Matematicas Generales Para Maestros

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Matemáticas generales para maestros

Carlos Maza Gómez

© Carlos Maza Gómez, 2010 Todos los derechos reservados

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Índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sistemas de numeración ………………………………………… Problemas ……………………………………………………….. Fracciones y decimales ………………………………………….. Problemas ……………………………………………………….. Divisibilidad …………………………………………………….. Problemas ……………………………………………………….. Proporcionalidad directa …………………………………........... Problemas ……………………………………………………….. Funciones ……………………………………………………….. Problemas ……………………………………………………….. Proporcionalidad geométrica ……………………………………. Problemas ……………………………………………………….. Construcción de polígonos ……………………………………… Problemas ……………………………………………………….. Cuerpos en el espacio ………………………………………….... Problemas ……………………………………………………….. Estadística descriptiva ……………………………………...........

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5 17 23 33 41 49 59 67 77 85 93 103 113 125 137 145 151

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Tema 1 Sistemas de Numeración Distintas formas de contar Los hombres han tenido necesidad de contar desde los primeros tiempos, sea el número de cabezas de ganado, el de guerreros de una tribu, jarras de líquidos, cestos de grano, etc. Sin embargo, lo han hecho de forma diferente no sólo en lo que a los signos se refiere, sino en los criterios utilizados para contar. Inicialmente bastaba establecer una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos. Los miembros de una tribu que marchaban al combate iban dejando, cada uno de ellos, una piedra en un cesto a la salida del poblado. Cuando volvían cada cual recogía una piedra. Contando las piedras sobrantes se podía averiguar el número de guerreros caídos. De esta forma la cuantificación servía para la comparación (dónde o cuándo hay más o menos, cuántos más y cuántos menos). Esta correspondencia finalmente se extendió a la comparación entre un conjunto abstracto de números (y sus palabras asociadas: uno, dos, tres...) y otro conjunto de cosas que cuantificar. Es el caso de los egipcios, que contaban el número de cabezas de ganado haciéndolo pasar por un desfiladero estrecho y disponiendo un hombre para contar unidades (de uno a diez), otro para contar decenas (de diez a cien), otro contando centenas (de cien a mil). Contaban de diez en diez pero su forma escrita de hacerlo era aditiva, es decir, iban añadiendo el mismo signo hasta llegar a la unidad superior. De este modo utilizaban una serie de símbolos que repetían tantas veces como fuera necesario a la hora de representar grandes cantidades, como es el caso de 47.209 (figura 1.1). El inconveniente de este procedimiento es que la representación simbólica de grandes cantidades suponía el empleo de gran número de signos.

Figura 1.1 Este inconveniente había sido resuelto por los mesopotámicos de otro modo. Mientras los egipcios usaban papiros que obtenían trabajando el tallo de una planta o bien trozos de cerámica desechada, sus vecinos de Mesopotamia empleaban arcilla que era abundante a la orilla de sus ríos. La extendían en tabletas y dibujaban signos sobre ellas para dejarlas luego secar y endurecerse. Las unidades eran un simple trazo obtenido con un estilo o punzón que dejaba una marca en forma de cuña, de donde la escritura se ha denominado cuneiforme. Repetían como los egipcios las unidades y, al llegar a diez, utilizaban el mismo signo pero girándolo hasta quedar horizontal (figura 1.2). Hasta ahí no hay mayor variación respecto a la numeración egipcia pero los mesopotámicos tenían la particularidad de contar de 60 en 60 (numeración sexagesimal) del mismo modo que nosotros contamos de 10 en 10. La razón es algo incierta pero debía tener relación con la división de la trayectoria circular solar en 360 días correspondientes al año, al tiempo que observaban la perfecta división de una circunferencia en seis partes iguales mediante la superposición del radio. De manera que 5

360 : 6 = 60 daba lugar a un número (60) que probablemente se entendiese como de origen divino o mágico.

Figura 1.2 Pues bien, cuando llegaban a superar las 60 unidades a contar, los mesopotámicos empezaban de nuevo por el uno pero en una posición diferente de otras unidades más simples (figura 1.3).

Figura 1.3 Esto último constituye el principio posicional de la numeración por el cual una cifra o signo numérico tiene valor por la cantidad que representa en sí misma y por la posición relativa respecto de las demás cifras. Una de las dificultades de esta forma de numeración posicional, sin embargo, es la ausencia de cero, por lo que a veces resulta confuso saber cuántas unidades se están contando. Dado el contexto en que se encuentran estos números (básicamente tareas escolares y administración de templos y palacios) es muy posible que la distinción se realizara sólo por un grupo selecto de la población (los escribas) que darían por supuesta la ordenación de los signos según el contexto del conteo. Del mismo modo, si hablamos de un sueldo de 2 daremos por supuesto que esta cifra se refiere a miles de euros y no nos será necesario presentar todos los ceros posteriores. La numeración indo-arábiga que se usa en la actualidad tiene algunas de estas características: 1) No es aditiva, de manera que hay un signo diferente para las primeras diez cifras, entre las que se incluye el cero (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9). 2) Cuenta en base diez, es decir, que cada diez unidades de un mismo orden equivalen a una unidad del orden superior, y viceversa. 3) Es posicional, por cuanto una cifra como 3 tiene un valor en sí misma (representa tres unidades) y otro en relación a la posición que ocupa (así, no es lo mismo 3, que 30 ó 300). La presencia del cero garantiza una completa claridad respecto al orden de la cifra considerada.

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Cambio de base De base decimal a cualquier base Contamos de diez en diez, también expresado como en base decimal, ¿qué significa eso? Que agrupamos diez unidades en una decena, diez decenas en una centena y así sucesivamente. Los mesopotámicos, como hemos visto, contaban sin embargo de sesenta en sesenta. Hay constancia también de otras formas de conteo: se hace de dos en dos (sistema binario) en informática, pero yendo a tiempos más antiguos hay constancia de conteos de cinco en cinco, por docenas (quedan restos de esta forma hoy en día),... Si en una clase universitaria hay, por ejemplo, 75 personas ¿cuántos grupos de 8 podemos formar? Para saberlo, bastará dividir 75 : 8 da 9 grupos y 3 sobrantes pero si agrupamos de 8 en 8, el sistema puede aplicarse de nuevo a los 9 octetos formados: 9 : 8 da 1 grupo de 8 y 1 sobrante de manera que la cantidad total se puede expresar como 113 8) Si en vez de agrupar de diez en diez lo hiciésemos ahora de 3 en 3, el resultado sería: 75 : 3 es de 25 grupos de 3 y 0 sobrantes 25 : 3 = 8 grupos de 3 y 1 sobrante 8 : 3 = 2 grupos de 3 y 2 sobrantes quedando la cantidad de 75 personas expresada como: 2210 3) Todas éstas son expresiones diferentes para la misma cantidad que deseamos cuantificar. De cualquier base a base diez Supongamos, por el contrario, que tenemos el número 121 4) es decir, en base 4, de manera que 4 unidades de un orden sean equivalentes a una unidad del orden superior. Puede representarse esta cantidad en un ábaco plano (figura 1.4).

Figura 1.4 Pues bien, queremos saber cómo expresar esta cantidad en base decimal. Tomamos entonces la unidad de tercer orden (la de la izquierda) ¿a cuántas unidades de primer orden equivalen? 7

1 x 4 transformará esa unidad de tercer orden en 4 unidades de segundo orden y, volviendo a multiplicar por 4, las transformaremos en unidades de primer orden. En total serán 1 x 42 = 16 Del mismo modo, las dos unidades de segundo orden se transforman en otras de primero multiplicando por 4, 2x4=8 a lo que habrá que sumar la unidad de primer orden que se tenía: 1 x 42 + 2 x 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25 121 4) = 25 10) Se llama expresión polinómica de un número a su desarrollo en función de la base en la que está expresado. Por ejemplo, serán expresiones polinómicas las siguientes: 2104 5) = 4 + 0 x 5 + 1 x 52 + 2 x 53 1320 4) = 0 + 2 x 4 + 3 x 42 + 1 x 43 Estas expresiones polinómicas tienen la capacidad de ayudarnos a transformar un número en cualquier base en su expresión en base decimal.

Algoritmos de la suma y resta En base decimal la suma es una operación por la que se unen o combinan dos cantidades. En lo que se refiere a la suma de cantidades grandes se realiza el algoritmo mediante dos reglas básicas: 1) Sumar unidades del mismo orden, empezando por las inferiores. 2) Si la suma de estas cantidades da lugar a una unidad de orden superior, ésta pasa a registrarse entre las unidades de orden inmediatamente superior. Pues bien, la suma de grandes números en bases diferentes sigue las mismas pautas, con la salvedad de que el paso de una unidad a la siguiente se realiza conforme a la base de numeración. En una operación realizada en base 5, el resultado será:

+

1 1 2 4 2 3 5) 1 3 4 1 5) -------------------4 3 1 4 5)

La resta es una operación más compleja en la que cabe abordar el algoritmo de dos maneras distintas: Método de tomar prestado Es el más usual al comienzo de la enseñanza y, por ser distinto del habitual, lo realizaremos primero en una base distinta de la decimal. El procedimiento consiste de nuevo en operar entre sí unidades del mismo orden. Cuando sea posible realizar la resta (la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo) se hará así pero, en caso contrario (por ejemplo, 1-3), se “tomará prestada” una unidad del orden superior transformándose en las unidades de orden inmediatamente inferior que correspondan a la base. De este modo será 8

posible hacer la operación.

-

2 5 3 6 3 0 4 1 5) 1 2 2 3 5) -----------------1 3 1 3 5)

Método de las llevadas El método usual en base decimal, tal como se automatiza tras la enseñanza primaria, consiste en plantear la operación del mismo modo que antes pero actuar de modo diferente cuando no se puede realizar la resta correspondiente entre las unidades de que se trate. En ese caso, se añaden 10 unidades auxiliares a la cifra del minuendo, se realiza la resta entre esas unidades y luego se “lleva una” añadiéndose a la cifra del sustraendo en la unidad inmediatamente superior

-

12 15 3 2 5 2 8 1 7 8 ------------1 4 7

Esta acción auxiliar está basada en una propiedad de la resta: Si al minuendo y sustraendo de una resta le sumamos o restamos la misma cantidad, el resultado de la resta no varía. En este caso, se han añadido diez unidades al minuendo y otras diez unidades (en forma de una decena) al sustraendo, realizándose esta acción tantas veces como sea necesario. El procedimiento tiene inconvenientes didácticos asociados a su aplicación cuando la propiedad que lo fundamenta no se hace explícita ni se conoce por parte del alumno. Además tiene el inconveniente semántico de realizar una resta a través de una suma. Todo ello aconseja enseñar inicialmente el primer tipo de resta antes de pasar a ésta que es más eficiente y proporciona una mayor economía mental pero resulta más compleja de aprender, como se comprueba en el siguiente ejemplo en base 4, primero resuelto al primer modo y luego según el algoritmo tradicional: 2 3 5 3 0 1 2 4) 1 2 3 1 4) -----------------1 1 2 1 4) Este ejemplo pone de manifiesto las dificultades que presenta el método de tomar prestado cuando hay ceros intermedios, puesto que es necesario transformar unas unidades en otras inferiores mediante varios pasos, no siempre fáciles de comprender. De forma tradicional: 4 5 3 0 1 2 4) 2 3 1 2 3 1 4) -----------------1 1 2 1 4) 9

Algoritmos de la multiplicación La multiplicación suele definirse (aunque no se reduzca a ella) como una suma reiterada. Pues bien, el algoritmo egipcio de duplicación responde a esa idea presentando la ventaja de que no es necesario recordar las llevadas al realizar la operación. Esta ventaja y la sencillez de su uso es la causa de su introducción temprana en la enseñanza. Sea, por ejemplo, la multiplicación 27 x 13 La interpretaremos como la acción de repetir 27 un total de 13 veces, pero ello se puede hacer duplicando sucesivamente el número de veces de la repetición: 27 ............... 1 vez 54 ............... 2 veces 108 ............... 4 veces 216 ............... 8 veces --------------------------216 + 108 + 27 = 351 .............. 8 + 4 + 1 = 13 veces Así, repetir 27 trece veces es lo mismo que repetirlo 8 veces + 4 veces + 1 vez, de manera que sólo tenemos que sumar las cantidades correspondientes en la columna de la izquierda, fruto de esas repeticiones. Sin embargo, cuando las cantidades son más crecidas el procedimiento se hace muy engorroso y es necesario utilizar las propiedades de la multiplicación. Básicamente son dos: 1) La distributiva, por la cual 8 x 342 = (8 x 300) + (8 x 40) + (8 x 2) 2) La asociativa, que permite considerar 8 x 300 = 8 x (3 x 100) = (8 x 3) x 100 Una de las dificultades mayores en la multiplicación, cuando se aplican estas propiedades, consiste en agrupar las unidades del mismo orden dentro de los resultados parciales. Este hecho se hace evidente cuando la operación se hace en horizontal. Un algoritmo que resuelve este problema y es muy semejante al actual, es el algoritmo en celosía. Los dos factores de la multiplicación se colocan en la parte superior y derecha de un casillero, de forma que el resultado de cada casilla se obtenga multiplicando las cantidades correspondientes a la fila y columna de que se trate. La disposición de las diagonales permite diferenciar, dentro de cada casilla, el orden de unidad de cada cifra y, de manera oblicua, alinear las unidades del mismo orden. Por ejemplo, si se plantea la multiplicación 326 x 38 el casillero a obtener sería el mostrado (figura 1.5) 326 x 38 = 12.288

Figura 1.5 10

Este procedimiento puede utilizarse para realizar multiplicaciones en bases distintas de la decimal. Así, en el caso de 243 5) x 32 5) se dispondría un casillero similar que daría lugar al resultado deseado (figura 1.6): 243 5) x 32 5) = 144315)

Figura 1.6 Ello permite interpretar mejor el algoritmo actual en base decimal, muy parecido al que aquí se ha expuesto. Cambia la disposición de los números (uno bajo el otro) y de los resultados parciales (alineando en vertical las unidades del mismo orden, en vez de forma oblicua). Ello obliga, a aplicar la propiedad distributiva de un modo más sistemático empezando por las unidades del multiplicador, siguiendo por sus decenas, millares, etc. Para evitar la dificultad de recordar las llevadas en cada producto parcial (algo que no es necesario en el algoritmo en celosía), se puede recurrir al algoritmo expandido que presenta todos los resultados intermedios: 3 4 7 x 2 5 --------------------3 5 2 0 0 1 5 0 0 1 4 0 8 0 0 6 0 0 0 ---------------------8 6 7 5 Que, en forma abreviada, sería: 3 4 7 x 2 5 ------------1 7 3 5 6 9 4 0 -----------------8 6 7 5 de manera que el producto de las decenas resulta 20 x 347 = (2 x 10) x 347 = (2 x 347) x 10 por lo que se añade un cero al resultado de multiplicar las decenas del multiplicador por las cifras del multiplicando. 11

Algoritmo de la división La división responde básicamente a la acción de repartir, dividir la cantidad llamada dividendo D en un número de grupos del tamaño indicado por el divisor d. Ese número de grupos es el cociente c pudiendo quedar un resto r en la igualdad que caracteriza la división: D = dxc+r El primer procedimiento que resuelve una división, dados su dividendo y divisor, consiste en encontrar un número c cuyo producto por d se acerque lo más posible al valor del dividendo D. Este procedimiento sustractivo permite resolver 38 : 5, por ejemplo, sin más que encontrar el número 7 tal que 5 x 7 = 35. Así, 38 = 5 x 7 + 3 que suele escribirse a través del diagrama correspondiente (figura 1.7).

Figura 1.7 Pues bien, el método sustractivo resulta ineficaz para números grandes. Basta imaginar el esfuerzo para encontrar la solución a la división 659 : 7. Habría de multiplicarse el divisor 7 por números muy grandes para encontrar la mejor aproximación al dividendo 652. Es por ello que se recurre al método distributivo por el cual se distribuyen las divisiones realizadas sobre el dividendo aprovechando su descomposición polinómica: 659 : 7 = (650 : 7) + (9 : 7) adoptando el esquema conocido por el cual se separa el dividendo, empezando por sus valores superiores, de forma que se divida por partes entre el divisor. Los resultados parciales se van sumando a las siguientes unidades inmediatamente inferiores para seguir procediendo a la división (figura 1.8).

