Mathematics for 11th grade 9789547792944

Citation preview

11. МАТЕМАТИКА

Райна Алашка, Мая Алашка, Пламен Паскалев

КЛАС

Общообразователна подготовка

1

Означения, използвани в учебника:

O

Определение

T

Теорема

!

Знания, които трябва да се запомнят Обърнете внимание! – допълнителни пояснения Допълнение към учебния материал (незадължителни знания)

ЗАДАЧА 1., 2., ...

Решена задача с повишена трудност

Задачи с повишена трудност

Рецензенти: проф. д.п.н. Сава Гроздев доц. д-р Драго Михалев д-р Мариана Ненова Консултант по графичния дизайн: проф. Илия Иванов Илиев

   

Издателство “АРХИМЕД 2” EOОД, 2019 г. д-р Райна Милкова Алашка, Мая Събчева Алашка, Пламен Георгиев Паскалев – автори, 2019 г. Емил Генков Христов – художник на корицата, 2019 г. Ангелина Владиславова Аврамова – графичен дизайн, 2019 г.

ISBN: 978-954-779-294-4

2

СЪДЪРЖАНИЕ ВХОДНО НИВО 1. Входно ниво. Тест с решения......................6 2.  Входно ниво Тест № 1.......................................................12 Тест № 2.......................................................13 Указания за решаване на тестовете, дадени в този учебник....................................................14 ТЕМА 1. СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ 3. Корен трети. Свойства...............................16 4.  Корен п-ти. Свойства..................................20 5. Преобразуване на ирационални изрази....24 6.  Преобразуване на ирационални изрази. Упражнение.................................................28 7. Функция. Графики на функция. Преговор с допълнение..............................32 8.  Графика на функцията y = x . ................38 9.  Графики на функциите y = x3 и y = 3 x ....42 10.  Степен с цял показател. Преговор.............48 11. Степен с рационален степенен показател. Свойства....................................52 12. Преобразуване на изрази, съдържащи степен с рационален степенен показател..............56 13. Показателна функция. Графика на показателната функция..............................60 14.  Логаритъм. Основни свойства...................66 15.  Логаритъм. Упражнение............................70 16.  Логаритъм. Сравняване на логаритми......74 17. Логаритмична функция. Графика на логаритмичната функция...........................78 18. Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен................................84 19. Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен. Упражнение........88 20.  Обобщение на темата „Степен и логаритъм“..................................92 21.  Тестове върху темата „Степен и логаритъм“ Тест № 1.......................................................99 Тест № 2.....................................................100

ТЕМА 2. РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ 22.  Решаване на триъгълник (преговор).......102 23.  Решаване на успоредник..........................106 24.  Решаване на успоредник. Упражнение... 110 25.  Решаване на трапец.................................. 114 26.  Решаване на трапец. Упражнение...........120 27. Решаване на равнобедрен трапец. Упражнение...............................................124 28. Решаване на четириъгълник....................128 29.  Решаване на четириъгълник. Упражнение...............................................134 30.  Решаване на правилен многоъгълник.....138 31.  Решаване на правилен многоъгълник. Упражнение...............................................142 32. Обобщение на темата „Решаване на равнинни фигури“............148 33.  Тестове върху темата „Решаване на равнинни фигури“ Тест № 1.....................................................155 Тест № 2.....................................................156 ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЯ 34.  Обобщен ъгъл. Радиан.............................158 35.  Тригонометрични функции на обобщен ъгъл.......................................162 36. Основни тригонометрични тъждества...168 37.  Ос на тангенсите и ос на котангенсите...172 38.  Четност, нечетност и периодичност на тригонометрични функции.................176 39.  Графика на функцията y = sin x...............180 40.  Графика на функцията y = cos x...............184 41.  Графика на функцията y = tg x.................188 42.  Графика на функцията y = cotg x.............192 43. Формули за синус и косинус от сбор и разлика на два ъгъла..............................196 44. Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика на два ъгъла..............................200 45. Формули за тригонометрични функции от сбор и разлика на два ъгъла. Упражнение...............................................202

3

46. Формули за тригонометрични функции от удвоен ъгъл...........................................204 47. Формули за тригонометрични функции от половинка ъгли. Упражнение..............206 48. Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции......................210 49. Формули за произведение на тригонометрични функции......................214 50. Преобразуване на тригонометрични изрази. Упражнение..................................216 51. Обобщение на темата „Тригонометрия“.......................................218 52. Тестове върху темата „Тригонометрия“ Тест № 1.....................................................223 Тест № 2.....................................................224 ТЕМА 4. ВЕРОЯТНОСТИ 53. Класическа вероятност (преговор)..........226 54. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите..............228 55. Независимост. Теорема за умножение на вероятностите на независими събития...230

4

56.  Действия с вероятности. Упражнение....232 57.  Модели на многократни експерименти с два възможни изхода..............................234 58. Разпределения на вероятностите със сума 1...................................................240 59. Геометрична вероятност върху правата като отношение на дължини на интервали..............................................242 60. Геометрична вероятност в равнината като отношение на лица на фигури.........246 61. Обобщение на темата „Вероятности“.....250 62.  Тестове върху темата „Вероятности“ Тест № 1.....................................................255 Тест № 2.....................................................256 ИЗХОДНО НИВО 63. Изходно ниво. Тест с решения................258 64. Изходно ниво. Тест № 1.....................................................264 Тест № 2.....................................................265 ОТГОВОРИ.....................................................266

ВХОДНО НИВО (Урок 1 – Урок 2) ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ВХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ВХОДНО НИВО УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНКА НА ВСИЧКИ ТЕСТОВЕ, ДАДЕНИ В УЧЕБНИКА

5

1. ЗАДАЧА 1

ВХОДНО НИВО. ТЕСТ С РЕШЕНИЯ Допустимите стойности на x в израза A = x 2 + 4 x − 5 − 3 x − 2 са: 49 − x 2 А) x ∈ (– ∞; – 5] ∪ [1; + ∞); Б) x ∈ (– ∞; – 7) ∪ (7; + ∞); В) x ∈ (– 7; 7); Г) x ∈ (– 7; – 5] ∪ [1; 7). Решение: Допустимите стойности на ирационалния израз се определят от условията x 2 + 4x − 5 ≥ 0 49 − x 2 > 0. ( x + 5)( x − 1) ≥ 0

–5

(7 + x)(7 − x) > 0

1

–7 –7 –5

7 1

7

D: x ∈ (– 7; – 5] ∪ [1; 7) Отг. Г)

ЗАДАЧА 2

Корените на уравнението 2 x + 3 + x − 2 = 4 са: А) 83; Б) 3 и 83; В) –3;

Г) 3.

Решение: 2x + 3 + x − 2 = 4 Уравнението е ирационално с два радикала. Прехвърляме единия радикал в дясната страна на уравнението и след това повдигаме двете му страни на квадрат. 2x + 3 = 4 − x − 2

(

2x + 3 ) = ( 4 − x − 2 ) 2

2

2 x + 3 = 16 − 8 x − 2 + x − 2 8 x − 2 = 11 − x Полученото уравнение е ирационално с един радикал. Отново повдигаме на квадрат двете страни на уравнението и получаваме

(8

x − 2 ) = (11 − x) 2 2

64( x − 2) = 121 − 22 x + x 2 x 2 − 86 x + 249 = 0.

6

Към съдържанието

(8

x − 2 ) = (11 − x) 2 2

64( x − 2) = 121 − 22 x + x 2 x 2 − 86 x + 249 = 0. D = (– 43)2 – 249 = 1 849 – 249 = 1 600 = 402 x1,2 = 43 ± 40 x1 = 83, x2 = 3 Проверка:

x1 = 83

x2 = 3

2.83 + 3 + 83 − 2 = = 169 + 81 = 22 22 ≠ 4 Уравнението има един корен: x = 3.

ЗАДАЧА 3

2.3 + 3 + 3 − 2 = = 9+ 1=4 4=4 Отг. Г)

Дължините на страните на триъгълник са 14 cm, 30 cm и 40 cm. Сборът от радиуса r на вписаната окръжност и радиуса R на описаната окръжност (в cm) е: Б) 30; В) 29; Г) 21. А) 25; Решение:

1. Лицето S на триъгълника намираме по Хероновата формула

S=

p ( p − a )( p − b)( p − c) . p = a + b + c = 14 + 30 + 40 = 42 cm 2 2 S = 42.(42 − 14).(42 − 30).(42 − 40 ) = = 42.28.12.2 = = 2.3.7.2 2.7.2 2.3.2 = = 2 6.3 2.7 2 = = 2 3.3.7

S = 168 cm 2 2. Радиусът r на вписаната в триъгълника окръжност намираме по формулата S = p.r. 168 = 42.r = r 168 = 4cm 42 3. Радиусът R на описаната около триъгълника окръжност намираме по формулата S = abc . 4R 14 168 = .30.40 4R 168.R = 14.300 | : 14 12.R = 300 R = 25 cm 4. r + R = 4 + 25 = 29 cm

Към съдържанието

Отг. В)

7

ЗАДАЧА 4

Ако tg α = − 5 , стойността на израза sin a + cos a e: 12 5 7 19 − А) ; Б) 13 ; В) ; 13 13

12 Г) − . 13

Решение: 1. Тъй като tg a < 0, то a ∈ (90°; 180°). 2. Решаваме системата



(

sin α = − 5 ⇒ sin α = − 5 cos α cos α 12 12 sin 2 α + cos 2 α = 1. − 5 cos α 12

)

2

+ cos 2 α = 1

25 cos 2 α + cos 2 α = 1 144 25 cos 2 α + 144 cos 2 α = 144 169 cos 2 α = 144 cos 2 α = 144 169 cos α = ± 12 13 Но a ∈ II квадрант и следователно cos a < 0 ⇒ cos α = − 12 . 13 5 3. sin α = − cos α 12

( )

sin α = − 5 ⋅ − 12 12 13 sin α = 5 13

( )

4. sin α + cos α = 5 + − 12 13 13 sin α + cos α = − 7 13

Отг. А)

ЗАДАЧА 5

Ако A = А) 14;

2 2 − 4 + 2 , то стойността на A e: 7 − 5 3− 5 3− 7

Б) 7;

В) 28;

Г) 9.

Решение: 1. Рационализираме знаменателите на ирационалните изрази и извършваме действията.

8

Към съдържанието

A= =

2 − 4 + 2 = 7 − 5 3− 5 3− 7 2 ⋅ 7 + 5 − 4 ⋅ 3+ 5 + 2 ⋅ 3+ 7 = 7 − 5 7 + 5 3− 5 3+ 5 3− 7 3+ 7

=

2. ( 7 + 5 ) 4. ( 3 + 5 ) 2. ( 3 + 7 ) − + = 7−5 9−5 9−7

=

2. ( 7 + 5 ) 4. ( 3 + 5 ) 2. ( 3 + 7 ) − + = 2 4 2

= 7 + 5 −3− 5 +3+ 7

A=2 7

2. A 2 = ( 2 7 ) = 4.7 = 28

ЗАДАЧА 6

2

Отг. В)

От реда 15, 27, 23, 10, 29, 13, 30 е премахнато едно от числата, като средната аритметична стойност на получения ред е с 1 по-малка от средната аритметична стойност на изходния. За първия квартил (Q1), медианата (Me) и третия квартил (Q3) на новия ред е вярно, че: А) Q1 = 13, Me = 21, Q3 = 29; Б) Q1 = 13, Me = 19, Q3 = 29; В) Q1 = 14, Me = 19, Q3 = 26; Г) Q1 = 14, Me = 27, Q3 = 26. Решение: 1. Средната аритметична стойност на изходния ред е 15 + 27 + 23 + 10 + 29 + 13 + 30 = 147 = 21 . 7 7 2. x – премахнатото число 3. Средната аритметична стойност на новия ред е 147 − x = 21 − 1 6 147 − x = 120 x = 27. 4. Подреждаме новия ред във възходящ (рангов) ред. 10, 13, 15, 23, 29, 30 5. Намираме последователно номера и стойността на медианата. x + x 4 15 + 23 = = 19 N Me = n + 1 = 6 + 1 = 3, 5 , Me = 3 2 2 2 2 Ме Q1

19

Q3

14243

13, 15, 23, 29, 30 6. 10, 14243 14243 I половина

Към съдържанието

II половина



Q1 = 13 е медианата на I половина. Q3 = 29 е медианата на II половина.

Отг. Б)

9

ЗАДАЧА 7

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3 cm, AD = 2 cm, BC = 1 cm и BAD = 60°, лицето на ABCD (в cm2) e: 3 3 А) 3 ; Б) ; В) 2 3 ; Г) 3 3 . 2 2 Решение:

1. За ABD прилагаме косинусовата теорема.

BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD cos 60° = 9 + 4 − 2.3.2 ⋅ 1 2 2 BD = 7

2. ABCD е вписан в окръжност ⇒ BCD = 180° – BAD = 180° – 60° = 120°. 3. За BCD прилагаме косинусовата теорема. CD = x, x > 0 BD2 = BC 2 + CD2 – 2.BC.CD cos 120° 2 1 7 = 1 + x − 2.1.x − 2 x2 + x – 6 = 0, x1 = 2, x2 = – 3 < 0 ⇒ CD = 2 cm 4. S ABCD = S  ABD + S  BCD =

( )

= 1 AB. AD sin 60° + 1 BC.CD sin 120° = 2 2 = 1 ⋅ 3.2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1.2 ⋅ 3 = 6 3 + 2 3 = 8 3 2 2 2 2 4 4

ЗАДАЧА 8

S ABCD = 2 3 cm 2

Отг. В)

6 6 Пресметнете стойността на израза A = sin4 α + cos 4α , ако tg α = 2 . sin α + 5 cos α

Решение: 6 6 (sin 2 α) 3 + (cos 2 α) 3 1. A = sin4 α + cos 4α = sin α + 5 cos α sin 4 α + 5 cos 4 α (sin 2 α + cos 2 α)(sin 4 α − sin 2 α cos 2 α + cos 4 α) A= sin 4 α + 5 cos 4 α 4 2 2 4 A = sin α − sin4 α cos α4 + cos α sin α + 5 cos α 2. Делим числителя и знаменателя на cos4 a ≠ 0 и получаваме

sin 4 α − sin 2 α cos 2 α + cos 4 α 4 2 4 4 2 cos44 αα = tg α − tg α + 1 . α sin 2cos α α cos sin 4 α α cos A = cos − + 4 sin 4 αcos+45αcos 4 α cos 4 α tg 4 αtg−4 tg α 2+α5 + 1 A = cos α = . 4 4 cos4 αα 5co s 4 αα tg 4 α + 5 sin cos + 4 242 3. При( tg2α) 4=−cos α) 2 + co ( 1 s 4α− 2 + 1 3 1 A= = = = 4 2 4 ( 2 () −2 )( +2 )5 + 1 4 −4 2+ +5 1 39 13 = = . = A= 4 4+5 9 3 ( 2) + 5

10

Отг. A = 1 3

Към съдържанието

ЗАДАЧА 9

Намерете първия член (a1), частното (q) и номера (n) на геометрична прогресия {an}, за която е дадено, че a 2 + 2a1 = 5 a 2 − a1 = 2 S n + a 3 = 130 . Решение: 1. От първите две уравнения на системата намираме a1 и q.

a1q + 2a1 = 5 a1q − a1 = 2

a1q = 5 − 2a1

⇔

a1q = 2 + a1

⇔

5 − 2a1 = 2 + a1 a1q = 2 + a1

⇔

a1 = 1 q=3

2

2. Намираме a3 = a1q2 = 1.3 = 9. 3. Намерените a1, q и a3 заместваме в третото уравнение. q n −1 + a 3 = 130 a1 q −1

3 n − 1 + 9 = 130 ⇔ 3 n − 1 = 121 ⇔ 3 n − 1 = 242 ⇔ 3 n = 243 ⇔ 3 n = 3 5 3 −1 2 ⇒n=5 Отг. а1 = 1; q = 3; п = 5

ЗАДАЧА 10 Даден е ABC, в който AB = 6 2 cm, AC = 4 2 cm и медиана AM = 4 cm. Намерете страната BC и лицето S на триъгълника.

Решение:

1. За да намерим страната BC = a, използваме формулата за медианата ma. m a = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 2

4 = 1 2. ( 4 2 ) + 2. ( 6 2 ) − a 2 2 2

M

2

8 = 64 + 144 − a 2 64 = 208 − a 2 a 2 = 144

a = 12 cm

2. Лицето на ABC ще намерим по Хероновата формула.

p = 12 + 4 2 + 6 2 = 6 + 5 2 2



S=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

S = (6 + 5 2 ).(5 2 − 6).(6 + 2 ).(6 − 2 ) = =

((5

)(

2 ) − 62 . 62 − ( 2 ) 2

2

)=

(50 − 36).(36 − 2) =

= 14.34 = 2.7.2.17

Към съдържанието

S = 2 119 cm 2

Отг. ВС = 12 cm; S = 2 119 cm 2

11

2.

ВХОДНО НИВО. ТЕСТ № 1 1. Допустимите стойности на x в израза са: x+7 − 6 6− x

А) x ∈ (– 6; 7]; Б) x ∈ (– ∞; 6); В) x ∈ (6; + ∞); Г) x ∈ [– 7; 6).

2. Корените на уравнението

2 x + 6 = x + 3 са:



А) –3 и –1;



Б) –1 и 3; В) –3; Г) –1.

3. Дължините на страните на триъ­гълник са 17 cm, 10 cm и 9 cm. Лицето му (в cm2) е: А) 18; Б) 24; В) 72; Г) 36. 4. Ако cos α = − 12 , α ∈ (90°; 180°) , стой13 ността на tg a e:

А) − 5 ; 12



Б) − 12 ; 5



В) 5 ; 12



Г) 12 . 5

5. Стойността на израза

12



 4 7  7 + 2 е: A= 7 − : 2− 7  7 −2 



А) − 7;



Б)

7;



В)

7 + 2;



Г)

7 −2.

6. Средната аритметична стойност на реда 8, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 20 и х е равна на 15. Първият квартил на реда е: А) 11; Б) 12; В) 13; Г) 14. 7. Върху окръжност k са избрани точки A, B, C и D така, че ∢BAC = 30° и ∢CAD = 45°. Отношението BC : CD е:

А)

2: 3;



Б)

3: 2;



В)

2 :1 ;



Г) 1 : 2 .

8. Ако tg α = 2 (0° < α < 90°), намерете стойността на израза

A=

1 + sin α 1 − sin α . − 1 − sin α 1 + sin α

9. Намерете първия член (a1), разликата (d) и номера (n) на растяща аритметична прогресия {an}, за която е дадено, че a1 + a2 + a3 = 24 a22 − a1a4 = 10 S n − S 4 = 23. 10. В ABC AB = 7 cm, BC = 5 cm и медианата BM = 2 7 cm. Намерете дъл­ жината на страната AC, лицето на ABC и радиуса на вписаната в него окръжност.

Към съдържанието

ВХОДНО НИВО. ТЕСТ № 2 1. Допустимите стойности на x в израза са: 5− x − 3 x+2

А) x ∈ (– 2; 5]; Б) x ∈ (– ∞; 5]; В) x ∈ (5; + ∞); Г) x ∈ [– 2; 5].

2. Корените на уравнението

3 x + 1 = x + 1 са:

А) 0 и – 1; Б) 0; В) – 1;



Г) 0 и 1.

6. Средната аритметична стойност на реда 9, 10, 11, 12, 16 и х е равна на 12. Третият квартил на реда е: А) 12; Б) 14; В) 15; Г) 16. 7.  Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3 cm, AD = 2 cm, BC = 1 cm и ∢BAD = 60°, то страната CD (в cm) е равна на:

А) 7 ; Б) 2; В) 4;

3. Дължините на страните на триъгълник са 7 cm, 15 cm и 20 cm. Лицето му (в cm2) е: А) 21; Б) 36; В) 42; Г) 84.



Г) 5 .

4. Ако cos α = − 3 , α ∈ (90°; 180°) , стой­­ 5 ността на tg a e:





4 А) − 3 ; 3 Б) − 4 ; 4 В) 3 ; 3 Г) . 4

5. Стойността на израза  4 15  15 + 2 е: A =  15 + : 15 − 2  15 − 2  А) − 15;



Б) 15;



В) 15 − 2;



Г) 15 + 2.

Към съдържанието

8.  Ако cotg α = 2 (0° < α < 90°), намерете стойността на израза A=

1 − cos α 1 + cos α . − 1 + cos α 1 − cos α

9. Н  амерете първия член (a1), частното (q) и номера (n) на геометрична прогресия {an}, за която е дадено, че



a1 + a2 + a3 = 26 a4 − a1 = 52 S n − S3 = 216.

10. В ABC AB = 7 cm, AC = 9 cm и медианата AM = 7cm. Намерете дължината на страната BC, лицето на ABC и радиуса на вписаната в него окръжност.

13

УКАЗАНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТЕСТОВЕТЕ, ДАДЕНИ В ТОЗИ УЧЕБНИК В учебника са дадени 12 теста. Във всеки от тях има 10 задачи:  7 с избираем отговор;  2 със свободен отговор;  1, за която се изисква писмено аргументирано решение. След всяка задача с избираем отговор са посочени 4 отговора, от които само един е верен. В бланката за отговори се записва:  за задачите с избираем отговор – буквата, отговаряща на верния отговор;  за задачите със свободен отговор – отговорът на задачата, без да се посочва ходът на решението. За даден грешен отговор не се отнемат точки. Ако решите да промените отговора на дадена задача, зачеркнете с „×” първия си отговор и запишете до него новия. Задачите в теста са с различна трудност. В бланката за отговори е посочен броят на точките, които получавате при верен отговор за всяка от първите 9 задачи. Задача 10 се оценява най-много с 10 точки.

Препоръчително време – 1 учебен час.

Бланка за отговори Задача № 1

14

Отговор

Точки 2

2

2

3

2

4

3

5

3

6

3

7

3

8

6

9

6

10

до 10

Задачите се решават на допълнителни листове. Максималният брой точки е 40. Не се използва калкулатор.

Вариант за оценка: Точки Представяне от 0 до 6 слабо от 7 до 14 средно от 15 до 22 добро от 23 до 30 много добро от 31 до 40 отлично

Към съдържанието

ТЕМА 1 СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ (Урок 3 – Урок 21) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: корен n-ти и неговите свойства; 3 3 √  x √  функциите y = , y = x , y = x и техните свойства; степен с рационален показател и нейните свойства; функцията y = ax и нейните свойства; логаритъм и неговите свойства; функцията y = loga x и нейните свойства. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:  да преобразуват ирационални изрази, съдържащи корен n-ти;  да преобразуват изрази, съдържащи степени с рационален показател;  да прилагат свойствата на логаритмите за преобразуване на изрази;  да намират елементите на логаритъм – стойност, основа или аргумент, при наличието на останалите две величини;  да разпознават графиките на степенната, показателната и логаритмичната функция. Към съдържанието

15

3.

КОРЕН ТРЕТИ. СВОЙСТВА Квадратен корен (преговор) Задачата да се намери x, ако x2 = a, има решение само при a ≥ 0. Решението не е еднозначно. Например равенството x2 = 16 се изпълнява както при x = 4, така и при x = – 4. За да се постигне еднозначност на действието, се поставя изискване x ≥ 0.

O

Квадратен корен (корен втори) от неотрицателно число a ≥ 0 се нарича единственото неотрицателно число, втората степен на което е равна на числото a и се означава с a . x = a ⇔ x 2 = a , a ≥ 0, x ≥ 0

!

(

a ) = a само при a ≥ 0, 2

a 2 = | a | при всяко a.

Ще припомним правилата за действия с квадратни корени (радикали). 1. Коренуване на произведение

ab = a b при a ≥ 0 и b ≥ 0

2. Коренуване на частно

a = a при a ≥ 0 и b > 0 b b

3. Коренуване на степен

a k = ( a ) при a ≥ 0 и k ∈ N

4. Изнасяне на множител пред квадратен корен 5. Внасяне на множител под знака на квадратен корен

ЗАДАЧА 1

Пресметнете: а) 121 − 49 + 81 ;

k

a 2b = | a | b при b ≥ 0 a b = a 2b при а ≥ 0 и b ≥ 0

б) 18. 8 .

Решение: а) 121 − 49 + 81 = = 11 − 7 + 9 = 13

ЗАДАЧА 2

Пресметнете Решение:

=

18.8 =

144 = 12

48 − 12 . 3

I начин: 48 − 12 = 16.3 − 4.3 = 3 3 = 4 3−2 3 = 2 3 =2 3 3

16

б) 18. 8 =

II начин: 48 − 12 = 48 − 12 = 3 3 3 = 48 − 12 = 16 − 4 = 4 − 2 = 2 3 3

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Пресметнете:

а) ( 2 + 3 ) (1 + 2 3 ) ; Решение:

а) ( 2 + 3 ) (1 + 2 3 ) =

= 2 (1 + 2 3 ) + 3 (1 + 2 3 ) =

ЗАДАЧА 4

б) ( 2 + 3 2 ) . 2

б) ( 2 + 3 2 ) = 2

= 2 2 + 2.2.3 2 + ( 3 2 ) = 2

=2+4 3+ 3+6=

= 4 + 12 2 + 18 =

=8+5 3

= 22 + 12 2

Рационализирайте знаменателя на дробта: 3 4 ; б) . 2− 3 7− 3 Решение: За да рационализираме дроб с ирационален знаменател, трябва да умножим числителя и знаменателя с подходящо избран израз, така че в знаменателя да се получи рационален израз. а)

4 4 ⋅ 7+ 3= = ( ) 7− 3 7+ 3 7− 3

а) = =

(

4( 7 + 3)

7 ) −( 3) 2

2

=

4( 7 + 3) = 7 −3

4( 7 + 3) = 7+ 3 4

б)

3 = 3 ⋅2+ 3 = 2− 3 2− 3 2+ 3 =

3 (2 + 3) = 2 3+32 = (2 − 3 )(2 + 3 ) 22 − ( 3 )

= 2 3+3 =2 3+3 4−3

Корен трети (кубичен корен) Задачата да се намери x, ако x3 = 27, има еднозначно решение, защото само за x = 3 33 = 27. Ще докажем, че при дадено число a има единствено число x, за което x3 = a. Допускаме, че има две различни числа x1 ≠ x2, за които x13 = a и x23 = a. Равенството x13 = x23 може да се напише във вида x13 − x 23 = 0 ( x1 − x 2 )( x12 + x1 x 2 + x 22 ) = 0 2  x2  3 2  ( x1 − x 2 )   x1 +  + x 2  = 0. 2  4  

(

)

2

От x1 + 1 x 2 + 3 x 22 > 0 следва, че x1 – x2 = 0, т.е. x1 = x2. 2 4 Равенството x1 = x2 противоречи на допускането, че x1 ≠ x2. С това твърдението е доказано.

O

Корен трети (кубичен корен) от произволно реално число a се нарича числото, третата степен на което е равна на a. Означаваме го с 3 a . x = 3 a ⇔ x 3 = a за всяко реално число a. a се чете „корен трети от a“ или „кубичен корен от a“. Действието, при което търсим трети корен от реално число, също се нарича коренуване. 3

Към съдържанието

17

ПРИМЕРИ

3

8 = 2 , защото 23 = 8.

3

−27 = −3, защото (–3)3 = –27.

3

1 = 1, защото 13 = 1.

3

−1 = −1, защото (–1)3 = –1.

3

0 = 0 , защото 03 = 0.

3

−8 = −2, защото (–2)3 = –8.

!

(3 a)

3

= a за всяко a,

3

a 3 = a за всяко a.

Действието намиране на трети корен от реално число е обратно на действието степенуване на трета степен на реално число. Ще сравним понятията „квадратен корен“ и „кубичен корен“. Квадратен корен

Кубичен корен

a е определен само при a ≥ 0. a ≥ 0 , където a ≥ 0

(

a ) = a само при a ≥ 0

3

a е определен за всяко a.

3

a < 0 при a < 0

3

a = 0 при a = 0

3

a > 0 при a > 0

(3 a)

2

−a при a < 0  a = | a | =  0 при a = 0  a при a > 0  2

3

3

= a за всяко a ∈ R

a 3 = a за всяко a ∈ R

Пресмятането на трети корен от отрицателни числа се свежда до пресмятането на трети корен от положителни числа. 3

−125 = − 3 125 , защото

3

−125 = −5

− 3 125 = −5.

Може да се докаже, че правилата за действия с изрази, съдържащи трети корени, са аналогични на правилата за действия с изрази, съдържащи квадратни корени. 1. Коренуване на произведение

3

ab = 3 a 3 b

2. Коренуване на частно

3

a =3a при b ≠ 0 b 3b

3. Коренуване на степен

3

ak = ( 3 a )

4. Изнасяне на множител пред кубичен корен 5. Внасяне на множител под знака на кубичен корен

3

k

a 3b = a 3 b

a 3 b = 3 a 3b

Правилата за действия с кубичен корен са по-прости от правилата за действия с квадратен корен, защото те са в сила при произволни реални стойности на a и b, докато при квадратен корен има ограничения за знаците на a и b (те не могат да бъдат отрицателни).

18

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5

Пресметнете: a) 3 7 . 3 49 ;

б)

3

4 . 3 54 ;

б)

3

4= . 3 54

в) 3 125 + 3 8 + 3 −27 .

Решение: а)

3

7 . 3 49 = = 7 . 49

=

3

=

3

ЗАДАЧА 6

3

7 1. 7 2 =

= 73 7

=

3

=

3

= 4.54

в) 3 125 + 3 8 + 3 −27 =

3

= 2 2.2.27

3

= 3 5 3 + 3 2 3 + 3 (−3) 3 =

2 3.3 3 =

= 5 + 2 + (−3) = 7 − 3 = 4

2 3 . 3 3 3 2.3 = 6 =

Изнесете множител пред знака на радикала: 3

а)

b 4 ;

б)

3

8a 4 ;

в) 3 −125a 5b 7 .

б)

3

8a 4 =

в)

Решение: 3

а)

b4 = = b 3 .b

=

3

= b3 b

= 2 3. a 3 . a

=

3

−125a 5b 7 =

= − 3 125a 5b 7 =

3

= 2a 3 a

= − 3 5 3. a 3 . a 2 . b 3 . b 3 . b = = −5abb 3 a 2b = = −5ab 2 3 a 2b

ЗАДАЧА 7

Внесете множител под знака на радикала: а) 3 3 a 2b ; Решение: а) 3 3 a 2b = 3

= 3 3 a 2b

=

= 3 27 a 2b

2 б) 2a 3 b (a ≠ 0); 4a

2 в) a b 3 4abc 2 (c ≠ 0). 2c

2 б) 2a 3 b = 4a

2 в) a b 3 4abc 2 = 2c

2 3 a 3b 2 = 4a

=

3

= 3 2a 2 b 2

(a 2 ) 3 b 3 . 4abc 2 = 23 c 3

=

3

=

3

a 6b 3 4abc 2 = 8c 3

7 4 =3 a b 2c

ЗАДАЧИ

Пресметнете: 1.  3 4 . 3 6 . 3 9 ; 2.  3 5 : 3 2 ; 4 25 3.  ( 3 2 ) ;

Изнесете множител пред знака на радикала:

Внесете множител под знака на радикала:

7.  3 8 x 15 ;

13. 2 3 3m ;

3

3

8.  −27 a ;

7

9.  −40a ; 3

14.  a

23

4b ;

15.  3a 3 a ;

10.  0,125a ;

16.  m 3 6 2 , m ≠ 0; 2 7m

5.  10 − 1 3 ; 10

11.  3 27 x 8 y 4 ;

17.  5 x2 y

6. 3 1 728 + 3 343 . −8

12.  3 8ab 5 c 4 .

3 4.  3 81 − −24 ;

3

6

Към съдържанието

3

3

7

2

3

( )

2

y , x ≠ 0, y ≠ 0; 5x

( )

2

3 18.  a 2b 3 2 1 ⋅ c , 2 ab c a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

19

4.

КОРЕН n-ТИ. СВОЙСТВА Въведохме понятията „корен втори от a“ и „корен трети от a“. Естествено е да въведем и понятията „корен четвърти от a“, „корен пети от a“ и т.н., „корен n-ти от а“ като числа, съответната степен на които е равна на a. Аналогично на разгледаните вече случаи n = 2 и n = 3, свойствата на новите понятия съществено ще зависят от това дали числото n е четно, или нечетно.

ПРИМЕР

При n = 4 Има две числа: 3 и –3, чиято четвърта степен е 81, т.е. 34 = 81 и (–3)4 = 81. Няма число, чиято четвърта степен да е –81.

При n = 5 Има само едно число, чиято пета степен е 32 и това е 25 = 32. Има само едно число, чиято пета степен е –32 и това е (–2)5 = –32.

Ще дадем определение за корен n-ти от а, когато n е четно число и когато n е нечетно число, т.е. при n = 2k и при n = 2k + 1 (k = 1, 2, 3, ...).

O ПРИМЕРИ

O ПРИМЕРИ

Корен n-ти от неотрицателно число a ≥ 0, където n е четно естествено число, се нарича единственото неотрицателно число, n-тата степен на което е равна на числото a и се означава с n a . Чете се „корен n-ти от a“. x = n a , n = 2k ⇔ x n = a , a ≥ 0, x ≥ 0 4

625 = 5 , защото 5 > 0 и 54 = 625.

4

−625 =няма 5 смисъл, защото –625 не е неотрицателно число.

4

625 = −5 няма смисъл, защото –5 не е неотрицателно число.

Корен n-ти от произволно реално число a, където n e нечетно естествено число, се нарича единственото число, n-тата степен на което е равна на числото a и се означава с n a . Чете се „корен n-ти от a“. x = n a , n = 2k + 1 ⇔ x n = a за всяко реално число a. 5

243 = 3 , защото 35 = 243.

7

128 = 2 , защото 27 = 128.

5

−243 = −3, защото (–3)5 = –243.

7

−128 = −2 , защото (–2)7 = –128.

Свойствата на n a и правилата за действия с n a са аналогични на тези за: • квадратен корен, когато n е четно число, • кубичен корен, когато n е нечетно число. Ще съпоставим тези свойства и правила за двата случая.

20

Към съдържанието

n = 2k – четно число n = 2, 4, 6,...

n = 2k + 1 – нечетно число n = 3, 5, 7,... Свойства

1.

n

a има смисъл само при a ≥ 0.

2. Ако a > 0, има две числа: x1 = n a , x 2 = − n a , n-тата степен на които е равна на a.

(n a)

4.

(n a)

5.

n

a има смисъл за всяко a.

2. За всяко a има единствено число n a , n-тата степен на което е равна на a.

(n a)

n

=a

= a и (− n a ) = a

 няма смисъл при a < 0  при a = 0 a  = 0  > 0 при a > 0 

3.

n

n

n

n

1.

n

= a само при a ≥ 0

− a при a < 0  a = | a | =  0 при a = 0  a при a > 0  n

 < 0 при a < 0  a  = 0 при a = 0  > 0 при a > 0 

3.

n

4.

(n a)

5.

n

n

= a за всяко a ∈ R

a n = a за всяко a ∈ R

Правила n

ab = n a . n b , a ≥ 0, b ≥ 0

n

ab = n a . n b

n

a = n a , a ≥ 0, b > 0 b nb

n

a = na,b≠0 b nb

n

a m = ( n a ) , a ≥ 0, m ∈ N

n

am = (n a ) , m ∈ N

n

m

a mn = | a | m , m ∈ N

n

m

a mn = a m , m ∈ N

a n b = n a n b , a ≥ 0, b ≥ 0

a n b = n a nb

n

n

a nb = | a | n b , b ≥ 0

0≤a 6 169

6

⇒ 25 < 27

3. 2



⇒ 6 170 > 3 13.

Извършете действията: а)

3

384 − 3 48 − 4 80 ;

Решение: а)

3

384 − 3 48 − 4 80 =

= 3 4 3.6 − 3 2 3.6 − 4 2 4.5 = =4 6 −2 6 −2 5 = 3

3

= 23 6 − 24 5

4

б) 6 3 5 + 15 3 3 . 9 25 б) 6 3 5 + 15 3 3 = 2 . 3 3 5 + 3. 5 3 3 = 25 9 25 9 = 23

5 . 27 3.125 + 33 = 2 3 15 + 3 3 15 = 9 25

= 5 3 15

Действията събиране и изваждане се извършват само с подобни радикали.

Към съдържанието

25

ЗАДАЧА 4

Извършете действията: а)

3

5. 6 9 ;

б)

3

4 . 6 32 . 3 2 ;

в) 15 6 96 : ( 3 3 4 ) .

б)

3

4 . 6 32 . 3 2 =

в) 15 6 96 : ( 3 3 4 ) =

Решение: а)

3

5. 6 9 =

=

6

=

6

= =

52 . 6 9 =

=

6

5 2. 9 =

=

6

6

=

6

6

=

6

5 2. 3 2 = 15 2 =

= 3 15

= 15 6 96 : ( 3 6 4 2 ) =

4 2 . 6 32 . 6 2 =

6 = 156 96 = 3 16

24 . 6 25 . 6 2 = 2 4. 2 5. 2 = = 210

3

= 5 6 96 = 16

25 =

= 56 6

= 23 4

Действията умножение и деление на корени с различни коренни показатели се извършват, като предварително се приведат към корени с еднакви коренни показатели.

ЗАДАЧА 5 Извършете действията: а) 3 1 − 2 . 6 3 + 2 2 ;

б) 5 1 + 2 .15 7 − 5 2 .

Решение: а) 3 1 − 2 . 6 3 + 2 2 = =

6

(1 −

б) 5 1 + 2 .15 7 − 5 2 =

2) .6 3+ 2 2 = 2

=

15

(1 +

2 ) .15 7 − 5 2 = 3

= 6 1 − 2 2 + 2. 6 3 + 2 2 =

= 15 1 + 3 2 + 6 + 2 2 .15 7 − 5 2 =

= 6 3− 2 2.6 3+ 2 2 =

= 15 7 + 5 2 .15 7 − 5 2 =

=

6

( 3 − 2 2 ) .( 3 + 2 2 ) =

= 15 ( 7 + 5 2 ) . ( 7 − 5 2 ) =

= 32 − ( 2 2 ) =

= 7 2 − (5 2 ) =

= 6 9−8 =

= 15 49 − 50 =

= 61= =1

= 15 −1 = = −1

6

2

2

15

Рационализиране на знаменателя на дроб Дробните изрази с радикали в знаменател могат да се преобразуват в дробни изрази със знаменател рационален израз. Този вид преобразуване се нарича рационализиране на знаменателя на дадена дроб. За тази цел умножаваме числителя и знаменателя на дробта с подходящо избран израз, така че знаменателят да стане рационален израз.

ПРИМЕРИ

15 = 5

7 = 3+ 2

= 15 ⋅ 5 = 5 5

=

= 15 5 = 5 =3 5

26

7 ⋅ 3− 2 = 3+ 2 3− 2

7. ( 3 − 2 ) 7. ( 3 − 2 ) = = 9−2 7 = 3− 2 =

8 = 7− 5 = =

8 ⋅ 7+ 5 = 7− 5 7+ 5

8. ( 7 + 5 ) = 7−5

= 4. ( 7 + 5 )

Към съдържанието

О

Два ирационални израза, произведението на които е рационален израз, се наричат спрегнати. Ако в тъждествата 3 3 ( x( x+ +y )( y )( x 2x 2− −xyxy+ +y 2y)2 = ) =x 3x + +y 3y 3и( x( x− −y )( y )( x 2x 2+ +xyxy+ +y 2y)2 = ) =x 3x − −y 3y 3

заместим x и y съответно с

3

a и

3

b  , получаваме

( 3 a ± 3 b ) ( 3 a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2 ) = ( 3 a )

Следователно изрази от вида

ЗАДАЧА 6

3

3

( 3 a ± 3 b ) и ( 3 a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2 ) са спрегнати.

Рационализирайте знаменателите на изразите: а) 6ab , aa ↑≠ 00,, b ≠ ↑ 00; 3 a 2b Решение: 3 2 а) 6ab = 6ab ⋅ ab = 3 a 2b 3 a 2b 3 ab 2 3 2 = 6ab ab = 3 a 3b 3 3

б)

15 . 2− 3 3

б)

15 = 15 ⋅ 4 + 2 3 3 + 3 9 = 2 − 3 3 2 − 3 3 4 + 23 3 + 3 9 =

2

= 6ab ab = 3 (ab) 3

= =

3 2 = 6ab ab = ab

15. ( 4 + 2 3 3 + 3 9 ) 23 − ( 3 3 )

3

=

15. ( 4 + 2 3 3 + 3 9 ) = 8−3

15. ( 4 + 2 3 3 + 3 9 ) = 5

= 3. ( 4 + 2 3 3 + 3 9 )

= 6 3 ab 2

ЗАДАЧИ

± ( 3 b ) = a ± b.

Определете допустимите стойности на х в изразите:

10.  3 54 + 6 256 ;

2 4 1.  x − 5 x + 4 ;

11.  3 3 2 − 9 8 ; 6 12.  32 + 2 3 2 ; 2

2.  4 x 3 − 9 x ; 2 3.  3 x2 − 5 ; x + 3x

13.  6 3 + 2 2 . 3 1 − 2 ;

4.  4 x 4 − 25 x 2 .

14. ( 3 − 3 2 ) + 2 6 108 .

Сравнете числата:

Рационализирайте знаменателя на дробите: 2 ; 15.  3 3 −1 16.  4 1 4 ; 7− 6 15 17.  3 ; 49 − 2 3 7 + 4 5 18.  3 . 4−36+39

5.  10 и

5;

3

6. 4 7 и

3

4;

7.  4 9 и

12

500 ;

8.  6 3 и

10

7.

Извършете действията: 9. 

(

2

4+ 7 + 4− 7

Към съдържанието

)

2

;

27

6. ЗАДАЧА 1

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ. УПРАЖНЕНИЕ Определете допустимите стойности на x в изразите: 2 б) B = 5 x −3 3 x + 2 . x − 9x

а) A = 4 x 3 + 4 x 2 − 5 x ; Решение: а) За да има смисъл изразът A, e необходимо



x 3 − 9 x ≠ 0.

x( x 2 + 4 x − 5) ≥ 0 x( x + 5)( x − 1) ≥ 0



x ( x 2 − 9) ≠ 0 x( x + 3)( x − 3) ≠ 0



x ≠ 0, x ≠ −3, x ≠ 3

2

+

–

+

–

–5 0 ⇒ x ∈ [−5; 0] ∪ [1; + ∞)

ЗАДАЧА 2

б) За да има смисъл изразът B, e необходимо

x + 4 x − 5 x ≥ 0.

3

1

Пресметнете: 3 7 4 ⋅ 39 а) ; 12 8 3 49 4 Решение: 4

а)

4

3 7 4 ⋅ 39 = 312 8 49 4

=

7 4 ⋅ 3 39 = 8 4 12 3 49 4

=

3 3 3 7 4 ⋅ (3 ) = 4 (3 3 ) 4 8 (7 2 ) 4

=

4

б)

6

2 6. 312 5 7 15 ⋅ ; 9 7 18 69

2 6. 312 5 7 15 б) 6 18 ⋅ 9 9 = 7 6 6 2 6 . 6 (3 2 ) 6 5 (7 3 ) 5 = ⋅ = 6 6 (7 3 ) 6

4

7 .3 3

= 7 =1 3 8 8 7 3. 7

2 .3 2 7 3 2 .9 ⋅ = = 6 73 6 =3

в)

53 : 6 5 . 3 4 5

в)

53 : 6 5 = 3 4 5 =

6 6

(5 3 ) 3

⋅ 61 = 5 (5 ) 4 2

6 9 9 = 5 ⋅ 61 = 6 58 = 6 8 5 .5 5 5

=

= 6 1 =1

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) A = 7 63 + 8 . 7 63 − 8 ;

б) B = 5 5 + 57 . 5 5 − 57 .

Решение: а) A = 7 63 + 8 . 7 63 − 8 = = 7 ( 63 + 8 ) . ( 63 − 8 ) = =

7

(

63 ) − 8 2 = 2

= 7 63 − 64 = = 7 −1 A = −1

28

б) B = 5 5 + 57 . 5 5 − 57 = =

5

(5 +

57 ) . ( 5 − 57 ) =

= 5 2 − ( 57 ) = 5

2

= 5 25 − 57 = 5 −32 = = − 5 32 = − 5 2 5 B = −2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4

Пресметнете: а) 5 3 2 32 + 12 2 2 − 9 6 2 ;

б)

( 3 9 + 3 4 )( 3 9 − 3 4 ) −

3

б)

( 3 9 + 3 4 )( 3 9 − 3 4 ) −

3

162 . 2

3

Решение: а) 5 3 2 32 + 12 2 2 − 9 6 2 = 3

= 5 2 25 + 6 2 − 96 2 =

162 = 2

3

= ( 3 9 ) − ( 3 4 ) − 3 162 = 2 2

2

= 5 3 2 2. 2 5 − 8 6 2 =

= 3 81 − 3 16 − 3 81 =

= 56 27 − 86 2 =

= − 3 16 =

= 5. 2 6 2 − 8 6 2 =

= −3 24 =

= 10 6 2 − 8 6 2 =

= − 3 2 3. 2 =

=2 2 6

= −2 3 2

ЗАДАЧА 5 Опростете изразите: а) A =

3

(1 −

3 ) + 4 ( 2 − 3 ) + 6 8 ;

б) B =

5

33 + 1 . 5 33 − 1 −

10

( 6 65 − 2 )

3) + 4 ( 2 − 3) + 6 8 =

б) B =

5

33 + 1 . 5 33 − 1 −

10

( 6 65 − 2 )

2 − 3 + 6 23 =

=

5

2− 3 + 2

= 5 32 −

6

65 − 2 =

= 5 25 −

6

65 − 2 =

3

4

10

.

Решение: а) A =

3

(1 −

3

=1− 3 +

=1− 3 + От 2 < 3

2 64 ⇒ 6 65 > 6 64 , т.е. 6 65 > 2 и Тогава

6

6

65 − 2 > 0 .

65 − 2 = 6 65 − 2

B = 2 − ( 6 65 − 2 ) = = 2 − 6 65 + 2

Към съдържанието

B = 4 − 6 65.

29

ЗАДАЧА 6

a − b − a + b и пресметнете стойността му, ако: a−3b 3a+3b 4 2 б) a = – 24 и b = − 1 ; в) a = иb= . 25 5 3

При a ≠ ± b опростете израза A = а) a = – 9 и b = 3;

3

Решение: A = 3 a − b3 − 3 a + b3 = a− b a+ b =

(3 a) −(3 b)

=

( 3 a − 3 b ) ( 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 ) − ( 3 a + 3 b ) ( 3 a 2 − 3 ab + 3 b 2 ) =

3

3

a−3b

3

3

−

(3 a) 3

+(3 b) = a+3b 3

3

a−3b

3

a+3b

= 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 − 3 a 2 + 3 ab − 3 b 2 A = 2 3 ab

а) При a = – 9 и b = 3 A = 2 3 − 9 .3 = = 2 3 − 27 =



б) При a = – 24 и b = − 1 3 A = 2 3 − 24 ⋅ − 1 = 3

( )

= 23 8 =

= − 2 3 33 = = − 2 .3 A = − 6.

ЗАДАЧА 7

= 2 3 23 = = 2. 2 A = 4.

4 2 иb= 25 5 A = 23 4 ⋅ 2 = 25 5

в) При a =

= 23 8 = 125

()

= 23 2 5 = 2⋅ 2 5 4 A= . 5

3

=

3 2   4 3 4 3   При a > 0 и a ≠ 1 опростете израза A =  a3 − a − a3+ a  :  a + a + 1 −4 a  . a +1   a +1 a   a −1 Решение: 3 2   4 3 4 3   A =  a3 − a − a3+ a  :  a + a + 1 −4 a  = a +1   a +1 a   a −1 3 3 3 2   4 3 3 3 a (1 + 4 a 2 ) 1 − a  + 4 =  a3 − a − a3 + a  :  = a +1   a +1 a  a −1 

 3 a ( 3 a + 1) ( 3 a − 1) 3 a 2 ( 3 a + 1)   4 a ( a + 1) 1 − a  = − + 4 : = 3 3 a −1 a +1   a +1 a     = ( 3 a ( 3 a + 1) − 3 a 2 ) :  4 a + 1 −4 a  = a   2 4 = ( 3 a 2 + 3 a − 3 a 2 ) : a +4 1 − a = a

== 33 aa :: aa ++411−− aa == 33 aa :: 411 == 33 aa .44 aa == 4a 4a a a 33.44 44 44.33 33 4 3 12 12 == aa . aa == 12 aa 4 .12 aa 3 == 1212 aa44 .aa33 == 1212 aa 7

30

Към съдържанието

ЗАДАЧА 8

Докажете тъждествата: а)

3

7 + 5 2 = 1 + 2 ;

б)

3

26 − 15 3 = 2 − 3 .

Решение: б) Преобразуваме дясната страна

а) Преобразуваме дясната страна 3

1+ 2 =

(1 +

2) = 3

2− 3 =

(2 −

3) = 3

= 3 13 + 3.12. 2 + 3.1. ( 2 ) + ( 2 ) =

= 3 2 3 − 3. 2 2. 3 + 3. 2. ( 3 ) − ( 3 ) =

= 3 1+ 3 2 + 6 + 2 2 =

= 3 8 − 12 3 + 18 − 3 3 =

2

3

= 3 7+5 2 и получаваме лявата страна, с което тъждеството е доказано.

ЗАДАЧА 9

3

2

3

3 = 26 − 15 3 и получаваме лявата страна, с което тъждеството е доказано.

Подредете във възходящ ред числата: а) a =

= 3, b

= б) a

2 , c = 4 5 ;

3

= 4, b

3

4

6 , c = 12 130 .

Решение: a а) = = b c =

3. 4

4 4 = 12 256

= 6

4 .3

6 3 = 12 216

3. 4

3 4 = 12 81

a б) =

3

= 2

2.6

2 6 = 12 64

= b

4

5 =

4 .3

5 3 = 12 125

4

c = 12 130

От 64 < 81 < 125

От 130 < 216 < 256

⇒ 12 64 < 12 81 < 12 125 ,

⇒ 12 130 < 12 216 < 12 256 , т.е. c < b < a.

т.е. b < a < c.

ЗАДАЧИ

= 4

= 3

3

Определете допустимите стойности на x в изразите: 4

1.  A = x + 3 x − 4 ; 2.  B = 4 x 4 − 81 ;

3 4

;

13.  При x ≥ 0 и y ≥ 0 опростете израза

6

2

5.  E = x − 5 x + 49 − x . Намерете стойностите на изразите:

A = ( x + y )( 4 x + 4 y )( 4 x − 4 y ) . 14. Ако 0 < a < 1, докажете тъждеството

6.  4 (− 9) 2 + 3 −27 + 6 (−2) 6 ; 7.  8 (− 8) 8 + 5 (−2) 5 +

6

(

3 3 8.  7 + 22 . 7 − 22 +

9.  3 4 + 2 2 . 3 4 − 2 2 ;

Към съдържанието

27 . 3 − 6 . 3 2

12.  4 10 + 19 . 4 10 − 19 .

x2 − 5 ; x + 3x + 2 2

2

3

11.  5 17 + 46 . 5 17 − 46 ;

3.  C = 4 x 3 − 5 x ; 4.  D =

10 3 3 ⋅ 3 2

10. 

2

3 − 2) − 3 ; 6

10

( 3 − 3 30 )

10

;

a − 24 a +1

( 8 a + 1) ( 8 a − 1)

= −1.

Подредете във възходящ ред числата: = 15. a

5

= 9, b

3

4 , c = 15 956 ;

16. = a

3

= 5, b

4

8 , c = 6 23 .

31

7.

ФУНКЦИЯ. ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯ. ПРЕГОВОР С ДОПЪЛНЕНИЕ Функция. Определение

О

Нека една променлива величина х приема всички стойности от едно числово множество D. Казваме, че е зададена функция на променливата х, ако има правило f, посредством което на всяка стойност x ∈ D съответства точно една стойност y ∈ F. Записваме y = f(x), x ∈ D. D – дефиниционна област (множество) F – множество от функционалните стойности x – аргумент (независима променлива) y – зависима променлива f – функция f (x0) = y(x0) – стойност на функцията в точка x0 Графика на функцията y = f(x), x ∈ D

М(х; f (x))

О

В равнината избираме правоъгълна координатна система Оху. За всяко x ∈ D пресмятаме съответната стойност y = f (x) и построяваме точката М(х; f(x)).

Множеството от всички точки М(х; f(x)) се нарича графика на функцията y = f(x), x ∈ D. От определението на понятието „функция“ на всяка стойност x ∈ D съответства точно една стойност на y, т.е. не може да има повече от една точка с една и съща абсциса. Следователно всяка права, успоредна на ординатната ос, пресича графиката на една функция най-много в една точка. Строго растяща и строго намаляваща функция Функцията y = f (x) се нарича строго растяща в даден интервал, ако за всеки две стойности х1 и х2 от този интервал, за които х1 < х2, е изпълнено f (x1) < f(x2).

Функцията y = f(x) се нарича строго намаляваща в даден интервал, ако за всеки две стойности х1 и х2 от този интервал, за които х1 < х2, е изпълнено f(x1) > f(x2).

32

Към съдържанието

Графика на функцията y = x2, D : x ∈ (– ∞; +∞) Функцията y = x2, D : x (– ∞; +∞), е определена за всяко x. Ще построим няколко точки от графиката ѝ, като предварително пресметнем координатите им и ги подредим в таблица. x

–3

–2

–1

0

1

2

3

9

4

1

0

1

4

9

Точки A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

y=x

2

В равнината на координатната система Oxy построяваме точките A1, A2, A3, A4, A5, A6 и A7 с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = x2 , която се нарича парабола. Точката O (0; 0) е връх на параболата. Оста Oy се нарича ос на параболата.

O

Свойства на функцията y = x2, D : x ∈ (– ∞; +∞)  Графиката на функцията y = x2 е парабола, разположена в I и II квадрант.  Графиката на функцията y = x2 е симетрично разположена спрямо ординатната ос Oy.  Функцията y = x2 е строго намаляваща в интервала (–∞; 0). • Функцията y = x2 е строго растяща в интервала (0; +∞).  Функцията y = x2 има най-малка стойност 0, която се получава при x = 0.  Функцията y = x2 приема произволно големи стойности. Графика на функцията y = x2, D : x ∈ [p; q] Графиката на квадратната функция y = x2, D : x ∈ (– ∞; +∞), е парабола. Графиката на квадратната функция y = x2, D : x ∈ [p; q], AB от тази парабола, ограничена е частта  от точките А(р; y(p)) и В(q; y(q)). Най-голяма и най-малка стойност на функцията y = x2, D : x ∈ [p; q] Функцията y = x2, D : x ∈ [p; q] (дефиниционната ѝ област е затворен интервал), има както най-малка, така и най-голяма стойност. Означаваме със: • НМС y(x) – най-малката стойност на функцията y(x) в интервала [p; q]; • НГС y(x) – най-голямата стойност на функцията y(x) в интервала [p; q].

Към съдържанието

33

Графики на функциите y = f(x) + a и y = f(x) – a при a > 0 Ще покажем как се получават графиките на функциите y = f (x) + а и y = f (x) – а, а > 0, ако е известна графиката на функцията y = f (x). За онагледяване е използвана графиката на функцията f (x) = x2. Графиката на функцията y = f(x) + а, а > 0, се получава чрез успоредно пренасяне на графиката на функцията y = f(x) на разстояние a единици „вертикално нагоре“.

Графиката на функцията y = f(x) – а, а > 0, се получава чрез успоредно пренасяне на графиката на функцията y = f(x) на разстояние a единици „вертикално надолу“. –а Графики на функциите y = f(x – a) и y = f(x + a) при a > 0 Ще покажем как се получават графиките на функциите y = f (x – а) и y = f (x + а), а > 0, ако е известна графиката на функцията y = f (x). Графиката на функцията y = f(x – а), а > 0, се получава чрез успоредно пренасяне на графиката на функцията y = f(x) на разстояние a единици „хоризонтално надясно“.

Графиката на функцията y = f(x + а), а > 0, се получава чрез успоредно пренасяне на графиката на функцията y = f(x) на разстояние a единици „хоризонтално наляво“.

34

Към съдържанието

Графика на функцията y = аf(x) при a > 0 Графиката на функцията y = а f (x), а > 0, се получава от графиката на функцията y = f (x), като заменим всяка нейна точка с точка, която има същата абсциса и ордината, а пъти ординатата на f (x). Точките от графиката, които лежат на оста Ох, остават неподвижни, тъй като имат ордината 0. а > 1 При а > 0 и f (x) ≥ 0 неравенството а f (x) ≥ f(x) е вярно за всяко х. Казваме, че графиката на функцията y = а f (x) се получава от графиката на функцията y = f (x) чрез „разтягане по оста Оу“. 0 < а  0 стойностите на функцията са по-големи от 0 (графиката ѝ е разположена над абсцисната ос).  Графиката на функцията y = 3 x е симетрична относно началото О на координатната система.  Функцията y = 3 x няма най-малка и няма най-голяма стойност.  Всяка права, успоредна на оста Ox, (y = m) пресича графиката на функцията y = 3 x точно в една точка. Следователно уравнението 3 x = m има единствено решение за всяко т.

44

Към съдържанието

Графики на функциите y = x3 и y = 3 x при x ∈ (–∞; +∞) На чертежа са изобразени графиките на функциите y = x3 и y = 3 x при x ∈ (–∞; + ∞). Забелязваме, че те са симетрични относно ъглополовящата на I и III квадрант – правата y = x.

Графиката на функцията y = 3 x , x ∈ (–∞; + ∞), може да се получи от графиката на функцията y = x3, x ∈ (–∞; + ∞), при осева симетрия с ос на симетрия правата у = х. Точките (–1; –1), (0; 0) и (1; 1) лежат на оста на симетрия и затова те остават неподвижни (преобразуват се в себе си).

ЗАДАЧА 1

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функциите: а) y = x3, x ∈ [–1; 1] ;

б) y = 3 x [–1; 1].

Решение: а)

б)

y = x3 е растяща функция

y = 3 x е растяща функция

⇒ НМС y(x) = y(–1) = (–1)3 = –1, НГС y(x) = y(1) = 13 = 1.

⇒ НМС y ( x) = y (−1) = 3 (−1) 3 = 3 −1 = −1,

Към съдържанието



НГС y= ( x) y= (1)

3

3 1=

3

= 1 1.

45

ЗАДАЧА 2 Като използвате графиката на функцията y = x3, начертайте графиките на функциите: а) у = х3 – 2; в) y = 1 x 3 ; 2

б) у = (х – 2)3; г) y = | x3 |.

Решение: а)

б)

Графиката на функцията у = х3 – 2 се получава, като успоредно пренесем графиката на функцията у = х3 с 2 единици „вертикално надолу“.

Графиката на функцията у = (х – 2)3 се получава, като успоредно пренесем графиката на функцията у = х3 с 2 единици „хоризонтално надясно“.

в)

г)



1 3 Графиката на функцията y = x се по­ 2 лучава от графиката на y = x3, като умножим с 1 стойностите на съответните ѝ 2 ординати.

46

За да начертаем графика на функцията 3  x , x ≥ 0 y = | x3 |, използваме, че | x 3 | =  3 − x , x < 0.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Като използвате графиката на функцията y = 3 x , начертайте графиките на функциите:

ЗАДАЧИ

а) y = 3 x + 2 ;

б) y = 3 x − 2 ;

в) y = 3 x − 2 ;

г) y = 3 x + 2 .

Решение: а)

б)

в)

г)

1. Н  амерете най-малката и най-голямата стойност на y = x3, ако:

3. Намерете най-малката и най-голямата стойност на y = 3 x , ако:

а) x ∈ [–1; 0];

б) x ∈ [1; 3];

а) x ∈ [1; 8];

г) x ∈  1 ; 2  . 2 





в) x ∈  3 −2 ; 3 3  ;

2. Като използвате графиката на функцията y = x3, начертайте графиките на функциите: а) y = –x3; б) y = (x – 1)3; в) y = (x + 2)3; г) y = 2 + x3.

г) x ∈ 0; 8  .  27 

4. Като използвате графиката на функция­та y = 3 x , начертайте графиките на функ­ циите:

а) y = − 3 x ;

Към съдържанието

в) x ∈  − 1 ; 27  ;  8 

б) x ∈ [–8; –1];

в) y = 3 x −1 ;

б) y = 3 x +1 ; г) y = 2+ | 3 x | .

47

10.

