Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES J u l i á n R o d r í g u e z R uiz

M a ria n o M a tilla G a r c ía M .° C a rm e n G a r c ía L lam as

Julián Rodríguez Ruiz Catedrático de Economía Aplicada. UNED

Mariano M aúlla García Profesor Titular de Universidad. Economía Aplicada. UNED

Ma. Carmen García Llamas Profesora Titular de Universidad. Economía Aplicada. UNED S l•

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES U NI V E R S I D A D N A C I O N A L D b ED U C A C I Ó N A DI STANCI A rU M ÍK O ASOCIADO PONTEVEDRA BIBLIOTECA

’ ^0M*

........

GL EDICIONES ACADEMICAS

índice

Prólogo...............

XIII

C apitulo 1. Progresiones, Sucesiones y S erles,.............. ,....................................... Introducción. Objetivos didácticos............................................................................ 1.1. Concepto de sucesión. Tipos de sucesiones..................................... 1 .2 . Progresiones aritméticas: Definiciones y suma de términos consecutivos.. 1.3. Progresiones geométricas: Definiciones y suma de términos consecutivos. 1.4. Sucesiones convergentes: Concepto de limite, cálculo y propiedades 1.5. Series,,..,,.,.,,,,,.,.,....... 1.6. Seríes de términos positivos............................................................................ Resum en ... A ctividades............................................................................. Problemas propuestos............................................................................................ Soluciones a los problemas propuestos............................................................... Plabras clave....................................................................................................... C apítulu 2. C álculo m a tric ia l

..........................................................

Introducción. Objetivos didácticos— ................................................................ ,.... 2,1, Matrices ..... 2,2- Operaciones con m atrices............................ 2.3, Transposición de m atrices ..... 2.4, Determ inantes ............................................. 2.5, Desarrollo de un determinante por los cíememos de una línea.................. 2.6, Producto de determinantes ...... 2.7, -Suma de D eterm inantes ........... 2.8, Rango de una matriz ............. 2.9, Obtención del rango de «na m atriz ......... 2 . 10 , M u ir/ inversa de una matriz dada ............................................................ Resumen.,, ................ Actividades....................................................................................... Problemas propuestos.............. - .......... - .................................. Soluciones a Los problemas propuestos...................... Plabras clave...................................................................................

I 3 4 3 7 11 13 16 IR 21 21 22 24 25 27 28 32 35 36 41 43 44 46 48 50 57 61 61 63 65

X

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

C apítulo 3. M étodos de Resolución de Sistem as de E cuaciones

................

67

Introducción. Objetivos didácticos .................. 3.1. D efiniciones.......................... ........................................................................... 3.2. Método de Gauss-Jordán 3.3. Expresión marriciai de un sistema de ecuaciones lineales. Sistema de Cram e r........................................... ......... ,™— .....— .................. 3.4. Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Teorema de. Ronché-I-roben ius.................................................................................. 3.5. Sistemas hom ogéneos ------------------------3.6. Discusión de un sisicm a................... Resumen.................................................... — ... ................. Activ idades.............................. .....™ .™ ...... Problemas propuestos Soluciones a tos problemas propuestos................ Plabras clave.................................. .................... ......... .....................................

69 70 70

C apítulo 4. N um eras co m b in a to rio s..........................

72 76 SO S2 84 87 87 89 91 93

Introducción. Objetivos didácticos-------------- — ............... 95 4.1. Combinatoria....................................................... 96 96 4.2. Variaciones................................. 4.3. Pem iutaciones_______ ____________________ a — ........ 98 4.4. Combinaciones............................................................... 4.5. Potencias de binomios y polinomios......................................... Resumen.................................. .......................... ;— ..... ~.......... .— 1 tO A ctividades......................................................................... 112 Problemas propuestos................................. .......................................................... 1i 2 Soluciones a los problemas propuestos...™ .......................................................... 113 Plabras clave................................................................................. C apitulo 5. Punciones de una variable...™ .

........................................

Introducción. Objetivos didácticos................................................

116 117

Introducción. Objetivos didácticos. ................................ 119 5.1 Dominio y definición de funciones ...................................... 5.2. Composición de funciones .................... — ............................... 123 5.3. Límites y continuidad de funciones de variable real..,.................................... 5.4. Funciones polinómicas.......................... 147 5.5. Funciones logarítmicas y exponenciales........................................................... 157 Resumen............................................................................................. Actividades ........................................................... Pro Mentas propues to s .......................................................... Soluciones a los problemas propuestos ......................................................... 176 Plabras clave............. ............................... .........................................................- .......... 180 C apítulo 6 . Calculo diferencial e integral con funciones de una v a ria b le

102 105

120 120

172 175

181 183

1K0ICF

XI

6.1. Concepto y edículo ele derivadu „„„ ....................... „„„„ 6.2. Aplicaciones de la derivada.................. 6.3. Integración.................................. 6.4. Intergral definida. Cálculo de áreas,...,,,,,.,,,,..,,.................. Resumen, ........ - ................................................................... Actividades............................ Problemas, propuestos ....................... Soluciones a los problemas propuestos............... Plabras clave .................

184 203 226 232 235 242 242 243 245

BibliogralTa.

247

Capítulo

Progresiones, Sucesiones y Series

ESQUEM A introducción. Objetivos didácticos. 1.1. C oncepto de sucesión. Tipos de sucesiones. 1.2. Progresiones aritméticas: Definiciones y Surtía d e térm inos consecutivos. 1.3. Progresiones geom étricas: Definiciones y suma de térm inos consecutivos. 1.4. Sucesiones convergentes: Concepto de límite, cálculo y propiedades. 1.5. Series. 1.5. Series de térm inos positivos. Resumen. Actividades. Problemas propuestos. Solución a los problem as propuestos. Palabras clave.

PROGRESIONES. SUCHSIí>NKS Y SERIES

3

INTRODUCCIÓN. O B JE TIV O S DIDÁCTICOS En el presente capitulo se estudian las. sucesiones, y las progresiones aritm éticas y geométricas. U no de los aspectos más destacados en \ws sucesiones se refiere a la con­ vergencia y de m anera especial, el concepto de límite para su aplicación a las series n u ­ méricas-, siendo un caso particular de las sucesiones. Por sucesión se entiende un conjunto ordenado de elem entos. Nosotros consideramos, únicam ente, las sucesiones numéricas, en donde se denom ina tém uno a cada elemento. 'Poda sucesión tiene prim er término, perú no tiene último, lo que se explica porque todo término nene siguiente. A hora bien, en las aplicaciones se pueden considerar solo, un cierto num ero de los primeros términos. Una propiedad característica de las sucesiones es que, conocido el lugar que ocupa un término, se puede calcular su. valor, esto es, existe, en esa sucesión, una ley de form a­ ción. Por ejem plo, si se forma la sucesión de ios cuadrados de los números naturales. 1,4 ,

9, 1 6 ,2 5 ...,

No hay dificultades* de obtener un término cualquiera, sabiendo eJ lugar que ocupa. Ejemplos típicos do obtener un término cualquiera son las progresiones, sucesiones co ­ nocidas desde la antigüedad. Las senes están muy relacionadas con las sucesiones y se forman por sumas de tér­ minos consecutivos de una sucesión.

r

OBJETIVOS D IDAC TICO S

> Comprender que se entiende por sucesión. > Relacionar Las sucesiones y las series. > D efiniciones de progresiones aritméticas y geométricas. > Entender el concepto de límite. >

Identificar el concepto de convergencia.

> Asim ilar ci concepto de condición necesaria y suficiente de convergencia. > Identificar y com prender los distintos criterios de convergencia.

4

MAEiíMATl CAS APLICADAS a LAS H ENCIAS NOCÍALES

1.1.

CO N C EP TO DE SU C E S IÓ N .TIP O S DE SUCESIONES

En general se llama sucesión de elem entos de un conjunto A* a una aplicación del conjunto feJ (conjunto de los números naturales. 1. 2. 3* n\ en A* esto es una función de variable n natural que toma valores en .4. La im agen de n por la aplicación se suele re­ presen tur por [¿ /J o {d J p .gy la sucesión entera por ü mt .4. y tam bién tí,. ay a y ... Para determ inar una sucesión puede hacerse: tí) P or enumeración. Expresando los p rim ean lám in o s de la sucesión L de las im ágenes de los núm eros nal uralcs

'A. 'A, ...

Definiciid**el té rm in o general / . E xpresindo tta como función de n n = 1 , 2 ,...

tín = /(# 3 l.

