Las Etapas De La Filosofia Matematica
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L E O N
L A S
B R U N S C H V Ï C G
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F IL O S O F IA
R A T T O
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( 1 8 9 7 )
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S u p e rio r,
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c o le c c ió n d e
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B ru n s c h v íc g ,
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la
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E n
S o rb o n a
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lic e o ,
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y
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1 9 0 9
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1 9 1 9 d e
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8
N
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y
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d e
p re s id e n te
P a rís ,
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p o r
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d e
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y
se
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la
d e
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su
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la
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la
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n ó m in a
c o n
L e ó n
B ru n s c h v ic g
c ie n tífic a
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q u e
s ig n ific a d o
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o b ra
c u y a
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p e rs e c u s ió n . e n
y
re a liz a d o
D e s c a rte s .
c o m o
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y
d e s ig n a c ió n
d e
1 9 4 0 ,
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F ilo s o fía
m is m o
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n o ta
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d e
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m u r ió
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lo s
su
M
re fu g io
o n ta ig n e
y
d e
p e rs e g u id o
e s c rib ió
u n
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filo s o fía
d e
D e s c a r te s “ p a ra
y
s u
P a s c a l,
n ie ta ”
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q u e
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in é d ito . h a s ta
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el
c o m o
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q u e
te lla n a ,
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ú ltim o
e x c e p c io n a l
e n s e ñ a n z a
lib ro s
d e
e s ta
P o r
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d e
d e
I n te rn a c io n a l
e n s e ñ a n z a , d e
d is tin c io n e s c u lm in a r o n
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q u e
o c a s ió n
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m
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p o r
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n u m e ro s a s
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1 9 3 7 ,
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d e l
m u n d o ,
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d e l
c o n s titu id a
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y
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y
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m is m o
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c la ra
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y
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s
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s u s
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d e
s u
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p o r
p r o p io
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d e s u
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d e
lo s
p r o p ó s ito e n
B ru n s c h v ic g s e rv ic io
T a n t o
L A
p re s e n ta
h o m b re
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h a b la
la
c a s
d e
la
c o n q u is ta
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*
E l
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B ru n s c h v ic g
e x im irn o s d e b e m o s
L e ó n
A ris tó te le s , C a v a lie ri,
d e
e x p líc ito
E u c lid e s ,
e d ic ió n
R o s a
L id a
d e
e tc .,
e n
I n s titu to
la
e d ic ió n
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y
q u e
tra d u c im o s
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d e
su
es
s u
tr a b a jo
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S p in o z a ,
a p a re c e n
d e l
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lo s
a d v e r tir
B ru n s c h v ic g
L e ib n iz ,
s e n te
s o b re
g rie g o ; K a n t,
c a s te lla n o . d e
q u e
e n
tra n s c rib ié n d o lo s , d e
e n L a
F ilo lo g ía
F e rm a t,
la tín ;
d e
te x to
o rig in a l
d e
D e s c a rte s ,
te x to s ,
tra d u c c ió n la
e l
te x to s
q u e
h e c h a
U n iv e rs id a d
e n p o r d e
P la tó n , W
a llis ,
la M
p r e a ría
B u e n o s
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la
p o s e y e n d o
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n o
e l
d o m in io
e n
e n
o fic ia le s
e s tu d io s
C re e m o s B ru n s c h v íc g p u e s
p a ra
e s to
n o
lo s
h a b e r
q u ie n
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la n o
la
la
o b ra
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lo s
le n g u a s
e n s e ñ a n z a
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a p ro v e c h a r
c lá s ic a s , q u e
la tín
d e s v irtu a d o
tra d u c c ió n la s
d e l
n u m e r o s o s 'l e c t o r e s
p a r a
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h a b e r
d is m in u ir
9
n e c e s a rio s
la s
tra d u c id o
b u s c a
s in o
d e
d e
p a ís e s
a s im is m o a l
tr a d u c to r
c o n o c im ie n to s
p a rtic u la rm e n te su s
d e l
c o m p re n s ió n
lo s
tie n e n
o t a
c ita s
c a s te lla n a
e n
d e
h a n
el
le c
in c lu id o
g rie g o .
in g lé s u n a la
s u
c o rrie n te
p r o p ó s ito s
d e
d ific u lta d e s
n o
y
lo s
c o sa
d e
L e ó n
y
a le m á n ,
o b ra
fra n c e s a
le c tu ra .
*
Cora Ratto de Sadosky.
* a l
C re e m o s
c a s te lla n o .
e m in e n te m a rz o
d e
q u e
E n
filó s o fo 1 9 4 4
é s ta
n u e s tro
u n
fra n c é s ,
e s
la
p a ís
p r im e r e l
s o b re
a rtíc u lo ,
e n
tra d u c c ió n
d o c to r c u y a
o c a s ió n
L e ó n
d e
u n a
D u jo v n e
o b ra
h a
p u b lic a d o
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s u
m u e rte .
o b ra
d e
p re p a r a e n
" L a
L e ó n
u n
B ru n s c h v íc g
tr a b a jo
N a c ió n ”
s o b re d e l
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D E
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d e
P h ilo s o p h ie
d u
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o d a lité e t
ses
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L e
d e
d e n ta le la
h
e
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,
N
P h ilo s o p h ie
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M
( 1 9 0 0 ) .
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e t
la
C a u s a lité
C o n s c ie n c e
C o n n a is s a n c e
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( 1 9 1 2 )
;
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P h y s iq u e
la
( 1 9 2 2 ) .
P h ilo s o p h ie
O c c i
d e
s o i.
c o n te m p o ra in .
d e
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e t
P a s c a l.
O e u v re s
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R IE D E R —
P a s c a l.
P e n sé e s
i t
M
y
d e
O p u s c u le s .
F e lix
B ib lio th è q u e
N a tu r e
n
( 1 9 2 3 ) .
l ’E s p r i t
P a s c a l.
F L A M M A R I O N . •—
q
d e
( 1 9 2 7 ) .
B o u tr o u x
l
V ie
.
e
L e
P
la
d e
L ’I d é a lis m e
c
la
1 9 2 9 ) .
P ro g rè s
D e
C o n te m p o r a in e .
( 1 8 9 7 ) .
c o n te m p o ra in s à
L ’E x p é r i e n c e
á
B R U N S C H V I C G
L a
S p in o z a
H
L E Ó N
e t
d e
la
1 4
C u ltu r e
c o la b o ra c ió n v o l.
d e
P ie rre
in - 8 9 .
G é n é r a le .
L ib e rté .
E T
C IE . —
in is tè re
M a îtr e s
(c o n
G a z ie r)
d e s
P r o b lè m e s
d e
l ’E d u c a t i o n
d ’a u j o u r d ’ h u i . N a tio n a le .
L itté r a tu r e s .
P a s c a l. D e s c a rte s .
H E R M A N
—
L e s L a
B
r
e
N T A N O ’s
a c tu a lité s
P h y s iq u e
(N e w
Y
D e s c a rte s
e t
d u
S c ie n tifiq u e s . X X è m e
s iè c le ,
y
o tro s
fa s c íc u lo s .
o r k ) . P a s c a l,
L e c te u rs
d e
M
o n ta ig n e
( 1 9 4 4 ) .
\ P R Ó L O G O
L a s b u e n a s in
d ific u lta d e s
p a rte ,
d u d a
tie m p o , e n
p o r
d e s u s o lo s
lle g ó
a
c o m p re n d e r c la ra a l
y
la s
su
q u e
el
J u le s
E l
s ic io n a l)
c o n v ie rte
a l
m is m o
to m a d o s
c ió n
e x is tía
s ic ió n ,
c la s e
lo g ís tic a , n ic a
q u e
fo rm a l,
d u e ñ a
d e
d e
la
e n
e n
e m b a rg o ,
q u e d e q u e
e x ig iría la
e n
la
e x im iría
n o
u n
d e
s ó lo
d e
y
c la s e s,
se
la
to d a
la
el
c ie rto
a
ta n to d a to ,
re p re s e n ta c ió n
d e
c o n
e l
la
v a s ta s y
la
p r o p o
c a rá c te r
d e
tra v é s
d e
esa
c o m o
e n
h a s ta
esa
s e n s ib le
L a té c
c o m o
in e v ita b le ,
in tu ic ió n ,
d e sd e
p r o
d e rru m b ó .
m a te m á tic a
la
q u e
la
c o n tra d ic
d e
re a c c ió n a
d e
la
u n a
p r o p o -
c u y a s
u n iv e rs o se
X X ,
a n u n c ia
e le m e n to s
la
n o c ió n
s ig lo
a ritm e tis m o ,
ju s tific a r u n a
la
fu n c ió n
e d ific io
s ó lo
a
se
p re s ió n
a b a n d o n ó
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a
q u e ,
d e l
e d ific io
d e l
el
in tu ic ió n ,
o
o
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d e
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lo s
la
p o r
te o ría
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d u d a
p a ra
m
h u m
p a ra
a ñ o s
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d e
b a jo
c a m in o
d e
c la s e
re a liz a r
e n to n c e s ,
c o n fió
u n a
d e
n in g u n a
fo rm a s
b a s e
la s
el
la
p a re c ía
s im b ó lic a ,
s o lid e z
d e
d e sd e q u e
re c u rrir
p rim e ro s
lim ita c io n e s
im p o te n te
se
b a s ta b a
lo s
a n g u la r
su
c o n ta c to
tr a d ic io n a l
I n tr o d u c c ió n
( 1 8 8 6 ) ,
ló g ic a
P e ro ,
d e
D e s d e
a b rirs e
la s
d e m o s tra c ió n ,
p ru e b a
la
lo
riq u e z a
fo rm a c a d a
la
s in
y
re a lis ta
m o m e n to
f o rm a
m ís tic a
s in o
h a s ta
m á s
d e
d e
la
ra c io n a l.
T a n r itu
d e
la s
d e b e r
s in
c o n fe s ó
g ra r,
s in
c o n
p r o p ó s ito
s u b s is tió
m a te m á tic a
d iv e rs id a d
p ie d ra
to ta lid a d
v e rd a d .
la
la s
c a y e ro n
el
c ris is
d e
m a g is tra l
m o d e rn a s ,
g e n e ra l.
el
filo s o fía
la
la
e s tre c h o e q u ilib rio
u n a
m u c h o
c ie n c ia
d e l
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e x p lic a n
in q u e b ra n ta b le .
la
E n
lig a d a s , se
d u r a n te
la
m á s
d e
v a r ia b le
a ris to té lic o
e n
p a re c ía
la
se
p u b lic ó
e sc e n a
c o n tr a s ta n
tie m p o ,
c e rte z a
u m
d e
m a te m á tic a s
e n te ro .
e n
c o n c e p to
p o s ic ió n q u e
d e
n ú m e ro
re v o lu c ió n .
p ro p o rc io n e s
la
T a n n e r y
a p a ric ió n
se
d e
p ro fe s a d a s ,
c a rá c te r
la s
e s tá n
d ific u lta d e s
re s u lta d o s
r u p tu r a
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filo s o fía ,
h a c ie n d o L a
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la
E s a s
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m a te m á tic a s d e l
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s o b re
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q u e y
m a n ife s tó
fu n c io n e s
p re c is a
h a c e r
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g ra v e
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m é to d o s
m e d id a
h a b ía
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h e c h o
lo s
s a b io s
ser e n
n id a d
a
q u e
p ro b le m a el
s o b re
e n tre
m e n to
a l
e x tr a ñ a s
c u ltiv a d o ;
h a n
v ic is itu d e s
h a n
e s te riliz a d o ,
a l
d e s c o n c e rta d o p u n to
d e
a
tr a n s f o r m a r ía s
u n e n
e s p í le e -
12
P r o lo g o
d o n e s
d e
e s c e p tic is m o ,
la s
in ic ia tiv a
c o rre s p o n d ía
a
s a b id o to d o d e
c o n s e rv a r
s i
la
n o
n a d a
ig u a l
s in
u n a
lo
e n
d e
la
h a b ía
c rític a
p a re c id o
n a
la
d e b ía
s u
el
p u e b lo s
d e l
c á lc u lo .
s o n
n o
d e l
te r ru m p id o , d e d e l el
la
v e rd a d
s a b e r
ta n ta s
d e
d e b a
a l
la
se
a
el
d e
im p o n e r
su
u n f o r
to r b e llin o
d e e n
s in
e n
sí
d e s a rro llo .
la
h is to r ia
d e l
P a s c a l,
n o s
ser
y
d e
d e
la
n o
la
e n c u e s ta c u rs o
s is te m á tic a
d e
la s
d e l
e n
s a b io ,
re a n u d a d o ,
p e n a
f u n d a m e n ta n c o m o
la s
u n
h a c e r v e r d o c trin a s
c a d a
u n a
d e
d e
la
c iv ili
d e fin ic ió n n o rm a l
p e n s a d o re s
m a te m á tic a , a
a
o
ru d im e n ta rio s
ta l
la
e lla s
h a n
ta n ta s p le n a
s o b re q u e
m á s
e s tu d io q u e
se h a
a
filo s o fía
in te r r o g a r
e s fu e rz o ,
lle g a r
d e se a
d e s c u b rim ie n to
a q u e llo s
el
p a ra
la
fo r m a
la
c o
a lg u
d e s d e ñ a d o
lo s
o p e ra c io n e s
c o n c lu s ió n ,
la
d e
p ro c e d im ie n to s
s e g u ir,
la
c o n
p r e se
a l m e n o s e ra
u n a
c o n v e n ía
m é to d o s
ta l
ín te g ro
p a r tid a
se
n o
te n e r
s o b re
p re ju z g a s e
p a ra
P a r a
su s
e x e g e s is . si
q u e
h a b e r
h a b ía n
p a rte ,
p r o p ia
v e rd a d ,
d e
se
e n
m a te m á tic a ,
fe
d e
h is to r ia :
e s tu d io s :
la
la
la
p e n s a d o r
re c ib ir.
d e
h u m a n o ,
s u
p e n a
v a le
o tr o
d e
re g ía n ,
C o n c u rre n te m e n te
s a b e r
s o b re
im p o r ta n te
d e l
q u e
y
e so s
es
p u n to
e m p le a n
y
d e
A s í
tra v é s
e n
y
q u e r r ía n
h e c h o s .
g e n io
e s p íritu s
u n o
ú tile s ,
m is m o
lo s
m a te m á tic a ,
lo s
s í
lo s
v eces
q u e
e l p ro b le m a
d e b id o s
V a le
filó s o fo
p o s itiv o
im p e rio
c o n
p ro b a b le ,
e n te n d e r,
a s p e c to
h u m a n a
se
c o n s id e ra r
q u e
e s te
c a rte s ia n a ,
c o n c e p c ió n d e l
c iv iliz a d o s
in trín s e c o .
g e n io
a
h a s ta
C u a lq u ie ra in te ré s
lo y
te n g a n
to d o
to r b e llin o
ese y
S p in o z a
d e
p riv ile g ia d o
re c ib ir.
c o n ju n to
q u ie n e s y
e n
filo s o fía ,
u n a
lo s
el
e n to n c e s
c a m p o
q u e
s u p u s ie s e
e le v a d o
a
e n
n u e s tro
s e g u ir
c o n s id e ra r
s o b re
e l
p ro lo n g a rs e
se
se
s a b io s
n o
d e c ir
f ija r
fo rm a c ió n
e s ta ría
r a z ó n
a
d e
a
e x p o s ic ió n
el
d a rs e
d e s tin a d a
e n
la
el te rre n o
d e te rm in a d a
h a n
d e
a
e n
su
le c c io n e s
e s ta b a
p a p e l
d e
p o s ic io n e s
d e
g é n e ro
q u e
q u e
q u e
h a
s o b re
e s e n c ia le s
p ro fe s ió n
p o d r á n
c a p a z
q u e d a d o ,
g e o m e tría
le c c io n e s
p u d ie s e
z a c ió n , u n a
h a
e x te n d e r
e n
m a te m á tic a
q u e
e s p e c io s o
c o n tra ria s ,
d e v e r c la ro
n in g ú n
s in
la s
la
e le g ir la s
u n o
p r o p ó s ito
lo
p re o c u p a rn o s
h is to r ia
se p re s e n ta
q u e
d e
q u e d e
a h o r a
p r o b a b ilid a d
b le
m is m o ,
c u y a n o
p e rte n e c e ,
c a ra c te re s
d e
lo
p r o f u n d a s
m a te m á tic a le
lo s
filó s o fo s
e m p e ñ a rs e
a n te rio re s
a
re s p e c tiv a s
s a c a r d e
c o m o
y
la
q u e
e x te rio r
r a z ó n
filo s ó fic a
y a
re s p e c to
p o r
c o sa s d e
tr a b a jo s
n e c e s a rio
m ie n c e
sí
m a te m á tic o .
c o n c e p c io n e s
te n d e
la
c o n d ic io n e s
c o n d u c id o
to m a d o
d e
c o rrie n te s
la s
N u e s tro s h a b ía n
el
Y
v e rd a d
lo s
e n
e n c o n tra r
lu g a r
ta n ta s
b u s c a r
b a se
la
s e ría
m o v e rs e
d e
e s ta d o
p e n s a m ie n to
E r a
d e
q u e
s u s ta n c ia le s
ig u a l.
d e te rm in a d a .
e s te
p o r
h a c ia
o ,
e s p e ra n z a
m is m o ,
n o s
p ro d u c ir
d e c ir;
re c u rs o ;
m a d o
d e
te m e r q u e
q u e
E n
s e n tim ie n to
d e
s o lu c ió n
s o lo
s in
es m u y
p ro b a b ilid a d
p e ro
L a
p u e d e
v e rd a d ,
m á s
e l
e n s e ñ a n z a s
s a b io s
d e lo s d e q u e
s im p le s
tie n e
u n
a s o c ia d o v ece s
in
c o n c ie n c ia
q u é
c o n q u is ta s
h a n
d is p u ta d o
lle g a d o
d e sd e
P r ò lo g o
s u
c a te g o ría
e n
n u e s tro
q u e
d e s p u é s
h is to r ia a
y
la
a
d e
d e
d e
d u
tu r a t,
a q u é llo s
d io s
d e
P a u l
d e
M
d e
q u e
p r o p o rc io n a b a , e n
la s
b re d e
R o b in :
L a
a
la s
a
c u a n ta s
c u y o s
p á g in a s
d e
a ritm é tic a ,
a p o y a b a
el
ta tiv a s u n a
la
s o b re
e n
el
la s
d e
id e a s
y
lo s
c u a le s
d e
P o r
n u e s tra p o d r ía n
y a :
a x im ilie n
M
el
m e n ta le s
e x c e p c io n a l
lo s
y
lo s
se
p u e d e
s o
c r ític o
n ú m e r o s
d e
s e g ú n
te s tim o n io s
ú ltim o ,
te n e r
n o
d e se a rse , W
n u e s
n u m e ra c ió n ,
e x p o s ic ió n
c o m o
el
e s tu
d e
h is tó r ic o
d e
e n
c o n o c e r
F u n c io n e s
E s tu d io
C o u -
d e
d ifíc ile s h e c h o d e
y
d e
acc eso
p o d ría m o s s o n
d e
in te r
a la
H e n r i
a n s io n ,
A d e m á s ,
in te ré s
e x h a u s tiv o
d e
M
b e n e fic io
h a
d e
filo s ó fic a :
H ilb e r t,
p r im itiv a s
o b ra :
la s
el
p a rte s
n o s
A c a d e m ia .
d e l
d e b id a s
d o s
s a b io s
P ie rre
B o u
d e
W
h a n
u n a
d e
d e
h e m o s
u n a
s p in o z is m o ,
m ó v il
n o s d e l
o
e n c u e s ta
h is tó ric a
s o s te n id o
d e
v is to
e n
h o y
la s
n o s
ú ltim a s
h a
in te ré s
filo s o fía ,
e n y s u
a
a s o c ia r, a
P a u l
W
e s c la re c id a
la s
c a u sa s,
a
la
p o n e
filó s o fo s
e x p re s ió n in g e n ie ro
d e d ic a c ió n ,
d e
la
I
te n
v e rd a d
e v id e n c ia la
o n to lo -
n u e s tra
p u e n te s
p ru e b a s .
