Meccanica applicata alle macchine

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Prof. CARLO Professore

FERRARI

di Meccanica Applicata alle Macchine Politecnico di Torino

Prof. ARIO Professore

ROMITI

di Meccanica Applicata alle Macchine Politecnico di Torino

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Con 541 figure nel testo

UNIONE

TIPOGRAFICO-EDITRICE

TORINESE

FERRARI-ROMITI.

ERRATA-CORRIGE pag.

riga

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191

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17. Applicazione al problema delle piante...

17. Applicazione al problema delle piastre...

37.

37.

Minimo

dei

denti...

Minimo denti...

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triangolari

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17 » 25 26 » 27 28

35 41 44 46 49 53

Indice

VI

13. Meccanismi cinematicamente equivalenti a manovellismi a glito rotante . Nr . Pag. 14. Sistemi articolati non scomponibili (o) ‘riducibili a | quadrilateri > articolati . . 15. Sistemi piani non riducibili a sistemi articolati . PROBLEMI

INVERSI

.

16. Determinazione delle polari, assegnata la legge del moto relativo . 17. Applicazione al problema delle piante (o leve) rotolanti . 18. Tracciamento dei profili coniugati. Caso in cui uno dei profili è un semplice punto. Rolletta 19. Problema inverso sulle rollette 20. Applicazione: il problema inverso per eccentrico di prima e di seconda specie; tracciamento del contorno della camma . 21. Tracciamento dei profili coniugati nel caso generale: metodo dell’inviluppo . RA 22. Tracciamento dei profili coniugati: ‘metodo delle normali 23. Strisciamento tra i profili coniugati . 24. Tracciamento indipendente dei profili coniugati . 25. Metodo degli epicicli: tracciamento dei profili coniugati come o tralettorie di un punto . . NA 26. Metodo degli epicicli: tracciamento ‘dei profili coniugati come inviluppi di linee 27. Interferenza . GEOMETRIA

28. 29. 30. 31.

RUOTE

DENTATE

Definizioni fondamentali Linea di ingranamento. Arco Angolo di pressione Profili dei denti . DENTATURE

32. 33. 34. 35. 30. 37. 38. 39.

DELLE

A

PROFILO

CILINDRICHE

d’azione

.

. .

CICLOIDALE

Tracciamento dei profili cicloidali . Linea di ingranamento e arco di azione . Strisciamento dei profili coniugati . Contatti anormali nelle dentature cicloidali . . Influenza del diametro dell’epiciclo sulle proprietà della dentatura Minimo dei denti nelle ruote dentate con profili cicloidali. . Ruote dentate modulari. Norme modulari Ruote dentate speciali . RUOTE

DENTATE

CON

PROFILI

AD

EVOLVENTE

DI

CERCHIO.

40. Tracciamento dei profili . 41. Caratteri geometrici delle dentature ad ‘evolvente . 42. Arco d’ingranamento . . 43. Interferenza nelle dentature ad evolvente. Caso ‘delle ruote ‘esterne 44. Interferenza nelle dentature ad evolvente. Caso delle ruote interne 45. Relazione tra minimo numero di denti e angolo di pressione. . 46. Dentature a cerchi spostati (o corrette)

Indice RUOTE

CILINDRICHE

A

DENTI

ELICOIDALI

47. Ruote a dentature diritte e ruote a gradini LL 48. Ruote di Hooke senza strisciamento . 49. Ruote cilindriche a denti elicoidali: vantaggi che esse > TIRA 50. Passo frontale. Passo assiale. Sfasamento delle ruote dentate a denti elicoidali. o R 51. Generazione della superficie Dio Di; Fas dda patta tento a denti elicoidali. . 52. Luogo dei punti di contatto Taito, di due aenti nia mò ruote cilindriche a denti elicoidali. . E 53. Proporzionamento delle ruote dentate a denti elicoidali . Bibliografia

(Introduzione)

Bibliografia

(Capitolo

CapItoLo

SEconDO.

I) —

Moto

sferico .

L Leggi ed equazioni fondamentali della cinematica dei sistemi rigidi, o costituiti da membri rigidi, con un punto fisso . . Profili coniugati e superfici coniugate delle coppie rigide sferiche Problemi tipici della cinematica delle coppie sferiche e dei meccanismi corrispondenti . Problemi diretti . PROBLEMI

INVERSI

.

. Determinazione della poloide e della erpoloide e dei profili coniugati corrispondenti ad una data legge del moto relativo . STUDIO

GEOMETRICO-CINEMATICO

DELLE

RUOTE

CONICHE .

. Determinazione dei coni primitivi di una Su di ruote coniugate coniche . . Velocità di strisciamento asi profili n noia Rettore: di frizione e ruote coniche dentate. Coni complementari . 8. Tracciamento di profili coniugati 9 a. Profili sferici cicloidali 9 b. Profili sferici ad evolvente 9 e. Coseni direttori della retta d’azione della rari alla SUIS dei denti . 10. ‘Tracciamento aretino ohi pesan denti. 11. Procedimento di taglio delle ruote coniche . RUOTE

CONICHE

CON

ASSE-DENTE

CURYO.

12. Asse-dente ad inclinazione costante. Dentature Gleason, Bileram e Klingelnberg . 3_ 13. Generazione della superficie gua oa ea FIST) Foa Conigie ad asse-dente curvilineo o 5 14. Passo frontale e passo Girconeste ato, per lE Goe sno con denti ad asse curvo

Bibliografia

.

175 176

VII

Indice

CarrroLo

Terzo. —

1. Leggi

Moto

rigido generale

fondamentali

PROBLEMI

DIRETTI

della

cinematica

per

i moti

rigidi

generali

.

2. Trasmissione del moto rotatorio tra assi shembi con ruote cilindriche a denti elicoidali Lo 3. Trasmissione del moto rotatorio tra assisi sghembi con i ruote coniche ad asse curvilineo . PROBLEMI

INVERSI

.

4. Determinazione delle superfici coniugate corrispondenti a una data legge del moto relativo. Metodo dell’inviluppo . . . 5. Generazione delle superfici coniugate per mezzo di una superficie ausiliaria 6. Esempio di applicazione del metodo dell'inviluppo ‘ Vite senza fine-ruota elicoidale . 7. Esempio di applicazione del metodo della superficie ausiliaria Ruote

Bibliografia ESERCIZI

ipoidali;

ruote

iperboloidiche

.

. .

Cinematica del punto Cinematica dei meccanismi . Profili coniugati. Camme . Giunti di trasmissione . . Ruote cilindriche a denti diritti. . Ruote dilindriche elicoidali con assi paralleli . Ruote coniche . . . Ruote cilindriche elicoidali con assìsi sghembi RIPPER Vite-ruota elicoidale e ruote ipoidali.

PARTE

SECONDA

Dinamica applicata. INTRODUZIONE. CapitoLo

—

Classificazione

PrIMo. — Forze

delle forze operanti

agenti negli accoppiamenti.

nelle macchine . .

L Elementi da cui dipendono le forze agenti negli accoppiamenti 2. Forza di contatto per contatto puntiforme (o lineare): caso del. l’attrito nullo . Forza di contatto puntiforme (o lineare) di strisciamento : attrito non nullo (per superfici asciutte) . Forza di contatto per coppie rigide (a contatto di strisciamento; superfici coniugate asciutte). Coppia rotoidale (contatto lineare) . Coppia elicoidale .

258 260

Indice

IX

. Coppie rigide superiori (contatto lineare o puntiforme) . . Pag. . Azione di contatto per contatto superficiale (attrito fra > Supertiei asciutte). Ipotesi di Reye . . Legge di ripartizione della pressione di ‘contatto, per una coppia rotoidale cilindrica portante secondo l’ipotesi di Reye. Determinazione dell’azione risultante . . Freni a tamburo . Le . Legge di ripartizione della pressione di contatto per una | coppia rotoidale portante- spingente. secondo l’ipotesi del cere . . RA 11. Freni a dischi . 12. Legge di ripartizione della pressione al contatto per una coppia rotoidale spingente secondo L'ipotesi del € Reye. Applicazione al freno a cono di frizione . . .

266

FORZE

DI

RIGIDO

13, 14. 15. 16. 17.

CONTATTO E

UN

PER

MEMBRO

COPPIE FLESSIBILE

COSTITUITE

DA

UN

285

MEMBRO

.

Organi flessibili usati nelle macchine . . Notizie sulle funi Notizie sulle cinghie . Notizie sulle catene . Trasmissione con funi o con \ cinghie. Richiamo delle ‘equazioni fondamentali della dinamica dei flessibili (per le funi e per le

cinghie) .

331

18. Legge di variazione | della ‘tensione ‘lungo Fi tratto avvolto ‘sulla puleggia (per una cinghia o una fune) . 19. Scorrimento globale e scorrimento elastico. Arco di aderenza (o arco ozioso). Potenza dissipata dall’attritoo nell'acconpiamento flessibile. Puleggia . 20. Curva funicolare dei rami liberi. e legge di variazione della tensione

333

335

lungo essi (per condizione di funzionamento a regime: w = costante)

340

A

21. Determinazione della tensione |in una sezione generica del flossibile. Determinazione della coppia limite (sull’asse di una puleggia) o della velocità angolare limite per scorrimento globale 22. Rigidezza delle funi e dei cingoli elastica e anelastica . 23. Cinematica e dinamica delle trasmissioni con catene. . 24. Rigidezza delle catene RE 25. Altra applicazione dei flessibili: paranchi . TEORIA

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

ELEMENTARE

DELLA

LUBRIFICAZIONE

.

Forze di contatto per coppie costituite da membri rigidi con contatto di strisciamento: attrito tra superfici lubrificate . Atto di moto di un fluido. Velocità di deformazione . Stato di tensione di un fluido in moto. . Coefficienti di viscosità. Viscosità cinematica . Lee Coppia prismatica lubrificata. Lubrificante liquido. Teoria elementare di Reynolds e Michell . Coppia prismatica lubrificata: caso in cui entrambe. le superfici coniugate sono piane . . Variazione della temperatura del meato. Equazione. dell'energia

Indice 33.

34.

Coppia prismatica lubrificata: influenza della variazione della viscosità e della densità lungo il meato per meato di spessore costante . o Influenza isa nr) del ano COPPIA ROTOIDALE SIBILE

PORTANTE

LUBRIFICATA.

FLUIDO

INCOMPRES-

35. Teoria elementare di Sommerfeld. Cuscinetto completo : 36. Cuscinetto parziale . 37. Influenza della variazione do nazio ‘del lubrificante e influenza dell’allungamento finito del perno . 38. Perno con carico dinamico lo o 39. Coppia rotoidale spingente Lafriacana Fluido ia ag 40. Lubrificazione limite. Attrito epilaminico. Attrito combinato . 41. Coppie rigide elementari piane lubrificate. Lubrificante gassoso N 42. Lubrificazione idrostatica . 43. Lubrificazione con fluido non ezio FORZA CON

DI

CONTATTO

CONTATTO

DI

PER

COPPIE

COSTITUITE

DA

MEMBRI

RIGIDI

ROTOLAMENTO

44. Coppie di attrito. , 45. Deformazione dei membri in prodotta lizione sm di contatto. Caso statico. Formule di Hertz . n 46. Parametro di attrito volvente conseguente alla modi sticità dei membri a contatto . n 47. Parametro di attrito volvente conseguente Hue coon l'ac superfici coniugate . . aio . 48. Applicazione: cuscinetti a i 49. Esempi di determinazione delle reazioni Fincaltii: con attrito |radente e volvente , . Bibliografia CAPITOLO

. SECONDO.

--- Forze

d’inerzia . .

L. Forza d’inerzia risultante . 2. Momento risultante delle forze 3. Lavoro delle forze d’inerzia . Bibliografia

Sb

a

WD

CapitoLo

d'inerzia

. Terzo.

—

Equazioni

fondamentali

della dinamica

Introduzione. . Principio di D’ Asta . . Equazioni cardinali della dinamica. . . Equazione dell’energia Applicazione ea dell'energia fano Saito fio delle macchine . . Equazioni del moto di un ita di massa E 0 , . Il principio dei lavori virtuali. L’equazione simbolica della dinamica .

Indice . Equazioni

di Lagrange

.

ka

Analogia tra sistemi meccanici e sistemi elettrici

.

. Realizzazione di modelli analogici per sistemi lineari. Equazioni di

Lagrange per i sistemi elettrici . Sistemi elettromeccanici. o Pquazioni di Lagrange per sistemi elet-

10.

tromeccanici

.

2.

Princìpi variazionali in meccanica . . Metodi variazionali. Metodo di Rayleigh- Ritz.

11. 12. 13. 14.

Contatto Contatto

Bibliografia CapiroLo

d’urto. d’urto.

Equazioni generali della teoria Teorema di Carnot.

. Quarto.

—

Sistemi

di controllo

. Descrizione dei sistemi di controllo Analisi dei sistemi di controllo Gli organi dei sistemi di controllo . . I principali modi di controllo . Le tecniche di controllo . Stabilità dei sistemi di controllo lineari . Stabilità dei sistemi di controllo non lineari 8. Problemi di compensazione e di ottimo Bibliografia ESERCIZI

. .

Contatto

con

attrito

.

Freni .

Flessibili Viscosità Cuscinetti Dinamica Dinamica Dinamica Dinamica

. . e lubrificazione . a rotolamento . del punto materiale degli organi delle macchine dei mezzi continui . delle vibrazioni .

Metodi analogici e di similitudine . Sistemi Indice

di controllo

amalitico

.

.

.

. .

. dell'urto

INTRODUZIONE

Consideriamo

in questo

volume

la parte della Meccanica

applicata

che riguarda lo studio meccanico delle macchine, concepite come sistemi di corpi fra loro collegati, in modo che sia possibile la trasmissione del moto e delle forze da un corpo all’altro. Appare da questo la duplice funzione di ogni macchina: quella di trasmettere il movimento e quella di trasmettere le forze; a tale duplice funzione corrisponde la classica divisione della Meccanica applicata nelle due parti, Cinematica applicala e Dinamica applicata. Nella Cinematica applicata il moto è studiato indipendentemente dai fattori che lo producono e lo influenzano (forze e masse); più precisamente, data la macchina e definita la legge del movimento, assegnando l’equazione oraria (o le equazioni orarie), si indicano come si ottengono velocità ed accelerazioni di ogni punto del sistema; si studia pure il problema inverso: assegnata la legge del moto relativo delle varie parti fra loro collegate si determinano quali forme queste parti debbono, o possono avere, perchè la predetta legge sia realizzata. Nella Dinamica applicata il moto è studiato in relazione alle forze applicate alle varie parti e alle masse che queste hanno;

1) l’analisi (in dipendenza

delle forze del tipo

operanti

di contatto

nelle

macchine:

e della

toccano); forze elastiche (in dipendenza

della

natura

essa comprende:

forze

deformabilità

forze di inerzia. Questa analisi è diretta a dedurre

di contatto

dei materiali

dei

che

si

corpi);

quali sono i parametri

da cui dette forze dipendono e quale è la natura di detta dipendenza, e pertanto a individuare le proprietà tipiche delle forze stesse; 2) Vapplicazione delle leggi della dinamica e delle equazioni in cui esse si traducono, alla determinazione del comportamento di un dato sistema, soggetto a forze attive esterne date per date condizioni iniziali, o alla determinazione di alcuni elementi appartenenti ad un dato sistema su cui agiscono forze attive esterne note, per date condizioni imposte a questo comportamento. Fra questi problemi distinguiamo quelli che si riferiscono a condizioni normali di funzionamento delle macchine, in cui queste si comportano, o si possono considerare, come sistemi a un solo grado di libertà, dai problemi relativi a condizioni 1 —

FERRARI-ROMITI.

2

Introduzione

più generali di esercizio, per le quali il numero dei gradi di libertà è sempre maggiore di uno. Sono, ad esempio, problemi della prima categoria quelli diretti a stabilire il bilancio energetico nel funzionamento a regime, o per una data legge imposta al moto del sistema; dei problemi della seconda categoria noi consideriamo qui per l’interesse generale che presentano solo i seguenti: a) In molte macchine si richiede che una data grandezza fisica rimanga costante, uguale ad un valore prefissato (chiamato valore desiderato), oppure che lo scarto (o errore) della grandezza rispetto al valore desiderato si mantenga entro un dato limite. La grandezza regolata può essere qualsiasi: meccanica (ad es., numero di giri di un motore idraulico o termico che comanda un generatore di energia elettrica; oppure, pressione di un serbatoio, pressione di alimentazione di una turbina a vapore; portata di un condotto, ecc.); eletirica (tensione o intensità di corrente, in una rete); termica (temperatura di un ambiente, quantità di calore fornita da una data sorgente). In ogni caso l’azione degli organi, che sono predisposti per ottenere che l’errore della grandezza regolata X rispetto al valore desiderato sia entro i limiti tollerati, e che costituiscono il cosiddetto sistema di regolazione, non può annullare istantaneamente detto errore, se questo, in conseguenza di una perturbazione prodotta da una causa qualsiasi, si è verificato, e pertanto all’istante in cui si è determinata una differenza tra il valore attuale e il valore desiderato della X segue un intervallo di tempo in cui si ha una variazione continua della X e delle altre grandezze ad essa connesse; ora, è necessario determinare questa legge di variazione ed assicurarsi che il sistema di regolazione sia stabile, ossia capace di annullare l’errore, e sia pronto, ossia tale che il periodo di tempo

richiesto

per tale annullamento

sia opportunamente

piccolo.

La

determinazione del fenomeno perturbato e la ricerca delle condizioni che devono essere soddisfatte per la stabilità e la prontezza del sistema di regolazione sono il compito della teoria della regolazione automatica, In altri casi è imposto che una data grandezza fisica X vari in funzione di un’altra data grandezza fisica secondo una legge programmata (sistemi asserviti), annullando o compensando le cause (perturbazioni) che tendono a produrre uno scarto (errore) tra il valore attuale di X e il valore comandato: l’asservimento può essere di posizione, di velocità (per es., telecomando di aerei, di missili, ece.). In ogni caso un

sistema

regolato

può

essere

pensato

come

un

sistema

asservîto,

in

cui il comando non varia al variare del tempo. I problemi che si presentano per detti sistemi sono pertanto analoghi a quelli dei sistemi regolati, e costituiscono un esempio tipico di problemi della seconda categoria, secondo la distinzione sopra indicata. b) Le forze applicate alle singole parti costituenti una data macchina sono, generalmente, variabili nel tempo; per l’elasticità dei materiali costituenti dette parti si producono pertanto deformazioni variabili, a cui conseguono vibrazioni, che in particolari condizioni possono

Introduzione

3

assumere ampiezze pericolose per la sicurezza della macchina, o per il corretto funzionamento di essa. Lo studio dei moti vibratori, e la ricerca delle condizioni nelle quali si producono risonanze dannose, e dei mezzi per evitarle, o ridurle, è compito della teoria delle vibrazioni, e i problemi corrispondenti sono un altro esempio dei problemi della seconda categoria. Ammetteremo nello sviluppo delle varie parti del programma sopra indicato

che

le leggi

della

Meccanica

razionale

siano

note

e pertanto

rimandiamo ai Trattati di Meccanica razionale (v., ad es., [1], [2], [3], [4]; [5], [6], [7]) per quanto si riferisce a una loro completa esposizione; per maggiore chiarezza, tuttavia, premetteremo alla trattazione di ognuna delle parti stesse un breve richiamo di dette leggi e delle equazioni ad esse corrispondenti.

DEFINIZIONI

PRINCIPALI

1. Membri. Si chiamano membri di una macchina le varie parti di essa in moto relativo l’una rispetto all’altra; l'insieme di più parti solidalmente unite fra loro costituisce un unico membro. Il membro, se esiste, che rispetto al sistema di riferimento del moto è in quiete, prende il nome di telaîo. I membri di una macchina possono essere solidi, liquidi o aeriformi. I solidi a loro volta si possono distinguere in rigidi e deformabili: questa classificazione è puramente convenzionale, ed è usata per distinguere quei membri, le cui deformazioni sono così piccole da potere essere trascurate per la determinazione della posizione dei vari punti del membro stesso, da quelli in cui la deformazione è un elemento essenziale del fenomeno in istudio. I corpi deformabili, a loro volta, possono essere elastici, anelastici, flessibili, dove le prime due denominazioni hanno il significato ben noto dalla Fisica, mentre con la terza caratterizziamo quei corpi peri quali può essere definito un asse geometrico che può essere disposto secondo una linea qualsiasi senza lavoro esterno. Anche questa distinzione è convenzionale: in particolare i membri flessibili usati nelle macchine, funi, cinghie, catene, come ogni altro corpo solido reale, non hanno mai una flessibilità così perfetta come quella sopra indicata.

2. Coppia cinematica, elementi cinematici, superfici coniugate. I vari membri di una macchina sono collegati fra loro, e in conseguenza

di

tali

legami

(vincolì)

risultano

limi-

Esempio

Fig. 1. di sistema

meccanico.

tate le possibilità del moto di ciascun membro relativo agli altri, ossia il numero dei gradi di libertà del membro generico in esame e di tutta la macchina. Così nel sistema biella-

6

Definizioni principali

manovella, la manovella è rigidamente unita al’albero, il quale è collegato al telaio per mezzo di un vincolo (perno-cuscinetto), che ne limita il moto a sole rotazioni intorno al proprio asse, mentre è articolata a cerniera alla biella: questa, all’altra estremità, è articolata, pure a cerniera, allo stantuffo, che a sua volta è vincolato dal cilindro, solidale al telaio, a traslarsi nella direzione del suo asse (fig. 1). In grazia di tali legami, alla rotazione di un determinato angolo 40 della manovella corrisponde un determinato spostamento, lungo l’asse del moto, Ax del piede di biella, e quindi dello stantuffo: il numero dei gradi di libertà del sistema è ridotto a uno.

Fig.

2.

—

Esempio

di

coppia

cinematica.

Fig. 3. —

Esempio

di coppia non cinematica.

Si definisce coppta il sistema di due membri contigui tra loro collegati, o come anche si dice, accoppiati, e la coppia si dice cinematica, se il numero dei gradi di libertà di ogni membro della coppia è uguale a uno. Così nell'esempio prima considerato, costituiscono coppia cinematica sia il sistema albero-cuscinetto, sia il sistema biella-manovella. Altro

esempio

di

coppia

cinematica:

uno

stelo

prismatico

scorrevole

dentro una guaina (fig. 2). Esempio di coppîa non cinematica: uno stelo cilindrico scorrevole entro una guaina cilindrica, in quanto se si tiene, ad esempio, fissa la guaina, il numero dei gradi di libertà dello stelo non è uno, ma due (fig. 3). Gli elementi essenziali di una coppia cinematica (più generalmente, di una coppia in genere), sono le superfici dei membri accoppiati, che sono a contatto durante il moto, perchè è appunto da queste superfici, che dipende il moto relativo di uno dei membri accoppiati rispetto all’altro: a dette superfici si dà pertanto il nome di elementi cinematici della coppia, o superfici coniugate.

Definizioni

principali

Yi

3. Coppie cinematiche indipendenti. Coppie cinematiche dipendenti, Accoppiamenti di forza. — Le coppie si possono distinguere in categorie, in vario modo. Si hanno coppîe rigide, se sono rigidi (nel senso indicato al n. 1) entrambi i membri accoppiati; si possono avere anche coppie costituite da un membro rigido e da uno fluido: ad esempio, i condotti mobili (costituenti la cosiddetta girante) di una turbina, o di un compressore, ed il fluido che scorre entro essi. Soltanto tra i membri rigidi è possibile, a rigore, un completo accoppiamento cinematico nel senso prima definito; si parla tuttavia di coppie cinematiche costituite da

dl

(a)

(5)

Fig.

4.

—

Esempi

di accoppiamento

di forza.

un membro rigido e da uno fluido, o da uno rigido e da uno flessibile, facendo opportune convenzioni per limitare il numero dei gradi di libertà dei membri accoppiati. Si hanno coppie costituite da un membro mobile e da uno fisso (ad es., albero-cuscinetto) oppure da due membri entrambi in moto (ad

es.,

biella-manovella).

Dal

punto

di

vista

cinematico

i due

casi

sono equivalenti, bastando per ridurre il secondo al primo, considerare il moto relativo di un membro rispetto all’altro. Se A e B sono i due membri di una coppia rigida, possiamo considerare sia il moto di A relativo a B, come il moto di B relativo ad A: questo si dice «reciproco » o « inverso » del precedente, considerato come « diretto ». Se il moto relativo dei due membri accoppiati ha un solo grado di libertà, e se questa unicità del moto relativo viene assicurata dal solo accoppiamento esistente tra i due membri, indipendentemente da altri legami e da qualsiasi altra circostanza, la coppia dicesi indipendente (ad es., stelo prismatico entro guaina: fig. 2). Può invece accadere che l'accoppiamento dei due membri, considerati isolatamente dagli altri elementi

costituenti

la macchina,

sia tale

da lasciare

più

di un

grado

di libertà relativa (stelo cilindrico entro guaina; stantuffo entro cilindro: fig. 1); il numero dei gradi di libertà del moto relativo è però ridotto ad uno nel funzionamento effettivo della macchina, in conseguenza

degli

altri vincoli

lo stantuffo non può

imposti

a questa:

così nell’esempio

di fig.

1

ruotare entro il cilindro in causa del suo accop-

8

Definizioni principali

piamento

con la biella. In questo

caso la coppia

cinematica

si dice

dipendente. Vi sono infine coppie cinematiche nelle quali il legame

tra i membri

dipende dalle forze agenti: questo caso si presenta quando l’accoppiamento tra essi è ottenuto con un vincolo unilaterale, o in qualsiasi modo incompleto: ad esempio, pattino scorrente sopra un piano di appoggio; ruota di un’automobile che rotola sopra il terreno (fig. 4); il distacco dei membri accoppiati è impossibile, e l’accoppiamento è efficace, solo se la risultante delle forze applicate al pattino, o alla

ruota, ha direzione e senso tali da mantenere il pattino, o la ruota, premute contro l’appoggio. Nel caso della ruota è inoltre necessario l'intervento dell’atirito radente per escludere lo slittamento, che pora

terebbe

condizioni

il numero

due

si dice che

dei

gradi

di libertà

si ha accoppiamento

della

In

ruota.

queste

di forza.

4. Tipi di contatto tra le superfici coniugate di una coppia. — Le coppie cinematiche si classificano anche a seconda della natura del contatto tra le superfici coniugate. Se si esclude il caso che le superfici presentino punti singolari, in ogni punto di contatto P le superfici hanno un piano tangente di contatto, mentre

ogni retta in questo

piano

passante

per il punto

di con-

tatto P è una tangente di contatto; la normale allo stesso piano, passante

per P, è infine detta normale di contatto. Nelle coppîe rigide si possono conda

dei loro

caratterì geometrici

distinguere vari tipî di contatti a se(elementi geometrici

a cui si estende

il contatto), o secondo i loro caratteri cinematici (velocità relative dei punti a contatto). Secondo il primo punto di vista si possono distinguere: a) contatti puntiformi; b) contatti lineari; c) contatti superficiali o di combaciamento a seconda che il contatto avviene in un solo punto (o in un numero discreto di punti), lungo una linea (o un numero discreto di linee), o è esteso a tutta una superficie. Naturalmente questa distinzione cor-

risponde

a una

schematizzazione

teorica

del fenomeno

effettivo,

in

quanto, per la deformabilità dei corpi a contatto, questo si estende sempre a una certa superficie, che è nei casi a) e d), un’areola nell’intorno del punto teorico, o della linea teorica di contatto. Il caso a) si presenta se le due superfici coniugate sono arbitrariamente scelte; lo si ritrova, ad esempio, nella considerazione dei cuscinetti

a sfere e delle ruote dentate elicoidali per la trasmissione

rotatorio tra assi sghembi. Perchè sia possibile il caso 0) è necessario

del moto

che le due superfici co-

niugate soddisfino a determinate condizioni; lo si incontra, ad esempio, nella

considerazione

dei cuscinetti

a rulli e delle ruote

dentate coniche

per la trasmissione del moto rotatorio tra assi concorrenti.

Definizioni principali

9

Infine nel caso c) le superfici coniugate devono essere manifesta mente identiche: ad esempio, contatto tra perno e cuscinetto nei normali cuscinetti a strisciamento. Per quanto sì riferisce alla trasmissione della forza tra i membri accoppiati attraverso alle superfici coniugate, si comprende facilmente che, per una stessa natura dei materiali costituenti i membri, i contatti superficiali, consentendo una più estesa ripartizione della forza, e quindi una riduzione della pressione di contatto, sono i più atti a trasmettere forze considerevoli; i contatti puntiformi sono i meno atti, quelli lineari si trovano in condizioni intermedie.

Fig.

5 a. —

Contatto

di rotolamento

puro.

Secondo il punto di vista cinematico, i contatti si possono distinguere in: a') contatti di rotolamento; b') contatti di strisciamento; c') contatti di urto. Si ha il primo caso, quando, considerando il moto relativo del membro, che si indica con A, rispetto all’altro che si indica con B, detta

V,

la velocità

di

detto

moto

nel

punto

di

A

che

viene

su

B

nell’istante del contatto, è:

(1)

V.,=0;

l’atto di moto relativo è pertanto un atto di moto rotatorio attorno ad una retta passante per il punto di contatto P. Esempio: ruota, o

sfera, che rotola senza strisciare sopra un piano di appoggio (figg. 5 a, 5 db, 5 c). Si dice che l’atto di moto è di rotolamento puro, se l’asse della rotazione

istantanea

appartiene

al piano

tangente

di contatto

(ad

es.,

sfera rotolante sopra un piano); è di prillamento puro se l’asse della rotazione istantanea è diretto secondo la normale di contatto; è di prillamento e rotolamento se il predetto asse è inclinato rispetto al piano tangente di un angolo diverso lante entro una corsia a V).

da 0 e da 5

(ad es., sfera roto-

10

Definizioni principali

Si ha il caso 2’) se, essendo 7 il versore di una qualsiasi retta appartenente al piano tangente di contatto, è: (2)

con

V,

V,4+ 0;

la velocità

relativa

Li

Ve

appartiene

cioè

al

piano

di

Fig. 5 e. prillamento

tangente

di

contatto.

/L Contatto

di

Fig. 5 bd. prillamento

puro.

Contratto

e rotolamento.

Se V,, e V,, sono le velocità assolute dei due punti P, e P, rispettivamente di (4) e di (B) che coincidono nell’istante considerato con P (fig. 6), è:

V=Vo, Vo. (A)

Fig.

Dalla

6.

—

Contatto

di strisciamento.

(2) risulta pertanto:

V\xn=V,xnT—-V,,xn=0 da

cui: Vo

xn=V,,xn

Definizioni principali

se n è il versore della strisciamento, le velocità proiezione sulla normale di strisciamento. Esempio: ruota che sciamento puro quando

11

normale di contatto; ne deriva: nel contatto di (assolute) dei punti di contatto hanno la stessa di contatto. La V, prende il nome di velocità striscia sopra un piano di appoggio. Si ha striun dato punto di A si mantiene sempre a con-

B Fig.

7a.

—

Contatto

di strisciamento

puro.

tatto con l’altro membro strisciando sopra di esso: ad esempio, rullo bloccato per frenamento, che avanza a contatto di un piano di appoggio strisciando senza ruotare, e quindi traslandosi (fig. 7 a). Si ha strisciamento e rotolamento se l’atto di moto relativo è un atto di moto composto di una traslazione, di velocità uguale a quella del punto P, di contatto di A con B, e di una rotazione , attorno ad una retta P.

Esempio:

poggio

per

(fig. 7 Db).

rullo

Fig.

7 bd. —

frenato

Contatto

che

rotola

strisciando

di strisciamento

sul piano

di

ap-

e rotolamento.

Si ha il caso ec’) se, nell’istante in cui si inizia il contatto, la V, ha un componente secondo la normale di contatto non nullo, ed orientato in modo

da tendere

ad avvicinare

i corpi.

Esempio:

ruota

che

avanza

sopra un terreno accidentato (fig. 8); nell’istante immediatamente precedente quello in cui la ruota viene a contatto, col suo punto P, con l’ostacolo, l’atto di moto è un atto di moto rotatorio attorno a €, e di conseguenza la velocità di P, nell’istante in cui il contatto si manifesta, ha un componente V,, diretto secondo la OP, diverso da zero; per l’impenetrabilità dei corpi a contatto, detto componente si deve

12

annullare

istantaneamente,

Definizioni

principali

supposti

i corpi

rigidi,

e pertanto

l’osta-

colo deve trasmettere in P una percossa: si ha un urto. Nella realtà, in conseguenza della deformabilità dei corpi in contatto, l’annullamento della componente normale della velocità avviene non istantaneamente,

ma

in

un

intervallo

di

tempo

sia

pure

molto

non nullo, di guisa

breve,

ma

che la forza

che i corpi stessi si scambiano

è

grande ma finita. Questa distinzione cinematica dei tre tipi di contatto corrisponde ad un comportamento dinamico pure diverso nei tre casi, Il contatto di rotolamento è quello che richiede in genere il Fig.

8. —

Esempio

di contatto

d’urto.

minore

dispendio

di

energia,

in

quanto non vi è velocità relativa nei punti di contatto, almeno se si prescinde dai piccolissimi strisciamenti,

che possono avere luogo per il fatto che il contatto non avviene in un solo punto, ma, come si è detto, si estende, per la deformabilità, ad una certa areola. D’altra parte il contatto (ideale) può, al massimo, essere esteso ai punti di una retta: quella che è asse della rotazione istan-

tanea. Perchè quindi sia possibile una trasmissione

di forza ragguar-

devole, è necessario che i materiali a contatto presentino caratteristiche meccaniche elevate. Nel contatto d’urto si hanno forze e deformazioni più notevoli; esso è di conseguenza pericoloso per la stabilità dei materiali; produce pure, in ogni caso, rapido logoramento delle parti a contatto, vibrazioni e dispersione di energia. Per questo, rappresenta un fenomeno non desiderato nelle macchine; in alcuni casi particolari può però essere utilizzato,

appunto

per le grandi forze che mette

in gioco,

come

nelle operazioni di fucinatura o nei battipali. L’urto

infine

dà

luogo

solo

ad

un

accoppiamento

istantaneo

tra

i due membri. Un accoppiamento continuativo, atto ad assicurare una determinata legge del moto relativo, non si può ottenere che grazie a contatti di rotolamento o di strisciamento. ° 5. Coppie rigide elementari. — Si definiscono «coppie rigide elementari » o «inferiori » le coppie cinematiche rigide, indipendenti, che presentano contatti di combaciamento: le superfici coniugate di esse, che, come già si è detto, sono identiche, debbono presentare la proprietà di poter scorrere su se stesse senza deformarsi,

e poichè

debbono

lasciare

ai membri accoppiati un solo grado di libertà, sono necessariamente o superfici cilindriche (non rotonde), o superfici di rivoluzione (non sferiche o cilindriche), o superfici elicoidali. Corrispondentemente si hanno i tre tipi fondamentali di coppie rigide inferiori:

Definizioni

principali

13

a) coppia prismatica, con superfici combacianti cilindriche (non di rivoluzione); moto relativo consentito dall’accoppiamento: moto traslatorio rettilineo. Esempio: stelo prismatico entro manicotto (fig. 2). Per estensione, si dà pure il nome di coppia prismatica alla coppia rigida dipendente con superfici combacianti cilindriche, se il moto relativo dei membri accoppiati è traslatorio: ad esempio, stantuffo scorrente entro il cilindro (fig. 1); b) coppia rotoîdale, con superfici combacianti di rivoluzione (non cilindriche o sferiche); moto relativo permesso: moto rotatorio attorno x ad un asse, che è chiamato asse della coppia. Per estensione, si usa 3

L AL T

fesa

2

|

N

$ î

î

a/74

Î

PT} (|

FE

na LET

i ded Ì I

TO

2

PENE

1

1

tl

i î

|

Fig.

9. —

I I

Esempio 1, perno;

di coppia rotoidale dipendente. 2, collari; 3, cuscinetto.

questa denominazione anche per le coppie rigide dipendenti con superfici di combaciamento cilindriche di rivoluzione, se il moto relativo consentito è il moto rotatorio attorno all’asse (coppia cilindrica). Esempio: accoppiamento tra perno e cuscinetto, nel quale il moto traslatorio è impedito con l’aggiunta di un altro vincolo (ad es., collari portati dall’albero: fig. 9); c) coppia elicoidale, con superfici combacianti elicoidali; moto relativo elicoidale. Esempio: accoppiamento di una vite col suo dado. Le tre coppie indicate realizzano, pertanto, i tre moti rigidi elementarî; esse godono delle proprietà di essere reciproche, ossia, se in una di tali coppie si fissa uno dei membri, ad esempio, A, il moto consentito all’altro membro B è identico a quello permesso ad A quando si fissa 5. 6. Coppie superiori. — Si possono avere:

Le coppie non elementari si dicono superiori.

a) coppie cinematiche combacianti, ma non rigide: ad esempio, accoppiamento tra una puleggia ed un flessibile (cinghia, catena), oppure tra un fluido e i condotti di una turbina o di una pompa;

14

Definizioni

principali

b) coppie cinematiche rigide, combacianti ma non indipendenti (però del tipo precedentemente indicato): ad esempio, snodo sferico; c) coppie rigide non combacianti, per le quali il moto relativo consentito non è un moto rigido elementare. Queste coppie, di regola, non sono indipendenti: ad esempio, sistema di ruote dentate tra loro ingrananti. non

7. Catene cinematiche. Meccanismi. — Un insieme di membri cinematicamente accoppiati tra loro forma una catena: i membri meccanici sono gli anelli delle catene, le copA pîe sono le articolazioni tra anello

4 A,

e anello. Una catena

si dice cinematica

ITIFFI_2 è costituita dalla successione di membri, accoppiati con coppie cinematiche, di guisa che fissando uno qualunque dei membri ne risulta un sistema con un solo grado di libertà. Esempio: il sistema cuscinetto-albero, manovella-biella,

L Esempio

B i

di oto

composta.

biella-stantuffo,

stantuffo-cilindro

indicato in fig. 1. Una catena cinematica è semplice se ciascuno dei membri che la costituiscono presenta due soli accoppiamenti cinematici: l’uno con il membro che lo precede, l’altro con quello che lo segue (esempio di fig. 1). Una catena cinematica semplice è anche chiusa, ossia l’ultimo membro è accoppiato cinematicamente col primo. Se invece vi sono membri con più di due accoppiamenti, la catena si dice composta: se, ad esempio, si articola alla biella in un punto intermedio H un’asta, il cui altro estremo è collegato pure a cerniera con un pattino scorrente sopra una guida piana (fig. 10), si ottiene una catena

composta.

Una catena cinematica, di cui si fissi uno dei membri, prende il nome di meccanismo. Da una stessa catena si possono ottenere diversi meccanismi, fissando l’uno o l’altro dei suoi membri. Si possono formare meccanismi anche con sole coppie elementari: ad esempio, i sistemi articolati, costituiti da membri collegati fra loro con soli accoppiamenti rotoidali o prismatici (sistema di fig. 1, o sistema di fig. 10).