СТЕПЕН С ЦЯЛ ПОКАЗАТЕЛ. ПРЕГОВОР Степен с показател естествено число

О

Степен с основа a и показател n (n – естествено число) се нарича произведение от n множителя, всеки от които е равен на a: a n = a. a. a ... a .   п пъти Основата a е произволно реално число, а степенният показател n е естествено число, по-голямо от единица. Специално при n = 1 по определение a1 = a. Ако m и n са естествени числа, а a и b – реални числа, в сила са следните правила: 1. a m . a n = a m + n m 2. a n = a m − n , където m > n и a ≠ 0 a 3. (a m ) n = a m . n

4. (a . b) n = a n . b n

()

5. a b

n

n = an , b ≠ 0 . b

Тези правила се доказват непосредствено, като се използва определението. Например първото правило следва от равенството . a. ... .a = am + n. . a. ... .a = a . a. ... .a . a a m . a n = a       m пъти n пъти m + n пъти Понятието „степен“ се разширява с въвеждането на степени с нулев и цял отрицателен показател. Разширяването на понятието „степен“ става така, че правилата от (1) до (5) за степен с естествен показател остават в сила и при новите показатели. Степен с нулев показател

m Ако обобщим правило (2) и за случая, когато m = n, ще получим a m = a m − m = a 0 . m a Тъй като a m = 1 , целесъобразно е да приемем, че а0 = 1. a

О

a 0 = 1 за всяко a ≠ 0. Степен с цял отрицателен показател Ако обобщим правило (2) и за случая m < n, като вземем например m = 2, n = 5, ще 2 получим a 5 = a 2 −5 = a −3 . a Тъй като

48

a2 = 1 , целесъобразно е да приемем, че a −3 = 13 при a ≠ 0. a5 a3 a

Към съдържанието

О

a − n = 1n за всяко a ≠ 0 и n – естествено число. a Правилата от (1) до (5) остават в сила и когато някой от степенните показатели е нула или цяло отрицателно число. За степените с цял показател са в сила следните правила: m n m+n 1. a . a = a

()

n

n 5. a = a n , b ≠ 0 b b 6. a 0 = 1, a ≠ 0 7. a − n = 1n , a ≠ 0 , a

m 2. a n = a m − n , a ≠ 0 a m n m. n ( 3. a ) = a n n n 4. (a . b) = a . b

където а, b са реални числа, а m, n – цели числа. Изразите 00, 0–1, 0–3,... , 0–n, където n∈N, нямат смисъл. При направеното разширение на понятието „степен“ е спазен принципът за перманентност, т.е. всички известни свойства на изучаваното понятие са в сила и за неговото разширение. n −n Ако запишем a = 1n = 1 , където n∈N, и вземем предвид, че числата а и 1 са a a a реципрочни, повдигането на дадено число a (a ≠ 0) в степен отрицателно цяло число

()

(–  n) се свежда до повдигане на реципрочното му число 1 в положителна степен n a (n∈N). Това правило, приложено при a =

ПРИМЕРИ

() 1 3

−2

= 3 2 = 9;

() () 3 4

−2

= 4 3

2

= 16 ; 9

p p и p ≠ 0, q ≠ 0, придобива вида   q q

( ) −1 2

−4

= (−2) 4 = 16;

( ) ( ) −3 2

−3

= −2 3

3

−n

n

q =  .  p

=− 8 27

Стандартен запис (вид) на числа Знаем, че големите числа се записват в стандартен вид като произведение на число от интервала [1; 10) и степен на числото 10.

ПРИМЕРИ

24 000 000 = 2,4.107 7 800 000 000 = 7,8.109

3 600 = 3,6.103 59 000 = 5,9.104

120 000 = 1,2.105 5 800 000 = 5,8.106

Аналогично и за малките числа се използва стандартен запис, като се записват като произведение на число от интервала [1; 10) и отрицателна степен на числото 10.

ПРИМЕРИ

0,000000003 = 3.10–9 0,00000489 = 4,89.10–6

0,0012 = 1,2.10–3 0,00037 = 3,7.10–4

0,000048 = 4,8.10–5 0,0000059 = 5,9.10–6

49 Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

Опростете и запишете като степен с основа цяло число изразите: 5 3. 25 3. 5 −1 ; 125 3

а) A =

б) B =

3 0.9 4 ; (−81) 2 .27 −1

в) C =

(−2) 3 .8.(−16) . 4 2.2 −4.(−2) 4

б) B =

3 0.9 4 = (−81) 2 .27 −1

в) C =

(−2) 3 .8.(−16) = 4 2.2 −4.(−2) 4

=

3 0.(3 2 ) 4 .27 1 = 812

=

Решение: а) A = =

5 3. 25 3. 5 −1 = 125 3 5 3.(5 2 ) 3 . 5 −1 = (5 3 ) 3

0 8 3 = 3 .34 .32 = (3 )

5 3. 5 6. 5 −1 = = 59 =5

3+ 6 −1

5

9

0 +8+ 3

3+ 3+ 4 = 2 4−4+ 4 = 2

11

= 59 = 5

= 38 = 3

10 = 24 = 2

=1 5

= 311−8

= 210 − 4

8

A=5

ЗАДАЧА 2

B = 33

−1

Пресметнете:

() ( )

а) A = 9 5

3

⋅ − 25 27

2

;

Решение:

() ( )

9 а) A = 5

3

⋅ − 25 27

2

=

9 3. 25 2 = 5 3. 27 2

=

(3 2 ) 3 .(5 2 ) 2 = 5 3.(3 3 ) 2

=

3 6. 5 4 = 3 6 5 .3 A=5

C = 26

() () ( )

б) B = 3 4

3

⋅ 9 8

Опростете израза A = а) x = 2 −1 + 2 −2 ;

50

−2

⋅ 1 15

−1

() () ( ) = ( 3 ) ⋅ ( 8 ) ⋅ 15 = 4 9

б) B = 3 4

3

⋅ 9 8

3

−2

2

⋅ 1 15

−1

( ) ⋅ ( − 14 )

;

в) C = 2 3

=

в) C = 2 3

−3

−2

⋅ 3 −1 .

( ) ( ) ⋅3 = ( 3 ) ⋅ (− 4) ⋅ 1 = 3 2 −3

⋅ −1 4

3

−2

−1

=

2

3 2 = 3 .83 .15 = 4 .9 2

3 = 3 3 ⋅ 16 ⋅ 1 = 3 2

3 6 = = 3 .226 .15 2 .3 4

2 4 = 3 .23 = 2

= 15 3

= 3 2.2 = = 9.2

B=5

ЗАДАЧА 3

3 3 4 = 24 .2−4.2 4 = 2 .2 .2

= 3 4. 2 = 3

=

−2 3.2 3.(−2 4 ) = (2 2 ) 2 .2 −4.2 4

C = 18

(−2 x 5 ) 7 .(−8 x 12 ) − 4 ( x ≠ 0) и пресметнете стойността му при: (− 4 x 3 ) −5 −1 0 −1 0 4 б) x = 5 − ; в) x = − 3 ⋅ − 4 . 3 7 5

()

( ) ( )

Към съдържанието

Решение: A= =

(−2 x 5 ) 7 .(−8 x 12 ) − 4 (−2 x 5 ) 7 .(− 4 x 3 ) 5 (−2) 7 .( x 5 ) 7 .(− 4) 5 .( x 3 ) 5 = = = (−8) 4 .( x 12 ) 4 (− 4 x 3 ) −5 (−8 x 12 ) 4 2 7. 4 5. x 35 . x 15 2 7. 210. x 35+15 217. x 50 = = 12 48 = 217 −12. x 50 − 48 = 2 5. x 2 212. x 48 2 .x 8 4. x 48

A = 32 x 2

()

()

A = 32 ⋅ 3 4 9 = 32 ⋅ 16 A = 18.

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧА 5

2

−1

0 б) При x = 5 − 4 = 3 =1− 3 = 1 4 4

а) При x = 2 −1 + 2 −2 = =1+1=3 2 4 4

()

=

A = 32 ⋅ 1 4 = 32 ⋅ 1 16 A = 2.

2

=

( ) ⋅ ( − 54 ) = 1⋅ ( − 5 ) = − 5 4 4 A = 32 ⋅ ( − 5 ) = 4

в) При x = − 3 7

0

−1

2

= 32 ⋅ 25 16 A = 2 . 25 = 50.

Запишете като десетични дроби числата: а) 2 . 10 – 4; б) 3,7 . 10 – 3;

в) 1,25 . 10 – 5.

Решение: а) 2 . 10 – 4 = 0,0002

в) 1,25 . 10 – 5 = 0,0000125

б) 3,7 . 10 – 3 = 0,0037

Запишете със стандартен запис числата: а) 0,00052; б) 0,0000142;

=

в) 0,000000456.

Решение: а) 0, 00052  =

б) 0, 0000142  =

в) 0, 000000456    =

= 1, 42.10 −5

= 4, 56.10 −7

= 5, 2.10 −4

ЗАДАЧИ

Пресметнете:

( ) () () () () ( ) () ( ) ( ) ( ) 3

−2

0

−2

1.  A = − 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 1 ; 3 3 7 3 −5 3 0 2.  B = 3 ⋅ − 9 ⋅ (−7) 2 ⋅ 8 ; 7 49 9 3 −4 3.  C = − 1 ⋅ − 1 ⋅ 2 3 + 30 ; 4 2 −4 4.  D = (2 −3 ) 2 .(−3) −3 .(− 6) 3 ⋅ − 1 . 2 Опростете изразите и пресметнете стойностите им: 8 15 −4 5.  A = (7.9 + 6.3 ).81 ; 6.  B = (2.2510 − 9.518 ).125 − 6 ;

()

(3 −2 ) 3 .(5 3 ) −2 − 1 7.  C = 2 15 −7

Към съдържанието

−3

;

() () () ()

−1 −2 −1 0   8.  D =  1 : 1 − 3  ⋅ 3 . 3 5  7  6 9. Опростете израза (−2 x 3 ) 3 . (− 6 x 4 y 9 ) −2 A=  (x ≠ 0, y ≠ 0) (−3 y 5 ) − 4 и пресметнете стойността му, ако

x = 27. 3 − 4 и y = (−8) 3 .(− 4) − 4 . 10. Запишете като десетични дроби числата: а) 2.10–3; б) 2,35.10–6. 11. З  апишете със стандартен запис числата: а) 0,00003; б) 0,00014.

51

11.

СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН СТЕПЕНЕН ПОКАЗАТЕЛ. СВОЙСТВА Досега разгледахме само степени с цял показател. В този урок ще дефинираме степен с рационален показател. Дефинирането на степента a r (където а > 0, a r е рационално число) трябва да стане по такъв начин, че да бъде спазен принципът за перманентност, т.е. и за разширеното понятие степен с рационален показател да останат в сила всички правила (свойства) на степените с цял показател. Ще припомним, че едно число r е рационално, когато може да се представи като частно на две цели числа. От това определение следва, че всяко рационално число r можем да представим и във вида r = m , където числителят m е цяло число, а знаменаn телят n е естествено число, т.е. r = m , r ∈ Q, m∈ Z, n ∈ N. n Степен с положителен дробен показател Според правилото за степенуване на степен, ако m и n са цели числа, то

(a m ) n = a m . n  . Искаме това правило да бъде в сила и при дробни показатели m и n. m 3= , n 2 трябва да е изпълнено равенството Например при= 2 2 3⋅2 3 (1) a 2 = a 2 = a 3 .

( )

Знаем, че неотрицателният корен на уравнението x 2 = A ( A ≥ 0) e x = A . 3

2 = x a= , A a 3 . Тогава от (1), при условие че a 3 ≥ 0 , полуВ равенството (1) нека чаваме 3

(2) a 2 = a 3 . Така стигаме до извода, че е целесъобразно да се даде следното определение:

О

m

Ако a ≥ 0 и m и n ≥ 2 са естествени числа, то a n = n a m .

3 ПРИМЕРИ = 57

5

7

= 53

= 7 125

() 3 4

2 3

= =

3

3

() 3 4

= 25

= 9 32 2

9 16

2

5

= a 2 a ( a ≥ 0)



= 32

=79



a 2 = a5 =

=

7

= 37

9

= 29

m

9

5

= b9

= b5

= b 5 b4

Степента a n дефинирахме само при a ≥ 0, тъй като при а < 0 изразът има смисъл. Например Степента a число.

52

m n

4

n

a m невинаги

(−2) 3 няма смисъл.

може да се дефинира като n a m и когато a < 0 само ако n е нечетно

Към съдържанието

Степен с отрицателен дробен показател

Като имаме предвид, че при a > 0, n ∈ N a − n = 1n , понятието степен с отрицатеa лен дробен показател дефинираме така:

О

Ако a > 0 и m и n ≥ 2 са естествени числа, то a

−m n

= 1m . an

m

Тъй като a n = n a m при a > 0 и m, n ∈ N, то −m a n = 1m = 1 . n am an m m −m n Като вземем предвид, че a n = (a −1 ) n = 1 , то повдигането на числото a > 0 на a степен отрицателно рационално число − m се свежда до повдигане на реципрочното n му число 1 на степен положителното рационално число m . a n

()

ПРИМЕРИ

()

() () 1

2

−1

1

1

− 3  1  3 = 1000 3 = 4 2= 9 2= 8 = 1 =  1000  9 4 8   1 1 = 3 1000 = = =3 = = 9= 3 2 4 64 8 = 10 =3 =1 2 4 Като се използва свойството на коренуването и степенуването с цял показател, може да се докаже, че и за степен с рационален показател при a > 0, b > 0, x ∈ Q, y ∈ Q са в сила следните свойства: −2 3

x y x+ y 1. a . a = a

6. a 0 = 1

x 2. a y = a x − y a

7. a − x = 1x a

x y xy 3. (a ) = a

8. a x > 0

x x x 4. (ab) = a . b

x y 9. Ако a > 1 и x < y , то a < a .

()

5. a b

x

Ако 0 < a < 1 и x < y , то a x > a y .

x = ax b

Ще докажем част от тези свойства.

!

За всяко a > 0 и всеки две рационални числа x и y е в сила равенството ax.ay = ax+y. Доказателство: p m Нека x = и y = (p, m, q, n – цели числа, q ≥ 2, n ≥ 2). n q Като използваме определението за степен с рационален показател, свойствата на степените с цял показател и свойствата на корените, получаваме p m + n

a x+ y = a q =

qn

=a

pn + qm qn

pn qn

a . a

Към съдържанието

qm

= q

qn

= a

a pn + qm = qn a pn . a qm =

p n

p q

m

a = a .a n = a x .a y . m

53

!

Ако x е рационално число и a > 0, то ax > 0. Доказателство: x . a. ... a > 0.  Ако x е естествено число, то a = a    x пъти

 Ако x = 0, то a x = a0 = 1 > 0. p p q  Ако x = , където p и q ≥ 2 са естествени числа, то a x = a q = a p > 0 . q  Ако x = – y, където y е положително рационално число, то a x = a − y = 1y > 0 . a Ще покажем верността на свойство (9) със следните примери:

ПРИМЕРИ

a = 1 1 , 3 3 1> 1 защото . 9 27

ЗАДАЧА 1

a=5>1 От 2 < 3 ⇒ 52 < 53, защото 25 < 125.

Пресметнете: 1

а) 81 4 ;

б)

( )

1 3

б)

( )

1 3

Решение: 1

4 а) 81 =

= 81

4

8 27

8 27

4

4

= 3 =3

=

a=3>1 От –3 < –2 ⇒ 3–3 < 3–2, 1 – 5 ⇒ 1 2

Запишете изразите: 1 3 а) 1 ⋅ a 2 . a 4 (a > 0) с корен; a Решение:

б)

1

=a

3

1

( ) < ( 12 )

3

−1+ 1 + 3 2 4

−6

1 3

−6

1 3

−12

2 ⋅ ( − 6)

=

a3

a −4 а) При a = 1 2 −4 A= 1 = 2 4 = 16 . 2

()

1. 16

( )

⋅ 125 8

2.  ( 4 0, 001 )

−1 3

=

( )

−3 2

− 1 . 49 Представете със степен: 1

−5

−4

5

3 б) При a = 3 −4 4 4  3 A=  =  3  = ( 3 ) = 9 .  3   3

2

−1 3 4. 5 . 5 . −2 5 3 Опростете изразите и запишете резултатите с корени:

( )

1 2 5. A = ⋅ a 2 a

Към съдържанието

(x B=

−1

3

. a4, a > 0;

−1 3

.y

−1 2

−3 2

)

2

3

, x > 0, y > 0 .

x .y Запишете със степени изразите: 7.

4

3 3; 2 2 2 .

8.

3. 7 3. 7 6 . 7 2 ;

3

= 22 2 = 24

a −4. a −4 = a −4 a −4

6.

;

3⋅1

=

3 б) a = . 3

Пресметнете: −1 4

1+ 1 2

при a > 0 и пресметнете стойността му, ако:

1 ⋅ ( −12 )

. a3 a −4

.

−12

1 а) a = ; 2 Решение: 2 3

3

= 22 = 22

( ) .( a ) Опростете израза A = a

( ) .( a ) A= a

1 2

( )

3

=a = 4 a

−5

2 2 със степен. 1

1 4

2 3

−4

б) 2 2 = 2 . 2 2 = 2

a −4

ЗАДАЧИ

−4

а) a = 1,7 > 1 От 2 > – 3 ⇒ 1,72 > 1,7–3 .

а) 1 ⋅ a 2 . a 4 = a −1 . a 2 . a 4 = a

ЗАДАЧА 5

( ) и ( 12 )

б) 1 2

Сравнете числата: 9. 41,2 и 43;

() ();

10. 1 3

2

и 1 3

1 2

11. 0,50,3 и 0,53 ; 12. 3

−1 2

−1

и 3 3.

55

12.

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН СТЕПЕНЕН ПОКАЗАТЕЛ Ще разгледаме изрази, които съдържат степени с рационален показател. Съгласно даденото определение за степен с рационален показател винаги ще предполагаме, че основите на степените са положителни числа. Когато показателят в степента е дробно число, степента може да се записва и като корен. При преобразуването на изразите ще използваме правилата за действия със степени и корени.

ЗАДАЧА 1

Пресметнете стойностите на изразите:

(

1 4

а) A = 8 . 4

)

1 3

6 17

(

−4 3

4 3

б) B = 9 . 27 . 3

;

)

2 3

1 2

(

1 3

−2 3

в) C = 6 . 2 . 2 . 3

;

−1 3

)

3 2

.

Решение:

( ) = = ( ( 2 ) .( 2 ) ) = = (2 .2 ) = ( 2 ) 1 4

а) A = 8 . 4

1 4

3

9 +8

= 2 12 =2

ЗАДАЧА 2

2

17 ⋅ 6 12 17

)

6 17

( ) = = ( (3 ) . (3 ) . 3 ) = (3 . 3 . 3 ) = −4 3

3+2 4 3

( ) 17

= 2 12

6 17

4 2 −3

6 17

−8 3

=

а) a

(a

1 4

=

=2 = 2

1 3

=

1+ 1 − 2 3 3 2 3

−2 + 4

1

1

) ;

б) ( a

1

)

б) a 2 − b 2

1 2

−b

1 2

)

2

1

)

2

2 3

2 3

)2 =

2⋅3 2

= (3 2 ) 2 = 31 = 3

1 3

−2 3

в) C = 6 . 2 . 2 . 3 1 2

1 2

1 2

− 6 +4 3

2 3

( )= = (2 . 3 . 2 . 2 . 3 ) = .3 ) = = (2 = (2 . 3 ) = = ( (2 . 3) ) = ( 6 ) = 1 3

1 2

2 3

− 8 + 4+ 2 3 3

1 2

−a

4 3

3

4

1 2

2 3

) = = (3 ) = (3 = (3

Разкрийте скобите (а ≥ 0, b ≥ 0): 2 3

4 3

б) B = 9 . 27 . 3

6 17

1 3

6 17

2 3

3 4

(

6 17

1 3

= 63

(

1

(

1

;

в) a 2 + b

=

в) a 2 + b

3 2

−1 3

−2 3

−1 3

3 2

3 2

1− 1 3

3 2

3 2

2 3

3 2

= 61 = 6

−1 2

)(a

1 2

−b

−1 2

).

Решение: 2

(

1

а) a 3 a 4 − a 3 = 2

2

1

(

1

= a 3. a 4 − a 3. a3 = =a

2+1 3 4

11

−a

2+1 3 3

=

1

= (a ) 1 2

2

1 2

− 2a b 1 2

1 2

1 2

+ (b ) 1 2

)(a − b ) = = ( a ) − (b ) =

2

1 2

=

−1 2

2

1 2

−1 2

−1 2

2

= a − b −1 (b ≠ 0)

= a − 2a b + b

= a 12 − a  При решаване на Задача 2 б, в използвахме формулите (a + b)(a – b) = a2 – b2. (а – b)2 = a2 – 2ab + b2,  Условията и решенията на Задача 2, записани с корени, са: а)

3

a2 ( 4 a − 3 a ) =

= 3 a2 4 a − 3 a2 3 a = 12

= a

8 12

3

2

a − 3 a .a =

= 12 a 8 . a 3 − 3 a 3 = = 12 a 11 − a

56

б) ( a − b ) = 2

= ( a) −2 a b +( b) = 2

= a − 2 ab + b

2

1  a − 1  = в)  a +   b  b  2

2 = ( a ) −  1  =  b = a − 1 (b ≠ 0). b

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Разложете на множители (а ≥ 0, b ≥ 0): 3

1

а) a 2 + a 2 ;

1

1

1

1

б) ab 2 + a 2 b ;

3

3

3

3

в) a 2 − b 2 .

Решение: 3

1

а) a 2 + a 2 = =a

1+ 1 2

б) ab 2 + a 2 b = = (a )

1

1 2

+a2 = 1 2

1 2

1 2

=a.a +a =

=a b

1 2

1 2

2

1 2

1 2

b +a

(a

1 2

+b

1 2

(b ) ) 1 2

в) a 2 − b 2 =

= ( a ) − (b ) = = (a − b )(a + a b

2

1 2

=

3

1 2

1 2

3

1 2

1 2

1 2

+b

)

= a (a + 1)  При решаване на Задача 3 г използвахме формулата а3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2).  Условията и отговорите на Задача 3, записани с корени, са: а)

a3 + a = = a (a + 1)

б) a b + b a = = ab ( a + b )

ЗАДАЧА 4 Съберете дробите A =

1 2

1

a −a

Решение:

и B=

1 3

1

в)

a3 − b3 = = ( a − b ) ( a + ab + b ) .

(а > 0, a ≠ 1).

5

a −a6

I начин: За да съберем A и B, трябва да намерим най-малкия им общ знаменател. Разлагаме знаменателите им на множители. 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a 2 − a = a 2 − a 2 = a 2 1− a 2 a 3 − a 6 = a 3 − a 3a 2 = a 3 1− a 2

( )

(

)

1

1

(

1

(

)

)

Общият знаменател на двете дроби е a 2 a 3 1− a 2 . 1

A+ B =

=

1 2

1

+

1 3

a −a 1 3

1

5

=

a −a6

a +a 1

1

(

a 2

1 2 1

a 2a 3 1− a 2

)

=

1 2

(1 − a )

1+1 3

(1 − a

1 2

+

a 2 1

a (1 − a ) ( ) = a 1+ a ) a (1 − a ) 1 2

3

a6 +a6

a2

1

a 3 1

1 3

1 2

2 6

1 6

5 6

1 2

=

1

A+ B =

1+ a 6

1

(

1

a 2 1− a 2

) 1

1

1

5

II начин: Полагаме a 6 = u ⇒ a = u 6 , a 2 = u 3 , a 3 = u 2 , a 6 = u 5 . A + B = 11 + 1 1 5 = a2 −a a3 −a6 = 3 1 6 + 2 1 5 = 3 1 3 + 2 1 3 = 31 + u 3 u −u u −u u (1 − u ) u (1 − u ) u (1 − u ) 1

A+ B =

1+ a 6

1

(

1

a 2 1− a 2

Към съдържанието

) 57

ЗАДАЧА 5

1

1

Опростете израза A = му стойност при: а) x = 11 и y = 9;

1 2

x2

x +y

y2

+

1 2

1 2

x −y

( x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y ) и пресметнете числената

1 2

б) x = 5,7 и y = 2,7.

Решение: Привеждаме дадения израз под общ знаменател и получаваме A=

1 2

x +y 1

1 2

1

y2

+

1 2

1 2

1

1

x −y 1

(

1

1

1

x2

=

1

1

)

1

(

1

1

x2 x2 − y2 + y2 x2 + y2

(x ) −( y ) 2

1 2

1

1

1 2

2

)=

1

x2x2 − x2y2 + x2y2 + y2y2 x + y = = . x− y x− y а) При x = 11 и y = 9 A = 11 + 9 = 20 11 − 9 2 A = 10.

ЗАДАЧА 6

б) При x = 5,7 и y = 2,7 5, 7 + 2, 7 8, 4 = A= 5, 7 − 2, 7 3 A = 2, 8.

(

1

1

Опростете израза B = a 3 − b 3 стойността му при:

)

(

−1

1

1

. ( a − b) − a 3 + b 3

)

−1

. (a + b), a ≠ ±b, и пресметнете

б) a = 27 и b = 8. 64

а) a = 81 и b = − 1 ; 3 Решение: I начин: B = (a

1 3

−b

1 3

)

−1

. ( a − b) − ( a

= a1 − b 1 − a1 + b 1 a3 −b3 a3 +b3

( = a

1 3

(

2

1

−b3 1

)(a

2 3

1

1 3

+b

1 3

)

−1

. ( a + b) =

( ) − (b ) − ( a ) + (b ) = a 1 3

3

3

1 3

1

1 3

1

a3 −b3 1

2

) (

3

1 3

1

1

2

1

3

=

a3 +b3 1

1

)(

1

2

)

+ a 3b 3 + b 3 − a 3 + b 3 a 3 − a 3b 3 + b 3 = 1 1 1 1 a3 −b3 a3 +b3 1

2

) (

2

1

1

2

)

1

1

= a 3 + a 3 b 3 + b 3 − a 3 − a 3 b 3 + b 3 = 2a 3 b 3 B = 2 3 ab а) При a = 81 и b = − 1 3

( )

58

б) При a = 27 и b = 8 64

B = 2 3 81 ⋅ − 1 = 3

B = 2 3 27 ⋅ 8 = 64

= 2 3 −27 = = 2 .(−3) = B = − 6.

= 2 3 27 = 2 ⋅ 3 2 8 B = 3.

Към съдържанието

II начин: B = a1 − b 1 − a1 + b 1 = a3 −b3 a3 +b3 =

(

1

1

)

(

1

)

1

( a − b) a 3 + b 3 − ( a + b) a 3 − b 3

( = a

4 3

(a

1 3

1

−b3

1

)(a

1

1 3 4

1

+b3

)

) (

4

=

1

1

4

)

+ ab 3 − a 3 b − b 3 − a 3 − ab 3 + a 3 b − b 3 = 2 2 a3 −b3 1

1

1

1

(

2

2

)

3 3 3 3 3 b 3 = 2a 13 b 13 = 2ab 2 − 2a2 b = 2a b 2 a − 2 a3 −b3 a3 −b3

B = 2 3 ab III начин: 1

1

Полагаме a = x 3 , b = y 3 ⇒ a 3 = x, b 3 = y . x3 − y3 x3 + y3 B = a1 − b 1 − a1 + b 1 = = − x− y x+ y 3 3 3 3 a −b a +b =

( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) − = x− y x+ y 1

1

= ( x 2 + xy + y 2 ) − ( x 2 − xy + y 2 ) = 2 xy = 2a 3 b 3 B = 2 3 ab IV начин: Виж решението на Задача 6 в Урок № 6.

ЗАДАЧИ

Пресметнете: −4   −1 3 1   4 1. A =  4 +  − 3   : ( 4 + 2 ) ;   2 2   

2. B = ( 4

− 0 , 25

− (2 2 )

−4 3

) : (4 −

Разкрийте скобите:

(

) 4. ( a + 3) ( a − 2 ) , a ≥ 0 . 1

2

3. (a − 1) a 5 + a 7 ; 1 3

1 2

Разложете на множители: 1

5. a − a 3 ; 2

6. a 3 − 9 .

Към съдържанието

2).

Опростете изразите: 7. A =

1

4 − 8a 1 − 14 , a ≥ 0, a ≠ 16 ; 1 a4 +2 a2 −4

8

1

−1

−1

2 2 2 8. B = 1 − a 1 − a + a , a ≥ 0, a ≠ 1 . a −1 1+ a 2 9. Ако а ≥ 0, b ≥ 0, опростете израза

(  A= a

3 4

3

+b4 1 2

)(a

3 4 1 2

3

)

− b 4 , a ≠ b, и прес-

a −b метнете стойността му при = a 1= ,b 1. 2 8

10. Докажете тъждеството

1 1− a

1

−1 2

2 − 1 −1 = a , a ≥ 0, a ≠ 1 . a −1 1− a

59

13.

ПОКАЗАТЕЛНА ФУНКЦИЯ. ГРАФИКА НА ПОКАЗАТЕЛНАТА ФУНКЦИЯ В предните теми определихме степен с рационален показател и изучихме свойствата на степените.

О

Функцията f (x) = x r, където r е рационално число, се нарича степенна функция. 1

1

2 3 2, y = y x= ,y x = x= Познаваме степенните функции x= , y 3 x = x 3 . На чертежите са дадени графиките им и са отбелязани дефиниционните им области (D).

у

D: x ∈ (–∞; + ∞)

D: x ∈ [0; + ∞)

D: x ∈ (–∞; + ∞)

D: x ∈ (–∞; + ∞)

От посочените примери виждаме, че в зависимост от показателите r степенните функции имат различни дефиниционни области (множества) и различни графики.

О ПРИМЕРИ

Функцията f (x) = a x, D : x ∈ (–∞; +∞), където a > 0, a ≠ 1, се нарича показателна функция.

( ) , y = 50 , y = 0, 25 , y = (

y=2 , y= 1 2 x

x

x

x

3)

x

  , y = 5  7 

x

 Дефиниционната област на показателната функция е D: x ∈ (–∞; +∞), тъй като степента a x (a > 0, a ≠ 1) e определена за всяко x.  Множеството от функционалните стойностите на функцията се състои от всички положителни реални числа, F: y ∈ [0; +∞).   Графиката на показателната функция е непрекъсната линия.

60

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

x

Начертайте графиката на функцията y = 2 . Решение: За да начертаем графиката на функцията x y = 2 , използваме следната таблица. x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y=2

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

Точки

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

x

В равнината на координатната система Oxy построяваме точките A1, A2, A3, A4, A5, A6 и A7 с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функx цията y = 2 .

ЗАДАЧА 2

x

Начертайте графиката на функцията y = 3 . Решение: За да начертаем графиката на функцията x y = 3 , използваме следната таблица. x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y=3

1 27

1 9

1 3

1

3

9

27

Точки

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

x

В равнината на координатната система Oxy построяваме точките A1, A2, A3, A4, A5 и A6 с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и x получаваме графиката на функцията y = 3 .

Към съдържанието

61

Функцията y = a x, a > 1, D : x ∈ (–∞; +∞) При a > 1 графиката на всяка показателна функция y = ax „прилича“ на графиката на x функцията y = 2 . a>1 x y = ax

0 1

1 a

Свойства на функцията y = a x, a > 1  Графиката на функцията минава през точките (0; 1) и (1; a).  Графиката на функцията е разположена в I и II квадрант („над“ оста Ox).  Функцията е строго растяща (от x1 < x2 ⇒ a x1 < a x 2 ).  При x < 0 стойностите на функцията са по-малки от 1, т.е. a x < 1.  При x > 0 стойностите на функцията са по-големи от 1, т.е. a x > 1.

ЗАДАЧА 3

( ).

Начертайте графиката на функцията y = 1 2 Решение:

x

За да начертаем графиката на функцията x y = 1 , използваме следната таблица. 2

() x

()

y= 1 2 Точки

x

–3 –2 –1

0

1

2

3

8

1

1 2

1 4

1 8

4

2

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

В равнината на координатната система Oxy построяваме точките A1, A2, A3, A4, A 5, A 6 и A 7 с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Построе­ните точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функx цията y = 1 . 2

()

62

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4

().

Начертайте графиката на функцията y = 1 3 Решение:

x

За да начертаем графиката на функцията x y = 1 , използваме следната таблица. 3

() x

()

y= 1 3

x

Точки

–3 –2 –1

0

1

2

3

27

9

3

1

1 3

1 9

1 27

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

В равнината на координатната система Oxy построяваме точките A2, A3, A4, A5, A6 и A7 с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Построе­ните точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията x y= 1 . 3

()

Функцията y = ax, 0 < a < 1, D : x ∈ (–∞; +∞) При 0 < a < 1 графиката на всяка показа­ телна функция y = a x „прилича“ на гра­x 1 фи­ката на функцията y = . 2

()

0 1.  При x > 0 стойностите на функцията са по-малки от 1, т.е. ax < 1.

Към съдържанието

63

( ) са симетрични относно Oy.

Графиките на функциите y = ax и y = 1 a

x

 Функцията y = ax (a > 0, a ≠ 1) няма най-малка и няма най-голяма стойност.  Всяка права „над“ оста Ox и успоредна на нея (y = m, m > 0) пресича графиката на показателната функция y = a x (a > 0, a ≠ 1) точно в една точка.  Оста Ox и всяка права „под“ нея, успоредна на оста Ox, (y = m, m ≤ 0) нямат общи точки с графиката на показателната функция.

ЗАДАЧА 5

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функциите: x а) y = 2 , x ∈ [−3; 2] ;

Решение: а) 

( ) , x ∈[−2; 3] . x

1 б) y = 2 б)

1

y = 2x e растяща функция ⇒ НМС y ( x) = y (−3) = 2 −3 = 1 , 8 НГС y= ( x) y= (2) 2 2 = 4 .

1

()

y= 1 2

x

e намаляваща функция

() () 3

⇒ НМС y ( x) = y (3) = 1 = 1 , 2 8 −2 1 = 4. НГС y ( x) = y (−2) = 2

ЗАДАЧА 6 Сравнете с 1 числата:

64

а) 5 2 −1 ; Решение:

б) 0, 23 −

5

а) Основата на степента 5 2 −1 е 5 > 1. Като вземем предвид графиката на функ­ цията y = a x (a > 1), понеже 2 − 1 > 0 , намираме, че 5 2 −1 > 1.

б) Основата на степента 0, 23 − 5 е 0,23 < 1. Като вземем предвид графиката на функ­ цията y = ax (0 < a < 1), понеже − 5 < 0 , нами­раме, че 0, 23 − 5 > 1.

.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 7 Определете знака на x, ако: а) ( 3 ) = 0, 25 ; Решение:

б) 0, 3 x = 2 − 1 .

а)  Графиката на показателната функция x y = ( 3 ) e като на y = a x (a > 1). Тъй като 0,25 < 1, намираме x < 0.

б) Графиката на показателната функция x y = 0,3 e като на y = ax (0 < a < 1). Тъй като 2 − 1 < 1 , намираме x > 0.

x

ЗАДАЧА 8 Като използвате графиката на функцията y = 2x, начертайте графиките на функциите: x

x

б) y = 2 – 3.

а) y = – 2 ; Решение: а) 

б)

1

1

–1

–2

x

ЗАДАЧИ

x

Графиката на функцията y = –2 се полу­ x чава от графиката на функцията y = 2 , като умножим с (–1) ординатите на x съответните ѝ точки. Графиките на y = 2 x и y = –2 са симетрични относно Ox.

Графиката на функцията y = 2 – 3 се получава чрез успоредно пренасяне на граx фиката на функцията y = 2 на разстояние 3 единици „вертикално надолу“.

1. П  ри една и съща координатна система начертайте графиките на функциите: x x а) y = 2 и y = 1 ; 2 x б) y = 3x и y = 1 . 3 2. При една и съща координатна система начертайте графиките на функциите:

3. Сравнете с 1 числата:

() ()

x

x

а) y = 2 и y = 3 . При кои стойности на x x графиката на функцията y = 2 е x „над“ графиката на функцията y = 3 ?

()

()

x

x

б) y = 1 и y = 1 . При кои стойно­ 2 4 сти на x графиката на функцията x y = 1 е „под“ графиката на функ2 x цията y = 1 ? 4

()

Към съдържанието

()

0 ,3

а)

2

в) 2

1− 3

(

3 − 1)

;

б)

;

г) 0, 5 −

2

0, 2

;

.

4. Какъв е знакът на x, ако: x

а) 2 = 0,25; x в) 0,2 = 1,3;

x

б) 3 = 1,25; x г) 0,7 = 0,4?

5. Начертайте графиките на функциите: x

а) y = –3 ; –x в) y = –3 ;

x

б) y = –0,2 ; x+2 г) y = 3 .

6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функциите: x а) y = 2 , x ∈ [−1; 3] ; x б) y = 1 , x ∈ [−2; 2]. 3

()

65

14.

ЛОГАРИТЪМ. ОСНОВНИ СВОЙСТВА Определение Нека a > 0, a ≠ 1 е дадено реално число. Да разгледаме равенството a x = y . Знаем, че действието, при което по дадено произволно реално число х намираме съответното му число у, се нарича степенуване. Числото а е основа на степента. Стойността у на степента е винаги положително число. Обратното действие, при което по дадено положително число у намираме съответното му число х, се нарича логаритмуване.

ПРИМЕР

При основа а = 2 имаме: = 2 3 y= , y ? → степенуване

О

= 2 x 8= , x ? → логаритмуване.

Нека a > 0, a ≠ 1. Единственото число х, което е решение на уравнението a x = b , където b е положително число, се нарича логаритъм на числото b при основа a. Означава се log a b. Така съгласно определението имаме a x = b ⇔ x = log a b , където a > 0, a ≠ 1, b > 0 , т.е. a log a b = b .

ПРИМЕРИ

3

log 2 8 = 3 , защото 2 = 8 . log 3 81 = 4 , защото 3 4 = 81 . log 2 1 = −2 , защото 2 −2 = 1 . 4 4

()

−3

log 1 27 = −3 , защото 1 = 27 . 3 3 1 1 3 log 2 2 = , защото 2 3 = 3 2 . 3 6 log 2 8 = 6 , защото ( 2 ) = 8 .

Когато основата, при която се логаритмува, е а = 10, се използва специално пократко означение log 10 b = lg b . Логаритмите на числата b, получени при основа а = 10, се наричат десетични логаритми.

ПРИМЕРИ

lg 100 = 2 , защото 10 2 = 100 . lg 1 = −1 , защото 10 −1 = 1 . 10 10

lg 10000 = 4 , защото 10 4 = 10000 . −3 lg 1 = −3 , защото 10 = 1 . 1000 1000

В математиката важна роля играе ирационалното число е ≈ 2,718281...*. За логаритмите при основа е е въведено специално означение log e b = ln b . Тези логаритми се наричат неперови или натурални логаритми.

* В началото на пресмятането на логаритми шотландският математик Джон Непер (1550 – 1617) е търсил n 1 основа, при която пресмятанията да стават по-лесно. Той е разглеждал числа от вида 1 + . При големи n стойности на n тези числа се приближават до числото е.

( )

66

Към съдържанието

Логаритъм от 0 не съществува по определение. Логаритъм от (–5) не съществува по определение.

!

Числото 0 и отрицателните числа нямат логаритми. Въз основа на определението за логаритъм ще докажем, че са в сила следните свойства:

!

Свойство 1 Логаритъмът на числото 1 при всяка основа a > 0, a ≠ 1 е равен на нула, т.е. log a 1 = 0 . Доказателство: От равенството a 0 = 1 следва, че log a 1 = 0 .

!

Свойство 2 Логаритъмът на числото а ( a > 0, a ≠ 1 ) при основа а е равен на единица, т.е. log a a = 1 . Доказателство: От равенството a 1 = a получаваме, че log a a = 1 . При a > 0, a ≠ 1 и b – произволно реално число, единственото решение на уравнението a x = a b е x = b . Тъй като това решение означаваме с log a a b , то log a a b = b .

!

Свойство 3 При a > 0, a ≠ 1 равенствата a log a b = b при b > 0 и log a a b = b за всяко b се наричат основни тъждества на логаритмите.

ПРИМЕРИ

8 log 8 64 = 64

5 log 5 7 = 7

3 log 3 8 = 8

7 log 7 9 = 9

log 2 2 7 = 7

log 5 5 3 = 3

log 3 3 8 = 8

log 1 1 3 3

()

6

6 log 6 11 = 11 9 = 6 log 2 2 = 9 7 7

()

Свойствата и основните тъждества на логаритмите ще използваме за пресмятане на логаритми и за опростяване на изрази, съдържащи логаритми.

ЗАДАЧА 1

Като използвате определението за логаритъм, намерете х, ако: a) log 3 81 = x; б) log 2 1 = x; в) log 1 125 = x . 8 5 Решение: x 1 = 125 1 log 125 x в) 1 б) log 2 = x a) log 3 81 = x 55 8 x −3 3 x = 81 1 x 1 2x = 1 125 = 5 5 8 3 x = 34 x −3 x = −3 −3 2 =2 1 x= 1 x=4 5 5 x = −3 x = −3

( ( (

Към съдържанието

) ) () ) ()

67

ЗАДАЧА 2

Като използвате определението за логаритъм, намерете х, ако: б) log 3 x = 4 ; в) log 1 x = −2 . a) log 2 x = 5 ;

() ()

5

Решение: б) log

a) log 2 x = 5

3

5

x=2 x = 32

x= 1 в) log 1 x = −52 5 x = 25 x= 1 5 x = 25

x=4

x = ( 3) x=9

4

−2

−2

ЗАДАЧА 3

Като използвате определението за логаритъм, намерете х, ако: a) log x 8 = 3 ; б) log x 1 = −3 ; в) log x 5 = 2 . 64 Решение: 1 = −3 в) log x 5 = 2 б) log x a) log x 8 = 3 64 x2 = 5 x3 = 8 −3 1 x = 64 x = 5, x 3 = 23 −3 −3 x =4 защото по определение x=2 х > 0. x=4

ЗАДАЧА 4

Пресметнете: a) log 2 32 ; Решение:

б) log 3 1 ; 243

в) log

2

8.

в) log

2

8=

= log

( 2

Ще използваме, че при a > 0, a ≠ 1 log a a b = b за всяко b. a) log 2 32 = 5

= log = 22 =5

ЗАДАЧА 5

б) log 3 1 = 243 = log 3 3 −5 = = −5

Пресметнете стойностите на изразите: a) A = log 7 7 + log 5 1 + log 3 81 ; в) C = log 5 1 + log 3 27 + lg 0, 001 ; 25 Решение: a) A = log 7 7 + log 5 1 + log 3 81 = = 1 + 0 + log 3 3 4 = =1+ 0 + 4 = 5 в) C = log 5 1 + log 3 27 + lg 0, 001 = 25 = log 5 5 −2 + log 3 3 3 + lg 10 −3 = = −2 + 3 + (−3) = = −2 + 3 − 3 = −2

68

2) = 6

=6 б) B = log 5 625 + log 11 11 − log 2 1 ; 4 г) D = log 1 49 + log 2 1 − lg 100 . 16 7 б) B = log 5 625 + log 11 11 − log 2 1 = 4 4 −2 = log 5 5 + 1 − log 2 2 = = 4 + 1 − (−2) = = 4 +1+ 2 = 7 г) D = log 1 49 + log 2 1 − lg 100 = 16 7

()

= log 1 1 7 7

−2

+ log 2 2 − 4 − lg 10 2 =

= −2 + (− 4)) − 2 = = −2 − 4 − 2 = −8

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6

Пресметнете: a) 5 2 +log 5 4 ;

б) 31−log 3 4 ;

в) 7 2 log 7 3 .

Решение: Ще използваме, че при a > 0, a ≠ 1 a log a b = b за всяко b > 0. a) 5 2 + log 5 4 = = 5 2. 5 log 5 4 = = 25 . 4 = = 100

ЗАДАЧА 7

в) 7 2 log 7 3 =

б) 31− log 3 4 =

= ( 7 log 7 3 ) = 2

31 = = log 3 34 =3 4

Пресметнете: a) 3 2 + 3 log 3 2 ;

= 32 = =9

б) 2 − 4 + 2 log 2 3 ;

в) 10 3− 2 lg 5 .

б) 2 − 4 + 2 log 2 3 =

в) 10 3− 2 lg 5 =

Решение: a) 3 2 + 3 log 3 2 = = 3 2. 3 3 log 3 2 =

2 log 2 3 =2 4 = 2

= 9 . ( 3 log 3 2 ) = 3

( log 2 3 ) = 2 = 16 2 =3 = 9 16 16 2

= 9 . 23 = =9.8= = 72

3 = 102 lg 5 = 10 = 1000 2 = (10 lg 5 ) = 1000 = 1000 = 40 2 25 5

ЗАДАЧА 8 Сравнете числата х, у и z (y > 0, z > 0, z ≠ 1), ако log 14 196 = x , log 1 y = −2 и log z 81 = 4 . 3

Решение: 1. x = log 14 196 = log 14 14 2 = 2 ⇒ x = 2

()

−2

2. log 1 y = −2 ⇒ y = 1 = 9 ⇒ y = 9 3 3 4 3. log z 81 = 4 ⇒ z = 81 = 3 4 ⇒ z = 3 4. От 2 < 3 < 9 ⇒ x < z < y.

ЗАДАЧИ

Намерете х, ако: 1. log 2 8 = x ; 2. log 2 1 = x ; 16 3. log 5 5 5 = x ; 4. log 3 x = 4 ; 5. log

2

x =5;

6. log 1 x = −3 ; 3

7. log x 1 = 2 ; 16 8. log x 64 = 6 ; 9. log x 1 = 3 . 125

Към съдържанието

Пресметнете: 10. log 3 27 ; 11. log 1 16 ; 2

12. log 1 81 ;

Пресметнете: 18. 10 19.

1−lg 2

( 17 )

;

1+log 1 2 7

;

3 1+ 2 log 3 5 ; 20. 3 13. log 2 4 2 . 1+log 1 2 2 Пресметнете стойностите на изразите: 21. 1 . 8 14. A = log 2 32 − log 1 9 + lg 0, 001 ; 22. С  равнете числата х, у и 3 1 z (y > 0, z > 0, z ≠ 1), ако 15. B = log 1 81 − log 2 + lg 1 ; 8 3 log 1 1 = x , 1 1 − log 3 + lg 0,1 ; 16. C = log 1 5 125 27 2 16 log 1 y = −2 и 17. D = log 2 16 + 2 log 1 25 − lg 0, 0001 . 2 5 log z 243 = 5 .

()

69

15.

ЛОГАРИТЪМ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1

Като използвате определението за логаритъм, намерете х, ако: а) log 3 9 = x ; Решение: а) log 3 9 = x

( 3) = 9 x 4 ( 3) = ( 3) x

б) log 3

2

x = 2 ;

в) log x 2 2 = 3 .

б) log 3

2

x=2

в) log x 2 2 = 3

(3 2 )

Пресметнете: а) log2 64; Решение: а) log 2 64 =

6 = log = 22

=6

5

125 .

б) log 1 81 =

в) log

5

125 =

3

= log 1 3 4 = 3

()

−4

= −4

Пресметнете стойностите на изразите: а) log 6 36 + log 5 1 ; б) log 2 1 + log 7 7 ; 8 Решение: 1 а) log 6 36 + log 5 1 = б) log 2 + log 7 7 = 8 2 = log 6 6 + 0 = = log 2 2 −3 + 1 = =2 = −3 + 1 =

= log

5

53 =

= log

5

( 5)

6

=

=6

в) log 1 25 − lg 0,1 . 5

в) log 1 25 − lg 0,1 = 5

()

= log 1 1 5 5

−2

− lg10 −1 =

= −2 − (−1) = −2 + 1 = −1

Пресметнете: а) 61+log 6 5 ; Решение:

б) 2 3−log 2 3 ;

в) 5 3 log 5 3 .

а) 61+ log 6 5 =

3− log 2 3 = б) 2

в) 5 3 log 5 3 =

= 61.6 log 6 5 = = 6.5 = 30

ЗАДАЧА 5

3

x= 2

в) log

3

= −2

ЗАДАЧА 4

x3 = ( 2 )

2

б) log 1 81;

= log 1 1 3 3

ЗАДАЧА 3

x3 = 2 2

=x

x = 32 ( 2 ) x = 9.2 = 18

x=4

ЗАДАЧА 2

2

23 = 8 = 2 2 = log 3 2 23 3

3

= ( 5 log 5 3 ) = 3 3 = 27

Определете допустимите стойности на х в изразите: б) B = log0,5 (4x – x2). а) A = log2 (x2 – x – 6); Решение: Логаритъмът е дефиниран само в множеството на положителните числа. Допустимите стойности на дадените изрази са решения на неравенствата:

70

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6

а) x2 – x – 6 > 0 (x – 3)(x + 2) > 0;

б) 4x – x2 > 0 x (4 – x) > 0.

–2 3 x ∈ (–∞; – 2) ∪ (3; + ∞)

0 x ∈ (0; 4)

Определете допустимите стойности на х в изразите: а) A = log 1 ( x 3 − 9 x) ;

б) B = log 3 ( x 3 − 2 x 2 + x) .

Решение: а) x3 – 9x > 0 x (x2– 9) > 0 x (x + 3)(x –3) > 0

б) x3 – 2x2 + x > 0 x(x2– 2x + 1) > 0 x(x – 1)2 > 0

3

–

+

–

–3 0 3 x ∈ (–3; 0) ∪ (3; + ∞)

ЗАДАЧА 7

–

+

+

+

0 1 x ∈ (0; 1) ∪ (1; + ∞)

Определете допустимите стойности на х в изразите: x 2 − 16 ; а) A = log 5 3− x Решение:

2 б) B = log 7 x +2 4 x + 4 . x −x

2 а) x − 16 > 0 3− x ( x + 4)( x − 4) >0 3− x

2 б) x +2 4 x + 4 > 0 x −x ( x + 2) 2 >0 x( x − 1)

–

+

+

–4 3 4 x ∈ (–∞; –4) ∪ (3; 4)

ЗАДАЧА 8

4

+

–

+

+

–

–2 0 1 x ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 0) ∪ (1; +∞)

Определете допустимите стойности на х в изразите: б) B = log 2 ( x + 2) − log 7 ( x + 4) . а) A = log 5 ( x + 3) + log 3 (7 − x) ; Решение: а) log5 (x + 3) има смисъл при x + 3 > 0. log3 (7 – x) има смисъл при 7 – x > 0. ⇒ Допустимите стойности на х в израза A са решенията на системата x+3>0 7 − x > 0. x > −3 –3

x 0. log7 (x + 4) има смисъл при x + 4 > 0. ⇒ Допустимите стойности на х в израза B са решенията на системата x+2>0 x + 4 > 0. x > −2 –2

x > −4

x ∈ (–2; +∞)

–4 –4

–2

71

ЗАДАЧА 9

Определете допустимите стойности на х в изразите: б) B = log 2− x 7 . а) A = log x +3 5 ; Решение: Допустимите стойности на х в изразите се определят от условието основата на логари­ тъма да е по-голяма от 0 и различна от 1. б) 2 − x > 0 2 − x ≠1

a) x + 3 > 0 x + 3 ≠1



x > −3 x ≠ −2

–3 –2 x ∈ (–3; –2) ∪ (–2; + ∞)



x 0 2x − 4 x −3 ≠1 2x − 4 x−3 > 0 2( x − 2) x ≠1

б) 5 − x 2 > 0 5 − x2 ≠1 x2 − 5 < 0 2

x −4≠0

1 2

⇔

(x +

5 )( x − 5 ) < 0 x ≠ ±2

2 5 − 5 –2 x ∈ ( − 5 ; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; 5 )

3

x ∈ (–∞; 1) ∪ (1; 2) ∪ (3; + ∞)

ЗАДАЧА 11 Определете допустимите стойности на х в изразите: а) A = log x −3 ( x + 1) ;

б) B = log 5− x ( x − 2) .

Решение: а) Допустимите стойности на х в израза A са решения на системата



x +1 > 0 x−3> 0 x − 3 ≠ 1. x > −1

4 3

2

x2

–1

x>3

б) Допустимите стойности на х в израза B са решения на системата x−2>0 5− x >0 5 − x ≠ 1.

4



5

x≠4

4

x ∈ (2; 4) ∪ (4; 5)

2

4 5

Към съдържанието

ЗАДАЧА 12 Определете допустимите стойности на х в изразите: а) A = log 5− x ( x 2 − 9) ;

б) B = log x +5 ( x 2 + 3 x − 4) .

Решение: а) Допустимите стойности на х в израза A са решения на системата

б)  Допустимите стойности на х в израза B са решения на системата

x2 − 9 > 0 5− x >0 5 − x ≠ 1. 



3− x



( x + 3)( x − 3) > 0 x 0 x+5 >0 3− x x + 5 ≠ 1. 3− x

( x + 4)( x − 1) > 0 x+5 >0 3− x x ≠ −1

3

–4 5

3 4 5

x ∈ (–∞; –3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5)

ЗАДАЧИ

Намерете x, ако: 1. log 1 27 = x ; 3

2. log 2

3

x=2;

3. log x 1 = 3 . 27 Пресметнете стойностите на изразите: 4. log 5 25 + log 3 1 ; 5. log 1 9 + log 5 5 ; 3

6. log 2 1 + log 1 27 ; 16 3 7. 3 2+log 3 5 ; 8. 7 1+log 7 3 ; 9. 5

5 log 5 2

.

Към съдържанието

3

–5

4 –3

1

–1 –5 –4

–1 1

3

x ∈ (–5; –4) ∪ (1; 3)

Определете допустимите стойности на х в изразите: 10. A = log 3 ( x 2 − 5 x + 4) ; 11. B = log 0,5 (5 − 4 x − x 2 ) ; 12. C = log 2 ( x 3 − 25 x) ; 13. D = log 7 ( x 3 − 10 x 2 + 25 x) ; 2 14. E = log 6 x − 25 ; 8− x 2 15. F = log 7 x +2 6 x + 9 ; x − 5x 16. G = log 2 ( x + 8) + log 2 (10 − x) ;

17. Q = log x −5 ( x + 2) ; 18. N = log x +8 ( x 2 + 3 x) .

73

16.

ЛОГАРИТЪМ. СРАВНЯВАНЕ НА ЛОГАРИТМИ

ЗАДАЧА 1

Проследете изменението на log 2 x с нарастването на x, като пресметнете log 2 x , ако x приема стойностите 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1; 2; 4; 8; 16; 32 . 32 16 8 4 2 Решение: x Ще използваме основното логаритмично тъждество log a a = x . log 2 1 = log 2 2 −5 = −5 32

0 = log 2 1 log = 0 22 1 = log 2 2 log = 1 22

log 2 1 = log 2 2 − 4 = − 4 16

2 = log 2 4 log = 2 22

log 2 1 = log 2 2 −3 = −3 8

3 = log 2 8 log = 3 22

log 2 1 = log 2 2 −2 = −2 4

4 log = log = 4 2 16 22

log 2 1 = log 2 2 −1 = −1 2

5 log = log = 5 2 32 22

За да проследим как се променя log 2 x с изменението на x, попълваме таблицата. Таблица 1 x

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

16

32

log 2 x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

От таблицата се вижда, че при a = 2 > 1 с нарастването на x расте и log 2 x , както и обратно – ако log 2 x расте, то и x нараства, т.е. 0 < x1 < x 2 ⇔ log 2 x1 < log 2 x 2 .

!

Правило 1 При a > 1 0 < x1 < x 2 ⇔ log a x1 < log a x 2 , т.е. при a > 1 по-големите числа имат по-големи логаритми. Таблица 1 показва също, че при a = 2 > 1 логаритмите на числата, които са по-малки от единица, са отрицателни, а логаритмите на числата, които са по-големи от единица, са положителни.

!

Правило 2 При a > 1: 0 < x < 1 ⇔ log a x < 0, x > 1 ⇔ log a x > 0. Тези разсъждения ни дават основание да формулираме следната теорема за сравняване на логаритми при основа a, a > 1:

Т1

74

Ако основата a е по-голяма от единица (a > 1), то:  от две положителни числа по-голямото има по-голям логаритъм, както и на по-голям логаритъм съответства по-голямо положително число;   логаритмите на положителните числа, по-малки от единица, са отрицателни;   логаритмите на числа, по-големи от единица, са положителни.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2

Проследете изменението на log 1 x с нарастването на x, като пресметнете log 1 x , ако x 2

2

приема стойностите 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1; 2; 4; 8; 16; 32 . 32 16 8 4 2 Решение: Ще използваме отново основното логаритмично тъждество log a a x = x .

() 1 = log 1 = 4 (2) 16 1 = log 1 = 3 (2) 8 1 = log 1 = 2 (2) 4 1 = log 1 = 1 (2) 2 5

log 1 1 = log 1 1 2 32 2 2 log 1

2

log 1

2

log 1

2

log 1

2

() () log 4 = log ( 1 ) = −2 2 log 8 = log ( 1 ) = −3 2 log 16 = log ( 1 ) = − 4 2 log 32 = log ( 1 ) = −5 2 0

log 1 1 = log 1 1 = 0 2 2 2 −1 log 1 2 = log 1 1 = −1 2 2 2

=5

4

1 2

−2

3

1 2

2

1 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

−3

−4

1 2

1 2

1 2

1 2

−5

За да проследим как се променя log 1 x с изменението на x, попълваме таблицата. 2

Таблица 2 x log 1 x 2

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

16

32

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

От Таблица 2 виждаме, че при основа a = 1 < 1 с нарастването на x log 1 x намалява и 2 2 обратно – с намаляването на log 1 x x расте, т.е. 0 < x1 < x 2 ⇔ log 1 x1 > log 1 x 2 . 2

!

!

2

2

Правило 3 При 0 < a < 1 0 < x1 < x 2 ⇔ log a x1 > log a x 2 , т.е. при 0 < a < 1 по-големите числа имат по-малки логаритми. Таблица 2 показва също, че при основа a = 1 < 1 логаритмите на числата, които са по2 малки от единица, са положителни, а логаритмите на числата, които са по-големи от единица, са отрицателни. Правило 4 При 0 < a < 1 : 0 < x < 1 ⇔ log a x > 0, x > 1 ⇔ log a x < 0. Тези разсъждения ни дават основание да формулираме следната теорема за сравняване на логаритми при основа a, 0 < a < 1 :

Т2

Ако основата a е по-малка от единица ( 0 < a < 1 ), то:  от две положителни числа по-голямото има по-малък логаритъм, както и на по-малък логаритъм съответства по-голямо положително число;   логаритмите на положителните числа, по-малки от единица, са положителни;   логаритмите на числа, по-големи от единица, са отрицателни.

Към съдържанието

75

ЗАДАЧА 3

Сравнете логаритмите: а) log 3 7 и log 3 11;

б) log 2 0, 7 и log 2 0, 9 ;

в) log 7 5 и log 7 2 .

Решение: Основите на сравняваните логаритми са еднакви и съгласно Правило 1 получаваме: а) a = 3 > 1 и 7 < 11 ⇒ log 3 7 < log 3 11

ЗАДАЧА 4

б) a = 2 > 1 и 0,7 < 0,9 ⇒ log 2 0, 7 < log 2 0, 9

в) a = 7 > 1 и 5 > 2 ⇒ log 7 5 > log 7 2.

б) log 1 5 и log 1 3 ;

в) log 2 5 и log 2 9 .

Сравнете логаритмите: а) log 0,3 7 и log 0,3 13 ;

2

2

7

7

Решение: Основите на сравняваните логаритми са еднакви и съгласно Правило 3 получаваме: а) a = 0,3 < 1 и 7 < 13 ⇒ log 0,3 7 > log 0,3 13

ЗАДАЧА 5

б) a = 1 < 1 и 5 > 3 2 ⇒ log 1 5 < log 1 3 2 2

Сравнете с нулата логаритмите: а) log 2 5 ;

б) log 7 3 ;

в) a = 2 < 1 и 5 < 9 7 ⇒ log 2 5 > log 2 9 . 7

7

в) log 5 1 . 3

Решение: Основите на логаритмите са по-големи от единица и съгласно Правило 2 получаваме: а) log 2 5 а = 2 > 51 >и15 > 1 ⇒ log 2 5 > log 2 1

ЗАДАЧА 6

log 2 5 > 0

б) log 7 3 а = 7 > 1 3и > 13 > 1 ⇒ log 3 7> log ⇒7 log 3 >7 1log 7 1

log 7 log 3 7> 03 > 0

Сравнете с нулата логаритмите: а) log 1 7 ; 3

б) log 0,3 5 ;

в) log 5 1 3 1 31 и 1 < 1 3 1 ⇒ log 5 1 < log ⇒ 3log 5 1 1 5 > 1 a = 1 < 71 >и17 > 1 a = 0,5 0.1 log 0,5log 3 6 0,5 6 > 0. Получените резултати в Задача 5 и Задача 6 ни дават основание да изкажем следното практическо правило за определяне знака на logax:

76

Към съдържанието

Практическо правило за определяне знака на logax, х > 0, а > 0, а ≠ 1

! ЗАДАЧА 7

 Ако и двете числа a и x са едновременно по-големи или по-малки от единица, т.е. a > 1, x > 1 или a < 1, x < 1, то logax > 0.  Ако едното от двете числа a и x е по-голямо от единица, а другото – по-малко от единица, т.е. a > 1, x < 1 или a < 1, x > 1, то loga x < 0. Сравнете логаритмите: а) log 5 3 и log 6 0, 7 ;

б) log 1 0, 3 и log 0,7 9 ; 2

1 в) log 8 и log 1 0, 9 . 3 4

Решение: Като използваме практическото правило за определеляне знака на logax, получаваме: в) log 8 1 < 0 а) log 5 3 > 0 б) log 1 0, 3 > 0 3 2 log 6 0, 7 < 0 log 1 0, 9 > 0 log 0,7 9 < 0 4 ⇒ log 5 3 > log 6 0, 7 ⇒ log 1 0, 3 > log 0,7 9 ⇒ log 8 1 < log 1 0, 9. 2 3 4 В Задача 7 сравнихме логаритми при различни основи, но единият беше положителен, а другият – отрицателен. Сравняването на логаритми при различни основи, когато двата логаритъма са с еднакъв знак, става с техни приближени стойности, като се използват таблици или калкулатори.