el
lo g ró
la s
u n a e n
h a c ia
d e e n
q u e
m a te m á tic a
p e rm a n e n te ,
h is to r ia
q u e
c o s a s :
n in g u n o
lig a r
la
a h l,
d e
P o r
d is c e rn ir,
d e fi
s is te m a
m a y o r r a z ó n ,
lo s
e n
u n
C o n
L a
v u e lto
m a te m á tic a , to m a d o
p a r a
n e c e s id a d
fra c a s a r.
la
h a
u n iv e rs a l
le ib n iz ía n is m o .
lo g ís tic a
u n a
a
c o n
la
d e
c o n s titu irs e
c o n c e p c ió n
p e n s a m ie n to .
q u e
s e c u n d a rn o s ,
el
d is c ip lin a s
in fin ite s im a l,
p e rm ite
d e
e x p re s a ría
e s p e c ia l
g ra n d e s
h e m o s
tie m p o
a g re g a d o
q u e rid o
s í,
d e s tin a d a s
T e n e m o s
n u e s tra
q u e
a n á lis is
el
p e n s a m ie n to
a h l,
la s el
d is c ip lin a
q u e
el
c ó m o
tr a b a jo .
a ritm e tís m o
fo r m a
(1 )
a h o ra
c o n c lu s io n e s
el
e q u ilib rio
e s ta b a n
q u e
c ita d o
g e o m e tría ,
esa
e te rn a , g iro
la s
q u e
p ita g o ris m o ,
J e a n
d e
A n tig u a
c o n c ie n c ia
a le ja m ie n to
a
s u
a n á lis is
p re c io s o s
n u e s tro v e z
n itiv a m e n te
a
u n
in d ic a r
h a c ia
C a d a
f ija r
c ie rta s
E n
im p o r ta n te s
h e m o s
Q u e re m o s
e l
c á lc u lo .
in te rm e d io
la
ta n
d e
p u n to s
m e n c io n a r
re c o n s tru id o
K le in ,
la
e la b o ra d a
e s p e c u la c ió n
re c o g e r
q u e
Z e u th e n ,
c u á n to s
h a n
lu z
a g re g a r
( 1) .
g u ia d o
la
V
m á s a
y a
b a s ta rá
B o u tr o u x .
fo rm a s
y
d e
L é c h a la s ,
d o c u m e n to s
p la tó n ic a
m e jo ra s
n o m b re s
tr o u x
d e l
p o r
d e
p o d id o
la s
c a p ítu lo
te o r ía
c o n s e jo s ,
a
la F é lix
P ie rre
e s c la re c e r
in fe r io r e s ,
a ris to té lic o
lo s
h a
el
d e
y
o fre c e
d e
a ñ o s ,
ilh a u d ,
L é v y -B ru h l,
e n c o n tra m o s
e n s e ñ a n z a s
d e c ir
h e m o s
re la tiv o
e n
M
se
n u e s tra ,
y
o rd e n
C a n to r q u e
re c o rd a r la
in te r ,
a
o r itz
C a n to r ,
T a n n e r y ,
m á s
A p re s u ré m o n o s
ú ltim o s
G e o rg
v e n ía n
r u d im e n to s
A r is tó te le s , o rig e n
lo s
e n
M
p a ra
q u e ,
A s í
s o c ie d a d e s
lo s
y ,
W
p o n e r
m a te ria
c o m o
tr a b a jo ,
C o n a n t
d e
u n a
c ie n c ia " p o s itiv a
in v e s tig a c ió n .
lib r o
es
a x im ilie n
a
h u m a n id a d .
e m p re s a
J u le s
n u e s tro
o rig in a le s
tr a
la
y
B o re i,
c u rs o
la
f iló s o fo ;
u n a
B o is -R e y m o n d ,
P o in c a ré ,
c o n tr ib u ir
p u b lic a c io n e s
d e l
c o n c o rd a n c ia P a u l
a d e
m a te m á tic a s
d is p o n ía
a lg u n o s
h o r a
la s
la s
re fle x ió n
a p o y o
s u
c o n o c im ie n to
1 3
y
g ra titu d , c a m in o s ,
c o rre c c ió n
d e
la s
1 4
P r ò lo g o
g ià
d e
P itá g o ra s
a s is tir
a
la
p a r tid a p o r d e
la
q u é su s
o
d e
e lla s
e ra n
o tr a
p a rte ,
d in e
m a te m á tic a
la
c o n v e rtiría
p a r a
e n
A u g u s to
in ic ia d o
fo rm a c ió n
lo s
te m á tic a
b le m a
d e l
h e c h o
d e
lo s
la
c re a d o re s
se
d e
s ig lo
e s p e c ie
la
s in
X I X ,
p u n to
d e
m a te m á tic a s , d o g m á tic a
la s
re c o n s tru ir o
v e rlo
su
h a b itu a l.
r itm o
h is to r ia ;
r e m o n ta r ra c te riz a
ta n a
la
d e
a u to n o m ía
d e
q u e ,
L a g ra n g e a
d e
se
o
p e río d o
fre n te
la
fre n te
a
la
le
e n
la
m a
h a
e l
y
tr a n s
A b e l,
q u e
in e s p e ra d o s ,
q u e
K a n t
h a s ta
d e s p u é s
e n
la
p r o
d o m in io
d e
y
u n
a
d e
a n te
E l
y
e n
in v e s tig a c ió n ;
d e
la
u n
e
h a n o s
n o
h a
p re s e n te
c o n
q u e
in m u ta b le
su c e so re s
la
g e n e ra le s ”
q u e
o c u lta
la
el
e s fu e rz a
la
la d e s u
q u e ,
s e rv ir
h a b e r d e
la
c a v a d o
d e
o fre c e
la
a llí
in
d o n d e
p e rc ib id o
in tro d u c c ió n p a ra
a c titu d
r e f u n d ir
u n a
p ro b a b ilid a d
n ie b la
P r o lo n g a ,
p a s a d o , e n
p o r
a lim e n ta rs e ,
s e g u id o
n e c e s a rio
p u e d e
h is to ria . e n
a lg u n a
h a b e rlo es
d e b ía
e s p o n ta n e id a d ,
te n e r
o jo s ,
e n c o n tra r,
a rtific ia lm e n te
p o s e e
P a r a
c rític o
se
su s
c ie n c ia
c a n a l
n e c e s a rio
p o s ib le y
a
h e c h o s
p re te n d e r
q u e
e n
n u e s tro s
es
“ lo s
p e ro
e s ta b a
c la rid a d
le g a n d o
d e
p a rte s es
la
m i
h is to r ia
p o s itiv a ,
u n iv e rs a l
o tr a
riq u e z a
filo s ó fic a .
n a tu r a l.
p ro c e d e
c o n
L a
L a
q u e
e sp e
m e ta fís ic o s
c u y a
m is m o .
p r o
la
d e te rm in a d a s
h is to r ia .
s o lu c ió n
m a te m á tic a
su s
la
a l
d e
s is te m a s fo rm a s
p e rc ib im o s
ilu s ió n
a n á lis is
c o m o
la
d o g m a
c a e r
la
lo s
p o d r ía
re s p u e s ta
c o n fu s ió n
d e
sí
c lá s ic a s , d e
c rític a
r ío
d e
h a s ta
fu e n te s
la
d e
e m p re n d id o
u n a
p e n s a m ie n to
s e g u ro
u n a
d e
u n
re v e s tirla ,
la
a d e
m ita d
p r io r i”
ir ía n
h a b ía m o s s u b s is tir
ín te g ra
d e
p re h is to ria ,
p e ro ,
d e l
s u b o r
lo s
u n
n o
X I X
se
d e
d e
e x p e rim e n ta l,
u n a
s u c e s ió n
q u e
a
la s
c o rre r
le jo s
la
s e n o ;
e ra
a q u e lla s
es p o s ib le
m á s
re m e d io
d o c trin a s
c u rs o
la
s ig lo
fís ic o s
e x tie n d e
c ie n c ia
c ie n c ia
a p a rie n c ia
a g u a s
d e
y
C a u c h y ,
q u e
e x p líc ita
p a r a liz ó
E l
el
p rin c ip io s ,
c a ra c te re s
se
d e ja r el
fn á s
“ fo rm a s
a c c id e n te s
c o n s c ie n c ia
la
m á s
la s
la
s in
P e ro
s u
a d iv in a c ió n ,
d o n d e
e n
lo s
p o s ic ió n
c a m in o s
c o n tin u o
s a b e m o s :
re c ib irla s .
L a lo s
p o s e e r
a p o r ta r
es
e n
d e
la d e
e n c u e s ta
c o m p la c id o la s
lo
d e
m il
la
la s
in te n c ió n
c ie n c ia
m e c á n ic o s
d e
m is m a ,
s ie m p re
d e
h a b ía n
H o y
a
la
c o m p re n d e ría
a b rirs e
f ó r m u la
d e s p re n d e m o s
d e
d e
h a c ié n d o n o s
p o r
n a tu ra le s .
s í
lle v a rla
p e rs tic ió n
se
d e p e n d e r
h a c e r
la
d u d a ,
p r o b a d o
n o
d e
N e w to n ,
id e a
d e
c re c im ie n to
re h u s a d o
lo s
e n
s in
d e
d e s p u é s
c o n te m p o rá n e a .
el
d e ja d o
d e
a
fá c ilm e n te
e s tu d io s
la
h a
v e rd a d ,
c o n s e g u id o
y
e n
m e d io
in te lig e n c ia es
p a ra
te n id o
lo g ís tic a
in s tr u m e n to .
n o
a n á lis is :
e l
la
h a n
e l
o
ta m b ié n ,
h a n
re s p o n d e r
m á s
re fle ja ,
p o s ic ió n
te r m in a r d e
la
e n
lo s
c o n s ig u ie n te ,
c u la c ió n
q u e
a
in v e s tig a c io n e s
p a re c e r
e n
d e
d e s a rro llo
su c e so re s
m o d e rn a
P o r
h a
el
s im p le
o p e ra d a
p o rc io n a d o la s
u n
esa
re n o v a c ió n
d e
e x p lic a q u e
a r itm e tis ta
ju s tific a r
C o m te
c o n
L a p la c e ;
ta d ,
p e ro
d o c trin a s
in c a p a c e s
q u e ,
q u e
la s
fu n d a d o re s .
P o r
d e
d e
in te rp re ta c ió n
p e rm ite
u n
A ris tó te le s ;
e v o lu c ió n
la s
h a c e rla q u e
c a
n o c io n e s
P r ò lo g o
e le m e n ta le s , s ió n ,
el
d e
m
s a b e r
e x p e rie n c ia
p o r
o p e ra c io n e s
p u ra m e n te m é tic a c ía ~ j
la
r a z ó n ; d e l
e n
la s
E s e n
lo s
la
o b je to s
e llo
v e rd a d
q u e
D e
y
la
h e c h o ,
d e
se
a llí
c a m in o p u e d a
el
se r
ro m p e rá
q u e
c o n
s in
s a c rific a r s a b e r.
m o d ific a
e n
el
d e
la s
la
s u
p a r a l a
fis ic a
d e
la
p re ta c ió n
el
u n a
v a n o
d e
la s
d e
p u e s to d e y
la
s u tile z a , la
q u e
n o
C o u r n o t la s
M
A T H
c o rre rá
E S I S .
d e l
m á s
to m ó y
c o m o d e l
[ « L a
d e el
e n
la
s ó lo
e n
la
m e d id a
y
A
la
c o rre s p o n d e h a n
p a re c id o
s id o
p e r m itir á
a
v e rd a d
p e lig ro
d e
d e l
la
c o n
e n
s a b id o d e
in fin ite s im a l,
c ie n c ia
m a te m á tic a ,
c o n -
a c u
in te r
e s p a c ia le s ;
in te lig e n c ia
o
q u e
f ilo
la
c o o p e ra c ió n
d e
a g o ta rs e
a
e n
s u p rim ir. el
p ro g ra m a
d is c ip lin a d e la
h a y
in c e rtid u m b re
S e g ú n
e s c la re c ié n la
e le m e n ta l
S O P H I A E
q u e
e s c rú p u lo
re firm a rá ,
p r o p ia
la
q u e , s o b re
d e s c u b rim ie n to
m á x im o
T r a ta d o
u n a o
lle n a r
la
h u m a n a .
lib e rta d
e s p íritu
ú ltim o
a c re c e n ta r
c á lc u lo
la
o b s tin a c ió n
to d o
d e s p la z a r
el
e l
lu g a r
q u e
x
e T m T T b e r a r a ^ ^ a 'T 'a
n e c e s a ria ,
filo s ó fic o ;
s a b id u ría
e so
p o r
d e
e
s o la m e n te T i~ o ç I?
q u e
d e
la d e l
"m atem á
m a te m á tic a
n u m é ric a s
m o d e la
esa
la s
a m e n a z a rla
re la c io n e s
s a b e r,
a
re v e la r
re c u rs o s
f ro n te ra s
c ó m o
a trib u y e
h u m a n a s .
se
e x a c titu d
ta m b ié n
se
m e d ita c ió n
e p íg ra fe
in e s p e
la
h a y a m o s
la
s e n s i b le s ,_ e n l
p r o f u n d id a d
d e
lla m a d o
la
in te lig e n c ia ^ s e !
o
d e l
q u e
la
d e
p s ic o lo g ía
p e n s a m ie n to
c o n fia n z a
fu n d o n e s
S a b id u r ía » ] .
e s tá
a r it-
d o g m a tis m o
g e n e ra l,
la s
la
d e l
s o lid a rid a d
ra m a s
d e
g n lre ja _ e x p e rie n -I
u n ila te ra le s
lo s
a
d is c u rs o
c o n c e p c ió n
e lla
la
d e lim ita r
in v e s tig a c ió n
n u e s tra
d e
d is c u rs o ;
s im p le s
p e ro
in d ic a r
la
u n
u n a
h a b ía
a
d e
r e a l.
re c o rre r,
P o r t- R o y a l
p r o p u e s to ,
u n a
e m b a rg o ,
la s
a _ la
e la b o ra rs e
d e
d e
ta n to
lo
e x te n
a s e m e já d m e n o s
q u e
I ~ ñ m v é r s q r ~i-i o r
q u e
s u rg ir
e n
d e
in tu itiv o s
&
b a s e
d e
c ie n c ia
in e s ta b ilid a d
d o la ,
c o n
d e l
y
h e m o s
e n
se
e n
h a s ta
su
m e n o s
r e p r e s e n ta c io n e s
s in
e n
d a to s
d iv e rs a s
la
la s
c ie n c ia s
e s tre c h a
p o r
B re v e m e n te n o s
to d a
d a t o ~ m m e 3 i a t a m e n te
m á s
q u e
in f in id a d
h a g a
e s fu e rz o
c a m in o
fis o n o m ía ,
n u e v a
e x te rio r
im p o r ta n te
q u e
la
L ó g ic a
c ie n tífic a
c o n s ta n te u n
q u e ,
o rg a m z a c ió n
la
u n
c o n e x ió n
el
fo rm a s
n a d a ,
la s
c u y o s
s u je c ió n
d e
a p a r a to
s o fía
d e
d e m a s ia d o
o fre c e rá
d e s p u é s
e n
a s e m e ja
n a d a
d e
v e r
T e n e m o s
a u té n tic a
d iv e rs id a d ,
m u la
se
p a s o s
u n a
d e b e m o s p a r a
p a p e l
c o n ju n to
e n
in v e n c io n e s
s ió n l
e lla
el
lo s
p e n e tra r
la s
d e l
s id e ra d a
a b re
d e
ú til
la
tic a s
d e sd e
c o n s titu tiv a s
p o s itiv is m o
c e p c ió n
c u b rir,
3 e
e x te rio re s:
e s ta b le c e
se
c a p a c id a d
re la c io n e s
p re c is ió n
d e
N a d a
c o n s ta ta c ió n
h o riz o n te ^ lim ita d o
e s te
q u e
c a p a c e s
a d q u irid o .
e f e c tiv a s jie L s a b iq ._ f la e ._ g l_ _ d .e s a r r g llo
ló g ic o .
a d q u ie re
r a d a
h a c e rla s
ó T liT a T g e o m e tría ,
e m a n c ip a q u e
d e
c ie n tífic a , q u e
p ro p o rc io n a d o îa s
a n e »
a c tu a lm e n te
15
G
e x p re s ió n
d e
la
E R M
h e r m a n a
te o r ía A N A d e
la
P
R
P E R ÍO D O S
I M
E
d
R
e
A
P
c
o
A
n
R
T
s
t
E
i t
u
c
i ó
n
.
L I B R O
P R
I M
E R
A R IT M É T IC A
O
1 . — s im p le s
Jy s
y
ta m b ié n y
a q u e lia s _ .3 e ja § _
n u e s tro s
ta d o
a
L a
d e
d e
es
d e
la
a
lo s
p u ra m e n te
el
A s ía
o
d e
u n
te n d ría m o s q u e
p o n e n
m ie n to
e n
N o
a lg u n o s
c u a le s
el
h a y y
se
la
g é n e s is q u e
h a y a d e
d e
q u e rría m o s a l
m á s s e a a
n o c ió n
n o c ió n la
p re s
n ú m e ro , a ritm é tic a .
h a c e r
u n
u s o
e s c la re c im ie n to
s e ría
se
v in c u la b a n c re e n c ia s
M
d e
A h o r a
b ie n ,
e n c o n tra m o s
d o c u m e n to s R h in d
la
in d ic a c io n e s
e g ip c io s es
e s to
el
d e
m á s
u n a
la
e n
d e
u n
d e
u n a d e
p a ra
s is te m a
q u e
m a te m á tic a ,
p rim e ro s
d e s te llo s
d e l
p e n s a
p e rm a n e c e
s u fic ie n te m e n te re m o ta
la s
c o n tin u id a d
d e s p e rta r
h is to r ia
im p o r ta n te .
d e
c iv iliz a c io n e s
c ie n c ia
lo s
c o
c u a le s
p ro g re s o
la
la s
p rim e r
el
la s
s u b s is te
el
la
h a s ta
h u m a n id a d
o la s
a p o y o
d e l d e
la d o
p ita g o ris m o ;
h e lé n ic a
o b je to s
s o b re
el
d e l
to m a d o
r e m o n ta r n o s e n
c o n
d e
tra d ic ió n
d e te rm in a r
p a r tie n d o
lo s
la
p ita
re p re s e n ta n te s
d o c trin a ,
a
el
ta m b ié n
d e ja m o s lo s
re lig io s a s ,
filo s o fía
h a
a ú n , a
q u e
c o n p e ro
m e d ia n te
c o n ta r
c u ltu ra
q u e
á s
a b s o lu to d e
la
la
S i a
la
m is te rio s a s
e s e n c ia l
lo
d e
y
la s
s e g u ir
in ic ia
a n tig ü e d a d .
T e n d r ía m o s
s a b e r
se
b rilla n te s ,
c o n s titu c ió n
d e
m a n ifie s to
p a p ir o
m á s
c o rre s p o n d e
c o rre s p o n d e
n e c e s id a d
c ie n tífic o .
s ile n c io s a .
c u a l
E g ip to .
d e
la
o
p o d e r
v a lo r
la
q u e
c ie n tífic o s
c u a l
c re c im ie n to ,
c o n fie re
e n
p o s itiv a . a l
d e b e ría m o s
d e
la
m a te m á tic a
d e
e x tra ñ a s
m o ra le s
p a ra
té c n ic o
s u
q u e
d o c trin a s
p a r te
E s c u e la
d o c u m e n ta c ió n
d e
la
m e n u d o
p re s c rip c io n e s
la s
c o n o c id a s ,
d e
é s to
n o
e x c e le n c ia ,
q u e
n o c io n e s
H u m a n id a d
r e c o n s titu ir
c a si
d ire c ta m e n te
filo s o fía
d e
s o b re
s u c e s iv o s
o rd e n
la s
la
d is c u s io n e s ,
p o r
d e l
a p lic a d o
la
u n a
n e x io n e s
p ro b le m a
m á s
in te rp re ta c io n e s
se r
m e n o s
c o n je tu ra s
d a to s
fá c il
e fe c to ,
e le m e n ta l
q u e
p o r
n ú m e ro ?
q u e
la s
c re e r
m á s
E n
h is tó ric o ,
h is to r ia
g o ris m o ,
c u a le s _ es
p ro v o c a d o
c ie n c ia
¿ p u e d e
n o c ió n
la s
la
m é to d o
c o n s ta n te ,
u n a
h a y a
d u d a .
c o n q u is ta d a s
n a tu r a le z a .
d iv e rs a s
d e
E l
la
d ía s ,
m á s
p rin c ip io
s in
a n tig u a m e n te
d e te r m in a r
e n
la
u n ,. p r e in ic io ,
m á s
p re c is a s
a n tig ü e d a d ,
e n tre
c a si s in o lo s
2 2
L a s
N u e s tr o y e n d o
la s
p o r
re c ta m e n te
la s
d e
d e
la
c ió n
re c u rs o
la s
D e
p e ro
1 °
y ,
lo
la
d ific u lta d ,
L a
p e rm ite
tie n e el
d ía s ,
lle n a r
d e
s u b s titu
n u e s tra s se
e n
c iv ili
h a c e n
e tn o g ra fía ,
h ip ó te s is ,
m e n o s
d e
n u e s tro s
in fe rio re s .
q u é
d i
e je rc ie n d o
g ra n
p a rte
la s
q u e
es
c o n
p o r
sí
v e ro s im ilitu d ,
c u rs o
n a tu r a l
s e g u rid a d
d e
la
e v o lu
tre s
m a n e ra
d e
re s u lta d o s la
¿ E n
h a b ía n
q u é
d e l
fo rm a
e x p lic a c ió n
d e l
u n iv e rs o ?