PARTE

CINEMATICA

PRIMA

APPLICATA

CAPITOLO

MOTO

PRIMO

PIANO

1. Leggi ed equazioni fondamentali della cinematica piana. — Richiamiamo brevemente le proprietà fondamentali della cinematica dei sistemi piani che maggiormente interessano le applicazioni (vedi, per una esposizione più completa delle proprietà stesse, oltre alla bibliografia indicata nell’Introduzione, [1]). 1) Il moto di una qualsiasi figura rigida piana A è una successione di atti di moto rotatorio attorno ad assi perpendicolari al piano del movimento, la cui traccia sul piano stesso è il centro di istantanea rotazione. Se P è un punto qualsiasi della figura mobile, C il punto che è centro istantaneo nell’istante t, V la velocità di P, si ha:

(1)

V= @A(P—0)

ossia: in ogni istante la distribuzione delle velocità è identica a quella che

si avrebbe

se il moto

della

figura

rigida,

cui P

appartiene,

fosse

una rotazione @ attorno a 0. Se O, è un altro punto qualsiasi della figura rigida A, che si sceglie come centro di riduzione del moto, si ha pure: (2)

V=VW+t@®A(P_ 0,)

e pertanto: l’atto di moto istantaneo si può considerare composto di una traslazione, di velocità uguale alla velocità di 0, e di una rotazione attorno a 0,. 2) Le normali alle traiettorie dei punti della figura rigida mobile in ogni medesimo istante concorrono nel centro della rotazione istantanea (teorema di Chasles). Od anche: se sj è una qualsiasi linea rigida solidale con la A, ed s, è l’inviluppo (ammesso che esista) delle successive posizioni assunte da s, durante il moto di A, le due linee s, e sy sono chiamate profili coniugati; ora si ha: le normali di contatto dei profili coniugati in un medesimo istante si intersecano nel centro della rotazione istantanea. 2

—

FERRARI-ROMITI.

18

Parte prima — Cinematica

applicata

3) Il luogo dei punti del piano solidale col sistema del moto B, che nei successivi istanti diventano centro

di riferimento di istantanea

rotazione, è una linea p; solidale a B, e pertanto fissa nel moto relativo a B,

rigida

che è chiamata

mobile

A,

che

polare fissa. Il luogo

nei successivi

istanti

dei punti

vanno

della figura

a coincidere

con

i punti di B che sono centro di istantanea rotazione, è una linea pn solidale ad A e quindi mobîle, a cui si dà il nome di polare mobile. Le due polari hanno in ogni istante in comune un punto, il punto che è centro

di istantanea

rotazione,

e la polare

mobile

p,, rotola

senza

stri-

sciare sulla polare fissa p, (rappresentazione del moto secondo Poinsot). La costruzione della polare fissa richiede, per le successive posizioni della figura mobile, la determinazione del centro di istantanea rotazione,

e questo,

spesso,

è possibile

fare

in modo

semplice

con

costru-

zioni suggerite dalle proprietà indicate in (2). Per costruire la polare mobile, si deve innanzi tutto stabilire per quale posizione di A la si vuole tracciare; fissata tale posizione, che si indica

con

A4,,

e

si

chiama

posizione

iniziale,

la

essere eseguita con i due procedimenti seguenti: a) si riporta il sistema mobile da ciascuna cessive A;, che esso assume

trasportando istantaneo

durante il moto,

solidalmente €0;;

questo

con

si

detto

porterà

delle

posizioni

il punto

che

corrispondente

diretto

era

p,,

così

e polare

fissa

quella

come

polare

fissa

che

del

suc-

è il centro

punto

€;

polare mobile (metodo del trasporto); b) si può costruire la polare mobile come polare fissa inverso, considerando cioè fisso il sistema A che prima era mobile il sistema B che prima era fisso, restando invariati reciproci che determinano il moto relativo. Le due polari biano allora la funzione, diventando polare mobile quella che costruisce

può

nella posizione iniziale Ao;

sistema

nel

costruzione

prima

moto

era

pr:

inverso

della

del moto mobile, e i vincoli si scamnel moto

quest’ultima

(metodo

del

si

moto

INVErso). Si consideri,

ad esempio,

il sistema

schematizzato

nella fig.

11]; un

segmento

rigido PM ha il suo estremo P vincolato a muoversi su un cerchio assegnato di centro O e l’altro estremo M sopra una retta pure data passante per O. Si può pensare PM come un’asta articolata in P a w'altra asta OP, infulerata attorno all’asse di traccia O, mentre in M è articolata a un corsoio scorrevole entro una feritoia fissa il cui asse passa

per

O, di guisa

che il sistema

ora in esame

è lo schema

del meccanismo centrato biella-manovella. Considerando come figura rigida mobile A il segmento PM, e assumendo come sistema di riferimento B il sistema di assi (x, y) indicati in fig. 11 (origine degli assi nel punto O, asse x coincidente con la retta su cui si muove M), il centro della rotazione istantanea C corrispondente a una generica posizione P,M; di A è, per il teorema di Chasles, il punto di intersezione della retta OP; e della normale all’asse ® per M;. Per ottenere col metodo del trasporto il punto 0; della polare mobile, che corrisponde a C;, essendo la posi-

zione iniziale A, di A la PM, in

P.I

trasportando

(fig. 11), basterà portare il segmento

solidalmente

con

esso

il

punto

C;,

e

quindi

rigido P,M il triangolo

Capitolo

rigido P; 4,0;

in modo

primo

che la sua base

-- Moto

vada

piano

19

a coincidere

con P,M,;

l’omologo

di ©; risulta come intersezione dei due cerchi con centri rispettivamente in P, e in M, con raggi P;C;, e M;C;: delle due intersezioni di detti cerchi si deve prendere quella per cui il triangolo P,M;C; è congruente a P; M;0;. Nel moto inverso A è fisso, e pertanto in ogni istante coincide con A, = Po Mo; il punto O di B, che deve conservare distanza costante da P,, sì muove sul cerchio di centro P, e raggio OP= OP, = OP,, mentre l’asse x di B deve costantemente passare per M, e pertanto l’inviluppo delle successive posizioni da esso assunte è lo stesso punto M,. Se si considera la configurazione del sistema nel moto inverso che corrisponde alla OP; M; nel moto diretto [che è quella per cui gli angoli (MPi (05)

col

Fig. 11. — Costruzione della polare mobile «metodo del trasporto » e col «metodo del moto

inverso ».

e (M;P;0) sono uguali] il centro della rotazione istantanea di B in detta contigurazione appartiene alla retta P,0; (teorema di Chasles); d’altra parte il centro stesso deve appartenere alla normale comune ai due profili coniugati (asse x; = M,0;; punto M;), e pertanto è il punto di intersezione C; delle rette indicate, ed è facile riconoscere l’identità della costruzione ora data con quella corrispondente al metodo del trasporto (fig. 11).

4) Le proprietà dalle

due

polari;

geometriche

una

proprietà

cazioni, è data dalla formula (3)


fi ml Alla F,

corrisponde

una Fog

Pe—

componente = lr Fm=

b

Q

Tè» 2rtg90, 7,, data Pe

oh,

dalla: Q

27

tg Gn

in conseguenza dell’attrito negli accoppiamenti prismatici tra le G e la HA (fig. 10). Se 0,

è la forza,

diretta

secondo

Q=Q

+

z, trasmessa

2Fe=

Qt

dal corpo

K

Pe

__Q

b

tg,

hf

pressato,

si ha

perciò:

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

EÙ

vrtg Gm

accoppiamenti

265

da cui:

1h

1

1 —

fap fa

essendo; __

De

eh mentre

la

(3)

deve

essere

_

sostituita

con

la:

Q Pe

2n—Qpe—

Om2n_@Pe

2Tm

ba tg an hg:

1

I Sim am

PeQ

cos 8 — f sin an —h

= 0

ina,

Si ricava: Cm

=

Q Tm [tg

se 9, ha il significato già prima

(o»

+

91)

indicato, mentre

n; è il rendimento dell’intero meccanismo,

+

68

gel;

è 9, = arctg f,. Ne

definito dalla 7, =

n

Ut =

( ((1— f1p fa)

tg (a, +

Èg Gm p)

+

risulta che

se

Qu Pe 220 m

è

te 9,

Dalla (9) appare che, per dato a,,, n è tanto più elevato quanto minore è 9,, e pertanto ne deduciamo che, a parità di a,,, la vite a filetto rettangolare ha rendimento più grande (rispetto a quello corrispondente alla vite a filetto trapezio). Dalla (9) ricaviamo ancora che è n= 0 sia per o, =0, sia per . < IT a,= L — ®;,, © poichè per 0 | 00,|); la sua intersezione con la retta dei centri risulta di consequenza spostata rispetto a C', verso Vesterno delle primitive. In ogni caso si può dire che l’attrito devia la forza trasmessa dalla conduttrice (A) alla condotta (B) dalla parte del corpo della corona dentata di (B). Il lavoro perduto per attrito, nell’intervallo di tempo elementare dt, risulta, per la posizione in cui i denti si toccano in un punto P., della fase di accesso: dL,

=F|o,—

dt

se è è la distanza

0;|ò

della retta d’azione di F da €; ora si ha

(1)

(fig. 13):

ò = CO’ cos (0 + g)

mentre

applicando cc'

(2 (2)

sin g

e pertanto

il teorema =

sin [2

dei seni al triangolo P,CC° CP,

i

==

(+9)

si ha:

CP,

cos (0 + q)

risulta:

dL, di =F|o—0, | (CP.) sin g

(3)

D'altra parte, l'equazione del moto della ruota (A), se si indica con C,, il momento della forza ad essa applicata rispetto al suo asse e si considerail meccanismo nella condizione di funzionamento a velocità angolare costante (funzionamento a regime) è: C,= mn

Fa

se a è la distanza della retta d’azione da O,. Si ha (fig. 13):

(4)

della — F [applicata

ad

(A4)]

a=0,0f=(r,+ 00") cos(0 + g) = r,c0s(8 + 9) + (CP.) sin g

e pertanto

è:

(5)

PF

pa

da

Si

a Si calcola

aL, di

Cm

7, 6008(0+@)

+

=

.

(CP.)sing

così:

=|0,—

a

|

x

Cm

7,608 (0 + 9g)

5

+ (CP) sing

(CP.)sin

gp.

Poichè, per quanto è stato ricavato in (CI, 52), la velocità, con cui si sposta il punto P, di contatto tra i due profili coniugati s, e sy lungo la retta d’azione 7, è uguale a ©, cos 0, ne viene

268

Parte seconda — Dinamica

applicata

che, indicando con a, l’angolo di cui gira la ruota (4) mentre tatto tra s, e s, si porta da P, a C, è: (6)

il con-

CP, = ay, cos 0

ed il rapporto tra il lavoro dissipato dalla resistenza di attrito ed il lavoro contemporaneamente svolto dalla coppia motrice C;, risulta, per

Fig. 14. — Rappresentazione degli elementi geometrici per la determinazione della forza nella fase di recesso.

la posizione in fase di accesso: (7)

aL,

C 03 dt

cui

il contatto |

avviene

_1

nel

punto

considerato

nella

a; cos 0 sin g

DA

cos (0 + g) + cos 0 sin gia,

ERI

a, cos 0 sin g 7a

| cos(0+ 9) + a, cos @sing

essendo: Vo

Ti

OI

Ta

a seconda che si tratti di ruote esterne o interne. : Se il contatto si verifica in un punto P, nella fase di recesso si ha, in luogo della (4) (fig. 14): mentre

è:

a=0,0% = (r, + 00") cos (6— g), corv= BR? _ 0p, cos (0 —

di guisa

(7)

che si ha, invece

fat

q)

della (7), la a, cos 0 sin g

cos (8 — p) + aj cos O sin g

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti Dividendo

membro

numeratore

e

denominatore

della

269

frazione

a

secondo

delle (7) e (7) per cos 0 cos g otteniamo: dL,

| 1

fai 14+f(a,F

Ti

Cda,

Ya

tg 0)

essendo @,dt = da,, mentre si deve prendere nel denominatore della frazione a secondo membro il segno — oppure quello + a seconda che si consideri il contatto in accesso oppure in recesso. Se ammettiamo che la coppia motrice sia costante, e che in ogni istante una sola coppia di denti sia in presa, ne deduciamo per il lavoro dissipato dall’attrito L, nel periodo di tempo in cui dura il contatto tra i due denti: 7

iù

o

admin

Er

+

1

"Li

Ealra

La

90)

da

r

= C.|1++t]|f4;

1+f(a + tg 0)

tt)

da,

1F{(a

°

+|

ay 0

Lie,

o

1/4;

se indichiamo sempre con E, e con £, le lunghezze degli archi di azione in accesso e in recesso, e con f, il valore di f corrispondente ad un punto determinato, che può essere stabilito convenzionalmente, dell’arco di ingranamento. Poichè il lavoro motore L, nello stesso DS intervallo di tempo per il quale è stato calcolato L, è:

(9)

E, +. E,

Ln = Om

Ti

ricaviamo per la perdita di rendimento driche a denti diritti l’espressione:

î al pei

(10)

—

La

E,

Seni +

della

coppia

14

di ruote

cilin-

A. Ta

E

fo

Per l’ipotesi fatta che una sola coppia di denti sia in ogni istante in presa è E, + E, = p, indicando con 7 il passo della dentatura; indichiamo poi con /4* la 774,

A* = osserviamo

che,

poichè

dalla

(8) appare

2

dezza di (2): Ti

pi. che 4

è dell’ordine di gran-

2

e pertanto

di (2) , la A4* risulta ui

|

E

dell’ordine di grancal:

270

Parte

dezza

di uno.

Essendo

seconda

— Dinamica

infine 1 Ya

applicata

— É1 , se con 2; € 2, si indicano i nuRa

î

meri di denti delle ruote (A) e (B), la (10) può essere scritta nella forma:

(10)

1—-gq7=£

14

ti

2h 4° =2a|1 2

+ |j, 48

Zi

Za

Si ha di conseguenza: (11)

g=1-2rn

Il calcolo di 4* si ciente d’attrito f vari si possa considerare rispetto a uno, si ha

I p

; e,=

p

È

p

p

; così

n=1-a|

(1)

kh 4%.

può fare agevolmente se si ammette che il coeffìdurante l’ingranamento abbastanza poco perchè come costante; se poi si trascura f(a + tg 0) semplicemente:

VE

se g=

D41 | 1 da

che 1

21

D+

E

2ri

__ si +2 2

risulta: L! ), +44 Za

che

è nota come formula di Poncelet. Se si ha più di una coppia di denti simultaneamente in presa, il calcolo del lavoro dissipato dall’attrito per ogni intervallo di tempo elementare di, e quindi anche per l’angolo di rotazione corrispondente al passo della dentatura, richiede la conoscenza delle forze che i denti si scambiano; il problema della determinazione di tali forze è molto complesso perchè la ripartizione dell’azione mutua delle ruote coniugate tra le coppie di denti in presa dipende sia dalle flessibilità dei denti, sollecitati come mensole (di piccola lunghezza rispetto alle dimensioni della sezione trasversale) incastrate nella corona e caricate in punti più o meno lontani dalla sezione di incastro, sia dalla deformazione locale per effetto della pressione di contatto, sia dal disuguale logoramento delle diverse parti dei profili. D’altra parte, sulla legge di ripartizione del carico tra i denti, e sul lavoro delle resistenze passive, influisce pure in modo notevole la natura dell’atirito, che non è, come fin qui supposto, attrito tra superfici asciutte, bensì attrito tra superfici lubrificate.

©. Date le tutti questi blema.

difficoltà enormi che un calcolo, che tenga conto di elementi presenta, ci limitiamo qui a segnalare il pro-

Capitolo

6-2. RUOTE ralleti).

—

primo

DENTATE

Prendiamo

— Forze

agenti negli

CILINDRICHE in

esame

ora

accoppiamenti

271

CON DENTI ELICOIDALI il caso

in

cui

le

ruote

(assi padentate

cilindriche hanno denti elicoidali, essendo le superfici coniugate gli elicoidi rigati sviluppabili di cui sono state indicate le proprietà geometriche in (C I, 51 e 52): una coppia di denti in presa si tocca in ogni istante nei punti di un segmento di retta, che appartiene. alla generatrice comune di detti elicoidi: l’intersezione di questi col piano d'azione. Consideriamo il sistema in un istante in cui il contatto si produce lungo il segmento (P, Pj) compreso tra le superfici cilindriche di troncatura delle due ruote: nella fig. 16 è rappresentata la superficie di ingranamento corrispondente ai denti in presa costituita (C I, 52)

dal rettangolo (Iz I, I, 17), di cui i lati (I, I}) e (Ly 77) Sono le intersezioni del piano d’azione (4) con le superfici cilindriche di

Fig.

Fig. Fig. Fig.

15.

—

15.

Rappresentazione

del

componente

tangenziale

16. — Superficie di ingranamento per una coidali, e rappresentazione del componente elemento della generatrice di contatto.

troncatura

esterne

16.

rispettivamente

ad un elemento

ds,

coppia di ruote dentate cilindriche con denti normale della forza trasmessa, applicata ad

eliun

delle

della

forza

ruote

applicata

(4)

e

(B),

mentre

i

lati (Z, 1,) e (I, I) sono le intersezioni dello stesso piano d’azione con i piani normali agli assi di (B) e di (A), che delimitano i denti in lunghezza; nella stessa figura sono indicati il segmento di contatto P, P;j tra i denti in presa considerati, e il segmento (0, C7,) intersezione del piano (%) con i cilindri primitivi sia di (4) sia di (8). In corrispondenza di ogni elemento ds (nell’intorno di un punto) del segmento (P;P;) la forza che (A) trasmette a (B) ha un componente normale dF,, diretto secondo la perpendicolare alla (P;P/) nel senso indicato in fig. 16, ed un componente tangenziale dF,, diretto secondo la normale al piano d’azione, ed in senso contrario alla velocità relativa di (B) ad (4) in P (fig. 15), mentre è dl = fdF,.Illa-

272

Parte seconda — Dinamica

applicata

voro dissipato per l’attrito sull’elemento ds nel tempo

elementare

di è

pertanto:

d2 L, me Pn2 ds] o, — | CPdi, dove CP è il segmento indicato nelle figg. 15 e 16, la cui lunghezza, come è stato indicato nel numero precedente, è CP = ar, cos 0, dove a, ha

ancora

il significato

dato

in

6-1.

E

poi

(fig.

16):

cos 0

s = (C*#P= CP(1 [sin B) == agri n——— e pertanto: ds=t,

ad L, =

p=|

®2—

_-

cos 0 —— È sin #

di

al

ai

dF,

ayrì cos? Udito

ds

sin f

4.

Poichè i valori di a,, che corrispondono ai punti P, e P;, sono rispettivamente che

ba

ed Pa

usi

Ti

la potenza

(col

dissipata

consueto

significato

dall’attrito

operante

considerati, e nell’istante indicato, è, ammesso lungo la generatrice di contatto:

=

| Wy

—

%; |

dPn

3

ds

2.

COS

nella

simboli), coppia

che

“_

Efr

2

di

dei

a

sin 8

sia

appare di

denti

costante

Egr,

fido

[fa 0)

e nell’ipotesi di f costante:

dF, 2z=|o,—|

ds

, cos? 0

"

sing

o

13(#

=

ir.

D'altra parte se si indica con d?L,, il lavoro motore che deve essere speso sulla ruota (A) nell’intervallo di tempo dt, corrispondente all’azione che si trasmettono i denti della coppia in esame e all’elemento ds del contatto, è d Li, = “Xx odi =

“ cosf dsr,c08 _QF,

0 @ dit F f sal,

ds r, (sin 0F

a, cos 0) x

o; di (cos A .cos 0 ds + f a; cos 8 dsFfsin

0.ds)_

Capitolo

primo

— Forze

agenti negli

accoppiamenti

273

in cui a secondo membro si deve prendere il segno — oppure quello +, a seconda che l’elemento ds appartiene al segmento C*P; oppure al

segmento dL,

C*P;.

Risulta di conseguenza:

_dF,

di 7

x (È

2

ri

dF,

=

cos? 0

ds ra 0, [008

ds

©"

E,

2

+ 5) Tin

gb

sin f

E, # cost 0 |

Ti

E, 4 —

| ri ul

, Jtg0

=

Ra

f

ri

cost

7,

sing 2°

E+E Dl È

2rî

t

E.-E,

cos 8

A

j

La perdita di rendimento istantanea, all’istante considerati, è perciò:

corrispondente

alla coppia

e

aL

00

"7 dI

2 = 1—-n,

12

od

2

42

f

cos

AR]

di

î

(42)a

Lo

E

in

ri

T1

nale

Ei

f

4

2a)

cos #

+

tg0

E,

2ri

—- E,

n

anche: I

12

1—

Cu

7

cos B\z sî + 83 e?

tati

che nell’approssimazione dente diventa:

(È

postoÈ

fi =

casi

denti

eì

ì

Pn

+

g006—0)

alla

(11’)

del numero

prece-

+3) ftt 2

2

El + €2

della [6-1 (11’)] è stato supposto e, + e, = 1,

che la perdita di rendimento elicoidali

CA

:

Poichè nella deduzione

appare

+

corrispondente

1onch(p

(13)

1 on —

1 pi

fa

Ù

a

cos? 0

HI

cose) (FT)

da

2 cotg

E,

sin # (3

è

uguale

alla

istantanea della coppia

perdita

di

rendimento

considerata

medio,

durante

Vingranamento, della coppia di denti ad asse rettilineo, moltiplicata 1 . ì î . per ( casto ) Questa perdita di rendimento istantaneo non varia mentre 18

—

FERRARI-ROMITI.

274

Parte seconda - Dinamica

dal segmento

(Pî I,)

applicata

il contatto

si porta

superficiale parte della

di ingranamento (fig. 16), e pertanto per una notevole durata dell’accoppiamento tra due denti in presa; ne de-

al segmento

(7) P;9)

sulla

riva che la perdita di rendimento medio si può considerare quasi uguale alla perdita di rendimento istantaneo, e pertanto anch’esso dato dalla (13). 6-3. RUOTE DENTATE CONICHE (con denti ad asse rettilineo). — In modo analogo a quello indicato in (6-1) e (6-2) può essere fatta la determinazione dell’energia dissipata per l’attrito nell’accoppiamento di due ruote coniche (4) e (8), e del rendimento corrispondente. Supponiamo che i denti siano ad asse rettilineo, che in ogni istante ci sia una sola coppia di denti in presa, e che le superfici coniugate siano ottenute nel modo indicato in (0 II, 9), così che le loro proprietà geometriche siano

Fig. 17. — Superficie di ingranamento e com-

quelle indicate in detto numero; nella fig. 17 è rappresentata la superficie di ingranamento nel pia-

Lote nd un elemento de delta generatricedi NO di azione &, delimitata dalle contatto

per ruote

coniche

con

denti

diritti.

Que

circonferenze

(di

raggio

Re

E,), intersezioni di detto piano con le sfere che delimitano in lunghezza i denti, e dalle due rette intersezioni di % con i coni di troncatura esterni dei denti delle (4)

e

(B).

Considerando

l’ingranamento

in

un

istante

generico,

sia

(P.; P;) il segmento lungo cui si toccano le superfici coniugate, mentre sia 00 la retta d’intersezione del piano d’azione con il cono primitivo di (A); in corrispondenza di ogni elemento ds di (P.,, P,) la forza che (A) trasmette a (B) ha un componente normale dF,, diretto

secondo

la perpendicolare

alla (P,, P,) nel piano

4, e un

componente

tangenziale dF, diretto secondo la velocità relativa di (B) ad (A) in P, e pertanto secondo la normale ad %. Detta velocità relativa ha

una

grandezza

data

dalla: V,=|

o, — 0,| (PO)

3S

se PC' è la distanza del punto P, nel cui intorno si è considerato l’elemento ds, da OC. La potenza dissipata dall’attrito nell'istante indicato

e corrispondente

aLdi Ma

alla forza

= f

applicata

dF, Tr

a ds

;

ds (PC')|o—-@,|.

è: P

4

Ù

è pertanto:

Da

P,

C;

È

8

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

275

misurando le ascisse s dei punti P, sulla retta OP, da 0, ed indicando

con P,C, la distanza di P, da OC. Si ha di conseguenza: aL, di

_;

aP, ds

(3

che

È poi (fig. 17):

e poichè

è stato

8

01) 1

R°—

R} _ 2

P,C R+R, pilo

=fF,

ammettendo

P,0, |o,— PR 2

sia

costante

P,C, R

ricavato

lungo

il

segmento

di

contatto.

= sin f,,

al numero

(C II,

13)

che

mentre

la

ruota

(A) gira intorno al suo asse con la velocità angolare 0, la retta, intersezione della superficie conica del dente col piano d’azione %, ruota intorno alla normale ad % per 0 con la velocità angolare @, cos @ sina, [essendo a, la semiapertura del cono primitivo di (4)], detto f, l’angolo

di cui deve

ruotare

la (4)

perchè

la generatrice

di contatto

superfici coniche dei denti in presa si porti dalla posizione posizione (OC), è:

delle

(O0P,)

alla

B,= Bb, cos 0 sina, ; si può

scrivere pertanto:

de

{Pf

0050 sina | anno, | PER.

D'altra parte, prendendo i momenti delle forze applicate alla (A) rispetto all’asse di rotazione di questa, e sempre ammettendo che il sistema sia a regime (velocità angolare costante), si ha 1: CO, = FP,

R,+ R

[sin a, cos 0 + f sin a, sin 0 cos (f, cos 0 sin a;) + + f cos a, sin (6, cos 0 sin a,)].

1 In effetto il momento risultante delle forze normali 4F, (P.; Py) rispetto al punto O in cui concorrono gli assi di (A) R+E piano A ed ha la grandezza p,Fotf ; la sua componente 2 R+R . ni tanto (- Fa 5 sin cy) , essendo l’angolo che la normale al uguale

ad

a T_%

O è normale

D'altra

alla retta

parte,

(0P,)

il

ed

momento

ha la

risultante

grandezza

delle

applicate e di (B)

agli elementi ds è perpendicolare

di al

secondo l’asse di (A) è per. piano % forma con detto asse

forze

R+R f F,, 5 2

tangenziali

; detto

d F,

momento

rispetto

perciò

si

276

Parte seconda — Dinamica

applicata

Poichè:

R,

od

+,

R_

2

.

tr

“sinag=

+

2

Ti

L

da

per

la

determinazione

Fig. 18. — Elementi geometrici velocità angolare relativa per una

della

coppia

di ruote

coniche.

se r, e 7] sono i raggi primitivi di (A) sulle due sfere che delimitano i denti in lunghezza (raggi dei cerchi intersezioni del cono primitivo di (A) con dette sfere], si ricava:

1 O,

dL, di

m

f cos 0| 0, — 0, | f}

Se a è l’angolo formato

dai due vettori 0, e — @,, è (fig. 18): (19)

2

w

| 0, — @;| = an (14-42-02 1

cosa)

1/2

0

può scomporre in un momento diretto secondo la perpendicolare alla (OC) (fig. a), la cui R+ER grandezza è f F, Sl cos f;, ed in un momento diretto secondo la (0C) di grandezza Ro+ ER IF, a sin f,. Prendendo le componenti di questi momenti secondo l’asse di (A), si ha che

il momento risultante rispetto a questo asse è: R,+R FF, SA [ + f sin a; sin @ cos (f, cos @ sin 4,) — cos a, sin (f, cos @ sin a;)]

£F, Ro+ R sin Bi 2

FF, fo + A

FF,

2

in cui si deve ovvero

in

prendere

recesso.

il segno

nai

+

©

+A

2

cos

oppure

CA

Pi

x

Fig.

a.

-—

a

seconda

che il contatto

avviene in accesso

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

e perciò appare che il lavoro dissipato per attrito, tempo per cui dura il contatto tra i denti, è:

periodo

di

; di1+ i| cotg22 aCi gin (A) cos O sin ay) — tg 0 cos (8, cos @ sin a) |

+

2

(1)

è

1/2

I, = 0,(14++2Î cosa) 22 PA

| rif è

277

nel

FX

7 6,98, )

5

4 d

Zfo 6, aB 14}

a

_

sin (f, cos 0 sin a,) + tg @ cos (6, cos @ sin 0y)| 2

04

23

+24

0080)

9

\1/2

kA

indicando con È, e con È, le lunghezze degli archi d’azione in accesso e in recesso sulla sfera di raggio È: è chiara la stretta analogia della (1) con la (6-2, 8) a cui si riduce per a, = 0. Per la perdita di rendimento otteniamo

poi:

(2)

L

l_-n= Ù

PD

L —-_——_r___-

Ln

C

E, mn

-2|

+

vi

essendo

2 23

422

+

Ea

ri

2

cosa]

1/2

i, 4*

nola)

ancora:

p

od

2)2'

anche:

n

1 2 — "(4 rrid 008a) 1/2 |,

1 1—ngn=2n|—

A”.

Se ammettiamo poi che f sia costante durante l’ingranamento, e trascuriamo, a secondo membro della (1), il termine f rispetto all’unità, otteniamo :

8)

dt

ge 2 BE p

2

2ri 2

2

?

che èx identica all’espressione di 4* ottenuta per le ruote cilindriche, di guisa che, nell’approssimazione in cui vale la (3), il rendimento della coppia conica è espresso dalla relazione trovata per la coppia cilindrica 1/2

di ruote, con la sostituzione di | L

i

+ L

22

+

2

2489

cos a)

\

2

La

+ L

.

278

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

Non ci soffermiamo a considerare il caso delle ruote coniche con denti ad asse curvo, perchè il procedimento da seguire è del tutto identico a quello già applicato nei numeri precedenti. 6-4. RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI; TRASMISSIONE DEL MOTO ROTATORIO TRA ASSI SGHEMBI. — Limitiamo la determinazione della forza, che le due ruote si scambiano, e del lavoro z, dissipato dall’attrito al contatto, i al caso in cui il contatto stesso \Ja9 si produce in un punto M appartenente

alla

retta

normale

sia all’asse 2, di (A), sia all’asse 2, di (B). Prendiamo questa retta come asse x; indichiamo con 7, Vi

Fig.

19. —

Ruote

dentate

coidali con assi sghembi;

cilindriche

a denti

eli-

rappresentazione

del

j

Fig.

20.

trici

contatto in un punto della retta di minima distanza degli assi, e delle velocità in detto punto.

—

per

Elementi

la

geome-

determinazione

di ri.

e con r, le distanze di M da 2, e da

è y=

F»

e pertanto

il risultante

delle forze normali ha come retta d’azione la stessa n-n; la forza risultante corrispondente deve passare per Rf,, ed essere inclinata dell’angolo di attrito g su detta forza normale, ed è quindi nella direzione di R$:0, ossia di F,. Nella seconda ipotesi, f = 0, è y = 0, ossia il risultante delle forze ‘normali agisce secondo la m-m, e di conseguenza la forza risultante corrispondente, che passa per Ri, è inclinata dell'angolo di attrito g sulle m-m, e pertanto è nella direzione stessa di F,, (fig. 36). Sia d’altra parte 6, il vettore che ha la direzione di accostamento effettiva, inclinata di f sulla m-m, mentre il suo modulo è uguale allo spessore di materiale asportato nel punto di massima pressione (p = Po); indichiamo con é,, e con éd,, i componenti di $, nelle direzioni di (m-m) e (n-n), così che sia d, = do, + dog. Si ha pure: dò, = ò, 0088;

de

= è SIN;

p=kò=Kkéò,cos(0— f)= picos 0 4 pi sin 0 se: pi

Ora

= kò,cosf=kbò,1;

è:

=

pi

= kò,sinb = kòd,.

F,=ra f p(2.+f2)d0— pira f cos 0(0 +)

d0 + p;' ra f sin 0(0 + ft)d0

Ci

essendo

Ci

gli integrali estesi a tutto l’arco di contatto

sono i versori delle forze normali e tangenziali mento rd0 di detto arco. Ma è pure:

C,, mentre

applicate

ad

ogni

0 e 7 ele-

F, = pit | sin 0(0 + f7)d0; A

F,, = Do? f cos 0 (0 + ft) de, CA e di conseguenza: F,=F,

+ F,-

D'altra parte dalla (I, 8-3‘), tenendo presenti le proprietà e i risultati ora dedotti, si ricava: ' Po

2F =

cos ni

” La

3

Po

p =

1

302

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

(in cui a conserva il significato di « angolo di avvolgimento » del ceppo in

esame),

mentre

lo

spessore

del

materiale

asportato

per

usura

in

corrispondenza del punto D, la cui anomalia rispetto alla retta m-m indichiamo con 0, (e pertanto lo spostamento radiale di D pensato appartenente al ceppo di sinistra) è: òp = Po ke

Con

_ Ei k

__1

260089

k

ar

metodo

analogo

(p; cos 0, + p; sin 0,) =

| F,, 0080, a+

F,, sind

sina

a quello

ora

a—

seguito

sin a

si può

|" ricavare

l’espres-

sione che dà lo spostamento radiale di D pensato appartenente al ceppo di destra: ammettendo che il sistema dei due ceppi sia simmetrico

rispetto

alla retta

(AD)

(fig.

36),

e pertanto

gli angoli

di avvol-

gimento per entrambi i ceppi uguali, mentre 0, = — 0, se 0, è l’anomalia di D rispetto alla retta bisettrice di contatto per il ceppo di destra,

orientata

contro

pani eee1

2c0sg

k

e di conseguenza

(2)

il ceppo,

(2A

ar

F,, sin 21)

sina

a —

sina

è: P,, sin 0,

a +

a—

sin a

_

F,,008 0, __F,,sin

sin a

a + sin a

a —

6,

sina

per semplicità, che sia 0, = 2/2, la (2) si riduce alla: F,,

e quindi,

cos 0, a

a+

F,, 008 0,

Ammettendo,

risulta:

+

Ps

=

0,

per le (1):

ajQ+bX +a,@ +0 X=0 da

cui:

sim Osserviamo

che

au + as

= ai, bi + da

è:

L|=t871; N

2

|

F,

2

F,,

|=tgy

2

e pertanto, detto 7, quello dei due y che è più grande, perchè trambi i ceppi siano attivi lungo tutto il contatto deve risultare: LE Par

a

a—sina

< US Viim = COTE REN

ar

en-

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

303

Se questa condizione è soddisfatta, le forze ricavate sono effettivamente quelle che ceppi e tamburo si trasmettono, e il momento frenante applicato a questo è: M,= essendo

F,, ORS, + FP, ORSa = (Po, + Fo.) ORÈ

per la supposta

9-3. SISTEMI A DUE

simmetria

OR$,

= ORîs.

GRADI DI IPERSTATICITÀ.

—— Un’altra tipica con-

figurazione di freno a ceppi è quella indicata in fig. 37: poichè il primo

Fig.

per

37.

—

Esempio

la determinazione

di

freno

a

delle forze.

ceppi

Schema

con

della

due

gradi

travatura

di

iperstaticità

reticolare

equivalente.

ceppo presenta in A un fulero fisso, ed è perciò ad accostamento rigido, il sistema reticolare equivalente risulta costituito da tre aste con cinque cerniere ed un appoggio. Il grado di iperstaticità di detto sistema è di conseguenza: BX2+L1x1T-3x3=2 Rappresentiamo le forze applicate dal tamburo a ciascuno dei ceppi per mezzo dei loro componenti F, secondo le rette congiungenti i poli &* col centro O del tamburo, e dei loro componenti F, secondo le normali alle R*0, e prendiamo come incognite iperstatiche le componenti /,, pP2 e F,, corrispondenti ai ceppi secondo e terzo. Risolvendo il problema d’equilibrio per il sistema isostatico così ottenuto ricaviamo: FP,

at

Fa

Q+bh

FF,

Q+b

Fi,

F,,

= %

I Il

1

(1)

a—

— Da, te?

an

Q+

da

sin a

sina +

Xx X

nni Xa;

+01

Xa;

4

Xn;

09

= 093 Q+ bs L14603

X,

304

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

in cui f, è l'angolo di accostamento noto del primo ceppo, mentre è stato posto X, = F,,; Xa= Fyy Imponendo che lo spostamento radiale della cerniera B, pensata appartenente al ceppo (1), sia uguale allo spostamento radiale della stessa cerniera pensata appartenente al ceppo

è stato

già ricavato

(2), si ottiene, per quanto

al n° (I, 9-2):

F,, €08 0,

F,, sin O,

a + sina

a—

_

sin a

F,, 608 0,

F,, sin 0,

a +

a—

sin a

sin a

e poichè, sempre misurando le anomalie dei punti dell’arco di contatto di ciascun ceppo 4 nel senso della rotazione del tamburo, è 0, = — 0, otteniamo: (2)

FP, + Er=

=

(Pr Fn)

(di

a

—_

vi)

a a

sin a sina

sin a

te

a + sin a

cotg 0, =

0,. 1

Analogamente per l’eguaglianza degli spostamenti radiali di C, ricavati pensando 0 appartenente alla cerniera (2), e alla cerniera (3), si ha:

F,, 008 09

F,, sin 03 __ F,, 008 0g

F,, sin 03

a +4 sin a

a—

a—

sin a

a+

sin a

sin a

>’

essendo 0; l'anomalia di C rispetto alla bisettrice dell’arco di contatto del ceppo (2), mentre 0, è l'anomalia dello stesso punto rispetto alla bisettrice del ceppo (3). Di nuovo è 0,3 = — 05 e di conseguenza: (3)

Fr

+ Era

—

(Fa

(X,— (X3

Fra

a—

sin a

sino

E

0,=

x.)1) EB a + sina cote 5 05.Vo

Le (1) (2) (3) costituiscono un sistema non omogeneo non lineare di sette equazioni in sette incognite, che permette di risolvere il problema. sario

Perchè verificare

la soluzione

così

ottenuta

sia

corretta

SS

è sempre

neces-

che p

max

Negli esempi di sistemi iperstatici considerati sinora la condizione di congruenza dei soli spostamenti radiali degli elementi comuni di due ceppi contigui era

sufficiente, insieme alle

condizioni

di equilibrio delle

forze, per determinare queste, e si può riconoscere che la condizione di congruenza degli spostamenti tangenziali (al tamburo) delle cerniere comuni, quando le forze, e pertanto le direzioni di accostamento di ciascun ceppo siano state determinate, permette di determinare i centri di rotazione istantanea dei ceppi stessi, e l'ampiezza delle loro rotazioni

Capitolo

relative

(o

primo

coefficienti

— Forze

ad

essa

agenti

negli accoppiamenti

proporzionali).

In

305

questi

casi

perciò

i due problemi della determinazione delle forze, e della determinazione degli spostamenti possono essere separati. Si possono però avere sistemi

frenanti

e spostamenti

Fig.

pei

quali

devono

questa

separazione

non

essere ottenuti insieme.

è possibile,

Consideriamo,

38. — Esempio di freno a ceppi con due gradi di iperstaticità per la forze, per il quale la determinazione delle forze non può essere separata degli spostamenti.

e forze

ad es., il

determinazione delle dalla determinazione

sistema rappresentato in fig. 33: il sistema reticolare equivalente, presentando sette cerniere e quattro aste ha un grado di iperstaticità uguale a 2 x 7 —4 x 3 = 2; è perciò ovvio che se rendiamo isostatico il sistema, assumendo, per es., come incognite iperstatiche le com-

ponenti F,, e F,, delle forze applicate al ceppo (1) in Rj1 e al ceppo (2) in Ri; la sola condizione che lo spostamento radiale di B, ottenuto pensando la cerniera appartenente al ceppo (1), sia uguale allo spostamento radiale della stessa cerniera determinato pensando B appartenente al ceppo (2), non è sufficiente, insieme con le equazioni di equilibrio delle forze, a risolvere il problema. D’altra parte per la congruenza degli spostamenti del punto comune ai due ceppi è necessario

ora imporre

menti

siano

traduce

che anche

uguali,

in un’altra

ed

le componenti

è facile

relazione

riconoscere

tangenziali

che

tra le componenti

di detti

questa delle forze

sposta-

condizione che

si

il tam-

buro trasmette ai ceppi stessi. In effetto, per la compatibilità degli spostamenti tangenziali, quando la condizione di compatibilità delle componenti radiali sia stata posta, è necessario e sufficiente imporre 20

—

FERRARI-ROMITI.

