Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales Antonio Montes Lozano 1,5 créditos P00/75004/00191
a 11 a 21 … a 1n A = a 21 a 22 … a 2n am 1 am 2 … am n
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Índice
Introducción............................................................................................... 5 Objetivos ...................................................................................................... 6 1. Preliminares .......................................................................................... 7 2. Matrices .................................................................................................. 8 2.1. Producto de matrices ......................................................................... 9 2.2. Suma de matrices............................................................................... 10 2.3. Matrices cuadradas ............................................................................ 12 2.4. La transpuesta de una matriz ............................................................ 14 3. Espacios vectoriales ............................................................................. 16 3.1. Dependencia e independencia lineal ................................................ 17 3.2. Bases ................................................................................................... 19 3.3. Subespacios vectoriales y rango......................................................... 24 4. El método de Gauss .............................................................................. 26 5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius .......................................... 34 6. Sistemas homogéneos.......................................................................... 38 7. Determinantes y regla de Cramer.................................................... 41 7.1. Determinantes de segundo orden ..................................................... 41 7.2. Determinantes de tercer orden .......................................................... 43 7.3. Determinantes de orden n................................................................. 44 7.3.1. Propiedades de los determinantes.......................................... 45 7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n ................................ 49 8. Matriz inversa ....................................................................................... 55 Resumen....................................................................................................... 59 Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 61 Solucionario................................................................................................ 64 Glosario ........................................................................................................ 76 Bibliografía................................................................................................. 77
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales . Es un tema fundamental para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe una dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen y a menudo la planteamos en forma de ecuación lineal. Otras veces representa una buena aproximación al problema objeto de estudio. En este módulo estudiaremos de forma sistemática los sistemas de ecuaciones lineales. Pero para profundizar en su conocimiento, abordaremos previamente el estudio de las matrices y los vectores como tablas de números. Este estudio nos conducirá a introducir la estructura de espacio vectorial, que tiene valor por sí misma y se aplica a muchos campos como, por ejemplo, los gráficos 3D. Estudiaremos a continuación el método de Gauss para resolver efectivamente los sistemas. Provistos con las consecuencias de la noción de independencia lineal de vectores, podremos abordar la definición y el cálculo del rango, que nos permite discutir los sistemas con ayuda del teorema de Rouché-Fröbenius . Finalmente, introduciremos el concepto de determinante , que permitirá dar fórmulas cerradas para las soluciones de los sistemas y ayudar en la discusión de sistemas con parámetros.
Evariste Galois (1811-1832)… … empezó a interesarse por las matemáticas a los 15 años, y tres años después ya publicó un trabajo importante. Comprometido en contra de las injusticias políticas, los sucesos de las revoluciones de 1830 lo condujeron, indirectamente, a una muerte prematura a los 21 años. A pesar de todo, dejó una producción matemática trascendental en el campo de la teoría de las ecuaciones.
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Objetivos
Se pretende que, estudiando los conceptos de este módulo y con los ejemplos y actividades que se incluyen, se alcancen los objetivos siguientes: 1. Dominar el álgebra de matrices. 2. Entender los conceptos de espacio vectorial, independencia lineal y base, así como aprender a expresar un vector en una base. 3. Saber resolver sistemas por el método de Gauss. 4. Aprender a determinar el rango de una matriz. 5. Conocer las propiedades de los determinantes y la regla de Cramer. 6. Dominar el teorema de Rouché-Fröbenius y saber discutir un sistema con parámetros. 7. Saber plantear problemas lineales.
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1. Preliminares
Empecemos por recordar algunas nociones básicas. Consideremos los sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas siguientes:
2x + 3y = 7 2x – 3y = 1
2x +3y = 4 2x + 3y = 6
2x + 3y = 6 4x + 6y = 12
Realizando las gráficas de cada uno de los sistemas de ecuaciones se obtiene:
a) Rectas secantes
b) Rectas paralelas
c) Rectas coincidentes
El primer sistema representa dos rectas que se cortan en el punto (2, 1) y tiene una solución única. El segundo caso representa dos rectas paralelas y no tiene solución. El tercero corresponde a dos rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones. Tratándose de sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas no hay más casos. En realidad, éstos son los casos emblemáticos para sistemas con más ecuaciones e incógnitas.
Denominamos sistema compatible al sistema que admite soluciones, es decir, si existen valores de x, y que satisfacen el sistema. En caso contrario recibe el nombre de incompatible . Decimos que un sistema es compatible determinado si admite una única solución. En caso contrario recibe el nombre de compatible indeterminado .
En estos términos, los tres casos del ejemplo quedan clasificados de la forma siguiente: el primero es compatible y determinado; el segundo es incompatible y el tercero, compatible e indeterminado. Ahora estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales en general y determinaremos cuántas soluciones tienen y cómo calcularlas. Pero antes conviene introducir la notación matricial, que será muy útil.
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2. Matrices
Introducimos ahora las definiciones y notaciones que utilizaremos.
La noción de matriz…
Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas x1 , x 2 , ..., x n o variables consiste en un conjunto de m ecuaciones de la forma siguiente: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m
… fue introducida en 1857 por los matemáticos británicos W. Hamilton y A. Cayley. El primero que utilizó la palabra matriz fue J. J Sylvester para indicar una ordenación determinada de números.
(1)
donde las aij y las b i son escalares conocidos, y el rango de variación de los índices es 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. El coeficiente aij es el factor que multiplica x j en la i-ésima ecuación, y el coeficiente b i es el término independiente de la i-ésima ecuación.
Una matriz m × n es una tabla de números aij donde se tiene 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, que dispondremos en m filas y n columnas: a a … a 1n 11 21 A = a 21 a 22 … a 2n a m1 a m 2 … a mn
(2)
De este modo, los coeficientesa ij del sistema de ecuaciones (1) forman una matriz m × n, que denotamos como A y que llamamos matriz del sistema . Pongamos A = ( a ij)1 ≤ i
≤ m, 1 ≤ j ≤ n
para indicar que A es la matriz m × n que tiene
por elementos los a ij . Cuando sean claros los rangos de variación de i y de j escribimos simplemente A = (a ij). Designemos por L(m, n ) el conjunto de las matrices m × n, (m filas y n columnas). Podemos agrupar también las x j en forma de matriz de una sola columna y n filas, que llamamos vector columna y que denotamos como x. Los términos independientes bj también pueden ser agrupados en forma de vector columna de m filas y los llamamos b. De este modo, tenemos: b 1 b b = 2 . b m ...
...
x 1 x x = 2 x n
Arthur Cayley (1821 - 1895) Matemático inglés que destacó por sus contribuciones a la teoría de matrices, determinantes, geometría n-dimensional y, en colaboración con su gran amigo Sylvester, por sus contribuciones a la llamada teoría de los invariantes y las álgebras de dimensión finita.
Advertencia Para no confundirnos denotamos las matrices con negrita, con el objetivo de distinguirlas de los números o elementos.
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2.1. Producto de matrices Definimos el producto de C, de m filas y k columnas, por una matriz D, de k filas y n columnas, como la matriz E de m filas y n columnas siguiente:
…
…
d 11 dk 1
…
d 1n , d k n
...
...
...
c 1k ⋅ c m k
...
…
e 1n c 11 = c m 1 e mn
...
…
...
e 11 e m 1
…
donde el elemento eij de la i-ésima fila y j-ésima columna del producto E se obtiene multiplicando los elementos de la i-ésima fila de C por los elementos de la j-ésima columna de D y sumando:
e ij = c i1 d 1 j + c i2 d 2j + … + c i kd k j =
En el producto de matrices...
k
∑ c il d lj .
... observamos que el número de columnas de la matriz de la izquierda y el de las filas de la matriz de la derecha es el mismo ( k).
l=1
De forma abreviada escribimos: E=C ·D o bien omitiendo el punto, simplemente E = CD. La operación de multiplicar matrices es una aplicación: ·: L (m ,k ) × L (k ,n ) → L ( m ,n ).
y, por lo tanto, para poder multiplicar dos matrices es necesario que la matriz de la izquierda tenga el mismo número de columnas que el número de filas de la matriz de la derecha. Con estas notaciones, el sistema (1) se escribe de la forma: A · x = b.
(3)
Ejemplo 1 ¿Cuándo es factible la multiplicación de dos matrices? Por ejemplo, hagamos la multiplicación matricial indicada:
3 – 1 2
–1
0
0
3
5
–1
4 1 0
2 3 ⋅ – 4 1
–1 2 . 0 3
Para poder multiplicar A y B es necesario que el número de columnas de A sea igual al de las filas de B. En el ejemplo dado el número de columnas de A y de filas de B es el mismo, 4, y el producto es posible. Cada elemento del producto tendrá 4 sumandos. El resultado es una matriz de 3 filas (número de filas de A) y 2 columnas (número de columnas de B) que presentamos a continuación: 7 –13 23
7 4 . 8
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Además de la matriz del sistema (2), también utilizamos la matriz ampliada , obtenida a partir de la matriz del sistema añadiendo la columna de los términos independientes:
(4)
...
...
...
a 11 a 12 … a 1 n b 1 a 21 a 22 … a 2n b 2 . a m 1 a m 2 … a mn b m Ejemplo 2 Dado el sistema de ecuaciones siguiente: 2x + 3y – 6z = 7 – 3 y + z = 1 , – x + 4y – z = 4
escribimos la matriz del sistema y la matriz ampliada. Escribimos el sistema de la forma que expresa la ecuación (3). Matriz del sistema: 2 0 –1
3 –3 4
–6 1 –1
.
Matriz ampliada: 2 0 – 1
3
–6 7 1 1 . –1 4
–3 4
Sistema: 2 0 – 1
3 –3 4
–6 1 –1
x 7 ⋅ y = 1 . z 4
2.2. Suma de matrices La suma de dos matrices m × n es igual a la matriz m × n que se obtiene sumando los elementos correspondientes:
…
…
c22 + d 22
… …
d 1n d 2n = d m n
...
d 22
…
d m2
c12 + d 12
c m 2 + d m2
…
c 1n + d 1n c 2n + d 2n = E, c mn + d mn ...
c 11 + d 11 c +d 21 = 21 c m1 + d m1
…
...
c m2
d 12 ...
…
d 11 d 21 d m1 ...
c 22
c 1n c 2n + cmn
...
…
...
c 12
...
...
c 11 c 21 c m 1
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o, en términos de los elementos: e ij = cij + d ij . Ejemplo 3 Hagamos esta suma: 3 – 1 0 4 8 1 0 4 –4 – 1 0 3 1 + 3 2 1 –3 . 2 2 5 – 1 0 5 –5 8 Solución: 1194 0 2 2 4 –2 2 7 0 7
.
Es fácil comprobar que la suma de matrices es asociativa y que la matriz 0, que tiene todos sus elementos iguales a 0, es el elemento neutro de la suma. También podemos asociar a cada matriz A su opuesta, −A, que tiene por elementos los opuestos de los de A. La suma de A y de −A da la matriz 0. Finalmente, la suma es conmutativa.
Resumiendo, la suma de matrices tiene las propiedades siguientes. Para todo A, B, C: 1) (A + B) + C = A + ( B + C) asociativa 2) A + 0 = 0 + A = A elemento neutro
(5)
3) A + (−A) = 0 elemento opuesto 4) A + B = B + A conmutativa
Las propiedades que acabamos de mencionar permiten definir la estructura de grupo.
Todo conjunto en el que hay definida una operación que tiene las propiedades (1), (2) y (3) recibe el nombre de grupo. Si, además, tiene la propiedad conmutativa (4), decimos que es un grupo conmutativo.
Así, (L(m,n),+) es un grupo conmutativo.
Propiedades inmediatas 1) Dado un conjunto dotado con una operación interna (que denotaremos por “+”), si existe un elemento neutro 0 tal que para todo a se verifica que a + 0 = 0 + a = a, entonces este elemento es único.
William Rowman Hamilton (1805-1865) Matemático nacido en Dublín, fue un niño precoz que a los cinco años, además de inglés, leía latín, griego y hebreo; a los diez, francés, italiano, árabe y sánscrito, y a los catorce persa. Abandonó el estudio de las lenguas para consagrarse a las matemáticas. Son importantes sus trabajos sobre números irracionales (Algebra as the Science of Pure Time , 1933-1835).
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2) Si en un conjunto como el anterior, además, la operación es asociativa y cada elemento a tiene un opuesto a’ tal que a + a’ = a’ + a = 0, entonces este elemento es único. 3) En un grupo el elemento neutro es único, y el elemento inverso (el opuesto en notación “+”) asociado a cada elemento del grupo también es único. 4) En un grupo, −(−a) = a. 5) En un grupo siempre se puede simplificar. Es decir, a+ c= b+ c⇒ a = b.
Demostración 1) Supongamos que existe otro neutro 0’ con las mismas propiedades. Por el hecho de que el 0 es el elemento neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0. Por el hecho de que 0´ también es neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0’. Por lo tanto, 0 = 0’, y el neutro es único. 2) Supongamos que a tuviese otro opuesto a’’. Siendo la operación asociativa, tendríamos: a ′ = 0 + a ′ = ( a″ + a ) + a ′ = a ″ + ( a + a ′ ) = a ″ + 0 = a ″. 3) Resulta como corolario de los anteriores. 4) De a + (−a) = 0 se deduce que a es opuesto de (−a), y por la unicidad del opuesto en un grupo, igual a −(−a). 5) Para probarlo sólo tenemos que añadir −c por la derecha a cada lado de la ecuación y utilizar la propiedad asociativa.
2.3. Matrices cuadradas Cuando las matrices tienen el mismo número n de filas y de columnas hablamos de matrices cuadradas. Si consideramos el conjunto de las matrices cuadradas, L(n, n), siempre las podemos sumar de dos en dos y multiplicar de dos en dos. En este caso, además de la matriz 0 (el elemento neutro de la suma), debemos introducir la matriz identidad I que está formada por unos en la diagonal principal y ceros en todo el resto:
…
0
…
0
0 0 0
...
0 ...
...
0 0 O = 0
…
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…
1
…
0
0 0 . 1
...
0 ...
...
1 0 I = 0
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…
Sean A, B, C matrices cuadradas cualesquiera de L(n,n). Además de las propiedades por la suma (5), el producto de matrices cuadradas cumplirá también las siguientes propiedades: 1) (A · B)· C = A · (B · C)
asociativa
2) A · I = I · A = A
elemento neutro
(6)
3) A · (B + C) = A · B + A · C (A + B) · C = A · C + B · C
distributiva
Conviene destacar que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir:
En general: A · B ≠ B · A.
Ejemplo 4 1 A = –2
3 1 B = 1 3
1 . 2
Comprobemos en este ejemplo que A · B ≠ B · A: 10 AB = 1
7 –1 BA = 0 –1
4 . 11
Un conjunto A dotado con dos operaciones: una suma, con las propiedades de grupo conmutativo, y un producto con las propiedades (5) y (6), es un anillo con unidad. Si, además, el producto es conmutativo, diremos que A es un anillo conmutativo con unidad .
Propiedades inmediatas En un anillo conmutativo se cumplen las relaciones que presentamos a continuación: 1) a ⋅ 0 = 0 . 2) a ⋅ ( – b ) = – ( a ⋅ b ) = ( – a ) ⋅ b . 3) ( – a ) ⋅ ( – b ) = a ⋅ b.
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Demostración 1) Utilizando las propiedades distributiva y elemento neutro de la suma, resulta: a ⋅ 0= a ⋅ (0 + 0)= a ⋅ 0 + a ⋅ 0 . Y, simplificando, resulta a · 0 = 0. 2) Utilizando la propiedad anterior, el opuesto de la suma y la propiedad distributiva, resulta: – ( a ⋅ b ) = – ( a ⋅ b ) + 0 = – ( a ⋅ b ) + a ⋅ 0 = – ( a ⋅ b ) + a ⋅ ( b + ( – b) ) = = ( – ( a ⋅ b ) + a ⋅ b ) + a ⋅ ( –b ) = 0 + a ⋅ ( –b )= a ⋅ ( – b ). 3) Resulta de la anterior y de –(–a) = a.
2.4. La transpuesta de una matriz Dada una matriz, en ocasiones interesa intercambiar sus filas y sus columnas. La matriz resultante se llama matriz transpuesta, y la denotaremos como At. Así pues, si A = (a ij ) y At = (a tij ) tendremos a tij = a ji. Ejemplo 5 Escribamos una matriz 3 × 4 y su transpuesta. 3 A = – 1 2 3 –1 A = 0 4 t
–1
0
0
3
5
–1 –1 0 3 1
4 1 0 2 5 . – 1 0
Es muy sencillo demostrar que:
+ B)t = At + B t (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At
(A
Diremos que una matriz cuadrada que sea igual a su transpuesta es simétrica . Las matrices que son simétricas lo son respecto a la diagonal principal, y no cambian al intercambiar filas por columnas. Ejemplo 6 La matriz siguiente:
1 2 3 A = 2 –5 6 3 6 7 es simétrica: A = At, es decir: aij = a ji ∀i, j.
