Mecanica

Citation preview

OCTAV ONICESCU

Mecanica

ED ITU RA

TEHNICA

BUCURE$TI

-

196

9

lnvatatu/ui prieten Luigi Sobrero, Dlrect.orul lnstltutului de Mecan/ca de la Tr I este ~I animatoru/ Centrulul lnternat:fonol al $tlint,e/or Meconlce

Cuvint inainte

Volumul de fa/a este o lntroducere in Mecanica, $tiin/a a materiei in mi$care. Ea itrmeaza in Partea intii principiile fundamentale ale mecanicii lui Newton, D' Alembert, Lagrange $i Hamilton. In Partea a doua ea urmare$te sa desfaca unele constringeri prea str£mte ale acestor principii pentrit a lasa mecanicii, Jara alterari esenJiale, posibilitatea sa se adapteze la condi/iile naturale ale distan/elor foarte mari sait foarte mici sau ale vitezelor Joarte mari. S-a objinut astfel doctrina pe care am numit-o mecanica invariantiva ca sa se sublinieze insemnatatea invariantilor euclidieni ce stau in mod expres la baza construc/1'.ei sale. • Scopul ce a stat in fa/a la realizarea acestui volum, in Prima sa parte, nu a f ost nici de cum sa prezinte inca o data interpretarea mecanica newtoniana a imor f apte bine cunoscute $i care $i-a11, gasit expresia in atttea admirabile car/i pe care fiecare din noi a inva/at mecanica. · Am urmarit, folosind analizele ce a trebuit sa facem pentm a realiza mecanica invariantiva, sa punem in litmina suprap1merea uneori insensibila de principii $i convenfii ce servesc nemijlocit la trecerea de la principiile lui Newton privind mi$cdrile pimctu,lui material liber # Jor/ele de masa care o intovard$esc, la punctul material sub constringeri exterioare $i apoi la sisteme materiale. !n acest proces de extensiune am dat lucrului mecanic un rol mai mare # mai cu seama mai sistematic de c£t se obi$nuie$te, aratind de asemenea unde se strecoara un principiu sau o convenjie noua pentru trecerea la modele e mai P.Xtinse. Am marcat, in special, locurile unde intervine opera/ia de integrare ce nu era in nici un caz implicata in principiile newtoniene. Sint cu siguran/if, dator, pentru preferin/a ce am aratat lucruliti mecanic amintirii cursului de mecanica a profesorului meu D. Pompeiu, pentru grija cu care am cautat sa urmaresc trecerea de la sisteme finite la sisteme infinite lec#ilor lui Vito Volterra asupra teoriilor fizicii matematice, iar pentru modul de folosire a operaJiei de integrare in aceasta trecere, practicii valorilor medii $i in genere 1,11,tegralei generate ce am folosit in teoria probabilita#lor. Cititorul va Ji des-igur sensibil la Japtul ca am pus principiile variaiiouale ale mecanicii sitb rubrica teoriilor unitare, considerate ca teorii formale $i am dat un loc aparte principiului invariantului integral. 1n inter-

8

CUVJNT JNAIN'fE

pretarea lui E. Cartan acest principiu inseamna formalizarea principiului al doilea al lui Newton. ln loc de a spune, in- limbajul spaJiului cu trei dimensiuni, ca derivata impulsului este gradientul unui cimp, spunem, in limbajul spa/iului newtonian cu patru dimensiuni SN= S x T, ca derivata vectorului impuls-energie este mtla # transpunem afirmaJia pentru sisteme cu n grade de libertate. Acest enun/ ne-a servit apoi pentru reconstruirea mecanicii sub Jorma invariantiva. Am accentuat, in masura posibilitafilor, importan/a ecua/iilor canonice in prezentarea mai cuprinzatoare a f enomenului mecanic $i am aatat in legatura cu, ele proprieta/ile operatorului mi$care, in spajiul f azelor, precum # teoremele ergodice ce-i· sint asociate. Ca o consecin/a a lor a aparut o generalizare sugestiva a teoremei virialului care ilustreaza insemnatatea echivalen/ei dintre media spa/iala $i cea temporala a unor marimi mecanice. A ceste consideratii care arata cit de utile sint unele teorii ale A nalizei funi;Jionale pentru a duce cit mai aproape teoria de experirmja, i# vor gasi o aplica/ie in construc/ia mecanicii invariantive ce constituie partea a doua a acestui volum $i care are la baza abstracJiilor ei cerin/a de a merge cu teoria mecanica £nca mai aproape de experien/a de cit facea mecanica lui Newton. M ecanica invariantiva patrunde mai adinc in proprieta/ile materiei, spa#ului, timpului, energiei de cum o putea face M ecanica clasica. Ea n-a Jolosit principiul relativist pentru, a-fi realiza conceptele dintre care unele sint identice cit cele realizate cu ajutoml acestei teorii, dar $i a transformarilor ltti Lo~entz. Acestea din urma sint implicate in mecanica invariantiva $i, in afari:i de interesul lor direct in teoria maxwelliana, ele pot Ji chemate a da o noua interpretare in concep#a universului, considerat ca spaJiu Jibrat, spajiitlui metric cu patru dimensiuni. Pe aceasta baza, in ce prive$te ctmpul, # pe ecuaJiile de mi§care ale mediului continuu tz$a cum le-am stabilit noi, $i-a tl$ezat Lazar Drago$, in Nota de la finele volumului, dezvoltarile sale asupra magnetodinamicii fluidelor. Am crezut a Ji util cititorilor nm;tri incredin/ind redactarea ci aietorului care a adus contribu#i importante la edificarea acestei materii $i care a $tiut si:i o plaseze in cad-ml general al principiilor ce au calauzit intreaga noastra lucrare. ln cautarea modelelor matematice celor m ai adecvale pentru reprezentarea Proceselor mecanice nu ne-am lasat influen/a/i de nici o prejudecata. In Jelul acesta am recunoscut de pilda ca modelul atit de util liidro $i aerodinami$tilor al Junc/iei olomorfe este doar un aspect particular al modelului oferit de fimc#a olotopcl spa/iala: Imaginea hodografica a mi$Carilor unui mediu continuu este O func/ie olotopa variaoila in timp de punctete respecti11e qle me4i'l(llui,

CUVlNT lNAINTE

9

lncheind aceste cuvinte trebuie sa marturisesc /elul meu principal care a Jost de a gasi in mecanica clasica, in aspectele ei care dau deplina satisfacJie cercetatorului naturii ca $i in acelea care lasa probleme deschise, justificarea extinderii pe care am dat-o prin mecanica invariantiva. Pentru a urma acest drum au Jost de folos operele clasice ale ~tiin/ei mecanice, incepind cu cele ale lui Galilei, cu Principia a hti Newton, cu Memoriile lui D'Alembert, Euler, Lagrange, Hamilton, cu Methodes nouvelles de Mecanique celeste $i carjile de filozofie ale lui H. Poincare, cu carJile lui Jacobi $i Routh, cu mecanica lui E. Maclt, cu aceea a lui H. Hertz $i a lui M. Planck asupra principiilor, cu lecJiile lui E. Cartan asupra invarian/ilor integrali, cu opera relativista a lui Einstein, cu carJile lui C. Schaefer $i P. L. Char lier. Marilor tratate tncepind cu acela al lui P. Appell, o adevarata enciclopedie a teoriilor mecanice, continu£nd cu acela al lui T. Levi-Civita # U. Amaldi, tratatele lui W.E.T. Whittaker $i G. Hamel precum $icon._ tribu/iile enciclopediei $tiin/elor matematice, edi/iile germana $i franceza, la mecanica in· general, la teoria elasticitajii sau la hidrodinamica in particular,saucapitolelerelative la aceste $tiin/e din Handbuch der Physik. Este acum locul sa adaug Tratatele de Teoria elasticita#i incepind cu al lui C lebsch $i continuind cu eel al lui Love din I892, ltnga care sta foarte preJiosul volum de Principii din I9I6 al lui B .Colonetti iar acum operele $Coalei poloneze in special ale lui W. Nowacki $i W. Olszak. Ne-au incurajat in ini/iativa noastra doua cursuri recente de M ecanica ra/ionala, unul al profesorului F. Stoppelli de la Napoli $i altul al profesorului G. Grioli de la Padova, precum $i volumul de numai 220 de pagini, dar foarte bogat in conJinut, in traducerea romaneasca intitulat Mecanica de L.D.Landau $i E.M.Lif§it, precum $i a doua edi#e a remarcabilei car# ,,Classical Mechanics" a lui H.C.Corben ~i Ph.Stehle. 1n romane$te sintem datori informa#ilor $i sistematizarilor aduse de volumele de Aerodinamica ale lui E. Carafoli, singur sau impreuna cu T. Oroveanu de Introducere matematica in Mecanica fluidelor, a lui Caius Iacob, $i de Mecanica teoretica de V. Valcovici, ~tefan Balan ~i Radu Voinea. 0 veche corcspondenta cu maestrul meu roman T. Levi-Civita, citeva conversa/ii cu ~erban 'fiteica, mai apoi cu Elie Carafoli $i in urma cit Luigi Sobrero cu prilejul lec#ilor ce am fiicut la Trieste, au marcat unele etape ale mecanicii invariantive. Colegul meu Caius Jacob a binevoit sa urmareasca manuscrisul, sa-mi Jaca unele observa/ii foarte utile pentru care-i mul/umesc. M ul/umesc de asemenea Editurii tehnice care a pus o deosebita grija la tiparirea acestui volum. ocTAV omcascu

Tabla de materii PARTEA INTII

Mecnnlcn clnslcii. I. Materie, masa, spa/iu, timp • . . . . . . . • . . . . . . . . • • • . . . . . . . . . . • . • • . • • . . . . . . •

15

§ 1. Principii ~i modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . .

15 l6 19

§ 2. Marimi caracteristice pentru repartitia masei. . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Momentele ~i elipsoidul de ineqie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. M i1cari rigide ale corpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • • • • . . . . . § 1. Translatia ~i rotatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Translatii ~i rotatii elementare. Viteza de translatie ~i viteza unghiulara ................................................ § 3. Rigidul ~i m~carile sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22

III. Vectori 1i operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . • . . . . § 1. Cimp de vectori. Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Momente ~i momente unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 33

IV. Despre echilibrul corpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . • • • • . . § 1. Principiul lucrului mecanic ...... ........................ § 2. Echivalenta sistemelor de forte aplicate unui rigid. Echilibrul rigidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • § 3. Echilibrul unui fir greu flexibil ~i ine:x:tensibil................ § 4. Echilibrul f irului intr-un dmp de forte de masa. . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Echilibrul firului pentru o repartitie oarecare de foqe..........

35 35 37 39 42 51

V. Dinamica pu1ictului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • • . . • . • • • § 1. Modelul matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Legea fundamentals. a dinamicii punctului material . . . . . . . . . . . . § 3. Potentialul newtonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Aproximarea unui cimp oarecare printr-un cimp newtonian ...•.•_ § 5. Reperele ineqiale ale m~carilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 54 59 69 79 84

VI. Extensiimea lui d'A lembert'a legii lui Newton............................ § 1. Legea de m~care fata de un sistem inertial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Legea de m~care exprimata cu un sistem de coordonate general § 3. LegAtura intre proprietatile metrice ale unei varietati cu n dimensiuni ~i m~care. Un principiu variational. . . . • • . • • • . . . • • • • • § 4; Mi~carea neolonoma cu doua grade de libertate................

86 86 89

VII. Dinanaica sistemelor. • . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • • . . • . . . . • • • • . . . • • § 1. Dinamica unui sistem de N puncte materiale cu n grade de libertate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . •. . . § 2. Dinamica unui sistem material cu n grade de libertate..........

26 27

97 100 102

102 103

11

TABLA DE MATERII

§ 3. Teoreme generale . . . . • . . . . . . . . . • . . . • • . . • • . . . • . . • . . . • • . . . • • •

111

4. Ecuatiile lui Lagrange fli legiturile neolonome . . . • . . . . . . . • • • • . VIlI. Reprezentarea dinamicii punctului .material 1i a sistemelor tn spaJiul fazelor § 1. Spatiul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . • . § 2. Ecuatiile canonice ale mi'lclrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . IX. Legi de conservare 1i mi1cari speciale • • . . . . . . • . • • . • . . . . • . . . . • . . . . • . . • • • • . § 1. Legile conservlrii energiei §i a impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . • . . .

114 111

§

§ 2. MUJcari centrale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •.

§ 3. MUJdiri cu un grad de libertate.............................. § 4. Problema celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X. Dinamica solidului rigid . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • • • . . . . • • • . • • . • § 1. Tipurile de mi!jcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . • . . § 2. Energia cinetica a rigidului !ji ecuatiile lui Euler ....... ; . . . . . • § 3. Finalizarea_operatiei de definire a mi!jclrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Ecuatiile lui Lagrange pentru rigid .. . . . . .. .. .. . . .. . . .. .. . . . . § 5. Dinamica lantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI. Vibl'aJii •• . . . . . . . . . . . . •. •. • • . . . . • . . . •• . . •. •• . . . . . . . . • • • . . • •• . . •• • • § 1. Pozitiile de echilibru stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . • § 2. Oscilatori cuplati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . § 3. Sisteme disipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . XII. Teoriile unitare ale dinamicii........................................ § 1. Lagrangianul !ji teoriile bazate pe el ....................•.••§ 2. Teoria invariantului integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • § 3. Un spatiu Hilbert de mlrimi definite pe varietatea H(P, q)= const . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . •. . . § 4. Teoremele ergodice ale lui Birkhoff i,iaplicatiila teorema varialului XIII. Ciocniri elastice . • . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . • . • • . • . • • • • • • § 1. Discontinuitati !ji leglturi locale §i instantanee. . . . . . • . . . . • • . . . § 2. Principiul invariantei formei O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV. Mecanica nzediilor continue ............. ·.•..•.••.••........•..••••• § 1. Caracterizarea mi§clrii mediilor continue . . • . . . . . • • . . . . . • • . . . § 2. Ecuatiile mecanicii sistemelor continue . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . • § 3. 0 forma mai generali a ecuatiilor mi!jclrii.................... XV. Mecanica solidelor elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • . • • . . • § 1. Ecuatia miljcarii. Legea lui Hooke. Teorema lui Betti. . . . . . . . • . § 2. Unde elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . § 3. Coarda vibranta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Membrana elastica ..... ~.................................. § 5. Asupra mi!jclrilor solidului elastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI. M;,ca,-ea fluida continua . . . . . . . • . . . . . . • • . . . • • . . . . . . • • • . . . . • . • • • . • • § 1. Despre elementele structurale ale unui fluid.. • . . . • . . . . . . . • . . . § 2. Teoremele lui Lagrange i,i Bernoulli . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . • . . . § 3. Linii de curent. Linii de virtej. Circulatie. Invariantul integral al mi'lclrii ...........••......... ; . . . . . . . . . • • . . . . • . . . . • • . • . § 4. Teoreme de reprezentare • . . . . . . . . . . . . • • . . . • . . . . . . . • . . . . . • . § 5. ~ e " lamelari plaui • , , .•••••.•••• , .. , •. , •••••..•. , • • .

117 120

128 128 129 132 141 145 145 151 154 160 167 169 169 175 177 181 181 186

189 192 196 196 198 200 202 203 208 212 212 218 220 231 241 242 242 247 249 253 259

TABLA DE MATERII

12

6. M~cari plane cu singulariU.ti date . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • • 7. Reprezentlri olomorfe §i olotope ale mu;clrii fluide plane. . . . . . 8. Reprezentarea olotopl a mi§carii fluidelor in spatiu . . . . . . . . . . 9. Ecuatia lui Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Un spatiu Hilbert de mlrimi definite pe spatiul hodografic....

260 267 274 281 284

XVII. lvlecanica aleatoare . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . • . . . § 1. Justificarea capitolului . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Cimpul de probabilitate §i variabilele aleatoare . . . . . . . . . . . . . . § 3. Exemple de mi§ciri aleatoare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Mi§cari aleatoare ca procese discontinue. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . § 5. Mirimi aleatoare in mi§carea unui fluid. Turbulenta . . . . . . . . . •

285 285 287 296 306 309

§ § § § §

PART.EA A DOUA

Teorla Invarlantivu n ml~earii

I. Mifcarea punctului material . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • • . . . . . . . • . . . • . . . • . . • • . § 1. M~carea inertiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • § 2. Unda asociata m~cirii .. . . . . .. .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. . . . . .. . § 3. M~carea intr-un cimp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . Come n tar i-i 1 . . . • . . . • •. . . • • . . . . •• • • • . • . •• •. . . • . . • •• •• • . . • . • •• • . § 1. Spatii ~i axiome ale m~cirii................................ § 2. Principii ~i postulate • . . . . . . . . • • . . . . . . • . . . . . . • . . . . . • . • • . . C o m e n t a r i i 2 . . . . . . . . . •. . . . •. . . •••. •••• •••••. •• •. . . . •. ••. •. •. . . •• § 1. Spatii fibrate ~i reprezentarea ecuatiilor mu;cirii.............. C o m e n t a r i i 3 •••• •••••• •• •• •••• •••••••• •••••• •••••••••••••••••••• § 1. Universuri antieinsteiniene .. .. .. ........................ C o m e n t a r i i 4 . . . . . . . . . . •. . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . •• . • • • . . . • • • • • •• •• § 1. Forta i;;i legaturi ...... ................................ .. II. M~carea corpusculelor stabile . . . . . . . . . • • • . . . . • • • . . • • • • • • • • • • . • • • • • • • • § 1 . Mi!;lcarea inertiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Mii;carea corpului rigid intr-un cimp . . . . . . . . . . . . . • • . • • . . • • Com en t a r i i .................................................... III. Mecanica invaria~tiva a sistemelor de puncte materiale.. . • • • • • • . . . . • . • • • • • § 1. Ineftie, gravitatie §i dilatatie (expansiune) . . . • . • . . • . . • . • . . § 2. Un sistem de n puncte materiale . . . . . . . . . . • . . . . • • . • . . . • . . • § 3. Mecanica ineftiala a unui sistem de doui corpuri.............. § 4. Expansiunea universului ~i legea lui Hubble.................. Nota. Magnetodinamica fluideloY •......•.....•.••....•••..•••••• , • • • • • • • § 1. Ecuatiile cimpului electromagnetic . . . . . . . . • • . . . • • • . . . . . • . • § 2. Magnetodinamica fluidelor in cazul mi§cirii continue. • . . . . • • . . § 3. Ecuatiile fenomenelor de §OC •••••••••••••••••••••••••••••• § 4. Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • • . • • . . . . • • § 5. Problema lui Hartmann . . . . . • . • . • . • . • • . . • . • • • . . . • . • . • • . . . Bibli~grafie •••....... , ....•• , •.• , .• , •.•..•••• , • • • . . • • • • • • • • • • • • • • • • . •

320 320 327 330 334 334 339 343 343 348 348 351 351 354 355 360 366 · 367 367 367 368 376 380 380 386 393 397 405 411

PAR'TEA

fNTh

• c Ias,1,ca • Mecan1,ca V

I Materie, masa, spafiu, timp § 1. Principii ~i modele

Materia este localizata in spatiu de care este indisolubil legata. 1. Modelul matematic al s1mtiului. Modelul matematic al spatiului fizic, in care este localizata materia, este spatiul euclidian cu trei dimensiuni pe care-I indicam in genere prin SN (spatiul mecanicii lui Newton); SB este un spatiu punctual. Punctele constituie elementele indivizibile ale spatiului, atomii lui. Punctele spatiului S3 se identifica, dupa ce alegem un reper, prin coordonate. Ori de cite ori nu se precizeaza altfel, reperul este cartezian: o origine O, un sistem de axe rectangulare Ox, y, z ~i o unitate 'de masura a lungimilor care este 1n sistemul CGS. Pozitia unui punct P corespunde biunivoc vectorului pozitie p=OP, caracterizat prin cele trei coordonate rectangulare x, y, z.

Distanta dintre doua puncte p1 :;;i p2 este cea euclidiana; lungimea vectorului p2 -p1 este data de formula

+

IP2-P1l=V (x2-X1) 2+(Y2-Y1) 2 (z2-z1) 2. 2. Masa, divizibilitate ~i indivizibilitate. M ateria este o cantitate complexa. Cind ne referim 1a aspectul ei ca ma.rime, o denumim masa. Unitatea de masa in sistemul CGS este gramul. Legatura materiei cu spatiul care-i constituie suportul geometric este data prin ceea ce numim repartitia masei ei, definita prin cantitatea sau masa ce se gase~te in fiecare regiune finita mai mare sau mai mica a spatiului. Masa este o ma.rime aditiva, in cantitate finita in orice parte finite. a spatiului. Divizibilitatea masei materiale este pentru Mecanica indisolubil legata de aceea a spatiului ocupat.

16

MECANlCA

3. Formele de repartitie a masei. 1n orice parte finita D a spatiului, repartitia masei se poate prezenta numai sub urmatoarele aspecte. * 0 mul#me eel mult numarabila de mase spa#al indivizibile, deci localizate in puncte izolate Pi (j e N) cu masele respective mi. b) 0 masa indefinit divizibila, o data cu spaJiu,l ocupat. Aceasta nu fnseamna ca masa nu poate fi constituita dintr-o serie de corpuri distincte, dar ocupind fiecare o poqiune de spatiu divizibila impreuna cu masa respecti\i a. 4. Punctul material. Delinilie. 0 masafinita m localizata intr-un punct p este prin definitie un punct material. Se indica citeodata punctul material prin {P, m). § 2. l\larimi cru·acteristice pentru repartitia masei 1. Centrul de masu al unui sistem de puncte materiale. Def in i lie. Centrul de masa p al punctelor materiale l Pi, mi) i=•. 2•.•.• k situate intr-o regiune Jinita este dat de egalitatea mp=~ miPi (1) I

cu m= ~m1• I

• Aceasta nu inseamna ca mecauica clasica nu prim~te ca obiecte ale ei, ~i chiar ca obiecte fundamentale, corpurile cum sint solidele rigide sau elastice, moleculele, atomii, particulele elementare. Dar toate aceste corpuri sint tratate de Mecanica fiira nici o deosebire specifica in ce prive~te materia alcatuitoare. Daca ele sint tratate la nivele corespunzatoare - ca puncte materiale cum sint considerate corpurile sistemului solar in Mecanica cereascA, sau particulele elementare in anume imprejuriiri, cind caracteristicile de spin nu intra in considerare, atunci in mod evident masele respective ale Soarclui, ale PAmintului, ale protonului sau ale unui mezon - sint indivizibile. Problema divizibilitiitii acestor mase nu intervine in nici una din consideratiile mecanice care le privesc intrucit sint considerate puncte materiale. lndata insa ce suportul spatial este reintegrat in d.repturile sale ~i cercetarea mai aprofundata cere considerarea acestor corpuri in intindere spatiala, mecanica opereaza l}i cu masa respectiva, intocmai cum opereaza cu spatiul indefinit divizibil pe care ele ii ocupa. Situatia este mai speciala pentru particulele elementare. Acestea nu au in mecanica un model din cele obi.!}nuite; ele sint reprezentate ca puncte materiale carora li se asociaza # 1m spi-n (p. , m). Ele sint puncte materiale intrucit localizarea spatialil nu ➔ este legata de o intindere, ci numai asociata punctului p; au insa o proprietate de rotatie, comuna cu solidele lji reprezentate de spinul oo. Suportul fiind punctual, in toate ➔ problemele de repartitie de masa particulele elementare sint considerate indivizihile, ca lji punctul de care sint asociate. 1n problemele energetice lji in genere in acele de m~care intervine ~i spinul. Atunci problema iese din sfera Mecanicii clasice propriu-zisa ln diferenta dintre divizibilitatea masei ~i aceea a materiei apare specificarea meca.. nica a masei care este numai un aspect, l}i acela matematizat, al materici.

