Las matemáticas de los cristales [1 ed.] 8400099834, 9788400099831

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34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

Meteoritos. Josep Maria Trigo Rodríguez Parasitismo. Juan José Soler El bosón de Higgs. Alberto Casas y Teresa Rodrigo Exploración planetaria. Rafael Rodrigo La geometría del universo. Manuel de León La metamorfosis de los insectos. Xavier Bellés La vida al límite. Carlos Pedrós-Alló El significado de innovar. Elena Castro Martínez e Ignacio Fernández de Lucio

42. Los números trascendentes. Javier Fresán y Juanjo Rué 43. Extraterrestres. Javier Gómez-Elvira y Daniel Martín Mayorga

44. La vida en el universo. F. Javier Martín-Torres y Juan Francisco Buenestado

45. La cultura escrita. José Manuel Prieto 46. Biomateriales. María Vallet Regí 47. La caza como recurso renovable y la conservación de la naturaleza. Jorge Cassinello Roldán 48. Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing. Manuel de León y Ágata Timón

49. Las moléculas: cuando la luz te ayuda a vibrar. José Vicente García Ramos

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

Las células madre. Karel H.M. van Wely Los metales en la Antigüedad. Ignacio Montero El caballito de mar. Miquel Planas Oliver La locura. Rafael Huertas Las proteínas de los alimentos. Rosina López Fandiño Los neutrinos. Sergio Pastor Carpi Cómo funcionan nuestras gafas. Sergio Barbero Briones

57. El grafeno. Rosa Menéndez y Clara Blanco 58. Los agujeros negros. José Luis Fernández Barbón 59. Terapia génica. Blanca Laffon, Vanessa Valdiglesias y Eduardo Pásaro

60. 61. 62. 63. 64. 65.

Las hormonas. Ana Aranda La mirada de Medusa. Francisco Pelayo Robots. Elena García Armada El Parkinson. Carmen Gil y Ana Martínez Mecánica cuántica. Salvador Miret Artés Los primeros homininos. Paleontología humana.

¿QUÉ SABEMOS DE?

La relación entre la cristalografía y las matemáticas se remonta a los inicios del estudio de los cristales: podemos ver a Kepler, sobre el puente de Viena, observando los copos de nieve que se depositan en su abrigo. Las matemáticas le permitieron descifrar las simetrías en la singular disposición de su estructura. También en la cristalografía moderna encontramos otra relación entre las dos disciplinas: la difracción, que es el fenómeno que permitió estudiar de manera rigurosa los cristales, se asienta teóricamente en la transformada de Fourier, un desarrollo muy importante del análisis matemático del siglo XIX. El objetivo de este libro es resaltar esta hermandad y presentar los puntos básicos de encuentro, como la simetría y los grupos (cristalográficos y algebraicos), siguiendo la historia de su descubrimiento y mostrando la profundidad de estos conceptos, con aplicaciones al estudio de la vida, los virus, las proteínas, etc.

Las matemáticas de los cristales

Manuel de León es profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Su área de investigación es la geometría diferencial y la mecánica geométrica. Ha desarrollado una intensa actividad en la gestión de la política científica en matemáticas en España y Europa, así como en temas educativos. Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del Instituto de Ciencias Matemáticas. Es licenciada en Ciencias Matemáticas y máster en Periodismo y Comunicación de la Ciencia, la Tecnología y el Medio Ambiente.

¿ QUÉ SABEMOS DE ? LAS MATEMÁTICAS DE LOS CRISTALES

Mazaira

Manuel de León y Ágata Timón

33. Paladear con el cerebro. Francisco Javier Cudeiro

Juan Carlos Marrero y David Martín de Diego

4. El jardín de las galaxias. Mariano Moles 5. Las plantas que comemos. Pere Puigdomènech 6. Cómo protegernos de los peligros de Internet. Gonzalo Álvarez Marañón

7. El calamar gigante. Ángel Guerra Sierra y Ángel F. González González

8. Las matemáticas y la física del caos. Manuel de León y Miguel Á. F. Sanjuán

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Los neandertales. Antonio Rosas Titán. Luisa M. Lara La nanotecnología. Pedro A. Serena Domingo Las migraciones de España a Iberoamérica desde la Independencia. Consuelo Naranjo Orovio El lado oscuro del universo. Alberto Casas Cómo se comunican las neuronas. Juan Lerma Los números. Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba Agroecología y producción ecológica. Antonio Bello, Concepción Jordá y Julio César Tello

17. La presunta autoridad de los diccionarios. Javier López Facal

18. 19. 20. 21.

El dolor. Pilar Goya Laza y Mª Isabel Martín Fontelles Los microbios que comemos. Alfonso V. Carrascosa El vino. Mª Victoria Moreno-Arribas Plasma: el cuarto estado de la materia. Teresa de los

22. 23. 24. 25. 26. 27.

Los hongos. M. Teresa Telleria Los volcanes. Joan Martí Molist El cáncer y los cromosomas. Karel H.M. van Wely El síndrome de Down. Salvador Martínez Pérez La química verde. José Manuel López Nieto Princesas, abejas y matemáticas. David Martín de

28. 29. 30. 31. 32.

Los avances de la química. Bernardo Herradón García Exoplanetas. Álvaro Giménez La sordera. Isabel Varela Nieto y Luis Lassaletta Atienza Cometas y asteroides. Pedro José Gutiérrez Buenestado Incendios forestales. Juli G. Pausas

Diego

ISBN: 978-84-00-09983-1

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Manuel de León y Ágata Timón

1. El LHC y la frontera de la física. Alberto Casas 2. El Alzheimer. Ana Martínez 3. Las matemáticas del sistema solar. Manuel de León,

Arcos e Isabel Tanarro

Antonio Rosas

¿de qué sirve la ciencia si no hay entendimiento?

Las matemáticas de los cristales

¿ QUÉ SABEMOS DE?

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Colección ¿Qué sabemos de? COMITÉ EDITORIAL

CONSEJO ASESOR

Pilar Tigeras Sánchez, Directora Beatriz Hernández Arcediano, Secretaria Ramón Rodríguez Martínez Jose Manuel Prieto Bernabé Arantza Chivite Vázquez Javier Senén García Carmen Viamonte Tortajada Manuel de León Rodríguez Isabel Varela Nieto Alberto Casas González

José Ramón Urquijo Goitia Avelino Corma Canós Ginés Morata Pérez Luis Calvo Calvo Miguel Ferrer Baena Eduardo Pardo de Guevara y Valdés Víctor Manuel Orera Clemente Pilar López Sancho Pilar Goya Laza Elena Castro Martínez

Catálogo general de publicaciones oficiales http://publicacionesoficiales.boe.es

Diseño gráfico de cubierta: Carlos Del Giudice Fotografía de cubierta: © iStock/Thinkstock © Manuel de León y Ágata Timón, 2015 © CSIC, 2015 © Los Libros de la Catarata, 2015 Fuencarral, 70 28004 Madrid Tel. 91 532 05 04 Fax. 91 532 43 34 www.catarata.org isbn (csic):

978-84-00-09983-1 978-84-00-09984-8 isbn (catarata): 978-84-9097-065-2 nipo: 723-15-133-3 enipo: 723-15-134-9 depósito legal: M-29.911-2015 ibic: PDZ/PB/PNT eisbn (csic):

este libro ha sido editado para ser distribuido. la intención de los editores es que sea utilizado lo más ampliamente posible, que sean adquiridos originales para permitir la edición de otros nuevos y que, de reproducir partes, se haga constar el título y la autoría.

Rosina López-Alonso Fandiño Maria Victoria Moreno Arribas David Martín de Diego Susana Marcos Celestino Carlos Pedrós Alió Matilde Barón Ayala Pilar Herrero Fernández Miguel Ángel Puig-Samper Mulero Jaime Pérez del Val

Índice

INTRODUCCIÓN 5 CAPÍTULO 1. La fascinación por los cristales de nieve 9 CAPÍTULO 2 Simetrías para decorar y alabar a Dios 21 CAPÍTULO 3. Simetrías escondidas en las ecuaciones 32 CAPÍTULO 4. Las simetrías de la física 67 CAPÍTULO 5. La vida es simétrica 78 CAPÍTULO 6. A la materia le gusta la simetría 86 CAPÍTULO 7. Penetrando en el interior de la materia 96 EPÍLOGO. La historia continúa 105 BIBLIOGRAFÍA 109

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Introducción

Desde el origen de la cristalografía, su relación con las matemáticas es muy estrecha. Las técnicas que han permitido descifrar la estructura cristalina de la materia y han dotado a la cristalografía de métodos para convertirse en la importante ciencia que es hoy en día están fundamentadas en las matemáticas; por otro lado, el estudio de la naturaleza de los cristales ha inspirado la creación de nuevos conceptos matemáticos a lo largo de la historia. A este camino de ida y vuelta se dedica este libro. Uno de los principales puntos de conexión es la simetría, de capital importancia en las matemáticas y la cristalografía, y que ha servido de puente de unión entre ambos campos. La cristalografía es el estudio de los cristales —sólidos, cuyos átomos están alineados y organizados según patrones repetitivos—. Este ordenamiento se manifiesta en una estructura que permite estudiar las simetrías correspondientes, fijando unos ejes de referencia (los ejes cristalográficos) y midiendo los ángulos que forman las caras del cristal con estos ejes. La simetría

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marcó uno de los hitos de la historia de la cristalografía: en 1611, Kepler observó fascinado la regularidad de los copos de nieve y decidió investigar el motivo de su singular disposición, usando matemáticas para ello. La simetría es un concepto fundamental en las matemáticas, especialmente en la geometría y en el álgebra. Es la base de uno de los objetos algebraicos más sencillos: el grupo. Un tipo especial de grupos, los grupos cristalográficos, aparece al estudiar los movimientos (es decir, las transformaciones rígidas) del plano que dejan invariante una figura dada, es decir, las transformaciones de simetría. Para establecer las categorías de clasificación de los grupos cristalográficos planos, el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov utilizó sus observaciones de crecimiento de cristales. Pero el concepto general de grupo tiene otro origen en la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas. En la cristalografía moderna encontramos otra relación entre las dos disciplinas: la difracción, que es el fenómeno que permitió estudiar de manera rigurosa los cristales; se asienta teóricamente en la transformada de Fourier, un desarrollo muy importante del análisis matemático del siglo XIX. El objetivo de este libro es resaltar esta hermandad, que tiene un largo recorrido histórico, pues, aunque la química, la biología y la física también tienen fuertes lazos con la cristalografía, al final son las matemáticas las que están detrás de esta ciencia tan importante y útil. En su relación con la sociedad, también hay un paralelismo entre ambas: impregnan nuestras vidas y a veces no somos capaces de percibirlas. Esta intensa relación entre ambas disciplinas fue también destacada en el pasado Año Internacional de la Cristalografía en 2014, declarado por la Organización de

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las Naciones Unidas (ONU). Se conmemoraba, por un lado, el 400 aniversario de la observación por Johannes Kepler en 1611 de la forma simétrica hexagonal de los cristales de hielo, en su obra Strena seu de nive sexángula (Kepler, 1611), que dio comienzo al estudio del papel de las simetrías en la materia. Por otro, el centenario del descubrimiento de la difracción de rayos X, que permitió el estudio de los materiales cristalinos. Los rayos X fueron descubiertos en 1895 por Wilhelm Röntgen (premio Nobel en 1901). La importancia de este descubrimiento para la cristalografía fue mayúscula, como muestra, entre muchas otras cosas, la lista de premios Nobel obtenidos con relación a ella. En 1914 fue otorgado a Max von Laue por el descubrimiento de un curioso fenómeno: al traspasar un cristal, el haz de rayos X generaba un patrón de difracción. Con sus experimentos de cristales de sulfato de cobre logró también confirmar su longitud de onda. Más tarde, sir William Henry Bragg y su hijo William (premios Nobel en 1915) formularon de manera sencilla cómo se difractan los rayos X en los cristales (por la denominada ley de Bragg) y fueron capaces de determinar la estructura cristalina de muchos minerales.

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CAPÍTULO 1

La fascinación por los cristales de nieve

En la Navidad de 1610 una persona cruzaba, pensativa, el puente de Carlos en Praga. Como es habitual en esas fechas y esas latitudes, nevaba intensamente, y los copos de nieve le caían sobre la solapa de su abrigo. Johannes Kepler paseaba por la ciudad desierta, tratando de imaginar un regalo de Año Nuevo apropiado para su benefactor y amigo Johannes Matthäus Wäckher von Wackenfelds. Entonces, dirigió la mirada hacia los cristales que se depositaban en la tela negra. Observó los copos de nieve y, saliendo de su ensimismamiento, se dio cuenta de una extraña regularidad. Como buen científico, no pudo evitar preguntarse sobre ello: ¿por qué todos tienen forma hexagonal? ¿Por qué no tienen cinco o siete lados? Decidió entonces escribir un ensayo a partir de esas preguntas, lo que además podría ser un excelente regalo de Año Nuevo para su benefactor. El resultado sería la obra El copo de nieve de seis ángulos, cuyo título original era Strena seu de nive sexángula (Kepler, 1611), un librito de unas escasas 24 páginas de gran profundidad.

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En la introducción, Kepler escribe a su amigo: Sí, sé bien que tan aficionado es usted a la nada; de seguro no tanto por su mínimo valor, sino por el juego divertido y delicioso que uno puede tener con ella, cual si fuera un gorrión feliz. Por tanto, me imagino que para usted un regalo debe ser mejor, y mejor recibido, cuanto más se acerque a la nada.

Kepler hace un juego de palabras (que se pierde con la traducción) con nix (latín) que significa nieve, y nichts (alemán), que significa nada. Piensa, además, que no habrá mejor regalo en esas fechas navideñas que reflexionar sobre algo que cae del cielo. Aprovecha también el escrito para ironizar con su situación en Praga, siempre pendiente de los pagos a destiempo y recortados de Rodolfo II, en cuya corte trabajaba Kepler de astrónomo, porque ¿qué mejor regalo que dar nada puede hacer quien nada recibe?

¿Por qué la forma hexagonal? En Strena seu de nive sexángula, tras un profundo análisis, Kepler deduce que la forma hexagonal de los copos de nieve debe ser consecuencia de la manera en la que se empaquetan las partículas que los constituyen. Si se imaginan esas partículas como glóbulos que se apilan ocupando el mínimo espacio posible, el empaquetamiento hexagonal es el mejor, como se aprecia esta disposición en las colmenas de las abejas y en las teselaciones del plano, es decir, en los recubrimientos del plano con figuras idénticas que no dejan huecos ni sobreposiciones. Los

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hexágonos, igual que los triángulos y cuadrados, permiten hacerlo. La naturaleza que se observa en los copos de nieve presenta tal regularidad, que Kepler no dudó en recurrir a la idea de un mundo geométricamente ordenado y creado por un Dios matemático; pero, a la vez, no renunció a la ciencia que trata de explicar los fenómenos naturales buscando las causas y leyes que los producen. Tratando de explicar este orden, Kepler planteó su famosa conjetura de empaquetamiento. Llevaba rumiando la pregunta durante años, desde que el astrónomo y matemático inglés Thomas Harriot le planteara la cuestión en una serie de cartas que intercambiaron los científicos. Sir Walter Raleigh, de quien Harriot fue ayudante, le había preguntado por la manera óptima de apilar balas de cañón en la cubierta de un buque cuando estaban planificando una expedición en 1585 rumbo a Virginia, a fin de establecer allí la primera colonia británica. Finalmente, la respuesta de Kepler (en ese momento era una conjetura, pues desconocía su validez) fue que la mejor manera es la que usan los fruteros para colocar las naranjas, poniendo cada naranja de la siguiente capa apoyada en el hueco de las cuatro naranjas que están justo debajo en la primera capa. Este método minimiza el espacio dejado por los huecos entre las naranjas. La conjetura de Kepler tardó 300 años en demostrarse, logro que alcanzó el matemático norteamericano Thomas Hales (2005). Hasta ese momento, durante siglos, trataron de probarla numerosos matemáticos como Gauss, que resolvió el caso regular. En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 la cuestión fue incluida (como el problema número 18) por David Hilbert en su lista de los

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23 problemas más importantes para el siglo XX. Apenas hubo mayores avances hasta que el matemático húngaro Laszlo Fejes Toth redujo el problema a un número finito, pero enorme, de cálculos. Thomas Hales fue capaz de realizar las cuentas en la década de los noventa, ayudado por la potencia del ordenador. El resultado se publicó en Annals of Mathematics y, por tanto, de manera oficial, la conjetura quedó resuelta. Pese a ello, todavía hoy en día no todos los matemáticos aceptan que esto pueda considerarse una auténtica prueba, ya que no puede comprobarse la veracidad de cada una de las deducciones lógicas que la forman (para que un ser humano revisara cada uno de los cálculos realizados por el ordenador haría falta una cantidad inconmensurable de tiempo).

Lo que hoy se sabe de la nieve El tratado de Kepler tiene aún más mérito, ya que hizo la descripción sin saber realmente cómo está constituida la materia. No sabía que una molécula de agua está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno, y que forman un ángulo de 104,5º. Estas moléculas de agua están ligadas con enlaces con sus vecinas, formando tetraedros. Cuando la temperatura baja, se acercan más entre sí y forman esas estructuras de seis lados, tal y como aventuró Kepler. Una explicación más poética se ofrece en el relato The Queen of the Rain Was in Love with the Prince of the Sky, escrito por Eugene Mirabelli (2008), que también muestra por qué dos copos de nieve nunca son iguales.

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Figura 1 Copos de nieve.

Fuente: ‘Bentley Snowflake4’, ‘Bentley Snowflake5’ y ‘Bentley Snowflake13’, de Wilson Bentley. Wikimedia Commons.