Por ejem plo la sucesión anterior puede definirse tam bién por I a* = 7, r i D ando los primeros términos y la relación que liga ai término general con el ante­ rior o anteriores. Por ejem plo la sucesión -J 2 . V U 2 J 2 -J2 J 2 .. . puede deñrnrse por: ax = j l .

^ 2 a „ ,.

tí> l

EJEM PLO 1

2/1 + 1

an = *

12+1

I>ando a n valores 1 , 2 , 3

2-1 + 1

3

n

resulta:

2-2 + í

4+1

4

;

2*3 + 1

7

; fl3' s ^ i ' i o

0 sea. la sucesión sería:

3

7_

9

_ 1 I« " T i • 2 10 17

2/i+1 n +1

Cuando no hay lugar a confusión se pueden diir. directam ente. los primeros términos, corno en el ejem plo siguiente.

PROGRESIONES. SUCESIONES Y

SEBEES

5

EJEMPLO 2

1 4 ’ 9' ló ? D onde se aprecia que la sucesión está form ada p o r los inversos d e los cuadrados de los núm eros naturales.

O tra form a du definir una sucesión e s por recurrencia* esto es. expresando un term ino cu función de uno o m ás térm inos anteriores y dan d o los valores de los prim eros térm i­ nos. E ste es el caso de las progresiones (véanse progresiones). Un ejem plo típico es la conocida sucesión d e Fibonaeci. que se define; £v s = í w + i}*

y

ai = 1

w2 = |

Q ue indica que un térm ino cualquiera es igual a la surna de los dos anteriores, siendo los dos prim eros iguales a Ja unidad. A sí resulta;

1. 1. Z 3. 5. 8. 13, ... 141*2.

1+ 2 = 3.

2 + 3=5.

3 + 5 = 8,

5 + 8 = 1 3 , ., .

T ip o s de sucesiones: D ada Ja sucesión \a m\ direm os que: I. II

La sucesión { a j e s m o n ó to n a c re c ien te si an > u n , para c a d a /r a n t para cada n e ft¿. IV. La sucesión |t / ft} es e s tric ta m en te d e c re c ie n te si an = a , + d a } = a2 -r d

ax = a ^ + d

a „ = « , - i + '/ Sumando las igualdades anteriores y simplificando. se obtiene; aw = ar + ( n - l ) £ / y u e pcnniie hallar el término /r-ésimu, humando al primero (n - 1 ) veces la diferen­ cia. En una progresión aritm ética Jimia, de prim er término «, y último úm, se cumple que la suma de dos términos equidistantes d e los extremos es ixuut a la simia de éstos. a-., = a , + d

a„_| = a m - d

«, = « , + 2 d

an _1 = a „ - 2 t i

ÍX* donde:

De donde: Ojr-Om-2 = ^ * a« Y así sucesivamente.

Suma Para obtener la sum a de los n prim eros térm inos S m: S n = aí + « : + ü , - E - - + ¿7(|_J +£7w., + - °c). ^ j . ( E ) . (o . *>, (0" ), (;»* } en cuya resolución se deben aplicar métodos especiales.

Cálculo de límites en el caso de indeterm inaciones Consideremos una expresión racional que tanto en el numerador como en el denomi­ nador tenga polinomios en n de grados p y J donde a„ y h(l son no nulos. Dividiendo numerador y denominador por la menor potencia i f o rf, se obtiene: • Suponiendo q > p a, A . = -------------- 2 ---------- ü----- j— Dn b0n v- q

u„np + u .n F 1 4-a,/i1’ 2 +•■•+a„ lim ------:-------- —¡----- ——;----------- - - ■ P ro p ied ad es Toda sucesión tiene primer elemento; iodo térm ino liene siguiente (no hay último): existe una ley que perm ite conocer un término, sabiendo el lugar que ocupa.

► Progresiones a rilm é lica s

Una sucesión de números: i

»ílj • ■••• (¡A■ *

Se llama progresión aritmética si cada término se obliene del anterior, sum ándole un núm ero fijo at que se denom ina diferencia o razón.

► P ro g resio n es g eom étricas U na sucesión de números:

Se llama progresión geom étrica, si cada término se obtiene deí anterior m ultiplicán­ dole por un número fijo r denom inado razón.

► L ím ite de u na sucesión (lím ite finito)

L a sucesión ur tiende al limite a . (lim aK= ü ) cuando para cad a e > 0 existe un que pura iodo n > M |a - a j > e.

tal

Dentro de indo entorno del límite existen infinitos términos de la sucesión y fuera sólo un número finito.

► L ím ite de una sucesión (lím ite infinito) Si fijado cualquier número A, lan grande com o se quiera, para todo n > N se cumple | a j > A se dice que lim an = °c.

19

PROGRESIONES, SUCESIONES Y SERIES

> C o n v e r g e n c ia

U na sucesión con límite finito es com rergem t, Si su límite es =ct se dice que es diver­ gente.

>■ Sucesiones m onó to n as Sí cu una su c c ió n todo term ino es. £ L ím ite de los resu ltad o s o p erativ o s (su m a, p ro d u c to y cociente) Sí an y í>n tienen límites finitos a y b , lim (an + b j = a + b, esto es, el limíte de la sum a igual a la sum a de los límites. Si y bmtienen límites finitos u y b . lim [anbH) = ah. o sea, el límite del produelo igual al producto de los límites. Si aNy bf¡ tienen limites finitos a y h & 0. .•

h m a- nr = -a *-»* br b

> Series

UK

D ada la sucesión tal que: C/t = m-j;

¿¿y u v

(y2 = « j+ ií2;

.... se llama serie a Ea sucesión U r V

U> = «, + r ¿2 +w3;

( /,.......

Uh = « , + íí 2 + i¿3 + — + «h

Si lim Un = í/ (finito), la serie es convergente. Si lim Un = ce- la serie es divergente, n-+*

Si lim [/„ no existe, la serie es oscilante.

>■ Condición n ecesaria de convergencia La condición necesaria, pero no suficiente, de convergencia de una serie es L a condición n ecesaria y suficiente de convergencia e s que. fijado un g = 0

K - i + ",*= + ■'■+“,-« + --| < e Desde un valor de rt en adelante.

= 0,

20

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

■S itie s de térm inos positivos. C riterios de convergencias Criterio de D'Alamberr J c l C onverge tile I = I D udoso ii,'ir-l

/ > I D ivergente

Criterio de Cauchy / < I C onvergente I - ! D udoso l> i D ivergente Criterio de Raabe I > 1 C onvergente lim o 1 — £ _

= 1 / = 1 D udoso

l “.-i J

i < 1 D ivergente

PROGRESIONES,SLCESIONES'Y SERIES

21

^Q *fl Vi D AD E S B B B O H n i l H M n B H n H U n n PR O B L EM A S P R O P U E S T O S |

Q

La suma de ires números en progresión aritm ética e s 33 y su producto 1056. H allar esos números.

¿.Cuantos térm inos de la progresión sea 240, 2

se deben lomar para que la suma 2

2

Q

Tres números están en progresión geométrica. El segundo es 16 unidades mayor que el primero y el tercero SO unidades m ayor de el segundo- H allar dichos números.

Q

Calcular los siguientes límiies: . ... n* + re + 1 a) U m - 7 5----n ■ ±

n

+|

, .. 4/3"*+TFT2 b> lim — r ,— i-*00Irt ‘ + n +1 ,

.

c)

\fe/r + « + 2 —« n+ 2 lim -

13“ + /I + 1 d i lim -------------

« ■ ln(?j + 2)

. .. ( « + i r ‘ ej lim -----

Q

D em ostrar que la sucesión: iñ .

i¡ 6 + Í Í 6 ,

^+W +Ü 6.

...

es m onótona creciente y está acotada superiorm ente, luego tiene límite hallarlo.

|

H a lla re ! lím ite de la siguiente sucesión:

22

Q

MATEMATICAS APLICADAS A l-AS CIENCIAS SOCIALES

H allar d Ifini le de la sucesión unr sabiendo que «l = a y u ~ - b y que: h ,k 2 = mí

□

;

u 2u j

= nj

:

w,m4

= it ;

;

C arácter de las siguientes seríes; a) f

i C l i

S

"3+ 2

/i +5 b>

— ñ------------«■' + 6 *? +3 lw + t

, v n~ + /? + 1 «) 2—. n i, ~ n=2 n * + /r+ l

e)

I + - + -— 2 3 4

5

6

+ -------7 8

S O L U C IÓ N DE LO S P R O B L E M A S P R O P U E S T O S 1- flt 55 6, a2 ■* 11 y i/j = 16. 2 - 11 — 2 0 . 3 . o ] - 4 , a2 = 20

y a x = 300.