2 . —
E s to s
n u e s tra
tre s
n o
p e rte n e c e n se
p ita g o ris m o ,
p ita g ó ric o s n ú m e ro
y
c o in c id ir
c o n
o
a n te s
d e
a
n ó m e n o s p a r a “ n o
d e
se
rá c te r
d e
d e
lo g o
la
L o s p u e s
la
a ritm é tic a
p rim e ra s
el
q u e
c rític o
e n
la
el
a
o p e
c ie n c ia
e s tá
tr a ta
d e
d e l se
m e n ta l
v is ta a rte c o lo c a c u y o
la
a
c o lo c a d o
e s te
h o y ,
c o n
p ro d u c to
q u e
la
s ig lo s
c ie rta s
c o n s c ie n te .
L o s
y
c á lc u lo ,
la s
le y e s
p rá c tic a s a l
d e
lib r o
u n
la c a
o
e l
f is ió
d e te rm in a r. s e rá n
p u n to
fin a lid a d
s in
d e
p e n s a m ie n to
tr a ta
esas
fe s o n
d e
el
a
n o
E x a m in a re m o s
s o n
d e b e
lo s
e s tu d ia m o s
fís ic o
d e sd e
lo s
n o c ió n
u tiliz a n
el
p rim e r
d ife re n te s .
q u e
la
d e
p e ro
fre n te
le y e s
c o n ta r
a
e n fre n ta m o s
su s
c o m o
p o rq u e
e s tu d ia m o s
c u a n d o q u e
tru e q u e
c o n fie re n
a c tu a l
e x p o s ic ió n
re fle x ió n d e
u n a
s o la m e n te
c o n c e p c ió n
n o s
a
e s ta d o
a tr ib u ía n
ig u a ld a d ,
c u y a s
d e
el
E s c u e la
ta m b ié n
h u m a n o ,
c a p ta r,
c o n s titu y e n
e n
y
n o
p e n s a d o re s
u n a
la
C u a n d o
la
c e n tra l,
d e
e n
el
s in o
c o n tra rio ,
o p e ra c io n e s d e
p rá c tic a
o tro ,
n u e s tra
lo s
e s p íritu
q u e
e n
n u m e ra c ió n
B ra s il
re g la s
d e
d e
e l
d e
e x te rio r
p u n to s
m a n ife s ta c io n e s
d e te rm in is m o
o
la
in te g ra l
a l
q u e
n u m é ric a s ;
s o c ió lo g o
m e ra s
q u e
la s
n a tu r a le z a
a lc a n c e
o b je to
d e d ic a n
u n o
d e te rm in a r
el
P o r
e n
e v o lu c ió n
d o s
ta re a
d e l
e n
n ú m e ro s ,
d ife re n te s .
m u ltip lic a c ió n
e s tu d io s
d e sd e
o
lo s
h is to ria ,
c á lc u lo
d e
d e
c o n s c ie n te
e s p íritu s
id e a
c u y a
a n te
d e
o b te n id o s
p la n o s
re la c io n e s
se
v e rd a d :
p r im itiv o
p o r
a s ie n ta n
m is m o s
o
la s
in v e s tig a c io n e s ,
c ie n c ia ,
O c e a n ia
n in g u n a
a d ic ió n
la
R h i n d i
m is m a
J e s u c ris to .
c iv iliz a d o s ”
te n e r
h o m b re s
c o n tin ú a n
e n
re fle x ió n d e
q u e
e so s
d e
d is tin ta s :
re p re s e n ta c ió n
d e
se
u n a
la
la s
la
p ro c e d im ie n to s
p o b la c io n e s
a
te n e m o s
te n ía n
u n a
n o
d e s a rro lla n
s id o
c ie n c ia
a
ó rd e n e s
in fo rm a c ió n ,
ló g ic a m e n te
V
c o n s titu c ió n
lo s
p a p ir o
la
c o n d u c id o
lo s
la
e fe c tú a n
re d a c c ió n
h a
p o rq u e
d e
c u e s tio n e s
c á lc u lo ?
¿ Q u é
3 °
e s tu d io
d e
p ita g ó ric a ,
el
e n
u n a
á t i c a
p r im itiv a
lin e a m ie n to s
el
e x a m e n
¿ D e
2 °
V I
a t e m
e lu d ir
e ra
q u e ,
p o r
p o r
g ra n d e s
m a n e ra
el
d e
m o m e n to
d e
d e
la
v ic a r ia n te ,
q u e
su s
e s ta
ra c io n e s
e l
e l
m
h u m a n a .
c o m p o rta rá
d e
es
s o c ie d a d e s
fu n c ió n
e n
f i l o s o f í a
s o b re
p re h is to ria ,
in v e rific a b le , re s ta b le c e r
la
o b s e rv a c io n e s
s o b re
e s p e c ie
la g u n a s
ú n ic o
d e
in v e s tig a c io n e s
z a c io n e s ,
u n a
e ta p a s
d e
h e c h o s la s d e
p r i v is ta
re s ta b le c e r
m a n ife s ta c io n e s ,
A r i t m
m ie n tra s p o r ta
q u e
el
a n á lis is
n e c e s a ria m e n te S e m e ja n te d e
c ie n c ia ,
m le n to
e s p o n ta n e o
s o c ie d a d e s
g io n e s u n a
d a ,
id e a
lo s
se
p o r q u e
é p o c a s.
ta n
q u e
s o c ió lo g o s ” P o r
le n g u a
o tr a
la
ta n
fís ic o
y
ta n to
c o m o
q u e
d e
la
tr a r
re g ía
o
p a ra
y
q u e
a
la
el
h a n
tra v é s
d e
lo s
E n
c re c n q u e
la s
re li-
c ris tia n a s
te o ló g ic o s e n
q u e
d is tin ta s
a u s tra lia n o s
p rá c tic a s
a trib u irle s
d e
d e
c o
su
re li
c ie n c ia .
P e ro
la
e s ta b le c e n
e s ta
d u a lid a d
lo s
o rd e n
d e
y
la s
d ifíc il s e g u ir
esas
h a b r á su
y
o rig e n ,
q u e ,
su s
c o rrie n te s
a n te s es
la
h a n
P o r
e s tu d ia r
c o n q u is ta s .
el
Y
o c a s ió n e l
q u e d e
la
d e
d e
n o s
la
e n
la s
im p o n e e sas
n o y
y
la
d e s
in te r d ic
se rá
ta n to
la
u ltitu d
m
c o n s titu c ió n
d e
ta l
c ie n c ia
p ro s e g u id o
c a p ta rlo s
p u n to
re g is e n
a c e n to
h a
d e l p e n s a m ie n to c u a n to
d is tin a
e s p o n tá n e a
d e s p e c h o
d e fin itiv a s ,
ta m b ié n
a l u n a
d o g m á tic a
a lte ra r
la s
m is m a ,
d e
e n c im a
v o
Q u iz á s
in je r ta d o
a c tiv id a d
a
la
e s p e c ie
id e a si
p o s itiv a s
a m e n a z a b a
d e
q u e
la
d e
lim ita r n o s
tra d ic ió n
e n tre
d e riv a c io n e s ,
d a d o
se
c u e rp o s ,
u n a
la
d is ip a rs e
q u e
n a tu
M e d ia ,
lo s
la tin o . p o r
la d e
u n iv e rs o
E d a d
d e
p ra c tic a m o s
c ie n c ia .
a q u é lla
y
d e b e m o s
la
la
lim ita c io n e s
c u rs o
d o s
n o
q u e
é s ta
d e
a
la
d ic ta d o
v o c a b u la rio
p ro b le m a s ,
ta n
d e l
u lte rio r,
h a n
p ro p o s ic io n e s
d e
d e
c a íd a
a
m o d o s
le y e s
le y e s
re fle x ió n
m a te m á tic o s
c u a d ro
la s
la
q u e
filo s ó fic o
p u e s
el
d e l
lo s
d is tin g u ir
d e
rig e n
se rá
la tin a
d o s
a
la s
m u ltitu d e s
la
té rm in o s ,
el
tra n s fo rm a c io n e s
a
d e
le n g u a
o b e d e c e c o m o
c o m e n z a rá n
m e ta fís ic a
s u s
p r ó x im o
la s
la
d is tin g u ir
q u e
g ra m á tic o s
s o b re
h is to r ia
n o s
d e
q u e
d e
a
G a lile o
p o r
o tro s
fe c u n d id a d
p r io r i
a ritm é tic a
d e
c re e n c ia s
“ L o s
c re e r
p a s a je
e m a n a d a lo s
d o g m á tic a ,
la
d e
p rin c ip io s
n o s
m á s
le n g u a je
d e fin id o
la a
la s
y
p ro g re s o
re p re s e n ta c ió n
c o n c e b ir,
p a ra
el
n a tu r a liz a c ió n
tra ta re m o s
c io n e s
a ú n
n e c e s a ria s ,
m a te m á tic a ,
d e
ju s tific a c ió n
c o n o c e r
la
a l
c o n s tr u id o
rid íc u lo
p o p u la r ,
ta n
d e
la
n o c io n e s
tra d ic ió n
s e ría
a c o s tu m b ra d o
c u lta ,
m o m e n to
c io n e s ,
h a n
tr a n s
e n tré ~ e l
s is te m a s
c e re m o n ia s
ra z o n e s
p ro d u c id a s
a n á lo g a .
c u a l
d e
lo s
L é v y - B r u h l:
h a y
f ó rm u la s
filo s o fía
la s
c o n
b ie n
im p o s ib le
m o d a lid a d
la s
fo rm a c ió n
c ió n
y
rito s ,
p e ro
h a
s is te m á tic a
c ó d ig o
e fe c tiv o
es
e s p o n tá n e a s ,
a m b ig ü e d a d e s
la
se
m o d a lid a d
lu n ta d
lo s
lig a d a
e s tu d io ~ c ö m p a ra d o
c ris tia n a s
c o m p re n d e r
fra n c e s a ,
f o rm a c ió n :
d e
p a r te
P a r a
ra le s ,
la
le s
E l
c o m ú n
m u y
e s tá
d e s p ro p o rc ió n s o c ia le s
n o s
a n tig u o .
( 1) .
in s tru c tiv a .
y
d ic e
c o m p lic a d a ,
c ie n c ia
la
o rig e n
d e
Ig le s ia s
a d m ira b le m e n te
g ió n e s ta
d e l
tie n e
la s
lo
in e v ita b le ;
e llo s .
p ita g ó ric a s
d o g m a tis m o
m u e s tra
d e
e je m p lo ,
C o m o
n o c e n
d e l
p a re c e
q u e
h a c e n
d e
e s p e c u la c io n e s
cT eH R T s"F en ó m en o s
n a d a
d o c to re s
la s
c u a d ro
d u a lid a d
m is m o
T as
la
d e
a l
2 3
è t i c a
su
e n
el
d e
L a
M o r a le
e t
la
S c ie n c e
d e s
M o e u r s ,
1 9 0 3 ,
p á g .
1 9 6
(P a r is ,
d e la
p u n to
a le ja m ie n to
e x tre m o .
i 1 )
a
m e
F .
A lc a n ).
C
L A
E T N O G R A F Í A
a
p
í t
Y
u
l
L A S N U M
3 .-— a
la
L a s
h u m a n id a d d e
o b s e rv a c io n e s
c u rio s id a d
la
el
o b ra
e d ic ió n
se
h a
u s o
d e l
c lá s ic a
d e
N e w
re n o v a d o
fo n c tio n s
y
p o r
m e n ta le s
d e n o m in a d o
L a
P R I M
r
o
E R A S
d e
lo s
c ó m o
Y o r k ,
e n
M á s el
S o c ié té s
m e n ta lid a d
( x) ,
C o n a n t n u m b e r
1 8 9 6 .
h a
e n
c u y a
V
s u s
d e
its
u n a
o r ig in
el
su
te m a
o b ra
( 1 9 1 0 ) ,
v e la c io n e s
la
p rim e ra
re c ie n te m e n te
c a p ítu lo
e n
D e s p u é s
p u b lic a d o
c o n c e p t,
in fé r ie u r e s
p r e ló g ic a
m a te ria l
in tr o d u jo
n u m é ric o s .
c u ltu r e
T h e
a m p lio
se
té rm in o s
P r im itiv e
ric a :
le s
O P E R A C I O N E S
o fre c e n
in v e s tig a
L é v y -B ru h l
d a n s
e
L é v i-L é o n a rd
e x tre m a d a m e n te
d e v e lo p m e n t, s id o
c á lc u lo
1 8 7 1 ,
i m
É R I C A S
q u e
T y l o r :
a
r
e tn o g rá fic a s
filó s o fo
re m o n ta
m o n o g r a fía a n d
d e l
P
o
L e s
c a p ítu lo
c o n
la
n u
e n
esas
m e r a c ió n . U tiliz a r e m o s tre s
o b ra s ;
q u ie n
h a
e s tu d io
lo s
d a d o
p r e g u n ta to d o s
s e ñ a la r ro s
q u e
q u e
d e l
( ! )
lo s
in ic ia l
p rim itiv a .
a l
c á lc u lo ;
n ú m e ro s
a n te s
b o m b o n e s
o
n o m b re s
e n s e ñ a d o
el en
a l
lo s
s u e n
fra n c é s
le n g u a
E n
e lla s q u e
d u r a n te
a
h a lo s
p o r
la
d e l
P .
n o
v a n
la s se
fa se
p o r
B ru n e t,
c o n ta n d o
L a
c iv iliz a lo s
n iñ o s
p o r
d ic e n H a y
lo s
s ig u ie n d o d e
d e l se
c iv ilis a tio n
p a ra
tr a n s ito r ia
c o n o c e n .
D o b r íz h o f f e r , a llá
a
d e la n te ,
g e n e ra lid a d
m á s
to d o
n u e s tro s
c a p a c ita d o s
h e c h a
in d íg e n a s
p e ro
p ro c e d e r e n tre
n a c io n e s
e s ta
q u e
L é v y -B ru h l
e n s e ñ a
tie n e n
s id o
e s p a ñ o l;
M m e .
d e
d e b e
e s té n
n ú m e ro s
a ritm é tic a
te s tim o n io
d e
re c o g id o
o p o s ic ió n
f r u ta s
a n á lo g a
c o m e n z a n d o
n ú m e ro s
T ra d u c id a
d e
o b s e rv a c ió n
la
e n
h a
c u a l
m e n ta lid a d p re c e d e
c u a n to s
q u e
la
s o b re
S i
s e g ú n
d e
se
d e u d o re s
in s is tie n d o
lo s
e u ro p e a s ,
A s í,
e n u n c ia r
1 8 7 6 .
la
q u e
s o m o s
n u m é ric o s .
lo s
P a r a g u a y
h e c h o s
v a lo re s
u n a
h a n
tu m b re s tra c ta .
y
d e
lo s
d e
in d ic a c ió n
n u m e ra c ió n
n o m b re s
a z a r
la
ló g ic o s
la
d is tin g u ir le s
c o se c h a
p a rtic u la rm e n te
e tn o g rá fic o
h á b ito s d a s ,
la
p e ro
la
" lo s 4
se a l q u e
m is io n e la s
c o s
id e a
a b s
g u a ra n íe s
to d o s
s a b e n
e q u iv o c a n
c o n
p r im itiv e ,
v o l.,
2
L a s
2 6
ta n ta
fa c ilid a d
c o n fia d o
a
a b ip o n e s
‘ ‘n o
p o r
y
s u
ta n
p u e d e n
H e
a q u í
e n
s u
p r im id o
p o r
le n g u a je
su
c u rs o la s
la
m a s a
e n
tro p e l,
h e
n o ta r
ta n
d e
d ic e
d e
d e
lo s
u n
a
la s
a b ip o n e s e n
n o
c u y o s
b e n
“ a
c o n ta r
lo s _ s is te m a s
e n
s u
p o r
n e c e s a rio ,
p u e s to
P e ro q u e
re g u la re s
lo s
h a y
d e
u n
a
la
sí
se
le s
d ire c ta
o c u p a n
‘ ‘a
p e rro
s e ría
m e n u d o p o d ía n
e n tre
u n
lo s
es p rp
s is te m a
u n a
c a p a c e s
n u e s tro
q u e
u n a
re s e rv a r
D o b r iz h o f f e r
s in o
s o n
d e
P .
d e
m a rc h a n
c o n ta r,
im p lic a n el
c o m s e g u ir
v is ió n
c o n v in ie ra
c o n
e q u i
y
C u a n d o
u n
se
q u e
q u e
se
p a ra
e lla s
s a b e r
c á lc u lo
n u m e r a c ió n ,
n o
c o s ta d o s ,
fa lta b a
lo s
lo s
f a s tid ia ;
q u e
líb re
q u e
s in
n o
lo s
c o a rta d o
v e a
a b ip o n e s
e q u iv a le n
m a n e ra ” ;
se
d e c ir
e llo
lo s
se r
s o b re
c ó m o q u e
e s to
a b ip o n e s
c o n ju n to .
to d o s
d e s
Ig u a lm e n te
( 3) .
lu g a r
c o m b in a c io n e s
s e ría
re s u lta d o s
s u
d e l
d e m a s ia d o
p re g u n ta s
d e
S e g u ra m e n te ,
c u e n ta n .
e fe c to ,
la s
a p o y a rs e
lla m a d o ,
( 4) .
d e
lu g a r
D o b r iz h o f f e r , a
c o n ta r,
e x tra ñ o ,
p u e d a
p e rro s
P .
c á lc u lo
o p e ra c io n e s
d e
d e
el
n u m e ra c ió n ,
h a b la r ;
es
es
( 2) .
m is m o s
e n
c o n s titu y e n
c o n s id e ra b le ”
n o m b re
re g u la r q u e
q u e
se
d e d o s ”
e s to s
le
á t i c a
n u n c a
q u e
d e
re p re s e n ta c ió n
in m e d ia ta m e n te
ja u r ía el
la
ro d e a d o s
a d m ira d o ,
q u e
c u a n d o
s o b re
e s p a c ia l
te n e r
p e n s a m ie n to ,
o rig in a l,
c o sa s,
q u e
a t e m
s e m e ja n te ”
n ú m e ro
c a ra c te rís tic o :
c u a n d o
d e
el
m
d e s e m b a ra z a rs e
v o c a rá n
u n
f i lo s o f í a
m a te ria
c u a lq u ie r
lo
la
s o p o r ta r
p a ra
m u e s tra n
d e
fre c u e n te m e n te
re s p e c to
c o n s ig u ie n te ,
h a c e n
e ta p a s
m a n e ra d e
h a c e r
c á lc u lo ,
s a
in d e p e n d ie n te
c e d e
y T o F T T ä re
p o s ib le s . P a r a c a re m o s
c a p ta r
el
la s
o b ra s
e n
e le m e n ta le s
d e
lis is
o rd e n
e n
el
m u c h o
m e n o s ,
a le ja d a s e n
ese
u n
y
q u e
c á lc u lo . d e
q u e
d e
o rd e n
d e s p e rta r
L o s
4 . —
s e r
q u e e l
( 2 ) 1 7 8 4 ,
P .
n iv e le s
E l
m á s
lo s
p re s e n ta re m o s c re c ie n te ,
e x p e rie n c ia
in te le c tu a le s
p á g .
s im p le ,
Y
el
to m a d a m u y
m a te m á tic o ,
d e s ta
p ro c e d im ie n to s
p a ra
c la rid a d
p e ro d e
s in
m á s a n á
p re te n d e r,
p u e b lo s
d ife re n te s ,
d e l
d e
d e b a
n i
re g io n e s
d is p o n e rs e
h a
d e
s e ñ a la d o
A b ip o n ib u s ,
1 7 4 ,
c ita d o
( 3 )
Ib id .,
p á g .
