F, par exemple : ne ≈ 5 × 106 cm−3 , TeV = 50 eV, où TeV est la température des électrons en électron-volt) sont confinées par le champ magnétique terrestre qui les force à osciller entre les deux pôles. Ces couches ionosphériques jouent un rôle essentiel dans la transmission des ondes de basse fréquence (f ≤ 20 – 30 MHz). En

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

effet, elles servent de miroir à ces ondes, permettant ainsi leur propagation d’un point à un autre autour de la terre ; au contraire, aux fréquences plus élevées, il n’y a plus cet effet de réflexion, les ondes traversant les couches ionosphériques en ligne droite, et il est dans ce cas nécessaire que les antennes émettrice et réceptrice soient en regard l’une de l’autre pour que la communication s’établisse (par exemple communication Terre-satellite). Il y a en effet réflexion de l’onde sur une couche ionosphérique si la fréquence f de l’onde est telle que f < fpe où fpe est la fréquence des électrons du plasma (section 1.6), une fréquence caractéristique du gaz d’électrons. Ainsi, pour la couche ionosphérique F où ne ≈ 105 − 106 cm−3 , fpe = 2,8 – 9 MHz. Toujours dans le registre des communications, on s’intéresse aussi aux effets d’une explosion thermonucléaire dans la haute atmosphère qui produirait un plasma de très forte densité, empêchant les communications par voie hertzienne jusqu’à des fréquences très élevées, notamment les communications avec les satellites (≈ 4 – 12 GHz) ; un tel plasma, par l’énergie électromagnétique (EM) qu’il engendre, pourrait également détruire ces systèmes de communication. Ce phénomène de réflexion ou d’opacité aux ondes a également été à l’origine de la perte de contact radio avec l’équipage de la première capsule spatiale au moment où celle-ci revenait dans l’atmosphère terrestre : l’échauffement du véhicule, par frottement avec l’air ambiant (même si sa densité est extrêmement faible à cette altitude), était alors tel qu’il y avait eu formation d’un plasma dense autour de celui-ci.

1.2.3. Pompage des lasers Une des conditions nécessaires à l’obtention de l’effet laser est que la densité d’atomes dans l’état d’énergie supérieur de la transition radiative soit plus grande que celle du niveau inférieur, situation opposée à celle qui prévaut à l’équilibre thermodynamique (section 1.4.2). Pour provoquer cette inversion de population, on peut soit éclairer les atomes avec une source lumineuse intense de longueur d’onde appropriée (pompage optique ; par exemple, par lampe éclair UV), soit utiliser les propriétés du plasma gazeux dans lequel se trouvent les atomes ou molécules émetteurs (pompage par plasma). Le laser He-Ne est un exemple de pompage d’un laser par plasma : les atomes d’hélium et de néon sont excités par collisions électroniques dans la décharge du mélange He-Ne ; il s’ensuit un transfert d’énergie d’un niveau excité de l’hélium vers un niveau du néon situé presque à la même énergie (transfert dit résonnant), ce niveau du néon constituant le niveau supérieur d’une transition donnant lieu à une émission laser, par exemple, à 632,8 nm. Ce transfert est particulièrement efficace parce que l’état excité d’hélium alimentant le niveau correspondant du néon est un état métastable, c’est-à-dire à plus longue durée de vie qu’un état radiatif, donc plus susceptible de transmettre son "énergie interne" directement à un autre atome (molécule).

1.2− Domaines d’étude et d’applications

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1.2.4. Chimie dans les plasmas On se rappellera que ce sont les électrons qui interviennent de façon prépondérante dans la formation ou la rupture d’une liaison chimique. Dans une décharge électrique à pression de gaz réduite (entendre inférieure à la pression atmosphérique), on trouve généralement 9 que Te  Ti ≥ Tg où Te , Ti et Tg sont respectivement les températures 10 des électrons, des ions et du gaz neutre. On en arrive ainsi à donner suffisamment d’énergie aux électrons, ce qui favorise les réactions chimiques, sans avoir à chauffer autant les ions et les atomes d’où, en principe, une économie en énergie et un rendement réactionnel qui peut être supérieur à celui de la chimie conventionnelle qui se produit, elle, à l’équilibre thermodynamique (section 1.4.2). Un exemple particulièrement probant de cette chimie par plasma hors équilibre est la formation d’ozone à partir de O2 par des décharges dites à effet couronne ou à barrière diélectrique à haute pression, ces décharges ayant la propriété d’être froides, c’est-à-dire que les atomes et molécules y sont à la température ambiante alors que Te est de quelques eV. Il s’agit d’un procédé efficace énergétiquement, utilisé à travers le monde dans les usines de traitement des eaux usées, l’ozone ayant un fort pouvoir oxydant et des propriétés bactéricides. On peut aussi se servir d’une décharge électrique pour détruire des effluents émanant de procédés industriels, atomes ou molécules qui sont toxiques pour l’homme, ou dangereux pour la couche d’ozone, ou encore contribuant à l’effet de serre. Après passage de ces molécules dans une décharge réalisée principalement dans un gaz autre (gaz dit plasmagène) ou encore en formant directement la décharge à partir des molécules à détruire, on arrive dans certains cas à une efficacité de destruction ou de détoxication voisine de 100 % ; ces procédés sont rapides et souvent moins coûteux que les techniques conventionnelles, comme les brûleurs à très haute température qui, de surcroît, participent à la pollution de l’environnement. Ces développements ont donné lieu à la réalisation de systèmes à plasmas micro-ondes 11 permettant d’éliminer les effluents gazeux, notamment les produits (per)fluorés (SF6 , CF4 , C2 F6 ...) à effet de serre des usines de micro-électronique. On utilise le même type de procédé par plasma hors équilibre afin de débarrasser des gaz rares comme le krypton et le xénon, obtenus par distillation cryogénique de l’air, des impuretés fluorées (par exemple CF4 ) et des hydrocarbures (par exemple CH4 ) provenant de l’environnement et ayant des températures de condensation cryogénique voisines de celles du krypton et du xénon. 9

Le champ électrique de la décharge accélère principalement les électrons en raison de leur très faible inertie par rapport à celle des ions : l’énergie "entre" donc dans la décharge par les électrons (exercice 2.1). Comme, en outre, le transfert d’énergie électron-neutre et électron-ion lors d’une collision est très faible (section 1.7.2), toujours en raison du rapport des masses (à la différence des collisions ion-neutre et ion-ion), et dans la mesure où le nombre de ces collisions électroniques est peu élevé, on obtient Te  Ti .

10 Le recours à la notion de température pour caractériser l’énergie d’un groupe de particules suppose que leur fonction de distribution en énergie est maxwellienne (section 1.4.2 et annexe A1). 11 Ces décharges sont cependant plus chaudes que celles à effet couronne, donc moins hors équilibre thermodynamique.

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

1.2.5. Traitement de surface Le traitement de surface par plasma consiste à modifier l’état d’une surface par l’une des trois méthodes génériques suivantes : dépôt en surface d’une couche mince d’un matériau donné (métal, semiconducteur, diélectrique, polymère) ; réaction chimique avec la surface même (oxydation, nitruration) ou transformation physico-chimique de celle-ci (modification de l’adhérence, de l’énergie de surface) ; érosion de la surface soit par une action chimique, qui entraîne la formation d’une molécule, de nature volatile, entre un ou plusieurs atomes de la surface et des atomes ou radicaux provenant du plasma, soit par une action physique, la pulvérisation ionique, du fait du bombardement par des ions qui éjectent, par effet mécanique, des atomes de la surface, soit par érosion chimique assistée (induite) par le bombardement ionique, qui combine actions chimique et physique.

Figure 1.4 – Exemple de gravure anisotrope de SiO2 (courtoisie de Corial, France).

Ainsi, un plasma produit à partir du gaz CF4 fournit, en volume, les atomes (par exemple F), les radicaux (par exemple CFx ) ainsi que les ions (par exemple CF+ y ) et les espèces plus complexes nécessaires aux mécanismes d’interaction avec la surface qui peuvent, en fonction des conditions opératoires, conduire aussi bien à la gravure de matériaux (Si, W, SiO2 ) comme le montre la figure 1.4, qu’à un dépôt, par polymérisation induite par plasma, de couches minces de type téflonMC . Dans la fabrication des puces en microélectronique, par suite d’une miniaturisation de plus en plus poussée, la part dévolue aux plasmas ne cesse de progresser dans l’ensemble des opérations élémentaires à réaliser : nettoyage des surfaces, gravure (réalisation de "motifs" dans le substrat par érosion de celui-ci), dépôt, implantation ionique (dopage par inclusion d’ions en profondeur dans le matériau), lithographie (impression et développement "photographique" des résines permettant de transférer les motifs définissant les circuits élémentaires), oxydation, traitements thermiques. Sur la centaine d’étapes élémentaires requises pour la fabrication des circuits intégrés, les opérations réalisées uniquement par plasma représentaient, dès le début des années 2000, près de 50 % de l’ensemble de ces étapes. La mise au point de machines à plasma

1.2− Domaines d’étude et d’applications

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pour la microélectronique et plus généralement pour les micro/nanotechnologies constitue de toute évidence un débouché important et en plein essor pour les physiciens et ingénieurs des plasmas. Un exemple de dépôt par plasma est la fabrication de couches minces de diamant polycristallin. Les intéressantes propriétés de dureté, de transport de chaleur et diélectriques du diamant en font un matériau de choix en électronique de puissance, aussi bien que pour les travaux de découpe de différents matériaux. Il est possible de réaliser, à partir d’un plasma, des couches minces de diamant polycristallin, c’est-àdire un assemblage de petits cristaux de diamant dont la taille peut varier entre 20 nm et quelques microns (figure 1.5), suivant les conditions opératoires ; ces cristaux s’unissent, au cours de leur croissance, en formant des joints de grain, constitués le plus souvent de carbone amorphe. Une telle couche fait, habituellement, de 1 à 5 μm d’épaisseur. En général, le plasma utilisé contient environ 1 % d’un composé carboné (par exemple CH4 ), tout le reste étant de l’hydrogène ; la pression de fonctionnement est située entre 10 et 100 torrs ( 1,3 – 13 kPa) et le dépôt doit s’effectuer sur un substrat chauffé (≈ 500 – 1000 ◦ C). La dissociation dans le plasma de l’hydrogène moléculaire fournit l’hydrogène atomique qui empêche la croissance du graphite, une phase allotrope du carbone qui autrement serait thermodynamiquement avantagée par rapport à la croissance du diamant dans les présentes conditions opératoires.

Figure 1.5 – Cristallites de diamant en début de dépôt sur un substrat de silicium. Une fois cette première couche fermée, la croissance se poursuit en hauteur.

1.2.6. Stérilisation d’objets médicaux L’inactivation de micro-organismes peut se réaliser par exposition directe à la décharge d’un composé gazeux ou à partir d’une post-décharge en flux 12 d’un tel mélange gazeux, comme le montre la figure 1.6. 12 Une post-décharge en flux s’obtient en faisant en sorte que le gaz excité et ionisé par la décharge soit très rapidement entraîné dans une autre enceinte, dite de post-décharge, où il n’y a plus de champ électrique. Pour cela, il faut que l’alimentation en gaz se fasse à un débit suffisamment élevé car les espèces créées dans la décharge ont une durée de vie limitée (≤ 1 – 100 ms).

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Les espèces inactivantes, dans le cas d’un mélange N2 -O2 sont, d’une part, les photons UV provenant de la molécule NO excitée et, d’autre part, l’oxygène atomique. La molécule NO excitée est formée par collisions entre atomes d’azote et atomes d’oxygène provenant tous les deux de la dissociation par la décharge des molécules N2 et O2 du mélange gazeux initial. Dans les conditions où le pourcentage de O2 dans le mélange N2 -O2 conduit à un maximum de l’intensité UV émise, les micro-organismes exposés (des spores bactériennes en l’occurrence) sont totalement inactivés par suite des lésions multiples causées à leur matériel génétique par les photons UV. Par ailleurs, l’oxygène atomique, très réactif, peut entraîner, par action chimique et formation de composés volatils, l’érosion (enlèvement de matière) du micro-organisme ce qui en réduit la taille et facilite d’autant son inactivation par les photons UV 13 .

Figure 1.6 – Schéma de principe d’un stérilisateur à plasma froid de type post-décharge en flux (Université de Montréal).

1.2.7. Analyse élémentaire (chimie analytique) Pour connaître la composition atomique d’un échantillon, il faut d’abord l’atomiser : par bombardement ionique dans le cas d’un solide, par dissociation (fragmentation) des molécules dans le cas des liquides (préalablement transformés en aérosol) et des gaz ; dans ces trois cas, à l’aide d’un plasma dont le gaz plasmagène est le plus souvent de l’argon ou de l’hélium. On détecte ensuite les atomes présents, par spectroscopie optique, grâce au rayonnement caractéristique de ceux d’entre eux qui ont été portés dans un état excité, ou encore par spectrométrie de masse. On obtient leur concentration par référence à des échantillons-étalon contenant les mêmes atomes, de préférence dans une matrice (ensemble) moléculaire pas trop différente de celle de l’échantillon à analyser. Cette méthode, très sensible, permet le dosage de ce qu’on appelle les ultratraces (teneur de l’ordre du nanogramme et même du picogramme, par gramme d’échantillon). On utilise à cette fin des plasmas entretenus, par exemple, par des champs électriques de haute fréquence (micro-ondes et fréquences radio). 13 Vraisemblablement, l’oxygène atomique pourrait aussi diffuser à l’intérieur des micro-organismes et y induire des lésions létales.

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1.2.8. Éclairage Comme applications des gaz ionisés dans le domaine de l’éclairage, signalons, pour un fonctionnement à faible pression, les lampes à vapeur de mercure (tubes fluorescents domestiques, figure 1.2) et à vapeur de sodium (lampadaires) ; à haute pression, les lampes à vapeur de mercure qui sont des plasmas de très forte densité, le plus souvent, en régime d’arc électrique (lampadaires). L’éclairage est un marché important où cependant les avancées n’ont pas été spectaculaires au cours de ces dernières années. Ainsi, on a timidement commencé à activer certaines lampes au moyen d’une décharge de haute fréquence (HF) ayant en vue leur plus grande durée de vie et un éclairage plus efficace énergétiquement. L’année 1994 a vu l’apparition de la première lampe domestique (General Electric) utilisant un champ électrique HF (∼ 1,5 MHz) : un transistor fournissant la puissance HF est logé dans la base de cette lampe dont le culot de vissage permet sa substitution directe à une lampe à incandescence classique (rendement énergétique 4 fois plus élevé, durée de vie 10 fois plus grande ; prix de vente cependant encore assez élevé).

1.2.9. Écrans plasma Dans les écrans plasma, l’image est obtenue à partir de décharges électriques créées dans des cellules (pixels) de quelques centaines de microns dont l’ensemble compose des panneaux de grande surface (plus d’un million de cellules pour un panneau de 42" (1,07 m) de diagonale). Les cellules sont remplies d’un mélange de gaz à base de xénon, à une pression inférieure à la pression atmosphérique. Les photons UV émis par chaque micro-décharge excitent des lumiphores qui ré-émettent, selon la cellule, des photons visibles dans l’une des trois couleurs fondamentales, rouge, vert et bleu. Cette technologie permet de réaliser des écrans plats de très grandes dimensions, d’une qualité d’image exceptionnelle, très contrastée et extrêmement lumineuse. Les écrans plasma occupent une place importante dans le marché global des téléviseurs dans le monde.

1.2.10. Sources d’ions Les sources d’ions positifs sont utilisées dans de nombreux domaines incluant les traitements de surface à forte assistance ionique (gravure par usinage ionique par exemple), la microélectronique (dopage par implantation ionique), la physique nucléaire et subatomique (sources d’ions mono- et multi-chargés pour accélérateurs), et le spatial (sources à effet Hall pour la propulsion ionique, expériences embarquées). Les sources d’ions négatifs permettent d’obtenir de façon efficace des faisceaux de neutres de haute énergie. C’est le cas, par exemple, des ions deutérium D− qui sont neutralisés en faisceau de neutres D0 : l’intérêt des ions négatifs D− réside dans le fait que, après leur accélération dans la gamme du MeV, leur rendement de conversion ion-neutre par échange de charge est bien plus élevé que celui des ions D+ . Un faisceau

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

de neutres D0 de très forte énergie permet d’accroître la température du plasma de tokamak dans l’enceinte duquel ils peuvent être introduits sans être affectés par le champ magnétique de confinement.

1.2.11. Propulseurs ioniques Ces moteurs tirent leur force de propulsion de l’éjection de particules lourdes à très haute vitesse, suivant le principe de l’action-réaction (conservation de la quantité de mouvement) : le mouvement créé a lieu en direction opposée à l’éjection des particules. Dans les moteurs ioniques, ces particules lourdes sont le plus généralement des atomes de xénon qui ont été ionisés une fois : du xénon parce que c’est un gaz rare, donc chimiquement peu réactif (la durée de vie prévue du dispositif devant être de l’ordre de 15 à 20 ans), possédant la plus grande masse si l’on exclut le radon radioactif (la force de propulsion augmente avec la masse éjectée). Les ions xénon sont accélérés dans un champ électrique de façon à leur conférer une vitesse de translation (d’éjection) suffisante, mais doivent être neutralisés en sortie d’engin pour que le système demeure électriquement neutre. L’énergie électrique nécessaire pour assurer l’ionisation des atomes lourds (le comburant) provient de panneaux solaires, constituant une économie quant au transport initial d’un combustible classique. Il est envisagé d’accroître l’énergie servant à éjecter les ions en recourant à un réacteur nucléaire. De tels moteurs ioniques équipent maintenant bon nombre de satellites de télécommunication en orbite autour de la Terre. Ils servent à repositionner ceux-ci quotidiennement pour assurer une communication optimale avec le sol compte tenu des perturbations d’attitude (altitude, positionnement directionnel) dues aux forces d’attraction variables de la Lune et du Soleil qui s’exercent sur eux. Leur mise en route et leur arrêt sont faciles et le contrôle de leur poussée très précis. Les présents moteurs à ions, avec leur faible poussée, ne peuvent servir à effectuer des lancements à partir de la Terre, mais sont très efficaces une fois dans le vide spatial. Ils peuvent communiquer une grande vitesse à un véhicule spatial, mais il leur faut beaucoup plus de temps pour ce faire qu’à un lanceur chimique conventionnel qui fournit une accélération considérable dès sa mise à feu. La sonde spatiale SMART-1 de l’Agence Spatiale Européenne (ASE) a parcouru plus de 100 millions de km en ne consommant que 60 litres standard (c’est-à-dire rapportés à la pression atmosphérique) de xénon. Ce bref aperçu du champ des études et applications des plasmas montre que ce domaine de la physique a déjà obtenu des succès remarquables et ce, jusque dans la sphère domestique, et qu’il est également riche de possibilités d’applications (par exemple, fusion, stérilisation). Pour avoir une vue encore plus large des applications des plasmas, le lecteur pourra consulter avec profit l’ouvrage de P. Bradu.

1.3− Différents types de décharge en laboratoire

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1.3. Différents types de décharge en laboratoire En laboratoire, on peut distinguer trois techniques principales, génériques, permettant de créer un plasma :

1.3.1. La décharge en courant continu ou alternatif de basse fréquence Dans ce cas, les électrodes entre lesquelles s’établit le champ électrique sont forcément en contact avec le plasma (figure 1.2). Ce dernier se forme, dans une étape transitoire, par un processus de multiplication d’électrons dit d’avalanche (ou de disruption) lorsqu’on applique la différence de potentiel : les quelques électrons initialement présents, accélérés par le champ électrique, ionisent par collisions les atomes (molécules) du gaz, augmentant ainsi le nombre d’électrons. Cette croissance du nombre d’électrons cesse au bout de quelques centaines de micro-secondes, lorsque l’état stationnaire est atteint. Dans ces décharges périodiques à basse fréquence, la fréquence du courant d’alimentation est supposée suffisamment basse pour que tous les paramètres électriques du plasma soient en équilibre avec le champ appliqué. Autrement dit, à chaque instant de la période d’oscillation du champ, le plasma peut être considéré comme ayant atteint son état stationnaire.

1.3.2. La décharge de haute fréquence (HF) Les hautes fréquences (HF) incluent les fréquences radio (RF) et micro-ondes (MO). Le domaine RF, qui s’étend d’environ 1 MHz à 100 MHz, comprend les fréquences autorisées au niveau mondial pour applications industrielles, scientifiques et médicales (ISM), principalement 13,56 MHz, 27,12 MHz et 40,68 MHz. Bien que le domaine des micro-ondes débute traditionnellement à 300 MHz, dans le cas de l’entretien de décharges HF, sur un plan pratique, il convient de considérer que ce domaine commence à 100 MHz. Cette distinction provient des moyens d’adaptation d’impédance mis en oeuvre, qui permettent l’utilisation d’impédances réparties (segments de lignes de transmission, par exemple) plutôt que d’impédances discrètes (capacités C et inductances L), procurant ainsi un accord d’impédance plus efficace qu’une boîte d’accord LC. En outre, il est possible d’entretenir des décharges par résonance cyclotronique électronique à des fréquences HF aussi basses que 100 MHz. Les fréquences micro-ondes ISM autorisées au niveau modial sont 433,92 MHz, 2,45 GHz et 5,80 GHz. Dans le cas des plasmas RF, les électrodes portant le champ RF peuvent se trouver à l’intérieur de l’enceinte (par exemple, les deux plaques parallèles conductrices de la décharge dite capacitive) ou être situées à l’extérieur de celle-ci (par exemple, les

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spires de la décharge inductive (figure 4.4)) pourvu que, dans ce dernier cas, l’enceinte soit faite d’un matériau diélectrique transparent au rayonnement RF. Quant aux plasmas micro-ondes, ils sont très généralement produits au moyen d’un applicateur de champ 14 . La fréquence de fonctionnement du plasma peut être choisie de façon à en optimiser les propriétés dans certaines applications. De la sorte, on peut, par exemple, augmenter la vitesse de gravure : voir section 4.3.

1.3.3. La décharge par rayonnement (pompage) laser On peut distinguer deux régimes suivant la densité de puissance incidente du laser : à faible flux de photons, la longueur d’onde du laser doit être telle qu’elle corresponde à la différence d’énergie entre deux niveaux de l’atome ou de la molécule (transition dite d’absorption) que l’on souhaite porter dans un état excité donné. Ensuite, grâce, par exemple, à une collision entre deux atomes ainsi excités, se produit l’ionisation de l’un d’entre eux. à fort flux de photons, l’effet multiphotonique (où plusieurs photons "s’additionnent" en énergie) devient important et permet d’ioniser un gaz directement, sans avoir recours aux collisions.

1.4. Densité électronique et température d’un plasma Ce sont les deux principales caractéristiques d’un plasma, considéré du point de vue de ses particules.

1.4.1. Domaine des valeurs de densité électronique des plasmas Ces valeurs couvrent un domaine si grand qu’il est préférable d’utiliser une échelle logarithmique pour les répertorier. Dans le tableau 1.1 qui suit, en plus du plasma gazeux, nous avons aussi inclus les plasmas dits de matière dense parce qu’ils ont des propriétés physiques analogues.

14 On désigne par applicateur de champ les électrodes ou plus généralement tout dispositif servant à imposer, de l’extérieur de l’enceinte contenant le gaz, le champ EM créant la décharge.

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1.4− Densité électronique et température d’un plasma Tableau 1.1 – Différents types de plasma avec leur densité électronique correspondante

Plasma gazeux

log10 ne (cm−3 )

Gaz fortement ionisé Gaz interstellaires 15 Vent solaire 15, 16 Ionosphère, couche F (altitude 250 km) Couronne solaire Machine à fusion de type tokamak Plasma produit par un laser sur une cible solide Explosion nucléaire

0 0,5 5,7 7 14 19–23 20

Gaz faiblement ionisé Ionosphère, couche D (altitude 70 km) Décharge en laboratoire, à pression réduite Décharge en laboratoire, à pression atmosphérique

3 10–12 13–15

Plasma de matière dense Électrons dans les métaux Intérieur des étoiles Intérieur des naines blanches

23 27 32

1.4.2. Définition de la "température" d’un plasma et concept d’équilibre thermodynamique (ET) La température, T , est une grandeur qui permet de caractériser globalement l’énergie d’un milieu, notamment l’énergie d’agitation thermique de ses particules puisqu’elle est reliée à la valeur moyenne de cette énergie (annexe A1, (A1.11)). Utiliser la température des particules à cette fin n’est possible que si la distribution en énergie (en vitesse) de celles-ci est maxwellienne ; sinon, il faut recourir à la distribution en énergie de ces particules. Nous allons voir que, dans un système en équilibre thermodynamique, une seule et même valeur de T suffit à caractériser à la fois la distribution en énergie des photons et celle des particules. Un système en ET est complètement et simplement caractérisé par sa température T et la densité Nn des particules lourdes le constituant. La densité Nn comprend plus précisément les atomes (molécules) neutres et ionisés, aussi bien dans l’état fondamental que dans des états excités : on parlera alors plus volontiers, au total, de la densité des noyaux, pour éviter toute ambiguïté (voir exercices 1.7 et 1.8). 15 Peu d’interactions entre les particules (plasmas dits non collisionnels), mais grande influence des champs extérieurs. 16 Le vent solaire est essentiellement composé de protons et d’électrons.

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1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Considérons un système comprenant des atomes (neutres et ionisés) ainsi que du rayonnement EM (photons), ce rayonnement étant lié aux états excités des atomes et des ions tout autant qu’aux interactions coulombiennes entre particules chargées (bremsstrahlung, section 1.7.1). Cet ensemble est en équilibre thermodynamique complet s’il y a un nombre suffisant d’interactions entre les diverses composantes du système de sorte que chaque type de processus d’échange d’énergie voit son action dans une direction énergétique donnée (par exemple, accroissement d’énergie de la "particule" lors de l’interaction) rigoureusement compensée de façon statistique par le même type de processus en direction énergétique inverse (diminution d’énergie du même type de particule dans notre exemple) : cette exigence de compensation s’appelle le principe de réversibilité microscopique ou, plus simplement, la microréversibilité. Exemples de processus réversibles Les processus de collisions élastiques constituent, à l’évidence, un mécanisme naturellement réversible : l’atome ou l’électron qui subit une collision peut statistiquement aussi bien gagner que perdre de l’énergie. Les processus de collisions inélastiques, au contraire, ne sont pas toujours facilement réversibles : il faut que le milieu soit très dense, notamment pour qu’il y ait suffisamment d’interactions à plus de deux corps quand cela est nécessaire pour assurer la réversibilité. Pour le voir, considérons successivement deux exemples : - la collision superélastique ou de seconde espèce e + A(0) → A(j) + e ⇔ A(j) + e → A(0) + e Le symbole e désigne un électron de grande énergie au contraire de e qui est de faible énergie ; A(0) indique l’état fondamental de l’atome A et A(j) désigne un état excité de cet atome ; la double flèche ⇔ sépare les deux directions énergétiques du processus considéré. Si l’atome dans l’état j émet un photon avant de subir une collision, la réversibilité n’est pas satisfaite. Celle-ci exige donc un milieu où le nombre de collisions est très élevé. - la recombinaison collisionnelle e + A(0) → e + A+ (j) + e ⇔ A+ (j) + e + e → A(0) + e Dans ce dernier exemple, on voit que la réversibilité requiert une interaction à trois corps, d’où la difficulté d’obtenir l’équilibre thermodynamique (ET) complet si le milieu n’est pas suffisamment dense. - les processus d’émission et d’absorption de photons  A(j) → A(i) + hν A(i) + hν → A(j) ⇔ A(j) + hν → A(i) + 2hν absorption

émission spontanée émission stimulée

où h est la constante de Planck et ν, la fréquence du photon ; j et i désignent respectivement les niveaux d’énergie supérieur et inférieur (j > i).

1.4− Densité électronique et température d’un plasma

29

Conséquences de l’ET complet L’équilibre thermodynamique complet est réalisé quand les quatre grandes lois d’équilibre que nous allons présenter sont vérifiées simultanément. Pour caractériser complètement le système, il suffit alors de connaître simplement la température T et la densité des noyaux atomiques Nn . 1. Distribution de Maxwell-Boltzmann des vitesses microscopiques, w, des particules. Pour les électrons, dans le cas d’une distribution isotrope, nous avons (voir annexe A1) :   3/2  me w 2 me exp − f (w) = (1.4) 2πkB T 2kB T où kB est la constante de Boltzmann, me la masse des électrons, la température T étant exprimée en kelvin. En notant que vth , la vitesse la plus probable des particules d’une distribution maxwellienne, est donnée par : 1/2  2kB T vth = , (1.5) me on peut écrire (1.4) sous une forme plus simple et plus facile à retenir :   w2 π −3/2 exp − 2 . f (w) = 3 vth vth

(1.6)

Remarque : Une condition suffisante pour que la distribution des vitesses des particules soit maxwellienne est que le plasma soit en équilibre thermodynamique. 2. Loi de Boltzmann fixant la répartition de la densité de population des états excités par rapport à celle de l’état fondamental :     gj nj (Ej − E0 ) = exp − (1.7) n0 g0 kB T où n0 est la densité d’atomes dans l’état fondamental d’énergie E0 , et nj la densité d’atomes dans l’état excité d’énergie Ej , avec g0 et gj les poids statistiques (ou dégénérescences) correspondants 17. 3. Loi de Planck, dite du corps noir, fixant la distribution spectrale de l’intensité du rayonnement EM. Cette intensité, à la fréquence ν considérée, est donnée par : Iν =

2hν 3 c2

 exp

1  hν −1 kB T

(1.8)

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. 17 La dégénérescence en énergie d’un niveau atomique est donnée par 2J + 1 où J est le nombre quantique du moment cinétique total correspondant au niveau considéré.

30

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

4. Loi de Saha régissant l’équilibre entre les processus d’ionisation (création des particules chargées) et de recombinaison en volume (disparition de particules chargées par neutralisation d’un ion par un électron, section 1.8.1). Cette loi permet de connaître la densité ni des ions (positifs) ionisés une fois, relativement à la densité n0 des atomes neutres, connaissant la température du plasma. Dans l’hypothèse où ces ions et ces atomes neutres se trouvent tous dans leur état fondamental 18 , cette relation s’exprime sous la forme simple :   2gi (2πme kB T )3/2 Ei − E0 ne ni = exp − (1.9) n0 g0 h3 kB T où gi et g0 représentent respectivement la dégénérescence quantique17 du niveau d’énergie i et celle du fondamental (il a été tenu en compte de ce que ge = 2 pour les électrons) et Ei l’énergie-seuil de première ionisation. Pour connaître le rapport de densité entre les ions de charge Z (c’est-à-dire ayant perdu Z électrons) et ceux de charge (Z − 1), nous disposons de la relation :   ne ni [Z] 2gi [Z] (2πme kB T )3/2 Ei [Z] − Ei [Z − 1] = exp − (1.10) ni [Z − 1] gi [Z − 1] h3 kB T où Ei est, cette fois, l’énergie d’ionisation du Z ème électron par rapport au niveau de l’atome ionisé (Z − 1) fois ; le symbole [ ] indique la dépendance en Z et en Z − 1 de ni et gi ; les valeurs de ni [Z] et ni [Z − 1] sont celles des états fondamentaux des deux types d’ions.

1.4.3. Divers niveaux d’écart par rapport à l’équilibre thermodynamique complet Dans la plupart des plasmas de laboratoire, la microréversibilité des processus n’est pas parfaite, et les informations à fournir pour caractériser le système sont d’autant plus nombreuses qu’il y a de types de processus non réversibles 19. Examinons la situation en allant dans le sens d’une microréversibilité de plus en plus faible. Équilibre thermodynamique local (ETL) Dans un plasma inhomogène où existe un gradient de densité de particules (induisant la diffusion de celles-ci) ou un gradient de température (provoqué, par exemple, par un flux thermique vers une paroi), ou dans un plasma homogène mais laissant des photons s’échapper (au moins pour certaines raies ou régions spectrales), il y a un 18 Pour obtenir, d’une part, la densité totale des ions (à une seule charge) qui comprend ceux dans l’état fondamental et ceux de tous les états excités et, d’autre part, la densité totale des atomes neutres, état fondamental et états excités inclus, voir l’annexe A2 (fonction de partition). 19 Rappelons qu’un système en ET est complètement et simplement caractérisé par sa température T et la densité Nn de ses noyaux atomiques (moléculaires).

1.4− Densité électronique et température d’un plasma

31

flux net d’énergie à travers le système : la diminution (ou l’augmentation) locale de l’énergie du système implique que la microréversibilité n’est pas complète. Cependant, si cette perte locale d’énergie est faible par rapport à l’énergie totale en ce point ou, de façon équivalente, si la différence d’énergie entre deux points voisins du système est faible, alors on pourra dire qu’il y a ETL. Le cas d’ETL le plus fréquent est celui d’un plasma dont la densité des particules n’est pas suffisamment grande et son volume trop petit pour réabsorber la plus grande partie des photons émis : des photons, dans un domaine spectral donné, s’échappent alors du système. Si la situation n’est souvent pas désastreuse du point de vue de l’équilibre du système, c’est que des processus vont se manifester pour compenser des réactions qui normalement, en ET complet, nécessitent l’absorption d’un photon. Ainsi, pour la réaction A(j) → A(0) + hν, il n’y a pas réversibilité, la réaction inverse étant remplacée par A(0) + e → A(j) + e ; on appelle ceci une compensation impropre pour l’opposer à la compensation propre de la microréversibilité parfaite. Le rayonnement d’un tel système ne suit donc pas la loi de Planck, mais si le flux qui s’échappe est faible, les trois autres lois d’équilibre de l’ET s’appliqueront localement : Maxwell-Boltzmann pour les distributions des vitesses des particules, Boltzmann pour la densité des niveaux excités des atomes (molécules), et Saha pour l’ionisation-recombinaison ; une seule température, T (r), définie localement en r, en plus de la densité, Nn (r), des noyaux d’atomes (molécules), suffit alors pour caractériser le système. Dans le cas où il y a un flux net de particules à travers le système (diffusion, convection), la notion d’ETL s’applique à condition que le temps, dit de relaxation, nécessaire pour que la particule provenant d’un sous-système (thermodynamique) à la température T1 à la position r 1 se mette en équilibre avec le sous-système en r2 à la température T2 , soit très court. Dans ce cas, l’ET se maintient localement. Plasma hors ETL : le cas particulier du plasma à deux températures Lorsque le plasma est moins dense que celui considéré au paragraphe précédent, le nombre de collisions entre électrons et particules lourdes diminue. Comme un électron transfère par collision élastique au plus 4me /M de son énergie à un ion ou à un atome de masse M (démonstration en section 1.7.2), le transfert collisionnel d’énergie entre les électrons et les particules lourdes, du fait de leur différence de masse n’est plus suffisant pour que les particules des différents types aient toutes la même énergie moyenne. Cependant, si les interactions entre particules d’un même type sont suffisamment nombreuses 20 , il y a équipartition de l’énergie au sein de cette population, et celles-ci continueront à obéir à une distribution de Maxwell-Boltzmann caractérisée par une température propre à leur espèce : température électronique Te , température ionique Ti , et température des neutres (ou température du gaz) Tg . 20 Il s’agit de la condition nécessaire qui fait pendant à la condition suffisante indiquée plus haut (équilibre thermodynamique) pour que la distribution en vitesse soit de Maxwell-Boltzmann.

32

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Un cas particulièrement intéressant est celui où la température des électrons dépasse largement celle des autres particules du plasma lorsque ce sont précisément les électrons qui amènent l’énergie dans le système 21 . Une situation fréquemment observée est alors celle où Te > Ti ≈ Tg (plasma dit à deux températures). Dans un tel plasma à deux températures, les populations des différents niveaux d’énergie de l’atome neutre (de même pour l’ion) ne sont pas, dans leur ensemble, régies par l’équilibre de Boltzmann (équation (1.7)). En effet, le temps entre deux collisions successives électronneutre entraînant l’excitation ou la désexcitation des niveaux voisins du fondamental est plus long que leur temps de vie radiatif, de sorte que ceux-ci se peuplent ou se dépeuplent de façon radiative plutôt que par collision électronique, échappant ainsi à la cinétique des électrons. Par contre, les niveaux supérieurs, ceux situés sous le premier niveau de l’ion (figure A3.1 de l’annexe A3), sont en équilibre collisionnel avec les électrons, et la loi de Boltzmann donne leur densité de population selon Texc Te . Nous dirons que le système est en équilibre thermodynamique local partiel (annexe A3) puisque seuls les niveaux supérieurs sont en équilibre de Boltzmann. Pour décrire ce système, il faut donc préciser plusieurs "températures" (le terme "paramètres caractéristiques" serait plus juste), à la différence de l’ETL. Aucune caractéristique d’équilibre thermodynamique, mais un état stationnaire Les fonctions de distribution en énergie des particules ne sont plus maxwelliennes : par exemple, les collisions inélastiques peuvent dépeupler fortement certains intervalles d’énergie de ce qui aurait été une distribution de Maxwell-Boltzmann. Dans ce cas, on ne peut plus parler de température mais seulement d’énergie moyenne, et encore faut-il préciser la forme de la fonction de distribution pour connaître les caractéristiques du système. En conclusion, plus on s’éloigne de l’ET, plus il faut fournir de données pour caractériser le plasma.

1.5. Fréquence propre d’oscillation des électrons d’un plasma 1.5.1. Origine et description du phénomène Si dans un plasma de dimensions largement supérieures à la longueur de Debye λD (distance moyenne en dessous de laquelle il n’y a pas neutralité électrique, section 1.6) se produit un défaut local de neutralité (résultant, par exemple, d’un mouvement 21 Dès l’instant où il y a un chemin privilégié d’arrivée d’énergie se pose le problème de la répartition de cette énergie dans le plasma. S’il n’y a pas assez d’interactions entre les divers types de particules, leur énergie moyenne ne sera pas la même.

33

1.5− Fréquence propre d’oscillation des électrons d’un plasma

aléatoire des particules), celle-ci sera rétablie du fait du comportement collectif des particules chargées (section 1.1). S’il y a peu ou pas de collisions, ce mouvement de retour vers l’équilibre des charges prendra la forme d’une oscillation pendulaire autour de la position où il y a eu initialement rupture de neutralité. Pour préciser le sens physique de ce phénomène, considérons la figure 1.7, qui est une représentation idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma. Initialement, les charges y sont distribuées de façon alternée et équidistante de sorte que le champ électrique est nul là où elles se trouvent : les particules chargées (supposées sans énergie thermique pouvant les mettre en mouvement !) devraient donc demeurer, sans bouger, dans cet état d’équilibre. Déplaçons un groupe d’électrons sur une distance x par rapport à leur position initiale d’équilibre : il en résulte un champ électrique (champ donné par l’équation de Poisson (1.1) et appelé champ de charge d’espace) qui rappelle les électrons vers leur position d’origine, mouvement qui réduit d’autant l’intensité de ce champ. Cependant, les électrons ainsi accélérés ne pourront s’arrêter à leur position d’équilibre, continuant leur mouvement au-delà de ce point, engendrant ainsi un nouvel écart à l’équilibre électrique des charges et, donc, un champ électrique de sens opposé au champ initial. Les électrons continueront ainsi leur mouvement pendulaire autour de la position d’équilibre si des collisions ne viennent l’interrompre.

Figure 1.7 – Représentation (très) idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma montrant qu’une légère non uniformité de cette distribution, obtenue par déplacement d’un groupe d’électrons sur une distance x, crée dans cette région un champ électrique (dit champ de charge d’espace). Le rappel par ce champ des électrons ainsi déplacés va entraîner leur mouvement oscillatoire autour de la position initiale d’équilibre.

Ce comportement collectif des électrons fait apparaître localement un mouvement oscillatoire dont la pulsation (voir démonstration ci-après) est donnée par :  ωpe =

n ¯ e e2 me 0

1/2 (1.11)

où n ¯ e est la densité électronique en l’absence de perturbation, 0 est la permittivité du vide ; fpe = ωpe /2π est appelée fréquence (propre) des électrons du plasma ou, moins communément, fréquence du plasma d’électrons.

34

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Au cours de ces oscillations, les ions, beaucoup plus lourds que les électrons, demeurent pratiquement immobiles : ils commencent à peine à se mettre en mouvement dans une direction, sous l’effet du champ de charge d’espace, qu’il leur faudrait déjà aller dans l’autre.

1.5.2. Calcul de la fréquence propre des électrons du plasma Un modèle hydrodynamique simple décrivant les électrons dans leur mouvement collectif d’oscillation comme un fluide permet d’obtenir la valeur de la pulsation ωpe . Les hypothèses sont les suivantes : 1. Les ions sont immobiles et, de ce fait, leur densité n ¯ i , non perturbée, uniforme, 2. L’agitation thermique des électrons est négligeable : leur vitesse ve due au champ électrique de la charge d’espace est telle que ve  vth (hypothèse du plasma froid), 3. La fréquence ν de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement l’emporte sur les autres types de fréquences de collision, mais reste néanmoins telle que ν ωpe afin de préserver le comportement collectif du plasma, 4. Les oscillations produites sont de faible amplitude, 5. Il n’y a pas de champ magnétique imposé de l’extérieur. Dans le cadre du modèle hydrodynamique (section 3.5), nous pouvons décrire le fluide d’électrons en question par les deux relations suivantes : Équation de conservation des particules : ∂ne + ∇ · (ne v e ) = 0 . ∂t Équation de transport de la quantité de mouvement 22 :   ∂ + v e · ∇ v e = −ne eE , n e me ∂t

(1.12)

(1.13)

où E est le champ de charge d’espace. Nous linéarisons ces équations (hypothèse 4) en posant : ne (r, t) = n ¯e + n ˜ e (r, t)

(1.14)

¯ e uniforme et constante en l’absence de où n ˜ e (r, t) est une perturbation à la densité n fluctuations (˜ ne n ¯ e ). Nous supposerons, par ailleurs, que les grandeurs variables dans le temps, toutes d’ordre un, oscillent à la fréquence ω/2π que nous cherchons 22 Où l’on a négligé le terme d’interaction collisionnelle (hypothèse 3) et pris en compte le fait que le plasma est froid (hypothèse 2) ; le champ E est celui dû à la charge d’espace.

1.5− Fréquence propre d’oscillation des électrons d’un plasma

35

˜ e (r, t) = à déterminer : nous poserons donc E = E 0 exp(iωt), v e = v e0 exp(iωt) et n n ˜ e0 (r) exp(iωt). Nous avons alors de (1.12) : iω˜ ne0 + n ¯ e ∇ · v e0 = 0

(1.15)

où nous avons négligé ∇ · n ˜ e v e0 , terme d’ordre 2 dans une équation d’ordre 1. De (1.13), nous obtenons : n ¯ e me iωv e0 = −¯ ne eE 0 . (1.16) Ajoutons à ces deux relations, l’équation de Poisson (1.1) qui, dans le cas présent, s’écrit : n ¯ i e − ne e n ˜ ee ∇·E = ≈− (1.17)

0

0 puisque la neutralité macroscopique impose n ¯i = n ¯e. Nous voulons éliminer v e0 puis n ˜ e0 en jouant des équations (1.15) à (1.17). De (1.16), il vient :   e (1.18) v e0 = − E0 iωme et en portant (1.18) dans (1.15), nous obtenons : n ˜ e0 = −

n ¯ee ∇ · E0 . ω 2 me

(1.19)

En utilisant la valeur de n ˜ e0 définie simultanément par (1.19) et (1.17), nous arrivons à : n ¯ee

0 n ˜ e0 = − 2 ∇ · E 0 = − ∇ · E 0 , (1.20) ω me e   n ¯ e2 − 1 = 0, (1.21) c’est-à-dire : ∇ · E0 me 0 ω 2 ce qui, pour ∇ · E 0 = 0, impose :

ω = ωpe

(1.22)

ne2 /me o )1/2 (relation (1.11)) est la fréquence propre d’oscillation du où ωpe ≡ (¯ plasma d’électrons, aussi appelée oscillation de Langmuir. Remarques : 1. Dans l’hypothèse du plasma froid (Te = 0) 23 , l’oscillation collective des électrons demeure circonscrite au voisinage de la perturbation qui l’a engendrée : elle ne se propage pas, ce n’est pas une onde. Pour qu’une onde électromagnétique existe 24 , 23 L’hypothèse d’un plasma froid consiste à négliger la vitesse d’agitation thermique, notamment en posant Te = 0, devant une autre vitesse caractéristique des particules du plasma, comme ici ve . 24 Pour qu’il y ait propagation d’une onde électromagnétique, il faut qu’il y ait transport d’énergie d’un point à un autre de l’espace, c’est-à-dire que le vecteur de Poynting S = E ∧ H soit non nul.

36

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs il faut pouvoir en définir la vitesse de groupe vg 25 qui s’obtient à partir de son équation de dispersion. Dans le cas présent, de (1.22) où ωpe est une constante, vg ≡ ∂ω/∂β = 0. Cependant, si l’on tenait compte de la pression scalaire exercée par l’agitation thermique des électrons sur leur propre mouvement (section 3.5), pression qui s’exprime en moyenne par leur température Te , on obtiendrait, pour ce même mouvement oscillatoire (Quémada, section 6.4.1) : 2 + γβ 2 ω 2 = ωpe

kB Te me

(1.23)

où vg = γβkB Te /me ω est non nulle si Te = 0. Dans cette relation, γ est le rapport cp /cv des chaleurs spécifiques du gaz ; pour une transformation adiabatique, γ = ¯ δ¯ où δ¯ est le nombre de degrés de liberté de l’espèce gazeuse ; dans le cas (2 + δ)/ d’un gaz monoatomique, δ¯ = 1 d’où γ = 3 (section 3.6). 2. En milieu limité (c’est-à-dire lorsque des conditions aux frontières interviennent dans les calculs), la fréquence d’oscillation est : √ pour une géométrie cylindrique, (1.24) ω = ωpe / 2 √ ω = ωpe / 3 pour une géométrie sphérique. (1.25) 3. Expression numérique approximative de la fréquence propre des électrons :  fpe (Hz) 9000 ne (cm−3 ) . (1.26) 4. Comme pour les électrons, on peut calculer la fréquence propre d’oscillation des ions du plasma, soit :  1 ni e 2 2 , (1.27) ωpi = mi 0 où l’on peut noter que la fréquence du plasma d’ions, puisque fonction inverse de leur masse mi , est très inférieure à la fréquence du plasma d’électrons.

1.6. Longueur de Debye : effet d’écran dans les plasmas 1.6.1. Description du phénomène Si, dans un plasma, on introduit deux électrodes conductrices reliées à une source de potentiel, les électrons vont être attirés par la borne positive et les ions (positifs) par la 25 Dans un milieu de propagation sans atténuation où le module du vecteur d’onde a pour expression β ≡ 2π/λ (aussi appelé nombre d’onde), la vitesse de groupe est donnée par vg ≡ ∂ω/∂β.

1.6− Longueur de Debye : effet d’écran dans les plasmas

37

borne négative. L’excès de charges d’un signe donné ainsi créé est cependant concentré autour de l’électrode correspondante, dans un petit domaine spatial appelé gaine, le reste du plasma demeurant macroscopiquement neutre. La gaine agit comme un écran, limitant spatialement l’influence sur le plasma du champ électrique régnant 26. Un mécanisme semblable d’écrantage agit dans le corps même du plasma, faisant en sorte que le potentiel d’une charge quelconque du plasma n’est plus ressenti audelà d’une distance de l’ordre de λD , la longueur de Debye. Nous montrerons que le potentiel électrostatique engendré par un ion (positif, à une seule charge) à une distance r de cet ion dans un plasma est donné par :   r e exp − (1.28) φ(r) = 4π 0 r λD où le terme exponentiel manifeste cet effet d’écran qui réduit fortement la portée qu’aurait eu le potentiel de l’ion dans le vide ; en effet, pour r = λD , le potentiel de l’ion aura décru à 1/e de sa valeur dans le vide (e est la base du logarithme népérien). La portée de l’écrantage dépend de l’énergie d’agitation thermique des particules et de leur densité, comme nous allons le voir.

1.6.2. Calcul du potentiel exercé par un ion dans un plasma à deux températures : définition de la longueur de Debye Considérons l’ion en question comme une particule-test (positive) : une telle particule, par hypothèse, agit sur les autres particules sans être influencée par elles. Déposée dans le plasma à l’origine d’un système de coordonnées sphériques, elle crée une perturbation par son champ électrostatique. Nous voulons connaître l’expression du potentiel φ(r) engendré par cet ion à une distance r, compte tenu du nuage d’électrons et d’ions qui l’entourent. Les densités électronique et ionique, ne (r) et ni (r), diffèrent à l’origine du repère mais non à l’infini où elles sont égales, ne∞ = ni∞ (la perturbation ne se fait plus sentir). Nous allons supposer qu’à une distance r suffisante, précisée plus bas, les populations électronique et ionique obéissent à des distributions de Maxwell-Boltzmann, caractérisées respectivement, pour plus de généralité, par des températures électronique Te et ionique Ti différentes (plasma à 2 températures, section 1.4.3). Ces distributions, en présence d’un potentiel φ(r), s’obtiennent à partir de la relation (A1.15) (annexe A1), en l’occurrence :   Φ(r) nα (r) = nα∞ exp − (1.29) kB Tα 26 En fait, dès que l’on introduit un objet dans un plasma, que ce soit un matériau diélectrique ou conducteur (n’agissant alors pas comme une électrode), il y a formation d’une gaine (section 3.14) autour de cet objet parce que sa surface se charge négativement : cet effet, nous le verrons, est dû à la plus grande mobilité des électrons relativement à celle des ions.

38

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

où l’énergie potentielle Φ(r) = +eφ(r) dans le cas d’un ion positif. Pour les deux types de particules, nous avons donc :   eφ(r) ni (r) = ni∞ exp − , (1.30) kB Ti   eφ(r) ne (r) = ne∞ exp . (1.31) kB Te Toutefois, comme l’ont signalé certains auteurs [1], compte tenu de la perturbation créée par la charge-test, l’hypothèse d’une distribution de Maxwell-Boltzmann n’est pas valide dans le voisinage immédiat de celle-ci. Cela n’est pas gênant dans le cadre de la présente démonstration car nous supposons une telle distribution seulement à partir d’une distance r suffisamment loin de la charge-test pour que le potentiel de celle-ci soit fortement écranté par les charges qui l’entourent, plus précisément lorsque eφ(r)/kB T 1. Cette condition nous permet de développer (1.30) et (1.31) à l’ordre un pour obtenir :   eφ(r) ni (r) = n 1 − , (1.32) kB Ti   eφ(r) ne (r) = n 1 + , (1.33) kB Te puisqu’à l’infini, ne∞ = ni∞ = n. Recherche de l’équation différentielle définissant φ(r) La densité des charges est donc localement en r :     φ(r) φ(r) ρ(r) = en 1 − e − en 1 + e , kB Ti kB Te  2  e φ(r) e2 φ(r) + c’est-à-dire : ρ(r) = − n. kB Ti kB Te

(1.34)

L’équation de Poisson nous permet d’obtenir l’équation différentielle gouvernant φ(r) puisque : ∇ · E = ρ/ 0 (1.35) conduit à :

d’où de (1.34) : où nous noterons :

∇ · ∇φ = −ρ/ 0 ∇2 φ = φ(r)



ne2 ne2 +

0 kB Ti 0 kB Te

λ2Dα ≡

0 kB Tα , ne2

(1.36)  ,

(1.37) (1.38)

1.6− Longueur de Debye : effet d’écran dans les plasmas

39

de sorte que le terme entre crochets de (1.37) peut s’écrire : 1 1 1 = 2 + 2 λ2D λDe λDi ∇2 φ =

et la relation (1.37) complète :

φ(r) , λ2D

(1.39) (1.40)

où λDe et λDi sont respectivement les longueurs de Debye électronique et ionique, et λD la longueur de Debye globale ou, simplement, longueur de Debye. Comme la relation (1.40) ne dépend que de r, elle est de symétrie sphérique et se développe donc bien dans un système de coordonnées sphériques, et nous devrons résoudre :   φ(r) 1 d 2 d φ(r) = 2 . (1.41) r r2 dr dr λD Solution de l’équation différentielle (1.41) Nous allons exprimer le potentiel φ(r) en un produit de deux contributions : l’une prépondérante au voisinage de la particule-test, φc (r), et l’autre, f (r), décrivant le comportement pour r très grand. Solution pour r ≈ 0 Dans cette région, le potentiel de l’ion-test est le plus important, et il est de symétrie sphérique. Pour cet ion (+) seul, nous obtenons après intégration de l’équation de Poisson : ∇ · E dV = (ρ/ 0 ) dV ≡ e/ 0 , (1.42) V

V

où le volume V est suffisamment petit pour ne contenir que l’ion-test. Par ailleurs, le théorème de Gauss (application du théorème de Green) enseigne que : ∇ · E dV = E · dS , (1.43) V

S=∂V

où S est la surface délimitant le volume V . La symétrie sphérique nous permet de développer facilement l’intégrale de surface : E · dS = 4πr2 Er (r) (1.44) S

et de (1.42), (1.43) et (1.44), il vient : E(r) =

e 4π 0 r2

(1.45)

40

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

E(r) = −

et comme :

dφ(r) , dr

(1.46)

nous obtenons un résultat attendu pour le potentiel φ(r) dans le voisinage immédiat de l’ion, noté φc (r) : e φc (r) = , (1.47) 4π 0 r potentiel d’un ion positif dans le vide. Solution pour r grand Écrivons φ(r) dans (1.41) sous la forme : φ(r) = φc (r)f (r) ,

(1.48)

où, a priori, nous exigeons que f (r) → 1 pour r → 0 et f (r) → 0 pour r → ∞. Dans ce cas, en portant (1.48) dans (1.41), nous obtenons l’expression : d2 f = dr2



1 λD

2 f (r) ,

(1.49)

qui possède deux solutions :     r r f1 (r) = exp − et f2 (r) = exp + , λD λD

(1.50)

où f2 (r) est à rejeter puisqu’il faut que f (r) → 0 pour r → ∞. En explicitant (1.48) d’après (1.47) et (1.50), nous arrivons finalement à l’expression du potentiel de la particule-test, à une distance r, lorsque celle-ci est plongée dans un plasma :   r e exp − φ(r) = . (1.28) 4π 0 r λD Remarques : 1. L’effet d’écran, exprimé par le facteur exponentiel de la relation (1.28), est indépendant du signe de la charge de la particule-test. 2. La longueur de Debye est d’autant plus courte que la densité du plasma est élevée (équation (1.38)) : autrement dit, le potentiel de la particule-test est d’autant plus rapidement écranté que la densité de particules chargées qui l’entourent est importante. 3. Dans les plasmas hors ETL, la température des ions Ti étant généralement beaucoup plus faible que la température Te des électrons (Ti Te ), la longueur de Debye λD au sein du plasma s’apparente alors à la longueur de Debye ionique, beaucoup plus courte que la longueur de Debye électronique, soit λD λDi λDe : l’effet d’écran est, dans ce cas, assuré principalement par les ions.

1.6− Longueur de Debye : effet d’écran dans les plasmas

41

4. Dans les plasmas à l’équilibre thermodynamique, les ions et les électrons ayant la même température (Te = Ti ), les longueurs de Debye électronique et ionique sont égales (λDe = λDi ). La longueur de Debye du plasma est alors donnée par √ λD = 2λDe /2. 5. Relations numériques donnant λDα : λDα (cm) = 6,9 (Tα /n)1/2 1/2

λDα (cm) = 740 (Tα /n)

pour n en cm−3 , et Tα en K, −3

pour n en cm

, et Tα en eV.

6. La longueur de Debye électronique peut aussi s’écrire sous la forme :



√ vth kB Te 0 1 me 0 2 2 vth = v = ≈ , λDe = ne2 2 ne2 th 2 ωpe ωpe

(1.51) (1.52)

(1.53)

ce qui montre qu’un électron doté de la vitesse d’agitation thermique la plus probable, parcourt une longueur de Debye électronique λDe en un temps de l’ordre de la période d’oscillation des électrons du plasma. Cette relation résume, en quelque sorte, la façon dont le comportement collectif des électrons permet d’assurer la neutralité macroscopique du plasma. 7. La présente dérivation de la longueur de Debye peut être qualifiée d’idéalisée en raison des nombreuses hypothèses utilisées, notamment de l’emploi de la notion de particule-test qui veut que cette particule ne soit pas influencée par les autres particules. Elle suppose, en outre, que les électrons et les ions, situés à une distance suffisante de la particule-test, sont répartis suivant une distribution de MaxwellBoltzmann. 8. Dans les plasmas où les ions sont considérés uniquement comme un fond continu assurant la neutralité (avec cette hypothèse, utilisée dans de nombreux calculs, les ions ne sont plus répartis suivant une distribution de Maxwell-Boltzmann), l’équation (1.32) se réduit à ni (r) = n, de telle sorte que l’écrantage du potentiel des électrons (ou des ions) est dû, dans ce cas, uniquement aux électrons, soit λD = λDe . C’est l’hypothèse adoptée dans l’annexe A5 ainsi que dans l’exercice 1.9 qui propose une interprétation alternative de la longueur de Debye. 9. Une condition pour qu’à la suite d’une perturbation (par exemple, une collision), la neutralité du plasma soit restaurée et que les différentes particules chargées se répartissent à nouveau suivant une distribution de Maxwell-Boltzmann, est que le temps entre deux collisions soit plus grand que leur période propre d’oscillation, soit ν ωpα . Cette condition est plus facilement réalisée avec les électrons qu’avec les ions, ce qui justifie, dans de nombreux cas, l’hypothèse d’un fond continu d’ions assurant la neutralité du plasma.

42

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

10. Conditions d’existence d’un plasma pour que la neutralité macroscopique soit réalisée au sein d’un plasma, il faut que L, la plus petite dimension définissant le volume occupé par le plasma, soit beaucoup plus grande que la longueur de Debye, soit L  λD . Une autre condition, déjà mentionnée en section 1.5.2 (et à la remarque précédente), est que ν ωpe . le nombre de charges ND dans une sphère de Debye doit être beaucoup plus grand que 1, sinon il s’agit d’un plasma "non idéal" dans lequel il ne peut y avoir d’effet d’écran (voir exercices 1.11 et 1.12) ; cette condition s’écrit :  ND ≡ n 43 πλ3D  1 . (1.54)

1.7. Phénomènes de collision dans les plasmas Comme nous l’avons souligné en section 1.4.2, c’est par un ensemble de processus d’interactions particule-particule et particule-photon que s’établit la répartition d’énergie entre les divers éléments constitutifs du plasma. Nous allons utiliser le terme "collision" au-delà de l’acception qui désigne un choc entre deux sphères, plus ou moins rigides, menant à un échange d’énergie cinétique. En effet, les interactions à longue portée (force coulombienne) aussi bien que celles conduisant à l’excitation d’un atome par collision électronique (non-conservation de l’énergie cinétique) nous amènent à considérer, de manière plus générale, qu’il y a collision si le parcours ou l’état interne d’une particule se trouve modifié par la présence d’une autre ou de plusieurs autres particules dans son voisinage.

1.7.1. Types de collision Nous distinguerons deux grandes catégories de collision, suivant que la force coulombienne agit directement ou non. Collisions où n’intervient pas la force de Coulomb Il s’agit de collisions entre deux particules neutres, et de la plupart des collisions entre une particule neutre et une particule chargée. On différencie, à cet effet, les collisions élastiques des collisions inélastiques. Collisions élastiques On peut les représenter par le choc de deux sphères dures, avec conservation de l’énergie cinétique totale. C’est le cas notamment des collisions électron-neutre à faible énergie, par exemple, sous le seuil d’énergie d’excitation du premier niveau atomique (moléculaire).

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

43

Collisions inélastiques Il n’y a pas conservation de l’énergie cinétique totale. Par exemple, toujours dans le cas de collisions électron-neutre, à une énergie au-delà des niveaux-seuil pour l’excitation ou l’ionisation d’atomes, la dissociation de molécules, ou encore les réactions chimiques ions-molécules 27 . Les processus d’échange et de capture de charges sont également de nature inélastique puisque l’énergie interne des atomes (molécules) en jeu s’en trouve modifiée (voir aussi section 1.7.9). Exemples de collisions inélastiques : 1. Collisions superélastiques (ou de 2e espèce) Un atome dans un état excité peut transférer de façon collisionnelle son énergie interne, en totalité ou en partie, sous forme d’énergie cinétique à un atome ou à un électron : (1.55) A(j) + e → A(0) + e où l’atome (molécule) A est dans un état j d’énergie supérieure à, par exemple, l’état fondamental. Ce mécanisme de collision est davantage probable lorsque l’atome initialement excité est dans un état dit métastable, état dont la durée de vie 28 est très supérieure à celle des états radiatifs donnant lieu à une transition de nature dipolaire électrique. À titre d’exemple, le choc entre un électron et un atome de mercure dans un état métastable (il y a deux tels états) peut amener l’atome dans l’état fondamental et ainsi fournir une énergie de 4,7 ou de 5,6 eV à l’électron incident. 2. Transfert de charge (échange de charge) Lors d’une collision d’un atome neutre B avec un ion A+ , il y a une forte probabilité que le neutre cède un électron à l’ion qui alors se neutralise : A + + B → A + B+ .

(1.56)

+

Ainsi, un ion A préalablement accéléré dans un champ électrique intense pourra être converti en un neutre de forte énergie, insensible aux effets d’un champ magnétique ou électrique. 3. Capture d’un électron (processus d’attachement) Les ions négatifs sont obtenus par capture d’un électron par une espèce neutre. Un processus très efficace est l’attachement dissociatif : AB + e → A + B− ,

(1.57)

où l’électron s’attache à l’un des fragments de la molécule AB dissociée lors de la collision. 27 Les réactions ions-molécules (et molécules-molécules) produisent les nombreuses espèces chimiques présentes dans certains plasmas de gaz réactifs, par exemple les plasmas d’hydrocarbures. 28 Plus la pression du gaz plasmagène est faible, plus grande est la durée de vie des états métastables ( μs à quelques heures). Quant aux états radiatifs de nature dipolaire électrique, leur durée de vie en tant que telle est indépendante de la pression ( 10−7 − 10−8 seconde).

44

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Collisions de nature coulombienne L’interaction entre particules chargées est régie par la force coulombienne dont l’expression, dans le cas d’une "collision" d’un ion (de Z charges positives) et d’un électron, vaut : Ze2 . (1.58) F = 4π 0 r2 Comme pour les collisions non coulombiennes, on peut différencier les collisions élastiques des collisions inélastiques. Collisions élastiques C’est le cas des collisions électron-électron, électron-ion et ion-ion lorsque les énergies en jeu sont trop faibles (TeV < 100 eV) pour donner lieu à l’émission ou à l’absorption de rayonnement EM. Les collisions élastiques coulombiennes sont décrites de façon détaillée dans l’annexe A5. Collisions inélastiques Les collisions coulombiennes peuvent aussi être inélastiques et conduire soit à des processus de recombinaison, soit à l’émission ou l’absorption de rayonnement EM : Exemples de processus de recombinaison 1. Recombinaison électron-ion Un électron et un ion positif peuvent se neutraliser. C’est le cas de la recombinaison radiative : e + A+ → A + hν (1.59) et de la recombinaison dissociative d’un ion moléculaire : e + AB+ → A + B .

(1.60)

Comme pour l’échange de charge, ce processus de recombinaison dissociative est extrêmement efficace. 2. Neutralisation mutuelle Dans les plasmas riches en ions négatifs, il y a une très forte probabilité que l’ion négatif cède un électron à l’ion positif. Il y a alors neutralisation mutuelle : A+ + B− → A + B .

(1.61)

Ainsi, des ions positifs ou négatifs, préalablement accélérés dans un champ électrique intense, pourront être convertis en neutres de forte énergie, insensibles aux effets d’un champ magnétique. 3. Détachement électronique Les ions négatifs peuvent aussi perdre leur électron lors d’une collision avec un électron, par détachement électronique : e + A− → A + 2e .

(1.62)

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

45

Avec la neutralisation mutuelle, c’est le mécanisme le plus efficace de perte des ions négatifs. Exemples d’émission ou d’absorption de rayonnement 1. Bremsstrahlung L’émission ou l’absorption de rayonnement peut résulter de "collisions" électron-électron, électron-ion et ion-ion lorsque les énergies des particules chargées sont suffisamment élevées (TeV > 100 eV). On rencontre ce type d’interaction, par exemple, dans les plasmas de laser à haut flux. Dans le cas d’une interaction électron-neutre, l’électron pénètre dans les couches électroniques, mais sans déplacer un de ses électrons. On distingue le bremsstrahlung (rayonnement de freinage) direct (émission d’énergie sous forme de photons) du bremsstrahlung inverse (absorption de photons). Ce rayonnement se distribue de façon continue sur une bande spectrale plus ou moins large, généralement dans le domaine des X. 2. Émission de raies atomiques Considérons encore le cas d’une interaction électron-neutre. Cette fois l’énergie de l’électron est telle qu’il s’approche suffisamment près des électrons liés des couches internes de l’atome atteignant la couche électronique la plus interne (couche K) de l’atome (lourd) pour y déloger un électron de celle-ci, ce qui provoque en retour une émission X. L’émission spectrale se fait sous la forme d’une raie dont l’intensité domine généralement la bande spectrale continue du rayonnement de Bremsstrahlung. Remarque : La probabilité de réalisation de ces différentes collisions peut se caractériser par un coefficient de réaction. Nous verrons (section 1.7.9, remarque 2) que ce σij (wαβ )wαβ  où σ ˆij (wαβ ) est la section efficace de coefficient, noté kij 29 , est égal à ˆ la réaction considérée, wαβ le module de la vitesse relative des particules α et β en interaction ; le symbole   indique une moyenne prise sur la fonction de distribution en vitesse (ou en énergie) des particules. Dès lors, il convient maintenant de définir et d’expliciter la notion de section efficace de collision (section 1.7.3 et suivantes).

1.7.2. Échange de quantité de mouvement et transfert d’énergie lors d’une collision entre deux particules Les considérations et résultats de cette section nous permettront ultérieurement de préciser la signification physique de la dépendance de la section efficace totale pour le transfert de quantité de mouvement par rapport à l’angle de diffusion des particules 29 Les indices i et j indiquent qu’il s’agit soit d’une interaction entre des particules de type i et des particules de type j, soit que la particule (atome, molécule, ion) qui subit la collision passe de l’état i à l’état j.

46

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

après collision (section 1.7.4). Ils nous serviront également à mieux comprendre le terme collisionnel de l’équation de transport de quantité de mouvement (section 3.5.2). Nous supposerons que les interactions sont de type binaire, y compris entre particules chargées, étant entendu qu’il s’agit dans ce dernier cas d’une première approximation. De plus, comme il est habituel de le faire en théorie cinétique des gaz, on considère que la trajectoire d’une particule se divise en deux parties : la partie de la trajectoire effectuée entre deux collisions, pendant laquelle chaque particule ressent individuellement les forces extérieures, et la partie de la trajectoire, qui est principalement affectée par l’interaction (mutuelle) collisionnelle, durant laquelle les forces extérieures sont ignorées. Équations de conservation et identification des variables indépendantes (non déterminées par les équations de conservation) Soit deux particules α et β dont nous connaissons, a priori, les vitesses w α et w β avant collision 30 . Suivant l’hypothèse déjà indiquée qu’aucune force extérieure n’agit pendant le temps que dure la collision, il y a conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie totale 31 : p ≡ pα + pβ ≡ mα wα + mβ wβ = mα wα + mβ wβ ≡ p

(1.63)

mβ wβ2 mβ wβ2 mα wα2 mα wα2 + = + + ΔE, (1.64) 2 2 2 2 où l’accent "prime" désigne les grandeurs cinématiques après collision. Le terme d’énergie ΔE permet de considérer également des collisions inélastiques ; cette quantité représente la variation d’énergie interne des particules à la suite de la collision : ΔE = 0 pour les collisions élastiques ΔE > 0 pour les collisions de 1ère espèce : excitation et ionisation ΔE < 0 pour les collisions de 2ème espèce : désexcitation superélastique Il faut bien noter que les phénomènes radiatifs (absorption et émission de photons) n’interviennent pas dans le présent contexte. Pour une valeur de ΔE donnée (on prend les seuils d’énergie d’excitation et d’ionisation publiés), nous avons quatre équations : l’équation (1.63) est vectorielle et l’équation (1.64) scalaire. Comme il faut six composantes pour caractériser complètement les vecteurs vitesse après collision, wα et w β , il reste deux composantes qui ne sont pas déterminées par les lois de conservation (1.63) et (1.64) : ces deux quantités seront 30 Ainsi faisant nous supposons que les particules du plasma sont discernables et peuvent donc être décrites de façon non quantique, ce qui s’avère correct de façon générale. 31 Le contenu de cette section est un développement de cinématique classique que l’on retrouve, par exemple, dans V.E. Golant et al.

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

47

fixées par la loi d’interaction régissant le type de collision considéré, compte tenu de la position relative initiale des particules. Nous allons maintenant effectuer un changement de repère afin d’exprimer les grandeurs cinématiques dans le repère du centre de masse en lieu et place de celui du laboratoire. Ceci nous mènera à des expressions faisant davantage ressortir la physique des interactions collisionnelles. Vitesse relative de deux particules et vitesse de leur centre de masse Par définition, la position r0 du centre de masse de deux particules α et β, de positions r α et rβ , dans le laboratoire, est donnée par : r0 = d’où :

w0 =

mα r α + mβ r β mα + mβ

(1.65)

mα w α + mβ w β , mα + mβ

(1.66)

où w 0 est la vitesse du centre de masse (CM). Celui-ci est en mouvement uniforme pendant l’interaction puisque l’impulsion totale est conservée (voir équation (1.63)) lors de la collision, et donc : (1.67) w 0 = w0 . Le fait que le CM soit en mouvement uniforme nous permet d’y décrire le mouvement des particules pendant l’interaction : les vitesses de celles-ci dans ce repère, notées wα0 et wβ0 avant collision et wα0 et wβ0 après collision, s’obtiennent en faisant w0 = 0 dans (1.66) où, à w α et wβ , on a substitué w α0 et wβ0 . Ceci conduit aux relations simples suivantes : w β0 = −

mα wα0 , mβ

w β0 = −

mα  w , mβ α0

(1.68)

qui montrent que les vitesses des deux particules sont, aussi bien avant qu’après collision, anti-parallèles dans le repère du centre de masse (voir aussi annexe A4). Cette propriété suggère d’introduire leur vitesse relative dans les calculs : w αβ ≡ w α − w β = wα0 − w β0

(1.69)

d’où l’expression des vitesses des particules dans le repère du centre de masse :     mβ mα wα0 = (1.70) w αβ , w β0 = − wαβ . mα + mβ mα + mβ Ces diverses transformations nous permettent d’exprimer complètement le mouvement des particules dans le repère du laboratoire comme la superposition du mouvement rectiligne du CM et du mouvement relatif des particules par rapport à celui-ci.

48

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

En effet,

 w α ≡ w0 + wα0 = w0 +  wβ ≡ w0 + wβ0 = w 0 −

mβ mα + mβ mα mα + mβ

 w αβ ,

(1.71)

wαβ .

(1.72)



Remarque : Comme nous le verrons par la suite, le centre de masse est le repère "naturel" dans lequel on peut décrire de façon simple les collisions binaires (sections efficaces, fréquences de collision, libres parcours moyens). En effet, c’est la vitesse relative des particules entrant en collision, et non leur vitesse individuelle, qui entre dans cette description. Expression de la conservation de l’énergie totale en fonction des seules vitesses relatives Compte tenu de (1.71) et (1.72), nous pouvons écrire :   2 mβ wβ2 μαβ wαβ mα + mβ mα wα2 + ≡ w02 + 2 2 2 2 mα mβ où μαβ est la masse réduite : μαβ ≡ , mα + mβ

(1.73) (1.74)

2 et μαβ wαβ /2 l’énergie cinétique liée au mouvement relatif.

L’équation de conservation (1.64) s’écrit alors :     2 2 μαβ wαβ μαβ w αβ mα + mβ mα + mβ 2 2 = + ΔE , w0 + w0 + 2 2 2 2

(1.75)

et puisque w0 = w0 (1.67), on aboutit finalement à : 2 2 μαβ wαβ μαβ w αβ = + ΔE. (1.76) 2 2 Seule l’énergie cinétique liée au mouvement relatif peut se transformer en énergie interne (potentielle) : les vitesses individuelles n’interviennent pas en tant que telles dans ce transfert.

Cas particulier d’une collision électron-atome L’atome (particule β) est supposé au repos comparativement à l’électron (particule α) : wαβ = wα − w β = wα . En tenant compte de ce que mβ  mα , il vient μαβ mα et wαβ wα de sorte que l’équation (1.76) se réduit finalement à : mα  2 wα − wα2 ≡ ΔEcα = ΔE , (1.77) 2 ce qui signifie que la variation d’énergie interne ΔEcα de l’atome lors d’une collision inélastique est égale à la variation d’énergie cinétique ΔE de l’électron, l’énergie cinétique de l’atome restant quasiment inchangée.

49

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas Variation de la quantité de mouvement d’une particule à la suite d’une collision élastique (ΔE = 0) Pour la particule α, par définition : Δpα ≡ mα w α − mα wα = mα w α0 − mα wα0 ,

(1.78)

ce qui peut (d’après (1.70)) s’exprimer uniquement en fonction de la différence de leurs vitesses relatives avant et après collision 32 : Δpα = et en posant : nous obtenons :

mα mβ (w  − w αβ ) , mα + mβ αβ

(1.79)

wαβ − wαβ ≡ Δwαβ ,

(1.80)

Δpα = μαβ Δwαβ ,

(1.81)

résultat remarquable que nous allons exploiter en développant le vecteur Δw αβ dans un repère approprié.

Figure 1.8 – Repérage des vitesses relatives avant et après collision, w αβ et w αβ , dans un système de coordonnées sphériques lié au centre de masse, avec w αβ dirigé selon l’axe z.

Comme nous l’avions souligné au moment de la présentation des équations (1.63) et (1.64), deux composantes sur six des vecteurs vitesse après collision dépendent de la loi d’interaction. Ces deux inconnues peuvent s’exprimer, tenant compte de l’orientation relative des vitesses wαβ et wαβ , au moyen des angles θ et ϕ tels que définis par la figure 1.8. Dans un système de coordonnées sphériques (θ, ϕ), ϕ est l’angle que fait le plan d’interaction (c’est-à-dire le plan contenant wαβ et wαβ ) avec un plan fixe (quelconque dans l’espace) comprenant wαβ . 32 Évidemment Δpα = −Δpβ .

50

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Quant à θ, l’angle entre w αβ et wαβ , c’est l’angle de diffusion des particules dans le repère du centre de masse (dans le repère du laboratoire, l’angle de diffusion θαL est défini par la direction de la vitesse de la particule "incidente" avant et après collision, wα et wα : voir l’annexe A4). L’angle θ ne dépend que de la loi de force et du paramètre d’impact (distance de la plus courte approche des deux particules s’il n’y avait pas interaction, figure A4.2 de l’annexe A4). Nous allons maintenant projeter Δwαβ sur les trois axes du repère de la figure 1.8 : suivant wαβ (axe z du repère choisi) : (Δwαβ )z = |w αβ | cos θ − |w αβ |

(1.82)

mais |w αβ | = |wαβ | du fait de la conservation de l’énergie cinétique (équation (1.76) avec ΔE = 0), d’où : (Δwαβ )z = |w αβ |(cos θ − 1),

(1.83)

suivant les directions perpendiculaires à w αβ (axes x et y). Ainsi : (Δwαβ )x = |wαβ | sin θ cos ϕ

(1.84)

puisque la projection de Δwαβ suivant x, Prx (Δw αβ ), est égale par définition à Prx (wαβ ) − Prx (wαβ ) où, ici, Prx (w αβ ) = 0 de sorte que :

de même :

Prx (Δw αβ ) = |wαβ | sin θ cos ϕ = |wαβ | sin θ cos ϕ ,

(1.85)

(Δwαβ )y = |wαβ | sin θ sin ϕ.

(1.86)

Dans le cas de forces centrales, toutes les valeurs de ϕ sont statistiquement équiprobables : on dira alors que la diffusion des particules est isotrope (isotropie en ϕ). De ce fait, pour un nombre suffisant de particules, les valeurs moyennes de cos ϕ (1.84) et de sin ϕ (1.86) sont nulles, alors nous pouvons écrire : Δw αβ = −(1 − cos θ)w αβ ,

(1.87)

d’où, finalement, le développement explicite de la relation (1.81) : Δpα = −

mα mβ (1 − cos θ)(w α − wβ ). mα + mβ

(1.88)

Cette expression de la variation de la quantité de mouvement de la particule α lors d’une collision élastique avec la particule β fait apparaître une dépendance en (1 − cos θ) de l’angle de diffusion θ. On notera qu’une faible déviation des trajectoires des particules, θ ≈ 0, correspond bien à Δpα 0 alors que θ = π (toujours dans le repère du centre de masse) représente une collision frontale, entraînant le maximum de variation de la quantité de mouvement.

51

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas Cas particulier d’une collision électron-atome

L’atome (particule β) est supposé au repos relativement à l’électron (particule α) de sorte que wβ wα dans (1.88), d’où : Δpα mβ =− (1 − cos θ) . pα mα + mβ

(1.89)

La particule incidente α étant beaucoup plus légère que la particule β, nous avons : Δpα = −(1 − cos θ), pα

(1.90)

de sorte que pour θ = π, nous obtenons :

ou encore :

Δpα = −2 pα

(1.91)

pα = −pα .

(1.92)

Ce résultat correspond, en effet, tout simplement au changement de signe de l’impulsion de la particule incidente lorsque la particule cible demeure immobile (hypothèse mβ ≈ ∞) ; c’est la plus grande valeur possible de |Δpα |. Variation de l’énergie cinétique d’une particule à la suite d’une collision élastique (ΔE = 0) Dans le cas de la particule α, sa variation d’énergie cinétique est alors donnée par : 

 mα wα2 mα  mα wα2 − = (w 0 + w α0 )2 − (w 0 + wα0 )2 2 2 2  mα  2 2 2w0 · (wα0 − wα0 ) + wα0 − wα0 = 2

ΔEcα =



2 2 puisque w0 = w 0 (1.67). De plus, comme wα0 = wα0 ,

En effet, comme w α0 = écrire : 2 = wα0

„

mβ mα + mβ

mβ w αβ (voir (1.70)), nous pouvons mα + mβ «2

2 2 wαβ et wα0 =

„

mβ mα + mβ

«2

2

w αβ

2

2 et puisque wαβ = w αβ d’après (1.76) avec ΔE = 0, il vient bien : 2 2 wα0 = wα0 .

(1.94)

(1.93)

52

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

l’expression (1.93) se réduit à : ΔEcα = mα w0 · (wα0 − wα0 ) = w0 · Δpα , de sorte que, d’après (1.66) et (1.88) :   mα w α + mβ w β mα mβ ΔEcα = − (1 − cos θ) · (wα − wβ ) mα + mβ mα + mβ

(1.95)

(1.96)

et encore : ΔEcα = −

 mα mβ (1 − cos θ) mα wα2 − mβ wβ2 + (mβ − mα )(w β · w α ) (1.97) 2 (mα + mβ )

où la moyenne du produit scalaire wβ · wα est nulle si toutes les orientations relatives initiales des particules sont possibles avec une même densité de probabilité 33 . Nous pourrons finalement écrire (toujours dans le repère du centre de masse) :   mβ wβ2 mα mβ mα wα2 − . (1.98) (1 − cos θ) ΔEcα = −2 (mα + mβ )2 2 2 Remarques : 1. Dans (1.98), le terme : 2

mα mβ ≡δ (mα + mβ )2

(1.99)

est appelé coefficient de transfert d’énergie. Ce coefficient prend la valeur maximale 1/2 pour mα = mβ . Noter que la valeur cumulée de la différence (1 − cos θ) sur l’ensemble des valeurs de l’angle de diffusion θ (0 à π) est égale à l’unité. Pour un électron en collision avec un atome, δ ≈ 2me /M , d’où un très faible transfert d’énergie lors de la collision. Dans ce cas, le maximum de transfert d’énergie de l’électron à l’atome a lieu quand l’atome (particule β) est supposé au repos comparativement à l’électron et pour un angle de diffusion θ = π. La fraction maximum de l’énergie cinétique de l’électron transférée à l’atome est alors : 4me ΔEce , =− Ece M

(1.100)

le signe moins indiquant un transfert d’énergie de l’électron vers l’atome. 2. Le transfert d’énergie cinétique d’une particule à l’autre est, selon (1.98), proportionnel à la différence d’énergie cinétique entre les deux particules entrant en collision. 33 Ne pas confondre cette propriété (avant interaction) avec celle de l’isotropie en ϕ (angle après interaction) des interactions en présence de forces centrales.

53

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

3. Exprimées dans le repère du centre de masse, les variations d’énergie cinétique et de quantité de mouvement à la suite d’une collision présentent la même dépendance avec l’angle de diffusion, soit (1 − cos θ) : nous retrouverons ce résultat dans la définition de certaines sections efficaces (section 1.7.4). 4. Dans le repère du laboratoire, les relations correspondant à celles que nous venons de dériver sont beaucoup plus complexes. Ainsi, la fraction d’énergie perdue par la particule incidente à la suite d’une collision est donnée par :   2 1 − cos θαL (1 − rα/β sin θαL )1/2 + rα/β sin2 θαL ΔEcα = −2rα/β (1.101) Ecα (1 + rα/β )2 où rα/β ≡ mα /mβ (Heald et Wharton). On vérifie bien que, pour mα mβ (soit rα/β ≈ 0), l’expression (1.101) tend bien vers −2rα/β (1 − cos θαL ), le repère du laboratoire se confondant alors avec celui du CM (voir aussi annexe A4).

1.7.3. Section efficace microscopique différentielle Dans la pratique, il est impossible de déterminer tous les paramètres cinématiques d’une collision survenant dans le plasma : il y a trop de particules en jeu et leur mouvement, avant collision, est aléatoire. Pour contourner cette difficulté, on a recours à une description statistique. Une telle description conduit de façon naturelle à la notion de section efficace. Caractérisation de la dispersion angulaire d’un faisceau monocinétique de particules par un centre diffuseur Repère du laboratoire Soit un faisceau monocinétique de particules incidentes sur un centre diffuseur unique et au repos (figure 1.9) 34 . Le flux de ces particules de vitesse w est donné par Γ = nw où n est leur nombre par unité de volume : c’est un nombre de particules par unité de surface et par seconde. Comme le suggère la figure 1.9, le nombre de particules dNd /dt déviées par le centre diffuseur, par unité de temps et dans l’angle solide élémentaire dΩ(θL , ϕ), est : proportionnel à l’angle solide dΩ où dΩ = sin θL dθL dϕ dans le cas d’un repère de coordonnées sphériques, proportionnel au flux Γ de particules incidentes, de sorte que nous poserons :

dNd =σ ˆ (w, θL )|Γ| dΩ , dt

(1.102)

34 C’est une description idéalisée que d’isoler une particule comme cible unique et, de plus, de la prétendre au repos.

54

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

où le facteur de proportionnalité, σ ˆ , appelé section efficace microscopique différentielle de diffusion, dépend de θL et, sauf exception 35 , du module w de la vitesse des particules.

Figure 1.9 – Flux incident de particules de vitesse w déviées par un centre diffuseur initialement au repos au point O (repère du laboratoire).

Notons que σ ˆ possède les unités d’une surface (cm2 dans le cas présent), comme le montre l’analyse dimensionnelle du membre de gauche et du membre de droite de (1.102) : dNd ≡ nombre de particules (diffusées)/s , dt   nombre de particules σ ˆ |Γ| dΩ ≡ σ ˆ [sans unité] . cm2 s Du point de vue du sens physique, σ ˆ ne représente pas la surface réelle du centre diffuseur, mais plutôt celle que "voient", suivant leur vitesse par exemple, les particules incidentes, d’où le terme de surface effective ou efficace : plus sa valeur est grande, plus l’interaction est probable. Repère du centre de masse La situation décrite précédemment convient parfaitement au cas d’un faisceau d’électrons dirigé sur un atome (centre diffuseur) supposé au repos comparativement aux électrons. Compte tenu de la faible masse de l’électron, la description dans le centre de masse se confond d’ailleurs avec celle dans le repère du laboratoire (annexe A4). Dans le cas général, cependant, l’étude des collisions binaires (section 1.7.2) gagne à être effectuée directement dans le centre de masse. En effet, la description des collisions y est plus simple (par exemple, un seul angle, θ, suffit pour caractériser la diffusion des particules 35 Dans le modèle dit de "boule de billard" où les particules sont supposées être des sphères indéformables, les sections efficaces ne dépendent pas de la vitesse de particules (voir exercice 1.14).

55

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

alors qu’il faut faire intervenir les angles θαL et θβL dans le repère du laboratoire, voir annexe A4) et plus générale (par exemple, la dépendance des vitesses individuelles est remplacée, dans le centre de masse, par la vitesse relative (en module) des particules avant et après collisions). Reprenons, cette fois dans le centre de masse (figure 1.10), le cas précédent d’un faisceau monocinétique de particules α de vitesse w α et un centre diffuseur de vitesse initiale wβ = 0 (repère du laboratoire) 36. La vitesse w α étant égale à la vitesse relative w αβ , le flux de ces particules dans le centre de masse est Γ = nwαβ . Le nombre de particules déviées par le centre diffuseur dans le centre de masse s’exprime de façon analogue à (1.102) : dNd =σ ˆ (wαβ , θ)|Γ| dΩ (1.103) dt où σ ˆ dépend à l’évidence de wαβ , le module de la vitesse relative des particules α et β. Cette relation, qui fait intervenir la vitesse relative, est d’une portée tout à fait générale, précisément parce que le repère est celui du centre de masse.

Figure 1.10 – Description, dans le centre de masse, du flux incident de particules α de vitesse w α déviées par un centre diffuseur β initialement au repos au point O (w β = 0) dans le repère du laboratoire. La vitesse relative w αβ avant collision, identique dans les deux repères, vaut donc, dans le cas présent, w αβ = w α .

Remarque : La section efficace différentielle peut s’exprimer non seulement en fonc2 tion de la vitesse wαβ mais aussi en fonction de l’énergie cinétique μαβ wαβ /2 liée au mouvement relatif (1.76). Dans le cas des électrons, on a μαβ me , de telle sorte que l’énergie liée au mouvement relatif : 2 μαβ wαβ me we2

2 2 est égale à l’énergie cinétique des électrons.

(1.104)

36 Bien noter que dans le centre de masse, le centre diffuseur, de façon générale, n’est jamais au repos (wβ0 = 0, voir (1.70)).

56

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Exemple de mesure d’une section efficace différentielle La figure 1.11 présente le schéma d’un dispositif servant à déterminer la dépendance angulaire de la diffusion d’un faisceau d’électrons par un gaz. La figure 1.12 donne le résultat d’une telle mesure dans le cas de la diffusion élastique, par des atomes de néon, d’un faisceau d’électrons de différentes valeurs d’énergie. Le courant obtenu en fonction de l’angle de diffusion θ est proportionnel à la section efficace différentielle.

Figure 1.11 – Dispositif de mesure de la section efficace différentielle de collisions élastiques d’électrons avec un gaz (d’après [2], avec la permission de Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA).

Remarques : 1. Dans la mesure où le flux incident est suffisamment uniforme et monocinétique, et à condition que le milieu diffuseur (zone d’interaction) ne favorise pas les collisions multiples pour une même particule incidente, la distribution angulaire des particules diffusées reflète simplement la loi de force entre les particules incidentes et la particule diffusante à cette énergie. Dans le cas d’une interaction coulombienne, par exemple, nous avons (diffusion de Rutherford, voir annexe A5) : σ ˆ (wαβ , θ) =

2 2 ) (e2 /8π 0 μαβ wαβ

sin4 (θ/2)

.

(1.105)

2. En se rappelant que Γ est un flux, la relation (1.103) permet de voir σ ˆ dΩ comme l’élément de surface orientée qui, traversé par ce flux, conduit à dNd /dt. Cette surface "efficace" de capture des particules diffusées varie avec wαβ et θ, comme le montre la figure 1.12. Elle correspond à une valeur plus ou moins grande, selon wαβ et θ, de la surface géométrique du centre diffuseur (figure 1.10).

57

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

Figure 1.12 – Courant collecté (section efficace différentielle non normalisée) dans le cas de la diffusion élastique par des atomes de néon d’un faisceau d’électrons de différentes énergies (d’après [2], avec la permission de WileyVCH Verlag GmbH & Co. KGaA).

3. Un faisceau incident monocinétique d’électrons peut se représenter de façon quantique par une onde plane monochromatique, partiellement dispersée par la particule-cible lors de l’interaction. 4. Certains auteurs choisissent de définir la section efficace différentielle comme σ ˆ dΩ plutôt que σ ˆ . Par ailleurs, on pourrait également noter symboliquement notre σ ˆ comme étant dˆ σ  /dΩ afin d’insister sur le caractère différentiel de cette section efficace.

1.7.4. Section efficace microscopique intégrée (totale) La section efficace microscopique (diffusion par une seule cible) totale (intégrée suivant toutes les valeurs de l’angle de diffusion) de collision s’obtient par l’intégration de σ ˆ suivant dΩ ; d’où, en supposant la diffusion isotrope en ϕ : π σ ˆtc (wαβ ) = 2π

σ ˆ (wαβ , θ) sin θ dθ . 0

(1.106)

58

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

La section efficace totale (1.106) est souvent divergente (c’est le cas notamment de la ˆtc comptabilise le diffusion de Rutherford 37 ). Notons, de plus, que la valeur de σ nombre de particules diffusées mais ne rend pas correctement compte de la quantité de mouvement échangée : en effet, une collision en θ = π aura une contribution nulle alors qu’elle sera importante en θ = π/2, par exemple, bien que le changement de quantité de mouvement soit en vérité maximum en θ = π. Pour caractériser le transfert de quantité de mouvement, on utilisera plutôt la relation suivante 38 : π σ ˆtm (wαβ ) = 2π

σ ˆ (wαβ , θ)(1 − cos θ) sin θ dθ .

(1.107)

0

La pondération introduite par le facteur (1 − cos θ) tient, en effet, davantage compte de l’influence de l’angle de diffusion dans l’échange de quantité de mouvement entre particules (section 1.7.2) lors des collisions ; ainsi, elle fait presque disparaître la contribution à l’intégrale (1.107) des diffusions survenant à θ ≈ 0. L’intégrale (1.107) converge pour les collisions électron-neutre, ion-neutre mais diverge toujours pour l’interaction coulombienne (annexe A5) ; cette divergence vient d’une grande contribution des collisions lointaines, interactions très faibles en termes de transfert d’énergie (θ ≈ 0). Ces interactions n’ont cependant pas de sens physique audelà de la longueur de Debye (à cause de l’effet d’écran électrostatique), et il suffit donc d’arrêter l’intégration lorsque le paramètre d’impact devient plus grand que la longueur de Debye (annexe A5). Remarques : 1. On désignera par σ ˆtx toute section efficace microscopique totale en général, x pouvant notamment être c ou m. 2. Les sections efficaces microscopiques s’expriment le plus souvent en unités de πa20 = 0,88 × 10−16 cm2 où a0 est le rayon de la première orbite de l’atome d’hydrogène de Bohr. 3. Bien que pour introduire la notion de section efficace, nous ayons considéré une interaction en apparence élastique, comme nous l’avons dit plus haut en remarque (section 1.7.1), nous pouvons avoir recours au concept de section efficace pour caractériser tout type d’interaction binaire : transfert de charge, excitation, désexcitation collisionnelle...

37 Dans le cas de collisions coulombiennes, σ ˆ (θ) est proportionnelle à sin−4 (θ/2) (voir remarque 1 de la section précédente) et l’intégrale (1.106) va diverger en θ = 0. Ceci signifie que pour θ → 0, il y a une très grande probabilité d’observer de petites déflexions. 38 Se rappeler que, pour deux particules de masse réduite μαβ et de vitesse relative wαβ donnée, le terme (1 − cos θ) caractérise l’importance de la quantité de mouvement échangée lors d’une collision (équation (1.88)).

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

59

1.7.5. Section efficace macroscopique totale Nous venons de définir la section efficace microscopique où nous avons supposé l’existence d’un centre diffuseur unique, ce qui n’est pas vraiment réaliste, mais nécessaire pour introduire la notion de section efficace dont le sens physique se comprend mieux au niveau microscopique. Mesurer une section efficace implique, en effet, de considérer un flux incident sur un très grand nombre de centres diffuseurs par unité de volume. Ceci nous conduit à définir la section efficace dite macroscopique, expérimentalement mesurable, de laquelle se déduit la section efficace microscopique correspondante. Dans ce qui suit, nous allons établir l’expression reliant les sections efficaces microscopiques et macroscopiques totales, à partir du formalisme développé pour la section efficace microscopique totale (section 1.7.4). Considérons un faisceau de particules de flux Γ = nw, incident sur un milieu semiinfini (en y et z) contenant cette fois non pas un, mais N centres diffuseurs par unité de volume que nous allons supposer au repos. Nous voulons calculer ce qui reste du flux incident après la traversée d’une longueur x de ce milieu en faisant l’hypothèse que la section efficace microscopique totale nous est connue. Il est possible de schématiser le problème de la façon suivante (voir figure 1.13) : N : densité des centres diffuseurs A : surface de la tranche considérée dont l’épaisseur est dx, ce qui fait que N Adx est le nombre de centres diffuseurs dans la tranche et (N Adx) σ ˆtx leur surface efficace totale.

Figure 1.13 – Flux Γ de particules incident sur un élément de volume, d’épaisseur dx et de surface A, contenant N particules-cibles par unité de volume.

La fraction |dΓ|/|Γ| du flux intercepté par les centres diffuseurs de la tranche d’épaisseur dx est égale au quotient de la surface efficace totale rapportée à la surface A de la tranche, soit : N Aˆ σtx dx |dΓ| =− (1.108) |Γ| A d’où, après intégration entre x = 0 et x avec Γ(x = 0) ≡ Γ0 :

avec :

Γ(x) = Γ0 exp (−N σ ˆtx x) = Γ0 exp(−Px x)

(1.109)

Nσ ˆtx = Px

(1.110)

où Px est la section efficace macroscopique totale correspondante.

60

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Ainsi, lorsque l’indice x ≡ c, Pc représente la section efficace totale de simple collision : Pc = N σ ˆtc

(1.111)

alors que x ≡ m réfère à la section efficace totale pour le transfert de quantité de mouvement : ˆtm . (1.112) Pm = N σ D’après (1.110), Px s’exprime 39 en cm−1 . Par ailleurs, Px représente la probabilité de collision par unité de longueur. Pour le montrer, considérons l’expression (1.108) : surface efficace totale des centres diffuseurs

(N σ ˆtx A) dx sur une tranche d’épaisseur dx ≡ A surface de la tranche   de collision ≡ P dx . = probabilité x sur une distance dx

(1.113)

Relation entre Px et sa valeur standard Par convention, les valeurs de Px publiées sont données pour une pression de référence pR correspondant à 1 torr et 0 ◦ C, valeurs que l’on note Px0 : Pxo = N0 σ ˆtx

(1.114)

où N0 est la densité des cibles dans ces conditions (3,5377×1016 atomes ou molécules par cm3 ). Connaissant Px0 , nous voudrions calculer Px à une température TC (◦ C) et une pression p (torr) quelconques. Soit N , la densité des cibles à ces valeurs de TC et de p. Par définition : Px ≡ N σ ˆtx =

N N (N0 σ ˆtx ) = Px0 . N0 N0

(1.115)

Valeur de Px à une pression et à une température quelconques Il serait utile de remplacer le rapport N/N0 de (1.115) par une expression faisant intervenir directement la pression p en torr et la température TC en degrés Celsius, paramètres plus facilement mesurables. En recourant à la loi des gaz parfaits, nous avons N = p/(kB TK ) et N0 = 1/(kB × 273), d’où : N p × 273 p × 273 = = , N0 TK 273 + TC

(1.116)

les indices K et C désignant respectivement des températures exprimées en kelvin et en degrés Celsius. 39 D’après le Système International, il serait plus correct d’exprimer la densité des particules en m−3 , mais le cm−3 est bien établi comme unité pratique. C’est ce qui entraîne que la section efficace microscopique s’exprime en cm2 et la section efficace macroscopique en cm−1 .

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

61

Nous poserons, par convention : N ≡ p0 , (1.117) N0 où p0 , la pression réduite (noter qu’il s’agit d’une quantité sans unité et pas vraiment une pression), a pour expression d’après (1.116) : p0 =

p × 273 , 273 + TC

(1.118)

et nous vérifions que pour p = 1 torr et TC = 0 ◦ C, nous avons bien p0 = 1 (sans unité), de sorte que nous pouvons écrire de façon pratique ((1.115) et (1.117)) : Px (T, p) = p0 Px0 .

(1.119)

Le flux de particules n’ayant subi aucune collision sur une distance x dans le plasma (relation (1.109)) s’exprime maintenant à l’aide de la section efficace macroscopique aux conditions standard et de la pression réduite sous la forme : Γ(x) = Γ0 exp(−p0 Px0 x) .

(1.120)

Exemples de sections efficaces La figure 1.14 compare, dans le cas de collisions élastiques électron-neutre, la section efficace macroscopique pour le transfert de quantité de mouvement Pm et la section efficace de simple collision Pc (qui ne tient pas compte de l’échange énergétique) dans des décharges de trois gaz rares. De façon générale, nous constatons que Pc > Pm (l’allure de ces sections efficaces étant plus amplement discutée en section 1.7.8). Noter que les sections efficaces sont, dans ces exemples, exprimées en fonction de l’énergie des particules incidentes plutôt qu’en fonction de leur vitesse. Remarque : La section efficace macroscopique de simple collision Pc s’obtient directement par la mesure de l’atténuation du faisceau d’électrons (relation (1.109)) : la valeur de Pc ne tient aucunement compte de la quantité de mouvement transférée, ne faisant que rendre compte du nombre total de collisions ayant eu lieu. Par contre, la section efficace macroscopique de transfert de quantité de mouvement Pm se détermine à partir de l’intégration sur θ suivant la relation (1.107) de la section efficace (macroscopique) différentielle mesurée expérimentalement, par exemple celle de la figure 1.12. On peut en déduire la section efficace différentielle microscopique en normalisant cette dernière de façon adéquate.

1.7.6. Expression de la température d’un plasma en électron-volt La température T caractérisant la distribution de Maxwell-Boltzmann des particules s’exprime normalement en kelvin (K). Cependant, en physique des plasmas, on

62

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Figure 1.14 – Sections efficaces de collisions élastiques électron-atome neutre de trois gaz rares aux conditions standard. Les valeurs des sections efficaces macroscopiques, Pc (simple collision : tirets) et Pm (transfert de quantité de mouvement : trait plein) sont exprimées en cm−1 alors que les valeurs correspondantes de sections efficaces microscopiques le sont en cm2 (d’après Massey et Burhop).

indique volontiers cette température en électron-volt, TeV . On passe de T à TeV par la relation kB T /e = TeV où kB = 1,38 × 10−23 J K−1 et e = 1,6 × 10−19 C. Comme kB T est une énergie, kB T /e ≡ TeV est une énergie par unité de charge (J/C) et strictement devrait s’exprimer en volt. Par ailleurs, il faut noter que TeV ne représente que les 2/3 de l’énergie moyenne (par unité de charge) des particules du plasma puisque celle-ci vaut 32 kB T . Ainsi, pour TeV = 1 eV, la température en kelvin est d’environ 11600 pour une énergie moyenne, en réalité, de 1,5 eV. Cette convention permet, entre autres, une estimation rapide 40 des valeurs prises par les différentes sections efficaces intervenant dans les processus collisionnels. Nous allons le montrer en nous appuyant sur le cas de collisions électroniques. Vitesse d’un électron doté d’une énergie de 1 eV La vitesse d’un électron accéléré suivant la direction x, à partir de sa position au repos, par une différence de potentiel U , s’obtient de l’expression :

où :

1 me wx2 = eU , 2  1/2 2eU wx = . me

(1.121) (1.122)

40 La section efficace évaluée à l’énergie TeV ne donne qu’une valeur approximative, par exemple, de la fréquence de collision moyenne (section 1.7.8) : la valeur exacte s’obtiendrait en pratiquant l’intégration de cette section efficace sur la fonction de distribution en énergie des particules.

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

63

Pour U = 1 V, l’électron a acquis une énergie de 1 électron-volt (1,6×10−19 J) correspondant à une vitesse : (1.123) wx = 5,93 × 105 m/s. La relation (1.122) demeure vraie pour un faisceau d’électrons pourvu qu’il soit monocinétique. Elle est aussi valide pour un ion de charge unitaire en y remplaçant me par mi . Estimation de la valeur d’une section efficace dans un plasma Dans un plasma, le mouvement des électrons a lieu suivant les 3 directions de l’espace et il n’est pas monocinétique, à la différence des conditions de la mesure d’une section efficace. Si l’on veut néanmoins estimer la valeur prise par une section efficace dans un plasma donné, on peut imaginer qu’on a affaire à un faisceau "élargi" d’électrons de vitesse centrale vth , vitesse la plus probable des électrons du plasma (annexe A1). 2 La relation 12 me vth = kB Te , qui exprime l’énergie cinétique la plus probable de l’électron, confirme l’intérêt d’utiliser la relation TeV = kB Te /e pour obtenir une bonne approximation de la valeur de la section efficace exprimée en fonction de l’énergie plutôt que de la vitesse.

1.7.7. Fréquence de collision et libre parcours probable entre deux collisions Fréquence de collision Pour un faisceau monocinétique de particules de vitesse w, la distance parcourue par celles-ci en un temps t est x = wt, ce qui permet d’écrire la relation (1.120) où Γ = nw sous la forme : n(t) = n(0) exp [−(p0 Px0 w)t] , (1.124) n(t) étant la densité des particules du faisceau au temps t et n(0), sa valeur à t = 0. Le temps caractéristique de l’exponentielle (1.124) : τ = (p0 Px0 w)

−1

(1.125)

représente le temps mis par le faisceau pour décroître, du fait des collisions subies, à 1/e (e étant ici la base du logarithme népérien) de sa valeur initiale de densité. Pour définir la fréquence de collision, remarquons de (1.124) que :

et posons τ = νx−1 , alors :

n dn =− dt τ

(1.126)

dn = −νx n dt

(1.127)

64

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

où dn/dt représente le nombre de particules incidentes qui quittent le faisceau (par suite de collisions avec les particules cibles), par unité de volume et par seconde ; dn/dt est aussi, de façon plus générale, le nombre total de collisions par seconde et par unité de volume subies par les particules incidentes. En divisant dn/dt par n, il ressort de (1.127) que νx est le nombre de collisions par seconde et par particule incidente (indice x = c : simple collision ; x = m : collision pour le transfert de quantité de mouvement), c’est-à-dire la fréquence de collision d’une particule. Par identification, de (1.125), (1.126) et (1.127) nous obtenons, pour un faisceau de particules de vitesse w incident sur des cibles au repos : νx = p0 Px0 w = N σ ˆtx w.

(1.128)

Pour des électrons incidents dont l’énergie est exprimée en eV, eU ≡ UeV , de (1.122) et (1.128) nous avons l’expression numérique :  νx (s−1 ) = 5,93 × 107 UeV p0 Px0 (cm−1 ) . (1.129) Remarque : Notons que νx désigne la fréquence de collision pour une vitesse donnée des particules incidentes ; seule la fréquence moyenne (définie à la section suivante) représente correctement le nombre de collisions par seconde dans un milieu où existe une distribution de vitesses. Libre parcours entre deux collisions Compte tenu de la signification de νx , τ apparaît comme le temps entre deux collisions, de sorte que le libre parcours probable entre deux collisions, x , est manifestement : w x = wτ = . (1.130) νx Des équations (1.128) et (1.130), et, compte tenu de (1.114) et (1.115), nous tirons : x =

1 1 = . p0 Px0 Nσ ˆtx

(1.131)

Sachant que τ est aussi le temps nécessaire pour que le nombre de particules du faisceau tombe à 1/e de sa valeur initiale, x est alors la distance que doit traverser le faisceau pour que son flux diminue à 1/e de sa valeur initiale par suite de collisions.

1.7.8. Fréquence moyenne de collision et libre parcours moyen Fréquence moyenne de collision En général, quelles que soient les interactions qu’elles représentent, les sections efficaces varient, parfois beaucoup, en fonction de l’énergie des particules incidentes.

65

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

À titre d’exemple, considérons la section efficace de collisions élastiques électronneutre dans les gaz rares de masse élevée comme l’argon (figure 1.14). Pour ce gaz (comme pour le krypton et le xénon), la valeur de l’énergie de l’électron influe beaucoup sur la probabilité de collision ; ainsi, on note l’existence d’un minimum très prononcé de Px pour une énergie d’un peu moins de 1 eV : c’est le minimum dit de Ramsauer, un effet purement quantique résultant de la diffraction de la fonction d’onde de l’électron incident sur les électrons périphériques de l’atome cible, avec interférence destructive (minimum) ou constructive (maximum) après interaction. Pour un électron incident ayant une énergie UeV de 1 eV, la longueur d’onde de de Broglie est voisine du diamètre de l’atome, d’où sa diffraction. Par ailleurs, pour UeV → ∞, on constate que σ ˆtx → 0 parce que le temps de mise en présence des particules tend alors vers zéro (pour donner une image de cette faible probabilité d’interaction, considérer le cas d’une voiture brûlant un feu rouge à un carrefour avec une vitesse extrêmement grande : la probabilité qu’un accident ait lieu est relativement faible). Les particules dans un plasma ne sont pas monocinétiques, leur vitesse w obéissant à une distribution f (w). Sachant que la section efficace σ ˆtx varie avec w, comment, dans ces conditions, définir une fréquence de collision représentative de ce qui se passe dans le plasma ? Il faut dans ce cas considérer la fréquence moyenne νx  définie par : σ ˆtx (w) n wf (w) dw

N νx  =

w



.

(1.132)

n f (w) dw w

En effet, alors que pour une particule incidente de vitesse w, nous avons νx = N σ ˆtx w (1.128), pour l’ensemble des particules incidentes dont la vitesse se trouve dans l’intervalle (w, w + dw), le nombre total de collisions par seconde et par unité de volume est νx nf (w) dw où n est la densité des particules incidentes (toutes vitesses confondues) et où dw ≡ d3 w représente l’élément d’intégration dans l’espace des vitesses de la fonction de distribution suivant les trois coordonnées (élément de volume) du repère choisi. Le dénominateur de (1.132) correspond à la densité des particules incidentes. Le rapport du nombre total de collisions par unité de volume (numérateur) sur le nombre total de particules par unité de volume (dénominateur) donne bien un nombre moyen de collisions par seconde, par électron. L’expression (1.132) peut également s’écrire de façon condensée : σtx (w)w , νx  = N ˆ

(1.133)

où les crochets représentent symboliquement une intégration sur la fonction de distribution (en vitesse ou en énergie) des particules avec la condition de normalisation  f (w) dw = 1 (A1.3). w Exemple : Dans un plasma d’argon de température électronique TeV = 4 eV (hypothèse d’une distribution de Maxwell-Boltzmann), vth = 1, 19 × 106 m s−1 (soit w = 1, 34 × 106 m s−1 ), l’intégration de la distribution de Maxwell-Boltzmann

66

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

sur la section efficace de transfert de quantité de mouvement électron-neutre (voir figure 1.14) donne νm  = 4 × 109 s−1 à 1 torr, 0 ◦ C. À 0,1 torr et 0 ◦ C, nous aurons, évidemment, νm  = 4 × 108 s−1 ! Dans ce qui suit et pour alléger l’écriture, ν désignera la valeur moyenne de la fréquence des collisions électroniques pour le transfert ˆtc ). de quantité de mouvement et νc celle des simples collisions (liée à σ Nous venons de définir la fréquence moyenne de collisions des particules d’un plasma obéissant à une distribution f (w) avec d’autres particules supposées initialement au repos (1.133). Dans le cas le plus général qui soit de collisions entre particules α et particules β (en mouvement toutes deux) et corrélées entre elles (section 3.2), l’ex σ ˆαβ (|w α − wβ |)|w α − w β | nα nβ fαβ (wα , wβ ) dwα dw β ναβ  =

wα wβ



,

(1.134)

nα fα (w α ) dwα wα

où la fonction fαβ (wα , wβ ) est une fonction de distribution double sur les vitesses w α et wβ , exprimant une interaction binaire avec corrélation (section 3.2). Noter la présence explicite du module de la vitesse relative des deux particules, une caractéristique de la description dans le centre de masse. Le dénominateur de (1.134) correspond à la densité des particules incidentes α, toutes vitesses confondues. L’expression (1.134) est bien une généralisation de la relation (1.132). En l’absence de corrélation entre particules (section 3.2), on peut remplacer la fonction double par deux fonctions simples en posant fαβ (w α , wβ ) = fα (wα )fβ (w β ), de telle sorte que : nβ σ ˆαβ (wαβ )wαβ fα (wα )fβ (w β ) dwα dw β ναβ  =

wα w β



.

(1.135)

fα (wα ) dw α wα

La valeur moyenne ναβ  peut s’écrire : ναβ  = nβ ˆ σαβ (wαβ )wαβ  ,

(1.136)

où les crochets représentent symboliquement une intégration sur les fonctions de distribution (en vitesse ou en énergie) des particules α et β. On constate, ici aussi, que l’expression (1.136) est une généralisation de la fréquence νx  donnée par (1.133). Libre parcours moyen En suivant une démarche analogue à celle ayant permis de définir ναβ , le libre parcours moyen des particules α pour les collisions avec les particules β peut s’exprimer, dans le cas le plus général, comme la valeur moyenne du quotient de la vitesse relative wαβ sur la fréquence de collision ναβ , soit :

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

67



   wαβ 1 1 = . (1.137) ναβ nβ σ ˆαβ (wαβ ) En reprenant l’exemple numérique précédent (TeV = 4 eV à 0,1 torr, 0 ◦ C dans l’argon), on obtient un libre parcours moyen des électrons m  3 mm. Dorénavant, le libre parcours moyen des électrons pour le transfert de quantité de mouvement sera noté . αβ  =

1.7.9. Exemples de sections efficaces collisionnelles Dans la section précédente, pour fixer les idées, nous avions raisonné à partir de collisions électron-neutre de type élastique. Comme nous l’avons déjà fait remarquer, la notion de section efficace est plus générale. Dans ce qui suit, nous allons considérer le cas de collisions électron-neutre inélastiques (ionisation, excitation, dissociation) et celui de collisions ion-neutre élastiques et inélastiques (transfert de charge). Collisions électron-neutre conduisant à l’ionisation d’un atome (molécule) Dans les plasmas de laboratoire, l’ionisation d’un gaz est généralement obtenue par impacts électroniques. L’ionisation par collisions atome-atome est, en effet, peu probable dans des plasmas entretenus à des pressions ne dépassant pas quelques atmosphères. Si l’on considère un atome d’argon, son ionisation par étapes, passant par le relais d’un état métastable, cas le plus favorable, nécessite au minimum 11,5 eV (annexe A6). Ainsi, en supposant une distribution en énergie des particules de type Maxwell-Boltzmann, il faudrait que les atomes incidents les plus chauds atteignent une température de plus de 100 000 K, ce qui n’est pas réaliste pour des plasmas de laboratoire. La section efficace d’ionisation par collisions électron-neutre possède généralement les caractéristiques suivantes (figure 1.15) : un seuil très précis d’énergie, Ei , au-dessous duquel la section efficace est nulle. Pour les atomes, ce seuil d’ionisation correspond au potentiel d’ionisation. Pour les molécules, plusieurs seuils d’ionisation coexistent (ionisation dissociative et non dissociative). à partir du seuil d’énergie Ei , croissance (presque) linéaire de la section efficace en fonction de l’énergie UeV de l’électron 41 , puis passage de la section efficace par un maximum pour une énergie Em suivi d’une lente diminution. 41 Les particules-cible n’étant pas forcément au repos, il est plus correct de parler de leur énergie (vitesse) relative au moment de la collision. Dans le cas d’interactions électron-neutre, cette distinction est généralement négligeable au-delà d’une fraction d’électron-volt dans la mesure où le gaz n’est pas très chaud (voir aussi la remarque 2 à la fin de cette section).

68

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Figure 1.15 – Forme générale d’une section efficace d’ionisation par collisions électron-neutre.

La droite tiretée sur la figure 1.15, de pente ai , tracée à partir du seuil d’énergie Ei de la section efficace, montre que l’expression : Pi = ai (UeV − Ei ) , pour UeV ≥ Ei ,

(1.138)

est une bonne approximation de la portion initiale (Ei < UeV < Em ) de la section efficace d’ionisation. Collisions électron-neutre conduisant à l’excitation d’un atome (molécule) Comme pour l’ionisation, il existe un seuil d’énergie Ej en dessous duquel la section efficace d’excitation est nulle. Sa croissance à partir de Ej est plutôt linéaire avant de passer par un maximum, comme cela est représenté sur la figure 1.16.

Figure 1.16 – Forme générale de la section efficace d’excitation de l’état j d’un atome par collisions électron-neutre.

Collisions électron-neutre conduisant à la dissociation d’une molécule Là encore, il existe un seuil d’énergie Ed en dessous duquel la section efficace est nulle. Pour une molécule complexe, plusieurs seuils de dissociation peuvent coexister, en fonction de la nature des fragments issus de la dissociation.

69

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas Collisions élastiques ion-atome

Les sections efficaces de diffusion d’ions par leurs propres atomes (molécules) ont toutes la même allure : l’interaction est plus probable à faible vitesse. La figure 1.17 montre, à titre d’exemple, le cas de différents ions hydrogène incidents sur des molécules H2 après avoir été accélérés par une différence de potentiel U (1.122). Collisions ion-atome menant à un transfert de charge Soit un ion atomique ou moléculaire A+ et un atome ou une molécule B. Lors de leur interaction, il y a échange d’un électron, ce qui donne lieu à la réaction 42 : A+ + B → A + B+ .

(1.139)

Figure 1.17 – Section efficace de collisions élastiques de différents ions hydrogène d’énergie eU avec la molécule H2 (d’après [3] et [4]).

Un cas intéressant est celui dit du transfert résonnant (A = B) où un ion atomique entre en collision avec son propre atome. La figure 1.18 montre qu’alors la section efficace (notée t) atteint sa plus grande valeur à très faible énergie (règle générale). Pour fins de comparaison, l’interaction élastique de l’ion A+ avec l’atome A est également représentée : la valeur de sa section efficace de diffusion (notée e) est toujours d’une valeur inférieure à celle du transfert résonnant ; la différence est grande, par exemple, pour l’hélium et le néon, mais faible pour l’argon [6].

42 Il s’agit d’une interaction inélastique : l’énergie interne de l’atome (molécule) se trouve modifiée en perdant ou récupérant un électron.

70

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

Figure 1.18 – Section efficace de transfert de charge (indice x = t) et de collision élastique (indice x = e) entre un atome d’hélium et son ion d’énergie eU , et section efficace totale résultante (x = T ) (d’après [5], avec la permission de l’American Institute of Physics).

Collisions atome-atome Difficiles à déterminer expérimentalement car il s’agit d’une interaction entre particules neutres, ces sections efficaces peuvent se calculer à partir d’expressions analytiques du potentiel d’interaction entre les deux atomes. Elles permettent de déterminer la conductivité thermique du gaz. Ce type d’interaction peut être décrit, à titre d’exemple, par le potentiel modèle de Lennard-Jones représenté sur la figure 1.19 :

 φ(r) = 4 J (r0 /r)12 − (r0 /r)6 . (1.140) Le premier terme de l’expression (1.140) décrit le potentiel répulsif lorsque les deux particules entrent suffisamment en contact et le second, le potentiel attractif à grande distance, r0 étant la valeur de r (distance internucléaire) pour laquelle φ(r) = 0 et J , la profondeur du puits de potentiel attractif.

Figure 1.19 – Potentiel de Lennard-Jones modélisant l’interaction atome-atome.

1.7− Phénomènes de collision dans les plasmas

71

Remarques : 1. Dans le cas de l’excitation et de l’ionisation par collision électronique, la quantité d’énergie prise à l’électron et transformée en énergie interne de l’atome est quantifiée, quelle que soit l’énergie de l’électron au moment de l’interaction : l’énergie résiduelle de l’électron après collision est son énergie initiale de laquelle il faut soustraire l’énergie-seuil du niveau excité (expérience de Franck et Hertz, 1914). 2. Coefficient de réaction : définition et expression générale Soit une réaction quelconque, représentée symboliquement par : A + B −−→ C + D. kAB

(1.141)

où A et B sont les particules avant collision, et C et D celles après collision. Sa probabilité de réalisation se caractérise par un coefficient de réaction (exprimé à 0 ◦ C, 1 torr) donné par l’expression : kAB = ˆ σAB (wAB ) wAB  unités : cm3 s−1 ,

(1.142)

où wAB = |wA −wB | est le module de la différence des vitesses avant collision (voir exercice 1.15 et note 41 de bas de page). Le recours au coefficient de réaction plutôt qu’à la "fréquence de réaction" νAB est plus général car il ne fait pas intervenir la densité des cibles NB , qui varie suivant les conditions opératoires. Nous savons en effet que νAB = NB kAB et que les valeurs publiées sont celles de kAB (à défaut d’une section efficace détaillée). 3. Équation hydrodynamique du mouvement et nature du terme collisionnel Considérons un plasma faiblement ionisé (collisions électron-neutre majoritaires) soumis à un champ électrique oscillant E0 exp(iωt) dont la fréquence est suffisamment élevée pour en négliger l’effet sur le mouvement des ions. Supposons de plus que la vitesse d’agitation thermique de l’électron est négligeable devant sa vitesse due au champ HF (hypothèse du plasma froid)23 . Ces considérations mènent à l’équation du mouvement décrivant, en moyenne, le comportement de l’électron dans le champ HF (à une dimension) 43 : me

d2 x dx . = −eE0 exp(iωt) − νme 2 dt dt

(1.143)

Le terme νme dx/dt étant de la nature d’une force, νme vdt représente alors une variation de quantité de mouvement pendant dt et νme v, sa variation par seconde ; par ailleurs, l’analyse dimensionnelle montre que ν est un nombre par seconde. Dans ce contexte, le terme −νme (dx/dt) ≡ −νpe représente la fréquence avec laquelle les électrons perdent leur quantité de mouvement. La fréquence ν apparaît alors comme la fréquence (moyenne) (de collision) pour le transfert de quantité de 43 Nous obtiendrons la relation (1.143) dans le cadre du modèle hydrodynamique du plasma d’électrons de Lorentz (section 3.7).

