Lecture notes on «Basiсs of plasma electrodynamics»: educational-methodical tool 9786012476514

Citation preview

AL-FARABI KAZAKH NATIONAL UNIVERSITY

Yu. Arkhipov, A. Ashikbayeva, A. Askaruly, A. Davletov and I. Tkachenko

LECTURE NOTES ON «BASIСS OF PLASMA ELECTRODYNAMICS» Educational-methodical tool

Almaty «Kazakh university» 2012

UDC 533.9 BBK 22.333 L 25 Recommended for publishing by the Scientific Council of the physical and technical faculty and the Editorial-Publishing Board of Al-Farabi Kazakh National University Reviewers: doctor of physical and mathematical sciences, professor N.Т. Burtebaev doctor of physical and mathematical sciences, professor К.М. Mukashev doctor of physical and mathematical sciences, professor Yu.I. Zhavrin

L 25 Lecture notes on «Basiсs of plasma electrodynamics»: educational-methodical tool / Yu. Arkhipov, A. Ashikbayeva, A. Askaruly, A. Davletov, and I. Tkachenko. – Almaty: Kazakh university, 2012. – 117 p. ISBN 978-601-247-651-4 Handbook provides a brief lecture notes on a specialty course «Basics of plasma electrodynamics», where electrodynamics processes in a law-density and dense plasmas are considered. At the end of the work there are original notes in Russian to make it easier for understanding the material and learn the course in English language. This book will be helpful for students who study on the «Physics», «Technical physics», «Nuclear physics» specialties and for lecturers who read «the basis of plasma electrodynamics» course. Пособие представляет собой краткий конспект лекций на английском языке по специальному курсу «Основы электродинамики плазмы», в котором рассмотрены электродинамические процессы в разреженной и плотной плазме. В конце работы в помощь читателю в освоении курса материал также представлен на русском языке. Предназначено для студентов университетов, обучающихся по специальностям «Физика», «Техническая физика», «Ядерная физика», и преподавателей. Авторы благодарны за поддержку, оказанную Комитетом науки Министерства образования и науки РК (№ проектов: «1128/ГФ», «1129/ГФ», «1099/ГФ»). UDC 533.9 BBK 22.333 © Arkhipov Yu. et al., 2012 © КазНУ имени аль-Фараби, 2012

ISBN 978-601-247-651-4

2

INTRODUCTION These lecture notes completely cover all contents of the course "Basics of plasma electrodynamics" and are entirely based on the twenty years teaching experience in giving lectures at the physics faculty of al-Farabi Kazakh National University. The content of the present material is in complete accord with the standard syllabus on the “Physics” specialty. These lecture notes completely reflect the authors/ view upon the subject. These lecture notes are followed by the comprehensive list of literature sources, among them are some well known books and monographs. The course is constructed such that listeners should attend additional courses on plasma physics and are strongly advised to read the recommended literature sources. The authors hope that these lecture notes will be helpful for students attending the “Physics” specialty and for lecturers giving the course "Basics of plasma electrodynamics". This printed matter contains both the lecture notes and the recommended list of literatures.

3

LECTURE NOTES THE MODULAR CONTENTS of LECTURES The subject consists of 2 modules: Module 1 "Ideal plasmas" includes the following topics: the Maxwell equations in a medium, the field equations, initial and boundary conditions, tensor of dielectric permeability of homogeneous isotropic plasmas, longitudinal and transversal convolution, and dispersion of longitudinal and transversal waves. Dispersion of waves in homogeneous isotropic plasmas. Module 2 "Nonideal plasmas" includes the following topics: the basic parameters of nonideal plasmas, the pseudopotential theory, the dispersion equation for nonideal plasmas, and normal and anomalous (abnormal) dispersion. Module 1 "Ideal plasmas" Lecture 1 Field equations Topics to be discussed in the lecture. Equations for electromagnetic fields in a medium. Charge conservation law. The electrical displacement vector. It is known that plasmas are quasineutral systems of oppositely charged particles. In such a system there exist electromagnetic fields caused both by heterogeneity of the distribution function of charged particles and the influence of external sources of electric and magnetic fields. It is important that external (and internal) electromagnetic fields can affect the motion of the plasma particles, thereby inducing electric charges and currents in the medium which, in their turn, create electromagnetic fields in the plasma. It is the socalled self-consistent approach to the description of the interaction of particles and fields. Hence, the induced electric charges and currents should be introduced into the field equations as

4

rot B 

1 E 4  j j 0 c t c





div B  0

1 B  c t  . div E  4     0  rot E  



(1.1)



Here j ,  are the induced electric current and charge densities, respectively,  0 , j0 stand for the same magnitudes due to the external sources. Let us consider now that the external sources are absent. By applying the operator div to the left - and the right-hand sides of the first equation and using the fourth equation we derive the charge conservation law or the so-called continuity equation.   div j  0 . t

(1.2)

Let us assume the following: a) Electrodynamics of real media is nonlinear due to the nonlinearity of the material equation which is considered below as an integral power series in the electric field strength, what follows is mostly limited to the first power truncation thereof. b) Characteristic times of nonlinear interactions are much smaller in magnitudes than the corresponding times of quasineutral processes. Therefore, the Maxwell equilibrium distribution function of plasma particles remains unchanged. c) The vectors of the electric field strength E and the magnetic induction B determine the electromagnetic force as follows: 1   F  e E   vB  . c  

By

definition,

the

(1.3)

electric

displacement

vector

is

t D  r, t   E  r, t   4  j  r, t '  dt ' . Using this definition and the 

electric charge conservation law, the set of equations (1.1) can be rewritten as 5

div D  0, div B  0,

1 D  , c t  .  1 B  rot E   c t  rot B 

(1.4)

It is seen that the derivation of the material equation is virtually reduced to the determination of the dependence D  r, t  on the electric field strength, since the following simple algebraic relation between the electrical and the magnetic fields holds, rot E  

1. 2. 3. 4. 5.

1 B . c t

(1.5)

Questions to Lecture 1 The field equations in a medium. Derivation of the charge conservation law. What is the electric displacement vector? Obtain the electromagnetic field equations in terms of the vector D . What is the relationship between the electric and magnetic fields?

6

Lecture 2 Material equations Topics to be discussed in the lecture. The material equation in the Fourier space. It is known that both transport and relaxation phenomena take place in the medium (plasma). These phenomena lead to the dependence of the electric current at a given time-spatial point on the electric field strength at previous time-spatial points. This results in time and spatial dispersion and makes D and E coupled both integrally and non-locally. Taking into account infinitesimal amplitudes of the electromagnetic fields, the material equation takes the following form of the integral the power series in the electric field strength 

Di  r, t   

t



 

t1

tn 1





dt1  dr1  dt2  dr2 ...  dtn  drn  ij1 ... jn (t  t1 , r  r1 ; t1  t2 ,

(2.1)

r1  r2 ;...tn  tn 1 , rn  rn 1 ; tn , rn ) E j1 (t1 , r1 )...E jn (tn , rn ), rn (, )

The dependence on the variables tn and rn in the kernel of this expression is only essential for non-stationary and spatially inhomogeneous plasmas. In the linear approximation the expression (2.1) is reduced to the term which is proportional to the first power of the field strength. The addition of the material equation makes the Maxwell equations a complete and closed system of differential equations. In homogeneous and stationary media it is convenient to use the Fourier transform of the field, E  r, t    d  dkeit  ikr E  , k  . Since E  r , t  is real, one can write the following equality

eit ikr  E(, k )  eit  ikr E(, k ) .

We shall write down the material equation in the  , k  representation in the linear approximation for homogeneous stationary media as 7

Di  r, t  

t







 dt1  dr1 ij  t  t1 , r  r1  E j  t1 , r1  .

(2.2)

Next, one can use the following Fourier transform of the field

 Di 3 , k 3 e

 i3t  ik 3r

d 3 dk 3





t

  dt1  dr1 i  t  t1 , r  r1   ei t  ik r E j 1 , k1 d1dk1 1



. (2.3)

1



We multiply the left- and the right-hand sides of (2.3) by and integrate it by dt and dr :

 dt1dr1 Di 3 , k 3 e

i ( 3 ) t  i ( k  k 3 ) r

d 3 dk 3

E j 1 , k1  d 1dk1

and

make

eit ikr

  dtdr ij  t  t1 , r  r1 ei (  )t i (k k )r 1

1

the

following substitutions of the variables: The Jacobean (determinant) of the transformation is equal to 1. Using also the equalities t  t1   , r  r1  ρ .





e

 i ( 1 ) t

dt  2    , 1

e

 i ( k  k1 ) r

dr   2   k  k , 1

and



3



we get Di  , k  on the left-hand side, whereas on the right-hand side, we obtain, using the definition  ij  , k     ij  ,  ei ikρ d dρ,  ij  , k  E j  , k  .

(2.4)

8

Finally we arrive to the relation Di  , k    ij  , k  E j  , k  .

(2.5)

It is called the material equation in the linear approximation of the power series in the electric field strength. Questions to Lecture 2 1. Which kind of media is called homogeneous and stationary? 2. Which phenomena occur in the plasma? 3. Write down the material equation. 4. Write down the expressions for the Fourier transforms. 5. Derive the formula for the material equation in the linear approximation on the electric field strength.

9

Lecture 3 Field equations in continuous media Topics to be discussed in the lecture. Field equations in continuous media. Let us derive equations for the field in the linear approximation. From the Maxwell equations rot B  simply obtain

1 D 1 B  rot E , we and  c t c t

1 2D   rot rot E . One can substitute the fields by c 2 t 2

their Fourier transformations and, in the assumption of the dependence of the field on time and radius vector in the monochromatic wave form, then, the derivative

 is replaced by t

i , and the operator  ( rot rot E   E ) is replaced by ik .

Taking into account the equality  E i obtain: 

 rot rot E i   d dkk 2   ij  

  i  E    2 Ei

one can

ki k j  it  ikr E j  , k  . e k2 

Using the material equation Di   ij E j in representation, we finally derive the field equation: 2 2 ki k j   k c    2   ij  2    ij  , k   E j  , k   0 . k     

the

 , k  -

(3.1)

This equation is obtained by the decomposition of the fields into plane waves. The decomposition turns effective in case the plane monochromatic waves are internal modes of plasma fluctuations. The condition of solvability of this set of homogeneous equations produces the dispersion equation

10

   ij  , k  

kk  k 2c2    i 2 j   0, E j  0 . 2  ij k   

(3.2)

where  is the determinant of the set of equations (3.1). Taking into account the expression  ij   ijH   ija and the fact that the dispersion is determined by the hermitian component of the tensor  ij and the damping coefficient is proportional to the anti-hermitian one,  ija and is quite small; one can substitute in equation (3.2)  ij by  ijH . It was shown that Di  , k    ij E j  , k  follows from the equation t

Di

  dt '  dr ' ij  t  t ' , r  r '  E j  r ' , t '  ,

hence, it is possible to obtain



from the Ohm law in the differential form the following expression ji  , k    ij  , k  E j  , k  . Using the equation D (r , t )  E (r ,t ) 4 i j  , k  , 4  dt j(r , t ) in time-space, we get Di  , k   Ei  , k    i wherefrom

 ij  , k    ij 

4 i



 ij  , k  .

From the fact that the tensors  ij  t , r  ,  ij  t , r  are real, it follows that  ij  , k    ij    , k , Re  ij  , k    ij   , k  ,

Im  ij  , k   Im   ij   , k   .

In homogenous plasmas the tensor  ij can be written as 

 ij  , k     ij  

ki k j  tr kk    , k   i 2 j  l  , k  . 2  k  k 11

(3.3)

Questions to Lecture 3 1. Obtain the field equations. 2. What does the expansion  ij   ijH   ija mean? 3. Write an expression for the Ohm law in the differential form. 4. What does the expression  ij  , k    ij    , k  mean? 5. Obtain an expression for the tensor  ij in isotropic plasmas.

12

Lecture 4 Waves in plasmas Topics to be discussed in the lecture. Electromagnetic waves in plasmas. As it is well known from the general course of ectrodynamics, in the absence of external field sources in a vacuum there can exist plane electromagnetic waves exp  it  ikr  . In a vacuum both  and k are connected via

 k

 c ,   kc . In a material medium in the

absence of external fields and if the tensor   , k  is Hermitian, the ij medium does not absorbthe wave energy and both  , k are real magnitudes. If the medium does absorb energy,  and k become   2 complex. As it was shown earlier k 2 ij  ki k j  2  ij  , k   E j  0 , c   the condition of solvability is   0 where  stands for the

determinant of the set of equations (3.2). Substitute now 

 ij   tr   ij  

ki k j  l  ki k j      2  , then the determinant is written as k2   k  ki k j   tr  k 2 c 2  ki k j l   ij  2    , k   2   2   , k   0   . (4.1) k    k 

In case when k  OZ , the tensors take the matrix from 0 0 0   ki k j 0 0 0  k2 0 0 1  

1 0 0    0 1 0    ij 0 0 1  

Thenis possible to rewrite   0 as

13

1 0 0 ki k j    0 1 0    ij  k 2 . 0 0 0  

 tr 

k 2c2

0

2

 tr 

0 0

0

k 2c2

0 0.

2

l

0

Calculating the determinant we arrive to the dispersion equation 2

 tr k 2 c 2  l   2    0 .   

(4.2)

Then there are two cases to be considered: а) Longitudinal waves,  l  0 , b) Transversal waves.  tr 

k 2c2

2

 0.

The square appears in (4.2) due to the possible propagation of two electromagnetic waves in which field vectors are perpendicular (degeneration of polarization). The same expressions can be obtained from the field equations. For this purpose, we carry outsummation over indicesin the equation  ki k j   tr k 2 c 2  ki k j l    ij  2    2   2   E j  0 ,   k k   

(4.3)

ki  kE   tr k 2 c 2   Ei     2  k2  

(4.4)

Here from, if k  E , then  tr  existence

of

transversal

 ki  kE  l  0.  k2 

k 2c2

2

 0 which is the condition of

waves.

14

If

k  E ,

kE  kE ,

ki   tr k 2 c 2   Ei  k E      2  

 l l   ki E  0    0 which is the condition of 

existence of longitudinal waves. The dispersion equation allows to find the complex frequency at a given real k . Questions to Lecture 4 1. Derive the dispersion equation (4.2). 2. Derive the conditions for the existence of longitudinal waves. 3. Derive the conditions for the existence of transversal waves.

15

Lecture 5 Approaches to the solution of problems of electrodynamics Topics to be discussed in the lecture. Initial and boundary problems. In electrodynamics of plasma media, it is possible to distinguish two approaches to the solution of problems: a) If the distribution of the field is known, then, it is necessary to study its evolution in time (the wave vector k is a real number, and the frequency  is a complex number). Vector k corresponds to the 2 ; scale of the electromagnetic field, k   b) If the distribution of the field at the boundaries is known, then, it is necessary to find its distribution in the whole space (  is a real number, k is a complex number). We conclude that: The case a) corresponds to the initial, and the case b) corresponds to the boundary problems, the former is usually used in homogeneous, while the latter is used in inhomogeneous plasmas. These are just approximations, since both k and  can be complex numbers. Consider the initial problem. Assuming      i  , we study the time evolution of electromagnetic, transversal waves  tr  , k  

k 2c2

2

 0 . For weakly damping waves it holds: Re  tr  i Im  tr 

k 2c2

 0,

2  Re  tr k 2c2  i Im  tr   0, Re  tr  , k   i  2      i  Re  tr  Im  tr ,      .

It follows that Re  tr  , k  

Im  tr  , k  k 2c2     , , 1   2 2 tr      Re , k    2  





    is the increment or decrement of damping, depending on its sign. In the condition of thermal equilibrium 1



 2  

 2 Re  tr  , k   0 and Im  tr  , k   0 , i.e.   0 . Any 16

wave in this case decays, and the energy is transferred to the plasma medium. In the case of a non-equilibrium medium,   0 . For longitudinal waves it holds that  l  Re  l  i 

   

 Re  l  i Im  l  0 ,  

Im  l   , Re  l  , k   0 .  Re  l  

In isotropic plasmas there are only two types of waves. If all modes with all magnitudes of k decay, i.e. if   k   0 , then the system (wave + medium) is steady and waves decay. Boundary problems. Let us change the initial conditions of the problem. If the field is known on a surface, then, it is necessary to study its distribution in the whole space. Such consideration is true for non-uniform media. For example, there is a wave of a frequency  and the wave vector k 0 in vacuum. The vacuum has a border formed by the plane AB. On the left-hand side there is vacuum; and on the right there is plasma. The plasma is non-uniform along the axis OX  AB . Along AB the plasma remains homogeneous. The wave has the frequency  and the wave vector k . A projection k|| is

parallel to the plane AB, k is parallel to the axis OX. k  k|| , k  . k|| is a constant, because the plasma on the plane AB is homogeneous.

k|| k

k k0

17

х

Along the direction OX we have: k  k ( x). k  k  ik , k  k .  tr 

k 2c2



2





 Re  tr c2  Re  tr  , k|| , k  ik  i Im  tr  2  k





2  2  ||   k||  k  ik 

k|| 2 is neglected.

k 



Im  tr  , k|| , k



k 2     Re  tr   2    k 

;  tr 

c 2 k 2

2

.

