Matemática Básica 2: Vectores y Matrices

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MATEMATICA BASICA II

R. FIGUEROA G. Y

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LIMA - PERU

MATEMATICA BASICA 2

VECTORES Y MATRICES Primera Edición: Segunda Edición:

Marzo 1985 Marzo 1988

Reimpresión de la Segunda Edición: Agosto 1990 Agosto 1992 Agosto 1993

Impreso p o r:

EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827

Revisado p o r: RICARDO FIGUEROA GARCIA Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería Facultad de Mecánica

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437 Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso escrito del autor.

III

PROLOGO

Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las edi­ ciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificacio­ nes necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectu­ ra, pues la obra proporciona una excelente preparación para el estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal. El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimien­ to del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capítulo se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de

los

vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional (espacio), indicando claramente el camino para generalizar los conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo

un

breve estudio de los espacios vectoriales. En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes, de particular importancia en la teoría de las matrices y sus nu­ merosas aplicaciones. . Con este libro se tiene la intensión de desarrollar la capaci­ dad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática; esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejem­ plos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indu­ dablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios propuestos se resuelvan sistemáticamente,

toda vez que su solu­

ción obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.

IV

PÁóíogo

Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron posible corregir, mej-orar y ampliar esta nueva edición. • Ricardo Figueroa García *

CONTENIDO (g

VECTORES

1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

Introducción. 1.2 Coordenadas Cartesinas Vectores en el plano. Representación geométrica de un vector. Magnitud de un vector. Propiedades. Dirección de un vector en R2 Vector Unitario. Adición de Vectores. Propiedades. Representación gráfica de la adición de vectores. Sustracción de vectores. Multiplicación de un escalar por un vector. Representación gráfica. Propiedades. Vectores Paralelos. Producto escalar de vectores. Vectores ortogonales. Angulo formado por dos vectores. Descomposición de vectores. Proyección Ortogonal. Componentes Escalares. Area del paralelogramo y del triángulo. Descomposición Lineal. 1.21 Independencia Lineal. 1.22 Criterio de Independencia Lineal. Regla de comparación de coeficientes. Aplicación de ios vectores a la Geometría Elemental. Aplicación de los vectores a la Física.

1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.23 1.24 1.25

1 4 5 9 1 0 fc 11

13 14 15 25 26 33 34 45 53 55 56 69 77 78 91 99

ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA 1.26 Rectas en el piano. 1.27 Segmentos de recta. 1.28 División de un segmento en una razón dada. 1.29 Puntos que están sobre una recta. 1.30 Pendientes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.

107 108 110

115 120

Conten ido

VI

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA 1.31

Forma general de la ecuación de una recta.

128

1.32 1.33

Forma Punto-Pendiente. Forma Pendiente y Ordenada en el origen.

1 3° 131

1.34

Forma abscisa yordenada en el origen.

132

1.35

Forma Simétrica.

1^2

RELACIONES ENTRE RECTAS

%

1.36

Distancia de un

punto a una recta dada.

135

1.37

Intersección derectas.

“U 1

1.38

Angulo entre rectas.

149

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

159

1.39

VECTORES EN EL ESPACIO

160

1.40 1.41 1.42

Dirección de un vector en R 3. Vectores Paralelos y Perpendiculares Proyección Ortogonal. Componentes.

167 170 177

1.43

Combinación Lineal.

1.44 Dependencia e Independencia

Lineal.

181

1.45

Base y Coordenadas de un vector en R 3.

182

1.46

EL PRODUCTO VECTORIAL

187

1.47

Propiedades del producto vectorial.

189

1.48 1.49

Interpretación geométrica del producto vectorial.t PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpreta-

192

^

ción geométrica.

201

1.50

RECTAS EN EL ESPACIO.

209

1.51 1.52

Posiciones relativas de rectas en el espacio^ Distancia de un punto a una recta.

212 217

1.53 1.54

Distancia entre dos rectas en el espacio. PLANOS EN EL ESPACIO.

219 223

1.55

Ecuación vectorial del plano.

224

1.56

Distancia de

229

T.57

Intersección de planos.

1.58

Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre

un punto a uli plano.

una recta y un plano. 1.60

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

233 237 238

Conu'r.itio

1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67

Intersección de rectas y planos. Vectoies de n dimensiones. ESPACIOS VECTORIALES. Subespacíos vectoriales. Independencia Lineal. Bases y dimensiones de un espacio vectorial. Suma de subespacíos.

g

MATRICES

2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Introducción. 2.2 Definición. Orden de una matriz. Tipos de Matrices. Igualdad de Matrices. Suma de Matrices. Propiedades. Diferencia de Matrices. Producto de un escalar por unamatriz. Propiedades. Multiplicación de Matrices. Propiedades de la Multiplicación de Matrices.

yjj

241 251 253 258 264 269 276

281 282 283 284 285 286 286 289 293

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 2.11 Matriz Simétrica. 2.12 Matriz Antisimétrica. 2.13 Matriz Identidad. 2.14 Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. 2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior. 2 18 Matriz Periódica. 2.19 Matriz Transpuesta. 2.20 Matriz Hermitiana. 2.21 MATRIZ INVERSA 2.22 Inversa de una Matriz Triangular.

305 306 307 309

2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

327

Transformación elemental fila. Matriz Escalonada Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz. Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de

310 314 316 317 319

VIH

Contenido

Gauss-Jordan. 2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. 2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales.

343 351 359

[§) DETERMINANTES 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Definición. Propiedades. Existencia de los Determinantes. Menor de una componentes. Cofactor de una componente. Cálculo de determinantes de cualquier orden. Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes. 3.7.1 Regla de Sarrus. 3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a laforma escalonada 3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 3.7.4 Rango de una Matriz. * 3.7.5 Adjunta de una Matriz. 3.7.6 Inversa de una Matriz. 3.7.7 Matrices no singulares. 3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dosvariables. 3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tresvariables. 3.7.10 REGLA DE CRAMER.

367 368 375 376 377 381 401 402 412 416 422 424 436 441 442 443

VECTORES 1.1

INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la geometría elemental. Crearon una manera siste

aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las triángulos, las circunferencias y otras configuraciones.

Todo su

trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que constituido las bases de la geometría plana y del espacio

han

hasta

nustros días. En tiempos recientes, se han agregado otros conjun­ tos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la estructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar las ideas geométricas de sus antecesores. LJL-i.á.ea_ua_eate - aátodo consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlítico para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna. 1.2

COORDENADAS RECTANGULARES En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto ♦

cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x , es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B. Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces: A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3)) Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.

Vk.cto/L*ó

Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R 2, es dg eir: R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}

Figura t

Figura 2

Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R 2 se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama * i*tema de coordenada* canteóia.no.

también

El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo como sigue: a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizon­ tal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti cal. b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical (eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizon­ tal. c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simple­ mente "el punto (a,b)". En adelante, a los elementos de R 2 los denotaremos con letras mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B-(bx,b2). DEFINICION 1.

Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en R 2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi­

nido por:

3

Ve.c£o/ie~¿

A+E = (a i,a2)+ (bi,b2) - (ei+bi , a 2 +b2) Se puedeobservar

que la adición de dos paresordenados

de núme­

ros reales es otro par ordenado de números reales. Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces: A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) = DEFINICION2.

Dado un número real r, llamado

(4,-2) escalar y el par or

denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar r por A, al par ordenado: rA = r(ai,a2) = (ralfra2) Obsérvese también que rA^R2. Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces: rA = -2(-1,3) = [(-2)(-l).(-2)(3)] ■ (2,-6) PROPOSICION 1.1

Dados los pares ordenados A,B,CeR 2 y los escala­ res r,seR, se cumplen las siguientes propiedades

para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escala­ res por pares ordenados: Ai: Si A,BeR 2 -+•

(A+B)eR2

A 2: Si A,BeR 2 -*■ A+B = B+A Aj: Si A,B,CeR2

(A+B)+C = A+(B+C)

A),: 5í0eR 2 /A+9 = 0+A = A, ¥AeR 2

(Clausura) (Conmutatividad) (Asociatividad) (Elemento identidad para la adición de pares)

Pi: Si reR y ÁeR 2 P 2: r(A+B)

-►

= rA+rB ,

P s: (r+s)A = rA+sA ,

rAeR 2 ¥reR ,¥A,3 e R 2 ¥ r fseR , ¥AeR 2

P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR 2 P 5 : 3 U R / 1 A = A , ¥AeR 2 A 5•: ¥AeR2, 3 l-AeR 2/A+(-A) = (-A)+A = 6

(Elemento inverso nara la adición de pares)

Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.

Ve.ctosie.4

4

El conjunto R 2 de pares ordenados de números reales, junto con las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe el nombre de e.4 pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de los números reales R y se denota por V 2. A los elementos de un es pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar que el par ordenado (x,y) es un vector. 1.3

VECTORES EN EL PLANO Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales

(x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordena­ da) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc. Dado dos vectores en V 2: a=(xi,yi) y í=(x 2 ,y2), podemos definir Xi = x 2 i) Si a = t

(Igualdad de vectores)

1 yx = ya ii) a + S = (xi+x2 , yi+y2 )

(Def. 1) (def. 2 )

i ü ) ra = (rx i,ry i) jemplo 1 . Solución,

Si a=(-2,3) y ?=(4»-1), hallar el vector v=2a+3?. v = 2(-2f3) + 3(4,-1) = (*4,6) + (12,-3) = (-4+12 , 6-3)

(Def. 2) (Def. 1)

= (8,3) Ejemplo 2 . Solución.

Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-5) Supongamos que: x = (xi,x2) -»■ 2(-1,2) + 3(xi,x2) = (4,-5) + (-2,4) + (3xx,3x2) = (4,-5)

-*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,-5) Por la igualdad de vectores se tiene: -2+3xi = 4

«-*•

xi=2

4+3x2 = -5 ++ X2=-3 Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)

(Def. 2) (Def. 1)

Vectoneó

Ejemplo 3.

5

Hallar todos los números reales r y s tales que: r U , - 6 ) + s(5,-2) = (7,6)

Solución.

(¿r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6)

(Def. 2)

U r + 5 s , -6r-2s) = (7,6)

(Def: 1)

Por la igualdad de vectores:

4r+5s = 7 - 6r- 2 s = 6

Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3

1.4

REPRESENTACION GEOMETRICA DE U N VECTOR EN EL PLANO Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano

mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se llama vecto/i geomát^iico. Un vector veR 2 puede interpretarse como •

►

una traslación descrita por un par ordenado de números reales (x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y. Considerando que una traslación tiene un punto Inicial o de pa/iti da S del plano, y un punto

inat o de llegada en T, cada vector

v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas en el plano, todas elljté son paralelas, de^ igual longitud- e igual sentido.

(Figura 3)y '

La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.

DEFIÍJICIOM 3*

VECTOR LOCALIZADO Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos

Pi y P 2 que se indican con PiP 2 para los cuales Fi es el punto de partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿). Si una flecha tiene coco punto inicial a Piín.yi) y a P 2 (x2 fy2) * codo

punto final, entonces la flecha PiP 2 es una representación

geométrica del vector v=(xfy), donde: (x Fy ) = (X2 -X 1 , y 2-y 1 )

(1)

Si consideramos a los puntos Pi y F 2como radio vectores entonces, según la definición 3: v = PjP2 =

*"*■ ? 2 =

(2 )

+ v «

Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P 2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las componentes del vecor v. DEFINICION 4.

VECTOR DE POSICION Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir,

al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe de posición o ziadío vector. Observaciones: %

1.

El vector localizado PxP 2 es equivalente al vector de posi­ ción v=? 2 -?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi valencia. (Figura 5)

2.

La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación

Figura ¿

Figura 5

Veciore* Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»-2) y

Ejemplo 1

P 2 (2 ,3 ). Interpretar geométricamente el resultado. Solución.

Según la definición 3: = P l P 2 = ?.-?!

V

= (2,3)-(5,-2) = (2-5, 3+2)

► x

= (-3,3)

Ejemplo 2.

Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi mo vector que va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).

Solución.

Sean: a = R S = 2 - & =

(xfy)-(3,5) = (x-3,y-5)

t = ST = f - 3 = (8,1)-(x,y) = (8 -x,1-y) Si a=1>

x- 3 = 8-x

(x-3.y-5) = (8-x, 1-y)

y-5=1-y

-*■

x=1 1 / 2 y=3

Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3) Ejemplo 3.

En la figura adjunta se tiene: OP=x 3 y OQ=x 2y. Si a=S, siendo

£=(y 3+19» 6+xy2). Hallar el valor de x+y. Solución.

La.s componentes del vector a son OP y OQ

+

a=(xs,x 2 y)

c3 = y 3+19

+

(1)

x 3- y 3=19

Luego, si a=S x 2y = 6 +xy 2

x 2 y-xy 2 =6

+

(2)

Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene: x 3- 3x 2 y+ 3 xy 2 - y 3= 1

(x-y ) 3=1

, de donde: x=y +1

(3)

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: y 2 +y- 6=0

y= - 3

ó

y =2

Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP es negativo. Luego, en (3): x=-3+1=-2 .\ x+y=- 5

r

Ve.ciosi&¿

o

EJERCICIOS 1.

2.

Dados: a=(3,-4), £=(8,-1) y c=(-2,5), hallar el vector v si: a)

v = 3a

- 2Í + c

Rp. v=(-9,-5)

b)

v = ¿a

+ ^(£-c)

Rp. v=(17,-19)

c)

v = 2(a-S) + 3c

Rp.

v =('-16,9)

Hallar elvector x en las siguientes ecuaciones: a) 3(0,-2)+2x-5(1,3) = (-3,-5) b) (15.-12)+2 (-6 ,5)+x

= ¿(1;-2)

*

Rp. x=( 1 ,-8 ) Rp. x=(|,-2)

♦

3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los números reales r y s. a) r(-2,3)-s(8, 1 ) = (16,15) b) r(5,1)+s(-3f5) = (-2,8) c) r(-2, 3) + s(4,-6) = (0,2)

Rp.

s=-3

Rp. r=1/2, s=3/2 Rp. ^r,s

4. Dados los vectores a=(3x-5,x-2y+2) y í=(x-y-2,3-2y), hallar x e y de modo que: 3a=4b 5.

Rp. x=5, y=-9/2

Si a=(2m-3n,4n-m) y £=(2,-3), hallar los valores de m y n que hacen que: a=5^.

Rp. m=-1, n =- 4

6 . SI vector v=(3,2) es el vector de posición del segmento AB, cuyo punto medie es C(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento A3. 7-

Rp. A(3/2,0), B(9/2,2)

Sean los puntos ?(5/2,5), QO/3,13/4), R(-l6/5,7/2) y S(x,y) Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de 30x+80y Rp. -21

8 . Sea v=(7,-ó) el vector de posición del segmento AB y C(-|,3) el punto de trisección más cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B. 9.

Rp. A(-3,7), B(4,1)

Sean A(a,-2), ‘B(2,4)„ C(8,-3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si AB=GI)) hallar el valor de a-x. Rp. 8

10. En la figura adjunta se tiene: 0P=x 3 y 0Q=6-x Hallar a, si $=(9xy-y 3,y) y a=t.

o/

VectoneA 1.5

M AG NITUD DE U N VECTOR Para cada vector v eR2, v=(x,y), existe un escalar o número

llamado nonma, módulo o magnitud de v, denotado por ||v||,

tal

que: (3)

= /x 2+y 2 La fórmula (3) es coincidente con la

(x.y)

noción intuitiva de longitud de un segmento derivada del Teorema de Fitágoras. La Figura 6 ilustra esta pro piedad. Figura 6

Ejemplo 1.

Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) B(-2,7).

Solución.

Si v es el vector que va de A a B, entcnces: v = AB = 5-í = (-2+1f7 - 3 )

Luego, según ( 3 ) :

||v||

= (-3,4)

= / ( - 3 ) 2+ ( 4 ) 2 = 5

PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R 2. Nií ¥acR 2 , ||a||>0 N 2 : ||a||=0

a = 0

.

n f

)

N 32 ¥teR , ¥ a e R 2, ||ra|| = |r|||a|| N*: ¥a,í>eR2, | |a+í| | ^||a|| + | |1>| |

(Desigualdad triang.)

Demostración de Ni: En efecto,

si a=(x,y)

Si x^O e y^O

+

-*■

||a| | = / x 2 +y 2

||a|| ¿ 0.

Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta es positiva, por lo tanto,

||a||> 0 .

Demostración de N 2: (-0 Si a =6 («-) Si ||a||=0

a=(0,0)

-►

| |a| | = /O^+O 2 = 0

# ||a|| = / x 2 +y 2 = 0 . La igualdad es váli

si x=y= 0 , esto es, a = (0 ,0 )=0 .

||a | | = 0

«-*■

a =0

Vcctc

10 Demostración de N$: En efecto, si a=(x,y)

*

ra=(rx,ry)

y ||ra|| = /(rx) 2 +(ry ) 2 * / r 2 (x2 +y2) Por consiguiente i

1.6

= /r 2 /x 2 +y2

||ra|| * |r|.||a||

DILECCION DE UN VECTOR EN R 2.

A cada vector no nulo, v=(x,y)eR2, le corresponde una direc ción dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de v), que forma el vector con el semieje positivo de les X, para el cual: Sena =

11*11

/x2*y

11*11

/x*+y

. (Por segmentos de paralelas)

DEFINICION 5.

NEGATIVO DE UN VECTOR EN R 2

Si aeR2, tal que'a=(x,y), se denomina negativo inverso aditivo de a al vector:

o

-a = (-x,-y) Por ejemplo, el negativo del vector a=(-3 ,2 ) es -a=(3 ,-2 ) Observación.

Dado el vector aeR2,

su negativo -aeR 2 es colineal, de la misma magnitud; es to es: |-a|=|a|, pero de sentido o puesto que el vector a.

1.10 SUSTRACCION DE VECTORES Dados dos vectores a,SeR2, tal que a=(xx,yi) y í=(x 2 ,y2), definimos la diferencia a-í> del modo siguiente: a - í = a + (-Í) = (xi,y i) + (-x2 ,-y2) a - í> = (xx-x2 ,yi-y2) Ejemplo 2,

(8 )

Si a=(4,2) y S=(-3>3)> hallar la diferencia a-S y tra

zar una gráfica que muestre la representación ordina­ ria de los tres vectores. óvluci&n.

Por definición:

a-í = (U, 2)-(-3»3) = (á,2)+(3,-3) = U+3,2-3) •= (7,-1)

16

Vecto/ie¿

La representación ordinaria de cada uno de ios vectores se muestran en la Figura 8 . Debemos destacar que, el inverso aditi vo de (-3,3) es (3 ,-3 ) (negativo del vector í¡), que es colineal de la misma magnitud que (-3 »3 ) pero de sentido opuesto.

y

La representación geométrica de a-S puede obtenerse aplicando la regla del paralelogramo a la suma a+(-?>). La Figura 9 nos mu estra otra manara de representar la diferencia a-^. /■ y (-3 ,3 ) X

J

L ' 2)

\

S

0 ■

V - o sa_D ^ -''i7 --1) (3 ,-3 )

Figura 8

Figura 9

Observaciones: 1

Si a, S e R2, entonces la diferencia a-S satisface la condición í+(a-b)«S, lo que explica porque algunas veces se dice que la diferencia a*S ®^_el^vector^ que v.a de $ a^ a.

2.

El vector diferencia une los puntos finales de los vectores S y a (Figura 9)-

3*

Si a, ícR2, son vectores no nulos, entonces a-S ¿ S-a

Ejemplo 3.

Sea x un vector tal que (3,-i)=x+(1,-6 ). Si (3,-2 )=tx+r(-1 ,1 ), hallar el valor de 3 r+ 6t.

ScCución.

En la primera ecuación se tiene:

(3,-¿)-(1,-6) = x + (1,-6) - (1,-6) + (3-1,-4.+6) = x + 0 + (2,2) = x Luego, si (3,-2) = t(2,2)+r(-2 ,1 )

+ (3,-2) = (2t+2r,2t+r) Por igualdad de vectores: 3=2t+2r y -2 =2 t+r Resolviendo el sistema obtenemos: r=- 5/ 3 y t=-l/6 •\ 3r+6t = - 6

(AJ

17

Vcctoneó \

Ejemplo 4.

Dados: a=(-2,2), ?>=(3,-2) y c=(-1,l), resolver la ecuación: 3 a - 2 [3 (t>-2 c) + 2 aJ + 3x = 2 c + x. Restando 2c+x a cada extremo de la ecuación dada se

Solución *

tiene:

3a-6(S-2c)-4a+3x-(2c+x)

= (2e+x)-(2c+x)

-a-6l>+1 2 c+3x- 2 c-x = 0 de donde: 2x = a+6Í-10c = (-2,2) + 6(3»-2)- 10(-1,1) = (-2+18+10 , 2-72-10) = (26,-20) ••

Ejemplo 5.

x = (13,-10)

Mediante segmentos orientados demostrar la propieaad Aa: (a+S)+c = a+(S+c). 1

De.mc¿¿/iación,

En efecto, sean los segmentos orientadas: PT = a , TS = S , SR = o

PR = x

Por la interpretación gráfica de la suma de vectores se tiene: En el APTS: P S = P T + TS = a

+ í>

En el ATSR: TR = TS + S R = í ¡

+ c

En el ¿PSR: PR = PS + SR -*■ x = (a + S) + c En el APTR:

(1 )

PR = PT + TR x = a + (S + c)

(2 )

Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: (a+í) + c = a+*($+c) Ejemplo 6.

Sean a=(-2,3) y í=(4-,-3). Un segmento dirigido, que 2“* 1^ representa a (•ja--gb) tiene por punto inicial

S(5,-3/2); hallar el punto final. Solución,

Sea T(x,y) el punto final del segmento ST. Si ST = |a - g1> -►

Entonces:

(x-5.y + 4)

= (-2,í)

Í-S = §(-2,3) - gU,-3) x-5 = - 2

{

-►

y+3/2 = 5/2

Por tanto, el punto final es:

T(3»1)

x=3

=1

!/ecto*.e.¿

18 Ejemplo 7.

Se tiene: 2(2,-3)+c = (3,-5)+(a,7) y c está sobre la recta L:y=x+2. Si A(3.5) y B(-2.6), hallar el punto

P tal que PC = -AB. Solución,

Si ceL

+ -

e=(x,x+2) 2(2,-3) + (x,x+2) = (3» "5) + (a+7> x = a- 1

{

x +2 = 8

Luego, c=(6 ,8) . Si P(xi,yi) y PC=-AB

-►

x =6

c-P = -(B-A) = A -B

6-xi = 5

(6-xi,8-yi) = (5.-1)

'*“*■

8-y i = -1

*

xi=1

-*■ y =9

p(i,9) Ejemplo 8

Los vectores a,S y ceR2, cumplen que: a+2 Í=c y a-3Í=2c. Siendo a un vector unitario, hallar la ñor

ma de ?>+c* Solución•

De las ecuaciones dadas se tiene

a = c-2$ a = 2c+3Í

Luego,

c-2Í¡ - 2c+3Í

= -5$

Sustituyendo en (1) obtenemos: Entonces:

í>+c = -^a

% ~ - -^a

ií+cii = 4 ii¡n

Como a es un vector unitario

Ejemplo 9.

(1) (2 )

=1

•*

|í+c

¿ 7

En la figura adjutíta se tiene: 5 y 0L=27/2 OM = |x .

Si a=(2x3»lx 2 +4y2) y $=(^xy2, - -|xy), hallar x-y de modo que: Solución•

* x

2 s = (-j)a-2 o.

Las componentes de s son OM y ÓL + s

27

Luego: 2(|x,¿|) = ^(2x3,¿x2 U y 2) - 2 (^xy 2, - -|xy)

19 ( 1)

if = (x+y) (x-y) = (x+y)z

+

(2 )

(x+y) = ¿

Sustituyendo (2) en (1) se tiene:

¿(x-y) =

12 2

x-y = | B Ejemplo 10.

Sea el exágono regular.de lado a, mostrado en la figura.

Al sumar

BA, AC, DC y AE se obtiene un vector s; hallar la norma de s. Solución•

Por geometría elemental sabemos que Jl$=r=a y ¿ 3=r/ 3 * entonces:

||AC ||=||AE||=a/J , por ser lados de un triángulo equilátero. Trasladamos los vectores indicados a un sistema bidimensional con origen en A cu yo eje X siga la dirección de AD, y apli cando la ecuación (5 ) tenemos: BÁ =

|1BA | |(Cos240o ,Sen2¿0o )= aí-j,*^)

AC =

|1AC ||(Cos30°,Sen30°) = a / 5 ( ^ ,

= a x-a, enton­ ces a+í> es ortogonal a a-íi.

De.mo¿tA.ac.¿6n.

En efecto, si 2ax-í>=2$x-a

+

a-í) = 2(íx-a1)

(1)

Aplicando el ortogonal a ambos miembros de (1) y haciendo uso de las propiedades:

(a+ÍS)“ = ax+í>x (ax)x = -a

(a-í)J* = 2 (SJ_-a")"

se tiene:

+ a x-íx = 2 (-í + a) Sumando(1) y (2) obtenemos: Luego,

-+ ¿(a-í) = 2 (ax-$x) 5(a- í>)=0 *> a-í=0

(2 )

(a+í>). (a-1>) = (a+í).0 = 0

Por tanto, según (11):(a+í) J_ (a-t>) Ejemplo 8,

Hallar la norma del vector í=(-3m,m), sabiendo que

ha sido descompuesto en el vector a=(- 5 ,3 ) y en otro vector paralelo al vector c=( 1 ,1 ). Solución. Si S=m(-3,1) + | |í|| = |m |/(-3) *+■( 1) 2 y si: í>=a+rcm(- 3 ,l) = (-5 ,3 )+r( 1 ,1 )

= |m|/TÜ

(1)

Multiplicando cada extremo, escalarmente por (1»1)“L, se tiene: m(-3,1).(-1,1) = (-5,3).(-1,1) + r( 1,1). (-1,1) -*• m(3+l) = (5+3) + r( 0 ) , de donde: m=2 Por tanto, Ejemplo 9.

en (1) se tiene:

Si a y b son vectores unitarios y paralelos, hallar la norma de ax+b.