72

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs mouvement de l’électron vers l’atome (ion). La solution de l’équation différentielle (1.143) donne comme amplitude (complexe) du mouvement de l’électron dans le champ HF : eE0 , (1.144) x0 = me ω(ω − iν) où l’on note que ν possède les mêmes unités que la pulsation ω du champ électrique.

Dans l’équation (1.143), νme apparaît comme le coefficient hydrodynamique classique de viscosité généralement supposé indépendant de la vitesse des particules. L’influence des ions et des atomes sur le mouvement des électrons soumis à un champ HF peut donc être vue comme un terme de viscosité entravant le mouvement des électrons.

1.8. Mécanismes de perte et de création des particules chargées d’un plasma et leur équation de conservation 1.8.1. Mécanismes de perte On distingue principalement deux mécanismes de neutralisation, donc de disparition, des espèces chargées. Diffusion vers les parois où se produit la neutralisation des espèces chargées La diffusion est un processus de nature collisionnelle qui apparaît si le milieu est inhomogène en densité ou en énergie des particules (qui peuvent être chargées ou neutres). Le rôle des collisions dans ce processus est de rendre toutes les directions des particules après collision équiprobables. Cependant, parce que dans un milieu inhomogène en densité, il y a plus de particules en jeu du côté des fortes densités que des faibles densités, il se créera un flux net vers la région de plus faible densité. La diffusion des espèces chargées du plasma vers les parois de l’enceinte à décharge peut constituer un mode d’élimination extrêmement efficace de ces particules dans la mesure où celles-ci se recombinent sur ces parois. Un tel "puits d’évacuation" sur les parois, caractérisé par une densité beaucoup plus faible que sur l’axe, donne en effet lieu à un flux de particules chargées Γ = nv où v, la vitesse de diffusion, est dirigée de l’axe vers les parois. La valeur de ce flux est donnée par la relation 44 : Γ = −D∇n ,

(1.145)

44 De façon générale, le coefficient de diffusion D peut dépendre de la position de sorte qu’il convient alors d’écrire Γ = −∇(Dn) : section 3.8, remarque 4.

1.8− Mécanismes de perte et de création des particules chargées

73

qui indique que le flux de particules vers la paroi augmente avec le gradient de densité des particules ∇n ; le facteur D est appelé coefficient de diffusion libre ou ambipolaire suivant que la densité du plasma est faible ou forte, comme nous le verrons en section 3.8. Recombinaison en volume Les particules chargées se neutralisent alors dans le volume même du plasma, par collision, et non sur les parois. La recombinaison d’un ion atomique, à supposer que sa recombinaison radiative (1.59) soit négligeable, nécessite la présence d’une troisième particule (recombinaison à trois corps), en l’occurrence un électron, pour assurer la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement au moment de l’interaction. Cette réaction s’écrit : A+ + e + e → A + e .

(1.146)

Noter qu’il s’agit de la réaction inverse, au sens de la micro-réversibilité (section 1.4.2), du processus d’ionisation de l’atome A. C’est ce processus de disparition des charges qui intervient dans l’équilibre d’ionisation-recombinaison régi par la loi de Saha. Le nombre d’ions atomiques qui se recombinent par unité de volume et par seconde dans le plasma, est donc proportionnel à ni1 n2e où ni1 est la densité des ions atomiques et ne celle des électrons. Dans la mesure où il n’y a qu’un seul type d’ion atomique, ne = ni1 , le nombre d’ions disparaissant par unité de volume et par seconde (cm−3 s−1 ) peut s’écrire αra n3e où αra , un coefficient de réaction, est le coefficient de recombinaison à trois corps (unités : cm6 s−1 ). En posant formellement : αra n3e ≡ νra ne ,

(1.147)

nous pouvons définir νra , la fréquence de recombinaison atomique correspondante. La recombinaison d’un ion moléculaire, s’effectue suivant : A+ 2 + e → A + A.

(1.148)

Cette recombinaison est dite dissociative. Si l’énergie libérée lors de cette recombinaison est supérieure à celle du premier niveau excité des atomes A, alors l’un d’eux se retrouvera dans un état excité, sinon l’excédent d’énergie est transformé en énergie cinétique des atomes 45 . Le nombre d’ions moléculaires se recombinant par unité de volume et par seconde est alors proportionnel à ni2 ne , où ni2 est la densité des ions moléculaires. S’il n’y a que des ions moléculaires (ni2 = ne ), nous pouvons représenter ce nombre sous deux formes équivalentes, de façon analogue à (1.147) : αrm n2e ≡ νrm ne ,

(1.149)

45 Lorsqu’il s’agit de gaz rares, un des deux atomes est nécessairement porté dans un état métastable.

74

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs

où αrm est le coefficient de recombinaison moléculaire dissociative et νrm la fréquence correspondante. Dans le cas des plasmas riches en ions négatifs, la recombinaison des ions positifs s’effectue avec les ions négatifs suivant la réaction : A+ + B− → A + B

(1.150)

dite de recombinaison mutuelle. Ce type de recombinaison s’effectue indifféremment avec des ions atomiques ou moléculaires. Le nombre d’ions positifs (et négatifs) se recombinant par unité de volume et par seconde est proportionnel à ni n− où ni est la densité des ions positifs (atomiques et moléculaires) et n− celle des ions négatifs. De façon analogue à (1.147) et (1.149), nous pouvons écrire, par exemple : αr± ni n− ≡ νr± n− ,

(1.151)

où αr± est le coefficient de recombinaison mutuelle d’un ion positif et d’un ion négatif, et νr± la fréquence correspondante. L’ordre de grandeur de αr± est de 10−7 cm3 s−1 , valeur qui varie peu avec la nature des ions et leur énergie relative. Il est à noter que la valeur de αr± est inférieure d’un facteur 2 à 3 au coefficient αrm de recombinaison dissociative des ions moléculaires. Prédominance des mécanismes de disparition des particules chargées selon le domaine de pression (dans les plasmas exempts d’ions négatifs) En règle générale, dans l’intervalle de pression allant de 10 mtorrs (∼ 1 Pa) à environ 10 torrs ( 103 Pa) et dans la décharge d’un gaz atomique, c’est la diffusion qui l’emporte, sauf si la dimension la plus faible (le rayon pour une longue colonne de plasma) est suffisamment grande pour que les pertes en volume prennent le dessus ; dans le même intervalle de pression mais pour un gaz moléculaire, c’est la recombinaison en volume qui prédomine. À pression plus élevée, la recombinaison en volume finit par dominer les processus de perte de charges, y compris dans un gaz atomique.

1.8.2. Mécanismes de création Lorsqu’il y a ionisation à la suite d’une seule collision électronique sur l’atome dans son état fondamental (ionisation directe), la fréquence d’ionisation correspondante (nombre d’ions créés par seconde et par électron), νid , s’écrit (section 1.7.8) : σti (we )we  , νid = Pi (we )we  ≡ N0 ˆ

(1.152)

où Pi est la section efficace macroscopique et σ ˆti la section efficace microscopique totale d’ionisation, toutes deux correspondant à l’ionisation directe, et N0 la densité de l’état fondamental de l’atome.

1.8− Mécanismes de perte et de création des particules chargées

75

Toutefois, lorsque la densité électronique est suffisamment élevée, l’ionisation directe n’est plus la seule voie d’ionisation possible. L’ionisation peut alors avoir lieu, par étapes, en utilisant comme relais des états excités de l’atome ; l’avantage de ce processus d’ionisation est qu’il peut se faire avec des électrons de moindre énergie que pour l’ionisation directe. Un cas fréquent d’ionisation collisionnelle en deux étapes est celui où successivement : e + A(0) → A(j) + e , +

e + A(j) → A + e + e ,

(1.153) (1.154)

l’état excité A(j) étant un état métastable (état peu susceptible de se désexciter radiativement entre deux collisions). Dans ce cas, le nombre d’atomes ioniséspar seconde et par électron, en tenant compte de la désexcitation du niveau relais par pertes collisionnelles électroniques 46 (proportionnelles à ne ) et non collisionnelles (pertes par diffusion, donc indépendantes de ne ), s’écrit sous la forme (annexe A6) : νie =

ρie ne , 1 + ηne

(1.155)

où les coefficients ρie et η caractérisent respectivement l’ionisation en deux étapes et l’effet de saturation des états-relais. Lorsque ne est très grand (saturation), (1.155) se réduit à : νie ρie /η . (1.156)

1.8.3. Équation de conservation des particules chargées Si nous tenons compte des deux mécanismes de perte que nous venons de présenter mais aussi de l’ionisation, l’équation de conservation des particules s’écrira plus généralement (section 3.5) : ∂n + ∇ · nv = (νi − νr )n (1.157) ∂t où νi = νid + νie et νr = νra + νrm . Le membre de droite de l’équation comptabilise respectivement le nombre de particules créées par ionisation et le nombre de particules perdues par recombinaison en volume, par unité de volume et par seconde, les pertes par diffusion étant prises en compte dans le membre de gauche par ∇ · nv. À l’état stationnaire et en l’absence de recombinaison en volume 47 , l’équation (1.157), tenant compte de (1.145), se réduit à : ∇ · (−D∇n) = νi n

(1.158)

46 La désexcitation des atomes métastables par collision avec les particules lourdes (atomes dans les états fondamental ou métastables) n’intervient de façon significative que dans les plasmas de faible degré d’ionisation. 47 À l’état stationnaire, en l’absence de pertes par diffusion, l’équation (1.157) se ramène évidemment à νi = νr .

76 d’où :

1− Le milieu plasma : définition et principales grandeurs ∇2 n = (−νi /D) n ,

(1.159)

qui est une équation aux valeurs propres (section 3.9) fixées par les conditions aux limites (imposées par la géométrie du tube à décharge) : pour un tube de forme cylindrique, par symétrie (dn/dr)r=0 = 0 et, souvent, on prendra n(r = R) = 0 où R est le rayon interne du tube. Dans le cas d’une colonne cylindrique très longue (L  R) et pour n(r = R) = 0, on aura n(r) = n(0)J0 (2,405 r/R) où J0 est la fonction de Bessel de première espèce et d’ordre zéro (figure 3.4).

Chapitre 2 Mouvement individuel d’une particule chargée dans des champs électriques et magnétiques

Nous pouvons distinguer trois niveaux de modélisation de l’action des champs E et B sur les particules chargées d’un plasma. En partant du plus simple et en allant vers le plus complexe, nous avons : Le modèle des trajectoires individuelles Dans cette description, les champs E et B sont donnés, imposés de l’extérieur : on ne tient pas compte des champs engendrés par le mouvement des particules. Par ailleurs, on néglige totalement les collisions, y compris les interactions coulombiennes ; il s’agit finalement de représenter le mouvement d’une particule isolée. Le modèle hydrodynamique Le plasma est dans ce cas constitué soit de deux fluides (celui des électrons et celui des ions), soit d’un seul (par exemple, celui des électrons, les ions étant immobiles et formant un fond continu offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons). Le mouvement de chaque fluide est caractérisé localement par une vitesse moyenne v dont la valeur résulte d’une intégration sur la distribution des vitesses des particules contenues dans le volume infinitésimal considéré (section 3.3). Le mouvement de ces particules chargées engendre des champs E et B (dont on retient la valeur moyenne locale (champs macroscopiques)) qui interviennent de façon auto-cohérente dans les équations du mouvement 48 . De plus, ce modèle prend en compte les collisions, celles-ci modifiant le mouvement défini par l’action des champs extérieurs et induits immédiatement avant la collision. 48 Le couplage des champs induits E et B avec les particules chargées est dit auto-cohérent parce que le mouvement des particules qui crée les champs E et B est lui-même affecté par les champs qu’il produit.

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

78

Pour établir l’auto-cohérence entre le mouvement des particules chargées et les champs qu’il engendre, nous recherchons d’abord la vitesse des éléments du fluide. Celle-ci s’obtient de l’équation du mouvement où intervient la force de Lorentz (section 2.1) dont nous supposons les champs E et B connus en première itération. Une fois v déterminé, nous  sommes en mesure de calculer la densité de courant total J du ou des fluides (J = α nα qα v α ). De là, pour fermer la boucle d’itération avec les valeurs initiales de E et B, nous avons deux voies : à partir de J , remonter à E par la relation de l’électromagnétisme : J = σE

(2.1)

où σ est la conductivité électrique du ou des fluides, et connaissant E, arriver à B par l’une ou l’autre équation du rotationnel des champs de Maxwell, à savoir : ∇∧E =− ou

∇ ∧ B = μ0 0

∂B ∂t

∂E + μ0 J , ∂t

(2.2) (2.3)

à partir de la densité J , déterminer la densité de charges ρ par l’équation de continuité (par exemple, ∂ρ/∂t + ∇ · J = 0) et obtenir ensuite le champ E par l’équation de Poisson : ∇ · E = ρ/ 0 ,

(1.1)

puis, utilisant (2.2) ou (2.3), arriver à B. Remarque : Notons que la conductivité σ qui relie J à E joue un rôle clé dans l’obtention de l’auto-cohérence champ-particule : nous calculerons l’expression de σ dans le cadre de différents modèles. Le modèle cinétique ou microscopique C’est la description la plus fine. Elle fait appel aux fonctions de distribution des vitesses individuelles des particules : ceci permet notamment de faire apparaître certains phénomènes qui échappent au modèle hydrodynamique comme, par exemple, l’effet Landau (effet de résonance entre une onde se propageant dans le plasma et les particules appartenant à un certain intervalle de vitesses). On y tient compte de façon auto-cohérente des champs et des collisions, cette fois à l’échelle microscopique (particules individualisées) et non plus par le biais de valeurs macroscopiques (valeurs moyennes sur la fonction de distribution en vitesse des particules). Le présent chapitre est consacré à l’étude du mouvement individuel d’une particule chargée dans des champs E et B donnés. Ce modèle fournit un premier aperçu des phénomènes complexes se déroulant au sein d’un plasma. Celui-ci est, par hypothèse, sans collision en volume et sur les parois. Nous examinerons en premier lieu la solution

79

2.1− Équation générale du mouvement d’une particule chargée

de l’équation du mouvement d’une série de cas particuliers pour en déterminer, à la fin, la solution générale 49.

2.1. Équation générale du mouvement d’une particule chargée dans des champs E et B et propriétés de cette équation Soit qα la charge d’une particule de masse mα , animée de la vitesse w = dr/dt et soit E(r, t) et B(r, t), les champs extérieurs : la particule est soumise à l’action de la force de Lorentz qui, dans le cas non relativiste, a pour expression 50 : F ≡ qα [E(r, t) + w ∧ B(r, t)] .

(2.4)

Cette équation résulte de l’observation. Elle est valable si la particule est suffisamment petite pour considérer sa charge comme ponctuelle (on écarte ainsi le problème de la répartition des charges dans le volume de la particule).

2.1.1. Équation du mouvement À partir de (2.4), nous pouvons écrire que :   dr d2 r ∧ B(r, t) . mα 2 = qα E(r, t) + dt dt

(2.5)

Cette expression donne lieu à une équation différentielle du second degré suivant chaque axe du système de coordonnées. Dans un repère cartésien, nous avons :    d2 x dy dz mα 2 = qα Ex + Bz − By (2.6) dt dt dt    d2 y dz dx − Bz mα 2 = qα Ey + Bx (2.7) dt dt dt    d2 z dx dy − Bx mα 2 = qα Ez + By . (2.8) dt dt dt 49 La référence principale de cette section est Électrodynamique des plasmas de Jancel et Kahan, chapitre 4. Voir également Delcroix, Physique des plasmas, tome I, section 12.3, et Delcroix et Bers, Physique des plasmas, tome I, section 2.3 ainsi que Allis, Motions of ions and electrons [7]. 50 L’expression relativiste est : mα

dw = qα dt

„ 1−

w2 c2

«1/2 h

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

E+w∧B−

i w (w · E) , c2

80

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

2.1.2. Équation des forces vives En effectuant le produit scalaire de l’équation (2.5) par w = dr/dt, nous obtenons l’équation des forces vives (énergie cinétique) :  2   mα d  dr  dr dr dr + qα ∧ B(r, t) · , = qα E(r, t) ·   2 dt dt dt dt dt

(2.9)

d’où il ressort que le deuxième terme du membre de droite est nul à cause de sa structure vectorielle : (A ∧ B) · A = 0 ; la relation qui en découle finalement est un scalaire vrai et constitue donc un invariant lors d’un changement de repère. Après intégration de l’expression restante sur le temps t de t0 à t (en position, de r 0 à r), nous avons :    2  r 2  dr  mα  dr    −  (2.10) = qα E · dr , 2  dt  dt r

r0

r0

le membre de droite représentant le travail effectué sur la particule par le champ électrique. Nous en tirons les conclusions importantes suivantes : 1. Le champ magnétique ne "travaille pas" puisque la force qu’il exerce sur la particule est perpendiculaire à sa vitesse 51 . Il s’ensuit que la norme de la vitesse d’une particule chargée n’est pas affectée par la présence d’un champ magnétique. Cependant les composantes perpendiculaires à B de cette norme peuvent varier entre elles, comme nous le montrerons dans le cas du mouvement cyclotron (section 2.2.2). En supposant B dirigé suivant Ox, cela implique : 2 2 2 = wy0 + wz0 = wy2 (t) + wz2 (t) , w⊥

(2.11)

où l’indice 0 désigne les composantes de la vitesse à t = 0 : autrement dit, la présence du champ magnétique ne peut que changer la direction de la vitesse, non sa norme. Cependant, appliquer un champ magnétique à un plasma permet, entre autres, de conserver l’énergie du système en diminuant les pertes par diffusion des particules chargées vers les parois, comme nous le verrons (section 3.8). 2. Seul le champ E peut "chauffer" les particules chargées, c’est-à-dire leur apporter de l’énergie.

2.2. Analyse de cas particuliers de E et B Nous allons aborder successivement les cas suivants : le champ électrique agit seul sur la particule (section 2.2.1), la particule est soumise à un champ magnétique constant 51 Le chauffage par pompage magnétique où B varie périodiquement peut être considéré, par l’intermédiaire de l’équation de Maxwell ∇ ∧ E = −∂B/∂t, comme résultant de l’action du champ E.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

81

et uniforme, avec ou sans champ E (section 2.2.2) et, enfin, situation plus complexe, la particule se trouve dans un champ B (légèrement) non uniforme ou (lentement) variable dans le temps (section 2.2.3). Nous verrons que les solutions de ces divers cas particuliers peuvent être incluses dans une équation générale décrivant le mouvement de la particule dans de tels champs E et B.

2.2.1. Champ électrique seul (B = 0) De (2.6), (2.7) et (2.8), nous obtenons : Ex d2 x = qα (r, t) , 2 dt mα

d2 y Ey = qα (r, t) , 2 dt mα

d2 z Ez = qα (r, t) . 2 dt mα

(2.12)

Nous pouvons maintenant traiter les différents cas qui vont suivre. Champ E constant et uniforme Par intégration directe de (2.12) sous forme vectorielle, nous tirons :   qα w= Et + w0 , mα   qα t2 r= E + w0 t + r0 , mα 2

(2.13) (2.14)

expressions qui décrivent un mouvement uniformément accéléré. Remarques : 1. De (2.13), il apparaît que la composante du mouvement suivant une direction perpendiculaire à E ne sera pas affectée par la présence de ce champ : décomposer w suivant les directions parallèle et perpendiculaire à E pour le voir. La situation est tout à fait différente avec B puisque la force correspondante agit perpendiculairement à B (et à w) (2.4). 2. Comme le champ E accroît sélectivement la composante de vitesse qui lui est parallèle, nous pouvons dire qu’il tend, sinon à confiner, du moins à orienter la particule dans cette direction. 3. De (2.13) et (2.14), nous constatons que la vitesse ainsi que la distance parcourue par un ion de masse mi sous l’effet d’un champ E pendant un temps donné sont me /mi fois plus faibles que celles d’un électron de masse me dans ce même champ, ce qui justifie l’hypothèse, que nous utiliserons largement, que l’ion est immobile par rapport à l’électron.

82

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Champ E(r, t) conservatif Puisque le champ électrique est conservatif, nous pouvons écrire : E = −∇φ(r, t)

(2.15)

où φ est le potentiel agissant sur la particule. L’équation vectorielle du mouvement : mα

d2 r = −qα ∇φ , dt2

(2.16)

multipliée scalairement par dr/dt montre, après intégration sur le temps t, que la variation de l’énergie cinétique est égale à (moins) la variation de l’énergie potentielle, de sorte que l’énergie totale est évidemment conservée :    2  2  dr  mα  dr  −   (2.17) = −qα [φ(r, t) − φ(r 0 , t0 )] .   2 dt r dt r0 L’équation (2.17) est une variante de la relation (2.10). Application au cas où φ ne dépend pas du temps Le mouvement d’un électron dans un potentiel électrostatique est assimilable à la propagation d’un rayon lumineux dans un milieu d’indice nr . Montrons-le.

Figure 2.1 – Description schématique de la réfraction en optique électronique.

Considérons le cas de deux milieux où φ, de surcroît, ne dépend pas de r, ce qui entraîne que E est nul dans chacun des deux milieux (2.15). La traversée d’une discontinuité de potentiel (φ1 = φ2 , figure 2.1) détermine l’existence d’un champ E (à l’interface seulement) et, de ce fait, la particule subit une accélération (décélération) instantanée, la vitesse passant alors de w1 à w2 . Cependant, la composante des vitesses w 1 et w2 parallèle à l’interface formée par les deux milieux demeure la même de part et d’autre de celle-ci puisque le champ E est perpendiculaire à cette interface (remarque 1 précédente) d’où, en notant p = me w : |p1 | sin θ1 = |p2 | sin θ2 ,

(2.18)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

83

relation qui, écrite sous la forme : sin θ2 |p1 | = , |p2 | sin θ1

(2.19)

apparaît comme la loi bien connue de Descartes de l’optique géométrique à condition de considérer que θ1 et θ2 constituent respectivement les angles d’incidence et de réfraction, et en admettant que l’impulsion pi de la particule est proportionnelle à l’indice du milieu 52 . Champ E uniforme mais oscillant périodiquement en fonction du temps Ce cas correspond à celui de particules chargées se trouvant soit dans un plasma créé par un champ de haute fréquence (HF), soit dans un plasma produit par d’autres moyens (par exemple, une décharge en courant continu) mais sur lequel on a imposé un champ HF. L’équation du mouvement est dans ce cas : d2 r qα = E 0 eiωt (2.20) dt2 mα et, après intégrations successives de t = 0 à t, en supposant que la particule est animée d’une vitesse initiale w 0 (on prend w0 = 0 pour demeurer tout à fait général), il vient :   dr 1 qα E 0 iωt qα E 0 w= = e − (2.21) + w0 , dt iω mα mα   qα E 0 iωt qα E 0 e + w0 − soit : w= (2.22) imα ω iωmα   qα E 0 qα E 0 iωt t + rc , e + w0 − (2.23) et r=− mα ω 2 iωmα où rc est une constante d’intégration, la position initiale de la particule étant qα E 0 r0 = − + rc . (2.24) mα ω 2 Examen des phases relatives de E, w et r Introduisons une particule chargée (prenons un ion positif), de vitesse initiale nulle, dans le champ électrique E0 cos ωt de période T et examinons de façon détaillée, à l’aide de la figure 2.2, le comportement de sa vitesse et de sa trajectoire 53 en fonction du temps. √ 52 Ce faisant, on trouverait que nr = A E − qα φ où A est une constante et E, l’énergie totale de la particule. 53 Par convention, le champ électrique existant entre une charge positive et une charge négative est dirigé vers la charge négative. De ce fait, un ion positif est accéléré dans la direction du champ (voir figure 2.2).

84

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Figure 2.2 – Vitesse et excursion d’un ion positif (trait plein) et d’un électron (pointillé) dans un champ électrique alternatif de période T .

Pour simplifier la présentation, ignorons le terme non périodique de la vitesse dans l’équation (2.22). 1. Vitesse : la vitesse de la particule chargée est en quadrature de phase avec le champ E. De t = 0 à t = T /4, l’ion positif subit une accélération dans la direction positive du champ : sa vitesse va augmenter pendant tout ce quart de période et atteindre sa valeur maximum en t = T /4 quand la valeur du champ passe par zéro. Entre t = T /4 et T /2, le champ E étant de direction opposée à la vitesse de l’ion positif, celle-ci ne peut que décroître. Elle passe par zéro au moment où le champ atteint sa valeur négative maximum, situation symétrique à celle en t = 0 : il faut,

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

85

en effet, un champ d’amplitude égale mais de direction opposée pour obtenir à nouveau une vitesse nulle. Entre t = T /2 et 3T /4, de façon symétrique, la vitesse de la particule atteindra sa valeur maximum dans la direction opposée à la direction initiale, au moment où le champ passera par la valeur nulle, tout juste avant de changer de signe, et ainsi de suite. La vitesse de l’ion est donc bien déphasée et en retard de π/2 sur le champ E. Ce déphasage par rapport au champ E, comme nous le verrons, fait en sorte que l’énergie transférée du champ à la particule chargée sur une période complète est nulle. 2. Trajectoire : dans le cas de l’ion positif, celle-ci est en retard de π sur le champ électrique alors que pour l’électron elle est en phase avec lui. L’amplitude du mouvement d’une particule chargée dans un champ HF E est appelée excursion et notée xE . Pour un ion positif (point de départ xE (0) sur la figure 2.2), la vitesse initiale étant par hypothèse nulle, le mouvement a lieu, selon notre convention, dans la direction du champ et ne change de direction que lorsque la vitesse w E passe par zéro (à t = T /2) ; à ce moment-là, le champ est à son maximum dans l’autre direction : il y a bien un retard de phase de π du déplacement de l’ion sur le champ. Pour un électron, on constate que son excursion est, au contraire, en phase avec le champ (par suite de la convention de direction du champ que nous avons adoptée). Transfert d’énergie d’un champ électrique oscillant E à une particule chargée L’énergie cinétique résultant du travail du champ E sur la charge, dans l’intervalle de temps allant de t0 à t, s’écrit (voir (2.10)) : r t mα 2 r W ≡ w  = qα E · dr = qα E · wdt , 2 r0 r0

(2.25)

t0

soit, compte tenu de (2.22) : ⎡ ⎤  t 2 q E E q α 0 α 0 eiωt + w 0 − W =  ⎣qα E 0 eiωt · dt⎦ mα iω imα ω t0 ⎤ ⎡ t   t 2 2 2 2 E E q q ei2ωt dt + qα E 0 · w0 − α 0 eiωt dt⎦ = ⎣ α 0 imα ω imα ω t0 t0  t t    2 2 2 2   qα E0 qα E 0 · w0 qα E0 i2ωt  iωt  + e + = − e   2 2 2mα ω iω mα ω t0 t0   t t t 2 2 2 2    qα E0 qα E0 qα E 0 · w 0   = − cos 2ωt + cos ωt + sin ωt , 2 2mα ω 2 m ω ω α t0 t0 t0

(2.26)

86

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

où (A) désigne la partie réelle d’une quantité complexe A. Dans le produit scalaire sous l’intégrale, w se réduit à wE , la composante de la vitesse dans la direction parallèle à E (dans la direction perpendiculaire à E, il n’y a pas de travail). L’évaluation de l’intégrale (2.26) sur une période T = 2π/ω, c’est-à-dire entre les instants t0 et t = t0 +2π/ω, conduit selon (2.26) à une valeur nulle. L’énergie cinétique acquise au total sur une période est en effet nulle car, pendant une demi-période, le travail se fait dans une direction et, durant la demi-période suivante, dans la direction opposée. Cependant, si le mouvement oscillatoire de la particule est interrompu par une collision avant la répétition d’une période complète à partir de l’instant t0 où le champ a été appliqué, l’intégrale (2.26) est non nulle et l’énergie correspondante prise au champ lui sera acquise 54 . Pour le montrer, il nous faut quitter momentanément le modèle très simplifié des trajectoires individuelles (modèle de plasma sans collisions) pour considérer le modèle hydrodynamique qui prend en compte les collisions. Transfert d’énergie d’un champ oscillant E aux électrons en présence de collisions : puissance absorbée par électron et permittivité du plasma (digression aux trajectoires individuelles) Considérons un fluide d’électrons, couplé à celui des ions et des neutres par le terme de collisions. En supposant que l’agitation thermique des électrons est négligeable devant le mouvement créé par le champ E (vth vE : hypothèse d’un plasma froid), l’équation hydrodynamique de transport de la quantité de mouvement (section 3.7) s’écrit alors : dv = −eE 0 eiωt − me νv , (2.27) dt où v est la vitesse (macroscopique) des électrons et ν la fréquence moyenne de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Le sens physique de cette équation a déjà été abordée en discutant (1.143). me

En fait, nous ne sommes pas trop loin du contexte des trajectoires individuelles dans la mesure où nous pouvons considérer que l’équation (2.27) décrit le mouvement d’une seule particule dans un milieu où cette dernière est soumise à une force de friction. Dans l’hypothèse d’un plasma froid, la vitesse de l’électron est purement périodique, d’où : (2.28) v = v 0 eiωt 54 Cette énergie "acquise" par la particule est mise en jeu au moment même de la collision pour être totalement ou partiellement transmise à la particule avec laquelle elle interagit ; la particule qui a pris de l’énergie au champ peut aussi conserver toute cette énergie et même en recevoir de l’autre particule. Rappelons que, dans le cas d’une collision élastique électron-neutre, l’électron ne transfère que partiellement son énergie, plus exactement une fraction de l’ordre de (me /M ) de celle-ci (section 1.7.2).

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

87

et, en mettant v en évidence dans (2.27), nous obtenons : v=−

eE(t) , me (ν + iω)

(2.29)

ce qui détermine v 0 . Comme dr/dt ≡ v, nous avons, toujours en l’absence de mouvement thermique : v iω

(2.30)

eE(t) . me ω(ω − iν)

(2.31)

r= et alors :

r=

Puissance HF moyenne absorbée par électron Le travail par unité de temps et par électron dans le champ E s’écrit : −eE · v ,

(2.32)

ce qui représente aussi la puissance instantanée prise au champ. Sachant que la valeur moyenne sur une période du produit de deux variables complexes A et B variant de façon sinusoïdale à la même fréquence est donnée par (AB ∗ )/2 (B ∗ est la valeur conjuguée de B), la puissance prise au champ sur une période (puissance moyenne), par électron, est donc :    2 2  −eE · v ∗ e E0 1 ν e2 E2 , (2.33) θa ≡  = = 2 2me (ν − iω) me ν 2 + ω 2 où E 2 = E02 /2 est la valeur quadratique moyenne du champ électrique. Pour ν/ω 1 (approximation des décharges HF), nous avons de (2.33) : θa ≈

e2 ν 2 E me ω 2

(2.34)

et nous vérifions que, pour ν = 0, le transfert d’énergie du champ E au plasma est bien nul, θa = 0, conformément à ce que nous avons vu plus haut dans le cas des trajectoires individuelles. Pour ν/ω  1 (approximation des décharges de basses fréquences), nous obtenons : θa ≈

e2 E 2 . me ν

(2.35)

Les relations (2.34) et (2.35) sont essentielles à la compréhension des plasmas HF (section 4.2).

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

88

Conductivité et permittivité électriques en présence de collisions Le mouvement des particules chargées dans le champ E crée un courant dit de conduction. La densité de ce courant dans le cas d’électrons de densité ne s’écrit : J = −ne ev

(2.36)

et en notation complexe d’après (2.29) : J=

ne e 2 E(t) . me (ν + iω)

(2.37)

Sachant, par ailleurs, de l’électromagnétisme que : J = σE ,

(2.1)

où σ est la conductivité (scalaire) électrique des électrons, de (2.37) et (2.1), nous obtenons par identification : σ=

ne e 2 . me (ν + iω)

(2.38)

Noter que dans le cas où il n’y a pas de collisions (ν = 0), σ est purement imaginaire et le plasma se comporte alors comme un diélectrique parfait (voir plus loin). Relation entre la permittivité p du plasma relativement à celle du vide et sa conductivité électrique dans un champ E0 eiωt De manière très générale, nous pouvons exprimer le terme de droite du ∇ ∧ B de l’équation de Maxwell de deux façons : i) description "milieu diélectrique" (D = E) ∇ ∧ B = μ0

∂D ∂E = μ0

= iωμ0 E ∂t ∂t

(2.39)

où est la permittivité complexe du milieu diélectrique et ∇ · D = 0 (pas de charges libres dans le diélectrique). ii) description "charges dans le vide" (charges libres dans milieu discontinu) ∇ ∧ B = 0 μ0

∂E + μ0 J = iω 0 μ0 E + σμ0 E ∂t

(2.40)

L’égalité de (2.39) et (2.40) conduit, après simplification de E et μ0 à : iω = iω 0 + σ , d’où :

=

  ω 0 − iσ σ = 0 1 + . ω i 0 ω

(2.41) (2.42)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

89

Dans le cas particulier d’un plasma où p est la permittivité complexe relativement au vide ( = 0 p ), on obtient de (2.42) : σ . iω 0

(2.43)

2 ωpe , ω(ω − iν)

(2.44)

p = 1 + En recourant à (2.38), nous arrivons à :

p = 1 −

relation qui, en l’absence de collisions, se réduit à :

p = 1 −

2 ωpe , ω2

(2.45)

expression qui montre que, dans ce cas précis, ω = ωpe représente une valeur singulière pour la propagation d’une onde puisqu’alors p = 0. Remarques : 1. Noter que θa (équation (2.33)) dépend de façon inversement proportionnelle de la masse des particules, d’où le fait habituel de négliger, dans le bilan de puissance champ HF-particule, la puissance transférée aux ions. On vérifiera également que pour ω constant, θa passe par un maximum pour ν = ω 55 : c’est dans ce cas que le transfert de puissance est le plus efficace. 2. En reprenant (2.42) et, de façon plus générale, en posant = 1 +i 2 et σ = σ1 +iσ2 , il vient :   σ2 σ1 +

1 + i 2 = 0 1 + . (2.46) iω 0

0 ω De la partie réelle de (2.46), on obtient :   σ2 σ2 ,

1 = 0 1 + = 0 +

0 ω ω soit :

σ2 = ( 0 − 1 )ω .

(2.47) (2.48)

Ainsi, la partie imaginaire de la conductivité électrique dépend de la partie réelle de la permittivité. De la partie imaginaire de (2.46), on obtient :

0 σ1 , ω 0

(2.49)

σ1 = 2 ω .

(2.50)

2 = soit :

55 Pour une pulsation ω donnée, ce maximum peut être obtenu en faisant varier la pression, puisque la fréquence ν lui est proportionnelle en première approximation.

90

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B La partie réelle de la conductivité électrique est proportionnelle à la partie imaginaire de la permittivité, qui est reponsable de l’absorption de l’onde par effet Joule. En résumé, un diélectrique parfait (σ1 = 0) correspond à 2 = 0 alors qu’un conducteur parfait (σ2 = 0) correspond à 1 = 0 . Cette correspondance établit le lien entre la description "charges dans le vide" et la description "diélectrique".

2.2.2. Champ magnétique constant et uniforme Champ magnétique seul (E = 0) L’étude de ce cas simple nous permettra d’introduire les notions de giration cyclotron et de mouvement hélicoïdal. Le mouvement cyclotronique des particules engendre un champ magnétique B  de sens opposé au champ B appliqué de l’extérieur, conférant au plasma un caractère diamagnétique. Orientons le système d’axes cartésiens de façon telle que Ox coïncide avec la direction de B. Des équations générales du mouvement ((2.6) à (2.8)) où l’on pose E = (0, 0, 0) et B = (B, 0, 0), il vient : d2 x =0 dt2 2 qα B dz d y = 2 dt mα dt d2 z qα B dy , =− 2 dt mα dt

(2.51) (2.52) (2.53)

équations que l’on récrit en introduisant la pulsation (fréquence angulaire) cyclotronique : qα B , (2.54) ωcα = − mα la convention de signe étant posée pour que dans le cas des électrons, ωce soit positif 56 . En laissant tomber l’indice α pour alléger et en notant u˙ et u ¨ les dérivées première et seconde dans le temps d’une variable u donnée, les équations (2.51) à (2.53) prennent la forme : x ¨ = 0,

(2.55)

y¨ = −ωc z˙ ,

(2.56)

z¨ = ωc y˙ ,

(2.57)

56 D’autres auteurs écriront plutôt ωcα = |qα |B/mα , mais il faut alors préciser dans quel sens les particules chargées positivement et négativement tournent respectivement autour d’une ligne de force du champ B.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

91

équations que nous allons résoudre avec les conditions initiales (t = 0) : x = y = z = 0 (particule à l’origine du système de coordonnées), x˙ = wx0 = w0 , y˙ = wy0 et z˙ = wz0 : en toute généralité, les composantes parallèle et perpendiculaires à B de la vitesse initiale sont non nulles. Par intégration de (2.57), nous tirons : z˙ = ωc y + C1 = ωc y + wz0

(2.58)

où la constante d’intégration C1 , compte tenu des conditions initiales, est égale à wz0 . Portons cette valeur de z˙ dans l’équation (2.56) exprimant y¨ : y¨ = −ωc2 y − ωc wz0 ,

(2.59)

ce qui, après réarrangement sous forme homogène en y dans le membre de gauche, conduit à : (2.60) y¨ + ωc2 y = −ωc wz0 , qui apparaît comme un oscillateur harmonique "forcé". La solution de cette équation est donnée par la somme de la solution générale sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre, soit : y = A1 cos ωc t + A2 sin ωc t −

wz0 . ωc

(2.61)

Déterminons les constantes A1 et A2 de (2.61) : y(t = 0) ≡ A1 −

wz0 wz0 = 0 d’où A1 = ωc ωc

y(t ˙ = 0) ≡ wy0 = A2 ωc d’où A2 =

wy0 . ωc

Il faut maintenant obtenir z(t) : de (2.58) avec (2.61) – (2.63),   wz0 wy0 wz0 z˙ = ωc cos ωc t + sin ωc t − + wz0 ωc ωc ωc et, en intégrant sur t,

z=

wz0 wy0 sin ωc t − cos ωc t + C2 ωc ωc

(2.62) (2.63)

(2.64) (2.65)

et, comme z(t = 0) = 0, nous avons C2 = wy0 /ωc . Les trois équations représentant l’orbite de la particule chargée s’écrivent finalement : x = wx0 t = w0 t wz0 wy0 cos ωc t + sin ωc t − ωc ωc wz0 wy0 z= sin ωc t − cos ωc t + ωc ωc

y=

(2.66) wz0 ωc wy0 . ωc

(2.67) (2.68)

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

92

Dans le plan yOz, le mouvement de la particule s’inscrit sur un cercle 57 dont le centre est fixé par les constantes d’intégration, en l’occurrence Y, Z = −wz0 /ωc , wy0 /ωc . Pour le montrer, écrivons l’équation de ce que serait la trajectoire circulaire correspondante :  2  2 wz0 wy0 (y − Y ) + (z − Z) ≡ y + + z− ωc ωc 2

2

(2.69)

=

2 2 wy0 wz0 2wz0 wy0 2 cos ω t + sin2 ωc t + cos ωc t sin ωc t (2.70) c ωc2 ωc2 ωc2

+

2 2 wy0 2wz0 wy0 wz0 2 sin ω t + cos2 ωc t − cos ωc t sin ωc t (2.71) c ωc2 ωc2 ωc2

=

2 2 2 + wy0 wz0 w⊥0 2 ≡ = rB , ωc2 ωc2

(2.72)

et nous constatons que nous définissons bien un rayon dont la valeur est : rB =

w⊥0 me w⊥0 . = ωc eB

(2.73)

En somme, dans le plan perpendiculaire à B, nous assistons à un mouvement circulaire périodique de pulsation ωc , la pulsation cyclotronique 58 , dont le rayon rB est appelé rayon de Larmor 59 , w⊥0 étant la vitesse initiale de la particule dans le plan yOz. Pour déterminer le sens de rotation des particules de masse mα et de charge qα , notons que la trajectoire circulaire est maintenant centrée en Y et Z, donc que les termes wz0 /ωc et wy0 /ωc n’apparaissent plus dans les expression (2.67) et (2.68), respectivement pour y et pour z. Pour l’électron, comme par convention ωce > 0, nous remarquons que pour ωc t = 0 , y = wz0 /ωc et z = −wy0 /ωc , alors que pour ωc t = π/2 (t = Tc /4 où Tc est la période cyclotronique), y = wy0 /ωc et z = wz0 /ωc . Il s’ensuit que, le champ B s’enfonçant dans la feuille, la giration de l’électron a lieu dans le sens horaire (vers la droite), comme le montre la figure 2.3a, alors que l’ion positif tourne, lui, dans le sens anti-horaire (vers la gauche). Dans la direction parallèle à B, la vitesse est constante, égale à w0 , et le mouvement est uniforme, la présence de B ne modifiant pas cette vitesse. La combinaison du mouvement cyclotronique et du mouvement uniforme dans la direction parallèle donne lieu à une trajectoire en forme d’hélice (figure 2.3b) qui s’enroule autour de la ligne de force du champ magnétique (appelée, en l’occurrence, axe ou centre de guidage).

57 Les relations (2.67) et (2.68) qui décrivent un mouvement périodique sont de même amplitude et de même fréquence, avec une différence de phase de π/2. Dans le cadre des courbes de Lissajous, ceci donne lieu à un cercle. 58 Encore, gyrofréquence des particules α (α = e, i). 59 Encore, rayon cyclotronique ou rayon de giration.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

93

Figure 2.3 – a) Mouvement cyclotronique d’un électron dans le plan perpendiculaire à B, champ dirigé suivant Ox et entrant dans la feuille. Sont repérées par des points, les positions de l’électron à l’instant t = 0 et à l’instant ultérieur t = Tc /4 ; b) mouvement hélicoïdal de l’électron suivant B.

Cas particuliers intéressants : pour w0 = 0, la trajectoire hélicoïdale dégénère en orbite circulaire. Le rayon de l’orbite fait alors intervenir la totalité de la vitesse w0 de la particule, et rB = w0 me /eB. pour w⊥0 = 0, la trajectoire est rectiligne et parallèle à B. Remarques : 1. La diminution du diamètre de l’hélice avec B croissant crée un effet de confinement des particules chargées dans la direction perpendiculaire à B. En effet, pour B tendant vers l’infini, rB → 0, ce qui indique bien qu’il n’y a plus de mouvement transversal possible : nous verrons en section 3.8 qu’ainsi on diminue la diffusion des particules, perpendiculairement à B, vers les parois. 2. Un champ B uniforme ne peut affecter w de sorte que w (t) = w0 où l’indice zéro correspond au temps t = 0 : propriété de la force de Lorentz dans le cas E = 0. 2 (t) + w2 (t) ≡ Lorsque E = 0, il y a aussi conservation de l’énergie cinétique : w⊥ 2 2 = w⊥0 et, w2 (t) = w02 . Comme nous venons de voir que w = w0 , alors w⊥ 2 2 2 2 donc, w⊥ (t) ≡ wy (t) + wz (t) = w⊥0 . Ainsi, dans un champ B, les composantes wy et wz peuvent néanmoins varier, comme nous l’avions affirmé en section 2.1 (remarque 1). 3. Le pas de l’hélice s’obtient en considérant la distance axiale parcourue pendant une révolution. Soit ph , ce pas, et Tc , la période cyclotronique, alors ph = w0 Tc = w0 /fc = 2πw0 /ωc et, comme rB = w⊥0 /ωc , il vient :   w0 ph = 2π (2.74) rB . w⊥0

94

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

4. Forme utile pour représenter le mouvement hélicoïdal : w = w 0 + ω c ∧ r B ,

(2.75)

où w0 décrit le mouvement du centre de guidage et le second terme, le mouvement circulaire cyclotronique de la particule, où le vecteur ωc est dirigé selon B et définit l’axe de rotation et son sens ; le vecteur rB , rayon de l’orbite, a pour origine le centre de guidage. 5. Le rayon de Larmor étant proportionnel à la masse des particules, voir (2.73), il s’ensuit que pour les ions de masse mi , rBi = rBe mi /me , autrement dit rBi > rBe . 6. La fréquence cyclotronique (2.54) ou fréquence de giration ne dépend pas de la vitesse des particules, mais de leur masse et de leur charge. Cette propriété permet de communiquer de l’énergie au moyen d’un champ électrique oscillant à ω = ωcα , uniquement à des particules de masse et de charge données, quelle que soit leur distribution en vitesse : nous réalisons ainsi un processus de chauffage sélectif. Ceci s’obtient grâce à la résonance cyclotronique sur laquelle nous reviendrons ultérieurement (2.152). 7. Relation numérique pratique pour calculer la fréquence cyclotronique des électrons : (2.76) fce (Hz) = 2,799 × 1010 B (tesla) . Ainsi pour B = 0,1 T (103 gauss), fce = 2,8 GHz. La fréquence correspondante pour les ions de masse mi est mi /me fois plus faible. 8. Le champ diamagnétique créé par la circulation du courant cyclotronique est donné par la loi de Biot-Savart (Lorrain et al.) : μ0 J ∧r B = dV . (2.77) 4π r3 V

Dans cette expression r pointe de la source (charge) vers l’axe de guidage (voir figure 2.4), là où B  est calculé (pour y être comparé à B). Le champ diamagnétique B  est de même sens pour les électrons et les ions : ces particules, de charges contraires, tournent en sens contraire dans B, de sorte que leur courant respectif J circule dans le même sens, comme le montre la figure 2.4. Le produit vectoriel J ∧r de (2.77) indique que B  est de sens opposé au champ B responsable du mouvement cyclotronique (il ne pourrait en être autrement !). Le champ magnétique dans le plasma est donné par la somme vectorielle de B et B  (voir exercice 2.2). Champ magnétique et champ électrique uniformes et constants Nous allons montrer que l’action conjointe de champs E et B uniformes et constants de différentes configurations peut aboutir à la superposition d’un mouvement

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

95

Figure 2.4 – Détermination de l’orientation du champ diamagnétique B  créé par le mouvement cyclotronique dans un champ B imposé entrant dans la feuille : B  sort de la feuille en direction du lecteur.

cyclotronique et d’une dérive dite électrique des ions et des électrons du plasma. Par la suite, nous établissons une équation du mouvement qui englobe tous les mouvements élémentaires étudiés jusqu’ici. Dans ces mêmes conditions de champs E et B, à titre d’application, nous calculons la conductivité électrique, qui se révèle être de nature tensorielle. Relativement au premier cas, la superposition d’un champ électrique au champ magnétique modifie la norme de la vitesse, de sorte que la partie de la force de Lorentz liée au champ magnétique, qα w ∧ B, ne cesse de varier. À noter que, les deux champs étant uniformes et constants, les orbites se calculent analytiquement et sont aisément représentables. Cas d’une orientation quelconque de E et B (avec w0 = 0) Le repère cartésien est construit de telle sorte que B soit encore dirigé suivant l’axe Ox. L’orientation de E dans ce repère étant quelconque, ce champ possède une composante suivant chacun des axes. Nous supposerons que la particule chargée est, en t = 0, située à l’origine du repère x = y = z = 0, et, contrairement au cas précédent (B seul), au repos, x˙ = y˙ = z˙ = 0. Cette dernière condition impliquant w⊥0 = 0 élimine toute contribution du mouvement cyclotronique à la trajectoire de la particule, nous permettant ainsi d’examiner pleinement l’effet de la dérive électrique (le cas w⊥0 = 0 est traité plus loin pour E perpendiculaire et parallèle à B).

96

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

1. Équations du mouvement. De (2.6)–(2.8), nous obtenons : qα Ex mα qα Ey − ωc z˙ y¨ = mα qα Ez + ωc y˙ . z¨ = mα

x¨ =

(2.78) (2.79) (2.80)

2. Détermination des trajectoires. On intègre les équations du mouvement d’une manière analogue au cas précédent. Calcul de y. L’intégration de (2.80) donne : z˙ =

qα Ez t + ωc y . mα

En portant z˙ dans l’équation (2.79), celle-ci devient :   qα qα Ey − ωc ωc y + Ez t , y¨ = mα mα

(2.81)

(2.82)

relation qui se met sous la forme d’une équation différentielle avec membre de gauche homogène : ωc qα qα y¨ + ωc2 y = − Ez t + Ey , (2.83) mα mα dont la solution est : y = A1 cos ωc t + A2 sin ωc t −

qα Ez t qα + Ey . mα ω c mα ωc2

(2.84)

Les constantes A1 et A2 sont fixées par les conditions initiales. Pour y(t = 0) = 0, la relation (2.84) nous donne A1 + (qα /mα ωc2 )Ey = 0, d’où : A1 = −

qα Ey mα ωc2

(2.85)

et pour y(t ˙ = 0) = 0, A2 ωc − (qα /mα ωc )Ez = 0 de sorte que : A2 =

qα Ez . mα ωc2

(2.86)

Calcul de z. On porte la valeur de y tirée de (2.84) et complétée par (2.85) et (2.86), dans (2.81) :   qα qα Ez qα Ez t qα Ey qα Ey z˙ = Ez t + ωc − cos ω t + sin ω t − + (2.87) c c mα mα ωc2 mα ωc2 mα ω c mα ωc2

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

97

et, en intégrant : z=−

qα Ez qα Ey t qα Ey sin ωc t − 2 cos ωc t + + C3 . ωc2 mα ω c mα ω c mα

(2.88)

Comme z(t = 0) = 0 = −(qα /ωc2 mα )Ez + C3 : C3 =

qα Ez . mα ωc2

(2.89)

Calcul de x. Deux intégrations successives de (2.78) conduisent à : x=

t2 qα Ex . mα 2

(2.90)

ˆx ) Finalement, les équations de la trajectoire en fonction du temps (pour B  e s’écrivent : qα t2 Ex , mα 2 qα qα qα qα Ey cos ωc t + 2 Ez sin ωc t − Ez t + 2 Ey , y=− 2 ω c mα ω c mα ω c mα ω c mα qα qα qα qα Ey sin ωc t − 2 Ez cos ωc t + Ey t + 2 Ez . z=− 2 ω c mα ω c mα ω c mα ω c mα

x=

(2.91) (2.92) (2.93)

3. Étude du mouvement décrit par les équations (2.91) à (2.93). La présence de champs E et B uniformes et constants engendre un mouvement de dérive (dite électrique) de la particule chargée dans la direction perpendiculaire à B et à E ⊥ , la composante de E perpendiculaire à B. En effet, lorsque w0 = 0, comme c’est le cas ici, la partie non périodique du mouvement dans le plan yOz se fait ainsi : la particule est initialement entraînée dans la direction de E ⊥ (pour un ion positif, figure 2.5) ou dans la direction opposée (électron). Du fait de la vitesse w⊥ ainsi acquise, la partie magnétique de la force de Lorentz F LB produit alors un mouvement perpendiculaire à E ⊥ et B, précisément dans la direction dite de dérive puisque F LB = qα w⊥ ∧ B. La projection du mouvement dans le plan yOz (plan perpendiculaire à B) est alors une trajectoire cycloïdale, comme le montre la figure 2.5 : les termes non périodiques (qα /mα ωc )Ei t [i = y, z] poussent la particule suivant une droite virtuelle perpendiculaire à E ⊥ et à B, laquelle a pour équation paramétrique : yDE = −

et

zDE =

qα Ez t , mα ω c

qα Ey t , mα ω c

(2.94)

(2.95)

98

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Figure 2.5 – Mouvement de dérive cycloïdal d’un ion positif (le champ B sort de la feuille). L’ion se trouve en t = 0 à l’origine du repère et immobile, puis se déplace, en moyenne, selon l’axe de dérive représenté en pointillé.

relations que l’on peut combiner pour obtenir : zDE = −

Ey yDE . Ez

(2.96)

La vitesse moyenne de ce glissement, dite vitesse de dérive électrique, tirée de (2.94) et (2.95) est :  2  2 qα Ez E⊥ qα Ey . (2.97) wDE = + = mα ω c mα ω c B Cette vitesse ne dépend ni de la masse de la particule ni de sa charge. De plus, parce que le mouvement est dirigé perpendiculairement 60 à E (à la fois aux composantes E ⊥ et E  , voir figure 2.5), la particule dans son mouvement de dérive n’effectue aucun travail dans le champ E : la vitesse de dérive demeure donc constante. À ce mouvement dans le plan yOz, s’ajoute un mouvement uniformément accéléré dans la direction qui lui est perpendiculaire, du fait de la composante Ex du champ électrique.

60 Pour voir que wDE est perpendiculaire à E, remarquer que la pente de la trajectoire d’appui du mouvement de la particule z = f (y) est donnée par Δz/Δy = −Ey /Ez (équation (2.96)) alors que l’orientation de E⊥ , dans le même repère (y, z), s’exprime par Ez /Ey : les 2 pentes sont donc orthogonales. Pour bien marquer la différence d’avec la présente vitesse de dérive, la vitesse de dérive dans un champ E du fait des collisions (section 3.8.2) sera appelée vitesse de dérive collisionnelle.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

99

4. Étude comparative du mouvement cycloïdal des ions et des électrons. Nous allons ignorer le mouvement dû à E  . Rappelons la convention : le mouvement des ions positifs se fait dans la direction du champ électrique. En t = 0, l’électron et l’ion se trouvent à l’origine du repère, avec une vitesse nulle. Immédiatement après, l’ion démarre dans la direction de E ⊥ , mais sa trajectoire est aussitôt courbée par la composante magnétique de la force de Lorentz, suivant wDE (figure 2.5). Quant à l’électron, il est initialement accéléré en sens inverse, mais la force de Lorentz le ramène suivant la même direction de glissement que pour l’ion à cause du signe opposé de sa charge (F LB = −ewe ∧ B) ; les deux trajectoires (si l’on néglige l’influence de E ) sont confinées dans le plan (wDE , E ⊥ ), comme le montre la figure 2.6. 2 mα ) cos ωcα t + · · · , l’amplitude du mouDans la relation (2.92) y = −(qα Ey /ωcα 2 vement périodique des particules est proportionnelle à mα (ωcα mα ∝ m−1 α ) : les électrons décrivent des arceaux d’amplitude beaucoup plus faible que celle des ions mais en plus grand nombre par seconde (figure 2.6) puisque le rapport des masses mi /me entraîne que ωce /ωci  1.

Figure 2.6 – Comparaison schématique du mouvement de dérive électrique des ions et des électrons montrant que les arceaux décrits par les électrons sont de plus faible amplitude que ceux des ions mais plus fréquents.

Remarques : 1. E⊥ /B a bien les unités d’une vitesse (vérification laissée au lecteur). 2. L’amplitude maximum ρα de la cycloïde d’une particule de type α par rapport à l’axe de glissement est proportionnelle à E⊥ /B 2 (figure 2.5). Le calcul de cette expression est également laissé au lecteur. Reprenons les considérations qui précèdent de façon plus complète en posant plus généralement w0 = 0 : à la présence de la vitesse de dérive s’ajoute ainsi l’influence de la giration cyclotronique sur le mouvement d’ensemble de la particule, comme nous allons le voir. Pour simplifier ces calculs, nous posons néanmoins E ⊥ B.

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

100

Champs E et B perpendiculaires avec w0 = 0 : mouvements de dérive et cyclotronique combinés Le champ B demeure suivant Ox et cette fois E est totalement selon Oz. On obtient alors les relations suivantes pour la trajectoire de la particule chargée : x = w0 t , y=

wz0 cos ωc t + ωc

z=

wz0 sin ωc t − ωc

 

wy0 qα E + ωc mα ωc2

wy0 ωc

(2.98)



qα E wz0 t− , mα ω c ωc    wy0 qα E qα E + t + + cos ω . c mα ωc2 ωc mα ωc2 sin ωc t −

(2.99) (2.100)

Pour illustrer les diverses formes de trajectoires, il y a lieu de considérer le rapport wy0 /wDE où wDE = E⊥ /B (nous prendrons wy0 = wz0 ) et d’en distinguer trois cas. À cet effet, examinons le terme wy0 qα E + ωc mα ωc2 apparaissant dans les expressions (2.99) et (2.100) pour y et z. En tenant compte de la convention sur le signe de ωcα (2.54), il peut être transformé pour faire ressortir le rapport wy0 /wDE , soit :     qα E mα E 1 1 1 [wy0 − wDE ] . (2.101) wy0 − wy0 − = = ωc mα qα B ωc B ωc Si wDE  wy0 , cela revient à poser wy0 0 et wz0 0 (pas de mouvement cyclotronique car w⊥0 ≈ 0) et l’expression (2.99) pour y se réduit à : y=−

qα E (ωc t − sin ωc t) , mα ωc2

(2.102)

ce qui se ramène évidemment à (2.92) dans laquelle on aurait fait Ey = 0. Dans la même approximation (wy0 0 et wz0 0), la relation (2.100) pour z devient : z=

qα E (1 − cos ωc t) , mα ωc2

(2.103)

expression obtenue en faisant Ey = 0 dans (2.93). Nous allons maintenant considérer successivement les trois cas typiques suivants : wy0 /wDE = 100 (figure 2.7a) wy0 /wDE = 2 (figure 2.7b) wy0 /wDE ≤ 1 (figure 2.7c)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

101

La figure 2.7a montre que le mouvement cyclotronique est alors peu affecté par un champ E faible, le centre de guidage se déplaçant lentement dans la direction de la dérive électrique. La figure 2.7b décrit ce qui arrive au mouvement cyclotronique lorsqu’il est fortement modifié par l’entraînement selon y dû à la dérive électrique. Finalement, la figure 2.7c indique que toute trace de mouvement cyclotronique disparaît lorsque wDE ≥ wy0 .

Figure 2.7 – Trajectoires d’un ion positif dans des champs E et B constants et uniformes, respectivement de composantes Ez et Bx , suivant la valeur du rapport wy0 /wDE avec wz0 = wy0 (le champ B est dirigé vers le lecteur).

Pour représenter analytiquement de façon simple les trajectoires obtenues, posons wz0 = 0 (dans la figure 2.7, toutefois, wz0 = wy0 = 0). La trajectoire résultante pour wy0 /wDE = 2 est celle d’une quasi trochoïde 61 dont l’expression mathématique est : y = aτ − b sin τ ,

z = b(cos τ − 1)

(2.104)

avec, d’après (2.99) et (2.100) en ayant posé wz0 = 0 :   E 1 E a= , b=− wy0 − et τ = ωc t . Bωc ωc B Quant au cas wy0 /wDE < 1 (a b), la trajectoire est celle d’une cycloïde (à une inversion de signe près) : y = a(τ − sin τ ) ,

z = a(cos τ − 1) avec a =

E . Bωc

(2.105)

Noter que poser wz0 = 0 lorsque wy0 /wDE = 1 (équations (2.99) et (2.100)) supprime tout mouvement périodique suivant y et z (b = 0) : ne demeure qu’une trajectoire rectiligne uniforme suivant y due à la dérive électrique. Remarque : Dans le cas wDE w⊥0 = ωc rB (champ E ⊥ faible), comme le montre la figure 2.7a, les trajectoires sont quasi cyclotroniques, avec une faible vitesse de glissement de leur centre de guidage dans la direction perpendiculaire à B et à E ⊥ . 61 Une vraie trochoïde imposerait que y = aτ − b sin τ et z = a − b cos τ .

102

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Le centre de guidage de la trajectoire cyclotronique d’un ion positif se meut tout doucement dans la direction de dérive parce que la courbure cyclotronique est plus faible quand l’ion se déplace dans la direction de E ⊥ (w⊥ augmente, donc rB aussi) que lorsqu’il se déplace dans la direction opposée à E. Cette déformation du mouvement cyclotronique entraîne le déplacement du centre de guidage et, de façon concomitante, la dérive de la particule. Champs E et B parallèles : absence de mouvement de dérive Prenons l’axe Ox comme direction de ces champs. Il est alors intéressant de distinguer deux cas : La vitesse initiale est nulle. De (2.91) à (2.93), il vient : qα Ex t2 , mα 2 y(t) = 0 ,

x(t) =

z(t) = 0 .

(2.106) (2.107) (2.108)

Le mouvement est selon Ox uniquement et uniformément accéléré : comme le champ B est dans la direction du mouvement, il ne joue aucun rôle sur la trajectoire de la particule (F LB ≡ qα w ∧ B = 0 puisque w  B). La vitesse initiale normale à B est non nulle (wy0 = 0, wz0 = 0) Dans ces conditions, on peut reprendre le développement à partir des équations (2.78)–(2.80). On obtient alors une trajectoire hélicoïdale comme dans le cas du champ magnétique seul traité précédemment, mais avec une hélice dont le pas va croissant (ou décroissant) car le champ Ex donne naissance à une composante wx de la vitesse :   2π 2π 2πmα qα 2π w = mα w = Ex t . Ex t = (2.109) ph = w Tc = |ωc | qα B qα B mα B Recherche d’une solution générale Résumons les résultats des cas précédents pour tenter de dégager les caractéristiques générales du mouvement des particules chargées dans des champs E et B constants et uniformes. La particule chargée décrit une trajectoire qui se compose le plus généralement : 1. D’un mouvement de giration cyclotronique dans le plan perpendiculaire à B pourvu que w⊥0 = 0. Si de plus w0 = 0, le mouvement se développe en trois dimensions engendrant une trajectoire hélicoïdale, à pas constant si E = 0 ou à pas croissant (décroissant) si le champ E possède une composante parallèle au champ B.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

103

2. D’un mouvement net dans la direction perpendiculaire à la fois à E et à B, trajectoire dite de dérive électrique, qui a la caractéristique d’être indépendante à la fois de mα et de qα , de vitesse constante wDE = E⊥ /B. L’examen de l’équation générale du mouvement (2.5) permet de retrouver ces résultats. En regroupant dans le membre de gauche les termes homogènes en w : ˙ − w

qα qα w∧B = E, mα mα

(2.110)

nous constatons qu’il s’agit d’une équation différentielle dont la solution se compose de la solution générale w 1 de l’équation homogène sans second membre (mouvement hélicoïdal à pas constant) et d’une solution particulière w2 avec second membre. Nous cherchons donc à déterminer w tel que : w = w1 + w 2 .

(2.111)

Solution générale sans second membre (E = 0). La valeur de w 1 a déjà été obtenue (équation (2.75)) sous la forme : w 1 = w 0 + ωc ∧ r B ,

(2.112)

décrivant un mouvement hélicoïdal, où w0 est la vitesse initiale parallèle à B. Il reste donc à déterminer l’expression de w2 . Solution particulière avec second membre : expression de w 2 . Nous pouvons construire celle-ci de façon totalement arbitraire pourvu que le résultat obtenu soit effectivement une solution. Pour nous guider dans notre démarche, nous savons que cette solution particulière doit représenter le mouvement de dérive. Aussi, nous allons exprimer w2 dans un trièdre dont les axes cartésiens sont définis (figure 2.8) par : ˆz  B , e

ˆy  E ⊥ , e

ˆx  (E ⊥ ∧ B) . e

C’est la méthode proposée par J.L. Delcroix.

Figure 2.8 – Trièdre utilisé pour le calcul de la solution particulière (d’après Delcroix).

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

104

Nous recherchons donc une solution sous la forme : w2 = aE  + bE ⊥ + c(E ⊥ ∧ B) , ˙ ⊥ + c(E w˙ 2 = aE ˙  + bE ˙ ⊥ ∧ B) ,

(2.113) (2.114)

que nous portons dans l’équation du mouvement (2.110) avec second membre :  qα ˙ ⊥ + c(E aE  + bE ⊥ + c(E ⊥ ∧ B) ∧ B ˙ ⊥ ∧ B) = aE ˙  + bE mα qα = (E  + E ⊥ ) . (2.115) mα En notant que 62 (E ⊥ ∧ B) ∧ B = −E ⊥ B 2 , et en regroupant les termes suivant les différents axes :       qα bqα qα cB 2 qα ˙ − a˙ − E + b + E ⊥ + c˙ − E ⊥ ∧ B = 0 , (2.116) mα mα mα mα nous obtenons :

a˙ =

qα qα qα cB 2 qα , b˙ = − , c˙ = b, mα mα mα mα

(2.117)

dont une solution particulière évidente est a˙ = qα /mα et b˙ = c˙ = 0, de sorte que : a=

qα t 1 , b = 0, c = 2 . mα B

(2.118)

Ceci montre que nous avons choisi comme solution particulière celle pour laquelle la vitesse initiale de la particule dans le plan (B, E ⊥ ) est nulle. Nous avons alors : w2 =

qα t E⊥ ∧ B E + mα B2

(2.119)

où le premier membre de droite est un mouvement uniformément accéléré suivant B, et le second membre représente la dérive électrique suivant la direction perpendiculaire à E ⊥ et à B, dont la vitesse est de module E⊥ /B. Solution de l’équation générale du mouvement. En additionnant w 1 (2.112) (en notant que ω c ∧ rB = −(qα /mα )B ∧ rB ) et w2 (2.119), nous obtenons la solution générale complète : qα w = w0 + rB ∧ B mα ! "  Mouvement hélicoïdal

+

qα t E m  α! "

+

E⊥ ∧ B 2  B! "

Dérive électrique ↑ Mouvement uniformément accéléré suivant E 

62 Règle du double produit vectoriel : A ∧ (B ∧ C) = B(C · A) − C(A · B).

.

(2.120)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

105

Conductivité électrique en présence d’un champ magnétique : nécessité d’une description tensorielle (digression aux trajectoires individuelles) Dans la section 2.2.1, nous avions calculé la conductivité électrique de particules chargées dans un champ électrique périodique (B = 0). Nous voulons maintenant obtenir l’expression de la conductivité quand les particules sont soumises à un champ magnétique et à un champ électrique constants et uniformes. En recherchant le courant créé par les particules chargées dans des champs E et B, nous passons implicitement de la trajectoire d’une particule à un ensemble de trajectoires individuelles de particules dans un volume unitaire. Pour cet ensemble de particules, nous ferons une fois de plus l’hypothèse d’isotropie de leurs vitesses initiales de sorte qu’en moyenne, en t = 0, il n’y a pas de mouvement dirigé : w ⊥0  = 0, w 0  = 0. Dans (2.120), il s’ensuit que w 0 = 0 et rB ∧ B = 0 (r B ∝ w⊥0 ) 63 . La densité de courant J α des particules chargées de type α se réduit alors à : J α ≡ nα qα w α =

nα qα2 t nα qα E + (E ⊥ ∧ B) . mα B2

(2.121)

Dans ce qui suit jusqu’à l’équation (2.127), nous omettrons l’indice α sur J et σ. La conductivité est maintenant une quantité tensorielle : montrons-le en la considérant a priori comme un scalaire, ce qui ne permettra pas de satisfaire (2.121). En effet, dans le cas où J = σE, nous devrions avoir les composantes suivantes : ˆx + σEy e ˆy + σEz e ˆz J = σEx e

(2.122)

ˆx + Ey e ˆy (B est pris suivant z) 64 , mais en développant (2.121) et puisque E ⊥ = Ex e nous arrivons à : J=

car :

nα qα nα qα2 nα qα ˆ ˆ ˆz e e (B) E − (B) E + t Ez e y x x y B2 B2 mα    e ˆy e ˆz   ˆx e E ⊥ ∧ B =  Ex Ey 0  .  0 0 B 

(2.123)

(2.124)

ˆx et pas Nous notons que dans (2.123) il n’y a pas de composante Ex suivant e ˆy , comme l’exigerait (2.122). En effet, Jx de (2.123), par de composante Ey selon e exemple, est de la forme : n q  α α Ey , (2.125) Jx = B ce qui nous fait conclure que σ ne peut être un scalaire en présence de B. 63 La valeur de rB , fixée initialement par w⊥0 dans le cadre de la solution de l’équation (2.110) sans second membre (E = 0), n’est pas affectée par la prise en compte de la solution particulière (E = 0) car w2⊥ = 0 (b = 0 dans (2.118)). 64 On n’a pas décomposé l’expression (2.121) suivant le trièdre de la figure 2.8 car cette expression, étant vectorielle, peut être développée dans n’importe quel système de coordonnées.

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

106

Cherchons maintenant plutôt à expliciter les termes d’un tenseur σ que nous supposerons d’ordre 2 (voir annexe A7 pour une brève introduction aux tenseurs et annexe A8 pour les opérations tensorielles), défini par la relation :

ce qui, de façon explicite, s’écrit :

J =σ·E

(2.126)

J = σ Ej ,

(2.127)

i

ij

ij

où σ est un élément tensoriel à deux indices (ordre 2) supérieurs (contravariants). Nous notons que le vecteur J est également contravariant mais que E est (par nature) covariant : par convention, il y a sommation sur un même indice apparaissant en position covariante et contravariante, et cet indice est dit muet. Dans ce qui suit, cependant, nous ne distinguerons pas la variance des quantités. En développant (2.127), nous trouvons : ex + (σyx Ex + σyy Ey + σyz Ez )ˆ ey J =(σxx Ex + σxy Ey + σxz Ez )ˆ + (σzx Ex + σzy Ey + σzz Ez )ˆ ez .

(2.128)

Par identification de (2.128) avec (2.123), nα qα nα qα , σyx = − , σzz = B B de sorte que ce tenseur se représente par la matrice : ⎛ 0 1/B 0 0 0 σ = nα qα ⎝ −1/B 0 0 qα t/mα σxy =

nα qα2 t , mα

(2.129)

⎞ ⎠.

(2.130)

Dans le cas présent, et en supposant un plasma macroscopiquement neutre (ne = ni ), le courant électrique total dû aux ions positifs et aux électrons (respectivement indices i et e) est tel que seule sa composante suivant la direction du champ B est non nulle, i e +σxy = (eni /B)−(ene /B) = 0, etc. En effet, le mouvement puisque suivant x et y, σxy de dérive électrique ne peut donner de courant net car le glissement des ions et des électrons a lieu dans la même direction, à la même vitesse, d’où un transport de charges net qui est nul 65 . Remarque : 1. Dans (2.127), l’élément σij du tenseur σ exprime le fait que la composante Ej du champ électrique (la force) dans une direction donnée induit un courant J i (une action) dans une autre direction. 2. Le lecteur pourra déterminer le tenseur p de permittivité relative correspondant à σ et y faire apparaître la fréquence des électrons du plasma, en généralisant (2.43) : σ p = I + , (2.131) iω 0 où I est le tenseur unité (représenté par la matrice unité). 65 C’est un faisceau de particules chargées neutralisé !

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

107

Champ magnétique constant et uniforme avec champ électrique périodique et uniforme Le problème à résoudre n’est pas très différent de celui de l’équation (2.110) qui a conduit à la solution générale du cas précédent (E constant) puisque maintenant : ˙ − w

qα qα (w ∧ B) = E 0 eiωt . mα mα

(2.132)

Il nous faut chercher une solution particulière avec second membre 66 , toujours avec le trièdre de la figure 2.8, mais en posant cette fois : w2 = aE 0 eiωt + bE 0⊥ eiωt + c(E 0⊥ ∧ B)eiωt ,

(2.133)

expression que nous reportons dans (2.132), d’où :  

 ˙ 0⊥ + c(E aE ˙ 0 + bE ˙ 0⊥ ∧ B) eiωt + iω aE 0 + bE 0⊥ + c(E 0⊥ ∧ B) eiωt −

  qα  qα aE 0 + bE 0⊥ + c(E 0⊥ ∧ B) ∧ B eiωt = E 0 + E 0⊥ eiωt . (2.134) mα mα

Notant que E 0 ∧ B = 0, et par identification du trièdre, il vient :   qα E 0 a˙ + iωa − = 0 d’où mα   qα cB 2 qα E 0⊥ b˙ + iωb + = 0 d’où − mα mα   qα b E 0⊥ ∧ B c˙ + iωc − = 0 d’où mα

suivant les différents vecteurs de base qα , mα

(2.135)

qα B 2 qα b˙ + iωb = − c+ , mα mα

(2.136)

qα b . mα

(2.137)

a˙ + iωa =

c˙ + iωc =

Pour déterminer la solution, il nous faut distinguer deux cas : Hors résonance (ω = ωc ) Solution de (2.135)–(2.137). Une solution particulière simple est alors a˙ = b˙ = c˙ = 0 ; la valeur des coefficients est dans ce cas : a=

qα , iωmα

b=

qα qα b (1 − B 2 c) et c = , iωmα iωmα

(2.138)

de sorte que : b=

qα iωmα

    B 2 qα b q2 B 2 qα 1− , c’est-à-dire b 1 − α2 2 = iωmα mα ω iωmα

(2.139)

66 Rappelons que cette solution w2 est liée au mouvement de dérive dans E⊥ et B (2.119).

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

108

b=−

ou, encore :

iqα  ωmα

1

ω2 1 − c2 ω

.

(2.140)

Noter que les coefficients b et c sont finis à condition d’exclure la valeur ω = ωc . Finalement : a=−

iqα , ωmα

b=

ω iqα 2 mα (ωc − ω 2 )

et

c=

qα2 1 , 2 2 mα (ωc − ω 2 )

(2.141)

de sorte que le mouvement général, hors résonance cyclotron, s’écrit :  iqα iωqα E 0⊥ E 0 + w = w1 + − ωmα mα (ωc2 − ω 2 ) ↑ ↑ ↑ Mouvement hélicoïdal + toutes conditions initiales

(−i)

(+i)

 q2 (E ∧ B + 2 2α ) eiωt . 0⊥ ! " mα (ωc − ω 2 )  ↑ (+1)

(2.142)

Parce que la vitesse w2 résulte d’un mouvement périodique à la même fréquence suivant les 3 axes et en raison des relations de phase particulières entre les 3 composantes de w 2 , à savoir (pour un ion positif) −π/2 pour E 0 et π/2 pour E 0⊥ par rapport à l’axe (E 0⊥ ∧ B) dans le cas où ωc > ω, nous obtenons de (2.142) une trajectoire, fermée sur elle-même, correspondant à un mouvement elliptique à trois dimensions qui se superpose au mouvement hélicoïdal dépendant des conditions initiales (difficile à se représenter !). Dans le cas particulier où ω = 0 (champ E constant), nous avons vu que la vitesse w2 décrivait le mouvement (axial et latéral) du centre de guidage 67 . En présence d’un champ E périodique, le mouvement de dérive n’a pas lieu : le terme selon E 0⊥ ∧ B dans (2.142) n’étant pas constant, il ne peut donner lieu une fois intégré sur le temps à une dépendance linéaire en t comme dans (2.92) et (2.93) où E est constant. Cette dérive se trouve en fait "annihilée" parce que la composante E 0⊥ et, par conséquent, la vitesse de dérive oscillent périodiquement. Par ailleurs, pour ω tendant vers zéro, le terme en E 0⊥ dans (2.142) disparaît et le terme en E 0 , parce que sin ωt → ωt, se ramène à (qα /mα )E0 t, tout ceci en conformité avec l’expression (2.119) de w2 obtenue pour E constant.

67 En effet, pour E constant, w2 (2.120) prend en compte le mouvement de dérive (perpendiculaire à E⊥ et à B) et le mouvement uniformément accéléré suivant B, en somme le mouvement du centre autour duquel s’effectue la giration cyclotronique.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

109

Représentation de la composante w 2⊥ de la solution particulière de (2.142). En recourant au repère de la figure 2.8, nous trouvons, dans le plan perpendiculaire à B, une ellipse dont le grand axe est selon E 0⊥ ou selon E 0⊥ ∧ B, suivant que ω > ωc ou ω < ωc (figure 2.9). Pour le montrer, nous récrivons les deux composantes correspondantes de w 2 dans (2.142) sous la forme :  ' qα (E 0⊥ ∧ B) iωt − ω (2.143) iωE e , 0⊥ c mα (ωc2 − ω 2 ) B remarquant que le terme E 0⊥ ∧ B/B est de même module que E 0⊥ . On peut alors constater que pour ω > ωc , la vitesse w 2⊥ est principalement 68 en quadrature de phase (en avance pour l’électron puisque qα = −e) avec le champ E ⊥ alors que pour ω < ωc , elle est principalement en phase ; ceci conduit à la représentation de la figure 2.9.

Figure 2.9 – Orientation de w 2⊥ par rapport au repère de référence (E 0⊥ ∧B, E 0⊥ , B) (cas d’un électron hors résonance). Voir annexe A9 pour les détails.

À la résonance (ω = ωc ) Solution de (2.135)–(2.137) La solution particulière ne peut plus admettre b˙ = c˙ = 0 car, d’après (2.141), les coefficients b et c tendraient alors vers l’infini. On peut cependant conserver la solution qui correspond à a˙ = 0, soit (2.138) : a=

qα . iωmα

(2.144)

Pour connaître le coefficient c, portons la valeur de b donnée par (2.136) dans (2.137) et nous obtenons :   1 qα qα qα B 2 c (2.145) + − b˙ c˙ + iωc = − mα mα mα iω 68 L’adverbe principalement est utilisé pour souligner que le terme de plus faible amplitude dans (2.143) n’est pas forcément négligeable selon la valeur du rapport ω/ωce considéré.

110

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

˙ dérivons par ailleurs (2.137), en mettant b˙ en évidence : et, pour y éliminer b, mα b˙ = (¨ c + iω c) ˙ , qα qui, reporté dans (2.145), donne :   qα mα qα qα B 2 c + − (¨ c + iω c) ˙ iω(c˙ + iωc) = − . mα mα mα qα

(2.146)

(2.147)

En regroupant les termes de (2.147), il vient : c¨ + 2iω c˙ =

qα2 − ωc2 c + ω 2 c , m2α

(2.148)

qα2 . m2α

(2.149)

de sorte qu’à la résonance (ω = ωc ) : c¨ + 2iω c˙ =

Une solution particulière valable de (2.149) est c¨ = 0, ce qui entraîne c˙ = qα2 /2iωm2α, d’où : qα2 t c= . (2.150) 2iωm2α L’expression de c de (2.150) reportée dans (2.137) donne pour b :   qα2 qα2 t mα qα [ωt − i] . + b= = 2 2 qα 2iωmα 2mα 2mα ω Finalement, la solution particulière s’écrit :   iqα qα iqα2 t w2 = − E 0 + (ωt − i)E 0⊥ − (E 0⊥ ∧ B) eiωt . mα ω 2mα ω 2ωm2α

(2.151)

(2.152)

Discussion de la solution - Le mouvement parallèlement à B est le même que celui hors résonance (et il est, évidemment, indépendant de B) ; - le mouvement dans le plan perpendiculaire à B est tout à fait différent à la résonance. Ce mouvement dans le plan perpendiculaire à B peut, en fait, se décomposer en 2 parties : · un mouvement suivant E 0⊥ purement oscillant, d’amplitude limitée ; · un mouvement suivant E 0⊥ et un mouvement suivant E 0⊥ ∧ B, déphasés de π/2 l’un par rapport à l’autre et d’amplitude croissante indéfiniment avec le temps : leur résultante décrit une spirale de rayon rB croissant, ce que l’on pourra aisément vérifier, mais de fréquence de rotation constante (puisque ωc = −qα B/mα est indépendant de la vitesse des particules). C’est le phénomène de résonance gyromagnétique ou résonance cyclotron.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

111

Remarques : 1. Si la composante E ⊥ du champ électrique tourne en sens inverse du mouvement cyclotronique des particules et à la même fréquence, c’est-à-dire ω = −ωc , il ne peut y avoir de résonance (voir l’exercice 2.7). 2. Il est clair que l’amplitude de ce mouvement cyclotronique ne peut augmenter indéfiniment car : des collisions peuvent interrompre le mouvement de l’électron (ion) et, de ce fait, limiter son gain d’énergie, de toute manière, la croissance du rayon de giration de l’électron (ion) sera limitée par les dimensions de l’enceinte du plasma.

2.2.3. Champ magnétique (légèrement) non uniforme ou (lentement) variable dans le temps Le traitement des équations du mouvement effectué jusqu’ici a été purement analytique, sans approximation aucune. Pour continuer à traiter analytiquement les cas où les particules chargées sont soumises à des champs magnétiques qui ne sont plus uniformes ou constants, il faudra nous limiter à des champs B qui ne sont que légèrement non uniformes spatialement ou lentement variables dans le temps. Cette restriction nous permet de considérer que la trajectoire hélicoïdale autour d’une ligne de force initiale se modifie de façon à peine perceptible pendant une rotation cyclotronique : autrement dit, il faut un certain nombre de ces girations complètes pour que la vitesse axiale du centre de guidage ou sa position initiale dans la direction perpendiculaire à B soit significativement modifiée 69 . Cette lente variation du mouvement du centre de guidage nous permet d’introduire l’approximation du centre de guidage, encore appelée approximation adiabatique (au sens où l’énergie de la particule varie très lentement), dont le concept est mis en oeuvre par une méthode de perturbation. Caractéristiques de l’approximation du centre de guidage À l’ordre zéro de cette approximation, la trajectoire dans le plan perpendiculaire à B est circulaire : en un point donné de la ligne de champ B définissant l’axe de guidage, le champ B est supposé uniforme aussi bien dans le plan contenant la trajectoire cyclotronique qu’axialement (c’est l’approximation d’uniformité locale). En un autre point de cette ligne de champ, le champ B peut être différent, mais est, à nouveau, supposé uniforme transversalement et axialement. En l’absence de champ électrique appliqué, le mouvement dans la direction de B est uniforme. Au total, la trajectoire est hélicoïdale. 69 Rappelons que l’axe de guidage est défini instantanément par la ligne de force du champ B autour de laquelle s’effectue le mouvement cyclotronique.

112

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

À l’ordre un, les "inhomogénéités" (spatiales ou temporelles) introduisent des variations dans le mouvement du centre de guidage aussi bien dans la direction de B (on cherchera plutôt à en déterminer la vitesse axiale) que perpendiculairement à celuici (on cherchera plutôt à en déterminer la position latérale). Ces inhomogénéités interviennent localement, aussi bien transversalement qu’axialement, comme des perturbations au champ supposé uniforme à l’ordre zéro. Le moment magnétique orbital associé au mouvement cyclotronique comme constante du mouvement concrétisant l’approximation du centre de guidage La méthode d’approximation que nous venons d’introduire s’explique bien physiquement et se développe de façon simple mathématiquement en ayant recours au moment magnétique orbital, un invariant associé à la composante cyclotronique du mouvement hélicoïdal de la particule chargée. Définition : Le moment magnétique μ d’une boucle de courant d’intensité I délimitant une surface S est égal à SI. Dans le cadre de notre approximation, à l’ordre 2 et I = qα NTc où NTc est le nombre de tours par seconde zéro, nous avons S = πrB qu’effectue la particule chargée sur l’orbite circulaire cyclotronique. Comme NTc ≡ fc = ωc /2π, la valeur de μ est donnée (en module) par : 2 |μ| = πrB

 et

|μ| = π

2 w⊥ ωc2



qα |ωc | 2π

2 qα |ωc | w2 qα 1 mα w⊥ Ecin⊥ = ⊥ = = , 2π 2|ωc | 2 B B

(2.153)

(2.154)

où Ecin⊥ est l’énergie cinétique de la particule dans le plan perpendiculaire à B. Le champ magnétique créé par le mouvement cyclotronique de la particule tendant à s’opposer au champ B appliqué (voir page 94, la remarque 8 sur le diamagnétisme), μ est un vecteur antiparallèle à B. Le moment magnétique orbital est une constante du mouvement (à l’ordre zéro) Considérons le cas où la variation de B a lieu en fonction du temps 70 : selon Maxwell, ceci entraîne l’apparition d’un champ E : ∇∧E =−

∂B , ∂t

(2.155)

70 On pourrait, de manière équivalente, définir l’adiabaticité de μ sur une inhomogénéité spatiale : c’est une question de repère. Si B est inhomogène dans le repère du laboratoire, dans le repère de la particule, B varie avec le temps.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

113

champ qui peut accélérer (décélérer) les particules (sans modifier l’énergie cinétique totale sur une période). Ainsi, dans la direction perpendiculaire à B, nous pouvons écrire (2.10) que :   d 1 2 mα w⊥ ≡ qα E · w ⊥ (2.156) dt 2 où E est le champ induit par la variation temporelle de B (∂B/∂t). Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique sur une période 2π/ωc est donnée par :  δ

1 2 mα w⊥ 2



2π/ω c

qα E ·

= 0

d dt dt

(2.157)

où d/dt est le vecteur vitesse curviligne instantané, tangent à la trajectoire en chaque point. Si l’on suppose maintenant que la vitesse parallèle à B n’est pas très grande et que le centre de guidage se déplace peu perpendiculairement à B, notamment parce que le champ B ne varie pas trop (hypothèse de la méthode de calcul), on peut remplacer cette intégrale sur la trajectoire hélicoïdale par une intégrale de circulation sur l’orbite circulaire (non perturbée par l’inhomogénéité). Par la suite, en faisant appel au théorème de Stokes qui énonce que "la circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers une surface quelconque s’appuyant sur le contour", nous obtenons :  (  1 2 mα w⊥ (∇ ∧ E) · dS (2.158) = qα E · d = qα δ 2 S   1 ∂B ∂B 2 2 et δ mα w⊥ · dS = ±qα πr , (2.159) = −qα 2 ∂t ∂t B S

puisque ∂B/∂t est un flux perpendiculaire au plan du mouvement cyclotronique (approximation adiabatique) et donc à la surface élémentaire dS. Le signe du cosinus de l’angle entre la direction de la normale à la surface élémentaire et le vecteur ∂B/∂t fixe le signe de l’intégration. La variation d’énergie cinétique par unité de temps prend alors la forme (Tc étant la période de giration) :   2 2 d 1 ∂B πrB qα |ωc | ∂B πrB 2 mα w⊥ = ±qα (2.160) ≡ dt 2 ∂t Tc ∂t 2π et de (2.153), par définition, nous arrivons tout simplement à :   d 1 ∂B 2 mα w⊥ . =μ dt 2 ∂t Par ailleurs, d’après (2.154), il est également possible d’écrire :   d 1 ∂μ ∂B d 2 mα w⊥ B+μ , = (μB) ≡ dt 2 dt ∂t ∂t

(2.161)

(2.162)

114

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

de sorte qu’en comparant (2.161) et (2.162), il est clair que ∂μ/∂t = 0, ce qui montre que le moment μ est une constante dans le temps. Cette constante du mouvement constitue le premier invariant adiabatique. Se rappeler que le moment magnétique n’est strictement constant que si B est parfaitement uniforme : il est constant, en première approximation, pourvu que le changement de B soit lent, c’est-à-dire adiabatique. Remarque : Dans la mesure où l’on peut considérer que le moment μ est constant, le rapport Ecin⊥ /B qui lui correspond demeure constant de sorte que si B varie, Ecin⊥ devra aussi varier dans le même sens et proportionnellement. Comme l’énergie cinétique totale est conservée (absence de champ E appliqué), les valeurs w et w⊥ vont se modifier de façon à ce que w⊥ diminue si w augmente et inversement. Champ magnétique constant mais non uniforme dans la direction parallèle à B (E = 0) Nous continuerons à supposer qu’il n’y a pas de champ E appliqué 71 . A priori, nous sommes portés à représenter le champ magnétique comme étant purement axial : B = B(z)ˆ ez ,

(2.163)

ce qui va se révéler incorrect : le gradient de B suivant z entraîne nécessairement l’existence d’une composante Br . Pour le voir, adoptons un champ B de symétrie axiale, comme le montre, en guise d’exemple, la figure 2.10.

Figure 2.10 – Représentation approximative des lignes de force d’un champ B de symétrie axiale et axialement non uniforme. Le resserrement des lignes de forces indique un accroissement de l’intensité de B.

Il suffit de considérer l’équation de Maxwell : ∇·B =0

(2.164)

(qui signifie que les lignes de champ magnétique doivent se refermer) et de l’exprimer, compte tenu de la symétrie du problème, en coordonnées cylindriques (où les unités 71 Comme B est constant dans le repère du laboratoire, il n’y a pas non plus de champ E associé à B par la relation de Maxwell ∇ ∧ E = −∂B/∂t, ce qui n’est pas le cas dans le repère de la particule !

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

115

locales de longueur sont respectivement e1 = 1, e2 = 1 et e3 = r pour les coordonnées z, r, ϕ) 72 ; nous obtenons : ∇·B =

1 ∂ 1 ∂ ∂ Bz + (rBr ) + Bϕ = 0 . ∂z r ∂r r ∂ϕ

(2.165)

Par construction, la figure 2.10 présente unesymétrie axiale, c’est-à-dire ∂Bϕ /∂ϕ = 0, de sorte que : 1 ∂ ∂ (rBr ) = − Bz , (2.166) r ∂r ∂z ce qui implique que l’inhomogénéité du champ B suivant sa propre direction ne peut exister sans que celui-ci ne possède une composante transversale, qui est Br dans le cas présent. 1. Expression de B au voisinage de son axe de symétrie pour un champ faiblement non uniforme Considérons a priori qu’on connaisse en r = 0 l’expression de Bz (z) et de son gradient axial, (∂Bz /∂z)r=0 . Par ailleurs, nous pouvons nous aider de la figure 2.10 pour voir que Bz passe radialement par un maximum sur l’axe de symétrie, et donc en r = 0, ∂Bz /∂r = 0. Nous allons de ce fait considérer qu’au voisinage de cet axe, de part et d’autre, (∂B/∂z)r 0 constante à l’ordre un et, dans cette approximation, (∂B(r)/∂z) au voisinage de r = 0 serait à l’ordre 2 en r, ce qui fait que la composante Bz est indépendante de r au second ordre près. Dans ces conditions, par intégration de (2.166) sur r au voisinage de l’axe : r rBr ≈ − 0

r



∂Bz ∂z



1 dr = − r2 2 r  =0



∂Bz ∂z

 .

(2.167)

r=0

L’expression complète et correcte du champ B lorsque celui-ci est non uniforme suivant sa propre direction et dans l’hypothèse d’une symétrie axiale n’est donc pas (2.163) mais bien :   r ∂Bz ˆz Bz (z) − e ˆr B=e . (2.168) 2 ∂z r=0 Nous constatons que la correction liée à la composante Br est d’autant plus importante que le gradient axial est fort et que nous nous éloignons de l’axe. Selon nos hypothèses de calcul, cette correction est d’ordre un, en fait linéaire en r au voisinage de l’axe.

72 De façon générale, la divergence d’un vecteur en coordonnées orthogonales a pour expression (annexe A20) : ∇·B =

1 [∂1 (e2 e3 B1 ) + ∂2 (e1 e3 B2 ) + ∂3 (e1 e2 B3 )] . e1 e2 e3

116

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

ˆr Br + e ˆz Bz , nous pouvons Puisque la composante Bϕ est nulle, et donc que B = e exprimer B en coordonnées cartésiennes de la façon suivante (x = y = 0 noté 0,0) :     ∂Bz ∂Bz 1 1 ˆx − y ˆy + Bz e ˆz . (2.169) B=− x e e 2 ∂z 0,0 2 ∂z 0,0 2. Trajectoire de la particule chargée dans le champ B obtenu Nous devons résoudre :

˙ = qα (w ∧ B) . mα w

(2.170)

Compte tenu de nos hypothèses, la composante de la vitesse perpendiculaire à B s’obtient, en première approximation, en supposant que le mouvement cyclotronique a lieu dans un champ localement uniforme. Il ne reste donc qu’à calculer w . 3. Équation du mouvement dans la direction de Bz Le champ B n’étant pas tout à fait uniforme selon z, la vitesse du centre de guidage dans cette même direction ne demeurera pas constante. ˆx + wy e ˆy + wz e ˆz , et, d’après (2.170) : Pour la calculer, nous poserons w = wx e ˙=e ˆz qα [By wx − Bx wy ] . mα w

(2.171)

La variation de la vitesse axiale du centre de guidage décrite par (2.171) correspond à l’ordre un de notre méthode de calcul. Il est donc correct d’utiliser les vitesses à l’ordre zéro dans le plan perpendiculaire à l’axe z pour développer (2.171) :       ∂Bz ∂Bz 1 1 ˙≈e ˆz qα − y mα w wx + x wy , (2.172) 2 ∂z 0,0 2 ∂z 0,0 où le terme (∂Bz /∂z)0,0 est, par hypothèse, d’ordre un alors que x, y, wx et wy sont d’ordre zéro : le membre de droite de (2.172) est donc bien d’ordre un. 4. Solution de l’équation du mouvement Les expressions de la position et de la vitesse dans le plan perpendiculaire à B sont, par hypothèse de la méthode d’approximation utilisée, celles déjà obtenues dans un champ B uniforme (section 2.2.2, E = 0). Sous une forme plus succincte, nous pouvons les écrire : wx = A sin(ωc t − ϕ) , wy = A cos(ωc t − ϕ) ,

A cos(ωc t − ϕ) , ωc A y= sin(ωc t − ϕ) . ωc

x=−

(2.173) (2.174)

Posons wx (0) = 0 et wy (0) = wy0 , ce qui entraîne respectivement ϕ = 0 et A = wy0 , de sorte que : wy0 x=− cos ωc t , (2.175) wx = wy0 sin ωc t , ωc wy0 wy = wy0 cos ωc t , y= sin ωc t . (2.176) ωc

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

117

Ce repère est tel que, pour ωc > 0 et B entrant dans la feuille, les électrons tournent dans le sens anti-horaire : pour le voir, considérer les valeurs de x et y en t = 0 et en t = π/2ωc . Il y a donc eu changement de convention, et pour rétablir le mouvement dans le sens imposé par la physique, il nous faut poser ωce = −eB/m au lieu de ωce = eB/m. Pour respecter nos conventions initiales (section 2.2.2, E = 0), il aurait en effet fallu prendre wx = A cos(ωc t − ϕ) et wy = A sin(ωc t − ϕ) avec en t = 0, cette fois wy (0) = 0 et wx (0) = wx0 . Nous aurions alors eu : wx = wx0 cos ωc t , wy = wx0 sin ωc t ,

wx0 sin ωc t , ωc wx0 y=− cos ωc t . ωc

x=

(2.177) (2.178)

On vérifie facilement que les relations (2.175) et (2.176) conduisent bien à ce que 2 . Alors, en reportant (2.175) et (2.176) dans (2.172) : x2 + y 2 = (wy0 /ωc )2 = rB     2 2 wy0 wy0 qα ∂Bz 2 2 ˙=e ˆz mα w sin ωc t − cos ωc t , (2.179) − 2 ∂z 0,0 ωc ωc    ) 2 *    2 2 wy0 rB ωc mα qα ∂Bz qα ∂Bz mα w˙  = − =− , (2.180) 2 ∂z 0,0 ωc 2 ∂z 0,0 qα B où, pour ce qui est du signe de ωc , nous avons fait de manière exceptionnelle 73 ωc = (qα /mα )B . En simplifiant :   2 2 ωc ∂Bz 1 rB (2.181) w˙  = − 2 B ∂z 0,0 d’où, finalement, après intégration : ˆz 2 2 1 e w (t) = w (0) − rB ωc 2 B



∂Bz ∂z

 t.

(2.182)

0,0

C’est la vitesse, exclusivement parallèle à B, du centre de guidage dans le cas où le gradient de B est principalement dans la direction du champ. De (2.180), nous pouvons aussi tirer une expression qui nous sera utile par la suite :     ∂Bz 1 ∂Bz 1 2 Fz = mα w˙  = − mα w⊥0 ≡ −μ . (2.183) 2 B ∂z 0,0 ∂z 0,0 L’annexe A10 propose une autre démonstration de l’expression (2.183). Par ailleurs, l’annexe A11 utilise (2.183) pour montrer, d’une autre façon que par la méthode développée de (2.155) à (2.162), que μ est une constante du mouvement dans l’approximation du centre de guidage. 73 B représente la valeur Bz (z) en z = 0 (région de B uniforme).

118

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

5. Analyse du mouvement w : freinage ou accélération des particules chargées sur un gradient axial de B D’après (2.182), le gradient ∂Bz /∂z exerce sur les particules chargées : soit une action de freinage si ∂Bz /∂z > 0 puisque dans ce cas w (t) diminue en fonction du temps et finit par changer de signe si le deuxième terme de (2.182) l’emporte sur le premier. Si Bmax est la valeur maximum de B et B0 celle de la région de B uniforme (figure 2.11), la région B0 < B < Bmax où les particules sont susceptibles d’être réfléchies constitue ce qu’on appelle la zone miroir, soit une action d’accélération si ∂Bz /∂z < 0, comme c’est le cas après réflexion sur un miroir, par exemple.

Figure 2.11 – a) Champ magnétique de confinement de particules chargées montrant la zone miroir (col) magnétique où elles sont réfléchies ; b) la valeur de B est d’autant plus grande que les lignes de champ (figure a) sont resserrées.

Le type d’action exercée par ∂Bz /∂z sur la vitesse ne dépend ni du signe de la charge de la particule ni de sa masse, puisque de (2.182) :   2 ˆz w⊥ e ∂Bz t. (2.184) w = w0 − 2 B ∂z 0,0 Il y a donc possibilité de confiner axialement toutes les particules chargées. L’efficacité de ce confinement dépend, finalement, du rapport w (0)/w⊥ (0) : s’il est trop grand, le miroir ne pourra pas jouer son rôle, comme nous allons maintenant le montrer. Remarque : On peut aussi comprendre le fonctionnement d’un miroir magnétique (figure 2.11) en nous appuyant sur le fait que, en l’absence de champ E appliqué et dans le cadre de l’approximation du centre de guidage, l’énergie cinétique totale de la particule est conservée : W⊥ + W = constante

(2.185)

et seul peut varier le rapport W /W⊥ , soit : dW = −dW⊥ .

(2.186)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

119

D’autre part, à partir de (2.183), nous pouvons exprimer le travail élémentaire effectué par la particule dans le champ B en termes de l’énergie cinétique parallèle à B 74 : F dz ≡ dW = −μdB . (2.187) En tenant compte de (2.186) dans (2.187) et puisque μ = W⊥ /B (2.154), nous avons : W⊥ dW⊥ = μdB = dB (2.188) B dW⊥ W⊥ ou encore : = ≡ μ. (2.189) dB B Ce résultat signifie que si B augmente, il faut que W⊥ augmente, de façon à ce que le rapport W⊥ /B demeure constant. Lorsque la particule entre dans la zone miroir, son énergie W va décroître puis, le cas échéant, s’annuler pour augmenter de nouveau quand elle aura été "réfléchie". Comme W⊥ augmente dans le col du miroir (figure 2.11a) et que rB = W⊥ /B, la question se pose de savoir si rB ne va pas croître à tel point que la particule atteigne la paroi. En fait, la valeur de rB dans la zone miroir diminue car la valeur de B y augmente plus rapidement 75 que W⊥ . 6. Cône de pertes du miroir magnétique d’une machine linéaire. Considérons la configuration typique d’une machine linéaire à confinement magnétique, avec un miroir en chaque extrémité, telle que décrite en figure 2.12. Nous allons chercher à déterminer les conditions qui font que les particules incidentes vont franchir le miroir et se perdre. La particule traverse la zone uniforme avec une vitesse w0 (faisant un angle α0 avec l’axe du champ B) pour atteindre la zone miroir avec une vitesse w (angle α avec B), comme le montre la figure 2.13a. Décrivons maintenant la vitesse d’une particule suivant ses composantes parallèle et perpendiculaire au champ B. Ainsi, dans la région à champ uniforme (figure 2.13b), w0 = w0 + w0⊥ (l’indice inférieur 0 indique ici qu’il s’agit de la région de champ homogène) où :

+ 2 + w2 . avec w0 = w0 0⊥

w0 = w0 cos α0 ,

(2.190)

w0⊥ = w0 sin α0 ,

(2.191)

74 En (2.183), nous avions obtenu F = −μ∂Bz /∂z, d’où F dz  −μdB . 2 = w 2 /ω 2 . Tenant compte de (2.188), 75 Pour vérifier cette affirmation, il suffit de différencier rB c ⊥ on obtient : ! dB mα W⊥ drB = − . 2 B2 rB q α B 

Par conséquent, si le gradient de B est positif (zone miroir), le rayon de Larmor diminue effectivement quand B augmente (drB < 0).

120

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Figure 2.12 – Configuration typique du champ magnétique de confinement d’une décharge linéaire où chaque extrémité est close par un miroir (configuration dite "à minimum B").

Figure 2.13 – a) Orientation du vecteur vitesse w 0 par rapport à l’axe dans la zone à champ B uniforme (α0 ) et dans la zone miroir (α) ; b) décomposition de la vitesse w 0 suivant l’axe z (w 0 ) et perpendiculairement à celui-ci (w 0⊥ ).

En l’absence de champ E appliqué et dans l’hypothèse où le champ B varie lentement suivant z, nous savons que mα w02 /2 = constante (seul le rapport w⊥ /w peut varier) et que le moment magnétique μ est constant au premier ordre. On peut de la sorte établir une relation entre la vitesse dans la région à champ uniforme et celle dans le miroir en notant que (2.154) entraîne : μ=

1 2 2 mα w0

sin2 α0

B0

=

1 2 2 mα w0

B

sin2 α

,

(2.192)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B où w⊥ = w0 sin α dans la région du miroir, de sorte que :

B . sin α = sin α0 B0

121

(2.193)

Il y a réflexion de la particule dans la mesure où α > π/2. La relation (2.193) montre que si α0 est suffisamment petit (ce qui correspond au cas d’une particule ayant une trop forte composante de vitesse "parallèle" dans la région de champ homogène), la valeur de B/B0 pourra ne pas être assez grande pour que α atteigne au moins π/2 (sin α = 1) ; c’est certainement toujours vrai pour α0 = 0 ! Lorsque c’est le cas, la particule passe à travers le miroir et va se neutraliser sur les parois de l’extrémité de la machine, et elle se trouve "perdue" pour le plasma. Appelons α0m , la valeur minimum de l’angle α0 pour laquelle il y a encore réflexion des particules au maximum de champ Bmax . Si l’on désigne le rapport du miroir par : R ≡ Bmax /B0 , la valeur α0m s’obtient pour sin α = 1 dans (2.193) :

Bmax 1 = sin α0m , B0 1 soit : sin α0m = √ . R

(2.194)

(2.195) (2.196)

L’angle α0m définit un cône à l’intérieur duquel les particules quitteront le plasma en bout de machine. On remarque que l’efficacité d’un miroir magnétique à réfléchir les particules chargées est indépendante du module de la vitesse de la particule (w0 ), aussi bien que de sa charge et de sa masse. 7. Pourcentage des particules incidentes réfléchies par un miroir magnétique. Considérons la configuration de champ magnétique précédente (figure 2.13a) et supposons que la distribution angulaire des vitesses des particules est isotrope dans la zone uniforme : autrement dit, la densité des particules n(α0 ) est la même quelle que soit la valeur de α0 . Nous voulons calculer Cr = Γr /Γinc, la fraction du flux incident Γinc qui est réfléchie par le miroir, sachant qu’il y a réflexion si α0 > α0m . Pour cela, il faut évaluer le nombre de particules par seconde se dirigeant vers le miroir, Γinc , puis lui soustraire le nombre de celles-ci dont l’angle α0 < α0m (et qui ne sont pas réfléchies), ce qui mènera à Γr . Il suffit d’établir ce bilan pour chaque valeur de α0 à partir d’un angle solide dΩ d’orientation azimutale ϕ quelconque puisqu’il y a symétrie axiale. Considérons donc l’angle solide dΩ(α0 , ϕ) dans lequel ces particules s’engagent (figure 2.14) : celui-ci détermine une surface élémentaire dσ(α0 ), orientée suivant α0 , dont la projection perpendiculairement à l’axe du miroir, dσ(α0 ) cos α0 76 , constitue la surface effective que le flux incident 76 Bien se rappeler qu’un flux est par définition toujours évalué normalement à la surface qu’il traverse, en l’occurence le flux parallèle à l’axe de la machine.

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

122

en direction du miroir traverse. Nous aurons : Γinc (α0 ) = nw0 dσ(α0 ) cos α0

(2.197)

où, comme nous l’avons supposé, n ne dépend pas de α0 .

Figure 2.14 – Surface élémentaire dσ(α0 ) recueillant les particules de vitesse w 0 orientée suivant α0 et s’engageant dans l’angle solide dΩ.

Par définition, dσ = r2 dΩ où dΩ, l’angle solide élémentaire, a pour expression dans un repère de coordonnées sphériques (r, α0 , ϕ) : dΩ = sin α0 dα0 dϕ .

(2.198)

La symétrie axiale implique que l’intégration sur ϕ donne 2π. Nous pouvons donc écrire :  π/2 nw0 r2 (2π) α0m cos α0 sin α0 dα0 Γr = . (2.199) Cr ≡  π/2 Γinc nw0 r2 (2π) 0 cos α0 sin α0 dα0 Ce résultat est indépendant du module de la vitesse, donc valable pour toute la distribution en énergie des particules. En simplifiant et après transformation trigonométrique : π/2   π/2 −cos 2α 0 sin 2α0 dα0 α0m α0m Cr ≡  π/2 = π/2 ,  sin 2α0 dα0 −cos 2α0  0

(2.200)

0

ce qui donne

 1 + (1 − 2 sin2 α0m ) 1 + cos 2α0m B0 Cr = = = 1 − sin2 α0m = 1 − , 2 2 Bmax d’où finalement :

Cr = 1 −

1 . R

(2.201)

Remarques : 1. La fraction des particules réfléchies est d’autant plus grande que R est grand, c’est-à-dire que Bmax est important devant B0 . 2. Les particules confinées dans un système ayant un miroir à chaque extrémité vont effectuer un mouvement périodique entre ces deux miroirs (voir exercices 2.17 et 2.18).

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

123

3. Les campagnes de mesure par satellite ont permis de mettre en évidence l’existence de ceintures (couches) de particules chargées de grande énergie entourant la terre. Ces particules, essentiellement des électrons et des protons du vent solaire, sont piégées dans le champ magnétique terrestre et réfléchies aux pôles entre lesquels elles oscillent : à cet endroit, en effet, les lignes de force du champ B terrestre se resserrent aux pôles, formant ainsi un miroir. Champ magnétique constant mais légèrement non uniforme dans une direction perpendiculaire à B La présente section comprend deux parties, la première où les lignes de champ sont par hypothèse rectilignes et la seconde où la courbure des lignes de champ est prise en considération. 1. Lignes de champ supposées rectilignes Considérons B entièrement dirigé suivant z et uniforme selon cet axe. Le gradient qui l’affecte, par hypothèse, lui est perpendiculaire et uniquement dirigé suivant l’axe y : ∇B = (∂B/∂y)ˆ ey et, donc, ∂B/∂x = 0. Nous allons, à cet effet, poser que B croît lentement avec y de sorte que, au total, B a pour expression : ˆz B0 (1 + βy), 0 < β 1 . B(y) = e

(2.202)

Si le champ était uniforme (β = 0), nous aurions une giration cyclotronique de rayon constant dans le plan xOy (trajectoire en pointillé sur la figure 2.15). À cause de l’inhomogénéité du champ dans ce plan (β = 0), la trajectoire n’est plus tout à fait circulaire et elle ne se referme pas sur elle-même, comme le montre la figure 2.15 77 : cela vient de ce que le rayon de Larmor diminue, et avec lui, le rayon de courbure de la trajectoire lorsque la particule se dirige vers les valeurs de y croissantes (sur l’exemple considéré) avec le résultat que le centre de guidage se déplace. Ce dernier se dirige, en moyenne, selon x croissant si la particule tourne dans le sens horaire comme représenté sur la figure 2.15. Ce mouvement moyen (sur plusieurs périodes), dit de dérive magnétique, s’effectue dans la direction perpendiculaire à B et à ∇|B| : pour cette raison, on l’appelle aussi dérive de gradient magnétique. Calculons cette vitesse wDM de dérive magnétique. Vitesse instantanée du centre de guidage Pour connaître dRg /dt où Rg est la position instantanée du centre de guidage (figure 2.16), faisons appel à l’approximation adiabatique présentée antérieurement : le mouvement de la particule est déterminé à l’ordre zéro par la giration cyclotronique dans le champ B en faisant abstraction des effets engendrés par sa non-uniformité ; ce mouvement est perturbé à l’ordre un par la dérive magnétique.

77 Selon notre hypothèse d’adiabaticité, il faut plusieurs girations complètes pour que ce phénomène se manifeste.

124

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Figure 2.15 – Trajectoire (trochoïdale) d’un électron dans le plan perpendiculaire au champ Bˆ ez , non uniforme dans la direction Oy (relation (2.202)). Il y a dérive magnétique suivant x.

Figure 2.16 – Le vecteur R décrit la position du centre de guidage dans le repère de la particule (cas de l’électron), elle-même repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Noter que R est perpendiculaire à la trajectoire cyclotronique au point considéré et que R g = r + R.

Mouvement à l’ordre zéro : calcul de R Le vecteur rayon de giration R donne la position du centre de guidage par rapport à la particule, comme le montre la figure 2.16, et nous allons établir que : mα (w ∧ B) . (2.203) R= qα B 2 Pour démontrer cette expression, il suffit de nous rappeler, de façon générale, que pour une particule repérée par le vecteur r à partir de l’axe autour duquel elle est en rotation à une fréquence ω, sa vitesse tangentielle obéit à la relation w = ω ∧ r . Dans le cas présent (R étant dirigé en sens contraire de r), ceci se traduit par : qα B ∧R, (2.204) w=+ mα puis, en multipliant cette expression vectoriellement à droite par B : w∧B =

qα (B ∧ R) ∧ B . mα

(2.205)

En nous rappelant que le double produit vectoriel obéit à la règle suivante : P ∧ (Q ∧ T ) = Q(T · P ) − T (P · Q) ,

(2.206)

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

donc :

125

(Q ∧ T ) ∧ P = T (P · Q) − Q(T · P ) ,

(2.207)

qα [R(B · B) − B(R · B)] mα

(2.208)

nous trouvons que : w ∧ B =

où le terme R · B est nul puisqu’à l’ordre zéro le vecteur rayon de giration R est nécessairement perpendiculaire à l’axe de guidage, de sorte que (2.208) conduit bien à (2.203) 78 : R=

mα (w ∧ B) . qα B 2

(2.203)

Mouvement à l’ordre un : calcul de Rg Bien que nous soyons dans l’hypothèse où les lignes de champ sont rectilignes, afin de ne pas avoir à reprendre la démonstration qui suit en 2) où celles-ci sont ˆB étant le vecteur ez , e curvilignes, nous posons B = Bˆ eB plutôt que B = Bˆ unitaire tangent à la ligne de champ, pour tenir compte de la courbure éventuelle de celle-ci. D’après la figure 2.16,

Rg = r + R

(2.209)

où R décrit le mouvement du centre de guidage dans le repère de la particule, elle-même repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Nous pouvons alors récrire R (2.203) sous la forme : R=

mα ˆB ) . (w ∧ e qα B

(2.210)

Alors, la dérivée de (2.209), tenant compte de (2.210), donne 79 : dr dR mα dB dRg ˆB ) = + =w− (w ∧ e dt dt dt qα B 2 dt     mα dw mα dˆ eB ˆB + + ∧e w∧ , (2.211) qα B dt qα B dt où dˆ eB /dt = 0 dans l’hypothèse où B demeure parallèle à l’axe z (cas 1 : lignes de champ supposées rectilignes). Par ailleurs, dans le contexte du point 2 qui suit, où nous faisons l’hypothèse d’une faible courbure des champs, nous négligeons cette fois le terme faisant intervenir dˆ eB /dt 80 . Nous reprenons donc ˆz B et (2.211) se réduit à : B=e 78 En fait, il suffit de noter que |R| = mα w⊥ /qα B (|R| = rB ) et que R est perpendiculaire à w et à B. 79 Si B est non uniforme spatialement dans le repère du laboratoire, il varie avec le temps dans le repère de la particule. 80 Si on tenait compte de dˆ eB /dt, sa contribution serait d’ordre 2 dans une expression qui est d’ordre un. En effet, dˆ eB /dt = (∂ˆ eB /∂y)∂y/∂t est un terme d’ordre 2.

126

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B   dw dRg mα dB mα =w− (w ∧ B) + ∧ B . (2.212) dt qα B 3 dt qα B 2 dt Pour modifier le troisième terme du membre de droite, nous considérons l’équation du mouvement mα dw/dt = qα (w∧B) que nous multiplions vectoriellement à droite par B : dw ∧ B = qα (w ∧ B) ∧ B . (2.213) mα dt Compte tenu des propriétés du double produit vectoriel (voir (2.207)) : (2.214) (w ∧ B) ∧ B = B(B · w) − w(B · B) ≡ B(Bw ) − wB 2 , dw ∧ B = qα (w  − w)B 2 , nous aurons : mα (2.215) dt expression que nous substituons dans le troisième terme de droite de (2.212). Après réorganisation, (2.212) donne :  dRg 1 mα dB =w+ (w ∧ B) , qα (−w + w  )B 2 − dt qα B 2 qα B 3 dt

(2.216)

de sorte que, en simplifiant, nous obtenons l’expression de la vitesse (instantanée) du centre de guidage dans le repère du laboratoire : dRg mα dB = w − (w ⊥ ∧ B) dt qα B 3 dt

(2.217)

où le premier terme représente la vitesse du centre de guidage le long des lignes de force du champ B (ordre zéro) et le deuxième est la vitesse du centre de guidage dans la direction perpendiculaire à w ⊥ et à B (ordre un), mouvement variant périodiquement dans le temps du fait de la trajectoire cyclotronique de la particule. Vitesse moyenne du centre de guidage dans le plan perpendiculaire à w⊥ et à B : vitesse de dérive magnétique Il s’agit de calculer la moyenne temporelle du deuxième terme du membre de droite de (2.217) que l’on récrit sous la forme : −mα ∂B −mα dB ˆx + wy e ˆy + wz e ˆz ) ∧ Bz e ˆz (w ∧ B) = wy (wx e qα B 3 dt qα B 3 ∂y =

−mα ∂B ˆy wx Bz ) , wy (ˆ ex wy Bz − e qα B 3 ∂y

(2.218)

où le terme de droite est maintenant exprimé dans le repère du laboratoire. Comme la moyenne temporelle de wx wy est nulle 81 et que : wy2 =

1 2 w 2 ⊥

2 (w⊥ ≡ wx2 + wy2 ) ,

(2.219)

81 Mouvement de Larmor : si wx est proportionnelle à sin ωc t et wy à cos ωc t, les deux fonctions étant orthogonales, l’intégrale sur le temps t de wx wy durant une période est nulle.

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

127

il vient finalement que le mouvement moyen de dérive magnétique a pour vitesse : wDM =

2 −mα ∂B w⊥ ˆx , e 2 qα B ∂y 2

(2.220)

expression que l’on peut transformer, sachant que dans un trièdre direct (par ˆz ∧ e ˆy , en : opposition à un trièdre indirect) −ˆ ex = e w DM = mα ou, encore :

wDM =

2 1 w⊥ (B ∧ ∇B) 2 qα B 3

μ (B ∧ ∇B) , qα B2

(2.221) (2.222)

qui est la vitesse de dérive magnétique de la particule en présence d’un gradient de champ perpendiculaire à B supposé sans courbure 82 . Nous aurions pu obtenir la relation (2.222) directement à partir de l’expression générale donnant la vitesse de dérive de particules chargées soumises à un champ magnétique en présence d’une force quelconque, comme l’enseigne l’annexe A12. L’annexe A13 nous permet, de plus, d’écrire la relation (2.222) sous la forme :   2 ρ 1 w⊥ ∧ B (2.223) wDM = − ωc B 2 ρ2 où ρ est le rayon de courbure du champ magnétique (voir figure A13.1). Cette expression nous sera utile pour fins de comparaison avec la vitesse de dérive de courbure magnétique dont nous allons maintenant chercher l’expression. 2. Prise en compte de la courbure des lignes de champ La dérive magnétique dont nous venons d’établir les équations du mouvement ne peut exister seule, car les lignes de force de B que nous avons supposées rectilignes en posant : ˆz B0 (1 + βy) B=e (2.224) où β 1, ne le sont pas vraiment ! En effet, bien que l’équation de Maxwell de la divergence de B : ∇·B ≡

∂By ∂Bz ∂Bx + + =0 ∂x ∂y ∂z

(2.225)

soit vérifiée de façon triviale, celle du rotationnel ∇ ∧ B = 0 ne l’est pas 83 . Il faut plutôt que le champ B soit de la forme : ˆz [B0 (1 + βy)] , ˆy (βB0 z) + e B=e

(2.226)

82 En fait, ce gradient est lié à la courbure des lignes de champ puisque β  1/ρ (A13.18). 83 ∇ ∧ H = J + 0 ∂E/∂t en général ; cependant, dans le cadre du modèle des trajectoires individuelles, on néglige le courant associé au mouvement de la particule chargée, J = 0, ainsi que le courant de déplacement correspondant, 0 ∂E/∂t. Ce dernier terme n’est pas nul dans le cas d’un champ E variable appliqué de l’extérieur.

128

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

comme le montre la relation (A13.7) déduite de ∇ ∧ B = 0. Noter que la composante suivant y est d’ordre un (β 1). Les lignes de champ, que l’on retrouve dans une configuration toroïdale, sont représentées sommairement sur la figure 2.17 : plus on s’éloigne de l’origine du repère, plus la contribution de By devient importante. L’expression (2.226) représente un champ B avec des lignes de force caractérisées par un rayon de courbure local ρ. Rappelons que le rayon de courbure en un point donné A d’une courbe est la distance entre ce point et le point d’intersection de deux normales à la courbe situées immédiatement de part et d’autre du point A (figure A13.1 de l’annexe A13). On peut montrer que ρ vaut approximativement 1/β (A13.18).

Figure 2.17 – Lignes de champ y(z) en présence d’un gradient de B dans la direction perpendiculaire à B.

Vitesse de dérive de courbure magnétique À cette courbure du champ est associé un mouvement de dérive particulier, perpendiculaire à la tangente à la ligne de force (donc une vitesse perpendiculaire à B, comme pour les autres vitesses de dérive déjà définies). Nous allons déterminer la vitesse moyenne temporelle de cette dérive dite de courbure magnétique en recourant à l’expression générale de la dérive d’une particule chargée soumise à une force F D quelconque dans un champ magnétique B (annexe A12). Pour cela, il nous faut connaître l’expression de la force exercée sur la particule par la courbure des lignes de champ : la particule dans son mouvement hélicoïdal autour de ces lignes de champ incurvées ressent une force centrifuge dont le terme d’inertie correspondant est de forme classique : F DC = −

mα w2 ρ

ˆy e

(2.227)

où w est le module de la vitesse parallèle à la ligne de champ B en un point ˆy est le vecteur de base lié au système de coordonnées de la particule donné et e et dirigé vers le "centre instantané de rotation" : nous aurons donc ρ = −ρˆ ey .