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También tienen interés las matrices con la propiedad de que su transpuesta es igual a su opuesta. En este caso diremos que la matriz es antisimétrica . Las matrices antisimétricas tienen necesariamente ceros en la diagonal principal. Actividades 1. Sean las matrices siguientes: A = 2 5 –1 3
B = 3 –1 4 8
Comprobad que A · B ≠ B · A. 2 . El producto de una matriz por sí misma se denota en forma de potencia. De este modo, pondremos A · A · A = A 3 , etc. Dada la matriz A = 7 – 2 calculad: –1 2 a) 2 A3 – 5 A 2 + 4 A + 3 I . t
b) A ⋅ A . 3 . Demostrad que (A · B)t = B t · A t. 4. Si A es una matriz 4 × 6: a) ¿Es posible calcular A t · A y A · A t ? b) Si es posible hacerlo, ¿cuántas filas y cuántas columnas tiene At · A? c ) Ídem con A · A t . d) ¿Tienen alguna otra característica especial las matrices anteriores? 5 . Dada la matriz: A= a b c d probad que si δ = ad – bc ≠ 0, entonces la matriz 1 At = --- ⋅ d –b δ –c a es inversa de A, es decir A · At = A t · A = I. 6 . Sean: x x = y 1
a a a 11 12 1 A = a 12 a 22 a 2 a1 a2 a
Probad que: x t ⋅ A ⋅ x = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a . ¿Qué tipo de matriz es A? 7. Dadas tres matrices cuadradas n × n A, B, C, probad la propiedad asociativa de la multiplicación, es decir, (A · B) · C = A · (B · C).
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3. Espacios vectoriales
Las matrices admiten también otra operación, que es la multiplicación de un número o escalar. Estre producto se hace multiplicando cada elemento de la matriz por el número en cuestión.
La multiplicación por escalares también tiene propiedades características y fáciles de demostrar. Para todo A, B, λ, µ se verifican las propiedades que presentamos a continuación: 1) λ · (µA) = (λµ) · A 2) 1 · A = A
asociativa elemento neutro
(7)
3) (λ + µ) · A = ( λA) + (µA) λ · (A+B) = (λA) + (λB)
distributiva
Un conjunto dado de una operación interna (que llamaremos suma) con estructura de grupo conmutativo (5) y una multiplicación por escalares (elementos de un cuerpo) con las propiedades (7) decimos que tiene estructura de espacio vectorial (sobre el cuerpo de los escalares).
El conjunto de matrices de L(m,n) con la suma y la multiplicación por escalares forman un espacio vectorial.
Nos interesa destacar esta estructura de espacio vectorial que tienen las matrices y que también tienen otros muchos conjuntos matemáticos, como por ejemplo los polinomios. La estructura de espacio vectorial de las matrices nos permitirá profundizar en el tratamiento de los sistemas de ecuaciones.
Propiedades inmediatas En un espacio vectorial se verifican las relaciones siguientes: 1) 0 ⋅ a = 0 . 2) λ ⋅ 0 = 0 3) ( – 1 ) ⋅ a = – a
Para representar los escalares... ... utilizamos las letras griegas λ (lambda) y µ (mu).
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Demostración 1) En efecto, 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Por lo tanto, añadiendo –0 · a a los dos miembros y usando la asociatividad, resulta: 0 · a = 0. 2) La demostración es análoga a la anterior. 3) Utilizando las propiedades de espacio vectorial y la propiedad (1) resulta: −a = −a + 0 · a = −a + (1 + (−1)) · a = −a + (1 · a + (−1) + (−1) · a) = = (−a + a) + (−1) · a = 0 + (−1) · a = ( −1) · a Ahora estudiaremos de forma detallada las características de los espacios vectoriales. Para fijar ideas y por tratarse del espacio vectorial más natural, consideraremos el conjunto de vectores-columna (o matrices de n filas y una sola columna).
Llamamos E n o espacio vectorial de n dimensiones sobre los números reales al conjunto de vectores-columna de n componentes reales:
...
v1 v v = 2 . vn
La suma y la multiplicación por escalares en E n están definidas, siguiendo el apartado anterior, así:
...
...
...
v 1 w 1 v 1 + w 1 v + w = + = v n w n v n + w n
...
...
v 1 λ v1 λv = λ = v n λ vn y cumplen las propiedades (5) y (7), que lo configuran como espacio vectorial.
3.1. Dependencia e independencia lineal
Dado un conjunto de vectores {v1 ,v2 ..., v k} de En, decimos que son linealmente independientes si y sólo si la igualdad: λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + … + λ kv k = 0
(9)
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se verifica únicamente para λ1 = λ2 = … = λk = 0. En el caso contrario decimos que son linealmente dependientes.
Por ejemplo, los vectores siguientes:
(10)
...
...
...
u1
1 0 0 0 1 0 = 0 , u 2 = 0 , …, u n = 0 0 0 1
son linealmente independientes, ya que de la ecuación:
...
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + … + λn u n
λ 1 λ = 2 = 0 λ n
se deriva: λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 . Además, los vectores de (10) verifican la propiedad de que todo vector de En puede descomponerse de la forma:
...
v 1 v = = v 1 u 1 + … + vn un v n
(11)
que se expresa diciendo que v es combinación lineal de los vectores u1 , ..., un. Ejemplo 7 Los vectores siguientes: 1 v1 = – 2 5
– 2 v2 = 3 – 1
– 5 v3 = 7 2
son linealmente dependientes, ya que podemos comprobar que: v 1 + 3 v 2 – v3 = 0 , es decir, hay una combinación lineal de ellos igual a 0 donde no todos los escalares son 0.
Observamos que cualquier conjunto de vectores que contiene el vector 0 es linealmente dependiente, ya que λ · 0 = 0 para cualquier λ ≠ 0, y por lo tanto en la combinación lineal habrá un escalar diferente de 0. La definición de independencia lineal que hemos visto no tiene en cuenta el orden en el que se dan los vectores (por la propiedad conmutativa de la suma de vectores).
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Es obvio también que cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es linealmente independiente.
Supongamos que tenemos un conjunto de vectores v1 , ..., v k linealmente dependiente, es decir, tal que hay constantes reales λi no todas nulas para las que se verifica (9). Si, por ejemplo, se cumple λ i ≠ 0, entonces se puede aislar vi de la forma siguiente: λ λi – 1 λ v i = – -----1 v 1 – … – ----------v – … – -----k v k . λi λi i – 1 λi Decimos que vi es combinación lineal de los restantes vectores del conjunto v1, ..., vk . Recíprocamente, si v es combinación lineal de v1 , ..., vk , entonces los vectores v, v1 , ..., v k son linealmente dependientes.
3.2. Bases
Decimos que un conjunto de vectores {e 1 , ..., e k} es una base de En si: 1) {e1 , ..., ek} son linealmente independientes, 2) todo vector de E n puede expresarse como combinación lineal de {e 1 , ..., e k}.
Los vectores (10) son una base de E n, ya que verifican las dos condiciones anteriores, como ya hemos visto. Este conjunto de vectores recibe el nombre de base canónica de En.
Proposición 1 La expresión de un vector en una base es única
Demostración En efecto, sea {e1 , ..., ek } una base del espacio. Por la segunda condición de la definición de base, cualquier vector v de En puede ser expresado en esta base, es decir, existen v1 , ..., vk escalares tales que: v = v 1e 1 + … + v k e k.
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Si hubiese otra expresión de v en la base dada, por ejemplo la siguiente: v = v′ 1 e 1 + … + v′ k e k restando las dos ecuaciones obtendríamos: 0 = ( v1 – v′1 )e 1 + … + ( v k – v ′ k) e k Como los ei son linealmente independientes (por la primera condición de la definición de base), esta ecuación implica: v1 − v’ 1 = v 2 − v’ 2 = ... = vk − v’k = 0 es decir, v1 = v’1 , ..., v k = v’k y por lo tanto las dos expresiones de v son idénticas. Es decir, la expresión es única, que es lo que queríamos demostrar.
Los coeficientes vi que multiplican los vectores ei de la base se llaman componentes del vector v en la base {e1, ..., ek}.
Ahora analizaremos cómo son las bases de En.
Proposición 2 Sean v 1 , ..., v n los componentes del vector v en la base canónica (10) {u 1 , ..., un }: v = v 1u 1 + … + v nu n. Entonces, si v 1 ≠ 0, los vectores {v, u2 , ..., un } forman una nueva base de E n.
Demostración Debemos ver que {v, u2 , ..., un } cumplen las dos condiciones necesarias para ser una base: 1) Probamos que son linealmente independientes: De la ecuación: λ 1 v + λ 2 u2 + … + λn u n = 0 se deriva: λ 1 ( v 1 u 1 + … + v n u n) + λ 2 u 2 + … + λ n un = 0 ,
(12)
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que implica: λ 1 v 1 u 1 + ( λ 1 v2 + λ 2 )u 2 + … + ( λ 1 v n + λ n ) un = 0 , y por la independencia lineal de los vectores de la base canónica, resulta: λ 1 v 1 = 0,
λ 1 v 2 + λ 2 = 0, …,
λ1v n + λn = 0 ,
Como por hipótesis se cumple v1 ≠ 0, la primera de las ecuaciones anteriores implica λ1 = 0 y, sustituyendo esta solución en las otras, se obtiene: λ 2 = ... = λ n = 0. Por lo tanto, queda probado que (12) implica que λ i = 0 para todo i = 1, ..., n y los vectores son linealmente independientes. 2) Debemos ver que todo vector w de E n se puede expresar como combinación lineal de {v, u2 , ..., un }. A partir de la expresión (11) de v en la base canónica, teniendo en cuenta que v1 ≠ 0, obtenemos: 1 v – v-----2 u – … – v-----n u . u1 = ----v1 1 v1 2 v1 n
(13)
Sea ahora w un vector cualquiera, que expresado en la base canónica es: w = w 1 u 1 + … + wn u n . Empleando (13) obtenemos:
1 v – v-----2 u – … – v-----n u + w u + … + w u = w = w 1 ----2 2 n n v1 v1 2 v 1 n
w1 w 1 v2 w 1 v n = ------v + w 2 – -----------u + … + wn – -----------u v1 v1 2 v1 n que prueba que cualquier vector de E n se puede escribir como combinación lineal de los vectores {v, u 2, ..., un }
Teorema 1: teorema de Steinitz Si {e1 , ..., e k} son k vectores de E n linealmente independientes (con k ≤ n), entonces podemos sustituir k vectores convenientemente elegidos de la base canónica (10) {u1 ,.., un } para formar una nueva base de En.
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Demostración: Sean {e1 , ... e k} linealmente independientes. Por lo tanto, e 1 ≠ 0. Ponemos: e 1 = a 11 u1 + … + a 1n un . Algún componente a 1j será diferente de 0, ya que, si no, e 1 sería 0. Para fijar ideas suponemos que es a 11 ≠ 0 . Para la proposición 2 podemos formar la nueva base [e1 , u2 , ..., un ]. Si k > 1, expresamos e2 en la nueva base: e 2 = a 21 e 1 + a 22 u 2 + … + a 2n un . Necesariamente, alguno de los a 22 , a 23 , ..., a2n debe ser diferente de cero, ya que si no, la expresión anterior implicaría que {e 1 , e 2 } son linealmente dependientes, contra la hipótesis. Supongamos también, para fijar ideas, que sea a 2 2 ≠ 0. Aplicando nuevamente la proposición 2 pasaremos a la nueva base {e 1,e 2,u 3 ..., u n }. Continuando por el mismo procedimiento llegaremos a sustituir k vectores convenientemente elegidos de la base canónica por los vectores {e 1 , ..., ek }, tal como queríamos. De aquí se deducen inmediatamente los teoremas siguientes.
Teorema 2 Todo conjunto {v 1 , ..., vk } de vectores de E n linealmente independientes consta de k ≤ n vectores, y es una base si y sólo si k = n. Teorema 3 El número de vectores de todas las bases de En es n, y decimos que n es la dimensión de En .
Así, pues, el teorema 2 nos dice que no podemos tener una cantidad de vectores mayor que la dimensión del espacio y que sean linealmente independientes. Ejemplo 8 Dados los dos vectores: 0 e 1 = 3 – 2
0 e 2 = – 1 . 1
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a) Comprobemos que son linealmente independientes. b) Formemos una base de E 3 completando {e1 , e2} con vectores de la base canónica. Solución a) La ecuación λ 1 e 1 + λ 2 e2 = 0 lleva al sistema 3 λ 1 – λ 2 = 0, –2λ 1 + λ 2 = 0, que implica λ 1 = λ 2 = 0. Por lo tanto, son linealmente independientes. b) Siguiendo la construcción del teorema de Steinitz y la proposición 2, empezamos por sustituir e 1 por un vector conveniente de la base canónica. Como el primer componente de e1 en la base {u 1,u2,u 3} es 0, no podemos sustituir u 1 por e1. En cambio, e 1 sí que puede sustituir u 2, ya que el segundo componente es diferente de 0. De este modo, tenemos la nueva base {u 1,e1,u 3}. Tenemos: 0 e 1 = 3 = 3 u 2 – 2 u 3 , – 2 de donde resulta: 1 2 u 2 = --- e 1 + -- u 3 . 3 3 Ahora tenemos que expresar e2 en la nueva base. Tendremos: 0 e 2 = –1 = – u 2 + u 3 = – 1 --- e + 2 -- u + u 3 = – 1 --- e 1 + 1 --- u 3 . 3 1 3 3 3 3 1 Como el componte según u 3 es diferente de 0, resulta que e2 puede sustituir a u3 . De este modo, finalmente tenemos la base {u 1,e1,e 2} Todavía podemos expresar u 2 y u 3 en la nueva base: u 3 = e1 + 3 e2 1 2 u 2 = --- e 1 + -- ( e 1 + 3 e 2 ) = e 1 + 2 e 2 . 3 3 Ejemplo 9 Escribamos la base canónica para el espacio vectorial de las matrices n × m. ¿Qué dimensión tiene? La base canónica estará formada por cada una de las matrices que tienen un 1 en una posición diferente y todo el resto 0.
…
1
…
…,
…
0
…
0
…
0
…
0 1 0
…
0
…
0 0 , 0
…
…,
0 0 0
0
…
0
…
0
0 0 1
...
0
1
…
0
...
0 0 0
1 0 0
...
…
...
...
0 0 0
...
...
0 0 , 0
...
…
0
…
0
0 0 , 0
…
0
...
0
...
…
0
...
0
...
...
0 0 1
...
...
... …
0
...
…
0
0 0 0
0
…,
0 0 0
...
0 0 , 0
0 0 , 0
...
…
…
...
…
0
…
0
...
0
1
...
…
...
0
0 0 0
...
0 0 , 0
...
…
...
…
0
...
...
0 1 0
0
...
...
1 0 0
…
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Es inmediato comprobar que las matrices anteriores son linealmente independientes y que toda matriz puede expresarse como combinación lineal de éstas. En consecuencia, forman una base y la dimensión del espacio vectorial de las matrices n × m es n · m.
3.3. Subespacios vectoriales y rango Consideremos un conjunto F de vectores de E n´ tales que si contiene los vectores v y w también contiene su suma v + w, y con cada vector v contiene también el producto para cualquier número λ, es decir, λv. En un conjunto así, cada vector v contiene su opuesto −v = (−1)v. Por lo tanto, con cada par de vectores v y w contiene su diferencia v − w y de este modo contiene el cero. Esto hace que sea un subgrupo del grupo aditivo de los vectores de En . Como además también contiene el producto de cada vector por cualquier escalar, y las propiedades (5) y (7) continúan siendo válidas, el conjunto F en cuestión tiene estructura de espacio vectorial, y decimos que es un subespacio vectorial de En.
Decimos que un conjunto de vectores F ⊂ En es un subespacio vectorial de En si, y sólo si: 1) Para cada dos vectores v y w que contiene, contiene también su suma v + w. 2) Para cada vector v que contiene, contiene también su producto por cualquier escalar λ, es decir, contiene λv.
Ejemplo 10 El conjunto de múltiplos de un vector v cualquiera es un subespacio vectorial, es decir, tenemos que: F 1 = { λv λ ∈ R } . En particular, siv es el vector 0 , el subespacio se reduce al vector 0, que por sí solo constituye un subespacio vectorial trivial, que decimos que es de dimensión 0. Si v ≠ 0 , entonces, el subespacio F1 tiene dimensión 1, ya que v es una base de F1 .
De forma análoga podemos definir los generadores de F.
Dados k vectores {v1 , ..., v k }, el conjunto siguiente: F = { λ 1 v 1 + … + λk v k λ 1 ∈ R , …, λ k ∈ R } es un subespacio vectorial de E n ’, que llamamos subespacio vectorial generado por los vectores {v 1 , ..., v k }. Decimos que los vectores {v 1 , ..., v k } son un conjunto de generadores de F.
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Por el teorema 2, en En no puede haber más de n vectores linealmente independientes. Por lo tanto, F no puede contener tampoco más de n vectores linealmente independientes. De este modo, la dimensión de un subespacio vectorial F de En es menor o igual que n, y es igual al número de vectores que contiene cualquier base de F. (Todas tienen el mismo número, según el análogo del teorema 3 para los subespacios).
Llamaremos rango de un conjunto de k vectores {v1 , ..., v k } de E n a la dimensión del subespacio que generan.
En particular se tiene que el rango es menor o igual que k. Actividades 8.