ЗАДАЧА 8 Сравнете log 4 31 и log 3 55 . Решение: 16 < 31 < 64

27 < 55 < 81

4 2 < 31 < 4 3

3 3 < 55 < 3 4 log 3 3 3 < log 3 55 < log 3 3 4

log 4 4 2 < log 4 31 < log 4 4 3

3 < log 3 55 < 4

2 < log 4 31 < 3 Следователно log 4 31 < log 3 55 .

Задача 8 дава идея за сравняване на логаритми при различни основи.

ЗАДАЧИ

Сравнете логаритмите: 1. log 5 18 и log 5 21; 2. log 0, 4 16 и log 0, 4 17 ; 3. log 7 0, 9 и log 7 0, 8 ;

Сравнете с нулата логаритмите: 9. log 15 13; 10. log 1 0, 3; 4

15. log 5 2 и log 0, 4 3 ; 16. log 7 2 и log 0,6 7 ; 3 8 17. log0,50,3 и log20,7;

5. log 1 45 и log 1 44 ;

11. log 5 1 ; 7 12. log 1 8 .

6. log 0,7 83 и log 0,7 85 ;

Сравнете логаритмите:

20. log 5 7 и log 7 5 ;

7. lg 43 и lg 47 ;

13. log 5 13 и log 7 0, 9 ;

8. log 1 7 и log 1 11 .

14. log 0,7 4 и log 0,3 0, 5 ;

21. log 2 9 и log 9 8 ;

4. log 11 41 и log 11 39 ; 3

2

Към съдържанието

3

3

18. log50,9 и log0,10,8; 19. log 5 9 и log 7 6 ;

22. log 3 17 и log 4 112 .

2

77

17.

ЛОГАРИТМИЧНА ФУНКЦИЯ. ГРАФИКА НА ЛОГАРИТМИЧНАТА ФУНКЦИЯ

О

Функцията y = loga x, D : x ∈ (0; + ∞), където a > 0, a ≠ 1, се нарича логаритмична функция.

= y log = log = log = log 1= x, y lg= x, y ln x ПРИМЕРИ 2 x, y 1 x, y 3 x, y 2

3

Д  ефиниционната област на логаритмичната функция е D : x ∈ (0; +∞), тъй като само положителните числа имат логаритми.

ЗАДАЧА 1

Начертайте графиката на функцията y = log2x. Решение: За да начертаем графиката на функцията y = log2x, използваме следната таблица.

y = log2x

1 8 –3

1 4 –2

1 2 –1

Точки

A1

A2

A3

x

1

2

4

8

0

1

2

3

A4

A5

A6

A7

В правоъгълна координатна система Oxy построяваме точките A1 1 ; − 3 , A2 1 ; − 2 , A3 1 ; − 1 , A4 (1; 0), A5 (2; 1), A6 ( 4; 2) и A7(8; 3), 8 4 2 които свързваме по­­­­­сле­дователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = log2x.

(

78

) (

) (

)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2

Начертайте графиката на функцията y = log3x. Решение: За да начертаем графиката на функцията y = log3x, използваме следната таблица.

y = log3x

1 27 –3

1 9 –2

1 3 –1

Точки

A1

A2

A3

x

1

3

9

27

0

1

2

3

A4

A5

A6

A7

В правоъгълна координатна система Oxy построяваме точките A1 1 ; − 3 , A2 1 ; − 2 , A3 1 ; − 1 ; A4 (1; 0), A5 (3; 1) и A6 (9; 2), 27 9 3 които свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = log3x.

(

) (

) (

)

Функцията y = logax, a > 1, D : x ∈ (0; +∞) При a > 1 графиката на всяка логаритмич­на функция y = logax „прилича“ на графиката на функцията y = log2x. a>1 x y = logax

1 0

a 1

Свойства на функцията y = logax, a > 1  Графиката на функцията минава през точките (1; 0) и (a; 1).  Графиката на функцията е разположена в I и IV квадрант („надясно“ от оста Oy).  Функцията е строго растяща (от x1 < x2 ⇒ logax1 < logax2).  При 0 < x < 1 logax < 0, т.е. стойностите на функцията са отрицателни (графиката ѝ е разположена под абсцисната ос).  При x > 1 logax > 0, т.е. стойностите на функцията са положителни (графиката ѝ е разположена над абсцисната ос).

Към съдържанието

79

ЗАДАЧА 3

Начертайте графиката на функцията y = log 1 x . 2

Решение: За да начертаем графиката на функцията y = log 1 x, използваме следната таблица. 2

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

y = log 1 x

3

2

1

0

–1

–2

–3

Точки

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

x 2

В правоъгълна координатна система Oxy построяваме точките A1 1 ; 3 , A2 1 ; 2 , A3 1 ; 1 , A4 (1; 0), A5 (2; − 1), A6 ( 4; − 2) и A7(8; –3), 8 4 2 които свързваме по­­­­сле­дователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = log 1 x .

( ) ( ) ( )

2

ЗАДАЧА 4

Начертайте графиката на функцията y = log 1 x . 3

Решение: За да начертаем графиката на функцията y = log 1 x , използваме следната таблица. 3

1 27

1 9

1 3

1

3

9

27

y = log 1 x

3

2

1

0

–1

–2

–3

Точки

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

x 3

80

Към съдържанието

В правоъгълна координатна система Oxy построяваме точките A1 1 ; 3 , A2 1 ; 2 , A3 1 ; 1 , A4 (1; 0), A5 (3; − 1) и A6(9;–2), 27 9 3 които свързваме последова­телно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме

(

) ( ) ( )

графиката на функцията y = log 1 x . 3

Функцията y = logax, 0 < a < 1 При 0 < a < 1 графиката на всяка логарит­ мична функция y = logax „прилича“ на графиката на функцията y = log 1 x . 2

0 0, т.е. стойностите на функцията са положителни (графиката ѝ е разположена над абсцисната ос).  При x > 1 logax < 0, т.е. стойностите на функцията са отрицателни (графиката ѝ е разположена под абсцисната ос).  Графиките на функциите y = logax и y = log 1 x са симетрични относно оста Ox. a

  Логаритмичната функция y = logax (a > 0, a ≠ 1) няма най-малка и няма най-голяма стойност.

Към съдържанието

81

• Всяка права, успоредна на оста Ox, (y = m) пресича графиката на логаритмичната функция y = logax (a > 0, a ≠ 1) точно в една точка.

Графики на функциите y = a x и y = logax, a > 0, a ≠ 1

Графиките на функциите y = a x и y = logax, където a > 0, a ≠ 1, са симетрично разположени относно ъглополовящата у = х на I и III квадрант. a>1 0 1, намираме log50,7 < 0 и log73 > 0. намираме log 1 3 < 0 и log 0,3 1 > 0 . 7 5

ЗАДАЧА 7 Като използвате графиката на функцията y = log2x, начертайте графиките на функциите: а) y = –log2x; Решение: а)

б) y = |log2x|.

б)

1

ЗАДАЧИ

1

Графиката на функцията y = –log2x се получава от графиката на функцията y = log2x, като умножим с (–1) ординатите на съответните ѝ точки. Графиките на y = log2x и y = –log2x са симетрични относно Ox.

− log 2 x при 0 < x < 1 y =| log 2 x |=  log 2 x при x > 1 Графиката на функцията y = |log2x| се получава от графиката на функцията y = log2x, като частта от графиката, която е „под“ оста Ox, заменяме със симетричния образ относно оста Ox.

1. П  ри една и съща координатна система начертайте графиките на функциите: а) y = log2x и y = log 1 x ;

3. Определете знаците на логаритмите: а) log 1 0, 2 ; б) log 2 3 ; 3 в) log 0,7 100 ; г) log 3 ( 2 − 1) .

б) y = log3x и y = log 1 x .

4. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функциите:

2

3

2. При една и съща координатна система начертайте графиките на функциите: а) y = log2x и y = log3x. При кои стойности на x графиката на функцията y = log2x е „под“ графиката на функцията y = log3x? б) y = log 1 x и y = log 1 x . При кои стой­ 2

3

ности на x графиката на функция­та y = log 1 x е „под“ графиката на функ­ 2

цията y = log 1 x ?

а) y = log 4 x, x ∈  1 ; 64  ; 16  б) y = log 1 x, x ∈ [3; 27 ] . 3

5. Като използвате графиката на функцията y = log2x, начертайте графиките на функциите: а) y = log 1 x ; б) y = log2|x|; 2

в) y = 1 + log2x;

г) y = – 2 + log2x.

3

Към съдържанието

83

18.

ЛОГАРИТМУВАНЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНО, СТЕПЕН И КОРЕН Логаритмуване на произведение

!

loga(xy) = logax + loga y, където a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0. Доказателство: От x = a log a x и y = a log a y следва, че xy = a log a x . a log a y = a log a x + log a y , т.е. log a ( xy ) = log a a log a x + log a y = log a x + log a y , т.е. log a ( xy ) = log a x + log a y .

ЗАДАЧА 1

Опростете изразите: а) log 7 3 + log 7 7 ; 3 Решение:

1 б) log 3 4 + log 3 ; 4

а) log 7 3 + log 7 7 = 3 = log 7 3 ⋅ 7 = 3 = log 7 7 =

б) log 3 4 + log 3 1 = 4 = log 3 4 ⋅ 1 = 4 = log 3 1 =

( )

в) log 6 4 + log 6 9. в) log 6 4 + log 6 9 =

( )

= log 6 (4.9) = = log 6 36 = = log 6 6 2 =

=0

=1

=2

Правилото се обобщава за произволен брой множители. loga (x1 . x2 ... xn) = logax1 + logax2 + ... + logaxn , където a > 0, a ≠ 1, x1 > 0, x2 > 0, ..., xn> 0.

ПРИМЕРИ

log 3 10 + log 3 9 + log 3 5 = 25 2 = log 3 10 ⋅ 9 ⋅ 5 = log 3 9 = log 3 3 2 = 2 25 2

(

)

log 5 2 + log 5 3 + log 5 10 + log 5 1 = 4 3 = log 5 2 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 1 = log 5 5 = 1 3 4

(

)

Логаритмуване на частно

!

log a x = log a x − log a y , където a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0. y Доказателство: log x log y От x = a a и y = a a следва, че

x = a log a x = a log a x − log a y , т.е. y a log a y log a x = log a a log a x − log a y = log a x − log a y , т.е. y log a x = log a x − log a y . y

84

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2

Опростете изразите: а) log 7 6 − log 7 6 ; 7 Решение: а) log 7 6 − log 7 6 = 7 6 = log 7 = 6 7 = log 7 7 1 = 1

б) log 2 7 − log 2 7 ; 8

в) log 3 18 − log 3 2.

б) log 2 7 − log 2 7 = 8 = log 2 7 = log 2 8 = 7 8 = log 2 2 3 = 3

в) log 3 18 − log 3 2 = = log 3 18 = 2 = log 3 9 = = log 3 3 2 = 2

Логаритмуване на степен

!

loga x y = y logax, където a > 0, a ≠ 1, x > 0. Доказателство: = a log a x ) y a y log a x , т.е. че x y (= От x = a log a x следва, y log a x = log a x y log = y log a x , т.е. log a x y = y log a x . aa

ЗАДАЧА 3

Опростете изразите: а) log 2 125;

б) log 5 16;

Решение: а) log 2 125 =

б) log 5 16 =

3 = log = 25

4 = log = 52

= 3 log 2 5

= 4 log 5 2

в) log 1 49. 3



в) log 1 49 = 3

2 = log = 17 3

= 2 log 1 7 3

Логаритмуване на корен

!

log a

n

x = 1 log a x , където a > 0, a ≠ 1, x > 0, n ∈ N. n

Доказателство: Правилото log a n x = 1 log a x е следствие от правилото за логаритмуване на степен, n защото

ЗАДАЧА 4

n

1

x = xn .

Опростете изразите: а) log 2 3 2 ;

б) log 3 7 5 ;

в) log 5 6 7 .

б) log 3 7 5 =

в) log 5 6 7 =

Решение: а) log 2 3 2 = 1 log 2 2 = 3 1 1 = ⋅1 = 3 3

Към съдържанието

= 1 log 3 5 7

= 1 log 5 7 6

85

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧА 6

Като използвате, че lg 2 ≈ 0,30 и lg 3 ≈ 0,48 или научен калкулатор, намерете приблизителните стойности на: а) lg 6; б) lg 5. Решение: б) lg 5 = lg 10 = lg10 − lg 2 ≈ а) lg 6 = lg (2.3) = lg 2 + lg 3 ≈ 2 ≈ 0,30 + 0,48 = 0,78 ≈ 1 − 0, 30 = 0, 70 Въвежда се последователно log 6 = .

Въвежда се последователно log 5 = .

Получава се 0.7781512504 ⇒ lg 6 ≈ 0,78.

Получава се 0.6989700043 ⇒ lg 5 ≈ 0,70.

Ако lg a = m, lg b = n, lg c = p, а > 0, b > 0, с > 0, намерете десетичните логаритми на изразите: 2 а) A = ab 2 3 c ; б) B = a5 b . c Решение: 2 2 б) lg B = lg a5 b = lg a + lg b − lg 5 c = а) lg A = lg ab 2 3 c = lg a + lg b 2 + lg 3 c = c = lg a + 2 lg b + 1 lg c 3 = 2 lg a + lg b − 1 lg c 5 1 lg A = m + 2n + p 3 lg B = 2m + n − 1 p 5 Изразите А и В в Задача 6 логаритмувахме при основа 10.

ЗАДАЧА 7

Намерете x, ако:

б) lg x = 1 lg 5a − 3 lg b + 4 lg c, 3 a > 0, b > 0, c > 0, x > 0.

а) log a x = 3 log a 2 + log a 5, a > 0, a ≠ 1, x > 0; Решение: а) log a x = 3 log a 2 + log a 5

б) lg x = 1 lg 5a − 3 lg b + 4 lg c 3 lg x = lg 3 5a − lg b 3 + lg c 4

log a x = log a 2 3 + log a 5 log a x = log a (2 3.5)

lg x = lg

3



⇒ x = 2 .5 x = 40

⇒x=

3

3

5a . c 4 b3

5a . c 4 b3

В Задача 7 представихме десните страни с един логаритъм и получихме равенство от вида log a x = log a M , откъдето намерихме, че х = М. Такова действие се нарича антилогаритмуване.

!

х > 0, М > 0 а > 0, а ≠ 1

логаритмуване х=М

log a x = log a M

антилогаритмуване

86

Към съдържанието

ЗАДАЧА 8 Даден е изразът A = 8 5 . Логаритмувайте израза при основа: 3 а) 2;

9



б) 3;

в) 5.

1 2

Решение: Записваме израза А със степени: A = 2 3. 5 . 3 а)

(

1

log 2 A = log 2 2 3.5 2 .3

−2 3

б)

)=

1

= log 2 2 3 + log 2 5 2 + log 2 3

(

1

log 3 A = log 3 2 3.5 2 .3 −2 3

=

= 3 + 1 log 2 5 − 2 log 2 3 3 2

−2 3

1

−2 3

в)

)=

= log 3 2 3 + log 3 5 2 + log 3 3

.

(

1

log 5 A = log 5 2 3.5 2 .3 −2 3

= 3 log 3 2 + 1 log 3 5 − 2 3 2

=

−2 3

)=

1

= log 5 2 3 + log 5 5 2 + log 5 3

−2 3

=

= 3 log 5 2 + 1 − 2 log 5 3 2 3

ЗАДАЧА 9 Намерете х (х > 0), като антилогаритмувате изразите: а) log 6 x = 3 log 6 2 + 0, 5 log 6 25 − log 6 9 ; Решение: а) log 6 x = 3 log 6 2 + 0, 5 log 6 25 − log 6 9 1



б) log 5 x = 5 log 5 2 − 2 log 5 7 − 1 log 5 8 . 3 б) log 5 x = 5 log 5 2 − 2 log 5 7 − 1 log 5 8 3 1

log 6 x = log 6 2 3 + log 6 25 2 − log 6 9

log 5 x = log 5 2 5 − log 5 7 2 − log 5 8 3

1

5 log 5 x = log 5 2 1 7 2.8 3 log 5 x = log 5 32 49.2 16 log 5 x = log 5 49 x = 16 49

2 3. 25 2 log 6 x = log 6 9 log 6 x = log 6 8.5 9 40 log 6 x = log 6 9 x = 40 = 4 4 9 9

ЗАДАЧИ

Пресметнете:

5 1. log 5 4 + log 5 ; 4 1 2. log 6 7 + log 6 ; 7 3. lg 8 + lg125 ; 4. log 2 9 + log 2 8 + log 2 12 ; 27 25 + log 5 5 ; 5. log 5 8 + log 5 4 2 6. log 3 7 + log 3 9 + log 3 63 ; 49 3 7. log 2 + log 2 25 + log 2 18 ; 5 27 5 7 8. log 5 7 − log 5 ; 125 9. log 2 9 − log 2 9 ; 32 8 8 10. log 3 − log 3 ; 9 81

Към съдържанието

11. log 2 16 + log 3 81 ; 12. log 3 1 + log 5 125 ; 27 13. log 5 3 5 + log 2 3 4 ; 3 14. log 3 3 3 − log 2 2 .

15.  Дадени са изразите

3 4 27 . A = 9 25 и B = 49 5 7 125 Логаритмувайте ги при основа: а) 3; б) 5; в) 7.

Намерете x (x > 0), като антилогаритмувате изразите: 16. log 5 x = 2 log 5 3 + 3 log 5 2 − 2 log 5 6 ; 17. log 7 x = 3 log 7 2 + 1 log 7 5 − 2 log 7 3 ; 2 18. log 6 x = 2 log 6 5 + 1 log 6 7 − 3 log 6 2 . 3

87

19. ЗАДАЧА 1

ЛОГАРИТМУВАНЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНО, СТЕПЕН И КОРЕН. УПРАЖНЕНИЕ Пресметнете: lg 8 + lg18 а) A = ; 2 lg 2 + lg 3 Решение: lg 8 + lg18 = а) A = 2 lg 2 + lg 3 lg(8.18) = = lg 2 2 + lg 3 lg144 = = lg 4 + lg 3



lg 12 2 2 lg12 = lg(4.3) lg12 A=2 =

ЗАДАЧА 2

б) B = 2 ln 2 + ln 5 ; ln 40 − ln 2

в) C =

3 lg 2 + lg 8 . 5 lg 2 − lg 4

б) B = 2 ln 2 + ln 5 = ln 40 − ln 2 2 = ln 2 + ln 5 = ln 40 2 + 4 ln ln 5 = = ln 20 ln(4.5) ln 20 = = ln 20 ln 20 B =1

в) C =

3 lg 2 + lg 8 = 5 lg 2 − lg 4

lg 2 3 + lg 8 = lg 2 5 − lg 4 lg 8 + lg 8 lg(8.8) = = = lg 32 − lg 4 lg 32 4 2 2 lg 8 lg 8 = = lg 8 lg 8 C=2 =

Пресметнете: а) A = 3 log 4 2 + log 4 9 − log 4 6 − log 4 3 ; в) C = 3 log 0, 2 2 + 2 log 0, 2 5 − log 0, 2 8 ; Решение:

4

4

4

а) A = 3 log 4 2 + log 4 9 − log 4 6 − log 4 3 = = log 4 2 3 + log 4 9 − log 4 6 − log 4 3 = 3 = log 4 2 .9 = log 4 72 = log 4 4 6.3 18 A =1

в) C = 3 log 0, 2 2 + 2 log 0, 2 5 − log 0, 2 8 = 3

2

= log 0, 2 2 + log 0, 2 5 − log 0, 2 8 = 3

2

= log 0, 2 2 .5 = log 0, 2 25 = 8

()

= log 1 1 5 5 C = −2

б) B = log 5 2 + 2 log 5 3 − 1 log 5 216 − log 5 75 ; 3 г) D = 4 log 1 2 − 2 log 1 5 + 2 log 1 10 .=

−2

= −2

4

2

= log 1 2 − log 1 5 + log 1 10 2 = 4 б) B = log 542 + 2 log 5 43 − 1 log 5 216 − log 5 75 = 4 2 3 6 . 2 10 =2 log 1 2 3 = = log 1 2 = log 542 +5log 4 5 216 − log 5 75 = 5 3 − log

()

−3

2 1 2=.9−3 log51 4 32.=3 log =1 log = log = 5 3 6.75 4 216 .75 4 4 D = −3 1 = log 5 = log 5 5 −2 25 B = −2

г) D = 4 log 1 2 − 2 log 1 5 + 2 log 1 10 = 4

4

4

4

= log 1 2 − log 1 5 + log 1 10 2 = 4

2

4

4

4 2 = log 1 2 .10 = log 1 2 6 = 2 5 4 4

()

= log 1 4 3 = log 1 1 4 4 4

−3

= −3

D = −3

Често при пресмятането възниква необходимост да се преминава от една основа към друга (т.е. да се заменя една основа с друга).

88

Към съдържанието

Смяна на основата на логаритъм

!

log a x =

log b x , където a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0. log b a

Доказателство: Логаритмуваме при основа b двете страни на равенството x = a log a x . Като използваме свойството за логаритмуване на степен, получаваме log b x log b x = log b ( a log a x ) = log a x.log b a , т.е. log a x = . log b a Последното равенство се използва и във вида log b a .log a x = log b x .

ПРИМЕР

log 3 7.log = log = log 3 9 = 2 7 6.log 6 9 3 6.log 6 9

!

Следствие 1: log a b =

!

Следствие 2: log a p b = 1 log a b , където p ≠ 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1. p

1 , където a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1. log b a

Доказателство: 1 1 = log a p b = = 1 log a b p p log a p log b a b

!

Следствие 3: log a q b p =

p log a b , където p ≠ 0, q ≠ 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0. q

Доказателство:

!

p log a q b p = p log a q b = p ⋅ 1 log a b = log a b q q Следствие 4: log a b =

lg b , където a > 0, a ≠ 1, b > 0. lg a

За пресмятане на стойностите на логаритмите при дадена основа освен калкулатори могат да се използват и таблици за логаритмите на числата при основа 10. С последната формула пресмятането на логаритъм при произволна основа се свежда до пресмятане частното на два десетични логаритъма. За опростяване на пресмятанията на сложни изрази много често се прилагат логаритми, защото по-трудните действия над числата могат да се заменят с по-лесни действия с техните логаритми: умножението се заменя със събиране, делението – с изваждане, степенуването – с умножение, коренуването – с деление. Много задачи от практиката водят до решаване на уравнения от вида ax = b, където a > 0, a ≠ 0 и b > 0, които много често се решават с логаритмуване при подходящо избрана основа. Такива са например задачите, свързани с повишаването производителността на труда, с банковото дело, с охлаждането на тела от температура T0 до температура T1, с радиоактивното разпадане и др.

Към съдържанието

89

ЗАДАЧА 3

Като използвате, че lg 2 ≈ 0,30 и lg 3 ≈ 0,48, пресметнете приблизително стойностите на: а) log56; б) log205. Решение: lg 5 lg 6 = б) log 20 5 = а) log 5 6 = = lg 20 lg 5 lg(10 : 2) lg10 − lg 2 lg(2.3) lg 2 + lg 3 = = ≈ = = ≈ lg(2.10) lg 2 + lg10 lg(10 : 2) lg10 − lg 2 1 − 0, 30 0, 70 0, 30 + 0, 48 0, 78 ≈ = ≈ = 1 + 0, 30 1, 30 1 − 0, 30 0, 70 log 20 5 ≈ 7 log 5 6 ≈ 39 13 35

ЗАДАЧА 4

Като преминете към десетичен логаритъм, пресметнете стойностите на изразите: б) B = log 3 64.log 1 81; а) A = log 3 4.log 4 5.log 5 6.log 6 81; в) C = log 5 3.log

0, 04.log 1 125 ; 5 27

Решение:

а) A = log 3 4.log 4 5.log 5 6.log 6 81 = lg 4 lg 5 lg 6 lg 81 = ⋅ ⋅ ⋅ = lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 81 = = lg 3 lg 3 4 = lg 3 4 lg 3 = lg 3 A=4 =

в) C = log 5 3.log

5

0, 04.log 1 125 = 27

lg 3 lg 0, 04 lg125 ⋅ ⋅ = lg 5 lg 5 lg 1 27 −2 lg 3 lg 5 lg 5 3 ⋅ ⋅ = = lg 5 1 lg 5 lg 3 −3 2 lg 3 (−2) lg 5 3 lg 5 = ⋅ ⋅ = lg 5 1 lg 5 (−3) lg 3 2 = −2.3 1 ⋅ (−3) 2 C=4 =

90

г) D = log

81.log 2

б) B = log

3

8

1 27

0,125 .

64.log 1 81 = 8

lg 64 lg 81 = ⋅ = lg 3 lg 1 8 6 lg 2 lg 3 4 = ⋅ = 1 .lg 3 lg 2 −3 2 6 lg 2 4 lg 3 ⋅ = = 1 .lg 3 (−3).lg 2 2 = 6.4 1 .(−3) 2 B = −16 г) D = log

2

81.log

1 27

0,125 =

lg 81 lg 0,125 ⋅ = lg 2 lg 1 27 1 lg 3 4 lg 8 = = ⋅ 1 lg 2 lg 3 −3 2 4 lg 3 lg 2 −3 = ⋅ = 1 lg 2 (−3) lg 3 2 4.(−3) lg 2 = 1 ⋅ (−3) lg 2 2 D =8 =

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Ако lg 7 = a и lg 3 = b, изразете чрез а и b: а) log27 49; Решение:

б) log4981;

а) log 27 49 =

в) log3 147.

б) log 49 81 =





4

= log 7 2 3 =

2

= log 33 7 =

ЗАДАЧА 6 Ако log1227 = m, изразете чрез m:

=

log 3 27 = log 3 12

=

log 3 3 3 = log 3 (3.4)

=

3 = log 3 3 + log 3 4

=

3 =m 1 + log 3 4



в) log 8 6 =

1 3− m 2m ⇒ log 2 3 = 2m 3− m log 2 3 =



1. A = log 5 11 − log 5 44 + log 5 100 ; 3. C = log 64 27.log 9 3 4 ; 4. D = log 7 3 1 ⋅ log 3 49 ; 9 5. E = log 3 4.log 2 27 ; 6. F = log 5 3 3.log 3 125 ;

Към съдържанието

2 lg 7 = lg 3 = 1 + 2a = b a b 2 + = b =1+

log 3 4 = 3 − m m 2 m 3 − log 3 2 = m 2 log 3 2 = 3 − m m m 3 − log 3 2 = 2m log 3 = 1 2 log 3 2 б)

Пресметнете стойностите на изразите: 2. B = log 5 4.log 32 6.log 36 125 ;

= 1 + 2 log 3 7 =

в) log8 6.

m log 3 4 = 3 − m ⇒ log 3 4 = 3 − m m

= 1 + log 3 7 2 =

б) log2 3;

3 = m + m log 3 4

ЗАДАЧИ

= log 3 3 + log 3 49 =

= 4 ⋅ log 7 3 = 2 lg 3 = 2⋅ = lg 7 = 2b a

= 2 ⋅ log 3 7 = 3 lg 7 = 2⋅ = 3 lg 3 = 2a 3b

а) log3 4; Решение: а) log 12 27 =

в) log 3 147 = = log 3 (3.49) =

=

log 3 6 = log 3 8

=

log 3 (2.3) = log 3 2 3

=

log 3 2 + log 3 3 = 3 log 3 2

=

log 3 2 + 1 = 3 log 3 2

=1+ 1 = 3 3 log 3 2 = 1 (1 + log 2 3) = 3 1 = 1 + 2m 3− m 3 ⇒ log 8 6 = m + 3 3(3 − m)

(

7. G = log 3 49.log

7

)

5.log 25 27 .

Като използвате, че lg 2 ≈ 0,30 и lg 3 ≈ 0,48, пресметнете приблизителните стойности на: 8. lg 12;

11. lg 18;

9. lg 15;

12. lg 20.

10. lg 16;

91

20.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ“ Запомнете! Да разгледаме равенството 23 = 8. Ако са ни известни две произволни числа от него, можем да намерим третото число. Равенство

23 = 8

Известни са

Търсим

Записваме

Наричаме

числата 2 и 3

числото 8

8 = 23

степен

числата 8 и 3

числото 2

2= 38

корен трети

числата 8 и 2

числото 3

3 = log28

логаритъм

Корен n-ти При n – четно (n = 2k, k ∈ N),

n

a = x ⇔ x n = a, x ≥ 0, a ≥ 0.

При n – нечетно (n = 2k + 1, k ∈ N),

n

a = x ⇔ x n = a за всяко а.

Свойства на корен n-ти n – четно (n = 2k)

92

n – нечетно (n = 2k + 1)

Коренуване на произведение

n

ab = n a . n b , a ≥ 0, b ≥ 0

n

ab = n a . n b ,

Коренуване на частно

n

a = n a , a ≥ 0, b > 0 b nb

n

a = na, b≠0 b nb

Коренуване на степен

n

m a nm = a , m ∈ N

n

a nm = a m , m ∈ N

Коренуване на корен

n m

Степенуване на корен

(n a)

Внасяне на множител под корен

a. n b = n a n . b , a ≥ 0, b ≥ 0

a = nm a , a ≥ 0, m ≥ 2, m ∈ N m

= n a m , a ≥ 0, m ∈ N

Изнасяне на множител пред корен

n

Основно свойство на корена

np

Сравняване на корени

0≤a 0, b > 0, x ∈ Q, y ∈ Q Произведение на степени с еднакви основи a x . a y = a x + y Частно на степени с еднакви основи

a x = a x− y ay

Степенуване на степен

(a x ) y = a xy

Степенуване на произведение

(ab) x = a x . b x

Степенуване на частно

( ba )

Сравняване на степени с еднакви основи

х = у ⇔ ax = ay a > 1: x < y ⇔ ax < ay 0 < a < 1: x < y ⇔ a x > a y

x

x = ax b

Логаритъм При b > 0, a > 0, a ≠ 1 logab = x ⇔ ax = b. Свойства на логаритъма a > 0, a ≠ 1, b > 0, x > 0, y > 0 Основни логаритмични тъждества = a log a b b= , log a a b b Логаритъм на 1 и на a

loga1 = 0, loga a = 1

Логаритмуване на произведение

logaxy = loga x + loga y

Логаритмуване на частно

log a x = log a x − log a y y

Логаритмуване на степен

loga bz = z loga b за всяко z

Смяна на основата на логаритъм

log a x =

Сравняване на логаритми

x = y ⇔ loga x = loga y a > 1: x < y ⇔ loga x < loga y 0 < a < 1: x < y ⇔ loga x > loga y a > 1:

Определяне знака на логaритъм

Към съдържанието

log b x ,b≠1 log b a

0 < x < 1 ⇔ log a x < 0

x > 1 ⇔ log a x > 0 0 < a < 1: 0 < x < 1 ⇔ log a x > 0 x > 0 ⇔ log a x < 0

93

ЗАДАЧА 1

Съкратете дробите: 1

а) A =

3

3

1 xy 2

1 x2

4

1

x2y2 − x2y2 +

, x > 0, y > 0 ;

б) B =

y

1

x3 − x3y 2 x3

x+

1 y3

, x ≠ 0.

1 2 x3y3

+

Решение: 1

а) A =

=

3

3

1

1

1



1

1

1 y2

(x

x 2 y 2 ( y − x) 1 x2

1 2

+

1 y2

)

=

=

( y) −( x)

= 2

x+ y

2

y − x )( y + x ) x+ y

1 x3

1

1

=

2

= =

(

x 3 ( x − y) 2 x3

+

1 1 x3y3

1 3 3

2 x3

+

1 x3

1 x3

1 3 3

1 1 x3y3

−

1 y3 2 x3

−

1 y3

+

)( x +

2 y3 2 3

2 y3

+

(x ) −( y )

( =

=

= y− x

ЗАДАЧА 2

б) B =

1

y−x = x+ y

(

1

x3 − x3y x + x3 y3 + x3y3

2

=

=

xy 2 + x 2 y

= =

4

x2y2 − x2y2

)

=

= 1

1

+

2 y3

2

+ x3y3 + y3

1 1 x3y3

)=

=

3

= x−3 y

Определете допустимите стойности на х в изразите: 5x + 1 а) A = 6 x 2 − 5 x − 6 + x + 7 ; б) B = 4 x 3 − 9 x − . 3 2 5 2 x − 2x − 8 x − 49 Решение: Допустимите стойности на изразите A и B се определят от решенията на съответните системи. а)

x 2 − 5x − 6 ≥ 0

3 б) x − 9 x ≥ 0

x 2 − 49 ≠ 0

x 2 − 2x − 8 ≠ 0

( x − 6)( x + 1) ≥ 0

x( x + 3)( x − 3) ≥ 0

( x + 7)( x − 7) ≠ 0

( x − 4)( x + 2) ≠ 0

x ∈ (−∞; − 1] ∪ [6; + ∞)

x ∈ [−3; 0] ∪ [3; + ∞)

x ≠ −7, x ≠ 7

x ≠ −2, x ≠ 4

–7

–1

6

7

x ∈ (–∞; – 7) ∪ (–7; –1] ∪ [6; 7) ∪ (7; + ∞)

94

–3 –2 0

3 4

x ∈ [–3; – 2) ∪ (–2; 0] ∪ [3; 4) ∪ (4; + ∞)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Определете допустимите стойности на х в изразите: 2

б) B = log 5+ x 9 − x . x

а) A = log 5− x ( x 2 − 3 x) ;

Решение: Допустимите стойности на х в изразите A и B се определят от решенията на съответните системи. 2 а) x 2 − 3 x > 0 б) 9 − x > 0 x 5− x >0 x+5>0 5− x ≠1 x + 5 ≠1 x( x − 3) > 0 3 0 (3 + x)(3 − x) >0 –3 0 3 x x −5 x≠4 –5 4 x ≠ −4 –4 3 4 5

0

– 5 – 4 –3 0 Отг. x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5)

ЗАДАЧА 4

Отг. x ∈ (– 5; – 4) ∪ (– 4; – 3) ∪ (0; 3)

Пресметнете logx 81, ако: а) x = (log 2 3 log 3 64 )

log

6

3

(

б) x = − log 2 log 2

;

Решение: log 64 а) 1. x = (log 2 3 3 )

6

= (log 2 64)

log

6

3

=

= (log 2 2 6 )

log

6

3

=

=6

log

log

3 6

= ( 6) =

(

6

3

=

2 log

3 6

)

log 6 3 2

= =

= 32

=

3

4

)

2 .

(

б) 1. x = − log 2 log 2

4

)

2 =

= − log 2 ( log 2 8 2 ) =

(

1

)

= − log 2 log 2 2 8 = = − log 2 1 = 8 = − log 2 2 −3 = = −(−3) x=3

x=9 = = 2. log x 81 log 9 81 2

2. log = = x 81 log 3 81

= log = 2 99

= log = 4 33

log x 81 = 2

log x 81 = 4

Към съдържанието



4

95

ЗАДАЧА 5

Пресметнете A = log 3 2 + log 7 245 + log 12 7 + log 1 2 + log 1 5 + log 1 84 . 3

Решение:

7

12

A = log 3 2 + log 7 245 + log 12 7 + log 1 2 + log 1 5 + log 1 84 = 3

7

12

= log 3 2 + log 7 2445 + log 12 7 + log 3 −1 2 + log 7 −1 5 + log 12 −1 84 = = log 3 2 + log 7 245 + log 12 7 − log 3 2 − log 7 5 − log 12 84 = = log 7 245 − log 7 5 + log 12 7 − log 12 84 = = log 7 2445 + log 12 7 = 5 84 = log 7 49 + log 12 1 = 12 = log 7 7 2 + log 12 12 −1 = = 2 −1 = 1 A =1

ЗАДАЧА 6

Намерете x (х > 0), ако: а) log 5 x = 1 ( log 5 3 + log 5 7 ) ; 3 в) log 3 x = 2 log 3 7 + 3 log 3 2 − 2 log 3 14 ; log 3 x = log 3 7 2 + log 3 2 3 − log 3 14 2 Решение: 2 3 1 log7 .32+ log 7 а) log 53 x = log ( 3 5 2 5 ) 3 14 1 ⋅ log7 2.(233.7) log log 53 xx = = log 3 3 752.2 2 1 ⋅ log2 21 log 53 x = log 3 3 5 ⇒x=2 log 5 x = log 5 3 21 ⇒ x = 3 21

в) log 3 x = 2 log 3 7 + 3 log 3 2 − 2 log 3 14 log 3 x = log 3 7 2 + log 3 2 3 − log 3 14 2 2

3

log 3 x = log 3 7 .22 14 2 3 log 3 x = log 3 7 2.2 2 7 .2 log 3 x = log 3 2 ⇒x=2

96

б) log 7 x = 1 log 7 3 + 1 log 7 2 − 1 ; 2 3 г) log 2 x = 1 log 2 5 + 1 log 2 3 − 2 log 2 7 . 3 2 3 log 2 x = log 2 5 + log 2 3 − log 2 7 2 1 log3 53. +31 log 2 − 1 б) log 7 log 27xx==log 2 2 77 2 3 3 log 7 x 3= log 7 36 + 2log 6 73 2 − 6 log67 7 5 3 5 3 25. 27 . . ⇒x= = = 3 2 2 49 log 7 x = 7log 7 3. 72 7 6 x = 6753 6 3 6 2 6 6 49 ⇒ x = 3. 2 = 3 . 2 = 27 . 4 7 7 7 6 x = 108 7 г) log 2 x = 1 log 2 5 + 1 log 2 3 − 2 log 2 7 3 2 3 log 2 x = log 2 5 + log 2 3 − log 2 7 2 3 log 2 x = log 2 5.2 3 7 6 2 6 3 3 6 6 ⇒ x = 5.2 3 = 5 .2 3 = 25. 27 49 7 7 6 x = 675 49

Към съдържанието

ЗАДАЧА 7 Ако log1227 = m, изразете чрез m: а) log68;

б) log616;

в) log612;

г) log1218.

Решение: 1. log 12 27 = =

log 3 27 log 3 3 3 3 = = = log 3 12 log 3 (3.4) log 3 3 + log 3 4 3 3 = =m 2 1 2 + log 1 + log 3 2 32

2. 3 = m(1 + 2 log 3 2) 3 = m + 2m log 3 2 log 3 2 = 3 − m , log 2 3 = 2m 2m 3− m а) log 6 8 =

log 2 8 = log 2 6



log 2 2 3 = = log 2 (2.3)

б) log 6 16 =

log 2 16 = log 2 6

=

log 2 2 4 = log 2 (2.3)

=

3 = log 2 2 + log 2 3

=

4 = log 2 2 + log 2 3

=

3 1 + log 2 3

=

4 1 + log 2 3

3 = 1 + 2m 3− m 3.(3 − m) = m+3

log 6 8 =

в) log 6 12 =

log 2 12 = log 2 6

4 = 1 + 2m 3− m 4.(3 − m) = m+3

log 6 16 =

г) log 12 18 =

log 2 18 = log 2 12

=

log 2 (4.3) = log 2 (2.3)

=

log 2 (2.9) = log 2 (4.3)

=

log 2 4 + log 2 3 = log 2 2 + log 2 3

=

log 2 2 + log 2 9 = log 2 4 + log 2 3

=

2 + log 2 3 1 + log 2 3

=

1 + 2 log 2 3 2 + log 2 3

2 + 2m 3− m = log 6 12 = 1 + 2m 3− m = 6 − 2m + 2m = 3 − m + 2m = 6 m+3

Към съдържанието

1 + 4m 3−m = log 12 18 = 2 + 2m 3−m = 3 − m + 4m = 6 − 2m + 2m 3 = m+3 = 6 = m +1 2

97

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ“ 16. Изразете lg A чрез десетичните логаритми на числата a > 0, b > 0 и c > 0, ако:

Пресметнете: 1.

3

125 + 5 32 + 9 1 ;

2.

3

−8 + 4 81 + 7 −1 ;

3. 4.

1 1 16 4 .27 3.

( −2 2 )

7

() ( )

2 3

−1 2

4 9

. 8 27

−1 .27 3.

1 3

(6 6 ) 3



; 3 4

1 5. log 2 − log 1 27 + log 8 3

; 5



5 5;



6. 31+ log 3 5 − 5 2 log 5 7 ; 7.

2 − 33 ; 3 − 3 2 3 2 −1 3

3

( ) ()

 8.  1 1  3

−1

− 1 2

2

1

−1 2

( )

−3

  2  : −   3

−3

−2

 + 3.2  .  −3

− 1− a

−1 2

1 a2

(a > 0, a ≠ 1) и

1+ пресметнете стойността му, ако: 1 а) a = 3; б) a = ; в) a = 3 3 . 2 Намерете за кои стойности на x са определени изразите: 4 3 10. A = x − 49 x ; 3

11. B = log 5 ( x − 7 x) ; 3 2 12. C = log 3 x − 3 x . x+5

Изразете числото x чрез a, ако: 13. x log = = a; 6 9, log 6 2 3

= 25 , lg 64 a . 14. x lg= 15. Намерете между кои две последователни цели числа се изобразяват на числовата ос числата: a) log310; б) log 1 7 ; 3



98

2

3

ab 2 . c 5 б) A = ; 5a −1b −3 1

в) A =

a 3 5 b 2 .c 3

.

1 1 7 a −1b 3 c 2

17. Намерете x (x > 0), ако:

9. Опростете израза 2 A= a +a  a −1

2 4 а) A = a bc ; 2 5 3 4 2a b



а) log 6 x = = 3 log 6 2 + 0, 5 log 6 25 + 2 log 6 3; б) log 3 x =



= 1 log 3 8 + 2 log 3 20 − 3 log 3 2; 3 в) log 7 x =



= 2 log

7

5 + 3 log

7

2 − 2 log

7

20.

18. Пресметнете стойностите на изразите: 4 + 1 ⋅log 4 5 log 3 5 2



а) A = 5



б) B = 81 4



в) C = 15 log 1

(

1 − 1 log 4 9 2

7

(

5

;

+ 25

log 125 1 8

log 7 . 1 .5 49

5

).49 4

49

log 7 2

).

;

19. Пресметнете стойностите на изразите:

а) A = 5

4 + 1 log 8 log 3 5 3 5

+ 36 log 2 4 2 3 2 ;

6 + 1 log 81 6 log 2 6 4



б) B = 6



в) C = 7 log

2 3

+ 1 log 27 7 3 7

− 12 log 7 5 7 4 7 ; − 24 log 3 7 3 6 3 .

в) log 2 29 ; г) log 1 9 . 2

Към съдържанието

21.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ“ 1. 

Стойността на израза А) 3; Б) 9; В) 4; Г) – 4.

3

1

216 − 27 3 е:

2.  Кое от посочените числа е най-голямо?

А)

4



Б)

5



В) (2 5 ) 2 ;



Г) 2

32 ; 32 ;

6. При 0 < а < 1 графиката на функцията у = ах е:

А)



Б)



В)



Г)



1

−5 2

.

3.  Кое от посочените равенства е вярно, ако log35 = a?

А) 5a = 3;



Б) 3a = 5; В) a5 =3; Г) a3 = 5.

4.  Стойността на израза log 3 27 − lg 1 − 3 2020.log 7 1 е: 10 А) 0;

Б) 1; В) 4; Г) 5.

5.  Изразът

7. Ако a ≠ 0, b > 0, c ≠ 0, d > 0, то не е вярно, че: 22 4 А) a = a 18 ; a

Б) ( b 3 b ) = b 14 ; 4

6

x 2 − 3x + 5

ран при: А) x ∈ (0; 3); Б) x ∈ (4; +∞);

3 е дефиниx−4

В) x ∈ (3; 4) ∪ (4; +∞); Г) x ∈ (–∞; 0] ∪ [3; 4) ∪ (4; +∞).

В) c −1 = c 10 − c 11 ; 1

Г) ( d −2 . d 14 ) 4 = d 3 . 8. Намерете x (х > 0), ако lg x = 1 (lg 3 + lg12) − 1 (lg 24 − lg 3). 2 3 9. Изразете A = log15 25 чрез log153 = a. 10. При a ≠ 1 опростете израза  3   B = 3a − 1 ⋅  a + 3 1  и намере1 a − a +1  a −1 те числената му стойност при a = 8 . 27

Към съдържанието

99

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ“ 7 −1. 3 49 1.  Стойността на израза A = е: −1 7 3 А) 7;

Б) 1 ; 7



В)



Г) 1.

3



3.  Кое от посочените равенства е вярно, ако b = log29?



Б)



В)



Г)



А) log 2 3 = b ; Б) log 2 3 = b ; 2



В) log 2 3 = b 2 ;



2 Г) log 3 2 = b .

4.  Стойността на израза 3 log 7 2 1 − 4 log 7 1 − 7 log 7 10 е: 49 А) – 10; Б) 1; В) –1; Г) –2. 5.  Изразът logx(4 – x ) е дефиниран при: А) x ∈ (–2; 2); 2

Б) x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞); В) x ∈ (0; 2); Г) x ∈ (0; 1) ∪ (1; 2).

100

А)

1

27 + 4 −2 + 4 2 − 2 −4 е: 15 А) 4 ; 16 Б) 5; 1 В) 5 ; 8 15 Г) 4 . 16 3



7;

2.  Стойността на израза

6. При а > 1 графиката на функцията у = ах е:

7.  = Ако a log = log 2 2 , 13 1, b 7 7 1 1 = c log = log 1 , то: 7 , d 5 7 6 А) a < b < c < d; Б) b < c < d < a; В) c < d < a < b; Г) c < a < d < b. 8. Намерете x (х > 0), ако lg x = 5

2 log

54

− lg 4 − 2 lg 5 − 12 .

9. Изразете A = log1218 чрез log23 = a. 10. При а ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b опростете израза 3 3 2  B = a − b − ( a + b ) + 3 ab и a− b намерете числената му стойност при a = 2 и b = 32.

Към съдържанието

ТЕМА 2 РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ (Урок 22 – Урок 33) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: успоредник; трапец; четириъгълник; правилен многоъгълник. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да решават успоредник; да решават трапец; да решават четириъгълник; да решават правилен многоъгълник; да преценяват вярност, рационалност и целесъобразност при избора на подход към решаването на проблем;  да моделират геометрична ситуация с помощта на алгебричен или тригонометричен израз.

Към съдържанието

101

22.

РЕШАВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК (преговор) Основни елементи на триъгълник

b

A

α

C γ

a

c

β

B

• страни а, b, c • ъгли a, b, g • r – радиус на вписаната окръжност • R – радиус на описаната окръжност • височини hа, hb, hc • медиани mа, mb, mc • ъглополовящи lа, lb, lc

Синусова теорема

Косинусова теорема

a = b = c = 2R sin α sin β sin γ

a2 = b2 + c2 – 2bc cos a b2 = a2 + c2 – 2ac cos b c2 = a2 + b2 – 2ab cos g

a + b + g = 180° Следствия от косинусовата теорема 2 2 2 cos α = b + c − a 2bc 2 2 2 cos β = a + c − b 2ac 2 2 2 cos γ = a + b − c 2ab

g < 90° ⇔ a2 + b2 > c2

Формули за медиани

Формули за ъглополовящи

ma = 1 2b 2 + 2c 2 − a 2 2 mb = 1 2a 2 + 2c 2 − b 2 2 1 mc = 2a 2 + 2b 2 − c 2 2

g = 90° ⇔ a2 + b2 = c2 g > 90° ⇔ a2 + b2 < c2

2 la 2 = bc − bca 2 , la 2 = bc − mn (b + c) 2 lb 2 = ac − acb 2 , lb 2 = ac − mn (a + c) 2 lc 2 = ab − abc 2 , lc 2 = ab − mn ( a + b)

Формули за лице 1 ab sin γ =1 1 ac sin β = 1 bc sin α a . ha b.Shb= a .ch.ahc= b. hb = c . hc 1 S2= ab sin γ S= =1 ac sin β = bc sin α S= = =2 2 2 2 22 22 2 2 2 a+b+c S = p ( p − a )( p − b)( p − c) S = p . r , p =S a=+pb. +r ,c p = 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c) 2 2 22 2 sin a . b. c S = a . b. c sinααsin sinγ β= c sin α sin β sinβα sinγ γ= b csin a 2 sin β sinS γ= ab 2sin = 2 sin β = 2 sin α S= S= 4R 2 sin γ 4R 2 sin α 2 sin β 2 sin γ

102

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

В АВС с = 12, b = 45° и g = 30° . Намерете дължината на страната b и радиуса R на описаната около АВС окръжност. Решение:

За АВС прилагаме два пъти синусовата теорема. 1.

b = c sin β sin γ b = 12 sin 45° sin 30° b = 12 sin 45° = sin 30°

12 ⋅ 2 2 = 12 2 1 2

b = 122 2 2.

ЗАДАЧА 2

c = 2R sin γ R = c = 12 = 12 = 12 2 sin γ 2 sin 30° 2 ⋅ 1 2 R = 12

Намерете най-големия ъгъл в АВС със страни a = 2, b = 2 7 и c = 4. Решение:

1. Най-големият ъгъл в АВС лежи срещу най-голямата му страна, т.е. срещу b = 2 7 . 2. Прилагаме косинусовата теорема за страната b. b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β 2 2 2 cos β = a + c − b 2ac cos β = 4 + 16 − 28 2.2.4 1 cos β = − ⇒ β = 120° 2

ЗАДАЧА 3

В АВС b = 6, c = 4 и cos α = − 1 . Намерете дължините на страната a и медианата mc. 4 Решение: 1. За АВС прилагаме косинусовата теорема. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

( )

a 2 = 6 2 + 4 2 − 2.6.4. − 1 4

6

a 2 = 36 + 16 + 12

Към съдържанието

a 2 = 64 (a > 0) a =8

103

2. Използваме формулата за медианата mc в ABC. 8 6



ЗАДАЧА 4

m c = 1 2a 2 + 2b 2 − c 2 2 m c = 1 2.8 2 + 2.6 2 − 4 2 2 m c = 1 128 + 72 − 16 2 m c = 1 184 = 1 ⋅ 2 46 2 2 m c = 46



Намерете лицето на АВС по дадени a = 5, c = 7 и g = 120°. Решение:

1. За АВС прилагаме косинусовата теорема. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

b

49 = 25 + b 2 − 2.5b cos120°

( )

24 = b 2 − 2.5b. − 1 2 2 b + 5b − 24 = 0 ⇒ b1 = 3 > 0 е решение, b2 = –8 < 0 не е решение. 2. Лицето на АВС ще намерим по два начина. I начин: II начин:



ЗАДАЧА 5

S = 1 ab sin γ 2 S = 1 ⋅ 5.3.sin 120° 2 S = 1 ⋅ 5.3 ⋅ 3 2 2 S = 15 3 4

p = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15 2 2 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c) =

(

)(

)(

)

= 15 ⋅ 15 − 5 ⋅ 15 − 3 ⋅ 15 − 7 = 2 2 2 2 = 15 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 1 = 15 3 2 2 2 2 4

Намерете лицето S и радиусите r и R на вписаната и описаната окръжности на ABC по дадени a = 11, b = 9 и c = 16. Решение:

1. Лицето S намираме по Хероновата формула. S=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

p = a + b + c = 11 + 9 + 16 = 18 2 2 S = 18.(18 − 11).(18 − 9).(18 − 16) S = 18.7.9.2

2. Радиусът r на вписаната окръжност намираме по формулата S = p.r. 18 7 = 18.r ⇒r= 7

104

S = 18 7 3. Радиусът R на описаната окръжност намираме по формулата S = a.b.c или 4R

.c ⇒ R 11 .9.16 22 = 22 7 . R = a.b= = 4S 7 4.18. 7 7

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6

В ABC са дадени АВ = 8, ВС = 7 и АС = 6. Намерете дължината на ъглополовящата la. Решение:

1. От свойството на ъглополовящата AL намираме BL = m и CL = n = 7 – m. BL = CL ⇔ m = 7 − m BA CA 8 6 3m = 4.(7 − m)

m=4⇒n=7−m=3 2. От формулата за ъглополовящата l a2 = bc − mn намираме l a2 = 6 . 8 − 4 . 3 = 36



ЗАДАЧА 7

l a = 36 = 6.

В успоредника ABCD АВ = 8, AD = 7 и BAD = 60°. Намерете дължината на диагоналите AC и BD. Решение:

1. Означаваме AС = d1 и BD = d2. 2. За ABD намираме диагонала BD по косинусовата теорема. BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 . AB. AD.cos BAD

7

d 22 = 8 2 + 7 2 − 2 .8 . 7 .cos 60°

8

d 22 = 64 + 49 − 2 .8 . 7 ⋅ 1 2 2 d 2 = 57 ⇒ d 2 = 57

3. За ABC намираме диагонала AC по косинусовата теорема. AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 . AB. BC.cos ABC d 12 = 8 2 + 7 2 − 2 .8 . 7 .cos120°



ЗАДАЧИ

d 12 = 64 + 49 + 2 .8 . 7 ⋅ 1 2 2 d 1 = 169 ⇒ d 1 = 13

1. В ABC a = 7, c = 13 и g = 120°. Намерете периметъра P и лицето S на триъгълника. 2. В ABC a = 8, b = 13 и b = 60°. Намерете периметъра P, лицето S и радиу­сите r и R на вписаната и на опи­ саната за триъгълника окръжности. 3. В ABC b = 24, c = 31 и g = 120°. Н­а ­м ерете периметъра P, лицето S, ъглополовящата lc и радиусите r и R на вписаната и на описаната за триъгълника окръжности. 4. Намерете лицето S на ABC по дадени a = 5, b = 7 и ma = 8.

Към съдържанието

5. Даден е ABC със страни a = 14, b = 30 и c = 40. Намерете радиуса R на окръжността, описана около триъгълника. 6. Даден е ABC със страни a = 15, b = 28 и c = 41. Намерете радиуса r на окръжността, вписана в триъгълника. 7. Намерете страните на триъгълник с лице S = 84, ако те са последователни цели числа. 8. Две от страните на триъгълник са 6 и 12, а ъгълът между тях е 120°. Намерете ъглополовящата на триъгълника, която разполовява дадения ъгъл.

105

23.

РЕШАВАНЕ НА УСПОРЕДНИК Основни елементи на успоредник  страни AB = CD = a, BC = AD = b  височини DD1 = ha, DD2 = hb  ъгли BAD = BCD = a, ABC = ADC = 180° – a  диагонали AC = d1 и BD = d2  ъгъл между диагоналите BOC = ϕ Формули за успоредник P = 2a + 2b S = aha = bhb 2a 2 + 2b 2 = d 12 + d 22 Видове успоредници  правоъгълник BAD = 90°

 ромб AB = BC = a

 квадрат AB = BC = a, BAD = 90°

В този урок ще докажем и други формули за намиране лицето на успоредник.

ОСНОВНА ЗАДАЧА 1

Докажете, че лицето на всеки успоредник е равно на произведението на две негови съседни страни и синуса на ъгъла, заключен между тях, т.е. S = ab sin a. Доказателство:

1. DD1 ⊥ AB, DD1 = ha 2. ADD1 (D1 = 90°) DD1 = sin α ⇒ DD1 = AD sin α ⇒ ha = b sin α AD 3. S = a.ha = ab sin a

!

Следствие 1 Sправоъгълник = a.b sin 90° = ab.1 = ab Sквадрат = a.a sin 90° = a2.1 = a2 Sромб = a.a sin a = a2 sin a

! 106

Следствие 2  От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

Намерете лицето на успоредник със страни a = 10 и b = 6, ако: б) a = 45°; в) a = 60°; г) a = 90°. a) a = 30°; Решение: 1 а) S = ab sin 30° = 10.6. = 30 2 в) S = ab sin 60° = 10.6. 3 = 30 3 2

ОСНОВНА ЗАДАЧА 2

!

! ЗАДАЧА 2

б) S = ab sin 45° = 10.6. 2 = 30 2 2 г) S = ab sin 90° = 10.6.1 = 60

Докажете, че лицето на всеки успоредник е равно на полупроизведението на двата му диагонала и синуса на ъгъла, заключен между тях, т.е. S = 1 d 1d 2 sin ϕ . 2 Доказателство: 1. ABC ≅ CDA (III признак) ⇒ SABCD = 2 SABC 2. SABC = SAOB + SBOC d d AO = CO = 1 , BO = DO = 2 2 2 BOC = ϕ, AOB = 180° − ϕ От (1) и (2) ⇒ SABCD = 2 (SAOB+ SBOC )

Следствие 1

d d  d d  S ABCD = 2 ⋅  1 ⋅ 1 ⋅ 2 sin(180° − ϕ) + 1 ⋅ 1 ⋅ 2 sin ϕ  2 2 2 2 2 2  dd d d  S ABCD = 2 ⋅  1 2 sin ϕ + 1 2 sin ϕ  8  8  dd S ABCD = 2 ⋅ 1 2 sin ϕ 4 1 S ABCD = d 1d 2 sin ϕ 2

Sправоъгълник = 1 d . d sin ϕ = 1 d 2 sin ϕ 2 2 2 Sквадрат = 1 d . d sin 90° = 1 d 2 .1 = d 2 2 2 dd 1 1 Sромб = d 1. d 2 sin 90° = d 1d 2 .1 = 1 2 2 2 2

Следствие 2 От всички успоредници с едни и същи диагонали най-голямо лице има ромбът. Намерете лицето на успоредник с диагонали d1 =12 и d2 = 8, ако: б) ϕ = 45°; в) ϕ = 60°; г) ϕ = 90°. a) ϕ = 30°; Решение: 1 1 1 а) S = d 1d 2 sin 30° = .12.8. = 24 2 2 2 в) S = 1 d 1d 2 sin 60° = 1 .12.8. 3 = 24 3 2 2 2

Към съдържанието

б) S = 1 d 1d 2 sin 45° = 1 .12.8. 2 = 24 2 2 2 2 г) S = 1 d 1d 2 sin 90° = 1 .12.8.1 = 48 2 2

107

ОСНОВНА Докажете, че лицето на всеки успоредник с диагонали d и d (d > d ) и остър ъгъл a се 1 2 1 2 ЗАДАЧА 3 2 1 2 намира по формулата S = Доказателство:

4

( d 1 − d 2 ) tg α.

1. За ABC прилагаме косинусовата теорема. d 12 = a 2 + b 2 − 2ab cos(180° − α)

d 12 = a 2 + b 2 + 2ab cos α

2. За ABD прилагаме косинусовата теорема.

d 22 = a 2 + b 2 − 2ab cos α

3. От (1) изваждаме (2) и получаваме d 12 − d 22 = 4ab cos α

⇒ ab =

d 12 − d 22 . 4 cos α

4. Заместваме ab във формулата S = ab sin a и получаваме d 12 − d 22 d 2 − d 22 sin α = 1 tg α 4 cos α 4 S = 1 ( d 12 − d 22 ) tg α. 4 S=

ЗАДАЧА 3

Намерете лицето на успоредник с диагонали d1 = 8 и d2 = 6, ако: б) a = 45°; в) a = 60°. a) a = 30°; Решение: а) S = 1 ( d 12 − d 22 ) tg 30° = 1 ⋅ (64 − 36) ⋅ 3 = 7 3 4 4 3 3 б) S = 1 ( d 12 − d 22 ) tg 45° = 1 ⋅ 28.1 = 7 4 4 в) S = 1 ( d 12 − d 22 ) tg 60° = 1 ⋅ 28. 3 = 7 3 4 4 Забелязваме, че с нарастването на ъгъл a в интервала (0°; 90°] лицето на успоредника също расте.

ОСНОВНА Докажете, че лицето на всеки успоредник със страни AB = a и AD = b (a > b) и остър ЗАДАЧА 4 2) 1( 2 ъгъл ϕ (BOC) между диагоналите му се намира по формулата S =

Доказателство:

2

a −b

tg ϕ .

1. Означаваме AC = d1, BD = d2

108

= OC = ⇒ AO

d1 d , BO = OD = 2. 2 2

Към съдържанието

2. За AOB прилагаме косинусовата теорема.

d 12 d 22 d d + − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 cos(180° − ϕ) 4 4 2 2 2 2 d 1 d 2 d 1d 2 2 a = 4 + 4 + 2 cos ϕ 3. За BOC прилагаме косинусовата теорема. a2 =

d 12 d 22 d d + − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 cos ϕ 4 4 2 2 2 2 d 1 d 2 d 1d 2 2 b = 4 + 4 − 2 cos ϕ 4. От (2) изваждаме (3) и получаваме b2 =

2 2 a 2 − b 2 = d 1d 2 cos ϕ ⇒ d 1d 2 = a − b . cos ϕ 5. Заместваме d1d2 във формулата S = 1 d 1d 2 sin ϕ и 2 получаваме 2 2 S = 1 d 1d 2 sin ϕ = 1 ⋅ a − b ⋅ sin ϕ 2 2 cos ϕ S = 1 ( a 2 − b 2 ) tg ϕ. 2



ЗАДАЧА 4

Намерете лицето на успоредник със страни а = 7 и b = 5, ако: б) ϕ = 45°; в) ϕ = 60°. a) ϕ = 30°; Решение:

а) S = 1 ( a 2 − b 2 ) tg 30° = 1 ⋅ (49 − 25) ⋅ 3 = 4 3 2 2 3 б) S = 1 ( a 2 − b 2 ) tg 45° = 1 ⋅ 24.1 = 12 2 2 в) S = 1 ( a 2 − b 2 ) tg 60° = 1 ⋅ 24. 3 = 12 3 2 2

 абелязваме, че с нарастването на ъгъл ϕ в интервала (0°; 90°] лицето на успоредника З също расте.