Solución, Sabemos que si: o bien: Entonces:

||í|| = 2/TÜ

a||í

+ a = rí

ax .b = 0

a||b

||ax+b | | 2 = |\t¿ ||2+2ax.b + ||b| | 2 = ( 1) H a M ll

+ 2 ( 0 ) + (1) = /5

V c c io s ie . 4

Ejemplo 10.

Si a=(-6,15), í¡=(-2,9) y c=(-2ra,3m) y se sabe que: x+y=a, Í\\t

Solución,

Si x||í>

**■ x

y II c + Luego,

si:

39

y

e y||c. Hallar x.y-*-. = tí>

-*■ x = t(-2»9)

= se

+ y = sm(-2,3)

(1) = r(-2,3)

(2 )

- ( ' 2 t - 2r=- 6 * t+r=3 [9t+3r=15 + 3t+r=5

t(-2,9)+r(-2,3) = (-6,15)

Resolviendo el sistema obtenemos: t=1 y r =2 Sustituyendo en (1) y (2): x=(-2,9)

» y=(-4»6)

■\ x .yx = (-2,9) - (-6,-4) = 12-36 = -24 Ejemplo 11.

Si a, í y a+í son vectores unitarios,

hallar la ñor

ma del vector a-S. Solución, Si el

vector a+S es unitario

+ ||a+£l | 2=1

- ||a | |z+ 2 a.S+ I -»■

Luego:

||a+í>|| = 1 I I2=1

1 + 2 a. í¡ + 1 = 1

a.í> = - 1 / 2

\\t-$\\2 = ||a | | 2 - 2a.S + \\t \ \ 2 = 1-2(-1/2)+1 = 3 a-í¡|| = / 3

Ejemplo 12. Solución,

Si a+í>+c=0 y ||a||-2, Si a+£+c=0

||í>II=5f

||c||=8 ; hallar a.?>

||a+í> | | 2 = ||-c | | 2

a+S = -c

- i|a|í 2 + 2 a.í+|\%\\2 = ||c| I2 -*■ de donde: Ejemplo 13.

a.í> =

4 + 2 a.í + 25 = 64

35/2

Si a=(l,x), S=(2x,x) y

c =(2 x

,-1 ),

donde x es un nú-

«

mero real; hallar la suma de los elementos del con­ junto M = { (x,y)/(a-c).b = a.c-1}. Solución,

Tenemos: a-c = (1,x)- (2x,-1) = (1-2x,x+1) * M = { (x,y)/(l-2x,x+1). (2x,x) = (1,x ) . (2x,-1)-1} = { (x,y)/2 x- 4x 2 +x2+x = 2 x-x- 1 } = { (x,y)/ 3x z- 2 x - 1 = 0 }

Por tanto, si M = (xi,x2}

Xi+X 2 =2 / 3

Ve.ctone.4

40

Dado el vector í=(2,3) y la función f:R 2-"R/f(p)=p.í>

Ejemplo y(.

El vector a es tal que f(a)=-1ó y a||c=(1,2). Calcu lar la norma de a. Si f ( p ) = p . S + f(a) = a.í = -16 a||c -► a = r c = r ( 1 ,2 )

Solución.

Entonces:

a.íi = r(1,2).(2,3)

Luego, en (1):

Ejemplo 15.

a = -2(1,2)

-16 - r(2+6)

(1 ) **• r=-2

\\t\\ = I-2 I/T+I = 2/5

Sea el cuadrilátero PQRS. Sean: a=PQ , S=QR , c=RS y

3=Sf. Hallar c.3 si se sabe que: l|a+S||=7 . I|c||=3 y I |3||=5.

Solución.

De la figura obtenemos:

S = a+S+c - ||3-c || = | |a+í | |=7 Elevando al cua.drado: ||31 |2 -2

= (2,3)

Dados tres vectores unitarios a , í y c que satiafa

. cen la condición a+í+c=0 , calcular el valor de: •* a .í¡ + S. c + a. c • Solución,

Si a+í+c^Q

c

lla+ÍH = M-íll

Ve ctojie.4 Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene: a^

2 + 2 a.t + ||í | | 2 = I|c ||2 —

a .% = - 1 / 2

1 +2 a.í+1=1

Análogamente se obtiene: S. c = - 1 / 2 t a. c * *,í> + í.c + a. c = - 3/2 a Ejemplo

•>

=

-

1/2

En la figura adjunta, los triángulos OCB, PBS y RST

son todos ellos semejantes. Hallar

RT

si P y R son puntos medios de OB y

PS

respectivamente. Solución.

La figura muestra tres trián gulos rectángulos isósceles,

en donde:

||0B||=4/5 y ||PS||= /(2/2) 2 +(2/5) 2 = 4

Un vector unitario en el sentido de OB es: u = Entonces: PB = 2/5u = 2(1,1) ; Luego:

BS = 2/Ju 1

^ 4/2

= ^?(1,1)

2

= 2(-1,l) = (-2,2)

PS = PB + BS = (2,2) + (-2,2) = (0,4)

Un vector unitario en el sentido de PS es: v = Entonces: RS = 2v = (0,2)

y

- (0 , 1 ) =

SÍ = 2v-*- = (-2,0)

RT = RS + ST = (-2,2) Eje mp 1< V 2 .

Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tie ne por extremos A=(-6,1) y C=(-2,8). Si los lados

de mayor longitud tienen el mismo sentido del vector a=(2 , 1 ); ha llar los vértices B y D. _ 4y Solución. AC = C-A = (-2, 8 )-(-6 ,1 )= U , 7) Si ÁB||a BC | |a Como AC = AB + BC

+

AB = r(2,1)

->• BC = t (-1,2)

+

(4,7) = r(2,1) + t (-1,2) % De donde obtenemos: r=3 y t=2 Por tanto: ÁB=3(2,1 )= ( 6 , 3)

-*• B = J+ÁB = ( 6 , 3 ) + (-6,1)= (0,4)

BC = AD = 2(-1,2) =

■*

(-2,4)

D = Í+AD = (-6,1) + (-2, 4)= (-8 .5 )

Vccto*ie¿

o

EJERCI CI OS Sean a y í vectores en R 2. Utilizando las propiedades del producto escalar, demostrar:
| !. (Figura 10) Por la ley de los cosenos se tiene: ||a-$l|J=||a|| 2 +||$||2 -2¡|£||||£||Cos6 Desarrollando el cuadrado del primer miembro obtenemos:

Figura 10

I |a-í>| |2=| |a | j.2+| !S | |2-2a.í

Comparando ambas ecuaciones se deduce que: «+■ +

a.b = |)a||

de donde:

(1 2 )

||b||Cos9 * *t a. b

Cos0 =

(13)

I ¡a | i ||S|| Ejemplo 1,

Hallar el valor del ángulo que forma el vector a que va de A(¿>5) a S( 6 ,¿)t con el vector S que va de

C(-3,1) a D(-2,-2). Solución.

a = AB = (6,4.)-(¿,5)

a

= (2,-1)

t = CD = (-2,-2)-(-3*1) = (1. 3) Luego, según (13):

Cose = .Ü-M-lLiLV (/3)(/T0)

-

= /5

o

= /10

= 111 5/2

o

•• e = 15

Ejemplo 2.

Hallar la norma del vector 3, sabiendo que a y ? man un ángulo de 60°, a = a+í>, ||a| | = 3 y ||?ll = 5 .

Solución.

Si a =a+S

| |3| | = | |a+S| |

for

¿6

\¿e.c¿c/ieó %

w

Elevando al cua'

se tiene:

l|a| | 2 “ ||a|l2 +2a.D + |lí| | 2

Según la ecuación (12): ||c¡ | | 2 = ||a ||2+2 | |a | |||í ||Cos60 +||o | | 2 = 9 + 2(3)(5)(1 /2 ) + 25 = 19 I|2 |l = 7 Ejemplo 3.

Calcular a.Í) donde a y í son vectores de la figura adjunta

para los cuales: Solución,

| |a| ¡=4- y | |í| ]=2/3*

Si 0 es el- ángulo que forman ambos vectores, entonces:

6 = 9C°-(12°+18o ) = 60° Luego, según (12): a.Í = ||a|| | |í||CosB a.Í = i/3 Ejemplo

¿í. Los vectores

a y b forman un ángulo de tt/6 radianes.

Sabiendo que i|a||=/3 y ||í||=1, hallar el ángulo q* forman los vectores u=a+í y v=a-í. Solución,

Según la ecuación (12) tenemos: t.t = !!a | | ||S| |Cos (tt/6 ) = (/I)d)(/ 3 /2 )= 3 / 2 u.v = ¡jú||||v||Cos6

(a+í),(a-í) = |(a+o| j | |a-í| |Cos6 - Ila||2 -I!í|¡2= (/ÍTaj \>+2t.U\ |í| |2 )(4|S| |2 -2 ?.S+| |S| i2 )Cos8 +

(✓l)2-(1 ) 2 = (/(/5)2+2(3/2) + (1)2 )(/(/1)j-2(3/2) + (-!)2 )Cos9

de donde: Ejemplo

CosQ = 2/fl 5. Los vectores

■*

Q - arcCos(2//7)

a, í y c forman dos a dos un ángulo de

60°, sabiendo que |¡ajj=4.f [jí| | =2 y |¡c||=6 , deter­ minar el módulo del vector v=a+ítc. Solución.

Si v=a+í+c

+

||v|| = ||a+í+ej|

Elevando al cuadrado se tiene: ilv||2= I|Í||2 +|íÍ|| 2 +||Í|| 2 +2 Í.Í+2 Í.Í+2 Í.Í = I¡ & I!2 + l 1^1 l2+l Io Il2 +2 (||a|¡||í|| + |J a||||c||+| |S|¡||c¡|) Gos60°.

\

Ve.cto4.ej>

||v|¡2= 16+4+36 + 2(4*2 +

4x6

+ 2x6) (1/2) = 100

/- IIv|| = 10 Ejemplo 6.

Los vectores a y í tienen igual longitud y forman un ángulo de 60°. Si la longitud de a+£ es 4 unidades

mayor que la longitud de uno de ellos, hallar la longitud de a.

Solución.

Tenemos:

a.£ * | |a| | ||£| |Cos60°

-*■ 2a.£ = | |a|

IIS+ÍII = 4 + Hall Elevando al cuadrado: ||a||2+2a.£+||£|i2 = 16+8||a|I+||a||2 Como ||a||=||£||

||a|| = 2 ± /Z +8

IIa||2-4||a||-8=0

/. ||a| | = 2 + 2 / 3 Ejemplo 7.

Si el vector a=(-/3,/55) gira 45° en el sentido hora rio se determina el vector £=(x,y). Hallar x+y.

Solución.

Si ll£||=|l*ll

/ x 2+y2 * /8+50

+ x a+y2 = 58 Cos45

a .£

=

{1 = (-2/?, 5/2). (x,y)

2

lalllltll de donde: 2x-5y+29=0

(1)

*►

(/5H)(/5§) 1

y = *^(2x+29)

(2 )

Sustituyendo (2) en (1) obtenemos: x 2+ 4 x - 2 1 = 0 ^

x=-7 o x=3

Elegimos x=3 por cuanto el lado terminal de £ está en el primer cuadrante. Luego, en (2) se tiene: y=7 x+y = 10

Ejemplo

8.

Los vectores a y £ forman entre si un ángulo de 45° y la norma de a es /J5. Hallar Il£||f sabiendo

a-£ es perpendicular al vector a.

Solución.

Si (a-£) 1 a

(a-£).a = 0 -►

a.a - a.£ = 0

-►

-

I |a| |2 = M a l M l£| |Cos30°

4/3 = ||£||(/3 / 2 )

11*11 « a

||a||2 = a.£

que

\V¿8

Vecic/ic¿

lo 9.

En el cuadrado adjunto, el lado mide a unidades. Hallar el valor

del ángulo 0, si P y T son puntos que trise can los lados del cuadrado. Solución* %Como P y T trisecan a los lados del cuadrado, entonces:

q

0P=(a,a/3) y 0T=(a/3,a)

Luego:

||0P|| = ||0T|| = / a 2+(a/3)2 = | /T0 OP.OT = (a,|) (fia) = ± a 2 + -ja2 = | a 2 OP.OT

Si Cos0 *

+

Cose =

OP || I IOT ||

(2/3')&2 - 3 (■| /TCJ)2

5

0 * arcCos(3/5)

Ejemplo 10.

Sean a y ?

vectores unitarios en R2. Demostrar que

la suma es un vector unitario si y sálo si el ángu lo formado por dichos vectores es de 120 °. De.mo¿tsiación,

i) Primero demostraremos que ||a+S||=1

En efecto, supongamos que 0=120° es el ángulo formado por a y ? . Entonces: llí+ íl

iaii2 + i m i 2 +2 s.$

2 _

sII 2+ Il^lI2 +2 ||a||||í||Cos0 I a+£|

= 1 + 1 + 2(1)(l)(-1/2) = 1

ii) Demostraremos que a y ?

forman un ángulo de 120°.

En efecto, por hipótesis: Luego, si ||a+b| | 2 = 1

de donde: Cos0 = -1/2 Ejemplo’ 11.

= 1

||a||= ||?||= ||a+S||= 1

*

||a||2 +||t||2 +2a.£ = 1

*

1

-*■

+ 1

+ 2 ||a||||?||Cos9 = 1

0 = 120°

Hallar el valor de r= | ]a -

|, si | |a ||=1,

II?!I=2 y el ángulo entre a y S es 60°.

Solución*

Tenemos: a.S = |\t\|||t||Cos60° = (1)(2)(1/2) = 1

y c .c to n e .4

i i r = 41 |2a+í|i i|

49

^ _ i #** i i * ^ ; g i ~ i r2 = *^(4| |a| |2+ 4a.1)+ i| z|?r\>|i | 2) í(

i i

^

/. r = 2/5/3 Ejemplo 12.

Sean a, t> y c vectores en R 2. Suponer que ||a||=1 »

|]í||=1 y llc||=4. Si | |a-í+c | |= ||a+2?+cl | y el án­ gulo entre a y í mide tt/4; hallar el coseno del ángulo entre los vectores í y c. Solución.

Tenemos:

a.S = ||a| lililí Cos(tt/4) = (1) (1)

=

||a-í+c||2 = ||a+2Í+c||2 - j |a| |2+ J |í¡ |2+| |c | |2+2 (-a.í+a. c-íi. c) = |\t | |2U | 11 i I2+ I \c H 2+

2 (2 a .í>+a. c+2Í>. c) de donde:

j\%||2+2a,í+2S.c = 0 * 1 + 2(/5/2) + 2 |\% ||| |c | |CosB

Ejemplo 13.

++

Cose = - 1

Por métodos vectoriales, determinar los cosenos de los ángulos formados por las aristas y las diagona

les de un paralelepípedo rectangular. Solución,

Sean a, S y c las aristas y 5 una de las diagonales del pa­

ralelepípedo rectangular; además, sean: a=m°(d,a) , B=m°(d,b) , y=m°(d,c) En la figura: 2 = v+c = a+í+c + •t d.a » a.a + a .í + T a. T c = a - M™

2

í.t = í.t + í.í + t.t = iltll2

3.3 = 3.3 + S.3 + 3.3 = llcll2 Entonces:

Cosa «

.3 Hall I |3| |

í |a| | | | t | | iiíii

Cosg = iiíii

Cosy »

i |a| |

lian

c .3 llcll

I |3 | |

iiíii

lian

lian |icl |

||3||

I

50

Ve,c£one.¿

Ejemplo 14.

En la figura OACB es un para lelogramo. Si OC=(5,3), BA=

(-3»9) y a el ángulo determinado por OA y OB

hallar el coseno de a.

So ¿ación. Entonces:

Si BA=(-3.9) =tAN

-►

6 ( 1,0) +(1 , /3)

|\t\|=t| |AÑ| |

= (7,/J)

U/Tí= t/4.9+3 , de donde: t=2

t = 2(7,/3) Por tanto: Cos0 = --------l|a|| ||í||

= 3(1, -/3) »2(7_,/3) _ _ 1 (3/1+3)(2/49+3) /T3

Ejemplo 16. En un AABC se tiene: AC=(-2,4) y

AB=(3,-1).Hallar

el ángulo que forma el vector BC con Solución.

elvector

Tenemos: í-í=(-2,4) y §-í=(3,-1)

7

Restando se tiene: í-$=(-5,5)

+

BC=5(-1,1)

,

e=i5°

Cose = I p j X = 5(-1.1).(0.1) = _1 | |BC | | 5/2 /2

í*1.

51

Ve.ctoA.e¿

EJERCICIOS 1

♦ si a .

Hallar la medida del ángulo entre los vectores a y va de A(2,5) a B U , 4) y t va de C

Al multiplicar escalarmente por u — s.^ se tiene: u. a = su.u + t a ^ u ^ = s||u||2+ 0 «► u, a = s de donde: ( 1) Al multiplicar (14) por ux , se tie = 0 +t| |uA | |

ux .a = sux.u + t de donde:

(2 )

u ♦a = t

Figura 13

Por sustitución de (1) y (2) en (14) obtenemos (15)

a = (u. a)u + (u~. aju4-

También podemos afirmar que el vector a se puede expresar como una suma de múltiplos escalares de vectores ortogonales no nulos que no sean unitarios. En efecto, si u =

t

y

u

±

=

u + u

U‘

u

iíi

entonces por (1 5 ) se tiene: a = (— I - .í) Vllbll /

t lili

(-Ji.s V llbii

i

■

que equivale a: U = (-Si Mlb / Ejemplo 1.

Solución,

\t + ( _ L Ü \ s Ibll

(16)

Dados los vectores a=(-2,2) y D=(3,1)f expresar a co roo una combinación lineal de í y í¡x . Si b= (3,1)

+

í1 = (-1,3) y | |í>| |=/To

Haciendo uso de la ecuación (16) se tiene: «*•

a = j"(-2,2).(3,1) j (3» 1) + 10

6+2 = (:t Tj£ )(3.1) + -

2+6

(-1,3)

= - § ( 3 , 0 + §(-1,3) Verificación:

= r- k . 1 ) a ( 5* V

i

+ / i J2, = ( - 2, 2) + { 5’^ ’

(-1,3)

Ve.c£osie.¿

1.17

55

PROYECCION ORTOGONAL Sean a y £ dos vectores y £ no nulo. La proyección ortogo­

nal o componente vectorial de a sobre £, denotada por Proy-ga, es el vector: ProygS = í - % ^ - ) 6 , UQ b ' I|S||2'

(17)

Si aplicamos (17) a (16). obtenemos: a » Proyga + Proygxa

(18)

Geométricamente esta definición significa que se puede construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector a y cuyos catetos contienen a los vectores Proy^a y Proy^j-a.

Propiedades.

i) Proy*(a+S) = Proy+a + Proy+S c *c Jc ii) Proyg(rí) = rProyga

Observación.

Los vectores £ y Proy-ga son paralelos de tal modo que si el ángirlo 0 entre a y £ es agudo entonces £

y Proy^a tienen la misma dirección y sentido (Fig. U ) ,

en tanto

que si 0 es obtuso entonces £ y Proy^a tienen la misma dirección y sentido opuestos. (Fig. 15) Ejemplo 2. ¿oíuclÓn.

Si a=(l2f5) y b=(-3*4)f hallar Proy^a. Según (17) se tiene: Prov+a = < 1 2 . 5 M - 3 . ¿ ) = . J6 b (/9+16)2 25

l/ecto/ie.^

56

Vemos que Proy^a y s son paralelos y tienen sentidos opuestos en este caso» 1.19

COMPONENTES ESCALARES Al número

*

£

+

a* se denomina com.pone.nte. encalan de a en la nti dirección de £, siendo b no nulo, y se denota por: Compía = -----

Pb

(19)

||S“

■** í \ £ )— x— * se puede establecer la réla*1 |b| |/| |b | |

(

ción siguiente entre proyección (un vector) y componente (un nú­ mero).

£

Proyía = (Compía)— 5— yb b. 1 ^ 1 ,

(20)

Si Comp-fca>0, entonces la Proy^a tiene el mismo sentido de b, del mismo modo, si Comp£a .

Solución,

Si ?=(3»1)

||S||=/TÜ y Si=(-1,3)

De la ecuación (16): a = ( -a¿— )— -—

' Entonces:

t -[l=MLálúl\ L =

/Tü

+ ( a*^)— ^—

i i í í .n i í i i

M iíiriiíii

+ f(-2,2).(-1.3)T _|i_'

J ||t||

L

/TO

J ||t||

+(_L\_ÜV /Tü/||í|| ' /Tü'||S||

De donde:

Compra = --— y /TÜ

Ejemplo $,

Los lados de un triángulo son los vectores a, í y

Competa =

a-S. Si ||a||=5»

® /Tü

Il^il=3 y Compía=-5/2» hallar la

longitud del lado a-b. Solución,

Si Compra = -5/2

*► - ™ —

1

Luego:

i

i

í

i

~~o 1

ñ *^ ~ -15/2

2

||a-S||2= ||a||2- 2 a . S +

||íi|l2

= (5)2 - 2(-15/2) + (3)2 = 49 Ilí-íll = 7 Ejemplo A

Los lados de un triángulo son los vectores a, S y a+S. Si ||a||=5»

I!Í|1=2/2 y |)a+í||=/53; hallar el

valor de 2Comp^a-Comp-j(a+í) • Solución, Si ||a+b||=/53

||a||2 + 2a.í + ||b||2 = 53 -*•

(5) 2+2a. b+ (2/2)2= 53

+

a.t=10

58

Vcctonc./»

Luego:

2 0 0 ^

=■ 2 ( j ^ ¡ )

= Z{^

= ^

CoBp-(att) = i i í l l J = I 1 *11 * ■♦■!=* = 25+10 . ? 11*11

5

5

/. 2Conp-ga - Compj(a+í) = 5/3-7

Ejemplo J\

Si a+$+c+3=0 , ||a+S|I=a, Comp^S

Solución.

! |a+í| |= | |c+3| |

Elevando al cuadrados

Luego: Comp+3 =

Ejemplo 8.

a=||e+3||

a 2 = ||c||2+2c.3+||3||2

a 2 * b 2 + 2c.3 + b 2 , de donde;

c

||3||=c. Hallar

.

Tensaos: a+í * -(c+3)

Entonces:

Ilc||=by

c.3 = ^ ( a 2-b2-c2)

= -wr(a2- b 2- c 2 ) M

o

l

í

2 b

Si el vector í> forma un ángulo de 30° con el semieje positivo de las X,

11^11=2, Comp£a=-2 y Comp|aa=2/3.

Hallar el vector a. Solución.

t = I|S||(eos30°fSen30°) = (/3,1) Según la ecuación (18): a = Proy-^a + P r o y ^ a

♦ a = (Coopta)+(Comp£J.a)-l—

II°II

u

=

+ (2/5)

||b||

t = (-/5,-1)+(-/5,3).= (-2/5,2) *

Ejemplo 9.

Si a=(-2,/T2) y b =(-3»/3), hallar el ángulo formado

por los vectores a y Proygi-a. Solución.

Sea: c = Proy^xa = l -a *^—

b AM AA A

É

A

te

\$x

M lítll*/

f (-2,/Í2).(-/5.-3)1/

Sean: u||a y v||c

+

.

/5,

3».

u=(-1,/5) y v=(1,/3)

El ángulo que forman u y v es el mismo que forman a y c.

■* Luego:

Cos0 = ----v

« (~^ > ( . 1 »/3) B J.

Ilull ||v||

(/T+3)(/Í+3)

2

«TV

Vecto/iej

Ejemplo 10.

59

Si Proy£a=(-2, 8) , Proy^i-a= {4,1) y í=a+a'L# hallar la norma de S.

Solución»

Si a = Proy^a + P r o y ^ a

-

a = (-2,8)+(4,1) = (2,9)

Luego: t = (2,9)+(-9*2) = (-7,11) ••

Ejeirplo 11.

||S|| = /170

Dado el vector a=(-4,2) y Proy£ia=(-3»3)» supuesto que C o m p r a es positivo, hallar Compra.

Solución»

Si a = Proy-ga + Proy^xa (-¿,2) = Proy^a + (-3*3)

de donde: Según (21):

Proy^a = (-1,-1) Compra = i||Proy+aj|

#*

y' ''1-3,3) ♦ / \ a ^ X

/ / /

\ -*• Compra = ± /(-1) 2+ (-1)2 = ±/5

/

\ y 0 \y

En la figura se observa que $ y Proyga tienen sentidos opuestos, por tanto: 4

Comp^ a = -/2

Ejemplo 12.

En la gráfica adjunta, c es un vector unitario tal que:

Cotga = 3/?. Si á+v=ax, hallar Compre. Solución»

Dado Cotga=3/3 y a en el IV cua­ drante, entonces: 1

Sena =_ — 2/7

y

Cosa = 2/7

Luego, si c=(Cosa,Sena)

-*■

c - *^r(3^3t-l)

Sen75° = Sen(¿5°+30°) = SeiU5°Cos30o+Sen30oCo8¿5o = ¡^(1+*'3) Cos75° = Cos(¿5°+30°) = Cos¿5oCos30o-SerU5oSen30o - ^|(/3-1) + a = | |a| |(Cos75°,Sen75°) = Luego:

|a| |(/3-1,1+^3) = r(/3-1 ,•'1+1)

v = a -a = r(-/3-1*^3-1)-r(/3-1,/3+1) * 2r(-/3,-l)

- - T Z (3 /3 .-1 ).2 r (-/3 .-l)

por tantc: Compre

2r/3+1

2 /7

60

Ve,ctojte-á I

Ejemplo 13.

Dado el exágono regular de lado a, hallar la proyección ortogo­

nal de FC sobre BE. Solución.

FC = ||FC||(Cos60°,Sen60°) &

= 2a(1/2,/5/2) = a(1,/5) BE =

®

BE | |(Cos300°,Sen300°) = 2a(-l , - Q ) BE = a( 1,-/5)

Luego: ProyggFC =

FC^BE, gj. s a(1^/3.),al 1.-/3)a(1|./5) |BE||2 a2(/T+3)2

*. ProyggFC = -§(1,-/3)

Ejemplo 14,

Un avión vuela en* sentido del vector a. La velocidad del

viento es de 50 Km/m en sentido del vector v. Hallar el duplo de la componente de

la

velocidad del viento en la dirección del a

►x

vión. a = |Ja| |(Cos¿5°.SeiU5°) = ||i| 1^(1,1) v = | |v|i(Cos120o ,Sen120o ) = 50 ( §,4¡) = 25Í-1./J)

Luego: Gomp-^v = — •a

IISII

_

25/?

|S| 2Comp-*v * 25/2(/J-1)

Ejemplo 15.