4. a) 0

« i c) 2 d)

3c

e>i 5. Respuesta igual a 2.

.,,

;

2íf,i- 1 = w»

PRQC?RESEQNES, SUCESIONES Y SERIES

23

6 . ! jl sucesión está com prendida entre otras dos que tienen límite 1. Luego el lim ite vale 1 .

7. A partir de tq • tt2 = unmt •h¡¡. re su lta: L = \Za/?2 8.

a) Divergente: las restantes, convergentes.

24

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

P A LA B R A S CLAVE Condición necesaria de convergencia de una serie, Condición necesaria y suficiente d e conver­ gencia de una serie. Condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie alternada. Criterio de convergencia de Cauchy (de la raíz). Criterio de convergencia de D 'A la m b e rt (del cociente). Criterio de convergencia de Raabe. Críterio de Stolz. El nú m e ro e. Formas simbólicas de indeterm inación. Lim ite de la soma de dos sucesiones. Lím ite de una potencia. Límite de una sucesión. Límrte del cociente de dos sucesiones. Límite del logaritm o. Limite del p roducto de dos sucesiones. Limíte finito.

Lim ite indeterm inado. Limite infinito. Limites d e potencias. Limites indeterminados. Progresión aritmética Progresión geom étrica Serie. Series alternadas. Series convergentes. Serles de térm inos positivos. Series de términos positivos y negativos. S e rie s d iv e r g e n te s . Series oscilantes. Sucesión. Sucesión convergente, 5ucesión de Fibonaccí. Sucesión divergente. Sucesiones m onótonas. Sucesiones numéricas. Unicidad del lím ite.

Capítulo

Cálculo matricial

ESQ UEM A Introducción. Objetivos didácticos. 2.1. Matrices. 2.2. Operaciones c o r matrices. 2.3. Transposición de matrices. 2.4. Determ inantes. 2.5. Desarrollo d e un determ ina nte p o r los elem entos de una linea. 2.6. Producto de determ inantes. 2.7. Suma de Determ inantes. 2.8. Aplicaciones al desarrollo d e determ inantes. 2.9. Rango d e una m atriz. 2.10. O bte nción del rango de una m atriz. 2.11. M a triz inversa de una m atriz dada. Resumen. Actividades. Problemas propuestos. Solución a los problem as propuestos. Palabras clave.

2

CÁLCULO MATKICtAL

27

INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Un este capítulo se van a estudiar, y profundizar raí lus conocimientos sobre las m a­ trices y determinantes. Una vez definida !a matriz, se procederá a la realización de las distintas operaciones entre mal rices, estudiando sus- propiedades, también se presentan los conceptos de trans­ posición y -ango de una matriz. Se estudia el desarrollo de los determinantes, fundam entalmente de orden dos y orden tres, por los elementos de una linea y se introduce el concepto del matriz inversa.

r

OBJETIVOS DIDÁCTICOS >• Comprender la deliníción de matriz. > Relacionar la definición de rnalriz con In transposición de matrices, >■ Entender el concepto de determíname y su desarrollo por los elementos de una línea (fila o columna! > Comprender el producto y !a suma de determinantes. > E ntenderel concepto de rango de una matriz y su obtención. >■ Idemi ficar y comprender e! concepto de matriz inversa de una matriz dada. /

28

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

2.1.

MATRICES

Se conoce con el nombre de matriz a un conjunto de m xn elem entos dispuestos cu m filas y n columnas. Por ejem plo, los 3x2 números 5 . 4 . 2 , 0 . 3 . L dispuesto» en tres filas y dos columnas,

5 4) 2 0

,3 1 constituyen una m atriz 3x2. Para indicar que se trata de una matriz se suelen encerrar entre paréntesis. Es m uy frecuente representar los elem entos de una matriz con una letra, por ejem plo iij con un doble subíndice i , j . donde i indica la fila y j la colum na: (a^), ¡ = 1, 2. 3.: j s? 1 , 2 que equivale a *11

* 1^

*21

*22

*31

*32 )

Para designar una matriz abreviadam ente se suele utilizar una sola letra mayúscula.

EJEMPLO t

*22

” • *2*

La matriz /l es de dim ensiones m x «. algunas veces, si interesa poner de manifiesto dichas dim ensione. se escribe A ^ . Existen algunos tipos especíales de matrices com o son la niairiz fila, colum na, dia­ gonal e identidad. En este curso trabajaremos con m atrices 2x2 o 3x3. T ip o s especiales de m atrices

a)

Un único elem ento se puede considerar una matriz 1 x 1 .

EJEMPLO 2 4 sr a, o b ien A = («)

CÁLCULO MATOICIAL

29

h) Una matriz de dimensiones Jx#i, se conoce con el nombre de vectorfila (o matriz fila). EJEMPLO 3 Vecior ñla:

,2

A = (¿ij | , ¿7 *. r.,a 2n) o b ie n A = ( a r a*>. s mertores de tercer orden que se pueden obtener orlando

se tiene r2

3

-3 '

4

3

2

^0

3

-4 V

,

r2

-l)

r2

4

2

4

3

2

0

o

0

1

3

-1

El primero de ellos es cero, pero no así el segundo (ni el tercero): por existir un m ennr de tercer orden distinto de cero, .se puede concluir que H A ) > 3.

Pero como no existen m is columnas: HA) - 3

50

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCI AI.KS

Transform aciones que conservan el ran g o de una m atriz I.

Multiplicar lodos los ciérnanos de una fila o una columna por un número distinto de cero. Por ejemplo. r2

4

0

1

rango

J 2.

3

ó -1 0

2" 2 = rango oj

ri

2

0

I

.1

3

3

r 2

-1 0

o,

Sumar a una fila (columna) una combinación lineal de las restantes filas (colum­ nas). Por ejemplo.

'3

l

2'

rungo 6

4

2 = rango

1

2.

' 0

1

o1

0

4 1

2 2j

(donde liemos restado a la primera columna la suma de la segunda y tercera). 3.

Suprimir una fila (columna) cuyos elementos sean lodos iguales a cero. Por ejemplo,

'1 ra n g o

\

Ó -2

0

3^

0

0

0

0

0

•5

0

3

0

2 .)

^1 ó _2 = ra n g o

3'

0 0

0

0

i2 0

3

2 j

(

= ran eo

6 -2

i2 0 V

~

5

3’ 2,

4. Suprimir una fila (columna) que sea combinación lineal de otras. Por ejemplo.

6 5' rl - 8 - 8 - 3 - rango V2 2 2 —2 t 2

r- 3

rango

1

-3 }

J

-2 f

(puesto que la primera fila es igual a menos la suma de la segunda y tercera) 5.

Intercambiar dos filas o dos columnas. Por ejemplo. '3 rango

2.10.

-I

1]

0

-5

.2

1

3 = tan g o A

-5 t 1

3

P

0

3 = rango

2

2;

'- 5

.

0

31

-3

3

1

1

2

2

MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ DADA

Dada una matriz.4 regular (cuadrada y con determinante no nulo), se llama matriz in­ versa y se representa por 4~' a una maLriz, que verifique 4 • A~' = .4~! • A = I. Para calcularla necesitamos el concepto de ad ju n to visro en el apartado 2.5.

CÁLCULOMaTOCIAL

51

D ada la matriz

A=

°\I

^12

“llt

ú 2l

a 22

0»,

^njJ

2

cada elem ento a., JJeva asociado un adjunto q u e denotam os po r A tj = (-1 HCtir AJ sustituir ios elem entos de la m atriz A p o r su s adjuntos se obtiene Ja m atriz, iid ju n la de A que ' x n e dada pon { Ai A d j(A >

Al

l

A * ’j

A l

A

l

A* l

A h2

La m a t r i z i n v e r s a d e una m atriz d ada A se obtiene com o

(A d jiA jf

w

4 ul w

A> W

\A\

*2.

^ J3

An

N

w

\M

Ani

Anl

A™ HUI

w

w

W

EJEMPLO 27 a) H allar ln m atriz inversa de

r3

5 4’

/i= I

2 2

Lfl

- l ],

E n prim er luear se com prueba si |.4| = 0.

E n eMe caso

| j4| = 6 - 4 + 6 ~ 5 = 3 * 0 luego A

Admite

m atriz inversa.