El astrónomo del rey En el momento de la publicación del ensayo sobre la forma de los copos de nieve, Kepler llevaba en Praga más de diez años: fue a la ciudad en 1600 contratado por Tycho Brahe, astrónomo danés, considerado como el mejor observador del cielo a ojo desnudo, antes del desarrollo del telescopio. Además de su mirada incansable, usaba ingeniosos aparatos de medición que él mismo construía. Brahe invitó a Kepler para compartir sus datos de mediciones del cielo, impresionado por sus resultados teóricos. En esa colaboración unieron esfuerzos dos personas con conocimientos complementarios: por un lado, el observador de los cielos con una situación social privilegiada, que aprovechaba para avanzar en su labor científica; y, por otro, el estudioso de la teoría que anhelaba datos que pudieran corroborar sus intuiciones matemáticas. En Praga puede contemplarse un monumento con las estatuas de ambos hombres, cada uno con los útiles de trabajo adecuados símbolo de sus vidas paralelas, bien merecedoras de su Plutarco particular. Además de la invitación de Brahe, Kepler tenía otras razones para desplazarse a Praga: su exilio forzado. En una

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Europa convulsionada por las guerras religiosas, había sido expulsado de Graz (Austria) por su negativa a convertirse al catolicismo. En Praga encontró nuevas disputas, estas de carácter científico: una de sus primeras tareas fue escribir un tratado en contra de Ursus, astrónomo archienemigo de Brahe. El objetivo principal de su colaboración con Brahe fue la elaboración de unas nuevas tablas astronómicas, las denominadas posteriormente Tablas Rudolfinas, en honor de Rodolfo II, el emperador. Prácticamente, este fue el único fruto de su relación: en septiembre de 1601, Brahe murió de manera repentina. Unos días después Kepler fue nombrado astrónomo real en su sustitución. En aquella época ser astrónomo real era un buen empleo, pero exigía realizar trabajos astrológicos para el monarca, con dudosa validez científica, lo que no era del agrado de Kepler. Sin embargo, esta época fue quizás la más pacífica en su agitada vida, pese a su final dramático: la muerte de Rodolfo II, las tensiones religiosas crecientes, el fallecimiento de su esposa Bárbara y de su hijo Friedrich de seis años motivaron su traslado a Linz (Austria). Antes de eso publicó más de 30 trabajos, entre ellos la Astronomia Nova y dos escritos de óptica muy influyentes, en uno de los cuales trazaba las ideas para diseñar el telescopio que hoy lleva su nombre. ¡Hasta tuvo la oportunidad de observar una supernova en octubre de 1604!

Copos de nieve y sólidos platónicos El empaquetamiento óptimo, que deja el mínimo espacio entre los objetos apilados, sería, claramente, el que no dejara ningún espacio. Esta es la idea de la teselación. Con

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cajas rectangulares es sencillo hacerlo, pero, como se ha visto, con esferas no es posible. En el plano, una teselación es un recubrimiento total de una superficie, con repeticiones de una misma figura plana de manera que no se superponen ni hay huecos. Solo es posible hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. La idea de recubrir (teselar) un plano se extiende a tres dimensiones con los llamados sólidos platónicos o poliedros regulares. Los poliedros regulares son cuerpos sólidos limitados por polígonos regulares idénticos, en los que concurren en cada vértice un número igual de caras. Desde la antigüedad se conocía la existencia de cinco poliedros de este tipo diferentes: • El tetraedro, formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. • El hexaedro o cubo, formado por seis caras que son cuadrados. • El octaedro, formado por ocho caras que son triángulos equiláteros. • El dodecaedro, formado por doce caras que son pentágonos regulares. • El icosaedro, formado por veinte caras que son triángulos equiláteros. El conocimiento de los cinco poliedros regulares es muy antiguo: aparecen representados en cinco bolas de piedra tallada encontradas en Kincardineshire, Aberdeenshire y Banff en Escocia, datadas en el final del Neolítico o principios de la Edad del Bronce. Actualmente, las piedras se pueden contemplar en el Museo Ashmolean de Arte y Arqueología de la Universidad de Oxford.

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Aunque la definición de los sólidos platónicos se suele atribuir a Pitágoras (cuyo padre era grabador de piedras preciosas, lo que le dio ocasión a familiarizarse con estas formas), parece que él solo llegó a conocer el tetraedro, el cubo y el dodecaedro. El octaedro y el icosaedro se atribuyen a Teeteto, amigo de Platón y profesor en la Academia. Figura 2 Bolas de piedra tallada procedentes de Escocia.

Fuente: Ashmolean Museum, University of Oxford.

Su denominación como “sólidos platónicos” se debe a que aparecen descritos en el Timeo, uno de los diálogos más famosos de Platón. En él se vinculan a los cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua de acuerdo con la cosmogonía elaborada por Empédocles de Agrigento; el dodecaedro se considera como la quintaesencia, el quinto elemento, es decir, la sustancia de los cuerpos celestiales. Platón escribe: A la tierra le atribuimos la figura cúbica, porque la tierra es el elemento más difícil de mover, el más tenaz, el de las bases más sólidas […], la figura sólida de la pirámide es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento (octaedro) es el elemento del aire, y la tercera (icosaedro), el del agua.

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Solo son cinco El Libro XIII de los Elementos de Euclides está dedicado al estudio de estos poliedros. En su tratado, Euclides define uno por uno los cinco poliedros regulares en las definiciones y plantea sus propiedades geométricas. En una serie de proposiciones muestra cómo cada uno de los poliedros regulares pueden ser inscritos en una esfera, y calcula la razón de la arista del sólido al diámetro de la esfera circunscrita en el ejercicio “Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras”. Pero más allá de eso, presenta el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación en la historias de las matemáticas. Es el teorema de clasificación de los poliedros, que afirma: La Geometría ha dictaminado que aunque haya infinitos polígonos regulares, el número de poliedros regulares —los cuerpos más bellos, según Platón (Timeo)— son cinco, ni más ni menos.

Es decir, los cinco poliedros regulares que se conocían desde el final del Neolítico son los únicos que existen con esas propiedades (los delimitados por un número de polígonos regulares idénticos). Para demostrar esta afirmación, Euclides se basa en proposiciones anteriores de su obra. Partiendo de la idea de que “todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos”, estudia las clases de polígonos que pueden formar las caras de los poliedros regulares, ante la restricción de que la suma de los ángulos planos de los polígonos que concurren en un ángulo sólido del vértice debe ser me­­nor que cuatro ángulos rectos, es decir, menor de 360º.

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Otra demostración de que solo existen estos cinco poliedros regulares es una de esas maravillas de las matemáticas, sencilla y elegante, que está basada en la no menos estética ecuación de Euler: C +V = A + 2 que relaciona el número de caras (C), el número de vértices (V) y el número de aristas (A). Los poliedros regulares (y otros semiregulares) fueron objeto de estudio por artistas y científicos como Piero della Francesca, Luca Pacioli o Alberto Durero. De hecho, Piero della Francesca descubrió la llamada dualidad de los sólidos platónicos. Para construir el poliedro dual de uno dado, se toman los centros de las caras del poliedro original como vértices. Se establece una reciprocidad entre las caras del poliedro y los vértices de su dual, y los vértices del inicial y las caras del dual. Figura 3 Poliedro dual.

Fuente: “Dual Cube-Octahedron” de 4C. Wikimedia Commons.

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Los sólidos platónicos tienen propiedades especiales en cuanto a la dualidad: el tetraedro que es dual de sí mismo, el dual del cubo es el octaedro y viceversa, y el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa. Esta dualidad, por tanto, se describe así: el sólido dual de uno platónico también es platónico.

EL COSMOS DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS Johannes Kepler construyó toda una cosmología basada en los sólidos platónicos. En su época solo se conocían seis planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, y Kepler pensó que estaban vinculados con las figuras: “Hay solo seis planetas porque hay solo cinco poliedros regulares”. Sobre esta idea, ofrece una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas que intervienen con las órbitas de los planetas. Llamó a este modelo el Misterio Cósmico. Kepler inscribió un cubo dentro de la órbita o esfera de Saturno y dentro de este la esfera de Júpiter circunscrita a un tetraedro. Inscrita en este situó a la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus, el icosaedro; entre Venus y Mercurio, el octaedro. Y en el centro de todo el sistema, el Sol. A partir de esta imagen esotérica usó las mediciones de Tycho Brahe, de manera que su planteamiento se hizo más científico y le llevó a enunciar sus tres famosas leyes que rigen el movimiento de los astros.

Kepler también recurrió a los poliedros regulares y semirregulares para su disertación sobre los cristales de nieve y así, en su Strena seu de nive sexángula, cuando medita

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sobre la mejor manera de empaquetar “átomos”, observa lo que hacen las abejas con sus celdas hexagonales, y que en su interior forman rombos para optimizar el espacio. Él propone algo similar con los copos de nieve: construye un dodecaedro rómbico (o rombododecaedro), que recubre completamente el espacio, al igual que un hexágono llena el plano. Precisamente, el rombododecaedro desempeña un papel esencial en la demostración de la conjetura de Kepler.

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CAPÍTULO 2

Simetrías para decorar y alabar a Dios

Los grupos cristalográficos son objetos algebraicos que aparecen al estudiar los movimientos del plano (es decir, las transformaciones rígidas), que dejan invariante una figura dada. Por ejemplo, calculando los ejes de simetría de cada figura es sencillo obtener las simetrías axiales, que dejan la figura invariante. También sirven otros movimientos del plano, como giros y traslaciones. Figura 4 Ejes de simetría en un triángulo equilátero. C

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A

B C

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Con más precisión, un movimiento rígido es una transformación del plano que conserva las distancias entre dos puntos. Los posibles movimientos de este tipo son: • La identidad, es decir, la transformación que deja cada punto en su sitio, sin moverlo. • La traslación por un vector, es decir, cada punto se traslada en una cantidad y dirección fijada e igual para todos. • La simetría respecto a una recta; es decir, dado un punto se trata la perpendicular a esa recta y se mide sobre ella una distancia igual a la del punto original a la recta. • Un giro respecto a un punto dado y con un ángulo fijado. • Una simetría con deslizamiento, que es una combinación de una simetría y una traslación. El conjunto de las colecciones de movimientos de este tipo, junto a una operación definida sobre ellos, constituye una estructura algebraica que se conoce en matemáticas como grupo. Es una idea esencial en las matemáticas y, en particular, lo será en el desarrollo de este libro. Un grupo es una de las estructuras algebraicas más sencillas. Está formado por dos objetos: 1) un conjunto A (una colección de elementos), y 2) una operación definida sobre ese conjunto, es decir, una función definida para cualquier par de elementos del conjunto. Y ha de cumplir ciertas propiedades: • Proximidad. El resultado de “operar” dos elementos del grupo (por ejemplo, de sumar dos

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números enteros) sigue siendo un miembro del grupo. • Propiedad asociativa. Cuando se operan tres elementos del grupo, el resultado es el mismo que si opero primero dos de ellos, y el resultado se opera con el tercero, independientemente de cuáles de ellos escoja antes o después. • Elemento neutro. En el grupo, hay un elemento que, al operarlo con cualquier otro, lo deja inalterado. • Elemento inverso. Para cualquier elemento del grupo, hay otro con el que, al operarlo, se obtiene el neutro. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros con la suma como operación es un grupo. Es sencillo comprobar las propiedades: • La suma de dos números enteros cualesquiera es, efectivamente, otro número entero. • Tomando tres números enteros a, b y c, se cumple la propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. • El 0 es el elemento neutro: a + 0 = a, para cualquier número entero a. • El opuesto de un número entero a es -a: de 3, -3, que suman 0, de -2.765, 2.765. La definición de grupo es tan general que es un concepto aplicable a multitud de estructuras. Los elementos de un grupo pueden ser de diverso tipo: las simetrías del cuerpo humano o las de un triángulo equilátero con la operación de composición de funciones, y también extraños

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conjuntos matemáticos con una operación definida entre ellos. Cualquier cosa, mientras que cumplan las cuatro propiedades anteriores. Los grupos cristalográficos (también llamados grupos de simetría) son, por tanto, los grupos formados por los movimientos del plano que dejan invariante una figura dada con la operación de composición de transformaciones. Aparecen, por ejemplo, en los mosaicos de La Alhambra de Granada. En ellos, la figura total se obtiene a partir de un pequeño motivo que se va repitiendo con ligeras variaciones (usando precisamente los movimientos que conforman el grupo). Estos grupos sirven para teselar o llenar un plano a partir de esa figura original. En términos matemáticos, se denomina grupo de simetría (o grupo cristalográfico) de la figura A al conjunto de movimientos del plano que dejan la figura A invariante (es decir, un movimiento s está en el grupo de simetría de A cuando s(A) = A), con la operación de la composición de funciones. Esta es una operación definida de la siguiente manera: dadas dos funciones f: AàB, g: BàC, g • f: AàC g • f(x) = g(f(x)), es decir, es el resultado de aplicar primero f, y al resultado aplicar g. Se puede comprobar que este conjunto y la operación cumplen las condiciones para ser un grupo: • Si tenemos dos aplicaciones de simetría, su composición también lo es (primero aplico una, que deja inalterado el sistema, y luego otra, que deja inalterado el sistema).

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• Da igual en qué orden haga actuar tres aplicaciones, porque cada una irá dejando inalterado el sistema y el resultado será el mismo. • El elemento neutro forma parte de este grupo: deja todo como está. • Cada transformación tiene un inverso, devolviendo las cosas al estado original. Por tanto, es un grupo. Hay subgrupos de este grupo total que siguen siendo grupos de simetría. Por ejemplo, lo es el conjunto formado por la identidad y los giros con la composición de funciones, llamado grupo de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci, que los utilizó para diseñar las capillas interiores de las iglesias). Las figuras que se mantienen invariantes (salvo giro) con estas transformaciones tienen un centro —que es el punto fijo— y reflexiones respecto a ejes que pasan por ese punto. Por ejemplo, las transformaciones que generan como imagen una roseta. Cada uno de estos grupos contiene un número finito de movimientos. El número mínimo de giros o rotaciones necesarias para después de aplicarlas sucesivamente llegar de nuevo a la figura original es el orden del grupo. Si el motivo generador se repite a lo largo de una franja, se obtienen los frisos, que contienen solo una traslación. Este tipo de grupos aparecen muy frecuentemente en fachadas de edificios. Cuando se consigue cubrir un plano con el motivo generador y las figuras obtenidas al aplicar los elementos del grupo sin dejar ningún hueco (y sin que haya superposiciones), se obtiene un mosaico o una teselación. Los

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grupos asociados son precisamente los grupos cristalográficos (Rodríguez Silvestre, 2013).

Grupo de simetría o grupo cristalográfico de una figura A: conjunto de los movimientos del plano que dejan la figura A invariante, con la operación de la composición de funciones. Ejemplo: Grupo de Leonardo: grupo de simetría que contiene solo la identidad y los giros. Friso: grupo de simetría que contiene solo la identidad y la traslación.

Grupos cristalográficos El grupo de simetría (de una figura) está formado por una serie de aplicaciones que, como hemos dicho, no deforman la figura, por lo que conservan las distancias del plano. Las funciones que mantienen las distancias entre dos puntos cualesquiera reciben el nombre de isometrías (figura A8). Cada grupo de simetría (o cristalográfico) está formado por diferentes isometrías. Y aunque podría parecer que hay infinitos distintos, el matemático ruso Evgraf Fedorov demostró, en el año 1891, que solo existen 17 posibles grupos cristalográficos para las figuras del plano, lo que se llaman grupos cristalográficos planos. Fedorov, que además de matemático fue cristalógrafo, llegó a este resultado estudiando las formas en las que cristalizan los cristales naturales. Cada uno de los grupos recibe, por tanto, una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

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EL MATEMÁTICO QUE OBSERVABA CRISTALES Evgraf Stepanovich Fedorov nació el 22 de diciembre de 1853 en Orenburg (Rusia) y falleció de neumonía en Petrogrado en 1919, durante la guerra civil de ese país. Se interesó muy pronto en la llamada teoría de politopos, generalización a cualquier dimensión de un polígono bidimensional o un poliedro tridimensional. Contribuyó al estudio de los grupos de movimientos euclidianos, con un famoso estudio sobre la simetría de los sistemas regulares de figuras. En ese texto, La simetría de los cristales, de 1891, hizo el primer catálogo de los 230 grupos del espacio. Este resultado fue también presentado por el matemático alemán Arthur Moritz Schönflies, que llegó a las mismas conclusiones de forma paralela. Ambos trabajaron después conjuntamente para conseguir la, según palabras de Félix Klein en 1880, “necesaria” clasificación de los grupos cristalográficos. Fedorov trabajó también como geólogo en el Instituto de Agricultura de Moscú y escribió, en 1893, una obra considerada hoy en día un clásico: El método de los teodolitos en mineralogía y petrografía. Fedorov, matemático y geólogo, representa en buena medida el espíritu de colaboración entre disciplinas que trata de recoger el presente libro.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros (es decir, el número máximo de veces que tenemos que aplicar el movimiento para volver al estado original): • Grupos de simetría sin giros: cuatro grupos de simetrías.

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• Grupos de simetría con giros de 180º: cinco grupos de simetrías. • Grupos de simetría con giros de 120º: tres grupos de simetrías. • Grupos de simetría con giros de 90º: tres grupos de simetrías. • Grupos de simetría con giros de 60º: dos grupos de simetrías.

La simetría de los mosaicos y la Alhambra Para conocer y poder generar un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo. Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo, que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslación colocados sobre sus lados. Con rectas paralelas a los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos posibles, se toma aquel que tenga los vértices sobre centros de rotación de orden máximo. Si no hay centros de rotación, hacemos coincidir los ejes de simetría con los lados o con las diagonales. En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás no resulta sorprendente que en la naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada to­­dos ellos puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no conocían la afirmación del teorema de clasificación de Fe­­ dorov y, por lo tanto, no sabían cuántos grupos de simetrías

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podían usarse para rellenar el plano con baldosas (haciendo teselaciones del plano). Sin embargo, aunque quizás no supieran que eran los únicos, sí conocían todos y cada uno de los 17 existentes. De hecho es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos. El arte morisco, desarrollado por los árabes en la península ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos, los artistas musulmanes tenían estrictamente prohibido representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana. Este motivo hace que la Alhambra tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíesgranadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.

Teselaciones de Penrose Este tipo de teselación, que recibe el nombre del matemático inglés Roger Penrose, son mosaicos aperiódicos, es decir, que se forman por teselas que pavimentan el plano de forma no periódica, de tal manera que ninguna

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subcolección permite pavimentar el plano de forma periódica. Al contrario de las teselaciones periódicas, las figuras que aparecen no son transformaciones finitas de un mismo patrón, hay más de uno. En efecto, cuando Penrose propuso su primera teselación en 1974, al intentar llenar de baldosas el plano con pentágonos regulares aparecían huecos. Penrose vio que podía llenar esos huecos con otras figuras como estrellas y decágonos. Esto ya era conocido por Kepler y Durero, pero Penrose fue capaz de encontrar las reglas que se deberían seguir. Figura 5 Ejemplo de contraposición forma periódica/forma no periódica. A la izquierda, teselación de Penrose. A la derecha, teselación regular.

Fuente: Wikimedia Commons.