1 7 3 .
( 4 )
Ib id .,
p á g .
123.
p o r
C O R R E S P O N D E N C IA
m á s
p ro p o r c io n a r
T y l o r
H is to r ia I I ,
c ita d o ,
u n ilin e a l.
p u e d e n
q u e
p e n s a m ie n to
c o m p le jid a d u n a
S E R IA C IÖ N
to s
d e l
h e m o s
el
“ p r im
itiv o ” ,
e q u iv a le n te
c o m o
e q u e s tr i
e m p le a d o
b e llic o s a q u e
L é v y -B ru h l,
o b .
c it.,
d e
d e l e n
lo s
n o s
A u s tra lia ,
P a r a q u a r ia e p á g .
p ro c e d im ie n
c á lc u lo ,
2 0 7 .
p a re c e M a la s ia
n a tio n e ,
V ie n a ,
S e r i a c i ó n
y
M
a d a g a s c a r
el
o rd e n
se
c o n v ie rte
c ió n
y
e n tre
la s
se
d a
a
q u e
tr ib u s
n iñ o s
H e
n o rte ,
lo s
u n
M
lo s y
s o n
u n o
d e
c u a d ro
el
o o rh o u s e
h a
e n
c u a le s
p a ra
el
se
la s
fija d o s e so s
sa c a d o
“ E n
re c ib e n ,
e n
v a ro n e s
q u e
c a d a
A u s tr a lia :
m u n d o
n u m é ric o s ,
p a ra
n o m b re s q u e
a q u í
d e
d e l
a l
2 7
c o r r e s p o n d e n c ia
m a n e ra
n ú m e ro .
v ie n e n
n o m b re
lo s
d e
e x p lo ra d o r
n o m b re s
d e l la
:
u n el
m ie n to ,
e n
e n
E y re ,
n iñ o s
c ia
( 5)
n a c im ie n to
d e
la id a lo s
d e
y
d e
1 e r.
E l
2 d o .
E l
d e
d is tin g u e p o r
la
h ijo
se rá
„
lla m a d o
o
K e r ta m e r u
o
J fa r r ity a
( v a r ó n )
o
o
J f a r r ia n o K u d n a r to
„
o
K u d n u ty a
o
„
o
M
o M
o n a r to
„
„
ila r to
o n a ity a
( m u je r )
,,
o
M
ila y tia
o
M
o
M
a r r u ty a
o
M
a rru a r to
o
W a n g u ty a
o
W
a n g w a r to
8 v o .
o
N g a d a ity a
o N g a r la r to
9 n o .
o
P o u a r n a
E l
5 to .
E l
6 to .
E l
7 m o .
E l E l
,,
L o s ;
e s tá
el
,,
a u s tra lia n o s p a d re
s in
n u e v e ,
s in
o r d in a l;
n o
q u e
lla m a m o s
q u e
a
q u e
o jo s
—
c a d a
n iñ o el
S o n
p ro g re s o
s e rie ;
d e
d u o s ,
ta l
s ie m p re
(B )
( 7 )
lo s
T ra d .
to
1 8 4 5 , Ib id .,
la
o f
u n a
d e
I,
p á g .
G e o r g e ’s
3 9 2 .
e s ta
d e
la
ese
s ig n o
id e a
d e
d e
lo s
a p lic a rs e se
o b je to s
a
u n
a ú n
té rm in o
lo s
té rm in o s E n
u n a
n u m é r ic o .p a re c e el
q u e
o rd e n a d a .
la
n ú
n i
e n u m e r a c ió n .
lis
d e
c u a lita tiv a d e
d e
p re s e n te ^ e n
e s p e c ie
d e l
c a rd in a l
h a s ta
tre s
fa m ilia
o rd e n a d a .
d e
b io ló g ic a s
s e rie
d e
su
e l. p e n s a m ie n to
d is tin c ió n
o rd e n a c ió n
t.
3 2 4 .
v e z
s e rie
esta r
g e n e ra liz a r
e n
e x p e d itio n s
K in g
p á g .
fo rm e
d is tin c ió n q u e
B ru n e t,
p á g .
el
la
u n a
m is m o s ,
p a ra
q u e
d e
lle v a
m e d io
e s ta d io ,
m á s
a llá si
re p re s e n ta c ió n
c u a lita tiv a
u n a
p o r
m á s
d e c ir
n ú m e ro
p e ro
c irc u n s ta n c ia s
n iñ o s
la
d e l
n u e v e ;
p rim e r
c o s as,
s a b rá
e m b a rg o
d is tin c ió n
d o ta d o
d e
e n
J o u r n a ls
A d e la 'id
L o n d re s ,
la s
m a n e ra
re fe re n c ia
( 6 )
la s
im p o r ta n te
s o b re e n te n d id a
la
c a rd in a l
h ijo s
a b s tra c ta
n u m e r a c ió n
a p a re z c a
c o n ju n to
s in
h a s ta
e s te
e n
n ú m e ro
n u e v e
id e a
,,
( 6)
c o m p o n d ría n
la
E n
c o n te n id o
d e
n o v e n o ,
re e m p la z a
h o m b re ^
la
c u e n ta el
5 . e s ta r
tie n e n
te n g a
te n e r
n u e s tro s
p a la b r a
n o
a u s tra lia n o
c o m p le ta
m e ro
fr o m
d ife re n
K e r ta n y a
„
d e
n a c i
v a ria c ió n
„
„
d e l
q u e
su
u n a
3 ro .
d e l
A d e
e n c o n tra d o
E l 4 to .
( 7 )
re la
d e
te rm in a c ió n .
E l
q u e
la
d is tr ito
o rd e n
n iñ a s
s e g ú n
n o m b re s
e s p íritu
h a c e n
E s
e n to n c e s
o r d e n
q u e
té rm in o s g ru p o
c o n v ie rta
q u e
te m p o r a l,
d e
e n
u n
y u n
e s tá d e
la
in d iv i p u n to
c u a le s q u ie ra .
2 9 2 . o f
d is c o v e r y
S o u n d
in to
(1 8 4 0 - 4 1 ) ,
C e n tr a l p o r
A u s tr a lia
E d w a rd
J o h n
a n d
O v e r la n d
E y re ,
t.
I I ,
2 8
L a s
E n h a y
e s te
q u e
p rá c tic a s
u n a
d e
s o n
n e ta t
p o r
e je m p lo
=
1
y
n e is a
d e n
h a s ta
c o n ta r
o rd e n
el
in v e rs o
m e ñ iq u e c io s ,
d e
d ic e
d e
su
e s tre c h o
p e rs o n a
re c o m e n z a n d o b u s c a d o ”
p o r
q u e
se
lo
h a
d e
el
u n
s e rie e s te
s u
a
c o sa s
e m p le o
d e n c ia
e n
n o ta b le
p a ra
s a b e r
lu e g o
fu e ro n
¿ C ó m o
m is m o d e
o f
( 9 ) I b id .,
t.
u n
4 ,
la
y
e tc .,
m a n o la
te r m in a r d e
d e
n ú m e ro
iz
a x ila ,
c u e s tió n
el
e n
el
tr ib u s
h a s ta
d e
e l
e n
n e g o
la s
re c o rd a rá
o
p u e
d e s p u é s ,
p e n e tra n te
q u e
o b je to s ,
e n c o n tra rá
y
n o
es
el
y
n ú m e ro
a ld e a ,
c o n
X I X ,
1 8 9 9 ,
a ñ o
m e n s a je ro
p á g . T h e
1 8 9 9 ,
e n
su
1 3 ;
p ie
p e d a z o n o m b re
n o te s
e n
o f
3 0 4 ;
e n
o f
th e
se
p e ro
lo s
su
d e
su s
M u r r a y B rita in
la s
d e d o s
n ú m e ro
Is la n d s
a
d e
u n o
A .
c o n ta r,
a l
d e d o n o m
g u e rre -
S tr a its ) , I .) ,
p o r
s o b re
c a d a
su s
y
T r a j o
p a r a
( T o r r e s J .
d e
q u e
c a m b ié
c o n tó
(a b re v ia d o
J o u r
V o lu m e n
2 0 9 .
W e s te r n
L é v y -B ru h l,
te n d r ía n
u n o
y
d e
tr a ta b a
m e n s a je ? se
e v i
re b e la d o ,
c o rre s p o n d ie n te el
e n
d e m a s ia d o
" S e
y o
u n a
d a y a k s
es
q u e
m e sa ,
je fe ,
p á g .
lo s
a
c o m p o rta
p u e s ta s
h a b ía n
el
c u a li
re la c ió n
s ig n o s
q u e
p e d a z o s
la
la
q u e
s o b re
m u lta s
p a p e l,
th e
L é v y -B ru h l,
E th n o g r a p h y p á g .
d e
G re a t
e s tá n
in d íg e n a
tie m p o
d e
o n
la s
s o b re
d e
ín te g ra : q u e
p e d a z o s ;
D is p u s o
m is m o
I n s titu te
d e
e n
p re c is ió n
y
c o
e x p re
c o n te m p o rá n e o s ,
s e rie
la
h e c h a
a ld e a s ,
el
E th n o g r a p h ic a l
H a d d o n ,
d e
c o rtó
el
u n a
d e
e s ta
e n te ra m e n te
a g o ta
L é v y -B ru h l
im p o rte
u n
es
se
y
B ro o k e ,
c ó m o d o .
q u e
e s tu d io s
c o rre s p o n d e n c ia s d e
el
a l
in tr o d u c ir
q u e
re p ro d u z c a m o s
e n to n c e s
p ro c e d im ie n to
a l
lo s
d e
c o n o c e r
la
q u e
m á s
a
o rig in a l,
e x te n s ió n
n ú m e ro
A n th ro p o lo g ic a l a ñ o
L a d e
to m a r á
u n
c o rre s p o n d e n c ia
h e c h o
secas,
p u s o
H u n t,
X X V I I I ,
h a
tie m p o
u n a
th e
s ig n o s
s irv ié n d o s e
d ie z ;
( 8 ) n a l
q u e
m e sa ,
b re
—
d e
p a r a
u n a
h o m b re
in te re s a
s ig n ific a d a ,
s o m e tid a s ,
h o ja s
a l
u n
fa m ilia r
la
c o sa
c ie rto
p a g a r.
u n a
“ e n
e v id e n te m e n te
ta n
d e
q u e a
a lg u n a s
h a s ta
es
o b s e rv a c ió n
n o s
h a c e r
lo
d e re c h o ,
e n
in d íg e n a s
m é to d o
c o d o ,
tó r a x
iz q u ie rd o ,
ú n ic a m e n te
s ig n ific a c ió n
la
d e
q u e
ta l
s ig n ific a d a s .
u n a
B o rn e o ,
p a p e l,
el
2
ú ltim o
el
u r r a y ,
lo s
re d u p lic a c ió n ,
2 ,
m e ñ iq u e
c o n v e n id o
m e ñ iq u e
q u e
a lc a n c e
s ig n o
d e
el
la s
n a c ie n te .
M
d e
p o r
m u ñ e c a ,
A s í,
T o r r e s ,
s id o
s u
h e c h o
c o n s e rv a rle
ta tiv a :
b r a z o ( 8) .
is la s
=
e s te
c la rid a d
e s ta d o
la s
n e is
P o r
la
c o n
e n
e n
p a rtic u la rm e n te d e
v e r
p ro c e d e n
n e is
p o r
p e ro c o n
n ú m e ro s
c la v íc u la ,
d e l
h a
o p e ra c ió n
rre s p o n d e n c ia ; s ió n
;
n ú m e ro ,
o b s e rv a c io n e s
( 9) .
U n a
es
a llá 3
c u e rp o .
la
d e re c h a ”
o b s e rv a d o r
d e l
á s =
d e
L a s
h a c e n
ú n ic o s
d e d o s ,
d e
la rg o
m a n o
u n
M 1
á t i c a
n o m b re s
p ra c tic a n
C o m ie n z a n
e n c im a lo
se
d e l
a t e m
p e n s a m ie n to
lo s
2 .
lo s
a ú n
re u n id o , e s te
2 ,
p o r
m
n u m e ra c ió n .
q u e
p a rte
3 1 .
a
la
o c c id e n ta le s p u n to
= =
h u e c o
h a y
la
h a
la s
f i lo s o f í a
n o d e
" A q u í,
n e is
p a s a n
la
d e
n e ta t
a lg u n a
lu e g o
h o m b r o ,
d e
T o r r e s .
re firié n d o s e
q u ie rd a ,
e s ta d io
c o n c re to s
c o m p le ja s
s o lo
e s tre c h o
d e
L é v y -B ru h l
a ú n
C ita re m o s e l
n u e v o
e q u iv a le n te s
c o rd a n te s
e ta p a s
p á g .
T r ib e s 2 1 0 .
o f
th e
T o r r e s
S tr a its ,
S e r i a c i ó n
ro s
y
el
p ie s , y
m o n to
v o lv ió
c in c o
ces
le
re c o rría
su s
« H e
d e d o
lo
a c e rc a m o s la
D u r a n te
té rm in o s lo s
ta n te
se
n o
d e s ig n a se
la
q u ie re
6 .
c o n
h a y a
s in
d e c ir
p a la b ra q u e
y
q u e
h iz o
u n
el
si
p a p e le s m o n tó n .
él
y
y o
o rd e n
le jo s
n o s
e n
q u e
e x a c titu d .
p o r
el
in te
( 10) . o
d e
a l
p a p e l
e x te rio riz a
in d íg e n a
L o s
n ú m e ro s
tra d u c id o s
e n
s is te m a
q u e
u n a
s u p lir q u e
le
s e rie
o r d in a l
c o m p o n e n
e x a c titu d la
P o r
e n
el s o n
c u y o s
fo rm a d o
q u e
sea
el
e n
s is te m a
p e r
d e
c u e n ta s
b a s
d e l M
d e riv a
e n
c o n c e p to
u r a lu g ,
d e
n o m b re
o b je to s
e s te
m e d io
e x p re s ió n
e je m p lo ,
n a b ig e t,
n a b ig e t
« B ie n ,
p ie s .
e m b a rg o
la
d e c ir
d e l
g e t,
n ú m e ro
m a n o ;
n ú m e ro
h a y
ta n to s
L A
N O C I Ó N
h a rá
fa lta
e n to n c e s
p a ra
se rá
n e c e s a rio
s e g u ra m e n te
n u m é
el
c u e s tió n ,
p e ro ,
5 ;
s o la
c o m o
d e d o s
( 11) .
d e
¿ Q u é n ú m e ro ?
h a y
(1 0 )
f e n
( H
H a d d o n ,
y e a rs
N o
c o n
a b s tra c to s ;
c o m e n z a d o
)
fa c ilid a d
p o n ie n d o
e s to s
p e rfe c ta
secas
a l
él
c o m o
le e n
d ijo :
e n
q u e
n o
c o n
e tc ”
c iv iliz a d o s .
lo s
e
e n to n
c o m o
a ld e a ,
p e rm ite
s o n
y
lo s
m a n o s ,
d e je m o s
p a p e l
e n
h o ja s
q u e
lo c a le s
c o n
e n riq u e z c a
s iq u ie ra
y
o
s ig n o s
c o n s titu id a .
—
p u ra m e n te
s u m a s ,
y
s ig u ie n te ,
d e ta lle s
a ld e a
p id ió
m ie n tra s
b la n c o s ,
d ía
d e
c u a re n ta
c o rre c ta m e n te ,
d e
re la c io n a d o s
m a n o s
lo s
M e
p ie s
m e z c ló ,
a l
lo s
c a rd in a l
e s tá n
d e
d e d o s
h a b ía
h ic e ,
b ie n ;
lo s
d e
p u e b lo s
e s tá
m a n o ”
se
lo s
la s
d e
p o d r ía
c o n c e p to
g u a je
p e d a z o s
f o rm a
c o m p lic a d a s ;
m e n te
n i
d e
fije z a
a ú n
“ n o
ro
u n a
re c o n o c e rlo s
ric o
e so s
s u c e s iv o s d e d o s
L a
e n
e n
d ife re n te s
d e
irá
d e
la s
m e sa .
q u e
to d o
p e d a z o s
to d o s
la
lo
lo s
lis ta
s u c e s iv a m e n te ,
c u a l
y e n d o
m i
u s te d e s ,
to d o
c o rre s p o n d e n c ia
n u m é ric o
p ro p u e s to s
m ite
d e
d e
p a p e l
lo s
a g o ta d o
d e d o s
d ijo ;
lo
re p itió m e s,
o lv id ó
su s
d e s p e rta m o s
u b ic ó
y
s o b re
re p itió
d e
d e
n o s
u n
e m p le o
c á lc u lo
5
d e
o p e ra c ió n
p o r
d e s p u é s
v ís p e ra ,
n u n c a
c a rta s ,
te m p ra n o ,
m e s a ;
m á s
E l la
la
h u b o
te r m in a r
m e n s a je , y
ta rd e ,
p e d a z o
c o m o
a
m i
p a p e l,
la
m a ñ a n a
m e s a » ,
e s ta b a n
d e
A l
o rd e n a d o s
n u e s tra s
c a d a
C u a n d o
n u e v o
2 9
c o n e s f o n d e n d o ,
m a n o s .
p a p e l d e
E n tr a d a
p r o n to
rio r,
d e
a q u í
s o b re
la
T a n
m u lta . la s
p e d a z o s
re c u e rd o
s o b re
la d e
re p itie s e
n o s o tro s » . el
d e lo s
p e d a z o s
q u e
a n te s .
a
y
p o r
u n
u n a
n e c e s id a d
in o b .
v o c a b u la rio
p o rq u e ser
S a ra w a k , c it.,
p á g .
D E
n o
n u e v o ,
u n a
p á g .
3 0 5 ;
e n
n u e v a
1 3 9
y
q u e
s ig .;
e n
c o n c re ta .
p o r
2 1 7 .
E n
el
el
p â g .
v e rd a d e
le n
s ig n o s q u e
n o
re a lid a d ,
p s ic o ló g ic a ;
L é v y -B ru h l, p á g .
q u e
a b s tra c ta
o p e ra c ió n
L é v y -B ru h l,
a p a re z c a
fo rm a d o
e x p re s ió n
d e n o m in a c ió n
d e
I,
h a y
D O S
2 1 4
y
e l
sig .
L a s
3 0
p e n s a m ie n to g u ro
d e
a ritm é tic o
sí
m is m o ,
U n ic a m e n te y
d e l
lo s
c u e rp o
ta d o , d e l
e n
s o la
la
o
le n g u a je
e n
d a rs e
a n te s
c o n
c re ta
a
p a p e l
D ic h o
q u e
d e
e lla
q u e ,
q u e
n u m é ric o
m ie n tra s p o r
in d íg e n a
a s o c ia c ió n
d ita r ia ;
lo s
q u e
a s o c ia c ió n
E n
d e
p e d a z o s
d e
b o r r a r
p a r a
h u b ie ra
m a n o , q u e
la
e n
la
el
e n s id o
e n riq u e c e e n
el
re p re s e n ta c ió n
a b s tra c ta se a
s u c e se
h a n
se
el
e v o c a r
te rm in a ,
d e s e m p e ñ a r p a p e l
e x p re s ió n
q u e
fo rm a q u e
m á s
re s u l
m o v im ie n to s
e s ta
n o c ió n
es
té rm in o , lo
p r e
p a rte s
el
c o m o
d e d o s
c u a lq u ie ra
n o
fija
s ig n ific a rá
p o r
la
c a p a z
d e
lo s
se
o b te n id o
ese
c a rd in a l
c iv iliz a d o s ,
d e l
d a
q u e
h a
p e n s a m ie n to
la
a l
c á lc u lo
q u e
p e d a z o s
a s o c ia c ió n
s ig n ific a c ió n p o r
in d iv id u o
d e
y ,
a s í,
fo rm a
d e
se
re a liz a
d el
n ú m e ro
in tu ic ió n
p o r
sí
c o n
m is m a
c á lc u lo
e l
d e l
in d í-
su
c a p a
se
m e d ía n te
o p e ra c io n e s e sas
u s o ,
la
la s d e l
s o n o ra s
tr a s m is ió n
d e
es
h e re
o p e ra c io n e s
g e n e
p e n s a m ie n to
s is te m a a p o y a
la
p a rtic u la re s ,
im á g e n e s
p o r
p a s o
u n
q u e
a d q u ir ía n
p a s a je ra
re h a c e r el
c o n s titu ir ló g ic a
a
d e
el
p a p e l
m u y
re la c io n a d o
c o n s ta n te
p e r m itid o d e
eso s
u n a h a b ía
h e c h a
d is p e n s a
ra tric e s tá n e o
s e rie
q u e
re fe re n c ia ,
m e m o ria
d a to
se
a c u m u la c ió n
d ife re n te s
té rm in o s
to d o s
s o n o ra ,
la s
m á s
d e s c rib ir.
