Mathematische Werke / Mathematical Works [Reprint 2011 ed.] 9783110905434, 9783110171181

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Erich Kahler (1906-2000)

Erich Kähler

Mathematische Werke Mathematical Works

Edited by Rolf Berndt and Oswald Riemenschneider

W DE G Walter de Gruyter · Berlin · New York

Editors Rolf Berndt Mathematisches Seminar Universität Hamburg Bundesstraße 55 20146 Hamburg Germany [email protected]

Oswald Riemenschneider Mathematisches Seminar Universität Hamburg Bundesstraße 55 20146 Hamburg Germany [email protected]

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Library of Congress Cataloging-in-Publication

Data

Kähler, Erich, b. 1906 Mathematische Werke = Mathematical works / Erich Kähler ; edited by Rolf Berndt and Oswald Riemenschneider, p. cm. English and German. Includes bibliographical references. ISBN 3-11-017118-X (alk. paper) 1. Mathematics. I. Title: Mathematical works. II. Berndt, Rolf. III. Riemenschneider, O. (Oswald). IV. Title. QA3. K34 2003 510—dc22 2003062669

ISBN 3-11-017118-X Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the Internet at .

© Copyright 2003 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin, Germany. All rights reserved, including those of translation into foreign languages. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopy, recording, or any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher. Printed in Germany. Printing: Werner Hildebrand, Berlin Binding: Lüderitz & Bauer GmbH, Berlin

Preface

For most mathematicians and many mathematical physicists, Erich Kähler's name is strongly tied to important geometric notions such as Kähler metrics, Kahler manifolds and Kähler groups. These ideas go back to a paper of 14 pages that appeared in 1932. However, this is just a small part of Kähler's many outstanding achievements, which only specialists may be acquainted with. We hope that this volume will disseminate his ideas to a broader audience. After a short description of Kähler's life we continue with a summary of the mathematical part of his scientific work that consists of several papers of moderate length that are somewhat inaccessible, two small books (on systems of partial differential equations and on algebra and infinitesimal arithmetic), his opus magnum Geometria Aritmetica (a huge article of 399 pages which fills a complete volume of the Annali di Matematica), and some carefully worked out texts of various university courses. A bibliography can be found at the end of this book. For lack of space, we reproduce in this volume only the short introduction to the Geometria Aritmetica. Also, we only report on the important book on differential equations in a Survey of Kühlers Mathematical Work and Some Comments (pages 11-40 in this volume). The ideas laid down in Kähler's other book Algebra und Differentialrechnung (pages 282-387 in this volume) and in the long Italian article are summed up in two essays (on Kähler differentials and Kähler's Zeta function), which are part of a special section in our volume that assembles commentaries on the main topics of Kähler's mathematical research and describes some recent developments in these fields. Kähler's interests went far beyond the realm of mathematics and mathematical physics. He wrote several essays that intertwined standard notions from mathematics with central notions in philosophy, biology and even theology, and gave courses and lectures on these topics. Whether this part of Kähler's work merits deeper investigation may be left to the judgement and taste of the reader and a future evaluation. But, any picture of Kähler's personality would be incomplete without touching on this, perhaps controversial, facet of his work. In order to demonstrate how universal and far reaching his interests were, we reproduce three of those articles in an appendix. It is our agreeable duty to thank several persons who helped us to put this volume together. First of all, our thanks go to Erich Kähler's wife, Charlotte Kähler, and his son, Helmuth Kähler, who supported this project from the bottom of their hearts. We would also like to thank those who participated by submitting articles which partly were presented on the occasion of a colloquium, In memoriam Erich Kähler, held in Hamburg in January 2001: A. Böhm, J. P. Bourguignon, J.-B. Bost, S. S. Chern, A. Deitmar, I. Ekeland, A. Krieg, E. Kunz, Κ. Maurin, W. Neumann, and

vi

Preface

H. Nicolai. We are indebted to W. Müller-Schauenburg and M. Gaudefroy-Bergmann for the translation of Maurin's text and to those who assisted us by giving mathematical and editorial advice. Here we would like to name first of all P. Slodowy who - despite his fatal illness - even helped with linguistic problems, and again J. P. Bourguignon, U. Jannsen, E. Kunz, H. J. Nastold, H. Schumann and D. Zagier, and finally H. Knorr and our colleagues from the Mathematisches Seminar, in particular, H. Brückner, J. Michaliöek, G. Mülich and U. Semmelmann. Last but not least, our thanks are due to Mrs. E. Dänhardt who typed most of our editorial texts and helped in every possible way with the organization. Finally we thank Dr. Manfred Karbe from the Verlag Walter de Gruyter for his patience and everlasting encouragement and his team for professional support. Hamburg, September 2003 Oswald

Rolf Berndt Riemenschneider

Contents

Preface

ν

A Tribute to Herrn Erich Kahler by S. S. Chern

1

Life of Erich Kahler by R. Berndt and A. Böhm

3

Survey of Kähler's Mathematical Work and Some Comments by R. Berndt and O. Riemenschneider

11

Erich Kähler's Mathematical Articles Transformation der Differentialgleichungen des Dreikörperproblems [1]

43

Die Reduktion des Dreikörperproblems in geometrischer Form dargestellt [2] . . . 59 Über ein geometrisches Kennzeichen der analytischen Abbildungen im Gebiete zweier Veränderlichen [3]

64

Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, die sich aus gewissen Lösungen des n-Körperproblems ableiten (Dissertation) [4]

69

Über die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen in der Umgebung einer singulären Stelle [5]

87

Zur Theorie der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. I [6]

104

Über den topologi^chen Sinn der Periodenrelationen bei vierfach-periodischen Funktionen [7]

116

Über die Integrale algebraischer Differentialgleichungen (Habilitationsschrift) [8]

123

Zur Invariantentheorie von Differentialoperatoren [9]

154

Sui periodi degli integrali multipli sopra una varietà algebrica (with an appendix by F. Severi: Osservazioni a proposito della nota di Erich Kahler: "Sui periodi degl'integrali multipli sopra una varietà algebrica,,) [10]

162

Forme differenziali e funzioni algebriche [11]

175

Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik [12]

190

Bemerkungen über die Maxwellschen Gleichungen [14]

204

Über eine Verallgemeinerung der Theorie der Pfaffschen Systeme [15]

232

Über rein algebraische Körper [18]

236

Sur la théorie des corps purement algébriques [19]

260

Zahlentheorie und Physik [21]

274

viii

Contents

Algebra und Differentialrechnung [22]

282

Osservazioni a proposito della dinamica [23]

388

a

Tensori razionali di I specie sopra una varietà algebrica [25]

402

Über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik [27]

406

Geometria aritmetica, Introduzione [28]

419

Innerer und äußerer Differentialkalkül [29]

421

Die Dirac-Gleichung [30]

449

Der innere Differentialkalkül [31]

483

Der innere Differentialkalkül [33]

497

Infinitesimal-Arithmetik [34]

596

Die Poincaré-Gruppe [42]

621

The Poincaré group [43]

653

Raum-Zeit-Individuum [46]

661

Comments to the Mathematical Work of Erich Kahler Topology of Hypersurface Singularities by W. D. Neumann

727

The Unabated Vitality of Kählerian Geometry by J.-P. Bourguignon

737

Some Applications of the Cartan-Kähler Theorem to Economic Theory by I. Ekeland

767

Kahler Differentials and Some Applications in Arithmetic Geometry by R. Berndt

777

Why 'Kahler' Differentials? by E. Kunz

848

A Neglected Aspect of Kähler's Work on Arithmetic Geometry: Birational Invariants of Algebraic Varieties over Number Fields by J.-B. Bost

854

Kähler's Zeta Function by R. Berndt

870

Panorama of Zeta Functions by A. Deitmar

880

Eisenstein Series on Kähler's Poincaré Group by A. Krieg

891

Supersymmetry, Kähler Geometry and Beyond by H. Nicolai

907

Appendix Selecta of Erich Kähler's Philosophical Articles Wesen und Erscheinung als mathematische Prinzipien der Philosophie [36]

919

Contents

ix

Il regno delle idee [38]

932

Saggio di una dinamica della vita [39]

939

Comments to the Philosophical Work of Erich Kahler Erich Kähler's Vision of Mathematics as a Universal Language by R. Berndt...

955

An Approach to the Philosophy of Erich Kahler by K. Maurin

960

Addresses of the Authors

965

Acknowledgements

967

Bibliography

969

A Tribute to Herrn Erich Kähler Shiing-Shen Chern

In 1931 Professor Wilhelm Blaschke visited China. He gave a series of lectures on the Topologische Fragen der Differentialgeometrie (nowadays known as web geometry) in Peiping. I was a graduate student at Tsing Hua University and attended these lectures. I was fascinated. So, in the summer of 1934, when I finished my graduate studies and was awarded a fellowship to study abroad, I requested permission to go to Hamburg instead of going to an American university, as usually the case. Fortunately this was approved. I arrived at Hamburg in the summer of 1934. The University began in November and I attended, among other classes, Herrn Kähler's seminar on exterior differential systems. He had just published his booklet entitled Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen, which gives a treatment of the theory developed by Professor Elie Cartan. I devoted much time to the subject and in 1935 wrote a thesis on the applications of exterior differential systems to web geometry. I received my Doktor der Wissenschaften in February 1936 and the thesis was published in the Hamburger Abhandlungen in the same year. Clearly it received much advice from Herrn Kähler, from whom I learned the subject of exterior differential calculus and what is now known as the Cartan-Kähler theory. We had frequent lunches together at the restaurant Curio Haus near the Seminar. He told me many things, mathematical or otherwise. My gratitude to him cannot be overstated. At that time Herr Kähler had just published his article Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik in the Hamburger Abhandlungen which is the starting-point of Kähler geometry. In this paper he showed a clear understanding of the complex structure and proved in particular that a Kähler metric (later name) has a potential relative to the operator 33. The paper affects me in my concept of the complex structure, which later becomes an important part in my work on the Gauss-Bonnet formula and characteristic classes. The exterior differential calculus is a fundamental tool in manifolds, making the infinitesimal calculus available in high-dimensional geometry. After its discovery by Elie Cartan and the topological work of George de Rham, Herr Kähler was the one who clearly saw its importance and made use of it. Herr Kähler also did important work on algebraic geometry. Unfortunately it overlapped with the great development in algebraic geometry in the sixties and had not been sufficiently recognized.

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Life of Erich Kahler Rolf Berndt and Arno Böhm

On May 31,2000, Erich Kahler died at the age of 94 in his home in Wedel. Until 1974 he was director of the Institute for Pure Mathematics of the University of Hamburg (Mathematisches Seminar) and professor of the Technical University in Berlin. Since 1976 he was an honorary member of the Hamburg Mathematical Society (Mathematische Gesellschaft in Hamburg), and since 1949 member of the Academy of Sciences of Saxony (Sächsische Akademie der Wissenschaften), since 1955 a member of the Academy of Sciences in Berlin (Berliner Akademie der Wissenschaften), since 1957, a member of the German Academy of Scientists Leopoldina (Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina) and the Italian Accademia Nazionale dei Lincei and since 1992, a member of the Accademia di Scienze e Lettere Milano. His contributions to mathematical physics, as well as algebraic and arithmetic geometry assure him a permanent place in the history of mathematics. Mathematics was for him allencompassing world-view. The unity of mathematics and its progress was his foremost concern. His passion to reach beyond the traditional boundaries of mathematics can be understood from his biography. He had a happy childhood and adolescence, but his life was later influenced by unusually tragic events. Erich Kahler was born on January 16, 1906 in Leipzig. He attended school there throughout his high school and college years. His father, who had been an oboist in the Navy for 12 years, worked as a telegraph inspector. From Kähler's autobiographical essays, which he dictated to his wife in 1998, one learns that during his youth he showed interest in geography and ethnology. Inspired by the books of Sven Hedin, he wanted to become a world explorer and visit those parts of the earth that he had read about in the books provided by his otherwise rather frugal mother. From seafaring his interests expanded to astronomy and finally, at the age of 12, he became interested in mathematics. His teacher, Dr. Wiese, suggested that he pursue mathematics. In the final year of high school, he was excused from the mathematics classes and his principal Mr. Donat, a student of Weierstraß, gave him his university lecture notes of Weierstraß' courses. In this way Kähler became familiar with the works of Gauß and the theory of elliptic and abelian functions at an early age. When he was 17 he had the idea to study fractional differentiation. He wrote a 50 pages treatise and submitted it to Otto Holder, hoping that he could receive a PhD for this work. But he and his father were told that in order to receive a PhD he needed at least six semesters of classes,

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Rolf Berndt and Arno Böhm

and a little later he himself noticed that the subject of his treatise had already been studied by Liouville though in a different way. The 17 year old Erich Kahler then started a six semester study of mathematics as protégé of Lichtenstein. In the first semester he took Galois theory and read the papers of Gauß, Abel, Weierstraß, Riemann, Lagrange and he soon became acquainted with Emil Artin. In 1928 he received his PhD under Lichtenstein with the dissertation entitled "Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren, die sich aus gewissen Lösungen des η-Körperproblems ableiten" ("The existence of equilibrium figures that are derived from certain solutions of the «-body problem"), a topic which he had chosen himself. Subsequent to his graduation, Kähler received a fellowship of the "Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaften" which enabled him to continue his work in mathematics. He chose to study the quadruple periodic functions. In the summer of 1929, on the way to a vacation in Laboe near Kiel, he had a short meeting with Artin in Hamburg, which set the direction for his future. Erich Kähler became a scientific assistant to Blaschke after he had spent the summer of 1929 at an assistant position at the University in Königsberg. In 1930 he completed his habilitation with work on the integrals of algebraic differential equations. The years 1931-1932 he spent in Rome as a Rockefeller Fellow. He studied with the representatives of the Italian school of algebraic geometry, in particular with Enriques, Castelnuovo, Levi-Civita, Severi and B. Segre. In Rome he also met André Weil with whom he had a lifelong friendship and scientific exchange. Already in 1931, Blaschke had recommended Erich Kähler for a professorship in mathematics at the University in Rostock, but Kähler preferred to stay in Hamburg to participate in the inspiring atmosphere at the Mathematical Institute. One result of his stay in Hamburg was the paper "Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik" ("On a remarkable Hermitian metric"). This metric was later called "Kähler metric". It led to the Kähler manifolds which is the foundation of Kähler geometry and plays an important role in string theory which dominates present day theoretical physics. A Kähler manifold whose Ricci tensor vanishes is called a Calabi-Yau manifold. A Calabi-Yau manifold has a one-dimensional canonical bundle. This fact plays a very important role in string theory compactifications and such Kähler manifolds lead to compactifications with space-time supersymmetry. In Hamburg Kähler also met Chern. This meeting led to a lifelong relationship of mutual respect and admiration. In 1934 Blaschke took Kähler along to Moscow to give lectures on his results on systems of differential equations. From the lecture notes emerged the book [13]*. This journey to Moscow also brought him in contact with Elie Cartan. There he also met Alexandrov. In 1935 Kähler went to Königsberg where he became full professor in the following year. During his time in Königsberg, he did research in mathematical physics including his new formulation of Maxwell's equations using differential forms. To be noted is his lecture "Über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik" on the *References containing only numbers refer to Erich Kähler's Bibliography at the end of this volume.