Consideremos los vectores e1 = (2, 0, –3) y e2 = (–1, 3, 5): a) Probad que son linealmente independientes. b) ¿Es posible completar con u 3 para formar una base de E 3 ? ¿Por qué? c) Expresad un vector cualquiera v = (v 1 , v2 , v3 ) en la nueva base. d) Expresad u1 y u 2 en la nueva base.
9.
Consideremos los mismos vectores { e1 ,e 2} de la actividad 8: a) Encontrad una nueva base del subespacio generado por { e 1 ,e2 } que esté formada por e 1 y otro vector e 2′ tal que su primer componente expresado en la base canónica sea 0. ¿Es posible? ¿Por qué? b) Expresad e 2 en la nueva base.
10. Decid si son subespacios vectoriales los subconjuntos de R 3 siguientes: a) { ( x, y, z) ∈ R 3 : – 3 x + 2 y + z = 0 } . b) { ( x, y, z) ∈ R 3 : 5 x + 2 y – 7 z = 3 } . c) { ( x , y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0 } . 11. Sea F(R,R) el conjunto de funciones reales de variable real. Decid si son subespacios vectoriales los subconjuntos de F(R,R) siguientes: a) { f ∈ F ( R , R ) : f ( 1 ) = k } . b) { f ∈ F ( R, R ) : f ( 0 ) = 2 f ( 1) } . c) { f ∈ F ( R , R ) : f ( –x ) = f 2 ( x ) }.
El rango... ... lo representamos con la letra griega ρ (ro), correspondiente a nuestra r.
En el próximo apartado de este mismo módulo didáctico aprenderemos a determinar el rango de un conjunto de vectores. Lo haremos por el método de Gausss.
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4. El método de Gauss
Comencemos ahora el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Dado un sistema de ecuaciones lineales (1), lo que nos interesa es saber si tiene soluciones y cuáles son.
Por ello podemos transformarlo en otro equivalente, en el sentido de que, teniendo las mismas soluciones, sea más fácil de resolver. Hay sistemas que tienen una solución inmediata.
Por ejemplo, el sistema:
3x + 2y + z = 1 y – 2z = 2 2z = –1
es inmediato de resolver por sustitución hacia atrás: aislamos la z en la tercera ecuación, después la sustituimos en la segunda para aislar la y, y, finalmente, sustituimos la y y la z en la primera y aislamos la x. De este modo, tenemos:
z = –1 --2
1 y = 2 + 2z = 2 + 2 – --- = 1 . 2 1 1 1 1 x = --- ( 1 – 2y – z ) = --- 1 – 2 + --- = – --3 3 2 6
Decimos que un sistema como el del ejemplo está en forma triangular, ya que la matriz del sistema tiene ceros en la parte inferior izquierda de la diagonal principal.
El método de Gauss consiste en ir transformando el sistema de partida en otro equivalente, de tal modo que nos acerquemos, paso a paso, a un sistema como el del ejemplo, con ceros en la parte inferior izquierda. Ya discutiremos cuál es la forma final más simple que podemos obtener.
En el objetivo de reducir el sistema a otro con las mismas soluciones pero más sencillo, el método de Gauss utiliza tres tipos de transformaciones que presentamos a continuación.
Karl F. Gauss (1777-1855)... ... llamado Princeps Mathematicorum (príncipe de los matemáticos), ha sido, tal vez, el mayor matemático de la historia. Fue también, como E. Galois, un niño precoz: a los 3 años descubrió un error de cálculo en la paga de los obreros que tenía su padre (no sabemos si a favor de los obreros o de su padre).
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Transformaciones empleadas por el método de Gauss: a) Transformación 1: permutar dos filas entre sí. b) Transformación 2: añadir a una fila una paralela previamente multiplicada por un número. c) Transformación 3: multiplicar (o dividir) una fila por un número diferente de cero.
Obviamente la primera y la tercera transformación no modifican las soluciones. Para probar que la segunda no modifica las soluciones del sistema, debemos probar que toda solución de (1) es solución del sistema transformado siguiente: a 11 x 1 + … + a 1n x n = b 1
(14)
...
... ...
...
... ...
...
...
...
a i1 x 1 + … + a in x n = b i a j – 1, 1 x 1 + … + a j – 1 , n x n = b j – 1 ( a j1 + λ a i1 )x 1 + … + ( a jn + λ a in )x n = b j + λ b i a j + 1, 1 x 1 + … + a j + 1, n x n = b j + 1 a m 1 x 1 + … + a mnx n = b m y recíprocamente.
Pero esto es obvio: toda solución de (1) verifica (14), ya que la única ecuación diferente, la j-ésima, es una combinación lineal de la i-ésima y j-ésima ecuaciones de (1), y recíprocamente, toda solución de (14) lo es de (1), ya que la ecuación diferente, la j-ésima ecuación de (1), es igual a la j-ésima ecuación de (14) menos λ por la ecuación i-ésima. El método de Gauss empieza eligiendo como primera ecuación una de las ecuaciones del sistema por la que el coeficiente de la x 1 sea diferente de cero (transformación 1, si es necesario). El coeficiente de la x1 de la primera ecuación mencionado será el primer pivote elegido. A partir de aquí dejamos fijada la primera ecuación:
...
...
...
...
a ′11 x 1 + a′ 12 x 2 + … + a ′1n x n = b ′1 .
A continuación reducimos a cero los restantes coeficientes de x 1 en las otras ecuaciones (transformación 2 para cada ecuación), utilizando el pivote elegido. Para ello restamos a cada una de las demás ecuaciones la primera ecuación multiplicada por el coeficiente de x 1 en la misma ecuación y dividida por el
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pivote. De este modo sustituimos la fila i por la fila i menos la fila 1 multiplia i1 cada por -------. La nueva fila i será: a 11 a i1 a i1 a i1 0 + a i2 – -------a 12 x 2 + a i3 – -------a 13 x 3 + … + a in – -------a 1 n x n = a 11 a 11 a 11 a i1 = b i – ------b . a 11 1 De este modo la ecuación resultante tendrá coeficiente de la x1 igual a cero. Esto lo hacemos para las filas que van de la 2 hasta n. A continuación seleccionamos, entre las ecuaciones transformadas, una que tenga el coeficiente de la x 2 diferente de cero y la ponemos como segunda ecuación. Si todas tuviesen coeficiente de la x2 nulo pasaríamos a la x 3 , etc. Tomando como pivote el primer coeficiente no nulo de la que hemos elegido como segunda ecuación, repetimos el proceso con el resto de las ecuaciones y así sucesivamente. Procediendo así, acabaremos reduciendo el sistema completamente a una forma que tiene ceros en la parte inferior izquierda de forma escalonada. Pongamos un ejemplo de ello. Ejemplo 11 Resolvamos el sistema siguiente: 2x + 3 y + z = 6 x – 2y – 5 z = 5 . 3x + 5y + 3z = 8 Fijamos la primera ecuación, ya que el coeficiente de la x es 2 y es diferente de cero. Éste será el primer pivote. Para eliminar la x en la segunda ecuación multiplicamos la primera por –1/2 y la sumamos a la segunda. Para eliminarla de la tercera, multiplicamos la primera por –3/2 y la sumamos a la tercera. con estas operaciones, el sistema queda reducido a: 2x +
3y + z = 6 –7 ⁄ 2y − 11 ⁄ 2z = 2 1 ⁄ 2y + 3 ⁄ 2 z = –1
.
A continuación tomamos como pivote el coeficiente de la y en la segunda ecuación, es decir, –7/2. Por lo tanto, dejamos fijada también esta ecuación y eliminamos la y de la tercera. Para hacer esto, debemos multiplicar la segunda ecuación por 1/7 y sumarla a la tercera. El sistema será ahora: 2x +
3y + z = 6 – 7 ⁄ 2 y − 1 1 ⁄ 2z = 2 . 5 ⁄ 7 z = –5 ⁄ 7
Cuando hayamos llegado a este punto, el sistema habrá quedado triangular. Podemos aislar la z de la última ecuación y tendremos: z = –1.
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Sustituyéndola en la segunda, podemos aislar la y: y = –2 -- 2 + 11 ------ z = – 2 --- 2 – 11 ------ = 1 . 7 2 7 2 Finalmente, sustituyendo z e y en la primera obtendremos: 1 1 x = --- ( 6 – 3 y – z ) = --- ( 6 – 3 + 1 ) = 2. 2 2 Una forma más clara de seguir el procedimiento es utilizar la notación matricial. La matriz ampliada del sistema dado es: 2 1 3
3 –2 5
6 – 5 5 . 3 8 1
En el primer paso hemos elegido como pivote el coeficiente a 11 = 2, y lo que hemos hecho ha sido multiplicar la primera fila por –1/2 y sumar el resultado a la segunda, y multiplicar la primera fila por –3/2 y sumar el resultado a la tercera. El resultado es ahora: 2 0 0
3 –7 ⁄ 2 1 ⁄2
1 6 – 11 ⁄ 2 2 . 3 ⁄ 2 –1
En el segundo paso, el pivote elegido es a 22 = –7/2. Repetimos la operación multiplicando la segunda fila por 1/7 y sumando el resultado a la tercera. Con esto obtenemos la matriz triangular: 2 0 0
6 2 . 5 ⁄ 7 – 5 ⁄ 7
3
1
–7 ⁄ 2
(15)
–11 ⁄ 2
0
No todos los sistemas tendrán siempre una única solución, como sucedía en el ejemplo anterior. Veamos un caso de ello en el ejemplo siguiente: Ejemplo 12 Resolvamos el sistema siguiente: x+y–z = 0 – 2x + 3z = 5 . x + 5 y + z = 1 0 La matriz del sistema es: 1 –2 1
1 0 5
–1 0 3 5
. 1 10
Aplicándole el método de Gauss (segunda transformación tres veces) obtenemos la matriz siguiente: 1 0 0
1 2 4
–1 0 1 1 5 → 0 0 2 10
1 2 0
– 1 0 1 5 . 0 0
La matriz final tiene una fila menos que incógnitas, y ahora resulta que tenemos un grado de libertad para elegir la z, que puede tomar cualquier valor; esto se debe a que la tercera ecuación, que es la que queda con esta variable, es 0 · z = 0, que se cumple para cualquier valor real de z. Ponemos, entonces, z = t .
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Sustituyendo esta expresión en y, y las dos en x, obtenemos que la solución general del sistema depende de un parámetro arbitrario t, y es la siguiente: . x = z – y = t – 1 ⁄ 2 ⋅ ( 5 – t ) = 1 ⁄ 2 ⋅ ( 3t – 5 ) z = t
y = 1 ⁄ 2 ⋅ (5 – z ) = 1 ⁄ 2 ⋅ ( 5 – t )
En la eliminación podemos encontrarnos en la situación de tener que permutar filas (primera transformación), ya que el elemento diagonal que en principio tomaríamos como pivote se ha anulado. No hay ningún inconveniente en permutar filas para obtener un pivote diferente de cero y poder continuar así el proceso de eliminación en forma triangular, pero también puede ocurrir que todos los elementos de la columna sean cero. Ejemplo 13 Ponemos un ejemplo con cinco variables x1 , x2 , x3 , x4 , x5. Resolvemos el sistema que tiene la matriz ampliada siguiente: 1 1 1 – 1 2 1
–1
2
0
–1
2
0
0
2
3
2
–2
4
–2 –1
4 2
0 0
2 3 3 5 6 1 . 4 – 6 5 8 1 1
Tomamos como pivote el elemento de la primera fila y primera columna a11 , y reducimos a cero los restantes de la primera columna. El resultado es:
1
–1
2
0
2
0
0
0
0
1
0
1
0
3
4
0
1
0
4
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
–1
3 2 – 2 . – 3 2 –2
Ahora tomamos como pivote el elemento de la segunda columna y tercera fila, y permutamos así la segunda fila y la tercera:
1
–1
2
0
0
1
0
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3 4 – 2 1 2 . 2 – 3 1 2 1 – 2
De nuevo reducimos a cero los elementos restantes de la segunda columna:
1
–1
2
0
0
1
0
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2 3 4 – 2 1 2 . 2 – 1 1 2 – 1 – 2
En este ejemplo ha resultado, además, que se han anulado también los restantes elementos de la tercera columna.
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Tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y cuarta columna. Así, permutamos las filas tercera y cuarta:
1
–1
2
0
0
1
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 4 – 2 2 – 1 . 1 2 1 2 – 1 –2
Finalmente, tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y quinta columna y el sistema queda reducido completamente:
1
–1
2
0
0
1
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3 4 – 2 2 – 1 . 1 2 0 0 0 0
(16)
Podemos ahora expresar la solución general de esta forma: x5 = 2 x4 = – 1 – 2 x5 = –5 x3 = t x2 = – 2 – 3 x4 – 4 x5 = 5 x 1 = 3 + x 2 – 2 x3 – 2 x 5 = 4 – 2 t que, como vemos, depende de un parámetro arbitrario t (si bien en este ejemplo algunas incógnitas tienen valor fijo, independientemente de t).
En este ejemplo hemos visto que, al reducir a cero los elementos de una columna (la segunda), se nos han reducido “por azar” los elementos de la siguiente. Cuando esto sucede podemos hacer también una permutación de columnas, con el objetivo de continuar colocando el nuevo pivote en la diagonal principal de la matriz, siempre que permutemos también el orden de las variables correspondientes. Cuando reducimos con este criterio hablamos de pivotamiento total. Esto no aporta nada esencial a la solución del sistema, aparte del motivo estético que supone que los pivotes estén en la diagonal principal. Por esta razón generalmente no lo haremos. Pero si queremos, podemos hacerlo. De este modo, partiendo del sistema en la forma (16), podríamos permutar las columnas tercera y cuarta y obtendríamos:
x1
x2
x4
x3
x5
1
–1
0
2
2
0
1
3
0
4
0
0
1
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 –2 –1 . 2 0 0
Hemos tenido suerte, porque la tercera columna ha quedado automáticamente reducida sin necesidad de hacer nada más. Nuevamente debemos permutar
32
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la columna cuarta y la quinta para llevar el pivote de la quinta columna a la diagonal principal. El resultado es: x1 1 0 0 0 0 0
x2
x4
x5
x3
–1
0
2
2
1
3
4
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 –2 –1 . 2 0 0
La cuarta columna también ha quedado automáticamente reducida. Además, el sistema está ya totalmente reducido. Las filas (o ecuaciones independientes) tienen el pivote en la diagonal principal y las ecuaciones que no eran independientes se han reducido a cero y podemos eliminarlas. De donde obtenemos la solución: x3 = t x5 = 2 x 4 = – 1 – 2x 5 = –5 x 2 = – 2 – 3x 4 – 4x 5 = 5 x 1 = 3 + x 2 – 2x 3 = 4 – 2t que, como vemos, coincide exactamente con la solución dada con pivotamiento parcial. Las soluciones del sistema pueden ponerse también en forma de vectores columna: x 1 4 –2 0 x 2 5 x = x 3 = 0 + t 1 . x 4 –5 0 0 x 5 2 Veamos ahora otro ejemplo. Ejemplo 14 Resolvamos el sistema que tiene por matriz ampliada: 7 4 3
–3 2 –5
–1 0 8 5 . –9 7
Procedemos a reducir la primera columna tomando como pivote el coeficiente a 11 = 7. El resultado es: 7 0 0
–3 26 ⁄ 7 – 26 ⁄ 7
–1 0 60 ⁄ 7 5 . – 6 0 ⁄ 7 7
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Tomamos como pivote el elemento de la segunda fila y segunda columna a22 = 26/7 y reducimos la segunda columna: 7 0 0
0 60 ⁄ 7 5 . 0 12
–3
–1
26 ⁄ 7 0
Ahora el resultado consiste en que la tercera ecuación es imposible y, por lo tanto, el sistema no tiene ninguna solución. Es un sistema incompatible.
Actividades Resolved los sistemas de ecuaciones siguientes: 12. y + 5z = 0 y + 3 z = 1 . – 3x + 4y – z = 0 x+
2x –
13. z = 2 y + 3 z = 8 . – 2 x + 3 y + 2 z = – 3 5x + 2y – x–
14. x
+ z–
t = 2
= 1 x + 3y + 4z – 7t = 11. – 4x + 3y – z – 2t = 1 – 2x + 2y – t = 2 2x –
y+
z
15. 4x – 2y – z = 2 3x + 5y + 3z = 2 . x – 7y – 4z = 2 16. 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 – 4 x4 – 4 x5 = 8 2 x4 + 4 x5 = –2 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 = 1 . x 1 + 3 x 2 + 4x 3 x2 4 x3 = 3 3 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 4 x5 = 1
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5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius
Hemos definido en el apartado 3 de este mismo módulo didáctico el rango de un conjunto de vectores {v1 , ..., vk } como la dimensión del subespacio que generan. Sean los vectores:
...
...
...
v11 v21 vk 1 v v v v 1 = 12 , v 2 = 22 , … , v k = k 2 . v 1n v2n vk n El método de Gauss permite determinar su rango. En efecto, ponemos los componentes de los vectores en forma de vectores-fila y construimos la matriz correspondiente: …
v 22
…
vk 2
v 1n v 2n . v kn
(17)
...
v 12 ...
