Modellazione Geotecnica in Centrifuga [bozza ed.] 8886977549

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Il seguente testo costituisce una bozza pre-stampa del volume: Neil Taylor, Emilio Bilotta

MODELLAZIONE GEOTECNICA IN CENTRIFUGA HEVELIUS EDITORE (ISBN 88-86977-54-9)

I diritti di copyright del volume appartengono all’Editore.

[...] SOCRATE Ma non si può addirittura copiare il marsuino o il tonno e saccheggiare direttamente la natura? FEDRO Lo credevo, ingenuamente; ma Tridone mi ha disingannato. SOCRATE Ma un marsuino non è una specie di nave? FEDRO Tutto muta con la grandezza. Non così semplicemente la forma segue la crescita; e non lo sopporterebbero né la solidità dei materiali né gli organi di direzione. Se una qualità della cosa ingrandisce secondo la ragione aritmetica, le altre ingrandiscono in altro modo. 1 [...]

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da Paul Valéry (1921), EUPALINOS ou l’Architecte. (trad. di Vittorio Sereni, Einaudi, 1990)

[...] SOCRATE Mais ne peut-on copier le marsouin, ou le thon eux-mêmes, et piller directement la nature ? PHÈDRE Je le croyais naïvement. Tridon m’a détrompé. SOCRATE Mais un marsouin n’est-il pas une sorte de navire ? PHÈDRE Tout change avec la grosseur. La forme ne suit pas l’accroissement si simplement ; et ni la solidité des matériaux, ni les organes de direction, ne le supporteraient. Si une qualité de la chose grandit selon la raison arithmétique, les autres grandissent autrement. [...]

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Emilio Bilotta, Neil Taylor

MODELLAZIONE GEOTECNICA IN CENTRIFUGA 1. INTRODUZIONE ........................................................................................................... 1 Modellazione fisica ..........................................................................................................................1 Analisi dimensionale........................................................................................................................2 Applicazione dell’analisi dimensionale alla modellazione fisica ....................................................4 Modellazione in centrifuga ..............................................................................................................6

2. PRINCIPI DELLA MODELLAZIONE GEOTECNICA IN CENTRIFUGA ................................... 7 Introduzione .....................................................................................................................................7 Leggi di scala per modelli quasi-statici............................................................................................8 Dimensioni lineari........................................................................................................................8 Consolidazione e filtrazione.......................................................................................................13 Leggi di scala per modelli dinamici...............................................................................................17 Errori sperimentali conseguenti ad effetti di scala.........................................................................18 Effetti della dimensione delle particelle.....................................................................................19 Errori connessi con il campo di accelerazione generato per rotazione ......................................20 Errori connessi con la simulazione di processi di costruzione...................................................23

3. DALLA TEORIA ALLA PRATICA ................................................................................. 24 Introduzione ...................................................................................................................................24 Tipi di Centrifughe Geotecniche....................................................................................................24 Contenitori .....................................................................................................................................30 Pianificazione della prova..............................................................................................................31 Preparazione del modello...............................................................................................................33 Caratterizzazione geotecnica del modello ‘in volo’.......................................................................40 Controllo delle condizioni di drenaggio.........................................................................................43 Applicazione dei carichi.................................................................................................................44 Strumenti di misura........................................................................................................................48 Acquisizione dei dati......................................................................................................................54 Altre considerazioni .......................................................................................................................55

4. ESEMPI DI APPLICAZIONI .......................................................................................... 56 Introduzione ...................................................................................................................................56 Sperimentazione in centrifuga .......................................................................................................56 Verifica di modelli costitutivi ....................................................................................................56 Studio parametrico di una tipologia di problema.......................................................................57 Analisi del problema specifico di un sito reale ..........................................................................58 Esempio n°1: uso di diaframmi interrati per ridurre i movimenti del terreno indotti dallo scavo di gallerie superficiali (Bilotta, 2004) ................................................................................................62 Obiettivo del lavoro ...................................................................................................................62 Preparazione del modello...........................................................................................................62 Programma sperimentale............................................................................................................65 Procedura di prova .....................................................................................................................68 Analisi fotogrammetrica ............................................................................................................70 Risultati delle prove ...................................................................................................................71 Principali conclusioni dello studio.............................................................................................75 Esempio n° 2: uso di pali per il controllo degli spostamenti del terreno intorno a scavi armati (McNamara, 2001) .........................................................................................................................76 Obiettivo del lavoro ...................................................................................................................76 2

Preparazione del modello...........................................................................................................77 Programma sperimentale............................................................................................................80 Procedura di prova .....................................................................................................................81 Analisi fotogrammetrica ............................................................................................................82 Risultati delle prove ...................................................................................................................85 Principali conclusioni dello studio.............................................................................................87 Esempio n° 3: influenza delle variazioni stagionali dell’umidità ambientale sulla rottura progressiva di pendii in argilla sovraconsolidata (Take, 2003) .....................................................90 Obiettivo del lavoro ...................................................................................................................90 Preparazione del modello...........................................................................................................91 Programma sperimentale............................................................................................................93 Procedura di prova .....................................................................................................................93 Analisi fotogrammetrica ............................................................................................................96 Risultati delle prove ...................................................................................................................97 Principali conclusioni dello studio...........................................................................................105

5. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 107

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1. INTRODUZIONE

Modellazione fisica In quasi tutti i settori dell’Ingegneria la modellazione fisica costituisce una fase significativa del processo di progettazione. Ad esempio, il progetto di un aeroplano non sarebbe considerato completo se non venisse effettuata un’estesa campagna di prove su un modello in galleria del vento. Il modello di aeroplano viene sottoposto a varie condizioni di vento per osservarne il comportamento; in tal modo è possibile prevedere il comportamento del prototipo prima che quest’ultimo venga costruito e sottoposto alle necessarie prove di volo. Ci sono certamente differenze fra il modello e il prototipo, che possono dipendere dal rapporto di scala fra le loro dimensioni lineari oppure dalle condizioni di prova. Pertanto è necessario fissare regole e condizioni per cui il comportamento del modello può essere messo in relazione con quello del prototipo: si tratta di condizioni di similitudine o ‘leggi di scala’ e sono fondamentali nell’uso della modellazione fisica per fini di progetto. Le prove su modello sono uno strumento di grande efficacia nell’Ingegneria Geotecnica e possono svolgere un ruolo cruciale. In realtà la maggioranza delle prove viene condotta per fini di ricerca nelle Università o in altre istituzioni e il risultato finale costituisce, di solito, un contributo alla comprensione di una particolare classe di fenomeni o problemi; ciononostante, la modellazione fisica va considerata una componente rilevante della progettazione geotecnica. Le attuali tecniche non sono abbastanza diffuse come procedura usuale per le verifiche di progetto; ciò accade in parte perché non tutti gli ingegneri geotecnici hanno facilmente accesso alle strutture in cui possono essere effettuate le prove su un modello appropriato, in parte perché spesso le leggi di scala che mettono in relazione un modello con il corrispondente prototipo non sono interamente comprese. Quest’ultimo aspetto induce un certo scetticismo nei progettisti e una mancanza di fiducia nei risultati delle prove, anche quando questi siano disponibili. Affinché un modello possa corrispondere a un prototipo, i due devono essere simili. In particolare, essi dovrebbero avere la stessa forma, rispettando in tal modo una condizione di similitudine geometrica e consentendo un’immediata corrispondenza puntuale (omologia). La corrispondenza non è semplicemente limitata alla geometria, ma si estende ad altre dimensioni. Per esempio, può essere interessante conoscere la relazione fra gli istanti in cui avvengono certi eventi nel modello e nel corrispondente prototipo. L’aspetto fondamentale nella modellazione è che se un esperimento

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deve essere messo in relazione con un’altra situazione, le due classi di eventi corrispondenti devono essere ‘simili’ e questa similitudine viene identificata attraverso le leggi di scala. In questa accezione il termine ‘scala’ non si riferisce automaticamente alla dimensione del modello: infatti, possono essere realizzati modelli in vera grandezza (ad esempio, rilevati di prova costruiti prima di iniziare un progetto di una certa importanza che prevede la realizzazione di molti chilometri di rilevati) e in questo caso non è necessario istituire una legge di scala per le dimensioni, vista la corrispondenza 1:1. Nondimeno, le condizioni del terreno possono essere diverse da quelle di progetto e risulta quindi necessario fare uso di leggi di scala che tengano conto di questa variazione.

Analisi dimensionale Nel modellare una situazione o un evento, dunque, il modello deve essere ‘rappresentativo’ del prototipo. Per verificare la corrispondenza modello-prototipo si possono usare leggi di scala che vengono derivate usando metodi basati sull’analisi dimensionale. Nel campo dell’Ingegneria Civile, le tecniche di analisi dimensionale sono familiari agli ingegneri idraulici e sono di notevole importanza in tutti i campi in cui è possibile effettuare prove su modello. L’obiettivo dell’analisi dimensionale è di combinare le variabili che governano il problema in gruppi adimensionali {πi}, in modo da esprimere la soluzione in forma indipendente dalla scala del modello. La similitudine meccanica tra modello e prototipo richiede allora che i gruppi adimensionali assumano lo stesso valore nel modello e nel prototipo. Alla base dell’analisi dimensionale si pone l’importante teorema ‘π’ o Teorema di Buckingham (1914):

Il numero di variabili da prendere in considerazione in un problema di analisi dimensionale definito da n variabili {V} e da m dimensioni {D} può essere sempre ridotto a un numero minimo N di gruppi adimensionali tali che: N =n−m

(1.1)

Tuttavia, come ha mostrato recentemente Butterfield (1999), questa condizione è necessaria, ma non sufficiente, a impostare correttamente la ricerca dei gruppi adimensionali da cui la soluzione dello specifico problema in esame dipende. Perché l’analisi dimensionale abbia buon esito è infatti necessario imporre altre due condizioni.

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La prima, condizione di Bridgman (1931), riguarda l’individuazione dello spazio dimensionale in cui il problema è definito, e afferma che :

L’insieme delle dimensioni {D} deve essere costituito dal numero minimo Dmin di dimensioni necessarie a definire tutte le variabili componenti {V}. Se, infatti, m > Dmin, l’analisi dimensionale fallisce. Inoltre, al fine di costituire i gruppi adimensionali, l’insieme delle variabili {V} può essere suddiviso in due sottoinsiemi uno costituito da N variabili ‘isolate’, un altro costituito da n - N = m variabili ‘ripetute’, in maniera che ciascun gruppo adimensionale contenga una e una sola variabile isolata. Nell’eseguire questa operazione va rispettata la seguente condizione di Van Diest (1946):

Le variabili ripetute vanno scelte in maniera tale che non possano formare tra loro gruppi adimensionali. In conseguenza della seconda condizione, all’insieme {Q} di variabili ripetute non possono appartenere variabili adimensionali, variabili con dimensioni uguali o le une potenze delle altre. Al fine di individuare correttamente le variabili ripetute e, di conseguenza, quelle isolate, è conveniente individuare un insieme di variabili ripetibili {R}⊆{V} che abbiano dimensioni diverse le une dalle altre. In questo modo risulta {Q}⊆{R}. Una volta individuate le variabili isolate e le variabili ripetute è possibile costituire un insieme di N gruppi adimensionali {πi}. Poiché la scelta delle variabili ripetute nell’insieme di quelle ripetibili non è, ovviamente, univoca, è possibile formare più insiemi di gruppi adimensionali ammissibili, tra loro equivalenti. Queste due condizioni aggiuntive garantiscono che le variabili adimensionali siano indipendenti fra di loro, così da costituire la base di un sistema di riferimento. Sia {π1,…, πN} l’insieme prescelto, la soluzione del problema può essere espressa, ad esempio, come:

π 1 = φ (π 2 ,...,π N )

(1.2)

in cui φ è generalmente una funzione empirica interpolante i dati. Si consideri, per esempio, il problema della stabilità di uno scavo in argilla in condizioni non drenate alla scala del prototipo. Le variabili che influenzano il problema sono la resistenza del terreno su, la densità del terreno ρ, l’accelerazione di gravità, g, e l’altezza di scavo H. Il numero di stabilità, S, può essere rappresentato dalla funzione 3

S = f (su , ρ , g , H )

(1.3)

che può essere riscritta in forma adimensionale come: ⎛ s S = f ' ⎜⎜ u ⎝ ρgH

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.4)

Per la similitudine fra il modello e il prototipo il gruppo adimensionale S deve assumere lo stesso valore in punti omologhi, cioè: ~ S S = m =1 Sp

(1.5)

La relazione (1.5) identifica una legge di scala, nel requisito di mantenere il numero di stabilità S identico nel modello e nel prototipo. Un modello in cui le dimensioni lineari sono scalate di N avrà un’altezza di scavo pari a H/N. La similitudine richiede, allora, che venga ridotta la resistenza del terreno di N volte rispetto al prototipo, ovvero che le forze di volume (ρg) nel modello siano amplificate di un fattore pari a N rispetto al prototipo. Questo semplice esempio di legge di scala consente di effettuare una prova su modello di dimensioni ridotte ed estrapolarne i risultati, rigorosamente, ad un'altra scala. Nel paragrafo successivo verrà mostrato, in termini più generali, come l’analisi dimensionale possa essere applicata alla modellazione di problemi geotecnici.

Applicazione dell’analisi dimensionale alla modellazione fisica Poiché sia il prototipo, sia il modello devono rispettare i principi della dinamica, sarà necessario che la seguente equazione adimensionale venga verificata: ~ ~ ~ F =m ⋅a

(1.6)

Indicando con il pedice p le grandezze relative al prototipo e con il pedice m quelle relative al ~ ~ = m m , a~ = a a , modello, in essa si possono identificare i fattori di scala: F = Fm Fp , m m p m p

rispettivamente delle forze, delle masse e delle accelerazioni. Il rispetto della (1.6) equivale 4

all’esistenza di un gruppo adimensionale F (m ⋅ a ) che assume lo stesso valore nel modello e nel prototipo, garantendone l’equivalenza meccanica. Il comportamento dei terreni, e dei mezzi granulari in genere, è governato essenzialmente dal livello tensionale (efficace, nel caso di terreni saturi). Pertanto, al fine di riprodurre nel modello lo stesso comportamento meccanico del prototipo, è necessario il rispetto di un’ulteriore condizione di similitudine:

σ~ = σ m σ p = 1

(1.7)

Il rispetto della condizione (1.7) soltanto può essere sufficiente quando le forze di volume (e quindi i gradienti di tensione nel mezzo) sono trascurabili. In tal caso non è necessario preoccuparsi del contemporaneo verificarsi della (1.6). Sulla base di questa considerazione è possibile effettuare con successo la modellazione fisica in camera di calibrazione, ovvero in una cella di grandi dimensioni al cui contorno viene applicato uno stato tensionale uniforme in maniera tale che sia rispettata la condizione (1.7). Tale metodo risulta sufficientemente approssimato solo in alcuni casi, ad esempio nella modellazione di strutture interrate a grandi profondità o di fenomeni che interessano volumi limitati di terreno nei quali lo stato tensionale si può ritenere uniforme. Nella maggior parte delle applicazioni geotecniche, tuttavia, l’influenza dei gradienti di tensione non può essere trascurata. L’equazione (1.6) può essere riscritta come: ~

σ~ = ρ~ ⋅ a~ ⋅ L

(1.6bis)

~ in cui ρ~ = ρ m ρ p e L = Lm L p sono, rispettivamente, fattori di scala della densità del materiale e delle lunghezze. Combinando la (1.6bis) e la (1.7), ed esplicitando, per comodità, i fattori di scala, si ottiene:

ρ m ⋅ am ⋅ Lm = ρ p ⋅ a p ⋅ L p

(1.8)

Questa relazione, nell’ipotesi che il materiale prototipo e il materiale modello siano uguali ( ρ m = ρ p ) è alla base della modellazione geotecnica in centrifuga. Come si vedrà in dettaglio nel seguito, essa di fatto rappresenta la legge di scala fondamentale, che consente di affermare l’equivalenza meccanica fra un prototipo nel campo gravitazionale terrestre ( a p = g ) e un modello in scala ridotta in un campo di accelerazioni inerziali tali che:

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L p Lm = am g

(1.9)

Modellazione in centrifuga

Sebbene già nel XIX secolo l’ingegnere anglo-francese Edouard Phillips propose la forza centrifuga quale mezzo per effettuare prove su modelli in scala ridotta (Craig, 1989), le prime prove in centrifuga risalgono agli anni Trenta del secolo scorso, quando alcuni rudimentali esperimenti furono condotti allo stesso tempo da Davidenkov e Pokrovskii in Unione Sovietica e Bucky negli Stati Uniti. La prima pubblicazione di risultati in centrifuga in un contesto geotecnico risale al Primo Congresso Internazionale di Meccanica dei Terreni e Ingegneria delle Fondazioni (ICSMFE) nel 1936. Fra il 1930 e il 1970 in Unione Sovietica fu installato un certo numero di centrifughe, ma l’isolamento del Blocco Sovietico dopo la II Guerra Mondiale produsse nel blocco occidentale un generale disinteresse verso la modellazione in centrifuga. Solo nei tardi anni ’60 la centrifuga fu riscoperta e alcune memorie su attività sperimentali in centrifuga furono presentate alla Settima ICSMFE a Mexico City. Il maggior impulso alla modellazione in centrifuga di problemi geotecnici venne dalla Gran Bretagna e in particolare da Andrew Schofield all’Università di Cambridge. Il primo Congresso Internazionale sulla Modellazione Geotecnica in Centrifuga si tenne a Parigi nel 1988. Da allora altri ne sono stati periodicamente organizzati in varie parti del mondo. Ad oggi nel mondo esistono più di un centinaio di centrifughe geotecniche. I dati riportati in Fig.1.1 (aggiornati al 2000) mostrano che la maggior parte delle centrifughe (circa il 60%) si trova in Asia, e di queste una metà in Giappone. Le altre sono equamente divise fra Europa e Nord America. In Italia, la prima e unica centrifuga geotecnica è stata sviluppata all’ISMES di Bergamo.

Figura 1.1 Distribuzione delle centrifughe nel mondo (fonte ISSMGE -TC2)

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2. PRINCIPI DELLA MODELLAZIONE GEOTECNICA IN CENTRIFUGA

Introduzione

Una caratteristica della modellazione geotecnica è la necessità di riprodurre il comportamento del terreno in termini sia di resistenza, sia di rigidezza. Lo stato tensionale in situ cambia con la profondità ed è risaputo che il comportamento del terreno è funzione del livello di tensione e della storia di carico; affinché la modellazione fisica abbia successo è importante riprodurre questi aspetti, e perciò la modellazione in centrifuga è molto utilizzata in ingegneria geotecnica. Modelli di terreno posti all’estremità di un braccio della centrifuga possono essere accelerati in maniera tale da essere sottoposti a in campo di accelerazioni radiali che, per quanto riguarda il modello, si comporta come un’accelerazione gravitazionale molto più intensa di quella terrestre. Il terreno nel contenitore ha una superficie superiore scarica e al di sotto di tale superficie il livello di tensione cresce con la profondità con un gradiente legato alla densità del terreno e all’intensità del campo di accelerazione. In genere nel modello e nel prototipo viene usato lo stesso terreno e il modello viene preparato con una storia tensionale simile a quella del prototipo, che assicuri la riproduzione corretta della tessitura del terreno. Così operando, la tensione verticale nel modello, soggetto a un campo di accelerazioni inerziali N volte maggiore di quello terrestre, alla profondità hm sarà identico a quello nel corrispondente prototipo alla profondità hp, se h p = Nhm . Questa è la legge di scala principale della modellazione in centrifuga: si consegue la similitudine tensionale in punti omologhi accelerando il modello in scala 1:N a N volte il valore della gravità terrestre. Si parla anche di modellazione in macrogravità. Altre leggi di scala vanno verificate caso per caso, a seconda del particolare problema in esame. Come si è visto nel capitolo precedente, le leggi di scala possono essere derivate facendo uso dell’analisi dimensionale (Langhaar, 1951), ma esse possono derivare anche direttamente da considerazioni sulle equazioni differenziali che governano il problema. Leggi di scala per applicazioni geotecniche sono spesso presentate in libri di testo di meccanica dei terreni e geotecnica: il lettore interessato può trovarne una sintesi recente e dettagliata nel trattato di Muir Wood (2004). Nel seguito si deriveranno le principali leggi di scala adoperate nella modellazione geotecnica. In Tabella 2.1 sono sintetizzati i principali fattori di scala di solito adoperati, nell’ipotesi che nel modello e nel prototipo venga usato lo stesso materiale.

