Louis Couturat: The History of Modern Symbolic Logic and Other French Manuscripts: The History of Modern Symbolic Logic and Other French Manuscripts ... Publications of the Henri Poincaré Archives) 3030848272, 9783030848279

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Publications des Archives Henri Poincaré Publications of the Henri Poincaré Archives Science Autour de / Around 1900

Oliver Schlaudt Anne-Francoise Schmid Editors

Louis Couturat: The History of Modern Symbolic Logic and Other French Manuscripts

Publications des Archives Henri Poincaré Publications of the Henri Poincaré Archives

Textes et Travaux, Approches Philosophiques en Logique, Mathématiques et Physique autour de 1900 Texts, Studies and Philosophical Insights in Logic, Mathematics and Physics around 1900 Éditeur/Editor: Gerhard Heinzmann, Nancy, France

Oliver Schlaudt • Anne-Francoise Schmid Editors

Louis Couturat: The History of Modern Symbolic Logic and Other French Manuscripts

Editors Oliver Schlaudt Philosophy Department University of Heidelberg Heidelberg, Germany

Anne-Francoise Schmid Mines Paris Tech Paris, France

ISSN 2504-3730 ISSN 2504-3749 (electronic) Publications des Archives Henri Poincaré Publications of the Henri Poincaré Archives ISBN 978-3-030-84828-6 (eBook) ISBN 978-3-030-84827-9 https://doi.org/10.1007/978-3-030-84828-6 Mathematics Subject Classification (2020): 00A30, 03-01, 03-03, 03A05, 03B05, 03B10, 97E30 © The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021 This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. This book is published under the imprint Birkhäuser, www.birkhauser-science.com by the registered company Springer Nature Switzerland AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Contents

Introduction

1

Acknowledgements

11

List of Editorial Symbols

11

I

13

Cours de Caen 1898–1899

Première leçon : Leibniz

15

2e leçon : Leibniz (suite)

21

3e leçon : Leibniz (suite)

25

4e leçon : Calcul de Boole

30

5e leçon : Développement des formules

35

6e leçon : De l’élimination, réduction d’un système d’équations

39

7e leçon. Propositions secondaires

42

9e leçon : Critique de Boole ; Jevons

46

10e leçon : Schröder

52

11e leçon : Lois fondamentales de l’addition et de la multiplication

55

12e leçon : Définition de la négation

60

13e leçon : Resolution des problèmes

65

14e leçon : Calcul des propositions

69

15e leçon : Comparaison avec la Logique classique

75

16e leçon : Théorie du syllogisme

80

17e leçon : Conclusions

85

vi

Contents

II

Cours 1905-1906: Histoire de la Logique formelle moderne

1e leçon : La logique et la philosophie contemporaine

89 91

2e leçon : Leibniz

110

3e leçon : 2e système de Leibniz

112

4e leçon : 3e système de Leibniz

116

5e leçon : Segner

118

6e leçon : Ploucquet

121

7e leçon : Lambert

125

8e leçon : Lambert (suite)

129

9e leçon : Maimon, De Castillon

132

10e leçon : Gergonne

136

11e leçon : De Morgan

140

12e leçon : De Morgan (suite)

144

13e leçon : De Morgan (suite)

147

14e leçon : De Morgan (suite)

150

15e leçon : De Morgan (suite)

153

16e leçon : De Morgan (suite et fin)

156

17e leçon : Boole

158

18e leçon : Boole (suite)

161

19e leçon : Boole (suite)

164

20e leçon : Boole (suite et fin)

167

21e leçon : Jevons

170

22e leçon : Jevons (suite et fin)

173

23e leçon : Schröder

176

Contents

vii

24e leçon : Schröder (suite)

179

25e leçon : Schröder (suite)

183

26e leçon : Schröder (suite)

186

27e leçon : Logique des relation (d’après Peirce)

189

28e leçon : Logique des relations (suite et fin)

192

29e leçon : Poretsky

194

30e leçon : Peirce

197

31e leçon : Peirce (suite et fin)

200

32e leçon : MacColl

203

33e leçon : MacColl (suite)

207

34e leçon : Frege

210

35e leçon : Frege (suite et fin)

212

36e leçon : Peano

217

37e leçon : Peano (suite)

220

38e leçon : Peano (suite et fin)

223

39e leçon : Russell

226

40e leçon : Russell (suite et fin)

229

Extrait de l’annuaire du Collège de France

231

III

Manuel de Logistique. Tome I & II

235

Préface

237

Introduction

242

Chapitre I. Logique des propositions.

244

Chapitre II. Logique des concepts.

292

viii

Contents

Chapitre III. Logique des relations.

333

Note sur les signes de poncutation

364

Note III : Sur la Logique classique.

368

Chapitre IV : Méthodologie.

373

Compléments

384

Bibliographie

398

Table des signes et abréviations

400

Table des Matières

401

Index Nominum

404

Introduction This volume contains the transcriptions of three manuscripts by the French philosopher Louis Couturat (1868-1914): (1) the “Cours de Caen: 1898-99” on various systems of symbolic logic, (2) his lecture at the Collège de France “Histoire de la logique formelle moderne”, and (3) the “Manuel de Logistique” in two volumes the latter of which is unfinished. With the publication of these manuscripts, we want, on the one hand, to make a contribution to the history of symbolic logic, in particular the history of its dissemination and its teaching in France. But we are also pursuing another, broader, and genuinely philosophical purpose, aimed at our understanding of philosophy and its history. The manuscripts contained in the present volume show us an alternative history of philosophy, and thus also alternative possibilities for our understanding of philosophy and philosophical research. As Gideon Freudenthal recently emphasised, today’s philosophical canon and the dominant conception of philosophy which it embodies follow a narrow pattern: As a rule, Kant’s philosophy is considered the culmination of philosophy in the eighteenth century. The common periodization: Pre-Kantian, Kantian and Post-Kantian philosophy conveys this message and defines the possible roles other philosophies of this period may play: they may either contribute to Kant’s philosophy or originate in it and contribute to German idealism. Whatever does not fit into the line ‘From Kant to Hegel’ is marginalized or forgotten. This was the fate of Fries, Beneke, Herbart, or: Bolzano and Brentano. 1 Freudenthal identifies three typical points of conflict at the boundary lines between the canon and marginalised positions. His analysis focuses on the case of Salomon Maimon, but the results shed interesting light on the debates of the nineteenth and early twentieth centuries as well: 1. the nature of mathematical knowledge: is it synthetic a priori or analytical? 2. the dualism of sensibility and understanding, of “quid facti” and “quid juris” questions, or of the “context of discovery” and the “context of discovery”: can these things really be neatly separated? 3. more generally, the aim and method of philosophy: does they consist in the search for foundations, or in the study of concrete epistemic (scientific, logical, mathematical) practices? Or, to use Condorcet’s famous terms, should philosophical investigation be animated by the “esprit du système” or rather by the “esprit systématique”? The last point permits us to understand in particular why it is symptomatic of the triumph of Kantian philosophy that semiotics, as the study of concrete symbolic practices, disappeared from the canon. We thus may add as a fourth question: 1. Gideon Freudenthal (2019), “Overturning the Narrative: Maimon vs Kant,” Discipline filosofiche XXIX(1):47-68, p. 47.

2

Introduction 4. Can epistemological questions really be discussed within the framework of the dualism of subject and object, knowledge and world, without taking into account the medium of language and, more concretely, the inner logic of symbol systems? (With a view to contemporary philosophy one would have to add further mediating elements: technology, the body, social mechanisms).

We do not want to claim that whoever followed one of these four paths also approved of the others. This is – historically – not at all the case. Couturat and the Vienna Circle share a strong inclination towards the the analytic nature of mathematical knowledge, while at the same time they still accept the Kantian legacy of a separation between questions of fact and questions of value, context of discovery and context of justification. In the present volume, this is documented above all by Couturat’s vehement anti-psychologism (see his inaugural lecture at the Collège de France). In Carnap’s case, a strong “fundamentalist” inclination is still present, which in turn disappears in Neurath in favour of a semiotic approach. A consolidation of all critical moments can most likely be observed in American pragmatism, which Couturat knows primarily through Peirce, but rejects. Couturat’s “revolutionary” potential becomes visible with regard to the fourth and last point, the place of semiotics in philosophy. Couturat rediscovers a “different” eighteenth century by using semiotic questions as a guideline: Leibniz, Lambert, Maimon, Castillon now are the main characters on stage. At the same time Couturat inscribes himself in a “different” present (of the turn from the nineteenth to the twentieth century), where names such as de Saussure, Peirce, and Whitehead come into the foreground. 1 Couturat confronts the reader here with an alternative and underexploited vision of philosophical research. The existence of Couturat’s manuscripts was known from his correspondence, especially the correspondence with Bertrand Russell edited by Anne-Françoise Schmid in 2001. In his letters, Couturat frequently reported on the progress of his work. However, why he abandoned several of his book projects, some of which were close to being ready for printing, remains a mystery to this day. In 2003, Mohsen Sakhri found a first manuscript in the Centre de Documentation et d’étude sur la langue internationale (CDELI) in La Chaux-de-Fonds, Switzerland, as he was conducting research on Couturat’s work on the international auxiliary language Ido: the Traité de logique algorithmique, which Couturat must have written around 1901. Mohsen Sakhri was able to make a photocopy of the two-volume manuscript, on the basis of which we compiled and published a critical edition in 2010. During this work, we received the news from La Chaux-de-Fonds that Couturat’s papers had been damaged and partially destroyed. During construction work, parts of the CDELI’s archive had to be moved out of storage and had unfortunately been exposed to moisture in their temporary storage. Couturat’s manuscripts also seemed to have been affected. This was our state of knowledge when the Traité was published in 2010. In 2013, however, we learned from the director of the CDELI, Claude Gacon, that there was still hope for Couturat’s remaining papers. In February 2014, we were finally able to 1. Cf. Oliver Schlaudt (2016), “Louis Couturat, ou une occasion perdue pour une approche sémiotique dans l’épistémologie française”. Revue de Métaphysique et de Morale, no 90:225-238.

Introduction

3

undertake a visit to the CDELI in La Chaux-de-Fonds to see for ourselves the condition and extent of Couturat’s papers. The CDELI is an archive located in the municipal library of La Chaux-de-Fonds and run on a voluntary basis by Claude Gacon, with the aim of documenting the diverse international auxiliary languages and thus opening them up to scholarly study. The pacifist, benevolent and sometimes somewhat eccentric spirit that animates many of the diverse auxiliary languages is also reflected in the CDELI and shapes the unique atmosphere we found there, which is further reinforced by the unique layout and situation of the city, situated at almost 1000 metres in the Jura mountains. The route from Lake Neuchâtel to La Chaux-de-Fonds leads through the beautiful landscape that Rousseau immortalised in his Reveries of the Solitary Walker. Rousseau’s temporary travelling companion François-Louis d’Escherny noted: We set out from La Chaux-de-Fond; we had nine leagues to cover to get back to Motiers; we spent three days there, for we went very slowly, stopping everywhere to enjoy the most varied and picturesque views in the wilderness, and everywhere we observed in these mountains the contrast which perhaps exists only there, of these agrarian places, strewn with rocks, sown with precipices, with the politeness, assistance and industry of the inhabitants. 1 The city itself is a planned town laid out in long, harmonious lines and rectangular shapes, which benefited from the flourishing watch manufactory in the 18th century. Karl Marx described La Chaux-de-Fonds in Capital as a city “which we may look upon as a huge watch manufactory”. 2 These remarks would probably be out of place here if it were not for the strange coincidence that Couturat’s manuscripts on mathematical logic and on the planned language Ido, which show us the work of the human mind as just such a “huge watch manufactory” working according to the rules of symbolic calculation and linguistic derivation, had found an adequate home in this place. When we arrived, however, Couturat’s estate initially gave us the very opposite impression: a hopeless mess resulting from various interventions during the one hundred years that have passed since Couturat’s death (or 99 and a half years, to be exact). Today we can follow the complicated path of Couturat’s papers to La Chaux-de-Fonds quite well, although we can rely almost exclusively on oral reports by Claude Gacon rather than written documents. Initially, the estate was stored at Joséphine Couturat’s in Paris. The Swiss painter Ric Berger (1894-1984) saw it there in 1920 while researching the history of planned languages, as he reported in Cosmoglotta, the journal of the planned language Occidental: Desirante scrir un historie de Ido secun li documentes autentic, yo petit in estive 1920 li vidua de sr Couturat permisser me forprender de Paris li parte del corespondentie ti epoca de 1907 a 1913. Sra Couturat acceptet me tre amabilmen in Paris, e in li buró de Couturat noii selectet li max interessant pacca de lettres. Couturat hat morit bruscmen, in un accident de automibil in li unesim dies del guerre in 1914. Su tot corepondentie esset classificat in 1. François-Louis d’Escherny, Mélanges de littérature, d’histoire, de morale et de philosophie. Tome III. Paris: Bossange et Masson & Schoell, 1811 p. 32. 2. Capital: A Critical Analysis of Capitalist Production (1887). MEGA II.9, Dietz: Berlin, 1990, p. 297.

4

Introduction carton-covrimentes secun li nómines del expeditores. Omnicos esset complet exceptet que li pacca de corespondentie Couturat – De Beaufront mancat! To semblat me tam plu regretabil que in ti pacca devet trovar se li interessant documentes pri li afere de 1907. Questionat pri ti manca, sra Couturat dit me que 3 semanes antey De Beaufront, hante esset informat pri mi intention, hat venit e forportat cert lettres e specialmen su propris. 1

[Desiring to write a history of Ido according to authentic documents, I asked Mr. Couturat’s widow in the summer of 1920 to permit to me to take with me from Paris the correspondence from the years 1907 to 1913. Ms Couturat received me very kindly in Paris, and in Couturat’s office we selected the most interesting letters. Couturat had died suddenly in a car accident in the first days of the war in 1914. His whole correspondence was then classified in boxes according to the names of the sender. Everything was complete except that the correspondence Couturat-De Beaufront was missing! This was all the more regrettable since this part must have contained interesting documents about the affair of 1907. Questioned about this gap, Ms Couturat told me that three weeks beforehand, de Beaufront had been informed about my intention to come and had taken with him certain letters, among them in particular his own.] At some point – perhaps even before Joséphine Couturat’s death, who spent her later years in Brittany – the estate left Paris and arrived in the small town of Thaon-les-Vosges in eastern France. The local Catholic convent seems to have been an important centre of the Ido movement and housed the Ido Kontoro, a publishing house that published dictionaries and teaching materials for the acquisition of the planned language Ido, invented by Couturat. Contact may have been made through Joséphine Couturat, who does not seem to have shared her husband’s anti-clerical stance. We do not know much about the Ido Kontoro. When the estate arrived there, the boxes of letters described by Ric Berger were probably already missing and have remained lost to this day - with the important exception of the correspondence with Russell. After the activities of the Ido Kontoro had come to an end (a meta-search in library catalogues shows a maximum of activity in the 1920s and a last publication in 1956), the Ido activist Henri Meier (1888-1973) from Esch-sur-Alzette in Luxembourg took over Couturat’s papers. 2 He is probably also to blame for the current condition of the estate. The papers are in great disarray and in some cases show massive traces of editing by a third hand. After Henri Meier’s death, the papers - including the invaluable, almost complete correspondence between Couturat and Bertrand Russell, which itself holds the great mystery of how the two halves of the correspondence could ever have been reunited - was found in the cellar of Meier’s residence and could be brought to La Chaux-de-Fonds by Claude Gacon. 1. Ric Berger (1937), “Li ver Historie del lingue international secun documents autentic e inconesset.” Cosmoglotta 16(5) (no. 116):65-80 and 16(6) (no. 117): 81-84 (https://occidentallang.com/cosmoglotta/index.html). We owe the reference to this text to Reinhard Haupenthal (1945-2016), email from March 1, 2014. 2. For Meier, see Nicole Stahl, “Henri Meier”, on: https://www.autorenlexikon.lu.