...
v 11 v 21 v k1
…
Aplicamos el método de Gauss. Las transformaciones de Gauss convierten el conjunto dado de vectores en otro conjunto que genera el mismo subespacio, ya que la permutación de filas (primera transformación) no altera el conjunto, y la segunda modifica el vector de la fila j utilizando el de la fila i en una transformación reversible:
cambia {v i, vj} por { v′i , v′j } = {v i , vj + λvi }
y esta transformación se puede invertir:
{vi , v j}={ v′i , v′j − λ v ′i }.
Teniendo en cuenta que los restantes vectores no cambian con una segunda transformación, los subespacios generados por {v1 , ..., vi , ... v j, ..., v k } y por {v 1, ..., v′i , ... v ′j , ..., v k } son los mismos, ya que toda combinación lineal de vectores del primer conjunto puede ponerse como combinación lineal de los vectores del segundo conjunto y recíprocamente.
Por último, la tercera transformación obviamente tampoco altera el subespacio generado.
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En consecuencia, podemos utilizar el método de Gauss y reducir la matriz (17). El resultado será una matriz escalonada, es decir, con la forma siguiente:
(18)
...
... ...
... ...
... ...
... ...
ol 0 ... l 0l 0 ... l 0l 0 ... l 0l 0 ... l 0 0 0 ... ol 0 ... ll 0 0 ... ll 0 0 ... l 0 0 0 ... 0 0 ... ol 0 ... l 0l 0 ... l 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ol ... l 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0
donde los o son los pivotes que son estrictamente diferentes de cero y
l son
números que pueden ser diferentes de cero o no. Los restantes elementos habrán quedado reducidos forzosamente a cero.
Los vectores de la fila que han quedado son, por construcción, un conjunto de generadores del subespacio que genera {v1 , ..., vk}.
Pero además son linealmente independientes, ya que en toda combinación lineal nula de los vectores que se obtienen, el primer vector-fila debe estar multiplicado por cero para que el primer componente de la combinación sea siempre nulo, y de este modo sucesivamente para todo el resto de vectores-fila.
En consecuencia, los vectores resultantes forman un base del subespacio generado.
El rango de {v 1 , ..., vk} será, entonces, igual al número de vectores-fila diferentes de cero que hayan quedado después de la reducción completa por Gauss.
Además, los vectores-fila que quedan forman una base del subespacio generado.
Ejemplo 15
Para encontrar el rango de los vectores siguientes:
v1
1 1 1 – 1 2 1 –1 – 1 0 2 –2 – 1 2 2 2 – 2 4 2 = , v2 = , v3 = , v4 = , v5 = , v6 = 0 0 3 4 0 0 2 3 6 4 5 1 3 5 1 – 6 8 1
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consideramos la matriz correspondiente de los vectores-fila: 1 1 1 –1 2 1
–1
2
0
2
–1
2
0
3
0
2
3
6
2
–2
4
4
–2
4
0
5
–1
2
0
1
3 5 1 –6 8 1
y aplicamos el método de Gauss. Esta matriz es la misma del ejemplo 13, donde hemos visto que el resultado era: 1 0 0 0 0 0
–1
2
0
2
1
0
3
4
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
3 –2 –1 2 0 0
Por lo tanto, el rango de {v1 , ...,v6 } es 4 y, además, la reducción gaussiana nos permite determinar una base del subespacio que generan: 1 0 0 0 –1 1 0 0 2 0 0 0 v 1′ = , v 2 ′ = , v 3 ′ = , v 4 ′ = . 0 3 1 0 2 4 2 1 3 –2 –1 2
Consideremos ahora el método de Gauss aplicado a sistemas desde la óptica anterior. A partir de la matriz ampliada (4) llegaremos, por reducción gaussiana, a una matriz de la forma:
l l l l l 0
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
o l ... l l... l l ... l l ... l 0 0 ... o l... l l ... l l ... l 0 0 ... 0 0... o l ... l l ... l 0 0 ... 0 0... 0 0 ... o l ... l 0 0 ... 0 0... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0... 0 0 ... 0 0 ... 0
donde hemos destacado la columna de los términos independientes. Si en la ecuación final, de la forma 0 = l, resulta que el segundo miembro es estrictamente diferente de cero, el sistema resultante será incompatible, ya que contendrá una ecuación imposible. En caso contrario, el sistema será compatible. Podemos definir ahora el rango de una matriz.
El rango de una matriz es el máximo número de filas linealmente independientes que contiene, y es igual, a la dimensión del subespacio generado por las filas consideradas como vectores-fila.
Recordemos que... ... para determinar el rango de una matriz podemos emplear el método de eliminación de Gauss.
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Con esta definición ahora podemos continuar la discusión sobre el número de soluciones del sistema y llegaremos a las conclusiones siguientes: 1) Cuando el rango de la matriz ampliada sea igual al de la matriz del sistema, no puede aparecer ninguna ecuación incompatible del tipo 0 = o.
2) El rango de la matriz ampliada puede, sin embargo, superar el de la matriz del sistema en una unidad. En este caso, necesariamente quedará la última ecuación de la forma 0 = o y el sistema será incompatible.
3) En lo que respecta al número de parámetros libres que tiene la solución de un sistema compatible, observemos que las variables a las que no haya quedado asociado ningún pivote pueden ser elegidas arbitrariamente, de forma que las otras quedarán determinadas en función de éstas. Teniendo en cuenta que queda una ecuación para cada pivote, el número de grados de libertad de la solución será igual al de incógnitas menos el rango del sistema. Podemos enunciar ya el teorema de Rouché-Fröbenius.
Teorema 4: teorema de Rouché-Fröbenius Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz ampliada, y es incompatible en caso contrario. El número de grados de libertad de un sistema compatible, o número de parámetros del que depende la solución del sistema, es igual al número de incógnitas menos el rango de la matriz del sistema.
Actividad 17. Comentad las actividades 10, 11, 12 , 13 y 14 desde el punto de vista del teorema de Rouché-Fröbenius.
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6. Sistemas homogéneos
Un sistema homogéneo es aquel en el que el término independiente de todas las ecuaciones es cero. Un sistema homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas será de la forma:
.. .
.. .
.. .
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = 0 a m 1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = 0
(19)
Matricialmente se expresa del siguiente modo: A · x = 0. Es evidente que todo el sistema homogéneo admite la solución trivial:
...
...
x 1 0 x 2 = 0 x n 0
o, brevemente, x = 0.
Se dice, por abuso de lenguaje, que un sistema homogéneo que únicamente tenga la solución trivial no tiene soluciones propias.
Para los sistemas homogéneos, la matriz ampliada contiene sólo una columna de ceros más que la matriz del sistema, de forma que el rango de la matriz ampliada será igual al rango de la matriz del sistema. La primera parte del teorema de Rouché, aplicado ahora, nos dice que siempre tendrá solución, algo evidente ya que x = 0 es una solución trivial. Pero en el caso de los sistemas homogéneos, las soluciones que interesan son precisamente las que no son triviales. Para un sistema homogéneo, si hay una solución particular x1 o, detalladamente,
...
...
x 1 x 11 x x x = 2 = 12 x n x 1n
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entonces, si t es un parámetro arbitrario, x = t x 1 también es solución. Es decir, también es una solución para todo t.
...
...
x 1 x 11 x 2 = t x 12 . x n x 1n
Si un sistema homogéneo admite un conjunto de soluciones particulares x i , para 1 ≤ i ≤ s, toda combinación lineal de la forma x = t1 x 1 + t 2 x 2 + … + t s x s será también solución. Si ponemos las solución en forma matricial, será:
(20)
...
...
...
...
x 1 x 11 x 21 x s1 x x x 2 = t 12 + t 22 + … + t x s2 . 1 2 s x n x 1n x 2n x sn
Estas proposiciones son consecuencia inmediata de las propiedades de las operaciones con las matrices dadas en el apartado 2. Ejemplo 16 Resolvamos el sistema 2w = 0 x – y + 3 z – 7w = 0 2 x + 5 y – 1 0z + 23 w = 0 5x + 2y –
z+
y pongamos la solución en la forma de la fórmula (20). Partimos de la matriz del sistema: 5 1 2
2
–1
–1
3
5
– 10
2 0 –7 0. 23 0
Resulta más cómodo tomar el primer pivote de la segunda ecuación y permutar las filas una y dos: 1 5 2
–1
3
2
–1
5
–7 0 2 0 . 23 0
– 10
Reducimos a cero la primera columna. El resultado es: 1 0 0
–1
3
7
– 16
7
– 16
–7 0 37 0 . 37 0
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Ahora reducimos la segunda columna y el resultado es: 1 0 0
–1
3
7
– 16
0
0
– 7 0 37 0 . 0 0
El sistema tiene rango dos y dos grados de libertad. La solución es: . y = 16 ⁄ 7 ⋅ z – 37 ⁄ 7 ⋅ w = 16 ⁄ 7 ⋅ t 2 – 37 ⁄ 7 ⋅ t 1 x = y – 3 z + 7 w = –5 ⁄ 7 ⋅ t 2 + 12 ⁄ 7 ⋅ t 1 w = t1 z = t2
Finalmente, puesto en forma vectorial: x 12 ⁄ 7 – 5 ⁄ 7 12 –5 y – 37 ⁄ 7 16 ⁄ 7 – 37 = t +t = t ′ + t ′ 16 . 1 2 1 2 z 0 1 0 7 w 1 0 7 0
Actividades 18. Resolved el sistema de ecuaciones siguiente: 2x – y + 3z = 0 – x + 3y + 7z = 0 . – x + 8 y + 24 z = 0 1 9. Resolved el sistema de ecuaciones siguiente: x + y + 5z = 0 2 x + 2 y + 10 z = 0 . – 3 x – 3 y – 15 z = 0 20. Resolved el sistema de ecuaciones siguiente: x + y + 5z = 0 4x + 7y – 3z = 0 . – x – 3y + 2z = 0 21. Resolved el sistema de ecuaciones siguiente: x + y + 5z – 3t = 0 2x – 3y + z + 2t = 0 . 4 x – y + 11 z – 4 t = 0 x – 4 y – 4 z – t = 0 2 2. Dado un sistema lineal homogéneo de la forma A · x = 2 demostrad, utilizando las propiedades de las operaciones con matrices y vectores dadas en el apartado 2 de este mismo módulo didáctico que, si x 1, x 2, ..., x s son soluciones particulares del sistema, entonces t1 x 1 + t2 x 2 + … + ts x s también es solución del sistema para todo conjunto de valores t 1, t 2, ..., t s reales.
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7. Determinantes y regla de Cramer
Entre los sistemas de ecuaciones lineales adquieren especial importancia los que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas, y particularmente los que son determinados, ya que son los más habituales en muchas aplicaciones científicas y técnicas. Hemos visto en el apartado anterior cómo se resuelve en la práctica cualquier sistema de una forma efectiva y con pocas operaciones; pero si lo que deseamos es dar una fórmula directa que exprese la solución, entonces aparecen los determinantes. Este problema interesó a Leibnitz hacia 1678. Gotfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716)...
7.1. Determinantes de segundo orden Empezamos por un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
a 11x 1 + a 12 x 2 = b 1 . a 21x 1 + a 22 x 2 = b 2
Multiplicando la primera ecuación por a 22 , la segunda por a 12 y restando para eliminar x 2, obtenemos:
( a 11 a 22 – a 21 a 12 ) ⋅ x 1 = b 1 a 22 – b 2 a 12 .
Esta fórmula nos sugiere definir el determinante de una matriz 2 × 2 del modo siguiente:
c 11 det C = det c 21
c 12 c = 11 c 22 c21
c 12
= c 11 c 22 – c 12 c 21 .
c 22
Con esta definición la ecuación anterior se puede escribir:
b1 x 1 det A = det b2
a 12 . a 22
Hacemos la misma operación por x 2 y resulta: a 11 x 2 det A = det a 21
b 1 . b 2
... hijo de un profesor de filosofía de familia acomodada, pronto se interesó por la historia y el derecho. A los 8 años comenzó a estudiar latín y poco tiempo después, griego. Fue bachiller en 1663, y estudió geometría euclidiana y álgebra con el físico Erhard Weigel, y en 1666 defendió su tesis, De arte combinatoria , con la que obtuvo el título de doctor en filosofía. Interesado por las máquinas y por los ingenios, en 1671 escribió su primera obra sobre la mecánica, Hypothesis physica nova, e inventó una máquina de calcular para aligerar el cálculo a los astrónomos. Por sus trabajos de diplomático (sugirió a Luis XIV que conquistase Egipto y que atacase las colonias holandesas de Asia) viajó a Londres y a París, donde Christian Huygens lo inició seriamente en las matemáticas, algo que lo llevó al descubrimiento del cálculo diferencial e integral.
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Ahora, si:
det A =
a 11
a 12
a 21
a 22
≠ 0,
(21)
podemos aislar x 1 y x 2 y obtenemos: b1
a 12
b2 a 22 x 1 = --------------------------------a 11 a 12 a 21
a 11
b1
a 21 b2 x 2 = ---------------------------------. a 11 a 12
a 22
a 21
a 22
Las fórmulas anteriores reciben el nombre de regla de Cramer . La condición (21) permite decidir si el sistema es compatible y determinado o no. Podemos ilustrar así la regla para calcular un determinante de segundo orden:
La notación... ... de determinante fue introducida por A. Cayley en el año 1839.
Ejemplo 17 Dado el sistema siguiente, utilizemos la regla de Cramer para decidir si es o no es compatible y determinado, y obtened en este caso la solución: 2x + 5y = 7 . 3x – 4y = 4 El determinante del sistema es: ∆ = 2 3
5 = – 23 ≠ 0.
–4
Por lo tanto el sistema es compatible y determinado, y las soluciones son: 7
5
2
7
4 –4 48 3 4 13 x = -------------------------- = ------ y = ------------------------ = ------ . ∆ 23 ∆ 23 Ejemplo 18 Dado el sistema: 4x + 7y = –5
3 kx + 8 y = 2
discutid para qué valores del parámetro k el sistema es compatible y determinado, y en este caso dad la solución.
El uso matemático de ∆ Es muy habitual designar el determinante del sistema con la letra griega delta mayúscula (∆).
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El determinantes del sistema es: ∆ =
3k
8
4
7
= 21 k – 32.
Por lo tanto, si: 32 k ≠ -----21 el determinante es diferente de cero y el sistema es compatible y determinado. En este caso, la solución es: 2
8
3k
2 – 1 5k – 8 4 – 5 y = ---------------------------- = ------------------------ . 2 1k – 3 2 ∆
–5 7 = ----------------------54 x = ---------------------------∆ 2 1k – 32
7.2. Determinantes de tercer orden En este subapartado consideramos sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas. La búsqueda de combinaciones adecuadas de las ecuaciones que eliminen una variable, para encontrarnos en un caso que ya sabemos resolver, lleva a definir el determinante de orden tres.
Dada una matriz: c 11 C = c 21 c 31
c 12
c 13 c 23 , c 33
c 22 c 32
llamamos menor complementario γij de un elemento cij al determinante de segundo orden que se forma con los elementos de C que se obtienen suprimiendo la fila y la columna correspondientes al elemento dado.
Entonces, definimos el determinante de C de la forma siguiente: c11 det C = c21
c 12
c 13
c 22
c 23 = c11 γ 11 – c 21 γ21 + c 31 γ31 =
c31
c 32
c 33
= c11
c 22
c 23
c 32
c 33
– c 21
c12
c 13
c32
c 33
+ c 31
c12
c 13
c22
c 23
.
(22)
De la definición anterior, sustituyendo los determinantes de segundo orden, resulta: det C = c11 c 22 c 23 + c12 c 23 c 31 + c 13 c 21 c 32 – – c 11 c23 c 32 – c 12 c 21 c33 – c 12 c 21 c33 – c 13 c 22 c 31,
(23)
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lo cual muestra la simetría de la definición respecto a las permutaciones de índices, y respecto a filas y columnas, por contraposición a (22), donde destaca especialmente una columna. La definición (22) o (23), aunque parezca arbitraria, es de hecho consecuencia de generalizar, al caso 3 × 3, las fórmulas para aislar las incógnitas que hemos visto para sistemas 2 × 2. La regla (23) para calcular un determinante de tercer orden recibe el nombre de regla de Sarrus y puede ser ilustrada así:
Ejemplo 19 Calculemos el determinante siguiente: 1 ∆ = 3 4
4
–3
–2
1.
–1
5
Solución ∆ = 1 ( –2 ) 5 + 3 ( – 1 ) ( –3 ) + 1 ⋅ 4 ⋅ 4– 4( – 2) ( –3 ) – 1 ( –1 ) ⋅ 1 – 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = –68.
7.3. Determinantes de orden n Podemos generalizar los determinantes para un orden n cualquiera. Dada una matriz n × n:
a 11 a 21 an 1
a 12
…
a 22
…
a n2
…
a 1n a 2n . a nm
Definiremos el det A por la fórmula siguiente: det A =
σ
∑ ( –1 ) σ
a 1i 1 a 2i 2 … a ni n
(24)
donde la suma se extiende a todas las permutaciones (i 1 ,i 2 ..., i n ) de los índices (1, 2, ..., n), y el signo corresponde a la paridad de la permutación. No pretendemos que entendáis con toda claridad la definición anterior, ya que todavía no hemos estudiado las permutaciones. No insistiremos, de este
Ved los apartados 7.1 y 7.3 de este mismo módulo didáctico.