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Erich Kahler around 1934

Life of Erich Kahler

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relations between mathematics and astronomy and physics which was delivered during the Kant-Copernicus week in 1939 at the Königsberg University. The quotation at the beginning of this essay is from these lectures and can be seen as the formulation of the general program of Erich Kahler. In 1938 Erich Kähler married the physician Luise Günther, and in 1939 their first son Helmuth was born. Then World War II interrupted his scientific work. Kähler had never been a member of the Nazi party. But throughout his life he was enamored by Nietzsche's teaching, which curiously can be traced back to a romantic relationship during the summer vacation of 1928. Attracted since childhood to the sea and influenced by Nietzsche's ideas he had earlier volunteered to serve in the Navy. Now, two weeks after the birth of his son, he was called to active duty. In his memoirs Kähler wrote that the military service freed him from having to participate in Nazi activities. He had too many Jewish friends to be able to voice his support for any activities that expressed antisemitism. At the end of the war Kähler was captured at the fortress St. Nazaire in Brittany from where he was sent to the French prisoner of war camp on the Ile de Ré and later to the one in Mulsanne near Le Mans. He describes this time at the prisoner of war camp as a paradise for scientific endeavors. Since he had been an officer he was not assigned to manual labor. Because of his connections with French mathematicians in the years before the war he was provided with an exemption signed by Joliot-Curie, director of the French CNRS, that allowed him to purchase books. Elie Cartan, Chern and many others sent him preprints and mathematical literature in response to his requests. André Weil who left for Chicago in 1947 tried to bring him to Sao Paulo. But after release from the prisoner of war camp in 1947, Kähler went as a lecturer to Hamburg and then, in 1948, he became the successor of Koebe in Leipzig. After he left the prisoner of war camp, he again lived with his family. In 1942 his daughter Gisela was born and, at the end of the war, his wife succeeded to catch one of the last ships that left East Prussia and found refuge in Seedorf in Schleswig-Holstein. In 1948 his son Reinhard was born. He was handicapped and thus the more beloved by parents and siblings. About the years in Leipzig there exists a fine report from Horst Schumann [Schu]*. In retrospect the time in Leipzig was the most fruitful scientific period of Erich Kähler's life. His influence in Leipzig is still felt today and is documented by the support of his work by Zeidler, director of the Max Planck Institute in Leipzig (who as student had taken classes from Kähler). In Leipzig Kähler gave a 5 semester course with sometimes more than 10 hours of classes per week, in which he expostulated on algebra, algebraic geometry, function theory and arithmetic. The results presented in this course were then published in 1958 in a 399 pages volume of Annali di Matematica under the title "Geometria Aritmetica" [28]. Kähler was called "Master" by a circle of students which included H. Schumann, Lustig, Mehner, Eisenreich, Häuslein, Grosche and Uhlmann. Together with his students he wrote several drafts and the contributions of these students can be seen throughout the "Geometria Aritmetica". Further

^See the reference in Survey of Kähler's Mathematical

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Work and Some Comments, p. 4 0 in this volume.

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Rolf Berndt and Amo Böhm

travels to Moscow and his academy membership gave Erich Kahler an independent position during the period of increased political tension in East Germany. However, as a consequence of his support for the release of the imprisoned Student Chaplain Georg-Siegfried Schmutzler, the tension between Erich Kahler and the East German system became so overwhelming that he decided to leave East Germany. Fortunately he got an offer of the Technical University in West Berlin which he accepted. At the Technical University he was heralded as the greatest living mathematician and his lectures overflowed with 600 students majoring in engineering and sciences. In addition he gave advanced special topics classes, among them a class on the exterior and interior differential calculus in which also the second of the two authors of this essay participated. Kähler also discussed the application of the interior differential calculus to the Dirac equation of the electron in this class. He also gave a course on Algebra I-IV in which he revisited parts of the Geometria Aritmetica. In 1959, van der Waerden tried to bring Kähler to Zürich. But he did not want to relocate immediately again. Instead he tried to bring Hirzebruch to Berlin, in which however, he did not succeed. In 1964 Kähler accepted an offer to succeed E. Artin in Hamburg. Together with Sperner, Hasse, Witt, Collatz, he became one of the directors of the Mathematical Institute. For some time, he still continued to live in Berlin where he also gave lectures as honorary professor. In Berlin, he lived in one of the pleasant villas in Lankwitz, filled and decorated with books of all kind. The wonderful atmosphere which the students enjoyed in the house of Erich Kähler, will always remain in the memory of the authors of this article. Tragedy struck the family again with the drowning death on August 19, 1966 of his son Reinhard, 18 years old, in a rafting accident on Lake Wannsee. In 1970, his wife Luise Kähler died of leukemia and in 1988, his daughter Gisela died from the same illness. The illness of his wife and the tragic events of those years had a large effect on Kähler's life and influenced his scientific thinking. Already in his "Geometria Aritmetica" and in his "Algebra und Differentialrechnung" from 1953, he had tried to find connections between mathematics and philosophy for which he found its mathematical expression in Leibniz' Monadology. Now in view of his personal suffering, his need became ever stronger to find a connection of mathematics to chemistry, biology and even to theology and the ingenious mathematician became a mathematical dreamer who thought he could solve all problems of this world by mathematical methods. This is expressed in his papers [38] and [39]. Happiness returned again to his life in 1972 when he married the pharmacist Charlotte Kähler, widow of his brother since the last months of the war. Until Kähler's death, they were always together. She accompanied him on his weekly trips between Berlin and Hamburg before the family moved from Berlin to Wedel along the Elbe, rekindling the dreams of Kähler's childhood and the sea. The sea also played a prominent role in his son Helmuth's life; first he studied naval architecture, but then changed to physics and is now an astrophysicist at the Bergedorf Observatory, devoting most of his research to the development of star models. Kähler became more and more

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Life of Erich Kähler

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interested in the idea of using mathematics for the creation of a "Weltbild". In particular, he wanted to use modular forms on Siegel's half plane and later quaternion half-spaces. For this purpose he studied the philosophy of Plato, Schopenhauer, Nietzsche and, most of all, Leibniz; he attended courses in theology and in addition read about far Eastern philosophy. Already in Leipzig he had started to study Russian, Chinese and Sanskrit. He continued this in Berlin when during the recitation session of his assistants, Mertin, Lehmann and Schulze, he sat in the back row copying Chinese characters. In Hamburg he gave a series of courses, Mathematics I-VIII, the lecture notes of which have been catalogued in the library of Hamburg. In addition, in 1973, he gave a course called "Über die Mathematik als Sprache und Schrift" ("The Mathematics as Language and Script") and in 1981 a course on "Nietzsches Philosophie als höchstes Stadium des Idealismus" ("Nietzsche's philosophy as the highest state of idealism"). It must be said that in Hamburg he did not always find as positive a response as he would have wished. This was probably caused by the presence in Hamburg of such great mathematicians and theoretical physicists as Helmut Hasse, Ernst Witt, Emanuel Sperner, Hei Braun, Pascual Jordan, Harry Lehmann, Hans Joos, Rudolf Haag and Carl Friedrich von Weizsäcker. Another reason may have been that Kähler isolated himself in order to develop his ideas without exterior influence. After his formal retirement, Kähler still participated in the scientific life of the Mathematics Institute. He invited his colleagues to his home in Wedel after seminars and special festivities. His wife created an atmosphere in which discussions flourished and which remained in the memory of all participants. Subjects discussed were of course mathematics, but not only mathematics. One example of the questions posed is whether mathematics was the creation of the human mind. In Kähler's lectures and talks, many listeners always retained the impression that mathematics is created, at least this was the impression which both authors of this essay garnered in his class. In contrast to the impression that Kähler conveyed in his lectures, Kähler's opinion was (cf. [38], Il Regno delle Idee) that mathematical structures exist in the realm of the ideas and that the mathematician discovers these structures. Other subjects discussed in the meetings at his home in Wedel were music, philosophy, theology, sciences and current events. With increasing age Kähler believed that all these subjects needed to be treated with the help of mathematics. Until his late age Kähler travelled often and participated in conferences and events honoring colleagues or himself. In 1986 he gave a talk at a physics workshop at Canterbury and participated at the XV International Conference on Differential Geometric Methods in Physics in Clausthal. In 1991, one day after his 85th birthday and again on the 18th of April, he gave lectures at the Academy of Sciences in Berlin. On several occasions he lectured in Leipzig and he went to the conference on string theory in Potsdam to meet Witten and Hawking. In Hamburg Kähler participated in the Colloquium organized on the occasion of his 80th birthday with talks by Mackey: "Weyl's Program and the Symbiosis between Quantum Mechanics and the Theory of Group Representations" and by H. Grauert: "Komplexe und meromorphe Äquivalenzrelationen". He also gave a talk at a Col-

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Rolf Bemdt and Arno Böhm

loquium organized to celebrate his 90th birthday with the title "Vom Relativen zum Absoluten", borrowed from Max Planck's talk of 1924 on a related subject. There he advocated the idea of an absolute space endowed with a hyperbolic metric and fixed by a 10-parameter group of quaternions which Kahler called the "new Poincaré group". And until shortly before his death Kahler pursued the idea of a possible arithmetization of physics originally mentioned in the talk by Max Planck.

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Survey of Kähler's Mathematical Work and Some Comments Rolf Berndt and Oswald Riemenschneider

Erich Kähler's research covers an unusually wide area. From celestial mechanics he went into complex function theory, differential equations, analytic and complex geometry with differential forms, and then into his main topic, combining all this with arithmetic, i.e. arithmetic geometry. His principal interest was in finding the unity in the variety of mathematical themes and establishing thus mathematics as a universal language for physics, chemistry, biology and even philosophy and theology. As usual, it is difficult to put good mathematics into baskets labeled for instance differential geometry, number theory or whatever. And as said above, it is particularly difficult in Kähler's case. But to arrange for some structure, we will enumerate labels in five blocks following roughly the chronological order and the stations of his scientific life in Leipzig, Hamburg, Rome, Hamburg, Königsberg, and - after the war - Leipzig, Berlin and again Hamburg.

1 On the η-Body Problem Influenced by having read Gauß, Weierstraß and Lagrange already at school, Kähler's first publications starting in 1926 treated classical differential equations. The papers [1] 1 and [2] treat the three-body problem and [4] the application of certain principles of the π-body problem to the determination of equilibrium configurations of rotating liquids: The aim of [1], Transformation der Differentialgleichungen des Dreikörperproblems (1926, 16 pages), is to rearrange the differential equations of the three-body problem in such a way that Lagrange's well-known solutions appear in a simple fashion. This succeeds by the introduction of special coordinates (in particular the anomalies) 0 and < 0 if Τ has negative discriminant discr Τ — ac — bb = —p2 < 0. In particular, for

- ( - ; o we have T(q) = qj — jq = 2t = 0 as the equation of the wall dividing both cells. In [46], 15, Kähler proves Proposition. The following statements are equivalent: 1.) M or M 2.) q i-> M{q) is an isometry for ds\. 3.) q ι—y M(q) is a symmetry of the original cell, i.e. for Τ hermitian with discr Τ < 0 maps the cell with T(q) ^ 0 either onto itself or onto the cell with T{q) % 0. iv) As in the two other papers, a large part is devoted to the study of the Dirac equation Su = α ν u,

in particular a — λ = const.,

for the metric ds\. Using the volume differential T =

dx Λ dy A dz A dt ?

the inner calculus allows for a decomposition u = v+ V e+ + ν

e± —

v e ,

1 ±r 2

where υ ± are space differentials in the sense that they are outer polynomials which do not contain dt. These space differentials ν = a + b\dx + Ò2dy + b^dz + c\dy Adz + C2dz A dx + c^dx A dy + hdx Ady Adz determine two scalars a and h and two vector fields ib\,b2,h) \=b

and

(ci, c 2 , C3) := c.