17

MATERIE, MASA, SPATIU, TIMP

. Observam ca definitia este valabila chiar daca numarul punctelor este infinit, pentru ca ele se gasesc intr-o regiune finita a spatiului, deci multimea este eel mult numarabila, iar masa totala m este finita. Punctitl material (p, m) asociat centrului p reprezinta in diverse circumstante mecanice insa$i sistemul (p:,; m1)1=1, 2, ... , k. 2. Proprietati de baza. Urmatoarea teorema da proprietatea caracteristica a centrului de masa. ·

T e o r em a 1. S' # S" sint par#le constitutive ale unui sistem S de puncte materiale; notind cu {p', m'} # f p", m"} punctele materiale corespunzatoare, centrul de masa al sistemului S este dat de egalitatea (2)

(m'+m")p=m'p'+m"p",

Demonstratia este imediata: egalitatea precedenta se obtine inlocuind pe m' p' ~i pe m" p" cu expresiile lor potrivit definitiei. 3. Momentul unei repartitii de puncte materiale. Def in it i e. Expresia mp=~ m1p1 relativa Ia repartitia finita (Pj, m1)i=1, 2, ••• , k este 1

.

momentul de primul ordin sau simplu momentul repartitiei fata de reperul 0. Teorema precedenta ia atunci forma urmatoare: T e o r e m a 2. M omentitl* j afa de O a unei reparti#i punctuate finite este o marime aditiva, liniara fa/a de 11ectorii poziJie. Pentru o repartitie de puncte materiale expresia mp definita de (I) este singura ma.rime care are proprietatea de aditivitate o data cu masa, ~i de liniaritate fata de p. Se folose~te aceasta proprietate pentru a defini momentul unei repartitii oarecare.

4. Homentul unei repartitii oarccare. D e f i n i t i e. M omentul unei reparti#i de masa dintr-un domeni11, marginit al spa/iului este o marime aditiva jafli de masa # liniara fa/a de vectorul poziJie. Dupa o teorema cunoscuta in teoria integralei aceasta ma.rime este reprezentata de integrala (3)

• Aceasta notiune apartine stntisticii. 0 pastram cu observatia de a nu se face confuzie cu notiunea de moment al unui vector fata de un punct sau de o axii. 2-Mccanica

MECANICA

Tinind seama ca repartitia de masa din domeniul D, poate cuprinde eel mult o multime numarabila de puncte materiale, integrala precedenta se scrie (4)

unde De este partea de spatiu suport al masei indefinit divizibile. Convergenta seriei ca ~i existenta integralei din membrul al doilea este asigurata de faptul ca p se gase~te in domeniul marginit D, deci exista A astfel indt p1 c.a ~i orice p care apartine lui De este mai mic ca A. Se obfine

,,~p1m1ll=Po, punctul material i9i pastreaza pozitia. Daca p0 =I= O, mi9carea este a§a cum arata (2), rectilinie §i uniforma. Aceasta este mi~carea inerjiala, pe care o verifica intreaga noastra experien/a mecanica. Principiul inerj:iei da o puternica informa tie asupra legaturii itttre spa/iu, timp §i masa in mi$care. tn adevar el arata, inainte de orice, ca timpiel nu este un parametm oarecare, pe care matematicianul i1 are oridnd la dispozij:ie pentru a etalona intr-un fel oarecare mi 9carea. Experienj:a i1 impune ca o ma.rime naturala. 4. PrinciJ)iul de definitie al timpului. Dintre toate variabilele ce pot Ji lieate pentru a inregistra timpul aceea este valabila pentru care legea de varia#e (2) este -liniara. Singura libertate posibila consista intr-o transformare

(3)

care revine insa numai la schimbarea unitaj:ii de masura §i a ongmii, deci nu altereaza nimic care prive9te marimea timp ca atare.

5. Transformarile spatiale care respecta principiul inertiei. In al doilea rind principiul inerj:iei ne arata ca nu orice sistem de reper este compatibil cu principiul iuerj:iei, adica cu liniaritatea legii de mi§care. T e o r c m a 1. Singurele transformari p=f ( ~, "IJ, ~, t) care respecta liniaritatea legii de mi$care in lipsa oricarei for/e sint transformarile liniare proprii x=a~ b1J+ c~+dt+e (4) y=a'~+b'l) +c'~+d't +e'

+

z=a"~+ b"l)+c"~+d"t+e". Verificarea acestei afirmaj:ii este imediata deoarece verificarea couservarii liniaritaj:ii (2) este echivalenta cu verificarea faptului ca x=0, H " II II II • • • y=0, z=0 atrage ~=0, "1)=0, ~=0 oricare ar fi x, y, z. Din legea ineqiei rezulta urmatoarea teorema care cuprinde atit concluzia ce rezulta din (3) cit ~i cea conforma cu (4):

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

57

Teo rem a 2. Singitrele sisteme de coordonate # timp care respecta principiul inerJiei si.nt cele obJinute prin transformarile liniare (4). Un ultim pas necesar pentru a caracteriza reperele spaJio-temporale iner/iale urmeaza sa fie efectuat dupa exprimarea celei de-a doua legi a dinamicei :;;i in special al aspectului ei energetic.

6. l\U~carea relati-va la un re1•er de coordonate. Daca folosim. alti parametri, de pilda ~' "I),~ decit coordonatele x, y, z oferite de sistemul de referinta inertial, expresiile marimilor fundamentale ale mi§carii, deci viteza §i acceleratia, nu vor mai fi date de simplele derivate prima §i secunda ale vectorului pozitie. in adevar daca inlocuim coordonatele ineqiale x, y, z prin parametri t "tlX dati de legile de transformare X f (~,

"I),~,

t), y=g (~, 'fl, ~, t), Z=lt (t 'fl, ~, t)

(5.)

~i punem v pentru vectorul (x, y, z), a pentru (x, y, z), 8 pentru (t ~, t) ~i «x pentru (t ~, ~), transformarea (5) ne da V=AO+C> (6) A fiind matricea

iar Cl (ft, gt, ht) fiind ceea ce putem numi viteza de transport, raminind pentru 8 denumirea de viteza relativa. Derivind in ambii membri din (0) gasim

a=Aa+fie+&.

(7)

111 (7) a este acceleraJia relativii, & acceleraJia de antrenare, iar pentru termenul 6.0 care reprezinta accelerajia complementara avem expresia (8) Lia= (A~~-I-A11 ~+Ai;~+At)O deci

.

( /1;1;~ 2 +h'I~~+ · · · +fi;i;t 2 +/1;t~+fiit~+/i:tt+ ftt)

g1;1; ~2 + · · · · · · · · · · · · · +gtt • 2 hr.r.~ + · · · ·· · · · · · · · · · +htt 0 concluzie a formulei (7) este ca, in general, daca schimbam sistemul de coordonate, deci sistemul de referinj:a, nu .mai ramine vaA9=

MECANICA

58

labila legea a doua a lui Newton. Exprimindaceasta l~ge cu noile coordonate, obtinem o lege (9) diferita formal de legea clasica prin termenii de miljcare Lia ~i oo. Daca acordam expresiilor mll6 ~i m&, care au omogeneitatea unei forte, atare calitate de foqa, rezulta, din (9), mai intii

mAa=F-mil.6-m& ~i, intrucit m este o constanta, aplicam transformarea inverse. aceleia ce corespunde matricei A, obtinem egalitatea nta=A-1 F-a-1 (m A8)-A-1 (m~)=, (10) in care cl>=A-1F-A-1(m.!l8)-A- 1(m6>) poate fi interpretat ca o forta, transformata prin a-1 a fortei date ~i doua forte de legatura care leaga sistemul nou de sistemul inertial newtonian. Cu atari conventii relative la schimbarea fortei, se poate pastra formal expresia newtoniana a legii de mi~care a lui Newton.

l\li~carea relativa fata de un reper cartezian in mi~,mre. Operatia de mai sus are, in general, o interpretare foarte putin simpla. intr-un caz particular insa, aceasta interpretare este la tndemina lji da loc la consideratii utile: cind sistemul (~, "IJ, ~) este ca ~i (x,y,z) un sistem cartezian fa ta de un re per cartezian in mi~care, cind deci (5) ia forma unei transformari ortogonale

x=a~+~"IJ+Y~+q,

y=8~+s:1J+ L~+~

(17)

z=x~+A1J+µ~+x matricea ortogonala

~ 8 s:

(X

A= (

X

y)

(18)

L

A µ

avind determinantul egal cu I. Termenii din relatiile (6) ~i (7) sint, in acest caz, imediat interpretabili, oferindu-ne lji explicatia denumirii lor. A8 lji Acz sint expresiile, in limbajul reperului original, ale vitezei 8 lji acceleratiei ex relative la noul reper. i:> ~i t au drept componente (cp, ~' ~i ((f)·, ~, x) deci ele reprezinta viteza ~i acceleratia punctului ~=0, 1J=0, ~=0, -deci al originii reperului cartezian mobil.

x)

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

59

· in sfir§it, vectorul .6.8 al acceleratiei complementare care in acest caz poarta §i numele lui Coriolis are o expresie foarte simpla. in interpretarea data de formula (10) forta complementara -ma-1 .Ao depinde liniar de viteza 8, ceea ce poate fi pus in legatura cu anume proprieta.ti fizice ale mediului. · 0 b s er vat i e fin a 1 a. Consideratiile generate dezvoltate m sectia I a acestui paragraf vor fi reluate mai departe in directa legatura cu ecuatiile mi§carii sub forma data de Lagrange, pentru a vedea di marimile folosite acolo §i nu viteza §i acceleratia pot conduce la ecuatii formal invariante pentru orice sistem de referinta,

§ 2. Lrgea fun~amentala a dinamicii punctului material

1. A dona lege a Dinamicii. A doua lege a lui Newton pentru dinamica punctului material {P, m} afirma ca accelerajia p este propor#onala cu forla F a§a cum se vede in egalitatea

mi,

F.

(1)

Alt enunt al aceleia~i legi afirma ca d (mf)) -I~ dt '

(2)

mp.

deci F define~te varia#a in timp a impulsului Identitatea celor doua expresii ale legii este evidenta in mecanica lui Newton, deoarece m nu variaza cu timput.· 0 b s er vat i e. Legea (1) sau(2) nucontraziceprincipiul inertiei, deoarece atrage 0 ca §i atunci cind nu este forta. 2. Ecuatia diferentiala a mi~carii. Daca exista foqa, ecuatiile (1) sau (2) dau legea diferentiala a miijcarii prin urmare definesc o familie de miljcari in spatiul SN, depinzmd in general de ijapte parametri arbitrari

p=O

p=p

Po(Xo, Yo, Zo), Po(Xo, Yo, Zo) §i to.

Teorema 1. Daca for/a I~ (p, p, t) este o funcjie lipscltitziana de argumentele p, j,, t intr-un domeniu D al acestor variabile, atunci exista o solu#e determinata §i itnica pentru valorile p 0 §i p0 la momentul t= t 0 $i aparJinind de asemenea lui D.

MECANICA

60

Demonstratia teoremei cu preciziile necesare urmeaza. In prealabil inlocuim ecuatia vectoriala (1) prin sistemul , 0, avem

z=p cos

(23)

8. Echivalenta intre Iucrul mecanic ~i- energia cin~tfoii. Te orem a 5. Lucrul mecanic elementar esfe ·egal ctt variafia energiei cinetice. Demonstra/ie. Potrivit legii fundamentale a mccanicii avem }l=mp.

lnnfriltind scalar cu

dp=p dt_ obtinem egalitatea

F·· dp""'.'""mi>· P· dt=d(~ mr, 2 ) =dT, ' 2 .

(24)

care verifica afirmatia cuprinsa in te(?rema. Teo rem a 6. L1tcml mecanic efectuat de puuctul material {p, 111}. in deplasa rea de-a lungul _dr1t11t'll-liti lA. n .din A £n B este ega l ci-t d1feren/a dintre energiile cinetice in B ~i A. .