2.2− Analyse de cas particuliers de E et B

129

D’après (A12.2), la vitesse de dérive de courbure de champ magnétique est alors : w DC = ou encore :

mα w2

ρ∧B

(2.228)

w2 ρ ∧ B . ω c ρ2 B

(2.229)

qα ρ2 B 2

wDC = −

Vitesse totale de dérive due à la présence d’un gradient de B dans la direction perpendiculaire à B À partir de (2.223) et (2.229), nous obtenons finalement :   ρ∧B 1 2 2 wDM + wDC = − w + w . Bωc ρ2 2 ⊥ ↑ ↑ ↑

(2.230)

Dérive de Signe de Dérive la charge magnétique courbure magnétique

Remarque : Ces deux contributions au mouvement de dérive sont dans la même direction, portée par le vecteur −ρ ∧ B, mais dont le sens dépend du signe de la charge de la particule : cette dérive peut donc créer une séparation de charges dans le plasma, engendrant un champ électrique 84 . Cet effet est une cause de perte de particules chargées dans les tokamaks puisque celles-ci sont dirigées alors vers les parois, comme nous allons le voir. Évolution des mouvements de dérive liés au champ magnétique dans un tokamak La figure 2.18a représente schématiquement la configuration des bobines produisant le champ toroïdal dans un tokamak : ce champ magnétique imposé à la machine est dirigé selon l’axe z. Parce que les bobines sont de plus en plus rapprochées en allant vers l’axe central du tore, le champ B est inhomogène, suivant x croissant 85 , et, de ce fait, doté d’une courbure. Examinons les différents effets subis par les particules en présence de ce champ toroïdal en nous référant à la figure 2.18b. Les deux dérives magnétiques (2.230) créent une séparation de charges suivant y (électrons vers le bas, ions vers le haut : utiliser (2.222) où apparaît qα pour fixer le sens de la dérive). Cette séparation de charges engendre un champ E (perpendiculaire à z et x), dirigé vers le bas, qui s’oppose au courant des dérives magnétiques, donnant lieu au final à un courant net plus faible. 84 Sauf dans les structures où la configuration magnétique est refermée sur elle-même (structure magnétique à symétrie de révolution, par exemple). 85 Attention : suivant y dans ce qui précède.

130

2− Mouvement d’une particule chargée dans E et B

Figure 2.18 – a) Représentation schématique montrant le positionnement de quelques bobines de champ magnétique autour d’une chambre toroïdale : parce qu’elles sont de plus en plus rapprochées vers l’axe central du tore, le champ B croît suivant x ; b) section de la chambre toroïdale montrant la séparation de charges engendrée par la dérive des particules dans le champ magnétique toroïdal.

Les champs E et B vont provoquer une dérive électrique qui est orientée selon E ∧ B (cas de champs croisés, (2.227). Dans la dérive électrique, ions positifs et électrons se déplacent dans la même direction : dans le cas présent, ils se dirigent vers la paroi extérieure du tore (règle du produit vectoriel appliqué à un trièdre ˆz = −ˆ ex ). Ces particules chargées sont alors "perdues" pour le direct : −ˆ ey ∧ e plasma de fusion : il y a recombinaison et perte d’énergie de ces particules, sans compter les dommages infligés à la paroi. Remarque : Les particules d’un plasma soumis à un simple champ magnétique toroïdal ne demeurant pas confinées, comme nous venons de le voir, on utilise un champ magnétique supplémentaire dit "poloïdal" pour tenter de combattre les effets de dérive : ce second champ magnétique donne aux lignes de champ de la configuration toroïdale une légère variation azimutale en forme d’hélice autour du petit axe du tore pour empêcher les particules d’aller sur les parois.

Chapitre 3 Description hydrodynamique d’un plasma

Au chapitre 2, nous avons analysé le mouvement d’une particule chargée isolée, c’està-dire sans interaction aucune avec d’autres particules, et soumise à des champs électrique E et magnétique B appliqués de l’extérieur. Dans le présent chapitre, nous abordons un modèle qui considère un ensemble de particules : le mouvement de ces particules chargées engendre de façon auto-cohérente des champs électriques et magnétiques dits induits auxquels s’ajoutent, le cas échéant, les champs imposés au plasma de l’extérieur. De plus, à la différence du chapitre 2, nous prenons maintenant en compte les collisions. Ce modèle est de type hydrodynamique, c’est-à-dire que les paramètres descriptifs correspondants du plasma (densité, diffusion des particules, vitesse v du fluide, température, pression cinétique . . . ) sont des valeurs moyennes prises sur une distribution des vitesses dans un volume élémentaire, valeurs dites macroscopiques. Le concept de modèle hydrodynamique : hypothèse du milieu continu Dans ce type de description, on suit le mouvement de petits éléments de volume de plasma, sans tenir compte des phénomènes microscopiques qui s’y déroulent. Cela suppose : Qu’il y ait suffisamment de particules dans ce volume pour que les fluctuations par rapport aux valeurs moyennes y soient négligeables, conduisant à des valeurs moyennes bien centrées. De même, on fait l’hypothèse que l’effet des micro-champs électriques et magnétiques produits par les particules chargées de l’élément de volume considéré est bien rendu à l’échelle macroscopique par des champs moyens, supposés agir globalement sur ce même élément de volume ;

132

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Que ce volume soit suffisamment petit pour que la description spatiale soit précise. Ces différentes conditions sont généralement réalisées dans les plasmas de laboratoire : à titre indicatif, un cube de gaz de 10 μm de côté contient, à la pression atmosphérique, 2,7×1010 molécules. Cette description macroscopique du plasma est analogue à celle des fluides ordinaires où, en effet, les particules d’un même élément de volume se meuvent ensemble 86 , formant ainsi un milieu continu bien que discontinu à l’échelle moléculaire. Relation entre modèle hydrodynamique et description cinétique d’un plasma La description hydrodynamique d’un plasma fait intervenir des grandeurs macroscopiques telles la température, la pression, la mobilité des particules chargées, le coefficient de diffusion des différents types de particules, etc. : ces grandeurs sont des moyennes calculées à partir d’une fonction de distribution f (r, w, t) des vitesses microscopiques w des particules (section 3.3). Cette fonction de distribution s’obtient dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Le modèle hydrodynamique permet de décrire de manière relativement complète la quasi totalité des phénomènes physiques ayant lieu dans le plasma tout en impliquant des calculs beaucoup plus simples que ceux de la théorie cinétique, beaucoup plus lourde à manier et complexe à interpréter. Le plasma, un fluide pas ordinaire Les particules chargées d’un plasma constituent un ou plusieurs fluides dont le mouvement fait apparaître une densité de courant J : ce mouvement entraîne le couplage des champs E et B extérieurs avec les particules par les termes J ∧ B de l’équation du mouvement et J · E de l’équation du bilan d’énergie 87 . L’étude de ces fluides conducteurs soumis à des champs E et B a donné naissance à une branche de la physique des plasmas appelée magnétohydrodynamique (MHD). Le terme MHD est aussi utilisé pour désigner une technologie particulière, liée à ce domaine de la physique des plasmas : aussi, on dira, par exemple, un propulseur ionique ou un convertisseur d’électricité MHD. Plasma froid et plasma tiède : deux niveaux d’approximation du modèle hydrodynamique Dans le cadre du modèle hydrodynamique, si l’on néglige toute agitation thermique des particules (T = 0), on obtient ce qu’il est convenu d’appeler la description plasma 86 En fait, des particules passent d’un élément de volume à un autre, mais le nombre moyen de particules dans chaque élément de volume reste à peu près constant ou varie lentement. 87 Le terme J ∧ B, la partie magnétique de la force de Lorentz F = q(E + v ∧ B), est aussi appelé force de Laplace. Le terme J · E décrit le transfert d’énergie du champ E aux particules chargées, et s’apparente à la loi d’Ohm (P = V I). Du fait que J = σE, on obtient J · E = σE 2 , terme dit de chauffage par effet Joule.

3.1− Considérations élémentaires sur l’équation de Boltzmann

133

froid ; si, par contre, on tient compte du mouvement aléatoire des particules mais en se limitant à la description de celui-ci par la pression scalaire isotrope 88 pα = nα kB Tα , on se trouve dans le cas de l’approximation du plasma tiède. Représentation d’un plasma par un, deux, ou plusieurs fluides Dans le cas d’une interaction collisionnelle faible entre les différents espèces de particules (électrons, ions, neutres), chaque type de particules est généralement caractérisé par une température Tα différente. On peut alors décrire séparément le mouvement des électrons, celui des ions et celui des neutres, sachant cependant que ces fluides sont partiellement couplés par leur terme d’interaction collisionnelle. Par ailleurs, comme les neutres ne réagissent pas aux champs E et B, on ne cherche généralement pas à écrire leur équation de mouvement (par exemple, dans le cas de la propagation d’une onde), mais en général on tient compte de leur influence par le terme d’interaction collisionnelle dans les équations des fluides de particules chargées ; on aboutit alors à un modèle à deux fluides (électrons, ions). Un cas particulier intéressant de couplage faible est celui où l’on ne considère plus que le fluide des électrons, en négligeant le mouvement des ions, beaucoup plus lourds. Dans ce cas, les ions sont supposés former un fond stationnaire et continu permettant d’assurer la neutralité macroscopique et de peser sur le terme d’interaction collisionnelle du fluide d’électrons. C’est le modèle du plasma de Lorentz, utilisé notamment pour décrire les plasmas produits par des champs HF. Dans le cas d’une interaction forte entre les différents types de particules, comme c’est le cas dans un plasma en ETL, les différents fluides sont tellement bien couplés entre eux qu’un seul fluide, doté d’une seule et même température, suffit à décrire un tel plasma.

3.1. Considérations élémentaires sur l’équation de Boltzmann Avant de décrire davantage l’approche hydrodynamique, nous allons donner quelques rudiments de théorie cinétique.

3.1.1. Présentation sommaire de l’équation de Boltzmann L’équation de Boltzmann se dérive rigoureusement à partir du théorème de Liouville (voir, par exemple, Delcroix et Bers, section 10.2). On peut cependant obtenir cette équation rapidement, mais de façon purement formelle, en faisant dans 88 Lorsqu’il n’y a pas isotropie, il convient d’utiliser le tenseur (hydrodynamique) de pression cinétique, Ψ, tenseur d’ordre 2 (section 3.3 et section 3.5).

134

3− Description hydrodynamique d’un plasma

un premier temps l’hypothèse de l’absence de collisions entre particules puis, dans un second temps, en tenant compte de l’effet des collisions. Considérons les particules d’un type donné qui occupent, à l’instant t, l’élément de volume dr dw centré autour d’une valeur r, w de l’espace des phases. Par définition, leur nombre est donné par : f (r, w, t) dr dw (3.1) où f (r, w, t) est la fonction de distribution des vitesses de ces particules et où dr ≡ d3 r (par exemple, dx dy dz en coordonnées cartésiennes) et dw ≡ d3 w (par exemple, dwx dwy dwz en coordonnées cartésiennes) sont respectivement les éléments de volume dans l’espace des positions et dans l’espace des vitesses. En l’absence de collisions, l’écoulement dans l’espace des phases est celui d’un fluide incompressible (théorème de Liouville) de sorte que, à un temps t + dt ultérieur, ces mêmes particules de l’élément de volume dr dw vont, sous l’effet des forces en présence, se retrouver au point r + w dt, w + (dw/dt)dt de l’espace des phases où dw/dt = F /m représente l’accélération produite par les forces imposées de l’extérieur et par celles induites par les micro-champs. En développant en série de Taylor, limitée au premier ordre, la fonction de distribution en ce nouveau point par rapport au point initial, nous obtenons 89 : 3 3   ∂f ∂f ∂f Fi F dt + dt (3.2) wi dt + f (r + w dt, w + dt, t + dt) ≈ f (r, w, t) + m ∂x ∂w m ∂t i i i=1 i=1

et nous pouvons donc exprimer la variation totale, df /dt, de f entre les deux points, par tranche élémentaire de temps dt, sous la forme : 3

3

 ∂f  Fi ∂f df ∂f F ∂f ≈ = w · ∇r f + · ∇w f + wi + + dt ∂x m ∂w ∂t m ∂t i i i=1 i=1

(3.3)

où ∇r et ∇w sont respectivement les opérateurs différentiels dans l’espace des coordonnées spatiales et dans l’espace des vitesses. En l’absence de collisions selon notre hypothèse, le nombre de particules contenues dans un élément de volume de l’espace des phases est conservé et la fonction de distribution n’est donc pas modifiée, de sorte que df /dt = 0, d’où : F ∂f + w · ∇r f + · ∇w f = 0 . ∂t m

(3.4)

C’est l’équation de Vlasov (ou équation de Boltzmann sans collisions, voir exercice 3.1). Cette équation est particulièrement utile pour traiter de façon simple la propagation d’ondes dans un plasma : le champ de l’onde agit sur les particules chargées du plasma et celles-ci, à leur tour, modifient le champ de l’onde. Cet effet est pris en compte de façon auto-cohérente par le terme de force F /m. On fera ∂f /∂t = 0 si 89 Rappelons que f (x + Δx)  f (x) + (∂f /∂x)Δx où Δx est très petit (développement limité au premier ordre).

3.1− Considérations élémentaires sur l’équation de Boltzmann

135

l’on recherche une solution stationnaire, ce qui ne peut être le cas en présence d’un champ électrique alternatif comme dans les décharges HF. Pour la deuxième étape de notre dérivation formelle, nous considérons la présence de collisions binaires. Nous poserons alors, sans plus de justification, que pour l’espèce α :   ∂f ∂f F df ≡ + w · ∇r f + · ∇w f = (3.5) dt ∂t m ∂t coll. où (∂f /∂t)coll. est le terme dit de collision (ou d’interaction) de l’équation de Boltzmann : il traduit la variation, du fait des collisions élastiques et inélastiques, du nombre de particules dans l’élément de volume de l’espace des phases centré sur r, w. Pour éviter toute confusion de notation, nous remplacerons (∂f /∂t)coll. par S(f ) où S désigne, de façon globale, l’opérateur de collisions : F ∂f + w · ∇r f + · ∇w f = S(f ) . ∂t m

(3.6)

L’équation (3.6) est l’équation de Boltzmann. Elle décrit l’évolution de la fonction de distribution des particules dans l’espace des phases sous l’influence, d’une part, des gradients affectant cette distribution et, d’autre part, des forces en présence et des collisions. Dans le cas des collisions élastiques, l’opérateur de collisions peut s’exprimer sous la forme d’une intégrale (avec les hypothèses de collisions binaires et de corrélations faibles) :    S(fα )β = ˆαβ (Ω) dΩ dw β (3.7) S(fα ) = fα fβ − fα fβ |wα − wβ | σ β =α

β =α w Ω β

où fα , fβ sont les fonctions de distribution après collisions, fα , fβ , avant collision ; w β est la vitesse de la molécule cible avant le choc, wα , celle de la molécule incidente ; σ ˆαβ (Ω) est la section efficace différentielle microscopique (section 1.7.3) de collisions élastiques et dΩ = sin θ dθdϕ, l’angle solide élémentaire. Nous remarquons que nous sommes en présence de collisions caractérisées par les paramètres habituels, notamment l’angle θ de diffusion. L’intégrale (3.7) est l’intégrale de collisions élastiques pour l’espèce α 90 . Compte tenu de la forme du terme de collisions exprimé par (3.7), l’équation (3.6) prend également le nom d’équation intégro-différentielle de Boltzmann. Remarques : 1. L’hypothèse de corrélations faibles entre particules permet de remplacer les fonc tions de distribution double fαβ et fαβ par le produit de fonctions simples, fα fβ   etfα fβ (détails en section 3.2), comme c’est le cas dans l’expression (3.7). 2. Il est intéressant de comparer la composition du terme (3.7) avec celle de la fréquence de collision binaire ναβ  (1.135) où la fonction double fαβ a été séparée. 90 Pour une démonstration, voir Golant et al. (section 6.2).

136

3− Description hydrodynamique d’un plasma

3. L’équation de Boltzmann s’applique plus précisément aux gaz neutres pas trop denses et aux plasmas faiblement ionisés qui sont régis essentiellement par des interactions binaires à courte portée entre particules chargées (ions et électrons) et neutres. Si l’hypothèse de corrélation faible n’est plus valide, il faut alors appliquer l’équation de Lenard-Balescu, dans laquelle la fonction de distribution fαβ est décomposée en une partie corrélée et une partie non corrélée, permet de tenir compte à la fois des phénomènes collectifs et des phénomènes individuels. Enfin, l’équation de Fokker-Planck peut être considérée comme une extension de l’équation de Boltzmann au cas des plasmas dans lesquels les interactions coulombiennes à longue portée (mais écrantées à la longueur de Debye) sont prépondérantes.

3.1.2. Approximation du terme de collisions élastiques de Boltzmann : relaxation de la fonction de distribution vers un état isotrope Dans un plasma soumis à une force F résultant d’un champ E, il y a accroissement de la vitesse dirigée suivant F . Les collisions élastiques auront cependant tendance à réduire l’importance de cette vitesse dirigée : autrement dit, elles vont diminuer l’anisotropie en vitesse de la fonction de distribution f (r, w, t). Pour exprimer le sens physique de ce mécanisme, introduisons l’opérateur de collision : S(f ) ≡ −ν(w)[f (r, w, t) − f0 (r, w)] ,

(3.8)

qui, sous cette forme, est dit opérateur de relaxation vers la fonction isotrope f0 (r, w) où w indique une vitesse scalaire : f0 représente la distribution des vitesses en absence de force F , et f (r, w, t) décrit la fonction de distribution au temps t, en présence de F ou peu de temps après qu’on aura supprimé F , ν(w) étant la fréquence de collision microscopique. Évolution en fonction du temps de f (w, t) vers la fonction isotrope f0 (w) Pour faciliter la démonstration, nous supposerons le plasma uniforme spatialement, d’où ∇r f = 0 et f (r, w, t) = f (w, t). Examinons ce qui se passe pour t ≥ 0 si à partir de t = 0, F est maintenant nulle. L’équation de Boltzmann est maintenant réduite à : ∂f = −ν[f (w, t) − f0 (w)] . (3.9) ∂t Puisque ∂f0 (w)/∂t = 0, l’équation (3.9) est équivalente à : ∂ [f (w, t) − f0 (w)] = −ν [f (w, t) − f0 (w)] ∂t

(3.10)

f (w, t) − f0 (w) = [f (w, 0) − f0 (w)] exp(−νt) .

(3.11)

d’où la solution :

3.1− Considérations élémentaires sur l’équation de Boltzmann

137

La différence f (w, t) − f0 (w), qui apparaît dans le terme collisionnel (3.8), décroît de façon exponentielle, f (w, t) tendant vers la fonction isotrope f0 (w), avec une constante de temps égale à 1/ν. L’opérateur collisionnel de relaxation appliqué au cas d’une équation de Boltzmann simplement stationnaire (∂f /∂t = 0) Nous avons de (3.6) et de (3.8) : w · ∇r f +

F · ∇w f = −ν[f (r, w, t) − f0 (r, w)] , m

(3.12)

ce qui conduit à l’expression suivante :   1 F · ∇w f , f (r, w, t) − f0 (r, w) = − w · ∇r f + ν m

(3.13)

qui montre qu’il y a relaxation vers l’isotropie si le membre de droite tend vers zéro, c’est-à-dire que la valeur de F n’est pas trop élevée et que les collisions sont suffisamment nombreuses. Solution de (3.13) par une méthode itérative Dans le cas d’une faible anisotropie, on pourra résoudre l’équation (3.13) par une méthode itérative, où l’approximation d’ordre zéro de la fonction de distribution est donnée par f (0) (r, w, t) = f0 (r, w). L’approximation d’ordre 1 de la fonction de distribution s’obtient alors en substituant f0 (r, w) à f (r, w, t) dans les termes ∇r f et ∇w f de (3.13) :   1 F (1) f (r, w, t) = f0 (r, w) − · ∇ w f0 . (3.14) w · ∇r f0 + ν m À l’ordre 2 d’itération, f

(2)

  1 F (1) (1) · ∇w f (r, w, t) = f0 (r, w) − (3.15) w · ∇r f + ν m  '   1 1 F (3.16) w · ∇r f0 (r, w) − w · ∇ r f0 + · ∇w f0 = f0 (r, w) − ν ν m  '  F 1 F + · ∇w f0 (r, w) − · ∇ w f0 , w · ∇r f0 + m ν m

et ainsi de suite jusqu’à l’ordre k d’approximation. Remarque : On peut montrer que, dans le cas présent, la fréquence de collisions ν(w) est la fréquence de transfert de quantité de mouvement des électrons.

138

3− Description hydrodynamique d’un plasma

3.1.3. Deux méthodes classiques de recherche de solution analytique de l’équation de Boltzmann Chapman-Enskog On suppose que la fonction recherchée s’écarte peu de la distribution de MaxwellBoltzmann fM (r, w, t) ; la différence se caractérise alors par un paramètre η 1 en posant : (3.17) f (r, w, t) = fM (r, w, t) + ηf1 (r, w, t) + η 2 f2 (r, w, t) + · · · . Ce type de solution permet aussi de traiter des déviations à l’isotropie par rapport à fM . Il faut cependant, dans tous les cas, que f (r, w, t) ne soit pas trop éloignée de l’équilibre de Maxwell-Boltzmann. Développement en harmoniques sphériques dans l’espace des vitesses 91 La présence d’un champ électrique rend la distribution f anisotrope. Son degré d’anisotropie demeure faible dans la mesure où la vitesse dirigée engendrée par le champ électrique est plus petite que la vitesse moyenne d’agitation thermique. La méthode proposée par W.P. Allis consiste à développer f (r, w, t) en ayant recours aux harmoniques sphériques (polynômes de Legendre, voir annexe A14) selon : f (r, w, t) = f0 (r, w, t) + f1 (r, w, t) cos θ + f2 (r, w, t)

3 cos2 θ − 1 + ··· 2

(3.18)

où f0 est isotrope mais pas nécessairement maxwellienne (Golant et al., section 5.2). L’angle θ est celui du système de coordonnées sphériques où z est selon la direction d’anisotropie : ainsi, on écrira wz = w cos θ (voir exemple plus loin en section 3.4). Le développpement (3.18) suppose la symétrie suivant ϕ (sinon voir Delcroix et Bers, section 12.3).

3.2. Fonctions de distribution et notions de corrélation Nous voulons définir une fonction de distribution f (r, w, t) valable en tout point de l’espace des phases et qui caractérise individuellement chaque point de cet espace, c’est-à-dire sans qu’il y ait une relation entre ce point et les autres points de cet espace. Une telle fonction est dite simple par opposition aux fonctions doubles, triples, ... qui font intervenir une dépendance entre des couples de points, des triplets 91 On retrouve les harmoniques sphériques Y (θ, ϕ) dans la description de l’atome à un électron sous la forme Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) lorsqu’on effectue la séparation des variables de l’équation de Schrödinger.

3.2− Fonctions de distribution et notions de corrélation

139

de points, ... de cet espace. Nous allons d’abord considérer cette question à partir de la probabilité de présence dans l’espace des phases d’un ensemble de particules complètement corrélées, puis nous examinerons ensuite comment et suivant quelles hypothèses, il est possible de nous affranchir partiellement ou complètement de ces corrélations. De façon concrète, les corrélations sont causées par les interactions entre particules ; dans le cas général, toutes les particules ont une certaine influence les unes sur les autres, la corrélation étant alors totale.

3.2.1. Densité de probabilité de présence dans l’espace des phases La probabilité que, en même temps, la particule 1 (discernable) soit en r1 , w1 92 , la particule 2 en r2 , w 2 , la particule 3 en r3 , w3 . . ., s’exprime symboliquement par : D(r 1 , w 1 , . . . , r N , wN ) dr1 dw1 . . . dr N dwN

(3.19)

où D désigne la densité de probabilité de présence dans l’espace des phases à 6N dimensions où N est le nombre total de particules. La densité de probabilité D obéit à l’équation de Liouville ; elle contient toute l’information nécessaire pour caractériser complètement le système de N particules. La probabilité de trouver les N particules dans un état quelconque dans l’espace des phases s’obtient en intégrant la densité de probabilité D sur l’ensemble des éléments de volume de l’espace des phases : (3.20) D(r 1 , w 1 , . . . , r N , wN ) dr1 dw1 dr 2 dw 2 . . . drN dwN = 1 . Cette intégrale est égale à l’unité parce qu’une telle probabilité additionne tous les cas possibles et est donc, du point de vue statistique, une certitude. La probabilité de trouver la particule 1 (discernable) en r1 , w1 , quelles que soient les positions et les vitesses des autres particules, est donnée par l’intégration de (3.19) sur tous les éléments de volume à l’exception de dr 1 dw 1 :   (3.21) D(r 1 , w1 , . . . , rN , wN ) dr 2 dw 2 . . . drN dwN dr1 dw1 . Comme il se doit, le résultat de cette intégration ne dépend plus que de r1 et w 1 . En fait, les particules étant indiscernables, l’expression (3.21) représente la probabilité de trouver l’une quelconque des N particules en r 1 , w1 dans dr1 dw 1 à l’instant t.

92 Plus précisément, dans un volume élémentaire dr1 dw1 de l’espace des phases centré en r1 , w1 . . .

140

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Le nombre probable [dN ] de particules se trouvant en r 1 , w1 , vu l’indiscernabilité de celles-ci, est donc donné par la probabilité d’y trouver une particule (équation (3.21)) multipliée par le nombre total N de particules dans le système, ce qui s’écrit :   (3.22) [dN ] = N D(r 1 , w1 , . . . , rN , wN ) dr 2 dw 2 . . . drN dwN dr1 dw1 . Remarque : Le nombre réel dN de particules se trouvant dans un volume élémentaire dr1 dw 1 centré en r 1 , w1 peut être substitué au nombre probable [dN ] si le nombre de particules y est suffisamment grand pour que les fluctuations statistiques soient négligeables.

3.2.2. Fonction de distribution simple (cas de particules corrélées) Le nombre réel de particules dans l’élément de volume dr dw centré en r, w est, par définition, donné par : (3.23) dN = f1 (r, w, t) dr dw où f1 est dite fonction simple des vitesses. Si, comme nous l’avons dit, le nombre de particules est très grand, [dN ] = dN, d’où de (3.22) et (3.23) : f1 (r 1 , w 1 , t) dr1 dw1 =   N D(r 1 , w1 , . . . , rN , wN ) dr2 dw 2 . . . dr N dwN dr 1 dw1 , (3.24) qui est l’expression de la fonction simple obtenue à partir d’une situation de corrélation totale des particules. Puisque les particules sont indiscernables (propriété quantique), nous enlèverons les "étiquettes" sur celles-ci. La fonction f1 permet de connaître le nombre de particules présentes en un point donné de l’espace des phases, indépendamment des particules situées en un autre ou en d’autres points de cet espace. L’intégration de l’expression (3.23) sur dr 1 dw1 conduit, par définition, à : f1 (r, w, t) dr dw = N .

(3.25)

3.2.3. Fonction de distribution simple (cas de particules non corrélées) À l’inverse du cas précédent, en l’absence complète de corrélations (état permanent de chaos moléculaire), la densité de probabilité totale D étant alors le produit des densités de probabilités individuelles Di (i = 1, 2, 3 . . . N ), nous pouvons écrire : D = D1 D2 D3 . . . DN .

(3.26)

141

3.2− Fonctions de distribution et notions de corrélation

Considérant, une fois de plus, que les particules sont indiscernables, les densités de probabilité individuelles sont donc égales, alors : D = (D0 )N .

(3.27)

Tenant compte de la relation (3.20), la décomposition de D selon l’expression (3.27) entraîne : N  D0 dr dw = 1 , (3.28) de sorte que : D0 dr dw = 1 . Dans ce cas, d’après (3.24) en tenant compte de (3.28) : N−1  f1 (r, w, t) = ND0 = ND0 . D0 dr dw

(3.29)

Pour calculer f1 (r, w, t), on utilisera soit l’expression (3.24) dans le cas de particules totalement corrélées, soit l’expression (3.29) pour des particules sans corrélation aucune.

3.2.4. Fonction de distribution double (cas de particules corrélées) La fonction double f12 (r 1 , w1 , r 2 , w2 , t), par définition, considère les couples de particules que l’on peut trouver simultanément à l’instant t en deux points donnés et distincts r1 , w 1 et r 2 , w2 de l’espace des phases. La probabilité que la particule 1 soit en r 1 , w1 , alors que la particule 2 est en r 2 , w2 (au même instant t) est, selon le formalisme développé, donnée par :   (3.30) D(r 1 , w 1 , . . . , r N , wN ) dr3 dw3 . . . dr N dw N dr 1 dw 1 dr2 dw2 . Comme les particules sont indiscernables, le nombre total de couples de particules pouvant occuper deux points donnés de l’espace s’obtient, par analogie avec (3.22), en multipliant (3.30) par le nombre total de couples ordonnés qu’il est possible de former avec N particules, soit N (N − 1) : f12 (r 1 , w1 , r2 , w2 , t) dr1 dw1 dr2 dw 2 =   N (N − 1) D(r 1 , w1 , . . . , rN , wN ) dr 3 . . . dwN dr1 dw1 dr 2 dw2 où, par définition et compte tenu de (3.20) : f12 dr 1 dw 1 dr2 dw2 = N (N − 1)

(3.31)

(3.32)

conduit au nombre total de couples (ordonnés) de particules que l’on peut former 93 . 93 Par exemple, sur N = 3, il y a bien 6 couples ordonnés possibles : 12, 21, 13, 31, 23 et 32.

142

3− Description hydrodynamique d’un plasma

La fonction double est particulièrement adéquate quand il s’agit de décrire des collisions binaires : dans ce cas, les couples de particules animées des vitesses w α et w β avant collision interviennent dans le terme collisionnel notamment par la fonction double fαβ (voir la remarque 1 qui suit la relation (3.7)). Le recours à un couple de particules ordonné est arbitraire mais raisonnable dans de nombreux problèmes où les deux points jouent un rôle différent, du fait, par exemple, d’un environnement physique différent (forces en présence, inhomogénéité spatiale).

3.2.5. Fonction de distribution double (cas de particules non corrélées) Si on néglige totalement les corrélations entre particules, on peut, d’après (3.27), exprimer la fonction double sous la forme : f12 = N (N − 1)D02

N−2

 D0 (r, w) dr dw

= (ND0 )(ND0 )

N−1 , N

(3.33)

ce qui, d’après la relation (3.29) pour f1 , donne f12 = f1 (r, w, t)f2 (r, w, t)(N − 1)/N, de sorte que pour N très grand : f12 ≈ f1 (r, w, t)f2 (r, w, t) .

(3.34)

Ainsi, dans le cas de non-corrélation des particules, la fonction "double" f12 , qui conduit au nombre de couples de particules dont l’une est située en r 1 , w1 alors que l’autre est en r2 , w2 , s’exprime simplement comme le produit de deux fonctions simples : ce résultat était attendu.

3.2.6. Fonction de distribution à N-tuples Dans ce cas, par généralisation de (3.31), nous savons qu’il faut alors écrire, dans le cas de particules corrélées : f12...N (r1 , w1 , . . . rN , wN ) = N ! D(r 1 , w1 , . . . r N , w N )

(3.35)

et, en l’absence totale de corrélation : f12...N ≈ f1 f2 . . . fN .

(3.36)

Dans la suite, nous aurons principalement recours aux fonctions de distributions simples. Nous rencontrerons cependant les fonctions doubles dans l’intégrale de collisions binaires de l’équation hydrodynamique de transfert de la quantité de mouvement. Plus généralement, les fonctions de distribution multiples apparaissent dans la hiérarchie cinétique BBGKY (section 3.6).

3.3− Fonctions de distribution et grandeurs hydrodynamiques

143

3.3. Fonctions de distribution et grandeurs hydrodynamiques La fonction de distribution simple des vitesses nous permet de calculer, pour chaque position r et au temps t, la valeur moyenne de certaines propriétés moléculaires (aussi appelées corpusculaires ou microscopiques). Il en résulte ce qu’on appelle les grandeurs hydrodynamiques ou macroscopiques. Soit Υ(r, w, t), une propriété moléculaire quelconque (Υ est la lettre grecque majuscule upsilon). La définition la plus générale de sa valeur moyenne, notée Υ(r, t), est donnée par l’expression : Υ(r, w, t)f (r, w, t) dw Υ(r, t) =

w



(3.37) f (r, w, t) dw

w

dans laquelle le dénominateur représente la densité de particules 94 par unité de volume : n(r, t) = f (r, w, t) dw . (3.38) w

La relation (3.38) est la condition de normalisation de f (r, w, t), la fonction de distribution non séparée en r et w (voir plus loin (3.43)). Υ(r, w, t)f (r, w, t) dw On obtient donc :

Υ(r, t) ≡

w

n(r, t)

.

(3.39)

Définition de quelques grandeurs hydrodynamiques courantes

La vitesse moyenne :

v(r, t) =

1 n(r, t)

wf (r, w, t) dw ,

(3.40)

w2 f (r, w, t) dw

(3.41)

w

l’énergie cinétique moyenne : E¯cin =

mα 2n(r, t)

w

ˆR ˜ 94 Considérer à cet égard que le terme w f (r, w, t) dw dr représente le nombre de particules, toutes vitesses confondues, dans l’élément de volume dr de l’espace des positions.

144

3− Description hydrodynamique d’un plasma

et le tenseur de pression cinétique 95 : Ψ(r, v, t) = mα (w − v) ⊗ (w − v)f (r, w, t) dw

(3.42)

w

où l’opérateur ⊗ signifie le produit tensoriel des deux vecteurs (annexe A7). Grandeurs hydrodynamiques dans le cas particulier où la fonction f (r, w, t) est séparable La fonction de distribution f est séparable si l’on peut écrire (voir exercice 3.1, comme exemple) : f (r, w, t) = n(r, t)h(w, t) ou, le cas échéant, f (r, w) = n(r)h(w) .

(3.43)

Dans ce cas, la condition de normalisation de la fonction de distribution des vitesses (comparer avec (3.38)) est nécessairement : h(w) dw = 1 . (3.44) w

Les valeurs moyennes (3.40), (3.41) et (3.42) prennent alors la forme : v = wh(w) dw w m α E¯cin = w2 h(w) dw 2 w Ψ = mα n(r) (w − v) ⊗ (w − v)h(w) dw .

(3.45) (3.46) (3.47)

w

Remarques : 1. Dans ce qui suit, nous utiliserons la notation f pour désigner la fonction de distribution des vitesses, qu’elle soit séparée ou non : si l’argument de f ne contient pas le vecteur position r, la fonction doit être considérée comme ayant été séparée, c’est-à-dire f (w) ≡ h(w). 2. Une condition suffisante pour que f soit séparable est que le plasma soit uniforme en densité. 95 La signification de cette grandeur est discutée plus loin en section 3.5. Remarquons que (w − v) ⊗ (w − v) représente un produit tensoriel engendrant un tenseur d’ordre 2 (voir l’annexe A7 pour des notions sur les tenseurs). À noter que la densité n(r, t) n’intervient pas explicitement dans la définition (3.42) de Ψ(r, t).

3.3− Fonctions de distribution et grandeurs hydrodynamiques

145

Calcul d’une grandeur hydrodynamique à partir d’une fonction de distribution anisotrope développée en harmoniques sphériques (cas d’une fonction de distribution séparée) La condition de normalisation (3.44), compte tenu du développement en harmoniques sphériques de la fonction de distribution (3.18), mène à : f (w, t) dw = 4π f0 (w, t) w2 dw = 1 . (3.48) w

w

Le membre de droite ne retient donc du développement (3.18) que la contribution de la partie isotrope (ordre zéro) de cette fonction, comme nous allons le montrer. Parce que le deuxième terme du développement (3.18) est en cos θ et comme l’élément de volume, dw ≡ d3 w = w2 sin θ dθ dϕ dw, fait apparaître sin θ, il nous faut intégrer cos θ sin θ sur θ allant de 0 à π : l’intégrale qui en résulte, de parité paire, est nulle ! En effet, posons cos θ = τ et notons que sin θ dθ = −d(cos θ), de sorte que l’intégration de 1 cos θ sin θ dθ sur θ allant de 0 à π conduit à (τ 2 /2)−1 . La contribution du troisième terme du développement (3.18) étant en 3 cos2 θ − 1, ces deux termes sont de même parité en τ et s’annulent après évaluation sur les bornes (1, −1), et ainsi de suite pour les contributions d’ordre supérieur. Exemple d’application : calcul de la vitesse moyenne suivant la direction z d’anisotropie dans l’espace des vitesses. Le système de coordonnées dans cet espace est tel que wx = w sin θ cos ϕ, wy = w sin θ sin ϕ et wz = w cos θ. Sachant qu’il y a symétrie selon ϕ, nous aurons (nous rappeler que f est dans le cas présent une fonction de distribution séparée) : π ∞ vz = −

2π(w cos θ)f (w, t)w2 d(cos θ) dw .

(3.49)

θ=0 w=0

En remplaçant f (w, t) par son développement (3.18), et en prenant encore τ = cos θ comme variable d’intégration, il vient : ∞  vz = 0

1 ∞  3 1 1 2 τ 3 2πw f0 (w, t) dw + 2πw3 f1 (w, t) dw + . . . . τ 2 3 0   ! −1" ! −1" 0

(3.50)

2/3

Comme le terme isotrope et les termes d’ordre supérieur à 1 ne contribuent pas à vz , on obtient : ∞ 4π vz = w3 f1 (w, t) dw . (3.51) 3 0

146

3− Description hydrodynamique d’un plasma

3.4. Conductivité cinétique et hydrodynamique des électrons d’un plasma en présence d’un champ électromagnétique HF La conductivité électrique est une grandeur essentielle dans la description d’un plasma puisqu’elle permet d’établir un lien entre les particules chargées en mouvement et le ou les champs électriques avec lequel ou lesquels elles interagissent, champs aussi bien appliqués de l’extérieur qu’engendrés par le mouvement des particules chargées ellesmêmes. La conductivité électrique se retrouve tant dans la description cinétique que dans le modèle hydrodynamique. Nous commencerons par dériver l’expression de la conductivité des électrons sous sa forme cinétique, qui fait intervenir la fonction de distribution des vitesses des électrons. Nous en déduirons la conductivité hydrodynamique dont la relation avec la conductivité cinétique fait apparaître la notion de fréquence effective de collision. Ces diverses expressions de la conductivité seront établies en présence d’un champ de haute fréquence (HF), en prévision du traitement des décharges HF au chapitre 4.

3.4.1. Forme cinétique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF Solution de l’équation de Boltzmann pour une faible anisotropie des vitesses Soit un plasma uniforme 96 soumis à un champ électromagnétique HF d’amplitude faible (pour que ce champ n’induise pas d’effets non linéaires ni ne contribue à l’ionisation du plasma), dirigé suivant z. Alors l’équation de Boltzmann pour les électrons s’écrit avec pour fonction de distribution f (w, t) : eE0 iωt ∂f ∂f e = S(f ) . − ∂t me ∂wz

(3.52)

Dans (3.52), nous avons négligé l’effet sur les électrons du champ H de l’onde électromagnétique et nous avons supposé que la longueur d’onde est beaucoup plus grande que les dimensions du plasma : c’est l’approximation électrostatique permettant de négliger le terme e−iβz dans le terme de phase e−i(βz−ωt) du champ HF. De plus, nous ferons l’hypothèse qu’en l’absence du champ E, la fonction de distribution des particules, créées par un mécanisme autre que celui du champ HF, est f0 (w), une fonction isotrope mais pas forcément maxwellienne.

96 On pourrait traiter le cas d’un plasma inhomogène de la même façon pourvu que la fonction f soit séparable.

3.4− Conductivité électrique due aux électrons d’un plasma

147

Pour résoudre (3.52), compte tenu de l’anisotropie due à E, supposée faible, nous utilisons le développement en harmoniques sphériques de la fonction de distribution des vitesses. En nous limitant au premier ordre, il vient : f (w, t) = f0 (w) +

wz f1 (w)eiωt w

(3.53)

puisque cos θ = wz /w. Noter que la dépendance en t de la fonction f (w, t), explicitée dans le deuxième terme du développement, reflète la variation périodique du champ HF. Quant à l’opérateur de collisions, en accord avec notre hypothèse de faible amplitude du champ, donc de faible anisotropie, nous l’exprimons sous la forme d’une relaxation collisionnelle (3.8) associée à la fréquence de collision microscopique ν(w). Au premier ordre du développement de f (w, t) en harmoniques sphériques, de (3.8) nous obtenons pour l’opérateur de collisions :  w z (3.54) S(f ) = −ν(w) f1 (w)eiωt . w Nous cherchons à obtenir l’expression de la fonction f1 (w) qui caractérise l’écart à l’isotropie induit par le champ E (3.52) dirigé suivant z. Il nous faut d’abord montrer que : ∂f wz ∂f . (3.55) = ∂wz w ∂w Ceci vient de ce que : 1 ∂ wz ∂ ∂w ∂w 1 2wz = . ≡ et w = (wx2 + wy2 + wz2 ) 2 , d’où = ∂wz ∂w ∂wz ∂wz 2 w w

En reportant (3.53) et (3.54) dans (3.52) et en tenant compte de (3.55) tout en simplifiant de part et d’autre le facteur eiωt , il vient :  wz wz eE0 wz ∂  wz f1 (w)iω − f0 (w) + f1 (w)eiωt = −ν(w) f1 (w) w me w ∂w w w

(3.56)

où le terme ∂/∂w [f1 (w)wz /w], d’ordre deux, sera négligé devant les autres qui sont tous d’ordre un. En regroupant, nous arrivons à :   eE ∂f 0 0 f1 (w) ν(w) + iω = , me ∂w d’où :

f1 (w) =

eE0 /me ∂f0 . ν(w) + iω ∂w

(3.57)

(3.58)

148

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Conductivité des électrons en champ HF Densité de courant d’électrons due à un champ E périodique La fonction f (w, t) étant une fonction de distribution séparée, le courant engendré suivant z a pour expression : J ≡ −nevz = −ne wz f (w, t) dw . (3.59) w

En utilisant (3.51) qui donne vz précisément pour une fonction f séparée, il s’ensuit que : ∞ 4π J = −ne w3 f1 (w, t) dw (3.60) 3 0

où, dans le cas présent, f1 (w, t) = f1 (w)eiωt . Finalement, avec (3.58), nous arrivons à : J =−

4π ne2 E 0 eiωt 3 me

∞ 0

∂f0 3 1 w dw . ν(w) + iω ∂w

(3.61)

Expression de la conductivité Posant J = σE, nous obtenons de (3.61) par identification : 4π ne2 σ=− 3 me

∞ 0

∂f0 3 1 w dw , ν(w) + iω ∂w

(3.62)

appelée conductivité de Boltzmann ou conductivité cinétique. Après intégration par parties, nous arrivons à la forme équivalente suivante :   ∞ 4π ne2 w3 ∂ σ= (3.63) f0 (w) dw 3 me ∂w ν(w) + iω 0

puisque f0 (∞) = 0 et que la contribution pour la borne w = 0 est nulle. Permittivité diélectrique relative (à celle du vide) D’après la relation (2.43), nous savons que pour E = E0 eiωt :

p = 1 −

iσ , ω 0

(3.64)

(attention : p = 1 + iσ/ω 0 si E = E0 e−iωt ) alors de (3.62) :

p = 1 +

2 ωpe 4π ω 3

∞ 0

∂f0 (w) 3 1 w dw . ω − iν(w) ∂w

(3.65)

149

3.4− Conductivité électrique due aux électrons d’un plasma

3.4.2. Forme hydrodynamique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF Expressions remarquables de la conductivité électrique Fréquence de collision indépendante de la vitesse w 97 Dans ce cas, ν(w) = ν, et de (3.63) : 4 πne2 σ= 3 me (ν + iω)

∞ 0

⎡ ⎤ ∞ 2 ne ⎣4π f0 (w)w2 dw⎦ f0 (w) 3w2 dw = me (ν + iω) 0 ! " 

(3.66)

=1 d’après (3.48)

σ=

d’où :

ne2 , me (ν + iω)

(3.67)

qui est la conductivité (hydrodynamique) de Lorentz. Remarque : Nous avions déjà rencontré cette expression de la conductivité σ au chapitre 2 (équation (2.38)), en considérant l’électron comme se mouvant dans un milieu hydrodynamique visqueux (terme de force de viscosité −νv dans l’équation du mouvement (2.27)). On voit ici que la véritable condition permettant d’obtenir (3.67) est bien ν(w) = constante, ν(w) étant la fréquence microscopique de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Rappelons que, dans ces mêmes conditions, la permittivité du plasma est donnée par (2.44) :

p = 1 −

2 ωpe . ω(ω − iν)

(3.68)

Distribution maxwellienne des vitesses Nous avons (annexe A1) :  f0 (w) =

et donc :

me 2πkB Te

8 ne2 σ = 1/2 me 3π

∞ 0



3/2 exp −

me w 2 2kB Te



1 u4 exp(−u2e ) due ν(ue ) + iω e

(A1.1)

(3.69)

où ue ≡ w/(2πkB Te /me )1/2 . Nous pouvons alors calculer σ si ν(ue ) est connue. 97 Il s’agit de ν(w), la fréquence microscopique de collisions. Comme ν(w) = σ ˆ (w)wN , il faut des conditions particulières sur σ ˆ (w) pour que ν(w) ne dépende pas de w, par exemple, que σ ˆ (w) ≈ w −1 .

150

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Expression de la fréquence effective de collision Moyennant certaines approximations, nous pouvons préserver la forme de la conductivité de Lorentz (3.67), dans le cas d’une dépendance quelconque de ν en w, en substituant à la fréquence ν présente dans (3.62) une fréquence effective νeff , que nous allons maintenant définir. Nous obtiendrons des expressions relativement simples dans deux cas limites. 1. Le champ E est constant (ω = 0) ou sa pulsation ω est telle que ω ν. Dans cette limite dite du courant continu (CC), la conductivité de Lorentz (3.67) prend la forme (purement réelle) : ne2 , (3.70) σ= me ν alors que celle de Boltzmann (3.62), dans la même limite, s’écrit : 4π ne2 1 ∂f0 (w) 3 σ=− w dw . 3 me ν(w) ∂w

(3.71)

Nous pouvons exprimer (3.71) sous la forme (3.70) à condition d’introduire dans (3.71) une fréquence effective νeff(cc) telle que : 1 4π 1 ∂f0 (w) 3 w dw . ≡− (3.72) νeff(cc) 3 ν(w) ∂w 2. Le champ E varie de façon périodique, et suffisamment rapidement pour que ω  ν, approximation dite du champ HF. Dans ce cas, la conductivité de Lorentz (3.67) peut s’écrire : σ=

 1 ne2  ν ne2 = ν −i  ν 2 , me ω ω +i me ω 1+ ω ω

et nous sommes alors conduits, dans le cas limite présent, à :   ne2 ν i σ≈ − . me ω 2 ω

(3.73)

(3.74)

Par ailleurs, la conductivité de Boltzmann (3.62) exprimée à l’aide de la fonction f0 donne, dans cette même limite :   ν(w) i ∂f0 3 4π ne2 w dw , − (3.75) σ=− 3 me ω2 ω ∂w de sorte qu’en comparant (3.75) et (3.74), nous sommes amenés à poser : ∂f0 3 4π νeff(HF) = − ν(w) w dw 3 ∂w

(3.76)

151

3.5− Équations de transport

de manière à pouvoir exprimer la conductivité, dans cette limite, sous sa forme lorentzienne :   i ne2 νeff(HF) − σ= . (3.77) me ω2 ω Pour montrer que le terme en 4 − π 3



−i ω



∂f0 3 w dw ∂w

dans (3.75) se ramène bien à celui de −i/ω dans (3.74), il suffit de savoir que le terme 4π ∂f0 3 − w dw 3 ∂w vaut l’unité, ce qui s’obtient en l’intégrant par parties, puis en appliquant la condition de normalisation (3.48) : 4π 4π ∂f0 3 − w dw = 3 f0 w2 dw = 4π f0 w2 dw = 1 . 3 ∂w 3

3.5. Équations de transport Dans le modèle hydrodynamique, à chaque variable microscopique (Υ(r, w, t) = 1, mw, mw2 /2, m(w − v) ⊗ (w − v), . . .) correspond, du fait de gradients dans l’espace des phases, un flux macroscopique décrit par des équations dites de transport (équations hydrodynamiques). Pour obtenir celles-ci, multiplions par la variable Υ l’équation de Boltzmann (3.6) pour une fonction de distribution simple fα (r, w, t), puis intégrons sur toutes les vitesses : ∂fα F dw + Υw · ∇r fα dw + Υ Υ · ∇w fα dw = ΥS(fα ) dw . (3.78) ∂t mα w

w

w

w

Ignorons, pour alléger l’écriture, l’indice α de l’espèce de particules en jeu, l’indice r de l’opérateur différentiel dans l’espace des coordonnées spatiales, et le symbole ⊗ du produit tensoriel (w ⊗ w ≡ ww). L’examen des différents termes du membre de gauche de (3.78) permet de faire apparaître explicitement des valeurs moyennes (3.39) faisant intervenir la variable microscopique Υ, comme nous allons le montrer. Terme de variation temporelle (1er terme) Il peut s’écrire sous la forme : ∂ ∂f ∂Υ dw = dw , Υ Υf dw − f ∂t ∂t ∂t w

w

w

(3.79)

152

3− Description hydrodynamique d’un plasma Υ

soit : w

∂ ∂Υ ∂f dw = [nΥ] − n , ∂t ∂t ∂t

(3.80)

où les crochets   désignent une moyenne prise sur la fonction de distribution f (non séparée). Terme faisant intervenir le gradient spatial de f (2e terme) On peut le transformer en notant que 98 : ∇ · wΥf dw = f w · ∇Υ dw + Υw · ∇f dw w

w



w

Υw · ∇f dw = ∇ · nwΥ − nw · ∇Υ .

soit :

(3.81)

(3.82)

w

Terme faisant intervenir le gradient de f dans l’espace des vitesses (3e terme)

Υ w



F · ∇w f dw ≡ m

Υ

Fx ∂f dwx dwy dwz m ∂wx

Υ

Fy ∂f dwx dwy dwz m ∂wy

Υ

Fz ∂f dwx dwy dwz . m ∂wz

wx wy wz



+

(3.83)

wx wy wz



+ wx wy wz

En intégrant par parties, par exemple, le terme suivant wx , on obtient : Υ wx wy wz

Fx ∂f dwx dwy dwz = m ∂wx ,

dwy dwz wy wz

98 Voir annexes A7 et A8.

Fx Υ f m

+∞ wx =−∞

−

∂ f ∂wx

  Fx dwx . (3.84) Υ m

153

3.5− Équations de transport

Le premier terme de droite de (3.84) est nul puisque f (±∞) = 0. Le second terme se calcule facilement si on suppose que : ∂Fy ∂Fz ∂Fx = = = 0. ∂wx ∂wy ∂wz

(3.85)

Cette condition est satisfaite pour les deux types de force que nous allons rencontrer : force due à un champ électrique E. Cette force, qui agit sur les particules chargées, est effectivement indépendante de leur vitesse ; force due à un champ magnétique B. La composante de cette force dans une direction donnée ne dépend que des composantes de la vitesse suivant les deux autres directions. Selon (3.85), Fx étant une constante par rapport à wx , on peut donc l’exclure de la dérivée dans (3.84) et le terme comportant la force F (3.83) peut s’écrire : F F Υ · ∇w f dw = −n · ∇w Υ . (3.86) m m w

En reportant les expressions (3.80), (3.82) et (3.86) dans (3.78), on obtient l’évolution de la grandeur macroscopique de la variable microscopique Υ : ∂Υ F ∂ [nΥ] − n  + ∇ · [nwΥ] − nw · ∇Υ − n · ∇w Υ = ∂t ∂t m ΥS(f ) dw . (3.87) w

Nous allons maintenant utiliser cette relation pour obtenir les différents moments hydrodynamiques.

3.5.1. Équation de continuité (1er moment hydrodynamique : moment d’ordre zéro en w) Cette équation décrit le transport des particules (leur flux), compte tenu des diverses actions qu’elles subissent (champ de force F et collisions). Elle correspond à la variable microscopique : Υ = 1, (3.88) de sorte que :

∂Υ = 0, ∂t

∇Υ = 0,

∇w Υ = 0 .

(3.89)

L’équation (3.87) se réduit alors à : ∂n + ∇ · nv = ∂t

S(f ) dw . w

(3.90)

154

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Cette équation est appelée équation de conservation du nombre de particules ou équation de continuité 99 . Elle est de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro). Terme collisionnel : hypothèses retenues Le facteur S(f )dw représente le nombre net de particules qui ont rejoint (quitté si le facteur est négatif) l’intervalle w, w + dw de l’espace des vitesses par suite de collisions 100 . Dans le cas de collisions élastiques, il n’y a ni création ni disparition de particules dans le volume du plasma. En effet, ces collisions ne font que modifier la distribution des vitesses des particules, ce qui ne change pas, localement, leur nombre total, et l’intégrale sur toutes les vitesses est donc forcément nulle. Alors : ∂n + ∇ · (nv) = 0 . ∂t

(3.91)

Cependant, d’une façon générale, dans un plasma, il y a création de particules chargées en volume (par exemple, ionisation par collisions électron-neutre) et destruction de celles-ci soit par recombinaison en volume, soit par recombinaison sur les parois à la suite de la diffusion des particules vers celles-ci (section 1.8). Dans ces conditions, dès l’instant où il y a pertes par recombinaison en volume, l’intégrale du terme collisionnel prend la forme complète suivante : S(f ) dw = (¯ νi − ν¯r )n , (3.92) w

où ν¯i est la fréquence moyenne d’ionisation et ν¯r , celle de la recombinaison en volume. Dans le cas où les pertes n’ont lieu que par recombinaison en volume, à l’état stationnaire (∂n/∂t = 0), on a ν¯i = ν¯r , le terme ∇ · nv de (3.90) devenant nul. Au contraire, lorsque la diffusion est responsable de façon prépondérante de la perte des particules chargées, le terme d’ionisation l’emporte sur celui de recombinaison en volume et l’intégrale (3.92) est non nulle (voir Delcroix et Bers, appendice A9-1, pour une étude plus détaillée). L’interprétation de (3.90) peut maintenant être précisée : la variation en fonction du temps du nombre de particules de l’espèce α dans un volume V est égale au nombre net de ces particules résultant des processus de création et de perte en volume, moins le flux de cette espèce sortant, par diffusion, du volume V . En effet, l’équation (3.90) peut aussi s’écrire : ∂n dV = S(f ) dw dV − ∇ · nv dV , (3.93) ∂t V

V w

V

99 En multipliant (3.90) par mα , masse de l’espèce α, ou par qα , charge de l’espèce α, on obtient respectivement la loi de conservation de la masse ou celle de la charge électrique, cette dernière R s’écrivant ∂ρ/∂t + ∇ · J = qα w S(f ) dw. 100 Écrire l’opérateur de collision S(f ) sous la forme (∂f /∂t)col. a l’avantage de faire ressortir qu’il s’agit d’une variation de f en fonction du temps qui résulte des collisions (voir équation (3.5)).

155

3.5− Équations de transport et en appliquant le théorème d’Ostrogradski : ∂n S(f ) dw dV − nv · dS , dV = ∂t V w

V

(3.94)

S=∂V

où S est la surface limitant le volume V et dS un élément de surface normal à la surface S et dirigé vers l’extérieur du volume.

3.5.2. Équation de transport de quantité de mouvement (2e moment hydrodynamique : moment d’ordre un en w) Ce moment correspond à la variable microscopique : Υ = mw ,

(3.95)

ce vecteur ainsi défini entraînant : ∂mw = 0, ∂t soit encore :

∂Υ = 0, ∂t

∇r mw = 0 , ∇Υ = 0 ,

∇w mw = mI , ∇w Υ = mI ,

(3.96)

(3.97)

où I est le tenseur identité d’ordre deux, tenseur qui a pour composantes δij où δij est le symbole de Krönecker (δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j). L’équation (3.87) s’écrira donc : ∂ [nmw] + ∇ · [nmww] − nF · I = mwS(f ) dw , (3.98) ∂t w

relation de nature vectorielle (tenseur d’ordre 1). Pour évaluer le tenseur tenseur d’ordre 2 ww, posons : w =v+u

(3.99)

où u est la vitesse d’une particule relativement à la vitesse moyenne w = v de l’ensemble des particules. La vitesse u est donc une vitesse de moyenne nulle u = 0. Dans le langage statistique, u est une grandeur centrée par rapport à sa valeur moyenne. Nous obtenons alors, compte tenu de (3.99) : nmww = nmuu + 2uv + vv .

(3.100)

Comme uv = uv = 0, et vv = vv et puisque, de (3.39) et (3.42) : Ψ = nmuu ,

(3.101)

156

3− Description hydrodynamique d’un plasma

la relation (3.100) peut s’écrire : nmww = Ψ + nmvv où Ψ est le tenseur (d’ordre 2) de pression cinétique L’équation (3.98) prend alors la forme : ∂ (nmv) + ∇ · Ψ + ∇ · (nmvv) − nF  = ∂t

101

(3.102) .

mwS(f ) dw .

(3.103)

w

Sachant cependant que nous pouvons écrire : ∇ · (nvv) = (nv · ∇)v + v(∇ · nv) , nous obtenons de (3.103) : ∂ (nmv) + ∇ · Ψ + nm(v · ∇)v + mv(∇ · nv) − nF  = ∂t

(3.104)

mwS(f ) dw . (3.105) w

En tenant compte de la relation de continuité (3.91) (dans le cas particulier d’un terme collisionnel nul) et en notant que ∂(nmv)/∂t = mv∂n/∂t + nm∂v/∂t, la relation (3.105) se ramène à l’expression usuelle suivante :   ∂ nm + v · ∇ v + ∇ · Ψ − nF  = mwS(f ) dw . (3.106) ∂t w

Examinons successivement les différents termes de cette équation pour en préciser la signification physique et expliciter certains d’entre eux. 1. Le terme convectif v · ∇v, qui est non linéaire en v, ne facilite pas la résolution de (3.106). Heureusement, sa contribution est souvent négligeable devant les autres termes ; celle-ci demeure évidemment importante quand v est grand en valeur absolue ou lorsque son gradient est fort. 2. Le tenseur de pression cinétique y apparaît naturellement dans sa forme tout à fait générale (uu non isotrope, voir (3.109) plus loin). Le terme ∇ · Ψ se présente comme une force par unité de volume (mêmes dimensions que le terme nF ), dite force de pression cinétique. Pour préciser la signification de Ψ, considérons la force totale correspondante agissant sur un volume V donné. La relation d’Ostrogradski (cas particulier du théorème de Stokes-Cartan) nous permet d’écrire : ∇ · Ψ dV = Ψ · dS , (3.107) V

S=∂V

101 Le terme nm ww est une densité (à cause de n) totale "d’agitation" alors que nm vv est une densité "d’agitation" de convection et nm uu , une densité "d’agitation" purement thermique (aléatoire en direction). Le terme agitation désigne ici une grandeur qui a les dimensions d’une énergie et dont le caractère tensoriel permet de prendre en compte les anisotropies du milieu.

157

3.5− Équations de transport

faisant apparaître une force Ψ · dS s’exerçant sur un élément de surface de la paroi ˆs dS où e ˆs est un vecteur unitaire de ce volume. Alors, en notant que Ψ · dS = Ψ · e ˆs est une force 102 normal à la surface élémentaire dS, nous en concluons que Ψ · e par unité de surface, c’est-à-dire une pression ! Toujours dans le but de préciser le sens de Ψ (3.103), penchons-nous maintenant sur le tenseur uu. Comme c’est un tenseur d’ordre 2, nous pouvons le représenter par la matrice : ⎛ ⎞ ux uy  ux uz  u2x  ⎜ ⎟ u2y  uy uz  ⎠ . uu = ⎝ uy ux  (3.108) u2z   Les termes hors diagonale sont nuls : en effet, comme wiui f dwi = 0 (i=x, y, z) 103 , ceci donne bien, par exemple, ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ux uy  = ux ⎣ uy f dwy ⎦ dwx dwz = 0 . n uz ux 

wz wx

uz uy 

wy

Il s’ensuit que le tenseur se réduit à une matrice diagonalisée : ⎞ ⎛ 2 0 0 ux  ⎟ ⎜ u2y  0 ⎠. uu = ⎝ 0 0

(3.109)

u2z 

0

Cas particulier : la distribution des vitesses u est isotrope (ux =uy =uz ). En posant l’hypothèse supplémentaire d’une distribution de Maxwell-Boltzmann, il vient : u2x  = u2y  = u2z  =

kB T u2  = . 3 m

(3.110)

Avec ces deux hypothèses et, tenant compte de (3.101), nous avons : ∇ · Ψ ≡ ∇ · [(nkB T ) I ] ,

(3.111)

où I est le tenseur unité d’ordre 2, de sorte qu’en introduisant la pression partielle pα = nα kB Tα associée aux particules d’espèce α, nous obtenons finalement : ∇ · Ψ = ∇pα .

(3.112)

ˆs est bien un vecteur comme doit l’être 102 Ψ étant un tenseur d’ordre 2, le produit contracté Ψ · e une force. 103 En effet, comme u est par définition une vitesse centrée de moyenne nulle, on a 2 3 ZZ Z 4 ux f (w) dwx 5 dwy dwz = n ux = 0 , wy wz

wx

de même pour uy et uz , soit plus généralement

R wi

ui f (w) dwi = 0.

158

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Toujours avec ces hypothèses, l’équation de transport de quantité de mouvement (3.106) des particules d’espèce α prend la forme :  n α mα

 ∂ + v α · ∇ v α + ∇pα − nα qα (E + v α ∧ B) ∂t = mα wα S(fα ) dwα , (3.113) wα

où les champs E et B, dans le cas général, désignent aussi bien les champs appliqués de l’extérieur que les champs (macroscopiques) induits ; l’opérateur de collision S(fα )β est celui défini par l’expression (3.7). 3. Le terme collisionnel qui apparaît dans le second membre du moment d’ordre un de l’équation (3.106) représente l’impulsion totale "gagnée" ou "perdue" par les particules de type α à la suite d’interactions élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, de telles collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire au total ni à un gain ni à une perte net d’impulsion ! Ce terme collisionnel doit donc s’écrire :  P αβ , (3.114) Pα = où :

P αβ =

β =α

mα wα S(fα )β dwα .

(3.115)

wα

Pour obtenir une expression décrivant ce transfert net d’impulsion d’un groupe de particules à un autre (par exemple des électrons aux neutres), nous allons, dans un premier temps, procéder de façon phénoménologique (expression approchée de P αβ ) puis, dans un second temps, faire appel au résultat du calcul exact de P αβ . Expression approchée de P αβ pour les collisions élastiques Nous avons déjà montré (section 1.7.2) que la quantité d’impulsion Δpαβ transférée d’une particule à une autre lors d’une collision dépend de la vitesse relative entre les deux particules avant collision : Δpαβ = −

mα mβ (1 − cos θ)(w α − wβ ) . mα + mβ

(1.88)

Pour caractériser, sur toute leur distribution de vitesses, le transfert net d’impulsion par unité de volume, ΔP αβ , des particules de type α, de densité nα , à l’ensemble des particules de type β (β = α), de densité nβ , nous ferons intervenir les vitesses moyennes v α et v β plutôt que l’intégrale sur les vitesse wα et w β (ceci revient à poser que les fréquences de collisions microscopiques ναβ sont indépendantes de la vitesse relative wαβ ). Alors, l’impulsion P α perdue par les particules α au profit des particules β, par unité de temps et par unité de volume, est de l’ordre de :

159

3.5− Équations de transport nombre de transferts d’impulsion par seconde, par unité de volume ↓

! "   mα mβ ΔP αβ Pα = = P αβ ≈ − ναβ nα (v α − v β ) . Δt mα + mβ β =α β =α ↑ ↑ diminution de l’impulsion moyenne dirigée (au profit des particules β)

(3.116)

nombre de transferts d’impulsion par seconde, par particule α

En supposant que les particules de type α sont des électrons, alors : P αβ −ναβ nα mα (v α − v β ) ,

(3.117)

puisque la masse réduite μαβ ≡ mα mβ /(mα + mβ ) se ramène à mα . Cette relation, relativement simple, obtenue pour le cas des collisions élastiques, s’applique aussi aux collisions inélastiques dans la mesure où ναβ est la somme des fréquences de collisions élastiques et inélastiques exprimées de façon appropriée et que la fonction de distribution des vitesses est isotrope (Golant et al., section 6.3). Expression exacte de P αβ pour les collisions élastiques L’expression rigoureuse de P αβ est donnée par Golant et al. (section 6.3) : mα mβ ναβ P αβ = (w β − w α ) fα (w α )fβ (wβ ) dwα dw β , (3.118) mα + mβ nβ wα wβ

où les fonctions fα (wα ) et fβ (wβ ) sont des fonctions de distribution simples de vitesses des particules α et β, non séparées (la dépendance en r a été omise par commodité d’écriture). La fréquence (microscopique) de collision ναβ des particules α sur les particules β en fonction de l’angle de diffusion θ s’écrit (en s’inspirant de (1.136)) : π ναβ = nβ wαβ

2πˆ σ (θ)(1 − cos θ) sin θ dθ

(3.119)

0

où wαβ est le module de la vitesse relative |wα − w β | des particules α et β et où l’intégrale correspond à la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement (1.107). Rappelons que ναβ est différent de νβα puisque : π νβα = nα wαβ

2πˆ σ (θ)(1 − cos θ) sin θ dθ ,

(3.120)

0

de sorte qu’en combinant (3.119) et (3.120), il vient : νβα ναβ = . nβ nα

(3.121)

160

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Il en résulte que :

P αβ = −P βα

(3.122)

et, en particulier :

P αα = −P αα = 0 .

(3.123)

Il y a donc bien conservation de la quantité de mouvement globale lors des collisions élastiques entre particules identiques (P α = 0). Dans le cas général, ναβ dépend du module wαβ de la vitesse relative et le calcul de l’intégrale (3.118) n’est pas évident. Par contre, si l’on peut poser l’approximation que ναβ n’en dépend pas 104 , la relation (3.118) s’intègre facilement et on obtient : P αβ = −μαβ nα ναβ (v α − v β ) , (3.124) expression identique à l’équation (3.116). Remarque : Dans le cas de collisions inélastiques, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule α est égale à la somme de la variation d’énergie interne (potentielle) et de la variation d’énergie cinétique de la particule β. Toutefois, le problème se simplifie considérablement 2 /2 est transformée intégralement en énergie si l’énergie cinétique relative μαβ wαβ potentielle ΔE au cours de la collision 105 , soit d’après (1.76) : 

2 μαβ wαβ = 0.

(3.125)

La variation de quantité de mouvement Δpαβ de la particule α (1.78) se simplifie alors, compte tenu de (1.79) : Δpαβ ≡ −μαβ (wαβ − wαβ ) = −μαβ wαβ .

(3.126)

Dans ces conditions, le terme de collision inélastique, après intégration, s’écrit : P αβ = −μαβ nα ναβ (v α − v β ) ,

(3.127)

expression de forme identique à celle des collisions élastiques (3.124). 4. On peut désormais réunir les différents termes de l’équation du moment d’ordre 1 en w. Pour cela, posons : ∂ d ≡ +v ·∇, (3.128) dt ∂t où l’opérateur dérivée totale 106 , d/dt, est dit particulaire lorsque l’observateur, attaché à une particule, suit celle-ci dans son mouvement (description dite de 104 La fréquence effective de collision ναβ est indépendante de la vitesse relative si la section efficace de collision σ ˆαβ pour la quantité de mouvement est inversement proportionnelle à la vitesse relative. On peut montrer que ce cas correspond à un potentiel d’interaction en 1/r 4 , ce qui est assez bien vérifié pour les collisions entre espèces chargées et neutres. 105 Dans cette hypothèse, la collision est nécessairement frontale puisque wαβ = 0 (3.125) et que wαβ , wα0 et wβ0 sont colinéaires (1.70). 106 Bien noter que, en régime stationnaire, la dérivée totale n’est pas nulle car le terme convectif v · ∇ subsiste. Seul le terme ∂/∂t s’annule.

161

3.5− Équations de transport

Lagrange). Par contre, le membre de droite de (3.128) peut être considéré comme décrivant le mouvement d’un élément de volume dans le repère du laboratoire : le mouvement dépend, d’une part, de la variation dans le temps de la vitesse locale et, d’autre part, du mouvement d’ensemble (convection) du gaz (description dite de Euler). Finalement, compte tenu de (3.124) et (3.128), (3.113) prend la forme usuelle suivante 107 :  d 1 mα v α = qα (E + v α ∧ B) − ∇pα − μαβ ναβ (v α − v β ) . (3.129) dt nα β =α

C’est l’équation du 2e moment (moment d’ordre 1 en w) ou équation de transport de la quantité de mouvement des particules d’espèce α ayant une distribution de vitesses isotrope et en interaction collisionnelle de nature élastique avec les particules d’espèce β différente de α (3.124). On l’appelle aussi équation de Langevin. L’équation (3.129) détermine l’accélération du fluide sous l’influence de différentes forces, incluant les forces électriques et magnétiques, le gradient de pression et les forces de viscosité collisionnelle. Remarque : Il est intéressant de comparer l’équation (3.129) avec l’équation hydrodynamique du transfert de quantité de mouvement de Navier-Stokes dans l’hypothèse d’un fluide incompressible (dans ce cas ρM , la masse de l’unité de volume, étant constante, l’équation de continuité entraîne ∇ · v = 0) et visqueux. Dans ces conditions, cette équation a pour expression (Landau et Lifchitz) :   ∂v + (v · ∇)v = −∇p + ηv Δv + nF (3.130) ρM  !" ∂t  ! " ↑ ↑ Force par unité de volume

Terme d’interaction (viscosité)

où ηv est le coefficient de viscosité du fluide.

3.5.3. Équations du moment d’ordre deux en w On distingue deux cas classiques suivant que le moment d’ordre 2 est en w2 ou en ww. Équation de transport d’énergie cinétique Cette équation est aussi appelée équation du bilan d’énergie. Ce moment correspond à la variable microscopique : 1 Υ = mα w 2 (3.131) 2 107 Rappelons que l’équation (3.113), tirée de (3.107), est obtenue à partir de (3.91), l’équation de continuité sans second membre.

162

3− Description hydrodynamique d’un plasma

∂Υ = 0, ∂t L’équation (3.87) s’écrit alors :

qui conduit à 108 :

∂ ∂t



∇Υ = 0 ,

∇ w Υ = mα w .

(3.132)

   1 1 nα mα w2  + ∇ · nα mα ww2  − nα F · w 2 2 1 mα w2 S(f ) dw , (3.133) = 2

relation de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro). Notant que w2 =u2  + v 2 et supposant l’isotropie des vitesses avec u2 =3kB T /mα , nous obtenons pour l’espèce α :     ∂ ∂ 1 3 2 nα mα vα + nα kB Tα = −∇ · q α + nα qα E · v α + Rα (3.134) ∂t 2 ∂t 2 ! " ! "   Énergie cinétique dirigée (convection)

où :

Énergie cinétique aléatoire

qα =

n α mα wα wα2  2

(3.135)

est le vecteur-flux 109 de l’énergie cinétique totale des particules de type α et le terme :  Rαβ (3.136) Rα = β =α

représente l’énergie cinétique totale "gagnée" ou "perdue" par les particules α à la suite d’interactions collisionnelles élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, les collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire ni à une perte ni à un gain net d’énergie cinétique. La variation de la densité de l’énergie cinétique totale du fluide de particules α (membre de gauche de (3.134)) a lieu en raison des trois mécanismes qu’expriment à tour de rôle les termes du membre de droite : 1er terme : transport de l’énergie cinétique d’un point à un autre du plasma du fait d’un gradient spatial 110 ; 2e terme : apport d’énergie au plasma (chauffage) par le courant de particules se mouvant dans un champ E (chauffage ohmique) ; 3e terme : variation de l’énergie cinétique des particules α du fait de leurs collisions avec d’autres types de particules.

108 Noter que (3.131) pouvant aussi se mettre sous la forme Υ = gradient d’un scalaire engendre nécessairement un vecteur).

1 m w 2 α

· w, ∇w Υ = mα w (le

109 De façon générale, le vecteur nwΥ(w) est le vecteur-flux de la propriété moléculaire Υ(w). 110 Par exemple, dans le cas d’un gradient spatial de température, le flux de chaleur peut s’exprimer par qα = −κα ∇Tα où κα est la conductivité (ou conductibilité) thermique de l’espèce α.

3.5− Équations de transport

163

Le terme de collision Rαβ résultant des collisions élastiques des particules α avec les particules β peut s’écrire, de la même façon que pour le moment d’ordre 1 si la fréquence de collision ναβ est indépendante de la vitesse (Golant et al. section 6.4) :   2mα mβ mα wα2  mβ wβ2  mβ − mα − + w α · w β  . (3.137) Rαβ = − nα ναβ (mα + mβ )2 2 2 2 Sachant, d’une part, que la moyenne du produit scalaire w α · wβ est nulle si toutes les orientations initiales des particules sont possibles avec une même densité de probabilité (voir (1.97)), et, d’autre part, que :

 (3.138) mα wα2  = mα u2α  + vα2 = 3kB Tα + mα vα2 , l’expression (3.137) s’écrit maintenant, compte tenu de (3.138) et de (1.99) définissant δ, le coefficient de transfert d’énergie :   mβ vβ2 mα vα2 3 Rαβ = −δnα ναβ (3.139) − + kB (Tα − Tβ ) . 2 2 2 On peut remarquer qu’effectivement Rαα = 0. Bien que cela se vérifie facilement sur (3.139), il n’est pas nécessaire de supposer que ναβ est indépendant de la vitesse pour obtenir ce résultat puisque l’énergie cinétique est un invariant des collisions élastiques. Il arrive couramment que le gaz soit sans vitesse dirigée (v α = v β = 0) ou que toutes les particules aient la même vitesse (v α = v β ). Dans ces cas, les termes contenant v α et v β se retranchent et il reste :   3 3 kB Tα − kB Tβ , Rαβ = −δnα ναβ (3.140) 2 2 ce qui illustre bien l’échange d’énergie cinétique lors de collisions élastiques. Remarque : Dans le cas des collisions inélastiques, comme nous l’avons déjà mentionné, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule α est égale à la somme de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie cinétique de la particule β. Toutefois, le problème se simplifie considérablement si l’on suppose que la variation d’énergie cinétique de la particule β est négligeable par rapport à la variation de son énergie interne, ce qui est précisément le cas des collisions avec les électrons (1.77). Avec cette hypothèse, pour une fréquence de collision ναβ , le terme de collision Rαβ résultant des collisions inélastiques des particules α (électrons) avec les particules β s’écrit alors : Rαβ = −nα ναβ Ek où Ek représente l’énergie seuil de la collision inélastique considérée.

(3.141)

164

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Équation de transport du tenseur de pression cinétique Ψ Ce tenseur définit le véritable moment d’ordre 2 en w. Ce tenseur de pression cinétique Ψ (3.42) correspond à la variable microscopique : Υ = mα (w − v)(w − v) dans laquelle v = v(r, t). En utilisant la relation w = v + u, on obtient :   ∂Υ ∂v ∂v = −mα u + u , ∂t ∂t ∂t ∇Υ = −mα ∇vu − mα ∇uv = −mα ∇vu − (mα ∇vu)T , ∇w Υ = mα (uI + Iu)

(3.142)

(3.143) (3.144) (3.145)

où I est le tenseur unité d’ordre 2 et l’indice supérieur T indique la transposée de la matrice représentative du tenseur 111 . Tous ces termes, de nature tensorielle, sont d’ordre 2. L’équation (3.87) s’écrit alors : ∂ ∂v ∂v [nα mα (w − v)(w − v)] + nα mα u + u ∂t ∂t ∂t + ∇ · [nα mα w(w − v)(w − v)] + nα mα w · ∇vu + w · (∇vu)T  − nα F · (uI + Iu) = mα (w − v)(w − v)S(f ) dw , (3.146) w

équation de nature tensorielle d’ordre 2. Récrivons l’expression (3.146) en posant de nouveau w = v + u et en supprimant les termes dont la moyenne est nulle : ∂ nα mα uu + ∇ · nα mα vuu + uuu ∂t + nα mα u · ∇vu + (u · ∇vu)T  − nα F · (uI + Iu) = Rα , (3.147) où :

Rα =



Rαβ

(3.148)

β =α

est le terme de collision (annexe A15). En développant l’équation (3.147), on obtient : ∂ nα mα uu + (∇ · v)nα mα uu + (v · ∇)nα mα uu + ∇ · nα mα uuu ∂t + nα mα uu · ∇v + (nα mα uu · ∇v)T − nα F · (uI + Iu) = Rα . (3.149) 111 Le tenseur d’ordre 2 AT d’éléments αT ij est le tenseur transposé de même ordre de A et d’éléments T αij si αT ij = αji . Ainsi, ∇Υ = −mα (∇vu + ∇uv) = −mα ∇vu − (mα ∇vu) .

165

3.5− Équations de transport

Il faut noter que le dernier terme du premier membre de (3.149) est nul si la force F est indépendante de la vitesse (cas de F = qα E) : en effet, on peut alors sortir F de l’expression entre crochets qui ainsi s’avère nulle. Nous pouvons transformer (3.149) pour l’écrire sous la forme :   ∂ + v · ∇ + (∇ · v) Ψ + ∇ · Q + Ψ · ∇v + (Ψ · ∇v)T − M = Rα ∂t

(3.150)

où Ψ est le tenseur de pression cinétique (3.101) et M , également un tenseur d’ordre deux, résultant de l’action d’un champ magnétique extérieur (annexe A15) ; par contre, Q est un tenseur d’ordre trois, défini par : (3.151) Q = mα (w − v)(w − v)(w − v)f (r, w, t) dw , w

appelé tenseur de flux d’énergie thermique : c’est un moment centré d’ordre 3 des vitesses par rapport à la vitesse moyenne de la fonction de distribution f (r, w, t). Nous souhaitons modifier le premier terme de (3.150). Pour cela, nous remarquons que l’équation de continuité (3.91) avec second membre nul peut se développer en : ∂n + (v · ∇)n + n∇ · v = 0 , ∂t d’où, en faisant apparaître la dérivée totale (3.128) :

(3.152)

1 dn . (3.153) n dt Nous pouvons alors transformer les trois premiers termes de (3.150) pour obtenir :     ∂ d Ψ d Ψ dn +v·∇+∇·v Ψ≡ Ψ− ≡n . (3.154) ∂t dt n dt dt n ∇·v =−

L’équation (3.150) se réduit alors à :   d Ψ n + ∇ · Q + (Ψ · ∇) v + [(Ψ · ∇) v]T − M = Rα . dt n

(3.155)

Remarque : Le tenseur de pression cinétique : Ψ = mα (w − v)(w − v)f (r, w, t) dw , w

qui apparaît comme un moment centré (par rapport à v) d’ordre 2, s’apparente à une variance 112 calculée par rapport à une valeur moyenne qui, dans le cas présent, est la vitesse v. 112 La variance D d’une variable aléatoire X s’exprime en fonction de l’espérance mathématique E selon D[X] ≡ E[(X − m)2 ] = E[X 2 ] − E[X]2 où E[X] = m. Elle caractérise l’écart, plus ou moins important, de l’ensemble des valeurs de la distribution par rapport à la valeur moyenne m.

166

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Pour le voir, notons que l’on peut écrire : Ψ = mα wwf dw − mα vvf dw = nmα ww − nmα vv , w

(3.156)

w

donc de la forme E[X 2 ] − E[X]2 où E[X] signifie l’espérance mathématique de la variable X. Si nous résumons, nous avons fait connaissance avec quatre aspects du tenseur de pression cinétique : ∇ · Ψ représente une force par unité de volume. ˆs (Ψ projeté normalement à une surface unitaire) est une force par unité de Ψ·e surface : c’est la pression cinétique. Celle-ci est la généralisation à un gaz anisotrope de la pression scalaire. Ψ est le moment centré d’ordre 2 de la fonction de distribution des vitesses quant à leur valeur moyenne v : il s’apparente à la variance des vitesses microscopiques. Ψ a les dimensions d’un flux de quantité de mouvement : en effet, alors que nv est un flux de particules, nv(mv) de (3.156) représente un flux de quantité de mouvement.

3.5.4. Équations des moments d’ordres supérieurs On peut écrire l’équation de transport du flux d’énergie d’ordre 3 Q (3.151), moment d’ordre 3 quant à w, et ainsi de suite pour les moments d’ordres supérieurs, ce qui conduit à engendrer un nombre infini d’équations hydrodynamiques. Remarque : Il faut, en général, une série d’équations hydrodynamiques pour chaque type de particules. Cependant, dans certains cas, le seul fluide d’électrons rend bien compte des observations (section 3.7).

3.6. Fermeture des équations de transport Les équations de transport des grandeurs n, mv, Ψ, Q . . . décrivent bien l’évolution d’un plasma à l’échelle macroscopique, mais présentent l’inconvénient de former un système indéterminé. En effet : l’équation de conservation du nombre n de particules contient v, l’équation décrivant l’évolution de v fait appel au tenseur Ψ d’ordre 2, l’équation décrivant l’évolution du tenseur de pression cinétique Ψ fait apparaître le tenseur Q d’ordre 3, et ainsi de suite ...

3.6− Fermeture des équations de transport

167

En somme, l’évolution d’une variable donnée est toujours dépendante d’une autre variable dont l’ordre tensoriel lui est supérieur d’une unité. On dit qu’un tel système constitue une hiérarchie. Dans la pratique, on n’utilise généralement que les 2 ou 3 premiers moments des équations de transport. Pour briser la dépendance hiérarchique, il faut poser une hypothèse simplificatrice sur le tenseur d’ordre le plus élevé apparaissant dans l’équation de transport du moment le plus élevé que l’on désire conserver, procédure communément appelée fermeture des équations de transport (voir exemples qui suivent dans la Méthode de fermeture). Remarque : Un problème analogue, mais différent dans sa signification physique, se pose en théorie cinétique. Ainsi, l’intégration de l’équation de Liouville dD/dt = 0 (D est la densité de probabilité définie en section 3.2) sur toutes les positions r i , w i de l’espace des phases sauf sur r 1 , w 1 conduit à : F ∂f1 + w · ∇ r f1 + · ∇w f1 = S1 (f12 ) . ∂t m

(3.157)

Cette équation (dite de Boltzmann), qui décrit l’évolution de la fonction simple f1 (3.24), fait apparaître un terme d’interaction binaire entre particules sous la forme de la fonction double f12 (3.30). En intégrant de manière semblable l’équation de Liouville, cette fois, sauf sur r1 , w1 et sur r2 , w 2 , on obtient : ∂f12 F + w · ∇r f12 + · ∇w f12 = S12 (f123 ) , ∂t m

(3.158)

où le terme S(f123 ) représente des interactions ternaires entre particules, et ainsi de suite pour f123 , f1234 . . . Nous sommes à nouveau en présence d’un système indéterminé d’équations, une hiérarchie appelée BBGKY 113 . Pour pouvoir utiliser l’équation (3.157) indépendamment de (3.158), nous avons posé, comme condition de fermeture, l’hypothèse de faibles corrélations binaires entre particules (équation (3.34)), soit S(f12 ) S(f1 f2 ). Notons que la hiérarchie BBGKY se constitue du fait de l’opérateur de collision alors que la hiérarchie des équations hydrodynamiques a une toute autre origine. Elle résulte de l’existence de gradients dans l’espace des positions, et elle apparaît sous la forme d’une divergence d’un tenseur d’un ordre supérieur d’une unité à l’ordre tensoriel de l’équation hydrodynamique considérée. Remarquons, par ailleurs, que l’ensemble des équations hydrodynamiques que nous venons de développer provient du calcul de valeurs moyennes prises uniquement sur l’équation de Boltzmann, la toute première relation de la hiérarchie BBGKY. Méthode de fermeture Dans la description hydrodynamique, on peut s’arrêter à k équations en "simplifiant" le tenseur Υ d’ordre k+1 qui apparaît généralement, comme nous venons de l’indiquer, 113 Du nom des physiciens Born, Bogolioubov, Green, Kirkwood, Yvon, dans l’ordre alphabétique, qui, semble-t-il, est exactement l’inverse de l’ordre historique.

168

3− Description hydrodynamique d’un plasma

sous la forme ∇ · Υ : cette hypothèse revient le plus souvent à remplacer ce terme par une quantité tensorielle d’ordre inférieur. Parmi les hypothèses simplificatrices de fermeture des équations hydrodynamiques, considérons-en, au total, deux des plus courantes : 1. Plasma froid. On néglige complètement l’agitation thermique, et on suppose que T = 0, ce qui permet d’écrire Ψ = 0 dans l’équation de transport de la quantité de mouvement. Les équations hydrodynamiques décrivant n et v forment alors un système déterminé auquel on pourra adjoindre les équations de Maxwell. Le domaine d’application de cette approximation touche particulièrement : la description des propriétés d’un faisceau d’électrons les phénomènes ondulatoires dans les plasmas (pour une vitesse de phase très supérieure à la vitesse moyenne des particules due à l’agitation thermique). 2. Plasma tiède. Cette approximation, moins radicale que la précédente, a l’avantage de prendre en compte l’agitation thermique, dont on suppose cependant qu’elle obéit à la loi de Maxwell-Boltzmann. Elle permet ainsi de décrire un plus grand nombre de phénomènes observés. Elle s’applique plus particulièrement aux cas suivants : gaz neutres : le champ E ne pouvant dans ce cas acheminer de l’énergie dans le système et mettre ces particules en mouvement, il est indispensable de prendre en compte leur agitation thermique plasmas pour lesquels l’approximation "plasma froid" s’avère trop grossière, par exemple, pour décrire la propagation d’ondes de faible vitesse de phase. Dans l’approximation du plasma tiède, différentes hypothèses sont possibles, dont les principales sont : a) Hypothèse isotherme Dans cette approximation, on considère que le tenseur de pression cinétique n’est plus nul mais a pour expression Ψ = nkB T où les valeurs des températures Tij du tenseur T ne varient pas avec la position spatiale (Tij = constante). Dans le cadre de cette hypothèse, deux cas peuvent être envisagés : Plasma isotrope. Le tenseur de pression cinétique se réduit à la seule pression cinétique isotrope et scalaire p = nkB T . Ainsi, selon (3.112), à ∇ · Ψ, on peut substituer ∇p = ∇nkB T , terme d’ordre tensoriel 1, dans lequel : ∇kB T = 0 .

(3.159)

Comme dans le cas de l’approximation du plasma froid, la fermeture du système s’effectue au moment d’ordre 1 en w, c’est-à-dire que l’on ne retient que les deux premières équations hydrodynamiques. Plasma anisotrope. Le tenseur de pression cinétique, suivant (3.111), prend la forme Ψ = nkB T , où, cette fois, les composantes Tij sont très différentes suivant la valeur de i. Comme, par hypothèse, les composantes de T ne

3.6− Fermeture des équations de transport

169

dépendent pas de la position, ∇ · kB T = 0. La fermeture du moment d’ordre 1 en w s’écrit alors : ∇ · Ψ = ∇ · nkB T = kB T · ∇n + n(∇ · kB T ) = kB T · ∇n .

(3.160)

Le résultat final est bien un terme tensoriel d’ordre 1, c’est-à-dire un vecteur. b) Écoulement adiabatique 114 Le système perturbateur (par exemple une onde) n’a pas le temps d’échanger de l’énergie avec son environnement. Pour déterminer la relation d’état p(n), nous devons considérer les trois premières équations hydrodynamiques. La condition de fermeture est appliquée à l’équation de transport de Ψ (moment en Ψ), en faisant R = 0 et en posant ∇ · Q = 0 : il ne doit pas y avoir de transfert d’énergie entre particules ni de transport d’énergie par les particules car la compression est adiabatique. Si, à ces conditions, on ajoute que Ψ se réduit à la pression cinétique scalaire p, nous pouvons montrer (annexe A16) que l’équation de transport du tenseur de pression cinétique conduit à la relation purement scalaire suivante : n

d 3p + p∇ · v = 0 . dt 2 n

(3.161)

1 dn (3.153), l’équation (3.161) s’écrit Compte tenu de la relation ∇ · v = − n dt finalement :   d 3p p dn n (3.162) = dt 2 n n dt dont la solution est :

pn−γ = constante ,

(3.163)

où γ = 5/3 (gaz parfait). C’est la relation d’adiabaticité. Dans le cas où le fluide considéré est isotrope (par exemple, des électrons en l’absence de champ B) et assimilable à un gaz parfait de densité n, le rapport d’adiabaticité γ (rapport des chaleurs spécifiques cp /cv ) vaut en effet 5/3. D’autres valeurs de γ sont possibles. Ainsi, pour un écoulement unidimensionnel (linéaire) en présence d’un champ B 0 (milieu anisotrope), on utilise γ = 3 pour la compression parallèle à B 0 et γ = 1 pour la compression perpendiculaire à B 0 . Plus généralement, si les molécules ont δ¯ degrés de liberté (vibration, rotation, translation), alors γ = 1 + 2/δ¯ : ainsi, δ¯ = 2 dans le cas d’une symétrie azimutale et δ¯ = 3 pour une compression de symétrie sphérique à 3 dimensions d’où, effectivement, γ = 5/3. Le cas où γ = 5/3 est aussi appelé approximation d’Euler ou approximation scalaire (parce que la compression est de symétrie sphérique). 114 Un changement d’état du système est adiabatique s’il n’y a ni apport, ni perte d’énergie thermique du système. Deux situations sont possibles : 1) le système est isolé ; 2) le processus considéré (par exemple, la compression du plasma exercée par une onde) est si rapide qu’il ne peut y avoir transfert de chaleur par conduction.

170

3− Description hydrodynamique d’un plasma En résumé, l’hypothèse d’écoulement adiabatique s’utilise dans des situations où les particules, par exemple, sont soumises à la propagation d’une onde sonore ou subissent un écoulement très rapide. Dans l’hypothèse d’un gaz parfait où p = nkB T , la relation d’adiabaticité peut aussi s’écrire : T n1−γ = constante ,

(3.164)

confirmant ainsi que la température, comme n, dépend bien, dans ce cas, des coordonnées spatiales.

3.7. Modèle du plasma d’électrons de Lorentz Ce modèle peut être vu comme une première application des équations hydrodynamiques et des méthodes de fermeture dans le cas d’un fluide d’électrons. Soit un plasma composé d’électrons, d’ions et d’atomes neutres. Considérons le cas où le degré d’ionisation est faible (ne n0 ) : les interactions électron-électron, ion-ion, électron-ion peuvent être négligées devant les collisions électron-neutre, beaucoup plus nombreuses et donc prépondérantes en ce qui concerne les échanges de quantité de mouvement par collisions. De ce fait, les échanges énergétiques entre le fluide d’électrons et celui des ions (mais non l’interaction de charge d’espace) sont négligeables, entraînant Ti < Te : nous pouvons donc considérer que nous avons affaire à un gaz d’électrons et à un gaz d’ions quasi indépendants l’un de l’autre. Par ailleurs, puisque Te > Ti (en fait, le plus souvent, Te  Ti ) et que la masse des électrons est beaucoup plus faible que celle des ions et des neutres, nous pouvons considérer les ions et les neutres comme étant au repos relativement au mouvement des électrons. La situation se réduit finalement à ne considérer qu’un seul fluide, celui des électrons, qui se déplace au contact d’un fluide continu d’ions et d’atomes neutres au repos offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons. Cependant l’interaction entre électrons et ions, en plus de la "viscosité" que nous venons d’évoquer, intervient dans l’équation décrivant le mouvement des électrons par le champ électrique de charge d’espace donné par l’équation de Poisson. Équation du plasma d’électrons de Lorentz En négligeant le terme convectif dans l’équation de Langevin (3.129) 115 et en notant de plus que ve  vi , vn pour ce qui est du terme collisionnel, cette équation se simplifie pour donner : me

1 ∂v e = qe [E + v e ∧ B] − ∇pe − me v e (νen + νei ) , ∂t ne

115 Nous considérons que v < vth .

(3.165)

3.8− Diffusion et mobilité de particules chargées

171

où nous poserons νen + νei ν (νei νen ). En supposant que pe = ne kB Te avec Te indépendant de la position (hypothèse isotherme), (3.165) se ramène à : ∂ve ∇ne = qe [E + v e ∧ B] − kB Te − me νv e . (3.166) ∂t ne Le gradient ∇pe exprime l’évolution spatiale de la pression thermique due aux électrons (hypothèse isotherme, section 3.6) : il n’est pas lié à une compression du fluide. me

Étude d’un cas particulier de ce plasma d’électrons Plasma froid d’électrons (Te = 0) soumis à un champ périodique E = E 0 eiωt . Considérons un tel plasma, à une dimension et sans champ magnétique. D’après (3.166) et en supprimant l’indice e, désormais superflu, il vient : dx d2 x , (3.167) = −eE0 eiωt − mν dt2 dt relation que nous avions avancée antérieurement sans preuve (voir section 1.7.9, équation (1.143)) et dont nous pouvons maintenant saisir davantage le contenu physique. Rappelons que, en plasma froid, le mouvement des particules est uniquement créé par le champ E0 eiωt , et donc v(t) = v0 eiωt ; alors de (3.167), on obtient : m

d’où :

miωv0 eiωt = −eE0 eiωt − mνv0 eiωt −eE0 , v0 = m(ν + iω)

(3.168) (3.169)

de sorte que la densité de courant électronique a pour expression : J ≡ nqv0 =

ne2 E0 , m(ν + iω)

(3.170)

d’où l’expression de la conductivité scalaire : σ=

ne2 . m(ν + iω)

(3.171)

Ce résultat a été obtenu antérieurement par intégration de la fonction de distribution des vitesses en supposant ν(w) = constante. Cette expression de σ fut alors appelée conductivité de Lorentz (3.67) : nous comprenons maintenant l’origine de cette appellation.

3.8. Diffusion et mobilité de particules chargées 3.8.1. Les concepts de diffusion et de mobilité La mobilité et la diffusion de particules chargées sont deux quantités de nature hydrodynamique, liées de façon essentielle à la présence de collisions dans le plasma.

172

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Diffusion Elle résulte du gradient de pression cinétique, ∇p, dans l’équation de Langevin (3.129). Dans le cas où ∇p ≡ ∇(nkB T ), la diffusion est due à la présence soit d’un gradient de densité des particules, soit d’un gradient de leur énergie moyenne (température), soit des deux à la fois. Considérons successivement ces deux cas : Cas d’un gradient de densité de particules Les collisions en un point donné entre particules se font de façon aléatoire et, en l’absence de champs forts, isotrope : il y a donc équiprobabilité des directions de déviation des particules après un nombre suffisant de collisions. Considérons, à une dimension, deux points A et B de l’espace tels que la densité n du gaz en A est supérieure à celle en B. Du fait de l’équipartition des collisions en chaque point de l’espace, le flux dans les deux directions possibles au point A est plus grand que celui dans les deux directions au point B. Il en ressort que le flux de gaz de A vers B est plus grand que celui allant de B vers A. Au total, il y a un flux net nv de A vers B, où la vitesse moyenne v est celle du fluide circulant de A vers B. Cas d’un gradient de température Ici également, il y a un flux net d’énergie de la région à haute température vers celle de basse température, l’énergie transportée par les particules à grande énergie étant la plus grande ! Ce flux net d’énergie est associé aux flux de particules. Mobilité Ce paramètre caractérise la progression moyenne, ou dérive, de particules chargées d’un type donné soumises à un champ électrique E dont l’action est entravée par les collisions. Diffusion et mobilité combinées Dans le cas d’un plasma à la fois inhomogène et soumis à un champ E (induit ou extérieur), on observera un mouvement combiné de diffusion et de dérive des particules chargées de type α, caractérisé par une vitesse dirigée totale v α . Nous allons étudier ces deux phénomènes à l’aide de l’équation de Langevin (3.129), à l’état stationnaire, et en négligeant le terme convectif v α · ∇v α (au total dv/dt = 0). Dans le cas où il n’y a pas de gradient de température, celle-ci se ramène à :  ' ∇nα 1 vα = qα (E + v α ∧ B) − kB Tα . (3.172) mα ναβ nα

173

3.8− Diffusion et mobilité de particules chargées

3.8.2. Solution de l’équation de Langevin avec dérivée particulaire nulle (dv/dt = 0) On peut récrire (3.172) sous la forme d’une équation dont le membre de gauche est homogène en v : mα ναβ v α − qα (v α ∧ B) = qα E − kB Tα

∇nα . nα

(3.173)

Dans ce qui suit, pour alléger l’écriture, nous supprimons les indices α et β. La solution générale de cette équation sans second membre est v = 0 puisque v et v ∧ B sont orthogonaux. La solution particulière de l’équation avec second membre sera la somme des deux contributions obtenues séparément : 1. l’une avec ∇n = 0 pour qE = 0 (vitesse de dérive seule), 2. l’autre avec qE = 0 pour ∇n = 0 (vitesse de diffusion seule). La méthode de solution proposée implique que les deux conditions suivantes soient remplies : 1. Le terme convectif (v · ∇)v apparaissant dans l’équation de Langevin (3.129) est ici par hypothèse négligeable, ce qui est le cas si la vitesse dirigée totale v est faible en valeur absolue. Cette condition assure que la somme de la vitesse de dérive et de la vitesse de diffusion donne bien la vitesse totale due à ces deux phénomènes combinés. 2. Les vitesses de dérive et de diffusion doivent être petites devant vth pour que l’hypothèse d’isotropie des vitesses exigée par la pression scalaire apparaissant dans l’équation de Langevin soit valide. Expression de la vitesse de dérive Nous faisons donc ∇n = 0 dans (3.172), ce qui élimine la contribution due à la ˆz selon B, d’où : diffusion. On choisit e q [Ex + vy Bz ] , mν q [Ey − vx Bz ] , vy = mν q Ez . vz = mν

vx =

Définissons d’abord la mobilité en l’absence de B : q , μ≡ mν

(3.174) (3.175) (3.176)

(3.177)

qui est la mobilité d’une particule chargée dans un champ E constant (noter que μ est tout à fait déterminé si l’on connaît ν).

174

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Cette mobilité nous permet de récrire (3.176) sous la forme : vz = μEz ,

(3.178)

qui met en évidence la vitesse moyenne ou vitesse de dérive d’un type de particules soumises à un champ E dans un plasma collisionnel (nous rappeler que, par convention, et contrairement aux ions, les électrons vont dériver dans la direction opposée à celle du champ E : la valeur de μe est négative). La mobilité ainsi définie est dite mobilité linéaire pour souligner que μ ne dépend pas de Ez . En présence d’un champ magnétique B, la mobilité dans la direction de B se définit également par : μ ≡ μ =

q . mν

(3.179)

En portant cette valeur de μ dans les équations (3.174) et (3.175) qui donnent les composantes de la vitesse de dérive dans le plan perpendiculaire à B, nous trouvons respectivement pour vx et vy : μ ν 2 μ νωc Ex + 2 Ey , ν 2 + ωc2 ν + ωc2 μ νωc μ ν 2 vy = − 2 E + Ey . x ν + ωc2 ν 2 + ωc2

vx =

(3.180) (3.181)

où ωc = −qB/m est la pulsation cyclotronique (section 2.2.2). Nous constatons que ˆx et e ˆy est d’autant plus faible que le champ magnétique la vitesse de dérive suivant e est fort (ν ωc ). Le tenseur de mobilité Les résultats précédents peuvent être exprimés en notation tensorielle. Posons à cet effet : μ ν 2 μ νωc μ⊥ = 2 , μH = 2 , (3.182) 2 ν + ωc ν + ωc2 où μ⊥ et μH sont respectivement la mobilité perpendiculaire au champ magnétique et la mobilité de Hall. Ces deux coefficients permettent de définir le tenseur, d’ordre 2, de mobilité μ par la relation générale :  μij Ej (3.183) v = μ · E, c’est-à-dire vi = ⎛

avec :

μ⊥ μ = ⎝ −μH 0

i

μH μ⊥ 0

⎞

0 0 ⎠. μ

(3.184)

Nous pouvons également lui rattacher le tenseur de conductivité électrique. Sachant que J = nqv où v est la vitesse de dérive des particules dans le champ E, nous obtenons d’après (3.183) : (3.185) J = nqμ · E

3.8− Diffusion et mobilité de particules chargées

175

et puisque J = σ · E (section 2.2.2), le lien entre les tenseurs de conductivité et de mobilité est donné par : (3.186) σ = nqμ . Remarques : 1. La mobilité et la conductivité des électrons parallèlement au champ B (ou en l’absence de champ magnétique) ont pour expression : μe = −

e , me ν

σe =

ne2 me ν

(3.187)

où ν est la fréquence moyenne de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Si les hypothèses du modèle de Lorentz sont remplies, la conductivité électronique à elle seule rend bien compte de la conductivité électrique d’ensemble du plasma. 2. Mobilité ionique. On définit la mobilité ionique de façon analogue à celle des électrons : e (3.188) μi = mi νin où νin est la fréquence de collision ion-neutre. Noter que la mobilité d’un ion positif est positive alors que la mobilité des électrons est négative ; pour certains auteurs, les mobilités sont, au contraire, toujours définies positives. 3. Noter que si ωc → 0, le tenseur de mobilité se réduit bien à un coefficient scalaire de mobilité. 4. Mobilité réduite. Pour un type de particules donné, μ ne varie qu’avec ν (3.179). À son tour, pour une température (ou énergie moyenne) donnée des électrons (ions), la valeur de ν ne dépend que du nombre N d’atomes-cibles par unité de volume, les atomes neutres dans le cas présent, de sorte que l’on a intérêt à rapporter les valeurs de μ à une pression et à une température de référence des atomes neutres, soit 760 torrs et 0 ◦ C. La mobilité correspondante s’appelle la mobilité réduite, μe0 ; la densité de neutres, appelée dans ces conditions de référence nombre de Lochsmidt, est donnée par NL = 2,69 × 1019 atomes/cm3 . La mobilité à une pression quelconque p par rapport à la pression de référence pA correspondant à 760 torrs, 0 ◦ C et à une température Tc en ◦ C également quelconque, s’écrit, puisque μ ∝ p−1 : μe = μe0

NL μe0 pA μe0 (273 + Tc ) (273 + Tc ) = = Np 273 p 273 p

(3.189)

où Np est la densité de neutres à la "pression" p = p/pA (sans unité) et à la température Tc (◦ C). 5. Mobilité dans un champ électrique périodique. En nous rappelant que la conductivité de Lorentz dans un champ électrique périodique est donnée par (voir (3.171)) σe =

ne e 2 , me (ν + iω)

176

3− Description hydrodynamique d’un plasma

nous pouvons définir la mobilité électronique correspondante sachant que σ = nqμ (3.186), d’où : e , (3.190) μe = − me (ν + iω) expression qui donne bien la mobilité en champ E continu (3.177) si l’on fait ω = 0. Expression de la vitesse de diffusion En annulant le champ E dans (3.172), on obtient suivant la direction du champ magnétique, l’expression, dans cette direction, de la vitesse de diffusion : vz = −

kB Tα 1 ∂nα , mα ναβ nα ∂z

(3.191)

ce qui permet de définir le coefficient de diffusion parallèlement à la direction de B (ou en l’absence de champ magnétique) des particules de type α : D =

kB Tα . mα ναβ

(3.192)

Pour les composantes de v dans le plan perpendiculaire à B, nous obtenons d’après (3.172) (en ne maintenant l’indice α que pour la température) : q kB Tα 1 ∂n (vy Bz ) − , mν mν n ∂x q kB Tα 1 ∂n (vx Bz ) − , vy = − mν mν n ∂y

vx =

(3.193) (3.194)

et, comme nous l’avons fait dans le cas de la mobilité, introduisons les deux coefficients de diffusion se rapportant au plan perpendiculaire à B, à savoir : D⊥ =

D ν 2 , ν 2 + ωc2

DH =

D νωc , ν 2 + ωc2

(3.195)

ce qui nous permet de récrire les trois composantes de la vitesse de diffusion : vx = −D⊥

1 ∂n 1 ∂n − DH , n ∂x n ∂y

(3.196)

vy = DH

1 ∂n 1 ∂n − D⊥ , n ∂x n ∂y

(3.197)

vz = −D

1 ∂n , n ∂z

(3.198)

177

3.8− Diffusion et mobilité de particules chargées pour finalement faire apparaître le tenseur de diffusion : ⎛ D νωc D ν 2 ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ ν 2 + ωc2 ν 2 + ωc2 D⊥ DH 0 ⎜ D νω D ν 2 ⎜ D = ⎝ −DH D⊥ 0 ⎠ = ⎜ −  c 2 2 ⎜ ν + ωc ν 2 + ωc2 0 0 D ⎜ ⎝ 0 0

⎞ 0 0 kB Tα mναβ

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.199)

et le vecteur vitesse de diffusion : ⎛ ∇n v = −D · n

⎝vi = −

 j

⎞ ∂j n ⎠ Dij n

(3.200)

résultant d’un gradient de densité dans le plasma. Remarques : 1. Nous venons de définir (3.200) le tenseur D de diffusion libre ainsi appelé parce que la diffusion des électrons (ions) se fait indépendamment de toute interaction (collective) avec les ions (électrons) : le champ de charge d’espace entre les différentes espèces de particules chargées n’est, dans ce cas, pas assez fort (densité faible) pour entraîner un couplage important entre ces deux différentes espèces. 2. Noter que si ωc → 0, nous retrouvons bien un coefficient scalaire de diffusion. 3. On peut associer un flux de particules au gradient de densité en remarquant que : Γ ≡ nv = −D · ∇n .

(3.201)

Γ est aussi appelé courant particulaire, qui multiplié par la charge e devient une densité de courant. 4. Dans le cas général où D dépend de la position et que la fonction de distribution des vitesses microscopiques w est quelconque, on pourrait montrer que (Delcroix, section 13.2) :  1 Γ = − ∇ nw2 /ν(w) , (3.202) 3 où les crochets désignent une moyenne prise sur la fonction de distribution. De cette expression, on obtient la forme la plus générale du coefficient de diffusion en l’absence de champ magnétique B et pour une distribution en vitesse des électrons indépendante de la position : D=

1 2 w /ν(w) . 3

(3.203)

178

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Cependant, si ν est une constante quant à la vitesse w et que la fonction de distribution f (r, w) est maxwellienne, alors : ' '   1 3 kB Tα 2 1 1 2 mw2  = kB Tα = , (3.204) D= 3 2 mν 3 2 mν mν en conformité avec (3.192). Courant particulaire total et densité de courant totale (solution générale) Dans la mesure où les hypothèses sur le vecteur v mentionnées plus haut sont vérifiées (vitesse v suffisamment faible pour négliger le terme convectif, absence de gradient de température, état stationnaire) et pourvu que la densité d’électrons soit suffisamment faible pour ne pas entraîner de couplage avec les ions par l’entremise du champ de charge d’espace, il suffit d’additionner les solutions provenant de (3.181) et de (3.200) pour obtenir le flux total de particules chargées d’une espèce donnée et la densité de courant correspondante :

Remarque :

Γ = −D · ∇n + nμ · E ,

(3.205)

J = −qD · ∇n + σ · E .

(3.206)

Le rapport des coefficients Dα et μα conduit à :    kB Tα Dα mα ναβ kB Tα = , = μα mα ναβ qα qα

(3.207)

relation dite d’ Einstein. Il est d’usage de poser De /|μe | ≡ uk , où uk est l’énergie caractéristique de l’électron (exprimée en eV). Effet du champ magnétique sur le coefficient de diffusion : confinement des particules chargées Orientation du confinement par rapport à la direction de B ˆz B0 n’a d’effet sur la mobilité et la diffusion que dans le plan qui Le champ B = e lui est perpendiculaire (B n’apparaît pas dans les expressions de μ et D ). Cet effet dépend du rapport ν/ωc . Examinons le cas simple où E = 0 avec ∂n/∂y = 0 dans l’expression de vx (3.196) ; l’expression de Γx prend la forme suivante : Γx = −D⊥

−D ν 2 ∂n −D ∂n ∂n = 2 = , 2 2 ∂x ν + ωc ∂x 1 + (ωc /ν) ∂x

(3.208)

ce qui montre bien que, lorsque ν  ωc , le flux de particules dans une direction perpendiculaire à B est plus faible que le flux Γz (direction de B), d’où un effet de confinement important ; dans le cas où ν ωc , les composantes D⊥ ≈ (ν/ωc )2 D et DH ≈ (ν/ωc )D sont encore plus fortement réduites.

179

3.8− Diffusion et mobilité de particules chargées

Remarque : La réduction du mouvement dans la direction perpendiculaire à B ˆz B0 ; page 93, dans le cas des trajectoires individuelles (ν = 0, E⊥ = 0, B = e remarque 1) découle du fait que le rayon de giration cyclotronique de la particule est de plus en plus petit quand B0 augmente. Lorsqu’il y a diffusion des particules, la giration cyclotronique peut aussi être vue comme une entrave au mouvement de diffusion perpendiculairement à B. Pertes par diffusion dans une longue colonne de plasma soumise à un champ magnétique statique B dirigé axialement Dans une colonne de plasma dont le rayon est faible par rapport à sa longueur, les pertes par diffusion des particules chargées (par recombinaison sur la paroi) ont principalement lieu dans la direction radiale. Un champ magnétique dirigé axialement pourra, cependant, réduire substantiellement cette diffusion.  Soit le vecteur

∇n =

∂n 1 ∂n ∂n , , ∂r r ∂ϕ ∂z

 (3.209)

en configuration cylindrique. La colonne de plasma étant de symétrie cylindrique, ∂n/∂ϕ = 0 ; par ailleurs, ∂n/∂z ≈ 0 si la colonne est très longue par rapport à son rayon 116. Le flux radial se réduit alors à 117 : ˆr = −D · (∇n)r = −D · e ˆr Γr e

D ν 2 ∂n ∂n ∂n = −ˆ er D⊥ = −ˆ er 2 ∂r ∂r ν + ωc2 ∂r

(3.210)

et, pour ν ωc , Γ≈−

kB Tα ν 2 ∂n =− m2 2 2 mν q B ∂r



kB Tα mν q2 B 2



1 ∂n ∝ 2, ∂r B

(3.211)

montrant que le champ magnétique réduit alors fortement la pertes par diffusion. Remarque : La diffusion de particules chargées perpendiculairement au champ B donne souvent lieu à un transport de particules plus important que celui prédit par le modèle hydrodynamique ; ce type de diffusion est alors qualifié de diffusion anormale (vis-à-vis du modèle hydrodynamique). Voir plus loin dans la section 3.11.

116 Le profil axial de densité n(z)/n(0) d’une décharge en courant continu dépend peu de la longueur de la colonne de sorte que plus celle-ci est longue, plus ∂n/∂z est faible. 117 Comme une seule des trois composantes de ∇n est non nulle, en l’occurrence ∂n/∂r, nous pouvons en déduire que seul le coefficient D⊥ intervient dans le flux radial à l’origine des pertes par diffusion, le flux azimutal au sein du plasma, Γϕ = DH (1/n)∂n/∂r, ne contribuant pas aux pertes. Noter que le coefficient de diffusion (de Hall) dans cette relation est −DH (voir (3.199)).

180

3− Description hydrodynamique d’un plasma

3.9. Modes propres de diffusion et distribution spatiale de la densité des particules chargées Le but ultime de la présente section est de montrer comment le mécanisme de diffusion des particules chargées vers les parois (où il y a recombinaison des ions avec les électrons) détermine n(r), la distribution spatiale des particules chargées. S’agissant manifestement d’un problème de transport de particules, notre équation de départ est l’équation de continuité, écrite cette fois avec un terme collisionnel S non nul 118 : ∂n + ∇ · (nv) = S , (3.212) ∂t où ∂n/∂t tient compte de la variation de la densité des particules en fonction du temps et ∇ · (nv) représente la variation du flux de particules avec la position. Ce flux résulte de la diffusion et de la dérive des particules chargées. Le terme S rend compte des variations de densité des particules à la suite de collisions en volume, principalement de type ionisation et recombinaison. En l’absence de champ électrique (appliqué ou de charge d’espace) 119 , le flux particulaire s’écrit Γ ≡ nv = −D∇n. L’équation (3.212) à l’état stationnaire se ramène alors simplement à : ∇ · (−D∇n) = S . (3.213) Si, maintenant, les pertes par diffusion sont plus importantes que celles dues à la recombinaison en volume, le terme d’interaction collisionnelle (voir section 1.8 et dans section 3.5, équation (3.92)) se réduit à l’ionisation en volume. Si, de plus, le coefficient D ne dépend pas de la position (hypothèse isotherme, section 3.6), nous aurons finalement la relation : −D∇2 n = νi n ,

(3.214)

où νi est la fréquence moyenne d’ionisation (au sens hydrodynamique) du gaz considéré (section 1.8.3). Cette relation traduit le fait que les particules, créées en volume, sont évacuées vers les parois sous l’effet du gradient de leur densité. Nous pouvons récrire (3.214) sous la forme d’une équation aux valeurs propres : ν  i n. (3.215) ∇2 n = − D Les résultats que nous allons maintenant obtenir sont d’une importance capitale dans l’établissement des conditions d’entretien d’une décharge, particulièrement en 118 Le terme S résulte de l’intégration sur wα de l’opérateur de collision S(f ). 119 En l’absence de couplage entre électrons et ions par le champ électrique ED de charge d’espace, D est le coefficient de diffusion libre. En présence de couplage, le flux particulaire, qui comprend une contribution due à la dérive des particules chargées dans le champ E, prend une forme identique, mais la valeur du coefficient de diffusion s’en trouve modifiée (section 3.10).

3.9− Modes propres de diffusion

181

ce qui a trait à l’intensité du champ E présent dans la décharge par opposition au champ extérieur appliqué. Nous établirons au chapitre 4 (section 4.2) le fait que cette intensité, dans le cas d’un plasma soumis à la diffusion, est indépendante de celle du champ électrique appliqué de l’extérieur. Pour bien comprendre la solution de (3.214), il nous faut introduire la notion de modes propres de diffusion, ce qui se fait avantageusement en post-décharge temporelle.

3.9.1. Notions de modes propres de diffusion : étude d’une post-décharge temporelle Nous allons examiner l’évolution en fonction du temps de la distribution spatiale de la densité électronique d’un plasma de post-décharge (un plasma dans lequel, à t = 0, on a coupé le terme source, par exemple le champ HF) en régime de diffusion. L’équation (3.212) se réduit alors à : ∂n + ∇ · (nv) = 0 . (3.216) ∂t En supposant que l’énergie moyenne des particules est spatialement uniforme (hypothèse isotherme), nous posons Γ ≡ nv = −D∇n, de sorte que (3.216) devient : ∂n − D∇2 n = 0 . ∂t

(3.217)

Il nous faut connaître la loi de décroissance temporelle de la densité du plasma en régime de diffusion : on pourrait montrer que, sauf exception, cette densité en un point donné décroît de façon exponentielle, soit : n(r, t) = n(r, t = 0) exp(−νD t) pour t ≥ 0

(3.218)

−1 où νD est la fréquence caractéristique des pertes par diffusion (τD = νD est un temps caractéristique de décroissance de la densité du plasma par diffusion). L’équation (3.217) devient alors : ν  D n (3.219) ∇2 n = − D

où n = n(r, t), et où D est le coefficient de diffusion des particules considérées 120. L’expression (3.219) est une équation différentielle du second degré aux valeurs propres de la forme ∇2 n = −λp n (équation caractéristique).

120 Il est à noter que l’équation (3.219) ne se limite pas seulement aux particules chargées, mais peut s’appliquer à toutes les espèces du plasma créées en volume et perdues sur les parois, comme les espèces neutres excitées, aussi bien atomiques (O, N, H . . . ) ou moléculaires que radicalaires.

182

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Dans le cas d’une colonne cylindrique de rayon interne R, les conditions aux limites sont (dn/dr)r=0 = 0 et n(r = R) = 0, cette dernière condition devant être considérée comme approximative 121. Pour faciliter la solution de l’équation caractéristique, posons : 1 νD . ≡ 2 Λ D

(3.220)

Nous montrerons ultérieurement que Λ est la longueur caractéristique de diffusion qui ne dépend que de la configuration géométrique et des dimensions du plasma. En conséquence, une augmentation de D se traduit par une augmentation proportionnelle de νD . Cas d’une configuration plane Cette situation correspond au cas où le plasma est situé entre deux plaques parallèles (conductrices ou diélectriques), séparées d’une distance L (axe des x) mais s’étendant à l’infini dans les autres dimensions (axes y et z), comme le suggère la figure 3.1.

Figure 3.1 – Repère unidimensionnel d’un plasma situé entre deux plaques parallèles s’étendant à l’infini et séparées d’une distance L.

La solution de (3.219) est alors : n(x, t) =

∞ 

nk (t = 0) exp(−νDk t) cos(x/Λk )

(3.221)

k=1

où

1 νD ≡ k Λ2k D

(3.222)

121 La valeur n(r = R) est toujours plus faible que n(r = 0) puisqu’en régime de diffusion, la paroi constitue un endroit où aussi bien les particules chargées que les espèces neutres excitées ou non sont perdues par neutralisation, désexcitation, recombinaison ou adsorption. De manière générale, s’il y a "réflexion" d’une partie du flux de particules sur les parois, la condition n(r = R) = 0 n’est pas valide. C’est le cas en particulier pour les gaz rares et les gaz moléculaires (O2 , N2 , H2 . . . ) dans leur état fondamental, pour lesquels le coefficient de réflexion est de 100 % (pas de pertes sur les parois, n(R) = n(0)). Pour les espèces neutres excitées ou dissociées, la désexcitation ou la recombinaison n’est pas totale sur les parois, et une partie du flux d’espèces est alors réfléchie. Il faut donc raisonner, dans ce cas, en termes de flux d’espèces perdues aux parois et non en termes de densité.

3.9− Modes propres de diffusion

183

avec la condition de densité nulle aux parois pour chacun des modes : π L = (2k − 1) 2Λk 2

(3.223)

où k est un entier positif. Remarques : 1. La solution sin(x/Λk ) n’est pas acceptable car elle n’est pas symétrique par rapport à l’axe (x = 0), comme l’exige le processus de diffusion. 2. Considérés un à un, seul le mode fondamental (k = 1) de l’équation (3.221) a une signification physique car les modes supérieurs présentent des valeurs négatives de densité selon x ; cependant, leur somme selon l’équation (3.221) constitue bien une solution physique (sans valeurs négatives). Fréquence caractéristique νDk des différents modes et leur contribution relative Nous voulons évaluer la contribution relative des modes apparaissant dans la somme (3.221) ; pour cela, nous tirons de (3.222) et (3.223), pour k = 1, νD1 = Dπ 2 /L2 ; pour k = 2, νD2 = 9 Dπ 2 /L2 ; pour k = 3, νD3 = 25 Dπ 2 /L2 de sorte que νD2 /νD1 = 9, νD3 /νD1 = 25 ; etc, et il est alors clair que c’est le mode fondamental qui décroît le moins rapidement dans (3.221) : une distribution spatiale de densité tout à fait quelconque initialement (obtenue par exemple, à la suite d’un tir laser focalisé en un point de l’enceinte à décharge) prendra, au bout d’un certain temps, la forme du mode fondamental, les autres termes de (3.221) ne contribuant plus de façon importante, comme le suggère la figure 3.2.