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Tabella 2.1 Grandezza

Fattore di scala (modello:prototipo)

Lunghezza

1:N

Accelerazione

N

Densità

1

Tensioni

1

Deformazioni

1

Spostamenti

1:N

Permeabilità

1

Gradiente idraulico

N

Frequenza dei carichi

N

Tempo (effetti inerziali)

1/N

Tempo (filtrazione, consolidazione, diffusione)

1/N2

Leggi di scala per modelli quasi-statici

Dimensioni lineari Come si è detto in precedenza, la legge di scala principale deriva dalla necessità di assicurare la similitudine della distribuzione di tensione tra il modello e il corrispondente prototipo. Se ad un materiale di densità ρ viene applicata un’accelerazione N volte maggiore di quella terrestre (g), la tensione verticale σv alla profondità hm nel modello è data da:

σ vm = ρNghm

(2.1)

Nel prototipo sarà:

σ vp = ρgh p

(2.2)

Quindi per σ vm = σ vp sarà hm = N −1h p e il fattore di scala (modello:prototipo) per le dimensioni lineari risulta 1:N. Dal momento che il modello è una rappresentazione lineare del prototipo, anche 8

gli spostamenti avranno un fattore di scala 1:N. Ne consegue che le deformazioni hanno un fattore di scala 1:1 e quindi la porzione della curva tensioni-deformazioni mobilitata nel prototipo sarà la stessa nel modello. A questo proposito va però osservato che, dal momento che gli spostamenti sono ridotti, in genere non è possibile creare superfici di scorrimento sulla quale agisca la stessa resistenza residua mobilitata nel prototipo. L’accelerazione terrestre è praticamente uniforme nel campo delle profondità che si incontrano nei problemi di Ingegneria Civile. Quando si usa una centrifuga per generare il campo di accelerazione necessaria alla modellazione fisica c’è invece una variazione dell’accelerazione nel modello. Essa è dovuta al fatto che il campo di accelerazione inerziale è dato da ω 2 r in cui ω è la velocità di rotazione angolare della centrifuga e r la distanza radiale del generico elemento di terreno dall’asse di rotazione. Poiché i vari punti del modellalo si trovano a distanza r variabile dall’asse di rotazione, in essi l’accelerazione ω 2 r assume valori diversi. Questo aspetto è in realtà secondario e si risolve facilmente scegliendo con cura il raggio per il quale viene calcolato il fattore di scala N, come si vedrà in seguito. In Fig. 2.1 vengono mostrate le distribuzioni di tensioni verticali nel modello e nel corrispondente prototipo. Il modello ruota intorno all’asse centrale e, visto da un riferimento esterno, solidale alla Terra, viene accelerato verso l’asse di rotazione. Se si considera il sistema di riferimento solidale al modello, invece, il campo di accelerazione agisce in verso opposto, cioè verso il contorno “inferiore” del modello. La forza “verticale” subita dal modello è pertanto identica alla forza di gravità che agisce nel prototipo, a parte l’intensità del campo di accelerazione.

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Figura 2.1 Distribuzione di tensioni inerziali in un modello in centrifuga e di tensioni gravitazionali nel prototipo corrispondente

Figura 2.2 Confronto tra le distribuzioni di tensioni con la profondità in un modello in centrifuga e nel prototipo corrispondente

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Le distribuzioni di tensioni verticali sono confrontate direttamente in Fig. 2.2 dove sono diagrammate rispetto alla profondità corrispondente; la non-linearità della variazione di tensione nel modello è stata accentuata per maggior chiarezza. Nel prototipo, la tensione verticale alla profondità

h p = Nhm è data da:

σ vp = ρgh p = ρgNhm

(2.3)

Il fattore di scala N del modello viene calcolato ad una distanza radiale efficace Re tale che:

Ng = ω 2 Re

(2.4)

Se la distanza radiale della superficie del modello è Rt, la tensione verticale alla profondità z nel modello può essere determinata come:

⎛ ⎝

z⎞ 2⎠

σ vm = ∫ ρω 2 (Rt + z )dz = ρω 2 z⎜ Rt + ⎟ 0 z

(2.5)

Se le tensioni verticali nel modello e nel prototipo sono identiche alla profondità z = hi (Fig. 2.2), dalle equazioni (2.3), (2.4) e (2.5) risulta:

Re = Rt + 0.5hi

(2.6)

Una regola conveniente per minimizzare l’errore nella distribuzione di tensioni deriva dal considerare l’entità dell’errore per difetto e per eccesso. Il rapporto ru tra il massimo errore per difetto, che avviene alla profondità z=0.5hi nel modello, e la tensione nel prototipo alla corrispondente profondità è data da: 0.5hi ⎞ ⎛ 0.5hi ρgN − 0.5hi ρω 2 ⎜ Rt + ⎟ 2 ⎠ ⎝ ru = 0.5hi ρgN

(2.7)

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Combinando la (2.7) con la (2.4) e la (2.6), si ottiene:

ru =

hi 4 Re

(2.8)

Allo stesso modo, il rapporto ro tra il massimo errore per eccesso, che avviene alla base del modello, z=hm, e la tensione nel prototipo a quella profondità è data da: h ⎞ ⎛ hm ρgN − 0.5hm ρω 2 ⎜ Rt + m ⎟ 2 ⎠ ⎝ ro = hm ρgN

(2.9)

e quindi ro =

hm − hi 2 Re

(2.9bis)

Eguagliando i due rapporti ru e ro si ottiene:

2 hi = hm 3

(2.10)

e quindi: ru = ro =

hm 6 Re

(2.11)

Ovvero, usando l’equazione (2.6):

Re = Rt +

hm 3

(2.12)

In base a questa regola, l’esatta corrispondenza delle tensioni nel modello e nel prototipo si ottiene a una profondità pari ai 2/3 dell’altezza del modello e il raggio efficace è definito come la distanza

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radiale dall’asse di rotazione fino a una profondità pari a 1/3 dell’altezza del modello, come mostrato in Fig. 2.2. Il massimo errore è dato dall’equazione (2.11). Per la maggior parte delle centrifughe geotecniche hm/Re è inferiore a 0.2 e perciò il massimo errore nel profilo di tensioni è piccolo, e generalmente minore del 3% della tensione nel prototipo. E’ importante notare che anche per centrifughe di raggio relativamente piccolo (diciamo 1.5 m di raggio efficace), l’errore dovuto alla non-linearità della distribuzione di tensioni è alquanto piccolo anche per modelli relativamente grandi (diciamo di altezza hm=300 mm).

Consolidazione e filtrazione La consolidazione è un fenomeno diffusivo nel quale si dissipano le pressioni neutre in eccesso. La via più semplice per ricavare la legge di scala per il tempo di consolidazione è usare l’analisi dimensionale. Il grado di consolidazione è descritto in funzione del fattore di tempo Tv, adimensionale, definito come: Tv =

cv t H2

(2.13)

in cui cv è il coefficiente di consolidazione, t è il tempo e H è una distanza relativa alla lunghezza del percorso di drenaggio. A parità di grado di consolidazione, Tv sarà lo stesso nel modello e nel prototipo: cvm t m cvp t p = 2 2 Hm Hp

(2.14)

Dal momento che Hp = NHm, si avrà: tm =

1 cvp tp N 2 cvm

(2.15)

Quindi, se nel modello viene usato lo stesso terreno che si ha nel prototipo (come accade di solito), il fattore di scala per il tempo è 1:N2, altrimenti dipende anche dal rapporto fra i coefficienti di consolidazione, come indicato dalla (2.15). Pertanto, un evento di consolidazione che dura 400 giorni nel prototipo, può essere riprodotto nel modello in circa un’ora di centrifuga a 100 g. Questa legge di scala si applica anche ad altri eventi di diffusione, come il trasferimento di calore per conduzione. 13

E’ importante osservare che la maggiore rapidità dei processi è semplicemente la conseguenza della riduzione di scala nel modello: la centrifuga non è una macchina del tempo! In effetti, lo stesso fattore di scala si applica negli usuali calcoli di decorso nel tempo, quando si estende il risultato della consolidazione nella prova edometrica alla consolidazione in un problema al finito, scalando il tempo di consolidazione proporzionalmente al quadrato del rapporto fra le lunghezze di drenaggio nei due casi. Le leggi di scala per la filtrazione hanno dato luogo fra gli studiosi a una lunga controversia, che si basa su due aspetti fondamentali: l’interpretazione del gradiente idraulico e se la permeabilità di Darcy è il parametro fondamentale del processo. Quello che è chiaro è che la velocità di filtrazione aumenta nel modello in centrifuga (è il motivo per cui si adoperano, ad esempio, gli essiccatori a tamburo). La legge di Darcy per il moto di filtrazione è: v = ki

(2.16)

in cui v è la velocità di filtrazione, k, è il coefficiente di permeabilità e i è il gradiente idraulico. In meccanica dei fluidi si usa spesso la permeabilità intrinseca K, che viene definita come: K=

μk ρg

(2.17)

in cui μ e ρ sono, rispettivamente, la viscosità e la densità del fluido. In questa definizione, K è una funzione della forma, della dimensione e dell’assetto dei grani di terreno (e quindi della porosità). Quindi, se nel modello viene usato lo stesso fluido del prototipo, il coefficiente di permeabilità di Darcy è apparentemente una funzione dell’accelerazione gravitazionale con la conseguenza che k m = Nk p . Il gradiente idraulico è definito come il rapporto tra la perdita di carico nel fluido interstiziale, Δs, e la lunghezza in cui la stessa perdita si verifica, Δl, come mostrato in Fig. 2.3. Pertanto il gradiente idraulico è adimensionale (im = ip) e, come è sostenuto da alcuni Autori (ad esempio: Croce et al. 1984, Butterfield, 2000), non viene scalato con l’accelerazione.

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Figura 2.3 Definizione del gradiente idraulico in un semplice problema di filtrazione stazionaria

Su questa base, vm = im k m = i p Nk p = Nv p

(2.18)

e quindi la velocità di filtrazione è N volte maggiore nel modello che nel prototipo, come ci si attendeva. Sebbene questo modo di ragionare sia logico, esso comporta un’incongruenza: il terreno sarebbe impermeabile in un campo di gravità nulla. Ciò accade perché è stata fatta la tacita assunzione che il moto di filtrazione sia completamente regolato dalla gravità. In assenza di gravità, quindi, i mezzi porosi apparirebbero impermeabili perché non ci sarebbe alcun gradiente idraulico. In effetti, in assenza di gravità il gradiente idraulico è piuttosto il rapporto tra una caduta di pressione e una distanza, ed è quindi un gradiente di pressione. Dal momento che le tensioni (o pressioni) sono le stesse e le distanze sono scalate di N dal prototipo al modello, questa interpretazione del gradiente idraulico comporta im = Ni p (Schofield, 1980). Se allora la permeabilità di Darcy viene considerata come un parametro intrinseco del materiale e del fluido k m = k p e quindi:

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vm = im k m = Ni p k p = Nv p

(2.19)

Dal momento che, tuttavia, ci si aspetta che anche la permeabilità intrinseca K resti costante, ne consegue che la relazione (2.17) fra k e K può valere solo nel campo di accelerazione terrestre. Sebbene Tan e Scott (1985) giustamente osservino che questa interpretazione non è diffusa nella letteratura di Meccanica delle Terre, essa si adatta bene alla modellazione in centrifuga di moti di filtrazione. Ad ogni modo, entrambi gli sviluppi conducono al medesimo risultato, e cioè che la velocità di filtrazione ha un fattore di scala di 1: N (Eq. 2.18 e 2.19). Il tempo di filtrazione può essere quindi calcolato come:

tm =

Lm ⎛ L p ⎞⎛⎜ 1 =⎜ ⎟ vm ⎜⎝ N ⎟⎠⎜⎝ Nv p

⎞ 1 ⎟= t ⎟ N2 p ⎠

(2.20)

e il fattore di scala nei problemi di filtrazione è 1:N2, lo stesso che è stato determinato per i problemi di consolidazione e diffusione. Se per qualche ragione il terreno nel modello e quello nel prototipo hanno differenti permeabilità, si può dimostrare che la relazione di scala dei tempi diventa: tm =

1 kp tp N 2 km

(2.21)

Quindi l’effetto di permeabilità differenti può essere portato in conto in maniera semplice. Croce et al. (1984) hanno descritto una serie di dettagliate prove in centrifuga che mostrano che nel campo di accelerazione inerziale prodotto dalla centrifuga il processo di consolidazione si sviluppa come atteso e il fattore di scala dei tempi è effettivamente pari a 1:N2. Questo studio è stato particolarmente utile perché ha contribuito a chiarire dubbi espressi precedentemente da Pincent e Tchocoté (1981). Sfortunatamente, si tratta in qualche modo di un’eccezione: molto spesso la necessità di migliorare la tecnologia delle prove ha distolto l’attenzione dalla verifica sistematica delle leggi di scala adoperate. E’ pur vero, tuttavia, che nella pratica non sempre tale verifica è necessaria (e, certamente, non più che le opportune verifiche di una modellazione numerica), quando la meccanica del fenomeno è stata già ampiamente studiata nei suoi aspetti principali e non presenta particolari difficoltà di comprensione. In tutti i passaggi precedenti il terreno è stato assunto completamente saturo. Sebbene questa è di solito un’assunzione ragionevole, ci sono circostanze in cui il problema da modellare coinvolge la

16

filtrazione in terreni parzialmente saturi. E’ molto probabile che quest’aspetto, particolarmente importante nei fenomeni che interessano gli strati più superficiali dei terreni naturali, caratterizzerà sempre di più in futuro gli studi in centrifuga. Una recente attività di ricerca che coinvolge numerosi istituti

della

rete

NECER

(Network

of

European

Centrifuges

for

Environmental

Geotechnics Research) si è concentrata sulla modellazione in centrifuga di sabbie fini non sature. Tali studi hanno mostrato, ad esempio, che la risalita capillare dell’acqua nel terreno asciutto è scalata di N se nel modello viene usato lo stesso terreno del prototipo. Inoltre, anche il profilo del contenuto d’acqua con la profondità nel modello va scalato di N. Ciò porta a concludere che la curva caratteristica viene scalata allo stesso modo, almeno in sabbia fine (d10 < 0.1 mm) a 40 g. Il lettore interessato può reperire utili riferimenti bibliografici sull’argomento in Garnier et al. (2002).

Leggi di scala per modelli dinamici

Eventi dinamici, come terremoti o esplosioni, richiedono che vengano specificate delle opportune leggi di scala. Per questi problemi risulta più semplice ricavare le leggi di scala a partire dall’equazione differenziale di base che descrive il movimento ciclico xp nel prototipo :

x p = Ap sin(2πf p t p )

(2.22)

in cui Ap è l’ampiezza del moto di frequenza fp. Per differenziazione, l’equazione (2.22) dà:

dx p

= 2πf p Ap cos(2πf p t p ) ;

dt p

d 2xp dt p

2

= −(2πf p ) 2 Ap sin(2πf p t p ) ;

modulo della velocità: 2πf p Ap

(2.23)

modulo dell’accelerazione: (2πf p ) 2 Ap

(2.24)

Analogamente si ricavano per il modello: il modulo dello spostamento: Am ; il modulo della velocità: 2πf m Am ; il modulo dell’accelerazione: (2πf m ) 2 Am ; E’ stato già osservato che nel modello le dimensioni lineari e le accelerazioni hanno fattori di scala rispettivamente pari a 1:N e 1:N-1. Per quanto appena scritto, è chiaro che queste condizioni (di 17

similitudine delle tensioni) possono essere garantite se Am = N −1 Ap e f m = Nf p . Una conseguenza importante è che l’entità della velocità sarà la stessa nel modello e nel prototipo, cioè che la velocità ha un fattore di scala 1:1. Pertanto, il fattore di scala temporale per gli eventi dinamici è 1:N, in contrasto con il fattore di scala per i tempi negli eventi di diffusione o di filtrazione (1:N2). Con questi fattori di scala si può vedere che 10 cicli di un terremoto di 1 Hz (quindi una durata di 10 s) con ampiezza di 0.1 m possono essere rappresentati in una prova in centrifuga a 100g con 10 cicli a 100 Hz (durata 0.1 s) aventi un’ampiezza di 1 mm. Poiché i fattori di scala dei tempi per i diversi fenomeni non coincidono è opportuno fare qualche considerazione. Per esempio, nel modellare la stabilità di un rilevato in argilla soggetto a un sisma, si può considerare che la bassa permeabilità del terreno impedisce il movimento dell’acqua a breve termine. Dal momento che non si ha il tempo per l’instaurarsi un fenomeno di filtrazione o diffusione dell’acqua, è il caso in cui si applica il fattore di tempo 1:N, per eventi dinamici. La dissipazione delle sovrapressioni neutre indotte dal sisma, al contrario, dovrà essere modellato usando il fattore di scala 1:N2. Nel caso, invece, dello studio della liquefazione di sabbie fini durante un sisma, in cui la dissipazione delle sovrapressioni neutre avviene contemporaneamente all’evento sismico, è necessario far sì che il fattore di scala temporale per il movimento sia lo stesso che per la filtrazione. La soluzione più comunemente adottata è di diminuire la permeabilità del terreno aumentando la viscosità del fluido di porosità (cfr equazione 2.17), ad esempio utilizzando un fluido a base di silicone 100 volte più viscoso dell’acqua, ma avente la stessa densità. In questo caso la permeabilità di Darcy sarà 100 volte minore e se la sabbia viene sottoposta a un’accelerazione di 100 g il fattore di scala per i tempi di consolidazione sarà 1:100, corrispondente al fattore di scala per il tempo nei fenomeni dinamici 1:N in quanto N=100.

Errori sperimentali conseguenti ad effetti di scala Come si è detto, la modellazione in centrifuga è affetta da errori di scala a causa del campo di

accelerazione non uniforme; vi sono inoltre notevoli difficoltà nel rappresentare in dettaglio il prototipo in un modello in scala ridotta. Per chiarire i limiti della modellazione, qui di seguito verranno presi in considerazione alcuni dei problemi più comuni. Nella modellazione fisica è raramente possibile replicare tutti i dettagli del prototipo e vanno quindi operate alcune approssimazioni. Inoltre, non sempre tutte le leggi di similitudine possono essere rispettate contemporaneamente. E’ importante essere consapevoli che gli studi su modello non sono perfetti e, di conseguenza, è opportuno far luce sulla natura degli “effetti di scala” e valutarne 18

l’entità. L’influenza del campo di accelerazione non-uniforme creato in centrifuga è un esempio di effetto di scala ed è stato discusso in precedenza. Altri effetti possono essere importanti in un particolare studio, ed è cura del modellatore stabilire per un particolare problema fino a che punto i risultati delle prove su modello possano essere estrapolati alla scala del prototipo. Una buona tecnica per controllare gli effetti di scala è la cosiddetta “modellazione di modelli” (Schofield, 1980); questa è particolarmente utile quando non esistono prototipi sui quali verificare i risultati della modellazione. Modelli in centrifuga in scale differenti vengono accelerati a un livello tale da corrispondere, secondo le leggi di similitudine adottate, allo stesso prototipo. I modelli dovrebbero avere lo stesso comportamento: questo consente un controllo interno sulla procedura di modellazione. A questo punto va osservato che l’intervallo di scala dei modelli è di solito limitato. Ad esempio, è possibile modellare un evento a 40 g e 120 g nella stessa centrifuga, ma non ad accelerazioni molto più elevate di queste. La modellazione del modello comporta quindi la verifica di due diversi modelli con un fattore di scala pari a 3, mentre per passare dal più grande dei due modelli al prototipo è necessario scalare di 40. Pertanto, se da un lato la modellazione di modelli consente un valido controllo interno della procedura di modellazione, essa non è automaticamente una garanzia che i dati del modello possano essere efficacemente estrapolati alla scala del prototipo.