MECANICA

66

tn adevar integrind de-a lungul drumului lA,B ip (24) gasim

~1

A,B

F•dp=) 1

dT=TB-TA

(25)

A,B

conform teoremei. 9. Teorema consenarii energiei mecanice. Teo rem a 7. Egalitatea TA+ [ F • dp= TB (26) )IA, B

exprima conservarea energiei mecanice in dec1trsitl mi~carii. Egalitatea (26) rezulta imediat din (25). Ea arata ca energia reprezentata de lucrul mecauic [ l~. dp se adauga energiei cinetice TA cu JiA,B

care mobilul pleaca din A pentru a da energia TB pe care o are in pozitia finala B. Teorema 1 pune in acela~i timp in eviden/a cele doita f orme ale energiei mecanice care se trans/orma una in cealalta in decursul unei mi~cari: una este energie ciuetica, totdeauna pozitiva cum arata definitia ei, cealalta fiind lucrul mecanic care poate fi pozitiv, negativ sau nut. Exemplu. Un puuct material de 1 g cade liber, fare. viteza initiala (TA =0) de la inUtime egala cu 104 cm, fare. a intimpina rezistenta mediului. I•'orta care produce cilderea este constanta ~i anurue egala aproximativ cu mg=981, g fiind constanta localcl. a gravitatiei. Lucrul mecanic efectuat in cadere este deci egal cu 981 • IO'. Energia cinetica la cadere este T=

..!.. mv2n=981, I0'. Rezulta cu viteza la cadere v Beste aproxi2

mativ egala cu 4 400 cm/s.

10. P.rincipiul consenurii energiei. Teorema 7 arata ca mi~carea efectuata potrivit legii fundameritale a Mecanicii verifica principi11l fizic al conserviirii energiei, care, in cazul mi~carii, se prezinta sub cele doua forme de energie cinetica ~i lucru mecanic. ln general, este insa de observat ca nu tot lucrul mecanic se transforrna in energie cinetica. Daca ne referim la exemplul de mai sus, i;;tirn din experienta ca, oricit de putin rezistent este mediul in care se face caderea, el da loc la un fenomen de frecare in timpul caruia se produce caldura. 0 parte din lucrul mecanic se transforma deci in energie calorica. Daca am masura experimental viteza deci energia cinetica la cadere, obtinem totdeauna o valoare T~ mai mica decit cea data de teorema 7. Diferenia TB - T~ ne da lucrul mecanic ce s-a transformat in caldura.

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

67

Acest fapt nu infirma conservarea energiei; el ne arata numai ca, in afara de energia cinetica ~i lucrul mecanic trebuie sa tinem seama 9i de energia calorica, fara de a carei insumare nu avem conservare de energie. Exista sisteme mecanice §i imprejurari de mi§care, a~a cum sint mi~carile planetelor care se produc intr-un mediu a carei rezistenta este practic null, pentru care lucrul mecanic se transforma in energie cinetica cu o pierdere prin producere de caldttra pe care o putem considera nula, eel putin pentru un interval de timp. Aceste sisteme ~i in particular aceste puncte materiale §i mi~carile lor s1nt in special luate in considerare atunci dnd, pentru evaluarea lucrului mecanic, se introduce notiunea de potenJial mecanic. Nu trebuie sa trecem cu vederea, insa ca, oricit de mic ar fi consumul de lucru mecanic, prin producere de caldura mi~carea oricarui sistem este afectata de acest consum ~i deci teoria sistemelor in care se face abstractie de el este numai o aproximatie - oricit ar fi ea de buna - a situatiilor naturale in care se petrece efectiv mi~carea. 1I. Energie potenfiala. Potential. Daca forfa F' depinde numai de pozitia p ~i daca exista o functie de foqa U(p), atunci, potrivit cu (20) ~i cu (26) avem egalitatea (27)

care reprezinta o proprietate de invarianfa a energiei daca con~ideram pe VA=-UA, deci in general pe V(p)=-U (p) ca fiind o energie. 1ntrucit, introducind functia V avem egalitatea

VA-VB= [

) 1AB

F-dp;

se poate interpreta VA-VB ca energia eliberata de mobil prin mi9care, de unde denumirea de energie potenJiala. Functia VA=V(xA, YA, zA), unde XA, YA, ZA sint coordonatele carteziene ale punctului A, este potentialul mobilului in pozitia A . .tn aceste conditii (27) conduce la urmatoarea Tc ore ma 8. (28)

Suma dintre energia cinetica # energia poten#ala este constantli tn timpul miicarii; aceasta simia reprezinta energia totala a mobilului.

~lECANICA

De observat faptul important ca valoarea V.1 a potentia]ului nu depinde de drumul urmat de punctul material pentru a ajunge in pozitia A, ci numai de aceasta pozitie. Gimp. Potentialul V (x,y,z) este o marime scalara definita pentru fiecare punct al spatiului in care are loc mi;;carea. El determina in fiecare dintre aceste puncte fortn relativa la nnitah•a de masa F=- grad V deci, notind cu X, 1'", Z componentele cartezin1e ak fort,ei F aYem X=

-

~~' c).·r

) -- -

c) V c)y '

-

z

-=:-: -

el V • cl=

Exemple. 1°; Cimpul gravita/ici piimintului. Dacii. alcgcm ca rcper cartezlan, in vecinatntea punctului P de pc pa.mint, sistemul Pxy:: in care Pz estc verticala locului, in continuarea razei pamintnhti, iar plnirnl Ary orizoutal, atunci potenfialJtl V (x, y, z) ce caractcrizcaza cimpnl grnvitatici cstc

uncle g cste o caracteristica variincl cu pm.:itia pundnlui /' pc suprafata pamintului. La l3ucnrc~ti avem g=98I cm/sec 2 • Forta graYitationala arc clrept compontnte .\"-, 0, )",-=-0, Z=-g.

2°. Cimpul gravita{iei. Aspectul clc mui sus al cimpuln i gra,·itatici cste local ~i aclaptat imprejurarii particulnre c:''i masa pamintului cste foartc mare in comparatie en masa oricamia dintre obiectclc cousiclcrate ca puncte matcriale in mi!-jcare in vec iuatatea imcrliata a pamintului. . • !11 cazul unni puuct material, cum este tuna, sau chinr un satclit artificial la.distanfele la care punctul material nre fnnctia de satelit, poteutialul estc dnt de exprcsiu

unde J,/ estc inasa pamintului, / estc o constanta unh-ersala pe care o numim constanta lui Newton iar r cste distanta de la punctul atras !a centml pamintului. .Expresia de mai sus a potenfialului este valahila pentru cimpul gravitational care e~ista in vecinatatea oricarui corp ccresc, daca se da lui i\l valoarea, in unitati CGS, a ·masei acestui torp. Daca este vorba de cimpul planetar existent in ,·ccinatatea soarelui atunci 111 reprezinta masa.. soarelu i. 3°. Cfmpul coulombian. Uu corp clcctrizat creeaza· in jurul sun nu cimp al carui potential este de aceea~i forma ca eel ncwtonian. Avem in accst caz k V,··, --, r

unde ,k caracterizeaza polul electric atractiv.

'DINAMICA PUNCTUI.UT ~IATERI.\L

69

12. Cimpuri suprapusr. Teorema 9. S11prapunerea mai mullor cimpuri carederz'.vad£n potenfialele V 1(p), j=l, 2, ... k, da un dm.p imic care. de-:riv,1 din pote11/t'.al1tl sttmii

.

:.

111 acleYar, dadi forte le respective sint F1 ; j = 1, 2, ... ,/l ~i fiecare cleriYa din potentialul respectiv V1, rezultanta ~F1 deriva din potential~tl

;

!: V 1 , deoarece j

8V= ~~V1. j

Lucrul mecanic corespunzator variatiei 8V- este egal cu -8V= ~ (;

-8V1), deci cu . snma lucrurilor ,mecanice produse de fiece forta in particular, in conformitate cu proprietatea fundameutala de aditivitate a lucrului mecanic.

§ 3. Polt 11 I P-r 15 cu

pE

Si

dat fiind ca

I p-r \:?=(~-x)2+('1l-y)2+(~-z)2. Pentru V(p) gasim 1

llV(p)= C

l l ( -- ) dnt=O J reD Ip- r 111

deoarece I p-r I >l?- cind peSk. !n ce privei;te analicitatea, deci posibilitatea de dezvoltare iii serie convergenta in jurul oricarui punct din S1c se 9tie ca 1

1

IP- r I= V(!;-x) 11 +(1J-Y) 11 +(~-z) 2 ~

este o functie analitica de ~, '11, ___

I P-1 r I --

00

~ n=o

(

~ . . ni+n,+n,

in Sk:

a " 1• "•• "• (

z

X '

n1 n1 n,

y' ) ~ 'ti ~

)

•

MECANICA

Aceasta funcfie este marginita cind r E D, prin ummrc cstc integrabila ~i anume seria absolut ~i uniform convergenta din membrul al doilea este integrabila termen cu termen in domcniul D. Daca punem

rezulta reprezentarea potentialului

'reorema este k, o functie armonica de p oricit de mic este k. Este de asemenea de luat in considerare ~i variatia masei m cu timpul. Cimpul

V(p)=S

~'

,eD(l)I P-r I

tmde la fiece moment masa generatoare de cimp gravitational ocupa un nou loc D(t) variabil cu t este ~i el o functie variabila cu t, armonica la fiece moment in orice domeniu situat in afara celui acoperit de sferele cu raza k ~i avind punctele lui D(t) ca centru oricit ar fi de mic k. § 4. A1uoximm·ea unui cimp onreenre printr-un clmp newtonian

1n consideratiile fa.cute in paragraful 3 asupra potentialilor newtonieni s-au folosit pentru demonstratie numai citeva teoreme simple asu~ra potentialilor generati de un strat sferic sau de o sfera. 1n examenul problemei care urmeaza ~i in care se demonstreaza existenta unei celei mai bune aproximatii a unui cimp finit dat printr-un dmp derivind dintr-un potential newtonian se folosesc teoremele clasice de existenta date de teoria ecuatiilor integrate. T e o r e m a 1. Gimpiel newtonian eel mai apropiat de un cimp vectorial dat, intr-im domeniu D, este bine determinat ca rezitltat a rezol-

80

MECANICA

vifrh: succest'.ve a dou.ii ecua/ii integrate mza de tip Robin $i alta d-e tip Neumann. 1 Demonstra/ie. Fie D un domeniu simpltt conex finit din R 3 ~i

~ Jrontiera sa pe care o presupunem constituita dintr-un numar finit de portiuni ·regulate, in sensul operatiilor ce vor urma. Fie de asemenea cimpul de vectori U (1t1 ,1t 2 , u 3 ) ale diror componente n 1 (P), 11, 2 ( P), u 3 (P) sint. functii marginite ~i continue in JJ ~i pe ~- Notam cu Q punctul generic de pe frontiera. Fiedirei fnnctii µ(Q) continua pe ~- corespunde tin potential de simplu strat

V(P)= [ -

1.L

(Q)__

Ji; ,. (P,Q)

c.lv .

(I)

under (P,Q) cste distanta euclidiana intre P ~i Q - care este o functie armonica de. p E JJ. ln ·spa/iul j1111cfiilor armouice de tipul (1) Clt1tlifoz pe aceca al ciirei gradient cste eel ma-i apropiat de cimpul dat V in domcniltl D !;ii anumc pcntru care I=

L N (grad V (P)-U(P)) dP 2

(2)

este minima, N fiind 11or111a exprcsiei din paranteza. Dat fiind caracteml patratic al integralei I niinimul se. obtine prin simpla conditie ·al =0, 8 referindu-se la variatia Jui -V in cimpul ~ al poteutialilor ( l). Deoarece

I= [ I

JD l

:E (c)'c).1J-~ j

-u1)

2

l dP

I

(3)

conditia necesara )i suficienta pentru iealizarc:a mininmlui e~te ca 8[ -:-2

'c)V

S ~i t--1lj c)x:1

)

c)I'

8 - dP.=.0 .. c)x:1

D

Dat fiind. (I), 3V 'c;orespuncle unei Yariatii' continue arbitrare 8µ(Q) 111 cimpul funcJiilor cont_inue pe }: deci

.8 V (P)= (

8

µ(q)_ cl(3V), obtinem, dupa ce inversam 9i ordinea c)x,

~i, tinind seama ca 8

c)V c)x,

integralelor, 81 =2 [ 8µ(Q) do- [ [

JD

.1:£

~ ( c)V c)XJ

j

r>(_!_)

-u1)-' dP=O . c)XJ

Dat fiind caracterul arbitrar al lui 8µ(Q) condijia precedenta se transforma in echivalenta sa

SD

~ (~-u1) ~ ( '(;,

Q) )

~x

c).r,

~

dP=O.