T îo rn e o .
el
u n a
p a la b r a d e
d e
s im u ltá n e a ,
a n te rio rid a d .
es
d e
L a
u n a
m o d o ,
o
n o m b r a n d o
c o n
lo s
p ie s
lo s
n i d e
p ro b le m a
c o m o
c o le c c ió n
la
re fie ra ,
n u m e ra tiv a
c u a l
d e
im a g e n
se
d e
m e d ía n te
o tr o
o r d in a ria
s e rie
s e n tid o
d e s e m p e ñ a n
S o lo c id a d
u n a
re c u e rd o
d e la
u n o
c o m p le jo , a c a b a m o s
c a d a y
a n te rio r,
e n to n c e s ,
p u e b lo s
c u a n d o
q u e
g e n a
u n
lo s
o rig in a ria .
la
im a g e n ,
el
o b ra
la
á t i c a
m á s
p a ra
d e
a t e m
q u e
p re lim in a r.
c a d a
p o s ib le
le v a n ta d o s
d e
fo r m a
d e
n i
m a n o s
té rm in o s
e n u n c ia c ió n
p a la b r a
la s
c á lc u lo
im p lic a d o
to c a d o s la
u n
E s
d e
tr a b a jo
ra n g o
d e
n e c e s a rio
c o n tr a r á
se
el
lo s
ese
su
re c o rre r,
d e d o s
s o n
se r
m
c ó m p u to
c u m p lirá
q u e
e n
el
d e
f u tu r o .
s iv o s ;
p u e d e
e n
fu e rz a
re h a c e r
u n a
f i lo s o f í a
h á b ito
re tie n e
s id o
la
a
re s u lta d o
c á lc u lo
n o
q u e
d ife re n te s
n e c e s a rio
d e
el
e c o n o m ía ;
s e n ta ,
e ta p a s
e s p o n
n u m e ra c ió n ,
s o b re
la s
re g la s
a l
d e
la
n u m e ra c ió n .
7 . la
—
n o c ió n
d e
s ig n ific a tiv o s n u m e ra c ió n L a g e n a s to s
e n
to n c e s
c u a n d o
d e la
ese
q u e p o r se
d e si
p a s a je . m á s
d o s
re g u la re s
d e
m o n to n e s
tie n e n
s ie te
d e
q u e
o b s e rv a r
p ro p o rc io n a
n u m é ric a
s o la m e n te d o s el
a lfile re s ,
le s
u n o ;
p e ro
se
el
tie n e n
lo s
ra s g o s
n a tu r a lm e n te
u n id a d e s ,
s in
p a r.
u n
d e l
c o lo c a d o s
v e rá n si
es
re p a rtir
p ro b le m a
o b je to s
e je m p lo sa c a
E l
o p e ra c io n e s
p o r
c e n tro
m á s a
la
s im p le .
s a b e n
e so s
la s
o c a s ió n
re p re s e n ta c ió n
A u s tr a lia
m o n to n e s
s o b re
te n d re m o s
b a s e
p rim e ra
d e
p r o p ó s ito
m e sa ,
In s is tie n d o
d o s ,
le s
saca
lle g a r
a
n ú m e ro .
d e la n te
fá c ilm e n te
A lg u n o s
c o n ju n to
q u e
d o s ,
n o
p la n te a r
s o b re
tie n e n se
o b je
O c u rre
s u y o
n o
in d í
d e
d a rá n
el
a
e n u n a to ta l
c u e n ta
L a
m á s
d e
la
tin g u ir
s u s tra c c ió n
s in o
lo s
p ro c e d im ie n to lle g a n is la
a
d e l
b re s
d e
L a
( 14) ,
lo s
el
1 0
+
2 ,
o
1 0
n o
c u e n ta n
c o c o ,
1 0
n u e c e s
d e
(1 2 ) p á g .
d e
B e itr ä g e 1 9 0 5 ,
( 1 5 )
E s
e s ta d io
p o te n c ia s e x p lic a
L a
la
n o m
m o d a lid a d
q u e
se
tr a ta b a
q u e ría
d e c ir
d e
ra ces,
o b s e rv a c ió n
t.
2 ,
o b je to s
a
lo s
d ic e
el
n o
la
d e l
D r.
se
s irv e n
1 0
M e lb o u rn e ,
lo
d e
1 8 8 6 ,
si
q u e
d e
n u e c e s
d e
p á g .
e n
se
1 0 »
e ’lo s
p u e s to
m á s 1 2
se
a p lic a n ,
s irv ie n d o
m o n to n e s
c o m
S te p h a n ,
e je m p lo : d e
m u e s tra
le n g u a je ,
p e rfe c ta m e n te
d o s
c a n
e x p re s a r,
c u a le s
su
q u e
la s
m is m a
p a ra
D r.
e n
p o r
v e
I,
d e
y
m o n tó n se
d e
L é v y -B ru h l,
s irv e n
y
p r im itiv a
fo rm a c ió n
d is tin g u ir
u n
b ie n
A u s tr a lia n
p a re s
( 2 0 )
1 0
s u s ta n tiv o s ,
o
M e la n e s ia n
L e ip z ig ,
lo s
a n d 1 8 1 7 ,
a m b a s
e q u ív o c o s
la n g u a g e s ,
lo s
a u to r
p á g .
1 8 6 ) .
p á g .
se
la
8 4 ) .
¿
O x fo rd ,
la
§
e l la
1 8 8 5 ,
e s te
tr a ta
d e
( 15) .
3 2 ;
p á g .
e n
2 4 1 ;
q u a d r a to c u b u s a
te x to s
C o n a n t,
e n
L é v y -B ru h l,
1 0 ,
n 9
s ig n ific a n d o o rig e n in
se
lo s
h in d ú e s
la s o
y
L o s
o b ra s la
g rie g o ,
X
o
la
(C o le b ro o k e , a n d
I I I ) .
o
o rig e n
D e d e la
s e x ta h in d ú .
p o
m u ltip lic a r
A lg e b r a
á ra b e s a q u í
la
T a n n e ry ,
v a r g a - g ’h a n a
B h a sc a ra
la
D a r s te llu n g ,
se e n
P .
e n
te rc e ra ,
la s
q u e
d e
e d .
e n
d e
c o n s is te
" c u b o I,
c o n v ie n e n
la tin a s
d e
fo rm a c ió n D io fa n to ,
p o r
lib ro
g ’h a n a
q u in ta
s y s te m a tis c h e r
d e
m a te m á tic o s
p á g .
B ra u n
c o m b in a c ió n
la
e s p a c ia le s ,
d e s ig n a
n o v e n a .
3 ) .
d e
P a ra
B r a h m e g u p ta
p r e lim in a r , e n
d u a lid a d
( A r itm é tic a ,
G lo b u s ,
2 2 1 .
te rm in o lo g ía
p o te n c ia
o f
p á g .
d im e n s io n e s
p o te n c ia
s e ñ a la n
d e
la
q u in ta
S a n s c r it
p á g .
E le m e n ta r -M a th e m a tik
m is m a
la s
c o n tra rio
la
th e
N e v j-P o tn m e r n ,
m a te m á tic a .
c u b o ”
s e g u n d a
D is e r ta c ió n
h is to ria d o re s
d e
p o te n c ia
P o r
2 5 ,
la
d e s c o n o c id a ,
d e l
v o n
L é v y -B ru h l,
c u ltu ra
a n a lo g ía
h a n a -g fh a n a ,
{ lb id .,
re fie ra
la
" c u b o
fr o m
e n
e n c o n tra r
d e
s ig n ific a n d o
L ila v a ti,
q u e
d e r
p o r
s e x ta ,
fu e n te s q u e
p o r
B e w o h n e r
2 0 6 ;
a
c a n tid a d
m e n s u r a tio n
e x p re s ió n
e l
la
s e x ta
v a rg a
m is m a
c h ic h te
v o lv e r
e x p o n e n te s :
1 8 9 3 ,
p o te n c ia
L o n d re s ,
d e
d e r
p á g .
a v a n z a d o
n a tu ra lm e n te
e x p o n e n te s : la
m á s
p o te n c ia
a r ith m e tic
P s y c h o lo g ie
in te re s a n te
d e
la
z u r
L X X X V I I I ,
s u c e s iv a s
a d ic ió n
I,
t.
m u c h o
m u y
te n c ia ” ,
d e
se
d e c ir,
lo s
E n to n c e s
2 ,
C o d rin g to n ,
( 1 4 )
es
T h e
es
d e
ta ro ,
“ e n
2 2 0 .
s c h w e ig ,
lo s
m á s
la
c u rio s a
a b s tra c ta m e n te
d e
lo s
o p e ra c ió n a
a n ifie s ta m e n te ,
d e
u n id a d .
C u rr,
( 1 S )
la
n u n c a
a
p a re s
lo s
A s í,
1 0 4 .
p á g .
u n
« M
d a
h a y a .
ig u a lm e n te
d e
n e c e s id a d
c o c o
u n a
lú a ,
2 .
se
d is E s te
c o m o
H o k o r u a
u n a
P o m e ra n ia
tu b é rc u lo s
c a so
e n
N u e v a
la
y
q u e
a d ic ió n ,
e fe c to ,
X
b ie n
d e
( 1 2 *) .
( ls ) .
la
h a b itu a l
c a p a c e s
im p a re s
s o b re e n te n d ie n d o
d e s ta c a d o
a c o m p a ñ a d o s
2 0
ú ltim o
e llo s
S a n a u l
a g ru p a m íe n to
n ú m e ro s
t.
d e
s o n
n u m é ric a s .
p a re s ,
o b je to s .
c o n v ie rte c o m o
h a
lin g ü is tic a
e x p e rim e n ta n
q u e
se
E n
q u e
in d íg e n a s
b in a c ió n
n o
p a re s ”
n u m é ric a s .
S te p h a n
g ú n
v e in te
n o
n ú m e ro s
b a s ta n te
d e
n ú m e ro s ta n to s
c o n tr ib u ir ,
h e c h o
lo s
p o r
n ú m e ro
d e
d u p lic a c ió n
d e
u n id a d e s
c u e n ta
lo s
n o
d e c ir,
d e
tid a d e s
q u e
el
e m p le a r y
se
“ d o s
y
d e
31
d e
e x p lic a
p a p e l
Y o r k ,
p a re s , es
el
s e g ú n
e ra
c a p a z
o
d e
d is tin to s
c u a re n ta ,
q u e
p a re s
ru d im e n ta rio
d u q u e
ta n to s
es
p u e s to
n ú m e ro s
d e s e m p e ñ a r
p o lin e s ia
n o c i ó n
w ith
tr a n s la te d ,
h a n
to m a d o
p ro v ie n e n
E d a d
M
p o te n c ia (T ro p f k e ,
L e ip z ig ,
t.
lo s
e d ia ;
I,
la
s e g ú n G e s 1 9 0 2 ,,
3 2
L a s
E n
o tra s
a c o m p a ñ a d e l
A lto
d e
d o n d e
es
d e c ir
n e s
5
a
e n
e l
m e n te d e l y
y
n ú m e ro
e s tre c h o
d e
q u e
o k o s a ,
u r a p u n ,
k a re n s
tr a d o
la
(1 6 ) C o n a n t, p o r
la
« e n
d o s
e l
p o r
u n
h a
I n d ia
n o
h a
=
T a
==
K ie
y
s in o
w ty a r ,
c o m b in a c io
d e ja d o
su s
R e v .
(e s c a la
h u e lla s
d e
M lo s
=
Y a y
=
T h e u lh o
( 3 X
7
=
T h e u th o ta
( 3
X
2 )
8
« =
L w ie th o
( 4 X
2 )
9
=
L w ie th o ta
( 4
1 0
=
T a s h ie
S p r a c h w is s e n s c h a ft,
e s c a la :
e n
es
c u a l
se la
a s o n
u r a p u n d e
o c c i o k o s a
se
h a lla
d ic e
c o m o
n u m e ra c ió n
( 1S)
h a
e n c o n
B g h a i) .
h e u
in te rp re ta c ió n la
c in c o lo
p u r a
in d íg e n a s
le n g u a je
d e
F .
lo s
es
n ú m e ro s ,
e l
d o s
6
d e r
d o s
re g u la r
U n o
e n tre
o tr o ,
5
p á g .
o
el
T
c it.,
w ty e r d o s
d e s p u é s
L w ie
J o u r n a l
re g ió n
o k o s a ,
=
O b .
la
c o m b in a c ió n
e n
o k o s a
o k o s a ,
el
d e
d o s
( 16 7 18) . E n
s ig u ie n te
1
h a y
u n o
o k o s a
d o n d e
2
d e
le n g u a je
e n
f u n d a m e n ta l.
=
X
1 0 , la s
e n c o n tra d o
c u a tro
m o n to n »
s is te m a
la
tip o s
p a p e l
e fe c to ,
o k o s a
es
o
L a
d e l
d in k a ,
f o r m a n
3
(1 8 )
1 8 6 6 ,
7 ;
( ie ) ,
4
1 4 7 .
1 0
n ú m e ro
H a d d o n
s e is
e s te
( 1 7 )
C a lc u ta ,
q u e
u r a p u n ,
G r u n d r is s
d e c ir
w d y e ts
o k o s a
d e
c o n tin u a c ió n
e s
r o u
=
e n c o n tra rs e
te rm in o lo g ía
p á g .
=
el
lo s
te rm in o lo g ía :
5
ü lle r
á t i c a
d ife re n c ia c ió n
n ú m e r o :
re s p e c tiv a m e n te
ra s
m u ltip lic a d o r :
la
a t e m
2
d e s e m p e ñ a
T o r r e s :
h a b itu a lm e n te
lo s
el
s o n , es
d e l
m
2 .
d o s
es
T r e s
r o u ,
M
p u e d e n
d e n te .
d e
p o r
X
f i lo s o f í a
s ig u ie n te
w d e r o u
5
p u e s
la
F rie d ric h
a d itiv o ,
o k o s a ,
la
fin a lm e n te ,
tie n e n
d ic e n
2
d e
d ife re n c ia c ió n
s e g ú n
+
q u e
p a rte s ,
la
N ilo ,
A s í
e ta p a s
11
t.
2 )
X
I,
p .
d e l
s a b io
lin g ü is ta
=
w ty e r
k o
to k ,
2 )
II, e s e s
+
1
+
1
V ie n s
1 8 7 7 ,
c o n firm a d a , d r c ir
1 0
+
p á g . p o r
1 ;
2 0
5 5 ;
e n
lo
d e m á s ,
=
w ty e r -
2 . p á g . o f
th e
2 4 5 ;
3 0 3 ;
e n
A s ia tic e n
L é v y -B ru h l, S o c ie ty
C o n a n t,
p á g .
o f
p á g .
2 1 7 .
B e n g a l,
1 1 2 .
a ñ o
1 8 6 5 ,
t.
I I ,
v o l.
X X X I V ,
E l
E L
8 . — q u e
d a
e n
L a
u n
g ra d o A n te
p u to
d e
d e
el
lo s
to d o
h a es
d is p o n e
d e
p o n ie n d o
la
lo s
m a n o
n e n ,
« la
q u e la
la
m a n o
el
q u e
ta
a
d e
g ra n o s
lo s
tir a
z w e ite n
m is m o
T h e
u n o
o
se
d e e n
U n te r
e n tre
si
D ie
(2 0 )
P á g .
( 2 1 )
E l
d e ja y a
n o
m á s lo s
e fe c tú a
q u e
a l
b a k a iri
( 21) .
e n
1 8 9 4 ,
p á g .
lo
se
lim i
p e n s a m ie n to q u e lo s
e s ta b le c e m o n to n e s
lo s
d ie z , lo s
p á g .
d e
e le m e n ta
to m a lo s
d e d o s
d e d o s
n u e v a ,
S i
re S te i
( 20) .
lo s
lo s
té rm in o s
se
y
m o m e n to
le v a n ta
E l
lo s
e sc e n a
v o n
el
re c u rre c a b e llo s
lím ite s
R e is e s c h ild e r u n g
B e rlin
e n
m a íz ,
m ím ic a
v e in te ,
le v a n ta
K a rl
E n
d e d o s .
a u n
d e q u e
y u x ta
c o n ta b a »
6 .
s o b re p a s a n
P e ro
1 8 9 2 ,
d e
é s te .
u n a
Z e n tr a l-B r a s ilie n s
L e ip z ig ,
q u e e n tra
v a lu a c ió n
lo s
lo s
(1 8 8 7 - 1 8 8 8 8 ) ,
B a k a 'i r i- S p r a c h e ,
y
m a íz ,
p u e s to
c o n tin ú a
d ic e
lo s
d e c ir
p o r
s o b re p a s a n
N a tu r v ö lk e r n
es
o b je to s
é l,
le v a n ta d o
c o m b in a r
d e
re g u la re s
el
d e l
h a
m o v i c á lc u lo
e l
m a n o s ,
q u e
m e r a ,
g ra n o s
iz q u ie rd a
la s
e n
el
n o m b re ,
g ra n o
a llá
E l
e n
L e v a n ta
C o m o
m á s
d e d o s
a h a g e .
g ru p o
m a n o
c u a n
lo s
p rim e r
tie m p o
la
d e
y
L u e g o
n u e v o
d e l v o n
el
m is m o
v a
d e
d e
s e g u n d o
in v ie rte
d ire c c io n e s
S c h in g u -E x p e d itio n
a u to r,
L e n g u a
d e n
o rd e n
p re s e n ta n
to d a s
n o
p a la b r a
lo s ’ p ie s ,
el
c ó m
K a rl
d e d o s .
p a ra
to k a le
el
m u e s tra
g ru p o s
v a lu a r
le v a n ta .
6 ,
m a n ifie s ta
se
to c a
a
d o s ,
a l
d e l
el
p e ro
m is m a
q u e
d e d o s
( 1 9 ) d e r
e n
d o s
to c a b a ,
lle g a
d e
e n
s e g u n d o .
q u e
c á lc u lo
c o rre s p o n d e n c ia
lo s
y
la
y
m o n to n
p ro n u n c ia n d o el
( 19)
c o n s ta n te
m o n tó n
n ú m e ro :
p a r tir
d e d o
d e
d e s ig n a n
n o
a
d e re c h a
iz q u ie rd a ;
a ritm é tic o
d e
u n o
el
h a s ta
c u a le s
lo s
y
q u in a rio .
e m p le o
d e
m a n e ra
lo s
re p re s e n ta c ió n
lo s
el
n ú m e ro
fá c il
iz q u ie rd a
d e
a
e n c o n tra r,
lle g a r la
c o m p le ta
p e q u e ñ o
es
el
s e p a ra
u n a
r e p a r tir
b a k a iri
d e re c h a
re p e tir
u n a
a
el
d e l
a
s is te m a
h a s ta
b a k a iris ,
n u m é ric o s
v u e lv e
re s o lv e r
m u y
d e
u n
se d e l
m a n o ,
d is ta n c ia
g ru p o
p e ro
b a k a iri
m a n o
le s
c o n ta r p o r
n u e v o
m a n o
d e
q u é
in te rv ie n e
n o m b re s
el
p o r
lo s
p r o n u n c ia n d o
p ro c e d im ie n to
e n
y
d o s
e m p le o
la
d e
n o m b re s
d e re c h a , p o r
d e
d e
o b s e rv a c ió n
m a n o
s ig u ie n te s ;
p re s e n ta
E l
la
el
p ro b le m a
p rim e r
d o s
d e
p ro c e d im ie n to s
c o n o c im ie n to
P a r a
s ig u ie n te
d e d o s
el
d e d o s
el
e n
e je m p lo
c o m ie n z a
g ra n o s ;
d e d o
y
lo s
D IG I T A L
n o c ió n
d e d o s
u n a
b a k a iris .
m e ñ iq u e
u n
E l
lo s
b a k a ir i
d o s
es
p ro b le m a ,
d e
la
e le v a d o ,
d a d o
el
d e
d e
lo s
c á lc u lo
m ie n to
e l
m á s
c in c o .