Effetti della dimensione delle particelle La domanda più comune che viene posta ai modellatori è come possa essere giustificato un modello in centrifuga in cui le dimensioni delle particelle di terreno non siano ridotte in dimensione del fattore N. Infatti, immaginando di ingrandire il modello alla scala del prototipo, sembra ragionevole incrementare anche la dimensione delle particelle: una sabbia fine, usata in un modello 1:100, potrebbe rappresentare una ghiaia. Con le stesse argomentazioni, un’argilla rappresenterebbe una sabbia fine. In realtà un’argilla ha un comportamento meccanico ben diverso da quello di una sabbia fine; d’altra parte, è innegabile che le leggi di similitudine per certe grandezze potrebbero non essere verificate se la dimensione dei grani di terreno non viene scalata: per esempio, il numero di Reynolds in un moto di filtrazione. Questo errore, tuttavia, è ammissibile se il fenomeno di filtrazione non viene alterato (cioè se il numero Re è tale che il moto del fluido avvenga ancora in regime laminare). Ci potrebbe, invece, essere un problema se si tentasse di modellare ad accelerazioni elevate, e quindi a piccola scala, un evento in un terreno a grana grossa (ghiaia). In questo caso la dimensione delle particelle sarebbe significativa se confrontata con le dimensioni del modello ed è inverosimile che il modello possa mobilitare la stessa curva tensione-deformazione nel terreno come se fosse nel 19

prototipo. Il comportamento sarebbe infatti influenzato da effetti locali dei singoli grani piuttosto che dal terreno globalmente considerato come un continuo, come nel caso del prototipo. Appare quindi opportuno sviluppare semplici linee guida sul rapporto critico tra la dimensione maggiore nel modello e quella media dei granelli per evitare problemi legati alla dimensione delle particelle. Questo approccio è stato adottato da Ovesen (1979, 1985) che indagò il comportamento di fondazioni circolari su sabbia intraprendendo una serie di esperimenti con modelli di dimensioni diverse soggetti a differenti accelerazioni, cosicché corrispondessero allo stesso prototipo. I risultati furono fra loro coerenti, confermando la validità alla tecnica di modellazione, ma si notò una certa deviazione dal comportamento comune quando il rapporto fra la dimensione della fondazione e quella media dei grani era inferiore a circa 15. Si ebbe così modo di quantificare un effetto di scala connesso con la dimensione delle particelle. Un tale approccio può essere troppo semplicistico, e in alcuni casi può essere necessario considerare il rapporto tra la dimensione delle particelle e la larghezza della banda di taglio (Tatsuoka et al., 1991). Il punto fondamentale è riconoscere che in alcune circostanze gli effetti della dimensione delle particelle possono essere importanti, e i programmi sperimentali dovrebbero includere anche alcune prove finalizzate a prevederne e quantificarne l’influenza sul problema in esame. Errori connessi con il campo di accelerazione generato per rotazione Sebbene una centrifuga sia un’apparecchiatura molto utile per generare artificialmente campi di accelerazione gravitazionale elevata, la rotazione intorno a un asse fisso provoca qualche problema. L’accelerazione inerziale radiale è proporzionale al raggio, il che porta a una variazione di accelerazione nel modello con la profondità, come si è già discusso in precedenza. Inoltre, essa è diretta verso il centro di rotazione e quindi in un piano “orizzontale” c’è un cambio di direzione dell’accelerazione rispetto alla “verticale” lungo la larghezza del modello (Fig. 2.4). Perciò c’è una componente laterale di accelerazione, il cui effetto va considerato. Per un modello che abbia una semilarghezza di 200 mm e un raggio efficace di 1.6 m, quest’accelerazione laterale ha un valore massimo di 2/16 o 0.125 volte l’accelerazione “verticale”. Questo valore può essere significativo se c’è un’area di attività principale in prossimità della parete laterale del contenitore del modello. In alcune centrifughe il piano verticale principale giace nel piano orizzontale di rotazione e se il raggio della centrifuga è relativamente piccolo i modelli possono essere realizzati in maniera tale da tener conto della natura radiale del campo di accelerazione. In alternativa è buona norma assicurarsi che gli eventi principali avvengano nella regione centrale del modello, dove l’errore dovuto alla natura radiale del campo di accelerazione è piccolo.

20

Figura 2.4 Componente “laterale” di accelerazione ai margini del contenitore

Un altro problema, causato dal fatto che il campo di accelerazione è generato per rotazione, è costituito dall’accelerazione di Coriolis che si sviluppa quando c’è movimento del modello nel piano di rotazione. Questo potrebbe essere, ad esempio, il movimento orizzontale della base vibrante per la simulazione di un sisma in modelli in cui il piano “verticale” principale (cioè quello in cui si verificano prevalentemente gli spostamenti “verticali”) è parallelo al piano di rotazione (Fig. 2.5). Nel seguito si forniscono delle indicazioni sul campo di velocità nel modello per il quale gli effetti dell’accelerazione di Coriolis possono considerarsi trascurabili. L’accelerazione di Coriolis ac è legata alla velocità angolare, ω, della centrifuga e alla velocità, v, di una massa in movimento nel modello:

a c = 2ωv

(2.25)

ed essendo il prodotto vettoriale di ω e v è ortogonale ad entrambi e perciò è diretta nella direzione dell’accelerazione inerziale. L’accelerazione inerziale del modello è data da:

a = ω 2 Re = ωV

(2.26) 21

in cui V è la velocità del modello “in volo”. Si assume generalmente che gli effetti di Coriolis sono trascurabili se il rapporto a c / a è inferiore a 10%, che comporta v < 0.05V . Questa espressione fornisce un limite superiore per v in eventi relativamente lenti. Se invece la velocità è molto elevata, a partire da v > 2V , allora la massa di terreno si muove secondo una traiettoria che è meno curva della stessa curvatura del modello (in altri termini rc>Re) e altri errori possono diventare più importanti degli effetti di Coriolis. E’ verosimile che ciò accada, per esempio, nella simulazione di esplosioni. In definitiva se ne conclude che il campo di velocità nel modello per i quali gli effetti di Coriolis possono essere significativi è dato da: 0.05V < v < 2V

(2.27)

Figura 2.5 Accelerazione di Coriolis

22

Errori connessi con la simulazione di processi di costruzione Gli effetti del processo di costruzione di un’opera sono spesso importanti in Ingegneria Geotecnica, e ciò può porre difficoltà durante la modellazione in centrifuga. E’ molto difficile scavare o costruire “in volo”, cioè mentre la centrifuga è in movimento, come pure sarebbe opportuno. Da un lato, infatti, il terreno è piuttosto “consistente”, a causa dell’elevato stato tensionale, dall’altro le apparecchiature devono essere piccole, leggere, molto resistenti e di solito richiedono una progettazione accurata. Nonostante queste difficoltà, però, sono in continuo sviluppo tecniche sempre più innovative e strumenti sofisticati, a cui generalmente si dà diffusione attraverso conferenze o riviste specialistiche. Nella modellazione di costruzioni o di processi d’installazione è necessario innanzitutto concentrare l’attenzione sulla definizione dei dettagli essenziali che vanno modellati e di quelli secondari che possono essere tenuti in conto in via approssimata. Anche in presenza di approssimazioni, i dati della centrifuga sono comunque utili per fornire una valida comprensione generale di molti problemi. Un esempio è la modellazione della costruzione di un rilevato in argilla tenera, in cui è più importante studiare il comportamento della fondazione che quello del rilevato vero e proprio. Molti centri per le prove in centrifuga hanno sviluppato tramogge che possono essere usate per mettere in opera un rilevato di sabbia asciutta “in volo” piuttosto che usare il materiale o la procedura costruttiva del prototipo. Ciononostante, è certamente significativo studiare il comportamento del terreno di fondazione sottoposto a questo carico e ogni possibile cambio di comportamento che avviene quando, per esempio, vengono adoperate tecniche di miglioramento del terreno. Craig (1983) considerò gli effetti della costruzione nel contesto della modellazione di fondazioni su pali. Se si studia il comportamento dei pali sotto azioni orizzontali è ragionevole adottare la soluzione più semplice di installare i pali prima di avviare la centrifuga. Infatti, sebbene la distribuzione di tensioni dovuta all’installazione non venga modellata correttamente, questo è un problema secondario rispetto al comportamento complessivo. Al contrario, se deve essere studiato il comportamento di pali sotto carichi verticali allora è essenziale installare i pali “in volo” dal momento che la capacità portante del palo è strettamente dipendente dalle tensioni che si sviluppano lungo la sua superficie laterale durante l’installazione.

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3. DALLA TEORIA ALLA PRATICA

Introduzione

Durante una prova in centrifuga, un modello è posto in rotazione intorno a un asse fisso e soggetto, in tal modo, a un campo di accelerazione. Pokrovsky e Fyodorov (1968, 1969) hanno preso in considerazione una serie di sistemi per realizzare un tale campo di accelerazione e ne hanno discusso in dettaglio vantaggi e svantaggi. Nel seguito verranno presentate le principali caratteristiche delle centrifughe a rotore e a tamburo. Inoltre, si esamineranno gli aspetti principali da prendere in considerazione quando si programmi una serie di prove in centrifuga.

Tipi di Centrifughe Geotecniche

Come mostrato nel Cap. 2, la centrifuga geotecnica sottopone il modello a un campo di accelerazioni inerziali che incrementa il peso proprio del terreno, creando in tal modo una distribuzione di tensioni nel campione di terreno che è paragonabile a quella reale. Ciò è mostrato schematicamente in Fig. 3.1 per due diversi tipi di centrifuga: a rotore (beam centrifuge) e a tamburo (drum centrifuge).

Figura 3.1 Schema di centrifuga a rotore e di centrifuga a tamburo

Una centrifuga a rotore è di solito costituita da un asse orizzontale posto in rotazione intorno a un albero verticale. Generalmente, il modello è sospeso a un’estremità del rotore. All’estremità opposta 24

è necessario disporre un contrappeso per garantire l’equilibrio (in quiete e in moto) senza sollecitare asimmetricamente l’albero. E’ questo il caso, ad esempio, della centrifuga dell’ISMES-Geo di Bergamo che è mostrata in Fig. 3.2

Figura 3.2 Centrifuga dell’ISMES-Geo di Bergamo

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Talvolta si dispone, al posto del contrappeso, un secondo modello dello stesso peso del primo all’altra estremità del rotore e alla stessa distanza dall’albero: in tal modo è possibile realizzare due prove contemporaneamente. Il contrappeso può inoltre essere disposto più vicino all’albero: in tal caso è inutile realizzare rotori simmetrici. La maggior parte delle centrifughe a rotore di più recente fattura è costituita da un rotore asimmetrico, contrappesato in prossimità dell’albero. La distanza del contrappeso può essere regolabile: in tal caso non è necessario aggiungere o sottrarre pesi al sistema per bilanciare il peso del modello ma è sufficiente agire sulla loro distanza dall’albero. Di questo tipo è, ad esempio, la centrifuga della City University a Londra, che è mostrata in Fig. 3.3

Figura 3.3 Centrifuga della City University di Londra

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Le centrifughe a rotore si possono suddividere ulteriormente in funzione del tipo di piattaforma, come mostrato in Fig. 3.4. La piattaforma è la parte della centrifuga, variamente vincolata all’estremità del rotore, nella quale viene alloggiato il modello. Questa può essere fissa rispetto al rotore, avere un certo grado di vincolo nel movimento, oppure sospesa e basculante.

Figura 3.4 Tipi di piattaforme

Nel primo caso la piattaforma è verticale, si trova cioè già nella configurazione che assumerebbe a regime durante la prova. Pertanto il modello deve essere disposto con il suo asse verticale, nel riferimento locale, giacente sul piano (orizzontale nel riferimento terrestre) di rotazione. In questo caso si pone il problema di trattenere il terreno e soprattutto i fluidi contenuti nel modello nelle fasi in cui la centrifuga è ferma e agisce il solo campo di accelerazione gravitazionale, cioè all’inizio della prova e quando la centrifuga viene arrestata alla fine della prova. Sono necessarie tecniche specifiche per evitare che il modello in questa fase collassi. La seconda configurazione (vincolata) è stata una modifica della piattaforma fissa e fu sviluppata originariamente per la centrifuga di Cambridge. La piattaforma è leggermente inclinata sull’orizzontale nella configurazione di quiete e sostenuta da bielle che incorporano molle torsionali e sono posizionate un po’ al di sopra del piano assiale del rotore. All’avvio della centrifuga, la piattaforma si dispone gradualmente in posizione verticale e la sua rotazione è limitata da un “fine corsa”. Raggiunto un certo livello di accelerazione, infatti, le bielle ruotano consentendo alla piattaforma di adagiarsi su una base rigida montata all’estremità del rotore. Le nuove generazioni di centrifughe hanno quasi tutte una piattaforma basculante, così come le prime centrifughe realizzate in Unione Sovietica nella prima metà del secolo scorso. Questo sistema consente di disporre il modello su una piattaforma perfettamente orizzontale (in quiete) che gradualmente, all’aumentare della velocità di rotazione della centrifuga, raggiunge la posizione 27

verticale. In questo modo, a patto che le cerniere di sostegno abbiano basso attrito, la superficie della piattaforma è in ogni fase ortogonale alla direzione dell’accelerazione. La maggioranza dei laboratori di modellazione in centrifuga nel mondo sono dotati di centrifughe a rotore.

Figura 3.5 Centrifuga del Politecnico Federale di Zurigo (ETHZ)

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Le centrifughe a tamburo sono invece costituite da un contenitore cilindrico (tamburo) posto in rotazione intorno al suo asse. In Fig. 3.5 è mostrata la centrifuga a tamburo del Politecnico Federale di Zurigo (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich). La superficie laterale del cilindro può essere considerata alla stregua di una piattaforma fissa e il modello viene realizzato lungo lo sviluppo della superficie. In effetti i piani orizzontali nel prototipo corrispondono a superfici cilindriche verticali nel modello. Talvolta l’asse di rotazione del tamburo è orizzontale: in tal caso l’accelerazione radiale ha una componente ciclica che può essere sfruttata, ad esempio, per simulare movimenti ciclici dell’acqua durante la prova. Inoltre la centrifuga a tamburo ben si presta a modellare, ad esempio, processi nei quali è necessario attingere spostamenti notevoli: ad esempio O’Neill e Randolph (2001) hanno studiato il comportamento di ancore di grandi dimensioni, utilizzate nelle strutture off-shore, quando vengono trascinate sul fondale. In questo caso è indispensabile riprodurre in centrifuga spostamenti relativi ancora-fondale dell’ordine di alcune centinaia di metri alla scala del prototipo (alcune centinaia di centimetri alla scala del modello), cosa resa possibile dalla forma anulare del modello nella centrifuga a tamburo. Il principale vantaggio di una centrifuga a tamburo su una a rotore è la possibilità di accedere al modello con vari tipi di utensili, ad esempio attuatori o strumenti di misura o apparecchi di prova, attraverso una piattaforma coassiale al tamburo. Gli strumenti sulla piattaforma possono infatti essere cambiati durante una prova senza disturbare il campione nella centrifuga, dal momento che la piattaforma può essere controllata indipendentemente dal tamburo, arrestata per consentire il cambio e, quindi, riavviata. Ciò consente una modellazione più flessibile perché limita il numero di variazioni cicliche di tensione che, altrimenti, il modello subirebbe tra g e Ng per effettuare lo stesso numero di operazioni. D’altra parte, una delle difficoltà maggiori della modellazione nelle centrifughe a tamburo risiede nel mantenere i modelli nella posizione corretta quando la centrifuga è ferma. Nei terreni a granulometria fine è possibile sfruttare la suzione, effettuando in tempi brevi le operazioni “a riposo”. Un ulteriore inconveniente è che la dimensione “orizzontale” può cambiare: se nel modello avviene una consolidazione “verticale”, infatti, ci sarà anche una deformazione orizzontale e non solo una consolidazione monodimensionale, come avverrebbe nel prototipo. Una centrifuga viene di solito classificata in base alla sua capacità, che è funzione della dimensione del modello che può contenere e della massima accelerazione che può essere generata nel modello, di solito espressa come multiplo dell’accelerazione terrestre. Queste due quantità vengono combinate insieme per esprimere la capacità di una centrifuga in g-tonnes (una capacità di 1 g-tonne corrisponde a 1 tonnellata nel campo gravitazionale terrestre, 10 kgm in un campo di accelerazione 100 volte maggiore). Una centrifuga medio-piccola ha una capacità di circa 50 g-tonnes e può 29

sottoporre a prova modelli di opportune dimensioni, per esempio di circa 200 kgm a 250 g. Ovviamente, la definizione dei dettagli che può essere raggiunta in un modello piccolo è limitata, tuttavia un modello di dimensioni maggiori richiede un impegno di preparazione più grande. Inoltre, il tempo necessario all’equalizzazione delle pressioni neutre aumenta notevolmente con le dimensioni del modello e ciò va considerato nella progettazione di una centrifuga. Contenitori

Il modello in esame viene realizzato in un contenitore, di solito in un ambiente del laboratorio attiguo alla centrifuga. Nelle centrifughe a tamburo, come visto, il modello viene realizzato direttamente nel tamburo. Nelle centrifughe a rotore si usa invece un contenitore mobile, che deve rispettare alcuni requisiti. Affinché il modello possa essere consolidato durante la prova (‘in volo’) in condizioni simili a quelle litostatiche è necessario che le pareti del contenitore siano molto rigide e lisce. Per dimensionare lo spessore delle pareti va tenuto presente un criterio pratico per il quale il massimo spostamento in testa alle pareti provocato dalla spinta a riposo del terreno non deve superare all’incirca un millesimo dell’altezza di ritenuta (Yamaguchi et al., 1976). Le pareti devono essere levigate internamente al fine di ottenere una superficie molto liscia e, prima di ogni prova è opportuno lubrificare le pareti, ad esempio con olio minerale viscoso, per ridurre ulteriormente l’attrito all’interfaccia parete-terreno. Nel caso di sabbie, è inoltre possibile disporre delle interfacce di vetro tra la sabbia e la parete, oppure delle membrane di lattice lubrificate. Quest’ultimo metodo è adottabile solo se non si prevede di attingere valori di deformazione elevati perché altrimenti la rigidezza della membrana può influenzare il comportamento del terreno in prossimità dell’interfaccia. Nel caso in cui si vogliano modellare in centrifuga gli effetti di un terremoto, o più in generale della propagazione di onde, è importante ridurre la riflessione delle onde sulle pareti. Prevost e Scanlan (1983) e Cheney et al. (1990) hanno raccomandato l’uso di Duxseal, un preparato commerciale a base di lana minerale e paraffina, sulle pareti del contenitore, per assorbire le onde riflesse. Schofield e Zeng (1992) hanno proposto l’uso di un contenitore ESB (‘equivalent shear beam’) che è costituito da una pila di telai rettangolari di duralluminio separate da strati di gomma, così da avere la stessa rigidezza dinamica del terreno contenuto. Le prove effettuate hanno mostrato che questo genere di contenitore risponde ai principali requisiti necessari alla corretta modellazione degli effetti di un sisma. Nello studio dell’isolamento dalle vibrazioni indotte da treni ad alta velocità tramite fondazioni dei binari ad asfalto additivato e barriere di polistirolo espanso, Itoh et al. (2003), hanno recentemente condotto una serie di prove in centrifuga nelle quali le pareti e il fondo del contenitore sono state 30

rivestite con uno strato di gomma porosa dello spessore di 10 mm, per ridurre la riflessione delle onde. Gli Autori hanno osservato che questo accorgimento ha portato a una riduzione delle vibrazioni riflesse fino al 40% rispetto a quelle misurate senza rivestimento. I contenitori devono inoltre prevedere la possibilità di controllare le condizioni di drenaggio al contorno (in sommità e in fondo al modello). In genere il drenaggio al fondo viene assicurato dalla presenza di una rete di scanalature protetta da un foglio di plastica porosa (filtro) ed eventualmente da carta da filtro. Per evitare l’evaporazione superficiale nell’ambiente relativamente ventoso della centrifuga si può disporre uno strato di olio o di silicone liquido sulla superficie del modello per realizzare un contorno superiore impermeabile. I contenitori devono prevedere delle porte nelle pareti, per il passaggio dei cavi e dei tubi, che possano essere chiuse, se inutilizzate, ed eventualmente sigillate intorno al cavo o tubo passante, per evitare perdite di terreno o fluido. Per quanto attiene la forma, i contenitori di forma cilindrica sono più rigidi di quelli rettangolari a parità di spessore, per effetto della rigidezza di forma. Tuttavia quelli rettangolari consentono di ottimizzare lo spazio sulla piattaforma. Inoltre la parete di un contenitore rettangolare, piana, può essere dotata di un oblò di perspex che consente di effettuare riprese del fronte del modello senza eccessiva distorsione ottica. Questa caratteristica è particolarmente utile quando si realizzano modelli in deformazione piana, nei quali il campo di spostamenti del fronte si ripete, con sufficiente approssimazione, in tutti i piani retrostanti: l’analisi del campo di spostamenti del fronte con tecniche fotogrammetriche consente in tal caso di risalire allo stato di deformazione piana del modello.

Pianificazione della prova

Nella fase di pianificazione della prova o del programma di prove è necessario tener presente che non tutti gli aspetti del problema in esame possono essere modellati in centrifuga. E’ importante pertanto focalizzare l’attenzione sui fattori che principalmente regolano il fenomeno e fare in modo che per queste grandezze le leggi di scala siano rispettate. Per quelle grandezze che invece non possono essere modellate direttamente, è necessario assicurarsi che quanto meno la fenomenologia che da esse dipende sia la stessa nel modello e nel prototipo. Consideriamo ad esempio il problema della modellazione di un moto di filtrazione nel terreno. L’analisi dimensionale mostra che per essere rigorosamente verificata la similitudine meccanica fra modello e prototipo, il numero di Reynolds (ad esempio) dovrà essere lo stesso nel modello e nel prototipo. Perciò, la dimensione delle particelle dovrebbe essere scalata. Tuttavia è prassi comune non scalare le particelle del terreno modello: quest’approssimazione è del tutto accettabile, a patto che il valore del numero di 31

Reynolds nel modello sia tale da essere ancora il moto in regime laminare. In tal caso, infatti, il fenomeno nel modello potrà essere confrontato direttamente con il prototipo (per esempio, è ancora valida la legge di Darcy). In caso contrario sarà necessario scalare la dimensione delle particelle; tuttavia in questa operazione bisogna tener conto attentamente anche di altre caratteristiche, quali la resistenza a rottura delle singole particelle e la risposta meccanica del terreno (Bolton e Lau, 1988). In effetti, la centrifuga consente di scalare automaticamente solo gli effetti della forza di gravità. La “modellazione di modelli” (Schofield, 1980) è una tecnica di solito adoperata per simulare lo stesso prototipo a differenti scale e, conseguentemente, differenti accelerazioni per rispettare la legge di scala fondamentale (Fig. 3.6, da Ko, 1988). Se i modelli a scale differenti riproducono il comportamento dello stesso prototipo, la modellazione in centrifuga ha avuto successo. Altrimenti, il processo in esame potrebbe essere indipendente dalla gravità, come per esempio un processo chimico.