Figura 1.8 De este modo: 659 = 94 x 7 + 1 Obsérvese que esta división parte de un adecuado conocimiento de la tabla de multiplicar por 7, hecho que hay que tener en cuenta si se desea extender el procedimiento a la división en otras bases. Si se plantea una división en otra base, por ejemplo 323 5) : 4 partiremos de la tabla de multiplicar del 4 en base 5: 12

4x1 4x2 4x3 4x4

= 4 = 13 = 22 = 31

para llegar a (figura 1.9):

Figura 1.9 llegando a que

323 4) : 4 = 42 4)

Estimación y cálculo mental En algún caso se puede cuestionar el tiempo dedicado al aprendizaje del algoritmo escrito, habida cuenta de que el estudiante dispone de una calculadora para la realización de algoritmos complejos. No hay que olvidar que largas multiplicaciones y divisiones forman parte de una tradición escolar que probablemente haya quedado obsoleta. Sin embargo, el cálculo estimativo y otro exacto de forma mental, es una actividad donde se han de combinar propiedades numéricas relacionadas con el sistema de numeración decimal así como una importante flexibilidad en la consideración de los números. A esta capacidad para el desarrollo del sentido numérico ha de unirse su aplicabilidad a la vida cotidiana, donde no siempre se dispone de calculadoras para hallar un resultado exacto o aproximado. Así, por ejemplo, supongamos que vas a una papelería con 10 euros en el bolsillo. Tienes que comprar 5 cuadernos que cuestan 1,85 euros. ¿Tienes dinero suficiente? Para responder a esta pregunta podemos usar el método del redondeo considerando que los cuadernos valen algo menos de 2 euros cada uno, lo que hace que el gasto sea inferior a 5 x 2 = 10 euros Ahora bien, si queremos saber con exactitud el gasto efectuado, en vez del algoritmo tradicional podemos considerar que este redondeo ha estimado en 15 cts más cada cuaderno, de manera que supone considerar un exceso de: 5 x 15 = 75 cts que deducir a los 10 euros, dándonos la cantidad exacta de coste de los cuadernos: 10 – 0,75 = 9,25 euros ¿Cómo se ha realizado la última multiplicación? Caben varias posibilidades no tradicionales: 5 x 15 = 2 x (2 x 15) + 15 = 75 cts de manera que cinco veces 15 sean cuatro veces más una, pero cuatro veces es el doble del doble de 15. También es posible hacerlo por un método de compensación: 13

5 x 15 = (10 x 15) : 2 = 75 cts es decir, multiplicar por 5 es lo mismo que multiplicar por 10 y dividir por 2, ambas operaciones especialmente sencillas. Se puede observar así la importancia de conocer los productos por las sucesivas potencias de diez como resultados inmediatamente aplicables: 5 x 10 = 50 5 x 100 = 500 5 x 1.000 = 5.000 A ello hay que unir la necesidad de un buen conocimiento de la propiedad distributiva del producto cuando se trata de números grandes. Así, consideremos que es necesario comprar 24 latas de refresco, cada una costando 45 cts. Si uno desea hacer un cálculo aproximativo bien puede emplear una técnica de truncamiento, es decir, transformar en ceros las cifras menos significativas: 20 x 40 = 800 cts = 8 euros Este procedimiento será tanto más aplicable cuando los números sean mayores, de manera que si en una ciudad hay 32 colegios, cada uno con una media de 256 alumnos, un truncamiento como 30 x 250 = 30 x (1.000 : 4) = 7.500 alumnos puede considerarse adecuado. Pero si en el problema anterior de las latas queremos mayor exactitud que la dada por el truncamiento, podemos considerar una estrategia de compensación, por la cual se trunca uno de los factores y se redondea al alza el otro: 24 x 45 ≈ 20 x 50 = 1000 cts = 10 euros En todo caso, una respuesta exacta requerirá un mecanismo mental por el que distribuyamos el producto necesario, procedimiento que se conoce como recomposición: 24 x 45 = (20 x 45) + (4 x 45) = 900 + 180 = 10,80 euros en cada uno de cuyos productos parciales se puede haber aplicado alguna de las técnicas de cálculo mental. Por ejemplo, 20 x 45 será interpretado como (2 x 45) x 10 siguiendo la propiedad asociativa, y 4 x 45 es el doble del doble de 45. El cálculo mental tiene sus peculiaridades, como es el hecho de que suele desarrollarse en sentido contrario del algoritmo tradicional, ya se empieza a operar por las cifras más significativas arrastrando los resultados parciales para sumarle los obtenidos sobre cifras menos significativas. Ello se comprueba fácilmente en una suma como la generada en este problema: Compras en unos almacenes un abrigo por 240 euros, dos pantalones por 170 euros y unos zapatos por valor de 60 euros. ¿Cuánto te has gastado en total? Cuando se realiza la suma mental de 240 y 170 lo primero que se hace no es sumar las unidades ni las decenas, sino las centenas (son trescientas y ...) para fijar ese resultado y prestar atención a las cifras de las decenas (cuarenta y setenta son 110) para llegar a 410 a las que finalmente se añaden 60 euros. Así pues se empieza por la izquierda y no se realiza la suma de todas las unidades del mismo orden sino que se procede por sumas parciales. En todo estos procesos hay que prestar especial atención a varias propiedades numéricas a las que hemos hecho referencia pero donde hay que añadir el uso de complementarios en el caso de la suma. Así, en el caso de: 120 + 360 + 280 14

mentalmente se ordena de otra manera: (120 + 280) + 360 de modo que las cifras de las decenas se complementan para formar una centena con facilidad: 400 + 360 que resulta más fácil de obtener. Algo parecido sucede también en las multiplicaciones cuando el factor es el 9: 15 x 9 = (15 x 10) – 15 = 150 – 15 = 135 En el caso de las divisiones las operaciones suelen ser más complejas pero cabe también hacer algunos “atajos” que faciliten su resolución mental. Por ejemplo, queremos repartir 248 euros entre cuatro personas. Teniendo en cuenta que 4 = 2 x 2 y la facilidad que supone hallar la mitad de una cantidad par: 248 : 4 = (248 : 2) : 2 = 124 : 2 = 62 euros que en determinados casos (no es muy frecuente) puede realizarse distribuyendo el dividendo, en vez del divisor: 248 : 4 = (240 : 4) + (8 : 4) = 60 + 2 = 62 euros La estrategia de compensación también es aplicable en algunos casos, según los números en juego: Si lo que se desea es repartir 290 euros entre cinco personas, 290 : 5 = (290 : 10) x 2 = 29 x 2 = 58 euros

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Problemas Distintas formas de contar 1)

Escribe los primeros 10 números si cuentas en base 2, 3 y 5.

2)

Escribe los dos números anteriores a los siguientes:

3)

Escribe en mesopotámico: 47, 76, 347, 4192.

4)

Convertir lo siguiente: a) 108 días en semanas y días. b) 94 meses en años y meses. c) 86 horas en días y horas.

555 6) ; 100 7) ; 1000 5)

5) Tenemos una colección de pesas de 1 kg, 4 kg, 16 kg, 64 kg, 256 kg. Hay que pesar una tonelada usando el menor número posible de pesas. 6)

Un recibo se paga en el banco con 432 monedas de 20 céntimos. Teniendo en cuenta las monedas actuales, ¿cuál es el número mínimo de billetes y monedas que necesitaremos para expresar esta cantidad?

7)

Escribe los números 2032 4) y 3204 5) en forma polinomial.

8)

¿Qué ventajas presenta contar en base doce respecto al número de divisores? ¿Cómo contarías hasta 12 utilizando los dedos de una mano? ¿Podrías contar hasta 60 con los dedos de las dos manos?

9) Echa tres dados y anota los tres números que salen en orden. Multiplica el resultado del primer dado por 2, súmale 5 luego, multiplica después por 5. Suma a lo que resulte el número del segundo dado, multiplica por 10 y suma finalmente el resultado del tercer dado. Si restas 250 se puede adivinar lo que ha salido en cada dado. ¿Por qué? 10)

¿En qué sistema de numeración se duplica 25 x) al invertir sus cifras?

11) En un número de dos dígitos la suma de dichos dígitos es 12. Si los dígitos se presentan en orden cambiado, al nuevo número hay que sumarle 18 para que sea igual al primero. ¿Cuál era el número original? 12)

¿En qué sistema de numeración se cumple que 55 x) + 43 x) = 131 x) ?

13) ¿Cuál es la base n en el que los tres números 123 n) ; 140 n) ; 156 diferencia entre un número y el inmediatamente anterior es la misma? 14)

En un sistema de numeración en base n, el número abc n) tiene las cifras c = n-1, b = n-2, a = n-3 Demostrar que c2 = b1 n) cb = a2 n)

Cambio de base 15)

n)

Escribir los siguientes números en base decimal: 432 5) ; 101101 2) ; 346 7) ; 551 6) ; 1.04.36 60) 17

cumplen que la

16)

Convertir los siguientes números de base diez a las bases indicadas: 432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4.

17)

Cambiar 42 8) a base 2.

18)

Cambia 1011011 2) a base 5.

19)

¿Qué bases hacen estas igualdades ciertas?: 32 = 44 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y).

20)

Halla la base del sistema en el que el número 554 x) representa el cuadrado de 24 x)

21)

En los sistemas de numeración de bases n y n+1 un mismo número se representa por 435 n) y por 326 n+1) Halla n y la expresión de dicho número en base decimal.

Algoritmos de la suma y resta 22)

Sumar: 2234 5) + 1032 5) + 3333 5)

23)

Encontrar los números ocultos en las siguientes operaciones: 2 _ _ 5) + 22 5) = _03 5) ; 20010 3) - 2_2_ 3) = 1_2_1 3) .

24)

La resta por “suma del complementario” consiste en lo siguiente: Para hacer la resta 619 - 476 se encuentra el complementario de 476 (lo que le falta para alcanzar 999), que es 523. Se realiza la suma 619 + 523 = 1142. A continuación, se toma el número a la izquierda (1) y se transforma en una unidad que se suma a lo que queda del número (142 + 1 = 143) y éste resulta ser el resultado de la resta inicial. ¿Por qué? Realiza otras restas por el complementario comprobando el resultado.

Algoritmos de multiplicación y división 25)

Multiplicar 216 8) x 54 8) ; 11011 2) x 1101 2) usando el algoritmo en celosía.

26)

¿En qué sistema de numeración se verifica 54 x) x 3 x) = 250 x)

27)

Sabiendo que en cierto sistema de numeración 36 x) + 45 x) = 103 x) calcula el producto de 36 x) x 45 x) 28) Para multiplicar dos números desde el 5 x 5 al 9 x 9, cada uno de un dígito, la multiplicación sarda procede así: Cada número se representa en una mano por un número de dedos extendidos igual a la cantidad en que el número sobrepase de cinco. El resultado se obtiene sumando los números extendidos, multiplicando por 10 y añadiendo a lo obtenido el producto de los números flexionados. ¿Es cierto siempre?

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Soluciones 1) Base 2: 1 / 10 / 11 / 100 / 101 / 110 / 111 / 1000 / 1001 / 1010 / ... Base 3: 1 / 2 / 10 / 11 / 12 / 20 / 21 / 22 / 100 / ... Base 5: 1 / 2 / 3 / 4 / 10 / 11 / 12 / 13 / 14 / 20 / ... 2)

554 6) 553 6) / 66 7) 65 7) / 444 5) 443 5)

3)

47 / 1.16 / 5.47 / 1.09.52

4)

15 semanas 3 días / 7 años 10 meses / 3 días 14 horas

5)

3 pesas de 256 kg, 3 de 64 kg, 2 de 16 kg y 2 de 4 kg.

6)

432 x 20 = 86,40 euros repartidos como 1 de 50, 1 de 20, 1 de 10, 1 de 5, 1 moneda de 1 euro, 2 de 20 cts.

7)

2+3x4+2x43 / 4+2x52+3x53

8)

En base 12 habría más divisores (12, 6, 3, 2) respecto a la base 10 (10, 5, 2) lo que permite el establecimiento de una relación fraccionaria con más subunidades. Señalando con el pulgar cada una de las falanges de los dedos restantes. Del modo anterior añadiendo que cada dedo de la otra mano corresponda a una docena. Si las tiradas señalan, en este orden, a b c, la operación efectuada corresponde a 2a 2a+5 5 (2 a + 5) 5 (2 a + 5) + b 10 [ 5 (2 a + 5) + b ] 10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c Si se desarrolla queda 10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c = 10 [ 10 a + 25 + b ] + c = 100 a + 250 + 10 b + c En caso de restarle 250 resulta: 100 a + 10 b + c descomposición canónica del número escrito a b c. 9)

10)

5 2 x) = 2 x 2 5 x) 2 + 5 x = 2 ( 5 + 2 x) 2 + 5 x = 10 + 4 x x = 10 - 2 = 8

11)

Sea el número de dos dígitos a b a + b = 12 Además, b a + 18 = a b (a + 10 b) + 18 = b + 10 a 9 a - 9 b = 18 9 (a - b) = 18 a-b = 2 De donde se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a + b = 12 a-b = 2 que resulta en a=7 b=5 19

12)

(5 + 5 x) + (3 + 4 x) = 1 + 3 x + x2 x2 - 6 x - 7 = 0 x=7

13) 140 n) - 123 n) = 156 n) - 140 n) ( 4 n + n2 ) - ( 3 + 2 n + n2 ) = ( 6 + 5 n + n2 ) - ( 4 n + n2 ) 2n-3 = n+6 n = 9 14) c 2 = b1 n) significa 2 (n-1) = n2 – 2n + 12 = n (n-2) + 1 = bn + 1 = b1n) cb = a2 n) significa (n-1)(n-2) = n2 – 3n + 2 = n (n-3) + 2 = an + 2 = a2 n) 15)

117 / 45 / 181 / 211 / 3876

16)

3212 5) / 1177 12) / 12110 4)

17)

100010 2)

18)

331 5)

19)

4 + 4 x = 32 4 x = 28 x=7 1 + 3 . 4 = 1 + x 13 = 1 + x x = 12 5+x = 3y x = 4 ; y = 3 no es válida porque y > 3 x = 7 ; y = 4 es válida

20)

(4 + 2x)2 = 4 x2 + 16 x + 16 = 5 x2 + 5 x + 4 de donde x2 – 11 x – 12 = 0 que da la solución x = 12

21)

5 + 3 n + 4 n2 = 6 + 2 (n+1) + 3 (n+1)2 5 + 3 n + 4 n2 = 3 n2 + 8 n + 11 n2 - 5 n - 6 = 0 que da n = 6 5 + 3 . 6 + 4 . 62 = 167 en base decimal.

22)

12204 5)

23)

231 5) + 22 5) = 303 5) 20010 3) - 2022 3) = 10211 3)

24)

Sea la resta A - B. En la resta por el complementario se realizan las siguientes operaciones: A + (999 - B) = (A - B) + 999 Al quitar la unidad de los miles se está restando 1000 y al añadirla en las unidades se suma 1, de manera que en realidad se resta 1000 - 1 = 999 llegándose al resultado de la resta original. 25)

14150 8) /

26)

3 . (4 + 5 x) = 5 x + 2 x2 12 + 15 x = 5 x + 2 x2 2 x2 - 10 x - 12 = 0 x2 - 5 x - 6 = 0

101011111 2)

x=6

20

( 6 + 3 x ) + ( 5 + 4 x ) = 3 + x2 27) 2 x -7x -8 = 0 x=8 36 8) x 45 8) = 2126 8) 28)

Si los números son a y b Extendidos: (a - 5) en una mano y (b-5) en la otra mano Flexionados: 5 - (a - 5) = 10 - a en una mano y 5 - (b - 5) = 10 - b en la otra La operación realizada sería 10 [ (a - 5) + (b - 5) ] + (10 - a) (10 - b) = 10 (a + b - 10) + (100 - 10 a - 10 b + ab) = a b

21

22

Tema 2 Fracciones y Decimales La fracción Consideremos una expresión habitual en la que usemos fracciones: “La cuarta parte de los estudiantes han sacado buena nota” o “el pantano ha perdido un tercio de sus reservas”. En ambos casos las fracciones ¼ o 1/3 denotan la relación entre un todo (dividido en tantas partes iguales como representa el denominador) y una parte de ese todo (una o varias de las partes en que se divide el todo). La fracción es entendida, por tanto, como una relación entre una parte y el todo. Esta relación puede tener un origen estático, en el que el todo y la parte se dan simultáneamente, o bien dinámico, como fruto de una acción sobre el todo. En este último caso, la acción que suele originar el nacimiento de una fracción es un reparto. Si queremos repartir 9 unidades entre 2 niños, podremos dar a cada uno 4 unidades enteras. La que sobra se partiría en dos mitades para poder hacer exhaustivo el reparto. De ese modo, cada uno recibiría 4 ½ En los repartos es frecuente esta situación que origina todo tipo de fracciones. De hecho éste es el origen del uso de fracciones dentro de la economía egipcia en la Antigüedad, cuando era necesario repartir panes entre varios trabajadores. Así, si se dispone de 2 panes (el alimento básico entonces) y se quiere distribuir equitativamente entre 3 personas, no se planteaban dar 2/3 a cada uno, como haríamos actualmente, sino que realizaban esta tarea en dos pasos: 1) Dividían cada pan en dos partes iguales, de manera que a cada hombre le correspondiese ½ Después de ello sobraba precisamente la mitad de un pan. 2) La mitad sobrante se dividía en tres partes iguales, dando a cada trabajador, por tanto, 1/3 de ½ (es decir, 1/6). De este modo, llegaban a la conclusión de que 2/3 = ½ + 1/6 Con estos ejemplos, no obstante, llegamos a una situación cuyo resultado puede diferir de lo habitual. Así, cada niño del primer caso recibía 4 ½ que es lo que se conoce como número mixto, expresión combinada de un número entero con uno fraccionario y que es equivalente a una fracción impropia, es decir, aquella donde el numerador es superior al denominador: 4 ½ = 9/2 Las fracciones impropias, alejadas de su origen (una acción) y tomadas exclusivamente como símbolos matemáticos pueden confundir a aquel estudiante que considera a la fracción como una relación parte/todo. A fin de cuentas, 9/2 en este contexto significaría que de 2 partes escoges nueve, algo absurdo en principio. Esto conduce a malos entendidos como el siguiente: ¿Qué parte de pizza aparece sombreada en este dibujo? (figura 2.1). ¿Son 1/4 o 1/8? Eso dependerá de qué se considere la unidad (una pizza o las dos conjuntamente). Para los estudiantes que comienzan por el tipo de ejercicios de sombreado tan habituales en la interpretación parte/todo, serán 1/8, suponiéndoles un esfuerzo considerar a una pizza como la unidad en este dibujo. De manera que la aparición de las fracciones impropias y sus expresiones como fracciones únicas o números mixtos, deben proceder de una acción de reparto o bien de una acción de medida, como veremos a continuación. En ningún caso a partir de una consideración estática de la parte escogida dentro de un todo.

23

Figura 2.1 En la acción de medida, que es la segunda acción que conduce al empleo de fracciones junto al reparto, repetimos una unidad varias veces hasta completar aquella cantidad que deseamos medir con la primera. Por ejemplo, si medimos la longitud de una mesa con una hoja, el resultado puede conducir a decir que la longitud de la hoja está contenida 6 veces y 1/3 en la de la mesa. Es decir, 6 1/3. Del mismo modo, cuando vamos a comprar carne de ternera, pollo o cerdo, decimos al dependiente que nos dé kilo y cuarto (1 ¼) o cuarto y mitad (1/4 + 1/8) al modo egipcio. Estas situaciones son de medida y pueden originar, de modo inmediato, el empleo de números mixtos y, por tanto, de fracciones impropias. Cabe una interpretación más de la fracción cuando expresa la relación entre dos cantidades. Tal es el caso del siguiente problema: En una excursión inicialmente la relación de niños a niñas es de 5 a 3. Luego vienen 3 niños más y de este modo los niños son el doble que las niñas. ¿Cuántas personas había inicialmente en la excursión? La relación al principio puede expresarse como Niños / Niñas = 5 / 3 Luego se añaden 3 niños y la relación cambia: Niños + 3 / Niñas = 2 / 1 De una manera algebraica, el problema da lugar a dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 x Niños = 5 x Niñas Niños + 3 = 2 x Niñas pero también cabe plantear la segunda relación como: Niños + 3 / Niñas = 6 / 3 de donde se deduce la relación: Niños + 3 / Niños = 6 / 5 de donde se deduciría que cada parte de las 5 iniciales correspondería a 3 niños, con lo que habría inicialmente: 3 x 5 = 15 niños Parte de la extrañeza que causa el uso de fracciones en este problema se debe a encontrarlas dentro de una interpretación muy distinta de la medida o parte/todo.

Fracciones equivalentes Consideremos la fracción 1/2 que expresaría la relación entre una parte y el todo. Del mismo modo, resolvería el problema de dividir la unidad en 4 partes iguales. Su representación más habitual sería la que aparece a la izquierda en la figura 2.2. Ahora bien, si el todo se dividiera ahora en 4 partes iguales o en 8 partes iguales, la parte inicialmente sombreada se representaría mediante fracciones diferentes, como se puede apreciar a la derecha.