Durante decenios, los expertos estuvieron convencidos de que tales conjuntos no podrían existir, pero sus conjeturas resultaron erróneas. En 1966, Robert Berger demostró su axioma de indecibilidad en el que se establecía que “no hay algoritmo fijo que permita decidir si un conjunto

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de teselas dado será capaz de cubrir el plano o no”. Además, demostró que sí existían los mosaicos aperiódicos, presentando primero un conjunto de 20.426 teselas (en 1964) y, posteriormente (1966), uno de 108 teselas que, efectivamente, producían mosaicos aperiódicos (Berger, 1966). El problema pasó, entonces, a conseguir el mínimo número de teselas que generan un mosaico aperiódico. En 1971, Raphael Robinson consiguió un mosaico aperiódico a partir de un conjunto de seis teselas que eran esencialmente cuadrados con ciertos salientes y entrantes en sus lados, de manera que el ensamblaje entre ellos se produjera siguiendo unas reglas concretas que determinan la aperiodicidad. Un poco más tarde, en 1974, Roger Penrose construyó mosaicos aperiódicos usando conjuntos de dos teselas, como el famoso del dardo y la cometa, términos acuñados por J. Conway, o el de los rombos.

SIR ROGER PENROSE Sir Roger Penrose nació el 8 de agosto de 1931 en Colchester (Inglaterra) y es un conocido físico matemático. Actualmente es profesor emérito de Matemáticas en la Universidad de Oxford. Sus trabajos en relatividad y cosmología son muy importantes dentro de la física. Entre sus muchas contribuciones científicas, la construcción inversa de Moore-Penrose (calcular inversas de matrices no cuadradas) ha resultado ser muy importante en ingeniería y matemática aplicada, y la ideó cuando era todavía un estudiante. Su fama no se limita al mundo académico: ha escrito libros para el gran público —sobre cómo la mecánica cuántica interviene en los procesos del pensamiento y sus implicaciones para la inteligencia artificial— de una gran profundidad y casi igual controversia.

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CAPÍTULO 3

Simetrías escondidas en las ecuaciones

Como ya se ha visto en el capítulo anterior, el concepto de simetría está íntimamente ligado con el de grupo. Ya se comprobó que la recopilación de todas las transformaciones de simetría de cualquier sistema, es decir, el conjunto de las modificaciones que dejan inalterado cualquier sistema, siempre forma un grupo. Para verlo, bastaba con comprobar una a una las cuatro propiedades. Pero, en su origen, los grupos no se idearon en relación con las simetrías, sino con las ecuaciones algebraicas. Más en concreto, con las soluciones de estas ecuaciones. En este capítulo se ahondará en la historia de esa búsqueda que dio lugar a uno de los conceptos más importantes del álgebra moderna. Una ecuación algebraica (de grado n) es una expresión matemática del tipo: a0 + a1 x + a2 x2 + .... + an-1 xn-1 + an xn = 0 con a0, ..., an números racionales.

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Es decir, son igualdades entre dos expresiones algebraicas que involucran números, variables y operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces…). Resolver una ecuación significa encontrar valores numéricos para las variables que hacen que se verifique la ecuación. Pero, es más, fue gracias al estudio de estas soluciones por el que apareció el concepto de grupo en el siglo XIX, por obra de los matemáticos Abel y Galois. Su trabajo se supone un empuje revolucionario en la historia del álgebra moderna, en la continuación de numerosos pensadores que durante siglos trataron de dar solución a uno de los grandes enigmas de la historia de las matemáticas: la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas. Los primeros en ocuparse del tema fueron los babilónicos, en torno al año 1600 a.C. La cultura babilónica aportó matemáticas muy sofisticadas, motivadas por el desarrollo de técnicas de reparto o distribución. Para dividir terrenos, partes de un testamento, transacciones comerciales, etc., hacían falta números, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. La repartición motivó la aparición de problemas matemáticos en los que usaban palabras para las cantidades desconocidas que tenían que calcular. Aparecieron así las primeras ecuaciones (su formalización matemática no era la misma que se usa ahora, pero la idea sí). Las ecuaciones más sencillas son las lineales (o de primer grado), es decir, en las que la incógnita aparece solo multiplicada por números, sumada o restada (del tipo 2x + 1 = 0). Los babilónicos resolvían este tipo de ecuaciones, pero no hay documentación detallada al respecto, porque al parecer encontraban el procedimiento demasiado elemental como para desperdiciar una tablilla en explicarlo.

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En busca de la solución perdida Los primeros escritos que detallan la resolución de ecuaciones se encuentran en el papiro Rhind, del año 1650 a.C. En este fascinante escrito, de 5,49 metros de largo, se presentan gran parte de las matemáticas que se conocen del antiguo Egipto. Se estructura en 87 problemas, principalmente cuestiones prácticas como la división de tierras o el cálculo de la inclinación de una pirámide, pero también cuestiones introducidas para los estudiantes de la épo­ ­ca (tal y como se hace hoy en día, aunque entonces el conocimiento estaba restringido a unos pocos). Muchos de ellos se resuelven con ecuaciones, en las que la incógnita se de­­nomina AHA (que significa montón). Las ecuaciones de pri­­mer grado, como las que aparecen en el papiro, parece que tenían mucha presencia en las matemáticas egipcias (Puig, 2006). También hay indicios de las primeras ecuaciones en China. En Nueve capítulos sobre las artes matemáticas (que se estima escrito entre el 206 a.C. y el 211 d.C.) aparecen problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales y tres incógnitas (Maza y Gómez, 2000). Pero la dificultad de resolver ecuaciones no está tanto en el número de incógnitas, sino en el grado de las mismas. El salto teórico se da con el aumento de exponente de la variable, y así se pasa de ecuaciones lineales a las cuadráticas, las cúbicas, las de grado cuatro, cinco… En las ecuaciones que surgen al resolver problemas cotidianos es muy natural que aumente el grado del exponente. Al medir y querer hacer cálculos sobre distancias, se usan variables lineales. Cuando se quieren hacer cálculos sobre áreas, la cosa se complica, porque el área

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de las figuras se calcula como producto de sus lados. El área del cuadrado es el lado elevado al cuadrado. La expresión del área del cuadrado de lado x es x2. Por tanto, si se quiere calcular el lado del cuadrado cuya área es cuatro, se obtiene la ecuación x2 = 4; x = 2 (por supuesto, otra solución es -2, pero esto no corresponde a una distancia real). En los documentos egipcios ya aparecen ecuaciones como la anterior, que involucran x2, pero no a la vez x2 y x. Eran capaces de resolverlas, pero solo daban la solución positiva, porque el número representaba cantidades que tenían que ser positivas, como distancias; no concebían el significado de los números negativos. Los griegos no hicieron grandes avances en este campo, pese al desarrollo sustancial que hicieron en las matemáticas; se centraron en otras áreas como la geometría y la lógica y dejaron de lado las ecuaciones. De hecho, en la época griega se cometían errores algebraicos importantes. Por ejemplo, pensaban que el área de una figura dependía enteramente de su perímetro. No creían, por ejemplo, que Esparta, con un perímetro de 48 estadios, doblara la capacidad de Megalópolis, con 50 estadios de perímetro (De Diego, 2005). Pero es fácil ver que el área no solo depende del perímetro. Si se ata un cordel por los extremos para conseguir un lazo, manteniendo siempre el perímetro, puede verse que si se alarga hasta tener una línea doble el área encerrada es mínima; mientras que si se extiende hasta formar una circunferencia, el área recogida será mucho mayor (de hecho, la mayor que puede conseguirse con ese perímetro, lo que es un teorema matemático, por cierto).

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La abstracción de la x La siguiente evolución del álgebra fue el paso de las formas retóricas de los babilónicos a las formas simbólicas, que mantenemos hoy en día, imprescindibles para la concepción abstracta de la matemática. Esta etapa la re­­pre­­ senta Diofanto de Alejandría (que se estima que vivió entre el año 150 d.C. y el 270 d.C.), autor del influ­­ yente tratado Arithmetica (Sessa, 2005). Su obra es un paso intermedio entre la aritmética y el álgebra: plantea enunciados generales y abstractos que demuestra mediante casos concretos, con números. En el escrito, principalmente dedicado a lo que hoy llamamos teoría de números, resuelve numerosos problemas algebraicos con destreza, aunque considera solo las soluciones que podían expresarse como números naturales o fracciones de números naturales. No hay duda de que Diofanto sabía resolver las ecuaciones de segundo grado de los tres tipos: ax2 + bx + c = 0, ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0. Es de especial importancia la notación que emplea: introduce un símbolo (parecido a una S) para designar la cantidad desconocida de la ecuación, la incógnita (que el denomina arithmo). Esta notación permite a Diofanto trabajar más ágilmente con sus ecuaciones, pues puede operar con la incógnita como si fuera un número. La escritura condiciona plenamente la forma de trabajo y el paso a la notación que introduce Diofanto es de capital importancia en su pensamiento matemático y en el de sus sucesores, que recibirán su influencia.

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La fórmula universal La matemática es el arte de la abstracción, por tanto, la verdadera pregunta matemática, más allá de que se pueda o no resolver ecuaciones de segundo grado concretas, es si existe una fórmula universal que pueda aplicarse siempre para obtener soluciones. En el colegio enseñan que sí la hay, y todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse con esta fórmula. Si se escribe la ecuación como ax2 + b • x + c = 0, la receta x= (-b+-sqrt (b2-4ac))/2a da fácilmente las soluciones. Pero ¿de dónde sale esta expresión? El recorrido en la historia de la resolución de las ecuaciones polinómicas pasa por la India y los países árabes. Los matemáticos europeos, con la caída de la Biblioteca de Alejandría como momento clave, entraron en el gran letargo de la Edad Media, del que no despertarían —salvo contadas excepciones— hasta el Renacimiento. Mientras tanto, las matemáticas siguieron creciendo y evolucionando en otras latitudes: la India y los países árabes. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C.) fue el primero en referirse explícitamente a los números negativos como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas” en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos). Sistematizó una aritmética para el cero y los números negativos, utilizando el símil de la deuda (para los números negativos) y la pertenencia (para los positivos): la suma de dos pertenencias es una pertenencia con valor igual a la suma de ambas; la suma de dos deudas es una deuda con valor a la suma de ambas; una deuda más una pertenencia se obtiene restando al valor de la pertenencia el de la deuda, etc.

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Brahmagupta es considerado como el mayor matemático de la antigua civilización india. Encontró soluciones generales a las ecuaciones de segundo grado, incluyendo la negativa. Fue también el primero en dar soluciones completas a la ecuación diofántica ax + by = c.

‘CONDENSADO SOBRE RESTAURACIÓN Y BALANCEO’ Durante siglos, la gran referencia en cuanto a la teoría algebraica fue El libro Condensado sobre Restauración y Balanceo (Kitab al-jabr wa almuwabalah). Del título de este libro viene la palabra álgebra (del término “al-yéber”, que significa en árabe “restauración” o “conclusión”. Se refería a mover los términos de la ecuación de un lado a otro, lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo, etc., como enseñan en el colegio. Su autor, Mu­­hammad ibn Musa al Kjwarizmi (vivió del 780 al 850 d.C., aproximadamente), dio también nombre a la palabra algoritmo (Brezina, 2006). En El Quijote, ocho siglos después, se hace referencia a la palabra cuando Cervantes llama “algebrista” a un curandero que restauraba los huesos del cuerpo. Al Kjwarizmi fue astrónomo, geógrafo y matemático. Determinó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado. Este libro supone la primera inclusión del álgebra en el mundo musulmán después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia le había llevado a la India y a Grecia. Todavía no se emplean símbolos para referirse a las incógnitas, sino que se hace una descripción literal: “Dos veces una cosa menos el cuadrado de esa cosa…”. Se resuelven ecuaciones de primer y segundo grado, con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin

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embargo, la solución no apareció en Europa hasta el siglo XII, en el libro Tratado de medidas y cálculos, del matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos después, todos los libros de matemáticas de secundaria incluyen la fórmula.

La deducción de la fórmula puede hacerse con geometría. Partimos de la ecuación x2 + px = q (con p > 0 y q > 0), que no es la general, pero casi. Los términos de la ecuación pueden interpretarse como áreas: • x2 representa el área de un cuadrado de lado x. • El término px, el área de un rectángulo de las dimensiones x y p, con x > 0; este rectángulo es equivalente a cuatro rectángulos de dimensiones x y p/4. De esta manera, el primer miembro de la ecuación se representa como el área del cuadrado y de los cuatro rectángulos que se ven en la figura siguiente: E

p __ 4

p __ A 4

H p __ A 4

D

D

p __ 4 x2

x2 x B

p C __ 4

p __ 4

x B

p C __ 4

p __ 4

G

F

A continuación se “completa” el diseño en un cuadrado, agregando cuatro cuadrados iguales con lado p/4.

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El área del cuadrado EFGH, está dada por: x2 + px + 4 (p/4)2, que es: x2 + px + p2/4 Es decir, (x+p/2)2 Como, según la ecuación, x2+ px = q, entonces, (x+p/2)2 = q + p2/4 y así (x + p/2)2 = q + p2/4

La lucha por la solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado El siguiente nivel de dificultad viene, como ya se ha dicho, al aumentar de grado. Y esta complicación conceptual está rodeada por tramas históricas aún más intrincadas. La resolución de las ecuaciones de tercer grado a principios del siglo XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos. Sus protagonistas —algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento— llevaron a cabo de esta manera una de las grandes hazañas matemáticas de la historia. Las ecuaciones de tercer grado aparecen con el cálculo de volúmenes de sólidos. Al hacerse preguntas del siguiente tipo: dado un cubo cuyo volumen es de 8 cm3, ¿cuánto mide su arista? Esto se traduce en la ecuación cúbica x3 = 8, cuya solución es fácil de calcular, x = 2. Pero este es el caso más sencillo (la incógnita solo aparece en el término x3), la forma general de la ecuación de tercer grado es ax3 + bx2 + cx + d = 0, con coeficientes arbitrarios a, b, c y d.

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Los matemáticos que trabajaron en la resolución de la ecuación, y que finalmente lo consiguieron, no planteaban problemas ni respuestas generales. El álgebra todavía no había llegado a ese grado de abstracción, pese a los tímidos pasos de Diofanto y de los matemáticos indios y árabes. Sin embargo, el objetivo sí era encontrar una fórmula, similar a la de segundo grado, que pudiera aplicarse como una receta: se sustituyen los valores de a, b, c y d (los coeficientes de la ecuación) y se obtienen las soluciones. Pero no era tan sencillo: este supuso uno de los grandes retos matemáticos hasta el siglo XVI, y conllevó muertes, gloria y humillación.

LOS DUELOS MATEMÁTICOS En la Bolonia del siglo XVI eran habituales los debates públicos y disputas orales entre matemáticos y atraían a grandes multitudes. Estas peleas callejeras tenían un profundo impacto en la sociedad científica: los ganadores eran mejor considerados para plazas universitarias y los perdedores podían perder su puesto o los favores de la nobleza. Más allá de eso, los ciudadanos mostraban un gran interés por estos acontecimientos, en torno a los cuales se organizaban apuestas, por lo que pueden ser considerados como eventos de divulgación científica de lo más exitosos.

En la Italia renacentista la resolución de la ecuación de tercer grado se convirtió en un desafío intelectual. Hubo muchos que lo intentaron y arrojaron la toalla; entre ellos, el matemático Luca Pacioli, quien llegó a asegurar, en su obra Suma de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad (Pacioli, 1994), que “para las ecuaciones de tercer y cuarto grado por el momento no ha sido posible

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encontrar reglas generales”. Otros, sin embargo, perseveraron. Scipione dal Ferro (Bolonia, 1465-1526), impulsado posiblemente por el propio Pacioli, se puso a trabajar sobre el tema. Alrededor de 1515 obtuvo los primeros resultados: resolvió la ecuación ax3 + bx + c = 0. Todavía no era la forma general, pero se acercaba bastante. Dal Ferro quiso conservar su hallazgo como un tesoro y decidió no divulgarlo. Compartió su resultado con su yerno, Annibale della Nave, y al menos con otro estudiante, Antonio Maria Fiore. Fiore fue un matemático mediocre que, a falta de méritos propios, intentó usar a su favor el secreto de su maestro. Una vez muerto Dal Ferro no la publicó, sino que guardó el arma para usarla en el momento conveniente.Y esa oportunidad no tardó en llegar. En 1535, Fiore escuchó que otro matemático, Niccolo Tartaglia, estaba trabajando con cierto éxito en la resolución de la ecuación de tercer grado. Por fin podría demostrar su superioridad en ese campo (gracias a su arma secreta), así que le desafió a una competición pública para resolver problemas.

NICCOLA TARTAGLIA Tartaglia, que significa tartamudo en italiano, no era el nombre original de este matemático nacido en Brescia alrededor del 1500, sino que era su apodo. Parece ser que un corte de sable de un soldado francés, cuando tenía 12 años, le dejó secuelas en el habla, aunque de adulto ocultaba las cicatrices con su barba. Procedía de una familia muy pobre que no podía darle acceso a la educación —que aún era un privilegio de unos pocos—, así que tuvo que ser autodidacta. Pese a ello, mostró un gran talento, como evidencia su creación de un método de cálculo para resolver cierto tipo de ecuaciones de tercer grado. Entre sus otras aportaciones destacan los cálculos de las

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trayectorias de los proyectiles, que suponen las primeras aplicaciones de las matemáticas a la artillería, y la expresión matemática para el cálculo del volumen del tetraedro en función de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia. Murió en 1557, en Venecia, sumido en la misma pobreza que le acompañó durante toda su vida.

En 1530, Niccola Tartaglia afirmó haber resuelto la ecuación x3 + 3x2 = 5. Fiore, desconfiando del logro de Tartaglia, decidió desafiarlo públicamente. El reto se concretó de la siguiente manera: cada uno de ellos escribiría una lista de 30 problemas que tendría que resolver su oponente, y la lista quedaría sellada y depositada ante notario. Después de esto, cada uno dispondría de 50 días para buscarles solución. Todos los problemas planteados por Fiore eran de la misma forma ax3 + bx = c, es decir, los que él sabía resolver con la fórmula secreta de Dal Ferro. Sin embargo, Tartaglia propuso cuestiones de diferente tipo. El 12 de febrero de 1535 fue la fecha escogida para entregar los ejercicios frente a un nutrido público formado por universitarios y miembros de la alta sociedad intelectual veneciana. Tartaglia logró resolver los problemas en tan solo dos horas; Fiore no pudo dar respuesta a ninguno. Tartaglia solo tuvo que aplicar reiteradamente el método para resolver las ecuaciones del tipo ax3 + bx = c que, según cuenta en su biografía, había descubierto tan solo ocho días antes del reto. Pocos días después encontró la solución de ax + b = x3. Y como ya conocía la de x3 + ax2 = b, de la noche a la mañana se convirtió en el experto mundial de la resolución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, el éxito le duró poco.