Figure 3.2 – Évolution temporelle (approximative) en régime de diffusion de la densité électronique d’un plasma créé de façon localisée (⊗) à l’instant t0 .

184

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Longueur de diffusion Pour le mode fondamental,

π L = , d’où : 2Λ 2 Λ = L/π ,

(3.224)

où Λ apparaît comme une longueur caractérisant la diffusion en configuration plane. Cas d’une configuration cylindrique Considérons une enceinte de forme cylindrique fermée perpendiculairement en ses deux extrémités par des surfaces planes (figure 3.3).

Figure 3.3 – Repère bidimensionnel d’un plasma dans une enceinte cylindrique d’axe z, de rayon R et de hauteur h.

Pour le mode fondamental, la solution de l’équation aux valeurs propres (3.219) donne la densité des particules au point r, z : n(r, z) = n0 cos(az)J0 (br)

(3.225)

où J0 est la fonction de Bessel de première espèce et d’ordre zéro (figure 3.4) ; les coefficients a et b obéissent à la relation : νD1 a2 + b 2 = . (3.226) D

Figure 3.4 – Fonction de Bessel de première espèce et d’ordre zéro.

185

3.9− Modes propres de diffusion Longueur de diffusion

En exigeant que la densité des particules soit nulle sur les parois (en r = R et z = ±h/2), on trouve a = π/h et b = 2,405/R d’où :  π 2  2,405 2 1 2 2 =a +b = + . (3.227) Λ2 h R Dans une colonne cylindrique longue, par définition, nous avons h  R, d’où : Λ=

R . 2,405

(3.228)

La diffusion est alors principalement dans la direction radiale, de sorte que : n(r, z) n(r) = n0 J0 (2,405 r/R) .

(3.229)

3.9.2. Distribution spatiale de la densité des particules chargées en régime stationnaire de diffusion Le terme source (ionisation) Dans le cas d’un plasma faiblement ionisé (ne N où N est la densité des neutres), les collisions électron-neutre sont prépondérantes mais ne sont pas suffisantes pour que l’énergie moyenne des divers types de particules soit la même ; l’énergie moyenne des électrons des décharges électriques est en fait supérieure à celle des ions et des neutres (section 1.4.3). Par ailleurs, l’énergie de ces derniers demeure, dans ce cas, inférieure au seuil d’ionisation : seuls les électrons assurent donc l’ionisation par leurs impacts sur l’atome. Nous supposerons, dans ce qui suit, que l’atome est initialement dans l’état fondamental avant d’être ionisé par une seule collision électronique : nous négligerons, en effet, l’ionisation par étapes où les états excités de l’atome servent de relais vers l’ionisation (Annexe A16). Ceci suppose que ces niveaux intermédiaires ne sont pas très peuplés. Le terme "source" S de l’équation de continuité (3.212) représente un nombre de particules par unité de volume et par seconde. Comme, par hypothèse, nous sommes en régime de diffusion, le terme source ne comprend que l’ionisation. Celle-ci ayant lieu par un seul impact électronique sur des atomes neutres dans l’état fondamental, σti (we )we  (1.152). nous pouvons écrire simplement que S = Si ≡ νi n où νi = N0 ˆ Équation du bilan des particules chargées Dans les conditions que nous venons de décrire, à l’état stationnaire, l’équation de conservation des particules dans un plasma en diffusion s’écrit, comme nous l’avons vu plus haut :

186

3− Description hydrodynamique d’un plasma

− D∇2 n = Si = νi n

(3.214)

où les pertes par diffusion des particules chargées apparaissent exactement compensées par l’ionisation en volume. Très souvent, nous pourrons supposer que la fréquence νi n’est pas dépendante de la position. Cependant, dans les plasmas produits par des champs HF, νi est fonction de la variation spatiale du champ E, mais, dans la plupart des cas où la diffusion l’emporte nettement sur la recombinaison en volume, cet effet de E est minime sur la distribution des particules chargées, précisément du fait du caractère global (effet niveleur), par opposition à local, du mécanisme de diffusion. Notons que (3.214) possède la même forme que la relation (3.219) décrivant la distribution spatiale de la densité des électrons soumis à la diffusion dans une post-décharge temporelle : c’est aussi une équation aux valeurs propres (les conditions aux limites sont les mêmes qu’en section 3.9.1). Par analogie avec section 3.9.1, nous connaissons la forme des solutions ; en configuration cylindrique, pour une colonne longue (3.226), nous avons : (3.230) ni (r) ≈ ne (r) = n(0)J0 (2,405 r/R) qui décrit la distribution radiale de densité correspondant au mode fondamental de diffusion 122 . Comme pour la solution de (3.219), nous poserons cette fois : 1 νi = 2. D Λ D Λ2

Récrit sous la forme :

νi =

ou encore, d’après (3.220) :

νi = νD ,

(3.231) (3.232) (3.233)

nous obtenons ainsi l’équation d’équilibre en particules chargées d’une décharge à l’état stationnaire : le nombre de particules créées égale le nombre de celles qui disparaissent par diffusion. Cette relation porte aussi le nom d’équation du bilan des particules chargées. Remarques : 1. Dans le cas où les particules chargées disparaissent (en partie ou en totalité) par recombinaison en volume, il faut ajouter au terme Si d’ionisation celui de recombinaison en volume, par exemple dans le cas d’ions atomiques (à une seule charge) (1.147) : (3.234) Sr = −αar n3 . 122 Cette solution revient à supposer que les contributions des modes supérieurs ne sont pas importantes : elles disparaissent une fois le régime transitoire d’amorçage de la décharge terminé, de façon analogue à ce qui se passe en post-décharge.

3.10− Diffusion en régime ambipolaire

187

L’équation d’équilibre en particules s’écrit alors de façon la plus générale :

où αar

∂n − D∇2 n = Si − Sr = νi n − αar n3 , ∂t et νi peuvent dépendre de la position.

(3.235)

Dans une post-décharge temporelle où la recombinaison en volume l’emporterait sur la diffusion pour ce qui est des pertes de particules chargées, nous serions conduits, d’après (3.235), à une décroissance de n donnée par :

soit :

∂n = −αar n3 , ∂t 1 1 = 2 + 2αar t . n2 (t) n (0)

(3.236) (3.237)

Il est donc facile, en principe, de distinguer un régime de recombinaison en volume (3.237) d’un régime de diffusion (3.218) en examinant l’évolution de la postdécharge, à moins que les pertes de particules chargées des deux types soient d’importance comparable (voir aussi exercice 3.7). 2. Conditions de densité aux parois. Comme nous l’avons déjà indiqué121 , la condition simplificatrice n(r = R) = 0 aux parois n’est pas toujours valide. En effet, aux basses pressions (typiquement au-dessous de 100 mtorrs (13,3 Pa) dans l’argon), il se forme, à l’interface plasma-paroi, une gaine ionique de faible épaisseur, correspondant à quelques λDe (section 3.14). Dans ce cas, les pertes sur les parois s’expriment en termes de flux à travers cette gaine ionique (voir exercice 3.11). Aux pressions plus élevées, on peut, en revanche, considérer que le plasma remplit l’ensemble du volume jusqu’aux parois (gaine négligeable, voir section 3.14), et l’hypothèse n(r = R) = 0 est alors acceptable.

3.10. Diffusion en régime ambipolaire L’hypothèse, implicite dans section 3.8, d’une diffusion libre des électrons, indépendante de celle des ions, ne vaut que dans la mesure où la densité des charges est faible. En effet, les électrons possédant un coefficient de diffusion beaucoup plus important que celui des ions (comparer De ∝ Te /me avec Di ∝ Ti /mi ), leur fuite vers la paroi est plus rapide 123 , engendrant un écart à la neutralité (séparation de charges) qui 123 Pour le voir, écrivons le flux de diffusion des deux types de particule (sans tenir compte de la charge d’espace) suivant la direction x : Γex ≡ ne vex = −De ∂ne /∂x et Γix ≡ ni vix = −Di ∂ni /∂x . Comme me  M et Te ≥ Ti et bien que νen  νin , il en résulte que De  Di . Sachant que ne  ni , nous obtenons ∂ne /∂x ≈ ∂ni /∂x et, finalement, vex  vix , donc un plus grand flux électronique.

188

3− Description hydrodynamique d’un plasma

crée un champ électrique ED (champ de charge d’espace). Ce champ électrique va ralentir le mouvement de diffusion des électrons et accélérer celui des ions. Au-delà d’une certaine densité du plasma (de l’ordre de 108 cm−3 ), où les forces de rappel électriques deviennent importantes, la séparation de charges et, donc, le champ électrique résultant vont s’ajuster de manière à ce que les ions et les électrons diffusent à une vitesse commune : c’est la diffusion ambipolaire (dite parfaite). Celle-ci se caractérise par un même coefficient de diffusion Da pour les deux espèces de particules, coefficient dont nous allons maintenant établir l’expression.

3.10.1. Hypothèses nécessaires à une description analytique complète du régime de diffusion ambipolaire 1. On pose que les flux des deux espèces sont égaux : Γe = Γi = Γ .

(3.238)

Il s’agit là d’une première approximation car, rigoureusement, nous devrions plutôt écrire : ∇ · Γe = ∇ · Γi . (3.239) En effet, l’équation de continuité à l’état stationnaire donne, pour tout régime : ∇ · Γe = Se ∇ · Γi = Si

(3.240) (3.241)

où Se = Si puisque les particules chargées apparaissent ou disparaissent par paires électron-ion 124. La relation (3.238) n’est donc qu’approximative (sauf à une dimension) : c’est l’hypothèse de congruence. 2. On pose l’hypothèse d’indépendance des coefficients de diffusion de la position : Dk (r) = constante

(3.242)

où k = e, i ou a. 3. On pose, de façon générale, que les ions et les électrons ont un même profil radial, soit : ni (r) =C, (3.243) ne (r) où C est un paramètre, indépendant de la position, dont la valeur dépend de la charge d’espace. En présence d’un flux de particules à l’état stationnaire, l’intensité du champ ED croît, à partir de zéro en diffusion libre, au fur et à mesure 124 Dans l’hypothèse où il n’y a que des ions positifs dans la décharge et que ceux-ci ne sont porteurs que d’une seule charge positive.

189

3.10− Diffusion en régime ambipolaire

qu’augmente le lien ambipolaire pour redécroître ensuite, sans être jamais tout à fait nulle à la limite de la diffusion ambipolaire parfaite (voir plus loin (3.265)). La condition (3.243), dite hypothèse de proportionnalité, nous permet de traiter le régime de transition entre la diffusion libre et la diffusion ambipolaire parfaite. On peut vérifier la validité de cette relation sur les deux cas extrêmes du régime de transition : Densité plasma faible : régime de diffusion libre (ED = 0). Les deux espèces de particules diffusant librement, a priori nous avons C = 1. Pour déterminer la valeur de C, nous utilisons la relation exacte (3.239) où dans Γα = −Dα ∇nα , Dα est indépendant de la position. Il vient alors (Se = Si ) : −De ∇ · ∇ne = −Di ∇ · ∇ni , ∇2 ne = +

ou encore : ce qui, de (3.243), entraîne

Di 2 ∇ ni , De

C = De /Di ,

(3.244) (3.245)

concrétisant la relation (3.243) en donnant une valeur précise à la constante C. En régime de diffusion libre, l’égalité des flux de diffusion des électrons et des ions est donc obtenue pour des densités telles que ni /ne = De /Di . Densité plasma forte (régime de diffusion ambipolaire parfaite : pas de séparation de charges). Dans ce cas, C = 1 (ne (r) = ni (r) = n(r)) et, compte-tenu de l’hypothèse de congruence (3.238) : v e (r) = v i (r) = v(r) , (3.246) ce qui impose que la diffusion soit alors régie par un seul coefficient de diffusion, commun aux deux espèces, Da , comme nous allons le voir au paragraphe suivant.

3.10.2. Équations régissant la diffusion ambipolaire et le régime de transition de la diffusion libre vers la diffusion ambipolaire En l’absence de champs extérieurs, les flux d’ions et d’électrons résultant de la diffusion aussi bien que de la dérive dans le champ électrique de charge d’espace E D sont donnés (3.205) par : Γi = −Di ∇ni + μi ni E D ,

(3.247)

Γe = −De ∇ne + μe ne E D

(3.248)

où le champ E D est lié à l’écart à la neutralité par l’équation de Poisson (1.1) : ∇ · E D = −(ne − ni )e/ 0 .

(3.249)

190

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Régime ambipolaire parfait (ne (r) = ni (r)) Multiplions l’équation (3.248) par μi ni et (3.247) par μe ne et effectuons la différence (3.248)–(3.247) : compte tenu de l’hypothèse de congruence (3.238) (Γe = Γi = Γ), il vient : (μi ni −μe ne )Γ = −De μi ni ∇ne +μe μi ne ni E D +Di μe ne ∇ni −μe μi ne ni E D . (3.250) Puisque dans le cas présent ne = ni = n, nous avons : Γ=

−(De μi − Di μe )∇n , μi − μe

(3.251)

ce qui conduit à définir le coefficient de diffusion ambipolaire Da par 125 : Da ≡

De μi − Di μe , μi − μe

(3.252)

nous permettant de représenter les flux électronique et ionique ((3.247) et (3.248)) par une seule et même expression : Γ = −Da ∇n .

(3.253)

Noter, dans (3.252), que Da est bien positif puisque la valeur de μe est négative. Par analogie avec l’expression obtenue en diffusion libre (3.231), nous pouvons dire qu’à l’état stationnaire la condition d’équilibre de création-perte de particules de la décharge en régime de diffusion ambipolaire s’écrit : νi =

Da . Λ2

(3.254)

Pour une longue colonne cylindrique et en refaisant le cheminement des équations (3.225) à (3.228), nous obtenons l’expression de la distribution radiale de la densité électronique et ionique : (3.255) n(r) = n(0)J0 (2,405 r/R) . Régime de transition entre diffusion ambipolaire (ne = ni ) et diffusion libre (ni = Cne ) Partons de l’expression (3.250) en admettant l’hypothèse de congruence (Γe = Γi = Γ), mais en considérant cette fois que ne = ni et v e = v i . L’hypothèse de proportionnalité (3.243) peut se mettre sous la forme : ni ∇ne = ne ∇ni ,

(3.256)

125 L’expression de Da demeure la même en présence d’un champ électrique extérieur Eext s’ajoutant à ED (même si leur orientation est différente) : Eext tout comme ED serait éliminé dans la relation (3.250).

191

3.10− Diffusion en régime ambipolaire et, alors, de (3.250) nous tirons :   (De μi − Di μe )ni Γ=− ∇ne ≡ −Ds ∇ne , μi ni − μe ne

(3.257)

où Ds est le coefficient effectif de diffusion. Bien que l’expression de Ds fasse apparaître ne et ni qui sont des fonctions de la position, Ds n’en dépend pas si, comme le veut notre hypothèse, la constante de proportionnalité C est indépendante de la position. Nous cherchons une expression de Ds en fonction de Da dans laquelle l’écart ni − ne (déterminant l’intensité du champ E D couplant les particules entre elles) apparaît de façon explicite. Rappelons tout d’abord les expressions de la conductivité électrique totale : (3.258) σ = (μi ni − μe ne )e (puisque μe est négatif, σ > 0 comme il se doit) et de la densité totale des charges : ρ = (ni − ne )e .

(3.259)

Nous pouvons ensuite écrire que : 1−

μe (ni − ne )e μi ni − μe ne − μe ni + μe ne μe ρ (μi − μe )ni ≡ 1− ≡ = (3.260) σ (μi ni − μe ne )e μi ni − μe ne μi ni − μe ne

et, encore, que :    De μi − Di μe (μi − μe )ni μe ρ  (De μi − Di μe )ni = Da 1 − = ≡ Ds . (3.261) σ μi − μe μi ni − μe ne μi ni − μe ne  μe ρ  (3.262) L’expression : Ds = Da 1 − σ fait ressortir que Ds dépend explicitement de la conductivité électrique et de l’écart à la neutralité. En nous rappelant que le coefficient μe est négatif, Da apparaît bien comme la valeur minimum de Ds (ρ 0).

3.10.3. Valeur de l’intensité du champ électrique de charge d’espace De (3.205), nous savons que le flux particulaire des électrons a pour expression : Γe = −De ∇ne + μe ne E D .

(3.248)

Par ailleurs, le coefficient effectif de diffusion Ds nous autorise à écrire le flux d’ions et celui des électrons sous une même forme Γ = −Ds ∇ne (3.257). Il vient alors de (3.248) et (3.257) : (De − Ds ) ∇ne ED = . (3.263) μe ne

192

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Nous pouvons étudier cette relation dans deux cas limites intéressants : E D = 0 (strictement égal à zéro). Ce cas correspond à la diffusion libre, comme le montre la relation (3.263), puisqu’alors Ds = De (nous obtenons le même résultat en comparant (3.248) où E D = 0 et (3.257)). Champ E D de diffusion ambipolaire parfaite. Nous posons Ds = Da dans (3.263), ce qui donne :   1 (De μi − Di μe ) ∇ne De − E Da = μe μi − μe ne   1 De μi − De μe − De μi + Di μe ∇ne = μe μi − μe ne et, finalement :

E Da = −

(De − Di ) ∇ne . μi − μe ne

(3.264)

(3.265)

Ce champ peut devenir très faible mais jamais complètement nul en diffusion ambipolaire. Plus concrètement, ceci signifie que l’on peut poser la stricte égalité ne = ni quand il s’agit, par exemple, de calculer le coefficient de diffusion ambipolaire, mais jamais dans l’équation de Poisson. Dans ce dernier cas, il faut que ρ soit différent de zéro, même légèrement, pour que le champ de charge d’espace existe. Noter aussi que le champ électrique de charge d’espace sur l’axe doit être nul en raison de la symétrie du système 126 et donc que la densité de charge ρ0 sur l’axe doit également être nulle. Comme en général De  Di et |μe |  μi , une approximation courante de l’expression (3.265) pour E Da est donc : E Da ≈

∇ne De ∇ne ≡ uk , μe ne ne

(3.266)

où uk est l’énergie caractéristique des électrons (3.207).

3.10.4. Expression de la densité des charges ρ0 sur l’axe : limite de validité du calcul analytique De l’équation de Poisson ∇·E D = ρ/ 0 où l’on substitue E D de l’expression générale (3.263), il vient, en mettant ρ en évidence :     2 ∇ne ∇ne

0 (Ds − De ) ∇2 ne

0 (Ds − De ) ρ=− ∇· − . (3.267) = μe ne μe ne ne 126 En effet, le champ ED sur l’axe ne saurait pointer dans une direction radiale plutôt qu’une autre. D’ailleurs, nous utilisons la condition ∇ne = 0 sur l’axe comme condition aux limites.

3.10− Diffusion en régime ambipolaire

193

La valeur sur l’axe, ρ0 , s’obtient en notant qu’il y a symétrie en ce point, ce qui entraîne ∇ne = 0 127 et comme, par ailleurs, ∇2 ne /ne = −1/Λ2 (section 3.9.1), alors (3.267) s’écrit :

0 (Ds − De ) ρ0 = . (3.268) μe Λ2 Pour la diffusion libre (Ds = De ), nous avons bien ρ0 = 0 (charge d’espace négligeable). Sachant que De ≥ Ds ≥ Da 128 (et μe < 0 selon nos conventions), ρ0 croît de 0 à ρ0max pour Ds décroissant de De à Da alors que l’on devrait avoir ρ0 = 0 sur l’axe, quel que soit le régime de diffusion : le champ E sur l’axe doit toujours être nul du fait de la symétrie de la configuration. Ce calcul analytique n’est donc qu’approximatif, ce qui n’est pas étonnant outre mesure, compte tenu des hypothèses assez restrictives (notamment ni = Cne ) que nous avons retenues. La description plus exacte de ce régime passe donc par des calculs numériques. Pour nous permettre de comparer calculs analytiques et calculs numériques, exprimons le coefficient effectif de diffusion en fonction de la conductivité sur l’axe, σ0 . Pour cela, portons (3.268) dans (3.262) et nous arrivons à :   De + Λ2 σ0 / 0 Ds = Da . (3.269) Da + Λ2 σ0 / 0 En supposant que la conduction σ0 est essentiellement électronique et en introduisant la longueur de Debye électronique (1.39), nous obtenons :   1 + (Λ/λDe )2 . (3.270) Ds = Da 2 (Da /De ) + (Λ/λDe ) où (Λ/λDe )2 est un paramètre caractérisant le passage de la diffusion libre (Ds = De ) à la diffusion ambipolaire (Da /De 1), comme le montre la figure 3.5. Nous observons que la solution analytique (3.270) sous-estime la valeur de Ds obtenue par calcul numérique à partir des équations de diffusion, celles-ci ne faisant pas appel aux trois hypothèses précitées. En particulier, la valeur de Ds obtenue analytiquement ne tend vers sa valeur calculée numériquement que pour de grandes valeurs de (Λ/λDe )2 . La figure 3.6 montre, pour une configuration de décharge plane, que le plasma situé au voisinage de l’axe peut être en régime ambipolaire alors que, en s’éloignant de l’axe, il obéit à un régime de transition, lequel tend vers le régime de diffusion libre au voisinage immédiat de la paroi.

127 Noter que l’on pose ∇ne = 0 dans (3.267) une fois la divergence effectuée : le fait que la dérivée première de ne soit nulle en un point n’entraîne pas nécessairement que sa dérivée seconde le soit aussi en ce point (penser à y = x2 en x = 0). Dans le cas présent, ∇2 ne < 0 sur l’axe car ne y passe par un maximum. 128 Et Di ≤ Da , car la diffusion ambipolaire, par le champ de charge d’espace, accélère le flux des ions. Pour le voir, utiliser par exemple (3.252) en considérant que |μe |  |μi |.

194

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Figure 3.5 – Comparaison de la solution analytique (- - -) de Ds avec celle obtenue par calcul numérique (––) des équations de diffusion pour le cas Te = Ti (d’après [8], avec la permission de l’American Physical Society).

Figure 3.6 – Influence sur Γe et ne de la variation spatiale, en configuration plane, du coefficient de diffusion tel que calculé (régime de transition) par rapport à l’hypothèse d’un coefficient ambipolaire constant selon x (d’après Brown, Basic data of plasma physics, MIT Press).

3.10− Diffusion en régime ambipolaire

195

3.10.5. Conditions à remplir pour qu’une décharge en mode de diffusion soit en régime ambipolaire Dans la mesure où la décharge est effectivement gouvernée par la diffusion, nous pouvons utiliser l’un des deux critères suivants : Critère densité – longueur de diffusion On admet généralement que l’intensité de E D nécessaire pour qu’il y ait diffusion ambipolaire est atteinte lorsque le terme Λ2 σ0 est suffisamment grand (voir (3.269)), plus précisément lorsque : (3.271) ne0 Λ2 > 107 cm−1 , où ne0 , la densité des électrons sur l’axe, est exprimée en cm−3 et Λ en cm. Pour des valeurs du produit ne0 Λ2 inférieures à 105 , le plasma se trouve en régime de diffusion libre, à supposer dans un cas comme dans l’autre que l’on soit en régime de diffusion tout court (libre parcours moyen de collisions < R) et non en chute libre (définition : plus loin, en section 3.12). Remarques : 1. La densité électronique moyenne (suivant la section) d’un tube d’éclairage fluorescent classique alimenté en courant alternatif varie entre 1010 et 1011 cm−3 au cours d’une période du 60 Hz ; son rayon est de 1,2 cm. Cette décharge est manifestement en régime de diffusion ambipolaire sauf au voisinage immédiat des parois où elle peut se trouver en diffusion libre, comme nous l’avons déjà souligné (figure 3.6). 2. Pour des valeurs de ne0 Λ2  107 cm−1 , la densité du plasma pourrait être suffisamment grande pour qu’il y ait une contribution non négligeable, voire dominante, de la recombinaison en volume. Il y a alors nécessité de comparer les pertes de particules chargées par recombinaison en volume et par diffusion pour savoir lequel des deux mécanismes l’emporte finalement. Critère longueur de Debye – longueur de diffusion En nous rappelant que λ2De = 0 kB Te /ne e2 et en utilisant la relation d’Einstein (3.207) De /μe = −kB Te /e, il est possible d’écrire : λ2De = −

0 De . ne eμe

(3.272)

Nous voulons exprimer l’écart à la neutralité des charges sur l’axe en fonction de λ2De ; de (3.268), en prenant μe de (3.272), il vient : ρ0 ≡ (ni0 − ne0 )e = 0

(Ds − De ) (Ds − De ) λ2De ne0 e = − 0 , 2 Λ μe Λ2

0 De

196

3− Description hydrodynamique d’un plasma (De − Ds ) λ2De ni0 − ne0 = . ne0 De Λ2

et, finalement :

(3.273)

Deux cas sont à distinguer suivant la valeur du rapport λDe /Λ (voir aussi figure 3.5) : λDe  Λ : diffusion libre. Une longueur de Debye plus grande que Λ implique l’absence de neutralité macroscopique sur la distance Λ. L’intensité du champ de charge d’espace est manifestement insuffisante pour coupler les ions et les électrons : autrement dit, il y a diffusion libre, ions et électrons se mouvant indépendamment les uns des autres. D’ailleurs, la condition λDe  Λ, d’après (3.273), entraîne que la densité ne0 doit être faible. λDe Λ : diffusion ambipolaire. Dans ce cas, cette condition correspond à des densités de particules élevées (1/ne0 petit dans (3.273)) et le champ de charge d’espace aura une intensité telle qu’il y aura couplage des mouvements des électrons et des ions. Ces conditions correspondent bien au régime de diffusion ambipolaire (Ds = Da dans (3.270)). Remarques : 1. Valeur approchée communément utilisée du coefficient Da . Il est facile de voir que : Ti kB Ti me νen −e mi νin Di μe =− . = De μi mi νin kB Te me νen e Te

(3.274)

Comme, en général, |μe |  μi , l’expression générale (3.252) de Da peut s’écrire   μi De μi Da ≈ Di − De ( ) et encore Da ≈ Di 1 − . μe Di μe En tenant alors compte de (3.274), il vient :   Te Da ≈ Di 1 + . Ti

(3.275)

Finalement, comme en général Te  Ti (décharges électriques hors ETL) :   kB Te Te kB Ti Te Da ≈ Di = = (3.276) μi . Ti mi νin Ti e Da peut donc s’exprimer comme le produit de la température électronique (en eV) et de la mobilité ionique. 2. Le régime initial (ou l’amorçage) d’une décharge, du fait de densités de départ faibles (ne0 Λ2 → 0), est nécessairement contrôlé par la diffusion libre (à condition de ne pas être en chute libre, section 3.12) alors que le régime stationnaire pourra être de diffusion ambipolaire. De ce fait, il faut un champ E nettement plus fort pour amorcer la décharge que pour la maintenir, comme le montre la figure 3.7.

197

3.11− Diffusion ambipolaire en champ magnétique statique

Figure 3.7 – Intensité du champ E (normalisée à la pression p) en fonction du paramètre pΛ dans une décharge micro-onde dans H2 (d’après [9]) à différentes valeurs du produit ne0 Λ2 exprimé en cm−1 .

3.11. Diffusion ambipolaire en champ magnétique statique Nous nous intéressons à l’effet d’un champ magnétique dirigé axialement, en l’absence de champ électrique extérieur, sur la diffusion ambipolaire dans une longue colonne de plasma 129 . Comme c’était le cas pour la diffusion libre, un champ B ne peut produire d’effet dans sa propre direction. Par contre, dans la direction perpendiculaire, l’influence peut être grande. Coefficient Da⊥ Dans une colonne cylindrique longue, la diffusion est principalement radiale. Le flux d’ions et d’électrons correspondant s’obtient, en présence d’un champ magnétique, par analogie avec les flux Γi et Γe respectivement donnés, en l’absence de champ magnétique, par les équations (3.247) et (3.248) : Γir = −Di⊥

∂ni + μi⊥ ni EDr , ∂r

129 Si R/h n’est pas très petit, voir Chen, section 5.5.1.

(3.277)

198

3− Description hydrodynamique d’un plasma Γer = −De⊥

et

∂ne + μe⊥ ne EDr , ∂r

(3.278)

où EDr est la composante du champ de charge d’espace (dit champ ambipolaire) dans la direction radiale ; les expressions de De⊥ et Di⊥ suivent la définition de D⊥ dans (3.195) et celles de μe⊥ et μi⊥ la définition de μ⊥ dans (3.182). En supposant que la diffusion est ambipolaire (Γer = Γir = Γr ), nous pouvons écrire, par analogie avec (3.253), une expression, commune pour les ions et les électrons, de la forme : Γr = −Da⊥ ∇r n où Da⊥ est donné par :

Da⊥ =

De⊥ μi⊥ − Di⊥ μe⊥ . μi⊥ − μe⊥

(3.279) (3.280)

Analyse des valeurs relatives de De⊥ et Di⊥ Le calcul du rapport de ces deux quantités conduit à :  2  2 2 2 2 2 De νen De⊥ ωci + νin ωci + νin Te mi νin νen = 2 = . 2 2 2 2 + ν2 Di⊥ ωce + νen Di νin Ti me νen νin ωce en

(3.281)

Dans le cas particulier d’un champ B0 suffisamment fort pour que ωci  νin où, a fortiori, ωce  νen (puisque ωce  ωci et νen  νin ), (3.281) peut alors se simplifier, soit : 2 Te νen De⊥ mi ωci me Te νen = = . (3.282) 2 Di⊥ me ωce Ti νin mi Ti νin Bien que Te νen soit en général plus grand que Ti νin 130 , le rapport des masses l’emporte de sorte que De⊥ ≤ Di⊥ . Contrairement à la situation qui prévaut sans champ magnétique, ce sont les ions qui diffusent donc le plus vite et ce sont les électrons qui retardent les ions dans le processus ambipolaire ! Remarques : 1. Si l’on suppose νen ≈ νin , dans le cas où le champ B est suffisamment fort pour que νin ωci , on obtient une formule approchée utile pour Da⊥ : Da⊥ ≈ De⊥ [1 + Ti /Te ] ,

(3.283)

résultat qu’il convient de comparer au coefficient de diffusion sans champ magnétique (3.275), où Da = Di [1 + Te /Ti ] : le rôle des électrons et des ions dans le processus de diffusion ambipolaire s’en trouve inversé. 2. Le recours à l’hypothèse de congruence pour la dérivation, en présence d’un champ magnétique B, du coefficient de diffusion ambipolaire Da⊥ est généralement incorrect dans le cas où les parois de l’enceinte de décharge sont conductrices [10]. Dans 130 En effet, νen  νin et Te /Ti ≥ 1.

199

3.12− Régime de chute libre par opposition à celui de diffusion

la direction perpendiculaire à B, les électrons diffusent moins vite que les ions lorsque B est d’intensité suffisamment élevée (De⊥ ≤ Di⊥ (3.282)), tandis que les électrons diffusent beaucoup plus rapidement que les ions le long des lignes de B (De  Di ). Ainsi, les parois aux extrémités de la machine (perpendiculaires aux lignes de champ) vont recevoir majoritairement des électrons alors que les parois parallèles à B vont majoritairement collecter des ions. Il n’y a donc pas diffusion ambipolaire puisque Γe = Γi . En revanche, si les parois de l’enceinte sont isolantes, celles-ci imposent bien un régime de diffusion ambipolaire (Γe = Γi ).

3.12. Régime de diffusion ou de chute libre ? Chute libre : définition Lorsque la fréquence de collision dominante entre particules est suffisamment faible pour que le libre parcours moyen correspondant soit plus grand que la longueur de diffusion, soit  > Λ, le plasma se trouve en régime de chute libre. Ces conditions sont à l’opposé de celles de la diffusion, car les collisions ont lieu davantage sur les parois de l’enceinte qu’en volume : le phénomène de vitesse dirigée résultant d’un gradient de densité ne peut donc se manifester puisqu’il nécessite un très grand nombre de collisions des particules chargées sur la longueur de diffusion. Critère de diffusion Il y a donc diffusion si le temps τD que met une particule chargée pour se rendre à la paroi est beaucoup plus grand que le temps entre deux collisions en volume (majoritairement électron-neutre dans un gaz faiblement ionisé), soit τD  1/νen . Nous cherchons à exprimer cette condition en fonction du libre parcours moyen  des électrons et du rayon R dans le cas d’une enceinte cylindrique longue. Rappelons que νD = D/Λ2 , de sorte que τD ≡ 1/νD = Λ2 /D ≈ R2 /D. Par ailleurs, nous savons (section 1.7.7) que  ≈ vth /νen . Nous pouvons alors écrire : τD νen ≈

R2  vth  . D 

(3.284)

2 Comme D = kB Te /me νen ≈ vth /νen = vth , nous obtenons, de (3.284) :

τD νen ≈

R2 vth R2 = . vth 2 2

(3.285)

La condition τD νen  1 entraîne comme critère de diffusion que R/  1. On s’en serait douté ! En conclusion, avant d’utiliser les équations de diffusion de quelque type que ce soit (voir exercices 3.16, 3.17 et 3.18), il est impérieux de vérifier que la dimension carac-

200

3− Description hydrodynamique d’un plasma

téristique de diffusion est beaucoup plus grande que le libre-parcours moyen prépondérant. Si c’est le cas, il reste ensuite à déterminer s’il s’agit d’un régime de diffusion libre ou ambipolaire ou de transition entre les deux, ce qui dépend de la valeur du rapport de la longueur de Debye à la longueur de diffusion (section 3.10.5). Remarques : 1. En régime de chute libre, la distribution radiale de la densité électronique dans une colonne cylindrique prend la forme d’une parabole : n(r) = n(0)(1 − α ¯ r2 /R2 ) : le paramètre α ¯ dépend de λDe , comme le montre la figure 3.8.

Figure 3.8 – Profil radial de la densité électronique en régime de chute libre ; R est le rayon interne du tube à décharge et ne0 la valeur de la densité électronique sur l’axe du tube ; λ2De représente la valeur moyenne de λ2De sur la section radiale du plasma (adapté avec permission d’après [11], avec la permission de l’American Physical Society).

2. Résumé des conditions d’une diffusion ambipolaire (B = 0)  R : il doit y avoir diffusion et non chute libre, λDe Λ : la diffusion est de nature ambipolaire, et prépondérante si de plus la recombinaison en volume est faible devant la recombinaison sur les parois (section 1.8).

3.13. Température électronique d’une longue colonne de plasma régi par la diffusion ambipolaire : loi d’échelle Te (pR) Nous nous proposons de définir dans cette section la relation donnant la température électronique Te en fonction du produit pR (pression du gaz - rayon du plasma) qui soit

3.13− Loi d’échelle Te (pR)

201

valable pour plusieurs gaz, à une constante spécifique près. Cette dépendance en fonction de pR, parce qu’elle regroupe le produit (ou le quotient) de deux (ou plusieurs) variables, est une loi d’échelle. Formulée en 1932 par Von Engel et Steenbeck pour la colonne positive (section 4.2.1), la présente loi d’échelle a été largement confirmée expérimentalement, particulièrement dans les décharges de gaz rares aussi bien en colonne positive qu’en décharge HF. Elle est très utilisée pour l’estimation de certains paramètres du plasma dans la mesure où ces derniers dépendent de Te . L’expression recherchée est fondée sur l’équation du bilan de particules chargées (3.232) en diffusion ambipolaire : νi  = Da /Λ2 ,

(3.286)

où la fréquence moyenne d’ionisation 131 νi  dépend, comme l’indique le symbole  , de la fonction de distribution des vitesses des électrons. Nous allons supposer que cette fonction est maxwellienne ; dans ce cas, le coefficient de diffusion Da peut s’écrire explicitement en fonction de Te (voir (3.276)) ; cependant, Te apparaît de façon implicite dans l’expression définissant la fréquence moyenne νi  de sorte que, finalement, (3.286) ne peut être résolue de manière totalement explicite en Te . Nous allons dériver de (3.286) une forme analytique décrivant, en première approximation, la variation de Te en fonction de N , la densité des atomes neutres, et de Λ, la longueur caractéristique de diffusion. D’une façon plus pratique, nous obtiendrons une fonction Te (p0 R) où p0 est la pression réduite du gaz et R, le rayon interne de l’enceinte à décharge supposée longue et de forme cylindrique.

3.13.1. Hypothèses du modèle Pour un traitement analytique, il nous faut admettre les hypothèses suivantes : Le plasma est en régime stationnaire (l’amorçage de la décharge a eu lieu depuis suffisamment longtemps). Le tube à décharge est un long cylindre : les particules chargées disparaissent par diffusion ambipolaire radialement vers les parois où elles se recombinent totalement (n(R) = 0). L’intensité du champ électrique entretenant la décharge est faible (fonction de distribution des vitesses isotrope) et cette intensité ne varie pas radialement. La fonction de distribution des vitesses des électrons est maxwellienne. Le plasma est hors ETL : Te  Ti . L’ionisation résulte de collisions électron-neutre (degré d’ionisation ≤ 10−4 ). 131 Nous reprenons ici notre notation initiale (section 1.7.8) pour les fréquences moyennes de collisions, en l’occurrence νi plutôt que νi .

202

3− Description hydrodynamique d’un plasma

L’ionisation d’un atome se fait à la suite d’une seule collision électronique, l’atome σti w. se trouvant initialement dans l’état fondamental, de sorte que νi  = N0 ˆ Remarque : L’hypothèse voulant que les pertes de particules chargées soient dues exclusivement à la diffusion ambipolaire ainsi que l’hypothèse d’une ionisation directe à partir d’un impact électronique sur l’atome dans l’état fondamental, constituent ce qu’on appelle les conditions de Schottky (voir aussi section 4.2.4).

3.13.2. Dérivation de la relation Te(p0 R) Nous calculons successivement le membre de gauche puis le membre de droite de l’équation (3.286) du bilan de particules ; cela nous conduit finalement à la loi d’échelle Te (p0 R). Expression de la fréquence d’ionisation en fonction de l’énergie moyenne des électrons D’une manière générale, le nombre de collisions ionisantes est faible par rapport à celui des collisions élastiques, en raison d’une section efficace d’ionisation présentant une énergie-seuil Ei grande devant l’énergie moyenne 3kB Te /2 des électrons. Les collisions électron-neutre impliquant des électrons dont l’énergie est inférieure à cette énergieseuil apportent donc une contribution nulle à l’ionisation du plasma. Le calcul de la fréquence d’ionisation directe νi  est effectué ci-dessous par étapes. 1. Expression de la fréquence moyenne d’ionisation Pour une fonction de distribution en vitesse séparée et isotrope (section 3.3) 132 , cette fréquence a pour expression : νi  = νi (w)f (w) 4πw2 dw (3.287) w

où :

νi (w) ≡ N0 σ ˆti (w)w

(1.152)

Bien noter que νi  est le nombre de collisions ionisantes par seconde qu’effectue en moyenne un électron. 2. Expression de νi  en termes d’énergie électronique exprimée en eV La fonction de distribution des vitesses, par hypothèse de Maxwell-Boltzmann, peut s’écrire (annexe A1) :   3/2  me w2 f (w) = exp − 2 . (3.288) 2πkB Te vth 132 On peut utiliser le module de la vitesse parce qu’on a fait l’hypothèse d’une anisotropie faible de l’énergie des électrons en dépit de la présence du champ E.

3.13− Loi d’échelle Te (pR)

203

Pour passer à l’énergie cinétique des électrons exprimée en eV, UeV , nous posons : UeV =

me w 2 , 2e

(3.289)

d’où :

w=

2eUeV . me

(3.290)

Comme :

¯eV = 3 kB Te , U 2 e

(3.291)

¯eV ≡ UeV  pour alléger l’écriture et comme où nous avons noté U 1 2 me vth = kB Te , 2

4 e ¯ UeV vth = 3 me

alors :

et après quelques calculs (annexe A17) : *  )

  3/2 3 me 2eUeV 1 3 UeV exp − ¯ = . f ¯ 3/2 me 4π e 2 UeV U

(3.292)

(3.293)

eV

Passage de νi (w) à νi (UeV ) ˆti (w) où Pi (w) est la section efficace macroscopique Sachant que Pi (w) = N σ totale (section 1.7.5) d’ionisation (section 1.7.9) et, compte tenu de (3.289) et (3.293), la relation (3.287) peut s’exprimer en fonction de l’énergie UeV sous la forme :  

3e UeV 3 UeV Pi (UeV ) exp − ¯ (3.294) dUeV , νi  = 3 me π U ¯ 3/2 2 UeV Ei

eV

où l’intégration ne débute qu’à partir de l’énergie-seuil Ei pour l’ionisation. 3. Expression analytique approchée de Pi (u) Parce qu’expérimentalement Pi (UeV ) est linéaire dans le domaine UeV ≤ 2Ei et que Pi (UeV ) = 0 pour UeV < Ei , c’est une très bonne approximation que de poser (section 1.7.9) : Pi (UeV ) = ai (UeV − Ei ) pour UeV ≥ Ei

(1.138)

où ai , le coefficient d’ionisation, est une constante qui dépend du gaz considéré.

204

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Portant (1.138) dans (3.294), il vient :

νi  = 3

3e 1 ¯ 3/2 me π U eV

∞ Ei

  3 UeV ai (UeV − Ei )UeV exp − ¯ dUeV . 2 UeV

(3.295)

Nous rappelant que nous avons introduit la "pression" réduite (section 1.7.5) de façon à pouvoir écrire que Pi = p0 Pi0 où Pi0 est la section efficace macroscopique totale d’ionisation à 0 ◦ C et à 1 torr, nous pouvons poser ai = p0 ai0 , paramètre qui est alors exprimé par rapport aux conditions de référence des sections efficaces ; ses unités sont des cm−1 volt−1 . Nous obtenons alors :

  ∞ 3e p0 3 UeV νi  = 3 a (U − E )U exp − (3.296) i0 eV i eV ¯eV dUeV . ¯ 3/2 me π U 2U eV

Ei

¯eV pour faciliter l’in4. Normalisation de l’énergie par rapport à l’énergie moyenne U tégration de (3.296). Posant : U≡

3 UeV ¯eV , 2U

Ui ≡

3 Ei ¯eV , 2U

(3.297)

(3.296) devient alors (annexe A17) : νi  =

 3/2

∞ 4 e ¯ 3/2 (U − Ui )U exp(−U) dU . ai0 p0 U eV 3 me π

(3.298)

Ui

L’intégration par parties de (3.298) se réalise facilement et on aboutit, en revenant aux variables initiales, à : νi  = 2

   3/2

  4 e ¯ 3/2 3 Ei + 1 exp − 3 Ei ai0 p0 U eV ¯eV ¯eV . 3 me π 4U 2U

(3.299)

¯eV Nous constatons que νi  est très sensible à la valeur de l’énergie moyenne U puisque celle-ci apparaît dans l’argument de la fonction exponentielle. Bilan des espèces chargées de la décharge Évaluons maintenant le membre de droite de la relation (3.286) du bilan des particules chargées. Dans un tube à décharge cylindrique long, nous savons, par (3.228), que Λ ≈ R/2,405. Par ailleurs, puisque μi |μe | et dans l’hypothèse où Te  Ti (valable pour les plasmas à pression réduite qui sont visés par le présent modèle), d’après (3.276) nous pouvons écrire : Da ≈

kB Te 2¯ μi = U eV μi , e 3

(3.300)

3.13− Loi d’échelle Te (pR)

de sorte que :

et de (3.286) :

205

2¯ Da = U eV μi 2 Λ 3 νi  =

2¯ UeV μi 3





2,405 R

2,405 R

2 (3.301)

2 .

(3.302)

L’égalité des équations (3.299) et (3.302) nous donne une relation permettant de déterminer complètement, et de façon analytique, l’équation du bilan perte-création des particules chargées du plasma. Expression de TeV /Ei en fonction de p0 R Expression approchée de von Engel et Steenbeck La nécessité d’obtenir une relation plus facile à évaluer (à l’époque, il n’y avait pas d’ordinateur) amena von Engel et Steenbeck à considérer, dans (3.299), l’approximation : 3 Ei (3.303) ¯eV  1 4U ¯eV Ei , sauf lorsque la pression devient si faible que l’on (c’est un fait avéré que U se trouve dans le domaine de la chute libre où, de toute façon, le présent modèle ne s’applique plus). Dans le cadre de cette approximation, de (3.299) et (3.302), nous obtenons :  3/2

    4 3 Ei (2,405)2 e 2¯ 3 Ei 3/2 ¯ ai0 p0 UeV UeV μi =2 ¯eV exp − 2 U ¯eV , (3.304) 3 R2 3 me π 4U et, en retournant à la variable Ui de (3.297), il vient (annexe A17) :

2 2e 2 2 2 −1/2 Ui exp Ui = c p R , 2 (2,405) me π 0 0 où le coefficient c0 , spécifique à chaque gaz, se trouve défini par : √ ai0 Ei 2 c0 ≡ . μi p0

(3.305)

(3.306)

Noter que μi p0 se présente comme la valeur de la mobilité réduite relativement à 0 ◦ C et à 1 torr ; ne pas oublier, toutefois, que les valeurs de référence de la mobilité sont habituellement rapportées à 0 ◦ C et 760 torrs (3.189). On peut finalement tirer de (3.305) sous forme numérique la valeur de TeV /Ei en fonction de c0 p0 R où p0 , sans unité, est la "pression" réduite par rapport à 1 torr et 0 ◦ C, et Ei , l’énergie-seuil d’ionisation. Les unités de c20 sont des (kg/coulomb)1/2 m−2 ou encore des (volt)1/2 s m−3 , donc c0 p0 R est, en principe, en (volt1/2 s m−1 )1/2 .

206

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Expression exacte L’explicitation de (3.299) et (3.302) et le recours aux énergies réduites nous conduisent à une expression exacte de forme remarquable :

e 2 exp Ui + + c20 p20 R2 . = (3.307) 2 1/2 −1/2 (2,405) 3m π 2 3 e 3 3 Ui + 4 2 Ui Le calcul numérique de (3.307) avec la relation (3.297) définissant Ui = eEi /kB Te permet de représenter TeV /Ei en fonction de c0 p0 R (figure 3.9).

Figure 3.9 – Évolution de la température électronique (normalisée à l’énergie-seuil d’ionisation du gaz considéré) en fonction des conditions opératoires (nature et pression du gaz et rayon de la (longue) colonne cylindrique de plasma supposé en régime ambipolaire). Les tirets indiquent que l’on quitte le domaine de validité du calcul effectué à partir de la relation (3.307). R est en mètre et la valeur de c0 est celle du tableau 3.1 avec les unités adéquates.

Conséquences La figure 3.9 traduit numériquement le fait que la température électronique Te d’une décharge, en régime de diffusion ambipolaire, ne dépend que des dimensions de l’enceinte (le rayon R pour une longue colonne de plasma), de la nature du gaz (énergieseuil d’ionisation Ei et coefficient c0 ) et de sa pression (pression réduite p0 ). Valeur de la constante c0 La valeur de ai0 dans c0 (3.305) s’obtient à partir des sections efficaces d’ionisation Pi0 (UeV ) publiées, en se limitant à la partie linéaire principale au voisinage du seuil. La valeur de la mobilité ionique μi dans (3.302) correspond à la pression et à la température du gaz considéré ; parce que celle-ci est multipliée par p0 dans (3.306),

3.13− Loi d’échelle Te (pR)

207

elle prend l’aspect d’une mobilité réduite à 0 ◦ C, 1 torr alors que les valeurs de référence sont données à 1 atmosphère et à 0 ◦ C ; il faut donc effectuer la conversion nécessaire. Par ailleurs, les valeurs de μi0 dépendent du rapport E/p (une autre loi d’échelle) : il est d’usage d’utiliser dans le calcul de c0 la valeur de μi0 extrapolée pour E/p → 0. Le tableau 3.1 donne les valeurs de c0 obtenues pour les gaz rares par différents auteurs, le jeu le plus récent (1980) étant celui de Zakrzewski que nous recommandons d’utiliser. Les unités de c0 permettent d’exploiter directement le graphe de TeV /Ei en fonction de c0 p0 R de la figure 3.9 où le rayon interne R du tube à décharge est en mètre ; Ei , l’énergie au seuil d’ionisation est donnée au tableau 3.2. Tableau 3.1 – Valeur de c0 obtenue par différents auteurs (chronologiquement de gauche à droite) pour les gaz rares (à utiliser avec la figure 3.9 où R est exprimé 1 1 en m). Les unités de c20 sont en V 2 C 2 m−3 s.

Von Engel

Brown 133

Moisan

Zakrzewski

Hélium Néon

4 6

3,93 5,9

5,3 9,0

4,68 7,94

Argon Krypton

40

53

48 68

50,1 68,2

111

113

Xénon

Exemple de détermination de TeV : pour R = 2 cm et p0 = 1, on a pour l’argon c0 p0 R = 1. La figure 3.9 nous donne TeV /Ei = 7,54 × 10−2 (sans unité). Comme Ei = 15,76 eV, nous obtenons donc TeV = 1,2 eV. Tableau 3.2 – Énergie-seuil Ei (eV) de première ionisation des atomes de gaz rares.

Hélium

24,58

Néon Argon

21,56 15,756

Krypton Xénon

13,996 12,127

Remarque : La loi d’échelle obtenue dans cette section dépend de paramètres fixés par l’opérateur : nature et pression du gaz, dimensions et forme de l’enceinte. Ces paramètres (auxquels on ajoute, le cas échéant, la fréquence du champ HF entretenant la décharge) constituent les conditions opératoires du plasma. 133 Brown, chapitre 14, section 2.2.

208

3− Description hydrodynamique d’un plasma

3.14. Formation et nature des gaines à l’interface plasma-paroi : flux de particules aux parois et critère de Bohm Dans un gaz non ionisé, le flux de particules incident sur une paroi, par unité de surface, est égal au flux aléatoire (annexe A1) : Γ=

1 nv 4

(3.308)

où v ≡ w est la vitesse moyenne de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Dans un gaz ionisé, la situation est différente au voisinage d’une paroi (ou d’une sonde) car la surface peut être portée par l’opérateur à un potentiel défini, mais elle peut aussi se charger électriquement par elle-même ; de plus, les particules peuvent s’y recombiner (section 1.8). Il se forme alors, entre le plasma et la paroi, une zone de transition, appelée gaine, que nous allons étudier. Dans ce qui suit, nous considérons le cas d’un plasma à l’état stationnaire hors ETL tel que Te  Ti 0 (fond d’ions immobiles) et nous allons supposer que, dans la gaine qui se développe à l’interface plasma-paroi, il n’y a pas de collisions.

3.14.1. Cas d’un potentiel de paroi positif par rapport au potentiel du plasma : gaine électronique Ce cas est simple comparé à celui d’une paroi portée à un potentiel négatif. L’évolution du potentiel est représentée sur la figure 3.10. On distingue deux régions : à droite, le plasma, caractérisé par sa neutralité macroscopique (ne = ni ), un champ électrique de charge d’espace nul et un potentiel plasma φp , et à gauche, une gaine purement électronique, où les ions, d’énergie faible (kB Ti 0), sont totalement repoussés vers le plasma par le potentiel répulsif qui se développe à l’interface plasma-paroi. La frontière qui sépare le plasma, macroscopiquement neutre, et la gaine électronique, totalement exempte d’ions positifs, s’appelle lisière de gaine. Cette frontière où se produit la rupture de neutralité est bien définie. Dans le cas d’une surface plane, le flux électronique à la paroi est égal au flux électronique atteignant la lisière de gaine (conservation du flux dans la gaine stationnaire non collisionnelle 134 ), 134 Pour une gaine stationnaire, non collisionnelle, l’équation de conservation du fluide d’électrons est : Z ∂ne +∇ · Γe,i = S(t)dw = 0 , ∂t | {z } w →0

ce qui implique ∇ · Γe = 0 et donc que le flux électronique est constant dans la gaine.

209

3.14− Notion de gaine

Figure 3.10 – Évolution du potentiel φ(x) et des densités ionique ni et électronique ne à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine électronique (x est la distance à la paroi, lge l’épaisseur de la gaine électronique, φp le potentiel du plasma et φ0 le potentiel appliqué sur la paroi).

soit de (3.308) : Γes =  ou, encore :

Γes = ne

1 ne ve 4 kB Te 2πme

(3.309)  12 .

(3.310)

Une valeur approchée de l’épaisseur de gaine lge peut être déduite de la loi de ChildLangmuir 135 qui stipule que la densité de courant que peut débiter une diode plane 3/2 est limitée par la charge d’espace due aux électrons, et qu’elle varie en φ0 , où φ est la différence de potentiel entre les deux plaques. Dans le cas d’un plasma, c’est 135 Pour une diode plane, la densité je de courant électronique que l’on peut tirer de la surface émettrice (par exemple un ruban de tungstène) est donnée par : 3

je = 2,34 × 10−6

φ02 (A/m2 ) d2

où d est la distance entre les deux plaques et φ0 , la différence de potentiel correspondante.

210

3− Description hydrodynamique d’un plasma

l’épaisseur de la gaine qui s’ajuste à la densité de courant je débité par le plasma et à la différence de potentiel φ0 − φp . Dans le cas d’une gaine électronique, l’application de la loi de Child-Langmuir conduit à : 1  3 4 0 2e 2 (φ0 − φp ) 2 je = − , (3.311) 2 9 me lge soit une épaisseur de gaine électronique : √ 1  3 2 2π 4 e(φ0 − φp ) 4 λDe . lge = 3 kB Te

(3.312)

Remarque : Dans l’expression (3.310), le flux électronique à la paroi est fixé par le plasma (Te et ne ) : il est indépendant de la tension appliquée à la paroi (paroi plane).

3.14.2. Cas d’un potentiel de paroi négatif par rapport au potentiel de plasma : gaine ionique Ce second cas est plus complexe que le précédent car, contrairement aux ions, les électrons ont une énergie moyenne beaucoup plus élevée (kB Te  kB Ti 0). Il s’ensuit donc que, si la paroi présente un potentiel attractif pour les ions du plasma, ce potentiel n’est que partiellement répulsif pour les électrons. Cependant, plus la barrière de potentiel à franchir est élevée pour les électrons, moins le flux électronique collecté par la paroi est important. Dans le cas d’une distribution de MaxwellBoltzmann, le courant électronique effectivement collecté par la paroi (φ0 < φp ) s’écrit : 1 e(φ0 − φp ) Γes = ne ve exp . (3.313) 4 kB Te Il apparaît donc clairement que, dans le cas d’une gaine ionique, les électrons, en fonction de leur énergie, pénètrent plus ou moins profondément dans la gaine ionique qui se forme à l’interface plasma-paroi. Cette fois, la frontière où se produit la rupture de neutralité entre le plasma et la gaine ionique est mal définie et s’étend sur une zone relativement large, comme le montre la figure 3.11. Pour pallier cette difficulté, la zone de transition peut être divisée en deux parties, la gaine ionique proprement dite où la rupture de neutralité est effective, et la prégaine qui, comme son nom l’indique, précède la gaine, et débute là où les ions commencent à être accélérés par le champ de charge d’espace. En fait, cette division, purement artificielle, permet de définir la lisière de gaine, entre une région quasi-neutre (la prégaine) dans laquelle seule une faible partie des électrons est repoussée, et une région non neutre (la gaine ionique) où les ions sont devenus majoritaires. L’évolution du potentiel φ(x) est régie par l’équation de Poisson : e ∂2φ = (ne − ni ) . ∂x2

0

(3.314)

211

3.14− Notion de gaine

Figure 3.11 – Évolution du potentiel φ et des densités ionique ni et électronique ne à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine ionique (x est la distance à la paroi, lgi l’épaisseur de la gaine ionique, φp le potentiel du plasma, φ0 le potentiel appliqué sur la paroi, φg et ng le potentiel et la densité du plasma à la lisière de gaine).

Soient ng , vi et φg respectivement la densité du plasma, la vitesse des ions et le potentiel à la lisière de gaine. La densité électronique dans la gaine est donnée par l’équation de Boltzmann (A1.15) :   e(φ(x) − φg ) ne (x) = ng exp . (3.315) kB Te La vitesse des ions vi (x), en fonction de leur vitesse vg d’entrée dans la gaine, se déduit à partir de la conservation de l’énergie totale sur la distance parcourue dans la gaine : mi  2 (3.316) vi (x) − vg2 = e(φg − φ(x)) . 2 La conservation du flux dans la gaine s’écrit : ni (x)vi (x) = ng vg .

(3.317)

Compte tenu de (3.316), nous obtenons la densité ionique dans la gaine :  ni (x) = ng

2e(φ(x) − φg ) 1− mi vg2

− 12 .

(3.318)

212

3− Description hydrodynamique d’un plasma

Sachant que, en tout point de la gaine ionique, nous devons avoir : ni (x) > ne (x) ,

(3.319)

cette condition doit, en particulier, être remplie près de la lisière de gaine, c’est-à-dire pour les faibles valeurs de φ(x) − φg . En développant (3.318) et (3.315), au second ordre, en série de Taylor, nous obtenons :   e(φ(x) − φg ) 3 e2 (φ(x) − φg )2 ni (x) = ng 1 + + + ... , (3.320) mi vg2 2 (mi vg2 )2   e(φ(x) − φg ) e2 (φ(x) − φg )2 ne (x) = ng 1 + + + ... . (3.321) kB Te 2(kB Te )2 Comme φ(x) − φg est négatif dans la gaine porprement dite, la condition (3.319) impose, au premier ordre du développement :  1 kB Te 2 . (3.322) vg ≥ vB ≡ mi Ce résultat est connu sous le nom de critère de Bohm. Il signifie que la frontière entre la zone macroscopiquement neutre (prégaine) et la zone où il y a rupture de neutralité (gaine proprement dite) est située au point où la vitesse des ions, accélérés dans la prégaine, est égale 136 à la vitesse acoustique ionique, vB , appelée aussi vitesse de Bohm. En supposant une prégaine non collisionnelle 137 et en appliquant la relation (3.316) entre le plasma (vi (φp ) = 0) et la lisière de gaine, on obtient le potentiel φg 138 : 1 kB Te , (3.323) e(φp − φg ) = mi vg2 = 2 2 kB Te soit : φg = φp − . (3.324) 2e Nous en tirons (de (3.315) et (3.323)) la valeur de la densité des ions en lisière de gaine :   1 ng = n exp − (3.325) 2 et la valeur du flux d’ions, ng vg = Γis , collecté à la paroi :  Γis = n

kB Te mi

 12

  1 exp − . 2

(3.326)

136 Pour vg = vB , on vérifie bien, à partir du développement à l’ordre 2 de (3.320) et (3.321), que la condition (3.319) est remplie. 137 En réalité, la prégaine est collisionnelle, car son épaisseur correspond à une fraction du libre parcours moyen des ions en présence des neutres. 138 On note que ce potentiel en lisière de gaine est suffisant pour repousser tous les électrons ayant une énergie 12 me wx2 inférieure à kB Te /2.

213

3.14− Notion de gaine

En appliquant la loi de Child-Langmuir (3.311) au courant d’ions, nous obtenons l’épaisseur de la gaine ionique (la charge d’espace due aux électrons de forte énergie pénétrant dans la gaine est supposée négligeable), soit : lgi

 3 5 e(φp − φ0 ) 4 24 = . λDe kB Te 3 exp(− 14 )

(3.327)

Remarque : Dans la plupart des ouvrages, le critère de Bohm est déduit d’une condition mathématique résultant de l’intégration de l’équation de Poisson (3.314), opération qui requiert des conditions aux limites simplificatrices (∂φg /∂x = 0). Dans le développement présenté ici, le critère de Bohm est défini uniquement à partir des conditions pour lesquelles on obtient la rupture de neutralité.

3.14.3. Potentiel flottant Le potentiel flottant correspond à l’égalité des courants ionique et électronique collectés sur une surface. C’est le potentiel pris par une surface isolée (diélectrique ou conductrice) en contact avec le plasma. En effet, si de telles surfaces devaient recevoir plus de charges d’un signe que d’un autre, leur potentiel augmenterait indéfiniment. En régime permanent, celui-ci va donc s’ajuster de manière à collecter autant de charges positives que négatives. Ce potentiel φf , appelé potentiel flottant, est obtenu en égalant (3.313) et (3.326), soit :   kB Te mi φf − φp = − . (3.328) 1 + ln 2e 2πme Le potentiel flottant s’ajuste à une valeur suffisamment négative par rapport au potentiel plasma de manière à repousser le nombre adéquat d’électrons pour équilibrer courants ionique et électronique collectés à la surface. Remarques : 1. L’énergie dirigée acquise par les ions dans la gaine est mise à profit dans un bon nombre de procédés de traitement de surface (gravure, dépôt, transformation chimique). On peut accroître l’énergie de ce bombardement ionique en appliquant une tension φ0 , dite de polarisation, à la surface en contact avec le plasma. Si φ0 = φf (gaine ionique sans polarisation appliquée), lgi λDe . Par contre si φp − φ0  kB Te , alors lgi  λDe . 2. Du point de vue d’une onde, la gaine peut apparaître comme une région de vide si la densité électronique est faible au point que ωpe ω, puisqu’alors p 1 (3.68).

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Chapitre 4 Introduction à la physique des décharges HF

4.1. Préambule Le présent chapitre traite de plasmas produits par un champ électrique périodique de haute fréquence (HF), le vocable HF désignant à la fois le domaine des fréquences radio (∼ = 1–300 MHz) et celui des micro-ondes (0,3–300 GHz). Ces plasmas, utilisés à l’origine principalement dans les laboratoires de recherche, ont assez récemment acquis une grande importance en milieu industriel (par exemple, micro-électronique, destruction des gaz à effet de serre, voir section 1.2). Aussi, la compréhension des mécanismes de leur entretien et des phénomènes physico-chimiques qui leur sont spécifiques (notamment, effet de la fréquence HF) ne peut que conduire à une meilleure conception des dispositifs HF et à des procédés plus efficaces. Les plasmas HF les plus utilisés sont ceux fonctionnant à basse pression ( ω), l’épaisseur de peau δc prend la valeur c/ωpe . Dans le cas d’un plasma collisionnel (ν  ω et tel que 1 ωpe  ω), on peut montrer (annexe A18) que δc = (c/ωpe )(2ν/ω) 2 .

4.2.3. Décharges HF en présence d’un champ magnétique statique Pour certains procédés de traitement par plasma, il peut être avantageux de fonctionner à la pression de gaz la plus faible possible de façon à réduire d’autant la fréquence de collision dans la décharge. Il en va ainsi par exemple de la gravure anisotrope où l’on souhaite "creuser", par bombardement ionique, dans un matériau donné, des tranchées à parois parfaitement verticales (figure 1.4). L’accélération des ions, obtenue par polarisation du porte-substrat ou du matériau lui-même, engendre un flux ionique dirigé perpendiculairement à la surface à traiter : moins grande est la fréquence de collisions modifiant cette trajectoire, plus parfaitement anisotrope (verticale) est la gravure. Comment, cependant, pouvons-nous créer un plasma HF avec une aussi faible fréquence de collision alors que nous avons rappelé, à la section précédente, que l’existence de collisions est essentielle au maintien de la décharge HF ? Pour y arriver, il faut soumettre le plasma à un champ magnétique statique B 0 , comme nous allons le montrer. On peut ramener à deux phénomènes principaux l’action d’un champ B 0 statique sur une décharge HF : réduction des pertes par diffusion vers les parois des particules chargées et, le cas échéant, transfert résonnant à ωce = ω de l’énergie du champ HF aux électrons. Réduction des pertes par diffusion des particules chargées vers les parois Dans le cas d’un champ B 0 dirigé axialement dans une enceinte cylindrique, les particules chargées sont entraînées dans un mouvement soit purement cyclotronique, soit hélicoïdal autour des lignes de champ de B 0 suivant que leur vitesse axiale est nulle ou non nulle (section 2.2.2). La diffusion radiale des particules chargées, donc leur perte, se trouve d’autant plus réduite que le rayon de giration cyclotronique qui leur est imposé est petit (très inférieur au rayon de l’enceinte), c’est-à-dire que l’intensité du champ magnétique est élevée. Pour que le confinement magnétique se fasse sentir sur les électrons, il faut qu’il y ait plusieurs girations cyclotroniques entre deux collisions, ce qui impose ν ωce (section 3.11) 147 . Notons que la diminution 147 Pour fixer les idées, dans l’argon à 1 torr, pour TeV = 2 eV, ν  2 × 109 s−1 . Par ailleurs, rappelons que ωce /2π (Hz) = 2,799 × 106 B0 (gauss).

224

4− Introduction à la physique des décharges HF

des pertes de particules chargées entraîne que Te et, donc, θp 148 décroissent de sorte qu’avec la même densité de puissance Pa absorbée, selon (4.4), on obtient une plus grande valeur de densité électronique. Par ailleurs, à B0 constant, θp augmente lorsqu’on diminue la pression puisque, les pertes par diffusion augmentant, l’énergie moyenne des électrons croît (figure 3.9) et, donc, la valeur de θp aussi148 . Il existe une valeur maximum de θp au-delà de laquelle la puissance θa demeure inférieure à θp (voir plus loin la figure 4.5 en régime hors résonance). À cette valeur maximum de θp correspond une pression minimum de travail au-dessous de laquelle il est impossible d’entretenir la décharge. Dans ce qui suit, pour examiner l’influence de la résonance cyclotronique électronique (RCE) sur l’entretien de la décharge, nous allons considérer successivement deux cas : une décharge en milieu infini dans laquelle se propage une onde EM plane dans la même direction que celle du champ magnétique B 0 , puis une décharge en milieu limité, en l’occurrence une colonne de plasma entretenue par une onde EM de surface se propageant également dans la direction de B 0 . Cas d’un plasma entretenu par une onde plane en milieu infini Comparaison du régime d’absorption de puissance par collisions avec celui par résonance cyclotronique électronique (RCE) : évolution de la valeur de θa en fonction de la pression, à champ électrique d’intensité constante E0 La méthode de calcul de θa dans un plasma HF en régime de RCE est analogue à celle utilisée en régime simplement collisionnel. Il suffit, en effet, de rajouter le terme dû à B 0 dans l’équation hydrodynamique de transfert de la quantité de mouvement (section 3.7) qui s’écrit, dans l’hypothèse d’un plasma froid (Te = 0) : ∂v = q[E + v ∧ B 0 ] − me νv , ∂t la vitesse de l’électron, dans ce contexte, étant purement périodique, soit : me

(4.9)

vx = v0x exp(iωt) ,

(4.10)

vy = v0y exp(iωt) .

(4.11)

Le champ magnétique statique B 0 et l’onde plane sont dirigés suivant z et le champ électrique de l’onde, E = E 0 eiωt , est pris selon y. Suivant les coordonnées x et y du repère cartésien, nous avons alors : qB0 v0y − νv0x , (4.12) iωv0x = me q qB0 E0 − v0x − νv0y . (4.13) iωv0y = me me 148 Rappelons que la figure 4.3 montre que θp croît de façon monotone avec Te .

4.2− Transfert de puissance du champ électrique à la décharge

225

En éliminant v0x entre les équations (4.12) et (4.13), il vient : v0y = −

2 − ω 2 + ν 2 − 2iων] eE0 (ν + iω)[ωce , 2 − ω 2 + ν 2 )2 + 4ω 2 ν 2 me (ωce

soit encore, par identification, en factorisant :   2 2 − iω ν 2 + ω 2 − ωce eE0 ν ν 2 + ω 2 + ωce    . v0y = − 2 2 me (ω − ωce ) + ν 2 (ω + ωce ) + ν 2

(4.14)

(4.15)

La puissance moyenne (sur une période) par unité de volume, Pa , absorbée par les électrons est donnée, de manière générale (équations (2.33) et (2.36)), par : Pa =

1 (J · E ∗ ) . 2

(4.16)

que l’on peut aussi écrire en faisant intervenir le tenseur de conductivité σ (équations (2.126) à (2.128)), soit : 1 (4.17) Pa = [(σ · E) · E ∗ ] . 2 Sachant que Ey est la seule composante non nulle du champ électrique et que la composante σzy de σ est nulle (voir équations (3.184) et (3.186)), l’expression développée de la densité de courant (équation (2.128)) se réduit à : ˆx + σyy Ey e ˆy . J = σxy Ey e

(4.18)

Cependant, seule la composante de J suivant y apporte, dans l’équation (4.16), une contribution au produit contracté (scalaire) avec E ∗ . En recourant à l’algèbre complexe, nous pouvons représenter la puissance absorbée par unité de volume, en moyenne sur une période du champ HF, sous la forme : Pa =

1 (Jy Ey∗ ) , 2

(4.19)

où  signifie la partie réelle de la quantité entre parenthèses et l’astérisque le conjugué complexe de la quantité affectée. Comme Jy = −ne ev0y e−iωt et Ey∗ = E0 e−iωt , la puissance moyenne absorbée par électron se met sous la forme :   2 2 2 2  Pa 1 1 e ν ν E e 0 + . = −  vy Ey∗ = θa ≡ n 2 2νme 2 (ω − ωce )2 + ν 2 2 (ω + ωce )2 + ν 2 (4.20) Nous pouvons aussi tirer de (4.19) et de (4.20) que : θa ≡ soit encore :

 Pa 1 =  σyy E02 , ne 2ne

(4.21)

E02 (σyy ) . 2ne

(4.22)

θa =

226

4− Introduction à la physique des décharges HF

Le résultat exprimé par l’équation (4.20) peut s’interpréter de façon relativement simple (exercice 4.3) si l’on admet, d’une part, que le champ électrique oscillant E se décompose en le champ E d d’une onde circulaire droite et en le champ E g d’une onde circulaire gauche, toutes deux d’amplitude constante, tournant autour des lignes de champ magnétique, et, d’autre part, que les électrons, sous l’effet du champ magnétique, s’enroulent autour des mêmes lignes de champ magnétique selon un mouvement de rotation vers la droite (en regardant dans la direction du champ magnétique). La composante circulaire droite du champ électrique tourne alors dans le même sens que les électrons dans leur mouvement cyclotronique. Il en résulte que, dans son référentiel, l’électron "voit" le champ électrique E d osciller à une fréquence réduite ωd = ω − ωce , tandis qu’il "voit" le champ E g osciller à une fréquence accrue ωg = ω + ωce . L’équation (4.20) fait apparaître ces deux contributions : le premier terme du membre de droite correspond à la contribution de l’onde circulaire droite et le second à celle de l’onde circulaire gauche. Il est à noter que la présence de collisions empêche l’apparition d’une singularité en ω = ωce . Dans le cas où ωce = 0, on retrouve l’expression donnée par l’équation (2.33). Par contre, si l’on ajuste l’intensité du champ magnétique de telle sorte que ω = ωce , on obtient alors la condition de résonance cyclotronique électronique (RCE), et les électrons, dans leur référentiel propre, "voient" un champ électrique d’intensité constante qui les accélère de façon continue. L’énergie ainsi acquise par chaque électron est communiquée par collisions élastiques et inélastiques aux particules lourdes de la décharge, conduisant à θp (4.1). Le mécanisme de chauffage des électrons par RCE se distingue fondamentalement du mécanisme par transfert collisionnel (équation (2.33)). Ainsi, dans le cas du transfert collisionnel, l’énergie impartie au moment de la collision est celle acquise pendant seulement une fraction de la période HF puisque le travail de l’électron dans le champ électrique sur une ou plusieurs périodes complètes est nul. Autrement dit, dans le mécanisme du transfert collisionnel, plus le temps entre deux collisions est grand (c’est-à-dire plus la fréquence de collisions ν est petite), moins efficace est le transfert d’énergie à la décharge : pour ν ω, le terme ν/(ν 2 + ω 2 ), intervenant dans la définition de θa (équation (2.33)) et se réduisant à ν/ω 2 , diminue rapidement lorsque ν diminue. Au contraire, dans le transfert résonnant par RCE, l’énergie prise au champ électrique croît continûment entre deux collisions, de sorte que ce mécanisme est d’autant plus efficace que le temps entre deux collisions est long, ce qui nécessite ν ω. Le transfert résonnant s’apparente en fait au transfert collisionnel dans le cas d’un champ électrique statique (ω = 0). Pour preuve, à la RCE (ω = ωce ), l’expression de θa (équation (4.20)) pour ν ω aboutit, à un facteur 1/2 près 149 , à la forme obtenue dans le cas du champ électrique statique (équation (4.6)). 149 Le facteur 1/2 résulte de la décomposition (en présence d’un champ magnétique) d’une onde plane en une onde circulaire droite et une onde circulaire gauche, seule l’onde circulaire droite contribuant (de manière significative) au transfert de puissance aux électrons. Dans l’approximation opposée à celle de la RCE, soit ν  ω (transfert collisionnel de puissance) chaque onde circulaire contribue de façon égale au transfert de puissance et le résultat correspond exactement à celui donné par (4.6).

4.2− Transfert de puissance du champ électrique à la décharge

227

Figure 4.5 – Évolution de θa en fonction de ν/ω, à champ E0 constant, calculée selon (4.20) pour trois valeurs de la pulsation cyclotronique : ωce = 0, ωce = 1,5 ω et ωce = ω. Rappelons qu’il faut qu’à l’état stationnaire θa = θp (à ν/ω donné), ce qui suppose que θa puisse atteindre des valeurs telles que θa ≥ θp ; dans le cas contraire, la décharge ne peut exister.

L’intérêt de la RCE et la disparition de cet effet lorsque le plasma devient de plus en plus collisionnel sont illustrés sur la figure 4.5 qui montre l’évolution, à champ E0 constant, de la puissance θa absorbée par électron successivement à ωce = 0, à la condition de résonance ωce = ω et à ωce = 1,5 ω, en fonction du paramètre ν/ω (on peut supposer, pour fixer les idées, que ν, et donc le rapport ν/ω, est proportionnel à la pression). Nous constatons aussi que, par rapport au cas ωce = 0, confiner le plasma avec un champ B0 , même fort (ωce = 1,5 ω), ne permet pas d’augmenter de façon importante la puissance qui pourrait être prise par un électron au champ HF. On observe aussi que, à la RCE, à basse pression, la puissance θa absorbée par électron est de plusieurs ordres de grandeur plus élevée que celle qui s’obtient par simple transfert collisionnel, d’où l’intérêt de la RCE pour les applications plasma à basse et très basse pressions (typiquement au-dessous de 20 mtorrs) puisque seule la RCE conduit à une valeur suffisamment élevée de θa pour réaliser l’équilibre θa = θp . Ceci se produit, par exemple, dans les sources d’ions multichargés où les pressions sont même inférieures à 10−5 torr, permettant de chauffer les électrons jusqu’à des énergies moyennes de plusieurs keV. La figure 4.6 montre l’évolution de θa en fonction de ωce /ω, toujours à champ E0 constant, pour différentes valeurs du paramètre ν/ω (pour fixer les idées, dans l’argon à 1 torr et pour une distribution maxwellienne des électrons de température TeV = 2 eV, nous avons ν = 2 × 109 s−1 ). Là encore, nous pouvons vérifier que la résonance est fortement amortie lorsque la fréquence de collisions augmente ou lorsque nous nous écartons de la résonance.

228

4− Introduction à la physique des décharges HF

Figure 4.6 – Évolution selon l’équation (4.20) de θa en fonction de ωce /ω à champ E0 constant, pour quatre valeurs du rapport ν/ω.

Variations de l’intensité E0 du champ électrique autour de ωce = ω Tous les calculs et raisonnements précédents ont été effectués en supposant le champ électrique d’intensité constante. En fait, comme nous l’avons indiqué au début de ce chapitre (section 4.2.1), l’intensité E0 du champ électrique constitue un paramètre d’ajustement permettant de satisfaire l’équilibre de puissance par électron dans le plasma, θa = θp . Aussi, est-il important de comprendre comment ce paramètre d’ajustement varie lorsque l’on passe de la RCE à des conditions hors RCE. En étendant le raisonnement développé plus haut à une décharge stationnaire et en régime de diffusion (section 4.2.2), décharge à laquelle se trouve ajouté un champ B 0 , il nous faut admettre, pour les mêmes motifs, que le paramètre θp ne doit pas dépendre du champ E, ni a fortiori des caractéristiques de l’onde engendrant ce champ, mais uniquement du mécanisme de perte des particules chargées. Autrement dit, la valeur de θp ne passe pas par un extremum en ωce /ω = 1, ce que confirme l’expérience (voir, plus loin, figure 4.14). En fait, θp décroît progressivement et lentement avec l’augmentation du champ magnétique, comme le montre la figure 4.14. Par contre, nous allons montrer que l’intensité du champ E dans la décharge, aussi bien à l’amorçage qu’à l’état stationnaire, présente en fonction de ωce /ω un minimum à ωce = ω, précisément parce que l’efficacité du transfert d’énergie résonnant, par opposition au transfert collisionnel, est maximum dans ces conditions. Par identification de l’équation (4.22) avec l’équation (4.20), on constate donc que la conductivité électrique σyy passe par un maximum à la RCE. Par conséquent, comme la valeur de θp , et donc celle de θa (puisque θa = θp ), est pratiquement constante sur

4.2− Transfert de puissance du champ électrique à la décharge

229

un faible intervalle de ωce /ω au voisinage de la RCE et comprenant celle-ci, comme mentionné plus haut, l’intensité du champ électrique doit passer par un minimum à la RCE, contrairement à l’idée reçue que l’intensité de E présenterait d’un maximum puisqu’il s’agit d’une "résonance" 150. Par ailleurs, la figure 4.5 suggère que, à basse pression, la valeur de ν/ω étant plus faible à 2,45 GHz qu’à 100 MHz, il pourrait ne pas être possible d’allumer le plasma hors résonance à 2,45 GHz alors que ce serait possible à 100 MHz grâce à l’absorption collisionnelle, ce que confirme d’ailleurs l’expérience. Ce qui précède montre bien que, lorsque la puissance perdue par électron est très grande et que ν/ω est faible, seule la RCE permet d’atteindre une valeur suffisamment élevée de θa pour réaliser l’équilibre θa = θp . Cas d’une colonne de plasma entretenue par une onde de surface EM Conductivité électrique d’un plasma dans un milieu limité À la différence du développement précédent qui supposait le cas d’une onde se propageant dans un plasma infini et uniforme, le même genre de calcul peut être effectué en milieu limité pour une onde de type guidée, en l’occurrence une onde de surface dite généralisée [14]. La figure 4.7 montre que la conductivité effective 151 passe par un maximum à la RCE, de sorte que l’intensité du champ E passe alors par un minimum.

4.2.4. Évolution de la valeur de θ en fonction de n ¯e dans diverses conditions de plasma Dans la présentation faite jusqu’à maintenant de la puissance θ, pour des raisons de simplicité, nous avons adopté l’hypothèse de l’ionisation de l’atome par un seul impact électronique sur celui-ci dans son état fondamental (ionisation directe) bien que l’ionisation par étapes (utilisant, par exemple, les états métastables comme relais section 1.8), dans les plasmas suffisamment denses, puisse être non négligeable. De plus, nous avons supposé que la perte des particules chargées s’effectuait uniquement par diffusion (ambipolaire), hypothèse qui n’est pas nécessairement valide lorsque la densité des espèces chargées est suffisamment grande (en effet, aux fortes densités de plasma, la recombinaison des espèces chargées a lieu dans le volume du plasma (section 1.8) plutôt que par diffusion vers les parois). Les deux hypothèses que nous avions posées constituent la condition dite de Schottky. 150 Certains auteurs, dont W.P. Allis [7], soutenait que, à la RCE, la valeur de l’intensité du champ électrique dans le plasma était amplifiée alors qu’en fait, celle-ci passe par un minimum. 151 Du fait de la présence de B0 , le plasma est un milieu anisotrope et la conductivité est alors un tenseur d’ordre 2 et non plus un scalaire ((2.126) à (2.128)). La notion de conductivité électrique effective permet de surmonter cette difficulté pour arriver, pour un mode donné de l’onde, à une représentation scalaire [7].

230

4− Introduction à la physique des décharges HF

Figure 4.7 – Conductivité électrique effective (tenant compte de la polarisation de l’onde) due aux électrons, calculée pour le mode fondamental HE0 , à différentes valeurs de la fréquence du champ HF [14].

L’équation (4.23) représente le bilan création-perte des particules chargées de façon plus générale que la condition de Schottky, qui n’en retient que les deux premiers termes (la notation est celle de section 1.8) : ∇ · (Da ∇ne ) + νid ne +

ρie n2e − αra n3e = 0 1 + ηne

(4.23)

Le premier terme est, en effet, celui de la perte des particules chargées par diffusion ambipolaire et le deuxième, celui de l’ionisation directe d’un atome à partir de son état fondamental. Par contre, le troisième terme tient compte de l’ionisation par étapes (numérateur), mais aussi de la possibilité de la saturation des états-relais correspondants (dénominateur) alors que le quatrième terme, en l’absence d’ions moléculaires et d’ions négatifs, représente la recombinaison en volume des ions atomiques (recombinaison à trois corps, section 1.8). Au sujet du troisième terme, précisons que lorsque la valeur de ne augmente suffisamment, le nombre d’états-relais libres par seconde diminue (caractérisé par le terme en η dans le dénominateur) de sorte que, finalement, la fréquence d’ionisation par étapes atteint une valeur maximale constante, indépendante de ne (1 ηne ) puisque dans ce cas : νie ≡

ρie ne ρie .

1 + ηne η

(4.24)

Dans l’expression (4.23), nous avons représenté la recombinaison en volume par la recombinaison à trois corps. Or, il faut savoir que la recombinaison à trois corps requiert, pour se manifester, des densités électroniques très élevées (dépendance en

4.2− Transfert de puissance du champ électrique à la décharge

231

n3e ) et, de ce fait, est moins probable que la recombinaison dissociative des ions moléculaires formés dans la décharge (dépendance en n2e ) 152 . Ainsi, bien que la densité des ions moléculaires 153, par exemple dans les décharges de gaz rares, soit plus faible que celle des ions atomiques, leur fréquence de recombinaison est de plusieurs ordres de grandeur plus grande que celle des ions atomiques, de sorte qu’il est plus correct, pour ne ≤ 1014 cm−3 , de poser comme équation du bilan des particules chargées : ∇ · (Da ∇ne ) + νid ne +

ρie n2e − αrm n2e = 0 . 1 + ηne

(4.25)

Figure 4.8 – Évolution selon l’équation (4.25) de θ en fonction de n ¯ e , la densité électronique moyenne suivant une section du tube, calculée pour p = 0,5 torr et R = 1,4 cm dans le cas de l’argon [15–17].

En tenant compte des pertes à la fois par diffusion ambipolaire et par recombinaison dissociative, le calcul de la variation de la puissance θ en fonction de n ¯ e , la densité moyenne suivant la section du tube, conduit à la figure 4.8 [15]. À faible densité électronique (région I), la condition de Schottky s’applique, déterminant la valeur de θ correspondant à la droite horizontale apparaissant en pointillé sur la figure 4.8 : la perte des particules chargées et leur création sont, en effet, toutes deux linéaires en ¯e. n ¯ e , de sorte que leurs fréquences correspondantes sont indépendantes de n 152 De façon générale, une recombinaison à trois corps est toujours moins probable qu’une recombinaison à deux corps d’où l’importance de la recombinaison dissociative des ions moléculaires selon la réaction (1.148). 153 La cinétique des ions moléculaires n’est prise en compte que dans la partie haute pression de ce chapitre (section 4.4).

232

4− Introduction à la physique des décharges HF

Pour des valeurs de n ¯ e (3.214) un peu plus grandes (région II), les pertes de particules chargées continuent à se faire par diffusion ambipolaire mais l’ionisation par étapes s’ajoute à l’ionisation directe, réduisant ainsi la puissance prise au champ pour créer une paire électron-ion, d’où la décroissance de θ. Pour des valeurs de n ¯ e encore plus grandes (région III), le régime de pertes est encore celui de la diffusion ambipolaire, mais l’ionisation par étapes ne permet plus à la densité électronique de croître plus vite que n ¯ e puisque l’on a atteint un régime de saturation (4.24), de sorte que la valeur de θ demeure constante en fonction de n ¯e. Enfin, pour des densités électroniques encore plus fortes (région IV), les pertes se font à la fois par diffusion ambipolaire et par recombinaison en volume, cette dernière prenant progressivement le pas sur la première au fur et à mesure que n ¯ e croît. Quant à la création des particules, elle se fait en régime saturé d’ionisation par étapes, donc ¯ e (4.24). Au total, la fréquence des pertes sa fréquence νie est indépendante de n augmente alors avec n ¯ e et θ croît (on pourrait le montrer) comme la racine carrée de n ¯ e [14].

4.3. Influence de la fréquence du champ HF sur quelques propriétés du plasma et sur certains procédés Un des avantages particuliers des plasmas HF relativement aux décharges CC est de pouvoir faire varier considérablement les propriétés du plasma (notamment la FDEE) en agissant sur la fréquence du champ EM appliqué. Nous allons développer une approche théorique de cet effet de la fréquence confirmée par quelques exemples expérimentaux.

4.3.1. Position du problème De façon générale, les plasmas à pression réduite sont hors équilibre thermodynamique. Concrètement, l’énergie moyenne des électrons est beaucoup plus grande que celle des ions et des neutres (section 1.4.3). Dès lors, nous le savons, ce sont essentiellement les collisions électroniques, et non celles dues aux particules lourdes, qui assurent l’excitation et l’ionisation des atomes et des molécules, de sorte que la forme de la fonction de distribution en énergie F0 (U ) des électrons (FDEE) 154 conditionne 155 la 154 Voir l’annexe A17 pour la distinction entre F0 (U ) et f0 (U ). La condition de normalisation de Z∞ √ F0 (U ) U dU = 1. F0 (U ) est 0

L’indice zéro signifie qu’il s’agit d’une fonction de distribution isotrope (ou, le cas échéant, du premier terme du développement de la foncxtion de distribution en harmoniques sphériques (section 3.1)). 155 Les collisions électroniques déterminent entièrement la population d’un état excité seulement si le peuplement et le dépeuplement de ce niveau par des transitions radiatives sont négligeables.

233

4.3− Influence de la fréquence

répartition relative de la densité Nj des différents états excités des atomes et molécules de la décharge. Pour le voir, nous allons considérer le cas simple mais fréquent où les espèces excitées ou ionisées sont produites à la suite d’un seul impact électronique sur l’atome (molécule) dans l’état fondamental. La densité des atomes (molécules) ainsi formés, par seconde, dans l’état (excité ou ionisé) j est alors donnée par : dNj ≡ N˙ j = νj n ≡ k0j N0 n (4.26) dt où N0 est la densité des neutres 156 . Le coefficient d’excitation k0j (section 1.7.9) a pour expression :  1/2 ∞ 1 2 σ ˆj (U )F0 (U )U 2 dU (4.27) k0j = me Vj

où σ ˆj est la section efficace microscopique totale d’excitation (section 1.7.4), fonction de l’énergie U de l’électron à partir d’un seuil d’énergie Vj . L’expression (4.27) montre bien que, suivant la forme de F0 (U ), la valeur du coefficient k0j change, ce qui entraîne que ces coefficients varient relativement les uns par rapport aux autres. Pour certaines applications (exemples en section 4.3.7), ceci permet d’accroître la population d’un niveau excité ou ionisé particulier, donc d’optimiser un procédé. On aura remarqué que nous nous intéressions à des décharges HF où la pulsation ω = 2πf est suffisamment grande pour que les ions ne puissent pas répondre à la variation périodique du champ HF, seuls les électrons prenant alors de l’énergie à ce champ (voir section 4.2.1). Cette condition d’immobilité des ions est atteinte lorsque ω  ωpi où ωpi est la pulsation propre des ions dans un plasma (section 1.5) ; en pratique, elle s’applique aux décharges dont la fréquence d’entretien dépasse quelques MHz. Dans ce qui suit, l’effet de la fréquence du champ sur la FDEE nous amène à distinguer deux cas typiques, celui où la FDEE est stationnaire et celui où, au contraire, elle oscille, totalement ou partiellement, en fonction de la période du champ HF. Pour que la FDEE varie en fonction de la période du champ, il faut que la fréquence de transfert d’énergie d’un électron (d’énergie U ) aux particules lourdes 157 :  2me νu (U ) ≡ ν(U ) + νj (U ) (4.28) M j soit telle que νu (U )  ω. En effet, dans ce cas, le nombre total de collisions élastiques 158 et inélastiques est tellement grand pendant une période HF que le transfert 156 La densité des atomes ou des molécules neutres N0 est évidemment telle que N0 =

P j

Nj .

157 L’expression (4.28) définit la fréquence de transfert d’énergie d’un électron vers les particules lourdes. Pour obtenir le bilan d’énergie correspondant, il faut multiplier chaque fréquence par son "poids" en énergie, c’est-à-dire ν(U ) par U et νj (U ) par Vj (excitation et ionisation). La valeur de la puissance moyenne totale correspondante νu (U )U transférée aux particules lourdes est bien, selon (4.1), égale à θp . 158 Dans l’expression de νu (U ), le nombre de collisions élastiques est pondéré par le rapport 2me /M , la fraction maximale d’énergie cinétique qu’un électron peut transférer lors d’une collision élastique avec une particule lourde (équation (1.98)).

234

4− Introduction à la physique des décharges HF

d’énergie du champ électrique aux particules lourdes via les électrons a lieu, pour ainsi dire, à chaque instant de la période du champ HF : la FDEE est alors tributaire de la valeur instantanée de l’amplitude du champ HF et varie donc en fonction du temps (cet effet se manifeste pour des fréquences typiquement inférieures à 100 MHz). Au contraire, pour νu (U ) ≤ ω, la FDEE est stationnaire car les collisions, une ou aucune pendant une période, surviennent à des moments différents de la période, d’une période à l’autre. Dans le cas des décharges dans les gaz atomiques, la valeur de νu (U ) augmente de manière abrupte à partir de l’énergie du premier niveau d’excitation alors que, pour les gaz moléculaires, νu (U ) atteint une valeur élevée dès les faibles valeurs d’énergie par suite du transfert d’énergie sur les états ro-vibrationnels, comme l’illustre la figure 4.9.

Figure 4.9 – Fréquence νu (U ) à laquelle s’effectue le transfert d’énergie des électrons aux particules lourdes dans le cas du néon et de l’hydrogène moléculaire (d’après [18], avec la permission de Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA). La pression du gaz est exprimée à 0 ◦ C.

4.3.2. FDEE en régime non stationnaire La transition du régime non stationnaire vers le régime stationnaire s’obtient, à pression constante, en augmentant ω. La FDEE devient progressivement stationnaire en commençant par les électrons de plus basse énergie, car la condition de stationnarité νu (U ) < ω est d’abord satisfaite pour les faibles valeurs de U , comme on peut le voir sur la figure 4.9. Lorsque la pulsation ω est suffisamment grande pour que νu (U ) < ω pour toute valeur de U , la FDEE devient stationnaire. Pour fixer les

4.3− Influence de la fréquence

235

idées quant à la valeur de ω à laquelle la FDEE devient stationnaire, nous prendrons max[νu (U )] = ω comme critère pratique de début de stationnarité pour ω croissant, ce qui d’après la figure 4.9 donne, pour le néon 159, 160 , ω/p = 108 s−1 torr−1 . Selon ce critère, à p = 0,2 torr, la FDEE serait stationnaire dans le néon pour f > 3 MHz alors que pour H2 (ω/p = 1,5 × 109 s−1 torr−1 ), il faudrait que f > 48 MHz [19] : la stationnarité est, semble-t-il, atteinte pour une plus faible valeur de ω dans le cas des gaz atomiques.

Figure 4.10 – Partie isotrope de la fonction de distribution en énergie calculée dans le néon pour ω/p = 2π105 s−1 torr−1 à différentes fractions de la période HF T ; t¯ = pt est le temps normalisé où p est la pression exprimée à 0 ◦ C (d’après [20], avec la permission de Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA).

La figure 4.10 correspond à un cas intermédiaire du rapport νu (U )/ω tel que le corps de la FDEE, constitué des électrons de faible énergie, est stationnaire alors que la queue de la FDEE, comprenant les électrons d’énergie supérieure au premier seuil d’excitation (V1 = 16,6 eV pour le néon), ne l’est pas : la queue de la FDEE varie de façon importante en fonction de la période T du champ HF. On pourrait, cependant, démontrer [21] que la densité des électrons est en pratique stationnaire car, comme le suggère la figure 4.10, il y a relativement peu d’électrons (rapides) affectés par le mouvement périodique de la queue lorsque la pulsation ω n’est pas trop basse : pour l’argon, c’est déjà le cas lorsque f > 100 kHz ! 159 Les calculs détaillés montrent que la FDEE est déjà stationnaire pour ω/p = π105 s−1 torr−1 [20]. 160 La pression p est exprimée relativement à 0 ◦ C.

236

4− Introduction à la physique des décharges HF

4.3.3. FDEE en régime stationnaire Pour aller à l’essentiel, nous ferons l’hypothèse d’une FDEE stationnaire de surcroît homogène. Celle-ci s’obtient de l’équation de Boltzmann stationnaire et homogène, qui peut se mettre sous la forme [7] :   dF0 2 d 3/2 (4.29) U ν(U )Uc (U ) = S0 (F0 ) − 3 dU dU où le terme S0 (F0 ) représente les collisions entre électrons et entre les électrons et les autres particules du plasma, F0 étant la fonction de distribution en énergie des électrons (annexe A17, note en bas de page). Quant à la quantité : ν(U )Uc (U ) ≡

ν(U ) e2 E2 , 2 me ν (U ) + ω 2

(4.30)

dont on note qu’elle a les unités d’une énergie par seconde (voir (2.33)), elle représente la puissance transférée (en moyenne sur une période) du champ électrique HF à un électron d’énergie U 161 . Ce transfert est fonction de U et de ω : il est maximum pour l’énergie U de l’électron telle que ν(U ) = ω (dériver l’expression (4.30) par rapport à U ). Ainsi, lorsqu’on fait varier la fréquence d’entretien de la décharge, le maximum du transfert de puissance s’effectue à une énergie U qui varie également, ce qui affecte le membre de gauche de l’équation (4.29) et modifie la forme de la FDEE (sauf si celleci est maxwellienne et le demeure pour toute valeur de ν(U )/ω). Pour une valeur de ω fixée, la FDEE dépend de ν(U ) qui, à son tour, dépend de la section efficace de collisions pour le transfert de la quantité de mouvement, une propriété particulière à chaque gaz. Certaines de ces sections efficaces varient fortement en fonction de l’énergie de l’électron : c’est le cas, par exemple, pour l’argon, beaucoup moins pour le néon (figure 1.14). Le cas de l’hélium est particulièrement intéressant car le produit wPm (w) = ν(w), soit donc ν(U ), est presque constant 162 , à tel point que l’on peut prédire un effet de fréquence presque nul sur la FDEE. Afin de bien mettre en évidence l’effet de ω sur la FDEE stationnaire, nous examinerons le cas d’une décharge d’argon. Nous verrons que nous pouvons alors faire apparaître trois comportements limites donnant lieu à trois FDEE très différentes les unes des autres. Remarque : Comme ν(U ) et l’opérateur de collision S(F0 ) sont tous les deux proportionnels à N [22], les deux membres de (4.29) peuvent être divisés par N , et si ν  ω, le membre de gauche de (4.29) dépend du rapport E 2 /N 2 , définissant ainsi une loi d’échelle microscopique. Dans ces conditions, des variations de E et de N conservant un rapport E/N constant conduisent à la même solution de l’équation de 161 À la différence de la relation (2.33) où la valeur de ν est une valeur moyenne sur la FDEE, ν(U ) est ici une fréquence microscopique, comme l’indique sa dépendance explicite en U . 162 On peut alors écrire, dans le cas de l’hélium, que ν/p0 est une constante (ν/p0  2, 4 × 109 s−1 ).

237

4.3− Influence de la fréquence

Boltzmann (4.29). Comme ν est directement proportionnel à N et p (1.128), E/N ou E/p (appelé champ réduit par certains auteurs) constituent ainsi deux variantes de cette loi d’échelle. On retrouve des lois d’échelle similaires dans le domaine macroscopique (voir exercices 4.1 et 4.2) en effectuant l’intégration de (4.29) sur la FDEE, ce qui conduit à l’expression de θ (2.33). On en déduit alors que θ/p, qui est proportionnel à (E/ν)2 , constitue aussi une loi d’échelle (voir la figure 4.13 plus loin, à titre d’exemple).

4.3.4. Trois cas limites de l’influence de ω sur la FDEE stationnaire Comme le montrent les relations (4.29) et (4.30), l’effet de ω sur la FDEE passe plus précisément par le rapport ν(U )/ω. Pour que cette influence se manifeste, il faut toutefois que les collisions électron-électron soient suffisamment peu nombreuses pour que la FDEE ne soit pas maxwellienne. Si l’on excepte donc le cas d’une FDEE maxwellienne, deux situations limites s’imposent alors : ν/ω → 0 dit cas micro-ondes (MO) et ν/ω → ∞ dit cas courant continu (CC) qui correspond effectivement à une décharge en courant continu (ω = 0) mais aussi à une décharge HF à très basse fréquence (si la pulsation ω est suffisamment basse, la FDEE pourrait ne pas être stationnaire) 163 . La figure 4.11 permet de comparer, pour une même valeur du produit pR, les FDEE calculées dans ces deux cas limites (CC et MO) avec la FDEE maxwellienne (M). Nous constatons que les trois FDEE sont très différentes les unes des autres. Distinguons plus particulièrement les électrons du corps de la distribution de ceux de la queue. La figure 4.11 montre que la partie de la queue de distribution comprise entre V1 , le seuil d’énergie du premier niveau excité, et Vi , le seuil d’énergie d’ionisation de l’atome (domaine encadré par les deux traits verticaux sur la figure 4.11), est plus peuplée dans une décharge en courant continu (CC) que dans les cas de la maxwellienne (M) et de la FDEE micro-ondes (MO). Ceci signifie que le coefficient d’excitation k0j (relation (4.27)) et, donc, N˙ j , la densité d’atomes excités dans l’état j par unité de volume et par seconde sont, à densité électronique constante 164 , les plus élevés dans une décharge en CC ; en revanche, il y a comparativement moins d’électrons de faible énergie en CC. Ceci se traduit par une énergie électronique moyenne plus élevée en CC puisque, dans le cas présent, UeV  = 6,8, 2,35 et 3,15 eV respectivement pour les cas CC et MO, et pour la maxwellienne (figure 4.11, [23]). 163 Dans ce qui suit, comme il s’agit de cas limites (ν/ω → 0 ou ν/ω → ∞), nous pouvons considérer plus simplement la valeur moyenne ν plutôt que sa valeur microscopique ν(U ). 164 Les FDEE de la figure 4.11 sont normalisées (même aire sous la courbe), la condition de normalisation (voir la note 189 en bas de page de l’annexe A17) étant Z∞

1

F (U )U 2 dU = 1. 0

238

4− Introduction à la physique des décharges HF

Figure 4.11 – Fonctions de distribution en énergie des électrons pour un plasma d’argon dans un long tube cylindrique de rayon R, calculées d’après un modèle autocohérent, en régime de diffusion ambipolaire et avec excitation directe par collision électronique à partir de l’état fondamental de l’atome (pR = 0,15 torr-cm) [23]. La courbe M est pour une FDEE maxwellienne (collisions électron-électron suffisamment nombreuses) alors que les courbes CC et MO correspondent respectivement aux cas limites ν/ω  1 (courant continu) et ν/ω  1 (micro-ondes) décrits dans le texte.

La figure 4.12 montre ce qui arrive à la FDEE des cas CC et MO de la figure 4.11 lorsqu’on tient compte des collisions électron-électron : comme on pouvait s’y attendre, la différence entre les distributions CC et MO s’amenuise quand la densité électronique croît (car les collisions électron-électron augmentent). Cette différence disparaît pour ne suffisamment grand. Encore une fois, pour qu’il y ait un effet marqué de la fréquence dans les décharges HF, il faut que la densité électronique ne soit pas trop grande. D’un point de vue pratique, les calculs montrent que c’est le cas dans la plupart des gaz pour 165 ne /N < 10−4 . Remarque : En régime de diffusion ambipolaire et dans le cas d’une FDEE maxwellienne, l’énergie moyenne (en l’occurrence liée à Te ) dépend de la configuration et des dimensions de l’enceinte, de la nature et de la pression du gaz (section 3.13). Cependant, dans le cas plus général de la figure 4.11, il faut ajouter à la liste de ces conditions 165 Ainsi, à ne /N = 10−3 , les collisions électron-électron font que la FDEE d’une décharge d’argon est presque maxwellienne, bien que le nombre de ces collisions soit souvent inférieur à celui des collisions électron-neutre. C’est que les collisions électron-neutre sont peu efficaces, pour ce qui est du transfert d’énergie, qui est au plus de l’ordre de me /M , alors que les collisions électronélectron peuvent conduire à un transfert total d’énergie d’un électron à l’autre (section 1.7.2).

4.3− Influence de la fréquence

239

Figure 4.12 – Fonctions de distribution en énergie des électrons calculées dans l’argon dans les cas limites CC (ν/ω = ∞) et MO (ν/ω 0,1), pour ne /N → 0 (courbe en trait plein) et ne /N = 10−4 (courbe en tirets) avec excitation directe à partir du fondamental (d’après [24], avec la permission de IOP Publishing).

opératoires la pulsation ω du champ 166 . Plus complètement, nous pouvons dire que la forme et l’énergie moyenne des FDEE sont fixées par ces conditions opératoires mais aussi par la densité de puissance absorbée dans la décharge : bien que la densité de puissance ne fasse pas partie des conditions opératoires, elle agit sur la densité du plasma (voir la relation (4.4)), donc sur la fréquence de collision électron-électron [25].

4.3.5. Influence de ω sur la valeur de la puissance θ Nous venons de voir que les valeurs de U  et de θ dans une décharge à basse pression ne dépendent que des conditions opératoires et de la densité de puissance HF absorbée, sans avoir encore précisé complètement le rôle de la densité de puissance. En effet, augmenter celle-ci, donc la densité ne des électrons, ne fait pas qu’augmenter le nombre de collisions électron-électron. On accroît aussi l’importance de l’ionisation par étapes relativement à l’ionisation par impact direct sur l’atome dans l’état fondamental : à cette augmentation de ne correspond alors une diminution de l’énergie moyenne des électrons, donc de θ (section 4.2.4). Nous n’allons pas considérer cet effet dans ce qui suit.

166 Ceci explique pourquoi les valeurs de U , pour un produit pR donné, peuvent être différentes.

240

4− Introduction à la physique des décharges HF

Figure 4.13 – Valeur calculée de θ/p en fonction de pR pour des valeurs décroissantes de ν/ω allant de ν/ω = ∞ (cas "CC" (A)) à ν/ω 0 (cas "MO" (H)) et pour une FDEE maxwellienne (M) en régime de diffusion ambipolaire et avec excitation directe à partir de l’état fondamental [23].

La figure 4.13 montre la dépendance théorique de θ (en fait θp ) en fonction de pR pour des valeurs décroissantes de ν/ω allant de ν/ω → ∞ (cas CC : courbe A) à ν/ω → 0 (cas MO : courbe H) en l’absence de collisions électron-électron, dans l’argon : nous constatons, à pression donnée, que la valeur de θ diminue quand ω augmente [23]. La courbe M correspond au cas où les collisions électron-électron sont suffisamment nombreuses pour que la FDEE soit maxwellienne.

4.3.6. Densité d’espèces produites par seconde à densité de puissance absorbée constante : efficacité énergétique À la section 4.3.4, nous avons vu que le coefficient d’excitation k0j est le plus élevé dans le cas CC et donc que la densité des atomes (molécules) dans l’état j produits par seconde, N˙ j , est aussi la plus grande, ceci dans la mesure où nous considérons des décharges de densité électronique donnée. Des trois cas limites examinés, quel est maintenant celui qui, pour une densité de puissance Pa donnée, conduit à la plus grande valeur de N˙ j ? Pour répondre à cette question sur l’efficacité énergétique de la décharge, rappelons que N˙ j = (k0j N0 ) ne où ne est donné par Pa = ne θ (respectivement équations (4.26) et (4.4)) et considérons l’ensemble des courbes de la figure 4.13. Nous notons que la valeur de θ la plus faible est atteinte avec la maxwellienne pourvu

4.3− Influence de la fréquence

241

que pR ≥ 0,1 torr-cm. Alors, pour une densité donnée de puissance Pa absorbée dans le plasma, on obtiendra un plus grand nombre de paires électron-ion (nous supposons les atomes ou molécules ionisés une fois seulement) dans le cas micro-ondes que dans le cas CC, et même encore un peu plus avec une FDEE maxwellienne lorsque le produit pR est suffisamment grand. Ceci signifie, entre autres, que l’on ne devrait pas recourir à une décharge CC pour réaliser une source d’ions dont on attend le meilleur rendement possible en énergie électrique (densité d’ions la plus élevée à Pa donnée), à moins que la densité électronique de cette décharge ne soit suffisamment élevée pour que la FDEE soit maxwellienne. Le calcul de θ/p de la figure 4.13 a été mené avec de l’argon comme gaz principal de la décharge. Si nous ajoutons un autre gaz, par hypothèse, à l’état de trace de sorte que les propriétés de la décharge soient fixées par le gaz principal (dit porteur ou plasmagène) [23], on peut calculer k0j  , le coefficient d’excitation directe pour la formation de l’état j  de seuil d’énergie Vj  du gaz à l’état de trace, Vi étant le seuil d’énergie d’ionisation du gaz principal. Les conclusions sont alors les suivantes [23] : la décharge CC (ν/ω = ∞) donne la plus faible valeur de N˙ j  pour une puissance Pa donnée ; l’excitation vers l’état j  est généralement plus efficace quand la FDEE est maxwellienne, avec quelques exceptions en faveur du cas micro-ondes pour certaines valeurs d’énergie Vj  < Vi (pour plus de détails, voir [23]). L’influence de ω sur la FDEE dépend, nous l’avons dit, du gaz considéré. Il y a donc lieu de considérer l’exemple développé plus haut dans l’argon comme un cas particulier, mais fixant néanmoins les caractéristiques générales pour que se manifeste cet effet de fréquence (section 4.3.3).

4.3.7. Résultats expérimentaux et modélisation En premier lieu, nous présentons, tel qu’observé expérimentalement, l’effet sur la valeur de θ d’un champ B 0 , effet dont nous nous sommes largement servis pour la modélisation du mécanisme de la RCE (section 4.2.3). Dans une seconde partie, nous examinerons l’influence de la fréquence du champ HF, d’une part, sur l’intensité de la lumière émise par une décharge d’hydrogène et, d’autre part, sur les vitesses de dépôt et de gravure de polymères. Nous tenterons d’expliquer ces résultats expérimentaux dans le cadre théorique que nous venons de développer. Influence d’un champ magnétique statique sur la valeur de θ Considérons une décharge HF dans une enceinte cylindrique soumise à un champ B 0 dirigé axialement 167 . La figure 4.14 montre que, à pression de gaz fixe, la valeur de θ 167 Dans le cas présent, cette décharge est réalisée au moyen d’une onde électromagnétique de surface (voir [26] ou annexe A19), mais les résultats obtenus, pour des conditions données de décharge, sont indépendants de la façon dont le plasma est créé [27].

242

4− Introduction à la physique des décharges HF

décroît quand ωce /ω augmente ; cet effet s’amenuise cependant avec l’accroissement de la pression du fait de l’augmentation correspondante de ν (voir équation (2.33)) pour disparaître, dans le cas présent, pour pR ≥ 1 torr-cm. On remarquera, de plus, que la courbe θ/p en fonction de pR pour ωce /ω = 1 (condition de RCE) ne se distingue pas de façon particulière des courbes pour ωce /ω = 1 : l’évolution en fonction de ωce est monotone. Ce résultat est conforme à la modélisation que nous avons présentée plus haut (section 4.2.3) : la valeur de θ est essentiellement fixée par la perte des particules chargées et ne dépend pas de la façon dont la puissance HF est amenée dans la décharge, que ce soit par absorption résonnante ou collisionnelle [28].

Figure 4.14 – Valeur mesurée de la puissance absorbée par électron en fonction de pR, pour différentes valeurs du champ B0 (ω/2π = 600 MHz, R = 13 mm, argon, mode symétrique (m = 0) de l’onde de surface [28]).

Difficultés liées à la mise en évidence de l’influence de la fréquence du champ E sur les propriétés du plasma HF Si l’existence d’un optimum en fréquence pour le rendement d’un procédé donné est souvent observée expérimentalement, son explication au moyen des mécanismes de base que nous venons de décrire nécessite de connaître certains paramètres du plasma qui sont souvent difficiles à mesurer (accessibilité restreinte des moyens de diagnostic, perturbations du champ E occasionnées par les sondes de mesure). De plus, réaliser une expérience où seule la fréquence varie alors que tous les autres paramètres opératoires demeurent constants est difficile [23]. Par exemple, il est généralement impossible d’entretenir le plasma HF avec la même configuration de champ

4.3− Influence de la fréquence

243

E aux fréquences radio et micro-ondes. Seuls les plasmas produits par les ondes électromagnétiques de surface permettent une telle étude paramétrique (annexe A19). Une difficulté supplémentaire d’interprétation des résultats survient lorsque le phénomène d’oscillation de la FDEE (FDEE non stationnaire) se conjugue avec une variation de sa forme (effet ν/ω) (section 4.3.2 et 4.3.3). Les résultats expérimentaux qui suivent montrent, de toute manière, qu’il est possible d’optimiser un procédé en jouant sur ω. Effet du passage d’une FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire sur l’intensité d’émission UV du plasma La figure 4.15 montre la dépendance en fréquence de l’intensité d’émission de la raie Lyman α (Lyα ) et des raies Hβ , Hγ et Hδ de la série de Balmer dans une décharge de H2 pur [19]. Le but de cette étude était de rendre maximale, à puissance HF absorbée constante, l’intensité du rayonnement UV lié à la transition Lyα (N = 2 → N = 1, N étant le nombre quantique principal de l’atome d’hydrogène) pour fins d’irradiation de polymères. L’examen de 3 transitions de la série de Balmer indique que l’intensité de ces raies suit le même comportement que celle de la raie Lyα . Les calculs développés en [19] montrent que le passage du régime de faible intensité à celui de forte intensité d’émission a lieu pour f ≥ 80 MHz, autrement dit lorsque la FDEE atteint un régime stationnaire. L’augmentation de l’intensité d’émission serait liée à l’augmentation du nombre d’électrons, dans la queue de la distribution, seuls capables de dissocier et d’exciter l’hydrogène.

Figure 4.15 – Dépendance en fréquence de l’intensité des raies d’émission mesurée dans une décharge de H2 pur (Pt = 50 W, p = 0,5 torr, R = 13 mm).  Lyα (121,5 nm), ♦ Hδ (410,2 nm), ◦ Hγ (434,1 nm),  Hβ (486,1 nm) [19].

244

4− Introduction à la physique des décharges HF

Effet du passage d’une FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire dans le cas d’un dépôt de polymères La figure 4.16 présente l’évolution de la vitesse de dépôt de couches minces de polymères, normalisée à Pt , la puissance HF totale absorbée 168 , en fonction de la fréquence du champ HF. Ces dépôts ont été réalisés à partir de C4 H8 (isobutylène) ou de C4 F8 (perfluorocyclobutane) en utilisant l’argon comme gaz porteur, le débit du monomère étant (aux conditions standard) de 3 ml/min et celui de l’argon de 10 ml/min à une pression totale de 0,2 torr [29]. Le passage vers le plateau supérieur pour f  100 MHz correspondrait à la transition, pour une FDEE stationnaire, du cas CC à celui du cas maxwellien [23]. Cependant, compte tenu de la présence de molécules dans la décharge (qui fait que la stationnarité de la FDEE est atteinte à une fréquence plus élevée que pour les gaz atomiques), on pourrait aussi penser qu’il s’agit de la transition d’une FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire (cas CC) (section 4.3.2). Ces calculs portant sur la FDEE n’étant actuellement pas disponibles, il est difficile de trancher la question.

Figure 4.16 – Vitesse de croissance de couches de polymères, normalisée à la puissance absorbée totale Pt , en fonction de la fréquence du champ HF, R = 30,5 mm (◦ C4 F8 , • et × C4 H8 à deux valeurs de Pt ) [29].

168 À défaut de pouvoir maintenir la densité de puissance constante dans le cas présent, on normalise la vitesse de dépôt à la valeur de Pt , la puissance totale absorbée dans la décharge (à distinguer de Pa , la puissance absorbée par unité de volume).

4.3− Influence de la fréquence

245

Figure 4.17 – Vitesse de gravure d’un polyimide, normalisée à la puissance totale absorbée Pt , en fonction de la fréquence du champ HF, pour deux séries de valeur de Pt [30]. Décharge dans O2 avec ajout de 6 % CF4 (pression totale 200 mtorrs, débit de 100 cm3 min−1 , R = 26 mm).

L’obtention d’une vitesse de dépôt élevée est évidemment un objectif industriel. Dans le cas présent, l’optimisation ainsi réalisée permet également de réduire la densité de puissance en jeu, donc de diminuer la température du gaz de la décharge, ce qui en l’occurrence conduit à une meilleure qualité du dépôt [29]. Effet de la fréquence sur la vitesse de gravure La figure 4.17 décrit la vitesse de gravure d’un polymère (polyimide) normalisée à la puissance totale absorbée Pt en fonction de la fréquence f du champ HF. La gravure a lieu sans polarisation intentionnelle du substrat (donc au potentiel flottant section 3.14) dans un plasma de O2 -CF4 à 0,2 torr [30]. Contrairement aux cas précédents (figures 4.15 et 4.16), la vitesse de gravure ne passe pas d’un palier à un autre, mais par un maximum. Ceci suggère que des phénomènes concurrents interviennent simultanément, rendant l’interprétation plus complexe. Ces effets sont liés aux caractéristiques de la FDEE. Ainsi, lorsque f augmente : 1. La FDEE devenant stationnaire, on obtient alors un maximum d’électrons dans la queue de la dite FDEE, entraînant par là-même une augmentation de la dissociation des molécules O2 -CF4 . 2. La FDEE (ν/ω) tend vers le cas MO ou celui d’une FDEE maxwellienne, donnant lieu à une diminution de θ (figure 4.3) et à une augmentation corrélative de la densité du plasma.

246

4− Introduction à la physique des décharges HF

3. Si θ diminue, U  (Te dans le cas d’une FDEE maxwellienne) diminue aussi (voir figure 4.1), donc la différence de potentiel Vp −Vf de la gaine diminue (section 3.14). En conséquence, lorsque f augmente, l’énergie des ions bombardant la surface à graver diminuerait (hypothèse 3), alors que les flux d’ions (hypothèse 2) et d’espèces réactives (hypothèses 1 et 2) augmenteraient, d’où la possibilité d’observer un maximum de vitesse de gravure.

4.3.8. Conclusion sommaire à l’étude des propriétés des plasmas HF à basse pression La puissance moyenne perdue par un électron par collisions avec les particules lourdes se révèle être un paramètre essentiel à la description des décharges électriques à basse pression (nous pourrions montrer que c’est également vrai pour les décharges à forte pression, incluant la pression atmosphérique). Les conditions opératoires de ces décharges peuvent être choisies de façon à ce que la fréquence du champ HF agisse sur la FDEE, aussi bien sur sa forme que sur son caractère stationnaire ou non, permettant ainsi d’optimiser la cinétique d’un processus donné. Comme cas particulier intéressant, nous avons vu dans les conditions de Schottky que, pour une densité donnée de puissance absorbée par le plasma, c’est la décharge micro-onde qui offre le plus grand nombre de paires électron-ion comparativement à une décharge CC (si la densité de celle-ci n’est pas trop élevée pour que la FDEE soit maxwellienne). Enfin, le fonctionnement à la résonance cyclotronique électronique favorise l’entretien des décharges HF à des pressions nettement plus faibles qu’en absence de champ magnétique.

4.4. Les plasmas HF à haute pression Les plasmas à haute pression se distinguent des plasmas à basse pression non pas par leurs mécanismes de production, mais par leurs mécanismes de perte de particules chargées, par l’accroissement important de la température du gaz Tg (sans nécessairement atteindre l’ETL des plasmas thermiques) dû à l’augmentation de N et de ne (collisions élastiques électron-neutre), par l’apparition de cinétiques réactionnelles particulières (rôle des ions moléculaires), et par l’apparition de phénomènes supplémentaires (contraction et filamentation). Les plasmas à haute pression sont produits le plus souvent par des décharges en courant continu, par décharges inductives (ICP) dans le domaine radio-fréquence et par des décharges micro-ondes (notamment par ondes de surface). La description des plasmas à haute pression est plus complexe, compte tenu des phénomènes thermiques et des cinétiques plus variées qui se déroulent dans ces décharges, et, pour ces raisons, moins établie que celle des plasmas à basse pression. Dans ce qui suit, nous nous bornerons à illustrer les phénomènes de contraction et de filamentation observés

4.4− Les plasmas HF à haute pression

247

dans certaines conditions. Puis, nous présenterons les hypothèses portant plus spécifiquement sur les mécanismes de la contraction et préciserons le rôle respectif sur ce phénomène du chauffage inhomogène du gaz et de la cinétique des ions moléculaires. De façon complémentaire, nous montrerons expérimentalement et théoriquement comment et pourquoi une décharge contractée dans laquelle on ajoute des traces d’un gaz rare ayant un potentiel d’ionisation inférieur à celui du gaz porteur s’étend alors radialement (se décontracte).

4.4.1. Observation expérimentale des phénomènes de contraction et de filamentation à la pression atmosphérique Dès que la pression du gaz dépasse quelques dizaines de torrs ( 1 kPa), la section radiale du plasma d’une décharge tubulaire peut soit se contracter, soit devenir filamentaire lorsque la pression augmente. Ces phénomènes, connus sous les noms de contraction, et de filamentation, affectent toutes les décharges électriques entretenues dans la plupart des gaz rares (nobles) comme le néon, l’argon, le krypton et le xénon, ou certains gaz moléculaires, en particulier les gaz électronégatifs.

Figure 4.18 – Photographie de la partie supérieure (par rapport au plan de l’applicateur de champ micro-ondes) d’une décharge d’onde de surface orientée verticalement, dans différents gaz, pour un tube de 6 mm de diamètre interne (paroi représentée par des traits verticaux blancs) et à la fréquence de 2450 MHz. La bande noire, qui coupe chacune des trois plus longues colonnes, est due à l’armature de la cage de Faraday entourant le tube à décharge [31].