ЗАДАЧИ

1. Намерете лицето на успоредника ABCD със страни AB = a и AD = b, ако: а) BAD = 30°; б) BAD = 45°; в) BAD = 60°; г) BAD = 90°. 2. Намерете лицето на ромба ABCD с периметър 2p, ако: а) BAD = 30°; б) BAD = 45°; в) BAD = 60°. 3. Диагоналите на успоредник са 20 cm и 37 cm, а една от страните му е 25,5 cm. Намерете лицето на успоредника. 4. Диагона лите на успоредник с а 16 2  cm и 6 cm, а ъгълът, заключен

Към съдържанието

между тях, е 135°. Намерете лицето на успоредника. 5. Диагоналите на успоредник са 10 cm и 6 cm, а острият му ъгъл е 45°. Намерете лицето на успоредника. 6. Страните на успоредник са 13 и 7, а ъгълът между диагоналите му е 30°. Намерете лицето на успоредника. 7. Намерете периметъра на успоредника ABCD с лице 60 cm2, ако AB = 15 cm и BAD = 30°. 8. Намерете периметъра на успоредника ABCD с лице 32 cm2, ако AD = 6 cm и ъгълът между диагоналите е 45°.

109

24. ЗАДАЧА 1

РЕШАВАНЕ НА УСПОРЕДНИК. УПРАЖНЕНИЕ Да се намери лицето на успоредника ABCD, ако AB = а = 7, AC = 15 и BD = 13. Решение:

1. Построяваме CQ || DB и Q ∈AB. BQCD – успоредник ⇒ BQ = CD = 7 CQ = BD = 13 2. Построяваме CC1 ⊥ AQ и CC1 = ha.

S ABCD = a. ha

   ⇒ S ABCD = S  AQC 1 S  AQC = . 2a. ha = a. ha  2  3. Лицето на AQC намираме по Хероновата формула. AQ + QC + CA 14 + 13 ++15 42 = 42 13 + 21 p = p = AQ + QC +=CA = 15 = 14 2 2 2 = 2 = 21 2 2 5)−=15) = 21).( 21).( S  AQCS = 21 − 13 − 121 =.(21 21−.(14 21).( − 14 21).( − 13  AQC

= 21 8.6.7=.8.63= .7.73.4.7.2.7.2.4.3.2=.2.3 = =.7.21 2 32.7.4 = 84 = 3=2.7 23.42.27 = .4 = 3.7.4 = 84 S  AQCS = 84 = 84  AQC От (2) и (3) ⇒ SABCD= 84.

Лицето на успоредника можем да намерим и по други начини. Например:

O

ЗАДАЧА 2

 като сбор от лицата на OAB, OBC, OCD и ODA;  като намерим AOB = ϕ от AOB и приложим формулата S = 1 d 1d 2 sin ϕ . 2

Точката Q лежи на страната AB на успоредника ABCD така, че DQ ⊥ AB. Ако AB = a, QB = 2AQ и BAD = a, намерете: б) S ; в) BC = b; г) P. a) ha; Решение: a) 1. Означаваме AQ = x ⇒ BQ = 2x. AQ + BQ = AB x + 2x = a 3x = a x = a ⇒ AQ = a 3 3

110

Към съдържанието

2.  AQD (Q = 90°), DQ = ha ⇒



DQ = tg α, DQ = AQ tg α, ha = a tg α 3 AQ

б) S = a. ha = a ⋅ a tg α 3 2 S = a tg α 3 в)  AQD (Q = 90°) AQ ⇒ = cos α, AQ = AD cos α, a = b cos α 3 AD a ⇒ BC = AD = b = 3 cos α

(

г) P = 2(a + b) = 2 a + P=

ЗАДАЧА 3

a 3 cos α

)

2a(3 cos α + 1) 3 cos α

Точката M e средата на страната CD на успоредника ABCD. Намерете лицето S на успоредника, ако ADC = 120°, MA = 6 и MB = 4. Решение: 1. Означаваме DM = CM = x ⇒ AB = a = 2x. AD = BC = b = y

a

3 = xy 3 2. Sуспоредник = a. b sin120° = 2 xy 2 За да намерим лицето на успоредника, достатъчно е да намерим произведението xy. 3. За AMD прилагаме косинусовата теорема.

AM 2 = AD 2 + MD 2 − 2 AD.MD cos120°

( )

36 = y 2 + x 2 − 2 yx ⋅ − 1 2 36 = x 2 + y 2 + xy

4. За BMC прилагаме косинусовата теорема.

BM 2 = BC 2 + CM 2 − 2 BC.CM cos 60° 16 = y 2 + x 2 − 2 yx ⋅ 1 2 2 2 16 = x + y − xy

5. От (3) изваждаме (4) и получаваме

36 − 16 = ( x 2 + y 2 + xy ) − ( x 2 + y 2 − xy ) 20 = 2 xy ⇒ xy = 10.

= S xy = 3 10 3 . От (2) и (5) получаваме

Към съдържанието

111

ЗАДАЧА 4 В успоредника ABCD AB = 37 , AC ∩ BD = О, AC = 8 и BD = 6. Намерете: a) ϕ = AOB; Решение:

б) S ;

в) AD и P; г) ha и hb. 8 4= AO = AC = = , BO BD= 6= 3 2 2 2 2 a) За AOB прилагаме косинусовата теорема. AB 2 = AO 2 + BO 2 − 2 AO.BO cos ϕ 37 = 16 + 9 − 2.4.3 cos ϕ 37 = 25 − 24 cos ϕ 24 cos ϕ = −12 cos ϕ = − 1 ⇒ ϕ = 120° 2 1 б) S = d 1d 2 sin ϕ 2 S = 1 ⋅ 8.6 sin 120° = 1 ⋅ 8.6 ⋅ 3 2 2 2 S = 12 3 в) За AOD прилагаме косинусовата теорема.



AD 2 = AO 2 + DO 2 − 2 AO.DO cos(180° − 120°) AD 2 = 16 + 9 − 2.4.3 ⋅ 1 = 13 2 AD = 13 P = 2 ( AB + AD ) = 2 ( 37 + 13 )

г) S = a. ha ⇒ 12 3 = 37 . ha ⇒ ha = 12 3 = 12 111 37 37 S = b. hb ⇒ 12 3 = 13. hb ⇒ hb = 12 3 = 12 39 13 13

ЗАДАЧА 5 В успоредника ABCD AB = a = 8, AC = d1 = 13 и ABC = 120°. Ако AC ∩ BD = О и BOC = ϕ, намерете: б) BD; a) P и S;

Решение:

в) ha и hb; г) sin ϕ.

а) 1. За ABC прилагаме косинусовата теорема (BC = b). AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC cos120°

( )

169 = 64 + b 2 − 2.8.b. − 1 2

О

b 2 + 8b − 105 = 0 b1,2 = −4 ± 121, b1 = −15, b2 = 7



112

b>0⇒b=7

Към съдържанието

2. P = 2(a + b) P = 2.(8 + 7) = 30 3. S = ab sin(180° − 120°) S = 8.7 ⋅ 3 = 28 3 2 б) От формулата 2a2 + 2b2 = d12 + d22 намираме BD = d2. 2.64 + 2.49 = 169 + d 22 128 + 98 = 169 + d 22 d 22 = 57

d 2 = 57

в) S = a. ha ⇒ 28 3 = 8. ha ⇒ ha = 7 3 2 S = b. hb ⇒ 28 3 = 7. hb ⇒ hb = 4 3 г) sin ϕ намираме от формулата S = 1 d 1d 2 sin ϕ. 2 S = 1 d 1d 2 sin ϕ 2 28 3 = 1 ⋅ 13. 57 sin ϕ 2 56 3 = 13 3 19 sin ϕ | : 3 sin ϕ = 56 13 19

ЗАДАЧИ



sin ϕ = 56 19 247

1. Намерете лицето на успоредник ABCD със страна AB = 10 cm и периметър 32 cm, ако: а) BAD = 30°; б) BAD = 45°; в) BAD = 60°. 2. Даден е успоредник с остър ъгъл 60°, периметър 20 cm и лице 12 3 cm2. Намерете страните му. 3. Намерете лицето на успоредник със страни 5 cm и 7 cm и диагонал 6 cm. 4. Намерете лицето на успоредник със страна 14 cm и диагонали 26 cm и 30 cm. 5. Намерете височините на успоредник със страни 25 cm и 56 cm и диагонал 39 cm.

Към съдържанието

6. Периметърът на успоредник е 90 cm, единият от диагоналите му е 25 cm, а лицето – 420 cm2. Намерете втория диагонал на успоредника. 7. В успоредника ABCD BAD = 30°, AD = 2 3 и BD = 4. Намерете: a) AB; б) P; в) S; г) AC. 8. В успоредника ABCD AB = 8, AD = 5 и BAD = 60°. Намерете: а) диагоналите AC и BD; б) височините ha и hb; в) радиусите R1 и R2 на описаните около триъгълниците ABC и ABD окръжности.

113

25.

РЕШАВАНЕ НА ТРАПЕЦ Основни елементи на трапеца  основи AB = a и CD = b  бедра BC = c и DA = d  височина DD1 = h  ъгли BAD = a ADC = 180° – a ABC = b BCD = 180° – b  диагонали AC = d1 и BD = d2  ъгъл между диагоналите BOC = ϕ  средна основа MN = a + b 2 Формули за трапец P =a+b+c+d S = a +b ⋅h 2 MQ = PN = a 2 b MP = NQ = 2 PQ = a − b 2 Видовете трапеци  равнобедрен AD = BC = c AD1 = BC1 = a − b 2 + a b AC1 = BD1 = 2  правоъгълен  A = D = 90° AD = h или  B = C = 90° BC = h

114

Към съдържанието

В този и в следващите два урока ще докажем и други зависимости за намиране на елементи на трапец.

ОСНОВНА ЗАДАЧА 1

Докажете, че лицето на всеки трапец е равно на полупроизведението на диагоналите му и синуса на ъгъла, заключен между тях, т.е. S = 1 d 1 . d 2 sin ϕ . 2 Доказателство: 1. BOC = ϕ ⇒ AOB = 180° – ϕ 2. Построяваме CQ || DB, Q ∈ AB. BQCD – успоредник BQ = CD = b CQ = DB = d2 3. AQC и ABCD имат обща височина CC1 = h. AQ.CC1 (a + b). h = 2 2 a + b S ABCD = ⋅h 2 ⇒ S ABCD = S  AQC = a + b ⋅ h 2 Трапецът ABCD и AQC са равнолицеви. S  AQC =

4. Намираме лицето на AQC.

ACQ = AOB = 180° – ϕ (съответни)



S  AQC = 1 AC.CQ sin(180° − ϕ) 2 1 S  AQC = d 1d 2 sin ϕ 2

От (3) и (4) ⇒ S ABCD = 1 d 1d 2 sin ϕ . 2

!

Следствие 1

!

Следствие 2 От всички трапеци с едни и същи диагонали най-голямо лице има този с перпендикулярни диагонали.

Ако ABCD е равнобедрен трапец, то d1 = d2 и S ABCD = 1 d 12 sin ϕ . 2

Към съдържанието

115

ЗАДАЧА 1

Намерете лицето на трапец с диагонали d1 = 10 и d2 = 8, ако: б) ϕ = 45°; в) ϕ = 60°; г) ϕ = 90°. a) ϕ = 30°; Решение: а) S = 1 d 1d 2 sin ϕ = 1 ⋅ 10.8 sin 30° = 2 2 = 1 ⋅ 10.8 ⋅ 1 = 20 2 2

б) S = 1 d 1d 2 sin ϕ = 1 ⋅ 10.8 sin 45° = 2 2 = 1 ⋅ 10.8 ⋅ 2 = 20 2 2 2

в) S = 1 d 1d 2 sin ϕ = 1 ⋅ 10.8 sin 60° = 2 2 = 1 ⋅ 10.8 ⋅ 3 = 20 3 2 2

г) S = 1 d 1d 2 sin ϕ = 1 ⋅ 10.8 sin 90° = 2 2 1 = ⋅ 10.8.1 = 40 2

Забелязваме, че при дадени диагонали с нарастването на ъгъл ϕ в интервала (0°; 90°] расте и лицето на трапеца.

ЗАДАЧА 2

Даден е трапец ABCD с основи AB = 22, CD = 6 и диагонали AC = 22, BD = 14. Намерете лицето S на трапеца и синуса на ъгъла, заключен между диагоналите му. Решение: 1. Построяваме CQ || DB, Q ∈ AB. BQCD – успоредник BQ = CD = b = 6 CQ = DB = d2 = 14 CC1 ⊥ AB, CC1 = h AQ.CC1 (a + b). h = 2 2 a + b S ABCD = ⋅h 2 ⇒ S ABCD = S  AQC

2. S  AQC =

3. Лицето на AQC ще намерим по Хероновата формула. p = 28 + 22 + 14 = 32 2 S  AQC = 32.(32 − 28).(32 − 14).(32 − 22) S  AQC = 32.4.18.10 = 16.2.4.2.99.2.5 S  AQC = 48 10 4. От (2) и (3) ⇒ S ABCD = 48 10 . 5. S ABCD =



116

d 1d 2 sin ϕ 2

22.14 ⋅ sin ϕ = 48 10 2 sin ϕ = 24 10 77

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Даден е трапец ABCD с основи AB = 16 и CD = 9, бедро BC = 8 и диагонал AC = 12. Намерете: a) дължината на височината h;

б) лицето S;

в) периметъра P на трапеца.

Решение: а) 1. Л  ицето на ABC ще намерим по Хероновата формула. p = 16 + 8 + 12 = 18 2 S  ABC = 18.(18 − 16).(18 − 8).(18 − 12) = = 18.2.10.6 = 9.2.2.2.5.2.3 S  ABC = 12 15 2. CC1 ⊥ AB, CC1 = h AB.CC1 16. h = S  ABC = 2 2 S  ABC = 8. h





 От (1) и (2) ⇒ 8h = 12 15 ⇒ h = 3 15 . 2 б) S ABCD = a + b ⋅ h = 16 + 9 ⋅ 3 15 2 2 2 S ABCD = 75 15 4 в) 1. ACC1 (C1 = 90°) Означаваме CAC1 = ψ.



CC1 3 15 = : 12 = 15 AC 2 8 2 15 cos ψ = 1 − sin ψ = 1 − = 49 64 64 7 cos ψ = (ψ – остър ъгъл) 8

sin ψ =

2. AD ще намерим по косинусовата теорема за ACD. CAC1 = ACD = ψ (кръстни) AD 2 = AC 2 + CD 2 − 2 AC.CD cos ψ = = 12 2 + 9 2 − 2.12.9 ⋅ 7 = 8 = 144 + 81 − 189 = 36

AD = 6

3. P = AB + BC + CD + DA P = 16 + 8 + 9 + 6 Р = 39

Към съдържанието

117

ЗАДАЧА 4 Даден е трапец ABCD с основи AB = 14, CD = 8 и бедра BC = 5, AD = 7. Намерете: a) S;



б) cos BAD и cos ABC;



в) AC = d1 и BD = d2.

Решение: a) 1. Построяваме CQ || DA, Q ∈ AB. AQCD – успоредник AQ = DC = 8, QC = AD = 7 BQ = AB – AQ = 14 – 8 = 6 BQC = BAD = a, ABC = b 2.  Намираме лицето на BQC по Хероновата формула. p = 6+5+7 =9 2 S  BQC = 9.(9 − 6).(9 − 5).(9 − 7) =





= 9.3.4.2 = 6 6

3. CC1 ⊥ BQ, CC1 = h BQ.CC1 6h = S  BQC = = 3h 2 2

4. От (2) и (3) ⇒ 3h = 6 6 ⇒ h = 2 6 .



5. S = S ABCD = a + b ⋅ h = 14 + 8 ⋅ 2 6 2 2 S = 22 6

б) За BQC прилагаме косинусовата теорема.



2 2 2 cos α = 6 + 7 − 5 = 36 + 49 − 25 = 5 2.6.7 2.6.7 7 ⇒ cos BAD = 5 7 2 2 2 cos β = 5 + 6 − 7 = 25 + 36 − 49 = 1 2.5.6 2.5.6 5 1 ⇒ cos ABC = 5

в) 1. За ABC прилагаме косинусовата теорема. AC 2 = 14 2 + 5 2 − 2.14.5 ⋅ 1 = 193 5 ⇒ d = AC = 193  AC 21 = 14 2 + 5 2 − 2.14.5 ⋅ 1 = 193 2 = 14 2прилагаме + 7 2 − 2.14косинусовата .7 ⋅ 5 = 105  2. ЗBD а ABD 7 ⇒ d 1 = AC = 193 теорема. ⇒ d22 = BD = 105 BD = 14 2 + 7 2 − 2.14.7 ⋅ 5 = 105 7 ⇒ d = BD = 105 2

118

Към съдържанието

ОСНОВНА ЗАДАЧА 2

Докажете, че за всеки трапец е изпълнено d12 + d22 = c2 + d 2 + 2ab, където a и b са основите, c и d – бедрата, а d1 и d2 – диагоналите на трапеца. Решение:

1. Построяваме DD1 ⊥ AB, CC1 ⊥ AB. DD1 = CC1 = h DD1C1C – правоъгълник, D1C1 = DC = b 2. Означаваме AD1= x, BC1= y, AC= d1 и BD = d2.

3. ACC1 (C1 = 90°)

AC 2 = AC12 + CC12 d12 = (a – y)2 + h2

4. BDD1 (D1 = 90°) BD2 = BD12 + DD12 d22 = (a – x)2 + h2 От (3) и (4) ⇒ d 12 + d 22 = = (a − y ) 2 + h 2 + (a − x) 2 + h 2 = = a 2 − 2ay + y 2 + h 2 + a 2 − 2ax + x 2 + h 2 = = (hh 2 + x 2 ) + (h 2 + y 2 ) + 2a 2 − 2a ( x + y ) = = d 2 + c 2 + 2a(a − ( x + y )) = = d 2 + c 2 + 2ab ⇒ d 12 + d 22 = c 2 + d 2 + 2ab. В равнобедрен трапец d1 = d2 и c = d ⇒ d12 = c2 + ab.

ЗАДАЧИ

1. Диагона лите на т рапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка О. Докажете, че: а) SABC = SABD; б) SAOD= SBOC . 2. Точка M е средата на бедрото AD на трапеца ABCD (AB || CD). Ако лицето на трапеца e S, докажете, че S  BCM = 1 S. 2 3. Трапецът ABCD има основи AB = 10 и CD = 5, бедро BC = 6 и диагонал AC = 8. Намерете: а) височината h; б) лицето S; в) периметъра P на трапеца. 4. Трапецът ABCD има основи AB =15 и CD = 5, бедро AD = 9 и диагонал BD = 12. Намерете: а) височината h; б) лицето S;

Към съдържанието



в) периметъра P на трапеца.

5. Трапецът ABCD има основи AB = 9, CD = 1 и диагонали AC = 8, BD = 6. Намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла ϕ между диагоналите му. 6. Трапецът ABCD има основи AB = 10, CD = 3 и диагонали AC = 12, BD = 5. Намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла ϕ между диагоналите му. 7. Трапецът ABCD има основи AB = 8, CD = 3 и бедра BC = 9, AD = 6. Намерете лицето S на трапеца. 8. Трапецът ABCD има основи AB = 30, CD = 16 и бедра BC = 13, AD = 15. Намерете лицето S на трапеца.

119

26. ЗАДАЧА 1

РЕШАВАНЕ НА ТРАПЕЦ. УПРАЖНЕНИЕ Диагоналите на трапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка О. Лицата на триъгълниците ABO и CDO са съответно S1 и S2. Докажете, че S = S 1 + S 2 , където S e лицето на трапеца. AB. h Решение: 1. S  ABD = S  ABC = 2 − S  ABO = S  ABO

(

)

S  AOD = S  BOC = x 2. AOB и COB имат обща височина от В към АС S ⇒ 1 = AO . x CO 3. AOD и COD имат обща височина от D към АС x = AO ⇒ . S 2 CO S 4. От (2) и (3) ⇒ 1 = x ⇒ x 2 = S1S 2 ⇒ x = S1S 2 . x S2 5. S = S1 + S 2 + 2 x S = S1 + S 2 + 2 S1S 2

S=

(

S1

)

2

+ 2 S1 S 2 +

(

S2

) =( 2

S1 + S 2

)

2

⇒ S = S1 + S 2

ЗАДАЧА 2

Даден е трапец ABCD (AB || CD) с диагонали AC = 3 и BD = 5. Ако отсечката, свързваща средите на основите, е 2, намерете лицето S на трапеца. Решение: 1. Означаваме с P и Q средите на основите AB и CD (AB = a, CD = b). През точка Q построяваме QE || AC (E ∈ AB) и QF || DB (F ∈ AB).  EACQ – успоредник, EQ = AC = 3, EA = QC = b 2  BFQD – успоредник, FQ = BD = 5, BF = DQ = b 2 a b a + b 2. EP = PF = + = ⇒ QP e медиана в EFQ. 2 2 2 Прилагаме формулата за медиана. QP = 1 2.EQ 2 + 2.FQ 2 − EF 2 2 1 2.3 2 + 2.5 2 − EF 2 2= 2 16 = 18 + 50 − EF 2 EF 2 = 52 ⇒ EF = 2 13 = a + b

120

Към съдържанието

D

C

3. ЕFQ и трапецът ABCD имат обща височина QQ1 = h. EF .QQ1 (a + b)h  =  2 2  ⇒ S ABCD = S  EFQ ( a + b) h  AB CD + = ⋅ QQ1 = 2 2 

S  EFQ =

S ABCD

4. Лицето на ЕFQ намираме по Хероновата формула. p = 2 13 + 5 + 3 = 13 + 4 2 S= S=

( 13 + 4 ) ( 13 + 4 − 2 ( 4 + 13 ).( 4 − 13 ) .(

13 ) ( 13 + 4 − 5 ) ( 13 + 4 − 3) 13 − 1) . ( 13 + 1)

S = (16 − 13).(13 − 1) = 3.12 = 36 = 6 От (3) и (4) ⇒ SABCD = 6.

ЗАДАЧА 3

Трапецът ABCD (AB || CD) е правоъгълен (BAD = 90°). Ако AB = 15, CD = 10 и AD = 12, намерете: б) P и S; в) AC и BD на трапеца. а) cos ABC; Решение: а) 1 . Построяваме CQ ⊥ AB (Q ∈ AB). AQCD – правоъгълник AQ = DC = 10, CQ = DA = 12 BQ = AB – AQ = 15 – 10 = 5 2. BQC (Q = 90°, QBC = b) BC 2 = BQ 2 + QC 2 = 5 2 + 12 2 = 169 BC = 169 = 13 BQ 5 cosβ = = BC 13 б) 1. P = AB + BC + CD + DA = 15 + 13 + 10 + 12 Р = 50 2. S = a + b ⋅ h = 15 + 10 ⋅ 12 = 25 . 6 2 2 S = 150 в) 1 . За AQC (Q = 90°) прилагаме питагоровата теорема. AC 2 = AQ 2 + QC 2 = 10 2 + 12 2 = 100 + 144 = 244 AC = 244 = 2 61 2. За ABD (A = 90°) прилагаме питагоровата теорема. BD 2 = AB 2 + AD 2 = 15 2 + 12 2 = 225 + 144 = 369 BD = 369 = 3 41

Към съдържанието

121

ЗАДАЧА 4

В трапеца ABCD (AB || CD) е вписана окръжност с радиус r = 3. Ако BC = c = 13 и AD = d = 7, намерете лицето S на трапеца. Решение: 1. Трапецът ABCD е описан около окръжност ⇒ AB + CD = BC + AD. a + b = c + d 2. Лицето S на трапеца е сбор от лицата на ABO, BCO, CDO и DAO с височина радиуса на вписаната окръжност r. S = S  ABO + S  BCO + S CDO + S  DAO = a. r b. r c. r d . r + + + = 2 2 2 2 ( a + b + c + d ) r (c + d + c + d ) r = = = 2 2 = (c + d )r = (13 + 7).3 = 20.3 = 60 S = 60 =

ЗАДАЧА 5

Даден е трапец ABCD с основи AB = a и CD = b (a > b). Ако BAD = 30° и ABC= 60°, намерете лицето S на трапеца. Решение: 1. Построяваме DQ || CB, Q ∈ AB. QBCD – успоредник QB = DC = b, AQD = ABC = 60° AQ = AB – BQ = a – b 2. AQD (ADQ = 90°) DQ = 1 AQ = a − b (катет срещу 30°) 2 2 3. Построяваме DD1 ⊥ AQ (D1 ∈ AQ), DD1 = h. В D1QD DD1 = DQ sin 60°. h = a −b ⋅ 3 = a −b ⋅ 3 2 2 4 a + b ⋅ h = a + b ⋅ a − b ⋅ 3 = a2 − b2 ⋅ 3 4. S ABCD = 2 2 4 8 2 2 ⇒ S = a −b ⋅ 3 8

ЗАДАЧА 6 Докажете, че за всеки трапец е изпълнено d 12 − d 22 = a + b (d 2 − c 2 ),, където a и b са осa −b новите, c и d – бедрата, d1 и d2 – диагоналите на трапеца. Решение: 1. Означаваме AC = d1, BD = d2, BAD = a и ABC = b. ABCD е трапец ⇒ ADC = 180° – a, BCD = 180° – b.

122

Към съдържанието

2. За ACD и ABD прилагаме косинусовата теорема и получаваме d 12 = b 2 + d 2 + 2bd cos α | . a

d 22 = a 2 + d 2 − 2ad cos α | . b



ad 12 = ab 2 + ad 2 + 2abd cos α  + bd 22 = a 2b + bd 2 − 2abd cos α 

2 2 2 2 2 2 ⇒ ad 1 + bd 2 = ab + a b + ad + bd =

= ab(a + b) + d 2 (a + b) = = (a + b)(ab + d 2 ) 2 2 2 ⇒ ad 1 + bd 2 = (a + b)(ab + d ).

3. Аналогично за ABC и BCD намираме d 12 = a 2 + c 2 − 2ac cos β | . b

d 22 = b 2 + c 2 + 2bc cos β | . a



bd 12 = ba 2 + bc 2 − 2abc cos β  + ad 22 = ab 2 + ac 2 + 2abc cos β 

⇒ bd 12 + ad 22 = ba 2 + ab 2 + bc 2 + ac 2 = = ab(a + b) + c 2 (a + b) = = (a + b)(ab + c 2 ) 2 2 2 ⇒ bd 1 + ad 2 = (a + b)(ab + c ). 4. Изваждаме почленно равенствата, получени в (2) и (3).

(a − b)d 12 + (b − a )d 22 = (a + b)(d 2 − c 2 ) (a − b)(d 12 − d 22 ) = (a + b)(d 2 − c 2 )

ЗАДАЧИ

1. Даден е трапец ABCD (AB || CD). Ако AB = 28, CD = 11, BC = 26 и AD = 25, намерете лицето S на трапеца. 2. Даден е трапец ABCD (AB || CD). Ако AB = 10, BC = 7, CD = 4 и AD = 5, намерете лицето S на трапеца. 3. Намерете лицето S на трапец с диагонали 13 и 15 и средна основа 7. 4. Трапецът ABCD (AB || CD) е правоъ­ гълен (BAD = 90°). Ако AB = 15, CD = 9 и AD = 8, намерете периметъра P и лицето S на трапеца. 5. Трапецът ABCD (AB || CD) е правоъ­ гълен (ABC = 90°). Ако AB = 16,

Към съдържанието

d 12 − d 22 = a + b (d 2 − c 2 ) a −b CD = 11 и BC = 12, намерете периметъра P и лицето S на трапеца. 6. В окръжност с радиус R е вписан трапец с ъгъл 60° при голямата основа, а диагоналът образува с нея ъгъл 45°. Намерете лицето S на трапеца. 7. В окръжност с радиус R е вписан трапец с остър ъгъл a, който се разполовява от диагонала. Намерете лицето S на трапеца. 8. Трапецът ABCD е вписан в окръжност с радиус 2. Диагоналът AC е ъглополовяща на BAD. Намерете лицето S на трапеца, ако основата му AB е 2 пъти по-голяма от основата CD.

123

27. ЗАДАЧА 1

РЕШАВАНЕ НА РАВНОБЕДРЕН ТРАПЕЦ. УПРАЖНЕНИЕ В равнобедрен трапец ABCD (AB || CD) диагоналът AC = 6 3 и BAC = 30°. Намерете лицето S на трапеца. Решение: 1. Построяваме CQ || DB, Q ∈ AB. BQCD – успоредник BQ = DC = b, DB = CQ = AC = 6 3 BQC = ABD = BAC = 30° 2. Построяваме CC1 ⊥ AQ и CC1 = h.

AQ.CC1 (a + b)h = 2 2 ( a + b) h S ABCD = AB + CD ⋅ CC1 = 2 2 ⇒ S  AQC = S ABCD S  AQC =

3. AQC (ACQ = 180° – 2.30° = 120°) S  AQC = 1 AC.CQ sin 120° = 2 = 1 ⋅ 6 3.6 3 ⋅ 3 = 27 3 2 2 От (2) и (3) ⇒ S ABCD = 27 3 .

ЗАДАЧА 2

В равнобедрен трапец ABCD (AB || CD) диагоналите са перпендикулярни. Ако средната основа MN на трапеца е 5 2 , намерете лицето му. Решение: 1. Построяваме CQ || DB (Q ∈ AB). BQCD – успоредник BQ = DC = b, CQ = DB = d1 = AC 2. ACQ (ACQ = AOB = 90°) – правоъгълен и равнобедрен

AQ = AB + BQ = a + b = 2 MN = 10 2 CC1 ⊥ AB, CC1 = h =

AQ =5 2 2

( a + b) h 3. S ABCD = AB + CD ⋅ h = 2 2 S ABCD = 10 2 .5 2 = 50 2

124

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Намерете лицето S на равнобедрен трапец по дадени височина h и ъгъл ϕ между диагоналите, срещулежащ на бедрото. 1. Построяваме CQ || DB (Q ∈ AB). Решение: BQCD – успоредник b BQ = CD = b, QC = BD 2. AC = BD = QC AQC e равнобедрен. AQ a + b AQ = a + b, AC1 = = 2 2

а

3. AOB = 180° – ϕ ⇒ BAO = ABO = ϕ 2

b

4.  ACC1 (C1 = 90°) AC1 = CC1 cotg a

ЗАДАЧА 4

b

ϕ ϕ ⇒ a + b = h cotg 2 2 2

ϕ 5. S ABCD = a + b h = h cotg h 2 2 ϕ S ABCD = h 2 cotg 2

Около окръжност е описан равнобедрен трапец с голяма основа a и ъгъл 2a при нея. Намерете лицето на трапеца. 1. Трапецът е описан около окръжност Решение: ⇒ 2с = а + b. 2. Центърът O на вписаната в трапеца окръжност е пресечна точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца ⇒ AO е ъглополовяща на BAD. BAO = 1 ⋅ 2α = α 2 OQ ⊥ AB, OQ = r , AQ = AB = a 2 2 3.  AOQ (Q = 90°) OQ = AQ tg α r = a ⋅ tg α 2 h = 2r = a tg α 4.  BCC1 (C1 = 90°) CC1 = h, BC = AD = c = a + b 2 CC1 = BC sin 2α a tg α h = a + b sin 2α ⇒ a + b = h = 2 2 sin 2α sin 2α a tg α a 2 tg 2 α ⋅ a tg α = 5. S ABCD = a + b ⋅ h = 2 sin 2α sin 2α

Към съдържанието

125

ЗАДАЧА 5

Основите на равнобедрен трапец ABCD са a и b. Ако диагоналите му се пресичат в точка O и AOB = ϕ, намерете лицето S на трапеца. Решение: 1. През точка C построяваме CQ || BD, Q∈ AB. BQCD – успоредник BQ = DC = b 2. ACQ = AOB = ϕ AQC e равнобедрен с основа AQ = a + b и ACQ = ϕ. 3. Построяваме CC1 ⊥ AQ, CC1 = h. ϕ AC1 = C1Q = a + b , ACC1 = 2 2 4.   ACC ACC11 (( C C11 = = 90 90°°)) ϕ ϕ b ϕ h = aa + ϕ CC CC11 = = AC AC11 cotg cotg 2 ⇒ ⇒ h = 2+ b cotg cotg 2 2 2 2 ϕ 5. S = a + b ⋅ h = a + b ⋅ a + b ⋅ cotg 2 2 2 2 ( a + b) 2 ϕ S= cotg 4 2

ЗАДАЧА 6

Около окръжност е описан равнобедрен трапец с основи a и b. Докажете, че за височината h и лицето S на трапеца е изпълнено: а) h = ab ; б) S = a + b ⋅ ab . 2 Доказателство: а)  I начин: DD1 ⊥ AB, DD1 = h a −b a+b . ADAB 1 = + CD = 2.AD ⇒ AD = От 2 2 + a b , ⊥ = DD AB DD h От ABCD – равнобедрен трапец 1 1 AD = 2 ⇒ AD1 = a − b . 2 a + b За ADD питагоровата AD = 1 прилагаме 2 теорема. AD12 + DD12 = AD 2

( a −2 b )

2

(

+ h2 = a + b 2

)

2

a 2 − 2ab + b 2 + 4h 2 = a 2 + 2ab + b 2 4h 2 = 4ab

126

h = ab

Към съдържанието



II начин: BO и CO са ъглополовящи съответно на ABC и BCD. ABC + BCD = 180° ⇒ OBC + OCB = 90° ⇒ BOC = 90° OQ ⊥ BC ⇒ BQ = a , CQ = b , OQ 2 = BQ.CQ 2 2 2 2 a b r = ⋅ , 4r = ab, 2r = ab , но h = 2r 2 2

⇒ h = ab . б) S = a + b h = a + b ab 2 2

ЗАДАЧА 7

Намерете лицето S на описан около окръжност равнобедрен трапец с остър ъгъл a и диагонал d. Решение: 1. От AB + CD = 2.AD ⇒ AD = a + b . 2 2. От ABCD – равнобедрен трапец ⇒ BD1 = a + b =. x ⇒ h = x sin α 2 3.  ADD1 (D1 = 90°), DD1 = h DD1 = AD sin α ⇒ h = a + b sin α 2 + a b a + b 4. Означаваме BD1 == x ( x >=0x).⇒ h = x sin α . 2 2 5.  BDD1 (D1 = 90°) DD12 + BD12 = BD 2 h2 + x2 = d 2 x 2 sin 2 α + x 2 = d 2 x 2 (1 + sin 2 α) = d 2

x2 =

d2 1 + sin 2 α

a + b ⋅ h = x. x sin α = x 2 sin α = d 2 sin α 6. S = 2 1 + sin 2 α

ЗАДАЧИ

1. Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a и CD = b (a > b). Намерете лицето S на трапеца, ако BC = CD. 2. Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a и CD = b (a > b). Намерете лицето S на трапеца, ако AC ⊥ BC. 3. Диагоналите на равнобедрения трапец ABCD с основи AB = a и CD = b (a > b) се пресичат в точка О. Ако BAD = a и BOC = ϕ, докажете, че ϕ tg = a − b ⋅ tg α. 2 a+b

Към съдържанието

4. Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a и CD = b (a > b). Ако BAD = a, намерете лицето S на трапеца. 5. Намерете лицето S на равнобедрен трапец с основи a, b и диагонал d. 6. Дължината на един от диагоналите на равнобедрен трапец е d и сключва с голямата основа остър ъгъл a. Намерете лицето S на трапеца.

127

28.

РЕШАВАНЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК АBCD e четириъгълник. Означаваме AB = a, BC = b, CD = c и DA = d. Обиколката Р на четириъгълника е P = a + b + c + d. AC = d1 и BD = d2 – диагонали на четириъгълника  AOB = ϕ – ъгъл между диагоналите на четириъгълника Формула за лице на произволен четириъгълник Лицето на произволен четириъгълник може да се намери, като четириъгълникът се раздели на триъгълници и се намери сборът от лицата им.

ОСНОВНА ЗАДАЧА 1

Докажете, че лицето на произволен четириъгълник се изразява с формулата S = 1 d 1d 2 sin ϕ . 2 Доказателство: 1. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. Означаваме OA = x, OB = y, OC = z, OD = t,  AOB = ϕ. 2.  Диагоналите разделят четириъгълника на четири триъгълника – OAB OBC OCD и ODA. 3.  Лицето S на четириъгълника е сборът от лицата на четирите триъгълника. S = S OAB + S OBC + S OCD + S ODA S = 1 xy sin ϕ + 1 yz sin(180°− ϕ) + 1 zt sin ϕ + 1 tx sin(180°− ϕ) 2 2 2 2 1 1 S = ( xy + yz + zt + tx)sin ϕ = ( y ( x + z ) + t ( x + z ) ) sin ϕ 2 2 S = 1 ( x + z )( y + t )sin ϕ 2 1 S = d 1d 2 sin ϕ 2

128

!

Следствие 1

!

Следствие 2

!

Следствие 3 От всички четириъгълници с диагонали d1 и d2 най-голямото лице има този, чийто диагонали са взаимноперпендикулярни (ϕ = 90°).

dd Лицето на ромб с диагонали d1 и d2 е Sромб = 1 d 1d 2 sin 90° = 1 2 . 2 2 2 Лицето на квадрат с диагонал d е Sквадрат = 1 dd sin 90° = d . 2 2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

Намерете лицето на четириъгълник с диагонали 8 и 10 и ъгъл между тях ϕ, ако: б) ϕ = 45°; в) ϕ = 60°; г) ϕ = 90°. a) ϕ = 30°; Решение: Използваме формулата S = 1 d 1d 2 sin ϕ . 2 1 1 а) S = .8.10 sin 30° = .8.10. 1 = 20 2 2 2 б) S = 1 .8.10 sin 45° = 1 .8.10. 2 = 20 2 2 2 2 в) S = 1 .8.10 sin 60° = 1 .8.10. 3 = 20 3 2 2 2 г) S = 1 .8.10 sin 90° = 1 .8.10.1 = 40 2 2 Формула за лице на описан четириъгълник

ОСНОВНА ЗАДАЧА 2

Докажете, че лицето на описан четириъгълник се изразява с формулата S = pr, p = a + b + c + d , където a, b, c и d са страните на четириъгълника, а r е 2 радиусът на вписаната в него окръжност. Доказателство:

1. Съединяваме центъра O на вписаната в четириъгълника окръжност с върховете му A, B, C и D. 2. Четириъгълникът се разделя на четири триъгълника с една съща височина r. 3. Лицето S на четириъгълника е сбор от лицата на четирите триъгълника. S = S OAB + S OBC + S OCD + S ODA = = 1 ar + 1 br + 1 cr + 1 dr = 1 (a + b + c + d ).. r 2 2 2 2 2 S = pr

Формулата S = p.r е обобщение на формулата S = p.r за лице на триъгълник. Тя е в сила и за произволен описан многоъгълник.

ЗАДАЧА 2

Около окръжност с радиус r = 4 е описан четириъгълник ABCD със страни AB = 6, BC = 8, CD = 12. Намерете AD и S. Решение:

Към съдържанието

1. A  BCD – описан четириъгълник AB + CD = BC + AD 6 + 12 = 8 + AD AD = 10 2. p = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 = 18 2 2 3. S = p.r S = 18.4 S = 72

129

Формула за лице на вписан четириъгълник Ще докажем, че лицето на всеки вписан четириъгълник се изразява с формула, подобна на Хероновата формула за лице на триъгълник.

ОСНОВНА Докажете, че лицето S на вписан четириъгълник със страни a, b, c и d се изразява чрез ЗАДАЧА 3 a+b+c+d формулата S = ( p − a )( p − b )( p − c )( p − d ) , p = Доказателство:

2

.

1. О  значаваме AB = a, BC = b, CD = c, DA = d и  BAD = a. ABCD е вписан четириъгълник ⇒  BCD = 180° – a. 2. S = S  ABD + S  BCD = = 1 ad sin α + 1 bc sin(180° − α) = 2 2 = 1 ad sin α + 1 bc sin α 2 2 S = 1 (ad + bc)sin α 2 3. Ще изразим sin a чрез страните на четириъгълника. За ABD прилагаме косинусовата теорема. BD 2 = a2 + d 2 – 2ad cos a За BCD прилагаме косинусовата теорема. BD 2 = b2 + c2 – 2bc cos (180° – a) BD 2 = b2 + c2 + 2bc cos a Приравняваме десните страни на двете равенства и получаваме a 2 + d 2 − 2ad cos α = b 2 + c 2 + 2bc cos α

a 2 + d 2 − b 2 − c 2 = 2ad cos α + 2bc cos α a 2 + d 2 − b 2 − c 2 = 2(ad + bc) cos α 2 2 2 2 cos α = a + d − b − c . 2(ad + bc)

4. Намираме разликите p − a = a + b + c + d − a = −a + b + c + d 2 2 p −b = a +b+c+ d −b = a −b+c+ d 2 2 p−c = a+b+c+d −c = a+b−c+d 2 2 p−d = a+b+c+d −d = a+b+c−d . 2 2

130

Към съдържанието

От (2), (3) и (4) ⇒ S 2 = 1 (ad + bc) 2 sin 2 α = 4 =

(ad + bc) 2 (1 − cos 2 α) = 4

=

(ad + bc) 2 − (ad + bc) 2 cos 2 α = 4 (ad + bc) 2 − (ad + bc) 2 ⋅

=

4

(a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4(ad + bc) 2

=

=

4(ad + bcc) 2 − (a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 = 16

=

(2ad + 2bc + a 2 + d 2 − b 2 − c 2 )(2ad + 2bc − a 2 − d 2 + b 2 + c 2 ) = 16

= =

( (a + d ) 2 − (b − c) 2 ) ( (b + c) 2 − (a − d ) 2 ) = 16

(a + d + b − c)(a + d − b + c)(b + c + a − d )(b + c − a + d ) 16

S 2 = −a + b + c + d ⋅ a − b + c + d ⋅ a + b − c + d ⋅ a + b + c − d 2 2 2 2 S 2 = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) ⇒ S = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) (Формула на Брахмагупта).

Откривател на последната формула е индийският математик Брахмагупта (598 – 660 г.).

ЗАДАЧА 3

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD. Ако AB = 3, BC = 1, CD = 2 и AD = 2, намерете лицето S на четириъгълника. Решение: p = a+b+c+d 2 p = 3 +1+ 2 + 2 = 8 = 4 2 2 S = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ) S = (4 − 3).(4 − 1).(4 − 2).(4 − 2) S = 1.3.2.2 S =2 3

Към съдържанието

131

Формула за лице на описан и вписан четириъгълник

ОСНОВНА ЗАДАЧА 4

Четириъгълник със страни a, b, c и d е вписан в окръжност и описан около окръжност. Докажете, че лицето му S се изразява чрез формулата S = a . b. c . d . Доказателство: 1.Четириъгълникът е вписан ⇒ S = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) . 2. Четириъгълникът е описан ⇒ a + c = b + d. 3. Намираме разликите

p − a = −a + b + c + d = −a + c + a + c = c 2 2 a − b + c + d b + d − b +d =d p −b = = 2 2 p−c = a+b−c+d = a−c+a+c =a 2 2 + + − + +b−d =b a b c d b d = p−d = 2 2

От (1) и (3) ⇒ S = a. b. c. d .

ЗАДАЧА 4

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако AB = 4, BC = 6 и CD = 4, намерете лицето S на четириъгълника и радиуса r на вписаната в него окръжност. Решение:

4 6

1. ABCD – описан четириъгълник ⇒ AB + CD = BC + AD 4 + 4 = 6 + AD AD = 2 2. ABCD – вписан четириъгълник Прилагаме формулата

4



S = a. b. c. d

= S

= 4.6.4.2 8 3

a+b+c+d 2 4 + 6 + 4+2 =8 p= 2

3. p =

4. От S = p.r намираме r. 8 3 = 8.r

132

r= 3

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с център О и радиус R. Ако AB = AD и  BAC =  DAC = 30°, докажете, че в четириъгълника ABCD може да се впише окръжност и намерете радиуса ѝ r. 1. ABC ≅ ADС (I признак) AB = AD (по условие) AC = AC (обща)  BAC =  DAC = 30° (по условие) ⇒ BC = DC и  ABC =  ADC 2. Означаваме АВ = АD = a, BC = DC = b. 3. АВ + DC = a + b ⇒ АВ + DC = АD + BC АD + BC = a + b ⇒ в ABCD може да се впише окръжност. 123

Решение:

4. ABC + ADC = 180° (вписан четириъгълник) ABC = ADC ⇒ ABC = ADC = 90° ⇒ точка О е средата на AC и AC = 2R. 5. Разглеждаме ABC. BC = sin 30°, BC = AC sin 30° ⇒ b = 2 R ⋅ 1 = R AC 2

AB = cos 30°, AB = AC cos 30° ⇒ a = 2 R ⋅ 3 = R 3 AC 2

6. Четириъгълникът ABCD е вписан и описан ⇒ S =

= AB. BC. CD. DA

S = R= 3 .R R

2

a.b. a. b = a.b

3.

7. P = AB + BC + CD + DA = a + b + a + b = 2a + 2b 2( a + b ) p= P = = a + b = R 3 + R = R ( 3 + 1) 2 2 8. За ABCD прилагаме формулата S = p.r. R 2 3 = R ( 3 + 1) r



ЗАДАЧИ

R 3 ( 3 − 1) R (3 − 3 ) r= R 3 = ⇒r= 2 2 3 +1

1. Намерете лицето на четириъгълник с диагонали 3 3 и 8 и ъгъл между тях ϕ, ако: а) ϕ = 30°; б) ϕ = 45°; в) ϕ = 60°; г) ϕ = 90°. 2. Около окръжност с радиус 10 е опи­сан четириъгълник с взаимноперпендикулярни диагонали, които са 30 и 22. Намерете периметъра на четириъгълника.

Към съдържанието

3. В окръжност е вписан четириъгълник ABCD. Ако AB = 7, BC = 5, CD = 7 и АD = 3, намерете лицето S на четириъ­ гълника. 4. Ч етириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Намерете лицето му S, ако AB = 5, BC = 7, CD = 3 3 и АD = 3 . 5. В окръжност е вписан четириъгълник = BC = 19 , CD = 3 и ABCD. Ако AB DA = 2, намерете лицето на четириъгълника.

133

29.

РЕШАВАНЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Докажете, че за всеки изпъкнал четириъгълник е изпълнено тъждеството

a2 + b2 + c2 + d 2 = d12 + d22 + 4MN 2, където a, b, c и d са страните, d1 и d2 – диагоналите, а M и N – средите на диагоналите на четириъгълника. Доказателство:

1.От формулите за медианите в триъгълника получихме: за ANC 4MN 2 = 2 (AN 2 + CN 2) – d12, за ABD 4AN 2 = 2 (a2 + d 2) – d22, за BDC 4CN 2 = 2 (b2 + c2) – d22. 2.Събираме почленно второто и третото равенство и получаваме 4(AN 2 + CN 2) = 2(a2 + b2 + c2 + d 2) – 2 d22 2(AN 2 + CN 2) = a2 + b2 + c2 + d 2 – d22. 3.Заместваме в първото равенство и получаваме 4MN 2 = a2 + b2 + c2 + d 2 – d22 – d12, т.е. a2 + b2 + c2 + d 2 = d12 + d22 + 4MN 2.

Ако четириъгълникът е успоредник, c = a, d = b, MN = 0 и от Задача 1 получаваме 2a2 + 2b2 = d12 + d12.

ЗАДАЧА 2 За произволен четириъгълник ABCD са въведени следните означения: АB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = d1 , BD = d2 и BOC = ϕ, където O е пресечна точка на диагоналите. Докажете, че (a2 + c2) – (b2 + d 2) = 2d1d2cos ϕ.

Доказателство:

1. Означаваме OA = x, OC = y, OB = z, OD = t. 2. За OAB, OBC, OCD и ODA прилагаме косинусовата теорема и получаваме a 2 = x 2 + z 2 − 2 xz cos(180° − ϕ) = x 2 + z 2 + 2 xz cos ϕ b 2 = y 2 + z 2 − 2 yz cos ϕ c 2 = y 2 + t 2 − 2 yt cos(180° − ϕ) = y 2 + t 2 + 2 yt cos ϕ 2 2 2 d = t + x − 2tx cos ϕ. 3.От сбора на първото и третото равенство изваждаме сбора на второто и четвъртото равенство и получаваме (a 2 + c 2 ) − (b 2 + d 2 ) = = 2 xz cos ϕ + 2 yt cos ϕ + 2 yz cos ϕ + 2tx cos ϕ = = 2( xz + yt + yz + tx) cos ϕ = = 2 ( ( x + y ) z + ( x + y )t ) cos ϕ =

! 134



= 2( x + y )( z + t ) cos ϕ = 2d 1d 2 cos ϕ ⇒ (a 2 + c 2 ) − (b 2 + d 2 ) = 2d 1d 2 cos ϕ.

Следствие от Задача 2 Диагоналите на един четириъгълник са взаимноперпендикулярни тогава и само тогава, когато сборът от квадратите на две негови срещуположни страни е равен на сбора от квадратите на другите две срещуположни страни.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Диагоналите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в точка O и разделят четириъгълника ABCD на четири триъгълника – OAB, OCD, OAD и OBC, с лица съответно S1, S2, S3, S4. Докажете, че S1. S2 = S3. S4. 1.OAB и OAD имат общ връх A и основите им ОВ и ОD лежат на една права (AA1 ⊥ BD, AA1= h1) h1 S1 OB. 2 OB ⇒ = = . S3 h OD OD. 1 2 2.OBC и ODC имат общ връх C и основите им ОВ и ОD лежат на една права (CC1 ⊥ BD, CC1= h2) h2 S 4 OB. 2 = OB . = ⇒ S2 h OD OD. 2 2 S S От (1) и (2) ⇒ 1 = 4 ⇒ S1. S2 = S3. S4 . S3 S2

Доказателство:

ЗАДАЧА 4

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AD = 7, DC = 15, BC = 8 и BCD = 60°, намерете: б) P; в) S ; г) R . а) BD ; Решение:

а) За BCD прилагаме косинусовата теорема. BD 2 = BC 2 + CD 2 − 2 BC.CD cos 60° BD 2 = 64 + 225 − 2.8.15. 1 = 289 − 120 = 169 2 BD = 13 б) За ABD прилагаме косинусовата теорема. BAD = 180° – 60° = 120°, AB = x BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD cos120° 169 = x 2 + 49 + 2 x.7 ⋅ 1 2 2 x + 7 x − 120 = 0 x1 = −15, x 2 = 8, x > 0 ⇒ AB = 8 P = AB + BC + CD + DA = 8 + 8 + 15 + 7 = 38

в) Лицето S на четириъгълника ще намерим по два начина. I начин: S = S  ABD + S  BCD = 1 AB. AD sin 120° + 1 BC.CD sin 60° = 2 2 3 3 1 1 = 14 3 + 30 3 = 44 3 = ⋅ 8.7 ⋅ + ⋅ 8.15 ⋅ 2 2 2 2

II начин: S = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) = = (19 − 8).(19 − 8).(19 − 15).(19 − 7) = 11.11..4.12 = 44 3

г) О  кръжността, описана около четириъгълника ABCD, съвпада с окръжността, описана около BCD. За BCD прилагаме синусовата теорема.

BD = 2 R ⇒ R = BD = 13 = 13 = 13 3 ⇒ R = 13 3 3 3 sin 60° 2 sin 60° 3 2⋅ 3 2

Към съдържанието

135

ЗАДАЧА 5 Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3 2 , AD = 4, CD = BC = 2, намерете: а) S; Решение:

в) BD;

б) BAD;

2 и

г) R.

а) За вписания четириъгълник ABCD прилагаме формулата S = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ).



p = 3 2 + 2+ 2 + 4 = 3+ 2 2 2 S=

(3 + 2

S=

(3 −

2 ) . ( 2 2 +1) . ( 3 + 2 ) . ( 2 2 −1) =

=

(3 +

2 ) . ( 3 − 2 ) . ( 2 2 +1) . ( 2 2 −1) =

=

(3

2

2 − 3 2 ) (3 + 2 2 − 2) (3 + 2 2 − 2 ) (3 + 2 2 − 4)

)(

)

− ( 2 ) . ( 2 2 ) −1 2 = 2

2

= ( 9 − 2 ) .(8 −1) = 7.7 S =7 б) Означаваме BAD = a ⇒ BСD = 180° – a. S = S  ABD + S  BCD = = 1 AB. AD sin α + 1 BC.CD sin(180° − α) = 2 2 1 1 = ⋅ 3 2 .4 sin α + ⋅ 2. 2 sin α = 6 2 sin α + 2 sin α 2 2 S = 7 2 sin α 7 = 7 2 sin α sin α = 1 = 2 ⇒ α = 45° 2 2 в) За ABD прилагаме косинусовата теорема.



BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD cos 45° = 2 = ( 3 2 ) + 4 2 − 2.3 2 .4 ⋅ 2 = 18 + 16 − 24 2 2 BD = 10



BD = 10

г) Окръжността, описана около четириъгълника ABCD, съвпада с окръжността, описана около ABD. За ABD прилагаме синусовата теорема.

136



10 = 10 = 5 BD = 2 R ⇒ R = BD = sin α 2 sin α 2.sin 45° 2 2 2



⇒R= 5

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6

Около окръжност е описан четириъгълник ABCD. Ако AB = 13, BC = 20, CD = 17 и AC = 21, намерете: б) P; в) S; г) r. а) AD; Решение: а) ABCD – описан четириъгълник ⇒ AB + CD = BC + AD 13 + 17 = 20 + AD AD = 10 б) P = AB + BC + CD + DA = 13 + 20 + 17 + 10 = 60 в) Л  ицето на ABCD е сбор от лицата на ABC и ACD, които намираме по Хероновата формула. p  ABC = 13 + 20 + 21 = 27 2 S1 = S  ABC = 27.(27 − 13).(27 − 20).(27 − 21) =

= 27.14.7.6 = 3 3.2.7.7.2.33 = 9.2.7 = 126 p  ACD = 21 + 17 + 10 = 24 2 S 2 = S  ACD = 24.(24 − 21).(24 − 17).(24 − 10) =



= 24.3.7.14 = 4.2.3.3.7.7.2 = 4.3.7 = 84

S = S1 + S 2 = 126 + 84 = 210 г) ABCD – описан четириъгълник ⇒ S = p. r , 210 = 30. r ⇒ r = 7

ЗАДАЧИ

1. Ч етириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Намерете радиуса R на окръжността, ако AB = 3 2 , BC = 2 и ADC = 135°. 2. З а четириъгълника ABCD е дадено, че AC . BD = 24. Ако CAB = 55° и ABD = 65°, намерете лицето S на четириъгълника.    3. Точките M, N, P и Q са средите съответно на страните AB, BC, CD и DA на четириъгълника ABCD. Ако MNPQ е правоъгълник с лице 36 cm2, намерете лицето S на ABCD.    4. Ч етириъгълникът ABCD със страни AD = 5 и BC = 7 e описан около окръжност с радиус r = 3. Намерете лицето S на четириъгълник.  5. Четириъгълникът ABCD e вписан във окръжност. Ако AB = BC = 5, CD = 8 и BAD = 120°, намерете:

Към съдържанието

а) BD; б) P; в) R; г) S. 6. Ч  етириъгълникът ABCD e описан около окръжност. Пресечната точка на диагоналите му е O. Докажете, че  R1 + R3 = R2 + R4, където R1, R2, R3, R4 са радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците OAB, OBC, OCD, ODA. 7. Ч  етириъгълникът ABCD със страни AB = 19 cm, BC = 7 cm, CD = 15 cm и AD = 21 cm е вписан в окръжност. Правите AB и CD се пресичат в точка M. Намерете отношението на лицата на AMD и четириъгълника ABCD. 8. В  ърху страните AB, BC, CD и DA на изABCD са взети S пъкналия = S  ABD + четириъгълник S  BCD = съответно точки M, N, P и Q така, че = 1 AB. AD sin α + 1 BC.CD sin(180° − α) = AM : 2 MB = BN : NC2= CP : PD = DQ : QA= 3 2 .4 sin αотношението α =лицата 6 2 sin = 1 .⋅ Намерете + 1 ⋅ 2. 2 sinна наα + 2 sin α 2 2 MNPQ и ABCD. S четириъгълниците = 7 2 sin α

137

30.

РЕШАВАНЕ НА ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК

О

Един многоъгълник се нарича правилен, ако всичките му страни са равни и всичките му ъгли са равни.   

Т

Правилен многоъгълник с три страни е всеки равностранен триъгълник. Правилен многоъгълник с четири страни е всеки квадрат. Правилен многоъгълник с n на брой страни се нарича още правилен n-ъгълник.

Ако един многоъгълник е правилен, то: а) около него може да се опише окръжност; б) в него може да се впише окръжност. Доказателство:

А1А2...An – правилен многоъгълник а) 1 . Тъй като ъглите на многоъгълника са по-малки от 180°, ъглополовящите на ъглите при върховете А1 и А2 се пресичат. Означаваме тяхната пресечна точка с О, а големи­ната на всеки ъгъл на многоъгълника с a

OA22AА1 1==  OA32A ⇒ OА1А2 =OА OА А23 == α 2 ⇒ OА1А2 e равнобедрен, т.е. OА1 = OА2.

2. Съединяваме А3 с О и разглеждаме OА1А2 и OА2А3. За тях OA1 = OA2 A1 A2 = A2 A3

OA1 A2 = OA2 A3 = α 2 ⇒ OА1А2 ≅ OА2А3 по I признак

⇒ OА2 = OА3, OA2 A1 = OA3 A2 = α , т.е. 2 OA3 е ъглополовяща на A3.

3. Съединяваме А4 с О и разглеждаме OА2А3, OА3А4 и т.н. Аналогично доказваме, че OА4 , OА5 ,... , OAn – 1, OAn са ъглополовящи съответно на ъглите А4 , А5 ,... , An и OА1= OА2= OА3=... = OAn – 1 = OAn. Следователно окръжността с център O и радиус   R = OA1 е описана около многоъгълника. б) OА1А2, OА2А3 ,... , OAnA1 са равнобедрени и еднакви триъгълници. Височините OM1, OM2,... , OMn към основите им са равни, т.е. разстоянията OM1, OM2,... , OMn от O до страните на многоъгълника са равни. Следователно страните на многоъгълника са допирателни към окръжността с център O и радиус r = OM1, т.е. тази окръжност е вписана в многоъгълника.

138

Към съдържанието

Eлементи на правилен многоъгълник  център – общият център на вписаната и описаната окръжности  радиус – радиусът R на описаната окръжност  апотема – радиусът r на вписаната окръжност  централен ъгъл – ъгълът между два съседни радиуса Правилният n-ъгълник има n централни ъгъла с общ сбор 360°. Всеки от тях има големина− 360° . n Радиусите на правилния многоъгълник го разделят на n на брой еднакви равнобедрени триъгълника. А1А2O ≅ А2А3O ≅ ... ≅ АnА1O Всеки от тези триъгълници има бедро R, височина към основата r и ъгъл при върха− 360°  . n Ако намерим лицето на един от тези равнобедрени триъгълници и го умножим по броя на страните, ще получим лицето на правилния многоъгълник.

ОСНОВНА ЗАДАЧА 1

Докажете, че лицето Sn на правилен n-ъгълник, вписан в окръжност с радиус R, е (1) S n = n R 2 sin 360° . 2 n Доказателство: 1. S  A1 A2O = 1 OA1. OA2 sin 360° = 1 R 2 sin 360° 2 2 n n 2. S n = nS  A1 A2O = n ⋅ 1 R 2 sin 360° 2 n 2 ° 360 n S n = R sin 2 n

ЗАДАЧА 1

Намерете лицето на правилен n-ъгълник, вписан в окръжност с радиус R, ако: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6. Решение: а) Във формула (1) заместваме с n = 3.

S 3 = 3 R 2 sin 360° = 3 R 2 sin 120° = 3 R 2 ⋅ 3 = 3 3 ⋅ R 2 2 2 4 2 3 2 S3 = 3 3 R 2 4

б) Във формула (1) заместваме с n = 4.

S 4 = 4 R 2 sin 360° = 2 R 2 sin 90° = 2 R 2 .1 = 2 R 2 2 4 2 S 4 = 2R

в) Във формула (1) заместваме с n = 6.