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Tartaglia versus Ferrari Tartaglia tampoco quiso hacer públicos sus resultados. Pese a ello, el rumor del concurso entre Tartaglia y Fiore se extendió por toda Italia y llegó a los oídos del médico, matemático y filósofo Gerolamo Cardano. Para situar al personaje, hay que decir que, antes de todas esas cosas, Car­­ dano era jugador; durante sus años de estudiante, el juego fue su principal sustento. Usaba sus conocimientos de probabilidad y combinatoria para ganar a los dados, al ajedrez, a las cartas…; tanto es así, que su libro El libro de los juegos del azar se considera la primera obra escrita de cálculo de probabilidades. Pese a que estudió Medicina (y la ejercía, aunque sin licencia, por discrepancias con la comunidad médica), obtuvo una plaza de profesor de Matemáticas en la Fundación Piatti. Cuando estaba finalizando su segundo libro, La práctica de la aritmética y la medición simple, se le antojó que un gran final para la obra sería incluir la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado. Intentó convencer a Tartaglia de que le revelase sus resultados mediante intermediarios, pero sin éxito. Cardano no claudicó e invitó a Tartaglia a Milán para poder halagarle y, al parecer, prometerle que no revelaría su secreto a nadie. Tartaglia, agasajado por la riqueza y el poder de Cardano, de la que él nunca dispuso, accedió, confiando en la promesa del médico y matemático. Sin embargo, Cardano tardó poco en difundir el resultado: lo publicó en su libro El gran arte o las reglas del álgebra (Ars Magna), considerado el texto precursor del álgebra moderna (Cardano, 2007). Aunque en el texto Cardano reconocía la autoría de las ideas de Tartaglia, eso no aplacó la ira del matemático

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de Brescia. Le había robado sus ideas y su reconocimiento público y le había engañado. ¿Realmente fue eso lo que sucedió? Según puede leerse en el escrito de Cardano, partiendo de las técnicas de Tartaglia, había encontrado una fórmula general de la ecuación de tercer grado. Simultáneamente, su estudiante, Ludovico Ferrari, había conseguido resolver uno de los tipos de la ecuación de cuarto grado. Todo este material aparecía en el Ars magna. Además, demostraba por primera vez que las soluciones de la ecuación pueden ser negativas, irracionales, e incluso pueden implicar raíces cuadradas de números negativos. El tratado de Cardano tenía, por tanto, numerosas ideas originales y desarrollos que, aunque podían derivar de los de Tartaglia, eran trabajo suyo. La obra contó con un gran reconocimiento, que no hizo más que amargar aún más a Tartaglia. El matemático emprendió una violenta campaña contra Cardano, a través de cartellos (cartas de desafíos), que desencadenó una larga pelea pública en la que se interpuso el siguiente personaje de la historia. Sin embargo, no fue Cardano el que respondió a las ofensas, pese a los muchos intentos de Tartaglia de retarle públicamente, sino que fue Ludovico Ferrari quien se ocupó de la pelea. Pese a que Tartaglia no quería concursar públicamente con el estudiante, al final lo acabó haciendo, posiblemente por la presión de una posible plaza de profesor de Geometría en su ciudad natal, Brescia. El enfrentamiento tuvo lugar el 10 de agosto de 1548 y, pese a que no hay documentación clara de lo que aconteció, no hay duda de que el vencedor fue Ferrari: negaron el sueldo a Tartaglia en Brescia, después de trabajar un año como profesor, mientras que la carrera de Ferrari

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se catapultó. La gloria en la resolución de la ecuación de tercer y cuarto grado fue para Cardano y su estudiante. Pero también a Ferrari le esperaba un desenlace trágico: pocos años después murió, al parecer envenenado por su propia hermana. Las pruebas parecen indicar que fue así: Maddalena, la hermana de Ferrari, se casó dos semanas después de la muerte y transfirió a su nuevo marido todas las propiedades de su hermano. Incluso parece que se apropió de algunos escritos inéditos para que los publicara a su nombre su nuevo hijastro. Por suerte, Ferrari no había guardado, como Dal Ferro o Fiore hicieron con sus avances en la resolución de la ecuación de tercer grado, ningún gran resultado oculto. De esta trágica manera quedaron resueltas las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Nuevas categorías de números En relación con la resolución de las ecuaciones de grado tres y cuatro, cabe detenerse en una interesante contribución del boloñés Rafael Bombelli. Consideraba que el Ars Magna de Cardano no era lo suficientemente claro, por lo que reformuló algunos de los conceptos en su libro L’Algebra (Bombelli, 1579), y añadió una idea nueva de crucial importancia, la de los números imaginarios. La unidad imaginaria, i, se define como la raíz cuadrada de (-1). Es un concepto que surge de manera natural resolviendo ecuaciones: aun cuando los matemáticos no concebían esta idea, de vez en cuando aparecía, como paso intermedio, la raíz de un número negativo. No hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo (si es negativo,

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menos por menos será más; si es positivo, más por más será más), por lo que hubo que inventar un nuevo conjunto de números para dar solución a este problema. Es interesante el paralelismo entre la aparición de nuevas categorías de números y la resolución de las ecuaciones con coeficientes enteros. Los números negativos aparecen en ecuaciones lineales del tipo x + 4 = 2, los radicales en ecuaciones cuadráticas como x2 = 2 y los números imaginarios en la resolución de las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, los máximos expertos en ecuaciones cúbicas no dieron con ellos. Aunque aparecían en sus escritos, Cardano no se ocupó de ellos, diciendo que eran “tan sutiles que eran inútiles”. Bombelli fue el primero que prestó atención a estos números, que llamaba “más de menos”. Aunque fue el gran matemático Leonhard Euler el primero que llamó a la raíz cuadrada de (-1) i, en 1777. Teniendo esto en cuenta, la resolución de la ecuación de quinto grado era aún más interesante: ¿qué nuevas categorías aparecerían al resolver la ecuación? El problema se convirtió en uno de los grandes retos matemáticos del momento.

Primeros pasos hacia la ecuación de quinto grado Tras los resultados de Tartaglia, Cardano y Ferrari de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, muchos fueron los miembros de la comunidad matemática que asumieron como propio el reto de encontrar la fórmula de la ecuación de quinto grado. Pero los métodos usados en los casos anteriores resultaron inútiles, porque eran demasiado concretos, no trataban las ecuaciones como un objeto abstracto,

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no se entendían las características generales ni las relaciones entre sus elementos. Muchos grandes matemáticos lo intentaron, entre ellos Euler. Sin embargo, el célebre matemático solo llegó a intuir que, con cuidado, podría reducirse la ecuación de quinto grado a una de cuarto, que ya sabían resolver. Joseph-Louise Lagrange, otro de los grandes pesos pesados de las matemáticas, también trabajó en el problema. Publicó un libro llamado Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas en el que proponía un procedimiento uniforme para resolver ecuaciones hasta cuarto grado que sustituía todos los trucos anteriores. Conseguía, mediante un método concreto, reducir la ecuación a la de un grado menor (la de cuarto a la de tercero, la de tercero a la de segundo, la de segundo a la de primero) y, por tanto, tras un número de pasos, reducir el problema a un cálculo trivial. Sin embargo, al aplicar este procedimiento a la ecuación de quinto grado, ¡obtenía una ecuación de sexto grado! En el libro, el propio Lagrange asumía su fracaso: “Es improbable que estos métodos conduzcan a la solución de la ecuación de quinto grado”. Pese a ello, su trabajo era tremendamente interesante: Lagrange descubrió la relación entre las propiedades de las ecuaciones y su resolubilidad, así como ciertas simetrías de las soluciones por permutaciones. Quizás no se podían encontrar estas soluciones. En aquella época, los matemáticos empezaron a preguntarse si dada una ecuación (de cualquier orden) podían asegurar que siempre tuviese al menos una solución. O más allá, dada una solución de grado n, ¿cuántas soluciones tendrá? Para resolver este enigma hizo falta uno

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de los mayores talentos de la historia de las matemáticas: el de Johann Carl Fredrich Gauss. En su tesis doctoral, que leyó con apenas 22 años, en 1799, Gauss demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, en el que afirma que todas las ecuaciones de grado n tienen exactamente n soluciones (que pueden ser números reales y com­­plejos). Por tanto, la ecuación de quinto grado tenía que tener cinco soluciones, pero… ¿había una fórmula que diese automáticamente las soluciones?

La demostración no reconocida de Ruffini La historia de la resolución de las ecuaciones algebraicas nos lleva a otro de los grandes nombres de las matemáticas, ninguneado por sus contemporáneos, quizás porque no supieron apreciar la profundidad de sus ideas. Paolo Ruffini fue un matemático italiano que vivió de 1765 a 1822. Su contribución más famosa sigue presente en los temarios de matemáticas de educación secundaria: el llamado método de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por un binomio del tipo (x-a). Aunque sin duda su mayor contribución al desarrollo de la matemática fue la demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores. Demostró, alrededor del 1800, que la ecuación general de quinto grado no se podía resolver con una fórmula en la que solo aparezcan operaciones elementales, es decir, suma, resta, multiplicación, división y raíces.

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Como ya se ha narrado, hasta este grado sí se había podido realizar. Tras varios siglos de trabajo, ya se conocían las fórmulas para la resolución de la ecuación general de cuarto, tercer y segundo grado. Sin embargo, Ruffini afirmaba que, a partir de las de quinto grado, el planteamiento es otro: no se podía, por mucho que se intentara, dar con esta fórmula, y el trabajo de todos los que la habían codiciado hasta entonces era inútil. Ruffini publicó en 1799 sus resultados en una obra de dos volúmenes llamada Teoría general de las ecuaciones. El resultado era de importancia capital porque zanjaba el tema, aunque fuese de manera negativa: no existe la fórmula, por lo que es inútil seguir buscándola. Sin embargo, sus coetáneos no supieron asimilar este avance: la demostración era tremendamente complicada y el razonamiento casi imposible de seguir. Nadie hizo caso del trabajo de Ruffini. Convencido de la relevancia de su aportación, Ruffini le mandó el escrito al famoso matemático Lagrange en tres ocasiones, la primera en 1801, pero no recibió respuesta en ninguna de ellas. También probó a publicar otras versiones más sencillas, discutió el resultado con algunos de sus colegas…, pero tampoco consiguió hacer trascender sus resultados. Por tanto, fue como si su descubrimiento no existiera. Evidentemente, también en la ciencia, si cae un árbol en medio del bosque y no lo oye nadie, es como si no cayera. En este caso, además, nadie quería prestar atención, pues cualquier decisión de sus pares, ya fuese para validar o invalidar su prueba, requería de un ingente esfuerzo (para comprender la prueba) que grandes matemáticos, de la talla de Lagrange, no estaban dispuestos a invertir.

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Las bases de la revolución del álgebra hacia la teoría de grupos En un último intento, Ruffini mandó la prueba a la Royal Society de Londres —que contestaron diciendo que ellos no hacían validaciones públicas de demostraciones— y a Cauchy. Este último fue el único matemático que hizo una apreciación positiva del trabajo, en una carta que mandó al propio Ruffini seis meses antes de su muerte. Pero tampoco así se difundió el trabajo de Ruffini. Hay que decir que, incluso en la actualidad, la mayoría de los matemáticos no son capaces de establecer la veracidad de la prueba, debido a su complicación. De hecho, puede decirse que no demostró del todo que la ecuación de quinto grado no se podía resolver mediante una fórmula compuesta por operaciones simples. En su escrito hay una laguna importante, en la que Ruffini daba por sentado algo que no era evidente, sino que era necesario comprobar. Pese a ello, su trabajo era innovador y revolucionario. Cambió el planteamiento de la investigación: no había que buscar la fórmula, sino demostrar que no la había. Además, sus escritos contenían ideas fundamentales en la transición del álgebra tradicional (que trataba únicamente de números) a la teoría de grupos (que trata de elementos y operaciones entre ellos). Sentó las bases del trabajo transformador que luego harían dos de los grandes héroes de la historia de las matemáticas: Niels Henrik Abel y Evariste Galois, los siguientes protagonistas de este relato. Por su parte, Ruffini fue consciente de su fracaso en el campo de las matemáticas y continuó ejerciendo

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como médico, que era su profesión paralela. Siguió la carrera de su padre, Basilio Ruffini, que era médico en Valentano. Antes de eso, de niño, parecía destinado a la carrera religiosa. Pero al entrar en la Universidad de Módena en 1783 quiso estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura. Aprendió cálculo y geometría, y en particular estudió los fundamentos del análisis. En 1788, fue nombrado profesor de Fundamentos de Análisis y, poco después, fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.

Genio y pobreza de Niels Abel En el final de esta larga historia de la resolución de las ecuaciones algebraicas aparecen dos figuras primordiales de la matemática moderna: Niels Abel y Evariste Galois. No es difícil trazar paralelismos entre sus vidas: los dos fueron genios precoces; sus matemáticas fueron innovadoras y revolucionarias, tanto que no fueron ni comprendidas ni aceptadas en su momento, y los dos murieron jóvenes, de manera trágica. En el libro La ecuación jamás resuelta: cómo dos genios matemáticos descubrieron el lenguaje de la simetría, Mario Livio dedica un extenso y apasionado relato a describir sus vidas e ideas (Livio, 2013). Niels Abel nació en 1802 en el seno de una familia pobre. Se formó en la vicaría con su padre, pastor luterano, hasta cumplir los 13 años. Con esta edad abandonó el hogar. Atrás dejaba una familia desestructurada, cruzada por el alcohol y las historias extramatrimoniales. No fue

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a parar a un sitio mejor: ingresó en la Cathedral School, donde le esperaban terribles profesores, en especial el de matemáticas, que pegaba y atemorizaba a los alumnos con frecuencia. En aquella época empezó a manifestarse el pavor de Abel por la soledad: cuando no estaba rodeado de gente se deprimía y era incapaz de trabajar. En 1816, con 14 años, los resultados de Abel en el colegio cayeron en picado. Afortunadamente, al año siguiente, despidieron al profesor —después de su responsabilidad en la muerte de un alumno— y contrataron a un sustituto. Holmboe, entusiasta e inspirador, fue la primera persona que detectó el talento matemático de Abel y le ayudó a estimularlo. La primera muestra del talento de Abel no tardó en llegar. En su último año de instituto, Abel intentó por su cuenta abordar la resolución de la ecuación de quinto grado. Envalentonado, presentó una demostración a Holmboe, que no supo encontrar ningún error. Se lo enseñó a dos matemáticos de la Universidad de Christiania, que tampoco dieron con ningún fallo. Uno de ellos, consciente de la magnitud del resultado, remitió el trabajo al matemático escandinavo más relevante del momento: Ferdinand Degen, para que lo publicara la Academia Danesa. Este último tampoco logró poner ninguna pega al planteamiento de Abel, pero le pidió un desarrollo más detallado de la demostración y algún ejemplo numérico del método de resolución. Es decir, dar, por ejemplo, la solución de 2x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 + 4x + 8 = 0. Al intentarlo, Abel descubrió que su resultado era erróneo: no daba soluciones a la ecuación. Pero este tropiezo no le desmotivó, sino todo lo contrario.

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Primeros resultados originales Sin apenas apoyo económico familiar, milagrosamente Abel consiguió acceder a la universidad. Sus profesores le intentaban ayudar con sus escasos medios, en especial uno de los que recibió su primer intento de resolución de la ecuación de quinto grado: Christopher Hansteen. En una revista fundada por este, Abel publicó su primer artículo científico. El tercero, “Solución de un par de proposiciones mediante integrales definidas”, sentaba las bases de lo que luego fueron las matemáticas que están detrás de la moderna radiología. El problema de la resolución de la ecuación de quinto grado permanecía en su mente: en su siguiente intento, estaba convencido de que lo que tenía que probar era que no se podía resolver el problema de forma general. Esto era precisamente lo que —casi— había probado Ruffini en sus escritos publicados entre 1799 y 1813. Sin embargo, como el trabajo de Ruffini no tuvo éxito ni reconocimiento, en 1823 Abel lo desconocía. Por tanto, escribiendo en una hoja en blanco, sin más referencias que sus propias ideas y días de intenso trabajo, ese mismo año Abel concluyó su prueba. Con tan solo 21 años, había puesto punto final, sin ningún tipo de ambigüedad y rigurosamente, a la búsqueda de soluciones de ecuaciones algebraicas. Utilizó para su demostración el argumento de la reducción al absurdo; es decir, suponiendo que sí hay una fórmula para la ecuación general, mediante un número de deducciones lógicas se llega a un absurdo, algo que no puede ser, y que, por tanto, indica que las premisas de las que se partía eran falsas.

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Con su trabajo —que a diferencia del de Ruffini no presentaba ninguna zona oscura— se puede asegurar que no hay un algoritmo que involucre únicamente las operaciones elementales y la extracción de raíces, que pueda aplicarse a cualquier ecuación de quinto grado y devuelva las soluciones. Esto no significa, evidentemente, que no haya ecuaciones de quinto grado que sí puedan resolverse, las hay, pero no hay una fórmula común a todas para resolverlas. Con el fin de difundir tamaño resultado, Abel escribió la demostración en francés e incluso pagó con sus pocos medios una edición del artículo en forma de panfleto. Con el fin de ahorrar gastos, condensó el artículo en tan solo seis páginas, lo que restó claridad a sus argumentos y lo hizo inaccesible para la mayoría de los matemáticos. Se lo envió hasta al mismo Gauss, que parece que ni llegó a abrir la carta. De la misma manera que pasó con Ruffini, su obra pasó desapercibida.