52

MATEMATICAS- APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIAI-ES

Obteniendo los adjuntos de cada elem ento. 2 Au - +

2

1 2 = 4

- 1 1

5 4 Á 2l = -

-1

1

=

A2= ”

12 0

1

3

4

0

I

—+

-9

5

4

3

4

2

2

1

2

-1

l 3

-3 1

-3

i , '

3 I 3 j

que es la matriz, pedida.

M étodo de GaUSS-J o r d á n p a ra obtener la inversa de A Este método permite obtener la inversa de A mediante transform aciones elem entales de A. es decir, operaciones entre las filas de A. Estas se llevan a cabo de la siguiente forma: 1 . Escribim os la matriz A seguida de la idetidad.

ÍA \Í) 2. O peramos las filas de A | / basta conseguir transform ar A en /. 3. La m atriz /. se ha transform ado en A *. Tmn%f*mraiirmnev elewitJiLiJL'& ^ ^/j 4 ” ' )

53

CÁLCULO MAT RICIAL

EJEM PLO 27

b) Sea A =

'1

Vamos a obtclcr su inversa

,3 4 ' i 2 1 0' 3 4 0 1, V

MIO

-2 í ‘ ° [o -2 - 3

=

fG-3í¡ f

2 11 - 2 1 -3 > í!

1o

0"| ij

0 -2 1 3/2

1 ' -l/2 j

11

(-2 L uego A

fl [o

3

-

2

1 )

EJEM PLO 27

f3

I

c> Hallar la matriz Inversa de 4 -

5 4^ 2 2 por el método de Gauss.

O -I r3

1

5 4 1 0 0 2 2 0 l 0

V

-1

t a 0

ri

•n

4 /3

o 1/3 1°

1/3

i

0

0

-1

3

V

1/

-1

0' 0

0

0

-1

1

(Jl

-1

3

0

0

0

h

1/3

ü

(l

3

0

4 /3 2

-1

0

1

-1/3

%

7 / 9 - 4 / 3 - 4 / 9 ''

0

0

1

0

-1/3

1

-2/3

0

0

1 -1/3

1

1/3

'1

h -i U

1y 1/3 0

f \ 5 /3 1 0 _ S £ 3 _ > i)

0'

5 /3

j

0

1 0

0

Á-flF,

1

-1

0

0 0 3

0'

5 /3 4 / 3 1/3 2 2 0

1 5 /3 4 / 3 2 0 1

1 /3

L°

1 V0

ri 5/3 4 /3 2 0 i 3

a

1]

2 /3 - 1 / 3

-i

(\

'

1

1 1/3

0

0

0

I

0

0

0

4 /3

- 1 /3 1 -1/3

-3 2 / 3 ' 1 -2/3

]

1/ 3 ,

54

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Propiedades: a) A A~l = A' 1 > A = ¡. donde ! es la malri/. unidad del misino orden de A. Basic efectuar el producto para com probar la propiedad.

EJE M P LO 28

C alcular A • A~] para el ejem plo ¡interior. Se tiene:

r 3

1=

3

r

4

L>

-I

3,

42 -1 2 42 9 V 42

9 + 24 + 9 42 12-12 +0

42 - 3 - 2 4 + 27 42 h)

8

-V

42 10 42 -4 42

42 _4_ 42

2 4- 20 -4

11

42., -

3-8+ 1 Ó

42 32 + 10 + 0

42 -4 + 4 + 0

42 -8 +2 0 -1 2

42 1+ 8+33

42

42

0

0

0

1

0

0

0

i

1

La m atriz inversa del producto de dos matrices cuadradas regulares y equidimensionalc* es igual al producto de Jas inversas, pero en orden contrario: ( A ’B Y 1 = ¡ r ' A~' En efecto, preirw laplicando (o postm ultiplicando) por AB M B M / l B r 1 = ( / 4 - B ) ( f T 1 ■A~l ) & A ( B -B ~ ') - A ~ l = A ■f ■A~l = A - A ~ ' = 1

donde f es la m atriz unidad.

C Á LC U LO MATRICIAL

t ) La inversa de la transpuesta es i¿uai a la transpuesta de la inversa

u V = (¿ -V como Cs inm ediato comprobar.

EJEMPLO 29 Sea la matriz A (del ejem plo 27) ( 3

-2

4

I

A=

1^

0

- 1 2

3

Su inversa, calculada anteriorm ente, es f J_

4

- f

14

21

42

-2

5

2

y 3

21

42

-2

11

~2\

42

l 14 y su transpuesta 3 -2

4

- f

1

2

l

0

3,

1

-2

3

14

14

4

7 5

21

21

21

admite por inversa

Com prender e i método de gauss-Jordan. > Entender Jas definiciones de sistem as de ecuaciones. > Com prender la expresión matricial. > A sim ilar el teorem a de Rouehé-Froebeniiis. >

V

Entender Ja resolución y discusión de los sistema* de ecuaciones.

70

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

3.1. DEFINICIONES Sean n incógnitas que deben veri lita r m condiciones (ecuaciones). Se dice entonces que se ha planteado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, 5í todas las ecuacio­ nes son lineales, se traía de un sistem a de ecuaciones lineales. Su expresión general es:

fih| X] "1"tfyjX-¡

*4" üy^X^

C*2

+ úrmXn = C*

**1*1 + 4*2*2

Cada conjunto de valores x r x t. .... x Hque satisfacen el sistem a recibe el nombre de súf lición. Si un sistem a admite alguna solución recibe el nom bre de compatible y se llama rncamporihfe si nt> existe ninguna solución. Si un sistem a lineal com patible tiene una única solución es determinado y si adm iie infinitas soluciones, es indeterminado, Una ecuación es com binación lineal de otras varias, si resulta de sum arlas miembro a miembro, previamente multiplicadas por números, cualesquiera.

3.2. M ÉTODO DE G A U SS-JO R D AN Para resolver el sistem a 11J lo podem os escribir com o un diagram a de doble entrada de filas y de columna* como: h Primera ecuación Segunda ecuación /n-esim a ecuación

*12

4

•

«2.

*22

•

*2,

Cj

4.1

a mt • •

«-

4

C om o Lodo sistema es un conjunto ilc ecuaciones, se pueden in te r c a m b ia r crtire si las fdas (ecuaciones), y por la p r o p ie d a d conmutativa de las suma, dos colum nas, consul­ tando un sistem a equivalente. Igualmente, se pueden m ultiplicar o dividir, por trn número distinto d e c e r o , io d o s lo s elem entos de tina fila. El m étodo de G auss para la resolución de un sistem a de ecuaciones lineales se puede considerar una variante del m éto d o de reducción. Consiste en lo siguiente: a) Elim inar la primera incógnita entre la primera ecuación y cada una de las m - l ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de listas por cada resultado de la eli­ m inación. b) Suprimir la segunda incógnita entre la segunda ecuación y cada una de las dos m 2 siguientes ecuaciones, sustituyendo cada una de éstas por h ecuación que re­ sulta de la eliminación correspondiente.

c)

Se continua hasta lograr que resulte una ecuación en la que sóle exista una incóg­ nita con coeficiente distinto de cero.

El coeficiente de la incógnita que se va a elim inar, en la primera ecuación (de ia se­ gunda, etc., en dim inuciones posteriores) se conoce como pivote (y se suele recuadrar).

EJEM PLO 1a

Sean las ecuaciones 2 .t, + 3 a \ - 5x? = 2 4*1 +

2x 2 + 3.v3 = 5

Si se m ultiplica la prim era por 2 y la segunda por üx2- \

3x }

1 y se suman, resulta:

= - \

que es combinación lineal de las dadas. Obsérvese que tam bién, por ejem plo, la primera de las ecuaciones dadas es com ­ binación lineal de la segunda y de la 8Lv2 - 1 3 r, = - i .

SI en un sistem a se observa que una ecuación es com binación lineal de otras, se puede suprimir, obteniéndose un nuevo sistem a wjuhrilcnti’ al anterior, o sea que tiene las m is­ mas soluciones.

EJEMPLOIb Resolver por el m étodo de G auss 2

-3

4 x \ + 7 .u + 5 x 3 = 53 ► - 4

E 4

7

5

53

6x, + 8 .t 3 + 9 a , = 64

6

8

9

■= - ‘Z

\ 5 X + y =: (0 Sistema que es resoluble mediante la regla de Cramer: 2

3

-3 z

0

1

5

ü

-5 r

II >%

M< II

x -

-3 ;

3

L a solución anterior se puede escribir.