If k  0 , the wave damps and if k  0 it builds on (such media are called active). For longitudinal waves





Im  l  Re  l .  i Im  l  0 , k  Re  l  , k|| , k  ik  Re  l k k

From these expressions it is possible to obtain the relation between the initial and boundary problems Im  l   k   . (5.1)     Re  l k k  Where

 k

  gp stands for the group speed of propagating waves

along the axis OX. Conclusions. For equilibrium isotropic media, Im  l  0 and the waves damp both in space and in time, i.e.   0, k   0, gr  0.

18

Otherwise, if Im  l  0 , the amplitude of the waves increases, this is an instability. Questions to Lecture 5 1. What are the two approaches to the solution of problems, which can be distinguished in the electrodynamics of plasma media? 2. Consider the initial value problem in homogeneous plasmas. 3. Consider the boundary value problem in a heterogeneous medium. 4. Derive the relation between the initial and the boundary problems.

19

Lecture 6 Dielectric properties of plasmas Topics to be discussed in the lecture. Dielectric permeability of homogeneous isotropic collisionless plasmas. Now, after the most general model of gaseous plasmas has been considered and the equations of plasma dynamics are taken in the form of kinetic equations for the charged particles, it is possible to study the electromagnetic properties of plasmas. One can start from the elementary case of spatially homogeneous isotropic plasma. Moreover, if the collisions between particles in the plasma are rare, it is possible to neglect them completely and obtain an expression for the dielectric permeability of plasmas that follows from the selfconsistent field kinetic equations (the Vlasov equations). It is obvious that such an approach is valid for the description of processes which are faster than the free flight time. In this case one can say that the plasma is collisionless. If the electromagnetic fields are absent in a spatially homogeneous collisionless plasma, the distribution function of charged particles depends only on the momentum module, p  p. Assume that the distribution function of particles in a non-degenerate plasma is Maxwellian with the temperature T (in energy units) and the number density N (for particles of the species  ): f 0 ( p )  f M  ( p ) 

If EF

the

plasma

is

 N p2   exp  . (2 m T )3/ 2  2m T 

degenerated

with

the

(6.1)

Fermienergy

(3 2 ) 2/3  2 N2/3   T , the distribution function turns into the 2m

Fermi distribution: f 0 ( p)  f F ( p) 

2 (2 )3

where E  p2 / 2m . 20

1 e

E  EF  T

, 1

(6.2)

When T  0 , this distribution turns into

f 0

 2 , p  pF  (3 2 )1/3 N1/3    (2 )3 . 0, p  p F 

(6.2a)

If T  EF , the Fermi distribution coincides with the Maxwell distribution (6.1). To calculate the plasma dielectric permeability, it is necessary to find deviations of distribution functions of the charged particles from the Maxwell equilibrium distribution function f 0 ( p) . The perturbed distribution function is represented as f (p, r, t )  f 0 ( p)   f (p, r, t ) .

(6.3)

Assume that the perturbation  f (p, r, t ) and the corresponding values of the electromagnetic fields E and B are all small. Substituting expression (6.3) in the Vlasov kinetic equation f f  v   e t r

1   f 0, E   vB  c   p

and neglecting the terms of the second order in perturbations, we obtain the linear field kinetic equation for the determination of the perturbation  f (p, r, t ) :  f  f f (p) v  e E 0 0. t r p

(6.4)

Under general conditions the plasma is quasineutral and there are the densities of charge and current vanish. If an external highfrequency electromagnetic field acts onto the plasma, induced charges and currents are generated, which are determined by the perturbed distribution function. Indeed, if    e  f (p, r, t )dp , 

21

j   e  vf (p, r, t )dp are the bulk density of charges and currents 

induced in a plasma, they are equal to    e  f dp   e   f dp , 



j   e  vf dp   e  v  f dp . 

(6.5)



The fields E and B are also defined in terms of j and  by means of the field equations (1.1). Due to the linearity of equation (6.4) and the field equations, all considered magnitudes depend on time and coordinates as exp(it  ikr) . Then, it is straightforward to write down the solution of equation (6.4): f 0 p .  f  i   kv e E

(6.6)

Substituting this expression into (6.5), we determine the induced charge density and electric current according to the Ohm`s law ji (, k )   ij (, k ) E j (, k ) :

ji  i  e2  dp 

vi E j

f 0 p j

  kv

  ij ( , k ) E j ,

(6.7)

and, hence,

 ij ( , k )  i  e2  dp 

vi

f 0 p j

  kv

22

.

(6.8)

Now making use of the relation between the complex dielectric permeability and the complex conductivity  ( , k )    4 i  ( , k ), ij ij  ij we find the tensor  ij (, k ) as:

 ij ( , k )   ij 

4 i



 ij ( , k )   ij   

4 e2



vi

f 0 p j

 dp   kv .

(6.9)

In formulas (6.7) - (6.9) the summation is over all plasma particle species. In case of collisionless plasmas the neutral particles do not take any part in the electromagnetic phenomena. At the same time it is necessary to emphasize that the applicability of the collisionless approximation can be justified only as a result of the solution of the problem taking into account the collisions, which is to be done below. Questions to Lecture 6 1. Write and explain the expression for the Maxwell and Fermi-Dirac distribution functions. 2. Solve the Vlasov equation. 3. Derive an expression for the plasma conductivity tensor. 4. Obtain an expression for the permittivity of collisionless homogeneous plasmas.

23

Lecture 7 Damping of waves Topics to be discussed in the lecture. Landaudamping. Longitudinal and transversal convolution products. The point to be addressed to in the following is the presence of the pole   kv in expressions (6.7) - (6.9). Thus, if the equality   kv holds, expressions (6.7) - (6.9) have no exact sense since the result depends on the integration path. To eliminate this ambiguity it is necessary to take into account that the perturbation of the distribution function  f (p, r, t ) should disappear with t   . In the conventional time dependence of  f  exp(it ) such disappearance of  f means the existence of an infinitesimal positive imaginary part of  at real values of k . In turn, the existence of a positive imaginary part of  means that the poles of the functions in expressions (6.7) - (6.9) do not lay on the real axis of  , along which the integration is performed, and that they appear to be displaced onto the upper half-plane of   (fig. 1). This fact helps to specify rule for the pole   kv to be curved around: it needs to be bypassed from below, performing the integration not along the real axis, but along the path C represented in fig. 1. In formulas (6.7) (6.9) the integration is implied along such a path (the Landau rule).

Figure 1

Let us use now the following Dirac formula lim x 0

1 P   i ( x) , x  iv x 24

(7.1)

where the symbol P means that the integration at the pole vicinity should be understood in the sense of the principal value. Now one can write down expression (6.9) as  ij ( , k )   ij 

4 i



 ij ( , k )   ij  

4 e2





 dp v

i

f 0  P   i (  kv ) . p j    kv 

(7.2) The first term in expression (7.2) contributes to the Hermitian part of the dielectric tensor, whereas the second term contributes only to the anti-Hermitian (or imaginary) part of the dielectric function which is responsible for the absorption of plasma waves. It is seen that the absorption of plasma waves is caused by the particles whose speed satisfies the condition   kv . This condition can be rewritten as  / k  v ph  v cos  : where  is the angle between k and v , and v ph stands for the phase speed of the wave. But this equality is exactly the condition for the Cherenkov radiation of electromagnetic waves by a moving charged particle. The same equality means that there is a process opposite to the Cherenkov absorption of waves. Thus, in an isotropic plasma the dissipation of waves occurs even in the absence of interparticle collisions due to the Cherenkov absorption by plasma particles. Let us consider the particles moving with velocities greater than the wave phase speed. These particles, "catching up" the wave, are slowed down by its electrical field and, hence, return the energy to the wave (the Cherenkov radiation). On the contrary, the particles whose speed is smaller than the wave phase speed are accelerated by a potential barrier of the wave, and, hence, collect energy from the wave (the Cherenkov absorption). The velocity interval sat which there is an exchange of energy between particles and the wave are identical both for the particles passing energy to the wave and for the particles collecting energy from the wave. If the distribution of particle velocities in a plasma is normal (fig. 2), i.e. the probability to find a particle with a greater speed is less than that with a smaller speed, then in the identical velocity intervals the number of particles which returns energy to the wave is smaller than the number of particles which collect energy from the wave. As a result, in such a plasma there is an increase of the total energy of particles interacting with the wave, thus, the wave is absorbed. 25

Figure 2

If the distribution of particle velocities in plasma is not normal and the distribution function f 0 ( v) has a positive derivative somewhere, then, instead of the absorption, the amplification of electromagnetic waves appears possible in the corresponding velocity range. In case of isotropic plasma the tensor  ij (, k ) may be represented as 

 ij    ij  

ki k j  tr ki k j l   ( , k )  2  ( , k ) , k2  k

(7.3)

where  l ( , k )  1   

 tr ( , k )  1   

4 e2 (kv ) 2 f 0 dp  , 2    kv E k

2 e2 kv   f0 . dp 2    kv E k 2

(7.4)

Here  l (, k ) is the longitudinal and  tr (, k ) is the transversal dielectric permeabilities, respectively, and E  p 2 / 2m denotes the energy of the species  particles. In case of the Maxwell distribution (6.1) the integrals in (7.4) are evaluated analytically, and 26

   1  J    ,  k v  kvT        2  tr ( , k )  1   L2 J   .    kvT  

 l ( , k )  1  

L2  2 2 T

(7.5)

Here J  ( x)  xe  x

2

x

/2

 d e

 2 /2

 i

i



 x  xW  . 2  2

(7.6)

The function W ( x) is well studied and tabulated. Further, the following asymptotic expansions of the function J  ( x) are needed: 1 3   x2 / 2  4  ...  i xe (with x  1 , Re x  Im x ), 2 2 x x (7.7) J  ( x )  i  / 2 x (with x  1 ),

J  ( x)  1 

J  ( x)  i 2 xe  x

2

/2

(with x  1, Im x  Re x , Im x  0 ).

These expansions will allow us to analyze the spectra of fluctuations and the character of propagation of electromagnetic waves in plasmas. Questions to Lecture 7 1. Explain the Landau damping phenomenon. 2. Obtain an expression for the longitudinal convolution product. 3. Obtain an expression for the transverse convolution product.

27

Lecture 8 High-frequency longitudinal waves Topics to be discussed in the lecture. The spectrum of highfrequency longitudinal oscillations in non-degenerate plasmas without collisions. Let us proceedto the study of the electromagnetic waves in homogeneous isotropic plasmas. We start from the obtained expressions for the dielectric permeability of collisionless plasmas. Consider first the longitudinal waves whose condition of existence is given by the dispersion equation  l (, k )  0 . In case of nondegenerate plasmas this equation takes the form  l ( , k )  1   

L2  2 2 T

k v

  1  J     kvT 

   0 .  

(8.1)

Equation (8.1) is transcendent and,in generally, has many complex solutions  (k ) . We consider the most interesting case appropriate for weakly attenuatedoscillations. a) The fast waves whose phase velocity is much greater than the average thermal velocities of charged particles:  / k  vTe , vTi .

(8.2)

Using asymptotic representation (6.16) for J  ( x) , the dispersion equation for weakly decaying waves may be written as 2

2  k 2v2   Le2  2 k v e   0 , (8.3)  ( , k )  1  Le2 1  3 2Te   i 3 2 k 3 vTe     2 2 Te

l

Note that the contribution of the ion term is very small. It is essential only if the inequality Ti  Te

M2 holds, i.e. when the ionic m2

temperature is six ordersof magnitude higher than the electronic temperature. As it follows from the typical temperature values given 28

in the literature, the plasma with such a ratio of Ti / Te , apparently, does not existin nature. This means that in the domain of frequencies mentioned above it is possible for a plasma to be considered electroniconly; thus, the role of ions is reduced to the neutralization of the electronic charge (the quasineutrality of the equilibrium state of the plasma). Since the imaginary part in (8.3) is exponentially smallit is possible to find the solution of this equation by the method appropriate for a spectrum of weakly damping oscillations. Assume that the frequency of the wave has an imaginary part  (    i ) The real part  may be foundfrom the equation Le2  3k 2 vTe2  1  0, 2  2 

(8.4)

k 2 vTe2  2 (1  3k 2 rDe2 ) .  Le 2  Le 

(8.5)

Re  l ( , k )  1 

whence 

 2  Le2 1  3 

Here it is taken into account that   Le , therefore,  is replaced by Le in the corrections. Since inequalities (8.2) are considered satisfied, the second term in the brackets in expression (8.5) is just a small correction, i.e. k 2 rDe2  1 . Thus, rapid longitudinal oscillations in the plasma have wavelengths of the magnitude   1/ k  rDe and damp weakly. The longitudinal waves with the spectrum (8.5) are called the electronic plasma waves or, simply,the plasma waves. They form a highfrequency branch of the longitudinal oscillations of the isotropic plasma which is often called the electronic branch of oscillations. As it was noted above, the ionic contribution to the plasma oscillations may be neglected and the plasma in this domain of frequencies is considered electronic only.

29

The decrement of damping of the plasma waves may be calculated, in terms of Im  l (, k ) , in the weak damping regime     ) as: 1

3

Im  l ( , k )  Le  2 krDe 2  2 e     . 3  8 k 3 rDe Re  l ( , k ) 

(8.6)

It is seen that at krDe  1 the damping of the plasma waves is exponentially small which can be easily explained by the following physical arguments Namely, the phase velocity of the plasma waves is much greater than the average thermal electronic velocity. Therefore,at the frequencies   Le , or, consequently, when krDe  1 , only very fast electrons take partin the absorption of the plasma wave (see fig. 2, lecture 7).Their number densities small for the Maxwell distribution function (the "tail" of the Maxwell distribution). Such a damping of the plasma waves is called the Landau damping. From the expression (8.6) it is seen that when k grows, the damping of the plasma waves increase seven at krDe  1 ,    . However, at large magnitudesof k it is impossible to use the obtained expression for  since it is only valid for krDe  1 . Thus, from (8.6) it is possible to see only the trend of the damping growth of the longitudinal plasma waves when k grows, i.e. with the reduction of the wavelength. The spectrum of the longitudinal plasma waves forming a high-frequency branch of oscillations in the plasma is represented in fig. 3 (upper curve), and the strongly dampingpart of the spectrum in the domain krDe  1 is represented by the dotted line. The lower curve in fig. 3 demonstrates the dispersion of the ionic sound waves in the plasma (see the following lecture).

30

Figure 3

Questions to Lecture 8 1. Obtain an expression for the high-frequency spectrum of longitudinal waves in non-degenerate collisionless plasmas. 2. Which waves are called the electron plasma waves? 3. Obtain an expression for the decrement of longitudinal waves in nondegenerate collisionless plasmas. 4. Explain the resulting outcomes.

31

Lecture 9 Low-frequency longitudinal waves Topics to be discussed in the lecture. The spectrum of lowfrequency longitudinal oscillations in non-degenerate collisionless plasmas b) Consider the domain of longitudinal oscillations with intermediate phase velocities vTi   / k  vTe .