La figure 4.18 montre la lumière émise par des décharges produites par une onde EM de surface dans différents gaz à la pression atmosphérique dans un tube de 6 mm de diamètre interne. Dans de telles décharges, la densité électronique décroît (presque

248

4− Introduction à la physique des décharges HF

linéairement) à partir de l’interstice du lanceur d’onde de surface (applicateur de champ EM) vers la fin de la colonne (annexe A19). Nous constatons que le diamètre (lumineux) des décharges d’hélium et de N2 ne varie pas, en première approximation, en fonction de la distance à l’interstice de lancement. Par contre, le diamètre de la colonne de plasma est manifestement réduit dans la décharge d’argon et de krypton, mais beaucoup moins dans le néon. Le phénomène de contraction est caractérisé par le fait que la colonne de plasma se réduit radialement, produisant un filament dense et brillant, orienté suivant la direction du champ électrique dans la décharge [32]. Dans les décharges d’onde de surface, la principale composante de champ électrique est dirigée suivant l’axe du tube. Aussi, lorsque le tube est disposé verticalement, alors le filament est centré sur l’axe, comme nous pouvons le voir sur la figure 4.18 169. En comparant le niveau de contraction observé avec la conductivité thermique κ des gaz correspondants à la température du gaz de la décharge (tableau 4.1), nous pouvons affirmer que, si contraction il y a, elle est d’autant plus marquée que κ est faible. La filamentation est la séparation d’un filament unique en deux ou plusieurs filaments de plus petit diamètre. Nous pouvons remarquer sur la figure 4.18 que les colonnes de plasma de krypton et d’argon présentent deux filaments sur une partie de leur longueur, près de l’applicateur, où la densité de puissance HF est la plus élevée : cette filamentation disparaît quand l’intensité du champ électrique devient plus homogène, ce qui se produit lorsque ne diminue et ν/ω augmente (vers la fin de colonne : partie supérieure de la photographie 170 ). Tableau 4.1 – Conductivité thermique κ (en 10−2 W/mK) du gaz calculée à la température ambiante et à la température du gaz mesurée sur l’axe de la décharge.

Température du gaz

He

N2 171

Ne

Ar

Kr

Xe

κ à 300 K

20,67

2,62

3,4

1,72

1

0,55

κ à Tg (K)

(2700) 82

(5200) 88,7

(2000) 11,5

(2100) 6,45

(1900) 2,5

(1700) 2,27

169 Lorsque le tube à décharge est orienté horizontalement, la convection naturelle pousse le filament hors de l’axe, vers le haut. 170 Le phénomène de filamentation est relié à la faible profondeur de pénétration du champ HF dans le plasma. Son mécanisme n’est pas davantage discuté ici. 171 La conductivité thermique de la décharge dans N2 augmente considérablement lorsque la température du gaz est suffisamment élevée pour dissocier N2 en atomes d’azote, N étant plus léger (donc plus mobile) que la molécule N2 .

4.4− Les plasmas HF à haute pression

249

Évolution du rayon apparent de la décharge en fonction du rayon du tube Définissons le rayon du filament lumineux, que nous allons assimiler au rayon du plasma, comme étant la position radiale rp à laquelle l’intensité maximum du filament a décru de moitié : le degré de contraction ≥ 1 peut alors s’entendre comme le rapport R/rp où R est le rayon interne du tube à décharge. La figure 4.19 montre comment rp croît lorsque R augmente. Au-delà d’une certaine valeur du rayon R de la décharge, 3 mm dans le cas présent, le rayon rp du filament n’augmente plus. Au contraire, dans une décharge de N2 , lorsque R augmente, non seulement R/rp demeure constant, mais en plus la distribution radiale de la lumière émise demeure la même, comme nous pouvons le voir sur la figure 4.20 : manifestement cette décharge n’est pas contractée (au moins pour les faibles valeurs de R considérées). Nous verrons (figure 4.26 plus loin) que, lorsqu’il y a contraction de la décharge, celle-ci s’accompagne de changements importants dans la distribution radiale des paramètres du plasma tels que la densité des électrons et la température du gaz [31].

Figure 4.19 – Évolution du rayon du filament lumineux rp dans une décharge d’onde de surface d’argon en fonction du rayon interne R du tube à décharge, à une même distance z de la fin de la colonne, à pression atmosphérique et 915 MHz (d’après [31]).

La figure 4.21 montre que, lorsque le diamètre du tube n’est pas trop grand et la fréquence de l’onde EM pas trop élevée, il y a contraction et sinon, que la décharge est filamentaire. La figure met aussi en évidence que ces deux effets de contraction et de filamentation peuvent être progressivement réduits par l’ajout dans le gaz porteur de traces de gaz rare (gaz additif) présentant un potentiel d’ionisation plus faible que

250

4− Introduction à la physique des décharges HF

Figure 4.20 – Profil radial de l’intensité lumineuse émise en fonction de la position radiale normalisée dans une décharge de N2 pour des tubes de différents rayons [31], montrant que cette décharge n’est pas contractée (profils indépendants de R).

celui du gaz porteur. La contraction et la filamentation disparaissent brusquement pour un pourcentage spécifique de gaz additif [33], comme le montre la figure 4.22 pour la contraction. À cette valeur optimum de pourcentage, la lumière émise par le plasma est non pas celle du gaz porteur mais celle du gaz ajouté sous forme de traces. Pour des pourcentages d’ajouts de gaz plus importants, la contraction/filamentation commence à réapparaître, les raies d’émission étant cette fois celles du gaz additif ! Remarques : 1. Les décharges électriques (CC et HF) entretenues à pression réduite (p < 10 torrs ( 1330 Pa)) sont relativement homogènes et remplissent entièrement le volume de l’enceinte qui les contient comme on peut en juger d’après leur luminescence. On les désigne parfois sous le nom de décharges diffuses (pour les opposer aux décharges contractées). Dans le cas d’une décharge tubulaire, le volume luminescent occupe la totalité de la section radiale du tube. Ceci est lié au fait que les pertes de particules chargées (les électrons et les ions) se font par diffusion vers la paroi du tube où a lieu leur recombinaison. Dans ces conditions, la distribution radiale des électrons est déterminée par la pression et le rayon du tube à décharge (section 3.13). Par opposition au cas diffus, les électrons dans une décharge contractée sont confinés dans la région du filament de plasma et les pertes de particules chargées ont lieu principalement par recombinaison en volume, comme nous le verrons (section 4.4.2).

4.4− Les plasmas HF à haute pression

251

Figure 4.21 – Photographies de la partie supérieure (par rapport au plan de l’applicateur de champ micro-onde qui est perpendiculaire à l’axe du tube) d’une décharge d’onde de surface verticale dans différents gaz rares à pression atmosphérique et un débit de 500 cm3 min−1 : a) cas d’un tube de 12 mm de diamètre interne et d’une fréquence EM de 915 MHz montrant la contraction du Ne pur et de Ar pur. Avec l’ajout de traces d’Ar dans Ne et de traces de Xe dans Ar, on observe l’expansion radiale progressive de la décharge ; b) cas d’un tube de 20 mm de diamètre interne et d’une fréquence EM de 2450 MHz montrant la filamentation. L’ajout progressif de traces de Kr dans Ne réduit la filamentation qui finit par disparaître [34].

2. Le passage du régime diffus au régime contracté, particulièrement facile à observer dans une décharge CC en fonction du courant [35], entraîne une forte augmentation de la densité électronique et de la température du gaz alors que la température des électrons diminue. Cependant, bien que plus dense, cet état contracté ne conduit généralement pas à l’équilibre thermodynamique (section 1.4.3) : Te demeure largement supérieure à Tg . Ces décharges contractées sont, en fait, dans

252

4− Introduction à la physique des décharges HF

une situation intermédiaire, entre l’état très loin de l’équilibre thermodynamique d’une décharge diffuse et l’état d’équilibre thermodynamique d’un arc thermique (contracté) ou d’une décharge inductive à forte densité de puissance. Ainsi, les propriétés des décharges contractées ne s’apparentent ni à celles des plasmas froids luminescents, ni à celles des arcs thermiques.

Figure 4.22 – Profil radial de l’intensité totale de la lumière émise par une décharge de Ne pur, puis avec ajouts de traces de Ar, Kr ou Xe (R = 6 mm, f = 915 MHz, position axiale z = 70 mm en amont de la fin de colonne). Les pourcentages indiqués pour les ajouts de gaz rares correspondent chacun à l’expansion radiale maximum du plasma. Les intensités mesurées sont normalisées à l’unité sur l’axe [33].

4.4.2. Modélisation du phénomène de la contraction à la pression atmosphérique Le chauffage inhomogène de la décharge dans la direction radiale (résultant d’une conductivité thermique finie du gaz) et le contrôle de la création et des pertes des espèces chargées par les ions moléculaires formés dans les décharges à haute pression sont à la base du phénomène de contraction.

4.4− Les plasmas HF à haute pression

253

Chauffage inhomogène du gaz La figure 4.23 montre la variation radiale de Tg telle qu’obtenue expérimentalement par spectroscopie optique d’émission 172 dans une décharge de néon, d’hélium et d’azote. Nous observons que le gradient de la température du gaz est relativement fort dans le néon (décharge contractée), alors que celui-ci est plutôt faible dans la décharge d’azote (non contractée). Toutefois, bien que la décharge d’hélium ne soit pas contractée (voir figure 4.18), Tg présente un fort gradient dans ce gaz. Pour comprendre l’influence du gradient de Tg sur la contraction, il nous faut examiner l’influence de la cinétique des ions moléculaires sur le bilan des espèces chargées. Ainsi, les résultats de la figure 4.23 montrent que le chauffage inhomogène du gaz constitue une condition nécessaire mais non suffisante pour observer la contraction.

Figure 4.23 – Distribution radiale de la température Tg du gaz observée dans une décharge de néon, d’hélium et d’azote à 2450 MHz dans un tube de rayon R = 3 mm [31].

172 À partir d’une bande ro-vibrationnelle de la molécule OH (de la vapeur d’eau ayant été introduite, à l’état de traces, dans la décharge), on peut, à l’aide d’un diagramme de Boltzmann (annexe A3) des intensités des raies, déterminer une température dite de rotation (Trot ). Dans une décharge à la pression atmosphérique de densité électronique suffisamment élevée, l’énergie ro-vibrationnelle de la molécule thermométrique (OH) est en équilibre avec l’énergie de translation du gaz plasmagène, d’où Trot = Tg .

254

4− Introduction à la physique des décharges HF

Cinétiques des ions moléculaires à pression atmosphérique Rôle des ions moléculaires dans la perte et la création des particules chargées Un mécanisme très efficace de perte de particules chargées faisant intervenir les ions moléculaires de gaz rares est la recombinaison dissociative des ions moléculaires X+ 2 avec les électrons : m X+ (4.31) 2 + e → X + X, où Xm et X représentent respectivement un atome dans un état métastable 173 et dans son état fondamental. La création d’ions atomiques X+ peut s’effectuer par ionisation à partir d’atomes métastables Xm : Xm + e → X+ + e + e . (4.32) Les atomes dans cet état-relais métastable peuvent soit provenir directement de la recombinaison dissociative (4.31) des ions moléculaires, soit résulter d’une collision électronique avec un atome X dans l’état fondamental : X + e → Xm + e .

(4.33)

Toutefois dans les décharges avec contraction, ce processus contribue moins à la formation d’atomes métastables Xm que la recombinaison dissociative, comme on peut le voir plus loin sur la figure 4.27 pour He, Ne et Ar [37]. Création et perte des ions moléculaires (sans modification du nombre d’ions) Les ions atomiques X+ créés par ionisation par étape (4.32) peuvent être convertis en ions moléculaires par association ion-atome : X+ + X + X → X+ 2 + X,

(4.34)

où le troisième corps sert à absorber l’énergie cinétique en excès produite par la formation de l’ion moléculaire X+ 2. Quant à la perte des ions moléculaires, elle peut se produire soit par dissociation thermique spontanée : + X+ (4.35) 2 → X + X, soit par collision avec les électrons (dissociation par impact électronique) : + X+ 2 + e → X + X + e,

(4.36)

173 Dans le cas des gaz rares, pour Tg dans le domaine 300–2000 K, la recombinaison dissociative des ions moléculaires avec les électrons produit un atome dans la configuration orbitale fondamentale np6 et un second atome dans la configuration orbitale np5 (n + 1)s : 2 sur 4 de ces niveaux d’énergie sont des états métastables. Par exemple, dans l’argon, moins de ≈ 30 % se trouvent dans la configuration Ar(4p) comparée à la configuration Ar(4s) [36].

4.4− Les plasmas HF à haute pression

255

soit encore par collision avec les atomes (dissociation par impact atomique) : + X+ 2 + X → X + X + X.

(4.37)

Ce dernier mécanisme est aussi un processus de dissociation thermique, car sa cinétique croît avec la température Tg du gaz. En résumé, il ressort que les ions moléculaires contrôlent la création et la perte des espèces chargées dans les décharges à pression atmosphérique. La prédominance de l’un ou l’autre de ces processus dans la perte d’ions moléculaires dépend principalement de la température Tg du gaz (figure 4.24).

Figure 4.24 – Densité ne des électrons, densité des ions atomiques Ar+ et des ions moléculaires Ar+ 2 calculées en fonction de la température Tg du gaz dans l’argon à la pression atmosphérique [38].

Phénomène de contraction : chauffage inhomogène du gaz et (rôle des) ions moléculaires Nous avons déjà mentionné que le chauffage inhomogène du gaz joue un rôle essentiel dans la contraction radiale des décharges. Pour le démontrer, la densité électronique ne ainsi que les densités des ions atomiques et moléculaires sont calculées en fonction de la température Tg du gaz dans une décharge d’argon. Ceci nécessite de résoudre l’équation de bilan de chaque type de particules chargées en en fonction de Tg pour une valeur donnée de Te (dans les décharges contractées, la variation radiale de Te est bien moins importante que celle de Tg , et Te peut donc, en première approximation, être considérée comme constante sur la section de la décharge). Les réactions prises

256

4− Introduction à la physique des décharges HF

en compte dans les équations de bilan sont celles définies précédemment, auxquelles sont ajoutées des réactions moins importantes dans nos conditions : l’ionisation par impact électronique des atomes dans leur état fondamental (X + e → X+ + e + e), les recombinaisons à trois corps des ions atomiques (X+ + e + e → X + e) et la diffusion des atomes dans un état métastable et de toutes les particules chargées. La cinétique des états radiatifs de la configuration orbitale 4p a été négligée car, aux pressions supérieures à 1 kPa, leur concentration est inférieure à celles des états métastables et des états (4s) résonnants.

Figure 4.25 – Distribution radiale de la densité électronique (obtenue par élargissement Stark de la raie Hβ ) dans une décharge d’onde de surface à 915 MHz dans le néon à pression atmosphérique mesurée dans un tube de 3 mm de rayon interne pour une position axiale z = 110 mm de la fin de la colonne de plasma.

La figure 4.24 montre la dépendance de la densité électronique et des densités d’ions atomiques et moléculaires avec Tg , pour un plasma d’argon à pression atmosphérique de température Te = 10500 K [2]. Bien que la température Te soit supposée constante, comme Tg varie entre 1500 et 3000 K, la densité électronique ne augmente de deux ordres de grandeur pendant que la densité des ions atomiques augmente de plus de trois ordres de grandeur. La densité d’ions moléculaires, elle, décroît presque d’un ordre de grandeur sur l’intervalle 500–3000 K de température Tg du gaz. L’augmentation de la densité d’ions atomiques est due à la très forte augmentation (exponentielle) de la dissociation des ions moléculaires ((4.35) et (4.37)) avec Tg . Dans une telle situation, puisque la densité des ions moléculaires décroît, la perte de particules chargées par recombinaison dissociative décroît (4.31) avec, comme résultat, l’augmentation de ne . Cette augmentation de ne lorsque Tg augmente est encore accentuée par la réduc-

4.4− Les plasmas HF à haute pression

257

tion de la densité des ions moléculaires par impact électronique (4.36) et la contribution croissante de l’ionisation par étapes (4.32). En raison du gradient de température Tg du gaz entre l’axe de la décharge et la paroi (cas, par exemple, du néon sur la figure 4.23), il s’ensuit une diminution significative de la densité électronique (figure 4.25), et corrélativement, une contraction radiale de la décharge. Bien évidemment, dans cette situation, plus la conductivité thermique κ du gaz est faible, plus le gradient de Tg est important et plus le phénomène de contraction de la décharge est fort.

4.4.3. Validation par un modèle auto-cohérent des hypothèses émises sur la contraction à la pression atmosphérique À partir d’un modèle auto-cohérent, présenté dans [38], appliqué à trois gaz rares (He, Ne, Ar), nous avons obtenu les variations radiales des paramètres (ne , Tg , Te ) du plasma. Les résultats de modélisation montrent (figure 4.26) l’existence d’un chauffage inhomogène du gaz dans les trois gaz étudiés. Cependant, seules les décharges dans l’argon et le néon manifestent expérimentalement une contraction radiale.

Figure 4.26 – Profils radiaux calculés a) de la température Tg du gaz et b) de la densité électronique ne dans des décharges HF d’hélium, de néon et d’argon à la pression atmosphérique [39].

Ces résultats de modélisation nous ont également permis de comparer : a) la fréquence des différentes réactions de création (ionisation directe νid (4.33), ionisation par étapes νie1 , si l’état-relais est peuplé à partir du niveau fondamental (4.34), et ionisation par étapes νie2 , si l’état-relais est peuplé à la suite d’une recombinaison dissociative (4.32)) ; b) la fréquence des pertes de particules chargées (diffusion ambipolaire νD , section 3.12), recombinaison dissociative νrm (4.32) et recombinaison à trois corps νra (1.147) des particules chargées (voir figure 4.27). L’analyse de ces processus de création et de perte dans le plasma indique clairement que la contraction se manifeste à la pression atmosphérique seulement pour des gaz dans lesquels les cinétiques de création et de perte des particules chargées sont complètement contrôlées par les ions moléculaires.

258

4− Introduction à la physique des décharges HF

La figure 4.27 montre bien que, dans l’argon et le néon, la fréquence d’ionisation par étapes νie2 (ce processus implique les ions moléculaires) et la fréquence de la recombinaison dissociative νrm sont prépondérantes. Dans l’hélium, la cinétique des ions moléculaires n’est pas aussi importante que dans Ar et Ne. Ainsi, ni la création ni les pertes de particules chargées ne sont contrôlées par la cinétique des ions moléculaires dans l’hélium. Par conséquent, il n’y a pas de dépendance non linéaire de ne en Tg , et l’existence d’un gradient de Tg n’induit pas de contraction de la décharge dans He (figure 4.26b).

Figure 4.27 – Fréquences calculées a) des réactions de création (ionisation directe νid (4.33), ionisation par étapes νie1 , si l’état-relais est peuplé à partir du niveau fondamental (4.34), et ionisation par étapes νie2 , si l’état-relais est peuplé à la suite d’une recombinaison dissociative (4.32)) ; b) des pertes de particules chargées (diffusion ambipolaire νD (section 3.12), recombinaison dissociative νrm (4.32) et recombinaison à trois corps νra (1.147)).

Accord expérience–théorie La figure 4.28 compare expérience et théorie dans le cas d’une décharge de néon à la pression atmosphérique. Nous remarquons, en premier lieu, le très bon lissage du profil expérimental de ne suivant exp(−(r/rp )2 ). Le profil théorique obtenu par un modèle numérique, également pour le néon, fait appel à un modèle auto-cohérent du plasma, semblable à celui développé pour la décharge d’argon [38]. La courbe théorique présentée est celle obtenue pour Tg (r = R) = 1200 K, à la même position axiale z par rapport à la fin de colonne que dans le cas expérimental. En résumé, nous avons vu que la contraction se manifeste par un profil radial de ne qui décroît exponentiellement en allant vers la paroi. Cette décroissance rapide de ne résulte d’une forte décroissance de Tg ; elle a lieu lorsque la cinétique création-perte des particules chargées est dominée par les ions moléculaires. Par contre, lorsque Tg est suffisamment élevée pour que les ions atomiques gouvernent cette cinétique, alors ne ne varie presque plus en fonction de Tg (figure 4.24), et il ne peut donc y avoir contraction. C’est effectivement ce que l’on observe dans les décharges à très fortes densités électroniques (ne > 1015 cm−3 ) comme, par exemple, les décharges inductives (figure 4.4) à la pression atmosphérique.

4.4− Les plasmas HF à haute pression

259

Les calculs montrent, en outre, que la pente à variation rapide de ne en fonction de Tg observée sur la figure 4.24 pour l’argon est moins prononcée dans la décharge de néon, mais très abrupte dans celle du xénon : expérimentalement, la décharge d’argon est effectivement plus contractée que celle du néon mais moins que celle du xénon.

Figure 4.28 – Distribution radiale de la densité électronique obtenue expérimentalement à partir de l’élargissement Stark de la raie Hβ (•), par lissage par exp(−(r/rp )2 ) (—), et par calcul (· · · ).

4.4.4. Cinétiques des décharges à pression atmosphérique en expansion (radiale) résultant de l’addition de traces de gaz rares à potentiel d’ionisation inférieur La cinétique des décharges entrant en expansion radiale par suite de l’ajout de traces de gaz rares est caractérisée par le fait que les ions moléculaires, aussi bien ceux du gaz porteur que ceux du gaz ajouté en faible pourcentage (gaz additif), ne contrôlent plus les processus de création et de perte des espèces chargées (contrairement au cas des décharges contractées que nous venons juste de voir) : leur concentration est trop faible comme nous allons le montrer. Par ailleurs, la création des particules chargées dans la décharge est régie, lors de l’expansion radiale, par ionisation Penning 174 des atomes du gaz additif dans leur état fondamental par collision avec les atomes 174 L’ionisation Penning peut être obtenue lorsque le niveau d’énergie Em des atomes métastables du gaz porteur (e.g. Em = 16,60 eV pour le néon) est plus élevé que l’énergie seuil Ei d’ionisation des atomes du gaz additif (e.g. Ei = 15,756 eV pour l’argon).

260

4− Introduction à la physique des décharges HF

métastables du gaz porteur. Quand la décharge a effectué son expansion radiale, la création des particules chargées est alors assurée par l’ionisation par étape des atomes du gaz additif par relais sur les atomes métastables de ce même gaz additif (4.33). Quant aux pertes, elles sont contrôlées par diffusion ambipolaire des ions atomiques du gaz additif et non plus par recombinaison (dissociative) en volume : c’est donc le passage d’un régime de recombinaison en volume (état contracté) à un régime de diffusion qui est à l’origine de l’expansion radiale du plasma [33]. Formation des ions moléculaires Lorsque la décharge se trouve en expansion radiale, les ions moléculaires du gaz porteur et du gaz additif, comme déjà mentionné, ne gouvernent plus la cinétique de décharge car leur densité est trop faible. Il faut en effet se rappeler que les ions moléculaires sont formés à partir de réactions à trois corps (4.34). Dans le cas du gaz porteur, ce mécanisme n’est plus efficace car la densité correspondante en ions atomiques, essentielle pour la formation d’ions moléculaires, a diminué de façon significative (en raison de la désexcitation collisionnelle (ou quenching en anglais) des atomes métastables X m ) ; de même, pour le gaz additif, la conversion atome-ion en ions moléculaires est, elle aussi, inefficace en raison de la trop faible densité d’atomes de gaz additif. Calcul des densités ioniques dans les mélanges néon/argon Les explications précédentes s’appuient sur un calcul global (0-D) des densités d’ions atomiques et moléculaires, décrit ci-dessous à titre d’exemple, avec le néon comme gaz porteur et l’argon comme gaz additif. La cinétique considérée pour les espèces chargées est celle développée en [38], incluant en outre le transfert de charge de Ne+ 2 vers Ar+ , et l’ionisation Penning de l’argon à partir des atomes métastables de néon : Nem + Ar → Ne + Ar+ + e ,

(4.38)

où Nem est un atome de Ne dans un état métastable [35]. Les densités ioniques sont obtenues par résolution du système des équations de bilan pour Ne+ , Ne+ 2 et Ar+ , et de l’équation de neutralité des charges. Les paramètres d’entrée du modèle sont la densité électronique ne et la température Tg du gaz, déterminées expérimentalement (à partir, respectivement, de l’élargissement Stark de la raie Hβ et du diagramme de Boltzmann des états ro-vibrationnels de l’ion N+ 2 ) sur l’axe de la décharge, et la température électronique Te calculée à partir de l’équation de Saha à deux températures. La figure 4.29 montre les densités ioniques calculées en fonction du pourcentage d’argon ajouté au néon, entre 0 et 1 % : les résultats expérimentaux (non présentés ici) nous indiquent que, sur cet intervalle, les valeurs de ne et Tg peuvent être considérées constantes sur l’axe (ne = 5 × 1013 cm−3 et Tg = 2300 K pour f = 915 MHz, R = 6 mm, z = 110 mm). Quand on ajoute l’argon au néon,

4.4− Les plasmas HF à haute pression

261

Ar+ devient rapidement l’ion dominant, ceci aussi longtemps que dure l’expansion radiale : les densités d’ions Ne+ et Ne+ 2 diminuent finalement de plus de trois ordres de grandeur tandis que celle des ions Ar+ 2 augmente, mais reste néanmoins très petite comparée à celle des ions Ar+ .

+ + Figure 4.29 – Densités des ions Ne+ , Ne+ 2 , Ar et Ar2 calculées pour une décharge de Ne à laquelle on a ajouté entre 0 et 1 % d’argon à pression atmosphérique. Les valeurs de ne et Tg sont celles obtenues expérimentalement sur l’axe de la décharge pour f = 915 MHz, R = 6 mm, et z = 110 mm [33].

Dans une décharge contractée de néon ou d’argon pur, la densité des ions moléculaires peut être jusqu’à 100 fois inférieure à celle des ions atomiques et contrôler malgré tout la cinétique de la décharge en raison du coefficient de réaction très élevé de la recombinaison dissociative. Dans une décharge Ne/Ar en expansion radiale (0,3 < %Ar < 1), + les densités des ions moléculaires Ne+ 2 et Ar2 sont très inférieures à celles obtenues en gaz pur, au moins quatre ordres de grandeur par rapport à celle des ions Ar+ , c’est-à-dire trop faibles pour que les ions moléculaires gouvernent la cinétique des espèces chargées de la décharge. La figure 4.29 montre que, dans le cas d’une expansion radiale maximale (Ne+1 %Ar), le coefficient de perte par diffusion ambipolaire des ions Ar+ est plus de deux ordres de grandeur plus élevé que les coefficients de réaction de recombinaison dissociative et à trois corps, ce qui signifie que les pertes en espèces chargées sont contrôlées par la diffusion (ambipolaire). Le résultat est donc bien que les espèces chargées diffusent vers les parois du tube, ce qui assure l’expansion radiale du plasma.

262

4− Introduction à la physique des décharges HF

La modélisation de l’expansion radiale des décharges à pression atmosphérique apporte une preuve supplémentaire du rôle crucial joué par les ions moléculaires dans les plasmas haute pression, cette fois en montrant ce qui en résulte lorsque leur formation en est empêchée.

4.4.5. Résumé des propriétés des plasmas HF à haute pression Le fait que les ions moléculaires déterminent la création et les pertes des espèces chargées constitue, assurément, une caractéristique essentielle des plasmas haute pression. Dans les gaz rares atomiques, cette particularité reste valide, bien que la densité des ions moléculaires soit de deux ordres de grandeur plus faible que celle des ions atomiques. La recombinaison dissociative des ions moléculaires de gaz rares produit un atome dans un état métastable qui assure un processus efficace de (ré)-ionisation par étape, une autre particularité des plasmas haute pression par rapport aux plasmas basse pression où l’ionisation résulte de l’ionisation directe par impact électronique des atomes dans leur état fondamental. Une autre différence avec les décharges basse pression résulte de la très grande fréquence des collisions électron-neutre dans les décharges haute pression, d’où un chauffage important du gaz de telle sorte que, dans les décharges tubulaires, un gradient radial de la température Tg du gaz apparaît : plus basse est la conductivité thermique κ du gaz de décharge, plus abrupt est le gradient radial de Tg . Le chauffage inhomogène du gaz de la décharge et la recombinaison dissociative des ions moléculaires sont finalement, comme nous l’avons montré, les deux caractéristiques responsables de la contraction des décharges : ces deux conditions sont nécessaires à l’apparition de la contraction des décharges (et aussi de leur filamentation). En effet, l’expansion radiale d’une décharge contractée est obtenue en brisant le cycle de création et de perte des ions moléculaires. Le modèle présenté pour décrire le phénomène d’expansion radiale fournit de solides arguments supplémentaires aux explications proposées pour la contraction des décharges, mettant en évidence le rôle clé joué par les ions moléculaires dans les décharges haute pression.

Exercices du chapitre 1 Exercice 1.1 Le recours à la mécanique quantique est indispensable pour décrire de manière exacte les collisions électron-neutre menant à l’ionisation. Toutefois, une description classique plus simple (modèle de Thomson, 1912) permet de calculer une forme analytique approchée (1.138) de la section efficace d’ionisation par collision électronique d’un atome dans son état fondamental. Pour cela, il faut considérer un électron libre en translation uniforme, d’énergie cinétique Ece = me we2 /2, qui transfère à un électron de valence (électron lié) appartenant à la couche électronique externe d’un atome au repos (dans le repère du laboratoire) une énergie ΔEce au moins égale à l’énergie seuil d’ionisation Ei de l’atome. a) Supposer dans un premier temps une interaction binaire entre un électron libre et un atome avec ses électrons de valence constituant un tout globalement neutre de masse ma . Calculer l’énergie cinétique maximale qui peut être transformée en énergie interne ΔE au cours de la collision. En déduire les trois types de collisions électron-atome possibles en fonction de la valeur de ΔE et décrire les bilans en énergie correspondants. b) Supposer dans un second temps que l’ionisation résulte de l’interaction coulombienne entre un électron libre (électron incident) et un électron de valence (modèle de Thomson). Dessiner une représentation géométrique de l’ionisation d’un atome au repos dans le repère du laboratoire en indiquant sur la figure le paramètre d’impact s et le bilan d’énergie avant et après impact. c) Calculer l’énergie cinétique ΔEce qui est transférée de l’électron incident à l’électron de valence lors de la collision en fonction de l’angle de diffusion θ dans le repère du centre de masse. d) Calculer la section efficace microscopique différentielle de diffusion σ ˆ (θ, Ece ). e) Calculer la section efficace microscopique totale de collision σ ˆt (Ece ) et en déduire la forme générale de la section efficace d’ionisation en fonction de l’énergie Ece .

264

Exercices du chapitre 1

Solution a) Lors d’une collision entre un électron e et un atome A, l’énergie cinétique transférée sous forme d’énergie interne ΔE de l’atome est donnée par l’expression (1.76), soit : ΔE =

 1 2 2 μea (wea − wea ) 2

(1)

où w ea et w ea sont respectivement les vitesses relatives avant collision et après collision entre l’électron et l’atome, et μea leur masse réduite donnée par : μea =

me ma . me + ma

(2)

Avant collision, l’atome étant supposé au repos (dans le repère du laboratoire), on a w ea = we − w a = we et, en tenant compte de ce que ma  me , il vient μea me . Après collision, on a w ea w e , de telle sorte que l’équation (1) se réduit finalement à : 1 me (we2 − we 2 ) ΔEce = ΔE . 2

(3)

Dans ce cas particulier, la variation d’énergie interne de l’atome lors d’une collision inélastique est égale à la variation d’énergie cinétique de l’électron incident. L’énergie cinétique maximale qui peut être transformée en énergie interne ΔE est obtenue pour w e = 0, soit : ΔEce = ΔE =

1 me we2 = Ece . 2

(4)

C’est donc la totalité de l’énergie cinétique de l’électron incident qui peut être transformée en énergie interne de l’atome. Dans cette situation, trois cas peuvent se présenter : 1. Si l’énergie cinétique Ece de l’électron incident est inférieure au premier seuil d’excitation Ej de l’atome, la collision est élastique : il n’y a pas transfert d’énergie cinétique à l’atome sous forme d’énergie interne et l’énergie cinétique se répartit intégralement entre l’électron incident et l’atome. Compte tenu de la différence de masse entre électron et atome, seule une très faible proportion de l’énergie cinétique de l’électron incident est transférée à l’atome (1.98) et l’électron incident conserve alors après collision la quasi-totalité de son énergie cinétique initiale Ece . 2. Si l’énergie cinétique Ece de l’électron incident est supérieure au premier seuil d’excitation Ej de l’atome, la collision peut être soit élastique, comme dans le cas précédent, soit inélastique. Dans ce dernier cas, une partie de l’énergie cinétique de l’électron est transférée sous forme d’énergie interne ΔE = Ej à l’atome (excitation de l’état j de l’atome) et la quasi-totalité du solde d’énergie cinétique Ece − Ej est conservée par l’électron.

265

Exercice 1.1

3. Si l’énergie cinétique Ece de l’électron incident est supérieure au seuil d’ionisation Ei de l’atome (Ei > Ej ), la collision peut être soit élastique (voir cas 1), soit inélastique avec excitation de l’état j de l’atome (voir cas 2) ou ionisation de l’atome. Dans ce dernier cas, on peut considérer qu’une partie de l’énergie cinétique de l’électron incident est transférée à l’atome sous forme d’énergie interne ΔE = Ei (ionisation) et que la quasi-totalité du solde d’énergie cinétique Ece − Ei est conservée par l’électron incident. b) Une autre approche plus pertinente de l’ionisation par impact électronique est de considérer que l’ionisation résulte de l’interaction coulombienne entre un électron incident et un électron de valence de l’atome (modèle de Thomson). Dans cette hypothèse, l’électron incident d’énergie cinétique Ece transfère à un électron de valence une énergie cinétique ΔEce au moins égale à l’énergie seuil d’ionisation Ei de l’atome. L’énergie cinétique ΔEce ainsi acquise par l’électron de valence lui permet de s’extraire de son orbitale atomique, conférant ainsi une énergie interne Ei à l’atome ionisé, puis de s’éloigner de l’atome. Après collision, le solde d’énergie de l’électron incident est égal à Ece −ΔEce tandis que l’électron de valence s’éloigne de l’atome avec une énergie égale à ΔEce −Ei . Un grand avantage de cette approche est de pouvoir traiter l’ionisation d’un atome par impact électronique comme une collision élastique électron-électron de nature coulombienne. Par ailleurs, en raison d’une égale probabilité de présence de l’électron de valence le long de son orbitale atomique autour de l’atome, le paramètre d’impact s est défini par rapport au noyau central de l’atome, comme schématisé sur la figure ci-dessous.

Représentation schématique de l’ionisation par impact électronique d’un atome au repos dans le repère du laboratoire incluant le bilan d’énergie avant et après impact

c) L’expression de l’énergie cinétique cédée par une particule à une autre particule à la suite d’une collision élastique est donnée dans le repère du centre de masse par l’équation (1.98) en fonction de l’angle de diffusion θ. Dans le cas de l’interaction entre un électron incident d’énergie Ece = me we2 /2 et un électron de valence au repos (dans le repère du laboratoire), l’énergie cinétique ΔEce cédée par l’électron incident à l’électron de valence se réduit à : me we2 1 1 = − (1 − cos θ)Ece . ΔEce = − (1 − cos θ) 2 2 2

(5)

266

Exercices du chapitre 1

On vérifie sur cette expression que l’énergie cédée ΔEce par l’électron incident varie bien, en fonction de l’angle de diffusion θ, entre 0 et −Ece = −me we2 /2. Le signe moins indique une énergie perdue. L’énergie correspondante reçue par l’électron de valence est, dans ce cas, de signe positif. d) L’expression générale de la section efficace microscopique différentielle σ ˆ (θ) est donnée par l’équation (A5.37) de l’annexe A5 dans laquelle apparaît le paramètre d’impact critique moyen s0 (A5.23). Dans le cas présent, ce paramètre d’impact critique peut s’écrire : e2 , (6) s0 = 4π 0 μee we2 soit encore, sachant que la masse réduite μee est égale à me /2 : s0 =

e2 . 4π 0 Ece

(7)

De (A5.37) et (7), on obtient la section efficace microscopique différentielle de collision :  2 e2 1 . (8) σ ˆ (θ, Ece ) = 4 8π 0 Ece sin (θ/2) e) L’expression générale de la section efficace microscopique totale σ ˆt (Ece ) est obtenue par intégration de (8) sur l’angle solide dΩ = sin θ dθ dϕ suivant toutes les valeurs de l’angle θ de diffusion (1.106). En supposant une diffusion isotrope, on obtient : π σ ˆt (Ece ) = 2π

σ ˆ (θ, Ece ) sin θ dθ ,

(9)

0

π  soit :

σ ˆt (Ece ) = 2π 0

e2 8π 0 Ece

2

1 sin θ dθ . sin4 (θ/2)

(10)

Pour pouvoir calculer la section efficace microscopique totale par intégration sur ΔEce , il faut tenir compte de la relation (5) entre l’angle de diffusion θ et l’énergie cinétique ΔEce reçue (ΔEce > 0) par l’électron de valence. De (5), on en déduit, en prenant ΔEce positif : 2ΔEce (1 − cos θ) = , (11) Ece 2d(ΔEce ) . (12) sin θ dθ = Ece Sachant en outre que sin2 (θ/2) = (1 − cos θ)/2, l’intégrale donnant la section efficace microscopique totale devient : Ece σ ˆt (Ece ) = 4π Ei

e2 8π 0

2

1 d(ΔEce ) . Ece (ΔEce )2

(13)

Exercice 1.1

267

L’intégration doit s’effectuer entre ΔEce = Ei , valeur seuil d’énergie transférée au-dessous de laquelle la contribution à la section efficace totale est nulle, et ΔEce = Ece , valeur transférée maximale égale à l’énergie de l’électron incident. La section efficace microscopique totale prend alors la forme finale :  2 2   e 1 1 1 σ ˆt (Ece ) = π − . (14) 4π 0 Ei Ece Ece On vérifie facilement, par dérivation de (14) par rapport à Ece , que cette section efficace augmente avec Ece depuis la valeur seuil Ei jusqu’à une valeur maximum σtmax :  2 2 e 1 (15) σ ˆtmax (Ece = 2Ei ) = π 4π 0 4Ei2 atteinte pour Ece = 2Ei , puis décroît progressivement pour tendre vers 0 lorsque Ece tend vers l’infini (voir figure ci-dessous). En outre, le développement à l’ordre 1 de (14), pour des valeurs d’énergie Ece de l’électron incident au dessus du seuil Ei (Ece − Ei = δEi Ei ), montre que, au-dessus de ce seuil, la section efficace microscopique totale d’ionisation varie linéairement selon :  2 2 e 1 σ ˆt (Ece ) = π (Ece − Ei ) 3 . (16) 4π 0 Ei Ce résultat est conforme à l’équation (1.138) mentionnée aux sections 1.7.6 (voir figure 1.15) et 3.13.2.

Évolution de la section efficace d’ionisation par impact électronique d’un atome d’énergie d’ionisation Ei en fonction de l’énergie Ece de l’électron incident (équation (16)). La droite à partir de l’énergie seuil montre le domaine de linéarité initiale de la section efficace.

Remarque : Dans le cas des atomes possédant plusieurs électrons de valence (sur la couche électronique externe), la valeur de la section efficace d’ionisation doit être multipliée par le nombre total d’électrons de valence.

268

Exercices du chapitre 1

Exercice 1.2 a) Le diamètre du noyau des isotopes de l’hydrogène est d’environ 10−15 m. Calculer la force coulombienne qui s’exerce entre deux tels noyaux lorsqu’ils ne sont plus séparés que par une distance de 10−14 m, distance typique à partir de laquelle peut s’enclencher une réaction nucléaire de fusion. À titre de comparaison, la force requise pour enfoncer une touche d’un clavier d’ordinateur est de ∼ 0,5 N. Faire ressortir le sens physique de la valeur relativement faible de la force coulombienne répulsive obtenue dans le cas présent (considérer le cas d’atomes de deutérium). b) Calculer l’énergie potentielle répulsive Φ entre les noyaux en eV. La réaction de fusion D-T pouvant se produire à partir de 10 keV si l’on considère la section efficace de cette réaction (voir figure), comment expliquer une telle différence entre la valeur calculée et celle de seulement 10 keV à partir de laquelle la fusion peut s’observer ? Assurer le suivi des unités pour l’ensemble des calculs. Masse de l’hydrogène mH = 1,0078 uma, Masse du deutérium mD = 2,0141 uma, Masse du tritium mT = 3,0161 uma, Unité de masse atomique (uma) : 1,66037 ×10−27 kg.

Section efficace en fonction de l’énergie du projectile dans le centre de masse pour les principales réactions de fusion (le projectile est le premier élément indiqué) (d’après [40]), (courtoisie du Battelle Memorial Institute, Pacific Northwest National Laboratory, U.S. Department of Energy).

269

Exercice 1.2 Solution

a) La force coulombienne s’exerçant entre deux particules s’exprime de façon générale sous la forme : (Z1 e)(Z2 e) ˆr e F = (1) 4π 0 r2 où Z1 et Z2 représentent le nombre de charges élémentaires (e) de chacune des deux particules : ici Z1 = Z2 = 1 (relation (1.58)). Par ailleurs, le fait que les charges sont de même signe indique qu’il y a répulsion des deux noyaux. Numériquement : (1,6 × 10−19 )2 ( C2 ) 4π × 8,85 × 10−12 (F m−1 )(10−14 )2 (m2 )   V 2,56 C2 = × 102 = 2,3 = 2,3 C = 2,3 N . 111,2 Fm m

|F | =

(2)

(3)

La valeur de cette force est du même ordre que celle nécessaire pour enfoncer une touche de clavier d’ordinateur. Néanmoins, ramenée à la masse de l’atome d’hydrogène, par exemple, l’accélération en jeu est énorme (sans aucune comparaison avec celle déployée pour agir sur les touches du clavier). En effet, sachant que mD = 3,34 × 10−27 kg, nous obtenons, de la relation F = ma (où a est une accélération) : 2,3 N = 6,89 × 1026 m s−2 . a= (4) 3,34 × 10−27 kg À titre de comparaison, l’accélération gravitationnelle est de 9,8 m s−2 ! On peut aussi considérer la pression exercée sur la touche d’un clavier comparativement à celle s’exerçant sur un noyau. Supposons que la surface de la touche fait 1 cm2 (10−4 m2 ) alors que celle du noyau est de π(10−15 /2)2 = 7,8 × 10−31 m2 . Sachant que 1 N m−2 = 1 Pa, la pression agissant sur une touche est donc de 0,5/10−4 (N m−2 ) = 5 kPa alors que, pour celle s’exerçant sur le noyau, elle serait de 2,3/7,8×10−31 = 2,9 × 1030 Pa ! b) L’énergie potentielle Φ est liée à la force dont elle dérive par la relation : F = −∇Φ ,

(5)

de sorte que, pour une force coulombienne avec Z1 = Z2 = 1 : |Φ| = soit, en valeur numérique,

e2 4π 0 r

|Φ| = |F | × 10−14 m ,

(6) (7)

soit, en unité d’énergie en joule (car F dx est un travail) : |Φ| = 2,3 × 10−14 J .

(8)

270

Exercices du chapitre 1

Sachant que 1 eV = 1,6×10−19 J, on obtient : |Φ| = 143 keV .

(9)

La réaction nucléaire peut avoir lieu à une énergie bien inférieure aux 143 keV calculés de façon classique, en l’occurrence à 10 keV, à cause de l’effet quantique dit "effet tunnel" qui permet de franchir une barrière de potentiel de faible épaisseur. Noter qu’il n’y a pas de seuil d’énergie à ce phénomène, comme le montre la section efficace de fusion D-T sur la figure.

Exercice 1.3 a) Établir la distribution verticale, à l’équilibre, de la densité et des vitesses des particules neutres de masse M dans l’atmosphère terrestre sous l’effet de la force gravitationnelle. On prendra l’origine de la coordonnée verticale z à la surface de la Terre où la densité de particules est n ˆ 0 . On supposera que la distribution en vitesse des particules est de type Maxwell-Boltzmann et, en première approximation, que la température T des particules et la constante gravitationnelle g ne varient pas verticalement. b) Calculer les vitesses moyennes w, w et l’énergie cinétique moyenne en fonction de la position z. On consultera avec profit l’annexe A1 et la table des formules et intégrales utiles (voir annexe A20). Solution a) Le système est soumis à une force conservative (F = −∇Φ) puisque la force gravitationnelle F = −M g dérive d’un potentiel (plus précisément d’une énergie potentielle), en l’occurrence Φ(z) = M gz. La fonction de distribution en vitesse des particules étant, par hypothèse, de type Maxwell-Boltzmann, d’où dans le cas d’un tel système (A1.14) :   M gz f (z, w) = n ˆ 0 exp − f (w) (1) kB T où la fonction scalaire :  f (w) =

M 2πkB T

 32

  M w2 exp − 2kB T

(2)

représente une distribution isotrope en vitesse (remarque 2 ci-après). Nous pouvons manifestement écrire : f (z, w) = n(z)f (w) (3)

271

Exercice 1.3 et la distribution verticale de densité de particules est alors donnée par :   M gz n(z) = n ˆ 0 exp − . kB T

(4)

Remarques : 1. Comme nous pouvons écrire f (z, w) = n(z)f (w), la fonction f (z, w) est dite séparable (section 3.3). 2. Le fait que, par hypothèse ∂T /∂z 0, nous permet en effet de supposer qu’il n’y a pas de fuite significative de particules ou d’énergie dans une direction donnée et donc que la distribution des vitesses est isotrope. b) De façon générale (section 3.3 pour plus de détails), la valeur moyenne d’une variable A(r, w) prise sur la fonction de distribution f (r, w) s’écrit : ∞ A(r, w) =

−∞

A(r, w)f (r, w) d3 w .

∞

(5)

3

f (r, w) d w −∞

Comme la fonction f (r, w) est ici séparable et isotrope (3), l’expression (5) devient suivant z : ∞ A(z, w) = n(z)

A(z, w)f (w) d3 w

−∞

=

∞

n(z)

∞

3

f (w) d w

A(z, w)f (w) d3 w

(6)

−∞

−∞

où le dénominateur, comme on peut le vérifier, est égal à l’unité puisque la fonction f (w) (2) est normalisée. En effet : ∞

3

∞ 

f (w) d w = −∞

0

M 2πkB T

 32

  M w2 exp − 4πw2 dw = 1 . 2kB T

(7)

Finalement de (6), w, la vitesse scalaire moyenne a pour expression et valeur : ∞ w ≡

wf (w) 4πw dw = 0

et ne dépend donc pas de z.

2

8kB T , πM

(8)

272

Exercices du chapitre 1

Pour ce qui est de la moyenne du vecteur vitesse, w, calculons sa composante, par exemple, suivant x : * )    32 ∞  ∞ M wy2 M M wx2 dwy · · · (9) wx exp − exp − wx  = dwx 2πkB T 2kB T 2kB T −∞ −∞  ! " intégrant impair

L’intégrant sur wx étant impair, la valeur de son intégrale de −∞ à +∞ est nulle et wx  = 0 . Il en est de même pour les composantes des vitesses suivant y et z, ce qui fait que w = 0. Enfin, la valeur moyenne de w2  ayant pour expression et valeur : 2

∞

w  ≡

2

3

∞

w f (w) d w = −∞

4πw4 f (w) dw =

0

3kB T , M

(10)

l’énergie cinétique moyenne est donnée par : Ec  =

3 kB T . 2

(11)

Remarques : 1. Comme il n’y a pas de puits ni de source de particules, il ne peut y avoir un mouvement net de particules dans une direction donnée, d’où wz  = 0, entre autres. 2. Lorsque la force gravitationnelle a été "appliquée" avant que soit atteint l’état stationnaire, il y a évidemment eu un flux de particules suivant z pour établir le gradient de densité.

Exercice 1.4 a) Le flux aléatoire de particules se définit comme la valeur moyenne du flux traversant une surface dans un seul sens (vers les z positifs, par exemple), soit : Γz = nwz  .

(1)

Calculer ce flux pour des particules de masse m et de densité n, supposées à l’équilibre thermodynamique à la température T . Effectuer le calcul en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées cylindriques et sphériques. b) Calculer le flux aléatoire d’énergie correspondant. Effectuer le calcul en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées cylindriques et sphériques.

273

Exercice 1.4 Solution

a) Dans le cas où la fonction de distribution des vitesses est maxwellienne et isotrope (conditions nécessaires pour qu’il y ait équilibre thermodynamique), le flux aléatoire de particules s’écrit, en coordonnées cartésiennes (se rappeler, dans ce contexte, que n est indépendant de la position) :  Γz = n

m 2πkB T

0

)

∞ ×

 32 ∞

exp − −∞

    ∞ mwz2 mwx2 wz exp − exp − dwz dwx 2kB T 2kB T

mwy2 2kB T

−∞

* dwy ,

(2)

soit :  Γz = n n Γz = 4

m 2πkB T



 32

1 × 2



2kB T m



√ × π



 12

2kB T m

√ × π



2kB T m

 12

nw 8kB T = . πm 4

,

(3)

En exprimant les vitesses en coordonnées cylindriques où d3 w = wr dwr dθ dwz , le flux aléatoire de particules s’écrit :  Γz = n

m 2πkB T

 32 2π

∞ dθ

0

0

    ∞ mwr2 mwz2 wr exp − dwr wz exp − dwz 2kB T 2kB T 0

(4)  soit :

Γz = n

m 2πkB T



3 2

× 2π ×

1 2



2kB T m

 ×

1 2



2kB T m

 =

nw . 4

(5)

En exprimant les vitesses en coordonnées sphériques où wz = w cos θ et l’élément de volume d3 w = w2 dw sin θ dθ dϕ, le flux aléatoire de particules s’écrit :  Γz = n

m 2πkB T 

soit :

Γz = n

π

 32 2π

m 2πkB T

2

sin θ cos θ dθ

dϕ 0

 32

∞

0

1 × 2π × 2

0



2kB T m





mw2 w exp − 2kB T

1 × 2

3



2kB T m

 =

 dw ,

nw . 4

(6)

(7)

La valeur de Γz est évidemment indépendante du système de coordonnées dans lequel les vitesses sont exprimées.

274

Exercices du chapitre 1

Remarque : Si n est la densité des particules, seule la moitié de cette densité va contribuer au flux aléatoire dans une direction donnée ! On devrait donc écrire le flux aléatoire sous la forme : Γz =

n wz (wz > 0) , 2

(8)

d’où il ressort, compte tenu de (3) ou (7), wz (wz > 0) =

w . 2

(9)

Cet exemple illustre la difficulté à séparer les différentes contributions d’une grandeur moyenne lorsque les propriétés moléculaires considérées sont elles-mêmes le produit ou le quotient de plusieurs grandeurs. b) Le flux aléatoire d’énergie suivant z s’écrit en coordonnées cartésiennes :    mw2 Pz = nwz , 2  Pz = n

m 2πkB T

 32 ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ 0

  mw2 mwz w2 exp − dwx dwy dwz , 2 2kB T

(10)

(11)

soit, en décomposant : nm 2

Pz = ⎡ ⎣

∞

wx2

−∞

∞ + −∞

∞ + −∞



m 2πkB T

 32

×

(12)

* )     ∞ ∞ mwy2 mwx2 mwz2 dwy wz exp − exp − exp − dwx dwz 2kB T 2kB T 2kB T −∞

  mwx2 exp − dwx 2kB T

∞

  mwx2 exp − dwx 2kB T

∞

−∞

d’où il vient :

−∞

wy2

)

mwy2 exp − 2kB T )

mwy2 exp − 2kB T

Pz = 2kB T

0

*

∞ dwy

*

0

∞ dwy 0

  mwz2 wz exp − dwz 2kB T

⎤   2 mw z wz3 exp − dwz ⎦ , 2kB T

nw = 2kB T Γz . 4

En coordonnées cylindriques, le flux aléatoire d’énergie s’écrit :   nmwz (wz2 + wr2 ) Pz = , 2

(13)

(14)

275

Exercice 1.5

nm Pz = 2



m 2πkB T

 32 2π dθ× 0

⎡∞     ∞ 2 wr2 ⎣ wz3 exp − wz dwz wr exp − dwr 2kB T 2kB T 0

0

∞ + 0

soit :



w2 wz exp − z 2kB T



∞ dwz 0

⎤   2 w wr3 exp − r dwr ⎦ , (15) 2kB T

    32 3  3  m nm 1 2kB T 1 2kB T Pz = × 2π × + , 2 2πkB T 4 m 4 m Pz = 2kB T Γz .

(16) (17)

En coordonnées sphériques, le flux aléatoire d’énergie s’écrit : nm Pz = 2



soit :

m 2πkB T

π

 32 2π

nm Pz = 2

2

sin θ cos θ dθ

dϕ 0



∞

0

m 2πkB T

0

 32

  mw2 w exp − dw , 2kB T

1 × 2π × × 2

Pz = 2kB T Γz .

5



2kB T m

(18)

3 ,

(19) (20)

Encore une fois, nous vérifions que la valeur de Γz est bien indépendante du système de coordonnées utilisé pour exprimer les vitesses. Remarques : 1. Pz a les dimensions d’un flux d’énergie, ou encore, d’une densité de puissance (W m−2 ). 2. Nous savons que l’énergie cinétique moyenne des particules est donnée par 3kB T /2. Or, le flux aléatoire d’énergie fait intervenir le facteur 2kB T et non 3kB T /2. Cette différence est due au plus grand poids des vitesses apparaissant dans le calcul du flux aléatoire d’énergie (en w3 d3 w) que dans celui de l’énergie cinétique moyenne (en w2 d3 w).

Exercice 1.5 De manière générale, le flux aléatoire en un point P d’une surface se calcule en considérant l’ensemble des particules issues du demi-espace au-dessus de ladite surface (exercice 1.4). Dans une étape suivante, il peut s’avérer utile de calculer en un point

276

Exercices du chapitre 1

P le flux aléatoire de particules issues d’une portion de l’espace délimitée par un angle solide donné. Pour cela considérer un angle solide Ω, défini suivant un cône de demiangle au sommet θ et dont l’axe est orienté suivant le vecteur unitaire n normal à la surface, délimitant ainsi le flux aléatoire de particules arrivant au point P (voir figure ci-dessous).

Angle solide, selon un cône de demi-angle au sommet θ et orienté suivant le vecteur n normal à la surface, délimitant le flux aléatoire de particules arrivant au point P. L’angle solide élémentaire d2 Ω s’inscrit entre les angles θ et θ + dθ et les angles ϕ et ϕ + dϕ.

a) Dans le cas particulier décrit précédemment, calculer le flux aléatoire Γz (θ) de particules de masse m et de densité n, supposées à l’équilibre thermodynamique à la température T , arrivant au point P en fonction de l’angle θ de l’angle solide. Vérifier que le flux aléatoire Γ0 = Γz (θ = π/2) issu du demi-espace est bien égal à la valeur calculée dans l’exercice 1.4 et expliquer pourquoi la valeur du flux aléatoire n’est pas proportionnelle à l’angle solide Ω. Pour effectuer le calcul de ce flux aléatoire, il est conseillé de se placer dans un système de coordonnées cylindriques. b) Dans le cas général, le flux aléatoire de particules issues d’une portion de l’espace délimitée par un angle solide quelconque arrive au point P suivant une orientation différente de la normale à la surface. Dans ce cas, pour effectuer le calcul du flux aléatoire, il faut pouvoir intégrer la valeur G du flux aléatoire issu d’un angle solide élémentaire quelconque d2 Ω sur la totalité de l’angle solide Ω en prenant en compte l’inclinaison entre le vecteur unitaire n normal à la surface et le vecteur unitaire g orienté selon l’angle solide élémentaire d2 Ω (voir figure). Donner l’expression du flux élémentaire d2 Γz (θ) en fonction de l’angle solide élémentaire d2 Ω, puis en fonction des angles élémentaires dθ et dϕ. En déduire l’expression de dΓz (θ) par intégration sur l’angle ϕ et la comparer à celle obtenue dans la première question. En déduire l’expression du flux aléatoire G issu d’un angle solide élémentaire d2 Ω.

277

Exercice 1.5 Solution

a) Dans le système de coordonnées cylindriques (d3 w = wr dwr dθ dwz ), le flux aléatoire s’obtient par intégration sur les vitesses wr et wz . Bien entendu, il faut prendre en compte toutes les particules arrivant en P avec une vitesse wz (par exemple positive) et donc effectuer l’intégration de l’expression du flux élémentaire sur wz entre 0 et l’infini. Pour ce qui concerne la vitesse wr , il ne faut prendre en compte que les particules arrivant en P inscrites dans le cône de demi-angle au sommet θ, c’est-à-dire telles que : wr < wz tan θ ,

(1)

et il faut donc effectuer l’intégration de l’expression du flux élémentaire sur wr entre 0 et wz tan θ. Le flux aléatoire Γz (θ) reçu en P depuis l’angle solide considéré s’écrit alors :    32 2π ∞  m mwz2 dϕ wz exp − Γz (θ) = n dwz × 2πkB T 2kB T 0

0

  mwr2 wr exp − dwr . (2) 2kB T

wz tan θ

0

En effectuant le changement de variable u = wr2 , la dernière intégrale de (2) devient : wz2 tan2 θ

0

      wz2 tan2 θ mu 1 1 2kB T mu exp − du = − exp − 2 2kB T 2 m 2kB T 0     1 2kB T mwz2 tan2 θ = 1 − exp − . (3) 2 m 2kB T

L’équation (2) prend alors la forme finale :   32   m 1 2kB T × 2π × Γz (θ) = n × 2πkB T 2 m ⎤ ⎡∞     ∞ 2 2 mw mw z z ⎣ wz exp − (1 + tan2 θ) dwz ⎦ . (4) dwz − wz exp − 2kB T 2kB T 0

0

Après intégration et en tenant compte de la relation (1 + tan2 θ) = (1/ cos2 θ), on obtient :   32     m 1 2kB T 1 2kB T Γz (θ) = n × 2π × × (1 − cos2 θ) , (5) 2πkB T 2 m 2 m soit :

Γz (θ) =

nw sin2 θ . 4

(6)

278

Exercices du chapitre 1

À partir de (6), on vérifie bien que le flux aléatoire Γ0 au point P issu du demiespace (θ = π/2) est bien égal à celui calculé dans l’exercice 1.4, soit : Γ0 = Γz (θ = π/2) =

nw . 4

(7)

On constate également, à partir de l’équation (6) que le flux aléatoire obtenu n’est pas proportionnel à l’angle solide Ω(θ) = 2π(1 − cos θ) tel que défini dans l’énoncé. Ce résultat est dû à deux effets opposés : i) l’élément d’angle solide élémentaire dΩ = 2π sin θdθ augmente (entre θ = 0 et π/2) avec la valeur de l’angle θ ; ii) lorsque θ augmente de 0 à π/2, l’angle d’incidence du flux sur la surface diminue et sa contribution au flux aléatoire (normal à la surface) diminue. À titre d’exemples, la contribution d’un flux arrivant sur la surface sous incidence rasante est presque nulle tandis que la contribution d’un flux arrivant suivant la normale à la surface est maximale. Il faut donc considérer la projection du flux sur le vecteur normal à la surface. L’expression du flux aléatoire donnée par l’équation (6) intègre ces deux effets opposés. b) Dans le cas d’un angle solide élémentaire d’orientation quelconque, l’expression du flux aléatoire élémentaire d2 Ω peut s’exprimer sous la forme : d2 Γz (θ, ϕ) = G n · g d2 Ω ,

(8)

où G est le flux aléatoire issu d’un angle solide élémentaire quelconque et le produit scalaire n · g prend en compte l’angle d’incidence du flux au point P par rapport à la normale à la surface. Le flux élémentaire peut donc s’écrire : d2 Γz (θ, ϕ) = G cos θ dϕ sin θ dθ ,

(9)

soit, après intégration sur l’angle ϕ : dΓz (θ) = 2πG cos θ sin θ dθ .

(10)

Cette expression du flux aléatoire élémentaire est à rapprocher de celle obtenue en dérivant par rapport à θ le flux aléatoire donné par l’équation (6), soit en tenant compte de (7) : (11) dΓz (θ) = 2Γ0 cos θ sin θ dθ . Par identification de (10) et (11), on obtient directement la valeur du flux aléatoire B dans un angle solide élémentaire : G=

nw Γ0 = . π 4π

(12)

Exercice 1.6

279

Exercice 1.6 Considérer la gravure par plasma d’une tranchée de largeur 2a et de longueur infinie (parallèle à un axe Ox) où les espèces neutres réactives arrivent sur la surface à graver par transport balistique à partir de la phase gazeuse d’un plasma (le libre parcours moyen des espèces est supposé grand devant la profondeur des tranchées). À un point O donné de la surface de la tranchée, le flux des espèces issues du plasma est donc limité par les angles orientés α1 et α2 comme indiqué sur la figure 1.6.1 où n est le vecteur unitaire normal à la surface au point O et k le vecteur unitaire de la bissectrice de l’angle d’ouverture αd = α1 − α2 , qui délimite le flux moyen de neutres.

Figure 1.6.1 – Section droite dans le plan yOz d’une tranchée de longueur infinie.

a) Calculer l’angle solide Ω sous lequel l’ouverture d’une tranchée est vue depuis un point quelconque O de la tranchée. 1. Une première méthode utilisant la définition de l’angle solide consiste à calculer, sur une sphère de rayon r centrée au point O, la surface de la sphère interceptée par l’angle solide, puis à la diviser par r2 . Pour définir cette surface, tracer la vue (figure 1.6.2a) selon une section droite de la tranchée (c’est-à-dire dans le plan yOz où l’axe Oz est perpendiculaire au plan d’ouverture de la tranchée et l’axe Oy est perpendiculaire à l’axe de la tranchée) et la vue de dessus (figure 1.6.2b) de la tranchée (c’est-à-dire dans le plan xOy où l’axe Oz est parallèle à l’axe de l’ouverture de la tranchée). Repérer, sur les deux vues, en ton grisé clair, les surfaces de la sphère délimitées par l’angle solide Ω. Tracer dans le plan yOz les angles α (quelconque) et αi (i = 0, 1, 2, d), où α0 est l’angle de la bisectrice de l’angle d’ouverture, en prenant l’axe Oz comme origine des angles orientés. Calculer l’angle solide Ω selon cette première méthode. 2. La seconde méthode consiste à calculer directement l’angle solide Ω par intégration de l’angle solide élémentaire d2 Ω sur les angles α définis précédemment et sur les angles ψ définis dans le plan xOy par rapport a l’axe Ox. Les angles α définissent les méridiens (longitudes) tandis que les angles ψ (ou l’angle complémentaire β) définissent les parallèles (latitudes). De manière générale, dans ce système de coordonnées polaires, l’angle solide élémentaire d2 Ω sous lequel on voit depuis le centre d’une sphère un élément de surface d2 S compris entre

280

Exercices du chapitre 1 les méridiens α et α + dα et les parallèles ψ et ψ + dψ a pour expression d2 Ω = d2 S/r2 = sin ψdψ dα. Calculer l’angle solide Ω par intégration sur les angles α et β = π/2 − ψ.

Figure 1.6.2 – Schéma géométrique définissant l’angle solide sous lequel on voit, depuis un point O quelconque de la tranchée, l’ouverture d’une tranchée de largeur constante 2a et longueur infinie suivant l’axe Ox : a) section droite dans le plan yOz ; b) vue de dessus dans le plan xOy.

281

Exercice 1.6

b) On veut désormais calculer le flux aléatoire G en un point O, intérieur à la tranchée, des espèces issues du plasma à travers l’ouverture de la tranchée en supposant une distribution isotrope des vitesses. Pour effectuer ce calcul, on admet (voir exercice 1.5) que le flux aléatoire arrivant en un point P suivant l’axe g d’un angle solide élémentaire d2 Ω est égal à Γ0 /π, où Γ0 est le flux aléatoire reçu depuis un demi-espace (voir exercice 1.4). Écrire le flux aléatoire élémentaire orienté d2 G reçu au point O issu d’un angle solide élémentaire d2 Ω en prenant en compte les angles d’incidence du flux élémentaire par rapport à la normale à la surface suivant les angles α et β. En effet, il faut tenir compte de l’angle d’incidence par rapport à la surface de chaque flux élémentaire : un flux arrivant sur la surface sous incidence rasante apporte une contribution presque nulle alors que sa contribution est totale pour une incidence normale à la surface. Il faut donc considérer la projection du flux sur le vecteur normal à la surface. En déduire par intégration le flux aléatoire résultant G reçu au point O sous incidence normale à la surface. c) Afin d’effectuer une vérification analytique du résultat précédent à partir du calcul du flux total arrivant sur les parois d’une tranchée, considérer une tranchée de longueur infinie dans le cas d’un exemple de profil virtuel très simple défini, sur une section droite de la tranchée, par le demi-cercle AB de diamètre 2a et de centre M où les points A et B délimitent les extrémités du masque de gravure supposé d’épaisseur très faible. Établir un schéma (figure 1.6.3) décrivant la géométrie du problème en utilisant les angles des vecteurs définis précédemment. En s’appuyant sur l’expression du flux aléatoire déterminée en b), calculer l’élément de flux total dΦ arrivant sur un élément de surface dS = adχ dx correspondant à une tranche d’épaisseur dx et où χ est l’angle entre la normale à l’élément de surface et la normale à AB. En déduire par intégration le flux total Φ reçu sur toute la longueur du profil entre les points A et B (pour une tranche de largeur dx). Comparer ce flux total au flux aléatoire total traversant l’ouverture de la tranchée entre les points A et B sur une tranche d’épaisseur dx. Solution a) Calcul de l’angle solide Ω sous lequel l’ouverture d’une tranchée est vue depuis un point quelconque O de la tranchée. 1. Pour le calcul de l’angle solide sous lequel on voit l’ouverture d’une tranchée de longueur infinie et de largeur constante 2a depuis un point O quelconque, il est intéressant de se placer dans le plan perpendiculaire à l’axe Ox de la tranchée passant par O (voir figure 1.6.2a et b). L’angle solide sous lequel on voit l’ouverture de la tranchée est délimité par les deux plans définis par l’axe Ox et les deux bords de tranchée parallèles à Ox et formant des angles orientés α1 et α2 avec le plan y = 0. Ces deux plans délimitent, sur une sphère de rayon quelconque r centrée en O, un secteur de surface : S = 2αd r2

(1)

282

Exercices du chapitre 1

où :

αd = α2 − α1 .

(2)

Comme la normale n de la surface de la sphère est en tout point de la surface parallèle au rayon r, l’angle solide Ω sous lequel on voit l’ouverture de la tranchée vaut : S Ω = 2 = 2αd . (3) r On vérifie bien, par ailleurs, que pour le demi-espace défini par α1 = −π/2 et α2 = +π/2 (αd = π), on obtient Ω = 2π stéradian. 2. Le calcul direct effectué ci-dessus résulte de simples considérations géométriques. Or, le calcul de l’angle solide peut être obtenu par intégration de l’angle solide élémentaire d2 Ω sur les angles α définis précédemment, et sur les angles orientés β définis par rapport au plan x = 0. De manière générale, l’angle solide élémentaire d2 Ω sous lequel on voit depuis le centre d’une sphère un élément de surface d2 S compris entre les méridiens α et α + dα et les parallèles ψ et ψ + dψ (voir figure 1.6.2b) s’écrit, sachant que tous les éléments de surface sont à la même distance r du centre de la sphère et sont perpendiculaires au rayon r issu du centre de la sphère : d2 Ω =

d2 S = sin ψ dψ dα . r2

(4)

Si l’on considère l’angle complémentaire β (β = π/2 − ψ), l’angle solide élémentaire devient : (5) d2 Ω = − cos β dβ dα . L’intégration suivant β de cette équation, pour des angles β variant de +π/2 à −π/2, donne : dΩ = 2dα , (6) ce qui permet de retrouver la valeur d’angle solide donnée par l’équation (3). b) On s’intéresse maintenant au flux aléatoire reçu au point O à travers l’ouverture de la tranchée qui, comme démontré dans l’exercice 1.5, n’est pas proportionnel à l’angle solide sous lequel est vue cette ouverture. Le calcul suppose une distribution isotrope des vitesses, mais le flux élémentaire d2 G reçu au point O à partir de l’angle solide élémentaire d2 Ω est dirigé suivant le vecteur unitaire g porté par l’axe de l’angle solide élémentaire. Il faut donc exprimer ce flux élémentaire d2 G sous la forme : Γ0 d2 G = g dα cos β dβ , (7) π où Γ0 /π est le flux aléatoire issu d’un angle solide élémentaire d2 Ω et Γ0 le flux aléatoire issu d’un demi-espace. Par conséquent, pour intégrer ce flux élémentaire d2 G dirigé suivant le vecteur unitaire g sur un angle solide Ω, il est nécessaire de prendre en compte l’orientation

283

Exercice 1.6

de chaque flux élémentaire par rapport à la normale n à la surface lors de l’intégration suivant les angles α et β. On peut effectuer le calcul du flux G en deux temps en considérant d’abord un secteur dα compris entre les angles α et α + dα dont l’angle solide sous lequel on voit ce secteur dα est symétrique de part et d’autre du plan x = 0 (plan yOz). Dans ce cas, l’intégration sur l’angle β, qui doit prendre en compte l’angle entre les vecteurs g et n, s’effectue entre +π/2 et −π/2. Le flux résultant de cette intégration est porté par le vecteur unitaire a qui, pour raison de symétrie, est située dans le plan yOz (plan x = 0). L’intégration s’effectue ensuite sur l’angle α entre les angles α1 et α2 en prenant en compte l’angle que fait le vecteur a avec le vecteur n normal à la surface. L’expression finale du flux aléatoire élémentaire peut donc s’écrire :

soit encore :

d2 G =

Γ0 [−a · n dα × g · n cos β dβ] , π

(8)

d2 G =

Γ0 [− cos(α − ϕ)dα cos2 β dβ] , π

(9)

où ϕ est l’angle fixe dans le plan yOz formé entre le vecteur n normal à la surface et l’axe Oz. Le flux aléatoire G reçu au point O est donné par : Γ0 G=− π

α2

−π/2

cos2 β dβ .

cos(α − ϕ) dα α1

(10)

π/2

Après intégration sur l’angle β, on obtient : G=−

Γ0 2

α2 cos(α − ϕ) dα .

(11)

α1

Comme ϕ est un angle fixe, l’intégration sur α entre les angles α1 et α2 donne : G=

Γ0 [sin(α2 − ϕ) − sin(α1 − ϕ)] , 2

(12)

soit encore, en développant :  G = Γ0 sin

α2 − α1 2

 cos(α0 − ϕ)

(13)

où α0 = (α1 + α2 )/2 est l’angle que fait la bissectrice de l’angle d’ouverture avec l’axe Oz dans le plan yOz. Comme l’angle (α0 − ϕ) est égal à l’angle entre le vecteur unitaire n normal à la surface et le vecteur unitaire k de la bissectrice de l’angle d’ouverture, le flux G peut s’écrire sous la forme finale :   α2 − α1 G = Γ0 sin k ·n. (14) 2

284

Exercices du chapitre 1

Cette expression montre, d’une part, que le flux aléatoire G est porté par le vecteur k de la bissectrice de l’angle d’ouverture, et, d’autre part, qu’elle prend en compte l’angle de ce vecteur k avec le vecteur n normal à la surface. Dans le cas de l’ouverture sur un demi-espace complet (k · n = 1 et α2 − α1 = π), on obtient, comme attendu, la valeur Γ0 du flux aléatoire. c) La figure 1.6.3 montre le schéma géométrique d’une section droite du profil virtuel de gravure choisi pour une vérification analytique du calcul du flux total collecté sur les parois d’une tranchée. L’intérêt d’un tel profil est que la normale à tous les points du demi-cercle AB passe par le point M et que l’angle d’ouverture AOB vu de tous ces points est constant et égal à π/2.

Figure 1.6.3 – Schéma géométrique d’un exemple simple de profil de gravure permettant la vérification analytique du calcul du flux total collecté sur les parois d’une tranchée.

Sachant que le flux aléatoire, normal à la surface, reçu en un point O de la paroi de la tranchée est donné par (14), l’élément dΦ de flux total reçu en ce point sur l’élément de surface dS = adχ dx, a donc pour expression :   α2 − α1 dΦ = Γ0 sin k · n adχ dx (15) 2 où k est le vecteur unitaire de la bissectrice de l’angle d’ouverture AOB. Dans le cas du profil simplifié défini précédemment avec α2 − α1 = π/4, l’équation (15) peut s’écrire : √ 2 cos γ adχ dx (16) dΦ = Γ0 2 où γ est l’angle entre les vecteurs k et n. On vérifie aisément (voir figure 1.6.3), par exemple à partir du triangle isocèle OMB (ou OMA), que l’angle MOB est égal à π/4−χ/2, et donc que γ = χ/2. L’équation (15) prend alors la forme finale : √ χ 2 cos dχ adx (17) dΦ = Γ0 2 2

285

Exercice 1.7 soit, après intégration sur l’angle χ entre les angles +π/2 et −π/2 : Φ = Γ0 2adx ,

(18)

où 2adx représente la surface (longueur 2a et épaisseur dx) par laquelle le flux aléatoire Γ0 issu du plasma pénètre dans la tranchée. Ce résultat valide donc, sur cet exemple de profil virtuel, l’expression du flux donnée par (14).

Exercice 1.7 Considérer un plasma d’hélium dont la densité des noyaux est de 1020 m−3 . Calculer la densité des atomes neutres, des électrons, des atomes ionisés une fois et des atomes doublement ionisés lorsque la température du plasma est de : a) TeV = 1 eV, b) TeV = 10 eV, en posant l’hypothèse de l’équilibre thermodynamique. Par rapport à l’état fondamental de l’atome neutre, l’énergie-seuil d’ionisation de l’hélium est Ei1 = 24,59 eV pour la première ionisation et Ei2 = 54,4 eV pour la seconde. Effectuer le calcul de façon analytique et non sur ordinateur. Solution Les équations de conservation des noyaux 175 et de la charge s’écrivent successivement : Nn = n0 + ni1 + ni2 , ne = ni1 + 2ni2 ,

(1) (2)

où Nn , n0 , ni1 , ni2 et ne désignent respectivement la densité des noyaux, des neutres, des atomes d’hélium ionisés une fois et des atomes d’hélium ionisés deux fois et des électrons. L’hypothèse de l’équilibre thermodynamique nous permet d’appliquer la loi de Saha pour les deux niveaux d’ionisation (voir section 1.4.2) :   3 ne ni1 2gi1 (2πme kB T ) 2 Ei1 = exp − , n0 g0 h3 kB T   3 2gi2 (2πme kB T ) 2 (Ei2 − Ei1 ) ne ni2 = exp − . ni1 gi1 h3 kB T

(3) (4)

175 La conservation des noyaux indique comment les atomes d’hélium à 0 K se répartissent en atomes neutres et ionisés lorsque soumis à une température T = 0.

286

Exercices du chapitre 1

Nous disposons donc de quatre équations pour résoudre ce problème à quatre inconnues. La dégénérescence quantique g[Z] (poids statistique) des trois états électroniques de l’hélium, donnée par 2J +1, est indiquée dans le tableau ci-dessous (L est le moment orbital total et S le spin total pour l’état fondamental de chacun des trois cas ; J , le moment cinétique total, est le module de la somme vectorielle (au sens quantique) de L + S).

He He

+

He++

L

S

J

g[Z] = 2J + 1

0

0

0

1

0

1 2

1 2

2

0

0

0

1

a) Cas TeV = 1 eV Bien qu’un calcul analytique exact soit possible (voir b)), nous allons procéder par approximation successive (méthode itérative) pour résoudre ce premier cas de l’exercice. Dans une première itération, nous allons négliger le nombre d’atomes ionisés deux fois par rapport à celui des atomes ionisés une fois. Ceci peut se justifier par l’écart important entre l’énergie d’agitation thermique des particules (1 eV) et l’énergie de deuxième ionisation de l’hélium (54,4 eV). En conséquence, les équations de conservation de la charge (2) et des noyaux (1) se réduisent à : ne ni1 , Nn n0 + ni1 .

(5) (6)

Reprenons les relations (3) et (4) de première ionisation par rapport à l’état neutre et celle de deuxième ionisation par rapport à l’état de première ionisation en y portant les valeurs numériques pour l’hélium TeV = 1 eV : ne ni1 2×2 = × 3,02 × 1027 × e−24,5 = 2,76 × 1017 m−3 = A1 , n0 1

(7)

ne ni2 2×1 × 3,02 × 1027 × e−(54,4−24,5) = 3,12 × 1014 m−3 = A2 . = ni1 2

(8)

En utilisant les équations (5), (6) et (7), nous aboutissons à une équation du second degré en ni1 : (9) n2i1 + A1 ni1 − Nn A1 = 0   2 A1 A1 ± + Nn A1 . (10) où : ni1 = − 2 2 Seul le cas ni1 > 0 a un sens physique, en l’occurrence ni1 = 5,12 × 1018 m−3 . Connaissant ni1 , nous pouvons en déduire ne et n0 à l’aide des relations (5) et (6) : ne = 5,12 × 1018 m−3 et n0 = 9,49 × 1019 m−3 . Calculant, en deuxième itération, ni2 avec l’équation (8), nous obtenons alors ni2 3,12 × 1014 m−3 .

287

Exercice 1.7 b) Cas TeV = 10 eV

Cette fois nous allons procéder à la solution de façon exacte en considérant une équation du 3ème degré pour ne . Écrivons l’équation de Saha relative à l’équilibre de première ionisation par rapport à l’état neutre et celle de l’équilibre de deuxième ionisation par rapport à l’état de première ionisation pour l’hélium dans le cas où TeV = 10 eV : 2×2 ne ni1 = × 9,55 × 1028 × e−2,45 = 3,29 × 1028 m−3 = B1 , n0 1

(11)

ne ni2 2×1 × 9,55 × 1028 × e−(5,44−2,45) = 4,79 × 1027 m−3 = B2 . = ni1 2

(12)

Les équations (2) et (1) peuvent être mises sous la forme : ni1 = 2(Nn − n0 ) − ne , ni2 = ne − (Nn − n0 ) .

(13) (14)

En introduisant les expressions de ni1 et ni2 dans (11) et (12), nous trouvons : ne (2(Nn − n0 ) − ne ) n0

(15)

ne (2Nn − ne ) B1 + 2ne

(16)

ne (ne − (Nn − n0 )) 2(Nn − n0 ) − ne

(17)

ne (Nn − ne ) + B2 (2Nn − ne ) . 2B2 + ne

(18)

B1 =

n0 =

d’où :

B2 =

et

d’où

n0 =

Nous pouvons éliminer n0 en égalant les relations (16) et (18), ce qui fournit une équation du troisième degré en ne : n3e + (B1 )n2e + [B1 (B2 − Nn )]ne − 2B1 B2 Nn = 0 .

(19)

En ne gardant que la racine positive et réelle de cette équation, nous obtenons ne 2,00 × 1020 m−3 . La densité des neutres se déduit alors de la relation (16) ou (18) : n0 2,53 × 104 m−3 . En utilisant les équations (13) et (14), nous trouvons finalement : ni1 4,17 × 1012 m−3 et ni2 1,00 × 1020 m−3 , où nous constatons que ni1 ni2 .

288

Exercices du chapitre 1

Exercice 1.8 Déterminer la densité électronique dans un four rempli de vapeur de sodium à 2000 K. La densité des noyaux de sodium est de 1018 m−3 . Énergie-seuil de première ionisation du sodium : Ei1 = 5,14 eV, Énergie-seuil de deuxième ionisation du sodium : Ei2 = 47,29 eV, Énergie-seuil de troisième ionisation du sodium : Ei3 = 71,65 eV, Poids statistiques : g0 = 2, gi1 = 1, gi2 = 4. Solution Nous allons supposer que le système est en équilibre thermodynamique afin de pouvoir utiliser la loi de Saha (section 1.4.2), en l’occurrence :   3 ni1 ne Ei1 (2πme kB T ) 2 B  (T ) exp − = 2 (1) n0 h3 B(T ) kB T où n0 est la densité des atomes neutres (dans l’état fondamental), ni1 est la densité des ions ionisés une fois (dans l’état fondamental) et ne , la densité des électrons ; B(T ) est la fonction de partition (annexe A2) définie par :    E0k B(T ) = g0k exp − (2) kB T k

où la somme porte sur les différents états excités de l’atome neutre (k = 0 est l’état fondamental), et :    Ei1j B  (T ) = gi1j exp − (3) kB T j où la somme porte sur les différents états excités de l’ion (une fois ionisé ; j = 0 est l’état fondamental de l’ion) ; g0k , gi1j représentent les dégénérescences des niveaux ; E0k , Ei1j sont les énergies-seuil des niveaux excités, mesurées respectivement, par rapport à l’état fondamental de l’atome et par rapport à l’état fondamental de l’ion ; Ei dans (1) est l’énergie-seuil d’ionisation mesurée à partir du fondamental de l’atome neutre. Il est facile de voir que lorsque kB T est faible devant E0k et Ei1j , les fonctions de partition se réduisent, respectivement, à (annexe A2) B(T ) g0 et B  (T ) gi10 . Dans le cas d’un atome à plus d’un électron, le degré de seconde ionisation sera lié à celui de la première ionisation par une seconde équation de Saha :   3 (2πme kB T ) 2 gi2 Ei2 − Ei1 ni2 ne = 2 exp − (4) ni h3 gi1 kB T où ni2 est la densité des ions ionisés deux fois.

289

Exercice 1.9

Il est clair que, dans le cas présent, la température des particules étant de 2000 K (soit en eV 2000/11600 0,17 eV) et l’énergie-seuil de première ionisation se situant à 5,14 eV, le gaz sera fort peu ionisé et on pourra poser que ni2 0 (en effet, la valeur de exp(−5,14/0,17) de (1) relativement à exp[−(47,29 − 5,14)/0,17] de (4) revient à comparer 1,13 × 10−13 et un nombre < 10−100 !). Finalement, puisque ne ni , la loi de Saha (1) se réduit à : 3

5,14 n2e (2πme kB T ) 2 1 = 2 exp − 3 n0 h 2 0,17

(5)

avec l’équation supplémentaire de conservation des noyaux qui, dans le cadre de l’approximation ni2 0, s’écrit : n0 + ni1 ≡ n0 + ne = Nn

(6)

où Nn est la densité des noyaux de sodium. Alors de (5) et (6), en revenant aux énergies exprimées en joule : 

n2e

3

(2π × 9,11 × 10−31 × 1,38 × 10−23 × 2000) 2 = (Nn − ne ) (6,62 × 10−34 )3   5,14 × 1,6 × 10−19 × exp − , 1,38 × 10−23 × 2000 n2e = (Nn − ne )A

soit encore :



(7) (8)

où nous avons posé : A=

6,28 × 10−74 (1,13 × 10−13 ) = 2,4 × 1013 (m−3 ) . 290 × 10−102

Nous devons donc résoudre une équation quadratique de la forme :

d’où :

n2e + Ane − Nn A = 0 √ −A ± A2 + 4Nn A = 4,9 × 1015 m−3 . ne = 2

(9) (10)

Le degré d’ionisation (équation (1.2)), ni1 /(ni1 + n0 ), est sans contredit faible : 0,5 %.

Exercice 1.9 a) Soit un plasma présentant à un instant donné (configuration à une dimension, voir figure) une densité électronique ne qui soit de 1 % plus élevée que la densité ni des ions du plasma dans la tranche de plasma de x = −/2 à x = +/2. Établir les expressions E(x) du champ électrique et V (x) du potentiel dans la région de non-neutralité. On supposera

290

Exercices du chapitre 1

Représentation à une dimension d’une lisière de non-neutralité de largeur dans un plasma

que le champ E est nul dans le plasma (parce qu’uniforme et macroscopiquement neutre) ; que le potentiel en x = −/2 et x = +/2 est égal au potentiel plasma pris comme origine des potentiels (V (−/2) = V (+/2) = 0). Préciser la direction du champ de charge d’espace. Evaluer l’intensité du champ électrique aux frontières de la région de non-neutralité en x = −/2 et x = +/2 pour ni = 1016 m−3 et pour une séparation de charges de  = 2 cm. Effectuer l’analyse dimensionnelle de cette relation. Calculer ensuite le potentiel en x = 0. b) Quelle est l’énergie (en eV) nécessaire à un électron, incident en x = −/2 (depuis x < −/2), pour vaincre la barrière de potentiel (imposée par le champ de nonneutralité) et traverser cette zone de non-neutralité pour arriver en x = +/2 ? c) En utilisant les relations qui précèdent, déterminer une expression donnant la distance maximale sur laquelle un électron doté de l’énergie thermique moyenne (kB T /2 à une dimension) peut s’écarter, du fait de son mouvement thermique, de sa position de neutralité dans un milieu demeurant macroscopiquement neutre. Supposer les ions immobiles. Évaluer cette distance pour kB T /e = 1 eV et une densité ne = 1016 m−3 . d) Sachant que l’énergie potentielle électrostatique d’un ensemble de charges dans un volume V vaut : 1 (1) WE = 0 E 2 dV , 2 V

établir l’expression donnant l’énergie électrostatique (ou énergie potentielle) associée à la présence des charges dans la zone s’étendant de x = −/2 à x = +/2. Evaluer cette énergie pour les conditions indiquées en a). Solution a) Ce type de problème se traite avec l’équation de Poisson ∇ · E = ρ/ 0 (1.1), relation auto-cohérente car la densité de charges ρ est la source du champ E, 0 étant la permittivité du vide.

291

Exercice 1.9

Dans le cas où la non-neutralité des charges est suivant une seule dimension x, comme le suggère la figure de l’énoncé, nous avons, de l’équation de Poisson : ρ dE = , dx

0 ρ dE = dx ,

0 ρ E(x) = x + C1 .

0

(2) (3) (4)

Par ailleurs, le potentiel, défini par E = −∇φ, s’écrit à une dimension : dφ = −E(x) dx dφ = −E dx

et :

(5) (6)

soit, compte tenu de (4)



dφ =

−

φ(x) = −

ρ x + C1

0

 dx

ρ x2 − C1 x + C2 .

0 2

(7) (8)

Pour raison de symétrie, φ(x) = φ(−x), et donc C1 = 0, soit : E(x) =

ρ x

0

(9)

pour l’intervalle −/2 ≤ x ≤ /2. D’autre part, comme φ(−/2) = φ(/2) = 0, C2 a pour expression : ρ 2 C2 = , (10) 2 0 4  2   ρ − x2 . (11) soit : φ(x) = + 2 0 4 Les évolutions du champ électrique et du potentiel φ(x) sont tracées en fonction de x pour ρ < 0. On observe une discontinuité de l’intensité du champ électrique E(x) et de la dérivée dφ(x)/dx du potentiel en x = ±/2 due à la discontinuité de la charge d’espace de part et d’autre de la frontière x = ±/2. Pour ρ < 0 (ne > n1 ), selon (9) le champ électrique de charge d’espace est positif (orienté vers la droite, section 2.2.1) pour les valeurs négatives de x telles que −/2 < x < 0 et il est négatif (orienté vers la gauche) pour les valeurs positives de x telles que 0 < x < +/2. La direction du champ électrique est donc telle que le champ tend à attirer les ions dans la zone de charge d’espace et à en expulser les

292

Exercices du chapitre 1

Évolution du champ électrique E et du potentiel φ suivant l’abscisse x.

électrons. En conséquence, la non-neutralité ne va pas durer longtemps, au plus −1 un temps de l’ordre de ωpe (1.53). Dans le cas présent, ρ ≡ (ni − ne )e = (Δn)e. Ainsi de (9), l’intensité du champ électrique qui apparaît localement est : E=

(Δn)e x

0

(12)

où |Δn| est, par hypothèse, 0,01 ni . Effectuons l’analyse dimensionnelle en même temps que nous poursuivons l’application numérique, x = /2 = 10−2 m, Δn = 1014 m−3 , 0 = 8,85 × 10−12 F m−1 , e = 1,6 × 10−19 C où le coulomb C est lié, comme unité, au farad F par la relation C = FV. De l’équation (12), en x = /2 : E=

V Cm FV 1014 × 1,6 × 10−19 × 10−2 −1 = 3 , (13) −1 = m F = m = 18 kV m 8,85 × 10−12 m (F m )

les unités V m−1 étant bien celles d’un champ électrique. De la même manière, le potentiel en x = 0 vaut, d’après (11) : φ(0) = − soit φ(0) = −90 V.

eΔn2 , 8 0

(14)

293

Exercice 1.9

b) Pour qu’un électron venant de x < −/2 traverse la zone de charge d’espace, il faut que son énergie cinétique initiale U dans la direction x soit supérieure à l’énergie nécessaire pour franchir la barrière de potentiel due à la charge d’espace (causée par les électrons), soit : U = eφ(0) = −90 eV . (15) c) La distance maximale x sur laquelle un électron doté de l’énergie thermique moyenne peut, du fait de cette énergie thermique, s’écarter de sa position de neutralité dans un milieu macroscopiquement neutre est, nous allons le montrer, la longueur de Debye (section 1.7). Cette distance maximale est fixée par l’égalité entre l’énergie thermique de cet électron "moyen", et l’énergie potentielle liée au champ de charge d’espace produite par l’écart de l’électron par rapport à sa position de neutralité, soit : 1 kB T = |U | . (16) 2 Or, le travail élémentaire effectué par le champ E sur un électron est donné par l’expression (section 2.1) : dU = F dx = −|E|e dx ,

(17)

soit, parce que l’électron se déplace de x = 0 à x et compte tenu de (9) : x |U | =

|E|e dx = 0

eρx2 . 2 0

(18)

En supposant les ions immobiles 176 , seuls les électrons se déplaçant dans le champ de charge d’espace, on obtient d’après (18) : |U | ≡

soit avec (16) :

et finalement :

ne e2 x2 , 2 0

ne e2 x2 1 = kB T 2 0 2

0 kB T x= , e 2 ne

(19)

(20)

(21)

qui est en effet l’expression de λDe (1.38). Application : pour TeV = 1 eV et ne = 1016 m−3 , on trouverait λDe = 74 μm.

176 Delcroix et Bers (section 1.4.1), pour leur part, supposent l’absence complète d’ions.

294

Exercices du chapitre 1

d) Si nous exprimons le volume élémentaire comme étant dV = S dx où S est une surface, de l’expression générale de l’énergie potentielle électrostatique : 1 (1) WE = 0 E 2 dV , 2 V

nous obtenons :

1 WE = 0 2

/2

E 2 S dx .

(22)

− /2

Nous pouvons en tirer la densité d’énergie électrostatique par unité de surface : 1 WE = 0 S 2

/2

− /2

E 2 dx =

(eΔne )2 3 l . 24 0

(23)

Pour les conditions indiquées en a), nous trouvons numériquement : WE = 9,6 × 10−6 Jm−2 . S

(24)

Exercice 1.10 Considérer deux plaques parallèles et conductrices s’étendant à l’infini en y et z, et placées en x ± d ; leur potentiel φ est nul par hypothèse. L’espace entre les plaques est occupé par un gaz de particules chargées d’un seul type, de densité uniforme n et de charge q.

Schéma du dispositif.

a) Montrer que la distribution de potentiel entre les plaques est décrite par : φ(x) =

nq 2 (d − x2 ) . 2 0

(1)

b) Dans le cas où la longueur de Debye λD est plus grande que la distance interplaque d, quelle est la probabilité de trouver une particule d’énergie cinétique suffisamment grande pour surmonter l’énergie potentiel E et se rendre d’une plaque

295

Exercice 1.10

(x = ±d) jusqu’au centre du dispositif (x = 0) ? Partir du fait que les particules obéissent à une distribution de type Maxwell-Boltzmann pour examiner la validité générale d’une telle situation en fonction du rapport d/λD ≥ 1 ou d/λD  1. c) Calculer la longueur de Debye dans le cas d’une décharge électrique quelconque dont la densité de plasma est de 1016 m−3 et la température de 2 eV. Solution a) L’équation de Poisson ∇ · E = ρ/ 0 et la relation E = −∇φ permettent de faire apparaître le potentiel φ sous la forme : ∇2 φ = −

ρ

0

(2)

et, dans le cas présent, comme il n’y a qu’un seul type de particules chargées, ρ = nq ; nous devons donc résoudre : ∇2 φ = −

nq .

0

(3)

Dans la configuration présente (à une seule dimension), une première intégration donne : nqx ∇φ = − + C1 . (4)

0 La position x = 0 constitue l’axe de symétrie du système de sorte que : ∇φ(x = 0) = 0 ,

(5)

d’où C1 = 0. Une seconde intégration conduit à : φ(x) = −

nqx2 + C2 2 0

(6)

mais φ(x = ±d) = 0, d’où C2 = nqd2 /2 0 et, finalement : φ(x) =

nq 2 (d − x2 ) . 2 0

(7)

où, rappelons-le, par hypothèse n ne dépend pas de la position. b) La différence de potentiel entre l’axe et l’une des plaques est, d’après (7) : φ(0) − φ(±d) =

nqd2 2 0

(8)

296

Exercices du chapitre 1

et l’énergie E communiquée à la particule se rendant de x = d à x = 0 s’obtient en multipliant cette différence de potentiel par q : E=

nq 2 d2 . 2 0

(9)

Dans l’hypothèse où d > λD , nous constatons que : E=

nq 2 2 nq 2 kB T 0 kB T nq 2 d2 > λD ≡ = 2 0 2 0 2 0 nq 2 2

(10)

c’est-à-dire que l’énergie électrostatique que la particule doit vaincre est plus grande que kB T /2, l’énergie cinétique moyenne des particules, mwx2 /2. Dans le cas où d ≥ λD , on peut envisager que la vitesse de certaines particules de la distribution maxwellienne est telle que leur énergie cinétique est plus grande que l’énergie moyenne. En revanche, si d  λD , l’énergie potentielle E augmente avec d2 , il devient de moins en moins probable de trouver une particule avec assez d’énergie pour vaincre l’énergie potentielle  : en effet, la probabilité de trouver une particule de vitesse très supérieure à wx2  diminue de façon exponentielle dans une distribution en vitesse maxwellienne (figure A1.2 de l’annexe A1). L’hypothèse proposée pour d  λD apparaît alors irréaliste. c) Nous avons la relation numérique (section 1.7) :  λD = 740

TeV n

 12 (1.52)

où λD est en cm et n en cm−3 . Dans le cas présent, n = 1010 cm−3 et TeV = 2 eV, d’où :   12 √ 2 λD = 740 = 740 2 10−5 cm 1,05 × 10−2 cm = 105 μm . 10 10

Exercice 1.11 a) Dans un plasma, les particules chargées se déplacent de façon aléatoire du fait de leur énergie thermique. Une des conditions d’existence d’un plasma est que l’énergie d’agitation thermique des particules chargées (caractérisée ici par une température Te = Ti = T ) soit plus grande que l’énergie d’attraction coulombienne moyenne (caractérisée par la distance moyenne entre ions (Z = 1) et électrons) s’exerçant entre ions et électrons. Montrer que cette hypothèse conduit à la relation : ne λ3D  1 ,

(1)

297

Exercice 1.11

inégalité qui exprime la condition de neutralité du plasma (ne , la densité des électrons, λD , la longueur de Debye). N.B. La distance d entre un électron et un ion peut se déduire de la  moyenne relation triviale 43 πd3 ne = 1 où d est le rayon de la sphère. b) Transformer l’équation d’équilibre d’ionisation (loi de Saha) pour l’amener sous la forme :    25/2 gi ne λ3D Ei ne  = exp − (2) n0 g0 kB T ne a30 a0 =

où :

4π 0 2 me e 2

est le rayon de la première orbite de l’atome d’hydrogène de Bohr, n0 , la densité des neutres et gi , g0 les poids statistiques de l’ion (état fondamental) et de l’atome neutre (état fondamental). c) Montrer que la relation (1) n’est, ni suffisante, ni nécessaire pour que ne /n0 soit grand (fort degré d’ionisation). Constante : a0 = 0,05 nm. Application : Ei = 24,59 eV (énergie-seuil de première ionisation de l’atome d’hélium). Solution a) L’énergie d’interaction entre un électron et un ion s’écrit : φ(d) =

e2 4π 0 d

(3)

où d est ici la distance moyenne entre ces deux types de particules chargées. L’hypothèse énoncée en (1) implique donc que : e2

kB Te . 4π 0 d

(4)

Pour estimer la distance moyenne d, nous disposons de la relation évidente :   4 3 πd ne = 1 , (5) 3 c’est-à-dire que le volume construit, disons autour de l’ion, de rayon d, ne contient qu’une seule particule (en moyenne). De (5) et (4), nous obtenons :   13 2 4 e 1 πne

1. (6) 3 4π 0 kB Te Sachant que par définition (1.38) :  λDe =

0 kB Te ne2

 12 ,

(7)

298

Exercices du chapitre 1

il vient de l’inégalité (6) élevée au cube : 3  4πne ne e 2 1

1, 3 4π 0 kB Te n3e d’où :

4π 1 1

1. 3(4π)3 n2e λ6D

(8) (9)

Le facteur 1/3(4π)2 ne fait que renforcer que nous avons bien : ne λ3D  1 .

(10)

b) La relation de Saha, pour des ions ionisés une fois, selon section 1.4.2, s’écrit :   3 ne ni 2gi (2πme kB T ) 2 Ei = exp − (1.9) n0 g0 h3 kB T En posant ne = ni (l’ion hélium est ionisé une fois seulement, par hypothèse) et en introduisant λD à l’intérieur d’un terme de valeur unité :  3  3  n2e 2gi (2πme kB T ) 2 λ2D ne e2 2 Ei = exp − (11) n0 g0 h3

0 kB T kB T   3  2gi n2e 3 2πme e2 2 Ei n2e = λ exp − de sorte que : , (12) n0 g0 n 12 D h2 0 kB T e   3  2gi ne λ3D 2me e2 2 Ei ne = exp − (13) √ n0 g0 ne 4π2 0 kB T   5 2 2 gi ne λ3D Ei ne  = exp − et finalement : . (14) n0 g0 kB T ne a30 c) Dans le cas où T est faible, pour que ne /n0 soit grand, la relation (14) exige que n0 soit faible, c’est-à-dire que la pression du gaz soit faible. Pour y arriver, ne λ3D  1 ne suffit pas a priori. Dans le cas où T est élevée, ne /n0 est a priori grand : la décroissance exponentielle est faible et ne a30 1 (ce qui est le cas puisque ne ≈ 1015 cm−3 , a0 = 5 × 10−9 cm d’où ne a30 : 1015 (5)3 10−27 , expression toujours 1). Il n’est donc pas nécessaire que ne λ3D  1 pour arriver alors à un fort degré d’ionisation.

Exercice 1.12 Un tir laser comprime une microsphère de deutérium pour en faire un plasma d’une densité de 1033 m−3 à une température de 50×106 K. Calculer le nombre de particules dans une sphère de Debye de ce plasma. Conclure.

299

Exercice 1.13 Solution

Il faut d’abord évaluer la longueur de Debye. Il est correct de poser, dans cette phase de compression, que λDe = λDi √ le plasma est en équilibre thermodynamique. Dans ce cas 1 et λD = λDe / 2. La relation numérique (1.51) pour λDα = 6,9 (Tα /n) 2 , où n est le nombre de particules par cm3 et Tα en kelvin, donne : 

et

1 50 × 106 2 λDα = 6,9 = 1,5 × 10−9 cm 1027 √ 2 λDα = 1,09 × 10−9 cm . λD = 2

Le nombre de particules ND dans la sphère de Debye :   4 3 πλD ND = n 3 est égale à :

ND = π1027 (1,73 × 10−27 )(cm−3 cm3 ) = 5,4 particules !

(1)

(2)

(1.54) (3)

C’est un plasma dit non idéal.

Exercice 1.13 a) Soit un ion de lithium d’énergie cinétique Ec = 60 eV entrant en collision avec un atome d’hélium au repos. Y aura-t-il ionisation de l’hélium ? Le cas échéant, indiquer s’il s’agit d’une simple ionisation ou d’une double ionisation. b) Qu’adviendrait-il si au lieu d’un ion de lithium comme particule incidente, il s’agissait d’un électron de même énergie ? Masse du lithium : 6,9 mp Masse de l’hélium : 4,0 mp Masse du proton : mp = 1,67 × 10−27 kg Énergie-seuil de première ionisation de l’hélium : 24,59 eV Énergie-seuil de deuxième ionisation de l’hélium : 54,4 eV

Solution Il s’agit d’une collision entre un ion et un atome. Les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie indiquent (section 1.7.2) que seule l’énergie cinétique liée au mouvement relatif peut se transformer en énergie interne. L’expression de la conservation de l’énergie totale s’écrit en effet (1.76) : 2

2 μhl whl μhl w hl = + ΔE 2 2

(1)

300

Exercices du chapitre 1

avec w et w  , les vitesses relatives avant et après collision, et μc la masse réduite : μhl =

ml mh ml + mh

(2)

où ml et mh sont respectivement la masse de l’ion lithium et de l’atome d’hélium. Pour une vitesse relative initiale w donnée, l’énergie maximale ΔEmax qui peut être transformée en énergie interne est, d’après (1), obtenue pour w  = 0, soit : ΔEmax =

2 μhl whl . 2

(3)

Sachant que l’atome d’hélium est au repos, la vitesse relative initiale whl est donc égale à la vitesse w l avant collision de l’ion de lithium, d’énergie cinétique : Ec =

ml wl2 . 2

(4)

En explicitant (3), on peut écrire :  ΔEmax = Ec

mh mh + ml

 .

(5)

Remarques : 1. Si l’énergie cinétique liée au mouvement relatif se transforme totalement en énergie interne (autrement dit, il y a égalité parfaite entre l’énergie-seuil de la réaction inélastique et l’énergie cinétique transférable), alors w = 0 (w h = wl ). D’après (1.71) et (1.72) et compte tenu de (1.67) : w h = w l = w0 = w 0 .

(6)

Comme wh = 0, on a d’après (1.72) : w 0 = wl

ml . ml + mh

(7)

Après collisions, les noyaux d’hélium et de lithium poursuivent ensemble une trajectoire uniforme et rectiligne (6) avec une vitesse égale à la vitesse du centre de masse w0 (7). Si l’énergie-seuil de la réaction inélastique est inférieure à l’énergie maximum transférable, l’énergie résiduelle se répartit sous forme élastique entre les noyaux d’hélium et de lithium. Si la vitesse relative après collision est whl , les vitesses wh et wl sont données par (1.71) et (1.72). 2. Dans l’hypothèse où l’énergie cinétique liée au mouvement relatif est transformée intégralement en énergie interne, on a whl = 0. Dans ce cas, d’après (6) et (7), la vitesse w l du noyau de lithium avant collision et les vitesses w l et wh des noyaux de lithium et d’hélium après collision sont toutes trois colinéaires : la collision est donc nécessairement frontale.

301

Exercice 1.13 Applications numériques :

a) La masse de l’ion de lithium étant ml 6,9 mp et celle de l’atome d’hélium mh 4,0 mp , la valeur numérique de (5) est alors : ΔEmax = Ec

4,0 mp 4,0 = 22,02 eV . = 60 6,9 mp + 4,0 mp 6,9 + 4,0

Cette énergie n’est pas suffisante, pour induire même une simple ionisation de l’atome d’hélium ! b) Pour un électron comme particule incidente au lieu de l’ion de lithium, nous tirons de (5) : 4,0 mp ΔEmax = 60 = 59,99 eV . me + 4,0 mp Nous pouvons, dans ce cas, atteindre la double ionisation de l’atome d’hélium. Variante 1 de la solution On pourrait aussi démarrer la solution directement à partir des équations de conservation : 1. Conservation de l’énergie cinétique (1.64) : ml wl2 mh wh2 ml wl2 mh wh2 + = + + ΔE, 2 2 2 2

(1 )

où ml est la masse de l’ion de lithium, wl sa vitesse avant collision, w l sa vitesse après collision ; mh , est la masse de l’atome d’hélium, wh sa vitesse avant collision, wh sa vitesse après collision, et ΔE est l’énergie interne de l’atome d’hélium après collision. 2. Conservation de la quantité de mouvement (1.63) : ml wl + mh wh = ml w l + mh w h .

(2 )

Dans le cas présent, avant collision, l’atome d’hélium est au repos : wh = 0. À partir de la loi de conservation de la quantité de mouvement (2 ), la vitesse de l’atome d’hélium après collision se réduit à : wh =

ml (w l − wl ) , mh

(3 )

et la loi de conservation de l’énergie totale peut alors se mettre sous la forme suivante : ml wl2 ml wl2 m2l = + (wl − w l )2 + ΔE . (4 ) 2 2 2mh Dans ces conditions, puisque la vitesse de l’ion de lithium avant collision, wl , est connue (son énergie cinétique Ec étant donnée), la variation de l’énergie interne Ec sera simplement une fonction de la vitesse de l’ion de lithium après collision, w l .

302

Exercices du chapitre 1

3. Calcul du maximum possible de ΔE (à comparer avec les énergies-seuil d’ionisation) L’augmentation de l’énergie interne sera maximale quand : d(ΔE) = 0, dwl

(5 )

ce qui nous permet de déterminer la valeur maximale de ΔE. ml wl2 m2l ml wl2  − − De (4 ) : ΔE = (wl − wl )2 , 2 2 2mh ΔE =

ml wl2 m2l 2 m2l m2l 2 ml wl2 − − wl + wl · wl − w . 2 2 2mh mh 2mh l

Il vient alors :

et, finalement :

d(ΔE) m2l m2l   = −m w + w − w = 0, l l l dwl mh mh l   m2 m2l  w l ml + = wl l , mh mh ml wl = wl , ml + mh

(6 ) (7 ) (8 ) (9 ) (10 )

ce qui indique qu’il s’agit d’une collision frontale (voir (1.89) où θ = π et wh = 0). Dans ce cas, la valeur de ΔEmax , d’après (4 ) : ΔEmax = ΔEmax et :

 2 m3l wl2 ml wl2 m2l 2 ml − − w , 1 − 2 2(ml + mh )2 2mh l ml + mh

 2 mh ml wl2 m2l ml wl2 ml wl2 ml − = − , 2 2 (ml + mh )2 2 mh ml + mh   ml m2l m2h ΔEmax = Ec 1 − − , (ml + mh )2 mh (ml + mh )2

(11 ) (12 ) (13 )

pour finalement conduire à :  ΔEmax = Ec

mh ml + mh

 ,

(14 )

et retrouver les applications numériques déjà traitées plus haut. Variante 2 de la solution Au lieu de rechercher la valeur maximum possible pour ΔE, nous pouvons établir les vitesses après collisions des deux particules en fonction de ΔE. Si la valeur de ΔE ne permet pas que soient vérifiées les lois de conservation, alors les valeurs des vitesses après collisions ainsi obtenues seront négatives ou imaginaires.

303

Exercice 1.13

Dans (7 ) de la variante 1 de la solution, ΔE est maximum lorsque le produit scalaire w l · wl est maximum, c’est-à-dire lorsque w l et w l sont colinéaires et de même sens (collision frontale). On a alors :

ml ml wl2 m2l 2Ec  ml wl2 ml − Ec + w − , (1*) ΔE = Ec − 2 mh mh ml l 2 mh

    ml ml wl2 m2 2Ec  ml ΔE = Ec 1 − w , (2*) − + l 1+ mh 2 mh mh ml l

     m2 2Ec  ml ml wl2 ml wl + ΔE − Ec 1 − − l = 0, (3*) 1+ 2 mh mh ml mh et, finalement :

wl

=

−B ±

√ B 2 − 4AC 2A

où (Ec et ΔE étant maintenant en eV et B 2 en kg J) :   ml ml A= (kg) , 1+ 2 mh

m2l 2eEc , B=− mh ml    ml C = eΔE − eEc 1 − mh

(4*)

(5*) (6*) (J) .

(7*)

La vitesse de l’ion de lithium après collision, wl (4*), doit être une quantité réelle. De plus, la loi de conservation de la quantité de mouvement doit déterminer une seule valeur de la vitesse de l’ion de lithium après collision. Dans ces conditions, la valeur de ΔE qui conduit à une seule racine réelle de l’équation (4*) sera la portion de l’énergie transférée par l’ion de lithium à l’atome d’hélium lors de la collision. Pour n’admettre qu’une seule racine, le discriminant de l’équation quadratique doit être nécessairement nul : (8*) D = B 2 − 4AC = 0 . À partir de (8*), nous obtenons :     m4l 2eEc ml ml ml =4 eΔE − eEc 1 − , 1+ m2h ml 2 mh mh

Alors :

m2l Ec (mh − ml ) + Ec = ΔE . mh (mh + ml ) mh   m2l (mh − ml )(mh + ml ) ΔE = Ec + , mh (mh + ml ) mh (mh + ml )

(9*)

(10*) (11*)

304

Exercices du chapitre 1 

 m2l + m2h − m2l , mh (mh + ml )   mh , ΔE = Ec mh + ml

ΔE = Ec et, finalement :

(12*) (13*)

dont les applications numériques ont déjà été traitées plus haut. La valeur de ΔE ainsi calculée est la même que celle obtenue (5) en recherchant dΔE/dwl = 0 (5 ) pour la variation de l’énergie interne ΔE. Si nous choisissons de donner à ΔE dans (1 ) une valeur égale à la première ionisation (ΔE = 24,59 eV), à partir de (8*) nous obtenons :   6,9 mp 6,9 mp = 1,57 × 10−26 (kg) , A= 1+ 2 4,0 mp  6,92 mp 2 1,6 × 10−19 60 B=− = −8,11 × 10−22 (B 2 en kg J) , 4 6,9 1,67 × 10−27     6,9 mp −19 C = 1,6 × 10 24,59 − 60 1 − = 1,089 × 10−17 (J) , 4,0 mp D = B 2 − 4AC = 6,58 × 10−43 − 6,84 × 10−43 = −2,6 × 10−44 < 0 , solution inacceptable puisqu’elle donnera des valeurs imaginaires de la vitesse de l’ion de lithium après collision, wl (4*). Pour ΔE = 22,02 eV, A = 1,57 × 10−26 (kg) , B = −8,11 × 10−22 (B 2 en kg J) ,     6,9 mp −19 C = 1,6 × 10 22,02 − 60 1 − = 1,048 × 10−17 (J) , 4,0 mp D = B 2 − 4AC = 6,58 × 10−43 − 6,58 × 10−43 = 0 , et :

wl =

1 8,1 × 10−22 = 2,58 × 104 m/s . 2 1,57 × 10−26

La solution est valide (lois de conservation vérifiées), mais l’énergie interne est inférieure à l’énergie-seuil de première ionisation, comme nous l’avons montré dans la solution initiale.

Exercice 1.14 Considérer des collisions binaires élastiques de type "boules-de-billard" où les espèces α et β sont des sphères indéformables de rayon rα et rβ .

305

Exercice 1.14

a) Dessiner la représentation géométrique d’une collision dans le repère du centre de masse au moment de l’impact : indiquer les vitesses des particules avant et après le choc, le paramètre d’impact s, ainsi que l’angle de diffusion θ. b) Calculer la section efficace microscopique différentielle de diffusion σ ˆ (wαβ , θ). c) En déduire les sections efficaces microscopiques totales σ ˆtc (wαβ ) et σ ˆtm (wαβ ). d) Considérer les collisions ion-neutre et électron-neutre dans un modèle "boules-debillard" en supposant que le rayon des électrons est nul (rα = 0) et que le rayon des ions est égal au rayon rβ des neutres. En déduire le rapport des sections effiaces. Comparer ce rapport à celui obtenu pour les collisions des électrons et des ions hélium sur les atomes d’hélium : ˆ σen (w)(TeV = 2 eV, Tn = 300 K) = 5 × 10−16 cm2 , ˆ σin (w)(Ti = Tn = 300 K) = 3,5 × 10−15 cm2 . Solution a) La géométrie d’une collision élastique de type "boules-de-billard", dont l’interaction est par nature répulsive, est représentée sur la figure ci-dessous. Les vitesses wα0 et wβ0 , et wα0 et wβ0 sont respectivement les vitesses avant collision et après collision des particules α et β. La distace s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre d’impact (distance de plus courte approche en l’absence d’interaction). L’angle de diffusion θ est relié à l’angle χmax , angle maximum entre r (position relative des centres des particules) et la vitesse relative wαβ = wα0 − wβ0 avant collision, par : (1*) 2χmax + θ = π b) La relation différentielle entre la section microscopique totale de collision σ ˆtc et la section efficace microscopique différentielle de diffusion σ ˆ (wαβ , θ) se déduit de (1.106) : dˆ σtc = 2πˆ σ (wαβ , θ) sin θ dθ . (2*) La section efficace microscopique élémentaire dˆ σtc peut s’exprimer de façon simple en fonction du paramètre d’impact (A5.34), soit : dˆ σtc = 2πs ds .

(3*)

Il suffit donc de rechercher la relation entre s et θ, d’en déduire ensuite la section différentielle correspondante et, finalement, d’identifier (3*) avec (2*). D’après la figure, on a : soit, compte tenu de (1*) :

s = (rα + rβ ) sin χmax s = (rα + rβ ) cos

θ 2

(4*) (5*)

306

Exercices du chapitre 1

Représentation géométrique d’une interaction de type "boules-de-billard" dans le centre de masse

de sorte que

ds = −

θ rα + rβ sin dθ . 2 2

(6*)

Le signe (−) signifie qu’une augmentation du paramètre d’impact entraîne une diminution de l’angle de diffusion θ. Compte tenu de (5*) et (6*), (3*) s’écrit : 2πs ds = −

(rα + rβ )2 sin θ dθ 4

et, par identification avec (2*) on obtient :    (rα + rβ )2  .  σ ˆ (wαβ , θ) = −  4

(7*)

(8*)

On vérifie ainsi que, dans un modèle de type "boules-de-billard" à sphères indéformables, la section efficace microscopique différentielle ne dépend ni du module de la vitesse relative, ni de l’angle de diffusion. Remarque : La relation (4*) peut aussi s’obtenir par intégration de (A5.18) suivant r de l’infini à rmin = rα + rβ en considérant que le potentiel d’interaction φ(r) est nul suivant r de l’infini à rmin et devient infini pour r inférieur à rmin . L’intégrale (A5.18) s’écrit alors : r min

s dr  s 2 . 1+ r



χmax = ∞

r2

(9*)

307

Exercice 1.14 En effectuant le changement de variable : u=

s r

(10*)

s/(r α +rβ )

χmax =

on obtient :

du −√ 1 − u2 0 s = arcsin rα + rβ

soit :

χmax

et finalement :

s = (rα + rβ ) sin χmax .

(11*) (12*) (4*)

c) La section efficace microscopique totale de collision (1.106) s’écrit : π σ ˆtc = 2π 0

(rα + rβ )2 sin θ dθ 4

σ ˆtc = π(rα + rβ )2

soit, après intégration :

(13*) (14*)

valeur correspondant à une collision tangentielle (s = rα + rβ ) et qui peut être obtenue directement en multipliant (8*) par 4π stéradian, angle solide sur tout l’espace. La section efficace microscopique totale pour le transfert de la quantité de mouvement (1.107) s’écrit : π σ ˆtm = 2π 0

(rα + rβ )2 sin θ(1 − cos θ) dθ 4

π = (rα + rβ )2 2 soit, après intégration :

(15*)

π (1 − cos θ) d(− cos θ)

(16*)

0

σ ˆtm = π(rα + rβ )2 ,

(17*)

valeur identique à celle de la section efficace microscopique totale de simple collision (14*) ! d) Dans le cas des collisions ion-neutre, rα = rβ , de telle sorte que : σ ˆin = 4πrβ2

(18*)

alors que pour les collisions électrons-neutre (rα = 0) σ ˆen = πrβ2 .

(19*)

Dans le casdre du modèle "boule de billard", la section efficace pour les collisions électron-neutre est plus faible d’un facteur 4 que la section efficace des collisions ion-neutre. Expérimentalement, pour l’hélium, les données fournies conduisent à un rapport 7, ces deux types de sections efficaces n’ont pas été obtenues à des vitesses relatives ou des énergies relatives égales.

308

Exercices du chapitre 1

Exercice 1.15 Considérer deux populations de particules, α et β, de masse mα et mβ , dont les fonctions de distribution des vitesses sont représentées par des distributions maxwelliennes fα (w α ) et fβ (w β ), isotropes et de température, respectivement, Tα et Tβ . a) Calculer la valeur moyenne |wα − wβ | du module des vitesses relatives entre les particules α et β en utilisant la marche à suivre suivante : 1. Écrire la relation exprimant la moyenne du module des vitesses relatives par intégration sur les fonctions de distribution fα et fβ . 2. Procéder au changement de variables suivant : wαβ = wα − w β

et

w0 =

awα + bwβ a+b

(1*)

et calculer les coefficients a et b tels que le produit des fonctions de distribution fα fβ puisse s’écrire sous la forme : fα (w α )fβ (wβ ) = fαβ (wαβ )f0 (w 0 ) .

(2*)

Pour cela, on exprimera wα et w β en fonction de w0 et w αβ , en procédant par identification. 3. Vérifier que le Jacobien de la transformation des coordonnées est égal à l’unité et donc que d3 wα d3 wβ = d3 wαβ d3 w0 . Intégrer ensuite sur w 0 et wαβ pour obtenir la valeur moyenne |w α − w β |. b) Calculer ensuite vαβ , la vitesse relative la plus probable. Solution a1 ) Pour obtenir la valeur moyenne de |wα − w β |, il faut intégrer ce terme sur l’ensemble des vitesses des populations des particules α et β, soit : |w α − wβ | = |wα − wβ | fα fβ d3 wα d3 wβ (3*) wα wβ

 avec : fα fβ =

mα 2πkB Tα

 32 

mβ 2πkB Tβ

 32

 ) exp −

mβ wβ2 mα wα2 + 2kB Tα 2kB Tβ

* .

(4*)

Remarque : L’expression (3*) se justifie en considérant la définition générale d’une grandeur hydrodynamique (3.39) où la fonction fαβ (w α , wβ ) est une fonction de distribution double non corrélée (section 3.2) soit fαβ (w α , wβ )=fα (w α )fβ (wβ ).

309

Exercice 1.15

a2 ) Le calcul de wα et wβ en fonction des nouvelles coordonnées wαβ et w0 donne (1.71) et (1.72) : bwαβ , a+b awαβ . wβ = w0 − a+b

w α = w0 +

(5*) (6*)

En substituant w α et wβ par wαβ et w0 dans le terme exponentiel de (4*), on obtient :   mβ wβ2 mα wα2 mα b2 2b 2 w + = w + · w w02 + 0 αβ 2kB Tα 2kB Tβ 2kB Tα (a + b)2 αβ a + b   a2 2a mβ 2 2 w 0 · wαβ . (7*) w − + w0 + 2kB Tβ (a + b)2 αβ a + b Pour éliminer, par addition, les deux termes croisés dans (7*), il faut choisir a et b tels que : a mα T β = . b mβ T α a = mα T β

et on prendra :

et

b = mβ T α .