3

1

-5

de donde * —f, y “ -5 /, r = 3/* para todo / e R„

EJEMPLO 8 3jr-f2y+ r = 0 2,r —3 y + 2 r = 0

x+

v-

c=0

Como 3 3

2

2

-3

* 0

y

2

2 -3 1

1 2 *0

1 -1

el rungo de la matriz de los coeficientes es 3 igual al núm ero de incógnitas, por uuito el sistema satisface ri,A) = número de incógnitas y sólo adm ite la solución trivial.

H2

MATEMATICAS APLICADAS A LASC IKN tlAS SOCIALES

3.6. DISCUSION DE UN SISTEMA En ocasiones, alguno de los coeficientes de las incógnitas o alguno de los términos in­ dependientes pueden ser parámetros y según los valores que lomen dichos parámetros el sistema podrá ser compatible o incompatible, determinado o indeterminado. Discutir un sistema es clasificarlo según Jos distintos valores dei parámetro. Algunos ejemplos aclararán lo dicho.

EJEMPLO 9 Discutir y resolver el sistema según los valores de A: 3.V + 2 ) '-

r =H

5,v + 4 y + 5 c = l 4 4 a + 3 y + A i = 11 formemos las matrices '3

2

- r

'3

2

-1

8'

A = 5

4

5

5

4

5

14

4

3

K

4

3

A

11,

y

Corno .1 2 5

r(4 )£ 2

4

Como 3

2

-1

5

4

5

4

3

A

- 2A—4

para todo valor de /. * 2. r{A) = 3 y, si A = 2, r{B) = 2; luego aplicando el teorema tic Rouché: A * 2 , r(A ) = r( S ) = 3 Sistema compatible y determinado cuya solución se halla por la regla de Cramer:

A = 2. r ( A ) = rilt) = 2

Sistema compatible e indeterminado; para obtener su solución: Í3.C + 2 y =

8+z

|5.v + 4 y = 1 4 - 5 : dc donde 8+c 1 4 -3 :

2

3

8+r

4

5

14 - 5z

v=

- 2 + 7:

= 1 - 10 :

EJEMPLO 10 Discutir según los valóresele i y resolver en los casos de compatibilidad; .r + A y - c = 0

12.r-3.v-2s = 0 .r —2 v + j = 0 A partir de la matriz 'l

A

A = 12

-3

-2

. 1 - 2 1 se obtiene: 12

-3

1

-2

*0

y

1

A

-1

12

-3

-2

1

-2

1

-I4 A + 1 4

Si A = I . '(A ) = 2. o sea, sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones). Si A *■ 1. r(A) = 3, y, por tanto, el sistema es compatible determinado, sólo admíte­ la solución trivial. El sistema a resolver sería: 12.r-:>>■ = 2 : x - 2y = - i

12

-3

" 21" 3

1

-2

¡

t !

tii

U

-3 —2

t

x-

2z

12

2: -2

7

J

21

-1 4 :

2:

-2 1

3

84

MATEMATICAS APUCAPAS A |,AS CIKKCMAS SOCIALES

tH B M H U B H H U B H B H N I RESUM EN IIIMMIBIBMIMMIIIII^MIIIIIMI,IIIBIIIIIIIIIIIIIilllMMIi Sean ti incógnitas que deben verificar m condiciones (ecuaciones). Se dice, entonces que se ha planteado un sistem a de m ecuaciones con j¡ incógnitas. Si todas las ecuacio­ nes son linéale i (de primer grado), se trata de un sistem a de ecuaciones lineales.

Sistem a de ecuaciones lineales Su expresión general es: ciu x l + a l l x 2 ^ - + a u x r = c l a2|.i | + ú ,2x2 + - - +

= c2

**l*t + 4»2-*2 + " '+ < W C = C* Los , (/ = L 2, .... rn\ j - í , 2 , . . . . n) son los coeficiente*’., los cf (i = 1 ,2 , los término* independientes.

m ) son

Cada conjunto de valores xv .v-,.... x n que satisfacen a todas lis ecuaciones del sis Dama se llarna solución. Si un sistema admite alguna solución recibe el nombre de sistema carth paiible: si no existe ninguna solución se trata de un sistema incom patible. Si un sistem a lineal admite una única solución es compatible determinada y, si admite infinitas solu­ ciones. es compatible Indeterminado. Una ecuación de un sistem a es com binación lineal de otras varias^ si se oblicúe com o sum a m iem bro a m iem bro de éstas. previam ente m ultiplicadas por núm eros cua­ lesquiera. Si en un sistem a una ecuación es com binación lineal de otras, se puede su­ prim ir. obteniéndose un sistem a equivalente al ciado, esto es. q u e tiene las m ism as soluciones.

> Expresión matricia! de un sistema de ecuaciones lineales Si en el sistem a [ 11 se hace: V

J

fa u

/i =

rf2L

*12

-

a¿z

*1 u ' *2n

v

c\

c2

;

X= k

X ir

/

► M étodo de G a u ss Consiste en: a) Eliminar íu primen» incógnita entre la prim era ecuación y cada una de las ni - I ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de éstas por cada resultado de la eli­ minación. b) Suprim ir la segundu incógnita entre la segunda ecuación y cada una de las dos m - 2 siguientes ecuaciones, sustituyendo cada una de estas por la ecuación que re­ sulta de la eliminación correspondí en Le. c) Se continua hasta lograr que resulte una ecuación en la que sólo exista una incóg­ nita con coeficiente distinto de cero. El coeficiente de la incógnita que se va a elim inar, en la prim era ecuación (de la se­ gunda. etc.,en elim inaciones posteriores) se conoce com o pivote .Sistemas de C ra m e r Si n —m. o sea el núm ero de incógnitas es igual al de ecuaciones (entonces la matriz A es cuadrada) y. además, \M ¿ 0, el sistema s í llama dé Cramér, > Solución por inversión de la m a triz Sea el sistema de C ram er A X ^C com o \A | * 0. A admite matriz inversa A *: (A ~ 'A } X = A~lC

;

X = A 'C

que proporciona el vector solución. > R egla de C ra m e r Sea e l sistem a de C ram er R esolución de un sistem a e n casos especiales u) El núm ero d e ecuaciones es m ayor que r(A): se toman r = r(A) ecuaciones, preci­ samente las que han proporcionado el K 4); las demás ecuaciones se elim inan, por ser com binación lineal de las oirás. b)

El núm ero de incógnitas es m ayor que r = r(.4}. Se dejan en el prim er miembro (de cada ecuación) sólo las que han proporcionado el /tA); las demás incógnitas se pasan al segundo miembro.

ACTIVIDADES PROBLEM AS PR O PU ESTO S Q

D¿do el sistema 5 x + l y + 4 z - 286 6 j r + 4 y - 9 r = 89 8.v + 9 v - 2 ; = 3 11 Comprobar que es un sis lema de Cramer y, en caso añrmaiivo. resolverlo. |

Q

Resolver el sistema anterior por el método de Gauss, por inversión de la matriz Resolver, si es posible, el sistema 3sr + 7.v + 4 : = 17 .x + 4 y + 3 ; =

9

4 ,v + y - 3 ; = 6 Q

El mismo enunciado, para cada uno de los sistemas > '+

z+

,e + 2 y +

3 r+

x 4

a) 3 jc -

y - 5 r~

t -

8

4 / = 12 9r =

8

.e + 9 y + 1 7 ; + 25r = 40 3 .t+ 7 y + 4 z = 1 7 b)

* + 4y+3z= 9 9.r + l l y + 2 z = 13

i

Estudiar si admiten soluciones distintas de la trivial, los sistemas a)

12,v + 3 y -

i= 0

} ,v - 2 y + 11: = 0 2.e + 3y + 2z = 0

b)

jc + 5 y + 3 z

=0

6.v - 5y - 2; = 0 y resolver en caso afirmativo.

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

88

□

El misino enunciado anterior para los sis lernas hom ogéneos

‘ jr + 2>-+3z = 0 a)

abde abde A partir de abe -+ abec abed A partir de ede —» rdcí? edeb Obteniéndose así las 120. V ^r 1.a formación de las variaciones con repetición es análoga, pero agregando a cada V R ^ no sólo los elem entos que no figuren en eiiu sino cada uno de Ióü m elem entos { o sea* iodos).

EJEM PLO 4

Formar las V7?u =34 =81. Solución Variaciones unitarias (son las mismas que sin repetición L a b e

• Variaciones binaria*: a a ¿ib

3 4 1 5 2

en total tres cambios.

C om o consecuencia del teorema se tiene que de Ins /d perm utaciones, existen — de n!

^

clase par y — de clase impar.