Dados los puntos A(-1,3)» 5(5.6) y C(7,5)í si P di­

vide al segmento AB en la razón ÁF:PB=2, hallar la proyección del vector AP sobre el vector BC. Solución*

Sea el punto P{x,y). Si AP = 2 PB (x+1,y-3) = 2(5-x.6-y)

Luego: F (3*5)

AP = 2PB x+1=10-2x y-3=12-2y

AP - (3,5)-(-1.3) = (4.2) BC = (7, 5)-(5* 6) = (2,-1)

+

x=3 y=5

I

61 Entonces:

Proy-r^AP = f

')gQ = \ I |BC| iRñ 1 I2/ \2!

BC

?-I* í_» 7^1 (2,-1) (/¿Tí)2

Proy-^Á? = -^(2, - T )

Ejemplo L6.

En-la figura adjunta se tiene: a| 1=2, t . W 5| |£| |. Sea 5

tal que íx +u=S y a el ángulo entre a y í, Hallar Proy+a. Solución,

a = ||á||(Cos60°,Sen60°) = (1,/3) Si a.í = ||a||||S|(Cosa

+ /2j|í¡|| = ||al|||S||Cosa» de donde: Cosa = /2 ~2

*

, -o a=¿5

Luego: t = ||S||(Cos105°, Sen105°) = ií^ii (/ 2 -/ 5 ,/ 2 +/5)

Si Sx+Í=£ Por tanto:

Ejemplo J/.

-

U = $-Sx = -ü|U(/5,/5) = r(/5,/b) Proy+a =( — — )u = U Mlull*/

.r(/?,/5) r 2 (/2+6)2

En el paralelogramo de la figura se tiene:

DE = EC,

m(^BAD)=60°. La altura relativa a la ba se ÍD es h. S i $ = A l F + Á E - B D y ?

=

Eroy^pM, hallar ||?|| en función de h. Solución.

Tenemos: S = AB + AE - BD Pero:

AE = AE + DE .

BD = AD - AB

M = AB + (AD + DE) - (AD - AB) = 2AB + DE = ||f|| = N P r o y ^ H de donde: En el ADBC:

M. AD

¿f AB.AD

IIÁDll

2 'I|Á5||

=

i H a b II H a d II CoséO -

I}ÁB|I

||?| | = -t | |AB| | h = ||DC||Sen60° = ||AB||Sen60° ■*.

I l ?

l l

=

|

(

^

h

)

=

h

+

J JAB|¡ =

Ve.ctox.e.¿

62 Ejemplo 18.

Sea el cuadrilátero ABCD tal que M(-2,4) y N(4»2) son puntos medios de los lados AB y BC respectiva­

mente; DM es paralelo al vector a=(1,4-)» CM es paralelo al vector ?=(-3>2) y Proy¿|DÑ = ^|(3,2). Hallar los vértices del cuadrilátero. Solución.

Dado que ÍB||Proy^DN , entonces:

AB = r(3»2)

Si DM ||a + DM=t(1,4) + ft-5=t~2+. ¿ t^ r P » 2.). r (3, 2) 13 r2 ( / 9 Ü ) 2

le donde obtenemos: t=2 . Sustituyendo en (1): D=(-4>-4) Como M es punto medio de AB o sea:

r(3,2) = 2(S-Í)

CM||Í + fi-í = s(-3» 2)

*► AB=2MB

-► S = +

3r- i, 2r+8)

(2)

5 = (-2,4)-s(-3»2) = (-2+3s,A-2s) (3)

N es punto medio de BC

S

+

S)

Entonces: 2(4-,2) = ^(3r-4,2r+8) + (-2+3s, 4--2s) (16 ,8 )= (3 r+6 s-8,2 r- 4.s+l6 )

16 = 3r+6s-8

+

3r+6s = 24-

8 = 2r-4s+l6

r-2 s = - 4-

Resolviendo el sistema obtenemos: r=2 y s=3 Luego, en (2) y (3)* tenemos: S=(1,6) y £=(7,-2) ÁB=2(3,2) Ejemplo 19*

♦

$-í=(6,1)

-

í=(1,6)-(6 ,¿)=(-5,2)

La figura adjunta es un tra

'a

pecio rectángulo en donde:

!I .

a=(5,12) y c=(-2,3). Hallar su área. Solución.

.,

% f

|

|S

-y ||a|| = /5 2 +12 2 = 13 a *c. ►* *i a _ (-2,3).(-12,5) _ | |S| | = Comp-KLc = la 13

||£| | = Compre = —c *a = -C~2 »3). (5,12) 3 II a|| 13

2

6

Ve.ct csie.¿

lltll = llSlI-llSll = 1 3 - 2 = 11 Area del trapecio: S = ¿( | |a| |+ ||S||)||í| | = ¿(13+11)3 = 36u2

Ejemplo 20.

Sean afSeR2-{6) y r^O. Establecer el valor de ver­ dad de las siguientes afirmaciones:

a) Proy^ia = Proy+j.o

■+

t=t

b) Proy+(?roy^a) = ?roy£(Proy+t)

-+

a||t“

ó

||a||=||t||

c) |Comp*(t'L+í>) | « |\t \| d) Si r>0

C o m p r a = -Comprati

e) Proyr^(ra) = Proy^a Solución,

a) Si Proy^ia = Proy^ií

íx | |Proy+xS 9» + JL

Pero como: Proy+ií| |a'L

& \ \ a

t||t

Por tanto, la afirmación es 4ai¿a b) Si Proy^(Proy^a) = Proy^(Proyjí) , entonces F(?roy+$).t L

I M I 1-

r (a. ti) (S. a) ~|g _ í" (ti. a) (a. ti)

L |lS |I2[|a ||2J

" L ||S||*l|Í||a-

(1)

S

La igualdad (1) se verifica si y sólo si:

a.S = 0 -*■ a J. t -*• a||t~ ■*

a.S ¿ 0 , en (1) se tiene: a=S

lla lH IÍII

Luego, la afirmación es ue.iidade.ua. S.(Sa +S ) c) |Compt(aA+o )| £ Mt|| ilSll a. a

+ a.b

lltll

* aM

*

llíll

iitii

lltll lltll

La afirmación es uc/idade.na porque se trata de la disigualdad de Cauchy-Schwartz. d) -Comp t ( P ) = - i 4 j J í

rb

llrbll

Dado que: r>0 •+ |r|=r

= -

ra .b Ilb| I

-*■

- C o m p ^ í a 1) = -

.

$

IIÜI

6¿

Ve.dc/ie.a

Pero:

= -t.fr

y||í¡|-||tA ||

Entonces:

-Compr^(aJ') =

= Compra

Luego, la afirmación es i>e.sidade.A.a»■ *-«

.) Pro,t t (rI) ■

La igualdad se cumple solo cuando r=1, por tanto, la afirma­ ción es ¿ol¿a. Ejemplo 21,

Sean los vectores S=(k,-2) y fc=(2k,k+2), donde keR Hallar los valores de k de modo que Proy^a y £ ten

gan sentidos opuestos. Solución.

Si Proy^a y o tienen sentidos opuestoa o sea ;

< o ; pero como ||S||>0

**• Comp^a=(5,-1). Hallar su área. A

F

E

D

Vcctone.4

Solución*

Sean:

c = CE = P r o y t x S , S x=a(BCEF) y S 2=a(ACED) CX

= (. V a**

'

2

8 51 = | a . c x | = | ( ( 1 , 3 ) . ( 1 , 3 ) l

5> ~1}] (-3, T) = |(3.-1) 10 J 5

'

L

} -

= 16u2

= (|)(|)|(5.-1).( 1 . 3 ) 1

5 2 = ^iS.c'l

73

= I

u2

*. S = S X+2S2 = 16 + —16 = 19.2u*

Ejemplo

11.

En el triángulo isósceles ABC, hallar:

||PQ| |+ ||PS||,

área del AABC es U u a y

| |AB | |= | |BC | I

Sean: S x=a(AAPB) y S2=a(ABPC) s 2 _ -| IBC | IX IIFS I I _ IIPSII

Solución.

Si

||AB||x ||p q ||

Sí + Si . 11PQ!l+ l|PS|I Sí

= JJJPS| |+ | |PQl I

Si

I |PQ|I 2

I1PQII x

||p q ||) = 2||PQ||

U

= jJPSjJ^JJPQjJf de donde; 2 1IPQI I I IPQ 11

Ejemplo 12.

y Q(-3,-l)

N=(5f 3 ) 9

?*(2.-2)

son puntos medios de los l a ­

dos de un trapecio ABCD. sabiendo que

Solución*

H allar su área

||AB||=2/5.

0 ^ 2 i) P

Por geometría elemental sabe reos que: QN| IAB [ |DC.

si: QÑ = N-Q =

Entonces,

J|PS||+||PQ||=7

En la figura: M=(0,4),

Luego,

IIp q II

U

Pero: Si = i(||ÁB||x||PQ||) = 4 U Luego:

si el

L l r * )

D

(5,3)-(-3.-1)*(3, U )

_

un vector unitario en la dirección de AM||(2,1)

■¥

+

u •

AM = ||ÁM||Í = / ? iiill = (2,1)

/5

IIÁHll ■*

M-A = (2,1) ~

A-(0,4.)-(2,1) = (-2,3)

M = -^(A+B)

-6) = (_3>1|) R-P = (-3,^)

Pero: AR=kAD

U)

-*■ R = A+kAD = (-8, 4)+k(3,5)

(5)

Restando (5)-(2) se tiene: R-P = k (3,5)-t (-5,3) = (-3,19/3) de donde obtenemos: k =2/3 y t=-1 Por tanto:

-*■

s=-1-1/3=-4/3

P = (-8,¿)-1(-5,3) = (-3,1)

Q = (-5,9) - |(-5,3) = (|,5)

R = (-8, A) + |(3.5)

Area del cuadrilátero: a(PRDQ) = a(¿FRD) + a(¿PQD)

(-6 ,^ |)

75

Ve.ctoAe,¿

a(PRDQ) = ■i|PR.PDJ’| + ^ P I ^ P D 4-! = -^l (~ 3 .-1§ ) . ( - 8 . - 2 ) | + | | ( J ^ , A ) . ( - 8 , - 2 ) | = 8 5 /3 u 2

EJERCI C IOS

En los ejercicios del 1 al A, hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos dhdos: 1.

A(-5.0) , B(1,3) , C(-3.-2)

•

Rp. S=9u2

2.

A(-3.4)

, B(6,2) , C(A,-3)

Rp.

S=2A.5u2

3.

A(2,-3)

, B(A,2) , C (-5.-2)

Rp.

S=10.5uz

A.

A(-1,2) , B(3,5) . C(5,1)

Rp. S=11u2

En los ejercicios del 5 al 8 se dan tres

vértices consecuti­

vos de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto vértice y el área de cada paralelogramo. 5.

A(A,-5) , B(-2,3) , C(-3.1)

Rp. D(3,-5), S=20u2

6.

A(-1, -2) , B(0,1) , C (-3.2)

Rp. D(-A,-1). S=10u2

7.

A(-1,-5) . B(2,1) , C(1,5)

Rp. D(-2,-1), S=10u2

8.

A(2,A) ,*B(6,2) , C(8,6) En los ejercicios

Rp. D(A,8), S-2Cu2

del 9 al 12, hallar el

área del paralelo-

gramo cuyas diagonales _son los* vectores dados: 9.

u = (-2,3) , v = (6,-1)

Rp. S=8u2

10.

u = (5,-A) , v = (-1,-8)

Rp. ¿-.'..íV -

11.

u = (11,-1) , v = (-2,A)

Rp. S=21u2

12.

u = (2,10) , v = (5.-2)

,

Rp. S=27u2

Enlos ejercicios del 13al 15» hallar el área de los

pclígo

nos cuyas coordenadas de sus vértices son: 13.

A(2» 5) , B(7,1) ,C(3,-¿) y D(-2,3)

U . 4(1,5). B(-2,A), C(-3,-1)i D(2,-3) y E(5,1)

Rp.

S=39.5u*

Rp. S=A0u2

V ¿ c to /ie .4

76 15.

A(-5»-2), B(-2,5)• C(2,7), D(5,1) y E(2,-4)

Rp. S=66u2

16. Dados los puntos A(2,-1), B(-2,3) y C (4-* 3 J • Si P(x,y) divide al segmento BC en la razón BP:PC=-2:5r hallar el área del triángulo PGB.

Rp. S=10u2

17. Dados los puntos A(-3»-5)* B(3.1) y C(2,5). Si P(x,y) es el punjto de trisección, más cercano de A, del segmento AB,' cal­ cular el área del triángulo PCB.

Rp. S=10u2

18. Los vórtices de un triángulo son A(3,-1), B(1,k) y C(5>2). Hallar la ordenada del vórtice B sabiendo que el* área del triángulo es de 6u2. Rp, k=2 ó k=-10 19. En la figura: OABC es un paralelogramo. Si 0B=(1,6) y AC=(9»-2), hallar el área del trian

A

Rp. S=14-U2

guio ABC.

20. Los vértices de un triángulo son A(3*-5)» B(2,5) y C pertene ce a L={(x,y)/y=-2x}. Si su área es de 3-5u2, hallar las co. ordenadas del vértice C.

Rp. C(4,-8) ó C(9/4*-9/2)

21. En la figura: a(A0AB) = 15u2 y ||a||=10. Si í>=(m,n) hallar el valor de:

3m+n.

Rp, 0

22, Los vértices de un triángulo son A(x,y), B (4-* 3) y C(-2,6). Si el área del triángulo es de 9u2 y AeL={(x,y)/x-2y=4), ha­ llar las coordenadas del vértice A. 23. En la figura: a(A0AB)=12u2, ||S||=2/2. Si Proy£La=(x,y),'hallar el valor de: x*y.

Rp.

-36

Rp. A(10,3) ó A(¿,0)

Vecto/ie¿

1.21

77

DEPENDENCIA LINEAL Se dice que des vectores a y SeR2, son Linea¿mente depen­

díante.* si uno de ellos es múltiplo escalar del otro; es decir, si a=rí ó £=ra para un escalar r. En consecuencia, a y ? son linealmente dependientes precisamente cuando a y ?

son colineales.

(Fig. 17)

+ a

-*■ b Figura 17

(Vectores linealmente dependientes)

1.22

INDEPENDENCIA LINEAL Se dice que dos vectores a y ÍeR2, son ¿¿ne.aime.nte. indepen

diente¿ si y sólo si a y % no son linealmente

dependientes , es

to es, cuando los vectores a y í no son colineales. (Fig. 18).

(Vectores linealmente independientes)

1.23

CRITERIO DE INDEPENDENCIA LINEAL Dos vectores a y táp2. son linealmente independientes si

se verifican las condiciones' siguientes: Si:

sa + tS - 0 + * s=0 y t=0

PROPOSICION 1.4

Dos vectores a y ?

(24)

son linealmente independien­

tes si y sólo si aj/fS. •

Demoótnaclón,

é

(-**) Demostraremos primero que si aj/|^ entonces a

y í> son linealmente independientes. En efecto, supongamos que aj/fti y que sa+tíj=0. Al dividir arabos miembros de esta igualdad entres ó t,

se tiene

78

V c c io /ie .4

a = -(J)S

Esto es:

a = r?

Por lo que:

a| |?

6

ó

t

?=

= -(f)a

ka

(a y ? son linealmente dependientes) lo que contradice la hl pótesis. En consecuencia, a y ?

son linealmente independientes*

(-*-) Demostraremos que si a y ? son linealmente independientes en tonces: aj/|?. En efecto, supongamos que

a||?,aj¿0 y ?^6

lo que significa que:

+

a

3r¿C/a = r?

(-r)?= 0-

Se ha logrado una combinación lineal de a y ? igual a 6 con coeficientes 1 y -r que son diferentes de cero, lo cual con­ tradice la condición (24)* Esto significa que a y ?

son li­

nealmente dependientes, lo que contradice nuevamente la hipó tesis. En consecuencia: 1.23

«

a^f?.

REGLA DE COMPARACION DE COEFICIENTES Sean a y ?

vectores linealmente independientes para los

cuales se cumple: sa + t? = ma + nS y que se puede expresar como: (s-m)a + (t-n)? = 0 Según la ecuación (2¿) ocurre que: s-m=0 y t-n=0, esto es: s=m y t=n, por lo que podemos afirmar que: Si a y ? son linealmente independientes, y si: sa + t? = ma + n?

Ejemplo 1.

fs = m

(25)

Hallar los valores de k para que los vectores: * a=(-7,k+2) y $=(1-2k,1) sean linealmente independien

tes. Solución*

Sabemos que dos vectores a y ? dientes

Entonces:

son linealmente depen­

a||? , o bien: a.?J'=0

(-7,k+2). (-1,1-2k)=0

7+(k+2)(1-2k)=0

I

Ve . c t o s i c ¿

de donde:

2k2+3k-9=0

k=-3

79

ó

k=3/2

Luego, a y { son linealmente independientes si y solo si: k¿-3 y k¿3/2, esto es:* keR-{-3» 3/2} Ejemplo 2.

Sean a y í vectores linealmente independientes. Para que valores de k tendremos que c=3a-2Í y 3=ka+¿í son

linealmente independientes. Solución,

Debemos hallar números s y t, que no sean simultánea­ mente cero, de modo que:

s(3a-2t)+t(ka+¿S)=6

(3s+t)a + Ut-2s)í¡ = 6

Por la ecuación (24.)* la independencia lineal de a y í implica que:

3s+kt=0

y

4-t-2s=0

De la segunda ecuación se tiene: s=2t, y en la primera ecuación implica que: 6k+kt=0 + t(6+k)=0 +•*> t=0

ó

k=-6

Pero como t y s no son ambos cero, entonces los vectores c y 3 son linealmente independientes si k=-6. PROPOSICION 1.5

(Teorema de las Bases). Si a y í> son vectores linealmente independientes del plano, entonces

a y í forman una base de los vectores del plano. De.mo¿¿naci6n,

Sean a=OQ, í=OR y c=OP

Por hipótesis a y í son linealmente independientes, entonces OQ y OR no son colineales. Por P trace mos paralelas a OQ y OR de modo que in tercepten a sus prolongaciones en M

y

N respectivamente (Figura 19). Luego se tiene:

0N=sa y OM=tí>

Pero como OP=ON+NP=ON+OM, entonces:

Figura 19

c = sa + tí lo que nos permite afirmar que c se representa como una única combinación lineal de a y í y genera el espacio vectorial R 2* En síntesis podemos decir que, dado dos vectores a y í en R 2, en tonces:

—

a , t > es una base del espacio R 2.

La demostración anteriornos sugiere 3a siguiente definición.

Vectone*

80 DEFINICION 7.

Dos vectores a y í constituyen una de los vectores del plano -si, todo jvector c del plano se

puede expresar de manera única como

una combinación lineal de^ a

y S. Es decir; a y S generan a R 2 En efecto, que:

AAceR2, 3s,teR/ c=sa+tb

al multiplicar la última igualdad por a* y S x ocurre

a^.c = t(aA .S)

+

t = a .b

fr.t = sí^.a)

+

s = D

¿■i ~?k .

Por tanto:

a (£_¿°)S + ( 'S\a'

Observaciones.

/

•

t

a

)S

(26)

'aA. b ’

(1) Un vector no nulo se puede expresar no sola. mente como una combinación lineal de dos vec

tores ortogonales a y ax , sino que a x se puede reemplazar pbr^íUalquier otro vector que cumpla la condición de no ser paralelo a a. (2) Los números s y t de la ecuación (26) se denominan cooA.de.na~ * da¿ del vector c en la base £={a#í>). La notación (26), se denomina, además, descomposición del vector c según la base 5={a,í>). (3) A manera de una generalización podemos decir que: Un conjunto de vectores {ai,a2 ,a 3, a } de un espacio IX vectorial R es una base para este espacio vectorial si se cumplen las condiciones siguientes: \ + + + + a) ai,& 2 »a 3 , . . . . , son linealmente independientes. b) ai,a2,a 3 , , ...,a

generan el espacio vectorial Rn .

Si el vector a es una combinación lineal de los vectores ai, a2> ....,an , con coeficientes A j ,A2#. ^ n a = 21 A, S, k=1

n , es decir:

entonces'cada coordenada X ^ a ) del vector a es igual a la su ma de los productos de los coeficientes Ai,X2,...,An> por las coordenadas homónimas'de los vectores ai,a2,*..,a • n

81

Vectores

n Xi (a) = ^ -

Este es:

* *i=1»2,3 1

orFlíHCON 8.

Se denomina proyección del vector c sobre el vector a según la dirección í> al vector:

Proy( W

=( | k f ) '

(27)

Aplicando esta definición a la ecuación (26), ocurre que: 0

° = Proy(a,S)? * Proy(S,a)J

(?8)

Ejemplo 3. Expresar el vector c=(4,-5) como combinación

lir.e&l

de los vectores a=(-2,3) y í>=(3*-1). Solución.

Hallemos las coordenadas (s,t) de c seguí; la base {a,í}. Aplicando (26) se tiene:

3 =

= (1.3). (4,-5) = _ II . t = = (-3.-2). (4,-5) = 2 (1,3).(-2,3) 7 ’ r.í (-3,-2). (3. -1) c = - -^(-2,3) + f(3,-1)

Ejemplo

Si c=(4,-5)t a=(-2,3) y Í=(3»-1), hallar P r c y ^ ¿¡je y P r o y ^ a)^' ^ verificar la ecuación (28)

Solución. Utilizando los resultados del ejemplo anterior se tie ne:

Proy(|,$)= = - :4 ( - 2 .3) y P r o y ^ + jC =f(3,-1)

En consecuencia:

Ejemplo 5,

c =--^(-2,3) + ^(3*-1) = (4>-5)

Sean a y í> vectores linealmente

independientes y co­

mo tal, susceptibles de formar una base. Demostrar que c=3a+2b y S=2a-5Í> también forman una base. Demostración. Si

En

efecto, verificaremos que c y d sonlinealmen­

te

independientes, aplicando (21).

se + tí = 6

s(3a-2Í) + t(2a-5b) = 9 +

(3s-2t)a + (2s-5t)b

=9

Pero por hipótesis, a y $ son linealmente independientes; luego,

V*.ctOAj€¿

82

aplicando de nuevo (2 £) se tiene:

3 s+2 t=0 y 23-5t=Q_

La resolución del sistema nos da: s=t =0 Por tanto, c y í Ejemplo 6 .

son linealmente independientes.

Fijado el vector c en B , entonces c es expresable en forma única, cono la conbinación lineal de los

siguientes pares de vectores:

(1 ) a = (-3 .2 ) y í » ( - 2 , 3 )

(3 ) t= (3 /5 ,1 ) y í= ( - 1 ,5 /3 )

( 2 ) a = ( 2 /3 » 1 / 5 ) y í = ( - 1 , - 3 / 1 0 )

U)

t

=

{

/

%

f

3

,

U

3

)

y í= (3 /2 ,3 > ''2 )

Establecer el valor de verdad de cada afirmación.

Solución,

Sábenos que:

¥ceR2, 3s,teR/ c*sa+t$

Verenos entonces si cada par de vectores dados son paralelos.

(1)

a

= rí ♦

(-3,2) = r(-2,3) ■*+ í’*"'2* * T-3/2 l, 2-3r *• r*2 / 3

Luego, ^IreR tal que

(2) a = rí +

(|,^) =

+

■+ '

•'* Es verdadera

r(- 1 , - ^ ) ♦+

Luego, 3frcR tal que

(3 ) a = rí

a-rí

a=rí¡

+

(4,1) = r ( - 1 , 4 ) 5 J

£ 2/3 = -r * r=-2/3 1/5 = (-3/10)r - r=-2/3

a| |S

/. Es falsa

/ 3 / 5 = " r * r 3/5 U = (5 /3 )r - r= 3 /5

•%

Luego, 0!reR tal que a=ro U)

+

aj-jt

Es verdadera

a.t* = (/Z/3.¿/3).(-3/2,3/2) = - 2 + 2 = 0 Si a.ía =0

a||í

Es falsa.

Sean {ax,a2}# {?x,í2} bases de R 2 y a=2tx-3S2. Si

Ejemplo 7.

ax=tx- 2 Í a, a a=3Íj+( 1 /2 )S 2 y a=max+na2, hallar el Ví lor de m-n.

Solución.

Si ax=tx-2Í 2

íi=aií2Í¡*

(1 )

a* = 3 (ax+2 $ 2) + 5 ^ 2 * de donde: t>2 = ' T J * 1 + T § ® a Sustituyendo en (1 ) obtenemos: Entonces:

t = 2(T^ l +

Sj = jlaj + ^ a 2 + -S*,) = 2 0 ^

+ _ 2 ?j

83

Vc.ciosie.4

Luego, si a = mai + na 2 Ejemplo 8.

m-n =

Halle las fórmulas del cambio de base, siendo u i=vi“Vj» U 2 = 3vi- 5v 2 * y determine las coordenadas

del vector u respecto de la base B'=(vi,v2), si respecto de la base B= (ui»u2) son (2 ,-1 ), Resolviendo el sistema de ecuaciones para vi y v 2 ob5-»1+ 3**l-► tenemos: vi - 2Ul “ 2U2 • Vz = 2Ul " 2Uz

Solución.

Si (2,-1) son las coordenadas de u respecto de la base B={ui,u2) u = 2 ui-u2.

entonces:

Sean (s,t) las coordenadas de u respecto de B i-(vi,V2 ) •+• + .5-*1 v /3+ 1 -► \ + u = svi + tv 2 = $\2Ul “2 U2' + '2 Ul" 2 U2' -*• 2ui - í¡2 = ^(5s+3t)ui - -j(s+t)u2 Según (24):

2 = -|(5s+3t)

+

1 = -j(s+t)

+

5s+3t=4 s+t=2

De donde obtenemos: s=-1 y t=3. Luego, (-1,3) son las cocrdenadas ae u respecto de la base B T. 4

Ejemplo 9.

El vector p=(-5»2) se descompone en px|jx y paII y* El vector q=(2,1/2) se descompone en qillx y qally.

Si x=(2,1) e y=(-2,-5); hallar el valor de (pi+qi).(ü2 +q 2 ). Se íución.