24

Figura 2.2 Por tanto, las tres fracciones 1/2 ; 2/4 ; 4/8 vienen a representar la misma relación entre la parte y el todo y, en ese sentido, se puede afirmar que las tres son equivalentes, expresado como 1/2 = 2/4 = 4/8 Definamos las condiciones de esta equivalencia al objeto de determinar, ante dos fracciones cualesquiera, si son equivalentes o no. Tal como se ha realizado gráficamente, a partir de una fracción a/b se pueden obtener otras fracciones equivalentes sin más que multiplicar numerador y denominador por el mismo número: a/b = a k / b k siendo k un número entero distinto de cero Cabe realizar la operación contraria que consistiría en dividir por el mismo número k el numerador y denominador, acción conocida como simplificación: a/b = a : k / b : k siendo k un número entero distinto de cero Así pues, consideremos dos fracciones como 3/5 y 81/135 ¿son equivalentes? El método más acorde con lo dicho para comprobarlo será examinar la relación, por ejemplo, entre los numeradores. Resulta que 3 x 27 = 81. A continuación se comprueba que también 5 x 27 = 135. Pero en ocasiones la situación no es tan clara porque las relaciones no son enteras: ¿qué sucede con las fracciones 8/18 y 20/45? Cuando se tienen dos fracciones cualesquiera de forma general, r/s y h/t ¿cuándo podemos afirmar que son equivalentes? Sean entonces las fracciones r / s ; h / t Podemos transformarlas en otras equivalentes multiplicando la primera por t y la segunda por s: rt/st ; hs/st A partir de una fracción podremos obtener la otra (y por tanto, serán equivalentes) cuando se cumpla: rt = hs es decir, ya que los denominadores son iguales, cuando lo sean también los numeradores. Así pues r / s = h / t cuando r t = h s En efecto, 8 / 18 = 20 / 45 ya que 8 x 45 = 18 x 20 Esta relación de equivalencia entre las fracciones permite agruparlas perteneciendo al mismo grupo las fracciones equivalentes a una cualquiera de ellas: 25

1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = 4 / 8 = 5 / 10 = ... 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = 4 / 12 = 5 / 15 = ... 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = ... Cada uno de estos grupos se conoce como número racional y la fracción más sencilla numéricamente de cada grupo se denomina representante canónico de este número racional.

Suma y resta de fracciones En primer lugar, se define la suma y resta de fracciones con igual denominador: a / b ± c / b = (a ± c) / b de manera que, si los denominadores son distintos, se transforma cada fracción en la equivalente para que los denominadores sean iguales: a / b ± c / d = a d / b d ± c b / b d = (a d ± c b) / b d Y ahora es cuando cobra potencialidad el concepto de número racional, puesto que si sumamos, por ejemplo, los dos números racionales 1/3 y 1/4, el resultado es, tomando las fracciones canónicas: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 Si en vez de estos representantes tomásemos otros de los mismos números racionales: 2/6 + 5/20 = 40/120 + 30/120 = 70/120 = 7/12 es decir, la suma (y también la resta) de dos números racionales es siempre la misma, independientemente de los representantes escogidos de dichos números.

Multiplicación de fracciones Habitualmente, la multiplicación de un número entero por una fracción es considerada una suma reiterada. Así, si tenemos una tarta repartida en 8 pedazos iguales (cada una de 1/8) y vienen cinco niños a llevarse una de esas partes cada uno, ¿qué parte de la tarta se habrán comido en total?: 5 x 1/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8 Aunque matemáticamente se resuelve del mismo modo, no tiene el mismo significado la acción de hallar una fracción de una parte entera. Tal sería el caso de disponer de 24 euros y escoger las 3/4 partes para el gasto de un fin de semana. No tiene sentido repetir 24 veces la fracción sino que se procedería a: 3/4 x 24 = 3 x (24/4) = 3 x 6 = 18 euros La principal dificultad reside en definir adecuadamente la multiplicación de dos fracciones. Si multiplicar una fracción por algo es hallar una parte de ese algo y, en este caso, ese algo es también una fracción, se debe interpretar la multiplicación de fracciones como hallar una parte de una parte. Naturalmente, éste es un significado asociado a la fracción 26

como expresión de una relación parte/todo y no se puede generalizar con facilidad. Consideremos la multiplicación 1/5 x 3/4. Sea la figura 2.3 donde aparece el lado horizontal dividido en cinco partes iguales. Ello da lugar a cinco partes de las que inicialmente se escoge una para representar la fracción 1/5. A continuación, el eje vertical se divide en cuatro, lo que permite escoger tres de las partes de la figura para representar 3/4. La conjunción de ambas divisiones da el resultado de calcular 3/20 de la parte inicialmente sombreada.

Figura 2.3 Se puede considerar, por tanto, que el 1/5 inicial implica la división en cinco partes del todo escogiéndose una de ellas. Multiplicar 3/4 por esto supone realizar una nueva división del todo en cuatro partes con lo que el todo queda finalmente dividido en 5 x 4 = 20 partes de las que se escogen 1 x 3 = 3 partes. Así

1 3 × 5 4

=

1× 3 5× 4

y en general, a c × b d

=

=

3 20

a×c b×d

División de fracciones La operación de dividir fracciones no surge con facilidad a partir de un contexto determinado aunque es posible entenderla como fruto de un reparto cuando el divisor es una fracción. Por ejemplo: ¿Cuántas botellas de ¾ de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros? La operación que resolverá este problema es 30 : ¾ = ¿? donde lo primero que hay que percibir es la dirección de la respuesta, algo que no es fácil: la solución será un número mayor que el dividendo. Ahora bien, desde el punto de vista operativo ¿cómo obtener dicha solución? La división entre una fracción, incluso cuando el dividendo es otra fracción, puede interpretarse como la acción de multiplicar fracciones cuando uno de los factores es desconocido. Algo así como ¿? x ¾ = 30 litros Si fuera el caso de: 6/35 : 2/5 = a/b escrito como: 2/5 x a/b = 6/35 se puede interpretar como: 6/35 : 2/5 = 6/35 : 2 x 7/5 x 7 = 6/35 : 14/35 = 6/14 = 3/7 27

El procedimiento no es fácilmente generalizable porque la relación entre los denominadores puede no ser entera. Por ejemplo, 2/7 x a/b = 3/5 o bien

3/5 : 2/7 = a/b

Caben entonces dos procedimientos que solucionen el problema. Uno, más laborioso, basado en hallar un denominador común en ambas fracciones: 3/5 : 2/7 = 1 x 7/5 x 7 : 2 x 5/7 x 5 = 21/35 : 10/35 = 21/10 o también es posible, de forma más sencilla, multiplicar ambas fracciones por la fracción inversa de la que actúa como divisor, de manera que se consiga la unidad dentro del divisor: 3 2 : 5 7

=

3 ×7 5 2 2 ×7 7 2

=

3 7 × 5 2

=

21 10

método con el que se puede determinar, de manera general, que:

a c : b d

=

a d × b c

=

a×d b×c

Orden de números racionales Hemos visto que los números racionales son tales números porque se pueden operar pero falta definir entre ellos un orden, poder determinar cuál es la fracción menor y la mayor de dos dadas, consideradas como representantes de los números racionales correspondientes. Naturalmente, el mayor denominador indica una fracción menor, como es el caso de 3/8 < 3/5 así como un mayor numerador señala que dicha fracción es mayor también: 3/8 < 5/8 pero el problema se presenta cuando numeradores y denominadores son distintos. La cuestión se resuelve, gracias a las fracciones equivalentes, transformando las fracciones dadas en otras equivalentes de igual denominador, de manera que se puedan comparar los numeradores. Así, para 5/8 y 2/3: 5/8 = (5 x 3) / (8 x 3) = 15 / 24 2/3 = (2 x 8) / (3 x 8) = 16 / 24 que viene a indicar que 5/8 < 2/3 En general, a/b < c/d significa que a d / b d < b c / b d, es decir, que a/b < c/d cuando a d < b c

28

Los números racionales pueden representarse en una línea numérica (figura 2.4)

Figura 2.4 Siendo infinito el número de puntos de la recta, puede suponerse que entre dos fracciones cualesquiera, también hay un número infinito de fracciones. Así pues, dadas dos fracciones, ¿qué formas hay de determinar algunas de ellas? Vamos a examinar varios procedimientos para obtener la fracción r/s siendo a/b < r/s < c/d 1) Se transforman las fracciones dadas en otras equivalentes de igual denominador, buscándose a continuación un numerador intermedio a los que resulten. En el caso, por ejemplo, de 5/8 y 2/3 donde 5/8 < 2/3 de donde 15/24 < 16/24 lo que se hace es buscar otras fracciones equivalentes de denominador superior: 15/24 < 16/24

de donde

30/48 < 32/48

de modo que la fracción 31/48 resulta estar entre ambas. 2) El procedimiento se puede generalizar para hallar otras fracciones: 30/48 < 31/48 < 32/48 45/72 < 46/72 < 47/72 < 48/72 60/96 < 61/96 < 62/96 < 63/96 < 64/96 3) Se puede obtener la fracción intermedia sin más que utilizar la media aritmética. Así, en el caso de las fracciones 5/8 y 2/3 de nuevo ½ x (5/8 + 2/3) = ½ x (15 + 16 / 24) = ½ x 31/24 = 31/48 4) Otra curiosa forma de encontrar una fracción entre otras dos consiste en formar la fracción con la suma de numeradores y denominadores. a/b < (a + c) / (b + d) < c/d

Probemos la desigualdad de la izquierda, es decir, demostrar que a/b < c/d

de donde

a/b < (a + c) / (b + d)

Aplicando la definición dada antes: ad 2,2. Comparando la segunda y la tercera: 4,2 h + 6 < 7,2 h se llega a la conclusión de que la segunda es más rentable cuando h > 1,8. 20) a) Siendo x el número de libros comprados e y el número de CDs, será como máximo: 350 = 15 x + 20 y pero como x = 2 y resulta y = 7 x = 14 b) 12 . 15 + 6 . 20 = 300 euros que representan el 85,7 % del dinero disponible. 21) C2 = 16.500 + 0,86 x a) C1 = 14.000 + 1,01 x b) Igualando ambas, resulta que x = 16.666 km que significa el kilometraje a partir del cual resulta rentable la adquisición del motor de gasoil. c) Debido a lo anterior, con 10.000 resulta más rentable el de gasolina mientras que con 30.000 km lo es el de gasoil. 22) a) Podemos formar una tabla de valores: Hora real Nº hora Clientes

8 0 0

9 1 70

10 2 120

11 3 150

12 4 160

1 5 150

Que muestra que el mayor número de clientes se registra a las 12 h y es de 160. b) Tendremos que ir entre las 9 y las 11 de la noche, o bien entre la 1 y las 3. c) Cerrará cuando no haya clientes, es decir, cuando C = 0 = 80 h – 10 h2 → h = 8 h (las 4 de la mañana) 23)

a) f-1 (y) = y – 1 / 2 b) f-1 (y) = 3 + 2 y / y – 1 c) f-1 (y) = 1 + y / 2y

g-1 (y) = 4y + 3 / 2 (f o g)(x) = 2x – 1 / 2 -1 g (y) = 1 / y (f o g)(x) = 1 + 3x / 1 – 2x g-1 (y) = y – 1 / 2(1 – y) (f o g)(x) = 2x + 1 / 2x - 3

91

92

Tema 6 Proporcionalidad geométrica Triangulación de campos Para trasladar sobre el papel un plano de un campo, el topógrafo mide el terreno mediante un aparato sobre trípode (taquímetro) y una regla (mira, de una longitud de 4 metros) que sujeta un ayudante a cierta distancia. Básicamente, coloca el taquímetro sobre una estación E y lo enfoca sobre la mira que se ha situado vertical en una esquina del campo. Una brújula interna le señalará el norte de manera que puede medir el ángulo que forma la línea de visión hasta la esquina respecto de dicho punto cardinal. Por otro lado, sabe que por cada metro de mira que registre el visor del taquímetro, le separa de la regla 100 metros. Sabe entonces la distancia y el ángulo con el norte de ese punto. A partir de esta determinación el ayudante lleva la mira a otro punto notable y se repite la medición. A partir de estos datos el topógrafo puede dibujar sobre el papel y reduciendo las distancias a la escala oportuna una serie de triángulos en que ha dividido el campo. Los elementos de la figura que se conservan en esta variación de tamaño son las mismas que se pueden observar al fotocopiar a escala reducida (figura 6.1).

Figura 6.1 En este ejemplo se encierra todo el contenido del tema. En primer lugar, se ha de trazar una figura semejante a la real pero de menor tamaño. Ello requiere emplear la proporcionalidad de los segmentos en el sentido de reducir su tamaño real bajo la misma proporción (indicada por la escala empleada). Sin embargo, los ángulos de medición no sufren variación alguna y tanto en el dibujo como en la realidad son los mismos. Por otro lado, estos polígonos semejantes de lados proporcionales y ángulos iguales se han dibujado empleando los polígonos más sencillos, los triángulos.

93

Teorema de Tales Consideremos dos semirrectas del mismo origen, OA y OA’ que se cortan por dos rectas AA’ y BB’. Pues bien, el teorema de Tales afirma que (figura 6.2).

Figura 6.2 Si se cortan los lados de un ángulo por dos rectas paralelas, la razón de dos segmentos situados en un lado es igual a la de sus correspondientes en el otro. O bien, OA AB

=

OA' A' B '

Veamos primero el caso más sencillo en que OA = AB de manera que la razón entre ellos sea la unidad. Para comprobar que, en este caso particular, el teorema es válido, habrá que demostrar que OA’ = A’B’. Para ello se procederá a demostrar que ambos segmentos forman parte de dos triángulos iguales ∆ OAA’ = ∆ A’RB’ En efecto, trazamos el segmento A’R paralelo a la semirrecta OA para formar este último triángulo. OA = AB por la construcción que hemos hecho. Por otro lado, por ser segmentos paralelos comprendidos entre paralelas AB = A’R (figura 6.3). En conclusión, OA = A’R Respecto a los ángulos de ambos triángulos se puede afirmar, que < AOA’ = < RA’B’ dado que son ángulos correspondientes dentro de una semirrecta (OA’) cortada por dos paralelas (OA y A’R). Además, < OAA’ = < ABR y también < ABR = < A’RB’ por la misma razón anterior, luego < OAA’ = < A’RB’. Así, los triángulos OAA’ = A’RB’ por tener un lado igual así como los dos ángulos adyacentes. Consecuentemente, OA’ = A’B’. Generalizando más el caso planteado, supongamos ahora que el segmento AB es igual a un número entero de veces el segmento OA, es decir, OA/AB = 1/n con n de Z. Entonces habría que demostrar que, del mismo modo, el segmento A’B’ es n veces el segmento OA’. Para ello se procedería a dividir el segmento AB en n partes iguales de manera que cada una de ellas fuera igual al segmento primero OA. De este modo, trazando desde los puntos de 94

corte con la semirrecta OA’ segmentos paralelos a la semirrecta OA, se encontraría una secuencia de triángulos iguales donde la demostración de si igualdad procedería igual que en el caso anterior: ∆ OAA’ = ∆ A’RH’ = ∆ H’SB’ Finalmente, si OA y AB no presentaran una relación entera y, por tanto, OA no pudiera utilizarse como unidad para medir la longitud del segmento AB, será posible dividir ambos segmentos en partes iguales de manera que existe una unidad de medida común a la que se pueda aplicar el razonamiento anterior.

Figura 6.3

Consecuencias del teorema 1)

El teorema de Tales afirma la existencia de la proporción: OA AB

OA' A' B '

=

que por la propiedad de la misma, en cuanto igualdad de dos fracciones, se puede expresar como OA OA'

AB A' B'

=

Ahora bien, dada una proporción cualquiera x x'

=

y y'

x x'

⇒

=

x+ y x' + y '

En efecto, la proporción de la derecha será cierta si se cumple x (x’ + y’) = x’ (x + y) →

x x’ + x y’ = x x’ + x’ y → x y’ = x’ y

condición que se cumple por la hipótesis (proporción de partida, a la izquierda). En lo que se refiere a los segmentos considerados, ello conduce a que: OA OA'

=

OA + AB OA' + A' B' 95

o bien OA OB

=

OA' OB'

que puede extenderse para comprender al segmento transversal según se puede observar en la figura planteada para el teorema. OA / OB = OA’ / OB’ = AA’ / BB’ 2) Construcción de terceras y cuartas proporcionales.

Dados tres segmentos a, b, c, hay que hallar un cuarto segmento x tal que forme con ellos la proporción a/b = c/x Para resolver este problema, basta colocar los tres segmentos dados sobre los lados de un ángulo de cualesquiera dos formas y trazar por el extremo libre de b la paralela a la recta que une los extremos de a y c (figura 6.4).

Figura 6.4 Cuando b y c sean iguales, la condición de partida se convierte en a/b = b/x o bien, desde el punto de vista que algebraicamente plantearía la ecuación a x = b2 geométrico, supondría la transformación de un cuadrado de lado b en un rectángulo del mismo área y uno de cuyos lados es a, siendo el otro desconocido. El problema, planteado proporcionalmente se denomina hallar el tercero proporcional y su construcción es un caso particular del anterior. 3) División de un segmento.

El teorema de Tales nos permite dividir con gran sencillez un segmento AB en partes proporcionales a otros varios de longitudes m, n, p. Llevando estos segmentos consecutivamente sobre una de las semirrectas concurrentes en el extremo A con el segmento dado AB, y uniendo con B el extremo del segmento formado por la unión consecutiva de los tres, las paralelas a este segmento así obtenido trazadas desde los extremos de los segmentos dan lugar a otros segmentos sobre AB de longitudes x, y, z proporcionales a m, n, p (figura 6.5).

96

Figura 6.5

Semejanza de triángulos Dos triángulos se dicen semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. Desde el punto de vista geométrico y visual la semejanza conserva la forma de las figuras pero no su tamaño que lo reduce o amplía proporcionalmente. Consideremos un triángulo cualquiera ABC y tracemos una paralela a BC que corte a los otros dos lados en los puntos D y E. Vamos a probar que los triángulos ABC y ADE son semejantes (figura 6.6).

Figura 6.6 Aplicando el teorema de Tales a las semirrectas AB, AC cortadas por las paralelas DE y BC, se tiene: AD AE DE = = = k AB AC BC por lo que los lados de los dos triángulos son proporcionales. Dado que el ángulo en el vértice A es común, y ángulo ADE = ángulo ABC, así como ángulo AED = ángulo ACB por ser ángulos correspondientes formados por dos paralelas que cortan a la misma semirrecta, se concluye que los tres ángulos homólogos son iguales y, finalmente, los dos triángulos resultan semejantes. Al valor numérico k de estas razones que forman proporción se le llama razón de semejanza.

97

Criterios de semejanza Es conveniente recordar los criterios de igualdad de dos triángulos. Son iguales cuando: 1) Tienen los tres lados iguales. 2) Presentan un lado igual y los dos ángulos adyacentes iguales. 3) Tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido igual. Así se pueden plantear los casos de semejanza. 1) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente iguales son semejantes. Sean dos triángulos ABC y < A = < D ; < B = < E (figura 6.7).