4.3.3. Form ación de las p erm u tacio n es Para la form ación ordenada de Lis perm utaciones1 se sigue el siguiente proceso: Para encontrar la perm utación que sigue a una cierta perm utación, se buscan (em pezando por el final) los dos prim eros elementos contiguos que form an sucesión y en lugar del primero de ellos se escribe su siguiente (en la permutación principal, no escrito todavía) y los res­ tantes se escriben por su orden natural (en el que figuran en la permutación principal). Pór ejem plo, la siguiente perm utación d e la 4 5 2_J< 1 sería 4 5 3 1 2t puesto que los dos primeros que forman sucesión son 2 3: el siguiente, en orden rnitund. de 2 es 3, y los que quedan sin escribir que son el 2 y el 1 se escriben por su orden natural 1 2. ! ts evidente que para fornur su liaría mucho nuh laboriosa.

Pn bastaría -escribir tas l'_ v. como se ha indicado, pero este proceso i?

EJEMPLO 9

Formar todas las permutaciones con los elementos 1 .2, 3, 4. Partiendo de la per­ mutación principal, I 2 3 4, se encuentran sucesivamente

4.3.4.

1 2 3 4

1 2 4 3

1 3 ¿ 4

I 3 4 2

1 4 2 3

!_4 3 2

2 1 3 4

2 1_4 3

2 3 4 1

3 1 4 2

3 2 4 1

2 4 LJ 3 4 1 2

2 4 3 1

3 1 2 4

2 3 1 4 3 2 1 4

4 1 2 3

4 1_J 2

4 2

4 2 3 1

4 3 1 2

1 3

3 4 2 1 4 3 2 1

Perm utaciones con repetición

Las permutaciones con repetición que se estudian son permutaciones con repetición limitada, esto es. que cada elemento se repite un número de veces prefijado, no como en las variaciones con repetición - ( 3 .v )'| +

+ 6 l ( x J f ■C3jt)* + ( x ' f -52 + (3x)2 •521+ + 12 |( x 5)2 • 3x • 5 + (3,v)2 - x 2 -5 -t-52 *x 1 - 3x]

Como caso particular se encuentra el cuadrado de un polinomio: (fl-h&H— + h )2' = a 2 -i-jíj*5

4- 2ab + 2ac-+ — v lk h

esto es. la sum a de lodos los cuadrados más ia sum a de lodos los dobles productos que se pueden formar.

EJE M P LO Ü ]

(d - t h + c + d )2 = :2 + 8 : 2 = 3 X 2 + 3 6 Y 2 - 8c2 que es una com binatoria lineal de los cuadrados

y 2,

110

MATEMATICAS API .ICADAS A LAS CIENCIAS SOCEALLS

RESU M EN > V a r U n e s sin repetición D ados elem entos distintos-, se denom inan variaciones n-arias de dichos m elementos, a las diferentes agrupaciones; que se pueden formar con ti elem entos (tom ados de los tu) diferenciándose dos variaciones, bien en algún elemento o. caso de tener los mismos, en el orden. Su núm ero es: VR

= m (m —1)". ,.{m - n + 1)

> Variaciones con repetición

Si se admite que todo elem ento se pueda repetir ilim itadamente, resultan las varia­ ciones con repetición que tam bién difieren unas de otias, bien en algún d em en to , bien en el orden.

> P erm u tacio n es sin repetición Se denom ina permutaciones de ti elem entos a las agrupaciones de ti elem entos que di­ ferirán unas de otras sólo en la ordenación de los elementos, puesto que en cada agrupa­ ción entran uxlos los n elem entos. Su núm ero es: P .- * ! > P ern m t ación es co n repetición Siendo el número total de elem entos que entran en cada permutación /n its los cuales el prim ero se repite a veces, el segundo jS veces, el tercero y veces, olc.pel número de per­ m utaciones es:

Pti,

_

mí

a \p \8 L „

cumpliéndose a + jí + y+ ... = tt. > C om binaciones sin repetició n Se denominan combi ti aciones /i-arias de iw elem entos a las distintas agrupaciones de n elem entos, elegidos entre los m. diferenciándose una combinación de otra, al m enos en un elem ento.

Su n ú m e r o es:

> C om binaciones con repetición Las combinaciones con repetición, al igual que las variaciones con re pe ución. lo son de repetición ilimitada. Se calcula: CR.

( m +n -1 «

"i

I

> Potencias de un b i n o m i o L a conocida expresión del binomio de ¡Newlon es

(

{ .t+ « r = j y

(

+ iy -*

o + ^ j jr - * ^

-c • ■■+1

« * + -+

+ ( « - i ) jc'ü'i" + '” + t j tfn Donde, el primero y úllimo coeficientes son iguales a la unidad: el segundo y el pe­ núltimo iguales a n (grado de la potencia) y los demás, se pueden calcular como núme­ ros combinatorios, o bien. Formando el llamado Iriúngulo de Pascal o de Tartaglia.

> Potencias de un polinomio E! problema de obtener la potencia de un polinomio lo resuelve la fórmula de lanbnitz:

(u+& + f + ...+ A r = £ _ J

m1

a'.piyL.M Siendo « + j8 + y+

+ X = m.

( f b P - c * - . . . - i rA

1 12

MATEMATICAS APLICADAS A LAS C lhN tiA S SíX ’IAIIS

ACTIVIDADES PR O B L E M A S P R O P U E S T O S Q

¿Cuántos números distintos de 3 cifras diferentes se pueden form ar con los guaris­ mos L 3,5» 7 y 9?

|

Q

¿Cuántos números distintos de 4 cifras diferentes se pueden formar con los guaris­ m os 0. 2 , 4 r 5, 6 y 8?

O btener cuantos números de 4 cifras difcrenies o no .se pueden formar con las cifras

i. 2,3.4*3.

] ¿Cuántas palabras de 6 letras distintas se pueden escribir con 12 consonantes dife­ rentes y las 5 vocales, de forma que las consonantes ocupen los lugares primero, ter­ cero y quinto y las vocales los lugares pares?

0

¿De cuántas formas se pueden alinear 8 personas?

Q

¿Cuántos núm eros distintos d e 8 cifras se pueden escribir con 2 cifras tres. 3 cifras cuatro y 3 cifras cinco?

Q

A lrededor de una mesa circular se sientan 6 personas. ¿De cuántas fonnas distintas lo pueden hacer?

□

¿Cuántos productos diferentes se pueden form ar con los dígitos L 2* 3* 4 y 5 de forma que en cada producto entren 3 factores?

a

De una baraja de 40 canas nos reparten 4 cartas. ¿Cuántos juegos distintos podem os ten er■7

J J J ¿En cuántos puntos se cortan 7 rectas tales que no hay 2 que sean paralelas y que tam ­ poco hay más de 2 concurrentes en el mismo punto?

■ va f 1V ED Desarrollar mediante el binomio de Newion x — I. k

x)

^

Obrener el término en .vlft en e! desenrollo de ( ,r + .ry)10.

m

Desarrollar

(a

+

b

+

c ) 3.

SOLLCLÓN A L O S P R O B L E M A S P R O P U E S T O S L. Observamos que los números pedidos son ordenaciones de u n a pane del conjunto {1. 3 . 5 , 7 . 9 h luego son variaciones de cinco elem entos, tom ados 3 a 3. ya que los números son de tres cifras. i «uego el resultado pedido es: Vr5 = 5 • 4 ■3 = 60 números distintos 2. Razonando com o en el problema anterior, se obtendría: =6

5 4 3 = 360

Pero una Simple Observación n o s liace ver que MO iodos CALOS núm eros SOh válidos,

ya que existen, entre e llo s, núm eros com o el 0246, que no e s de cuatro cifras, sino de tres, ya que e s el n úm ero 246. P or tanto, d e b ere m o s desco n tar d ich o s núm eros. Oslo es, leñem os que v e r c u án to s e m p ie za n por cció . Los números, como el anterior, que em piezan por cero, se pueden obtener a n te p o nindu un cero a los números de tres cifras distintas que se pueden form ar con los guarismos 2, 4r 5 ,6 , &t es decir: Pw = 5 4 3 = 6 0 En definitiva, el núm ero buscado lo obtenem os com o diferencia del total de núm e­ ros hallados primeramente y del núm ero de los que em piezan por cero, o sea: ^ - 1 / ^ = 3 6 0 - 6 0 = 300

3 . Como las cifras pueden ser diferentes o n o se trata de variaciones con repetición. Luego: VRm = 54= 625

4 . Las consónales se podrán elegir de P s, , formas distintas y las vocales de V, .. C om o la elección d e las consonantes se logra de PirJ m aneras distintas y las vocales de Vy y, ambas cosas se pueden lograr de Vn j • P}J forman distintas, o sea: v t u ' ' Vi - 1 2 - 1 1 * 1 0 - 5 * 4 3 - 1.320 * 79.200 palabras 5.

l-yflá distintas formas de alinear 8 personas son precisam ente las distintas ordenacio­ nes de ios elem entos del conjunto, o sea, el número de formas será:

114

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

6. Son fas permutaciones con repetición de ocho ciernen Los. repitiéndose el primero dos veces, tres veces el segundo y tam bién tres veces el tercero; S!