Sea: p = mx +■ ny + (-5.2)= m(2,1)+n(-2,-3)

de donde: n=-19/4 y n=-9/i

í ' 5 = 2m"2n I. 2 = m- 3n

^

pi = - ¿ ¿ ( 2 , 1 )

y

p 2 =-¿(-2,-3)

Si q = rx+ty * (2,1/2) = r(2,1)+t(-2,-3) ** i 2 = 2r~2t l 1/2 = r-3t '¥

de donde: r=5/4 y t= 1 / 4 Por tanto:

-*■ qi = *|(2 , 1 )

y

° 2 = ^(-2,-3)

(pi+qi).(p2 +q2) = (-5 ) (-2) (2,1). (-2,-3) = 7(-¿-3) = -¿9

Vedo*ie.4

84-

Ejemplo 10.

En el triangulo ABC se tiene: ÁM:MC=3:4- Si BM=rBÁ+tBC, ha­

llar el valor de r+t. Solución,

En el AABM: (-BA) = -|(BC-BM) + BA

BM = ÁM-ÁB = |MC de donde: -^BM = -^BC + BA Si BM = rBA + tBC

Ejemplo 11.

BM = ^BC + ^BA r+t=1

r=4/7 y t=3/7

En la figura se tiene el para

D

lelogramo ABCD. Si P es punto medio de CB, QD=7QB y si PQ se escribe como una combinación lineal de DC y AD, cal­ cular la suma de los escalares. Solución,

Sea PQ = sDC + tAD

(D

En el AQBP: PQ = PB-QB , pero: PB = ^CB , QB Entonces:

1 1^; 1/7PQ = ^CB - *^QD = ¿(-AD) - ¿(¿BD) =

= Según (1)

~ÁD + |(ÁB-ÁD) = 45C - | a D

sDC + tAD = -lüC - J a D

s=1/8 y t=-5/8

s + t = -1/2 Ejemplo 12.

En el paralelogramó de la 1 1 gura: AE = -jAC , DP = ¿DC.

Si EF=aA3+nAD, hallar el valor de n-m. Solución,

En el cuadrilátero ADFE:. EF = EA + AD + DF = -AE + AD + ^DC

jAG + AD + »AB

= - -¿(AB + BC) + AD + |AB Como BC * AD

EF = "^AB + "^AD - mAB + nAD /. n-m = 1/2

n=1/4 y n=3/4-

VZC¿0SLC4 +

Ejemplo 13.

En el triángulo ABC, las Ion •

____

gitudes de los segmentos BD y DC son 3 y 5 respectivamente. Si ÁD=nAB+nAC» hallar el valor de m+n. Solución.

En el AABD: AD = AS + ♦ Id «

íb

+ | bc

BD

= Ib + |(á c -a b ) = | ab + | ác

Luego, si: mAB + nlc = | a § + |¿C 8 8

•} linealmente independientes (2) {a,í} y {í,c} bases de R 2 (3) a| |í¡ y S-Lc

•*

{a,í} gebera R 2

{a,c} base de R2

a, í y c son vectores linealmente ind.

(4.) {a,t>,c} generadores de R 2

♦

{a,$»c} base de R2.

Determinar el- valor de verdad de cada afirmación.

Rp. VFFF

13. Si {a,?>,c}cr R 2 son vectores no nulos, se afirma: (1) Si {a,S} es base de R2

{Proy^a,Proy^í} es base de R 2

(2) {a,í¡,cj es linealnente dependiente. (3) {a,S} es base de R2

-► a ± í

Determinar el valor de verdad de cada afirmación.

Rp. FVF

U . Sean a, í> y c tres vectores de R2» se afirma: ^ ^ ^ (1) {a,o»c} es linealmente dependiente. (2) Necesariamente a||15 , í¡||c

ó

a ||c

(3) Si cíeR2 :«-»- 3r,s,teR/ 3=ra+sí+tc Determinar el valor de verdad de cada afirmación

Rp. VFF

15. Halle las. formulas del cambio de base, siendo U i=3v i +V2* U2=4v i -3v 2, y determine las coordenadas del vector u respecno de la base B'^ív^v*} si respecto de la base B={ui,u2}son (3,-2) 16

. En

Rp. (1*9)

la figura se tiene: Tga=5/12, el

vector a se expresa como a=u+v, don de u y v son paralelos a los rayos OX y 02 respectivamente. Si ||a||=26 hallar el valor de ||u||+||v||. Rp. 4-4-+10/5 17. En el paralelogramo de la figura: It=SC y FD = -|a F. Si EF=nÁD+nCD, hallar el valor de m+n.

Rp. 4/5

*- x

90

Ve.c¿o*&¿

18. En la figura: ABCD es un paralelogramo, P punto medio de CD, E punto medio de BD. Si CB se ex presa como una combinación lineal de AP y AE, hallar el producto de los escala­ res.

Rp. -A

19. Sean A i ,A2» •...»An * n puntos de R 2. Si 0Ai+0A2+....+0An

se

pone en combinación lineal de OA*, A 2A 2, A 2A*, ...., Aq -]An » hallar la suma de los escalares. 20

. En

Rp. §(n+1)

el cuadrilátero de la figura:

E es punto medio de AD» F y G son pun tos de trisección de BC y M es

punto

medio de EF. Si AM=aAD+bAB+cBC, deter minar el valor de a+b+3c.

Rp. 5/A

21. En la figura: ABCD es un paralelogramo, PC=3BP. Si hallar: m-n. Rp. 9/8

B

P

22. En el paralelogramo ABCD: BC=4BE y F es punto medio de AC. Si EF=mAC+nAB, hallar el valor de m-n.

Rp. 1

23. En la figura:

B

ABCD es un paralelogramo donde AD=3AF y ED=5BE. Hallar los valores de m y n si EF=mAD+nAB.

Rp. m=1/6, n=-5/6

24. Si M y N son puntos de trisección del lado BC del ¿ABC y AÑ=mAC+nAB, hallar el valor de: — - — . b n

Rp. 3/2

25» En el ¿ABC se tiene que AD y CE son medianas y PH||BA. Hallar m y n tales que: AF=mPM+nBC.

,

Rp. m=-2¿ n=1/3

Ve.cto/ie.4

91

1.25 APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA GEOMETRIA ELEMENTAL

Las relaciones establecidas para los vectores en R

consti

tuyen instrumentos de singular importancia para el tratamiento de ciertos conceptos de la Geometría Elemental. Algunas veces una apropiada aplicación de métodos vectoriales facilitará la in­ terpretación y demostración de proposiciones geométricas. Se debe destacar, sin embargo, que a veces es necesario el uso de las coordenadas cartesianas para facilitar las demostraciones El empleo de un sistema rectangular es arbitrario en lo que yse refiere a la orientación y colocación de los ejes coordenados y esta selección no hace perder generalidad al teorema. Es oportuno resaltar que cuando se usan métodos vectoriales pa ra la demostración de teoremas, no es importante ubicar la figu­ ra en una determinada posición en el sistema coordenado; sin em­ bargo es recomendable tener en Consideración el uso de un vérti(oe cualquiera como origen de los vectores (Figura 20), en otros casos, el vector de posición de cada vértice o punto fundamental de cada figura geométrica. (FigUra 21)

Figura 20

Figura 21

Los ejemplos siguientes darán una mejor ilustración de lo que se sugiere. Ejemplo 1,

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

D&mo¿¿/iaci6n,

Sea ABCD un paralelogramo, M punto medio de la diagonal AC N punto medio de la diagonal BD

t

Vectosie.¿

92

B

AM = ^AC

Entonces:

1

de dmodo qud:

m = ^(c+a)

Análogamente se tiene: n = ^(S+c) Por ser ABCD un paralelogramo: DC=AB + 3-3 = í-3 Sumando (3+a) a ambos extremos de esta igualdad, se'tiene: c-cí+(5+a) = 1>-a+(3+a) Por tanto:

c+a = S+S

** ^(c+a) = ^(ÍS+cí)

m = n • esto es:

*

Ejemplo 2.

Demostrar que el segmento de recta que une los pun­ tos medios de los lados de un triángulo es paralelo

al tercer lado, y su longitud es la mitad de la longitud del ter cer lado. De.mo¿t/iac¿6n,

En efecto, sea el AABC, de modo que: AB=2AM

«Entonces: í-a = 2 (m-á) Análogamente: BC=2BN

m = ht+t) * **■ n = ^(S+c)

Pero MN = n-m = ^(í+c)

¿(S+t) = |(3-3)

Luego: MN = ^AC Por tanto:

MK||AC

y

Ejemplo 3.

Demostrar que los puntos medios de los lados de un

|MN|| = 1 \ |AC||

cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. De.mo¿ÍJLac.¿&n.

En efecto, sea el cuadrilátero ABCP, en donde: AM = ¿AB

BN = ¿BC

+

m = J(í+S)

3 = ¿(í+c)

MN = S-í = 1(t+í) . 1(|+S) = t(S_S) (1v Asi mismo

AS = -l(AD) + s

4(3+3)

CT = i(CD) * í = 4 ( 3 4 ) ST = í-s = 4(c+3) - ¿(3+3) = o(c-a)

(2)

Vectc/ic.¿

De las ecuaciones (1) y (2) se deduce que: Análogamente se demuestra que:

MÑ = ST

M3 = NT

Por tanto, MNTS es un paralelograac. Ejemplo k.

Demostrar que las diagonales de un rombo son perpen­ diculares.

De.mo.tt'iacitn,

En efecto, sea el rombo ABCD. ÁC = ÍB + BC

(1)

EB=BC+CD=BC-DC *Perc ÜC=AB (Fcr ser lados opuesto del rombo) Entonces:

BD = BC - AB

(2)

Multiplicando escalarmente las ecuaciones (1) y 12) se tiene: ÁC.BD = (BC+AB).(BC-AB) +

ÁC.BD = ||BC||2-||AB!¡2, perc: |¡3C||= ¡|ÁB||

Per tanto:

AC.BD * 0

AC J. BD

Ejemplo 5.

Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya distancia a cada vértice es los dos

tercios de la distancia que separa a la mediana de dicho vértice Demc :¿A.ac¿¿n.

Sea el AABC, las medianas AM, BN y CP, y G el bari­

centro del triangule. Entonces: AM =

m-a - ^(S+c) -

a = ^(t+c-2a)

BÑ -

n-t = -l(a+c) -

t = ¿(a+c-2Í)

CP =■

p-c = ^(a+S) -

c = ^(a+?-2c)

La expresión vectorial que define al baricentro para cada media­ na es:

g -

a + rAM = a + -^(?+c-2a)

(1 )

g =

í + sBN = í + ■j{a+c-2Í)

(2 )

g =

c+ tCP = c -i í(a+S-2c)

(3)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

Ve cto/ie*

9¿

a + f(í+c-2a) = t + f(í+c-2Í) -*•

(2-2r-s)a + (r+2s-2)í + (r-s)c = 0

Como a, b y c son linealmente independientes, entonces: 2-2r-s=0 , r+2s-2=0 , r-s=0 de donde obtenemos: r=s=2/3 Análogamente, de las ecuaciones (1) y (3) se tiene: r=t=2/3 Por tanto, las medianas se interceptan en el punto G a 2/3 de AM BÑ y CP. Observación*

Si sustituimos los valores de r, s ó t en las ecua ciones (1), (2) ó (3)» respectivamente, se obtiene

la ecuación vectorial que define el baricentro de un triángulo, I = £+

Ejemplo 6

(1) (Z)

Demostrar que las tres alturas de un triángulo se in terceptan en un punto llamado ortocentro.

Demo&tJiacitn* *

En el AABC trazamos las alturas correspondientes a los lados AB y BC. Unimos el punto 0 de inter­

sección con el vórtice B. Para demostrar la proposición bastará probar que 0B j_AC, o sea que: h£.% = 0 ^

^

B ^

A

En efecto, siendo ¿1.BC y c-LAB, entonces: a.BC = a.(c-t>) = 0 (D c. AB = c. (í>-a) = 0 (2 ) Sumando (1) y (2) se tiene: +■ ■+ a. c - a.í + c.í - c.a = 0 -> (c-a).S = 0 AC.Í = 0 Por tanto: Ejemplo 7.

AC-L OB Demostrar que las mediatrices de los lados de un tri ángulo se cortan en un punto llamado excentro.

üem.o¿i.Jiac¿6n, ‘

En el AABC trazamos las mediatrices correspondisn tes a los lados AB y BC, las cuales se intercep­

tan en 0, Unimos 0 con P, punto, medio de AC. Demostraremos que: OPXAC, o sea que: OP.AC = 0 En efecto, por definición de mediatriz:

0Ñ.BC=0 y 0M.AB=0

Vedo/te*

En el AGMP: + +

ÓP = OM + MP

CP.ÁB = ÓM.ÁB + MP.AB = MP.AB

En el AOHP:

(1)

OP = OÑ - PÑ

OP.BC = OÑ.BC - PÑ.3C = -PÑ.BC

Sumando

95

(2)

(1) y (2) se tiene:

OF.(AB + BC) = MP.AB - PÑ.BC *

OP.AC = MP.AB - PÑ.BC

Según la proposición del ejemplo 2: MP = -jBC , PN = ^AB , entonces:

1

OP.AC = ^nu.an - 2 Aií*

OP.AC = 0 Ejemplo

8. Demostrar que tres puntos, uno son colineales si y sólo si

en cadalado

de un A,

el producto delas

razo­

nes algebraicas en que dividen a los lados respectivos es igual a la unidad (Teorema de Menelao). De.mo¿¿Jiac¿6/i.

Sea el AABC y los puntos M, N y P los que dividen a los lados ÁB, BC y AC en lasrazones

m, n y r

respectivamente. Siendo AB, BC y CA linealmenteindependientes, entonces: Si

ÁM= nMB

AB + BC + CA = 9 *

(1)

AB = S±J¿M m

B

(2)

BÑ = nÑC + BC = ~-*BÑ = 2±J(ÁÑ-AB) BC = £ÍÍ(ÁÑ - — m1ÁM) n CP = rAP + ÁP-AC = rAP

(3)

+ CÁ = (r-1)AP

U)

Sustituyendo, (2), (3) y (4) en (1) se tiene: (S^)ÁM + (2^)(ÁÑ - ^ Á M ) ■v

m

+ (r-1)AÍP = 9

- -5±J)a m + (— )AÑ + (r-1)AP = 0 m n

Dado que AM, AN yAPson vectores linealmente independientes, en tonces:

ut

- —

ID

) = 0 , —

D.

de donde obtenemos:m=-1 , n=-1 , r=1 mnr = 1

= 0

,

r-1=0

Vectores

96 Ejemplo 9.

ABC y A'B'C1 son dos triángulos y G y G ! son sus ba­ ricentros. Demostrar que:

Demostración.

A A T+BB1+CCT=3GG1.

En efecto: A A 1 =a* - a BB» CC>

=í>' - ?> =c' - c

Sumando se tiene: AÁ'+BB'+CC' = (a'+t'+c')-(a+t+c) Según la observación hecha en el ejemplo 5: Entonces:

a+í+c=3g y a*+í>*+c1= 3 g f

A A 1+BB *+CC1 = 3 g 1-3g = 3 ( g * - g ) A A 1+BB1+CC1 = 3GG1

Ejemplo 10.

Demostrar que en un tetraedro, las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos se bisecan

mutuamente. Demostración.

En efecto, sea el tetraedro 0A3C, Sean PQ y RT dos líneas que unen los puntos me­

dios de dos lados opuestos. Tomando el vértice 0 como origen, la expresión vectorial que define el punto medio M de PQ es: m = ^(OP+OQ) = ^[^(OM+OB) + |oc] 1 m = -¿(0A+0B+0C)

(1 )

Asi mismo, para el punto medio N de RT n = ^(0R+0T) = | [ i ( Ó B + Ó C )

+ | o Á]

1 n = ^(OA+OB+OC)

0

( 2)

Por tanto, de (1) y (2) se deduce que: m = n Ejemplo 11,

■+■ M = N

Si A, B, C y D son vórtices de un cuadrilátero, de

mostrar que: AB+ÁD+CB+CD=^PQ, donde P y Q son pun­ tos medios de las diagonales AC y BÍ). Demostración.

En efecto, en la figura se tiene: PQ = PA + AB + BQ

l 'c c t o / i e . 4

97

FQ = PA + AD + DQ PQ = PC + CB + BQ PQ = PC + CD + DQ

B

Sumando ordenadamente se tiene: ¿PQ = ÁB+AD+CB+CD+2(PÁ+PC)+2(8Q+DQ) Pero:

FC=-PÁ y DQ=-BQ

A

D

AB + AD + CB + CD = ¿PQ Ejemplo 12.

Demostrar que la suma de los cuadrados de las diago nales de un paralelogramo es igual a la suma de los

cuadrados de sus lados. dcmo¿¿.\aci¿n.

Sea el paralelogramo ABCD Si BD=ÁD-ÁB + | |BD ||= I |AD-AB|| B

+ |¡BD | |2=| |ÁD )|2+| |AB ||2-2ÁD.AB Asi mismo:

C

AC=AD+DC=BC+DC

+ |IAC|¡2=| |BC||2+||DC||2+2BC.DC Sumando (1) y (2) se tiene: ||b d ||2+|| a

c

||2=|| a

d

A

||2+|! a

b

||2+|| b

c

;D

||2+|| d

c

||2+2( b c .d c - a d .a b )

pero como: AB=DC y AD=BC, se tiene: 11b

d

112+ 1 1

ac

J | 2

=

| |

a d

¡ ! 2+ | |

a b í

| 2+ | J

b c

| | 2+ ! ¡

d c

| ! 2

EJERCICIOS 1.

Demostrar que las diagonales de un rectángulo son de la mis­ ma longitud.

2.

Demostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendicula res.

3.

Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de

un triángu­

lo rectángulo equidista de los tres vértices del

triángulo.

Demostrar que las diagonales de un trapecio y la

recta que u

i.

ne los puntos medios de los lados paralelos, se cortan en un mismo punto.

Vcc£o/ie¿

98 5.

Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo

a la3

bases, y su longitud es igual a la mitad de la suma de

las

longitudes de las bases. 6.

Demostrar que las medianas de los lados iguales de un trián­ gulo isósceles son de la misma longitud.

7.

Demostrar que si las rectas que contienen a dos lados opues­ tos de un cuadrilátero se interceptan en un punto S, y

las

rectas que contienen a los otros dos lados del cuadrilátero se interceptan en un punto T, entonces el punto medio del segmento ST es colineal con los puntos medios de las diagona les del cuadrilátero. (Sug. Coloque el origen en uno de los vórtices del cuadrilátero). 8.

Demostrar que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos medios de sus diagonales son vertí ces de un paralelogramo.

9.

Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera del plano a dos vórtices opuestos de-un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las distan cias del punto a los otros dos vórtices.

10. Demostrar la igualdad vectorial: OA+CB+ÓC=OP+OQ+OR, siendo 0 un punto cualquiera interior al triángulo ABC y F, Q y R los puntos medios de los lados A3, BC y CA, respectivamente. 11. Demostrar que la suma de los cuadrados

de los lados de cual­

quier cuadrilátero excede a la suma de los cuadrados de las diagonales en cuatro veces el cuadrado de la línea que los puntos medios de las diagonales* 12.

a,

c y 3 son vectores

une

que unen 0 con A, B, C y D. Si se

verifica que: (í-a)=2(3-c), demostrar que el punto de inter­ sección de las líneas que unen A con C y B con D, triseca es tas líneas.

Ve . c t c n e . 4

1.26

99

APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA FISICA

El empleo de vectores en la física es frecuente, la fuerza la aceleración y la velocidad se representan mediante vectores en las que la dirección del vector está dada por la dirección de la cantidad física, en tanto que la magnitud del vector es igual a la magnitud física, en las unidades apropiadas. Cuando se trabaja con velocidades debemos tener en cuenta que, en un movimiento que es la composición de varios movimientos, el vector de velocidad es la suma vectorial de los vectores de velo cidad de cada movimiento. Otra aplicación se refiere a las fuerzas que actúan sobre

una

partícula en el espacio; en este caso, a las diversas fuerzas c 1 actúan sobre una partícula se representa mediante vectores:f i,?z Fj, ...., ? , entonces la segunda ley de Newton, establece que el movimiento de una partícula está descrita por la ecuación veo torial: uia = ? i

i,

+ ? 2 + ^3 + ¿

3

»

f

n

donde m es la masa de la partícula y a la aceleración. En esta e cuación la masa m es un escalar, en tanto que la aceleración a es un vector. Si es el caso de que la partícula está en reposo la suma de

les

vectores de las fuerzas es cero, esto es:

Los ejemplos que siguen a continuación pondrá en evidencia rela­ ciones importantes en el estudio de ciertos fenómenos físicos. Ejemplo 1.

Un hombre salta desde un automóvil en marcha de mang

ra que, el coche hubiese estado quieto, su velocidad habría tenido magnitud 10km/h y habría formado un ángulo de 60° con la dirección al frente del automóvil. Si el coche avanza a 30 km/h, con que velocidad sale el hombre del automóvil? Solución,

Sea v*, el vector de velocidad del coche y V 2 , el vec

tor de velocidad que le correspondería al hombre si el coche hubiese estado quieto. Entonces la velocidad real del hombre es:

v = vi + v2

Ve.ctO/LC.4

100

Luego: Vi = 30(Cos0°,SenO0 ) = 30(1,0) v2 = 10(Cos2¿0°,Sen2¿0°) = 5(1,-/3) Por tanto, v = 30(1,0)+5(1»-/3) = 5(7,-/3) es el vector velocidad que se desea tener y cuya magnitud es: |IVI| = 5/49+3 = 10/T3 km/h Ejemplo 2,

Un aeroplano vuela hacia el noreste con una veloci­ dad de ¿00 millas/h y el viento sopla hacia el sures

te a una velocidad de 100 millas/h. Cuál es la velocidad resul­ tante del aeroplano, con respecto a la tierra, y que curso debe seguir el piloto. Solución,

Sea vi el vector velocidad del aeroplano y V 2 el vector velo­

cidad del viento. Luego, el vector velocidad resultante del aeroplano con respecto a la tierra es: v = Vi + V 2 Si: vi = 400(Cos45°,Sen45°) = 200/2(1,1) y v 2 = 100(Cos315°,Sen315°) = 50/2(1,-l) Entonces:

v = 50/2(4+1,4-1) = 50/2(5,3) + La dirección de la velocidad es: u = — i- _ = (5>3) m llíl I o sea: Cosa * — — = 0.857 -► a = 31° /5Z En consecuencia, el vector velocidad resultante forma un ángulo con la dirección Este de 31°, esto es, su dirección y sentido re sultán definidos por: Este 31° Norte, curso que debe seguir el piloto. Ejemplo 3.

Una avioneta pequeña vuela a 150 km/h si hay quietud

en el aire, cuando hay viento de 25 km/h que sopla desde el suroeste. Que curso tendrá que seguir el piloto y que tiempo tardará en llegar a su destino, situado a 200 km al norte Solución,

Sea-Vj el vector velocidad de la avioneta y v 2 el veq «tor velocidad del viento.

101

Ve.ctoA.e.4

N Entonces:

Vi = 150(0,1) = 25(0,6)

Vj = 25(Cos45°,Sen45°) = ^|(/2,/5) La velocidad resultante es: v = Vj + Vj = ^|(/ 2 , 1 2 +/S) y su dirección: Tga = 12+/? _ 9 ^ 6 /? ^

a = 63°U'

Entonces: 90o -63O 14' e 6°46' Luego, el curso que debe seguir el piloto es: Norte 6o ¿6 1 Oeste. ||v| | = (25/2)/(/5)2+ (12+/2) 2 = 25/37+6/2 = 25(6.7) El tiempo

que tardará en llegar asu destino es: é 200 8 - ^ , t = ■■ = ■■■■— — * — = 1 . 2 horas I Iv| | 25(6.7) 6.7

Un auromóvil recorre 3 km haci a el norte y luego 5km hacia el noreste. Representar y hallar el desplazamiento resultante del recorrido. Ejemplo

Solución.

AP=a representa el desplaza­

miento de 3 km hacia el norte PQ=Í representa el desplazamiento de 5km hacia el noreste. AQ=c representa el desplazamiento resul­ tante del recorrido, o sea: c=a+1 >. Las componentes de cada vector son: a = 3(Cos90°>Sen90°) = 3(0,1) = (0,3) $ = 5(Cos45°,Sen45°) = |(/ 2 ,/S) c - (|/2,3 + |/ 2 ) = 5 (5/ 2 ,6+5-5) a D(2,7). Hallar la resultante 8 del sistema y el trabajo realizado por 8 al desplazarse de P(¿,3) a Q(9>5).

S t

Ve.ctonc¿

Solución,

AB

(-3,8)- (1, 5) = (-4,3) (2,7)-(-3,-5) = (5,12) rAB * ¡|fi||=r||AB|

CD Luego, si: fl

? 2 = tCD Entonces:

+

103 IIAB|| = 5 +

IICD||=13 50=r(5) r=10

||?2 ||=t||CD|| -fc 65=t(l3) ■

111

Vccto/ie.4

Entonces, la ecuación vectorial que define al punto P es

Qmimn ■■■— Pi

En efecto, de (1):

— m

—

mQ— P

... n

Pi

P,P = (f)PP2 = (f)(PiPi - PrP)

de donde:

(m+n)Pi? = mP^Pa

+

(m+n)(?-?i) = m (?2 ?i) (m+n)? - (m+n)fi = mf 2

j* = J L ? X + -JL?2 , m¿-n m+n m+n Observaciones.

(1) Si

id

(3*)

y n tienen el mismo signo, es decir, —>0

entonces P es interior al segmento PiP 2 * m0 , (2) Si ra y n tienen signos diferentes, esto es: ^

entonces el

punto .P es exterior al segmento PiP2, y ocurre que: . a) Si l” !^» entonces P estará más cerca de T\, b) Si

E3EMPL0 6*

entonces P estará más cerca de P 2.

Dados los puntos Pi(-3,3) y p2(2,8), hallar el punto P que divide al segmento P 1 P 2 en la ra 2 pn 2:3*

Solución,

Tenemos:

— = 4 n 3 -*■ m=2 , n=3 , m+n=5 Como la razón es positiva, el punto P estará en el interior de P*P 2 * Luego, según (34): ? = -|?i + j X *

P = |(-3,3) + §(2,8) = (-1,5).