(9.1)

If the inequality Re   Im  holds, i.e. the damping is weak, then, the dispersion equation (8.1) takes the following form,  k 2 vTi2   Li2    3  2 k v   ( , k )  1  2 2 1  i i e       0. 1 3   2 kvTe   2  2 k 3 vTi3 k vTe  2 l

Le2 

2



2 2 Ti





(9.2) The imaginary contributions in this equation are relatively small in comparison with the real ones. Therefore, its solution can easily be obtained by the approximate method which has already been used in the derivation of expressions (8.5) and (8.6). As a result in the phase velocities domain of interest the spectrum of frequencies  (k ) and the decrement  (k ) of damping of longitudinal waves are found as   1    1  3k 2 rDi2 1  2 2   k rDe 2

 

2 Li

 M 1 4 

1  Z 3 8 m Z k 3 vTe 

M m

1

  1    1  2 2  ,    k rDe   Te     Ti 

3/ 2

 2 exp   2 2  2k vTi

   . (9.3)  

Here the quasineutrality condition Ne  ZNi is taken into account with Z  ei / e being the charge number of ions. From the condition   kv Ti it stems immediately that the waves with the spectrum 32

(9.3) are to exist in a non-isothermal plasma ( Te  Ti ) only and in the domain of wavelengths k 2 rDi2  1 . The spectrum of these oscillations is displayed in fig 3 (lower curve). The spectrum of frequencies of weakly damping oscillations essentially depends on the ionic component of the plasma, therefore, it is often calledionic or low-frequency branch of longitudinal waves in plasmas. An especially simple form of spectrum (9.3) prevails in the limit krDe  1 when it turns into the so-called spectrum of ion sound oscillations: 2  k 2Z  

 8

Te M

 Z

 Ti 1  3 ZT e 

 2 2   k vS , 

3/ 2 3 ZT   e m  M  Te  2 2Ti 1  Z e   M  m  Ti  

 . 

(9.4)

Such oscillations in non-isothermal plasmas are calledionic sound because the spectrum (9.4) is analogous to the spectrum of common sound oscillations of simple liquids of the phase velocity vS  Z

Te  3Ti  1  . M  ZTe 

Determine now the condition at which the inequality    holds. It is easy to see that to satisfy this inequality it is necessary to  Te    Ti 

keep 

3/ 2

e

3 ZT   e 2 2Ti

 1 and, thus, for Z  1 , we get Te / Ti  6 .

In an opposite limiting case of short wavelengths, k 2 rDe2  1 , but k 2 rDe2  1 , and the spectrum (9.3) takes the following form,

 2  Li2

33

3/ 2 3    2Li 2 m Li  M  Te  2 2 k vTi   Z Z e 1    3  m  Ti  8 M k 3 rDe  2



 .  

(9.5)

The analysis of the decrement (9.5) shows that these oscillations are weakly damped (in fig. 3 they correspond to the horizontal part of the lower curve) in the case of stronglynon-isothermal plasmas. Physically the occurrence of oscillations with the Langmuir frequency in non-isothermal plasmas is quite natural since under these conditions fast and freely moving electrons create a constant negative spatial charge and on this background the low-frequency oscillations of ions with the frequency Li appear (similarly to the electronic oscillations on the background of a positive spatial charge of ions). c) Consider the domain of the slowest low-frequency longitudinal waves, for which  / k  vTi , vTe .

(9.6)

According to (7.5) in this domain of frequency the longitudinal plasma dielectric permeability has the form which is close to its static limit,  l ( , k )   l (0, k )  1   

 1  Where rD    2    rD 

L2 2 2 T

k v

 1

1 , k r 2 2 D

(9.7)

1/ 2

is the plasma Debye screening radius.

It means that in this domain of frequency the screening, with the Debye screening radius, of the longitudinal electric field in the plasma takes place. The similar shielding takes place for kvTi    kvTe in the domain of frequency   Li . In this case the longitudinal permeability (7.5) does not depend on the frequency, takes the form of (9.7) and results in the shielding with the radius rscr  rDe . This 34

corresponds to the screening of the high-frequency longitudinal electric field in the domain of frequencies Li2   2  L2 . Questions to Lecture 9 1. Derive an expression for the low-frequency spectra of longitudinal oscillations in collisionless non-degenerate plasmas. 2. Derive an expression for the damping of low-frequency longitudinal oscillations in collisionless non-degenerate plasmas.

35

Lecture 10 Spectra of waves in magnetized plasmas Topics to be discussed in the lecture. Magnetized plasmas. Spectra of quasi-longitudinal waves in magnetized plasmas. It is more difficult to obtain expressions for spectra of waves in a plasma in the presence of (sufficiently strong) magnetic fields since there are two preferred directions, k and B. Thus, in the case of arbitrary direction of the wave propagation it is rather difficult to speak about its polarization. It is known, that the magnetic field removes the polarization degeneration, dividing electromagnetic waves into ordinary and extraordinary. The nature of spectra of plasma waves in a magnetic field is much diverse and the number of spectra becomes grows. Consider quasi-longitudinal waves which can participate in a large number of linear and nonlinear processes. Consider a "cold" plasma, kVT   , kVT   ,  

eB in the non-relativistic case. mc

Then,     ij   ig   0 

ig

 0

0  2 0  , where     yy  1   2 L 2 ,       

    ZZ  1   ig  i 

 2 L  2  2

 L2    2  2 

,

(10.1) (10.2)

Then, substituting the tensor components, the field equations  2 2  k k k   ij  E j  0 can be cast as   i j  ij 2 

c



36

 2  2  2  k Z  2    E X  i 2 gEY  k kZ EZ  0 c c      2 2  . i 2 gE X   k 2  2    EY  0  c c       2 2    k kZ E X  0   k  2  ||  EZ  0 c   

(10.3)

The condition of solvability gives the dispersion equation,





  n 4    sin 2    || cos 2    n 2   2  g 2    ||  sin 2   2  ||    2  g 2   || ;

kZ  k  cos  k  k  sin  , n 

kc



This equation has three solutions, ordinary and extraordinary waves and quasi-longitudinal waves

2 n1,2 

1 1   sin 2    || cos2    2

    2  g 2   ||   sin 2   2 ||   



2 

2   g 2     ||  sin 4    22 g 2 cos 2   

 being the angle between vectors k and B . The third solution corresponds to an infinite refraction coefficient, n 2   i.e. kc   : "slow", longitudinal waves. Such splitting of the solutions is rather conventional, but it is quite meaningful because of the importance of oscillations with n  1 . As in isotropic plasmas, the same equation for the longitudinal convolution can be obtained in plasmas with

magnetic fields

ki k j k2

 ij    sin 2    || cos 2   0 . This equation defines

the dispersion of quasi-longitudinal waves

37

  , k   1 

Le2  2  e 2

2 Li2 k2 Li2 k Z2 k2 Le k Z2     0 . (10.4) k 2  2 k 2  2  i2 k 2  2 k 2

From here it is possible to obtain a number of spectra: 1

k Z2  Li2 k 2    1  2 2  ; Le  Li  1 , 2  k  i k   i 2 2 2 2   k k   1  2 Le 2 2  Le2 Z2  0 ,   e k  k

1)   i  2  Le2 M   i m

2)     

1  2 2 Le  e   2



4

2 Le

2  2  e2   4Le e2 cos 2   . 

If Le  e    Le / cos  / , one can obtain spectra   e . Due to the thermal motion, the spectrum of the Langmuir oblique waves changesto    Le / cos  / 1  3 2 k 2 rDe 2 .





Questions to Lecture 10 1. Which waves are called ordinary and extraordinary? 2. Which waves are called quasi-longitudinal? 3. Derive an expression for the spectra of quasi-longitudinal waves in a magnetized plasma.

38

The module 2 «Non-ideal plasmas» Lecture 11 Pseudopotential theory Topics to be discussed in the lecture. The pseudopotential theory of dense quasi-classical plasmas. The interparticle interaction potentials. For the description of interparticle interactions in dense non-ideal plasmas within the quasi-classical approach one could use the pseudopotentials of Deutsch and Kelbg that take into account the quantum corrections as follows:    r  ee  r2   ab  r , T   a e 1  exp        ae be k BT ln 2 exp   2 r    ab    ee ln 2  . (11.1)  2          e e r r r   ab  r , T   a e 1  exp   2    1  erf    r  ab    ab     ab 

Further, the following notation is used: 1/3

1/3

 3   3  a  , rS    4  n i    4 ne 



k BT  4   2  EF  9 

me e2  Ze  ,  , ak B T 2 2

2/3

Z 5/3

rS . 

Solving the Poisson-Boltzmann equation with the pseudopotentials (11.1) taken as micropotentials, it is possible to obtain the Fourier transforms of the screened potentials and restore them in the k space. For example, for the screened Deutsch potential  ee

 4 e

2





 1 1   2  4 2 2 2 i k r  k 1 k   ee 





 1 1    1  k 2 2 1  k 2 2 2 2  1 k ei ee ii 





 



2

 k 2    1    A 1  e 4b   2 2 2 2   k rei 1  k ii    

Here b     ln 2  , A  k BT ln 2  b / 4e , rDe , rDi Debye radii of electrons and ions respectively, and 2 ee

1

3/ 2

39

2





(11.2) stand for the

  1

1 1   k 2 rDe2 (1  k 2 ee2 ) k 2 rDi2 (1  k 2 ii2 )

  1 1    2 2 2 2 2 2 2     k  k  k  (1 )(1 ) (1 ) ee ii ei     k2  A 1  2 1  2 2 exp    rDe  k rDi (1  k 2 ii2 )   4b  

1 2 2 2 k 2 rDe k rDi

The Fourier transforms of the Deutsch potentials are as follows: ee  k   ii  k  

4 e 2 k2

  k 2  1 2  Ak exp     2 2  4b   1  k ee

4  Ze 

ei  k   

k2

2

1 1  k 2 ii2

(11.3)

4 Ze 2 1 k 2 1  k 2 ei2

Below, in figure 4, one can see the 2D dependence of the Debye, Deutsch and strongly screened (three-particle) potentials on the interparticle spacing.

– Deutsch potential – the 3-particle interaction potential – Debye-Hückel potential

1. 2. (( a ,  3.

4.

Figure 4 Questions to Lecture 11 Write expressions for the pseudopotentials of Deutsch and Kelbg. Write expression for the parameters which characterize non-ideal plasmas , rS ,  )). Put down the Fourier transforms of the Deutsch potential. Draw graphs for the pseudopotentials against the interparticle spacing. 40

Lecture 12 Local fields Topics discussed at the lecture. Local fields and their effect on the spectra of longitudinal waves in dense plasmas. As it is mentioned above, the longitudinal (inverse) dielectric permeability of the plasma medium is defined as 1

 k, 

 1   ab  k   ab  k ,   .

(12.1)

Here we neglect the local field corrections Gii , Gie . Longitudinal dielectric permeability Introduce the concept of dielectric permeability of the medium. For this purpose we consider the phenomena occurring under the influence of an external charge with the Fourier transform ext (k ,  ) exp i  kr  t   .

(12.2)

Under such an influence density oscillations arise in the plasma resulting in formation of induced spatial charges ind (k ,  ) exp i  kr  t   .

(12.3)

Thus, total change of the spatial charge in the plasma under the influence of the external perturbation (12.2) can be written as  tot (k ,  )   ext (k ,  )  ind (k ,  ) .

(12.4)

On the other hand, according to the linear response theory, tot (k ,  ) 

ext (k ,  ) .  (k ,  )

(12.5)

41

This ratio can be considered as a definition of the dielectric permeability  (k ,  ) describing a degree of screening of a probe charge in the plasma. In [3] the following expression for the longitudinal dielectric permeability of the plasma is proposed: 1  1   ab (k )  ab (k ,  ) ,  (k ,  ) a ,b

(12.6)

where ab (k ) is the Fourier transform of the micropotential of interaction of the charged particles whose components can be written down as: ee (k ) 

ii (k ) 

 k 2  4 e 2  1 2  Ak exp     , 2 4b   k  1  k 2 ee2    

4  Ze 

ei (k )  

2

1

(12.7)

,

(12.8)

4 Ze 2 1 . k 2 1  k 2 ei2 

(12.9)

k

2

1  k   2

2 ii

Here the response functions  ab (k ,  ) in isotropic plasma in the random phase approximation are found as:  ee (k ,  )   e0 (k ,  ) 1  i0 (k ,  )vii (k )  / D, ii (k ,  )  i0 (k ,  ) 1   e0 (k ,  )vee (k )  / D,

(12.10)

 ei (k ,  )  ie (k ,  )   (k ,  )  (k ,  )vei (k ) / D, 0 e

0 i

with D  1   e0 (k ,  )vee (k )  1   i0 (k ,  )vii (k )    e0 (k ,  ) i0 (k ,  )vei2 (k ) .

42

Using (12.6) and (12.10), it is possible to obtain the following expression for the longitudinal dielectric permeability of quasiclassical two-component plasmas:  (k ,  ) 

D . (12.11) 1   (k ,  )  (k ,  ) ei2 (k )  ee (k )ii (k )  0 e

0 i

This result simplifies in the case when the contribution of the ionic component of the medium to the processes, taking place in the plasma, remains small enough (the high-frequency limit)  (k ,  ) 

D . (12.12) 1   (k ,  )  (k ,  ) ei2 (k )  ee (k )ii (k )  0 e

0 i

Equation (12.12) turns into in a well known expression for the longitudinal dielectric permeability of classical ideal Coulomb plasmas,  (k ,  )  1 

4 na ea2    2 W  kv a  e ,i k k BT  Ta

 . 

(12.13)

Expression (12.12) is valid for collisionless media. However, with the increase of the plasma density the collisions begin to play a more essential role. It is known that electron-ion collisions are responsible for the appearance of an additional imaginary part that is added to expression (12.12) for the longitudinal dielectric permeability:  (k ,  )  i

Le2 veff . 3



(12.14)

Here, veff  4 2 e 4 ni LC / 3 me  k BT 

3/ 2

 and L

C

denotes the Coulomb

logarithm. Observe that expression (12.14) is obtained from the kinetic equation with the collision integral of Landau in the limiting case,    e , kvTe with  e    ea being the frequency of collisions of a  e ,i

43

electrons with other particles of the medium,  Le  4 ne e 2 / me is the Langmuir frequency of electronic fluctuations in plasmas. Equalities (12.12) and (12.14) give rise to the final expression for the longitudinal dielectric permeability of plasmas taking the electron-ion collisions into account:  (k ,  )  1   e(0) (k ,  )ee (k )  i

Le2  eff . 3

(12.15)

With the growth of the medium density both quantum and nonideality effects begin to play ever more essential role. Usually account of the non-ideality effects are accounted for by means of the local field corrections. Indeed, when the concentration of particles increases, the average distance between them decreases, hence, a stronger influence on a charge motion is exerted by internal electric fields generated by the medium charged particles. Let us derive an expression for the longitudinal dielectric permeability of dense high-temperature plasmas including the local field corrections. For this purpose the response functions are rewritten as [3]:  ee (k ,  )   e0 (k ,  ) 1  i0 (k ,  )ii (k ) 1  Gii (k ,  )   / D , (12.16) ii (k ,  )  i0 (k ,  ) 1   e0 (k ,  )ee (k ) 1  Gee (k ,  )   / D , (12.17)  ei ( k ,  )   e0 ( k ,  )  i0 ( k ,  )ei ( k ) 1  Gei ( k ,  )  / D ,

(12.18)

 ie ( k ,  )   (k ,  )  (k ,  )ie ( k ) 1  Gie ( k ,  )  / D ,

(12.19)

0 e

0 i

D  1   e0 ( k ,  )ee ( k ) 1  Gee ( k ,  )  

1  

0 i

( k ,  )ii ( k ) 1  Gii ( k ,  )   

(12.20)

  ( k ,  )  (k ,  ) ( k ) 1  Gei ( k ,  ) 1  Gie ( k ,  )  . 0 e

0 i

2 ei

In the one-component model of electron plasma valid for very fast processes, expressions (12.16) - (12.20) simplify and, substituting them into expression (12.6), we finally find: 44

 (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) , 1  ee (k )G (k ,  )  e0 (k ,  )

(12.21)

where G(k ,  )  Gee (k ,  ) stands for the local field function. Questions to Lecture 12 1. What are the local fields? 2. How do the local fields influence the spectrum of longitudinal waves in dense plasmas? 3. Write an expression for the dielectric response function. 4. How expression (12.12) is changed when the plasma density grows? 5. What are the expressions for the response function taking into account the local fields?