Putting c + b : = ia(s 1(2, R)) for all Kähler classes α where φα : sl(2, R) — • End H*(M, R) is the natural st(2, R))-representation given by La '• = Φα ^ Q Q ^ A a : = φα ^ =

Q ^

the Lefschetz operator, the dual Lefschetz operator,

)

vñfoH\Hk(MiC)

=

(N-k)id.

- Kähler group the fundamental group of a Kähler manifold (see [ABCKT]).

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38

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Erich Kähler's Mathematical Articles

Transformation der Differentialgleichungen des Dreikörperproblems [1] Math. Z. 24 (1926), 743-758 [JFM 52.0804.03]

Die Untersuchung der unendlich kleinen Librationen in der Nähe der L a g r a n g e sehen Lösungen gestaltet sich im Problème restreint außerordentlich einfach, da sie nur auf lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten führt. Aus demselben Grunde sind die Librationen in dem einen Falle auch beim allgemeinen Dreikörperproblem ziemlich leicht zu behandeln, wo die den Lagrangeschen Spezialfällen entsprechenden Bahnen Kreise sind. Dagegen werden die Schwierigkeiten ganz erheblich, sobald die Ausgangsbahnen als allgemeine Kegelschnitte angenommen werden. Dies hat seinen Grund darin, daß in den gebräuchlichen Koordinaten schon die Ausgangslösung eine recht komplizierte Form annimmt. Will man die Untersuchung der infinitesimalen Librationen im allgemeinen Dreikörperproblem in Angrifí nehmen, so empfiehlt es sich deshalb, zuerst zu versuchen, die Differentialgleichungen des Problems so umzugestalten, daß L a g r a n g e s Lösungen in einer möglichst einfachen Gestalt erscheinen. Dies ist in der vorliegenden Abhandlung unternommen worden, und zwar ist in dem hier zur Veröffentlichung gelangenden Teile zunächst die fragliche Transformation der Differentialgleichungen mitgeteilt. Zur Illustration der vorhergehenden allgemeinen Betrachtungen sind zum Schluß die wohlbekannten Lagrangeschen Lösungen abgeleitet worden. 1. Da die Lagrangeschen Lösungen sämtlich K e p i ersehe Bewegungen darstellen, so ist anzunehmen, daß man zur Aufsuchung der für das vorgelegte Problem geeignetsten Koordinaten das Zweikörperproblem zum Vorbild nehmen muß.

43

744

E. Kahler.

Die vollkommene Beschreibung der Bewegung zweier gravitierender Körper liefern die Keplerschen Gesetze, die folgendes aussagen: 1. Beide Massen bewegen sich in Kegelschnitten mit dem gemeinsamen Schwerpunkt als Brennpunkt. 2. Die vom Schwerpunkt nach den Körpern führenden Leitstrahlen beschreiben in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Im Dreikörperproblem erfolgt die Bewegung im allgemeinen nicht in einer Ebene. An deren Stelle wollen wir hier die Linienflächen betrachten, die durch die vom Schwerpunkt aus nach den Körpern hingezogenen Leitstrahlen im Laufe der Zeit beschrieben werden, und dann die Bewegung jedes Körpers in seiner Bahnfläche auf folgende Weise darstellen. Die Länge des genannten Radiusvektor werde (für den Körper mit der Masse τη{) mit ri bezeichnet, seine Richtungskosinusse gegen die Achsen eines durch den Schwerpunkt gelegten Koordinatensystems seien a{, ßiy γ.. Die zum Körper mi gehörige Linienfläche schneidet die um den Schwerpunkt gelegte Einheitskugel in einer krummen Linie, deren von einem bestimmten Anfangspunkt in der Richtung der Bewegung gemessene Länge aus naheliegenden Gründen die Anomalie genannt werden soll. Der Ort eines Körpers ist in seiner Bahnfläche· eindeutig durch seine Anomalie und seinen Radiusvektor festgelegt. Die Fläche selbst wollen wir durch die Richtungkosinusse ihrer Erzeugenden darstellen, wobei diese wieder als Funktionen der Anomalie φ ί angesehen werden. Um den Zusammenhang zwischen Ort und Zeit herzustellen, benutzen wir die zur Zeit t erreichte Flächengeschwindigkeit u i des Leitstrahls. Es besteht dann die „ K e p l e r s e h e Gleichung" : t (1) to

f» J«i(t)dt= zi rechtwinklige Koordinaten in bezug auf den Schwerpunkt sind (was erlaubt ist), so gelten außer den obigen noch die folgenden Gleichungen xi>

3

3

2 m i t=l

W

Σ

1 - . Ϊ - 0 .

i=1

i=l

x

==°>

3

(3)

i

ΣMiVi i=l

= 0

>

Σmizi i=l

==0>

¿m.%-0.

(5)

Vi = rißn

Qh = r ; +

r!-2r

zi

= ri yi

ê

i k

i r t

,

wenn zur Abkürzung + ßißh + yi7k = ^ik gesetzt wird. Bringt man in den Gleichungen ( 3 ) die Glieder mlxl, mlyl> mlzl auf die rechte Seite, quadriert und addiert alle drei Gleichungen, so entsteht m ¡ ti + ml ri + 2 m* m* r¿ rt diìe - m? ri, und daraus folgt /gs ^ = (mi ri)* — (mt r¡)2 — (mii rj,)* ik ^ ' 2mtmitrlru Für Qilt bekommt man somit

Aus der Definition von φί ergibt sich

Durch Differentiation folgt aus (9)

« ϊ + β ί + γΙ = ι

die Gleichung da.

dß.

dy.

und weiter (da*\\(dß*W(ir*Wa

+ β

also nach (8 (11)

d'£ a.• ι Λ d2 'β.« ι d2Y. '· + + dtp? · , l dcpf ' " dq>¡

45

i V

'4-v

*'r*-0

746

E. Köhler.

. . dx. dy. dz. Für die DifEerentialquotienten ergeben sich die Ausdrücke dx.

dr.

-di = -di«< +

da.

dy.

-diri>

dr.

dß.

nielli+-di'»

usw·

Es ist aber (nach (1)) allgemein dA dA dq>. — = ^ = dt d Vz) bestimmen eine „gerichtete Hyperstrecke" ' X — Xx y — yx D{PPXP¿ x—x2 y — y2 von der „Länge" A(PP1PI)

= mod

D(PPXP2)

und dem „Richtungswinkel" A(PP1P2)

= a r g D{PPXP2).

(0 ^ Α ^

2π).

Die Größe Δ(ΡΡΧΡ2), die wir auch die Hyperdistanz von P , PX, P 2 nennen wollen, ist offenbar stets positiv (oder = 0) und unabhängig von der Reihenfolge der Punkte PP1P2. Der Richtungswinkel a (PPjPg) kann sich bei Vertauschung der Punkte höchstens um i π ändern. Sowohl bei einer linearen Substitution von der Form x' — ax-\-by,

y'=cx-\-dy, 64

I ad—bc 1 = 1

287

Erich Kähler:

— einer „Drehung des _ß4" — als auch bei einer „Translation" x' = a-.fa,

y' = y+

b

bleibt Δ(ΡΡ1Ρ2) invariant. Zwei Hyperstrecken D = D{P,P1P2), D' = D{P,Q}Q2) von nicht verschwindender Länge, die einen Endpunkt gemein haben, bilden miteinander einen Winkel w (DD'), der durch -WW)-«W—CD')

=

bestimmt ist. Auch w(DD') bleibt bei Drehungen ungeändert, ja sogar bei beliebigen linearen Substitutionen in den x, y. 2.

Analytische Abbildungen. Es seien u(x, y), v(x, y), zwei innerhalb eines vierdimensionalen Bereiches, etwa einer Hyperkugel Σ, reguläre analytische Funktionen mit nicht identisch verschwindender Ja cob i scher Determinante D(uv) D(xy)'

Wir betrachten die von einem Punkte (χ, y) und von zwei benachbarten Punkten (χ + Δ xv y + Δ y j , (χ + Δ x2, y + Δ y2) in Σ aufgespannte Hyperstrecke Dx

=

Δχχ

Δ y1

Δχ2 Δy2

mit von Null verschiedener Länge. Vermöge der obigen Abbildung entspricht dieser Strecke im (u, v)-Raum eine andere Δ ux Du

=

Δν1

Δη λ Δν 1

Wenn Δ xv Δ yv Δ x2, Δ y2 derart gegen Null konvergieren, daß auch der Quotient (\Δχι\ + \AX2\ + \AVl\ \AxiAy2

—

+Mya|)8

Ax2Ayx\

sich der Null nähert, so ist

wo ε mit den Δ χ, Δ y verschwindet. Sind (χ + Δ x-¿, y -f Δ y-¿), (χ + Δ χ2, y + Δ y2) zwei in ähnlicher Weise nach (x, y) konvergie65

Über ein geometrisches Kennzeichen usw.

288

rende Punkte, so hat man für die entsprechenden Strecken D'x, D'u ebenfalls eine Beziehung M

\D(»y)

^

j

x

Daraus folgt in der Grenze ~

= ^ u'

, also insbesondere

W(DUDU')

—

w(DxDx>),

x'

d. h. im Unendlichkleinen bleiben die Winkel erhalten, die Abbildung ist konform. Voraussetzung war dabei, daß in (x, y) die Funktionaldeterminante von Null verschieden ist. D{xy)

Zwei stetige komplexe Funktionen x = x(s, t), y = y(s, t) der reellen Parameter s, t definieren eine Fläche 8 im vierdimensionalen (xî/)-Raum. Besitzen x(s, t), y(s, t) in einem Punkte Ρ (s, t) stetige erste Ableitungen und ist zugleich xsyt — xt ys 4= 0, so kann man der Fläche S in Ρ auf folgende Weise einen Richtungswinkel zuordnen : a ist der Richtungswinkel der aus Ρ und zwei unendlich benachbarten Punkten P 1 (s + dsx, t + dtj), P2(s + ds2, t + dt2) auf S gebildeten Hyperstrecke. Da arg *t

ys

dsx

d tx

yt

ds2

dt2

und dsxdt2—ds2dt1 reell ist, hängt a von der Wahl der Punkte Px, P2 nicht ab, abgesehen von dem Zusatzgliede i π , dessen Auftreten dem Umstände entspricht, daß auf S zwei Seiten unterschieden werden können. Zwei Flächen S und S' schneiden sich (im allgemeinen in isolierten Punkten) unter einem Winkel, der gleich der Differenz der Richtungswinkel von S und S' an dem betreffenden Schnittpunkte ist. Bei einer analytischen Abbildung bleiben daher nach dem obigen die Winkel zweier Flächen umgeändert. In den Punkten, wo xsyt — Xtys verschwindet, hat S keine bestimmte Richtung. Es ist interessant, zu beobachten, daß diejenigen Flächen, welche nirgends eine bestimmte Richtung besitzen, für die also x s yt—Xty 8 identisch verschwindet, gerade die durch eine analytische Relation f (x, y) — 0 definierten Flächen sind. Stellt man nämlich x, y als Funktionen eines uniformisierenden Parameters ξ = s-{· it dar, so hat man xt = ixs, yt, — t y$, und umgekehrt folgt aus xeyt — Xtyg = 0 entweder y = j(x) oder χ = konst. 66

289

Erich Kahler: 3. Konforme Abbildungen.

Jede konforme Abbildung ist analytisch. Es sei u = u(ξ, ξη, η'), υ — ν{ξ, ξ', η, η') eine konforme Abbildung mit stetigen ersten Ableitungen (u, υ sind komplexe Funktionen reeller Argumente). Die Differentiale du, dv kann man in der Form du = uxdx + Uydy + uxdx + Uydy dv — vxdx + Vydy -f Vxdx -f- Vydy (χ = ξ + ίξ', χ = ξ — ίξ', y = η + ίη', y = η — ίη') schreiben, indem man \

— i UÇ') =ux,

I (W| + i

= ux,

usw.

setzt. Damit die betrachtete Abbildung konform ist, ist es offenbar notwendig und hinreichend, daß das Argument des Quotienten dux dvx

dxx dyi dx2 dy*

Ol S>

du2

ts

Du-Dx

von den Differentialen dxv dx2, dyx, dy2 unabhängig ist. Es ist D(uv) j . . D{uv) D{uv) D.-

Wi) w j + + i m M ^d*> + § W > + ('MW

+

wobei die Ausdrücke

D(xy)

(1)

usw. in bekannter Weise Jacobische

Determinanten bezeichnen, und (dxxdy¿) — dxxdy2 — dx2dy1,

{dx^dx^ = dxxdx2 —dx2dx1,

usw.

gesetzt ist. Nehmen wir zunächst dx2 = 0, dy1 = 0, also auch dx2 — 0, dyx — 0, so wird Vu __ D(uv) . D(uv) dy2 , D(uv) dxt . D(uv) dx1 dy2 (e)\ U D~x D&y) DT*?) dV2 D(xy) d^ "Γ" D&f) d^d^' d "x d u Die Quotienten -, (welche nicht etwa als Ableitungen anΛχχ d y2 zusehen sind) sind gleich beliebigen Zahlen eia, vom Betrage 1 •

·

67

·

Über ein geometrisches Kennzeichen usw.