Figura 3.6 Modellazione di modelli (Ko, 1988)

32

Una volta verificata con la modellazione di modelli, per una tipologia di problema, la similitudine meccanica fra modelli in scala diversa, la scelta delle dimensioni del modello risponde a esigenze di ordine pratico. Innanzitutto la massima dimensione del modello è limitata dalla capacità della centrifuga. E’ evidente che, nel rispetto di questo vincolo, è opportuno realizzare il modello delle dimensioni maggiori possibili. Ciò facilita le operazioni di preparazione e riduce l’interferenza degli strumenti di misura miniaturizzati e dei relativi cavi sul comportamento meccanico del modello. E’ altresì opportuno collocare i fenomeni d’interesse nella zona centrale del modello, al fine di ridurre gli effetti del contorno e dell’errore connesso con l’approssimazione del campo di accelerazione radiale con un campo di accelerazione normale alla superficie (piana) del modello (come discusso al Cap.2). Per quanto riguarda la scelta del materiale di prova, si preferisce adoperare lo stesso terreno del prototipo, o quantomeno un terreno generico delle stesse caratteristiche, salvo necessità dettate da particolari leggi di scala. Un ulteriore punto da valutare in fase di programmazione è la scelta della frequenza degli attuatori, che è connessa con il fattore di scala del tempo. Talvolta la frequenza teorica richiesta dalla legge di scala dei processi di diffusione (consolidazione) è troppo alta e può indurre effetti inerziali non desiderati, oppure la potenza richiesta è troppo elevata. In questi casi è possibile ridurre la frequenza degli attuatori a un valore accettabile, senza però inficiare la possibilità di applicare i carichi in condizioni non drenate. Quando ciò non fosse possibile, si deve operare sul fluido di porosità, cambiandolo opportunamente, nel rispetto delle leggi di scala. Le strutture sono di solito modellate in maniera da riprodurre la geometria del prototipo, tuttavia, per soddisfare i criteri di scala, possono essere utilizzati materiali diversi.

Preparazione del modello

L’aspetto principale da curare nella preparazione del modello è il raggiungimento del corretto profilo di tensioni efficaci. Anche la storia dei carichi ha la sua influenza sul comportamento del modello e, per quanto possibile, dovrebbe corrispondere a quella del prototipo. L’idea di effettuare le prove su campioni di terreno indisturbati non è a priori da scartare, nonostante le difficoltà operative. Tuttavia è da considerare che la macrostruttura del terreno non viene scalata, perché non dipende automaticamente dal campo di accelerazioni a cui il terreno è soggetto: per questo motivo non è detto che il terreno indisturbato sia rappresentativo del terreno in sito.

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Si preferisce allora operare su terreni ricostituiti, evitando in tal modo di considerare gli effetti della storia naturale. In definitiva, appare in genere più opportuno lavorare con terreni generici, di proprietà ben note. La preparazione del terreno modello è quindi quella tipica delle prove di laboratorio su terreni ricostituiti. I terreni granulari possono essere preparati per costipamento o per pluviazione. Il costipamento su tavola vibrante è in genere difficilmente realizzabile per le dimensioni del modello; in alternativa si può realizzare una compattazione per pestellatura, in umido o a secco. La pluviazione è la tecnica più diffusa, in genere a secco: viene usata per sabbie uniformi ed evitata in presenza di una frazione di limo fine perché questa resta sospesa in aria e non si deposita. Generalmente la sabbia viene lasciata cadere da una tramoggia in movimento a distanza costante dalla superficie del terreno depositato, così da conferire al terreno nel modello uno stato di addensamento uniforme. Va considerato che i terreni preparati per pluviazione possono avere un elevato grado di anisotropia. In molti laboratori la pluviazione viene effettuata automaticamente attraverso un’attrezzatura semovente programmabile con una tramoggia la cui velocità orizzontale può essere controllata. Ciò consente una buona riproducibilità dei campioni con densità medio-alta. La creazione di campioni di sabbia più sciolta è anche possibile, ma il movimento del contenitore nel trasporto sul cestello della centrifuga può addensare il terreno. Inoltre, la sabbia si addensa ulteriormente quando si avvia e si arresta la centrifuga più volte per condurre più prove sullo stesso campione. In una centrifuga a rotore, la pluviazione può essere effettuata anche “in volo”, da una tramoggia che viene alloggiata in testa al contenitore. Ciò avviene, di norma, per piccole quantità di sabbia, come nella costruzione simulata di un rilevato in modelli molto piccoli.

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Figura 3.7 Preparazione di un modello in sabbia in una centrifuga a tamburo (Dean et al., 1990)

La pluviazione in volo può essere effettuata con relativa facilità quando si usa una centrifuga a tamburo, come mostrato in Fig. 3.7 (Dean et al., 1990). La sabbia asciutta viene versata in una tramoggia esterna per cadere attraverso un tubo (A) prima di essere accelerata da aria compressa attraverso un ugello (B) che consente alle particelle di depositarsi sul tamburo rotante. La densità che viene raggiunta è funzione della velocità del flusso di sabbia, della pressione dell’aria e dell’accelerazione della centrifuga. La sabbia viene poi saturata (E) immettendo acqua dal circuito di drenaggio di base (D) e successivamente desaturata aprendo il rubinetto di scarico, inducendo così al campione uno stato di suzione (G). Questa suzione consente di arrestare la centrifuga senza che il terreno collassi. Quindi la superficie del modello può essere preparata come previsto, usando una spatola (I) montata sulla colonna centrale (H).

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Quando la pluviazione viene effettuata “in volo”, la componente laterale della velocità delle particelle può causare addensamento. Ciò viene normalmente considerato quando si usano “spinning disk” (Laue et al., 2002): la sabbia viene versata sul disco, dove le particelle accelerano in direzione radiale verso il tamburo, costituendo gradualmente un deposito di sabbia, come mostrato in Fig. 3.8.

Figura 3.8 Pluviazione della sabbia tramite ugello (a) e tramite spinning disk (b) (da Muir Wood,

2004) La saturazione dei modelli in sabbia può avvenire imponendo un flusso d’acqua entrante dalla base del modello, eventualmente sotto vuoto o previa saturazione del terreno asciutto con CO2. A meno che la superficie superiore del terreno non sia vincolata, sono essenziali bassi gradienti idraulici per evitare il sifonamento, che comprometterebbe l’omogeneità del modello. Se invece dell’acqua si adopera un fluido più viscoso, si può facilitare la saturazione aumentando la temperatura, perché in tal modo si riduce la viscosità. 36

I terreni a grana fina (limi e argille) sono generalmente ricostituiti a partire da un fango il cui contenuto d’acqua è pari circa al doppio del limite di liquidità. Per la preparazione del fango è necessario un mescolamento meccanico che, considerati i volumi in gioco, può durare alcune ore. In genere si utilizza acqua deareata o si procede al mescolamento sotto vuoto. In Fig. 3.9a è mostrato il miscelatore che si usa alla City University di Londra e che consente di mescolare fino a 80 litri di fango d’argilla con acqua de-areata. L’impasto viene poi versato nel contenitore, di solito lo stesso in cui il modello verrà poi sottoposto alla prova, avendo cura che non restino bolle d’aria intrappolate all’interno, e quindi lasciato consolidare sotto una pressa (consolidometro), come mostrato in Fig. 3.10.

Figura 3.9 Miscelatore della City University di Londra

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Figura 3.10 Consolidometro della City University di Londra

Inizialmente nel consolidometro la pressione viene incrementata di una piccola quantità (intorno ai 10 kPa) per evitare perdite di terreno dalle giunture del contenitore: man mano che la consolidazione procede, il terreno diventa più consistente e il rischio di perdite si riduce. Pertanto i successivi incrementi di carico possono essere più grandi e di solito la tensione applicata viene raddoppiata a ogni incremento di carico. Prima di applicare il successivo incremento di carico si attende che le sovrapressioni neutre indotte dal precedente si siano dissipate: il controllo si realizza semplicemente con un trasduttore di spostamento verificando che il cedimento misurato sia pari almeno all’80% di quello atteso. 38

Il consolidometro consente di applicare un profilo di pressioni di preconsolidazione al terreno che definisce il profilo di OCR al termine della fase di ri-consolidazione in centrifuga. Il profilo più diffuso è quello di pressione di preconsolidazione costante con la profondità (Fig. 3.11) che si ottiene semplicemente applicando un carico in testa al campione e attendendo la dissipazione delle sovrapressioni neutre. Per ottenere una distribuzione lineare di pressioni di pre-consolidazione nel modello in centrifuga, si deve applicare contemporaneamente al carico una pressione neutra alla base del pistone e instaurare un gradiente idraulico verso il basso. Il gradiente di pressioni neutre corrisponde al gradiente di tensioni efficaci, che è proprio la distribuzione lineare di pressioni di pre-consolidazione. Per ottenere, invece, un profilo di OCR che riproduca quello di una crosta essiccata, la pressione neutra va applicata alla base del campione, definendo un gradiente idraulico verso l’alto.

Figura 3.11 Possibili profili di tensioni verticali litostatiche, di OCR e di resistenza non drenata

nel modello Al termine della fase di compressione, il campione viene scaricato con i rubinetti di drenaggio chiusi: in questo modo resta in suzione. Tuttavia a partire dalle superfici libere è possibile che si instauri un fenomeno di rigonfiamento. Per evitarlo, o quanto meno ridurlo, è opportuno velocizzare le successive operazioni di preparazione del modello e, possibilmente, proteggere le superfici esposte con uno strato impermeabilizzante di olio. Il processo di consolidazione può talvolta essere effettuato direttamente “in volo”: il fango viene versato su uno strato drenante (di solito sabbia su una piastra scanalata) e l’accelerazione va incrementata gradualmente in maniera tale da non indurre elevate sovrapressioni neutre che possono provocare talora idrofratturazione e creare drenaggi preferenziali. Il processo è piuttosto lungo e va 39

valutato se è opportuno, ai fini della sicurezza, mantenere la centrifuga operante anche durante la notte. Ad ogni modo, si tratta di una buona procedura per ottenere campioni normalmente consolidati. Per quanto riguarda il terreno che si adopera è opportuno controllarne di tanto in tanto le proprietà indice. Il terreno può essere riciclato, ma in tal caso ne vanno ancor più spesso verificate le proprietà meccaniche perché potrebbero aver subito un degrado nelle prove precedenti.

Caratterizzazione geotecnica del modello ‘in volo’

Una volta che la centrifuga sia stata avviata e lo stato tensionale efficace nel modello abbia raggiunto la condizione stazionaria può essere utile effettuare “indagini in situ” nel campione al fine di ottenere una caratterizzazione meccanica del modello in maniera simile a quanto accade nel “mondo reale”. Gli strumenti per effettuare indagini in situ sono stati miniaturizzati per effettuare prove in volo confrontabili, sebbene per alcuni di essi non è possibile rispettare gli esatti rapporti di scala. Una punta penetrometrica standard per l’esecuzione di un CPT ha, infatti, un diametro di 35 mm mentre per una prova in centrifuga a N g dovrebbe essere ridotta del fattore N, variabile da prova a prova. Oltre ad essere poco pratico, è probabile che non siano disponibili trasduttori delle giuste dimensioni. Per questo motivo sono state effettuate numerose campagne sperimentali in centrifuga finalizzate a dimostrare l’efficacia di tali strumenti miniaturizzati e verificare l’interpretazione dei risultati secondo i classici schemi delle corrispondenti prove in scala reale. Per quanto riguarda le prove CPT miniaturizzate, un programma di ricerca europeo fra 5 diversi centri di prove in centrifuga geotecnica ha comprovato la loro efficacia nel caratterizzare un ampio campo di terreni “in volo” (Renzi et al., 1994; Bolton et al. 1998). Sono state quindi proposte linee guida e procedure standard per l’esecuzione delle prove in maniera da consentire il confronto fra prove CPT effettuate da laboratori diversi. In Fig. 3.12 è mostrata la punta del cono in uso al Politecnico Federale di Zurigo (ETHZ): ha un diametro di 11.3 mm (una sezione di 100 mm2), è strumentato per misurare sia le forze agenti sul cono, sia quelle sul manicotto dietro la punta ed è anche dotato di un trasduttore di pressione neutra. Questo strumento è stato progettato e realizzato in Italia, all’ISMES di Bergamo.

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Figura 3.12 Piezocono miniaturizzato dell’ETHZ progettato dall’ISMES

Anche le prove scissometriche possono essere effettuate in centrifuga, con qualche lieve modifica rispetto alle procedure usuali: uno scissometro alto 10 mm in un modello accelerato a 100 g misura una resistenza a taglio non drenata media in uno strato di terreno corrispondente a 1 m alla scala del prototipo. In Fig. 3.13 vengono mostrati alcuni scissometri in miniatura adoperati presso il Laboratoire Central des Ponts et Chaussées di Parigi.

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Figura 3.13 Scissometri in miniatura del LCPC

Per misurare la resistenza a taglio non drenata durante una prova in centrifuga sono state sviluppate prove con penetrometro a barra (T-bar penetrometer): dettagli al riguardo sono forniti da Stewart e Randolph (1991). L’interpretazione dei risultati si basa su una soluzione per la pressione limite agente su un cilindro che si muova lateralmente in un mezzo perfettamente plastico che modella il comportamento di un terreno in condizioni non drenate. Gli Autori confrontano i risultati di prove con penetrometro a barra con quelli di piezoconi e scissometri in miniatura e mostrano una buona correlazione con questi e con i risultati di prove triassiali. Il penetrometro a barra è risultato particolarmente adatto a essere usato in argille tenere. In figura 3.14 viene mostrato il penetrometro a barra (T-bar) del Politecnico Federale di Zurigo (ETHZ): la barra è un cilindro lungo 20 mm e con un diametro di 5 mm. Anche la rigidezza del terreno a piccoli livelli di deformazione può essere misurata in centrifuga tramite accelerometri in miniatura a seguito di una sollecitazione impulsiva, come mostrato in dettaglio da Siemer (2000). 42

Figura 3.14 Penetrometro T-bar dell’ETHZ

Controllo delle condizioni di drenaggio

L’acqua è il fluido di porosità più comunemente usato nei modelli in centrifuga. Uno dei problemi che si possono incontrare è l’eccessiva evaporazione dalla superficie per effetto dell’incremento di temperatura nella camera della centrifuga. Questo fenomeno può essere utilmente sfruttato per realizzare una crosta essiccata nel modello, tuttavia generalmente si tende a evitarlo per avere una superficie piezometrica ben definita. A questo fine si dispone sulla superficie libera del modello uno strato di paraffina liquida o di fluido al silicone. Lo spessore iniziale di tale strato fluido va calcolato considerando la curvatura della sua superficie superiore quando viene sottoposto al campo di accelerazione radiale della centrifuga e avendo cura che nel punto di minimo spessore la superficie del terreno resti comunque coperta. 43

Il livello piezometrico nel terreno viene mantenuto alimentando il modello attraverso tubi piezometrici nei quali viene recapitata l’acqua proveniente da collettori ad anello (slip-rings). Il livello di sfioro nel piezometro va calcolato tenendo conto della curvatura imposta e della distanza del piezometro dalla zona centrale del modello. L’eccesso d’acqua può sfiorare direttamente nella camera della centrifuga. Nel caso, invece, di fluidi potenzialmente inquinanti, questi vanno raccolti in un apposito serbatoio. Il livello dello sfioro nel piezometro può essere variato durante la prova, con ciò variando le condizioni idrauliche al contorno.

Applicazione dei carichi

I carichi sul modello durante la prova vengono applicati di solito con l’ausilio di attuatori: generalmente si definiscono attuatori tutti quei dispositivi atti a tradurre l’uscita elettrica del regolatore in azione sulla variabile fisica del processo. Si è già detto che la frequenza, e quindi la potenza, degli attuatori in centrifuga deve rispettare le leggi di scala; pertanto gli attuatori devono essere diversi da quelli che si adopererebbero nel prototipo. Poiché il peso del modello, con tutta la strumentazione necessaria, è limitato dalla massima capacità della centrifuga, è possibile che si renda necessario dislocare gli alimentatori, gli amplificatori e i moduli di condizionamento del segnale all’esterno della centrifuga. In tal caso è necessario stabilire una comunicazione tra queste unità (e, in generale, l’unità di controllo) e i corrispondenti attuatori, tramite collettori ad anello con contatti striscianti (slip-rings) o altri sistemi di comunicazione remota. L’alimentazione elettrica degli attuatori passa attraverso gli slip-ring. Se è necessario trasferire un’elevata potenza, può rendersi opportuno uno speciale isolamento degli slip-ring. Alcuni apparecchi ad alto voltaggio possono provocare rumore elettrico e questo va ridotto per evitare di compromettere la qualità dei dati in uscita: i cavi vanno schermati e possibilmente cavi e slip-ring relativi all’alimentazione elettrica vanno separati fisicamente da quelli che trasportano il segnale-dati in entrata e in uscita. Sistemi alternativi di applicazione dei carichi (attuatori in senso lato) sfruttano l’energia idraulica o l’energia pneumatica. L’energia idraulica può essere fornita da circuiti ad acqua o a olio: quest’ultimo è necessario per applicare le pressioni più elevate. Le eventuali perdite di fluido dai circuiti dovrebbero essere evitate e, in ogni caso, i fluidi devono sempre essere raccolti e convogliati in un circuito di ritorno. Le perdite di carico possono essere significative e costituiscono un problema quando i tubi di mandata sono piuttosto lunghi. Indicativamente, i circuiti idraulici possono lavorare con pressioni fino a 30 MPa. 44

L’energia pneumatica può essere fornita tramite aria a bassa pressione attraverso gli slip-ring (fino a 1 MPa). Se deve essere fornita aria compressa a pressioni più elevate (fino a circa 20 MPa) questa deve essere immagazzinata all’interno di cilindri che possono essere alloggiati all’interno del rotore.

Figura 3.15 “Ice melting block” (Allersma, 1998): attuatore di un carico di trazione

Il campo di accelerazione stesso può essere usato per attuare carichi: si parla in tal caso di energia latente. Per esempio il peso proprio di un pistone può attuare un carico di compressione mentre l’accelerazione s’incrementa; analogamente la spinta idrostatica su un galleggiante può essere sfruttata per dare un carico in trazione: Allersma (1998) ha utilizzato una molla e un blocco di ghiaccio per simulare la forza agente in una prova di sfilamento. Questo attuatore è mostrato in Fig. 3.15: la molla viene compressa e l’intercapedine riempita di acqua, quindi congelata. Una volta installato nella centrifuga, il ghiaccio fonde lentamente e la molla applica una trazione a un ancoraggio nel terreno. Un esempio ulteriore di energia latente: il peso proprio dell’acqua o di un fluido più pesante (il cloruro di zinco o politungstato di sodio, per esempio, che hanno un peso simile a quello del terreno), alloggiato in una membrana flessibile che riempie inizialmente la forma esatta di uno scavo, può essere usato per simulare le fasi di scavo, riducendo gradualmente il livello, e quindi il peso, del fluido nella membrana. L’approssimazione consiste nel fatto che in questo modo le tensioni applicate alle pareti dello scavo tramite la membrana sono solo normali e non tangenziali. Inoltre, la riduzione di pressione laterale del fluido sulle pareti verticali dello scavo 45

(necessariamente idrostatica) differisce sensibilmente dalla variazione di spinta orizzontale del terreno man mano che lo scavo avanza. Negli ultimi anni, sono stati realizzati sofisticati strumenti di applicazione dei carichi, per esempio uno scudo in miniatura in grado di riprodurre lo scavo di una galleria circolare al Politecnico di Tokyo (Fig. 3.16) e all’Università di Bochum, e addirittura dei veri e propri robot di bordo, cioè delle macchine in grado di attuare anche più di un processo contemporaneamente: il primo è stato il robot del LCPC di Parigi (Derkx et al., 1998), in grado di operare in presenza di accelerazione fino a 100 g manovrando fino a tre diversi strumenti (Fig 3.17a e b). Le operazioni possono essere condotte manualmente, osservando il robot tramite una telecamera, o automaticamente tramite un software programmabile. Sembra opportuno evidenziare che il costo di una tale apparecchiatura è molto prossimo a quello di una centrifuga di piccole dimensioni.