Introduction

5

On 24 February 2014, we were able to take a look at the remaining papers, which, contrary to our fears, were completely intact. Perhaps the papers have only been preserved at all, despite their adventurous odyssey, because of the tireless commitment of Ido activists. At the same time, it is fortunate that Henri Meier was clearly not interested in Couturat’s logical works and did not touch this part of the papers. We found most of the logical works untouched in a large envelope addressed by André Lalande to “Monsieur R[aymond] Thamin. Recteur de l’Académie. Bordeaux” (1857-1933; we do not know much about the relationship between the two men, but both were elected to the Académie des sciences morales et politiques in the same year: 1922). The envelope bears no stamp and may never have been posted. The address has been crossed out in blue crayon and replaced with: “Manuscrits de Couturat”. In total, we were able to find (in addition to the original manuscript of the Traité already published in 2010) the three manuscripts mentioned above and about 160 pages of scattered notes and excerpts on philosophy and mathematical logic. The first manuscript – entitled: “Cours de Caen: 1898-99” and consisting of 108 mostly numbered pages – apparently contains the exact content of the course, of which the following description can be found in the Revue de Métaphysique et de Morale: Study of the various systems of algorithmic logic: Boole, de Morgan, Stanley Jevons, Delbœuf, Peirce, MacColl, Schröder, Peano, etc. The relationship between mathematics and logic; the scope of the mathematical method. Idea of universal algebra (Whitehead). 1 When we published the Traité, we could not yet tell exactly whether it represented Couturat’s lecture notes or a new textbook that emerged from this course. Now we know that there are in fact two different manuscripts and even that both have survived. The course is completely unusual for its time in France, almost revolutionary, and one may assume that it had little success. The second manuscript is in a folder, which in Couturat’s handwriting shows only the designation “Cours”. In another person’s handwriting was added: “Cours du Collège de France”, and it is undoubtedly the course “Histoire de logique formelle moderne” which Couturat gave as Bergson’s substitute at the Collège de France in the winter of 1905-06 (an interesting detail: in the printing proofs of the course description for the annual report of the Collège de France – see below. p. 231 – Couturat left his function designation “substitute”, but crossed out the “for Bergson” – Bergson’s offer, which was completely unexpected even for Couturat, still raises many unanswered questions today). The manuscript comprises 170 pages. These are unnumbered. There is no doubt, however, about the correct order, since Couturat used two single-folded sheets for each lecture. The original page breaks are marked in the transcription, but the numbering is ours. The inaugural lecture, which appeared in the Revue de Métaphysique et de Morale as early as 1906 2, is unfortunately missing from the manuscript, and the archives of the Collège de France only possess a photocopy of this publication, not the original 1. Revue de Métaphysique et de Morale, Supplément Septembre 1898, p. 2. 2. “La logique et la philosophie contemporaine. Leçon d’ouverture d’un cours professé au Collège de France sur l’Histoire de la logique formelle moderne”, Revue de Métaphysique et de Morale 14 (1906):318-41.

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Introduction

manuscript. In order to be able to present the lecture in its entirety, we have therefore supplemented in this edition the manuscript with the published text of the inaugural lecture, and Michel Fichant kindly allowed us to take over his valuable annotations from his edition of Couturat’s articles. The lecture is a unique document. It testifies both to Couturat’s historical study of mathematical logic and his engagement with contemporary developments, which is also documented by the extensive correspondence. Couturat went far beyond the existing literature. Louis Liard’s Les logiciens anglais contemporains of 1878 did not go beyond Jevons. Arthur T. Shearman’s The Development of Symbolic Logic: A Critical-Historical Study of the Logical Calculus also takes Frege, Peano and Russell into account, but did not appear until 1906, so it was not available to Couturat when he prepared the course. 1 This manuscript contains what is presumably the first (and exemplary) exposition of Frege’s logic for the French public. Some remarks by Couturat (e.g. in a letter to Peano from October 4, 1906 2) seem to suggest that Couturat expanded the lecture into a textbook. However, there is no trace of this in his papers. The third manuscript is the two volumes of the Manuel de Logistique, which Couturat had begun writing at the end of 1904 or beginning of 1905 (he mentions it for the first time in a letter to Russell of 18 December 1904), but then had to interrupt this work in 1905 due to the unexpected call to the Collège de France. For this purpose, he apparently took up a Logique mathématique he had already written in 1903/04, which covered in particular the logics of Peano and Russell 3; there is no trace of this manuscript in the papers). On 18 July 1905, Couturat reported to Peano: I will then finish my Traité de Logistique; the 4th and last Chapter will be a Methodology in which I will deal with definitions and demonstrations, systems of indefinable notions and Pp, their irreducibility, etc., according to the use of the “logisticians”. I will include in it, corrected, my two articles from Enseignement mathématique. 4 This explanation is all the more valuable because the fourth chapter is only preserved in fragments. The first volume with chapters 1 and 2 comprises 162 consecutively numbered pages plus about 80 inscribed but unnumbered back pages or inserted leaves. The second volume has about 180 pages, which are no longer numbered consecutively. The third chapter seems to be complete, the fourth is only preserved in fragments. The Manuel is accompanied by two pages written in someone else’s hand: 1. For the historiography of logic at this time, see Irving H. Annellis’ review of the reprint of Shearman’s book, The Review of Modern Logic 11(1&2):87-105. 2. Erika Luciano and Clara Silvia Roero (eds.), Giuseppe Peano – Louis Couturat: Carteggio (1896-1914), Florence: Olschki, 2005, p. 120. 3. Cf. Couturat’s letter to Russell from February 11, 1904 (in: Bertrand Russell, Correspondance sur la philosophie, la logique et la politique avec Louis Couturat (1897-1913), edited by Anne-Françoise Schmid, Paris: Kimé, 2001, vol. II, p. 350), and see also Michel Fichant’s reconstruction in: Louis Couturat, Logique, mathématiques, langue universelle. Anthologie 1893-1917, edited by Michel Fichant, Lyon: ENS Editions, 2018, p. 628 4. Erika Luciano and Clara Silvia Roero (eds.), Giuseppe Peano – Louis Couturat: Carteggio (1896-1914), Florence: Olschki, 2005, p. 89. The two mentioned articles are: “Les définitions mathématique” and “Définitions et démonstrations mathématiques”, Enseignement mathématique 7 (1905):27-40 and 104-121.

Introduction

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Ces pages sont extraites d’un Manuel de Logistique, écrit par Couturat vers 1906, mais auquel il paraît avoir apporté ultérieurement quelques corrections. Elles forment la majeure partie du chaptire II, consacré à la logique des concepts. Nous espérons que l’ouvrage entier pourra être publié prochaînement. Toutes les notes entre crochets sont ajoutées par nous. Celles qui figurent dans le manuscrit de L. Couturat seront suivies de ses intiales. Revue de métaphysique (à l’imprimerie) 1o la logique et le calcul des probabilités (Fragment de l’ancien manuel de logique algo- rithmique). 2o Les rapports logiques des concepts et des proportions (2e chapitre du Manuel de Logistique). A publier en un volume : - Le manuel de logistique tel qu’il est, avec appendice : Précis de Logique classique (à la fin de la Logique de Leibniz.) et peut-être l’article no 1. - Cours du Collège de France. (à besoin d’être mis au net) And: Une Lettre de RUSSELL, [21] Août 1906, contient l’indication que M. Couturat à commencé à rédiger son cours sur la logistique. Si l’on faisait une édition de ce cours il serait bon de lire la correspondance entre RUSSELL et M Couturat et je pense que M. RUSSELL a dû la conserver. Voir lettre au 5 février 1905. Preceding the fourth chapter, we find a note in the same handwriting: Rédaction inachevée. Cette partie pourrait-elle être publiée ? The first three sentences of the first commentary correspond to a note prefixed to a posthumous partial publication of the second chapter in the Revue de Métaphysique et de Morale in 1917 (t. XXIV, p. 15-58). Michel Fichant assumes that André Lalande is the author. 1 The textbook naturally reflects the state of knowledge of its time – no more, but also no less. Of course, there is no trace of a set-theoretic definition of ordered pairs (relations) (due to Norbert Wiener in 1914 2), let alone an idea of undecidability of first-order logic, explored only in the 1930s 3. Somewhat idiosyncratic may be Couturat’s noticeable lack of interest in non-algebraic approaches to quantification in the two textbooks – i.e. the Traité of 1901 and the present Manuel of 1905 – which is, however, compensated for by the chapters on Frege and Russell in the history lecture. More subtle and interesting is the case 1. In: Louis Couturat, Logique, mathématiques, langue universelle. Anthologie 1893-1917, edited by Michel Fichant, Lyon: ENS Editions, 2018, p. 627. 2. Cf. Nobert Wiener “A Simplification of the logic of relations” reprinted in Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1967, pp. 224ff. 3. Alonzo Church, “A note on the Entscheidungsproblem”, Journal of Symbolic Logic 1 (1936):101-102; Alan Turing, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 42 (1936-7):230-265.

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Introduction

of a lack of distinction between object and metalanguage. While this distinction was not established until 1933 by Tarski, 1 there is reasonable unanimity in the literature that the problems associated with its lack were foreshadowed as early as 1895 by Lewis Carroll’s article “What the Tortoise said to Achilles”, which led to interesting discussions. 2 As Bartley explains in his edition of Carroll’s Symbolic Logic 3, the paradox shows not simply that one cannot use logical means to force someone to draw logical conclusions, but more precisely that the strategy of translating metalinguistic rules of inference into theorems of the object language fails. In this sense, Bertrand Russell felt that he should make a remark about the fundamental limits of the symbolic method. Thus, for the rule of detachment, he emphasises: “This is a principle incapable of symbolic statement and illustrating the essential limitations of formalism”. 4 Couturat, who had a strong semiotic interest, was sensitive to such considerations, even though he did not mention Carroll’s article anywhere and may not even have known it. In the present Manuel, he emphatically points out that the rule of detachment (“principe de déduction”) is not expressible in symbolic language, and that one must carefully distinguish between an implication and an inference (cf. below, p. 245). The same applies, Couturat emphasises, to the substitution principle, which allows a fixed value to be substituted for a variable, and which also cannot be expressed in the object language. Couturat arrives at an interesting formulation of the difference between the two linguistic levels, which still had to be described without the concept of metalanguage: Like the principle of substitution, the principles of particularisation and generalisation do not occur in the theoretical constitution of Logic, but only in the practice of Logic, i.e. in the reasoning that is actually carried out in a science in any deductive theory. (p. 247 f) Does this not already come very close to Gilbert Ryle’s interpretation of Carroll’s paradox in terms of “knowing how” and “knowing that”? 5 In a commentary on Russell’s “A theory of implication” Couturat again insists on the distinction between premises and rules of inference 6: I only regret that you do not make a distinction (which I made, inspired by Frege, in my article Pour la logistique, p. 238, note) between the premises of a deduction and the formal principles which govern it. For example, you write ’Syll’ among the premises of a reasoning which is a syllogism (3.21, 3.38 etc.). 1. Alfred Tarski, 1933, “The concept of truth in the languages of the deductive sciences” (Polish), expanded English translation in Alfred Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, John Corcoran (ed.), 2nd edition, Indianapolis: Hackett Publishing, 1983, pp. 152-278. 2. See Amirouche Moktefi and Francine F. Abeles (eds.), ‘What the Tortoise said to Achilles’: Lewis Carroll’s Paradox of Inference. Special Issue of The Carrollian, no. 28, 2016. 3. William Warren Barley (ed.), Lewis Carroll’s Symbolic Logic, Hassocks: Harvester Press, 1977, Appendix C, pp. 466-470. 4. Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, p.16. Cf. also Mathieu Marion commentary in Moktefi and Abeles edited volume, quoted above, p. 56. 5. Gilbert Ryle, “Knowing How and Knowing That: The Presidential Address.” Proceedings of the Aristotelian Society, New Series, 46 (1945):1-16. 6. Letter from July 22, 1906, in: Bertrand Russell, Correspondance sur la philosophie, la logique et la politique avec Louis Couturat (1897-1913), edited by Anne-Françoise Schmid, Paris: Kimé, 2001, vol. II, p. 613.

Introduction

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There is a philosophical interest in not suggesting that the principle of the syllogism, for example, is a premise of any syllogism; this leads to a regression to infinity. Russell replied with a half-hearted and vague concession 1: What you say about the premises of a deduction and formal principles is very true; I should have made this distinction. However Syll (e.g.) can be a premise as well as a principle in some cases. Interesting in this context is Couturat’s use of the “principle of assertion” (i.e. Ernst Schröder’s “specifisches Princip der Aussagenlogik” 2), “A = 1. = A“, or: “To say that a proposition A is true is to state the proposition itself.” While this principle seems dangerous to contemporary readers because it mixes object language with the metalinguistic semantic notion of truth, Couturat used it - in a very prudent way - with exactly the opposite intention, namely to bring out the difference between what we call today the principle of bivalence as a semantic principle formulated in meta-linguistic terms on the one hand and the principles of contradiction and excluded third, which are provable theorems in the object language, on the other (the term “principle of bivalence” was forged only in 1920 by Lukasiewicz 3). Thus we read: Indeed, we defined true and false as two possible values for propositions in general; but there was no way of affirming that these two values were distinct, nor that they were the only possible ones. It seems that this follows from the principles of contradiction and the excluded middle; but this is a mistake, and the proof is that the same formal principles apply to classes, which nevertheless admit (in general) other values than ∧ and ∨, and for which (in some cases) these two values can become blurred [...]. (p. 290.) This insight is not trivial, since even today, more than a hundred years later, the bivalence principle is occasionally confused with the principles of excluded middle and non-contradiction. 4 It can thus be seen that Couturat’s Manuel is theoretically in tune with the times of its production. But the publication of the book would also have been valuable from a practical point of view. Remember the difficulties C.I. Lewis encountered when he looked for a suitable textbook of modern logic after his arrival at the University of California in the autumn of 1911: 1. Letter from August 21, 1906, ibid. p. 616. 2. Ernst Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik, vol. 1. Leipzig: Teubner, 1890, p. 52 and p. 65. 3. Jan Lukasiewicz, “Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls”, Comptes rendus des séances de la Société des Sciences and des Lettres de Varsovie 23, cl. iii (1930):51-77, reprinted in Karel Berka, Lothar Kreiser (eds.), Logik-Texte: kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik Berlin (East): Akademie, 1983, pp. 135ff. 4. Cf: D. DeVidi and G. Solomon, (1999). “On Confusions About Bivalence and Excluded Middle”, Dialogue 38(4):785-799; J.-Y. Béziau, “Bivalence, Excluded Middle and Non Contradiction”, in: L. Behounek (ed.), The Logica Yearbook 2003, Prague: Czech Academy of Sciences, 2004, pp. 73-84; and: M. Groneberg, “Logic is Tripartite. A Defence of Non-Bivalence”, in J.-Y. Béziau and A. Costa-Leite (eds.), Dimensions of Logical Concepts, Campinas: UNICAMP, 2009, pp.113-132.

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Introduction At Berkeley, I soon wished to conduct a course in symbolic logic—or “advanced logic” as it was more likely to be listed in those days. But the undergraduates who would make up my class could not well proceed without a text. And there was no text; nothing except the little book of Couturat, L’algèbre de la logique (not translated until 1914) and an even slighter book by A. T. Shearman. Eventually it occurred to me that perhaps I might fill this gap myself. 1

The Manuel could indeed have been a considerable success at the time. In addition to these three large manuscripts, there are about 160 pages of notes in the remaining papers that have a connection to philosophy, mathematics and logic. Two smaller philosophical essays found in them will be published together with the letters and biographical testimonies in a second volume in a few months’ time. The remaining sheets are bibliographical notes, excerpts and fragments that are difficult to classify, but which no longer add anything substantial to the picture provided by the large manuscripts, which is why we refrained from publishing them. After the discovery of the manuscripts in February 2014, we were able to take photographs of the pages on the spot. Ironically, however, it was not until 6 years later that the Corona crisis (the circulating virus itself, but above all its political mismanagement), so disastrous for cultural life in general, created – precisely because it interrupted so many projects and work routines – the necessary conditions for the comparatively monkish work of transcribing several hundred manuscript pages. One of us (Oliver Schlaudt) was able to take on this work (and also takes responsibility for any errors). We relied on the AI-based transcription software of the Transkribus project at the University of Innsbruck in Austria, which proved to be very useful and produced good results. In the edition, we stayed as close as possible to the manuscript and were very careful in the “mise au net” required by Lalande. This was done not only out of a desire to be faithful to the material at hand, but also to prevent the reader from applying false standards in his or her judgement by constantly reminding him or her that we are dealing with a mere manuscript which the author did not want to publish in this form. Our editing work also includes a narrow critical apparatus, in which we mainly add missing references. In the Manuel, which seems to be almost ready for publication, Couturat has mostly given the sources, so that there was little need for additional annotations here. In the two lectures, Couturat provides short oversights over his sources, so that it is usually clear what he is referring to. Only in those places where Couturat seems to be thinking of a specific passage or formulation, but does not name the source or only hints at it roughly, have we supplied the details. The references can be found in full in the footnotes. This procedure seemed more sensible to us than referring to a bibliography at the end of the volume according to the author-year style. Firstly, the reader has all the information at hand at a glance, and secondly, in view of the fact that the history of symbolic logic is already well researched, it no longer represents a valuable endeavour to compile such a bibliography. 1. Clarence Irving Lewis, “Autobiography”, in: P.A. Schilpp (ed.), The Philosophy of C.I. Lewis, La Salle: Open Court, 1968, p. 13, quoted by Annelis, loc. cit.

