Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais [17 ed.]

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Alfabeto Grego

.•••..........

Alfa

A

a

Beta

B

~

Gama

r

y

Delta

L1

Õ

Épsilon

E

E

Digama

F

-

Dzeta

Z

ç

Eta

H

11

Theta

e

8

lota

I

t

Capa

K

x

Lambda

A

Iv

Mi

M

11

Ni

v

csi

N ~ •....•

Ómicron

O

o

Pi

TI

1t

San

17

Copa

Q

Ro

P

p

Sigma

L

(J

Tau

T

"(;

lpsilon

y

u

Phi

P



1

1 ("; T

'. ,u '-:::. ';~, -"')(..:;:.:0. U~ 1-11 Li

·~ocCORÓ,

\'b o ..J êC A I' '"/',,1E./OS L ,

.1

2

b)

m e cm

c)

m2 e mrrr'

d)

m2 e pOl2

e)

m2 e pé2

1;

1m

a)

m2 e dm2

b)

= 102 cm m2 = (102 cm)2

= 10 dm 2 m = (10 dm)2

m

2

1m c)

=

2

10

m2

=

=

m2 e pOl2 100

2,54

(103 mm)2

cm21

4

10

m=--

1m2 = 106 mm21

e)

2

1m d)

103 mm

=

m

m

2 dm 1

m2 e mm2

m2 e cm2

pol

m2

(100 . J ~(100J pd

m2

=

1550 pOl2

m2

=

1,55 " 103 pOl2

m2

= --

2,54

pol

2,54

m2 e pé2 m

=

100 , 30,48 pe

m2=(~

30,48

P

éJ2

m2

=

3,282 pé2

1m2

=

10,76 Pé21

portanto, pode-se escrever que:

Sistemas de Unidades

..

1.5

Relações Métricas do Cubo Dado o cubo, 3

m

b)

m

c)

m3 e

d)

m3 e pOl3

e)

m3 e pOl3

Volume

=

V

a= 1m, determinar

relações:

e dm

3

e cm

mrrr' I I

E ri

)..

do cubo 3

a

~ a)

as seguintes

3

a)

3

com aresta

'"

'"

'"

'"

'"

'"

'"

'"

'"

'"

'"

...... ......

...... ...

-

•..•..•..

"\.~

m3 e dm3 m = 10 dm m3 = (10 dm)3 3

1m b)

=

3

10

=

103 dm3

dm31

m3 e cm3 m = 102 em m3 3

1m

c)

=

(102 cm)3 = 106 6

= 10

crrr'

3 cm 1

m3 e rnrrr'

m3 e pOl3

d)

m = 103 mm m3 = (103mm)3 3

1m e)

9

= 10

= 109

m3

mrrr'

3 mm 1

1m3

=

pol)3 == 61023

(39,37

4

== 6,1023

. 10

pOl3

pOl31

m3 e pé3 pé 3

m

=

(3,29

1m3

=

35,3

=

103 dm

m3

pé)3 == 35,3

3

pé

Pé31 3

3

Obs: Q = dm

=

6

10

cm3

=

9

10

3

mm

=

6,1023

pOl3 = 35,3

3

pé

(litro)

.,Mecânicêl2Técnica ecResistência,dosMateriais.::".

••.......

4

. 10

,L:''t.~:.

.·§i::L.

1.6

Exercícios(Sistema de Unidades) Ex. 1 - Dadas as medidas em milésimos de polegada a) 0,393"

n, pede-se expressá-Ias

em [mm].

b) 0,750"

c) 0,325"

d) 0,875"

e) 0,600"

f)

0,120"

Solução:

Para transformar a medida expressa em [pol] para [mm], multiplica-se o valor da medida por 25,4 mm. a) 0,393 x 25,4 b) 0,750 x 25,4 c) 0,325 x 25,4 d) 0,875 x 25,4 e) 0,600 x 25,4

= 9,9822 mm = 19,05 mm = 8,255 mm = 22,225 mm = 15,24 mm

Dadas as medidas em polegada fracionária ("), pede-se expressá-Ias em [mm].

EX.2 -

5"

b) 21" 4

a) -

8

3" c)16

19" d)64

Solução:

Da mesma forma que o eX.1, multiplica-se a medida por 25,4 mm a)

5 8

- x 25,4 = 15,875mm

b) 2~ x 25,4

3

c) - x 25,4 16 19 d) 64

x 25,4

= (2 =

x 25,4 + ~. 25,4) = (50,8 + 6,35) = 57,15mm

4,7625mm

= 7,540625mm

Ex. 3 - Dadas as medidas em "mm", expresse-as em milésimos de polegada. a) 15,24 mm

b) 21,59 mm

c) 30,48 mm

d) 8,255 mm

e) 11,430 mm

f) 4,445 mm

Solução:

Para encontrar as medidas dadas em "rnm" em polegada milesimal, dividi-se o valor da medida por 25,4, pois pol = 25,4 mm.