Figura 3.16 Modello di TBM in miniatura del Politecnico di Tokyo (Nomoto et al. 1999)

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Figura 3.17 Robot del LCPC

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In generale, bisogna aver cura che gli attuatori non influenzino la risposta meccanica del modello, per esempio impedendo alcuni meccanismi di deformazione. I pistoni e le valvole devono essere orientati in maniera opportuna rispetto al campo di accelerazione. I pistoni di cilindri idraulici e pneumatici vengono spesso allineati alla direzione dell’accelerazione centrifuga. Se il peso è eccessivo (benché si adoperino di solito leghe leggere di alluminio) per mantenere il pistone nella posizione iniziale può essere necessario bilanciarlo con pressioni elevate: è utile, in tal caso, alleggerire il pistone, per esempio rendendolo cavo. I circuiti stampati vanno alloggiati con schiume o comunque vanno presi accorgimenti tali da evitare eccessiva inflessione o rottura delle tracce saldate e dei componenti. E’ di solito possibile utilizzare attuatori disponibili in commercio, eventualmente modificati al fine di assicurarne un corretto funzionamento nel campo di accelerazioni elevate della centrifuga. Infine, prima della prova è necessario controllare accuratamente tutte le connessioni elettriche, pneumatiche e idrauliche per evitare che nel campo di accelerazione imposto dalla centrifuga queste siano interrotte o disallineate.

Strumenti di misura

Si considerano strumenti di misura una vasta gamma di trasduttori e tecniche visuali, comunemente adoperati nella sperimentazione in laboratorio e su modello. La strumentazione per le misure in centrifuga deve però soddisfare alcuni requisiti particolari. Innanzitutto deve essere miniaturizzata: i trasduttori e i relativi cavi elettrici non devono costituire un rinforzo del terreno, né creare dei percorsi di drenaggio preferenziale. I cavi, in particolare, non devono interferire con i meccanismi di deformazione. Per garantire un monitoraggio continuo delle grandezze d’interesse la frequenza di lettura del trasduttore deve essere almeno un paio di ordini di grandezza superiore rispetto a quella di un trasduttore usato nel prototipo. Inoltre, i trasduttori, e i relativi cavi, devono garantire resistenza alle alte pressioni e durevolezza, sia per l’aumento di peso proprio durante la prova, sia per le sollecitazioni che potrebbero subire in fase di realizzazione del modello. Tutti i trasduttori devono essere calibrati nel campo di utilizzo e sottoposti a cicli di carico-scarico per ridurne l’isteresi.

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Figura 3.18 Trasduttore di pressione neutra in miniatura

La misura delle pressioni neutre viene condotta con trasduttori di pressione. La maggioranza dei trasduttori di pressione miniaturizzati disponibile in commercio è costituita da trasduttori di pressione differenziale la cui pressione di riferimento è fornita attraverso il cavo elettrico, pertanto nell’istallazione bisogna consentire il passaggio di aria nel cavo. Nella maggior parte dei centri per le prove in centrifuga vengono adoperati trasduttori del tipo Druck PDCR81, disponibili per un ampio campo di pressioni: uno schema e una foto sono mostrati in Fig. 3.18. Un elemento poroso è interposto fra la membrana e il terreno al fine di consentire il passaggio dell’acqua e la misura della pressione neutra e non di quella totale. Nelle argille si usano pietre porose, nei terreni a granulometria maggiore si possono adoperare elementi metallici inossidabili. L’elemento poroso va saturato prima di ogni uso, eventualmente liberato dalle occlusioni e, se necessario, sostituito. Va considerato che la frequenza di risposta del trasduttore viene meccanicamente alterata per effetto del passaggio del fluido attraverso l’elemento poroso. Gli stessi trasduttori, senza filtro, possono essere usati per misurare il livello d’acqua nel tubo piezometrico di alimentazione del modello, controllando così le condizioni idrauliche al contorno. Per definire completamente lo stato tensionale all’interno del modello devono essere utilizzati trasduttori di tensione totale. Le loro dimensioni dovrebbero essere ridotte alla scala del modello, ma in tal caso essi potrebbero risultare molto più rigidi del terreno intorno. In tal caso la misura non sarebbe sufficientemente accurata, dal momento che l’elemento più rigido tenderebbe a “caricarsi” maggiormente: perciò va prestata attenzione alla rigidezza dei trasduttori. Alcuni trasduttori miniaturizzati sono stati appositamente progettati e realizzati, come le celle di Stroud (1971) all’Università di Cambridge (Fig. 3.19): il carico, applicato su una superficie rigida, provoca la deformazione di un’anima verticale, per la componente normale, e di una piastra di base 49

orizzontale, per la componente di taglio. Possono essere usati anche traduttori a diaframma, riempiti di fluido, che sono in grado di misurare soltanto gli sforzi normali. Garnier et al. (1999) hanno anche sperimentato l’uso di celle di pressione interrate. Essi hanno mostrato l’importanza di inserire con estrema cura le celle nel modello, in particolare in terreni granulari, al fine di evitare variazioni locali di densità che possono disturbare la misura.

Figura 3.19 Cella di Stroud

Misure di carico sulle strutture possono essere effettuate con celle di carico in miniature, basate sulla deformazione di un diaframma strumentato con trasduttori di deformazione (strain gages) o, direttamente, installando i trasduttori di deformazione all’interno o all’esterno di un modello di struttura (p.es. muri di sostegno, rivestimenti di gallerie, pali). I trasduttori dovrebbero essere costituiti da ponti di Wheatstone completi, per ridurre gli effetti della temperatura. In alternativa, possono essere usati ponti incompleti insieme con un testimone (“dummy strain gage”) collocato dove non ci si attende che la struttura sia caricata. Trasduttori di deformazione e cavi elettrici devono essere opportunamente protetti e sigillati quando sono immersi nel terreno.

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Figura 3.20 Sensore tattile dell’ETHZ

Una nuova tecnica per misurare le tensioni agenti su una struttura si basa su sensori tattili flessibili di pressione. Questi sensori (Fig. 3.20) sono stati sviluppati originariamente nell’ambito della ricerca biomedica, ma sono stati di recente introdotti nel campo dell’Ingegneria Geotecnica da Paikowsky e Hajduk (1997). Il sensore tattile consiste in un tappetino flessibile in cui una trama di fili ortogonali di materiale conduttivo è immersa in una matrice semi-conduttiva e protetta da una sottile pellicola (2 strati di poliestere spessi circa 0.1 mm). Questo tipo di sensore non è utilizzabile per misurare tensioni tangenziali, dal momento che i fogli di poliestere sono incollati l’un l’altro solo ai bordi del sensore. Le “celle” di matrice sono interrogate in sequenza attraverso un segnale elettrico fino a 137 Hz e la variazione di resistenza elettrica viene misurata e registrata. I dati vengono quindi trasferiti a un computer che restituisce i valori di pressione e la posizione della risultante. Springman et al. (2002) hanno effettuato uno studio sia a 1 g che a N g sulla calibrazione di tali dispositivi, dimostrandone la potenzialità, anche se resta ancora da chiarirne il livello di precisione nel breve e nel lungo termine. La misura del grado di saturazione e quella della concentrazione di contaminanti chimici possono essere effettuate con tecniche differenti: alcune di queste sono state descritte, ad esempio, negli atti di un simposio organizzato dalla rete europea di centrifughe per la ricerca ambientale NECER (a cura di Garnier et al., 2000)

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I trasduttori di spostamento sono in genere o potenziometri o LVDT (linear variable differential transformers). I potenziometri di solito hanno una risoluzione più bassa degli LVDT. La risoluzione degli LVDT è dell’ordine dei millivolt e la precisione della misura dipende essenzialmente dalla corsa del trasduttore: più lunga è la corsa, minore è la precisione conseguita. Non vanno trascurati anche gli effetti della non linearità dello strumento quando si avvicina al “fondo corsa”. Per la misura di grandi spostamenti, quando per effetto della corsa lunga gli LVDT possono essere comunque poco precisi, può essere conveniente usare i potenziometri. Per le misure di spostamenti verticali potrebbe rendersi necessario poggiare il nucleo del trasduttore su una piastrina per evitare il punzonamento del terreno. Per le misure di spostamenti orizzontali, invece, potrebbe essere necessario vincolare con una molla o con un adesivo l’estremità del nucleo al terreno. Tecniche sempre più diffuse di misura del campo di spostamenti sono basate sull’acquisizione e il trattamento di immagini tramite trasduttori ottici, macchine fotografiche, videocamere o esame radiografico. Per misurare le deformazioni superficiali del modello, oggigiorno sono utilizzati trasduttori a laser, che non hanno bisogno del contatto fisico con la superficie da monitorare. La precisione, la linearità e la risoluzione di tali misure sono simili a quelle ottenute usando gli LVDT, ma la risoluzione dipende anche dalla distanza fra il trasduttore e l’area di misura. Quando il fascio di luce polarizzata si rifrange su una superficie molto prossima al trasduttore, la misura può raggiungere una precisione di 1 μm mentre per superfici di mezzi particellari la risoluzione è dell’ordine della dimensione dei grani. Il monitoraggio della superficie del terreno può essere effettuato anche per il tramite di tre telecamere come mostrato in Fig. 3.21 (Taylor et al., 1998): in questo modo è possibile costruire un vettore spostamento per ciascun punto di misura e quindi la deformazione della superficie (Fig. 3.22).

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Figura 3.21 Disposizione delle telecamere per il monitoraggio della superficie del modello

Figura 3.22 Subsidenza superficiale causata dal fronte di scavo di una galleria (da Taylor et al.

1998) Per monitorare gli spostamenti di modelli piani (deformazione bidimensionale) possono essere usate molte tecniche. Ad esempio si possono inserire mire di plastica sul fronte esposto del modello, visibile attraverso una finestra di perspex trasparente, curando che l’attrito fra mire e perspex e terreno e perspex sia ridotto, mediante lubrificazione delle superfici a contatto. Le immagini del fronte riprese durante la prova vengono successivamente sottoposte ad analisi fotogrammetrica, che 53

individua ciascuna mira come una distribuzione del livello di grigio. In questo modo può essere determinato il campo di spostamenti delle mire e, quindi, del terreno. Questa tecnica può raggiungere una precisione di alcune decine di micron sullo spostamento della mira in un’area di 250x250 mm2 (Grant, 1998). Una moderna tecnica di trattamento digitale delle immagini (Particle Image Velocimetry) è stata proposta da White et al. (2001). Questo metodo consente una precisione fino a 1/25th di pixel, e pertanto la risoluzione dipende fortemente dalla dimensione della finestra di osservazione. Attualmente si raggiunge una risoluzione massima di circa 10 μm. Il vantaggio di tale tecnica è che non sono necessarie le mire, che potrebbero disturbare il campione. In ogni caso, va prestata attenzione all’influenza dell’attrito della finestra di Perspex sui metodi basati sul trattamento delle immagini di un modello in deformazione piana: l’attrito nullo è infatti praticamente impossibile da ottenere. Lo sviluppo delle tecniche radiografiche, mutuate dalla biomedica, consente di rilevare il campo di deformazioni e l’eventuale formazione di bande di taglio all’interno del modello: queste tecniche sono in effetti già state ampiamente utilizzate in passato per l’analisi dei campioni dopo le prove, ma la ricerca attuale tende a sviluppare tecniche simili che possano fornire misure del campo di deformazione già “in volo”. Il modo più semplice di misurare la temperatura è quello di inserire nel modello un termometro che sia visibile da una telecamera a circuito chiuso. In alternativa, possono essere agevolmente usati termistori o termocoppie, che sono semplici, resistenti e coprono un ampio campo di temperatura.

Acquisizione dei dati

Nel progettare il sistema di acquisizione dati, va tenuto conto innanzitutto che i dati vanno acquisiti dal modello circa due volte più velocemente che dal corrispondente prototipo. Il sistema di acquisizione, inoltre, deve essere sufficientemente flessibile da poter essere usato in tipologie di prova differenti fra loro (terremoti o fenomeni di diffusione di contaminanti hanno durate molto diverse). Infine, il sistema deve essere modulare: è frequente, infatti, la rottura del sistema in qualche sua parte e la modularità consente di individuare più facilmente dove il danno si è verificato e porvi rimedio. I segnali in uscita dai trasduttori sono in genere condizionati (amplificazione, filtro rumore…). Il condizionamento può avvenire in un modulo d’interfaccia collocato in prossimità del modello, sul braccio o nel cestello della centrifuga. Tutte le connessioni elettriche che afferiscono al modulo vanno alleggerite del peso dei cavi (che aumenta con l’accelerazione), quindi i cavi vanno ben fissati con fascette prima della prova. 54

Nel sistema di acquisizione è in genere inserito anche un convertitore A/D (da analogico a digitale). La trasmissione dei dati dall’interno all’esterno della centrifuga (stanza di controllo) avviene tramite gli slip-ring: questi costituiscono un “collo di bottiglia” nel sistema di acquisizione. Per questo motivo talvolta si ricorre alla riduzione dell’informazione con la tecnica del multiplexing, oppure, nei sistemi più recenti, alla radiotrasmissione. I dati acquisiti vengono usati per il controllo della prova e immagazzinati nel computer per il trattamento e l’analisi.

Altre considerazioni

Al termine di questo capitolo in cui sono stati elencati i principali problemi da affrontare nella pianificazione di una prova in centrifuga, si ritiene utile fare qualche considerazione sul modo di effettuare una prova. Innanzitutto lo sperimentatore impara subito che condizione necessaria (ma non sufficiente) per la riuscita di una prova è la preparazione di una ‘checklist’, cioè di un elenco sequenziale di operazioni da eseguire prima di avviare la centrifuga. Questa considerazione può apparire superflua e un po’ pedante, tuttavia considerando il gran numero di operazioni da svolgere, il tempo ridotto a disposizione e il danno che una dimenticanza può produrre, si vuole enfatizzare l’importanza di questa semplice operazione. Un aspetto prioritario della modellazione in centrifuga è la sicurezza della prova stessa. La sicurezza del sistema assume infatti un importanza ben superiore alla riuscita della prova stessa, il costo di una prova, seppur elevato, è infatti irrisorio se paragonato al danno che il malfunzionamento del sistema può produrre. Nella fase di pianificazione è opportuno chiedere consiglio a modellatori più esperti. Nella fase di realizzazione il modello non deve essere disturbato durante il trasporto nella centrifuga. Bisogna anche tener presente che si mobilitano masse grandi per un laboratorio di meccanica dei terreni e gli spazi di movimento devono essere lasciati liberi per consentire tutte le manovre necessarie con facilità e sicurezza. Se il modello è preparato nella camera della centrifuga è essenziale allontanare dalla centrifuga tutti gli eventuali residui della preparazione (nonché utensili, prodotti chimici…) poiché questi possono essere dannosi per la centrifuga durante la prova. Infine, poiché la centrifuga viene usata da diversi modellatori, secondo un calendario, sembra opportuno un codice di comportamento da rispettare, come quello riportato da Schofield (1980) riguardante l’Università di Cambridge. 55

4. ESEMPI DI APPLICAZIONI

Introduzione

Tranne i contributi russi, la maggior parte della modellazione geotecnica in centrifuga è stata effettuata negli ultimi trent’anni e ha coperto un’ampia varietà di problemi. Il punto di partenza della modellazione in Geotecnica sono stati gli studi sui meccanismi di comportamento del terreno. Il campo di accelerazione elevata agente su modelli in piccola scala consente di osservare meccanismi realistici alquanto agevolmente. Un primo studio fu effettuato da Avgherinos e Schofield (1969) e consisteva in una serie di prove su modello sulla stabilità di rilevati in argilla. I dettagli del meccanismo di deformazione furono osservati utilizzando un contenitore con pareti in perspex e uno stroboscopio per vedere il modello. Gli Autori usarono una centrifuga molto piccola ma furono comunque in grado di studiare la rottura di un pendio operando in laboratorio, con tutti i vantaggi connessi. L’incremento del numero di laboratori per le prove in centrifuga nel mondo ha comportato la realizzazione di modelli sempre più complessi. In questo capitolo verranno brevemente presentate le principali categorie di prove in centrifuga, senza peraltro assolutamente entrare nel dettaglio di tutto il lavoro pubblicato nella letteratura specializzata. Successivamente saranno presentati tre esempi di recenti lavori di ricerca.

Sperimentazione in centrifuga

La sperimentazione in centrifuga finalizzata alla modellazione fisica di fenomeni geotecnici non si limita allo studio di un particolare prototipo con lo scopo di migliorare la progettazione, ma è piuttosto un mezzo per migliorare la comprensione generale degli eventi e dei processi geotecnici. Le prove in centrifuga possono essere pensate con diversi obiettivi: verifica di modelli costitutivi, studio parametrico di una tipologia di problema, analisi del problema specifico di un sito reale. Verifica di modelli costitutivi Lo scopo di questa categoria di prove è di acquisire informazioni sul legame tensio-deformativo del terreno, in una particolare classe di problemi, che possano essere utili allo sviluppo di modelli costitutivi e al miglioramento dell’analisi numerica. I dati sperimentali prodotti in centrifuga si prestano infatti in maniera agevole alla verifica delle analisi numeriche. In effetti, i risultati del calcolo numerico dovrebbero sempre essere verificati per controllare l’accuratezza della previsione 56

del comportamento del terreno e spesso ciò si è tradotto in un’analisi a ritroso (back-analysis) di casi reali: in tal caso, il problema è in genere costituito dalla mancanza d’informazioni riguardanti il legame tensio-deformativo del terreno e i dettagli precisi del sottosuolo. Al contrario, i modelli in centrifuga vengono di solito preparati in condizioni accuratamente definite e la storia dei carichi e lo stato tensionale del terreno sono ben conosciuti. Inoltre, il terreno è spesso ricostituito e, in tal modo, il suo comportamento tensio-deformativo è relativamente uniforme e può essere determinato con un piccolo numero di prove di laboratorio di alta qualità. Studio parametrico di una tipologia di problema Lo studio di una tipologia di problema, senza cioè riferimento a un particolare prototipo, può essere condotto con successo in centrifuga. Infatti, in questo caso lo studio viene finalizzato a individuare e verificare affermazioni di carattere generale su una particolare classe di problemi, per esempio sulla stabilità a lungo termine dei muri di sostegno o sull’aspetto dei cedimenti causati dalla costruzione di una galleria. Ogni modello è un prototipo di per sé e i risultati di una serie di prove diverse possono essere messi in relazione attraverso l’uso dell’analisi dimensionale. Molti dei primi programmi di studi in centrifuga sono stati essenzialmente indirizzati all’analisi dei meccanismi di collasso. La centrifuga è particolarmente utile in questo tipo di studio perché il peso proprio del terreno viene accuratamente riprodotto e, pertanto, possono essere osservate rotture realistiche, in particolare se la sperimentazione avviene su modelli bidimensionali la cui sezione verticale sia visibile attraverso una parte trasparente del contenitore. Poiché in centrifuga si modella un problema su un terreno vero e se ne riproduce correttamente il comportamento meccanico (tramite il rispetto delle leggi di scala) i meccanismi che si sviluppano nel modello sono realistici e non vengono predeterminati come in altre forme di analisi. Il campo di applicazione delle prove in centrifuga è al giorno d’oggi ben più vasto e oltre ai problemi di collasso vengono studiati i problemi di esercizio. Ciò è particolarmente utile dal momento che in Ingegneria Geotecnica la previsione delle deformazioni in fase di esercizio (ben lontani dalla rottura) è altrettanto importante quanto il fattore di sicurezza nei confronti del collasso. La centrifuga consente di generare una distribuzione di tensioni realistica cosicché le prove su un modello possono essere ragionevolmente applicate alla situazione reale e possono anche risultare utili allo sviluppo di nuove analisi. In effetti, le regole di progettazione e le normative spesso si basano su soluzioni in forma di abachi adimensionali. I gruppi adimensionali vengono generati a partire dai parametri principali che definiscono il problema. Per ricavare queste regole di progetto è chiaramente importante effettuare un ampio numero di prove in cui i vari parametri vengono variati in un campo significativo da un punto di vista pratico. E’ importante valutare l’effetto relativo dei 57

parametri principali, spesso legato alla geometria, che influenzano il meccanismo di deformazione o di collasso. Gli studi parametrici possono essere svolti efficacemente in centrifuga dove è possible avere un buon controllo sui modelli di terreno. In questo modo è possibile determinare l’importanza relativa di parametri che non sarebbe evidente in altre forme di analisi. Inoltre, le prove in centrifuga su modelli intesi come vere e proprie “case histories” possono costituire un utile termine di confronto con analisi numeriche sofisticate agli elementi finiti. Infatti, anche se il modello non riproduce un particolare prototipo, i risultati dell’analisi numerica possono essere confrontati direttamente con i dati delle prove su modello e il codice di calcolo, così calibrato, può essere poi utilizzato per l’analisi del caso reale, con le sue particolari caratteristiche e condizioni al contorno. Questa è la categoria più comune di prove in centrifuga: ciò avviene, almeno in parte, perché la maggior parte delle centrifughe si trovano in istituti di ricerca e una porzione significativa degli introiti di tali laboratori proviene da programmi di ricerca. D’altronde, in anni recenti, in Giappone si è registrato un significativo progresso nell’uso sistematico delle prove in centrifuga come strumento di progettazione. Analisi del problema specifico di un sito reale Lo studio di un particolare problema per cui è necessario compiere difficili scelte progettuali può essere agevolato effettuando alcune prove in centrifuga. A tal fine è necessario riprodurre con sufficiente approssimazione le caratteristiche essenziali del prototipo cosicché i dati delle prove su modello possano essere estrapolati alla scala del prototipo, dando in tal modo una previsione ragionevole del suo comportamento. Analisi di questo tipo sono le più difficili da realizzare e le meno comuni: di solito la maggiore difficoltà risiede nello scegliere quali dettagli debbano essere inclusi nel modello e come incorporare al meglio la variabilità naturale nel modello in scala. Inoltre, la modellazione di sottosuoli specifici talvolta richiede il prelievo di campioni dal sito. Questi possono essere prelevati in forma di blocchi intatti che poi vengono ridotti alla dimensione del contenitore e sottoposti a riconsolidazione in centrifuga prima della prova vera e propria. In alternativa, il terreno prelevato dal sito può essere ricostituito e consolidato in maniera tale che la sua storia tensionale efficace corrisponda a quella del prototipo: riprodurre la storia di consolidazione non è particolarmente difficile se si usano delle presse in grado di applicare un gradiente idraulico verticale verso il basso. Se viene prelevato un blocco intatto dal sito per la successiva modellazione, il processo di riconsolidazione deve essere effettuato in maniera tale che il profilo di OCR del modello rappresenti correttamente il sito. Infatti, in questo caso il campione non deve rappresentare soltanto localmente il sottosuolo in questione ma deve, anzi, rappresentare l’intero volume di sottosuolo modellato. La 58