S te in e n a r d u o
u s o
to d o s
n ú m e ro
p a r a
e l
3 3
d i g i ta l
C Á L C U L O
d iv e rs id a d
lu g a r
c á lc u lo
u n d
4 0 6
y
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q u e
E r g e b n is s e
sig .
C f r .,
d e l
7 0 .
4 0 8 .
re c u rrir
in d ia n e
o f
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lo s
th e
c a b e llo s
P a ra g u a y a n
d e
la
c a b e z a
C h a c o ,
J .
A .
h a I.,
s id o
se ñ a la d o
X X X I ,
a ñ o
p o r
1 9 0 1 ,
H a w tre y , p á g .
2 9 6 ;
L a s
3 4
es
c a p a z
d e
n ú m e ro c o n
6 ,
lo s
f o r m a r
u n a
b a k a iri
n o
d e d o s ,
p ro p o n e d e d o s
e l
c o m o , d e
d e
—
L a
fa se
p o r
e n u m e ra d o s .
s ic ió n
d e
e n tre
la
lo s
lo s
1
=
2
= = =
T o p e a
5
=
M a n d a
d e l
q u e
9
=
N g a m a
1 0
=
b u g ila i
lo s
d e d o s
o r d in a l
L é v y -B ru h l,
y
p a ra (
p á g .
e n
p á g .
s irv ié n d o s e u n a
22)
1 3 9 ;
d e
P a r a
c a n tid a d
m u y
L é v y -B ru h l,
p a r ti
e l
§
la
5 .
tr a n
e n c o n tra d o
m a n o
iz q u ie rd a )
m e d io )
d e
la
n u m e ra c ió n
lo s
B u g ila !
iz q u ie rd o ) d e re c h o )
o b te n e r
y
q u e
e le m e n to s
" L o s
le n g u a s d e
e le v a d a th e
p á g .
n ú m e ro
su s
fo rm e n
c o le c c ió n ;
lo s
2 1 6 .
se r
c in c o
p u e d e n m a n o s lo s
a n d
la
a
L o s
p e lo s
d e
d e s ta c a r e n
c o n tra s te d e l
s in
d e
m u c h a s
D e s p u é s la
la
d e
d e
u n a e n tre
v o c a b u la rio a n a tó m ic a
tra n s fo rm a c ió n
d e d o s
p ie s .
T a g o ta
el
d is p o s ic ió n
la
c o n ta r y
f a lta
c o m p re n d id o s
ú ltim o s
p u n to
p ro p ic ia
e m p le a n
B u g ila i
c in c o ,
d e
c a rd in a l.
d e d o s
o f
e l
q u e
es
( 22)
c a p a c e s
y
h a s ta
m a n o
c o le c c ió n
lo s
la
(d e d o
té rm in o s
la
V o c a b u la r ie s e n
(s e n o
lo s
2 1 9 .
h a
c á lc u lo
(c o d o )
(s e n o
m u e s tra d e
c a so e n
m a rc a
C h a lm e rs
ese
su c e
( h o m b r o )
c o n ju n to
lo s
u n
d e s c ríp to In g le s a ,
d e
d e d o s
(m u ñ e c a )
D a la
d e
lo s
p e c h o :
P o d e i
d e
P .
d e
c o n tin u a c ió n
d e l
=
p rim e ro s
e n
la
y
8
d e
c o n s
( p u lg a r ) .
T r a n k g im b e
c in c o
q u e
s ig u ie n te s :
e ñ iq u e
k in a
G a b e n
lo s
v e in te ,
(M
=
in tu ic ió n
a q u í
R .
q u e
e fe c tu a r
( a n u la r )
=
—
E l
n ú m e ro
6
h e te ro g é n e a
s e rie
c u rio s a .
7
1 0 . s e rie
d e
G u in e a
d e
lo
e s ta b le c im ie n to
N u e v a
la
f in ,
le su s
(ín d ic e )
e n
b r a z o
el
h e m o s
d e
se d e
p rá c tic o ,
e s to
c u a lita tiv a e n c o n tra r
G u ig im e ta
ta n to
es
q u e
n ú m e ro
e n
el
c u e n ta
d ig ita l.
a
k in a
3
e n
d e l
b a r e m o
b ie n ,
c á lc u lo
h a s ta
d ig ita l;
p e rm ite ,
q u e
T a ta n g e s a e ta
u n
g e n e ra l
m á s
4
s irv e n
a h o ra
d e c ir,
p ro b le m a
V o lv e m o s
n o m b re s
M
d e
es
c á lc u lo
c a d a
q u e
d is tin c ió n
B u g ila i,
m a n e ra
e llo s
E n se
d e
el
s e rv irs e
h e c h a ,
in te rm e d ia
la
p ro c e d im ie n to
A
s in
el
á t i c a
n u m é ric a ,
a d ic ió n ,
p ro p ie d a d ,
a t e m
re a lid a d
d e d o s .
y a
n u e v a
c u la r
e je m p lo
e n
lo s
c u e n ta
c o n
m
c o m b in a c ió n
o p e ra c ió n ,
s iv a m e n te
E l
f i l o s o f í a
p e n s a m i e n t o ” ;,
re p re s e n ta d a
d e l
la
p ra c tic a
la
u n a
h a b la n d o
9 .
d e
c u e n ta
u n a
re a liz a r
“ e c o n o m ía s
e s tá
n o
re c o m ie n z a
d is p e n s a
titu irá ,
e ta p a s
m a n o
d e
la
tie n e n
d if ic u lta d e s e s to
d ic e n
I.,
X X V I I ,
h a s ta
m u c h o ,
c a b e za ” .
d ia le c ts ,
J .
A .
1 8 9 8 ,
e s ta
E l
el
p riv ile g io
n e ra
q u e
d e
in s tr u m e n to s u n a
d e
a sí
la
c á lc u lo
m a n o
a
q u e
m a n o
la
q u e
e s tá
n o m b re
q u e
ta rd e
s e rá
¿ C ó m o
d e s ig n a n
n ú m e ro s
lo
3
=
H a ’i
4
=
A w i te
5
=
o p te
e fe c tu a d o
a trá s ,
e n
q u e
d u c ie n d o f a lta
m e n te
la
e r
e l
y
lo s
1 8 9 2 ,
( 2 4 )
Ib id ., p a ra e l
e n c o n tra r
a
q u e
p o r
s irv e n
la
m a n o es
a
la
s u c e s iv a m e n te
lo s
d e d o s se
d e
la
a p lic a
e x a c ta m e n te
lo s
m o v im ie n to s
C u s h in g
M
se
o b ra r,
c u a le s
m á s
d o s
el q u e
n u m é ric a .
e n tre
p a ra
é jic o
d e
lo s
la s
y
la s
p a la b ra s
c in c o
p rim e ro s
d e d o s
d e l
ig u a lm e n te
le v a n ta d o s ,
té rm in o
p a rte
q u e
e x c e p to
to d o s
es
lo s
d e
la
c u a tr o
el
u n o
m a n o ,
o p e ra c ió n e s tá
a
c o m o
la d e
e s tá
m a n o ese
u n a
d e
m o v i
h a s ta
el
m o v im ie n to e n
la
v u e lta
s u s tra c tiv a
h a n
lo s
m o v im ie n to
s u p u e s to
d e
m ita d
se
m o v im ie n to ; d e
d e l
d e
r e s u lta n d o
se
d e d o s
f in
d e d o s
la
q u e
d e l
o b je to s
re p re s e n ta c ió n
d e d o s
g e rm e n
o b je to
s o n
c in c o
L a
c u a tr o ,
d e
p re c e d e n te
d iv id e
( 24)
el p u lg a r.
e n
e l
té rm in o s
lo s
c o m e n z a r
c o n
lo s
o tr a
ta n to s
m a n o
se
c o n ta r
y
d e
h a c ia
tr e s
c a m in o ,
le v a n ta d o
tr a o
sea
a n te r io r
d e
M a n u a l a d m ite c o n la
c o n c e p t s ', la
lo s
d e d o s ,
m a n o
a
s tu d y
u n iv e rs a lid a d e n to n c e s
iz q u ie rd a
la s
o f
th e
d e l la
in flu e n c e
e m p le o
m a n o
u n id a d e s
d e
o f
la
d e re c h a
h a n d
u sa g e
m a n o
d e re c h a
s id o
s ie m p re
h a
c o n t a d a s ’’. A m e r i c a n
a n th r o
2 9 2
1 8 9 2 , lo s
c u a d ro u n a
" S i
d e d o s
p á g .
(2 5 )
la
y a
o
la s
e x p lic a ría
s o b re
to c a r
lo s
n o ta c ió n
q u e
s im p le lo s
d e
a rtíc u lo
te n d e n c ia
1 3 -1 9 -E n
s o b re
e s tá
a
N u e v a
m o c h o .
s e n tim ie n to
g r o w th -.
c o n ta d o r ,
p o lo g is t,
a
d e d o
to d o s
le v a n ta r
y
c u ltu r e d e
d e
to d o s
d e
y
y
d a d a
s u c e s iv a m e n te
tr e s
p a ra
d e
( 25) .
(2 3 )
e l
el
el
P o r
c o n
d e
d e
se
a
n a tu r a lm e n te
s ín te s is
to m a d o
e l
h a s ta
h a b itu a d a
m a
re s p e c to
e n tre
( 23)
c iv iliz a d o s
n u m é ric a
le v a n ta d o
=
—
la
ta l p a p e l
e s te
e s ta b le c e ría
s a lv a je
g u is a
A
e x c e p c io n e s ,
c o n ta r
e s ta
=
in tu ic ió n
d e c ir,
n o m in a c ió n
y
la
le v a n ta d o es
a
c o n ta r.
n o
d e
d o b le
C u s h in g
s in
s o n
el
m a ra v illa :
= =
s u c e s iv o s .
h a
to ta l,
T o p in ie K w illi
es
y a
z u ñ ís
a
y u x ta p o s ic ió n
m o c h o ,
o n
lo s
=
m ie n to s
q u e
e n tre
—
el
tra d u c c ió n
m u e s tra
1
la
q u e
L a
se
es
n o ta c ió n
c o n s titu y e
2
U n o d o s
u n a
e m p le a d o
se
re p re s e n ta c io n e s ? q u e
re c u rre
o b je to s
d e s ig n a
c a si
d e re c h a
a
d e
p u e b lo s
c o n ta n d o ;
lo s
re p re s e n ta b le s ,
o b je to s
tr a b a jo
lo s
la
iz q u ie rd a
d e
o b s e rv a c ió n
d e
y
a lte rn a tiv a m e n te
e fe c tu á n d o lo ,
c o m o
d e d o s
m a n o
y
3 5
d i g i ta l
m ó v ile s
d e l
u n a
d ig ita l
d e re c h a
v e z
d iv is ió n
p a r tic u la r id a d
iz q u ie rd a :
m á s
la
c o n ta r
U tiliz a n d o
d e l
lo s
a
d e s e m p e ñ a r
p a r a
e s p e c ie
m a n o s .
se r
p u e d e n
c á lc u lo
p á g .
d iv e rs o s d a d o
m ím ic a
iz q u ie rd a
p o r
2 8 5 ;
e n
A d a m
in te re s a n te e l
L é v y -B ru h l,
p ro c e d im ie n to s
p u lg a r
d e
la
p a ra y
e l
d e l
p á g .
n u m e ra c ió n la
2 1 8 .
c á lc u lo
re p re s e n ta c ió n
ín d ic e
d e
lo s
d ig ita l,
e n tre
tre s
lo s
d e l d e d o s
v e r
C o n a n t,
m o n ta ñ e s e s , n ú m e ro
s e is .
re s ta n te s ,
se
p á g in a
s e
v u e lv e
S e
s e p a ra
u n e
a
lo s
3 6
L a s
e ta p a s
LO S
1 1 .
d e l
y a
se
y
c o n
le v a n ta d o s
=
L a
M
el
el
—
7 ,
d e
p ro c e d im ie n to s
v o c a b u la rio
m á s
8 ,
á t i c a
N U M E R A C IÓ N
s im p le
es
la
o tr o
es
es
o fre c e
a
p a r tir
q u e
a p lic a n
a g re g a d o
d e c ir,
h a ilik ’y a ,
se
n u m é ric o ,
es
d e c ir,
k w i l l i k ’y a ,
p a ra
h a
fo rm a s
a t a ’u z i k ;
d e l
a t e m
d o s
d e c ir,
a
lle v a d o s tre s
lo s
lo
q u e y
le
lle v a d o s
y
re s to .
u r d o c h
( 2e)
D E
to p a lik ’y a ,
p a ra
m
v a rie d a d
o p e ra c ió n 6 ,
re s to ;
c o n
J o h n B a r r o w
el
f i lo s o f i a
e x te n s ió n
p a r a
c o n ta d o ;—
v a n ta d o s
1
d a :
m is m a
la
c in c o .
q u e
h a
L a
p a ra
n ú m e ro
z u ñ is
la
P R O C E D IM IE N T O S
—
o b s e rv a c io n e s
d e
6
d e s c u b ie rto
e n tre
lo s
e s q u im a le s
d e
C a p
a n á lo g a s :
=
a ta u ty im in u n a y
v e z
a k b in ig in
s o b re
c in c o ;
lo
te n d ie n d o a ú n
el
m á s
q u e
tu d lim u t,
p r ó x im o
p u e d e
tu d lim u t
es
s im p lific a rs e
( c in c o
s o b re e n te n d ie n d o
d e c ir,
( m a n o
o
u n a
o
p ie )
s o b re e n m a n o ) ,
a ta u ty im in
y
( u n a
v e z ) . 2
3
=
m a ’d r o ;
=
7
p í 'n a s u m ;
=
8
m a d r o ’n i n
a k b i ’n i g i n
m á s
o ) .
=
p r ó x im
p i n a s ’u n i n m á s
d e n o m in a c io n e s
n u m é ric a s
2
7 ,
e s ta
la s
q u e
y
p a ra
a n o m a lía s
h e m o s
p rim e ro s
d e d o s
q u e
d a ,
t ’a p ê
A m é r ic a n is te s N o se d e
m e n o s
d e
(2 8 )
p á g .
es
N o te s
A m e r ic a n
8 ;
la
6 .
( L u x e m b u r g o ) , e l
" m a n e jo ”
d e
D ic tio n n a ir e
S a c a
m a n o
d e
d e
t.
II,
la
el
(tre s
v ece s
s o b re
el
y
se
la n g u e
d ic e
d u
V I
a
d in é -d in d jié
p a ra
1
s o b re
la
p is ta
la
o b ra
L a th a m
( 27)
C o n a n t
E s s a y s
r e n d u
c u a d ro
p o n e
p o r
lo s
d e re c h a ,
C o m p te
lo s
s o b re
c o rre s p o n d e n
s e ñ a la d a s
v eces.
d e
se
c o rre s p o n d e n c ia
n u m e ra c ió n ta n ta s
p u lg a r
d e l
p á g .
y
7 > ,e lk k e - t'a p é —
1 8 7 7
sa c a d a
L é v y -B ru h l,
rro w ,
e l =
c u rio s o
e n c o n tra rá
d e
u tiliz a d o
d o s
p a ra
3
v eces
o ) .
L a s p a ra d e
a k b i ’n i g i n
p r ó x im
(d o s
d e
tr e s
d e
C o n g re s
C a n a d á ,
D é n é -D in d jié ,
d e
c a d a
d e
c u y a
la
6 ,
la d o ,
in te r n a tio n a l
c o n tin u a c ió n
d e l
e n
y
p á g .
lo d e s
2 4 4 .
d e s c rip c ió n ,
P e tito t;
e n
la
o b ra
2 3 3 .
o n
C o u n tin g
a n d
A n th r o p o lo g is t,
t.
M e a s u r in g I l l,
1 8 9 0 ,
a m o n g
p á g .
3 8
th e y
E s k im o
sig .
y
o f
T y lo r,
th e tr.
P o in te B ru n e t,
B a t.
I,
2 8 6 . ( 2 7 )
L o n d re s
R . y
G
L a th a m ,
L e ip z ig ,
I8 6 0 ,
O p u s c u la , p á g .
2 4 7 ;
E ssa y s, e n
c h ie fly
C o n a n t,
p á g .
P h ilo lo g ic a l 6 7 .
a n d
E th n o g r a p h ic a l,
a
la s
L o s
la s 3
e s c a la s y
8 ,
4
p r o c e d i m
d e s c u b ie rta s y
9 ,
5
y
e n
1 0
i e n t o s
la s
s o n
is la s
d e
n u m
e r a c i ó n
o c e á n ic a s ,
d e s ig n a d o s
d o n d e m is m a s
=
6
lú a
=
7 8
1
6
1
=
2
=
p a r o o
—
7
2
=
3
=
p a r g e n
=
8
3
=
to lu
=
4
=
p a r b a i
=
9
4
—
fa
=
9
5
=
p a r n im
=
1 0
5
=
lim a
=
1 0
A
lo s
o jo s y
n o
n o
si
la s
e n
e n tre
lo s
d e l
la
p a ra d o ja le s se
s u p o n e
la
s o n
re s ta b le c e r
q u e
q u e
P a ú l
h a b ita n
d u
e n
la
Iv o c o
6
=
Iv o c o
b e b a
7
=
Iv o c o
b e b a lo
3
=
B e b a lo
8
=
I v o c o
b e n d i b e ta n o
=
B e n d i B e ta n o
v e rific a r
p e ro
v a d o r
fá c ilm e n te
p u e d e
e m p le a d o
p lic a ría m o s
la
re s u e lta
c o m b in a r lo s
E l
e m p le o
tin c ió n tin g u ir
el
n itid e z :
ín c e rtid u m b re , d u
ló g ic o s
d e
C h a illu d e
y
(2 8 )
C fr.
T ra n s a c tio n s
p á g .
d e
3 1 5 ;
L é v y -B ru h l,
e n
q u e
d e l
o f
C o n a n t,
p u e b lo s a p a re z c a ,
to rp e z a c h o c a E n
o b th e
v e z
c it,
c o m o
ta n
d e c ir:
6 6 -6 7 .
s u s
q u e
el
la
d e
d e
te s tim o n ia c o n
im a g e n
la
m a n o .
u n a
d is
d e
d is
c a p a c e s
e n s a y o s
el
s ín te s is , el
n u e s tro s
p rim e ro ,
s u
n e c e s a rio
s o b re
e ra n
h a e x
re la to h á b ito s
s e g u n d o ,
el
2 1 4 .
E th n o lo g ic a l
p á g .
e n
ru d a m e n te
d e
p á g .
a p o y a
n o
la
p o r
im a g e n
se
q u e
q u e
s id o
la
o b s e r
e s c a la ,
d ific u lta d
s u m in is tra d o la
la
H a
d e
m is m o
le n g u a je
u n o
c o m b in a c ió n
q u e
el
q u in a rio .
p o r
5 )
e x a c titu d
e x a c ta la
3 ) 4 )
(1 ,
e l
h a
G a b ó n :
2 )
( 1 ,
s is te m a
c ie rto s
a q u í
d e le n
( 29)
d e l
( 1 ,
la
c o n tr o la r
re p re s e n tá n d o n o s
e s ta
u n a q u e
n u m e ra c ió n .