15,24 _ 600" a) 25,4 -O,

_ 850" b) 21,59 -O,

30,48 _ 1 200" ,

_ d) 8,255 - 0, 325"

11,430 = 0,450" 25,4

f)

25,4

c) 25,4 -

e)

Ex.4 -

25,4

4,445 _ 0175" - , 25,4

Dadas as medidas em "mrn", expresse-as em "polegada fracionária". a) 10,31875 mm

b) 17,4625 mm

c) 14,2875 mm

d) 3,96875 mm

e) 5,55625 mm

f) 3,571875 mm

Solução:

Para encontrar as medidas dadas em "mrn" em "polegada fracionária", divide-se a medida por 128 25,4 (valorda polegada), e multiplica-se o resultado obtido por 128' pois a fração de polegada corresponde a uma exponencial de 2, ou seja 2n no caso, 128 paquímetro. a) 110,31875p:mí 25,4JfI1'Í1 x

128"t 128 ~

52 = 13" (simplificado por 4) 128 32

b) 117,4625 r1)P'r' 25,4rymf

128"t 128 ~

88 = 11" (Simplificado por 8) 128 16

x

l ~ =~ '--A 128 16

~28" 128

d)1

3,96875~128':L 25,4rmTÍ x

5,55625myY e) 1 25,41JJf!!

f)

1

_,571875~= 25,4 rymf

EX.5 -

1~128

27 nQ de divisões no

(Simplificado por 8)

20 = ~ (Simplificado por 4) 32

= 28 =!:.- (Simplificado por 4) 128 32

x

x

=

12~

18 = ~ (Simplificado por 2) 128 64

Dadas as medidas em pé expresse-as em "mm". a)

15'

b) 12'

c)

7,5'

d)

18'

Solução:

Para transformar a medida expressa em "pé" para "rnm", multiplica-se o valor da medida por 304,8 mm.

MecânicaTécnicaeResistência

~

dos Materiais

.,~

a) 15 x 304,8

=

c) 7,5 x 304,8

=

4572 mm 2286 mm

b) 12

x 304,8 = 3657,6 mm

d) 18

x

304,8

=

5486,4 mm

Ex. 6 - Um pé equivale a quantas polegadas? Solução:

pé

=

pol

304,8 mm

=

25,4 mm

portanto: pé

304,8~

poI - 25 ,41J)f1'f

l

IPé = 12Pal

Sabemos que por definição cv= 75 kgfmjs e que kgf.m = 9,80665 J. Expressar cvh em joules.

EX.7 -

cvh = 75 x 9,80665 == 735,5 W cvh = 735,5

I Ex. 8 -

X

x 3600$ 6

cvh = 2,6478 .10

J

I

Sabendo-se que: pé

= 30.48

em e pol

a) pé2 e m2;

b) pal2 e m2;

c) pé3 e m3

d) pal3 e m3

= 2,54

em. Determinar as relações entre:

Relação entre pé2 e m2

8.a)

pé2 = (O,3048m)2 pé2 = 0,092903

I

pé2 = 9,2903

m2

. 10-2 m21

Relação entre pol2 m2

8.b)

pai = 2,54 . 10-2 m pal2 = (2,54 . 10-2 m)2

I

pal2 = 6,4516

. 10-4 m21

Relação entre pe3 e m3

8.c)

pé = 3,048 x 10.1 m pé3 = (3,048 I

8.d)

pé3 = 2,832

X

X

10.1 m)3 10.2 m31

Relação entre pol3 e m3 pai = 2,54 . 10-2m pOl3 = (2,54 . 10-2 m)3

I pal3 = 1,638

. 10-5 m31

15

~

EX.9 -

Em uma prova automobilística, o percurso,

9.a)

b) kmjs

Velocidade

média em km/rnin

vm

=

60

9.c)

=

~

= 0,05 km / si

Velocidade vm

3 km j min

média em krri/s

Velocidade vm =

~

i

= --

I fo

com o seu carro perfazendo

vm em:

e) mjs

a) kmjmin

180

9.b)

o piloto A foi o vencedor,

com vm = 180km j h. Expressar

em m/s

180000 3600

~4?

=

50 m j s

Ex . .1.0 - No dimensionamento é utilizada

de circuitos automáticos e em outras aplicações na engenharia, 5 2 de pressão bar = 10 N/m (pascal). Expressar bar em:

a unidade

a) kgfjm2;

b) kgfjem2;

e) kgfjmm2;

d)

.e b /

pOl2

(psi)

Dados: kgf = 9,80665N fb = 0,4536 kgf pol = 2,54 em

bar para kgf/m2

.1.0.a)

bar

I

=

10

5

Nj m

2

10

=

. 10

9,80665

4

kgf j m

2

!

2

bar = 1,0197 x 104 kgfjm bar para kgf/cm2

.1.0.b)

bar

=

105 Njm2

=

2

1,0197 x 104 kgfjm

se

2

m

1,019 x 104 bar = --.:....------:--104

I

2

bar = 1,0197 kgf j em

I

bar para kgf/mm2

.1.0.c)

2

bar = 1,019 kgf / em bar

=

1,0197

.., =

se

2

em

1,0197 x 10

-2

2

= 10

2

mm

kgf j mm

2

10

I

2

bar = 1,0197 x 10-

2

kgf j mm

1

·Mecânica Técnicae Resistência dos Materiais,,,

=

4

2

10 em

••• bar para Rb/ pol2 (psi)

10.d)

kgf

=

2,2 eb

em

=

pai

=

2,54em

em2

0,3937 pai 0,155pa12

=

bar = 1,0193' kgf/em2 bar =

1,0193 x 2,2 0,155

eb bar == 14,5 --2 pai

(psi)

EX.11 - Unidade de pressão utilizada na indústria, o psi significa libra* /polegada quadrada. Pergunta-se: a) kgf/cm2 equivale a quantos psi b) N/cm2 equivale a quantos psi Sabe-se que: kgf

=

pai

=

1 0,4536

eb

=

9,80665 N

em

2,54 em ~

=

1 -2pai ,54

kgf/cm2 equivalente a psi

11.a)

1 kgf 2 em

eb

0,4536

[2,~4J

2

2

2,54

eb

0,4536

pol2

pal

I 11.b)

2

kgf / cm

== 14,22 psi

I

N/cm2 equivalente a psi N

1 eb 9,80665 x 0,4536

2,542 9,80665

C,~4J --

N

eb

x 0,4536 pal2

pol2

.