L’argument de l’exponentielle donnée par l’équation (7*) s’écrit alors : mβ wβ2 mα wα2 (mα + mβ )(mα Tβ + mβ Tα ) + = w02 2kB Tα 2kB Tβ 2kB Tα Tβ (mα + mβ ) mα mβ mα + mβ 2 + wαβ mα + mβ 2kB (mα Tβ + mβ Tα ) =

2 μαβ wαβ m0 w02 + 2kB T0 2kB Tαβ

à condition de poser : m0 = mα + mβ , μαβ =

mα mβ , mα + mβ

Tα Tβ , Tαβ mα T β + mβ T α = . mα + mβ

T0 = Tαβ

Par ailleurs, on constate que le produit mα mβ /Tα Tβ des termes pré-exponentiels de la relation (4*) peut se mettre sous la forme : mα mβ mα mβ (mα + mβ )Tαβ μαβ m0 = = . Tα Tβ mα + mβ Tαβ Tα Tβ Tαβ T0 On vérifie donc bien que : fα (w α )fβ (w β ) = fαβ (w αβ )f0 (w0 )

310

Exercices du chapitre 1

où fαβ caractérisant la distribution des vitesses relatives et f0 la distribution des vitesses w0 sont définies par : ) *   32 2 μαβ wαβ μαβ exp − , (8*) fαβ = 2πkB Tαβ 2kB Tαβ  f0 =

m0 2πkB T0

 32

  m0 w02 exp − . 2kB T0

(9*)

a3 ) Considérons le changement de repère des vitesses défini par (5*) et (6*). Le Jacobien J de cette transformation a pour valeur :    1 − a   a + b   (10*) J ≡  = 1. b     1 a+b Comme dw α dw β = J dwαβ dw0 , nous avons finalement : dwα dw β = dw αβ dw 0 . La valeur moyenne du module des vitesses relatives s’écrit alors : |w α − w β | = |wαβ | = |wαβ |fαβ f0 dw αβ dw0

(11*)

(12*)

wαβ w0

|w αβ |fαβ dwαβ

soit :





wαβ

f0 dw 0 = w0



!

1

"

|wαβ |fαβ dw αβ .

(13*)

wαβ

La fonction de distribution fαβ étant isotrope, on peut développer (13*) sous la forme suivante : ) *   32 ∞ 2 w μ μ αβ αβ αβ 3 |wα − wβ | = 4π wαβ exp − dwαβ , 2πkB Tαβ 2kB Tαβ 0

 = 4π 2 =√ π 2 =√ π

 32 2  μαβ 1 2kB Tαβ × , 2πkB Tαβ 2 μαβ  32  2  2kB Tαβ μαβ , 2kB Tαβ μαβ  1  2kB Tαβ 2 8kB Tαβ = , μαβ πμαβ

(14*) (15*) (16*)

311

Exercice 1.15 

8kB (mα Tβ + mβ Tα )(mα + mβ ) , π(mα + mβ )mα mβ    8kB Tβ Tα = + . π mβ mα

|w α − w β | =

(17*)

(18*)

Remarques : 1. Si l’une des températures est nulle (Tβ = 0), on retrouve bien la valeur de la vitesse moyenne pour les particules de température Tα (Tα = 0) puisque 1 |w α − 0| = |w α | = (8kB Tα /πmα ) 2 . √ 2. Si α = β, |wα − w α | = 2wα . Ce deuxième cas correspond à une collision entre deux particules d’une même population. 3. Si la section efficace σ ˆαβ (|wα − wβ |) est une fonction analytique simple de |w α − wβ |, il est alors possible de calculer le coefficient de réaction en utilisant la même démarche, kαβ = ˆ σαβ (|w α − w β |)|w α − wβ | (1.142). b) En supposant l’isotropie des fonctions de distribution, la fonction de distribution fαβ (wαβ ) est décrite, en coordonnées sphériques, par (A1.7) : 2 fαβ (wαβ ) , g(wαβ ) ≡ 4πwαβ

soit :

g(wαβ ) ≡

2 4πwαβ



μαβ 2πkB Tαβ

 32

)

2 μαβ wαβ exp − 2kB Tαβ

* .

(19*)

La vitesse la plus probable vαβ s’obtient lorsque : ∂g = 0. ∂wαβ

(20*)

La dérivation de (19*) montre que la relation (20*) est vérifiée lorsque : 2 = wαβ

2kB Tαβ . μαβ

(21*)

La vitesse la plus probable a donc pour expression :  2kB Tαβ vαβ = , μαβ soit, en explicitant Tαβ et μαβ comme précédemment :  2kB Tα 2kB Tβ vαβ = + , mα mβ c’est-à-dire la racine carrée de la somme de la vitesse la plus probable de chaque type de particules.

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Exercices du chapitre 2 Exercice 2.1 Soit un champ électrique constant auquel sont soumis électrons et ions, respectivement de masse me et mi . En faisant l’hypothèse que le temps moyen τ entre deux collisions est le même pour l’électron et l’ion, montrer que l’énergie cinétique acquise (en moyenne) par l’électron durant le temps τ est mi /me fois supérieure à celle gagnée par l’ion pendant le même temps. Solution

Nous savons que :

F ≡ |q|E = me

dwe dwi = mi dt dt

(1)

car, à un signe près, c’est la même force qui agit sur un électron et un ion. D’où, pour un temps τ entre deux collisions : τ F dt = me [we (τ ) − we (0)]

(2)

= mi [wi (τ ) − wi (0)] ,

(3)

0

et, en posant pour simplifier we (0) = wi (0) = 0, nous obtenons : we =

mi wi . me

(4)

En effectuant le rapport de l’énergie cinétique de l’électron sur celle de l’ion, nous trouvons :  2 mi m wi2 e Ece me we2 /2 mi me = = = ! (5) 2 2 Eci mi wi /2 mi wi me

314

Exercices du chapitre 2

Exercice 2.2 Considérer le mouvement d’un électron (α = e) et celui d’un ion (α = i) dans le plan perpendiculaire à une induction magnétique uniforme B = Bˆ ez présente dans le plasma, telle que représentée sur la figure 2.4. a) Déterminer le sens et l’amplitude du moment magnétique μα d’un électron et d’un ion en rotation cyclotronique dans le champ B. b) Calculer l’aimantation macroscopique Mα (moment magnétique par unité de volume, exprimé en A/m) induite par les populations électronique (α = e) et ionique (α = i) en rotation dans le champ B : Mzα = μzα fα (w) dw . (1) Supposer que les distributions des vitesses, fα (w), des électrons et des ions sont des maxwelliennes respectivement de température Te et Ti . c) Calculer l’aimantation macroscopique totale M et discuter des apports respectifs des populations électronique et ionique au diamagnétisme du plasma. d) En supposant que ne = ni = n et Te = Ti = T , déduire l’induction magnétique ˆz et de la B résultant à la fois de l’induction magnétique appliquée B 0 = B0 e composante μ0 M due au diamagnétisme du plasma. Écrire la condition pour laquelle l’intensité du champ B dans le plasma devient égale à B0 /2. Application numérique : B0 = 2 × 10−2 tesla (200 gauss), Te = Ti = 35000 K. Solution a) Le mouvement cyclotronique d’un électron et d’un ion dans le plan perpendiculaire à l’induction magnétique B peut se décrire par la relation (2.75) : wα = ω cα ∧ r Bα où :

ω cα = −

qα B . mα

(2) (3)

Pour les électrons, ω ce et B sont colinéaires et de même signe, donc de même sens, alors que pour les ions, ωci et B sont de signe opposé. En revanche, les courants ie et ii associés au mouvement cyclotronique des électrons et des ions, du fait de leur charge de signe opposé, sont de même sens, tels que représentés sur la figure. Ils induisent un champ magnétique B  (figure 2.4) de sens opposé à B (loi de Biot-Savart (2.77)) ; pour les mêmes raisons, μi et μe sont antiparallèles à B.

315

Exercice 2.2

Le module du moment magnétique μ de la particule est défini comme le produit d’un courant d’intensité i circulant sur une boucle fermée de surface S. Dans le cas d’une giration cyclotronique : 2 iα . μzα = πrBα

(4)

Le courant induit par le mouvement de rotation vaut : qα ωcα iα = 2π 2 mα w⊥α de sorte que (2.154) : μzα = . 2B

(5) (6)

Grandeurs caractéristiques du mouvement cyclotronique de l’électron (à gauche) et de l’ion (à droite) dans un champ magnétique.

b) Pour un ensemble de particules de type α, la valeur moyenne Mz de l’aimantation macroscopique (au sens hydrodynamique) est donnée par (3.39) : (1) Mzα = μz fα (w) dw , w

c’est-à-dire (en négligeant l’indice α) :    32  2 m mw⊥ 1 mw2 n exp − Mz = dw , B 2 2πkB T 2kB T

(7)

w

soit, en développant :   32 m nm × (8) Mz = 2B 2πkB T ⎡ ∞ * )     ∞ ∞ 2 mwy2 mw mwz2 x 2 ⎣ dwy wx exp − exp − exp − dwx dwz 2kB T 2kB T 2kB T −∞ −∞ −∞ ⎤ * ) ∞     ∞ ∞ 2 2 2 mw mwx mwz y dwy + exp − wy2 exp − exp − dwx dwz ⎦ . 2kB T 2kB T 2kB T −∞

−∞

−∞

316

On obtient alors :

Exercices du chapitre 2

Mzα =

nα kB Tα . B

(9)

Sous forme vectorielle, en tenant compte du sens par rapport à B de l’aimantation induite Mα : nα kB Tα Mα = − B. (10) B2 c) L’aimantation totale est la somme des aimantations induites par les ions et les électrons, soit : B M = − 2 (ne kB Te + ni kB Ti ) . (11) B Si Ti Te , M est induit par les seuls électrons. Si Ti = Te , la contribution ionique est égale à la contribution électronique. d) Pour ne = ni = n et Te = Ti = T , de (11), nous avons : M=−

2p 2nkB T B = − 2B B2 B

(12)

où p est la pression exercée par les particules chargées, dite pression cinétique (scalaire) (page 133). B est l’induction magnétique régnant dans le plasma et résultant de l’addition vectorielle du champ appliqué B 0 (qui existe en l’absence de plasma) et du champ créé par le mouvement des particules chargées, soit μ0 M (l’aimantation M donnant un champ magnétique, l’induction magnétique correspondante s’obtient en multipliant le champ M par μ0 , la perméabilité dans le vide). On a donc : p B B = B 0 + μ0 M = B 0 − 2 B /2μ0   p B 1+ 2 = B0 . B /2μ0

(13) (14)

Le diamagnétisme du plasma provoque une diminution du champ magnétique appliqué du fait du mouvement des particules chargées dans ce même champ. Le diamagnétisme peut être négligé (B B 0 ) si : p

B2 2μ0

c’est-à-dire si la pression cinétique p reste très inférieure à la pression magnétique B 2 /2μ0 .

317

Exercice 2.3

L’induction magnétique dans le plasma est moitié du champ magnétique appliqué (B = B0 /2) si : B2 , (15) p= 2μ0 B2 . (16) soit encore : n= 2μ0 kB T Application numérique : De (16), nous obtenons : n=

2 × 4π ×

10−7

10−4 = 8,24 × 1019 m−3 = 8,24 × 1013 cm−3 × 1,38 × 10−23 × 35000

Remarque : La loi de Maxwell du rotationnel de H appliquée au champ M conduit à J M = ∇ ∧ M. Si M est uniforme dans le plasma : ∇∧M = 0, alors finalement J M = 0 : il n’y a pas de courant macroscopique induit. Par contre, dans des zones avec gradients de M (bords d’un plasma limité), le diamagnétisme du plasma induit effectivement des courants d’aimantation (J M = 0).

Exercice 2.3 Déterminer la densité de courant due à la dérive gravitationnelle des ions et des électrons de l’ionosphère dans le champ magnétique terrestre à une altitude de 300 km. On supposera que le vecteur induction magnétique B est perpendiculaire au champ gravitationnel terrestre. La relation générale pour la force gravitationnelle s’exerçant sur la masse m du fait de la masse M , masses séparées l’une de l’autre par la distance r, est : Fg = −

GM m r2

(1)

où G est la constante de gravitation universelle. Par définition, à la surface de la Terre, de masse M , une masse m est soumise à la force F gt = −

GM m = −g 0 m R2

(2)

où R est le rayon de la Terre (la masse M est localisée au centre de la Terre !). Numériquement, considérer des ions O+ de densité 1,8×1012 m−3 , densité égale à celle des électrons ; |B| = 10−4 tesla. La masse me des électrons est de 9,11×10−28 g et celle de O+ , mi , est égale à me × 1836 × 16. Le rayon terrestre est de 4 × 107 /2π mètres et g0 , le champ de gravitation à la surface de la Terre, vaut 9,8 m s−2 .

318

Exercices du chapitre 2

Solution 1. Expression de la vitesse de dérive dans le champ gravitationnel On a montré (annexe A12) que la vitesse de dérive d’une particule chargée dans un champ magnétique B due à une force quelconque F D est donnée par : FD ∧ B wD = (3) qB 2 où F D est, dans le cas présent, la force gravitationnelle. Pour les électrons F De = −GM me /r2 et pour les ions F Di = −GM mi /r2 . Comme le montre la relation (3), ces deux particules, à cause du signe de leur charge, dérivent en sens opposé : il y aura donc un courant net. 2. Calcul de la force gravitationnelle à 300 km d’altitude par rapport à la surface de la terre Pour une altitude z donnée par rapport à la surface de la terre telle que z R (c’est le cas : (300/40000)2π = z/R 0,05), nous pouvons développer (1) au premier ordre par rapport à la surface de la terre (z = 0) :   GM m GM m GM m 2z = −

− Fg = − 1 − . (4)  z 2 (R + z)2 R2 R 2 R 1+ R Comme à la surface de la terre : GM m = −mg 0 , (2) F gt = − R2   2z il vient de (2) et (4) : Fg = −mg0 1 − (5) R et, finalement, puisque B ⊥ F g , la vitesse de dérive ((2) et (3)) a pour expression :   2z mg0 1 − R . (6) wD = qB 3. La densité du courant de dérive gravitationnelle est due à la contribution des ions et des électrons qui, se mouvant dans des directions opposées (contrairement à la dérive électrique dans des champs électrique et magnétique), créent un courant net : J = nevDi − nev De

(7)

où v Di et v De sont respectivement les vitesses de dérive des ions et des électrons. Il vient donc :    mi g 0 me g 0 2z − J = ne 1 − , (8) R eB −eB   ng0 2z (9) = 1− (mi + me ) B R

319

Exercice 2.4

ng0 J

B

et puisque mi  me :

  2z 1− mi . R

(10)

Cette dérive est perpendiculaire à la direction du rayon terrestre et à B. 4. Application numérique   2 × 300 × 103 × 2π 1,8 × 1012 × 9,8 1 − 4 × 107 J

1837 × 16 × 9,11 × 10−31 −4 10 = 4,3 × 10−9 A m−2 4 nA m−2 !

Exercice 2.4 Considérer une particule de charge q soumise à un champ magnétique et à un champ électrique constants, uniformes et perpendiculaires l’un à l’autre. On décompose la vitesse w de la particule suivant w = w DE + w , où wDE est la vitesse dite de dérive électrique. Montrer analytiquement, à partir de l’équation du mouvement, que w représente le mouvement qu’aurait la particule dans le champ magnétique seul. Solution L’équation du mouvement s’écrit (2.5) : m

dw = q [E ⊥ + w ∧ B] dt

(1)

dans laquelle nous substituons w DE + w à w. wDE =

Nous savons que :

E⊥ ∧ B , B2

(A12.1)

et dw DE /dt = 0 puisque E et B sont constants. Dans ces conditions , il vient :     E⊥ ∧ B dw  = q E⊥ + m ∧B +w ∧B . dt B2

(2)

Du double produit vectoriel : (Q ∧ T ) ∧ P = T (P · Q) − Q(T · P )  il vient :

E ∧B B2

 ∧B =

B2 B(B · E) − E(B 2 ) = −E B2 B2

(3)

320

Exercices du chapitre 2

car par hypothèse E est perpendiculaire à B. Finalement :

dw = q(w  ∧ B) . dt

(4)

Il s’agit bien du mouvement d’une particule dans le seul champ magnétique.

Exercice 2.5 Considérer le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique B uniforme et constant, et dans un champ électrique E uniforme, dirigé perpendiculairement à B et variant lentement dans le temps. Soit w, la vitesse de la particule. a) Montrer qu’en exprimant la vitesse w selon les trois vecteurs vitesse suivants : w = w DE + w + wp

(1)

où w DE est la vitesse de dérive électrique et : wp =

m ∂E , qB 2 ∂t

(2)

que w  et wp obéissent alors à l’équation du mouvement : ˙  + mw ˙ p = q(w  ∧ B) , mw

(3)

où m est la masse de la particule et q sa charge. b) Considérer que E(t) varie de façon périodique avec une pulsation ω. Montrer que si la pulsation du champ est petite devant la pulsation ωc de giration cyclotronique, alors la composante w décrit le mouvement cyclotronique de la particule dans le champ B seul. c) Montrer qu’il n’y a pas de courant net (ions et électrons) associé à wDE alors qu’au contraire, wp conduit à un courant dit de polarisation : Jp =

ρm ˙ E B2

où ρm = (me + mi )n est la densité massique des électrons et des ions (respectivement de masse me et mi ) et n, la densité des particules chargées. La vitesse wp est appelée vitesse de dérive de polarisation. d) En considérant le courant total des charges (courant de conduction J c et courant de déplacement ∂D/∂t), montrer que la permittivité relative du milieu par rapport au vide est donnée par : ρm

p = 1 + . (4)

0 B 2

321

Exercice 2.5 Pour ce faire, se rappeler (2.40) que : JT =

∂D ∂D + Jc = ∂t ∂t

(5)

où D = 0 p E est le courant de déplacement dans la description diélectrique (voir (2.39)). Solution a) La relation (3) signifie que la présence du champ E ne modifie pas qualitativement le mouvement hélicoïdal (décrit par w : à montrer en b) de la particule. De façon générale, nous savons que l’équation du mouvement est liée à la force de Lorentz par : ˙ = q[E + w ∧ B] , mw (6) quelle que soit la forme de E et de B. Dans le cas présent, nous faisons l’hypothèse que la vitesse totale s’exprime suivant les trois vecteurs donnés par (1). En développant l’équation (6) suivant ces différentes vitesses, nous obtenons : ˙ DE + mw ˙  + mw ˙ p = q[E + (w DE ∧ B) + (w ∧ B) + (wp ∧ B)] mw

(7)

et, en remplaçant dans le membre de droite wp par son expression (2) et w DE par sa forme vectorielle : E∧B w DE = , (8) B2 nous arrivons à : ˙  + mw ˙p= ˙ DE + mw mw ,     E∧B m d E ∧B  ∧ B +(w ∧ B) + q E+ B2 q dt B2   ! " ! " double produit vectoriel −E

(9)

˙ DE =mw

où le présent double produit vectoriel est explicité dans l’exercice 2.4. Nous obtenons : ˙ DE + mw ˙  + mw ˙ p = q {E − E + (w ∧ B)} + mw ˙ DE mw

(10)

˙  + mw ˙ p = q(w  ∧ B) , mw

(3)

et, finalement :

où w  est la vitesse liée à la partie magnétique de la force de Lorentz.

322

Exercices du chapitre 2

  ˙   1. Posons E = E0 eiωt . ˙ p /w b) Il nous faut montrer, à partir de (3), que w Nous pouvons écrire, compte tenu de (2) et (3) :       2 2       m ω   1   ω 2   E0   ω 2   wDE  ˙p mw      =    =   E0     =  2   ,  mw qw B ωc Bw   ωc2  w ˙  + mw ˙ p   qB 2

(11)

ce qui indique qu’il faut que ω/ωc 1 mais aussi, de préférence, wDE ≤ w , hypothèse acceptable. c) Comme la vitesse wDE ne dépend pas de la charge des particules, la densité de courant de conduction correspondante est nulle puisque :  nα qα wDE = nwDE (e − e) = 0 . (12) JD = α

Pour le courant de conduction dit de polarisation, nous avons :   ˙  ne (−e)me ˙ E ni (e)mi E + Jp ≡ nα qα wpα = 2 = 2 n(mi + me ) B −e e B α =

˙ E ρm . B2

(13) (14)

d) Le courant de conduction J c se réduit à J p , comme nous venons de le montrer. Par ailleurs, puisque de façon générale : ∂D ∂D + Jc = , ∂t ∂t

(5)

˙ + J p = p 0 E ˙ J T ≡ 0 E

(15)

JT ≡ dans le cas présent :

˙ ˙ + E ρm = p 0 E ˙ , J T ≡ 0 E B2 de sorte que nous obtenons bien : ρm

p = 1 + 2 . B 0

et de (14) :

(16)

(4)

Exercice 2.6 Considérer un plasma soumis à un champ électrique de haute fréquence E 0 eiωt , d’orientation quelconque par rapport à un champ magnétique statique d’intensité B, les deux champs étant uniformes spatialement. Dans le cadre de la description "trajectoire individuelle", déterminer le tenseur de conductivité et le tenseur de permittivité relative pour des électrons dont le mouvement est associé à la solution particulière de l’équation du mouvement hors résonance. On prendra B suivant l’axe Oz et on exprimera E ⊥ suivant les axes cartésiens x et y. Le terme mis en facteur de la matrice représentative de σ sera tel que pour B = 0, celle-ci sera unitaire.

323

Exercice 2.6 Solution

Pour obtenir w2 , la solution particulière à ce problème (voir section 2.2.2, le repère de la figure 2.10, ce qui nous a conduit à l’expression :

 (2.133) w2 = aE 0 + bE 0⊥ + c(E 0⊥ ∧ B) eiωt . Pour transposer ce résultat suivant les axes cartésiens (x, y, z) tel que demandé dans la question, nous écrivons : ˆz (aE0 ) + e ˆx (bE0x ) + e ˆy (bE0y ) + c(ˆ ˆy E0y ) ∧ e ˆz B w2 = e ex E0x + e

(1)

ˆx E0x + e ˆy E0y et laissé tomber, pour simplifier, la où nous avons posé E 0⊥ = e dépendance en eiωt . Après regroupement des termes suivant les trois vecteurs de base, il vient alors : ˆx [bE0x + cE0y B] + e ˆy [bE0y − cE0x B] + e ˆz [aEz ] . w2 = e

(2)

Connaissant, d’après section 2.2.2 (équation (2.141)), les coefficients a, b et c hors résonance, nous obtenons :   iq ω B q2 ˆx w2 = e E + E 0x 0y mα ωc2 − ω 2 m2α ωc2 − ω 2     iq ω B q2 iq ˆy ˆ E − E E +e + e − (3) 0y 0x z z . mα ωc2 − ω 2 m2α ωc2 − ω 2 ωmα Pour faire apparaître le tenseur de conductivité électrique, rappelons que J i = σ ij Ej (2.127). Par définition de densité de courant, J i = nqwi et en mettant en facteur le terme −inq 2 /mα ω, nous obtenons :    inq 2 ωB iq ω2 ˆx − 2 e J =− E0x + E0y mα ω ωc − ω 2 mα ωc2 − ω 2  ˆy − +e

 ' ωB iq ω2 ˆ E − E E + e . 0y 0x z z ωc2 − ω 2 mα ωc2 − ω 2

(4)

ˆx , il existe deux composantes de σ et, en nous rappelant que qB/mα = −ωc , Suivant e il vient : ω2 iωc ω σxx = 2 , σxy = 2 , (5) ω − ωc2 ω − ωc2 ˆy : puis, suivant e ˆz : et, enfin, suivant e

σyy =

ω2

ω2 , − ωc2

σyx = −

σzz = 1 .

iωc ω ω 2 − ωc2

(6) (7)

324

Exercices du chapitre 2

Le tenseur σ, représenté par une matrice 3 × 3, a pour valeur : ⎛ ⎞ ω2 iωc ω 0 ⎜ ω 2 − ωc2 ⎟ ω 2 − ωc2 ⎟ inq 2 ⎜ ⎜ ⎟ 2 ω iωc ω σ=− ⎜ ⎟ 0 ⎟ mα ω ⎜ − 2 ⎝ ω − ωc2 ω 2 − ωc2 ⎠ 0

0

(8)

1

où l’on voit bien que, si l’on pose B = 0 (ωc = 0), la matrice devient unitaire : le plasma n’est plus anisotrope. Pour ce qui est du tenseur de permittivité relative p , nous avons pour E0 eiωt : p = I +

σ , iω 0

(2.131)

de sorte que : ⎛

nq 2 ω2 ⎜ 1 − m ω 2 ω 2 − ω 2 0 ⎜ c ⎜ 2 ⎜ iω ω nq c p = ⎜ ⎜ m ω 2 ω 2 − ω 2 0 ⎜ c ⎜ ⎝ 0

−

⎞

nq 2 iωc ω m 0 ω 2 ω 2 − ωc2

1−

0

ω2 nq 2 m 0 ω 2 ω 2 − ωc2

0

0

1−

nq 2 m 0 ω 2

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(9)

d’où, finalement : ⎛

2 ωpe ⎜ 1 − ω2 − ω2 c ⎜ ⎜ 2 iωpe ⎜ ω c p = ⎜ ⎜ ω 2 − ωc2 ω ⎜ ⎝ 0

2 iωpe ωc 2 ω − ωc2 ω 2 ωpe 1− 2 ω − ωc2

−

0

⎞ 0 0 1−

2 ωpe ω2

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

(10)

Exercice 2.7 ˆz B0 et un champ électrique Soit un champ magnétique homogène et constant B = e ˆy et e ˆz sont les vecteurs unitaires suivant ˆx E0 cos ωt (ˆ ex , e homogène et alternatif E = e les axes cartésiens x, y, et z). a) Montrer qu’à la résonance cyclotron, la contribution de cet effet à la vitesse des particules de masse m est donnée par : w=

q q E0 t [cos(ωt)ˆ E0 sin(ωt)ˆ ex + sin(ωt)ˆ ey ] + ex . 2m 2mω

(1)

325

Exercice 2.7 b) Expliciter la forme de ce mouvement à la résonance. Que représente-t-il ? ˆy : c) Dans un champ électrique alternatif E orienté cette fois suivant e E = E0 sin(ωt)ˆ ey ,

(2)

montrer que la contribution à la vitesse des particules à la résonance cyclotron peut se mettre sous la forme :  π  q q E0 t − E0 cos(ωt)ˆ [sin(ωt)ˆ ey + cos(ωt)ˆ w = ex ] − ey . (3) 2m 2ω 2mω d) On applique un champ électrique tournant dans le plan xOy d’amplitude telle que Ex = Ey = E0 . Suivant le sens de rotation choisi, on a :

ou

E + = E0 [cos(ωt)ˆ ex + sin(ωt)ˆ ey ]

(4)

E − = E0 [cos(ωt)ˆ ex − sin(ωt)ˆ ey ] .

(5)

À partir des expressions de w et de w , calculer la vitesse résultante pour une particule de fréquence cyclotronique ωc > 0 dans un champ tournant à droite (E+ ), puis dans un champ tournant à gauche (E− ). Que devez-vous en conclure ? Solution a) La solution particulière (2.152) de l’équation du mouvement à ω = ωc représente l’effet de la résonance cyclotronique sur la vitesse des particules. Ignorons la contribution à la vitesse dans la direction parallèle au champ B, qui n’est pas affectée par le champ E lorsque celui-ci est perpendiculaire à B. Dans le cas d’un champ magnétique : ˆz (6) B = B0 e et d’un champ électrique périodique de forme : ˆx , E = E0 eiωt e dans le plan xOy, nous avons (2.152) :   q iq 2 t ˆx − ˆx ∧ B0 e ˆz ) eiωt . (ωt − i)E0 e (E0 e w2 = 2mω 2ωm2

(7)

(8)

Prenant ensuite la partie réelle de cette expression (avec eiωt = cos ωt + i sin ωt), nous avons : w2 =

q q ωtE0 cos(ωt)ˆ E0 sin(ωt)ˆ ex + ex 2mω 2mω q2 t ˆz )B0 . + E0 sin(ωt)(ˆ ex ∧ e 2ωm2

(9)

326

Exercices du chapitre 2

ˆz = −ˆ ˆx ∧ e ey (trièdre droit) et que ω = ωc ≡ −qB0 /m, il vient : Comme e   q qm q ˆy + E0 t cos(ωt)ˆ sin(ωt)B0 e E0 sin(ωt)ˆ w2 = ex − ex . (10) 2m (−1)qB0 m 2mω En posant w2 = w, nous obtenons la relation de l’énoncé a) : q q w= E0 t[cos(ωt)ˆ E0 sin(ωt)ˆ ex + sin(ωt)ˆ ey ] + ex . 2m 2mω

(1)

b) Le troisième terme du membre de droite de (1) décrit un mouvement périodique dans la direction du champ E (c’est normal : il existerait aussi en l’absence de B) alors que le premier et le deuxième terme conjugués représentent un mouvement de rotation périodique, de pulsation ωc , dont l’amplitude ne cesse de croître avec le temps ; autrement dit, la particule décrit une spirale. La vitesse correspondant à ce mouvement a finalement pour module w0 = qE0 t/2m car la contribution du ˆx devient rapidement négligeable. simple mouvement périodique selon e Cette croissance de l’amplitude vient précisément de la résonance entre ω et ωc , dite résonance cyclotronique. ˆy plutôt c) On utilise la relation (9) dans laquelle on oriente le champ E suivant e ˆx . Par ailleurs, comme e ˆy ∧ e ˆz = e ˆx , il vient : que suivant e qt q q2 t E0 cos(ωt)ˆ E0 sin(ωt)ˆ ey + ey + E0 B0 sin(ωt)ˆ ex 2m 2mω 2ωm2 q q E0 t [cos(ωt)ˆ E0 sin(ωt)ˆ = ey − sin(ωt)ˆ ex ] + ey . (11) 2m 2ωm Pour passer de E = E0 cos(ωt)ˆ ey à E = E0 sin(ωt)ˆ ey , effectuons un changement de l’origine du temps en remplaçant t par t − π/2ω ; puisque cos (ωt − π/2) = sin(ωt) et sin (ωt − π/2) = − cos(ωt), nous tirons de (11) :  π  q q E0 t − [sin(ωt)ˆ ey + cos(ωt)ˆ E0 cos(ωt)ˆ ex ] − ey . (3) w = 2m 2ω 2mω w =

d) Pour obtenir la vitesse résultante de la particule dans le champ E+ (définie par (4)), il suffit d’additionner les vitesses des expressions (1) et (3) w + w  : wTOT+ =

q qE0 π E0 t[2 cos(ωt)ˆ (sin(ωt)ˆ ey + cos(ωt)ˆ ex + 2 sin(ωt)ˆ ey ] − ex ) 2m 4mω

qE0 [sin(ωt)ˆ ex − cos(ωt)ˆ ey ] . (12) 2mω Pour déterminer la vitesse résultante de la particule dans le champ E− , nous notons qu’à E = −E0 sin(ωt)ˆ ey correspond la solution w  = −w , de sorte que :  wTOT– ≡ w − w +

=0

! " q E0 t [ cos(ωt)ˆ ex + sin(ωt)ˆ = ey − sin(ωt)ˆ ey − cos(ωt)ˆ ex ] 2m q q π E0 [sin(ωt)ˆ E0 [sin(ωt)ˆ ey + cos(ωt)ˆ ex ] + ex + cos(ωt)ˆ ey ] . + 4m ω 2mω

327

Exercice 2.8

On constate que si le champ ne tourne pas dans le sens positif de ωc (c’est-à-dire si la vitesse de la particule n’est pas dans le sens du champ tournant), la vitesse de la particule ne croît plus linéairement avec le temps et, donc, il n’y a pas résonance cyclotronique.

Exercice 2.8 Considérer un champ électrique uniforme et alternatif de la forme E 0 e−iωt ainsi qu’un champ B, uniforme, constant et dirigé suivant l’axe z (entrant dans la feuille). Nous voulons étudier le phénomène de la résonance cyclotron en utilisant un repère de coordonnées tournantes dans le plan perpendiculaire à B. En exprimant le champ E dans le repère cartésien du laboratoire sous la forme : ˆy Ey + e ˆz Ez , ˆx Ex + e E=e

(1)

le même champ dans le repère de coordonnées tournantes s’écrit : ˆ+ E+ + e ˆ− E− + e ˆz Ez = E=e

(ˆ ex + iˆ (ˆ ex − iˆ ey ) ey ) √ √ ˆz Ez . E+ + E− + e 2 2

(2)

a) Exprimer les composantes E+ et E− en fonction des composantes Ex et Ey . ˆ+ ou e ˆ− , tourne dans le même sens que Déterminer lequel des deux repères, e les électrons dans leur mouvement cyclotronique autour de B. b) Le tenseur de conductivité σ exprimé dans le repère et E0 e−iωt , a pour éléments (exercice 2.6) : ⎛ ω2 −iωωc ⎜ ω2 − ω2 ω2 − ω2 ⎜ c c ⎜ ω2 σ = σ0 ⎜ iωωc ⎜ 2 ⎝ ω − ωc2 ω 2 − ωc2 0 0

du laboratoire, pour ω = ωc ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. 0 ⎟ ⎠ 1

(3)

Montrer, en calculant les termes σ+ et σ− correspondants, qu’il se diagonalise dans le repère tournant. c) Montrer que la résonance cyclotron des électrons conduit à augmenter la vitesse de ces particules en fonction du temps suivant la relation : w2 =

q E+t . m

(4)

En d’autres termes, les électrons "voient" dans leur repère un champ électrique continu (ω = 0) qui les accélère sans interruption entre deux collisions. Pour cela, développer la relation (2.152) suivant le repère du laboratoire.

328

Exercices du chapitre 2

Solution a) Développons (2) en regroupant les termes selon les bases du repère du laboratoire : 1 i ˆx [E+ + E− ] + √ e ˆy [E+ − E− ] + e ˆz Ez E= √ e 2 2

(5)

qui doit être égal au même vecteur E exprimé dans le repère du laboratoire :

d’où :

ˆy Ey + e ˆz Ez , ˆx Ex + e E=e

(6)

1 Ex = √ [E+ + E− ] 2

(7)

i (8) Ey = √ [E+ − E− ] , 2 de sorte que, en combinant (7) et (8), nous obtenons les composantes du champ E dans le repère tournant : Ex − iEy √ (9) E+ = 2 Ex + iEy √ . (10) et, de même : E− = 2 Les expressions de E+ et E− en termes de Ex et Ey correspondent bien à la notion de champ tournant : la superposition de deux champs oscillant à la même fréquence, perpendiculaires l’un à l’autre et en quadrature de phase. Comme le champ tournant E + s’écrit : E+ =

ˆx + iˆ e e √ y E+ e−iωt , 2

(11)

en prenant sa partie réelle, nous obtenons : E+ ˆy sin ωt) , ex cos ωt + e E + = √ (ˆ 2

(12)

ˆ+ (et donc le champ dont il est facile de vérifier, dans le plan xOy, que le repère e E + ) tourne dans le sens horaire, donc selon notre convention (champ B entrant dans la feuille et ωc > 0), dans le même sens que les électrons, comme le montre la figure. Notons que l’intensité E+ dans l’expression (12), déduite de (9), est constante dans le repère tournant. Attention à bien représenter les axes x et y pour que le champ magnétique B entre dans la feuille (repère droit). b) La relation (3) nous donne les composantes du tenseur dans le repère du laboratoire. Nous remarquons que σxx = σyy et σxy = −σyx . Nous pouvons donc écrire, en développant la densité de courant J = σ · E dans le repère du laboratoire : ˆx Ex + σxy e ˆx Ey − σxy e ˆy Ex + σxx e ˆy Ey + σzz e ˆz Ez . σ · E = σxx e

(13)

329

Exercice 2.8

Représentation du champ B et du mouvement de l’électron dans le repère direct xyz.

En remplaçant les composantes du champ dans le repère du laboratoire par celles du repère tournant ((7) et (8)), nous avons : 1 i ˆx √ [E+ + E− ] + σxy e ˆx √ [E+ − E− ] σ · E = σxx e 2 2 1 i ˆy √ [E+ + E− ] + σxx e ˆy √ [E+ − E− ] + σzz e ˆz Ez . − σxy e 2 2

(14)

Regroupons les termes en E+ et ceux en E− : E+ √ [ˆ ˆy σxy + iˆ ex σxx + iˆ ex σxy − e ey σxx ] , 2 E− √ [ˆ ˆy σxy − iˆ ex σxx − iˆ ex σxy − e ey σxx ] , 2

(15) (16)

ˆ+ et e ˆ− , il vient : et, en faisant apparaître les bases e     ˆx + iˆ ˆx − iˆ ˆx + iˆ ˆx − iˆ ey ey ey ey e e e e √ √ E+ σxx + i √ σxy + E− σxx − i √ σxy . (17) 2 2 2 2 Finalement, nous obtenons : ˆ+ σxx + E+ iˆ ˆ− σxx − iE− e ˆ− σxy + σzz e ˆz Ez . σ · E = E+ e e+ σxy + E− e

(18)

Nous pouvons alors faire apparaître les éléments du tenseur σ exprimé dans le repère tournant :   ˆ+ (σxx + iσxy ) + E− e ˆ− (σxx − iσxy ) + σzz e ˆz Ez , (19) σ · E = E+ e  ! "  ! " σ+

σ−

expression qui montre que, dans le repère tournant, le tenseur a été diagonalisé (il ˆ− ou E− e ˆ+ ). Sa matrice représentative est n’y a pas de composantes mixtes E+ e maintenant : ⎛ ⎞ ω 0 0 ⎜ ω − ωc ⎟ ⎜ ⎟ ω σ = σ0 ⎜ (20) 0 ⎟ 0 ⎜ ⎟ ω + ωc ⎝ ⎠ 0 0 1 ˆ− et e ˆz . ˆ+ , e où les vecteurs de base sont successivement e ˆ+ qu’il y a résonance pour les électrons Nous constatons que c’est bien selon e (ω = ωc ).

330

Exercices du chapitre 2

c) Soit la relation (2.152) :   iqα qα iqα2 t E 0 + (ωt − i)E 0⊥ − w2 = − (E ∧ B) eiωt 0⊥ mα ω 2mα ω 2ωm2α

(21)

où nous avons une dépendance du champ E en eiωt au lieu de e−iωt comme indiqué dans l’énoncé. Nous allons remplacer i par −i dans (21). Comme nous ne nous intéressons qu’au phénomène de résonance, nous allons ignorer le terme suivant ˆz et le second terme de E 0⊥ qui ne dépend pas du temps (donc rapidement e négligeable). Nous écrirons qu’en coordonnées cartésiennes : ˆx E0x + e ˆy E0y . E 0⊥ = e

(22)

Il vient alors : w20⊥ =

qt iq 2 Bt ˆy E0y ) + ˆy E0x ) . (ˆ ex E0x + e (ˆ ex E0y − e 2m 2ωm2

Sachant que −qB/m = ωc et ωc = ω à la résonance, de (23) : qt ˆy E0y ) − i(ˆ ˆy E0x )] , [(ˆ ex E0x + e w20⊥ = ex E0y − e 2m qt ˆy (E0y + iE0x )] , [ˆ ex (E0x − iE0y ) + e = 2m    ˆx + iˆ qt ey e = (E0x − iE0y ) , m 2 de sorte que de (2) et (9), en multipliant par e−iωt :   ˆx + iˆ ey qt qt qt e √ ˆ+ E+ e−iωt = E + . w2⊥ = E+ e−iωt = e m m m 2

(23)

(24) (25) (26)

(27)

Exercice 2.9 Considérer un champ magnétique de la forme ex B = B0 (1 − cos kx)ˆ

(1)

où est un paramètre plus petit que l’unité et k une constante. Ce champ est utilisé pour confiner axialement les particules chargées en chaque extrémité d’une machine linéaire dont le centre est en x = 0. a) Déterminer l’expression de w en fonction de w (0), w ⊥ (0), k et . b) Montrer que seront effectivement piégées dans la machine les particules pour lesquelles 2

2 w2 (0) ≤ w⊥ . (2) (0) 1−

c) En posant l’hypothèse d’une distribution isotrope des vitesses en x = 0, calculer la fraction des particules piégées par rapport au nombre total de particules.

331

Exercice 2.9 Solution

a) Nous avons affaire à un champ magnétique présentant une non uniformité (faible) dans sa propre direction, ce qui correspond à la situation traitée en section 2.2.3 ; (page 114) ; remarquons que nous utilisons ici l’axe x comme direction de B plutôt que z. Nous savons qu’alors l’expression : B = B0 (1 − cos kx)ˆ ex

(3)

n’est pas complète puisqu’il manque une composante au vecteur B (d’ordre 1) pour que l’équation de Maxwell ∇ · B = 0 soit vérifiée. Néanmoins, cette correction n’intervient pas dans le calcul de la composante w . Enfin, notons que la valeur minimum de |B|, |B| = B0 (1 − ), s’obtient en x = 0 et correspond donc à la région située entre les miroirs : à proprement parler, il n’y a pas de région de champ uniforme dans cette machine, mais seulement deux miroirs de part et d’autre d’un minimum de champ magnétique. ˆx et en posant B = B(x = 0), nous En transposant la relation (2.182) suivant e avons :   ˆx 2 2 ∂Bx 1 e t (4) w  (t) = w  (0) − rB ωc 2 B(x = 0) ∂x y=z=0 où ωc correspond à la valeur de B(x = 0). Comme ∂Bx /∂x = B0 k sin kx et 2 2 2 ωc = w⊥ (0), il vient : rB w (t) = w  (0) −

ˆx 2 e

k sin kx w (0) t 2 ⊥ 1−

(5)

(on pourrait négliger le paramètre devant 1 au dénominateur). b) Nous avons montré en section 2.2.3 (page 114) que les particules venant de la région centrale de la machine (x = 0) sont réfléchies par le miroir magnétique si l’angle α0 de leur vecteur vitesse par rapport à l’axe (de composantes w0 = w0 cos α0 et w0⊥ = w0 sin α0 ) dans la partie du champ uniforme (ici la région de plus faible champ entre les deux miroirs) possède une valeur supérieure à α0m définie par (2.195) :  sin α0m =

B(x = 0) . Bmax

(6)

Bmax est atteint pour cos kx = −1, d’où Bmax = 1 + et B(x = 0) = 1 − , de sorte que (6) donne : 1−

. (7) sin2 α0m = 1+

En notant w⊥ (x = 0)/w(x = 0) le rapport des vitesses correspondant à sin α0m , nous avons : 2 w⊥ 1−

(0) = , (8) w2 (0) 1+

332

Exercices du chapitre 2 2 2 (0)(1 + ) = (w⊥ (0) + w2 (0))(1 − ) , w⊥

de sorte que :

2 w⊥ (0)[(1 + ) + ( − 1)] = w2 (0)(1 − ) ,

et, finalement :

2 w2 (0) = w⊥ (0)

2

, 1−

la condition de réflexion imposant l’inégalité : 2

2 . w2 (0) ≤ w⊥ (0) 1−

(9)

(10)

c) Le coefficient de réflexion Cr des particules sur un miroir magnétique (2.201) nous conduit à : Cr ≡

1 1−

2

Γr 1 =1− =1− = . =1− Γinc R Bmax /B(x = 0) 1+

1+

(11)

Exercice 2.10 Considérer une machine linéaire à confinement magnétique axial dont la valeur du champ dans la région homogène est B0 . Cette machine est dotée d’un miroir magnétique situé en z ≥ 0 dont la valeur du champ est donnée par :   z 2  ˆz B0 1 + B=e , (1) a a étant une constante. Déterminer une expression donnant la position z, dans la zone miroir, à laquelle est réfléchie une particule dont le vecteur vitesse fait un angle α0 avec la direction du champ magnétique dans la région homogène. Solution La position à laquelle une particule chargée est réfléchie dans la zone miroir ne dépend pas, en effet, du module de sa vitesse mais bien de l’angle α0 (valeur de la région de champ homogène) de son vecteur vitesse par rapport à l’axe de la machine. Plus précisément, nous avons vu que :  B(z) (2.193) sin α = sin α0 B0 où l’angle α est l’angle du vecteur vitesse par rapport à l’axe de la machine dans la région du miroir à la position z où la valeur du champ magnétique est B(z) (voir figure 2.15). La valeur de z à laquelle la particule est réfléchie s’obtient simplement en posant sin α = 1 dans l’équation précédente.

333

Exercice 2.11   z 2  , B(z) = B0 1 + a 2  3  z 2  3 3 B0 1 + 4 a 1 = sin α0 B0

Comme :

nous obtenons donc :

 d’où :  c’est-à-dire :

z=a

1 sin α0 1 sin α0

2 =1+

 z 2

(1)

(2)

,

(3)

= ±a cot α0 .

(4)

a

 12

2 −1

Remarque : Bien que le champ B possède des composantes Bx et By que l’on fait apparaître en imposant ∇ · B = 0, ce qui compte pour l’effet miroir, c’est la composante Bz (se rappeler que dans l’hypothèse d’adiabaticité, c’est Fz , seule, qui intervient dans la conservation de μz ).

Exercice 2.11 Considérer un plasma d’argon de densité électronique 1018 m−3 dont la température des électrons est de 10 eV, celle des ions et des neutres de 300 K et la pression gazeuse totale de 10−4 torr. La colonne cylindrique (axe z) de plasma se trouve située dans une machine linéaire limitée à ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. On veut chauffer ce plasma (déjà créé par d’autres moyens) en utilisant la résonance cyclotronique électronique (RCE) dans la zone de champ magnétique uniforme. À cette fin, on utilisera une fréquence ω/2π du champ électromagnétique telle que ω/2π = 10fpe où fpe est la fréquence des électrons du plasma et on supposera que la description des trajectoires individuelles peut être appliquée au fluide d’électrons. a) Déterminer l’intensité du champ magnétique requise pour qu’il y ait chauffage du plasma par RCE dans la région où celui-ci est uniforme. b) Calculer le rayon initial de Larmor des électrons dans cette même région avant l’application du champ HF. c) Déterminer le rapport R de miroir de façon à ce que la perte de particules, dans le cas d’une distribution des vitesses initialement isotrope, soit inférieure à 20 %. d) Tracer un graphique approximatif de B(z), compte tenu de la question c).

334

Exercices du chapitre 2

e) Sachant qu’un effet non linéaire (instabilité dite paramétrique) dû à l’action du champ électrique HF risque d’apparaître si xE , l’amplitude d’oscillation des électrons dans le champ HF (encore appelé paramètre d’excursion), dépasse le dixième de la longueur de Debye des électrons, déterminer le seuil de l’intensité du champ électrique pour l’apparition de la non-linéarité (négliger les collisions dans ce calcul). f) Calculer approximativement la fréquence de collisions électron-neutre du plasma initial. Ce type de collision nuira-t-il au chauffage cyclotronique ? Solution  a) De la relation (1.26), fpe (Hz) 9000 ne (cm−3 ), de sorte que, dans le cas présent : fpe = 9000 × 106 Hz = 9 GHz, d’où fce = 90 GHz . De (2.76), fce (Hz) = 2,8 × 106 B (gauss), de sorte que : B=

9 × 1010 = 32,1 kG(3,2 tesla) . 2,8 × 106

b) Rappelons que rB = v⊥0 /ωc (voir (2.73)). Dans le cas présent, TeV =kB Te /e=10 eV et la vitesse v⊥ du fluide d’électrons étant la même suivant les deux axes perpendiculaires à B, soit : 1 2 me v⊥0 = kB Te . (1) 2

2 × 10 × e = 1,87 × 106 m s−1 . (2) On obtient : v⊥ = me Finalement :

rB =

v⊥0 1,87 × 106 = 3,3 × 10−3 mm. = ωce 9 × 1010 × 2π

(3)

c) Le coefficient de réflexion d’un miroir magnétique est donné par (2.201) : Cr = 1 − R−1 .

(4)

Comme nous souhaitons Cr ≥ 0,8 : R= Sachant que :

R≡

1 = 5. 0,2 Bmax , B0

(5) (2.194)

il faut donc que Bmax = 5 × 32 (kG) = 160 kG (16 T) : il y aura nécessité d’utiliser des bobines supraconductrices !

335

Exercice 2.11 d)

Distribution approximative de l’intensité du champ magnétique de confinement d’une machine linéaire (section 2.2.3.)

e) Le paramètre d’excursion, en l’absence de collisions (ω  ν), est donné par (2.31) : xE =

|e|E0 me ω 2

(6)

et la longueur de Debye par (1.52) : 

T (eV) λDe (cm) = 740 ne (cm−3 )

 12



10 = 740 1012

 12

= 2,3 × 10−3 cm = 2,3 × 10−5 m .

(7)

Le seuil d’apparition de l’instabilité étant, par hypothèse, fixé par : xE ≥ 0,1 λDe ,

(8)

nous obtenons pour l’intensité-seuil du champ électrique HF (en V m−1 ) : E0 ≥

me ω 2 (2,3 × 10−5 ) × 0,1 = 4,2 MV m−1 . e

(9)

f) La fréquence de collisions électron-neutre (microscopique) pour le transfert de la quantité de mouvement est donnée par (1.128) : ˆtx (10 eV)w = p0 Px0 w . νx N0 σ

(10)

Nous utiliserons cette relation, en première approximation, à défaut de calculer la valeur moyenne ν. D’après la figure 1.14, à 10 eV, Px0 = 53 cm−1 . La pression réduite p0 (1.118) a pour valeur : p0 =

p(torr)273 10−4 273 = 9,1 × 10−5 (sans unité) . = 273 + TC 300

(11)

Comme valeur de v, nous prendrons celle liée à vth qui définit l’énergie du plasma comme étant kB Te (section 1.4.2). Dans le cas présent, vth = v⊥ (2) et : ν = 9,1 × 10−5 × 53 × 1,87 × 108 = 0,64 × 106 s−1 .

(12)

336

Exercices du chapitre 2

Étant donné que ω = 90 × 109 × 2π (Hz), nous obtenons : ν = 1,1 × 10−6 . ω

(13)

Il faut un très grand nombre de périodes du champ HF avant qu’il n’y ait une collision, de sorte que celles-ci ne devraient pas affecter de manière significative le chauffage de type RCE.

Exercice 2.12 Considérer un champ magnétique dirigé principalement suivant z mais affecté d’une légère courbure représentée par le terme ∂Bx /∂z (on supposera que la courbure est à deux dimensions seulement, dans le plan xz). L’origine du repère cartésien est choisie de sorte qu’en ce point le champ magnétique B soit dirigé suivant z alors que, de part et d’autre de l’origine, il y a une contribution des composantes x et z du champ, comme le montre la figure. Le rayon de courbure ρ de la ligne de champ est, par hypothèse, beaucoup plus grand que le rayon de Larmor de la particule (de charge q et masse m).

Représentation d’un champ magnétique B affecté d’une légère courbure.

a) Montrer qu’au voisinage immédiat de l’origine, on a :   z ˆz ˆx + e B = B0 e ρ

(1)

ˆx , e ˆz sont les vecteurs de base unitaires où B0 est l’intensité du champ en z = 0 et e du repère cartésien (x, y et z) et ρ−1 = d2 x/dz 2 dans la mesure où dx/dz n’est pas trop grand. b) Soit w, la vitesse de la particule. En utilisant le champ décrit par (1), exprimer, ˙ jusqu’à l’ordre un. dans un repère cartésien, les composantes de w c) Déterminer, à l’ordre zéro, les trois composantes de la vitesse et de la position en employant les conditions initiales suivantes : x0 = y 0 = z 0 = 0 , 0

ˆx + wz0 e ˆz , w = w⊥0 e

(2) (3)

337

Exercice 2.12

(l’indice supérieur zéro dans A0 signifie que la quantité A est exprimée à l’ordre zéro). d) Montrer que le calcul jusqu’à l’ordre un conduit à :  2  wz0 wx = t + w⊥0 cos ωc t ρ  2  wz0 wy = − + w⊥0 sin ωc t ρωc

(4) (5)

où les constantes d’intégration sont fixées de sorte que si l’on fait ρ−1 = 0, on retrouve les solutions à l’ordre zéro. Dans ce calcul à l’ordre un, on a remplacé, dans les expressions obtenues pour wx et wy (question b), les variables wz et z qui y apparaissent par leur valeur approchée en z = 0, c’est-à-dire à l’ordre zéro, en l’occurrence respectivement wz0 et wz0 t. e) Enfin, montrer que la position du centre de guidage a pour expression :   1 x= z2 . 2ρ

(6)

Solution a) Il s’agit d’un champ magnétique dirigé, à l’origine du repère, selon l’axe z et présentant une courbure (symétrique) de ses lignes de force dans le plan xOz. La relation (1) de l’énoncé suggère que la composante Bx du champ est un terme correctif à Bz au voisinage de z = 0. Une question semblable est traitée en secˆx . ˆy au lieu de e tion 2.2.3, pages 123 et 127 (2.226), avec l’inhomogénéité suivant e Cette transposition conduit à : ˆx (βB0 z) + e ˆz [B0 (1 + βx)] . B=e

(7)

Nous constatons que la composante principale, Bz , est pourvue d’une correction au premier ordre que nous pouvons négliger devant B0 , d’ordre zéro ; la correction suivant l’axe x fait apparaître β où β ρ−1 (A13.18) : la relation (1) de la question se trouve ainsi justifiée. Nous pouvons aussi traiter le problème à partir du début, sans reprendre les résultats de section 2.2.3, comme nous venons de le faire. Bx étant une correction au premier ordre, il est justifié d’en effectuer un développement en série, limité au premier ordre : ∂Bx ∂Bx ∂Bx ∂Bx x+ y+ z

z, Bx = Bx (z = 0) +  ! " ∂x ∂y ∂z ∂z =0

(8)

338

Exercices du chapitre 2

ˆx Bx +ˆ ez Bz la composante Bx ne dépendant que de z (voir la figure). Comme B = e et que Bz = B0 , nous obtenons : ˆx B=e

∂Bx ˆz B0 . z+e ∂z

(9)

Pour déterminer ∂Bx /∂z, considérons une ligne de champ magnétique, dont la pente dx/dz est, de manière générale, égale au rapport Bx /Bz des composantes locales du champ magnétique, soit :

De (10), nous avons :

Bx dx = . dz Bz

(10)

d2 x ∂Bx 1 ∂Bz Bx = − dz 2 ∂z Bz ∂z Bz2

(11)

où le deuxième terme du membre de droite, d’ordre 2, est négligeable devant le premier terme : en effet, selon (7) et (8), ∂Bz /∂z et Bx sont non nuls seulement à l’ordre 1. Par hypothèse, la pente dx/dz n’étant pas trop grande au voisinage de l’origine alors (A13.2) : d2 x 1 (12)

. 2 dz ρ Finalement, de (11) et (12) :

∂Bx B0 = , ∂z ρ

(13)

d’où, d’après (9), il s’ensuit (1) que nous devions démontrer. b) Il suffit de nous reporter aux relations générales (équations (2.6)–(2.8)) exposées en section 2.1, que nous pouvons écrire en prenant −qB0 /m = ωc et en posant E = 0, sous la forme : q q (14) w˙ x = [Bz wy − By wz ] = [B0 wy ] = −ωc wy m m    z q q B0 z wz − B0 wx = −ωc wz − wx w˙ y = [Bx wz − Bz wx ] = (15) m m ρ ρ     z q q B0 z wy = ωc wy , w˙ z = [By wx − Bx wy ] = − (16) m m ρ ρ où les termes soulignés sont d’ordre un puisqu’ils tendent vers zéro si le rayon de courbure tend vers l’infini (lignes de champ rectilignes). ˙ à l’ordre zéro, il suffit donc de c) Pour obtenir l’expression des composantes de w poser ρ → ∞ dans (14)–(16). Il vient alors : w˙ x = −ωc wy w˙ y = ωc wx

(17) (18)

w˙ z = 0 .

(19)

339

Exercice 2.12

Commençons par déterminer les expressions de wx et de x. Pour ce faire, nous dérivons (17) : (20) w ¨x = −ωc w˙ y pour y substituer w˙ y de (18), ce qui donne :

d’où :

w ¨x = −ωc (ωc wx ) ,

(21)

w ¨x + ωc2 wx = 0 ,

(22)

dont la solution est évidemment : wx = A1 cos ωc t + A2 sin ωc t

(23)

où A1 et A2 sont des constantes dépendant des conditions initiales. Compte tenu de ces dernières ((2) et (3)), il vient :

et :

wx = w⊥0 cos ωc t

(24)

w⊥0 sin ωc t . ωc

(25)

x=

Pour déterminer maintenant les expressions de wy et y, nous considérons (18), en y portant la valeur de wx de (24). Après intégration et application des conditions initiales, nous obtenons : (26) wy = w⊥0 sin ωc t et :

y=

w⊥0 (1 − cos ωc t) . ωc

(27)

Pour ce qui est de wz et z, de (19), nous tirons : wz = wz0

et z = wz0 t .

(28)

d) Pour résoudre facilement le système (14)–(16), il suffit d’utiliser dans les termes en ˆz à l’ordre zéro données 1/ρ (termes d’ordre un), la vitesse et la position suivant e par (28). Notons que ces termes demeurent ainsi d’ordre un. Alors de (15), nous écrivons :  2  wz0 t − wx . w˙ y = −ωc (29) ρ Pour obtenir wx , nous commençons par dériver la relation (14) : w ¨x = −ωc w˙ y ,

(30)

qui peut être rendue homogène en wx en y portant l’expression pour w˙ y tirée de (29) :  2  wz0 t w ¨x = ωc2 − wx , (31) ρ

340

d’où :

Exercices du chapitre 2

w ¨x + ωc2 wx =

2 t ωc2 wz0 , ρ

(32)

dont la solution est la solution générale sans second membre, soit (24), à laquelle il faut ajouter une solution particulière (d’ordre un) avec second membre, soit (1) 2 wx = wz0 t/ρ (d’après (32)) d’où, au total : wx = w⊥0 cos ωc t +

2 t wz0 . ρ

(33)

Pour wy , dérivons (29) et nous avons :  w ¨y = −ωc

 2 wz0 − w˙ x , ρ

(34)

relation dans laquelle nous remplaçons w˙ x par son expression en (14), de sorte que :  2  wz0 + ωc wy , w ¨y = −ωc (35) ρ ωc 2 d’où : w ¨y + ωc2 wy = − wz0 , (36) ρ dont la solution, en agissant comme avec (33), est : wy = w⊥0 sin ωc t −

1 2 w . ρωc z0

(37)

e) Pour déterminer la vitesse du centre de guidage, il suffit de ne pas tenir compte des termes sinusoïdaux dans (33) et (37), de sorte que : 2 t wz0 , ρ w2 wy = − z0 , ρωc

wx =

et, évidemment (E = 0) :

wz = wz0 .

(38) (39) (40)

Quant à la position du centre de guidage, elle est alors décrite par : 2 2 t wz0 , 2ρ w2 t y = − z0 , ρωc z = wz0 t .

x=

(41) (42) (43)

341

Exercice 2.13 En combinant les expressions (41) et (43) pour x et z, nous obtenons : x=

z2 . 2ρ

(44)

Ce mouvement du centre de guidage est dû à la dérive de courbure magnétique (section 2.2.3, page 127). Pour obtenir la contribution de la dérive magnétique, comme il est montré en section 2.2.3 (page 123), il faudrait tenir compte du terme correctif (ordre un) sur Bz , que nous avons négligé dans notre calcul (voir (29)). Remarque : Nous pouvons aussi obtenir l’expression (44) en nous rappelant que le mouvement du centre de guidage dû à la dérive de courbure s’effectue selon la ligne de force de B. Il suffit alors d’utiliser la paramétrisation des lignes de champ calculée dans l’annexe A13. À l’équation (A13.17), nous avons dy/dz = z/ρ qui, adaptée à la direction de la courbure du présent exercice, devient dx/dz = z/ρ d’où x = z 2 /2ρ, la constante d’intégration étant nulle puisque en z = 0, Bx = 0.

Exercice 2.13 Considérer le mouvement d’un électron dans un champ magnétique uniforme B orienté suivant l’axe z et de symétrie axiale par rapport à cet axe. Ce champ magnétique varie lentement en fonction du temps et a pour expression Bz = B0 (1 − αt) où l’intensité B0 est constante, et α un paramètre très petit. a) Vérifier la conformité du champ B aux équations de Maxwell. b) Montrer que, dans un repère cartésien, l’équation du mouvement de l’électron peut se mettre sous la forme :  αy  w˙ x = −ωce wy (1 − αt) − , (1) 2  αx , (2) w˙ y = ωce wx (1 − αt) − 2 w˙ z = 0 , (3) où w = (wx , wy , wz ) est la vitesse de l’électron, et ωce sa fréquence cyclotronique dans le champ B0 . Dans ce calcul, quel rôle joue le fait que le paramètre α soit petit ? Solution a) Conformité du champ B aux équations de Maxwell. Du fait que le champ magnétique varie dans le temps, il se crée un champ électrique associé E décrit par l’équation de Maxwell : ∇∧E =−

∂B , ∂t

(4)

342

Exercices du chapitre 2

ˆz B0 (1−αt), l’expression (4) et ce champ E est perpendiculaire à B. Comme B = e développée donne :       ∂Ex ∂Ey ∂Ex ∂Ey ˆz . ˆy ˆz ˆx − − (5) +e +e = αB0 e e ∂z ∂z ∂x ∂y Il en ressort que ∂Ey /∂z = ∂Ex /∂z = 0 et que ∂Ey /∂x − ∂Ex /∂y = αB0 , c’està-dire que Ex et Ey ne dépendent pas de z. Dans ces conditions, par suite de la symétrie axiale par rapport à z, on peut inférer que les composantes du terme du rotationnel suivant l’axe z ont pour expression : y Ex = − (αB0 ) , 2 x Ey = (αB0 ) . 2

(6) (7)

Le vecteur E décrit en fait un cercle dans le plan xOy. Quant à l’équation ∇·D = ρ, où ρ = 0 dans le cadre des trajectoires individuelles, d’après (6) et (7), on a bien ∂Ex /∂x + ∂Ey /∂y = 0, et cette équation est vérifiée. Pour ∇ · B = 0, la vérification est triviale, B ne dépendant pas de la position. Enfin, pour ∇ ∧ H = J + ∂D/∂t où J = 0 (trajectoire individuelle), ∇ ∧ H = 0 car H est uniforme, et le terme ∂D/∂t = 0 ∂E/∂t = 0. b) Équation du mouvement. D’après (2.6)–(2.8), nous avons :   d2 x dy αB0 me 2 = qe Ex + Bz y + qe B0 (1 − αt)y˙ , = −qe dt dt 2   d2 y dx αB0 x − qe B0 (1 − αt)x˙ , me 2 = qe Ey − Bz = qe dt dt 2 me

d2 z = 0. dt2

Le mouvement étant uniforme suivant z, en posant ωce = −qe B/m et wx ≡ dx/dt, wy ≡ dy/dt, nous avons bien (1) et (2) :  αy  , w˙ x = −ωce (1 − αt)wy − 2  αx , w˙ y = ωce (1 − αt)wx − 2 w˙ z = 0 Le paramètre α doit être choisi petit pour que l’intensité de B reste positive dans le temps (αt < 1).

343

Exercice 2.14

Exercice 2.14 Considérer le mouvement d’un électron dans le voisinage de l’origine d’un repère donné. L’électron est soumis à un champ magnétique constant dans le temps mais légèrement inhomogène suivant ses lignes de champ. Son expression est donnée par : ˆz B0 (1 + αz) B=e

(1)

où α est suffisamment petit pour que αz 1. On supposera que ce champ est de symétrie axiale autour de l’axe z. Les conditions initiales sont les suivantes : x(0) = −x0 , y(0) = 0, z(0) = 0, wx (0) = 0, wy (0) = w⊥0 , wz (0) = wz0 . a) Montrer que les composantes x, y et z de l’équation du mouvement dû à la force de Lorentz sont décrites par les relations suivantes :    1 , (2) x¨ = −ωce y˙ + α z y˙ + y z˙ 2    1 , (3) y¨ = ωce x˙ + α z x˙ + xz˙ 2 α [xy˙ − y x] ˙ . (4) z¨ = −ωce 2 b) En supposant que la vitesse initiale est donnée par :

montrer que :

ˆy + wz0 e ˆz , w0 = w⊥0 e

(5)

1 2 z˙ ≡ wz = − αw⊥0 t + wz0 . 2

(6)

Solution a) Le champ que nous devons considérer comporte une légère inhomogénéité dans sa propre direction. Dans ces conditions et par suite de la symétrie axiale de B, nous savons (section 2.2.3, page 114) qu’il existe, en fait, une composante Br (d’ordre 1 par rapport à la composante Bz , d’ordre zéro) ignorée dans (1). En tenant compte de celle-ci exprimée en coordonnées cartésiennes (2.169), l’expression complète du champ B est maintenant :     ∂Bz ∂Bz 1 1 ˆx − y ˆy + B0 (1 + αz)ˆ e e ez (7) B=− x 2 ∂z x=y=0 2 ∂z 0,0 où ∂Bz /∂z est calculé d’après (1), de sorte que finalement : 1 1 B = − xB0 αˆ ex − yB0 αˆ ey + B0 (1 + αz)ˆ ez . 2 2

(8)

344

Exercices du chapitre 2

En nous servant du développement suivant les trois axes du repère cartésien de l’équation du mouvement (2.6)–(2.8) où nous posons E = 0, nous avons :   qe B0 qe αy z˙ (Bz y˙ − By z) ˙ = B0 (1 + αz)y˙ + selon x : x ¨= me me 2    y z˙ x ¨ = −ωce y˙ + α z y˙ + , (9) 2    xz˙ selon y : y¨ = ωce x˙ + α z x˙ + , (10) 2 et selon z :

α ˙ . z¨ = −ωce (xy˙ − y x) 2

(11)

b) Pour ce qui est de la vitesse selon l’axe de guidage, nous constatons d’après (11) qu’elle est d’ordre 1 du fait de la présence du petit paramètre α (hypothèse αz 1), ce qui est conforme à l’hypothèse de l’approximation du centre de guidage (section 2.2.3). Il nous suffit donc d’y remplacer les positions et vitesses du mouvement cyclotronique par leur développement limité à l’ordre zéro. Les relations décrivant le mouvement à l’ordre zéro dans le plan perpendiculaire s’obtiennent en posant α = 0 dans (9) et (10) : x ¨ = −ωce y˙ ,

(12)

y¨ = ωce x˙ .

(13)

Il nous faut résoudre ce système de 2 équations à 2 inconnues. Pour calculer le mouvement suivant y, nous effectuons une première intégration de (12) sur le temps : (14) x˙ = −ωcey + C1 où la constante C1 = 0 puisque x(0) ˙ = 0 et y(0) = 0, de sorte que : x˙ = −ωce y .

(15)

En portant cette expression dans (13), nous obtenons :

dont la solution est :

2 y¨ + ωce y=0

(16)

y = A1 cos ωce t + A2 sin ωce t .

(17)

Pour déterminer les constantes A1 et A2 , nous notons que :

de sorte que :

y(0) ≡ 0 = A1 ,

(18)

wy = A2 ωce cos ωce t ,

(19)

relation à laquelle nous appliquons la condition initiale wy (0) = w⊥0 .

345

Exercice 2.14

Finalement :

wy = w⊥0 cos ωce t

(20)

et

y=

w⊥0 sin ωce t . ωce

(21)

Pour calculer le mouvement suivant l’axe x, nous procédons de façon analogue. En intégrant (13), nous obtenons : y˙ = ωce x + C2

(22)

où, par suite des conditions initiales, la constante d’intégration C2 = w⊥0 − ωce x0 . En substituant (22) dans (12) : 2 2 x¨ + ωce x = −ωcew⊥0 + ωce x0

(23)

dont la solution complète est de la forme : x = A1 cos ωce t + A2 sin ωce t −

w⊥0 − x0 . ωce

(24)

En faisant usage des conditions initiales x(0) = −x0 et wx (0) = 0, il vient successivement A1 = w⊥0 /ωce, d’où : x= et A2 = 0, d’où :

w⊥0 cos ωce t ωce

wx = −w⊥0 sin ωce t .

(25) (26)

Pour déterminer le mouvement suivant z, nous portons les valeurs du mouvement suivant x et y dans (11) :   2 ωceα w⊥0 w2 α 2 z¨ = − cos2 ωce t + ⊥0 sin2 ωce t = − w⊥0 , (27) 2 ωce ωce 2 équation dont l’intégration donne : α 2 z˙ = − w⊥0 t + C3 2

(28)

où z(0) ˙ ≡ wz0 = C3 , ce qui nous conduit bien à l’expression (6) de l’énoncé : α 2 t + wz0 . z˙ = − w⊥0 2

(6)

Remarque : Le choix de x(0) = −x0 plutôt que x(0) = 0 comme condition initiale nous permet d’obtenir des expressions plus simples pour les composantes de vitesse et de position !

346

Exercices du chapitre 2

Exercice 2.15 Dans le cadre du modèle des trajectoires individuelles, considérer un champ magnétique appliqué : ez (1) B = B0 h(t)ˆ où B0 est une constante et h(t) est une fonction lentement variable du temps. a) Vérifier que les équations de Maxwell sont satisfaites si le champ E induit par dB/dt a pour expression : E=

1 ˙ B0 h(yˆ ey ) ex − xˆ 2

(2)

où h˙ = dh(t)/dt. Préciser les restrictions, le cas échéant. b) En utilisant les valeurs des champs E et B, montrer que :   d 1 1 2 ˙ mw⊥ = − mωc h(yw x − xwy ) dt 2 2

(3)

ˆx + wy e ˆy et ωc est la pulsation cyclotronique de la particule chargée. où w⊥ = wx e c) Déterminer les solutions pour x, y, wx et wy à l’ordre zéro (conditions initiales x = y = z = 0 ; wx (0) = wx0 , wy (0) = wy0 , wz (0) = wz0 ). 2 d) Montrer que la quantité mw⊥ /2B demeure constante à l’ordre zéro en h.

Solution a) Il nous faut voir si le champ E induit par la variation temporelle de B et le champ B lui-même obéissent effectivement aux quatre équations de Maxwell. 1. Commençons d’abord par en vérifier l’équation : ∂B ∂t Le calcul de son membre de gauche donne : ∇∧E = −

    1 ˙ 1 ˙  ey ) = B0 h  ex − xˆ ∇ ∧ E ≡ ∇ ∧ B0 h(yˆ 2 2   

1 ˙ ˙ ez , B0 hˆ ez (−1 − 1) = −B0 hˆ 2 valeur identique à celle du membre de droite : ≡

˙ ez ≡ − −B0 hˆ L’équation (4) est donc satisfaite.

∂B . ∂t

(4)

ˆx e ∂ ∂x y

ˆy e ∂ ∂y −x

ˆz e ∂ ∂z 0

    ,    (5)

(6)

347

Exercice 2.15 2.

∇ · 0 E = 0

(7)

Il s’agit en fait de l’équation de Poisson ∇ · D ≡ ∇ · 0 E = ρ où ρ = 0 dans le modèle des trajectoires individuelles : en effet, dans cette description, par hypothèse, la charge n’induit pas de champ E. La relation (7) est effectivement vérifiée puisque :     ∂ ∂ ∂ ˙ ˙ (y) + (−x) + (0) ≡ 0 . ey ) = 0 B0 h ex − xˆ ∇ · 0 E ≡ ∇ · 0 B0 h(yˆ ∂x ∂y ∂z 3.

∂E + μ0 J (8) ∂t où J , le courant de conduction, est nul dans le cadre des trajectoires individuelles. Calculons le membre de gauche de cette équation :     e ˆy ˆz e   ˆx e   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   (B0 h(t))ˆ (B0 h(t))ˆ ∇∧B ≡ ex − ey ≡ 0 (9) ≡  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂x    0 0 B0 h(t)  ∇ ∧ B = 0 μ0

puisque B0 h(t) ne dépend pas de la position. Il reste à montrer que le membre de droite, ∂E/∂t, est aussi nul. De (2), nous avons que :    ∂E ∂ 1 ˙ B0  ˙ ¨ ex − xˆ ˆx − wx e ˆy ) + h(yˆ = B0 h(yˆ h(wy e ey ) = ey ) , ex − xˆ ∂t ∂t 2 2 (10) ¨ 0), mais pas à l’ordre un. expression qui est nulle à l’ordre zéro (h˙ h Remarque : On ne peut poser a priori que ∂E/∂t = 0 car ceci reviendrait, dans le cas présent, à négliger le champ E induit par ∂B/∂t. Par contre, le champ E induit par le mouvement des particules (J = σE) est effectivement nul dans le cadre des trajectoires individuelles puisque J = 0. 4.

∇·B =0

(11)

Cette relation est vérifiée trivialement car B0 et h(t) ne dépendent pas de la position. En effet : ∂ ∂ ∂ (0) + (0) + (B0 h(t)) = 0 . ∂x ∂y ∂z

(12)

Les quatre équations de Maxwell sont satisfaites, mais à l’ordre zéro seule¨ = 0) pour ∇ ∧ B = ∂D/∂t. ment (h˙ = h

348

Exercices du chapitre 2

b) Nous savons que seul le champ électrique effectue du travail (section 2.1) : dans le cas présent, le seul champ électrique est celui induit par la variation de B. La composante perpendiculaire au champ B de l’énergie cinétique est donnée par :   d 1 2 mw⊥ (13) = qE · w ⊥ , dt 2 mais c’est aussi le travail total effectué car E se trouve entièrement dans le plan perpendiculaire à B. Nous avons donc :   d 1 1 ˙ 2 ˆx + wy e ˆy ) , mw⊥ ey ) · (wx e ex − xˆ = q B0 h(yˆ dt 2 2   qB0 mh˙ = (ywx − xwy ) m 2 et, en notant ωc = −qB0 /m, nous trouvons bien que :   d 1 1 2 ˙ mw⊥ = − mωc h(yw x − xwy ) . dt 2 2

(14)

(3)

c) L’équation du mouvement s’écrit en coordonnées cartésiennes (section 2.1) :   q 1 ˙ B0 hy + B0 h(t)wy , w˙ x = (15) m 2   q 1 ˙ (16) w˙ y = − B0 hx − B0 h(t)wx , m 2 q [0] . (17) m Pour intégrer ces équations, nous allons utiliser l’approximation du centre de guidage et considérer qu’il y a deux échelles de temps, celle du mouvement cyclotronique et celle du mouvement, beaucoup plus lent, dû à h(t) : donc h(t) sera une constante à l’ordre zéro et on fera alors h˙ = 0 dans (15) et (16). En posant −qB0 h/m = Ω, on peut, par identification, utiliser les solutions, pour un champ B constant, tirées de section 2.2.2, page 90. w˙ z =

ˆx : on échangera On notera que, dans le cas ainsi rapporté, B était suivant e donc x ↔ z en se rappelant que pour maintenir un repère de type trièdre droit ˆy = e ˆz ), il faut remplacer z par −x dans une telle permutation. (ˆ ex ∧ e Finalement : wy0 wy0 wx0 sin Ωt + cos Ωt − Ω Ω Ω wx0 wy0 wx0 y= cos Ωt + sin Ωt − Ω Ω Ω z = wz0 t

x=−

(18) (19) (20)

349

Exercice 2.16 wx = −wx0 cos Ωt − wy0 sin Ωt wy = −wx0 sin Ωt + wy0 cos Ωt

(21) (22)

wz = wz0 .

(23)

Nous vérifions que les conditions aux limites sont respectées : on obtient bien que x = y = z = 0 en t = 0 et que wx (0) = wx0 , wy (0) = wy0 , wz (0) = wz0 . Variante Les conditions initiales sont les mêmes sauf pour wx (0) = 0. Les expressions sont alors bien plus simples : wy0 wy0 x= cos Ωt − (24) Ω Ω wy0 y= sin Ωt (25) Ω z = wz0 t (26) wx = −wy0 sin Ωt wy = wy0 cos Ωt

(27) (28)

wz = wz0 .

(29)

d) Il s’agit de vérifier que, ’à l’ordre zéro, le premier invariant adiabatique est en effet constant dans la configuration magnétique actuelle. Considérons la variation temporelle du moment magnétique :        2 2 2 dB d d mw⊥ mw⊥ 1 d mw⊥ 1 μ≡ = − 2 . dt dt 2B B dt 2 B dt 2

(30)

La dérivée apparaissant dans le premier terme du membre de droite est donnée par (3), alors que le second terme est évalué en utilisant les vitesses à l’ordre zéro (équations (21) et (22)), ceci en conformité avec la notion d’invariant adiabatique :     2 2 m(wx0 + wy0 ) 1 d 1 d 1 ˙ μ= (31) B0 h˙ − mωc h(yw x − xwy ) − dt B dt 2 B02 h2 2 ˙ est du Il apparaît clairement que le membre de droite, du fait de la présence de h, premier ordre, donc nul à l’ordre zéro, ce qui entraîne que μ est bien une constante à l’ordre zéro.

Exercice 2.16 Considérer un champ magnétique statique (champ toroïdal) : ˆx B0 αz + e ˆz B0 (1 + αx) B=e où α est une constante très inférieure à l’unité.

(1)

350

Exercices du chapitre 2

a) Exprimer l’équation du mouvement d’une particule individuelle selon les axes du repère cartésien. Souligner les termes qui sont liés à la courbure des lignes de force du champ magnétique B. b) Déterminer les solutions à l’ordre zéro du mouvement sachant que les conditions initiales sont : wx (0) = 0 wy (0) = wy0

x(0) = rB y(0) = 0

wz (0) = wz0

z(0) = 0

(2)

avec rB = wy0 /ωc où ωc est la pulsation cyclotronique et rB , le rayon de giration cyclotronique. c) Montrer ensuite qu’à l’ordre un, on obtient pour wx l’équation suivante :   3 2 rB wy0 sin 2ωc t + wz0 t . w ¨x + ωc2 wx αωc2 2

(3)

d) Déterminer la solution wx de l’équation (3). Solution a) Ce problème correspond au cas étudié en section 2.2.3, page 127. C’est la comˆx qui est responsable de la courbure des lignes de champ posante de B suivant e de B. Ce champ satisfait bien aux équations de Maxwell puisque ∇ · B = 0 (section 2.2.3, page 114) et, de (1), il est clair que ∇ ∧ B = 0. L’équation du mouvement dans un repère cartésien avec E = 0, By = 0 et ωc = −qB/m, s’obtient des équations (2.6)–(2.8) : q q [Bz wy ] = [B0 (1 + αx)wy ] = −ωc wy (1 + αx) m m q q [Bx wz − Bz wx ] = [B0 αzwz − B0 (1 + αx)wx ] w˙ y = m m

 = ωc wx + α(xwx − zwz ) q q [−Bx wy ] = − [B0 αzwy ] = ωc αzwy w˙ z = m m

w˙ x =

(4)

(5) (6)

où les quantités d’ordre un soulignées sont liées à la courbure des lignes de champ (contribution de la composante Bx ). b) Pour réduire les équations (4)–(6) à l’ordre zéro, il suffit d’y poser α = 0 : w˙ x = −ωc wy , w˙ y = ωc wx ,

(7) (8)

w˙ z = 0 .

(9)

351

Exercice 2.16

Pour déterminer la composante wx , nous commençons par dériver la relation (7) pour y faire apparaître w˙ y : w ¨x = −ωc w˙ y (10) pour ensuite utiliser (8) et obtenir : w ¨x + ωc2 wx = 0

(11)

dont la solution (oscillateur harmonique) est : wx = A1 sin ωc t + A2 cos ωc t ,

(12)

les constantes A1 et A2 devant être déterminées au moyen des conditions initiales. Comme wx (0) = 0, A2 = 0. Quant à A1 , nous avons, par intégration de (12) : x=−

A1 cos ωc t ωc

(13)

et comme x(0) = rB , A1 = −rB ωc , d’où : wx = −rB ωc sin ωc t , x = rB cos ωc t .

(14) (15)

Pour ce qui est de wy , il vient également :

ce qui conduit à : et :

wy = A1 sin ωc t + A2 cos ωc t ,

(16)

wy = wy0 cos ωc t

(17)

y = rB sin ωc t .

(18)

Enfin, pour la composante wz , comme w˙ z = 0 (6), nous obtenons : et :

wz = wz0

(19)

z = wz0 t .

(20)

c) En portant les valeurs des composantes d’ordre zéro de w et r dans les termes affectés de la valeur de α (équations (4) – (6)), nous trouvons :

 (21) w˙ x = −ωc wy + αwy0 rB cos2 ωc t ,

 2 2 w˙ y = ωc wx + α(−rB ωc sin ωc t cos ωc t − wz0 t) , (22) w˙ z = αωc wy0 wz0 t cos ωc t .

(23)

Pour obtenir une équation homogène en wx , nous procédons comme nous l’avons fait en b), en dérivant, par rapport au temps t, la relation (21) pour ensuite y remplacer w˙ y par sa valeur tirée de (22) : w ¨x = −ωc [w˙ y − 2αwy0 rB ωc cos ωc t sin ωc t] ,  r w 6 5  B y0 2 w ¨x = −ωc ωc wx + α − sin 2ωc t − wz0 t + ωc2 αwy0 rB sin 2ωc t , 2   3 2 c’est-à-dire : w ¨x + ωc2 wx = αωc2 rB wy0 sin 2ωc t + wz0 t . (24) 2

352

Exercices du chapitre 2

d) La solution de l’équation différentielle (24) est la somme de la solution générale sans second membre : (25) wx = A1 cos ωc t + A2 sin ωc t et d’une solution particulière avec second membre (pas évidente à proposer !) : 1 2 wx = − αrB wy0 sin 2ωc t + αwz0 t. 2

(26)

Vérifions que (26) est bien une solution particulière de (24). De (25) et (24), en effet : w ¨x + ωc2 wx ≡ 2αωc2 rB wy0 sin 2ωc t − ≡

ωc2 2 αrB wy0 sin 2ωc t + ωc2 αwz0 t 2

3 2 2 αω rB wy0 sin 2ωc t + ωc2 αwz0 t, 2 c

ce qui correspond bien au membre de droite de (24). Fixons les constantes A1 et A2 de l’expression (25) par les valeurs qu’elles prennent en t = 0. Comme wx (0) = 0, alors A1 = 0. Pour A2 , nous intégrons la solution complète pour obtenir x : x=−

2 2 t 1 αrB wy0 αwz0 A2 cos ωc t + cos 2ωc t + ωc 2 2ωc 2

x(0) = −

d’où :

A2 1 αrB wy0 + = rB ωc 4 ωc

(27) (28)

w0⊥ w0y = : ωc ωc    αr  1 αrB wy0 1 B A2 = −1 , − rB ωc = αrB wy0 − wy0 = wy0 4 ωc 4 4

et, donc, puisque rB =

c’est-à-dire : wx = wy0

 αr

 1 2 − 1 sin ωc t − αrB wy0 sin 2ωc t + αwz0 t. 4 2 B

(29)

Exercice 2.17 Soit une machine à confinement magnétique linéaire, limitée en ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. On peut faire en sorte qu’électroniquement, ces deux miroirs se déplacent l’un vers l’autre, chacun étant animé d’une vitesse vM dans le repère du laboratoire. Considérons une particule de charge q et de masse m qui, dans la partie de champ magnétique homogène de la machine, est caractérisée initialement par une vitesse w0 telle que w0⊥ = w0 , et par Ei , son énergie cinétique.

353

Exercice 2.17

Bouteille magnétique fermée par deux miroirs mobiles symétriques

a) Montrer que, à chaque réflexion sur un des miroirs, la grandeur de la vitesse parallèle de la particule augmente de 2vM . b) Dire pourquoi cette particule finira par quitter le miroir. c) Calculer l’énergie cinétique Ep que possède la particule lorsqu’elle quitte le miroir : exprimer Ep en fonction de l’énergie cinétique initiale Ei et du rapport R=Bmax /B0 du miroir . d) Déterminer l’expression donnant le nombre de réflexions n que la particule effectuera avant de sortir du système en fonction de vM , Ei , R et m. Solution a) Dans le repère du laboratoire, la particule de vitesse w0 se dirige vers le miroir M, lui-même en mouvement, avec une vitesse v M , en direction de la particule incidente, tel qu’illustré sur la figure. La vitesse de la particule suivant l’axe z, dans ce repère, est : (1) wz = w0 en prenant le signe positif en direction du miroir.

Représentation des vitesses de la particule et du miroir suivant l’axe z de la bouteille magnétique.

Un observateur lié au miroir voit la particule venir vers lui avec une vitesse plus grande : (2) wzM = w0 − v M , v M étant une vitesse négative. Dans ce même repère, après réflexion, la particule repart avec une vitesse opposée : w zM = −(w0 − v M ) .

(3)

354

Exercices du chapitre 2

Pour passer à nouveau dans le repère du laboratoire, on doit cette fois ajouter v M à la vitesse de la particule (opération inverse de (2)), d’où : wz = −(w0 − v M ) + v M = −(w0 − 2v M ) .

(4)

La vitesse de la particule, après réflexion, a donc augmenté de |2vM | (comparer (1) et (4)). Variante de la solution a) proposée Cette solution consiste à assimiler la réflexion de la particule sur le miroir à une collision élastique frontale entre une particule légère de masse m et un mur mobile considéré comme une particule lourde de masse M quasi-infinie (m M ). La vitesse relative wmM des deux particules, indépendante du repère choisi, vaut : w mM = w0 − v M .

(1.67)

Après réflexion, dans le cas d’une collision élastique, la vitesse relative change de signe et garde le même module (1.76), soit : w mM = −wmM = −(w0 − v M ) .

(5)

Dans le repère du laboratoire, la vitesse w0 de la particule légère après réflexion devient (1.71) :   M   w 0 = wCM + (6) wmM m+M où w CM est la vitesse du centre de masse après réflexion. Compte tenu de (1.66) et (1.67) : wCM = wCM =

mw0 + M v M . m+M

(7)

À partir de (6) et (7), on obtient : w0 =

mw0 + M v M + M vM − M w0 , m+M

(8)

qui, avec l’hypothèse M  m, devient : w0 = −w0 + 2v M .

(9)

b) Nous venons de montrer en a) que w , la composante parallèle au champ B de la vitesse de la particule, augmente à chaque réflexion, alors que sa composante (n ) (0) perpendiculaire w ⊥ demeure inchangée. Ceci entraîne que w⊥ = w⊥ après un nombre n de réflexions. Par conséquent, en supposant que dans la région uniforme, avant la première réflexion, nous avions : (0)

(0)

w0⊥ = w0 sin α0 ,

(10)

355

Exercice 2.17 (1)

(0)

alors, après la première réflexion, du fait que w ⊥ = w ⊥ : (1)

(1)

(1)

(0)

(0)

w0⊥ = w0 sin α0 = w0 sin α0 .

(11) (1)

Comme w0 , le module de w, a augmenté, il faut que l’angle α0 diminue pour que (n ) w0⊥ demeure constant : après n réflexions, l’angle α0 sera plus petit que α0m et, d’après (2.195), la particule se retrouvera dans le cône de pertes. c) Par hypothèse, au départ : Ei =

1 2 2 2 m(w0⊥ + w0 ) = mw0 2

(12)

et, comme discuté en b), la particule quittera la machine quand l’angle α0m sera suffisamment petit, précisément lorsque : w0⊥

(n ) w0

1 ≤ sin α0m = √ . R

(13)

Posons l’égalité dans (13) où w0 , qui augmente à chaque réflexion, pour n réflexions a pour module : 1

2 (n ) + (w0 + 2nvM )2 2 . (14) w0 = w0⊥ Du fait de notre hypothèse de départ w0 = w0⊥ , de (13) nous tirons : √ √ (n ) w0 = w0⊥ R = w0 R ,

(15)

de sorte que, en multipliant le carré de la relation (14) par m/2, et avec (15), nous avons :   2 2 mw0 mw0⊥ Ei 1 2 2 2 + + 2mnw0 vM + 2mn vM = mw0 (16) R= R Ep ≡ 2 2 2 2 Ep = Ei

d’où par (12) :

R . 2

d) En récrivant (16) sous la forme : n2 +

w0 n − Ei vM



R −1 2



1 2 = 0, 2mvM

(17)

il est facile de déterminer n à partir de cette expression quadratique, d’où :     w0 w0 2 1 1 R n=− −1 + + 2Ei (18) 2 , 2vM 2 vM 2 mvM

356

Exercices du chapitre 2

en éliminant le signe moins devant la racine carrée car cela donnerait un nombre n négatif. En continuant à développer, nous avons :       w0 2 R w0 w0 2 1 −1 , (19) + +2 n=− 2vM 2 vM vM 2 w0 w0 √ =− + 1 + R − 2, (20) 2vM 2vM   E  12 1   w0  1 1 i = (R − 1) 2 − 1 = (R − 1) 2 − 1 , (21) 2vM m 2vM dont nous prendrons l’entier par excès ! Variante de la solution d) proposée wf  = w0 + 2nvM

Soit :

(22)

où wf  est la vitesse parallèle de sortie de la particule de la machine, définie par : sin α0m ≥

w0⊥

.

(23)

2 w0⊥ 1 = 2 + w0⊥ R

(24)

(wf2 

1

2 )2 + w0⊥

En considérant l’égalité de cette relation, soit : sin α20m =

wf2 

2 w0⊥ (R − 1) = wf2  .

il vient :

(25)

De (22), nous pouvons alors écrire (w0 = w0⊥ dans le présent cas) : 1

n=

w0 [(R − 1) 2 − 1] wf  − w0⊥ = 2vM 2vM

et finalement, de (12) :

 n=

Ei m

 12

 1  1 (R − 1) 2 − 1 . 2vM

(21)

Exercice 2.18 Un miroir magnétique est situé en chaque extrémité de la machine et son axe se confond avec l’axe z. La configuration magnétique de ces miroirs est symétrique par rapport au plan z = 0. Le plan des miroirs est situé en zM et −zM . Le champ magnétique a été conçu pour que, suivant l’axe z, on ait :   z 2  B(z) = B0 1 + a où a est une constante.

(1)

357

Exercice 2.18

a) Montrer que la période d’oscillation d’une particule de masse m entre les deux miroirs est donnée par :  1 m 2 (2) Tp = 2πa 2μB0 où μ est le moment magnétique orbital. On supposera que la condition d’adiabaticité est vérifiée le long de toute la trajectoire. b) Déterminer la vitesse de la particule suivant z (il s’agit d’une particule qui doit demeurer de façon permanente à l’intérieur de la machine) et montrer que :    1 2πt 2B0 μ 2 zM cos wz = (3) m a Tp  et, finalement :

wz =

2μ m

 12

1

[B(zM ) − B(z)] 2 .

(4)

Solution a) Dans la mesure où le champ magnétique n’est que légèrement non uniforme (condition d’adiabaticité) dans sa propre direction, nous pouvons écrire (2.183) : ˙ = μ · ∇B mw

(5)

parce que μ = −μˆ ez (page 112). Suivant z, dans le cas présent (1) : mw˙z = −μ

ou encore :

2μB0 z ∂Bz =− , ∂z a2

2μB0 d2 z =− z, dt2 ma2

(6)

(7)

qui admet comme solution, pour z = 0 en t = 0 : 

d’où la période :

1 2μB0 2 z = zM sin t, ma2

m . Tp = 2πa 2μB0

(8)

(9)

b) En z = ±zM , il faut que w (zM ) = 0 puisque par hypothèse la particule ne quittera pas le miroir, de sorte que : 1 mw2 (zM ) = 0 . 2

(10)

358

Exercices du chapitre 2

La conservation de l’énergie cinétique nous donne : 1 1 1 2 2 mw2 (z) + mw⊥ (z) = mw⊥ (zM ) . 2 2 2

(11)

Sachant que μ est une constante du mouvement, nous avons : μ=

2 1 mw⊥ (z) = constante , 2 B(z)

(12)

de sorte que, de (11) et (12) :

d’où :

1 mw2 (z) = μ[B(zM ) − B(z)] , 2

2μ w (z) = [B(zM ) − B(z)] . m

Si maintenant nous remplaçons B(zM ) et B(z) par leur valeur respective :

  z 2  12  z 2 2μB0 M −1− w (z) = 1+ m a a 

 2  12 z 2μB0 zM 1− , = m a zM et de (8) avec (9) :



   1   2πt 2πt 2 2μB0 zM 2μB0 zM 2 w (z) = cos = . 1 − sin m a Tp m a Tp

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Exercice 2.19 Le formalisme d’Hamilton-Jacobi de la mécanique classique permet d’introduire la notion d’invariant adiabatique I au moyen de l’intégrale d’action (membre de gauche de (1)). Dans le cas où la particule est soumise à un mouvement périodique, cette intégrale prend en effet une valeur constante : ( 1 pdq = I (1) 2π où q est une coordonnée canonique généralisée 177 (par exemple une variable de position) et p est le moment canonique conjugué (par exemple, l’impulsion correspondant 177 Ne pas confondre les variables p et q du formalisme d’Hamilton-Jacobi avec la pression et la charge.

359

Exercice 2.19

à la position q). Etant donnée l’énergie cinétique Ec du système, la valeur de p s’obtient par la relation : ∂Ec . (2) p= ∂ q˙ Considérer une décharge linéaire confinée par un champ magnétique statique B, dirigé axialement, et terminée en ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. a) Montrer que l’intégrale d’action prise sur le mouvement cyclotronique d’une particule chargée conduit, à une constante près, à la constance du mouvement orbital magnétique μ de la particule. Préciser les hypothèses liées à votre calcul. b) Montrer que la particule chargée oscille entre les deux miroirs avec une période T donnée par : ( dz T = (3)  12 .   2 (Ec − μB) m Préciser vos hypothèses. c) Calculer le deuxième invariant, I2 , lié au mouvement axial pour montrer que : ( 1 1 I2 = (4) [2m(Ec − V )] 2 dz 2π où nous avons introduit le pseudo-potentiel V ≡ μB pour donner un aspect plus général à cette intégrale. d) Considérer le cas où la décharge est confinée par un champ magnétique :   z 2  ˆz e B = B0 1 + a où a est une constante telle que ∂B/∂z varie très lentement selon z : déterminer la période d’oscillation d’une particule entre les deux miroirs d’une telle machine linéaire. Solution a) Comme il s’agit du mouvement cyclotronique, nous décrivons le système en coordonnées cylindriques (r, ϕ, z). Nous avons alors x = rB cos ϕ, y = rB sin ϕ où rB est le rayon de Larmor que nous allons supposer constant puisque B varie lentement axialement. Comme :

Ec =

1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) , 2

(5)

en coordonnées cylindriques, il vient : Ec =

1 2 2 m(rB ϕ˙ + z˙ 2 ) . 2

(6)

360

Exercices du chapitre 2

˙ 2 + (rB cos ϕ ϕ) ˙ 2 et en posant q = ϕ, il vient Puisque x˙ 2 + y˙ 2 = (−rB sin ϕ ϕ) pour pϕ : ∂Ec 2 = mrB ϕ˙ (7) pϕ = ∂ ϕ˙ où ϕ˙ ≡ dϕ/dt = ωc , et alors : ( 2 1 1 1 mw⊥ 2 2 mrB mrB ϕ˙ dϕ = ωc dϕ = I1 ≡ pϕ dϕ = 2π 2π 2π ωc

(8)

période cyclotron

2 puisque ωc = w⊥ /rB . Sachant que μ ≡ mw⊥ /2B et ωc = |q|B/m, nous obtenons :   2m I1 = μ. (9) |q|

b) La période T de l’oscillation suivant l’axe de la décharge est donnée par l’intégration d’un mouvement fermé (cyclique) suivant z : ( dz dz . (10) = T = w z˙ Par ailleurs, nous avons de (6) : Ec =

1 2 2 1 1 1 1 2 mrB ωc + mz˙ 2 = mw⊥ + mz˙ 2 = μB + mz˙ 2 , 2 2 2 2 2

(11)

ce qui nous permet de connaître la vitesse axiale z˙ :   12 2 dz = z˙ = (Ec − μB) , dt m

(12)

donc, sur un cycle d’aller-retour, la période d’oscillation de la particule : (

T dt =

T ≡



0

dz

 12 . 2 (Ec − μB) m

(13)

c) En nous appuyant sur la relation (1), nous pouvons introduire l’invariant adiabatique lié au mouvement axial en posant q = z et p = pz : ( 1 pz dz (14) I2 = 2π et comme pz ≡ mz, ˙ nous obtenons : 1 I2 = 2π

( mz˙ dz

(15)

361

Exercice 2.19 expression que nous pouvons évaluer à partir de (12), d’où : 1 I2 = 2π 1 = 2π



 12 2 m (Ec − μB) dz m

( (

1

(16)

[2m(Ec − μB)] 2 dz .

(17)

∂Bz ∂z

(18)

B0 2z a2

(19)

d) Nous savons d’après (2.183) que : Fz = −μ de sorte que, dans le cas présent, Fz = −μ

et comme Fz = m¨ z , nous sommes conduits à : z¨ +

μ B0 2 z = 0, m a2

(20)

équation d’un mouvement périodique dont la pulsation ω est donnée par :  ω=

2B0 μ m 

et comme ω = 2π/T : Voir aussi l’exercice 2.18.

T = 2πa

 12

m 2B0 μ

1 a

(21)

 12 .

(22)

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Exercices du chapitre 3 Exercice 3.1 Les machines à magnéto-striction axiale, ou Z-pinch en anglais, sont des machines droites comportant une colonne de plasma en constriction (pinched) sous l’effet du champ magnétique produit par un courant appliqué suivant l’axe de révolution (suivant z). Le champ magnétique produit ainsi un phénomène de compression radiale du plasma vers l’axe de révolution résultant des forces de Lorentz. Le plasma, généré par une impulsion de courant très courte et très intense, comporte en général une phase d’implosion très brève suivie d’une phase de stagnation du plasma confiné autour de l’axe de révolution par le champ magnétique. Ce type de machine a été développé à partir des années 1950 avec l’espoir que la compression obtenue pouvait être suffisante pour déclencher des réactions de fusion nucléaire, puis abandonné une vingtaine d’années plus tard en raison de la difficulté à maîtriser les instabilités du plasma. La recherche sur ce type de machine a néanmoins repris au milieu des années 1990, en particulier au laboratoire Sandia (États-Unis), en bénéficiant de sauts technologiques permettant d’introduire dans la décharge des impulsions de courant de plusieurs millions d’ampères avec des temps de montées extrêmement courts. En dehors des applications de type militaire, un objectif est d’obtenir avec ce type de machine des réactions de fusion ne produisant pas de déchets nucléaires. De ce point de vue, ce type de machine peut constituer une alternative aux projets concurrents basés sur le confinement inertiel par laser ou dans les tokamaks (ITER). L’exercice proposé ici (d’après Jean-Michel Dolique, 1969), basé sur une étude microscopique de la striction axiale, permet une approche simplifiée du plasma dans sa phase de stagnation après implosion. Pour cela, considérer un plasma complètement ionisé, formé d’électrons (de charge qe = −e) et d’ions mono-chargés (de charge qi = +e), parcouru par un courant axial suivant la direction Oz. Le champ magnétique B qui en résulte dérive d’un potentiel vecteur A dont la seule composante non nulle Az = A est indépendante de z.

364

Exercices du chapitre 3

a) Considérer une fonction de distribution fα de la forme :   Wα − vα pαz fα ∝ exp − kB Tα

(1)

où la vitesse vα est une constante, Wα = mα wα2 /2 est l’énergie cinétique des particules d’espèce α (α = e ou i) de masse mα et où : pαz = mα wαz + qα Az

(2)

est la quantité de mouvement généralisée (ou impulsion) suivant Oz. Montrer que la fonction de distribution fα est solution de l’équation de Vlasov pour l’espèce α et indiquer quelles sont les hypothèses simplificatrices et implicites nécessaires. Il est recommandé d’utiliser dans ce qui suit, jusqu’à la question f), un système de coordonnées cartésiennes. b) Calculer les vitesses moyennes v e et v i des électrons et des ions. c) Montrer que pour assurer la neutralité macroscopique en tout point du plasma, il faut que l’on ait : ve vi + = 0. (3) Te Ti On supposera dans la suite que Te = Ti = T . d) Montrer que l’on peut exprimer la densité nα de l’espèce α en fonction de la vitesse v = vi = −ve sous la forme :   evA nα (x, y) = n0 exp (4) kB T où n0 est une constante. e) En utilisant le théorème d’Ampère, écrire l’équation reliant v et A dans un système de coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées cylindriques (r, θ, z). On aura intérêt, pour simplifier les calculs, à poser ψ = evA/kB T , qui est une grandeur sans dimension (rapport de deux énergies, magnétique et thermique). f) Résoudre l’équation précédente en géométrie cylindrique. On fera l’hypothèse de la symétrie de révolution (∂/∂θ = 0). g) En déduire B(r) et n(r) = ne (r) = ni (r). Solution a) De manière générale, l’équation de Vlasov (ou équation de Boltzmann sans collision) s’écrit, d’après (3.4) : ∂fα qα + w α · ∇ r fα + (E + w α ∧ B) · ∇w fα = 0 . ∂t mα

(5)

365

Exercice 3.1

Son utilisation suppose bien entendu que les collisions sont négligées. Par ailleurs, on peut considérer, d’une part, que le plasma est dans un régime stationnaire puisque la fonction de distribution fα donnée par (1) est indépendante du temps (∂fα /∂t = 0), et, d’autre part, que le champ électrique E (somme du champ appliqué et du champ auto-cohérent) est négligeable. Avec ces hypothèses, l’équation (5) se réduit à : wα · ∇r fα +

qα (wα ∧ B) · ∇w fα = 0 . mα

(6)

Dans un système de coordonnées cartésiennes, la fonction de distribution (1) s’écrit : ) *   2 2 2 mα (wαx + wαy + wαz ) + 2vα mα wαz vα qα A × exp fα ∝ exp (7) 2kB Tα kB Tα et les différentes grandeurs intervenant dans (6), compte tenu de (7), ont pour expression : ∂Az ∂Az ˆx − ˆy , B =∇∧A= (8) e e ∂y ∂x   ∂Az ∂Az ∂Az ∂Az ˆx + wαz ˆy − wαx ˆz , e e + wαy e (9) w α ∧ B = wαz ∂x ∂y ∂x ∂y   ∂Az ∂Az qα ˆx + vα ˆy , e e ∇ r fα = fα vα (10) kB Tα ∂x ∂y mα ˆx − wαy e ˆy − (wαz − vα ) e ˆz ) , ∇w fα = fα (−wαx e (11) kB Tα ˆx , e ˆy et e ˆz représentent les vecteurs unitaires des coordonnées cartésiennes. En où e effectuant les produits scalaires dans l’équation (6) et en simplifiant par qα fα /kB Tα en facteur partout, on obtient :  vα

  ∂Az ∂Az ∂Az ∂Az + wαy − wαy wαz wαx + −wαx wαz ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂Az ∂Az ∂Az ∂Az + wαz wαy − vα wαx − vα wαy +wαx wαz ≡ 0 . (12) ∂x ∂y ∂x ∂y

La fonction de distribution fα est solution de l’équation de Vlasov pour l’espèce α. b) Comme le montre l’expression (7), la fonction de distribution fα est une fonction de distribution séparable, soit, selon (3.43) : fα (r, w) = fαr (r)fαw (w) . La densité n(r) peut alors s’écrire, selon (3.38), sous la forme : n(r) = n0 fαr (r) fαw (w)dw , w

(13)

(14)

366

Exercices du chapitre 3

expression dans laquelle la condition de normalisation de la fonction de distribution des vitesses est, selon (3.44) : fαw (w)dw = 1 . (15) w

En décomposant la fonction de distribution des vitesses suivant les différentes composantes, (15) peut s’écrire : ∞ 1=C −∞

) *   ∞ 2 2 mα wαy mα wαx exp − exp − dwαy dwαx 2kB Tα 2kB Tα ∞ × −∞

−∞

  2 − 2mα vα wαz + mα vα2 ) − mα vα2 (mα wαz exp − dwαz 2kB Tα

(16)

où C est un coefficient de normalisation. En décomposant le dernier terme de (16) et en posant uαz = wαz − vα avec dwαz = duαz , on obtient :  1 = C exp

mα vα2 2kB Tα

 ∞ −∞

∞ × −∞

  2 mα wαx exp − dwαx 2kB Tα )

2 mα wαy exp − 2kB Tα

*

∞ dwαy −∞

  mα u2αz exp − duαz . (17) 2kB Tα

Par intégration, on obtient l’expression donnant la constante C de normalisation :  C exp

mα vα2 2KB Tα



 =

mα 2πkB Tα

 32 (18)

et la fonction de distribution des vitesses : * )     32   2 2 mα wαy mα mα wαx mα u2αz fαw = exp − exp − exp − . (19) 2πkB Tα 2kB Tα 2kB Tα 2kB Tα On en déduit immédiatement, par intégration des différentes composantes de vitesse sur la fonction de distribution (voir note 103 de bas de page) que wαx  = 0, wαy  = 0, et uαz  = 0, soit : wαz  = vα (20) et donc :

ˆz , v e = ve e

(21)

ˆz . v i = vi e

(22)

367

Exercice 3.1

c) Comme le plasma n’est pas homogène, la neutralité électrique en tout point s’écrit : ni (r)qi + ne (r)qe = 0 .

(23)

En tenant compte de la composante spatiale de chacune des deux fonctions de distribution, on obtient : (24) n0 fir e − n0 fer e = 0 ou encore : soit :

fir − fer = 0 ,     evi A eve A exp − exp − = 0, kB Ti kB Te

d’où le résultat attendu :

ve vi + = 0. Te Ti

(25) (26)

(3)

Si Te = Ti = T , on a dans ce cas, suivant Oz : vi = −ve = v .

(27)

d) Sachant, d’après (27), que vi = −ve = v lorsque Te = Ti = T , la densité du plasma, compte tenu de (24) et (26), a pour expression :   evA ni (r) = ne (r) = n(r) = n0 exp . (28) kB T Sachant en outre que A est indépendant de z (∂A/∂z = 0), la densité nα (r) est elle aussi indépendante de z, soit :   evAz (x, y) n(x, y) = n0 exp . (29) kB T e) Le théorème d’Ampère (2.3) peut s’écrire : ∇ ∧ B = μ0 j ,

(30)

∇ ∧ ∇ ∧ A = μ0 j

(31)

ou encore, compte tenu de (8) :

où j est la densité de courant due au transport des électrons et des ions dans le plasma : (32) j = ni qi v i + ne qe v e . Compte tenu de (27) et (28), la densité de courant devient :   evA j = en0 (v i − v e ) exp , kB T   evA soit : j = 2en0 v exp . kB T

(33) (34)

368

Exercices du chapitre 3

Compte tenu de (A20.10) et sachant que seule la composante de A(x, y) suivant z n’est pas nulle, on a ∇ · A = 0 et l’équation (31) se réduit alors à :   2 ∂ Az ∂ 2 Az ˆz e + ΔA = ∂x2 ∂y 2   evA ˆz = −2μ0 en0 v exp (35) e kB T où seules subsistent les composantes suivant z. En multipliant les deux membres de l’équation (35) par ev/kB T , celle-ci devient :  2  ∂ ψz evA ∂ 2 ψz ˆz e Δ = + kB T ∂x2 ∂y 2 2n0 e2 2 v 0 μ0 exp(ψ)ˆ =− ez , (36)

0 kB T soit encore :

avec :

∂2ψ 1 v2 ∂ 2ψ + = − 2 2 exp ψ 2 2 ∂x ∂y λD c

(37)

1 1 n0 e 2 1 . = + = 2 λ2D λ2De λ2Di

0 kB T

(38)

où λDe , λDi et λD sont respectivement les longueurs de Debye électronique, ionique et globale du plasma (voir (1.39)). Compte tenu de la symétrie de révolution du dispositif Z-pinch, il est préférable de résoudre l’équation (37) en géométrie cylindrique. Dans ce cas, le laplacien du ˆz ) dans (35) ou (36) devient en coordonnées cylindriques, vecteur A (ou ψ = ψz e compte tenu de (A20.24) puis de (A20.23) et, en se rappelant que A est indépendant de z (∂A/∂z = 0) :   1 ∂ 1 v2 ∂ψ 1 ∂2ψ (39) Δψˆ ez = r + 2 2 = 2 2 exp ψ . r ∂r ∂r r ∂θ λD c f) La présence d’une dépendance dans (39) entre A (ou ψ) avec la coordonnées θ suggère l’existence de différents modes autres que le seul mode fondamental à symétrie azimutale. Si l’on s’intéresse à ce mode fondamental (probablement celui présentant la plus grande stabilité), il faut admettre l’hypothèse d’une symétrie de révolution (∂/∂θ = 0) pour la distribution spatiale du plasma. Dans ce cas, l’équation (39) se réduit à : 1 1 ∂ψ ∂2ψ = − 2 exp ψ + 2 ∂r r ∂r a où :

a2 = λ2D

c2 . v2

(40)

(41)

369

Exercice 3.1

La résolution de l’équation différentielle (40) requiert de procéder à un certain nombre de changements de variables. Le premier changement de variable est obtenu en posant : r (42) ρ = ln a dρ =

avec :

dr . r

(43)

Il permet d’écrire (40) sous la forme : 2 r2 ∂2ψ ∂ψ 2∂ ψ = − = r + r exp ψ ∂ρ2 ∂r2 ∂r a2

(44)

∂2ψ = − exp(ψ + 2ρ) . ∂ρ2

(45)

soit :

Ce résultat suggère un second changement de variable en posant : ω = ψ + 2ρ

(46)

∂ψ ∂ω = +2 ∂ρ ∂ρ

(47)

∂2ω ∂2ψ = = − exp ω . ∂ρ2 ∂ρ2

(48)

avec : et, compte tenu de (45) :

En multipliant les deux membres de (48) par 2 ∂ω/∂ρ, on obtient : ∂ω ∂ω ∂ 2 ω = −2 exp ω 2 ∂ρ ∂ρ ∂ρ  2 ∂ω = −2 exp ω + G ∂ρ

2 soit, après intégration :

(49)

(50)

où G est une constante d’intégration. Pour calculer G, écrivons (47), en tenant compte de (43), sous la forme : ∂ψ ∂r ∂ψ ∂ω = +2=r +2. ∂ρ ∂r ∂ρ ∂r

(51)

On en déduit que ∂ω/∂ρ = 2 pour r = 0. Comme par ailleurs, ρ et donc ω tendent vers moins l’infini (ω → −∞) pour r = 0, exp ω → 0 pour r = 0. On obtient alors, à partir de (50) pour r = 0, G = 4, soit :  2 ∂ω = 4 − 2 exp ω (52) ∂ρ ou encore :

 ∂ω = ± 4 − 2 exp ω . ∂ρ

(53)

370

Exercices du chapitre 3

En posant maintenant :

s = 2 exp ω

(54)

avec :

dω =

ds , s

(55)

puis :

t=

√ 4−s

(56)

soit :

t =4−s

(57)

avec :

2tdt = −ds ,

(58)

2

l’équation (53) peut s’écrire, compte tenu de (55) : √ ds = ± 4 − s = ±t sdρ

(59)

soit encore, compte tenu de (57) et (58) : ±dρ = −

2dt 2dt . =− 4 − t2 (2 − t)(2 + t)

(60)

En vue de son intégration, (60) peut se mettre sous la forme : dt dt − , 2(t − 2) 2(t + 2)   1  t − 2  + ln K ± ρ = ln  2 t + 2

±dρ = d’où :

(61) (62)

soit encore, compte tenu de (42) et sachant d’après (56) que la variable t est inférieure à 2 (t < 2) :    r 2 2−t ± ln = ln (63) + ln K 2 , a 2+t  r ±2 2−t ou encore : = K2 . (64) a 2+t De (64), on obtient l’expression de t, soit :   r ±2  2 2 K − a t=  r ±2 . K2 + a

(65)

Sachant que, selon (57), t2 = 4 − s, on en déduit facilement l’expression de s, soit :  r ±2 16K 2 a s=  (66)  r ±2 2 . K2 + a

371

Exercice 3.1

Sachant en outre que, selon (54), s = 2 exp ω et que, selon (46), ω = ψ + 2ρ, on obtient :  r ±2 8K 2 a (67) exp(2ρ) exp ψ =   r ±2 2 , K2 + a  r ±2  r 2 8K 2 a soit encore : exp ψ =  (68)  r ±2 2 . a 2 K + a À ce stade du calcul de la grandeur ψ où l’équation (68) propose deux alternatives de signe, il faut désormais déterminer la constante d’intégration K 2 et donc l’expression de ψ pour chacun des signes. Avec le signe positif, l’équation (68) devient : 8K 2 exp ψ =  (69)  r  2 2 . 2 K + a Si l’on admet, selon (28), que la densité du plasma sur l’axe est égale à : n(r = 0) = n0 ,

(70)

on a nécessairement exp ψ = 1, et donc A = 0. En faisant r = 0 dans (69), on obtient donc K 2 = 8 et la première solution de (40) s’écrit alors : exp ψ = 

64  r  2 2 . 8+ a

(71)

Avec le signe négatif, pour les mêmes conditions aux limites, on obtient cette fois K 2 = 1/8, mais la solution obtenue est strictement identique à la première solution donnée par (71). On en déduit l’expression finale de la seule composante Az = A du potentiel vecteur magnétique A, soit : A=

kB T ln  ev

64  r  2 2 . 8+ a

(72)

On vérifie sur cette expression que A(r = 0) = 0 sur l’axe z, puis que A diminue lorsque r augmente et tend vers moins l’infini (A → −∞) lorsque r tend vers l’infini (r → ∞). g) La densité du plasma se déduit directement de (28) et (71), soit : 64  r 2 2 . 8+ a

n(r) = n0 

(73)

372

Exercices du chapitre 3

La densité est maximum sur l’axe z puis décroît en 1/r4 lorsque r  a, ce qui indique une très forte constriction du plasma autour de l’axe sous l’effet des forces de Lorentz. Le champ magnétique B se calcule à partir du potentiel vecteur A (B = ∇ ∧ A) dont la seule composante non nulle est Az (r). Sachant, d’une part, que Ar =Aθ =0, et, d’autre part, que ∂/∂θ = 0 et ∂/∂z = 0, le champ magnétique B se réduit, compte tenu de (A20.22), à une seule composante suivant la coordonnée θ, soit : B(r) = −

∂Az eθ . ∂r

(74)

En dérivant (72) par rapport à r, on obtient : Bθ (r) =

4r kB T 2 ev r + 8a2

(75)

Le champ magnétique de composante azimutale Bθ ainsi √ obtenu est nul sur l’axe (r = 0), passe par une valeur maximum pour r = 2a 2 et tend vers 0 lorsque r tend vers l’infini. Comme, en outre, les vitesses moyennes des électrons et des ions sont dirigées suivant z, ils subissent des forces de Lorentz radiales qui produisent la constriction du plasma autour de son axe.

Exercice 3.2 Les deux principales méthodes de description d’un plasma sont le modèle cinétique et le modèle hydrodynamique. Indiquer leur origine, leurs relations et leur intérêt respectif. Poser le problème de la fermeture du système d’équations hydrodynamiques et indiquer comment on peut le résoudre ; donner un exemple concret de fermeture. Solution Modèle cinétique Ce modèle tient compte, dans un cadre statistique, du mouvement individuel des particules, des micro-champs induits par le mouvement des particules chargées et des collisions. Modèle fondé sur l’équation de Boltzmann (elle-même résultant de l’intégration de l’équation de Liouville) qui décrit l’évolution de la fonction de distribution simple f1 des vitesses des particules d’un type donné. Cette équation différentielle fait apparaître des interactions binaires collisionnelles exprimées par la fonction double f12 à laquelle, pour permettre la solution de cette équation, on substitue (dans l’hypothèse de corrélations faibles entre particules) le produit des fonctions simples f1 et f2 des particules d’espèces 1 et 2. L’équation différentielle de Boltzmann est l’élément central de la physique des plasmas à faible densité (interactions binaires).

Exercice 3.2

373

Modèle hydrodynamique Modèle de fluide continu faisant appel aux valeurs moyennes des propriétés particulaires, des champs induits et des interaction collisionnelles. Ces moyennes s’obtiennent à partir de la fonction de distribution en vitesse dont l’évolution est décrite par l’équation de Boltzmann du modèle cinétique. Ce modèle constitue une bonne approximation de la description de la plupart des propriétés du plasma, notamment en tout ce qui concerne le mouvement des particules chargées et les caractéristiques de la grande majorité des ondes qui s’y propagent. La description cinétique est plus précise et plus complète (certains phénomènes, peu nombreux cependant, ne pouvant pas être pris en comptes dans le cadre hydrodynamique), mais plus lourde mathématiquement à manier et plus complexe à interpréter que le modèle hydrodynamique. Structure des équations hydrodynamiques et nécessité de leur fermeture Les équations hydrodynamiques sont, en principe, infinies en nombre, comme le montre la section 3.5. La succession de ces équations, par moment croissant de w, s’ordonne de ce fait, par ordre tensoriel croissant : ainsi, l’équation de continuité (moment w0 ) est d’ordre tensoriel zéro car elle est de nature scalaire, l’équation de transport de la quantité de mouvement (moment w1 ) est d’ordre tensoriel 1 alors que l’équation de transport du tenseur de pression cinétique (moment w2 ) est d’ordre 2 (voir annexe A7 pour des notions de tenseur). Dans chacune de ces équations se trouve un terme où apparaît une variable dont l’évolution est décrite par l’équation hydrodynamique de moment immédiatement supérieur et, donc, d’un ordre tensoriel supérieur d’une unité à celui de l’équation considérée. Cependant, comme cette quantité est affectée par un opérateur divergence, l’ordre tensoriel de l’équation considérée est préservé. Ainsi en est-il de la vitesse v (un vecteur c’est-à-dire un tenseur d’ordre 1) dans l’équation de continuité, équation d’ordre tensoriel zéro, puisque la grandeur v fait partie du terme ∇ · nv, terme globalement d’ordre 0 : en effet, il y a contraction, du fait du produit scalaire, sur l’opérateur gradient, un vecteur, et sur la vitesse (pour plus de détails, annexe A7). Compte tenu des éléments du problème physique que l’on souhaite traiter, on ne retient généralement que les deux ou trois premières équations hydrodynamiques. Il faut alors que la dernière de ces équations ne contienne plus la variable dont l’évolution est donnée par le moment d’ordre immédiatement supérieur. Ce processus, appelé fermeture du système, est particulièrement bien illustré dans le cadre de l’approximation du plasma tiède et dans celle du plasma froid. Considérons l’équation hydrodynamique du deuxième moment (ordre tensoriel 1), qui fait apparaître le terme ∇ · Ψ où Ψ est le tenseur (ordre 2) de pression cinétique. Ce terme, qui résulte de la contraction (produit scalaire) de Ψ avec l’opérateur de divergence, est d’ordre 1. L’approximation du plasma tiède revient à le remplacer par ∇pα où pα est la pression cinétique (scalaire) des particules de type α : ∇pα est bien d’ordre tensoriel 1 et le lien

374

Exercices du chapitre 3

avec le moment w2 décrivant l’évolution de Ψ est coupé. On peut aussi négliger toute agitation thermique (Tα = 0) en posant directement Ψ = 0 ou encore pα = 0 : c’est l’approximation du plasma froid. Dans ces deux approximations, on ne conserve que les deux premières équations hydrodynamiques, l’équation de continuité et l’équation du transport de la quantité de mouvement.