fase di ri-consolidazione in centrifuga modifica l’iniziale stato tensionale efficace del campione, portandolo a una distribuzione di tensioni efficaci che è in equilibrio con il campo di accelerazione applicato e le condizioni al contorno. Lo stato tensionale del modello deve riprodurre il più accuratamente possibile le condizioni in sito. All’uopo è opportuno prelevare il campione da uno strato piuttosto superficiale piuttosto che da una profondità pari all’intero spessore che il modello andrà in seguito a rappresentare. Se, infatti, il blocco è prelevato in prossimità del limite superiore dello strato di terreno da modellare e ri-consolidato in centrifuga sotto un sovraccarico che rappresenti la porzione di sottosuolo erosa dal sito nella sua storia geologica, tutti gli elementini di terreno lungo la profondità del modello avranno lo stesso profilo di tensione di pre-consolidazione che gli omologhi in sito. A questo punto la centrifuga può essere arrestata, il sovraccarico rimosso e il campione ri-consolidato in volo ulteriormente. In questo modo, sia il profilo di tensioni efficaci che il profilo di OCR saranno correttamente riprodotti nel modello. Ovviamente, non sarebbe così se il campione venisse prelevato dal fondo dello strato. Ad ogni modo, ogni “struttura” o “tessitura” presente nel campione in sito sarà con ogni probabilità distrutta in questo processo e potrebbe rendersi necessario “invecchiare” il terreno modello per riprodurre alcuni aspetti del comportamento del prototipo. Un esempio di come un sottosuolo particolarmente complicato possa essere semplificato nel modellare il problema in centrifuga è dato dallo studio sperimentale effettuato da Pepe (1995) sui movimenti della Torre di Pisa. Questo lavoro è stato svolto all’ISMES di Bergamo usando la centrifuga mostrata in Fig. 3.2. La finalità principale della modellazione era di riprodurre la storia della Torre nei secoli: in Fig. 4.1a viene schematizzata la geometria del modello e un confronto fra la stratigrafia in sito e nel modello viene mostrata in Fig. 4.1b. Il terreno di fondazione fu riprodotto fino alla profondità di 40 m alla scala del prototipo usando tre strati di terreno. I primi 80 mm (alla scala del modello) dello stesso limo che si trovava in sito, intendevano riprodurre il primo strato eterogeneo di 7 m dei terreni in sito (livelli sabbiosi e limosi). Il secondo strato di 124 mm modellava la formazione dell’Argilla del Pancone: venne utilizzata la stessa argilla naturale del Pancone. Entrambi questi strati a grana relativamente fina furono ricostituiti in laboratorio e consolidati, separatamente, a differenti tensioni verticali. Lo strato inferiore di 116 mm di sabbia fu direttamente depositato nel contenitore per pluviazione e venne usato per modellare lo strato inferiore in sito. Il profilo di OCR fu riprodotto operando una ri-consolidazione in sito

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Figura 4.1 Modello della Torre di Pisa: geometria del modello (a), schema stratigrafico (b)

(Viggiani et al., 2004a)

Figura 4.2 Confronto tra i profili di tensioni efficaci e di OCR nel modello e in sito (Viggiani et al.,

2004a) 60

In Fig. 4.2 viene mostrato il confronto fra i profili di tensioni efficaci e di OCR nel modello e in sito. Inoltre in centrifuga vennero effettuate prove CPT con il cono in miniatura dell’ISMES che consentirono un confronto diretto con i risultati delle prove penetrometriche effettuate in sito (Fig. 4.3). L’intera fase di preparazione del modello richiedeva più di 30 giorni, tuttavia una procedura così accurata consentì la produzione di campioni di terreno che rappresentavano molto bene le condizioni in sito, sia in termini di storia tensionale che di profilo di resistenza.

Figura 4.3 Confronto tra i profili penetrometrici nel modello e in sito (Viggiani et al., 2004a)

Ulteriori dettagli del lavoro sperimentale sono riportati da Pepe (1995) e una chiara sintesi dei principali obiettivi e dei risultati da Viggiani et al. (2004 a - b). Nei successivi paragrafi verranno invece presentati in maggior dettaglio tre ulteriori esempi di recenti modellazioni in centrifuga.

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Esempio n°1: uso di diaframmi interrati per ridurre i movimenti del terreno indotti dallo scavo di gallerie superficiali (Bilotta, 2004)

Obiettivo del lavoro Questa indagine sperimentale (Bilotta, 2004) aveva l’obiettivo di studiare l’efficacia di diaframmi interrati come protezione nei confronti dei movimenti indotti dallo scavo di gallerie superficiali. Una serie di prove su modello in deformazione piana è stata condotta nella Centrifuga Geotecnica della City University a Londra. Tale centrifuga ha un raggio operativo di 1.8 m e una capacità di 40 g-tonnes; una descrizione dettagliata dell’apparecchiatura è riportata da Schofield e Taylor (1988). L’idea alla base della sperimentazione è stata di verificare se un diaframma interrato fra una galleria e un edificio esistente fosse in grado di ridurre i movimenti dal lato dell’edificio, riducendone in tal modo il potenziale di danno. Si è concentrato l’interesse su gallerie circolari superficiali e di grande diametro, come quelle che vengono realizzate per le linee metropolitane. Nel modello è stato interrato un diaframma e nelle varie prove condotte ne sono state variate la posizione, la lunghezza, lo spessore e la scabrezza superficiale. Non è stata invece modellata la presenza dell’edificio, cosicché le prove si riferiscono alle cosiddette condizioni di greenfield. Inoltre sono state modellate solo le condizioni di breve termine, dal momento che la fase che riproduce lo scavo della galleria si sviluppa in condizioni sostanzialmente non drenate. Il sistema di acquisizione e trattamento delle immagini, di cui la centrifuga è dotata, ha consentito la determinazione dei campi di spostamento nei modelli. Preparazione del modello I modelli sono stati preparati da un impasto di caolino con un contenuto d’acqua pari a circa due volte il limite liquido wL (w≅120%). L’impasto veniva versato con cura in un contenitore rigido in duralluminio (dimensioni interne: 550 mm x 200 mm in pianta) evitando di intrappolare bolle d’aria nel terreno. Le pareti interne del contenitore erano state lubrificate con grasso al litio per ridurne l’attrito. La base del contenitore aveva una rete di canali di drenaggio in comunicazione con due porte alle estremità: questo sistema di drenaggio veniva protetto dall’occlusione delle particelle di argilla rivestendo il fondo con un foglio di plastica porosa dello spessore di 3 mm e un foglio di carta da filtro. Il campione era sottoposto a consolidazione monodimensionale nel contenitore sotto una tensione efficace verticale σ'v = 350 kPa e quindi fatto rigonfiare a una pressione di 150 kPa. Il drenaggio era consentito al fondo e sulla superficie superiore del modello. Il valore della pressione di preconsolidazione è stato scelto per ottenere un modello di sottosuolo di media consistenza che 62

comportasse movimenti ragionevolmente elevati, e quindi ben misurabili, ma evitasse nel contempo un collasso precoce durante la prova in centrifuga. Per le dimensioni del campione da preparare, la consolidazione sotto 350 kPa durava circa 2 giorni e mezzo. Quando il cedimento della piastra di carico diveniva trascurabile, il campione veniva scaricato alla tensione verticale di 150 kPa in un solo decremento di carico. Dopo circa 10 ore un trasduttore di pressioni neutre in miniatura, dotato di pietra porosa (PCDR81), prodotto da Druck Limited, veniva inserito nel modello attraverso una porta d’accesso collocata nella parete posteriore del contenitore, a circa 90 mm sotto il livello della superficie del terreno e cioè leggermente al di sotto del livello dell’asse della galleria, per controllare le pressioni neutre durante le varie fasi della prova. La pietra porosa era stata in precedenza saturata in una cella di acqua distillata e de-areata sotto vuoto (circa -100 kPa) per circa 1 ora. La punta del trasduttore veniva ricoperta d’impasto di caolino de-areato al fine di migliorare il contatto con l’argilla consolidata. Per inserire il trasduttore veniva praticato un foro orizzontale dal retro del campione di terreno consolidato, fino all’incirca al piano mediano del modello, tramite un tubo di piccolo diametro che fungeva anche da guida per spingere il trasduttore lungo il foro nell’interno del modello. Il vuoto dietro al trasduttore veniva riempito iniettandovi l’impasto di caolino e la porta d’accesso era chiusa a tenuta intorno al cavo. In alcune prove è stato inserito nel modello anche un secondo trasduttore a profondità molto bassa, circa 40 mm sopra la calotta della cavità. La pressione veniva mantenuta costante a 150 kPa per circa un giorno e mezzo prima della prova. Il giorno della prova, i rubinetti del drenaggio di fondo venivano chiusi e l’acqua fuoriuscita dal drenaggio superiore era rimossa dal contenitore, il pistone sollevato e il contenitore spostato sul banco di preparazione del modello. La parete anteriore del contenitore veniva staccata lasciando in tal modo esposto il fronte di argilla, che veniva rivestito con olio al silicone per prevenire il ritiro. Eliminata la parte superiore del campione di argilla, fino a raggiungere l’altezza voluta, la superficie superiore veniva rivestita di olio anch’essa. A questo punto nel campione di argilla veniva ritagliata una cavità circolare, facendo uso di un tubo di acciaio inossidabile a parete sottile, precedentemente lubrificato, e di un campionatore in ottone che scorreva all’interno del tubo. Una guida montata sul fronte del contenitore manteneva in posizione il tubo d’acciaio, facilitando le operazioni di “scavo”. La cavità circolare, rappresentante la galleria, veniva infine rivestita con una membrana di gomma, dotata di una speciale guarnizione di acciaio che consentiva di sigillarla contro la parete posteriore del contenitore e, inoltre, di alimentarla con aria compressa durante la prova (Grant, 1998). Lo spessore della membrana è di 0,75 mm.

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Un ulteriore trasduttore di pressione veniva installato verticalmente dalla superficie superiore in un angolo del modello, alla distanza di circa 70 mm da entrambe le pareti del contenitore, praticando un foro e spingendovelo dentro con il medesimo tubo degli altri due. La punta del trasduttore veniva collocata a una profondità di circa 50 mm e il foro riempito con un impasto di caolino e di residui del caolino consolidato per prevenire un eccessiva consolidazione nel foro durante l’esecuzione della prova. Sul fronte del modello erano inserite, secondo una griglia regolare (interasse 10 mm), mire di plastica nere (cilindri di 3 mm di diametro), necessarie al successivo trattamento delle immagini per determinare le deformazioni del modello. La scatola era quindi chiusa anteriormente con una parete dotata di un’ampia finestra in perspex, che consentiva di vedere il fronte del modello attraverso una telecamera a circuito chiuso. Il lato interno della finestra era lubrificato con circa 25 ml di fluido viscoso al silicone per ridurre l’attrito fra il terreno e la finestra. Tutte queste operazioni erano condotte il più rapidamente possibile e con i rubinetti di drenaggio chiusi, per ridurre il rigonfiamento dell’argilla. Tipi differenti di diaframmi sono stati inseriti nelle varie prove: i dettagli geometrici e il metodo d’installazione sono descritti nel seguito. In Fig. 4.4 sono visibili la pianta e tre sezioni differenti del modello così come si presentava sulla piattaforma della centrifuga.

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Figura 4.4 Pianta e sezioni del modello

Programma sperimentale Lo studio si è limitato ad affrontare il problema di una galleria superficiale e pertanto nelle prove si è adottato un valore costante del rapporto copertura-diametro C/D=1. Il diametro D della galleria modello è sempre lo stesso in tutte le prove e pari a 50 mm. La serie di prove è stata specificamente pensata per studiare la risposta di una galleria di 8 m di diametro e, di conseguenza, il modello è stato accelerato a 160 g, applicando la legge di scala fondamentale (1.9). Questo valore rappresenta 65

una media dei diametri usuali delle gallerie costruite per le linee ferroviarie metropolitane. La geometria del modello è schematizzata in Fig. 4.5. L’altezza totale del modello di argilla è stata posta pari a 157 mm e mantenuta volutamente bassa per ridurre il tempo di consolidazione, che è un aspetto particolarmente importante nella fase di ri-consolidazione durante la prova. I contorni rigidi del contenitore sono collocati a 5 diametri di distanza dalle imposte della galleria.

Figura 4.5 Geometria del modello

Il pelo libero della falda era fissato appena sotto la superficie del terreno e veniva mantenuto costante mantenendo la base del modello in collegamento idraulico con un tubo piezometrico esterno a volume d’acqua costante. Un trasduttore di pressione neutra senza pietra porosa, disposto al fondo del piezometro, misurava la pressione dell’acqua al contorno durante le prove. (cfr. sezione C-C in Fig. 4.4) Una prima prova è stata condotta senza inserire alcun muro, al fine di ottenere una configurazione di spostamenti di riferimento. Successivamente è stata realizzata una serie di prove in cui nel modello è stato inserito un diaframma di alluminio. E’ stato utilizzato l’alluminio per il suo peso (γ = 27 kN/m3) e la sua rigidezza (E = 70 GPa) che sono simili ai valori del calcestruzzo armato, comunemente usato nella pratica. In Fig. 4.6 vengono schematicamente mostrati i diaframmi usati nelle prove e, in dettaglio, la collocazione del diaframma nel modello.

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Figura 4.6 Collocazione del diaframma

Nella maggior parte delle prove, durante la fase di consolidazione a 1 g il diaframma era fissato alla parete anteriore del contenitore tramite viti, la cui posizione è mostrata ancora in Fig. 4.6, che venivano poi rimosse dopo la consolidazione. I principali parametri geometrici del diaframma (cfr. Fig. 4.5) sono stati variati da una prova all’altra. In particolare, sono stati adottati due valori di lunghezza (L=70 mm e 120 mm, e cioè, rispettivamente, 11.2 m e 19.2 m alla scala del prototipo); due valori di spessore (t=0.8 mm e 9.5 mm, e cioè 0.13 m e 1.52 m alla scala del prototipo); e il diaframma è stato collocato a una distanza d dall’asse della galleria pari a 50 mm e 75 mm (cioè, 8 m e 12 m alla scala del prototipo). In effetti la lunghezza del diaframma varia fra due valori corrispondenti a una parete corta (circa 1.5 C) e una lunga (2.5 C). Questa scelta ha avuto origine dall’assunzione che se la parete fosse stata troppo corta sarebbe stata inefficace, mentre il beneficio sarebbe cresciuto sempre meno all’aumentare della profondità. I due valori dello spessore del diaframma corrispondono a quelli di una parete molto flessibile e di una molto rigida. La distanza del diaframma dall’asse della galleria era pari a D o 1.5 D: questa distanza include l’intero spessore della parete. Se si assume che la distanza i del punto d’inflessione di un tipico profilo di cedimenti causato da uno scavo non drenato in argilla è data dall’espressione 67

i = K (C + D / 2)

(4.1)

in cui K = 0.5 (O’Reilly e New, 1982), ne consegue che in queste prove, con C=D, i = 0.75 D , e quindi la parete si collocava a una distanza variabile tra circa i e 2i dall’asse della galleria. La ragione di questa scelta è che la zona compresa fra queste due posizioni è di solito soggetta a profili di cedimento con elevate curvature e quindi il danno potenziale a edifici che vi insistano potrebbe essere elevato. L’influenza della scabrezza dell’interfaccia diaframma-terreno è stata studiata effettuando prove su modelli aventi la stessa geometria ma differente interfaccia. Nelle prove con diaframmi ad interfaccia liscia, le superfici del diaframma sono lubrificate con grasso al litio; nelle prove con diaframmi ad interfaccia scabra, questa è stata ottenuta incollando sulla superficie del diaframma uno strato di sabbia oppure sagomando la parete maniera da ottenere dei dentini, con risultati sostanzialmente identici.

Procedura di prova Una volta pronto, il modello veniva pesato per calcolare la posizione del contrappeso, e quindi posto nella centrifuga. Fra il tubo di alimentazione dell’aria compressa e la camera d’aria che riveste la cavità (sezione A-A in Fig. 4.4) veniva inserito un trasduttore di pressione dell’aria, tramite un adattatore appositamente realizzato (Grant, 1998). Sulla superficie del modello venivano versati circa 250 ml di olio al silicone, per prevenire l’evaporazione dell’acqua di porosità dalla superficie del modello durante la prova. Dopo che il piezometro era stato collocato nella posizione mostrata in pianta e in sezione C-C in Fig. 4.4, esso veniva riempito e connesso al sistema di drenaggio attraverso un tubo flessibile: il rubinetto su questo circuito era però aperto solo all’ultimo momento prima dell’avvio della centrifuga, onde limitare il rigonfiamento dell’argilla. Tutte le operazioni di preparazione del modello, dal momento in cui il contenitore veniva estratto dal consolidometro, richiedevano circa quattro ore. Il modello veniva dapprima accelerato fino a 50 g, controllando lo squilibrio del rotore della centrifuga (che in una centrifuga asimmetrica dipende dalla posizione del contrappeso) e quindi l’accelerazione veniva incrementata a 160 g. Durante la fase di accelerazione la pressione dell’aria all’interno della cavità era incrementata manualmente per bilanciare l’incremento delle tensioni totali al contorno fino a un valore po. In questa fase, le letture dei trasduttori erano effettuate e memorizzate alla frequenza di una al secondo, per verificare più facilmente l’insorgenza di eventuali problemi. Le immagini digitali del modello, invece, erano salvate ogni minuto.

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L’applicazione dell’accelerazione centrifuga incrementa le tensioni totali e il conseguente incremento di pressioni neutre richiedeva circa sei ore per dissiparsi in modo da raggiungere l’equilibrio delle tensioni efficaci. Durante la fase di ri-consolidazione le letture dei trasduttori erano acquisite e registrate con un intervallo di 5 minuti, e le immagini ogni 20 minuti. Una volta raggiunto l’equilibrio, lo scavo della galleria era simulato riducendo la pressione dell’aria all’interno della cavità alla velocità di circa 100 kPa al minuto, conseguendo in tal modo una risposta praticamente non drenata. Durante questa fase i dati erano acquisiti ogni secondo e le foto del modello erano salvate con la stessa frequenza e conservate per il successivo trattamento. Una particolare attenzione veniva dedicata a far sì che ogni immagine salvata potesse essere associata univocamente a un dato valore di pressione dell’aria all’interno della cavità.

Figura 4.7 Tipiche letture dei trasduttori di pressione durante una prova

La Fig. 4.7 mostra i dati tipici di pressione nella cavità, nel piezometro e del fluido interstiziale registrati durante una prova. In Fig. 4.7a si osserva che durante la fase di consolidazione le pressioni nel piezometro e nella cavità sono costanti mentre i trasduttori di pressione neutra misurano un incremento di pressione verso il valore di equilibrio con le condizioni imposte al contorno. Le misure effettuate durante la simulazione di scavo vengono presentate in Fig. 4.7b. La curva relativa alla pressione dell’aria indica il processo di simulazione dello scavo: la pressione dell’aria si riduce 69

a zero a una velocità all’incirca costante in un tempo di circa due minuti. Nel frattempo la pressione nel piezometro resta costante, indicando che la centrifuga sta ruotando a velocità costante: la caduta di pressione nel piezometro coincide con la fase di arresto alla fine della prova, infatti quando la centrifuga è ferma la pressione nel piezometro è quella corrispondente al carico idraulico a 1 g. Il collasso della cavità può essere identificato dall’improvviso salto nel diagramma della pressione dell’aria e, contemporaneamente, si può osservare un ginocchio nel diagramma delle pressioni neutre relativo al trasduttore più vicino alla galleria (p. neutre 1): al medesimo istante nello schermo collegato alla telecamera di bordo è possibile osservare l’inizio di un meccanismo di collasso.