EJEMPLO 7.

Solución,

.Dados los puntos Pi(3,-1) y P i O ^ ) ,

hallar el punte P que divide al segmento PjP2 en la razón (-3) 2. « '/ Aquí: -m = m=-3, n=2 , m+n=-1

Ve.cto/ie¿

112 Siendo la razón negativa y

entonces P es exterior al segmento P 2P 2 y está más cerca de P 2 *

Según ( 3 4 ) : P c ,7 y ( 3 í - 1 ) + 3^f(1*2) = -2(3»-1) + 3(1,2)

= (-3*8) EJEMPLO 8.

Si P 1 (-2,4) y P2(2,6), hallar las coordenadas de P que divide al segmento P 1P 2 en la razón 3:(-5).

Solución,

Tenemos:

n _ -5

~ 5

m=3, n=-5* ra+n=-2 Siendo la razón negativa y |*-|| nfl m v5 » de donde:

BD DC = n(?-f)

Supongamos que:

3m (1f-2)

Como DE|Ib a , entoncep

m n

_ _ /6 . 12, ~ n '5' 5 ' = 2n(1,-2) - j; = §

E divide aACen

la misma razón, esto es: AE:EC = 2:3 Luego, según la ecuación (34) se tiene É = (¡7ñ)X +

= |(-2*-3) + |(5,2) = (L-1) EU/5,-1)

Ve.ciojte.-A

113

EJERCICIOS 1.

Hallar la ecuación paramétrica vectorial y el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta que contiene a los puntos dados Pr y P 2*

2.

3.

a)

Pi(4»-2) , P 2U , 3)

b)

Pi(-7.2) , ?2(-3,-D

Rp. L:P=(-7,2)+t(4»-3)

c)

Pi(2a,b) , P 2(3a.2b)

Rp. L:P=(2a,b)+t(a,b)

Rp. L:P=U,-2)+t(0.5)

Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del seg­ mento cuyos extremos son los puntos dados Pj y p 2. a)

Pi(-3,6) , ? 2(12,-15)

Rp. S (2,-1) , T(7,-8)

b)

Pj(3.-4) . P 2 (-9.2)

Rp. S{-1,-2), T(-5.0)

o)

P i (-3»7) , P 2 U , 1 )

Rp- S(- |,5) . T(-5.3>

Hallar la ecuación vectorial del segmento que une a Pi(2,5) con el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5,1) y B( 7,-3).

i.

Rp. P=(2,5)+tU,-6), tetO.V

Hallar la ecuación vectorial del segmento que une el punto medio del

segmento cuyos extremos son A(-5»2) y B(1»6) con

el punto que está a 1/3 de la distancia que separa a R(-2,6] y T(1,9). 5.

Rp. P=(-2,4)+t(1,3), t e [0,1]

Obtener la ecuación paramátrica vectorial del segmento que une al punto que está a 2/3 de la distancia que separa a los puntos A(8,-2) y B(2,7) con el punto que está a una cuarta parte de la distancia que separa a los puntos C(1f6) y D(9, 1°)-

6.

RP* P*U,A)+t(-1,3), te[0,l]

Demostrar que las coordenadas (x,y) y (x'^y1) de los puntos que trisecan el segmento de extremos Piíx^yj) y P 2(x2fy2) están dadas por: x _ = 2xi+x

• = Í1+2XZ t y , = yt+2y2

V*,CÍO*£.é

1H 7.

Si Pi(-3.8) y P2(12,-32), .hallar los puntos que dividen al segmento PiPa en cinco partes Iguales. Rp. (0,0), (3.-8), (6 ,- 16 ), (9.“24)

8 . Dados los puntos P x(3.-2) y P*(-7,8), hallar el punto P que divide al segmento P xPa en la razón 2:3.

Rp- P(-3,4)

9 . Dados los puntos*Px(-^,6 ) y P*(1,5). hallar el punto P que divide al segmento P"¡P2 en la razón (-2):1. Rp. P(9.4) 10. Si P x(2,-3) y Pa(5»-7). hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento P XP 2 en la razón 3:(-4). Rp. P(-7,9) 11. El segmento de extremos A (-2,-4)* y B(1,0) es dividido por P Q en las razones (-3)¡2 y (-2):3 respectivamente. Hallar la norma de QP.

1

Rp. 25

12. Un triángulo tiene por vórtices A(-1»-3), B(3»5) y C(5,-1). Por el punto E(l5/4.11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coorde­ nadas del punto D.

Rp. D(3/2,2)

13* Los vórtices de un cuadrilátero son A(-4.6), B(-2,-1),C(8f0) y D(6 ,11). Hallar la razón m:n=BP:PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las dia gonales. Rp. 3 /5 9

14. En un triángulo ABC, el punto P(4/5,5) divide al segmento AB en la razón AP:PB=2:3- El punto Q(27/5,22/5) divide al segm ento BC en la razón BQ:QC=2:3. El punto R(l4/5,3/5) divide al segmento AC en la razón Añ:RC=3:2. Hallar los vórtices del triángulo.

fip. A(-2,3), B(5,8), C(6,-1)

15. Sean A(-2,5) y B(l,-2) los extremos del segmento AB y P(x,y) un punto que resulta de prolongar AB por B. Si BP=4ÁB, deter­ minar las coordenadas de P.

Rp, P(13,-3G)

16. Dos vórtices de un triángulo ABC son A(2,1) y B(5,3). Hallar las coordenadas del tercer vórtice si la intersección de las medianas es G(3,4).

Rp. C(2,8)

Vectores

1.29

115

^

PUNTOS QUE ESTAN SOBRE UNA RECTA

Anteriormente vimos que la ecuación vectorial, o que el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas, de una recta L queda determinada si se conocen las coordenadas de dos puntos de L* Esta ecuaciones también se pueden determinar si se conocen un punto de L y un vector. de dirección de L. En efecto, sea la recta L que pasa por el punto Pi(xi,yi) y que es pa • ralela al vector no nulo

a-(h,k).

(Figura 25). Ahora bien, un punto cualquiera P(x,y) está sobre L si y sólo si el vector lo al vector a, esto

es parale es:

? - ?i = ta o bien: L : ? = ?i+ta

(35)

La ecuación (35) recibe el nombre de ecuación paranAtrica- vecto­ rial ordinaria de la

rectaque pasa porP, y es paralela

tor a. Puesto que la

ecuación(35)se puede escribir

al

vec­

delaforma:

«

L: (x,y) = (xi,yj)+t(h,k) , teR el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas correspondien­ tes de L es:

{

x = x j+ th , teR

(36)

y = yi+tk

E3EMPL0 1.

Hallar la ecuación vectorial y el sistema de ecuacio nes paramétricas cartesianas de la recta que pasa

por P 1(2,¿) y es paralela al vector que va de S(3»-1) a T(-1,4). Solución,

Sea a = ST = f-S

* (-ia)-(3,-l) = (-¿,5) Según (35) la ecuación vectorial de la recta es, y por (36),

L: P=(2,¿)+t{-/,5), teR L: / x = 2"4t l y = 4+5t

, ttA

116

Ve.c.t 0Ae4

EJEMPLO 2.

. / x = -1 + 5* Identificar a la recta L: i ~ , tcP. [ y = 2-3*

Solución,

Por inspección: L: (x,y) = (-1+5t,2-3t), te?. = (-1,2)+t(5f-3)* teR

Entonces, L es la recta que pasa por (-1,2) y es paralela al vec tor a=(5,-3). EJEMPLO 3.

Determinar si el punto S(3,-1) está o no sobre la lí nea recta que pasa por Pi(2,-5) y es paralela al vec

tor a=(1,2). Solución*

La ecuación vectorial de la recta es, L: P = (2,-5)+t(1,2), tcR

Si S(3>-1)c L

+

(3.-1) - (2,-5)+t(1,2) (3.-1) « (2+t,- 5+2t)

«•+

(a) f3s2+t

+

t=1

V-1=-5+2t + t= Puesto que 1/2, no existe un número real t para el cual se cum­ ple la ecuación (a), por lo que el punto S(3*-1) no está sobre L Existe otra manera más sencilla para llegar a esta conclusión y es coso sigue: Si a es el vector de dirección de una recta L que contiene al punto Fj, entonces un punto P está sobre L si y sólo si

es

paralelo al vector a. Recoráeaos que dos vectores a y b son paralelos si y solo si: a.S^sO. Estos resultados se pueden combinar para obtener el si­ guiente enunciado y determinar si un punto P(x,y) está sobre una recta L. * DEFINICION 9.

Si a es un vector de dirección de la recta L que

contiene al punto Pi, entonces un punto P está se bre L si y sólo si: (^i).a‘ = 0

(37) 4

En efecto,

cono a x a *

luego, ?eL ++

a"1 x. L

||a

** (P-f1) x a i ■*"v

(f-^lha1

=

0

Si designemos aJ=n (vector norsnal).

^ a

.

Vecto*teé

117

la ecuación vectorial de la recta L se puede escribir L: n. ( M i ) = 0

(39)

Expresión que se conoce cono la ecuación no/una l de la recta L. E3EMPL0 4.

Determinar si los puntos S(8,5) y T(-2,2) están so­ bre la recta L:P=(4,-1)+t(2,3).

¿o£uc¿¿n.

Por inspección: Pi=(4#-1) y a=(2,3)

-** aJ>=(-3,2)

Entonces:

Para el punto S: $-?i=(8, 5)-(4.» -1) = (4, 6) (S-fxJ.a** (4,6).(-3*2) = -12+12 = 0

Por tanto, (§-?i)||a y luego el punto S está sobre la recta L. Para el punto T: Entonces:

f-f i =(-2,2)-(4»-1)=(-6,3)

(f-?!).aA = (-6,3). (-3.2) = 18+6 = 24 yí 0

Luego (í-?i)||a, por tanto, el punto T no está sobre la recta L EJEMPLO 5.

Hallar la ecuación normal de la recta L

Solución.

La ecuación vectorial de la recta dada es: L: F=(l,2)+t(3»-4) , teR

Si a=(3,-4)||L Luego, según (38):

aA=n=(4»3) es el vector normal a L. L: (4. 3).[(x,y)-(1,2)]*0 L: (4,3).(x-1,y-2)*0

Observación.

Si el vector de dirección a, en la ecuación P = Pi + ta

es un vector unitario, entonces para cualquier punto P sobre la gráfica de L, |t( es la distancia que separa Pi db P. (Figura 26) En efecto: d(Pi.P) = M M x l l

EJEMPLO 6.

= | |ta | | = |t|

Figura 26

Dada la recta L:P—(—1»6)+t(1»4)» obtener las coorde

nadas de los puntos de L que están a 2/V? unidades de distancia del punto S(1,14). Solución,

En primer lugar veamos si S(1,14) está sobre L

Ve.cto/ie./>

118

En efecto, 3-?i = (1 , U ) - ( - 1 ,6 ) = (2 ,8)

-

(t-í j ) . ^ = (2,8).(-4,1)

=o

Luego,

el punto S está sobre L.

Ahora,

un vector unitario en la dirección de a es: u = ^

-

/T7

Como SeL, otra ecuación de L es:

? = (1,4) + M ~ ~ * ~ ~ ) V/T7 s n f

Se desea hallar las coordenadas de los puntos P(x,y) tales que 111 = 2/T7

Para t=2/T7

-

«-*■

t=2/T7

ó

t»-2/T7

(xi.yi) = (1,U) + 2/17Í — VT7

Para t=-2/T7

+

/TV

(x2,y2) = (1,U) - 2/T7Í— , — ) = (-1,6) '/T7 /T7 7

Por tanto, Pi(3»22) y P 2 (-

E3EMPL0 7.

, -i-) = (3,22)

6) son los puntos buscados.

Una recta L pasa pasa por el punto A(3k,k-2) y es or togonal al vector v=(3/k,3), k/0 ; hallar los valo­

res de k tales que el punto B(5k,k*-6) este sobre L. Soñación.

Sea n=v el vector normal a L. Según la definición 9* BeL ++ (S-Í).n = 0

Entonces: (2k,ka-k-4) . (3/k, 3) = 0 de donde: k2-k-2=0 «-*- k=-1 ó k=2 «

EOEMPLO 8.

Sean los conjuntos: Li = (P=(-2+3t,3-t)/teR) y L 2={(1.3). !>-(1.2)J=0/PeR2}

Demostrar que Li y Lz representan rectas y que Li=L 2 . De.mo4¿siaci6a,

En efecto* el conjunto Li se puede expresar como. Li={P=(-2,3)+t(3,-1)/teR), que por definición es

una recta que pasa por Pi(-2,3) y cuyo vector de dirección es a=(3»-1)• El conjunto L* es la forma normal de la ecuación de una recta cu yo punto de paso es Pi(1,2) y cuyo vector de dirección es: Vemos que:

(1, 3)J"= (-3,1) + a = -£ + Lj ||L2

L2= {P=(1,2) + s(-3,1), seR)

Ahora debemos probar que Lie La y que L¡cLi, para lo cual debe­ mos verificar que: P 1 EL 2 y P 2 EL 1 .

Ve.cio4.e4

En efecto: si P ie L2 Luego, (?*-?i)||í

119

-*• (?2-?l).n2 = (3f -1).0,3) = 3-3 = 0

-* PjeL2, o sea: L*c L 2

Si P 2eL* (fj-fa).»! = (-3.1).(1.3) = -3+3 = 0 Luego, (?i-?2)I|a + P2c L i , o sea: L 2 c L j Por tanto, si L 2C L 2 y L2 C L i

-*• Li-L2

EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 3» diga si elpunto

S está o no

sobre la recta L cuya ecuación paramétricavectorial se

da.

1. S(2,-1) , L: P=(1.2)+t(-1,3). teR

Rp. SeL

2. S(3.2) , L: P=(1,1)+t(2,-3), teR

Rp. S¿L

3. S(-1.1) , L: P=(-2,-3)+t(1,i), teR

Rp, SeL

En los ejercicios del k al 6, identificar cada uno de los conjuntos en R2 dado. i* ((x,y)/x=2t+1, y=-3t+¿, teR) 5.

í(x,y)/(1,2) + t{1,1), te [0,1]}

6.

((x,y)/(-2,1).(x+3»y-á)=0)

7.

Hallar la ecuación normal de la recta : j *“3t , teR I y=1 + 5t

Rp. L : ( - 5 » 3 M x , y - U = 0

En los ejercicios del 8 al 10, determinar si las ecuaciones vectoriales dadas corresponden a la nisma recta o no. 8.

P=(2,1)+t(3»-1)r

P=(2,l)+t(-3,1)

9.

P*(-1.-2) + t(-2,á). P=(11 0) + t(1,-2)

10. P-(2,3)+t(-1,2) , P=(1,5)+t(2,-4)

Rp. Si Rp. No Rp. Si

11. bna recta L pasa por el punto A(2k-1,3) y es ortogonal al vector v=(2,k+2); hallar los valores de k tales que B(7k,k-2) esté sobre L.

Rp. k=1 ó k=-8

120

Ve.ctoe.e4

12. Una recta L pasa por el punto S(2k,3) y es paralela al vec­ tor v=(3,-¿/k), k^O; hallar los valores de k tales que el punto

pertenezca a

En los tos Pi

L.

Hp. k=±¿/3/3

ejercicios 13-14-» hallar las coordenadas de los pun­ y P 2 que están sobre larecta cuya ecuación parametri

ca vectorial se da y que están a la distancia dada del punto S dado. 13. Sobre L:P=(4,-2)+t(1,1), 3/2 unidades de S(4»-2) Rp. P i(7,1), Pa(1,-5/ 14. Sobre L:P=(-3»2)+t(2,-1), 2/5 unidades de S(1,0) Rp. P i(5»-2), Pa(-3,2)

1.31

PENDIENTE DE UNA RECTA Por estudios anteriores de matemáticas sabemos que el co­

ciente de la altura y la base de un segmento recibe el nombre de pe.ndie.ntc det ¿egmento. Si designamos esta pendiente por m, se tendrá entonces que: _ _ altura base Si a=(h,k) es el vector de dirección de una recta L que contiene al punto Pi(x1,y1), entonces L tiene por ecuación vectorial: L:P=Pl+t(h,k), tsR Si hacemos t=1, vemos que las coorde nadas de otro punto P 2 (x2 ,y2 ) que es ta sobre L se puede calcular sumando h y k a las coordenadas respectivas de Pi, esto es: X2=xi+h

lk=altura

y2=y i+k

Por lo tanto, h y k son la base y al tura del segmento PiP2, y si h¿0, en tonces ^ es la pendiente de P 1 P 2 y de la recta que lo contiene. (Figura 27) Por tanto, se define la pendiente de una /iceta como sigue:

Figura 27

121

Vectores

DEFINICION 10.

Si L es una recta tal que uno de sus vectores de direción es (h,k) con hj¿0, entonces la pendiente

m de la recta L está dada por: k •

=

K

y

De esta definición podemos afirmar que m es la pendiente de una recta L si y sólo si (1,m), o bien (1,k/h), es un vector de di­ rección de L. Esto indica que la ecuación (35) se puede escribir de la forma: L: P=P j+t(1,m ), teR

E3EMPL0

(39)

1. Calcular la pendiente de la recta L que

pasa por los

puntos Pi(5»3) y Pz(2,-6), y obtener la ecuación paramltrica vectorial de la forma de la ecuación (39) que describa esta recta. Solución,

El vector de dirección de la recta buscada .es: a =

= (2,-6)-(5,3) = (-3,-9)

Entonces, según la definición 10:

m =

= 3

Como Pi(5»3)eL, entonces, una ecuación paramltrica vectorial de L es: Observaciones.

L: P=(5,3)+t(1,3), teR (1) Puesto que un vector de dirección de la rec­ ta que pasa por los puntos Pi(xi,yj) y

P 2 (x2,yz) es: a =

= (x2-xi,y2-yi)

se sigue que de la. definición de pendiente, si xi^x2, enton­ ces la pendiente de la recta L está dada por: „ xiizn, X 2—X i (2) Se > dice que una recta con un vector de dirección de la forma • (h,0), hj¿0, es una recta horizontal (paralela al eje X) y su pendiente es: m = ^ = 0. (3) Si una recta tiene un vector de dirección de la forma (0,k), kjÉO, se dice que la recta es vertical (paralela al eje Y), y su pendiente m=h/0 no está definida*

Vc c í o a j c a

122

DEFINICION 11.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas en el plano, LxsP^Pi+ta, teR ; Ii2 tP=Qi+r?,reR, son paralelas si y sólo si sus vectores de dirección son paralelos. Esto es: L 2 1 IL 2 EOEMPLO 2.

a I IS

Determinar si la recta Li quepasa por Px(3r5) y P 2 (2 ,8 ) es paralela a la recta I»2que pasa

por

Qi(-1»9) y Q 2 (7 »-35 ). Obtener la ecuación paramétrica vectorial de cada una. Solución.

El vector de dirección de Li es : !=?2-?i=(2.8)-(3,5) ' -*• £=(-1,3), y el de L 2 es: £=$ 2 -$i=(7,-15)-(-1.9) - t=(8¡?34)=-8(-1,3)

Vemos que: 1>=ra Como PieLx

♦

**■

QjeL 2

P-(3*5)+t(-1,3), teR L 2 S P=(-1,9)+s(-1,3), seR

+

Observación.

|a, por tanto: L 2 ||Li

Si Li:P=Pi+ta y L 25 P=P 2 +rí, entonces Li es coinci­ dente con L 2 » o bien: *

L 1 = L2

++

«

P 2CL 1 y a||S r

E3EMPL0 3.

Si Li contiene a Pj(2f-5), L 2 contiene a p 2 (-1f-3) y

Li y L 2 tienen ambas al vector a=( 3 «2 ) como vector de dirección; coinciden ambas rectas? yo¿uc¿¿A.

Si I»i y

tienen el mismo vector de dirección enton­

ces son paralelas. Colnclderán si y sólo si Pj y P 2j están sobre ambas rectas. Esto es: Lj =1*2

9

si (? 2 -?i)||a

■*-+

(?2 -?i).a'L = 0

Entonces: [(-2f-3)-(15)].(-2,3) * (-3,2).(-2,3 ) = 12 i 0 Por tanto, Li y L 2 no coinciden, es decir: Li¿L2. E3EMPL0

Determinar la pendiente de las siguientesrectas pa­

ralelas: Li={(xi,yi)+t(2,b)/teR, b>0} y L2:(3,-2b).[P-(-1,5)]=0. Solución,

Si aj=(2,b) es el vector direccional de

+ n = |

V e .c to / L £ .¿

123

n = (3»-2b) es el vector normal de L 2 . Si Li||L2 ■+ -*•

ai.n = (2,b).(3,-2b) = 0 6-2b2=0

■*-+■

b=/3

ó

b=-/3

Por definición de Li, elegimos b=/3 » Por tanto, la pendiente de la rectas Lx y L 2 es: *

EJEMPLO 5*

m -

Determinar m+n para que las rectas Li={(2,0)+t(m,1)/ teR} y L 2={ (“•#0)+s(-2, n)/seR} sean coincidentes.

Sbiución.

Por definición:

Li=L2.

Si P2c L j «-»■

P 2eLi y ai||a2 =0 (í -2*0). (-1.*) =0

~ de donde: Si ai||a2

m = 1/2 a 1 •a2 =0

-*■

(m, 1) . (-n, 2)=0

-+

-mn- 2=0

-(1/2)n=2

n=-A

m+n = -7/2 EJEMPLO 6.

Dadas las rectas Li={(x+1,Ax-1)+t(x2+x,-3x2-2x+1)} y L2={ ( 2 x + 2 , - 2 x +1)+ s ( - 2 x 2, 2 x 2+2x ) } . Hallar xeR tal que

I*i y L 2 no sean coincidentes. So ¿u.c¿6n» Si ai/9 a2/0

Sean ai=(x2+x,-3x2-2x+1) y a2=( 2x2,2x2+2x) los vecto res de dirección no nulos de Li y 1-2 . Cx(x+1),(-3x+i)(x+1)] ¿ (0,'0)

-*•

f-2x2,-2x(x+1 )J / (0,0)

-*■

X

/ -1

-*• x / 0

0 sea, no existen Lj y L 2 para x=-1 y x=0 Supongamos que L* y L 2- sean coincidentes, esto es: I»i = L 2

*-*■ PieL2 y ai||a2 -a2A =0

a

ai.a2i'=0

(x+1, 6x+2).(-2x2-2x,-2x 2)=0 de.donde: x(x-1)(5x+1)=0 x-0 , x=1 , x=-1/5 Pero como x/Q -► x=1 p x= 1/5 + i Si ai•a2 0 -+ [x(x+1), (-3x+1) (x+1)] . [-2x(x+1), - 2 x Si ( Í2-$i).Zt=0

-*■

„ ,

de donde: -¿x2 (x+1) (x-1 )=0 x=0 , x=-1 , x=1 Pero como x/0 y x/-1 x=1 Luego, (x 1 ó'x=-1/5) A (x=1) = x=1

2J

= 0

Ve.ctoAe.4

12¿

Entonces: (-1/5,1) a (1) = O ) Luego# Li y L2 son. coincidentes si x=1. Por tanto# Li y L 2 son no coincidentes si xeR-{-1#0,1} EJEMPLO 7*

Hallar la ecuación normal de la recta L cuyos puntos equidistan de las rectas Li={(0,l)+t(4,2)/t£ñ} y

L 2={(0,-5)+r(¿#2)/reR}* Sotuci&n.

Vemos que ai=a2=2(2»l) Si a es el vector de dirección de L

Además si QeL

♦

Q = ¿(Pi+P*) = | ( 0 , - ¿ j

a=(2,l)

= (0,-2)

Luego, la ecuación de la recta buscada es L:ax . (?-(J)=0 L:(-1»2). [p- (0,2)J =0 E3EMPL0 8,

Establecer el valor de verdad de las siguientes afir

t

naciones:

(1) Existe por lo menos un keR tal que Li={ (2,3) +t(6k#^ -3k)} sea paralela a la recta L 2 :x=0 (2) L ts { JC‘*ltt ly=l-t

y L2={ (3,-1 )+ s(-2,2)}

-

L» = L*

(3) Existe por lo menos un keR para que L 2= { (1,2) +r(k#3)} y L2= í (7, 5)+s(l#-^k)} son paralelas. (¿) Sea Li={Pi+ta> una recta no vertical. Si Qi^Li y L2={Ql+sa} entonces 1 * 0 ^ 2 / So¿ucién»

(1) Dado que L 2 es una recta vertical# entonces para

que Lj sea paralela a L 2 es necesario que Lj sea vertical, es decir: (6k.|-3k)| |(0,1) ~

(6k,¿-3k).(-1,0)=0

-6k+0 = 0 -*• k=0cR Luego# la afiraación es ve.¿idade.4.a, (2) Tenemos:

Li = {(1#1)+t (1#-1)} y La={(3#-1) + s(-2,2)}

Si Li—L 2

(Pa-PiJ.aj1-=0 +

y

ajIJaa

(2,-2).( 1 , 1 ) = 2 - 2 = 0

+ a2 = -2( 1 #-1) = ra, - aa||ax Entonces: Lj=La, luego#, la afirmación es vs.A.dade./ia, (3) Si L i ||L2

mi=m2

^ =*^k

-► k 2=-6

+

?fkeR

Ve.ctcA.e. 4

125

Entonces L i ||L2 y por 2o tanto, la afirmación es ¿alaa. (4) Como los vectores de dirección de Li y L2 son iguales y el punto Qi¿L| entonces las rectas son paralelas y no coinci-dentes. Luego, L i n L 2=$ff por tanto, la afirmación es

DEFINICION 12.

RECTAS QRTOCONALES

Dos rectas en el plano Li:P=Pi+ta, teR y L 2:P=Qi+rí, reR, se di­ ce que son ortogonales si y sólo si sus vectores de dirección son ortogonales. Esto es: L 1i l2

a i- b

Si mi y m2 son las pendientes de I»i y L 2, entonces, sus vectores

de dirección son de la forma: a=(1,mi) y S=(1,m2). Luego, si axt> +-*■ (1, m 1 ) . (1, m 2 )=0 -*-*■ 1+mi.m2=0 de donde:

mi

ó

m2

m2

-- — m1

Entonces, dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es el n & g a t i v o de.1 A.ecl/?x,oco de la pen­ diente de la otra. EJEMPLO 9.