2

= 1,45 pSI

em

EX.12 - Para calibrar os pneus do Chevette, deve-se observar as seguintes recomendações da Chevrolet.

-----",

....•

r ~

12.1- Para Calibragem de Pneus a Frio 12.1.1

Quando o automóvel estiver carregado com no máximo 03 pessoas, as pressões indicadas são:

1,2 kgf/cm2

DIANT

12.1.2

1,5 kgf/cm2

TRAS

Quando o automóvel estiver carregado com 5 pessoas, as pressões indicadas são:

1,4 kgf/cm2

DIANT

1,7 kgf/cm2

TRAS

12.2 - Para Calibragem de Pneus a Quente 12.2.1

Para percursos com velocidades acima de 100 krn/h por mais de uma hora ou quando os pneus forem calibrados a quente, adicionar 0,14 kgf/cm2. Expressar as pressões indicadas em psi

12.1.1

12.1.2

12.2.1

U b/

pol")

Pressões expressas em psi para veículo carregado com até 03 pessoas. DIANT

=

1,2 x 14,22

17 psi

TRAS

=

1,5 x 14,22

21 psi

Pressões em psi para veículo carregado com 05 pessoas. DIANT

=

1,4 x 14,22

20 psi

TRAS

=

1,7 x 14,22

24 psi

Para pneus calibrados a quente é recomendado adicionar 0,14 kgf/cm2

0,14 x 14,22 == 2 psi EX.13 - Aceleração normal da gravidade é gn

= 9,80665 m/s2. Expressar gn em [km/h],

m = 10-3 km

5=(3,6X103)h-1 52 -

- ( 3,6

1 103

s- ( -

h

X

1 hJ

3,6x103

J2

•

9,80665 X 10-3 9,80665 X 10-3 gn = (3,6x 103)-2 = 3,6-2 X 10-6

gn

I

=

9,80665 x 10-3 x 3,62 5

gn = 1,271 x 10

X

106

2

km / h

1

.Mecânica~Técnica e.Reslstêncla.dosMaterlalsss

~

'.,

"o

Ex.14 - A tabela a seguir representa o módulo de elasticidade de alguns materiais, dados em [kgfjcm2].

Expressar esses valores em [kgfjmm2];

[Njmm2].

Módulo de Elasticidade E [kgfjcm2]

Material

14.a)

[Njcm2];

aço

2,1 x 106

alumínio

0,7 x 106

fofo nodular

1,4 x 106

cobre

1,12 x 106

estanho

0,42 x 106

Módulo de elasticidade E [kgfjmm2] Aço

=

2,1

X

106 kgf/cm2

Eaço =

2,1

X

106 x 10-2 = 2,1

Eaço

se

cm2 = 102mm2

104 Kgf/mm2

X

Alumínio Eal

= 0,7

X

106 kgf/cm2

Eal

= 0,7

X

106 x 10-2

se

= 0,7

X

cm2 = 102

mrrr'

104 kgf/mm2

Foto Nodular Efn = 1,4

X

106 kgf/cm2

Efn = 1,4

X

106

se

x 10-2 = 1,4

X

cm2 = 102

mrrr'

104 kgf/mm2

Cobre Ecu = 1,12

X

106 kgf/cm2

Ecu = 1,12

X

106 x 10-2 = 1,12

se X

cm2 = 102 mm2

104 kgf/mm2

Estanho Ee = 0,42

X

106 kgf/cm2

= 0,42

X

106 x 10-2

Ee

14.b)

= 0,42

se X

cm2 = 102 mm2

104 kgf/mm2

Módulo da elasticidade E [Njcm2] 106 kgf/cm2

Eaço =

2,1

Eaço =

9,8 x 2,1 x 106 N/cm2

Eaço =

2,06

X

X

7

kgf == 9,8 N

2

10 N/cm

Analogamente, para os outros materiais, temos:

9

r Eat= 0,69

2

7

10 N/em

X

7

2

Efn = 1,37 x 1 0 N/em Ecu = 1,1

x 10 7 N/em 2

Ee = 0,41 14.c)

X

107 N/em2

E [Njmm2]

Módulo de elasticidade 2

7

Eaço = 2,06

X

10 N/em

Eaço = 2,06

X

107 x 10,,2 = 2,06

Analogamente,

2 2 2 em = 10 mm

se X

105 N/mm2

para os outros materiais, temos:

E aR = 0,69 x 105 N/mm2 5

Efn = 1,37 x 10 N/mm Ecu = 1,1

Ee

X

= 0,41

X

2

105 N/mm2 105 N/mm2

Ex. 15 -A área da secção transversal da viga I, representada na figura, possui as seguintes características

geométricas:

Jx

x

= 920 em" (momento de inércia relativo ao eixo x)

Wx = 120 crrr' (módulo de resistência relativo a x) ix

=

6,24 cm (raio de giração relativo ao eixo x)

Expressar as características

dadas em:

a) m": m3; m b)

15.a)

mrn": mrrr': mm

Sabe-se que cm = 10-2 m

em" = (10-2 rn)" = 10-8 m4

:.

Jx= 920

x 10-8 m" = 9,2 x 10-6 m"

crrr' = (10-2 m)3 = 10-6 m3 :. Wx = 120

Sabe-se que cm

=

10-6 m3 = 1,2

x 10-4 m3

:. ix = 6,24

X

10-2 m = 6,24 x 10-2 m

mrn" :. Jx = 920

X

104 mrn" = 9,2

em = 10-2 m

15.b)

X

10mm

em" = (10 mrn)" = 104

cm3 = (10 mm)3 = 103 mm3 :. cm=10mm

;Q,,,,,Mecânica Técnica eReslstêncla

Wx = 120

:. ix = 6,24

X

x 106 mm"

103 mm3 = 1,2

x 105 mm'

x 10 mm = 62,4 mm

dos,Materiais""'2""""',""

""'-'w

.;" •

•••

EX.16 - A produção de petróleo no Brasil, em 1984, foi de 500.000

barris/dia.