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modo, sobre esta fórmula. Únicamente la aplicaremos al caso n = 3 para ver cómo actúa. Las permutaciones de (1, 2, 3) son: ( 1, 2 , 3 )+ , ( 1, 3 , 2 )– , ( 2, 1 , 3 ) – , ( 2, 3 , 1) + , (3 , 1 , 2 ) + , ( 3, 2, 1 )– donde hemos puesto la paridad como subíndice. La paridad de una permutación es positiva cuando el número de transposiciones o permutaciones de 2 índices que es necesario hacer para llegar a la permutación (1, 2, 3) es par, y negativa si es impar. De este modo, la fórmula (24) aplicada a los determinantes de orden 3 dará: det A = a 11a 22 a 23 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + + a 12 a 23 a 31 – a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 , que es idéntica a la fórmula (23) dada por la regla de Sarrus.
Las propiedades que ahora daremos de los determinantes son válidas para los determinantes de cualquier orden. Las demostraciones de estas propiedades, hechas a partir de la definición (24), son un poco técnicas y no las ponemos en el texto para no alargarlo innecesariamente. Podéis consultarlas en la bibliografía.
7.3.1. Propiedades de los determinantes
1) Desarrollo por una fila (o columna): adjunto. El valor de un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) cualquiera, por los menores complementarios correspondientes afectados de un signo que depende de la posición que ocupe el elemento, se-
+
–
+
…
–
+
–
+
–
+
…. …
...
...
...
gún la regla de signos siguiente:
El signo correspondiente a la posición (i, j) es (–1)i+j. La expresión resultante equivale a “desarrollar el determinante por los elementos de la fila (o columna) correspondiente”. De este modo, (22) no es más que la expresión del determinante de orden 3 desarrollado por la primera columna.
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Llamamos adjunto C ij de un elemento c ij a su menor complementario dotado del signo que le corresponde en el anterior esquema de signos. Para cualquier índice de fila (o columna) i, tenemos:
det C = c i1 C i1 + c i2 C i2 + … + c in C in = c1 i C 1i + c2 i C 2i + … + c ni C ni .
Esta propiedad es muy útil para calcular efectivamente los determinantes, ya que permite reducir el cálculo de un determinante de orden n al cálculo de determinantes de orden n–1.
2) Transponer. El valor del determinante de una matriz es igual a la de su transpuesta, es decir, no se altera al intercambiar filas y columnas:
c21
c 22
…
c 2n ...
...
c n1
c n2
…
=
c 11
c21
…
c n1
c 12
c22
…
c n2
c nn
c 1n
.
...
c 1n
...
…
...
c 12
...
c11
c2 n
…
cn n
3) Permutar filas o columnas. Al intercambiar entre sí dos filas o bien dos columnas el valor de un determinante cambia de signo.
Por ejemplo, si intercambiamos la columna i por la j obtenemos:
c1 i
…
c 1j
…
c 1n
c21
…
c2 i
…
c 2j
…
c 2n
…
c ni
…
c nj
c nn
c1 j
…
c 1i
…
c 1n
c21
…
c2 j
…
c 2i
…
c 2n
…
c n1
... …
cn j
.
...
…
...
c11 ...
= –
...
... …
c n1
=
...
…
...
c11
…
c ni
c nn
4) Filas o columnas iguales. Un determinante que tenga dos filas (o columnas) iguales vale 0: …
c 1i
…
c 1n
c 21
…
c 2i
…
c 2i
…
c 2n
... cn 1
…
c ni
…
c ni
= 0.
...
c 1i
...
…
...
c 11
…
c nn
5) Suma de determinantes parecidos. La suma de dos determinantes que tengan las filas (o las columnas) comunes excepto una es igual al determinante que
47
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
se obtiene con las filas (o columnas) comunes y la fila (o columna) no común formada por la suma de los elementos correspondientes de los determinantes
c 21
c 22
…
c 2n
c 21
c 22
…
c 2n
cn n
c n1
c n2
+
…
cn n
a 12 + a′12
…
a 1 n + a′1n
c 22
…
c2 n
...
...
c 21
=
cn 1
=
.
...
...
a 11 + a′11
a 1′ n
...
a1 n
…
…
...
…
c n2
a 12 ′
...
a 12 ...
a 11
c n1
a 11 ′
...
que sumamos:
…
c n2
c nn
6) Multiplicación de una fila o columna por un escalar. Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por un escalar, el determinante
… …
cn 2
…
λ c 1n
c 11
c12
…
c1 n
c2 n
c 21
c22
…
c2 n
c nn
c n1
cn 2
= λ
.
...
c22
...
c n1
λ c12
...
...
c 21
...
λc 11
...
queda multiplicado por el mismo número:
…
c nn
No debemos confundir la operación de multiplicar una fila de la matriz por un escalar con la operación de multiplicar la matriz por un escalar introducida en el apartado 4 de este módulo didáctico. Allí todos los elementos de la matriz quedaban multiplicados por el escalar. Teniendo en cuenta esto (utilizando esta propiedad para cada una de las n filas o bien n columnas de A) resultará: det ( λ A ) = λn ⋅ d e tA . 7) Añadir una fila (o una columna) multiplicada por un escalar a una paralela. Un determinante no varía si añadimos a una fila (o una columna) los
c 21
c22
…
c2 n + λc 2j
...
c n1
cn 2
…
c nn + λ c nj
=
c 11
c 12
…
c 1n
c 21
c 22
…
c 2n
c n1
c n2
si j ≠ n.
...
c1 n + λc 1j
...
…
...
c12
...
c 11 ...
elementos de una paralela multiplicados por una misma constante:
…
c nn
8) Elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de una paralela. La suma de los elementos de una fila (o una columna) por los adjuntos de una paralela vale 0:
a i1 A j1 + a i2 A j2 + … + a in A jn = 0
si i ≠ j.
48
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9) Determinante de un producto de matrices cuadradas. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz: det ( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B Las propiedades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 que acabamos de enunciar permiten calcular determinantes sin necesidad de desarrollarlos por la fórmula (24). Para calcular un determinante podemos ir reduciendo a ceros los elementos de una fila, como hacíamos en el método de Gauss, ya que la propiedad 7 nos autoriza a hacerlo, y después utilizar 1 para desarrollar por aquella fila. Ejemplo 20 Ved cómo calcular el determinante siguiente: 1 ∆ = 3
–2
4
–5
1.
2
7
2
Para reducir a cero los elementos de la primera columna: – Multiplicamos la primera fila por 3 y la restamos de la segunda. – Multiplicamos la primera fila por 2 y la restamos de la tercera. El resultado es:
∆ =
1
–2
0
1
4 – 11 .
0
11
–6
Ahora, desarrollándolo por la primera columna, resulta: ∆ = 1 11
–1 1 = – 6 + 121 = 115. –6
Este método es mucho más eficiente para calcular determinantes que (23). La utilidad de las fórmulas (24) o (23) es más teórica que práctica. Sirve para demostrar resultados u obtener expresiones compactas, pero se utiliza poco para calcular efectivamente determinantes. Las propiedades mencionadas también nos permiten asegurar que cierto determinante es cero sin necesidad de desarrollarlo. Ejemplo 21 Probemos que: 1 ∆ = 3
–2
–1
–5
–2 = 0.
2
7
9
Solución: en efecto, teniendo en cuenta que la tercera columna es la suma de las dos primeras, y utilizando primero la propiedad (7) y después la (5) obtenemos que el resultado es 0, porque se trata de la suma de dos determinantes nulos (es decir, que valen 0).
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
49
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n Consideremos ahora un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
...
...
...
...
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n
Multiplicando la ecuación i por el adjunto Ai1 y sumando por todo i resulta: ( a 11 A 11 + a 21 A 21 + … + a n1 A n 1 )x 1 + + ( a 12 A 11 + a 22 A 21 + … + a n2 A n1 )x 2 + … + + ( a 1n A 11 + a 2 n A 21 + … + a nn A n1 )x n = = b 1 A 11 + b 2 A 21 + … + b n A n1 . Para la propiedad 1 el primer paréntesis vale det A, mientras que para la 8, los restantes paréntesis valen 0. Por lo tanto, la expresión anterior queda reducida a: …
a1 n
b2
a 22
…
a2 n
bn
.
...
...
a 12
...
x 1 det A =
b1
a n2
…
a nn
Podemos repetir el cálculo anterior con los adjuntos de las columnas segunda, tercera, ..., i-ésima, respectivamente, y si: det A ≠ 0
(25)
obtenemos las fórmulas de Cramer, también, para las demás variables: ∆ x i = -----i ∆
(26)
donde:
b1
a 1, i + 1
…
a 1n
a 21
…
a 2, i – 1
b2
a 2, i + 1
…
a 2n
…
a n, i – 1
a n1
bn
...
...
...
a 1, i – 1
...
…
...
∆i =
a 11
a n, i + 1
…
a nn
50
…
a1 n
a 21
a 22
…
a2 n
a n1
a n2
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
(27)
...
a 12 ...
∆ =
a 11 ...
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…
a nn
Observad que: a) El determinante ∆i se obtiene cambiando la columna i de ∆ por la columna de términos independientes. b) La condición para que el sistema sea compatible y determinado se expresa en (25). Veamos un ejemplo de sistema 3 × 3. Ejemplo 22 Utilicemos la regla de Cramer para discutir y resolver el sistema siguiente: x + 2y – z = 1 – 5x + 4y + 3z = 5 . 2x + y + 2z = 6 El determinante del sistema es: 1 ∆ = –5
4
2
–1 3 = 1 ⋅ 4 ⋅ 2 + ( –5 ) ⋅ 1 ⋅ ( – 1 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 – 2 ⋅ 4 ⋅ ( – 1 ) –
2
1
2 – 2 ⋅ ( –5 ) ⋅ 2 – 1 ⋅ 3 ⋅ 1 = 50 ≠ 0
y, en consecuencia, el sistema es compatible y determinado. Para calcular las variables tendremos: 1 1 x = -----50 5 6
2
1 1 y = ------ – 5 50 2
1
1 1 z = ------ – 5 50 2
–1
40 = 4 --3 = -----50 5 2
4 1
–1
48 24 = -----3 = -----50 25 2
5 6 2 4 1
1 86 43 = ------. 5 = -----25 50 6
Veamos un ejemplo 4 × 4: Ejemplo 23 Resolvamos por Cramer el sistema siguiente 4 × 4: x + y + 3z – 2t = 3 2x – 4 y + 7 z + 2 t = –1 . 3x – 2y + 9z – t = 6 x + 3 y – z – t = 0
51
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
El determinante del sistema es:
∆ =
1
1
3
2
–4
7
–2 2
3
–2
9
–1
1
3
–1
–1
.
Empleando como pivote el elemento de la primera fila y la primera columna, reducimos a cero la primera columna: 1
1
3
∆ = 0 0
–6
1
–5
0
0
2
–4
–2
–6 6 = –5 5 2 1
1
6 5.
0 –4
1
Ahora podemos añadir la tercera columna a la primera, utilizando nuevamente la séptima propiedad de los determinantes. Obtenemos:
∆ =
0
1
6
0
0
5
3
–4
1
= 3 ⋅ 5 = 15 ≠ 0.
El sistema es de Cramer, y podemos calcular los determinantes ∆ 1, ∆2 , ∆3 y ∆4 , que nos determinarán x, y, z, t. De este modo: 3
1
3
–2
0
–11
24
∆1 = –1 6
–4
7
–4
7
2
–2
9
2 = –1 –1 0
– 26
51
11
0
3
–1
–1
3
–1
–1
– 11 = –2 6
24
4 61 11 = 127
24
– 20
51
51
– 40 =
3
–1
–1
–1
0
=
61
0
0
4 =
–20 = 100, –4 0
127
lo cual permite obtener x: 100 20 x = ---------- = ------. 3 15 Procediendo de forma similar, obtenemos: ∆ 2 = – 80,
∆ 3 = – 51
y
∆4 = – 89.
Finalmente, 16 y = – ------ , 3
17 z = – ------ , 5
89 t = – ------ . 15
Como puede comprobarse, habría resultado mucho más corto hacer los cálculos con el método de Gauss.
Hemos visto que la teoría de los determinantes permite una formulación compacta para resolver los sistemas n × n. Pero el precio que se paga por este método es bastante elevado, ya que para resolver efectivamente un sistema es mucho menos eficiente que el método de Gauss.
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Podemos afirmar que los determinantes tienen un papel teórico y permiten sistematizar los resultados, mientras que en el momento de resolver sistemas concretos, el método eficiente y recomendado con carácter general es el método de Gauss. Incluso cuando debemos calcular un determinante, lo hacemos reduciendo a cero filas o columnas por el método de añadir a una fila (o columna) otra fila u otra columna multiplicada por una constante (propiedad 7), y repitiendo la operación tantas veces como sea necesario, sin utilizar directamente las definiciones. En definitiva, el procedimiento de cálculo regresa nuevamente al método de Gauss. Los determinantes permiten también obtener una definición alternativa a la que ya hemos visto del rango de una matriz.
Llamamos determinante menor de orden s de una matriz a todo determinante formado por s filas y s columnas extraídas de la matriz dada. Si la matriz tiene m filas y n columnas, el menor de orden máximo que podemos formar será de orden igual al menor de los dos números m, n.
Con la definición de menor podemos enunciar el teorema siguiente.
Teorema 5 El rango de una matriz es igual al orden del menor de orden máximo diferente de cero.
Para utilizar este teorema debemos encontrar un menor no nulo de orden tan grande como seamos capaces, algo que nos indicará que los vectores de la fila implicados son linealmente independientes. A continuación, vamos ampliándolo con una fila y una columna, de modo que el nuevo determinante menor continúe siendo diferente de cero. Cuando todos los menores orlados del dado sean nulos, habremos determinado el rango.
Dada la simetría entre filas y columnas en un determinante, se deduce fácilmente que en una matriz n × m, el número de filas y el de columnas linealmente independientes es el mismo.
Veamos, de este modo, la utilidad teórica de los determinantes ante la potencia práctica del método de Gauss. Los determinantes son un complemento necesario para discutir y sistematizar el estudio de los sistemas de ecuaciones, pero para calcular las soluciones utilizaremos el método de Gauss.
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Actividades 23. Utilizando determinantes, ved qué podemos decir a propósito de un sistema homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas:
(28)
...
...
...
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = 0 . a n1 x 1 + a n2 x 2 + … + a nn x n = 0 a) ¿Cuál es la condición para que el sistema tenga soluciones no triviales?
b) En el caso de que tenga, y que ésta tenga a su vez 1 grado de libertad, ¿qué expresión podemos dar para la solución? 24. ¿Para qué valores de λ el sistema homogéneo siguiente tiene soluciones no triviales? En estos casos, encontradlas. 5z = 0 12 z = 0 . y + ( 2 – λ )z = 0
( – 2 0 – λ) x +
9y –
– 51 x + ( 2 3 – λ )y – 3x –
25. Determinad λ para que el sistema siguiente sea compatible: z = 2 x + 2y – 3 z = 4 . x + 2y – z = 3 λ x – 2 y + 2 z = 1 2 x – 3y –
26. Discutid las soluciones del sistema siguiente, según los valores del parámetro λ: λx + y +
z = 1 z = λ . x + y + λz = λ2 x + λy +
27. Determinad λ para que el sistema tenga soluciones no triviales, y dad las soluciones correspondientes en forma de vectores-columna. λx + y + z = 0 3 x + λ y – 2 z = 0 . 2x + 4 y + z = 0 28. a) Demostrad que: 1
x
x2
1
y
y
2
z
2
1
z
= ( x – y ) ( y – z ) ( z – x ). Determinante de Vandermonde
x1
x1
2
…
x1
1
x2
x22
…
x n2 – 1 .
...
...
1
xn
xn
2
n –1
...
1
...
b) Generalizando el método anterior, calculad el determinante siguiente, conocido como determinante de Vandermonde:
…
n –1
xn
Determinante que tiene unos en la primera fila, mientras que la segunda fila es arbitraria y las siguientes están formadas por las potencias sucesivas de los elementos de la segunda fila. Lo mismo se puede aplicar en lo que respecta a las columnas.
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a 12
a 13
…
a1 n
0
a 22
a 23
…
a2 n
0
0
a 33
…
a 3n .
...
...
0
0
0
...
a 11
...
29. Calculad este determinante:
…
an n
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
8. Matriz inversa
Diremos que la matriz cuadrada A tiene inversa si hay una matriz, que denotaremos como A –1, la cual verifica: A ⋅ A– 1 = A –1 ⋅ A = I.
Teniendo en cuenta que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes y que el determinante de I es 1, para que A tenga inversa es necesario que: det A ≠ 0.
(29)
Esta condición es también suficiente a partir de la primera y la octava propiedad de los determinantes. Si se cumple (29), la matriz siguiente: …
A 22
…
A 2n
A n1 A n2 A nn
(30)
...
A 21 ...
–1
...
A
A 11 A 12 1 = --------------- det A A 1n
…
formada por los adjuntos de los elementos (transpuestos) divididos por el determinante es inversa de A .
En efecto, si multiplicamos esta matriz por A, los elementos diagonales de la matriz del producto corresponderán a la suma de productos de los elementos de una fila por los adjuntos de la misma fila y divididos por det A que, por la propiedad 1 de los determinantes, es 1.