J

Sa consideram acum funcjia 1

c) (

cp (Q) =

\

~it1

r(P, Q)

c).i-,

• D

) dP

(4)

definita odata cu cimpul 1t; ne ramine pentru determinarea potentialului V urmatoarea ecuatie integrodiferentiala

~

f " ' ~ ( ,(;, Q)) dP= )

dP.

(9)

I. Consideratii asupra 1·ezultulului J>recedent. Precum se vede determinarea potentialului V (P) folose~te nu iusa~i cimpul U(P) dat ci fllnctia cp(Q) care-i este snborclonata prin intermediul relatiei (4). Toate cimpurile vectoriale U(P) carora corespunde in D aceea~i functie cp (Q) au acela~i cimp newtonian V (P) eel mai apropiat. Ele formeaza deci o clasa de cimpuri careia apartine evident ~i cimpul newtoni::m V (P). 1n particular, exista o clasa de cimpuri carora corespunde cp(Q)=O, deci V(P)=O. Putem atunci anunta urmatoarea propozitie:

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

83

Un cimp vectorial oarecare U care are pe V drept cimp newtonian eel mai apropiat se poate descompune astfel U=V+U 0 , {IO) unde U O este un cimp apartinind clasei cimpurilor care au ca eel mai apropiat cimp newtonian pe V 0 =0.

2. Interpretare fizicii. Cea mai imediata interpretare fizica ce se poate da acestui rezultat este urmatoarea: Se considera ca regiunea D este ocupata de un corp magnetic l]i ca U reprezinta chiar distributia momentelor magnetice in D. Potentialtll magnetic al acestei distributii calculat in punctul P 1 este (11) W (P1 ) este o functie continua in tot spatiul 9i, precum se constata

imediat efectuind o integrare prin parti, se poate exprima ca suma _ unui potential de suprafata l]i a unui potential de volum: W(P1 )=-f div U

,

JD

dP r(P, P 1 )

-s

U (Q) Xnl :E

da • r(P1 , Q)

(12)

Atit din prima reprezentare cit l]i din aceasta se vede ca W(P1 ) este armonica tn spatiul extern domeniului D. tn interiorul masei magnetice aplicind in formula teorema lui Poisson a vem 8W (P)=4n: div U (P) Sa observam ca potentialul armonic W este determinat 111 spatiul extern lui D daca-i dam valorile pe ~. Sa consideram acum drept cimp al momentelor magnetice in D cimpul r newtonian eel mai vecin lui U. Avind r=grad V, distributia este solenoidala. Potentialul

V*=(

'\'~a(:) dP=- f ~ aa

JD~ c)x,

c)x,

JI: c>x, r

determinat de noua magnetizare a cimpului va fi, ca 9i precedentul, armonic in afara de D l]i in acest caz, data fiind armonicitatea lui V, 9i inlauntrul lui D. 6*

MECANICA

84

Dar atunci W ~i V* ambele armonice Ill afara de D au aceea~i valoare cp (Q) pe ~. Deci vom avea in afara

W=V* Rezulta de aici urmatoarea concluzie: Cimpul newtonian eel mai vecin. de U reprezinta acea unica magnetizare lamelara ~i solenoidaltt a domeniului D care da loc aceluia~i cimp magnetic extern. Acestei concluzii ii putem da urmatoarea forma concreta. Sa consideram domeniul D ocupat de un magnet permanent. Sa presupunem apoi ca substituim magnetului permanent o bucata de fier moale care sa ocupe acela~i spatio. Daca cu un mijloc oarecare - de pilda cu un curent electric superficial - se mentine acela~i potential magnetic in cimpul extern atunci teorema de mai sus afirma existenta ~i unicitatea magnetizarii ferului. Se ~tie din experienta ca inductia aceasta se produce ~i are caracterul cautat.

§ 5. Reperefo inerf.iale ale mi~curii

I. Conditiile reperului iner(ial. .inainte de a da legilor m1;;car11 extensiunea d 'Alembertiana este necesar sa precizam notitmea de reper inertial . Se poate completa cercetarea inceputa in legatura cu principiul inertiei pentru a caracteriza transformarile care lasa invarianta forma de expresie newtoniana a legilor mi~carii. Este evident ca orice transformare liniara ~i omogena lasa invarianta ·expresia legii a dona a lui Newton, deoarece vectorul mp este supus la aceea;;i transformare mx=am~+bmy+cme,

my=a'm~+b'm;~+c'mt mz=a m~·+ b m~·+c m ~, 0

0

0

!;ii vectorul forta F de componente X, Y, Z ale carui noi componente vor fi 3, TJ, z. Acest fapt nu este insa suficient.. Legea conservarii energiei trebuic ~a-~i pastreze de asemenea invarianta forma de expresie. !n particular aceasta trebuie sa se verifice pentru lucrul mecanic.

c-a

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

'85

Trebuie deci sa avem X8x+ Y8y+Z8z=E8~+1J81)+Z8~.

In particular deci, dadi primul membru este nul, trebuie sa fie nul ~i membrul al doilea. Nulitatea lucrului mecanic nu poate depinde de sistenml de coordonate. Cu alte cuvinte se pastreazd. Dar noi ~tim ca aceasta inseamna ca transformarea cx'=acx+b~+cy W=a'cx+b'~.+c'y y' =a"cx+ b"~+c"y este o transformare ortogonalii. a spa/iultti euclidian SN in el insu~i sau, cum se mai spune, o transformare eucJidiana, evident independenta de timp. Este evident di aceasta transformare conserva ~i forma energiei cinetice. 2. Def in i lie. Dadi E (p) este o transformare euclidiana independenta de timp a spatiului SN, atunci concluzia examenului precedent este urmatoarea T c o r e m a 1. Cea mai generala transformare care lasa invariante legUe ~i marimile scalare ale M ecanicii lui Newton este o transformare euclidiand a spaf,iulu£ SN urmatd de o transla/ie itmforma tn timp

(1)

p'=E(p)+At+B.

Reper inertial. Reperul obtinut prin aceasta operatie este eel mai general care lasa invariante legile newtoniene. El se numc~te reper inertial. Existenta sa arata existenta unui sistem de referinta preferential. T e o r e m a 2. Legile mecanice lui Newton s£nt invariante pentru orice translaf,ie rectilinie $i uniformd a reperului. In adevar daca. in (10 § 4) facem abstractie de orice transformare euclidiana E (p) a reperului relajia devine (2)

p'=p+At+B care exprima numeric continutul teoremei. Aceasta invarianta coustituie relativitatea lui Galilei care interpreta astfel:

se

poate

86

MECANICA

Informajiile pe care ni le dau legile mecanicei despre pozijia unui sistem material s£nt insensibile la o transla#e rectilinie $i uniforma globala a universului care cuprinde in acela# timp obiectele $i reperul.

VI E:xtensiunea Jui d 'Alembert a legii lui Newton § 1. Legea de mi~care fata de un sistem inertial

1. Def in i tie. Expresia mp este for/a dinamica a punctului material {p,m}. Principiu. Legea de mi$care a liti {p, m} sub influen/a for/ei F este data de egalitatea m p8p=F · 8p (I) ntre lucrul mecanlc al for/ei dinamice $i acel al for/ei to tale F care ac/ioneaza asupra p1mctul1ti material pentrit orice deplasare posibila a sa. Ca ~i in egalitatea newtoniana valabila pentru punctul liber, F poate depinde atit d~ pozitia p a punctului, de viteza sa p !Ji de timpul t. 0 b s er vat i e. Daca F este o forta de masa cum este fo$ de gravitate atunci, in general, in expresia legii (1) folosim foqa relativa la unitatea de masa !Ji avem F=m. Daca F este o foqa electrica, atunci punem in evidenta forta \j, pe unitatea de sarcina !Ji avem l?=e \j,. Alte situatii sint semnalate la locul oportun. Justificarea acestei extensiuni. Dadi {p,m} este liber, 8p este arbitrar in spatiul S 3 , deci (1) este echivalenta cu legea lui Newton mp=F. Daca. p nu este liber egalitatea (I) aplicata numai deplasarilor po~ sibile constituie o extensiune propriu-zisa a acestei legi. 2. l\U~cari cu dona ~i cu un singur grad de Iibertate. Teorema 1. Daca p este supus constringerii s. 8p=0, (2)

EXTENSIUNEA LUI D'ALEMBERT A LEGII LUI NEWTON

87

1tnde S (p,t) este im vector dat suficient de regulat ca func/ie de argumentele sale, legea de mi~care a punct-ului {p, m} este definita in condiJiile generate ce apar 1-n demonstra/ie de ecuaJiile

mp=F+AS; S•p=O

(3)

!;ii de datele initiate Po, Po· In adevar avem potrivit principiului (1)

(mp-I~) 8p=0.

(4)

Oricare este scalarul A, inca nedeterminat, folosind (2) avem o data cu (4) egalitatea (mp-F-AS) op=O (5) sau, explicit,

(mx-X-AA) 8x+(my-Y-AB) 8y-t-(mz-Z-AC) 8z=0,

(5')

unde A, B, C, sint componentele vectorului S, dupa cum X, ¥, Z sint componentele vectorului J•. Deoarece _ele nu pot fi toate nule presupunem ca avem de pilda A~O. Atunci definim pe ), prin ecuatia

mx=X+1,A. !;ii

(6)

Cum 8p a fost supus unei siugure constringeri (4), rezulta ca 8y sint arbitrare, 9i atunci din (5) avem

oz

my=Y+AB, (6') mz=Z+AC. Cu aceasta s-a demonstrat cea dintii dintre ecuatiile (3). Ecuatia S p=O este doar aplicatia la deplasarea efectiva dp a constringerii generate (2). Prima parte a teoremei este astfel demonstrata. Ramine sa aratam ca pozitia p !;ii scalaritl lagrangian ,, sint bine definite daca se da pozitia !;ii viteza initiala p0 !;ii p0 cu conditia impusa de constringerea (2) de a avea (7) Aoxo+Bo.Yo+ Cozo=O. Pentru aceasta eliminam pe A intre ecuatiile (6) !;ii abtinem

mAy- mBx=A Y -BX mAz- mCx=AZ -CX

(8)

88

MECANICA

la care adaugam ultima ecuatie (3)

Ax+Bj -/-Cz=O.

(9)

1

1ntrucit am presupus A ¢0, rezulta din aceasta ultima ecuatie

i=Dy+Ez(D=-

! , E=- ~)

{10)

9i prin derivare

x=n.r+Ez+G ,

(11)

t).

Introducind aceasta expresie in (9) obtinem, dupa impartirea cu

tn, ecuatiile

(A-BD)y-BEz=H cv, ;,, -CDj~+ (A-CE)z=K (p,

t),

p,

t).

(12)

Determinantul coeficientilor din primul membru este A 2 -/-B 2 +C 2 ¢0. prin urmare sistemul (12) ne da

y=L (p, ;,,

t),

z=M cv, j,,

Adaug111d ecuatia (11) 111 care am inlocuit din (13), obtinem x=N i,, t).

cv,

t).

y ~i zcu expresiile

+

(13) lor (14)

Daca F ~i S implinesc conditii Jipschiziene de regularitate atunci acest sistem are o solutic determinata de conditiile initiale Po, i, 0 • Daca aceste conditii verifidi constdngerea (7), solutiiJe verifica ~i conditia (9). Scalarul A este determinat ca functie de p, p §i t de ecuatia N(p,

P,

t)-X=)-A.

Daca F depinde numai de pozitie 9i de asemenea A, atunci ~i N =N (p) depinde numai de pozitie ~i ecuatia precedenta ne da expresia lui ,,

A= A (p)

ca functie de pozitie independenta de conditiile particulare ale mi~carii. !n aceste condifii, ,,S poate fi considerata ca o forfa de pozitie, ca o reac/imze din partea suportului olonom sau neolonom al punctului {P, m} in mi~care.