Essa

produção equivale a: a) Quantos litros de petróleo/dia b) Quantos metros cúbicos de petróleo/dia barril de petróleo =159 P

16.a)

Produção em litros/dia 5 x 105 x 1,59

:l6.b)

102 = 7,95 x 107 P/dia

X

Produção em m3/dia 5 x 105 x 1,59 7,95

X

X

102 x 10-3

104 m3/dia

EX.17 - Unidade de tensão utilizada no SI (Sistema Internacional), o MPa (megapascal) corresponde a 106 Pa ou 106 N/m2. Determinar as relações entre:

17.a)

a) MPa e N/em2

b) MPa e N/mm2

e) MPa e kgf/em2

d) MPa e kgf/mm2

MPa para N/cm2 MPa = 106 N/m2

17.b)

sabe-se que,

MPa para N/mm2 MPa

=

106 N/m2

sabe-se que,

m = 103 mm m2 = (103 mm)2 = 106 mm2 106 MPa = -N /mm2

106

17.c)

MPa para kgf/cm2 MPa = 106 N/m2 kgf = 9,80665N:m

sabe-se que,

=

102 em

m2 = (102 em)2 = 104 em2 106 MPa = --------:9,80665 X 104

I MPa = 10,197 kgf/em21

I

,.. 17.d)

MPa para kgfjmm2 MPa ~ 106N/m2

sabe-se que, m = 103 mm

kgf = 9,80665N

m2 = (103 mm)2 = 106 mrrr' 106 MPa=-----~ 9,80665 x 106

2

MPa = 0,10197 kgf I mm

I

EX.18 - No dimensionamento

1

de redes hidráulicas, utiliza-se a unidade de pressão mH20

(metro coluna d' água), que corresponde a 9806,65

Njm2.

Determinar as relações

entre: a) mH20 e kPa;

b)

mH20 e kgf/cm2;

c)

mH20

e

bar.

Dados 1

N=

18.a)

9,80665

kgf

5

bar = 10 N I m

e

2

Como o prefixo quilo (k) representa 103, dividi-se o valor dado em Pa(Njm2) por mil, obtendo-se então: mH20=

18.b)

9806,65 ., =9,80665kPa 10

1 kgf e m2 = 104 cm2 tem 9,80665 2 9806,65 kgf mH20 = 9806,65 N 1m = 4 --2 9,80665 x 10 cm

mH20 = 9806,65 N/m2

como N =

se

que:

mH2O = 10 3 x 10 -4 = 10 -1 kgfi cm2

I mH 0 = 0,1 kgf I cm 1 2

2

18.c)

mH20 = 9,80665

X

103 Njm2

mH20 = 0,980665 x 105 N/m2

como bar = 105 Njm2

tem-se que:

portanto

mH20 = 0,980665 bar

I mH 0 = 9,80665 x 10-

2

2

bar

I

Ex. 19 - Por definição, tem-se que: cv= 735,5W (cavalo-vapor) e hp= 745, 7W (horse-power). Determinar a relação entre cv e hp. hp cv

745,7 735,5

-=--

745,7 hp = --cv 735,5

I hp == 1,014cvl

Obs.: Na prática, normalmente utiliza-se hp

Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais

~

= cv.

= J/s,

Ex. 20 - Sabe-se que, por definição, W determinar as relações entre:

= 4,186

cal

_..

b) kWh e kgfrn:

a) kWh e J

J e kgfm 1= n

=

9,80665

•."

"('

c) kWIi

•.

J. Pede-se

- h:\05~30Rq

~_.;'..:- '. _; .-..'. ,.L_: '; ,; c

r

C\

_

6~ÓaL . ,'u· :"ri:~~EIOS Uc.:

COü;~O

hl,

l.-

Relação entre kWh e J

20.a)

Como W kWh

==

= .I/s:

103

3,6

X

= 103;

k

h

X

J

103,,5'.-

X

= 3,6

conclui-se que:

I kWh

/ 20.b)

103s,

6

3,6 x10

==

J

I

Relação entre kWh e kgfrn Tem-se que kgfm

= 9,80665J,

portanto J

1 ==

9,80665

kgfm , Como kWh = 3,6 x 106

J,

conclui-se que: 3,6

kWh

6

10

X

I kWh = 3,67 x 10

5

kgfm

==

9,80665 20.c)

kgf.m

Relação entre kWh e kcal

= 4,186

Como 1 cal J

1 == --

4,186

kWh

J, tem-se que:

cal

3,6

X

6

10

5

kWh == 8,6 x 10

cal

==

4,186 Como kcal

I

kWh

=

cal

103 cal, conclui-se que:

= 860 kcall

Ex. 21 - Nos projetos de sistemas de ar condicionado, utiliza-se a unidade de caloria BTU, que significa a quantidade de calor necessária para elevar 1 libra de H20 à temperatura de 1° F. Determinar as relações entre: a) BTU e kWh;

b) BTU e cvh.

Sabe-se que, BTU = 1,0546 x 103 J (a 60°F aproximadamente 21.a)

Sabe-se que, kWh

==

1

3,6 x 106 J, portanto J =

6

3,6 BTU

1 ==

6

x 1,0546 x 10

3,6 x 10

I

4

BTU =2,93 x10-

kWh

3

kWh

x 10

15,5 0c).