45

Lecture 13 Waves in dense plasmas Topics discussed at the lecture. Dispersion of plasma waves in dense plasmas. The static approximation. It is known that the condition of existence of longitudinal plasma waves in the medium can be written as:  (k ,  )  0 .

(13.1)

From expression (13.1) one can obtain the analytical expressions for the spectrum and decrement of damping of Langmuir waves in quasiclassical plasmas taking into account the static local field correction. In this case the longitudinal dielectric permeability in the static approximation takes the form:  (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) . 1  ee (k )G (k )  e0 (k ,  )

(13.2)

As a micropotential of particle interaction we choose the pseudopotential ab (r , T ) 

ea eb r

 r2  1 exp    2  ab 

 r  1  erf   ab  

 r        ab   

proposed by

Kelbg, which is finite at small distances due to the account of quantum effects. The Fourier transform of the micropotential may be written as follows ee (k ) 

4 e 2 1 3 1 2 2   1  , , k ee  exp   k 2 ee2  , 1 F1  2 k 2 2 4   4 

(13.3)

where 1 F1  , , x  designates the hypergeometric function, whose 2 2  McLaren series is: 1 3

46

1 1 1 3  F  , , x   1  x 2  x 4  ... . 3 10 2 2 

(13.4)

1 1

In view of the inequality x  1 the condition of existence of highfrequency electronic waves (13.1) can be found from expressions (13.2) and (13.3) as: 1

   1 1 3 1 2 2   1 2 2 W  1 F1  , , k ee  exp   k ee  1  Ge (k )   0 .(13.5) 2 2 4 kv k 2 rDe2    4   Te 

Now, make use the asymptotic expansion of the function W (k ) when  / kvTe  1 : W ( z )  iz



 z2  1 3 exp     2  4  ... . 2 z  2 z

(13.6)

By virtue of the conditions krDe  1, k ee  1 equation (13.5) allows one to obtain the spectrum and decrement of damping of Langmuir oscillations of the plasma  

3 2

1 8

1 2

 

 (k )   Le  1  k 2 rDe2  k 2 ee2  Ge ( k )  ,

 (k )  

(13.7)

 G (k )  1 3 ee2    2  e2 2  . (13.8) exp  3 2 2 8  krDe   2k rDe 2 8rDe 2k rDe 



Le

The contributions in the parenthesis of (13.7) have clear physical sense. The spontaneous separation of the electric charge results in the occurrence of electrostatic forces trying to restore the quasineutrality of the plasma medium, hence, the electron density oscillations with the plasma frequency take place. This corresponds to the first term in the parenthesis. The second term characterizes a gradient of pressure connected to the heterogeneity in the electron distribution. The quantum effects weaken interparticle interactions and lead to the negative contribution to the spectrum (the third term 47

in (13.7)). The last term, also giving the negative contribution, is caused by the account of local fields in the plasma and is closely connected to the second term taking into account the deviation of the equation of state from its ideal gas form. In figures 5 and 6 we display the spectrum (13.7) at various values of the plasma parameters. It is seen visible that with increase of the non-ideality of the plasma, the contributions of the last two terms to the spectrum of Langmuir oscillations grow, therefore, at certain values of the plasma parameters plasma waves degenerates into pure fluctuations, i.e. the following dispersion law takes place  (k )  Le .

(13.9)

Dispersion (13.9) is realized when a certain relation between the dimensionless plasma parameters holds. This relation, with good accuracy, may be approximated by the following formula,   a

b





c

2

 d exp( ) ,

(13.10)

where a  7.3701, b  0.3193, c  0.0405 и d  5.6853 . If condition (13.10) holds, the energy transfer by the plasma fluctuations turns impossible since their group velocity vanishes. In other words, in this case the Langmuir oscillations are confined in the medium. With further increase of the non-ideality parameter in comparison with the parameters given by (13.10), the dispersion law changes into the abnormal one:  (k )  Le . Such a behavior of the dispersion law is shown in fig. 7 and was already predicted earlier both theoretically and on the basis of the molecular dynamic simulations. The appropriate curves for decrement of attenuation of electronic fluctuations of plasma are given in figure 8. It is easy to notice that the account for the quantum effects and the local fields of the medium lead to an increase of damping of Langmuir oscillations in quasi-classical plasmas, compared to the case of classical plasmas with the Coulomb interaction potential. One can see that both quantum and non-ideality effects result in the diminishing of the frequency of Langmuir waves in plasmas, (13.7). 48

The decrease of the frequency of longitudinal electron fluctuations leads to the reduction of their phase speed and to the interaction with a greater number of particles, which increases the damping of such fluctuations. It is seen from figures 8 and 9 (lecture 14) that the reduction of the degeneration parameter corresponds to the increase of the medium density (the coupling parameterГincreases and the degeneracy parameter  decreases) and the decrement of damping for the same values of the wave number decreases.

Figure 5. Spectrum of plasma waves in dense plasma at Г=1 and θ=3. 1: Classical dispersion law, 2:Quasi-classical dispersion law (13.7)

Figure 6. Spectrum of plasma waves in dense plasmas at Г=1 and θ=0.75. 1: Classical dispersion law, 2:Quasi-classical dispersion law (13.7) 49

Figure 7. Spectrum of plasma waves in dense plasmas at Г=3.2 and θ=0.3. 1: Classical dispersion law, 2:Quasi-classical dispersion law (13.7)

Figure 8. Decrement of damping of plasma waves in dense plasmas at Г=1 and θ=3. 1: the classical formula, 2: the quasi-classical formula (13.8)

50

Figure 9. Decrement of damping of Langmuir waves in dense plasmas at Г=1 and θ=3. 1: the classical formula, 2: the quasi-classical formula (13.8)

The weakening of the plasma wave damping when the medium density increases, is explained by the growth of the number of degenerate electrons that cease to participate in the thermal motion and, consequently, in the absorption of plasma waves. This is in complete agreement with the results of [1], where it was shown that the high-frequency electronic fluctuations in completely degenerate plasmas without collisions do not saturate. Questions to Lecture 13 1. What is the static approximation of the local field correction functions? 2. Derive an expression for the dispersion of plasma waves in dense plasmas. 3. Derive an expression for the decrement of plasma waves in dense plasmas. 4. Plot the graphs for the dispersion and decrement at various values of the parameters  and  .

51

Lecture 14 Waves in dense plasma (continued) Topics to be discussed in the lecture. Dispersion of plasma waves. The dynamic approach(approximation). The analytical expressions for the dispersion of plasma fluctuations obtained in the previous lecture remain valid within the limits of small k (krDe  1) . To investigate the dispersion law of electron fluctuations in a plasma in a wider range of wave number variation, it is possible to use the numerical solution of the equation which is generally written as:  (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) 0 1  ee (k )G (k ,  )  e0 (k ,  )

(14.1)

Here the pseudopotential is used as a micropotential of interaction and the dynamic local field correction function is calculated as it was done in [2]. In figures 10-12 the spectra of the Langmuir fluctuations of plasmas are presented. It is seen from these figures that the curves obtained on the basis of the static and dynamic local field corrections practically coincide up to the values ka  0.3 (curves 2 and 3 respectively). With the increase of the medium density (   2 and   0.75 , see figure 11) the discrepancy between these approaches (curves 1, 2 and 3) becomes more pronounced. The dispersion curve obtained in the static local field correction approximation (curve 2) goes below than the appropriate curve which takes into account the dynamic local field correction (curve 3). With further increase in the plasma density (figure 12) the dispersion of electronic fluctuations becomes abnormal (  (k )  Le ); this phenomenon was discussed in detail in the previous lecture. It is seen that in the long-wavelength limiting case (small k ) the Langmuir frequency of fluctuations decreases up to the value ka  0.5 and then grows with further increase of k . The similar behavior of the dispersion law of plasma fluctuations was observed in [1] in the case of fully degenerate plasmas (zero sound). 52

For the numerical evaluation of the decrement of electronic fluctuations, the well known formula can be used:  (k )  

Im  (k ,  ) .  Re  (k ,  ) 

(14.2)

Figure 13 shows the curves for the decrement of damping calculated with the inclusion of quantum effects and dynamic local fields in plasmas at various values of the plasma parameters. The increase of the medium density decreases the decrement of damping of Langmuir fluctuations. As it was already mentioned above, this is related to the degeneration of electrons that impede them from the participation in thermal motion and, thus, in the absorption of waves.

Figure 10. Spectrum of plasma waves in dense plasmas at Г=2 and θ=0.75. 1: the classical formula, 2: the data [7, 3]: formula (14.1)

53

Figure 11. Spectrum of plasma waves in dense plasmas at Г=3.2 and θ=0.3. 1: the classical formula, 2: the data [7, 3]: formula (14.1)

Figure 12. Spectrum of plasma waves in dense plasmas at Г=1 and θ=3. 1: the classical formula, 2: the data [7, 3]: formula (14.1)

54

Figure 13. Decrement of attenuation of Langmuir waves in dense plasmas. 1: Г=1 and θ=3, 2: Г=2 and θ=0.75, 3: Г=3.2 and θ=0.3 Questions for Lecture 14 1. What is the dynamic approach to the local fields? 2. Draw the plots of the spectrum and the damping vs. the wave number. 3. Explain the obtained plots for the spectrum and damping vs. the wave number.

55

Lecture 15 Nonlinear processes Topics to be discussed at the lecture: Nonlinear processes in plasmas. Decay and scattering processes. Parametrical instabilities. It is well known that due to the nonlinearity of the material equations, plasmas are nonlinear media. Various nonlinear electrodynamics processes of decay and scattering of waves can take place in plasmas leading to the energy exchange. Thus, the evolution equation should be written in the quadratic or even cubic approximation of a corresponding parameter. Due to the nonlinearity, different kinds of instabilities can occur in the plasma. For example, the parametric instability leads to the existence of the potential plasma waves occurring due to the influence of the pump electromagnetic wave. These and other topics are to be discussed in the special courses of the Master Degree Program. Questions to Lecture 15 1. What nonlinear processes can occur in plasmas?

56

COLLOQUIUM ON THE STUDIED TOPICS 1. The field equations in the medium. 2. The charge conservation law. 3. The material equation in the linear field approximation. 4. The field equations for isotropic plasmas. 5. The dispersion equation for isotropic plasmas. 6. The relation between the linear conductivity tensor and the dielectric tensor. 7. Conditions for the existence of longitudinal and transversal waves. 8. The dispersion equation in the matrix representation. 9. The initial problem. 10. The boundary problem. 11. The dielectric tensor of isotropic plasmas (derivation). 12. The longitudinal convolution of the dielectric tensor and the spectrum of Langmuir waves. 13. The transversal convolution of the linear dielectric tensor and the spectrum of transversal waves. 14. The relationship between the initial and boundary problems. 15. The electromagnetic field energy in the medium. 16. The Landau damping. 17. The spectrum and damping of Langmuir waves in dense plasmas. 18. The spectrum and damping of ion-acoustic waves. 19. The wave spectrum in magnetized plasmas. 20. The permittivity of strongly coupled plasmas. 21. The pseudopotentials of interparticle interactions. 22. The local fields and their influence on the spectra of waves in dense plasmas.

57

REFERENCES

1. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С, Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высш.шк., 1988г. 424с. 2. Архипов Ю.В., Баимбетов Ф.Б., Давлетов А.Е., Стариков К.В. Псевдопотенциальная теория плотной высокотемпературной плазмы. Алматы «Қазақ университеті» баспасы, 2002, 113с. 3. Ichimaru S., Mitake S., Tanaka S., Yan X.-Z. Theory of interparticle correlations in dense, high-temperature plasmas. I. General formalism // Phys. Rev. A, 1985, v.32, p.1768. 4. Kelbg G. Einige Methoden der statistischen Thermodynamik hochionisierter Plasmen. – Ergebnisse der Plasma Physik und Gaselektronik. Berlin, Akademie-verlag. 1972, Band 3. s.3-364. 5. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975, 288с. 6. Hansen J.P., McDonald I.R. Microscopic simulation of a strongly coupled hydrogen plasma // Phys. Rev. A, 1981, v.23, p.2041. 7. Arkhipov Yu. V., Baimbetov F.B., Davletov A.E., Starikov K.V., Voronkov V.V., Theoretical investigation of parametrical instability in semiclassical plasmas // Abstract of International conference on «Strongly Coupled Coulomb Systems». – Greifswald, Germany, 2002. 8. Архипов Ю.В., Ашикбаева А.Б. Краткий конспект курса «Основы электродинамики плазмы», Алматы. Казак университетi, 2009.-54 с.

58

GLOSSARY Plasma – partially or fully ionized gas in which the densities of positive and negative charges are virtually identical. Isothermal plasma – the temperature of the particles of all species is the same. Nonisothermal plasma – the temperatures of particles of various species differ ( Te  Ti ). Isotropic medium – a region of space whose physical properties do not depend on the direction. Degenerate gas – the gas whose properties are significantly influenced by quantum-mechanical effects arising due to their identity. Coupling parameter – the ratio of interaction energy of particles at an average distance to their kinetic energy. The Debye radius – characterizes the spatial scale over which the charge can separate in a plasma. The plasma frequency – the temporal scale of existence of density fluctuations in the volume of the Debye radius. Electrostatic induction (electric displacement) – a vector quantity equal to the superposition of electric field and polarization. The material equation – the equation which describes the relationship between the vectors D and E . Fourier transform – the operation which associates, via the Fourier integral transformation operation, a real variable function to another function of a real variable. This function describes the coefficients of the expansion of the original function into elementary components - harmonic oscillations with different frequencies. Wave – fluctuation state propagating in the medium and carrying some energy. Vlasov equations – the set of equations which describe the dynamics of the plasma of charged particles with long-range Coulomb forces governed by the self-consistent field. Landau damping – the wave damping due to the resonant interaction of particles with electromagnetic waves arising in plasmas. Waves in dilute plasmas decay as they propagate despite the absence of binary collisions. Dispersion of waves – the relation between the frequency and the wave number. Thermodynamic equilibrium – the limiting state which a thermodynamic system arrives at when isolated from external influences, i.e. thermal, mechanical and chemical equilibrium are achieved at each point of the system. 59

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ» Лекция 1 Тема лекции. Уравнения Максвелла. Воросы, обсуждаемые на лекции. Уравнения электромагнитного поля в среде. Закон сохранения заряда. Вектор электрического смещения. Цель лекции. Вывод уравнений поля через вектор электрического смещения. Ключевые слова. Уравнения Максвелла, электрическое смещение, нелинейные взаимодействия. Как известно, плазма – это квазинейтральная система заряженных частиц. В такой системе имеются электромагнитные поля, обусловленные как неоднородностью распределения заряженных частиц, так и действием внешних источников. Важным моментом является то, что внешние (и внутренние) поля могут изменять движение частиц плазмы, индуцируя в ней заряды и токи, которые в свою очередь создают электромагнитные поля. Это так называемые самосогласованное приближение взаимодействия частиц и полей. Следовательно, в уравнениях поля должны быть индуцированные заряды и токи. rotB 

1 E 4   j  j0  c t c

divB  0

1 B c t

  . divE  4     0    rotE  

(1.1)

Здесь j ,  – индуцированные заряды и токи, 0 , j0 – внешние источники. Для общности, будем считать внешние источники отсутствующими. Теперь, взяв операцию div слева и справа в І уравнении и, использовав 4 уравнение получим закон сохранения заряда

60

  divj  0 . t

(1.2)

Будем полагать, что: а) электродинамика реальных сред нелинейны за счет нелинейности материального уравнения, его мы будем представлять в виде интегростенного ряда по степеням поля, ограничиваясь конечным числом членов, в данном случае пропорциональными напряженности в первой степени; в) Характерные времена нелинейного взаимодействия меньше времен квазинейтральных процессов, поэтому функция распределения основного состояния – максвелловская не изменяется; с) Будем считать, что E и B векторы, следующим образом определяющие силу: 1   F  e E   vB  . c  

Введем D  r, t   E  r, t   4

(1.3) t

 j  r, t ' dt '

используя это определе-



ние и закон сохранения электрического заряда перепишем систему уравнений (1.1) в виде divD  0, divB  0,

1 D  , c t  . 1 B  rotE   c t  rotB 

(1.4)

Отсюда видно, что получение материального уравнения сводится к определению зависимости D  r, t  от поля, а именно от электрического поля, т.к. между электрическим и магнитным полями имеется простая связь rotE  

1 B . c t

(1.5)

61

1. 2. 3. 4. 5.