Към съдържанието

S 6 = 6 R 2 sin 360° = 3R 2 sin 60° = 3R 2 ⋅ 3 = 3 3 ⋅ R 2 2 6 2 2 S6 = 3 3 R 2 2

139

ОСНОВНА ЗАДАЧА 2

Докажете, че лицето Sn на правилен n-ъгълник със страна a е (2) S n = n a 2 cotg 180° . 4 n Доказателство: 1. S  A1 A2O 1= = A A . OM 1 1 a . OM 1 2 1 2 2 2. M 1 A2O (M 1 = 90°) , M 1OA2 = 1 ⋅ 360° = 180° 2 n n OM 1 = M 1 A2 cotg 180° = a cotg 180° 2 n n 3. От (1) и (2) ⇒ 2 S  A A O = 1 a ⋅ a cotg 180° = a cotg 180° . 1 2 2 2 n 4 n

4. S n = n S  A1 A2O = n a 2 cotg 180° 4 n

ЗАДАЧА 2

Намерете лицето на правилен n-ъгълник със страна a, ако: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6. Решение:

а) Във формула (2) заместваме с n = 3. 2 2 S 3 = 3 a 2 cotg 180° = 3a cotg 60° = 3a ⋅ 3 4 3 4 3 4 S3 = 3 a 2 4 б) Във формула (2) заместваме с n = 4.



S 4 = 4 a 2 cotg 180° = a 2 cotg 45° = a 2 .1 = a 2 4 4 2 S4 = a

в) Във формула (2) заместваме с n = 6.

ОСНОВНА ЗАДАЧА 3

2 S 6 = 6 a 2 cotg 180° = 3 a 2 cotg 30° = 3 a 2 . 3 = 3a 3 2 4 6 2 2 S6 = 3 3 a 2 2

Докажете, че лицето на правилен n-ъгълник, описан около окръжност с радиус r, е (3) S n = nr 2 tg 180° . n = 1. S  A1 A2O 1= A A . OM 1 1 a. r Доказателство: 2 1 2 2 2. M 1 A2O (M 1 = 90°), M 1OA2 = 1 ⋅ 360° = 180° 2 n n M 1 A2 = OM 1 tg 180° = r tg 180° n n a 180° 180° 2 = r tg n ⇒ a = 2r tg n 3. От (1) и (2) ⇒ S  A1 A2O = 1 ⋅ 2r ⋅ tg 180° ⋅ r = r 2 tg 180° . 2 n n 4. S n = n S  A1 A2O = n. r 2 tg 180° n

140

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Намерете лицето на правилен n-ъгълник, описан около окръжност с радиус r, ако: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6. Решение: а) Във формула (3) заместваме с n = 3. S 3 = 3r 2 tg 180° = 3r 2 tg 60° = 3r 2 . 3 3 2 S 3 = 3 3r

б) Във формула (3) заместваме с n = 4. S 4 = 4r 2 tg 180° = 4r 2 tg 45° = 4r 2 .1 4 2 S 4 = 4r

в) Във формула (3) заместваме с n = 6. S 6 = 6r 2 tg 180° = 6r 2 tg 30° = 6r 2 ⋅ 3 6 3 2 S 6 = 2 3r

Т

Лицето S на правилен n-ъгълник със страна а и радиус на вписаната окръжност r се намира по формулата S = nar . 2 Доказателство: Като използваме формулата S = p.r, валидна за всеки описан многоъгълник, и форму­лата Р = n.a за правилен n-ъгълник, получаваме S = p. r = na ⋅ r = nar . 2 2 В следващата таблица са дадени формулите за лицето S на правилен n-ъгълник, изразени чрез страната и радиусите на описаната и на вписаната окръжности. Брой на страните (n) 3 4 6

ЗАДАЧИ

Страна (а)

Радиус на описаната окръжност (R)

Радиус на вписаната окръжност (r)

S = 3 a2 4 2 S=а

S = 3 3 R2 4 S = 2R2

S = 3 3r 2

S = 3 3 a2 2

S = 3 3 R2 2

1. Намерете лицето на правилен n-ъгълник, вписан в окръжност с радиус R, ако: а) n = 5; б) n = 10; в) n = 12; г) n = 18. 2. Намерете лицето на правилен n-ъгълник със страна a, ако:

Към съдържанието



а) n = 5; в) n = 12;

S = 4r2 S = 2 3r 2 б) n = 10; г) n = 18.

3. Намерете лицето на правилен n-ъгълник, описан около окръжност с радиус r, ако: а) n = 5; б) n = 10; в) n = 12; г) n = 18.

141

31.

РЕШАВАНЕ НА ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ Най-важната характеристика на един многоъгълник е броят на страните (или на ъглите) му. Освен тях, друга важна характеристика са неговите диагонали. Диагонал на многоъгълника е всяка отсечка, която не е негова страна и свързва два от върховете му.

!

Броят на диагоналите на правилен n-ъгълник е равен на

n ( n − 3) . 2

Доказателство: • Правилният п-ъгълник има п върха. • От всеки връх могат да се построят диагонали до всички върхове с изключение на три (самия връх и двата му съседни), т.е. от всеки връх могат да се построят п – 3 диагонала. От п върха могат да се построят п(п – 3) диагонала. • Тъй като всяка двойка диагонали АрAq и АqAр съвпада, то п(п – 3) трябва да се 2 n(n −1) n = n 2 − 3n е= n(n − 3) . = n − n − 2п-ъгълник раздели на 2. Броят на диагоналите −наn правилен 1.2 2 2 2

ЗАДАЧА 1

Намерете броя на диагоналите на правилен: а) петоъгълник; б) деветоъгълник. Решение: а) п = 5 б) п = 9 Броят на диагоналите е Броят на диагоналите е 5.(5 − 3) 5.2 9.(9 − 3) 9.6 = =5. = = 9.3 = 27 . 2 2 2 2

ЗАДАЧА 2

Намерете броя на страните на правилен многоъгълник, ако той има: а) 14 диагонала; б) 35 диагонала. Решение: а)

ЗАДАЧА 3

n(n − 3) = 14 2 n 2 − 3n − 28 = 0 n1 = 7, n 2 = − 4, n > 0 Броят на страните е 7.

б)

n(n − 3) = 35 2 n 2 − 3n − 70 = 0 n1 = 10, n 2 = − 7, n > 0 Броят на страните е 10.

Намерете в кой многоъгълник броят на диагоналите е с 12 по-голям от броя на страните. Решение: n(n − 3) = n + 12 2 n 2 − 3n = 2n + 24 n 2 − 5n − 24 = 0, n1 = 8, n 2 = −3, n > 0 ⇒ броят на страните е 8.

142

Отг. Осмоъгълник

Към съдържанието

ОСНОВНА ЗАДАЧА 1

Всеки ъгъл a на правилен n-ъгълник има градусна мярка n − 2 ⋅ 180° , т.е. n (1) α = n − 2 ⋅ 180° . n Доказателство: 1. A1A2 .... An – правилен n-ъгълник A1 A2 A3 = A2 A3 A4 = ... = An A1 A2 = α

An A1O = OA1 A2 = OA2 A1 = OA2 A3 = ... = α 2

2. В  A1 A2O A1OA2 = 360° .

ЗАДАЧА 4



n α + α + 360° = 180° 2 2 n 180°. n − 360° α = 180° − 360° = n n



α = n − 2 ⋅ 180° n

Като използвате формула (1), намерете градусната мярка на ъгъл a в правилен n-ъгълник, ако: б) n = 4; в) n = 6; г) n = 10. а) n = 3; Решение: a) Във формула (1) заместваме п = 3. α = A1 A2 A3 = 3 − 2 ⋅ 180° = 180° = 60° 3 3 б) Във формула (1) заместваме п = 4. α = A1 A2 A3 = 4 − 2 ⋅ 180° = 180° = 90° 4 2

в) Във формула (1) заместваме п = 6. α = A1 A2 A3 = 6 − 2 ⋅ 180° = 2.180° = 120° 6 3 г) Във формула (1) заместваме п = 10. α = A1 A2 A3 = 10 − 2 ⋅ 180° = 8 .180° = 8.18° = 144° 10 10

!

Сборът от градусните мерки на ъглите на правилен n-ъгълник е равен на (п – 2) .180°. Доказателство: n . α = n ⋅ n − 2 ⋅ 180° = (n − 2).180° n

Към съдържанието

143

ЗАДАЧА 5

Да се намери броят на страните на правилен n-ъгълник, ако ъгълът му е със 108° по-голям от неговия централен ъгъл. Решение: 1. α = n − 2 ⋅ 180° n 2. Централният ъгъл е равен на− 360° . n 3. n − 2 ⋅ 180° = 360° + 108° | :36° n n n − 2 ⋅ 5 = 10 + 3 n n 5n − 10 = 10 + 3n 2n = 20 n = 10

ЗАДАЧА 6

Намерете градусната мярка на ъгъл a в правилен п-ъгълник, ако той има 54 диагонала. Решение: 1. Намираме броя на страните на многоъгълника.

n(n − 3) = 54 2 n 2 − 3n −108 = 0 n1 = 12, n 2 = − 9, n > 0 ⇒ n = 12

ЗАДАЧА 7

2. Градусната мярка на ъгъл a намираме по формула (1).

α = n − 2 ⋅180° n α = 12 − 2 ⋅180° 12 α = 10.15° α = 150°

Да се докаже, че външният ъгъл на правилен многоъгълник е равен на централния му ъгъл. Доказателство: 1. Централният ъгъл е равен на− 360° . n 2. Външният ъгъл a′ е равен на α′ = 180° − α = = 180° − n − 2 ⋅ 180° = n = 180°. 1 − n − 2 = n = 180°. n − n + 2 = n 180°. 2 = n α′ = 360° . n

( (

) )

Ще получим зависимости между страните на правилен n-ъгълник и радиусите на вписаната и на описаната му окръжност.

144

Към съдържанието

ОСНОВНА ЗАДАЧА 2

Ако a е страната на правилен n-ъгълник, а R е радиусът на описаната около него окръжност, то (2) a = 2 R sin 180° . n 1. В OM 1 A2 OM 1 A2 = 90°, M 1OA2 = 1 ⋅ 360° = 180° . Доказателство: 2 n n M 1 A2 = 1 A1 A2 = a , OA2 = R 2 2 2. M 1 A2 = sin 180° OA2 n M 1 A2 = OA2 sin 180° n a = R sin 180° ⇒ a = 2 R sin 180° 2 n n Чрез формула (2) при дадени n и радиус R на описаната около правилен n-ъгълник окръжност можем да намерим страната a на многоъгълника. a , решаваме обратната задача за Ако запишем равенството (2) във вида R = 2 sin 180° n намиране радиуса R на описаната около правилния n-ъгълник окръжност чрез страната а на многоъгълника.

ЗАДАЧА 8

Като използвате формула (2), намерете връзката между R и a за правилен n-ъгълник, ако: б) n = 4; в) n = 6; г) n = 10. а) n = 3; Решение: а) Във формула (2) заместваме n = 3. a = 2 R sin 180° = 2 R sin 60° = 2 R 3 = R 3 3 2 ⇒R=a 3 3 б) Във формула (2) заместваме n = 4. a = 2 R sin 180° = 2 R sin 45° = 2 R 2 = R 2 2 4 ⇒R=a 2 2 в) Във формула (2) заместваме n = 6. a = 2 R sin 180° = 2 R sin 30° = 2 R 1 = R 6 2 ⇒R=a г) Във формула (2) заместваме n = 10. a = 2 R sin 180° = 2 R sin 18° 10 a ⇒R= 2 sin 18°

Към съдържанието

145

ОСНОВНА ЗАДАЧА 3

Ако a е страната на правилен n-ъгълник, а r е радиусът на вписаната в него окръжност, то (3) a = 2r tg 180° . n Решение: 1. В OM 1 A2 OM 1 A2 = 90°, OM 1 = r , M 1 A2 = a . 2 M 1 A2 ° 180 2. = tg OM 1 n M 1 A2 = OM 1 tg 180° n a = r.tg 180° ⇒ a = 2r tg 180° 2 n n Чрез формула (3) при дадени n и радиус r на вписаната в правилен n-ъгълник окръжност можем да намерим страната a на многоъгълника. a , r = a cotg 180° , решаваме обрат­ Ако запишем равенството (3) във вида r = 180 ° 2 n 2 tg n ната задача за намиране радиуса r на вписаната в правилен n-ъгълник окръжност чрез страната а на многоъгълника.

ЗАДАЧА 9

Като използвате формула (3), намерете връзката между r и a за правилен n-ъгълник, ако: б) n = 4; в) n = 6; г) n = 10. а) n = 3; Решение: а) Във формула (3) заместваме n = 3. a = 2r tg 180° = 2r tg 60° = 2r 3 3 ⇒r= a 3 6 б) Във формула (3) заместваме n = 4. a = 2r tg 180° = 2r tg 45° = 2r 4 a ⇒r= 2 в) Във формула (3) заместваме n = 6. a = 2r tg 180° = 2r tg 30° = 2r 3 6 3 ⇒r= a 3 2 г) Във формула (3) заместваме n = 10. a = 2r tg 180° = 2r tg18° 10 a ⇒ r = cotg 18° 2

146

Към съдържанието

В следващата таблица е дадена връзката между радиусите на описаната и на вписаната за правилен n-ъгълник окръжности чрез страната a на многоъгълника в най-често срещаните случаи: n = 3 (равностранен триъгълник), n = 4 (квадрат), n = 6 (правилен шестоъгълник). Брой на страните (n)

Страна

3

a

4

a

6

a

Радиус на описаната окръжност (R)

Радиус на вписаната окръжност (r)

R=a 3 3 R=a 2 2

r=a 3 6 r=a 2

R=a

r=a 3 2

ЗАДАЧА 10 Намерете P и S на правилен шестоъгълник, за който R − r = 10 − 5 3 . Решение:

1. При n = 6 ⇒ R = a, r = a 3 . 2 a 3 2. a − = 10 − 5 3 2 2a − a 3 = 20 − 10 3 a ( 2 − 3 ) = 10 ( 2 − 3 ) a = 10 3. P = 6a Р = 6 . 10 P = 60 4. S = 3a

2

3 2 2 S = 3.10 3 2



ЗАДАЧИ

1. Да се намери броят на страните на правилен многоъгълник, ако ъглите му са равни на: а) 108°; б) 135°; в) 150°; г) 162°. 2. Ъгълът в кой правилен многоъгълник е 8 пъти по-голям от централния му ъгъл? 3. Намерете P и S на равностранен триъгълник, за който R – r = 1.

Към съдържанието

S = 150 3

4. Да се намерят диаметрите на описаната и на вписаната за правилен шестоъгълник окръжности, ако разликата им е 6. 5. В окръжност са вписани квадрат и правилен шестоъгълник. Намерете отношението на периметрите им. 6. Около окръжност са описани равностранен триъгълник и правилен шестоъгълник. Намерете отношението на лицата им.

147

32.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ“ Запомнете! ABCD – успоредник P = 2a + 2b S = a . ha = b . hb S = ab sin a

ABCD – трапец P =a+b+c+d S = a +b ⋅h 2

ABCD – четириъгълник P=a+b+c+d S = 1 d 1d 2 sin ϕ 2 Описан четириъгълник S = p.r Вписан четириъгълник S = ( p − a )( p − b)( p − b)( p − c) Описан и вписан четириъгълник S = a. b. c. d A1A2 ... An – правилен n-ъгълник P = n.a S = n a 2 cotg 180° 4 n 2 n ° 360 S = R sin 2 n S = nr 2 tg 180° n

148

α = n − 2 ⋅ 180° n a = 2 R sin 180° n a = 2r tg 180° n

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

Намерете лицето на успоредник със страни 5 cm и 3 cm и ъгъл между диагоналите 45°. Решение:

1.  Означаваме AB = a = 5 cm, AD = b = 3 cm, AC = d1, BD = d2. Ако AC ∩ BD = O, AOD = 45° и AOB = 135°. 2. За AOB прилагаме косинусовата теорема. AB 2 = AO 2 + BO 2 − 2 AO.BO cos135° 25 =

d 12 d 22 d 1d 2 2 + + 4 4 4

3. За AOD прилагаме косинусовата теорема. AD 2 = AO 2 + DO 2 − 2 AO.DO cos 45° d 12 d 22 d 1d 2 2 + − 9= 4 4 4 4.  От (2) изваждаме (3) и получаваме dd 2 16 = 1 2 ⇒ d 1d 2 = 16 2 . 2 5. S = 1 d 1d 2 sin 45° = 1 ⋅ 16 2 ⋅ 2 = 8 cm 2 2 2 2

ЗАДАЧА 2

Един от диагоналите на успоредник е d и образува с две съседни страни ъгли a и b. Намерете лицето S на успоредника. Решение:

Означаваме AC = d, BAC = a и DAC = b. ACD = BAC = a (кръстни) I начин: 1. За ACD използваме формулата за лице на c 2 sin α sin β триъгълник S = 1 ⋅ 2 sin γ 2 d sin α sin β d 2 sin α sin β ⇒ S  ACD = 1 ⋅ . =1⋅ 2 sin(180° − (α + β)) 2 sin(α + β) 2. ABC ≅ CDA d 2 sin α sin β d 2 sin α sin β ⇒ S ABCD = 2S  ACD = 2 ⋅ 1 ⋅ = 2 sin(α + β) sin(α + β)

II начин: 1.  ACC1 (C1 = 90°) CC1 = sin α ⇒ CC1 = d sin α AC 2. За ACD прилагаме синусовата теорема. d sin β DC = AC ⇒ DC = sin(α + β) sin β sin(180° − (α + β)) 3. S ABCD = DC . CC1 =

Към съдържанието

d sin β d 2 sin α sin β ⋅ d sin α = sin(α + β) sin(α + β)

149

ЗАДАЧА 3 Точка M e средата на страната CD в успоредника ABCD. Ако AM = 9, AC = 11 и BD = 27, намерете обиколката P и лицето S на успоредника. Решение:

1. Означаваме DM = CM = x и AD = y. 2. За ABCD прилагаме зависимостта между страни и диагонали на успоредника.



2a22a+2 2+b22b=2 d=12d+2 d+22d 2 1 2 8 x82x+2 2+y22y=2 121 + 729 = 121 + 729 8 x82x+2 2+y22y=2 850 = 850|: 2|: 2 2 2 2 2 y y= 425 ⇒4 x4 x+ + = 425

3. AM е медиана в ACD. Прилагаме формулата за медиа­на. 2 2 2 2 2 2 2 AD 2 AC − CD AMAM = 1= 12 AD + 2+AC − CD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 AD 2 AC − CD AM 4 AM = 2=AD + 2+AC − CD 2

2

4.=812=y 22 + 2.121 y 2+ 4.81 − 4−x 24 x|: 2 |: 2 .121

2

2.=81y=2 + y 121 + 121 2.81 − 2−x 22 x

2

2 ⇒ y 2−=41− 41 2 x 22−x y−2 =

4. Съставяме и решаваме системата.



4 x 2 + y 2 = 425 2 x 2 − y 2 = − 41

+

6 x 2 = 384 x 2 = 64 x = 8 ( x > 0)

y 2 = 2 x 2 + 41 y 2 = 128 + 41 y 2 = 169 y = 13 ( y > 0)

⇒ AB = a = 2x = 16 АD = b = y = 13

5. P = 2(a + b) = 2.(16+13) = 2.29 = 58 P = 58 6. Лицето на успоредника ABCD е 2 пъти лицето на ABC. p = 16 + 13 + 11 = 20 2 S  ABC = 20.(20 − 16).(20 − 13).(20 − 11) = = 20.4.7.9 = = 5.4.4.7.9 = = 12 35 = S ABCD 2= S  ABC 2.12 35 = 24 35 S = 24 35

150

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4

Диагоналите на трапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка O и AOB = 120°. Ако AB = 22, CD = 9 и AC = 24, намерете лицето S на трапеца. Решение:

1. Построяваме CQ || DB (Q ∈ AB). BQCD – успоредник BQ = DC = 9, BD = QC ACQ = AOB = 120° 2. За AQC прилагаме косинусовата теорема. AQ = AB + BQ = 22 + 9 = 31, QC = x AQ 2 = AC 2 + QC 2 – 2AC.QC cos 120°

( )

312 = 24 2 + x 2 − 2.24. x ⋅ − 1 2 x 2 + 24 x − 385 = 0 ( x > 0) x1 = 11 > 0, x 2 = −35 < 0

⇒ BD = 11

3 1 1 3. S = AC.BD sin 120° = ⋅ 24.11 ⋅ 2 2 2 S = 66 3

ЗАДАЧА 5 В четириъгълник ABCD AB = 15 cm, BC = 37 cm, CD = 17 cm и AD = 39 cm. Намерете диагонала AC на четириъгълника, ако S  ABC : S  ACD = 4 : 5 . Решение:

1. Означаваме АС = 2х (11 < х 0, x 2 = −22 < 0

151

ЗАДАЧА 6 Четириъгълникът ABCD с лице S е вписан в окръжност с радиус R. Ако BC = CD = BD = 3 и AD = 2 3 , намерете: а) BAD; б) AB; Решение:

в) S;

3,

г) R.

Означаваме BCD = ϕ, AB = x. а) За BCD прилагаме косинусовата теорема. BD 2 = BC 2 + CD 2 − 2.BC.CD cos ϕ 9 = 3 + 3 − 2 3. 3 cos ϕ 6 cos ϕ = −3 ⇒ cos ϕ = − 1 ⇒ BCD = ϕ = 120° 2 BAD + BCD = 180° (вписан четириъгълник) BAD +120° = 180° ⇒ BAD = 60° б) За ABD прилагаме косинусовата теорема. BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD cos 60° 9 = x 2 + 12 − 2 x.2 3 ⋅ 1 2

x 2 − 2 3x + 3 = 0 ⇒ ( x − 3 ) = 0 ⇒ x = 3 2

в) Ще намерим лицето S на ABCD по два начина. 

I начин: S = S  ABD + S  BCD =

= 1 ⋅ 3.2 3 sin 60° + 1 ⋅ 3. 3 sin 120° = 2 2 = 3⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 6 3 + 3 3 = 9 3 2 2 2 4 4 4  II начин: Ще използваме формулата за лице на вписан четириъгълник. p= 3+ 3+ 3+2 3 = 5 3 2 2 S = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) 3

    S =  5 3 − 3 ⋅ 5 3 − 2 3 =   2   2   3 3. ( 3 ) =9 3 = 3 3 ⋅ 3 = 4 4  2  2 2 3



4

г) Радиусът R на описаната около ABCD окръжност съвпада с радиуса на описаната около ABD окръжност. За ABD прилагаме синусовата теорема. BD = 2 R ⇒ R = BD = 3 = 3 = 3 sin BAD 2 sin 60° 3 2⋅ 3 2

152

Към съдържанието

ЗАДАЧА 7

Докажете, че съществува триъгълник със страни, равни на страните на вписаните в една окръжност правилни триъгълник, четириъгълник и шестоъгълник. Определете вида на този триъгълник. 1. О  значаваме радиуса на окръжността с R, а страните на равностранния триъгълник, квадрат и правилен шестоъгълник съответно с x, y и z. За по-голяма нагледност ще направим 4 чертежа.

Решение:

2. R = x 3 ⇒ x = R 3 3 3. R =

y 2 ⇒y=R 2 2

4. R = z ⇒ z = R 5. z < y < x

2 2 2 Проверяваме, че z + y = x .

z 2 + y2 = R2 + (R 2) = 2

= R 2 + 2R 2 = = 3R 2 x 2 = ( R 3 ) = 3R 2 2

⇒ z2 + y2 = x2

ЗАДАЧА 8

⇒ съществува правоъгълен триъгълник с катети страните на правилните вписани четириъгълник и шестоъгълник и хипотенуза страната на вписания равностранен триъгълник.

В правилен шестоъгълник е вписана окръжност, а в нея е вписан равностранен триъгълник. Намерете лицето S на триъгълника, ако страната на шестоъгълника е а. Решение: 1. A  BCDEF е правилен шестоъгълник със страна а и радиу­с r на вписаната в него окръжност k a 3 ⇒ r= . 2 а

k

2. MNQ e равностранен триъгълник, вписан в окръжността k. Означаваме MN = x ⇒ R= x 3. 3 3. r = R ⇒ a 3 = x 3 ⇒ x = 3 a 2 3 2

( )

2 4. S  MNQ = x 3 = 3a 4 2

Към съдържанието

2

3 = 9 3 a2 4 16

153

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ“ 1.  Отношението на височините в успоредник е 2 : 3, периметърът му е 40  cm, а острият му ъгъл е 30°. Намерете лицето на успоредника. Н амерете лицето на успоредник с 2.  остър ъгъл a, ако разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до страните са m и n. 3. Височината на ромб е 24 cm, а единият му диагонал е 30 cm. Намерете лицето на ромба. Намерете лицето на ромб по дадени 4.  диагонал d и ъгъл a срещу него. Намерете лицето на ромб по дадени 5.  радиус r на вписаната окръжност и ъгъл a. 6. Намерете радиуса на вписаната окръжност в ромб с лице S и ъгъл a. 7. Около окръжност е описан равнобедрен трапец с основи 8 cm и 2 cm. Намерете лицето на трапеца. Равнобедрен трапец с остър ъгъл a и 8.  периметър 2p е описан около окръжност. Намерете лицето на трапеца. 9. Равнобедрен трапец с остър ъгъл a е описан около окръжност с радиус r. Намерете лицето на трапеца. 10. Диагоналите на трапец са 20 cm и 15 cm, а височината му е 12 cm. Намерете лицето на трапеца. 11. Намерете лицето на трапец с диагонали d1 и d2 и мерки a и b на ъглите, които те образуват с голямата основа. 12. Основите на трапец са 12 cm и 3 cm, а едното му бедро е 17 cm. Ако лицето на трапеца е 60 cm2, намерете другото му бедро. 13. Бедрата AD и BC на трапец ABCD са съответно 8 cm и 10 cm, а малката основа CD е равна на 2 cm. Намерете лицето на трапеца, ако ъглополовящата на ABC минава през средата на AD.

154

14. В трапеца ABCD (AB || CD) AB = 50 cm, AD = 30 cm и AD ⊥ BD. Ако диагоналът AC разполовява BAD, намерете лицето на трапеца. 15. Равнобедрен трапец с основи a и b е описан около окръжност. Намерете лицето на четириъгълника с върхове допирните точки на страните на трапеца с окръжността. 16. Намерете лицето на четириъгълник, единият диагонал на който е 30 cm, а отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни, са 26 cm и 28 cm. 17. Отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни в четириъгълник, са m и n (m > n), а ъгълът между диагоналите му е ϕ. Намерете лицето на четириъгълника. 18. В четириъгълник ABCD AB = 18 cm, BC = 22 cm, CD = 27 cm и DA = 17 cm. Намерете диагонала AC и лицето на четириъгълника, ако AC го разделя на два равнолицеви триъгълника. 19. В четириъгълник ABCD AB = 14 cm, BC = 48 cm, CD = 40 cm и AD = 30 cm. Намерете диагонала AC и лицето на четириъгълника, ако AC разделя ли­ цето му в отношение 14 : 25. 20. В окръжност с диаметър 2 6 е вписан равностранен триъгълник, върху едната страна на който е построен квадрат. Намерете радиусите на вписаната и на описаната за този квадрат окръжност. 21. Върху страната на квадрат, описан около окръжност с радиус 1 dm, е построен правилен шестоъгълник. Намерете радиусите на вписаната и на описаната за този шестоъгълник окръжности. 22. Върху една от страните на правилен шестоъгълник, описан около окръжност с диаметър 24 cm, е построен равностранен триъгълник. Намерете радиусите на вписаната и на описаната за този триъгълник окръжности.

Към съдържанието

33.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ“ 1. ABCD е успоредник със страни АВ = а, AD = b и SBAD = 45°. Ако a : b = 5 : 3 и периметърът на успоредника е 32, лицето му S е: А) 30;

Б) 30 2 ; В) 120;



Г) 120 2 .

2. Диагоналите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в точка О и SAOB = 45°. Ако AC = 7 2 и BD = 10, лицето на четириъгълника е: А) 35; Б) 70;

В) 35 2 ;



Г) 70 2 .

3. Л  ицето на правилен шестоъгълник, описан около окръжност с радиус r = 4, е:

А) 24;



Б) 16 3;



В) 32 3;



Г) 48.

А) 16 3;



Б) 8 3; В) 8; Г) 16.

4

5. Т  очките М, N, Р и Q са средите съответно на страните АВ, ВС, CD и DA на четириъгълника ABCD, а MNPQ е квадрат с обиколка 24. Лицето на ABCD е равно на:

Към съдържанието

А) 12; Б) 36; В) 72; Г) 144.

Диагоналите на равнобедрен трапец 6.  са перпендикулярни помежду си, а дължината на височината му е 4 2 . Лицето на трапеца е равно на: А) 32;

Б) 32 2 ;



В) 16 2 ; Г) 64.

7. Около четириъгълника ABCD, в който АВ = 6, AD = 4 2 , CD = 2 2 и SBAD  =  45°, е описана окръжност. Лицето на четириъгълника е: А) 12; Б) 14; В) 28;

4. Успоредник ABCD има страна AD = 4, диагонал BD = 4 3 и SABC = 120°. Лицето на успоредника е:



Г) 12 2 .

8. Даден е успоредник ABCD с лице 96. През средата М на страната AD и вър­ ха В е прекарана права, която пресича диагонала АС в точка О. Намерете лицето на VAOB.

9. В равностранен триъгълник със страна а е вписана окръжност, а в нея е впи­ сан правилен шестоъгълник. Намерете лицето на шестоъгълника. 10. Намерете лицето S на трапец по дадени основи а = 20, b = 6 и бедра с = 15, d = 13.

155

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ“ 1.  ABCD е успоредник със страни АВ = а, AD = b и SBAD = 60°. Ако 4a = 7b и периметърът на успоредника е 44, лицето му S е:

А) 56 3;



Б) 56 2 ; В) 56;



Г) 28 3.

2. Диагоналите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в точка О и SAOD = 60°. Ако AC = 6 3 и BD = 8, лицето на четириъгълника е: А) 18; Б) 36;

В) 18 3;



Г) 36 3.

O

3. Л  ицето на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с радиус R = 4, е:

А) 24;



Б) 12 3;



В) 24 3;



Г) 36 3.

4. Успоредникът ABCD има височини DD1 =  15 , DD2 = 15 и SD1DD2 = 60°. Лицето на успоредника е:

А) 10 3;



Б) 15 5 ;



В) 30 5 ;



Г) 60 5 .

 очките М, N, Р и Q са средите съот5. Т ветно на страните АВ, ВС, CD и DA на четириъгълника ABCD, а MNPQ е правоъгълник с лице 12. Лицето на ABCD е равно на:

156



А) 18; Б) 24; В) 36; Г) 48.

Диагоналите на трапеца ABCD се пре6.  S  AOB 9= , S COD 4 . сичат в точка О и= Лицето на трапеца е равно на: А) 19; Б) 20; В) 24; Г) 25. 7. Около четириъгълника ABCD, в който АВ = 15, AD = 7, CD = 7 и SBСD  =  120°, е описана окръжност. Лицето на четириъгълника е:

А) 105 3 ; 4



Б) 56 3 ; 4



В) 161 3 ; 4 Г) 161 3 . 2



8. Даден е успоредник ABCD с лице 60. През средата М на страната СD и вър­ ха А е прекарана права, която пресича диагонала BD в точка О. Намерете ли­ цето на VOМD.

9. Около квадрат със страна а е описана окръжност, а около нея е описан правилен шестоъгълник. Намерете лицето на шестоъгълника. 10. Намерете лицето S на трапец по дадени основи а = 10, b = 6 и бедра с = 5, d = 7.

Към съдържанието

ТЕМА 3 ТРИГОНОМЕТРИЯ (Урок 34 – Урок 52)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: обобщен ъгъл и радиан; тригонометрични функции на обобщен ъгъл; основни тригонометрични тъждества;  четност, нечетност и периодичност на тригонометричните функции;  графики на функциите y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = cotg x; тригонометрични формули. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:  да превръщат градусна мярка на ъгли в радианна и обратно;  да прилагат основните свойства на тригонометричните функции;  да разпознават графиките на основните тригонометрични функции;  да преобразуват тригонометрични изрази с помощта на изучените формули. Към съдържанието

157

34.

ОБОБЩЕН ЪГЪЛ. РАДИАН Eлементарен ъгъл

О

Геометрична фигура, която се състои от два лъча с общо начало, се нарича елементарен ъгъл. Вместо понятието „ъгъл“ използваме понятието „елементарен ъгъл“, тъй като ще въведем и друго – „обобщен ъгъл“.

Вътрешни точки (вътрешност) на AOB се наричат общите точки на двете полуравнини:

• λ – с контур правата OA и съдържаща точката B;



• µ – с контур правата OB и съдържаща точката A.

Мярка на ъгъл се нарича положително число, получено при измерването на вътрешността на ъгъла с избрана мерна единица за ъгъл. 1 Мерната единица за измерване на ъгъл е един градус (1° = част от правия ъгъл). 90 Градусната мярка на всеки елементарен ъгъл е число от затворения интервал [0°; 180°].

• Мярка 0° има нулевият ъгъл – ъгъл, двата лъча на който съвпадат.



•  М  ярка 180° има изправеният ъгъл – ъгъл, двата лъча на който са противоположни (под вътрешност на изправения ъгъл се разбира едната от двете полуравнини, определени от лъчите на ъгъла).

Насочен (ориентиран) ъгъл

О

Елементарен ъгъл, на който единият лъч е приет за първи, а другият – за втори, се нарича насочен (ориентиран) ъгъл. Насочените ъгли се изобразяват с дъга във вътрешността на ъгъла, завършваща със стрелка при второто рамо. Ако посоката на стрелката е обратна на движението на часовниковата стрелка, насоченият ъгъл се нарича положителен. Ако посоката на стрелката съвпада с посоката на движението на часовниковата стрелка, насоченият ъгъл се нарича отрицателен.

158

Към съдържанието

Мярка на насочен ъгъл се нарича мярката на съответния елементарен ъгъл, взета със знак „+“ или „–“ в зависимост от това дали насоченият ъгъл е положителен, или отрицателен.

ПРИМЕР 1 а)

б)

pOq = + 40°

pOq = – 135°

Обобщен ъгъл Практическите потребности на физиката, механиката, техниката и други науки водят до необходимостта от разширението на понятието „ъгъл“. От кинематична гледна точка ъгълът е „пътят“, който изминава в положителна или отрицателна посока въртящ се лъч около началото си.

ПРИМЕР 2 Голямата часовникова стрелка за 24 часа прави 24 пълни завъртания. Казваме, че тя е описала ъгъл на въртене 24 . 360° = 8 460° в отрицателна посока.

Ако е даден един насочен ъгъл (Op→, Oq→), има безброй много въртения на първия лъч Op→ около общото начало O, след които той заема положението на лъч Oq→.

ПРИМЕР 3 а)

б)

Op→ → Oq→ при ъгъл на въртене 30° и „+“ посока.

Op→ → Oq→ при ъгъл на въртене 390° и „+“ посока.

в)

г)

Op→ → Oq→ при ъгъл на въртене 330° и „–“ посока.

Op→ → Oq→ при ъгъл на въртене 690° и „–“ посока.

Едно въртене на лъч е определено с посоката си и ъгъла на въртене.

О

Насочен ъгъл, за който е дадено въртенето, след което първият лъч заема положението на втория лъч, се нарича обобщен ъгъл. Мярка на обобщен ъгъл се нарича мярката на ъгъла на въртенето, взета със знак „+“ или „ – “ в зависимост от това дали посоката на въртене е положителна, или отрицателна.

Към съдържанието

159

Нека в равнината е избрана правоъгълна координатна система Oxy. Ще разгледаме обобщени ъгли с първо рамо Ox→ и второ рамо Oq→ . Ако x е произволно реално число, има точно един обобщен ъгъл (Ox→, Oq→) с градусна мярка x°. Обратно, на всеки обобщен ъгъл (Ox→, Oq→) отговаря точно едно реално число x така, че градусната мярка на ъгъла е x°. Така се установява съответствие между множеството на всички реални числа и множеството на всички обобщени ъгли с начално рамо лъча Ox→ . На всеки лъч Oq→ съответстват безброй много обобщени ъгли с начално рамо Ox→ и крайно рамо Oq→ .

ПРИМЕР 4 Ако лъчът Oq→ съвпада с Oy→ , съответните безброй много обобщени ъгли имат градусни мерки:

... 90° – 3.360° 90° – 2.360° 90° – 1.360° 90° 90° + 1.360° 90° + 2.360° 90° + 3.360° ... ... – 990° – 630° – 270° 90° 450° 810° 1 170° ... Разликата на всеки две от тези градусни мерки е кратна на 360°.

!

Такава група от градусни мерки се записва с формулата x = a + k . 360°, k = 0, ± 1, ± 2,... , където a е градусната мярка на кой да е обобщен ъгъл от разглежданата група. Обикновено a се избира в интервалите [0°; 360) или (–180°; 180°]. В Пример 4 a = 90° и формулата е x = 90° + k . 360°, k = 0, ± 1... В Пример 3 a = 30° и формулата е x = 30° + k . 360°, k = 0, ± 1...

ЗАДАЧА 1

Намерете формулата за градусните мерки на обобщените ъгли с първо рамо Ox→ и второ рамо: б) отрицателната посока на Oy→ . a) отрицателната посока на Ox→ ; Решение: a) a = 180° б) a = – 90° или a = 270° x = a + k.360° x = – 90° + k.360° или x = 180 ° + k.360°, където x = 270° + k.360°, където k = 0, ± 1, ± 2,... k = 0, ± 1, ± 2,...

ЗАДАЧА 2

Намерете формула за градусните мерки на обобщените ъгли с едно и също второ рамо, ако един от тях има градусна мярка: б) –1 120°. a) 1 320° ; Решение: Числата, кратни на 360°, са 0, ± 360, ± 720, ± 1 080,... a) Тъй като 1 320 = 1 080 + 240 = 1 440 – 120, то x = 240° + k . 360° или x = – 120° + k.360°, k = 0, ± 1, ± 2,...

160

б) Тъй като –1 120 = –1 080 – 40 = – 1 440 + 320, то x = – 40° + k.360° или x = 320° + k.360°, k = 0, ± 1, ± 2, ...

Към съдържанието

Радианна мярка на ъгъл Освен мерната единица градус, за измерване на ъгли се използва и мерната единица радиан.

О

Централен ъгъл, принадлежащата дъга на който има дължина, равна на дължината на радиуса на окръжността, се нарича радиан. Мярката в радиани на централен ъгъл, чиято l дъга има дължина l, e rad . r Дължината на дъгата на централен ъгъл от 2πr 180° е = πr . Тогава радианната му мярка е 2 πr = π rad . Следователно на 180° отговарят p rad. r

! 1°

( ) ( )

° 1 rad = 180 ≈ 57°17′45′′ π π =rad180 β ° β⋅ rad a° 180 π

⋅ π 180 ⋅ 180 π

1° = π rad ≈ 0, 01745 rad 180 α° = π α rad 180

⋅ π 180

)

(

⋅ 180 π

След градусната мярка на един ъгъл се поставя знака за градуси „° “, а след радианната мярка не се записва означението „rad“. Формулата a° + k . 360°, k = 0, ± 1,..., за градусните мерки на група обобщени ъгли π (Ox , Oq→) e α + 2k π, k = 0, ± 1,..., за радианните мерки на същите ъгли. 180 В следващата таблица са дадени двете мерки на някои ъгли. →

ЗАДАЧИ

Градуси

0°

30°

45°

60°

90°

Радиани

0

p 6

p 4

p 3

p 2

120° 135° 150° 180° 270° 360° 2p 3

3p 4

5p 6

p

3p 2

2p

Запишете във вида a + k . 360°, a ∈ [0; 360°), мярката на обобщените ъгли: 1. 660°; 2. 750°; 3. – 60°; 4. –300°; 5. –450°. Запишете във вида a + k . 360°, a ∈ (– 180; 180°], мярката на обобщените ъгли: 6. – 40°; 7. 220°; 8. 270°; 9. –300°; 10. –550°. Изразете с радиани обобщените ъгли: 11. 10°; 12. 20°; 13. 165°; Изразете с градуси обобщените ъгли: π 5π 5π 17.− ; 18.− ; 16.− ; 36 12 4

Към съдържанието

14. –210°;

15. 315°.

19. − 9π ; 4

20.− 7 π . 3

161

35.

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ Нека a∈ [0°; 180°] e ъгъл, едно от рамената на който съвпада с лъча Ox→ , а другото рамо пресича единичната окръжност k в точка от I или II квадрант.

Да означим с M (xM; yM) пресечната точка на второто рамо на ъгъла a с окръжност­та k, а с М1 и М2 – ортогоналните проекции на М върху координатните оси. Координатите xM = cosa и yM = sina се изменят, т.е. те са функции на a с дефиниционни множества a ∈ [0°; 180°]. Геометричното представяне на функциите sin a и cos a при a ∈ [0°; 180°] позволява да се разширят дефиниционните им множества, без да се изменят правилата за представяне на функционалните им стойности. Нека a = (Ox→, Oq→) е произволен обобщен ъгъл и второто му рамо Oq пресича единичната окръжност k в точка M. Естествено е да определим sin a = yM, cos a = xM .

q

О

Функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл a = (Ox→; OM→) ординатата yM на точката M, се нарича синус и се означава със sin a. sin a = yM

О

Функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл a = (Ox→; OM→) абсцисата xM на точката M, се нарича косинус и се означава с cos a. cos a = xM Дадените определения разширяват дефиниционните множества на познатите ни функции sin a и cos a от a ∈ [0°; 180°] до всяка стойност на a. От определенията на sin a и cos a следва, че стойностите на тези функции за обобщени ъгли с едно и също второ рамо са равни: sin (a + k.360°) = sin a, cos (a + k.360°) = cos a, k = 0, ±1, ±2,...

162

Към съдържанието

ПРИМЕР 1 При a = 0° + k.360°, k = 0, ±1, ±2,... , второто рамо Oq→ на ъгъла съвпада с първото рамо Ox→ и точката M има координати xM = 1, yM = 0. Следователно по определение sin (0° + k.360°) = 0 cos (0° + k.360°) = 1.

ПРИМЕР 2 При a = 90° + k.360°, k = 0, ±1, ±2,... , второто рамо Oq→ на ъгъла съвпада с оста Oy→ и точката M има координати xM = 0, yM = 1. Следователно по определение sin (90° + k.360°) = 1 cos (90° + k.360°) = 0.

ПРИМЕР 3 При a = 180° + k.360°, k = 0, ±1, ±2,... ,

второто рамо Oq→ на ъгъла съвпада с отрицателната посока на Ox→ и точката M има координати xM = –1, yM = 0. Следователно по определение sin (180° + k.360°) = 0 cos (180° + k.360°) = –1.

ПРИМЕР 4 При a = 270° + k.360°, k = 0, ±1, ±2,... ,

второто рамо Oq→ на ъгъла съвпада с отрицателната посока на Oy→ и точката M има координати xM = 0, yM = –1. Следователно по определение sin (270° + k.360°) = –1 cos (270° + k.360°) = 0.

Групата ъгли 270° + k.360° могат да се запишат и във вида –90° + k.360°. Следователно при k = 0, ±1,... е изпълнено sin (– 90° + k.360°) = –1, cos (–90° + k.360°) = 0.

Към съдържанието

163

От Пример 1 и Пример 3 ⇒ sin (0° + k.180°) = 0, k = 0, ±1, ±2,... От Пример 2 и Пример 4 ⇒ cos (90° + k.180°) = 0, k = 0, ±1, ±2,...

О

Функцията, която съпоставя на обобщения ъгъл a ≠ 90 + k.180°, k = 0, ±1, ±2,... , числото sin a , се нарича тангенс и се означава с tg a. cos a sin α , α ≠ 90° + k .180°, k = 0, ± 1, ± 2, ... tg α = cos α cotg α = cos α , α ≠ k .180°, k = 0, ± 1, ± 2, ... sin α Функцията tg a не е определена за обобщените ъгли с второ рамо + Oy→ и за обобщените ъгли с второ рамо – отрицателната посока на Oy→, за които cos a = 0.

О

Функцията, която съпоставя на обобщения ъгъл a ≠ k.180°, k = 0, ±1, ±2,... , числото cos , α ≠ 90 , ± 1, ± 2, с...cotg a. tg αa=, sin ° + k .180°, иk се = 0означава се α нарича котангенс sin a cos α cotg α = cos α , α ≠ k .180°, k = 0, ± 1, ± 2, ... sin α Функцията cotg a не е определена за обобщените ъгли с второ рамо + Ox→ и за обобщените ъгли с второ рамо – отрицателната посока на Ox→, за които sin a = 0. От sin (a + k.360°) = sin a, cos (a + k.360°) = cos a и от определенията на tg a и cotg a следва

tg (a + k.360°) = tg a, cotg (a + k.360°) = cotg a, k = 0, ±1, ±2,...

Тригонометрични функции на реален аргумент Аргументът на тригонометричните функции, които дефинирахме, е обобщен ъгъл, а стойностите на функциите са числа. Тези стойности не зависят от мерната единица, с която е измерен ъгълът. Например sin 90° = 1 и sin π = 1 , тъй като 90°sin и π =са1 мерки на 2 2 един и същ обобщен ъгъл, измерен с различни мерни единици. За да въведем тригонометрични функции с аргумент реално число, трябва да установим съответствие между множеството на реалните числа и множеството на обобщените ъгли. Редица съображения, свързани с изучаването на тригонометрични функции на реален аргумент, показват, че за тази цел е най-удобно да се избере радианът. Тригонометричната функция y = sin x ще дефинираме за всяко реално число x. Правилото, чрез което на произволно x се намира стойността на функцията у = sin x, е следното: Има точно един обобщен ъгъл a, на който радианната мярка е x: на x съпоставяме числото sin a, т.е sin x = sin a.

О 164

Функцията y = sin x, D : x ∈ (–∞; +∞) Ако x ∈ D, стойността на функцията y = sin x е синусът на обобщения ъгъл с радианна мярка x.

Към съдържанието

О

Функцията y = cos x, D : x ∈ (–∞; +∞) Ако x ∈ D, стойността на функцията y = cos x е косинусът на обобщения ъгъл с радианна мярка x.

О

Функцията y = tg x, D : , k = 0, ± 1,... Ако x ∈ D, стойността на функцията y = tg x е тангенсът на обобщения ъгъл с радианна мярка x.

О ЗАДАЧА 1

Функцията y = cotg x, D : x ≠ kp, k = 0, ± 1,... Ако x ∈ D, стойността на функцията y = cotg x е котангенсът на обобщения ъгъл с радианна мярка x. Намерете стойностите на тригонометричните функции на обобщените ъгли: a) 1 470°; б) – 1 020°. Решение: a) Тъй като 1 470° = 30° + 4.360°, последователно намираме

б) Тъй като –1 020° = 60° – 3.360°, последователно намираме sin( −1 020°) = sin(60° − 3.360°) =

sin 1 470° = sin(30° + 4.360°) = = sin 30° = 1 2 cos1 470° = cos(30° + 4.360°)) =

= sin 60° = 3 2 cos( −1 020°) = cos(60° − 3.360°) = = cos 60° = 1 2 tg(−1 020°) = tg(60° − 3.360°) =

= cos 30° = 3 2 tg1 470° = tg(30° + 4.360°) =

= tg 60° = 3 cotg(−1 020)° = cotg(60° − 3.360°) =

= tg 30° = 3 3 cotg1 470° = cotg(30° + 4.360°)

ЗАДАЧА 2

= cotg 30° = 3.



= cotg 60° = 3 . 3

Намерете стойностите на тригонометричните функции на обобщените ъгли: a) –600°; б) 1 305°; в) –750°; г) –2 220°. Решение: На черт. 1 ОА1, ОВ1, ОС1 са вторите рамена съответно на обобщените ъгли 30° + k.360°, 45° + k.360°, 60° + k.360°, k = 0, ±1, ±2,... Тогава координатите на точките А1, В1, С1 са: x A1 = cos 30° = 3 , y A1 = sin 30° = 1 ; 2 2 x B1 = cos 45° = 2 , y B1 = sin 45° = 2 ; 2 2 x C1 = cos 60° = 1 , y C1 = sin 60° = 3 . 2 2

Към съдържанието

  C1  1 ; 3   2 2   B1  2 ; 2  2   2   A1  3 ; 1   2 2

Черт. 1

165

a)  Тъй като –600° = 120° – 2.360°, второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност в точката C2, за която (Ох→, ОС2→) = 120°. Точката С2 е симетрична на точката С1 относно оста Оy→ (черт. 1 и 2) ⇒ x C 2 = − x C1 = − 1 2 y C 2 = y C1 = 3 . 2

sin( −600°) = sin(120° − 2.360°) = sin 120° = y C 2 = 3 2 cos( −600°) = cos(120° − 2.360°) = cos120° = x C 2 = − 1 2 3 sin( −600°) 2 tg(−600°) = = =− 3 cos( −600°) − 1 2

Черт. 2

1 cos( −600°) − 2 cotg(−600°) = = =− 3 3 sin( −600°) 3 2 б) Тъй като 1 305° = 225° + 3.360°, второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност в точката B2, за която (Ох→, ОB2→) = 225°. Точката B2 е симетрична на точката B1 относно началото О на координатната система (черт. 1 и 3) 2 ⇒ x B2 = − x B1 = − 2 y B2 = − y B1 = − 2 . 2 sin 1 305° = sin(225° + 3.360°) = sin 225° = y B2 = − 2 2 cos 1 305° = cos(225° + 3.360°) = cos 225° = x B2 = − 2 2 2 sin 1 305° − 2 tg 1 305° = = =1 cos 1 305° 2 − 2

Черт. 3

2 cos 1 305° − 2 cotg 1 305° = = =1 sin 1 305° − 2 2 в) Тъй като –750° = –30° – 2.360°, второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност в точката А2, за която (Ох→, ОА2→) = –30°. Точката А2 е симетрична на точката А1 относно оста Ох→ (черт. 1 и 4)

166

Към съдържанието

3 ⇒ x A2 = x A1 = 2

y A2 = − y A1 = − 1 . 2

sin( −750°) = sin(−30° − 2.360°) = sin(−30°) = y A2 = − 1 2 cos( −750°) = cos(−30° − 2.360°) = cos(−30°) = x A2 = 3 2 1 sin( −750°) − 2 tg(−750°) = = =− 3 3 cos( −750°) 3 2 3 cos( −750°) 2 cotg(−750°) = = =− 3 sin( −750°) − 1 2

Черт. 4

г) Тъй като –2 220° = –60° – 6.360°, второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност в точката С3, за която (Ох→, ОС3→) = – 60°. Точката С3 е симетрична на точката С1 относно оста Ох→ (черт. 1 и 5) 1 ⇒ x C 3 = x C1 = 2 y C 3 = − y C1 = − 3 . 2 sin( −2 220°) = sin(− 60°− 6.360°) = sin(− 60°) = y C 3 = − 3 2 1 cos( −2 220°) = cos( − 60°− 6.360°) = cos( − 60°) = x C 3 = 2 3 sin(−2 220°) − 2 tg(−2 220°) = = =− 3 cos(−2 220°) 1 2 1 cos( −2 220°) = 2 =− 3 cotg(−2 220°) = 3 sin( −2 220°) − 3 2

ЗАДАЧИ

Определете в кой квадрант е второто рамо на ъглите: 1. 800°; 2. –1 160°; 3. 1 320°; 4. 3 730°. Докажете, че стойностите на тригонометричните функции на обобщените ъгли a и b са равни, ако: 5. a = 210°, b = – 150°; 6. a = 240°, b = – 120°; 7. a = 225°, b = – 135°; 8. a = –60°, b = 300°.

Към съдържанието

Черт. 5

Намерете sin a и cos a, ако: 9. a = 450°; 10. a = –180°; 11. a = – 450°; 12. a = 1 080°. Намерете sin a, cos a, tg a, cotg a, ако: 13. a = 60° + k.360°; 14. a = 150° + k.360°; 15. a = –120° + k.360°; 16. a = – 45° + k.360°. Намерете sin a, cos a, tg a, cotg a, ако: 17. a = 570°; 18. a = – 480°; 19. a = 660°; 20. a = 1 035°.

167

36.

ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА

Т1

За всички стойности на x e в сила тъждеството sin2 x + cos2 x = 1. Доказателство: В 10. клас доказахме зависимостта sin2 x + cos2 x = 1 при 0° ≤ x ≤ 180°. Сега ще я докажем за произволен ъгъл x. 1. Нека x e произволно реално число. М е пресечната точка на второто рамо на обобщения ъгъл с радианна мярка x с тригонометричната окръжност. 2. Ако точката M е върху координатна ос, едната ѝ координата е 0, а другата е 1 или –1. Тогава равенството sin2x + cos2x = 1 е изпълнено. 3. Ако точката M не е върху координатна ос, |xM| и |yM| са дължини на катетите на правоъгълния ОММ1 с хипотенуза ОM = 1. От питагоровата теорема следва, че ММ12 + OM12 = OM 2 |y M| 2 + |x M| 2 = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1.

Т2

За всички стойности на x ≠ k ⋅ π , k = 0, ± 1, ± 2,... , е в сила тъждеството 2 tg x .cotg x = 1. Доказателство:

1. Равенството tg x = sin x e изпълнено за всяко x ≠ π + k π, k = 0, ± 1, ± 2,... , съгласно cos x 2 определението на tg x. 2. Равенството cotg x = cos x е изпълнено за всяко x ≠ kp, k = 0, ±1, ±2,..., съгласно опsin x ределението на cotg x. От (1) и (2) ⇒ tg x . cotg x = 1 e изпълнено за всяко x ≠ k ⋅ π , k = 0, ± 1, ± 2,... 2

!

= tg x

1 , cotg x 1 при x ≠ k ⋅ π , k = 0, ± 1,... = 2 cotg x tg x

Знаците на тригонометричните функции на обобщен ъгъл x зависят от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла. Те са дадени в следващата таблица.

168

Към съдържанието

II квадрант

III квадрант

Т3

I квадрант

IV квадрант

I квадрант II квадрант III квадрант IV квадрант π; π 3π ; 2π π; 3π 0; π 2 2 2 2

( )

( )

sin x

+

+

–

–

cos x

+

–

–

+

tg x

+

–

+

–

cotg x

+

–

+

–

x

) (

(

)

За всички стойности на x са в сила тъждествата sin (x + p) = – sin x и cos (x + p) = – cos x. При x ≠ π + k π, k = 0, ± 1,..., е в сила тъждеството tg (x + p) = tg x. 2 При x ≠ kp, k = 0, ±1,..., е в сила тъждеството cotg (x + p) = cotg x. Доказателство: 1. Нека x e произволно реално число. Означаваме с М пресечната точка на второто рамо на обобщения ъгъл с радианна мярка x с тригонометричната окръжност. 2. Означаваме с М1 пресечната точка на второто рамо на ъгъл x + p с тригонометричната окръжност. 3. На чертежа ОМА ≅ ОМ1А1. От |М1А1| = MA ⇒ sin (x + p) = – sin x. От |OА1| = OA ⇒ cos (x + p) = – cos x. 4. При x ≠ π + k π, k = 0, ± 1,... 2 sin( x + π) − sin x = tg x. ⇒ tg ( x + π) = = cos( x + π) − cos x 5. При x ≠ k π, k = 0, ± 1,... ⇒ cotg ( x + π) =

ЗАДАЧА 1

cos( x + π) − cos x = cotg x. = sin( x + π) − sin x

Да се запишат всички стойности на x, за които: б) cos x = –1. a) sin x = 1; Решение: a) От определението на синус следва, че трябва да се намери онази точка от тригонометричната окръжност, която има ордината 1. Тази точка е−M π , а ъглите, кои2

то ѝ съответстват, имат радианна мярка x = π + 2k π , 2 k = 0, ±1,...

Към съдържанието

169

б) От определението на косинус следва, че трябва да се намери онази точка от тригонометричната окръжност, която има абсциса –1. Тази точка е Mp, а ъглите, които ѝ съответстват, имат радианна мярка x = p + 2 kp, k = 0, ±1,...

ЗАДАЧА 2

Намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции, ако: а) sin x = 3 , x ∈ π ; π ; б) cos x = − 2 2 , x ∈ π; 3π . 5 2 3 2 Решение: б) а) 2 2 2 2 1. sin x + cos x = 1 1. sin x + cos x = 1 9 + cos 2 x = 1 sin 2 x + 8 = 1 9 25 sin 2 x = 1 − 8 cos 2 x = 1 − 9 9 25 2 1 sin x = cos 2 x = 16 9 25 sin x = ± 1 cos x = ± 16 9 25 sin x = ± 1 cos x = ± 4 3 5 3π ⇒ sin x < 0 π x ∈ π ; x ∈ ; π ⇒ cos x < 0 2 2 sin x = − 1 cos x = − 4 3 5

( )

( )

sin x cos x 3 5 tg x = −4 5 3 tg x = − 4

2. tg x =

(

(

)

)

sin x cos x −1 3 tg x = 2 − 2 3

2. tg x =

tg x = 1 = 2 4 2 2 tg x = 2 4

1 3. cotg x = tg x cotg x = − 4 3

1 3. cotg x = tg x cotg x = 4 2 cotg x = 2 2

170

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции, ако: а) tg x = − 5 , x ∈ 3π ; 2π ; б) cotg x = − 11 , x ∈ π ; π . 12 2 5 2 Решение: а) б) 1 1. cotg x = 1. tg x = 1 cotg x tg x cotg x = − 12 tg x = − 5 , tg x = − 5 11 5 11 11

)

(

2. Решаваме системата



2. Решаваме системата

sin x = − 5 → sin x = − 5 cos x cos x 12 12 sin x 2 + cos 2 x = 1.

( − 125 cos x )

2

( )



2

  sin 2 x +  − 11 sin x  = 1  5  sin 2 x + 11 sin 2 x = 1 25 2 25 sin x + 11sin 2 x = 25

+ cos 2 x = 1

25 cos 2 x + 144 cos 2 x = 144



(

169 cos 2 x = 144 cos 2 x = 144 169 cos x = ± 144 = ± 12 169 13

)

x ∈ 3π ; 2π ⇒ cos x > 0 2



⇒ cos x = + 12 13

cos x = − 11 → cos x = − 11 sin x 5 5 sin x 2 2 sin x + cos x = 1.

36 sin 2 x = 25 sin 2 x = 25 36

sin x = ± 25 = ± 5 36 6

( )

x ∈ π ; π ⇒ sin x > 0 2 sin x = + 5 6



ЗАДАЧИ

5 3. sin x = − cos x 12 sin x = − 5 ⋅ 12 12 13 sin x = − 5 13

3. cos x = − 11 ⋅ 5 5 6 cos x = − 11 6

1. Д  а се запишат всички стойности на x, за които: а) sin x = – 1; б) cos x = 1.

3. cos x = 8 , x ∈ 3π ; 2π ; 17 2 7 4. tg x = − , x ∈ π ; π ; 24 2 8 3π 5. cotg x = , x ∈ π; ; 15 2 84 π 6. cos x = − , x ∈ ; π ; 85 2 3 3π 7. cos x = − , x ∈ π; . 5 2

По дадена стойност на една тригонометрична функция намерете стойностите на останалите три тригонометрични функции: 5 3π 2. sin x = − , x ∈ π; ; 13 2

(

Към съдържанието

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

171

37.

ОС НА ТАНГЕНСИТЕ И ОС НА КОТАНГЕНСИТЕ Ос на тангенсите От определението на функцията y = tg x следва, че дефиниционната ѝ област съдържа всички реални числа освен числата, които се записват във вида π + k π, k = 0, ± 1,... 2 При x = ππ ++kkππ, k = 0, ± 1,..., знаменателят cos x е равен на нула и tg x не съществува. 22 Ще дадем нагледна представа за tg x. В равнината на координатната система Oxy построяваме ос t (еднопосочна с оста Oy), всички точки на която имат абсциса единица. Тази ос се допира до единичната окръжност в точка А(1; 0). Ако a е обобщен ъгъл, означаваме с Р пресечната точка на второто му рамо (или на неговото продължение) с оста t. Възможни са четири случая според това в кой квадрант е второто рамо на a. I случай: Второто рамо на a е в I квадрант.

II случай: Второто рамо на a е във II квадрант.

III случай: Второто рамо на a е в III квадрант.

IV случай: Второто рамо на a е в IV квадрант.

Ще разгледаме първия случай – второто рамо на a е в I квадрант. Означаваме с a0 острия ъгъл между лъчите Ox→ и Op→. | AP | | AP | За правоъгълния ОАР имаме tg α 0 = = = | AP | = yp . | OA | 1 С аналогични разсъждения и в следващите три случая може да се докаже, че tg a се изразява с ординатата на пресечната точка Р на второто рамо ОМa на ъгъла a (или на

172

Към съдържанието

неговото продължение) с оста t. По този начин tg a може да се представи не като отношение на ординатата и абсцисата на точката Мa, а само чрез ординатата на точката Р. Оста t се нарича ос на тангенсите.