_ kWh, tem-se entao que:

21.b)

Pela resolução

do exercício

7, tem-se

que cvh

::::2,6478x

106J,

portanto,

1 J = 2,6478 x 106 cvh, logo pode-se escrever que BTU=

1

3

R

1,0546 x 10 cvh

•

2,6478 x 10

I BTU= 0,398 x 10-

3

cvh I

Ex. 22 - Por definição, tem-se que: kgf-rn Determinar as relações entre: a) kWe kgfrn/s:

22.a)

kW= 10

3

-

N

J, kW = 103 W e hp

9,80665

745,7 W.

b) hp e kgfrn/s

J

Como W =

=

J

e

1 =

9,80665

103

J

-= --N 9,80665

kgfrn,

conclui-se que:

kgfm 5

IkW~102~1 22.b)

Sendo hp::::745,7W, conclui-se que: hp =

7457'kgfm 9,80665

15

I hp == 76 kgfm .

15 I

EX.23 - A vazão de um fluido, com escoamento em um regime permanente, no tubo de uma rede de distribuição, corresponde ao volume do fluido escoado na unidade de tempo. Determinar as relações entre as unidades de vazão que seguem: a) m3

23.a)

15

(SI)

Sabe-se que, m

m3/5

=

i!

e 3

15;

=

10

b) m3 3

1h

e i!

15.

t , portanto:

3

10 i! 5

23.b)

Como m3 = 103.e

h = 3,6

X

103s,

conclui-se que:

3

m3/h

=

10 i! 3,6x1035

I m /h

=

0,277 i! 1s

3

e

I

EX.24 - Denomina-se viscosidade a propriedade que tem os fluidos de resistir ao movimento de suas partículas. Desta forma, mede-se a variação de velocidade que se reflete sobre os esforços de cisalhamento. A viscosidade dinâmica no SI é dada em newtonsegundo por metro quadrado: viscosidade

de um líquido que ao percorrer a

distância de 1m, com a velocidade de Lrn/s, provoca uma tensão superficial de 1Pa (N/m2), representada por [j.l].

MecânicaTécnica.eResistênciadosMateriais

C

I

I_====--_-J; ~.. -_':. ---=-- -o:::::=.

placa móvel Ft v = Irn/s d = 1m

.::--==-==t~~:-==::'=::---I~-camada de fluído

I--==~_ H"7,J

~placafixa

placa móvel

camada de fluído

placa fixa

A unidade usual para este tipo de viscosidade é o poise que equivale a 1 dlna.s/ em", Expressar poise nas unidades do: a) SI;

b) Mk*S (técnico).

Sabe-se que N = 105 dina e m2 = 104 cm2, portanto conclui-se que:

24.a)

5

dina = 10-

I 24.b)

2

N

cm

poise = 10-1

Como kgf

10-

2

m

poise

=

10-5 N . s 10-4 m2

I

Ns/m2

= 9,80665N

1

N=

4

=

conclui-se que:

kgf

9,80665 poise = 10-

1

1 kgf.s . --9,80665 m2

poise = 10,19 x 10

-3

kgf.s ~

kgf.s --:::

m2

-

98poise

Ex. 25 - A viscosidade cinemática de um fluido (v) é definida através da relação entre a viscosidade dinâmica (J..I.) e a sua massa específica (p). No SI, a viscosidade cinemática é definida através da viscosidade

dinâmica de 1Ns/m2

e a massa

3

específica de 1kgjm , o que resulta em uma viscosidade cinemática de 1m2js. Porém, a unidade utilizada com maior freqüência na prática é a do CGS que corresponde a cm2js (stoke). Expressar Stoke nos: a) SI

b) Mk*S (técnico)

c) centistokes

d) expressar centistoke

no SI

..Sistemas de Unidades ,,,

.

~.

25.a)

stoke no SI 1 cm st = stoke = --

2

cm

s

4

2

-4

= 10

2

m

2

st= stoke = 10-

m

s 25.b)

stoke no Mk*S (técnico) o mesmo do SI

25.c)

stoke em centistokes cst

25.d)

=

=

centistoke

10-2 stoke

centistoke no SI -2

-2

cst = centistoke = 10

stoke = 10

-4

. 10

m

2

-

s 6

m

6

mm

cst = centistoke = 102

m

6

2

/

s

2

= 10 mm

6

centistoke = 10-

.

10

2

/

I

s

2

cst= mm

/

si

Ex. 26 - Demonstrar que a unidade de viscosidade cinemática de um fluido no SI é

1m2/s.

Pela definição de viscosidade cinemática tem-se que: ~

viscosidade dinâmica

v =-

= --------

p

massa espedfica

A unidade de viscosidade dinâmica no SI é Ns/m2, e a unidade de massa específica no SI é kg/m3. Através da definição de força escreve-se que: F m=-= a

N m/ s2

kg=

portanto

_N m/s2

Como a definição de v = ~, conclui-se que: p

N.s v=

m2 N

m/

4

N. s m Nm2

. S2

S2

3

m

Iv = m si 2

/

..MecânicaTécnicae

~

--------

Resistência dos Materiais:

VíNCULOS

2.1

ESTRUTURAIS

Introdução

Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-Ios em 3 tipos.

2.1.1 Vínculo Simples ou Móvel Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação (normal ao plano de apoio). Representação simbólica:

2.1.2 Vínculo Duplo ou Fixo Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo desta forma nos fornecer, desde que solicitado, duas reações, sendo uma para cada plano citado. Representação simbólica: y

x

t 2.1.3 Engastamento Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, impedindo também a rotação do mesmo, através de um contramomento, que bloqueia a ação do momento de solicitação.