290

zu setzen. Man erkennt dann leicht, daß der Ausdruck (2) nur dann von a und β unabhängiges Argument besitzt, wenn D(uv) D&V)=zUxV*~UliVx=

τ

L

n

TT

'

D(uv) D&v)

=

u v

* *—

Λ u v ==0

y^

>

I I L

ist. Hiernach reduziert sich der allgemeine Ausdruck für Du : Dx auf D(iiv) . D(uv) {dx^xi) . D(uv) (dy1dyi) K D~x — D&y) D(xx) (dXldya) D ^ f ) {dxjyj ' ' Setzt man hier dyx — dy2, so verschwindet das letzte Glied auf der rechten Seite, während im zweiten Gliede der Faktor (dx-^dx^) dxxdx%—dx2dxx {dx^yj ~~ dy^dxj^ — dxJ noch jeden beliebigen Wert annehmen kann. Es muß also auch IV

·

und ebenso IT V.

=

=O

D(uv) ^ - ) = uyn-u-yvy

=Q

sein. Schreibt man die Gleichungen I., II., V., IV. als lineares System in Bezug auf ν,χ, Uy, vj, Vy : I. II. V.

vxUy

—uxv¡¡ = 0, VyUx —UyVx = 0, VyUy —UyVy=0,

IV. vxux —Uxv¿ so erhält man als Determinante

= 0,

— (UxVy —UyVxf, ein Ausdruck, der nicht identisch verschwinden kann, da sonst nach (3) Du : Dx identisch gleich Null wäre. Es ergibt sich somit U x = 0, 1ly= 0, V i = 0 , Vy= 0, das sind aber die Cauchy-Eiemannschen Differentialgleichungen.

68

Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, die sich aus gewissen Lösungen des η-Körperproblems ableiten 1 ) [4] Math. Z. 28 (1928), 220-237 [JFM 54.1036.01]

§ IEs gibt eine Anzahl spezieller Lösungen des ebenen η -Körperproblems, bei denen die η Massenpunkte Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt beschreihen. Die ganze Konfiguration dreht sich dabei wie ein starres Gebilde mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Es scheint von vornherein sehr plausibel, daß diese Lösungen im allgemeinen zu Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten dadurch Anlaß geben, daß man die Massenpunkte durch gleich schwere Flüssigkeitskörper ersetzt. Dabei ist jedoch vorausgesetzt, daß die Dimensionen der letzteren klein sind im Verhältnis zu denen der ganzen Konfiguration. In der vorliegenden Abhandlung werden die genauen Existenzbedingungen für solche Flüssigkeitsfiguren aufgestellt. Nach den grundlegenden Untersuchungen von Herrn Lichtenstein 2 ) über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren führt diese Frage auf ein System von Integro-Differentialgleichungen, deren Auflösung wiederum von gewissen linearen Integralgleichungen abhängt. Bei den genannten Figuren haben diese stets Nullösungen. Die hierdurch entstehenden Schwierigkeiten, die bei direkter Behandlung des Problems weitläufige Rechnungen nötig machen würden, hat Herr Lichtenstein bei dem 1

) Als Inaugural-Dissertation von der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig zugelassen. 2 ) L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. I. Abh. Math. Zeitschr. 1 (1918), S. 229—284. Π. Abh. Math. Zeitschrift 7 (1920), S. 126—231.

69

E. Kahler. Doppelsternproblem Parametern

Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten. —

der Spezialfall

umgehen können.

Auch

n — 2 —

durch

221

Einführung

von

bei den allgemeineren hier zu be-

handelnden Figuren kann die Diskussion der sog. Yerzweigungsgleichung, welche die eigentlichen Schwierigkeiten bietet, durch einen einfachen Kunstgriff vermieden werden. gewisses System von

Die Durchführung der Rechnung führt auf ein

2 η Gleichungen mit 2 η — 1 Unbekannten,

dessen

Lösbarkeit eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der betrachteten Gleichgewichtsfiguren

ist.

In

allen Fällen, wo die er-

zeugende Konfiguration eine durch den Schwerpunkt gehende Symmetrielinie besitzt, lassen sich die 2 η Gleichungen auf η mit η Unbekannten reduzieren: Vollständig durchgeführt ist die Diskussion an zwei Beispielen, wo die η Körper entweder auf einer Geraden oder auf einem Kreise angeordnet sind.

Wenn die Ausgangsfigur aber keine Symmetrielinie besitzt,

wie ζ. B . der eine der Lagrangeschen Spezialfälle des Dreikörperproblems, kann

die Zahl der Gleichungen

genauere Untersuchung

nicht vermindert werden, und erst eine

der maßgebenden Gleichungen wird

entscheiden,

ob diese miteinander verträglich sind oder n i c h t ) . 3

§ 2. In einem Koordinatensystem m i t dem Schwerpunkt als Ursprung seien i> Vi' 0 , (z =

x

1, 2 . . . n) die Koordinaten der η Massenpunkte.

D a m i t die

aus diesen Körpern bestehende Konfiguration im relativen Gleichgewicht ist, müssen die Gleichungen

e « = («yi + ß.,0) zu legen. Die nähere Bestimmung der a., ß. wird später noch gegeben werden. Es wird sich zeigen, daß die neuen Mittelpunkte in erster Näherung mit den Schwerpunkten der Ti übereinstimmen. In Polarkoordinaten rv φν mit dem Pole P{ laute die Gleichung von Sι folgendermaßen: Um die Gleichungen (2) zur Bestimmung der Funktionen ζ. auswerten zu können, sind zunächst die Potentiale FiÄ durch ζ·, ffc darzustellen. § 3. Das von Tk herrührende Potential Fifc ist gleich dem Potential V¡k der zu Τk gehörenden Kugel Σίί, vermehrt um dasjenige der darüberliegenden sphäroidalen Schicht, welches durch

(3)

= f t j ^ p - + (C),>

gegeben ist4). Bei h + i ist = ψ

'

μν,

Β /

5

+

.

νν-\-λιν

ι 3 \

) Ε. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, m . Math. Annalen 65, (1908), S. 370—899.

75

Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten.

227

Für spätere Anwendungen sei noch angemerkt: Aus ( 1 4 a )

„

Η(ζ)= H(C)

=

1

folgt

uv

„

ττ/1-\

»

ζ =

α2

ÎTÏZUV,

8 απ

y

15 / „

a

§5. Die Gleichungen ( 1 3 ) sind von der Form

wobei L außer von den α, β noch von den ζ abhängt, jedoch nur in höherer Ordnung. Um die Methode der sukzessiven Näherungen zur Lösung dieser Integro-Difierentialgleichungen heranziehen zu können, wenden wir auf die linken Seiten die im vorigen Abschnitte dargestellte Umformung an, d. h. wir unterwerfen die Lösungen ζ den 3 η Bedingungen j^u^a^O,

= 0,

und ersetzen

durch Hi(£J. Hi(Ci)

=

(» = 1 , 2 , . . . , η )

Die so entstehenden Gleichungen ( ¿ = 1 , 2 , ...,n)

= Li(tt,ß,C)

können dann durch sukzessive Approximationen folgendermaßen gelöst werden.

Wir bestimmen £¿(1) aus J3i(& ll) ) = £ , * , Q M i = leilü (• + Σ'Ii*) ' Oi = Jë^ Σ' °ÌU · k

§7. Die Mannigfaltigkeit der Lösungen des η-Körperproblems, die zur Bildung von Gleichgewichtsfiguren führen, ist zu groß, um über die Lösbarkeit der Gleichungen ( 1 7 ) ohne genauere Kenntnis der Ausgangsfigur allgemein urteilen zu können. Sind aber von der ursprünglichen Konfiguration die Symmetrieeigenschaften und eventuell einige weitere Daten bekannt, so reichen die entwickelten Methoden hin, um die Existenz der entsprechenden Flüssigkeitsfigur zu beweisen, wie die folgenden Beispiele zeigen. Im η - Körperproblem gibt es eine Lösung, wo die η Massenpunkte — die übrigens beliebige Massen haben können — in bestimmten unveränderlichen Abständen auf einer Geraden verteilt liegen, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Schwerpunkt dreht. Nehmen wir diese Gerade als »-Achse des Koordinatensystems, wodurch y{= 0 (i = 1 , 2 , . . . , n) wird, so kann ß. = 0, (.· = 1 , 2 , . . . , n ) gesetzt werden. In der Tat ist die unter dieser Voraussetzung sich ergebende Lösung ζ. der Gleichungen ( 1 3 ) zur Ebene y = 0 symmetrisch, weil dies für jede der Näherungen gilt. Dann aber ist wegen der Beziehungen

80

232

Έ. Kahler.

SCiVida=0, die aus der Symmetrieeigenschaft folgen, diezweite Gruppe der Gleichungen (17) von selbst erfüllt, und es bleiben zur Bestimmung der a{ gerade η Gleichungen m

kPiuyi-2j'mitPiicak

(μ+Σ

= j(···)

(* =

l,2,...,n)

übrig, deren Determinante

M+2J'mkp k m i Pai D

- m2 pM

ik

M+2'mkP2ic k ...

-m1psl

Pnx

-m3pls

...

- mnpln

~ ™3 p2S ...

•••

Μ+Σ'νη^ρ^ k

von Null verschieden ist. Zufolge

sind nämlich in obiger Determinante die Diagonalelemente positiv, die übrigen Glieder alle negativ, und die Summen der Zeilenelemente gleich M, d. h. > 0. Diese Merkmale reichen nach einem am Schluß dieser Arbeit bewiesenen Lemma aus, um zu erkennen, daß D positiv, und zwar größer als M n ist. Eine andere Konfiguration, bei welcher der Existenzbeweis der zugehörigen Gleichgewichtsfigur ebenfalls ohne weitere Rechnung durchgeführt werden kann, ist die folgende: η gleiche Massen bilden die Ecken eines regulären Polygons, in dessen Mittelpunkt man sich noch einen anderen Körper gelegt denken kann. Die Flüssigkeitskörper, welche die η auf einem Kreise liegenden Massenpunkte mi, m a , . . . , mn ersetzen, mögen alle dieselbe Dichte f haben; dagegen kann die Dichte des Zentralkörpers, dem wir den Index 0 geben wollen, von f verschieden sein. Die Verbindungslinien der Punkte m i mit dem gemeinsamen Schwerpunkte sind Symmetrielinien der Ausgangsfigur. Setzen wir nun

(23)

«o = 0, ßo=°>

=

ßt = ytr

(¿=1,2,...,»),

so zeigt die mit diesen α, β berechnete Lösung der Integrodifferentialgleichungen für die ζ die gleiche Symmetrieeigenschaft. Danach ist f £ o t t o d a = 0, Ση

J*f 0 t; 0 da = 0, Σα

81

Gleichgewichtsfigur eil rotierender Flüssigkeiten.

233

und die übrigen Gleichungen reduzieren sich, da die auf dem Kreise liegenden Komponenten der Flüssigkeit untereinander kongruent sind und je eine Symmetrieebene haben, auf eine, für die man etwa

nehmen kann. Durch die Substitution (23) mag die letztere Bedingung in

übergehen. Dabei bezeichnet A eine endliche von ρ unabhängige Konstante. Man findet leicht durch Vergleich mit den linken Seiten von (17) und unter Beachtung der Bedeutung (8) von pik, nilt, qik, daß Ar für unendlich kleine r proportional der Änderung der radialen Komponente der Gesamtkraft in m1 ist, wenn auf die ganze Konfiguration die Verschiebungen (23) ausgeübt werden. Da hierdurch die Anziehungskräfte im entgegengesetzten Sinne geändert werden wie die Zentrifugalkraft, so ist A von Null verschieden und daher τ = O

) oder besser τ — O (~τ) (vgl. S. 231),

womit die Existenz der fraglichen Gleichgewichtsfigur bewiesen ist. An diesen beiden Beispielen sieht man, wie mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften die Zahl der Bedingungsgleichungen vermindert werden kann und dadurch die Berechnung der α, β erst ermöglicht wird. Ähnliche Betrachtungen können in allen den Fällen mit Erfolg angewandt werden, wo die Ausgangsfigur mindestens eine Symmetrielinie besitzt, nur müssen dann im allgemeinen mehr Einzelheiten über die Konfiguration bekannt sein als in den obigen Beispielen, bei denen ja bloße Vorzeichenangaben zum Existenzbeweis genügten. Indem man den durch Symmetrie zusammengehörigen Massenpunkten symmetrische Verschiebungen cci, ßi zuordnet, reduzieren sich die Gleichungen (16) auf η in η Unbekannten, womit deren Bestimmung nichts mehr im Wege steht. Hat die Ausgangsfigur jedoch keine Symmetrielinie, so scheinen die Gleichungen (16) unlösbar zu sein, da in diesem Falle keine Möglichkeit offensteht, die Anzahl der zu erfüllenden Bedingungen zu verringern. Im Gegenteil bieten dann die entwickelten Methoden die Mittel zum Nichtexistenzbeweis der fraglichen Figuren, indem nur zu zeigen ist, daß die Gleichungen (16) miteinander unverträglich sind. Unter den in Frage kommenden Lösungen des η-Körperproblems ist nur eine bekannt, die eine Asymmetrie auf weist : die Lagrangesche Lösung des Dreikörperproblems, bei der die drei Massenpunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Da hierbei die Massen beliebige Werte haben können, so liegt bei ungleichen Massenverhältnissen der Fall der Asymmetrie vor. Auf ganz ähnliche Weise wie oben zeigt man hier, daß die Bedingungen (16)

82

E. Kahler.

234

bestimmt miteinander verträglich sind, wenn mindestens zwei der Massen ml, raa, m 3 gleich sind. Dann aber hat die entstehende Figur wieder eine Symmetrieebene durch die Rotationsachse. Die Entscheidung über den allgemeinen Fall bleibt, wie gesagt, einer weiteren Untersuchung vorbehalten. §8. Die im vorangehenden entwickelte Methode des Existenzbeweises von Systemen kugelähnlicher Gleichgewichtsfiguren ist auch dann noch anwendbar, wenn zu den gegenseitigen Anziehungen noch ein schwaches Außen feld hinzutritt. Zur Erläuterung sei hier der Fall behandelt, wo eine (evtl. in einem geeigneten Koordinatensystem) ruhende Flüssigkeitsmasse Τ unter der Wirkung eines Feldes steht, das sich aus einem Potential G (Χ, Υ, Ζ) ableitet. Hierbei braucht G keiner besonderen Symmetriebedingung zu genügen. Das Bestehen des Gleichgewichts fordert: (24)

V(X,

Y, Z) = konst.