306

Parte

che

seconda

— Dinamica

applicata

i centri C, e C, di istantanea rotazione

tengano

dei ceppi (1) e (2) appar-

ad una medesima retta passante per

B

(fig. 38). Ma il punto

C,

deve stare sulla retta 0,H,, mentre l’angolo che la retta OC, forma con l’asse x [scelto coincidente con la bisettrice dell’angolo di avvolgimento del ceppo (1)] è uguale a (8, — #/2), se f#, è l'angolo che definisce la direzione di accostamento corrispondente a (1). Poichè l’equazione della retta (0,4), rispetto al riferimento (x, y) indicato in fig. 38, è: d_T_%n,

Za, —

e quella della OC,

_.

YU

Lo,

Ya —

Yo,

è:

y = — cotg f,-@ (con

ovvio

significato

dei

simboli),

otteniamo

per

le

coordinate

(%;,,

Yo,) di C, le: to, =_

1

Ca, — Ym 0008 1

Ca, — Yn, COtg vi

Ye, = — 006g Pi

14 cotgv,cotg f, ”

1 + cotg y, cotg 6,’

essendo vw; l’angolo che la retta orientata H,0, forma con l’asse « (fie. 38). D'altra parte il punto 0, appartiene alla retta (0,H,), e l’angolo che la (0C,) forma col semiasse x negativo

è uguale a

n

— Ba)

essendo , l’angolo che definisce la direzione di accostamento ceppo (2). Procedendo in modo analogo a quanto indicato per troviamo per le coordinate (%,,, Yo,) di C, le: Leg

Lg — COLE Wa Yao

Xpg

Yo,

1— cotg y, cotg f,

e pertanto

se B appartiene

cotg

Us

_

7

cotg

Pa

essere:

Los

si ricava: (1

+

Yz

0008

da

cotg

Cry — Yz CODE Vo cobg w,

+ (1 + y ”

Va,

sa

Ya,

cotg

Ì

1

Y

TT

i | Cu, — Ya, CO . a— sin a

Ma:

8 fa cob

8 Ba

+

cotg f, =

1 Fei]

Ba

(21

a +

sin a

a— sin a = — _a+sina

Vi

Cry — Ynz CO6E ve . a—sina FP,. Sv

cotgy,

a +

= —

a—

CER

cotg y, cotg 6,

Yo —

cui

1—

alla retta (0, C,) deve

Ve da

Ba

sin a sina

o+sina

FP. È

Pa

°

del C,,

b)

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli accoppiamenti

307

se a è il valore dell'angolo di avvolgimento per entrambi i ceppi (fig. 38). L’equazione ora trovata dà pertanto un’altra condizione per le F,, © F,,, lineare nelle F,, e F,, stesse, che congiunta con quella corrispondente all’uguaglianza degli spostamenti radiali, che si ottiene come già indicato negli esempi prima svolti, e con le equazioni che si ricavano considerando il sistema isostatico, permette di risolvere il problema

(v.

anche

[10]).

10. Legge di ripartizione della pressione di contatto per una coppia rotoidale portante-spingente secondo l’ipotesi del Reye. — Se i due membri (4) e (5) costituiscono una coppia rotoidale portante-spin4%

>

— ——»

Xx

Ù

DS

Fig.

39. — Elementi geometrici della pressione al contatto

per per

la determinazione della legge di distribuzione una coppia rotoidale portante-spingente,

gente, e precisamente (4) è un pattino piano premuto contro un disco (B) ruotante intorno al suo asse (fig. 39), la distribuzione delle forze

normali

e delle

forze

tangenziali

agenti

sulla

superficie

piana

di

contatto dei due membri può essere ottenuta grazie all’ipotesi del Reye in modo analogo a quello indicato nel caso considerato al n° (I, 8). Supponiamo che sia (A) il membro che si logora, e abbia la forma di un settore anulare: poichè (B) non presenta usura, la superficie di contatto tra i due membri si conserva piana, e lo spostamento che

(4)

compie,

mentre

si usura,

può

essere

considerato

dovuto

a una

rotazione intorno ad una retta 7 del piano, cui appartiene la superficie di contatto dei membri stessi. Assumiamo un sistema d’assi aventi l’origine nel centro 0 del disco; l’asse x diretto

secondo

l’asse

di simmetria

di (A),

y ruotato

di = L

nel senso di rotazione del disco, e 2 nella direzione e nel senso dell’asse

308 di

Parte seconda — Dinamica questo.

Lo

spessore

d

di

materiale

applicata

asportato

per

usura

in

corri-

spondenza di un punto P generico della superficie di contatto è proporzionale alla distanza di P da 7, e perciò se s è la distanza di 7 da 0, e (7,0) le coordinate polari di P rispetto a x come asse polare e 2 O come polo, è (fig. 39): (1)

ò = cost. [s 4 r cos (0 — £)]

se f è l’angolo che la normale É a 7, orientata come in figura, forma con l’asse 2. D'altra parte la velocità relativa di (B) rispetto ad (A) in P è V.= ©r, e di conseguenza dalla (I, 7-1) si ricava: (2)

s

(8)

P=Pa

essendo

+ r cos (0

— 8) = cost. pr

È

8s+rcos(0—Lp)

p, una costante il cui significato

appare

subito

uguale a p, Se s +7 cos(0 — f)= 7, e pertanto p, pressione nei punti che hanno uguale distanza dal

dalla (3): p è

è il valore della centro O e dal-

l’asse 7. Appare pure dalla (3) che p, per dato 7, è massimo per 0 = #, ossia nei punti dell’asse £: alla direzione di questa, perciò, per analogia col caso considerato nel n°(I,8), si dà il nome di direzione di accostamento. Come già nel n° (I, 8), possiamo ancora osservare che la (3) è valida se: (3’)

8s+rcos(0— B) > 0,

e per questo è necessario (e sufficiente) che l’asse 7 non tagli il pattino. Ottenuta la legge di distribuzione della pressione nei punti della superficie di contatto, possiamo determinare le forze che i due membri si scambiano attraverso questa: indichiamo qui il procedimento seguito da Romiti in [11]. Ammesso che tutto il pattino sia attivo, e pertanto che la condizione (3’) sia soddisfatta, scriviamo la (3) nella forma:

(4) in

(5)

«PP

+p"

cui:

D=Po7; ’

s

p'=p,cos(0—f). Zi

La distribuzione della pressione corrispondente alla prima delle (5) produce una forza risultante trasmessa dal disco al pattino, il cui componente normale al disco, e pertanto diretto e orientato secondo

Capitolo

primo

l’asse #, indichiamo diretto ed orientato

agenti negli accoppiamenti

309

con Fi, mentre il componente nel piano (x, y) è secondo l’asse y e lo indichiamo con F;. Risulta: af2

(6)

— Forze

Ta

Fi=ps fado fPr-psalror)= pp 4 vY

— aj2

se

a è l’angolo

m

7A

corrispondente

al settore

circolare

coperto

dal

pattino

(fig. 39); r, € rg i raggi minimo e massimo di detto settore; 7,, il raggio medio Td Ta ; A= aT,, (rà -—Y;) è l’area del settore stesso, 2 Si ha poi:

della Fi ha una

a/2 INIOS

b

da

O

data

aj2

frrararao hi

distanza

Ta

=

a

Dl

_ky2

La retta d’azione

(8)

orarao

Lei

a/2

—

cos

Sat

mI=If

=;

Ti

ps °

PE.

ir

far=

odo

fcos

fps

.

ra

sl?

a

dalla:

T: a

| cos

040

— a/2

/rar= GA

sin a/2 "0/2 mentre la retta dato dalla:

O9)

d’azione a/2

b= oegif 1

— af2

Nella

fig. 40

ra

della

n° ddr frrasar=

F,

ha

un

braccio

rispetto

all’asse

=

1 aj2 TL fps (Rara. Pineta

2

7,

sono

rappresentati

i punti

di

applicazione

B;

e B,

delle F; e F,, e la retta d’azione della F;. La distribuzione di pressione corrispondente alla seconda delle (5) è della stessa forma di quella che si ha nei freni a tamburo, e dà luogo

a un componente F;', normale al disco, della forza risultante ad essa corrispondente,

applicato

in

un

malia y, la quale può essere subito

il momento

f

xj2

— a/2

quale,

procedendo

(11) che

2;

del

identica

(x, y)

di ano-

alla condizione che

sia nullo.

Otteniamo:

Ta

fprresin(0— 7) dardo —=0 Ti

come

indicato

tgy = è appunto

piano

calcolata in base

risultante delle forze dovute alla p’

(10) dalla

punto

alla (I, 8-2).

nel n°

(I, 8), otteniamo:

310

Parte

Abbiamo

seconda

— Dinamica

applicata

poi: «|2

(12)

Ta

F/ -f

fer

— a/2

sin a/2 af2

dr d0 = p, A

cos f

Ti

mentre la distanza o; di B;' può essere ricavata dalla: aj2

Ta

o: F; = f

[ren

— a/2

cos (0 — y) dr dé

Ti

che esprime l’uguaglianza del momento della forza normale risultante (applicata in B;°) rispetto alla retta per 0 normale alla 0B/, al moA

4

È £*

È ;

x)

B,.

m—_

Indicazione

dei

punti

di applicazione

dei

Fig. 40. componenti

delle

forze

trasmesse

mento risultante delle forze dovute alla p'' rispetto Ma come già è stato indicato al n° (I, 8), è:

dal disco

allo

al pattino.

stesso

af2

cos (9— 8) cos(6—y)d0 = 2 (a + sina) SEL 2

COS y

— a/2

di guisa che risulta: 13

(13)

"’

e

se

+

a

H-

sin (04

? 4sina/2

1

cosy”

b)

asse.

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

311

essendo:

(14)

Pi

T=

a

sn

—

1

Tm +

Ar\?

(i)

se 4r = r, — r,. Se osserviamo poi che la componente secondo la retta (05/') della forza risultante corrispondente alle forze di attrito sui singoli elementi della superficie di contatto è uguale a: /2

Ta

/ — al

[ip” sin (0—y)rdrd0, n

e pertanto è nulla per la (10), appare che la forza tangenziale risultante F;' dovuta alle p' è diretta normalmente alla (057). La sua grandezza è data dalla:

as)15)

«/2

Ta

+ sin a 1 "i tr o drd0=f= 151 TSOAP, s=f fipreosto—p)rardo ,

F/=

— af2

mentre

la

ri

distanza

o;

della

sua

retta

af 2

da

cui

O

risulta

dalla:

[ip"rarao, a/2

tai

si deduce: 4

(16)

da

Ta

ol' = —

d’azione

si

0 = Ty A sin af COS y . a +sma

Indichiamo con ;' il punto in cui la retta (05) dalla retta d’azione della F;': poichè questa è normale

è intersecata alla (08), il

segmento 05; ha lunghezza e;', e dalla (16) deduciamo il risultato, che è del tutto analogo a quello corrispondente indicato nel n° (I, 8) che al variare della direzione di accostamento il punto B;' si sposta sul cerchio passante per O e avente il centro sull’asse x, mentre il suo diametro è dato dalla: 4 sin a/2 (17)

00%

=r,

p

—— LL a + sina

.

Deduciamo inoltre, che essendo F;' sempre normale alla (05/‘), corrispondente a un generico valore di f, la retta d’azione di Fi', per qualunque B, passa sempre per il punto 0*, che di conseguenza è il polo delle forze tangenziali (corrispondenti alla distribuzione delle pressioni p').

312

Parte seconda — Dinamica

applicata

Può ancora essere conveniente scomporre nenti secondo gli assi x e y; otteniamo: 18 (18)

Fi

a + sin a =-f——-f

smi

Immaginiamo coordinata mento

b*”

diretto

SAR

- PI;

poi trasportata

ti

la F!' nel

la Fi’

—

nei

due

a + sine ie

punto

= r, aa aggiungendo una 4 sin a/2 secondo x e di momento M, dato

LA

4 sin 0/2 B#”

coppia

compo-

dell’asse « di di

asse

mo-

dalla:

+ sina

19 (19)

M,= FP be'tgy= pur, "> STI, gy {sù a gy

Il momento M, è posttivo, se ha senso concordante col senso positivo delle rotazioni intorno a . Riassumendo, pertanto, l’azione trasmessa dal disco al pattino è così composta:

a) forze normali al disco: F; applicata nel punto B; dell’asse @, di ascissa d2 = 47, (essendo Ad SI)

F{ applicata nel punto B*'

a

dell’asse

7 di ascissa

di

= 77,

b) forze nel piano del disco plicata nel punto B; dell’asse @ applicata nel punto 0* dell’asse c) forza nel piano del disco

pr=--; E

®

(essendo

4” = i

5

4 sin a/2 dirette secondo y: Y, =f' F., 2pdi ascissa db, = 7,,/X", e Fy = PF x di ascissa by = r,/4"; applicata in 0*, e diretta secondo «:

.

?

Tp d) coppia di asse momento diretto x e di momento M,. Appare dalle espressioni sopra indicate, che detta azione è comple-

tamente determinata se si conoscono le grandezze di F., F/ e Mg; è perciò opportuno esprimere in funzione delle stesse grandezze anche i parametri che definiscono la posizione della retta, attorno alla quale si compie la rotazione del pattino mentre si usura, e la distribuzione delle pressioni sulla superficie di contatto. Dalle relazioni già prima trovate si deduce: 20

teg=

(20) essendo

4 sin a/2 u = ——_—_ a—

gina

,

?

sii

feM.

Pr,’

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

8

(21)

, 608 È Fui F.

alan

essendo

v =

gu 2

(22)

i

P

:

e); a Fi

così

a Ar'UA

M,=F,

b, + F;

= se

F,=

F,+

Fi

l’asse #; appare

F,

= vr, sin f HU,’

Si ricava infine che il momento l’azione applicata al pattino è dato (23)

313

è

bi

_

Fi

sin @

A

risultante dalla:

vi

rispetto

= {(Fir+F

Tp)

all’asse # del=

prata 1fAr\?

F

la

—

|[— | PI

componente

pertanto

che

della

forza

risultante

secondo

per:

1 Ar —{[—|

\?

12 | Tm

, trasmissione. Il tipo più noto, perchè di maggiore diffusione, delle catene portanti articolate è la catena di Galle, costituita da caviglie con perni di estremità collegati a due a due con piastrine di acciaio (fig. 61). Essa si accoppia con carrucole Fig. 61. — Catena di Galle. dentate con numero di denti maggiore di otto; si definisce circonferenza primitwwa della carrucola quella che contiene i centri delle caviglie: se p è il passo, cioè la distanza tra gli assi di due anelli consecutivi, e # il numero dei denti, il diametro primitivo risulta:

2R=_ P_. sin ye/e Il profilo di ciascun dente deve essere coniugato alla circonferenza o {sezione

di

una

caviglia),

nel

moto

di

questa

relativo

alla

carrucola:

poichè tale moto è ovviamente una rotazione intorno al centro 0 della caviglia successiva (fig. 62), il profilo coniugato alla o risulta un arco di cerchio di centro 0 e raggio

uguale al passo diminuito del raggio L

di o. In effetto nelle ruote unificate, il dente è profilato secondo un arco di cerchio interno a quello prima definito ed è delimitato in altezza da una troncatura come indicato in fig. 62. La catena Zobel è analoga alla Galle (fig. 63), ma è più adatta di questa per la trasmissione del moto: in essa le piastrine di collegamento quelle

di un perno con quello che lo che lo collegano col successivo,

precede non si ma sono tutte

alternano con riunite in un

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli accoppiamenti

329

gruppo, allo scopo di diminuire lo strisciamento fra le piastrine stesse; inoltre, in quelle usate per trasmettere forze notevoli (da 2000 a 5000 kg) le piastrine interne sono solidali ad astucci cilindrici infilati sui perni, mentre a questi sono fissate le piastrine così da evitare lo strisciamento dei perni entro i fori delle piastrine (fig. 63). Per le trasmissioni ad alta velocità (da 5 a 7 m/sec) le catene a fusi non sono convenienti, perchè l’usura dei perni, aumentando il

Fig.

p 8

LI

d

62.

—

diametro del rullo passo; numero denti;

Puleggia

dentata

Dx -d

= diametro

D.

|P (0,84 cote x);

accoppiamento

con

catena

Galle:

Rie 7 (1,005 4 + 0,076) mm; tag = 0,844 VE)

D; = diametro primitivo della puleggia D,=

per

della catena;

interno

=

—£

sin rr/e

;

a =35°+ LOI

puleggia;

B

& = 18° __36°.

180° è fl

ai:

E

passo, rende difettoso l’accoppiamento dei fusi stessi coi rocchetti dentati. Si comportano meglio le catene nelle quali gli elementi attivi sono costituiti dalle piastrine stesse, sagomate come denti di una dentiera deformabile: ad esse si dà il nome di catene silenziose, perchè l'usura,

ed

il

corrispondente

aumento

del

passo

non

sono

accompa-

gnati da un accoppiamento cinematico difettoso, in quanto detto aumento non ha altra conseguenza che quello di determinare un aumento del diametro primitivo della ruota dentata coniugata. Appartiene

a

questo

tipo

la

catena

Renold

costituita

da

tante

piastrine

sagomate a forma di occhiale, che si alternano, rieoprendosi parzialmente, e sono collegate da fusi. Non sono però i fusi, come si è detto

330

Parte seconda —# Dinamica

applicata

prima, ad accoppiarsi con la ruota, ma le piastrine stesse, che terminano ad ogni estremità con una punta triangolare P, che fa sistema con quella P'’ dell’elemento successivo, costituendo con essa un dente, la cui forma varia in conseguenza del moto relativo di una piastrina rispetto alla successiva (fig. 64). I profili esterni dei denti sono inclinati in modo da formare tra loro un angolo 20, uguale a 609, o in alcuni casi 750: lo stesso angolo è formato

di una

tra il profilo

esterno

piastrina ed il profilo

del dente

esterno

del

dente della piastrina precedente, o succes-

siva,

quando

gli assi dei fusi di collega-

mento appartengono ad una retta (catena non avvolta). Quando la catena si avvolge

Fig.

63.

—

Catena

sopra un rocchetto dell’angolo

Zobel.

Fig.

64.

—

Catena

di z denti, ogni maglia ruota rispetto

2a Mesa

e pertanto

l’angolo

formato

dai

Renold.

all’adiacente profili

esterni

È

dei denti di due piastrine, che si collegano, si riduce dal valore 20, sopra indicato al valore 20 = 20, — 2a. I denti del rocchetto, coniugati ai denti della catena (che in generale non sono mai meno di 17), sono anch’essi a profilo rettilineo, e l’angolo formato fra i due profili simmetrici di ciascun dente (simmetrici, così che il sistema sia invertibile) risulta (fig. 64): 2RB=20—2a=20,—4a. Appare

perciò

che

deve

essere: 6,>2a

per evitare denti a rastremazione sommità che alla base) (fig. 64).

invertita

(e

quindi

più

spessi

in

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

331

Nella fig. 65, nella metà superiore è rappresentato l’imboceo catena-rocchetto per catena nuova, mentre nella metà inferiore è indicato come si presenta l’ingranamento, quando per usura dei perni, il passo è aumentato, e di conseguenza è pure aumentato, come già si è detto, il diametro primitivo del rocchetto. È da osservare che sempre il contatto tra il dente deformabile della catena ed il dente coniugato del rocchetto avviene gradualmente, e lo scorrimento ha

Ia

metà

Fig. 65. superiore

— Aumento del passo conseguente all’usura con catena Renold: dà la configurazione a catena nuova; la metà inferiore a catena

usurata.

luogo non tra i denti ma tra i cuscinetti e perni di collegamento tra le successive piastrine. La catena Morse è analoga alla Renold: in essa l’attrito è ridotto sostituendo al contatto di strisciamento tra cuscinetto e perno di collegamento delle piastrine, due mezzi perni portati, entro appositi

che si collegano

un contatto di rotolamento tra alloggiamenti, dalle piastrine

(fig. 66).

17. Trasmissione con funi o con cinghie. Richiamo delle equazioni fondamentali della dinamica dei flessibili (per le funi e le cinghie). — Appare

da

quanto

è

stato

esposto

nei

numeri

precedenti

che,

per

quanto si riferisce all’applicazione dei flessibili per la trasmissione di potenza, le funi e le cinghie si differenziano dalle catene, in quanto mentre le prime affidano tale trasmissione all’aderenza col membro a cui si accoppiano,

per le catene

che si scambiano

opportune

la trasmissione

superfici coniugate,

è assicurata

dalla forza

forza che ha non

sol-

332

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

tanto componente tangente alle superfici stesse, ma anche componente normale. Si considerano pertanto qui separatamente i due casi, e si fa innanzi tutto un rapido richiamo delle equazioni fondamentali

delle cinghie

Fig.

66.

delle funi e

considerate, dapprima, come organi perfettamente flessibili.

—

Catena

Morse:

4

e B

sono

i mezzi

perni

a

contatto

di rotolamento.

a) Tensione. Se H,H, è un tratto di flessibile, e P è un punto di H,H, si definisce tensione in P la forza, che uno dei tratti in cui H,H, è diviso da P, trasmette, per la continuità del flessibile, all’altro tratto in P (fig. 67); presa sulla curva funicolare, secondo cui è disposto il flessibile, un’ascissa curvilinea s, definiremo, convenzionalmente, come tensione in P, e la indicheremo con Ta*, la forza che gli elementi disposti dalla parte delle ascisse s crescenti trasmettono in P a quelli posti dalla parte delle s decrescenti. La Tt* è diretta tangenzialmente alla curva funicolare o, e verso l’esterno della parte a cui è applicata, di guisa che se 7 è il versore della tangente di o orientata nel senso delle s crescenti, è:

(1)

=

1.

b) L'equazione di equilibrio dinamico del flessibile, sollecitato da forze esterne (ad esso) distribuite lungo la curva funicolare, indicando

Fig.

con

F

la forza

67.

—

Ascissa

unitaria

curvilinea

sull’asse

corrispondente

di un

flessibile,

a tale

e tensione.

distribuzione

che la forza applicata all'elemento ds è F ds), e con unità di lunghezza del flessibile stesso, è data dalla:

(2) 2

2 + F(9,9)—g

dUrt

5

i

GAY Centi

——

=

=0

(di

q la massa

guisa

per

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

333

se V è la velocità dell’elemento ds di flessibile di ascissa s (e quindi dV | si . — Qq a È la sua forza d’inerzia), Ci si limita qui a considerare il caso in cui la curva funicolare o è invariabile nel tempo, e pertanto coincide pure con la traiettoria di ogni elemento ds del flessibile; prendendo in ogni punto P di o le componenti delle forze applicate secondo la tangente + (orientata nel senso delle s crescenti, preso coincidente col senso del moto del cingolo), secondo la normale principale n (orientata verso il centro di curvatura di 0), e secondo la binormale, si deduce dalla (2):

se E è il raggio di curvatura di o, e F.,, F,, secondo i versori sopra definiti.

F, le componenti

di F

18. Legge di variazione della tensione lungo il tratto avvolto sulla puleggia (per una cinghia o una fune). Sia S la puleggia su cui il flessibile (A) è avvolto; indichiamo: con C il momento rispetto all’asse di (S) della coppia ad essa applicata, con l’indice m (e pertanto €,,) se la puleggia S è conduttrice (e la indicheremo con $,,); con l’indice r (e pertanto €,) se S è condotta (e la indicheremo con $,); con H, e H, i punti origine ed estremo (nel senso della rotazione della puleggia) dell’arco 0,, per cui $,, è a contatto col flessibile (fig. 68). Se si immagina di eseguire una sezione del flessibile nel ramo che si avvolge sulla puleggia, ed una sezione del ramo che si svolge, e si applicano in corrispondenza di dette sezioni le forze che i rami tagliati trasmettono a quello che è avvolto su &,, (fig. 68), e cioè la tensione T, #, in H,, ela forza — T, «jin H,, dall’equazione del momento risultante delle quantità di moto rispetto all’asse di S,, si ha per la puleggia conduttrice di raggio È,: do a

D =(&t,

TW) R+L

se L, è la lunghezza del flessibile avvolto

(2)

i

dV

ela

sulla puleggia;

si ha invece:

0, + 1a

se la puleggia è condotta, e si indicano con T7 t# e con TÈ 7* le tensioni in corrispondenza dei punti H, e H, (fig. 69), mentre L, e E, hanno significati analoghi a quelli di L, e £,. Si ha €, > &, dalla (1), e T$ > T* dalla (2); il ramo più teso del cingolo è chiamato conduttore, quello meno teso condotto, e manifestamente il ramo conduttore

334

Parte seconda — Dinamica

applicata

si avvolge sulla puleggia motrice e si svolge dalla puleggia condotta (figg. 68 e 69). Ad un elemento ds di o, nell’intorno di un punto P, è applicata da S ad (A) una forza, corrispondente alla reazione della corona della puleggia abbracciata dal flessibile, che ha un componente normale

Fig.

Figg.

68-69.

— fig.

68,

a 0, che indichiamo se ammettiamo

che

sibile e l’elemento tensioni

crescenti

corrisponde

68.

Fig.

Trasmissione

del

puleggia

rotatorio

motrice;. fig. 69,

con F, ds, ed esista

un

scorrimento

di corona, (e

moto

di

69.

potenza

puleggia

con

flessibile:

condotta.

componente

tangenziale

relativo

l’elemento

tra

F, ds: di fles-

con cui esso si accoppia, nel senso delle

riconosceremo

al fenomeno

e

che

effettivamente

questa

ipotesi

reale), è:

F,=F}|Kl î . i n aT . ca dT in cui deve prendersi il segno meno se de > 0, il segno più se ra 8 8 Dalla seconda delle (I, 17-3) si ricava: T Vv? P=—Via

Q

U

T

Vv?

Penn

se poi si considera S come puleggia conduttrice, è, come già prima " © = dT a ne è stato osservato, ©, < &,, e ds < 0, per il senso positivo supposto per

(4) 4

le ascisse

s; in

queste

dT

FIRMO,

Ga

condizioni

T se

INI

be €

è perciò:

Vv?

dV

der 7 Cenni

—

-

=0

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

Poichè

335

si può porre: ds = EÈ,d0,

mentre

è: dT

do

si può

=

d —

dé |

{_ {[T_-qv?

q dv — (T)uim3 .

per dati C,,, Come puleggia che può ancora a zionario,

do

ma

7

7

Tg > (Toltimi

T.

T.), 1 (Ta): “mM, cn 2 (Co)tim

Gr

e V.

conseguenza poi dello scorrimento relativo tra flessibile e lungo l’angolo 40* ne risulta una potenza dissipata per attrito, essere calcolata grazie ai risultati sopra ottenuti: ci limitiamo eseguire tale determinazione nel caso in cui il moto sia stae perciò © = costante per entrambe le pulegge.

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

339

Consideriamo dapprima la puleggia motrice: in corrispondenza di ogni elemento ds dell’arco di scorrimento la potenza dissipata per attrito è data dalla:

2

=

d?L,

f|F, V,|ds, —/|F,||V;|de,

=—

e poichè: T vV2 F,|=—-90-—-

|v.]=R—V=V 1+ gg) V-(1+ 35] ES ES =

De ES

si ricava:

(A2L,),,

c

v?

(E IRR

(ipa di

tenuta presente la (I, 18-3). Integrando su tutto l’arco

(9)

e] Vi

t,- © ES

r,

di — as= 7 ds&° 7,

di scorrimento

T,—T ES

si ha:

_ 2 3Vo ,MI

AL.)

4©

-

(5 _

Vo

(€,

—

Ty)

ES Analogamente (7)

(dL,).

si ricava,

—_

V,

dt

Cna

__

VW

2k, considerando

(TÈ

__

TX)

ES

Om

2

C,

Li,

la puleggia condotta: —_

—

Vi

*

a

2k,

Vi

>»

C,

2

R,

essendo: vee Ne

v.(t+

gi):

risulta per la perdita di rendimento

(0),

(8)

1_m=-

e per la perdita

di rendimento

9

(9)

ve=v.(1+3k).

1—-

te

n=

oO

_ a

sulla puleggia

Va 2V,

sulla puleggia

di ° oO,

condotta:

vi2 — VR1, ——_2Vf

conduttrice:

340

Parte seconda — Dinamica

applicata

20. Curva funicolare dei rami liberi e legge di. variazione della tensione lungo essi (per condizione di funzionamento a regime: © = costante). — Siano $,, e $, ancora rispettivamente le pulegge conduttrice e condotta fra loro collegate per mezzo di un flessibile, che su esse si avvolge, e calettate su alberi paralleli (fig. 72); supponiamo che il sistema sia in condizioni

di funzionamento

ciascuna

e quindi

delle

pulegge,

V =

a regime

cost., per

(@ = costante per

ogni elemento

ds

del

»» X

Fig.

72.

—

Funicolare

dei

rami

liberi.

flessibile, se si prescinde dalle variazioni corrispondenti all’elasticità di questo). Le equazioni di equilibrio per ogni elemento ds di ciascuno dei due rami liberi sono, per la (I, 17-2):

(1)

dt de

. —qgsina=0;

T —

— qg cosa

— q

Uh

= 0

essendo a l’angolo che la tangente alla funicolare in un punto generico di essa forma con l’asse x orizzontale, e @ il raggio di curvatura in detto punto. Posto:

(2)

c=T—-qr?,

le (1) diventano:

(3)

ds

—qgsna=0;

—qgceosa=0,

che coincidono con le equazioni che definiscono la curva funicolare di un flessibile sollecitato unicamente dal proprio peso. Ne deduciamo pertanto

che

ciascun

ramo

libero

si dispone

secondo

una

catenaria,

e

che la tensione in un punto P generico di questa, se y è la coordinata verticale di P rispetto alla base [ossia alla retta parallela alla tan-

Capitolo

primo

— Forze

gente nel punto più basso

agenti negli accoppiamenti

341

(vertice), ad una distanza da questo uguale

Vrili

(O

a

d9

, Se ©; è il valore di €’ nel vertice] è data dalla:

(4)

tl = qgy

ossia:

i

(5)

CU=a(gy+V?).

Ne risulta subito che se T, e T* sono le tensioni nel ramo conduttore rispettivamente nei punti HY, e H}, in cui esso si avvolge sulla puleggia motrice e si svolge da quella condotta (fig. 72) è: (6)

ti — TW, = 09 (Uwe,— Ya)

ed analogamente,

e in HY

se T, e T* sono le tensioni

del ramo

condotto in H,

è:

(7)

Ti —

©, = 49 (Ya, — Ya,)

e perciò: (8)

doi —

do =

€,

Ty, +09,

— Ya, —

(Va

Un)

2

T&T

Cij

I

Co

I

anche per pulegge di diametro alquanto diverso. Se poi i punti H} e H,, così come i punti H# e H, non sono a quote notevolmente diverse, o comunque, se il peso proprio del flessibile può essere supposto trascurabile a fronte dei valori delle tensioni, si potrà pure ammettere che sia: - 0 -* T* É

Ts.

21. Determinazione della tensione in una sezione generica del flessibile. Determinazione della coppia limite (sull’asse di una puleggia) o della velocità angolare limite per scorrimento globale. — Per applicare i risultati ottenuti nei nn. (I, 18 e 20) alla determinazione del valore della tensione Te in una sezione generica del flessibile, per date condizioni di funzionamento del sistema, e in particolare dei valori di €, 7, e di T,t, [che, nell’ipotesi indicata al termine del numero precedente, coincidono con le tensioni (costanti) nei rami liberi, rispettivamente conduttore

e

condotto]

è

necessario

considerare

le

modalità

con

le

quali è generata la tensione nel flessibile a flessibile fermo (0 tensione iniziale) [20], [21], [22] e [23]. Prendiamo in esame, a tale scopo, i seguenti tre tipi. 21-1. PULEGGIA A SOPPORTO OSCILLANTE. — Una disposizione di questo genere è indicata in fig. 73: il banco 5, che porta i sopporti dell’albero su cui è calettata una delle pulegge (generalmente la puleggia motrice), e il motore che comanda la rotazione di questa, è

342

Parte seconda — Dinamica

applicata

libero di ruotare intorno ad un asse, parallelo all’asse della puleggia stessa, e non appartenente al piano verticale per il baricentro del sistema. Se indichiamo con @ il peso di questo, con a la distanza della verticale baricentrica dall’asse di infulcramento di B, e con bd, e bd, le analoghe distanze delle rette d’azione di T,t, e — T,%,, dall’equilibrio dei momenti rispetto a detto asse, in condizioni di funzionamento a loto odi

Fig.

73.

—

Puleggia

a supporto

oscillante.

regime, otteniamo, trascurando il momento ogni elemento del flessibile avvolto: (1) che

con

centrifuga

di

la Cn

permette

ini

(Ca, ss

To)

k,

subito di calcolare le tensioni; precisamente ricaviamo: T,

CA

T,

Rn

D;i

Cm (bo/E,) + 9a

=

L’angolo (4

forza

Qa—-T,b, — Tgb> = 0

(2)

(3 3

della

di scorrimento — gV®

Di —

NE

=

—

EL

Cn (b/E)

elastico risulta perciò

C, (b/R,)

CT, — gv?

T,

+ Qa—-q(ba

Cm (0/R)

+Qa—q(b°

+Qa

dalla:

+ di) V?

— gt48

+ b)V?

Se ora supponiamo che, rimanendo costante la velocità V del flessibile, la coppia C,, cresca, appare subito dalla (4) che 40* pure cresce, e raggiunge il valore massimo ammissibile /40,, corrispondente all’angolo di avvolgimento, per €, = (C..)u dato dalla: (5)

(0

_ mo) tim

puri

Qa—q(b,+b,) V? b,

+

b,

VIZIO

R,

(e/4%

—

1)

c

Se invece si considera il funzionamento del sistema per C,, = così e V crescente, dalle (3) si deduce che le tensioni T, e €, rimangono

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

costanti, mentre valore

limite

dalla (4) appare

40,

per

VY=

(V),,,

che

40*

dato

dalla:

pure

cresce,

343

e raggiunge

il

by + b, e/4% Qa

(6)

(Va)tim =

—

Cm

q(ba

aeee-a +

da)

21-2. RULLO TENDITORE. — Nella fig. 74 è indicato un secondo modo per generare la tensione iniziale nel flessibile: un rullo P (liberamente girevole intorno al suo asse) R appoggia sul ramo condotto del flesi sibile, mentre il suo asse è portato da un braccio H infulerato inCondotta

Conduttrice Fig.

74.

—

Rullo

tenditore.

Fig.

75. — Determinazione delle forze nel sistema con rullo tenditore.

torno ad un asse parallelo a quello della puleggia. La tensione ©,, che così si produce, è determinata dalla condizione di equilibrio delle forze che sono applicate al braccio H: trascurando l'attrito nell’accoppiamento rotoidale di P, le tensioni sul ramo che si avvolge sul rullo, e sul ramo che si svolge, hanno uguale grandezza e si compongono in una forza risultante €, 0, che ha come retta d’azione la bisettrice dell'arco di avvolgimento. Se 0 è il peso complessivo del braccio e del rullo, agente secondo la verticale % per il baricentro di P e di H, l'equilibrio di H richiede che la reazione R,, applicata nel centro 0 dell’accoppiamento di H col telaio, agisca secondo la retta congiungente O col punto di intersezione delle rette d’azione di 0 e di ©, 0 (fig. 75). Si può perciò subito ottenere le T, e e R, con la scomposizione di @ secondo le direzioni note di dette forze, come è indicato nella stessa fig. 75, dopo di che la determinazione di T,7, è immediata. Se si prescinde dalle piccole variazioni della configurazione geometrica del sistema, conseguenti alle variazioni di lunghezza del flessibile per la sua deformabilità elastica, la tensione €, così determinata non varia al variare delle condizioni di esercizio del flessibile, e pertanto la €, può essere ricavata con l'equazione: C, (7)

a=Gt

pr

344

Parte seconda — Dinamica

mentre

l’angolo

di scorrimento TU, +

elastico risulta dalla:

ca ;

(8)

Sul 1

—

el48*.

limite

sono

t,— qV? La

date

coppia dalle:

limite,

(9)

e la

applicata

velocità

di

conseguenza

ora

(Om)tim = (CT, — gV?) (e/4% — 1) Ri; (V2) tim —

Gi

(Cas

di

1) —_

On/P,

q (e/4% — 1)

.

Comportamento analogo a quello ora indicato ha il flessibile nei piani inclinati a trazione funicolare in servizio nelle miniere: in essi si hanno due carrelli, uno dei

Puleggia/

motrice”

Sa

Fune ie

-

.

zavorra».

traente

Tenditore

%

T Da

i Puleggia tenditrice x Fig.

76.

—

Piano

inclinato

a trazione

funicolare.

quali, generalmente carico, percorre la via in salita, mentre l’altro discende. La fune traente, agganciata ai carrelli, si avvolge sulla puleggia motrice che si trova nella stazione superiore, mentre, per dare, o più correttamente, per incrementare la tensione in ciascuno dei due rami conduttore e condotto al valore necessario per assicurare l’aderenza del flessibile, una seconda fune collega i due carrelli dopo essersi avvolta sopra una puleggia tenditrice, come è rappresentato schematicamente nella fig. 76. Se si indica con Q, il peso del carrello carico, con Q, quello del carrello scarico, con a l'inclinazione del piano, con Y' il coefficiente complessivo di attrito al traino 1, con 0, il peso del contrappeso nella stazione inferiore, le tensioni nei due ! Definiamo /' nel modo seguente: se F, è il componente normale (alla guida) della forza risultante applicata al carrello, la forza parallela alla guida stessa, che deve essere applicata per produrre il moto del carrello vincendo tutta e sola l’azione resistente dovuta agli attriti (di

rotolamento,

netto

di ciascuna

al

contatto

ruota)

ruote-guida;

è f F,.

di

strisciamento,

nelle

coppie

rotoidali

perno-cusci-

Capitolo rami

conduttore

a regime)

primo

e condotto

— Forze

agenti

negli accoppiamenti

del flessibile risultano

(in condizioni

345 di funzionamento

dalle:

T,= @ (sin a +

(sin a — f" 008 a)

T,=>0@

s

-

f cosa) +

Le

+

e pertanto l’angolo di scorrimento elastico è deducibile con le: Qi

(sin

a +

f

cos

a)

+

Q2—

gV*

=

Q. (ina — f cosa) +Q,2—gl* —

se si ammette

che la massa per unità di lunghezza

flessibile, dalla puleggia tenditrice a quella motrice. servire per calcolare Q,, se si fissa il valore

ef48*

q sia costante La

relazione

lungo tutto il sopra

data

può

T2%,

di 40*.