1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -í

2! 3! 3!

1 2 1 2 3-12-3

«2.3.3

= 560 núm eros diferentess

7. Observemos que una vez sentadas las seis personas en una determinada posición, si v a s tildamos a cada una ai asienro de su derecha, por ejemplo, resulta una posición idéntica a la anterior. Sentemos, por tamo, a una persona en un asiento cualquier* las otras cinco podrán ocupar; P, P , = 5! = J - 2 - 3 ■4 • 5 = J20 posiciones distintas 8 . Los distintos producios formados dan iugar a unas agrupaciones que sólo pueden ser distintas si difieren en algún elemento, ya que sí constan de los mismos factores pero en otro orden, por la propiedad conmutativa el producto sería el mismo. Por tanto, se trata de combinaciones temarías de los cinco elementos dados y el número de productos distintos sería:

C ,, = -

5 -4 -3

=

1*2-3

10

9 . Como, evidentemente, no influye el orden en que nos hayan repartido las cartas, se tratará de combinaciones de los 40 elementos (cartas) tomados 4 a 4, o sea: Vu v-V j

4 0 -3 9 -3 8 -3 7

P.

1-2 3 4

= 9 1 .3 9 0

10. Como cada dos rectas, en las condiciones del problema, dan lugar a un sólo punto de intersección, ei número de éstos será el de combinaciones binarias que se pueden formar con las siete rectas; c* 7 6 = 21 pun io s C - , = -Via p - = -j—

II.

( " «

i-4.r

c h

- O ' - m ;)

4 1 -6 — j +— x

x

12. 1:1 térm ino que ocupa el lugar h + I del desarrollo de (a + 1>)" es En nuestro caso, el término Ui + J )-ésimo será;

'■b“

Efectuando operaciones:

y com o nos dicen que es el término en .r*s. debe suceder que: 2 0 - /f = 16.

h =4

P n r ía n to t s e IraLa d e l lé m iin o *¿

EJEMPLO 6

a) Sea calcular lim 2-v Se trata de un límite a la derecha; se dan valores que se aproximen a cero, por la derecha, o sea valores positivos.

i 2J

X 0.8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0,08 0,03 0,03 0,01

2,37 3,176 5,657 10.056 32 1024 5792.62 1048576 1,0823- LO16 1,2676- 10"

¿Qué .sucede? C om o se aprecia, los sucesivos valores obtenidos no se «acercan» a ningún número y cada v ez son mayores, pudiendo llegar a ser (aJ aesream os cada vez m ás a 0) tan grandes com o se quiera; entonces se dice que La función tiene límite in­ finito. Se escribe i

lim 2* = *

¥-0'

Sí para la misma función se hubiese querido obtener eJ límite a la izquierda,

i b>

lim 2* r-MI

Se dan valores que se aproximen a cero por la izquierda, o sea valores negativos. i 2*

,r 0,8 •0,6 0,4 0,3 •0,2 0,1 -0,08 •0,05

0.4204 0,3140 0,1768 0,0992 0,03125 0,00097 0.00017 9,536 l(H

Bu este. caso. Los valores decrecen rápidamente y se aprecia que la sucesión tiende a cero: por tanto. I

lim 2 r = 0

.t-*cr

126

MATEMATICAS APL! CADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Com parando con el ejem plo 6 a), se observa que los límites a la derecha y a Ja iz­ quierda tom an valores distintos; en estos casos, cuando los límites laterales NO son igua­ les, la función carece tic límite en el sentido descrito inicialmente, Obsérvese que en el ejem plo 5 a) y 5 b) los límites a la derecha c izquierda coincidían, luego se podía decir que existía límite. N o t a . Recuérdese la denominada notación científica que aparece, por ejem plo, en la s cal­ culadoras de bolsillo; cuando se trata de números muy grandes, se escribe la primera cifra del número, seguida de algunas de las siguientes, separadas p o r una com a y este número se multiplica por la potencia conveniente d e 10. Por ejem plo, en vez de escribir:

3217684759237 se e s c rib e

3,2176 • 10,J Eti ct caso de núm eros muy próxim os a cero, se escribe la primera cifra significativa seguida de algunas de las siguientes, separadas por una coma y multiplicadas por la po­ lc a d a de 10 (de exponente negativo) que corresponda. Por ejem plo, en vez de escribir 0,0000007564985 se escribe 7.5649 • 1CF El núm ero escrito en notación científica

42 1 3 6 - tCH2 s e rá ;

0,0000000000042136...

5 3 .1 .

D e fin ic io n e s (le lim ite

Vistas las ideas intuitivas anteriores, se dan. a continuación las definiciones siguien­ tes de límite, según los casos; a)

Lim ite fin ito . Se dice que la función y = /(jr) tiene límite i cuando x tiende a xn

liin f { x ) = i sí para cada número real e > 0 existe un S> 0. tal que para todo .t 0,001.

En efecto, tomando $ = 0.0002 (2 + 0 ,Q002)2 < 4 + 0,001

y

( 2 - 0 .0 0 0 2 )2 > 4 + 0,001

C o m o esto se puede lograr p a rí lodo valor ( l c f > O. se puede afirm ar que

lim x 1 = 4

b)

Limite p er la derecha. Se dice que la función y =/(.v) tiene límite /, por la derecha en*,, lim f ( x ) = /, si para cada f > 0. existe un 5 > (J tal que para lodo.vque cumpla . t € ( . v 0 ,.v0 + S>

se verifica

N ota. El intervalo |.vu. ,t„ + S\ es abierto, o seax no puede tomar los valores de los extremos. c) Límite por la izquierda. Se dice que la función y = /( x ) tiene el limite l. por la iz­ quierda en ,r(J, lim f ( x ) ^ t , sí para cada £ > 0 . existe un 5> 0. tal que para toda x que verifique x e ( . i n ~ 5 . . t n) se cumple |/ ( . v ) - f 2| < e lis inmediato observar q u í SÍ U función /(.vi tiene límite en xQ, llene, también, límite por la derecha y por la izquierda y ambos son iguales. d) Límite ¡"finirá puní valor finito. La función y = f{ x ) tiene límile infinito en .t = .ra,

lim / ( x ) = *

X-)Xo

128

MATEMATICAS APLICADAS A I-AS CIENCIAS SOCIALES

si para todo k > 0 0 tal que para iodo .* que cum pla |x - x j < S, x * xQ se verifica

EJEMPLO 8 La función m = -

tiene límite infinito para x x cal que

1 x-l

1 puerto que si se fija, por ejemplo» k = 10.000. para todo ¡jr —l|< Ü.UÜ001

se cumple 1 jc - 1

> 10.000

Eí límite se puede definir de la m ism a manera sustituyendo [f(x%> k\ por f ( x ) > k‘ análogamente, el lím ite—% se puede definir sustituyendo dicha acotación porf i f i < -k, e)

Límite•fin ito rn vi infinita. Se dice que la función / ( a ) tiene límite fmílo / cuando x tiende a infinito: lilil f ( x ) = I si para cada número real e > 0 existe un núm ero ,V > 0, tal que para lodo .t tal que |a |> N , se cum ple

EJEMPLO 9 La función '^ 2 / « tiene lím ite igual a I. si a tiende a x" - 2 .r + 2

puesto que si se fija, por ejem plo, £ = 0,01, -1 =r

4 +2

■ 398. o sea para todo x > 19?9. se verifica < 0 ,0 1

f)

Limite infinito en ef infinito. lSc dice que la función/(.r) tiene límite infinito,cuando .r tiende a infinito. o sea lim / ( * ) = 0. existe un N > 0. tul que sí |a |> A' se verifica [/{.*)|> k,

Nota, Todos los casos en que lim/(.v) - * , se pueden desdoblar en lim/ftr) = + * y lim f ( x ) =• - ao, corno se ha hecho en d ).