Y, Z) + G(X,

auf der Oberfläche S von T, wenn V das Potential der Eigen gravitation von Τ darstellt. Man wähle den Punkt Q(x,y,z) so, daß in ihm die drei Komponenten der Außenkräfte verschwinden; es gilt also (25)

G

x

(x,y,z) =

0,

G y ( x , y , z) =

0,

G

z

(x,y,z) =

0.

Es soll nun angenommen werden, daß sich G in der Umgebung von Q in eine Potenzreihe (26)

β

(

,

+

Α , , + Β . .

+ 0

)

- Σ i,le,l

?

( j ) ' ( £ ) ' ( f )' ^

entwickeln läßt, die für AΛ Q

5

ΒΤ> e

cΗ >

e

< D

gleichmäßig konvergent sein möge. Die Zahl ρ ist ein Parameter, dem beliebig große Werte beigelegt werden können. Die Größen pikl und D sind als von ρ unabhängig anzusehen. Ein solches Feld liegt ζ. B . vor, wenn G von der Anziehung ferner Massen herrührt. Für genügend große ρ wird Τ annähernd Kugelgestalt annehmen. Um den dicht bei Q liegenden Punkt P(x + a, y + β, ζ + γ) sei die „Näherungskugel" Σ mit dem Radius a beschrieben, wo a durch m

4π „ = ™a3f 3 '

f m : Masse \ _ , von Τ \ f: Dichte /

definiert ist. Relativ zu dieser Kugel laute die Gleichung von S in Polarkoordinaten ( r , φ, ϋ·) ν =

α +

ζ(φ,ϋ·).

83

Gleichgewiohtsfiguren rotierender Flüssigkeiten.

235

Bezeichnen dann u, v, w wieder die auf Ρ bezogenen rechtwinkligen Koordinaten eines Kugelpunktes, so ergibt sich für den zugehörigen Punkt auf 8 : X = x + a + u

(

1 +

± y

Y = y +

ß + v( i + I ) ,

Z = z + y + w(

1+1).

Nach Einführung von A = tt + u{ 1 + 1 ) ,

B = ß + v( 1 + 1 ) ,

C = y + w( 1 + 1 )

in (26) erhält man für die ersten Glieder in der Entwicklung von G (man beachte, daß wegen (25) p 100 = p 010 = = 0 ist)

(Χ,Υ,Ζ)

O (Χ, Υ, Ζ) = konst. + L (1) + L w + 1 (f \ + O ( 1 ) ,

(27) wobei L(1) =

(p a 0 0 « + Piio 0 + Pioi îO + " | r (Pno α + Poao ß + Pon / ) + ^ r ( Pioi α + Poil ß + P009 y ) >

ρ

1

ρ8

Ρ

ist. Das Potential der Eigengravitation hat wie früher den Ausdruck F ( X , 7 , Ζ) = konst. - i ^ C + f l ^ l · + (f ) t · Σ Die Bedingung (24) führt somit auf die Gleichung (28)

= 8+ + + + + Σ deren Lösung wie in Art. 5 die Einführung des „zerspaltenen Kernes" ^

1 r'

/uu' + vv' + ww'\ V o3 J

notwendig macht. Nachdem aber α, β, γ so bestimmt sind, daß (29)

ΣjCuda=

0,

Σ¡ζνάσ=

0,

Σf ζινάσ = 0

wird, kann in der obigen Integrodifferentialgleichung einfach Ν an Stelle von

gesetzt werden, und man findet

wenn man s so bestimmt, daß das Volumen von Τ gleich dem von Σ wird.

84

236

E. Kahler.

Es fragt sich wieder, ob man durch geeignete Wahl von α, β, γ den Bedingungen ( 2 9 ) genügen kann. Wegen ( 3 0 ) schreiben sich diese in der Form (31)

Paoo « + Piio ß + Pioi y = ° ( \ ) >

Pno α + Ρθ2θ ß + Pon Υ = O ( ì ) , νρ/

ι

Ριοι

α

+ Pon ß + Poca y =

0

( ρ )·

Ist also die Determinante aus den Koeffizienten der linken Seite von Null verschieden, so ergibt sich . _

0

( i ) ,

, _

0

( ! )

, _

0

( i ) .

und die Existenz der Figur ist dann bewiesen. Wenn das Potential G von der Anziehung ferner Massen herrührt (wobei man für ρ etwa die kleinste Entfernung jener Massen von Ρ wählen kann), so läßt sich wie in § 6 Genaueres über die Größenordnung der cc, β, γ aussagen. Nach dem in § 6 zitierten Satz der Mechanik ist JQ* τ

(*', i f , z')dx = O, ¡Gv {x', y', z') dx = 0 , Jgz> (*', ¡f,¿)d τ τ (dx = dx' dy* dz').

t = 0

Integriert man hier zuerst über das Innere der Kugel Σ, so ergibt sich zufolge einer bekannten Eigenschaft der Newtonschen Anziehung auf Kugeln Ge(s

+ «>¿+

β,ζ

+ γ)

bzw. Gy(x + a, y + ß, ζ + γ),

Gz{x + a, y + β, ζ +

γ).

Die Integration über die sphäroidale Schicht gibt weiter

Σ

+

usw.,

was, wie leicht ersichtlieh ist, in der Form Λ ί Ο ι + "Τ (Oe 6 6 werden kann. Man bekommt also G x ( x + «, y + β, ζ + γ) = 1 ( O , + £ { ζ \ = Ο ( 1 ) ,

geschrieben

usw.

Werden hier die linken [Seiten nach ( 2 6 ) entwickelt, so entstehen den Gleichungen ( 3 1 ) ganz ähnliche Beziehungen, aus denen zu ersehen ist, daß die rechten Seiten von (31) dnrch

ersetzt werden können.

Größen α, β, γ sind mithin von der Größenordnung

85

.

Die

237

Gleichgewichtefiguren rotierender Flüssigkeiten.

§9Beweis des in § 7 benutzten Determinantensatzes. Schreibt man eine Determinante in der Form Ζχ +

~

Σ ' ^ ι * k ®21

D

—

+

a

—

19

Σ ' k

—

a13

a.

— an

a.'21e

a.'31

ζ„ + Σ ' α η ί ι

— CL

wo dann χ. die Zeilensummen darstellen, so enthält ihre Entwicklung nach den Größen xi und aik nur positive Koeffizienten. Für η = 2 hat man offenbar — O,

'12 —

^a

+ «2!

a„

Xi

®21

®19 ·

Wir beweisen, daß der Satz für η gilt, wenn dies für η — 1 der Fall ist. Die Entwicklung von D nach Potenzen der xi enthält kein von diesen freies Glied, da eine Determinante mit verschwindenden Zeilensummen gleich Null ist. Die Gesamtheit der mit einem bestimmten x , ζ. B. mit χλ multiplizierten Glieder ist xx Ax, wo Αλ die durch Streichung der λ -ten Zeile und ¿-ten Kolonne aus D entstehende Determinante (n — l)-ter Ordnung bezeichnet. In Ak sind die Diagonalelemente gleich (Xf + a a ) + Σ " a i k ( Σ " ' · Summation über alle k + λ, i ) , und die übrigen k

k

Glieder sind unter den — ailt (k ^ λ, i ) enthalten. Da die Entwicklung von Ax nach Potenzen der [xi -f- αίλ), aik als Determinante (n — l)-ter Ordnung nur positive Koeffizienten enthält, so folgt daraus ohne weiteres die Richtigkeit der obigen Behauptung, Bei positiven aik und xi gilt überdies D

>

xx • x2 • xs

...

x

n

,

weil in der Entwicklung von D stets das Glied (Eingegangen am 29. Juli 1927.)

86

auftritt.

Über die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen in der Umgebung einer singulären Stelle [5] Math. Z. 30 (1929), 188-204 [JFM 55.0805.04]

Die große Schwierigkeit, die die Funktionentheorie mehrerer Veränderlichen gegenüber der klassischen Funktionentheorie aufweist, liegt vor allem darin, daß zwischen geometrischen und analytischen Fragestellungen keine umkehrbar eindeutige Beziehung besteht. Und dies wiederum findet seinen Grund oder vielmehr seinen Ausdruck darin, daß die singulären Gebilde einer Funktion F(x, y) keine isolierten Punkte oder Linien, sondern im allgemeinen (zweidimensionale) analytische Kurven sind. Sehr deutlich zeigen sich diese Schwierigkeiten bereits bei den Fragen der Funktionentheorie zweier Variablen, die im folgenden im Anschluß an eine Arbeit von Herrn Brauner 1 ) untersucht werden. Es handelt sich darum, die Verzweigung einer algebraischen, allgemein einer algebroiden Funktion F(x,y) in der Umgebung einer singulären Stelle x = a, y = b festzustellen. Obwohl die betreffenden Fragen zum größten Teil bereits von Herrn Brauner beantwortet sind, habe ich mir erlaubt, den Gegenstand auf dem etwas anschaulicheren Wege, der sich mir dargeboten hat, teilweise noch einmal darzustellen. § 1· Bei einer algebroiden Funktion f ( x ) einer Variablen ist der singulare Punkt χ = o immer isoliert und daher die Verzweigung immer zyklisch, woraus man in elementarer Weise schließen kann, daß f{x) in der Umgebung von x — a nach Potenzen einer geeigneten Wurzelgröße (x — a)v entwickelt werden kann. Hamb. Abh. 6 (1928) S. 1 - 5 5 .

87

E. Kahler.

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

189

Anders ist es bei den Funktionen zweier Variablen. Man sagt, eine Funktion ζ = F {χ, y) verhalte sich in der Umgebung Σ von x = a, y — b algebroid, wenn die analytische Fortsetzung von F (x, y) längs beliebiger in Σ verlaufenden Wege immer nur eine endliche Anzahl verschiedener Zweige z1 = z1 (x, y), za = za (x, y), zn = zn (x, y) ergibt, die sich nur längs gewisser in Σ algebroiden Kurven 2 ) — das sind zweidimensionale Mannigfaltigkeiten im vierdimensionalen Gebiet Σ — singulär verhalten. Diese singulären Kurven haben dabei entweder die Bedeutung von Verzweigungskurven, längs deren einige, eventuell alle Zweige von ζ = F (x, y) zusammenhängen, d. h. dieselben Werte annehmen, oder sie sind Polkurven, oder auch beides zugleich. Da es stets einen in Σ holomorphen Faktor φ (x, y) gibt, so daß das Produkt φ (x, y) • F (x, y) in Σ beschränkt bleibt, so können wir, indem wir ζ durch z- r )

φ

setzt. Die Oberflächen von Τ und T ' sind dann derart aufeinander bezogen, daß den Meridiankreisen von Τ die Breitenkreise von T', den Meridiankreisen von T ' die Breitenkreise von Τ eineindeutig zugeordnet sind. Nun kann man aber T' auf den Außenraum von Τ derart abbilden, daß die eben beschriebene Randzuordnung zu einer Identität wird. Man hat dann jedoch das Unendlichferne des (ξ, η, ζ)-Raumes als einen Kreis anzusehen, was aber bei den vorliegenden topologischen Betrachtungen nichts ausmacht. Den Linien λν entsprechen gewisse im (ξ, η, ζ)-Raum, und zwar innerhalb T, verlaufende Linien lv. Um nun die Struktur der Gruppe G kennenzulernen, müssen wir uns erst über Gestalt und Lage der Linien λν bzw l v orientieren. Nach einer Bemerkung in § 1 ist λν der Schnitt von Pv und Ζ (d. h. I x \ = r ) . Es sei mix (2)

y =

f(x) =

a

1

x

n

m2 + α

2

χ

η

τη 3 + α

3

«

90

η

+ . . .

(0
ζ= Τ181Πψ gemäß der Gleichung ψ = — T φ-\-α 1 nx - mal in der Richtung der Breitenh kreise und mí-mal im Meridian herumwindet. Wird auch das zweite Glied hinzugenommen: f

ím'l \ « _ ,, e f c " H < +

(m2

\ 3É _ S ,

91

(mi,

„ ) _ 1.