Analisi fotogrammetrica Per determinare il campo di spostamento nei modelli in deformazione piana è stato usato un sistema di acquisizione e trattamento delle immagini. I movimenti del terreno sono determinati dall’analisi di immagini digitali ottenute da un telecamera a circuito chiuso che riprende la finestra in Perspex del contenitore durante ogni prova. In Fig. 4.8 si può osservare una tipica immagine ripresa durante una prova.

Figura 4.8 Tipica immagine ripresa durante una prova

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Il sistema di acquisizione e trattamento delle immagini usato durante le prove è stato sviluppato alla City University. Esso consente di riprendere le immagini, conservarle misurare le coordinate delle mire sul fronte del modello in istanti successivi durante la prova; maggiori dettagli sono riportati da Grant (1998) e Taylor et al. (1998). La precisione di questo sistema di misura viene garantita da un’accurata procedura di calibrazione (Taylor et al., 1998) effettuata tramite il software Visimet. Inoltre, per verificare la ripetibilità delle misure, le co-ordinate delle mire sono state misurate in un certo numero di immagini successive, a intervalli di un secondo l’una dall’altra, quando non ci si attendeva alcun movimento. La massima deviazione dal valore medio di circa il 90% delle co-ordinate verticali è inferiore a ±5 μm, mentre più del 90% delle co-ordinate orizzontali sono misurate con una ripetibilità di circa ±15 μm. Dal momento che il campo di deformazioni nell’intorno di uno scavo di galleria è tipicamente compreso fra 0.1% e 1% (Mair, 1993), ci si può attendere una deformazione radiale tra 25 μm e 250 μm rispetto a cui un errore di ±15 μm è ancora accettabile. Ulteriori dettagli sulla risoluzione del sistema di misura possono essere trovati in McNamara (2001) e nei paragrafi successivi.

Risultati delle prove Durante ciascuna prova, la pressione all’interno della cavità è stata progressivamente ridotta, simulando in tal modo lo scavo di una galleria. Dall’elaborazione delle immagini acquisite durante la prova è stato determinato il profilo di cedimenti del terreno a varie profondità. Il primo allineamento orizzontale di mire si trova a 5 mm di profondità dal piano campagna e i loro movimenti sono stati assunti come rappresentativi di quelli in superficie. Dal momento che durante lo scavo si verificano condizioni non drenate, la corrispondente perdita di volume (volume loss) può essere determinata direttamente per integrazione numerica del profilo di cedimenti. Per ciascuna prova sono stati diagrammati gli spostamenti orizzontali e verticali in corrispondenza di due valori differenti di pressione di supporto e quindi di perdita di volume. Questi valori sono stati scelti per confrontare i profili di spostamento a due diversi livelli di deformazione: quello che verosimilmente si verifica in sito (V’≅1.3%) e uno a cui l’entità delle deformazioni è tale da essere meno affette da errori (V’≅10%). Nel primo caso i modelli sono lontani dalla rottura mentre nel secondo essi sono prossimi al collasso.

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In Fig. 4.9 sono riportati i profili di spostamenti verticali e orizzontali nella prova di riferimento (cioè senza alcun diaframma), normalizzati dividendo gli spostamenti per i relativi massimi. Qui e in seguito gli spostamenti sono diagrammati alla scala del modello: devono essere cioè amplificati di 160 volte per essere visti alla scala del prototipo.

Figura 4.9 Profili di spostamento nella prova senza diaframma

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Figura 4.10 Profili di spostamento lungo gli assi della galleria nella prova senza diaframma

In Fig. 4.10 vengono mostrati i cedimenti lungo la verticale in asse alla galleria nella prova di riferimento a V’=10.3%; i profili a V’=1.34% sono simili ma non vengono qui riportati. Si può osservare che tali cedimenti crescono con la profondità. Il rapporto wmax wc tra il massimo cedimento in superficie e il cedimento in calotta può essere calcolato ad entrambi i valori di pressione ed è pari a circa 0.75 per V’ =1.34% e circa 0.8 per V’=10.5%. Sulla base delle misure eseguite in 18 casi reali, Ng (1991) ha proposto una relazione lineare fra il rapporto wmax wc e il rapporto H ( D ⋅ N ) , dove H è la profondità d’asse della galleria, D il diametro e N il rapporto di stabilità mobilitato a una data pressione di supporto della cavità p, N = (p o − p) s u . La relazione si può esprimere: w max H = −0.21 + 0.92 wc D⋅ N

(4.2)

Assumendo una resistenza non drenata media su = 55kPa (Ladd & Edgers, 1972; Phillips, 1986), si calcola N≅1.5 per p = 104 kPa (V’=1.34%) e N≅2.2 per p = 70 kPa (V’=10.5%). Di conseguenza possono essere calcolati valori di H ( D ⋅ N ) pari a 1 e 0.68, rispettivamente. Per questi valori l’equazione (4.2) fornisce wmax wc pari a circa 0.71 e 0.78, che sono molto prossimi ai valori misurati (rispettivamente 0.75 e 0.8). 73

I cedimenti superficiali misurati possono essere interpolati con una curva gaussiana. La perdita di volume V’ può essere valutata facilmente a un assegnato livello di pressione integrando il profilo di cedimenti. Al fine di determinare un valore per la distanza orizzontale i del punto d’inflessione dall’asse della galleria possono essere adottate varie procedure. In questo caso è stata effettuata una stima di i con il metodo dei minimi quadrati usando i cedimenti misurati nel campo di -Δp/po = 30÷50% (V’ = 0.4÷3.9%) fino a una distanza dall’asse pari a ±2i. Con questa procedura è stato calcolato un valore di K=i/H= 0.56, compatibile con le indicazioni per terreni a grana fina di O’Reilly e New (1982). In Fig. 4.11 gli spostamenti superficiali verticali e orizzontali sono stati divisi per il massimo cedimento misurato e diagrammati insieme alla distribuzione gaussiana. La curva di interpolazione degli spostamenti orizzontali è stata ottenuta nell’ipotesi che i vettori di spostamento siano diretti verso l’asse della galleria. Gli spostamenti verticali oltre 2i dal’asse della galleria sono sottostimati dalla curva gaussiana: questa è un’evidenza sperimentale piuttosto diffusa anche per i dati di sito. La curva interpolante gli spostamenti orizzontali appare meno accurata, inoltre l’asimmetria nella distribuzione degli spostamenti orizzontali sembra ridursi all’aumentare dell’entità degli spostamenti.

Figura 4.11 Spostamenti superficiali normalizzati

I campi di spostamento che si verificano in presenza di diaframmi interrati sono stati ampiamente descritti da Bilotta (2004): nel paragrafo successivo si sintetizzerà brevemente l’influenza dei vari parametri sul campo di spostamenti e, in particolare, sul profilo di cedimento. 74

Principali conclusioni dello studio In Fig. 4.12 vengono confrontati i profili di cedimenti in alcune delle prove con diaframma con quello nella prova di riferimento, a parità di perdita di volume V’ (circa 10%). Le frecce indicano la posizione dei diaframmi. (Figg. 4.12a, b e c).

Figura 4.12 Profili di cedimento in superficie in alcune prove con diaframma confrontati con quelli

nella prova senza diaframma I diaframmi relativi alla Fig. 4.12a hanno un’interfaccia scabra e differiscono fra loro solo per la lunghezza. Il grafico mostra l’influenza della lunghezza del muro nel modificare il profilo dei cedimenti: un diaframma va approfondito sotto il livello d’asse della galleria, almeno sotto l’arco rovescio, per essere efficace nel ridurre i movimenti del terreno. Diaframmi corti possono addirittura provocare un incremento dei cedimenti se, come nel caso della sperimentazione effettuata, il peso unitario del diaframma è molto maggiore di quello del terreno. L’influenza della scabrezza dell’interfaccia diaframma-terreno può essere osservata in Fig. 4.12b: un diaframma scabro appare praticamente inefficace sul profilo di cedimenti, mentre uno molto liscio introduce una chiara discontinuità nel campo di spostamento. Riducendo la scabrezza della 75

parete se ne incrementa quindi considerevolmente l’efficacia nel ridurre i cedimenti a tergo della parete stessa, dove può essere collocato un edificio. Naturalmente, nella pratica la realizzazione di un’interfaccia completamente liscia non è certo agevole; comunque, la sperimentazione ha mostrato l’effetto di introdurre un’interfaccia con un limite superiore e un limite inferiore di scabrezza. Per quanto riguarda lo spessore del diaframma, e quindi la sua rigidezza flessionale, la Fig. 4.12c mostra che questo influisce molto poco sul profilo dei cedimenti. Questo risultato è particolarmente significativo se si considera l’ampio intervallo di valori di rigidezza flessionale compreso tra i due valori limite adottati nelle prove. Infine, la Fig. 4.12d mostra che la posizione del muro è un fattore del tutto secondario, e ciò sembra un aspetto positivo dal momento che nei casi reali questo valore è vincolato nei casi reali dalla posizione degli edifici. Questa campagna sperimentale può essere considerata come uno studio parametrico di una tipologia di problema, nell’accezione del paragrafo precedente. In effetti l’influenza di parametri come lunghezza, spessore, scabrezza dell’interfaccia e posizione del diaframma è stata studiata senza avere in mente un particolare prototipo. Le prove hanno anche dato un’informazione sull’influenza del peso proprio del muro che non era stata considerata nel pianificare il programma sperimentale. I risultati sperimentali sono stati usati come una base di dati per verificare una più ampia modellazione numerica del problema: le analisi numeriche sono servite anche a integrare i risultati delle prove, consentendo una migliore comprensione del problema. Dettagli sui modelli costitutivi adoperati e sulle analisi numeriche effettuate sono riportati da Bilotta (2004).

Esempio n° 2: uso di pali per il controllo degli spostamenti del terreno intorno a scavi armati (McNamara, 2001)

Obiettivo del lavoro La costruzione di edifici con alcuni livelli interrati in area urbana richiede la previsione dell’effetto dello scavo sulle strutture circostanti e, di solito, il controllo degli spostamenti indotti. L’uso di paratie di sostegno può essere integrato con altre tecniche come l’uso di pali per ridurre il sollevamento del fondo dello scavo, rendendo possibile un controllo più accurato dei movimenti del terreno. Questo problema, che è molto complesso da modellare realisticamente con metodi numerici, è invece un caso ideale da modellare in piccola scala in centrifuga. Una serie di prove in condizione

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di deformazione piana (McNamara, 2001) è stata realizzata nella centrifuga geotecnica della City University di Londra su modelli in piccola scala a 100 g. E’ opportuno osservare che l’entità degli spostamenti che si verificano in questo problema è estremamente piccola, e quindi si è reso necessario, come nel caso dello scavo di gallerie, adoperare uno strumento di misura degli spostamenti molto accurato, dal momento che una riduzione degli spostamenti deve risultare apprezzabile nella piccola scala del modello.

Preparazione del modello I modelli venivano fatti in caolino Speswhite inizialmente impastato a un contenuto d’acqua del 120%, quindi consolidati a 500 kPa e successivamente lasciati rigonfiare a 250 kPa. Il profilo finale dello scavo veniva realizzato nel modello prima della prova, utilizzando una sagoma appositamente realizzata per assicurarne precisione e ripetibilità. Una vista generale del modello che mostra le componenti chiave dell’attrezzatura è mostrato in Fig. 4.13.

Figura 4.13 Assonometria schematica del modello

Il modello rappresenta uno scavo profondo 12 m alla scala del prototipo, sorretto da una paratia di spessore equivalente a quello di un prototipo di 1.3 m in calcestruzzo armato con tre livelli di 77

puntoni rigidi. La variazione dello stato tensionale associato con lo scavo veniva riprodotta rimuovendo un fluido di densità opportuna dallo scavo pre-realizzato. La semilarghezza dello scavo è di 15 m e la sequenza con la quale sono applicati i puntoni intende riprodurre quella di una costruzione “top-down”. I livelli di puntoni sono stati modellati con tre barre di alluminio, ciascuna sostenuta da un martinetto idraulico in miniatura disposto orizzontalmente, che fornisce la reazione del puntone. Il carico del puntone veniva misurato monitorando la pressione dell’olio nel martinetto durante la prova. Il problema del sostegno temporaneo del fronte di terreno pre-sagomato ha portato, nel passato, a usare un fluido denso per mantenere le tensioni orizzontali totali a un valore prossimo a quello nell’argilla (Powrie, 1986; Richards, 1995). Tuttavia questo metodo impone uno stato tensionale verticale totale scorretto alla base dello scavo. Perciò è stato messo a punto un sistema per controllare indipendentemente la pressione orizzontale (lungo la parete) e quella verticale (sul fondo). A tal fine si è utilizzata aria compressa, contenuta in una membrana e separata dal fluido denso, al fine di applicare un sovraccarico alla base dello scavo che simula lo stato tensionale verticale rimosso durante la realizzazione del modello. Una piastra rigida separava questa membrana dalla borsa contenente il fluido denso usato per sostenere la parete di sostegno. Il fluido era contenuto infatti in una borsa di polietilene dello spessore di 125 μm, quindi sottile e relativamente incompressibile rispetto alla gomma comune: infatti quest’ultima, compressa tra la parete e i puntoni avrebbe determinato una perdita di rigidezza del sistema di puntonatura. Uno schema del modello è mostrato in Fig 4.14.

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Figura 4.14 Schema del modello

Sul fronte anteriore del modello erano inserite circa 900 mire in plastica per misurare gli spostamenti del terreno, e misure addizionali dei cedimenti del terreno a tergo della parete venivano effettuate con 7 LVDT. Una foto del modello pronto per la prova è riportata in Fig. 4.15.

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Figura 4.15 Foto del modello prima della prova

Programma sperimentale Sono stati effettuati tre gruppi di prove. Il primo gruppo, senza pali, è stato necessario a stabilire un riferimento per l’entità e la distribuzione degli spostamenti che possono essere ridotti inserendo i pali. Nelle due serie di prove successive sono state inserite rispettivamente una e due file di pali di 12.7 mm di diametro e 120 mm di lunghezza, a una distanza dalla paratia di 40 mm, come mostrato in Fig. 4.16.

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Figura 4.16 Disposizione in pianta delle file di pali

I pali venivano installati durante la realizzazione del modello: il foro veniva praticato con un tubo a parete sottile usando una guida apposita. Una resina poliuretanica a presa rapida veniva colata nei fori e lasciata indurire prima che il modello venisse accelerato. La rigidezza dei pali è stata determinata preliminarmente mediante una seria di prove in compressione e in trazione, che indicavano un modulo di Young E = 800 MPa. Il peso dell’unità di volume del palo è γ=12 kN/m3: sia la rigidezza che il peso proprio sono considerevolmente inferiori a quelli che possono aversi in un prototipo in calcestruzzo. Tuttavia, questo appare un vantaggio dal momento che non viene introdotto il beneficio del peso proprio del palo e che un palo prototipo più rigido dovrebbe fornire almeno la stessa riduzione di spostamento del palo modello. Pertanto i pali modello dovrebbero indicare almeno un limite inferiore di efficacia dei pali nel limitare i movimenti del terreno nel prototipo.

Procedura di prova Una volta posto nella centrifuga, il modello veniva accelerato a 100 g. La pressione dell’aria alla base dello scavo veniva incrementata durante l’accelerazione per applicare tensioni verticali come specificato al paragrafo precedente. Il modello veniva lasciato consolidare a 100 g per 36 ore, fino al raggiungimento dell’equilibrio delle pressioni neutre misurate dai trasduttori inseriti nel modello stesso. La prima fase del processo di costruzione era simulata facendo avanzare il puntone superiore e quindi drenando il fluido denso dalla borsa in polietilene fino al livello del puntone intermedio; 81

simultaneamente si riduceva la pressione dell’aria agente sulla base dello scavo a un valore opportuno. La stessa operazione era ripetuta per ogni fase successiva di scavo, fino a che la paratia non fosse sostenuta solo dai tre livelli di puntoni e la pressione dell’aria agente alla base dello scavo fosse nulla: ogni martinetto applicava alla paratia una forza di circa 200 N. Alla fine della fase di avanzamento di ciascun martinetto, questo veniva isolato dal serbatoio dell’olio e, in tal modo, il puntone mantenuto in posizione. Durante questo periodo, che tipicamente corrisponde alla durata di uno scavo nel prototipo (circa 8 settimane), sono state campionate foto ogni 2 secondi (circa 5 ore e mezza alla scala del prototipo).

Analisi fotogrammetrica Taylor et al. (1998) e Grant (1998) descrivono nel dettaglio il sistema di trattamento delle immagini usato per misurare gli spostamenti durante le prove. Questo sistema è basato sull’acquisizione di immagini del modello tramite una telecamera digitale a bordo della centrifuga e l’identificazione dei movimenti delle mire, disposte nel modello, sul piano dell’immagine ovvero sulla matrice di fotoelementi (pixels) della telecamera. L’area da riprendere è troppo ampia per una sola telecamera e quindi in molte prove sono state montate su due braccetti di sostegno, opportunamente inclinati, due telecamere per fare in modo che l’analisi fotogrammetrica coprisse un’area più ampia (Fig. 4.17). Il sistema è simile a quello adoperato per lo studio illustrato in precedenza (Bilotta, 2004) ma, come visto, in quel caso una sola telecamera è stata sufficiente essendo più piccola l’area da monitorare.

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Figura 4.17 Disposizione in pianta delle telecamere

Entrambe le telecamere sono digitali, basate su dispositivi a carica accoppiata (CCD, charge

coupled device) e monocrome, una prodotta da TELI (modello n° CS-3150) e l’altra da Pulnix (modello n° TM6). Il segnale video in uscita da ogni telecamera veniva trasferito attraverso gli slip-

ring e venivano campionate immagini ogni 5 secondi durante l’avvio della centrifuga, ogni 20 minuti durante la ri-consolidazione prima della simulazione di scavo, fase nella quale le immagini venivano invece campionate ogni 2 secondi. Ogni immagine era etichettata in modo da poter essere successivamente messa in relazione con le contemporanee letture degli LVDT e dei trasduttori di pressione. Immagini tipiche delle telecamere sono riportate in Fig. 4.18 dove un’ampia area di sovrapposizione fra i campi visivi delle due telecamere alle spalle della paratia è stata delimitata da una linea tratteggiata. Questa sovrapposizione consente di acquisire misure ridondanti e di confrontare gli spostamenti misurati dalle due telecamere, che hanno differenti caratteristiche e sono realizzate da case produttrici diverse.

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Figura 4.18 Immagini tipiche durante una prova

Il software di trattamento delle immagini numera automaticamente tutte le mire inserite sulla superficie del modello e calcola le loro posizioni in coordinate di pixel nel piano dell’immagine e, quindi, in coordinate cartesiane in millimetri, nel piano dell’oggetto (il fronte anteriore del modello). La posizione e il numero di tutti i punti di controllo sono specificati dall’utente: in tal modo il software è in grado di calcolare la posizione della telecamera con una procedura iterativa. Ciò significa che anche se si è reso necessario effettuare analisi separate per le due serie di dati provenienti ciascuna da una delle due telecamere, le due serie di risultati possono esser confrontati identificando una stessa mira nei due insiemi dal momento che le sue coordinate sono espresse rispetto a uno stesso riferimento definito dalle posizioni dei punti di controllo di coordinate note. Al fine di verificare la precisione del sistema di misura, si è deciso di osservare lo spostamento di tutte le mire nel campo visivo di entrambe le telecamere durante la fase di scavo in una prova casuale. In effetti, l’esperienza precedente aveva indicato che, in questa fase della prova, sarebbero stai misurati spostamenti relativamente piccoli, soprattutto in presenza di pali, e quindi si rendeva necessaria una stima della precisione della misura. Gli spostamenti misurati attraverso le due telecamere sono mostrati in Fig. 4.19. Dal grafico si vede che c’è un buon accordo fra i dati sebbene migliore fra gli spostamenti verticali. Tranne alcuni punti spuri, tutti i dati rientrano in un intervallo di 100 μm e la maggior parte di essi in una fascia di circa 50 μm: ciò suggerisce che si sia raggiunta una precisione nella misura di circa ±25 μm.

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Figura 4.19 Confronto fra gli spostamenti misurati dalle due telecamere

Risultati delle prove In Fig. 4.20 sono diagrammati i cedimenti misurati a tergo della paratia quando per irrigidire il fondo dello scavo sono stati usati pali disposti su una o due file; questi cedimenti sono inoltre confrontati con i corrispondenti cedimenti in assenza di pali. Nella figura appaiono due serie di dati: una si riferisce alla fine della fase di scavo, l’altra a 30 minuti dopo (circa 200 giorni alla scala del prototipo). Gli spostamenti sono diagrammati alla scala del modello, come si usa fare convenzionalmente, e devono essere moltiplicati per 100 per essere riferiti alla scala del prototipo.