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With the editions of letters that have been published so far – first and foremost the only complete surviving correspondence between Russell and Couturat –, the Traité de logique algorithmique already published in 2010, the collection of articles by Couturat compiled by Michel Fichant in 2018 “Logique, mathématiques, langue universelle. Anthologie 1893-1917”, accessible online, the manuscripts presented in this volume, and the letters and biographical documents that will follow in the same series in a few months’ time, Couturat’s work (the monographs were made available online long ago by the Bibliothèque Nationale de France) is now easily accessible to interested readers and researchers, becomes visible in its full importance and scope, and will perhaps finally occupy its rightful place in French literary history.

Acknowledgements This publication was only possible thanks to the generous help and support of a number of people and institutions. We would like to thank Prof. Gerhard Heinzmann (Poincaré Archives, Nancy, France) and Claude Gacon (Centre de Documentation et d’étude sur la langue internationale CDELI, La Chaux-de-Fonds, Switzerland), without whose tireless commitment this project could never have succeeded. Prof. Michel Fichant (Paris) allowed us to use the very helpful historical notes he wrote for the collection of Louis Couturat’s articles. Prof. Geo Siegwart (University of Greifswald) and Amirouche Moktefi (Tallinn University of Technology, Estonia) provided advice and assistance in the preparation of the critical apparatus. We received substantial financial support from the Archives Henri Poincaré - Philosophie et Recherches sur les Sciences et les Technologies (UMR 7117 CNRS – Université de Lorraine - Université de Strasbourg, France) and the University College Freiburg (Germany). For the transcription of the manuscripts, the AI-based transcription software of the Transkribus project at the University of Innsbruck in Austria was a valuable help. In the typesetting of the manuscript we encountered absolutely no problem for which the LaTex community did not already have a solution.

List of Editorial Symbols text

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names, doubly underlined, reproduced in small capitals





added passages, written in the margin, at the bottom of the page or on the verso





items added by the editors of this volume

¿–?

undecipherable word

Introduction

12 (1) (2) (3)

Couturat’s annotations at the bottom of the page

a b c

annotations of the editors

|

pagebreaks of the manuscript; the page numbers are given in brackets in the margin. Page numbers with a “bis” refer to the (unpaginated) verso of the page.

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Part I

Cours de Caen 1898–1899

© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021 O. Schlaudt, A.-F. Schmid (eds.), Louis Couturat: The History of Modern Symbolic Logic and Other French Manuscripts, Publications des Archives Henri Poincaré Publications of the Henri Poincaré Archives, https://doi.org/10.1007/978-3-030-84828-6_1

Première leçon.

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I. Lieu commun : la Logique est sortie parfaite des mains d’Aristote ; n’a pas fait de progrès depuis. Préjugé paresseux ; en France, il est vrai, on s’en est tenu à la théorie du syllogisme. Mais en Allemagne et en Angleterre, beaucoup de logiciens novateurs (WUNDT, SIGWART ; BAIN, MILL, BRADLEY BOSANQUET.) Pourquoi ? A cause du divorce entre la philosophie et les sciences. – En logique formelle, George Bentham et Hamilton opèrent une réforme, sinon un progrès, par la quantification du prédicat (1827, 1833.) Ils préparaient ainsi l’invention de la Logique algorithmique (expliquer ce mot : Algèbre de la Logique. Pourquoi pas Logique symbolique mathématique.) Ce sont des mathématiciens qui l’ont inventée BOOLE (1854.) Stanley JEVONS (1864) Charles S. PEIRCE (1870). – DELBŒUF (1877.) MACCOLL (1877-80) MACFARLANE (1879.) VENN (1881.) SCHRÖDER : der Operationskreis des Logikkalkuls (1877.) Algebra der Logik )1890... Enfin PEANO : Arithmétique et Geométrie (1889.) Formulaire de Mathématiques (1895.....) On étudiera les principaux systèmes, et on essaiera d’en recueillir et d’en unifier les résultats essentiels. Tous ces auteurs (PEANO en part.) peuvent se réclamer d’un patronage illustre ; ils ont en pour précurseur LEIBNITZ. | II. Double projet de LEIBNITZ. Science générale et Charactéristique universelle. [2] Le projet d’une science universelle, à forme mathématique, vient de DESCARTES et de sa grande réforme de la Méthode, applicable selon lui à toutes les sciences. Il s’inspire aussi des rêves de Bacon, comme le témoigne le sous-titre de l’ouvrage de L. : de instauratione et augmentis scientiarum. a On secouait le joug d’Aristote dans les sciences, on voulait innover aussi en Logique. D’autre part, projets de langue universelle : WILKINS, évêque de Chester, avait publié en 1641 un Mercur, traité de correspondance secrète et abrégée (analogue à la télégraphie chiffré.) DALGARNO en 1661 : Ars signorum, vulgo character universales et lingua philosophica (essai de lanque internationale ; volapük.) GLANVILL publie son Plus Ultra (1668) où il se flattait de dépasser ARISTOTE. (LEIBNITZ lui empruntera son titre : Guilielmus Pacidius Plus Ultra.) Enfin WILKINS (1668) publie un Essai de Charactère réel et de Lanque philosophique, où il perfectionne DALGARNO : il classe les concepts en 40 catégories (au lieu de 17) qu’il subdivise ensuite. Les scolastiques eux-mêmes en avaient donné l’exemple : l’Ars magna de Raymond LULLE, qui avait classé 9 sujets, 9 attributs, 9 relations, 9 questions, 9 vertus, 9 vices. Cette classification servait plutôt à la rhétorique qu’à la philosophie. La Cabbale ; la langue d’Adam, Natursprache de Jacob BOEHME. A 18 ans (Gerh. Introd, p. 12. b ) LEIBNITZ cherchait à classer les prop. en catégories, comme Aristote avait classé les a. Couturat alludes to “Guilielmi Pacidii PLUS ULTRA sive initia et specimina SCIENTIAE GENERALIS de instauratione et augmentis scientiarum”. Cf. also Louis Couturat, La Logique de Leibniz (Paris : Alcan, 1901), p. 132-3, and his Opuscules et fragments inédits de Leibniz (Paris : Alcan, 1903), p. 217. b. Couturat relies on Gerhardt’s and Erdmann’s editions of the works of Leibniz : Gerh. = Die philosophischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, edited by C. I. Gerhardt. 7 vol. Berlin : Weidmann, 1875-1890. Erd. = Go. Guil. Leibnitii Opera Philosophica, Quae Exstant Latina Gallica Germanica Omnia, edited by J. E. Erdmann. 2 vol. Berlin : Eichler, 1839-40. At the present point, Couturat seems to be referring to Gerhardt’s introduction to volume 7.

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[3] concepts (prédicaments.) A 20 ans (1666), de Arte |combinatoria, dissertation math. où il jette les bases de la Théorie des combinaisons, et l’applique à la logique à la recherche des modes concluants du syllogisme. S’inspirant de l’idée de Hobbes, que toute opération de l’esprit est un calcul, il conçoit chaque jugement comme une combinaison de 2 termes (sujet, prédicat) et cherche ainsi toutes les combinaisons possibles de n termes donnes. – Ce projet précisé à la suite de DALGARNO et WILKINS l’a poursuivi toute sa vie car il écrivait à M. Remond de Montmort (le 10 janv. 1714.) : « Mais à quoi bon cela ? dira-t-on. Je reponds : à perfectionner l’art d’inventer, car il faudroit avoir des methodes pour venir à bout de tout ce qui se peut trouver par raison. » c  III. Reconstituer le plan de l’ouvrage d’après les notes et fragments. D’abord frappé des équivoques et lacunes du langage vulgaire Ce sera l’idée directrice de HAMILTON et de DE MORGAN, de rendre le langage adéquat à la pensée. (cela est sensible dans les traductions) il veut former une langue rationnelle ou philosophique, précise, réunissant tous les avantages des autres langues, mais supprimant les entraves et les exceptions, comblant leurs lacunes les unes par les autres. Grammaire générale absolument régulière et logique (flexions ou particules ?) C’est dans cette langue que l’on traduira les pensées, pour les exprimer ensuite dans la Caractéristique. La Caractéristique sera réelle (WILKINS) càd exprimera directement les choses ou idées, non les mots ; ce seront des signes idéographiques, analogues aux hiéroglyphes, aux caractères chinois, ou aux signes des alchimistes. Ce sera à la fois une langue et une écriture : il suffit de donner un nom à chaque signe. (1) Ces signes seront, ou des dessins, ou des lettres, ou des nombres (v. de Arte combinatoria Gerh. IV, p. 30.) [4] |Ces signes représenteront les idées simples On aura ainsi un Alphabet des pensées humaines ; on devra donc décomposer toutes les idées complexés en idées simples, et les exprimer par la combinaison des signes correspondant à celles-ci ; cette combinaison traduira la définition du concept. Aussi LEIBNITZ a-t-il cherché à définir tous les concepts ; on retrouve dans son œuvre des listes de définitions d’idées morales et métaphysiques. Il fit dresser pas son secrétaire HODANN une liste de définitions recueillies dans divers dictionnaires (1704) notamment dans DALGARNO. On traduira de même les propositions par des combinaisons de signes au moyen de signes d’opérations et de copules. La vérité consiste dans l’analogie des idées et des mots, càd dans la correspondance exacte des relations des signes aux relations des idées. Ainsi les signes peuvent être arbitraires, les vérités ne le sont pas (contre nominalisme.) Par ex., en Algèbre, les vérités sont indépendantes des signes employés pour les traduire et des symboles auxquels elles s’appliquent. Néanmoins, la forme des signes a une grande importance, elle peut être plus ou moins commode, maniable et appropriée. Ex. le Calcul infinitésimal, où l’algorithme de LEIBNITZ a fini par triompher de celui de Newton, grâce à la notation. Les jugements étant traduits en signes, les raisonnements eux-mêmes se traduiront en signes. Le raisonnement reposant sur le principe d’identité, s’exprimera par la substitution des expressions équipollentes, càd exprimant la même idée (principe repris par JEVONS.) Donc la copule fondamentale (1). d’ailleurs, on pourra énoncer et lire ces signes dans chaque langue (comme nos chiffres.) c. The quotation is missing in the manuscript. The date is that of Montmort’s letter, while Couturat refers to Leibniz’s late reply of 17 January 1716 : Gerh. III, p. 668.

Première leçon : Leibniz

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sera celle de l’égalité ou identité. Le raisonnement se traduira donc par un calcul analogue à l’Algèbre. Addition à la p. 4 : Un signe est d’autant meilleur (naturel) qu’il représente mieux la chose signifiée et ses propriétés. Ainsi LEIBNITZ trouve que les chiffres représentent mal les nombres, parce que ce n’est que par la mémoire qu’on sait que : 5 + 3 = 8, tandis qu’on devrait le voir à simple inspection. – Il y a là un excès : les signes des idées composées peuvent exprimer leurs propriétés, par analogie ; mais les signes des idées simples sont forcément conventionnels. Le signe naturel du nombre 3 ne peut être que III. Pas pratique. Il faut toujours, à partir d’un certain nombre, employer un artifice. Le plus rationnel sera la numération binaire, qui avait du reste les préférences de LEIBNITZ (Omnibus ex nihilo ducendes sufficit unum. d ) |Le Calculus ratiocinator n’est pas seulement la traduction du raisonnement en [5] signes ; il en est l’instrument. C’est l’avantage des signes de l’Algèbre sur les hiéroglyphes et autres caractères réels (ceux des alchimistes) : ils permettent de calculer. C’est une Algèbre universelle (Spécieuse générale.) Comme l’Algèbre, la Caractéristique aidera à raisonner : 1o en traduisant les règles logiques en règles de calcul, qui deviennent intuitives, habituelles et machinales ; 2o en ménageant les forces de l’esprit, en dépensant de faire l’attention au sens des signes, d’avoir les idées en jeu constamment présentes à l’esprit, puisque la validité du résultat ne dépend pas du contenu, mais de la forme des relations, 3o en soulageant l’intelligence au moyen de l’imagination, par des signes sensibles fort maniables. Les paralogismes deviendront manifestes, ils sauteront aux yeux comme des erreurs de calcul. Bien plus, on ne pourra pas se tromper que par inadvertance, car on ne pourra écrire une prop. fausse ou un faux raisonnement sans violer les règles d’écriture et de calcul, l’orthographe ou la syntaxe ; ils choqueront comme des solécismes et des barbarismes. Enfin, cela mettra fin aux disputes et aux controverses : on n’aura qu’à calculer. (Erdm. 84 A) Ce mécanisme algébrique ne supplée pas l’intelligence, mais il augmente sa portée et ses forces. Comme en Algèbre, il reporte tout l’effort de l’esprit sur l’invention des données et la mise en équations du problème. Il laisse subsister |l’inégalité naturelle [6] entre les esprits, tout en decuplant leurs forces ; car on pourra se servir plus on moins habilement de ce calcul, se montrer plus on moins ingénieux & inventif pour combiner & simplifier les équations. Cette habilité naturelle se développera d’ailleurs par l’exercice, ainsi que la largeur de vue de l’esprit et sa puissance de synthèse ou de synopsie. Ce Calcul n’est donc qu’une exaltation de la raison humaine. Il lui rend les mêmes services que le microscope & le télescope à l’œil, ou que la boussole à la navigation, en étendant immensément son domaine et sa portée. IV. La Caractéristique est l’instrument de la Science universelle ; elle est l’enveloppe ou l’incarnation de la Méthode. Ici LEIBNITZ continue et développe l’idée cartésienne. La Math. universelle de DESCARTES englobe et dépasse l’Arithmétique et la Géométrie, d. Leibniz in a letter to Rudolf August von Braunschweig-Lüneburg Herzog von Wolfenbüttel, cf. Couturat, La Logique de Leibniz, Paris : Alcan 1901, p. 474, quoted also by Louis Liard, Logique, Paris : Masson, 1884, p. 78.

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en faisant rentrer nombres et figures sous l’idée de grandeur. (2) Mais, selon LEIBNITZ, la méthode math., càd l’Algèbre ou l’Analyse, ne s’applique pas seulement aux grandeurs ; mais à tout objet de raisonnement. L’Algèbre, ainsi que l’Arithmétique, n’est qu’une branche de la Combinatoria characteristica. L’Analyse math. n’est qu’un cas particulier de l’Analyse logique. La preuve, c’est qu’on peut raisonner mathématiquement hors des mathématiques : ARISTOTE est le premier qui ... (Lettre à Gabriel WAGNER Gerh. VII, 514-527.) On raisonne sur le hasard (PASCAL, HUYGHENS, DE WITT.) On raisonne en jurisprudence (les jurisconsultes romains.) La méth. math. est universelle ; c’est la méthode de toutes les sciences déductives, càd au fond de toutes les sciences. [7] |LEIBNITZ complète encore DESCARTES : le Calcul sera le véhicule de la Méthode. DESCARTES a bien donné des règles (conduire les pensées par ordre) mais il n’a pas donné le moyen de les appliquer d’une manière régulière et pour ainsi dire infaillible. C’est ce que fera le Calcul : il oblige l’esprit à suivre la filière, l’ordre hiérarchique des notions, des plus simples aux plus complexes. Il guidera les recherches en leur imposant un ordre précis en évitant les tâtonnements. C’est le fil d’Ariane (filum méditandi). La méthode de la Science générale est double : 1o Art de juger, càd de démontrer ou de vérifier telle proposition donnée (Méthode de la certitude fournissant les Elementa veritatis æterna : Erd. LIV.) Synthétique : s’aidera de la science des combinaisons, qui apprend à trouver méthodiqt toutes les combinaisons possibles des éléments donnés (concepts ou jugements déjà connus). (Cela garantit les énumérations complètes recommandées par DESCARTES.) L’art des combinaisons sert aussi à former de nouveaux concepts, à trouver de nouvelles propositions. 2o La Logique n’est pas seulement l’Art de juger, mais aussi l’Art d’inventer (Lettre à Wagner Gerh. VII, 514-527.) L’invention consiste dans la solution des problèmes : Etant données certaines prémisses, trouver toutes les conséquences qui en résultent nécessairement. L’Algèbre de la Logique permet de déterminer ainsi tout ce que le raisonnement pourrait établir, elle donne tout ce qu’on peut connaître rationnellement (déductivement). [8] |Les données sont suffisantes quand elles suffisent à déterminer la vérité de leur conséquence. Quand elles sont insuffisantes, le calcul permettra d’évaluer le degré de probabilité de telle ou telle conclusion, et par suite de choisir la plus probable (ou la plus avantageuse au point de vue pratique.) Le Calcul indiquera aussi quelles sont les données qui manquent, quelles expériences il faut faire pour déterminer le problème. On saura par là tirer d’un minimum d’expériences le maximum de conséquences nécessaires qu’elles comportent. Pour les vérités nécessaires, l’expérience va donc (DESCARTES) au devant du raisonnement et sert à le guider ou du moins à le confirmer (preuve par 9.) car on risque de s’égarer dans des déductions compliquées. Les vérités contingentes sont celles qui dépendent d’une infinité de conditions ; c’est pourquoi l’on a besoin de l’expérience pour les découvrir. On pourra les démontrer par une méthode d’approximation indéfinie, établissant leur probabilité de plus en plus grande (méthode de limites, analogue au Calcul infinitésimal.) (2). LEIBNITZ veut appliquer l’Algèbre directement à la Géométrie sans l’intermédiaire du nombre ; Characterestica géometrica (16 août 1679.) Cf. Erdm. 82 B. Analysis sublimior. ? L’Algèbre n’est pas la caractéristique propre de la Géom. (6 janv. 1681.) Gerhardt. Introd.