Вопросы для самоконтроля по лекции 1 Уравнения электромагнитного поля в среде. Вывод формулы закона сохранения заряда. Что называют вектором электрического смещения? Получить уравнения электромагнитного поля через вектор D . Какая связь между электрическими и магнитными полями?

62

Лекция 2 Тема лекции. Материальное уравнение в пространстве Фурье. Воросы, обсуждаемые на лекции. Преобразование Фурье, использование свойств  -функции, вывод материального уравнения в (, k ) представлении. Цель лекции. Вывод материального уравнения в (, k ) представлении в линейном приближении. Ключевые слова. Явление переноса, релаксационные явления, материальное уравнение, интеграл Фурье. Учтем, что в среде (плазме) имеются явления переноса и релаксационные явления, которые приводят к зависимости индуцированного тока в данное время, в данном месте пространства от поля в предшествующие времена и в других областях пространства. Это приводит к временной и пространственной дисперсии и делает связь D и E интегральной и нелокальной. Учитывая малость амплитуд электромагнитных полей E имеем для материального уравнения 

Di  r, t   

t



 

t1

tn 1





dt1  dr1  dt2  dr2 ...  dtn  drn  ij1 ... jn (t  t1 , r  r1 ; t1  t2 ,

(2.1)

r1  r2 ;...tn  tn 1 , rn  rn 1 ; tn , rn ) E j1 (t1 , r1 )...E jn (tn , rn ), rn ( , ).

Зависимость от аргументов tn и rn в ядре существенна лишь для нестационарной и пространственно неоднородной среды. В линейном приближении в материальном уравнении следует оставить только член  E1 . Уравнение поля (Максвелла) и материальное уравнение представляет собой полную, замкнутую систему. В однородной и стационарной среде удобно использовать разложение поля в интеграл Фурье. E  r, t    d   dke it  ikr E  , k  . Так как E  r, t  действительное, eit ikr  E (, k )  eit ikr Ex (, k ) . Запишем материальное уравнение в  , k  представлении в линейном приближении для однородной стационарной среды. 63

Di  r, t  

t







dt1  dr1 ij  t  t1 , r  r1  E j  t1 , r1  .

(2.2)



Используем преобразование полей в интеграл Фурье

 Di 3 , k 3 e 

 i3 t  ik 3 r

d 3 dk 3 

t

 dt1dr1 i  t  t1 , r  r1   e

 i1t  ik1r

E j 1 , k1 d 1dk1

(2.3)



Умножим слева и справа на eit ikr и проинтегрируем по dt и i (  ) t  i ( k  k ) r d 3 dk 3   dtdr ij  t  t1 , r  r1  dr .  dt1dr1 Di 3 , k 3 e 3

3

ei ( 1 ) t  i ( k  k1 ) r E j 1 , k 1  d 1 dk 1 .

Сделаем замену переменных t  t1   , r  r1  ρ . Якобиан преобразования при этом равен 1. Будем использовать также равенства

e

 i ( k  k1 ) r

dr   2    k  k 1  3

e

 i ( 1 ) t

dt  2   1  ,

тогда в результате слева имеем

Di  , k  , а справа, дополнительно используя определение

 ij  , k     i 0  ,  ei ikρ dkdρ,

 ij  , k  E j  , k  ,

(2.4)

окончательно имеем соотношение Di  , k    ij  , k  E j  , k  ,

(2.5)

которое является материальным уравнением в  , k  представлении в линейном приближении по полю. Вопросы для самоконтроля по лекции 2 1. Какую среду называют однородной и стационарной? 2. Какие явления происходят в плазме? 3. Написать выражения для материального уравнения. 4. Написать выражения для Фурье-преобразования. 5. Вывести формулу материального уравнения в (, k ) представлении в линейном приближении по полю. 64

Лекция 3 Тема лекции. Уравнение поля в среде. Воросы, обсуждаемые на лекции. Уравнение поля, нахождение тензора диэлектрической проницаемости в изотропной плазме. Цель лекции. Вывод уравнения поля. Ключевые слова. Фурье-образ, дисперсионное уравнение, Фурье-пространство, изотропная плазма. Получим уравнение поля в линейном приближении. Из уравнений Максвелла

rotB 

1 D c t

и 

1 B  rotB c t

имеем

1 2D   rotrotE . Подставим Фурье образы полей и тогда проc 2 t 2  изводные по заменяются i , а оператор  t

( rotrotE   E ) заменится ik . Имея в виду  E i  i  E    2 Ei , получим kk    rotrotE i   d dkk 2   ij  i 2 j  eit ikr E j  , k  . k   Используя материальное уравнение в  , k  представлении Di   ij E j , получим окончательно уравнение поля 2 2 ki k j   k c    2   ij  2    i 0  , k   E j  , k   0 . k     

(3.1)

Это уравнение получено разложением напряженностей по плоским волнам. Такое разложение эффективно в случае, когда плоские монохроматические волны являются собственными колебаниями среды. Условие разрешимости системы уравнений представляет собой дисперсное уравнение

65

   ij  , k  

kk  k 2c2    i 2 j   0, E j  0 . 2  ij k   

(3.2)

где  - детерминант системы. Имея в виду  ij   ijH   ija и тот факт, что дисперсия определяется  ij а затухание  ija и последнее мало. В уравнении можно подставить  j   ijH . Как было показано из уравнения Di 

t

'

'

 dt  dr  ij  t  t '1 , r  r ' E j  r ', t '

следует Di  , k    ij E j  , k ,



следовательно из закона Ома в дифференциальной форме можно получить соотношение j  , k    ij  , k  E j  , k  . Из связи D  E  4  dt ' j  ij  , k    i 

свойства

в Фурье-пространстве имеем

откуда

4 ij

i . Из действительности  ij  t , r  ,  ij  t , r  следуют   ij  , k    ij    , k  , Re  ij  , k    ij  i , k  ,

Im  ij  , k   Im   ij   , k   .

Для изотропной плазмы тензор  ij может быть представлен в виде 

 ij  , k     ij  

ki k j  tr kk    , k   i 2 j  l  , k  . 2  k  k

Вопросы для самоконтроля по лекции 3 1. Получить выражение для уравнения поля. 2. Что собой представляет выражение  ij   ijH   ija ? 3. Написать выражение для закона Ома в дифференциальной форме. 4. Что означает выражение  ij  , k    ij    , k  ? 5. Получить выражение для тензора  ij в изотропной плазме.

66

(3.3)

Лекция 4 Тема лекции. Электромагнитные волны в плазме. Воросы, обсуждаемые на лекции. Дисперсионное уравнение, нахождение условий существования электромагнитных волн в плазме. Цель лекции. Рассмотрение условий существования электромагнитных волн в плазме. Ключевые слова. Продольные волны, поперечные волны. Как известно из общего курса электродинамики в отсутствие внешних источников поля в вакууме могут существовать электромагнитные волны,  exp  i t  ikr  . В вакууме  и k связаны

 k

 c ,   kc . В случае материальной среды в

отсутствие внешних источников, если тензор  ij  , k  ‫ –ؘ‬эрмитов, то среда непоглащающая и  , k – действительные величины. Если поглощающая, то  и k – комплексные. Как показано   2 ранее, k 2 ij  ki k j  2  ij  , k   E j  0 , условие разрешимости 

c



ki k j    ki k j    0 ,  - детерминант. Подставим  ij   tr   ij  2    l  2  . k    k 

тогда детерминант будет иметь вид ki k j   tr  k 2 c 2  ki k j l   ij  2    , k   2   2   , k   0   . (4.1) k    k 

В случае, когда k  OZ тензоры имеют матричный вид 0 0 0   ki k j 0 0 0  k2 , 0 0 1  

67

1 0 0 1 0 0 ki k j      0 1 0    ij ;  0 1 0    ij  k 2 . 0 0 1 0 0 1     Тогда   0 можно записать в виде:

 tr 

k 2c2

0

0

2

 tr 

0

0

k 2c2

2

0

0 0,

l

вычисляя определитель, получим дисперсионное уравнение. Тогда возникают два случая: 2

 tr k 2 c 2  l    2    0;   

(4.2)

а) продольные волны  l  0 ; б) поперечные волны  tr 

k 2 c2

0. 2 Квадрат связан с тем, что возможно распространение двух волн, в которых плотности Е1 и Е2 перпендикулярны (вырождение по поляризациям). Эти же соотношения можно получить и из уравнений поля. Для этого проведем умножение в уравнении ki k j   tr k 2 c 2  ki k j l     ij  2    2   2   E j  0 . k    k  

(4.3)

 ki  kE    tr k 2 c 2  Ei    2  k2  

(4.4)

Отсюда, если

k  E , то  tr 

 ki  kE  l  0.  k2 

k 2 c2

2

 0 условие существования

поперечных волн. Если k  E , kE  kE 68

ki   tr k 2 c 2   Ei  k E      2  

 l l   ki E  0    0 , условие существования 

продольных волн. Имея дисперсионное уравнение можно при заданном действий k найти комплексную частоту или наоборот. 1. 2. 3. 4.

Вопросы для самоконтроля по лекции 4 Свойства  -функции. Получить дисперсионное уравнение (4.2). Получить соотношение для условия существования продольных волн. Получить соотношение для условия существования поперечных волн.

69

Лекция 5 Тема лекции. Начальная и граничная задачи. Воросы, обсуждаемые на лекции. Два подхода к решению электродинамических задач. Цель лекции. Рассмотреть начальные и граничные задачи для продольных и поперечных волн. Ключевые слова. Термодинамическое равновесие, групповая скорость. В электродинамике плазменных сред можно различать два подхода к решению электродинамических задач а) Известно распределение поля и необходимо знать его временное развитие ( k – действительное,  – комплексное). Задание k – это задание масштаба электромагнитного поля 2 k ;  б) Известно распределение поля на границе и нужно найти его развитие в пространстве (  – действительное, k – комплексное). а) - соответствует начальной, б) – граничной задаче, первая обычно используется в однородной, вторая в неоднородной плазме. Вообще говоря это приближение, т.к. и k и  могут быть комплексными. Итак рассмотрим начальную задачу. Пусть      i  , будем изучать электромагнитные, поперечные волны.  tr  , k   Re  tr  i Im  tr 

k 2c2

2

Re  tr  , k   i 

k 2c2

2

 0 ; Для слабозатухающих волн

 0,

 Re  tr k 2c2  i Im  tr   0 Re  tr  Im  tr , 2      i  

     . Отсюда Re  tr  , k      

Im  tr  , k  1   2 Re   tr  , k    2  

k 2c2 ,  2

,     – инкремент или декре-

мент затухания, в зависимости от знака. В состоянии термодинамического равновесия среды 70

1   2 Re  tr  , k   0 и Im  tr  , k   0 , т.е.   0 . Любая  2  

волна затухает и энергия передается от нее к среде. В случае   0 . Для продольных волн неравновесных сред  l  Re  l  i 

 Re  l  Re  l Im  l  i   i   0 ,      ,      Re  l  

Re  l  , k   0 ; В изотропной плазме имеется только два типа

волн. Если все моды со всеми значениями k затухают, т.е.   k   0 то система (волна+среда) устойчива – и волна затухает. Граничная задача. Изменим условие задачи. Пусть известно значение поля на некоторой поверхности и нужно изучить его распределение в пространстве. Такое рассмотрение справедливо для неоднородной среды. Пусть имеется волна с частотой  и волновым вектором k 0 в вакууме. Вакуум граничит с некоторой плоскостью АВ за которой проникает в плазму, неоднородную по оси OX  AB . Вдоль направления АВ плазма однородна. Проникшая волна имеет частоту  и волновой вектор k . k|| проекция вдоль АВ, k - вдоль ОХ. k  k|| , k  . k||  const , т.к. плазма вдоль АВ однородна.

k||

k k

k0

Вдоль ОХ - k  k ( x), k  k '  ik " , k '  k " . 71

х

 tr 

k 2c2

2

 Re  tr  , k|| , k '   ik "

 Re  tr c2 2  i Im  tr  2  k||2   k '  ik "   b   k ' 

k2 - принебрегаем. k 

Im  tr  , k , k '   k '

 k ' 2  tr  Re   2    

;  tr 

c 2 k 2

2

Если k "  0 , то волна затухает, k "  0 нарастает ( такие среды называются активными). Для продольных волн Re  l  , k , k '   ik " k" 

 Re  l  i Im  l  0 . k '

Im  l .  Re  l k '

Из этих соотношений можно получить связь между начальной и граничной задачей k``  

Im  l   .     Re  l k '  k

(5.1)

   гр – групповая скорость распространения волн вдоль оси k '

ОХ. Вывод. Для равновесной изотропной среды Im  l  0 и волн затухают как в пространстве так и во времени.   0 k   0 72

 гр  0 . Напротив при Im  l  0  нарастание амплитуды волн,

неустойчивость. Вопросы для самоконтроля по лекции 5 1. Какие два подхода в электродинамике плазменных сред можно различить к решению электродинамических задач? 2. Рассмотреть начальную задачу в однородной плазме. 3. Рассмотреть граничную задачу в неоднородной среде. 4. Получить связь между начальной и граничной задачей.

73

Лекция 6 Тема лекции. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной однородной изотропной плазмы Воросы, обсуждаемые на лекции. Распределение Максвелла и Ферми, решение уравнения Власова в нулевом приближении, тензор диэлектрической проницаемости в бесстолкновительной однородной плазме Цель лекции. Решение уравнения Власова для нахождения диэлектрической проницаемости бесстолкновительной однородной изотропной плазмы. Ключевые слова. Диэлектрическая проницаемость, уравнение Власова, распределения Максвелла и Ферми, тензор проводимости. Теперь, когда рассмотрена наиболее общая модель плазмы как газа и известны уравнения динамики плазмы – система кинетических уравнений для заряженных частиц, можно перейти к изучению электромагнитных свойств плазмы. Естественно начать с простейшего случая пространственно однородной изотропной плазмы. Более того, считая столкновения частиц в плазме редкими, можно в первом приближении полностью пренебречь ими и получить выражение для диэлектрической проницаемости плазмы исходя из кинетических уравнений с самосогласованным полем (уравнений Власова). Очевидно, что такое приближение справедливо для описания процессов, протекающих быстрее времени свободного пробега, либо обладающих пространственным масштабом, меньшим длины свободного пробега. Плазму при этом называют бесстолкновительной. В пространственно однородной и бесстолкновительной плазме в отсутствие электромагнитных полей функции распределения частиц могут быть произвольными функциями величины импульса p  p . Примем, что распределение частиц в невырожденной плазме имеет вид распределения Максвелла с температурой T и плотностью N (для частиц сорта  )

74

p2

  N 2 m T f 0 ( p)  f M  ( p)  e . (2 m T )3/ 2

(6.1)

Если плазма вырожденна и энергия Ферми (3 2 ) 2/3  2 N2/3  T , то распределение имеет вид распредеEF  2m

ления Ферми:

f 0 ( p )  f F ( p ) 

2 (2 )3

1 e

E  EF T

,

(6.2)

1

где E  p2 / 2m . В пределе T  0 это распределение принимает столообразный вид

f 0

 2 , p  pF  (3 2 )1/3 N1/3    (2 )3 0, p  p F 

(6.2a)

Если же T  EF , то оно совпадает с распределением Максвелла (6.1). Чтобы вычислить диэлектрическую проницаемость плазмы, необходимо найти отклонения функций распределения заряженных частиц от равновесных значений f 0 ( p) , возникающие вследствие действия в плазме малых электрического и магнитного полей E(t , r) и B(t , r) , появление которых вызвано возмущением равновесного однородного состояния плазмы. Возмущенную функцию распределения представим как f (p, r, t )  f 0 ( p)   f (p, r, t ) .