Viajes erráticos por Europa Sin embargo, el genio de Abel para las matemáticas seguía desarrollándose, aplicado a otros problemas y áreas de la disciplina, frente a todas las dificultades. En 1824, los profesores Hansteen y Rasmussen solicitaron al Gobierno noruego una beca para que Abel pudiera estudiar en el ex­­ tranjero. En París alcanzó otro de sus grandes logros: el teorema de Abel sobre series de potencias. Es un importante resultado de análisis que relaciona el límite de una serie de potencias con la suma de los coeficientes de la serie. Cuando concluyó el artículo, consciente de su relevancia,

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lo presentó a la Academia Francesa de las Ciencias. El ensayo fue entregado el 30 de octubre de 1826 al secretario de la Academia de Ciencias de París, J. Fourier, para que fuera publicado en su revista. El propio Abel afirmaba, en una carta a Holmboe: “He realizado un trabajo sobre funciones trascendentes para presentarlo al Instituto. Espero que lo vea Cauchy, pero seguramente ni se dignará a mirarlo. Se trata de un buen trabajo y me agradaría conocer el juicio del Instituto”. Fourier remitió el trabajo a Cauchy (responsable principal) y a Legendre (1757-1833) para que fuese evaluado. Legendre (con 74 años) lo encontró penoso e ilegible y confió en Cauchy (39 años) para que se encargara del informe. Pero Cauchy vivía un momento de gran creatividad y estaba totalmente sumergido en su propia obra, por lo que, quizás también incorporando un cierto grado de indiferencia por el principiante, no prestó la debida atención al escrito, lo olvidó y lo extravió. Abel, sabiendo que Cauchy no lo había leído, aguardó con resignación el veredicto de la Academia hasta que supo de su pérdida. Entonces decidió volver a redactar de nuevo el principal resultado. “Aun siendo el más penetrante de todos sus trabajos, constaba solo de dos breves páginas. Oystein Ore lo llamó estrictamente ‘Un teorema: un monumento colosal resumido en unas parcas líneas’”, según señalaba en su artículo “Niels Henrik Abel: Mathematician extraordinary” (1974). Al cabo de algún tiempo, el matemático C. G. Jacobi (1804-1851) tuvo noticias de lo sucedido, informado por el propio Legendre. Indignado, el 14 de marzo de 1829, Jacobi escribía a Legendre: “¿Cómo es posible que un descubrimiento, quizás el más importante de nuestro siglo, se comunicara a su Academia hace dos años y escapara a la

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atención de sus colegas?”. Esta pregunta se extendió como un reguero de pólvora hasta Noruega, lo que dio lugar a que su cónsul en París apremiara una reclamación diplomática acerca del manuscrito perdido. La Academia indagó y Cauchy lo encontró algún tiempo después. En la contestación a Jacobi, Legendre cuenta que, al decidir redactar el oportuno informe, ambos se retuvieron al sopesar que Abel ya había publicado parte de la memoria en el Journal de Crelle. Sin embargo, el ensayo no se publicó hasta 1841, un trabajo que luego Legendre calificó como monumentum aere perennius y Hermite (1822-1901) un legado para más de 150 años. Fue demasiado tarde para Abel. Mientras luchaba por que se considerara su aportación a las matemáticas, las penurias económicas seguían persiguiéndole y su salud empezaba a deteriorarse de forma alarmante. En mayo de 1827 tuvo que volver a Noruega, con lo que perdió el dinero de la beca: el Gobierno se la negó, argumentando que era para mantenerle en el extranjero, no en su propio país. Sin ningún otro tipo de ingreso, tuvo que trabajar como tutor de colegiales para sobrevivir, a la vez que escribía artículos sobre las funciones elípticas. En 1828, la situación mejoró: pudo sustituir a Hans­­ teen, que partió a Siberia, en la universidad y en la academia militar y dedicarse enteramente de nuevo a la investigación. Algunos de sus trabajos de esa época sobre funciones elípticas empezaron a difundirse y su fama comenzó a extenderse por toda Europa. Sin embargo, seguía sin poder acceder a una plaza universitaria y sus finanzas se hundían. También su salud empeoraba: poco después de la Navidad de 1828 cayó gravemente enfermo. Abel padecía tuberculosis desde hacía tiempo y en la Navidad de ese

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año viajó en trineo a Fröland para ver a su novia, empleada allí como institutriz de una familia inglesa. A mediados de 1829 empeoró a causa de una hemorragia persistente. Padeció su peor agonía la noche del 5 de abril de 1829 y el día 6 falleció. Tenía 26 años y ocho meses. El 8 de abril, aun sin conocer la noticia de la muerte de Abel, su amigo Augusto Crelle le anunciaba por carta que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de Matemáticas. Gauss y Humboldt solicitarían también una cátedra para Abel. Legendre, Poisson y Laplace escribieron al rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo. Lamentablemente, llegaron tarde.

El personaje más romántico de las matemáticas Con una vida en paralelo a Abel, Evariste Galois fue una de las figuras más románticas de las matemáticas. Murió con tan solo 20 años, por un disparo en el estómago que recibió durante un duelo rodeado de misterio y propiciado bien por disputas amorosas o bien por desacuerdos políticos. Pocas horas antes, durante la madrugada, sabiendo las grandes posibilidades que tenía de no sobrevivir al encuentro, escribió la que después se llamó la teoría de Galois, un planteamiento revolucionario que cambió el álgebra para siempre. Pero empecemos por el principio. Galois nació en 1811 en París, en el seno de una familia acomodada. Aquel era un periodo de agitación política en Francia: la pérdida del poder por parte de Napoleón a favor del rey Luis XVIII de Borbón conllevó una vuelta a políticas conservadoras y a la restauración gradual del poder de la Iglesia.

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Esto reavivó el movimiento liberal, en el que militó fervientemente el padre de Galois, Nicolas-Gabriel. Los cambios de poder fueron decantando la sociedad francesa en dos bandos rivales: por un lado, conservadores a favor de una monarquía dominada por la Iglesia y, por otro, los liberales y republicanos, inspirados por las ideas de la Revolución francesa. Galois recibió una formación basada en ideas liberales. Su madre se encargó de su educación en casa hasta los 12 años, momento en el que se incorporó en el prestigioso internado parisino Lycée Louis-le-Grand. Allí las cosas cambiaron: se encontró con una dura disciplina y un recién nombrado director conservador. El ambiente era inestable, con peleas entre estudiantes que representaban, en la escala reducida de la escuela, la turbulencia política de la sociedad del momento. La manera de pensar de Galois no cuadraba con los ideales de la época; fue obligado a repetir el tercer curso y en el informe académico le califican como “original, pero extraño”. Sin embargo, ese fue el momento en el que descubrió las matemáticas. Gracias a uno de sus profesores y al libro Elements de Geometrie, de Legendre, Galois encontró su pasión y dejó de prestar atención al resto de materias. Empezó a leer artículos científicos por su cuenta y llegó también a la ecuación de quinto grado.

Una gran pregunta y una aún mejor respuesta Desconocedor del trabajo previo de Ruffini y Abel, Galois intentó encontrar por su cuenta la codiciada fórmula. Tras dos meses, pensó que había dado con ella, pero encontró

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un error. Siguió con más empeño en el estudio de las matemáticas, mientras dejaba totalmente de lado las otras materias. Esto jugó en su contra en 1828, cuando hizo el examen de acceso a la École Polytechnique y suspendió, por lo que tuvo que permanecer en el Lycée Louis-le-Grand. En 1829 publicó su primer artículo científico: un resultado menor sobre funciones continuas. Galois no tardó en hacer su gran aportación al problema de las ecuaciones polinómicas. Hasta el momento, aunque Galois no lo sabía, Abel había demostrado que no existe una fórmula general que solo involucre operaciones elementales para la ecuación de quinto grado. Pero quedaba una pregunta interesante abierta: ¿qué ecuaciones —de grado cinco o superior— sí pueden resolverse con una fórmula? ¿Cómo podemos determinarlas? Para resolver este enigma, Galois introdujo el concepto original de grupo y creó una nueva rama del álgebra. Como punto de partida, siguió con el trabajo de Lagrange y estudió las relaciones entre las supuestas soluciones de una ecuación y las permutaciones de estas soluciones que dejan las relaciones inalteradas.Y fue más allá: definió, para cada ecuación, una especie de código genético (el grupo de Galois), cuyas propiedades determinan si la ecuación puede resolverse con una fórmula o no. El grupo de Galois es una medida directa de las propiedades simétricas de la ecuación, que juegan un papel clave en la resolución.

EL GRUPO DE GALOIS Dada una ecuación algebraica (por ejemplo, x2 + 4x + 12 = 0), se consideran sus raíces (en este caso, 6 y -2). En general, las ecuaciones de grado n tienen exactamente n raíces, tal y como prueba el teorema

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fundamental del álgebra. Se consideran entonces las relaciones elementales que se puedan hacer con estas raíces (suma, resta, multiplicación y división) y se ven las permutaciones de las raíces que las preservan. La colección de las permutaciones que siguen siendo raíces de la ecuación original constituyen el grupo de Galois. Este probó que la resolubilidad de la ecuación se refleja en las propiedades de este grupo. Para saber más de la fascinante teoría de Galois, un buen libro de divulgación es Galois Theory, de Ian Stewart (2003).

Rechazo de la Academia Varios colegas animaron a Galois a publicar dos ensayos con los resultados, que acabaron llegando a Cauchy para que este los presentara a la Academia de las Ciencias. Las publicaciones se presentaron el 25 de mayo y el 1 de junio de 1829, a la espera de evaluación de ilustres matemáticos, entre los que se encontraba el propio Cauchy. Con varias excusas, Cauchy fue relegando la discusión, dando prioridad a sus propios temas. Cansado por la falta de atención y después de leer finalmente los artículos previos de Abel, Galois presentó el trabajo por su cuenta con algunas modificaciones como candidato al premio de Matemáticas de la Academia. El escrito Memoria de las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones por radicales ha sido considerado desde entonces una de las obras maestras de las matemáticas (Galois, 1846). Pero no fue nunca considerado para el premio: Fourier, el secretario del mismo, se llevó el manuscrito a casa y murió días después. Nunca se pudo recuperar el original de entre sus papeles. Y el premio se otorgó a Abel, póstumamente, y a Jacobi. Galois ardió de ira.

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En 1831, finalmente, se valoraron los trabajos de Galois en la Academia y el resultado fue cuanto menos inesperado: sus demostraciones fueron rechazadas. O bien no entendieron el artículo, o bien no quisieron aceptar las innovadoras ideas de Galois. El trabajo presentaba todo un nuevo mundo matemático para resolver un problema clásico, que tradicionalmente se había tratado con herramientas totalmente diferentes. Chocó con las ideas conservadoras de las matemáticas y también con la política. En 1830, su padre se suicidó al verse involucrado en un escándalo político. Coincidiendo con la tragedia, en ese mismo periodo se celebraban las pruebas de acceso para entrar en la École Polythecnique. Desde luego no era el mejor momento para preparar los exámenes, y posiblemente las circunstancias le vencieran. Por segunda vez suspendió y de esta manera se denegó el acceso a uno de los grandes genios de la matemática moderna, cuyo talento estaba en auge. En esos años, Galois intensificó su acción política, lo que le llevó a enfrentamientos con el director del Lycée del momento y, finalmente, a la expulsión. El siguiente escándalo sucedió en un evento social en el que, supuestamente, brindó con una navaja abierta en la mano por el rey LouisPhilippe. Esto se consideró como una amenaza al rey y fue arrestado al día siguiente y llevado a juicio el 15 de junio de 1831, donde fue absuelto.

Duelo misterioso Pocos meses después volvió a ser detenido, en este caso por llevar armas, y esta vez fue encarcelado durante seis meses. En 1832, una vez fuera de prisión, conoció a Stephanie

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Potterin en la casa de convalecencia en la que ingresó por un brote de cólera y se enamoró perdidamente. Parece que al principio la muchacha mostró también interés por Galois, pero no tardó en rechazar sus propuestas con frialdad. Galois estaba devastado. Esta historia amorosa condujo a Galois a un cruel destino: su temprana muerte. El fallecimiento de Galois está rodeado de misterio. De hecho, la reconstrucción de lo que pudo pasar durante sus últimas horas se basa en suposiciones; aunque varios investigadores han tratado de arrojar luz sobre los acontecimientos de los días 30 y 31 de mayo de 1932, no hay datos suficientes para resolver esta ecuación. Parece que, días antes, en su cortejo desesperado, Galois pudo ofender de alguna manera a Stephanie, lo que hizo que dos personas cercanas a ellas provocaran el duelo. El matemático, anteponiendo su orgullo a su propia vida, no lo pudo ignorar, pese a que era consciente de su desventaja y del riesgo que corría. Durante la noche previa al encuentro escribió tres cartas: la primera, a “todos los republicanos”; la segunda, a dos de sus amigos, y la tercera, a su amigo matemático Auguste Chevalier, en la que presenta un conciso sumario del ensayo que había sido rechazado por la Academia y otros desarrollos matemáticos. Esboza, en esta carta, lo que se conoce como teoría de Galois. Repasó rápidamente los artículos matemáticos e hizo algunos cambios de última hora: anotó, en uno de los bordes, la devastadora cita “No me queda tiempo”. El duelo tuvo lugar durante las primeras horas de la mañana del 30 de mayo de 1832. Una bala atravesó el estómago de Galois, pero no murió en el acto. Alguien, desconocido, le llevó al hospital Cochin unas horas más tarde, donde finalmente murió, al día siguiente, de peritonitis. No

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se sabe quiénes fueron los participantes del duelo, quién terminó con la vida del joven matemático ni quién le llevó al hospital. Tampoco nos podemos imaginar las ideas geniales que pudo haber generado la cabeza del joven matemático. Su amigo Chevalier se ocupó de difundir el legado científico de Galois, y sus artículos fueron aceptados por la Academia en 1843. En 1856, la teoría de Galois fue introducida en los cursos avanzados de álgebra en Francia y Alemania. Hoy sigue siendo una de las grandes leyendas de las matemáticas.

Grupos monstruosos Con ocasión de la concesión del Premio Abel a John G. Thompson y J. Tits en 2008, El País publicaba este artículo: “El ‘nobel’ de Matemáticas premia un estudio sobre las simetrías”, donde su autora, Mónica Salomone, escribía: Para los matemáticos, un monstruo es un “objeto” que existe solo en un espacio de exactamente 196.883 dimensiones. Pero lo importante de esta inimaginable forma no es dónde está, sino el hecho de que sea una estructura cuyas simetrías no son “descomponibles” en ninguna otra. ¿Y qué? Y mucho. El estudio matemático de las simetrías, un área llamada teoría de grupos, es esencial tanto para la investigación básica como la aplicada. Dos de los matemáticos que han contribuido a su desarrollo, John Griggs Thompson, de la Universidad de Florida (Estados Unidos), y Jacques Tits, del Collège de France, acaban de ser galardonados con el Premio Abel, que otorga la Academia Noruega de Ciencias y Letras. Dotado con 750.000 euros, el Abel viene a ser el Nobel de las Matemáticas.

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Y la periodista se refería a uno de los objetos matemáticos más elusivos y complejos de la moderna historia de las matemáticas, el “monstruo”. Vamos a dar cuenta, en esta sección, de noticias sobre el mismo. Digamos primero que el orden (es decir, el número de elementos) del monstruo es nada más y menos que 808017424794512875886459904961710757005754368 000000000 De hecho, el monstruo fue construido en 1982 por Robert Griess como un grupo de rotaciones en un espacio de 196.883 dimensiones. Como estamos viendo, la noción de grupo es vital en el desarrollo de las matemáticas. Y también hemos visto el importante papel que en muchas áreas (en particular, la cristalografía) tienen grupos como los de las permutaciones y aquellos que están formados por simetrías que preservan una determinada geometría subyacente (en gran medida, la geometría es el estudio de los grupos de transformaciones que preservan la estructura geométrica, como propugnó el matemático alemán Félix Klein en su famoso Programa de Erlangen). El principal problema en el estudio de los grupos es el de la clasificación, es decir, ¿cuántos grupos finitos hay? En particular, nos interesa saber cuántos grupos simples hay, porque todos se obtienen a partir de los simples. Thompson en particular hizo contribuciones decisivas para resolver este problema de clasificación y, con el esfuerzo de otros matemáticos, se llegó a la conclusión de que todos los grupos simples finitos pertenecen a determinadas familias estándar (cuatro), bien conocidas, con la

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excepción de 26 grupos esporádicos. Uno de estos grupos hors de catégorie es el denominado “grupo monstruo”. El trabajo de Thompson fue complementado por Tits, que estudiaba los llamados grupos lineales. Sus logros permitían una clasificación de las álgebras y los grupos de Lie (esenciales para la física moderna), e igualmente en los grupos simples finitos, en los grupos de Kac-Moody (utilizados por los físicos teóricos), en la geometría combinatoria (empleada en informática) y en el estudio de los fenómenos de rigidez en espacios con curvatura negativa. Su trabajo contribuyó también a un mejor conocimiento de los grupos esporádicos, en particular, del monstruo. Para terminar, digamos que la clasificación de los grupos finitos ha constituido una tarea titánica, fruto del trabajo de numerosos matemáticos, y quizás constituye uno de los pocos ejemplos, junto al grupo Bourbaki, de una tarea colectiva en el mundo de las matemáticas. El fruto de tantos desvelos es el Atlas de Grupos, publicado en 1985 por Conway, Curtis, Norton, Parker y Wilson.

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CAPÍTULO 4

Las simetrías de la física

La dama de las simetrías Como se ha mostrado en el capítulo anterior, el estudio de las simetrías condujo al concepto de grupo, una construcción clave en el mundo de las matemáticas. Pero la potencia y ubicuidad del concepto matemático de simetría no queda ahí: tiene además aplicaciones en la física, las ingenierías y otras ciencias. Una de las implicaciones de estas ideas, que ha resultado ser clave en física, es el llamado teorema de Noether, que debe su nombre a una gran matemática del siglo XX, Emmy Noether. El teorema afirma que siempre que un sistema físico (un sistema mecánico, por ejemplo) posea una simetría (es decir, una transformación que mantenga el sistema invariable), entonces existe una cantidad conservada. Las cantidades conservadas son de gran importancia en la teoría, porque permiten hacer cálculos en las variaciones del sistema (matemáticamente, integrar las ecuaciones diferenciales del sistema, que es siempre lo más complicado).

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Pensemos, por ejemplo, en la energía total del sistema, o en la conservación del momento (que se utiliza para el movimiento de las naves espaciales). Por ejemplo, si se considera un sistema mecánico determinado por un lagrangiano L (L representa la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial) que es invariante por traslaciones —es decir, tiene una simetría—, se puede afirmar (usando el teorema de Noether) que el momento lineal correspondiente será una cantidad conservada, es decir, será una cantidad que no variará durante el movimiento. Los físicos norteamericanos Leon M. Lederman y Christopher T. Hill comentan en su libro Symmetry and the Beautiful Universe (Lederman y Hill, 2011) que el teorema de Noether es “ciertamente uno de los teoremas matemáticos más importantes de la historia en la guía del desarrollo de la física moderna, posiblemente en el mismo nivel que el teorema de Pitágoras”. Es un teorema fundamental, ya que relaciona la invariancia con respecto a cualquier transformación (es decir, la simetría) de la forma que toma una ley física, con la ley de conservación de una magnitud física. Por tanto, el teorema de Noether establece que a cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa. Este resultado fue muy alabado por Albert Einstein; de hecho, la idea de Noether es un pilar básico de la teoría de la relatividad y de lo que se ha dado en llamar después teorías clásicas de campos.

Una breve biografía de Emmy Noether Noether nació en Erlangen (Alemania) el 23 de marzo de 1882 y falleció en Bryn Mawr, Pensilvania (Estados Unidos), el 14 de abril de 1935, a la edad de 53 años.