Exercice 3.3 Considérer les deux équations hydrodynamiques suivantes : me v˙ e = −eE − me ν(v e − v i ) , mi v˙ i = eE − me ν(v i − v e ) ,

(1) (2)

où me et mi sont, respectivement, la masse des électrons et celle des ions, ve et vi , la vitesse des électrons et celle des ions et ν, la fréquence de collisions pour le transfert de quantité de mouvement, considérée constante. a) En supposant qu’il s’agit d’un plasma froid, montrer que sous l’action d’un champ électrique alternatif E = E 0 e−iωt , la densité totale de courant peut se mettre sous la forme : 1 + me /mi ne2 E (3) J= me ν (1 + me /mi ) − i(ω/ν) où n = ne = ni , la densité des charges. b) Déterminer ensuite la permittivité relative de ce milieu et obtenir les approximations correspondant au cas où me /mi 1, puis à celui où me /mi 1 et ν/ω 1 : conclure. c) Pouvez-vous justifier l’origine et la forme du terme collisionnel dans les équations (1) et (2) ? Solution a) Dans un plasma froid soumis à un champ électrique alternatif, par hypothèse la vitesse des fluides de particules est purement périodique, d’où (2.28) v e = v 0e e−iωt et v i = v 0i e−iωt . En tenant compte de cette propriété et en additionnant (1) et (2), nous obtenons : −iω(me v e + mi v i ) = 0 , (4) de sorte que, pour ω = 0 :

ve = −

mi vi . me

(5)

En portant (5) dans (1), nous pouvons éliminer une des deux vitesses, ce qui conduit, dans ce cas, à : mi iωv i = −eE + v i (mi ν + me ν) ,

(6)

375

Exercice 3.3

d’où :

vi = −

eE = mi iω − mi ν − me ν

eE . me iω mi ν 1 + − mi ν 

(7)

En utilisant (5) cette fois dans (2), nous arriverions à : ve = −

eE  . me iω me ν 1 + − mi ν 

La densité totale de courant s’écrit alors :   −1  1 ne2 E iω 1 me − + J ≡ −neve + nevi = , 1+ ν mi ν me mi J=

et :

1 + me /mi ne2 E . me ν 1 + me /mi − iω/ν

(8)

(9) (10)

b) De (10), par identification (J = σE) nous tirons la conductivité totale : σ=

ne2 1 + me /mi . me ν 1 + me /mi − iω/ν

(11)

Sachant que la permittivité relative au vide d’un fluide de particules chargées soumises à un champ E0 e−iωt a pour expression : E0 e−iωt ,

(2.43)

nous obtenons de (11) :

p = 1 −

2 ωpe 1 + me /mi ων i(1 + me /mi − iω/ν)

(12)

2 2 2 . Par ailleurs, comme ωpe /ωpi = mi /me , il où nous avons posé ne2 /me 0 = ωpe vient : 2 2 2 1 + ωpi /ωpe ωpe

p = 1 − (13) 2 /ω 2 ) , ων ω/ν + i(1 + ωpi pe

permittivité pouvant s’exprimer sous la forme d’une partie réelle et d’une partie imaginaire p = r + i i . Approximations intéressantes : 2 2 /ωpe

0), de (13) : 1. pour me /mi 1 (ωpi

p = 1 −

2 2 ωpe ωpe 1 =1− , ων ω/ν + i ω(ω + iν)

(14)

expression équivalant à (2.44) pour le cas d’une dépendance du champ E en e−iωt .

376

Exercices du chapitre 3 2. pour me /mi 1 et ν/ω 1, de (14) :

p = 1 −

2 ωpe , ω2

(15)

soit l’expression (2.45), qui est purement réelle à la différence de (14). c) Dans les équations (1) et (2), seule la vitesse relative v e − vi des fluides d’électrons et d’ions apparaît. Ceci signifie que seules les collisions électron-ion sont prises en compte : il n’y a pas de collisions avec les neutres, indiquant l’absence de particules neutres dans ce plasma. Considérons le terme collisionnel (3.116) de l’équation de transport de quantité de mouvement :   ναβ nα μαβ (v α − v β ) = − P αβ . (16) Pα = − β =α

β =α

Dans le cas où les particules α sont des électrons et les particules β des ions, la masse réduite μαβ se ramène à mα (me /mi 1). En posant ni = ne = n, alors νei = νie = ν et nous pouvons donc écrire de (16), pour les collisions des électrons avec des ions : (17) P ei = −νnme (v e − v i ) . Comme P ei = −P ie (3.122) : P ie = −νnme (v i − v e ) ,

(18)

d’où les termes collisionnels respectivement des équations (1) et (2). Les équations (1) et (2) sont, en fait, les équations de transport de quantité de mouvement, respectivement des électrons et des ions, dans lesquelles le terme convectif et le terme ∇pα sont négligés. La densité n, qui apparaît explicitement dans ces équations (par exemple (3.113)), se met partout en facteur et disparaît.

Exercice 3.4 Soit un fluide d’électrons soumis à un champ magnétique B statique et dans lequel existe un gradient de pression, ∇p. a) Montrer qu’il en résulte une densité de courant J, perpendiculaire au champ B, donnée par : B ∧ ∇p . (1) J= B2 b) Considérer le cas où le plasma est de forme cylindrique et soumis à un champ magnétique dirigé suivant l’axe de ce cylindre (axe z), champ supposé uniforme dans cette direction et de symétrie axiale. Pour un gradient de pression dirigé

377

Exercice 3.4 radialement vers l’axe du cylindre, montrer que : a B(r) − B(a) = μ0 r

1 dp  dr B(r ) dr

(2)

où a est le rayon du plasma. À cette fin, se rappeler l’équation de Maxwell ∇ ∧ B = μo J + μ0 0 ∂E/∂t où, dans le cas présent, ∂E/∂t = 0. c) Démontrer que la relation (2) est équivalente à l’expression : B 2 (r) + p(r) = C1 2μ0

(3)

où C1 est une constante quant à r. Solution a) Le modèle du plasma d’électrons de Lorentz (section 3.7) conduit à l’équation de transport de quantité de mouvement du fluide d’électrons, de vitesse v e et de densité ne , sous la forme : me

∇pe ∂ve = F ≡ qe [E + v e ∧ B] − − me νv e . ∂t ne

(3.165)

Cette équation montre que le terme −∇pe /ne est une composante de la force totale F agissant sur le fluide, donc de la nature d’une force. Par ailleurs, nous avons vu dans le cadre de l’étude des trajectoires individuelles que la vitesse de dérive wD due à l’action d’une force F D agissant sur une particule chargée soumise à un champ B a pour expression (annexe A12) : wD =

FD ∧B . qB 2

(A12.2)

En utilisant cette relation pour décrire la vitesse v D de dérive du fluide d’électrons soumis à la force F D = −∇pe /ne , nous obtenons : vD = −

∇pe ∧ B B ∧ ∇pe = . 2 ne qe B ne qe B 2

(4)

La densité de courant de dérive, J ≡ ne qe v D , est donc bien donnée par la relation : J ≡ ne qe v D =

B ∧ ∇pe , B2

où la vitesse de dérive engendrant J est perpendiculaire à B et à ∇pe .

(1)

378

Exercices du chapitre 3

b) La non uniformité du champ B dans la direction qui lui est perpendiculaire, comme cela a été montré en section 2.2.3, fait en sorte que la composante Bz va dépendre des différentes composantes perpendiculaires à l’axe. Ceci implique de considérer l’équation de Maxwell suivante : ∇ ∧ H = J + 0

∂E , ∂t

(5)

qui, écrite pour B plutôt que H, donne (μ0 0 = 1/c2 ) : 1 ∂E . (6) c2 ∂t Comme nous ne sommes pas dans le cadre des trajectoires individuelles, le second membre de cette équation n’est pas nul de façon générale. Dans le cas présent, comme nous avons affaire à un champ B constant, la relation (1) indique que J est constant, ce qui par J = σE entraîne que E est constant, d’où ∂E/∂t = 0. Il ne demeure donc que μ0 J dans le second membre de (6). ∇ ∧ B = μ0 J +

Exprimons les différents termes de ∇ ∧ B en coordonnées cylindriques (voir annexe A20) :       ∂Br ∂(rBϕ ) ∂Bz 1 ∂(rBϕ ) ∂Br 1 ∂Bz ˆr + ˆϕ + ˆz , (7) − − − e e e r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂ϕ ˆz , les composantes Bϕ et Br sont nulles (section 2.2.3). B étant dirigé suivant e Par ailleurs, du fait de la symétrie axiale, ∂Bz /∂ϕ = 0, il ne reste finalement que :   ∂Bz ˆϕ − ∇∧B = e . (8) ∂r Par ailleurs, en multipliant (1) par μ0 , nous obtenons : μ0 J = μ0

B ∧ ∇p . B2

(9)

En égalant (6) où ∂E/∂t = 0 et (9), il vient : ∇∧B =

μ0 B ∧ ∇p B2

(10)

et, en tenant compte de la relation (8) multipliée scalairement par le vecteur ˆϕ , il vient : unitaire e   μ0 B ∧ ∇p ∂Bz μ0 Bz dp ˆϕ ≡ = , (11) − ·e ∂r B2 Bz2 dr puisque ∇p = −ˆ er dp/dr dans cette partie b). En intégrant (11) sur r de a à r nous avons bien la relation (2) : r [Bz (r) − Bz (a)] = a

μ0 dp  dr . Bz dr

(2)

379

Exercice 3.5 c) Pour valider la relation (3), nous la dérivons, ce qui conduit à : dp Bz dBz =− , μ0 dr dr

(12)

c’est-à-dire à l’expression (11), puis à (2) par intégration de a à r.

Exercice 3.5 Considérer la distribution de vitesses des électrons donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann modifiée suivante : ,    1/2 me me me wx2 + wy2 wz2 f (w) = ne exp − + (1) 2πkB T⊥ 2πkB T 2kB T⊥ T où w = (wx , wy , wz ) est le vecteur des vitesses individuelles des électrons de densité ne et de masse me et kB , la constante de Boltzmann. a) Vérifier que, dans cette expression, ne représente bien la densité des électrons, celle-ci étant, par hypothèse, indépendante du temps et de la position dans le cas présent. b) Déterminer les éléments du tenseur de pression cinétique dans le cas d’une fonction de distribution séparable : (2) Ψ ≡ ne me uu où u = w−v avec v(r), la vitesse moyenne des électrons ; uu représente le produit tensoriel des vitesses individuelles, de nature strictement thermique (aléatoire), des électrons. c) Donner une signification physique à la distribution (1) en indiquant comment on pourrait reproduire une telle situation en laboratoire. Solution a) Rappelons d’abord les relations définissant les grandeurs hydrodynamiques, également appelées grandeurs macroscopiques, Υ(r, t) : 1 Υ(r, t) ≡ Υ(r, w, t)f (r, w, t) d3 w (3.39) ne (r, t) w

où les crochets   indiquent la valeur moyenne de la propriété microscopique Υ(r, w, t) prise sur la distribution en vitesse de f (w, r, t), de sorte que la densité, en posant Υ = 1, a comme expression (3.38) : ne (r, t) = f (r, w, t) d3 w . (3.38) w

380

Exercices du chapitre 3

Rappelons que la fonction f (r, w, t) est séparable si nous pouvons l’exprimer sous la forme suivante (section 3.3) : f (r, w, t) = n(r, t)g(w) .

(3)

La forme de l’expression (1) indique que la fonction f a été séparée et nous savons, de plus, que ne , par hypothèse dans le cas présent, ne dépend pas de r. Nous devons donc vérifier que la fonction g(w) définie par f (w)/ne , intégrée sur toutes les vitesses, en l’occurrence : ,    12  me me me wx2 + wy2 wz2 exp − + (4) d3 w 2πkB T⊥ 2πkB T 2kB T⊥ T w

est bien égale à l’unité (condition de normalisation : (3.44)).   ' ∞ me wx2 Évaluons le terme : exp − dwx , 2kB T⊥

(5)

−∞

me wx2 = x2 2kB T⊥ 2me wx dwx = 2xdx 2kB T⊥ 1 dx x xdx = , dwx = 1 1 1 (me /2kB T⊥ ) 2 (me /2kB T⊥ ) 2 wx (me /2kB T⊥ ) 2 x

en posant :

(6)

d’où :

(7)

et :

(8)

de sorte que le terme (5) se récrit : 

2kB T⊥ me

 12 ∞

2

exp(−x ) dx = 2

−∞

∞

Sachant que (annexe A20) : 0



2kB T⊥ me

exp(−x2 ) dx =

 12 ∞

exp(−x2 ) dx .

(9)

0

1√ π, 2

(10)

de (9), il vient : 

2kB T⊥ me

 12 ∞ −∞

exp(−x2 ) dx = 2



2kB T⊥ me

 12 √ π . 2

De façon similaire, nous trouverions que : ,  1 ∞ √ me wy2 2kB T⊥ 2 exp − , dwy = π 2kB T⊥ me −∞ ∞

−∞

  ' 1 √ 2kB T 2 me wz2 exp − , dwz = π 2kB T me

(11)

(12)

(13)

381

Exercice 3.5 en sorte que l’expression (4) vaut bien l’unité :    12 ,  1 2kB T 2 3 me 2kB T⊥ me π2 ≡ 1. 2πkB T⊥ 2πkB T me me

(14)

b) En présence d’une vitesse d’entrainemant v des électrons, il faut considérer une distribution de Maxwell-Boltzmann centrée autour de cette vitesse v (annexe A1). Dans ce cas, la fonction de distribution (1) peut s’écrire :    12 me me f (w) = ne 2πkB T⊥ 2πkb T   ' me (wx − vx )2 + (wy − vy )2 (wz − vz )2 × exp − + . (15) 2kB T⊥ T En effectuant le changement de variable u = w − v, on peut écrire selon les composantes i = x, y, z : (16) ui = wi − vi et puisque la vitesse du fluide est constante : dui = dwi d’où :  f (w) = ne

me 2πkB T⊥



me 2πkb T

 12

,

me exp − 2kB

(17) 

u2x + u2y u2 + z T⊥ T

.

(18)

Intéressons-nous tout d’abord aux composantes hors-diagonale de Ψ, par exemple, Ψxy . Selon (2), ce terme s’écrit : Ψxy = me ux uy f (r, w, t)d3 w , (19) soit, en tenant compte du fait que la fonction f (r, w, t) est séparée (1) : Ψxy = ne me ux uy f (w)d3 w . Après changement de variable :



Ψxy = ne me  Ψxy = ne me

me 2πkB T⊥

∞ ∞ ∞ × −∞ −∞ −∞



me 2πkB T ,

me exp − 2kB

ux uy f (u)d3 u

(20)

(21)

 12 

u2x + u2y u2 + z T⊥ T

ux uy dux duy duz , (22)

382

Exercices du chapitre 3

intégrale qui est nulle puisqu’elle est impaire en ux et uy et qu’elle s’étend de −∞ à +∞. Ainsi en est-il de toutes les composantes hors-diagonale. Quant aux éléments de la diagonale de la matrice représentative de Ψ, considérons, par exemple :    12 me me Ψxx = nme 2πkB T⊥ 2πkB T ,  ∞ ∞ ∞ me u2x + u2y u2z × exp − + u2x dux duy duz . (23) 2kB T⊥ T −∞ −∞ −∞

∞ Le calcul du terme : −∞

  me u2x exp − u2 dux 2kB T⊥ x

(24)

se fait de façon analogue à celui de (5) en posant me u2x /2kB T⊥ = x2 , ce même terme s’écrivant alors :  2

2kB T⊥ me

 12 ∞  0

2kB T⊥ me



exp(−x2 )x2 dx  =2

∞ Selon l’annexe A20, 0

2kB T⊥ me

 32 ∞

exp(−x2 )x2 dx .

(25)

0

√ π exp(−x )x dx = 4 2

2

de sorte que le terme initial (24) devient : ∞ −∞

   3 √ 2kB T⊥ 2 π me , exp − u2x u2x dux = 2 2kB T⊥ me 4

(26)

d’où, finalement de (23) et en tenant compte de (12) et (13) :  Ψxx = ne me

me 2πkB T⊥



 12  3 √ 2kB T⊥ 2 π me 2 2πkB T me 4    12 1 √ 2kB T 2 √ 2kB T⊥ × π × π me me   ! " ! " après intégration sur uy

et :

Ψxx =

(27)

après intégration sur uz

ne me 2kB T⊥ = ne kB T⊥ . 2 me

(28)

383

Exercice 3.6 Nous trouverions pour les deux autres termes de la diagonale :

et :

Ψyy  = ne kB T⊥

(29)

Ψzz  = ne kB T

(30)

de sorte que nous pouvons écrire (annexe A7) : ˆy e ˆx + e ˆy ) + nkB T (ˆ ˆz ) . ex e ez e Ψ = nkB T⊥ (ˆ c) Nous savons que la pression scalaire suivant chaque axe du système de coordonnées, pour des électrons obéissant à une distribution de Maxwell-Boltzmann caractérisée par une température Te , est donnée par : px = py = pz = p = ne kB Te .

(31)

Dans le cas présent, il y a anisotropie de la distribution des vitesses puisque l’on décrit l’énergie moyenne suivant l’axe z par une température T différente de T⊥ , celle suivant x et y. Une telle situation d’anisotropie s’obtient à l’aide d’un champ magnétique axial. Dans une longue enceinte de forme cylindrique (L  R), la diffusion radiale est moins importante si l’on ajoute un champ magnétique axial homogène (suivant z) (section 3.8). La diffusion radiale dépend alors de la température T⊥ plutôt que de T , la température qui existerait en l’absence de champ magnétique. Montrons que T⊥ < T . Les coefficients de diffusion, en présence de champ magnétique, étant respectivement (3.192) et (3.195) : kB T , (32) D = me ν D⊥ =

D ν 2 , ν 2 + ωc2

(33)

il suffit de poser, de façon analogue à (32), que D⊥ = kB T⊥ /me ν et alors : T⊥ = T

ν2 , ν 2 + ωc2

(34)

de sorte que T⊥  T dans la mesure où ωce  ν.

Exercice 3.6 Soit un plasma plongé dans un champ magnétique uniforme dirigé suivant l’axe z ˆz B, et soumis à un champ électrique HF, E 0 eiωt , (coordonnées cartésiennes), B = e uniforme et d’orientation quelconque. Le plasma est froid et sans collisions, et le champ B est hors résonance.

384

Exercices du chapitre 3

a) Calculer le tenseur de permittivité diélectrique p (relatif au vide) du fluide d’électrons en y faisant apparaître les pulsations électronique et cyclotronique, ωpe et ωce . b) Déterminer le tenseur p décrivant à la fois le fluide d’électrons et celui des ions (ionisés une fois) en faisant ressortir les pulsations ωpi et ωci des ions. Solution a) Nous savons que le tenseur de permittivité p est lié au tenseur de conductivité σ par la relation tensorielle d’ordre 2 (2.131) : p = I +

σ iω 0

(1)

où I est le tenseur unitaire (matrice unité). La conductivité σ peut s’obtenir de la densité de courant J = nqv puisque J = σ · E. Compte tenu des hypothèses indiquées, nous pouvons décrire le mouvement du fluide d’électrons à partir des équations du mouvement d’un électron individuel (voir (2.6)–(2.8)) en y utilisant comme composantes de la vitesse celles du fluide d’électrons. Ainsi : e Ex − ωce vy , (2) iωvx = − me e Ey + ωce vx , (3) iωvy = − me e iωvz = − Ez . (4) me En éliminant vy apparaissant dans (2) à partir de la relation (3), il vient sucessivement :   e ωce e iωvx = − Ex − Ey + ωce vx , (5) − me iω me e ωce e ω2 Ex − 2 vx = − Ey + ce vx , (6) me iω ω me ω2     ωce e e iωEx − ωce Ey iω − − 2 Ex + 2 Ey me ω ω me ω2 = (7) vx = 2 2 2 ω − ωce ωce 1− 2 ω ω2   e iωEx − ωce Ey d’où, finalement : vx = . (8) 2 me ω 2 − ωce De même, nous obtiendrions : vy =

  e iωEy + ωce Ex 2 me ω 2 − ωce

(9)

385

Exercice 3.6

vz =

et :

i e Ez . ω me

(10)

Exprimons la composante Jx du courant électronique (2.128) :   ne e2 iωEx − ωce Ey Jx ≡ −ne evx = − = σxx Ex + σxy Ey + σxz Ez . 2 me ω 2 − ωce

(11)

La composante σxx du tenseur σ est celle, dans le développement de Jx ≡ −ne evx qui affecte la composante Ex du champ, d’où, de (8) et de (11) :   iω ne2 σxx = − , (12) 2 me ω 2 − ωce dont la composante correspondante de la permittivité (1) est donnée par :

pxx = 1 +

2 ωpe 1 σxx ne e 2 =1− = 1 − . 2 2 iω 0 me 0 ω 2 − ωce ω 2 − ωce

(13)

Pour la composante σxy (terme de Jx affectant Ey ), de (8) et (11), il vient :     2 ωpe ωce ωce ne e 2 σxy = (14) = 0 2 2 me ω 2 − ωce ω 2 − ωce et de (1), en nous rappelant que les éléments de la matrice I sont nuls hors diagonale :   2 ωce ωpe

pxy = −i . (15) 2 ω ω 2 − ωce On trouverait de même que pyy = pxx et que pyx = − pxy . Quant à pzz , comme de (10) : ine2 σzz = − , (16) ωme

pzz = 1 −

alors :

2 ωpe . ω2

(17)

La matrice représentative de p est de la forme : ⎛

pxx ⎜ p = ⎝ − pxy 0

pxy

pxx

0 0

0

pzz

⎞ ⎟ ⎠,

(18)

cette symétrie apparaissant de façon générale (relations d’Onsager) dans un plasma soumis à un champ B uniforme, dirigé axialement (axe z). En portant

386

Exercices du chapitre 3

dans (18) les valeurs des composantes de p , nous obtenons :   ⎛ 2 2 ωpe ωce ωpe 1− 2 −i 0 ⎜ 2 2 ω − ωce ω ω 2 − ωce ⎜ ⎜   ⎜ 2 2 ωpe ωce ωpe p = ⎜ ⎜ +i 0 1 − 2 2 ⎜ ω ω 2 − ωce ω 2 − ωce ⎜ ⎝ 2 ωpe 0 0 1− 2 ω où nous avons fait apparaître les pulsations ωpe et ωce .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(19)

b) Pour calculer la conductivité électrique à la fois des fluides d’électrons et d’ions, σ total , il suffit de rappeler que les courants électroniques et ioniques s’ajoutent l’un à l’autre. En effet, dans l’expression des composantes de la densité de courant, la charge apparaît sous la forme de e2 (voir (11), par exemple) de sorte que ces deux courants s’additionnent bien. Alors, avec ne = ni = n :     iω iω ne2 ne2 σxx = − − (20) 2 2 me ω 2 − ωce mi ω 2 − ωci où ωci = −eB/mi de sorte que, à la fin :

pxx = 1 −

2 2 ωpi ωpe − 2 . 2 ω 2 − ωce ω 2 − ωci

(21)

Exercice 3.7 Considérer un plasma composé d’un seul type d’ions n’existant, par hypothèse, qu’à l’état fondamental, dont la perte a lieu exclusivement : a) soit par recombinaison en volume de nature radiative : αrr

A+ + e −−−→ A∗ (k) + hν ,

(1)

l’énergie rendue disponible lors de la recombinaison donnant lieu à l’émission d’un photon (A∗ (k) est, en toute généralité, un état excité de l’atome neutre). Cette perte de particules chargées est caractérisée par le coefficient de réaction αrr . Déterminer l’expression décrivant la décroissance en fonction du temps de la densité n(t) du plasma à partir de l’instant t = 0 où le champ électrique entretenant la décharge est supprimé ; b) soit par recombinaison atomique en volume dite à 3 corps : αra

A+ + e + e −−−→ A + e .

(2)

Déterminer l’expression décrivant la décroissance de n(t) à partir de l’instant t = 0 où le champ électrique entretenant la décharge est supprimé ;

387

Exercice 3.7

c) soit à la fois par diffusion vers les parois sur lesquelles il y a recombinaison et par recombinaison à 2 corps (par exemple : recombinaison dissociative). On supposera la diffusion prédominante au point d’imposer la distribution spatiale des espèces chargées (mode fondamental de diffusion). Dériver l’expression de décroissance de n(t) pour arriver à (suivant Delcroix et Bers, section 5.9.3) : n(0) n(t) = e−νD t νD + αrm n(t) νD + αrm n(0)

(3)

où νD est la fréquence caractéristique de diffusion (indépendante de la position) en régime d’extinction de la décharge (post-décharge temporelle), et αrm le taux de réaction pour la recombinaison à deux corps considérée. Solution a) De façon générale, en post-décharge (νi = 0), la décroissance de la densité du plasma en fonction du temps par recombinaison en volume dominante se fait selon : ∂n = −νr n . ∂t

(1.157)

Dans le cas présent, comme il s’agit d’une réaction à 2 corps (ion avec électron), nous avons νr ne = αrr n+ ne et comme n+ = ne = n, il vient : dn = −αrr n2 , dt

(4)

dn = −dt . αrr n2

(5)

soit, en séparant les variables :

Par intégration entre t = 0 et t, nous obtenons : 1 1 = + αrr t . n(t) n(0)

(6)

b) La recombinaison à 3 corps d’un ion atomique obéit à la réaction : αra

A+ + e + e −−−→ A∗ + e

(7)

et, selon (1.157), le taux de décroissance de la densité du plasma, en post-décharge (νi = 0), est dans ce cas donné par : dn = −αra n+ ne ne = −αra n3 , dt

(8)

388

Exercices du chapitre 3

suivant l’hypothèse que n+ = ne = n. Après séparation des variables : dn = −dt , αra n3

(9)

puis intégration entre t = 0 et t, nous arrivons à : 1 n2 (t)

−

1 = 2αra t . n(0)2

(10)

c) L’équation différentielle de la décroissance de la densité du plasma en fonction du temps par diffusion et par recombinaison s’écrit d’après (1.157) où νi = 0 :

et finalement :

∂n + ∇ · (nv) = −νr n ∂t

(11)

∂n = D∇2 n − αrm n2 . ∂t

(12)

En faisant l’hypothèse isotherme, le flux de diffusion est donné par ((3.217) et (3.219)) : ∇2 n = −

νD n D

(3.219)

et (12) prend alors la forme particulière : ∂n = −νD n − αrm n2 , ∂t

(13)

soit, en séparant les variables : dn dn = −dt . ≡ 2 νD n + αrm n n(νD + αrm n) Sachant que :

1 x dx = ln , x(a + bx) a a + bx

nous obtenons (a = νD , b = αrm ), par intégration entre t = 0 et t :     n(t) n(0) ln − ln = −νD t . νD + αrm n(t) νD + αrm n(0)

(14)

(15)

(16)

Finalement, nous avons : n(0) n = e−νD t . νD + αrm n νD + αrm n(0)

(17)

389

Exercice 3.8

Exercice 3.8 Considérer un plasma soumis à un champ électrique alternatif E = E 0 eiωt , plasma que l’on décrit par son fluide d’électrons, qui est ici supposé froid. L’équation du mouvement de ce fluide est donnée par : me

dv = −eE − me νv dt

(1)

où me est la masse de l’électron, e sa charge en valeur absolue et v sa vitesse moyenne, et ν est la fréquence moyenne de collisions pour le transfert de quantité de mouvement ; les quantités v et E sont exprimées en algèbre complexe mais E 0 , l’amplitude du champ, est réelle. a) Montrer que la vitesse moyenne de ce fluide et son déplacement dans le champ alternatif sont donnés respectivement, à une constante près, par : eE 0 1 eiωt , me ν + iω

(2)

1 eE 0 eiωt . me ω(ω − iν)

(3)

v=− r=

b) Déterminer l’expression de la conductivité électrique complexe de ce fluide. c) Montrer que la partie réelle de (2) peut se mettre sous la forme : eE 0 1 cos(ωt + ϕ) m (ν 2 + ω 2 ) 12  ω . ϕ = arctan − ν

v(t) = − où

(4) (5)

d) Déterminer E¯cin , l’énergie cinétique moyenne sur une période du champ E. e) Montrer, enfin, que θa , la puissance moyenne absorbée du champ E par électron, est donnée par : ν 1 e2 E02 = 2ν E¯cin . (6) θa = 2 me ν 2 + ω 2 Solution a) L’hypothèse du plasma froid (section 3.6) fait que les électrons ne se déplacent que sous l’influence du champ E = E 0 eiωt , de sorte que : v = v 0 eiωt .

(7)

La solution de (1) est immédiate puisque (7) dans (1) donne : (me v 0 iω)eiωt = −eE 0 eiωt − me νv ,

(8)

390

Exercices du chapitre 3

v=−

c’est-à-dire :

eE 0 1 eiωt . me ν + iω

(2)

En intégrant (2), à une constante près, on a bien : r=−

eE 0 1 1 eE 0 eiωt = eiωt . iωme ν + iω me ω ω − iν

(3)

b) Par définition, la densité de courant s’écrit J = nqv = σE où q = −e pour des électrons. De (2), nous arrivons directement à : J=

ne2 E 0 1 eiωt me ν + iω

(9)

où la conductivité, complexe, a pour expression : σ=

ne2 1 . me ν + iω

(10)

c) En multipliant (2) au numérateur et au dénominateur par (ν −iω), nous obtenons : v=−

eE 0 ν − iω iωt e . me ν 2 + ω 2

(11)

Sachant qu’un nombre complexe z peut s’écrire sous la forme : z = |z|eiϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ,

(12)

1 2

nous remarquons que le terme (ν − iω)/(ν 2 + ω 2 ) , comme le suggère la relation (4) que nous devons démontrer, peut s’écrire :   ν 1 iω (13) 1 1 − 1 (ν 2 + ω 2 ) 2 (ν 2 + ω 2 ) 2 (ν 2 + ω 2 ) 2 1

1

où, par identification avec (12), cos ϕ = ν/(ν 2 + ω 2 ) 2 et sin ϕ = −ω/(ν 2 + ω 2 ) 2 , de sorte que v (11) se récrit : eE 0 1 ei(ϕ+ωt) 2 m (ν + ω 2 ) 12  ω ϕ = arctan − . ν

v=− où :

(14) (15)

La partie réelle de v a alors pour expression : (v) = −

eE 0 1

me (ν 2 + ω 2 ) 2

cos(ϕ + ωt) .

(16)

Remarque : Les expressions (15) et (16) montrent qu’en l’absence de collisions (ν = 0), v et E sont déphasés de π/2. Ce déphasage tend vers zéro quand ν est très grand devant ω, c’est-à-dire ω/ν → 0.

391

Exercice 3.9

d) L’énergie cinétique moyenne E¯cin , dans le cas où la vitesse est une quantité variant périodiquement en fonction du temps (7), peut se calculer, en algèbre complexe, sous la forme : 1 me 1 (vv ∗ ) = me vv ∗ . (17) E¯cin ≡ me v 2 = 2 4 4 De (2), il vient donc :     me e2 E02 1 e2 E02 1 1 ¯ Ecin = = . (18) 4 m2e ν 2 + ω 2 4 me ν 2 + ω 2 e) La puissance instantanée étant F · v, la puissance moyenne transférée du champ E à un électron est (2.33) :  2 2  e E0 1 1 1 ν 1 e2 E02 ∗ (19) θa = (−eE · v ) =  = 2 2 me ν − iω 2 me ν 2 + ω 2 et en comparant (19) avec (18), nous avons bien : θa = 2ν E¯cin .

(6)

Remarque : L’expression (6) n’est valable que pour ν = constante quant à v.

Exercice 3.9 Considérer la conductivité tensorielle σ des électrons du plasma. Montrer, dans le cas où E est un champ électrique alternatif, que celui-ci transfère aux électrons, en moyenne sur une période de sa pulsation, une énergie par unité de volume égale à :   1 ¯ (σ) · E 0 · E 0 (1) W = 2 où (σ) désigne la partie réelle de σ et E 0 est l’amplitude du champ. Solution Le travail par unité de temps et par électron dans le champ E est F · v où F = −eE. La valeur moyenne de ce travail sur une période du champ alternatif E = E 0 eiωt est (2.33) :  (2) θa = − [eE · v ∗ ] . 2 Par unité de volume, l’énergie moyenne transférée aux électrons est donc : ¯ = −  [eE · v ∗ ]ne W 2 où ne est la densité des électrons.

(3)

392

Exercices du chapitre 3

Nous rappelant que, par définition : J = −ne ev ,

(4)

nous pouvons exprimer (3) sous la forme : ¯ = 1 [E · J ∗ ] = 1 [E · J ∗ + E ∗ · J ] W 2 4 puisque la somme de deux quantités complexes conjuguées est réelle. Alors : ¯ = 1 [E · σ ∗ · E ∗ + E ∗ · σ · E] = 1 [E · σ ∗ · E ∗ + E · σ · E ∗ ] W 4 4 1 1 = [E · (σ ∗ + σ) · E ∗ ] = [E · 2(σ) · E ∗ ] . 4 4 Puisque E = E 0 eiωt , E ∗ = E 0 e−iωt , alors :   ¯ = 1 (σ) · E 0 · E 0 . W 2

(5)

(6)

(1)

Noter la présence des deux produits scalaires pour que le tenseur de conductivité d’ordre 2 conduise au scalaire W (double contraction, voir annexe A7).

Exercice 3.10 En recourant à un développement en harmoniques sphériques dans l’espace des vitesses pour la fonction de distribution complète f (r, w), démontrer que le coefficient De de diffusion des électrons et leur mobilité μe , dans une décharge en courant continu, sont donnés respectivement par : ∞ w2 1 f0 (r, w) 4πw2 dw , De = (1) ne (r) 3ν(w) 0

μe =

1 ne (r)

∞ 0

∂f0 (r, w) ew 4πw2 dw , 3me ν(w) ∂w

(2)

où ne (r) est la densité électronique, w, la vitesse individuelle des électrons, ν(w), la fréquence microscopique de collisions électron-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement, f0 (r, w), la fonction de distribution à l’ordre zéro dans le développement en harmoniques sphériques (donc isotrope), e et me , la charge et la masse de l’électron. Indiquer les hypothèses utilisées au cours du calcul. Vous limiter à l’ordre 2 du développement. Solution 1. L’expression générale pour le coefficient De de diffusion des électrons est (3.203) :  2  w 1 De = (3) 3 ν(w)

393

Exercice 3.10

où les crochets   représentent la moyenne sur la fonction de distribution dans l’espace des vitesses. Rappelons que la moyenne sur une variable particulaire de la fonction Υ(r, w, t) se définit, au sens hydrodynamique, par : 1 Υ(r, w, t)f (r, w, t) dw (3.39) Υ(r, t) = n(r, t) w

lorsqu’on utilise la fonction complète f (r, w, t) (par opposition à la fonction séparée f (w, t)). Dans le cas présent, De qui est une grandeur moyenne, s’écrit donc : w2 1 De = f (r, w) dw (4) 3ne (r) ν(w) w

2

où w ≡ w · w est un scalaire. Nous allons utiliser un développement en harmoniques sphériques, lié à un système de coordonnées sphériques dans l’espace des vitesses avec l’axe z suivant la direction d’anisotropie résultant soit du gradient de diffusion des particules ou du champ E provoquant la dérive des particules. Nous poserons que le volume élémentaire dw = 2πw2 sin θ dθdw, ce qui signifie que nous avons intégré directement sur l’angle ϕ (hypothèse d’isotropie autour de l’axe z contenu dans la forme du développement (5)). En nous limitant à l’ordre 2, f (r, w) a pour expression : f (r, w) = f0 (r, w) + f1 (r, w) cos θ + f2 (r, w)

3 cos2 θ − 1 . 2

(5)

Portons maintenant (5) dans (4), ce qui donne : 1 De = 3ne (r)

∞ 0

 w2 f0 (r, w) + f1 (r, w) cos θ ν(w)

 3 cos2 θ − 1 + f2 (r, w) 2πw2 sin θ dθdw . (6) 2

Des différents termes du développement de f (r, w), seul celui de la fonction f0 contribuera à l’intégrale pour De car la dépendance en θ du terme d’ordre 1 est telle que : π π  1 (7) − cos θ d(cos θ) = − sin2 θ = 0 2 0 0

et, de même, pour le terme d’ordre 2 puisque : π − 0

d’où, finalement :

π 1 3 3 cos2 θ − 1 d(cos θ) = cos θ − cos θ 0 = 0 , 2 2 De =

1 n(r)

∞ 0

w2 f0 (r, w) 4πw2 dw . 3ν(w)

(8)

(1)

394

Exercices du chapitre 3

2. La mobilité est liée à la conductivité électrique σ par la relation (3.186) : σ = nqμ

(9)

où q = −e pour un électron. Par ailleurs, nous avons déjà calculé σ pour des électrons dans un champ électrique HF, mais dans le cas d’une fonction de distribution f (r, w) séparable en un produit d’une fonction de r par une fonction de w (3.43) : f (r, w) = n(r)f (w) .

(10)

Nous avions alors obtenu (section 3.4) 178 : ∞

4πne e2 σe = − 3me

0

1 ∂f0 (w) 3 w dw . ν(w) + iω ∂w

(3.62)

Pour arriver à l’expression de σe faisant intervenir la fonction complète f (r, w), nous utiliserons la relation (10) à l’inverse. En y posant ensuite ω = 0 pour le cas d’une décharge en courant continu, il vient : 4πe2 σe = − 3me

∞ 0

w3 ∂f0 (r, w) dw . ν(w) ∂w

(11)

Pour obtenir μe de σe , selon la relation (9) il suffit de diviser (11) par −ne (r)e, soit : ∞ 3 w ∂f0 (r, w) 4πe dw (12) μe = 3me ne (r) ν(w) ∂w 0

c’est-à-dire, après réarrangement : μe =

1 ne (r)

∞ 0

∂f0 (r, w) we 4πw2 dw . 3me ν(w) ∂w

(2)

Remarque : La conductivité électrique, qu’elle soit électronique ou ionique, est toujours positive. Le fait que la relation (11) soit précédée d’un signe moins vient de ce que la mobilité μe définie par (12) est négative, comme il se doit selon notre convention habituelle.

178 f0 (w) est le terme à l’ordre zéro (isotrope) du développement en harmoniques sphériques de la fonction séparée f (w).

395

Exercice 3.11

Exercice 3.11 De manière générale, la longueur de diffusion caractéristique Λ d’un plasma est reliée aux dimensions du plasma par des coefficients qui dépendent de la géométrie du plasma (voir section 3.9.1), mais aussi des conditions aux limites choisies. On souhaite donc déterminer la longueur caractéristique de diffusion de plasmas dans différentes configurations géométriques (plane et cylindrique) dans le cas où l’hypothèse n(r = R) = 0 n’est plus valide, c’est-à-dire lorsque les pertes aux parois s’expriment en termes de flux à travers une gaine ionique. On suppose que le plasma est en régime de diffusion ambipolaire et que la condition de neutralité (ni = ne ) s’applique jusqu’à la lisière de la gaine ionique dont l’épaisseur est négligeable devant les dimensions du plasma. La gaine est non collisionnelle. a) Calculer la longueur de diffusion caractéristique Λ = L/a (où a est un coefficient sans dimension) d’un plasma de configuration plane infinie suivant y et z et d’épaisseur suivant x égale à L = 2 cm dans les deux cas suivants : 1. Plasma d’argon, p = 0,5 torr, TeV = 1,7 eV, Tg = 300 K, mobilité des ions Ar+ dans Ar : μi0 = 1,52 cm2 V−1 s−1 à 760 torrs et 273 K. 2. Plasma d’hélium, p = 0,5 torr, TeV = 5,8 eV, Tg = 700 K, mobilité des ions He+ dans He : μi0 = 10,4 cm2 V−1 s−1 à 760 torrs et 273 K. Pour calculer a, on utilisera l’abaque a tan a = f (a). b) Calculer la longueur de diffusion caractéristique Λ = R/b (où b est un coefficient sans dimension) d’une colonne de plasma cylindrique infinie et de rayon R = 1 cm dans les deux conditions de plasma définies précédemment. Pour calculer b, on utilisera l’abaque bJ1 (b)/J0 (b) = f (b). La dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d’ordre zéro est : J0 (z) = −J1 (z) où J1 est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 1. Solution En régime de diffusion ambipolaire, le plasma est décrit par les équations de continuité (3.205) : ∂n + ∇ · nv = νi n (1) ∂t et du flux de diffusion (3.253) : Γ = nv = −Da ∇n (2) de sorte que, en régime stationnaire :

νi n, Da 1 ∇2 n = − 2 n . Λ

∇2 n = − ou encore :

(3) (4)

396

Exercices du chapitre 3

Évolution de la fonction f (a) = a tan a avec a.

Évolution de la fonction f (b) = bJ1 (b)/J0 (b) avec b.

397

Exercice 3.11

a) Dans le cas d’une configuration plane infinie suivant y et z, la solution de (3) en coordonnées cartésiennes : 1 ∂2n = − 2n (5) ∂x2 Λ  ax  x = n(0) cos . (6) est donnée par : n(x) = n(0) cos Λ L La condition à la paroi suppose que, en x = ±L/2, les flux électronique et ionique sont égaux et que la vitesse des ions en lisière de gaine est : v = vB , où v B est la vitesse de Bohm (3.322) de valeur scalaire :

kB Te vB = . mi

(7)

(8)

Compte tenu de (2), la conservation du flux d’ions en lisière de gaine peut alors s’écrire :     ∂n L =n x=± (9) −Da vx . ∂x ± L 2 2

vx = + vB

Pour x = +L/2,

de sorte que la relation (9) peut s’écrire, en tenant compte de (6) :   a a ∂n vB a =− = − n(0) sin n(0) cos ∂x + L L 2 Da 2

(10)

(11)

2

d’où :

a LvB a = tan , 2Da 2 2

(12)

où une valeur approchée de Da est donnée par (3.276) : Da

kB Te μi , e

(13)

où μi dépend de la pression. Remarque : On constate que, contrairement au cas de la condition aux limites (n(x = ±L/2) = 0) où la longueur caractéristique ne dépend que de la configuration géométrique et des dimensions du plasma, la longueur de diffusion dépend aussi, dans le cas présent, des conditions opératoires du plasma, c’est-à-dire de la nature du gaz et de sa pression.

398

Exercices du chapitre 3

Numériquement on obtient : 1. Pour l’argon :   12 1,7 (V) × 1,6 × 10−19 (C) vB = = 2,03 × 103 m s−1 , 9,1 × 10−31 (kg) × 1836 × 40 μi = μi0

1,52 × 760 × 300 760 Tg (K) = = 2,54 × 103 cm2 V−1 s−1 p (torr) 273 0,5 × 273

= 25,4 × 10−2 m2 V−1 s−1 , kB Te 2 μi = 1,7 (V) × 25,4 × 10−2 (m V−1 s−1 ) = 43,2 × 10−2 m2 s−1 , Da = e a a LvB 2 × 10−2 × 2,03 × 103 tan = = = 47 . 2 2 2Da 2 × 43,2 × 10−2 On obtient a à partir de l’abaque a tan a, soit : a

1,54 , 2 d’où :

Λ

L . 3,08

La valeur trouvée est proche de la valeur Λ = L/π obtenue avec la condition aux limites n(x = ±L/2) = 0. 2. Pour l’hélium :  1 5,8 (V) × 1,6 × 10−19 (C) 2 vB = = 11,8 × 103 m s−1 , 9,1 × 10−31 (kg) × 1836 × 4 μi = μi0

10,4 × 760 × 300 760 Tg (K) = = 17,4 × 103 cm2 V−1 s−1 p (torr) 273 0,5 × 273

= 1,74 m2 V−1 s−1 , kB Te 2 μi = 5,8 (V) × 1,74 (m V−1 s−1 ) = 10,1 m2 s−1 , Da = e a a LvB 2 × 10−2 × 11,8 × 103 tan = = 11,7 . = 2 2 2Da 2 × 10,1 On obtient a à partir de l’abaque a tan a soit : a

1,45 , 2 d’où :

Λ

L 2,9

valeur, dans ce cas, légèrement différente de Λ = L/π.

399

Exercice 3.11

b) Dans le cas d’une configuration cylindrique de longueur infinie, la solution de (3) en coordonnées cylindriques : 1 1 ∂ nr = − 2 r ∂r Λ est donnée par :

n(r) = n(0)J0

r Λ

(14) 

= n(0)J0

br R

 (15)

où J0 est la fonction de Bessel de première espèce et d’ordre 0. Comme : ∂J0 (br) = −bJ1 (br) , ∂r

(16)

où J1 est une fonction de Bessel de première espèce et d’ordre 1, la condition aux limites en r = R s’écrit, cette fois, en tenant compte de (15) :   ∂n b vB = − n(0)J1 (b) = − n(0)J0 (b) , (17) ∂r R R Da RvB J1 (b) . =b Da J0 (b)

d’où :

(18)

Numériquement, on obtient : b

1. Pour l’argon :

RvB J1 (b) = = 47 . J0 (b) Da

On obtient b à partir de l’abaque bJ1 (b)/J0 (b) : b = 2,36 , Λ=

d’où :

R . 2,36

La valeur trouvée est proche de la valeur Λ = R/2,405 obtenue avec la condition aux limites n(R) = 0. 2. Pour l’hélium :

b

RvB J1 (b) = = 11,7 . J0 (b) Da

On obtient b à partir de l’abaque bJ1 (b)/J0 (b) : b = 2,21 , d’où :

Λ=

R 2,21

valeur, dans ce cas, légèrement différente de Λ = R/2,405.

400

Exercices du chapitre 3

Exercice 3.12 De l’équation de conservation des particules, pour un plasma ne comportant qu’un seul type d’ions, on obtient, à l’état stationnaire, que ∇ · Γe = ∇ · Γi , où Γe et Γi représentent respectivement le flux particulaire des électrons et des ions. Considérer le cas d’une décharge en régime de diffusion ambipolaire sans champ magnétique appliqué. a) Montrer que : et :

∇ ∧ Γe = μe ∇φ ∧ ∇n

(1)

∇ ∧ Γi = μi ∇φ ∧ ∇n

(2)

où μe et μi désignent la mobilité des électrons et des ions, ne et ni la densité des électrons et des ions (ne = ni = n) et φ le potentiel lié à la charge d’espace. b) En posant l’hypothèse que :

∇φ ∧ ∇n = 0 ,

(3)

montrer que la différence de flux Γe − Γi est indépendante de la position. c) Considérer le cas particulier où la densité des particules obéit à une distribution de Boltzmann :   qφ(r) n(r) = n0 exp (4) kB T où la température est supposée indépendante de r. Montrer qu’alors l’hypothèse de la relation (3) est vérifiée. Solution a) En diffusion ambipolaire, nous savons que le flux particulaire des électrons a pour expression (3.248) : (5) Γe = μe ne E D − De ∇ne . En prenant le rotationnel de cette relation, nous obtenons : ∇ ∧ Γe = μe ∇ ∧ (ne E D ) − De ∇ ∧ ∇ne ,

(6)

où nous avons tenu compte de l’hypothèse, implicite en (5), que De est une constante en fonction de la position. Le terme De ∇∧∇n est, en fait, nul car le rotationnel d’un gradient est toujours nul (annexe A20). Quant au terme ∇ ∧ (ne E D ), avec E D = −∇φ(r), il se développe pour conduire à : ∇ ∧ Γe = μe (ne ∇ ∧ E D + ∇ne ∧ E D ) = −μe (ne ∇ ∧ ∇φ + ∇ne ∧ ∇φ) .

(7)

Finalement, comme le terme ∇ ∧ ∇φ est nul lui aussi, il vient : ∇ ∧ Γe = −μe ∇ne ∧ ∇φ ,

(8)

et puisque ne = ni = n, nous avons bien : ∇ ∧ Γe = μe ∇φ ∧ ∇n .

(1)

401

Exercice 3.13 De même pour les ions, nous avons : ∇ ∧ Γi = μi ∇φ ∧ ∇n .

(2)

b) En recourant à l’hypothèse (3), les équations (1) et (2) donnent :

d’où :

∇ ∧ Γe = ∇ ∧ Γi = 0

(9)

∇ ∧ (Γe − Γi ) = 0

(10)

et, effectivement, Γe − Γi = constante (spatialement).  c) De (4) : de sorte que :

∇n(r) = ∇φ

q



n(r) , kB T    q ∇φ ∧ ∇n = n(r) ∇φ ∧ ∇φ = 0 , kB T

(11) (12)

par définition du produit vectoriel.

Exercice 3.13 Considérer une longue colonne de plasma en régime de diffusion ambipolaire parfaite, à l’état stationnaire, contenant des ions positifs (ionisés une fois) et négatifs, respectivement de densité locale ni (r) et n− (r), et des électrons de densité ne (r). a) Montrer que les flux de diffusion des trois espèces chargées sont liés par la relation : ne v e + n− v − = ni v i

(1)

b) Illustrer la signification physique de l’hypothèse de proportionnalité qui, dans le cas présent, est : ∇n− ∇ne ∇ni = = . (2) ni n− ne Existe-t-il un lien entre cette relation et celle exprimant la neutralité macroscopique de ces particules ? Tracer les profils radiaux dans le cas d’une longue colonne cylindrique avec densités des espèces nulles sur la paroi. On fera l’hypothèse qu’il n’y a pas de gaine ionique à la paroi. c) Montrer que le coefficient de diffusion ambipolaire des ions positifs est donné par : Dai =

ne [Di μe − De μi ] + n− [Di μ− − D− μi ] μe ne + μ− n− − μi ni

(3)

où Dk est le coefficient de diffusion libre et μk , la mobilité des divers types de particules (k = e, i, −).

402

Exercices du chapitre 3

Solution a) À l’état stationnaire, l’équation de continuité pour chaque type de particules s’écrit ((3.240)–(3.241)) : ∇ · (ne v e ) = Se ∇ · (ni v i ) = Si

(4) (5)

∇ · (n− v − ) = S−

(6)

où les Sk sont les termes sources représentant le nombre net créé par seconde et par unité de volume des particules chargées considérées (k = e, i, −). Les électrons et les ions positifs sont généralement créés par collisions électron-neutre sur l’atome (molécule) et l’ion négatif s’obtient par attachement d’un électron à une particule neutre (section 1.7.1). De toute façon, quels que soient les mécanismes de création (et de pertes en volume s’il y a lieu), les termes sources sont liés par l’égalité des charges négatives et positives créées, soit Se + S− = Si , d’où des équations (4) à (6) : ne v e + n− v − = ni v i .

(1)

b) L’hypothèse de proportionnalité (section 3.10), dans le cas présent, implique : ni = C1 ne ,

(7)

ni = C2 n−

(8)

en chaque point r, les constantes Cj étant indépendantes de r ; il en découle bien que : ∇ni ∇ne ∇n− = = . ni ne n−

(2)

Le profil radial de densité est le même pour les trois espèces chargées : en effet, chacun des termes ∇nk /nk de (2) étant égal à la même constante C, nous sommes en présence de trois équations de la forme ∇nk = Cnk avec la même valeur propre C (section 3.9). Dans une longue colonne cylindrique avec les densités nulles sur la paroi, nous obtenons approximativement les profils présentés sur la figure à la page suivante. Par ailleurs, la neutralité macroscopique imposant :

de (7), (8) et (9) nous avons : d’où :

ni = ne + n− ,

(9)

ni =

ni ni + , C1 C2

(10)

1=

C2 + C1 , C2 C1

(11)

403

Exercice 3.13

ce qui montre que l’hypothèse de proportionnalité ne permet pas de connaître la répartition des charges négatives entre électrons et ions négatifs. En chaque position r, les valeurs absolues de ces trois densités, indéterminées dans le présent problème, doivent vérifier la neutralité macroscopique.

Profil de densité des espèces chargées en présence d’ions positifs et négatifs en supposant nk (R) = 0.

Remarque : Rappelons que les résultats précédents ont été obtenus dans le cas d’une diffusion ambipolaire parfaite avec l’hypothèse d’une densité nulle des espèces à la paroi (pas de gaine ionique). Dans le cas où une gaine ionique s’établit, seuls les électrons les plus énergétiques peuvent s’échapper du plasma vers les parois. En revanche, dans ces conditions, les ions négatifs (kB T− = kB Ti kB Te ) demeurent confinés dans le plasma. c) De (1), on sait que le flux des ions positifs doit être égal au flux total des électrons et des ions négatifs d’où, en appelant Γ cette valeur commune (3.248) : Γ ≡ ni v i = −Di ∇ni + μi ni E D ,

(12)

Γ = −De ∇ne + μe ne E D − D− ∇n− + μ− n− E D ,

(13)

où E D est le champ ambipolaire de charge d’espace. Multiplions (12) par μe ne + μ− n− et (13) par −μi ni ; en additionnant alors (12) et (13), il vient : Γ(μe ne + μ− n− − μi ni ) = − Di μe ne ∇ni − Di μ− n− ∇ni + De μi ni ∇ne + D− μi ni ∇n− . (14) En utilisant (2), de (14) nous obtenons : Γ(μe ne + μ− n− − μi ni ) = − {ne [Di μe − De μi ] + n− [Di μ− − D− μi ]} ∇ni (15) Γ = −Dap ∇ni

d’où, en posant :

(16)

suit l’expression de Dap : Dap =

ne [Di μe − De μi ] + n− [Di μ− − D− μi ] . μe ne + μ− n− − μi ni

(3)

404

Exercices du chapitre 3

Exercice 3.14 Considérer un plasma composé d’électrons, d’atomes neutres et d’ions (à une seule charge positive). Les électrons et les ions sont soumis à une diffusion ambipolaire parfaite et se meuvent, de ce fait, sous l’influence du champ de charge d’espace comme deux fluides décrits chacun par l’équation de Langevin correspondante. a) Dans le cadre de cette description, qui suppose que les fréquences de collisions sont indépendantes de la vitesse des particules, le terme collisionnel de l’équation des particules de type α, de densité nα , est donné par (3.129) :  P αβ  Pα = =− μαβ ναβ (v α − v β ) nα nα β =α

(1)

β =α

où μαβ est la masse réduite des particules de type α et β, ναβ est la fréquence de collisions des particules de type α avec les particules de type β (α, β = e, i, n pour électrons, ions et atomes neutres). Montrer qu’en première approximation ce terme peut se réduire, pour le fluide d’électrons et le fluide d’ions, respectivement à : Pe = −μen νen v e , ne Pi = −μin νin v i . ni

(2) (3)

b) Dans le cas d’un régime stationnaire, en l’absence de champ magnétique mais en présence d’un champ électrique (macroscopique) E, montrer que l’existence d’un gradient spatial de la densité nα des charges et d’un gradient spatial de la température Tα de ces espèces fait apparaître une vitesse dirigée des particules qui peut s’écrire sous la forme : v α = μα E −

Dα DT ∇nα − α ∇Tα nα Tα

(4)

où l’on reconnaît la mobilité de ces particules μα = qα /μαn ναn , leur coefficient de diffusion Dα = kB Tα /μαn ναn et celui de diffusion thermique DαT = kB Tα /μαn ναn (l’égalité Dα = DαT est liée à l’hypothèse que ναβ ne dépend pas de la vitesse des particules), kB étant la constante de Boltzmann. c) Dans le cas d’une diffusion ambipolaire parfaite, établir la valeur du champ E D de charge d’espace en fonction des coefficients de la relation (4). Solution a) Dans le cas du fluide d’électrons, le terme collisionnel (1) se développe pour donner : Pe = −μen νen (v e − v n ) − μei νei (v e − v i ) . (5) ne

405

Exercice 3.14

En régime ambipolaire parfait, les ions et les électrons diffusent solidairement à la même vitesse, de sorte que le second terme de l’équation (5) est nul. Par ailleurs, le fluide d’atomes neutres n’étant pas soumis au champ de charge d’espace, il n’a pas de vitesse dirigée (v n = 0). Il s’ensuit que (5) se réduit bien à : Pe = −μen νen v e . ne

(2)

Dans le cas du fluide d’ions, le terme collisionnel (1) a pour expression : Pi = −μin νin (v i − v n ) − μie νie (v i − v e ) . ni

(6)

Pour les raisons déjà évoquées, v e − v i = 0 et v n = 0, de sorte que le terme collisionnel du fluide d’ions se ramène bien à : Pi = −μin νin v i . ni

(3)

Nous pouvons donc écrire le terme collisionnel des fluides d’électrons et d’ions sous une forme commune aux deux fluides : P αn = −μαn ναn v α nα

(7)

où α = e ou i. b) À l’état stationnaire, l’équation de Langevin des particules de type α (3.129) s’écrit, compte tenu de (7) et en négligeant le terme convectif (!) : qα E =

1 ∇pα + μαn ναn v α nα

(8)

où pα = nα kB Tα . En explicitant pα où nα et Tα dépendent de la position, nous avons après réarrangement des termes :   1 kB Tα vα = ∇nα . qα E − kB ∇Tα − (9) μαn ναn nα En section 3.8, nous avons traité le cas de la mobilité et de la diffusion des particules chargées quand ∇Tα = 0. Nous avons alors eu à déterminer deux solutions particulières. Il nous suffit maintenant de rechercher la contribution particulière ajoutée à cette solution (3.205) par le terme en ∇Tα qui de (8) s’écrit pour E = 0 et ∇nα = 0 : v αT = −

kB Tα ∇Tα DT = − α ∇Tα . μαn ναn Tα Tα

(10)

406

Exercices du chapitre 3

c) Au total, nous avons donc : v α = μα E −

Dα DT ∇nα − α ∇Tα . nα Tα

(4)

Pour déterminer la valeur du champ de charge d’espace (E = E D ), procédons comme en section 3.8. De (4), nous avons respectivement pour le flux des électrons et celui des ions : DT (11) Γe = −De ∇ne − e ne ∇Te + μe ne E D , Te DT (12) Γi = −Di ∇ni − i ni ∇Ti + μi ni E D . Ti L’hypothèse de congruence nous permet de poser Γe = Γi = Γ et celle de proportionnalité, dans le cas ambipolaire, conduit à ne = ni = n. Nous pouvons donc écrire en soustrayant (12) de (11) et en divisant par n : −(De − Di )

∇Te ∇Ti ∇n − DeT + DiT + (μe − μi )E D = 0 n Te Ti

(13)

de sorte que : ED =

DeT ∇Te De − Di ∇n DiT ∇Ti + − . μe − μi n μe − μi Te μe − μi Ti

Exercice 3.15 Pour décrire une longue colonne cylindrique de plasma en régime de diffusion ambipolaire, on a utilisé les équations hydrodynamiques suivantes : ∇ · (nv r ) = νi n , (1) 1 (2) v r = −μe E D − ∇(De n) , n e kB Ti ∇n − νin v r , ED − (3) (v r · ∇)v r + νi v r = mi mi n où les indices e, i et n se rapportent respectivement aux électrons, aux ions et aux atomes neutres ; n = ne = ni , v r est une vitesse dirigée radialement, νi est la fréquence d’ionisation, μe est la valeur absolue de la mobilité électronique et De est le coefficient de diffusion libre des électrons ; νin est la fréquence de collisions ionneutre pour le transfert de la quantité de mouvement, mi est la masse des ions et Ti , leur température, kB est la constante de Boltzmann et E D , le champ électrique de charge d’espace lié à la diffusion ambipolaire. a) Indiquer ce que représente chacune de ces équations et à quel type de particules elles se rapportent. b) Obtenir l’équation (3) en utilisant judicieusement les équations hydrodynamiques de transport.

407

Exercice 3.15 Solution

a) Du fait que le plasma est de forme cylindrique et que l’on suppose cette colonne infiniment longue, le système d’équations est décrit en coordonnées cylindriques ˆr ) et les phénomènes de dérive et de diffusion dans la direction axiale (réduites à e sont négligés. L’équation (1) est l’équation de continuité à l’état stationnaire ((3.91) et (3.92)), valable à la fois pour les électrons et les ions : en effet, en diffusion ambipolaire, il y a neutralité macroscopique (n = ne = ni ), de sorte que la vitesse de diffusion radiale v r est la même pour les fluides d’ions et d’électrons, ce qui est conforme à la notion de diffusion ambipolaire parfaite. Le terme νi n représente, par unité de volume, la fréquence d’ionisation par collisions électron-neutre sur l’atome dans son état fondamental (section 1.8). L’équation (2) décrit : 1) la dérive radiale du fluide d’électrons dans le champ ambipolaire E D ; 2) la diffusion radiale des électrons du fait du gradient de n(r) ; 3) le transport radial d’énergie, car la température électronique, Te (r), intervient dans l’expression du coefficient De affecté par l’opérateur gradient. La relation (2) nous permet de calculer v r . Noter qu’ici μe est positif à la différence de notre convention (comparer avec (3.205) pour le signe devant μe dans (2)). L’équation (3) est l’équation de transport de la quantité de mouvement des ions (à une seule charge positive) à l’état stationnaire où l’on a conservé le terme convectif (v r · ∇)v r (3.129). Nous expliquerons en b) la raison de la présence du terme d’ionisation en volume. Il n’y a pas de champs extérieurs (E ou B) pour agir sur les particules, mais seulement le champ ambipolaire E D . b) Pour retrouver l’équation (3), revenons à section 3.5 où l’équation de transport de la quantité de mouvement, pour des particules d’espèce α (équation (3.129)) s’écrit : mα

 d 1 v α = qα [E + v α ∧ B] − ∇pα − μαβ ναβ [v α − v β ] . dt nα

(4)

β =α

En l’absence de champ E et B extérieurs mais en tenant compte du champ électrique ambipolaire E D , nous obtenons pour des ions de masse mi égale à celle des neutres :   ∂ + vr · ∇ vr mi ∂t 1 mi νin (v r − v n ) , (5) = eE D − ∇(nkB Ti ) − me νie (v r − v r ) − n 2 où, du fait de l’état stationnaire (l’équation (1) le montre), nous poserons : ∂v r = 0. ∂t

(6)

408

Exercices du chapitre 3

Dans l’hypothèse où Ti ne dépend pas de la position et en considérant que v n = 0 (le fluide de neutres n’est pas entraîné par le champ E D , donc il est immobile), il vient de (5), en divisant par mi : (v r · ∇) v r =

e kB Ti ∇n νin − vr , ED − mi mi n 2

(7)

où il manque le terme νi v r présent dans (3). L’absence de ce terme vient de ce que, dans la dérivation de (4) en section 3.5, on a eu recours à l’équation de continuité sous la forme : ∂n + ∇ · (nv) = 0 , ∂t

(8)

c’est-à-dire sans second membre alors que l’équation (1), qui est l’équation de continuité à l’état stationnaire, fait apparaître effectivement un terme d’ionisation en volume, et seulement ce terme car il n’y a pas de recombinaison en volume. Pour obtenir l’expression (3), il faut donc revenir à l’équation du moment d’ordre un en w (3.105) qui, dans l’hypothèse où ∇ · Ψ se réduit à ∇p, s’écrit : mα

∂ (nα v α ) + mα v α (∇ · nα v α ) + nα mα (v α · ∇)v α + ∇pα − nF α ∂t  =− ναβ nα μαβ (v α − v β ) , (9) β =α

En appliquant cette relation aux ions, en supposant mi = mn , nous avons la mobilité μin = mi /2 et en posant les mêmes hypothèses que pour la relation (7), nous obtenons en divisant par mi : v r (∇ · nv r ) + n(v r · ∇)v r +

kB Ti e νin vr n . ∇n − n E D = − mi mi 2

(10)

Puis, tenant compte cette fois de l’équation de continuité (1), il vient de (10) après division par n : νi v r + v r · ∇v r =

e kB Ti ∇n νin − vr , ED − mi mi n 2

(3’)

qui est bien (3) sauf pour le facteur 1/2 associé à νin . Remarque : La différence de facteur associé à νin provient du fait que la valeur de cette fréquence dans l’équation (3) est définie non pas par (3.119) mais plutôt par : ∗ ναβ

mβ = nβ wαβ mα + mβ

π 2πˆ σ (θ)(1 − cos θ) sin θ dθ 0

(11)

409

Exercice 3.16

la fréquence effective de collision, qui permet d’écrire le terme de collision P αβ sous la forme : ∗ ναβ (wβ − wα ) fα (w α )fβ (w β ) dw α dwβ , (3.118) P αβ = mα nβ w α wβ

soit encore (en utilisant les mêmes hypothèses que pour (3.119)) : ∗ (v α − v β ) . P αβ = −mα nα ναβ

(12)

Avec ce formalisme, le terme de collision dans (3) s’écrit bien : ∗ P in = −mi ni νin vi .

(13)

et ne nécessite pas, à ce stade, la connaissance de la masse des neutres.

Exercice 3.16 Considérer une longue colonne de plasma d’hélium de rayon R = 1 cm à une pression p = 0,4 torr. La température électronique est de 1 eV et la température du gaz Tg et celle des ions Ti sont voisines, à environ 300 K. Le plasma est faiblement ionisé et, à ces valeurs de Te et p, la fréquence moyenne de collisions électron-neutre νen est 109 s−1 et la mobilité des ions μi0 à 760 torrs et à Tg = 273 K vaut 10,4 cm2 V−1 s−1 . La densité du plasma sur l’axe est de 1016 particules m−3 . En t = 0, on coupe la source d’entretien de la décharge. a) Décrire le comportement du plasma en t > 0 en supposant Te constant et estimer le temps caractéristique τD de décroissance de la densité du plasma. b) Etendre vos considérations dans le cas où est appliqué un champ magnétique statique de 0,1 T dirigé axialement. c) Continuer avec les mêmes hypothèses qu’en a) sauf pour la pression qui est maintenant de 0,1 mtorr et ν qui se trouve abaissée de façon correspondante. Solution a) Nous avons examiné en section 3.9 le mécanisme de décroissance d’une postdécharge. Si celle-ci se trouve en régime de diffusion, la décroissance de densité est exponentielle et cette décroissance est finalement régie par le mode fondamental de diffusion qui pour une longue colonne de plasma correspond à la longueur caractéristique de diffusion Λ = R/2,405. Le temps caractéristique de décroissance exponentielle, τD , est lié à Λ et au coefficient de diffusion D (3.220). Il nous faut donc déterminer si le coefficient D est celui de la diffusion libre ou ambipolaire. Notons que dans le cas où le libre parcours moyen est petit devant Λ, le régime de recombinaison en volume est a priori également possible mais, compte tenu de la

410

Exercices du chapitre 3

densité relativement faible du plasma, nous éliminerons dans le cas présent cette possibilité. Par contre, si le libre parcours moyen des électrons, , est plus grand que Λ, la décroissance serait celle d’un plasma en chute libre, cas non abordé dans cet ouvrage. Vérifions d’abord qu’il ne s’agit pas du régime de chute libre. Rappelons que  = vth /ν (1.130) et, numériquement dans le cas présent, vth /ν = 5,9 × 105 m s−1 (pour 1 eV)/109 s−1 , soit  = 6 × 10−4 m qui est beaucoup plus petit que R qui vaut 10−2 m, excluant ainsi la chute libre. Montrons ensuite qu’il s’agit d’une diffusion ambipolaire, en contrôlant que le critère ne0 Λ2 ≥ 107 cm−1 (3.271) est vérifié : en effet, d’après les données du problème, ne0 = 1010 cm−3 , Λ = R/2,405, de sorte que ne0 Λ2 = 1,7 × 109 cm−1 . La diffusion demeure encore ambipolaire même lorsque la densité a décrû de 1/e (37 % de la densité initiale). Calculons le temps caractéristique τD de décroissance du plasma. Ce temps apparaît dans l’expression de décroissance n(r, t) = n(r, 0) exp −(νD1 t)

(3.218)

−1 où νD1 est la fréquence de diffusion du mode fondamental : avec τD ≡ νD1

νD1 =

Da . Λ2

(1)

Il faut donc calculer Da ; comme Te  Ti , nous utiliserons son expression approchée, plus simple : Da

kB Te μi , e

(3.276)

et, numériquement : μi = Da =

760 (torr) Tg (K) μi0 = 2,2 m2 V−1 s−1 p (torr) 273 (K) 2

1,38 × 10−23 (m kg s−2 K−1 ) × 11600 (K) × 2,2 (C kg 1,6 × 10−19 (C)

(2) −1

s)

(3)

= 2,2 m2 s−1 de sorte que l’expression (1) vaut :  −2 2 Λ2 10 1 = 7,9 μs . τD = = (m2 ) 2 Da 2,405 2,2 (m s−1 )

(4)

b) Nous sommes toujours en régime de diffusion, et de diffusion ambipolaire. Cette fois, il faut calculer Da⊥ : Da⊥ =

De⊥ μi⊥ − Di⊥ μe⊥ . μi⊥ − μe⊥

(3.280)

411

Exercice 3.17 Nous avons ωce = 2πfce où : fce (Hz) = 2,8 × 106 B0 (gauss) = 2,8 GHz , ωce me = 3,8 × 105 Hz = 0,38 MHz , fci = mi

d’où ωce = 1,76 × 1010 s−1 et ωci = 2,4 × 106 s−1 , soit, compte tenu de (3.182) et (3.195) :   kB Te ν 2 1,38 × 10−23 × 11600 × 109 = 0,58 m2 s−1 (5) De⊥

= 2 me ν ωce 9,11 × 10−31 × (1,76 × 1010 )2 Di⊥

kB Ti 1,38 × 10−23 × 300 × 2,2 = 5,7 × 10−2 m2 s−1 μi = e 1,6 × 10−19

μe⊥ −

(6)

e ν2 −1,6 × 10−19 × 109 =

− 0,57 m2 V−1 s−1 2 me ν ωce 9,11 × 10−31 × (1,76 × 1010 )2

μi⊥ = μi = 2,2 m2 V−1 s−1

(7) (8)

d’où : Da⊥ =

1,28 + 0,03 0,58 × 2,2 + 5,7 × 10−2 × 0,57

0,47 m2 s−1 . 2,2 + 0,57 2,77

Nous constatons que le champ magnétique conduit à une valeur de Da⊥ inférieure d’un facteur 4 à celle de Da . Ce résultat est conforme au fait que ωce > ν. c) Il nous faut recalculer le libre parcours moyen  des électrons pour ν à 0,1 mtorr. Comme :

ν = N ˆ σ (w)w,

(1.128)

où N est proportionnel à la pression, la fréquence de collision sera réduite du même facteur que la pression, soit un facteur 4000. On obtient donc à 0,1 mtorr ν = 2,5 × 105 s−1 et  = 6 × 10−4 m × 4000 = 2,4 m : les particules sont en régime de chute libre !

Exercice 3.17 Considérer une décharge électrique en courant continu dans l’hélium à une pression de 1 torr. Les paramètres du plasma de la colonne positive, supposée longue, dans laquelle circule un courant de 200 mA cm−2 de densité sont les suivants : températures : TeV = 2 eV, Ti = Tn = 300 K. densités (uniformes) : nn = 3,2 × 1016 cm−3 , ne = ni = 1010 cm−3 où les indices n, e et i désignent respectivement les atomes neutres, les électrons et les ions. Le rayon interne R du tube à décharge est de 12 cm.

412

Exercices du chapitre 3

Les sections efficaces microscopiques totales de collisions des électrons avec les neutres et des ions avec les neutres pour le transfert de la quantité de mouvement ont, dans les présentes conditions, respectivement pour valeur moyenne : ˆ σen (w)(TeV = 2 eV, Tn = 300 K) = 5 × 10−16 cm2 , ˆ σin (w)(Ti = Tn = 300 K) = 1 × 10−14 cm2 . a) Déterminer l’intensité du champ électrique le long de la colonne positive ; b) Déterminer la valeur du coefficient de diffusion. Bien expliciter votre raisonnement en indiquant clairement les hypothèses sous-jacentes. Il n’est pas nécessaire de démontrer les équations développées dans le livre, mais vous devez en justifier l’utilisation. Remarque : Deux chiffres significatifs suffisent pour les présents calculs. Solution a) Le champ électrique E dans une décharge est lié à la densité totale de courant J par l’intermédiaire de la conductivité électrique σ qui, en l’absence de champ magnétique imposé à la décharge, est un scalaire ; nous avons alors la relation bien connue (2.1) : J = σE . (1) Comme Te  Ti = Tn et que le degré d’ionisation est très faible puisque ne

2 × 10−7 , (nn + ni ) nous pouvons adopter le modèle du "plasma de Lorentz" (section 3.7), c’est-àdire considérer que le seul fluide des électrons permet de bien rendre compte des propriétés du plasma. Dans ces conditions, il nous suffit de calculer la conductivité électronique (partie réelle) (2.38) : σ=

ne e 2 me ν

(2)

pour déterminer |E|. Pour calculer (2), il faut évaluer ν. Nous le ferons en posant : ν nn ˆ σen w

(3)

où w est la vitesse moyenne des électrons, l’expression (3) étant une approximation pour la relation exacte (1.136) : ν = nn ˆ σen (w)w

(4)

413

Exercice 3.17

où les crochets   marquent la moyenne sur la fonction de distribution en vitesse. Puisque nous utilisons des températures pour caractériser l’énergie des particules, celles-ci obéissent donc à une distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann.

8 kB Te (A1.9) La valeur de w est alors : w = π me où kB est la constante de Boltzmann et me , la masse de l’électron ; w = 1,13 vth où vth est la valeur la plus probable de la vitesse dans le cas d’une distribution de Maxwell-Boltzmann (annexe A1). Nous savons d’après (1.123) que numériquement : √ vth (2eV) = 2 × 5,93 × 105 m s−1

(5)

w ≡ 1,13 vth = 9,5 × 105 m s−1 .

(6)

d’où :

Alors de (3), en exprimant tout en cm : ν 3,2 × 1016 (cm−3 ) × 5 × 10−16 (cm2 ) × 9,5 × 107 (cm s−1 ) = 1,5 × 109 s−1 .

(7)

Finalement, de (1) et (2), il vient (cette fois en unités MKS) : E=

−2

200 × 10−3 × 104 (A m ) × 9,1 × 10−31 (kg) × 1,5 × 109 (s J = σ 1016 (m−3 ) × (1,6 × 10−19 )2 (C2 )

−1

= 11 kV m−1

) (8)

Remarques : 1. Unités : le volt V = m2 kg s−3 A−1 et le coulomb C = A s, d’où de (8) : A kg m3 (m2 kg s−3 A−1 ) A2 s2 = = V m−1 , m2 s C2 m A2 s2 unité habituelle d’un champ électrique. 2. On vérifie en effet que la conductivité ionique est très inférieure à la conductivité électronique (σi σe ) car même si νin est très inférieure à ν (comparer (7) et (14)), me mHe . b) Régime de diffusion Vérifions que les pertes de particules chargées ont bien lieu par diffusion, c’est-àdire que le plasma est suffisamment collisionnel pour ne pas être en chute libre. Il nous faut calculer le libre parcours moyen, , qui est donné par : =

w ν

(1.137)

414

Exercices du chapitre 3

puisque ce sont les collisions électron-neutre qui dominent (comparer (7) et (14)) et de (5) et (7) : 9,5 × 107 cm s−1 = 0,06 cm , (9) (cm)

1,5 × 109 s−1 d’où il ressort que  R : il s’agit donc bien d’un régime de diffusion. Diffusion de nature ambipolaire Pour déterminer s’il s’agit de diffusion libre ou ambipolaire, nous devons examiner le produit ne (0)Λ2 (3.271) : si celui-ci est plus grand que 107 cm−1 , la diffusion est ambipolaire. Nous trouvons :  2 12 cm 2 10 −3 ne (0)Λ = 10 cm  107 cm−1 , 2,405 et la diffusion est donc ambipolaire. Remarque : On pourrait, comme critère équivalent du régime ambipolaire, vérifier que λDe Λ. Numériquement de (1.52), on obtient :  1 Te (eV) 2 λDe = 740

0,01 cm , (10) ne (cm−3 ) de sorte que λDe Λ : la diffusion est bien ambipolaire. Calcul du coefficient Da Parce que Te  Ti , nous pouvons utiliser l’expression approchée (3.276) : Da

kB Te . mi νin

(11)

Pour évaluer νin , nous posons comme pour ν (3) : νin nn ˆ σin win  . De (A1.9) modifiée pour décrire les ions, nous avons :  8 × 1,38 × 10−23 × 300 wi  = = 1,2 × 103 m s−1 4π × 1,7 × 10−27

(12)

(13)

et, tout étant exprimé en cm : νin = 3,2 × 1016 × 1 × 10−14 × 1,2 × 105 = 3,8 × 107 s−1 ,

(14)

de sorte que de (11) : Da

  J K−1 K 1,38 × 10−23 × 2 × 11600 = 1,24 4 × 1,7 × 10−27 × 3,8 × 107 kg s−1

(15)

415

Exercice 3.18 et sachant que J s’exprime en m2 kg s−2 , il vient : Da 1,2 m2 s−1 ,

(16)

unité habituelle des coefficients de diffusion.

Exercice 3.18 Considérer une longue colonne cylindrique d’un plasma d’hélium dont le diamètre est de 20 mm et la pression du gaz de 0,9 torr. La température des ions et des atomes neutres, déterminée par élargissement Doppler de raies d’émission, est de 500 K. La densité électronique mesurée sur l’axe est de 1017 électrons m−3 . a) En supposant que la distribution des vitesses des électrons est maxwellienne et la diffusion ambipolaire, estimer leur température Te . b) Dans quelle mesure l’hypothèse de diffusion ambipolaire implicitement posée en a) est-elle justifiée ? c) Calculer de façon approximative les valeurs du coefficient de diffusion libre des électrons (De ) et celui de diffusion ambipolaire (Da ) (ne pas oublier leurs unités), puis les comparer et discuter. d) À l’instant t = 0, on supprime le champ électrique entretenant la décharge. Décrire l’évolution du plasma pour t > 0. Déterminer le temps caractéristique de décroissance de la densité électronique sur l’axe (on supposera que Te ne décroît pas de façon significative durant ce laps de temps). Données : 1. Fréquence moyenne, approximative, de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement dans l’hélium à la "pression réduite" p0 : ν = 2,4 × 109 s−1 ; p0

(1)

2. Mobilité ionique réduite (conditions standard : 760 torrs et 273 K, soit pour 2,69 × 1025 atomes m−3 ) de He+ dans He : 10,4 × 10−4 m2 V−1 s−1 .

(2)

Solution a) Pour calculer Te , nous allons utiliser les résultats du modèle développé à cet effet en section 3.13 pour une longue colonne cylindrique de plasma supposé en régime de diffusion ambipolaire : nous vérifierons en b) que cette condition est satisfaite.

416

Exercices du chapitre 3

Déterminons d’abord p0 , la "pression réduite" liée à la pression et à la température du gaz Tg par la relation (1.118) : 273 p (torr) Tg (K) 273 p0 = 0,9 = 0,49 . 500 p0 =

d’où, dans le cas présent :

(3) (4)

Pour l’hélium, la constante c0 du modèle (tableau 3.1) est de 4,68 de sorte que le produit c0 p0 R donne : c0 p0 R = 4,68 × 0,49 × 10−2 = 2,3 × 10−2 .

(5)

À cette valeur de c0 p0 R correspond d’après la figure 3.9 : TeV /Ei 0,2 (sans unité)

(6)

et, comme Ei = 24,59 eV pour l’hélium (tableau 3.2), TeV = 4,9 eV, soit encore Te (K) = TeV e/kB = 56 500 K. b) Régime de diffusion Vérifions tout d’abord que le plasma est bien en régime de diffusion plutôt qu’en chute libre, c’est-à-dire que le libre parcours moyen, , est plus petit que le rayon du tube à décharge, R. Nous savons que  vth /ν (section 1.7.8) où vth = 1 (2kB Te /me ) 2 (A1.6). Quant à la fréquence de collisions ν, elle est donnée par (1). Nous pouvons donc calculer  : 

2kB Te 1 2 × 1,38 × 10−23 × 4,9 × 11600 1 = (7) 

me ν 9,1 × 10−31 2,4 × 109 × 0,49 = 1,1 × 10−3 m , de sorte que  R : le plasma est effectivement en régime de diffusion. Diffusion ambipolaire Pour déterminer si la diffusion est ambipolaire plutôt que libre, nous utilisons l’un des deux critères donnés en section 3.10. Nous prendrons celui qui stipule que (3.271) n(0)Λ2 doit être plus grand que 107 (cm−1 ) pour que la diffusion soit ambipolaire. Comme la densité électronique sur l’axe est ne0 = 1011 cm−3 et Λ = R/2,405 0,42 cm : ne0 Λ2 = 1,7 × 1010 cm−1 > 107 cm−1 ,

(8)

le critère est vérifié (sauf peut être très près de la paroi où n est beaucoup plus faible que sur l’axe). Remarque : On pourrait montrer que la recombinaison en volume dans l’hélium n’est plus négligeable si la pression est supérieure à 5 torrs et ne0 > 1012 cm−3 .

417

Exercice 3.18 c) Calcul du coefficient De Son expression est donnée par (3.192) : De =

1,38 × 10−23 × 56500 kB Te = = 728,6 730 m2 s−1 . me ν 9,1 × 10−31 × 2,4 × 109 × 0,49

(9)

Calcul du coefficient Da Nous savons de a) que Te  Ti , la température des ions, puisque Te = 56500 K et Ti = 500 K. Dans ces conditions, une expression approchée simple de Da est : Da

kB Te μi . e

(3.276)

La mobilité ionique μi , pour une densité N d’atomes, s’obtient à partir de la mobilité réduite μi0 , c’est-à-dire aux conditions de référence (760 torrs, 0 ◦ C) selon la relation (3.189) : μi = μi0

NL N

(3.189)

où NL , le nombre de Lochsmidt, est égal à 2,69×1025 at m−3 aux conditions de référence. Par ailleurs, la loi des gaz parfaits : N=

p , kB T

(10)

permettant de déterminer N à partir des conditions opératoires (p, Tg ), conduit à NL = pA /kB 273 (pA = 760 torrs, T = 273 K). Finalement de (3.189) et (10), nous obtenons : pA kB T . (11) μi = μi0 kB 273 p dont la valeur numérique est : 10,4 × 10−4 × 760 × 500 = 1,6 m2 s−1 V−1 0,9 × 273

(12)

kB Te 1,38 × 10−23 × 56500 μi = × 1,6 = 7,8 m2 s−1 , e 1,6 × 10−19

(13)

μi = d’où :

Da =

et donc Da De , ce à quoi nous nous attendions : la diffusion libre des électrons est plus rapide que celle des ions et des électrons diffusant de concert. d) Cette situation correspond à une post-décharge temporelle en régime de diffusion (section 3.9). Dans ce cas, la densité des particules chargées en un point donné décroît de façon exponentielle en fonction du temps suivant la relation : n(r, t) = n(r, t = 0) exp(−νD t)

(3.218)

418

Exercices du chapitre 3

−1 est le temps caractéristique de décroissance par diffusion, dans le où τD = νD cas présent de nature ambipolaire. Ce régime persiste au moins jusqu’à ce que la densité décroisse à 1/e de sa valeur initiale (temps nécessaire à notre analyse ici), du fait d’une densité initiale suffisamment élevée. Il faut donc calculer νDa . De (3.232), nous savons que : Da (14) νi = 2 , Λ

et comme (3.233) :

alors :

νDa =

νDa = νi

(15)

Da 7,8 3 −1 = , 2 = 451 × 10 s 2 −2 Λ (10 /2,405)

−1 = τD 2,2 μs. Nous en concluons qu’au-delà de 10 à 20 fois le temps d’où νDa τD , soit 20 à 40 μs, la densité des particules chargées est devenue négligeable.

Exercices du chapitre 4 Exercice 4.1 La modélisation des caractéristiques d’une décharge en courant continu s’est généralisée en faisant appel à des lois d’échelle où interviennent l’intensité E du champ électrique et la pression p de fonctionnement de la décharge. La décharge est, par hypothèse, faiblement ionisée de sorte que les collisions électron-neutre sont dominantes et que le plasma peut se décrire comme un fluide d’électrons. Pour faciliter les calculs, mais sans remettre en cause les principes, nous allons considérer une décharge dans l’hélium pour laquelle la fréquence correspondante ν de ces collisions peut être assimilée à une constante indépendante de l’énergie des électrons. Celle-ci à 0 ◦ C et 1 torr vaut ν0 = 2,3 × 109 s−1 . a) Établir une relation qui montre que la vitesse de dérive vˆ du fluide d’électrons dans le champ E obéit à une loi d’échelle en E/p. Déterminer la valeur du coefficient numérique affectant cette relation où vˆ sera exprimée en cm s−1 et E en V cm−1 (effectuer l’analyse dimensionnelle de ce coefficient). Pourquoi s’attend-on à ce que la loi d’échelle ne soit plus respectée pour un rapport E/p très grand ? D’après le professeur John E. Allen (Oxford). b) Montrer que le transfert local de puissance du champ E à la décharge obéit à une loi d’échelle, cette fois en E 2 /p. Solution a) De façon générale, la vitesse de dérive d’un fluide d’électrons dont le mouvement dans un champ électrique est entravé par des collisions est donnée par : vˆ = μE

(3.178)

où μ, la mobilité du fluide d’électrons, a pour valeur : |μ| =

e . mν

(3.177)

420

Exercices du chapitre 4

La fréquence ν a pour expression : ν N

(1.129)

où N est la densité des atomes, σ ˆt est la section efficace microscopique intégrée (section 1.7.4) correspondante et w la vitesse microscopique (aléatoire) des électrons. Dans cette expression, nous avons supposé que la vitesse des atomes neutres est négligeable devant celle des électrons, de sorte que la vitesse relative wen est égale à celle des électrons (wen w). Tenant compte de (3.177) et de (1.129), nous pouvons récrire (3.178) sous la forme : e E mN < σ ˆt w >   N0 1 e E vˆ = me N N 0 < σ ˆt w > vˆ =

ou, encore :

(1)

(2)

où N0 est la densité des atomes d’hélium à 1 torr et 0 ◦ C (pression pR ), c’est-à-dire ˆt w >≡ ν0 . De (1.50), nous avons que : que N0 < σ N p × 273 = N0 273 + TC vˆ =

soit :

(1.116)

e 1 273 + TC E = C1 E/p , me ν0 p × 273

(3)

où TC est la température du gaz en Celsius, p la pression relative à 1 torr et 0 ◦ C et C1 , une constante. Portons dans (3) les valeurs numériques avec leurs unités entre parenthèses vˆ(m s−1 ) = où le terme

1,76 × 1011 ( C kg−1 )E(V m−1 ) 2,3 × 109 ( s−1 )

p × 273 = p0 est sans unité. 273 + TC

Finalement :

vˆ(m s−1 ) = 76,5

E p0



CVs kg m

(4)

 .

(5)

En remarquant que le terme Ee est une force et a donc pour unités possibles des kg m s−2 , nous obtenons de l’expression (5), séparée en deux groupes de constantes, que :       s CV s kg m m , (6) = = m kg s2 kg s qui sont bien les unités d’une vitesse.

421

Exercice 4.1 En exprimant le champ E en V cm−1 , il vient de (6) 179 : vˆ(m s−1 ) = 76,5

E(V cm−1 ) (102 ) , p0

(7)

puis avec la vitesse en cm s−1 , il vient : vˆ(cm s−1 ) = (102 ) 76,5

E(V cm−1 ) E(V cm−1 ) (102 ) = 7,65 × 105 . p0 p0

(8)

L’expression de la vitesse de dérive définie par les expressions (3.177) et (3.178) suppose que celle-ci varie linéairement en fonction de l’intensité E du champ électrique. Ceci n’est vrai qu’à condition que la valeur de E ne soit pas trop grande (voir le texte à cet effet après la relation (3.178)). Nous pouvons aussi rappeler que vˆ ne peut pas augmenter avec E/p croissant au point de prendre des valeurs voisines (ou même plus grande) que vth : l’hypothèse d’isotropie de la pression des particules (pression scalaire), essentielle à l’utilisation de l’équation de Langevin, ne serait plus valide. Enfin, l’accroissement de E/p pouvant aussi dépendre d’une diminution de p, la fréquence de collision ne devrait pas décroître au point qu’il n’y ait plus suffisamment de collisions des électrons avec les atomes dans leur progression vers l’anode de sorte que la notion même de vitesse hydrodynamique de dérive cesse de s’appliquer. b) La puissance Pa transférée localement, par unité de volume, à la décharge à partir du champ E (chauffage ohmique) a pour expression :

où :

Pa = J · E

(9)

v J = −ne eˆ

(10)

est la densité de courant du fluide d’électrons due à la vitesse de dérive et ne la densité des électrons, de sorte que : v·E. Pa = −ne eˆ Comme il vient de (11) :

ˆ = μe E = − v Pa =

(11)

e E, me ν

ne e 2 2 E . me ν

(12)

On en déduit la puissance moyenne θa absorbée par électrons, soit : θa =

e2 2 E . me ν

(4.6)

179 Pour exprimer la valeur du champ en V cm−1 plutôt qu’en m s−1 sans modifier la vitesse exprimée en m s−1 , il suffit de multiplier la relation (5) par 102 .

422

Exercices du chapitre 4

On vérifie ainsi que θa suit une loi d’échelle en E 2 /ν, c’est-à-dire que θa est un invariant pour un rapport E 2 /ν donné. Toutefois, si σen w est supposé constant, (4.6) peut se mettre sous la forme habituelle : θa =

e2 E 2 , me σen wN

(13)

soit encore, en fonction de la pression p de la décharge : θa =

e2 kB Tg E 2 , me σen wp

(14)

où Tg est la température du gaz de neutres (p = N kB Tg ). Dans ce cas, les équations (13) et (14), qui montrent que θa suit des lois d’échelle en E 2 /N ou E 2 /p, constituent des expressions au sens physique plus clair pour indiquer comment la puissance est prise au champ E par l’électron. Enfin, la grandeur θa /p, souvent utilisée dans le chapitre 4, suit une loi d’échelle en E 2 /p2 , soit, compte tenu de (14) : e2 kB Tg E 2 θa = . p me σen wp2

(15)

En résumé, les paramètres de la décharge, comme la vitesse, dépendent en général des rapports E/N ou E/p, alors que le transfert de puissance est plutôt fonction des rapports E 2 /N ou E 2 /p.

Exercice 4.2 Afin de généraliser les lois d’échelle de l’exercice 4.1 obtenues dans le cas particulier des décharges continues, considérer maintenant un plasma soumis à un champ électrique périodique E = E 0 eiωt de pulsation ω. Le plasma d’électrons peut être décrit à partir de l’équation de transport de la quantité de mouvement (moment d’ordre 1 en w) et de l’équation de transport d’énergie cinétique des électrons (moment d’ordre 2 en w), appelée aussi équation du bilan d’énergie. Le plasma est supposé faiblement ionisé de sorte que les collisions élastiques électron-neutre (fréquence moyenne νen = ν) sont dominantes. a) Écrire l’équation de transport de quantité de mouvement des électrons de masse me et de densité ne dans un plasma en négligeant le terme convectif (v · ∇v = 0) et en supposant qu’il n’y a pas de champ magnétique appliqué (B = 0). Afin de cerner les limites de l’extension des lois d’échelle reliant la vitesse v au champ électrique E dans le plasma, préciser à quelle condition on peut négliger le terme de pression cinétique ∇ · Ψ (où Ψ est un tenseur d’ordre 2, ∇ · Ψ un vecteur) dans l’équation de transport de la quantité de mouvement. Ce terme de pression cinétique étant négligé, établir à partir de l’équation obtenue la relation générale

423

Exercice 4.2

entre la vitesse v et le champ électrique E. En déduire les lois d’échelle relative à la vitesse moyenne v des électrons dans le cas des plasmas basse fréquence (ν/ω  1) et des plasmas très haute fréquence (ν/ω 1). À quelle condition peut-on en déduire les lois d’échelle reliant E à la densité de neutres N , puis E à la pression de neutres p ? b) Écrire l’équation de transport d’énergie cinétique des électrons dans un plasma en utilisant les mêmes hypothèses que pour l’équation de transport de quantité de mouvement des électrons. Récrire l’équation de transport d’énergie cinétique en en précisant le terme de collision. En tirer le bilan en énergie du plasma sous sa forme habituelle, puis établir les lois d’échelle relatives à la puissance moyenne θa fournie aux électrons par le champ électrique E présent dans le plasma. Solution a) Si l’on suppose que la vitesse dirigée v des électrons est faible en vitesse absolue, on peut effectivement négliger les termes d’ordre 2 sur les vitesses v et donc le terme de convection (v · ∇v = 0) qui apparaît dans l’équation de transport de quantité de mouvement des électrons (3.113). Si l’on suppose en outre qu’il n’y a pas de champ magnétique B appliqué et que les collisions électron-neutre sont dominantes, l’équation de transport (3.106) se simplifie considérablement et peut être écrite sous la forme : ∂v = −ne eE − ∇ · Ψ − ne me νen v n e me (1) ∂t où ν représente la fréquence moyenne de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement : νen = N σen w = ν ,

(2)

où σ en est la section efficace des collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Le terme de pression cinétique ∇ · Ψ peut être supposé nul dans l’hypothèse d’un plasma froid (voir section 3.6) pour lequel Ψ = 0 (dyade uu = 0, équation (3.109)). Avec cette hypothèse, qui suppose que la vitesse d’agitation thermique est négligeable devant la vitesse v des électrons due au champ électrique HF, l’équation de transport se réduit à : ∂v = −eE − me νv . ∂t Dans ce cas, la vitesse des électrons est purement périodique : me

v = v 0 eiωt

(3)

(4)

et on peut déduire de (3) et (4) la vitesse des électrons : v=−

eE , me (ν + iω)

(2.29)

424

soit encore :

Exercices du chapitre 4

v=−

e(ν − iω) E. me (ν 2 + ω 2 )

(5)

Dans le cas des plasmas entretenus par des champs électriques très haute fréquence (plasmas UHF) tels que ν/ω 1, la relation (5) prend la forme : v=i

e E , me ω

(6)

qui indique un déphasage de π/2 entre la vitesse v et le champ électrique E (pas de transfert de puissance du champ UHF aux électrons). La relation (6) montre en outre que la vitesse v suit une loi d’échelle en fonction du rapport E/ω, c’est-à-dire que la vitesse est un invariant pour une valeur donnée du rapport E/ω. Dans le cas des plasmas entretenues par des champs électriques basse fréquence (plasmas BF) tels que ν/ω  1, la relation (5) prend la forme : v=−

e E , me ν

(7)

qui indique que la vitesse v des électrons et le champ électrique E sont en opposition de phase. La relation (6) montre aussi que la vitesse v suit dans ce cas une loi d’échelle en fonction du rapport E/ν. Si l’on admet en outre que la fréquence effective de collisions électron-neutre σen w est indépendante de la vitesse des électrons, ce qui est assez bien vérifié pour les collisions entre espèces chargées et neutres (voir note 104 de bas de page), la vitesse v des électrons selon (7) suit alors une loi d’échelle en fonction du rapport E/N : v=−

E e me σne w N

(8)

ou encore en fonction du rapport E/p : v=−

ekB Tg E me σne w p

(9)

par application de la loi des gaz parfaits p = N kB Tg où Tg est la température du gaz. b) En notant que w2  = v 2 + u2 , l’équation de transport d’énergie cinétique des électrons déduite de l’équation (3.133) peut se mettre sous la forme :     ∂ 1 ∂ 1 2 2 n e me v + ne me u  = −∇ · q − ne eE · v + Ren , (10) ∂t 2 ∂t 2 où q est le vecteur de flux thermique (3.135) : q=

n e me (wω 2 ) , 2

(11)

425

Exercice 4.2

et où Ren est le terme collisionnel des électrons sur les neutres exprimant la puissance cédée par les électrons aux neutres à la suite des diverses collisions élastiques et inélastiques. En négligeant les termes d’ordre 2 sur les vitesses v et en faisant l’hypothèse d’un plasma froid (u2  = 0), l’équation (10) se réduit à : ∇ · q + ne eE · v = Ren .

(12)

Pour calculer le vecteur de flux thermique q, il faut décomposer la vitesse microscopique w selon la vitesse dirigée v et la vitesse aléatoire u. Le terme ww2  dans (11) peut se développer sous la forme : ww2  = (u + v)(u2 + v 2 + 2u · v) .

(13)

Si l’on néglige les termes d’ordre égal ou supérieur à 2 sur les vitesses v, la relation (13) se réduit à : uu2 + vu2 + u(2u · v) = uu2  + u2 v + u(2u · v) .

(14)

Le premier terme du deuxième membre de (14) ne comporte que des composantes de u de puissance impaire qui, par intégration de moins l’infini à plus l’infini sur la fonction de distribution, sont nulles. Le second terme est lui aussi nul dans le cas d’un plasma froid. Enfin, tenant compte de (A8.25), le troisième terme peut s’écrire : u(2u · v) = 2uu · v

(15)

où les composantes diagonales de la dyade uu sont supposées nulles dans l’hypothèse d’un plasma froid. Par conséquent, en utilisant les seules et mêmes hypothèses que pour l’équation de transport de la quantité de mouvement, on peut négliger le vecteur de flux thermique (q = 0) dans l’équation de bilan d’énergie, qui se réduit à : (16) ne eE · v = Ren . Sachant que la puissance moyenne θp cédée par les électrons aux neutres à la suite des diverses collisions élastiques et inélastiques est donnée par l’équation (4.1), on peut écrire : (17) Ren = −ne θp , et (16) prend alors la forme finale : ne eE · v = −ne θp .

(18)

Sachant que le vecteur J de densité du courant d’électrons est défini par : J = −ne ev ,

(19)

426

Exercices du chapitre 4

on obtient l’équation d’équilibre de puissance par électron dans le plasma : θp = soit encore :

J ·E = −ev · E , ne

(20)

θp = −ev · E = θa .

(21)

En reportant dans (21) l’expression de v obtenue en (2.29) à partir de l’équation de transport de la quantité de mouvement, la valeur de θa prend la forme finale : θa =

ν e2 E2 me ν 2 + ω 2

(2.33)

où E 2 = E02 /2 est la valeur quadratique moyenne du champ électrique. Dans l’approximation des décharges basse fréquence (ν/ω  1), on obtient : θa

e2 E 2 . me ν

(22)

Si l’on admet en outre que la fréquence effective de collisions électron-neutre σen w est indépendante de la vitesse des électrons, la loi d’échelle précédente en E 2 /ν pour θa prend la forme d’une loi d’échelle en E 2 /N ou en E 2 /p : θa

E2 e2 , me σen w N

(23)

θa =

e2 kB Tg E 2 . me σen w p

(24)

De la même manière, la grandeur θa /p (souvent utilisée dans le chapitre 4) suit dans ce cas une loi d’échelle en E 2 /p2 : e2 kB Tg E 2 θa = . p me σen w p2

(25)

Exercice 4.3 Le calcul de la puissance moyenne θa absorbée par électron d’un plasma soumis simultanément à un champ magnétique statique et un champ électrique périodique perpendiculaire au champ magnétique peut s’effectuer soit en considérant une onde plane électromagnétique (voir section 4.2.3), soit en décomposant l’onde plane en une onde circulaire droite et une onde circulaire gauche afin de pouvoir séparer les deux contributions. Pour cela, considérer une onde plane électromagnétique (EM) dont le champ électrique périodique E y = E 0y cos ωt est uniforme et dirigé suivant l’axe Oy et un champ magnétique statique uniforme B 0 d’intensité B0 , dirigé parallèlement à l’axe Oz et traversant la feuille (B0z = −B0 ).

427

Exercice 4.3

a) Représenter sur une figure la décomposition du champ électrique E y = E 0y cos ωt suivant les composantes de champ électrique E D et E G de deux ondes circulaires droite et gauche tournant respectivement (dans le repère fixe du laboratoire) avec les pulsations −ω et +ω. Décomposer ensuite E D et E G en fonction de leurs composantes suivant les axes Ox et Oy et en donner les expressions analytiques correspondantes. b) En passant à une notation complexe (E y = E 0y exp(iωt)), donner les expressions correspondantes des champs électriques E D et E G . Écrire ensuite l’équation hydrodynamique de transfert de quantité de mouvement des électrons dans l’hypothèse d’un plasma froid (Te = 0) et en prenant me pour la masse de l’électron et ν pour la fréquence moyenne de collisions des électrons pour le transfert de quantité de mouvement (collisions élastiques électron-neutre). Calculer pour l’onde circulaire droite (composante E D ), puis pour l’onde circulaire gauche (composante E G ), les amplitudes v 0x et v 0y des composantes des vitesses v x et v y en posant E0y = E0x = E0 . c) En déduire pour l’onde circulaire droite, puis pour l’onde circulaire gauche, les puissances moyennes correspondantes θaD et θaG absorbées par électron. Vérifier que la puissance moyenne θa calculée en considérant une onde plane électromagnétique est bien égale à la somme des contributions θaD et θaG des ondes circulaires droite et gauche. d) Comparer les contributions θaD et θaG à l’expression de θa obtenue en l’absence de champ magnétique pour ω quelconque (y compris ω = 0) et en tirer des conclusions. En se plaçant maintenant à la résonance cyclotronique électronique (ω = ωce ), calculer les contributions respectives des ondes circulaires droite et gauche, d’une part, lorsque ω  ν, et, d’autre part, lorsque ν  ω et les comparer aux expressions de θa (pour ω quelconque et ω = 0) obtenues en l’absence de champ magnétique. Solution a) La décomposition du champ électrique alternatif d’une onde plane EM suivant une onde circulaire droite et une onde circulaire gauche est schématisée sur la figure 4.3.1 où le champ électrique E y = E 0y cos ωt résulte de la somme des composantes de champ électrique E D et E G d’une onde circulaire droite et d’une onde circulaire gauche d’amplitudes égales, soit : Ey = ED + EG ,

(1)

tournant respectivement (dans le repère fixe du laboratoire) avec les pulsations −ω et +ω.

428

Exercices du chapitre 4

Les composantes de champ électrique E D et E G peuvent à leur tour être décomposées suivant les axes Oy et Ox, selon : E 0x E 0y cos(−ωt) + sin(−ωt) , 2 2 E 0x E 0y cos(ωt) + sin(ωt) , = 2 2

ED =

(2)

EG

(3)

où les amplitudes E0x /2 et E0y /2 sont égales (E0x = E0y = E0 ). Sachant en outre que sin ϕ = − cos(ϕ + π/2) et sin(−ϕ) = − sin ϕ, on obtient :  E 0x E 0y cos(ωt) + cos ωt + 2 2  E 0x E 0y cos(ωt) − cos ωt + = 2 2

ED = EG

π , 2 π . 2

(4) (5)

On vérifie immédiatement que l’onde plane initiale est la somme des ondes circulaires droite et gauche, soit E D + E G = E y = E 0y cos ωt. Remarque : Sur la figure 4.3.1, c’est le sens trigonométrique qui a été retenu. Par conséquent, la pulsation de la rotation cyclotronique des électrons, qui tournent dans le sens horaire, est négative, contrairement à notre convention habituelle. On doit donc écrire dans les équations qui suivent eB0 /me = −ωce.

Figure 4.3.1 – Décomposition du champ électrique E y d’une onde plane EM suivant les composantes E D et E G d’une onde circulaire droite et circulaire gauche respectivement de pulsation −ω et +ω (sens trigonométrique de rotation).

429

Exercice 4.3

b) En passant à une notation complexe, on peut exprimer (4) et (5) sous la forme : E 0y iωt e + 2 E 0y iωt e − = 2

ED = EG

E 0x i(ωt+ π2 ) e , 2 E 0x i(ωt+ π ) 2 , e 2

π

π

ei(ωt+ 2 ) = eiωt × ei 2 .

avec :

Sachant que exp(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = i, on obtient finalement :   E 0y E 0x +i ED = eiωt , 2 2   E 0x E 0y −i EG = eiωt . 2 2

(6) (7) (8)

(9) (10)

Dans l’hypothèse d’un plasma froid, l’équation hydrodynamique de transfert de quantité de mouvement (3.166) nous permet d’écrire l’équation de mouvement d’un électron sous la forme : me

∂v = −e(E D + E G ) − ev ∧ B 0 − me νv ∂t

(11)

où la vitesse de l’électron, de manière générale, est purement périodique, soit : vx = v0x eiωt ,

(12)

vy = v0y e

(13)

iωt

.

1. Calcul de la vitesse de l’électron dans le cas d’une onde circulaire droite (sens de la giration électronique) En vue de calculer la seule contribution θaD de l’onde circulaire droite à la puissance moyenne absorbée par électron, on suppose d’abord que E G = 0. Les composantes suivant Ox et Oy de l’équation (11) s’écrivent alors, compte tenu de (9) et en supposant exp(iωt) en facteur partout : eE0 − ωce v0y − νv0x , 2me eE0 =− + ωce v0x − νv0y . 2me

iωv0x = −i

(14)

iωv0y

(15)

En éliminant v0y entre les équations (14) et (15), il vient : v0x =

eE0 (ωce − ω)[ν 2 + (ω + ωce )2 ] − iν[ν 2 + (ω + ωce )2 ] , 2 )2 + 4ω 2 ν 2 2me (ν 2 − ω 2 + ωce

(16)

soit encore, par identification, en factorisant : v0x =

eE0 (ωce − ω) − iν . 2me (ω − ωce )2 + ν 2

(17)

430

Exercices du chapitre 4 En éliminant v0x entre les équations (14) et (15), on obtient, de la même manière : eE0 ν + i(ωce − ω) . (18) v0y = − 2me (ω − ωce )2 + ν 2 2. Calcul de la vitesse de l’électron dans le cas d’une onde circulaire gauche (sens inverse de la giration électronique) En vue de calculer la seule contribution θaG de l’onde circulaire gauche à la puissance moyenne absorbée par électron, on suppose maintenant que E D = 0. Les composantes suivant Ox et Oy de l’équation (11) s’écrivent alors, compte tenu de (10) et en supposant exp(iωt) en facteur partout : eE0 − ωce v0y − νv0x , 2me eE0 =− + ωce v0x − νv0y . 2me

iωv0x = +i

(19)

iωv0y

(20)

En éliminant v0y entre les équations (19) et (20), on obtient, de la même manière que pour l’onde circulaire droite : v0x =

eE0 (ωce + ω) + iν . 2me (ω + ωce )2 + ν 2

(21)

De même, en éliminant v0x entre les équations (19) et (20), on obtient : v0y = −

eE0 ν + i(ωce − ω) . 2me (ω − ωce )2 + ν 2

(22)

c) Les contributions apportées par les ondes circulaires droite et gauche à la puissance moyenne θa absorbée par électron peuvent être calculées séparément. 1. Calcul de la puissance moyenne θaD absorbée par électron dans le cas d’une onde circulaire droite (sens de la giration électronique) La puissance moyenne PaD par unité de volume absorbée par les électrons est donnée, de manière générale (équation (4.16)) par : PaD =

1 (J D · E ∗D ) 2

(23)

dont les seules contributions au produit contracté (scalaire) de J D par E ∗D sont : 1 PaD = (J xD · E ∗xD + J yD · E ∗yD ) (24) 2 avec :

JiD (i = x ou y) = −neviD .

(25)

On en déduit la puissance moyenne θaD absorbée par électron : θaD ≡

e Pa = − (vx Ex∗ + vy Ey∗ ) , n 2

(26)

431

Exercice 4.3

soit :

θaD

  e2 E02 ν + i(ωce − ω) (ωce − ω) − iν =− − −i 8me (ω − ωce )2 + ν 2 (ω − ωce )2 + ν 2

dont la partie réelle peut s’écrire sous la forme finale :   ν2 e2 E02 1 θaD = . 2me ν 2 (ω − ωce )2 + ν 2

(27)

(28)

On peut remarquer de (27) que les composantes suivant x et y apportent une contribution égale à la puissance moyenne θaD absorbée par électron. 2. Calcul de la puissance moyenne θaG absorbée par électron dans le cas d’une onde circulaire gauche (sens inverse de la giration électronique) La puissance moyenne PaG par unité de volume absorbée par les électrons est donnée, de manière générale (équation (4.16)) par : PaG =

1 (J G · E ∗G ) 2

(29)

dont les seules contributions au produit contracté (scalaire) de J G par E ∗G sont : 1 PaG = (J xG · E ∗xG + J yG · E ∗yG ) (30) 2 JiG (i = x ou y) = −neviG .

avec :

(31)

On en déduit la puissance moyenne θaG absorbée par électron : θaG ≡ 

soit :

θaG = −

e Pa = − (vx Ex∗ + vy Ey∗ ) , n 2

e2 E02 ν − i(ωce + ω) (ωce + ω) + iν − i 2 2 8me (ω + ωce ) + ν (ω + ωce )2 + ν 2

dont la partie réelle peut s’écrire sous la forme finale :   e2 E02 1 ν2 . θaG = 2me ν 2 (ω + ωce )2 + ν 2

(32)  (33)

(34)

On peut remarquer que les composantes suivant x et y apportent une contribution égale à la puissance moyenne θaG absorbée par électron. 3. Calcul de la puissance totale moyenne θa absorbée par électron La puissance moyenne totale θa absorbée par électron est obtenue par addition des contributions θaD et θaG apportées par les ondes circulaires droite et gauche. On obtient :   ν2 ν2 e2 E02 1 1 + , (35) θa = 2νme 2 (ω − ωce )2 + ν 2 2 (ω + ωce )2 + ν 2 expression identique à celle de l’équation (4.20) obtenue par calcul direct à partir d’une onde plane.

432

Exercices du chapitre 4

d) En l’absence de champ magnétique, la puissance absorbée par électron θa (B0 = 0) est donnée par l’équation (2.33) : θa (B0 = 0) =

e2 E 2 ν 2 e2 E02 ν2 = me ν ω 2 + ν 2 2me ν ω 2 + ν 2

(36)

où E 2 = E02 /2 est la valeur quadratique moyenne du champ électrique pris sur une période. Pour ω = 0, E 2 = E 2 et l’équation (36) se réduit à : θa (B0 = 0) =

e2 E 2 . me ν

(37)

Pour une comparaison plus directe avec l’expression de θa en présence de champ magnétique, l’équation (36) peut aussi s’écrire sous la forme :   e2 E02 1 ν 2 1 ν2 θa (B0 = 0) = + . (38) 2me ν 2 ω 2 + ν 2 2 ω2 + ν 2 En l’absence de champ magnétique (B0 = 0), ωce = 0 et l’équation (35) se ramène directement à (38) : les contributions à θa des ondes circulaires droite et gauche sont alors égales. En présence de champ magnétique, les électrons subissent, comme déjà mentionné, un mouvement de rotation dans le même sens que l’onde circulaire droite et dans le sens opposé à celui de l’onde circulaire gauche. Dans son référentiel, l’électron "voit" alors le champ électrique E D de l’onde circulaire droite osciller à une fréquence réduite ω − ωce et le champ électrique E G de l’onde circulaire gauche osciller à une fréquence accrue ω + ωce . Il en résulte que les contributions à θa des ondes circulaires droite et gauche sont distinctes. À la résonance cyclotronique électronique (ω = ωce ), la puissance moyenne totale θa donnée dans le cas général par (35) se réduit à :   ν2 e2 E02 1 1 + θa = . (39) 2me ν 2 2 4ω 2 + ν 2 On constate que l’expression de la contribution à la puissance absorbée relative à l’onde circulaire droite est similaire à l’expression (37) obtenue pour un champ E continu et que l’expression de la contribution relative à l’onde circulaire gauche est identique à celle obtenue pour un champ E de pulsation 2ω. Ce résultat était prévisible car, lorsque ω = ωce , l’électron tourne alors de manière synchrone avec l’onde circulaire droite de telle sorte que le champ E D lui apparaît constant, tandis qu’il "voit" le champ électrique E G de l’onde circulaire gauche osciller à la fréquence ω + ωce = 2ω. Il faut néanmoins rappeler ici qu’une condition pour que la résonance cyclotronique électronique soit efficiente est que les vitesses de rotation de l’électron et de l’onde circulaire droite puissent rester synchrones sur plusieurs tours, et donc que la

Exercice 4.3

433

fréquence de collision soit très inférieure à la fréquence de rotation (ω  ν). En effet, lorsque ν  ω, c’est-à-dire lorsque la fréquence de collision ν devient très grande devant la pulsation ω, chacune des deux composantes droite et gauche apportent une même contribution à la puissance absorbée, soit, au total :   e2 E02 1 1 e2 E02 + . (40) θa = = 2me ν 2 2 2me ν Cette expression est identique à celle qu’on obtient en faisant ν  ω dans l’équation (36).

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Annexes

Annexe A1 Rappels sur la fonction de distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann (M-B) Cette distribution est liée à l’état stationnaire d’un système à température T où le nombre d’interactions entre particules est suffisamment grand. Si le système thermodynamique n’est pas en équilibre complet, il faut au minimum que les collisions entre particules de même type soient très nombreuses pour que la distribution de M-B s’établisse. Distribution de M-B en l’absence de champ extérieur À une dimension, en considérant les électrons à titre d’exemple, la fonction de distribution est donnée par l’expression (figure A1.1) :  f (w) =

me 2πkB T

1/2

  me w 2 exp − , 2kB T

(A1.1)

où me est la masse des électrons, T leur température, kB la constante de Boltzmann et w, la vitesse microscopique d’agitation thermique des électrons.

Figure A1.1 – Distribution de MaxwellBoltzmann à une dimension.

436

Annexes

À trois dimensions, dans le cas où les particules sont entraînées dans un mouvement d’ensemble de vitesse v, la distribution des vitesses microscopiques dépend de l’orientation de w par rapport à v :    3/2 me me 2 (w − v) . exp − (A1.2) f (w) = 2πkB T 2kB T La condition de normalisation retenue, sauf indication contraire, est : ∞ f (w) d3 w = 1

(A1.3)

−∞

avec d3 w = dwx dwy dwz en coordonnées cartésiennes. Nous aurions pu choisir la condition : ∞ f (w) d3 w = ne , (A1.4) −∞

la densité des électrons ; dans ce cas, ne apparaîtrait en facteur dans l’expression (A1.2) ; cette question est abordée en section 3.3. Pour une vitesse d’entraînement v = 0, la distribution est isotrope :   3/2  me me w 2 f (w) = exp − , 2πkB T 2kB T

(A1.5)

c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas de l’orientation de la vitesse w. Dans ce cas, l’isotropie entraîne, en coordonnées sphériques, d3 w = 4πw2 dw et la distribution des particules, animées d’une vitesse scalaire (positive) comprise dans l’intervalle w, w + dw, est alors donnée par : (A1.6) g(w) ≡ 4πw2 f (w)

  3/2  me 2 me w 2 d’où : g(w) = w2 exp − , (A1.7) π kB T 2kB T représentée à la figure A1.2. La condition de normalisation s’écrit dans ces conditions : ∞ ∞ g(w) dw = 4πw2 f (w) dw = 1 . (A1.8) 0

0

Figure A1.2 – Distribution de MaxwellBoltzmann isotrope, représentée sous sa forme scalaire, avec ses vitesses caractéristiques.

437

Annexe A1 Vitesses caractéristiques de la distribution de M-B sans vitesse d’entraînement (w ≡ v = 0)  la vitesse la plus probable :

la vitesse moyenne :

w =

vth =

2kB T me



1/2

8kB T πme

1/2 (1.5)

,

= 1,128 vth ,

(A1.9)

la vitesse quadratique moyenne (liée à l’énergie moyenne) :  w2  =



3kB T me

1/2 = 1,225 vth .

(A1.10)

l’énergie cinétique moyenne : 1 3 mw2  = kB T . 2 2

(A1.11)

le flux aléatoire, défini comme le flux de particules qui traversent une surface dans un seul sens (vers les z positifs, par exemple), voir l’exercice 1.4 : nwz  =

nw . 4

(A1.12)

Distribution de M-B dans un champ de force conservative Dans le cas d’un champ de force F agissant sur les particules, une condition sine qua non pour avoir une distribution de Maxwell-Boltzmann est que cette force obéisse à la relation : F = −∇Φ(r) (A1.13) où Φ(r) est l’énergie potentielle. La fonction de distribution f (r, w) peut alors se mettre sous la forme :   Φ(r) f (r, w) = n ˆ (r) exp − f (w) (A1.14) kB T où n ˆ (r) est la densité des particules en l’absence de champ E (champ appliqué ou de charge d’espace). En posant : nous obtenons :

  Φ(r) n(r) = n ˆ (r) exp − , kB T

(A1.15)

f (r, w) = n(r)f (w) ,

(A1.16)

438

Annexes

ce qui montre que la fonction f (r, w) est séparable (section 3.3), et conduit à la condition de normalisation de f (r, w) puisque : f (r, w) d3 w = n(r) f (w) d3 w = n(r) , (A1.17) w

w

compte tenu de la normalisation retenue (A1.3) pour la fonction f (w). Notons donc que nous utilisons la notation f pour la fonction de distribution des vitesses, qu’elle soit séparée ou non ; si l’argument de f ne contient pas le vecteur position, nous devons conclure qu’elle a été séparée. Distribution de Druyvesteyn des électrons Cette distribution est fréquemment utilisée en physique des plasmas, notamment parce qu’elle s’exprime de façon analytique. Utilisée conjointement avec la fonction de distribution de M-B, elle permet de savoir jusqu’à quel point certaines grandeurs hydrodynamiques dépendent de la forme de la fonction de distribution en énergie des électrons (FDEE). La distribution de Druyvesteyn peut être considérée comme la FDEE adéquate dans le cas précis où les électrons obéissent aux quatre hypothèses suivantes [41] : 1. Les collisions élastiques électron-autre particule sont prépondérantes : les collisions inélastiques (excitation et ionisation) sont alors négligeables ; 2. Les collisions électron-électron sont négligeables ; 3. Les sections efficaces microscopiques totales de collisions électron-neutre sont constantes en fonction de l’énergie des électrons pour tous les types de collisions ; 4. L’énergie moyenne des électrons est supérieure à celle des particules lourdes, c’està-dire Te > Tg . Pour une distribution isotrope, la FDEE de Druyvesteyn peut s’écrire sous la forme :    32 2  1  me w 2 me 1,04π 2 fD (w) = exp −0,55 . (A1.18) 2 2πkB Te 2kB Te La figure A1.3 compare la distribution de Druyvesteyn et celle de MaxwellBoltzmann pour une même énergie moyenne des électrons et une même densité électronique : la distribution de Druyvesteyn possède beaucoup moins d’électrons de haute énergie que la distribution de M-B.