Demostrar que la recta Lique contiene a los puntos Q(-1,-2) y R(2,2) es perpendicular a la recta L 2 que

contiene a los puntos S(-5#7) de.moA>t/iaci6n.

y T(3*1)*

En efecto, sea ai el vector de dirección de Li, entonces:

a 1 = QR =

= (2,2)-(-1,-2) = (3*4)

Sea a2 el vector de dirección de L 2, entonces: t 2 = ST = í-t = (3,1)-(-5,7) = (8,-6) . Puesto que:

aj.a2 = (3» 4.). (8,-6) = 24-24 = O *► ai± a 2

EJEMPLO JO.

L i i L 2#

Sean las rectas Li:P=Pi + ta, teR y L 2:P=Qi+rb, reR, donde a= (4-k»k + 3 ) y b=(k-3>k+2). Si L lÍ,L2# hallar

el valor de Soiuciín.

Zi

L i J. I,? i noAma¿ a L.

n=(A,3)

En la Figura 28, se muestra a una recta L, que contiene al punto Pi(xi,yi),

así

como el vector n={A,B), normal a L, don- _ o de A y BeR, uno de los cuales es difereri I te de cero.

Figura 28

' Un punto P(x.y) está sobre L si y sólo si P-Pj es paralelo a L, es decir, si y sólo si P-ri es perpendicu­ lar a n. Entonces, una ecuación de L es: (?-?i).n = 0

+

P.n-?i.n = 0

?.n * ?i.n

Puesto que P=(x.y)# Pi=(xi,yx) y Í=(A,B), la áltina ecuación se puede escribir de la forma: (x,y).(A»B) = (xi,yi).(A,B)

Ax+By = Axi+Byi

Veci o/ie¿

129

Toda vez que xi,yi, A y B son constantes, al número Axi+Byi es también constante, y podemos denotarlo por -C. Se tendrá enton­ ces que: Ax+By +C=0 , A 2+ B 2¿0

«

(40)

Dado que la ecuación (4-0) no contiene vectores se le denomina también, ecuación encalan de L. Nota.

Si n=(A,B) es un vector normal a una recta L, entonces a=(-B,A) es un vector de dirección de L. Por consiguiente

lavpendiente de L está dada por: m = - 4 , si B¿0 ® %

EOEMPLO 1.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto R(-3#2) y que tiene a a=(l,-2) como vector de dirección. Solución•

Usaremos dos métodos para resolver el problema: (1) Dado que a=(1,-2)

+

n = a x = (2,1)

Si P(x,y) es un punto genérico de la recta L,entonces: (?-$).n = 0 de donde: (2) Si £=(1,-2)

-3) y cuya pendiente es Si m=1/2 -*■ S=(2,l) es el vector de dirección de L. Luego, n = a x = (-1,2)

136 El vector que va de S a T es: ST * (5,-3)-(á,-2) « (1,-1) Luego, según, la ecuación (50): d (S ,L )

Nota.

=> K 1 »-'1M - 1 . 2 ) I . = |- 1 - 2 _[ _ _ 2 /7ñ /5 /5

Para calcular una fórmula que peralta hallar la d(S,L) cuando la ecuación de L está dada en la forma general L:

Ax+By+C=0,

se procede de la siguiente manera:

Supongamos que S-(x«,yo) y P»*(xi*yi) ♦ 5-?i=(x0-xi,y0-yi), y ,B). Si sustituimos las componentes de estos vectores en la ecuación (50) se tiene: t.1

= í(^o-Xi.y»-yi).(A,B)| _ lAxo-Axt+Byo-Byi

/Al+Bz

/A*+B2 IAxp+By o-(Ax i+By i) |

i

/ a *+b * Pero Pi(xi,yi)eL

ÁXi+Byj+C=*0

**> C = -(Axi+Byi)

d ( S , L ) - j Axp-fBy,+Cj _ /ÁÜB*

E3EHPL0 2.

(5 1)

Hallar la distancia del punto S(-2,5) a la recta L: 5x-12y-8=0.

Solución,

Dado que: A=5 y B*-12 **• a=(5,-12). Además: xo=-2,yo=5 Luego, según la fórmula (51): d(S.L) - l5(-2)-12(5)-8| „ 1-10-60-31 = /(5)i+(-12)í 13 «

E3EHPL0 3.

_

Calcular el valor de k tal que el punto P(2,k) sea e

quidistante de las rectas cuyas ecuaciones son.: Li:x+y-2*0 y La:x-7y+2=0. Solución,

Se debe verificar que: d(P,Li) = d(?,L 2 ) Entonces, según la ecuación (51) se tiene:

[2 +k - 2 1 = |2-7k+2| /í+í de donde:

/l+¿9

^

J k [ ^ U-7 V I /5

5/5

5|k| = U - 7 k | * + 5k=A-7k

♦♦ k=1/3

ó

6

5k=-¿+7k

k=2

V

Ve.c£os

EJEMPLO 4.

137

Obtener las ecuaciones de las rectas que son parale­

las a la recta L: 3x-4-y+10=0 y que están a 5 unidades de distancia de L. Solución.

Según (4-2), las rectas paralelas a L son de la forma L i:3x- 4y+k=0 (i)

Como todos los puntos de L equidistan de Lx» podemos elegir un punto cualquiera de L, dando una solución para 3x-4y+10=0. For ejemplo, para x =2 * 3(2)-4y+10=0 -► y=:¿, Luego P(2,4.)eL Entonces, si d(P,Li) = 5 de donde: |k-1C¡=25

iK2

+*

k-10=25

A1. 4-Líiil- = 5 /F T F 6 k-10=-25

** k=35 ó k=-15 Sustituyendo en (1) obtenemos las ecuaciones buscadas, esto es: Li:3x-4y+35-0

EJEMPLO 5.

ó

Lx:3x-4y-15-0

Hallar el perímetro del triángulo equilátero ABC, si A(-1,3) y sabiendo que el lado B5 está contenido en

la recta L={(-2,-¿)+t(¿,3)/teR). Solución.

En un triángulo equilátero: h = Perímetro del AABC; 2p = 3&

¿=

2p = 2/3h

(1)

Pero h = d(A,L) = I(í-?i. ).n| ¡|n|| en donde: í=(-1,3)> ? í=(-2,-4.) ♦

t-íi = (-1, 3)-(-2.-4.) = (1,7) S = F = (-3,i) - I|n||=5

Entonces:

= 5

h .

5 Luego, en (1), el perímetro es: EJEMPLO 6.

2p=10/3

Los puntos A(xiryx) y B(x 2 »yi) sobre la recta L:5x-

12 yt 15 =0 , distan 3 unidades de la recta Lj: (3r¿).[(x,y)-(0,3)1=0. Hallar xj+x*. Solución.

En Lx tenemos: n*(3,A) y Px(0,3) Si S(x,y)eL

o sea:

+

d(S,L)=3

KS-P,).Sj = I(x.y-3_).(3, O i = 3 IISII

5

V e d o Ae.¿

138

de donde:

l3*Hy-*12| = 15

-*-+

3xHy-12=15 ó 3x+4y-12=-15 3xi+4yi=27 ó 3x2+¿y2=-3

(i)

Pero AeL y BeL , entonces: + 5xi-12yi=-15 -2)x=(2,4) t(0) - s(-1,-2).(2,4) - (-4,4).(2,4) Luego, en (1):

P = (-2,1) + |(-1,-2) = (-^,--1)

s=4/5

V e . d o A . e . 4,

1 4 2

E3EMPL0 2.

Hallar la intersección de la recta Li que pasa por los puntos (3» 7) y (9,10) y la recta que pasa por

(2,-1) y (11.8). Solución.

Los vectores de dirección de Li y L 2 son respectiva­ mente:

a=(9»10)-(3#7)=(6,3)=3(2,1) í=(11,8)-(2,-1)=(9,9)=9(1»1)

Como (3.7)eL, (2,-1 )cl«í

Lj={(3,7)+t(2.1)/teR} L 2 ={(2,-1) + s(1,1)/seR}

Por inspección vemos que Ljj/fLj

3t,seR,

tal que:

P * (3> 7)+t(2,1) = (2,-1) + s(1,1) de donde:

(1)

t(2,1 )-s( 1,1) = (-1,-8) *-*■ (2t-s,t-s) = (-1,-8)

Por igualdad de vectores:

2t-s=-1

Resolviendo el sistema obtenemos:

y

t-s=-8

t=7 y s=15

Sustituyendo ambos valores en (1) se tiene finalmente: P = + ai * u+v y a2 = u-v ComoL i -LL2 y L J- Li

*

L|

|L2

Por tanto, la ecuación de la recta L que pasa por Q es: L:P=( 10, 6)+raa = (10, 6)+r[(¿, J ) - ( - - H ^ ) ] ,\ L:P=(10,6)+t(8,1),teR EJEMPLO A.

La bisectriz del ángulo agudo que forman el eje X y

la recta L:P=(0,2)+t(-2,1) determina sobre el primer cuadrante un triángulo cuya área se pide calcular. Solución.

Interceptando L:P=(-2t,2+t) con el eje X se tiene: Si y=0

2+t=0

t=-2. Luego: B=U,0)

Un vector unitario en la dirección del eje X es v=(1,0), y en la dirección de la recta L es u=(-2,1)//5.

KccÍOíU 4

153

Luego, un vector en la dirección de la bisectriz Lj es: ai =

u - v

=

.

(

n

o

)

/5 + ai = — (-2-/5. 1) ✓5 Entonces:

L»:P=(4-»0)+r(-2-/3,1),reR

***

Interceptando con el eje Y se tiene: Si x=0 *

0=*+r(-2-/5)

♦

r=¿(/5-2)

y=0U(/5-2)(1)»4/5-'8

—

C(0,V?-E U K 4 / 5 - 8 ) = 8(/5-2)u *

E3EMPL0 5.

Demostrar que si las rectas paralelas Li y La son in terceptadas por una secante L, entonces los ángulos

alternos internos son congruentes* Demo¿¿Aac¿6n.

♦

Debemos probar que a=8 En efecto:

Supongamos que los vectores de dirección de L, Li y La» son respectivamente: a,ai y a2. Si L 1 IIL2

*

ai » raí

(r>0)

Como a es el ángulo formado por a y ai, entonces:

Cosa =

a.ai

_

H a ll ||iill

a*(ra2 )

||S|| r l l a a l l

I [a | | | |S2 | I

Sea 6 el anguio formado por los vectores -a y -a2 ( - a ) . ( - a » )

Cos8 =

,

a . a ,

l ! a | | | | a ,| |

.

C o g a

||2|| ||S2 |j 0*8

C3EMPL0 6.

Los vórtices de un triángulo son los puntos tales que

¡| í-S j| = a f

y G,

||A-C|¡=2a. Hallar la ecuación

de la recta que contiene a la bisectriz interior del triángulo correspondiente al ángulo A. Solución.

Sean: u =

-

IIAC|| k a=u4v *

2a 1

(

C

+

2

S

-

3

B-í

$-1

llABlI

HS-Ill

a

_

AC V

AB

Í

)

Z-í

IIC-All

Z-t 2a

L:P=A+t(í+2Í-3A)

i ^ e c i o A c ^

154 E3EMPL0 7.

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángu los formados por las rectas Li:x+y-3=0 y L 2:2x-y+6=0

y demostrar que son perpendiculares. Solución•

Sea Li A L: c Q(-1»4) Si n 1 = (1 * 1)

♦

Í 2=(2,-1)

aj=(-1P1) -

a*=(1#2>

Entonces, los vectores unitarios en las direcciones de Li y L 2 son res­ pectivamente: S = lili)

✓?

/5

Luego, los vectores que siguen las direcciones de las bisectrices son: as = u+v = — í— ( 3bi+b2=-5 (1) o _ m 2-mx Tg45° = 1+mi*m2 b2-5 _ oi-O "

1 2

+

1

=

“

de donde: bi+2b2=10

2 = * 1 / 2

(2)

Resolviendo (1) y (2) obtenemos: bj=-4 y b2= 7

-*■ B(-4.7)

Si ÁB=(-3,9) = 3(-1,3) y 5C=(4,-2)=2(2,-1), entonces, los vectores unitarios en las direcciones de Lj y L2 son respectivamente: * = (2.-1) + = _ L ( _ 1+2/2,3-/S) /Tü /5 /Tü es el vector que sigue la dirección de la bisectriz; por tanto, i =

su ecuación es: E3EMPL0 10.

L:P=(-4,7)+t(-1+2/5,3-/5),teR

Hallar la ecuación de la recta que pasa por Q(5,3) y forma un triángulo isósceles con las rectas L jí

x-y-1=0 y L Solución.

x-7y-1-0. Seam m , mi=1 y m2=1/7 las pendientes da las rectas L, Lx y L 2 respectivamente.

Caso 1.

Los lados iguales se encuentran en Lx y L 2

VecÍOA.4.4

156

TgA = TgB -

,==8^ a- 1

1+a -2 ó B=

de donde: 2m2+3o-2*G Hay dos soluciones: L:P=(5,3)+t(1,-2), teR 5

L:P=(5* 3)+s(2,1), seR

Caso 2.

Los lados iguales se encuentran en L 1 y L2 a-a i _ a i— id + TgA* * TgC TTffl*®i 1'+m i* n 2 a- 1

1-1/7 7Tñ * 1+1/7 Hay una solución: Caso 3.

m=7

L f:P=(5,3)+r(1*7), reR

Los lados iguales se encuentran en L" y Lx + TgG* = TgC m=-17/31 1+(1/7)n

1+(1/7) L":P (5,3)+p(31» 17), peR

Hay una solución: E3EMPL0 11.

Sea Lx:P=Q+t(7,1),teR, Q ( 1 ,-1)e(Lxn L a n L), A(8,0)e*

Lx, d(A,L)=s/TO; L es bisectriz del ángulo formado por Lx y L 2 » siendo su pendiente aenor que la de Li. Hallar las ecuaciones vectoriales de L y L 2 * Solución.

QA=A-Q=(8,0)-(1,-1)=(7,1)

♦ IIQÁIl=/5ff y 11AB[|=/TET En el AQBA, por el teorema de Pitágo ras: |IQBI|*=(/5ff)*-(/ÍÓ)2 = 40 + llQBf1=2/10 Sea u un vector unitario en la direg ción de

labisectriz L.

Si QA =

QB + BÁ

+

(7,1) = IIq b I|u + ||BÍ||u a

+

(7,1) = 2 / 1 0 ( u x , u 2)+ / T OÍ - U j . U x ) 7 = 2/TOux - /ÍOua

- (3.-D de donde: í u =

1 = 2/1Ou2 + /TOux Luego, la pendiente de la bisectriz es: m=-1/3

VtctOA.€¿

En el AQBC:

Tga = ~

->•

"'V, 1+b .bj

de donde:

=

-► 2/Tü

157

¿

J¿ J /J h ±L-. = 4 1+(-1/3)n,

n 2=-1

Por tanto, las ecuaciones buscadas son: L:P=(1,-1)+t(3.-1),teR ; L 2:P=(1.-l)+s(1t-1),seR

EJERCICIOS

1.

Determinar la

ecuación de la recta quepasa por

coordenadas y

esparalela a la bisectriz delángulo que for­

man los vectores a=(3,4) y £=(4,-3)* 2.

el origen

de

Rp- L={ (-1/5.7/5)«P30}

Si L es la bisectriz del ángulo for­ mado por los vectores a y í, cuántos de los siguientes puntos pertenecen a la recta L? a) (1/2,3/2)

c) (-5/3.-5)

b) (-1,-2)

d) (2/3.2) Rp. 3

3.

Las rectas Li:P=Pi+ta, teR, Lj:£. (P-P2)=0, se cortan en P*. Hallar el ángulo entre Li y L2 sabiendo que: (P,.Po)-(Pi-Po)-(Pi.*P2 )=l|PollI. y P«yPi¿P 2 .

4.

Rp. 90°

Sea el AOAB, recto en A. Si 0 coincide con el origen de coor denadas y 0A está sobre el eje X; hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo 0, sabiendo que divide al lado opuesto BA en dos segmentos de 10cm y 8cm.

5.

Rp. L:P=t(3.l). teR

Los puntos P(2,4), Q(8,6) y R(4,S) son vértices de un trián­ gulo. Hallar la recta que es perpendicular a la bisectriz del ángulo PQR y que pasa por R. Rp. L:P=(A,8)+t(1-/2,-3-2/2)

6.

Sean las rectas L i:P= (1, - 1) +t(7,1), teR y La:(1.-1). [P-{2,1)J =0. Hallar la recta L que tiene pendiente positiva, pasa por Q(0,-2) y forma con Li y L? un triángulo isósceles cuyos la­

dos congruentes están sobre Lj y L 2.

Rp. L:P= (0,-2)4t{2»l)

ve.c£ o>t*4

158

7.

Dada 3 las rectas Lx:P*Px+ta y L a:P=Qi+s$, no paralelas, de­ mostrar que las rectas bisectrices de los ángulos que fcrmañ L l y Lj son ortogonales.

8.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta bisectriz, de menor pendiente, del ángu­ lo que forman las rectas Li:P=(1,1)+t(3#4)»teR y L a:F-(2,-1) +s(á,3)*aeR.

Pp* L:P=t(-1,1),teR m

9.

Los vórtices de un triángulo ABC son A(-6,-2), 5(6,1) y C(2,¿). Se traza la bisectriz del ángulo exterior correspon­ diente al ángulo interno ACB; la bisectriz anterior corta a la prolongación del lado AB en el punto Q. Hallar las coorde nadas del punto Q.

Rp. Q(18,4)

10. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto Q(-2,3) y sea perpendicular a la bisectriz interior del A de vórtices A(0,0), B(¿,8), 0(6,2), relativa al vórtice B. Rp. L:P=(-2,3)+t(3+2/2,1-/2),teR 11. Un rayo parte del punto A=(-5,-2) en dirección del vector (2,3) y se refleja en ün espejo plano sobre el eje X en B y luego sobre el eje X en C. Cuál es la abscisa.del punto S si S=B+C+D? donde D está sobre el último rayo reflejado y tiene ordenada -10.

Rp. -35/3 *

12. Las rectas Li y La se interceptan en el punto C formando un ángulo 0, tal que Tg9=1/2. Si C es un punto en el cuarto cua drante, B=(0,4)» AC+3C=(2,-10) y la pendiente de L* es -1; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0. Rp. L:P=U,-8)+t(1+/7,-/S-/5),teR 13. Dadas las rectas L a:7x-y-6=0 y La:x-y+2=0, hallar la ecua­ ción de la recta L, de pendiente positiva, que pasa por el punto A(5»-2) y forma con Li y La un triángulo isósceles cu­ yos lados iguales se encuentran en L 1 y L 2 » respectivamente. Rp. L:P=(5»-2)+t(1,2), teR

Ve.cto/ie.4

159

EL ESPACIO T R ID IM E N S IO N A L

En la sección 1.2 definimos el producto cartesiano A*B de los conjuntos A y B de la siguiente manera: A*B » {(x»y)/xeR , ysR} Si aplicamos una definición similar al producto cartesiano AxBxC de los conjuntos A, B y C, entonces: Axfixc - ((x,y»z)/xeR, yeR» zsR) Donde el símbolo (x,y,z) representa una terna ordenada. Como las ternas ordenadas de números reales son elementos del producto cartesiano P.xRxR, a este conjunto se le denota por R 3, es decir: R 3 = í(x,y,z)/xeR, yeR» zeR} que determina lo que llamaremos espacio ¿A¿d¿m£n.4Íona¿, Esto es» queda establecido un sistema cartesiano de tres dimensiones, cuyos

P(x,y,z)

ejes son las rectas orientadas X X 1 (E

1• X»

je de abscisas), Y Y r (Eje de ordena­

y

das) y Z Z 1 (Cota), que se cortan per­ y

pendicularmente en el punto 0 (Origen de coordenadas)

y Tfl" i

y z

_____________

✓'

X

Todo plinto en el espacio queda deter­ minado por la terna (x,y,z) , donde: x: es la distancia dirigida del punto P al plano YOZ.

Figura 37

y: es la distancia dirigida del punto P al plano XOZ z: es la distancia dirigida del punto P al plano XOY« (Figura 37) El conjuto R 3 de ternas ordenadas de números reales, junto con las operaciones de suma y producto definidas en la Proposición 1.1, recibe el nombre de e.¿pac¿o ve.c.to/iía.1 tA¿d¿m&n¿¿ona¿ sobre el conjunto de números reales R y se denota por Va. A los elemen tos de V 9 se les llama vectores, luego, la terna (x»y9z) es un vector.

160

Vectone*

1.39

VECTORES EN EL ESPACIO Cada terna de números reales (x,y,z) se puede a s edar a li­

na traslación en el espacio. Por esta razón se define una terna ordenada de números reales como un vector tridimensional. En la Figura 38 se observa un segmento dirigido AB o vectoe geomAtnico que r§ presenta al vector v=(x,y,z). Este vec tor geométrico representa a la trasla­ ción del punto A(xi»yi»zi)

al

punto

B(x2,y2,z2). Por tanto una representa­ ción geométrica del vector es: - (x2-xs,y2-yj,z2-zi) Se dice que el punto A es el punto ini~ clat o punto de pantlda del vector geo­ métrico» y que B es su punto ¿¿nal o punto de ¿legada. Si el pun oo inicial de un vector geométrico es el origen de coordenadas, entonces se dice que el vector está en su posición ondinanía, y que es la representación ordinaria del vector correspondiente. La norma ||v|| de un vector v=(x,y,z) en R 9 se define como: ||v|| =

ya+z2

La norma de un vector en R 8 se puede interpretar como la longi­ tud de cualquiera de sus representaciones geométricas. Por tanto ^ * la norma del vector v=(x,y, z), que se muestra en la Figura 38, es igual a la longitud de AB, es decir: Nvll = d(A,B) = /(x 2 -xl)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2 Otras definiciones que se aplican a los vectores de dos dimensio nes se puede extender directamente a los vectores en tres dimen­ siones. En particular, si a=(xj,yi,zi) y í=(x2,y2#z2) son vecto­ res en R 9 y reR, entonces:

( 1)

a

(2)

a + % = (xi+x2,yi+y2,zi+z2)

161

Ve.ctcne.4i

(3) / i\

a*- í = a + (-í¡) = (xi-x2fyi-y2,zi-z2) 4

■f

y

«

(4)

a - a = a + (-a; = (0,0,0) = 9

(5)

ra = r(xi, y i, z i) = (rxi,ryi,rzi)

(6)

u es un vector unitario

u =

|u| 1= 1 |a|

(7)

Producto escalar: a.Í = xix2 + yiy 2 + ziz2 »

i

Tal como en el caso de R 2, un vector en R 3 se puede expresar co*mo la suma de componentes vectoriales paralelos a los ejes coor­ denados. En R 3, i, j y 5■representan vectores unitarios en las direcciones de las partes p'ositivas de los ejes X,Y,2 repectivamente. Entonces: í = (1,0,0) , !=(0,1,0) , Í=(0,0,1) Todo vector de R 3 se puede escribir en una y sólo una forma como una combinación lineal de í, * y 5. Por ejemplo, para el vector v=(3,2,-4) se tiene: í = 3Í+2T-4Í

EJEMPLO 1.Un vector que

va de

S(x,y,z) a T(5,-4>2) es dos ve­

ces el vector que va de R(2,-1,5) a S(x,y,z). Calcu lar el valor de x+y+z. Solución,

Sean: a = ST = í-5 = í

= R S = S-£ =

5-x = 2(x-2) Si a = 2Í

EJEMPLO 2.

-4-y = 2(y+1) 2-z = 2(z-5)

(5,-4,2)-(x,y,s)=(5-x,-4-y,2-z) (x,y,z)-(2,-1,5)=(x-2,y+1,z-5) x=3

y=-2

C. xty+z = 5

z=4

Sean A(2,3,-2) y B(6,-3»2). Hallar el punto P que es j

*

ta en el segmento de recta que une A con B y a 3/4 de distancia de A a B. Solución,

Si P(x,yfz)eAB

A? = (-f)AB 4

4AP = 3AB

4x-8=12 4(x-2,y-3iz+2) = 3(4,-6,4)

+

4y-12=-18 4z+8=12

+

x=5 +

y=-3/2 z=1

V&ctc/^e.A

162

Por tanto, el punto buscado es: P(5 EJEMPLO 3.

Demostrar que los puntos A(3»5.2), B(2,3.-1) y C(6, 1,-1) son vértices de un triángulo rectángulo.

De.mo¿¿/iación.

En efecto: ÁB = (2,3,-l)-(3» 5,2) = (-1,-2,-3)

AC = (6,1,-1)-(3,5,2) = (3.-A.-3) BC = (6,1,-1)-(2,3,-1) = (A,-2,0)

Entonces:

|lAB¡| = /1+A+9 = /TI | |AC|| = /9+1¿+9 = /5I ||BC|| = /16+A+O = /Sü

Como:

(/TI)« - (/TZ)*+(/2U)*

-

||AC|j 2 = ||ÁB)|2 + ||BC| |2

Se cumple el Teorema de Pitágoras, por tanto, el AABC es recto en B. EJEMPLO 4*

Demostrar que los puntos A(-2,-7,7), B(2,-1,3) y C(¿,2,1) son colineales.

De.mo¿t/iac¿¿n.

Bastará probar que: | |AC ||= ||AB ||+ | IBC || En efecto:

AC = (A.2,1)-(-2,-7,7) = (6,9,-6) aB = (2,-1,3)-(-2,-7,7) = (A,6,-A)

o------------- o--------□,

BC = (A, 2,1)-(2,-1,3) = (2,3,-2) Entonces: '

llACl! ” -36+81+36 = 3/T7 11AB i | = /16+36+16

= 2/T7

y

||BC|| = /A+9+A = /T7

Como: 3/T7 = 2/T7 + /T7 + ||ÁC ||= | |ÁB ||+ | |BC || Por tanto, los puntos A, B y G son colineales* EJEMPLO 5.

Dados los vectores

a=(3t-1,-2), $=(2,1,4) y c=7Í-2'

-k , hallar la suma de las componentes del vector : tal que: a.x=4 , $.x=2 y c.x=4 So¿u.c.iin.