75

(6.3)

И предположим, что возмущение функций распределения  f (p, r, t ) , а также величины возмущенных полей E и B малы. Подставляя выражение (6.3) в кинетическое уравнение Власова f f 1   f  v   e E   vB    0 и пренебрегая членами второго t r c   p

порядка малости, получим линеаризованное кинетическое уравнение для определения возмущения функции распределения:  f  f f (p) v  e E 0 0. t r p

(6.4)

В основном состоянии плазма квазинейтральна и в ней отсутствуют плотности заряда и тока. Под действием возмущающих полей E и B в плазме появляются индуцированные заряды и токи, которые определяются через возмущенную функцию распределения. Действительно, согласно    e  f (p, r, t )dp , 

j   e  vf (p, r, t )dp индуцированные плотности зарядов и то

ков в плазме равны    e  f dp   e   f dp , 



 j   e  vf dp   e  v f dp . 

(6.5)



В свою очередь, поля E и B определяются через j и  посредством уравнений поля (1.1). В силу линейности уравнения (6.4) и уравнений поля зависимость всех возмущенных величин от времени и координат представим в виде exp(it  ikr) . Тогда легко записать решение уравнения (6.4): f 0 p .  f   i   kv

e E

76

(6.6)

Подставляя это выражение в (6.5), определим плотность индуцированного тока и согласно материальному уравнению ji (, k )   ij (, k ) E j (, k ) тензор проводимости плазмы: ji  i  e2  dp 

vi E j

f 0 p j

  kv

  ij ( , k ) E j ,

(6.7)

или  ij ( , k )  i  e2  dp 

vi

f 0 p j

  kv

.

(6.8)

Наконец, используя связь комплексной диэлектрической прони4 i  ( , k ) , цаемости и комплексной проводимости  ij ( , k )   ij   ij определим тензор  ij (, k ) :

 ij ( , k )   ij 

4 i



 ij ( , k )   ij   

4 e2



vi

f 0 p j

 dp   kv .

(6.9)

В формулах (6.7)-(6.9) суммирование распространяется по всем сортам заряженных частиц плазмы. В случае бесстолкновительной плазмы ее нейтральные частицы в электромагнитных явлениях участия, очевидно, не принимают. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что условие применимости «бесстолкновительного приближения» можно указать лишь в результате решения задачи с учетом столкновений, что и будет сделано. Вопросы для самоконтроля по лекции 6 1. Написать и объяснить выражения для распределения Максвелла и Ферми-Дирака. 2. Решить уравнение Власова. 3. Вывести выражение для тензора проводимости плазмы. 4. Получить диэлектрическую проницаемость бесстолкновительной однородной плазмы. 77

Лекция 7 Тема лекции. Затухание Ландау. Продольная и поперечная свертки. Воросы, обсуждаемые на лекции. Правило обхода Ландау, черенковское излучение и поглощение, получение продольной и поперечной свертки. Цель лекции. Вывод выражений для продольной и поперечной свертки. Ключевые слова. Затухание Ландау, продольная и поперечная свертка. Второй вопрос, на который следует обратить внимание, наличие полюсов   kv в подынтегральных выражениях (6.7)(6.9). При этом, если возможно выполнение равенства   kv , выражения (6.7)-(6.9) не имеют точного смысла, поскольку результат интегрирования зависит от способа вычисления интеграла. Для устранения этой неоднозначности нужно учесть, что возмущение функции распределения  f (p, r, t ) должно исчезать при t   . В принятой же временной зависимости  f  exp(it ) такое исчезновение  f означает наличие хотя бы бесконечно малой положительной мнимой части у  при действительных значениях k . В свою очередь при наличии у  положительной мнимой части полюсы подынтегральных функций в выражениях (6.7)-(6.9) уже не лежат на действительной оси  , вдоль которой ведется интегрирование, а оказываются смещенными в верхнюю полуплоскость   (рис. 1). Это указывает правило обхода полюса   kv : его нужно обходить снизу, проводя интегрирование не по действительной оси, а по контуру С, изображенному на рис. 1. В формулах (6.7)-(6.9) интегрирование подразумевается именно по такому контуру (правило обхода Ландау).

78

Рисунок 1

Рисунок 2

79

Воспользуемся теперь известным соотношением lim v0

1 P   i ( x) , x  iv x

(7.1)

где символ P означает, что при интегрировании особенность в точке x  0 следует понимать в смысле главного значения. Запишем выражение (6.9) в виде  ij ( , k )   ij 

4 i



 ij ( , k )   ij   

4 e2



 dp v

i

f 0  P   i (  kv ) . p j    kv 

(7.2) Первое слагаемое в подынтегральном выражении (7.2) дает вклад в эрмитовскую (действительную) часть тензора диэлектрической проницаемости, а второе – в антиэрмитовскую (мнимую) часть, ответственную за поглощение волн в плазме. Видно, что за поглощение волн ответственны только те частицы, скорость которых удовлетворяет условию   kv . Это условие можно записать так:  / k  vф  v cos  , где  - угол между k и v , а vф - фазовая скорость волны. Но это условие не что иное, как условие черенковского излучения электромагнитной волны движущейся заряженной частицей. При этом же условии происходит, очевидно, и обратный процесс – черенковское поглощение волны. Таким образом, в изотропной плазме диссипация волн происходит и при полном отсутствии столкновений частиц вследствие их черенковского поглощения частицами плазмы. Рассмотрим частицы, движущиеся со скоростью, большей фазовой скорости волны. Эти частицы, «догоняя» волну, будут тормозиться ее электрическим полем, а следовательно, будут отдавать энергию волне (черенковское излучение). Наоборот, частицы, скорости которых меньше фазовой скорости волны, будут «подгоняться» потенциальным барьером волны, а следовательно, отбирать энергию у волны (черенковское поглощение). Ширина интервалов скоростей, в которых происходит обмен энергией между частицами и волной, одинакова как для частиц, передающих энергию волне, так и для частиц, отбирающих энергию у волны. Если при этом распре80

деление частиц по скоростям в плазме нормальное (рис. 2), т.е. вероятность обнаружить частицу с большей скоростью меньше, чем с меньшей скоростью, то в одинаковом по величине интервале скоростей число частиц с v  vф (отдающих энергию волне) меньше числа частиц с v  vф (отбирающих энергию у волны). В результате в такой плазме происходит увеличение суммарной энергии взаимодействующих с волной частиц – волна поглощается. Если же распределение частиц по скоростям в плазме не является нормальным и функция f 0 ( v) имеет участок с положительной производной, то в соответствующей области фазовых скоростей возможно не поглощение, а усиление электромагнитных волн. В случае изотропной плазмы тензор  ij (, k ) можно представить в виде 

 ij    ij  

ki k j  tr kk  ( , k )  i 2 j  l ( , k ) , 2  k  k

(7.3)

где  l ( , k )  1   

4 e2 (kv ) 2 f 0  p d ,  k 2    kv E

 tr ( , k )  1   

2 e2 kv   f0 . dp  k 2    kv E 2

(7.4)

Соответственно продольная и поперечная диэлектрические проницаемости, а E  p 2 / 2m - энергия частицы сорта  . В случае максвелловского распределения (6.1) входящие в (7.4) интегралы вычисляются до конца, причем  l ( , k )  1   

L2  2 2 T

k v

   1  J    ,  kvT    

81

 tr ( , k )  1   

L2    J  . 2  kvT  

(7.5)

Здесь J  ( x)  xe  x

2

x

/2

 d e

 2 /2

 i

i

  x  xW  . 2  2

(7.6)

Функция W ( x) подробно изучена и протабулирована. В дальнейшем понадобятся следующие асимптотические значения функции J  ( x) : 1 3   x2 / 2  4  ...  i xe (with x  1 , Re x  Im x ), 2 2 x x (7.7) J  ( x )  i  / 2 x (with x  1 ),

J  ( x)  1 

J  ( x)  i 2 xe  x

2

/2

(with x  1, Im x  Re x , Im x  0 ),

на основе которых будет проведен анализ спектров колебаний и характера распространения электромагнитных волн в плазме. Вопросы для самоконтроля по лекции 7 1. Объяснить явление затухания Ландау. 2. Получить выражение для продольной свертки. 3. Получить выражение для поперечной свертки.

82

Лекция 8 Тема лекции. Спектры высокочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы. Воросы, обсуждаемые на лекции. Высокочастотные волны, дисперсия плазменных волн. Цель лекции. Нахождение спектра и декремента затухания высокочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы. Ключевые слова. Спектр, декремент затухания, плазменная волна, высокочастотная ветвь, фазовая скорость. Перейдем к исследованию электромагнитных волн в однородной изотропной плазме на основе полученных выражений для диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы. Начнем с анализа продольных волн, условие существования которых дается дисперсионным уравнением  l (, k )  0 . В случае невырожденной плазмы это дисперсионное уравнение принимает вид  l ( , k )  1   

L2  2 2 T

k v

   1  J     0 .  kvT    

(8.1)

Уравнение (8.1) является трансцендентным и в общем случае имеет много комплексных решений  (k ) . Рассмотрим наиболее интересные из них, соответствующие слабозатухающим колебаниям. а) Область быстрых волн, фазовая скорость которых много больше тепловых скоростей заряженных частиц:  / k  vTe , vTi .

(8.2)

Используя асимптотическое представление (6.16) для J  ( x) , дисперсионное уравнение для слабозатухающих волн Re   Im  запишем в виде:

83

2

2  k 2v2   Le2  2 k v e   0.  ( , k )  1  Le2 1  3 2Te   i 2 k 3 vTe3     2 2 Te

l

(8.3)

Здесь пренебреженно вкладом ионных членов, поскольку он существенен только при выполнении условия Ti  Te

M2 , т.е. m2

когда температура ионов более чем на шесть порядков превышает температуру электронов. Как следует из приведенных в /1/ значений температур электронов и ионов плазмы в различных условиях, плазмы с таким отношением Ti / Te в природе, по-видимому, не существует. Это означает, что в рассматриваемой области частот плазму можно считать чисто электронной; при этом роль ионов сводится к нейтрализации заряда электронов (квазинейтральность основного состояния плазмы).   1 , мнимый член в (8.3) экспоненциально Поскольку kvTe

мал и для решения этого уравнения можно воспользоваться методом определения спектра слабозатухающих колебаний. Положим, что частота волны имеет мнимую часть  (    i ) . Тогда действительная часть  определиться из уравнения Re  l ( , k )  1 

Le2  3k 2 vTe2  1  0, 2  2 

(8.4)

откуда 

 2  Le2 1  3 

k 2 vTe2  2 2 2   Le (1  3k rDe ) . Le2 

(8.5)

Здесь учтено, что   Le , поэтому в малых слагаемых  заменяется на Le . Поскольку неравенства (8.2) считаются выполненными, второй член в скобках в выражении (8.5) является малой 84

поправкой, т.е. k 2 rDe2  1 . Таким образом, слабозатухающие быстрые продольные колебания в плазме имеют длину волны   1 / k  rDe . Продольные волны со спектром (8.5) называют электронными плазменными волнами или просто плазменными волнами. Они образуют высокочастотную   Le ветвьпродольных колебаний изотропной плазмы, которую часто называют также электронной ветвью колебаний, поскольку, как указывалось, вкладом ионов в плазменные колебания можно пренебречь и рассматривать плазму в этой области частот как чисто электронную. Декремент затухания  плазменных волн вычисляют в условиях малости затухания (    ) через Im  l ( , k ) : 1

 

3

Im  l ( , k )  Le  2 krDe 2  2   e . 3  8 k 3 rDe l Re  ( , k ) 

(8.6)

Отсюда следует, что при krDe  1 затухание плазменных волн экспоненциально мало. Этот результат легко объяснить физически. Действительно, фазовая скорость плазменной волны много больше средней тепловой скорости электронов. Поэтому в поглощении плазменной волны в условиях, когда   Le , а следовательно, krDe  1 , принимают участие только очень быстрые электроны (см. рис. 2), число которых при максвелловском распределении экспоненциально мало («хвост» распределения Максвелла). Такое затухание плазменных волн называют затуханием Ландау. Из выражения (8.6) видно, что с ростом k затухание плазменных волн растет и при krDe  1 ,    . Однако при больших значениях k нельзя пользоваться полученным выражением для  , поскольку оно справедливо при krDe  1 . Таким образом, из (8.6) можно видеть только тенденцию увеличения затухания продольной плазменной волны с ростом k , т.е. с уменьшением длины волны. Спектр продольных плазменных волн, образующих высокочастотную ветвь колебаний в плазме, 85

изображен на рис. 3 (верхняя кривая), причем сильнозатухающая часть спектра в области krDe  1 изображена пунктиром.

Рисунок 3

Вопросы для самоконтроля по лекции 8 1. Получить выражение для спектра высокочастотных продольных волн бесстолкновительной невырожденной плазмы. 2. Какие волны называют электронными плазменными волнами? 3. Получить выражение для декремента высокочастотных продольных волн бесстолкновительной невырожденной плазмы. 4. Объяснить получившиеся результаты.

86

Лекция 9 Тема лекции. Спектры низкочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы. Воросы, обсуждаемые на лекции. Низкочастотные волны, спектр и декремент затухания ионно-звуковых волн. Цель лекции. Нахождение спектра и декремента затухания низкочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы. Ключевые слова. Низкочастотная ветвь, звуковые колебания, дебаевский радиус, экранирование. б) Область продольных колебаний промежуточных фазовых скоростей, когда vTi   / k  vTe .

(8.7)

При условии Re   Im  , т.е. слабого затухания, дисперсионное уравнение (8.1) запишется в виде 2     Li2   ( , k )  1  2 Le2  1  i  2 kvTe   2 k vTe  l

 2 2  3  2 2  1  3 k vTi  i    e 2 k vTi  2 k 3 vTi3 2  2

   0.  

(8.8) Мнимые члены в этом уравнении малы по сравнению с действительными. Поэтому его решение можно легко получить общим приближенным методом, который уже использовался при выводе выражений (8.5) и (8.6). В результате для спектра частот  (k ) и декремента затухания  (k ) продольных волн в рассматриваемой области фазовых скоростей получаем   1    1  3k 2 rDi2  1  2 2   k rDe 2

 

2 Li

 M 1 4 

1  Z 3 8 m Z k 3 vTe 

M  Te    m  Ti 

87

1

  1    1  2 2  ,    k rDe  3/ 2

 2 exp   2 2  2k vTi

  .  

(8.9)

При этом учтено условие квазинейтральности N e  ZN i , где Z  ei / e - зарядовое число иона. Из условия   kv Ti сразу же следует, что волны со спектром (8.9) возможны лишь в неизотермической плазме ( Te  Ti ) и в области длин волн k 2 rDi2  1 . Спектр рассматриваемых колебаний представлен на рис. 3 (нижняя кривая). Найденный спектр частот слабозатухающих колебаний существенно зависит от ионной компоненты плазмы, поэтому его часто называют ионной или низкочастотной ветвью продольных волн в плазме. Особо простой вид принимает спектр (8.9) в пределе krDe  1 , когда он переходит в так называемый спектр ионно-звуковых колебаний: 2  k 2Z  

 8

 Z

Te M

 Ti 1  3 ZTe 

 2 2   k vS , 

3/ 2 3 ZT   e m  M  Te  2 2Ti 1  Z e   M  m  Ti  

 . 

(8.10)

Такие колебания неизотермической плазмы называют ионнозвуковыми в силу аналогии спектра (8.10) со спектром обычных звуковых колебаний жидкости с фазовой скоростью vS  Z

Te M

 3Ti 1  ZT e 

 . 

Определим теперь, насколько велика должна быть неизотермичность, чтобы соблюдалось условие    . Легко видеть, что для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы  Te     Ti 

3/ 2

e

3 ZT   e 2 2Ti

 1 , откуда при Z  1 получаем Te / Ti  6 .

В обратном же пределе коротких длин волн, k 2 rDe2  1 , но k 2 rDe2  1 , спектр (18.9) принимает вид:

88

когда

 2  Li2 , 3/ 2 3    2Li 2 m Li  M  Te  2 2 k vTi   Z Z e  1   3  m  Ti  8 M k 3 rDe  2



 .  