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

193

so erhält man eine Linie von folgender Art. Mit Lx als Achsenlinie konstruiere man die Schlauchfläche σ1 : ξ + i η = (r + rx cos (7)

φ + ccx) + r 3 cos ψχ ) e*>, 2>

ζ=

f i ein (^

h_x lautet: mh r V>h-i = -^

0 bzw. dcp > 0 einfach umlaufen, bedeutet schließlich c einen einfachen Umlauf (d

0) im Innern von τ' mit Β als Anfangs- und Endpunkt, so kann nach obiger Deformation jeder Weg α aus l, ä, ä - 1 , l~ x , jedes b aus fej, fc,-1, &3-1, jedes b' aus h und ΐ1, ò2, b^1, b?1, jedes c aus c oder c" 1 zusammengesetzt werden. Hiernach läßt sich jeder Weg L aus den Elementarwegen -1 p = läl -1, q — lhch 1,-1 l , r = lh1l - 1 s =

99

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

201

und ihren Inversen aufbauen. Die zugehörige Gruppe wird also aus den durch p, q, r, s bestimmten Substitutionen P, Q, R, 8 erzeugt. Man erhält eine Fundamentalrelation zwischen P, Q, R, S, indem man die durch Ä gehende Linie k: ψ — ™ψ = konst. auf τ, genauer die Linie I k l a u f zwei verschiedene Weisen darstellt. Denkt man sich k in (Ä) gelegen, so gehört zu Ikldie Substitution Pm. Sieht man sie dagegen als zu (B) gehörig an, so ist sie eine Knotenlinie, welche r ' m-mal im Meridian umschlingt und dabei η Umläufe längs τ' vollführt. Man findet also hier für lkl~x die Substitution Rm 8n und es gilt (19)

Pm = Rm Sn. Eine ganz analoge Betrachtung, angewandt auf die Linie

I k w o

k' die durch Β gehende Linie ψ — ~r φ = konst. auf τ' darstellt, führt auf die Relation (20)

Rm' Sn' = Qn',

indem man einmal k' als zu (Β) gehörig, das andere Mal als zu (C) gehörig ansieht. Ferner sind, wie leicht ersichtlich, R und S vertauschbar, was auf die Relation (21) RS = SR führt. Außer den Beziehungen (19), (20), (21) gibt es keine anderen unabhängigen Relationen zwischen P, Q, R, S. Zunächst kann zwischen R, S allein neben (21) keine weitere Relation RaSß = 1 bestehen, da einer solchen immer ein auf Π zusammenziehbarer Weg A entspricht und andererseits jedes Symbol RaS^ (α > 0) einen Weg darstellt, der sich um r ' schlingt und daher nicht auf Π reduziert werden kann. Enthält nun eine Relation (22)

(PQRS)

= 1

das Element Q, so entspricht jedem Glied Qa in (22) ein innerhalb τ' verlaufendes Stück des Weges Λ, dessen Symbol die linke Seite von (22) ist. Ein solches Stück läßt sich aber nur dann aus (C) herausziehen, wenn es mit der ein- oder mehrfach durchlaufenen Linie k' zur Deckung gebracht werden kann, d. h. wenn a ein (positives oder negatives) Vielfache von η ist. Zufolge (20) kann daher in (22) Q überall durch R, S ausgedrückt werden, und man bekommt eine Relation von der Form (23)

{PR 8) = 1.

100

202

E. Kahler.

Dieser entspricht eine teils in (A), teils in ( Β ) verlaufende Linie A'. Damit die in ( B ) befindlichen Teile von A' aus ( Β ) nach (Á) gezogen werden können, müssen sie mit der Linie k zur Deckung gebracht werden können, d. h. die Elemente R, S treten nur in der Verbindung Rm Sn auf, und man gewinnt nach (19) aus (23) eine Relation (P) = 1, was nur die Identität P° = 1 sein kann. Die eben durchgeführten Betrachtungen können unmittelbar auf den Fall ausgedehnt werden, wo mehrere Torusknoten Lx, L LiP~1) auftreten. Gilt für die Charakteristiken die Ungleichung

m ^ τη' .. m" ^

, τη'ρ~ι)

ñT = ñ7^ = ñ^ = · " = n(p~1> ' und ist für alle ρ Kurven der Index r gleich 1 (siehe S. 195), so darf man annehmen, daß die zugehörigen Tori r, τ', τ", ..., t ( p _1) in eben dieser Reihenfolge ineinander gelagert sind. Es sei ( 4 ) der Außenraum von t, (B¡) der Raum zwischen τ ( ί - 1 ) , r(i), (C) das Innere von z(p~1>, und es mögen die Substitutionen R., S¿ in bezug auf (B¡) dieselbe Bedeutung haben wie R, S bezüglich ( Β ) im obigen Falle. Ferner entspreche Ρ einer einfachen Umkreisung von r im Sinne άψ > 0 und Q einem einfachen Umlauf des Innern von t im Sinne dcp > 0. Dann baut sich die Gruppe G aus P, R1,S1, R2, S2,..., Rp-1,Sp^1, Q auf. Es gelten zunächst die Relationen (24)

RiSi = SiRi

(» = l ( 2 , . . . , p - l ) .

Weiter führt die zwiefache Darstellung einer auf r liegenden Linie ψ — ^ φ = konst. auf

(25)

Pm = R™SÎ,

die zwiefache Darstellung einer auf t w

gelegenen Linie

( 0 < ¿ < p —1)

ψ — -^y- φ — konst. auf (26)

(0 < ¿ < ρ — 1 ),

n m

(p-i)

und endlich ergibt die Betrachtung einer Linie ψ — w(»-i) Ψ T(p-i) die Relation

(27)

=

konst. auf

R?V] SZLT = QniP~\

Man zeigt wie oben, daß alle anderen Beziehungen zwischen den P, Q, R{, S{ sich aus den vorstehenden ableiten lassen. Auch der allgemeinste Fall, wo die charakteristischen Abschnitte der singulären Kurven aus mehr als einem Gliede bestehen, kann nach den obigen Methoden erledigt werden. Es soll uns jedoch genügen, an den vorstehenden bereits sehr allgemeinen Beispielen die merkwürdigen Verzweigungsverhältnisse der Funktionen mehrerer Variablen dargetan zu haben.

101

203

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

§ 6· Die Kenntnis der Gruppe G, die ja zu Γ holoedrisch isomorph ist, gestattet in einigen Fällen, die analytische Darstellung von F ( x , y ) in der Umgebung des Nullpunktes anzugeben. Nehmen wir ζ. B. an, daß durch (0, 0) nur eine Verzweigungskurve p{x, y)=0, und zwar einfach, hindurchgeht, d. h. daß die in der Umgebung von (0, 0 ) irreduzible Entwicklung q(x,y)— 0 mit Gliedern erster Ordnung beginnt. Dann läßt sich entweder y nach ganzen Potenzen von x, oder χ nach ganzen Potenzen von y entwickeln. Es sei etwa 0 = p(x,

y) = O - axm> - axm> — ...)h{x,

y),

h{0, 0) 4=0

die Gleichung der singulären Kurve. Die Verzweigung wird hier durch einen Torusknoten L1 mit den Charakteristiken (m1, 1) bestimmt. Sind P, Q die durch L1 definierten Elemente von G, so gilt nach (13) Q = P m ' , d. h. G ist einfach die durch Ρ erzeugte zyklische Gruppe. Bezeichnet man den aus ζ ( χ , y) = z0(x, y) nach Durchlaufung des Weges Ρ" erhaltenen Zweig mit zv, so gilt, wenn in p = 0 η Zweige zusammenhängen, zk+n — zk. Der Ausdruck Z 0 = 2 0 + Z1 + Z a + . . . + 2!„_ 1

bleibt daher bei Ausführung der Substitution Ρ eindeutig. Außerdem ist ZQ wie die zi in Σ zeigt höchstens in den Punkten von p{x,y) Daraus folgt nach bekannten Sätzen, daß ZQ Die Summe

invariant, d. h. er ist in Σ beschränkt und stetig und = 0 singulares Verhalten. in ganz Σ holomorph ist.

V

nimmt bei Ρ den Faktor εν an. Da nun die Funktion ρ ( χ , y) " bei Durchlaufung des zu Ρ gehörigen Weges sich mit εy 1 multipliziert, so ist V

Zv-p~"

= ry

in Σ eindeutig. Von der Funktion rv • ρ zeigt man dann wie oben, daß sie in ganz Σ holomorph ist. Da sie aber wegen ν < η in ρ {χ, y) verschwindet, so ist sie durch p(x, y) teilbar, d. h. auch rv ist in Σ regulär. Aus den η Gleichungen y ι —1 1—2 , ι — (η—1) ~ΖΓ lzn-í z 0 + ε„ ζ1 + εν ζ 2 + . . . + εν = rvpn ( r = 0 , l , 2 , . . . , » - l ; r0 = Ζ0) ergibt sich durch Addition i. £ «^i n-z0(x, y) = r0(x, y) r^x, y)-pn + r 2 ( x , y ) p n . -{-... + r n - i ( x , y ) - p n • 102

204

E. Kahler.

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

In dieser Form läßt sich also ζ {χ, y) unter den gemachten Voraussetzungen darstellen. Treten in Σ zwei singulare Kurven auf, die sich im Nullpunkt einfach schneiden, so ist, eventuell nach einer linearen Transformation der Größen x,y, in den zugehörigen Entwicklungen ( I ) , ( I I ) (S. 2 0 0 ) m = η = m'=n'= 1, a 1 =f= a[, und es wird daher nach (19), ( 2 0 ) G aus den beiden vertauschbaren Substitutionen R, S allein erzeugt. Es seien ρ (χ, y) = 0 , q(x, y) = 0 die in Σ irreduziblen holomorphen Formen der beiden Kurvengleichungen. Der aus einem bestimmten Zweige z 0 0 von z{x, y) nach Durchlaufimg des Weges R' Sk hervorgehende Zweig werde mit zi k bezeichnet. Ist m der kleinste Index, für welchen z m 0 = 2 0 0 , und η der kleinste Index, für den z0 n = z0 0 ist, so gilt allgemein Zi+$m, k+an = Z¡ u und die Anzahl der in Σ zusammenhängenden Zweige ist gleich mn. Setzen wir nun m—l,n—l ( 2πίμ 2πϊμ Σ à;kzik Uu = e m , δν = e » i,k=0 so geht Ζμν

bei R in εμΖμν,

bei 8 in i(w) lineare Funktionen sind. Wir werden daher zur weiteren Auswahl der Integralfunktionen die Forderung stellen, daß ihre verschiedenen Zweige durch lineare Substitutionen zusammenhängen. Aus diesen Voraussetzungen läßt sich bereits folgendes schließen: Die singulären Kurven von F(x,y,z), die eine wesentliche5) Singularität relativ zu R bedeuten, sind sämtlich algebraische Kurven und treten nur in endlicher Anzahl auf. Die Monodromiegruppe Γ wird aus endlich vielen Elementen erzeugt. Es sei Κ eine wesentlich singulare Kurve und (x0, y0, z0) ein von den (flt, hi, α) verschiedener, d. h. einfacher, freier Punkt von K. Ferner sei Fi{x, y, ζ) ein Zweig der Funktion Fix, y, z), der für eine gewisse Umgebung 2 von (x0, y0, z0) erklärt ist und sich in Κ wesentlich singulär verhält. Dabei können wir uns 2 so klein gewählt denken, daß außer Κ durch 2 keine weitere wesentlich singulare Kurve von Fv hindurchgeht. Jeder andere zur Umgebung von (x0, y{), z0) gehörige Zweig F2 geht aus Fx durch eine lineare Transformation hervor. Daraus folgt, daß F2 ebenfalls in ganz 2 erklärt ist und dort nur längs Κ wesentlich singuläres Verhalten zeigt. Die wesentlich singulären Kurven erfassen daher alle relativen Zweige von F(x, y, z) in gleicher Weise. Sind y = fix), ζ = g ix) die Gleichungen der Kurve K, so ist die Funktion fix), da Κ eine Integralkurve ist, nach bekannten Sätzen in 5 ) Als wesentlich singulär ist dabei jede von einer Polkurve verschiedene Singularität anzusehen.

137

E. Kahler.

370

der ganzen χ -Ebene mit Ausnahme der Punkte OC (Xi algebroid fortsetzbar. Sie erklärt daher eine über der χ - Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche ψ, welche höchstens die Punkte χ — oh als Grenzpunkte hat. Hätte nun

,. Sind c)

I, p.

Siehe PICARD-SIMART, Fonctions algébriques de deux variables indépendantes,

68.

138

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

371

u, ν lokale zu (χι, yi, Zi) gehörige Variable und ist qv (u, v) = 0 die Darstellung von Kv, so heiße L insbesondere eine einfache positive Umkreisung von Kv, wenn sich der Ausdruck log qv (u, v) beim Durchlaufen von y um + 2 ni ändert. Der Punkt {χι, yι, ζι) soll als Mittelpunkt, die Linie l als die Zuleitung von L bezeichnet werden. Zwei einfache positive Umkreisungen mit derselben Zuleitung sind topologisch äquivalent, d.h. sie bestimmen dasselbe Element der Gruppe G. Denn die zu derselben Zuleitung gehörenden Umkreisungen bilden eine zyklische Untergruppe von O, welche von einer einfachen positiven Umkreisung erzeugt wird. Eindeutige Integralfunktionen. 8.