21-3. FUNE FORZATA. — Si ha questa disposizione quando la lunghezza del fiessibile

è minore

di quella

necessaria

per avvolgere le pulegge poste con i loro assì alla distanza voluta; per montare la [ fune sulle pulegge stesse è perciò neFig. 77. cessario fenderla, così da produrre in essa l’allungamento elastico necessario: la tensione in

condizioni

di riposo

è chiamata

fensione

—

YFune

che

di forzamento

forzata.

essa

assume

(o

di mon-

taggio). La disposizione ora in esame può essere ottenuta, ad es., facendo portare l’albero di una delle pulegge da sopporti solidali a una slitta, che può essere fatta scorrere sopra apposite guide per mezzo di una coppia elicoidale (fig. 77): si porta dapprima la puleggia in posizione tale da consentire l’avvolgimento del flessibile, quindi ruotando la vite si sposta la puleggia stessa in modo da produrre l’allungamento elastico corrispondente alla tensione che si vuole ottenere. Ci

limiteremo

ora

qui

a

determinare

la

tensione

del

flessibile

in

una sezione generica, ed il suo comportamento al variare delle condizioni di esercizio per il caso particolare in cui i punti H, e H7 (fig. 72) appartengono alla stessa orizzontale, mentre i punti 7, e H* si possono pure ritenere, senza notevole errore, sopra una medesima retta orizzontale: il procedimento però qui indicato può essere esteso, con sole difficoltà formali, al caso più generale. Ammetteremo poi che, sia in condizioni di riposo, sia in condizioni di esercizio, la catenaria funicolare di ciascun ramo libero si possa confondere

tario

gg

con

la

parabola

e alla tensione

funicolare

%,,

a riposo:

To = €, —qv*®

oppure

corrispondente

al

carico

uni-

€; = T&T,— qV?

in funzionamento, a seconda che si tratti del ramo conduttore, oppure condotto. Osserviamo che per un arco di parabola, i cui estremi H, e H, appartengono ad una retta parallela alla tangente al vertice, le lunghezze dell’arco stesso L e della sua corda 7, se la freccia % (uguale

346

Parte seconda — Dinamica

all’ordinata comune legate dalla: +

v

dei

applicata

punti HY, e H,) è piccola

1 5(8]]

rispetto ad 7, sono

Appare pertanto che l’eccesso della lunghezza dell’arco rispetto alla corda

è uguale

a: L_1

21 2h 3

.

D'altra parte la freccia 4 della parabola funicolare corrispondente a un (11)

carico

gg e a una

tensione €, è data =l î

dalla:

di guisa che in condizioni di riposo si ha per i due tratti liberi, se L, è la lunghezza

mentre

del flessibile alla tensione

in condizioni

di esercizio,

per il ramo

conduttore

dg” —1 41%

L-l1=

1

e per il ramo

€, :

24

(Ci

24

(T,— qV??

è:

__p

gv?

condotto:

se L, e L, sono rispettivamente le lunghezze dei detti rami soggetti alle tensioni rispettivamente T&, — qV? e T, — qV?. Ammesso che le lunghezze complessive dei rami avvolti si possano ritenere nelle due condizioni di riposo e di funzionamento uguali, la differenza della lunghezza del flessibile in esercizio e a riposo, è data dalla: 1 L Li + Lo La — 2L, o = —94 TIq2g283 | (€,

12) (12) 1 È

zii Î

infatti

con

el

TI

riferimento

_—_

alla

Zi

fig. a,

y=

— qV®?

—_—

(G—= qV®}

c |.

q

+

s-

ih

Ha Xx

+

(143

dg

Vitta

g 9°

da

_

=

5(2)]

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

347

D'altra parte detta differenza si può pure esprimere come differenza degli allungamenti totali prodotti nel flessibile dalla tensione a cui è soggetto in condizioni di funzionamento e a riposo: con la stessa approssimazione con la quale è stata ricavata la (12), la somma degli allungamenti elastici nei rami liberi in esercizio, è: Li

Ty

(7%

% sE)

La somma degli allungamenti elastici nei rami avvolti, nell’ipotesi qui fatta che i raggi È, e £, delle pulegge siano uguali, o quasi, e a meno di termini il cui ordine di grandezza è (f 4 0*), essendo sempre 40* l’angolo di scorrimento !, è data dalla: R

UL

+

ES di guisa

che l’allungamento

i(£

A

ES

+ ;

=

5 . Poichè in condizioni di riposo l’al-

è: -

21+aR) 1 L’allungamento

R-(0+xR)(+%)

ES

PS

elastico

è:

a+

ES

avendo posto e, = lungamento

totale

elastico, infatti,

9 =

del ramo

1+aR)e,,

avvolto

sulla puleggia

conduttrice

è:

40%

R

1 (

e poichè:

__

40

*

)

Ti

ES

+f

T

—— ES

R,d0; 190

0

T=(T1—gV*) e 10 +qV? 410%

risulta:

T

Pu

»

[Arsa

*

f 540

—

*2

tagVv? 140

#2

’

0

sviluppando in serie di potenze la e7/0 e trascurando i termini (f460*)3 e inferiori, D'altra parte è con analoga approssimazione:

dell’indice

di grandezza

di

Ta=€©(1T—-fA40*)+qgV*fA40*

così

che

si ricava

R,

per l'allungamento

elastico

del ramo

(a — A40*)

fAO* (T. — aV?) =

Fa d0°2 ES ES In

modo

in esame:

analogo

si ottiene

per

l'allungamento

ar 1ES'So da cui risulta subito

quanto

del

Pa 40°2

ES

sopra affermato.

(Ti — Ta). ramo

avvolto

(T.— Ta)

sulla

puleggia

condotta:

348

Parte seconda — Dinamica

applicata

se e, = DI si ha: 13

2

19

2a

R

1

Pg

"lana *

n

10)

i

2 1 L.b

= 97

z|

=(1+aE)(e +e, — 26)

anche:

(14)

a_

essendo:

Ti

+

G,—

w

dd?

=2

+

24

[iz

R

i

(er + 8,28)ts

cces. el CE. °ooggi?

*

qgi®

®

LL

qgl’

Vai.

La (13) [o la (14)] dà una relazione tra le tensioni di esercizio e la tensione di forzamenito, che per date condizioni di funzionamento, in-

sieme alla C,, = &, (€, — €,) permette di determinare le tensioni stesse, e discutere il comportamento del sistema al variare delle condizioni di funzionamento, Supponiamo che, rimanendo costante la coppia trasmessa, e quindi (©, — Tg), v cresca: perchè la (14) continui ad essere soddisfatta, 7, (e quindi 7,) deve aumentare, e perciò (rt, + t2) risulta crescenie con ®v, mentre nei casi precedentemente considerati, per C,, = cost è pure t, + ta = cost. Ora dalle (I, 19-1 e 2), in cui al posto di 40, si ponga /0*, si deduce: n e140* 4.1 Cc a (15) T,+ = R,ggi ef40°—1 + 202 e pertanto,

mentre

per

t, + t, = così, un

aumento

di v deve

sempre

e subito produrre un incremento di /10*, per 7, + 7, crescente con +, la (15) può continuare ad essere soddisfatta se v cresce, senza che necessariamente 40* aumenti; se anche quindi un incremento di può portare, a partire da un certo valore critico è, anche con la disposizione ora in esame, ad uno scorrimento globale, è indubbio che detto valore di +, è alquanto più grande di quello corrispondente ai casi prima considerati, a parità di ogni altra condizione. Se

la

poi

coppia 1 Dalla

v rimane

costante,

trasmessa,

dalla

mentre

(14)

(14) si ricava infatti, posto

1

1

punti devono

quindi

dell’asse essere

Y

+

tangente

parallela solo

nel

— ta);

a =

1

1,

al.

ES

n

* (PX)

+x_ sp

si ha per X=0, così che appare le varie Y =f(X) corrispondenti

considerate

7%.) negativa.

1

aumenta

cresce

1

“= @=x_ef Il segno di uguaglianza mentre risulta pure che

perchè

7, + t, ancora

X = aok (71

(P+X—vw

1

cresce,

che

Y = Tot (c1 +9);

Si (4a)

dX

7, — t,

risulta

all’asse dominio

X. Y

Deve >

X,

poi

= ®

quanto sopra è ai diversi valori

essere

perchè

per

osservato Y




CAOFI

tagdW,

20 9 O 2 5 © fe td+ & _= (008° (8, £) + cos? (8°, n) +

a

+ cos? (8°, 6)] + ey [cos? (7°, È) + cos? (7°, n) + cos? (7°, DI + + e5[c0s? (2°, È) + cos? (2°, n) + cos? (2, = tette. Le

(7’) si possono

pertanto

scrivere nella

forma:

| (12)

|

Tey

—

2

Vey

Trz

7

AM

Vaz-

3

D'altra parte, consideriamo un elemento di superficie 48, perpendicolare alla direzione 7, e l’equilibrio delle forze applicate alle fac-

cette del prismetto delimitato da 48, e dagli elementi superficiali dei piani coordinati, che sono le proiezioni di d4$, sui piani stessi; se 0, 48,

ty3 48,, td8,

sono le componenti della forza applicata

particelle fiuide che si trovano dalla parte della 7 verso l’esterno del prismetto) sulle particelle che questo, rispettivamente nella direzione 7 normale zioni £É e ©, che appartengono a d$,, otteniamo analogo a quello prima indicato:

o, (13)

a 48, dalle

positiva (orientata sono all’interno di a 4$,, e nelle direin modo del tutto

= -PHTFA(&t+ 68,48) +248,;

Tra >

Toy =

24 VR

Tya — 20M Vys> Ed

infine,

se si prende

l’elemento

4S,

+8) e, + e, o,=-—P+A(

do)

normale

alla

direzione

&:

+ 248;

Tig = ta. = 24Va:j Toy = Tya = 24 Yyz-

Consideriamo il tetraedro elementare e6 (0, ABC) di cui tre facce, di dS,, d$8, appartengono ai piani coordinati (Y,2), (x, 2), (x,y), mentre

area dS,, la quarta

378

Parte seconda — Dinamica

applicata

faccia, di area dS, appartiene ad un piano la cui normale n, orientata verso l'esterno del tetraedro, ha coseni direttori a, f, y. Siano È, d8,, £,48,, 1.48, le forze applicate dal fluido esterno al fluido interno ad cÉ rispettivamente in corrispondenza delle facce (0, 4B), (0, 4C), (0,CB) (fig. 99); si ha: fi. =

(15)

— ci

—

teyj—

tek;

f,= — yi —tyai—ty:k;

f,= —okT—zziT-tyi r4

A

Fig.

D'altra

99.

parte,

—

Gli

sforzi

specifici

come

se £, è lo sforzo

componenti

specifico

relativo

del

tensore

degli

alla faccetta

sforzi.

(ABC),

dall’equi-

librio di e6 risulta: Î,dS+Î,d8S, + f,48,+Î,d48S,=0, od

anche:

(16)

f,=

di conseguenza

—fa--Σ,f_Σ,y;

è:

{17)

Sia

108 xi=

Iny=

In

fne

= În

X

1

X

50 =

Ty

k =

+ tyeP+ @

+

15:04

0yB

Tae); +

ty;

tyef+

0,y.

Dalle (17) appare che le o e 7 sono le componenti di un tensore doppio simmetrico [32], [33], che prende il nome di tensore degli sforzi, Cm (,m= = 1, 2, 3) essendo Tu

=

0x5

Too

=

0y;

Ts

=

02;

T,

ai = Ty

=

Tey;

Tg

n

Tai =

Trzj

Cag =

Tse

=

Tyz;

Ea

(Ca

sla Tof

+

Tgy)

i +

(Tya

QUA

13 23 | Xx (ai + f]j+yk)=

A

(SS +

mn Lo

[i

Lei

dalle (17) risulta poi che lo sforzo specifico Î, relativo ad un elemento di superficie dS comunque orientata si può ottenere come prodotto interno del tensore T;m e del versore n della normale alla d$8:

33

TsaB

| +

Ty)

Ì +

(Ca

+

Too

ali Tsa7)

k.

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

379

D’altra parte dalla (I, 27-6) appare che anche le e e y sono le componenti di un tensore doppio simmetrico I}, (&,m = 1, 2, 3), e le (12), (13) e (14) mostrano che le componenti del tensore degli sforzi possono essere espresse per mezzo delle componenti del tensore delle velocità di deformazione con la formula: (18)

Tim

=

(-B+

46)

dim 4

208Tim

in cuiè:

4 mentre

e, è l’invariante

lineare

(18°)

nigi

imT

1 perÎ=m,

del tensore €

= l'a

I},

+ Doo

dato

dalle:

+ Dgg.

Le (12), (13) e (14) possono essere generalizzate considerando, invece che coordinate cartesiane ortogonali, coordinate generali: ci limitiamo qui a ricavare le

espressioni, in coordinate cilindriche e sferiche, delle formule corrispondenti a quelle ora

indicate. Siano O, appartengono nel medesimo e pertanto le

e P due punti di distanza ds elementare, essendo la retta a cui essi comunque orientata; se V è la velocità del fluido in O, all’istante 1, istante la velocità in P sarà rappresentabile con l’espressione V + dV, particelle fluide che all’istante ? sono in O, e in P, all’istante i + dt

saranno nei punti 0j e Pi dati dalle: O,

0,=Vdt;

P_P=Vdt+dVdt

e si avrà: P_0;=P_0,+dV-dt. Moltiplicando

i Ma

scalarmente

entrambi

i membri

per

P' — 0j

otteniamo:

(P'— 0) x (P'_ 0;) = (P—0,) x (P_0,) + + [(P"—P) — (01 — 0;)] x (P— 0) + (P"— 0}) x dV di.

è: (P'_—P)—(0}— 0) = dV

e di conseguenza, (P'—

01)

Il primo

a meno x

di infinitesimi di ordine superiore,

(P'—

membro

0;)—

è uguale

(O1P{), e perciò possiamo

(P—0,)x

si può

scrivere:

(P—0,)=2(P—0,)

x dVdt.

a (ds)?— (ds)?, se ds’ è la lunghezza

dell’elemento

scrivere:

(ds)? =— (ds)? Se usiamo

dt

coordinate

cartesiane,

= (P—0,) x dV.

poichè:

P_0,=dxi+dyj+4dek; AV

=

(Vip— dv

+

da

gg

(Vo,

=

dv

—

dz

Qu

(1°

deal i

)i+

da + dw

—

(£

du

dr

d

du\,.

dy +

I

dw

zu

—

0y

d

dv

i+

(d

da +

dw

“Nu

-— GE

o)

de|k,

Parte seconda — Dinamica

380

applicata

risulta : (ds')? —

(ds)? =

2dt

€ (de)?

+

Ey (dy)?

+

e, (42)?

+

2Vxy da dy

+

2y,,dx

de

+

+ 2vy2 dy de = ® (da, dy, de) = © (£, n, ©) posto In

£ = de; 7= dy; © = de. coordinate cilindriche (2,

@, 7)

è:

P_0,=drg

+ (rd0)t

+ de k

se @, © e k sono rispettivamente i versori delle rette (0, — 0) (essendo degli assi); normale a (0,-— O) nel piano per O,, e asse 2. È:

e=ge(0); D'altra

parte

IV = dv

Gi

;

Wp

T 7

+

——

>

n 20-

U) si d

+

che

9

dv,

+($

rd0 lg

ae

Z

04

;

dv,

"+ dv,

+

de) k+

ae

+

t+

e

a),

si ha: =

@®(dr,rd0, de) = D (É,n,0)

E

+

r00 dz

+

avendo ora posto £ = dr; n= rd0; { = de. Le componenti della velocità di deformazione "

db

ti

+2

de) d

790

x d

do

elet:

+4 te] 0r

Vi=

Ve

+

CIA Vg (7-2)

+

dr

2dt

dr

dv

d

100

dv,

0%,

PET) rd0 + De

Rito

(48°)? — (ds)?

n

do

d0,

dr +

0%, |Î

I

di di guisa

dt

Mk

+ vot + 0,k;

= (47

do 790 "+

do

00 QU,

Vo,

dv

TP

+0

.

ti)

è: V=

+(5

de

a=t(0);

O l’origine

dU,

dU,

Vo

do

DA

0%,

(za dv,

è

0),

CIA

( de

dv,

à

or

2) E

(È

dz

dv,

i

Lele

dv,

(7

dalle: dv,

+

(È

64 dvg

ul

subito

d0,

Ja

dvo

(Gr, e

si ottengono dva

pena o = [5 + (3 “n°

E) 00

E

Der RIT

STE

Capitolo e perciò

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

381

si ha:

ae 9

(19)

EL] ga

®

ta.

700 2Vrs

|

vat

perciò

dz

dv,

dv,

da

9

Fig.

Potremo

Ne

ar7

100.

—

;

2

n

eat.

Coordinate

Go)

Mike

708

r

GO

”

do

dv,

3

790

do dr

sferiche,

scrivere: o,=-—P+A(e 494 e) + 246;

(20) |

oo =-—p

+e

+ e9 + e) + 2469;

o,=--P

+A(e

+ c90 + e)

tro = 2UY03 Se invece usiamo

coordinate

+ 246;

Tre = 24Vrzi sferiche

toa = 2UVox-

(r, 0, g) (fig.

100) si ha:

P_0,=dr@g+rd0t,+rsin0dpt, dove (r =

@

è

cost;

coordinata

il versore g =

cost)

del

raggio

orientato

(r = cost;

0 = cost)

_

pre dt

—' dg

=

senso

dei

orientato

Tt,=t,(0,9); dt,

(0,-- 0);

nel

î

, @

è

il versore

crescenti;

nel senso

ta=t2(0,9; Ot,

— gsin0—cos0t,;

dei

della

linea

è il versore

crescenti.

È

oe=e@(0,9);

Lesbo

ioga

7,

i 2%; 00.

CLI

_ 0:

ae 9

22 _ sin 073; 09

coordinata della

ora:

linea

382

Parte seconda — Dinamica

mentre

si può

scrivere:

V= 0,0 + tot, + 09%,

dv,

=

dv

dv,

——

+

(57

t

( or

d

dvg mt

dv dt

700

dv,

de

,

dv ki

T

40

pon

+

sin 0

dg

i

sin

0dg

+

rd0

r

+

+

—

(ds)?

dv.

1

ha)

rsin0

-

1

o|ut

0

ve NALI

rd0

700 .

in

@

EErsin )0

vo

0

8

dg

+

0dg Q =

n

rain 049

dg

d

rsin 0?

o)u+

0d

resin 099 an

“o

r sin 0

rsin 0

x det,+

1

dUp

sin 00,

cos 0 %

rsin0dg|q,.

rsin0

09

r sin 0

r sin 0

°

7 © (dr, rd0,r sin.

sa

dU»

3

CIO)

Un

2

ie +(3dv,

)

d Va

2)

+ en4

0dg) = D(E,n,0)=

1

dVy

DA

cos 0 vg

,

rsin 0

09

r

r sin 0

St

1

(

0% Sete

rsin 0

1)

0d

o) e+

perciò: (ds)?

da

04

CLAS

0 dp Pt-

004 (

n

+

.

dg

©

.

(2) Pi

200 dr 4

vg

9

rsin

° rsin 0 dg

dr

1 rsin 0

Tin 089

dti

vp

de

1

_

.

_

ul

d

rd0

rag "° d0 1

+

do

790°

dp

Si ha

1

{( d (3 dt rag Trino dv

[7

applicata

dg

4

De)

ed

Dr

così « | SSN.

r

1

du

c080%p

ce)

rsin 0

dg

r sin 0

700

né

cui

a=

C)

E;

eg

Or

#07

le)

04,

100

—1

=

r

dU,

dg

vo

790

ar

vr 1

_

VeT dve

T)

rsin0

Vo

09

r

r sin 0

1

00,

Vo

dp

rin 0

29

r

CL

cos

0? vy

dp

Capitolo

primo

Corrispondentemente

si ha:

— Forze

agenti

co=-—

(22)

|

29.

Pt

accoppiamenti

383

+20 + ep) + 248,3

| o,= — P+A( 99

negli

4 (e + 9 + eg)

op=

—ptAi(e+e0+

tro =

24 Y,0 3

trp

Coefficienti di viscosità.

+ 2060;

69)

+

2069:

24 Vrp

3

Top =

2U Yo

Viscosità cinematica.

-

Le

espressioni

(I, 28-12, 28-13, 28-14), che danno gli sforzi specifici in funzione delle com-

ponenti della velocità di deformazione, sono del tutto analoghe a quelle che esprimono gli sforzi specifici in un solido elastico per mezzo delle componenti della deformazione: lo stato di tensione dovuto alla non perfetta fluidità appare dipendere da due grandezze caratteristiche del fluido, che corrispondono alle costanti di Lamè del solido elastico, la Xe law. Alla 7, che dà luogo solo a tensioni normali, si dà il nome di coefficiente di viscosità di dilatazione cubica: in effetto, si riconosce senza difficoltà

zione

che

del

la

l’istante #) sono

tivamente Ma

(e, + e, + €.)

volume

del

dx, dy,

e)

V=ui4+

vj + wk,

ed

il fluido

densità)

velocità

i cui

e hanno

di

varia-

spigoli

lunghezze

(al-

rispet-

de 1.

(e, + e, +

se

alla

elementare,

paralleli agli assi coordinati

la

nulla

è proporzionale

parallelepipedo

non

è

altro

è facile

è incompressibile,

o è costante.

Se infatti

che

la

riconoscere ossia

se la

consideriamo

indicato (fig. 101), otteniamo subito che tempo di attraverso alla faccetta ABCD

divergenza

del

che

detta

divergenza

sua

massa

volumica

il parallelepipedo

la massa normale

quella è:

contemporaneamente

ai dy de [eu

(em) da

— dtodyaede(n

%

è (0

sopra

fluida entrante nel all’asse x è uguale

a —(0dydzudi), mentre faccetta opposta 4’ B'C0’D' +2

vettore

uscente

+

dalla

23)

essendo per ipotesi o costante, di guisa che la portata fluida complessivamente entrante dalle faccette considerate è uguale a:

— (e du dy de n: dx 1 Infatti dopo un in un parallelepipedo da dy de

intervallo di tempo dt, il parallelepipedo il cui volume è uguale a:

(L1+ 8, di) Veg U

Veg d (14+ 8, dt)

Va di Va

Vax di

Vu di

(1 + 6, di)

= dx dy de[1

in cui i termini non scritti sono infinitesimi di ordine superiore variazione del volume del parallelepipedo in esame è pertanto: da dy de (€, + €, + 6).

(de,

dy,

dz) risulta

+ (6, +8,

rispetto

+ 8)dt

deformato

+...

a di. La velocità

di

384

Parte seconda — Dinamica Nello

coppie

stesso

modo

di faccette

si trova

normali

che

applicata

la portata

dv Pi, eda d dy de ( Lie 3y +

e pertanto la massa lepipedo è:

entrante

fluida

du

de

>

’

di tempo

dv

+

d% w+

dw

—

—

dY

de

D

Cc 7

I

i

2°

Ì

n

Cc

PA

i a

qu #

ri

i

;

v+ i

ipa

3018 ari SI

—

EI

w

Flusso

attraverso

B

la superficie

delimitante

un

elemento

A detta massa corrisponde la variazione della massa nel parallelepipedo stesso, che è espressa da: 0

sE

TR) per

la costanza

di 0. Deve

fluida

contenuta

AR

essere:

du

dv

dw

ve

ay

(1)

fluido.

de

i

perciò

1

dy

°

A

A’

cc Vv

or

I

101.

|.

Wa

I

D’

entra nel paralle-

Oz

L

Fig.

alle

x

dw

che nell’unità

—oqdady

V|.

attraverso

all’asse y e all’asse 2 è:

=

de

°

per un fluido incompressibile. Per detto fluido di conseguenza le componenti cartesiane del tensore delle tensioni si riducono alle: (2)

lo le

=—p+ =

24

Vay;

du

20; Tra

= 24

Vaz

—p j

Tya

+24 =

24

dv

9y

Vyx-

s0,=—

2 PHT2Iw

dw

03 3

Capitolo primo

— Forze agenti negli accoppiamenti

385

Alla 4, che dà luogo sia a tensioni normali sia a tensioni tangenziali, si dà il nome di coefficiente di viscosità dinamica. Sommando la prima delle (I, 28-12) con la prima delle (I, 28-13) e (I, 28-14) si ricava: (3)

o,

+0,

+0,

=

—3p+34(e+e,+%)+2u(8+e,4+

2),

appare che il valore medio - 05 + 0y+0 delle tensioni norpsi mali su tre elementi ortogonali nell’intorno di un punto generico P si rie pertanto

duce alla pressione p in detto punto solo se (3’)

4 = i

p: si dice in

tal caso che il fluido non ha viscosità volumetrica. Per quanto non sia sperimentalmente confermata che per gas monoatomici [34], detta relazione viene spesso ritenuta valida.

Il coefficiente di viscosità u ha nel sistema assoluto dimensioni fisiche corrispondenti

alla

(L7)

(7)

(77),

e pertanto

si esprime

nel sistema

C.G.S. in gr,.a, cm sec, e nel sistema di unità Giorgi in kg,,,, m1 sec"; nel sistema fecnico di misure, le dimensioni fisiche di 4 sono invece (F) (L7?) (7) e 4 si esprime in kgm" sec; ne deriva che il numero che misura 4 in unità Giorgi è un decimo del numero che misura in unità C.G.S. e uguale a 9,81 volte il numero che misura x in unità tecniche. Nel sistema C.G.S. l’unità di misura della viscosità è chiamata Poise (da PoiseuiMle); nel sistema tecnico, usando il sistema di unità inglese, l’unità di misura è chiamata Reyn (da Reynolds) ed è 1 Reyn = = 68950 Poise. Il coefficiente di viscosità 4 è una grandezza fisica tipica di ogni fluido, che ha una dipendenza dalle grandezze che caratterizzano lo stato fisico del fluido stesso, pressione e temperatura, del tutto diversa a seconda che il fluido è un liquido oppure un gas. Per i liquidi 4 diminuisce col crescere della temperatura con legge più o meno rapida a seconda della natura del liquido: i diagrammi di fig. 102 mostrano la dipendenza tipica di x con la temperatura T per olii lubrificanti. Detta legge di variazione di u con € si può rappresentare ebbarianza bene con la formula:

p=pn

e-=($

a|ja

(4)

essendo x, il valore di u per T=%,. Per i gas u invece cresce con la temperatura: accettando il modello di Sutherland [35], per il quale le molecole, per quanto si riferisce alle azioni reciproche che esse si scambiano, si comportano come sferette rigide di raggio 7,, che si attirano con una forza la cui intensità Y è funzione della distanza dei centri delle sferette stesse data dalla: F=costr* 25

—

FERRARI-KROMITI.

per

r>%,

386

Parte seconda — Dinamica

essendo s un’opportuna

costante, la x risulta esprimibile con la:

Ml in

cui A

e €

peratura

sono

costanti

assoluta

applicata

VE

Al

1+ 0/8’

tipiche

_

per

(in gradi Kelvin);

ogni

gas,

A = 1,462 Xx 1075 gT,10s/ CM S€G; 7001

100

mentre

T è la tem-

così, ad es., per l’aria è: C = 112.

|

90 600|—

80

so 40}

8

\

_\|\ €

sot

La.

s

[|

23007

= 40

sont

80

o

\

\\ \

L

Do

\

\

\

\

\ \_\

ON

YA

asss

È

RR

si

(0)

==

eee

80

100

120

1 140

160

Temp. Fig.

tura

102.

——

U]

7 200

180

(gradi

Legge tipica di variazione del coefficiente colla temperatura per olii lubrificanti.

In molti gas si può esprimere la dipendenza (assoluta) con la:

se 4, è il valore Daria n = 0,72.

di u per

T=%,,

220

240

260

Fahreneit)

mentre

n

di viscosità

di 4 con la tempera-

N

è

una

costante:

per

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

387

Per quanto si riferisce alla dipendenza di x dalla pressione, è da osservare [36] che la viscosità aumenta con la pressione p sia per i gas, sia per i liquidi: così per un lubrificante minerale, posto uno il valore di x alla pressione di 1 kg/em?, il valore di 4 per p = 1000 kg/cm? è 4,3; diventa 15 per p = 2000 kg/em? e 112 per p = 4000 kg/em?. Per anidride carbonica (CO,) [37] [38] alla temperatura di 40 °C, « è uguale a 1,57 x 1074 Poise per p = 1 kg/em? e sale a 1,69 x 1074 Poise se p = 23,8 kg/cm?, ma diventa 4,83 x 1074 Poise quando la pressione raggiunge il valore di 100 kg/cm?: in ogni caso pertanto la viscosità aumenta di pochissimo, per variazioni della pressione relativamente piccole rispetto al valore p = 1 kg/cm?, ma l’incremento si fa sempre più rapido col crescere della pressione: all’incirca è:

se a è un’opportuna

costante

(per

data

temperatura),

e 4, è il valore

di 4 alla pressione p, = 1 kg/cm?. Il rapporto della viscosità 4 alla densità e è chiamato cinematica del fluido, ed è indicato col simbolo v: è perciò:

viscosità

n=.

(9)

Q

La viscosità cinematica misurata in cm? sec! nel chiamata Stokes.

ha le dimensioni fisiche (LZ?) (771), ed sistema C.G.S.; l’unità corrispondente

39

è è

Per quanto sopra è stato detto circa la dipendenza di 4 dalla pressione e dalla temperatura, si deduce che +, crescendo la pressione a

parità sione versa per i per i mente

di temperatura, fino a valori non molto più grandi della presatmosferica (30 --50 kg/em?) diminuisce all’incirca in ragione indell’aumento di 0, e perciò assai più rapidamente per i gas che liquidi; crescendo la temperatura, a parità di pressione, » cresce gas più rapidamente di v, diminuisce per i liquidi meno rapidadi 4, in conseguenza della diminuzione di o con la temperatura

stessa.

30. Coppia prismatiea lubrificata. Lubrificante liquido. Teoria elementare di Reynolds e Michell. a) Equazioni del moto (di Stokes-Navier, di Reynolds) [39] [40]. — Consideriamo una coppia prismatica lubrificata costituita da una parete piana (4) indefinita e da un membro (B), che si trasla nella direzione di (4), ed ha una dimensione finita nel senso del moto, mentre è limitato da una superficie cilindrica la cui direttrice nel piano del moto è una linea qualsiasi: il sistema ora indicato può costituire lo schema, ad es., di un pattino scorrente sopra guide lubrificate. Ammettiamo che (A) e (B) non siano a diretto contatto, ma separate

388

Parte seconda — Dinamica

applicata

da uno strato di liquido viscoso (olio lubrificanie), di spessore 4 sufficiente, nel senso indicato nel n° (I, 26), ma sempre molto piccolo rispetto alla dimensione di (.B) nella direzione del moto: in effetto tale spessore è dell’ordine di centesimi di millimetro. Sia F, il componente della forza applicata a (B) dall’esterno della coppia, in direzione normale ad (4), e che preme (8) contro (4), e sia V, la velocità della traslazione di (B) relativamente ad (4) (fig. 103 a). Il moto si produce in modo identico in ogni piano normale alle generatrici della superficie cilindrica che delimita (B), e possiamo pertanto prendere uno qualsiasi di detti piani come piano del moto; riferiamo in questo piano il movimento ad un sistema di assi solidali a (B), aventi l’origine in un punDALE (B) to O della traccia di (A) col piale?” no stesso, per ora arbitrario; y

l’asse x nella

|

so di

»x lo)

vu

tato

(A) Fig. 103 a.

pattino

dente

—

Coppia prismatica lubrificata:

(B) scorrente

dal

sopra

tempo,

guida

piana

e il moto

(4).

verso

(B).

Rispetto

riferimento,

nell’ipotesi

sia

la

costante,

può

pertanto

direzione e nel

sen-

della velocità — V, relativa (4) a (8), e l’asse y orien-

variare

velocità

da

punto

a questo

che del

d

V,

fluido

punto,

ma in un dato punto è indipensi dice permanente o stazionario.

Chiamiamo l’interstizio compreso fra i due ficante, meato: le particelle fluide che sono le superfici solide, e pertanto nel campo di dalle superfici stesse, sono da considerarsi

membri, e ripieno di lubria immediato contatto con forze molecolari emananti adsorbite da queste, indi-

pendentemente

che

dalla

natura

dei

materiali

costituiscono

i membri

solidi, e indipendentemente pure dalla natura del liquido. Questo porta a stabilire che per qualsiasi liquido a contatto di qualsiasi solido, la velocità delle particelle fluide relativa alla parete di questo è nulla: proprietà

identica

vale

ovviamente

anche

per

il caso

in

cui

il fluido

sia gassoso, alla condizione però che la distanza tra le pareti delimitanti il meato sia grande rispetto al percorso libero delle molecole. Le particelle fluide pertanto, che sono a contatto di (4), si muovono

con

la velocità

V,

nel

senso

positivo

di x:

esse

trascinano,

per

effetto delle tensioni viscose, le particelle attigue, le quali, a loro volta, agiscono su quelle degli strati vicini e così via, di guisa che tutto il meato è percorso da fluido in moto: a questo si oppongono le particelle aderenti a (B), e quindi aventi velocità nulla nel moto relativo a (B) stesso, che risulta di conseguenza frenato. Si può così creare un gradiente di pressione, che, per valori opportuni di wu, di V, e dello spessore

del meato,

diventa

tale da sorreggere il carico normale

F,, ren-

dendo possibile la configurazione del sistema quale l’abbiamo supposta. Per determinare la legge di variazione della velocità del fluido e della pressione nel meato, consideriamo un parallelepipedo elementare,

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

i cui spigoli paralleli lunghezze

dx e dy,

agli assi

mentre

coordinati

quelli

nel

normali

piano

389

del moto

al piano

stesso

hanno

hanno

lun-

ghezza unitaria. Le forze applicate dagli elementi fluidi attigui alle varie facce che lo delimitano sono indicate nella fig. 103 è, con la convi

AiMof-

la

©

@

® lo Xx

(1)

— ox dy;

(2)

(5) C + (

Fig.

103 d.

7) —

(1

— tag dy;

PI Lea da dai

(3)

de) dy;

da

dx;

Rappresentazione

delle

+

dy

(4)

(6) (E° 4 dre

EJ d)

‘xy

— ty de;

(8) (o forze

14

do,

+

dy

operanti

— 0y dx;

da) TE

2 a)

sopra

da.

un

elemento

fluido.

venzione, per quanto riguarda i segni, già più volte applicata: le componenti della forza risultante secondo gli assi « e y risultano: — 2. dy—

ty do

00,

+ (0.4

23

da) 094 do

à

(+

ted)

da =

dt

= da® d ( aLC; dI li _

Ty

dy

—

0, da

+

(1

+

Sia

da)

dy

+

(e

SF

00,

dY =

d)

do y

dad

du — Qaa edxad dY n

dt, xy

at

(1)

Je

Fy

my

du

“up!

fluido

con-

dv —edad Qax dY di’

;

dette al solito « e v le componenti do, E)

=

2 v (e + ta)

e poichè le componenti della forza d’inerzia dell’elemento tenuto nel parallelepipedo in questione sono:

1

da

A

della velocità, 90

îy

Y

si ha:

Cha GEL.

de

dv — pat

© di

Ammetteremo, ora, che sia o sia 4 siano costanti nel meato: in realtà, poichè in questo la temperatura varia, in conseguenza della

390

Parte seconda — Dinamica

applicata

potenza dissipata dalle forze di attrito, anche densità e viscosità che, come si è detto, sono funzioni della temperatura, varieranno; tuttavia l'ipotesi ora fatta ci è utile, perchè essa consente di ricavare in modo semplice alcuni risultati significativi, e d’altra parte riconosceremo più avanti come, e in che misura, aleuni di detti risultati debbano essere modificati, quando si tenga conto della variazione della temperatura. È chiaro poi che i valori costanti di 0 e di 4, che ora qui consideriamo, sono

da

ritenere

come

opportuni

grandezze assumono nel meato. Nelle condizioni ora definite, sioni (I, 29-2), si ottiene:

o

| |

ur

0p

—

apE dY

2

rr

19

DI

valori

medi

fra

sostituendo

le

dette

0, @ 7, le espres-

dv

=

0°

YI

av

“andy

9°v ay?

CRI) 04°

du dx 0Y

urli

che

a 0,,

du

ye

quelli

du

© di

È

do "NI ° di

D'altra parte, poichè « e v variano al variare della posizione dell’elemento fluido in esame, e pertanto sono funzioni delle coordinate x e y di questo: u=ul(x,y;

mentre di

le x e y dell’elemento

dette

coordinate

rispetto

v=0(2,9),

stesso

sono

al tempo

funzioni

sono

di t, e le derivate

le componenti

della

velo-

cità dell’elemento: da

— di

=;

dy

—& di

=%

è:

: du

__9U

da

dt

da

di

do

dt

=

sv

0a

4

da

di

Qu

dy

dy

dt

sv

oy

dy

dt

ii

Qu

Lo

dx =

U .

da

du

1

2Y RC,

èY

.

Si ricava perciò: dp

si

|

Cia

du

dv

valga

dy? uit dYy dr

ap dY

Gelo) o

du

Qu

E

d9y)”

9

|

—_

2

9 v METTE

du 57,

=

e(

2v — Ta

a

dv +tvT—_-|. Da)

Alla (2’) si deve poi aggiungere l’equazione, che esprime la costanza della massa fluida contenuta nell’elemento in esame, che, per quanto è stato già dedotto al n° (I, 29), si esprime con la:

(3)

4

—_=0.

Capitolo

La

(3)

è la

primo

— Forze

cosiddetta

agenti

equazione

negli

accoppiamenti

di continuità;

891

poichè

da

essa

si

deduce: ou

vi.

da

ae dy

=

GLI)

do

9a dY

dy?

le (2’) diventano: da

_

È

Le di un Se ghezza estrema

)

P

dY

da 9?

al

(2

Ù

ce

Chi

ui

De)

(1

9

dY

e) 0)

d Race

0%

T

La

(4) sono chiamate equazioni di Stokes-Nawvier (per il moto piano fluido incompressibile). H è il valore massimo dello spessore & del meato, ed L la lundi questo, ossia la distanza tra la sezione iniziale e la sezione del meato stesso, poniamo: e

X=F;

Y=t;

le (4) e (3) si possono

sl |

=)

U

v

vi =gri

alri

scrivere nella forma:

dp*

v

0%u*

dp*

v

H

ax'v.L

v

LI

ox vi d%u*

9Y'v,LL

4%

900

War

“ax

L

_H

v

9

sx ‘v.LHer L°

H

3’ (3) Ora

dy?

du*

— L

dv*

09X

ui

L_x

'H"

, dv

ax'"

appare

è dell’ordine di grandezza di Ve, e pertanto è L * ‘Ur . è ovunque dell’ordine così dalla (3’) che

di o

e perciò è pure

aY

delle

(4’)

è di

parte

è, per i valori

e* = 0

conseguenza

(5)

. Il secondo membro

dell’ordine

già indicati

cosiechè a primo membro può essere trascurato poi che sia:

=

dello

di grandezza spessore

a

x 00%

sr.

du =0 (1); X , di grandezza della prima

di «no;

d’altra

del meato, Li >> 1, v

della prima

rispetto

ay!

=0

dY

peo 0%

9.

d2u*

delle (4’) il termine LV, 9X? v L° 024% Con la condizione V,L H® aY?°

£>>|/

sE

392

Parte seconda — Dinamica

il coefficiente

risulta

di

molto

applicata

maggiore

delle (4‘), considerando in essa solo i termini più elevato, si riduce alla: dp* QX

—

(6) V, L

in cui KR, =

1

loi

L?° H?®

tr

è il numero

eee

di Reynolds

uno,

di ordine

9u* aY?

nas

di

—_

e la

prima

di grandezza

(()

del flusso

nel meato.

In

v

modo

analogo si deduce che il secondo membro

della seconda delle (4’)

2

ha l’ordine

.

Risulta

e per: a

di grandezza

.

di a

»v

_H

V.L

Lo

ov

v

Lo

H

”

1, mentre

_

aY°°

no .

i

ha l'ordine di grandezza di

b°)

(7)

7a)

990

dp*

che

è: 1

9X®% 0°

VI in definitiva

>1l

si può

porre:

(61)

i

dp*

Ù)

da

cui risulta

Nelle

condizioni

riducono

(8)

subito

=

0

=0,

che

p*

è da

considerarsi

pertanto

(5)

e

le

alle equazioni

(7)

equazioni

funzione di

solo

di X.