О

Ос на тангенсите се нарича оста t, която е успоредна на ординатната ос, еднакво ориентирана с нея и е допирателна към тригонометричната окръжност в точката A, в която окръжността пресича положителната част на абсцисната ос. Стойността на функцията tg a за дадена допустима стойност на ъгъла се изразява с ординатата на точката Р, в която второто рамо на ъгъла (или на неговото продължение) пресича оста на тангенсите. Ос на котангенсите От определението на функцията y = cotg x следва, че дефиниционната ѝ област съдържа всички реални числа освен числата, които се записват във вида kp, k = 0, ±1, ±2,... При x = kp знаменателят sin x е равен на нула и cotg x не съществува. Ще дадем нагледна представа за cotg a. В равнината на координатната система Oxy построяваме ос с (еднопосочна с оста Ox), всички точки на която имат ордината единица. Тази ос се допира до единичната окръжност в точка В (0; 1). Ако a е обобщен ъгъл, означаваме с Q пресечната точка на второто му рамо (или на неговото продължение) с оста с. Възможни са четири случая според това в кой квадрант е второто рамо на a. I случай: Второто рамо на a е в I квадрант.

II случай: Второто рамо на a е във II квадрант.

III случай: Второто рамо на a е в III квадрант.

IV случай: Второто рамо на a е в IV квадрант.

Ще разгледаме първия случай – второто рамо на a е в I квадрант. Означаваме с a0 острият ъгъл между лъчите Ox→ и Op→. AOQ = OQB (вътрешно кръстни)

Към съдържанието

173

| BQ | | BQ | = = | BQ |= x Q . | OB | 1 С аналогични разсъждения и в следващите три случая може да се докаже, че cotg a се изразява с абсцисата на пресечната точка Q на второто рамо OMa на ъгъла a (или на неговото продължение) с оста c. По този начин cotg a може да се представи не като отношение на абсцисата и ординатата на точката Мa, а само чрез абсцисата на точката Q. Оста c се нарича ос на котангенсите. За правоъгълния OQB имаме cotg α 0 =

О

Ос на котангенсите се нарича оста c, която е успоредна на абсцисната ос, еднакво ориентирана с нея и е допирателна към тригонометричната окръжност в точка­та В, в която окръжността пресича положителната част на ординатната ос. Стойността на функцията cotg a за дадена допустима стойност на ъгъла се изразява с абсцисата на точката Q, в която второто рамо на ъгъла (или на неговото продължение) пресича оста на котангенсите.

ЗАДАЧА 1

Посочете три положителни ъгъла, за които tg x = 3 . 3 3 ≈ 0, 6 Решение: yp = AP = yp = AP = 3 ≈ 0, 6 3 3 x = π x = π + π = 7π x=π 6 6 6 6

0,6

x = π + 2π = 13π 6 6

0,6

0,6

ЗАДАЧА 2 Посочете три отрицателни ъгъла, за които tg x = − 3 . yp = − 3Решение: ≈ −1, 7 x=−π 3

174

yp = − 3 ≈ −1, 7 x = − π x = − π − π = − 4π 3 3 3

x = − π − 2π = − 7 π 3 3

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

Сравнете: а) tg 40° и tg 70°; Решение:

б) cotg 40° и cotg 70°.

а)

б)

tg 40° = yP , tg 70° = yQ

cotg 40° = x M , cotg 70° = x N

yP < yQ ⇒ tg 40° < tg 70°

xM > x N ⇒ cotg 40° > cotg 70°

Като използвате единичната окръжност, намерете колко ъгъла имат стойност на тангенса 1. Решение:

tg π = 1 4 tg π + π = 1 4 tg π + 2π = 1 4 ........................

( (

ЗАДАЧИ

)

)

1. Посочете три положителни ъгъла, за които tg x = 1. 2. Посочете три положителни ъгъла, за които cotg x = 3 . 3. Посочете три отрицателни ъгъла, за които tg x = –1.

Към съдържанието

( ) ) ( ) (

tg − 3π = 1 4 tg − 3π − π = 1 4 tg − 3π − 2π = 1 4 ........................ Отг. Безброй много ъгли имат стойност на тангенса 1. 4. П осочете три отрицателни ъгъла, за които cotg x = − 3 . 3 5. Сравнете: а) tg 20° и tg 80°; б) cotg 20° и cotg 80°; в) tg 40° и tg 100°; г) cotg 40° и cotg 100°.

175

38.

ЧЕТНОСТ, НЕЧЕТНОСТ И ПЕРИОДИЧНОСТ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ

О

Функцията y = f(x) се нарича четна, ако дефиниционното и` множество е симетрично относно нулата и f(–x) = f(x). Пример за четна функция е квадратната функция f(x) = x2, защото дефиниционното ѝ множество (–∞; +∞) e симетрично относно нулата и f(–x) = (– x)2 = x2 = f(x).

О

Функцията y = f(x) се нарича нечетна, ако дефиниционното и` множество е симетрично относно нулата и f(–x) = – f(x). Пример за нечетна функция е кубичната функция f(x) = x3, защото дефиниционното ѝ множество (–∞; +∞) e симетрично относно нулата и f(–x) = (– x)3 = –x3 = –f(x).

!

Функцията y = cos x e четна, а функцията y = sin x e нечетна. Доказателство:

1. Ф  ункциите y = sin x и y = cos x са дефинирани в симетричния интервал (–∞; +∞). 2. Точката Ma е от единичната окръжност, която съответства на a, а M–a е точка от същата окръжност, съответстваща на –a. 3. Точката Ma има координати cos a и sin a, точката M–a e с координати cos (–a) и sin (–a). 4. За произволно a точките Ma и M–a са симетрични относно абсцисната ос, откъдето следва, че абсцисите им съвпадат, а ординатите им са противоположни, т.е. cos (–a) = cos a и sin (–a) = – sin a. Доказахме, че функцията y = cos x e четна, а функцията y = sin x e нечетна.

!

Функциите y = tg x и y = cotg x са нечетни. Доказателство:

π 1. Д  ефиниционното множество на tg x e x ≠ + k π, k = 0, ± 1, ± 2,... , 2 което е симетрично относно нулата. sin( −α) − sin α = = − tg α ⇒ tg(−α) = − tg α 2. tg(−α) = cos( −α) cos α От (1) и (2) следва, че функцията y = tg x е нечетна. 3. Дефиниционното множество на cotg x е x ≠ kp, k = 0, ±1, ±2,... , което е симетрично относно нулата. cos( −α) cos α = = − cotg α ⇒ cotg(−α) = − cotg α sin( −α) − sin α От (3) и (4) следва, че функцията y = cotg x е нечетна. 4. cotg(−α) =

176

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

Да се докаже, че функцията: б) g(x) = 2x2 – 3 cos x е четна. а) f(x) = 3x + 5 sin x е нечетна; Решение: И двете функции са дефинирани в симетричния интервал (–∞; +∞). а) f (− x) = 3(− x) + 5 sin( − x) = = −3 x + 5(− sin x) = = −3 x − 5 sin x = = −(3 x + 5 sin x) = = − f ( x)

2 б) g (− x) = 2(− x) − 3 cos( − x) =

= 2 x 2 − 3.cos x = = g ( x) ⇒ g(–x) = g(x) ⇒ g(x) e четна функция.

⇒ f(–x) = – f(x) ⇒ f(x) e нечетна функция.

ЗАДАЧА 2

Да се докаже, че функцията: а) f(x) = 5x – 3 tg x е нечетна; Решение:  eфиниционното множество на f(x) а) 1. Д e x ≠ (2k + 1) π , което е симетрично 2 относно нулата.

б) g(x) = 3x2 – 2 x cotg x е четна.  eфиниционното множество на g(x) б) 1. Д e x ≠ kp, което е симетрично относно нулата. 2 2. g (− x) = 3(− x) − 2(− x) cotg (− x) =





2. f (− x) = 5(− x) − 3 tg(− x) = = −5 x + 3 tg x = = −(5 x − 3 tg x) = = − f ( x)



От (1) и (2) ⇒



От (1) и (2) ⇒



f(x) = 5x – 3tg x



g(x) = 3x2 – 2x cotg x



e нечетна функция.



e четна функция.





= 3 x 2 + 2 x(− cotg x) =



= 3 x 2 − 2 x cotg x = = g ( x)

Периодичност на тригонометричните функции

О

!

Една функция f(x) с дефиниционна област D се нарича периодична, ако съществува число T, такова, че за всяко x ∈ D числата x + T и x – T също принадлежат на D и f(x ± T) = f(x). Числото T се нарича период на функцията. От определението следва, че ако Т е период на функцията, числата 2Т, 3T, ... също са периоди на тази функция. Когато казваме, че една функция е периодична с период Т, ще разбираме, че Т е най-малкият ù период. Функциите sin х и cos х са периодични с период 360°. Доказателство: От формулите sin(a + k.360°) = sin a и cos(a + k.360°) = cos a, k = 0, ±1, ±2,..., (Урок № 35) следва, че стойностите на функциите sin a и cos a се повтарят в интервали с дължина 360°.

Към съдържанието

177

За функциите sin х и cos x са в сила равенствата sin x = sin(x ± 360°) = sin (x ± 2.360°) = ... = sin(x ± k . 360°), cos x = cos(x ± 360°) = cos (x ± 2.360°) = ... = cos(x ± k . 360°), където k = 0, ±1, ±2,... Периодът на функциите sin х и cos x, изразен в радиани, е 2p. В сила са равенствата sin x = sin (x + k . 2p), cos x = cos (x + k . 2p), където k = 0, ±1, ±2,...

!

Функциите tg x и cotg x са периодични с период 180°. Доказателство: От формулите tg (a + 180°) = tg a cotg (a + 180°) = cotg a (Урок № 36) следва, че стойностите на функциите tg a и cotg a се повтарят в интервали с дължина 180°. За функциите tg x и cotg x са в сила равенствата tg x = tg(x ± 180°) = tg (x ± 2.180°) = ... = tg(x ± k . 180°), cotg x = cotg(x ± 180°) = cotg (x ± 2.180°) = ... = cotg(x ± k . 180°), където k = 0, ±1, ±2,... Периодът на функциите tg x и cotg x, изразен в радиани, е p. В сила са равенствата tg x = tg (x + kp), cotg x = cotg (x + kp), където k = 0, ±1, ±2,...

ЗАДАЧА 3

Да се докаже, че: а) функцията F(x) = sin3x e периодична с период− 2π ; 3 в) функцията Е(x) = cos5x e периодична с период− 2π ; 5 Решение: Твърденията следват от равенствата:

(

)

((

))

а) F x ± 2π = sin 3 x ± 2π = 3 3 = sin(3 x ± 2π) = = sin 3 x = F ( x)

178

x б) функцията G(x) = sin 2 e периодична с период 4p; г) функцията Q(x) = sin x 4 e периодична с период 8p.

( (

)

б) G ( x ± 4π ) = sin 1 ( x ± 4π ) = 2 = sin x ± 2π = 2 = sin x = G ( x) 2

)

Към съдържанието

((

)

(

))

в) E x ± 2π = cos 5 x ± 2π = 5 5 = cos(5 x ± 2π) = = cos 5 x = E ( x)

( (

)

г) Q ( x ± 8π ) = sin 1 ( x ± 8π ) = 4 = sin x ± 2π = 4 = sin x = Q( x). 4

)

Функцията F(x) = f(ax) e периодична с период T , където f(x) е периодична с период Т. a От равенствата

(

) ((

))

F x ± T = f a x ± T = f (ax ± T ) = f (ax) = F ( x) a a следва, че функцията F(x) = f(ax) e периодична с период T . a

ЗАДАЧА 4

Пресметнете: а) sin 750°;

б) cos 1 500°;

Решение: а) sin 750° = sin(30° + 2.360°) = = sin 30° = 1 2

)

(

в) sin 33π = sin π + 4.2π = 4 4 = sin π = 2 4 2

ЗАДАЧА 5

Пресметнете: а) tg 945°;

б) cotg 2 040°;

Решение: а) tg 945° = tg(45° + 5.180°) = = tg 45° = 1

)

(

ЗАДАЧИ

33π в)−sin ; 4

г)− cos 31π . 3

б) cos 1 500° = cos(60° + 4.360°) = = cos 60° = 1 2 г) cos 31π = cos π + 5.2π = 3 3 π = cos = 1 3 2

)

(

16π в)− tg ; 3

г)− cotg 33π . 4

б) cotg 2040° = cotg(60° + 11.180°) = = cotg 60° = 3 3

(

)

в) tg 16π = tg π + 5.π = 3 3 = tg π = 3 3

г) cotg 33π = cotg π + 8.π = 4 4 = cotg π = 1 4

Докажете, че са четни функциите:

7. f(x) = 2x + sin x – cotg x;

1. f(x) = 5 cos x + 3x ;

8. f(x) = – 3x + 2sin x.

2. f(x) = 7 + 3x.sin x;

Намерете периода на функциите:

3. f(x) = 3x + 2x.tg x;

9. y = sin 2x;

4. f(x) = 5x2 – 3x.cotg x.

10. y = cos 4x; x 11. y = sin ; 3 x 12. y = cos . 2

2

4

Докажете, че са нечетни функциите: 5. f(x) = 5x – 2 sin x; 6. f(x) = 7x + 3 tg x;

Към съдържанието

179

39.

ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯТА y

= sin x

Изменение на функцията y = sin x Дефиниционната област на функцията y = sin x е множеството от реалните числа , а множеството от функционалните ѝ стойности са числата от затворения интервал [–1; 1], т.е. | sin x | ≤ 1. Функцията y = sin x се изразява с ординатата на точката Мх (xМх; уМх), в която второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност, т.е. sin x = уМх.

Когато аргументът х се променя, точката Мх се движи по единичната окръжност, като изменението на орди­на­тата уМх води до следното изменение на функцията y = sin x:

1. При х = 0 точката Мх съвпада с точката М0 и sin 0 = 0. p К  огато аргументът  х расте от 0 до , функцията sin  x, т.е. уМх, също расте, като 2 приема последователно всички стойности между 0 и 1. p p 2. При х = точката Мх съвпада с точката М p и sin = 1. 2 2 2 p К  огато аргументът х расте от до p, функцията sin  x, т.е. уМх, намалява, като 2 приема последователно всички стойности между 1 и 0. 3. При х = p точката Мх съвпада с точката Мp и sin p = 0. 3p Когато аргументът х расте от p до , функцията sin x намалява от 0 до –1. 2 3p 3p 4. При х = точката Мх съвпада с точката М 3p и sin = –1. 2 2 2 3p Когато аргументът х расте от до 2p, функцията sin x расте от –1 до 0. 2 Направеното изследване на изменението на функцията y = sin x в интервала [0; 2p] отразяваме в следната таблица.

180

x

0

p 2

p

3p 2

2p

y = sin x

0

1

0

–1

0

Към съдържанието

Графика на функцията y = sin x в интервала [0; 2p] За да начертаем графиката на функцията y = sin x в интервала [0; 2p], ще построим няколко точки от графиката ѝ, като пресметнем координатите им и ги подредим в таблица. х

0

sin x

0

sin x ≈ 0

p 6

p 3

p 2

2p 3

5p 6

1 2 0,5

√3 2

1

√3 2

0,9

1

0,9

1 2 0,5

p 0 0

7p 6

4p 3

1 –√3 2 2 – 0,5 – 0,9 –

3p 2 –1 –1

5p 3

11p 2p ≈ 6,3 6

√3 2

–

1 2 – 0,9 – 0,5 –

0 0

y = sin x

По абсцисната ос от началото О нанасяме дължината на единичната окръжност (С  =  2p ≈ 6,3). Като разделим получената отсечка на 12 равни части, определяме абсцисите на 13 точки, с помощта на които ще начертаем графиката на функцията y = sin x в интервала [0; 2p]. При същата мерна единица r = 1 отчитаме и построяваме съответните ординати на тези точки (М0, М p , ...), които са стойности на функцията y = sin x. 6 Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = sin x в интервала [0; 2p]. Графика на функцията y = sin x в интервала (–∞; +∞) Тъй като функцията y = sin x е периодична с период 2p, изменението ѝ в интер­вала [0; 2p] ще се повтаря във всеки следващ го интервал с дължина 2p: [2p; 4p], [4p; 6p] и т.н., както и във всеки предхождащ го интервал [– 2p; 0], [– 4p; – 2p] и т.н. На чертежа е показана графиката на функцията y = sin x при х ∈ (–∞; +∞). y = sin x



Графиката на функцията y = sin x е вълнообразна линия и се нарича синусоида.

Към съдържанието

181

!

Графиката на функцията y = sin x е симетрично разположена спрямо началото на координатната система, което следва от нечетността на функцията (sin (–x) = –sin x).

Ще направим някои изводи за функцията y = sin x, които следват от графиката ѝ: p • sin x приема най-голяма стойност +1 при х = + k . 2p; 2 p • sin x приема най-малка стойност – 1 при х = – + k . 2p; 2 • sin x = 0 при х = kp; p p • sin x расте от –1 до +1 във всеки от интервалите [– + k . 2p; + k . 2p]; 2 2 p 3p • sin x намалява от +1 до –1 във всеки от интервалите [ + k . 2p; + k . 2p], 2 2 където k е произволно цяло число.

ЗАДАЧА 1 В интервала [0; 2p] начертайте графиките на функциите:

а) y = 2 + sin x; б) y = 2 sin x. Решение: а) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = sin x. След това успоредно пренасяме тази графика с 2 единици „вертикално нагоре“, за да получим графиката на функцията у = 2 + у1, т.е. y = 2 + sin x.

б) Графиката на функцията y = 2 sin x се получава от графиката на функцията у1 = sin x, като заменим всяка нейна точка с точка, която има същата абсциса и умножена по 2 ордината, т.е. у = 2у1 = 2 sin x.

O

182

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Начертайте графиките на функциите:

а) y = sin 2x б) y = sin x 2 в интервала [0; 4p]; в интервала [0; 2p]; Решение: а) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = sin x. Периодът на функцията y = sin 2x е 2π = π . 2

в) y = 1 + |sin x| в интервала [0; 2p].

Графиката на функцията y = sin 2x се получава от графиката на функцията y1 = sin x чрез „свиване по оста Ох“. б) Първо начертаваме графиката на функцията у1 = sin x. Периодът на функцията y = sin x е 2π = 4π . 1 2 2

Графиката на функцията y = sin x се получава от графиката на функцията y1 = sin x 2 чрез „разтягане по оста Ох“. в) Първо начертаваме графиката на функцията у1 = sin x. След това начертаваме графиката на функцията y2 = |sin x|. Получената графика успоредно пренасяме с 1 единица „вертикално нагоре“, за да получим графиката на функцията y = у2 + 1 = 1 + |sin x|.

ЗАДАЧИ

В интервала [0; 2p] начертайте графиките на функциите: 1. y = 1 + sin x; 7. y = sin 3x; 4. y = –2 sin x; 2. y = 3 sin x; 5. y = |sin x|; 8. y = 1y += sin x ; 2 3. y = –2 + sin x; 6. y = 2 + |sin x|; 9. y = 3 – |sin x|.

Към съдържанието

183

40.

ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯТА y

= cos x

Изменение на функцията y = cos x Дефиниционната област на функцията y = cos x е множеството от реалните числа , а множеството от функционалните ѝ стойности са числата от затворения интервал [–1; 1], т.е. |cos x| ≤ 1. Функцията y = cos x се изразява с абсцисата на точката Мх, в която второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност, т.е. cos x = xM .

Когато аргументът x се променя, точ­ката Mx се движи по единичната окръжност, като изменението на абсцисата xM води до следното изменение на функцията y = cos x:

1.  При x = 0 точката Mx съвпада с точката M0 и cos x = 1. Когато аргументът x расте от 0 до− π , функцията cos x, т.е. xM x , намалява, като прие­ 2 ма последователно всички стойности между 1 и 0. 2. При x = π точката Mx съвпада с точката М p и cos π = 0 . 2 2 2 π Когато аргументът x растеxот= до p, функцията cos x намалява, като приема после2 дователно всички стойности между 0 и –1. 3. При x = p точката Mx съвпада с точката Mp и cos p = –1. Когато аргументът x расте от p до− 3π , функцията cos x расте от –1 до 0. 2 3 π точката Mx съвпада с точката М 3p и cos 3π = 0 . 4. При x = 2 2 2 3 π Когато аргументът x расте от− до 2p, функцията cos x расте от 0 до 1. 2 Направеното изследване на изменението на функцията y = cos x в интервала [0; 2p] отразяваме в следната таблица.

184

x

0

x=π 2

p

− 3π 2

2p

y = cos x

1

0

–1

0

1

Към съдържанието

Графика на функцията y = cos x в интервала [0; 2p] За да начертаем графиката на функцията y = cos x в интервала [0; 2p], ще пост­роим няколко точки от графиката, като предварително пресметнем координатите им и ги подредим в следната таблица.

x

π 0 −6

−π 3

− π − 2 π − 5π 2 6 3

7 π 4π 3π 5π 11π p − 6 − 3 − 2 − 3 − 6 2p ≈ 6,3

cos x

1

3 2

1 2

0

− 1 − 3 –1 − 3 − 1 2 2 2 2

0

1 2

3 2

1

cos x ≈

1

0,9

0,5

0

–0,5 –0,9 –1 –0,9 –0,5

0

0,5

0,9

1

y = cos x

По абсцисната ос от началото 0 нанасяме дължината на единичната окръжност (С = 2p ≈ 6,3). Разделяме получената отсечка на 12 равни части и получаваме абсцисите на 13 точки, с помощта на които ще начертаем графиката на функцията y = cos x в интервала [0; 2p]. При същата мерна единица r = 1 отчитаме и построяваме съответните ординати на тези точки−( M o , M π , ...) , които са стойности на функцията y = cos x. 6 Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = cos x в интервала [0; 2p]. Графика на функцията y = cos x в интервала x∈ (–∞; +∞) Тъй като функцията y = cos x е периодична с период 2p, изменението ѝ в интервала [0; 2p] ще се повтаря във всеки следващ интервал с дължина 2p [2p; 4p], [4p; 6p] и т.н., както и във всеки предхождащ го интервал [–2p; 0], [–4p; –2p] и т.н. На чертежа е показана графиката на функцията y = cos x при x∈ (–∞; +∞). y = cos x

Графиката на функцията y = cos x е вълнообразна линия и се нарича косинусоида.

Към съдържанието

185

!

Графиката на функцията y = cos x е симетрично разположена относно оста Oy, което следва от четността на функцията (cos (– x) = cos x).

Ще направим някои изводи за функцията y = cos x, които следват от графиката ѝ:



 cos x приема най-голяма стойност +1 при x = k.2p;





 cos x приема най-малка стойност –1 при x = p + k.2p;  cos x = 0 при x = π + k π ; 2  cos x расте от –1 до +1 във всеки интервал [– p + k.2p; k.2p];



  cos x намалява от +1 до –1 във всеки интервал [k.2p; p + k.2p],



където k е произволно цяло число.



ЗАДАЧА 1 В интервала [0; 2p] начертайте графиките на функциите: а) y = 2 + |cos x|;

б) y = 2 + 1 cos x . 2

Решение: а)  Последователно начертаваме графиките на функциите y1 = cos x, y2 = |y1| = |cos x|, y = 2 + y2 = 2 + |cos x|.

б)  Последователно начертаваме графиките на функциите y 2 1= y 1 cos x , y = 2 + y 2 = 2 + 1 cos x . y1 = cos x, = 2 1 2 2

186

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Начертайте графиките на функциите: а) y = cos 4x

б) y = cos x 2 в интервала [0; 4p];

в интервала [0; 2p]; Решение: а) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = cos x. 2π = π Периодът на функцията y = cos 4x е . 4 2

(

)

в) y = cos x − π 2 в интервала [0; 2p].

Графиката на функцията y = cos 4x се получава от графиката на функцията y1 = cos x чрез „свиване по оста Ох“. б) Първо начертаваме графиката на функцията у1 = cos x. Периодът на функцията y = cos x е 2π = 4π . 1 2 2

Графиката на функцията y = cos x се получава от графиката на функцията y1 = cos x 2 чрез „разтягане по оста Ох“. в) Първо начертаваме графиката на функцията у1 = cos x. След това успоредно пренасяме π графиката ѝ „хоризонтално надясно“ на разстояние− . 2

(

y = cos x − π 2

ЗАДАЧИ

)

Графиката на функцията y = sin x се получава от графиката на функцията y 1 = cos x чрез успоредно пренасяне „хоризонтално π надясно“ на разстояние− . 2

В интервала [0; 2p] начертайте графиките на функциите: 1. y = 1 + cos x;

4. y = 2 cos x;

7. y = 1 + 3 cos x;

2. y = 3 + cos x;

5. y = –3 cos x;

8. y = cos 3x;

3. y = 1 + 2 |cos x|;

6. y = 2 – |cos x|;

Към съдържанието

9. y = 1y += cos x . 2

187

41.

ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯТА y

= tg x )

(

Изменение на функцията y = tg x в интервала x ∈ − π ; π 2 2 π Дефиниционната област на функцията y = tg x е x ≠ (2k + 1) . Установихме, че при 2 всяка допустима стойност на аргумента x функцията y = tg x се изразява с ординатата на пресечната точка P на второто рамо на ъгъла (или неговото продължение) с оста на тангенсите t, т.е. tg x = yP. Когато аргументът x се изменя в областта на допустимите стойности, точката P се движи по оста на тангенсите и изменението на ординатата ѝ yP дава изменението на функцията y = tg x. Като проследим изменението на функцията y = tg x с изменението на аргумента x, установяваме, че тя приема стойности от –∞ до +∞.

(

)

π π Изменението на tg x с изменението на аргумента x в интервала − 2 ; 2 е следното:  К  огато аргументът расте от − π до 0, 2 ординатата на точката Р расте от – ∞ до 0 и затова функцията y = tg x расте от – ∞ до 0.

 П  ри x = 0 точката P съвпада с точката М0 и tg 0 = 0.  К  огато аргументът x расте от 0 до− π , 2 ординатата на точката P, а следователно и функцията y = tg x расте от 0 до + ∞.

)

(

Изменението на функцията y = tg x в интервала − π ; π е дадено в следната таб2 2 лица. x

−π 2

−π 4

0

−π 4

y = tg x

–∞

–1

0

1

−π 2 +∞

Тъй като функцията y = tg x има период p (т.е. tg (x + kp) = tg x), то изменението ѝ в интервалите π ; 3π , 3π ; 5π и т.н., както и в интервалите − 3π ; − π , − 5π ; − 3π 2 2 2 2 2 2 2 2 и т.н. ще бъде същото, както в интервала − π ; π . 2 2

(

)(

)

(

)(

(

)

(

Графика на функцията y = tg x в интервала x ∈ − π ; π 2 2

)

(

)

)

За да начертаем графиката на функцията y = tg x в интервала − π ; π , ще постро2 2 им няколко точки от графиката ѝ, като пресметнем координатите им и ги подредим в следната таблица.

188

Към съдържанието

x

−π 2

−π 3

−π 6

0

−π 6

tg x

не е дефинирана

− 3

− 3 3

0

3 3

3

–1,7

–0,6

0

0,6

1,7

tg x ≈

–∞

−π 3

−π 2 не е дефинирана

+∞

y = tg x

Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = tg x при x ∈ − π ; π . 2 2 π  За стойности на x, близки до − , но по-големи от − π , tg x приема безкрайно 2 2 малки стойности.  За стойности на x, близки до+ π , но по-малки от+ π , tg x приема безкрайно голе2 2 ми стойности. π  Правите x = − π и x =− са асимптоти* на графиката. 2 2

(

)

* Права в равнината, която се приближава неограничено до клон на равнинна крива, отиващ в безкрайност.

Към съдържанието

189

Графика на функцията y = tg x в интервала x ≠ π (2k + 1) 2 Функцията y = tg x e периодична с период p. Следователно стойностите ѝ се повтарят във всеки интервал с дължина p. Графиката на функцията y = tg x се получава от графиката ѝ в интервала − π ; π чрез последователното ѝ пренасяне в двете посо2 2 ки, успоредно на оста Oу, на разстояние p, 2p, ... На чертежа е представена графиката на функцията y = tg x при x ≠ π + k π , където 2 (k = 0, ± 1, ± 2,...). y = tg x

(

)

Получената графика се нарича тангенсоида. Правите x = π + k π са асимптоти на 2 тангенсоидата. Ще направим някои изводи за функцията y = tg x, които следват от графиката ѝ:  tg x няма най-малка и няма най-голяма стойност;  tg x = 0 при x = kp;  tg x расте от –∞ до + ∞ във всеки интервал − π + k π; π + k π , където k е произ­ 2 2 волно цяло число.

(

)

Функцията y = tg x не е растяща в интервал, който съдържа точки от вида x = π + k π . 2 Например y = tg x не e растяща в интервала (0; p).

ЗАДАЧА 1

190

(

)

π π В интервала − 2 ; 2 начертайте графиките на функциите: а) y = 2 + tg x; б) y = –2 tg x; в) y = 2 + |tg x|; г) y = –1 – |tg x|. Решение: а) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = tg x. След това успоредно пренасяме тази графика с 2 единици „вертикално нагоре“, за да получим графиката на функция­ та y = 2 + y1 = 2 + tg x (черт. 1). б) Графиката на функцията y = – 2 tg x се получава от графиката на функцията y1 = tg x, като умножим ординатите на точките ѝ по (– 2), т.е. y = – 2y1 = – 2 tg x (черт. 2). в) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = tg x, a след това – на y2 = |y1| = |tg x|. Графиката на функцията у2 успоредно пренасяме с 2 единици „вертикално нагоре“, за да получим графиката на функцията y = 2 + y2 = 2 + |tg x| (черт. 3). г) Първо начертаваме графиката на функцията y1 = tg x, a след това – на y2 = – |y1| = – |tg x|. Графиката на функцията у2 успоредно пренасяме с 1 единица „вертикално надолу“, за да получим графиката на функцията y = –1 + y2 = –1 – |tg x| (черт. 4).

Към съдържанието

ЗАДАЧИ

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

(

)

В интервала − π ; π начертайте графиките на функциите: 2 2 1. y = tg x + 1; 7. y = |tg x| + 1. 4. y = 2tg x; 2. y = tg x – 2;

5. y = –3tg x;

8. y = |tg x| – 1.

3. y = – |tg x|;

6. y = 2tg x + 3;

9. y = 2|tg x|.

Към съдържанието

191

42.

ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯТА

y = cotg x

Изменение на функцията y = cotg x в интервала x ∈ (0; p) Дефиниционната област на функцията y = cotg x е x ≠ kp. Установихме, че при всяка допустима стойност на аргумента x функцията y = cotg x се изразява с абсцисата на точката Q, в която второто рамо на ъгъла (или неговото продължение) пресича оста на котангенсите c, т.е. cotg x = xQ. Когато аргументът x се изменя в областта на допустимите стойности, точката Q се движи по оста на котангенсите и изменението на абсцисата ѝ xQ дава изменението на функцията y = cotg x. Като проследим изменението на функцията y = cotg x с изменението на аргумента x, установяваме, че тя приема стойности от –∞ до +∞.

Изменението на cotg x с изменението на аргумента x в интервала (0; p) e следното:

 Когато аргументът x расте от 0 до− π , абсцисата на точката Q намалява от +∞ до 2 0 и затова функцията y = cotg x намалява от +∞ до 0.  При x =− π точката Q съвпада с М p и cotg π = 0 . 2 2 2  Когато аргументът x расте от− π до p, абсцисата на точката Q намалява от 0 до 2 –∞ и затова функцията y = cotg x намалява от 0 до –∞. Изменението на функцията y = cotg x в интервала (0; p) e дадено в следната таблица. x

0

y = cotg x

+∞

−π 4

−π 2

− 3π 4

1

0

–1

p –∞

Тъй като функцията y = cotg x има период p (т.е. cotg (x + kp) = cotg x), то изменението ѝ в интервалите (p; 2p), (2p; 3p) и т.н., както и в интервалите (–p;  0), (–2p; –p) и т.н. ще бъде същото, както в интервала (0; p).

192

Към съдържанието

Графика на функцията y = cotg x в интервала x ∈ (0; p) За да начертаем графиката на функцията y = cotg x в интервала (0; p) , ще построим няколко точки от графиката ѝ, като пресметнем координатите им и ги подредим в следната таблица. x

0

−π 6

−π 3

−π 2

cotg x

не е дефинирана

− 3

3 3

0

1,7

0,6

0

cotg x ≈

+∞

− 2π 3 − 3 3 –0,6

− 5π 6 − 3 –1,7

p не е дефинирана

–∞

y = cotg x

Построените точки свързваме последователно с непрекъсната (плавна) линия и получаваме графиката на функцията y = cotg x при x∈ (0; p).  За стойности на x, близки до 0, но по-големи от 0, cotg x приема безкрайно големи стойности.  За стойности на x, близки до p, но по-малки от p, cotg x приема безкрайно малки стойности.  Правите x = 0 и x = p са асимптоти на графиката.

Към съдържанието

193

Графика на функцията y = cotg x в интервала x ≠ kp Функцията y = cotg x е периодична с период p. Следователно стойностите ѝ се повтарят във всеки интервал с дължина p. Графиката на функцията y = cotg x се получава от графиката ѝ в интервала (0; p) чрез последователното ѝ пренасяне в двете посоки успоредно на оста Oy, на разстояние p, 2p,... На чертежа е представена графиката на функцията y = cotg x при x ≠ kp (k = 0, ± 1,...).

y = cotg x

Получената графика се нарича котангенсоида. Правите x = kp са асимптоти на котангенсоидата. Ще направим някои изводи за функцията y = cotg x, които следват от графиката ѝ:  cotg x няма най-малка и няма най-голяма стойност;  cotg x = 0 при x = π (2k + 1) ; 2  cotg x намалява от +∞ до –∞ във всеки интервал (kp; (k + 1)p), където k е произволно цяло число. Функцията y = cotg x не е намаляваща в интервал, който съдържа точки от вида x = kp. Например y = cotg x не е намаляваща в интервала − π ; π . 2 2

(

)

ЗАДАЧА 1 В интервала (0; p) начертайте графиките на функциите:

а) y = cotg x – 2; б) y = 1 cotg x ; в) y = 2 + |cotg x|; г) y = 1 + 2 cotg x. 2 Решение: а) П  ърво начертаваме графиката на функцията y1 = cotg x. След това успоредно пренасяме тази графика с 2 единици “вертикално надолу”, за да получим графиката на функцията y = y1 – 2 = cotg x – 2 (черт. 1). б) Графиката на функцията y = 1 cotg x се получава от графиката на функцията y1 = cotg x, 2 като умножим ординатите на точките ѝ по 1 , т.е.= y 1= y1 1 cotg x (черт. 2). 2 2 2 в) П  ърво начертаваме графиката на функцията y1 = cotg x, след това – на y2 = |y1| = |cotg x|. Графиката на функцията у2 успоредно пренасяме с 2 единици “вертикално нагоре”, за да получим графиката на функцията y = 2 + y2 = 2 + |cotg x| (черт. 3). г) Графиката на функцията y2 = 2 cotg x се получава от графиката на функцията y1 = cotg x, като умножим ординатите на точките ѝ по 2, т.е. у2 = 2у1 = 2 cotg x. Графиката на функ­цията y = 1 + 2 cotg x се получава, след като успоредно пренесем графиката на у2 с 1 единица “вертикално нагоре”, т.е. у = 1 + у2 = 1 + 2 cotg x (черт. 4).

194

Към съдържанието

ЗАДАЧИ

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

В интервала (0; p) начертайте графиките на функциите:

2. y = 2 cotg x;

1 4. y = − cotg x ; 3 5. y = |cotg x|;

3. y = –cotg x;

6. y = 2cotg x + 1;

1. y = cotg x + 1;

Към съдържанието

7. y = |cotg x| – 2; 8. y = |cotg x| + 1; 9. y = 1 | cotg x | . 2

195

43.

ФОРМУЛИ ЗА СИНУС И КОСИНУС ОТ СБОР И РАЗЛИКА НА ДВА ЪГЪЛА Ще докажем няколко формули за представяне на тригонометричните функции на сбор и разлика на ъгли, които често се използват. С a и b бележим както ъглите, така и техните мерки при една и съща мерна единица.

Т1

За произволни ъгли a и b е в сила равенството cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b. Доказателство: 1. Нека a и b са произволни ъгли и вторите им рамена пресичат тригонометричната окръжност съответно в точките М1 и M2. Съгласно определенията за тригонометрични функции точките М1 и M2 имат координати М1 (cos a; sin a) и М2 (cos b; sin b). Ще разгледаме случая, когато ъглите a и b са положителни и точките М1 и M2 са съответно във II и в I квадрант. За М1 OM2 имаме OM1 = OM2 = r = 1 М1OM2 = a – b.

2. За М1OM2 прилагаме косинусовата теорема за страната М1M2 и получаваме M 1M 22 = OM 12 + OM 22 − 2OM 1 .OM 2 cos(α − β) = = 1 + 1 − 2.1.1.cos(α − β) = = 2 − 2 cos(α − β).

3. От формулата за пресмятане на разстоянието между две точки с дадени координати получаваме M 1M 22 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = = (cos β − cos α) 2 + (sin β − sin α) 2 = = cos 2 β − 2 cos α cos β + cos 2 α + sin 2 β − 2 sin α sin β + sin 2 α = 2 2 2 2 = sin β + cos α α − 2(cos α cos β + sin α sin β) = + cos      β + sin 1

1

= 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β). От (2) и (3) получаваме М1M22 = 2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b)



⇒ cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. В останалите случаи в зависимост от знаците на a и b и положението на точките М1 и M2 теоремата се доказва с аналогични разсъждения.

196

Към съдържанието

Т2

За произволни ъгли a и b е в сила равенството cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Доказателство: За доказателство ще използваме, че cos (–b) = cos b и sin (–b) = –sin b. cos(α + β) = cos ( α − (−β) ) = = cos α cos(−β) + sin α sin(−β) = = cos α cos β − sin α sin β



⇒ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

!

Следствие 1 За произволен ъгъл a са изпълнени равенствата cos π − α = sin α и sin π − α = cos α . 2 2

)

(

)

(

Доказателство: cos π − α = cos π cos α + sin π sin α = 0.cos α + 1.sin α = sin α 2 2 2 От доказаното равенство получаваме sin π − α = cos π − π − α = cos π − π + α = cos α . 2 2 2 2 2

( (

Т3

) )

( (

))

)

(

За произволни ъгли a и b е в сила равенството sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Доказателство:

(( (



Т4

)

(

sin(α + β) = cos π − (α + β) = 2 = cos π − α − β = 2 = cos π − α cos β + sin π − α sin β = 2 2 = sin α cos β + cos α sin β

)

) )

(

)

⇒ sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b За произволни ъгли a и b е в сила равенството sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Доказателство:

sin(α − β) = sin ( α + (−β) ) = = sin α cos(−β) + cos α sin(−β) =



= sin α cos β − cos α sin β ⇒ sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b

Доказаните формули за преобразуване на сбор и разлика на ъгли се наричат събирателни и се използват при преобразуване на тригонометрични изрази.

Към съдържанието

197

ЗАДАЧА 1

Пресметнете: а) cos 27° cos 18° – sin 27° sin 18°; в) sin 29° cos 31° + cos 29° sin 31°; Решение: а) cos 27° cos18° − sin 27° sin 18° = = cos( 27° + 18°) = cos 45° = 2 2 в) sin 29° cos 31° + cos 29° sin 31° = = sin( 29° + 31°) = sin 60° = 3 2

ЗАДАЧА 2

б) cos 73° cos 13° + sin 73° sin 13°; г) sin 78° cos 48° – cos 78° sin 48°. б) cos 73° cos13° + sin 73° sin 13° = = cos(73° − 13°) = cos 60° = 1 2 г) sin 78° cos 48° − cos 78° sin 48° = = sin(78° − 48°) = sin 30° = 1 2

Ако sin α = 11 и 90° < a < 180°, пресметнете: 6 а) sin (a + 30°); б) cos (a – 45°). Решение: От sin α = 11 и 90° < a < 180° намираме cos α = − 5 . 6 6 а) Прилагаме Т3 .

б) Прилагаме Т1 . cos(α − 45°) = = cos α cos 45° + sin α sin 45° =

sin(α + 30°) = = sin α cos 30° + cos α sin 30° =

( )

11 3 5 1 = 6 ⋅ 2 + −6 ⋅2 = = 33 − 5 12



= − 5 ⋅ 2 + 11 ⋅ 2 = 6 2 6 2 = −5 2 + 22 12

ЗАДАЧА 3 Докажете тъждествата: а) cos (a + b) cos (a – b) = cos2 a – sin2 b;

б) sin (a + b) sin (a – b) = sin2 a – sin2 b.

Доказателство: а) З  а лявата страна на тъждеството прилагаме Т1 и Т2 и преобразуваме до получаване на дясната му страна. cos (a + b) cos (a – b) = = (cos a cos b – sin a sin b).(cos a cos b + sin a sin b) = = cos2 a cos2 b – sin2 a sin2 b = = cos2 a (1 – sin2 b) – (1 – cos2 a) sin2 b = = cos2 a – cos2 a sin2 b – sin2 b + cos2 a sin2 b = cos2 a – sin2 b б) З  а лявата страна на тъждеството прилагаме Т3 и Т4 и преобразуваме до получаване на дясната му страна. sin (a + b) sin (a – b) = = (sin a cos b + cos a sin b).(sin a cos b – cos a sin b) = = sin2 a cos2 b – cos2 a sin2 b = = sin2 a (1 – sin2 b) – (1 – sin2 a) sin2 b = = sin2 a – sin2 a sin2 b – sin2 b + sin2 a sin2 b = sin2 a – sin2 b

198

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4

Пресметнете стойностите на изразите: а) cos (45° + a) cos (45° – a) – sin (45° + a) sin (45° – a); б) sin (70° + a) cos (20° – a) + cos (70° + a) sin (20° – a); в) sin (57° + a) cos (12° + a) – cos (57° + a) sin (12° + a); г) cos (52° + a) cos (22° + a) + sin (52° + a) sin (22° + a). Решение: а) Съгласно Т2 б) Съгласно Т3 в) Съгласно Т4

cos (45° + a) cos (45° – a) – sin (45° + a) sin (45° – a) = = cos (45° + a + 45° – a) = cos 90° = 0. sin (70° + a) cos (20° – a) + cos (70° + a) sin (20° – a) = = sin (70° + a + 20° – a) = sin 90° = 1. sin (57° + a) cos (12° + a) – cos (57° + a) sin (12° + a) = = sin (57° + a – 12° – a) = sin 45° = 2 . 2 г) Съгласно Т1 cos (52° + a) cos (22° + a) + sin (52° + a) cos (22° + a) = = cos (52° + a – 22° – a) = cos 30° = 3 . 2

ЗАДАЧА 5

Пресметнете: б) cos 15°. а) sin 15°; Решение: I начин: 15° = 45° – 30° II начин: 15° = 60° – 45° a) sin 15° = sin(45° − 30°) = a) sin 15° = sin(60° − 45°) = = sin 60° cos 45° − cos 60° sin 45° = = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30° = = 3⋅ 2 −1⋅ 2 = 6− 2 = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅1 = 6− 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 б) cos15° = cos(45° − 30°) = б) cos15° = cos(60° − 45) = = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45° = = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅1 = 6+ 2 2 2 2 2 4

ЗАДАЧИ

1. Пресметнете: а) sin 75°; б) cos 75°. 2.

Пресметнете стойностите на изразите: а) cos 47° cos17° + sin 47° sin 17°; б) cos 27° cos18° – sin 27° sin 18°; в) sin 28° cos 62° + cos 28° sin 62°; г) sin 83° cos 53° – cos 83° sin 53°.

3.

Опростете изразите: а) sin (a + b) – sin (a – b); б) cos 2a . cos a + sin2a. sin a; в) sin 4a . cos2a – cos4a. sin2a; г) sin(a+b)cos(a– b)+cos(a+b)sin(a– b).

Към съдържанието

=1⋅ 2 + 3⋅ 2 = 6+ 2 2 2 2 2 4 4. Изчислете: а)cos α + π , ако sin α = − 4 и 5 6 3 π α∈ ; 2π ; 2 б)sin α − π , ако cos α = − 2 2 и 3 4 π α ∈ ; π . 2 5. Изчислете cos (a – b), ако cos α = 12 , sin β = 3 и 0° < a < 90°, 13 5 90  0 ⇒ 3 3 2 cos α = α 1 − cos α 3 6. tg = − 2. sin 2α = 2 sin α cos α = 2 1 + cos α   = 2 − 5  ⋅ 2 = − 4 5 1− 2 9  3  3 α 3 = tg = − 2 2 2 1+ 2 3. cos 2α = cos α − sin α = 3 4 5 1 = − =− =− 1 =− 5 9 9 9 5 5 4. 270° < a < 360° | :2 7. sin(α + 30°) = 135° < α < 180° = sin α cos 30° + cos α sin 30° = 2 α α ⇒ cos < 0, tg < 0 =− 5 ⋅ 3 + 2⋅1 = 2 2 3 2 3 2 α 1 + cos α = 2 − 15 5. cos = − 6 2 2 8. cos(α − 45°) = 1+ 2 = cos α cos 45° + sin α sin 45° = 3 = cos α = − 2 2   = 2 ⋅ 2 +− 5  2 = 30 3 2 3 5   2 =− =− 6 6 = 2 2 − 100 6 Ако sin α = −

Към съдържанието

219

ЗАДАЧА 2

Докажете, че: а) sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ;

б) cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α .

Решение: а) sin 3α =

б) cos 3α =

= sin( 2α + α) =

= cos( 2α + α) =

= sin 2α cos α + cos 2α sin α =

= cos 2α cos α − sin 2α sin α =

= 2 sin α cos α cos α + (1 − 2 sin 2 α)sin α =

= (2 cos 2 α − 1) cos α − 2 sin α cos α sin α =

= 2 sin α cos 2 α + sin α − 2 sin 3 α =

= 2 cos 3 α − cos α − 2 sin 2 α cos α =

= 2 sin α(1 − sin 2 α) + sin α − 2 sin 3 α =

= 2 cos 3 α − cos α − 2(1 − cos 2 α) cos α =

= 2 sin α − 2 sin 3 α + sin α − 2 sin 3 α =

= 2 cos 3 α − cos α − 2 cos α + 2 cos 3 α =

= 3 sin α − 4 sin 3 α

= 4 cos 3 α − 3 cos α

Доказахме формулите за утроен ъгъл чрез единичния ъгъл.

! ЗАДАЧА 3

За допустимите стойности на a опростете изразите sin 4α cos 2α cos α A = sin 2α + sin 5α − sin α и B = ⋅ ⋅ . cos 2α + cos 5α + cos α 1 + cos 4α 1 + cos 2α 1 + cos α Решение:

 4α ⋅ cos 2α ⋅ cos α = sin B= cos 1 4 α 1 2 α 1 α +cos +cos +     2 sin 2 α cos 2 α

A = sin 2α + sin 5α − sin α = cos 2α + cos 5α + cos α sin 2α + 2 sin 5α − α cos 5α + α 2 2 = = α α α + 5 5 cos 2α + 2 cos cos − α 2 2 = sin 2α + 2 sin 2α cos 3α = cos 2α + 2 cos 3α cos 2α =

sin 2α(1 + 2 cos 3α) = cos 2α(1 + 2 cos 3α)

= sin 2α = cos 2α = tg 2α

220

2 cos 2 2 α

2 cos 2 α

2 cos 2 α 2

= 2 sin 2α2cos 2α ⋅ cos 22α ⋅ cos α = 2 cos 2α 2 cos α 2 cos 2 α 2 2 α sin = = 4 cos α cos 2 α 2 α α 2 sin cos = = 4 cos α cos 2 α 2 = siin α = 2 cos 2 α 2 α 2 sin cos α 2 2 = = 2 α 2 cos 2 α = tg 2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4

Опростете израза A = cos 2 x + cos 2 (60° + x) + cos 2 (60° − x) . Решение: A = cos 2 x + cos 2 (60° + x) + cos 2 (60° − x) = 1 + cos(120° + 2 x) 1 + cos(120° − x) = = 1 + cos 2 x + + 2 2 2 = 1 ( 3 + cos 2 x + cos(120° + 2 x) + cos(120° − 2 x) ) = 2

(

)

= 1 3 + cos 2 x + 2 cos 120° + 2 x + 120° − 2 x cos 120° + 2 x − 120° + 2 x = 2 2 2 = 1 (3 + cos 2 x + 2 cos120° cos 2 x) = 2

(

( )

)

= 1 3 + cos 2 x + 2 − 1 cos 2 x = 2 2 = 1 (3 + cos 2 x − cos 2 x) = 2 =3 2

ЗАДАЧА 5 Ако a + b + g = 180°, докажете, че cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 − 2 cos α cos β cos γ. Решение: От α + β + γ = 180° ⇒ γ = 180° − (α + β) и α + β = 180° − γ . cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 + cos 2β 1 + cos 2γ = 1 + cos 2α + + = 2 2 2 = 1 (cos 2α + cos 2β + cos 2 γ + 3) = 2

(

= 1 2 cos 2

)

2α + 2β 2α − 2β ⋅ cos + 2 cos 2 γ − 1 + 3 = 2 2

= 1 ( 2 cos(α + β) cos(α − β) + 2 cos 2 γ + 2 ) = 2 = cos(α + β) cos(α − β) + cos 2 γ + 1 = = 1 + cos(α + β) cos(α − β) + cos 2 (180° − (α + β) ) = = 1 + cos(α + β) cos(α − β) + cos 2 (α + β) = = 1 + cos(α + β)(cos(α − β) + cos(α + β)) = α −β−α −β α −β+ α +β = cos 2 2 = 1 − 2 cos γ cos α cos( − β) =

= 1 + cos(180° − γ ).2 cos

= 1 − 2 cos α cos β cos γ

Към съдържанието

221

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ТРИГОНОМЕТРИЯ“ Пресметнете стойността на израза А + В: 1. A = sin 765° + cos1080° B = − tg 765° + cotg 990°; 2. A = sin( − 480°) cos(− 420°) B = tg(−240°) cotg(− 405°); 3. A = sin 3630° − tg1845° B = cos( −1140°) + cotg( −1125°).

) (

sin 2 2α − 4 sin 2 α = tg 4 α ; sin 2 2α + 4 sin 2 α − 4

19.  cos 2 α + cos 2 (60° + α) + cos 2 (60° − α) = 3 ; 2 2 cos 3 α = 3. 20.  cotg α − cos α sin 2 α Пресметнете:

Пресметнете стойностите на изразите: 4. tg − 7 π − tg 27 π + cotg 89π ; 4 6 23 π 37 π − tg − − sin − 47 π . 5. cotg − 4 4 6

( ) ( ) (

18. 

)

Сравнете по големина числата: 6. sin 3644° и sin 875°; 7. cos 3663° и cos (–746°); 8. tg 624° и tg 1455°; 9. cotg 804° и cotg 735°. Пресметнете стойностите на изразите: sin α + 2 cos α 10. A = , ако tg α = 2 ; cos α − sin α 3 2 2 11. B = sin α + 2 cos α , ако cotg α = − 2 ; 4 sin α cos α 3 4 4 α α sin − cos 12. C = , ако tg α = 3 ; sin 2 α − 2 cos 2 α

21.  sin(180° − α) , ако tg α = 3 и a ∈ (0°; 90°); 22.  cos(135° + α) , ако cotg α = − 3 и a ∈ (90°; 180°); 3 23.  tg(α + 60°) , ако cos α = − 0, 6 и a ∈ (90°; 180°); 24.  cos 2a , ако cotg α = 2 и a ∈ (0°; 180°); 2 3 a 25.  sin , ако cos 2α = − 1 и a ∈ (0°; 90°). 2 2 Ако a, b и g са ъгли в триъгълник, докажете тъждествата: 5α cos 5β cos 5γ ; 2 2 2 11α cos 11β cos 11γ 27.  sin 11α + sin 11β + sin 11γ = − 4 cos ; 2 2 2 28.  sin 2α + sin 2β + sin 2 γ = 4 sin α sin β sin γ ; 26.  sin 5α + sin 5β + sin 5γ = 4 cos

β γ α 29.  cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin sin sin ; 2 2 2 30.  cos 2α + cos 2β + cos 2γ = −1 − 4 cos α cos β cos γ ;

2 α , ако cotg α = 1 . 13. D = 1 − 2 cos 2 3 3 sin α − 2

31.  cotg α cotg β + cotg β cotg γ + cotg γ cotg α = 1 ;

При съответните допустими стойности за a, докажете тъждествата: 2 2 2 14. 12 − tg α(1 + cos α) = cos α ; cos α

2 2 2 33.  cos α + cos β − cos γ = 1 − 2 sin α sin β cos γ ;

15.

tg α − sin α cos α = sin 4 α ; tg α + cotg α

16.

cotg 2 α − cos 2 α = cotg 6 α ; tg 2 α − sin 2 α

32.  sin 2 α + sin 2 β − sin 2 γ = 2 sin α sin β cos γ ;

α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1 ; 2 2 2 2 2 2 β γ β γ α α 35.  cotg + cotg + cotg = cotg cotg cotg . 2 2 2 2 2 2 36. Докажете, че един триъгълник е правоъгълен тогава и само тогава, когато cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 . 34.  tg

2 2 17.  sin 23α − cos 23α = 8 cos 2α ; sin α cos α

222

Към съдържанието

52.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „ТРИГОНОМЕТРИЯ” 1.  Сборът sin 3π + tg 4π е равен на: 4 3 2 − 3; А) 2 Б) 2 + 3; 2 2 + 3; В) − 2 2 − 3. Г) − 2 2.  Стойността на израза cos 465° – cos 885° e: А) − 3; 2; Б) − 2 В)

2; 2

Г)

3.

3.  Дадени са функциите f 1 ( x) = x 2 − 5 cos x, f 2 ( x) = 3 x + 2 tg x,  f 3 ( x) = 2 x cos x − 7 sin x . Колко от тях са нечетни?

5.  За допустимите стойности на a част1 − cos 2α ното е равно на: sin 2α А) sin a; Б) cos a; В) tg a; Г) cotg a. 6. Сборът

Б) 1; В) 2; 4.  Ако cos α = 5 и a ∈ (270°; 360°), то 13 sin a и cotg a са съответно равни на: А) − 12 и 5 ; 13 12 Б) 12 и − 5 ; 13 12 В) 12 и 5 ; 13 12 Г) − 12 и − 5 . 13 12

А)

2 sin(α − 45°) ;

Б)

2 sin( 45° − α);

В)

2 cos( 45° + α);

Г)

2 cos(α − 45°).

8. Намерете стойността на израза tg 15° + cotg 15°.

(

)

9. Ако cotg α = − 4 и α = 3π ; 2π , прес3 2 метнете числената стойност на израза A = 50 cos 2α − 3 tg α . 2 10. Д  а се докаже, че ако a, b и g са ъгли в триъгълник, то е изпълнено тъждеството



Към съдържанието

( ) ( ) Б) 2 sin ( π − α ) cos ( π − α ) ; 6 6 В) 2 sin ( π + α ) cos ( π − α ) ; 6 6 π π Г) 2 sin ( − α ) cos ( + α ) . 6 6

А) 2 sin π + α cos π + α ; 6 6

7. Изразът sin a + cos a е тъждествено равен на:

А) 0;

Г) 3.

3 + sin 2α е равен на: 2

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3β 3γ = − 4 cos 3α cos cos . 2 2 2

223

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „ТРИГОНОМЕТРИЯ“ 1.  Сборът cos 4π + cotg 5π е равен на: 3 3 3 1 ; А) − − 2 3 3 1 Б) − 2 + 3 ; 3 1 В) 2 − 3 ; Г) 1 + 3 . 2 3 2.  Стойността на израза sin 525° + sin 465° e: А)

2; 2

Б)

3; 2

В)

6; 2

Г) − 6 . 2 3.  Дадени са функциите f 1 ( x) = 5 + 3 cos x , f 2 ( x) = 7 x − 7 sin x ,  f 3 ( x) = 4 cos x − 3 x sin x . Колко от тях са четни? А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.

5.  За допустимите стойности на a частното 1 + cos 2α е равно на: sin 2α А) sin a; Б) cos a; В) tg a; Г) cotg a. 6. Разликата 1 − cos 2α e равна на: 2 π А) 2 sin + α sin π − α ; 6 6

) ( ) Б) −2 sin ( π + α ) sin ( π − α ) ; 6 6 В) 2 sin ( π − α ) cos ( π + α ) ; 6 6 Г) 2 sin ( π + α ) cos ( π − α ) . 6 6 (

7. Изразът cos a – sin a е тъждествено равен на: А)

2 sin( 45° − α) ;

Б)

2 sin( 45° + α) ;

В)

2 cos( 45° − α) ;

Г)

2 cos( 45° + α) .

(

)

8. Ако cotg α = 5 и α ∈ π; 3π , намерете 2 5 . стойността на израза A = 5 + sin 2α

4.  Ако sin α = −2 2 и a∈ (270°; 360°), 9. Ако tg α = 3 и a ∈ (180°; 270°), прес­ 3 4 то cos a и tg a са съответно равни на: метнете числената стойност на израза A = 25 sin 2α + 9 cotg α . А) − 1 и −2 2 ; 2 3 Б) − 1 и 2 2 ; 3 1 В) и −2 2 ; 3 1 Г) и 2 2 . 3

224

10. Да се докаже, че ако a, b и g са ъгли в триъгълник, то е изпълнено тъждеството β γ sin α + sin β − sin γ = 4 sin α sin cos . 2 2 2

Към съдържанието

ТЕМА 4 ВЕРОЯТНОСТИ (Урок 53 – Урок 62) В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: условна вероятност; теорема за умножение на вероятностите; независими събития; модели на многократни експерименти с два възможни изхода; разпределения на вероятностите със сума 1;  геометрична вероятност върху правата като отношение на дължини на интервали;  геометрична вероятност в равнината като отношение на лица на фигури. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: да намират вероятност на сечение на две събития; да прилагат моделите на многократни опити с два възможни изхода в конкретни практически ситуации; да пресмятат разпределение на вероятностите със сума 1; да намират геометрична вероятност върху правата; да намират геометрична вероятност в равнината. 225 Към съдържанието

53.

КЛАСИЧЕСКА ВЕРОЯТНОСТ (преговор) Комбинации без повторение на n елемента от k-ти клас (k ≤ n) – съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго с поне един елемент. Брой комбинации без повторение на n елемента от k-ти клас n(n − 1)(n − 2)… (n − k + 1) , k ≤ n, Cn0 = 1, Cn1 = n, Cnn = 1 1.2.3… k Класическа вероятност ν ( A) брой благоприятни за А елементарни събития P ( A) = m = = брой на всички елементарни събития n ν (Ω ) Свойства  Вероятността на достоверното събитие е единица: P(Ω) = 1 .  Вероятността на невъзможното събитие е нула: P(∅) = 0 .  За вероятността на кое да е събитие А е в сила 0 ≤ Р(A) ≤ 1. Вероятност на сума на несъвместими събития Събитията А и В се наричат несъвместими, когато не могат да се случат едновременно, т.е. ако А ∩ В = ∅. Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е. Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В). Вероятност на противоположно събитие Противоположно събитие на А се нарича събитие, което се случва тогава и само тогава, когато не се случва събитието А. Означаваме го с A . Ако A е противоположното събитие на А, то за вероятността на A е в сила P ( A) = 1 − P ( A) . Вероятност на сума на съвместими събития Събитията А и В се наричат съвместими, когато могат да се случат едновременно, т.е. ако А ∩ В ≠ ∅. Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е. Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В). Cnk =

ЗАДАЧА 1

226

В кутия има 7 бели и 8 черни топки. По случаен начин едновременно се изваждат 3 от тях. Намерете вероятността извадените топки да са от един и същ цвят. Решение: 3 .14.13 455 начина, 15 В кутията има общо 15 топки. 3 от тях могат да се извадят= по C15 = 1.2.3 т.е. n = v (W) = 455. Означаваме събитията: А = {извадените топки са бели}, В = {извадените топки са черни} ⇒ А ∪ B = {извадените топки са от един и същ цвят}. Броят на благоприятните елементарни събития за А са C73 = 7.6.5 = 35 ⇒ P ( A) = 35 . 1.2.3 455 3 . . 8 7 6 = 56 ⇒ P ( B ) = 56 . Броят на благоприятните елементарни събития за B са C8 = 1.2.3 455 За намиране на P(А ∪ B) прилагаме теоремата за сума на несъвместими събития: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 35 + 56 = 91 = 1 . 455 455 455 5

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2

Хвърляме два правилни зара – бял и червен. Дадени са събитието А = {на белия зар се падат брой точки, кратни на 3} и събитието B = {на червения зар се падат повече от 4 точки}. Като използвате диаграмите на Ойлер-Вен, намерете вероятността на обединението и сечението на събитията А и В. Решение: Червен зар Общият брой на всички елементарни събития е n = v (W) = 6 . 6 = 36. 6 5 Множествата от благоприятните елементарни съ4 бития за А и В са 3 А = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 2 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} и 1 B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), 1 2 3 4 5 6 (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Бял зар За обединението на А и В имаме v (А ∪ В) = 20 v( A ∪ B ) 20 5 ⇒ P( A ∪ B) = = = . А B ν (Ω) 36 9 8 8 4 За сечението на А и В имаме v (А ∩ В) = 4 v( A ∩ B) 4 1 16 W ⇒ P( A ∩ B) = = = . ν (Ω) 36 9

ЗАДАЧА 3

В кутия има 7 бели и 7 черни картончета. Белите са номерирани с числата от 1 до 7. Черните също са номерирани с числата от 1 до 7. По случаен начин се изважда 1 картонче. Изобразете графично множеството от всички елементарни събития и намерете вероятността изваденото картонче да е: а) с номер 2 или с номер 4; б) с номер 2 или бяло. Решение: а) черни бели

1 2 3 4 5 6 7 номер

ЗАДАЧИ

б) черни бели 1 2 3 4 5 6 7 номер

А = {картончето е с номер 2} B = {картончето е с номер 4} P ( A= ) 2= 1 ; P ( B= ) 2= 1 14 7 14 7 А∩В=∅ ⇒ А и В са несъвместими. А ∪ В = {картончето е с номер 2 или 4} P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) P( A ∪ B) = 1 + 1 = 2 7 7 7

А = {картончето е с номер 2} B = {картончето е бяло} ) 7= 1 P ( A= ) 2= 1 ; P ( B= 14 2 14 7 А ∩ В = {картончето е бяло с номер 2} 1 ⇒ А и В са съвместими и P ( A ∩ B ) = . 14 А ∪ В = {картончето е с номер 2 или бяло} P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P( A ∪ B) = 1 + 1 − 1 = 4 7 2 14 7

1. В  кутия има 9 бели и 6 черни топки. По случаен начин едновременно се изваждат 2 от тях. Намерете вероятността тези топки да са от един и същ цвят. 2. В партида има 14 изделия от I качество и 16 изделия от II качество. Случайно са избрани 2 от тях. Намерете вероят-

ността тези изделия да са от едно и също качество. 3. Имаме тесте от 52 карти. Без да гледаме, теглим една от тях. Изобразете графично множеството от всички елементарни събития и намерете вероятността изтеглената карта да е: а) дама или асо; б) дама или каро.