Der einfachste Fall, der unter den gemachten Voraussetzungen eintreten kann, ist der, wo die Monodromiegruppe Γ nur aus einem Element, der Einheitssubstitution Φ (w) = w, besteht. Dies bedeutet, die Funktion F(x, y, ζ) ist relativ zu Β eindeutig. Die Bedingung, daß die singulären Kurven nur isoliert auftreten sollen, führt hier zu dem Schluß, daß alle singulären Kurven, auch die relativen Polkurven, algebraisch sind und nur in endlicher Anzahl auftreten. Der Fall einer algebraisch integrierbaren Differentialgleichung ordnet sich dem hier betrachteten unter. Hat nämlich eine Gleichung (H)

+

y,

=

o

ein algebraisches Integral Ψ{χ, y) =

konst.,

so gibt es immer auch eine im Körper Β rationale Form des Integrals. Es seien φ1 ( χ , y, ζ), ψ2 (χ, y, ζ), • · ·, rpm (χ, y, ζ) die verschiedenen zu einer Stelle {x0, y0, z0) gehörigen Zweige der Funktion Ψ (χ, y), d. h. diejenigen relativen Zweige von tP{x,y). für welche die Ausdrücke 9 4>i —-- ρ (χ, y, ζ) +

9 Vi

q {x, y, ζ)

('¿ = 1 , 2 , · · · , m)

in der Umgebung dieser Stelle verschwinden. Setzt man die m Funktionen ψί längs eines beliebigen in Β geschlossenen Weges analytisch fort, so stößt man nur auf relativ algebroide Singularitäten und die nach Rückkehr zur Stelle (x0, y0, z0) resultierenden Zweige sind bis auf die Reihenfolge mit den ipi identisch, da der Ausdruck dip

dip

139

372

E . Kahler.

auch für diese Zweige verschwindet. J e d e symmetrische Verbindung der ψί ist daher eine bezüglich R eindeutige algebraische Funktion, d. h. eine rationale Funktion von x, y, z. Da von diesen Verbindungen wenigstens eine nicht konstant ist — andernfalls wäre ψ(χ, y) selbst eine Konstante — und der Gleichung (11) genügt, so erhält man auf diese Art eine rationale Form des Integrals.

Integrale mit Abelscher Monodromiegruppe. 9. Bevor wir zu den allgemeinen linearen Monodromiegruppen übergehen, sei dem Fall, wo sämtliche Elemente der Gruppe Γ untereinander vertauschbar sind, eine besondere Betrachtung gewidmet. Wenn zwei lineare Substitutionen vertauschbar sind, so haben sie gleiche Fixpunkte und umgekehrt. Durch Ausübung einer geeigneten linearen Transformation auf die Integralfunktion F(x, y, z) kann man daher erreichen, daß alle Substitutionen von Γ entweder die Form Φ (w) = w + a oder Φ(ιυ) = w-a haben. Trifft das letztere zu, so haben die Substitutionen von log F{x,y,z) die Gestalt Φ (tv) = tu + a und es genügt deshalb, den ersten F a l l zu behandeln. Haben die Substitutionen von F die Form Φ.(ιν) — w + a, so sind 9F 3F sowohl als auch —— relativ zu Β eindeutige Funktionen Pix, y, z) bzw. Q(x, y, z) mit isolierten Singularitäten, woraus man wie oben schließen kann, daß die letzteren sämtlich algebraische Kurven sind. Die Differentialgleichung dx p{x,y,z)

dy q(x, y, £)

besitzt dann den in I I eindeutigen Multiplikator ^

P(x, y, ζ) q{x,y,z)

=

Q(x, y, z) p{x,y,z)'

Umgekehrt führt bei Existenz eines solchen Multiplikators q{x, y, z) der Ansatz =

q(x, y,

y, z),

=

—

y, ζ)·ρ(χ,

y, ζ)

auf eine Integralfunktion, deren Monodromiesubstitutionen die Form w = w + a haben. Da außer evtl. χ — co oder y = co jede relative Polkurve von (Fx, y, ζ) auch für P(x, y, z) und Q(x, y, ζ) Polkurve ist, sind auch die Polkurven von F(x, y, z) nur in endlicher Anzahl vorhanden und sämtlich algebraisch. 140

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

373

Über das Verhalten der Funktion F(x, y, z) in der Nähe der relativen Verzweigungskurven K 2 , • • •, K f l läßt sich aus der Kenntnis der Monodromiegruppe folgendes aussagen. Es sei 2 die hinreichend klein gewählte Umgebung eines Punktes (x0, y0, z0), durch den die Kurven Kx, K2, • • ·, Kv (1

„ Z2 =

1/ dx u \ι du —

« - v e * = -V4ï

zwei Paare konjugierter Zetafunktionen vorstellen, so sind u(x, y) und v(x, y) als Quotient der beiden unabhängigen Lösungen zweier simultaner Systeme 2. Ordnung von der Form 3Z , (18)

d Z

*M

dZ d Z

M i ?

η

darstellbar, und alle oben für solche Funktionen erkannten Gesetzmäßigkeiten sind an u(x, y) und v{x, y) zu beobachten. Die Gesamtheit der hyperabelschen Gruppen bildet eine Mannigfaltigkeit von noch unübersehbarem Formenreichtum. Es wäre für die Funktionentheorie wie für die Theorie der Differentialgleichungen von großer Wichtigkeit, hyperabelsche Gruppen explizit aufzustellen. Vor allem aber interessiert die Frage, in welchen algebraischen Körpern es nicht-triviale Integrale mit hyperabelscher Gruppe gibt. Man wird vermuten, daß dies gerade diejenigen Körper sind, die sich durch hyperabelsche Funktionen uniformisieren lassen. Es scheint bisher noch nicht bemerkt worden zu sein, daß die hyperabelschen Funktionen mit einem so einfachen simultanen System 152

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

385

wie ( 1 8 ) in Zusammenhang stehen; denn seit dem Vorgange von P I C A R D findet sich überall nur das System 4. Ordnung, dem die Funktionen U, =

VD,

U2 = / \

UVD, Us = VVD, dx dy___dx_ dy\ = du dv dv du)

UI =

UVVD,

genügen, als Differentialgleichungen der hyperabelschen Funktionen zitiert 12 ). Statt eines Systems 4. Ordnung haben wir zwei Systeme 2. Ordnung, nämlich die beiden zu Z1} Z2 bzw. Z[, Ζ'λ (siehe (17)) gehörigen Systeme. Zum Schluß sei noch auf eine Möglichkeit hingewiesen, die oben dargelegten Ansätze zur Integration der algebraischen Differentialgleichungen zu erweitern. Sind Fx (x, y, ζ) =

konst., F2 (x, y, z) =

konst., · · ·, Fu (χ, y, ζ) =

konst.

verschiedene Formen des Integrals einer Differentialgleichung dx

dy

.

so ist offenbar auch 0(FLF

F2,

...,FK)

=

konst,

wo Φ eine beliebige analytische Funktion ihrer k Argumente bezeichnet, eine Form des Integrals. Man wird sich fragen: gibt es ein solches System Fx{x, y, z), F2(X, y, z), · · · , Fk(x, y, ζ) von Integralformen, daß diese Funktionen bei analytischer Fortsetzung längs eines beliebigen geschlossenen Weges in der zu f(x, y, ζ) = 0 gehörigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine projektive, allgemein eine Cremona-Transformation erleiden? 12

) Bei G. GIKAUD, Ann. de l'École Normale (3) 38 (1921), p. 160, findet sich ein analoges System 4. Ordnung.

153

Zur Invariantentheorie von Differentialoperatoren [9] Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1932/33), 64-71 [JFM 58.1242.05; Zbl. Math. 3.32601]

1. Bei drei Differentialoperatoren in drei Variablen 4 =

an

θ 9

lau

Β

9 Xi

9 + «Î3-„ dx&

0' =

1, 2, 3)

liefern die Koeffizienten ok der Zusammensetzungsformeln

(l)

4 4 —4 4

=

Σ α

4 4 , - 4 4

=

^c2fe4,

4 4 —4 4

=

^cSfc4

kAk,

zusammen mit ihren durch ein- oder mehrmalige Anwendung der 4 erhaltenen sogen, invarianten Ableitungen ein vollständiges Invariantensystem 1 ) gegenüber topologischen Transformationen x'i =

ψί(Χι, x-¿, Xa)

(i =

1, 2, 3).

Ein solches Operatorsystem ist also durch Angabe der au und deren invarianten Ableitungen topologisch vollkommen beschrieben. Im Folgenden soll untersucht werden, ob eine beliebig vorgegebene Funktionsmatrix (c¿k) immer als Matrix der Zusamniensetzungsformeln eines Operatorsystems angesehen werden kann und wie weit dieses durch die cik festgelegt ist. Aus der Theorie der kontinuierlichen Gruppen ist bekannt, daß für konstante dk gewisse Relationen bestehen müssen, damit ein zugehöriges Operatorsystem existiert, das dann bis auf topologische Transformationen auch eindeutig bestimmt ist. Die Vermutung, daß sich für allgemeinere Cik ähnliche Verhältnisse einstellen, bestätigt sich nicht. Unter der einzigen Voraussetzung, daß gewisse aus Ableitungen der dk gebildete Determinanten von Null verschieden sind, beweist sich die Existenz von unendlich vielen (im allgemeinen auch topologisch verschiedenen) zugehörigen Operatorsystemen. Die dk, die im Falle konstanter Werte ein vollständiges Invariantensystem liefern, genügen also im allgemeinen Falle noch nicht zur topologischen Charakterisierung des Operatorsystems. ') Vgl. BOL und HOWE, T27, Hamburg. Abh. 8 (1930), S. 194—200.

154

Invariantentheorie von Differentialoperatoren.

65

Die zu behandelnde Frage führt auf die Diskussion der mit (1) gleichwertigen partiellen Differentialgleichungen

Σr α·

1ν

Σr

(3)

a%v

Σr air

9 ttzi — (hf O OCy

9 a-a -τ

9 (l2i — — O CCy

aiy_

ä

O Xy

9

9 azi O dCy

V"' Civ Ciri y :

ν JL· te* αΗ

/· χί =

y

o Q\ 1 > ¿i á)

9 «if

9 Xr

α>2.ν ~

" 9

av

^

Ce ν

ανί

und der drei aus der Jacobi-Relation ( 4 (4,4)) + ( 4 ( 4 4 ) ) + ( 4 ( 4 4))

=

o

entspringenden Gleichungen (4)

Σ

+ r;12 Ca«

Ci3 f2i + dx>

··•

dx d

n yt

···

J.>

d

che è un integrale 2n-uplo di prima specie per la varietà prodotto (varietà delle coppie di punti) delle ( i ) e (2). Secondo un teorema di

POINCARÉ

l'integrale

163

7

è un integrale invariante, vale a

SUI PERIODI DEGLI INTEGRAI·! MULTIPLI SOPRA UNA VARIETÀ ALGEBRICA.

dire il valore dell'integrale non muta se si deforma in modo continuo

7I

il campo d'in-

tegrazione, lasciando fìsso i l suo contorno. Dunque ogni omologia Σ£νΓ»

rsj 0

tra cicli 2 « dimensionali Γ , sulla varietà topologica corrispondente a ( x ) , ( 2 ) si tra· duce immediatamente in una relazione 2>v/(rv) =

0

fra i valori dell'integrale sui cicli Γ ν . Prendiamo in particolare il ciclo algebrico Γ rappresentato dalle equazioni : (3)

*,=>•»

x , = y*> · · · > * . =

?.·

Il valore corrispondente dell'integrale I è zero perchè nell'espressione differenziale

à(st>

í.»

» O

(*,. designando parametri reali su Γ ) la quale dà il vero significato del prodotto

sim-

bolico dx.dx,

risultano delle colonne identiche

... a

d x j y ,

...

dyH,

).

Ricordiamo ora un risultato quasi intuitivo di topologia. Siano a \ , a \ , . . . , aj^ una base pei ¿-cicli della varietà topologica a 2 η dimensioni ( ι ) e b\, b\, . . . , b^ la stessa base presa sulla ( 2 ) . Ogni ciclo Γ a 2 « dimensioni della varietà prodotto di ( 1 ) e ( 2 ) soddisfa allora a una omologia della forma λ Γ ^ ^ Ο ζ / χ έ - ό , Λ»7μ dove al χ

designa il prodotto topologico dei cicli a{ e b™~>.

Applicando questa proposizione al ciclo Γ suddetto si ottiene una relazione χ

a

b>;~ 0 =

o.

) Del resto il fatto consegue da una nota osservazione generale del LEFSCHETZ, secondo cui è

nullo un integrale multiplo di i* specie sopra un ciclo algebrico. N è per enunciare in generale questa proprietà occorrono lunghi ragionamenti, perchè un ciclo algebrico si può sempre ridurre con

una

trasformazione birazionale ad essere contenuto in una sezione iperpiana della varietà. Cfr. SEVERI, Gl'integrali

algebrici

semplici

e doppi

[Rendiconti

della R. Accademia

I o semestre 1928, p. 108].

164

Nazionale

dei Lincei,

VIIÉ,

72

ERICH

KAHLER.

Ma siccome, scrivendo la rappresentazione del ciclo a'v X b™~> in forma parametria

il determinante

*Í =

*,('„

yi =

>i(T.»