DEF que, en este caso, presentan dos ángulos iguales,

Figura 6.7 En el lado DE tomamos DG = AB y trazamos GH paralela a EF. De esta manera, ∆ DEF es semejante a ∆ DGH. Debido a esta semejanza, los tres ángulos de estos triángulos serán iguales, en particular: < G = < E de donde < G = < B y como < D = < A resultará que ∆ ABC = ∆ DGH por tener un lado igual (DG = AB por construcción) y los dos ángulos adyacentes. Si el triángulo DEF es semejante al DGH, también lo será al ABC, que es igual. 2) Dos triángulos que tienen un ángulo igual y proporcionales los dos lados que lo comprenden son semejantes. Supongamos que AB / DE = AC / DF siendo < A = < D. Trazado el triángulo auxiliar DGH en las mismas condiciones anteriores, resultará la proporcionalidad DG / DE = DH / DF pero como AB = DG, es: AB / DE = DH / DF pero dado que, por hipótesis, AB / DE = AC / DF resultará finalmente, DH / DF = AC / DF de donde DH = AC

98

Así pues, el ∆ ABC tiene dos lados iguales y el ángulo comprendido igual respecto del ∆ DGH, semejante al mayor ∆ DEF. 3) Dos triángulos que tienen los tres lados respectivos proporcionales, son semejantes. Al ser, por construcción, ∆ DGH semejante al ∆ DEF, tendrá los tres lados proporcionales: DG / DE = DH / DF = GH / EF y como se ha construido DG = AB, AB / DE = DH / DF = GH / EF Pero la hipótesis sostiene que AB / DE = AC / DF = BC / EF lo que lleva a reconocer: DH = AC ; GH = BC El ∆ ABC tiene tres lados iguales respecto del ∆ DGH, semejante al ∆ DEF.

Polígonos semejantes Se llaman polígonos semejantes aquellos que tienen los ángulos ordenadamente iguales y proporcionales los lados correspondientes, de donde los triángulos serían un caso particular. A partir de esta definición y lo visto respecto a triángulos semejantes, se puede plantear el dibujo de un polígono semejante a uno dado a partir de la triangulación de este último tal como se señala en la figura 6.8.

Figura 6.8 De este modo, imponiendo la condición de que los lados sean proporcionales y que se conserven los ángulos de ambos polígonos (gracias a trazar los lados del nuevo polígono paralelos a los del original) se puede dibujar un polígono semejante al dado. Otro método consistiría en dibujar la figura sobre cuadrículas de lados proporcionales, tal como se hacía frecuentemente en la pintura del Renacimiento y posteriormente.

Triangulación de un polígono Como se ha visto, para trabajar con un polígono, tanto en el campo como en el dibujo, se descompone en triángulos. Si estos son ordenadamente semejantes podremos decir que los dos polígonos son también semejantes pero también podremos sostener lo contrario: Si dos 99

polígonos son semejantes y los triangulizamos, los triángulos correspondientes son semejantes. Demostremos esta última afirmación expuesta del siguiente modo: Si por dos vértices homólogos de dos polígonos semejantes se trazan todas las diagonales posibles, ambos polígonos quedan descompuestos en igual número de triángulos ordenadamente semejantes, con la misma razón de semejanza de los polígonos dados.

Sean estos dos polígonos semejantes por lo que tendrán sus lados proporcionales y sus ángulos iguales (figura 6.9).

Figura 6.9 En particular: AB/A’B’ ; BC/B’C’ ; < B = < B’ Por uno de los criterios de semejanza, resultará que son semejantes los triángulos ABC y A’B’C’ . Por tanto, BC/B’C’ = AC/A’C’ y < BCA = < B’C’A’ Si restamos esta igualdad de ángulos de la < C = < C’, tendremos < ACD = < A’C’D’ a lo que hay que unir que AC / A’C’ = CD/C’D’ Y, como es igual el ángulo comprendido, los triángulos ACD y A’C’D’ serán semejantes. Análogamente, se puede proceder con los siguientes triángulos correspondientes hasta concluir con el último.

Perímetros y áreas Cuando la forma de un campo se traslada al plano mediante una reducción proporcional de sus lados (lo que da lugar a una razón de semejanza o escala), hay dos características del campo real que resulta conveniente saber deducir desde las características correspondientes de la figura semejante trazada sobre el plano: La medida del contorno del campo o perímetro del mismo, y su área. Considerando los polígonos del apartado anterior, resultará que, al ser semejantes, sus lados son proporcionales según la razón de semejanza (figura 6.10): AB A' B'

=

BC B' C '

=

CD C ' D'

=

100

DE D' E '

=

EA E ' A'

= k

Pues bien, por la propiedad de las proporciones, AB A' B'

=

AB + BC A' B' + B' C '

=

AC A' C '

= k

pero, por adición sucesiva, puede llegarse finalmente a AB A' B'

=

AB + BC + CD + DE + EA A' B' + B' C ' + C ' D' + D' E ' + E ' A'

= k

Figura 6.10 La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de dos lados correspondientes cualesquiera.

Todas las áreas de figuras planas (véase siguiente tema) aparecen como un producto de dos longitudes. Por ejemplo, si consideramos dos rectángulos semejantes, resultará que Área (ABCD) = AB x AD Área (A’B’C’D’) = A’B’ x A’D’ pero al ser semejantes, AB / A’B’ = AD / A’D’ = k de donde AB = k x A’B’ AD = k x A’D’ así que, en lo que se refiere a las áreas, Área (ABCD) = AB x AD = (k x A’B’) x (k x A’D’) Área (ABCD) = k 2 x (A’B’ x A’D’) = k 2 x Área (A’B’C’D’) En líneas generales, al construir un polígono semejante a uno dado, como cada dimensión vendrá multiplicada por la razón de semejanza k, el área resultará multiplicada por el cuadrado de dicha razón. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

101

102

Problemas Semejanza de triángulos 1)

La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 metros de lado (figura 6.11). Dice la leyenda que Tales midió su altura observando que la sombra proyectada por la pirámide era de 85 metros desde la base y colocando su bastón de 1,46 metros en el punto donde acababa la sombra, midió la que proyectaba el bastón, que era de 2 metros. ¿Qué altura tiene la pirámide?

Figura 6.11 2) Dos exploradores miden la longitud AB de un estanque (figura 6.12) construyendo un triángulo ACE y trazando BD paralela a CE. Suponiendo que AE = 8 m, DE = 3 m. y BC = 3,60 m. ¿Qué longitud tiene AB?

Figura 6.12 3) Sea AB un árbol cuya copa es inaccesible (figura 6.13). Un observador coloca un espejo S sobre el terreno y se aleja de él hasta el punto C, desde el cual ve la imagen de la copa. Si DC = 1,7 m, CS = 3 m., SB = 12 m., ¿qué altura tiene el árbol?

Figura 6.13 103

4) En el triángulo ABC los lados son AB = 5 m., AC = 7 m. Sobre el lado AB se marca una distancia AD = 2 m. ¿Cuál será la longitud del segmento AE marcado sobre AC para que el segmento DE sea paralelo a BC? 5)

Dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo en el vértice. ¿Son semejantes?

6)

En el triángulo ABC el lado AB = 12 cms, BC = 11 cms y AC = 9 cm. La paralela a AB tiene en el triángulo un segmento MN = 10 cms. Calcula los segmentos AM, MC, NC y NB.

7)

Las bases de un trapecio tienen 24 y 16 m y los lados 6 y 10 m. Calcula los otros dos lados del triángulo formado al prolongar los lados del trapecio.

8)

Para calcular la altura de un árbol, se clava a 1,36 m de su base un palo de 2,45 m y 0,6 m más lejos un palo de 1,65 m. Si los extremos de los palos están alineados con la copa del árbol, ¿cuál es la altura de éste?

Polígonos semejantes 9)

La longitud de los lados AB, BC y CA de un triángulo son entre sí como 3 : 4 : 6. Sabiendo que el perímetro del triángulo es de 26 m. y que en el triángulo A’B’C’ semejante el lado A’B’ tiene una longitud de 21 m, determina las longitudes de los lados de ambos triángulos.

10)

Teniendo que hacer en bicicleta la excursión Madrid-Toledo, consultamos el mapa en el que, sobre un segmento de 7 mm, se lee 10 km. En tal mapa, la distancia entre ambas ciudades por carretera es de 4,9 cms. ¿Cuál es la distancia real? En un mapa no aparece la escala pero sabemos que a una distancia de 39 km le corresponde en el mapa 1,5 cms. Determina la escala.

11) 12)

En un mapa de España, se considera el triángulo cuyos vértices coinciden con el cabo de Finisterre (F), la punta de Tarifa (T) y el cabo Creus ( C ) obteniendo las medidas: FT = 21,5 cms, TC = 27 cm y CF = 26,5 cms. Halla las distancias reales de los tres lados del triángulo si la escala es 1 cm/40 km.

13)

En un rectángulo ABCD cuyos lados son AB = 8 cms, BC = 10 cms, se traza EF paralela a AB de manera que los rectángulos ABEF y ABCD son semejantes. ¿Cuánto mide el segmento BE?

14)

La razón de semejanza entre dos paralelogramos semejantes es 2/3 y el área del primero mide 60 cm2. Determina el área del segundo.

15)

Dibuja el plano de un campo rectangular de 8 x 6 metros haciendo corresponder a cada metro 2 cms. ¿Cuáles serán las dimensiones del plano del campo? ¿Cuál será el área sobre el plano de un estanque circular cuyo centro coincide con el del rectángulo y es tangente a los vértices del campo?

16)

El plano de un jardín está formado por un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros, cada uno con su base en un lado del jardín y su vértice externo al mismo. ¿Cuál es la distancia real entre los dos vértices extremos de los triángulos si, en el plano, el lado del cuadrado mide 4 cm y la escala del dibujo es 1:200? Determina después el área real del jardín. 104

17)

En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos BA = 8 cm y BC = 6 cm, se inscribe un cuadrado que tiene dos lados sobre los catetos y su vértice D sobre la hipotenusa. Halla el lado del cuadrado.

18)

En un triángulo de base BC = 4 cm y altura AH = 6 cm, se traza un segmento DE paralelo a la base, que corta a la altura en un punto H’ tal que AH’ = 1/3 AH. Determina las áreas de las dos partes en que queda dividido el triángulo (figura 6.14).

Figura 6.14 19) En un triángulo de 40 cm de base y 30 cm de altura, se trazan dos segmentos paralelos a la base que dividen a la altura, a partir del vértice, en tres partes que son entre sí como 3 : 7 : 5. Halla las áreas de las tres figuras (figura 6.15)

Figura 6.15

105

106

Soluciones 1)

La sombra forma, junto a la vertical desde la cúspide a la base de la pirámide, un triángulo rectángulo donde: h/200 = 1,46/2 de donde: h = 146 m (figura 6.16)

Figura 6.16 2)

Dado que DB y EC son paralelas, se cumplirá que AB/BC = AD/DE Por lo que AB/3,60 = 5/3 de donde AB = 6 m.

3)

DC/CS = AB/BS

4)

Por el teorema de Tales (figura 6.17) resultará que AD/AB = AE/AC de manera que 2 / 5 = AE / 7 AE = 2,8 metros

así que 1,7 / 3 = AB/12

Figura 6.17 5)

y

AB = 6,8 m.

Figura 6.18

Si tienen el mismo ángulo A en el vértice (figura 6.18) significa que los otros dos ángulos son iguales entre ambos, en particular valdrá cada uno ½ (180 - A). Eso significa que tienen los tres ángulos correspondientes iguales y son, por tanto, semejantes.

6)

Por la consecuencia del teorema de Tales resultará que CM/CA = CN/CB = MN/AB Sustituyendo por sus valores conocidos: CM/9 = CN/11 = 10/12 de donde resultan los valores: CM = 7,5 cm CN = 9,16 cm Consecuentemente, AM = 1,5 cm NB = 1,84 cm 7) BC = 24 m, DE = 16 m, BD = 6 m, CE = 10 m. Se cumplirá por la consecuencia del teorema de Tales (figura 6.19) que: AD/AB = DE/BC AD/AD+DB = DE/BC AD/AD+6 = 6/10 107

AD = 9 m. de donde AB = 15 m. AE/AE+EC = DE/BC AE/AE+10 = 6/10 AE = 15 m de donde AC = 25 m.

Figura 6.19 8)

Se puede formar el triángulo rectángulo (figura 6.20), de manera que en él se cumplan las siguientes relaciones: CD/CF = ED/FG de manera que se tenga: 0,6 / 1,96 = 0,8 / FG dado que CF = CD + DF y ED es igual a la diferencia entre la altura de los dos palos. Se deduce de esta manera que: FG = 2,61 m. BG = BF + FG = 1,65 + 2,61 = 4,26 m.

Figura 6.20 9) La relación entre los lados del triángulo ABC nos indica que AB/BC = 3/4 ; AB/CA = 3/6 = ½ de donde BC = 4 AB / 3 y CA = 2 AB Como el perímetro de este triángulo viene dado, AB + BC + CA = AB + 4 AB / 3 + 2 AB = AB (1 + 4/3 + 2) = 13 AB / 3 = 26 En consecuencia, AB = 26 . 3 / 13 = 6 m y los demás lados son BC = 8, CA = 12. Si el lado correspondiente A’B’ del triángulo es de 21, entonces la razón de semejanza será 21/6 que, aplicado a los otros dos lados da: B’C’ = 21 .8 / 6 = 28 m ; C’A’ = 21 . 12 / 6 = 42 m. 10) 11)

7 mm ------ 10 kms 49 mm ----- x

x = 70 kms

39 km ----- 1,5 cms x ----- 1 cm

x = 26 km 108

Escala 1:2.600.000

12)

1 cm ----- 40 km 21,5 cm - x FC = 1060 kms

13)

FT = 860 kms Igualmente, TC = 1080 kms

Al ser el rectángulo ABCD semejante al BEFA (figura 6.21) serán proporcionales sus lados de manera que AB/BC = BE/EF pero como EF coincide con AB, se tendrá: 8/10 = BE/8 Así que BE = 6,4 cms.

Figura 6.21 14)

Área = (2/3)2 . 60 = 26,66 cm2.

15)

Se tiene el rectángulo ABCD sobre el plano (figura 6.22). Al corresponder 1 m. del jardín real a 2 cms sobre el plano, significa que las dimensiones sobre dicho plano serán de 1 m ----- 2 cms 8 m ----- x AB = 16 cms Igualmente, BC = 12 cms Si trazamos la semidiagonal OB siendo O el centro del rectángulo equidistante de sus vértices, ésta constituirá el radio de la circunferencia pedida. Su valor viene dado por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo OHB, 82 + 62 = OB2 OH2 + HB2 = OB2 → Dando OB = 10 cm y el área del círculo será Área = π . 102 = 314,16 cm2

Figura 6.22

109

16)

Si el lado del cuadrado es 4 en el plano (figura 6.23), será necesario determinar la altura de uno de los triángulos equiláteros formados. Por el teorema de Pitágoras, será h2 = 42 - 22 = 12 h = √ 12 La longitud sobre el plano entre dos vértices será entonces: d = 4 + 2 . √ 12 Como la escala es 1:200 esa distancia será en la realidad, de: D = 200 (4 + 2 . √ 12) = 800 (1 + √ 3) = 2185,6 cms = 21,85 m. El área del jardín sobre el plano será igual al área del cuadrado (16 cm2) más cuatro triángulos equiláteros, cada uno de ellos de área: A = ½ 4 . √ 12 = 4 . √ 3 Área sobre el plano = 16 + 4 . 4 . √ 3 = 16 (1 + √ 3) = 43,71 cm2 y sobre la realidad: Área = (200)2 . 43,71 = 174,84 m2

Figura 6.23 17) Será resuelto mediante descomposición algebraica de las figuras en que se descompone el triángulo ABC (figura 6.24).

Figura 6.24 Llamando x al lado del cuadrado deseado, resultarán las siguientes áreas: Área ALD = ½ x . (8 - x) = ½ (8x - x2) Área DRC = ½ x . (6 - x) = ½ (6x - x2) Estas dos áreas, junto a la del cuadrado igual a x2 debe ser igual al área total del triángulo que también puede ser conocida: Área ABC = ½ 6 . 8 = 24 De modo que: ½ (8x - x2) + ½ (6x - x2) + x2 = 24 7 x = 24 x = 24/7 = 3,42 cm 18)

En el triángulo ACH se cumplirá que EH’/CH = AH’/AH = 1/3 de donde CH = 3 EH’ En el triángulo ABH también DH’/BH = AH’/AH = 1/3 lo que lleva a 110

BH = 3 DH’ BC + CH = 3 (DE + EH’) es decir: 4 + 3 EH’ = 3 (DE + EH’) = 3 DE + 3 EH’ 4 = 3 DE así que DE = 4/3 Las áreas a calcular serán por tanto: Área (ADE) = ½ 4/3 . 2 = 4/3 dado que AH’ = 2 Área (ABC) = ½ 4 . 6 = 12 Así que Área (DECB) = 12 - 4/3 = 10 2/3 19)

Por un método similar al anterior, resultan las áreas 37,5 ; 229,1 ; 333,4 cm2

111

112

Tema 7 Construcción de polígonos Triángulos Un triángulo puede definirse como un polígono de tres lados, es decir, la parte del plano interior a una línea poligonal cerrada formada por tres segmentos. Por otra parte, cabe una definición realizada a partir de la intersección de dos ángulos que tienen uno de sus lados común y vértices diferentes. ¿Qué clases de triángulos se pueden registrar? (figura 7.1) Teniendo en cuenta la longitud relativa de sus lados se distinguen tres clases distintas: 1) Los equiláteros, con tres lados iguales. 2) Los isósceles, con dos lados iguales siendo distinto el tercero. 3) Los escalenos, que presentan tres lados distintos entre sí.

Figura 7.1 Su forma de construcción es sencilla, sin más que dibujar como base del triángulo uno de los segmentos y, pinchando el compás en cada uno de sus extremos darle la amplitud correspondiente a cada uno de los lados restantes. Se puede comprobar mediante este procedimiento una de las propiedades que presentan los triángulos en su construcción: La suma de las longitudes de dos de sus lados siempre tiene que exceder al tercero. De este modo, de no cumplirse el trazado mediante el compás de los dos lados más cortos no garantizaría la existencia de un punto de corte entre ambos. Desde el punto de vista de los ángulos interiores, los triángulos se suelen dividir en: 1) Acutángulos, como el equilátero, donde todos los ángulos son agudos o inferiores a un ángulo recto. 2) Rectángulos, como algunos isósceles, presentan un solo ángulo recto. 3) Obtusángulos, que muestran un ángulo obtuso, como es el caso del escaleno. Esta clasificación está estrechamente relacionada con otra de las propiedades de todo triángulo: La suma de los ángulos interiores de un triangulo es siempre igual a dos rectos. La demostración de esta propiedad es sencilla (figura 7.2). Se considera para ello un triángulo ABC cualquiera, y se prolonga la base AC hasta L. Luego se traza el segmento CH paralelo al AB.