Première leçon : Leibniz

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Dans tous les cas, la Logique servira à la méthode expérimentale et inductive, pour économiser les expériences en en tirant toutes les conséquences possibles. V. La Caractéristique servira à organiser et à systématiser les sciences sur le modèle des Eléments d’Euclide (Gerh. t. VII, ch. IX.), elle fixera leur ordre et leur hiérarchie, chaque science étant subordonnée à celles auxquelles elle emprunte ses principes (ex. : la Perspective à la Géométrie, la Gnomonique à la Astronomie et à la Perspective, etc.) En effet, pour apprendre une science ou la reconstituer (si l’on en perdait la trace), il suffira d’en posséder les principes (rationnels ou empiriques) et de leur appliquer la Logique pour en tirer par ordre toutes les conséquences (« les sciences s’abrègent en s’augmentant » Erd. LIV.) Ainsi toutes les sciences sont ramenées à la forme déductive et mathématique, selon le rêve de DESCARTES. La Caractéristique établira les principes de toutes les sciences, y compris les Mathém. et la Logique même ; car il faut démontrer même les axiomes, càd les principes secondaires et dérivés (Erd. 207, 222, 381). Les principes de la Logique (scolastique) ne sont pas des vérités primitives et simples ; on les démontrera, et l’on verra que la Logique est subordonnée à l’Arithmétique. (3)  |On constituera par leur enchaînement une Encyclopédie, où LEIBNITZ veut faire [9] rentrer même les connaissances pratiques et techniques, non écrites, non réduites en formules ou lois, (en cela, précurseur des Encyclopédistes du XVIIIe siècle qui s’intéressaient aux arts et métiers) (4) (Erd. LIV.) Cette Encyclopédie contribuerait puissamment au progrès des sciences, qui est lent faute d’ordre, de méthode et d’entente entre les savants (Le genre humain semblable à une troupe marchant au hasard dans les ténèbres. Gehr. t. VII, ch. IX) Dans cet inventaire méthodique, chaque vérité déjà connue, chaque nouvelle découverte prendrait aussitôt sa place et l’on verrait sur ce plan les lacunes de la science et les découvertes à faire. Cela remplacerait avec avantage « cette horrible masse de livres qui va toujours augmentant » et qui, selon lui, menace de nous replonger dans la barbarie. | Ce serait un répertoire bibliographique, et non pas anonyme : chaque auteur [10] attacherait son nom à ses découvertes ; l’exemple des géomètres anciens montre qu’un seul théorème conserve plus sûrement un nom à la postérité que de gros livres. Pour dresser cet Inventaire des connaissances humaines, il faut un accord et une collaboration difficiles à obtenir des savants. Aussi LEIBNITZ fait-il appel au grand roi (Louis XIV) et lui propose-t-il d’entreprendre ce travail ; Il fait aussi appel aux sociétés savantes ; Lettres à Gallois, de le Académie des Sciences de Paris, à Oldenbourg et à Haak, de la Société Royale de Londres. Il précise le temps qu’il faudrait : il suffirait de 10 savants choisis et bien d’accord pour accomplir cette tâche (Gerh. t. VII, Introd., p. 15.) en qques lustres. Ailleurs (Erd. LII) qques personnes choisies l’exécuteraient en 5 ans. On pourrait en 2 ans seulement mettre en formules la Métaphysique et la Morale. LEIBNITZ l’avait d’ailleurs commencé lui-même, comme le prouvent ses fragments (Gerh. t. VII, ch. VI.) (3). C’est la thèse que BOOLE a reprise et démontrée : Le Dictum d’Aristote est un principe dérivé. Cf. George Boole, An Investigation of the Laws of Thought, London : Walton and Marberly, 1854, p. 240. (4). Importance scientifique des métiers les plus vulgaires ; des rapports de la théorie et de la pratique (Erd. LIII), l’expérience de l’artisan va plus loin que la raison du savant. Fiction d’un Robinson jeté dans une île déserte ; Théâtre de la vie humaine.

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C’est cette tâche qu’ont menée à bien, pour les Mathém., M. PEANO et ses collaborateurs de la Rivista di Matematica, en publiant le Formulaire de Math., où toutes les prop. connues dans chaque branche des math. sont réduites en formules symboliques, mises en ordre, démontrées et rattachées aux axiomes dont elles dépendent. [11] |VI. Quel est le rapport de la Logique algorithmique avec la Philosophie des sciences ? Nous avons vu les relations étroites de l’Algèbre avec la Science de l’ordre et des combinaisons (dont LEIBNITZ est un précurseur.) L’Algèbre nous a paru un algorithme purement formel, càd dont la valeur repose uniquement sur la forme des relations, abstraction faite du contenu. Il en résulte que tout ensemble d’objets ou d’idées qui vérifie les axiomes fondamentaux et est susceptible de combinaisons jouissant de certaines propriétés formelles peut être soumis au calcul algébrique. Par suite, l’Algèbre paraît être un Calcul universel, qui ne s’applique pas exclusivt aux nombres et aux grandeurs. La question se pose alors : Pourquoi ne pourrait-on pas l’appliquer aussi à la Logique ? L’idée emise de l’Algèbre universelle (BOOLE, HOÜEL, WHITEHEAD e ) se trouve déjà dans LEIBNITZ (5) . Autant on peut imaginer de lois différentes régissant les combinaisons de symboles, autant on peut construire d’algorithmes différents. L’Algèbre de la Logique peut ne pas se réduire à l’Algèbre ordinaire ; elle sera une Algèbre particulière comme elle, une branche de l’Algèbre universelle, d’autres branches pourront s’appliquer à la Géométrie et même à la Mécanique. Il s’agit donc de savoir quelle est la portée de l’Algèbre, càd de la méthode mathématique, et jusqu’où s’étend le domaine des applications de la Mathém. pure. [12] | Remarque : Confiance excessive de LEIBNITZ dans la déduction ; le principe de raison suffisante lui même serait analytique (Erd. XI). – En quoi diffère-t-il du princ. de contradiction ? En ce qu’il détermine ceux des possibles qui passent à l’être (cf. De Veritatibus primis ; Erd. XXI). Le principe des vérités de fait est : Tout possible tend à exister. Par suite, la combinaison la plus probable existe réellement. C’est pourquoi le Calcul des probabilités s’applique à la connaissance des vérités contingentes.

(5). Gehr t. VII, ch. XX, p. 245, Scholie sur la Spécieuse générale. e. Cf. the conclusions (lesson 17, p. 85ff) for the quotations and references.

2e leçon.

[13]

I. On commencera par définir les idées, càd les décomposer en d’autres plus simples. On arrivera ainsi à les réduire de proche en proche à des éléments indécomposables (idées indéfinissables.) On désignera ceux-ci par des signes ou des numéros. On les combinera pour représenter les idées complexes : on forme ainsi des formules. La formule d’une idée complexe lui sert de définition (c’est sa valeur ou sa signification.) Si l’on représente cette idée complexe par un signe unique, ce sera sa définition. (Comme en Algèbre, on pose, pour simplifier, une lettre égalé à toute une formule.) Un concept sera représenté par la juxtaposition des signes des idées qui constituent sa compréhension. Si l’on considère cette combinaison comme un produit, les idées simples seront les facteurs de l’idée complexe. Ex. : triangle rectangle isocèle. Or on peut affirmer d’un sujet donné tout ce qui contient sa compréhension : on peut donc donner pour attributs au concept tous ses facteurs simples et toutes les combinaisons de facteurs simples qu’il contient. C’est une opération analogue à la recherche des diviseurs d’un nombre, préalablement décomposé en facteurs premiers. Ex. : 1, 4. 2, 3, 6, 12. 5, 10, 20. 15, 30, 60. 2 420 = 2 .3.5.7 a pour diviseurs : 7, 14, 28. 21, 42, 84. 35, 70, 140. 105, 210, 420. La méthode par laquelle on obtient par ordre tous ces diviseurs (fondée sur la considération des combinaisons) peut être employée à trouver tous les prédicats possibles d’un concept (puisque l’art des combinaisons leur est applicable.) On voit ainsi comment |l’art des combinaisons peut s’appliquer à tout autre chose que des nombres. Insérer ici [14] les Essais de définitions géométriques du de Arte combinatoria. II. Cela posé. LEIBNITZ établit les principes du raisonnement logique. (1) Dans un er 1 essai (Specimen Calculi Universalis, Ger. XVIII) il conserve la copule est : a est b signifie : Tout a est b (prop. universelle affirmative.) Toutes les prop. affirmatives où figure a peuvent se ramener à 3 typès : a est d (A) a b est e (I) c est a. (1). Il pose en principe que la vérité des propositions logiques ne dépend que de leur forme, et non de leur contenu, càd de la signification des lettres (Addenda ad Sp. calc. univ. Erd. XX).

Cours de Caen 1898–1899

22 Axiomes :

I: II :

a est a. ab est a (ou b .)

Principe de la répétition inutile : Principe de l’ordre indifférent :

aa est a. a b est b a.

Conséquence évidente par elle-même (Principe du syllogisme) : Si a est b , et b est c, alors a est c. Union des prédicats : (admis comme évident) : Si a est b , et a est c, alors a est b c. Séparation des prédicats : Si a est b c, alors a est b , a est c. En effet, b c est b , b c est c. Union des sujets : Si a est c, et b est c, alors : a b est c. En effet, ab est b , et b est c, donc : a b est c. ou : ab est a, et a est c, donc a b est c. [15] |Mais on ne peut séparer les sujets : de ce que tout animal raisonnable est un homme, on ne peut conclure : Tout animal est homme. Théorème : En effet : D’autre part :

Si a est b , ac et b c. ac est a, a est b donc : ac est b . ac est c ; donc : ac est b c.

La réciproque n’est pas vraie : De : ac est b c, on ne peut conclure : a est b . En effet, il se peut que : c est c d , ad est b . Alors : ac est ac d , ou ad c, ad c est b c, d’où : ac est b c. Et pourtant ad est b , ce qui n’implique pas : a est b . Pour que la réciproque soit vraie, il faut que d puisse disparaître, càd que b et c n’aient aucun attribut commun. En effet, pour que « ad est b », équivale à conclure : (2) « a est b », il faut que d ne soit pas compris dans b ; et pour que c soit c d , il faut que d soit compris dans c. Union simultanée des sujets et des prédicats : Si a est b , c est d , on a :

ac est b d

Cela résulte du théorème précédent, démonstration. démonstration, supposant le théorème : a est b ⊃ ac est b c : a est b donc ac est b c. c est d donc b c est b d , ac est b c, b c est b d , donc : ac est b d . (2). N.B. L’analogie de la divisibilité aide ici le raisonnement. C’est peut être cette divisibilité du sujet par l’attribut qui a conduit MACCOLL à adopter le signe : ( ?)

2e leçon : Leibniz (suite)

23

Dans cet Essai s’introduit nécessairement une idée fondamentale : celle de l’identité. LEIBNITZ en donne cette définition : Eadem sunt, quorum unum in alterius locum substitui potest, salva veritate. Gerh. t. VII, ch. XVIII, p. 219. |Cette définition suppose le théorème suivant énoncé et démontré par LEIBNITZ : [16] Si l’on peut substituer le terme b au terme a dans toutes les prop. ou figure celui-ci, on peut inversement substituer a à b dans toutes (sans en altérer la vérité) les prop. où figure b . En effet, supposons qu’on puisse substituer partout b à a, mais qu’on ne puisse substituer a à b dans les deux prop. supposées vraies : b est d , c est b . Il serait donc faux de dire : a est d , c est a. Or, en substituant b à a, il serait encore faux de dire : b est d ,

c est b

ce qui est contraire à l’hyp. Le théorème est démontré par l’absurde. Autre théorème relatif à l’identité : Si a est b , et si b est a, a = b . En effet, ou peut substituer b à a dans toutes les prop. où peut figurer a : 1o 2o 3o

a est c : ac est d : c est a :

b est a b c est ac, a est b ,

donc : donc : donc :

b est c. b c est d . c est b . (3)

| III. Dans ses Definitiones Logicæ (Erd. XXII, Gerh. t. VII, ch. XVII) LEIBNITZ cherche [17] à énoncer les règles du syllogisme au point de vue de la compréhension : A inclut B, si tout A est B. (Univ. affirm.) A exclut B, si nul A n’est B (univ. nég.) Nier que A inclut B, c’est dire que Qque A n’est pas B. Nier que A exclut B, c’est dire que Qque A est B Conversion simple : Si A exclut B, B exclut A. Conversion par accident : Si A inclut B, B n’exclut pas A. (Tout A est B, donc qque B est A.)

A. E. (O) (I.)

Il pose les deux règles suivantes pour le syllogisme : I. Le moyen inclus dans le sujet y inclut (ou en exclut) le prédicat qu’il inclut (ou exclut) lui-même. II. Le moyen exclu du sujet en exclut le prédicat qui l’inclut lui-même. Or cela suppose : 1o que si A exclut B, il l’exclut de toute idée où A est présent (inclus) ; 2o qu’il exclut toute idée où B est inclus. C’est sans doute ce que LEIBNITZ veut dire en énonçant ce principe : Le sujet est contenant, et le prédicat contenu simultané ou conjonctif ; ou bien le sujet est contenu, et le prédicat contenant, alternatif ou disjonctif (3). Cette définition de l’identité fait dépendre cette relation de la rélation « est », qui est moins simple et moins claire (c’est comme dans SCHRÖDER.) C’est le contraire dans Erd. t. VII, ch. XIX, XX.

Cours de Caen 1898–1899

24

(Gerh. VII, 223.) En un mot, que si deux idées s’excluent, chacune d’elles exclut toutes les idées qui participent à l’autre (Platon) qui contiennent l’autre dans leur compréhension. – Cela rend les rapports de compréhension impossibles à figurer et par suite à calculer. D’autre part, cela exclut la considération des propositions particulières, qui implique forcément l’extension. Aussi LEIBNITZ n’obtient-il ainsi que les 5 modes dont la conclusion est universelle : Barbara1, Calarent1, Cesare2, Camestres2, Camenes4 ; auxquels il ajoute autant de modes inférieurs, en subalternant la conclusion. [18] |C’est qu’en effet les rapports de compréhension ont un caractère nécessaire et absolu ; une idée en inclut une autre ou l’exclut totalement, pas de milieu. On ne peut pas dire qu’elle l’inclut ou l’exclut en partie. IV. Aussi revient-il bientôt (Difficultates logicæ, Erd. XXIII, Gerh. t. VII, ch. XVII.) à la considération de l’extension. En effet, il traduit ainsi les propositions A, E, I, O: A:

Tout A est B : A = AB, ou : A non B n’existe pas.

(AB désigné la classe commune aux classes A et B.) LEIBNITZ dit aussi : « Qui dit A, dit AB. » (p. de vue de la compréhension.) O (contradictoire de A) : E: I (contradictoire de E) :

A ≷ AB, ou : A non B existe. Nul A n’est B : AB n’existe pas. AB existe (= Ens.)