EXTENSIUNEA LUI D'ALEMBERT A LEGII LUI NEWTON

89

in cazul particular dnd S=grad cp, atunci constringerea revine la obligatia punctului de a ra.mine pe o suprafata cp (p)=const. $i vectorul '.AS este reac#a suprafetei, vector normal la suprafata. T e o r e m a 2. Daca p este supus la doua constr£ngeri

S1 · 8p=0, S2 • 8p=0, ·unde S1 =S 1 (p, t), S2 =S 2{p, t) sint, ca # F June/ii lipschiziene de argttmente, legea de mi~care a pimctului {p, m} este determinata de ecuajiile

+ '.A S + i~ S s1·v=o, s2·i>=o

mp=F

*i de condiJiile ini/iale p 0 ,

Po

1 1

2 2

care verifi'.ca constringerile

S1, o · Po=O, S2, o · Po=O. Demonstratia urmeaza calea demonstratiei precedenta. Ea conduce !]i la determinarea scalarilor lagrangieni '.A1 lji A2 • § 2. Lcgea de mi~carc CXf)rimata hu un sistem de coordonate gener~I

1. Expresia mp=F

(I)

-a legii lui Newton este 1.Jalabila fa/a cu sistemele de referin/a iner-

#ale. Forma (1) permite, dat fiind caracterul sau formal invariant, de variabile t YJ, ~ obtinut prin transformarea

sa exprimam legea de mi~care cu ajutorul oridirui sistem p=p{~, ''l, 4)

cu singura conditie ca (1) sa fie o adeva.rata transformare tridimensionala, ~i cap impreuna cu derivatele de primele dona ordine sa fie continue, in domeniul punctelor p care intereseaza. Sa dam mai intii o alta forma legii de mi!Jcare d'Alembertiene mp8p=F· 8p care este scrisa inca in coordonate ineftiale. Teo rem a 1. Legea de mi~care (1) ,fa/a de sistcmul inertial (x, y, z) se poate scrie si1,b Jonna

d(c)T) d (-. c)T) 8z=X8x+Yay+Z8z -d (c)T) -. -8x+-. 8y+dt

c)N

dt

ay

dt

c)z

(2)

MECANICA

90

unde

este energia c-inetica a punctitlui material, iar X, Y, Z sint componentele for/ei F=~'(p, p, t). · Demonstra tia este imedia ta tin ind seama ca = etc.

cl~ mx c)x

Def in i lie. Operatorul diferential cu componentele

~(cl:),

dt c).i:

~ ( c>:), ~ (c>:) aplicabil lui T este dupa cum se vede bine, o forma

dl c)y

dt c)z

particulara a operatorulid diferen#al Lagrangian .12. ale carui componente sint .f!_~

!J;t) :~;

JI_~

! uu

:~;

al!~- d~

(;e)

.!

(3)

t ~'

aplicabil oricarei functii /(t "/l, ~, t, t) 2. Componentele generalizate ale Jor/ei. Din (1) rezulta ecuafia vectorial a

F- 8p=68t

(4)

daca numim cut vectorul de componente t 'fl, ~- Atunci componentele vectorului 8 care este forta exprimata in sistemul ~, "/l, ~ sint (5)

Se poate acum enunta urmatoarea teorema care da o forma invarianta legii dinamice a punctului material. Teo r cm a 2. Legea de m¼care a p,unctului material {t(~, "/J, q, m} -este data· de ecuajia (6)

pentru orice deplasare posibila a punctitlui material,. in particular pentru punctul material liber. Demonstrajie. Trebuie sa stabilim ca legile (2) ~i (6) sint identice. Insa egalitatea (4) arata egalitatea membrilor doi din (2) l}i (6). Ra~ine sa aratam egalitatea primilor membri.

.91

EXTENSIUNEA LUI D'Al.EMBERT A LEGII LUI NEWTON

Pentru aceasta ·observam ca

deci - (7)

De unde

c,: =m c)P [ c)Pc)~ t+ c)P ~+ c)P tj =m c>P p. c);

c}7l

c);

c)~

c);

in acela~i mod obtinem c) T

c>P ·

c> T

c>P ·

c}7l

c}1)

c)~

c)~

-=m-p; -=m-p.

Prin urmare

~(a·r) 8~+ ~(a~) 8·'l+ ~(a~) 8~=m ,;·8p+ dt c); dt c)ll dt c)~ +mp [~(c>PJ 8~+ ~ (c)P) 8°tl+ ~(~) dt c,; dt c)~ dt c)~

·(8)

8~1 ·

Insa, date fiind conditiile de derivabilitate ~i de continuitate a le funciiei p (t "/J, q, putem interverti ordinea operatiilor · d ( clP } c); -

dt

c>P c); ;

d ( c)P ) rlll -

dt

c)P . d ( clP 'J rlll' dt

c)~

-

clP

c)~ •

Deci

mi> f ;, (~~ )a~+ !t (::) 811+ !e (~~) 8~] =ntp (~: 8~+ !~ 8"1)+ ) c)T c)T c)T + c)P c)~ 8~ = at 8~+ c)7l 8'1)+ ¥ 8~.-- . Dar atunci (8) devine

mp8p=. (.i...(a:)c)T) 8~+ (~(c>~)c)T) 8"11+ (~(a:)- ar)a~. dt c); c); dt c)1) c}1) ., dt c)':; · c)?: ceea ce arata ca ~i primii membri sint -~gali. Deci teorema este demonstrata intrucit (6) este echivalenta cu (1).

92

MECANICA

Teo rem a 3. Daca {p, m} este liber, ecua/iile de mi~care in sistemul ;, "IJ, ~ sint .l!.F.T=P, .l!..,,T=Q, ,P~ T=R sau m nota/ii vectoriale (9) .l!.T=6. Demonstratia ~este imediata, ea rezulta din (6) tinind searna ca 8i este arbitrar. 3. Invarianta ecuafiiJor (9). Este evident ca oricare ar fi sistenml (~, "IJ, ~) care verifica conditiile enunµ.te in (4) forma ecuatiilor miljcarii

este aceealji. Operatorul ..I!. ca ~i expresia 6 a foqei generalizate au caractentl de tensori covarianti. 111 schimb, forma (9) nu este aceea ce corespunde sistemului iner1ial de parametri. Demonstram o reciproca a teoremei precedente. T e o r e m a 4. Daca mi~carea definita de ecua!ia (10)

.£T=0 · este rectilinie # uniform«, sistemul t "t), ~ este iner/ial. Teo r cm a 5. Daca solu#ile sistemului

d(c):J· _

dt

c)~

c)T c)~

d (c)T)- c)"l) -0, d

=0,

c)T

dt

dt

c}l)

(c)T)- c)T

cl':

c}~

-O

(ll)

reprezinta o m~care rectilinie $i uniformii trans/orma1·ea p=p (;, "IJ, q este liltiarii. 1n adevar, avem prin transforrnarea p=p(~,"IJ, ~) T= _!_ (a~ 2 +b~ 2 +ct+2 d~~+2e~t+2Jt~). 2

Daca cerem ca mi~carea in sistemul t 1), ~ sa fie rectilinie lji uniforms. aceasta inseamna ~1=const pentru j= 1, 2, 3. Deci, potrivit ecuafiilor (11) avem . .

. .

. .

a~+d"tJ+f~= adica

1 2

.

•

..

(a~~ 2 +b~"IJ 2 + • .. +2/i;~~),

a~t 2 +(a.,,+dd ~~+ (a,+id ~~+dl)~ 2 +1ce 2 + (d,.+ fl))~t=

=

1 2

.

. .

(a~~2+ . .. +2/1!~~).

EXTENSIUNEA LUI D'ALEMBER.T A LEGII LUI NEWTON

93

In a·cela~i mod a doua ~i a treia ecuatie (10) ne dau identitiitile

d ~+b~+e t= _.!_2 (a'll~2 + ... +21,71 t~) de unde

. .

. .

. .

f ~+e11+c~=

1

.

. .

2 2 (ai;~ + • • •+2/i;~~)

ceea ce inseamnii

/!;~ 2 +t;~ 2 +ci;t 2 + (/71 +ei;) ~~+ (ei;+c71 )~~+ (c1;+/1;)~~=

= ~

(a1;~ 2 + • • •+2/t~).

Avem atunci cu necesitate, intrucit

t ~, ~ sint constante oarecare,

a-= _!_ar: a,-+'.tr: i; 2 "'' a11 +dr:=d-:: -. .. , .. Jr, 'J~ deci a=a 0 (constanta). tu acela~i mod se obtine b= b0 , c=c 0 • Rezultii imediat ca d"IJ=O, ft=O etc. sau d=d 0 e=e 0 , f Jo, Deci T = const ~i p ( ~, "I), q este o transformare liniara cu determinant diferit de zero. Rezulta ca ecuatia p=O ne da ( 0, ~-=0, ~=0, atunci sistemul ~' "I),, ~ se obtine din x,y, z printr-o transformare liniara. 4. Extinderea relatiei invariante (6). 'l'eorema I de la punctul 1 a fost enuntata numai pentru n=3, deoarece se are in vedere forma (9) invarianta a legii de mi~care a punctului liber. Demonstratia ei se poate tnsa extinde la un n oarecare fara. nici o schimbare ~i obtinem urmatoarea teorema generala care serve~te atit pentru mi~carea punctului material cu mai putin de trei Iibertati ca ~i pentm constmirea ecuatiilor mi~carii unui sistem material oarecare cu un numar finit de libertati. Teorema 5. Dacap=p {p 0 ,q) este pentriefiecepozi/ie ini/ialap 0 oaplica/ie de clasa C2 a temei domeniu Dal. spa/iului n1emeric R 1,(q1 ,q2 ,· • ·,q1i)

94

MECANICA

in spaJiul E 3 al mi$carii, atunci legea de mi~care (I) capata forma invarianta tn E 11, .12,T · 3q=Cl>3q, (12) imde T este energia dnetica a punctului exprimata cu parametrii q, .12, este operatoritl lagrangian ale carui componente stnt

J21= ~ (c)T) dt c)q

- c)T

(13)

c)ql '

1

iar este expresia forfei ale carei componente generalizate sint

01=F · 'c)q, c>P •

(14)

Demonstratia este identica cu cea pentru cazul n=3, jinind seama ca 3p= ~ a13q 1

l= 1, 2, ... , n,

(15)

I

c)p

.

•

unde a,= ~, p= :Eazq1 c,ql

I

(16) (17)

unde am pus

azk=azak=

'c)p •

c)ql

c>P = ~

c)qk

c)x

c)ql c)qk

+ 'c)ql c)y cJY + 1:. ~ · 'c)qk c)ql c)qk

Sa mai observam ca vectorii a1 ~i scalarii azk sint funcjii de dona rtnduri de variabile: variabilele 'I (q11 q2 , •••• q11 ) ~i variabilele Po(Xo So, Zo) • 1n acela~i timp egalitatea n

F3p=83q= ~ 013q1

(18)

j=i

ne da, folosind (15), expresiile (14) pentru componentele forjei generalizate 01. Daca F=F (p, p, t) depinde nu numai de pozijia p, dar ~i de viteza punctului !Ji de t, avein 8-:-8(p, q,

q,

t).

(19)

EXTENSIUNEA LUI D' ALEMBERT A LEGII LUI NEWTON

95

Prima aplicatie a egalitatii (12), in afara de cea data mai sus in cazul n=3, prive~te mi~carea punctului material cu 1 ~i 2 grade de libertate. 5. Dinamica punctului material pe o curba. Mi~carea unuipunct material obligat sa ramina pe o curba C a spaiiului E 3 are un grad de libertate. Deoarece potrivit operatiilor de la·numarul precedent functia p=p (q), unde q este un parametru real, avind valorile intr-un interval finit sau infinit al axei reale, care reprezinta constringerea -la care supunem corpul are derivate continue de primul ~i al doilea ordin, rezulta ca de-a lungul curbei avem o tangenta ~i o curbura continua, eel putin pentru bucata de curba care intereseaza mi~carea. Daca exista tangenta continua arcele curbei au o lungime care se calculeaza cu integrala

Deoarece s cre~te o data cu q, exista o corespondenta biunivoca intre s ~i q. Putem deci lua ca· parametru, in loc de q, lungimea s a arcului de curba. ·· !n cele ce urmeaza vom considera suportul C al mi~di-rii ·definit cu ajutorul arcului s p=p(s).