C ~

•Rx

rc ,- -

~

Rx

=

tR!' \--'S!

'


número de incógnitas

2.2.2 Estruturas Isostáticas A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações a serem determinadas coincide com o número de equações da estática.

Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais

~

Exemplos: a)

RAv

b)

I I

P,

.

PI

lL._._._ número

RAH

de equações < número de incógnitas

2.2.3 Estruturas Hiperestáticas A estrutura é classificada como hiperestática, quando as equações da estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios. Para tornar possível a solução destas estruturas, devemos suplementar as equações da estática com as equações do deslocamento, que serão estudadas posteriormente em resistência dos materiais. Exemplos: p

a)

b)

p

número de equações < número de incógnitas

Vínculos,Estruturais·

29

",~",: __.,-,!_,«~"",".";",,,,,,,-

._;.,;., ....;;;.

'-_:

Obs.: É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em MPa (megapascal)

""::,.Mecânica-"'··"i/il.)..:

~.~!ULi )C':í'[)

;~ ," .~-:-.1$

.tE:CA

p

,Sistemas Estaticamente Indeterminados( Híperestátlcos)»

b) Tensão normal nas barras

b.1) barra CD (J1

== ~

==

A1

b.2) barras (J2

al

= ~

(J3

=

(J2

== 99 x 106 Pa

I

(J1

= 99MPa

I

e G) ==

25.380 400 x 10-6

=

63,45MPa

A2

I

59.390 600 x 10-6

c) Alongamento

=

63,45

x 106 Pa

I

(J 2 =

63,45 MP a

I

I

das barras

c.1) barra CD 99 x 1

2,1

c.2) barras !J..f!2

al

e G)

(J2

.

e2

Eaço

M2 == 378 1M3

Ex. 9 -

=

X

X

105

63,45 x 1,25 =-----

2,1

X

105

10-6 m

M2 == 3781lm

I

Determinar as forças e as tensões normais atuantes nas barras CDe al da construção representada na figura. A barra CDé de eu, possui área de secção transversal com 100mm2. A barra al é de aço, possui área de secção transversal com 140 rnrn". Eaço =

210 GPa

Ecu = 112 GPa

'Y':"

Mecânica:Técnica·:e::Resistênciados'Materiais,'""""

..•.

Solução: a) Força normal nas barras

al

e

Q)

Aplicada a carga de 3500N, o ponto D desloca-se para uma posição D'alongando as barras Q) e alo O ângulo de 30° permanece constante pois a diferença é infinitesimal. Então, podemos escrever que:

IM

1 =

M

2

I

eos 30°

(1)

admitindo-se como .e o comprimento da barra IR 1

substituindo

=

=

R2 eos 30°

I

Reos 30°

F2 R2

.

eos 30°

A2

.

Eaço

Ai . Eeu

F2

Fi . R eos30°

Ai . Eeu

.

(2)

A2

Reos30° .

Eaço F 2

F2

podemos escrever que:

a equação (2) na equação (1), e desenvolvendo-se esta, tem-se que:

Fi R1

I

al,

= 2,625

Fi

- 140 x 210 - 100 x 112·

F 1

(3)

I

Para solucionar o sistema, precisamos de mais uma equação que nos será fornecida pelas equações do equilíbrio.

3500N

I.Fx = O

I

F2

substituindo

+ Fi eos 30°

= 3500 sen 30°

a equação (3) na equação (4) vem que:

2,625 Fi

+ 0,866 Fi = 1750

3,49 Fi = 1750

Como F2 = 2,625 Fi vem que: F2 = 2,625 x 501 = 1315N

';;;E'''",n$istemasEstaticamentelndeterminados

(Hlperestâtlcosj.sc

b) Tensão normal nas barras CDe 0 barra 1 (eu)

b.1.)

cr

F1 501 = 5,01 A - 100 X 10-6

- -

1 -

X

106 Pa

1

I

0"1

=

5,01 MPa

I

b.2) barra 2 (aço) F2 o2 = =

A2

I

0"2

1315 140 x 10-6

= 9,39MPa

= 9,39 x

10

6

Pa

I

Mecânica Técnica·e ResistênciadosMateriais

TRELiÇAS PLANAS

7.1. Definição Denomina-se treliça plana o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, perfiladas, I,U, etc), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, solda, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de receber e ceder esforços. A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática é comum em pontes, coberturas, guindastes, torres, etc.

7.2 Dimensionamento Para dimensionar uma treliça plana, podemos utilizar o método dos nós, ou o método de Ritter, que são os métodos analíticos, utilizados com maior freqüência.

7.2.1 Método dos Nós A resolução de treliça plana, através da utilização do método dos nós, consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, observando a seqüência enunciada a seguir. a) O primeiro passo é determinar as reações nos apoios. b) Em seguida, indentificamos o tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou comprimida). c) Verifica-se o equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando sempre os cálculos pelo nó que tenha o

menor número de incógnitas.

7.2.1.1 Exercícios Ex. 1. -

c

Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

"e>Resistência"dos··Materiais."C:1:1/"Wy

Ex.2 -

Determinar as forças axiais nas barras da treliça dada.

18kN

36kN

Solução:

A reação nos apoios A e B será determinada através do somatório de momentos em relação ao apoio A, e o somatório das forças na vertical. O ângulo a é determinado através de sua tangente. tg o

2

= -

= 1

2

Reações nos apoios LMA 6Rs

= O =

LFv

36 x 4 + 18 x 2

I Rs = 30 kN I

=

O

RA + Rs = 36 + 18

IRA

= 24 kN

I

Através do corte AA, determinam-se as cargas axiais nas barras LFv =0 F1 sen45° +24

=

O

24 F1 = - 0,707 = - 33,95 kN

(Be)

(j)

e ~.