D’où les règles de l’opposition, par lesquelles on réduit les 2e et 3e figures, et de la conversion, par laquelle on réduit la 4e figure (à la 1e.) E et I se convertissent simplement, à cause de la symétrie : AB = BA. Conversion par accident : AB = A = Ens. Donc : Quelque B est A. E et I impliquent l’idée d’Etre, que n’impliquent pas A et O. (4) I: E:

AB = AB Ens. AB ≷ AB Ens.

On voit que LEIBNITZ s’efforce de ramener les propositions à des égalités (ou inégalités) [19] d’extension. |Pourtant il lui arrive encore de considérer B comme contenu dans A; de sorte que B n’ajoute rien à A, et que AB ne dit rien de plus que A. C’est même ainsi qu’il paraît arriver à l’équation : AB = A. Mais finalement, il paraît préférer le raisonnement par extension au raisonnement par compréhension employé par ARISTOTE. Il démontre que l’attribut est particulier dans les affirmatives et universel dans les négatives (point de vue de l’extension.) a (4). Pourtant il paraît se rétracter aussitôt après (Gerh. VII p. 214, bas.) a. The last two paragraphs are marked in the margin with a red stroke. Also in the margin there is a reference added, “p. 215, l. 8.”, probably Gerh. vol. VII.

3e leçon. V. Aussi dans le Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis (Ger. t. VII, ch. XIX.) emploie-t-il la copule = (∞). Il considère des rapports de contenant à contenu comme des rapports de compréhension (v. Remarque p. 27) et les figure par des segments sur une même droite (1) . Il appelle l’égalité une coïncidence. Il continue à définir l’identité par la possibilité de substitution. – Diversité : non égalité (non∞.) Définition du rapport de contenance : Si plusieurs pris ensemble coïncident avec un seul, chacun d’eux est contenu dans ce dernier. Ainsi : A+ B = L signifie que A est contenu dans L. Cela suppose une définition de l’addition signifiée par +. On ne la trouve pas ; mais on trouve cette remarque : que le contenant peut être égal au contenu, si par ex. : A = L, si B ne contient rien de plus que A, et d’autre part, que si A et B ont une partie commune, |elle ne figure qu’une seule fois [20] dans leur somme. (La remarque précédente n’est qu’un cas particulier de celle-ci.) Nous emploierons le signe < pour : contenu dans. Si un même terme M est contenu dans A et B, ceux-ci sont dits communiquants. Si A est B ne contiennent rien de commun, ils sont dits sans communication. On appelle subalternes deux termes dont l’un contient l’autre ; —- disparates deux termes dont aucun ne contient l’autre. Postulat I : Etant donné un terme quelconque, on peut trouver un terme divers, ou même disparate. (XX.) Postulat II : Etant donnés plusieurs termes quelconques, on peut les additionner, et en composer un seul, leur somme. Axiome I :

A + A = A.

Remarque : Pourquoi cette différence avec l’Arithmétique ? C’est que A est identique à A, tandis qu’en Arithmétique on additionne des termes égaux, mais différents. Ainsi 2 écus et 2 autres écus font 4 écus (Les 3 œufs qui en font 6.) Axiome II : Théorème I : II : III : IV :

A + B = B + A. (XX.) Si A = B, on a : B = A. (XX.) Si A =| B, on a : B =| A. (XX.) Si A = B, B = C , on a : A = C . Si A = B, B =| C , on a : A =| C .

(Démonstration en vertu de la définition de l’égalité.) | III. Théorème V : (XX.)

Si A = B, B < C , on a :A < C . (2)

(1). Lesquels équivalent en somme aux cercles d’EULER. Il suffit de les prendre avec les accolades (qui sont plus clairs) (d’ailleurs) pour former des aires dont les rapports de contenance sont les mêmes.

[21]

Cours de Caen 1898–1899

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Vl :

Si A < A, (A < A + A, A + A = A.)

Corollaire (th. VIII de XX) Réciproque de Théorème XI :

Théorème VII :

Si A = B, A < B (& B < A.) Si A = B, on a : A + C = B + C .

(toujours démonstration par substitution.) Corollaire : (th . X de XX) Si A = B, C = D, on a : A + C = B + D. Théorème VIII : (XX.) Si A < B, on a : A + C < B + C . En effet, A+ D = B ; A+ C < A+ D + C. (N.B. Cela suppose la loi associative de l’addition.) Théorème IX : Si A + B = A, on a B < A. En effet, B < A + B, A + B = A, donc : B < A [V.] Théorème X (Réciproque) : Si B < A, on a : A + B = A. En effet, B + C = A. A + B = B + C + B = B + C = A.  A+ B = A Ainsi les 2 relations sont équivalentes et B < A Remarque. Cela ramène la relation < à la relation =. Théorème XI : (XX.)

Si A < B, B < A, on a : A = B.

En effet : A + B = B, A + B = A, donc : A = B. Théorème XII :

Si A < B, B < C , on a : A < C .

En effet : A + D = B, B + E = C , donc : A + D + E = C . Remarque. On démontre ainsi le principe du syllogisme en Barbara, le Dictum de omni, posé en axiome par Aristote, et admis comme principe évident dans XVIII. [22] |Corollaire de Th. XII :

Si A + B < C , B < C .

En effet, B < A+B, A+B < C , donc B < C . De même on trouve : A < C . La réciproque est le th. XIII. Théorème XIII :

Si A < C , B < C , on a : A + B < C .

(2). Nous supprimons le théorème VI équivalent (Gerh. t. VII, ch. XX) : Si A < B, et B = C , on a A < C . Ce théorème se trouve dans une note marginale de XIX (après le th. II.)

3e leçon : Leibniz (suite)

27

En effet, A + D = C , B + E = C , donc : A + D + B + E = C + C = C . Ainsi l’on peut unir ou séparer plusieurs prop. ayant même sujets et des attributs divers (v. Remarque de la p. 27.) Théorème XIV :

Si A < C , B < D, on a : A + B < C + D.

En effet, A < C < C + D, B < D < C + D, donc (en vertu de XIII) : A + B < C + D. Ainsi l’on peut ajouter membre à membre plusieurs propositions (mais non les séparer.) Problème I (XX. prop. 23) : Etant donnés 2 termes disparates A et B, trouver un terme C divers de chacun d’eux ; Solution : C = A + B. C =| A, C =| B. Problème II (XIX, probl. entre les th. XI et XII.) A deux termes égaux ajouter deux termes divers de telle sorte que les sommes soient égales. Soit : A = A; prenons C sans communication avec A; posons : On a : B > C, On voit que, de l’égalité : on ne peut conclure :

A + C = B. et : A + B = A + C (= B.) A+ B = A+ C, B = C.

(réciproque du th. VII.) |Problème III (XX, prop. 22) : Etant donnés 2 termes disparates A et B, trouver [23] un 3e terme C tel que : A+ C < B + C Prenons D disparate à A, et posons : A+ D = C. A + C = A + A + D = A + D. B + C = B + A + D, A + D < B + A + D. On voit que de l’inégalité : A+ C < B + C, on ne peut conclure l’inégalité : A< B (réciproque du th. VIII.) Problème IV (XX. scholie ad prop. 24.) Etant donnés 2 termes divers ou même disparates A et B, trouver un 3e terme C tel que : Il suffit de prendre :

A+ C = B + C. C = A + B. A+ C = B + C A = B.

Encore ici, on voit que de : on ne peut conclure :

Ces difficultés viennent de ce que LEIBNITZ admet l’addition de termes communicants, la partie commune ne figurant qu’une fois dans la somme (par l’ Axiome I.) Cela soumet la soustraction à des conditions et restrictions gênantes. (Cette théorie ne se trouve que dans XX.) Axiome :

A − A = 0.

28

Cours de Caen 1898–1899

Si l’on pose un terme, et qu’on le retranche immédiatement après, le résultat est nul. Postulat : Si A < L, il existe : L − A, càd un ensemble qu’on obtient en supprimant dans L tout ce qui n’est pas A. [24] |Théorème I (VIII) : Si A = B, C = D, on a : A− C = B − D. (démonstration par substitution.) Théorème II (X) : Le retranché et le résidu sont sans communication. En effet, si L − A = N , N ne contient, par définition, aucun des éléments de A. Remarque : On a par définition : A + N = L. III. Supposons que A et B aient une partie commune M , et des parties non communes C et D : A = M + C , B = M + D. Soit L leur somme : L = A + B = M + C + D. Retranchons-en A, càd M + C : L− A= L− M − C = D = B − M. On voit qu’en retranchant A on retranche la partie commune à A et B, donc le reste n’est pas B. Ainsi l’on ne peut écrire : A+ B − A = B que si A et B sont sans communication. De même pour : A + B − B = A. Théorème IV (XI) : Dans 2 termes communicants, la partie commune et les 2 résidus sont sans communication. Théorème V (XII) : Si A + B = C + D, et si A = C , on peut en conclure : B = D, si A et B, C et D sont sans communication. En effet, Or : Donc : [25]

A + B − C = A + B − A = C + D − C [II.] A + B − A = B, C + D − C = D [III.] B = D.

|Théorème VI : Si en ajoutant deux termes respectivt à 2 termes égaux on obtient des sommes égales, les deux termes ajoutés sont communicants (XIII.) Soient : A+B = A+C . 1er cas : A et B, A et C sont sans communication ; alors (par le th. V) on conclut : B = C .  A= M +N A+ B = M + N + P = M + N + C. 2e cas : A et B communiquent : B = M + P. Alors M + N étant sans communication avec P , ou bien M + N est sans communication avec C , et alors : P = C , C < B ; ou bien C communique avec M + N , càd avec M ou N . S’il communique avec M , il communique avec B. S’il communique avec N , posons :  C = R+S Il vient : M +R+T +P = M +R+T +R+S N = R + T. d’où (par le th. V) : P = S. Or : S < C , P < B.

3e leçon : Leibniz (suite)

29

Théorème VII (IX) : Addition et soustraction du même terme. Trois cas : 1o Si A, B, C sont sans communication (cf. III.) on a : A + B − C − B = A − C . 2o Si la partie M commune à A et B est aussi la partie commune à B et C , on a : A+B−(B+C ) = A−C . En effet, posons : A = M +N +R, B = M +P , C = M +Q+R (A et C pouvant avoir en outre R commun.) : M +N +P +R−(M +P +Q+R) = N −Q = A−C . |3e cas : Si la partie commune à A et B ne coïncide pas avec la partie commune à B [26] et C , on n’a pas : A+ B − B − C = A− C En effet, posons :

A= E +F +G B =E +F +H C = E +H +K

(A + B) − (B + C ) = (E + F + G + H ) − (E + F + H + K) = G − K Or G − K n’est pas égal à A − C , à moins que : F = H . Conclusions. LEIBNITZ a commencé par la copule est, et lui a subordonné la copule =. Il finit par adopter la copule = comme primitive, et par définir est par =. Il a commencé par poser en principe le Dictum de omni ; il finit par le démontrer en réduisant la relation < à la relation =. Il n’a pas défini l’opération fondamentale (d’où obscurité). Il la représente tantôt par la multiplication, tantôt par l’addition. Mais c’est toujours pour lui la multiplication logique, càd l’addition des compréhensions. Il préfère le point de vue de l’extension à celui de la compréhension, bien que celui-ci ne se prête pas au symbolisme géométrique et arithmétique. Ou du moins, les rapports d’exclusion (symétriques) s’y prêtent, ainsi que les rapports d’inclusion, pris à part ; mais non quand on combine les rapports d’inclusion et d’exclusion (syllogisme négatif.) D’ailleurs, le p. de vue de la compréhension n’admet pas non plus la distinction de l’universel et du particulier qui est fondée sur la considération de l’extension. |Enfin, il admet l’addition de termes non disjoints, càd ayant une partie commune, [27] ce qui rend la soustraction compliquée et soumise à des restrictions gênantes. Aussi paraît-il avoir renoncé à la soustraction (de XIX à XX Gerhardt t. VII). Remarque : La preuve qu’il considère le rapport de contenance ou d’inclusion au p. de vue de la compréhension c’est qu’il admet et démontre la possibilité d’unir ou de séparer les antécédents de cette relation qui ont même conséquent (Th. XIII et corollaire du th. XII.) Or ce sont des attributs d’un même sujet qu’on peut unir et séparer indifféremment, non les sujets d’un même attribut (cf. p. 14.) (Cela est vrai à la condition que la combinaison en question soit l’addition des compréhensions, car ce serait l’inverse pour l’addition en extension.) Rien dans XIX ne prouve qu’il se place au point de vue de la compréhension ; ce sont les exemples de XX qui le montrent. Encore LEIBNITZ dit-il que les relations de < peuvent s’entendre également en extension et en compréhension.

[29]

4e leçon.

On passera sous silence HAMILTON, qui inventa la quantification du prédicat, mais qui refusa d’en tirer la conséquence logique, savoir la réduction des propositions à des équations ; et DE MORGAN, qui lui aussi quantifiait les termes et les propositions, mais qui n’a pas inventé un calcul logique. I. Le véritable créateur de l’Algèbre logique est George BOOLE, qui a inventé un algorithme systématique et complet. C’est qu’il s’est affranchi entièrement de la logique aristotélique, et a fondé la Logique sur de nouveaux principes indépendants, tandis que les autres ne cherchaient qu’à généraliser ou à réformer la théorie du syllogisme. L’idée maîtresse est que les formes du raisonnement sont susceptibles d’une expression mathématique, parce qu’elles sont d’essence mathématique. La Mathématique n’a pas pour objets exclusifs le nombre et la grandeur, mais tout ce qui est susceptible de déduction formelle. Le problème général de la Logique est celui ci : Etant données certaines relations entre des concepts, en déduire toutes les relations qui en résultent nécessairement entre ces concepts ou quelques-uns d’entre eux. C’est un problème analogue à la résolution des équations ou à l’élimination des inconnues en Algèbre. Il s’agit de construire la Logique sous forme d’une Algèbre ; non pas de la calquer sur l’Algèbre ordinaire, mais d’en [30] faire une Algèbre analogue, indépendante. |Pour cela, il faut rechercher les lois fondamentales de la pensée et les formuler symboliquement. C’est après coup seulement que l’on remarquera les ressemblances & différences de cette Algèbre nouvelle avec l’Algèbre ordinaire. II. Que représenteront les signes lettres dans cette Algèbre ? Elles représenteront les idées ou concepts, non en compréhension (comme chez LEIBNITZ) mais en extension : elles représentent les classes d’objets dénotées par les noms possédant les caractères correspondants. La seule copule sera =, signe d’égalité ou identité ; les deux membres sont des classes identiques, ou la même classe, càd composées des mêmes individus ; tout objet qui appartient à l’une appartient à l’autre, et reciproqt. Opérations ou combinaisons de lettres : Le produit (symbolique) xy représente l’ensemble des objets communs aux classes x et y (c’est une classe déterminée) ou encore (p. de vue de la compréhension) l’ensemble des objets qui possèdent à la fois les caractères x et y. Propriétés formelles de la multiplication logique : Loi commutative :

xy = y x

En effet, l’ordre des caractères est indifférent : poème épique = épopée en vers. Loi associative :

(xy)z = x(y z)

Il revient au même d’attribuer à un objet 2 caractères, successivt ou en même temps. Un poème épique (grec) est une épopée (grecque) en vers. La somme (symbolique) x + y désigne l’ensemble des objets (nouvelle classe) conte[31] nus dans les deux classes x et y (supposées |sans connexion pour éviter les difficultés

4e leçon : Calcul de Boole

31

auxquelles LEIBNITZ se heurtait pour la soustraction et pour se rapprocher de l’addition arithmétique, où toutes les unités sont supposées distinctes.) Propriétés formelles de l’addition logique : x+y =y+x

Loi commutative :

En effet, la classe somme ne dépend pas de l’ordre de sommation ; les chiens & les chats = les chats et les chiens. Loi associative :

(x + y) + z = x + (y + z)

Ex. : les chevaux, chiens et chats = les chevaux, plus les chiens et chats. Enfin loi distributive de la multon par rapp. à l’addon : (x + y)z = x z + y z Les chiens et chats blancs = Les chiens blancs & les chats blancs. De même : z(x + y) = z x + z y (par loi commut.) Enfin BOOLE définit l’opération inverse de l’addition, qui est la soustraction ; et comme les classes sommées sont toujours supposées sans connexion, la soustraction s’effectue comme en Arithmétique. Si x + y = z, x = z − y, les hommes et femmes constituent les êtres humains, les hommes sont les êtres hum. moins les femmes. La différence de 2 classes est donc la classe qu’on obtient en retranchant la 2e de la 1e (les individus qui composent la 2e.) On peut donc non seulement ajouter, mais retrancher un même terme aux 2 membres d’une égalité, ou encore le faire passer d’un membre dans l’autre. |La loi distributive vaut encore pour la soustraction : (x − y)z = x z − y z [32] Les hommes français sont les Français moins les femmes françaises. On peut multiplier les 2 membres d’une égalité par un même facteur. Si :

x = y,

x z = y z.