En cambio, los elementos no diagonales corresponderán a la suma de productos de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela que, por la propiedad 8 de los determinantes, es cero. Así pues, la condición necesaria y suficiente para que A tenga inversa es (29).
La fórmula (39) de la matriz inversa tiene, como siempre, más utilidad teórica que práctica, ya que resulta muy costoso hacer el cálculo de la inversa a partir de ésta. Podemos emplear también el método de Gauss.
El método de Gauss nos permite resolver simultáneamente diferentes sistemas considerando la matriz ampliada con una columna para cada segundo miem-
Recordad la novena propiedad de los determinantes
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
bro. Aplicamos el método de Gauss tomando como segundos miembros los vectores columna:
...
...
0 0 1 , …, 0 0 1
...
1 0 , 0
los cuales, puestos como columnas de la matriz ampliada, forman la matriz identidad. El sistema será ahora:
…
…
…
...
x 1n 1 = 0 x nn
0 1
...
…
x 11 ⋅ x n1
...
...
a 1n a nn
...
…
...
a 11 a n1
…
o, en forma de matrices: A ⋅X = I
(31)
y la solución será precisamente X = A − 1. La matriz ampliada del sistema será: …
... ... a nn 0
…
0 . 1
...
a 1n 1
…
...
a 11 a n1
…
Primero, la reducimos por el método de Gauss a forma triangular. A continuación, dividimos las filas por los elementos diagonales que han quedado, a fin de convertirlos en unos. Finalmente, reducimos a cero también los elementos del triángulo superior empleando el método de Gauss de abajo a arriba y tomando como pivotes los unos de la diagonal principal. El resultado será:
…
…
0 x 11
…
…
1 x n1
lo cual nos dará la matriz inversa X.
Ejemplo 24 Queremos encontrar la matriz inversa de A, donde: 1 A = 5 2
x 1 n , x nn
...
... ...
...
1 0
1 4 –1
1 5 . 1
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FUOC • P00/75004/00191
Para encontrarla, escribimos la matriz ampliada siguiente: 1 5 2
1 1 5 0
0
4 –1
1 0
0
1
0 0 . 1
1
la cual reducimos por el método de Gauss. En la primera triangulación obtenemos: 1 0 0
1
1
–1
1
0
–5
1
0 – 1 13
0
–3
0 0 . 1
Podemos continuar su reducción multiplicando la tercera fila por –1 y la segunda también por –1 para llenar de unos la diagonal principal. Finalmente, reduciremos a cero la parte superior de la matriz del sistema. El resultado será: 1 0 0
0
0
9
–2
1
0
5
–1
0
1 – 13
3
1 0 . – 1
La matriz inversa es, por lo tanto: 9 5 –13
–2 –1 3
1 0 . – 1
Vemos así que el coste de encontrar la inversa de una matriz n × n por el método de Gauss es resolver simultáneamente n sistemas por Gauss con la propia matriz del sistema, que es muy inferior a n veces el coste de resolver un sistema; esto se debe a que, para cada sistema, únicamente debemos añadir los cálculos relativos a la columna correspondiente de la matriz ampliada. Si hemos calculado la matriz inversa de A, tenemos automáticamente la solución de cualquier sistema de la forma A·x=b ya que multiplicando esta ecuación por A−1 por la izquierda obtenemos lo siguiente: x = A−1 · b Actividades 30. Calculad, si la hay, la inversa de la matriz siguiente por el método de Gauss: 1 2 –3
–2 5 1
4 – 3 . 4
31. a) Calculad la matriz inversa de: cos α senα
– s e n α . cos α
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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b) Comprobad que A · A t = A t · A = I. c ) Las matrices que verifican la propiedad anterior reciben el nombre de ortogonales. ¿Es posible conseguir que la matriz siguiente sea ortogonal eligiendo a, b y c de forma adecuada? 3 ⁄ 5 4 ⁄ 5 0
– 4 ⁄ 13 3 ⁄ 13 12 ⁄ 13
a b . c
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Resumen
Hemos visto que, para resolver efectivamente sistemas de ecuaciones lineales, el método de eliminación de Gauss es el más adecuado. Permite transformarlos en forma escalonada con un mínimo de operaciones. Por otro lado, la teoría de los determinantes permite una formulación teórica más directa, pero los cálculos son mucho más complicados. Para un sistema n × n determinado, las fórmulas de Cramer nos dan una expresión directa de las soluciones. A pesar de ello, en el momento de calcular determinantes también utilizamos el método de Gauss. Los sistemas de ecuaciones nos llevan, de forma natural, a introducir el concepto de matriz y sus operaciones, reconociendo en ellas las estructuras de anillo y de espacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales aplicado a los sistemas de ecuaciones nos permite introducir el concepto de rango de una matriz, y a partir de esto el teorema de Rouché-Fröbenius da la clave para saber si un sistema es compatible o no, y si lo es, cuántos grados de libertad tiene la solución general. Los determinantes resultan también útiles para saber si una matriz tiene inversa, y hemos llegado a la conclusión de que, para ello, es necesario únicamente que su determinante sea diferente de cero.
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Ejercicios de autoevaluación 1 . Resolved los sistemas de ecuaciones siguientes: y + 2z = 19 x + 2 y + 3 z = 27 . 4 x + 2 y + 5z = 42 3x +
y + 2z = 19 x + 2 y + 3 z = 27 . 4 x + 3 y + 5z = 42 3x +
y + 2z = 19 x + 2 y + 3 z = 27 . 4 x + 3 y + 5z = 46 3x +
y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 . 4 x + 2 y + 5z = 0 3x +
y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 . 4 x + 3 y + 5z = 0 3x +
2 . Discutid el sistema siguiente según el valor del parámetro m. Resolvedlo por los valores de m que hacen que sea compatible: mz = m x + y + 3 z = 5 . 2x + my + = 0
–x+
3 . Discutid este sistema según los valores de a y b: a x + by + z = 1 x + aby + z = b . x + b y + a z = 1 4. Consideremos los vectores v1 = (1, 2, 0, –1), v2 = (2, –1, 1, 3), v3 = (–1, 3, –2, 2) y v4 = (4, 3, 0, 7). a) ¿Son linealmente independientes? Escribid esta condición en términos de determinantes. b) Determinad el rango de { v1 , v2 , v3 , v4 } y dad una base del subespacio que generan. c) Sustituid los vectores convenientes de la base canónica {u 1 , u2 , u3 , u 4} por los vectores encontrados en el apartado anterior para formar una nueva base de E 4 . d) Expresad los vectores {v1 , v 2 , v3 , v 4 } en la nueva base, y determinad sus componentes en esta nueva base. 5 . Encontrad la inversa de la matriz siguiente: 9 –2 – 4 A = 1 --- 1 2 – 1 5 –12 1 7 6 . Dada la matriz 2 A = 4
–1 –2
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
encontrad matrices B y C que cumplan A · B = C · A = 0 . ¿Hay alguna matriz D diferente de 0 tal que A · D = D · A = 0 ? 7 . Lo mismo que en el ejercicio anterior, suponiendo que ahora A es tal que det( A)≠0 . 8 . Una empresa tiene dos centros de producción, uno en Lérida y otro en Mataró. En cada uno de los centros se han hecho las compras siguientes: • En Lérida se han comprado 1 tonelada de tinta, 2 toneladas de papel, 3 toneladas de disolvente y 5 toneladas de madera. • En Mataró se han comprado 2 toneladas de tinta, 6 toneladas de papel, 4 toneladas de disolvente y 3 toneladas de madera. Sabiendo que los precios para cada artículo son: tinta 3 u.m. (unidades monetarias), papel 2 u.m., disolvente 5 u.m. y madera 2 u.m. a)Disponed esta información en dos matrices A y B de forma que A · B nos dé la cantidad total que han gastado cada uno de los centros de producción. b) Encontrad otra matriz C, tal que operando convenientemente las tres matrices obtengamos el total gastado entre los dos centros c)Encontrad una matriz H que, operada convenientemente, nos dé la cantidad total de cada producto que han comprado entre los dos centros (es decir: 3 toneladas de tinta, 8 toneladas de papel...). d) Al cabo de unos cuantos días, una vez agotado todo el material, deciden volver a hacer la misma compra (los mismos productos y las mismas cantidades), pero el vector de precios es ahora (4, 2, 6, 7). Disponed esta información en dos matrices D y E de forma que D · E nos dé por columnas las cantidades totales que han gastado los centros en cada una de las compras que han hecho. e)¿Cómo podemos encontrar la cantidad gastada entre los dos en cada una de las compras? f)¿Cómo encontramos la cantidad total gastada entre los dos? 9 . Disponemos de tres aleaciones A, B y C, cuya composición aparece en la tabla siguiente: A
B
C
Plata
5%
10%
15%
Cobre
15%
25%
40%
Oro
80%
65%
45%
Mezclando las tres aleaciones podemos obtener diferentes productos con varias proporciones de plata, cobre y oro. a) Encontrad una matriz tal que, multiplicándola por los kilogramos de A, de B y de C que mezclemos, nos proporcione los kilogramos de plata, cobre y oro que hay en la mezcla final. ¿Cuál es la suma de cada una de sus columnas? b) Mezclando 50 kilogramos de A, 20 de B y 20 de C, cuántos kilogramos de plata, cobre y oro habrá en la mezcla resultante? ¿Cuál será la proporción de plata, cobre y oro en la mezcla final? c) Mezclando 0,5 kilogramos de A, 0,2 de B y 0,3 de C, ¿cuántos kilogramos de plata, cobre y oro habrá en la mezcla resultante? ¿Cuál será la proporción de plata, cobre y oro en la mezcla final? d) ¿Podemos obtener una mezcla con el 20% de plata y el 80% de oro? ¿Qué interpretación de la solución podemos dar cuando alguna incógnita toma valor negativo? e) ¿Podemos obtener una mezcla con el 11,5% de plata, el 30,5% de cobre y el 58% de oro? 10. Supongamos que las composiciones de las aleaciones del ejercicio anterior son: A
B
C
Plata
5%
10%
15%
Cobre
15%
25%
35%
Oro
80%
65%
50%
a) ¿Podemos obtener una mezcla con el 20% de plata y el 80% de oro? b) ¿Podemos obtener una mezcla con el 11% de plata, el 27% de cobre y un 62% de oro? Si hay diferentes posibilidades, de las que tienen valores positivos para las tres variables, ¿cuál tiene una proporción menor de plata? ¿Cuál tiene una proporción mayor?
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
11. Se mezclan tres aleaciones A, B, C de las características siguientes:
A
B
C
Plata
5%
10%
15%
Cobre
15%
25%
m%
Oro
80%
65%
85 − m%
para obtener una mezcla que tenga el 12% de plata, n% de cobre y el resto de oro. Plantead el sistema correspondiente y discutidlo según el valor de los parámetros m y n. Resolvedlo cuando sea posible.
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Solucionario Actividades 1 . Tenemos que: 2 5 3 –1 26 38 A ⋅ B = = . –1 3 4 8 9 25 3 –1 2 5 7 12 B ⋅ A = = . 4 8 –1 3 0 44 Así pues, efectivamente, A · B ≠ B · A. 2. 526 – 194 3 2 2 A – 5 A + 4 A + 3 I = – 97 41 7 –1 7 –2 50 – 1 6 t A A = = . –2 2 –1 2 – 16 8 3 . Como es habitual, escribiremos (A) ij = aij y ( B) j k = b jk donde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n y 1 ≤ k ≤ m´. También tendremos, por definición de la matriz transpuesta, que (A t) ij = a ji y (Bt) ij = b ji. Si consideramos ahora la matriz (A · B) t, tenemos que ((A · B )t) ij = (A · B) ji =
∑a n
k= 1
jk
b k i.
Sin embargo: t
∑ (B )
t
t
n
( B A ) ij =
k = 1
ik
∑b
t
n
( A )k j =
k = 1
ki
a jk =
∑a n
k= 1
jk
b k i.
con lo cual ((A · B )t) ij = (Bt · A t)ij y las matrices (A·B ) t y Bt·A t son iguales. 4 . Tenemos: A
t
A
·
6×4
t
B1
=
4× 6
y
6× 6
A 4× 6
A
·
t
6×4
B2
=
4×4
Por lo tanto, los dos productos se pueden calcular. Observemos que, por las propiedades de la matriz transpuesta: t
t
t
t t
t
t
B 1 = ( A A) = A (( A) ) = A A = B 1 y, por lo tanto, B 1 es simétrica. Comprobad que B2 también es simétrica. 5. 1 1 a b ---------------------- d – b a b d –b ---------------------- c d ( a d – b c ) – c a = ( ad – bc ) c d –c a = 0 1 0 1 ad – bc = ----------------------= . 0 1 ( a d – bc ) 0 a d – b c 6. a 11 a 12 a 1 x ( x y 1 ) a 12 a 22 a 2 y = a 1 a 2 a 1 a 11 x + a 12 y + a 1 = ( x y 1 ) a 12 x + a 22 y + a 2 = a1 x + a2y + a 2
2
= a 11 x + 2 a 12 xy + a 22 y + 2 a 1 x + 2a 2 y + a .
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Así, pues, la matriz A es simétrica. 7 . Recordemos que ((AB )C)ij se obtiene haciendo el producto de la fila i de la matriz (AB ) por la columna j de C y, por lo tanto, podemos escribir:
∑ ( A B) n
( ( A B )C) ij = ( A B ) i1 C 1j + ... + ( A B ) in C nj =
m = 1
im
C m j.
Pero cada uno de los elementos de A · B se obtiene haciendo:
∑a n
( A B ) im = a i1 b 1m + a i2 b 2m + ... + a im b n m =
k= 1
ik
bk m ;
sustituyendo los (A B)im por sus valores tenemos:
( ( A B )C ) ij =
∑ (A B ) n
m = 1
im
Cmj =
∑ ∑ a n
m= 1
n
k = 1
ik
b km c m j .
Haciendo los productos y reorganizando los sumatorios (lo cual puede hacerse por la propiedad distributiva del producto respecto a la suma), obtenemos:
( ( A B )C ) ij =
∑ ∑ a n
m = 1
=
n
k= 1
∑a n
k = 1
ik
ik
b km c m j =
∑ a ∑ b n
k= 1
ik
n
m = 1
km
c m j =
( B C) k j = ( A (B C ) ) ij.
8. a) La ecuación λ 1 e1 + λ 1 e1 = 0 se escribe: λ1 ( 2 , 0 , – 3 ) + λ2 ( – 1 , 3 , 5 ) = 0 que, en componentes, lleva al sistema: 2 λ1 + λ2 = 0 3 λ2 = 0 – 3 λ1 + 5 λ2 = 0 La única solución de este sistema es λ 1 = λ 2 = 0. En consecuencia, e1 y e2 son linealmente independientes. b) Siguiendo el método de la proposición 2 y el teorema de Steinitz, a partir de la base canónica { u 1 ,u 2 ,u 3 } empezamos por sustituir u1 por e 1 . Esto es factible, ya que el componente de e 1 según u 1 en la base canónica es 2 ≠ 0. Tenemos: e 1 = 2 u1 – 3 u 3 y así: u1 = 1 --- e 1 + 3 --- u 3 . 2 2 Por lo tanto, { e1,u 2 , u 3} forman una base de E3 . Un vector arbitrario v = (v1, v2 , v3) se expresará así en la nueva base: 1 3 v = v1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = v 1 --- e 1 + -- u 3 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = 2 2 1 3 = --- v1 e 1 + v 2 u 2 + --- v1 + v3 u 3 . 2 2 Podemos continuar la sustitución de vectores de la base canónica. Expresamos e 2 en la base anterior { e 1,u 2,u 3 }. Tendremos:
66
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1 e 2 = --- ( – 1 )e 1 + 3u 2 + 2
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
1 7 3 ---- 2 ( – 1 ) + 5 u 3 = – 2 e1 + 3 u 2 + -2-- u 3 .