Stfokes-Navier

si

(di Leynolds):

op ou teen

pap).

dà b) Determinazione del moto e della legge di variazione della pressione nel meato [41] [42]. — Integrando rispetto a y la prima delle (8), e tenendo conto della seconda, si ha:

__ dp Cral + e, + 4 2aay

(9)9

0

indicando con c,, la costante (rispetto a y) di integrazione. Integrando una seconda volta rispetto a y si ottiene:

(10)

7

1d

0+ ay to +pu=0

Capitolo primo — Forze agenti negli accoppiamenti

essendo

c, un’altra

condizioni

costante.

alle pareti

(11)

u=0

Determiniamo

(condizioni

per

ce, e c, osservando

al contorno)

y=%;

393

che

le

sono:

u=V,

per

y=0.

V,

14d +33:

Si deduce: co=_-pV; di guisa

n=

che la (10) diventa:

(12)12

dp = avi --|—-Y =1 -Lyh—y). uu=pV.(1-2)-LEya_y)

Risulta dalla (12) che il diagramma della velocità in funzione di y, in ogni sezione trasversale del meato, si può ottenere come somma

algebrica di due diagrammi: il primo lineare, mine

corrispondente

al primo

a secondo membro,

n

ter-

ascissa nulla sia in corrispondenza di

(A), sia in corrispondenza di (B). Se 0 le la

pressione

I L

K |

di (A); il secondo parabolico avente

>

va

presentante

ascissa nulla a contatto della parete di (B), e ascissa uguale a V, a contatto

dp

(8) Ì

quindi

è cre-

Si

E

40

1

dx 7° Fig.

da

ao

104. —

sezione

scente nel senso del moto di (A) rela-

al

do

(A

Diagrammi della velocità nella

trasversale del meato

e per DI

D

tivo a (B)] il secondo diagramma si deve sottrarre dal primo, e la legge di variazione di v con y appare, qualitativamente,

essere

quella rappresentata

in fig. 104;

se Lo

secondo diagramma si somma al primo, ed il diagramma la forma pure indicata in fig. 104. Se ora otteniamo:

integriamo

la

(3)

rispetto

[ira

a

y

< hh,

0(0) = 0, perchè h

dh

|udy—u(M 7 [uay © (1) 0

0 0,5, e questo

affinchè il problema indipendentemente

della superficie attiva del pattino, poichè come numero

precedente,

e 112 che il minimo h, .

per —h

= 3, ? a cui

guenza

1

la posizione

è sempre a

ottima

115.

del

è stato riconosciuto

> 0,5; appare inoltre

—

perno

Stabilità

del

dalle figg,

al 111

, si ha conse-

di articolazione.

pattino

orientabile.

È opportuno però subito osservare che la condizione > 0,5), perchè la lubrificazione

sia riso-

dalla forma

valore di %, e quindi di /, per dato F di . corrisponde do a 0,6, che definisce di

Fig.

| È

409

perfetta

sopra indicata

sia possibile, è una

con-

seguenza delle ipotesi fatte nella teoria elementare sviluppata in questi paragrafi. In effetto, se si tiene conto e della variabilità della viscosità e della densità lungo il meato, e della deformabilità che i membri della coppia presentano, il risultato sopra dato deve essere modificato, e questo è una circostanza favorevole, perchè spiega la possibilità di fare coppie invertibili anche con pattino orientabile (il che richiede si possa disporre la cerniera d’articolazione a 0,5 di L) (vedi I, 33). È ancora utile osservare, che dalla considerazione della fig. 112 si può ricavare che l’assetto a ottenuto, come sopra è stato detto, è stabile, almeno secondo il criterio statico di stabilità: in effetto, supposto di variare l’angolo a, rispetto al valore prima ottenuto per l’equilibrio del pattino, di un angolo 4Aa> 0, lasciando invariata la posizione del perno rispetto

alla guida,

cresce il rapporto Lo

rispetto

al valore

1

corrispondente all’equilibrio; dalla fig. 112 si deduce, che aumentando h cl cresce 7 , © pertanto la forza risultante — F, applicata dal lubrisl

ficante al pattino nella posizione deviata (fig. 115) ha momento rispetto al perno C che tende a riportare il pattino stesso nella posizione di equilibrio.

410

Parte

Con la seconda golo a e quindi di:

disposizione

9

se a n

ma

da

per la (I, 30-21)

seconda

— Dinamica

(fig.

applicata

114)

è fissato

il valore

dell’an-

A

si ha:

cui:

(9)

a =

di guisa

ha

n,

che la (9) permette di calcolare

dati del problema;

corrispondente

2

|

ele

w,

do 1)

2

per mezzo

dei

1

il diagramma

i coefficienti A = w, | do — 1) di Lio]

2

1

di fig. 110, in cui sono pure portati in funzione di de

1

al valore

calcolato

di A,

1

dà quindi il valore dopo

di

che la

(8)

1

dà LI , mentre quindi

il diagramma

di fig.

111

permette

di calcolare

% e

f,.

La disposizione ora in esame non permette ovviamente di ottenere una coppia invertibile; è però facile vedere come essa deve essere modificata per potere avere l’invertibilità: basterà fare il pattino simmetrico rispetto ad una retta

{Fe I

/

Ò

normale

N.ÎÒÒÎ

fig.

guida, 116.

bito rendere conto

c--_È

dato

af

alla

dicato in

senso

della

come Ci

è in-

si può

su-

traslazione

re-

che,

per un

lativa dei due membri della coppia, non tutta la superficie del Fig. 116. — Coppia prismatica invertibile pattino è attiva, ossia delimita con pattino a inclinazione fissa, un meato pieno di lubrificante in sovrapressione. In effetto, supponiamo che la parete piana (A) si trasli rispetto al pattino (B) nel senso indicato nella stessa fig. 116: poichè, in corrispondenza delle due sezioni estreme, la pressione ha lo stesso valore, certamente esiste almeno una sezione intermedia in cui

z

4%*

del

meato in detta sezione non può essere uguale allo spessore minimo

la

k,,

perchè

(p — p;)

assume

il

suo

in questo caso, essendo

valore

massimo.

Lo

per ogni x, h > h* la

spessore

dp

avrebbe lo ® stesso segno per tutta la lunghezza del meato, e quindi non si potrebbe avere p = p, per a = L. Ma se 4h* > h,, mentre necessariamente è pure A* < ho, esistono due sezioni del meato (per la forma supposta

Capitolo

di

questo)

prima, chiamo

in

cui

lo

procedendo con

primo

— Forze

spessore

agenti

è uguale

nel senso del moto

2,,la

(p

— px)

negli

ha

a

accoppiamenti

4*:

in

411

corrispondenza

della

di (A) rispetto a (B), che indi-

valore

massimo,

mentre

in

corrispon-

denza della seconda 2,, la (p — p,) ha valore minimo, e di conseguenza risulta (fig. 117), che se il meato fosse attivo per tutta la sua | | | |

|

I |

A

z|

| 1

|

I

Î

| |

|

AP Pa

x

|a

Fig.

117.

—

Limitazione

della

superficie

attiva

del

Rd

pattino

nella

coppia

invertibile

di fig.

116.

lunghezza, la condizione p — p, = 0 nella sezione estrema porterebbe necessariamente che a monte di detta sezione è p — p, < 0. Ma se la pressione del lubrificante si abbassa a valori più piccoli di quello che corrisponde alla tensione temperatura che questo ha,

di vapore del lubrificante stesso, per la si formano nel meato bolle di vapore;

inoltre l’aria, ed eventuali altri gas e vapori sciolti nel lubrificante alla pressione ambiente, non appena la pressione scende al di sotto di questa, si liberano in parte, corrispondentemente alla quantità di detti gas che rendono satura la soluzione, per la pressione che questa ha; infine, poichè la dimensione della coppia in direzione normale al piano, che abbiamo preso come piano del moto, è ovviamente finita in una coppia reale, se la pressione ha valori inferiori alla pressione

412

Parte seconda — Dinamica

ambiente,

aria penetra

dall’esterno

applicata

nel meato.

Appare

perciò

dal

com-

plesso delle considerazioni ora fatte, che per p< p, il meato non è riempito dal lubrificante, ma è occupato da una miscela di liquido e di gas o di vapore. In queste condizioni la legge del moto è del tutto diversa da quella precedentemente ottenuta: e la sua determinazione, che presenterebbe difficoltà enormi, è al di fuori degli scopi di questo volume. Per questi è sufficiente la seguente schematizzazione del flusso: ammettiamo

che il meato

sia riempito

dal lubrificante

—__

a partire

eri

dalla sezione

pelo libero p= Pa

x}

{ww

\P _

Pa

x

Fig.

118.

—

Distacco

iniziale X, fino P= Pa, essendo il fluido

del lubrificante

dalla

parete

a una sezione 2,, in in tutto il tratto (2,

si distacca

dalla

parete

di

(B)

del

pattino.

Condizioni

di

distacco.

corrispondenza della quale è Za) PP, > 0; dopo la Xx, (fig.

118)

formando

un

pelo

libero, sul quale la pressione è costante, e uguale a p,, e che separa la fase liquida e quella gassosa. Potendo sempre considerare la pressione costante in ogni sezione trasversale del meato, ne viene che la. parte attiva del meato, ai fini di trasmettere ai membri della coppia una forza capace di tenere staccati i membri stessi, è quella compresa. tra Z, e X,. Poichè per questa parte il meato è riempito dal lubrificante, le equazioni precedentemente ricavate sono senz’altro valide: si deve però osservare che mentre nei casi prima studiati queste erano nel numero necessario e sufficiente per risolvere il problema, ora, non essendo a priori nota la posizione della sezione £,, in corrispondenza della quale il fluido si separa dalla parete che delimita (B), una nuova grandezza incognita si è aggiunta, e precisamente l’ascissa x, di Z,. Per

determinare

questa

nuova

incognita

è necessario

ovviamente

ag-

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

413

giungere una nuova condizione, rispetto a quelle già date nei casi prima studiati. Per dedurre detta condizione osserviamo innanzi tutto che, se preso, ad es., per tentativo un valore /, per x, e ottenuto il corrispondente diagramma delle sovrapressioni (p — p;), trovassimo d . . che per x = I, è SE > 0, lap — p,, immediatamente a monte di £, sarebbe

negativa,

(10)

e quindi le condizioni:

Ap=p_—Pa>0

per0

COL

r

È 70 +-È_ 736 (7)

435

— 0rd0;

sull’elemento

70

(8)

da

(ngrao|ar; | 5 — tgrd0.

di fluido.

Le condizioni al contorno per le « e v sono poi ancora:

(5)

u=V,=@rj

(6)

u=ov=0

mentre

(7)

per la pressione

p=p, e per

v=0

pery=0;

pery=%

si ha:

0= 0 (e quindi

per

0 = 2

# = 0)

(e quindi x =L=2znr,).

Appare pertanto che il problema ora in esame è retto dalle medesime equazioni che definiscono il moto del fluido nel meato per la coppia prismatica costituita da una parete piana (che per il riferimento preso, y = 0 sul perno) rappresenta il perno, mentre il pattino (corrispondente al cuscinetto) è delimitato dalla linea di equazione (1) (fig. 129). Possiamo

di conseguenza

applicare

le formule

(I,

30-12

e 14) per

de-

durre le leggi di variazione della componente « della velocità, e della pressione: in particolare possiamo scrivere per la: dp

1

dp

da

r,

do”

436

Parte seconda — Dinamica

tenendo

presente

(8)

dp do Appare

_

di dl

dalla

d6

1 se (L + » cos 0)?

(3) che DI

è una

simmetrici rispetto

ma

n

(1):

6ua,r? d?

punti del perno lore re

la

td

—

d0=

J I

h* è (1 + n cos 0)?

funzione

pari di 0, e pertanto

a

a 0 = x corrisponde lo stesso va-

è

2a

dp

applicata

2

dp

|

>

d0

dé

+f

n

dp

— db =2]|

d0

dp

—

i

n

gd

—

0

0

y

Ie e

nl

ta ò

i)

A

I

Î

KA

2r

ro 0=Xx

lo Wo Fig.

129.

—

Indicazione

ossia, il diagramma

del pattino della coppia alla coppia rotoidale,

(DE ; 0|

prismatica

con

l’asse

0=0

si ha:

(e)

9

(9)

—p

D_Po

=

do

i Mc, |

fatica

db OO e

d | (1 -+ n cos 0

Ù

NETELO

Poniamo: (9°)

dalla

14

quale

ncoso=

oh n

1— n cosa

si deduce: TA

cosa—

mu

delle 0, area

0

F

Fo

»

risulta di due parti simmetriche rispetto

a 0 =, e ciascuna di dette parti racchiude, nulla (fig. 130). Integrando la (8) e ponendo p = p, per 6uo,r? 0)

« equivalente

n.

.

1T—ncosa

È

ao

=

&

—

n?)21/2 dal

1T—ncosa

a

Capitolo

Si può

quindi

primo

— Forze

negli

437

accoppiamenti

scrivere: 6 1 0,73

1

i

| (1008

ape

3

Po

P_

agenti

0) da —

0 (4

h* “las

” fn

008

ada].

0

A dp letoio) P_

Po

I

P_

Po

| ] Ì l

| | Ì I

O

I

le)

2r

I

dp

I

fod0

|

|

| I

Fig.

Eseguite (10)

130.

—

Indicazione

qualitativa

le integrazioni

si ha:

pa

617

È

dei

n

diagrammi

È

ola h*

—

50

n

di

(p — pp)

e di

dr

To

ci n sin a

(1 — n2)8/? È

(a-2usina

+

7

na 2

n? sin 2a ] 4

5

438

Parte seconda — Dinamica

Imponendo

che la (7) sia soddisfatta

si ottiene:

2d(1— h*

(1) e la (10)

e

applicata

n?)

een"

24+ n?

diventa:

(12)

6uaoTin

DT Po =

(2 + n cos 0) sin 0

ò?

(2 + #2) (1 + n cos 0)?”

Dalla (12) appare che la (p — »,) è funzione dispari di 0, e quindi il diagramma delle (p — p,) in funzione di 0 risulta di due parti antisimmetriche

rispetto

massima

o minima la p sono definiti, per la (8), dalla:

alla retta 0 = x (fig. 130).

1+ncos0= da

cui

si

I valori di 0 che

*

sa

rendono

7

deduce:

(13)

così = (7

— 1

che definisce due valori di 0 (0 = 0*; 0=2x—0*) simmetrici rispetto a 0 = x, e tanto più prossimi a x quanto più » è vicino all’unità; in ogni caso i punti di pressione massima e minima appartengono ai quadranti i

1. Ne risulta che, mentre nel primo L 2 . er A caso, pur essendo (7 >> k., il parametro caratteristico A è generalmente

minore

A con (con lo y stesso significato dei simboli dato, ad es., in I, 30), e lubrificanti non newtoniani come i grassi, per i quali la tensione tangenziale 7,, può essere espressa con la:

(1)

ty =

Lo tu

nella quale 7, ha un valore che si può considerare costante, per una determinata sostanza ad una data temperatura, e che ha il significato di

tensione di snervamento. Le equazioni del moto del fluido

definite)

hanno

sempre 0D

Ge che

in grazia

della

_

dt,

dy

(1) danno

,

__

(nelle

p=p(%);

du

Lun; da ta 0y?

soltanto in quella parte per la quale è di è vi

= 0, e si indicano

il valore più piccolo mita l'ampiezza

’

+0;

trasversale

del meato,

se esiste

con È, e con

e quello più grande

della sezione

sopra

.

però ora la (2) non vale in tutta la sezione trasversale

nella quale

condizioni

al n° (I, 30), ossia:

ancora:

dp

2 (2)

nel meato

le espressioni ricavate

ma

una regione

h, rispettivamente

della coordinata

y, che deli-

per la quale è 2. = 0, per Y

488

Parte seconda — Dinamica

l'equilibrio

dell'elemento

ex+dx,e

i piani

fluido

y=

4,

applicata

compreso

y=

h;,

tra

le

l'equazione

sezioni che

deve

di

ascissa essere

sod-

disfatta è:

2)

SP (n—h)= +27

dove a secondo membro si deve prendere il segno superiore o inferiore , d x a a seconda che è " = 0. Procedendo come è stato indicato al n° (I, 30), ® si ricava per la coppia prismatica lubrificata con fluido non newtoniano, nell’ipotesi che esista una regione interna al meato in cui la velocità è costante ed uguale a «,:

= (3)

=

Y

Vip

—

per

0

o

0,003

a sfere

4

profonde,

Va

f ii

enecinono

0.001

F Cd)

a sir

di spinta

Li

JI

a sfere

oscillante|_-

ha

|

cilindrici +77

di variazione

del

2000

3000

Cuscinetti

portanti

CUSCINEetti

spingenti

coefficiente

di

attrito

cel

kg

4000

carico

per

5000

cuscinetti

a rotolamento.

mento, per quanto si riferisce all’attrito, che ne giustificano il larghissimo impiego e ne indicano le condizioni migliori per l’impiego stesso: a) valori assai piccoli del coefficiente d’attrito; b) dipendenza minima dalla velocità e dal carico, e quindi valore assai piccolo anche all’avviamento della macchina, cui la coppia appartiene. A questo riguardo, si deve osservare che nei cuscinetti a strisciamento

lubrificati

si possono

ottenere

valori

di

/. piccoli

dello

stesso ordine di quello corrispondente ai cuscinetti a rotolamento, ma questo non per numeri di Sommerfeld molto piccoli, rispetto a quello di normale impiego, e quindi in particolare all’avviamento (a meno di ricorrere alla lubrificazione idrostatica). Per questa proprietà i cuscinetti a rotolamento sono particolarmente vantaggiosi per le macchine, come gli autoveicoli, che debbono funzionare con velocità molto variabili, e con frequenti arresti. Per contro gli elementi di un cuscinetto a rotolamento sono soggetti, durante il funzionamento, a sollecitazioni variabili; ne deriva una sollecitazione a fatica, che limita la vita di un cuscinetto, per ogni

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli

accoppiamenti

515

dato carico, a un numero massimo di alternanze di sollecitazioni, e quindi a un numero d’ore tanto più ridotto, quanto più continuo è il funzionamento

della

macchina.

Per

questo

essi

sono

meno

adatti

a

macchine che debbono lavorare con carico costante notevole per lunghi periodi di tempo, e per le quali invece si prestano bene i cuscinetti a strisciamento lubrificati. 49. Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con attrito radente e volvente. — Le proprietà indicate nei numeri precedenti, relative all’attrito radente e

all’attrito

volvente,

debbono

es-

sere tenute presenti quando si debbono determinare le reazioni che si seambiano i vari membri di una catena cinematica Si consideri, ad es., il mececanismo costituito da una piastra (camma) ruotante intorno ad un asse 0, (fig. 180), che si accoppia con una rotella, il cui perno è portato da un’asta (bilanciere) infulcrata intorno ad un asse Oy: ci si propone di determinare la forza mutua,

che

si

scambiano

camma

|

Fig.

.

180. —

vincolari

Esempio

con

di determinazione

attrito

radente

e

delle

volvente:

reazioni

camma-

e rotella a contatto di rotolamento bilancere. nel punto A. Sia IR, la forza trasmessa dalla camma a alla rotella db: essa deve avere un mo-

mento rispetto ad A uguale al momento

della coppia di attrito volvente, e pertanto

di senso opposto al senso della rotazione relativa di bd ad a. Tale senso si ottiene subito osservando che il moto istantaneo della rotella, nella posizione indicata in figura, è una rotazione attorno ad un centro istantaneo 0, e poichè detto moto si può ottenere componendo il moto di 6 relativo ad a, che è una rotazione intorno ad A, con la rotazione (di trascinamento) di a, che avviene attorno ad 0,, si deduce senz'altro che C appartiene alla retta O,A4. Ma € deve pure appartenere alla retta

0,58

(essendo

B

il centro

della rotella),

che

è la normale

alla traiettoria

di B;

C perciò si ottiene come intersezione delle rette 0,28 e O,A. Poichè C è esterno ad 0, A, le due rotazioni componenti hanno segno opposto, e pertanto se la camma ha una rotazione @, nel senso indicato in figura, il senso del moto di rotolamento di d rispetto ad a è opposto a ,, come pure è indicato nella stessa ficura. Poichè la Ry è orientata contro la rotella, su cui si esercita, se ne deduce che la R, deve essere applicata in un punto 0* della tangente comune ai profili coniugati di a e di b posto ad una distanza « da C uguale al parametro di attrito volvente, nel senso indicato nella fig. 180. D’altra parte, per effetto dell’attrito radente nella coppia perno-rotella, la forza che questa trasmette al perno, che è ancora IR, deve essere diretta secondo la tangente al circolo di attrito del perno, in senso tale da opporsi alla rotazione relativa del perno rispetto alla a. Anche per la determinazione di questa rotazione relativa si può procedere in modo analogo a quello prima seguito: il moto di b, ossia la rotazione istantanea intorno a 0, si può considerare composto dal moto relativo al bilanciere, che è una rotazione intorno all’asse B del perno di db, e dal moto di trascinamento da parte di detto bilanciere, che è una rotazione attorno ad O,.

516

Parte seconda — Dinamica

Poichè

C

risulta

esterno

al

segmento

BO,,

applicata

la rotazione

intorno

a B

ha

senso

con-

trario a quello della rotazione attorno a 0,, e perciò la Ru (applicata al perno), dovendo avere momento rispetto a B di senso contrario a quello della rotazione

del perno attrito

rispetto

segnata

a b, avrà

in fig.

180.

come

retta

Naturalmente

d’azione la retta tangente è necessario

che l’angolo

al cerchio

di

9’, di cui la retta

d’azione della R, così determinata è inclinata rispetto alla normale di contatto in A, risulti minore, al limite uguale, dell'angolo di attrito g. Se risultasse invece

g' > , la retta d’azione della R4 sarebbe la retta inclinata di g sulla A0

e tan-

gente al cerchio di attrito in B: e poichè in queste condizioni, se C* è sempre il punto di intersezione della R, con la tangente comune ad «a e bd, risulterebbe A0* < , il momento della R, rispetto ad A sarebbe inferiore al momento di attrito

volvente,

Esempio

e il rotolamento

di determinazione

sarebbe

delle reazioni

impedito.

Fig. 181. vincolari con

attrito

radente

e volvente:

ruota

motrice.

Nell'esempio di fig. 181 i due rulli A e B rotolanti sul piano di appoggio sono collegati fra loro per mezzo di un’asta H che si accoppia con i perni portati dai rulli stessi; alla 7 è applicata una data forza F, inclinata sulla normale al piano di appoggio, mentre al rullo B è applicata una coppia C,, atta a produrre il rotolamento dei due rulli, ed il movimento del sistema. Considerando questo a regime (energia cinetica costante), per la determinazione delle reazioni trasmesse dalla guida ad A e a 5, e dagli accoppiamenti rotoidali di questi all’asta H, si deve innanzi tutto tener presente che la reazione F, su A, uguale alla forza che A trasmette ad H, è applicata in un punto A* tale che A A4*= «, ed il suo momento

rispetto

ad A

risulti di senso

contrario

a quello

del moto

di rotolamento

di A:

esso inoltre deve essere tangente al cerchio di attrito in 0,, in modo tale che la F, 4 abbia rispetto ad 0, momento di senso contrario alla rotazione del corpo cui è applicata (H) rispetto a quello da cui emana (il rullo): la retta d’azione della F,4 è perciò quella indicata in fig. 181. Analogamente la retta d’azione della forza F, x}, che il rullo B trasmette alla H attraverso all’accoppiamento rotoidale che li collega,

deve

essere

tangente

al

cerchio

di

attrito

in

0,,

e

tale

che

il

momento

della F,, 37 rispetto ad O, sia di senso contrario a quello della rotazione di I rispetto a B: d'altra parte la retta d’azione della F, xy, per l’equilibrio della H, deve passare per il punto K di intersezione delle F e F,,, così che ne risulta per esse la retta segnata in figura. La scomposizione della # secondo le F,,4@ F,55 permette di ottenere queste. La F, x, che il terreno trasmette a B, è poi applicata nel punto B* tale che B.B* = « ed il momento della F, g in B* rispetto a B sia uguale a quello della coppia di attrito volvente; deve poi essere -F,,g = F,z7: così che il sistema delle F, 3 e — F, gy costituisce la coppia che deve essere equilibrata dalla C,,.

Capitolo

primo

— Forze

agenti

negli accoppiamenti

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Treibriemen

518

Parte seconda — Dinamica

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equation

without

side

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Capitolo

primo

— Forze

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negli accoppiamenti

BI9

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CAPITOLO FORZE

SECONDO

D’INERZIA

1. Forza d’inerzia risultante [1], [2], [3], [4]. — Si richiamano qui brevemente le formule fondamentali per il calcolo del risultante delle forze d’inerzia, del momento risultante delle forze d’inerzia e del lavoro delle forze d’inerzia per un sistema qualsiasi. Il risultante delle forze d’inerzia di un qualunque sistema materiale è uguale e contrario alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto risultante del sistema stesso, e pertanto è uguale alla forza di inerzia del baricentro, supposta concentrata in esso tutta la massa. Indicando con F' detto risultante, si ha perciò: (1)

d

Fo

d

e

(mvy=

—ma,

in cui: m è la massa del sistema; V, è la velocità del suo baricentro; Q la quantità di moto risultante lerazione del baricentro.

(0 = mV,),

T

ed a, =

dV, È

è l’acce-

Così, ad es., per il meccanismo biella manovella rappresentato in fig. 1, se G è il baricentro della biella AB, la forza di inerzia risultante della biella di massa my è data da: F

=—

My

Ag

in cui l’accelerazione ay di G, per ogni posizione della biella, può essere determinata graficamente nel modo indicato al n° (0, I, 11-1); od anche, se A, B, G appartengono ad un’unica retta, è:

AG ag = au + a,gg

Ag = dA +a,5;

dg

= dp AB

se a, © ag sono rispettivamente le accelerazioni del bottone di manovella e del piede di biella, e a,,, € a,,z sono le accelerazioni di G e di B nel moto rotatorio della biella intorno ad A. Si ha pertanto:

AG =@4

+

(3

—

Aa)

AB

L = as

L ta i

A,

se ,, = AG; 1L,=GB;1=1,+1,= AB.

522

Parte seconda — Dinamica

applicata

Se ne deduce la determinazione di a, indicata nella fig. 1 (per il caso di velocità angolare w, della manovella costante), mentre appare pure che, per quanto si riferisce alla grandezza e alla direzione della retta d’azione della forza d’inerzia risultante della biella, questa risulta equivalente al sistema di due masse, l’una, mj, concentrata l’altra,

my,

nel

concentrata

Per la deduzione

Fig.

bottone

1.

—

nel

analitica

Forza

di

È

manovella

piede sì può

d’inerzia

di

A

biella,

osservare

risultante

di

della

.

di

grandezza grandezza

che,

biella

I

uguale

a mj = nm,

uguale

a my

se r, è la lunghezza

nel

meccanismo

— 1 —.

della

mano-

biclla-manovella.

E vella,

e si ammette

che

il rapporto Ti

trascurare i termini che lo contengono

25 = 11 c08 0, +

cos

sia abbastanza con esponente

= 1,008,

+4

piccolo

superiore

perchè a due,

Fi 2 È sint,

{1

si possano si ha:

—

2 = 7] cos 0, + È, (' =

g

a

Yg = 7, sin 0, — sin

RA

e perciò

PA

è sempre,

na

nell'ipotesi dx, mA

a

=— 0

d2y on

E

A

0 = 7, sin Co

@, =

do,

ti

(cos 6, +

=

ri

sin? 0, + si

Ti

lap

.

o

Yi

sin 9, = 4, sin da

costante: ur —-+

cos 20,)

I (1)

. sin 0, .

+...;

Capitolo Le

componenti

della

secondo — Forze

forza

d’inerzia

d'inerzia

risultante

della

523

biella,

secondo

gli

assi

x

e y, risultano così date dalle: Ur

Fi, = Myr, wi (cos 0, +

|

Py, =

Mr,

cos 20,) +;

x

e

wi 1

sin 0, .

Si osservi che la forza d'inerzia dello stantuffo è, nella stessa approssimazione, data dalla:

e delle masse

r Fi, = MyTj0} (cos 0, + E

con questo solidali

cos 20,)

se #m, è la massa del membro che si accoppia in B con la biella. Se pertanto si collega alla stessa manovella una massa m,, il cui baricentro è ad una distanza 7, dall’asse 0, ed è da parte opposta di A, rispetto ad O0,, a detta massa corrisponde una forza d’inerzia risultante le cui componenti secondo gli assi x e y sono:

Fi, = e pertanto,

— Mete@ cos 0, ; Ti

se m, = (1, + 1) —

Ne > — Mete Wi sin 0, .

.

, la forza

d'inerzia

il baricentro

della

.

.

risultante

È

dei membri

A

costi-

Te

tuenti

ha

il manovellismo,

componenti

supposto

secondo

Fi=r,0î|(m

x e y uguali

+ m—m,

manovella

coincidente

con

0,,

a:

— my) cos 0, +

(m r

= 7,0î (Mm, + my) n

I

dh T

+ my - 3)

cos 20]

=

cos 28, ;

n= — (my + mr 0) sin 0). La parte delle componenti delle forze d’inerzia che varia come cos @,, oppure sin 0,, è chiamata forza d’inerzia del primo ordine (o primaria), mentre la parte delle stesse componenti che varia come cos 20,, oppure sin 26,, è chiamata forza d'inerzia del secondo ordine (0 secondaria): appare pertanto che l’aggiunta della massa m, nella posizione indicata ha come effetto che la componente, secondo l’asse del moto x, della forza d’inerzia primaria è nulla, mentre si ha una componente della forza d’inerzia primaria secondo l’asse y, che dipende non soltanto dalla massa n, della biella, ma anche da quella dello stantuffo: a significare che al telaio non

viene

trasmessa,

per

effetto

della

forza

d’inerzia

(v.

Introduzione),

una

forza

diretta secondo x, si dice che la componente della forza d’inerzia primaria secondo l’asse del moto è equilibrata, con l'aggiunta della massa m,, ed è sostituita da una analoga componente normale a detto asse. Se

la macchina

che

si studia

ha

due

manovellismi

identici,

(fig. 2 a), si ha per il I° manovellismo una F, e una LE Mi, . Mia. sopra indicate, mentre per il II° manovellismo si ha:

sfasati

di x tra

che hanno

r r Fi, = 710î (my + my) "i cos 2 (0, + a) = r,@0î (m + my) "n cos 20, ;

F, e

a

t

(my

.

+ my) vr) @3 sin (0, + a) =

1

(my

loro

le espressioni

.

+ my) ry@ sin 0,

524

Parte seconda - Dinamica

di guisa:che

le

componenti ti

F,=

Iy= Ft

Fig.

2a

secondo

,

«

e y

U

applicata

della

2

forza

d'inerzia

IRE!

cos 20, ;

Fa, + Fay = 2r,@î (m, + my ) 7

Vy #oa

e b. —

sono:

(my + m,) r, 0? sin 0, + (my + my) r;,0î sin 9, = 0

Macchina

alternativa

a due

manovellismi

sfasati

da cui appare che sono equilibrate entrambe le componenti primaria secondo gli assi @ e y, mentre le componenti secondo secondarie dei due manovellismi si sommano. Deve poi essere osservato che non è equilibrato il sistema primario dei due manovellismi, perchè essendo le Fy, e Fy,, costituiscono una coppia di asse momento secondo x e di Mi=

risultante

Fy,48 = — (my + m)

r Az@î

di

180°.

della forza d’inerzia x della forza d’inerzia della forza d’inerzia in piani diversi, esse momento dato dalla:

sin 0,

se 42 è la distanza dei due piani contenenti i due manovellismi (fig. 2 d): e pertanto al telaio risulterà trasmessa una forza Fii ed una coppia Mi i [5]. [6]. Come secondo esempio, consideriamo il si-

m(9°% 209) (G—-A)

stema

indicato

schematicamente

in fig.

3, co-

stituito da un disco D, solidale ad un albero il cui asse, normale al disco, ha traccia O, e che ruota intorno a detto asse con velocità angolare (#); a D si articola a cerniera un braccio AB, che all’altro estremo, B, porta una massa m, schematizzata nel disegno in una sfera. Al punto E di AB è attaccata una molla $, che si collega in C al disco D. Il braccio Fig.

3. —

Forza

AB,

mentre

è trascinato

in

rotazione

dal disco D, ruota intorno ad. A . con velocità angolare 2 (1); la forza d’inerzia risultante

d’inerzia risultante

d’un pendolo accelero-tachimetrico.

della

massa m, se G è il suo

baricentro,

si può

ottenere osservando che il moto di G si può considerare composto dal suo moto relativo a D, che è un moto circolare di velocità angolare £ intorno ad A, e dal moto di trascinamento da parte di D, che è la rotazione @ intorno ad O. Si ha perciò:

(2)

ag = 02(0—

G)

+

© (0—G)Nk+

Q2(A—

G) +

+Q(A-GAk+20kA[QA (G— A)]

Capitolo se k è il versore

secondo — Forze

dell’asse dell’albero, parallelo

.

do

sia a 0

.

cai

d’inerzia

QU

_

525

sia a £2, mentre

è:

42

di

I primi due vettori a secondo membro delle (2) rappresentano l’accelerazione di trascinamento (da parte del disco), il terzo ed il quarto l’accelerazione relativa (al disco); il quinto dà l’accelerazione di Coriolis; poichè è:

KARA

(GT

A4))] = [kx

(GT— A4)])2—

(kx Q)(G—

A4)=— Q(G—A)

si ha: ag=@(0—G)+@(0—G)_Ak+(22+2602)(A-G})

+Q(4—-G)Ak.

La forza d’inerzia F' di m risulta così: F'=mo*(GT— 0) +m@o(GT—0)Ak+m(22+2092)(G—

4)+m0 (GT_A)Ak,

e sì ottengono, supposte note le ©, @, 2 e £, i quattro vettori indicati in fig. 3: le mw? (G— 0) e m 2? (G — A) sono rispettivamente le forze centrifughe di trascinamento e del moto relativo; ma (G— 0) Ak e md (G— A)Ak le forze d'inerzia tangenziali rispettivamente di trascinamento e del moto relativo, mentre 20 Qm (G— A) è la forza d’inerzia complementare (o di Coriolis).

2. Momento risultante delle forze d’inerzia. — ll momento risultante delle forze d’inerzia di un sistema qualunque rispetto ad un punto qualsiasi 0, è dato da:

(1)

__

MM

IK

WA0

se K è il momento risultante delle quantità di moto e V, è la velocità di O,, mentre 0 è la quantità di moto risultante del sistema in esame. Se il centro dei momenti è fisso (V, = 0) si ha semplicemente:

(2)

Ma-_-.

Per un rigido, se A, B, C sono i momenti d’inerzia rispetto agli assi principali d’inerzia relativi ad 0,, e p, q, 7 le componenti della rotazione istantanea @ secondo gli stessi assi, i cui versori indichiamo con i,, j,, k,, si ha: (3)

K=

e di conseguenza

dK

Sa

di

+

Cr

— dk, di

dp

+

Bg}

+

Crk,

si ha:

.

at’ x, =K+

Api,

dq

dr k

BE

O-_

aghtOg

Apo

+

È

i, + Bqo@Aj,

0

A

di,

di,

B

ata 0

+ Cronk=K+@AK

526

Parte seconda — Dinamica

applicata

se si indica con K la derivata di K rispetto al tempo eseguita come se gli assi di versori i,, j,; k, fossero fissi, e si tengono presenti le formule

di Poîsson:

di,

= ® A È, 13 ecc.

at

La

(2) dà perciò:

(2)

M=-—-K-@1nK. Se il centro

dei momenti

è il baricentro

G, è poi:

VAQO=V,AmV,=0 e perciò M’ è ancora dato dalla (2), e per un rigido, come formale, dalla (2°). Se il centro dei

momenti

è il baricentro,

oppure

un

espressione punto

fisso,

ma gli assi solidali al rigido, rispetto ai quali la rotazione istantanea « ha componenti p, 9, 7, non sono assi principali d’inerzia, si ha, invece della (3), la: (3°)

K=(A4p—

C0'q—

B'r)i,

+ (Bad —Art—-0"p)i,

+

+ (07 Bp— 49) ki in cui A’, B' e 0° sono i momenti di secondo ordine rispetto alle coppie dei piani ortogonali (0141; 211), (V1%1} Y1%1), (€121; Y12:); precisamente è: A'=

my?

®

;

B'

td

—_

= ZiMy®yZy

Se poi il centro dei momenti

.

;

C'

r

pra

= MC Yx

0, non è il baricentro, e non è un

punto fisso, per ottenere il momento risultante delle quantità di moto rispetto ad 0, bisogna aggiungere al secondo membro della (3’) [o della (3)] il vettore m(G — 0,) AV. a) Come primo esempio di applicazione delle formule sopra indicate si determina qui il momento risultante delle forze d’inerzia della biella rispetto al baricentro nel meccanismo di fig. 1. Se 1, è il momento d’inerzia rispetto alla retta normale al piano del moto passante per G (fig. 1), è: a 0 Ma=-lLh dt e poichè

dalla

sin @ =

(sin 0) +

sì ricava: Ti

(cos 0.) 0,) —

16 dt

1— e, con

l’approssimazione d@

di

=

wi

TI

già considerata

7 908 0,

1.

{1+ a

ri sin? 0, —

al n°

12

(II,

ri

sin? Cn)

1): +.

TA

IA

0, .

Capitolo secondo — Forze d’inerzia Ne

ad? 0 de

risulta

7

i wi "a sin 0, (sempre

Melo

nell’ipotesi

Tr.

n

527 w, = cost.);

da cui:

sin 0, .

Se si compone la coppia M'k ora determinata con la forza d’inerzia Fi,3 nuta nel numero precedente, si ricava una forza F,,3 applicata nel punto E

ottesulla

} |

Fig.

4.

—

Momento

parallela

all’asse

risultante

del

Fi,j

delle

moto

forze

per

il

d'inerzia

della

baricentro

biella

G

(fig.

nel

meccanismo

4),

ad

una

biella-manovella.

distanza

da

G

data dalla:

ne!

Ti

I, 0 qs

_

I

Py,

si

myr, Vi #

0, sin 0,

_lba my

lg

Poichè per lo stesso punto E passa la retta d’azione della /z,i applicata in G, può dire che il sistema delle forze d’inerzia della biella si riduce a una

forza risultante nel

punto

r

porto "i

E

Fz,i + Fy, | applicata ora

definito.

è abbastanza

Se

il rap-

piccolo,

l’an-

golo 0 è pure piccolo, e perciò il punto E ora definito è sempre molto prossimo al centro di oscillazione E* della biella relativo al centro di sospensione B (od anche al centro di percossa E* corrispondente alla biella infulerata in B) (fig. 4). sido È

b)

Si consideri

S

rotante : .

ora

intorno

(fig. ad x

5)

un

un

ri-

rig.

asse

fisso baricentrico che prendiamo come asse z,, e che non è asse principale di

inerzia.

Sia

@ = ® (t) la velocità

angolare

5. -- Rigido rotante

ricentrico, che non momento risultante

della rotazione.

intorno

ad un asse ba-

è asse principale d'inerzia: delle forze d'inerzia.