113

Figura 7.2 Pues bien, estas paralelas forman, al cortar el segmento AL, ángulos correspondientes iguales: < BAC = < HCL Por otra parte, la secante BC, al cortar a las mismas dos paralelas, forma ángulos alternos internos iguales, es decir: < ABC = < BCH Como el ángulo en C es igual se concluye que la suma de los tres ángulos < a + < b + < c es igual a un ángulo llano, es decir, dos rectos.

Mediatriz Dado un segmento AB, su mediatriz se define como la recta perpendicular por su punto medio. Su construcción comienza por considerar una amplitud del compás mayor que la mitad del segmento y, pinchando en los extremos de AB, trazar arcos a un lado y otro del segmento. La recta CD definida por los dos puntos de corte es la mediatriz buscada (figura 7.3).

Figura 7.3 Vamos a demostrar que la construcción realizada es, efectivamente, a mediatriz tal como se ha definido. La construcción se ha basado en trazar unos segmentos AC, BC, AD y BD de la misma longitud. A partir de este hecho, hacemos dos consideraciones: 1) ∆ CAD = ∆ CBD, dado que tiene sus tres lados iguales, dos por construcción y uno de ellos (CD) es común. En conclusión, sus ángulos son iguales y, en particular, < ACO = < BCO. 2) ∆ ACO = ∆ BCO, ya que tienen un lado común (CO), otro lado igual por construcción (CA = CB) y el ángulo comprendido igual (< ACO = < BCO). 114

De la igualdad de estos últimos triángulos se deduce que OA = OB y < AOC = < BOC = 1 recto Los puntos de la mediatriz de un segmento AB equidistan de los extremos A y B de dicho segmento.

La construcción de la mediatriz permite realizar otras que resuelven el problema de dibujar una perpendicular a una recta por un punto exterior o interior a la misma (figura 7.4).

Figura 7.4

Figura 7.5

Así, en caso de que el punto pertenezca a la propia recta, bastará pinchar el compás en dicho punto y, con la misma amplitud del compás, marcar dos puntos equidistantes del primero sobre la recta. La mediatriz del segmento que forman será perpendicular y pasará por el punto deseado. Si el punto H es exterior a la recta se utiliza la propiedad de la mediatriz, de manera que se pincha el compás en el punto y, con la misma amplitud, se marcan dos puntos A y B en la recta que serán, por esta construcción, equidistantes del punto original. La mediatriz del segmento AB así formado será perpendicular a la recta pasando por el punto H. Consideremos un triángulo cualquiera ABC y tracemos las mediatrices de sus lados. Todas ellas concurrirán un punto llamado circuncentro (figura 7.5). La razón de esta denominación reside en la propiedad que caracteriza a este punto. Por pertenecer a cada mediatriz equidista de los vértices del triángulo de manera que el circuncentro H esta a la misma distancia de los vértices (HA = HB = HC). De este modo, se puede trazar una circunferencia tomando como radio la longitud HA sabiendo que pasará por los tres vértices del triángulo, lo que resuelve el problema de trazar una circunferencia por tres puntos cualesquiera no alineados.

Altura y mediana Se define una altura de un triángulo ABC como aquella perpendicular a cada lado o su prolongación pasando por el vértice opuesto a dicho lado. Si se trazan las tres alturas de un triángulo estas rectas vuelven a cortarse en un punto para cualquier triángulo que se considere. Este punto se llama ortocentro. Vamos a probar su existencia de un modo sencillo, reduciendo el caso de las alturas al de las mediatrices vistas anteriormente (figura 7.6).

115

Figura 7.6 Sea, como hemos dicho, el triángulo ABC del que trazamos sus alturas. A continuación se dibujan rectas paralelas a cada lado pasando por el vértice contrario hasta formar el triángulo A’B’C’. Pues bien, las alturas del triángulo ABC coinciden con las mediatrices del triángulo A’B’C’. En efecto, perpendiculares son a cada lado por serlo al lado del triángulo pequeño, paralelo al del lado correspondiente del triángulo grande. Además, estas alturas pasan por el punto medio de los lados del triángulo grande. Es así porque, considerando el hecho de que dos paralelas cortadas por paralelas forman segmentos iguales, se cumple que AB = C’C = CB’ AC = A’B = BB’ BC = C’A = AA’ Como las mediatrices del triángulo A’B’C’ se cortan en un punto O y estas mediatrices coinciden con las alturas del triángulo ABC, O será a su vez el ortocentro de este último triángulo.

Figura 7.7 Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice del mismo con el punto medio del lado opuesto. Estas medianas también concurren en un punto que se denomina baricentro (figura 7.7) y que muestra dos propiedades que sólo enunciaremos: En primer lugar, el baricentro divide a la mediana en dos partes, una de las cuales es el doble que la otra. De este modo, AL = 2 LA’ ; BL = 2 LB’ ; CL = 2 LC’

116

Por otro lado, este baricentro tiene un significado físico muy preciso por coincidir con el centro de gravedad del triángulo o lugar donde se considera aplicada la fuerza derivada de su peso.

Bisectriz Dado un ángulo BAC se llama bisectriz del mismo a la semirrecta con origen en A y que divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Su construcción se realiza del siguiente modo (figura 7.8). Se pincha con el compás en A y se marcan los puntos M y N sobre los lados del ángulo a igual distancia de A. Por tanto, AM = AN A continuación se pincha el compás en M y luego en N, de manera que se trazan sendos arcos con una amplitud cualquiera pero igual en ambos casos, obteniéndose el punto L. La semirrecta AL es la bisectriz del ángulo inicial.

Figura 7.8 La demostración de este hecho se basa en al igualdad de los triángulos ∆ AML = ∆ ANL En efecto, ambos triángulos tienen sus tres lados iguales: AM = AN y ML = NL, ambas igualdades por construcción. También AL es un lado común, con lo que se concluye la igualdad de ambos triángulos y, en consecuencia, la igualdad de sus ángulos respectivos. En particular, < MAL = < NAL lo que demuestra que AL es la bisectriz al dividir el ángulo en dos ángulos iguales. La bisectriz tiene, además, una propiedad: Todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Su demostración es semejante a la anterior pero no debe confundirse con ella (figura 7.9). En efecto, en este caso consideramos que AL es la bisectriz del ángulo BAC y, en consecuencia, divide a dicho ángulo en dos partes iguales: < MAL = < NAL 117

Figura 7.9 Por otro lado, la distancia desde un punto L de la bisectriz a las rectas AB y AC vienen marcadas por las perpendiculares desde L a dichos lados que cortarán a los mismos en M y N. Pues bien, vamos a demostrar que los triángulos ∆ MAL = ∆ NAL de manera que, como consecuencia, los lados LM y LN sean iguales (constituyendo las distancias a los lados del ángulo). En efecto, ambos triángulos muestran las siguientes igualdades: < MAL = < NAL por ser AL la bisectriz del ángulo. < AML = < ANL = 1 recto, por ser los segmentos LM y LN perpendiculares a los lados. Como los ángulos de un triángulo suman dos rectos, si dos ángulos son iguales entre sí, también será igual el tercer ángulo, de manera que < ALM = < ALN. Por otro lado, el lado AL es común, de manera que tenemos el caso de dos triángulos con un lado común e iguales los dos ángulos adyacentes.

Figura 7.10 Si en un triángulo trazamos sus tres bisectrices éstas concurren en un punto llamado incentro. Este punto I tiene la propiedad, como acabamos de comprobar, de equidistar de los tres lados del triángulo ABC (figura 7.10). Por ello, una circunferencia trazada con centro en I y con radio la distancia desde I a cualquiera de los lados estará inscrita al triángulo. 118

Cuadriláteros Conviene recordar brevemente qué es un cuadrilátero y cuáles son sus clases. Se llama cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados y cuyos ángulos interiores sean menores que dos rectos, es decir, que sea lo que se conoce como un polígono convexo. Una forma de diferenciarlos de manera constructiva consistiría en emplear bandas de papel rectangulares o triangulares. Así, si tomamos dos bandas de papel del mismo ancho y las cruzamos perpendicularmente obtendríamos en su intersección un cuadrado pero si la intersección fuera oblicua, el cuadrado se transformaría en un rombo. Del mismo modo, bandas de papel de distinto ancho dan lugar, cortadas perpendicularmente, a un rectángulo y, de forma oblicua, a un romboide. Todos estos cuadriláteros tienen los lados paralelos dos a dos pero al contar con una banda triangular intersecándose con otra rectangular impondríamos sólo que dos de sus lados fueran paralelos y no los otros dos. Eso daría lugar al trapecio. Finalmente, el trapezoide se puede obtener hallando la intersección de dos bandas triangulares de manera que ninguna pareja de lados sean paralelas. Así pues, la igualdad de lados, su paralelismo y los ángulos interiores rectos o no, determinan una clasificación de los cuadriláteros que recordamos en la siguiente tabla: Bandas rectangulares

Bandas rectangulares

Intersección recta Intersección oblicua

Bandas triangulares

Mismo ancho

Ancho distinto

Cuadrado

Rectángulo

Bandas triangulares

Trapecio Rombo

Romboide Trapecio

Trapezoide

Áreas de figuras planas La medida de una superficie es, nuevamente, una correspondencia establecida entre la magnitud superficie y el conjunto de números racionales: f: S → Q donde a diversas cantidades de la primera magnitud le corresponden números racionales que determinan numéricamente su área. Para realizar esta tarea es necesario determinar de una manera convencional a qué cantidad le corresponde la unidad, papel que tradicionalmente desempeña el cuadrado de lado unidad. Así pues, todas las demás áreas habrán de ser determinadas conforme a la iteración de este cuadrado unidad. En concreto, el área de cualquier otro cuadrado viene dada por el producto de sus lados, dado que este producto determina el número de cuadrados de lado unidad que contiene. De un modo semejante, el área del rectángulo viene dado por el producto de su longitud por su anchura (figura 7.11). En lo que respecta al triángulo, su área viene determinada por la mitad del producto de la base y la altura. Esto es relativamente fácil de ver en un cuadrado o rectángulo, sin más que dividirlo por medio de una diagonal para obtener dos triángulos iguales (figura 7.12). La cuestión se hace algo más complicada cuando el cuadrilátero a cuya área referir la del triángulo no es tan evidente. Sin embargo, puede obtenerse actuando de dos maneras: O bien partiendo por la mitad el triángulo si éste es, por ejemplo, equilátero o isósceles; o bien completando el triángulo dado mediante otros triángulos iguales que permitan alcanzar el 119

rectángulo de referencia.

Figura 7.11

Figura 7.12

El área del rombo se calcula por los mismos dos procedimientos, llegando a la conclusión de que es igual al semiproducto de las dos diagonales (figura 7.13).

Figura 7.13

Figura 7.14 El área del romboide se transforma en la del rectángulo de las mismas dimensiones sin más que trasladar y girar uno de los triángulos de los extremos hasta formar con el otro un rectángulo (figura 7.14). Por último, el área del trapecio se puede obtener de dos formas distintas. La más compleja consiste en calcular algebraicamente su área descomponiendo el trapecio en tres partes, el rectángulo central y los dos triángulos extremos (figura 7.15). 120

Figura 7.15 El triángulo izquierdo puede trasladarse a la derecha para mejor entender el cálculo siguiente. El área del trapecio se ha descompuesto en el de un rectángulo (b x h) más dos triángulos cuya base total será (B - b) y de altura h. En consecuencia: ATRAPECIO = (b x h) + ½ (B - b) h = h (b + ½ B - ½ b) = ½ h (B + b) Pero otra forma más intuitiva de deducir el mismo resultado se obtiene duplicando el trapecio considerado al añadirle otro igual pero invertido (figura 7.16).

Figura 7.16 Lo que se obtiene es un romboide cuya área viene dada por el producto de la base (B + b) por la altura h. Como el romboide equivale a dos trapecios, el área del trapecio será la mitad de esta cantidad, coincidiendo el resultado con el obtenido antes.

Cuadrado de área doble Uno de los problemas históricamente importantes consiste en construir un cuadrado de área doble que uno dado. Ello encierra una aplicación del conocido teorema de Pitágoras así como la aproximación al valor no racional de √2.

Figura 7.17 121

Consideremos un embaldosado (figura 7.17) formado por cuadrados que aparecen divididos en triángulos por sus dos diagonales. Siendo L el lado del cuadrado pequeño, si escogemos un triángulo rectángulo que tiene por catetos 2L, resultará que el cuadrado formado sobre cada cateto tiene un área equivalente a 16 triángulos de manera que ambos suman 32, los mismos que forman el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Naturalmente, esta intuición no es una demostración general del teorema de Pitágoras: La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos en un triangulo rectángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. La demostración geométrica más conocida desde la Antigüedad consiste en considerar un triángulo rectángulo de catetos b y c. Se construye entonces un cuadrado que tenga por lado la suma de ambos (b + c) y que se descompone de dos maneras diferentes (figura 7.18).

Figura 7.18 a) Se consideran sobre cada lado, de manera consecutiva, las longitudes b y c para finalmente dibujar segmentos que unan esos puntos hasta formar un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos de catetos b y c. La figura central es un cuadrado por cuanto los ángulos adyacentes son los correspondientes, en el triángulo rectángulo original, a los ángulos agudos del mismo. b) Se consideran sobre cada lado, de manera alternada, las longitudes b y c. A continuación se dibujan segmentos paralelos a los lados del cuadrado descomponiéndolo en dos cuadrados, uno de lado b y otro de lado c, así como dos rectángulos de lados b y c, de manera que una diagonal divide a cada uno en dos triángulos rectángulos como el original. a 2 = b 2 + c2 Cumpliéndose el teorema de Pitágoras sobre un cuadrado de lado unidad, se puede concluir que su diagonal es igual a d 2 = 12 + 12 = 2 de donde d = √2 , que indica que el cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado tiene un área doble que la del cuadrado original. Este resultado permitió en tiempos de la antigua India una excelente aproximación al valor de √2, que no es reducible a ninguna expresión fraccionaria. En efecto, si se considera el cuadrado de lado 12, su área es 144. Si tomamos el cuadrado construido sobre su diagonal éste deberá tener por área 288 siendo, por el teorema de Pitágoras, el lado igual a 12 √2. Pues bien, ¿existe algún cuadrado cuya área sea de 288 o lo más cercana posible? Así es. Si se toma el cuadrado de lado 17, su área será de 172 = 289, valor muy aproximado al deseado. En este caso, podemos afirmar que 17 = 12 √2 por lo que √2 = 17/12 = 1 + 1/3 + 1/12 = 1,41666... bastante aceptable para la época respecto a la aproximación actual de √2 = 1,41421... 122

Polígonos regulares Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados iguales y también son iguales entre sí sus ángulos interiores. El más sencillo de construir es el exágono regular por coincidir su lado con el radio del círculo circunscrito a dicho polígono. Por dicho motivo, si se trazan las tres diagonales del exágono éste aparece dividido en seis triángulos equiláteros de lado igual al lado del exágono. La altura de uno de estos triángulos, por aplicación del teorema de Pitágoras, es h = ½ L √3 de donde se deduce que el área correspondiente es ATRIANGULO = 1/4 L2 √3. Como el exágono está formado por seis de ellos, AEXAGONO = ½ 3 L2 √3

Esta área también podría haberse obtenido considerando el perímetro (suma de todas las bases de los seis triángulos) multiplicando por la altura de uno de estos perímetros (llamada habitualmente apotema) y dividiendo por dos, de forma que se obtiene la expresión más conocida que da el área del polígono regular: APOLIGONO = ½ Perímetro x Apotema Los demás polígonos regulares no son tan fáciles de construir habiendo, sin embargo, un procedimiento general que aplicaremos a la construcción del pentágono regular (figura 7.19).

Figura 7.19 Se considera, como en el caso del exágono, la circunferencia circunscrita y se traza un diámetro AB del círculo correspondiente. Este diámetro se divide en tantas partes iguales como lados tenga el polígono a construir, en concreto y para el caso que nos ocupa, cinco. A continuación se pincha con el compás en los extremos del diámetro y, con una amplitud igual al diámetro, se trazan los arcos correspondientes hacia el mismo lado hasta que se corten en un punto M.. Si se trazan rectas desde M que pasen por las divisiones realizadas en el diámetro la semicircunferencia quedaría dividida en cinco partes iguales. Como interesa dividir la circunferencia completa, se traza la recta desde M pasando por la segunda subdivisión de manera que el segmento resultante sobre la circunferencia será el lado buscado del polígono a construir.

123

124

Problemas Triángulos y rectas notables 1)

Dados dos vértices A, B y el ortocentro H de un triángulo, construir dicho triángulo.

2)

Determinados el incentro O y los vértices B y C de un triángulo, construir ese triángulo.

3)

En los lados de un ángulo XOY tomar sendos segmentos iguales OA = OB. Trazar la mediatriz de AB y demostrar que dicha recta pasa por el punto O y es bisectriz del ángulo XOY.

4)

Los triángulos ABC y A’BC están situados en distinto semiplano respecto a BC, su lado común. La recta BC es la bisectriz de los ángulos ABA’ y ACA’. a) Comparar los otros dos lados de esos triángulos; b) Los vértices A y A’ se unen con cualquier punto M de la base BC. Demostrar que AM = A’M.

5)

El circuncentro y el incentro de un triángulo ABC coinciden. Demostrar que ese triángulo es equilátero.

6)

Dos lados de un triángulo ABC se prolongan longitudes iguales a ellos AB’ = AB, AC’ = AC. El vértice A se une con D y con D’, puntos medios de los segmentos BC y B’C’. Comparar entre sí los segmentos BC y B’C, en primer lugar, y los segmentos AD y AD’ después.

7)

Señalar, en la bisectriz AM del ángulo A de un triángulo cualquiera ABC, los segmentos AE = AB y AF = AC. Compara los segmentos BF y CE.

8)

Por un punto M de AM, bisectriz de un ángulo A, se trazan dos rectas que forman sendos ángulos iguales con AM. Una corta a los lados del ángulo A en B y C, la otra a los mismos lados respectivamente en D y E. Demostrar: a) EM = BM b) MD = MC c) ED = BC.

9)

El triángulo ABC y el triángulo A’B’C’ son tales que AB = A’B’ ; BC = B’C’ y además, las medianas relativas a BC y a B’C’ son iguales. Demostrar que el triángulo ABC es igual al triángulo A’B’C’.

10)

La mediana AM de un triángulo ABC se prolonga una longitud MD = MA. Se trazan los segmentos DB y DC. En la figura formada, hallar los triángulos iguales.

11)

La altura AH de un triángulo ABC se prolonga una longitud HD = AH. Se trazan los segmentos DB y DC. En la figura resultante, hallar los triángulos iguales.

12)

En un triángulo ABC (AB > AC), se traza la bisectriz AD siendo D el punto de corte con BC. Por dentro del triángulo se traza una recta Dx que con AD forme un ángulo Adx igual al ángulo ADC, y que corte a AB en E. Demostrar que DE = DC y AE = AC.