Към съдържанието

227

54.

УСЛОВНА ВЕРОЯТНОСТ. ТЕОРЕМА ЗА УМНОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ Събитието А се нарича зависимо от събитието В, ако вероятността за сбъдването на А зависи от това дали се е сбъднало, или не се е сбъднало събитието В. Със зависимите събития основно е свързано понятието „условна вероятност“.

O ЗАДАЧА 1

Вероятността да се сбъдне събитието А, при условие че се е сбъднало събитието В, се отбелязва с P(A | B) и се нарича условна вероятност на събитието А, при усло­ вие че се е сбъднало събитието В. В кутия има 4 бели и 3 черни топки. По случаен начин последователно се изваждат 2 от тях (без да се връщат обратно в кутията). Намерете условната вероятност втората извадена топка да е бяла, при условие че първата е: а) бяла; б) черна. Решение: Означаваме събитията: А = { втората извадена топка е бяла}, В = {първата извадена топка е бяла} ⇒ B = {първата извадена топка е черна}. а) След като е извадена 1 бяла топка, в кутията са останали 6 топки, 3 от които са бели. ⇒В  ероятността втората извадена топка да е бяла, при условие че първата е бяла, е P ( A | B )= 3= 1 . 6 2 б) След като е извадена 1 черна топка, в кутията са останали 6 топки, 4 от които са бели. ⇒ Вероятността втората извадена топка да е бяла, при условие че първата е черна, е P ( A | B )= 4= 2 . 6 3

ЗАДАЧА 2

В кутия има 13 бели и 9 черни топки. Белите са номерирани с числата от 1 до 13. Черните са номерирани с числата от 1 до 9. По случаен начин се изважда 1 топка. Като използвате диаграмите на Ойлер-Вен, намерете вероятността извадената топка да е бяла, ако се знае, че тя е с четен номер. Решение:

А

!

7

6 5

W 4

За условна вероятност на събитието А, при условие че се е сбъднало събитието В, е P( A ∩ B) , P ( B ) > 0. в сила P ( A | B ) = P( B) Доказателство:

А

228

B

Означаваме събитията: А = {изтеглената топка е бяла}, B = {изтеглената топка е с четен номер (2, 4, 6, 8, 10 или 12)}. В кутията има 10 топки с четен номер, 6 от които са бели ⇒ P( A | B) = 6 = 3 . 10 5

а

b d

c

W B

b a + b + c + d P( A ∩ B) b = . P( A | B) = = P( B) b+c b+c a+b+c+d

Към съдържанието

Т

Теорема за умножение на вероятностите Вероятността на сечението на събитията А и В е равна на произведението от вероятността на едното от тях по условната вероятност на другото, при условие че се е сбъднало първото събитие. P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B ), P ( A) > 0, P ( B ) > 0 Доказателство: P( A ∩ B) ⇒ P( A ∩ B) = P( B) P( A | B) P( B) P( A ∩ B) ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) P ( B | A) = P ( A) P( A | B) =

⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B )

ЗАДАЧА 3

В кутия има 6 бели и 8 черни топки. По случаен начин последователно се изваждат 2 от тях (без да се връщат обратно в кутията). Намерете вероятността и двете извадени топки да са черни. Решение: I начин: Означаваме събитията: А = {първата извадена топка е черна}, В = {втората извадена топка е черна}⇒ А ∩ B = {двете извадени топки са черни}. ) 8= 4 . Вероятността първата извадена топка да е черна е P ( A= 14 7 След като е извадена 1 черна топка, в кутията остават 13 топки, от които 7 черни. Следователно вероятността и втората извадена топка да е черна е P ( B | A) = 7 . 13 За намиране на P(А ∩ B) прилагаме теоремата за умножение на вероятности: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) = 4 ⋅ 7 = 4 . 7 13 13 II начин: Ще решим задачата, като използваме класическата дефиниция за вероятност. .13 91 В кутията има общо 14 топки. От тях 2 топки могат да се извадят по = C142 14= 1.2 на­­чина, т.е. общият брой на всички елементарни събития е n = 91. 2 8= .7 28 начина, т.е. Черните топки са 8. От тях 2 топки могат да се извадят по C= 8 1.2 броят на благоприятните елементарни събития за А са m = 28. = m= 28 = 4 . Тогава P n 91 13

ЗАДАЧИ

1. В  кутия има 9 бели и 6 черни топки. По случаен начин последователно се изваждат 2 от тях. Намерете вероятността тези топки да са: а) бели; б) черни. 2. В урна са поставени 4 печеливши и 16  непечеливши билета. Изваждат се

Към съдържанието

по случаен начин два от тях. Намерете вероятността тези билети да са: а) печеливши; б) непечеливши. 3. Студент е подготвил 15 от всички 20 въ­ проса за изпит. Намерете вероятността той да отговори вярно на два, зададени му по случаен начин, въпроса.

229

55.

НЕЗАВИСИМОСТ. ТЕОРЕМА ЗА УМНОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ НА НЕЗАВИСИМИ СЪБИТИЯ

O ПРИМЕР

Две събития А и В се наричат независими, ако вероятността за сбъдването на А не зависи от това дали се е сбъднало, или не се е сбъднало събитието В, т.е. P ( A | B ) = P ( A) . Хвърляме едновременно два правилни зара. Очевидно е, че това, което ще се падне на единия зар, не зависи от това, което се е паднало на другия. Независимостта на събитията е винаги взаимна – ако събитието А е независимо от събитието В, то и В е независимо от А, и обратно. За независими събития теоремата за умножение на вероятности придобива следния вид:

Т

Ако А и В са независими събития, то вероятността на сечението им е равна на произведението от вероятностите на тези събития: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) . Доказателство: P( A ∩ B) = P( B) P( A | B)   ⇒ P( A ∩ B) = P( B) P( A) P ( A | B ) = P ( A) 

ЗАДАЧА 1

Хвърляме едновременно правилни монета и зар. Намерете вероятността да се паднат шестица на зара и тура на монетата. Решение: Означаваме събитията: А = {на зара се пада шестица}, B = {на монетата се пада тура} ⇒ А ∩ B = {на зара се пада шестица, а на монетата – тура}.

Събитията А и В са независими. Вероятността на зара да се падне шестица е P ( A) = 1 . 6 Вероятността на монетата да се падне тура е P ( B ) = 1 . 2 За намиране на P (А ∩ B) прилагаме теоремата за умножение на вероятности: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 1 ⋅ 1 = 1 . 6 2 12

ЗАДАЧА 2

Хвърляме два правилни зара. Намерете вероятността и на двата зара да се паднат четен брой точки. Решение: Означаваме събитията: А = {на I зар се падат четен брой точки}, B = {на II зар се падат четен брой точки} ⇒ А ∩ B = {на двата зара се падат четен брой точки}. Събитията А и В са независими. Вероятността на I зар да се паднат четен брой точки е P ( A)= 3= 1 . Вероятността на II зар също да се паднат четен брой точки e P ( B )= 3= 1  . 6 2 6 2 За намиране на P (А ∩ B) прилагаме теоремата за умножение на вероятности: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 1 ⋅ 1 = 1 . 2 2 4

230

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с вероятност 0,9, а вторият – с 0,8. Намерете вероятността в мишената да: а) има две попадения; б) няма попадения. Решение: а) Означаваме събитията: А = {първият стрелец улучва мишената}, В = {вторият стрелец улучва мишената} ⇒ А ∩ B = {в мишената има две попадения}. Събитията А и В са независими, като P(A) = 0,9, а P(B) = 0,8. За намиране на P(А ∩ B) прилагаме теоремата за умножение на вероятности: P(А ∩ B) = P(A)P(B) = 0,9 . 0,8 = 0,72. б) Противоположните събития на А и B са съответно `А = {първият стрелец не улучва мишената},`B = {вторият стрелец не улучва мишената} ⇒ `А ∩`B = {в мишената няма попадения}. P( A) = 1 − P( A) = 1 − 0, 9 = 0,1   ⇒ P( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 0,1.0, 2 = 0, 02 P( B ) = 1 − P( B) = 1 − 0, 8 = 0, 2 

ЗАДАЧА 4

Ученик отговаря по случаен начин на два въпроса с по 4 възможни отговора, от които само един е верен. Намерете вероятността ученикът да отговори на двата въпроса: а) вярно; б) грешно. Решение: а) Означаваме събитията: А = {ученикът отговаря вярно на I въпрос}, В = {ученикът отговаря вярно на II въпрос} ⇒ А ∩ B = {ученикът отговаря вярно и на двата въпроса}. Събитията А и В са независими, като P= ( A) P= ( B) 1 4 ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 1 ⋅ 1 = 1 . 4 4 16 б) Противоположните събития на А и B са съответно `А = {ученикът отговаря грешно на I въпрос},`B = {ученикът отговаря грешно на II въпрос} ⇒`А ∩`B = {ученикът отговаря грешно и на двата въпроса}. P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 1 = 3  4 4 3 3 9  ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 4 ⋅ 4 = 16 1 3 P( B ) = 1 − P( B) = 1 − =  4 4

ЗАДАЧИ

1. Х  върляме две правилни монети. Намерете вероятността и на двете монети да се падне тура. 2. Хвърляме едновременно правилни монета и зар. Намерете вероятността да се паднат четен брой точки на зара и ези на монетата. 3. Хвърляме два правилни зара. Намерете вероятността и на двата зара да се пад­ нат 6 точки. 4. Хвърляме два правилни зара. Намерете вероятността и на двата зара да се пад­нат точки, кратни на 3.

Към съдържанието

5. Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с ве­ роятност 0,8, а вторият – с 0,7. Намерете вероятността в мишената да: а) има две попадения; б) няма попадения. 6. Ученик отговаря по случаен начин на два въпроса с по 5 възможни отговора, от които само един е верен. Намерете вероятността ученикът да отговори и на двата въпроса: а) вярно; б) грешно.

231

56.

ДЕЙСТВИЯ С ВЕРОЯТНОСТИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1

В една кутия има 6 бели и 4 черни топки, а в друга – 3 бели и 7 черни топки. По случаен начин от всяка кутия се изважда по 1 топка. Намерете вероятността двете топки да са: а) от един и същ цвят; б) от различни цветове. Решение: Означаваме събитията: А1 = {от I кутия е извадена бяла топка}, А2 = {от II кутия е извадена бяла топка}. Техните противоположни събития са съответно `А1 = {от I кутия е извадена черна топка},`А2 = {от II кутия е извадена черна топка}. Вероятностите на означените събития са 3 , P ( A ) 4= = P ( A1 ) 6= , P ( A2 ) = , P ( A2 ) 7 . 1 10 10 10 10 а) 1. А = {извадени са 2 бели топки} Събитието А се получава като сечение на независимите събития А1 и А2 6 3 18 = 0,18 ⇒ P ( A) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = ⋅ = . 10 10 100 2. B = {извадени са 2 черни топки} Събитието B се получава като сечение на независимите събития`А1 и`А2 ⇒ P ( B ) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 4 ⋅ 7 = 28 = 0, 28 . 10 10 100 3. С = {извадените топки са от един и същ цвят} Събитието С се получава като обединение на несъвместимите събития А и В

⇒ P (C ) = P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 0,18 + 0, 28 = 0, 46 .

б) I начин: 1. D = {от I кутия е извадена бяла топка, а от II – черна} Събитието D се получава като сечение на независимите събития А1 и`А2 ⇒ P ( D) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 6 ⋅ 7 = 42 = 0, 42. 10 10 100 2. E = {от I кутия е извадена черна топка, а от II – бяла} Събитието E се получава като сечение на независимите събития`А1 и А2 ⇒ P ( E ) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 4 ⋅ 3 = 12 = 0,12 . 10 10 100 3. F = {извадените топки са от различни цветове} Събитието F се получава като обединение на несъвместимите събития D и E ⇒ P ( F ) = P ( D ∪ E ) = P ( D) + P( E ) = 0, 42 + 0,12 = 0, 54 . II начин: Противоположното събитие на F = {извадените топки са от различни цветове} е събитието C = {извадените топки са от един и същ цвят}, т.е. F =`C ⇒ P ( F ) = P (C ) = 1 − P (C ) = 1 − 0, 46 = 0, 54 .

ЗАДАЧА 2 Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с вероятност 0,8, а вторият – с 0,7. Намерете вероятността в мишената да има: а) точно 1 попадение; б) поне 1 попадение.

232

Към съдържанието

Решение: Означаваме събитията: А1 = {I стрелец улучва мишената}, А2 = {II стрелец улучва мишената}. Техните противоположни събития са съответно `А1 = {I стрелец не улучва мишената},`А2 = {II стрелец не улучва мишената}. Вероятностите на означените събития са P ( A1 ) = 0, 8, P ( A2 ) = 0, 7, P ( A1 ) = 1 − 0, 8 = 0, 2, P ( A2 ) = 1 − 0, 7 = 0, 3. а) 1. А = {I стрелец улучва, II стрелец не улучва мишената}, Събитието А се получава като сечение на независимите събития А1 и`А2 ⇒ P ( A) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 0, 8.0, 3 = 0, 24. 2. B = {I стрелец не улучва, II стрелец улучва мишената} Събитието B се получава като сечение на независимите събития`А1 и А2 ⇒ P ( B ) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 0, 2.0, 7 = 0,14 . 3. С = {в мишената има точно едно попадение} Събитието С се получава като обединение на несъвместимите събития А и В ⇒ P (C ) = P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 0, 24 + 0,14 = 0, 38 . б) I начин: 1. D = {в мишената има понe едно попадение} Събитието D се получава като обединение на съвместимите събития А1 и А2 ⇒ P( D) = P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ∩ A2 ) . 2. Събитията А1 и А2 са независими, т.е. P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) . 3. От (1) и (2) ⇒ P ( D) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( D) = 0, 8 + 0, 7 − 0, 8.0, 7 = 0, 94. II начин: Противоположното събитие на D = {в мишената има понe едно попадение} е съ­би­ тието`D = {в мишената няма попадения}. Събитието`D се получава като сечение на независимите събития`А1 и`А2 ⇒ P ( D) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = 0, 2.0, 3 = 0, 06 . Тогава P ( D) = 1 − P ( D) = 1 − 0, 06 = 0, 94 .

ЗАДАЧИ

 кутия има 5 бели и 3 черни топки, а в 1. В друга – 2 бели и 4 черни топки. По случаен начин от всяка кутия се изважда по 1 топка. Намерете вероятността те да са: а) от един и същ цвят; б) от различни цветове. 2. В една партида има 14 изделия от I качество и 6 – от II качество. Във втора партида има 8 изделия от I качество и 12 – от II качество. По случаен начин от всяка партида се избира по 1 изделие. Намерете вероятността те да са: а) от едно и също качество; б) от различно качество. 3. Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с вероятност 0,8, а вторият – с 0,9. Намерете вероятността в мишената да има:

Към съдържанието

а) точно 1 попадение; б) поне 1 попадение. 4. Вероятността акционер да получи високи дивиденти от една фирма е 0,6, а от друга – 0,7. Намерете вероятността акционерът да получи високи дивиденти: а) точно от едната фирма; б) поне от едната фирма. 5. В завод има два цеха. В първия са произ­ведени 300 изделия, 270 от които са с добро качество. Във втория цех са изработени 200 изделия, 140 от които са с добро качество. По случаен начин от всеки цех се избира по 1 изделие. Намерете вероятността от двете изделия: а) точно едно да е с добро качество; б) поне едно да е с добро качество.

233

57.

МОДЕЛИ НА МНОГОКРАТНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ С ДВА ВЪЗМОЖНИ ИЗХОДА Триъгълник на Паскал и биномни коефициенти



Триъгълникът на Паскал се получава по следния начин:  всеки ред започва и завършва с единица;  сумата на всеки две съседни числа се записва между съответните събираеми на следващия ред.

№ на реда 0 1

1

2

1

3

1

4 5

C00

1

1 1

2 3

4 5

C10

1 3 6

10

C20

1 C30

1 4

10

C40

1 5

1

C50

C21 C31

C41 C51

C11 C22 C32 C42

C52

C33 C43

C53

C44 C54

C55

Лесно се показва, че поредните числа във всеки ред изразяват броя на различните комбинации, които могат да се образуват от n елемента, т.е. Cnk , където n е номерът на реда, k = 0,…, n.

ЗАДАЧА 1

Като използвате триъгълника на Паскал, приведете в нормален вид: 3 2 б) ( p + q ) ; в) ( p + q ) 4 . а) ( p + q ) ; Решение: Коефициентите пред едночлените вземаме съответно от 2-ри, 3-ти и 4-ти ред в триъгълника на Паскал. Степените на p намаляват, а тези на q нарастват. Във всеки едночлен сумата от степените p и q е винаги една и съща. а) ( p + q ) 2 = p 2 + 2 pq + q 2 б) ( p + q )3 = p 3 + 3 p 2 q + 3 pq 2 + q 3 в) ( p + q ) 4 = p 4 + 4 p 3 q + 6 p 2 q 2 + 4 pq 3 + q 4

! ЗАДАЧА 2

Коефициентите пред едночлените в нормалния вид на ( p + q ) n са равни на Cnk , 0 ≤ k ≤ n. Тези коефициенти се наричат биномни коефициенти, а самият израз ( p + q ) n = C n0 . p n + C n1 . p n −1 . q + C n2 . p n − 2 . q 2 +  + C nn . q n – Нютонов бином. Стрелец улучва мишена с вероятност 2 . Избройте всички случайни събития, които 3 могат да се случат, и намерете вероятността на всяко от тях, ако стрелецът е произвел: а) два изстрела; б) три изстрела; в) n изстрела. Решение: Означаваме събитието: А = {мишената е улучена}. Неговото противоположно събитие е`А = {мишената не е улучена}.

234

Към съдържанието

От условието следва, че P ( A) = 2 и P ( A) = 1 − 2 = 1 . 3 3 3 За удобство при описване на елементарните изходи от опита въвеждаме означения­та от вида A A = A ∩ A , което показва, че събитието А се е сбъднало при първия опит (мишената е улучена при първия изстрел) и не се е сбъднало при втория опит (мишената не е улучена при втория изстрел). Вероятността събитието А да настъпи точно k пъти от n опита се отбелязва с Pn (k ). Например P2 (1) означава, че от два изстрела има 1 попадение. За пресмятането на вероятностите на елементарните изходи използваме теоремата за умножение на вероятности при независими събития. а) Случайно Елементарни Вероятност на елементарния Вероятност на събитие

изходи

изход

Точно 2 попадения

АА

P ( AA) = P ( A) P ( A) = 2 ⋅ 2 = 2 3 3 3

Точно 1 попадение Точно 0 попадения

()

случайното събитие

2

P ( AA) = P ( A) P ( A) = 2 ⋅ 1 3 3 1 P ( AA) = P ( A) P ( A) = ⋅ 2 3 3

AA AA

2

P2 (1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 3 3

()

P ( AA) = P ( A) P ( A) = 1 ⋅ 1 = 1 3 3 3

AA

()

P2 (2) = 2 3

2

()

P2 (0) = 1 3

2

Забелязваме, че вероятностите на случайните събития от опита могат да се получат, ако 2 2 2 разкрием скобите в израза 2 + 1 = 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 . 3 3  3 3 3 3  

(

) ()

P2 ( 2 )

б)

()

P2 (1)

P2 ( 0 )

Случайно Елементарни Вероятност на елементарния Вероятност на събитие изходи изход случайното събитие 3 3 Точно P3 (3) = 2 P ( AAA) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ААА 3 3 попадения 3 3 3 3

() P ( AAA) = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = ( 2 ) ⋅ 1 3 3 3 3 3 P ( AAA) = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = ( 2 ) ⋅ 1 3 3 3 3 3 P ( AAA) = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = ( 2 ) ⋅ 1 3 3 3 3 3

()

2

AAA

Точно 2 попадения

Точно 1 попадение

AAA AAA

AAA AAA AAA

Точно 0 попадения

Към съдържанието

AAA

2

2

() P ( AAA) = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ ( 1 ) 3 3 3 3 3 P ( AAA) = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 ⋅ ( 1 ) 3 3 3 3 3 P ( AAA) = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 3 3 3 3 3

()

3

2

2

2

2

P ( AAA) = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 3 3 3 3

( ) ⋅ 13

P3 (2) = 3 ⋅ 2 3

()

P3 (1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 3

2

()

P3 (0) = 1 3

3

235

Забелязваме, че вероятностите на случайните събития от опита могат да се получат, ако разкрием скобите в израза

(

2+1 3 3

) () 3

()

3

() ()

2

2

3

= 2 + 3⋅ 2 ⋅ 1 + 3⋅ 2 ⋅ 1 + 1 . 3 3  3  3 3  3  P3 ( 3)

P3 ( 2 )

P3 (1)

P3 ( 0 )

в) Решените частни случаи добре показват основните закономерности в общия случай. При произволно n получаваме

(

2+1 3 3

)

n

()

n

()

n −1

() () k

n−k

()

n

= Cn0 2 + Cn1 2 ⋅ 1 +  + Cnk 2 ⋅ 1 +  + Cnn 1 . 3 3 3 3 3         3  Pn ( n )

Pn ( n −1)

Pn ( k )

Pn ( 0 )

Схема на Бернули При практическото приложение на теорията на вероятностите важно значение имат събитията, свързани с независими многократни случайни експерименти (опити), за които:  броят на опитите n e краен;  всички опити са независими;  вероятността на събитието А във всеки опит е постоянно;  всеки опит има само два възможни изхода: събитието А да се сбъдне или да не се сбъдне. Такава редица от опити се нарича експеримент на Бернули или още се казва, че опитите се провеждат по схемата на Бернули. Да предположим, че се извършват n независими опита, където n e крайно число. Всеки опит може да бъде успешен (т.е. събитието А да се сбъдне) с вероятност p и неуспешен (т.е. събитието А да не се сбъдне) с вероятност q = 1 – p. Вероятността събитието А да настъпи точно k пъти (т.е. да имаме точно k успеха) се отбелязва с Pn (k ) . Съгласно теоремата за умножение на вероятностите всяка последователност от k успеха може k n−k да се сбъдне с вероятност p q . Броят на начините, по които могат да се разпределят k успеха сред n опита, е Cnk . Следователно Pn (k ) = Cnk p k q n − k .

!

Формула на Бернули Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно k пъти e Pn (k ) = C nk p k q n − k , k = 0, 1,… , n .

!

Следствие Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно n пъти e Pn (n) = p n . Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно 0 пъти e Pn (0) = q n . Доказателство: Pn (n) = Cnn p n q n − n = 1. p n q 0 = p n Pn (0) = Cn0 p 0 q n −0 = 1. p 0 q n = q n

236

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Правилен зар се хвърля 6 пъти. Намерете вероятността три точки да се паднат точно: а) 2 пъти; б) 4 пъти. Решение: Означаваме събитието А = {при хвърляне на зара веднъж се падат три точки}. Хвърлянето на зара 6 пъти създава редица от опити на Бернули. Опитите са независими и при всеки от тях вероятността на А е P ( A) = 1 , т.е. вероят­6 ността за успех е p = 1 , а за неуспех е q = 1 − p = 1 − 1 = 5 . 6 6 6 Търсените вероятности намираме по формулата на Бернули. 4 4 6− 4 б) P6 (4) = C6 p q

а) P6 (2) = C62 p 2 q 6− 2

( ) ⋅ ( 56 ) P (2) = 6.5 ⋅ ( 1 ) ⋅ ( 5 ) 1.2 6 6 P6 (2) = C62 ⋅ 1 6

2

2

( ) ⋅ ( 56 ) P (4) = 6.5.4.3 ⋅ ( 1 ) ⋅ ( 5 ) 1.2.3.4 6 6

4

P6 (4) = C64 ⋅ 1 6

9 375 46 656 P6 (2) ≈ 0, 201

ЗАДАЧА 4

2

4

4

2

6

6

P6 (2) =

4



P6 (4) = 375 46 656 P6 (4) ≈ 0, 008

Вероятността оператор да допусне грешки при набор на текст с формули за всяка страница е една и съща и тя е 0,4. Ако той е набрал 10 страници, намерете вероятността да има грешки точно на: а) 3 страници; б) 6 страници. Решение: Търсените вероятности намираме по формулата на Бернули, където p = 0, 4 , q = 1 − p = 1 − 0, 4 = 0, 6, n = 10 . 3 .(0, 4)3 .(0, 6)7 а) P10 (3) = C10

ЗАДАЧА 5

б) P10 (6) = C106 .(0, 4)6 .(0, 6) 4

P10 (3) = 10.9.8 ⋅ (0, 4)3 .(0, 6)7 1.2.3 P10 (3) = 120.(0, 4)3 .(0, 6)7

P10 (6) = 10.9.8.7.6.5 ⋅ (0, 4)6 .(0, 6) 4 1.2.3.4.5.6 P10 (6) = 210.(0, 4)6 .(0, 6) 4

P10 (3) ≈ 0, 215

P10 (6) ≈ 0,111

Вероятността за изработване на детайл с добро качество е 0,9. Намерете вероятността от 3 произведени детайла всички да бъдат: а) с добро качество; б) дефектни. Решение: Търсените вероятности намираме от следствието на формулата на Бернули, където p = 0, 9 , q = 1 − p = 1 − 0, 9 = 0,1 . а) P3 (3) = p 3



б) P3 (0) = q 3

P3 (3) = (0, 9)3

P3 (0) = (0,1)3

P3 (3) = 0, 729

P3 (0) = 0, 001

Към съдържанието

237

Схема с връщане Пример за схема на Бернули е „схема с връщане“: от кутия с бели и черни топки се изважда топка, записва се цветът и се връща обратно. Търси се вероятността при п независими повторения k пъти да се извади бяла топка.

ЗАДАЧА 6

От кутия с 4 бели и 3 черни топки се изважда топка, записва се цветът и се връща обратно. Намерете вероятността при пет повторения да се извадят: а) точно 2 бели топки; б) точно 3 бели топки; в) само бели топки; г) нито една бяла топка. Решение: Означаваме събитието: А = {изважда се бяла топка}. 4 При всяко повторение вероятността на А е P ( A) = 4 , т.е. вероятността за успех е p = , 7 7 4 3 а за неуспех е q = 1 − p = 1 − = . 7 7 Търсените вероятности намираме по формулата на Бернули.

( ) ⋅ ( 73 ) P (2) = 5.4 ⋅ ( 4 ) ⋅ ( 3 ) 1.2 7 7

а) P5 ( 2) = C52 ⋅ 4 7

2

2

3

3

5

P5 (2) ≈ 0, 257

( ) ⋅ ( 73 ) P (3) = 5.4.3 ⋅ ( 4 ) ⋅ ( 3 ) 1.2.3 7 7

б) P5 (3) = C53 ⋅ 4 7

3

2

3

2

5

P5 (3) ≈ 0, 343

Търсените вероятности намираме от следствието на формулата на Бернули.

()

5

в) P5 (5) = 4 7 P5 (5) ≈ 0, 061

()

5

г) P5 (0) = 3 7 P5 (0) ≈ 0, 014

Схема без връщане Както при схемата на Бернули, и тук се разглежда експеримент, който има само два възможни изхода – успешен и неуспешен. Експериментът се повтаря многократно, но за разлика от схемата на Бернули е при различни условия и следователно вероятността за успех при всеки опит е различна. Класически пример е от кутия с N бели и M черни топки да се изваждат последователно или наведнъж n топки без връщане. Търси се вероятността k от тях да са бели, а n – k да са черни. При всеки следващ опит вероятността да се извади бяла топка е различна. Тя зависи от това каква топка е извадена при предходните опити. Този експеримент се нарича „схема без връщане“, а търсената вероятност ще отбелязваме с Pn′(k ) и ще я определим чрез формулата за класическа вероятност. Броят на всички възможни случаи да извадим n топки от N + M e C Nn + M . От N бели топки се вадят k по C Nk начина, а от M черни се вадят n – k по CMn− k начина. От принципа C k C n−k k n−k за умножение благоприятните случаи са C N CM . Следователно Pn′(k ) = N n M . Тази CN + M формула се нарича хипергеометрична.

! 238

Хипергеометрична формула C k C n−k Pn′ (k ) = Nn M CN +M

Към съдържанието

ЗАДАЧА 7

От кутия с 3 бели и 4 черни топки се изваждат последователно 5 топки без връщане. Намерете вероятността да се извадят точно: а) 2 бели топки; б) 3 бели топки. Решение: Търсените вероятности намираме с помощта на хипергеометричната формула. C 2C 5− 2 C 3C 5 − 3 б) P5′(3) = 3 5 4 а) P5′(2) = 3 5 4 C3+ 4 C3+ 4 P5′(2) =

C32C43 C75

P5′(3) =

3.2 ⋅ 4.3.2 1 P5′(2) = .2 1.2.3 7.6.5.4.3 1.2.3.4.5 P5′(2) = 12 = 4 ≈ 0, 571 21 7

C33C42 C75

1 ⋅ 4.3 1.2 P5′(3) = 7.6.5.4.3 1.2.3.4.5 P5′(3) = 6 = 2 ≈ 0, 286 21 7

Схемата без връщане може да се използва за контролиране качеството на дадена продукция. Разполагаме с N + M изделия, N от които са дефектни. Правим извадка с обем n. Търсим вероятността k изделия от извадката да са дефектни.

ЗАДАЧА 8

В партида от 10 детайла 8 са стандартни. По случаен начин се вземат 4 детайла. Да се намери вероятността да са избрани точно: а) 3 стандартни детайла; б) 2 стандартни детайла. Решение: а) P4′(3) =

C83C21 C104



8.7.6 ⋅ 2 1 P4′(3) = .2.3 10.9.8.7 1.2.3.4 P4′(3) = 112 = 8 210 15

ЗАДАЧИ

1. Правилен зар се хвърля 5 пъти. Намерете вероятността четири точки да се паднат точно: а) 2 пъти; б) 3 пъти. 2. Ученик отговаря по случаен начин на тест с 10 въпроса. Всеки въпрос има 4 възможни отговора, от които само един е верен. Да се намери вероятността ученикът да отговори правилно на точно: а) 4 въпроса; б) 6 въпроса.

Към съдържанието

б) P4′(2) =

C82C22 C104

8.7 ⋅ 1 1 P4′(2) = .2 10.9.8.7 1.2.3.4 P4′(2) = 28 = 2 210 15

3. От кутия с 10 бели и 5 черни топки се изважда топка, записва се цветът и се връща обратно. Намерете вероятността при шест повторения да се извадят точно: а) 3 бели топки; б) 5 бели топки. 4. От кутия с 10 бели и 5 черни топки се изваждат последователно 6 от тях без връщане. Намерете вероятността да се извадят точно: а) 3 бели топки; б) 5 бели топки.

239

58.

РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ СЪС СУМА 1

О

Събитията А1, А2,…, Аn образуват пълна група несъвместими събития, ако две по две са несъвместими и в резултат на проведен опит винаги настъпва някое от тях, т.е. ако А1 ∪ А2 ∪…∪ Аn = W и Аi ∩ Аj = ∅ за всички i, j = 1, 2,… , n и i ≠ j.

Т

Ако събитията А1, А2,…, Аn образуват пълна група несъвместими събития, то за ве­ роятностите им е в сила P(А1) + P(А2 ) +…+ P(Аn ) = 1.

ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2

От кутия с 6 бели, 8 червени и 5 сини топки се изважда 1 топка. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността на всяко от тях. Решение: Възможните събитията са: А1 = {извадената топка е бяла}, А2 = {извадената топка е червена}, А3= {извадената топка е синя}. 8 5 и P ( A3 ) = . Вероятностите им са съответно P ( A1 ) = 6 , P ( A2 ) = 19 19 19 Събитията А1, А2 и А3 образуват пълна група несъвместими събития и сумата от вероятностите им е P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 6 + 8 + 5 = 19 = 1 . 19 19 19 19 При описването на резултатите от опита е удобно да се използва следната таблица. Събитие

А1

А2

А3

Сума

Вероятност P ( Ak )

6 19

8 19

5 19

1

Хвърлят се два правилни зара и се събират получените точки. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността на всяко от тях. Решение: Множеството от елементарните събития се състои от всички наредени двойки (p, q), където p и q са някои от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Общият брой на всички елементарни събития е n = 6 . 6 = 36. Означаваме събитията: Аk = {сборът от точките на двата зара е k}, k = 2, 3,…, 12. Техните вероятности намираме с помощта на илюстрацията. Сбор 2 3 4 5 6 7 Благоприятните елементар8 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) ни събития за Аk са разпо9 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) ложени в диагонала, който 10 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) започва от сбор k и продъл11 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) жава в посока наляво. 12 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Сбор Например благоприятните елементарни събития за А4 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}, т.е. 3 на брой. Тогава P ( A4 ) = 3 . 36 Събитие А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 А11 А12 Сума Вероятност 6 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 P ( Ak ) 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 ⇒ събитията А2, А3,…, А12 образуват пълна група несъвместими събития.

240

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 От кутия с 4 бели и 6 сини топки се изваждат последователно 4 топки без връщане. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността на всяко от тях. Решение: Означаваме събитията: Аk = {броят на извадените бели топки е k}, k = 0, 1, 2, 3, 4. Даденият опит представлява схема без връщане и вероятностите P ( Ak ) ще намерим по C k C n−k хипергеометрична формулата P ( Ak ) = N n M , k = 0, 1, 2, 3, 4, където N = 4, M = 6, n = 4. CN + M Събитие

А1

А0

А2

А3

А4

Сума

Вероятност C40C64 15 C41C63 80 C42C62 90 C43C61 24 C44C60 = = = = = 1 4 4 4 P ( Ak ) 210 C 4 210 210 210 210 C104 C C C 10 10 10 10

1

⇒ събитията А0, А1, А2, А3, А4 образуват пълна група несъвместими събития.

ЗАДАЧА 4 Вероятността баскетболист да улучи кош при всеки опит е равна на 3 . Той стреля 4 три пъти. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероят­ ността на всяко от тях.

Решение: Означаваме събитията: Аk = {k попадения в коша}, k = 0, 1, 2, 3. Даденият опит представлява схема на Бернули и вероятностите P ( Ak ) ще намерим по 3 1 3 формулата на Бернули P ( Ak ) = Cnk p k q n − k , k = 0, 1, 2, 3, където p = , q = 1 − = , n = 3. 4 4 4 Събитие

А1

А0

Вероятност P ( Ak )

() ()

C30 ⋅ 3 4

0

⋅ 1 4

3

А2

()() 1

C31 ⋅ 3 ⋅ 1 4 4

2

А3

() ()

C32 ⋅ 3 4

2

⋅ 1 4

1

Сума

() ()

C33 ⋅ 3 4

3

⋅ 1 4

0

1

( ) ⋅ ( 14 ) + C ⋅ ( 34 ) ⋅ ( 14 ) + C ⋅ ( 34 ) ⋅ ( 14 ) + C ⋅ ( 34 ) ⋅ ( 14 ) = = ( 1 ) + 3⋅ 3 ⋅( 1 ) + 3⋅( 3 ) ⋅ 1 + ( 3 ) = ( 1 + 3 ) =1 =1 4 4 4 4 4 4 4 4

C30 ⋅ 3 4

0

3

3

1 3

2

1

2

2

2

2 3

3

1

3 3

3

3

0

3

⇒ събитията А0, А1, А2, А3, А4 образуват пълна група несъвместими събития.

ЗАДАЧИ

Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността на всяко от тях. 1. О  т кутия с 4 бели, 6 черни, 7 зелени и 4. В партида от 20 детайла 12 са стандартни. По случаен начин се избират 5 детайла. 3 сини топки се изважда 1 топка. 2. Хвърлят се два правилни зара и се пре- 5. Метод за лечение на пациенти дава положителен резултат с вероятност 0,8. смята абсолютната стойност на разлиВ отделението има четирима пациенти, ката на получените точки. които се лекуват по този метод. 3. От кутия с 5 бели и 4 черни топки се 5 изваждат последователно 3 топки без 6. Стрелец улучва мишена с вероятност  .  6 Той стреля 5 пъти. връщане.

Към съдържанието

241

59.

ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ ВЪРХУ ПРАВАТА КАТО ОТНОШЕНИЕ НА ДЪЛЖИНИ НА ИНТЕРВАЛИ Досега разглеждахме примери за опити с краен брой равновъзможни изходи (хвърляне на монети, зарове, изтегляне на топки от кутия или на игрални карти от колода). При тях общият брой изходи и благоприятните такива просто могат да се изброят. Има опити, при които изходите са също равновъзможни, но не са краен брой. Когато множеството от елементарни изходи при даден опит е неизброимо и може да се представи във вид на част от правата, говорим за геометрична вероятност върху правата. Най-простият пример за геометрична вероятност върху правата е следният експеримент: Избира се по случаен начин точка от отсечка AB. Търси сe вероятността избраната точка да е от отсечка MN, която е част от отсечката AB. Тази вероятност не зависи от това къде е разположена отсечката MN върху AB, а само от дължините на двете отсечки.

!

По случаен начин се избира точка от отсечката AB. Вероятността избраната точка да е от отсечката MN, която е част от отсечката AB, се пресмята по формулата |MN| 14243 дължината на MN |MN| = . P= дължината на AB |AB| A M N B

14444444244444443 |AB|

При разгледания пример множеството от всички възможни изходи Ω се състои от всички точки от отсечката AB, които са неизброимо много. Благоприятните изходи са всички точки от отсечката MN. Условия за използване на геометрична вероятност: 1) множеството Ω има неизброимо много елементарни изходи; 2) всички изходи на множеството Ω са равновъзможни.

ЗАДАЧА 1

Върху отсечка AB с дължина 30 cm по случаен начин се избира точка С. Намерете вероятността тя да е на разстояние, не повече от 16 cm от точката А и не повече от 20 cm от точката B. Решение: 16 cm 20 cm 14444444244444443 1444442444443 A

M N B 1444444444442444444444443 30 cm

Всички възможни изходи са тези, при които точката C лежи върху отсечката AB. Благоприятните изходи са тези, при които точката C лежи върху отсечката MN. Дължините на отсечките AB и MN са |АВ| = 30 cm и |MN| = 16 + 20 – 30 = 6 cm. | MN | Търсената вероятност= е P = 6 =1. | AB | 30 5

242

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2

Върху отсечка AB с дължина 15 cm по случаен начин се избира точка С. Намерете вероят­ността дължината на по-малката от двете получени отсечки да е не по-малка от 5 cm. Решение: Разделяме отсечката АВ на три равни части с помощта на точките M и N.

144244314424431442443

A

5 cm

M

5 cm

N

B

5 cm

Тогава |AM| = |MN| = |NB| = 5 cm. Благоприятните изходи са тези, при които точката C лежи върху отсечката MN. | MN | Търсената вероятност= е P = 5 =1. | AB | 15 3

ЗАДАЧА 3

Пръчка с дължина 40 cm се счупва на две части. Намерете вероятността по-късото парче да има дължина, не по-малка от 10 cm. Решение: Множеството от всички възможни изходи се определя от положението на точката, в която се счупва пръчката, т.е. точките от отсечката АВ, където A е началото на пръчката, а B – краят. |AB| = 40 cm Разделяме отсечката АВ на че20 cm тири равни части с помощта на 14444244443 точките M, N и P. A M N P B Тогава 144444444424444444443 |AM| = |MN| = |NP| = |PB| = 10 cm. 40 cm Благоприятните изходи са тези, при които точката на счупване се намира върху отсеч| MP | | MN | + | NP | 20 1 = = = . ката MP. Търсената вероятност е P = | AB | | AB | 40 2

ЗАДАЧА 4

От лента с дължина 10 m по случаен начин се отрязва с ножица парче. Намерете вероят­ ността дължината на лентата, която остава, да е най-малко 8 m. Решение: Множеството от всички възможни изходи се определя от положението на точката, в която се срязва лентата, т.е. точките от отсечката АВ, където A е началото на лентата, а B – краят. 2m

A

8m

14243 144444444424444444443 344444444424444444441 34241 B M

N

|AB| = 10 m

8m 2m Дължината на лентата, която остава, е най-малко 8 m, ако от нея е отрязано парче, не по-голямо от 2 m. Отрязването може да стане както от единия, така и от другия край. Разделяме отсечката АВ на три части с помощта на точките M и N, така че |AM| = |NB| = 2 m. Благоприятните изходи са тези, при които точката на срязване се намира или върху от| AM | + | NB | 4 2 сечката AM, или върху отсечката NB. Търсената вероятност е P = = = . | AB | 10 5

Към съдържанието

243

ЗАДАЧА 5

От интервала [1; 3] по случаен начин се избира точка. Намерете вероятността тя да принадлежи на интервала [1,7; 2,3]. Решение: 0,6 м. ед.

144243 1

1,7

2,3

3

144444444424444444443

2 м. ед. Всички възможни изходи са тези, при които точката лежи в интервала [1; 3]. Дължината на интервала [1; 3] е L = 3 – 1 = 2 м. ед. Благоприятните изходи са тези, при които точката лежи в интервала [1,7; 2,3]. Дължината на интервала [1,7; 2,3] е l = 2,3 – 1,7 = 0,6 м. ед. 0, 6 Търсената вероятност е P= l= = 0, 3 . 2 L По случаен начин се избира точка от интервала [a; b]. Вероятността тя да е от интервала β−α [a; b], който е част от интервала [a; b], се пресмята по формулата P = . b−a

ЗАДАЧА 6 Намерете вероятността произволно избрано решение на неравенството | x + 2 | ≤ 5 да е решение и на неравенството | 2x + 1 | ≤ 5. Решение: 1. | x + 2 | ≤ 5 ⇔

x+2≤5 x≤3 ⇔ ⇔ x ∈ [−7; 3] x + 2 ≥ −5 x ≥ −7

2. | 2 x + 1| ≤ 5 ⇔

2x + 1 ≤ 5 x≤2 ⇔ ⇔ x ∈ [−3; 2] 2 x + 1 ≥ −5 x ≥ −3

5 м. ед.

14444244443 –7

0

–3

2

3

144444444424444444443 10 м. ед.

3. Търсената вероятност е P =

ЗАДАЧА 7

В правоъгълна координатна система Oxy са дадени точките A(– 4; 4) и B(6; 4). По случаен начин се избира точка от отсечката AB. Намерете вероятността тя да лежи в I квадрант. Решение:

y A

C

O

244

2 − (−3) 5 1 = = . 3 − (−7) 10 2

B

x

Към съдържанието

Отсечката AB пресича ординатната ос в точка C(0; 4). |AB| = |xB – xA| = |6 – (– 4)| = 10 м. ед. Частта от отсечката AB, която лежи в I квадрант, e отсечката BC. |BC| = |xC – xB| = |6 – 0| = 6 м. ед. | BC | 6 3 = . Търсената вероятност= е P = | AB | 10 5

ЗАДАЧА 8 В правоъгълна координатна система Oxy е построена графиката на функцията y = x и

върху нея са отбелязани точките A(– 3; – 3) и B(4; 4). По случаен начин се избира точка от отсечката AB. Намерете вероятността тя да лежи в III квадрант. Решение: y 4 –3

A

B

O

4

x

–3

Дължината на отсечката AB е равна на сбора от дължините на отсечките ОА и OB. | OA | = (−3 − 0) 2 + (−3 − 0) 2 = 3 2 | OB | = (4 − 0) 2 + (4 − 0) 2 = 4 2 ⇒ | AB | = | OA | + | OB | = 4 2 + 3 2 = 7 2

Частта от отсечката AB, която лежи в III квадрант, e отсечката OA. | OA | Търсената вероятност= е P = 3 2 =3. | AB | 7 2 7

ЗАДАЧИ

1. В  ърху отсечка AB с дължина 20 cm по случаен начин се избира точка С. Намерете вероятността тя да е на разстояние не повече от 12 cm от точката А и не повече от 13 cm от точката B. 2. Върху отсечка AB с дължина 20 cm по случаен начин се избира точка С. Намерете вероятността дължината на по-малката от двете получени отсечки да е не по-малка от 4 cm. 3. От интервала [2; 5] по случаен начин се избира точка. Намерете вероятността тя да принадлежи на интервала: а) [2,7; 4,2]; б) [1,6; 3,7].

Към съдържанието

4. Намерете вероятността произволно из­­­брано решение на неравенството x 2 + 2 x − 8 ≤ 0 да е решение и на неравенството 4 x 2 + 4 x − 3 ≤ 0 . 5. В правоъгълна координатна система Oxy са дадени точките A(–  3; –  4) и B(– 3; 6). По случаен начин се избира точка от отсечката AB. Намерете вероятността тя да лежи в III квадрант. 6. В правоъгълна координатна система Oxy е построена графиката на функцията y = – x и върху нея са отбелязани точките A(– 2; 2) и B(5; – 5). По случаен начин се избира точка от отсечката AB. Намерете вероятността тя да лежи в IV квадрант.

245

60.

ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ В РАВНИНАТА КАТО ОТНОШЕНИЕ НА ЛИЦА НА ФИГУРИ Когато множеството от елементарни изходи при даден опит е неизброимо и може да се представи във вид на част от равнината, говорим за геометрична вероятност в равнината.

!

По случаен начин се избира точка от фигура А. Вероятността избраната точка да е от произволна част В на фигурата А не зависи от формата на фигурата В и от това къде е разположена върху фигурата А, а само от лицата на двете фигури, и се пре­ смята по формулата лицето на B S (B) = . P= лицето на A S (A) B A При разгледания пример множеството от всички възможни изходи Ω се състои от всички точки от фигурата A, които са неизброимо много. Благоприятните изходи са всички точки от фигурата B.

ЗАДАЧА 1

В квадрат със страна 10 cm e вписан кръг. Намерете вероятността случайно избрана точка от вътрешността на квадрата да лежи върху кръга. Решение:

5 10

ЗАДАЧА 2

В кръг с радиус 3 cm e вписан квадрат. Намерете вероятността случайно избрана точка от кръга да лежи във вътрешността на квадрата. Решение:

3

3 a

246

Търсената вероятност е равна на отношението на лицето на кръга (т.е. „благоприят­ ните изходи“) към лицето на квадрата („всички изходи“). S (кръг) = pr2 = p.52 = 25p cm2 S (квадрат) = 102 = 100 cm2 S (кръг) = 25π = π P= 100 4 S (квадрат)

Търсената вероятност е равна на отношението на лицето на квадрата (т.е. „благоприятните изходи“) към лицето на кръга („всички изходи“). S (кръг) = pr2 = p.32 = 9p cm2 S (квадрат) = a2 = 18 cm2 (a2 = 32 + 32) S (квадрат) 18 = 2 == P= 9π π S (кръг)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3

Във вътрешността на квадрат със страна a = 6 cm се избира по случаен начин точка М. Намерете вероятността разстоянието от М до пресечната точка О на диагоналите на квадрата да не е по-голямо от 2 cm. Решение:

Събитието – разстоянието от точка М до точка О да не е по-голямо от 2 cm, настъпва тогава и само тогава, когато М лежи в кръг с радиус r = 2 cm и център точката О. Търсената вероятност е равна на отношението на лицето на кръга (т.е. „благоприятните изходи“) към лицето на квадрата („всички изходи“). S (кръг) = pr2 = p.22 = 4p cm2 S (квадрат) = a2 = 62 = 36 cm2

O

P=

ЗАДАЧА 4

Във вътрешността на квадрат със страна 9 cm се избира по случаен начин точка М. Намерете вероятността разстоянието от М до най-близката страна на квадрата да не е по-голямо от 3 cm. Решение: 3

3

3

3

3

ЗАДАЧА 5

S (кръг) 4π = π == 36 9 S (квадрат)

3

3

3

3

Събитието – разстоянието от точка М до най-близката страна на квадрата да не е по-голямо от 3 cm, настъпва тогава и само тогава, когато М лежи в защрихованата част от квадрата. Търсената вероятност е равна на отношението на лицето на защрихованата част (т.е. „благоприятните изходи“) към лицето на квадрата („всички изходи“). S (оцветена част) = 92 – 32 = 72 cm2 S (квадрат) = 92 = 81 cm2 S (оцветена част) 72 8 P= = = S (квадрат) 81 9

Кръговете на чертежа са k(O; R), k1(O1; r1) и k2(O2; r2). Намерете вероятността случайно избрана точка от кръга k да е от оцветената част. Решение:

О1 k

Към съдържанието

k1

О

О2

r1 = r, S(k1) = pr2 r2 = r, S(k2) = pr2 R = 2r, S(k) = p.(2r)2 = 4pr2 S (оцветена част) = S(k) – (S(k1) + S(k2)) S (оцветена част) = 2pr2

k2

P=

S (оцветена част) 2πr 2 1 = = S (k) 4πr 2 2

247

ЗАДАЧА 6

Кръгла мишена с диаметър 40 cm е разделена на три части с помощта на две концентрични окръжности с диаметри 30 cm и 20 cm, както е показано на чертежа. Ако е известно, че мишената е улучена, намерете вероятността да е улучена оцветената част от нея. Решение:

r1 = 20 cm, S(k1) = p.202 = 400p cm2 r2 = 15 cm, S(k2) = p.152 = 225p cm2 r3 = 10 cm, S(k3) = p.102 = 100p cm2 k3

S (оцветена част) = 225p – 100p k2

k1

S (оцветена част) = 125p cm2 ⇒ P = 125π = 5 400π 16

ЗАДАЧА 7 В триъгълник със страни 7 cm, 15 cm и 20 cm е вписан кръг с радиус r. Намерете вероят­ ността случайно избрана точка от вътрешността на триъгълника да лежи върху кръга. Решение: 1.  Намираме лицето на триъгълника по Хероновата формула. p = a + b + c = 7 + 15 + 20 = 21 cm 2 2 S = p ( p − a )( p − b)( p − c) S = 21.(21 − 7).(21 − 15).(21 − 20)

20

S = 21.14.6.1

15

S = 3.7.7.2.2.3.1 = 3.7.2 S = 42 cm 2 2. Намираме радиуса на вписания в триъгълника кръг.

7



S = p . r 42 = 21. r r = 2 cm

3. Sкръг = pr2 Sкръг = 4p cm2 4. Търсената вероятност е P = 4π = 2π . 42 21

248

Към съдържанието

ЗАДАЧА 8 Във вътрешността на VABC се избира по случаен начин точка Q. Намерете вероятно-

стта точка Q да e от вътрешността на триъгълник, върховете на който са среди на страните на VABC. Решение:

C

N

Точките K, M и N са съответно среди на страните AB, BC и CA на VABC. Средните отсечки KM, MN и NK разделят VABC на четири еднакви триъгълника S S ⇒ P =  KMN =  KMN = 1 . S ABC 4 S KMN 4

M

A

B

K

ЗАДАЧА 9 Върху страните AC и BC на VABC са взети съответно точки М и N така, че AM = 1,

MC = 3, BN = 4 и СN = 2. Във вътрешността на VABC се избира по случаен начин точ­ ка Q. Намерете вероятността Q да e от вътрешността на VNMC. I начин: 1. Разглеждаме VABC и VNMC. C = C

Решение: C 3

2 N 4

A

M 1

B



CM = 3 = 1  CB 6 2  CM CN  ⇒ CB = CA CN = 2 = 1  CA 4 2 

⇒ VABC ~ VNMC (II признак)

2. Коефициентът на подобие е k = 1 . 2 3. Търсената вероятност е 2 S P =  NMC = k 2 = 1 = 1 . 2 4 S ABC

1 S  MNC 2 ⋅ CM . CN .sin γ CM .CN 3. 2 1 = = = = II начин: P = S  ABC CA.CB 4. 6 4 1 ⋅ CA. CB.sin γ 2

ЗАДАЧИ

1. В  равностранен триъгълник със страна 6 cm e вписан кръг. Намерете вероят­ ността случайно избрана точка от въ­ трешността на триъгълника да лежи върху кръга. 2. В кръг с радиус 4 cm e вписан равностранен триъгълник. Намерете ве­ роятността случайно избрана точка от кръга да лежи във вътрешността на триъгълника. 3. Във вътрешността на кръг с радиус 5 cm се избира по случаен начин точка М. Намерете вероятността разстоянието от М до центъра на кръга да не е по-голямо от 3 cm.

Към съдържанието

()

4. В ъв вътрешността на правоъгълник със страни 18 cm и 12 cm се избира по случаен начин точка М. Намерете вероят­ността разстоянието от точка М до най-близката страна на правоъгълника да не е по-голямо от 4 cm. 5. В правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm е вписан кръг с радиус r. Намерете вероятността случайно избрана точка от вътрешността на триъгълника да лежи върху кръга. 6. Във вътрешността на квадрат се избира по случаен начин точка Q. Намерете вероятността точка Q да e от вътрешността на четириъгълника, върховете на който са среди на страните на квадрата.

249

61.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА „ВЕРОЯТНОСТИ“ Условна вероятност Събитието А се нарича зависимо от събитието В, ако вероятността за сбъдването на А зависи от това дали се е сбъднало, или не се е сбъднало събитието В. Вероятността да се сбъдне събитието А, при условие че се е сбъднало събитието В, се отбелязва с P ( A | B ) и се нарича условна вероятност на събитието А, при условие че се е сбъднало събитието В. В сила е P( A ∩ B) , P ( B ) > 0. P( A | B) = P( B) Теорема за умножение на вероятностите P ( A ∩ B ) = P ( A) P( B | A) = P( B) P( A | B), P( A) > 0, P( B) > 0 Независимост Две събития А и В се наричат независими, ако вероятността за сбъдването на А не зависи от това дали се е сбъднало, или не се е сбъднало събитието В, т.е. P ( A | B ) = P ( A) . За независими събития теоремата за умножение на вероятности придобива вида P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) . МОДЕЛИ НА МНОГОКРАТНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ С ДВА ВЪЗМОЖНИ ИЗХОДА Схема на Бернули (схема с връщане) Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно k пъти e Pn (k ) = Cnk p k q n − k , k = 0, 1,… , n, p = P ( A), q = 1 − P ( A) . Схема без връщане (хипергеометрична формула) От кутия с N бели и M черни топки се изваждат последователно или наведнъж C k C n−k n топки без връщане. Вероятността точно k от тях да са бели е Pn′(k ) = N n M . CN + M Пълна група несъвместими събития Събитията А1, А2,…, Аn образуват пълна група несъвместими събития, ако две по две са несъвместими и в резултат на проведен опит винаги настъпва някое от тях, т.е. ако А1 ∪ А2 ∪…∪ Аn = W и Аi ∪Аj = ∅ за всички i, j = 1, 2, …, n и i ∪ j. Ако събитията А1, А2,…, Аn образуват пълна група несъвместими събития, то за вероятностите им е в сила P(А1) + P(А2) +…+ P(Аn) = 1. ГЕОМЕТРИЧНА ВЕРОЯТНОСТ Геометрична вероятност върху правата По случаен начин се избира точка от отсечка AB. Вероятността избраната точка да е от отсечката MN, която е част от отсечката AB, се пресмята по формулата дължината на MN |MN| = . P= дължината на AB |AB| Геометрична вероятност върху равнината По случаен начин се избира точка от фигура А. Вероятността избраната точка да е от произволна част В на фигурата А се пресмята по формулата лицето на B S = B. P= лицето на A SА

250

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1

От тесте, съдържащо 52 карти, последователно по случаен начин са изтеглени 2 от тях. Намерете вероятността и двете карти да са купи, ако: а) тегленето е без връщане; б) тегленето е с връщане. Решение: Означаваме събитията: А = {първата изтеглена карта е купа}, В = {втората изтеглена карта е купа} ⇒ А ∩ B = {двете изтеглени карти са купи}. За намиране на P(А ∩ B) прилагаме теоремата за умножение на вероятности. а) Събитията А и В са зависими.

ЗАДАЧА 2

б) Събитията А и В са независими.

P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A)

P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B )

P ( A ∩ B ) = 13 ⋅ 12 52 51 P( A ∩ B) = 1 ⋅ 4 4 17 P( A ∩ B) = 1 17 P ( A ∩ B ) ≈ 0, 059

P ( A ∩ B ) = 13 ⋅ 13 52 52 P( A ∩ B) = 1 ⋅ 1 4 4 P( A ∩ B) = 1 16 P ( A ∩ B ) ≈ 0, 063

От кутия, съдържаща 5 бели и 4 черни топки, последователно по случаен начин са извадени 3 от тях. Намерете вероятността точно две топки да са бели, ако: а) изваждането е без връщане; б) изваждането е с връщане. Решение: В задачата се разглеждат многократни експерименти с два възможни изхода. а) Имаме схема без връщане. Търсената вероятност намираме по хипергеометричната формулата C k C n−k Pn′(k ) = Nn M , където CN + M N = 5, M = 4, n = 3, k = 2. P3′(2) = P3′(2) =

() () P (2) = C ⋅ ( 5 ) ⋅ ( 4 ) 9 9 P3 (2) = C32 ⋅ 5 9

C52C43− 2 C53+ 4

3

C52C41 C93

5.4 ⋅ 4 1 P3′(2) = .2 9.8.7 1.22.3 P3′(2) = 10 21

б) Имаме схема с връщане. Търсената вероятност намираме по формулата на Бернули Pn (k ) = Cnk p k q n − k , където 5 4 n = 3, k = 2, p = , q = . 9 9

2 3

2

⋅ 4 9

2

3− 2

1

P3 (2) = 3.2 ⋅ 25 ⋅ 4 1.2 81 9 P3 (2) = 100 243

P3 (2) ≈ 0, 412

P3′(2) ≈ 0, 476

Към съдържанието

251

ЗАДАЧА 3

Правилна монета се хвърля 5 пъти. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността броят на появата на тура да: а) бъде понe 4 пъти; б) е по-малък от 4 пъти. Решение: Означаваме събитията: Аk = {k пъти се пада тура на монетата}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Даденият опит представлява схема на Бернули и вероятностите P ( Ak ) ще намерим по формулата 1 на Бернули P ( Ak ) = Cnk p k q n − k , където k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, p= q= , n = 5. 2 Събитие

А1

А0

Вероятност P ( Ak )

()

C50 ⋅ 1 2

()

5

C51 ⋅ 1 2

А2

А3

()

5

C52 ⋅ 1 2

5

А4

()

C53 ⋅ 1 2

5

А5

()

C54 ⋅ 1 2

5

Сума

()

C55 ⋅ 1 2

5

1

⇒ събитията А0, А1, А2, А3, А4, А5 образуват пълна група несъвместими събития. а) P (k ≥ 4) = P ( A4 ∪ A5 ) = P ( A4 ) + P ( A5 )

( ) + C ⋅ ( 12 ) P ( k ≥ 4) = 5 ⋅ ( 1 ) + ( 1 ) = 6 ⋅ ( 1 ) = 3 2 2 2 16 P (k ≥ 4) = C54 ⋅ 1 2

5

5 5

5

ЗАДАЧА 4

5

5

5

б) P (k < 4) = 1 − P (k ≥ 4) P (k < 4) = 1 − 3 = 13 16 16 P (k < 4) = 13 16

Върху отсечка AD по случаен начин се избира точка M. Ако | AD | = 40 cm, | AC | = 30 cm и | BD | = 26 cm, намерете вероятността избраната точка да е от отсечката: б) BC. а) AB; Решение: A

B

C

D

| АВ | = | AD | – | BD | = 40 – 26 = 14 cm | BC | = | AC | – | AB | = 30 – 14 = 16 cm

Всички възможни изходи са тези, при които точката M лежи върху отсечката AD. Благоприятните изходи са тези, при които точката M лежи върху отсечката: а) АВ; б) ВС. Търсените вероятности са: | BC | | AB | = P = 16 = 2 . б) а) P = 14 = 7 ; = | AD | 40 5 | AD | 40 20

ЗАДАЧА 5

Триъгълниците на чертежа са равностранни със страна 6 cm. Намерете вероятността случайно избрана точка от кръга да лежи във вътрешността на някой от триъгълниците (оцветена част). Решение:

r = 6 cm Sкръг = p.62 = 36p cm2 a = 6 cm Sоцветена част = 3.S = 3 ⋅ 3 a 2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 62 = 27 3 cm2 4 4 Sоцветена част P= = 27 3 = 3 3 Sкръг 36π 4π

252

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6

Кръговете на чертежа са с центрове съответно O и Q. Като използвате означенията, намерете вероятността случайно избрана точка от кръга с център O да лежи в кръга с център Q. Решение:

1. Кръгът с център Q и радиус r1 = 6 cm има лице S1 = p.62 = 36p cm2. 2. Кръгът с център О и радиус r2 = 2 . 6 = 12 cm има лице

123 О 6 cm Q



S2 = p.122 = 144p cm2

От (1) и (2) следва S P = 1 = 36π = 1 . S 2 144π 4

ЗАДАЧА 7 (Задача за срещата) Двама приятели се уговарят да се срещнат на определено място между 16 и 17 часà. Дошлият пръв чака в продължение на 15 минути и си тръгва. Намерете вероятността приятелите да се срещнат, ако всеки от тях случайно избира времето си за идване.