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Figura 4.20 Cedimenti misurati a tergo della paratia

L’uso di una fila di pali produce una significativa riduzione del massimo cedimento dietro la parete, di circa il 40%, subito dopo la fine della fase di scavo. Si osserva che il beneficio nell’aggiungere un’ulteriore fila di pali è limitato, dal momento che il cedimento massimo si riduce di circa il 60%. D’altra parte, dopo 30 minuti, il cedimento massimo senza pali cresce a un valore più del doppio, mentre la riduzione percentuale con una e, soprattutto, con due file di pali è piuttosto evidente. Invece, a una distanza di circa 2 volte l’altezza di ritenuta H, dietro la paratia, non si osserva una rilevante riduzione di cedimento. Complessivamente, i cedimenti del terreno alle spalle della paratia sono meno pronunciati nelle prove in cui sono installati i pali. La configurazione con due file di pali appare più efficace nel mantenere bassi gli spostamenti dopo un periodo di consolidazione successivo alla fine dello scavo.

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Figura 4.21 Spostamenti orizzontali misurati a tergo della paratia

In Fig. 4.21 vengono confrontati gli spostamenti orizzontali a tergo della paratia in tre prove con differenti rigidezze del fondo scavo (senza pali, con una fila, con due). All’estremità inferiore della paratia gli spostamenti orizzontali si riducono all’aumentare del numero di pali. Quando di usa una sola fila di pali gli spostamenti vengono ridotti al 50%, mentre una fila aggiuntiva di pali riduce lo spostamento di circa il 70%.

Principali conclusioni dello studio I campi di spostamento che risultano dalle prove vengono diagrammati in termini di isocontorni in Fig. 4.22 e 4.23. Questi contorni sono determinati in base al processo delle immagini provenienti da una sola telecamera e sono riferiti alla configurazione del modello 30 minuti dopo la fine dello scavo, quando l’effetto di una fila aggiuntiva di pali appare più evidente. Aumentando il numero dei pali, si riducono gli spostamenti sia verticali, sia orizzontali e la riduzione è evidente nell’intero modello. I cedimenti della superficie a tergo della paratia si riducono maggiormente in prossimità di questa: se ne deduce che l’influenza dei pali è maggiore nelle regioni di maggiori spostamenti.

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Figura 4.22 Isocontorni di cedimento 30 minuti dopo la fine della fase di scavo (in µm)

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Figura 4.23 Isocontorni di spostamento orizzontale 30 minuti dopo la fine della fase di scavo (in

µm) Sebbene le prove effettuate non siano capaci di modellare con precisione tutti gli aspetti del prototipo, esse hanno mostrato che i pali sono efficaci per ridurre i movimenti del terreno sostenuto dalla parete. E’ stata inoltre esplorata con successo la possibilità di incorporare in un modello a deformazione piana elementi a comportamento tipicamente tridimensionale come le file di pali. 89

La riduzione del sollevamento del fondo di scavo è correlabile alla riduzione dei cedimenti e degli spostamenti orizzontali a tergo della parete. Inoltre si è osservato che l’uso di una seconda fila di pali ha ulteriormente contribuito all’irrigidimento del fondo scavo anche dopo un periodo di consolidazione successivo alla fase di scavo. Ciò indica che il grado di irrigidimento richiesto alla base dello scavo nel prototipo, per limitare gli spostamenti, è legato in parte alla durata delle attività collaterali alle operazioni di scavo e, in particolare, al tempo necessario affinché il fondo scavo sia ricaricato dalla nuova costruzione. Queste conclusioni, sono in realtà conseguenti a un’attività sperimentale più estesa di quella descritta, orientata prevalentemente alla ricerca e non finalizzata alla modellazione di uno specifico problema reale. Esse mostrano come le prove in centrifuga possano essere utili nel prendere difficili decisioni progettuali. Chiaramente in tal caso sarebbe molto più importante replicare nel modello le caratteristiche essenziali del prototipo al fine di poter estrapolare i risultati in maniera affidabile.

Esempio n° 3: influenza delle variazioni stagionali dell’umidità ambientale sulla rottura progressiva di pendii in argilla sovraconsolidata (Take, 2003)

Obiettivo del lavoro Questo lavoro sperimentale, condotto nella centrifuga a rotore dell’Università di Cambridge, è finalizzato allo studio dell’interazione fra condizioni idrologiche (pioggia ed essiccamento), infiltrazione e rottura progressiva dei pendii in argilla e trae origine dal recente interesse dei proprietari delle infrastrutture di trasporto inglesi nell’andamento degli spostamenti che si verificano nei rilevati di argilla. La difficoltà delle misure in sito nel lungo termine di piccole deformazioni di pendii rende molto attraente la possibilità di modellare in piccola scala variazioni stagionali di umidità. Pertanto una serie di modelli in deformazione piana e in scala 1:60 sono stati accelerati a 60 g (Take, 2003), in tal modo scalando di un fattore pari a 602 il tempo necessario per la filtrazione. In questo modo gli effetti di sei anni di cicli di imbibizione-essicamento stagionali possono essere osservati nell’arco di una giornata prolungata di lavoro. Sono stati quindi sottoposti a prova modelli di rilevati strumentati, con il vantaggio di disporre in tal modo di sezioni di terreno di densità e storia tensionale nota: di conseguenza le osservazioni sperimentali non vengono distorte da condizioni di sito complesse, ma secondarie, come la variabilità geometrica tridimensionale, l’eterogeneità, la variabilità del manto vegetale. Si è reso necessario il controllo delle effettive condizioni atmosferiche sul modello, progettando e realizzando una camera ad atmosfera controllata per modellare correttamente le variazioni 90

stagionali di umidità ambientale. L’analisi fotogrammetrica è stata usata per osservare in dettaglio il comportamento deformativo del pendio e per determinare le deformazioni distorsionali irreversibili che, cumulandosi, lo portano progressivamente a rottura.

Preparazione del modello L’argilla del rilevato modello veniva ottenuta a partire da una polvere commerciale di caolinite (E-

grade Kaolin) impastata a un contenuto d’acqua di circa il 100% (pari a due volte il limite liquido), consolidata sotto una tensione verticale di 500 kPa e quindi lasciata rigonfiare a 60 kPa. A questo punto tutta l’acqua espulsa dal terreno veniva rimossa dal consolidometro prima di annullare il carico agente, così da determinare nel campione una suzione di circa 60 kPa, e, dal campione di argilla sovraconsolidata, veniva realizzato il modello. Il blocco di argilla veniva sagomato nella forma di metà rilevato, usando una parete del contenitore come piano di simmetria. Inoltre il profilo del pendio veniva ulteriormente sagomato per tener conto del campo di accelerazione radiale al fine di modellare correttamente l’infiltrazione al contorno, assicurando che non ristagnasse acqua sulla sommità del rilevato. La scarpa del rilevato era inclinata di 36°, quindi molto di più dell’angolo di stato critico (circa 24°). Ciò implica che durante una tipica stagione umida il rilevato mobilitasse resistenze maggiori di quella critica per mantenere la stabilità. Questa condizione era necessaria per indurre una rottura progressiva. Trasduttori di suzione sono stati inseriti in fori praticati nel rilevato e successivamente richiusi a tergo del trasduttore. Si tratta di trasduttori della suzione di matrice in miniatura con un filtro ceramico con valore d’ingresso d’aria di 3 bar, attentamente saturato e in grado di misurare pressioni interstiziali negative fino a un valore di -400 kPa (Take and Bolton, 2002a) Per consentire la successiva analisi fotogrammetrica, al fronte di argilla visibile dalle telecamere, bianco, era applicata una puntinatura in maniera da rendere individuabili porzioni di immagini al programma di elaborazione (cfr. Fig. 4.26)

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Figura 4.24 Camera atmosferica e sistema di acquisizione d’immagini

Il rilevato modello veniva quindi messo nella centrifuga all’interno di una camera sigillata, progettata per imporre al modello le appropriate condizioni ambientali al contorno durante la prova. Una foto del modello nella camera è riportata in Fig. 4.24. L’umidità relativa nella camera atmosferica veniva incrementata introducendovi acqua in pressione attraverso due file di ugelli di piccolo diametro, collocati a una distanza dalla superficie del terreno tale da simulare una pioggia uniforme: ciò assicurava che il contorno del pendio fosse costantemente bagnato. Tali ugelli sono in effetti degli atomizzatori in grado di creare goccioline di vapore di circa 30 μm di diametro. Applicando la legge di scala per le dimensioni lineari, le goccioline avrebbero 1.8 mm di diametro alla scala del prototipo, laddove in natura le gocce di pioggia sono raramente più grandi di 5 mm. Perciò l’impatto di tali piccole goccioline sul modello non causava erosione. L’acqua ad alta pressione, necessaria ad alimentare l’atomizzatore, veniva fornita dal peso proprio di una colonna d’acqua alloggiata lungo il braccio della centrifuga e soggetta, pertanto, al campo di accelerazione centrifuga. Una valvola riduttrice a monte dell’ugello consentiva di regolare la pressione dell’acqua. 92

Per controllare la pressione dell’acqua venivano usati trasduttori di pressione sia a monte che a valle di tale valvola. Per simulare, invece, una stagione secca era necessario immettere nell’atmosfera del modello dell’aria secca per ridurre l’umidità relativa. L’aria secca veniva fornita tramite gli slip-

ring e la sua immissione nella camera ad atmosfera controllata avveniva in prossimità dell’unghia del rilevato: l’aria secca “catturava” l’umidità e usciva attraverso tre valvole collocate vicino alla sommità del rilevato. La pressione dell’aria interna alla camera veniva tenuta sottocontrollo tramite un trasduttore di pressione d’aria e durante le prove effettuate non ha mai superato il valore di 3 kPa, con tutte e tre le valvole d’uscita aperte. Maggiori dettagli sull’apparecchio possono essere reperite in Take & Bolton (2002b).

Programma sperimentale Una serie di rilevati è stata sottoposta a stagioni simulate d’intensità variabile, nessuna delle quali è tuttavia tanto severa da provocare da sola una rottura monotonica. Lo scopo principale del lavoro era di capire se un certo numero di eventi meno pericolosi possa lentamente danneggiare il pendio e portarlo a una potenziale rottura di lungo termine. Inoltre è stato possibile studiare nel dettaglio il comportamento del pendio in argilla sia nelle stagioni umide che in quelle asciutte. In definitiva, i modelli sono stati sottoposti a un certo numero di cicli “annuali” di pressioni neutre, ciascuno derivante dalla simulazione di un inverno umido e di un’estate secca.

Procedura di prova L’avviamento della centrifuga è una fase nella quale è stato essenziale evitare che il rilevato modello subisse danno, dal momento che si aveva interesse a studiare la capacità di cicli successivi di imbibizione-essiccamento d’innescare la prima rottura del rilevato. Inoltre, pendii piuttosto acclivi come quello modellato sono particolarmente sensibili al modo in cui viene attivato il campo gravitazionale, dal momento che sono suscettibili di rottura non drenata. Di conseguenza sono state adottate una serie di misure tese a ridurre la deformazione del rilevato modello durante il periodo di avviamento della centrifuga. Usando la camera atmosferica per provocare evaporazione nel modello, la pressione neutra nel pendio veniva allora ridotta a -55 kPa prima di avviare la centrifuga: le tensioni iniziali efficaci nel modello venivano in tal modo incrementate, senza tuttavia provocare una desaturazione. Il peso proprio si incrementava quindi gradualmente, consentendo la dissipazione delle sovrapressioni neutre fra le fasi di carico. Inoltre durante la fase di “costruzione” la camera atmosferica era mantenuta in condizioni di stagione secca, agevolando così la dissipazione della pressione neutra in eccesso attraverso la superficie del rilevato. Le misure mostrano che durante questo periodo il rilevato rimaneva in suzione e ciò comportava una deformazione del pendio prevalentemente elastica e relativamente piccola. 93

Completata la fase iniziale, al rilevato modello veniva imposto un primo inverno, di durata particolarmente breve. Successivamente, veniva simulata una prima stagione secca, tramite l’azione dell’aria messa in circolazione (35% di umidità relativa) che consentiva una lenta riduzione delle pressioni neutre. La stagione asciutta veniva arrestata appena la suzione era tornata ai valori precedenti alla stagione umida. Cicli di stagioni simili sono stati applicati in successione. Durante il quinto ciclo stagionale, la durata della stagione umida è stata estesa a circa tre volte quella del primo “inverno”, al fine di studiare l’influenza della durata della stagione umida sul comportamento del pendio. In Fig. 4.25 vengono diagrammate in funzione del tempo (alla scala del modello) l’umidità relativa applicata e le pressioni neutre misurate.

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Figura 4.25 Condizioni al contorno applicate (a) e pressioni neutre misurate (b)

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Analisi fotogrammetrica Durante le prove sono state acquisite immagini del modello tramite telecamere digitali di bordo che sono state poi utilizzate in seguito per determinare i campi di spostamento e deformazione legati all’evoluzione delle pressioni neutre. Il sistema di misura della deformazione per il modello di terreno è stato sviluppato appositamente ed è descritto da White et al. (2001). Questo sistema è basato su una tecnica di trattamento delle immagini denominata “velocimetria di particelle mediante analisi d’immagini” (PIV, Particle

Image Velocimetry). In maniera simile al sistema della City University, che identifica un insieme di pixel (patch o “matrice-sagoma”) contenente l’immagine digitale di una mira (o “marca fiduciale”) e ne segue lo spostamento da un fotogramma al seguente, il sistema PIV sviluppato successivamente a Cambridge utilizza la tecnica della ricerca di punti omologhi, cioè confronta una porzione d’immagine, identificabile come matrice-sagoma, con i valori d’intensità di pixel di una matrice all’interno di in un’area-obiettivo dell’immagine seguente (“matrice di ricerca”) al fine di determinare la migliore corrispondenza delle due matrici (best-match) con una precisione pari a 1/15th di pixel. La variazione della posizione della matrice-sagoma fra le due immagini dà un vettore spostamento nel piano dell’immagine, che deve essere trasposto al piano reale (ed espresso in mm) attraverso un processo di calibrazione della telecamera, che tiene conto dell’orientazione della telecamera, della distorsione delle lenti e della rifrazione attraverso la finestra di osservazione del contenitore del modello. L’uso di un sistema di misura delle deformazioni basato sulle matrici di pixel ha il vantaggio che i punti di misura non devono essere decisi prima che si verifichi l’evento: le matrici-sagoma possono essere scelte, per esempio, per monitorare le deformazioni mobilitate lungo una discontinuità che si sviluppa durante la rottura progressiva. Un sistema di acquisizione d’immagine “multi-camera” è stato messo a punto per acquisire immagini digitali delle varie aree d’interesse a una risoluzione di 1760x1168 pixels. In Fig. 4.26 può essere osservato un dettaglio del modello e di una matricesagoma.

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Figura 4.26 Posizione dei trasduttori di pressione e dettaglio di una matrice-sagoma

Risultati delle prove La risposta del modello durante la fase di avvio può essere osservata in Fig. 4.25b in termini di pressione neutra misurata. Il punto 0 indica la condizione iniziale prima della fase di accelerazione mentre il punto A indica la completa dissipazione delle pressioni neutre in eccesso dopo l’ultimo incremento di accelerazione a 60 g: le misure mostrano che i trasduttori di pressione restano in suzione durante la fase transitoria di avviamento. La posizione dei trasduttori è indicata nella successiva Fig. 4.27, dove si può osservare che dopo la conclusione della fase di avviamento la superficie piezometrica è ancora al di sotto del livello di fondazione del rilevato. Nella stessa figura vengono riportati i vettori di spostamento misurati: si tratta essenzialmente di spostamenti in direzione verticale e verso il basso, il cui massimo si trova sulla sommità del rilevato ed è pari a circa 2.5 mm alla scala del modello.

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Figura 4.27 Condizioni iniziali nel rilevato modello

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In Fig. 4.25 vengono riportate le misure ai trasduttori di pressione neutre durante i successivi sei cicli stagionali imposti al contorno del rilevato. Con le prime piogge invernali, la pressione neutra sale rapidamente (A-B). I venti asciutti dell’estate inducono di nuovo suzione del rilevato (B-C). La velocità media di crescita delle pressioni neutre durante l’infiltrazione dell’acqua piovana è molto più alta della corrispondente velocità di riduzione delle pressioni associata con l’evaporazione estiva. Un’analisi più approfondita della variazione di pressione neutra nel rilevato durante la simulazione dell’inverno mostra anche che la crescita delle pressioni neutre è inizialmente molto rapida, poi si riduce significativamente, indicando l’approssimarsi a una condizione stazionaria. D’altra parte, durante la simulazione dell’estate, la velocità con cui il rilevato va in suzione è molto più costante.

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Figura 4.28 Primo “inverno”: pressioni neutre e spostamenti

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Durante il primo inverno breve, nonostante la pressione neutra cresca in sommità sopra i 60 kPa, la maggior parte della superficie del pendio resta in suzione (Fig. 4.28a). In risposta alle variazioni stagionali di stato tensionale il rilevato modello subisce un rigonfiamento in direzione approssimativamente ortogonale alla superficie del pendio. Come si può osservare in Fig. 4.28b, dove vengono mostrati i contorni di spostamento, tale rigonfiamento è confinato in prossimità della superficie del pendio, essendo la profondità d’influenza relativamente uniforme lungo l’intera lunghezza della superficie d’infiltrazione. La massima entità dei vettori di spostamento misurati, 0.2 mm di rigonfiamento, corrisponde ad appena 12 mm alla scala del prototipo.

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Figura 4.29 Prima “estate”: pressioni neutre e spostamenti

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Durante la prima simulazione di stagione estiva, la pressione neutra si riduce di nuovo, di circa 60 kPa in sommità, lasciando l’intero rilevato di nuovo in suzione (Fig. 4.29). La contrazione associata con questa stagione è prevalentemente normale alla superficie orizzontale del rilevato, con entità decrescente con la profondità (Fig. 4.29b). Un simile comportamento è stato osservato nei tre “anni” successivi. L’effetto di una stagione umida più lunga, durante il quinto “anno”, può essere osservato confrontando la Fig. 4.28 con la Fig. 4.30. Anche se la durata delle piogge è stato quasi tre volte maggiore, la pressione neutra alla fine dell’inverno 5 (Fig. 4.30a) è appena 5 kPa più alta di quella alla fine del breve inverno 1 (Fig. 4.28a). Questo risultato è ragionevole, dal momento che la condizione stazionaria finale deve essere la stessa. D’altra parte, la durata maggiore della stagione umida incrementa notevolmente l’entità del rigonfiamento osservato (Fig. 4.30b), che alla fine dell’inverno 5 interessa la maggior parte del rilevato. Alla sommità del pendio si osserva una componente orizzontale di rigonfiamento, che indica la potenziale formazione di fessure di trazione. Gli spostamenti orizzontali di rigonfiamento si concentrano intorno al piede del rilevato, indicando una considerevole zona di taglio.

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Figura 4.30 Quinto “inverno”: pressioni neutre e spostamenti

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Principali conclusioni dello studio Una panoramica complessiva dei risultati delle prove è riportata in Fig. 4.31 in termini di deformazione di taglio misurata. La distribuzione della massima deformazione distorsionale misurata, γmax, indica che i cicli di contrazione-rigonfiamento stagionali producono una concentrazione di deformazione distorsionale al piede del rilevato (p.es. Fig. 4.31b). L’evoluzione del massimo valore della deformazione di taglio viene riportata in Fig. 4.31a e mostra l’accumulo delle deformazioni al procedere delle stagioni. Deformazioni distorsionali positive indicano, convenzionalmente, spostamenti verso il basso. Durante la stagione umida il piede del rilevato che rigonfia subisce una distorsione. L’arrivo della stagione secca rallenta la velocità di deformazione tangenziale al punto che parte dello spostamento verticale viene recuperato, a causa della contemporanea contrazione del rilevato. Alla fine della quarta stagione umida (Fig. 4.31b) la deformazione distorsionale totale raggiunge un valore superiore a 2.5% al piede del rilevato. Durante l’estate (Fig. 4.31c) le deformazioni si riducono a un valore di circa il 2%. Ciononostante, durante la stagione umida (Fig. 4.31d), che dura più della precedente, l’entità degli incrementi di deformazione tangenziale sono tali da comportare un ulteriore aumento della deformazione tangenziale totale, portando a un’ulteriore deterioramento del piede del rilevato. A questo punto si può osservare una piccola superficie di taglio che indica l’insorgere di una rottura locale in prossimità del piede.

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Figura 4.31 Deformazioni di taglio durante la prova

I risultati complessivi di questo lavoro forniscono un’evidenza sperimentale dettagliata del fatto che i cicli stagionali di pressione neutra possono produrre rottura progressiva in pendii in argilla. Il progressivo degrado della resistenza del rilevato (dal picco al residuo) riduce l’entità delle pressioni neutre necessarie a generare una rottura globale, fino al punto in cui questa avviene in uno degli inverni successivi. Va osservato, in conclusione, che i modelli su cui è stata condotta la sperimentazione sono stati realizzati con un’argilla sovraconsolidata relativamente permeabile, non rigonfiante, non fragile. Le argille naturali avrebbero mostrato fessure, potrebbero avere una permeabilità molto variabile, un potenziale di rigonfiamento elevato e una struttura fragile: è alquanto verosimile che la loro tendenza a una rottura progressiva sia anche più elevata di quanto osservato nelle prove.

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