125

13)

En los lados de un ángulo cualquiera con vértice O se toman respectivamente los segmentos OA = OB ; OC = OD. Las rectas AD y BC se cortan en un punto I. Demostrar que AD = BC y que IA = IB.

14)

Un triángulo en el que una línea es a la vez altura y bisectriz es un triángulo isósceles. Demostrarlo.

15)

ABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC. Las perpendiculares a los lados AB y AC en B y C se cortan en M. Estudiar el triángulo BMC y luego los triángulos ABM y ACM. Si O es el punto medio de BC, demostrar que los puntos A, O, M están en línea recta.

16)

Las medianas BD y CE relativas a los lados iguales del triángulo isósceles ABC (AB = AC) se cortan en un punto I. Demostrar que los triángulos BIC y DIE son isósceles.

17)

En AB y AC, lados iguales de un triángulo isósceles, se toman sendos segmentos iguales BD = CE. Los puntos D y E se unen con M, punto medio de la base BC; comparar los segmentos ME y MD, y demostrar que el triángulo AME es igual al triángulo AMD.

Áreas de figuras planas 18)

Si alargamos 6 metros el lado de un cuadrado, el área de éste aumenta 288 m2. Calcular el lado del cuadrado.

19)

La razón entre la anchura y la longitud de un rectángulo es de 1/3, la diagonal mide 24 m. Calcular los lados y el área de este rectángulo.

20)

En un rectángulo la diagonal tiene 30 m. y la razón de sus lados es 4/3. Calcular el área de ese rectángulo.

21)

Determinar las dimensiones de un rectángulo cuya área es 15/16 de la de un cuadrado que tiene 320 m. de perímetro, y éste es igual al del rectángulo.

22)

Un triángulo equilátero tiene 20 cms de lado. Calcular la altura y su área.

23)

Las bases de un trapecio miden 25 cms y 7 cms, cada lado no paralelo tiene 15 cms. Calcular el área del trapecio.

24)

El área de un trapecio isósceles es 112 cm2 y la suma de las bases 28 cms. Calcular las bases, la altura, los lados no paralelos, si el perímetro es 48 cms.

25)

Hallar el área de un trapecio rectángulo cuyas bases tienen 320 y 460 m y la diagonal mayor 575 m.

Triángulos rectángulos 26)

Los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros consecutivos. Calcularlos.

27)

En un río y a 3 m de la orilla se hinca un palo que, estando vertical, sobresale 2 m del agua y abatido toca con su extremo en la orilla. ¿Cuál es la profundidad del río?

28)

La altura de un triángulo rectángulo isósceles divide a la hipotenusa en dos segmentos de 3 m cada uno. Calcular la altura y los catetos. 126

29)

El menor de los catetos de un triángulo rectángulo mide 9 m y la hipotenusa tiene 3 m. más que el otro cateto. Calcular estos dos últimos lados y el área del triángulo.

30)

Una cuerda está tirante entre dos puntos A y B que distan 5 m. Otra cuerda de 25 m. tiene fijos sus extremos en A y en B. Se estira esta segunda cuerda de modo que forme con la primera un triángulo rectángulo en A o bien un triángulo isósceles tal que CA = CB. Calcular el área de la superficie limitada por ambas cuerdas en cada caso.

El triángulo ABC es rectángulo en A. La hipotenusa BC = 35 m, el cateto AB = 28 cms. a) Calcular el cateto AC, la altura AH y los segmentos BH y CH; b) Se dibuja HN paralelo a AB. Calcular HN, AN y CN. c) Se traza HM, bisectriz del ángulo BHA. Calcular los segmentos DM y AM determinados en AB.

31)

Polígonos regulares 32)

Un exágono regular tiene 60 m de perímetro. Calcular su apotema.

33)

Halla el perímetro de un exágono regular cuya apotema tiene 5,60 m.

34)

En función del radio r de la circunferencia inscrita, calcular el lado del exágono regular circunscrito.

127

128

Soluciones 1)

Se une el punto H con A y con B. Por A se traza una perpendicular a BH, y por B una perpendicular a AH. La “intersección” de ambas perpendiculares determina el vértice C.

2)

Se construye el triángulo auxiliar BOC (figura 7.20) y sobre los lados de éste y exteriormente a él, los ángulos < OBA = < OBC < OCA = < OCB ABC es el triángulo solución. Para que el problema sea posible es necesario que < OBC + < OCB < 90º

Figura 7.20 3)

Por equidistar de A y de B, el punto O está en la recta OM, mediatriz de AB. Por otro lado, las oblicuas iguales OA y OB, cuyos pies equidistan del de la perpendicular OM, forman con ella ángulos iguales. Así que < MOA = < MOB, o sea que OM es bisectriz del ángulo O. 4)

Los triángulos ABC y A’BC son iguales por tener un lado común BC y los dos ángulos adyacentes tal como se sigue del hecho de que BC sea bisectriz de los ángulos ABA’ y ACA’ (figura 7.21).

Figura 7.21 Por otra parte, los triángulos AMC y A’MC son iguales por tener dos lados iguales (CA = CA’, MC común) e igual el ángulo comprendido (ACM = A’CM). Por tanto, AM = A’M y < AMC = < AM’C.

129

5)

Sea O el punto de coincidencia. La recta BOD es bisectriz y mediatriz a la vez. Por tanto, son iguales los triángulos DAB y DCB. Así que AB = BC. Análogamente se demuestra que AC = BC, luego el triángulo ABC es equilátero. 5)

Los triángulos ABC y AB’C’ son iguales (figura 7.22) por tener dos lados iguales (AB = AB’, AC = AC’) y el ángulo comprendido < BAC = < B’AC’ por ser opuestos por el vértice. Por tanto, BC = B’C’.

Figura 7.22 Los triángulos ADC y AD’C’ son también iguales ya que resultan iguales los ángulos < C = < C’, AC = AC’. Además, CD = C’D’ = ½ BC , así que AD = AD’ y CAD = C’AD’. 7)

Los triángulos ABF y AEC son iguales ya que tienen iguales dos lados (AF = AC y AB = AE) siendo igual el ángulo comprendido BAF = CAE por ser AM bisectriz. Por tanto, BF = CE (figura 7.23).

Figura 7.23

Figura 7.24

8)

Los triángulos AEM y ABM son iguales (figura 7.24) ya que tienen un lado común (AM) y los dos ángulos adyacentes (EMA = BMA, EAM = BAM). Por tanto, también EM = BM. En segundo lugar, los triángulos AMD y AMC son iguales. En efecto, AMD = AMC por ser suplementarios de ángulos iguales. Además, los ángulos en A son iguales y el lado AM es común. Por consiguiente, MD = MC. De las igualdades EM = BM y MD = MC, resulta EM + MD = BM + MC, o sea ED = BC. 9)

Los triángulos ABC y A’B’C’ son tales que AB = A’B’ ; BC = B’C’. Pero BM = B’M’ ya que son mitades de lados iguales. Por el tercer criterio de igualdad de triángulos los triángulos ABM y A’B’M’ son iguales al tener sus tres lados iguales. 130

Por consiguiente, los ángulos < B = < B’ Y, por el segundo criterio de igualdad, los triángulos ABC y A’B’C’ son iguales (dos lados y el ángulo comprendido iguales). 10)

En primer lugar, los triángulos AMC y DMB son iguales (figura 7.25) puesto que tienen el ángulo en M opuesto por el vértice, y además MB = MC (por ser AM mediana en el lado BC) y MA = MD por construcción. Es decir, dos lados iguales y el ángulo comprendido. De esta igualdad se deduce además que AC = DB.

Figura 7.25 En segundo lugar, son iguales los triángulos AMB y DMC por el mismo criterio, ya que tienen dos lados iguales (MB = MC, MA = MD) e igual el ángulo central en M, opuesto por el vértice uno al otro. Como consecuencia, AB = DC. Por último, son iguales los triángulos ABD y DCA y de la misma forma los triángulos CAB y CDB, en ambos casos por aplicación del tercer criterio de igualdad de triángulos, tener sus tres lados iguales. 11)

Los triángulos ABH y DBH (figura 7.26) son iguales por tener dos lados iguales (BH común y AH = HD por construcción) y el ángulo comprendido que, al ser AH la altura y HD su prolongación, es igual a un recto en ambos casos. De ahí se deduce que AB = BD. Del mismo modo, son iguales los triángulos AHC y DHC, lo que conduce a que AC = CD. Entonces, por tener sus tres lados iguales, son iguales las siguientes parejas de triángulos: ABC = BDC ; ABH = DBH ; CAH = CDH

Figura 7.26 12)

Comparando los triángulos ADC y ADE (figura 7.27) se comprueba que tienen un lado común (AD) e iguales los ángulos adyacentes al mismo (ADC = ADE por construcción, CAD = EAD por ser AD bisectriz). En consecuencia, los dos triángulos son iguales y DE = DC, AE = AC. 131

Figura 7.27 13)

Los triángulos AOD y BOC son iguales (figura 7.28) ya que tiene iguales dos lados (AO = BO, OD = OC) y el ángulo comprendido en O. Por consiguiente, AD = BC. También son iguales los triángulos AIC y BID ya que tienen igual uno de sus lados (AC = BD, diferencia de segmentos iguales) y los dos ángulos adyacentes (IAC = IBD por ser suplementarios de ángulos iguales, BDI = ACI por la igualdad anterior de triángulos). Por tanto, AI = IB.

Figura 7.28

Figura 7.29

14)

Si AD es altura y bisectriz, los ángulos en A son iguales, así como los ángulos en D. Luego los triángulos BDA y DCA son iguales ya que hay que unir el hecho de tener el lado AD común. Eso conduce a que AB = AC y el triángulo ABC resulta ser isósceles. 15)

Al ser complementarios de ángulos iguales, MBC = MCB. Ello significa que el triángulo BMC es isósceles y, en consecuencia, BM = CM (figura 7.29) Esto significa, dado que los segmentos BM y CM se han construido perpendiculares a los lados respectivos del triángulo original, que M es un punto de la bisectriz AM que, por tanto, divide al ángulo en A en dos partes iguales: los ángulos BAM y CAM. Por otro lado, como los ángulos ABM = ACM entonces también sucederá que AMB = AMC. Al tener el lado AM común, los triángulos ABM y ACM tienen igual un lado y los dos ángulos adyacentes, por lo que ambos serán iguales. Por otra parte, los puntos A, O y M están los tres en la bisectriz del ángulo en A.

132

16)

Los triángulos DBC = ECB (figura 7.30) dado que tienen iguales dos lados (BC común y CD = BE) y el ángulo comprendido (por ser el triángulo ABC isósceles). En consecuencia, serán también iguales los ángulos DBC = ECB por lo que se concluye que el triángulo BIC es isósceles donde BI = CI. Por otra parte, DB = EC y al ser BI = CI, también ID = IE.

Figura 7.30

Figura 7.31

17)

Los triángulos BDM = CEM (figura 7.31) ya que tienen dos lados iguales (EC = DB por construcción y CM = MB porque M es el punto medio de la base) y el ángulo comprendido por ser el triángulo ABC isósceles. Por tanto, ME = MD. Por ser AB = AC, también resultarán iguales los segmentos AD = AE. Así que los triángulos AME = AMD ya que tienen los tres lados iguales. 18)

Sea L el lado del cuadrado. Entonces (L + 6)2 - L2 = 288 de donde 12 L + 36 = 288 y L = 21 m.

19)

Si D es la diagonal y x la anchura, la longitud será 3 x. Entonces, x2 + 9 x2 = D2 = 242 = 576 x = 7,589 m 3 x = 22,769 m. de forma que el área será A = 3 x2 = 3 . 57,6 = 172,80 m2

20)

Si D es la diagonal y x la medida común a ambos lados de manera que uno sea 3x y el de donde x = 6 otro 4x, será 9 x2 + 16 x2 = D2 = 900 2 El área resultará entonces de A = 3x . 4x = 12 x = 432 m2

El lado del cuadrado será de 320/4 = 80 m., así que su área es A = 802 = 6400 m2 El área del rectángulo resultará ser de A’ = 15/16 . 6400 = 6000 m2 De esa manera se pueden plantear las siguientes ecuaciones respecto a las dimensiones a,b del rectángulo: a . b = 6000 a + b = 160 de donde resultan: a = 100 m. y b = 60 m. 21)

22)

La altura será h = ½ L √3 = 17,32 cm y el área A = 1/4 L2 √3 = 173,2 cm2

133

23)

La altura será h = √ [152 - (25 - 7 / 2)2 ] = 12 cm y el área S = ½ (25 + 7) . 12 = 192 cm2

24)

Los lados no paralelos miden ½ (48 - 28) = 10 cm La altura h = 2 . 112 / 28 = 8 cm La semidiferencia de las bases es √ (102 - 82 ) = 6 cm La base mayor mide ½ 28 + 6 = 20 cm y la menor ½ 28 - 6 = 8 cm

25)

Sea h la altura. Como el trapecio es rectángulo, h2 = 5752 - 4602 de donde h = 345 m. Así que el área del trapecio es A = ½ (460 + 298) . 54 √3 = 35073 m2 Sea x el lado medio. Los otros dos serán x - 1, x + 1. x2 + (x - 1)2 = (x + 1)2 de donde resulta x = 4, así que los lados son 3, 4 5.

26) 27)

Sea x la profundidad del río. La longitud del palo será entonces hipotenusa del triángulo con catetos x y 3 m. Así que x2 + 32 = (x + 2)2 de donde x = 1,25 m.

x+2

28)

En este caso, la altura es también mediana. Pero esta mediana es igual a la mitad de la hipotenusa, luego la altura mide 3 m. Cada cateto resulta ser la diagonal de un cuadrado con 3 m. de lado, luego será igual a 3 √2 = 4,24 m.

29)

La fórmula a2 + b2 = c2 Se convierte en (b + 3)2 = b2 + 92 de donde b = 12, a = 15. Área = ½ b c = ½ 12 . 9 = 54 m2

30)

Sean a y b los lados del triángulo. Entonces, en el primer caso, a + b = 25 de donde a - b = 1 a2 - b2 = 52 = 25 y así a = 13 m, b = 12 m. Área = ½ 5 . 12 = 30 m2 En el segundo caso, a = b = 12,5 m, h = √(12,52 - 2,52) = 12,25 m. Área del triángulo = ½ 5 . 12,25 = 30,625 m2

32)

a) AC = √(BC2 - AB2) = 21 cms AH = AB . AC / BC = 16,8 cms (figura 7.32) HC = BC - BH = 12,6 cms BH = √(AB2 - AH2) = 22,4 cms

Figura 7.32 b) HN = AH . HC / AC = 10,08 cms AN = √(AH2 - HN2) = 13,47 cms NC = AC - AN = 7,53 cms c) BM/MA = BH/AH = 4/3 es decir, BM / BM + AM = 4 / 4 + 3 BM = 28 . 4 / 7 = 16 cms AM = 28 - 16 = 12 cms 134

e igual a la

33)

El lado L del exágono propuesto es L = 60/6 = 10 m. La apotema será a = 10 √3 / 2 = 5 √3 = 8,66 m.

34)

L = 5,6 . 2 . √3 / 3

35)

Sea EF = L y r el radio de la circunferencia (figura 7.33) AB = OC = r OD = r √3 / 2 En los triángulos semejantes EOF y AOB: L/r = r / r √3/2 de donde L = 2 r √3 / 3

El perímetro será P = 6 . 5,6 . 2 . √3 / 3 = 38,80 m

Figura 7.33

135

136

Tema 8 Cuerpos en el espacio Poliedros La primera distinción que debemos hacer es entre los poliedros, que son cuerpos geométricos limitados por polígonos, y los cuerpos de revolución, donde una forma plana girando en torno a un eje de revolución forma lo que se conoce como un cuerpo redondo. Observemos ahora los llamados poliedros regulares (figura 8.1). De ellos tres tienen por caras triángulos equiláteros: el Tetraedro con 4 caras, el Octaedro con 8 y el Icosaedro con 20 caras. Aún hay dos más: El Hexaedro o Cubo, que tiene 6 caras formadas por cuadrados y el Dodecaedro, con 12 caras formadas por pentágonos regulares.

Figura 8.1 En general, los poliedros regulares tienen por caras polígonos regulares (sus lados son iguales, sus ángulos interiores también) y sólo son cinco los que se pueden construir. Pero estos poliedros tienen otros elementos característicos, al igual que otros poliedros no regulares. Al cortarse dos planos se divide el espacio en cuatro regiones, cada una de las cuales se llama ángulo diedro (figura 8.2). Sus caras son los semiplanos que los determinan y la recta común a las dos caras se llama arista. ¿Cuántas aristas tienen los poliedros regulares? Se puede comprobar que son: Tetraedro …………… 6 Octaedro …………… 12 Icosaedro …………... 30 Cubo ……………….. 12 Dodecaedro ………… 30

Figura 8.2 137

Si en vez de dos son tres o más planos cortándose mediante rectas que concurren en un punto, a la región del espacio comprendido entre esos planos se le llama ángulo poliedro y al punto común vértice. En el tetraedro, por ejemplo, concurren tres planos en cada uno de los vértices, en el octaedro son cuatro, sin embargo, y cinco en el dodecaedro. ¿Cuántos vértices tienen estos poliedros regulares? Si formamos una tabla con el número de caras, aristas y vértices encontraremos una curiosa relación: Poliedro Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro

Caras 4 8 20 6 12

Vértices 4 6 12 8 20

Aristas 6 12 30 12 30

Se puede observar que sumando el número de caras y vértices siempre excede en 2 al número de aristas, relación conocida como teorema de Euler (figura 8.3), válida para cualquier poliedro, no sólo los regulares: C + V = A + 2.

Figura 8.3 Usaremos ahora este teorema para demostrar que no pueden existir más de cinco poliedros regulares. En efecto, sea C el número de caras y n el número de lados por cara (n ≥ 3 porque al menos las caras son triángulos). Sea V el número de vértices, A el número de aristas y a el número de aristas concurrentes en un vértice (a ≥ 3). Pues bien, se cumplirá n C = 2 A y a V = 2 A ya que, en el primer caso, si fuera un tetraedro, por ejemplo, tendríamos 4 caras pero cada cara dispondría de 3 lados, al multiplicar ambos números estaríamos contando dos veces el número de aristas. Si esto es así, A = nC/2 V = 2A / a = nC/a Y ahora sustituimos en la relación de Euler: C + nC/a = nC/2 + 2 Multiplicando por 2 a: 2aC + 2nC = anC + 4 a Despejando C: 4a C= 2 (a + n) − an Si n = 3 (las caras son triángulos equiláteros): - a = 3 C = 4 y tenemos el tetraedro. - a = 4 C = 8 y es el octaedro. 138

- a = 5 C = 20 el icosaedro Si n = 4 (las caras son cuadrados): - a = 3 C = 6 El cubo Si n = 5 (tomando por caras pentágonos): - a = 3 C = 12 Dodecaedro Si en este último caso, por ejemplo, a = 4 sería C = -8, que es imposible. Del mismo modo, n = 6, es decir, considerando como caras hexágonos regulares, no da lugar a ningún poliedro regular puesto que para a = 3, C = 12/0

Áreas laterales de los poliedros Es un ejercicio habitual en Primaria construir estos poliedros regulares a partir de su desarrollo plano (figura 8.4). Eso nos conduce a tratar de averiguar, a partir exclusivamente de la longitud de sus aristas, cuál será el área de dicho poliedro.