En effet, si les individus des 2 classes x, y sont identiques, les individus de ces 2 classes qui possèdent le caractère z sont les mêmes. Mais on ne peut pas diviser par un même facteur ; de x z = y z ou ne peut conclure : x = y. De ce que tous les Français soldats = tous les h. Franç. soldats, il ne suit pas que tous les Fr. = tous les h. Fr. (non les femmes). Aussi la division n’est-elle pas employée, ni même définie, bien qu’elle soit susceptible de définition. En résumé, l’addition et la multiplication logiques sont les mêmes lois formelles que les opérations algébriques de même nom (ce n’est, bien entendu, qu’une analogie formelle) de sorte qu’on peut traiter les équations logiques comme les équations algébriques (sauf la division.) Mais en outre les symboles logiques vérifient une relation qui est propre à la Logique : x x = x. En effet, en extension, l’ensemble des objets communs aux classes x et x (identiques) est la classe x. En compréhension, la classe des objets qui possèdent les caractères x et x

32

Cours de Caen 1898–1899

(identiques) sont tous les x. BOOLE appelle cette formule : loi de dualité. JEVONS : loi de simplicité. Nour l’appellerons loi de tautologie. [33] |III Ainsi l’on peut appliquer aux symboles logiques le calcul algébrique, en tenant compte de la relation spéciale à la Logique : x = x 2 = x 3 = ... (Donc, pas de puissances supérieures à la 1e.) Or, quelles sont, en Algèbre, les racines de l’eq. : x 2 = x ou x 2 − x = 0, x(x − 1) = 0. Ce sont : x = 0, et x = 1. En effet : 0.0 = 0, 1.1 = 1. Ainsi le calcul logique est identique au calcul algébrique portant sur des symboles qui ne seraient susceptibles que des valeurs numériques 0 et 1. Grâce à cette convention (qui n’est qu’une fiction) l’analogie est complète, et l’Algèbre de la Logique se réduit à l’Algèbre ordinaire (division à part ; et encore, on peut dire que cette exception est justifiée, puisque chaque symbole logique est susceptible de la valeur 0.) Revenons à la Logique. Quelle est la signification logique des symboles 0 et 1? Le symbole 0 (par sa définition formelle) est le module de l’addition : x +0= x

x − x = 0.

Il représente donc la classe nulle ou le néant. Quand on n’ajoute rien à une classe, on obtient la même classe ; quand d’une classe on retranche tous les individus de cette classe, il ne reste rien. On a de plus :

0.y = 0 (pour tout y.)

Interprétation : La classe nulle est telle, qu’elle est identique aux parties qu’elle a en commun avec n’importe quelle classe (puisqu’elle n’en a aucune de commune.) [34] |Remarque : Toute égalité : x = y peut s’écrire comme en Algèbre : x − y = 0. L’équation : xy = 0 signifie qu’il n’y a aucun individu commun aux classes x et y. Quant au symbole 1, il a pour propriété formelle d’être le module de la multiplication : 1.x = x. Interprétation : Quelle est la classe telle que l’ensemble des éléments qu’elle a en commun avec chaque classe x soit cette classe x elle même ? Pour cela, il faut qu’elle contienne tous les éléments de toutes les classes x qu’on peut avoir à considérer, en d’autres termes, tous les individues qui peuvent être objets de raisonnement (au moins dans un certain ordre d’études.) La classe 1 est donc la totalité des objets de pensée, ou, comme dit BOOLE, « l’Univers du discours. » Or (suivant la théorie de DE MORGAN) tout concept partage l’ensemble des choses pensables en deux classes : celle des objets qui possèdent les caractères indiqués par ce concept, et celle des objet qui ne le possèdent pas ; si l’on retranche de l’Univers tous les hommes, il reste tous les non-hommes (tout ce qui n’est pas homme.) Donc le concept non-x est représenté par (1 − x), classe supplémentaire de x, car : x + (1 − x) = 1. BOOLE croit pouvoir déduire de là le principe de contradiction : x = x devient : x − x 2 = 0, ou x(1 − x) = 0, ce qui signifie : Il n’y a aucun objet qui soit à la fois x et non-x. Seulement il n’a pas vu que le principe de contradiction est déjà [35] impliqué dans la définition de (1 − x), ou en général de la soustraction, et |même dans le

4e leçon : Calcul de Boole

33

postulat de l’addition (disjonction complète.) Dire qu’en retranchant de l’Univers tous les x on obtient une classe, celle des êtres objets qui ne sont pas x, c’est affirmer le principe de contrad. ou celui du milieu exclu, qui est équivalent. Donc la formule : x(1 − x) = 0 n’est que l’expression algébrique d’une loi de la pensée ; elle ne la démontre pas, elle la rattache seulement par un artifice algébrique à la loi de tautologie. D’ailleurs, la déduction est correcte, au p. de vue logique : En effet, on a d’une manière générale : x − xy = x(1 − y) Les chiens moins les chiens noirs = les chiens qui ne sont pas noirs. On peut donc écrire : x − x 2 = x(1 − x) et le 2e membre signifie : Les x qui ne sont pas x. D’autre part, on sait que de x = x 2 on peut déduire : x − x 2 = 0. Non : la soustraction n’a de sens que si le 2e terme est contenu dans le 1er ; ce qui est toujours le cas, quand le 1er est facteur du 2e. Donc on peut écrire : x(1 − x) = 0. La déduction est donc formellement correcte mais ne prouve pas le principe parce qu’elle l’implique. IV. Traduction des propositions en formules. BOOLE n’admet pas d’autre copule que =, d’autre relation que l’identité. D’où nécessité de quantifier le prédicat (en extension) pour lui donner une extension égale à celle du sujet (comme le voulait HAMILTON et les précurseurs : CARAMUEL, DERODON, PLOUCQUET, DESTUTT DE TRACY, etc. ; cf. BOURDILLAT. a ) |D’autre part, les prop. négatives se réduisent aux prop. affirmatives (comme l’avait [36] indiqué DE MORGAN) : Dire que x n’est pas y, c’est dire que x est non-y. Aucun x n’est y, = tout x est non-y. Qque x n’est pas y = Qque x est non-y. Pour particulariser une classe (càd en prendre une partie) on la multipliera par une (classe) indéterminée q, qui a pour effet d’enrichir la compréhension du concept, et par suite de diminuer son extension. Ainsi on n’a que 4 types de propositions (HAMILTON) : b a. François Bourdillat, La réforme logique de Hamilton, Paris : Hachette, 1891. Bourdillat, who died in 1890 at the age of only 22, studied at the Ecole nationale supérieure at the same time as Louis Couturat, so they most likely knew each other personally. b. Cf. Sir William Hamilton, Lectures on Metaphysics and Logic, Vol. 2 : Logic, Boston : Gould and Lincoln, pp. 534-9.

34

Cours de Caen 1898–1899 Toto-totale : x = y (Tout x = tout y) Toto-partielle : x = q y Parti-totale : q x = y Parti-partielle : q x = q  y

L’un ou l’autre des termes peut avoir la forme négative (1 − z.) Si les termes sont complexes, on les traduira par des combinaisons de termes simples au moyen des signes +, − et ×. Toute classe définie peut s’exprimer par une telle combinaison. Exemples : Tous les x et tous les y : x + y (si disjonction) xy + x(1 − y) + y(1 − x) (si non exclusion) = x + y(1 − x) (les x et les y qui ne sont pas x) x(1 − y) + y(1 − x) (si exclusive.) Remarque. Le signe + se traduit par et dans le sujet et pas ou dans l’attribut. Au contraire, la conjonction et dans l’attribut se traduit par × (Equivoques du langage). Les nobles et les riches sont ... Ces personnes sont nobles et riches. Toutes les personnes qui sont nobles ou riches.

5e leçon.

[37]

I. Une fois les propositions traduites en équations, on les soumettra au calcul algébrique, en tenant compte de la relation spéciale : x 2 = x ; en d’autres termes, on traitera les symboles logiques comme des symboles algébriques susceptibles seulement des valeurs 0 et 1. Il n’y a pas à s’inquiéter du sens des équations transformées, ni de leur interprétabilité logique ; car on sait que les lois du calcul logique sont formellement identiques à celles du calcul algébrique. Il suffit de savoir interpréter dans tous les cas possibles le résultat du calcul ; ainsi, l’on traite les symboles logiques comme des symboles algébriques (numériques), et on leur rend à la fin le sens qu’ils avaient au début (dans la mise en équations). La Logique emprunte en quelque sorte le secours de l’Algèbre pour tout le processus intermédiaire. Mais la solution algébrique peut n’être pas logiquement interprétable (notamment si elle contient le signe de la division : ex. : x = a − b /c .) Procédé général pour rendre une formule interprétable : développement. II. Une classe qcque y peut s’exprimer en fonction d’une classe donnée x et de sa y = q x + q  (1 − x) négation (1 − x) par la formule : q étant le caractère distinctif des y qui sont x, q  celui des y qui ne sont pas x. D ’une facon générale, une classe qcque est répartie |nécessairement entre toutes [38] les classes dont la somme est 1 (totalité des objets du raisonnement.) Une fonction f (x) d’une seule variable x sera développée, quand elle sera sous la a x + b (1 − x) forme : Théorème : Développement d’une fonction f (x) : f (x) = a x + b (1 − x) f (1) = a f (0) = b

Posons : Faisons x = 1 : x =0: Donc :

f (x) = f (1)x + f (0)(1 − x)

Et en effet, cette fonction algébrique coïncide avec la fonction f (x) pour les 2 seules valeurs que peut prendre x (0 et 1.) Théorème : Développement d’une fonction f (x, y) : f (x, y)

=

f (1, y)x + f (0, y)(1 − x)

f (1, y) f (0, y)

= =

f (1, 1)y + f (1, 0)(1 − y) f (0, 1)y + f (0, 0)(1 − y)

Donc : f (x, y) = f (1, 1)x y + f (1, 0)x(1 − y) + f (0, 1)(1 − x)y + f (0, 0)(1 − x)(1 − y) D’où règle générale, démontrable par induction complète : Règle des constituants : Former toutes les combinaisons possibles des variables x, y, z, ... et de leurs négations. Pour cela, former leur produit complet ; puis y changer z en (1 − z) ; puis changer y en (1 − y) dans

Cours de Caen 1898–1899

36

les 2 prem. constituants ; puis changer x en (1 − x) dans les 4 const. précédents, et ainsi de suite. – Pour n variables, on obtient ainsi 2n constituants. [39] |Règle des coefficients : Pour former le coefficient de chaque constituant, remplacer dans f (x, y, z, ...) par 1 toute variable qui figure dans le constituant, et par 0 toute variable dont la négation figure dans le constituant (ou encore : égaler à 1 tous les facteurs pos. ou nég. qui figurent dans le constituant.) Le développement est la somme des constituants multipliés chacun par son coefficient propre. Remarque : Le constituant est l’élément variable ou indéterminé de chaque terme, le coefficient est l’élément connu ou constant (x, y, z sont appelés facteurs du constituant.) Développement de 1 : 1 = x + (1 − x) 1 = xy + x(1 − y) + (1 − x)y + (1 − x)(1 − y) En général, la somme des constituants d’un développement est égale à 1. Le produit de 2 constituants qcques (et par suite de 2 termes d’un développement) est égal à 0. En effet, 2 constituants différent au moins par un facteur qui figure positivt dans l’un et négativt dans l’autre ; or : x(1 − x) = 0, et cela suffit pour annuler le produit où entrent ces 2 facteurs. Chacun des constituants satisfait d’ailleurs la loi de dualité : x 2 = x. Si V est une somme de constituants ayant tous pour coefficient 1, V vérifie la loi de dualité. En effet, si 2

V =

V = t1 + t2 + ... + tn 2 t1 + t22 + ... + tn2 = t1 + t2 + ... + tn 2 V = V,

[40]

V (1 − V ) = 0.

| III. L’interprétation d’un développement est aiseé. En effet, les constituants réunis forment l’Univers, reparti d’après les classes x, y, z, .... et le coefficient indique dans quelle mesure chaque constituant figure dans la somme (divisions exclusives les unes des autres.) Pour interpréter l’équation logique : V = 0, il faut développer V , et égaler à 0 tout constituant dont le coefficient n’est pas nul. En effet, si l’on multiplie l’équation par ce constituant, tous les autres s’annulent, et il reste ce seul terme égal à 0. Son coeff. n’étant pas nul, son constituant doit l’être. Exemple : x = y z. « Les animaux purs sont ceux qui ruminent et ont le sabot fendu. » a On développe : x − y z = 0. 0xy z + xy(1 − z) + x(1 − y)z + x(1 − y)(1 − z) − (1 − x)y z + 0(1 − x)y(1 − z) + 0(1 − x)(1 − y)z + 0(1 − x)(1 − y)(1 − z) = 0 a. Allusion to the distinction between “clean” and “unclean” animals in Leviticus 11, 3 : “Whatsoeuer parteth the hoofe, and is clouen footed, & cheweth cud among the beasts, that shall ye eate.” The example is from George Boole, An Investigation of the Laws of Thought, on which are found the mathematical theories of logic and probabilities, London : Walton and Marberly, 1854, p. 84.

5e leçon : Développement des formules

37

D’où les 4 équations : xy(1 − z) = 0 x(1 − y)z = 0 x(1 − y)(1 − z) = 0 (1 − x)y z = 0 Ainsi toute prop. même affirmative, équivaut à un ensemble de négations (non-existence de certaines classes.) Interpréter l’équation logique : V = 1. On développe V ; l’équation signifie que les termes non nuls (à coeff. 0) forment réunis l’Univers ; càd que tous les objets se répartissent entre ces diverses classes. |L’équation : V = 1 est complémentaire de V = 0. [41] Toute équation V = 0 peut s’écrire 1 − V = 1. 1 − V = 0. De même : V =1 En effet, si l’on développe 1, et qu’on supprime les constituants qui s’annulent en vertu de V = 0, il reste la somme des constituants restants = 1. Ainsi, dans l’exemple précédent, on a : xy z + (1 − x)y(1 − z) + (1 − x)(1 − y)z + (1 − x)(1 − y)(1 − z) = 1. On peut tirer de là des conclusions touchant x, y, z, 1 − x, 1 − y, 1 − z. IV. Méthode générale de résolution des équations : Toute équation étant du 1er degré peut se mettre sous la forme : M x + N (1 − x) = 0, d’où l’on tire : x = N /N − M

(M − N )x + N = 0

1 − x = M /M − N

On dévéloppe ces expressions. Lorsqu’on a résolu une équation par rapport à une lettre, on a une formule du type : x = V , V étant une fonction des autres lettres (supp. connues). Pour interpréter logiqt cette expression, on développe V . Règle pour interpréter les coefficients : 1o . Coefficient 1 : indique que le constituant doit être pris dans toute son extension (car 1z = z.) 2o Coefficient 0 : indique que le constituant ne figure pas dans l’expression de x (car 0z = 0.) 3o Coefficient 0/0 : symbole d’indétermination en Arithmétique. A le même sens en Logique. Ex. : x(1 − y) = 0 d’où : x = 0/0y, équiv. à x = xy (Tout x est y.) Exemple plus simple : xy = 0, x = 0/y = 0/0(1 − y) Tirons y : y = x/x = x + 0/0(1 − x). En effet, y comprend tous les x, et quelques non-x (quelques absolument indéterminé, peut être aucun, peut être tous.) Donc 0/0 est le symbole d’une classe indéterminée (qu’on représente aussi par q.)

Cours de Caen 1898–1899

38

4o Coefficients ne vérifiant pas la loi : x(1 − x) = 0. (N.B. le coeff. 0/0 la vérifie, car il peut être 0 ou 1.) Le constituant correspondant doit être égal à 0. En effet en élevant au carré les 2 membres de la formule : x = V , on a x = V 2, |d’où : V 2 − V = 0. [42] (a1 − a12)t1 + (a2 − a22)t2 + ... + (an − an2 )tn = 0. D’après un théorème précédent, si tout constituant dont le coefficient ne s’annule pas doit être égal à 0. Donc, si aK =| aK2 , le constituant tK est nul. La forme la plus fréquente de ces coefficients est 1/0 (en Arithmétique Algèbre symbole de l’infini) et l’on peut toujours la leur substituer. En résumé, quand on aura groupé les termes en 4 classes A, B, C , D, telles que : x = 1A + 0B + 0/0C + 1/0D, la solution complète du problème sera : x = A + qC ,

D = 0.