La

forza

d'inerzia

sultante è nulla, poichè il baricentro G appartiene all’asse della rotazione, ed sistema delle forze d’inerzia del rigido si riduce ad una coppia, il cui momento dato dalla (2).

riil è

528

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

Se nel piano perpendicolare a x, per G si prendono due rette al corpo rotante come assi y, € #,, si può esprimere K con la:

Ka Si ricava

dalla

Amoi, — C'wij — B'@k,.

do

do

—

hh + Bo

.

A

k, —

do

do

LI m_a

O

wi) A (Ami, — C'wì, — B'wk,)=

+ 0°0k,

j+Brla

di 2

nia

— 0°B'Ì,

n

Î {a —

. —

»X1

N

a)

x

Va

AVA

esi

MICA

|

le?

n

ì

A: O)

un

solidali

Lu

M° ato

Fig.

ortogonali

ì

|

\

|

xx

6a e b. — Elementi geometrici per il calcolo del momento risultante delle forze d'inerzia disco circolare rotante intorno ad un asse inclinato di un dato angolo sull’asse del disco.

e pertanto i momenti

M,=

risultanti delle forze d'inerzia rispetto agli assi x,, Y,: &, SONO:

de

4A;

Si supponga,

ad

di

es., che

do

My, = il rigido

©:

sia costituito

Mi, da un

=B_

disco

do

Te

circolare

il cui asse

forma un angolo a con l’asse x, attorno a cui ruota (fig. 6 a). Considerando .il sistema nella posizione rappresentata nella fig. 6 d, si prendano come assi solidali Y, © 2, rispettivamente la retta normale a x, nel piano (x, x;) e la retta perpendicolare al piano (y,, %1); l’asse #, giace nel piano di simmetria del disco, ed è asse principale di inerzia di questo, mentre le rette x, e y, hanno coseni direttori rispetto agli assi principali di inerzia x, 2 = 2,, y rispettivamente dati da:

L’equazione

asse

x:

cos a;

sin a;

0

asse

y,:

— sin a;

cos a;

0.

dell’ellissoide d’inerzia rispetto agli assi principali

Ae

+ Boy + 0,28 = 1

(x, y, 2) è

Capitolo secondo — Forze d’inerzia mentre

l'equazione

dello

stesso

poichè 2, è asse principale

ellissoide

d'inerzia,

B' = X;m;a4= è data

rispetto

agli

529

assi

solidali

(21, y,, 21 =

2).

e pertanto:

0;

A = Zimiyig = 0

+02

—20°x,y,=

dalla:

+ By

Ac

1.

Essendo: x, c08a—

x=

y=

y,Sina;

+ y, cosa x,sina

risulta:

Ao (£î cos? a + yî sin®* a — 22,y; sin a cos a) + B, (a8 sin? a |+ + yî cos? a + 22,y sin a cos a) + Ce = 1 da

cui: A

= A,c08°a

+ B,sinfa;

B

= A,sinfa

+ Breosa;

C=(A4— Di

conseguenza

si

M.,= Essendo

il disco

ha,

per

è =

M,=0; circolare Bo=

Bb) sinacosa.

costante:

Mi, =

@ (AB)

sinacosa.

è: Co;

Ao

=

Bot

&=

2B,

e quindi: 1

M;,,= «*B,sin a cosa = 5 4 sin a cos a w. c) Coppia giroscopica [7]. — Nelle macine da mulino, o nei frantoi, uno o due pesanti rulli cilindrici H appoggiano sopra un piano %, sul quale è posto il materiale

da

frantumare,

e sul

quale

rotolano,

ruo-

tando intorno al loro asse 2,, mentre questo è contemporaneamente trascinato in rotazione attorno ad una retta 2 normale al piano di appoggio (fig. 7). L’asse di H può anche compiere delle rotazioni attorno ad una retta normale a < e a 2; (retta deì nodi), così da permettere le piccole variazioni dell’angolo 0 (di nutazione) fra gli assi 2 e 2, quali sono richieste dalla variazione delle dimensioni dei pezzi, che vengono macinati. Prescindiamo da queste piccole oscillazioni intorno alla retta dei nodi, e dalle piccole variazioni delle velocità angolari £ e ©, delle rotazioni intorno a 2 e a 2, quali sì possono verificare durante il funzionamento. Il moto della macina è in ogni istante una rotazione © data dalla:

.

Frantoio

VISTI

a rulli. Coppia

.

giroscopica.

o = Qk + 0k, od anche, scomponendo la Qk nella direzione colare a 2, nel piano (z, 21) (fig. 7), essendo:

Qk= 34

—

FERRARI-ROMITI.

dell'asse

Qsin 0j + Qc080k,

2, e dell’asse

y’ perpendi-

530

Parte seconda — Dinamica

applicata

risulta: = Essendo

y' e 2, assi principali

della macina, a

detti

Qsin0j/+(2c080+

assi,

indicando

con A

d’inerzia

relativi

w)k. ad

e (© rispettivamente

O

per

qualunque

i momenti

posizione

d’inerzia rispetto

si ha:

K= 49sin0j + 0(2c080+

)k

e pertanto:

dK

= A

di

Ma il moto

dy'

sin @ sin

di

+0(2c080+ C (2 cos

degli assi (j’, k,) è la rotazione

ras

QLKAÎ

dk;

dk

di

LINA

Qk, e perciò:

= (2 sin 0] + Qco8 0k,)\j = — Lc0s 0ΰ;

se i’ è il versore della retta dei nodi normale =

w;)

= (Qsin 07 + Qcos0k)Ak, = Lsin di

di

d E

0

al piano

— A?sin 0 cos dif + C(2c080+

= i’ [0@,Q sin

04 (0C—

(z, 24). Si ricava: @))

Q sin di —

A) £? sin @ cos d]

e pertanto il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto ad O ha il suo diretto secondo la normale al piano (#, 2) ed una componente secondo detta

male uguale

asse nor-

a !: M=—

(0,2

sin 0 —(CT—A) 22 sin 0c080.

Una relazione tra le velocità angolari ©, e £ può essere ricavata facilmente se si suppone il cilindro A libero di ruotare attorno al suo asse #,, ossia si suppone nulla l’azione dell’attrito nell’accoppiamento rotoidale corrispondente: in queste condizioni infatti il momento risultante delle forze applicate ad H rispetto a 2, deve essere nullo, e poichè le uniche forze applicate ad H, che hanno momento rispetto a #,, sono le forze di attrito che operano lungo la generatrice di contatto di

H

con

À,

deve

essere:

[mraw

=0

4 essendo F,dx' la forza tangenziale applicata all’elemento dx’ della generatrice di contatto, e l’integrale esteso a tutta la lunghezza 4 del segmento a cui il contatto

si estende.

Ma

se 2

è il punto

in cui l’asse

della rotazione

risultante,

ottenuto

componendo la (0; 00) e la (0; £2), interseca 4, la velocità nei punti P di 4 varia secondo la legge indicata in fig. 8 a; poichè F, ha senso opposto a quello della velocità, se si considera il coefficiente di attrito indipendente dalla velocità, e si sup1 Si osservi che se si pone ©, = 0, il sistema, per quanto si riferisce alla determinazione del momento risultante delle forze d’inerzia rispetto al baricentro G, si riduce a quello considerato in (0), e la M’ ora ricavata risulta coincidente con quella ottenuta in detto caso

essendo

ora

0 = 7 —a.

Capitolo secondo — Forze d’inerzia pone

la forza

normale

uniformemente

distribuita

lungo

531 il segmento

di

contatto,

ne risulta per la legge di variazione della Y, quella indicata in fig. 8b. Perchè il momento risultante sia nullo è di conseguenza necessario che D divida per metà il segmento 4. La

retta

d’azione

della rotazione

risultante

@w = @, + £2 è perciò

la 09D:

se a

è l'angolo che la 09 forma con #, si ha subito dal triangolo di composizione di @, e di £ (fig. 9) che è: 2 sin (9 e pertanto

M'=—

2*sin =

Il momento scopica o

— a) =

@, sina

si ha:

nel

—

sin (0 — a)

0|C

2° sin 0(0cotgasin

+

(C— A) cos 0| =

8

— A cos 0).

MM’ ora determinato non è altro che il momento

moto

di

precessione

della coppia giro-

regolare del rullo, corrispondente alla rotazione propria ©,, e alla rotazione di pre-

cessione 02, Sia mg k il peso della macina, e si ammetta

che

la

verticale

baricentrica

sechi il piano di appoggio

inter-

nel punto 2 già

(0)

Fig.

9.

—

Rotazione

risultante

del

rullo

sopra definito; si supponga pure che per lo stesso punto 9 passi la retta d’azione della forza risultante F, trasmessa dal Fig.

8a

e b. —

Determinazione

dell’asse

della rotazione risultante del rullo.

infine librio

piano

di

appoggio

F, il componente verticale del rullo dovrà essere:

(-

mg

— F,)l +M'=0

F,+tF.+tmg=0; trascurando se il valore

la componente di 0 è prossimo

ad O, e prendiamo Si ottiene:

positivi

—mg—-F,=F,;

verticale I

a 3

h,

che

prendiamo

della

forza

e se indichiamo

i momenti

nel senso

M' Fi.=-7.=

d'inerzia

del

rullo,

con I il braccio della rotazione

22 sin 0 7

(00088

come

F;,=mg+F,=mg+

è lecito

della F, rispetto

che porta

. a sin 9 — A cos

e di conseguenza: —

ver-

ticale, e quindi coincidente, per l’ipotesi fatta, con la retta d’azione del peso; sia della reazione del sopporto in O. Per l’equi-

2? sin (i) 1 (C cotg a sin 0 — A cos 0).

2 su e,. 6)

532

Parte seconda - Dinamica

cina

applicata

Ora, per il principio d’azione e reazione, — F, è la forza trasmessa dalla maal piano d’appoggio h, ossia è la forza che produce la frantumazione del ma-

teriale

posto

sotto

il rullo:

alquanto più grande fetto giroscopico. d) Freno

freno

si

riconosce

dalla

di quella corrispondente

a forza

centrifuga.

a ceppi, che ha lo scopo

—

Il freno

formula

trovata,

che

detta

al solo peso, in conseguenza a forza

centrifuga

di impedire che la velocità

è un

forza

è

dell’ef-

particolare

di discesa di un peso

superi un dato limite, mentre non può, appunto perchè utilizza una forza di inerzia, essere usato per impedire la discesa del peso stesso.

Fig.

10.

—

Freno

a forza

centrifuga:

schema.

Esso è costituito da un disco, solidale all’albero che deve essere frenato, che porta le articolazioni C dei ceppi, distribuiti simmetricamente intorno all’asse (fig. 10); ogni ceppo all’altro estremo si collega a cerniera ad una bielletta AB, che fa capo ad un manicotto cilindrico H, folle sull’albero D. Ad H è fissata l'estremità di una molla a flessione, che all’altro estremo è solidale all’albero stesso; la molla applica così al manicotto una coppia, di asse coincidente coll’asse di D, che tende a mantenere staccato il ceppo dal tamburo fisso L, pure di asse coincidente con l’asse di D. Quando la forza centrifuga della massa del ceppo ha un valore sufficientemente elevato, da vincere l’azione contrastante della molla, il ceppo preme contro il tamburo con una forza tanto maggiore quanto più elevata è la velocità angolare

di

D,

Si consideri

producendo

il frenamento.

ora il sistema

in una

fase

di moto

accelerato,

e sia

(#)

la velo-

cità angolare dell’albero; se il ceppo N è a contatto con il tamburo L, l’azione che IL trasmette a N risulta di un componente normale F,, e di un componente tangenziale F,, applicati in un punto E, le cui rette d’azione possono essere determinate col metodo indicato in (I, 9), e che pertanto ora si considerano note. La forza d’inerzia risultante del ceppo è composta di una forza centrifuga F:, avente la direzione OG (fig. 11), e di grandezza uguale a mw?7,, se 7, è la distanza di G , r . va BE d da

O,

e di

una

forza

tangenziale

d’inerzia

Fi,

di

grandezza

uguale

a

m =

Tg. la

Capitolo secondo — Forze d’inerzia

533

cui retta d’azione è perpendicolare ad OG ed è orientata in senso contrario a @, d . ì . se — , come qui si suppone, è positivo. Il momento risultante delle forze d'inerzia do del ceppo rispetto all’asse di rotazione è uguale a —1I i’ se I è il momento

d’inerzia di N rispetto ad O, e pertanto la distanza della retta d'azione di F; da O 2

è uguale punto

a

= sca se q è il raggio d’inerzia di N rispetto ad O: se E* è il r 2 che ha da O la distanza La , appare che la forza d’inerzia risul.

mr

della

0G

r

Fig.

11.

—

Forze

operanti

sul

ceppo

del

freno

a

forza

centrifuga.

tante di N è applicata nel punto £*, che è il centro di sospensione del ceppo, rispetto ad O come centro di oscillazione, risultato questo analogo a quello indicato in (a). Se

poi

M,

è il momento

trasmesso

dalla

molla

al manicotto

H,

che

d’inerzia nulla, la forza trasmessa dalla bielletta al manicotto stesso, trascuri anche l’inerzia della bielletta, è diretta secondo l’asse AB di

.

in grandezza

è uguale

a S =

ri —°, za

se a è la distanza

di

O da ABezil

si considera

quando si questa, ed numero

dei

ceppi. La stessa forza è applicata dalla bielletta in B al ceppo, di guisa che l’equazione dei momenti, rispetto alla cerniera C, delle forze applicate al ceppo è: morgb,

+ m

se d,, bs, cr, €, e d sono

forze F;, F:, F,, E,

do

;

tabs — Fn

rispettivamente

S, ed avendo Mm (ot

+ {Fato —

le distanze

F,= ei

fer

az

da=0

da O delle rette d’azione

posto FX = fF,. do + rygda ce)

Mg

—

Si ricava:

delle

.

534

Parte seconda — Dinamica

applicata

e di conseguenza il momento frenante risulta:

d mM, m (om +rgds do) rn, di M; = 2jF,0E = e0Ej —— A Si osservi che se il senso della rotazione dell'albero fosse contrario dicato nella fig. 11, i momenti della F, e della F; sarebbero di senso quello sopra considerato, e il freno risulterebbe meno efficiente.

a quello indiscorde da

3. Lavoro delle forze d’inerzia. — Il lavoro delle forze d’inerzia di un sistema qualsiasi, corrispondente allo spostamento effettivo nel tempo elementare di, è uguale e contrario al differenziale dell’energia cinetica 47 del sistema stesso: si ha cioè:

(1)

dl'= —dT.

D'altra parte, l’energia cinetica di un sistema materiale qualsiasi si può esprimere (teorema del Koenig) come somma dell’energia cinetica della massa m del sistema stesso, concentrata nel baricentro G di questo, e dell’energia cinetica del moto relativo a G. Se il sistema è un rigido, si ha: 1

=

(2)

1

MV +3 (Ap + Bg + 0°)

se V, è la velocità di G: A, B, C sono i momenti baricentrici principali d’inerzia, e p, g, 7 le componenti della rotazione istantanea @ intorno a G, secondo gli assi principali d’inerzia. Se gli assi solidali al rigido non sono assi principali d’inerzia, si ha: 1 T-mV3+

(2)

7 (Ap? + Ba + Cr —

— 2A'qgr —2B'pr — 2C'pq) in cui 4’, B' e C' sono definiti dalle: '

__.

A'=ZMY%;

i momenti

.

to

di secondo

B'=2%;MG%;

è

ordine rispettivamente a

C=2Z,M%Y.

Se poi come centro di riduzione del moto si prende centro G, ma un punto generico O, del rigido, è:

(27)

T=

non

il bari-

5 mVi + 7 (Ap? + Bg? + Cr? — 2A'qr — 2B'pr— — 2l'pga+mVxo0A1(GT—-

se V, è la velocità

di Q,.

0)

Capitolo secondo

— Forze d'inerzia

535

Per un sistema materiale qualsiasi a » gradi di libertà, se 4, da; +3 In Sono le coordinate lagrangiane del sistema stesso, l’energia cinetica è, nel caso più generale, una funzione razionale intera di secondo grado delle g, = e da

t: si ha

dqn

, a coefficiente non dipendente che dalle q,

cioè:

1 mb . qT= DI Zn,8 Ant In da + Za bn ln +

(3)

To

(h,k=1,2,...,%).

Nel caso più particolare, in cui i vincoli sono indipendenti tempo, tutte le d, e la 7, risultano nulli, e 7° si riduce alla: 1 (4)

T=

3

dal

5 7h

Ana In de

e pertanto: se è vincoli sono indipendenti dal tempo, Venergia è una funzione quadratica omogenea delle q, definita-positiva T>0).

cinetica (poichè

a) Energia cinetica del meccanismo biella-manovella. — Si consideri ancora il meccanismo biella-manovella come in (II, 1) e in (II, 2a). Se 7,, è il momento di inerzia (rispetto all’asse della rotazione) della manovella e delle altre masse solidali all’albero a cui appartiene la manovella; Y, la velocità del baricentro G della biella; I, il momento d'inerzia della biella rispetto alla retta per G normale al piano del moto; ed infine V, la velocità dello stantuffo, di massa m,, l’energia cinetica del sistema è:

meli e IE A Coe deo pat in cui x, è l’ascissa definiti.

Prendendo

del piede

di biella,

e gli altri

do,\? eg

simboli

come coordinata lagrangiana g l'angolo

hanno

i significati

@, di rotazione della mano-

vella, risulta dalle espressioni già date in (II, 1) per le coordinate x, e yy di G, che da, i

d

"A

, (- sin

=

yi

=

Wil, =

0,

Ti . —L tr] sin 20, + .)

B

cos 0,

e pertanto: x

cos? 0

Vi = wiri (sin? 0,+38 ssa mentre

TU

.

+1 no) sin 0, sin 20, + )

è:

dws

= 7,0,

È 7 {sin0, + SI

e sin 20, + ...] 1

già

.

x

è:

536

Parte seconda — Dinamica Si ricava Sali

così:

TIRA

1 o

dé, di

\?

1

uo

lr.

i

Im

+ myrî

:

a,

+ I

+ mgri (sine 8, ma— e pertanto

applicata

è,

nell'esempio

a=In+

ora

(sin?0, + ui

sin 6, sin 20,

È

cos

0, +

cos?0, +

+ .. )

considerato:

IH u, (si? 0, + n così 0, + si ta sin 0, sin 20, + n)

mt

+

2 +5

n

cos? 0, + myrî

(sin? 0, + +

sin 0, sin 20, + .)

=

= Ao + 4; cos 0, + A, cos 20, + 4g cos 30, +... in cui: mri

Ao =In+

2

IR

(+È la

PRBC TRE A,=

—

myrî

—

(1-4)

sima Il lavoro dl’

forze

dT

e

Per

delle

è = cost,

72

a

212

+

myrî

eli 2

ion

;

on È

d’inerzia Fl

i l’espressione

nell’intervallo 1

sopra dL'

=

di

da

sa)

scritta ——

1

_

elementare

CE

si riduce da

è

2

di tempo

db,

+

1

2°

di è perciò; ci

da

d0,)"

a:

.

b) Energia cinetica di un regolatore volano. — Due bracci pesanti H e H' sono infulerati ad uno dei loro estremi ad un disco L rotante intorno al proprio asse. I

due

bracci,

che

sono

collegati

da

una

molla

$,

hanno

i loro. assi,

che

formano

angoli uguali con la retta congiungente i centri delle articolazioni B e B' (fig. 12). Il sistema ha due gradi di libertà: come coordinate lagrangiane possono essere presi gli angoli @,, di inclinazione degli assi di 7 e di H' rispetto alla normale a BB’; 0, di orientazione del disco attorno al proprio asse.

L’energia cinetica del disco è uguale a: —

1 I, (d9,\: 2 (52)

=

1 I;02. 2 902

—

Capitolo secondo — Forze d’inerzia L’energia

cinetica

di ognuno

dei

1

lie

due

P

bracci

1

537

è uguale

î

a:

;

o: Is (091 + 62)?

perchè il moto di H (o di H*) rispetto al proprio baricentro è la rotazione di velocità angolare 0, + 0, attorno alla retta per G parallela alla direzione comune dell’asse del disco e dell’asse dell’articolazione in B (o in B'). D'altra parte, dalla fig. 13, in cui si è segnata in OB la posizione presa in un istante generico dalla retta, rotante con L, che congiunge il centro O del disco L con l’articolazione B, e in BG la posizione presa nello stesso istante dal segmento

y Fig. 12. — Schema dell’elemento sensibile di un regolatore-volano.

Fig. 13. — Elementi geometrici per il calcolo della energia cinetica dell’elemento sensibile di un regolatore-volano.

che congiunge B con G, e che forma l’angolo 0, con la normale per le coordinate di G rispetto ad un riferimento fisso: xy = asin 0, + 1cos(0,+ Yy=

— a cos 0, +

ad OB,

0);

Lsin (0,4

0)

posto: a = 0B; 1 = BG. Si ricava quindi:

d%g

:

di

dy

.

| nr da

î

= a cos 8.0,

= asin0,.

5

— Isin (0, +0)

:

a

(0,+

02);

.

9, + dcos(0,+

.

8) (014

da)

cui: Vi

Si ottiene

=

a 62 +

(CH +

62)

— 2al0,

(0, +

63) sin 0, .

così: T=

1

rl

I

ET,

FO — 20102 (0, +

. +15

(01 +

E 602) sin 0

.

,

x +

2(0,

.

62)? +

mo [a? 8

+

02)?—

1 = >

E L n° (a, 07 + 22.08 + 20,2 0102)

si ricava

538

Parte seconda — Dinamica

applicata

essendo:

| a, = 21 +2m0; Agg = + |

Ig +25

G,, = 215,4

+ 2m

(+

a?— 2alsin 0);

2my (2 — 2alsin 0).

c) Energia cinetica di un solido a siruttura giroscopica. —

Si consideri ancora il

sistema rappresentato nella fis. 6a, e si immagini che il membro H, che porta l’asse x, attorno al quale il disco S ruota, ruoti attorno all’asse y’ perpendicolare a %,, come è indicato nella fig. 14 a. Il sistema ha due gradi di libertà; prendiamo Ay' Ì

Ò I

;G fa}

a

y'

(0)

A Ss

î

"| |

Ve Lo

I

(/

To,

HO

>

x

SX

i

|

G___

I Fig.

è

(93) 2

5

X

Zi

14a e b. — Elementi geometrici ruotante intorno ad un asse inclinato ruotante.

per il calcolo dell’energia cinetica di un disco circolare di un dato angolo sull’asse del disco, e portato da un telaio

come coordinate lagrangiane l’angolo 0,, di orientazione intorno golo 6,, di rotazione attorno a x,, e poniamo (fig. 14):

da

d6, uc

all’asse y’, e l’an-

_ 46, Sea ug

Prendendo nel piano per il baricentro G di S perpendicolare a x,, come assi solidali a S stesso, le rette ortogonali y, e 2,, di cui la 2, appartiene al piano medio di S, ed è di conseguenza asse principale d’inerzia, si ha:

p=

0g

q= © 008 0,;

r=

— sin

0,

e l'energia cinetica risulta: eni n (A 03 + Bî cos? 0, + C'wî sin? 9, — 20°,%3 08 0). Ricordando T=

3

le formule

ricavate

al n°

(II,

28)

si può

scrivere:

[(4, cos? a + B, sin? a) @î + (A, sin? a + B, cos? a) wî cos? 0, + +

©, 0î sin? 0, — 2 sin a cos a (Ag — Bo) 0,0, cos 0,].

Capitolo secondo — Forze d'inerzia

539

È pertanto ora: a, = cos? 0, (4, sin? a + By cos? a) + Op sin? 0, ; A, = A, costa + Bysin? a; 0,1, = —

2sinacosa(A9,— B,) cos 0,.

Il lavoro delle forze d’inerzia per uno spostamento virtuale qualsiasi, corrispondente ad incrementi elementari dg, delle coordinate lagrangiane q,, è dato, per un sistema a vincoli olonormi, dalla:

SL =-—5, 29, ( did

(5)

@T

a

94h

dd

e pertanto la componente lagrangiana delle forze d’inerzia una coordinata generica gq, è data dalla:

(6)

CA Così,

ad

es., per

È

d

[TT

considerato

a

OT

ceadi \ 09,

il sistema

relativa

dQn

in

(c) la componente

lagrangiana

forze d’inerzia relativa alla coordinata q, = 0, è:

delle

°

— Qi = cos? 0, (A, sin? a -- B, cos? a) È, — sin a cos a (4) — B) cos 0, È, —

— 2 cos 0, sin @, (4, sin? a + B, cos? a) È, è, + + sin a cosa (A, — B,) sin 0, 02 + O, sin 020, + 2 sin @, così, C5 dI, Ba: Non giana

è inutile @;

delle

avvertire

forze

che

d’inerzia,

il calcolo relativa

ad

della una

componente data

coordinata

lagranq,; è,

qualche volta, chiamato in Meccanica Applicata riduzione delle masse alla coordinata g,, così come il calcolo della componente lagrangiana @, delle forze applicate ad un sistema, relativa alla q,, è chiamato riduzione delle forze alla coordinata stessa. BIBLIOGRAFIA Per questo e per il Capitolo III si rimanda per la dimostrazione dei teoremi fondamentali richiamati nei capitoli stessi ai testi di Meccanica Razionale già indicati nella bibliografia della Parte II, ed in particolare a: [1] T. Levi-Crvira Bologna, 1929. [2] A. SicnoRINI, Roma,

e U.

AMALDI,

Meccanica

Meccanica

razionale

con

razionale, elementi

Nicola di

statica

Zanichelli

Editore,

grafica,

Perrella,

1948.

[3] P. AppeL, Traité de Mécanique rationnelle, Gauthier-Villars et C. Editori, Parigi, 1928. [4] E. T. WIrTHAKER, Analystische Dynamik, Springer Edit., Berlino, 1924. [5] A. CAPETTI, Motori termici, U.T.E.T. Edit., Torino, 1964. [6] C. W. Ham, E. J. CRANE, W. L. RoGeERS, Mechanics of Machinery, MeGrawHill

[7]

R.

Book

Comp.,

GraMmMEL,

Der

New

York-Londra,

Kreisel,

Spring.

1958.

Edit.,

Berlino,

1950.

CAPITOLO

EQUAZIONI

TERZO

FONDAMENTALI

DELLA

DINAMICA

Introduzione. — Nei primi due capitoli di questa seconda parte sono state considerate le forze applicate ai vari membri di una macchina, in particolare le forze agenti negli accoppiamenti e le forze d’inerzia: ora lo studio dinamico di un qualsiasi problema relativo alle macchine è lo studio degli effetti che tali forze producono, e la determinazione di tali effetti richiede che siano scritte le condizioni cui il sistema delle forze stesse deve soddisfare. Si richiamano pertanto qui le equazioni fondamentali della Dinamica

e

si indicano

con

una

serie

di

esempi

come

esse

si applichino.

1. Principio di D’Alembert. — Questo principio afferma che 4? sistema delle forze applicate, attive e reattive, e delle forze d’inerzia per un

qualsiasi

sistema

materiale

è

in

equilibrio.

È

stato

già

osservato

nell’Introduzione di questa seconda parte, che la forza d’inerzia di un elemento materiale non è una forza effettivamente applicata a detto elemento, ma è una forza effettivamente trasmessa dall’elemento all'ambiente esterno ad esso, e da cui emanano le forze ad esso applicate. Se pertanto si considera non un sistema isolato S, ma tutto il complesso 2, sistema S più universo esterno, rispetto a detto complesso tutte le forze applicate a 2' sono interne, e pertanto in equilibrio: ed è precisamente questo il significato fisico del principio di D’Alembert. Come conseguenza immediata di esso si ha poi che ogni problema dinamico viene trasformato in un problema di statica. 2. Equazioni cardinali della dinamica. — La condizione di equilibrio affermata dal principio di D’Alembert porta subito a scrivere che per un qualunque sistema materiale S, e per una parte qualunque $, di $, il risultante delle forze applicate e d’inerzia, ed il momento risultante delle stesse forze rispetto a un punto qualsiasi O devono essere nulli. Si ha quindi: (1)

F+tF=0;

M4+M'=0

per $;

i

(2)

F,+F=0;

M;+M/=0

per qualunque parte S, di S

542

Parte seconda — Dinamica

applicata

in cui F e F' sono rispettivamente il risultante delle forze applicate a $, e il risultante delle forze d’inerzia di S; M e M' il momento risultante rispetto ad O delle forze applicate, ed il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto al medesimo punto, mentre F,, Fi, Mi, Mi; hanno significato analogo a F, F’, ecc. per il sistema S;. Deve essere tenuto presente che nelle (2) compaiono le forze interne a S,

che

sono D

però

esterne

alla parte $, di S. Le (1) e (2) sono le equazioni cardinali della dinamica, e se per F' e M' (o per Fi e M:) sostituiamo le espressioni indicate nel Capitolo II otteniamo le equazioni che esprimono il teorema della quantità di moto risultante, ed il teorema del momento risultante delle quantità di moto. Nelle (1) e (2) sono contenute anche le forze reattive, che a priori non sono note; è stato però indicato nel Capitolo I quali sono le proprietà tipiche delle forze che operano nei vari accoppiamenti, e che permettono di esprimere le forze stesse. È perciò possibile, servendosi delle formule ricavate ai Capitoli I e II, scrivere esplicitamente le (1) e (2) per S e per ogni $;, ed eliminando dai sistemi di equazioni corrispondenti le incognite reazioni vincolari, ottenere le equazioni differenziali pure del moto del sistema, in numero corrispondente al numero dei gradi di libertà di questo.

dd, Z

LL Fig.

(B)

LI

[LITI

I TTIITIDIT

(A)

1.

—

n

na

cizio (a). con

ESEMPI

Rappresen-

DI APPLICAZIONI.

a) Si consideri il sistema rappresentato

nella fig.

1 e così

,

costituito: un cilindro circolare (A) è immerso in un fluido contenuto entro un recipiente cilindrico circolare (B) coassiale (4), ed è sostenuto da un filo H che presenta una data rigidezza a torsione,

e fa capo ad un punto fisso D. Si pensi di ruotare (A) intorno al suo asse di un angolo 0,, producendo così torsione nel filo che lo sopporta, e di abbandonarlo quindi

senza

velocità

iniziale

in

detta

posizione.

‘ Si può facilmente ricavare l'equazione del moto di (A), se si suppone che i due cilindri (4) e (B) abbiano un’altezza abbastanza grande, perchè il moto del fluido si possa considerare come piano, e che la differenza dei raggi R4 e Eg dei cilindri stessi sia così piccola, rispetto

al raggio

medio catia

i risultati

35)

la

ottenuti

al

n°

(I,

per

determinazione

, che della

sia lecito tensione

applicare tangen-

ziale 7,, applicata dal fiuido ad ogni elemento di (A): in queste condizioni si può prendere

(I, 35-2):

in cui 4 è il coefficiente di viscosità del fluido, « la componente della velocità di questa tangente alla circonferenza sezione retta di (A), mentre y è la coordinata

Capitolo

terzo

— Equazioni

fondamentali

della

dinamica

543

radiale misurata a partire da » = Ru (y = — Ku). Poichè lo spessore del meato, tra i due cilindri, è costante, ed uguale a Rz — R,, la « varia linearmente con la y per la (I, 30-12), e precisamente è:

; y SE

sine e di conseguenza

|

momento 2 di (A),

a

risulta:

n Ta Mi Il l’asse

n)

risultante è perciò:

delle

ME; Ri Ry

“

forze

o

tangenziali

applicate

dal fluido,

rispetto

al-

2%

R

o

M= REL {tre da — — 2nR}Lu ——‘_ :

se L è l’altezza del cilindro. filo trasmette ad (A), è:

6

Es — Ra

D'altra parte,

se con

M,

si indica

il momento

che

il

GJ M=—-0

essendo l la lunghezza del filo, J il momento d’inerzia polare della sua sezione retta e G il modulo di elasticità tangenziale del materiale di cui è fatto il filo stesso. L’equazione del moto di (A) si ha quindi subito, osservando che il momento risultante

delle

forze

d’inerzia

di (A) rispetto

all’asse

conseguenza scrivendo che la somma dei momenti forze d’inerzia rispetto a 2 è nullo si ha:

d? 0 J I-_—P+G_-

3

(3)

un

L’integrale

de 0, — dt

0=

di questa

5 (5)

B?

e di

di tutte le forze applicate e delle

Ra do 2rR3L —————_—_——__=0

0

equazione

che

soddisfa

alle

condizioni

iniziali

per

t=

Ge

È -— —t 2I

ko

con

BR

EP,

a , essendo:

U4R ,

dl

ossia: nelle condizioni k

Se invece — I

(6)

d2 0

STO

glia

0=

OTT

è —I

= 0 è:

(4)

k e —

di questo

GJ

=1

p

b =

2nuRBL TUA,

ora indicate, il moto

di (4) è un moto

pa


0, valgono per la soluzione dell'equazione omogenea le stesse considerazioni già sviluppate per il caso (a). Riprendendo in esame l’equazione completa, il suo integrale generale si ottiene aggiungendo all’integrale generale dell'equazione omogenea un integrale particolare dell'equazione non omogenea: ricercando per questa una soluzione della forma: 0° = 0,008 (LQ% — a) con

0;

costante,

do’

a

che

sostituite —

si ricava

successivamente:

nell’equazione

per

0 2? cos (Qi — a) — La

od

anche:

—

0 2° (cos

de 0

LI

a

la

0” danno:

052 sin (LQ8— a) +

Qt cos a + sin Li. sin a) — La + 46; (cos

PL 008(26-a)

Lt cos a + sin

062

Li sin a)

ad; cos (Li — a) = Deos LI

(sin Lt cos a — — bceos Q4=0.

cos Qi sin a) +

556

Parte seconda — Dinamica Uguagliando

da

separatamente —

050. c08a

—

092

a zero +

sina

—

applicata

i coefficienti

È

di cos Lf e di sin 24 si ricava:

02sna+a0cosa=db;

E

gio

cosa

+

adgsina

=

0,

cui: iga=

Usando

le stesse

notazioni

a=oî;A

(B/B) 2

e —

——_;

e7

a—_

22

e denominazioni

b cos a gl

0°

già introdotte

Sib. = 0;

in

(III,

2a)

è

ora:

B=yB=2yBon

e quindi: 27 0,2

tga= o: =

Db cos a

1; Q2

b

=

P_ 2 L’integrale tanto:

al

Vipag 24

b

=

(a

92)?

V Lolita E

K0. < ®n, è per-

generale dell'equazione completa, nella condizione bceos (Lt— a)

0= e e-v2ni cos (f1—72 @, + ag) + VE

o)+

(a — 22?

in cui le costanti e e ag devono essere determinate in modo da soddisfare alle condizioni iniziali. Il primo termine a secondo membro ha unv’influenza sulla legge del moto rapidamente decrescente al crescere di ©,t: esso rappresenta perciò un fenomeno transitorio,

certo

connesso

intervallo

termine,

con

le

di tempo,

connesso

legge di variazione Poniamo:

con

oscillazioni

dipendente

la forza

libere

e

con

dal fattore

eccitatrice, che

ha

le

condizioni

iniziali.

di smorzamento essenziale

7,

importanza

Dopo

un

è il secondo ai fini

della

di 0.

0, appare essere lo spostamento che sarebbe prodotto dall’applicazione del momento Bb in condizioni di equilibrio (relativo); ad esso si può perciò dare il nome di spostamento statico. La relazione trovata per la 0) può così scriversi nella forma: p_

do

CA

_

1-2)

\°_

Da

1

(

270) Un

_

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali della dinamica mentre

557

si ha:

Il coefficiente

D=

(È)

è chiamato

fattore

di amplificazione dinamica, perchè

s

esso dà il coefficiente per cui deve essere moltiplicato lo spostamento elastico pro11

10]

y L

0-7]

ty

=0

9

(|

180°

2 Si

f

7

n er

ZA

Lat

27

ser

DU) pes

Aaa

o

140°

Ì i

8

y= 0,054-u

E 6

ri £ @

Pd

HA”

120°

TANA 7 ri

Ea 5 È8 4

8 100° o ÈÈ

y= 0.137 1 U

5

/

3 77 0,25 n

2

/

0

7]

TT

0,2

7. —

Legge

Le?

eg

0,4 di

tr]

40

4 | si

Z.

È

290

I

n

ei

0)

60° \

di H

_ Je”

n

80°

il Ì

LI h

7;

1

Fig.

2 a

y f

0,6

Mn)

0,810

variazione

del

fattore

12 di

1,4

16

nn]

18

amplificazione

D

col

2,0

0%

oh

rapporto Der n

dotto in condizioni statiche da una data azione motrice b B (nell'esempio in considerazione, coppia) per ottenere l’ampiezza dell’oscillazione forzata prodotta da una azione motrice armonica (b B cos Qt). I diagrammi di fig. 7 ne indicano la legge di variazione col rapporto (£2/,) della frequenza dell’azione eccitatrice alla frequenza propria del sistema, per diversi valori del parametro di smorzamento 7. Nella stessa figura è indicato il diagramma che dà D per y = 0: appare che lo smorzamento ha piccola importanza sul valore di D, eccetto che per £ prossimo

2 ©,, Ossia in condizioni vicine a quella di risonanza (2 = @,). Nella condizione di risonanza.

D,

che

per smorzamento (Dio

=

0,

=

nullo (

È 272

è infinito,

2

=

]o=tn

per y #

1 2Y

—

,

0 ha il valore:

558

Parte seconda — Dinamica

un

poco

minore

dell’unità:

precisamente

Q

=V1_-

per un valore

@,, ma

Q=

si ha per

non

di D

Per y + 0 poi, il massimo (2/0)

applicata

di

è:

272.

Qn

Poichè

la fase della coppia

DI

eccitatrice

è stata presa uguale

l'oscillazione

di 0 dovuta alla coppia stessa è uguale

presenta

sfasamento

y=

lo

dell’oscillazione

di

a

3

0 rispetto

a 7/2, e la fase del-

+ o) , l'angolo

alla

coppia

a rap-

eccitatrice.

Per

0 detto sfasamento è nullo, o uguale a x, a seconda che (02/@,) < 1; per y | 0,

pf

e per ‘, > 2, tg a è positivo, e lo sfasamento è sfasato in ritardo rispetto alla forza. L’angolo a raggiunge il valore di

DI a

—,

F,cosQt j

qualunque

2

_]

Lo

2/0,

=

sia y, in condizioni

1; per

È

31,

di risonanza, cioè per

è t5 a negativo,

e a>+,

di

n

guisa che a tende a x per 2/0, + co. I diagrammi rappresentati dalle linee punteggiate della fig. 7 mostrano la dipendenza, ora indicata, di a per i vari y, col variare

B

=K

di Q/0,. f) Un problema

VTZZIZZZZ

siderato

Fig. 8a. — Schema del sistema corrispondente al-

è quello

del tutto analogo a quello sopra con-

relativo al moto

del

sistema

rappre-

Sentato in fig. 8 a, e costituito da una massa m, soggetta alla forza variabile con legge sinusoidale in funzione del

lesercizio (/).

tempo

Y, cos Li, guidata

a traslarsi

secondo

la verti-

cale, e collegata al telaio per mezzo di molle di data rigidezza k, e da uno smorzatore a resistenza viscosa f; questo può pensarsi costituito da uno stantuffo solidale con la m, scorrevole entro un cilindretto solidale al telaio,

una

mentre

parte

un

foro

di questo

praticato

nello

di passare

stantuffo

dall’altra

consente

parte,

mentre

al

fluido

che

lo stantuffo

si trova

si muove.

da

La

d?

forza d’inerzia risultante verticale

molle

del

baricentro

della massa della

è —- ky, se si misura

stessa

m

è — m

m,

mentre

la y a partire

, indicando con y la coordinata

dt la

forza

dalla posizione

risultante

trasmessa

in cui le molle

dalle

sono

sca-

d

riche; la forza applicata dallo smorzatore £ è invece proporzionale alla velocità (2) con

cui

lo

stantuffo

si trasla

è di senso opposto a detta di velocità, così che essa, può essere posta uguale a (- B te) . L'equazione del moto del sistema è pertanto: t d?y di?

la

rispetto

ke — m

vt

al cilindro,

B_dy — — m

di

=

ed

F —

Mm

ta

Qt

che è identica a quella ottenuta nel problema considerato in (e). Si possono perciò senz'altro applicare i risultati sopra ottenuti e discussi. Posto ora l’integrale particolare dell'equazione completa sotto la forma: y=

FY cos(Q8—a)

Capitolo

terzo

— Equazioni

appare che la forza trasmessa manenti,

della

ossia

forza

quando

applicata

dalla massa

il fenomeno

dalle

fondamentali

molle,

quella

applicata

559

non

ha

alcuna

influenza,

è la somma

è:

kYcos(Q1—

e di

dinamica

al telaio, in condizioni di oscillazioni per-

transitorio

che

della

dall’ammortizzatore,

a),

che

è:

BQY sin (LQi— a), sfasata

n

di 3

L’ampiezza

rispetto

alla

precedente

F, della forza risultante

(ossia,

in

quadratura

con

lo

spostamento).