Te o r em a 6. Legea mi~carii lui (p ,m) cu suportul p.=p .(s) $i sub influen/a for/ei F este data _de ecuaJia ..

dP

ms=F •-

ds

,

(20)

'ltnde sel, I fiind arcul de curba pe care consideriim mi~carea. !n adevar, dadi. in (20) consideram m= l iar parametrul unic U consideram dat de arcul de curba s, obtinem ecuatia

~ dt

(e)~) = e)s

c)T c)s

=F · dP.

(21)

ds

Insa, data fiind alegerea parametrului s, avem 1

.

T=-ms 2

(22)

2

deci ecuatia (21) se reduce la (20). • Se intelege ca

I PM I = Yx2 M + y2 (u) +i2 (u)

este norma vectorului

p {u).

MECANICA

96

Teo r cm a 7. Mi$carea lui {p, m) pe o cierba C in absen/a oricarei Jor/e este uniforma. Ecuatia (20) da in acest caz s=O, deci s=at+b. Aceasta teorema da o adinca semnificatie legaturei intre geometrie ~i mecanica, intre lungimea arcului de curba ~i timpul folosit ca acest arc sa fie parcurs de un punct material daca este obligat sa ramina pe curba dar 111 afara de aceasta nesupus al tor actiuni. Teorema da mij locul de a masura timpul cu ajutorul drumului parcurs. Este bineinfe]es necesar sa adaugam ca pentru aceasta mi~care nu am luat in consideratie frecarea punctului de suport. Sub acest aspect, problema trebuie reexaminata intr-un cadru concret bine precizat. Unnatoarea teorema prive~te o situatie mai generala de mi~care uniforma. Teo rem a 8. Mi$carea lui (p, m) pe o curba C este unt"forma daca F · dp =0. ds

Rezulta din (20). 1n acest caz, foqa este normala pe deplasare. Teo rem a 9. Mi$carea lui (p,m) pe c1.1,rba p=p (s) in cimpul gravitajiei este data de legea dz

S=-g-

(23)

ds

daca axele de coordonate sint: Oz verticala # celelalte doua orizontale. Rezulta din (20), tinind seama ca F are componentele 0, 0,-mg. Daca consideram 1m cerc vertical cu raza l ~i se considera arcul in punctul eel mai de jos z=l cos 0, s=ls, ecuatia devine aceea a pendulului simplu. Din noit despre legaura intre proprieta/ile geometrice # cele ale mi$-

carii. Urmatoarea teorema pune in mod simplu in evidenta legatura 1ntre curbura suportului C ~i mi~carea intr-un caz mai general decit acel al pendulului in care curbtira este reprezentata de raza arcului. 6. l\li~carea punctului material {p, m) pe o suprafata. Teorema 9. Daca p=p (u,v) este o func#e ci{valori 1n E 3 pentru parametrii real£ 11,,v, care reprezinta un pimct dlntr-11,11, domeni1t D al spajiu,lui R 2 atimci ectta#ile de m#care sint

~ (c)T)dt

c)u

c)T c)u

=P· '

~ dt

(cl:)c)v

c)T c)v

=Q

97

EXTENSIUNEA LUI D'ALEMDERT A LEGII LUI NEWTON

unde iar

P=F•pu,

Q=F•p".

Rezulta imediat din (11), considerind m=2 ~i faptul ca 8it, 8v- stnt arbitrare in domeniul considerat.

§ 3. Legiitura intre proprietatile metrice ale unei varietati cu n (limensiuni ~i mi~care. Un principiu variational I. Geodezicele unei varietati. Acea proprietate a mi~carii de a corespunde unui mod anume de deplasare a unui punct pe o traiectorie care este o geodezica a unei varietati riemauiene, ~i realizeaza un minim de drum ~i un minim de timp ca sa ajunga de la un punct la altul al varieta,tii, se oglinde~te in urmatoarele consideratii geometrice. 2. Ecuatiile invariante ale geo•fozicelor unei varietiiti. Fie

ds 2 =a,1k dxi dxk; j, k=1, 2, ... ,n

(1)

metrica unei varietati cu n dime~siuni. Un drum LA 1 A 2 care duce de la A 1 (xl,xt ... , xi) la A 2(xt ... ,x;) ~i de-a lungul caruia xi=xi(a.), j=l,2, ... , n cu a. variind de la a.1 la a.2 , are lungimea iA1A2=

0C1

~

dxid~

a,1k (x)- -· da.

ds= \

0

LA1A2

•

cc,

doc doc

(2)

presupunind binefofeles di derivatele ~: ca ~i integrala din ultimul membru exista. Sa presupunem ca LA 1 A 2 face parte dintr-o familie de drumuri xi= =x1 (a.,e),j=1,2, ... ,n care depindcontinuu de a.~i deun altparametru e, unde e apartine unui spatiu ~i indica drumul. Variatia obtinuta prin trecerea de la un drum la altul deci de la un e la altul vecin Va fi notata CU 8. 7-Mccanica

98

MECANICA

Problema este de a alege acel drum variatie a lungimii S ds este nula.

LA 1 A 2

pentru care prima

L.A1A2

Tre buie deci sa avem (3)

intrucit parametrul ex nu este afectat de variatia 8. Observam ca,

8 unde

A=

1

dx; dxk

1 (

d.x'° dxk

d.:/

dxk

dxk

dx;)

d(X cl(X

2A .

d(X d(X

d(X

d(X

da

dcx

a11.--=- 8aJA:--+a11.:-o-+aJ1.--8--' dx 1 dxk

V

a1k- -

dcx dcx

dcx, §i in acela!ji timp ca

0

d.i = dcx

8dxk

= d.8xk.

dcx

dcx

Ecuatia (3) se mai poate deci scrie tinind seama !;ii de egalitatile ~ c)aJ A: ~ ,, • k 7 2 o a,k= -,, ox ,J, ,,i=I, , ... ,n, c)x

(°'' c)a~~dx;. di' 8x1'+ \

1

c).x

\\JA: dxi doxk+(°''ajk t d.i d~xi=O.

• °'•

d«

ds

ds

ds

1

lusa, efectuind o integrare prin pa.qi !;ii observind ca 8xk=0 pentru cx=cx1 §i cx=cx2, rezulta ec,

Scc.

1 d.x; scc d 2x 1 c)ajk d:/' d.x ] a1k-doxk=a1k--oxk+--------8xk Xp')) 8p'. =ro'(p' x (08 x p')) +(ro x (ro X p')) (~8 x p').

Daca efectuam opera tia de integrare gasim ~p'8p'=[Ap+(C--B) qr] 80:+ [Bq+ (A-C)rp] 8~+ [Cr+(B-A)pq]oy. Egalind cu partea corespunzatoare a expresiei din membrul al doilea din {11) a~a cum este data in (7) ~i intrudt O(X, 8(3, oy sint arbitrare, obtinem ecua/iile lui Euler

Ap+(C-B) qr=L, Bq+(A-C) rp=M, Cr+(B-A) pq=N.

§ 3. Finalizarea O})eratiei de definire a mi~ciirii 1. Determinarea procedurii. Determinam cu ajutorul ecuatiilor lui Euler parametrii p, q, r in functie de timp. insa p, q, r nu sint parametri lagrangieni, ei sint componentele vitezei de rotaj:ie. Nu sint 11ici momente lagrangiene. Parametrii (X, ~, y care ar determina direct 1ni~carea nu figureaza direct in niciuna din formulele sau opera tiile ce au intervenit pentru obtinerea ecuaj:iilor mi~carii ci uumai prin vari~tiile 80:, 8~, oy care nu sint diferenj:iale exacte, deci au caracter net anolonom~ · Cu datele folosite in procedeul precedent pentru obj:inerea ecuatiilor de mi~are nu se pot folosi nici ecuaj:iile lui Lagrange, nici ale lui Hamilton deoarece nu avem parametrii lagrangieni. Aceasta nu inseamna ca nu putem duce la bun sfir~it procedeul folosit pina in prezent. Teorema care urmeaza indica niodul de pro.cedare care prive~te direct pozi/ia rigidului ~i nu doar valoarea parametrilor sai lagrangieni. T e o r e m a 1. Ewa/ia vectoriala

p'=roxp'

(1)

DINAMICA SOLIDULUI RIGID

155

1mde ro (P, q, ·r) este determinat de ecuaJiile (12 § 2), define~te pozi#a unu,i punct p ' 1 tn funcjie de pozijia # viteza sa la momentiel ini#al. Sa observam pentru aceasta ca ecuatia

·,

,

Po=O>oXPo

determina pe w 0 daca p~, p~ sint date; ro 0 (p 0 , q0 , r 0 ) fiind date p, q, r sint determinate de (12 §2), deci, oricealt puuct p' 2 este determiuat tn functie de t ~i de conditia i11itiala. insa cunoscind pozitia centrului G de masa., a punctelor p' 1 §i p' 2 , pozitia rigidului este bine §i unic determinata.

Utilizarea lucritlui mecanic ne-a dus deci la determinarea directa a poz#iei rigiditlui in orice moment te [a, b]. 0 b s e r v a t i e . Calculul momentelor M, N, P date de intcgrala ~l8p se efectueaza §i daca l?=F (p, t), punind

p,

p=q,+p'

unde cp este centrul de masa §i

p'=q,+q>'=q,+ro Xp'. Cum q>, q,' §i ro stnt comune tuturor punctelor corpului, integrala ~l8p' se refera numai la o functie de p' ~i deci tn con_diiiile foarte generate ce presupunem verificate integrala exista §i cu aceasta momentele B, M, N, P care vor fi tn general functii de ro, deci de P, q, r, §i de t. 2. Ecuafiile mi§carii. Principiu.

litatea

.

Legea dinamica rezulta ·di1t ega~

L;;ap dm= ~ F 3p, 1mde p este vector-ul poz·ijie a /iecartti pwnct al corp•11,ltti fa/cl de pimctitl fix 0.

8p=88xp, ·,=roxp, tende 89 are compone1ttele 8«, 8~, 8y, iar m= dQ are componentele p, q, dt

Procedind in acela~i mod ca

in cazul

1'.

precedent ?htinem

MECANICA

156

T e o r e m a 2. Legea mi~carii ,-igidului cu punctul fix O este data de dublul sistem de ecuaJii Ap+(C-B)qr=M, Bq+(A-C)rP=N, Cr+(B-A)Pq=P,

(2)

p=O>Xp,

A, B, C fiind momentele de inerJie ale corpului fa/a de axele principale de inerJie trectnd prin O. !n partea a doua a acestei lucrari consacrata M ecanicei invariantive se da o reprezentare a mi~carii rigide care clarifica ~i alte· aspecte ale mi~carii rigidelor newtoniene. 3. Rigidul cu axa fixii. Formularea specifica a principiului. Legea dinamica a rigidului cu o axa fixa, deci cu dona grade de libertate, de translatie de-a lungul axei ~i de rotatie, rezulta din egalitatea

~)> 8pdm= ~ F 8p,

(3)

ttnde, daca alegem axa fixa drept axa Ox, avem

p=q>+(roxp)

8p=8t+(89xp),

(4)

cu 8-r de componente 0, 0; 8c ~i 89 de componente 8«=0; 8~ =0, 8y iar · ro de componente 0, 0, r; r= dy. dt

T e o r e m a 3. Legea mi*carii rigidului cu axa Jixa este data de urmatoarele ecuaJii di/erenjiale de prinml ordin Cr=N,

m~=z, (5)

1n adevar, potrivit conditiilor de mi~care avem pentru 8p compouentele

8x=-y8y, 8y=x·8y, 8z=8c

DINAMICA SOLIDULUI RIGID

157

iar pentru p componentele

x=-yr, y=xr, z=-r,

X=-XY 2 -yr, J=-yr 2 +xr, Z=-r.