439

Annexe A2

Figure A1.3 – Comparaison des FDEE isotropes de Maxwell-Boltzmann et de Druyvesteyn dotées de la même énergie moyenne.

Distribution de M-B en énergie des électrons À l’annexe A17, on montre que la fonction de distribution en énergie UeV d’électrons maxwelliens s’écrit :   2 eUeV − F (UeV ) = 1 . 3 exp kB Te π 2 (kB Te ) 2

Figure A1.4 – Fonction de distribution en énergie UeV d’électrons maxwelliens ¯eV = 1 eV. d’énergie moyenne U

Annexe A2 Expression complète de la loi de Saha Celle-ci peut s’écrire sous la forme :   eφi (2πme kB T )3/2 B  (T ) nit ne exp − = 2 n0t h3 B(T ) kB T

(A2.1)

où n0t et nit sont, respectivement, la densité totale des atomes neutres et la densité totale des ions, total au sens où l’on inclut l’état fondamental et tous les états excités

440

Annexes

correspondants, ne , la densité des électrons (ni = ne lorsque les ions ne sont qu’une fois ionisés) ; B(T ) et B  (T ) sont des fonctions de partition données par :   ∞  eφk gk exp − B(T ) = (A2.2) kB T k=0

où la somme sur k porte sur les états excités de l’atome (k = 0 représente l’état fondamental) et :   ∞  eφj  gj exp − (A2.3) B (T ) = kB T j=0 où la somme sur j porte sur les états excités de l’ion une fois ionisé (j = 0 : ion non excité), et gk et gj représentent, respectivement, les dégénérescences des niveaux de l’atome neutre et de l’ion, et φk et φj sont les potentiels (valeur au seuil, voir section 1.7.9) correspondant à l’excitation de ces niveaux (mesurés respectivement par rapport au fondamental de l’atome neutre et à celui de l’ion, d’où φk (k = 0) = 0 et φj (j = 0) = 0). Signification de la fonction de partition La population nm du niveau excité m de l’atome par rapport à la population de son état fondamental (indice zéro) s’obtient de (loi de Boltzmann) :   nm gm (Em − E0 ) = exp − . (1.7) n0 g0 kB T On aimerait exprimer nm en fonction de la population totale relative à l’atome neutre, n0t , ou à l’ion, nit . Soit la population cumulée n0t ; d’après la loi de Boltzmann, il vient :     ∞  n0 (E1 − E0 ) (Em − E0 ) nk = (g0 + g1 exp − n0t ≡ + · · · + gm exp − + ···). g0 kB T kB T k=0 (A2.4) Tenant compte de la définition de la fonction de partition (A2.2), soit :     ∞  (E1 − E0 ) (Ek − E0 ) gk exp − B(T ) ≡ g0 + g1 exp − + ··· = , kB T kB T k=0

il découle de (A2.4) que le rapport recherché peut s’écrire :   (Em − E0 ) gm nm exp − = . n0t B(T ) kB T

(A2.5)

En comparant (A2.1), la forme exacte de la loi de Saha, avec sa forme simplifiée (1.9), nous constatons que l’approximation dans ce cas consiste à faire B(T ) g0 . Ceci

Annexe A3

441

revient donc à ne pas compter les atomes neutres excités dans le bilan de la population totale de l’atome neutre. Cela est possible dans la mesure où T est suffisamment faible ; en effet, la densité de l’état fondamental est alors très grande devant la densité cumulée des états excités.

Annexe A3 Équilibre thermodynamique local partiel En présentant la notion de plasma à deux températures (section 1.4.3), nous avons indiqué que la population des différents niveaux d’énergie de l’atome neutre n’était pas, dans ce cas, régie par l’équilibre de Boltzmann (équation (1.7)) : les niveaux d’énergie voisins du niveau fondamental ont des temps de vie radiatifs tellement courts comparés au temps entre deux collisions électron-neutre qu’ils se dépeuplent de façon radiative plutôt que par collision électronique, échappant ainsi à la cinétique des électrons (loi de Saha et loi de Boltzmann) ; par contre, les niveaux supérieurs, ceux situés sous le premier niveau de l’ion, parce qu’ils subissent un plus grand nombre de collisions que les états inférieurs 180 , sont en équilibre collisionnel avec les électrons, et la loi de Boltzmann, dans laquelle on pose Texc = Te , permet de déterminer leur densité de population. Par ailleurs, la température du gaz (principalement celle des atomes dans l’état fondamental parce que plus nombreux), notée Tg , est telle que Tg Te . Pour illustrer cette situation, nous avons reproduit le diagramme des niveaux d’énergie de l’atome neutre d’argon en regroupant ceux-ci, pour faciliter la discussion, suivant la configuration orbitale électronique à laquelle ils appartiennent. Dans cette notation, pour le niveau fondamental, nous avons 1s2 2s2 3s2 3p6 , dont la figure A3.1, par simplicité, n’a conservé que le dernier terme. Quant à la première configuration excitée, notée 4s, elle comprend 4 niveaux (voir l’insertion) que nous allons traiter en bloc. Pour vérifier l’application de la loi de Boltzmann, nous pouvons tracer le logarithme de la densité de population des niveaux de l’atome neutre en fonction de leur énergie, référencée à celle de l’état fondamental (équation (1.7)), ce qui s’appelle établir une courbe de Boltzmann. Si la loi est satisfaite, on obtient une droite de pente propor−1 . La figure A3.2, obtenue par spectroscopie optique d’émission dans un tionnelle à Texc plasma d’argon entretenu par une décharge micro-ondes à la pression atmosphérique, montre que les configurations orbitales électroniques 5p et suivantes sont en équilibre de Boltzmann entre elles alors que la population des niveaux de la configuration 4p tombe sous cette droite : l’équilibre de Boltzmann n’est donc que partiel avec Tg Te (section 1.4.3). 180 La distribution en énergie des électrons (section 1.4.2 et annexe A1) fournit davantage d’électrons à faible énergie qu’à haute énergie, alors que l’excitation collisionnelle des premiers niveaux de l’atome d’argon à partir du fondamental, par exemple, demande des électrons de forte énergie (supérieure à 11,55 eV).

442

Annexes

Figure A3.1 – Diagramme d’énergie de l’atome neutre d’argon jusqu’au premier niveau de l’atome ionisé. Les états d’énergie sont regroupés suivant la configuration orbitale électronique à laquelle ils appartiennent.

Figure A3.2 – Diagramme dit de Boltzmann observé dans une décharge microondes d’argon (plasma d’onde de surface). La densité de population des niveaux est proportionnelle à l’intensité I des raies émises et l’énergie E des niveaux, exprimée en eV, est référencée à l’énergie du niveau fondamental ; le coefficient Aqp représente la fréquence de transition radiative, de nature dipolaire électrique, de l’état q vers l’état p [42].

443

Annexe A4

Annexe A4 Représentation des collisions binaires dans les repères du centre de masse et du laboratoire Dans le repère du laboratoire

Figure A4.1 – Description d’une collision binaire dans le repère du laboratoire, avec s comme paramètre d’impact, la particule β étant supposée initialement au repos.

Dans le repère du centre de masse

Figure A4.2 – Description d’une collision binaire dans le centre de masse donnant lieu à l’angle de diffusion θ. La distance s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre d’impact.

Les vitesses avant collision et après collision sont respectivement parallèles et antiparallèles. Le seul angle θ rend compte de la diffusion. La représentation de l’interaction dans le centre de masse (CM) simplifie grandement la description de l’interaction collisionnelle (section 1.7.2). Relation entre les deux repères De la figure A4.3, il vient :

tan θαL =

 sin θ wα0 , cos θ + w0

 wα0

où l’indice inférieur zéro renvoie au repère du CM.

(A4.1)

444

Annexes

Figure A4.3 – Description, dans le cas plus général de la vitesse de la particule α avant et après collision dans le repère du laboratoire et dans celui du centre de masse : relation entre les deux repères.

Cas particulier où la particule β est initialement au repos Si mα mβ , la vitesse du CM dans le repère du laboratoire peut être assimilée à la vitesse de la particule β (1.66). Comme celle-ci est supposée au repos, alors w0 0 (1.64). Dans ce cas (A4.1) : θαL = θ .

(A4.2)

Si mα = mβ , la vitesse du CM dans le repère du laboratoire où, dans le cas présent wβ = 0 (donc suivant (1.69) w αβ = w α ), est alors donnée d’après (1.66) par : w0 =

1 1 w α = w αβ . 2 2

(A4.3)

De même, selon (1.70), la vitesse wα0 de la particule α dans le CM a pour valeur : wα0 =

1 w αβ . 2

(A4.4)

 Comme wα0 = wα0 dans le cas d’une collision élastique (1.94), de (A4.3) et (A4.4),  on obtient wα0 = w0 et, finalement, de (A4.1), par relation trigonométrique :

θαL =

θ . 2

(A4.5)

Annexe A5 Interactions collisionnelles de nature coulombienne. Limitation de leur portée (logarithme coulombien) L’objectif ultime de cette annexe est le calcul des fréquences de collision des interactions coulombiennes sachant que les faibles interactions (petites valeurs de l’angle de diffusion θ) empêchent les intégrales correspondantes prises sur θ de converger (section 1.7.4). Ces faibles interactions n’ont, en effet, pas d’existence physique lorsque leur rayon d’action est supérieur à la longueur de Debye, λD : il y a écrantage électrostatique.

Annexe A5

445

Cette considération va nous permettre de réduire le domaine d’intégration en θ et d’assurer ainsi la convergence des intégrales en introduisant le concept de logarithme coulombien. Pour atteindre ce but, nous allons d’abord déterminer la valeur de θ lors de collisions binaires élastiques dues à une force centrale F quelconque. Étude générale des trajectoires de deux particules (interaction binaire) soumises à un champ de force centrale Nous ne considérons ici que les interactions élastiques binaires de type électromagnétique 181 . C’est le cas de l’interaction de van der Waals entre neutres 182 (potentiel en r−6 ), entre neutres et particules chargées 183 (potentiel en r−4 ) et l’interaction de Coulomb entre particules chargées 184 (potentiel en r−1 ). Ces interactions électromagnétiques induisent un champ de force centrale F conservatif (voir annexe A1), colinéaire à r, telle que F = −∇Φ(r) (A1.13) où Φ(r) est l’énergie potentielle d’interaction entre les particules distantes de r. La géométrie d’une interaction élastique entre deux particules α et β est décrite sur la figure A5.1a) pour une interaction répulsive et sur la figure A5.1b) dans le cas d’une interaction attractive. Dans le référentiel du centre de masse (où le centre de gravité G de α et β se déplace à une vitesse constante dans le référentiel du laboratoire, section 1.7.2), les trajectoires de α et β issues de l’infini sont deux courbes homothétiques par rapport à G (de nature hyperbolique dans le cas particulier d’une interaction de Coulomb 185 ) et possèdent donc chacune deux asymptotes (trajectoires longtemps avant et longtemps après la collision). La distance s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre d’impact (voir figure A5.1). C’est aussi la distance de plus courte approche en l’absence d’interaction. L’étude du mouvement des particules est effectuée dans le repère du centre de masse avec, pour coordonnées polaires, la distance r entre les particules α et β (l’une des particules étant prise comme origine) et l’angle χ entre le vecteur r et la vitesse relative wαβ = wα0 − wβ0 des particules α et β avant interaction. Les vitesses wα0 et w β0 des particules α et β avant collision sont colinéaires à wαβ (1.68), et les vitesses w α0 et w β0 après collision sont colinéaires à wαβ . Dans ce système de coordonnées, les composantes de la vitesse relative w pendant l’interaction s’expriment respectivement par : 181 L’appellation "interaction électromagnétique" est justifiée dans les deux notes en bas de page qui suivent. Les interactions sont, par ailleurs, de nature quantique si les particules se rapprochent au point que la distance entre elles devient de l’ordre de grandeur de leurs dimensions. 182 Interaction entre le dipôle électrique instantané d’une des particules et le dipôle que celui-ci induit dans la seconde particule. 183 Interaction entre la charge d’une particule et le dipôle électrique que celle-ci induit dans la particule neutre. 184 On suppose que les vitesses des particules chargées sont suffisamment faibles pour négliger le rayonnement de freinage (bremsstrahlung). 185 Dans le cas de forces d’interaction en 1/r 2 (forces gravitationnelles et coulombiennes), les trajectoires sont soit elliptiques, soit hyperboliques.

446

Annexes

Figure A5.1 – Représentation géométrique d’une interaction binaire dans le référentiel barycentrique (centre de masse) : a) interaction répulsive, b) interaction attractive. Les coordonnées polaires r et χ décrivent la position de la particule α par rapport à la particule β. La valeur χmax correspond à la distance r minimale.

dr dχ , wχ = r , wz = 0 dt dt où l’axe z est perpendiculaire au plan (r, χ) contenant les trajectoires. wr =

(A5.1)

Dans le centre de masse, l’énergie cinétique totale liée au seul mouvement relatif des particules α et β s’exprime simplement par : Ec =

μαβ w2 , 2

soit encore, en fonction des différentes composantes de la vitesse relative :    2  2 dr μαβ dχ 2 Ec = +r . 2 dt dt

(1.76)

(A5.2)

On peut vérifier facilement que le moment cinétique du mouvement relatif défini par : L = r ∧ μαβ w

(A5.3)

447

Annexe A5 est un invariant du mouvement. En effet : dw ∂L = w ∧ μαβ w +r ∧ μαβ , ∂t dt ! " 

(A5.4)

∂L = r ∧F ≡ 0, dt

(A5.5)

0

soit encore : puisque r et F sont colinéaires.

Le calcul du produit vectoriel du moment cinétique relatif L montre que la seule composante non nulle est Lz : dχ (A5.6) Lz = μαβ r2 dt qui est donc, d’après (A5.5), constante au cours du mouvement (premier invariant du mouvement). La valeur de Lz : Lz = (r ∧ μαβ w)z

(A5.7)

s’obtient à partir des conditions initiales à l’infini dans (A5.3), soit : Lz = sμαβ wαβ = sμαβ (wα0 − wβ0 )

(A5.8)

où wαβ est le module de la vitesse relative w à l’infini et où, suivant (A5.7), le paramètre d’impact s est la projection de r perpendiculairement à w αβ dans le plan contenant les trajectoires. Un second invariant du mouvement est l’énergie totale E (énergie cinétique plus énergie potentielle) qui est conservée au cours de l’interaction, soit : E = Ec (r) + Φ(r) = constante.

(A5.9)

La valeur de E est donnée par les conditions initiales avant interaction, lorsque l’énergie potentielle est nulle, soit : μαβ 2 E= w . (A5.10) 2 αβ L’équation de la trajectoire χ = χ(r) que nous allons calculer se déduit alors simplement des deux invariants. En tenant compte de (A5.2) et (A5.6), nous pouvons écrire :    2 μαβ dr L2z E= + + Φ(r) , (A5.11) 2 dt 2μαβ r2     2 Lz dr 2 d’où : =± . (A5.12) E − Φ(r) − dt μαβ μαβ r Comme :

dr dχ dr ≡ , dt dχ dt

(A5.13)

448

Annexes

l’équation différentielle de la trajectoire découle directement de (A5.6) et (A5.12), soit : Lz μαβ r2 dχ = ± (A5.14)    2 dr Lz 2 E − Φ(r) − μαβ μαβ r ou, encore, en remplaçant E et Lz par leur valeur ((A5.8) et (A5.10)) : dχ =± dr

s



2

s 2Φ(r) 1− 2 − 2 r μαβ wαβ

r2

.

(A5.15)

L’équation de la trajectoire s’obtient alors par simple intégration sur r, à condition de connaître la forme de l’énergie potentielle d’interaction Φ(r). Le domaine des valeurs possibles de r est défini par la quantité sous la racine qui doit rester positive. En particulier, la distance minimum rmin entre particules au cours de leur interaction est obtenue lorsque dr/dχ = 0, c’est-à-dire lorsque la quantité sous la racine (A5.15) s’annule, soit : Φ(rmin ) =

2 μαβ wαβ

2

  s2 . 1− 2 rmin

(A5.16)

La valeur minimum rmin donne lieu à l’angle χ maximum, χmax . En effet, au cours de ce mouvement, pendant que r décroît de l’infini à la valeur minimale rmin , l’angle χ croît de 0 à χmax . L’angle χmax est déterminé par la bissectrice entre l’asymptote avant collision et celle après collision. Dans le cas d’une interaction répulsive (figure A5.1a), l’angle χmax est lié à θ par la relation : θ = π − 2χmax ,

(A5.17)

l’angle de diffusion θ étant, avec le paramètre d’impact s, une des caractéristiques importantes d’une collisions binaire. L’angle χmax s’obtient par intégration de (A5.15) suivant r de l’infini à rmin : r min

s dr .  s 2 2Φ(r) 1− − 2 r μαβ wαβ



χmax = ∞

r2

(A5.18)

Nous venons d’établir les relations générales décrivant les trajectoires (répulsives et attractives) d’interaction dans le cas de forces centrales. Pour appliquer ces résultats à un cas concret, il nous faut connaître l’expression de la force centrale ou de Φ(r), ce qui nous permettra alors de déterminer χmax (s, wαβ ), donc finalement l’angle de diffusion θ.

449

Annexe A5

Remarque : Tous les calculs précédents ont été menés dans le repère du centre de masse. Toutefois, la trajectoire dans le repère du laboratoire est peu différente de celle calculée dans le repère du centre de masse si mα mβ . Dans ce cas, le centre de masse est pratiquement confondu avec la particule β supposée immobile. Dans ces conditions, l’angle de déflexion θ reste inchangé d’un repère à l’autre. Par contre, si les masses mα et mβ sont voisines, l’angle de diffusion devient égal à θ/2 dans le repère du laboratoire (voir annexe A4). Nous allons maintenant effectuer le calcul explicite de l’angle θ dans le cas d’une interaction coulombienne. Angle de diffusion θ dans le cas particulier des collisions coulombiennes Le potentiel d’interaction électrostatique créé par la particule β de charge Zβ est : φ(r) =

1 eZβ 4π 0 r

(A5.19)

et l’énergie potentielle d’interaction de la particule α de charge Zα avec la particule β vaut : (A5.20) Φ(r) = eZα φ(r) , Φ(r) =

soit encore :

Zα Zβ e2 . 4π 0 r

(A5.21)

On peut alors définir le paramètre d’impact critique moyen s0 (dont nous verrons la signification ultérieurement) tel que : Φ(r) Φ(r) s0 = ≡ 2 . r 2E μαβ wαβ

(A5.22)

Pour Zα = Zβ = 1, cas répulsif entre deux charges positives, nous avons : e2 2 . 4π 0 μαβ wαβ

s0 =

(A5.23)

Compte tenu de (A5.22), (A5.18) peut s’écrire explicitement : r min

s dr  s 2  s s 2 . 0 0 + 1+ − s r s



χmax = ∞

r2

En effectuant le changement de variable : s s0 + ξ = r s  , s0 2 1+ s

(A5.24)

(A5.25)

450

Annexes

l’expression (A5.24) prend la forme : 1 χmax = ξ∞

−dξ  , 1 − ξ2

(A5.26)

où ξ∞ est la valeur de ξ lorsque r tend vers l’infini, soit : s0 /s ξ∞ =  . 1 + (s0 /s)2

(A5.27)

Il est à noter que la borne rmin d’intégration supérieure dans (A5.24) correspond à dr/dt = 0, c’est-à-dire une valeur nulle de la quantité sous la racine dans (A5.12), soit ξ = 1 dans (A5.26). L’intégration de (A5.26) conduit alors à : s0 /s χmax = arc cos + , 1 + (s0 /s)2

(A5.28)

s0 /s cos χmax = + . 2 1 + (s0 /s)

(A5.29)

soit :

Compte tenu de la relation (A5.17), il vient : sin(θ/2) = cos χmax .

(A5.30)

Finalement, sachant que : sin2 (θ/2) = nous arrivons à la formule :

2

(s0 /s) 1 = 2 2 , 1 + cot (θ/2) 1 + (s0 /s)

(A5.31)

cot(θ/2) = s/s0 ,

(A5.32)

qui donne l’expression de l’angle de diffusion θ pour une collision coulombienne. Cette déflexion des particules est fonction du paramètre d’impact s et, par s0 (A5.23), de la vitesse relative wαβ des particules α et β avant leur interaction. Notons bien que si s = s0 , θ = π/2 et par ailleurs que si s = 0, θ = π, la collision est frontale. Il s’ensuit que si s < s0 , la déflexion, c’est-à-dire l’interaction, est importante (θ > π/2), et faible si s > s0 (θ < π/2). On commence ici à saisir l’importance du paramètre s0 dans les interactions coulombiennes. Section efficace microscopique totale d’interaction coulombienne La relation différentielle entre une section efficace microscopique totale de collision σ ˆtc et sa section efficace microscopique différentielle de diffusion σ ˆ (θ) se déduit de (1.106), soit : σ (θ) sin θ dθ , (A5.33) dˆ σtc = 2πˆ

451

Annexe A5

où dˆ σtc est la section efficace microscopique élémentaire. Celle-ci, selon la figure A5.2, peut s’exprimer simplement en fonction du paramètre d’impact pour donner : dˆ σtc = 2πs ds .

(A5.34)

Figure A5.2 – Description schématique de la relation géométrique entre le paramètre d’impact s et l’angle de diffusion θ dans une interaction binaire où la surface en grisé représente la section efficace microscopique élémentaire dˆ σtc = 2πsds.

Pour faire apparaître ensuite σ ˆ (θ), nous exprimons la section efficace microscopique élémentaire 2πs ds en fonction de l’angle solide élémentaire 2π sin θ dθ à partir de (A5.32). En élevant (A5.32) au carré, et en différentiant, nous trouvons : 

cos(θ/2) sin3 (θ/2) + cos3 (θ/2) sin(θ/2) dθ 2s ds =− , (A5.35) s20 sin4 (θ/2) soit :

2s ds 1 sin θ dθ =− . s20 2 sin4 (θ/2)

Par identification de (A5.36) avec (A5.33) et (A5.34), on a :     s20 .  σ ˆ (θ) = − 4 4 sin (θ/2) 

(A5.36)

(A5.37)

Le signe moins dans (A5.37) signifie simplement que l’angle de diffusion θ diminue lorsque le paramètre d’impact s augmente (A5.32), et nous prenons donc la valeur absolue du membre de droite comme expression de la section efficace microscopique différentielle. Compte tenu de (A5.23), de (A5.37) découle alors, pour les collisions coulombiennes, l’expression bien connue :  2 2 e2 /8π 0 μαβ wαβ σ ˆ (θ, wαβ ) = , (A5.38) sin4 (θ/2) ce qui permet, a priori, de calculer les sections efficaces microscopiques totales de collision : π sin θ dθ πs20 (A5.39) σ ˆtc = 2 sin4 (θ/2) 0

452

Annexes

et de transfert de quantité de mouvement (1.107) σ ˆtm

πs2 = 0 2

π 0

(1 − cos θ) sin θ dθ . sin4 (θ/2)

(A5.40)

Malheureusement, on vérifie aisément que l’intégrale dans (A5.39) diverge en θ = 0. Cela est dû au fait que les forces coulombiennes sont à très grande portée et, par conséquent, que les particules lointaines, dont les angles de diffusion sont proches de θ = 0 (particules non déviées) contribuent toutes à cette intégrale, d’où sa divergence. Il en est de même pour l’intégrale dans (A5.40) qui, comme le montre le calcul ci-après, diverge pour θ = 0. Section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement dans les interactions coulombiennes Notion de logarithme coulombien La section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement (A5.40) s’écrit aussi, en fonction de l’angle θ/2, sous la forme :  π d sin(θ/2) 2 , (A5.41) σ ˆtm = 4πs0 sin(θ/2) 0

soit, après intégration :

π σ ˆtm = 4πs20 ln sin(θ/2)  . 0

(A5.42)

On vérifie ainsi que, comme pour σ ˆtc , la section efficace σ ˆtm diverge car les collisions lointaines, où θ 0, sont prises en compte spatialement jusqu’à l’infini. Or, dans les plasmas, la portée du champ électrique créé par une particule chargée est réduite par l’effet d’écran des particules chargées voisines, et, en fait, limitée à la sphère de Debye (section 1.7). Par conséquent, deux particules chargées d’un plasma, séparées par une distance r > λD , ne "voient" pas le champ l’une de l’autre, et ne peuvent donc pas être prises en compte dans les interactions coulombiennes. Il faut donc limiter l’intégration aux particules ayant un paramètre d’impact s inférieur à la longueur de Debye (s < λD ), c’est-à-dire aux angles de diffusion θ supérieurs à la valeur minimale θmin (θ < θmin ) définie par : θmin λD cot = , (A5.43) 2 s0 soit, du fait que θmin est petit :

s0 θmin

. 2 λD

(A5.44)

En appliquant cette nouvelle limite d’intégration à (A5.42), et en posant : Λc ≡

λD , s0

(A5.45)

453

Annexe A5

on obtient l’expression recherchée de la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement : σ ˆtm = 4πs20 ln Λc

(A5.46)

où la grandeur ln Λc est appelé logarithme coulombien. Remarque : En utilisant les mêmes limites d’intégration que pour σ ˆtm , la section efficace microscopique totale de collision s’établit à : σ ˆtc = πλ2D .

(A5.47)

Ce résultat est conforme au fait de prendre en compte toutes les interactions coulombiennes pourvu qu’elles aient lieu à l’intérieur de la sphère de Debye (s ≤ λD ). Logarithmes coulombiens dans le cas de particules obéissant à des distributions maxwelliennes L’expression de la section efficace microscopique totale pour le transfert de quantité de mouvement déterminée en (A5.46) nous oblige à préciser les valeurs de λD et s0 à introduire dans l’expression de Λc , ce que nous allons faire dans l’hypothèse où les populations des particules chargées α et β obéissent à des distributions maxwelliennes de températures Tα et Tβ . La longueur de Debye λD est, en principe, la longueur de Debye globale définie par (1.38). En fait, d’après Delcroix (1959), lors d’une collision, l’effet d’écran des ions n’a pas le temps de se manifester, et il est donc préférable d’adopter dans l’expression de Λc , λD = λDe , la longueur de Debye électronique, soit :  1

0 kB Te 2 . (1.38) λDe = ne2 Cette hypothèse est, de plus, cohérente avec celle des ions constituant un fond neutralisant pour les électrons (voir remarque 8, section 1.7). Pour le paramètre d’impact critique, il faut prendre sa valeur moyenne s0  et donc 2 calculer la valeur moyenne de μαβ wαβ , soit : 2 μαβ wαβ  = μαβ (w α0 − wβ0 )2 

sachant que : Il s’ensuit que :

w α0 − w β0 = w αβ . 2 2 2 μαβ wαβ  = μαβ wα0 + wβ0 − 2wα0 · w β0 

(A5.48) (1.66) (A5.49)

où la moyenne wα0 · wβ0 est nulle : toutes les orientations relatives initiales des particules dans le repère du laboratoire sont également probables. Pour des distributions maxwelliennes, on obtient alors, d’après (A1.11) :   mα mβ 3kB Tβ 3kB Tα 2 μαβ wαβ = + . (A5.50) mα + mβ mα mβ

454

Annexes

Si Ti = Te = T , s0  prend une valeur unique quelle que soit la nature des collisions, électron-électron, ion-ion ou électron-ion : s0  =

e2 . 12π 0 kB T

(A5.51)

Par contre, si Te = Ti , il faut distinguer trois paramètres d’impact critique moyens : pour les collisions électron-électron : s0ee =

e2 , 12π 0 kB Te

(A5.52)

s0ii =

e2 , 12π 0 kB Ti

(A5.53)

pour les collisions ion-ion :

et, pour les collisions électron-ion : 

 1 1 + e m mi  e . = kB Te kB Ti 12π 0 + me mi 2

s0ei = s0ie

(A5.54)

Il leur correspond trois logarithmes coulombiens, ln Λcee , ln Λcii et ln Λcei . En fonction de Λcee , on a, d’après les expressions de s0αβ (me mi ) : ln Λcii = ln Λcee + ln et puisque : alors :

s0ei s0ee ,

Ti , Te

ln Λcei ln Λcee .

(A5.55) (A5.56) (A5.57)

Fréquences de collisions coulombiennes et libres parcours moyens Fréquences de collisions dans le cas de particules obéissant à des distributions maxwelliennes De manière rigoureuse, la fréquence moyenne de collision de l’espèce α avec l’espèce β (cible) est définie par (1.136) : σαβ (wαβ )wαβ  ναβ (wαβ ) = nβ ˆ

(A5.58)

où σ ˆαβ est la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement. Or, dans le cas présent des collisions coulombiennes, les sections efficaces calculées précédemment sont déjà le résultat d’une moyenne effectuée sur les vitesses relatives, et ne peuvent donc être utilisées pour aboutir à l’expression exacte de (A5.58).

455

Annexe A5

Pour cela, il faudrait intégrer (A5.58) sur l’ensemble des vitesses des populations α et β (de la même manière que dans l’exercice 1.15), ce qui conduit à un calcul très complexe. Un ordre de grandeur de la fréquence de collision pourrait, toutefois, être obtenu en recourant à l’approximation : σαβ wαβ  . ˆ σαβ wαβ  ˆ

(A5.59)

où wαβ  est la vitesse moyenne. En fait, on préfère généralement définir ce qu’on appelle la fréquence de collision individuelle moyenne qui correspond à la vitesse relative la plus probable, vαβ (il ne s’agit donc pas à proprement parler d’une valeur moyenne). L’expression de vαβ est donnée par (exercice 1.15) :    Tα Tβ + vαβ = 2kB . (A5.60) mα mβ Cette fréquence de collision s’écrit donc : ˆαβ (vαβ ) vαβ ναβ (vαβ ) = nβ σ

(A5.61)

où σ ˆαβ se calcule à partir de (A5.46), en substituant vαβ à wαβ  dans s0 (A5.23) : s0αβ =

e2 2 . 4π 0 μαβ vαβ

En supposant Te  Ti , les fréquences de collision s’écrivent alors :

  λDe 4kB Te 2 ln νee = 4πns0ee me s0ee

  λDe 2kB Te νei = νie 4πns20ee ln me s0ee

  λDe 4kB Ti 2 νii = 4πns0ii ln . mi s0ii

(A5.62)

(A5.63) (A5.64) (A5.65)

Il est possible de tirer de nombreuses relations simples de (A5.63), (A5.64) et (A5.65). Ainsi, une première relation immédiate : √ (A5.66) νee 2 νei montre que les fréquences de collision électron-électron et électron-ion sont du même ordre de grandeur. La seconde relation, obtenue en explicitant (A5.63) : νee = ωpe

ln Λcee Λcee

(A5.67)

permet de relier la fréquence de collision électron-électron à la pulsation plasma électronique ωpe .

456

Annexes

Libres parcours moyens dans le cas de particules obéissant à des distributions maxwelliennes De manière générale, le libre parcours moyen d’une particule α sur les particules β peut être défini par (1.137) :   wα 1 αβ = . (A5.68) nβ σ ˆαβ (wαβ )wαβ Comme précédemment pour la fréquence de collision, on définit le libre parcours moyen des collisions coulombiennes pour les vitesses les plus probables : vα . (A5.69) αβ (vα ) = nβ σ ˆαβ vαβ Les différents parcours moyens s’écrivent alors (Te  Ti ) :



2kB Te 2kB Ti me mi ie = ee = , (A5.70) , νee νei



2kB Te 2kB Ti me mi , (A5.71) . ei = ii = νei νii

(A5.72)

(A5.73)

Le libre parcours moyen des électrons sur toutes les particules chargées (électrons et ions) s’écrit :

2kB Te me . (A5.74) e = νee + νei Remarque : Il est important de noter que les fréquences de collisions coulombiennes et les libres parcours moyens correspondants sont indépendants de la pression du gaz.

Annexe A6 Ionisation par étapes L’ionisation par étapes, et en particulier l’ionisation à deux étapes, est un mécanisme de création de particules chargées qui se révèle important dès que les pressions de gaz dépassent quelques torrs (quelques centaines de pascal), ce processus s’intensifiant avec l’augmentation de la pression et de la densité électronique à tel point que l’ionisation par étapes peut l’emporter sur l’ionisation directe. Le premier stade de l’ionisation par étapes est l’excitation de l’atome à partir de son état fondamental par une collision électronique : e + A → A(j) + e .

(A6.1)

457

Annexe A6

Une seconde collision électronique sur cet atome excité dans l’état j peut provoquer alors son ionisation : (A6.2) e + A(j) → A+ + e + e . L’atome excité a donc servi de relais, d’intermédiaire, pour atteindre l’ionisation avec des électrons de moindre énergie que ceux requis pour une ionisation directe. Bilan de population de l’état-relais La fréquence d’ionisation à partir de l’état excité j est par définition : νie = Nj ˆ σji (w)w

(A6.3)

où Nj est la densité des atomes dans l’état excité (les cibles), σ ˆji est la section efficace microscopique totale pour l’ionisation à partir de l’état excité j et les crochets indiquent l’intégration sur la fonction de distribution en vitesse des particules. Pour obtenir la fréquence d’ionisation par étapes, il nous faut donc connaître la densité des atomes excités dans l’état j. Cette densité est déterminée à partir du bilan des processus de création et de perte des atomes de l’état-relais. Nous allons nous aider du diagramme à trois niveaux d’énergie de la figure A6.1 pour l’établir.

Figure A6.1 – Diagramme d’énergie à trois niveaux de l’atome d’argon permettant de caractériser l’ionisation par étapes : l’état fondamental de l’atome neutre, l’étatrelais j (les 4 états d’énergie de la configuration orbitale 3p5 4s sont en effet considérés comme un seul niveau) et le premier niveau de l’atome ionisé. Les niveaux 3 P0 et 3 P2 sont des états métastables (faible probabilité de transition radiative) alors que les niveaux 1 P1 et 3 P1 sont des états radiatifs résonnants (aussi qualifiés de quasi métastables).

458

Annexes

En régime stationnaire, le bilan création-pertes de l’état-relais impose évidemment que : dNj = 0, (A6.4) dt où dNj /dt, dans le cas présent, peut se mettre sous la forme suivante : dNj Dj = N0 ˆ σ0j (w)wne − Nj ˆ σj0 (w)wne − Nj ˆ σji (w)wne − 2 Nj . dt Λ

(A6.5)

Le premier terme du membre de droite représente le peuplement de l’état-relais par collision électronique sur l’atome dans son état fondamental (réaction (A6.1)). Les autres termes correspondent au dépeuplement du niveau relais, successivement, par suite de sa désexcitation par collision électronique vers le niveau fondamental (le processus inverse de la réaction (A6.1)), par l’ionisation décrite par (A6.2), et par diffusion de ces atomes vers les parois. Dans la relation (A6.5), N0 est la densité des atomes dans l’état fondamental ; k0j ≡ ˆ σ0j (w)w est le coefficient d’excitation électronique à partir de l’état fondamental ; kj0 ≡ ˆ σj0 (w)w est le coefficient de σji (w)w est le coefficient d’ionisation désexcitation électronique de l’état j et kji ≡ ˆ à partir de l’état excité j ; Dj est le coefficient de diffusion des atomes excités dans le plasma et Λ est la longueur caractéristique de diffusion (Λ = R/2,405 dans le cas de géométrie cylindrique, où R est le rayon du tube : plus de détails en section 3.8). Les processus qui interviennent dans l’équation (A6.5) sont représentés sur la figure A6.1 où l’état-relais est noté j. La diffusion des atomes de l’état-relais est représentée sur ce même diagramme par leur temps caractéristique de diffusion τj où (section 3.8) : Dj 1 = . Λ2 τj

(A6.6)

L’ionisation à deux étapes se fait généralement à partir d’atomes dans un état métastable comme état-relais parce que la désexcitation radiative de ceux-ci est très longue à intervenir, de sorte que leur dépeuplement est contrôlé par collisions électroniques et par diffusion. De l’équation (A6.5) à l’état stationnaire, nous obtenons la densité de l’état-relais : σ0j (w)wne N0 ˆ . (A6.7) Nj = −1 τj + (ˆ σj0 (w)w + ˆ σji (w)w) ne La vitesse de dépeuplement de l’état-relais par diffusion est principalement déterminée par la pression du gaz : lorsque cette dernière augmente, le temps de diffusion τj de ces atomes augmente également, réduisant ce type de perte (les deux états métastables de la figure A6.1 sont considérés comme ne faisant qu’un seul état-relais). Quand le dépeuplement de ces états est beaucoup plus faible par diffusion que par collision σj0 (w)w + ˆ σji (w)w) ne ), (A6.7) montre que la valeur de Nj (c’est-à-dire τj−1 (ˆ est indépendante de la densité électronique ; cet effet se manifeste aussi quand la densité électronique est très élevée.

459

Annexe A7 Fréquence d’ionisation

La relation (A6.3), définissant la fréquence d’ionisation par étapes dans laquelle on tient compte de Nj donné par (A6.7), nous conduit à : νie = Posons :

σ0j (w)wˆ σji (w)wτj ne N0 ˆ . 1 + (ˆ σj0 (w)w + ˆ σji (w)w) τj ne

σ0j (w)wˆ σji (w)wτj ρie = N0 ˆ

unités : cm3 s−1 ,

(A6.8) (A6.9)

que nous appellerons coefficient d’ionisation par étapes, et : η = (ˆ σj0 (w)w + ˆ σji (w)w) τj

unités : cm3

(A6.10)

que nous nommerons coefficient de saturation des états relais. La fréquence d’ionisation par étapes peut alors s’écrire sous la forme (1.155) : νie =

ρie ne . 1 + ηne

(A6.11)

Lorsque la valeur de νie n’augmente plus lorsque ne croît, on dit qu’il y a saturation : l’ionisation par étapes l’emporte alors nettement sur l’ionisation directe. Ceci se produit effectivement lorsque le temps de diffusion τj est très grand (grande valeur de η) ou lorsque la valeur de ne est très grande. Dans ces conditions, l’expression (A6.11) ne dépend plus de ne puisque : νie

ρie . η

(1.156)

Annexe A7 Notions de tenseur Un tenseur se caractérise par le mode de transformation requis pour l’exprimer dans un autre repère. Un scalaire s est une quantité invariante lors d’un changement de repère. C’est un tenseur d’ordre zéro. Un vecteur w s’écrit : ˆx + wy e ˆy + wz e ˆz , w = wx e

(A7.1)

ˆx , e ˆy et e ˆz sont les vecteurs de base d’un repère donné que nous allons où les e qualifier d’ancien. Lors d’un changement de repère, les composantes (wx , wy , wz ) de w sont reliées à ses composantes dans le nouveau repère par une matrice de

460

Annexes

transformation A d’éléments αij . Soit W I , les composantes de w dans le nouveau repère ; nous obtenons alors 186 : W I = αI1 w1 + αI2 w2 + αI3 w3 = αIi wi

(A7.2)

où pour pouvoir appliquer la règle de sommation implicite (sans utiliser le signe de sommation), nous avons mis, dans le dernier membre de la relation, l’indice des composantes de w en position supérieure. Cette règle veut que le même indice, répété en position inférieure et supérieure, soit l’objet d’une sommation sur toutes ses valeurs : on dit de cet indice qu’il est muet car on peut en changer la désignation à volonté. Suivant cette notation, le vecteur w peut donc se représenter de façon ˆi . compacte par w = wi e Il faut cependant souligner que la position de l’indice, supérieure (contravariante) ou inférieure (covariante), dépend, de façon stricte, de la nature de la grandeur physique. Ainsi, sont naturellement covariants les champs E et H alors que le vecteur position est contravariant. Dans ce qui suit, nous allons ignorer cet aspect physique dans l’utilisation de la règle de sommation implicite sur les indices muets. La transformation inverse (du nouveau repère vers l’ancien) se fait par la matrice B d’éléments βji qui est l’inverse de la matrice (αij ), ce qui implique que (A)(B) = (I). Ainsi, les composantes de w dans l’ancien système de coordonnées s’écrivent-elles : wi = βIi W I .

(A7.3)

Le vecteur w est un tenseur d’ordre 1. Un tenseur T d’ordre 2 s’exprime dans un repère donné par : ˆx e ˆx + txy e ˆx e ˆy + txz e ˆx e ˆz + · · · , T = txx e

(A7.4)

c’est-à-dire qu’il fait intervenir deux vecteurs de base pour chaque composante ; ces composantes sont au nombre de 9. En conséquence, lors d’un changement de repère, il faut faire agir deux fois la matrice de transformation. Ainsi les composantes de T dans le nouveau repère sont-elles données par : T IJ = αIi αJj tij .

(A7.5)

On peut généraliser la définition de T à des tenseurs d’ordre quelconque en notant que le nombre d’indices d’un tenseur, en réalité le nombre de matrices de transformation qui interviennent lors d’un changement de repère, définit l’ordre du tenseur. Produits entre tenseurs Le produit tensoriel de deux vecteurs A et B, noté A ⊗ B, se définit par l’élément du tenseur résultant : (A7.6) Tij = Ai Bj , ˆ x, E ˆ y, E ˆ z les vecteurs de base dans le nouveau repère, ceux-ci 186 Si nous désignons par E ˆ I = αk e s’obtiennent à partir des vecteurs de base de l’ancien repère par la relation E I ˆk .

461

Annexe A7

où les indices i et j peuvent prendre les valeurs 1, 2 ou 3. On engendre ainsi un tenseur d’ordre 2 (aussi appelé dyade). Le produit tensoriel peut s’appliquer de façon générale à un produit de deux tenseurs d’ordre quelconque : l’ordre du tenseur résultant est la somme des ordres des tenseurs composant le produit. Le produit scalaire ou produit intérieur est, dans le formalisme tensoriel, une contraction, ce qui diminue de 2 unités l’ordre du tenseur initial 187 . Ainsi, pour deux vecteurs A et B, cela donne (avec la règle de sommation implicite) :    ˆi · B j e ˆj = Ai B j e ˆi · e ˆj = Ai B j δij = Ai B i (A7.7) A · B = Ai e i

où δij est le symbole de Kronecker (δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j). Pour continuer à utiliser la règle de sommation implicite, il nous faut écrire (A7.7) sous la forme : (A7.8) A · B = Ai Bi . Le résultat est un scalaire, c’est-à-dire un tenseur d’ordre 0. Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est considéré comme un vecteur, qui s’avère être un pseudo-vecteur. En effet, lorsqu’on passe d’un repère droit à un repère gauche, ce pseudo-vecteur change de sens dans l’espace, ce qui est contraire à la notion de vecteur vrai. A vrai dire, le produit vectoriel devrait être représenté par un tenseur d’ordre 2, antisymétrique, c’est-à-dire que Tij = −Tji , ce qui implique une diagonale nulle pour la matrice représentative du tenseur T . Celle-ci ne comporte que trois éléments indépendants d’où la représentation du produit vectoriel par un vecteur. Opérateurs Le gradient est un opérateur qui produit un tenseur d’une unité supérieure à celui sur lequel il opère. Ainsi, à partir d’un scalaire s : ∇s =

 ∂s ∂s ∂s ˆi , ˆx + ˆy + ˆz = ∂i s e e e e ∂x ∂y ∂z i

(A7.9)

nous obtenons un vecteur. La convention de l’indice muet ne peut s’appliquer ici car, au sens strict, l’opérateur "dérivée de position" est covariant, d’où la nécessité du signe explicite de sommation. La divergence est le résultat de l’action de l’opérateur gradient suivie d’une contraction. Ainsi, la divergence d’un vecteur w, ∇ · w, est un scalaire (voir note 72 de bas de page) : le résultat est un tenseur d’une unité inférieure au tenseur sur lequel on opère. 187 Le produit scalaire de deux vecteurs peut être vu comme leur produit tensoriel suivi d’une contraction.

462

Annexes

Le rotationnel se prend sur un vecteur covariant de composantes ai et produit un tenseur covariant d’éléments bij : bij =

∂aj ∂ai − j. i ∂x ∂x

(A7.10)

Il y a augmentation d’une unité de l’ordre du tenseur initial du fait de l’action de l’opérateur spatial ∂/∂xi . Exemple de démonstration d’une identité tensorielle Nous voulons montrer que : ∇r · (wwf ) = w(w · ∇r f ) . Développons-en le membre de gauche :  ˆp e ˆq ) f ) ∂i (ˆ ei · (wp wq e ∇r · wwf =

(A7.11)

(A7.12)

i

où f est un scalaire et ∂i un opérateur de dérivation dans l’espace des positions (qui n’agit pas sur les vitesses microscopiques). Notons qu’il n’y a pas sommation implicite sur i car les deux éléments portant cet indice sont covariants. En effectuant ˆp , qui impose p = i (A7.7), nous avons : ˆi · e dans (A7.12) le produit e   ˆp e ˆq ) f ) = ∂i wi wq e ˆq f = ∂i f wi wq e ˆq ∂i (ˆ ei · (wp wq e (A7.13) où il y a sommation (contraction) sur l’indice i, de sorte que :  ∂i f wi w = (∇r f · w) w .

(A7.14)

Finalement, puisque ∇r f · w est un scalaire, nous pouvons écrire : (∇r f · w) w = w(∇r f · w) ,

(A7.15)

ce qui est le membre de droite de la relation (A7.11) que nous voulions démontrer.

Annexe A8 Opérations sur les tenseurs Les propriétés fondamentales des tenseurs ont été présentées à l’annexe A7. Nous allons maintenant en donner les règles opératoires, sans toutefois avoir recours à la sommation implicite (indices muets) définie à l’annexe A7.

463

Annexe A8 Produit de deux vecteurs

Soit deux vecteurs A et B de composantes Ai et Bi avec i = x, y, z ou i = 1, 2 ou 3. Produit scalaire de deux vecteurs : A · B On obtient un scalaire C : A·B =

3 

Ai Bi = B · A = C .

(A8.1)

i=1

Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif. Produit vectoriel de deux vecteurs : A ∧ B On obtient un vecteur C (en réalité un pseudo-vecteur, annexe A7) de composantes : Ci = Ai+1 Bi−1 − Ai−1 Bi+1

(A8.2)

où, si i = x, x + 1 = y et x − 1 = z. Il s’ensuit que : A ∧ B = −B ∧ A = C

(A8.3)

Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Noter l’importante règle du double produit vectoriel : A ∧ (B ∧ C) = (A · C)B − (A · B)C .

(A8.4)

Produit tensoriel de deux vecteurs : A ⊗ B On obtient un tenseur T , d’ordre 2, dont la composante Tij est le produit de la composante Ai et de la composante Bj :

Il s’ensuit que :

Tij = Ai Bj .

(A8.5)

A ⊗ B = (B ⊗ A)T .

(A8.6)

Le produit n’est pas commutatif, sauf si les vecteurs sont parallèles. Le symbole T en exposant indique que le tenseur est transposé (Tij est devenu Tji ). Remarque : Dans le texte principal, nous avons représenté le produit tensoriel de deux vecteurs A et B sour la forme AB plutôt que par A ⊗ B.

464

Annexes

Produit de deux tenseurs Soit S et T , des tenseurs d’ordre 2. Produit tensoriel : S ⊗ T On obtient un tenseur d’ordre 4 : dont les composantes sont :

S⊗T =U

(A8.7)

Uijkl = Sij Tkl .

(A8.8)

Produit simplement contracté : S · T On obtient un tenseur d’ordre 2 : dont les composantes sont :

S·T =U  Uij = Sik Tkj

(A8.9) (A8.10)

k

et si les deux tenseurs sont symétriques : S · T = (T · S)T = (U )T = U . Produit doublement contracté : S : T  On obtient un scalaire : S:T = Sij Tji = U i

avec

(A8.11)

(A8.12)

j

S :T =T :S.

(A8.13)

Produit entre un tenseur et un vecteur Soit T , un tenseur d’ordre 2 et A, un vecteur. Produit tensoriel d’un vecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 3 : dont les composantes sont :

A⊗T = Q

(A8.14)

Qijk = Ai Tjk .

(A8.15)

Produit contracté d’un vecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 3 qui après contraction donne un vecteur :

dont les composantes sont :

T ·A= D  Tij Aj . Di = j

(A8.16) (A8.17)

465

Annexe A8 De même, le produit A · T donne un vecteur : A · T = D  Aj Tji . Di =

dont les composantes sont :

(A8.18) (A8.19)

j

Donc, si T est un tenseur symétrique (Tij = Tji ), le produit est commutatif : T ·A= A·T .

(A8.20)

Si T est obtenu par le produit tensoriel de deux vecteurs :

donc : a pour composantes :

Di =

T =B⊗C

(A8.21)

A · (B ⊗ C) = D ,

(A8.22)



Aj Bj Ci = (A · B)Ci ,

(A8.23)

D = A · (B ⊗ C) = (A · B)C .

(A8.24)

j

d’où :

De même, puisqu’il y a commutation, on obtient : D = (A ⊗ B) · C = A(B · C) .

(A8.25)

Produit contracté d’un vecteur par un tenseur d’ordre 3 Soit Q, un tenseur d’ordre 3. On obtient un tenseur T d’ordre 2 : A · Q = T  Ak Qkij . dont les composantes sont : Tij =

(A8.26) (A8.27)

k

De même,

Q · A = T

est un tenseur d’ordre 2 dont les composantes sont :  Tij = Qijk Ak .

(A8.28)

(A8.29)

k

Produit rotatif (vectoriel) d’un vecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 2 :

A∧T =U

dont les composantes sont : Uij = Ai+1 Ti−1, j − Ai−1 Ti+1, j .

(A8.30) (A8.31)

Le vecteur colonne j du tenseur U est le produit vectoriel du vecteur A par le vecteur colonne j du tenseur T .

466

Annexes

Opérations impliquant l’opérateur différentiel L’opérateur différentiel ∇ (ou ∂/∂r) peut être considéré comme un vecteur dont les composantes sont : ∂ ∇i = . (A8.32) ∂xi Divergence d’un vecteur

On obtient un scalaire :

∇·A=

3  ∂Ai i=1

∂xi

=C.

(A8.33)

Divergence d’un tenseur d’ordre 2 On obtient un vecteur : dont les composantes sont :

∇·T = A Ai =

 ∂Tji ∂xj

j

(A8.34) .

(A8.35)

La divergence est le produit contracté de l’opérateur différentiel ∇ avec un vecteur ou un tenseur. Gradient d’un scalaire On obtient un vecteur : dont les composantes sont :

∇C = A Ai =

∂C . ∂xi

(A8.36) (A8.37)

Gradient d’un vecteur ou d’un tenseur De façon générale, le gradient est le produit tensoriel de l’opérateur différentiel ∇ avec un scalaire, un vecteur ou un tenseur. Ainsi, sur un vecteur A, on obtient un tenseur d’ordre 2 : ∇A ≡ ∇ ⊗ A = T dont les composantes sont :

Tij =

∂Aj . ∂xi

À noter que ∇B est un vecteur alors que ∇B est un tenseur d’ordre 2.

(A8.38)

(A8.39)

467

Annexe A9 Rotationnel d’un vecteur

Le rotationnel est le produit vectoriel de l’opérateur différentiel ∇ avec un vecteur. ∇∧A=C ∂Ai−1 ∂Ai+1 Ci = − . ∂xi+1 ∂xi−1

On obtient un (pseudo) vecteur :

(A8.40)

dont les composantes sont :

(A8.41)

Laplacien d’un scalaire C’est un scalaire :

ΔC =

 ∂2C

. ∂x2i  ∂2C  ∂  ∂C  = = ∇ · (∇C) ∂x2i ∂xi ∂xi i i

(A8.42)

ΔC = ∇ · (∇C) = ∇2 C .

(A8.44)

ΔA = C

(A8.45)

i

Or : d’où :

(A8.43)

Laplacien d’un vecteur C’est un vecteur : dont les composantes sont :

Ci =

 ∂ 2 Ai

. ∂x2j  ∂ 2 Ai  ∂  ∂Ai  ΔA = = = ∇ · (∇ ⊗ A) ∂x2j ∂xj ∂xj j j

(A8.46)

j

Or : soit :

ΔA = ∇ · (∇ ⊗ A) = ∇2 A .

(A8.47) (A8.48)

Remarque : Il ne faut pas oublier que ∇ est un opérateur différentiel, et, que par conséquent, quand il s’applique à un produit, il porte sur chacun des termes. Ainsi, ∇ · (B ⊗ C) = (∇ · B)C + (B · ∇)C.

Annexe A9 Orientation de w 2⊥ dans le trièdre de référence (E 0⊥ ∧ B, E 0⊥, B) Nous faisons appel au trièdre de référence (figure 2.10) et à la représentation de la vitesse w2⊥ de la figure 2.11. De (2.143), pour un électron (q = −e et ωc = ωce ), nous avons alors : 5 6 e ωce iωE (E − ∧ B) eiωt (A9.1) w 2⊥ = − 0⊥ 0⊥ 2 − ω2) me (ωce B

468

Annexes

1. cas où ω > ωce : grand axe suivant E 0⊥ De (A9.1) :

 e (w 2⊥ ) =  iω(cos ωt + i sin ωt)E 0⊥ 2 ) me (ω 2 − ωce 6 ωce (cos ωt + i sin ωt)(E 0⊥ ∧ B) − B = −A1 ω(sin ωt)E 0⊥ − A2 ωce (cos ωt)(E 0⊥ ∧ B)

(A9.2)

où A1 et A2 sont des constantes. En t = 0, on obtient E ⊥ = E 0⊥ , w2⊥ = −A2 ωce (E 0⊥ ∧ B) et, en t = T /2, E ⊥ = −E 0⊥ , w2⊥ = A2 ωce (E 0⊥ ∧ B), comme cela est représenté sur la figure 2.9.

Repère de référence (E 0⊥ ∧ B, E 0⊥ , B).

2. cas où ω < ωce : grand axe suivant E 0⊥ ∧ B De (A9.1), on a : (w 2⊥ ) = A1 ω(sin ωt)E 0⊥ + A2 ωce (cos ωt)(E 0⊥ ∧ B). En t = 0, E ⊥ = E 0⊥ , w 2⊥ = A2 ωce (E 0⊥ ∧ B) et, en t = T /2, E ⊥ = −E 0⊥ , w2⊥ = −A2 ωce (E 0⊥ ∧ B) (figure 2.9). Remarquons que, dans le cas présent, la vitesse est déphasée de π par rapport à la condition ω > ωce .

Annexe A10 Force agissant sur une particule chargée dans la direction d’un champ B faiblement non uniforme axialement : variante de (2.183) La force de Lorentz due à B suivant l’axe z s’écrit Fz = q(w∧B)·ˆ ez . En coordonnées ˆz et e ˆϕ ), nous cylindriques, du fait du mouvement hélicoïdal (composantes suivant e avons :    e ˆϕ e ˆz   ˆr e   (A10.1) w ∧ B =  0 w⊥ w  .     Br 0 Bz Ceci conduit à :

Fz = −qw⊥ Br .

(A10.2)

469

Annexe A11

Mais nous savons aussi qu’au voisinage de l’axe de symétrie du champ B nous pouvons écrire en première approximation que : Br = −

r ∂Bz 2 ∂z

(voir (2.167)). En supposant que la particule se déplace en ayant comme centre de guidage l’axe de symétrie du champ B et un rayon de Larmor rB , nous pouvons alors poser r = rB dans l’expression de Br , d’où : Fz = qw⊥ et : w2 w⊥ ∂Bz =q ⊥ Fz = qw⊥ 2ωc ∂z 2



mα −qBz



rB ∂Bz 2 ∂z

(A10.3)

2 ∂Bz 1 mα w⊥ ∂Bz =− = −μ ∂z 2 Bz ∂z



∂Bz ∂z

 (2.183)

puisque μ = Ecin⊥ /Bz (2.154). La non uniformité axiale du champ B donne lieu à une force proportionnelle au gradient de ce champ.

Annexe A11 Le moment magnétique, un invariant dans l’approximation du centre de guidage Considérons le cas où il n’y a pas de champ E appliqué. Nous allons négliger le champ E induit par l’inhomogénéité de B dans le repère de la particule : ceci est conforme à l’approximation à l’ordre zéro du centre de guidage. Dans ces conditions, l’énergie cinétique totale de la particule, WT = W⊥ + W , étant constante, il s’ensuit que :   d d d 1 2 (A11.1) (W ) ≡ mα wz = − (W⊥ ) , dt dt 2 dt où, par ailleurs : d d (W⊥ ) ≡ dt dt

Sachant que :



W⊥ B B



d W⊥ dB +B = B dt dt

Fz = −μ



W⊥ B

 .

∂Bz , ∂z

et en multipliant (2.183) par wz de chaque côté et puisque μ = W⊥ /B :   d 1 W⊥ dBz dwz W⊥ ∂Bz dz ≡ mα w2 = − =− , wz mα dt dt 2 B ∂z dt B dt

(A11.2)

(2.183)

(A11.3)

470

Annexes

puis, en utilisant (A11.1), le membre de gauche de (A11.3) s’écrit :   d 1 W⊥ dBz 2 mα w⊥ = − . − dt 2 B dt

(A11.4)

Tenant compte de (A11.2) pour remplacer le membre de gauche dans la relation (A11.4), celle-ci nous conduit à :   W⊥ dBz d W⊥ W⊥ dBz +B , = B dt dt B B dt ce qui, manifestement, impose que :   d W⊥ d ≡ μ = 0, dt B dt c’est-à-dire que le moment magnétique μ est indépendant de t. Nous avions obtenu ce même résultat en introduction de la section 2.2.3.

Annexe A12 Vitesse de dérive wD d’une particule chargée soumise à une force quelconque F D dans un champ B : cas de la dérive magnétique Généralisation de l’expression de la vitesse du mouvement de dérive dans un champ B à partir de l’expression de la vitesse de dérive électrique Pour la dérive électrique, nous avons obtenu (2.120) : wDE =

E⊥ ∧ B , B2

(A12.1)

expression que nous généralisons en posant que qE ⊥ = F DE , où F DE peut être, finalement, assimilée à une force quelconque F D , ce qui nous conduit à l’expression générale recherchée : FD ∧ B . (A12.2) wD = qB 2 Application au cas de la dérive magnétique (lignes de champ magnétique rectilignes) dans un champ B faiblement inhomogène Le champ B étant faiblement inhomogène, μ est alors une constante du mouvement à l’ordre zéro et, d’après (2.183) que nous généralisons à trois dimensions, nous pouvons écrire : F DM = μ · ∇B . (A12.3)

471

Annexe A13

ˆz avec inhomoDans le cas de lignes magnétiques rectilignes, B étant dirigé suivant e généité selon y et μ, lié au champ diamagnétique, dirigé selon −ˆ ez :

nous aurons :

F DM

ˆz et B =Bz (y)ˆ μ = −μz e ez , ∂Bz ∂Bz ˆz · ˆz = −μz ˆy e ˆy . ≡ −μz e e e ∂y ∂y

(A12.4) (A12.5)

En portant l’expression de la force engendrant la dérive magnétique (A12.5) dans (A12.2), il vient : wDM ≡ −μz

ˆy ∧ Bˆ ∂Bz e ez μ (B ∧ ∇B) = , 2 ∂y qB q B2

(A12.6)

ce qui est bien la relation déjà obtenue en (2.222) : ce résultat conforte notre assertion que l’expression (A12.2) est valable pour une force F D quelconque.

Annexe A13 Vitesse de dérive magnétique wDM dans le repère de Frenet associé aux lignes de force d’un champ magnétique présentant une faible courbure La particule effectue, à l’ordre zéro, un mouvement cyclotronique autour d’une ligne de force, celle-ci constituant l’axe de son mouvement hélicoïdal. Repère de Frenet En chaque point d’une ligne de force de champ magnétique (figure A13.1), nous pouvons construire un repère cartésien tel que : ˆz soit dirigé selon la tangente à la ligne du champ B en ce 1. le vecteur unitaire e point, ˆy soit normal à cette tangente et orienté le long du rayon de courbure ρ 188 , ce 2. e ˆy , et vecteur pointant vers la ligne de champ, c’est-à-dire en direction opposée à e ˆx , la binormale, soit dans la direction perpendiculaire aux deux autres vecteurs 3. e unitaires de façon à former un trièdre direct. Le repère de Frenet est aussi, en première approximation, le repère naturel de la particule dans le cas présent. 188 Le rayon de courbure en un point A d’une courbe est la distance entre ce point et le point d’intersection de deux normales à la courbe situées immédiatement de part et d’autre du point A.

472

Annexes

Figure A13.1 – Repère de Frenet construit sur une ligne de champ magnétique présentant une courbure ρ. Le vecteur ˆx est entrant dans la feuille. Le unitaire e ˆz + dˆ ez au point Q est vecteur unitaire e transporté, parallèlement, au point P afin de montrer l’orientation de dˆ ez .

Relations de Frenet La mécanique classique enseigne que sur une trajectoire s liée à un repère de Frenet : ˆy e dˆ ez ρ = =− 2, ds ρ ρ

(A13.1)

où le rayon de courbure ρ s’obtient par la dérivée des tangentes locales, comme le suggère la figure A13.1. Dans le cas où y(z) décrit la ligne de force, on pourrait montrer, pourvu que dy/dz ne soit pas trop grand, que : 1 d2 y = . 2 dz ρ

(A13.2)

Par ailleurs, les composantes du vecteur ρ s’écrivent (Jancel et Kahan) : ρx 1 ∂Bx , =− ρ2 B ∂z ρy 1 ∂By , =− 2 ρ B ∂z ρz = 0. ρ2

(A13.3) (A13.4) (A13.5)

Composantes de ∇B L’équation de Maxwell ∇∧B = 0 (sans second membre, dans le cadre du formalisme des trajectoires individuelles (voir note 83 de bas de page) conduit à :       ∂Bz ∂Bx ∂Bz ∂By ∂By ∂Bx ˆx ˆy ˆz e − − − +e +e = 0. (A13.6) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

473

Annexe A13

Par ailleurs, par hypothèse d’une inhomogénéité de B dépendant de y, nous avons ∂Bz /∂y = 0, de sorte que (A13.6) impose : ∂By ∂Bz = . ∂y ∂z

(A13.7)

Les autres termes de (A13.6) sont nuls. Les équations (A13.3) et (A13.4) deviennent alors : ρx = 0 ,

(A13.8)

ρy 1 ∂Bz . =− 2 ρ Bz ∂y

(A13.9)

de sorte que ρy = ρ. Paramétrisation d’une ligne de champ B curviligne ˆz + By e ˆy où |By | |Bz | est une correction d’ordre un à Bz Dans notre cas, B = Bz e si la courbure de champ n’est pas trop forte. Nous cherchons une relation y(z) pour représenter cette ligne de force. Nous pouvons effectuer un développement limité en série de Taylor de la composante By , avec By (0) = 0 puisque cette quantité est d’ordre un, et : By ≈

∂By ∂By ∂By dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

(A13.10)

où, selon (A13.6) et (A13.7), seule la composante ∂By /∂z est non nulle, de sorte que : ∂By dz , ∂z ∂Bz dz , By

∂y

By ≈ qui, par (A13.7), devient : d’où, pour z petit, de (2.226) :

By B0 βz .

(A13.11) (A13.12) (A13.13)

Par ailleurs, localement, par définition (voir figure 2.17) :

où : donc :

By dy = Bz dz By B0 βz

βz , = Bz B0 (1 + βy) dy = βz . dz

(A13.14) (A13.15) (A13.16)

En intégrant (A13.2), nous avons :

z dy = , dz ρ

(A13.17)

de sorte que nous constatons que

β ≈ 1/ρ .

(A13.18)

474

Annexes

Expression de wDM dans le repère de Frenet Nous avons déjà montré que : wDM = mα

2 1 w⊥ (B ∧ ∇B) 2 qα B 3

(2.221)

où nous posons maintenant ωc = −qα B/mα , de sorte qu’il vient explicitement :   2 1 w⊥ ∂Bz ˆy . e wDM = − (A13.19) B∧ ωc B 2 2 ∂y De (2.226) et de (A13.18), nous obtenons :

d’où (A13.15) :

w DM

Bz ∂Bz = , ∂y ρ   2 Bz 1 w⊥ ˆ = ∧ B . e y ωc B 2 2 ρ

(A13.20)

(A13.21)

ˆy , nous arrivons finalement à : En faisant appel à ρ, dirigé de façon opposée à e   2 ρ 1 w⊥ ∧ B . (A13.22) wDM = − ωc B 2 ρ2 Cette expression, à la différence de (2.222), fait apparaître la (faible) courbure des lignes de champ.

Annexe A14 Harmoniques sphériques Si l’on exprime la vitesse w en coordonnées sphériques, on peut développer la fonction de distribution des électrons en harmoniques sphériques : Clm = wl Plm (cos θ) cos mϕ ,

(A14.1)

Slm = w Plm (cos θ) sin mϕ ,

(A14.2)

l

où Plm (cos θ) est une fonction de Legendre associée d’ordre m, définie pour l ≥ 1 et 0 ≤ m ≤ l, par m m d Plm (μ) = (1 − μ2 ) 2 Pl (μ) , (A14.3) dμm et Pl est le polynôme de Legendre de degré l. Notons que pour m = 0, Plm (μ) = Pl (μ) .

(A14.4)

475

Annexe A15 Les premiers polynômes de Legendre Plm (μ) sont : P0 (μ) = 1, 1

P11 (μ) = (1 − μ2 ) 2 P1 (μ) = μ , 1 1 2 3μ − 1 , P21 (μ) = 3μ(1 − μ2 ) 2 , P2 (μ) = 2 1 3 5μ − 3μ . . . P3 (μ) = 2

P22 (μ) = 3(1 − μ2 )

(A14.5)

Figure A14.1 – Système de coordonnées sphériques dans l’espace des vitesses.

Les premières fonctions sphériques sont donc pour μ = cos θ : C00 = 1,

C10 = w cos θ = wz ,

S11 = w sin θ sin ϕ = wy ,

C20

C11 = w sin θ cos ϕ = wx   3 cos2 θ − 1 = w2 2

(A14.6)

En supposant l’existence d’une symétrie suivant ϕ, la fonction de distribution f (r,w,t) peut se développer suivant les termes Ci0 :   3 cos2 θ − 1 f (r, w, t) = f0 (r, w, t) + f1 (r, w, t) cos θ + f2 (r, w, t) + . . . (3.18) 2

Annexe A15 Expression des termes M et Rα de l’équation de transport de la pression cinétique (3.150) Expression du tenseur M lié à la force magnétique Explicitons M de (3.150) lorsque les particules α sont soumises à un champ magnétique B (force de Laplace, voir note 87 de bas de page). Il suffit d’écrire (A8.31) : Mij = nα qα (wi+1 Bi−1 − wi−1 Bi+1 )uj + (wj+1 Bj−1 − wj−1 Bj+1 )ui  .

(A15.1)

476

Annexes

En décomposant, puis en réordonnant les termes, on obtient : Mij =nα qα (ui+1 + vi+1 )Bi−1 uj − (ui−1 + vi−1 )Bi+1 uj  + nα qα (uj+1 + vj+1 )Bj−1 ui − (uj−1 + vj−1 )Bj+1 ui  ,

(A15.2)

soit : Mij =

qα qα [Bi−1 Ψi+1, j − Bi+1 Ψi−1, j ]+ [Bj−1 Ψj+1, i − Bj+1 Ψj−1, i ] , (A15.3) mα mα

qui s’écrit sous forme tensorielle (A8.6) :  qα B ∧ Ψ + (B ∧ Ψ)T . M =− mα Expression du tenseur de collision Rα (3.148)  Rappelons que : Rα = Rαβ β

= α où : Rαβ = mα (w α − v α )(w α − v α )S(fα )β dwα . Le tenseur Rαβ peut s’écrire, après développement : Rαβ = mα (w α w α − v α wα − wα v α + v α v α )S(fα )β dw α ,

(A15.4)

(A15.5) (A15.6)

(A15.7)

soit encore : Rαβ = mα (w α w α )S(fα )β dwα − v α mα w α S(fα )β dw α  − vα

T

mα wα S(fα )β dwα

+ vα v α

mα S(fα )β dw α . (A15.8)

S’il y a conservation du nombre de particules lors des collisions, le dernier terme de (A15.8) est nul. En utilisant la relation (3.115) définissant P αβ , (A15.8) prend alors la forme finale : Rαβ = mα w α wα S(fα )β dwα − v α P αβ − [v α P αβ ]T . (A15.9)

Annexe A16 Fermeture de l’équation hydrodynamique de transport de pression cinétique dans le cas d’une compression adiabatique Considérons l’équation de transport de pression cinétique Ψ (3.155) et appliquons-lui les hypothèses de compression adiabatique (voir texte principal) : ∇·Q = 0 et R = 0.

477

Annexe A16 L’équation se simplifie alors pour donner :   d Ψ T + (Ψ · ∇) v + [(Ψ · ∇) v] − M = 0 . n dt n

(A16.1)

La structure même du tenseur M (A15.2) fait que les termes de sa diagonale sont tous nuls. L’équation (A16.1), tensorielle d’ordre 2, peut donner lieu à une relation scalaire si l’on pratique une contraction (annexe A7) sur les deux indices des différents tenseurs ˆj Aij , contracter ˆi e d’ordre 2 de l’équation. Sachant qu’un tenseur A s’exprime A = e les deux indices en présence (i = j) équivaut à calculer la trace de A. Compte tenu de (3.110), la trace Tr du premier terme de (A16.1) a pour valeur :   d Ψ d 3p , (A16.2) Tr n =n dt n dt n alors que celle des deuxième et troisième termes donne : T

Tr [(Ψ · ∇)v] + Tr [(Ψ · ∇)v] = 2p∇ · v ,

(A16.3)

où nous avons posé Ψ = nkB T (I) (comme dans l’approximation du plasma tiède). Finalement, la trace de (A16.1), en entier, a pour expression : n

d 3p + p∇ · v = 0 . dt 2 n

(A16.4)

Cette relation scalaire remplace, donc, une équation tensorielle d’ordre 2 dont la fermeture a été effectuée en posant ∇ · Q = 0. Remarque : Scalaire de pression p et sa relation avec la trace du tenseur uu ≡ (w − v)(w − v) lié au tenseur de pression cinétique Ψ En mécanique des milieux continus, la pression est la trace du tenseur des contraintes, c’est-à-dire la somme des termes diagonaux. Cette trace est, en fait, un scalaire vrai, c’est-à-dire un invariant par rapport à tout changement de repère. Dans ce sens, la trace fournit une équation de plus pour caractériser le système physique à l’étude. Dans le cas d’un plasma gazeux, il n’y a pas de termes de cisaillement, de sorte que, ce tenseur d’ordre 2 (une dyade) a pour matrice représentative : ⎞ ⎛ 2 0 0 ux  ⎟ ⎜ u2y  0 ⎠ (3.109) ⎝ 0 2 0 0 uz 

478

Annexes

quelle que soit la fonction de distribution en vitesses (3.109). Sa trace est un scalairevrai puisqu’elle résulte de la contraction de uu où u est une vitesse, donc un vecteurvrai. En effet, u · u = ei ui · ei ui (sommation sur indice muet) où ei ui est le vecteur vitesse u dans une base quelconque : le produit scalaire de deux tels vecteurs est un invariant, donc un véritable scalaire (par opposition à un pseudo-scalaire). Dans l’hypothèse d’une distribution de MB anisotrope, me u2i /2 = kB Ti où i = x, y, z avec Tx = Ty = Tz , il vient : Traceuu = u2x  + u2y  + u2z 

(A16.5)

et 12 me Traceuu = kB Tx + kB Ty + kB Tz . Si nous considérons que : 1 1 Traceuu me = kB (Tx + Ty + Tz ) , 2 3 3

(A16.6)

le tiers de la trace se trouve à définir une température moyenne selon les axes du système de coordonnées. Dans le cas d’une isotropie des températures :

et cette fois :

Tx = Ty = Tz = T

(A16.7)

Traceuu 1 me = kB T , 2 3

(A16.8)

nme Traceuu = nkB T ≡ p . 2 3

(A16.9)

de sorte que finalement :

Ainsi, dans un plasma isotrope, la trace du tenseur de pression cinétique conduit à la relation définissant la pression du plasma gazeux. Le formalisme tensoriel permet de démontrer que la quantité p est un véritable scalaire. La trace du tenseur flux de chaleur Q Nous pouvons faire subir à ce tenseur d’ordre 3 une contraction qui mène au vecteur flux de chaleur : 1 q= Qijj . (A16.10) 2 j Le vecteur flux de chaleur ainsi obtenu se trouve défini à partir des caractéristiques du tenseur de flux de chaleur Q.

479

Annexe A17

Annexe A17 Compléments de calcul pour l’expression de Te (pR) (section 3.13) Fonction de distribution maxwellienne des vitesses exprimée en énergie (eV) 189 L’expression suivante de la fonction de distribution :  f (w) =

me 2πkB Te

  w2 exp − 2 , vth

 32

(3.288)

par sa forme scalaire, souligne que nous avons négligé l’anisotropie induite par le champ E extérieur. En introduisant UeV , l’énergie microscopique des électrons, exprimée en eV : UeV =

me w 2 , 2e

(3.289)



et comme :

2eUeV me   2 3 2 ¯ kB Te = eU = kB Te = eV , 3 2 3 w=

il vient : 1 2 me vth 2

¯eV = 3kB Te /2e (3.289) est l’énergie moyenne, nous avons finalement : où U

4 e ¯ UeV . vth = 3 me

(3.290)

(A17.1)

(3.292)

189 La substitution de l’énergie UeV à w dans f (w) (isotrope) conduit à la fonction f (UeV ) que l’on qualifie de fonction de distribution des vitesses exprimée en énergie. Par ailleurs, il est d’usage de définir une fonction de distribution en énergie F (UeV ), en posant : 1

2 dUeV = f (w)4πw 2 dw. F (UeV )UeV

√ Ainsi, on a F (UeV ) = 4 2π(e/me )3/2 f (w), soit : F (UeV ) =

2 1

3

π 2 (kB Te ) 2

„ « eUeV exp − , kB Te

la condition de normalisation de F (UeV ) étant : Z∞

1

2 F (UeV )UeV dUeV = 1.

0

480

Annexes

Après substitution dans (3.288), nous obtenons : )

*   3 ¯eV  3me 2 2eUeV 2eUeV 7 4eU 1 f exp − = , 3 ¯eV me me 3me (2π) 2 2eU )

et

f

2eUeV me

*

 =

3 me 4π e

 32

  1 3 UeV exp − 3 ¯eV . 2U ¯2 U

(A17.2)

(3.293)

eV

Expression de la fréquence d’ionisation selon les énergies réduites U et Ui Comme point de départ, nous avons la relation (3.296) :

νi  = 3

  ∞ 3e p0 3 UeV a (U − E ) U exp − i0 eV i eV 3 ¯eV dUeV . me π U 2U ¯2 eV E

(3.296)

i

En effectuant le changement de variable : 3 Ei ¯eV = Ui , 2U

3 UeV ¯eV = U , 2U

(3.297)

il s’ensuit que :

νi  = 3

∞ 3e p0 ai0 2 ¯ 2 ¯ 2 ¯ UeV (U − Ui ) U UeV dU , eV U exp (−U) 3 me π U 3 3 3 ¯2 eV E

(A17.3)

i



8 νi  = 9

d’où

3 3e ¯2 p0 ai0 U eV me π

∞ (U − Ui )U exp (−U) dU .

(3.298)

Ui

Expression de (3.304) en fonction des énergies réduites U et Ui Soit : 2¯ UeV μi 3



2,405 R

2 =2

  32

    3 4 3 Ei e 3 Ei ¯2 ai0 p0 U exp − eV ¯eV ¯eV . (3.304) 3 me π 4U 2U

¯eV ≡ Ui , nous pouvons écrire : Sachant que 3Ei /2U ¯eV μi U



2,405 R



2 =2

2e ai0 2 12 12 p E U exp −Ui me π p 0 0 i i

(A17.4)

481

Annexe A18

et alors :

−1 Ui 2

2 (exp Ui ) = (2,405)2



2e me π

1 * ai0 Ei2 p20 R2 , μi p0  ! " c20

)

(A17.5)

où μi p0 est la mobilité ionique réduite à 0 o C, 1 torr (attention à la pression de référence ici à 1 torr plutôt que 760 torrs).

Annexe A18 Propagation d’une onde plane électromagnétique dans un plasma et épaisseur de peau Les conditions de propagation d’une onde électromagnétique (EM) dans un plasma sont régies par les quatre équations de Maxwell, à savoir : 1. L’équation de Maxwell-Faraday ∇∧E =−

∂B , ∂t

(2.2)

2. L’équation de Maxwell-Ampère : ∇ ∧ B = μ0 J + μ0 0

∂E , ∂t

(2.3)

3. L’équation de Poisson (ou Maxwell-Gauss) ρ ,

0

(1.1)

∇·B = 0.

(2.164)

∇·E = 4. L’équation de Maxwell-Thomson :

En supposant la neutralité du plasma à l’échelle macroscopique (ρ = 0), et dans le cas d’une description "diélectrique" du plasma (section 2.2.1), (1.1) et (2.3) peuvent s’écrire respectivement : ∇·E =0 (A18.1) et :

∇ ∧ B = μ0 0 p

∂E , ∂t

(2.39)

482

Annexes

où p représente la permittivité complexe du plasma relativement au vide. L’équation de propagation de l’onde EM est obtenue à partir du rotationnel de (2.2) : ∇ ∧ ∇ ∧ E = ∇(∇ · E) − ΔE = −

∂(∇ ∧ B) , ∂t

(A18.2)

soit, en prenant en compte (A18.1) et (2.39) : ΔE = μ0 0 p

∂ 2E . ∂t2

(A18.3)

Dans le cas simple d’une onde plane EM (dans le plan x, y) de pulsation ω et se propageant suivant l’axe Oz, le champ électrique E peut s’écrire sous la forme : E = E 0 ei(ωt−kz z) ,

(A18.4)

où kz , la composante complexe suivant Oz du vecteur de propagation (ou nombre d’onde, voir note 25 de bas de page) k, peut s’écrire : kz = β + iα .

(A18.5)

Puis, à partir de la relation (A18.3) en coordonnées cartésiennes, on obtient l’équation de dispersion d’une onde plane EM dans un milieu infini et homogène : kz2 = μ0 0 ω 2 p = p

 ω 2 c

,

(A18.6)

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Dans le cas général, la permittivité p du plasma relativement au vide peut s’écrire : σ , (2.43)

p = 1 + iω 0 ou encore, en tenant compte de la conductivité électrique σ des électrons (2.38) :

p = 1 −

2 ωpe . ω(ω − iν)

(2.44)

Portant (A18.4) dans (A18.5), le champ électrique E peut s’écrire sous la forme : E = E 0 ei(ωt−βz) eαz ,

(A18.7)

qui montre que la propagation de l’onde est gouvernée par β, la partie réelle de kz , tandis que son atténuation est gouvernée par α, la partie imaginaire de kz . Si kz est strictement réel (α = 0), l’onde se propage sans aucune atténuation ; si kz possède une partie imaginaire négative (α < 0), l’onde est atténuée (une valeur positive de α (α > 0) correspondrait à une amplification de l’onde qui ne peut être considérée ici comme une solution physique acceptable). Dans le cas de l’atténuation de l’onde (α < 0), la profondeur de pénétration caractéristique δc du champ HF dans le plasma

483

Annexe A18

est défini comme la distance pour laquelle l’intensité initiale de l’onde plane EM est réduite d’un facteur 1/e (e est la base du logarithme népérien), soit : δc =

1 (c/ω) 1 . =− =  1/2 (−kz ) α  − p

(A18.8)

Le calcul de l’épaisseur de peau peut ensuite être effectué de manière simple dans deux cas particuliers : Plasmas non-collisionnels : ν  ω Dans ce cas (ν ω), la valeur de la permittivité du plasma (2.43) est, en première approximation, purement réelle :

p = 1 −

2 ωpe . ω2

(A18.9)

Si la valeur de la permittivité est positive (ωpe < ω), kz est totalement réel (kz = β) et l’onde se propage sans atténuation. Si la valeur de la permittivité est négative (ωpe > ω), kz est totalement imaginaire (kz = iα) et l’onde ne peut pas se propager dans le plasma. Dans ce dernier cas, l’onde EM est réfléchie par le plasma (le plasma peut alors être considéré comme un milieu très bon conducteur) avec atténuation du champ HF dans le plasma suivant l’axe Oz. L’épaisseur de peau correspondante est obtenue de (A18.8), soit : δc =

2 (ωpe

c c

. 2 1/2 ω −ω ) pe

(A18.10)

Remarque : La transition du régime de propagation d’une onde plane EM à un régime de non-propagation (coupure de la propagation de l’onde) dans un plasma non-collisionnel est obtenue pour la valeur singulière p = 0 (ou kz = 0) qui résulte de l’égalité ωpe = ω. La densité électronique nc correspondante, dénommée densité critique, au-dessus de laquelle il n’y a plus propagation d’une onde plane EM dans un plasma collisionnel, est donnée par : nc =

0 me ω 2 . e2

(A18.11)

Plasmas collisionnels : ν  ω Dans ce cas opposé (ν  ω), la permittivité d’un plasma de haute densité (ωpe  ω) peut être obtenue à partir de (2.44), soit :

p = 1 −

2 2 iωpe iωpe

− . νω νω

(A18.12)

484

Annexes

La racine carrée complexe de p qui correspond à une solution physique de kz peut s’écrire : ) *1/2 2 ω pe

(1 − i) . (A18.13)

1/2 p 2νω Compte tenu de (A18.8), l’épaisseur de peau prend alors la forme suivante :  1/2 c 2ν δc = , (A18.14) ωpe ω qui, cette fois, dépend de la fréquence de collisions ν des électrons et de la pulsation ω du champ HF. Le nombre d’onde, determiné à partir de (A18.6) et (A18.14), peut s’écrire : 1−i , kz = δc ce qui implique que, dans un plasma collisionnel de haute densité (ωpe et ν  ω), l’onde EM peut se propager sur une distance égale à l’épaisseur de peau, bien que ωpe > ω. Remarque : La conductivité électrique des électrons : σ=

n2e me (ν + iω)

(2.37)

dans un plasma collisionnel (ν  ω), prend la valeur purement réelle : σ=

n2e . me ν

Dans ce cas, l’épaisseur de peau (A18.14) peut s’écrire sous la forme : 1/2  2 δc = , σωμ0

(A18.15)

(A18.16)

expression qui correspond exactement à la formule bien connue de la profondeur de pénétration d’une onde plane EM dans un conducteur métallique.

Annexe A19 Plasmas d’onde de surface (POS) Ce type de plasma HF a joué un rôle déterminant dans la compréhension et la modélisation des plasmas entretenus par des champs RF et micro-ondes et, même, du plasma de la colonne positive d’une décharge en courant continu. Cela tient, d’une part, à la grande souplesse des conditions opératoires des POS et, d’autre part, à leurs propriétés intrinsèques. Le bref aperçu des POS qui suit devrait aider le lecteur à mieux comprendre comment certains résultats présentés dans le chapitre 4 ont été acquis.

Annexe A19

485

Figure A19.1 – Schéma de principe de la formation d’une colonne de plasma entretenue par une onde électromagnétique de surface dans un tube diélectrique à partir d’un applicateur de champ à interstice de lancement.

La figure A19.1 montre de façon schématique comment se présente un POS entretenu dans un tube diélectrique creux de configuration cylindrique (des POS plans ou plats peuvent également être créés). On remarque que l’applicateur de champ HF, en l’occurrence un lanceur d’onde, ne couvre qu’une faible longueur de la colonne de plasma produite. C’est que la décharge est entretenue par la propagation d’une onde électromagnétique (EM), onde qui est excitée à partir de l’interstice de lancement (typiquement de quelques mm de largeur) de l’applicateur de champ qui utilise, comme milieu de propagation, le plasma, le tube diélectrique le contenant, l’air entourant l’extérieur du tube et, le cas échéant, un cylindre conducteur creux, de plus grand diamètre et coaxial à l’ensemble. L’onde EM est dite de surface parce que l’intensité de son champ E est maximale, radialement, à l’interface plasma-tube à décharge, ce qui fait que l’onde semble coller au tube diélectrique épousant, le cas échéant, les variations de diamètre ou de courbure de celui-ci si elles ne sont pas trop abruptes. Une onde de surface est excitée aussi bien vers l’avant que vers l’arrière de l’interstice de lancement, comme le montre la figure A19.1. Avec certains types de lanceur (par exemple surfaguide), la colonne avant est symétrique, par rapport à l’interstice, à la colonne arrière alors, qu’au contraire, avec d’autres lanceurs (par exemple surfatron), le plasma est presque exclusivement celui de la colonne avant. Le flux de puissance P (z) émergeant de l’interstice de lancement diminue le long du tube à décharge au fur et à mesure que l’onde transfère son énergie au gaz de la décharge qu’elle entretient. Une propriété particulière des POS est que la puissance perdue dP (z)/dz par l’onde entre z et z + dz est absorbée par la décharge également entre z et z + dz (ce n’est pas vrai des plasmas HF en général), ce qui en facilite la modélisation. Le résultat de cette baisse progressive de P (z) est une décroissance, le plus souvent linéaire, de la densité électronique, comme le montre la figure A19.2. Sur cette figure, nous remarquons que la pente de la décroissance de ne est d’autant plus grande

486

Annexes

que la fréquence de l’onde est élevée. Dans le cas de pressions faibles (ν/ω 1), l’onde cesse de se propager, et donc n’entretient plus la décharge, lorsque ne est inférieure à une certaine valeur 190 alors que dans le cas des hautes pressions, l’onde ne se propage plus quand le flux de puissance n’est plus suffisant pour entretenir la décharge, déterminant, dans les deux cas, ce qu’on appelle la fin de colonne.

Figure A19.2 – Distribution axiale de la densité d’électrons telle qu’observée le long d’une colonne de plasma produit par une onde de surface à différentes fréquences d’excitation (tube de rayon R = 6,4 cm à l’air libre, surfatron, argon 30 mtorrs).

Une propriété remarquable des POS est qu’une augmentation de la puissance HF délivrée à l’applicateur de champ produit un accroissement de la longueur de la colonne de plasma sans, cependant, modifier le segment de plasma qui existait antérieurement, celui-ci se trouvant simplement décalé en bloc de l’interstice de lancement. La figure A19.2 à 100 MHz illustre bien ce comportement des POS. La flèche indiquant 36 W repère la position axiale qu’occupe alors l’applicateur par rapport à la fin de colonne (z 0) et nous observons, comme nous venons de le dire, que ce segment de colonne de plasma n’est pas modifié lorsque la puissance HF est portée à 58 W. La densité électronique moyenne n ¯ e suivant une section radiale de la colonne de plasma : 1 ne (z) = πR2

R ne (r, z) 2πrdr

(A19.1)

0

du segment supplémentaire est plus élevée mais son gradient d¯ ne /dz demeure le même. Noter qu’à une fréquence de 27 MHz et une pression de 30 mtorrs, la colonne de plasma d’argon s’étend sur 4,5 m avec moins de 40 W transmis au surfatron ! 190 La valeur minimum de n ¯ e dans ce cas est n ¯ e  1,2×104 (1+v )f 2 (cm−3 ) où v est la permittivité relative du tube à décharge (par exemple 3,78 pour de la silice fondue) et f est la fréquence de l’onde exprimée en MHz.

Annexe A19

487

Figure A19.3 – Distribution axiale de la densité électronique moyenne suivant la section d’un tube à décharge, à deux valeurs du rayon interne de celui-ci (3 et 6 mm) dans un plasma de néon à 915 MHz à pression atmosphérique.

La figure A19.3 montre que la valeur de n ¯ e et de son gradient d¯ ne /dz augmente quand le diamètre du tube diminue. Ceci est vrai aussi bien à la pression atmosphérique (figure A19.3) qu’à quelques mtorrs seulement. Cette propriété est liée à la variation axiale du coefficient d’atténuation α de l’onde de surface. Soulignons que le fait de disposer d’une colonne de plasma le long de laquelle n ¯ e et P (z) varient permet d’effectuer une étude auto-cohérente, en chaque position axiale z, des propriétés de l’onde et du plasma sans avoir à modifier les conditions opératoires. Le domaine de variation possible des conditions opératoires est le plus grand de tous les plasmas HF, ce qui en fait un outil de choix pour la modélisation en permettant une confrontation expérience-théorie au cours de laquelle un seul des paramètres opératoires est modifié à la fois. Ainsi, il est possible de créer un tel type de plasma à des fréquences aussi basses que 150 kHz pour atteindre, comme l’ont montré des chercheurs russes, au moins 40 GHz, en produisant une onde de surface de même symétrie azimutale, c’est-à-dire de mêmes propriétés EM : autrement dit, on peut effectuer une étude paramétrique de la fréquence du champ HF sans avoir à modifier la configuration du tube à décharge ni non plus celle du champ EM. Quant au domaine de pression, il s’étend de quelques mtorrs (un peu moins, enco, en présence d’un champ magnétique de confinement à la RCE) à, comme nous avons pu le montrer, au moins 7 fois la pression atmosphérique, toujours avec la même configuration de champ EM. Quant au diamètre des tubes à décharges, il peut être de moins de 1 mm et aller, pour des fréquences pas trop élevées, à plus de 300 mm (des restrictions s’appliquent, en effet, au diamètre maximum du tube à décharge pour éviter des modes EM supérieurs de l’onde de surface quand on augmente la fréquence de l’onde). Du fait de

488

Annexes

cette extrême souplesse des conditions opératoires, nous pouvons dire que la principale application des POS est la modélisation des plasmas HF, bien qu’il existe maintenant de nombreuses utilisations industrielles des POS.

Annexe A20 Intégrales utiles et expressions des principaux opérateurs différentiels Intégrales utiles Fonction Γ

∞ Γ(x) =

tz−1 e−t dt ,

(z) > 0

(A20.1)

0

Pour z = n, où n est un entier : Γ(n) = (n − 1)! ,

Γ(n + 1) = nΓ(n) .

Valeurs remarquables de la fonction Γ :     √   √ 1 1 3 π 1 Γ , Γ = π, = Γ = 2 2 2 2 2 Autres intégrales

∞ −∞

∞ E(n) =

e 0

2

e−y dy =

1 x dx = Γ 2

−ax2 n

Valeurs remarquables   √ 1 1 π − 12 − 12 E(0) = Γ a = a 2 2 2   √ 3 3 π −3 1 a 2 E(2) = Γ a− 2 = 2 2 4   √ 5 5 1 3 π −5 a 2 E(4) = Γ a− 2 = 2 2 8



Γ(1) = 1 .

√ π

n+1 2

(A20.2) 

a−

n+1 2

a>0

E(1) =

1 1 Γ (1) a−1 = a−1 2 2

E(3) =

1 1 Γ (2) a−2 = a−2 2 2

E(5) =

1 Γ (3) a−3 = a−3 2

(A20.3)

489

Annexe A20 Expressions définissant les opérateurs différentiels (coordonnées orthogonales : rectilignes ou curvilignes)

Soit x1 , x2 et x3 les coordonnées d’un repère et e1 , e2 et e3 les unités locales de longueur (voir plus loin), nous pouvons exprimer les opérateurs différentiels de la façon suivante : Le gradient

 ∇=

1 1 1 ∂1 , ∂2 , ∂3 e1 e2 e3

 (A20.4)

où ∂i ≡ ∂/∂xi . Le rotationnel d’un vecteur  1 1 (∂2 e3 A3 − ∂3 e2 A2 ), (∂3 e1 A1 − ∂1 e3 A3 ), ∇∧A= e2 e3 e3 e1  1 (∂1 e2 A2 − ∂2 e1 A1 ) (A20.5) e1 e2 La divergence (scalaire) d’un vecteur (composantes exprimées en grandeurs vraies) ∇·A =

1 (∂1 e2 e3 A1 + ∂2 e3 e1 A2 + ∂3 e1 e2 A3 ) e1 e2 e3

Le laplacien d’un scalaire   e2 e3 e3 e1 e1 e2 1 ∂1 φ + ∂2 ∂2 φ + ∂3 ∂3 φ Δφ = ∂1 e1 e2 e3 e1 e2 e3

(A20.6)

(A20.7)

Le laplacien d’un vecteur En coordonnées cartésiennes : ˆ1 + ΔA2 e ˆ2 + ΔA3 e ˆ3 ΔA = ΔA1 e

(A20.8)

ˆi sont les vecteurs de base du repère cartésien et de (A20.7) où les e ˆ1 + ∂22 A2 e ˆ2 + ∂32 A3 e ˆ3 . ΔA = ∂12 A1 e

(A20.9)

Toujours en coordonnées cartésiennes : ΔA = ∇(∇ · A) − ∇ ∧ ∇ ∧ A

(A20.10)

490

Annexes

Les opérateurs que nous venons de définir sont soumis aux propriétés suivantes : Le rotationnel du gradient d’un scalaire est nul :   1 1 1 1 (∇ ∧ ∇φ)1 = (∂2 ∂3 − ∂3 ∂2 )φ = 0 ∂2 e3 ∂3 φ − ∂3 e2 ∂2 φ = e2 e3 e3 e2 e2 e3 (A20.11) de même pour les deux autres composantes. La divergence du rotationnel d’un vecteur est nulle  1 1 (∂2 e3 A3 − ∂3 e2 A2 ) ∇ · (∇ ∧ A) = ∂1 e2 e2 e1 e2 e3 e2 e3  1 1 (∂3 e1 A1 − ∂1 e3 A3 ) + ∂3 e1 e2 (∂1 e2 A2 − ∂2 e1 A1 ) = 0 + ∂2 e3 e1 e3 e1 e1 e2 (A20.12) La divergence du gradient d’un scalaire est égale au laplacien (A20.7)   1 e2 e3 e3 e1 e1 e2 ∂1 φ + ∂2 ∂2 φ + ∂3 ∂3 φ = Δφ ∇ · ∇φ = ∂1 e1 e2 e3 e1 e2 e3

(A20.13)

Systèmes usuels de coordonées curvilignes orthogonales et unités locales de longueur Lorsqu’un vecteur de base ei quelconque peut s’exprimer en fonction d’un vecteur ˆi , la valeur ei est l’unité locale de ˆi colinéaire et normé, soit ei = ei e de base e longueur dans la direction xi . Les vecteurs de base normés sont surmontés d’un accent circonflexe. Coordonnées cartésiennes Les variables sont x1 = x, x2 = y et x3 = z et les unités de longueurs locales sont alors e1 = e2 = e3 = 1. ∇φ =

∂φ ∂φ ∂φ ˆx + ˆy + ˆz e e e ∂x ∂y ∂z

∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z       ∂Az ∂Ax ∂Ay ∂Ay ∂Az ∂Ax ˆx + ˆy + ˆz ∇∧A = − e − e − e ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∇·A =

Δφ =

∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z

(A20.14) (A20.15) (A20.16) (A20.17)

491

Annexe A20  ΔA =

∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2



 ˆx + e

 +

∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2

  ∂Bx ∂Bx ∂Bx ˆx (A · ∇)B = Ax + Ay + Az e ∂x ∂y ∂z   ∂By ∂By ∂By ˆy + Ay + Az + Ax e ∂x ∂y ∂z   ∂Bz ∂Bz ∂Bz ˆz + Ay + Az + Ax e ∂x ∂y ∂z

 ˆy e  ˆz e

(A20.18)

(A20.19)

Coordonnées cylindriques Les variables sont x1 = r, x2 = θ et x3 = z et les unités de longueurs locales sont alors e1 = 1, e2 = r, e3 = 1. ∂φ 1 ∂φ ∂φ ˆr + ˆθ + ˆz e e e ∂r r ∂θ ∂z ∂Az 1 ∂(rAr ) 1 ∂Aθ + + ∇·A= r ∂r r ∂θ ∂z     ∂Ar 1 ∂Az ∂Aθ ∂Az ˆr + ˆθ − − e e ∇∧A = r ∂θ ∂z ∂z ∂r   1 ∂(rAθ ) ∂Ar ˆz − e + r ∂r ∂θ   1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2φ ∂ 2 φ Δφ = r + 2 2 + 2 r ∂r ∂r r ∂θ ∂z   Ar 2 ∂Aθ ˆr − 2 e ΔA = ΔAr − 2 r ∂θ r   Aθ 2 ∂Ar ˆθ + ΔAz e ˆz − 2 e + ΔAθ − 2 r ∂θ r ∇φ =

  Aθ ∂Br Aθ Bθ ∂Br ∂Br ˆr (A · ∇)B = Ar + + Az − e ∂r r ∂θ ∂z r   Aθ ∂Bθ Aθ Br ∂Bθ ∂Bθ ˆθ + + Az + e + Ar ∂r r ∂θ ∂z r   Aθ ∂Bz ∂Bz ∂Bz ˆz + + Az + e + Ar ∂r r ∂θ ∂z

(A20.20) (A20.21)

(A20.22) (A20.23)

(A20.24)

(A20.25)

492

Annexes

Coordonnées sphériques Les variables sont x1 = r, x2 = θ et x3 = ϕ et les unités de longueur locales sont alors e1 = 1, e2 = r et e3 = r sin θ. ∇φ =

∇·A=

∇∧A=

Δφ =

∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ ˆr + ˆθ + ˆϕ e e e ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ

1 ∂(r2 Ar ) 1 ∂(Aθ sin θ) 1 ∂Aϕ + + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

(A20.26)

(A20.27)

    1 ∂(Aϕ sin θ) ∂Aθ 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) 1 ˆr + ˆθ − − e e r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ ∂r   1 ∂(rAθ ) ∂Ar ˆϕ − e + (A20.28) r ∂r ∂θ

1 ∂ r2 ∂r

    1 ∂ ∂φ 1 ∂φ ∂2φ r2 + 2 sin θ + 2 2 ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2

  2Aθ cot θ 2Ar 2 ∂Aθ 2 ∂Aϕ ˆr − e ΔA = ΔAr − 2 − 2 − 2 r r ∂θ r2 r sin θ ∂ϕ   Aθ 2 ∂Ar 2 cos θ ∂Aϕ ˆθ − 2 2 − 2 2 e + ΔAθ + 2 r ∂θ r sin θ r sin θ ∂ϕ   2 cos θ ∂Aθ 2 ∂Ar Aϕ ˆϕ + 2 2 e + ΔAϕ − 2 2 + 2 r sin θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ   Aθ ∂Br Aϕ ∂Br Aθ Bθ + Aϕ Bϕ ∂Br ˆr Ar + + − e ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r   Aθ ∂Bθ Aϕ ∂Bθ Aθ Br Aϕ Bϕ cot θ ∂Bθ ˆθ + + + − e + Ar ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r   Aθ ∂Bϕ Aϕ ∂Bϕ Aϕ Br Aϕ Bθ cot θ ∂Bϕ ˆϕ + + + + e + Ar ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r

(A20.29)

(A20.30)

(A · ∇)B =

(A20.31)

Bibliographie

Ouvrages généraux de physique des plasmas J.L. Delcroix, Introduction à la théorie des gaz ionisés (Dunod, 1959). R. Jancel, Th. Kahan, Electrodynamique des plasmas, T. I (Dunod, 1963). E. Badareu, E. Popescu, Gaz ionisés (Dunod, 1965). J.L. Delcroix, Physique des plasmas, T. I et II (Monographie Dunod, 1966). S.R. Seshadri, Fundamentals of plasma physics (Elsevier, 1973). D. Quémada, Gaz et plasmas, chapitres 4 et 5 du Traité d’électricité : l’électricité et la matière, tome III, publié sous la direction de G. Goudet (Masson, 1975). V.E. Golant, A.P. Zhilinsky, I.E. Sakharov, Fundamentals of plasma physics, édité par S.C. Brown (Wiley, 1977). F.F. Chen, Introduction to plasma physics and controlled fusion, volume 1 (Plenum, 1984). J.L. Delcroix, A. Bers, Physique des plasmas, T. 1 et T. 2 (Interéditions CNRS, 1994). B. Held, Physique des plasmas froids (Masson, 1994). M.A. Lieberman, A.J. Lichtenberg, Principles of plasma discharges and materials processing, Second Edition (Wiley, 2005). J.-M. Rax, Physique des plasmas (Dunod, 2005). M. Moisan, J. Pelletier, Physique des Plasmas Collisionnels, première édition (EDP Sciences, 2006). M. Moisan, J. Pelletier, Physics of Collisional Plasmas (Springer, 2012).

494

Plasmas collisionnels

Ouvrages couvrant des aspects particuliers de la physique des plasmas A. von Engel, Ionized gases (Clarendon Press, 1957). R. Papoular, Phénomènes électriques dans les gaz (Dunod, 1963). A. von Engel, Electric plasmas : Their nature and uses (Taylor and Francis, 1983). M. Moisan, J. Pelletier, Microwave excited plasmas (Elsevier, 1992). C.M. Ferreira, M. Moisan, Microwave discharges : fundamentals and applications, (Plenum, New York, 1993). O.A. Popov, High Density Plasma Sources (Noyes Publications, 1995). Yu.P. Raizer, Gas discharge physics (Springer, 1997). P. Chabert, N. Braithwaite, Physics of Radio-Frequency Plasmas (Cambridge University Press, 2011). H.S. Massey, E.H.S. Burhop, Electronic and ionic impact phenomena (Oxford, 1952). S.C. Brown, Basic data of plasma physics (MIT Press, 1959). E.W. McDaniel, Collision phenomena in ionized gases (Wiley, 1964). L. Artsimovitch, S. Loukianov, Mouvement des particules chargées dans des champs électriques et magnétiques (Ed. de Moscou, 1975). W.P. Allis, S.J. Buchsbaum, A. Bers, Waves in anisotropic plasmas (MIT, 1963). D. Quémada, Ondes dans les plasmas (Hermann, 1968). P.E. Vandenplas, Electron waves and resonances in bounded plasmas (Wiley, 1968). M.A. Heald, C.B. Wharton, Plasma diagnostics with microwaves (Wiley, 1965). A. Ricard, Plasmas réactifs (Société Française du Vide, 1995). J. Yvon, Les corrélations et l’entropie (Monographie Dunod, 1966). Collection du Commissariat à l’énergie atomique (CEA, France) publiée sous la direction de R. Dautray, La fusion thermonucléaire contrôlée par confinement magnétique (Masson, 1987).

Bibliographie

Ouvrage de vulgarisation des plasmas P. Bradu, L’univers des plasmas (Flammarion, 2002).

Ouvrages d’appoint L. Brillouin, Les tenseurs en mécanique et en élasticité (Masson, 1960). L. Landau, E. Lifchitz, Mécanique des fluides (Mir, 1989). P. Lorrain, D.P. Corson, F. Lorrain, Les phénomènes électromagnétiques (Dunod, 2002).

495

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Références

[1] C. Hansen, A.B. Reimann, J. Fajans, Phys. Plasmas 3, 1820 (1996). [2] C. Ramsauer, R. Kollath, Ann. Phys. 12, 527 (1932). [3] J.H. Simons, C.M. Fontana, E.E. Muschlitz, Jr., S.R. Jackson, J. Chem. Phys. 11, 307 (1943). [4] J.H. Simons, C.M. Fontana, H.T. Francis, L.G. Unger, J. Chem. Phys. 11, 312 (1943). [5] W.H. Cramer, J.H. Simons, J. Chem. Phys. 26, 1272 (1957). [6] E.W. McDaniel, Collision phenomena in ionized gases (Wiley, 1964). [7] W.P. Allis, Handbuch der Physik 21, 383 (1956). [8] W.P. Allis, D.J. Rose, Phys. Rev. 93, 84 (1954). [9] D.J. Rose, S.C. Brown, Phys. Rev. 98, 310 (1955). [10] A. Simon, Phys. Rev. 98, 317 (1955). [11] J.C. Nickel, J.V. Parker, R.W. Gould, Phys. Rev. Lett. 11, 183 (1963). [12] M. Moisan, J. Pelletier, Microwave excited plasmas (Elsevier, Amsterdam, 1992). [13] Microwave discharges : fundamentals and applications, édité par C.M. Ferreira, M. Moisan, NATO ASI series B : Physics 302 (Plenum, New York, 1993). [14] J. Margot, M. Moisan, J. Phys. D : Appl. Phys. 24, 1765 (1991). [15] K. Makasheva, A. Shivarova, Phys. Plasmas 8, 836 (2001). [16] I. Koleva, K. Makasheva, Ts. Paunska, H. Schlüter, A. Shivarova, Kh. Tarnev, Contrib. Plasma Phys. 44, 552 (2004). [17] H. Schlüter, A. Shivarova, Physics Reports 443, 121 (2007). [18] R. Winkler, J. Wilhelm, A. Hess, Annalen der Physik 497, 537 (1985). [19] A.C. Fozza, M. Moisan, M.R. Wertheimer, J. Appl. Phys. 88, 20 (2000). [20] R. Winkler, H. Deutsch, J. Wilhelm, Ch. Wilke, Beitr. Plasmaphys. 24, 285 (1984). [21] P.A. Sá, J. Loureiro, C.M. Ferreira, J. Phys. D : Appl. Phys. 27, 1171 (1994).

498

Plasmas collisionnels

[22] C.M. Ferreira, J. Loureiro, J. Phys. D : Appl. Phys. 16, 2471 (1983). [23] M. Moisan, C. Barbeau, R. Claude, C.M. Ferreira, J. Margot, J. Paraszczak, A.B. Sá, G. Sauvé, M.R. Wertheimer, J. Vac. Sci. Technol. B9, 8 (1991). [24] P.A. Sá, J. Loureiro, C.M. Ferreira, J. Phys. D : Appl. Phys. 25, 960 (1992). Voir aussi C.M. Ferreira, M. Moisan, chapitre 3 de [12]. [25] Z. Zakrzewski, M. Moisan, G. Sauvé, chapitre 4 de [12]. [26] M. Moisan, Z. Zakrzewski, J. Phys. D : Appl. Phys. 24, 1025 (1991). [27] M. Moisan, Z. Zakrzewski, dans Radiative Processes in Discharge Plasmas, édité par J.M. Proud, L.H. Luessen (Plenum, New York, 1986). [28] J. Margot, M. Moisan, chapitre 8 de [12]. [29] R. Claude, M. Moisan, M.R. Wertheimer, Z. Zakrzewski, Plasma Chem. Plasma Proc. 7, 451 (1987). [30] G. Sauvé, M. Moisan, J. Paraszczak, J. Heidenreich, Appl. Phys. Lett. 53, 470 (1988). [31] Y. Kabouzi, M.D. Calzada, M. Moisan, K.C. Tran, C. Trassy, J. Appl. Phys. 91, 1008 (2002). [32] J. Pollak, M. Moisan, Z. Zakrzewski, Plasma Sources Sci. Technol. 16, 310 (2007). [33] E. Castaños Martìnez, M. Moisan, Y. Kabouzi, J. Phys. D : Appl. Phys. 42, 012003 (2009). [34] E. Castaños Martìnez, M. Moisan, IEEE Trans. Plasma Sci. 39, 2192 (2011). [35] Yu.B. Golubovskii, R. Sonneburg, Zh. Tekh. Fiz. 49, 295 (1979) [Sov. Phys.Tech. Phys. 24, 179 (1979)]. [36] J. Royal, A.E. Orel, Phys. Rev A 73, 042706 (2006). [37] J.H. Simons, C.M. Fontana, E.E. Muschlitz Jr., S.R. Jackson, J. Chem. Phys. 11, 307 (1943). [38] E. Castaños Martinez, Y. Kabouzi, K. Makasheva, M. Moisan, Phys. Rev. E 70, 066405 (2004). [39] E. Castaños Martinez, Contraction et décontraction des décharges microondes entretenues à la pression atmosphérique, Thèse de doctorat, Université de Montréal (2010). [40] H.S. Bosch, G.M. Hale, Nuclear Fusion 32, 611 (1992). [41] M.J. Druyvesteyn, F.M. Penning, Rev. Mod. Phys. 12, 87 (1940). [42] M.D. Calzada, M. Moisan, A. Gamero, A. Sola, J. Appl. Phys. 80, 46 (1996).

Index Adiabaticité relation d’, 169 Angle de diffusion, 50, 443, 444 Applicateur de champ, 26, 216 Application, 15 Approximation adiabatique, 111 d’uniformité locale, 111 des décharges de basses fréquences, 87 des décharges HF, 87 du centre de guidage, 111 électrostatique, 146 Astrophysique, 17 Axe de guidage, 111 Bohm critère de, 212 vitesse de, 212 Boltzmann diagramme de, 253 Boltzmann conductivité de, 148 équation de, 133, 135 loi de, 29 Cathode froide, 217 Centre de guidage, 92 approximation du, 111 Centre de masse, 47 Centre diffuseur, 53 Champ ambipolaire, 198

de charge d’espace, 33, 34, 290 diamagnétique, 94 Champs croisés, 100 parallèles, 102 Charges dans le vide description, 88 Chauffage par effet Joule, 132 Chimie analytique, 22 Chimie dans les plasmas, 19 Chute libre, 199 Coefficient d’excitation, 233 d’ionisation, 203 d’ionisation par étapes, 75, 230, 459 de diffusion, 73 ambipolaire, 190 libre, 177 de réaction, 45, 71 de saturation des états relais, 75, 230, 459 de transfert d’énergie, 52, 163 effectif de diffusion, 191 Collision, 42 binaire, 443 de seconde espèce, 28 élastique, 42, 49, 51 fréquence de, 64, 149, 150 moyenne, 64 inélastique, 43 intégrale de, 135 libre parcours de, 63

500 opérateur de, 135 quantité de mouvement, 45 section efficace de, 67 superélastique, 28, 43 transfert d’énergie, 45 Colonne positive, 218 Compensation impropre, 31 Condition de normalisation, 143, 436, 438 de Schottky, 202 Conditions opératoires, 207, 239 Conductibilité thermique, 162 Conductivité cinétique, 146, 148 de Boltzmann, 148 de Lorentz, 146, 149, 171 effective, 229 électrique, 88 thermique, 162 Confinement inertiel, 15 magnétique, 15 Conservation équation de, 75 Contraction, 247 Corps noir, 29 Couches ionosphériques, 17 Courant de conduction, 88 de polarisation, 322 Courbure rayon de, 128, 336, 471 Critère de Bohm, 212 Critique densité, 483 Debye longueur de, 12, 36, 294 électronique, 39 ionique, 39 Décharge de basse fréquence approximation, 87

Plasmas collisionnels de haute fréquence, 25, 221, 223 approximation, 87 électrique, 13 en courant continu, 25, 216, 217 en expansion radiale, 259 Degré d’ionisation, 14 Densité critique, 483 de probabilité, 139 électronique, 26 Dérive de courbure magnétique, 128 électrique mouvement de, 97 vitesse de, 98 magnétique mouvement de, 123 vitesse de, 470, 471 vitesse de, 174, 220 Dérivée particulaire, 160 totale, 160 Description charges dans le vide, 88 de Euler, 161 de Lagrange, 161 diélectrique, 90, 321 Détoxication, 19 Diagramme de Boltzmann, 253 Diamant polycristallin, 21 Diélectrique description, 90, 321 Diffusion, 172, 199 ambipolaire, 188, 197, 201, 401, 406 coefficient de, 73 ambipolaire, 190 effectif, 191 libre, 177 modes propres de, 180, 181 pertes par, 223 tenseur de, 177 vitesse de, 177

Index Distribution de Druyvesteyn, 438 de Maxwell-Boltzmann, 29, 435 des vitesses, 29, 149, 435 Double produit vectoriel, 463 Druyvesteyn distribution de, 438 Échelle loi d’, 201 Éclairage, 23 Écran plasma, 23 Effet d’écran, 37 de peau, 222 Joule, 90 Einstein relation d’, 178 Énergie cinétique conservation de l’, 48 moyenne, 143, 437 Épaisseur de gaine, 209 de peau, 481 Équation caractéristique, 181 de Boltzmann, 133, 135 de conservation, 46, 75 de continuité, 153 de Fokker-Planck, 136 de Langevin, 161, 404 de Lenard-Balescu, 136 de Maxwell de l’induction électrique, 12 de l’induction magnétique, 114 du rotationnel des champs, 78 de Maxwell-Ampère, 481 de Maxwell-Faraday, 481 de Maxwell-Gauss, 481 de Maxwell-Thomson, 481 de Navier-Stokes, 161 de Poisson, 12, 35, 38, 290, 481 de Saha, 439

501 de Vlasov, 134 des forces vives, 80 du bilan d’énergie, 161 du bilan des particules chargées, 186 du mouvement, 79 intégro-différentielle de Boltzmann, 135 Équation de transport, 151 de l’énergie cinétique, 161 de la quantité de mouvement, 155 du tenseur de pression cinétique, 164 fermeture, 167 Équilibre d’ionisation, 296 thermodynamique, 28, 30 local partiel, 32 Érosion chimique, 20 États relais, 457 coefficient de saturation des, 75, 230, 459 Euler description de, 161 Excursion, 85 Fermeture des équations de transport, 167 Filamentation, 247, 248 Flux aléatoire d’énergie, 272 de particules, 272, 437 tenseur de, 165 Fokker-Planck équation de, 136 Fonction de distribution, 138, 143 des vitesses, 134 séparable, 144, 437 de partition, 440 simple, 138 Force coulombienne, 44

502 Force de pression cinétique, 156 Frenet repère de, 471 Fréquence caractéristique des pertes par diffusion, 181 cyclotronique, 90, 92, 94 de collision, 64, 149, 150 microscopique, 149, 159 moyenne, 64 du transport d’énergie, 233 propre, 33 d’oscillation des électrons, 32 Fusion thermonucléaire contrôlée, 15 Gaine, 37, 208 électronique, 208 épaisseur de, 209 ionique, 210 lisière de, 208 Gaz ionisé, 14 plasmagène, 241 porteur, 241 Gravure anisotrope, 223 Guidage axe de, 111 centre de, 92 Harmoniques sphériques, 138 Hypothèse adiabatique, 169 de congruence, 188 de proportionnalité, 189 du coefficient de diffusion, 188 du plasma froid, 71, 86 isotherme, 168 Intégrale de collisions, 135 Interaction coulombienne, 445, 449 faible, 133 forte, 133 longue portée, 11

Plasmas collisionnels Inversion de population, 18 Ion négatif, 14 Ionisation coefficient d’, 203 degré d’, 14 directe, 74 par étapes, 75, 185 coefficient d’, 75, 230, 459 Penning, 259 potentiel d’, 67 seuil d’, 14, 67 Joule effet, 90 Lagrange description de, 161 Langevin équation de, 161, 404 Langmuir oscillation de, 35 Larmor rayon de, 92 Lenard-Balescu équation de, 136 Libre parcours de collision, 63 moyen, 66, 456 Lisière de gaine, 208 Lochsmidt nombre de, 175 Loi d’échelle, 200, 201, 217, 419 microscopique, 236 de Boltzmann, 29 de Planck, 29 de Saha, 30 Longueur de Debye, 12, 36, 294 électronique, 39 ionique, 39 Lorentz conductivité de, 146, 149, 171 plasma de, 133, 170 Masse réduite, 48

503

Index Maxwell-Ampère équation de, 481 Maxwell-Boltzmann distribution de, 29, 435 Maxwell-Faraday équation de, 481 Maxwell-Gauss équation de, 481 Maxwell-Thomson équation de, 481 Microréversibilité, 28 Milieu continu, 132 Minimum de Ramsauer, 65 Mobilité, 172 linéaire, 174 réduite, 175 Modèle auto-cohérent, 77 cinétique, 78 des trajectoires individuelles, 77 du plasma de Lorentz, 170 hydrodynamique, 77, 131 microscopique, 78 Modes propres de diffusion, 180, 181 Moment magnétique orbital, 112 Mouvement de dérive électrique, 97 magnétique, 123 Navier-Stokes équation de, 161 Neutralisation mutuelle, 44 Nombre d’onde, 36, 482 Nombre de Lochsmidt, 175 Onde plane, 481 Onsager relation de, 385 Opérateur de collision, 135 Oscillation de Langmuir, 35 Paramètre d’excursion, 334 d’impact, 50

Penning ionisation, 259 Permittivité électrique, 89, 383 Perte mécanisme de, 72, 220 par diffusion, 223 Plan d’interaction, 49 Planck loi de, 29 Plasma à deux températures, 32 collisionnel, 483 de Lorentz, 133 froid, 34, 35, 133, 168 hypothèse du, 71, 86 non-collisionnel, 483 non-idéal, 42 tiède, 133, 168 Poisson équation de, 12, 481 Pompage des lasers, 18 Post-décharge temporelle, 181 Potentiel d’ionisation, 67 flottant, 213 Prégaine, 210 Pression cinétique force de, 156 magnétique, 316 réduite, 61 Processus réversible, 28 Profondeur caractéristique de pénétration du champ HF, 222 Propulseur ionique, 24 Puissance absorbée par électron, 220 HF absorbée, 87 perdue par électron, 218 Pulsation cyclotronique, 90, 92 Ramsauer minimum de, 65

504 Rapport des chaleurs spécifiques d’un gaz, 36 Rapport du miroir, 121 Rayon de courbure, 128, 336, 471 de Larmor, 92 Recombinaison à trois corps, 73 dissociative, 44, 73 mutuelle, 74 radiative, 44 Relation d’adiabaticité, 169 d’Einstein, 178 d’Onsager, 385 Repère de Frenet, 471 Résonance cyclotronique (cyclotron), 94, 110, 224, 324, 327, 333 Saha équation de, 439 loi de, 30 Schottky condition de, 202 Section efficace de collision, 67 macroscopique totale, 59 microscopique élémentaire, 451 différentielle, 53, 54 totale, 57 Seuil d’ionisation, 14, 67 Source d’ions, 23 Stérilisation, 21 Surface effective, 54 Système thermodynamique, 14

Plasmas collisionnels Température, 26, 27, 61 Tenseur de diffusion, 177 de flux d’énergie thermique, 165 de pression cinétique, 144 Tension de polarisation, 213 Terme convectif, 156 Traitement de surface, 20 Trajectoires individuelles modèle, 77 Transfert de charge, 69 résonnant, 69 Transport des particules, 153 Unité locale de longueur, 490 Variables indépendantes, 46 Vecteur flux, 162 Vitesse de Bohm, 212 de dérive, 174, 220 collisionnelle, 98 électrique, 98 magnétique, 470, 471 de diffusion, 177 de groupe, 36 distribution, 29 la plus probable, 29, 437 moyenne, 143, 437 quadratique moyenne, 437 Vitesses distribution des, 149, 435 Vlasov équation de, 134 Zone miroir, 118