(8.11)

Анализ декремента (8.11) показывает, что эти колебания являются слабозатухающими (на графике рис. 3 им соответствует горизонтальный участок нижней кривой) в случае, когда плазма сильно неизотермична. Физически появление в неизотермической плазме колебаний на ионной ленгмюровской частоте вполне естественно, поскольку в этих условиях быстро и свободно движущиеся электроны создают постоянный отрицательный пространственный заряд, на фоне которого возможны низкочастотные колебания ионов с частотой Li (аналогично легмюровским колебаниям электронов на фоне положительного пространственного заряда ионов). в) Область самых медленных низкочастотных продольных волн, для которых  / k  vTi , vTe .

(8.12)

В этой области частот согласно (6.14) продольная диэлектрическая проницаемость плазмы имеет такой же, как в статическом пределе, вид  l ( , k )   l (0, k )  1   

 1  где rD    2    rD 

L2 k 2 vT2

 1

1 , k 2 rD2

(8.13)

1/ 2

– дебаевский радиус невырожденной плазмы.

Это означает, что в этой области частот происходит экранирование продольного поля в плазме с радиусом экранирования, равным дебаевскому радиусу. Аналогичное экранирование имеет место и при kvTi    kvTe в области частот   Li . В этом случае продольная диэлек89

трическая проницаемость (6.14) также не зависит от частоты, имеет вид (8.13) и приводит к радиусу экранирования rэкр  rDe . Это соответствует экранированию высокочастотного продольного поля в области частот Li2   2  L2 . Вопросы для самоконтроля по лекции 9 1. Получить спектры низкочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы. 2. Получить декремент затухания низкочастотных продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы.

90

Лекция 10 Тема лекции. Магнитоактивная плазма. Спектры квазипродольных волн в магнитоактивной плазме. Воросы, обсуждаемые на лекции. Обыкновенные и необыкновенные волны, квазипродольные волны, спектры квазипродольных волн. Цель лекции. Нахождение дисперсии квазипродольных волн в магнитоактивной плазме. Ключевые слова. Магнитоактивная плазма, квазипродольные волны, обыкновенные и необыкновенные волны. Для плазмы, помещенной в магнитное поле получить выражение для спектров треднее, в связи с ещё одним выделенным направлением B0 . При этом в случае распространения волны в произвольном направлении трудно говорить о её поляризации. Известно, что магнитное поле снимает поляризационное вырождение, разделяя электромагнитные волны на обыкновенные и необыкновенные. Природа спектров плазменных волн в магнитном поле более многообразна и число спктров велико. Рассмотрим квазипродольные волны, которые могут участвовать в большом числе линейных и нелинейных процессов. Рассмотрим «холодную» плзаму kVT   , kVT   ,  

eB ,в mc

нерелятивистском случае.   ig 0 

Тогда  ij   ig   0 

 0

 2 0  , где     yy  1   2 L 2 ,      || 

 ||   ZZ  1   ig  i 

L2  2  2

L2  ,   2  2 

91

,

(10.1) (10.2)

 2  тогда уравнения поля  k 2 ij  ki k j  2  ij  E j  0 при подстановке c   компонентов тензора можно записать  2  2  2  kZ  2    E X  i 2 gEY  k k Z EZ  0 c c      2 2  i 2 gE X   k 2  2    EY  0  c c       2 2    k kZ E X  0   k  2  ||  EZ  0 c   

(10.3)

Условие разрешимости дает дисперсионное уравнение:





  n 4    sin 2    || cos 2    n 2   2  g 2    ||  sin 2   2  ||    2  g 2   || ;

k Z  k  cos  ,

k   k  sin  , n 

kc



решения, обыкновенную, квазипродольные волны 2 n1,2 

.

Это уравнение имет три необыкновенные

волны

и

1 1   sin 2    || cos 2     2

    2  g 2   ||   sin 2   2 ||   



2 

2   g 2     ||  sin 4    22 g 2 cos 2   



 - угол kB . Третье решение соответствует бесконечному показателя преломления n 2   , т.е. kc   «медленным» волнам, продольным. Такое разбиение решений весьма условно, но оно имеет смысл из-за важности колебаний с n  1 . Такое же уравнение как в изотропной плазме можно получит и в магнит-

ной для продольной свертки

ki k j k2

 ij    sin 2    || cos 2   0 . Это

уравнение для определения дисперсии квазипродольных волн.

92

  , k   1 

Le2

2 Li2 k2  Li2 k Z2 k 2  Le k Z2     0 ; (10.4)  2   e2 k 2  2 k 2  2  i2 k 2  2 k 2

Отсюда можно получить ряд спектров 1

  k2  2 k2  1)   i ,    Z2 1  Li2 2  ; Le  Li  1 ,  i k  i k  2 2 2 2   k k M  2)     i ,   1  2 Le 2 2  Le2 Z2  0 ,   e k  k m 2

2 Le

4

1  2  2 2 2 2 2 2 2 Le  e   Le  e   4Le e cos   2   Le   e     Le / cos  / , можно получить спектр

 

Если    e . С учетом теплового движения спектр косых ленгмюровских волн изменяется





  Le / cos  / 1  3 2 k 2 rDe 2 . Вопросы для самоконтроля по лекции 10 1. Какие волны называются обыкновенными и необыкновенными? 2. Какие волны называются квазипродольными? 3. Получить спектры квазипродольных волн в магнитоактивной плазме.

93

Лекция 11 Тема лекции. Псевдопотенциальная теория плотной квазиклассической плазмы. Воросы, обсуждаемые на лекции. Потенциалы межчастичного взаимодействия, безразмерные параметры плазмы, Фурьеобразы потенциалов взаимолдействия. Цель лекции. Рассмотреть потенциалы межчастичного взаимодействия в плотной квазиклассической плазме. Ключевые слова. Псевдопотенциальная теория, квазиклассическая плазма, потенциалы взаимодействия. Для описания межчастичных взаимодействий в плотной неидеальной плазме в квазиклассическом приближении, в частности , могут использоваться псевдопотенциалы Дойча и Кельбга, учитывающие наряду с кулоновским квантовые взаимодействия:    r  ee  r2   ab  r , T   a e 1  exp        ae be k BT ln 2 exp   2 r   ab    ee ln 2   . (11.1)  2          e e r r r   ab  r , T   a e 1  exp   2    1  erf    ab  r   ab     ab  

Далее будут использованы обозначения:  3   3   Ze  a , rS    ,    n 4 ak T i  B   4 ne  1/3



1/3

2

kB  EF

 2 

4    9 

2/ 3

Z 5/3

rS 

me e2 , 2

.

С использованием уравнения Пуассона-Больцмана, взяв в качестве исходных псевдопотенциалы (11.1) можно получить Фурье образы экранизованных потенциалов (11.1) и восстановить их в пространстве. К примеру, для потенциала Дойча

94

 ee

 4 e

2





 1 1   2  4 2 2 2 k r i  k 1  k ee 





 1 1    1  k 2 2 1  k 2 2 2 2  ei 1 k ee ii 





 



 k 2    1   A 1  4b   e  2   k 2 rei2 1  k 2 ii2    





(11.2) где b   ee2  ln 2  , A  k BT ln 2  b 3/ 2 / 4e 2 , rDe , rDi - дебаевские 1

радиусы электронов и ионов соответственно,   1

1 1  2 2  2 2 k r (1  k ee ) k rDi (1  k 2 ii2 ) 2 2 De



  1 1 1   2 2  2 2 2 2 2 2 2  k r k rDi  (1  k ee )(1  k ii ) (1  k ei ) 



  k2  1 A 1 exp      . rDe2  k 2 rDi2 (1  k 2 ii2 )   4b 

2 2 De

Выпишем Фурье-образы потенциала Дойча ee  k   ii  k  

4 e 2 k2

  k 2  1 2 Ak exp      2 2  4b   1  k ee

4  Ze 

ei  k   

k

2

2

1 1  k 2 ii2

4 Ze 2 1 k 2 1  k 2 ei2

95

(11.3)

– потенциал Дойча – 3-х частичный потенциал – потенциал Дебая-Хюкеля

Рисунок 4

Вопросы для самоконтроля по лекции 11 1. Написать выражения для псевдопотенциалов Дойча и Келбга. 2. Написать выражения параметров, характеризующих состояние плазмы ( a ,  , rS ,  ). 3. Написать Фурье-образы потенциала Дойча. 4. Нарисовать графики псевдопотенциалов межчастичного взаимодействия в зависимости от координат.

96

Лекция 12 Тема лекции. Локальные поля и их влияние на спектры продольных волн в плотной плазме. Воросы, обсуждаемые на лекции. Локальные поля, функции диэлектрического отклика, продольная диэлектрическая проницаемость. Цель лекции. Рассмотрение продольной диэлектрической проницаемости с учетом локальных полей. Ключевые слова. Локальные поля, функции отклика, кулоновский логарифм, ленгмюровская частота. Как отмечено выше, продольная диэлектрическая проницаемость плазменной среды имеет вид 1

 k, 

 1   ab  k   ab  k ,   ,

(12.1)

здесь пренебрежено функциями локальных полей Gii , Gie . Продольная диэлектрическая проницаемость Введем понятие функции диэлектрической проницаемости среды. Для этого рассмотрим явление, происходящие в среде под воздействием внешнего заряда, Фурье-образ которого имеет вид ext (k ,  ) exp i  kr  t   .

(12.2)

Под воздействием этого возмущения в плазме возникают флуктуации плотности, приводящие к образованию индуцированного пространственного заряда ind (k ,  ) exp i  kr  t   .

(12.3)

Таким образом, полное изменение пространственного заряда в плазме под воздействием внешнего возмущения (12.2) записывается в виде  tot (k ,  )   ext (k ,  )   ind (k ,  ) . 97

(12.4)

С другой стороны, согласно теории линейного отклика известно, что tot (k ,  ) 

ext (k ,  ) .  (k ,  )

(12.5)

Это соотношение можно рассматривать как определение диэлектрической проницаемости  (k ,  ) , характеризующей меру экранировки пробного заряда в плазме. В /3/ предложено следующее выражение для продольной диэлектрической проницаемости плазменной среды: 1  1   ab (k )  ab (k ,  ) ,  (k ,  ) a ,b

(12.6)

где ab (k ) – Фурье-образ микропотенциала взаимодействия заряженных частиц, компоненты которого могут быть записаны как: ee (k ) 

ii (k ) 

 k 2  4 e 2  1 2   Ak exp    , k 2  1  k 2 ee2   4b   

4  Ze 

ei (k )  

2

1

(12.7)

,

(12.8)

4 Ze 2 1 . 2 k 1  k 2 ei2 

(12.9)

k2

1  k   2

2 ii

здесь функции отклика  ab (k ,  ) для изотропной плазмы в приближении случайных фаз представляются в виде соотношений:  ee (k ,  )   e0 (k ,  ) 1   i0 (k ,  )vii (k )  / D ,  ii (k ,  )  i0 (k ,  ) 1   e0 (k ,  )vee (k )  / D ,

(12.10)

 ei (k ,  )   ie (k ,  )   (k ,  )  (k ,  )vei (k ) / D , 0 e

0 i

здесь D  1   e0 (k ,  )vee (k )  1   i0 (k ,  )vii (k )    e0 (k ,  )  i0 (k ,  )vei2 (k ) . 98

Используя (12.6) и (12.10) можно получить следующее выражение для продольной диэлектрической проницаемости квазиклассической двухкомпонентной плазмы:  (k ,  ) 

D . 1   (k ,  )  (k ,  ) ei2 (k )  ee (k )ii (k )  0 e

0 i

(12.11)

Данное соотношение упрощается в случае, когда вклад ионной компоненты среды в протекающие в плазме процессы пренебрежимо мал (высокочастотный предел)  (k ,  )  1  e0 (k ,  )ee (k ) .

(12.12)

Соотношение (12.11) переходит в хорошо известное соотношение для продольной диэлектрической проницаемости классической, идеальной плазмы  (k ,  )  1 

4 na ea2    2 W  kv a  e,i k k BT  Ta

 . 

(12.13)

При использовании в качестве потенциала межчастичного взаимодействия ab (r ) потенциала Кулона, то есть предельного перехода ab  0 . Соотношение (12.12) записано для случая бесстолкновительной среды. Однако с увеличением плотности плазмы столкновения в ней начинают играть все более заметную роль. Известно /1/, что учет электрон-ионных соударений приводит к появлению дополнительного мнимого слагаемого в выражении (12.12) для продольной диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы:  (k ,  )  i

Le2 veff . 3

99

(12.14)

Здесь



veff  4 2 e 4 ni LC / 3 me  k BT 

3/ 2

,

а

LC –

кулоновский

логарифм. (Следует отметить, что соотношение (3,14) получено из кинетического уравнения с интегралом столкновений Ландау в предельном случае    e , kvTe , где  e   a  e,i ea – частота столкновений электронов с остальными частицами среды,  Le  4 ne e 2 / me – ленгмюровская частота электронных колебаний плазмы). Равенства (12.12) и (12.14) дают окончательное выражение для продольной диэлектрической проницаемости плазмы с учетом электрон-ионных столкновений  (k ,  )  1   e(0) (k ,  )ee (k )  i

Le2  eff . 3

(12.15)

С ростом плотности среды в ней все более существенную роль начинают играть как квантовые эффекты, так и эффекты неидеальности. Обычно учет эффектов неидеальности проводится посредством учета локальных полей среды. Действительно, с увеличением концентрации частиц уменьшается среднее расстояние между ними, следовательно, все более сильное влияние на движение заряда оказывают внутренние поля, создаваемые окружающими его частицами. Получим выражение для продольной диэлектрической проницаемости плотной высокотемпературной плазмы с учетом локальных полей. Для этой цели перепишем соотношения для функций отклика, в виде /3/:  ee (k ,  )   e0 (k ,  ) 1  i0 (k ,  )ii (k ) 1  Gii (k ,  )   / D ,

(12.16)

ii (k ,  )   i0 (k ,  ) 1   e0 (k ,  )ee (k ) 1  Gee (k ,  )   / D ,

(12.17)

 ei ( k ,  )   ( k ,  )  ( k ,  )ei ( k ) 1  Gei ( k ,  )  / D ,

(12.18)

 ie ( k ,  )   ( k ,  )  ( k ,  )ie ( k ) 1  Gie ( k ,  )  / D ,

(12.19)

0 e

0 e

0 i

0 i

100

D  1   e0 (k ,  )ee (k ) 1  Gee (k ,  )  

1  

0 i

(k ,  )ii (k ) 1  Gii (k ,  )   

(12.20)

  (k ,  )  (k ,  ) (k ) 1  Gei (k ,  ) 1  Gie (k ,  )  0 e

0 i

2 ei

В приближении электронной плазмы, справедливом для быстропротекающих процессов, соотношения (12.16)-(12.20) несколько упрощаются и, подставляя их в выражение (12.6), окончательно находим:  (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) , 1  ee (k )G (k ,  )  e0 (k ,  )

(12.21)

где G(k ,  )  Gee (k ,  ) - функция локальных полей плазмы, методика получения которой приведена в /2/. Вопросы для самоконтроля по лекции 12 1. Что называют локальными полями? 2. Как влияют локальные поля на спектры продольных волн в плотной плазме? 3. Написать соотношения для функции диэлектрического отклика. 4. Как запишется выражение (12.12) с увеличением плотности плазмы? 5. Как запишутся выражения для функции отклика с учетом локальных полей?

101

Лекция 13 Тема лекции. Дисперсия плазменных волн в плотной плазме. Статическое приближение Воросы, обсуждаемые на лекции. Статическое приближение, метод HNC, спектр и декремент плазменных волн. Цель лекции. Нахождение спектра и декремента затухания плазменных волн в плотной плазме в статическом приближении. Ключевые слова. Статическая функция локальных полей, аномальная дисперсия, квантовые эффекты, эффекты неидеальности. Известно, что условие существования продольных плазменных волн в среде записывается так:  (k ,  )  0 .