Exemple : De l’équation : x = yz tirer la définition de 1 − x (animaux impurs.) 1 − x = y(1 − z) + z(1 − y) + (1 − y)(1 − z) tirer la définition de y : y = x z + 1/0x(1 − z) + 0(1 − x)z + 0/0(1 − x)(1 − z) et celle de (1 − y) : 1 − y = 0x z + − 1/0x(1 − z) + 0(1 − x)z + 0/0(1 − x)(1 − z) (à interpréter.) Remarque critique : On n’a pas le droit de diviser les 2 membre d’une équation par un même terme ; logiqt, cela est faux (v. plus haut) ; algébriqt, ce n’est pas permis, car tout symbole peut être nul. [43] |L’équation : D =0 représente ce qui est vrai, en conséquence des prémisses, indépendamment de x ; en d’autres termes, le résultat de l’élimination de x. Aussi, pour que V soit interprétable indépendamment (càd sans aucune condition imposée aux constituants) il faut et il suffit qu’on ait : V (1 − V ) = 0. En effet, V doit alors représenter une classe x, et tous ses coefficients doivent vérifier la loi de dualité.

6e leçon. I. De l’élimination. On vient de voir des modes de déduction immédiate ; la déduction médiate s’effectue par l’élimination des termes intermédiaires. Le syllogisme n’est qu’un cas particulier d’élimination. L’élimination n’a pas les mêmes lois en Logique qu’en Algèbre. On peut éliminer un nombre qcque de symboles d’un nombre qcque d’équations, grâce à la relation supplémentaire : x = x 2. Elimination d’une inconnue d’une équation . Soit l’équation : f (x) = 0. L’équation f (1) f (0) = 0 est vraie indépendamment de x (si la 1e est vraie), c’est le résultat de l’élimination de x. En effet, développons : f (1)x + f (0)(1 − x) = 0 [ f (1) − f (0)]x + f (0) = 0 x=

f (0) f (0) − f (1)

1− x =

f (1) f (0) − f (1)

|Grâce à l’équation auxiliaire : x(1 − x) = 0, on trouve : f (0) f (1) =0 [ f (0) − f (1)]2

[44]

f (0) f (1) = 0.

Remarque. L’équation f (1) f (0) = 0 exprime ce qui est vrai à la fois quand x = 0, et quand x = 1, càd indépendamment de x. Interprétation : Mult. l’eq. par x et par (1 − x) : f (1)x = 0,

f (0)(1 − x) = 0.

Aucun f (1) n’est x, Aucun f (0) n’est non-x, ou : Tout f (0) est x. Par conséquent : Aucun individu n’est à la fois f (0) et f (1) ; f (1) f (0) = 0, ce qu’on obtient en mult. les 2 éq. membre à membre. Application : Eliminer q de : x = q y. x − q y = 0, x(x − y) = 0,

f (1) = x − y, x = xy, ou :

f (0) = x. x(1 − y) = 0.

Aucun x n’est non-y (ou encore y = x/x ; v. supra.) Elimination de plusieurs inconnus. f (x, y) = 0. On élimine x, puis y : f (1, y) f (0, y) = 0

f (1, 1) f (1, 0) f (0, 1) f (0, 0) = 0.

Remarque. Le 1er membre est le produit des coeff. du développement. La démonstration est générale. D’où :

40

Cours de Caen 1898–1899

Règle générale : Pour éliminer un nombre qcque d’inconnus d’une éq. V = 0, on développe le 1er membre par rapp. à ces inconnues, et l’on égale à 0 le produit des coefficients de ce développement. Exemple : Définition de la richesse par SENIOR. a [45] |II. Réduction d’un système d’équations. Puisque toute éq. à 2e membre nul : V = 0 indique qu’on doit annuler séparément tous les termes non nuls, on peut réunir plusieurs équations de cette forme en une seule, pourvu qu’aucun de leurs termes ne disparaisse ; et pour cela, il faut & il suffit que leurs coefficients soient tous positifs. Car si les coeff. d’un même constituant a, b , c, .... sont tous positifs, le coeff. résultant (a + b + c + ...) sera encore positif, et le constituant correspondant devra être nul. Si les coefficients ne sont pas tous positifs, l’éq. : V12 + V22 + ... = 0 sera équivalente au système : V1 = 0, V2 = 0, .... V1 = a1 t1 + a2 t2 + ...

En effet, si :

V12 = a12 t1 + a22 t2 + ... dont les coefficients sont tous positifs. D’ailleurs, si V1 = V12, inutile d’élever au carré. Quand une équation a tous ses coefficients positifs, le résultat de l’élimination possède le même caractère. Règle générale : Elever au carré les éq. dont le 1er membre ne vérifie pas la loi de dualité (le 2e membre étant 0) et les combiner toutes par addition. Applications : X = vY X =Y

[46]

X (1 − Y ) = 0.

2

X (1 − Y ) + Y (1 − X ) = 0. (X − Y ) = (X − 2X Y + Y ) vX = vY vX (1 − Y ) + vY (1 − X ) = 0.

|Exemple : L’étude d’une substance a conduit aux conclusions suivantes : Toutes les fois que les propriétés A et B sont présentes ensemble, l’une des propriétés C et D est présente, mais non toutes les deux. Toutes les fois que les propriétés B et C sons présentes, les propriétés A et D sont toutes deux présentes ou toutes deux absentes. Toutes les fois que A et B sont toutes deux absentes, C et D sont toutes deux a. Cf. note c, p. 47.

6e leçon : De l’élimination, réduction d’un système d’équations

41

absentes, et réciproquement. xy = v[w(1 − z) + z(1 − w)]

Eq :

y z = v[w x + (1 − x)(1 − w)] (1 − x)(1 − y) = (1 − z)(1 − w) xy[1 − w(1 − z) − z(1 − w)] = 0 y z[1 − w x − (1 − x)(1 − w)] = 0

Eliminons v :

xy[w z + (1 − z)(1 − w)] = 0 y z[w(1 − x) + x(1 − w)] = 0 ⎧ ⎪ ⎨ xy[w z + w z] = 0 y z(w x + xw) = 0 ⎪ 3e éq. (au carré) : ⎩ xy(1 − w z) + w z(1 − x y) = 0

ou bien :

ou bien :

Ajoutons et éliminons w : (xy z + xy z + x y)[xy z + xy z + xy z + xy z = 0

xyz + z(1 − x y)] = 0 (xy − xy z) 0 z= xy + x y

Développement : 0 z = 0xy + xy + 0xy 0 0 0 z = x(1 − y) + y(1 − x) 0 0 |On peut de même obtenir x en résolvant l’éq. : xy z + (1 − x)(1 − y)z = 0 x=

(1 − y)z 0 0 = 0y z + y(1 − z) + z(1 − y) + (1 − y)(1 − z) (1 − y)z − y z 0 0 = z(1 − y) + 0(1 − z)

De même :

0

y = z(1 − x) + 0 (1 − z).

[47]

7e leçon. Propositions secondaires. I. Jusqu’ici on s’est occupé de prop. primaires, dont les termes sont des concepts, ou plutôt des classes d’objets. Les prop. secondaires sont celles qui ont pour termes des prop. primaires. Les prop. primaires expriment des relations entre les objets, les prop. secondaires des relations entre les propositions. Elles portent sur les propositions considérées comme vraies ou fausses. Elles comprennent en particulier l’affirmation de la vérité ou de la fausseté d’une prop. primaire. Elles comprennent aussi les prop. hypothétiques, et disjonctives : « Si x est vraie, y est vraie. » « Ou bien x est vrai, ou bien y est vraie, » etc. La connexion entre 2 ou plusieurs prop. n’est pas une connexion d’inhérence, comme celle d’attribut à sujet copule est mais de liaison ou de dépendance logique. Or de même que la relation de compréhension de 2 concepts se traduit par une relation d’extension entre les classes correspondantes, de même la relation logique de 2 prop. doit se traduire par un rapport d’extension (pour pouvoir les soumettre au calcul [48] algébrique.) |C’est le temps qui fournit la base de ce rapp. d’extension. En effet, deux prop. qui s’impliquent l’une l’autre sont vrais en même temps ; si elles s’excluent, elles ne peuvent être vraies en même temps, quand l’une est vraie, l’autre est fausse, etc. Le temps fournit même aux jugements catégoriques un schème approprié ; un juge nécessaire est toujours vrai, c’est une vérité éternelle ; un juget absurde ou contradictoire est toujours faux. Un jugement contingent est (ou peut être) tantôt vrai, tantôt faux. (Cf. le schématisme kantien. a ) Ainsi les relations entre propositions peuvent être schématisées par des relations temporelles quand bien même les prop. en elles-mêmes n’impliqueraient aucun rapport au temps ; exactement comme les rapports de compréhension impliquent & déterminent virtuellement des rapports d’extension. II. On convient de représenter par la lettre qui figure chaque prop. l’ensemble des instants où elle est vraie, en d’autres termes sa durée de valabilité (continue ou discontinue.) C’est un domaine temporel, qui peut se figurer par un domaine spatial linéaire. Addition : x + y représente l’ensemble des instants qui composent les domaines x et y (sans connexion) x+y =y+x

(x + y) + z = x + (y + z)

Soustraction : x − y représente l’ensemble qui reste quand on retranche du domaine x tous les instants du domaine y (quand on les supprime.) (x − y) et y sont sans connexion, par définition. [49] |Multiplication : x y représente l’ensemble des instants qui appartiennent à la fois à a. In the chapter “Of the Schematism of the Pure Concepts of the Understanding” of Critique of Pure Reason Kant identifies the schema of the category of modality with time, or, more accurately, with the “Zeitinbegriff in Ansehung aller möglichen Gegenstände” (“sum total of time in regard to all possible objects”). In particular we read : “Das Schema der Wirklichkeit ist das Dasein in einer bestimmten Zeit. Das Schema der Notwendigkeit ist das Dasein eines Gegenstandes zu aller Zeit.” (A 145 / B 184, emphasis added ; “The schema

7e leçon. Propositions secondaires

43

x et à y. xy = y x. Si dans l’ensemble x on prend les instants de y, on a le même résultat que si dans l’ensemble y on prenait les instants de x. (xy)z = x(y z) = xy z. x(y + z) = x y + x z.

Loi distributive : Loi de dualité :

2

x = x,

x(1 − x) = 0.

Les lois fondamentales étant les mêmes que pour les prop. primaires, les prop. secondaires sont soumises aux mêmes règles formelles de calcul. Les mêmes théorèmes et les mêmes formules restent vrais, seule l’interprétation diffère. Les symboles 0 et 1 joueront le même rôle formel, leur définition formelle sera la même. Quelle sera leur interprétation ? On peut la trouver directement, par un raisonnement analogue au premier. Mais il suffit de remarquer que les symboles qui auparavant désignaient des classes ou ensembles quelconques désignent à présent des ensembles d’instants. La classe 0 sera donc celle qui ne contient aucun instant (c’est : jamais.) La classe 1 sera celle qui contient tous les instants possibles : c’est toujours ou l’éternité (le temps infini dans sa totalité.) Remarque. Les symboles peuvent encore désigner des ensembles d’évènements semblables, càd l’ensemble des instants où est vraie la prop. qui affirme que tel évènement arrive maintenant (ex. : Il pleut, il tonne, etc.) |III. Exprimer les relations entre propositions. Premièrement : la prop. X est vraie [50] (sans condition) : X = 1, la durée de sa validité est la totalité du temps. Objection : Les vérités historiques sont une exception apparente : « César passe le Rubicon » ne fut vraie qu’un instant. « César a passé le Rubicon » sera toujours vrai, mais ne l’est que depuis l’évènement. Mais si l’on dépouille la prop. de toute référence temporelle en disant : « César passe le R. tel jour à telle heure, etc. », on a une vérité éternelle, vraie tant avant qu’après l’évènement (sauf l’objection de CARNÉADE fondée sur le libre arbitre. b ) La prop. X est fausse : X = 0, càd : il n’y a pas un instant où elle soit vraie. of actuality is existence at a determinate time. The schema of necessity is the existence of an object at all times.”, Critique of Pure Reason, Cambridge Edition, Cambridge : Cambridge University Press, 1998, p. 275). b. For Carneades’ views on fate, determinism and the principle of bivalence see Cicero, De fato XI ff.

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Cours de Caen 1898–1899

Remarque : Le temps pendant lequel une prop. est fausse est, en général : 1 − X en vertu du principe de contradiction : Quand une prop. n’est pas vraie, elle est fausse. C’est le temps pendant lequel sa contradictoire est vraie. On a en particulier, si X est const. vraie, 1 − X = 0, et si X est constamment fausse, 1 − X = 1, ce qui confirme les formules précédentes, et l’interprétation de 1 − X . Les prop. complexes s’exprimeront par des combinaisons de prop. simples au moyen de + et ×. Développement de 1 par rapport à 2 prop. X et Y : 1 = X Y + X (1 − Y ) + Y (1 − X ) + (1 − X )(1 − Y ) [51]

Enoncer verbalement ces 4 alternatives. |Jugements disjonctifs : Pour exprimer : « Ou bien X est vraie, ou bien Y est vraie », avec disjonction : X (1 − Y ) + Y (1 − X ) = 1 càd : Le temps où X est vraie et Y fausse, plus le temps où Y est vraie et X fausse, forme la totalité du temps. En conséquence, on a : X Y + (1 − X )(1 − Y ) = 0. càd : jamais X et Y ne sont vrais en même temps, ni fausses en même temps. Sans disjonction (jugement alternatif) : X Y + X (1 − Y ) + Y (1 − X ) = 1. X + Y (1 − X ) = 1 (1 − X )(1 − Y ) = 0.

ou encore : D’où

Jugement hypothétique simple : Si X est vraie, Y est vraie, càd : Toutes les fois que X est vraie, Y l’est aussi. La durée de validité de X fait partie de celle de Y ; Y est contenu. Ce qui se traduit par : X = qY, q symbole d’un temps indéterminé. Jugements hypothétiques complexes (disjonctifs) : Si X ou Y est vraie, Z est vraie : X (1 − Y ) + Y (1 − X ) = qZ Si X est vraie, Y ou Z est vraie : X = q[Y (1 − Z) + Z(1 − Y )] Si X ou Y est vraie, Z et V sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses : X (1 − Y ) + Y (1 − X ) = q[ZV + (1 − Z)(1 − V )]

7e leçon. Propositions secondaires

45

L’interprétation des formules en langage résulte des règles de traduction des prop. en formules. Il y a |toutefois une règle importante pour obtenir l’interprétation complète [52] d’une équation de la forme : X = Y + qZ Interprétation directe : Si X est vraie, Y est vraie et Z aussi. Mais on voit que Y fait partie de X : Y = qX , de sorte que : Interprétation inverse : si Y est vraie, X l’est aussi. Quand un terme du 2e membre a le coeff. 1, on peut le prendre pour antécédent d’un jug. hypothétique dont le conséquent est le 1er membre tout entier. Remarque. Maintenant que les relations logiques sont exprimées en formule par l’intermédiaire des relations temporelles équivalentes ou correspondantes, on peut faire abstraction du temps et traduire directement les prop. secondaires en formules, suivant les règles précédentes. IV. Résolution des problèmes : Même méthode de calcul que pour les prop. primaires : Traduire les données en équations ; éliminer d’abord q, puis les inconnues auxiliaires. Former une équation unique à 2e membre nul. Developper le 1er. On peut donner diverses formes au résultat final : Forme négative : Egaler à 0 les constituants dont le coefficient n’est pas nul. Forme disjonctive : Egaler à 1 la somme des constituants dont le coefficient est 0. Forme hypothétique : Faire passer dans le 1er membre l’antécédent simple que l’on désire (résoudre par rapp. à x) et développer te 2e membre, sous la forme :

écrire :

0 1 x = 1A + 0B + C + D 0 0 x = A + qC D =0

Interpréter suivant les règles précédentes. Exemple : Eliminer q de : Y = q(1 − X ) qui donne : X Y = 0.