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Sus padres eran de origen judío, lo que le ocasionó numerosos problemas con el auge del nazismo. Su padre, Max Noether, fue un matemático de la Universidad de Erlangen, conocido por sus trabajos en geometría algebraica (autor del teorema de Brill-Noether). A los 14 años quedó paralítico a causa de la poliomielitis, lo que llevó más adelante a Emmy a cuidarlo e impartir algunas de sus clases. Emmy tuvo una infancia normal para esa época: fue educada para ser ama de casa, aunque estudió idiomas (inglés y francés) y recibió clases de piano y de danza, que era otra de sus pasiones. Consiguió un diploma para impartir clases de idiomas, pero su interés se decantó por las matemáticas. Entonces, la carrera científica estaba casi vetada para las mujeres, por lo que no podía estudiar la carrera oficialmente y cada profesor debía darle un permiso específico para asistir a sus clases. De 1900 a 1902, Noether consiguió ese permiso. Pese a estas dificultades, consiguió terminar sus estudios en 1903, tras lo cual se trasladó a la Universidad de Gotinga, un centro de excelencia en aquella época. Allí tuvo a profesores como Blumenthal, Hilbert, Klein y Minkowski. En 1904 consiguió matricularse en un programa de doctorado, que completó en 1907, bajo la supervisión de Paul Gordan. Su tesis, titulada Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (“Sobre un sistema completo de invariantes para formas bicuadráticas ternarias”), fue muy bien recibida, pero años más tarde la propia Noether la calificó de bazofia. En la época, el siguiente paso dentro de la trayectoria normal de un nuevo doctor en Alemania era conseguir una habilitación, lo que le permitiría impartir clases. Pero Noether era una mujer y este camino estaba vetado, por lo que siguió en Erlangen ayudando a su padre y, en su

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tiempo libre, dedicándose a la investigación. Por supuesto, sin recibir ningún tipo de salario. Pese a su situación en los márgenes de la investigación académica, sus resultados comenzaron a ser muy apreciados. En 1908 fue elegida como miembro de una sociedad matemática italiana, el Circolo Matematico di Palermo, y en 1909 ocurrió lo mismo con la Sociedad Matemática Alemana, que la invitó a dar una conferencia en su reunión anual en Salzburgo. En 1915, David Hilbert y Felix Klein la invitaron a volver a Gotinga. Entonces empezó una batalla con la institución y el establishment de la época, que duró años, a pesar de contar a su lado con dos figuras tan prominentes. En 1919, Noether consiguió ser admitida como profesora, pero con un rango inferior. Mientras tanto, Hilbert le dejaba impartir algunas de sus clases, que solían aparecer con anuncios como este: “Seminario de Física Matemática: profesor Hilbert, con la ayuda de la doctora E. Noether, lunes de 4 a 6, no se cobra matrícula”. En esta singular pelea, uno de los profesores de la facultad protestó en estos términos: “¿Qué pensarán nuestros soldados cuando vuelvan a la universidad y encuentren que tienen que aprender a los pies de una mujer?”. Hilbert respondió indignado diciendo: “No veo que el sexo de la candidata sea un obstáculo para su admisión como privatdozent. Después de todo, estamos en una universidad, no en una casa de baños”. Fue precisamente en Gotinga donde Emmy Noether obtuvo su famoso teorema. También en Gotinga, Noether comenzó a desarrollar su teoría de ideales, hoy en día parte obligatoria de los grados de Matemáticas en cualquier parte del mundo. Su

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trabajo se dio a conocer fundamentalmente por medio de Van der Waerden, que visitó el centro de investigación en 1924 y trabajó allí un año con Noether. El famoso libro de Van der Waerden, Álgebra moderna, contiene todo el trabajo de Noether en el segundo de sus dos volúmenes. Noether tenía una manera de trabajar muy generosa: ofrecía sin reparos sus resultados a colaboradores y discípulos. En Gotinga dirigió alrededor de 12 tesis doctorales. Todos sus estudiantes recordaban con aprecio a Noether, siempre cargada de altas dosis de paciencia con ellos. No parecía tener una guía para las clases y le gustaba que los alumnos debatieran sobre los temas. Se cuenta que a su alrededor se creó un grupo de colegas y estudiantes que era impenetrable para el resto, conocidos como “los chicos de Noether”. Cuando alguien quería entrar en ese círculo, se le hacía desistir amablemente. Su manera de vestir difería de los estándares de moda y belleza de las mujeres de la época. Podía empezar una conferencia peinada, para terminar casi desgreñada por su energía en las explicaciones. También se cuenta cómo podía discutir acaloradamente de matemáticas a la vez que comía y manchaba su vestido con la comida. En 1933, con el advenimiento de los nazis, el profesorado judío de las universidades alemanas comenzó a tener problemas. La consigna era: “Estudiantes arios quieren matemáticas arias y no matemáticas judías”. Noether, además, se había posicionado apoyando el régimen soviético, cuya capital había visitado por trabajo. Hitler había promulgado la Ley para la Restauración del Servicio Civil Profesional, que perseguía sustituir a los judíos y gente políticamente sospechosa de sus puestos por arios. Con esta ley, Noether fue privada de la capacidad de enseñar.

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Emmy Noether finalmente salió del país y fue contratada en 1933 en el Bryn Mawr College en Estados Uni­­ dos. En 1934 visitó el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, sin embargo, por entonces la prestigiosa institución también discriminaba a las mujeres y Noether no se sentía muy a gusto allí. En 1935, le descubrieron un tu­­mor en la pelvis. Aunque toda parecía que se arreglaría con una operación rutinaria, una complicación inesperada acabó con su vida. En 1932, Emmy Noether, junto con Emil Artin, fueron premiados con el Ackermann-Teubner Memorial Award por sus contribuciones matemáticas. Pero uno de los mayores honores que Noether recibió en vida fue la invitación a impartir una conferencia plenaria en el Congreso Internacional de Matemáticos de Zúrich, en 1932. Ya había sido invitada en 1928 como conferenciante de la sección de Análisis en el de Bolonia. Muchos son los reconocimientos más recientes; quizás el más destacado es la creación de una conferencia en su honor, la Noether Lecture, instaurada por la Asociación Mundial de Mujeres Matemáticas. La Unión Matemática Internacional la ha incorporado al programa científico de los congresos internacionales de matemáticas, con el rango máximo de una conferencia plenaria.

Supersimetría Otras de las aplicaciones de las simetrías a la física, que tienen entretenidos a los físicos teóricos y también a unos cuantos matemáticos desde hace unas décadas, es la llamada supersimetría.

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La canción “Supersymmetry”, del último disco del grupo canadiense Arcade Fire, Reflektor (2013), refleja muy bien el concepto de simetría, así como su inasequibilidad: I know you’re living in my mind It’s not the same as being alive I know you’re living in my mind It’s not the same as being alive Supersymmetry Supersymmetry1

La supersimetría es una pieza clave del modelo estándar, uno de los grandes desarrollos de la física de los últimos años. Esta construcción teórica trata de describir de forma completa la composición de la materia de nuestro universo. El modelo afirma que la materia está esencialmente formada por dos tipos de partículas: las llamadas fermiones (en homenaje al gran físico Enrico Fermi) y las llamadas bosones (en homenaje a otro gran físico, Bose). La diferencia entre unas y otras descansa en una propiedad de las partículas que se llama espín y que está relacionada con el momento angular. El espín puede ser un número entero, una fracción o semientero: pues bien, los bosones son las partículas de espín entero y los fermiones las de espín semientero. Los fermiones (dividos en quarks y leptones) constituyen la materia y las interacciones entre las mismas —las fuerzas fundamentales— las producen los bosones (fotones, gravitones). 1. Sé que estás viviendo en mi mente / No es lo mismo que estar vivo / Supersimetría. 73

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El modelo estándar es un ejemplo de colaboración entre científicos de todo el mundo y fue terminado a finales de los años setenta tras la confirmación experimental de la existencia de los quark. Comprende una buena colección de partículas, clasificadas por sus masas, espines, colores y sabores. En la página web http://particleadventure.org/ spanish/index.html se puede encontrar una completa explicación del modelo estándar, didáctica y entretenida. Esta pléyade de partículas del modelo estándar mereció este comentario de Enrico Fermi a Leon Lederman: “Muchacho, si yo tuviera que recordar los nombres de todas esas partículas hubiera sido botánico”. La supersimetría es una supuesta propiedad especular de la materia: a cada bosón le corresponde un fermión, y a cada fermión, un bosón; y para que el resultado fuera simétrico, se necesitaría un balance, es decir, que los pares de partículas correspondientes deberían tener la misma masa. Como los físicos teóricos suelen tener una gran imaginación (los matemáticos podríamos tomar ejemplo), a cada partícula supersimétrica se le da un nombre especial, de manera que, por ejemplo, el electrón, que es un bosón, tendría un compañero que se llama el selectrón; y los compañeros de los quarks serían squark. Para que la cosa no sea igual (¡asimetría al fin!), los compañeros de los fermiones se llaman de diferente manera, y así el del fotón es el fotino, y el del gravitón, el gravitino. En resumen, la supersimetría (SUSY, para los amigos) afirma que hay el doble del número de las partículas conocidas. Pero el modelo sigue sin verificarse, ya que las parejas simétricas todavía no han aparecido. Por ejemplo, para el electrón, su compañero con la misma masa, que debería aparecer en las colisiones, no se conseguía observar.

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Ante esta contrariedad, los físicos tuvieron un nuevo golpe de inspiración: si no se pueden percibir, será porque su masa no es igual que la de la partícula compañera, sino que es mucho mayor, y por tanto hacen falta en colisiones de enormes cantidades de energía (con la equivalencia masa = energía propugnada por Albert Einstein) para poder detectarlas. Esta variación en la masa provocaría una asimetría, que es a lo que se refieren los físicos cuando hablan de la rotura de simetría. Por tanto, para encontrar esas superpartículas es necesario incrementar la energía de los aceleradores, ya que se supone que las masas de los supercompañeros se podrán observar en la región entre 100 GeV hasta 1 TeV en el LHC, el Large Hadron Collider o Gran Colisionador de Hadrones (lo que es mucha, mucha energía). De hecho, se espera que el LHC alcance 14 TeV cuando ya esté a pleno rendimiento en 2015. En el LHC hay dos grandes experimentos que conllevan una búsqueda de la supersimetría, que son ATLAS y CMS, de manera que si la teoría es correcta, se detectará la evidencia. Figura 6 Diagrama de partículas supersimétricas.

Higgsino

Higgs

Quarks

Leptones

Partículas de fuerza

Squarks

Modelo estándar

Sleptones

Partículas de fuerza SUSY

SUSY

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Los físicos esperan tener pronto noticias sobre las partículas supersimétricas, sobre todo tras el descubrimiento del bosón de Higgs (o de uno de los posibles bosones de Higgs), que hace esperar buenas noticias. Si hubiera evidencias (cuidado, que no son teoremas, sino resultados estadísticos con un enorme grado de fiabilidad), el modelo estándar sería bendecido y las explicaciones para la materia oscura podrían estar ahí. Si no aparecen, se necesitaría otro modelo físico, quizás con nuevos contenidos matemáticos. En cualquier caso, se plantea un juego interesante, cuyo fin último es contestar a los grandes misterios del universo. Va a requerir más y más potentes aceleradores, y ni siquiera se sabe si, en algún momento de nuestro futuro próximo, los experimentos que se puedan realizar serán suficientes. El camino a la comprobación empírica parece largo e, incluso, mientras tanto, podrían desarrollarse otros modelos teóricos mejores. La construcción del LHC y de nuevos aceleradores es un tema que levanta cierta polémica en la comunidad científica y en la sociedad por sus costes elevados. Pero, en cualquier caso, si uno mira el gasto que suponen estos aceleradores y lo compara con los miles de millones de euros que la humanidad emplea en tonterías variadas, será siempre dinero bien gastado. Terminemos esta sección con el resto de la canción “Supersymmetry” que nos ha acompañado a lo largo de la misma: If telling the truth is not polite Then I guess you’ll have to fight If telling the truth is not polite Then I guess we’ll have to fight Supersymmetry

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Supersymmetry Supersymmetry I lived for a year, in the bed by the window Reading books, better than memories Wanna feel the seasons passing Wanna feel the spring Of supersymmetry Supersymmetry Supersymmetry Supersymmetry It’s been a while since I’ve been to see you I don’t know where, but you’re not with me Heard a voice, like an echo But it came from you Supersymmetry Supersymmetry (supersymmetry) Supersymmetry (supersymmetry) Supersymmetry (supersymmetry)2

2. Si decir la verdad no es lo correcto / Entonces, supongo que tendrás que luchar / Supersimetría / Viví durante un año, en la cama, al lado de la ventana / Leyendo libros, mejores que los recuerdos / Quiero sentir las estaciones pasar / Quiero sentir la primavera / De la supersimetría / Hace bastante que te vi / No sé dónde, pero tú no estás conmigo / Oigo una voz, como un eco / Pero viene de ti / Supersimetría. 77

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CAPÍTULO 5

La vida es simétrica

Simetrías para la vida La simetría, el concepto que define los cristales, no solo tiene implicaciones en la matemática y en la física de partículas, sino que la observamos en cada momento a nuestro alrededor. Una de las grandes maravillas observables de este mundo es la belleza de la naturaleza, en particular de los seres vivos, animales y plantas. Esta belleza está en su mayor parte basada en la armonía, que está, en muchos casos, creada por la simetría. En efecto, la simetría es una componente esencial de los seres vivos y se manifiesta de muy diversas maneras. Si observamos plantas o animales, vemos inmediatamente tres tipos fundamentales de simetrías: radiales, esféricas y bilaterales. Los organismos con simetría radial se asemejan a una tarta, sin lados distinguibles por un eje de simetría (que separe entre izquierda y derecha, aunque sí suelen tener una parte superior y una parte inferior). En el reino animal

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existen ejemplos claros de esta disposición como las anémonas o las medusas; de hecho, este tipo de simetría radial ha conducido a la clasificación genérica de Radiata. En las plantas son muy frecuentes estas simetrías radiales, perceptibles en muchas flores. Entre las formas características de simetría radial está el llamado tetramerismo o simetría tetrarradial (el organismo puede ser divido en cuatro partes iguales, por ejemplo, las medusas). Otro tipo de simetría radial, muy frecuente en flores, es la pentagonal o pentamerismo (cortamos una manzana en dos partes iguales horizontalmente y nos encontraremos con este tipo de simetría). Por supuesto, hay simetrías con un mayor grado como el hexamerismo o incluso octamerismo, como exhiben algunos pólipos de corales. Los organismos con simetría esférica se caracterizan porque se podrían cortar en dos mitades idénticas, con un plano que pase por su centro esférico, como ocurre con algunas algas. Por supuesto, esa simetría esférica nunca es perfecta. Finalmente, los organismos con simetría bilateral son aquellos en los que un plano sagital (en anatomía, son aquellos planos perpendiculares al suelo y en ángulo recto con los planos frontales, que dividen al cuerpo en mitades izquierda y derecha) los dividiría en dos mitades especulares. Es muy frecuente en animales, no tenemos que pensar más que en nosotros mismos. Muchos insectos son claramente simétricos bilateralmente, como lo son los bonitos dibujos de las alas de una mariposa. En plantas este tipo de simetría es menos frecuente, pero, por ejemplo, las orquídeas sí gozan de estas formas (figuras A1, A2, A3 y A4).

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Estos tres tipos de simetría no acaban el muestrario; se pueden encontrar muchas combinaciones como la simetría birradial, combinación de simetría radial y bilateral (por ejemplo, los tcenóforos, cuyo nombre literalmente significa “portadores de peines”, animales marinos que conforman una buena parte del plancton). Y, cómo no, también hay seres vivos con ausencia de simetría de cualquier tipo: por ejemplo, las esponjas. Las simetrías en los mundos animal y vegetal ofrecen imágenes espectacularmente bellas. Nuestra cultura nos permite disfrutar esta armonía estética con el ojo desnudo, pero es aún más fascinante descubrir las características matemáticas que aparecen en la naturaleza. Las matemáticas que se emplean en el estudio de los seres vivos reciben el nombre de biología matemática o biomatemáticas. Los primeros trabajos de investigación en los que introdujeron las matemáticas en la escena biológica fueron firmados por D’Arcy Wentworth Thompson, que analizó el papel de la sucesión de Fibonacci en las conchas del Nautilus, o los problemas de minimización de áreas en la construcción de las celdas hexagonales de las abejas. D’Arcy Wentworth Thompson, una figura singular D’Arcy Thompson es un científico muy peculiar en la historia de la biología y las matemáticas, al que se le atribuye la creación de la disciplina de biología matemática y una gran influencia en científicos como Alan Turing, Julian Huxley o Claude Lévi-Strauss. Su vida es ya de por sí interesante. Nació en Edimburgo (Escocia) en el año 1860, en el seno de una familia dedicada a la vida intelectual. Su padre era profesor

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de Griego y eso le llevó a ser un experto en este tema. D’Arcy Thompson estudió Medicina en la Universidad de Edimburgo y se cambió después al Trinity College de la Universidad de Cambridge, donde se graduó en Ciencias Naturales en 1883. Durante sus primeros años en la escuela tuvo que ganarse el sustento sirviendo a los alumnos mayores, una costumbre muy arraigada en las tradiciones británicas. Fue nombrado profesor de Biología dos años más tarde en el University College de Dundee, donde trabajó durante 32 años, y creó un famoso museo zoológico. En esa época, D’Arcy Thompson realizó expediciones al estrecho de Bering como explorador independiente, aunque representando al Gobierno británico. En 1917 fue nombrado catedrático de Historia Natu­­ ral en la Universidad de St. Andrew (muy conocida para los matemáticos por ser la sede del portal de biografías matemáticas McTutor). En esta cátedra estuvo la friolera de 31 años, en los que pudo labrarse una fama de personaje singular y querido en la ciudad (paseaba por sus calles en zapatillas de deporte y con un loro al hombro). Fue nombrado caballero en 1937. En total, suma un récord de casi 64 años de vida académica en la misma institución (Dundee fue incorporado a la Universidad de St. Andrews en 1987) que no ha sido superado todavía. On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma) (Thompson, 2014) es la obra magna de D’Arcy Thomson. En ella se postula un nuevo paradigma para la biología: reclama que se ha prestado demasiado peso a la evolución en el papel de la forma y la estructura de los seres vivos, y no en las leyes de la física y las matemáticas implicadas. Con esta afirmación, aunque no llega a rechazar la teoría de la evolución, sí cuestiona su papel primario.

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Figura 7 Fotografía de D’Arcy Thompson con el loro.