Figura 8.4 En el caso más sencillo, el del tetraedro, basta multiplicar por 4 el área de una de sus caras triangulares. Siendo a la arista y h la altura del triángulo, se cumplirá por aplicación del de donde el área de una de las caras será: teorema de Pitágoras, que h = a √3 / 2 de donde el área total es: AT = a2 √3 A = a2 √3 / 4 En esta línea es sencillo deducir otras áreas laterales: Octaedro Icosaedro Cubo

AT = 2 a2 √3 AT = 5 a2 √3 AT = 6 a2

La del dodecaedro resulta considerablemente más complicada y será por tanto no considerada aquí.

139

Prismas Entre los poliedros, además de los regulares, destacan dos tipos: los prismas y las pirámides. El prisma es un cuerpo geométrico que está limitado por dos bases paralelas formadas por polígonos iguales teniendo por caras laterales paralelogramos. Si las bases son triángulos el prisma se llama triangular, si son cuadrados, prisma cuadrangular y así sucesivamente. Los prismas más frecuentes son aquellos en que las bases son paralelogramos, al igual que las caras laterales. En este caso nos encontramos con prismas cuadrados, rectangulares, romboidales, etc. que se denominan paralelepípedos. Pues bien, una caja de zapatos, una torre de base cuadrada o rectangular, son ejemplos de paralelepípedos frecuentes en nuestras vidas pero hay casos en que las caras laterales de un prisma no son perpendiculares a las bases. Estamos entonces, como sucede en las famosas torres KIO de Madrid, con prismas oblicuos (figura 8.5).

Figura 8.5 En el caso de los prismas rectilíneos la altura de los mismos coincide con una de las aristas laterales pero, si el prisma es oblicuo, la altura habrá de definirse como la longitud del segmento perpendicular comprendido entre las dos bases. Estos prismas también son susceptibles de ser construidos con no demasiada dificultad. En el caso de un paralelepípedo de base cuadrada, su superficie estaría constituida por cuatro rectángulos y dos bases cuadradas (figura 8.6).

Figura 8.6 Naturalmente, el área lateral se formaría con los cuatro rectángulos que actúan como caras formando un rectángulo más general que tiene de largo el perímetro de la base cuadrada, y de ancho la altura del paralelepípedo. Área lateral = Perímetro base x Altura de forma que el área total se obtendría sumando las dos bases cuadradas. 140

Pirámides Cuando las caras laterales no son paralelogramos sino triángulos con un vértice común sólo existe, por tanto, una base poligonal. Estamos entonces ante el caso de una pirámide cuyos ejemplos más conocidos son los monumentos egipcios de su Imperio Antiguo (figura 8.7), que tienen base cuadrada.

Figura 8.7 El desarrollo de la superficie lateral de una pirámide de este tipo (figura 8.8) nos da las claves para averiguar su área. Si el cuadrado de la base tiene de lado L y h es la altura de una de las caras laterales, la superficie total se obtendrá sumando las cuatro caras laterales (superficie lateral de la pirámide) al área de la base: L×h P×h + L2 = A = 4× + L2 2 2 dado que 4L es igual al perímetro P de la base.

Figura 8.8

141

Volúmenes Como en el caso de las superficies planas, la medida de un volumen para un cuerpo en el espacio parte de una unidad de medida, en este caso un cubo que puede repetirse tantas veces como haga falta. Para un prisma recto de base rectangular, por ejemplo, los cubos que pueden incluirse en su interior serán tantos como los marcados por la superficie B de la base por la altura h que alcanza. Volumen prisma = B x h No es sencillo deducir que un prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides de la misma base e idéntica altura (figura 8.9) pero ello permite concluir que el volumen de una pirámide será la tercera parte del volumen del prisma correspondiente: Volumen pirámide = B x h / 3

Figura 8.9 Conviene hacer un repaso de las unidades principales. En general, la unidad fundamental es el metro cúbico, el cubo que tiene un metro por arista. Otras bien conocidas son el decímetro o el centímetro cúbico, cuyas equivalencias serían: 1 dm3 = 0,001 m3 1 cm = 0,001 dm3 = 0,000001 m3 3

Mientras el volumen se refiere al espacio ocupado por dicho cuerpo, la capacidad se mide en litros y viene a referirse al volumen de líquido que contiene dicho cuerpo cuando está lleno. Es necesario recordar la relación: 1 dm3 = 1 litro de donde caben 1000 litros (10 Hl = 1 Kl) en un metro cúbico. Por ejemplo, ante una noticia como ésta, ¿qué cantidades en litros corresponden?: La reserva hidráulica española ha aumentado esta semana sólo en 119 hectómetros cúbicos, lo que sitúa las reservas de agua en la Península en el 47,6 por ciento (25.370 hm3).

El aumento de 119 hm3 significa que se está tomando como unidad de medida un cubo de 1 hm de arista, es decir, 100 metros. De ahí que el hectómetro cúbico equivalga a 1 hm3 = 1003 m3 = 1.000.000 m3 Es decir, un millón de m3. Como a su vez el metro cúbico admite una capacidad de mil litros, 1 hm3 = 1.000.000.000 litros 142

En otras palabras, la reserva hidráulica española ha aumenta en 119 mil millones de litros.

Cilindro y cono Si apoyamos un rectángulo por uno de sus lados sobre un eje de revolución y hacemos girar el rectángulo, obtendremos un cilindro, un cuerpo caracterizado por tener una superficie lateral curva y dos bases iguales que son círculos (figura 8.10).

Figura 8.10

Figura 8.11 En caso de que dicha base tenga de radio r y la altura del cilindro sea h, el desarrollo de su superficie (figura 8.11) nos indica que el área vendrá dado por el de un rectángulo que constituye la superficie lateral con un largo igual a la circunferencia de la base y ancho la altura del cilindro. Por tanto, en total será: A = 2 π r h + 2 π r2 = 2 π r (h + r) El cono, en cambio, se forma con el espacio engendrado por un triángulo rectángulo cuando gira apoyando uno de sus catetos sobre el eje de revoluciónLa base en este caso será de nuevo un círculo pero el resto de la superficie curva convergerá en un punto, uno de los vértices de ese triángulo rectángulo (figura 8.12).

143

Figura 8.12 La superficie del cono en este caso es algo más complicado ya que, además de la base circular, se obtiene un sector circular de radio igual a la hipotenusa del triángulo (también llamada generatriz del cono) y de arco la longitud de la circunferencia de la base (figura 8.13). De manera que si llamamos g a dicha hipotenusa, el área será: Área sector = ½ arco x radio = ½ 2 π g . r = π r g Área total = π r g + π r2 = π r (g + r) Los volúmenes de estos cuerpos se calculan de un modo similar al del prisma y la pirámide, es decir, en el caso del cilindro: V = π r2 h Y la tercera parte para la pirámide V = 1/3 π r2 h

Figura 8.13

144

Problemas 1) ¿Cuántas aristas tiene un prisma exagonal? ¿Y un paralelepípedo? 2) Calcular el área lateral de un prisma pentagonal de 10 cm de altura y 8 cm de lado del pentágono. 3) Calcular la altura de un prisma recto, sabiendo que el perímetro de la base es de 22,5 cm y la superficie lateral mide 202,50 cm2 4) Hallar el área total de un prisma recto de altura 10 cm y de base un triángulo equilátero de lado 5 cm. 5) Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 euros el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? ¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla? 6) Calcular la superficie total de un prisma recto de 20 cm de altura, cuya base es un heptágono regular de 5 cm de lado y 6,23 cm de apotema. 7) ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 8) Hallar el número de caras que tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, cada lado de la base mide 4 cm y la superficie lateral es de 288 cm2 9) Si la suma de todas las aristas de un cubo es de 320 cm, calcular la superficie total del cubo. 10) Deducir en un cubo la longitud de una diagonal del mismo en función de la arista a. 11) En un depósito de materiales hay un espacio de 8,4 m de largo por 4,5 m de ancho por 1,2 m de alto. En el se acomodaron ladrillos para la construcción de 28 cm por 15 cm por 4 cm. Averiguar cuántos ladrillos se apilaron. 12) Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 litros de capacidad. 13) Determinar la profundidad de una piscina de 6 m de longitud y 4 m de ancho, sabiendo que para llenarla es preciso tener abierto, durante 12 horas, un grifo que arroja 50 dm3 de agua por minuto. 14) Se tiene un paralelepípedo recto de base rectangular y área total 370 dm2. La superficie de una cara es de 50 dm2. Midiendo 5 dm la arista perpendicular a dicha cara, hallar el valor de las otras aristas. 15) ¿Cuánto mide el lado de la base de un prisma exagonal cuya área total es 46,392 m2 y la altura es el triple del lado de la base? 16) Calcular la altura de un prisma recto cuya área lateral es 171 m2 y la base un pentágono regular con 3,8 m de lado.

145

17) Una caja de hojalata tiene 0,50 m de largo, 0,25 m de ancho y 0,20 m de profundidad. ¿Cuántos litros cabe? 18) Una caja de madera se ha forrado interiormente con una chapa que presenta una superficie de 6,40 m2. La longitud de la caja es el doble de su anchura y las caras extremas son cuadrados iguales. Hallar el volumen interior. 19) Un florero tiene la forma de un prisma exagonal con 30 cm de alto y 9 dm2 de área lateral. Sus tres cuartas partes se llenan de agua. ¿Cuál es el volumen de dicha agua? 20) La arista de la base en una pirámide triangular mide 8 m y la arista lateral 5 m. Calcular su área total. 21) Determinar el área total de una pirámide cuadrangular de lado de la base 5 cm y de apotema 10 cm. 22) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular de altura 8 dm y de arista básica 6 dm. ¿Cuántos litros contiene? 23) Una pirámide exagonal tiene de arista básica 3 cm y de arista lateral 5 cm. Hallar el área lateral, el total y su volumen. 24) Se tiene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se echa un litro de agua ¿qué altura alcanzará? 25) En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 26) Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 27) La superficie lateral de un cilindro es igual a la superficie de su base y la altura del mismo es de 10 cm. Calcular el volumen del cilindro. 28) La base de un cilindro es 3,08 m2 y la altura es triple del radio de la base. Calcular el área lateral del cilindro. 29) ¿Qué volumen tiene una piedra que, echada en un vaso cilíndrico de 0,8 m de diámetro, eleva 0,483 m el nivel del agua que había en él? 30) El diámetro de la base de un cono es el doble de la altura. ¿Cuál es el área lateral de ese cono? 31) El contenido de un cono, cuya base tiene 20 cm de diámetro y 30 cm de altura, se vuelca 6 veces en un cilindro cuya base tiene el mismo radio que dicho cono. Calcular la altura del cilindro. 32) Los diámetros de dos conos con igual altura miden 0,56 m y 1,12 m respectivamente. ¿En qué proporción están los volúmenes de esos conos? 33) Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un lado. Hallar el volumen engendrado.

146

34) Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles (figura 8.14) que gira sobre la base mayor de 12 m. La otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m.

Figura 8.14

147

148

Soluciones 1) El prisma 18, el paralelepípedo 12. 2) Perímetro de la base = 8 x 5 = 40 cm

Área lateral = 40 x 10 = 400 cm2

3) h = 9 cm 4) Área lateral = P x a = 15 x 10 = 150 cm Área total = A lateral + 2B = 150 + 12,5 √ 3 cm2

Base = l2 √ 3 / 4 = 25 √ 3 / 4

5) A = 90 m2 lo que da un precio de 540 euros V = 8 . 6 . 1,5 = 72 m3 = 72.000 litros 6) Área total = 1101,66 cm2 A loseta = 20 . 20 = 400 cm2 = 0,04 m2 7) A = 156 m2 El número de losetas será de 156 / 0,04 = 3900 8) Tiene 6 caras. 9) Área total = 5766 cm2 10) Si llamamos d a la diagonal de una cara y D a la del cubo (figura 9.11), aplicando Pitágoras será d = a√2 D=a√3 11) 27.000 ladrillos 12) 48 dm3 = 12 . h →

h = 4 dm

13) La altura es de 1,5 metros 14) Área total = 2ab + 2ac + 2bc = 370; A = bc = 50 ; a = 5 Operando: ab + ac + bc = 185 → 5b + 5c + 50 = 185 → b + c = 27 Y considerando que bc = 50 se obtiene b = 2, c = 25 Las aristas son 2, 5 y 25 cm Área lateral = 18 l2 15) Área de las dos bases = 3 √3 l2 Área total = 46,392 m2 de donde l2 = 2 y l = √2 m 16) Perímetro de la base = 19 m De donde la altura a = 9 m.

Área lateral = 19 a = 171 m2

17) Volumen caja = 0,340 m2 Capacidad en litros = 340 litros 18) Si x es la anchura y 2x la longitud, el perímetro de la caja será 6x. Entonces el área lateral será 6x2 y el área de la base 2x2, de donde el área total es 10 x2. x = 0,8 m Volumen interior = 0,8 . 0,8 . 1,6 = 1,024 m2 10 x2 = 6,4 19) Perímetro de la base = 30 cm Lado de la base = 5 cm Volumen agua = 1461,375 cm2 Área de la base = 64,95 cm2

149

20) La apotema de esta pirámide es cateto de un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa 5 m siendo 4 m el otro cateto. De ahí que la apotema resulte de 3 m. Área base = 27,712 m2 Área total = 63,712 m2 Área lateral = 36 m2 21) Área total = P . a / 2 + l2 = 20 . 10 / 2 + 52 = 125 cm2 22) V = 1/3 B h = 1/3 62 . 8 = 96 dm3 = 96 litros 23) Apotema = 4,77 Área lateral = P . a / 2 = 42,93 cm2 Área total = 66,33 cm2 siendo la base = 23,4 cm2 V = 1/3 B h = 31,2 cm3 siendo h = 4 24) 1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3 1000 = π . 42 . h → h = 19,9 cm

Como el Volumen = B h = π r2 h

25) V = 256 cm3 = π 62 h → h = 2,26 cm 26) A = 2 π 5 (20 + 5) = 785,398 cm2

que para 10 botes será 7.853,98 cm2

27) V = 12.560 cm3 28) Área lateral cilindro = 2 π r a

Como a = 3 r

A = 2 π r . 3 r = 18,48 m2

29) Volumen piedra = (0,8 / 2)2 . 3,14 . 0,483 = 0,242782 m3 30) Diámetro de la base es 2r y 2ª de donde r = a. de donde r = 3 √2 / 2 l2 = a2 + r2 = 2 r2 = 9 Área lateral = 3,14 . 3 . 3 √2 / 2 = 19,993 m2 31) La altura será de 60 cm 32) Sea a la altura común. Los volúmenes serán: a/3 . π 0,562 / 4 y a/3 . π 1,122 / 4 De donde la razón será 0,562 / 1,122 = 1/4 33) Se forman dos conos iguales, por lo que V = 2 . 1/3 . B . h La base tiene como radio la altura del triángulo: r = l √ 3 / 2 La altura del cono es h = l/2 V = 2 . 1/3 π r2 h = 16 π cm3 34) Se forma un cilindro central más dos conos en los extremos. La altura de los conos será: 12 – 7 / 2 = 2,5 m y el radio r = 9 2 − 2,5 2 = 8,65 de donde r2 = 74,75 V cono = 1/3 B h = 1/3 π r2 h = 62,29 π m3 V cilindro = B h’ = π r2 h’ = 523,25 π m3 V total = 523,25 π + 2 . 62,29 π = 647,83 π m3

150

Tema 9 Estadística descriptiva Establecer los objetivos del trabajo Los objetivos de un trabajo estadístico pueden ser de dos clases: - Descriptivos: Describir las características de un determinado conjunto de elementos. Por ejemplo, se puede tratar de describir las costumbres de un determinado grupo de jóvenes durante su período de ocio. - Confirmación/Rechazo de una hipótesis formulada previamente. De esta manera, se plantean determinadas hipótesis previas (el tiempo dedicado al ocio durante el fin de semana es mayor, los chicos consumen más bebidas alcohólicas que las chicas, etc.) de manera que el estudio estadístico permita confirmarlas o rechazarlas. Esto implica la elección de variables en el estudio estadístico a realizar, que pueden ser, a su vez, de dos clases: - Cualitativas, atributos cuyos valores no conocen valores intermedios. Por ejemplo, fumas/no fumas, tienes ordenador en casa/no lo tienes, te gusta para el verano la playa/la montaña, tienes el pelo rubio/moreno/castaño/blanco. - Cuantitativas son aquellas variables cuyos valores pueden asociarse a una escala numérica como, por ejemplo, edad, estatura, número de vasos de cerveza bebidos, etc. En términos matemáticos, son variables susceptibles de ser medidas, hecho que no sucede en las variables cualitativas. Las variables cuantitativas, a su vez, se diferencian en continuas (entre dos valores siempre puede existir uno intermedio, como en el caso de la estatura) y discretas (si no puede tomar valores intermedios, como al considerar el número de hermanos).

Elegir la población La población investigada puede ser de tamaño tan reducido que resulte fácilmente asequible, por ejemplo, eligiendo como población o conjunto de elementos investigados, los jóvenes presentes en una fiesta. Sin embargo, un tamaño demasiado pequeño conlleva una escasa generalización de los resultados obtenidos a una población más amplia. Así, analizar la presencia de bebidas alcohólicas en la juventud preguntando a los integrantes de una botellona resultará completamente sesgado y no permitirá generalizar las respuestas a todo tipo de jóvenes. Sin embargo, una población más grande implica la elección de muestras representativas y para que lo sean tendrían que tomarse diversos estratos (jóvenes de distintas edades, de distinto poder adquisitivo, de pueblos y de ciudad, etc.) y con un número en relación a la población total estudiada.

151

Confección de un cuestionario Elegidas los variables a estudiar (cualitativas/cuantitativas) hay que formular las preguntas oportunas para conseguir los objetivos planteados. Las preguntas pueden ser abiertas (¿cómo pasas el fin de semana cuando sales de casa?) pero lo más aconsejable a la hora de facilitar la codificación de las respuestas es elegir preguntas de respuesta múltiple. Por ejemplo, ¿qué medios de comunicación tienes en tu casa?: Televisión Radio Teléfono Internet Móvil Otros

() () () () () ()

Especifíquese ..........................................

En estos casos siempre conviene dejar un apartado para casos no previstos (radios de onda corta, por ejemplo, o cualquier otra tecnología). Naturalmente, las respuestas múltiples se pueden prever en el caso de los atributos cualitativos. En la elección de estos factores hay que tener en cuenta algunos aspectos que pueden causar serios problemas de codificación después. Las preguntas deben estar bien formuladas y permitir respuestas inequívocas. Así, por ejemplo: ¿Utilizas mucho el ordenador?