Sea el vector x=(x,y,z) Si a.x

=A

+ (3,-1,-2).(x,y,z)=4

+

3x-y-2z = A

b.x

=2

-*■ (2,1,A).(x,y,z) = 2

+

2x+y+Az

=2

c.x

=A

+ (7,-2,-1). (x,y,z) = A

7x-2y-z

=A

*

V a c tonc¿

163

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x=2, y-6, z=-2

/. x+y+ 2 s 6 E3EMPL0 6.

Si a=(2t1,-1) y £=(1,-1,2), hallar un vector no nulo c£Rs, tal que: a.ca£.c=0.

Solución*

Sea el vector c=(x,y,a) Si a.c

= 0 -*■

íi.c - 0

(2,1 ,-1) •(x,y,z)=0 ,-*■

2x+y-z=0

(1)

(1, - 1f2) - (x, y, z)*0

x-y+2a*0

(2)

+

Sumando (1) y (2) se tiene: z=-3x Multiplicando (1)por Luego,

c= (x,y-,z)

2 y sumándole (2) obtenemos: y=-5x - (x,-5x,-3x) * x(1,-5.-3)

Hay infinitas soluciones. Un ejemplo, para x=1 se tiene: c = (1.-5.-3) E3EMPL0 7.

Sea el triángulo de vértices A(-t,2,2), B(4,2f-3) y C(9,-3,7). Por.el punto D(2,2,-1) del lado A§ se tra

za una paralela al lado AC y que corta al lado BC en E. Hallar la longitud del segmento 5 e . B

Veamos en que ra2 Ón divide el

Solución.

punto D al lado AB. Sea:

= r

AD = rDB

- B-t = r(B-B) *

3(1,0,-1) = 2r(1, 0, -1)

Siendo DÉ||ÁC -

+

-

r= 3/2

|| = |

2(1-2) = 3($-É) -«• 5$ = 3U,2.-3)+2(9,-3,7) = (30,0,5) - E=(6,0,1)

Luego: DS = (6,0,1)-(2,2,-1) = 2(2,-1,1)

E3EMPL0 8.

♦

||5ft|=2/5

En el trapecio ABCD la razón entre la longitud de la base AD y de la base BC equivale a X. Suponiendo que

AC=a y BD=£, exprésense los vectores ÁB, 55, 55 y 5Á por medio de a y t Solución*

En el AABC:

Si

= x

-

AD = XBC

+

AB + BD = ABC

A3 ^ AC-BC

(1)

(2)

Ve.c£osie.¿

AB = AC - --£ I BD

*► AB = 2a'^ 1+A

B

U%

De (2): BC = AC-AB = a - 2Í-S 2+A 1+A En el AACD: CD = AD-AC = ABC - a VS*

CD =

+ * a

^

^ AÍ-a CD = 1+ A 1+ A

EJEMPLO 9.

Sean dados los vectores a=(1»5*3), í = ( 6 # - - 2 ) ,

c=(0,-5,7) y 2=(-20,27,-35). Se requiere elegir los números a, 3 y y de tal modo que los vectores aa, 6Í, ye y 2 for men una sivo

línea quebrada cerrada, si el origen

de cada vector suce

se hace coincidir con el extremo delanterior.

Solución,

Si los vectores aa, &Í, ye y 2 constituyen una línea quebrada cerrada, entonces:

aa +

+ ye + 3 = 6 •

v

en donde:

Cosy =

Cos 8 =

di­

(54)

v| |

v

||v|| = /x2+y2+z2 ¿ 0

Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones (54), se tiene: Cos2a +

Co

s

28

(55)

+ Cos2y = 1

La ecuación (55) nos permite afirmar que los cosenos directores de un vector están intimamente relacionados, por lo que, si se conocen dos de ellos se puede calcular el valor absoluto del ter cero. Si Cosa, CosB y Cosy son los cosenos directores de un vec­ tor no nulo v=(x,y,z), por las ecuaciones (54) resulta que: u = (Cosa,CosB,Cosy) = (— ~

Mlv

V

¿II

i

(56)

es el vector unitario que tiene la misma dirección que v. E3EMPL0 1.

Obtener los cosenos directores del vector v que va

de A(2,-2,-1) a B(-4>-5,1). Probar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores del vector es igual a 1 y obtener también un vector unitario en la dirección de v. Solución.

Si v=AB -*• IIv || = /36+9+A = 7

Ve.cione.¿

168

Según las ecuaciones (54)* los cosenos director s del vector v / o >• ^ son: Cosa = - -tj , CosS = - y » Cosy - ^ ' Entonces:

Cos2a + Cos2B + Cos2y =

= 1

El vector unitario en la dirección de v, según (56), es: + ’ / 6 3 2\ u = ( ' 1* ~ 7* 7' EJEMPLO 2.

Averiguar si el vector veR3 puede tener como ángulos de dirección: a=60°, 0=4-5° y y=150°.

Solución.

Veamos si la ecuación (55) se satisface para estos án gulos.

Cos260° + Cos245° + Cos2150° = ^ ) Z +

4

2

')2 +

4.

2 ? 1

Por tanto, no existe el vector $ con tales ángulos directores, EJEMPLO 3.

Obtener un vector v si ||v||=14 y tiene sentido con trario al vector cuya representación geométrica va

de S(3.-5,2) a ?(5,-8,-4). Solución.

Sea a=S! = (5, -8, -4-)-(3, -5,2) = (2,-3,-6)

- I|a|| = /(2)*+(-3)2+(-6)2 = 7 Luego, un vector unitario con sentido opuesto al de a es: a

_ (1,-3,-6)

¡¡Sil Dado que: EJEMPLO ty.

v = ||v| |ú

-*■

v = (-4,6,12)

Hállese el vector a que forma con todos ios tres ver

sores básicos ángulos agudos iguales, si ||a||=-2/3. (Nota. A los vectores unitarios i, j y k se les denominan tam­ bién versores básicos) Solución.

Como a=B=Y, entonces según la ecuación (55) se tiene: 3Cos2a = 1 4-+ Cosa = ±/3/3

Dado que a, 8 y y son agudos Si x = ||a I |Co sot -*■

-►

Cosa = /J/3

x = 2/3(/I/3) = 2

a = (2,2,2)

Ve.ctoste.4

169

EJERCICIOS

En los siguientes ejercicios obtener un vector unitario en la dirección del vector cuya representación geométrica va de S a T. a)

S(1,-2, 5) , T U , 0,11)

Rp. u = -^(3.2,6)

b)

S(2,-2,-1) , T(-4.-5.1)

Rp. í = ^(6,3,2)

c) S(9, 2, -1) , T(-3, 5, - 5) Si

Rp.

u = ^(-12,3.-4)

para un vector aeRs, Cosat^2/11 y Cos6=-5/11; calcular

Gosy.

(Dos soluciones).

Si para lor del

Rp. ±9/11

un vector aeRs, Cos6=3/10 y Cosy=2/5; calcular el va ángulo a. Rp. a=30° ó a=150°

Hallar un

vector v cuya norma

do que el

vector a=(6,12,4).

Hallar el

vector v cuya norma

opuesto

al vector a=(-2t5»-4)*Rp*

es 1/2

ytiene el mismo senti­ Rp. v=(3/1¿, 3/7, 1/7)

es 7/5

yque tiene el sentido

v =(21/5,-7,

28/5)

Hállese el vector x que forma con el versor J un ángulo de 60° y con el versor íc, un ángulo de 120°, si ||x||=5/2. Rp. x==(±5» 5//5,-5//2) Hállese el vector x, colineal al vector a=(l,-2,-2), que for ma con el versor j un ángulo agudo y cuya magnitud es 15. Rp. £=(-5,10,10) Hállese el vector x, colineal con el vector a=-3Í-6^+2Í, que forma con el versor £ un ángulo obtuso, y cuya norma es 21. Rp. x=(9»18,-6) Un veotor v forma con los ejes X e Y los ángulos de 60° y 120° respectivamente. Hilar sus coordenadas sabiendo que su magnitud es 2 unidades.

Rp. v=(1,-1,/5) ó

v =(1,-1,-/5)

Vectone.4

1 7 0

1.41

VECTORES PARALELOS Y PERPENOICULARES

Si a y S son dos vectores no nulos de R 3, entonces el angu lo que forman se puede especificar de la misma manera que el ángulo q 1 forman dos vectores en R 2. En la Figura ¿0 se observa que si los vectores a y $ no son paralelos entonces los tres vectores a,. £ y a-£ tienen representaciones geomé­ tricas que forman un triángulo. Em pleando la ley de los cosenos se puede demostrar que: a. b

Cos0 =

imi

EJEMPLO 1.

Solución*

(56)

iisii

Hallar el ángulo que forman los vectores a=(l,2,l) y $=(2.1,-1). Según la ecuación (56) se tiene: 2+2-1 *0 ■(2,1. -1) = (/íñ+1)(/¿+l + 1) (/5)(/5) /. 0=60°

Cos8 =

Observación 1

1 2

La ecuación (56) es tarabián válida si los vecto res a y t son paralelos, puesto que con a=rí se

tiene: Cos0 *

vl.t

l l r &l f ||t!|

iiíii

Ir| | | t | | *

|r|

Si r>0 *♦* Cos0=1 y si r ■+

a - rí '-2 = r8

-►

(-2,3,a) = r(B,-6,2) ~

3 = -6r -*■ r=-2 a = 2r

de donde:

a=-k y 8=1

Observación 2.

Dos vectores a y % son octogonales o />e.n.p£.nd¿cu~ lañe*, sí y solo si la medida del ángulo compren

dido entre ellos es 90°, esto es, si y sólo si Cos0=O. De la formula (56) se obtiene inmediatamente que los vectores no nulos a y S en R 3 son perpendiculares si y sólo si a.S=0. EJEMPLO 4.

Demostrar que el vector v=(2,-1,3) es perpendicular a los vectores a=(3,0,-2), í>=(1,8,2) y c= (1, - i,-2).

De.nioótsiac¿ón,

En efecto, veamos el producto escalar de v ccn a, í y c. í.v = (3,0,-2).(2,-1,3) = 6+0-6 = 0 í.v = (1,8,2).(2,-1,3) = 2-8+6 = 0 í.v =

(1,-4,-2).(2,-1,3) = 2+4-6 = 0

Por tanto, v es perpendicular a los tres vectores dados. En esteejemplo se puede observar que ningún par de los tres vectores a, by c son paralelos. En realidad, en R s, es posible obtener un número infinito de vectores para­ leles, cada uno de los cuales es per p e n d ic u la r a v .

(F ig u ra

41)

F ig u ra

41

Vector*4

Esto sugiere que el conjunto de representaciones geométricas de todos los vectores perpendiculares a v cubre el pino completaren te* EJEMPLO 5.

Hallar todos los vectores que son perpendiculares al plano formado por los vectores a=(5*-1,-2) y

b*(2f3»i)» Solución.

Sea v=(x,y,z) uno de los vectores buscados. Si v í a vit

-►

(x.y,s).(5'-1.-2)*0 * (x,y,z).(2,3*4.)*0 +

Multiplicando (1) por

5x-y-2z=0 2x+3y+áz=:0

2 y sumándole (2) se tiene:*

MultiDllcando (1) por 3 y sumándole (2) resulta: * > Entonces: v * (x,-12x, 17/2x) = 7j(2,-24,17)

M) (2)

y=-12x z=(17/2)x

Por tanto» $=n(2,-2¿,17) » neR-(O), representa al conjunte de vectores que son perpendiculares a a y £. EJEMPLO 6,

Si a=(2,-1,2), £*(1*2,-2), hallar dos vectores c y 3 en R 3, que satisfacen las condiciones siguientes:

3=3+3 , £.3=o . c|l£. Sean: c-(ca»C2 »Cj) y 3=(ái,da»da)

Solución.

(2,-1,2) = (ci+dx, C 2+d 2 ,ca+ds)

Si a = c+3

+~~*‘ 2=ci +d x , -1 = c 2 +d 2 , 2=ca^ 3 b.3 = 0

-►

c¡|£

c * r£

♦

(1.2,-2).(dXpda,da)=0

di+2da-2ds=0

-► (ci»C2 »Cs) = r(1,2»-2) ■*-+ ci=r , Cí=2r , c 3=-2r

(1) (?)

(3)

Sustituyendo (3) en (1) se tiene: d x=2-r , dí=-1-2r , d 3=2+2r Finalmente, sustituyendo en (2) obtenemos: r=-4/9 c = |(-1.-2,2)

EJEMPLO 7.

y

3 = •1(22,-1,10)

Determinar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores a=(2,-6,-3) y £*(4,3,-1).

Solución.

Sea c=(x,y,z) el vector perpendicular al plañe forma­ do per a y £.

Si a jl c

-►

a.c = C

+

(2,-6,-3) • (x,y,z}=0

«-*■

2x-6y-3z-0

)tCctOAJ*. &

Si Í-Lc

♦ í.c = O

+

Resolviendo el sistema

173

(á# 3* -1). (x,y,z)=0 «-►

¿x-3y-z*C

para x e y resultar x * ^z , y = ~ -ja

Luego: c = ^(3,-2,6) » n(3»-2,6) , ncR-{0) Por consiguiente:

EJEMPLO

u *— ~— ||e|i

= a (3»-2,6¿ = t -1(3,-2,6) ±n/3ñ+3S 7

8. El vector v es perpendicular a

los vectores a*(t,1»l)

fc=(2,1,-1) y forman con el eje 02 un ángulo obtuso , hallar el vector v sabiendo que ||v|-|*/55. Solución.,

Sea el vector: v=(x,y,z) Si a i v íxv

+ -►

(1,1,1). (x,y,z)=0 ++ ( 2 f- 1,-1)

. (x,y, 2)=0

++

x*y+z»0 2x+y-z=0

Del sistema de ecuaciones obtenemos: y=(-3/2)x , Luego:

z =(1/2)x

v = (x#*"|x»^x) * |(2,-3>1)

Si ||v||a/55

l^|/l+9+1 * /55 , de donde: |xf*l ++■ x*l 6 x--4

Como el ángulo y es obtuso

+

Cosy perpendicu­ lar al vector a=(A,-3»1).

Rp.

u = í 4 ) ( 3 , ¿ i 0)

1 2 . Loa vértices de un triángulo son A(-2,3i-1)» B(1,1,5) y C(-1.5.-3). Hallar el vector en la dirección de la bisectriz del ángulo BAC, si la norma del vector es 2/3T. Rp. v={8.4-»2) El vectcr x es perpendicular a los vectores a=( 3 ,2 ,2 ) y b=(18,-22,-5) y forma co-n el eje OY un ángulo obtuso. Hallar sus componentes sabiendo que ||xl!*H.

Rp. x=(-£,-6,-12)

U . Dado el paralelepípedo de dimensio nes: QA=3 1 0B=4 y 0C=5. Hallar el ángulo que forman los vectores: v ’ a-2$+2c+3+e y v= 2 *+£. Rp. 6=135°

15. Dados los vectores a=(3»5p2) y í>=(-4,0,3)f tales que a=c+3, siendo c paralelo a t> y+ ortogonal a 3, hallar c y 3. Rp. c = 5 5 (24 .0 .-18 ). 3 = 5 5 (5 1 . 5 ,68 ) 16. Sean dados los vértices de un triángulo A(1,0,2), B(1,2,2) y C{5#4*6), El punto D divide al segmento ÍC en la razón r=l/3. CE es la mediana trazada desde el vértice C. Hállense las co ordenadas del punto M» donde se cortan las rectas &D y CE. Rp. M(11/7,10/7,18/7) 17. Se dan los vértices de un triángulo: A( 1,-2,4), B(-¿,-2,0) y C{3»-2,1). Calcular el ángulo interno del vértice B. Rp. A5' 18. Se dan los vértices de un triángulo: A(3,2,-3), B(5,1,-1) y C(1,-2,1). Determinar el ángulo externo del vértice A. Rp. a=arcCos(-4/9)

Vecto/ie.¿

1.43

177

PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTES

La definición de proyección ortogonal de un vector sobre tro vector, es análoga a aquella que se hace para dos vectores en R2. Esto es, si a y Í e R 3, entonces:

.t

Pro

115

5

(57)

Figura 42 En particular consideremos las Figuras 42 y 43, en las que apa recen las representaciones geométricas de los vectores no nulos a y o y la Proy^a. Podemos observar lo siguiente: (1) El vector £ y Proytga son paralelos (colineales). (2) Cuando el ángulo 9 es agudo, í y Proy^a tienen el mismo sen­ tido. (3) Cuando el ángulo 9 es obtuso, í y Proy^a tienen sentidos opuestos. (4) Si í y Proy^a son ortogonales, entonces Proy-ga = 0, o sea: axí. PROPIEDADES. 1.

Proy+(a+S) c

2.

Proyg(ra)

= Proy+a + Proy+S c = rProyga

Pr°yr6* = Pr° y ^ DEFINICION 13.

La componente de un vector a sobre otro vector £, denotado por Compra, se expresa mediante su módu

178

Vccto/ie.4

lo > '«I ángulo 8 que forma con el vector £, por la fórmula: Compra = 1 |a||Cos0 Si aplicamos la ecuación (56) a esta fórmula obtenemos el número real: * £

Compra = ■ h ’lSl!

(58)

Ahora bien* si escribimos la ecuación (57) de la forma: ?r o y ía = ( F i t i T ) í W j entonces la proyección ortogonal y la componente están relaciona das por: Proy^a = (Compía)^-f—

5

b ||5||

(59)

En donde podemos observar lo siguiente: (1) Si Compra > 0, entonces los vectores £ y Proy^a tienen el ---aasmo* sentido. (2) Si Compra < 0, entonces £ y Proy^a tienen sentidos opuestos. (3) Si Compra = 0, entonces: £aProy£a, o bien, aJ-£. (A) Si en la-ecuación (59) tomamos módulos a ambos extremos obte mos: ||Proy^a|I = (Compra)

++

Compra = *||Proy^a||

Por esta razón a la componente se le define también como la magnitud dirigida de la proyección. EJEMPLO 1.

Se dan los vectores a=(-2,1,1), £=(1,5,0) y -2Í. Calcular Comp-t(3a-2£). c

Sciuciin.

jt-2% = (-6,3,3)-(2,10,0) = (-8,-7,3) Luego, aplicando (58) se tiene:

CoBp+(3a-2fc) = (-8>-7»3).U.¿,-2) = -32-28-6 =

c E3EMPL0 2.

/T 6+16+Z

6

Sean los vectores a=(5,¿, 1), í=(-2,6,3). Hallar el

ortogonal al vector v=(2,1»0) que satisface las con­ diciones: a.c=1 y Compre = -2/7.

Ve.ctone.¿

¿■oéuc/én»

Sea c=(x,y,z) Si ci.v

a.c = 1

179

-*•

(x, y, z). (2, 1, O )=0

(5, k*1). (x,y, z) = 1

Compre = -2/7 b

+

«-►

++

2x+y=O

5x+4y+z=1

(-2,6.3). (x,_y, a) _ _ 2 ' /4+3Ó+9 7

-2x+6y+3z= -2

d) (2) (3)

Resolviendo (1), (2) y (3) obtenemos: x=1, y=-2, z= 4 c=(1,-2,4) EJEMPLO 3.

Se dan los vértices de un triángulo; A(-1,-2,4),

B(-4»-1»2) y C(-5»6»-4); BD es la altura del triángu lo trazado por el vértice B. Hállese las coordenadas del punto D Solución*

En el AADB: DB = AB-AD +

DB = AB - ProyjgAB

(1)

AB = (-4.-1.2M-1,-2,4) = (-3,1,-2) AC = (-5,6,-4)-(-1.-2,4) = 4(-1,2,-2) ProypjB = Sl b V 2 > Au ' (/1+4+A)2 = (-1,2,^2) Luego, en (1):

(-1 .2 .-2)

B-D = (-3,1.-2)-(-1f2,-2) = (-2,-1,0) D = (-4,-1,2)-(-2,-1,0) * (-2,0,2)

EJEMPLO A.

Los vértices de un triángulo son A(2,-1,-3), B(1,2, -4) y C(3;-1»-2). Hallar el vector v que es colineal

a la altura bajada del vértice A al lado opuesto si se sabe, ad£ más, que l|v|¡=2/l~7. Solución,

En el ABHA: AH = BH-BA **

AH = Proyg^BA - BA

( 1)

BÁ = ( 2 , - 1 , - 3 ) - ( 1 , 2 , - 4) = ( 1 , - 3 . 1 ) BC = ( 3 , - 1 , - 2 ) - ( 1 , 2 , -4) = ( 2 , - 3 , 2 ) _57 = _ (1.- 3 , 1 ) . ( 2 . - 3 , 2 ) (2,-3,2) Proy^BA (✓4+9+ 4)2 = ^(2,-3,2) Luego, en (1):

AH = -^(2,-3,2)-(1,-3,1) = ^(3,4,3)

Un vector unitario en la dirección de A.H es:

í = ,c} se llana linealmente depen­

diente, cuando, y sólo cuando, los vectores a, t y c son copíana es decir, son paralelos o coincidentes a cierto plano. gura 45)

(Fi­

Se dice que tres vectores a, í y ceR3, son linealmente indepen­ diente*, si y sólo si, a, 5 y c no son linealmente dependientes, es.o es, cuando dichos vectores no son coplanares (Figura 4.6).

Vcct o/ie4

182

Criterio de independencia lineal.

Tres vectores a, b y ceH * son linealmente independien­

tes si se verifican las condiciones siguientes: ra + sb + te = 0 1.45

-► r=0 , s= 0 , t=0

BASE Y COORDENADAS DE UN VECTOR EN R 3

Un terna ordenada de vectores no coplanares a, { y e

lleva

el nombre de (La4>e. en el conjunto de todos los vectores geometri/

4

eos. Sabemos que todo vector geométrico v puede ser representado unívocamente en la forma: *

v = ra + sí + te

(1)

los números r, s y t se denominan coo/ide.n.ada.4 del vector v en la base £=(a,í,c). Motivo por el cual a la notación (1) se le deno­ mina también, descomposición del vector v según la base 8 .

E3EMPL0 1.

‘Sea dado la terna de vectores no coplanares ai=(1,-2 0), a2=(1,2,-2) y a 3=(3»7,-5)* Calcúlese las coorde-

nadas del vector a=2i-3j+k en la base i?=(ai,a2 »a3) y escribir-la descomposición correspondiente según la base. Solución*

Si ai,

a 2 y a 3 son vectores no

coplanares, entonces,

existe r, s y t tal que: a = raí + sa2 + ta3 +

(2,-3,1) = r(1,-2,0) + s(1,2,-2) + t(3.7,-5) 2 = r + s +3t ++

í -3 = -2r + 2s + 7t 1 = -2s - 5t

Resolviendo el sistema obtenemos: r=2, s=-3 y t=1 Luego, el vector a en la nueva base se escribe como (2,-3,1) o equivalentemente:

EJEMPLO 2.

a = 2 ai- 3 a 2 +a3

En el tetraedro OABC la mediana AM de la arista ABC se divide por el punto P en la razón AP:PM=3:7. Ha­

llar las coordenadas del vector 0P en la base de las aristas 0Af 0B y OC.

VectuncA

Solución*

Si bl PM

AP AM

^ 7

1 8 2

_3 1C

En el AOAP, se tiene: CP = OA + AP

OP = OA + rj^AM

(1 )

Perct'AM = CM-OA » y come M es punto medio de BC» entonces: AM = |(OB + OC) - OÁ Al sustituir en (1) obtenemos: OP = OA +

1

T $ ( I 0B + ■jOC - OA) = "^jfOA + 2 ^ ®

* 2¡(í^

Por tanto, las coordenadas de OP en la base £=(0A,0B,0C) son: (7/10,3/20,3/20) EJEMPLO 3.

Sean dados los vértices de un triángulo A(1,-1, 3 ) , B(2,1,-3) y C(-5,2,-6). Calcular la longitud de la

bisectriz de su ángulo interior en el vértice A» Solución,

Sean u y v los versores de AB y AC respectivamente.

Como AE||(u+v), entonces: 3t>0, tal que: _ \ AB AC AE = t(u+v) = t ( 1) AC |AB for otro lado: AE

= AC + CE = AC + rCB = AC + r(ÁB - AC) = rÁB + (1-r)ÁC , r>0

(2)

Las ecuaciones (1) y (2)representan en sí dos descomposiciones del vector AE según la base formada por los vectores AB y AC. Siendo única la descomposición de un vector según la base, tene­ mos : r =

1-r = IABj

Resolviendo el sistema obtenemos:

AC | | |ABf |. ||ACJ | AB| |+ | IAC|-|

Luego, en (1):

-( MAC AE = MlABll + l AC

llA B ll AB + I > V ||AB||+||ÁC

II

)AC

De los datos del problema hallamos: A3=(1,2,1) -*■ ||A8||=/6

(3)

VcCÍ.O^C-A

184

y sustituyendo en (3) obtenemos:

AE = 2 (1 , 2,1) + 4(-6,3.-3) = ^(-1.3,0) 4

| |á £ 11 = |/To

E3EHPL0

Sean dados los puntos A(2,5»2) y B(14,5»4)í C es el punto de intersección del plano coordenado OXY con u

na recta trasada por el punto B paralelamente a la recta OA* Hallar las coordenadas del punto C. Solución.

Sea el punto C(x,y,0) En el AOCB ae tiene:

C B = Ó C + C B = x í + y J +

rOÁ

+ (U.5,4) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+r(2,5,2) U

= x + 2r 5 = y + 5r 4 * 2r * r=2

de donde: É.IFMPLO 5-

x=10 , y=-5

C(10,-5»0)

Se dan los vectores a=(-2,0,1), S=(1,-2,0) y C=(1,1,

1). Hallar la proyección ortogonal del vector a en el plano de los- vectores % y c. Solución,

Trasladamos los vectores a, b

y c a un origen común, tal co mo se indica en la figura adjunta. Sea: v = e (Proyección de a en el pía no de b y c) v = rí + te (1) Como v está en el plano de b y c, entonees: n=a-v sera ortogonal a b y c, esto es: (a-v).í=0 y (a-v).c=0 a-v = (1,-2,0)-r(l,-2,0)-t(1,1,1) = (1-r-t,-2+2r-t,-t) * (1-r-t,-2+2r-t,-t) • (1,-2,0)= 0 -*■ (1-r-t,-2+2r-t,-t) .(1,1,1) = 0

«-►

t-5r-2=0

(2)

r-3t-1=0

(})

Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: r=t=-1/2 tuege, en (1):

v = (-1,1/2,-1/2)

V&cta/ie.^

E3CMPL0 6 .