Existen dos ediciones del libro: una monumental, que supera las 1.000 páginas, y otra que es un extracto que re­­sume lo esencial de la primera. De esta última se publicó una preciosa edición en castellano, plena de vibrantes dibujos y arriesgadas hipótesis comparativas. En ella ilustra evoluciones de especies usando transformaciones matemáticas. D’Arcy Thompson reconoce que en su obra faltan muchas matemáticas, que esto no es más que un prólogo a una obra que habría que desarrollar, preludiando quizás la obra de otro genio, el matemático Alan Turing y su teoría de los morfogenes. Tras una larga vida, D’Arcy Thompson falleció en St. Andrews el 21 de junio de 1948. Fue un hombre muy apreciado, un experto en griego antiguo, un matemático

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y un biólogo, reconocido por estas tres comunidades: fue presidente de la Classical Association, presidente de la Royal Society of Edimburgh, miembro de la Edimburgh Mathematical Society; además, recibió varios premios por sus trabajos en biología (la Medalla de Oro Linneana y el Premio Darwin). Fue además un hombre encantador, recordado afectuosamente por sus amigos de todas las edades.

Simetrías para el mal También aparece la simetría en estructuras alejadas de las formas habituales de vida, por ejemplo, en las de los virus. Los virus (del latín virus, “toxina” o “veneno”) constituyen sin duda una de las mayores amenazas para el futuro de la humanidad. Son los causantes de enfermedades que no pueden ser curadas con antibióticos, como ocurre en el caso de las bacterias, y han provocado pandemias escalofriantes a lo largo de la historia de la humanidad. El virus del SIDA aterrorizó durante décadas nuestro mundo, y aunque se han desarrollado medicamentos (antivirales), la cura a la enfermedad está muy lejos de conseguirse. Ocurre algo parecido con el virus del Ébola. Otros virus más benignos provocan la aparición natural de anticuerpos, que hacen que el organismo quede inmunizado. También se sabe que algunos tipos de cáncer tienen origen vírico. El primer virus descubierto, en 1889, fue el del mosaico del tabaco, llamado así por los característicos patrones que produce en las hojas de la planta. Sin embargo, hasta 1930 no se pudo identificar su estructura, ya que eran demasiado pequeños para poder ser observados con

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microscopios ópticos. Recientemente se han descubierto virus de gran tamaño, observables ópticamente. Todos estos virus tienen una estructura similar que suele constar de tres partes: un material genético (que transporta la información hereditaria, ADN o ARN), una cubierta de proteínas para proteger los genes (que se llama cápside) y a veces una capa adicional que se llama la envoltura vírica (figuras A5, A6 y A7). Los virus también presentan un aspecto deslumbrante, a veces sobrecogedor, y en la mayoría de las ocasiones, simétrico. Parece curioso que, entre todas las posibles disposiciones, surja una y otra vez la simetría. La razón en el caso de los virus es clara: gracias a esa simetría, la regla para la replicación es muy simple: la misma en cualquier lado del virus. De esa manera, es más sencillo realizar múltiples copias de sí mismo. En este caso, las simetrías buscan la muerte más que la vida, manteniendo, eso sí, una trágica belleza. A continuación se detallan simetrías típicas en los virus. • Simetría icosaedreal Un icosaedro es un polígono regular formado por 20 triángulos equiláteros, que tiene por tanto 12 vértices y una serie de ejes de simetría rotacional. Este tipo de virus se forma construyendo tres subunidades idénticas que forman una cara y, por lo tanto, el virus se compone de 60 triángulos equiláteros que conforman el icosaedro (es la forma más sencilla para ensamblar usando estas subunidades). Un ejemplo de virus con estructura de icosaedro es el herpesvirus. Sin embargo, las observaciones experimentales del este virus demostraron que las subunidades nunca eran exactamente 60, sino algunas más, lo que parece ser

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debido a que no eran suficientes para encapsular todo el genoma y, sin embargo, este exceso no impedía un buen encaje en torno a un icosaedro. Por tanto, la simetría no es perfecta: algo de asimetría era necesaria para resolver la paradoja. • Simetría helicoidal Es el caso del virus del mosaico del tabaco. En vez de acumular discos de proteínas en una pila, estos forman una estructura helicoidal. Una hélice está determinada por dos parámetros: la amplitud (es decir, el diámetro del círculo proyectado sobre el plano donde se asienta la hélice) y el paso (la distancia entre cada vuelta completa). • Virus complejos Existen estructuras de virus mucho más complejas en las que aparecen estas simetrías solo parcialmente. Por ejemplo, los poxvirus tienen partículas de forma oval y de un respetable tamaño observable con microscopios ópticos. • Virus bacteriófago Otros virus, como los bacteriófagos, poseen estructuras amenazantes que constan de una cabeza icosaedral con una cola helicoidal y pueden tener además una base hexagonal llana, con fibras caudales proteicas que sobresalen. Es la cola la que ataca a una bacteria huésped inyectándole su genoma.

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CAPÍTULO 6

A la materia le gusta la simetría

Los cristales son materiales que encontramos continuamente en nuestra vida diaria. Las rocas, un terrón de azúcar, la sal, un brillante…, todos son materiales cristalinos. Uno de los más comunes en la corteza terrestre —tras el feldespato— es el cuarzo, un mineral compuesto de sílice (SiO2), y que se sitúa en el origen del nombre cristal. Los griegos lo denominaron crystallos (κρνσταλλοσ), que significa agua congelada y se refiere a su conocido aspecto. Los cristales son, en general, materia ordenada. Apa­­ recen de manera tan abundante en la naturaleza porque, como ya se ha comentado en anteriores capítulos, a la materia le gusta la simetría, es una de sus formas favoritas (también la vida prefiere estas estructuras). En este capítulo se darán más detalles sobre la definición y propiedades de los sistemas cristalinos, pero también de lo que ocurre cuando estas redes matemáticas perfectas presentan algún defecto.

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Breve compendio de mineralogía y de los diferentes sistemas cristalográficos Sistemas cristalinos y redes de Bravais Un cristal se construye a partir de una celda unitaria o elemental, que al repetirse por traslación, genera todo el cristal. Estas celdas son paralepípedos caracterizados por seis parámetros: la longitud de sus lados, a, b y c (que es el módulo de los tres vectores que conforman el paralepípedo), y los ángulos α, β y γ que forman entre sí los vectores. Al traducir matemáticamente lo anterior, estos tres vectores constituyen una base del espacio tridimensional, de tal manera que las coordenadas de cada uno de los puntos de la red se pueden obtener a partir de ellos por combinación lineal (sumas y productos de los vectores por escalares) con coeficientes enteros. Las posibilidades matemáticas determinan siete sistemas cristalinos distintos: cúbico, tetragonal, ortorrómbico, hexagonal, trigonal, monocínico y triclínico, en función de la relación de estos seis parámetros. SISTEMA CRISTALINO

EJES

ÁNGULOS ENTRE EJES

Cúbico

a=b=c

α = β = γ = 90º

Tetragonal

a=b≠c

α = β = γ = 90º

Ortorrómbico

a≠b≠c≠a

α = β = γ = 90º

Hexagonal

a=b≠c

α = β = 90º; γ = 120º

Trigonal (o romboédrica)

a=b=c

α = β = γ ≠ 90º

Monoclínico

a≠b≠c≠a

α = γ = 90º; β ≠ 90º

Triclínico

a≠b≠c≠a

α ≠ β ≠ γ; α, β, γ ≠ 90º

Además de tener en cuenta estas magnitudes también es importante considerar la ubicación en estas celdas de los

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átomos o moléculas que constituyen el sólido (pueden situarse solo en los vértices, o en las caras o en el interior…). Cada ubicación se llama un punto reticular y pueden darse estos casos: • Celda simple en la que los puntos reticulares son solo los vértices del paralelepípedo. • Celda que tiene puntos reticulares en todas las caras, además de en los vértices. • Celda que, además de los vértices, tiene un punto en el centro. • Celda con un punto extra en un par de caras opuestas. En función de estas variaciones, se establece una clasificación de 14 estructuras cristalinas básicas que son las denominadas redes de Bravais. En principio hay 42 combinaciones posibles, pero si se examinan cuidadosamente las equivalencias, el número se reduce a 14. Como ya se expuso en el capítulo 2, los grupos de simetría, cristalográficos de Fedorov o espaciales, son los que dejan invariante una configuración (o figura) en el espacio. En dimensión 2 hay 17, y en dimensión 3 son 230. También conviene considerar el llamado grupo puntual, un grupo de simetrías del espacio (isometrías, es decir, que conservan las distancias) que dejan fijo un punto. En dimensión tres, por ejemplo, será un subgrupo del llamado grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías, es decir, de todos los movimientos que conservan la distancia. En el caso de la cristalografía, estos grupos deben respetar la estructura discreta (reticular) del cristal, con lo que resultará un número finito de grupos puntuales cristalográficos, que en dimensión tres son 32.

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Combinando los 32 grupos puntuales cristalográficos con los 14 retículos de Bravais, el resultado sería un grupo espacial que combina simetrías por traslación, operaciones de simetría del grupo puntual, rotaciones propias e impropias, y deslizamientos. Combinándolo todo, nos aparecerían los 230 grupos espaciales que incluyen todas las posibles simetrías de los cristales.

AUGUSTE BRAVAIS (1811-1863) Fue un físico francés especializado en magnetismo, astronomía y meteorología. Sin embargo, ha pasado a la historia por su trabajo en cristalografía y, en particular, por el llamado retículo de Bravais, que corregía estudios previos de Frankenheim, y que fue dado a conocer en una memoria publicada en 1848. También es conocido por su investigación en análisis matemático de los errores observacionales. Bravais fue cofundador de la Sociedad Meteorológica de Francia y miembro de la Academia de Ciencias de París.

Defectos en los cristales Pese a que la estructura de los cristales presenta generalmente elementos de simetría (ejes, planos o centros), en muchos casos no es una simetría perfecta, sino que aparecen ciertas perturbaciones. Este tipo de irregularidad, que rompe el orden perfecto del cristal, se llama defecto. En principio, no son malos: aunque algunos pueden debilitar ciertas propiedades del material (por ejemplo, la maleabilidad), también pueden ser de especial valor para propósitos determinados. Hay dos tipos de defectos en los materiales

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que son de singular importancia: las dislocaciones y las disclinaciones. La teoría original que describe los defectos en materiales se le atribuye a Vito Volterra, que la publicó en 1907.

VITO VOLTERRA Fue un matemático y físico italiano que investigó en muchos campos, aunque es especialmente conocido por sus aportaciones a las ecuaciones diferenciales, a la teoría de elasticidad y a la biología matemática. Nació en Ancona en 1860 y falleció en Roma en 1940; fue profesor en varias universidades y hasta senador. En biología matemática son de gran importancia las ecuaciones de Lotka-Volterra, que describen el modelo matemático de predador-presa. Describen la evolución en el tiempo de dos poblaciones que interactúan, una presa y un depredador como, por ejemplo, los zorros y las liebres dentro de un ecosistema, pero también sirven para el control de enfermedades y para encontrar métodos óptimos de cultivo hortícola (http://www.ual.es/~mgamez/articulos/TesisMGC.pdf). Las ecuaciones fueron propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka, en 1925, y en 1926 por Vito Volterra. El final de la vida de Volterra fue trágico: su oposición al régimen fascista de Mussolini hizo que fuera expulsado de la universidad y obligado a marcharse del país. Solo poco antes de su fallecimiento pudo regresar a Roma. Su oposición al dictador y su pasión por las matemáticas quedan reflejadas en una tarjeta postal que envió en los años treinta: “Los imperios mueren, pero los teoremas de Euclides siempre serán jóvenes”.

El término dislocación fue usado por primera vez en 1934, por G. I. Taylor (1886-1975), un matemático y físico

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británico conocido por sus contribuciones a la mecánica de sólidos y fluidos. Según la teoría de Volterra y Taylor, existen dos tipos de dislocaciones: las de arista y las de tornillo (edge y screw). En los materiales aparecen ambas frecuentemente mezcladas. Dislocaciones de arista Un cristal consiste en átomos regularmente alineados en un retículo de planos; si se imaginan los átomos como esferas, puede simplificarse la imagen considerando solo los planos en los que se sitúan esas esferas y no en las esferas en sí mismas. Entonces, una dislocación de arista consiste en un defecto causado al introducir un semiplano extra de átomos en el cristal de manera que puede romper enlaces o dar lugar a nuevos en los planos cercanos, que quedan distorsionados. Así, una dislocación tiene dos elementos característicos: una línea que indica la dirección en la que se mueve el borde del semiplano extra y un vector (llamado vector de Burgers) que describe la magnitud y la dirección de la distorsión causada en el retículo. Los esfuerzos causados por la dislocación se pueden describir por ecuaciones precisas.

JOHANNES MARTINUS BURGERS Fue un físico holandés nacido el 13 de enero de 1895 y fallecido el 7 de junio de 1981. Estudió en Leyden, bajo la supervisión del gran físico Paul Ehrenfest, con el que defendió su tesis doctoral en 1918. A él se debe el concepto de vector de Burgers. Además, tuvo una gran implicación con el desarrollo de la comunidad científica, ya que fue uno de los cofundadores de la Unión Internacional de Mecánica Teórica y Aplicada

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(International Union of Theoretical and Applied Mechanics, IUTAM) en 1946, una de las uniones que, junto con la Unión Matemática Internacional (International Mathematical Union, IMU), configuran el Consejo Internacional de Ciencia (International Council of Science, ICSU). Burgers fue secretario general de la IUTAM desde 1946 a 1952.

Dislocaciones de tornillo La dislocación de tornillo es más complicada, aunque se puede describir con sencillez. Se obtiene al cortar un cristal (un retículo tridimensional perfecto) a lo largo de un plano y deslizar una mitad del plano sobre la otra mitad. También en este caso tenemos un vector de Burgers, y se pueden describir los esfuerzos con una sencilla ecuación. En la siguiente figura se pueden contemplar los seis tipos de dislocaciones que Volterra consideró originalmente y que ilustran muy bien las nociones introducidas previamente en este capítulo. Figura 8 Las seis ‘distorsiones’ de Volterra. Ideadas para crear tensiones internas arbitrarias en un sólido elástico lineal mediante superposición de defectos lineales.

Dislocaciones a) x-edge dislocation

b) y-edge dislocation

c) screw dislocation

Disclinaciones d) x-twist disclination b) y-twist disclination c) wedge disclination

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Cómo observar las dislocaciones Las dislocaciones en un material pueden observarse a través de los microscopios electrónicos, con métodos de difracción (que permiten observarlas como líneas más oscuras en el material) y, en algunas ocasiones, es posible hacerlo en vivo. También puede observarse usando microscopía de interferencia, para lo que es necesario emplear una técnica que consiste en aplicar ácidos que atacan con más fuerza las zonas en las que existen dislocaciones. También es posible usar procedimientos de varios tipos para incrementar la densidad de las dislocaciones (produciendo un endurecimiento). Disclinaciones Las disclinaciones son otro tipo de defectos en materiales deformados o distorsionados, aunque todavía son poco entendidos. El término inicial, usado por F. C. Frank, fue de disinclinación. No aparecen en los cristales ordinarios, sino que solo han sido observados en los llamados cristales líquidos. Los cristales líquidos presentan un estado de la materia peculiar, con propiedades de los líquidos y de los sólidos. En efecto, sus moléculas pueden moverse a veces como un fluido, pero a la vez pueden poseer una orientación como un cristal. Los cristales líquidos se pueden encontrar tanto en la naturaleza como en productos tecnológicos. Una aplicación muy extendida hoy en día es en las pantallas de muchos dispositivos electrónicos. Pero también encontramos

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ejemplos de cristales líquidos en muchas proteínas y membranas celulares, así como en detergentes y en el virus de mosaico. El descubrimiento de los cristales líquidos se atribuye al botánico austriaco Friedrich Reinitzer, que los describió por primera vez en 1888 al examinar las propiedades de derivados del colesterol. De hecho, estos materiales son ahora denominados cristales líquidos colestéricos. Los físicos Otto Lehmann y Victor Leopold Ritter von Zepharovich hicieron también importantes contribuciones en el estudio de estos materiales; de hecho, fue Otto Lehmann en 1904 quién acuñó el nombre de cristales líquidos. Los cristales líquidos se presentan de varias maneras y se clasifican en nemáticos (del griego νήμα [nema], que significa “hilo” y que corresponde a la forma en la que se alinean las moléculas, en una dirección); esmécticos, que forman capas bien definidas que se pueden deslizar una sobre otra de una forma similar al jabón (la palabra “esméctica” se origina de la palabra latina smecticus, que significa limpieza o tener propiedades similares al jabón), y colestéricos, donde las moléculas están torcidas respecto a una dirección principal.

Grupos de simetrías materiales Los cristales representan en cierta medida una visión discreta de la materia, contrapuesta a lo que se ha dado en llamar mecánica de medios continuos, que ve la materia como algo continuo, sin estructura interna. Ambas visiones son complementarias y han sido muy útiles para conseguir un mejor conocimiento de la estructura material.

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Pero también en la visión de los medios continuos aparecen simetrías. El material se considera como un trozo de un espacio euclidiano tridimensional que se puede insertar en el espacio físico (todo el espacio de tres dimensiones), lo que se llama un embebimiento o una configuración. El cambio de dos configuraciones es lo que llamamos una deformación del material. Experimentalmente se ha demostrado que la respuesta material depende no de estas deformaciones, sino de sus derivadas. Así, se puede imaginar una función (la energía interna) que depende de estas derivadas (los gradientes de las deformaciones) para describir las deformaciones. Ahora, para cada punto en una configuración de referencia consideramos aquellas transformaciones lineales tales que la energía interna no es capaz de distinguir entre un gradiente o su composición con una de estas transformaciones lineales. La colección de estas transformaciones da lugar a un grupo, que se llama el grupo de simetrías materiales en el punto en cuestión. Esta construcción es debida a matemáticos como Walter Noll y C. C. Wang (y también Clifford Ambrose Truesdell, de quien Noll fue estudiante), y ha dado lugar a una rica interpretación geométrica de las nociones de uniformidad y homogeneidad material, conectando la teoría de elasticidad con la investigación más avanzada en geometría diferencial.