[53]

9e leçon. Critique de Boole ; Stanley Jevons. a I. BOOLE semble commettre une inconséquence. Après avoir dit que la division n’a pas de sens en Logique, et que d’ailleurs, au point de vue algébrique, elle est impossible par le fait que chaque symbole doit être considéré comme susceptible de la valeur 0, il l’emploie à la résolution des équations : Ex : ax + b (1 − x) = 0

x=

b b −a

Comment se fait-il que les résultats ainsi obtenus par une opération illégitime aient un sens, et bien plus soient logiquement exacts ? C’est que BOOLE n’effectue pas la division, et se borne à l’indiquer, sans simplifier l’expression du quotient. Par ex. de : xy = 0 il tire : x = 0/y , mais il se garde bien d’en conclure : x = 0. De même : x = y/y n’est pas x = 1. Il conserve 0 comme numérateur (et comme dénominateur.) Il a ainsi une fonction, qu’il développe pour en retrouver le sens logique. Ainsi : x= càd. De même :

1 0 b = ab + 0a(1 − b ) + 1(1 − a)b + (1 − a)(1 − b ) b −a 0 0 0 ab = 0 x = (1 − a)b + (1 − a)(1 − b ) 0 0 0 x = q(1 − y) x = 0 = = 0y + (1 − y) y 0

Quant à l’interprétation des coefficients, elle n’est pas très rigoureusement justifiée. Pour 1 et 0, pas de difficulté. Mais le sens attribué à 0/0 n’est justifié que par un exemple, un cas particulier (v. ci-dessus.) Au fond, il se justifie par l’analogie avec l’Algèbre (symbole d’indétermination). Ajouter que le symbole 0/0 ou q est gênant, puisqu’il faut l’éliminer, [54] et qu’il ne permet pas de traduire les jug. particuliers. |On aurait pu le justifier plus généralement en remarquant que : x = 0/0 équivaut à : 0x = 0 et que cette équation est vérifiée quelle que soit la classe x (0 représentant la classe nulle ou vide.) (1) Pour le coefficient 1/0, son interprétation résulte du fait qu’il ne vérifie pas la loi de dualité : x 2 = x. C’est là un fait de calcul assez peu évident ou plutôt qui n’a pas de sens en Arithmétique. On peut dire que : (1/0)2

= 12/02

= 1/0

Comparer BOOLE considérant 0/0 comme vérifiant la loi, parce que = 0 ou = 1.



(1). BOOLE dit : « Son interprétation, comme symbole d’une classe indéfinie ne peut être déduite de ses propriétés arithmétiques, si ce n’est par raison d’analogie, mais doit être établie empiriquement. » (George Boole, An Investigation of the Laws of Thought, London : Walton and Marberly, 1854, p. 91-92.) a. The manuscript does not contain a chapter 8, but neither does it have a gap in the page numbering between chapter 7 and 9, so it is not clear whether a chapter is missing or there is an error in the numbering of the chapters.

9e leçon : Critique de Boole ; Jevons

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Au fond, BOOLE est guidé par des raisons de sentiment. Mais ses principes manquent de rigueur logique, ne sont pas bien démontrés. En tout cas, il emprunte de son propre aveu des intermédiaires algébriques qui n’ont pas de sens logique. Cela est légitime, puisque les règles du calcul logique se réduisent aux règles du calcul algébrique pour des symboles susceptibles des valeur 0 et 1. Sans doute, mais alors la division n’est pas possible. Et puis alors, il faudrait pouvoir appliquer aveuglément les règles du calcul arithmétique, ce qui n’est pas le cas : puisque 0/y n’est pas égal à 0, comme en Arithm. Ainsi les étapes intermédiaires qui n’ont pas de sens logique n’obéissent pas non plus aux lois du calcul numérique, mais sont soumises à des lois spéciales, qui ne se justifient ni logiqt ni arithmétiqt. Cela est dangereux, car l’esprit n’est plus soutenu par le sens logique des symboles et d’autre part n’est plus guidé par l’analogie formelle avec l’Algèbre ; d’où chances d’erreurs. En somme, BOOLE s’en rapporte à son flair de mathématicien ; mais sa méthode n’est pas si algébrique qu’il le voudrait. |II. On lui a fait un autre reproche (Stanley JEVONS) qui a la même origine, à [55] savoir d’avoir voulu calquer le calcul logique sur le calcul algébrique. C’est de n’avoir admis que l’addition de termes disjoints. b Cette addition conjonctive ne correspond pas à l’addition conjonctive de la pensée commune. (2) Ex : « les nobles et les riches » comprend aussi les nobles riches. Pour qu’on pût écrire : x + y, il faudrait qu’aucun noble ne fût riche, et vice versa. Sinon, il faut écrire : xy + x(1 − y) + (1 − x)y ou : x + (1 − x)y ce qui complique l’expression et la pensée (et le calcul). De plus, cela détruit la symétrie de l’addition logique. Ainsi, si les termes a, b , c, d ne sont pas disjoints, leur somme devra s’écrire : a + a b + a b c+a b c d au lieu de : a + b + c + d , et la même somme pourra prendre 24 = 4! formes différentes, souvent difficiles à reconnaître et à identifier. Il y aurait avantage à s’affranchir de cette restriction. – L’avantage qu’y trouvait BOOLE, c’était l’analogie parfaite entre l’addition logique et l’addition arithmétique : le nombre de la classe x + y est la somme des nombres des 2 classes x et y : ' ' '

' '

'

n(x + y) = nx + ny. (3) Ex : dans la déf. de la richesse : p + r − p r. (v. LIARD c .) Cela est surtout utile pour l’application au Calcul des probabilités, où il faut une corresp. exacte entre les évènements et leurs probabilités (qui sont des nombres.) (2). bien que BOOLE prétende tirer les lois de la pensées de l’observation (a posteriori) du langage. (3). tandis que si les classes x et y ne sont pas disjointes : n(x + y) = nx + ny − nxy (terme correctif). b. William Stanley Jevons, Pure Logic, or the Logic of Quality apart from Quantity : with Remarks on Boole’s System and on the Relation of Logic and Mathematics, London : Edward Stanford, 1864, p. 76-7. c. Louis Liard (Les Logiciens anglais contemporains, Paris : Germer Baillière, 1878, p. 130-1) takes Senior’s definition of wealth as an example : « La richesse consiste en choses susceptibles d’échange, limitées en quantité, et qui produisent le plaisir ou préviennent la douleur », what he represents as w = s t { p + r (1 − p)}. Liard adopted the example probably from George Boole, An Investigation of the Laws of Thought, London : Walton and Marberly, 1854, p. 5. The original English phrase in Senior is : “Under that term [wealth] we comprehend all those things, and those things only, which are transferable, are limited in supply, and are directly or indirectly productive of pleasure or preventive of pain ; or, to use an equivalent expression, which are susceptible of exchange” (Political Economy, London : Griffin, 1858, p.6).

48 [56]

Cours de Caen 1898–1899

|En outre, l’addition disjonctive était nécessaire pour rendre la soustraction univoque, et par suite analogue à la soustraction arithmétique (Rappeler les difficultés que LEIBNITZ éprouvait à définir la soustraction, la multiplicité et la complication des règles de cette opération suivant les divers cas particuliers.) La soustraction univoque elle-même était nécessaire pour exprimer la négation par la différence : 1− x, qui serait indéterminée si l’addition était conjonctive. Il faut que cette différence soit exclusive, càd qu’elle exclue de 1 tous les éléments de x. (Rappeler que la traduction de non-x par (1 − x) implique déjà le principe de contradiction que BOOLE prétend en déduire.) D’autre part, elle est nécessaire pour permettre la transposition des termes d’un membre dans l’autre, laquelle est nécessaire pour rendre le traitement des équations logiques semblable à celui des éq. alg. Mais ce dernier avantage est illusoire, puisque le résultat brut de la transposition est en général ininterprétable, et a besoin d’être développé (après élévation au carré, à cause des termes négatifs Ex. : x−y (développement direct) = x(1 − y) − y(1 − x) n’est pas généralement interprétable, dit BOOLE (4) parce que la classe y(1 − x) n’est pas contenu dans celle des x(1 − y). Pour que : x − y ait un sens, il faut que y < x ; càd : y = x y. Alors : x − y = x − xy = x(1− y). De même, pour que y − x ait un sens ...... (1− x)y. Ce qui explique la transformation de x = y en : x(1 − y) + (1 − x)y = 0..) Ainsi : x=y x = qy

donne :

x(1 − y) + (1 − x)y = 0. x(1 − y) = 0 (avec élim. de q.)

[57] |On est donc toujours ramené à une somme de termes, et le signe − ne se trouve plus que dans les négations. Dès lors, on est amené, comme BOOLE lui-même (pour simplifier l’écriture), à remplacer (1 − x) par un symbol plus simple (x par ex, ou bien : −x, x , x  ), càd à supprimer la soustraction et à exprimer la négation directement. Pour définir x  il suffit des deux équations qui caractérisent la négation : '

x x = 0

x + x  = 1.

Elles remplacent l’équation de BOOLE : x(1 − x) = 0; en effet x  = 1 − x, donc : x x  = 0. (Cf. SCHRÖDER. d ) La soustraction étant supprimée, rien ne s’oppose plus à l’admission de l’addition conjonctive (Stanley JEVONS) qui a l’avantage capital de satisfaire le principe de dualité (PEIRCE). (5) III. Stanley JEVONS Ce qu’il a fait de mieux, c’est sa critique de BOOLE (cf. II.) Il veut affranchir la Logique de la tutelle et de la tyrannie de l’Algèbre, et la constituer comme Algèbre indépendante. Termes contradictoires représentés par A, a (comme chez DE MORGAN.) Seule (4). George Boole, An Investigation of the Laws of Thought, London : Walton and Marberly, 1854, p. 77. (5). On peut résumer cette critique en disant ; Les opérations inverses sont impossibles, ou du moins inadmissibles. C’est la négation qui les remplacera. d. Ernst Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik. vol. 1. Leipzig : Teubner, 1890, p. 302.

9e leçon : Critique de Boole ; Jevons

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copule : = (identité.) 3 formes de prop. : A = B. A = AB

Identité simple : Identité partielle :

(Tout A est B) Identité limitée : AB = AC (Quelques B sont C , à savoir ceux qui sont A.) |Les prop. négatives se ramènent aux affirmatives par l’emploi des termes négatifs. [58] Ainsi : A = Ab

Nul A n’est B.

Toute prop. étant une identité, le seul principe du calcul est la substitution des semblables (ou plutôt des équivalents.) Par ex. le syllogisme en Barbara : A = AB, d’où :

B = BC A = ABC

Algorithme de JEVONS : On développe (comme BOOLE) chaque terme en somme de termes disjoints, en vertu du principe de dualité (ou du milieu exclu : A+ a = 1) et l’on supprime du développement les termes qui sont contredits par les prémisses (en vertu du principe de contradiction : Aa = 0) Ex :

A = ABC + AB c + Ab C + Ab c

Le 4e terme est contredit par : A = AB. par : B = BC . Le 2e et le 3e Il reste donc : A = ABC . On peut obtenir de même la définition d’un terme qcque ou de sa négation ; ex. : c = AB c + Ab c + aB c + a b c B = BC . Le 1er et le 3e terme sont contredits par : par : A = AB. Le 2e Il reste donc : c = ab c. On peut encore, pour rendre le résultat plus évident, substituer à A et B leurs valeurs tirées des prémisses dans le développement : A = ABC + ABC c + AB b C + AB b c |et de même :

c = ABC c + AB b c + aBC c + a b c.

Plus généralement, pour avoir la conclusion complète d’un système de prémisses, on forme toutes les combinaisons possibles n à n de n lettres qui y figurent et de leurs négations (leur somme est 1) ; l’on efface celles qui sont contredites par une des prémisses ;

[59]

Cours de Caen 1898–1899

50

la somme de celles qui restent est égale à 1. Pour avoir l’expression d’un terme qcque, il suffit de l’égaler à la somme des combinaisons où il figure. – Exemple : ABC , Ab c, AB c, Ab c,

abC , ab c

A = AB Ab C , Ab c; B = BC

La prémisse : supprime : La prémisse : supprime : Il reste :

ABC , A = ABC ,

d’où :

aBC , aB c,

Ab c, aBC ,

aB c. ab C ,

a b c.

a = aBC + ab C + ab c = a(C + b c) = a(b + BC ) (6) B = ABC + aBC = BC , b = ab C + ab c = ab ,

C = ABC + aBC + ab C = (B + a b )C . (7) c = ab c. Règle générale : Les prémisses étant écrites sous la forme : S + S  + S  < P + P  + P  + ... on compare chacune des combinaisons aux sujets S.... Si la combinaison ne contient aucun d’eux comme facteur, elle est indifférente (admissible). Si elle contient un des sujets, elle doit contenir au moins un de ses prédicats (càd si elle est contenue, au p. de [60] vue |de l’extension.) Sinon, elle est incompatible avec la prémisse considérée, et doit être rayée. – Cette méthode en apparence simple (et même simpliste) est en pratique longue, fastidieuse et compliquée. Pour n symboles on a 2n combinaisons à examiner : 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128. Aussi JEVONS a-t-il imaginé une machine logique très ingénieuse pour exécuter mécaniquement cette comparaison des combinaisons avec les prémisses. e La face de la machine porte les 16 combinaisons de 4 lettres (Abécédaire logique) dans des fenêtres où elles peuvent paraître ou disparaître. Le clavier : Sujets B a

A

A a

B b

C c

D d

ou

C b

Point

D c

Copule

ou

Fin

d

Prédicats

(6). BOOLE trouverait : 1 − A = 1 − B + 0/0BC . 0 (7).  C = B + 0 (1 − A)(1 − B). e. William Stanley Jevons (1870), “On the mechanical performance of logical inference”, Philosophical Transactions of the Royal Society160 :497-518.

9e leçon : Critique de Boole ; Jevons

51

On y inscrit chaque prémisse en touchant les sujets séparés par ou (+), la copule, les prédicats, le point ; enfin, le mot Fin. Les combinaisons contredites disparaissent du tableau. Mais il reste à interpréter les combinaisons restantes, à en tirer les conclusions. C’est là la partie faible de la méthode ; à vrai dire, il n’y a plus de méthode, mais une affaire de flair, d’habitude et de tâtonnement, pour simplifier et réduire les diverses combinaisons. On remarquera que la copule disparaît des conclusions ; de plus, que la distinction des liaisons universelles et particulières (nécessaires et contingentes) est abolie (x = A+ 0/0C .) v. notes de la p. précédente. En résumé, plus de calcul. JEVONS remplace l’Algorithme de BOOLE par des essais et tâtonnements que la machine abrège, mais d’où il est difficile d’extraire les conclusions. On n’est jamais sur de les avoir toutes trouvées. Ce n’est pas un progrès, mais une invention rétrograde. Mentionner le perfectionnement de SCHRÖDER.

[61]

10e leçon. I. Court aperçu historique. On passera sous silence DELBŒUF, dont la Logique algorithmique (1877) n’apporte aucune idée nouvelle. Il ne dépasse pas le domaine de la Logique classique. Il ne donne pas à proprement parler un algorithme ; enfin sa notation est malheureuse, car elle ne se prête pas au calcul (par ex. on ne peut pas supprimer 2 termes égaux dans les 2 membres d’une égalité) et elle se réduit au fond à l’identité : S P = S P . Au lieu de considérer le rapport d’inclusion des 2 termes du jugement il les considère comme rendus identiques par la soustraction des éléments non-communs : S−x =P −y (S − S = P − P

signifie :

S < P  ou P < S  )

MACCOLL invente en 1877 son Calculus of Equivalent statements, qui ressemble à celui de BOOLE par la notation, mais dont l’algorithme est original. Sa méthode de résolution des problèmes est moins simple que celle de BOOLE. Il l’a inventée pour résoudre un problème de probabilités, et il l’a surtout développée dans ce sens. Il distingue avec soin les diverses modalités des jugements. C’est exclusivement un Calcul de propositions, non de concepts ou de classes. PEIRCE, après avoir critiqué le système de BOOLE (1867) et inventé une notation pour la Logique des relations (1870), a proposé une nouvelle Algèbre de la Logique (1880) [62] qui a fait faire un grand pas. |Il a adopté l’addition conjonctive, et découvert la dualité qui en résulte pour toutes les formules additives et multiplicatives. Il a découvert les formules fondamentales, mais il ne les déduit pas des principes les plus simples et les plus évidents. Sa théorie du syllogisme est confuse et peu exacte Enfin il est le fondateur de l’Algèbre des relations. Il diffère de BOOLE et de JEVONS en ce qu’il emploie exclusivement la copule est (−