··· , τ

,> ···

(» = ο, I, 2

«)

» τ»-;·)

χ , , . . . , χ „ , y , , . . . , yn) assume la forma dxa äs*

l'integrale 7(fl¿ χ ω ω

ν μ=

per ; =

è zero per / φ η e uguale a /

«' α"

í W ^ , ^ ,

dy,

···

·/ i,"

·•·

d

yn

η.

Dunque sussiste la relazione

bilineare ΣΛαωνωμ

(^νμ. — c»(i)

=

/ra Í periodi ω, ω' di due qualunque integrali η-pli di i" specie di una varietà

algebrica

ad η dimensioni; OSSERVAZIONE. — Non si esclude che ψ possa essere la medesima · · · > * „ ) ? ( £ > y~> · · · . y „ )

d x

Jxi

·•·

d x

Jy,

· · · ¿7.»

dove il lineamento di una quantità designa il passaggio alla sua coniugata (

v

(V =

ì„

, Ì„)

2, . . . , » )

'

diviene / ' = ( - 2 t ) ' Ï Κ J J

ffi'

ξ

"

···'

•··'

, Ο

¿i, ... '

dst

E qui l'integrale a destra, esteso su un pezzo γ di Γ dove

assai più espressiva di quella 27, ottenuta con mezzi molto più elementari da ROSENBLATT (Comptes rendus, t. 254, 1 9 1 2 , p. 1494).

172

8O

FRANCESCO

SEVERI.

Sempre per una superfìcie priva di curve eccezionali e di più a sistema canonico irriducibile, sussiste notoriamente la limitazione di NOETHER: PM

^

2pt -

3,

onde, confrontando con quanto precede, si ricava la disuguaglianza

e" 1 ^ cui soddisfa

il solo numero

8

P. +

14»

(1)

base p !

5 . Il numero p0 uguaglia, secondo un teorema di PICARD, il numero degl'integrali doppi indipendenti

di 2A specie propri (cioè aventi qualche periodo

non

nullo)

cosicché gl'integrali suddetti dipendono da po parametri complessi, quanti sono i periodi. Non è invece vero, in generale (come

si potrebbe esser tratti a pensare

ragioni di analogia cogl'integrali abeliani), che gl'integrali doppi di I da p0 parametri reali ^e quindi da

a

3

);

loro per

specie dipendano

parametri complessi^. Le parti reali dei periodi

di un dato integrale doppio di I a specie individuano l'integrale; ma esse non possono scegliersi ad arbitrio. Fra le parti relazioni;

reali dei periodi

di un integrale

doppio di i" specie passano

scelte le parti reali in modo che tali relazioni

un integrale doppio di 1" specie. Però,

in conseguenza

sieno soddisfatte,

ì

po —

del carattere aritmetico di p 0 ,

quelle relazioni sono determinate soltanto quando si conoscono i valori numerici coefficienti dell'equazione / = m ( X 4 ) dello Sj è ρ =

2p(

individuato dei

o. Così per es. per la superficie più generale d'ordine

1 e Po =

0» -

00»* — 3 ^ +

3),

onde il numero delle suddette relazioni è : Po

".I

(M—

0 ( 2 » ' — 4M +

3

3)

Se aumenta p, senza che la superficie acquisti punti singolari, diminuisce però il numero di tali relazioni! È probabile che l'intervento del numero dei moduli della superficie renda molto più significativa la differenza p0 — 2 pg. 6. Un'ultima osservazione, relativa al n° 2 della Nota del KAHLER. Il teorema secondo cui un integrale doppio di i a specie, esteso ad un ciclo algebrico, è nullo, può derivarsi

3

da una veduta più ampia, che serve a caratterizzare le

) Gl'integrali impropri di 2 1 specie dànno luogo (come ho mostrato nel lavoro del 1928), mercè

la formula di GREEN, agi 'integrali semiesatti di specie superiore alla 1",

173

che esistono sopra ogni superficie.

OSSERVAZIONI A PROPOSITO DELLA NOTA DI ERICH KÖHLER: «SUI PERIODI, ECC.».

curve analitiche

(e non soltanto algebriche) di F, cioè

RIEMANN sulla riemanniana

R

di

F

(superficie

le

corrispondenti superficie

caratteristiche

di• R).

Ogni

più

generale,

si

4 ).

La

qualun-

proprietà,

estende subito agli integrali «-pli considerati

sulle varietà caratteristiche a 2 η — 2 dimensioni mensioni, di una' varietà algebrica Vn.

è nullo

di

integrale

doppio di una funzione uniforme del punto di F, che sia olomorfa sopra un que pezzo σ (regolare) di superficie caratteristica, esteso a i , anche in questa forma

8t

sopra

la

riemanniana R,

ζ

2η

di-

Invero, un pezzo regolare di una varietà carat-

teristica può sempre, con una trasformazione pseudoconforme della in un pezzo di una sezione iperpiana di

Vn in sè, portarsi

Vn.

Roma, 19 gennaio 1932. FRANCESCO

• ) V e d . la mia Memoria, Contributi alici teoria delle funzioni cademia d'Italia, 1931, p. 407).

174

SEVERI.

biartnotiiche (Memoria

della

R. A c -

Forme differenziali e funzioni algebriche (*) [11] Mem. Accad. Italia 3 (3) (1932), 1-19 [JFM 58.1106.04; Zbl. Math. 5.17603]

RIASSUNTO. — L ' A . applica alle varietà algebriche il concetto di forma differenziale nel senso di CARTAN Θ definisce sopra una varietà algebrica le forme differenziali di prima specie e di grado qualunque, dimostrando, coll'uso di un teorema di HODGE, che ogni tal forma è integrabile, il che estende un teorema di SEVERI sugl'integrali semiesatti sopra una superficie. Considera infine sulle varietà talune forme tensoriali che conducono ai plurigeneri di ENRTQUES-CASTELNUOVO e ad altri nuovi invarianti.

Questa Memoria tratta di certe forme differenziali e tensoriali, invariantivamente legate colle varietà algebriche, che permettono di ottenere da un nuovo punto di vista tutti gl'invarianti assoluti conosciuti e di trovarne alcuni nuovi. Col calcolo delle forme differenziali simboliche di CARTAN e valendosi di un notevole teorema del H O D G E si dimostra, nella prima parte della Memoria, che ogni forma differenziale, chiamata da noi di prima specie, è integrabile e coincide dunque coll'integrando di un integrale semplice o multiplo di I a specie. Questo risultato e le sue conseguenze sono da considerare come la generalizzazione di corrispondenti risultati ottenuti per il caso delle superficie da SEVERI, nelle sue ricerche sui differenziali semiesatti. Il concetto di forma differenziale di I a specie trova poi una estensione coll'introduzione delle forme tensoriali della varietà, che dànno non soltanto una definizione trascendente dei plurigeneri di ENRIQXJES-CASTELNtrovo ma conducono, come mostrano taluni esempi, a invarianti nuovi. 1. Consideriamo un corpo di funzioni l'insieme di tutte le funzioni razionali J2 (x0,

algebriche di η variabili,

cioè

, x2, · · · , xn)

(*) Presentata nell'Adunanza dell'I 1 marzo 1932-X, dall'Accademico Francesco Severi. 175

di η 4 - 1 variabili χ, che sono legate da una relazione algebrica [1]

f (x0, xit · · · , xn) = 0 .

Le Xi si chiamano le variabili generatrici del corpo e sono esse pure funzioni del corpo. Invece delle χ si può scegliere, in infinite maniere, un altro sistema Vo 1 Vi ) Vi ì ' ' ' ì Un

di funzioni razionali del corpo, capaci di rappresentare un sistema generatore. Le y essendo funzioni razionali e inoltre generatrici, si ha una relazione razionale e razionalmente invertibile fra le a? e le y: ®» = «Pi (2/o,

Vi,

· · · ,Vn)

£

Vi

= Ψ» (®o , » i , · · · , ®»),

cioè una trasformazione birazionale. Alla relazione [1] corrisponderà, mediante questa trasformazione, una certa equazione

[2]

g (yo, Vi, • · · , y η) = o.

Chiamo ora elemento (di dimensione n) del corpo ogni sistema di η + 1 funzioni O t (u L , w2, · · · , «„) meromorfe nell'intorno dei valori zero degli η parametri complessi ti e soddisfacenti all'equazione [1] e a nessun altro legame. Si vede subito che il concetto di elemento del corpo è invariante rispetto a una trasformazione birazionale, perchè dal passaggio delle χ alle y si ottiene di nuovo un sistema di η + 1 funzioni y i = Ψ< (®o M ) χι ( « ) , · · · >

(«) )

meromorfe e legate dalla relazione [2], che definisce il corpo. Introducendo l'omogeneità nelle variabili x0, xl ,·-·, xn > cioè chiamando x0, xt, · · ·, xn , t le coordinate omogenee di un punto dello spaziò proiettivo complesso Sn (in cui si assume t = 0 come iperpiano all'infinito), sicché l'infinito del campo di variabilità delle χ vien considerato dal punto di vista proiettivo, un elemento del corpo si rappresenta col porre xo ι xi ι · · · ι xn, t proporzionali a funzioni olomorfe di η parametri. Pertanto, l'elemento medesimo ha per immagine una falda di dimensione η sulla varietà algebrica [1], o di ima sua qualunque trasformata birazionale, falda che può avere per origine un punto o una varietà a T i ^ n — 1 dimensioni. Nel seguito avremo anche bisogno di considerare elementi del corpo di dimensione r < n: ogni elemento di dimensione r si ottiene ponendo le Η I simboli Sß , Q rappresentano serie di potenze.

176

Xi funzioni meromorfe di r (e non meno) parametri legate dall'equa* zione [!]. Esso ha per immagine sulla varietà algebrica una falda analitica

di dimensione

r.

2. Gl'invarianti più importanti di un corpo algebrico sono forniti dalla considerazione di certe fórme differenziali simboliche. Sarà utile ricordare dapprima alcuni concetti del calcolo delle forme simboliche del CAETAN Í1).

U n a forma

differenziale

un'espressione del tipo: ω

ί =

del grado

ρ in η variabili

, x2,

· • · , xn , è

η Σ

•»Ι*'«!··· I 'ρ

Aiuit,...,¡p

d{xi,,xi2,

···

,xip)

dove le A designano funzioni analitiche delle χ (in un certo campo) e i simboli d(xì, , Xi2,· • · , x i p ) rappresentano i determinanti differenziali djXi^Xi,,'··,%)

d

_

d

9 Ci , » , , · · · , ' , )

d

'

"

delle χ rispetto a ρ Variabili ausiliarie Un cambiamento di variabili xv = xv(yi,y2,

P

, s2, · · · , sp . - ·· ,yn)

=

l,2,···,»)

muta una forma del grado ρ in una dello stesso grado. Con due forme ω4 e η ω2 = Σ ¿í*.,**,.··,*«,H d (xkt, #fe2, · · · , xkH )

(k)

1

si ottiene il cosidetto

prodotto

simbolico

ω3 = Σ Aiuii,...,ip

ω3 =

d (x¡, ,Xi2,

· ω2 nel modo seguente:

···

, xip , Xkt, · · · , xkq)

e si dimostra che questa operazione ha senso invariantivo rispetto alle trasformazioni di variabili, vale a dire che la trasformata della forma prodotto di ω4 e ω2 è il prodotto delle trasformate di ω1 e ω2 . Un'altra operazione, più importante ancora per il nostro scopo, è quella della derivazione di una forma. La derivata di ω = S Aiuit,...,ip

d (xì!, xì,, · · · ,

xip)

è la forma del grado ρ + 1 ω' = s d (A¿,,¿2,...,ip

(1) Vedasi p. es.

GOURSAT,

, x¿,, xis,

· • · , xip

),

Leçons sur le problème de Ρf a f f , chap. III.

177

nella quale si deve sviluppare il determinante & (-Α-Π ,ία,···,ίρ , 3>ii,

' · , xip ) — Σ

per scriver la ω' nella forma

^ (®ν , Xi¡ , Xia , · · · ,

)

consueta.

L'importanza della derivazione sta non soltanto nella sua invarianza - la derivata della trasformata è uguale alla trasformata della derivata ma anche nel sussistere per essa del seguente teorema di STOKES generalizzato: L'integrale l'integrale

jω'

esteso ad una cella (ρ + 1)—dimensionale Cp + \ uguaglia

f ω esteso al contorno di Cp +1.

3. Per introdurre ora le forme differenziali appartenenti ad un corpo algebrico, occorre sceglier provvisoriamente η delle variabili generatrici χ come variabili indipendenti: siano esse xt, x¡, • · · , xn. Allora x0 è determinata come funzione algebrica di , x2, • • • , xn dall'equazione [1]. Colle variabili χί, x2, · · · , xn costruiamo le forme differenziali del corpo, cioè le forme i cui coefficienti A sono funzioni razionali del corpo. Una tale forma η ω = Σ Λ.,-„¿„...,,· „{Χο,ΟΒι, · · · ,X„)d(Xi1,Xi3,---,Xi) »ι.«9ι"··.»'ρ

si chiama di prima specie se sostituendo un qualunque elemento del corpo Xi— Xi (ui, u2, · · · , un) risulta sempre una forma Σ #«·„»·„···,«ρ (ui ,u2,···

,u„)d (uì,, m,, • • · , Uip)

con coefficienti olomorfi. Questa definizione è invariante rispetto a trasformazioni birazionali. Infatti, sia ω = Σ Bh,h,...,ip d{yu, yh, · · ·, yip) la forma ω trasformata nelle variabili y scegliendo per es. yi, y