Решение: За решаването на задачата ще използваме геометрична вероятност в равнината. Означаваме с x момента (между 16 и 17 часà), в който първият приятел пристига на определеното място, а с y – момента на пристигане на втория приятел. Необхо­ димо и достатъчно условие да се състои срещата е да бъде изпълнено неравенството |x – y| ≤ 15, т.е. – 15 ≤ x – y ≤ 15. Ако разглеждаме x и y като координати на точка от равнината Oxy, то идването на първия и втория приятели между 16 и 17 часà ще определя точка (x; y) от квадрат със страна 60. Множеството от всички изходи ще се илюy стрира с точките от квадрата 0 ≤ x ≤ 60, y = x + 15 0 ≤ y ≤ 60. 60 1. Sквадрат = 602 = 3 600 cm2 Частта от този квадрат, в която може да се y = x – 15 45 състои срещата, се определя от неравенството –15 ≤ x – y ≤ 15. 30 Благоприятните изходи ще бъдат заключени между правите y = x + 15 и y = x – 15 15 (оцветената част). O

15

30

y = x + 15 x 0 45 y 15 60

Към съдържанието

45

60

y = x – 15 x 15 60 y 0 45

x

Лицето на оцветената част ще пресметнем, като от лицето на квадрата извадим лицата на двата правоъгълни равнобедрени триъгълника, т.е. 2. Sоцветена част = 602 − 2 ⋅ 45.45 = 1 575 cm2. 2 От (1) и (2) следва Sоцветена част 1 575 7 == = P= . 3 600 16 Sквадрат

253

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА „ВЕРОЯТНОСТИ“ 1.  От тесте, съдържащо 52 карти, последователно по случаен начин са изтеглени 2 от тях. Намерете вероятността и двете карти да са червени (купа или каро), ако: а) тегленето е без връщане; б) тегленето е с връщане. 2.  От кутия, съдържаща 8 бели и 12 черни топки, последователно по случаен начин са извадени 2 от тях. Намерете вероятността и двете топки да са черни, ако: а) изваждането е без връщане; б) изваждането е с връщане. 3. О  т тесте, съдържащо 52 карти, последователно по случаен начин са изтеглени 5 карти. Намерете вероятността точно 3 от тях да са купи, ако: а) тегленето е без връщане; б) тегленето е с връщане. 4.  От кутия, съдържаща 6 бели и 5 черни топки, последователно по случаен начин са извадени 6 топки. Намерете вероятността точно 4 от тях да са бели, ако: а) изваждането е без връщане; б) изваждането е с връщане. 5.  Правилна монета се хвърля 6 пъти. Опишете пълна група несъвместими събития от опита и намерете вероятността броят на появата на ези да: а) бъде понe 5 пъти; б) е по-малък от 5 пъти. 6. Правилен зар се хвърля 7 пъти. Опи­ шете пълна група несъвместими събития от опита „появата на шест точки“. Намерете вероятността броят на появата на шест точки да: а) бъде понe 6 пъти; б) е по-малък от 6 пъти. 7. Лекар преглежда последователно че­ тирима различни пациенти, като при всеки преглед поставя вярна диагноза с вероятност 0,6. Намерете вероятностите той да е поставил:

254



а) точно три верни диагнози; б) поне три верни диагнози.

8.  Вероятността един принтер да блокира при отпечатването на 1 страница е 0,1. На този принтер предстои да се отпечатат 10 страници. Намерете вероятността принтерът: а) да не блокира нито веднъж; б) да блокира поне веднъж. 9.  Точките M и N са върху отсечката AB и AM : MN : NB = 3 : 1 : 2. Върху AB по случаен начин се избира една точка. Намерете вероятността тя да е от отсечката: а) AN; б) MB. 10. Във вътрешността на правоъгълник се избира по случаен начин точка Q. Намерете вероятността Q да e от въ­ трешността на четириъгълник, върховете на който са среди на страните на правоъгълника. 11. Д вама приятели се уговарят да се срещнат на определено място между 12 и 13 часà. Дошлият пръв чака в про­ дължение на 20 минути и си тръгва. Намерете вероятността приятелите да се срещнат, ако всеки от тях случайно избира времето си за идване. 12. Д вама приятели се уговарят да се срещнат на определено място между 14 и 15 часà. Дошлият пръв чака в про­ дължение на 30 минути и си тръгва. Намерете вероятността приятелите да се срещнат, ако всеки от тях случайно избира времето си за идване. 13. Два кораба трябва да пристигнат на едно пристанище, на един и същ кей. Те пристигат независимо един от друг в случайни моменти в течение на едно денонощие. Намерете вероятността единият от корабите да се наложи да чака освобождаване на кея, ако пребиваването на всеки от тях на кея е 3 часа.

Към съдържанието

62.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „ВЕРОЯТНОСТИ“ 1. В кутия има 7 бели и 4 черни топки. По случаен начин последователно се изваждат 2 от тях (без връщане). Условната вероятност втората извадена топка да е черна, при условие че първата е бяла, е равна на: 4; 3; 3 А) 4 ; Б) В) Г) . 10 10 11 11 2. Хвърляме едновременно правилни монета и зар. Вероятността на зара да се паднат по-малко от 3 точки, а на монетата – ези, е: 1 1 1 1. А) ; Б) 5 ; В) ; Г) 4 6 12 3.  Точките M и N са върху отсечката AB и AM : MN : NB = 4 : 5 : 6. Върху AB по случаен начин се избира една точка. Вероятността тя да е от отсечката AN е: 3 1 1 4 А) 5 ; Б) 9 ; В) 3 ; Г) 15 . 4. В тесте има 7 бели и 11 черни карти. Белите са номерирани с числата от 1 до 7. Черните са номерирани с числата от 1 до 11. Вероятността изтеглена карта да е с нечетен номер, ако се знае, че тя е черна, е: 4 5 А) 5 ; Б) 6 ; В) ; Г) . 9 9 11 11 5.  В урна са поставени 4 печеливши и 9 непечеливши билета. По случаен начин последователно се изваждат два от тях (без връщане). Вероятността първият изваден билет да е печеливш, а вторият – непечеливш, е: 8 6 3 А) 39 ; Б) ; В) 7 ; Г) . 13 13 26

Към съдържанието

6.  Буквите от думата КВАДРАТ са написани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин последователно се изтеглят 2 от тях (без връщане) и се нареждат по реда на изтегляне. Вероятността да се появи думата ДА е: 2 1 1; 1 ; А) 42 ; Б) В) Г) 49 . 49 21 7. Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с вероятност 0,85, а вторият – с 0,92. Вероятността в мишената да има точ­но едно попадение е: А) 0,988; Б) 0,206; В) 0,068; Г) 0,138. 8. В една кутия има 3 бели и 6 черни топки, а в друга – 5 бели и 4 черни. По случаен начин от всяка кутия се изважда по една топка. Намерете вероятността двете извадени топки да са от един и същ цвят. 9. Ученик отговаря по случаен начин на тест с 8 въпроса. Всеки въпрос има 4 възможни отговора, от които само един е верен. Намерете вероятността ученикът да отговори правилно на точно 5 въпроса. 10. В равнобедрен трапец с основи 8 cm и 2 cm e вписан кръг. Намерете вероятността случайно избрана точка от вътрешността на трапеца да лежи върху кръга.

255

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „ВЕРОЯТНОСТИ“ 1. В  кутия има 6 бели и 10 черни топки. По случаен начин последователно се изваждат 2 от тях (без връщане). Условната вероятност втората извадена топка да е бяла, при условие че първата също е бяла, е равна на: 3 1 1 2 А) 3 ; Б) 8 ; В) 5 ; Г) 5 . 2. Х  върляме едновременно правилни монета и зар. Вероятността на зара да се паднат повече от 2 точки, а на монетата – тура, е: 1 1 1. А) 5 ; Б) 3 ; В) 6 ; Г) 12 12 3. Точките M и N са върху отсечката AB и AM : MN : NB = 3 : 7 : 5. Върху AB по случаен начин се избира една точка. Вероятността тя да е от отсечката MB е: 4 7 1; 1 А) Б) 15 ; В) ; Г) 5 . 12 4 4. В тесте има 15 бели и 9 черни карти. Белите са номерирани с числата от 1 до 15. Черните са номерирани с числата от 1 до 9. Вероятността изтеглена карта да е с четен номер, ако се знае, че тя е бяла, е: 8 11 ; 7; А) Б) 1 ; В) Г) 15 . 24 15 2 5.  В урна са поставени 5 печеливши и 10 непечеливши билета. По случаен начин последователно се изваждат два от тях (без връщане). Вероятността първият изваден билет да е непечеливш, а втория – печеливш, е: 1 5; А) 15 ; Б) В) 4 ; Г) 3 . 21 21 14

256

6. Б  уквите от думата ЕЛЕМЕНТ са написани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По слу­ чаен начин последователно се изтеглят 2 от тях (без връщане) и се нареждат по реда на изтегляне. Вероятността да се появи думата НЕ е: 1 1 1 1 А) 42 ; Б) 49 ; В) 21 ; Г) 14 . 7. Двама стрелци произвеждат по един изстрел в мишена. Първият улучва с вероятност 0,82, а вторият – с 0,95. Вероятността в мишената да има точ­но едно попадение е: А) 0,212; Б) 0,171; В) 0,041; Г) 0,221.  една кутия има 9 бели и 5 черни 8. В топки, а в друга – 7 бели и 8 черни. По случаен начин от всяка кутия се изважда по 1 топка. Намерете вероятността двете извадени топки да са от различен цвят. 9. Ученик отговаря по случаен начин на тест с 6 въпроса. Всеки въпрос има 5 възможни отговора, от които само един е верен. Намерете вероятността ученикът да отговори правилно на точно 4 въпроса. 10. В ромб с диагонали 8 cm и 6 cm e вписан кръг. Намерете вероятността случайно избрана точка от вътрешността на ромба да лежи върху кръга.

Към съдържанието

ИЗХОДНО НИВО (Урок 63 – Урок 64) ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ИЗХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ИЗХОДНО НИВО

Към съдържанието

257

63.

ИЗХОДНО НИВО. ТЕСТ С РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧА 1

( )

Стойността на израза A = 3 −125 + − 1 3 Б) 5; А) – 5; Решение:

( )

A = 3 −125 + − 1 3

−3

1

+ 32 5 + log

= 3 (−5) 3 + (−3) 3 + 5 2 5 + log

1

+ 32 5 + log 2 2 2 е: В) – 27;

Г) 27.

2 2=

2

2

−3

(

2) = 3

Отг. В)

= −5 + (−27) + 2 + 3 = −27

ЗАДАЧА 2

Изразът B = cos 3α + cos α − 2 cos 3 α е тъждествено равен на: А) 2cos a ;

Б) 2 sin 2 a cos a ;

В) − cos α sin 2α ;

Г) −sin α sin 2α .

Решение: B = cos 3α + cos α − 2 cos 3 α = = 2 cos 3α + α cos 3α − α − 2 cos 3 α = 2 2 = 2 cos 2α cos α − 2 cos 3 α = = 2(cos 2 α − sin 2 α) cos α − 2 cos 3 α = = 2 cos 3 α − 2 sin 2 α cos α − 2 cos 3 α = = −2 sin 2 α cos α = = − sin α.2 sin α cos α B = − sin α sin 2α

ЗАДАЧА 3

Най-голямо от числата е: А) log 2 (log 3 81) ;

Б) log 1 (log 5 25) ;

В) 21+log 2 3 ;

Г) 3 2 log 3 2 .

Решение: А) log 2 (log 3 81) =

Б) log 1 (log 5 25) =

1+ log 3 В) 2 2 =

2 log 2 Г) 3 3 =

4 = log = 2 (log 3 3 )

= log = 24 2

= log = 22 =2

ЗАДАЧА 4

258

Отг. Г)

2

2

= log 1 (log 5 5 2 ) = 2

= log 1 2 = 2

()

= log 1 1 2 2

−1

= −1

= 21.2 log 2 3 = = 2.3 = =6

= ( 3 log 3 2 ) = 2

= 22 = =4 Отг. В)

Бедрата на трапец са 3 и 5. В него може да се впише окръжност. Ако средната отсечка на трапеца го дели на други два, лицата на които се отнасят както 5 : 11, голямата му основа е: А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 5.

Към съдържанието

Решение:

1. От ABCD – описан около окръжност ⇒ AB + CD = BC + AD AB + CD = 3 + 5 AB + CD = 8. 2. Означаваме АВ = х, CD = 8 – x, 0 < х < 8, MN – средна отсечка. MN = AB + CD = 8 = 4 2 2 3. Трапеците ABNM и MNCD имат равни височини hтр h= . 2 S MNCD 5 4. От условието = S ABNM 11 11. S MNCD = 5. S ABNM



ЗАДАЧА 5

11 ⋅ MN + CD ⋅ h = 5 ⋅ AB + MN ⋅ h | : h 2 2 2 11(4 + 8 − x) = 5( x + 4) 11(12 − x) = 5( x + 4) 132 − 11x = 5 x + 20 16 x = 112 ⇒ AB = 7. x=7

Отг. Б)

Отношението на периметрите на правилния вписан и правилния описан около окръжност k(O; R) шестоъгълник е: 3 А) 3 ; Б) 2 ; В) 2 ; Г) . 2 2 3 3 Решение:

1. Дадена е окръжност k(O; R). А1 А2 А3 А4 А5 А6 – правилен вписан шестоъгълник А1 А2 = а = R = P1 P= 6a = 6 R A1 A2 A3 A4 A5 A6 2. Дадена е окръжност k(O; R). B1 B2 B3 B4 B5 B6 – правилен описан шестоъгълник B1 B2 = b = P2 P= 6b B1 B 2 B3 B 4 B5 B6 3. OQB 2 (OQB 2 = 90°) OQ 2 + QB 22 = OB 22

()

2

R2 + b = b2 2 2 4 R + b 2 = 4b 2 3b 2 = 4 R 2 b = 2R 3 3 P1 6a a R = = = 4. = P2 6b b 2 R 3 3

Към съдържанието

3 2

Отг. Г)

259

ЗАДАЧА 6

Сборът А от най-малката стойност на функцията f ( x) = log 2 x в интервала [4; 8] и найx голямата стойност на функцията g ( x) = 1 в интервала [–2; 1] e: 2 А) 2; Б) 4; В) 5; Г) 6.

()

Решение: 1. На чертежа е дадена графиката на функцията f ( x) = log 2 x . При х ∈ [4; 8] НМС f= ( x) f= (4) log 2 4 = 2 .

 а чертежа е дадена графиката на 2. Н x функцията g ( x) = 1 . 2 При х ∈ [–2; 1] −2 =4. НГС g ( x) = g (−2) = 1 2

()

()

3. Търсеният сбор е А = НМС f (x) + НГС g(x) = 2 + 4 А = 6. Отг. Г)

ЗАДАЧА 7

В ромба ABCD с диагонали АС = 24 cm и BD = 10 cm е вписан кръг. Вероятността случайно избрана точка от вътрешността на ромба да лежи върху кръга е: 40π 20π 30π Б)− ; В)− ; Г)− . А) 30 ; 169 169 169 169 Решение: AC. BD 24.10 = = 120 cm 2 2 2 2. AC ∩ BD = O, AOB = 90° = AC = 24 = 12 cm AO 2 2 BD 10 BO = = = 5 cm 2 2 3.  AOB (AOB = 90°) AB 2 = AO 2 + OB 2

1.  Sромб =

AB 2 = 12 2 + 5 2 = 169

260

AB = 169 = 13 cm

Към съдържанието

4. Sромб = p.r

= 120 26 = . r , r 60 cm 2 13

( )

2

2 60 = 3600π cm 2 5. Sкръг = πr = π ⋅ 13 169 6. Търсената вероятност е 3600π Sкръг = 169 = 30π . Р= S 120 169 ромб

Отг. В)

ЗАДАЧА 8

Опростете израза 1 1 3  34  2 2 3 4 a + b ab 2 ( ) a ≥ 0 , b ≥ 0 , b ≠ a при   a b A= − ⋅ − 3 1  32   a −b a4 −b2  и намерете числената му стойност, ако a = log 0,5 1 и b = log 3 9 . 8 Решение: 1 1  34  2 2 1. A =  a 3 + b − 3ab 1  ⋅ ( 4 a 3 − b ) =  2   a −b a4 −b2   4 a3 + b  − a b ⋅( 4 a3 − b ) = = 2 2 4 1 a3 − b   34 − b2   a

( ) ( )

3 4   =  3 a1 + 3b 1 − a b  ⋅ ( 4 a 3 − b ) = 3 4  4 a − b   a +b2 a4 −b2 4   a3 + b = − a b ⋅( 4 a3 − b ) = 3 4  ( 4 a 3 + b )( 4 a 3 − b ) a − b     1 = − a b  ⋅( 4 a3 − b ) = 3 4 4 a3 − b   a − b

(

)(

)

= 1− a b ⋅( 4 a3 − b ) 4 a3 − b A =1− a b

()

2. a = log 0,5 1 = log 1 1 8 2 2

3

=3

2 2= 4 = b log = 9 log 1 3= 3 1 32 2

3. При а = 3 и b = 4

A = 1 − 3 4 = 1 − 3.2 = 1 − 6 = −5 .

Към съдържанието

Отг. A = 1 − a b a = 3, b = 4, A = −5

261

ЗАДАЧА 9

Ако tg α = − 11 , α ∈ (270°; 360°) , намерете числената стойност на израза 5 A = sin 2α − cotg α . 2 Решение: 1. Решаваме системата



sin α = − 11 ⇒ sin α = − 11 cos α 5 5 cos α sin 2 α + cos 2 α = 1. 2

 11  cos α  + cos 2 α = 1 −  5  11 cos 2 α + cos 2 α = 1 25 36 cos 2 α = 25



cos 2 α = 25 36 cos α = ± 5 6 a ∈ IV квадрант, cos α > 0 ⇒ cos α = 5 6 ⇒ sin α = − 11 ⋅ 5 = − 11 5 6 6

 11  5 5 11 ⋅ = − 2. sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ⋅  − 18  6  6 a 3. cotg ще намерим по формулата 2 cotg α = ± 1 + cos α . 2 1 − cos α

Определяме знака пред корена, като разберем в кой квадрант лежи ъгъл



270° < a < 360° | : 2 a 135° < < 180° 2 a ∈ II квадрант ⇒ cotg α < 0 2 2 1+ 5 α 6 = − 11 cotg = − 5 2 1− 6





4. A = sin 2α − cotg α = 2 A = − 5 11 − ( − 11 ) = 11 − 5 11 18 18 A = 13 11 18

262

a . 2

13 11 Отг. A = 18

Към съдържанието

ЗАДАЧА 10 В четириъгълника ABCD AB = 26 cm, BC = 30 cm, CD = 17 cm, AD = 25 cm и AC = 28 cm. Намерете SABCD и BD. Решение:

1. Означаваме S  ABC = S 1 , S  ACD = S 2 .

Лицето S ABCD = S = S 1 + S 2 .

За VABC и VACD прилагаме Хероновата формула. p1 = 26 + 28 + 30 = 42 2 S 1 = 42.12.16.14 = 6.7.6.2.16.7.2 = 6.7.2.4

S 1 = 336 cm 2 p 2 = 17 + 25 + 28 = 35 2 S 2 = 35.10.18.7 = 7.5.5.2.2.9.7 = 7.5.2.3



S 2 = 210 cm 2

2 S = S 1 + S 2 = 336 + 210 = 546 cm 2. Диагоналът BD ще намерим, като за VAВD приложим косинусовата теорема.



BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2. AB. AD cos BAD

BAC = α 1 , DAC = α 2 , BAD = α 1 + α 2 3. Предварително ще намерим cos(α 1 + α 2 ). За VABC прилагаме косинусовата теорема.

30 2 = 26 2 + 28 2 − 2.26.28 cos α 1 2.26.28 cos α 1 = 560 cos α 1 = 5 ⇒ sin α 1 = 1 − cos 2 α 1 = 12 13 13



За VACD прилагаме косинусовата теорема.



17 2 = 28 2 + 25 2 − 2.28.25 cos α 2 2.28.25 cos α 2 = 1120 25 cos α 2 = 20 cos α 2 = 4 ⇒ sin α 2 = 1 − cos 2 α 2 = 3 5 5 cos(α 1 + α 2 ) = cos α 1 cos α 2 − sin α 1 sin α 2 =



= 5 ⋅ 4 − 12 ⋅ 3 = 20 − 36 = − 16 13 5 13 5 65 65

2 2 2 4. BD = AB + AD − 2. AB. AD cos(α 1 + α 2 ) =

( )

= 26 2 + 25 2 − 2.26.25 ⋅ − 16 = 65 = 676 + 625 + 320 = 1621 BD = 1621 cm

Към съдържанието

Отг. S = 546 cm2, BD = 1621 cm

263

64.

ИЗХОДНО НИВО. ТЕСТ № 1 1.  Стойността на израза 6. При 0 < a < 1 графиката на функцията −3 1 y = logax e: 5 −32 − 27 3 − − 1 е: 2 Б) А) А) –13; Б) 7; В) –9; Г) 3.

( )

2. Изразът (cos2 a – sin2 a + 2sin a cos a)2 – 1 e тъждествено равен на:

А) 2sin2 a;



Б) 2cos 2a;



В) sin 4a;



Г) cos 4a.

3. Най-малкото от числата е: А) log 2 1 ; 8 Б) log 7 7 ;

В) log 3 1;



Г) 6 log 6 5 .

4.  Даден е успоредник ABCD със страни AB = 10, AD = 8 и cotg DAB = 3 . Ли4 цето на успоредника е равно на: А) 24; Б) 32;

В) 48;



Г) 64.

5. Дадена е окръжност k с център О и радиус R. В нея е вписан квадрат, а около нея е описан правилен шестоъгълник. Сборът от лицата на квадрата и шестоъгълника е:

264

А) 2 R 2 ;



Б) 2 R 2 3 ;



В) 2 R 2 (1 + 3 ) ;



Г) 6 R 2 .

В)

Г)

7. В кръг с радиус R е вписан правилен шестоъгълник. Вероятността случайно избрана точка от вътрешността на кръга да лежи върху шестоъгълника е:

А)+ 3 3 ; 2π



2 3 Б)+ ; π



3 3 В)+ ; 4π

Г)+ 3 3 . 16π 8. Ако tg α = −2 2, a ∈ (270°; 360°), намерете стой­ността на израза A = cos 2α + tg α . 2 9. Пресметнете стойността на израза A = log 5 3 3.log 0,36 5 .log 3 125.log 0,5 1 . 3 4 10. В трапеца ABCD (AB || CD) AB =12, BC = 3 3 , CD = 6 и AD = 3. Намерете лицето S и диагоналите AC и BD на трапеца.

Към съдържанието

ИЗХОДНО НИВО. ТЕСТ № 2 6. При a > 1 графиката на функцията y = logax e:

1. Стойността на израза

( )

−3

1 + 32 5

64 + − 1 2 А) –2; Б) 2; 3



е:

В) 4;

Г) 14.

А)

Б)

В)

Г)

2. Изразът 2cos2 a – cos 2a e тъждествено равен на: А) 0;

Б) 1;



В) sin a;



Г) cos a.

3. Най-голямото от числата е: А) log 5 125 ; Б) log 3 1 ; 9 В) log 5 5 ; Г) log 2 1 . 32



4.  В успоредника ABCD AB = 8, AD = 7 и лицето му e S = 28 3 . Диагоналът AC е равен на:

А) 57 ; Б) 10;



В) 13;



Г)

337.

5. Дадена e окръжност k с център О и радиус R. В нея е вписан шестоъгъл­ник, а около нея е описан квадрат. Сборът от лицата на квадрата и шестоъгълника е:

2 А) 3R 3 ; 2



Б) 6 R 2 ;



В)



R 2 (8 + 3 3 ) ; 2 R 2 (8 + 3 ) Г) . 2

Към съдържанието

7. О  коло кръг с радиус R е описан правилен шестоъгълник. Вероятността случайно избрана точка от вътреш­ ността на шестоъгълника да лежи върху кръга е: π А)+ ; 4 Б)+ π 3 ; 9 В)+ 2 3 ; π Г)+ π 3 . 6 8. Ако tg α = 3 , a ∈ (180°; 270°), наме4 рете стой­ността на израза A = sin 2α + cos α . 2 9. Пресметнете стойността на израза

(

1 − 1 ⋅log 4 9 2

A = 81 4

)

+ 25 log125 8 .49 log 7 2 .

10. В трапеца ABCD (AB || CD) AB = 21, BC = 7, CD = 12 и AD = 8 . Намерете лицето S и диагоналите AC и BD на трапеца.

265

ОТГОВОРИ ВХОДНО НИВО

7. 2x5;

8. –3a;

2. Входно ниво. Тестове

9. −2 5a ;

10. 0, 5a 2 3 a ;

2 2 11. 3 x y 3 x y ;

12. 2bc 3 ab 2 c ;

3

Тест № 1 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

Точки

Г А Г А Б Б Г

2 2 2 3 3 3 3

8

А=4

6

9

a1 = 3; d = 5; n = 5

6

10

AC = 6 cm; S  ABC = 6 6 cm 2 ;

10

r = 2 6 cm 3

Отговор

Точки

1 2 3 4 5 6 7

А Г В А Б Б Б

2 2 2 3 3 3 3

8

А=–4

6

9

a1 = 2; q = 3; n = 5 BC = 8 cm; S  ABC = 12 5 cm 2 ;

6

10

10

r = 5 cm

24m ;

14.

3

15.

3

27 a 4 ;

16.

3

17.

3

5x 4 ; y4

3m 28 ;

18.

3

5a 7 b . 2c 4

4. Корен п-ти. Свойства 1. 4; 2. 3. 3; 4. 5. 14; 6. 7. 2; 8.

4a 6 b ;

92; 6; 3; –2;

5 2 10. 2ab ab ;

9. 4; 11. a 2b 9 7 a 2b ;

13.

5

3a 10b 5 c ;

− ab 4 3ab 2 при b < 0 при b ≥ 0;

ab 4 3ab 2 14.

7

2 x 8 y 22 ;

15. − 4 5a 5b 4 при b < 0 4

16.

4

5a 5 b 4

при b ≥ 0;

2x 8 y 7 .

5. Преобразуване на ирационални изрази 1. x ∈ (− ∞; 1] ∪ [4; + ∞) ; 2. x ∈ [− 3; 0] ∪ [3; + ∞) ; 3. x ≠ – 3 и x ≠ 0; 4. x ∈ (− ∞; − 5] ∪ {0} ∪ [5; + ∞) ; 5.

3

10 < 5 ;

6.

4

7 > 3 4;

7.

4

9 > 12 500 ;

8.

6

3 < 10 7 ;

ТЕМА 1. СТЕПЕН И ЛОГАРИТЪМ

9. 14;

10. 5 3 2 ;

3. Корен трети. Свойства

11. 2 3 2 ;

12. 3 3 2 ;

13. 1;

14. 3 + 3 4 ;

1. 6; 3. 4 3 2 ; 5. 99,9;

266

3

2 4 12. a | b | 3ab =

Тест № 2 Задача №

13.

1 2. 2 ; 2 3 5 3; 4. 6. 8,5;

15.

3

9 + 3 3 + 1 ;

16.

17.

3

7 + 2 ;

18.

( 4 7 + 4 6 )( 3

2+ 33.

7 + 6 );

6. Преобразуване на ирационални изрази. Упражнение 1. x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [1; + ∞) ; 2. x ∈ (− ∞; − 3] ∪ [3; + ∞) ; 3. 4. 5.



б)



в)

)

x ∈  − 5 ; 0  ∪  5 ; + ∞ ; x ∈ (− ∞; − 2) ∪ (−2; − 1) ∪ (−1; + ∞) ; x ∈ [− 7; 0] ∪ [5; 7] ;

6. 2;

7. 6 − 2 ;

30 ; 8. 10. –5; 12. 3; 15. a < c < b;

9. 11. 13. 16.

3

2; 3; A = x – y; b < c < a.

7. Функция. Графики на функция. Преговор с допълнение 1. 2.

а) НМС y(x) = 1, НГС y(x) = 9; б) НМС y(x) = 4, НГС y(x) = 9; в) НМС y(x) = 0, НГС y (x) = 9; г) НМС y(x) = 0, НГС y(x) = 9. а)



267



г)

в)



г)



9. Графики на функциите y = x3 и y = 3 x 1. а) НМС y(x) = –1, НГС y(x) = 0; б) НМС y(x) = 1, НГС y(x) = 27; в) НМС y(x) = –2, НГС y(x) = 3; г) НМС y(x) = 0,125, НГС y(x) = 8;

8. Графика на функцията y = x , D : x ∈ [0 ; + ∞ )

2. а)

1. а) НМС y(x) = 0, НГС y(x) = 2 ; б) НМС y(x) = 1, НГС y(x) = 3; в) НМС y(x) = 2, НГС y (x) = 5; 2 1 г) НМС y(x) = , НГС y(x) = 3 . 2 2. а)



268



б)



б)



в)



г)

3. а) НМС y(x) = 1, НГС y(x) = 2; б) НМС y(x) = –2, НГС y(x) = –1; в) НМС y(x) = − 1 , НГС y(x) = 3; 2 2 г) НМС y(x) = 0, НГС y(x) = 3 . 4. а)



б)

269



12. Преобразуване на изрази, съдържащи степен с рационален степенен показател

в)

A= 2 ; 8 5 1 1 6 9 1 2 3. a 5 + a 7 − a 5 − a 7 ; 4. a 6 + 3a 3 − 2a 2 − 6 ; 1.

A = 2 ; 8 1

(

1

2.

)(

1

)

(

1

)(

1

)

5. a 3 a 3 + 1 a 3 − 1 ; 6. a 3 + 3 a 3 − 3 ; 2 2 7. A = ; 8. B = ; 1− a 4− a 7 9. A = a + b + ab ; A = . 8

г)

13. Показателна функция. Графика на показателната функция 1. а)

10. Степен с цял показател. Преговор 2. B = – 21; 1. A = – 6; 4. D = 2; 3. C = – 1; 6. B = 41; 5. A = 9; 8. D = – 1; 7. C = 7; 9. A = −18 xy 2 , x = 1 , y = −2, A = −24 ; 3 10. а) 0,002; б) 0,00000235; 11. а) 3 . 10–5; б) 1,4 . 10–4. 11. Степен с рационален степенен показател. Свойства 1. 1 ; 2. 657; 5 1 4. 5 3 ; 3. 72; 24a 1 x 5. A = ; 6. B = 3 ; a y y 3

7

8. 2 8 ;

7. 3 8 ;

270

() ();

9. 4 < 4 ;

10. 1 3

2

11. 0,50,3 > 0,53;

12. 3

1; б) ( 3 − 1) < 1; в) 21− 3 < 1; г) 0, 5 − 2 > 1; 4. а) x < 0; в) x < 0;

x

е

б) x > 0; г) x > 0;

271



г)

13. x ∈ (0; 5) ∪ (5; + ∞); 14. x ∈ (–∞; –5) ∪ (5; 8); 15. x ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; 0) ∪ (5; + ∞); 16. x ∈ (–8; 10); 17. x ∈ (5; 6) ∪ (6; + ∞); 18. x ∈ (–8 –7) ∪ (–7; –3) ∪ (0; + ∞). 16. Логаритъм. Сравняване на логаритми 1. log 5 18 < log 5 21 ; 2. log 0, 4 16 > log 0, 4 17 ; 3. log 7 0, 9 > log 7 0, 8 ; 4. log 11 41 > log 11 39 ; 5. log 1 45 < log 1 44 ; 6. log 0,7 83 > log 0,7 85 ; 3

3

7. ln 43 < ln 47 ;

1 6. a) НМС y(x) = 2 ; НГС y(x) = 8; 1 б) НМС y(x) = ; НГС y (x) = 9. 9

272

8. log 1 7 > log 1 11 ; 2

2

9. log 15 13 > 0 ; 10. log 1 0, 3 > 0 ; 4 11. log 5 1 < 0 ; 12. log 1 8 < 0 ; 7 3 13. log 5 13 > log 7 0, 9 ; 14. log 0,7 4 < log 0,3 0, 5 ; 15. log 5 2 > log 0, 4 3 ; 16. log 7 2 < log 0,6 7 ; 3 8 17. log0,50,3 > log20,7; 18. log50,9 < log0,10,8; 20. log 5 7 > log 7 5 ; 19. log 5 9 > log 7 6 ;

14. Логаритъм. Основни свойства 1. x = 3; 2. x = – 4; 3. x = 3; 4. x = 81; 5. x = 4 2 ; 6. x = 27; 1 8. x = 2; 7. x = ; 4 1 10. 6; 9. x = 5 ; 12. – 4; 11. – 4; 13. 5; 14. A = 4; 15. B = – 1; 16. C = 6; 18. 5; 17. D = 4; 2 19. ; 20. 75; 7 21. 1; 22. x = z = 3, y = 4; x = z < y.

21. log 2 9 > log 9 8 ;

15. Логаритъм. Упражнение 1. x = – 3; 2. x = 12; 1 3. x = ; 4. 2; 3 6. –7; 5. –1; 8. 21; 7. 45; 9. 32; 10. x ∈ (–∞; 1) ∪ (4; + ∞); 11. x ∈ (–5; 1); 12. x ∈ (–5; 0) ∪ (5; + ∞);



22. log 3 17 < log 4 112 .

17. Логаритмична функция. Графика на логаритмичната функция 1. а)

б)

2. а)

5. а)



б)



в)



г)

При x ∈ (0; 1) графиката на функцията y = log2x е „под“ графиката на функцията y = log3x.

б)

При х ∈ (1; +∞) графиката на функция­та y = log 1 x е „под“ графиката на функ­цията 2

y = log 1 x . 3

3. а) +; б) +; в) –; г) –; 4. а) НМС y(x) = – 2; НГС y (x) = 3; б) НМС y(x) = – 3; НГС y(x) = – 1.

18. Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен 1. 1; 4. 5; 7. 1; 10. 2; 13. 1;

2. 0; 5. 3 8. 3; 11. 8; 14. 0.

3. 6. 9. 12.

3; 4; 5; 0;

273

15.  а) log 3 A = 2 + 2 log 3 5 − 1 log 3 7, 3 2 log 3 B = 2 log 3 7 + 3 − 3 log 3 5; 4 5 б) log 5 A = 2 log 5 3 + 2 − 1 log 5 7, 3 2 log 5 B = 2 log 5 7 + 3 log 5 3 − 3 ; 4 5 2 в) log 7 A = 2 log 7 3 + log 7 5 − 1 , 3 2 log 7 B = 2 + 3 log 7 3 − 3 log 7 5; 4 5

16. а) lg A = 4 lg a − 1 lg b + 7 lg c − lg 2 ; 3 4 4 4 11 б) lg A = lg a + lg b + 2 lg c − lg 5 ; 3 3 5 4 1 в) lg A = lg a + lg b + 1 lg c − lg 7 ; 3 15 10 17. а) x = 360; б) x = 100; в) x = 1 ; 2 18. а) A = 18; б) B = 4; в) C = 12; 19. а) A = 30;

3 16. x = 2; 17. x = 8 5 ; 18. x = 25 7 . 8 9 19. Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен. Упражнение 2. B = 3 ; 3. C = 1 ; 1. А = 2; 5 6 4. D = − 4 ; 5. Е = 12; 6. F = 9; 3 7. G = 6; 8. 1,08; 9. 1,18; 10. 1,20; 11. 1,26; 12. 1,30.

20. Обобщение на темата „Степен и логаритъм“ 1. 8; 2. 0; 3. 6; 4. 4; 5. 3; 6. –34; 3

3

3

18 − 6 − 3 + 2 ; 7. 8. 72; 2 9. A = a −1 а) A = 1; б) A = –4; 10. x∈ [– 7; 0] ∪ [7; +∞);

в) A = 3 9 + 3 3 + 1 ;

11. x∈ ( − 7 ; 0) ∪ ( 7 ; +∞); 12. (– ∞; –5) ∪ (3; +∞); 13. x = 2 – 2a; 14. x = 6 − a ; 9 15. a) 0 2 log310 3

б)



–2 log 1 7 3



в)



г)

0 –4

4 log 1 9 2

274

–1 log229 –3

x x

0 5 0

x x

б) B = 21;

в) C = 5.

21. Тестове върху темата „Степен и логаритъм“ Тест № 1 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

Точки

А В Б В Г В В

2 2 2 3 3 3 3

8

х=3

6

9

А = 2(1 – а)

6

10

B = 3 a +1 =12 3

10

Задача №

Отговор

Точки

1 2 3 4 5 6 7

Г Б Б Г Г В Г

2 2 2 3 3 3 3

8

х = 100

6

9

A = 2a + 1 a+2

6

10

B = 3 ab − ab B = −4

10

Тест № 2

ТЕМА 2. РЕШАВАНЕ НА РАВНИННИ ФИГУРИ

26. Решаване на трапец. Упражнение

22. Решаване на триъгълник. Преговор

1. S = 468; 3. S = 84;

1.

P = 28, S = 14 3 ;

5. P = 52, S = 162;

5 3 ; R 13 3 = P = 36; S = 30 3, r = ; 3 3 19 , r 2 3 , R = 31 3 3 , l c 7= P = 66, S = 66 = ; 35 3 5. R = 25; S = 35 15 ; 8 r = 3; 7. 13, 14, 15; 4.

7. S = 2 R 2 sin 3 α ;

2. 3. 4. 6. 8.

23. Решаване на успоредник ab 2 ab 1. а) ; б) ; в) ab 3 ; 2 2 2 p2 p2 2 p2 3 2. а) 8 ; б) ; в) ; 8 8 3. 306 cm2; 4. 48 cm2; 5. 16 cm2; 7. 46 cm;

г) ab;

6. 20 3 ; 8. 32 cm.

24. Решаване на успоредник. Упражнение p 2 3 cm2; p 2 2 cm2; в) 30 1. а) 30 cm2; б) 30 8 8 2. 6 cm, 4 cm; 3. 12 6 ; 5. 15 cm; 33,6 cm; 4. 336 cm2; 6. 39 cm; 7. а) 3 + 13 ;

в) ( 3 + 13 ) 3 ;

8. а) AC = 129 , BD = 7;

в) R1 = 7 3 , 3 R 2 = 43.

б) 6 + 2 13 + 4 3 ; г) 2 13 + 3 13 ; 5 3 б) ha = , 2 hb = 4 3;

25. Решаване на трапец 3. а) h = 4,8; б) S = 36; в) P = 26; 4. а) h = 7,2; б) S = 72; в) P = 29 + 73 ; 5. S = 24; ϕ = 90°; 6. S = 30; ϕ = 90°; 7. S = 22 2 ; 8. S = 276.

2. S = 14 6 ; 4. P = 42, S = 96; 6. S = 3 R 2 ; 2 8. S = 3 3 .

27. Решаване на равнобедрен трапец. Упражнение a + b 3b 2 − a 2 + 2ab 1. S = ; 4 2. S = a + b a 2 − b 2 ; 4 2 2 4. S = a − b tg α ; 4 + a b 4d 2 − ( a + b) 2 ; 5. S = 4 6. S = d 2 sin α cos α . 28. Решаване на четириъгълник 1. a) 6 3 ; б) 6 6 ; в) 18; г) 12 3 ; 2. 66; 4. 11 3 ;

3. 16 3 ; 5. 25 3 . 4

29. Решаване на четириъгълник. Упражнение 1. R = 5 ; 2. S = 6 3 ; 3. S = 72 cm2; 4. S = 36; 5. a) BD = 7; б) P = 21; в) R = 7 3 ; г) S = 55 3 ; 4 3 7. 9 : 8; 8. 5 : 9.

30. Решаване на правилен многоъгълник 5 2 1. а) S 5 = 2 R sin 72° ; 2 б) S10 = 5 R sin 36° ;

2 2 в) S12 = 6 R sin 30° = 3R ;

2 г) S18 = 9 R sin 20° ; 5 2 2. а) S 5 = a cotg 36° ; 4 5 2 б) S10 = 2 a cotg 18° ; в) S12 = 3a 2 cotg 15° ; г) S18 = 9 a 2 cotg 10° ; 2 2 3. а) S 5 = 5r 2 tg 36° ; б) S10 = 10r tg18° ; 2 2 в) S12 = 12r tg15° ; г) S18 = 18r tg10° .



275

31. Решаване на правилен многоъгълник 1. а) n = 5; б) n = 8; в) n = 12; г) n = 20; 2. В 18-ъгълника; = 3; S 3 3 ; 3. P 6= 4. 2 R = 24 + 12 3 , 2r = 18 + 12 3 ; 6. 3 : 2. 5. 2 2 : 3 ; 32. Обобщение на темата „Решаване на равнинни фигури“ 1. 48 cm2; 2. 4mn ; sin a 2 3. 600 cm2; 4. d cotg a ; 2 2 2 1 6. 5. 4r ; S sin a ; 2 sin a 2 8. P sin a ; 7. 20 cm2; 4 2 9. 4r ; 10. 150 cm2; sin a 11. 1 d 1d 2 sin(α + β) ; 12. 10 cm; 2 13. 40 cm2; 14. 960 cm2; 15. ab ab ; 16. 672 cm2; a+b 17. 1 (m 2 − n 2 ) tg α ; 18. 20 cm, 240 2cm 2 ; 2 3 2, R 3 19. 50 cm, 936 cm2; = 20. r = ; 2 = 3 dm, R 2 dm ; 21. r = 22. r = 4 cm, R = 8 cm. 33. Тестове върху темата „Решаване на равнинни фигури“ Тест № 1 Задача №

276

Отговор

Точки

1 2 3 4 5 6 7

Б А В А В A Б

2 2 2 3 3 3 3

8

16

6

9

a2 3 8

6

10

S = 156

10

Тест № 2 Задача №

Отговор

Точки

1 2 3 4 5 6 7

А Б В В Б Г В

2 2 2 3 3 3 3

8

5

6

9

a2 3

6

10

16 6

10

ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЯ 34. Обобщен ъгъл. Радиан 1. 300° + 1 . 360°; 2. 30° + 2 . 360°; 4. 60° – 1. 360°; 3. 300° – 1 . 360°; 6. – 40° + 0 . 360°; 5. 270° – 2 . 360°; 7. – 140° + 1 . 360°; 8. – 90° + 1 . 360°; 10. 170° – 2 . 360°; 9. 60° – 1 . 360°; π 11.− π ; 12.− ; 9 18 11 π 13.− ; 14. − 7 π ; 12 6 16. 5°; 15.− 7 π ; 4 17. 75°; 18. 225°; 20. 420°. 19. – 405°; 35. Тригонометрични функции на обобщен ъгъл 2. в четвърти; 1. в първи; 4. във втори; 3. в трети; 10. 0; –1; 9. 1; 0; 12. 0; 1; 11. –1; 0; 13. 3 ; 1 ; 3; 3 ; 2 2 3 14. 1 ; − 3 ; − 3 ; − 3; 2 2 3 15. − 3 ; − 1 ; 3; 3 ; 2 2 3

16. − 2 ; 2 ; − 1; − 1; 2 2

39. Графика на функцията y = sin x 1.

17. − 1 ; − 3 ; 3 ; 3; 2 2 3 18. − 3 ; − 1 ; 3; 3 ; 2 2 3 19. − 3 ; 1 ; − 3; − 3 ; 2 2 3 20. − 2 ; 2 ; − 1; − 1. 2 2

2.

36. Основни тригонометрични тъждества π 1. а) x = − 2 + 2k π, k = 0, ± 1... ;

б) x = 2k π, k = 0, ± 1... ;

2. cos x = − 12 , tg x = 5 , cotg x = 12 ; 13 12 5 15 15 8 3. sin x = − , tg x = − , cotg x = − ; 17 8 15 7 24 24 4. sin x = 25 , cos x = − 25 , cotg x = − 7 ; 15 8 15 5. sin x = − , cos x = − , tg x = ; 17 17 8 13 13 84 6. sin x = 85 , tg x = − 84 , cotg x = − 13 ; 4 4 3 7. sin x = − , tg x = , cotg x = . 5 3 4

3.

37. Ос на тангенс и ос на котангенс 1. x = π ; x = 5π ; x = 9π ; 4 4 4 π 7 π 13 ; x= π; 2. x = ; x = 6 6 6 π π 5 3. x = − ; x = − ; x = − 13π ; 4 4 6 π 4 π 7 4. x = − ; x = − ; x = − π ; 3 3 3 5. а) tg 20° < tg 80°; б) cotg 20° > cotg 80°; в) tg 40° > tg 100°; г) cotg 40° > cotg 100°. 38. Четност, нечетност и периодичност на тригонометрични функции π 9. p; 10.− ; 2 11. 6p; 12. 4p.

4.

5.

277

6.

2.

7. 3.

8.

4.

9.



5.

40. Графика на функцията y = cos x 1.

278

6.

41. Графика на функцията y = tg x 1.

7. 2.

8.

3.

9. 4.

5.

279

6.

7.

42. Графика на функцията y = cotg x 1.

2.

3. 8.

4. 9.

5.

280

44. Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика на два ъгъла

6.

1. a)

3 ; б) 1; в)

3 ; г) 1;

3 ; б) tg a; в) cotg 3a; г) cotg a cotg 3a; 3 3. а) −48 + 25 3 ; б) 4 2 − 9 ; 7 11 16 56 − ; б) − . 4. а) 63 33 2. а)

7.

45. Формули за тригонометрични функции от сбор и разлика на два ъгъла. Упражнение 7 2 1. a) − 3 + 4 3 ; б) − ; 10 10 в) − 48 + 25 3 ; г) 48 + 25 3 ; 39 39 2. а) 9 − 4 7 ; б) 12 − 3 7 ; 20 20

8.



192 + 75 7 в) 64 + 25 7 ; г) . 31 27

46. Формули за тригонометрични функции от удвоен ъгъл 3 ; в) 1 + sin 4a; г) 1; 3 2. а) 24 ; б) − 7 ; в) − 24 ; г) − 7 ; 25 7 24 25 1 1 3. а) ; б) . 8 8 47. Формули за тригонометрични функции от половинка ъгли. Упражнение 1. a) 2 cos 2a; б)

9.

1. sin α = 5 26 , cos α = − 26 , 2 26 2 26 1 α α tg = −5, cotg = − ; 2 2 5 43. Формули за синус и косинус от сбор и разлика на два ъгъла 6 + 2 ; б) 4 а) 3 ; б) 2 ; 2 2 а) 2 cos a sin b; в) sin 2a; а) 3 3 + 4 ; б) 10 33 − ; 65

1. a) 2. 3. 4. 5.

6− 2; 4 в) 1; г) 1 ; 2 б) cos a; г) sin 2a; 2+4; 6 6. − 8 + 3 21 . 25

2. sin α = 3 , 2 3 tg α = − 2 , 2 2 3. sin α = 3 13 , 2 13 3 α tg = − , 2 2

cos α = − 6 , 2 3 cotg α = − 2 ; 2 cos α = − 2 13 , 2 13 2 α cotg = − ; 2 3

2− 3 2+ 3 , , cos15° = 2 2 tg15° = 2 − 3 , cotg15° = 2 + 3;

5. sin 15° = 6. 1.

281

48. Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции 6; 2; б) 2 2 2. а) 2sin 3a cos 5a; б) –2sin 6a sin 3a; в) 4sin 3a cos a cos 5a; г) 4 cos 5α.cos 3α ⋅ cos 5α ; 2 2 2 π α + ; 3. а) 2 sin 4 2 б) −2 sin 2 π − α ; 4 2 π в) 4 cos + α cos π − α ; 6 2 6 2 π α + sin π − α ; г) −4 sin 12 2 12 2 4. a) –sin(x + y) . sin(x – y); б) sin(x + y) . sin(x – y); в) −2 2 cos x sin ( x − 45°) ; г) 4 sin(x + 30°) sin(x– 30°); 5. а) 4 sin 5 x cos x.cos x ; 2 2 б) −4 cos 5 x.sin x.sin 2 x . 1. а)

(

(

(

)

)

) ( ) ( ) ( )

49. Формули за произведение на тригонометрични функции 1. a) − 1 ; б) 2 + 3 ; в) 3 − 2 ; г) 1 + 2 ; 4 4 4 4 1 3. а) A = − sin 10° + cos 20° + sin 50° ; 2 2 б) B = cos 5° − cos 75° + cos 35° − . 2 50. Преобразуване на тригонометрични изрази. Упражнение

(

)

1. a) A = 2 2 cos α cos 45° − α ; 2 2 б) B = 4 sin(60° + α)sin(60° − α) ;

2 в) C = − 4 cos α sin α ; 2 г) D = − 4 sin α sin 2α cos 5α ;

2. а) A = cos 2 α ; 2 tg 2 α в) C = ; cos 2 α

б) B = 1 sin 4α ; 2 4 г) D = tg α .

51. Обобщение на темата „Тригонометрия“ 2 1. A = ; 2 3. C = 1 ;

282

2. B = 3 3 ; 4 4. 1 − 3 ;

E = 3 ; 6. sin 875° < sin 3644°; 5. 2 7. cos 3663° < cos (–746°); 8. tg 1455° < tg 624°; 9. cotg 735° > cotg 804°; 11. B = − 17 ; 24 8 13. D = ; 7 22. 2 − 6 ; 4 119 24. – ; 169

10. A = 8; 12. C = 8 ; 7 21. 3 ; 2 48 23. − 25 3 ; 39 1 25. 2 .

52. Тестове върху темата „Тригонометрия“ Тест № 1 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

Точки

Б В В Г В В Г

2 2 2 3 3 3 3

8

4

6

9

15

6

10

При пълно доказателство

10

Отговор

Точки

А В В В Г Б А

2 2 2 3 3 3 3

8

13 14

6

9

21 При пълно доказателство

Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

10

6 10

ТЕМА 4. ВЕРОЯТНОСТИ 53. Класическа вероятност. Преговор 17 1. P = ; 2. P = 211 ; 35 435 2 4 3. а) P = ; б) P = . 13 13 54. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите 9 8 12 1. а) P = ⋅ = ; б) P = 6 ⋅ 5 = 1 ; 15 14 35 15 14 7 4 3 3 ⋅ = ; б) P = 16 ⋅ 15 = 12 ; 2. а) P = 20 19 19 20 19 95 15 14 21 ⋅ = . 3. P = 20 19 38 55. Независимост. Теорема за умножение на вероятностите на независими събития 1 1 1 2. P = 3 ⋅ 1 = 1 ; 1. P = ⋅ = ; 2 2 4 6 2 4 1 1 1 2 2 1 3. P = 6 ⋅ 6 = 36 ; 4. P = ⋅ = ; 6 6 9 , 8.0, 7 0, 56; 5. = а) P 0= , 2.0, 3 0, 06; = б) P 0= 6. а) P = 1 ⋅ 1 = 1 ; б) P = 4 ⋅ 4 = 16 . 5 5 25 5 5 25 56. Действия с вероятности. Упражнение 1. а) P = 11 ; б) P = 13 ; 24 24 23 2. а) P = ; б) P = 27 ; 50 50 3. а) P = 0, 26; б) P = 0, 98; 4. а) P = 0, 46; б) P = 0, 88. 5. а) P = 0, 34; б) P = 0, 97. 57. Модели на многократни експерименти с два възможни изхода 2 3 1. а) P5 (2) = C52 ⋅ 1 ⋅ 5 , P5 (2) = 625 ; 3888 6 6 3 2 б) P5 (3) = C53 ⋅ 1 ⋅ 5 , P5 (3) = 125 ; 3888 6 6 4 6 2. а) P10 (4) = C104 ⋅ 1 ⋅ 3 , P10 (4) ≈ 0,146; 4 4 6 4 б) P10 (6) = C106 ⋅ 1 ⋅ 3 , P10 (6) ≈ 0, 016; 4 4 3 3 3 3. а) P6 (3) = C6 ⋅ 2 ⋅ 1 , P6 (3) = 160 ; 729 3 3 5 1 5 б) P6 (5) = C6 ⋅ 2 ⋅ 1 , P6 (5) = 64 ; 243 3 3

() () () () () () () () () () () ()

C103C53 , P6′(3) = 240 ; 6 1001 C15 5 1 C C б) P6′(5) = 106 5 , P6′(5) = 36 . 143 C15

4. а) P6′(3) =

58. Разпределения на вероятностите със сума 1 1.

А1 = {извадената топка е бяла}, А2 = {извадената топка е черна}, А3= {извадената топка е зелена}, А4= {извадената топка е синя}. Събитие А1 А2 А3 А4 Сума

Вероятност P ( Ak ) 4 20 6 20 7 20 3 20 1

 k = {абсолютната стойност на разликата на 2. А получените точки на двата зара е k}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Събитие А0 А1 А2 А3 А4 А5 Сума

Вероятност P ( Ak ) 6 36 10 36 8 36 6 36 4 36 2 36 1

283

3. Аk = {броят на бели топки е k}, k = 0, 1, 2, 3. Събитие

Вероятност P ( Ak )

А0

C50C43 = 2 3 42 C9

А1

C51C42 15 = 42 C93

А2

C52C41 20 = 42 C93

А2

А3

C53C40 = 5 42 C93

А3

Сума

1

А4

Вероятност P ( Ak )

А0

C120C85 = 7 5 1938 C20

А1

1 C12 C84 = 35 5 646 C20

А2

C122C83 77 = 5 323 C20

А3

3 C12 C82 385 = 5 969 C20

А4

C124C81 165 = 5 646 C20

А5

5 C12 C80 = 33 5 646 C20

Сума

1

284

Вероятност P ( Ak )

А0

C40 . ( 0, 8 ) . ( 0, 2 )

А1

C41 . ( 0, 8 ) . ( 0, 2 )

А2

C42 . ( 0, 8 ) . ( 0, 2 )

А3 А4

( 0, 8) .( 0, 2 ) 4 0 C44 . ( 0, 8 ) . ( 0, 2 )

Сума

1

0

2

C43 .

3

А5 Сума

1

C50 ⋅ 5 6 1 5

2 5

3 5

4 5 5 5

(

0

5

1

4

2

3

3

2

4

1

5

0

)

5

P ( A0 ) +  + P ( A5 ) = 1 + 5 = 1 6 6 59. Геометрична вероятност върху правата като отношение на дължини на интервали 2. P = 3 ; 1. P = 1 ; 4 5 3. а) P = 0,5; б) P = 0,7;

1 4. P = ; 5. P = 2 ; 6. P = 5 . 3 5 7 60. Геометрична вероятност в равнината като отношение на лица 3π ; 3 3; 1. P = 2. P = 9 4π 5 9 ; P = 3. P = ; 4. 27 25 5. P = π ; 6. P = 1 . 2 6

5. Аk = {k пациенти с положителен резултат}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

1

Вероятност P ( Ak )

( ) ⋅ ( 16 ) C ⋅(5) ⋅(1) 6 6 C ⋅(5) ⋅(1) 6 6 C ⋅(5) ⋅(1) 6 6 C ⋅(5) ⋅(1) 6 6 C ⋅(5) ⋅(1) 6 6

А1

Събитие

Събитие

Събитие А0

4. Аk = {броят на стандартните детайли е k}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.



6. Аk = {k попадения в мишената}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

4

3 2

1

4

P ( A0 ) +  + P ( A4 ) = (0, 8 + 0, 2) = 1

61. Обобщение на темата „Вероятности“ 1. а) P = 26 ⋅ 25 = 25 ; б) P = 26 ⋅ 26 = 1 ; 52 51 102 52 52 4 12 11 33 12 ⋅ = ; б) P = ⋅ 12 = 9 ; 2. а) P = 20 19 95 20 20 25 C3 C2 3. а) P5′(3) = 13 5 39 = 2717 ; 33320 C52 3 2 б) P5 (3) = C53 ⋅ 1 ⋅ 3 = 45 ; 4 4 512 C64C52 25 4. а) P6′(4) = = ≈ 0, 325; 77 C116 4 2 4 6 ⋅ 5 ≈ 0, 274; б) P6 (4) = C6 ⋅ 11 11

() ()

( ) ( )

5. Аk = {k пъти се пада ези на монетата}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Събитие

Вероятност P ( Ak )

А6

() C ⋅(1) 2 C ⋅(1) 2 C ⋅(1) 2 C ⋅(1) 2 C ⋅(1) 2 C ⋅(1) 2

Сума

1

Събитие

Вероятност P ( Ak )

C60 ⋅ 1 2

А0

5 6

А5

б) P = 1 − ( 0, 9 ) ≈ 0, 6513 ; 9. а) P = 2 ; б) P = 1 ; 2 3 5 1 10. P = ; 11. P = 9 ; 2 3; 15 P = 12. 13. P = . 4 64 10

6

4 6

А4

10

6

3 6

А3

8. а) P = ( 0, 9 ) ≈ 0, 3487;

6

2 6

А2

62.  Тестове върху темата „Вероятности“ Тест № 1

6

6

6 6

7 а) P (k ≥ 5) = P ( A5 ∪ A6 ) = ; 64 б) P (k < 5) = 1 − P (k ≥ 5) = 57 ; 64 6. Аk = {k пъти се появяват 6 точки}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

А7

() () C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6 C ⋅(1) ⋅(5) 6 6

Сума

1

А0 А1 А2 А3 А4 А5 А6

C70 ⋅ 1 6 1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

0

7 7

⋅ 5 6

7

1

6

2

5

3

4

4

3

5

2

6

1

7

0

6 7

а) P (k ≥ 6) = P ( A6 ∪ A7 ) =

б) P = P4 (3) + P4 (4) = 0, 4752;

6

1 6

А1

6

1 ; 7776 б) P (k < 6) = 1 − P (k ≥ 6) = 7775 ; 7776 3 1 3 7. а) P4 (3) = C4 ⋅ ( 0, 6 ) ⋅ ( 0, 4 ) = 0, 3456;



Задача № 1 2 3 4 5 6 7 8

9

10

Отговор

Точки

Б В А Б Г В Б

2 2 2 3 3 3 3

P = 13 27

6

( ) ⋅ ( 34 )

P = C85 ⋅ 1 4 P = 189 8192

5

P=π 5

3

6

10

285

ИЗХОДНО НИВО

Тест № 2

Задача № 1 2 3 4 5 6 7 8

9

10

Отговор

Точки

А Б Г В Б Г А

2 2 2 3 3 3 3

P = 107 210

6

() ()

P = C64 ⋅ 1 5 P = 48 3125

4

P = 6π 25

⋅ 4 5

2

6

10

64. Изходно ниво. Тестове Тест № 1

Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

Точки

Г В А Г В В А

2 2 2 3 3 3 3

8

A=−7 − 2 9 2

6

9

А=–9

6

10

S = 27 3 2 AC = 3 7

10

BD = 3 13 Тест № 2

Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

Точки

А Б А В В А Г

2 2 2 3 3 3 3

8

A = 24 − 10 25 10

6

9

А = 19

6

S = 44 5

10

AC = 4 21 BD = 281

286

10

ГРАФИКИ НА ФУНКЦИИ

y = sin x

y = cos x

287

y = tg x

y = cotg x

МАТЕМАТИКА 11. КЛАС – ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ПОДГОТОВКА Райна Алашка, Мая Алашка, Пламен Паскалев Художник на корицата Емил Христов Редактор и коректор Юлиана Дамянова Графичен дизайн Ангелина Аврамова Българска, първо издание 2020 г., Формат: 60/90/8. Печатни коли 36 Издателство “Архимед 2” ЕООД – София тел./факс: 02 963 2890 www.arhimedbg.com, e-mail: [email protected] ISBN: 978-954-779-294-4 Печат “АЛИАНС ПРИНТ” – София

288