El componente según u 2 es 3 ≠ 0, y de este modo puede sustituir a u 2: 1 1 7 u 2 = --- e 1 + --- e 2 – --- u 3 . 6 3 6 Ahora podemos expresar v en la nueva base { e 1,e 2,u 3}: 3 v = -1-- v 1 e 1 + v 2 u 2 + --- v 1 + v 3 u 3 = 2 2 = 1 --- v 1 e 1 + v 2 1 --- e + 1 -- e – 7 --- u + 3 --- v + v 3 u 3 = 6 1 3 2 6 3 2 1 2 1 1 1 = --- v 1 + --- v 2 e 1 + --- v2 e 2 + 2 6 3
7 3 v – -- v + v 3 u 3 . --2 1 6 2
c) Es la fórmula obtenida en el apartado anterior. d) Utilizando la expresión anterior y aplicándola a u 1 = (1,0,0) y a u 2 = (0,1,0), resulta: u1 = 1 --- e 1 + 3 --- u 3 2 2 1 1 1 u 2 = --- e 1 + --- e 2 – --- u 3 . 6 3 7 9. a) El segundo vector debe pertenecer al subespacio generado por { e1,e 2}. Por lo tanto, debe ser combinación lineal: e′2 = λ e 1 + µ e 2 = λ ( 2, 0, – 3) + µ ( –1, 3, 5 ). Si el primer componente de e′2 debe ser 0, resulta 2 λ − µ = 0, que, sustituyendo en la expresión anterior de e′2 , da: e ′2 = λ ( 2, 0, – 3 ) + 2 λ ( – 1 , 3, 5 ) = λ ( 0, 6, 7 ) y si queremos podemos elegir λ = 1, obteniendo e′2 = (0, 6, 7) b) 1 1 1 e 2 = --- ( e ′2 – λe 1 ) = – --- e 1 + --- e ′2 . µ 2 2 10. a) Se toman dos elementos del conjunto A = {(x, y, z) ∈ R 3 : –3x + 2 y + z = 0}:(u 1,u2 ,u3) y (v1,v2 ,v3). • Debemos comprobar si se verifica que (u 1,u2 ,u3) + (v1 ,v2,v3) = (u 1 + v1, u2 + v′2 u 3+v3) ∈ A. Para ello, es necesario que veamos que: – 3 ( u 1 + v1 ) + 2( u 2 + v 2) + u 3 + v3 = 0 . Efectivamente: – 3 u 1 + 2 u 2 + u 3 – 3 v 1 + 2 v 2 + v3 = 0 porque
– 3 u1 + 2 u2 + u3 = 0 y
– 3 v 1 + 2 v2 + v 3 = 0
• Debemos comprobar si k (u 1, u2, u 3) ∈ A. Para ello es necesario ver que –3 ku1 + 2ku2 + ku3 = 0. Efectivamente: – 3 k u1 + 2 k u 2 + k u3 = k ( – 3 u 1 + 2u 2 + u 3 ) = 0 . b) Se toman dos elementos del conjunto B = {(x, y, z) ∈ R 3 : 5x + 2y – 7z = 3}: (u 1, u 2, u 3) y (v1, v2 , v3). • Debemos comprobar si se verifica que (u 1 + v1, u2 + v2, u3 + v 3) ∈ B. Para ello, es necesario ver que:
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
5 ( u 1 + v1 ) + 2 ( u 2 + v 2 ) – 7 ( u 3 + v 3 ) = 3 . Pero tenemos que: 5 u 1 + 2 u 2 – 7 u 3 + 5 v 1 + 2 v2 – 7 v3 = 3 + 3 = 6; por lo tanto, el conjunto B no es un subespacio vectorial de R 3 . c) Se toman dos elementos del conjunto C = {( x, y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0}: (u 1 , u2, u3) y (v1 , v2, v3). • Debemos comprobar si se verifica que ( u1 + v 1, u2 + v 2u 3 + v3) ∈ C. Para ello, es necesario ver que: ( u1 + v 1 ) ≥ 0 . Efectivamente, si u 1 ≥ 0 y v1 ≥ 0 entonces (u 1+v1) ≥ 0. • Debemos comprobar si k(u 1,u2 ,u3) ∈ C. Siendo u 1 ≥ 0, no necesariamente tenemos que k u1 ≥ 0 por cualquier valor de k. 11. a) Se toman dos elementos del conjunto A = {f ∈ F(R,R) : f(1) = k}:f1 y f2. • Queremos ver si f1 + f 2 ∈ A. Para ello es necesario que se verifique que (f1 + f 2)(1) = k. Tenemos ( f 1 + f 2 ) ( 1 ) = f 1 ( 1 ) + f 2 ( 1) = k + k = 2k . Así pues, sólo se verifica en el caso k = 0. Por lo tanto, en general, A no es subespacio vectorial de F(R,R). b) Se toman dos elementos del conjunto B = {f ∈ F(R,R) : f(0) = 2f(1)}: f1 y f 2. • Queremos ver si f 1 + f 2 ∈ B. Para ello es necesario que (f1 + f2 )(0) = 2(f 1 + f 2)(1). Efectivamente: ( f1 + f 2 ) ( 0 ) = f 1 ( 0 ) + f 2 ( 0 ) = 2 f 1 ( 1 ) + 2 f 2 ( 1) = 2 ( f 1 + f 2 ) ( 1 ). • Queremos comprobar si kf 1 ∈ B. Para ello es necesario ver si (kf1)(0) = 2(kf 1)(1). Efectivamente: ( k f 1 ) ( 0 ) = kf 1 ( 0 ) = k2 f 1 ( 1) = 2 ( kf 1 ) ( 1 ). c) Se toman dos elementos del conjunto C = {f ∈ F(R,R) : f(–x) = f 2 (x)}:f 1 y f 2. • Queremos ver si f1 +f2 ∈C. Por ello es necesario que (f 1+f 2)(–x) = (f 1+f 2) 2 (x). Tenemos 2
2
2
( f 1 + f 2 ) ( – x ) = f1 ( – x ) + f 2 ( – x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ≠ ( f 1 + f 2 ) ( x ). Por lo tanto, C no es subespacio vectorial de F(R, R). 12. 1 1 5 1 5 0 1 1 1 5 0 2 – 1 3 1 → 0 –3 – 7 1 → 0 –3 –7 7 –3 4 –1 0 0 7 1 4 0 0 0 – -3--
0 1 7 -- 3
y, por lo tanto, el sistema tiene como solución única x = 3; y = 2; z = –1. Podemos comprobar que el resultado es correcto sustituyendo los valores encontrados por las incógnitas en cada una de las ecuaciones, con lo que obtenemos: x + y + 5 z = 3 + 2 + 5 ⋅ ( –1) = 0
(correcto),
2 x – y + 3 z = 2 ⋅ 3 – 2 + 3 ⋅ ( –1 ) = 1 – 3 x + 4 y – z = ( – 3 ) ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 –( –1) = 0
(correcto), (correcto).
13. Observad las permutaciones entre las filas y cómo facilitan los cálculos:
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3 8 5 2 –1 2 1 –1 3 8 1 –1 1 –1 3 8 → 5 2 –1 2 → 0 7 –16 – 38 – 2 3 2 – 3 – 2 3 2 – 3 0 1 8 13 1 –1 1 –1 3 8 3 8 → 0 1 → 0 1 8 13 8 13 0 0 – 7 2 – 129 0 7 – 1 6 – 38 con lo que obtenemos: 31 4 43 x = ------ , y = – --- , z = ------ . 24 3 24 14. 1 0 1 1 2 1 2 –1 1 0 0 1 1 3 4 – 7 11 → 0 –4 3 –1 –2 1 0 –2 2 0 –1 2 0
0 1 –1
2 2 –3 3 3 –6 9 → 3 3 –6 9 2 2 –3 6
– 1– 1
1 0 1 – 1 2 1 0 1 0 2 0 – 1 – 1 2 –3 0 1 1 0 3 → 0 0 0 0 0 → 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x = 2 – z ; y = 3 – z ; t = 0; 15. 4 –2 – 1 2 1 – 7 –4 2 3 5 3 2 → 3 5 3 2 → 1 –7 – 4 2 4 –2 –1 2 1 → 0 0
–7
–4
26
15
26
15
2 1 – 4 → 0 0 –6
–7
–4
26
15
0
0
2 – 4 – 2
que es un sistema incompatible, ya que la última ecuación se ha transformado en 0 · x + 0 · y + 0 · z = –2, y esta ecuación no tiene ninguna solución. 16. 2 0 1 1 3
2 2 –1 –1
1
1
1
0
8 1 1 0 0 –2 → 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 3 1 1 3 3 3 3 4 4 1
0
1
1
1 0 0 0 0
0
1
1
1 1
1
0 0
1
1
1 1 1 0 0 1 – 2 → 0 0 – 3 – 3 6 0 0 0 0 – 1 – 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 – 2 1 0 0 0 0
1 1 0 0
2 –1 –1 1 3
0 4
0 4
1 1 1
1 –2 8 → 3 1
1 0 1 1 –2 0 0 0 0 → 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 1 1 –2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
de donde podemos aislar x 1 y x 4 en función de las demás incógnitas, obteniendo x 1 = 3 – x2 – x 3, x 4 = –2 – x 5 (¡comprobadlo!). Observad que todas las soluciones de este sistema se pueden expresar así: ( x 1 , x 2 , x 3, x 4, x 5 ) = ( 3 – x 2 – x 3, x 2, x 3 , –2 – x 5 , x 5 ) = · = ( 3, 0, 0, 0, – 2, 0 ) + x 2 ( – 1, 1, 0, 0, 0 ) + x 3 ( –1 , 0, 1, 0, 0 ) + x 5 ( 0, 0, 0, – 1, 1 ) . 17.
Ejercicio
Número de variables
Rango sistema
Rango matriz ampliada
Tipo solución
Grados libertad
10
3
3
3
Determinada
0
11
3
3
3
Determinada
0
12
4
3
3
Indeterminada
1
13
3
2
3
Incompatible
-
14
5
2
2
Indeterminada
3
18. 2 –1 3 –1 3 7 –1 8 24
0 –1 3 7 0 → 2 – 1 3 – 1 8 24 0
–1 3 7 0 5 17 0 5 17
0 –1 3 7 0 → 0 5 17 0 0 0 0
0 0 → 0 0 0 0
x –16 y = –17 t . z 5 19. Teniendo en cuenta que todas las ecuaciones son múltiples de la primera, el sistema se reduce a (1 1 5 | 0), y la solución es x = – y –5 z. 20. 5 1 1 4 7 –3 – 1 –3 2
0 1 5 1 0 → 0 3 – 23 0 –2 0 7
5 1 1 0 – 23 0 → 0 3 25 0 0 0 – -----3
0 0 . 0
Obtenemos x = 0; y = 0; z = 0. Teniendo en cuenta que la única solución de este sistema homogéneo es lva trivial, diremos que el sistema homogéneo no tiene solución propia. 21. 1 2 4 1
1
5
–3
–3
1
2
–1
11
–4
–4
–4
–1
1 0 → 0 0
0 1 0 0 → 0 0 0 0
1
5
–3
–5
–9
8
0
0
0
0
0
–6
1
5
–3
–5
–9
8
–5
–9
8
–5
–9
2
0 0 → 0 0
0 x – 16 0 y – 9 → = s. 0 z 5 t 0 0
22. Si x 1, ..., xn son soluciones del sistema A · x = 0, querrá decir que A · x 1 = 0, ..., A · xn = 0 y, por lo tanto: A ( t 1 x 1 + t 2 x 2 + ... + t n x n ) = A t 1 x 1 + A t 2 x 2 + ... + At n x n = = t 1 A x 1 + t 2 Ax 2 + ... + t n Ax n = t 1 0 + t 2 0 + ... + t n 0 = 0 .
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
23. a) En primer lugar, es necesario que el determinante del sistema sea nulo (det A = 0), ya que, si es diferente de cero, sería determinado y sólo tendría la solución trivial nula. En segundo lugar, si det A = 0, entonces una solución es: x 1 = A 11 t ,
x 2 = A 12 t ,
x n = A 1n t
donde A1 j es el adjunto del elemento a 1j, ya que en la primera ecuación, al sustituir las x, tendremos: a 11 A 11 t + a 12 A 12 t + ... + a 1n A 1n t = t det A = 0 y para las otras aparecerá la suma de productos de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela que, por la propiedad 8 de los determinantes, es cero. Puede suceder, sin embargo, que todos estos adjuntos sean 0, lo cual nos indicaría que: • el rango es inferior a n – 1 y hay más de una indeterminada. • o bien lo debemos probar con los adjuntos de otra fila que no tenga todos los adjuntos nulos. 24. Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que el determinante del sistema sea cero, a fin de que el rango sea inferior a 3. La condición es, de este modo: ( – 20 – λ )
9
–5
– 51
23 – λ
– 12
3
–1
2–λ
3
2
= – λ + 5 λ – 8 λ + 4 = 0.
Buscamos soluciones enteras de la ecuación polinómica y obtenemos λ 1 = 1, λ 2 = 2 y λ 3 = 2, que serán los únicos valores que darán lugar a soluciones no triviales. • Busquemos las soluciones para λ = 1. El sistema es: – 21 x + 9 y – 5 z = 0 – 51 x + 22 y – 12 z = 0 . 3x – y + z = 0 Según la actividad anterior, la solución será: x1 =
22 – 12 –1
1
t = 10 t, x 2 = –
– 51
– 12
3
1
t = 15 t , x3 =
– 51
22
3
1
– 51
21
3
–1
t = –15 t
o bien: x 2 y = 3 t . z –3 Para λ = 2, el sistema es: – 22 x + 9 y – 5 z = 0 – 51 x + 2 1y – 12 z = 0 . 3x – y = 0 De forma análoga, la solución es: x =
21 – 12 –1
0
t = –12 t , y = –
–51
– 12
3
0
t = – 36 t, z =
o bien: x 1 y = 3 t . z 1
t = –12 t
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
25. El determinante de la matriz ampliada del sistema es: 2 – 3 –1 2 1
2 –3 4
1 – 2 –1 3 λ –2
= – 13 λ – 26,
2 1
por lo tanto, este determinante se anula sólo en el caso de que λ = –2. Podemos observar que el rango de A es 3, independientemente del valor del número real λ. Observemos que si λ ≠ –2, el rango de la matriz ampliada será 4 y el rango de la matriz del sistema será, como máximo, 3 (ya que la matriz del sistema sólo tiene tres columnas). Tendremos, de este modo, un sistema incompatible. Para el caso λ = –2, sustituimos este valor en el sistema y lo resolvemos siempre (es un sistema “normal”: no hay parámetros, ni lambdas, ni nada). Os daréis cuenta de que es un sistema compatible indeterminado. 26. El determinante de la matriz del sistema es: λ 1 1 3
2
1 λ 1 = λ – 3 λ + 2 = (λ – 1 ) (λ + 2 ) . 1 1 λ • Por lo tanto, si λ ≠ 1 y λ ≠ –2, el rango de la matriz del sistema es 3 y el sistema será compatible y determinado (el rango de la matriz ampliada no puede ser 4; por lo tanto, tendrá que ser 3 y coincidirá con el rango de la matriz del sistema y con el número de incógnitas). • Para λ = 1 el sistema consta de una única ecuación x + y + z = 1, que es, evidentemente, un sistema compatible indeterminado. • Para λ = –2, aplicándole Gauss obtenemos: –2 1 1
1
1
1 1 1 – 2 → ... → 0 0 – 2 4
–2 1
–2
1 – 2 3 – 3 , 0 4
–3 0
que nos dice que el sistema es incompatible. 27. El determinante de la matriz del sistema es λ 2 + 6λ + 5, cuyas Por lo tanto: x 1⁄ • Para λ = –1 (resolviéndolo por Gauss) obtenemos y = – 1 ⁄ z
raíces son λ = –1 y λ = –5. 2 2 t. 1
x –3 ⁄ • Para λ = –5 (resolviéndolo por Gauss) obtenemos y = z – 22 ⁄
7 1 t. 7
• Para λ diferente de estos valores el sistema (¡es homogéneo!) tiene únicamente la solución trivial. 28. a) Observad que: • restando a la segunda columna la primera multiplicada por x, • restando a la tercera columna la segunda multiplicada por x, • desarrollando el determinante por la primera columna, • aplicando la propiedad 6 de los determinantes, para extraer del determinante los escalares que multiplican todos los elementos de las filas segunda y tercera, • calculando el determinante de orden 2 que nos queda y arreglando los signos, obtenemos: 1 1 1
x y z =
x
2
y
2
z
2
0
1 = 1
y–x
0
y2 – xy =
1
z–x
z – xz
y –x
y (y – x )
z –x
z (z – x )
2
y–x
y2 – x y
z–x
z – xz
= (y – x ) (z – x )
2
1
y
1
z
=
= ( y – x )(z – x ) (z – y ) = (x – y ) (z – x )( y – z ) .