LFH =

o

F2 + Fi cos45° = O F2 = - Fi cos45° F2 = - (-33, 95) . 0,707 I F2 = + 24kNI

(BT)

Aplica-se o corte BB na treliça, e adota-se a parte à esquerda para cálculo, para que se determine a força axial nas barras G) e@. LFy

=

O

I F3 = 24kN

I

(BT)

= O

LMD

2F4 + 24 x2 = O

I F4 = -

I (Be)

24 kN

24kN

Para determinar as forças nas barras ~ e esquerda do corte para o cálculo.

@,

2m

aplica-se o corte ee, e adota-se a parte à

LFy = O F5 sen 45° + 24 - 18 = O

I

F 5

=-

LME

=

_6_ 0,707

-849kN '

I

.

(Be)

= O

2m

-2 F6 + 4 x 24 - 18 x 2 = O F6 =

96 - 36 2

I F6 = 30kNI

60 2

2m

·c 24kN

18kN

I

(BT)

No corte DD, isolamos o nó F da treliça, para determinar a força na barra CDe ®. LFy = O

I F7 = 36kN

I

,

/

(BT)

,''/

,, F7"""''''

, /

-'

r,

F6

, ,

'-

'----'---+----=---, /

F

I

D/

MecânicaTécnicaeiResistência.·dosMateriais

\ \

36kN

\D

Através do corte EE, determina-se a força axial na barra ®. E

LFv = O Fg sen45° + 30 == O

I

Fg ==

-&

== -42,43kN

I

/

(BC)

30kN

Calcular as forças axiais nas barras da treliça dada.

EX.3 .

Solução:

As reações nos apoios serão determinadas pelas equações do equilíbrio. LMA

= O

6Rs

== 48

IRs

x 2 - 30 x 2

I

= 6kN!

R AV = 48 - 6 == 42 kN

I

LFH = O

IR

AH

== 30kN

!

Aplica-se o corte AA na treliça, e adota-se a parte à esquerda do corte para determinar as cargas nas barras (j) e @. LFv

== O

42 F2 == 0,707 = 59,4kN

(BT)

F1

+

F2 cos 45° - RAH =0

F1 = RAH

-

F2 cos 45°

42

F1 = 30 - O 707 x 0,707

I

,

F1 = -12kN

I

(BC)

Para determinar as cargas axiais nas barras se para cálculo a parte acima do corte.

e

Q)

@,

.--'-. ,

aplica-se o corte BB na treliça, e adota-

__ .-

B

I

-, ,

I I , I

E

LMA

=

O

2F3 + 2F4 cos 45°

I

30 - 42 0,707

F4

=

F4

=- 16,97

12

=-

kN

0,707

I (BC)

J. 0,707

F3 = -(-~

I

F3 = + 12kN

o

= O

corte CC determina as cargas axiais nas barras (3) e

@.

F

2m

48kN

Mecânica.Jécnica;e

I

c

Resistência dos Materiais",,';, ;;".;",,;.,-,

(BT)

dividindo os membros da equação por 2 temos:

F6 =

IF

6

-48 - 30 + 2 x 42 0,707

= 8,49 kN

84 - 30 - 48 0,707

I

dividindo a equação por 2 temos:

I

F5

=

42 - 8,49 x 0,707

F5

=

42 - 6

= 36 kN

I

Através do corte DD dado na treliça, adota-se a parte inferior da mesma para determinar a carga axial nas barras CVe ®. :EMc = O

.zFg

F =9

I

zR =

sen45°+ RB

~F

sen450

Fg

=-

F7

= - 8,49

O

B

9

8,49 kN

6 =--0,707

D

I

x 0,707

A força normal nas barras ® e ® será determinada através do corte EE. :EFH = O

F8

IF

8

=-

(-8,49

= + 6 kN

x 0,707)

I

Treliças Planas

·2:,Fy:=.O s~n45°+RB

~g

=

o

- RB - 6 Fg = sen450 = 0,707

Ex.4 -

=}

I Fg = -8,49kN I (BC)

Determinar as cargas axiais nas barras da treliça dada, através do método de Ritter. 60kN

Decomposição da carga de 60 kN. Componente horizontal Fx = 60 cos 53°

Componente vertical Fy = 60 sen 53°

I Fy = 48kN I Solução:

A primeira providência para solucionar esta treliça é decompor a carga de 60 kN, e determinar as reações nos apoios A e B. Determina-se o ângulo através da sua tangente. tg o

48kN

3

= -4 = 075 '

L:MA

=

4 RB

= 48 x 4 + 36 x 6

IR

L:Fv

O

= O

RAV = RB

-

48

IR

=

IR

= 36kN I

AV

AH

36kN

D

102 kN

=

B

F

54 kN

A

::r1td2

t

Q -

(Jd X

d

X

tCh

1051t d - 2 x280

ch ->---

~~0,59 d

Quando a relação entre a espessura da chapa e o diâmetro do rebite for maior ou igual a 0,59, somente o dimensionamento ao cisalhamento é suficiente para projetar a junta. Se a relação: ~,

-n

Ug

o ,..... -

j-

-;:

II

I------i+-=---

,CD

>'"

U -U

80

Solução:

Transformando as unidades para [cm] visando simplificar a resolução, temos: a) Centro de gravidade

I

ug

3,86cm

I

I

vg = 4,69cm

I

=

b) Momentos de inércia

3

3

3

+ 8 (4,19)2 + 1 X1~0 + 10(1,31)2 + 3 ~~

Jx = ~

+ 3(6,81)2

Jx = 381cm41

% 3

Jy

=

3

+ 8 (0,14)2 + 1~X;

3

+ 10 (0,14)2 + 1~~ + 3 (0,86)2

Jx = 48,3cm41 c) Produto de inércia

Os produtos de inércia das três superfícies são nulos, pois todos possuem eixos de simetria. O somatório transportes de eixos determina o Jxy do perfil.