è pertanto:

F,=Y|k3 + po? ar)

2 Q2

+

77

Q

-ar]fi + (27 2)

\2

Un

e sostituendo precisamente:

a

Y

la sua

espressione,

analoga

F

Y=

a quella

prima

ottenuta

per

0j,

e

2

m V4y 0g 2 + (0%— 2)? si ricava:

ky1 + (27 2)

r,

+

n

=

i Qi

2

Q

hi }

essendo esso

wî = —. m

è funzione

a uno,

qualunque

n

fattore

di smorzamento

Q

sia y, per

-—-

= 0,

e —

grande

di F,

per

trasmessa Q


V2 , e più

On

-y2 p

“

2A

2) lo smorzamento trasmissibilità,

per

produce

un

effetto

favorevole,

< 2; ha un

effetto

sfavorevole

Way

È ovvio

che i

dalle vibrazioni.

risultati ottenuti trovano

nel senso per

che

diminuisce

la

> 2. Wa

applicazione

°

nel problema

di isolamento

560

Parte seconda - Dinamica Una piccola variante

rappresenta lo schema legata

a una

Fig.

86.

del sistema ora preso in esame

di un vibrometro:

base d per Ar

0

applicata

mezzo

di una

molla

H

e di uno

massa m col(dash-pot)

5

np

variazione del coefficiente di trasmissibilità per il sistema Q ; ì n . col rapporto —— per diversi valori del coefficiente di smorzamento. —

Legge

S;

L

4

3

2

1

dalla fig. 9 a, che

smorzatore

7

A

—

;

7

è indicata

questo è costituito da una

di

(})

Pa

la base d è posta a contatto (puntiforme) col corpo vibrante C, in modo che essa si trasli in ogni istante con la stessa velocità del punto C con cui è a contatto. Lo spostamento relativo tra d e m è utilizzato per far muovere una punta scrivente b sopra un rullo di carta rotante, sul quale viene così ad essere tracciato il diagramma degli spostamenti relativi di 6 a m in funzione del tempo; oppure detto spostamento può essere trasformato in una variazione proporzionale di una grandezza elettrica, che può essere misurata. Sia yp lo spostamento del punto P di C, con cui d è a contatto, e sia: yp=% 008

Fig. 9a. Schema

24 :

si ammetta di conoscere £Q mentre % è incognito. Se y’ è lo spostamento relativo di m a b, l’equazione determinatrice di y’ si ottiene osservando che le forze applicate a m sono: 1) la forza trasmessa dalla molla, che misurando y' dalla posizione della m per la quale la molla è scarica, è data dalla — ky”: 2) la forza trasmessa dallo smorzatore, che si

di vibrometro.

dy'

può

ancora

prendere

uguale

a — £ “n?

3) la forza d’inerzia della massa, che, se si indica con yy la coordinata del baricentro G di m relativa allo stesso asse (fisso), secondo il quale si considerano gli sposta-

menti yp di P, è data dalla:

TYg di?

,

Capitolo

terzo

— Equazioni

ma è:

fondamentali

della

dinamica

561

Y=UPpth+ty

con 4 costante, che dà la posizione di G relativa a d nella posizione è scarica. Ne risulta:

dy,

_ Py,

Py

de

dy°

die © — Yo 008 LL +

to

ara

=

(98)

dI

de

in cui la molla

[LN

Î

lee 0 Legge

= 2,0l

1,0

di variazione

di

Yo

in

funzione

Fig. 9b. . 2 di —— per

Yo

Si ricava perciò

come

|

ooL

. , vari valori del

fattore

, di smorzamento.

On

equazione

de y' di

del moto

dy' di

+ ky

relativo

di m

a b la:

= my,2° cos Lt

che è di nuovo l’equazione delle oscillazioni forzate studiate in (e) e nel presente esempio. Considerando il sistema nelle condizioni di oscillazioni permanenti, si può porre: y = y cos (Qi — a) in cui è:

ela

Ya =

Q2

2

(050)

I diagrammi

Q

2

°

Way

che definiscono y;/Y, in funzione di (2/0,) per vari y sono mostrati

nella fig. 9 d: se la rigidezza della molla è così piccola che (2/©,) risulti grande riall’unità,

appare

che

DI

è molto

approssimativamente:

Yo 36

—

FERRARI-ROMITI.

IR

spetto

562

Parte seconda — Dinamica

di guisa

che,

nella

condizione

ora

detta,

applicata

l'apparecchio

funziona

e consente di eseguire la determinazione di y, dalla misura

come

wibrometro,

di y;.

Se la massa m è quella di un magnete permanente nel cui campo si muove un avvolgimento solidale a d, l'ampiezza della tensione che si genera in detto avvol-

=

Piano

del

disco

d'elica | pei

cio

In]

ad

Lol

La

_.

“E Fig.

gimento di P:

10 a.

\ —

Rappresentazione

è proporzionale

lo strumento

Infine,

se la

a yy

funziona

rigidezza

schematica

e quindi, così

della

da

per

di

=

un’elica

Om

(1 —

3)

=

20%m

e

Omar —

Risulta

O min

=

23 Om

«Omar

+

Wmin

è

perciò: SH

(14)

nato

3

nn] 28m

6

Se la macchina non è data completamente, ed il volano deve essere determiin modo che & abbia il valore prefissato, il problema può essere risolto asse-

7

gnando al momento

d'inerzia del volano diversi va-

lori

per

modo

d,, e calcolando

ognuno

di detti valori,

nel

sopra indicato, il corrispondente grado di irre-

golarità d. Il tracciamento del diagramma & (%) può quindi dare il valore di &, per il quale J ha il valore prefissato. Se le componenti lagrangiane @ non dipendono da @,, e sì ammette che la @, non sia apprezzabil. mente influenzata dalla presenza del volano, il procedimento sopraddetto può essere notevolmente sem. plificato. Osserviamo innanzi tutto che, nelle condiDiagramma

Fig. 20. polare delle

zioni forze vive.

ora

dette,

tracciato

il diagramma

polare

delle

forze vive per la macchina con un volano di momento d’inerzia arbitrario dj, la variazione del momento d’inerzia di questo non fa che spostare l’origine delle coordinate, lasciando invariata la forma del diagramma stesso. Infatti, se 7” e 7 sono le energie cinetiche per la macchina col volano di momento d’inerzia dj, calcolate nel modo indicato sopra, e corrispondenti a 9, = 0, e a 9,= 0, e se 7 e 7, sono le energie cine-

Capitolo

terzo

— Equazioni

fondamentali

tiche per la macchina con volano di momento valori dell’angolo, si deve avere, per la (9):

della

dinamica

585

d’inerzia &,, corrispondente

agli stessi

CA

DI = I

= [(0n+0+ 0) 40, 0

poichè per l’ipotesi seguenza è:

fatta,

la funzione

integranda

non

T=T+T,—T=T'+

dipende

che

da

0,.

Di

con-

cost.

D’altra parte, se A’ è il valore di a per la macchina col volano con momento d’inerzia dj, e A il valore di a per volano con momento d'inerzia d,, è pure:

A=4" e pertanto

A

Ne

risulta che il diagramma

spostando

che

condotte

per l’origine

(A,

=

+

7) si ottiene

ae mae

ds 30m

S

Wmin

2

come

(1+

1

S

—

On

2

9);

TA

A

ottiene

O

assi

(4°,

Coll

degli

rispetto

la

loro

assi.

7”),

parte

abbastanza i massimi

degli

come

ascissa

a,,

come

di

/

|

ha /7

De

È,

(0)

Î

n

è |

ci

|

o Fig.

A 21.

—

inerzia

O’

si ha

e di una

a fronte

e i minimi

di

F

4 L

Determinazione

del volano

per

del

dato

momento

grado

di

di irrego-

larità periodica.

(fig. 21).

semplificazione

costante

piccola

+ Qu + dp),

l’ori-

è l’origine

o

E

ì a

I, — &

|]

|

(1-d).

iltbegzone

Se 0’

si ha

ad 0, la

Un’ulteriore di una

7”) semplicemente

Vial

|

e h,, © tracciando le rette aventi dette direzioni e tangenti al diacramma polare, Di

(4’,

h

Si hanno così le direzioni delle rette &,

gine

da quello

è stato detto, Poichè poi I è noto,

si pos-

i

—

così.

del piano (4, 7)

l

tg

A’

le tangenti al diagramma

formano con l’asse delle ascisse sono subito calcolare con le: tga,

=

l’origine degli assi coordinati,

gli angoli

i =

+I-D

è pure:

@,

appare

se a, che

parte

di a, da

poterla

si hanno

dalla

in

(9);

può

variabile

sempre

pensarsi

periodicamente

trascurare.

corrispondenza

In dei

a,,

questa punti

di

come ha

somma

la parte

ipotesi zero

di

a,

infatti, (Qm

+

posto: da

D

(0,)

-

fl

+

Qu

+

Qp)

db,

Di) e indicando con ©,,gy il massimo nimi, si ha subito dalla (9): 1 0

2

2

dei massimi

(0°mor— Wmin)

da cui: a=

pu:

=

di

®,

Pax — Pin

Dar — Pmin I em

con

ME

=

D,,;, il minimo

To

2

m@

dei

mi.

586

Parte seconda — Dinamica

applicata

Noto il valore di a, si deduce senz’altro il momento di inerzia del volano, I, = a--a'’, se a’ è il contributo al valore di a dovuto alle altri parti della macchina. b) Trasmissione con giunto cardanico. — Consideriamo due alberi (A) e (B) i cui assi, complanari, formano tra loro un angolo a e sono collegati da un giunto cardanico H; (A) è il movente del sistema, e ad esso è applicato il momento motore C,. Al cedente (B) è applicata la coppia resistente C, (fig. 22). Prendendo come coordinata lagrangiana g l'angolo 0, di rotazione di (A) attorno al proprio asse, la componente lagrangiana @, delle forze motrici risulta:

dLm Om

la componente

lagrangiana

=

db,

=

db,

della resistenza

dLy ei

Qu

=

dL,

d0,

d0,

dé,

On;

n

utile è invece: cos a

=

—

0

(o)

" 1—

sin?acos? 6,

LI

L

L_I

1

x

MM

da

Fig.

22.

—

Schema

di un

come si ricava subito dalla (0. ovvio significato dei simboli:

L=

1

sistema

a regime

periodico

II, 4-3). L’energia

(lot + I,0}) —

1

2

as

2 (e

0,

cos a 1—

mentre la condizione riodico) è:

si di

sin? a cos? 0,

che

deve

essere

giunto

cinetica

del cos?

wi [1 + I

(formula C. II, 4-8). Se pertanto si suppongono zione differenziale del moto risulta dalla (6):

con

sistema

è poi,

con

ni

(1 — sin? a cos? 0,)?

nulle

le resistenze

{ut ti +1,

passive

l’equa-

cos? 2 a

d0, soddisfatta

cardanico.

|

(1 — sin? « cos? 0,)? nel funzionamento

a regime

(pe-

n

°

Cn

f (Ca

€

cosa

ea)

ao,

—

=

0.

6 Con

la posizione

tg 0, = cosa tg

0, la relazione

rm

(16)

n

[onat—f0 0

0

40,0.

precedente

si trasforma

nella:

Capitolo

terzo

— Equazioni

fondamentali

della

dinamica

587

Come appare dalla (15), la trasmissione con giunto cardanico produce un funzionamento a regime periodico del tutto analogo a quello corrispondente alla trasmissione con meccanismo biella-manovella considerato nell'esempio precedente. c) Problemi diversi. — Si considerano qui alcuni problemi allo scopo di mostrare diversi aspetti che l’applicazione del teorema dell’energia può presentare. 1) Consideriamo di nuovo il meccanismo costituito dalle macine da frantoio, già preso in esame in (II, 2 c), rappresentato nella fig. 7 ed indicato nella fig. 23, in cui si è pure rappresentato il sistema di trasmissione del moto ai rulli H: questo è ottenuto per mezzo della coppia di ruote coniche (A) e (2), i cui numeri dei denti sono rispettivamente 24 e #7. La ruota (4) è il movente del meccanismo e ad

%

A

usfr !

LUI

Lu

I ma

Fig.

23.

—

{B)

fili

—

|A

(A)

Schema

r4

di

frantoio

a rulli

cilindrici.

essa è applicata la coppia motrice C,,: non si ha una resistenza utile, mentre le resistenze passive si possono pensare limitate a quelle agenti tra le superfici coniugate delle macine e del piano d’appoggio. Data la coppia motrice, si vuole deter-

minare la legge del moto, supponendo che le masse inerti si riducano a quelle calettate

sull’albero motore, e a quelle dei rulli I. Prendiamo come coordinata lagrangiana l'angolo ® di rotazione della ruota conduttrice (A); otteniamo subito la componente lagrangiana delle forze motrici dalla:

Per la determinazione risultati uguale

ottenuti HA

a DI

nel n° .

.

dell’energia cinetica del sistema ci possiamo (II,

2c): .

supponendo

che l’angolo

.

e quindi l’asse indicato con y’ nel predetto

l’energia cinetica di ogni rullo risulta uguale

1 (424

a:

Cal)

servire dei

0 tra gli assi 2 e 2, sia

numero

.

O

coincidente

con 2,

588

Parte seconda — Dinamica

in cui 2 è la velocità angolare

della rotazione intorno

velocità angolare della rotazione intorno di H rispetto a detti assi. Ora è: = mentre

nel n°

(II,

dO

ny

di

ng

——

—

=

indicato

—

e A

all’asse #, mentre

e C sono

, posto:

@=

— a) =

db

angolari

2

e è) la relazione:

@,sina

è pertanto

®, =

@, è la di inerzia

di

tra le velocità

in fig. 23;

i momenti

—

ng

2 c) si è ricavato

a l’angolo

a #,,

NA

©

2 sin (0 essendo

applicata

ora:

2 cotga.

Si deduce quindi per l’energia cinetica di tutto il sistema, se / è il momento inerzia delle masse calettate sull’albero motore rispetto all’asse di questo: p=-=3 2

Tot

SA5 Us:

+ 2408

1

— — 02

2 a RZI21 20 cosg? Ng

4

ni,

ni,

ni

ni,

di

=

(1-+ 24 24 + 20 ZA2 cotg?a

2

da cui:

dl do

=

I

3

(+

sd

n,

ni

+

20

ni

n,

cotg

,

2)

deo 19

Possiamo quindi calcolare la componente lagrangiana delle resistenze passive, osservando che il lavoro di queste compiuto nell’intervallo di tempo dt è il lavoro compiuto dalle resistenze d’attrito che operano al contatto tra i rulli H e il piano di appoggio, in conseguenza della velocità di strisciamento nei punti della generatrice di contatto di ogni H col piano stesso, e dalla coppia d'attrito al rotolamento in corrispondenza dello stesso contatto. Ora la forza di attrito allo strisciamento applicata ad un elemento d4Z della generatrice di contatto si può esprimere con la:

45,|=} dr

=

dr, dz

aL Al =f{ 7

dz

indicando con d7, la forza normale applicata allo stesso elemento, e supponendo la forza normale F, distribuita uniformemente lungo il contatto. La velocità di strisciamento in corrispondenza dell’elemento 4Z a distanza Z dalla normale di contatto nel punto in cui l’asse della rotazione risultante di 7 interseca il piano di appoggio (fig. 23) risulta poi Y, = £2Z, di guisa che il lavoro delle resistenze di attrito nell’intervallo dt risulta per ogni rullo uguale a: L2

aL, = 2]

ar,

6

v,ai=

240;

P

1/2

A 4

o|zaz=

ò

I? L = — 2f | Fi] Qo- di=—{|F|@Qdi. L 8 4

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali della dinamica Ma

è, per

quanto

è stato

ricavato

Q2 —

|F,|=mg+ così

che

al n°

(II,

2c): ni

Clcotga=mg+AAa

I

589

C cotg a

ni

si ha: ni, n,

dIap=—-f{{mgt+t

P

C cotga)l

È

—

A —— ng

d@

essendo:

odi= 4 wdi=

4 do

B

Per il lavoro perduto ha poi per ogni rullo: dLygpg =

Bg

in conseguenza

della

coppia

di attrito

al

rotolamento

si

.

—%

ni

(mo

+3$

4

È

n

Ccotga)

7

Lotgadi=

B =

ni z + 2 Ccotga naB 1

—u(mg+

A

cotgad®

nB

poichè la velocità angolare del moto di rotolamento di XY sul piano d’appoggio è uguale a ©), ed essendo w il parametro di attrito volvente. Si ricava così per la componente lagrangiana delle resistenze passive: Qp=

dL

2 dino

dL

do

L’equazione

2

ilan

TA

differenziale

Oa ng =

(17L

pura

del

+

pn 9

moto

+ 2ucotgo)

2

\

ng

(my

1

a

+72" nB

ni,

0

ù

Occiga)

. (1

-ni

Ù

Geogo)

do?

cotg? Sf

dD

Posto: Om

VA

1

L

J5

+ 2ucotga

ni

Des

mg =

2

a

+

0

B

Î4 B

l'equazione

del

moto

può

Ò

sno 2

92lip

M;

cotg®a

3

dl np

ere

ati 4024 2 Ae) NE | Ur

riscriversi dw? «dip

nella

L

+ 2ucciga).

è perciò:

(mo

ni,

[(-I+tA4-t (3 Li ni

à

LE i corgo

forma:

+ No -M-0

a

_ N

=

590

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

che, supposto C,, = costante, ed integrata con la condizione M_La

velocità

angolare

L’esempio svolto presenza dell’attrito

Fig.

di regime

%

è un esempio coulombiano,

No?

w% = 0 per

D = 0 dà:x

= Meno

risulta:

tipico di problema, in cui, in conseguenza della, per ottenere dall’equazione dell’energia l’equa-

24. — ‘Rappresentazione schematica del sistema considerato in (2).

Fig. 25. — Rappresentazione di elementi geometrici e cinematici del sistema di fig. 24.

zione differenziale pura del moto è necessaria la determinazione preventiva di reazioni vincolari, le quali pure dipendono dal moto. 2) Un cono circolare retto è appoggiato sopra un piano inclinato dell’angolo

a sul

piano

orizzontale,

mentre

il suo

vertice

O

è fisso;

l’unica

forza

esterna

attiva applicatagli è il suo peso mg. Si vuole determinare la legge del moto, supposto il cono spostato dalla sua posizione d’equilibrio, e nell’ipotesi che esso rotoli senza strisciare sul piano d’appoggio, e trascurando tutti gli attriti (fig. 24). Nelle condizioni sopra indicae vale l’integrale primo dell’energia cinetica: prendiamo un sistema di riferimentodel moto in cui l’asse « è verticale e positivo verso l'alto, e come coordinata lagrangiana q l’angolo 0 che la generatrice di contatto % del cono col piano forma con la retta di pendio di questo. Se @w è la rotazione istantanea del cono attorno alla retta A, possiamo scomporre la @ in un componente diretto secondo l’asse 2, del cono, ed in un componente diretto secondo la normale n al piano: @ = @, k, + ©, n. Dal triangolo di scomposizione (fig. 25) si ricava subito che è: W, = D'altra

parte

wtgf.

è:

db On

=

di

Capitolo e pertanto

terzo

— Equazioni

fondamentali

591

della dinamica

si deduce:

1 T=—Io?= se I è il momento

d’inerzia

del cono

1

I

rispetto

[ag\ va di a una

generatrice,

| \L

Jp

[LU] — =n "n

M

=]

TNT,

Fig. di elementi

L’energia

26. — Rappresentazione geometrici del sistema di fig. 24.

potenziale

del cono

Fig.

27. — Schema del sistema considerato in (83).

è poi: U, = mgzg;

ora è (fis. 25): G-O0=

hysinfn+

ky cosfh

se ly è la distanza del baricentro G dal vertice fisso 0, mentre generatrice A di contatto. Si ha: 2g= essendo

(G—

0) x k=

ky sin f cosa

h è il versore

della

—},y cos f così sina

(fig. 26): hxk=-cos@sina;

e di

conseguenza

l'integrale

1 I ao 2 to°8 | di in cui la costante 3)

Una

mazza

primo

dell’energia

la forma:

2

)

+ hg mg (— cos f cos 0 sin a + sin f cos a) = cost.

è da calcolarsi in base di

ha

dato

peso

P,,

cade,

ai dati iniziali. senza

velocità

iniziale,

da

un’altezza

%

sopra un’incudine, di peso P;, portata da una molla MM di data rigidezza X: si vuole determinare il massimo schiacciamento 4 che subirà la molla (fig. 27).

592

Parte seconda — Dinamica Se si trascurano

l'energia

applicata

gli attriti, vale anche in questo problema

cinetica:

prendendo

l’asse

2

verticale

positivo

l'integrale primo

verso

l’alto,

dell’energia potenziale del peso P,, dalla posizione iniziale a schiacciamento è — P,, (f + 4); la variazione corrispondente ziale

è

—

P;

4;

la

variazione,

quella di massimo dell’energia potendella

Poichè la variazione dell’energia cinetica, corrispondente alle due posizioni indicate, è nulla, si ha:

sopra

dell’energia

1

è TI k A?.

1 4 Pm (+ e pertanto

Pi + Pm

Poichè

4) -Pi4=0

è:

=

appare

infine,

del-

variazione

potenziale

molla

dell’incudine

la

4, =

è lo

k

che l’effetto

dinamico

Pi + Pn\t_

+V(

i

schiacciamento

sullo

sui rotismi. —

della

schiacciamento

P; + P\} VE) d) Problemi

Prende

la rotazione

di

tutte

le

molla

in

condizioni

statiche,

dal termine:

A

2Pnh

il nome

altre.

ko

è espresso

di rotismo

tate ingrananti l’una con l’altra, e disposte in modo determini

2Pah

E

Il rotismo

delle

ruote

un

sistema

di ruote

den-

che la rotazione di una ruota è detto sono

ordinario

tutti

fissî,

se

portati

gli

assi

da

un

unico telaio; è invece chiamato epicicloidale se alcuni degli assi sono mobili. 1) Rotismi ordinari. — Nei rotismi ordinari si chiama ruota conduttrice o prima ruota, quella che è il membro movente di tutto il meccanismo,

e ruota condotta, o ultima ruo-

Fig. 28. Schema di rotismo ordinario.

ta, quella a cui è applicata la resistenza e costituisce di conseguenza il cedente del canismo stesso. Tra la prima e l’ultima sono disposti alberi intermedi, ciascuno dei quali, generalmente, porta due ruote, che ingrana con quella che precede (procedendo nel senso di trasmissione del dalla

conduttrice

alla

condotta),

e

che,

rispetto

a

questa,

fa

da

cedente;

utile, mecruota l’una moto

l’altra

che ingrana con quella che segue, e fa da movente rispetto ad essa. Se gli assi delle ruote sono tutti paralleli, disponendo le varie ruote l'una a fianco dell’altra, si ha lo schema indicato in fig. 28. In ogni caso, numerando le varie ruote in ordine crescente, nel senso della propagazione del moto, dalla conduttrice alla condotta, si definisce rapporto di trasmissione del rotismo il rapporto tra la velocità angolare dell’ultima ruota (@,) e la velocità angolare della prima (w;), e si ha, se con @, ©s, ecc., si indicano le velocità angolari degli alberi intermedi:

(17)

=A Oi

yy

Sie.

dI

da

On On-1

=nas

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali

della dinamica

se n è il numero totale degli alberi, fra i quali avviene di conseguenza, il numero degli alberi intermedi. Ma

x,=

Wa Trai

(oi

dg D°

1

ecc.

o manifestamente

sono

593

la trasmissione,

e (n —- 2),

o Mia Ne: i rapporti di trasmissione

2

della prima coppia di ruote, della seconda coppia, ecc., di guisa che si ha: dl rapporto di trasmissione di un rotismo ordinario è uguale al prodotto dei rapporti di irasmissione delle successive coppie di ruote da cui risulta. Se si indicano con 2,, 22, ecc., i numeri dei denti delle ruote conduttrici, in ciascuna delle successive coppie, e con #;, 2;, ecc., i numeri dei denti delle ruote condotte, si ha: (18)

t=

—

..

7.

Se gli assi delle ruote sono tutti paralleli, sì può attribuire a 7; un segno, prendendolo positivo, se le ruote tra le quali l’ingranamento senso; negativo, in caso contrario. Appare perciò che se in un albero intermedio una stessa ruota H; funziona da conducente e da condotta, ossia ingrana diretta mente con quella che la precede H;_,, e con quella che

la segue H;,+,, essa non rapporto

di

altera il valore

trasmissione

assoluto

(corrispondente

del

all’ingrana-

avviene girano nello stesso

Li A ns

\

x

:

Cars 1 \ ì

LE CT

E

L/

}

\ E°

6

SM

elnomen vr,e I, Eli

c-Éti

HI

LE

(ENI

TI ‘e

di Ter

H

DI] E

Fig.

29.

—

Ruota

oziosa.

IL TL Tee”

[

] 3

F

Fig. 30. — Rotismo riduttore per comando di un verricello.

mento diretto di #,;_, e H;,,), ma inverte il segno della rotazione della H;4, rispetto a quello che si avrebbe in questo ingranamento diretto (fig. 29). Osserviamo infine che se | 7 |< 1, il rotismo è detto riduttore; se | t| > 1, il rotismo è detto moltiplicatore. Si consideri, ad es., il sistema rappresentato in fig. 30, in cui un motore M comanda per mezzo di un rotismo riduttore ordinario [costituito dalle tre coppie di ruote (A — 5), (C — D), (E — F)jil verricello H, che per mezzo di un cavo, su di esso avvolto, solleva un peso P. Sia Cla coppia applicata dal motore al rocchetto (4): si vuole determinare la legge del moto del sistema, trascurando gli attriti. Prendendo come coordinata lagrangiana l’angolo 0 di rotazione di (A) attorno al suo asse e come senso positivo di rotazione attorno a quest’asse quello concorde con la coppia C,,, si ha subito: =

0,40

=

C,

È invece:

dy Qu 38

—

FERRARI-ROMITI.

Te

Pdy

do

n,

dt

©;

594

Parte seconda -— Dinamica

se y è la coordinata verso

l’alto,

verticale del baricentro

applicata

G di P, prendendo

l’asse y positivo

do

e ©, =

di

Ora è per i sensi considerati secondo y:

come

positivi per la rotazione,

e per la traslazione

se ©, è la velocità angolare della rotazione di (7), e E il raggio del tamburo E

(H).

poichè:

Wa wi

CACZIA I al gl 212323

— = T=

Se 2%,, %,, 2 sono rispettivamente i numeri dei denti di 25, &, sono i numeri dei denti di (B), (D), (F), risulta:

(A),

(C),

(2), mentre

21,

CARA:

= PRr-=— PROT,

nni L’energia

cinetica T=

3

1

si calcola

I

3

con

le:

2

2

ht

7,8

222

CA

&iR9g \?

7

+

ni

1

+

2183

IL

dIl = a,

E \f.

Fal gt

+

218984

delle masse

(2)

P

+ >

&i&,%, 1928

1,3

se I,, I), I, e I, sono i momenti d’inerzia assi di rotazione; di conseguenza è:

posto:

P_[fdy)\?

+ I, 02) + 3

1 (I, + Igti + Iarità + Latitat) zi |?

3

1

(1,07% + 1,03 + Io

1 =

21218;

=

E° wi?

=

P

Rg%3 1923

g

FE?

\?

Iyly'

21832

rotanti rispetto ai rispettivi

do,

o=h4+1(3)+1 (23), (256) Da (568). 2,

|}

ZI%9

A

=1 e l’equazione Cm

del moto

+PRa=a

Se Cm =

\?

&,&&3

21%9

4 Lt

\2.

(1624799

++

P

&Zafg

g

RIE949

\?

P + ri E?iî

It

risulta per la (6‘): da, rana

Dott

ba

tt

P 7

ES

deo;

di

(©), in cui f è una data funzione del suo argomento, si ottiene; di

i=ga

dew,

———_—___

Om + PR

0

ha

=

dew;

————————_———_____—&

/ j (0) + PRî td)

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali supposto che sia per

della dinamica

595

do = 0, ©, = 0. In condizioni stazionarie (0 di regime) è ca

e pertanto:

=0

e

(19)

On =— RPr. x

Il rotismo ordinario è un tipico esempio di macchina costituita dal collegamento in serie di più meccanismi, ossia da meccanismi collegati in modo che il cedente di

uno

sia il movente

del meccanismo

successivo; ed è anche un esempio semplice

di

macchina che si può considerare a regime assoluto, atta cioè a funzionare, nelle condizioni di normale funzionamento, in modo che la sua energia cinetica si mantenga costante (e quindi la variazione della sua energia cinetica in un qualunque intervallo

di

dentate,

tempo

anche

a

i

sia

regime,

nulla):

una

in

effetto,

periodicità

in

nelle

un

ingranamento

condizioni

di

tra

due

funzionamento

ruote esiste,

il periodo essendo dato dal tempo impiegato per la rotazione di ciascuna ruota di un angolo corrispondente al passo. Il periodo però è così piccolo, e la variazione di energia cinetica, internamente al periodo, pure così piccola, che gli effetti delle variazioni connesse al periodo possono generalmente essere trascurati. Ora le macchine a regime assoluto risultanti da un collegamento in serie di meccanismi presentano una proprietà che è opportuno qui segnalare. Come già detto in (I, 5), chiamiamo rendimento di un qualunque meccanismo a regime assoluto nelle condizioni di funzionamento a regime, il rapporto tra il lavoro motore Lm sviluppato in un qualsiasi intervallo di tempo 4, ed il lavoro resistente util: L,, [secondo la definizione data in (III, 4)] compiuto nello stesso intervallo di tempo At. Indicando il rendimento col simbolo 7 è perciò:

a

pe dbl 106. L

Lm

Per

ognuno

dei meccanismi

costituenti la macchina

_ IZual.

Bg

ei

n il collegamento La

2

serie

= Ln;

_ ia]

a

“

Luna

è: Log

Lmn

quindi:

Ema”

Lmn—1

in

si ha

_ Tia].

Ln Pn

Per

Om

=

Lu, | ;

|Tu,n-1

Lg

| 3

Lun

=

| Luo | ;

smi La

x

poichè il lavoro motore del primo meccanismo è quello L,, relativo a tutta la macchina, e analogamente il lavoro utile dell’ultimo meccanismo è quello utile di tutta la macchina, mentre per i meccanismi intermedi il lavoro resistente di uno è uguale al lavoro motore del seguente. Si ricava di conseguenza:

_

(21)

E El

_

Lm

ossia,

nel collegamento

menti

dei

il rotismo

singoli

st |Puel

Lmsai

Lmya

in serie il rendimento

meccanismi

considerato

La KEwa]l

sopra

da

cui

essa

—

Wi. Ln]

n:

Uma

della macchina

risulta.

Tenuto

conto

è il prodotto della

è:

|Ly|=— PRrwdt;

L=

Omnoxdt,

(21),

dei rendipoichè

per

596

Parte seconda — Dinamica

si ha,

invece

della

(19),

la:

— od

applicata

PRr1= 70m

anche:

(197)

lo)

_

pp

lol

si

=PR

| mi

vi

|

| ca |

Mm

| za

Na

|

UE

2) Rotismi epicicloidali [1], [12], [13], [14]. —- Nei rotismi epicicloidali, le ruote ad asse mobile sono chiamate satelliti, e sono portate da un equipaggio mobile, che

AN _

Esempio

di rotismo

Fig. 31. epicicloidale

del

tipo

(2).

Esempio

7% N

A

al

i

'

NA (22)

Fig. 32. di rotismo epicicloidale del tipo (0-1).

prende il nome di portatreno; la prima e l’ultima ruota del rotismo percorso nel senso dei successivi concatenamenti delle dentature prendono il nome di ruote principali. Nelle applicazioni ordinarie gli assi delle ruote principali e l’asse del portatreno sono paralleli; gli assi intermedi possono invece essere variamente diretti. Si possono poi avere: a) rotismi in cui gli assi estremi sono fissi, e coincidono con l’asse del portatreno (fig. 31); b) rotismi con ruota esterna mobile, nel qual caso l’ultimo asse è distinto dal primo, e può essere: 1) parallelo a questo (fig. 32); 2) formare un angolo qualsiasi (fig. 33), mentre l’asse del portatreno coincide con l’asse della prima ruota principale: c) rotismi in cui anche l’asse del portatreno è mobile (fig. 34).

Questi derati

meccanismi

nella

macchina

sono

ovviamente

di cui fanno

parte,

a due gradi

il numero a

uno,

di libertà, ma, consi.

dei

gradi

grazie

a

di libertà, è ridotto vincoli,

che

rendono

Î TTT

ferma la prima o l’ultima ruota, o grazie ad accoppiamenti di forza, che stabiliscono un legame tra le rotazioni delle ruote principali e quella del portatreno. Tra queste rotazioni sussiste poi una relazione, che dipende dalla geometria delle ruote costituenti il sistema: detta relazione dipende solo dalla geometria del sistema, e può essere facilmente ricavata, se gli assi delle ruote principali e del portatreno sono paralleli, e se l’asse del portatreno è fisso (casi a e b-1). Prendiamo innanzi tutto in esame i casi ora indicati, e siano ©, e @, le

TI

al

©)

Ù

sistemi

Fig. 33. — Frantoio a sfere come esempio di rotismo epicicloidale di tipo (6-2.

rotazioni quella

del

delle

ruote

portatreno.

principali,

ed 2

Consideriamo

il

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali

della dinamica

597

moto relativo al portatreno, ossia imprimiamo a tutto il rotismo la rotazione — 2 attorno all’asse del portatreno: questo, in detto moto relativo, risulta fermo, ed il rotismo

epicicloidale

velocità angolare rapporto

si trasforma

in

un

rotismo

ordinario,

in cui

la prima

ruota

ha,

@, — 2, e l’ultima ruota ha velocità angolare @, — 2. Se 7 è il

di trasmissione

del

rotismo

22

ordinario

t=

(22)

—— ini

deve

A

We

perciò

essere:

.

2

La (22), che è chiamata formula di Willis, costituisce la relazione cercata, in quanto 7 è un parametro immediatamente determinabile, come si è visto in (d-1).

Fig.

Risolvendo si ottiene: (23)

34.

—

la (22) rispetto =

1

—

T

0g

Esempio

di rotismo

a ©, oppure +

t—l1l

epicicloidale

rispetto

Q;

di tipo

a ©,, oppure

=

(c).

infine rispetto

a

2,

TO —_(T-1)2;

ossia, ciascuna delle tre velocità angolari @,, ©wsy, £ è funzione lineare delle altre due. Se una delle ruote principali è fissa, ad es., la prima (@, = 0), si ha dalla seconda delle (23): da

(23°) che dà il rapporto di l’albero del portatreno: (237)

Gi

=1—-7

trasmissione tra l’albero della seconda ruota principale e se è fissa quest’ultima, invece, si ha dalla prima delle (23): wi

Q

t—l

T

°

598

Parte seconda — Dinamica

L’una o l’altra delle disposizioni a realizzare rapporti di trasmissione e quello della ruota principale mobile) che basta fare le ruote in modo che il +

nario

i

_

sia prossimo w

(oppure 2. £

ni

quanto

.

si vuole

5

sia prossimo

applicata

ora indicate consente di ottenere rotismi atti tra due alberi paralleli (quello del portatreno molto piccoli: appare difatti, dalle (237) e (23/7) rapporto di trasmissione del rotismo reso ordia no,

perchè

ae

«

il rapporto

e,

(0017

di trasmissione

“j

5

quanto

si vuole a zero.

Così, ad es., nel sistema di fig. 35, se si assumono i numeri dei denti delle ruote principali (4,) e (4) rispettivamente uguali a 2, = 100, 2, = 100, ed il numero dei denti dei satelliti, (B,) e (B.), dati da:

il rapporto

ruota

(B,)

[ingranante

con

la (A4,)] 1

99;

ruota

(B,)

[ingranante

con la (A4,)] 2{

101;

7 risulta uguale

a: 100 x 101 ———_ 99 x 100

t=

=

Se perciò si tiene fissa la ruota (A4,), della (4,) e quella del portatreno risulta:

2Q

uni

1

il

1,02 3

1,02. rapporto

tra

la

velocità

angolare

0,02 VAIO

usi

Una notevole applicazione dei rotismi epicicloidali con una ruota principale fissa si ha nei riduttori epicicloidali, per la trasmissione del moto rotatorio tra assi paralleli,

Fig. 35.

—

Riduttore

epicicloidale

piccoli

rapporto

sa TO

del

per va-

di trasmis-

pale

è

della rapporto (237):

di

i

DO.

trasmissione

Q ©

7

del

R

rotismo

che

sono

spesso

usati

quando

si

vuole che l’albero conduttore e l’albero condotto siano sullo stesso asse, e si desidera una costruzione di piccolo ingombro. La fig. 36 ne mostra un esempio: sull’albero conduttore è calettata la ruota conica (A4,), che ingrana con alcuni satelliti (in numero variabile da due a quattro) simmetricamente disposti intorno all’albero condotto: il portatreno è solidale con questo, mentre l’altra ruota princifissa.

ruota .

"0

ordinario

Se

(4,) è

CA

7 = —

T

RI da

T_-1l

EEE

è

e #,

il

numero

quello Cai

— , fa

dei

della SUI

€ perciò

denti

(45),

il

è, dalla

Zi Kg

Nella fig. 37 è indicato un riduttore epicicloidale che risulta dal collegamento di due rotismi del tipo considerato

sopra: l’albero

conduttore

è C, e porta la ruota

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali della dinamica principale (A4,), che ingrana con i satelliti (B,); la seconda ruota fissa, mentre l’albero del portatreno E è coassiale con l’albero

599

principale (A4,) è conduttore ed è

portato da questo nel modo schematicamente indicato in figura. Sullo

stesso albero

dei satelliti (B,) sono calettati rocchetti conici (B,), che sono i satelliti di un secondo rotismo epicicloidale, che ha lo stesso portatreno del primo, mentre la prima ruota principale coincide con la (4,), e la seconda ruota (4;) ingrana con i rocchetti (B,) ed è calettata sull’albero condotto D. Se 2, e 2, sono ancora i numeri dei denti di (A,) e di (A,), il rapporto di trasmissione del primo rotismo, reso ordinario, è:

ed

il rapporto

tra la velocità

angolare

£

Q

del portatreno

e quella

dell’albero

C è:

E,

(Or)

zi +

2a \

Cc

B-

— TE

Fig. 36. Riduttore epicicloidale a ruote coniche.