185

Los vectores a, í y c tienen longitudes iguales y forman dos a dos ángulos iguales. Hallar'las coorde

nadas del vector c, si a=í+J» 1>=J+Í. Solución,

Sea el vector: c=(xPy,z) Entonces:

c.a = (x, y,z).(1,1,0) = x+y

c.S s (x,y,z).(0,1,1) = y+z a.t = (1,1,0).(0,1,1) = 1 Como a, í y c forman dos t a.b Además:

a dos ángulos iguales,

entonces:

+ + ♦ t . x+y = y+z *► z = x = c.a « e.b +■ ^ x+y = 1 + y o 1-x

||c||2= x 2+y2+z2 = ||a||2= 2 *

2

=x 2+(1-x)2+x2 ++

»\ c3 (1,0,1)

ó

3x2-2x-1=0«-*• xj=1

ó

x2=-1/3

y is0

¿

yzssi/3

c=(-1/3.á/3,-1/3)

EJERCICIOS

1.

Demuéstrese que para cualesquiera vectores dados a. í y c, los vectores a+í¡, t>+c y c-a son coplanares.

2. Sean dados tres vectores no coplanares a, que los vectores a+2S-c, 3a-$+c, -a+5^-3c

3. Sean dados tres vectores no coplanares a,

$ y c. Demuéstrese son coplanares.

í y c. Hallar los

valores de A, para los cuales los vectores Aa+b+cf afAb+c , a+b+Ac, son coplanares» U,

Rp. 0.1,2

Se dan tres vectores: a=(3»-2,l), í=(-1,1,-2) y c=(2,1,-3)Hallar la descomposición del vector 2=(11,-6,5) en la base ¿?=(a.Spc),

5,

Rp. 2=2a-3^+c

Se dan cuatro vectores a=(2,1,0), £=(1,-1,2).

c =(2,2,-1)

y

5-(3»7»-7). Hallar la descomposición de cada uno de estos vectorrs tomando por base los otros tres. *

t _ 2? A 1t

Rp. c[=2a-3£*c

1*5 t _ 3t

1t . n

186 6.

Fuera del plano del paralelogramo

ABCD se ha elegido un pun­

to 0, En la base de los vectores

0A, 0B y 0C hállese las co­

ordenadas: a) del vector 0M, donde M es el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo.

Rp.

(1/2,0,1/2)

b) del vector 0K, donde K es el punto medio del lado AD. Rp7.

En el trapecio ABCD se conoce la

razón entre las longitudes

de las bases: ^

coordenadas del vector CB

= A. Hallar las

en la base formada por los vectores AB y AD. 8.

(1,-1/2,1/2)

Rp.

(1 - p - 1 )

Sean dados los puntos A(1,2,3), B(2,-2,1), C (“3% 0,3) y D(16, 10,18). E es un punto de intersección del plano OAB (0 es el origen de coordenadas) con una recta trazada por el punto D paralelamente a la recta 0C. Hallar las coordenadas del pun­ to E. (Sug. Desarróllese el vector 0D según una base formada de los vectores 0A, 0B y 0C).

9-

Rp. E(-19,10,-17)

Sean dados los vectores ai=(-1,2,0), a2=(3,1»1), a 3=(2,0,l) y a=ai-2a2+(1/3)as. Calcular: a) llt.ll y las coordenadas del vector -a^

q

del vector a*.

Rp. /5,

b) Cos(ai,J) c) La coordenada x del vector a.

(-1//5.2//5.0)

Rp. 2//5 Rp. -19/3

10, Sea dada la terna de vectores no coplanares: ai=(1,0,0), a 2 = (1,1,0) y as=(1,1,l). Calcular las coordenadas del vector a= -2Í-S en la base B=(ai,a 2 »as) y escribir la descomposición correspondiente según la base.

Rp. a=-2ai+a2-a3

11. Se dan los vectores a=(1,-3»0), í > = ( 1 , - 1 , 2 ) y c=(0,1,-2). Ha­ llar la proyección ortogonal del vector a en el plano de los vectores t y c.

Rp. (-2,-3/5,6/5)

rtCi* CJLC*

1.46

FL PRODUCTO VECTORIAL Sean a y í vectores en F 3, tal que, a=(ai,aj,a$) y í>=(bx,

V V2 »bj), entonces el producto vectorial de axí es el vector que s? define como: axt = ( a j b a a b i - a i b j , a Per ejemplo, si a=(2,-1,3) y í= (3 .1. -

1)

(60)

a x=2 , a2=-1 , *a3=3 bis3 • b2=1 , ba=-1

Luego, por la ecuación (60) se tiene: ax&

[l-l)(-1)-(3)(1).(3)(3)-(2}(-1),(2)(1)-(-1)(3)] (1-3.9+2,2+3) (-3,11,5)

Observaciones. A

(1) A diferencia del producto escalar, el producto vectorial de dos vectores es un vector. (2) Como resulta complicado memorizar la fórmula (60), recomenda ios el uso de determinantes de 2do orden y matrice de 2*3; temas que serán estudiadas en capítulos posteriores. Pero dji da la utilidad de su empleo para el calculo del producto veg torial, es conveniente introducir las siguientes ideas: )

a2 a3 )x^ I = a2bs - a 3b2 b2 bs ai

as = - (aib3-a3bi) = asbi - a xb

ai

a2 i | = a xb2 - a2bi b2 l

K

a2

b) Formar la matriz de 2x3 b2 donde los elementos de la primera fila son las componen tes del vector a y los elementos de la segunda fila son las componentes del vector í.

Ve.ctc/ie¿

188

Entonces, el producto axí queda definido por a2

aa

axb

ai

33

a2

bi

b2

(él)

f

t bi

b3

b2

ai

b3

En la que cada componente es el valor de un determinante de 2do orden, que- resulta de eliminar en la matriz M la primera, según da y tercera columnas respectivamente. Por ejemplo, para los vectores: a=(2,-1,3) y í=(3»1#-1) Formamos la matriz

« ■ [?

■

- 0

Luego» según (61) se tiene: \

-1

-1

a*í> = 1

-11

13

1

-1

[1-3,-(-2-9).2+3] (-2,11,5) PROPOSICION 1.6

Si a y b son dos vectores en R a, entonces: i) £. (axfc) = 0

ii) iii)

(axí es ortogonal a a)

b.(£xí) = O

(a*í es ortogonal a S)

l|axí||2 = I|s| I2 I |í>l I2 - (a.í)2

(Igualdad de Lagrange)

De.tz0 ¿i*aci 6 n.,

i) En efecto, si a=(ai,a2,a3) y t=(bi,fc2,b3) a2

a3

a.(axí) = ai

ai

a3

- a2 b2

b3

ax

a2

ai

a2 a 3

bi

b2 bs

ai

a2

bi

b2.

+ a3 bi

b3

a3

Como el determinante tiene dos filas iguales se sigue que: a. (a*í>) = 0 a i (a^í) Análogamente se demuestra que: b.(axí)=0 iii)

+

b-L(axt-)

&n efecto, elevando al cuadrado la norma del vector defini­ do en (60) se tiene: ||axí||2 = (a2b 3-a3fc2)2 + (a3bi-aib3)2 + (aib2-a2bi)2

(1)

189

Vcc.toA.e4>

y del producto interno:

a.Í = ajbi+aaba+ajbs , se tiene:

IIs||21jí |¡2-(a.Í)2 = (a*+a|+a2)(bj+bf+bf)-(aibi+a2b2+a3b 9)2 (2) Efectuando las operaciones que aparecen en los segundos miembros de (1) y (2) comprobaremos que son idénticas, por tanto: l l a l l i 2 = IIa ||2 | |í ¡ |2 - (S.S)*

EJEMPLO 1.

Solución,

Sean a=(3»1»-2) y í=(4,-1,3); calcular axí y verifi car que es perpendicular tanto a a como a í. f~3

Formemos la matriz: M =

* «

- ( U

1 I- IJ

1

-2

I I .12

= [3-2,-(9+8),-3-4] = (1,-17,-7) Luego:

t . (axí) = (3,1,-2).(1,-17,-7) = 3-17+U = 0 í.(axí) = ( 4 , - 1 , 3 ) . ( 1 , - 1 7 , - 7 ) = 4 + 1 7 - 2 1 = 0

Por tanto, se concluye que a*í es perpendicular a a y a í.

1.47

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL Si a, í y c son tres vectores en R 3, y reR es un escalar,

entonces: Pi: ax(í+c) = (axí)+( axc) Distributividad por la izquierda „ p 2 : (a+í)xc = (axc)+(íxc)

Distributividad por la derecha

P 3: r(axí) = (ra)xí = ax (rí) Pi*: axí = -(íxa)

Asociatividad escalar No coriroutatividad 4

P 5: axe = exa = 6 \

P 6: axa = 0 P 7 • ax(íxc) i (axí)xí

No asociatividad vectorial

P %: ax(íxc) = (a.c)í - (a.í)c La demostración de cada una de estas propiedades se deja’para el lector.

Ve.ctCA.€A

Observaciones. (1) Una terna ordenada de vectores no coplanares a, í y c se lia na

d e . x e . c h a ,

si para un observador ubicado dentro del ángulo

sólido formado por dichos vectores» el giro más corto de a a b y de o a c parece realizarse en el sentido antihorario.(Fi gura ¿7). En el caso contrario la terna (a,?,c) se denomina i z a u i e x d a .

(2) La orientación del vector ax$ en relación a las direcciones de los vectores a y t es la misma & la que corresponde el eje Z respecte a los semiejes positivos X e I de un» sistema cartesiano tridimensional.

(Se debe destacar que a y í

no

son necesariamente perpendiculares). Por lo que» si en

un

sistema derecho se doblan los dedos de la mano derecha de la dirección de a hacia la dirección de í entonces el pulgar apuntará en la dirección de axí¡ (Figura 4-8).

.

Figura ¿L (3) Sabemos que todo vector veR* se -puede expresar como una suma de múltiplos escalares de vectores unitarios ortogonales, es ic es:

v * (x,y,z) * xí + yj +

zí

Entonces para dos vectores a«(ai,&a»&») y t=(bifb*,b*)r el vector a*1> definido en la ecuación (61) se puede escribir de la forma: * *2 b2

*t -

a.

®i

Mi ♦ b*

“a b*

t

t6Z)

191

Í ' e c í cne.4

(4) Aplicando la regla de la nano derecha para les vectores unitarios I, 1 y

1 ____ _

se puede ver claramente que:

1

IxJ - í

U

•

ut De otro lado:

= í = 1

í

(íx!)xl * íx! x -(!x£) = -£

y según las propiedades P 5 y P* del producto vectorial: tx (íxj) , Por tanto:

EJEMPLO 2.

= 9

(íx!)x! ¿ l x (!x!)

Simplificar la expresión: x = tx(!+3c) - Jx(t+{) + íx(t+j+£)

Solución•

Según la propiedad Pi se tiene: x = (íxJ) + (txS)-(JxÍ5-(jx$) + (íxí) + (^xJ) + (tcxí)

+

x = (í)

de donde: EJEMPLO 3.

+ ( - ! ) - (-£> - ( ! ) + ( ! ) + ( - ! >

+ (e)

x = 2 ($-t) Demostrar que:

(axS)xc * ax(Sxc) Demostración.

■*-*■ íx(cxa) * 6

(*) Demostraremos que: Si (axí)xc = ax(íxc)

■* íx(cxa) = 0

En efecto, haciendo uso de la propiedad 8, se tiene: (axí)xc = (a,c)í - (íi.c)a ax(íxc) = (a*c)S - (a.í)c Al igualar los segundos miembros obtenemos: (a*t)c - (t*c)a * 8

(í.a)c - (t.c)a * 0 -► tx(cxa) = 0

(+) Demostraremos ahora que: íx(cxa) = 0 En efecto, íx(cxa) = 0

■*

+

(axt>)xc = ax(íxc)

(a.t)c - {t>.c)a - 0 -(S.c)a ■ -(a.S)c

-

(t.t)t -

-►

(axt)xc * ax(txc)

/. (axt)xc =■ flx(txc)

(t.S)S = *-*■ tx(cxa) = 6

- (a.t)c

¡/¿e/oxeó

192 1.49

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

La identidad de Lagrange establece que:

Il»x5||* = | |«| | *| | b | | *-(a .b )* Si a es el ángulo entre í y t, entonces:

Í.S =

|Í||||S||C08«

Por tanto: l l a l l i 2 = l|a|| 2 ||$!| 2 -||a||2 ||$| |*Co 8 *a

= I l a I | 2 l | S | | 2 ( 1-Cos2a) =

I|al| 2 |(S||*Sen*a /.

llaxíli =

l ja | | | |b| |Sena

(63)

Pero: h=I|bj|SenoF es la altura del paralelogramo determinado por los vectores a y S (Figura ¿9). Luego, si S es el área del paralelogramo, entonces: S=

(base) (altura) * °(| |a| |)( ||S| |Sena) (64)

Es decir, la magnitud del vector a*í es equivalente al área del paralelogramo determinado por a y í. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los

EOEMPLO 4.

puntos P(2,0.-3), Q(1.4.S) y R(7,2,9). Solución.

Sean: a=PR= (7» 2,9) - (2, O,-3)“ (5,2,12)

Í = P Q = ( 1, ¿ » 5 ) - ( 2 , 0 , - 3 ) = ( - 1 » 4 í 8 ) Haciendo uso de la ecuación (62) se tiene: 2

12

U

8

12

t -

= (16-4.8)1 -

8

|!

5 -1

2 t

i

(40 + 12)1 + (20+2)$

= 2(-l6,26,11) + 11axil I = 2/256+676+121 = 18/T3 Pero: área del triángulo = ■jíárea del paralelogramo) a(APQR) = 9/T5 u 2

I'e.cto/ie. 0

Hallar el área del paralelogramo que tiene como di a gonales los vectores u=(5,-7,4) y v=(-3,3,0).

EJEMPLO 5.

Solución,

193

En el AFTQ: a = £ + v En el APQH: u = a

(i)

+ QR = a + £

_

(2)

Del sistema (1) y (2) obtenemos: a = ¿(u+v) Entonces: ax£

-2

-5

y

£ = ¿(u-v)

a=(1,-2,2) y £=(4-,-5.2) 2

A

l

1 4

-

2

2 2

t

4.

J +

1

-2

4

-5

(-4+10)í - (2-8)J + (-5+8)5 3(2,2,1) •*. S = ||ax£|| = 3 / 4 U + Í = 9u2

EJEMPLO 6.

Los vectores a y £ forman un ángulo cuyo coseno es

2//5» si | |a||=2/5 y ||£|| = 4, hallar la magnitud del vector (2a-S)x(£+2Í>). Solución.

(2a-í)x(a+2Í) = 2ax(a+2Í) - íx(a+2t>) = 2a*a + - íxa -2ÍxS = 2e + ¿axíi + axí> - 26

(Pl) (Pl) (p «, y P.)

= 5axí ||(2a-t)x(a+2$)|| = 5||axb|| = 5|i a !!¡|t||Sena = 5(2/5) U M 1 / / 5 ) = ¿o E3EMPL0 7.

El vector c es perpendicular a los vectores a=(2,-3,

1) y b=(3,1,-2). Hallar sus componentes si la norma de c es 10/5, Solución..

Un vector perpendicular al plano formado por a y £ es n = a*b =

3

1 i 1 -1

2

1

3 -1 i +

2 -3 k 3 1

= (3-1)í - (-2-3)1 + (2+9)í = (2,5,11) Luego, si

c = rn

*

!le|I = |r|.|jn 10/5 = |r ¡/4-+25+121

•

9

c = ±2(2,5,11)

|r¡ =

194

Vc c í o a c ó

El vector a es perpendicular al eje Y y al vector í (-3,8, 4), y forma un ángulo obtuso con el eje Z. Ha

EJEMPLO 8.

llar las componentes de a sabiendo que su norma es 15 unidades. Solución,

Si j=(0,1,0) es el vector unitario en la dirección . del eje Y, entonces un vector perpendicular a j y al

vector í es: + n =

10 * jxb = 8 o /4 í

Luego, si a = rn

+

0U U-t, 0 _ q /4 J + -3

-

llall = |r|.||n||

0U 11 n q\ o « k = (4,0,3) -3 8

**■ 15 = |r|/l6+9 = 3

«-+

r = ±3

2

Como y es obtuso, entonces: Cosy =

^ \ < 0 .a

+

z

a=0 ó

ó

a=v

ti

a| |í

Los vectores a, í y c satisfacen la condición:

t + í + í = 6 Demostrar que: axí = íxc = cxa , e interpretar geométricamente el resultado. Dcmoótnación,

En efecto, multiplicando vectorialmente la condi cion dada por a y luego por í, se tiene:-

Ve.c¿Q'ie.ó ■4

4-

.-* ■

4 .

4

4

ax(t. + b + c) * a*a 1

4

4

- 4 - 4

195

4

a*b + axc * ax 8

8 + ax"£ -ex a

- 8

-*■

a.x*fc = c>:a

(1)

axí * íxc

(2)

(a + t> + c)*S = axí + íx|> + cxS = Qxí ■*

axí + 6 -1¡xc = 0

>

Luego» de (1) y (2) se deduce que: a*í> = %x% = exa * %

*

Las últimas igualdades indican que el vector le es perpendicular a les vectores a» % y c; por tanto» éstos son coplanares. F3EMPL0 JO,

Qué podemos establecer para los vectores v.» ai: ■4-4

-4

4>

4*

4

4- -4

axvi = axva *a^vj = .... = axv .

, .

4

Soiuccone

Sea:

^

4

4

4

a*vj -

4

n 4

* a*vs * •»» * k

donde í es un vector cons tanto que, per 'definición de produc­ to vectorial, es perpendicular a los ,

-4

-4

-4

vectores: v¡, V 2 » vj,

4

v^. Esto

es, les vectores v^ son coplanares. Per otro lado,'se debe verificar la igualdad de los módulos, es decir:

/*

||a||||vi I|Senai = ||&||||*2 I|Sena? =

= i|£||

de donde: ||vi||Senaj = ||v2 ||Sena2 = = d Per tanto, podemos afirmar que los extremos finales de los vectq res

están sobre una recta paralela al vector a.

EDCMPLO 11.

Se da el siguiente sistema de fuerzas: ?j de 30, leg

que actúa de A(5.-1»-6) a B(i,1,-4.) y actúa de C(6,3,2) a D(8,0,-,i). Hallar: a) La resultante R del sistema. b) El momento resultante respecto al punto E(6,-1,-4-)* SctuUin.

AB = (i. 1, -i)- (5.-1» -6) = (-1,2,2) CD = (8,0,-A)-(6,3»2) = (2,-3.-6)

Luego, ai fi = rÁB *

♦

r = ^ * = -22-= 10 llABM 3 t¡ = 10(-1,2,2)

úe 56leg q 1

l'ec¿o AC4

196

? 2 = tCD +

-*■

I líal I 1ICDI!

= 8

-

7

= 8(2,-3.-6) 0

a) 5 = t i + í a = 2 ( 3 , - 2 , - U ) b) El momento resultante de un vector v con respecte a un punto E, es otro vector definido por: fi=1cxv, en donde J es un vector dirigido de E a un pun te cualquiera de la línea de acción de vLuegc» desde que íj y

no son concurrentes, M será la suma

de dos momentos, esto es: S = EAxíi + ED*Í 2 EÁxfi = (-1,0,-2)xl0(-1,2,2) = 10(4,4,-2) Éñxf2 = (2,1,0)x8(2,-3,-6) = 8(-6,1 2 ,-8 ) ft = 4(-2,34,-21) E3EMPL0 12.

La figura adjunta es un cubo

B

Si A(3.-1,2). CU,-1,-5), F(-3,2,1t) y H(¿»2,2); hallar las coorde­ nadas de los demás vértices. Solución.

AC=U,-1,-5)-(3,-1,2) = (1,0,-7) FH=U,2,2)-(-3,2,l) = (7,0,l)

Entonces:

||AC ||= ||FH|| = /1 + 49 = 5/2

Luego, cada arista del cubo mide: A = 5/2//£ = 5 La dirección de las aristas laterales está dada por el vector = FH*AC = lo

- 11 -7

7 1

0 0 k * 50(0,1,0)

Entonces, un vector unitario, normal a las bases del cuba, es U = (0,1,0) Por tanto: FB 5u HD 5u EA 5S OC 5n

B = F+5u = (-3.2,1)+5(0,1,0) = (-3,7,1) D H+5u = ( 4 , 2 , 2 ) + ( 0 , 5, 0 ) = (4,7,2) S A - 5 u = ( 3 , - 1 , 1 ) - ( 0 , 5 , 0 ) = (3,-6,2) G C - 5 Í = (4.-1,- 5 ) - ( 0 , 5 , 0 ) = (4,-6,-5)

Ve d o ñ e ó

197

E3EMPL0 13.

Los vectores a, 3, c y 3 están sujetos a las relaciones: 3x3 = 3x3 $ axc = 3x3 Demostrar que los vectores 3-3 y 3-c son coplanares. De.moótnac¿6 n.

Debemos probar que: En efecto:

(3-3)x(3-c) = 0

(3-3)x(3-c) = 3x(3-c) - 3x(3-c) = 3x3 - axc - 3x3 + c¡xc

(Pi) (P i)

= (txt + 3x3) - (3x3 + 3x3) = (3x3 - 3x3) - (3x3 - 3x3) De las relaciones dadas:

3x3 = 3x3

(P*) ax 3 - 3x3 = 0 axc 3x3 = 9

■+

axc = 3x3 Entonces: (3-3)x(3-3) = . 0 - 0 = 0 Por tanto, a-3 y 3-3 son coplanares. E1EMPL0 14.

Hallar la distancia del punto P(4»6,-4) a la recta que pasa por Q(2,2,1) y R(4,3,-1).

Solución.

Sean: a=Q? = (4,6;-4)-(2,2,1) = (2,4,-5) Í=QR = (i,3 ,-1)-(2,2,1) = (2,1,-2) Según (63): I|í>xa| |= | |í| |||a| |Sena d _= I I$xa iitn

Pero: d=||a||Sena t + fexa =

1 -2 a 1 -

4 -5

2 - 2 t 4. 2 2 -5 J + 2

= 3(1,2,2) I|txa| l = 3/ 1 + m

= 9,

y

1 4

MS| l =

d = 1 = 3 3 E3EMPL0 15. Solución,

Sean los vectores a, b y c, tales que: (ax3)x (axc)=a , hallar: (3x3)x(3x3). Haciendo uso de la propiedad.8 tenemos: [(3*3). cj3 - [(3x3).tjc = 3

Como: (3x3)j_3 Análogamente:

-*■

[ (3x3). 3j3- [0] = 3

+

(3x3).c ='1

(3x3)x(3x3) = [(3x3).c]3 - [(3x3).3jc = [i]3‘- ro]3

198

Ve.ctoA.4.4

EJERCICIOS

1.

Simplificar las expresiones: a) (a+b+c)xc + (a+í¡+c)x?> + (í>-c)xa

Rp» 2axí>

b) (2a+S)x (c-a) + (S+c)x (a+S) c) 2Í.(Jxí) + 3^.(íxí) + 2.

Rp. axc

(íxj)

Rp. 3

Hallar el área del triángulo que tiene por vlrtices:

3.

a) A (1,2,3) . B(2,-1,1) y C(-2,1,-1)

Rp. 5 / 3 u 2

b) A(2,-1,1) , B(3.2,-1) y C(-1,3,2)

Rp. |/35 u2

Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales están con tenidas en los vectores u y v dados: a) u= (2,-1,3) , v=U,-3f-1)

Rp.

b) u= (3.1»2) , v-d.-2.-6) 4.

5/5

u2

Rp. 15 u2

Hallar un vector v que sea perpendicular al vector a y para lelo al plano determinado por los vectores í y c. a) a=(-3,2,5) , Í=U,2,-1) , c=(5,-1.1) b) a=(1,-2, 5) , í=(3,0,-2) , c=(0,2,1)

Rp. v=(17,-37,25) Rp. v=(3.U,5)

* 5.

Si | |a| |= ||í ||=5 y m(^atí)=ir/4.; calcular el área de un trián guio construido sobre los vectores a-2Í y 3a+2Í.

6.

Rp. 50/2

En un triángulo con los vértices: A(1,-1,2), B(5»-6,2) y C(1#3»-1)t hállese la altura h=||BD|l.

Rp. 5

7. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores 2u-v y ¿u-5v, donde u y v son vectores unitarios y m(^ufv )=tt/ 4.. 8.

Rp. (3/2)/5

Hállense las coordenadas del vector x, si es perpendicular a los vectores a=(4»-2,-3) y í=(0f1,3)» forma con el versor J un ángulo obtuso y que ||x||=26. Rp. (-6,-24.» 8)

9.

Hallar las coordenadas del vector x, si este es perpendicu-

Ve.cto/ie.ó

lar a los vectores a=(2,-3,1)

y

199

?=(1,-2,3)

y

satisface, ade­

ras, la condición: x. (?+2j-7Íc) = 10

Rp. (7,5,1)

10. Hallar un vector unitario paralelo al plano XI y perpendicu­ lar al vector v=U,-3,1).

Rp. ± ^(3,4-.. 0)

11. Si a=(2,1,-3) y ?=(l,-2,1), hallar un vector de módulo 5 p6r pendicular a los vectores a y ? .

Rp. ±

i

12. Si a=(3»m,-3) y ?= (5,-4-, 1 )# hallar el valor de m de modo que ? sea perpendicular al vector (ax?+2a). Rp. m=3 13. Obtener los valores de m y n tales que: (1,2,m) (1,n,2) = (3,-3,-1)

Rp. m=5/3, n=1/3

14-. Determinar el valor de m de modo que los puntos A(2,1,1), B(4,2,3) y C(-2,m/2,3m/2) sean colineales.

Rp. m=-2

15. Demostrar que si a es el ángulo que forman los vectores no ortogonales a y ? ,

entonces:

Tga =

|ax?|

.? 16. Demostrar que:

(a*?). (a*?) = (a.a)(?.?)-(a,?)2

17. Dados los vectores a, ?*’ c y ?, demostrar que: (??