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CAPÍTULO 7

Penetrando en el interior de la materia

La cristalografía moderna usa métodos más sofisticados que los puramente externos y visuales. Desde el descubrimiento del fenómeno de la difracción por rayos X, esta y otras fuentes como electrones y neutrones se usan para bombardear un cristal y desentrañar su estructura interna. El estudio del interior de la materia de manera no invasiva comienza con el descubrimiento de los rayos X por Wilhelm Conrad Röntgen (1845-1923), quien recibió por ello precisamente el primer Premio Nobel de Física en 1901. La generosidad de Röntgen permitió que este avance transformara el método científico en profundidad: no quiso patentar su descubrimiento para que este pudiera ser usado universalmente. Más allá de eso, donó el importe del premio a su universidad, la de Würzburg. Röntgen nació en Lennep (Alemania), pero a los tres años su familia se trasladó a Holanda, de donde era originaria su madre. Allí, Röntgen estudió en la Escuela Técnica de Utrecht hasta los 20 años, cuando se trasladó a Zúrich para realizar la licenciatura de Ingeniería Mecánica. Tras

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varios puestos provisionales, obtuvo una cátedra de Física en la Universidad de Würzburg, en la que llegó a ser rector. En esa institución fue donde, mientras experimentaba con rayos catódicos y con cierta fortuna, encontró una nueva radiación que modificaría la manera en la que se estudiaría la materia y, en particular, el interior de los cuerpos de los seres vivos. Sin embargo, desde la primera observación de Würzburg pasaron bastantes años hasta que los científicos comenzaron a usar su descubrimiento en medicina. Para llegar a la aplicación de los rayos X a la cristalografía hizo falta el trabajo de otro científico alemán, Max von Laue (1879-1960). Von Laue trataba de demostrar la naturaleza ondulatoria de los rayos X y se encontró con un descubrimiento sensacional: el fenómeno de la difracción de rayos X por los cristales. Por este descubrimiento le fue otorgado el Premio Nobel de Física de 1914. Max von Laue nació en Coblenza, en el seno de una familia de tradición militar (su padre era oficial de la Administración militar alemana), lo que hizo que los traslados por varias ciudades alemanas fueran frecuentes. Von Laue estudió Matemáticas, Física y Química en la Uni­­ versidad de Estrasburgo (que, por aquel entonces, era una ciudad alemana) y, tras pasar por Gotinga, terminó por establecerse en la Universidad de Berlín como ayudante de otro gran científico, el físico Max Planck. Allí observó una desviación de las ondas de rayos X al traspasar material cristalino: la difracción de rayos X, que se acabaría convirtiendo en una de las técnicas experimentales más empleada para el estudio de la materia. De nuevo, para dar este paso hacia la aplicación y probar la utilidad del descubrimiento de Von Laue para el estudio de la estructura interna de los cristales hizo falta

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el genio de los siguientes protagonistas en esta historia, los británicos William Henry Bragg (1862-1942) y su hijo, William Lawrence Bragg (1890-1971). Por ello obtuvieron el Premio Nobel de Física en 1915. William H. Bragg estudió primero Matemáticas en el Trinity College de Cambridge y después Física en el Laboratorio Cavendish. A finales de 1885 fue nombrado profesor en la Universidad de Adelaida (Australia), donde nació su hijo William Lawrence Bragg. En su regreso a Inglaterra, William Henry Bragg ocupó la cátedra de Física “Cavendish” en la Universidad de Leeds (1909-1915) y otra en el University College de Londres (1915-1925), así como el cargo de profesor de Química en la Royal Institution. Su hijo, William Lawrence Bragg, estudió Matemáticas en la Universidad de Adelaida y cuando regresaron a Inglaterra se transfirió, junto a su padre, al Trinity College de Cambridge, donde también fue profesor. Los Bragg descubrieron una relación —llamada ley de Bragg— que permite predecir los ángulos en los que se difractan los rayos X al pasar por un material cristalino, y así estudiar las direcciones en las que la difracción produce interferencias constructivas. Con esta poderosa herramienta aplicaron el fenómeno de la difracción para estudiar todo tipo de estructuras, dando inicio a lo que hoy es la cristalografía moderna.

La difracción La difracción de los rayos X es el fenómeno físico a través del cual se manifiesta la interacción fundamental de los rayos X con los cristales. En general, la difracción es

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un fenómeno característico de las ondas que se basa en la desviación de estas al encontrar un obstáculo o al atravesar una rendija. La longitud de onda de los rayos X es del mismo orden de magnitud que el radio atómico, por lo que chocan con los electrones que rodean los átomos del obstáculo. De esa manera, el haz de rayos X que resulta tras esa interacción aporta información sobre la posición y tipo de átomos que ha encontrado en el camino. Como los cristales tienen una estructura periódica, dispersan elásticamente los haces de rayos X en ciertas direcciones y los amplifican por interferencia, originando así un patrón de difracción que se puede registrar. La amplitud de onda de la luz visible es tres veces la de los enlaces atómicos de un cristal, por eso es necesario usar rayos X o neutrones para observar la estructura cristalina. Las zonas con densidades más altas y que poseen ciertos patrones reflejan más la luz hacia un punto del espacio cuando se comparan con zonas con menos átomos y menos repeticiones periódicas. Para interpretar los diagramas de difracción se analiza la interacción de un haz de radiación sobre un conjunto de planos paralelos, equiespaciados y semitransparentes a la radiación. Para estudiar los efectos de la reflexión, se considera que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. Esta condición se expresa en la ley de Bragg: n λ = 2d sin θ donde:

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n es un número entero; λ es la longitud de onda de los rayos X; d es la distancia entre los planos de la red cristalina y θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión. Ahora nos encontramos con un problema inverso, donde tenemos que obtener los valores de algunos parámetros del modelo, a partir de los datos observados. Este tipo de razonamiento requiere del uso del análisis matemático para su solución.

Problemas inversos Para definir el problema inverso, usaremos la contraposición con un problema directo. Un problema directo sería multiplicar dos números y calcular el resultado, mientras que un problema inverso consistiría en dado un número, factorizarlo en sus factores primos. Esta simplificación puede darnos una idea del tipo de problemas del que se trata y de su complejidad. Otro ejemplo es el del frutero que golpea una sandía y por el sonido decide si está o no madura. En ambos casos, a partir de una perturbación a un sistema ejecutada y percibida desde el exterior —no destructiva y lo menos invasiva posible— se trata de deducir ciertos datos o parámetros de la estructura interna del sistema. En el ejemplo del frutero, el parámetro interior es el grado de sazonamiento de la sandía, mientras que la perturbación exterior es el golpe a su superficie. Hoy en día se consideran los “problemas inversos” como una rama de las matemáticas e incluso hay algunas

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revistas científicas especializadas en el campo. Hay una cuestión de este tipo que tuvo enorme importancia en la Segunda Guerra Mundial: se quería encontrar la manera para, a partir de las mediciones del radar y del sónar, obtener información sobre el objeto a investigar. Esos son los problemas ill posed: el problema inverso de scattering. Podrían considerarse “mal planteados”, pero son interesantes de igual manera. Su definición se contrapone al concepto de “problema bien propuesto” (well posed) en ecuaciones en derivadas parciales: aquellos problemas provenientes de la física que tienen una solución única que depende continuamente de los datos. Más formalmente, un problema bien puesto debe cumplir estas condiciones (propuestas por el matemático francés Jacques Hadamard): 1. E  l problema tiene solución (existencia). 2. L  a solución es única (unicidad). 3. El problema depende continuamente de los datos (estabilidad). Si se falla en alguna de estas condiciones, entonces el problema está mal definido. Como curiosidad para el lector, la condición de estabilidad es la que más a menudo se quebranta. Un problema inverso puede incumplir todas estas propiedades, pero no por eso deja de ser interesante. De hecho, no se aspira a dar con una solución única, sino a proponer un modelo óptimo m tal que d = G(m) donde G es un operador que describe las relaciones entre los datos observados, d, y los parámetros del modelo.

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G se suele llamar el operador, o la función de observación, y representa las ecuaciones que relacionan los parámetros y los datos.

Estudio de proteínas La regularidad de los cristales permite estudiarlos con estos métodos, pero ¿se podrían aplicar estas ideas al análisis de una proteína que no tiene esta estructura? Para ello, se “cristaliza” la proteína, disolviéndola y dejándola después cristalizar el tiempo necesario y en las condiciones adecuadas. Cristalizar una proteína suele ser un problema muy complejo, pero permite inmovilizarlas, intentando que formen un cristal. Para estos casos, se suelen utilizar instrumentos más potentes, como los sincrotrones. La proteína ha de estar aislada y libre de cualquier contaminante que pueda influir en su forma, lo que se consigue mediante diferentes técnicas de purificación. Una vez obtenida la proteína pura se necesitará que esté lo suficientemente concentrada como para poder cristalizar. Para ello existen también diferentes métodos. Cuando se consigue un cristal de una calidad adecuada (es decir, con un grado alto de ordenación de sus átomos) se pone en acción un difractómetro de rayos X. Un difractómetro no es muy diferente a los aparatos que se usan en los hospitales para hacer radiografías, pero ahora el esqueleto (el patrón de difracción) que se obtiene es el de la proteína. La imagen que muestra el difractómetro se denomina patrón de difracción. A partir de él, y mediante complicados programas informáticos y el uso

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de la técnica matemática de problemas inversos, es como se obtiene finalmente la estructura tridimensional de la proteína. Las matemáticas se encargan de estudiar los patrones, construir los modelos y refinarlos. Es evidente que esto solo funciona si el material manejado exhibe un cierto orden o estructura interna, pero este es el caso de las proteínas o las moléculas de ADN, usando las estructuras fibradas.

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EPÍLOGO

La historia continúa

Como se ha mostrado en este libro, las relaciones entre las matemáticas y la cristalografía han sido fundamentales desde el origen de esta segunda disciplina: desde la clasificación de los grupos cristalográficos al uso de las técnicas de problemas inversos en la obtención de imágenes de cristales o proteínas. La propia Unión Cristalográfica Internacional (IUCr) creó, en septiembre de 2002, una Comisión de Matemáticas y Cristalografía Teórica (Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography). Entre los objetivos de la comisión están: • Fortalecer los lazos e interacciones entre cristalógrafos, matemáticos, físicos teóricos y químicos, y promover un lenguaje común. • Promover la presencia de estos colectivos en los congresos y publicaciones de la IUCr. • Organizar eventos conjuntos.

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Esta comisión señala que, lejos de haber completado su potencial investigador, las matemáticas y la cristalografía teórica encaran hoy en día nuevos desafíos no solo en el campo ya tradicional de la teoría de grupos y sus aplicaciones, sino también en nuevos campos como la teoría de grafos, la topología combinatoria, la teoría de números, la geometría discreta, la teoría de difracción, etc. Por lo tanto, el camino a construir apenas ha comenzado. De hecho, los cristalográfos desean un reconocimiento de la cristolagrafía como una ciencia y no solo como una técnica, y señalan a su colaboración con las matemáticas como una de las vías principales para conseguirlo. Pero ¿es efectiva esta colaboración en la actualidad? Si se observa la publicación científica, se puede afirmar que sí lo es. En la base de datos MathSciNet, la principal de artículos científicos en matemáticas a escala internacional, la cristalografía ocupa un lugar importante. MathSciNet clasifica los papers científicos mediante el sistema mathematics subject classification (una organización por categorías propuestas por la American Mathematical Society, que se supone que abarcan todas las áreas y subáreas de las matemáticas) y, por tanto, se pueden hacer búsquedas por estas etiquetas. De esta manera, en el apartado de geometría algebraica (el 14 en la lista de clasificación temática) vemos, en tercer lugar, un subapartado dedicado a la cohomología cristalina (14F30. $p$-adic cohomology, crystalline cohomology). Por supuesto, en teoría de grupos (epígrafe 20) aparecen los grupos de cristalografía (20H15. Other geometric groups, including crystallographic groups). A eso hay que añadir lo referente a teoría de medios continuos (74), un tema muy candente en la actualidad, y que incluye el estudio de estructuras cristalinas (74E15.

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Crystalline structure) y de cristales (74N05. Crystals) como áreas de investigación. Y lo mismo ocurre en mecánica de fluidos (76), en la que también se considera un tema de gran interés los cristales líquidos (76A15. Liquid crystals). En el estudio de la mecánica estadística (82) se clasifican también artículos con relación a los cristales (82D25. Crystals) y con los materiales desordenados, lo que incluye los cristales líquidos (82D30. Random media, disordered materials [including liquid crystals and spin glasses]). De la misma manera, los problemas inversos son casi omnipresentes en esta clasificación, como se puede ver en esta lista, en diferentes epígrafes de las matemáticas. Todos los nombrados son temas se investigación matemática actual en relación con la cristalografía, que muestran la vinculación de las disciplinas en la actualidad. Hay problemas cristalográficos que siguen motivando el desarrollo de matemáticas interesantes, y al revés, gracias a las herramientas matemáticas, la cristalografía sigue avanzando como ciencia teórica y práctica. Por lo tanto, esta fructífera colaboración continúa y recientemente se celebró el Año Internacional de la Cris­­ talografía, que supuso un hito en estas relaciones. Este era uno de los objetivos de este libro, poner de manifiesto la interacción entre ambas disciplinas. ¡Ojalá el lector así lo juzgue!

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Bibliografía

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Figura A1 ‘Agave victoriae-reginae’ (ágave de la reina Victoria).

Fuente: Brewbooks, Seattle, Estados Unidos.

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Figura A2 Esponja.

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Figura A3 Simetría pentameral.

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Figura A4 Simetría de la orquídea.

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Figura A5 Simetría de un virus.

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Figura A6 Simetría de un virus del mosaico del tabaco.

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Figura A7 Simetría de un virus helicoidal.

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Figura A8 Detalle de una roseta.

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Meteoritos. Josep Maria Trigo Rodríguez Parasitismo. Juan José Soler El bosón de Higgs. Alberto Casas y Teresa Rodrigo Exploración planetaria. Rafael Rodrigo La geometría del universo. Manuel de León La metamorfosis de los insectos. Xavier Bellés La vida al límite. Carlos Pedrós-Alló El significado de innovar. Elena Castro Martínez e Ignacio Fernández de Lucio

42. Los números trascendentes. Javier Fresán y Juanjo Rué 43. Extraterrestres. Javier Gómez-Elvira y Daniel Martín Mayorga

44. La vida en el universo. F. Javier Martín-Torres y Juan Francisco Buenestado

45. La cultura escrita. José Manuel Prieto 46. Biomateriales. María Vallet Regí 47. La caza como recurso renovable y la conservación de la naturaleza. Jorge Cassinello Roldán 48. Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing. Manuel de León y Ágata Timón

49. Las moléculas: cuando la luz te ayuda a vibrar. José Vicente García Ramos

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

Las células madre. Karel H.M. van Wely Los metales en la Antigüedad. Ignacio Montero El caballito de mar. Miquel Planas Oliver La locura. Rafael Huertas Las proteínas de los alimentos. Rosina López Fandiño Los neutrinos. Sergio Pastor Carpi Cómo funcionan nuestras gafas. Sergio Barbero Briones

57. El grafeno. Rosa Menéndez y Clara Blanco 58. Los agujeros negros. José Luis Fernández Barbón 59. Terapia génica. Blanca Laffon, Vanessa Valdiglesias y Eduardo Pásaro

60. 61. 62. 63. 64. 65.

Las hormonas. Ana Aranda La mirada de Medusa. Francisco Pelayo Robots. Elena García Armada El Parkinson. Carmen Gil y Ana Martínez Mecánica cuántica. Salvador Miret Artés Los primeros homininos. Paleontología humana.

¿QUÉ SABEMOS DE?

La relación entre la cristalografía y las matemáticas se remonta a los inicios del estudio de los cristales: podemos ver a Kepler, sobre el puente de Viena, observando los copos de nieve que se depositan en su abrigo. Las matemáticas le permitieron descifrar las simetrías en la singular disposición de su estructura. También en la cristalografía moderna encontramos otra relación entre las dos disciplinas: la difracción, que es el fenómeno que permitió estudiar de manera rigurosa los cristales, se asienta teóricamente en la transformada de Fourier, un desarrollo muy importante del análisis matemático del siglo XIX. El objetivo de este libro es resaltar esta hermandad y presentar los puntos básicos de encuentro, como la simetría y los grupos (cristalográficos y algebraicos), siguiendo la historia de su descubrimiento y mostrando la profundidad de estos conceptos, con aplicaciones al estudio de la vida, los virus, las proteínas, etc.

Las matemáticas de los cristales

Manuel de León es profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Su área de investigación es la geometría diferencial y la mecánica geométrica. Ha desarrollado una intensa actividad en la gestión de la política científica en matemáticas en España y Europa, así como en temas educativos. Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del Instituto de Ciencias Matemáticas. Es licenciada en Ciencias Matemáticas y máster en Periodismo y Comunicación de la Ciencia, la Tecnología y el Medio Ambiente.

¿ QUÉ SABEMOS DE ? LAS MATEMÁTICAS DE LOS CRISTALES

Mazaira

Manuel de León y Ágata Timón

33. Paladear con el cerebro. Francisco Javier Cudeiro

Juan Carlos Marrero y David Martín de Diego

4. El jardín de las galaxias. Mariano Moles 5. Las plantas que comemos. Pere Puigdomènech 6. Cómo protegernos de los peligros de Internet. Gonzalo Álvarez Marañón

7. El calamar gigante. Ángel Guerra Sierra y Ángel F. González González

8. Las matemáticas y la física del caos. Manuel de León y Miguel Á. F. Sanjuán

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Los neandertales. Antonio Rosas Titán. Luisa M. Lara La nanotecnología. Pedro A. Serena Domingo Las migraciones de España a Iberoamérica desde la Independencia. Consuelo Naranjo Orovio El lado oscuro del universo. Alberto Casas Cómo se comunican las neuronas. Juan Lerma Los números. Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba Agroecología y producción ecológica. Antonio Bello, Concepción Jordá y Julio César Tello

17. La presunta autoridad de los diccionarios. Javier López Facal

18. 19. 20. 21.

El dolor. Pilar Goya Laza y Mª Isabel Martín Fontelles Los microbios que comemos. Alfonso V. Carrascosa El vino. Mª Victoria Moreno-Arribas Plasma: el cuarto estado de la materia. Teresa de los

22. 23. 24. 25. 26. 27.

Los hongos. M. Teresa Telleria Los volcanes. Joan Martí Molist El cáncer y los cromosomas. Karel H.M. van Wely El síndrome de Down. Salvador Martínez Pérez La química verde. José Manuel López Nieto Princesas, abejas y matemáticas. David Martín de

28. 29. 30. 31. 32.

Los avances de la química. Bernardo Herradón García Exoplanetas. Álvaro Giménez La sordera. Isabel Varela Nieto y Luis Lassaletta Atienza Cometas y asteroides. Pedro José Gutiérrez Buenestado Incendios forestales. Juli G. Pausas

Diego

ISBN: 978-84-00-09983-1

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Manuel de León y Ágata Timón

1. El LHC y la frontera de la física. Alberto Casas 2. El Alzheimer. Ana Martínez 3. Las matemáticas del sistema solar. Manuel de León,

Arcos e Isabel Tanarro

Antonio Rosas

¿de qué sirve la ciencia si no hay entendimiento?

Las matemáticas de los cristales

¿ QUÉ SABEMOS DE?

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