Riduttore

Fis. 37. a doppio rotismo epicicloidale a ruote coniche.

D'altra parte se 21 e 2 sono i numeri dei denti dei satelliti (B,) e (2B.), il rapporto

di trasmissione

del

secondo

rotismo

reso

ordinario

è:

2389 To

e perciò

7

A

è: Wg Q

da

=

=1_n=1-_

Za € CANA

r

È

cui risulta: dg

(on)

(RI 83 —

zi Za

,

22 #3)

Dal

21 + 2a

Col collegamento di più rotismi epicicloidali si può realizzare un cambio di velocità a più marce: nella fig. 38 è indicata la disposizione del « cambio Wilson ». L’albero motore è l’albero E, sul quale sono calettate le ruote (8,) e (8); la ruota (83) è folle su E ed è solidale col disco I, mentre la ruota ($,) è folle sull’albero condotto F ed è solidale col disco I. Le ruote (P,) e (P,) hanno i loro assi portati da bracci solidali con l’albero condotto FF, mentre la (2) ha il suo asse portato da

600

Parte seconda — Dinamica

applicata

un braccio solidale al disco I,, ed infine il disco J,, il braccio che porta l’asse delle (P.), il disco I, e la ruota ($,) sono solidali fra loro. Ciascuno dei dischi I, I,, I, e I, può essere reso fisso (ed in figura il dispositivo per immobilizzare i dischi stessi è rappresentato con un freno a nastro avvolto sulla corona da essi portata); mentre i dischi I,, /,, {,, I, portano una dentatura interna con la quale ingranano rispettivamente le (P.), (P.), (P.) e (P,). Se si tiene fisso (I,) col nastro B,, il moto è trasmesso da E a 7 col rotismo epicicloidale che ha ($,) e I, come ruote principali (quest’ultima fissa), (P,) come satellite, e l'albero condotto come albero del portatreno: il rapporto di trasmissione è

pertanto,

se si indica

ora

con

wr

la ve-

locità angolare di E e con ©y quella di F: _

vr _ on

a

@, @s _|

_ _

(©s © + n

(2)7, come si ricava è ora Fig.

Cambio

©,

=

dalla

Gr,

(23’), osservando

2 =

pr,

mentre

che

è;

38.

di velocità a rotismi epicicloidali.

1

(2)s,

mm

(2)z,

se

(2)g, è il numero dei denti di (8,) e (2), il numero dei denti di I,. Se si tiene fisso, invece, I, (col nastro B.), il moto è trasmesso da E a F tramite un primo rotismo epicicloidale che ha ($,) e I, come ruote principali (quest’ultima fissa), e (P,) come satellite, portato dal portatreno I,; I, è poi ruota principale

di un

secondo

mentre

rapporto

rotismo

il satellite

epicicloidale,

(P,)

è portato

tO) —?

di trasmissione

che ha

da

un

basta

come

altra ruota

portatreno

osservare

solidale

principale

a F.

che per il primo

Per

rotismo

la ($,),

ricavare

il

è:

VE

__ (@)r, (@)z mentre

per

il secondo

(9a, (2)z, As (2)z,

_

rotismo

si ha,

sa

per

(2)s, (2)z,

_ so (2)7,

fasi:

op _ E

ba

la terza

n ©

(2)s, (2)s, + (2),

I

delle

(23):

1 ETC TATTTT __ (sa i (2)r,

SO

(As

(Ar,

()s,

(2)8, + (2)z

(As + (7,

(As + Ar,

®L

Se si tiene fisso poi I (col nastro B,) il moto è trasmesso da E ad Y tramite tre rotismi epicicloidali; poichè (w)g, è nulla, considerando il primo rotismo epicicloidale che ha come ruote principali (S,), I, e come portatreno I, si ha:

(lr, (0)7,

1

___ (2)s, (2)7,

© (Ar,+ (2)s,

Capitolo

terzo

— Equazioni

fondamentali

della

dinamica

601

Considerando il secondo rotismo epicicloidale, che ha (8,) e I, come ruote principali,

e I, come

portatreno,

si ricava:

(2)s, (0),,= DE Sa 41 (2)r,

I

(W)m + a (£)z,

Considerando infine il terzo rotismo epicicloidale, le (S,) e Z,, e come portatreno l’albero condotto F,

(2)s, (2)8,+ (2)r, Ma

è (©),=

(@);,

(2)s,

:

che ha come si ricava:

(2)7, (2)s+ (AL,

a

ruote

principali

(Q)

e perciò: (0),

(0), =

— (W)z.

st Az

=

+

or

(2)r,

.

As

(0)7, ;

(2)7,

(£)7,

st A,

at e

(0)

ossia:

(0), ed

|1-- -

(27, (7, [2g + (A) (),+t

gl

= ©g

(£)s, (2)s,+ (27,

infine:

(a Wr

(2)s, ()s+ (27,

_

a (2), + (7,

(OE st (7,

1 (2)z, (2),

1_

[As + Ar 0,+ Asl Un metodo analogo a quello indicato per i casi (a) e (6-1) può pure essere applicato per il caso (b-2), per la risoluzione del problema cinematico corrispondente: sempre essendo @; e 0, le rotazioni delle ruote principali, e £2 quella del portatreno, nel moto relativo al portatreno le rotazioni di dette ruote saranno rispettivamente:

oAk

=

0 -L;

Mk

= 0-2;

poichè in questo moto relativo tutti gli assi delle ruote e del portatreno sono fissi, il rotismo diventa ordinario e k, e k, sono i versori degli stessi assi delle ruote principali. Si deduce perciò subito:

o PIC

essendo 7 il rapporto di trasmissione dare a 7 anche un segno, convenendo ruota

pure

una

rotazione

concorde 0, =

nel senso

col senso 09Tk,

poichè il versore

positivo

preso

+ L2=

come

del rotismo ordinario, e quindi noto; potremo di prendere 7 positivo, se assegnata alla prima di k,, la rotazione

positivo

per

(© — 2) tk, +

di £2 coincide

per ipotesi

con

Qk,

k.,. =

quello

della seconda

ruota

Si ricava poi: c,rk,

+

di co,.

2 (k, — tko)

risulta

602

Parte

seconda

— Dinamica

applicata

Si consideri, ad es, il frantoio a sfere rappresentato nella fig. 33, e costituito da, una sfera cava H,, entro cui sono poste le sfere frantumatrici ed il materiale da frantumare, e che è portata da due perni (4) e (b) girevoli liberamente entro i cuscinetti solidali a un telaio H,: questo può essere fatto ruotare attorno ad un asse orizzontale (CD), per mezzo, ad es., di una manovella, mentre al perno d è solidale un rocchetto dentato conico (B) che ingrana con un altro rocchetto conico (8,), ad asse ortogonale a quello di (B). L’albero a cui (6) è calettato è portato da un equipaggio fisso a H,, e porta un altro rocchetto dentato cilindrico ($,), che ingrana con la ruota (A), il cui asse coincide con quello di H,. Si supponga (A) fissa, e si voglia determinare la rotazione assoluta ©, di (B) e della sfera H, solidale a (B). Il rotismo ora descritto è un rotismo epicicloidale, in cui una delle ruote principali, la (B) è ad asse mobile, e l’asse della (B) è perpendicolare a quello di (A), mentre l’asse del portatreno 4, coincide con quello di (4): a questo rotismo si applicano quindi le considerazioni poco sopra sviluppate. Prendendo come senso

positivo valore

di k, e di Ik, quelli indicati in fig. 33, 7 risulta negativo, assoluto

mentre

il suo

è:

O

R1 2

ata

se 2, € 2; sono i numeri dei denti di (A) e di (B), mentre 2, e 2j sono i numeri dei denti rispettivamente di (8,) e di (S)). Si ricava pertanto:

0, = 2(k— ,tk.)=

2 (i

+

nie

ka)

1°%2

da

cui:

Infine, nel caso (c), lo studio del problema cinematico può essere fatto con il metodo che qui applicheremo al meccanismo rappresentato in fig. 34 e che è del tutto generale, perchè può essere usato anche per la risoluzione dei problemi relativi ai casi (a) e (b), se pure tale uso è in questi casi un poco meno semplice di quello del metodo prima indicato. Nel meccanismo di fig. 34 il portatreno è costituito dall’asta (0,0,) che è la biella del parallelogramma articolato di cui (0,0,) e (0,0,) sono manovelle; la ruota principale (4), il cui asse coincide con quello dell’accoppiamento rotoidale della manovella (0,0,) al telaio, è fissa, mentre l’altra ruota principale (B) ha il suo asse in O, coincidente con l’asse dell’accoppiamento rotoidale dell’altra manovella (0,0,) al telaio. I satelliti (S,) e (S,), portati dal portatreno, ingranano poi fra di loro e rispettivamente con le ruote principali (4) e (B). Per ricavare, per una data velocità angolare 2’ della manovella (0,0,), la velocità angolare @, della ruota (B), osserviamo che il punto C, di contatto delle primitive di (4) e di (S,), essendo (A) fissa, è il centro istantaneo del moto assoluto

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali di (S,): indicando con @g, la velocità angolare a C,, e con F, il raggio primitivo di S, si ha

della dinamica

della rotazione pertanto:

603

istantanea

intorno

og,B, = 20,0, = 2' (1 + Bi) se 7, è il raggio Si può subito

vella (0,0,),

primitivo di (A). ricavare la velocità

0,

osservando

angolare

del moto

di ($,) relativo

alla mano-

che è: d,=

Q

+ n)

e quindi; Wi

Ma

r.

o, — L=

2-1 (7

Va,

+1)

r

g=

T

E,

D'altra parte, se C, è il punto di contatto delle primitive di (.8,) e di (S,), le velocità assolute dei punti P, di (6,) e (P.) di (S.), che sono in 4, debbono essere uguali: la velocità di P, può essere ottenuta considerando il moto di (S,) come il moto composto del moto di trascinamento da parte del portatreno, che è la traslazione di direzione normale alla (0,0,) e di velocità 2’ 0,0, = £' (r, + RP), e del

moto relativo al portatreno, che è la rotazione @,, attorno a 0, Il moto relativo produce pertanto in P, una velocità normale a 0,P, e di grandezza w,, È, Considerando in modo analogo, il moto di (S,) come quello composto del moto di trascinamento da parte del portatreno, e di quello relativo, che è la rotazione @y, attorno ad O,, si ricava subito che la 7, deve avere il senso indicato in figura, e la grandezza: Wa, R,=

e pertanto

La

da, Pi

è:

rotazione

relativa

di

velocità angolare 2° attorno 0 =

(S,)

alla

manovella

(0,0;),

poichè

questa

ruota

con

a 0,, è di conseguenza: o

— 2 =9

r

E

(3

LL

I)

ed ha il senso rappresentato nella stessa fig. 34. Infine se C, è il punto di contatto delle primitive di (5,) e di (B), la velocità dei punti Pz e Py di (B) e di ($), che sono

in

C,,

debbono

Lr + QQ

essere

ui LR,

uguali,

+

per la velocità

la velocità

di

Py

è uguale

P, -1|R,=Q7,7+ 2 (+ È, =

si deduce

e poichè

L' (rr

angolare

©,

moi Ta

+ ra

della

+

È,

— Ra)

rotazione

di

BOS).

E, L 2

(B):

a:

£)=

604

Parte seconda — Dinamica

applicata

3) Rotismi epicicloidali combinatori e differenziali. — Dal punto di vista dinapossiamo distinguere i rotismi epicicloidali in: a) rotismo con un solo movente e un solo cedente; b) rotismi con due moventi e un cedente (o rotismi combinatori); c) rotismi con due cedenti e un movente (0 rotismi compensatori, o differenziali). Esempi di tipo (a) sono quelli corrispondenti alle (figg. 31, 36, 37). Nella fig. 39 è indicata una tipica applicazione dei rotismi combinatori: il motore JI comanda il rocchetto (A), che ingrana con satelliti (D), disposti simmetricamente intorno all’asse di (4) e aventi i loro assi portati dal portatreno €, rotante intorno all’asse stesso di (4). Le (D) a loro volta ingranano con la ruota (B), che presenta oltre mico

_|

Motore I

ILA,

Argano

H Fig.

39.

—

Meccanismo

con

rotismo

epicicloidale

combinatorio.

alla corona dentata interna coniugata a quelle di (D), una corona dentata esterna coniugata al rocchetto (E), comandato dal motore II. Infine solidale al portatreno C è la ruota (F), che ingrana con la ruota (4) solidale al tamburo dell’argano. Se w, e ©g sono le velocità angolari di (A) e di (£) (uguali a quelle dei rispettivi motori), la velocità angolare di (B), ©, si ottiene dalla wg con la: i È sa Op=

—

We

&B indicando con 2g, in genere, il numero dei denti della ruota (H). Considerando pertanto il rotismo epicicloidale di cui (B) e (A) sono le ruote principali, e (C) il portatreno, si ottiene per la velocità angolare di C, @c, dalla terza delle (23):

we

= o

&a/e5

Va

e

—

1

ZE

(caleg) +1

— wr = 25 hi

ZA

TEC

Va

—

ZE

z4 +e

WE ©

che indica come il rotismo permetta di combinare le velocità angolari dei due alberi motori. Consideriamo il meccanismo in condizioni di regime: l’equazione dell’energia permette di scrivere, nell’esercizio ideale (attrito nullo) del rotismo epicicloidale: (24)

Cona

Wa

+

Cm

vs

+

Cr

oc=

0

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali

della dinamica

605

in cui C,,, è il momento della coppia motrice applicata alla ruota (A), (Om), è il momento rispetto all'asse della ruota principale (B), della forza ad essa trasmessa dalla (E), e C, il momento della forza applicata alla ruota (F) solidale al portatreno dalla ruota (H) con cui ingrana. D'altra parte, per l’equilibrio del sistema costituito dalle ruote principali (A) e (B), e dal portatreno 0, deve pure essere soddisfatta la: Cna

Tenuto

conto

0 ma dalla

quale

VA

della relazione +

lo mp

Cm

ua

0,

=

0.

tra le © già prima

=

®B

+

ma

+

dala Cme 2, +

trovate 5

si ricava:

sl

VAT

T+a5

si deduce:

D’altra parte,

se C,,

è la coppia

motrice

sviluppata

dal motore

JI, è:

#B Cr

n

Ome

RE

di guisa che se si prende zx = 24 risulta C,,, = Om»

OSSia: le coppie motrici appli-

cate ai due moventi, în condizioni di regime, sono identiche. Nell'esercizio effettivo (e quindi tenendo conto della potenza dissipata per attrito), l'equazione dell’energia, applicata al sistema costituito dai due motori I e ZI, e dal rotismo epicicloidale, dà: Cna

wa

(1-

Na) (CA

Wa

+

Cnn

(003:

(1 —-

1)

Cn

wp

+

C,

vez

0

in cui 7 è il rendimento del meccanismo I* i cui membri sono: motore I; ruota (A); ruota (D); ruota (B); portatreno; mentre 7, è il rendimento del meccanismo II* costituito da: motore II; ruota E; ruota B; ruota D; portatreno. Le quantità (1 — n) Cina Wa © (1 7) Cimg Wg danno le potenze dissipate dall'attrito in detti meccanismi; si ha perciò che l’equazione (24) corrispondente all’esercizio ideale nell’esercizio effettivo è sostituita dalla: (24°)

Na Cma

Wa

+

78

Ne risulta per il rendimento meccanismi I e II il valore: (25)

n=

| (CA DA

(CNS

Wo +

ca

wg

+

0,

del meccanismo

| OR

2 Cm

Na

Cna WA

o

=

0.

risultante

WA

+

Nb

Cna

+

Bg

dall’accoppiamento

Cm

dei

vg

Ca

ossia, i rendimento di (I + II) è la media ponderale dei rendimenti di I e di II: il risultato ora ottenuto corrisponde a una proprietà generale, che presentano le mac-

chine che risultano dall’unione di più meccanismi, ottenuta collegando insieme tutti i moventi dei meccanismi componenti, e ottenendo così un sistema che ha un solo movente, e tanti cedenti quanti sono i meccanismi; oppure riunendo insieme tutti i cedenti, così da ottenere una macchina che ha un solo cedente e tanti moventi quanti sono i meccanismi: si dice allora, in entrambi i casi, che questi sono collegati in parallelo.

606

tipo

Parte seconda — Dinamica Nelle (c),

applicata

figg. 40 e 41 è mostrata un’applicazione caratteristica dei rotismi del quella relativa al differenziale delle automobili: una vite senza fine L,

comandata

dall’albero motore, ingrana con la ruota

elicoidale

N, solidale ad

una

sca-

tola D (detta scatola del differenziale), che è il portatreno del rotismo; essa infatti porta gli alloggiamenti degli assi dei satelliti (P) conici, distribuiti in modo simmetrico attorno agli assi delle ruote principali (A) e (B), calettate sugli alberi che portano

le ruote motrici dell’autoveicolo. A

comandare

la rotazione

della

scatola

D

del

vite senza fine-ruota elicoidale, spesso è usato

differenziale,

invece

del

sistema.

o un pignone conico, solidale all’al-

bero motore, e ingranante con una corona dentata conica portata dalla D, o un rocchetto ingranante con una ruota ipoidale. Si consideri il sistema mentre percorre una curva, e si supponga circolare la

traiettoria del baricentro G (appartenente al piano di simmetria) di raggio ER; indichiamo con Y, la velocità di G (che ammettiamo costante in grandezza), e sia d la distanza del piano medio di ciascuna ruota dal piano di simmetria. I centri dei

perni

degli

alberi

delle ruote

stesse,

appartenenti

a detti piani

di conseguenza traiettorie circolari di raggi (R — d) (per la ruota

medi,

descrivono

interna) e (R + d) Vv

(per l'esterna),

mentre

(figg. 42 a, 42 D). La velocità del

la velocità angolare comune

centro

0,

della

ruota

motrice

vi=T

rd)

sno

e quella

del

centro

della

ruota

motrice

vi = se r è il raggio

delle ruote

esterna

a

stesse,

di questi moti circolari è — R

interna

risulta

pertanto:

è:

a (B+d);

ne deriva

una

velocità

angolare:

V, R—d Wa

E

r

per quella di centro 0, [e quindi anche per la ruota principale ed una velocità angolare:

_

Vo

(4) ad essa solidale],

B+4d

285 A, DD

k

r

per

quella del baricentro O, [e quindi anche per la ruota principale (B)]. Poichè il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è 7 = — 1 (le ruote principali sono uguali!), per la terza delle (23) si ricava: Q=

1

—

DI

1 Wat

2

®8 =

vo

2R

2R

r

I

=

r

ossia, la velocità angolare del portatreno è la semisomma delle velocità angolari delle ruote motrici. Nel differenziale, movente è ovviamente il portatreno, e cedenti sono le due ruote principali (A) e (B): indicando con C,, e con C,g i momenti risultanti delle forze esterne (al differenziale) ad esse applicate, rispetto al loro asse, e con C,, il mo-

Fig. 40. Figg. 40-41.

—

Differenziale.

Fig. 41.

608

Parte seconda — Dinamica

applicata

mento risultante delle forze esterne (al differenziale) applicate al portatreno rispetto al suo asse, si ha, per l’equazione dell’energia in condizioni di regime: O, 4 044

mentre,

per

l’equilibrio

del

differenziale Cra

per

Cop

+

Cop

og

+

stesso, 4

Om

Q=0

deve

Om=

essere:

0.

Figg. 42 a-b. — Rappresentazione degli elementi geometrici e cinematici la determinazione delle velocità angolari delle ruote principali del differenziale.

Tenendo facilmente:

presente

la relazione

tra la

£

e le @,,

Cra

2

Ces

e wg

Sopra

trovata,

ossia, in analogia al risultato ottenuto per il rotismo combinatorio, sono le coppie applicate aù due cedenti che sono uguali.

5. Equazioni

equazioni un

del moto

date

sistema

la

ed cui

di un

applicate massa

nei

sistema

di massa

numeri

è costante

nel

nel differenziale

variabile [15]. —

precedenti tempo;

si ricava

si riferiscono

in numerose

Le

ad

applica-

zioni è però necessario considerare sistemi la cui massa varia nel tempo: basti pensare, ad es., al moto di un razzo, in cui la forza di propulsione è prodotta dall’espulsione dei prodotti della combustione di un combustibile portato, insieme al carburante, dal razzo stesso. Per ricavare le equazioni cardinali della dinamica in queste condizioni più generali, indichiamo con 2 la superficie x che delimita il sistema $S di cui si vuole determinare il moto, e supponiamo che la variazione della Fig.

438. —

Sistema a

massa

contenuta

entro

$

Pie abile: Tap tica del sistema.

sia

di materia attraverso parte, stessa 2. Se d 2 è l’area di superficie, n il versore della spondente, la variazione della massa di S nel dente al flusso attraverso d 2 è data dalla (fig. — dZoV,x

nt

dovuta

a

un

flusso

o tutta, la superficie un elemento di detta normale esterna corritempo At corrispon43):

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali essendo

V, la velocità

relativa

a S in

della dinamica

corrispondenza

di

teria che fluisce attraverso d2, e e la sua densità. moto risultante di S ad un dato istante # è:

(0), = fr m

609

d Y della

La

quantità

ma-

di

do = mV,

v

essendo l’integrale esteso a tutto il volume v racchiuso da £, ed m la massa che all’istante £ è contenuta entro 2; la quantità di moto risultante

all’istante

£ + 4t

è invece

(0) x4a, =

nil +97

di)

MV,

data +

e do

dalla:

A (mV)

=

dt fov(W, x n) dL. PA

Si ricava pertanto: 4(mV,)

19

di

dm

die

do—

lov(v

EM DI)

dE.

v

Ora massa

ci

dm

invariabile

è la forza dm

che

deve

essere

applicata all’elemento di

per imprimergli l’accelerazione DE

e quindi il

primo termine a secondo membro rappresenta la forza risultante applicata alla massa che all’istante £ è entro £; indicando questa con F e passando al limite per /At#t-—>0, si ottiene: d

(1)

F=_7 (MV) + fev(V. x n)dZ zi

che sostituisce la prima delle (III, 2-1). chiamo con M il momento risultante delle menti dm contenuti entro 2' all’istante #, menti 0, che per semplicità consideriamo ottiene:

2)

ms

+ fe

In modo analogo, forze applicate ai rispetto a un polo fisso (e quindi V,

se indivari eledei mo= 0), si

nevi xaar

essendo P il punto di 2° nel cui intorno si considera l’elemento 42, mentre K è, secondo la solita notazione, il momento risultante delle quantità di moto degli elementi di massa dm, che all’istante i sono contenuti entro 2. La (2) sostituisce ovviamente la seconda delle (III, 2-1). 39

-—

FERRARI-ROMITI.

610

Parte

Osserviamo che

nell’unità

che

seconda

— Dinamica

nell’ipotesi

di tempo

fluisce

lo sciame dei corpuscoli che rispetto agli assi fissi, è:

che

applicata

la quantità

attraverso

incidono

2' sia

su 2

di moto

della

massa

nulla,

e pertanto

abbia

moto

non

che

d'insieme

fovo, x n)dZ=0, E e la (1) si riduce |

alla:

(3)

che

è il caso

che

il moto

considerato di S

d

F=

di

da LeEVI-CIvITA

sia traslatorio,

denza di ogni elemento

(mV,)

poichè

[16]. si può

Se invece scrivere,

si ammette in

corrispon-

d 2’ attraverso il quale si ha flusso di materia: V=V,+V

mentre

è:. V\xndLZ= felt)

7

dm —-—

pai

si ricava: F=

dm —-

di

V

dv

ot

dt

dm

I

di

V

o

Vv.

+

fJeV(x

(V,

nd

2A

Fig.

44.

—

Schema

di razzo.

e perciò: (4)

F=-m

Da

+

feV,(V,xn)dZ. 2

Il caso ora considerato è quello del razzo (fig. 44), poichè, prendendo il versore i nella direzione e nel senso di V,, si può considerare che sia: V,=—|V.fi mentre la velocità V, si può ammettere che sia perpendicolare alla superficie XY, attraverso alla quale l’efflusso dei prodotti della combustione avviene, e costante nei vari punti di X,; si ha:

av, F,=m-72—eViz,

Capitolo terzo — Equazioni

fondamentali

indicando con Y, la componente delle forze direzione della tangente alla traiettoria.

della dinamica

esterne

611

applicate

nella

Si consideri, ad es., una goccia sferica di acqua che cade verticalmente in un ambiente di aria satura di vapore acqueo, e immobile (ossia di velocità nulla), e si ammetta che per effetto della condensazione del vapore il raggio della goccia cresca nel tempo secondo la legge r = »y + at; si vuole determinare la legge secondo la quale varia nel tempo la velocità di caduta della goccia, supposto che all’istante t = 0 essa sia ad un’altezza 4, dal livello di riferimento, ed abbia velocità nulla. Poichè si può ammettere che il vapore acqueo che si condensa sulla superficie della goccia, all’istante in cui esso si deposita sulla goccia stessa, abbia velocità assoluta

ipotesi

nulla,

che

siamo

l’unica

nelle

forza

d

integrata

con

applicata

A

ray (CE dotto)

le

condizioni

iniziali dz

la

(3), e pertanto,

sia il peso,

4

= ECO

sopra

indicate

- g

di posto

in cui è valida

attiva

|4

ni che

condizioni

esterna

nell’ulteriore

si ha:

a colo dà:

rà

dal

r = », + at.

6. Il principio dei lavori virtuali. L'equazione simbolica della dinamica. — La condizione di equilibrio affermata dal principio di D’Alembert

(IIL,

1)

può

essere

espressa,

invece

che

con

le equazioni

cardinali della dinamica, nel modo indicato in (III, 2) e in (ITI, 8), col principio dei lavori virtuali, che afferma: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema în una configurazione în cui tutti i vincoli siano effettivi, è che la somma dei lavori virtuali delle forze attive, d'attrito e d’inerzia, sia nulla per ogni spostamento virtuale invertibile,

nulla

o

negativa

per

ogni

spostamento

virtuale

non

inver-

tibile. Indicando con éL il lavoro delle forze attive e di attrito, e con éL' il lavoro delle forze d’inerzia nel generico spostamento virtuale sopra definito, si ha: (1)

6L+éòL'

le radici

0, il moto

è oscillatorio

dell'equazione

caratteristica

è instabile.

Il valore

critico

di

%,

armonico sono

reali,

di frequenza ed

una

corrispondente

k E m

2

radice

; seè

è positiva:

all’instabilità,

è dato

K fe? + [+

++

li

— E

2(r +)?

glio

ì

0

0° — rx(0 + 9)? +

le

DE

204»?

]f

%,

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali Le equazioni di Lagrange, attriti), risultano:

relative

| T+m(1+

(45)

TI+ro

|

Ricerchiamo ponendo:

(46)

0 +m1(1+7)}=

+ 0+X+

I una

7]

soluzione

0=

alle coordinate

To I

della dinamica 8 e %

627

(supponendo

nulli gli

Fsinnogt;

2

3° z=0.

particolare

del

Csinnagi;

sistema

differenziale

ora

trovato

x=Dsinnot.

L’integrale generale del sistema stesso si otterrà aggiungendo a questa soluzione particolare, l’integrale generale del sistema omogeneo associato; ma poichè questo, tenendo conto delle azioni dissipative, in modo analogo a quanto è stato fatto precedentemente,

definisce valori di 0 e di 4 che rapidamente

tendono

col crescere di i, appare che per # abbastanza grande, i valori assunti da

quelli dati dagli integrali particolari ora indicati. si

a zero

8 e % sono

Ora sostituendo le (46) nelle (45)

ottiene:

— Fsinnapt

0=

;

m (14 7)?

n? è

Li

1

n21 r

FI+r)sinnogt

Xx= nat

(1-

c)

p4

1 2 POD

nl

n

Tr

Poichè, se il disco non portasse la massa pendolare si ridurrebbe alla: I0= e quindi

m, l'equazione

del suo moto

Fsinnagt

si avrebbe:

0=—

F

a SID ® wgt

In

0

appare che l’azione della massa m è equivalente del momento di inerzia del disco della quantità: m(+

a quella

di un

aumento

viriuale

ur)? mel rT

n2 I

= 1, il momento di inerzia virtuale del disco risulta infinito, e di conr seguenza è 0 = 0, qualunque sia /: il pendolo si comporta così come un perfetto ammortizzatore dinamico. In queste condizioni risulta: Per

Fsinnogt AT

mn

1(14

7)”

628

Parte

seconda

- Dinamica

applicata

Come altro esempio di ammortizzatore dinamico consideriamo un volano A di momento di inerzia I rotante intorno al proprio asse, e soggetto ad una coppia perturbante di momento Y sin nayi, se @ è la velocità angolare di regime. Il volano A porta due masse identiche m, collegate con molle di uguale rigidezza al suo mozzo, e scorrevoli lungo due razze del volano stesso (fig. 51). Anche questo sistema ha due gradi di libertà (ammesso che le distanze delle masse dall’asse siano uguali), e come coordinate lagrangiane prendiamo l’angolo che

definisce

l’orientazione

e la

distanza

r delle

del

masse

volano

m

da

O.

attorno

al

L’energia

suo

asse,

cinetica

ri-

sulta: 1

è

è

.

L= ZI (05 + 0° + m Lr + 0)? (5 + 0? + è] Fig. 51. — Ammortizzatore dinamico a volano.

se indichiamo con ”, il valore di gime, per cui © = ®y: l'energia

a

Il n alla:

P

Ù

—_

se a è la lunghezza di ciascuna molla Lagrange delle piccole oscillazioni :

(1 +2mr2)

(47) è

=0 = é=0

Ug

=

k (CA

indeformata.

P

+e

di

a)?

Se ne deducono

le equazioni

di

0 + 4mr 06 = Fsin noi;

mo --moî (+

Per

6

r nelle condizioni di repotenziale — U, è data

n) — 2090

.

+ km

a +0)=0.

la seconda dà: moro

= k (rr — a) DI

che indica semplicemente che la forza centrifuga di ogni massa è equilibrata corrispondente reazione della molla. Risulta perciò dalla seconda delle (47):

mé

— mote

dalla

2m 0138 +koe=0.

Per riconoscere quali condizioni devono essere soddisfatte affinchè le due masse con le rispettive molle funzionino da ammortizzatore dinamico perfetto, poniamo nella prima delle (47) 0 = 0; si ha:

(48)

4mrag0

mentre

la seconda

delle

(47)

= F sin nat

dà: mo-mogo

+ko=0

ossia:

(49)

04 (k— morg) — — 0. m

di

Se k meg pulsazione:

> 0, la

(49)

definisce

V

per

la

k_moi no

0 una

2

È

legge

di variazione

armonica.

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali se pertanto

si prende

% in modo

da

soddisfare

della dinamica

629

alla:

k

-—— — Wì =@%y, Mm ossia: k

—m = (n +1) 0}, e si prende: P — —— 4MmInROE

e=

cosnomi,

le (48) e (49) risultano contemporaneamente soddisfatte, e la coppia non altera la velocità angolare del volano come si desiderava.

perturbante

8. Analogia tra sistemi meccanici e sistemi elettrici [22], [23]. — La possibilità di stabilire un’analogia tra sistemi meccanici e sistemi elettrici è basata sull’analogia formale delle equazioni che traducono le leggi elementari valide per detti sistemi. Ci limitiamo a considerare sistemi meccanici lineari (ossia soggetti a forze applicate parallele, costituiti da membri inerti, solidi, animati di moto

traslatorio

secondo

direzioni parallele

tra loro

e alla direzione

comune delle forze, oppure dotati di moto rotatorio attorno ad assi paralleli tra loro e alla direzione comune dei momenti applicati), e consideriamo le leggi elementari, che ne definiscono il comportamento dinamico, a raffronto con quelle valide per sistemi elettrici a caratteristiche concentrate, il che permette di stabilire quali sono le grandezze fisiche corrispondenti nell’analogia. 1) Massa. Seconda legge di Newton. Energia cinetica. — La forza F applicata ad una massa m le imprime l’accelerazione data dalla: dv (1) Mm di 1 Pam.


Vo;

/dL lde

deve

essere:

> 9 RC,

detto (9e), il valore di g, in equilibrio.

11. Princìpi variazionali in meccanica. 11-1. PRINCIPIO DELL’HAMILTON. — All’equazione simbolica della dinamica (III, 6-2). valida con la sola condizione che i vincoli siano bilaterali, può essere data un’altra forma più espressiva, che si presta meglio a mettere in luce qualche proprietà generale del moto dei sistemi. Consideriamo un sistema meccanico qualsiasi, e siano ©, e C, le configurazioni da questo assunte in due dati istanti i, e t1; Se @;, Y;, €; sono le coordinate di un generico punto materiale P, di massa m; del sistema stesso, possiamo esprimere l’energia cinetica T nel movimento effettivo di questo con la: T=

Indichiamo

7

poi con «; +

ZiM;

(&2

6@,, y; +

+

U fa +

64;, &; +

2?) .

62; delle

funzioni

qual-

siasi di # infinitamente prossime alle funzioni «;, Y;, &;, che danno la posizione di P; nel moto effettivo, e che soddisfano alle seguenti condizioni:

esse

soddisfano

alle equazioni

di vincolo

cui il sistema

consi-

derato è soggetto, e si annullano agli istanti £ e t,. Siano infine 7,,;, F,i, Fri, le componenti della forza risultante F, applicata a P,;; indichiamo con dò l’integrale:

(1)

Lt,

35 = Il [OT + Z(P,,60, + F,idyi + Pda] di; la

ÒT rappresenta la variazione dell’energia cinetica (rispetto a quella del moto effettivo) nel moto variato sincrono, in cui ad ogni generico istante $ le posizioni dei singoli punti P; sono variate, rispetto a quelle

648

Parte seconda — Dinamica

del moto effettivo, òz; sopra indicate;

essendo

Z(F.i

rappresenta mento Ma

da, +

Pi

(in

occupata

ogni

dato

variazioni

dY; +

poi manifestamente

virtuale

vamente

dette

applicata

F,i òz;)

il lavoro

istante

definite =

dalla

6y,,

òL,

delle forze

t), rispetto

dx,,

alla

F; nello

sposta-

posizione

effetti-

dai punti P; in detto istante.

è:

òT =

Z(madt

+ my

+ midi),

e si ha: Lo

ti

fashar= [ad (0à) ta

D

poichè: dx;

d---

di

Con

una

integrazione

d

=

—

(é

di

per parte

(92)

si ricava:

t,

&

fido)

t

= Ta dali — |

do

dm di = — | i dr di

la

ha

poichè dx, è nullo sia per t= 0, sia per t=t,. Trasformando in modo analogo gli altri termini

dell’espressione:

ti

fard lo

si

ottiene: LI

dé=

J Z[(F., —

(Py, — mV)

+

mj&;) de,

by

+

— Mz) (FP.

de)

dt.

lo

Ma

la funzione

integrale

non

è altro

Z;(FF_- ma)

che:

x

òP,

che, per la (III, 6-2) è nulla. Si deduce t

(2)

95= ((61 4

di conseguenza

che è:

1) dt =0

la

ed

è questa

Hamilton.

la formula Questo

variazionale

principio

ha

una

che

costituisce

formulazione

il principio

del-

particolarmente

Capitolo terzo — Equazioni fondamentali della dinamica espressiva, se le forze applicate sono conservative: zione potenziale corrispondente, è in questo caso:

detta

649 U,

la

fun-

6L=6Ug;g e la (2) diventa:

(3)

tr

65= [(6T +

U)di=0—=sf(T +UJd=èfLd

i)

essendo £ = T' + U, Alla funzione :

la funzione

lagrangiana

del

sistema

(III,

7-8).

ti

s= {Lai

(4)

lo

si dà il nome seguente

di funzione principale

importante

proprietà:

per

dell’Hamilton, un

sistema

e la (3) esprime materiale

a

la

vincoli

bilaterali e privi di attrito, soggetto ad una sollecitazione conservativa, il generico moto naturale è caratterizzato come quello che rende stazionario l’integrale $ rispetto a tutti i moti variati sincroni, fra le stesse configurazioni estreme. Possiamo ancora aggiungere, senza per altro darne la dimostrazione, che se l’intervallo di tempo (ti, — 4) è abbastanza piccolo, il moto naturale rende $ non soltanto stazionario, ma effettivamente minimo. Un'altra interessante osservazione, o interpretazione del prin-

cipio ora detto, è che se si indicano

con 7, con 7 e con U, i valori

medi, nell’intervallo considerato, della funzione lagrangiana, dell’energia cinetica, e della funzione potenziale, è:

(5)

S= (th) Z2=(—h)(7+ 7%)

e pertanto il principio dell’Hamilton si può anche interpretare dicendo che il moto naturale rende stazionaria (minima), rispetto ai moti variati sincroni fra le stesse configurazioni estreme, la differenza tra i valori medi

del’energia

cinetica

(T)

e di quella

potenziale

(—

U.).

Sviluppiamo qualche esempio di applicazione del principio dell’Hamilton. a) Consideriamo [25] una trave elastica, vincolata agli estremi e soggetta ad una forza ripartita lungo la trave stessa, e sia F (x,t) la forza applicata normale all’asse della trave, per unità di lunghezza. Se è la massa della trave per unità di lunghezza, l’energia cinetica corrispondente è: 7

T=—

1

dw \?

—| an

d

é indicando con | la lunghezza della trave, e con rispondenza dell’elemento dx.di ascissa .

w lo spostamento

verticale in cor-

650

Parte seconda — Dinamica

applicata

L’energia potenziale del sistema è la somma dell’energia elastica di deformazione, e di quella corrispondente alla forza attiva applicata; la prima, considerando solo la sollecitazione a flessione è: 1 1 0w \?

— Van = 5 | #9 ( Va i T9 dr?

se E è il modulo di Young, e J il momento di inerzia della sezione trasversale rispetto all’asse neutro. L'energia potenziale corrispondente alla forza attiva è:

I —

Usa

=—

fFimw(e

nda

tì prendendo l’asse 2, secondo cui si misurano gli spostamenti w, positivo verso il basso. La funzione lagrangiana risulta pertanto:

I

‘T1||=w

L= ; e la relazione

che ti

/2w\8

4

ot

2

deve

essere tl

, i as-sfLat=0[

de

1

290

Da

soddisfatta,

\2 +

Da

2

da?

Fwjdx

per il principio

dw\? EJ {|{E{C)_ 2 ot 2

dell’Hamilton

/60w)\? (22) 4 Fwlar-dt=0. dx?

i 0 Prendendo

le variazioni

della funzione

i

@w dw (2)

IPG

(7)

n

i

i è:

Na

arde—

ade tf

Ma

integranda

Jfr

A ©

prete

i

pesa02w0 I°

02w

da?

la di

(FE) de

io

0

ti

fi

si ricava:

t,

*U

(6)

t

dw

teso

fe(8)

dw

ea CSS

dw e)

a

(57)

to) eee —

fe()

a

i

t

dw

L

Li

02w

4-2 Gol — E di | Je

9?

dal 0

gi

fe

dw di Li

lo

9 = es 9w 2 Lo da

dx

14

(sw) su: -[< o

6

è:

(29 w\

dx

|

E9 ea. dx

+

Capitolo

terzo

— Equazioni

fondamentali

della

dinamica

9

Ora, se la trave agli estremi è incastrata, deve essere

651

.

3a

($w) = Osia pera = 0

x

.




di