Deci

ln acela~i timp

F8p=(xY-yX)8y+z8c. Punind ecuatia (1) ne da

Cr 8y+m~ 8 c=N 8y+z 8 c de unde ecuatiile (5). . Daca F depinde numai de p, atunci N ~i z sint ca ~i C constante. Prin urmare -r=;0 t+-r 0 , r=r 0 t+r 0 , de unde

X=-(rot+ro)y; y=(rot+ro)X, Z=~ot+"t'o, ecuatii a caror integrare se poate realiza sub forma finita. Daca F depinde ~i de p, atunci N ca ~i z depinde de r ~i de t, ceea ce nu pune dedt obi~nuite probleme de integrare. 4. Rigidul sprijinit Jle o suprafaJii 1,Iana. Formularea problemei. Se alege ca plan xOy, planul de sprij in. Se pune p=g+p',

unde g este centrul de masa. Trebuie sa satisfaca egalitatea (3) care se reduce la ecuatia in dona dimensiuni

integrala fiind efectuata fata de p', cu coordonatele legate de corp ~p-'8p'

=) F (g+p') 8p'.

Avem, ca ~i in cazul general, p'8p'=~[p' X (69 x p')+[ro X (ro Xp)J (88 X p').

MECANICA

158

Componentele Jui

(t)

sint 0, 0, r ale lui 88 sint 0, 0, 8y, deci . 0

p'8p'=Cr8y. in acela§i timp

~F· 8p'=N8y. De unde

T e o r e m a 4. M #carea solidut1ti sprijinit pe o supra/a/a plan,l este dejinita de ecu,a/iile c;=N(g),

mg=R(g),

p=g+(ro X p). Reamintim ca

este in general o functie de g. . Singura problema, dadi. foqele depind numai de pozitie, este integrarea ecuatiei centrului de masa. Celelalte sint simple probleme de calcul de integral_e. 5. Unghiurile Jui Euler. Parametrii p, q, r componentele vitezei de rotatie a rigidului ca ~i 8rJ., 8~, 8y care s1nt componentele rotatiei elementare, nu s1nt parametri lagrangieni. De aceea nu s-a pus in mod direct problema ecuatiilor lui Lagrange sau a ecuatiilor canonice pentru mi§carea rigidului. Aceasta nu a oprit scrierea ecuatiilor diferentiale ale mi§carii in cazul eel mai general. Pentm a aborda din punctul de vedere lagrangian problema, trebuie clefiniti tntii trei parametri, corespunzind celor trei grade de libertate ale rigidului cu un punct fix. Caracterul geometric al marimilor ce corespund acestor parametri trebuie sa corespunda obligatiei de invarianta a calculului, atunci cind se schimba sistemul de coordonate. Cei mai folositi parametri corespund, a~a cum a aratat desfa§urarea teoriei mi§carii rigidului, unghiurilor lui Euler. Cele ·trei unghiuri de rotatie succesive peittru a trece de la pozitia initiala a tried.mini de referinta legat de rigid, §i care coincide cu axele fixe Oxyz, la pozitia sa la momentul t, pe care o numim Ox'y 1 z' sint urmatoarele:

DINAMICA SOLIDULUI RIGID

159

Un unghi cp de rotatie in jurul axei Oz, apoi rotatia de unghiul 8 in jurul axei Ox" intermediara, care se gase~te la intersectia dintre planele Oxy ~i Ox'y', care aduce pe Oz peste Oz' ~i, in fine, rotatia de unghiul tfi in jurul acesteia din urma pina aduce celelalte doua axe in pozitia finala. Fiecare rotajie este reprezentata de o matrice aplicata u11ui vector pozijie: Prima rotajie, in jurul axei Oz este reprezentata de matricea

R1 =

(~~::

-:~:: ~·)

0 0 1 ~i se aplica vectorului p. A doua rotatie in jurul axului intermediar Ox" este reprezentata de matricea

a)

R 2= (~ c~s O -~in 0 sin 6 cos 6 ~i .se aplica vectorului R1 p. 1n sfir§it rotatia t1' in jurul noii axe Oz' este reprezentata de matricea

R 3 = (c~s 0

4'

o)

c~s 8 -~in sin 8 cos 6

~i aplicata vectomlui R 2 R1 p nc - sin:,~ cos Osin cp - cos 41 sin cp- sin 41 cos Ocos q> sin~ sin 0) R= sin~ cosq>+cos ~ cosO sin cp -sin~sin cp+cos~ cosO coscp -cosq,sin 0 sin O sin cp sin 8 cos cp cos 8

, l

Teo rem a 5. p 0 fiind vectorul poziJiei al itnui punct generic al rigiduhei fa/a de axele legate de el - Po cot'.ncizind # cu pozi/ia ini/iala a lui p - vectoml poziJie p dupa rotatia de componente , 8, ~Pe de alta parte, componentele generalizate ale sistemul1:1i de foqe s1nt coeficientii variatiilor 8q>, 88, 8~ •in expresia 1lucrului mecanic

SCo F8p= (S Co F · Rcpp 0) 8cp+(S ~o F · R 8 p 0) 88 + (S (:o }? • R11,p 0)8~.

:

2. Aplicarea ecuatiilor lui Lagrange da atunci Teorema 1. Legea de mi~care a unui 1·igid sub influen/a for/elor F este data de urmatoarele ecua#i · ~ (A~+D6 +F~)- c)T = ( F • Rcpp 0 , dt

Jc

c)tp

0

· · • cJT = -d (Dq>+B6 +EIJ,)-~

ili

~ (F~+E6+C~)-c)T dt

c)O

~ ~

. F · Rop 0,

(I)

= Jc ( F-Rl!iPo, 0

~a care se ada1tga ecuajia

. · 3. Rigidul cu un punct ~i ~ axa fixu ce trece prin

JlUDCt

:_· _Miiriniile ·tund~mentale. Ave~ un si~gur grad de liberta~e .reprezentat ·de· 'unghiuI q> de r~tatie in jurul axei Oz.

p=

(

cos q> - sin q> 0 ) sin q> cos q> 0 Po, 0

.o

o..·

(2)

.• 0

p=

11 - Mecanica

(-~o~:: =~~;o ! .o.

.·.O

) Po~-

,

MECANICA

162

Deci

X=-(Xo sin cp+YoCOS tp)9, y=XoCOS 2=

~

~2,

z=O,

P'

(3)

SF8p= {S (Y x 0 -Xy 0 ) cos q:>- S(Xx 0 + Yy 0) sin . De unde

T e o r e m a 2. Legea de mi*care a rlgidulm'. cu axi'i fix a # cu pm1ct fix pe axa este data de ec1-taJia ·liti Lagrange

A~= (S (Yx 0 -Xy 0 )) cos cp-(S {Xx0 + Yy 0)) sin

q:i.

(4)

4. Pendulul. D e f in i 1 i e. Pentru a adapta la conditiile peudulului formulele precedente inlocuim axa Oz (presupusa vcrticala) cu axa Ox, pe x cu y ~i pe y cu z. Ecuatia (4) devine

Aq;= S(Zy 0 -Yz0 ) cos cp- S(Yy 0 +Zz0 ) sin

q:i.

(5)

Pendulul este un rigid cu axa Ox fixa ~i sub influenta unei forte verticale constanta

X=0,

Y=0, Z=-gdm.

{6)

Teo rem a 3. Legea de 1n1:$care a unui pend1,1l c1,1 axa Ox ca axa fixa este data de CC'ltajia

Aq>=mg(~ sin q>-'fl cos tp),

(7)

1mde t "ll, ~ sint coordonatele centruliti de masa /a/el de poziJia' Ox0 y 0 z0 • Demonstratia rezulta di'n particularizarea ecuatiei (5). A este momcntul de inertie al corpului fata de axa Ox. Se poate evident considera 1J=0 ~i atunci ecuatia devine (8)

Daca centrul de masa se afla pe axa Ox 0 , atunci ~=0 ~i ~=0: corpul are o rotatie uniforma cp~~ot+q>o

in jurul axului.

DINAMICA SOLIDULUI LICHID

163

in general, rarnine de integrat ecuatia (9)

~=-k 2 sin cp, cu k 2 = Sa observam

ca

mg~,

A

in ipoteza ca ~ cu acelea!]i proprietati generate ca ~i in cazul axei orizontale. 6. Ilezisten1a ln punetul fix al unui solid. Problemii. Exista o forta aplicata intr--un punct O al unui rigid astfel ca, 'tinm.d seama de fortele date, legea de mi~care sa fie identica cu aceea a rigidului pentru care O este fix? De f in i l i e. Daca aceasta forta exista ea se nume~te rezisten/a suportului in punctul O. · ' Fommlarea datelor problemei. Pnn~m O, pe care proprietatile enuntate mai sus sint evidente. · · 3. Conditii mai generale de stabilitate. Sistemele considerate in aceste doua teoreme sint partict!_l_ar~... Putem avea stabilitate !ji ·vibratii in jurul pozitiei de echilibru in conditiile mai generale fixate in punctele (1) ~i (5). , Teo rem a 3. Daca for/ele generalizate care ac/ioneaza asupra sistemitlui sint de forma (1) iar energia cinetica este de forma (3) cu condi#a (4), daca matricele a= (a 1k) $i cx~(cx.11c) sint definite pozitive, iar radacinile caracteristice · (valorile proprii) ale matricei ~ =a-1 ex sint reale ~i distincte, atunci poziJia q =0 este de echilibru, $i pentru orice pozijie # viteza iniJiala de norme suficient de mici mi$carea este o vibraJie in jurul pozitiei de echilibru. in adevar, in ipoteza pe care o presupunem verificata, de regularitate a dezvoltarilor (1) ~i (4) in jurul originei, aveni potrivit ecuaiiilor lui Lagrange, dupa ce efectuam operatia de inmultire cu matricea inversa a matricei ~i normalizarea indicata la numarul precedent, obtinem ecuajia ·vectorial a .

q+~q=E (q, q),

174

MECANICA

unde vectorul £ este eel putin de ordinul al doilea in componentele vectorilor fl ~i q iar 8 este matricea diagonala cu elemente pozitive diferite. 4. Sisteme eonse1·vath Daca fortele de care depinde sistemul cleriva clintr-un potential JI (q1 , •• , qn) astfel di. 1 "·

-8.e=8 V

(18)

pentru a ne gas1 m circumstantele descrise mai sus, de oscilatii in jurul unei pozitii de echilibru stabil, trebuie sa avem ~i prin urmare

8 V = ((1.Jk qi +(g)) 8 c/

(19) (20)

unde (1.JJ: qiqk este o forma definita pozitiva. A afirma ca potentialul are forma (20) este echivalent cu a afirma ca punctul q~0 este o pozitie de minim izolat al potentialului. De unde, teorema urmatoare care exprima in cazul existentei potentialului rezultatele precedente. T e o r t, m a 4. Daca for/ele aplicate sistemului S admit un potcn#al V (q) ~i q0 este o pozijie de minim izolat al hti V (q), atunci, daca matr-icea b-1 rt are toate valorile ·proprii distincte, sistemul poate oscila indefinit in juml pozifiei fJ 0 care reprezinta o pozi/ie de ecltilibm stabil. Demonstratia este cuprinsa in cea precedenta deoarece aplicind ecuatiile lui Lagrange pentru lagrangianul .12.= T-V, gasim exact ecuatia (18). Cind forma corespunzatoare matricei (1. este degenerata, minimul potentialului V nu mai este intr-un punct izolat ci pe o dreapta sau pe un plan sau pe o varietate liniara cu mai multe dimensiuni. in acest caz numai unele pozitii ~i viteze initiate dau loc unei vibmtii, altele nu. De utilizarea potentialului este legata urmatoarea teorema important~: T e o r e m a 5. Un corp ce se a/la nmnai sttb infhten/a gravita#i are ca pozifie stabila pozi#a in care centrul de masc, este eel mai jos posibil. Pozitia cea mai joasa a centrului de masa realizeaza minimul potentialului gravitational a carui expresie este V =mgz, z fiind inaltimea centmlui de masa.

VIBR.ATII

175

§ 2. Oscilatori cuplat,i

1. Pendu]i CUJllati. D '-' f in i l i e. Un pendul izolat are energia cinctica de forma _!_ m ~ 2 pentru o mica oscilatie, are de asemenea 2

u11 potential mgl sin cp""mgl (JI, realizind minimul in pozitia cea mai de jos (?=0. Un sistem de doua pendule care se influenteaza prin intermediul suportului elastic sau al mediului are energia cinetidi

T=

t 111,1 2

72 •

.,+

"i(Ji i

t 2

11t2

l., . .,

2 ({12,

insa nu mai putem vorbi de potential ci de lucrul mecanic 8 L= (11t111