=
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Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
b) Para el caso general, los mismos pasos que hemos seguido cuando hay tres columnas nos proporcionan determinantes cada vez menores hasta llegar al valor del determinante grande, que es:
( x 2 – x 1 ) ( x 3 – x 1 ) ... ( x n – x 1 ) ( x 3 – x 2 )... ( x n – x 2 ) ... ( x n – x n – 1 )
29. El resultado es a 11 · a 22 · ... · a n n, es decir, el producto de los elementos de la diagonal. 30. 1 2 – 3 1 → 0 0 1 → 0 0
–2
4
1
0
5
–3
0
1
1
0
1
0
–2
4
1
0
9
– 11
–2
1
0
89 ⁄ 9
17 ⁄ 9
5⁄9
–2
0
21 ⁄ 89
– 20 ⁄ 89
1
0
1 ⁄ 89
16 ⁄ 89
0
1
17 ⁄ 89
5 ⁄ 89
0 1 0 → 0 0 1 0 1 0 → 0 0 1
–2
4
1
0
9
–11
–2
1
–5
16
3
0
0 0 → 1
–2
4
1
1
–11 ⁄ 9
2 ⁄9
1⁄9
0
1
17 ⁄ 89
5 ⁄ 89
0
0
23 ⁄ 89
12 ⁄ 89
1
0
1 ⁄ 89
16 ⁄ 89
0
1
17 ⁄ 89
5 ⁄ 89
– 36 ⁄ 89 1 11 ⁄ 89 → 0 0 9 ⁄ 89
0
0
→ 9 ⁄ 89 0
–1 4 ⁄ 89 1 1 ⁄ 89 9 ⁄ 89
y, por lo tanto, la inversa que nos piden es: 2 3 1 2 –14 1 -----1 1 6 11 . 89 17 5 9 31. a) cos ( α ) sin ( α )
– sin ( α ) – 1 cos ( α ) = cos( α ) – sin ( α )
sin ( α ) . cos ( α )
(recordad que sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1.) b) Es una comprobación inmediata. c) Planteamos la ecuación A · A t = I y del sistema que queda aislamos a, después b y, finalmente, c, resultando dos posibilidades: a = 48 -----65
b = – 36 -----65
5 o bien c = -----13
a = – 48 -----65
b = 36 -----65
5 . c = – -----13
Ejercicios de autoevaluación 1. 1 a) 4 . 6 b) Incompatible. 11 ⁄ 5 –1 ⁄ 5 c) 65 ⁄ 5 + t –7 ⁄ 5 . 0 1 0 d) 0 . 0 – 1 ⁄ 5 e) t – 7 ⁄ 5 . 1 2. • Si m ≠ 0 y m ≠ –1, el sistema es compatible y determinado con soluciones: 2 m , -------------–4 , m + 3. ( x, y , z ) = --------------------------m + 1 m + 1 m + 1
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• Si m = 0 el sistema es compatible e indeterminado con soluciones: ( x, y , z ) = ( 0,5,0 ) + t ( 0 , –3 , 1) . • Si m = –1 el sistema es incompatible. 3. • Si b ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ –2, el determinante de la matriz del sistema es diferente de cero y, por lo tanto, el sistema es compatible y determinado. • Si b = 0, el sistema es incompatible independientemente del valor de a. • Si a = 1 y b ≠ 1, el sistema es incompatible. • Si a = 1 y b = 1, el sistema es compatible e indeterminado. • Si a = –2 y b ≠ –2, el sistema es incompatible. • Si a = –2 y b = –2, el sistema es compatible e indeterminado. 4. a) Para que la condición λ 1 v1 + λ 2 v 2 + λ 3 v3 + λ 4 v 4 = 0 implique λ 1 = λ 2 = λ3 = λ 4 = 0, el sistema homogéneo: λ 1 + 2 λ2 – λ 3 + 4 λ4 = 0 2 λ1 – λ 2 + 3 λ3 + 3 λ4 = 0 λ2 – 2 λ3 = 0 – λ 1 + 3 λ 2 + 2 λ 3 + 7 λ 4 = 0 debería tener como única solución la trivial λ1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0. Esto implicaría que el sistema fuese determinado con solución única (0, 0, 0, 0). La matriz del sistema es: 1 2 0 –1
2
–1
–1
3
1
–2
3
2
4 3 0 7
por lo tanto, los vectores dados serán linealmente independientes si det A ≠ 0 y linealmente dependientes si det A = 0. En los apartados siguientes veremos que estamos en la segunda opción y, por lo tanto, los vectores dados son linealmente dependientes. b) Para determinar el rango y obtener una base del subespacio generado por { v1 ,v2,v 3,v4 }, aplicamos el método de Gauss: 1 2 –1 4
2
0
–1
1
3
–2
3
0
1 0 → 0 0
– 1 1 3 0 → 0 2 0 7
2
0
–5
1
0
–1
0
–1
2
0
–5
1
5
–2
–5
0
– 1 1 5 0 → 0 6 0 6
–1 5 → 1 11
2
0
–5
1
0
–1
0
0
–1 5 . 6 0
En consecuencia, el rango es 3, y una base del subespacio generado es: e 1 = ( 1, 2, 0, – 1 )
e 2 = ( 0 , – 5 , 1 , 5)
e 3 = ( 0, 0, – 1, 6) .
c) Sea ahora la base canónica { u1 ,u 2,u 3,u 4}. Podemos sustituir u 1 por e1, ya que su componente según u 1 es 1 ≠ 0. Tenemos: e 1 = u 1 + 2· u 2 – u 4, es decir: u1 = e1 – 2u 2 + u 4 y por lo tanto, un vector cualquiera: w = w1 u1 + w2 u2 + w 3u 3 + w4 u4 se expresará así en la nueva base: w = w 1 ( e 1 – 2 ⋅ u 2 + u 4 ) + w 2 u 2 + w 3 u 3 +w 4 u 4 = = w1 e 1 + (– 2 w1 + w 2)u 2 + w3 u3 + ( w1 + w4) u 4.
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Ahora podemos sustituir u 2 por e2 , ya que e2 expresado en la nueva base es: e 2 = 0 ⋅ e 1 + ( – 2 ⋅ 0 – 5) ⋅ u 2 + 1 ⋅ u 3 + ( 0 + 5 ) ⋅ u 4 = – 5 u 2 + u 3 + 5 u 4 y el componente según u 2 es –5 ≠ 0. Tenemos: 1 1 u 2 = – -- e 2 + --- u 3 + u 4 . 5 5 Expresemos ahora w en la nueva base { e 1,e 2,u 3,u 4}: 1 w = w 1 e 1 + ( –2 w 1 + w 2 ) – 1 --- e 2 + --- u 3 + u 4 + w 3 u 3 + ( w 1 + w 4 )u 4 = 5 5 2 1 2 1 = w 1 e 1 + --- w 1 – --- w 2 e 2 + – --- w 1 + --- w 2 + w 3 u 3 + ( – w 1 + w 2 + w 4 )u 4. 5 5 5 5 A partir de aquí tendremos que e 3, expresado en la base { e 1,e2 ,u 3,u 4} es: e 3 = – u3 + 6 u 4 y el componente según u 3 es –1 ≠ 0. Por lo tanto, puede sustituir u 3 , y tenemos: u 3 = –e 3 + 6 u 4 . De este modo w expresado en la base { e1 ,e2 ,u 3,u 4}, será: 2 1 1 w = w 1 e 1 + --- w 1 – --- w 2 e 2 + – 2 --- w 1 + --- w 2 + w 3 ( – e 3 + 6 u 4 ) + ( – w 1 + w 2 + w 4 ) u 4 = 5 5 5 5 2 1 2 17 11 = w 1 e 1 + -- w 1 –-- w 2 e 2 + -- w 1 – 1 --- w 2 –w 3 e 3 + – ------ w 1 + ------ w 2 + 6 w 3 + w 4 u 4. 5 5 5 5 5 5 d) Aplicando la fórmula anterior podemos expresar los vectores v1,v 2,v3 ,v4 en la base {e1,e 2,u 3,u 4 }: 2 2 2 2 17 22 v1 = ( 1, 2, 0, 1) = e 1 + --- – --- e 2 + --- – -- – 0 e 3 + – ------ + ------ + 0 – 1 u 4 = e 1 5 5 5 5 5 5 4 1 4 1 34 11 v2 = ( 2, – 1, 1, 3 ) = 2 e1 + --- + --- e2 + --- + --- – 1 e 3 + – ------ – ------ + 6 + 3 u 4 = 2 e 1 + e 2 . 5 5 5 5 5 5 2 3 2 3 17 33 v 3 = ( – 1, 3, – 2 , 2 ) = –e 1 + – --- – --- e 2 + – -- – --- + 2 e 3 + ------ + ------ – 12 + 2 u 4 = – e1 – e 2 + e 3. 5 5 5 5 5 5 v 4 = ( 4, 3, 0, 7) = 4 e 1 + 8 --- – 3 --- e + 8 --- – 3 -- + 0 e 3 + – 68 ------ + 33 ------ + 7 u 4 = 4 e 1 + e 2 + e 3 . 5 5 2 5 5 5 5 5.
A
–1
3 = 1 5
2 3 3
2 1 . 4
6. a B = 2a
b 2 b
–2c C = –2 d
c d
–2b D = –4b
b 2b
donde a, b, c y d son números cualesquiera. 7 . Teniendo en cuenta que det( A) ≠ 0, A tiene inversa y, por lo tanto, B = A −1 · 0 = 0. Lo mismo para C y D. 8.
1 a) A = 2
2
3
6
4
5 3
y
3 2 B = 5 2
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donde en la primera fila de A se encuentran las compras del centro de Lérida y en la segunda, las del centro de Mataró, y la matriz B consta de los precios de cada uno de los productos. Si multiplicamos:
1 A ⋅ B = 2
2
3
6
4
3 5 2 32 ⋅ = 3 5 44 2
obtenemos que el centro de Lérida ha gastado 32 u.m. y el de Mataró 44 u.m. b) Si C = (1 1), 32 C ⋅ (A ⋅ B ) = ( 1 1) ⋅ = ( 76 ) . 44 c) Nos piden que sumemos por columnas la matriz A. Observemos que: 1 H = C ⋅ A = ( 1 1) ⋅ 2
2
3
6
4
5 = (3 8 7 8 ) . 3
¿Podríais interpretar ahora las operaciones C · (A · B) y (C · A) · B? d) En este segundo caso D = A, ya que hacen exactamente la misma compra y 3 2 E = 5 2
4 2 tiene los precios de cada mes en una columna. 6 7
32 A ⋅ E = 44
61 nos da el gasto de cada centro en cada compra. 65
e) (1 1) · (D · E ) = (76 126) es lo que han gastado entre los dos centros cada una de las compras. 1 ( ( 1 1 ) ⋅ ( D · E ) ) ⋅ = 7 6 + 126 1 es el gasto total. 9 . ¡Quizá sería mejor que avisásemos a un químico! a) El sistema será: 5% 15% 80%
10% 25% 65%
15% 40% 45%
Kg. A Kg. plata ⋅ Kg. B = Kg. cobre Kg. C Kg. oro
b) 7,5 kilogramos de plata, 20,5 kilogramos de cobre y 62 kilogramos de oro. Las proporciones correspondientes son, aproximadamente, 8,33%, 22,78% y 68,89%. c) 9%, 24,5%, 66,5% d) Si resolvemos el sistema: 5% 15% 80%
10% 25% 65%
15% 40% 45%
x 0,2 ⋅ y = 0 z 0,8
obtenemos x = –11, y = 21, z = –9. Directamente no tiene sentido considerar –11 kilos de A, pero sí que podemos considerar que la solución consiste en tomar 21 kilos de B, extraer 11 kilos de A y 9 kilos de C. Podéis comprobar que lo que queda tiene el 20% de plata y el 80% de oro. Observad que estamos suponiendo que disponemos de un procedimiento para extraer de una mezcla cualquiera de plata, cobre y oro ciertas cantidades de las aleaciones A, B y C, y esto (¡los químicos lo saben muy bien!, por cierto, ¿aún no ha llegado el que habíamos avisado?) no siempre es posible. e) ( 0,2; 0,3; 0,5 ).
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10. Observad que en este caso la matriz del sistema tiene determinante nulo. a) El sistema es incompatible; por lo tanto, no hay forma de obtener una mezcla con las características pedidas. b) El sistema es compatible e indeterminado y, por lo tanto, tiene muchas soluciones que se pueden expresar de esta forma: t – 1, y = 6 – 1 0t , z = t x= 5 -------------------------------5 5 Observemos que, en la solución, t expresa la proporción de C que habrá en la mezcla final, y en consecuencia, la proporción mínima de C es 0 y la máxima, 3/5, ya que, si t > 3/5, el valor correspondiente a la cantidad de B (que es la y) sería negativo. 11. Si m ≠ 35, el sistema es compatible y determinado, es decir, para cada m ≠ 35 y cualquier valor de n el sistema tiene solución única, que es: m + 5 ( 15 – n ) , y = 7 m + 5 ( 9 – 2 n ) , z = -----------------n – 29 . x=2 -------------------------------------------------------------------------------5 (3 5 – m ) 5 ( m – 35 ) m – 35 Por ejemplo, si n fuese 40 y m fuese 55, la solución sería (0,15; 0,3; 0,55). • Si m = 35 y n ≠ 29 el sistema es incompatible. • Si m = 35 y n = 29 el sistema es compatible e indeterminado con la solución siguiente: ( x, y , z) = 0, 3 --- , 2 --- + t ( 1, – 2 , 1 ). 5 5
Glosario adjunto del elemento a ij de una matriz cuadrada Determinante menor complementario del elemento a ij con el signo (–1) i+j donde i, j son los índices de la fila y la columna que ocupa el elemento. base de un espacio (o un subespacio) vectorial Conjunto de vectores linealmente independientes, tales que todo vector del espacio (o el subespacio) es combinación lineal de estos. Cramer, regla de Fórmulas cerradas, en forma de cociente de determinantes, que dan el valor de las incógnitas en un sistema de n ecuaciones y n incógnitas compatible y determinado. determinante Dada una matriz cuadrada, el determinante es un número que se calcula a partir de sus elementos y que proporciona información sobre la independencia lineal de sus filas (y de sus columnas) dimensión de un espacio (o un subespacio) vectorial: Número máximo de vectores linealmente independientes que contiene este espacio y que es igual al número de vectores de cualquier base del espacio o subespacio). espacio vectorial sobre un cuerpo Conjunto dotado de una operación interna que recibe el nombre de suma con propiedades de grupo conmutativo y una multiplicación por escalares del cuerpo con ciertas propiedades específicas. espacio vectorial numérico n-dimensional Espacio vectorial de los vectores-columna (o fila) de n componentes reales. generadores de un espacio (o subespacio) vectorial Todo conjunto de vectores tales que todo vector del espacio (o subespacio) se puede poner como combinación lineal del conjunto de generadores. Gauss, método de Método de eliminación de incógnitas que permite reducir un sistema lineal de forma escalonada. independencia lineal de vectores Dado un conjunto {v 1, ..., vk} de vectores, es linealmente independiente si la ecuación λ 1v 1 + ... + λ kv k = 0 implica λ 1 = ... = λk = 0. En caso contrario decimos que son linealmente dependientes.
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matriz Tabla de números en forma de n filas y m columnas. Esto será una matriz n × m. matriz de un sistema Matriz formada por los coeficientes de las variables x 1, ..., x n en cada una de las ecuaciones del sistema. Cada fila de la matriz corresponde a una ecuación. matriz ampliada de un sistema Matriz de un sistema de ecuaciones lineales formada mediante la ampliación de la matriz del sistema con la columna de los términos independientes. matriz inversa Aquella que presentan las matrices cuadradas que tienen determinante diferente de cero. Su producto, tanto por la izquierda como por la derecha, con la matriz dada es la matriz identidad. menor Dada una matriz, se llama menor o determinante menor a cualquier determinante de la matriz cuadrada que se forme con los elementos de la matriz correspondientes a k filas y k columnas, suprimiendo las restantes. Las filas y columnas no deben coincidir necesariamente. menor complementario Dada una matriz cuadrada, llamamos menor complementario de un elementoa ij, al determinante menor que se forma suprimiendo la fila i y la columna j. pivote Elemento diferente de cero que se elige para reducir a cero los restantes coeficientes en una etapa dada del método de Gauss. rango de un conjunto de vectores Número máximo de vectores linealmente independientes que contiene. Rouché-Fröbenius, teorema de Teorema que permite saber si un sistema lineal es compatible o no lo es. En el caso de que sea compatible, permite saber si es determinado o indeterminado, y en el último caso, cuántos grados de libertad tiene la solución general. sistema lineal Conjunto de ecuaciones de primer grado en m variables. sistema compatible Sistema de ecuaciones que tiene alguna solución. Si no tiene ninguna decimos que es incompatible. Por abuso de lenguaje, en el caso de un sistema homogéneo, cuando únicamente tiene la solución trivial 0, decimos que es incompatible. sistema determinado Sistema que tiene una única solución. Si tiene más de una, decimos que es indeterminado. sistema homogéneo Sistema de ecuaciones sin términos independientes o, lo que es equivalente, con términos independientes nulos. subespacio vectorial Subconjunto de un espacio vectorial que tiene estructura de espacio vectorial. subespacio vectorial generado Dado un conjunto de vectores {v 1 , ..., vk}, el subespacio que genera es el conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de los vectores del conjunto. vector Llamamos vectores a los elementos de un espacio vectorial. Los vectores del espacio vectorial numérico n -dimensional están formados por una matriz de una sola columna (o una sola fila) de n elementos.
Bibliografía Anton, H. (1991). Introducción al álgebra lineal . (3.a edición). México: Ed. Limusa. Hace un tratamiento elemental del álgebra lineal para estudiantes de primeros cursos de licenciatura no específica. No requiere conocimientos de cálculo, si bien incluye ejercicios para aquellos estudiantes que sí los tienen. No contiene todas las demostraciones, pero sí las
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que considera pedagógicas y elementales; en una parte optativa incluye otras demostraciones no tan elementales. Es un texto bastante básico. Birkhoff, G.; Mac Lane, S. (1985). Álgebra moderna. (3.a edición). Barcelona: Ed. VicensVives. Es el libro de referencia general para todo el curso. Abarca todo el temario del curso y otros temas relacionados. Se trata de un libro clásico (1941), traducido al castellano y del que se han hecho muchas ediciones. Es un texto muy bien hecho que está a un nivel asequible para los estudiantes que seguís este curso; contiene también muchos ejercicios propuestos. Grossman, S.I. (1988). Álgebra lineal. (2.a edición). México: Grupo Editorial Iberoamericano. Es un texto parecido al de Anton, pero tiene un cariz más específicamente científico. Hay ejercicios, que están señalados, que requieren conocimientos de cálculo (análisis). Además, contiene métodos numéricos para álgebra lineal.
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