(2 9 )
y
(1 ,
d o n d e
C o n s id e ra n d o
u n id a d e s ,
d e
c u e n ta
d o m in io
p ro p o rc io n a d o
f u n d a m e n ta l c o n
n u e s tra
u n
s u y o .
o tr o
m e tó d ic o
Iv o c o D io u m
p o r
c o rre c to
tip o s
d e d o s ,
= =
e n
s in g u la rid a d , u s o
9 1 0
in te r p r e ta r
d e la n te
u n
d o s
d e
e s ta m o s
e l
C h a illu
B e b a
—
c o n s
ro d e a r q u e
c u e n c a
=
5
e x
( 28) .
e s c a la
=
4
la
n o
d e
d ife re n c ia s
1
p o d e m o s
7 ,
a ritm é tic o .
e x p re s ió n
c a p a c e s
2
N o
y
h a s ta
q u e
p e n s a m ie n to
q u e
g e s to s
d e
m b o u s h a ,
o b s e rv a c ió n ;
1 8 6 1 ,
lo s
c u e n ta es
s o n
c u a n d o
c o n v e n c id o
q u e
p a la b ra s ,
te n e r
e s c a la s a s í
m e c a n is m o
e s tá
y
s o rp re n d e n te
e n c o n tra d o
e s ta s
el
se
p a r te
p a re c e
á s
to d o
a s í
u n a
m a n e ra
M
C o n a n t
n e c e s a ria m e n te
a g o ta
re s u lta
s in o
g u a je
d e
es
v e rb a l
a lg u n a
d e
2
p a la b r a s :
U e a =
titu y e
u n a
6 ,
ta b i
p a r a i
p re s ió n
p o n e
y
la s
=
in v e ro s ím il,
s id o
1
p o r
B a la d
P e ro
3 7
S o c ie ty
o í
L o n d o n ,
v o l.
I ,
N e w
s e rie s ,
38
L a s
te rc e r u n a
d e d o
d e
m a n o ,
u n
1 2 . — m e n te
a
m itiv o d e
la
h e c h o
e n
n ú m e ro h a
rio r,
n o
la s
d e
q u e
p u e d e n
c o n ta r
c a p a c e s
E s ta
o b s e rv a c ió n
( 81) .
p a p e l
d e
c io n e s
u n a
d e
E l
9
lo s
re fe re n c ia
lo s
el
=
4
( y
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( 32) ,
e n
la s
y a
h e m o s
se
k o d ’lin
(d e riv a d o
es
p o r
d e c ir,
ta i’la 1 5
q u e
se
d ic e D e
la d o lo s
e s te
p u r i A s í
u n a
e n
p a s a je
a l
la
el
es
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m u y
d e
b ie n y
P o r d e
M
a
1 4
q u e
c o n
la s
lo
d e
c o n o
el
d e
s u s tra c tív o c u a d ro
6
a
1 0
y
tie n e
e s a k im ia x o ta ity u n a
1 0
k o d lin o -
L o
m is m o ,
1 5 .
C o n a n t
c ie rto
h a
m o d o
a l
=
iw a
( 1 0
—
4 )
7
=
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( 1 0
—
3 )
3
=
re
8
=
tu p e -s a n
( 1 0
—
2 )
4
=
in e
9
=
s in e p e -s a n
( 1 0
—
1 )
5
=
a s ik n e
= .
w a
v o l.
I,
L a s d e
M a th e m a tik , (3 3 ) 1 3 6 N
1 8 7 5 ,
M
m is m a I,
1 ,
3 a .
ü lle r,
(s e g ú n Q
5 6 4 ;
e x p re s io n e s
la t.
p á g .
e d .,
e n
G r u n d r is s
1 8 8 7 ) .
o f
th e
C o n a n t,
la tin a s
1 9 0 7 ,
p á g .
P a c ific
C a n to r,
L e ip z ig
( q u e
p o r
o f
th e
1 8 ,
y
V o r le s u n g e n d e s ig n a re m o s
S p r a c h w is s e n s c h a ft,
M e m o ir s
S ta te s
o f
N o r th
A m e r ic a ,
N e w
2 9 .
d u o d e v ig in ti,
C fr.
d e r
e n tre re v é s:
9 2 . ra c e s
m a n e ra .
B a tc h e lo r,
T o k io ,
p á g .
n a tiv e
s e ñ a
e n c u e n tra
6
1 0
d ic e
s u p e rio r,
te n g o
se
q u e
se
d ic e
n o q u e
e n
el
p a rte se
d ie z .
c o m p le to
c u e n ta n
la 9
s u s
o :
d e l
m á s
z u ñ ís ,
k u le , ;
el
c o n
s ig n ific a tiv a
tu
d t.,
el
p a ra
e s q u im a le s ,
s in e
T h e
1 0
p a r a
le v a n ta d o
lo s
lo s
m a n o s ) n o
u s a b a n
fre c u e n c ia
e n tre
k u t
la s
q u e
y a
=
o b .
el
d e n o m in a
=
C o n a n t,
v ec es
c o m o
ta m b ié n
u n o
u n a
e je m p lo ,
p ie s ,
z u ñ ís
e x c e p to
u rd o c h ,
lo s
lo s
e m p le a b a n
c o m p a ra r
s ig n ific a r:
q u ie n e s
B a n c ro ft,
m á s
d o s
d e s e m p e ñ a r
re la c io n a d a s
p a rte
e n c o n tra r
e je m p lo s ,
( 3 0 )
1 0 . in f e
in d iv id u o s
s ig n ific a c ió n
el
d e c ir
C a lif o r n ia
a lg u n o s
h o -
e x p lic a
m a n o ,
in fe rio re s ,
e s tá n
y se
p r i
sa c a d a
1
( 3 2 )
p á g .
s o n
to d o s
p ro c e d im ie n to
( 33) ,
5 , la
e s tá
2
fo rm a d a s
ja p a n
a
s e g ú n
a k i m i ’a ,
( 31 ) Y o rk ,
d e c ir
o p o s ic ió n
m ú ltip le s a in u
es
o tr a
o c a s ió n
p a re c e
le
c u a l
in fe rio re s .
te n id o
d e
d e
n a tu r a l
c a rá c te r
d o s
el
d e
c o m p re n d e r
q u e
s u s tra c tív o p o r
v u e lv e
s o c ie d a d e s
e n
el
p re s ta
c u y o
(30) .
in d íg e n a s
a llá
h a c e
la
se
d e
d e
d e s p u é s
p re c e d e n te s .
q u e
te n a lik ’y a ,
lo s
c o m p re n d e r
a
n ú m e ro s
b ra z o s
a lg o n k in
d ire c ta m e n te
n ú m e ro s
p ro c e d im ie n to
d e s ig n a r 9 :
a
d e
q u in a r io
d u p lic a tiv a
lo s
y
m á s
e ra n
d ic e n : c u a r to .
d e n o m in a c ió n
d e
e n tre
á t i c a
te r c e to ,
re p re s e n ta c ió n
a b ie rto
in te lig e n te s
p re c e d e r
o
la
q u e
c in c o
L a
a t e m
m b o u s h a
s is te m a
d a k o ta
p o r
q u e d e
lo s
o p e ra c ió n
m a n o s
m
s e g u n d o ,
el
la
n o ta d o
p u e d e
el
p a rte , d e
f i l o s o f í a
m a n o ,
es
d ia le c to s
5 ,
B a n c ro f t
la
re c o n o c id o .
d e
lo s
n o ta b le
q u e
q u e
o tr a
h e m o s
in tu ic ió n
d e
s e g u n d a
a p lic a c ió n
y a
te n to te ,
d e l
la
d e d o
P o r
la
e ta p a s
L ite r a tu r e
v o l.
u n d e c e n tu m ü b e r p o r IV ,
C o lle g e ,
d ie
p o r
C a n to r p a rt.
9 9
e s tá n
G e s c h ic h te
I,
Im p e ria l
I s ) ,
p á g .
V ie n a ,
d e r 1 1 .
1 8 8 8 ,
U n iv e rs ity
o f
R e s u l t a d o s
R E S U L T A D O S
1 3 . — te n d e r
D e
el
e s ta
c a m p o
e s p e ra ría ,
e n
m a lis m o n o s
le c tu a l. el
d e
a b s tra c to ,
L o s
o rd e n
p o r
la
id e a s
sea
u n
s o n
ú til
m é to d o
d e
u n a
la
re g u la r
p a ra
ru d im e n ta rio s
p e ro
s e g u ro s
d e c ir
h a c e n
a lte rn a tiv a m e n te e s té tic a d e
la
a
lo s
e s c o lá s tic a
L e s
h e m o s
v is to ,
n u e s tra
s u s tr a c c ió n .
P e ro
si
te n d id o s ,
p o r
b is e c c ió n
a
la
T y l o r y
h a
es
u n o
s is te m a
d e
el
c írc u lo
c ó m p u to ,
s in
in q u ie ta rs e d e
e s tre c h o s
e n
la
e n
d e
su s
h a c e n
p u e d e n .
e le g a n c ia
in te
a d e la n ta r
c o m o
d iv e rs o s la
o p e ra c io n e s
a c tiv id a d
lo
R e c u rre n p o r
esa
s im p lic id a d
y
el
la
la
a d ic ió n ,
fo rm a c ió n
s is te m a
q u e la
d e
v ig e s im a l,
s is te m a s
s e ñ a la d o
e n tre
tr ib u s
e n tre
lo s
v o c a b u la rio e je m p lo s
c á lc u lo
lo s
in d io s
a u s tra lia n a s
in s u la re s
d e
n u m é ric o , q u e
q u e
to w k a s
d e
o c c id e n ta le s
N ic o b a r,
s e g ú n
m e jo r
M
a c la ra n
c o n v e rg e n
la
( 35)
h a c ia
la
h a c e r
u n
A m é ric a
d e l
;
n o s o tro s
d e
lo s
( 36)
la
c u a le s p u e s to
in s titu c ió n
d e
d e
u n
n u m e ra c ió n :
h e a n
6
=
ta fu e l
a
7
=
is a t
3
=
lu e
8
=
o n fo a n
fu a n
9
=
h e a n -h a ta
1 0
=
s o m
—
ta n e in
5
V ie n a ,
la
m u ltip lic id a d
=
L a d e
a n
e x
ü lle r
la
=
34)
m
m á s
c o n v e n d ría
1
k e re p u n u
h e m o s
d u p lic a c ió n ,
( 34) .
lo s
d e
lím ite s
e m p le a r
2
4
(
el
d e
m é to d o s
lo s
e s tu d ia s e
e n c o n tra r
re p ro d u c im o s q u e
se
a lg u n a s
a
e n
e je m p lo ,
la
e n tre
v o lv e m o s
y
m á s
n a c e r
e x p o s ic ió n ,
lu g a r
lo s
h a c e
y
f o r
u n if o r m id a d .
te n id o
S u r
m e d io s
q u e
la
u n
n u m e ra c ió n ,
d e
p a ra
d e
d e
d e
e x te n d e r
in v e n to re s ,
es
d e
se
e n s e ñ a n z a ,
d iv e rs id a d
q u e
lo s
la
e x
d o n d e
s e n tid o
in v e n to re s :
n u m é ric a s ,
o b je to
d e d u c ir:
el
fe c u n d id a d
a q u í
n u e s tro
p o r
e n
p ro c e d im ie n to s h a c e n
a
p o d e m o s
e n s e ñ a n z a ,
y
E T N O G R A F IC A
tr a s m itid o s
p re s e n c ia
in te n s id a d
la s
q u e
a n á lis is ,
h á b ito s
p rim itiv o s
d e
s in
3 9
e t n o g r á fic a
I N V E S T IG A C IÓ N
e n c o n tra r e n
la
L A
i n v e s t i g a c i ó n
n u e s tro
ta m b ié n
a te s tig u a n
la
m a n e ra ,
d e
e n c o n tra m o s
q u e
D E
v ir tu d
p e rfe c c io n a d o s
d e
e le v a c ió n
N u e v a
1 9 0 0 ,
(p á g .
(3 5 )
P á g .
( 3 8 )
O b .
6 3 1 )
2 4 9 , c it.,
a
la s
G u in e a ,
tr. t.
e l
p o te n c ia s
d o n d e 7
e s ta ría
B ru n e t
IV ,
s e g ú n
p a rte
I, I,
e s ta ría
e x p re s a d o
p á g . p á g .
a s im is m o
S c h iirtz e
2 8 7 ; 3 6 .
p o r C fr.
e n
(
2
X
(
2
d e r
la
( 2
o p e ra c ió n : p á g .
7 8 .
)
X
4
)
( 1 0
g e rm e n
U r g e s c h ic h te
C o n a n t,
3
—
e n
e l
1 )
d ia le c to
K u ltu r , X
2
X
2
L e ip z ig )
—
1.
L a s
4 0
la
f i l o s o f í a
11
s o m
h e m
s o m
a
2 0
h ea rt
u m d jo m e
( u n
21
h e a rt
u m d jo m e
h ea rt
3 0
h ea rt
u m d jo m e
r u tk e i
4 0
a
u m d jo m e
5 0
a
u m d jo m e
1 4 . —
L a
y
q u e
el
ló g ic o , tid o s . d ic o r ía n
d e
s o b re
es
q u e
n a d a
e l
m e jo r
c o o rd in a d o .
d e
c u a n d o o tr o ,
s o rp re n d e rá
m u c h o
a
la
c o m o
s e n c ia
d e
m e ra s
o p e ra c io n e s
p r im itiv a
lo s
la s
q u e
la
e n
es
su
el
n ú m e ro s :
p r e ló g ic a
es
p o r
s e g ú n
d e
e n s a b e
lo s
E n
m e tó
v a n o
h a
d e
la
m is m a
c a ra c te riz a q u e
la
u n
G a lo is ,
to m a d o E s ta
e x c e le n te
q u e
c o m b in a n ,
c o n tin ú a
( 39) . ”
s e n
m á s
c h o c a n d o
e s to
la
e l
n a d a ,
e s to ,
re g u la rid a d ,
se
e m in e n te m e n te
( 37) ...
g e n e ra l,
re g u la r
d e
m á s
p o rq u e
e le
p r o f u n
e n c o n tra d o
c o n ju n to ,
.T o d o
e n
d e
el
d e d u c e n es
. .
q u e ,
h a n
v e z
la s
c o n o c im ie n to s
e rro r
n o
v e rd a d ( 3S)
se
lo s
la
c o n
m a n ife s ta c io n e s
es,
ése
g e n te ,
c o m o
fu e rte m e n te
to d o s
e llo s
m e tó d ic a ,
c o n
a p a re c e
a
2 0 )
in m a te ria l, a
s in ó n im o
c o o rd in a c ió n
p ro c e d im ie n to s ,
+
m o d e rn o
q u e
e lla
=
2 0
X
“ D e
m á s
a
s o b re
o
X
ta le s
P e ro
lle g a n
1 )
m e d io ,
v in c u la
a n a lis ta s :
c a e n
m a te m á tic a
d e
c o n c lu id o
+
( r u tk e i
( 2
d e b e
h a n
( 2 0
(5
se
el
u c h o s
y
la b ra
y
M
lo s
h o m b re )
r u k te i
a n á lis is
p u r o
ú n ic o
á t i c a
2 0 )
G a lo is :
a n á lis is
d is im u la rlo
la d o
el
E v a ris to
el
c o m p a ra n :
X
c o n s id e ra c ió n
re fle x io n e s
a t e m
2 )
(2
e v o c a
m
1 )
+
u m d jo m e
d is p a re s ,
p a p e le s
( 1 0
( 1 0
ta n e in
m e n ta le s
lo s
d e
1 2
1 0 0
d a s
e ta p a s
la s
p a a u p r i
m e n ta lid a d
e x p re s ió n
d e
L é v y -B ru h l. L é v y -B ru h l p r e ló g ic o , c o a
( 40) . lo
b ie n
D e
q u e
ló g ic o
d e
( 4 0 )
a l
S c ie n c e s
p re ló g ic o
e n
p a p ie r s
p á g .
2 6 0 .
I b id .,
p á g .
2 6 0 .
c it.,
p á g .
7 9 .
s e ría
in é d its
el
d e
1 9 0 6 ,
lo
lo
s ig n ific a c ió n
q u e
a
la s
a n te r io r
G a lo is ,
a
lo
d e l
p á g .
el
c á lc u lo
p u b lic a d o s
p a rte ,
lo
2 5 9 .
p o r
lo
a ló g i
p re ló g ic o
d e l
ló g ic o
e n
d e
lo
p re lu d ia
re g la s
G a lo is
d o m in io
n i
d e
p re ló g ic o
h a c e
I r a .
la
a n tiló g ic o
c o n s id e ra c ió n
q u e
c o m o
e fe c to ,
M a th é m a tiq u e s ,
la
v e
ló g ic a
n o
ra c io n a l,
Y
e t
se
s o b re
m a n e ra
lim ita
p r o p o s ic ió n
I b id .,
O b .
se
c á lc u lo ,
lo
c ita r.
m u c h o
n in g u n a
c u a n d o
L o
M a n u s c r its d e s
d e
la
e n tie n d e
( 3 7 )
( 38) ( 39)
d e
ló g ic o . se
in s is tid o
es
h e c h o ,
re g la s
a c a b a m o s
B u lle tin
h a
n o
c o n c ie rn e
la s
m ie n to
q u e
m á s p e n s a
s i,
p o r
p a s a je
q u e
es
J u le s
ta m b ié n
T a n n e ry .
R e s u l t a d o s
e l
d o m in io
u n a
d e
la
in te lig e n c ia
fo rm a s
tie m p o ; q u e
c o n
p o r
lo s
te o ría s
la s
a n a lo g ía s
se
d e s a rro lla n
m ís tic a s
y a
s e m e ja n te s
e lla s .
p r im itiv a ,
L a s
n o
d o re s ”
d e
la s
" v ir tu d e s
a
lo
c o n tra d ic to ria
m a g n itu d m e d id a s la s
s a le
n u m é ric a s :
c o m e n s u ra b le s
c o n
é s ta
1 5 . p a ra e n
la
c ió n
n a tu r a l
to s ,
d e
B o rn e o
im á g e n e s
m o n e d a s . su
S i
e x a c titu d ,
d e l
c u a lita tiv a s ;
es
m itiv o
re la ta e l
p e n s a m ie n to re a lid a d
s i
se
c o n d u c irá ( 4 2 )
s u
" C o n s id e ra d o
te ,
( 4 S )
c o n c e p to b a jo
d e
p a rte s
p o n e n
e n
e llo s
c o g id o
d e
v is ta
o tr a
d e
p a rte ,
s e c u n d a rio ;
c o m ie n z o s
a
e lla s ; y
d e l
p e ro
d e
e x p re s io n e s
d o m in io a
n o
a p a rie n
n u m é ric a s ,
lo s
d e l
lo
a q u e lla s
“ c o n d e n s a
c á lc u lo ,
ir r a c io n a l c u y a
c u y a
le n g u a je
la
re c ta
re la c ió n
p ro p u e s ta
p e ro
la s
d a re d e
lo s
e x is te n c ia
in s titu id o
a
u n a
p a r a
la s
r a c io n a l,
y
in c o n m e n s u ra b le s
se
c o m p re n d e
d e
e s p e c ífic a m e n te
d e l s u s d e
n u m é ric o
e s te el
e s tre c h o o jo s
s u
o rig in a l
e n
q u e
la
T o r r e s
c u e n ta
s u
es
d e d o s
la
lo s
d e
d a -
o b je p a p e l,
c o n tr o la r d e
im á
U n
p r i
tie n e
le n g u a je ,
p a ra
c u y a
d e
y
c o n ju n to s
c o m o
te n d rá
tr a d u c o
im p líc ita s .
p e s c a d o s f a lta
d e
p e d a z o s
u n a e so s
in te ré s
m a te m á tic o
c o n ju n to s
c u e rp o ,
re la c ió n
q u e
v e lo d e
s in o
e q u iv a le n c ia s
c u a n to
p e n s a m ie n to
b a jo
re a liz a r
ta n to s
fo r m a
lo s
m a g n itu d e s
d e l
re g ió n
lo g ra n
h a
el
e x a c titu d
e s tá
e n
p s ic o lo g ía
e n el su
e fe c tiv a .