(13.1)

Из соотношения (13.1) получим аналитические выражения для спектра и декремента затухания ленгмюровских колебаний в квазиклассической плазме с учетом статической функции локальных полей /2/. В этом случае продольная диэлектрическая проницаемость в статическом приближении имеет вид:  (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) . 1  ee (k )G (k )  e0 (k ,  )

(13.2)

В качестве потенциала межчастичного взаимодействия выберем псевдопотенциал ab (r , T ) 

ea eb r

  r2 1  exp   2  ab 

 r  1  erf   ab  

 r   ab

     ,   

предложенный в /4/, который ограничен на малых расстояниях благодаря учету квантовых эффектов. Фурье-образ потенциала записывается в следующей форме:

102

4 e 2 1 3 1 2 2   1  (13.3) , , k ee  exp   k 2 ee2  , 1 F1  k2 2 2 4   4  1 3 где 1 F1  , , x  - гипергеометрическая функция, которая разлагает2 2 

ee (k ) 

ся в ряд Маклорена 1 1 1 3  F  , , x   1  x 2  x 4  ... . 3 10 2 2 

1 1

(13.4)

Из соотношений (13.2) и (13.3), с учетом неравенства G(k )  1 , условие существования высокочастотных электронных колебаний (13.1) перепишется в виде: 1

   1 1 3 1 2 2   1 2 2 W  1 F1  , , k ee  exp   k ee  1  Ge (k )  . (13.5) 2 kv 2 2 4 k 2 rDe    4   Te 

Воспользовавшись асимптотическим разложением функции W (k ) в ряд при  / kvTe  1 (см. /5/): 

 z2 exp   2  2

W ( z )  iz

 1 3   2  4  ... , z  z

(13.6)

при соблюдении условий krDe  1, k ee  1 из соотношения (13.5), окончательно получим спектр и декремент затухания ленгмюровских колебаний квазиклассической плазмы  

3 2



Le

1 8

1 2

 

 (k )   Le  1  k 2 rDe2  k 2 ee2  Ge ( k )  ,

 (k )  

8  krDe 

3

 G (k )  1 3 2 exp   2 2   ee2  e2 2  . k r r k rDe  2 2 8 2 De De 

(13.7) (13.8)

Слагаемые в скобках выражения (13.7) имеют ясный физический смысл. Самопроизвольное разделение заряда приводит к появлению электростатических сил, стремящихся восстановить квазиней103

тральность плазменной среды, следовательно, возникают электронные колебания с частотой Le , что соответствует первому слагаемому в скобках. Второе слагаемое 3k 2 rDe2 / 2 характеризует градиент давления, связанный с неоднородностью распределения электронов. Квантовые эффекты ослабляют межчастичное взаимодействие и ведут к отрицательному вкладу в спектр (третье слагаемое в (13.7)). Последнее слагаемое, также дающее отрицательный вклад, обусловлено учетом локальных полей плазмы и тесно связано со вторым слагаемым, учитывая отклонение уравнения состояния от уравнения идеального газа. На рисунках 5 и 6 представлен вид спектра (13.7) при различных значениях параметров плазмы. Видно, что с увеличением степени неидеальности плазмы вклад последних двух слагаемых в спект ленгмюровских волн возрастает, поэтому при определенных значениях параметров плазмы возможен случай вырождения плазменных волн в чистые колебания, т.е. имеет место закон дисперсии  (k )  Le ,

(13.9)

в широком интервале изменения волновых чисел k . Равенство (13.9) реализуется при определенном соотношении между безразмерными параметрами плазмы, которое с хорошей точностью аппроксимируется следующей формулой   a

b



c

 2

 d exp( ) ,

(13.10)

где a  7.3701, b  0.3193, c  0.0405 и d  5.6853 . При выполнении (13.10) передача энергии плазменными колебаниями становится невозможной, поскольку их групповая скорость  group  d  / dk равна нулю. Другими словами, имеет место случай, когда ленгмюровские колебания локализованы (заперты) в среде и не могут переносить энергию. При дальнейшем увеличении степени неидеальности плазмы (параметра связи) по сравнению с параметрами, даваемые формулой (13.10), происходит изменения закона дисперсии на 104

аномальный  (k )  Le . Такое поведение закона дисперсии продемонстрировано на рис. 7 и уже предсказывалось ранее как теоретически, так и на основе молекулярно-динамических данных /6/. Соответствующие кривые для декремента затухания электронных колебаний плазмы приведены на рисунках 8 и 9. Легко заметить, что как учет квантовых эффектов, та и функции локальных полей среды, ведут к увеличению затухания ленгмюровских колебаний в квазиклассической плазме, по сравнению со случаем вычислений с использованием кулоновского потенциала, поскольку слагаемые, ответственные за эти эффекты, дают положительный вклад в показатель экспоненты (13.8). Действительно, как было показано ранее, учет квантовых эффектов и эффектов неидеальности приводит к уменьшению частоты ленгмюровских волн в плазме (13.7). Снижение частоты продольных электронных колебаний ведет к уменьшению их фазовой скорости и взаимодействию с большим количеством частиц, что увеличивает затухание таких колебаний. Из рисунков 8 и 9 видно, что с увеличением плотности среды (увеличение Г и уменьшение параметра вырождения  ) происходит уменьшение декремента затухания ленгмюровских колебаний при одинаковых значениях волнового числа k . Ослабление затухания ленгмюровских волн с увеличением плотности среды связано с тем, что при возрастании плотности все большее количество электронов вырождается, перестает участвовать в тепловом движении и принимает участие в поглощении волн. Это также согласуется с результатами, полученными в /1/, гдебыло показано, что высокочастотные (krDe  1) электронные колебания в полностью вырожденной бесстолкновительной плазме не затухают. Вопросы для самоконтроля по лекции 13 1. Что называют статическим приближением функции локальных полей? 2. Вывести выражение для дисперсии плазменных волн в плотной плазме. 3. Вывести выражение для декремента затухания плазменных волн в плотной плазме. 4. Построить графики дисперсии и декремента затухания для различных параметров  и  .

105

Лекция 14 Тема лекции. Дисперсия плазменных волн. Динамическое приближение. Воросы, обсуждаемые на лекции. Динамическое приближение, численное определение спектра и декремента плазменных волн. Цель лекции. Нахождение спектра и декремента затухания плазменных волн в плотной плазме в динамическом приближении. Ключевые слова. Динамическая функция локальных полей. Аналитическое соотношение для дисперсии плазменных колебаний, полученное в предыдущем разделе, справедливо в пределе малых k (krDe  1) . Чтобы исследовать закон дисперсии электронных колебаний плазмы в более широком диапозоне волновых чисел k можно воспользоваться численным решением уравнения существования таких колебаний, которое в общем случае имеет вид:  (k ,  )  1 

ee (k )  e0 (k ,  ) 0. 1  ee (k )G (k ,  )  e0 (k ,  )

(14.1)

Здесь в качестве микропотенциала взаимодействия ee (r ) используется псевдопотенциал  r   ea eb  r2  а 1  exp   ,     ae be k BT ln 2 exp   2 r   ab    ee ln 2  функция динамических локальных G (k ,  ) полей вычисляется

ee (r , T ) 

по схеме, предложенной в /2/. На рисунках 10-12 представлены спектры ленгмюровских колебаний квазиклассической плазмы. Из этих графиков видно, что при   1,  3 кривые, полученные на основе статической и динамической функции локальных полей среды практически совпадают между собой вплоть до значений ka  0.3 (зависимости 2 и 3, соответственно). С увеличением плотности среды (   2 и   0.75 , рисунок 11) несоответствие между 106

различными подходами (кривые 1, 2 и 3) становится более заметным. Дисперсионная кривая, полученная с учетом статической функции локальных полей среды (кривая 2), проходит ниже соответствующей кривой, учитывающей динамическую функцию (кривая 3). При дальнейшем увеличении плотности плазменной среды (рисунок 12) дисперсия электронных колебаний становится аномальной (  (k )  Le ); данное явление детально обсуждалось в предыдущем разделе. Видно, что в длинноволновом пределе (малые k ) частота ленгмюровских колебаний уменьшается до значения ka  0.5 , а при дальнейшем увеличении k возрастает. Аналогичное поведение закона дисперсии плазменных колебаний плазмы было отмечено в /1/ для случая полностью вырожденной плазмы (нулевой звук). Для численного определения декремента электронных колебаний использовалась известная формула  (k )  

Im  (k ,  ) .  Re  (k ,  ) 

(14.2)

На рисунке 13 представлены кривые для декремента затухания с учетом квантовых эффектов и динамической функции локальных полей плазмы при различных значениях плазменных параметров. С увеличением плотности среды происходит уменьшение декремента затухания ленгмюровских колебаний, что, как уже отмечалось, связано с вырождением электронов среды и невозможностью их участия в тепловом движении, а значит и в поглощении волны.

107

Рисунок 5. Спектр ленгмюровских волн в плотной плазме при   1 и   3 . 1: классический закон дисперсии, 2: квазиклассический закон дисперсии (13.7)

Рисунок 6. Спектр ленгмюровских волн в плотной плазме при   2 и   0.75 . 1: классический закон дисперсии, 2: квазиклассический закон дисперсии (13.7)

108

Рисунок 7. Спектр ленгмюроаских волн в плотной плазме при   3.2 и   0.3 . 1: классический закон дисперсии, 2: квазиклассический закон дисперсии (13.7)

Рисунок 8. Декремент затухания ленгмюровских волн в плотной плазме при   1 и   3 . 1: классическая формула, 2: квазиклассическая формула (13.8)

109

Рисунок 9. Декремент затухания ленгмюровских волн в плотной плазме при   2 и   0.75 . 1: классическая формула, 2: квазиклассическая формула (13.8)

Рисунок 10. Спектр плазменных волн в плотной плазме при   1 и   3 . 1: классическая дисперсия, 2: данные /7/, 3: формула (14.1)

110

Рисунок 11. Спектр плазменных волн в плотной плазме при   2 и   0.75 . 1: классическая дисперсия, 2: данные /7/, 3: формула (14.1)

Рисунок 12. Спектр плазменных волн в плотной плазме при   3.2 и   0.3 . 1: классическая дисперсия, 2: данные /7/, 3: формула (14.1)

111

Рисунок 13. Декремент затухания ленгмюровских волн в плотной плазме. 1: Г=1 и θ=3, 2: Г=2 и θ=0.75, 3: Г=3.2 и θ=0.3 Вопросы для самоконтроля по лекции 14 1. Что называют динамическим приближением функции локальных полей? 2. Получить графики зависимости спектра и декремента затухания от волнового числа. 3. Объяснить полученные графики зависимости спектра и декремента затухания от волнового числа.

112

Лекция 15 Тема лекции. Нелинейные процессы. Воросы, обсуждаемые на лекции. Нелинейность материального уравнения. Цель лекции. Рассмотреть неидеальные процессы в плазме. Ключевые слова. Нелинейные процессы, распад, рассеяние, параметрическая неустойчивость. Как известно, плазма нелинейна за счет нелинейности материального уравнения. В плазме происходят нелинейные электродинамические процессы распада и рассеяния вол, в результате которых волны могут преобразовываться в другие типы волн или изменять свою энергию. При этом уравнения должны быть записаны в приближении квадратичной и кубичной нелинейности соответствующего параметра. За счет нелинейности плазмы в ней могут развиваться неустойчивости, например параметрическая, которая приводит к появлению в плазме потенциальных волн, под действием электромагнитной волны накачки. Эти и другие вопросы обсуждаются в специальных курсах следующей ступени обучения магистратуры. Вопросы для самоконтроля по лекции 15 1. Какие нелинейные процессы могут происходить в плазме?

113

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С, Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. – М.: Высш.шк., 1988. – 424 с. 2. Архипов Ю.В., Баимбетов Ф.Б., Давлетов А.Е., Стариков К.В. Псевдопотенциальная теория плотной высокотемпературной плазмы. – Алматы: Қазақ университеті, 2002. – 113с. 3. Ichimaru S., Mitake S., Tanaka S., Yan X.-Z. Theory of interparticle correlations in dense, high-temperature plasmas. I. General formalism // Phys. Rev. A. – 1985. – v.32. – Р.1768. 4. Kelbg G. Einige Methoden der statistischen Thermodynamik hochionisierter Plasmen. – Ergebnisse der Plasma Physik und Gaselektronik. – Berlin: Akademie-verlag, 1972. – Band 3. – S.3-364. 5. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. – М.: Атомиздат, 1975. – 288с. 6. Hansen J.P., McDonald I.R. Microscopic simulation of a strongly coupled hydrogen plasma // Phys. Rev. A. – 1981. – V.23. – Р. 2041. 7. Arkhipov Yu. V., Baimbetov F.B., Davletov A.E., Starikov K.V., Voronkov V.V. Theoretical investigation of parametrical instability in semiclassical plasmas // Abstract of International conference on «Strongly Coupled Coulomb Systems». – Greifswald, Germany, 2002.

114

ГЛОССАРИЙ Плазма – частично или полностью ионизованный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Изотермическая плазма – температура частиц всех сортов одинакова. Неизотермическая плазма – температура частиц разных сортов неодинакова ( Te  Ti ). Изотропная среда – такая область пространства физические свойства которой не зависят от направления. Вырожденный газ – газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Параметр связи – равен отношению энергии взаимодействия частиц на среднем расстоянии к их кинетической энергии. Дебаевский радиус – характеризует пространственный масштаб, на котором происходит разделение зарядов в плазме. Плазменная частота – временной масштаб существования флуктуации плотности в объеме размера радиуса Дебая. Электрическая индукция (электрическое смещение) – векторная величина, равная суперпозиции вектора напряженности электрического поля и вектора поляризации. Материальное уравнение – уравнение описывающее связь между векторами D и E . Фурье преобразование – операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта функция описывает коэффициенты при разложении исходной функции на элементарные составляющие – гармонические колебания с разными частотами. Волна – изменение состояния среды, распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Уравнение Власова – система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учетом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Затухание Ландау – затухание, обусловленное взаимодействием резонансных частиц с электромагнитными волнами, возникающими в плазме.Волна в плазме затухает по мере распространения, несмотря на отсутствие парных столкновений. Дисперсия волн – это связь частоты и волнового вектора волны. Термодинамическое равновесие – предельное состояние, к которому стремится термодинамическая система, изолированная от внешних воздействий, то есть в каждой точке системы устанавливается термическое, механическое и химическое равновесие. 115

CONTENT

Introduction ........................................................................................................ 3 LECTURE NOTES THE MODULAR CONTENTS of LECTURES ........................................... 4 Lecture1 Field equations ..................................................................................................... 4 Lecture 2 Material equations................................................................................................. 7 Lecture 3 Field equations in continuous media .................................................................... 10 Lecture 4 Waves in plasmas.................................................................................................. 13 Lecture 5 Approaches to the solution of problems of electrodynamics ............................... 16 Lecture 6 Dielectric properties of plasmas ........................................................................... 20 Lecture 7 Damping of waves ................................................................................................ 24 Lecture 8 High-frequency longitudinal waves ..................................................................... 28 Lecture 9 Low-frequency longitudinal waves ...................................................................... 32 Lecture 10 Spectra of waves in magnetized plasmas ............................................................. 36 Lecture 11 Pseudopotential theory.......................................................................................... 39 Lecture 12 Local fields............................................................................................................ 42 Lecture 13 Waves in dense plasmas ....................................................................................... 46 Lecture 14 Waves in dense plasma (continued) ..................................................................... 52 Lecture 15 Nonlinear processes .............................................................................................. 56 Colloquium on the studied topics...................................................................... 57 References ............................................................................................................ 58 Glossary................................................................................................................ 59 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «Основы электродинамики плазмы» .......................................... 60 Литература ......................................................................................................... 114 Глоссарий ........................................................................................................... 115

116

Yuriy Arkhipov, Assel Ashikbayeva, Abdiadil Askaruly, Askar Davletov and Igor Tkachenko

LECTURE NOTES ON «THE BASIS OF PLASMA ELECTRODYNAMICS» Educational-methodical tool Commissioning editor G. Bekberdieva Computer page makeup A. Makhanbetzhanova Cover designer R. Skakov IB No. 6048 Signed for publishing 25.12.12. Format 60x84 1/16. Offset paper. Digital printing. Volume 6,875 printer’s sheet. Edition: 100. Order No.1304. Publishing house “Kazakh Universiteti” Al-Farabi Kazakh National University KazNU, 71 Al-Farabi, 050040, Almaty Printed in the printing office of the “Kazakh Universiteti” publishing house E-mail: [email protected], [email protected] 117