Sí ( ) No ( )

es una pregunta mal formulada por cuanto el entrevistado dará un significado a la palabra “mucho” que puede ser muy distinta de otras personas que respondan. Para unos mucho serán 2 horas al día, que puede resultar lo normal para otros. Te gusta pasar el verano en : La playa ( ) La montaña ( ) Con tus amigos ( ) Esta pregunta también está mal formulada por dos motivos. En primer lugar, las respuestas múltiples deben corresponder, en la medida de lo posible, a una misma variable. No se puede mezclar en las respuestas sugeridas el entorno (playa/montaña) con la compañía. En segundo lugar, las respuestas deben ser excluyentes entre sí. En este caso, tal como se ha formulado la pregunta puede que haya encuestados a los que guste tanto la playa como la montaña y ello no está previsto. La pregunta podría formularse mejor así: ¿Dónde te gusta más pasar el verano?: La playa ( ) La montaña ( ) Otros ( ) El análisis que es posible efectuar de los atributos cualitativos es más pobre en cuanto a resultados que el efectuado en las variables cuantitativas. Por ello conviene elegir, siempre que se pueda, a estas segundas de manera preferente. Así, la pregunta: puede sustituirse por:

¿Fumas?

Sí ( )

No ( )

¿Cuántos cigarrillos fumas al día? .................

de manera que quien responda 0 podemos determinar que es no fumador y, al tiempo, la variable es cualitativa y se puede examinar el grado en que se fuma dentro de la población estudiada. 152

Esto conduce a otra observación de importancia dentro de la formulación de preguntas propias de las variables cualitativas/cuantitativas. Es fácil transformar una variable cualitativa en cuantitativa imponiendo un criterio propio. Así, podemos distinguir No fumadores ....................... Pequeños fumadores ............. Medianos fumadores ............ Grandes fumadores ...............

0 cigarrillos al día. 0 - 5 cigarrillos al día. 5 - 10 cigarrillos al día. Más de 10 cigarrillos al día.

Sin embargo, una variable cualitativa es difícil de transformar en cuantitativa sin una pérdida considerable de exactitud en el análisis de los datos cuando no contradicciones y análisis inadecuados. Por ejemplo: ¿De qué color tienes el pelo? Rubio ( ) Moreno ( ) Castaño ( )

Blanco ( )

Otros ( )

no tiene sentido codificarlo como variable cualitativa posteriormente, Rubio (1)

Moreno (2)

Castaño (3)

Blanco (4)

Otros (5)

puesto que las respuestas no tienen una naturaleza numérica que pueda ser ordenada.

Construcción de tablas de frecuencia Cuando se empieza a examinar las respuestas habidas, la primera actuación consiste en construir una tabla para cada variable donde aparezcan sus valores con la frecuencia absoluta, es decir, el número de respuestas que corresponden a dicho valor. Así, ante la pregunta ¿Fumas? (Variable cualitativa) se presentan dos valores posibles, Sí y No. Si se ha pasado el cuestionario a 50 personas en total, la frecuencia absoluta puede ser: Frecuencia absoluta

Sí ........... 20 No .......... 30

Que daría paso a una frecuencia relativa o cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de respuestas: Frecuencia relativa Sí ......... 20/50 = 0,4 ......... 40 % No ........ 30/50 = 0,6 ......... 60 % expresable, como se ve, por medio de porcentajes sobre el total de respuestas. La frecuencia relativa sería, en este sentido, el tanto por uno. Cuando nos encontramos con una variable cuantitativa x que presenta una serie de valores xi, cada uno con una frecuencia absoluta ni, se puede disponer el mismo tipo de tabla, teniendo en cuenta que la frecuencia relativa se definirá como Fr = ni / N siendo N = ∑ ni el número total de observaciones. Así, en el caso de la edad de los estudiantes en una clase:

153

xi

ni

fr

%

fa

18

6

0,12

12 %

0,12

19

12

0,24

24 %

0,36

20

14

0,28

28 %

0,64

21

10

0,20

20 %

0,84

22

8

0,16

16 %

1

N = 50

1

100 %

La última columna corresponde a la frecuencia relativa acumulada, que se obtiene haciendo corresponder a cada valor xi la suma de las frecuencias relativas de dicho valor y todos sus anteriores. El significado que tiene se refiere fundamentalmente a las variables cuantitativas y consiste en indicar la frecuencia de la presencia de valores menores o iguales que el indicado. Así, el hecho de que al valor xi = 20 le corresponda una frecuencia acumulada de 0,64 indica que el 64 % de las observaciones se refiere a estudiantes de hasta 20 años. Cuando en la variable se consideran intervalos más que valores concretos, fundamentalmente si la variable cualitativa es continua, el valor de xi se suele tomar como el valor medio del intervalo. De esta forma, al registrar estaturas, se pueden obtener los intervalos (1,50 - 1,60], (1,60 - 1,70], (1,70 - 1,80], (1,80 - 1,90] sustituyéndose de cara a obtener los estadísticos oportunos por: 1,55 - 1,65 - 1,75 - 1,85.

Representaciones gráficas Existen diversas representaciones gráficas más o menos aconsejables según el tipo de variables utilizada. El más importante suele ser el diagrama de barras o histograma, particularmente adecuado cuando la variable es cualitativa y continua (el ancho de barra representaría el intervalo) pero presente también en las variables de tipo cualitativo (figura 9.1).

Figura 9.1 154

En otras ocasiones o cuando los intervalos son sustituidos por las marcas de clase o valores intermedios, se tiene un diagrama de puntos que, para mejor comprensión, se unen entre sí mediante una línea (figura 9.2).

Figura 9.2 Uno de los más populares también es el diagrama de sectores, particularmente de aplicación en las variables cualitativas (figura 9.3). En él, el ángulo central de cada sector es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa).

Figura 9.3 En caso de disponer, como en la tabla, de 50 observaciones y querer representar un valor de frecuencia 12 se procedería a establecer a siguiente proporcionalidad: 360º / 50 = xº / 12 de modo que x = 12 x 360º / 50 = 86,4 º y la representación de esta frecuencia correspondería a un ángulo central de 86º, fácilmente determinado con el transportador de ángulos. Existen otras representaciones gráficas derivadas del diagrama de barras y que muestran la frecuencia de los valores de la variable según criterios de tamaño pero no referidos a barras, sino a figuras alusivas a la variable de que se trata. Son los pictogramas (figura 9.4). 155

Figura 9.4

Medidas de centralización Las medidas de centralización pretenden sustituir todo el conjunto de datos por uno que los represente de manera resumida. Existen básicamente tres, que se examinan a continuación. Media aritmética U

U

Si se ha obtenido en un examen parcial un 4 y en el siguiente un 6, estas dos observaciones se resumen en una sumando ambas y dividiendo por el número de observaciones: x = ½ (4 + 6) = 5 Si se desea hallar un valor que represente las notas obtenidas en determinado examen, se vuelven a sumar todas ellas dividiendo por el número de notas registradas: x = 1/12 (1 + 1 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8) = 5,08 Así que, si las observaciones son xi y el número total de datos es N, la media aritmética se definirá como x = 1/N (x1 + x2 + x3 + ... + xN) = ∑ xi / N B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Ahora bien, en vez de sumar tres veces cinco o dos veces siete, se pueden sustituir los valores repetidos por el producto del valor xi por la frecuencia absoluta que presentan ni , que para el caso planteado en la tabla 1, daría lugar a B

B

B

B

x = 1/50 (18 x 6 + 19 x 12 + 20 x 14 + 21 x 10 + 22 x 8) = 20,04 x = ∑ xi ni / N B

Mediana U

B

B

B

U

La mediana se define como el valor que ocupa el punto central cuando la serie numérica está ordenada creciente o decrecientemente. Para su cálculo resulta de gran utilidad la frecuencia acumulada por cuanto la mediana será el valor numérico que deje la mitad de las observaciones por debajo y la mitad por encima de dicho valor. Si el número de observaciones es impar el cálculo de la mediana es inmediato porque, una vez ordenadas las observaciones, se elige a la central. Tal es el caso de las siguientes calificaciones: 1 1 3 4 4 5 6 6 7 8 8 U

U

Se tienen once valores ordenados, de manera que la mediana será la que tenga la posición sexta (el 5) por cuanto hay cinco notas inferiores y cinco notas superiores. 156

Cuando el número de observaciones es par, como en el caso recogido antes de las notas de un examen: 1 1 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 U

U

resultará que habrá una pareja de valores que deja a un lado y otro el mismo número de observaciones. En ese caso, la mediana se considera la semisuma de estos dos valores centrales que, para el ejemplo considerado, será de 5,5. Cuando el número de valores es muy grande, se considera también admisible tomar como mediana el valor de la variable correspondiente a la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente superior a N/2 o bien, en la frecuencia relativa acumulada, la inmediatamente superior a 0,50 (50 %) que, en el caso de la tabla 1, sería 20. Este cálculo puede representarse fácilmente en un diagrama de barras o de puntos. Dado que en ordenadas se suele reflejar el número N de observaciones, se tiende una línea paralela al eje de abcisas por N/2 de manera que el valor coincidente con este línea o el inmediatamente superior resulta ser la mediana. Moda U

U

La moda, de aplicación tanto a variables cualitativas como cuantitativas, es el valor de la variable de mayor frecuencia. Su determinación, obviamente, se produce al observar el valor xi al que corresponde el mayor ni en la tabla de frecuencias. B

B

B

B

Medidas de dispersión Un alumno A tiene las siguientes calificaciones en una asignatura: 4, 7, 9, 2, 8. Otro alumno B tiene en cambio las siguientes: 5, 6, 6, 6, 7. Las medias respectivas son: xA = 6 ; xB = 6 Sin embargo, se puede apreciar que el simple dato de la media aritmética no describe el comportamiento de ambos alumnos, el segundo mucho más regular que el primero. Esta regularidad se basa en que sus calificaciones están más cerca de la media aritmética mientras que las del alumno A aparecen más dispersas respecto a este estadístico. B

B

B

B

La primera medida estadística para determinar el grado de dispersión de los datos es el recorrido, es decir, la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de la variable. En el caso de los dos alumnos sería: RA = 8 - 2 = 6 ; RB = 7 - 5 = 2 B

B

B

B

Sin embargo, la medida de la dispersión será más exacta si consideramos las diferencias de cada dato respecto de la media aritmética: Alumno A 4-6=-2 7-6=1 9-6=3 2-6= -4 8-6=2 U

Alumno B 5 - 6 = -1 6-6=0 6-6=0 6-6=0 7-6=1

U

U

U

Se puede observar que la suma de las desviaciones es igual a 0 en ambos casos porque unas desviaciones por debajo son compensadas por otras desviaciones por encima de la media, lo que es lógico esperar dadas las características de la propia media como valor centralizado de los datos presentes. Sin embargo, la idea de sumar estas desviaciones es adecuada pero siempre que consideremos, o bien el valor absoluto de estas desviaciones (- 4 y + 4 supondrían una 157

misma desviación) o bien, como se hace habitualmente, el cuadrado de las desviaciones parciales. Alumno A Desv2 Alumno B Desv2 4-6=-2 4 5 - 6 = -1 1 7-6=1 1 6-6=0 0 9-6=3 9 6-6=0 0 2-6= -4 16 6-6=0 0 4 7-6=1 1 8-6=2 Suma 34 Suma 2 Cuando se comparan sumas de desviaciones al cuadrado habrá que tener en cuenta el número de observaciones para poder comparar de manera uniforme casos en que el número de observaciones es diferente (por ejemplo, comparar la dispersión de notas en una asignatura en la que hay cinco notas parciales con otra de la que se llega a disponer de ocho notas parciales). De este modo se divide esta suma por el número de observaciones en lo que puede entenderse como una media aritmética de los cuadrados de las desviaciones. A este término se le llama varianza, es decir, el cociente entre la suma de los cuadrados de la desviación a la media aritmética y el número de datos: U

U

U

UP

U

UP

U

U

U

U

U

UP

UP

U

V = ∑ ni (xi - x)2 / N B

B

B

B

P

P

Pero esta varianza no puede compararse adecuadamente con la media ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado. Por eso, se define la desviación típica como la raíz cuadrada de la varianza y se suele representar por la letra σ. De este modo, si la varianza de los dos casos anteriores era: VA = 34 / 5 = 6,8 VB = 2 / 5 = 0,4 su desviación típica será: σA = √6,8 = 2,6 σB = √0,4 = 0,6 B

B

B

B

B

B

B

B

de manera que los datos referidos al alumno A quedan mejor descritos con los dos estadísticos, la medida de su centralización y de su dispersión, (6, 2,6) mientras que el alumno B queda descrito de la misma forma (6, 0,6).

Variables bidimensionales Cuando, dentro de una misma población estudiada, se disponen datos de la presencia simultánea de valores de dos variables, esto permite estudiar la posible relación entre ambas. En este sentido, nuevamente hay que distinguir entre el estudio de la relación de dos variables cuantitativas (lo que da lugar a la idea de correlación y un análisis a partir de la covarianza) y cuando al menos una de las variables es de tipo cualitativo (y entonces el estudio se realiza por medio de las tablas de doble entrada). Dos variables cuantitativas U

U

Supongamos que, dentro de una clase formada por diez alumnos, se tienen las notas de dos asignaturas, matemáticas y física.

158

Variable X Matemáticas

Variable Y Física

7

6

6

4

8

7

3

4

6

5

9

6

4

2

10

9

2

1

5

6

Media: x = 6

Media: 5

Podemos representar estas calificaciones (cada uno de los valores de estas variables) de manera conjunta en un eje de abcisas (notas de Matemáticas) y otro de ordenadas (notas de Física) de manera que nos encontremos ante un diagrama de puntos. Cuando los puntos representados distan poco de una recta como la trazada podemos afirmar que existe una correlación positiva entre ambas asignaturas. En otras palabras, que cuando los valores de una asignatura aumentan (notas mejores) también aumentan los de la otra así como que si las notas de una asignatura disminuyen (peores notas) también lo hacen los de la otra. Cabe también la existencia de una correlación negativa, es decir, que al aumento de los valores de una variable le corresponda una disminución similar de los valores de la otra. Ello puede suceder, por ejemplo, cuando confrontamos las distancias a las que un jugador tira a canasta en baloncesto con el nivel de aciertos. Es posible una correlación negativa que indicaría que a mayor distancia menor número de aciertos y viceversa. Continuando con el ejemplo de la tabla 2, existe un parámetro estadístico que nos indica el carácter y grado de la correlación entre ambas variables. Se trata de la covarianza, entendida como la media de los productos de las distancias de un valor a su media. La idea es una extensión de la de varianza para una variable. En efecto, cada variable tiene una media de manera que la conjunción de ambas da lugar a un punto dentro de la representación gráfica que, tal como se señala en la figura, es el (6,5). Pues bien, la covarianza considera la desviación respecto de la media correspondiente de los valores de cada variable y los multiplica por parejas. Naturalmente, ello tiene que corregirse, dado que se suman todos estos productos, con la división por el número de observaciones. Por otro lado, se demuestra en Estadística, que este valor se puede expresar como la media de los productos menos el producto de las medias, dando lugar a otra forma de cálculo más sencilla: CXY = 1/N ∑ (xi - x) (yi - y) = 1/N ∑ (xi yi) - x y B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

de forma que en el caso de las dos asignaturas, esta covarianza sería se: C XY = 1/10 (348 - 30) = 31,8 B

B

159

que da un valor positivo alto, indicando un grado de relación elevado entre ambas variables. Una variable cualitativa al menos U

U

Cuando interviene una variable cualitativa en el análisis de la relación entre variables la complejidad estadística del estudio que es posible realizar aumenta notablemente. Es por ello que, al nivel de este curso, solamente citaremos como elemento de análisis la realización de una tabla de doble entrada en la que los valores de cada variable aparezcan en abcisas u ordenadas de manera que cada casilla registre el número de casos conjuntos de un valor determinado de cada variable. Así, si relacionamos las notas de una asignatura distribuidas en cuatro categorías (suspenso S, aprobado A, notable N y sobresaliente SO) con el sexo de los estudiantes (hombre H y mujer M) se puede establecer una tabla con los casos en que suceden simultáneamente los distintos valores de las variables. En una columna de la derecha se dispone la frecuencia absoluta y relativa (en forma de porcentaje) de los valores de la variable sexo. Se puede observar que, al haber 12 observaciones en cada caso, hay un 50 % de hombres y un 50 % de mujeres. De igual modo, en la fila inferior se señala los mismos tipos de frecuencias de los valores de la variable calificaciones: Para toda la población (24 casos), hay un 21 % de suspensos, 37 % de aprobados, 25 % de notables y 17 % de sobresalientes. Todos estos porcentajes son los esperables si la otra variable no tiene efecto sobre la que presenta estas frecuencias.

S

A

N

SO

3

5

3

1

H

25 % 60 % 12,5 %

42 % 55 % 21 %

25 % 50 % 12,5 %

8% 25 % 4%

2

4

3

3

M

17 % 40 % 8%

33 % 45 % 17 %

25 % 50 % 12,5 %

25 % 75 % 12,5 %

50 %

5

9

6

4

24

21 %

37 %

25 %

17 %

12 50 %

12

Es por ello que se incluye, tras la frecuencia absoluta de cada casilla (primera línea en cada una), tres porcentajes sucesivos. Veamos qué análisis permiten. El primer porcentaje corresponde a la frecuencia relativa al valor de la variable Sexo. Así, hay 5 suspensos en esta población, que representan el 21 % de total de observaciones. Pues bien, considerando sólo los hombres, los suspensos son 3, es decir, 3/12 = 0,25 de frecuencia relativa sobre el total de hombres (el 25 %). De este modo, podemos comparar el porcentaje de suspensos de toda la población (21 %) con el porcentaje de suspensos de los hombres (25 %) y de las mujeres (17 %), de donde se puede concluir que parece existir una influencia de la variable Sexo sobre el número de suspensos. Si comparamos del mismo modo el porcentaje de sobresalientes global (17 %) podemos observar que es más elevado en las mujeres (25 %) que en los hombres (8 %) revelando una tendencia a que las mujeres saquen mejores notas y, en consecuencia, la variable Sexo tenga influencia sobre a variable Calificación. El segundo porcentaje realiza una labor similar pero refiriendo los valores de cada casilla a la frecuencia absoluta de cada calificación. Así, sobre 5 suspensos, 3 son de hombres (60 % del total de suspensos) y 2 de mujeres (40 %). Teniendo en cuenta que la frecuencia esperable, si hubiera una distribución equitativa, sería del 50 % en cada caso, parece haber una tendencia, 160

nuevamente confirmada, a un número mayor de suspensos entre los hombres. Del total de sobresalientes (4), por otra parte, el 75 % son de mujeres y sólo el 25 % de hombres, mostrando la misma tendencia. El último porcentaje se refiere a la frecuencia relativa de cada casilla, no respecto a la fila o columna correspondiente, sino respecto del total.

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