Características Geométricas das Superfícies' Planas

22 1

Jxy = 8(0,14) (-4,19)+10(0,14) I

JXY

=

(1,31)+3(-0,86)

(6,81)

-20,43Cm41

d) Eixos principais de inércia Jmax= 0,5(Jx +Jy) + 0,5J(Jx _Jy)2 +4J~ Jmax= 0,5(381 + 48,3) + 0,5J(381 +48,3)2 + 4(-20,44)2

I

4

Jmax= 382,25cm

I

Jmin= 0,5 (J, + Jy) - 0,5

J(Jx

- Jy)2 + 4J~

Jmin= 0,5 (381 + 48,3) - 0,5 J(381 + 48,3)2 + 4 (-20,44)2

I Jmin= 47,05cm41 e) Posição dos eixos principais em relação a x tga

max

=

Jx -Jmax Jxy

=

381-382,25 - 20,44

I amax = 3°30'

I

Como os eixos principais estão sempre defasados 90°, pode-se escrever que:

amin = amax - 90° amin = 3°30 - 90°

= -86°30

amin = -86°30'

o (V)

Ex. 7 -

Determine o momento polar de inércia do perfil representado na figura.

-;:

Solução: Transformam-se as unidades simplificar a resolução.

para [cm] para

a) Centro de gravidades

o eixo y é de simetria; portanto, a coordenada YG é suficiente para determinar o CG pois xG

=

J~

x

O.

o

150

Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais

A Ai + A2 + A3

AiYi 2Y2+ A3Y3 Y G = --=-"--=--=--=----=-=--=-

I YG= 8,71cm

24 x 18,5 + 70 x 10 + 45 x 1,5 24+70+45

I

b) Momentos de inércia

J,

IJ

=

3 43 3 8 x 3 + 24 X 9,792 + 5 x 1 + 70 X 1,292 + 15 x 3 + 45 x 7 212 12 12 12 4

x

== 5951cm

I

Para determinar o Jy' os transportes de eixos são nulos, pois os eixos y das superfícies (1), (2) e (3) coicidem com o eixo do perfil. Tem-se, então que:

3x83 J =--+ y 12

14x53 3x153 +--12 12

I Jy

=

1117,6cm3

3

c) Momento polar de inércia

Jp = Jx + Jy

I

Jp

= 7068,5

Jp

=

5951 + 1117,6

cm4

Ex. 8 - Determinar o momento polar de inércia da superfície hachurada representada na figura.

'-lf)-

o

-;>,

X -;>,

.-lf)-

o

Solução: Transformando-se as unidades para [em] temos: a) Momento de inércia

Para determinar o momento de inércia da superfície hachurada, divide-se a figura em três áreas. Considera-se como supefície (1) o retângulo de 100x75 [mm] e as superfícies (2) e (3) os retângulos 50x30 [mm]. Como as superfícies (2) e (3) são iguais e simétricas, os momentos também são iguais, portanto, Jx2 = Jx3 e Jy2 = Jy3' Tem-se, então:

==

Jx1

J

==

7,5x10 12

==

J

-

3

x

J Y

A2Y?')

2(JX2 +

Jx

-2J y1

I Jx

==

415cm41

2x3x5 12

I Jy

==

289cm41

415 + 289

IJ

2(5X3 + 15x2 12 ') J

y2

521

3

_

y

3

==

10x7,5 12

2

_

b) Momento polar de inércia Jp

==

Jx + Jy

Ex. 9 -

Jp

==

p ==

704cm41

Determinar o momento polar de inércia do perfil representado na figura.

x

Solução: Tranformando-se as unidades para [em], temos: a) Momentos de inércia

Os eixos e y são de simetria, portanto, a origem dos mesmos está no centro do tubo (figura1) .

. .Mecânlcarrêcnlca

e Resistência dos Materiais,

Os momentos de inércia do perfil serão determinados, dividindo-se as superfícies em três áreas. A área (1) corresponde à coroa circular que identifica o tubo, e as áreas (2) e (3) correspondem a tiras de chapas de 60 x 100 [mm] soldas na superfície do tubo. Os cordões de solda serão considerados desprezíveis para determinar o momento de inércia do perfil. As áreas (2) e (3) são iguais e simétricas aos eixos, portanto, os momentos de inércia das duas chapas em relação aos dois eixos são iguais. Teremos, então:

yi)

Jx1 + 2(JX2 + A2

Jx

=

J

= ~ (304 - 204) + 2[ 6x10

3

64

x

IJ

Jx

= 31907 + 49000

Jy

= Jy1 + 2Jy2 como Jy1

J

=

y

IJ

y =

31907

+ 2x10x6

x

+ 60X2021

J

12

= 80907cm41

= JX1

= 31907cm

4

3

12 32267cm41

b) Momento polar de Inércia Jp = Jx + Jy

IJ

p:::

:::

80907 + 32267

113174cm41

Ex. 1.0 - Determinar o momento polar de inércia do perfil composto representado na figura. y

v

~-Ug'

•

•

Viga U 6" x 2" Jx::: 546cm

Cantoneira 4"x 4"

4

Jx ::: Jy ::: 183cm4

Jy::: 29cm4

A::: 18,45cm2

A::: 15,5 cm2

C'l

lJ")-

r-