5 3 ,2 ,

U nicidad del lím ite

Supóngase que Jim f ( x ) = l

y

lim f ( . r ) = J] x-íí0

,

L a primera igualdad exige que para cada £ > 0 exista un 8 > 0 tal que si |.t —,r j< Ó se cumpla |/(.r) - / j < £. De la segunda, para cada £* > 0, existe un S ’ > 0 tal que si \x - rR| < S ’y l r- i .ve v e r i f i c a |/(.v> - / '[ < e '. Eligiendo e y e ' m enores q u e — — (véase fig. 5.3) y tom ando como S el min (5, ó ') = A (o sea el m enor de los dos), se tendría q u e para todo .r tal q u e ] x - j r J < A./(.v) se eneom raria en el enrom o de / de radio r y en el entorno de i 4 de radio f \ lo c u a l e s im posible, puesto q u e dichos; entornos son disjuntos.

Luego, una función en un punto n o puede tener dos límites distintos y, por tanto, el li­ m ite, si existe, es único. C om o consecuencia; si una función f{ x ) se conserva constante en un enlom o de x0, o

sea/(.O = k. este número k cum ple, evidentem ente, la condición de límite y, por la unici­ dad no puede existir otro. Esto es, el límite de una constante en la mism a constante.

130

MATEMATICAS AHLIC AUAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Algunas propiedades de fácil demostración, a partir de las definiciones, son: ii) Si Ja función /(.v) se conserva inferior (superior) al número k. en un enlom o de x = a. lim / ( . r) < k (lim f ( x ) > k ) 1-fir .1-4(1 b) Sí lim f { x ) = I ¿ 0 , en un entorno de /, el signo de f(x ) es el mismo de I. •V—X )

c) Si las funciones/t-Y) y g(v) tienden a los límites respectivos / y I', tales que i < i 1 desde un valor de v en sd e h n le/í.r) < g(.l).

5.3.3.

C álculo de límites

u) Sea lim f { x )

= l

y

x -» -«

lim jt>(.t) = f' A -*wf

Entonces l¡m [/(-c) + .? (A ')|-/ + /‘

.i-*a

En efecto, fijado un ~ > 0 . existe un 5 > 0. tal que para roda x tal que |jc - 0 . existe 5 ' > 0, tal que para íoda a que cumpla 5 ).t —nj < . Operando .* + 14

( r + 2)

(.v - 2 ) ( x + 2)

(.V -2 X A -1 )

( ■ t+ 1 4 X .v - l ) - ( .i+ 2 ) 2 ( x - 2 ) ( x + 2 X jt- I ) x í + l 3 - T - 1 4 - C . r + 4 .r + 4 )

l) x - 1 »

(.V-2X-V + 2 X X - 1)

(,r —2X-r + 2 X - t- l)

Luego

(

a + 14 .r + 2 ^ .. lllll t ; ------------- T ------------- - l i m

t.

i{x--4

x- - 3.Y+ 2 J

9 * -l8

— ------— ------ — =

*-*2(j[- 2X-C +2X -Y -i)

= lim

5.3.6.

+

1)

= lim 9 - 9 ™ 0. tales que P ara to d o x tal que \ x -¿ /| < S - > \ f ( x ) ~ f \ < £ Para todo a* tal q u e |. r - ü | < S' —* |# (.t) - / \< e O bien, para A = m in (5. 5 ). para lodo x, tal que |x - u |< A. se cumplirán sim ultá­ neamente:

o lo que es igual \ - £ < / (* )- ¡ < e \ - E < ¿’(.v) - 1 < t:

)36

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

o bien /- £ < /( .r } < / + E /-£ < £ (» < / + £ y co m o /(a ) < p(,v) < g(jr), también l- £ < c p { x ) < i + e

que es igual a -r
cos.i

13H

MATEMATICAS APLEGADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Por L inio, la f u n c ió n 2 £ ¡ ü 0) sen a

x

tg x

X

l-

cosa

= 2 sen2 •-

2

I = 421 —i K
or su ecuación e s continua, hay que recurrir a ideas m ás precisas. Se dice que la función y = /( .r) es continua en el pumo x = a, cuando 1) existe/( « ), o sea el valor de la función» 2) existe H m /(jr), 3) ambos valores son iguales, o sea l i m / O ) = f{ a ) .

140

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS 5ÍX1ALES

EJEMPLO 14

a) La fu n c ió n /U ) = sen x e s continua e n x = 0, puesto que /( O ) = sen 0 = (3 lim sen .* = 0 ,h O

osea, limscn.v- H 0). b) La función

no es. continua en x = 0. puesto que n o existe /(O).

Esta definición se puede expresar, también, en la forma: la función /(.i) es continua en x = ¿i. cuando a todo £ > 0, íe corresponde un d > 0. lal que pura todos los valores de x. tales que \x - a | < & se cum ple \f{x) - /( a ) | < £. Como x - a = Ar y /(x ) - /(¿j) = Ay, la definición anterior se puede expresar: el incre­ m ento de la función se hace todo lo pequeño que se quiera, turnando suficientemente pe­ queño el incremento de la variable.

EJEMPLO 15 Probar que la fu n ció n /(x ) = j r es continua en x -= 2 (Fig. 5.7). P a ra x = 2 + Ax, A> = f ( 2 + A * )- f (2) = (2 + A x f - 2 2 = 4 + 4A + Av2 - 4 - 4 A t+ A v 2

Tomando A.c suficientemente pequeño. Ay se puede hacer todo lo pequeño que se quiera, luego en.* = 2 la función es continua.

D e la definición se desprenden U$ propiedades- siguientes; Si f( x ) es continua en x = u ,y en lodo enlom o de a, loma, valores de signos opues­ tos. se cum ple q u e /( a ) = 0.

EJEMPLO 16 a) La función/( .r) = j r es continua en .r = 2 . y com of( 2 ) es positivo, en un entorno de .i = 2. la función se m antiene positiva (Fig. 5.8).

b) Ly función/(,v) = x*, en cualquier entorno del origen Co sea ele x ■ 0) lom a va­ lores positivos y negativos, Luego se cumple q u e /(0 ) = 0 (Fig. 5.9).

Se dice que la función y = /( * ) es continua a ia derecha {a la izquierdo) del punto a , si se cumple: 1) existe f[x). 2) existe l m f ( x ) ( \ m / ( a - ) ) , X-KX* X-»i7 3) ambos valores son iguales.

142

MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Se dice que la fundón y = f(x ) es continua en el intervalo ( 0, luego la fun ción es continua. b) Lu función/(.t) = «' es continua, en todo punto; en efecto Ay = f ( x + AiL) ~ / { . * ) = a l l M - a ' = a ‘ Si A í -> U,

- a ’ - a ' (aA' - i)

I , luego a'-u -1 —s- 0. y por tanto Ay —»0.

c) Las funciones /(.v) = sen x y f(x) = eos x son continuas. d) La suma y el producto de funciones continuas es una función continua. Sean /(.y ) y g(.r) dos fu n cion es continuas en un intervalo y sea tp(x) = /( x ) + S\ (Fig. 5. Li ).

Este teorema se aplica para la resolución aproximada de ecuaciones, cuando se observa que una raíz de la ecuación fí x ) = 0 existe e n un Intervalo tal que en sus extremos J\x ) tiene signus distintos. Un corolario de este teorema es el teorema conocido com o propiedad D (de Darboux) que dice: Si la fu n ció n /U ) es continua en fa, los valores del intervalo U {a ).f(b )\.

y f{ a ) ¿

) tom a, al menos una vez, todos

En efecto, sea A un valor del intervalo la función f( x ) - A, cum ple el teo­ rem a de Boizano. En la Figura 5.12 f ( a ) - X es negativo y f ( b \ - k es positivo, luego /( x ) - A w: anula por lu menos una vez, o sea/(.v) = A, esto es. existe al menos un valor de .v, para el cual/Cx) vaJc A.

Figura 5.12.

5.3.11.

D iscontinuidades

Si una función no es continua en un punto, se dice que en dicho punto la función tiene una discontinuidad. En el Ejemplo 18b. anterior, se ha visto que la función . _

.*J - 7 .v + 12 ajÍ —3jc + 2

era continua en todo punto, salvo en t = 1 y en v = 2. Por tanto, la función es discontinua en dichos puntos. Para que en un punto x —a haya una discontinuidad, puede ocurrir, por tanto, que • n o e x ista /(c r)

• no exista fim f { x ) T—*d • que existan /( a ) y lim /( .i) , pero q u e f ( a ) * lim /(a :) Jt—la f ~*a

EJEMPLO 18

a)

La función /to ­

a r-2

es discontinua en x = 2. puesto que no existe/(2). b)

La función

/ U ) = £^