(4 1 ) es
q u e
la
la s
e n tre
q u e y
re la tiv a m e n te
in fe rio re s
n u m é ric o ,
im á g e n e s
p o rq u e
la
P o r
v e h íc u lo s ,
d is im u la d a
d e la n te
la s
la s
h a y
d e
e s ta b le c ie n d o
m a n o ;
q u e
in d íg e n a s
c o n
e n
esas
( 4 3 *) .
e s tá
tie n e n
es
tip o
a
c o sa s
e s p a c io
p a p e l
u n
la s
a l
s in o
c á lc u lo n o
el
p u n to
u n
d e
lo s
ra c io n a le s ;
n o
g e n e s,
la
lo
la s
( 42) .
p u e s ,
. .
y
c o n d u c ir
a is la r se r
c o n s ig u ie n te ,
c a p ta r
to d a v ía
ló g ic a . L o s
y a k s
é s ta .
s in o
m u e s tra
a s id e ro
e n
e l
re a lm e n te
m a rc o s
“ L lá m e s e ,
c o n s titu c ió n
m a rc h a
r a z ó n ,
lo s
P o r
q u ie re
a c á
n o
ir r a c io n a le s ”
—
q u ie n
la
c o n
llá m e n s e
d e sd e
a p ro x im a d o
d e s ig n a ,
d e
seres
e n c u e n tra n
m ís tic a s ”
q u e
d a
o b s e rv a d o r,
p u e d e
d e b e n
s e n tid o
p a ra
d a d a
se
lo g ra d o
q u e
u n
g rie g o s
q u e
4 1
p r im itiv o
ru d im e n ta rio s .
re s trin g ié n d o n o s
p re ló g ic o
g e ó m e tra s es
m a n e ra ,
a l
c iv iliz a c io n e s
la s
h a b ie n d o
té rm in o s
m o s
la s
lo s
q u e ,
ta n
c iv iliz a c io n e s
lo s
N o
c a u s a lid a d
c h o c a
n u m e ra c ió n
d e
ta l
la
d e s e m p e ñ a n
a
L a
c a re c e n
D e
q u e
c o m o
e n
el
( 41) .
e n tre
c o n
lo
n o
d e s p u é s ,
h is tó ric o .
c ia
fu e rz a
e t n o g r á f i c a
d o n d e
n u e s tra
p ro c e d im ie n to s
p e río d o
d e
la
s o lid a rid a d
a p a re c e n
e le v a d o ,
p ro c e d e
i n v e s t i g a c i ó n
in d iv id u a l
a
c o n tra rio ,
a lc a n z a n
n u e s tra s
d e
ta n ta
el
la
p rá c tic a
a n á lo g a
s in g u la re s
c o n tr a s ta n
d e
p o s ib le ,
d e
lo
m á s
O b .
c it.,
E u c lid e s ,
e sa s a
c o m o
m e n u d o
p á g .
in d iv id u o ,
re p re s e n ta c io n e s d e
la
e n
m a n e ra
2 5 6 .
E le m e n to s ,
X ,
d e f.
ta n to
p ie n s a
c o le c tiv a s ,
III.
q u e
u n
y
o b ra ,
p rim itiv o
e s p e ra m o s ” .
in d e p e n d ie n te m e n s e n tirá ,
O b .
c i t,
ju z g a rá ,
p á g .
7 9 -
y
4 2
L a s
A s í, c ió n
d e
rece
b a jo
c o m o
d e sd e
lo s
c ia s
u n a
se
a
d e
E l
p a ra
e n tre
la s
d e l
b a jo
la
p u e r ta
y
c u a tr o
r o s
s a lv a je s m á s y
n e d a s . d e
r e a le s ,
a ñ o s ” a
la
el
s is te m a
c ió n es
d e
a l
m o n e ta rio
m á s
y
d e s c o n c e rta n te d e
sí
S e g u ra m e n te , a
fu e rz a
d e h a n
a lc a n c e .
L a
n o
a p lic a
ñ a r
le
to d a
q u e re r
la
s in
e x p o n e
a
m is m a
(4 4 )
fu é
la
e l
q u e
m u y se
a
el
lo s
y
q u e
d e s o n
in te rv e n ir
la
s e g u ir
u n a
ru ta .
fa ls a
te s tim o n io
h is to r ia
T e r r e
d e l
d ’E s p a g n e ,
p o d e m o s
a n te m a n o
in te lig e n c ia ,
p á g .
3 2 5 .
lo s
tu v o
d e
m o
d is p e n s ó a ñ o s
e ra n
su s
fin e s
la
re la
d is o c ia s e la
e x p re s ió n
ta n to
im a g e n ;
m á s
s u til
ú n ic a m e n te ,
a ris to té lic o ,
to d o
re p re s e n ta b le s
n o s
o c h e n ta
la
s u
im a g in a c ió n ,
la
in te r n a
re c o rd a r
o c h e n ta ;
p a ra
im a g in a c ió n
d e
q u e
d u s e m i-
in te lig e n c ia .
s in
la
la
c e rc a
a n c ia n a
d e te rm in a r
s o b re s i
la
u n
m a r is
e s to s
te n ía
C u a n to
a x io m a
a c tiv id a d
p ro b le m a
1 8 9 5 ,
d e
d e
q u e
q u e
s in
¡ C u a tr o
n o
in g e n u id a d ,
m e n u d o
c o m o
d irig ir
m e c a n is m o o b je to s
d e l
a p o y a
e s tre c h a m e n te ,
e
la s
s e n ta d a
—
u tiliz a r
m o n e d a .
se p ie n s a
e v id e n c ia
in te lig e n c ia
e s tru c tu ra ,
n o
d e
p a ra
se
a q u í
m o n tó n
p e ro
c u e n ta
e s fu e rz o
p o r
la
u n
d e
h e m o s
H e
q u e
e d a d , si
G r a
s o rp re n d e n te
fo r m a n
d e c ir
d e
c o n
c iv iliz a c ió n
c o n ta r
n e c e s a rio la
la
re a le s
su
y
to rp e z a
h a c e r
C o m o la
c ie rto
d e s p re c ia d o
c a p ta r
ú n ic a m e n te c ió n ,
es
s u
a p a re c e
d e fe n d e r
c ó lo g o s
se
p o r
m is m o
re a le s
d e
q u e
e s ta b a
e x p re s a rs e , d a rs e
lo s
im a g e n
v e in te
d e
es
v e rd a d .
m e n o s
d e
d e
y
r u d im e n ta ria
la
p re g u n té
q u e rid o
a
e s p a ñ o l,
la
le
o b je to
m a n ife s ta c ió n
e x c u rs ió n
d e la n te
p a ra
d e
es
a n c ia n a
s o b re
v ió
a y u d ó
c u e n ta
u n a
m a n e ra
d e
I n te rr o g a d a
la
a p a
c á lc u lo .
c o rre s p o n d ie n te .
u s te d ?
h a b ía
s o n
e l
c o n o c e r
le n g u a je
d e
la
q u e
in te lig e n c ia
. . .U n a
d u ro s
c o n tr a r io ,
la
n ú m e ro
s e g u ro
“
e n
f o r m a
im a g in a tiv a ,
re la c io n e s ,
re a lid a d
n o
la
in te lig e n c ia
p a n to m im a
d e
la
el
tie n e
a n c ia n a
la
e n
u n a
c a p a z
re la ta d o
C u a tr o la
h e c h o
y
la
té rm in o s
s u b te n d e r
c u ltu ra
im a g in a c ió n ;
q u e
re p re s e n ta c ió n
h a
s e ñ o r ! —— E s
in tu ic ió n
m is m o s
la
p r im itiv a ,
d e
d e sd e
a
u tiliz a n
e d a d
e le m e n ta l, re s id u o ,
lo s
y a
á t i c a
s u
im a g e n
h a
a t e m
in te rp re ta rla , y
la
q u e
(* * ).
re fle x io n a r;
lo s
sa b e
g ra d o
¿ Q u é
re a le s ;
E s ta
se
m
es
re la c io n e s
G u a d a lq u iv ir ;
a n d a lu c e s .
re c u rrir
q u e
m e n ta lid a d
B a z in
. . .
c u a tro
c u a tro
q u e
la
el
R e n é
c á lc u lo
q u e
fu n c ió n
e sas
e n tre
d e
p o b la c io n e s
q u e
m a s
d e
q u ie n
a d q u ir id o
ra s g o
d e
tra v é s
d e l
s o b re p a s a p o r
s is te m á tic o
c o n tra s te
a
h a b e r
q u e
re la c io n e s
p e n s a m ie n to
f i lo s o f í a
irre d u c tib le
tie n e
im p lic a c ió n
g u id o
y
e sas
la
n ú m e ro s
a c tiv id a d d ire c ta ;
la
d e
a p a ric ió n
a s p e c to
c o n v ie rte
u n
la
p rim e ro s u n
in tu ic ió n e l ju e g o
e ta p a s
u n a
o c u p a
el
e lla d is e
d e s a rro llo .
m e d ia n te
e n la
re la c ió n ,
a n é c d o ta e n
p s i
p e ro
d e b ie s e
te n ie n d o
d e
lo s
v e rd a d e ro
e s te
D e
c u e n ta in tu i u n o
se
s a c a d a
d e
c a p ítu lo .
L a
R e s u l t a d o s
re p ro d u c im o s c o n W
q u e
illim s
h e c h o
a q u í
C o n a n t d e a
e m p le a b a n s is te m a
p a la b ra s
s im p le s
N in g u n a
r a z ó n
re g la s
m ie n to b re s el
e rro r
n u d o d e
p a ra
d e c e n a s
m is m o
d e
b a se . la s
( 4 5 )
h á b ito
c ie rto
d e
la
1 1 ,
E s te
le n g u a s
e d ic io n e s ”
d e l
y
la
e rro r
y
L o s
se
la
f iltr ó
1 2 2
y
s ig .
e n
d e l
o b je to s
a
te k a u a ,
p u e s ta
h a
d e
s id o
e m p le a b a
y
y
y
l l 3.
m a o rie s fu e ra
u n la s
d e
c o n o c i c o s tu m q u e
b a s ta n te
m e
a
p o n ía n
e n el
u n o
s e g u id a
la s
n ú m e ro
d e
c u a n d o la d o
1 1 ,
m o s tr a n d o
m a o rie s c o n ta r
im a g in a ro n
p rim e ra s
1 1 2 lo s
P e ro
c o n tin u a c ió n
ig n o r a n te
p e ro
d e
q u e
u n
m a o
c o m p o r ta n d o
le n g u a je
lo s
lo s
n ú m e ro
p a ra
e q u ív o c o
p a r a
a ñ o s ,
e x c e p c io n a l,
o b s e rv a d o re s
u n id a d
la s
e l
e s c a la
o c u rría
d e c e n a ,
s a lv a je
n e o z e la n d e s a s ;
p á g .
d e
a lg u n o s
d e c ir
c o m o
e l
té rm in o s
s u m in is tra d o
c u rio s id a d :
n u m e ra c ió n .
v e rific a r
( 4S) .
C o n a n t,
la
p rim e ro s
y
el
es
s ig u ie n te :
p a la b r a :
q u e
1 3 3 1 ,
d e
m is m o s
e x te n s ió n
a n o m a lía ;
c o rre g ir
c a d a
la d o
su
m in u c io s o
n ú m e ro
d e c e n a
tie m p o
s ig n ific a b a
m á s
la
4 3
h a b ía
n u m é ric o
to d a
tie m p o
lo s le
“ H a c e
s is te m a e n
s is te m a s
y
e n
q u e
d e s p e rta r
p a ra
p e rm itió
m o n tó n .
c o n ta r
y
m u c h o
lo s
y
u n
e s ta
re p re s e n ta r
p u e s ta d e l
p u e b lo
m o
m a o rie s
c o n ta n to
la d o
d e
d a to s
Z e la n d ia ) .
d e
1 2 1
d u r a n te
p ro v e n ía
u n id a d e s
a l
p a ra
p r o f u n d o
lo s
lo s
a te n c ió n
b a se
e t n o g r á f i c a
“ m o r a le ja ” ,
d e s a rro lla d o
c o m u n e s
m á s
d e
d e
s e g ú n
e x p lic a b a
c o n s id e ra d a
la s
la
c o m o
e s ta b a
i n v e s t i g a c i ó n
(N u e v a
lla m a r
rie s
la
títu lo
re la ta
G is b o rn
v in o
e s te
fu é
a
la
d e
v ie ro n
a l
p r o n u n c ia n d o q u e esa
la
p a la b r a
p a la b ra
c o
e d ic io n e s
d e l
d ic c io n a rio
c o rre g id o
e n
la s
ú ltim a s
C
E L
1 6 . '—
P o r
lo s
p a ra
s u s
tr u id o
h a s ta
e n
u n a
d e
d e c im a l
p r e n d ía n c a c ió n ,
u n o s la
te rc e ra .
L o s
p a rtic u la r,
u n
p u n to
p e r ío d o
d e l
p a p ir o
h a
d ie z
y
( ! ) T e m
p e l
-so b re
la
N
8 9
H ilp re c h t,
m a te m á tic a 1 9 0 7
y
e n
d e m
i t
la
I,
el
e n
P a r a
lo s
s e x a g e s im a l s ig lo s
u n
su s
q u e
e n
m e d io
d e
la s
s e g ú n
la
p le n a
p rá c tic a s ,
h a b ía n
y
J e s u c ris to ,
la
la s
d e
el s id o
c o n s
c o m b in a c ió n
n u m e ra c ió n ,
d e
d e
u n a
e n
h a n
m e d id a s
b a b ilo n io s
d e
a n te s
e m p le o
e g ip c io ,
q u e
p o te n c ia s
ta b la s
d e
m
d e l
c o m
u ltip li
s e g u n d a
y
m u ltip lic a c ió n ,
e x p re s ió n
d e
H ilp re c h t,
d e
T o rn a re m o s M
a n u a l e n
a n te s
D
i e
d e
A
A u s g r a b u n g e n
1 9 0 3 ,
p á g .
lo s
b a b ilo n io s B a b y lo n ie r ,
d e
a n t ik e r
M a x
d e r
c u y o
y
U
E l
lo s
q u e
p ro b le m a
te x to
y
d a ta r ía
n i v e r s itä t
c o n ju n to
a s irio s
p á g .
S im o n :
u n
s o n
s ig n ific a tiv o
lo s d e
sa c a d o
tra d u c c ió n
d e
a lre d e d o r
e ra .
6 0 . y
m á s
e je m p lo
( 2) ,
n u e s tra
c o n o c im ie n to s ,
ra s g o
’h - m o s é ,
1 8 7 7 d e
d e l
c o m o
d ie
o b ra
n u e s tro s
p ro v e e rn o s
19
y
h a
s id o
s ig .)
y
G e s c h ic h te
d e r
(B e rlin ,
K u l tu r g e s c h i c h te
v o n
d e
M
P e n n s y lv a n ia
im
B e l-
n u e s tra s
in fo rm a c io n e s
e x p u e s ta
e n
e n
la
a t h e m
1 9 0 9 ) ,
ú ltim a a ti k
i m
la
3 a .
m ita d
e d . d e l
A l t e r t h u m
B a b y lo n ie n - A s s y r ie n ,
s ig . E in
[M á s
e n tre
s itú a n
fu n d a b a n
a c tu a l
L e ip z ig ,
(c a p .
c a p ítu lo
( 2) p u b lic ó ,
s ig lo s
se
a lc a n z a d o
E ís e n lo h r
i p p u r ,
V e r b in d u n g
p á g .
o
n o s
c ie n c ia .
r e m o n ta r n o s
o
( a ) .
e s ta d o
R h in d
s ie te
q u e
p u e d e n
a rc a ic o .
V e r z u
C a n to r,
s e g u n d o in
el
p u b lic a d o
d e
d e
e n
p e r m ita n
a s tro ló g ic a s ,
p a ra
h a b ía n
q u ie n e s
A ’H - M O S É
d e te rm in a c ió n
fe n o m e n a l
P e ro e g ip c io s
la
E G I P C I O
b a b iló n ic o
d ía s ,
v e in tic u a tro
e je rc ic io s
I I
o
n o s
v e rd a d e ra
s is te m a
d iv is ió n ,
e n
e s te
d e
el
l
D E
o rig e n
c á lc u lo , y
u
q u e
d e
c o m b in a c io n e s
ta b la s
s is te m a
le jo s
n u e s tro s
e ra
í t
P R O B L E M A
d o c u m e n to s
d e s c u b ie rto s c u ltu r a ,
m á s
p
C Á L C U L O
U N
tie m p o
a
m a th e m a tis c h e s
re c ie n te m e n te , 2
v o lú m e n e s ,
e n la
H
a n d b u c h
1 9 2 7 -2 9 , o b ra
d e r
" T h e
titu la ría
a lte n
Æ
g y p t e r ,
M a th e m a tic a l
" T h e
R h in d
L e ip z ig ,
1 8 7 7 .
A s s o c ia tio n
M a th e m a tic a l
o f
A m e ric a "
P a p y ru s ,
B ritis h
4 6
L a s
E l
p ro b le m a
4 0
e s tá
5
p e rs o n a s :
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e n tre
ú ltim o s :
¿ c u á l
E s tá c ia
e ta p a s
es
la
re s u e lto
5
2 3 , H a z
i
c re c e r
1 2 ,
1 7/
99
1 2
— 2
6
p a n e s le s ,
e n
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d e
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la
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D e ja m o s re p a rtir. a
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c o n d ic io n e s v eces
d a d e s e n tre
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M u s e u m , d e l
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y
m á s
m á s
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y
m á s
y
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tr a n s lite ra c ió n , M a n n in g .
d o s
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u n id a d e s
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d ife re n c ia s
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c o m p e n s a c ió n
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d ife re n c ia s .
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m á s
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p a n e s
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s u e rte
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c in c o
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6 0 .
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19
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2 3
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1
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d ife re n c ia
e n to n c e s
n ú m e ro s
q u e
p r o b l e m
es
q u e
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d e
1
c o m o
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m o d o
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q u e
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d e
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o n c e
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o b tie n e
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q u e
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lo s
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r e la c ió n
1
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q u e
q u e
d e
p a n e s
d e y
m á s
q u e
r e p a r ti el
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c o m o ~~
m u ltip lic a c ió n
—
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d e s ig n a
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u n id a d ,
e n
el
p a n e s
6 0
p a ra
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la
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1 0 0
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sea
1 0 0 d e l
re la c ió n
d e
E s ta
lu g a r
o
e x p lic a c ió n ,
c o n s ta n te
m á s
2 3 )
te n e m o s
n in g u n a
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5
+
d e s p u é s
L u e g o ,
u n
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6 0 .
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2 -
d is trib u c ió n
p a r tid a
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d e
es
u n a
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s u c e s iv a s ,
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la
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1 0 0
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1 7
in te rv e n ir,
p e rm a n e c ie n d o
p a rte s
5
+
n ú m e ro s
d e
p u n to
( 1 2
p a rte ,
a
—
c o n v ie rte
la s
c o m o
s u m a
v e m o s
6 0
d e
se
la
c in c o
q u e
p o n e
e n
d e
.
5
S e
,
se
y
la
él
m is
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tr a ta
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3
la
d e q u e
e n to n c e s
o b tie n e n s u m a
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to n c e s :
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la
lo
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q u e
d e fin itiv o
d e
s u c e s iv a
la
d e
( 4 ) p r im
p o r
la
B o b y n in , e r o s
d ife re n c ia p e ro
d e s c u b r im
fo rm a c ió n
e lim in a d a s
m á s
la s
d e
d e
d e
u n a
fo rm a
la s
o
sea
p a rte s
9
se
d ife re n c ia
o b te n u s ,
M
+
q u ie n
s e rie
h e m o s
d e
lu e g o
s e ría n
é th o d e
4 -
9
o b tie n e
-2 ~
u tiliz a d o
L a
m
lo s
s u p o n e a
v e rific a rla s , h ip ó te s is
b a s ta n te
e n t
2 9
p ro g re s io n e s
d e
e x p é r i m
L ’E n s e i g n e m
2 0
m a te m á tic o s ,
fra c c io n a ria .
o p e ra c io n e s (c f r.
4
ie n to s
s u c e s iv a m e n te
s im p le
r é s u lta ts
-f -
a
la
p o r
p a rte
c o n s ig u ie n te m e n o r
1
—
■
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l o s
+
d e lic a d a s ,
e l
p o r e s
d e
la
d a n s
la
a t h é m
a tiq u e ,
s o b re
l o s
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15
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e n te ra
p r o c e d im
s id o
q u e
q u e d e s
m a y o
fin a l
m a n e ra la
v ía
n o m b r e s
d e
1 9 0 6 ,
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h a lla d o
h a b ría n
in te rc a la c ió n
n in g u n a
s c ie n c e
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re s u lta d o
d ife re n c ia
m ie n tra s
e n ta l
3 8
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q u e
y
n o
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d e
s id o u n a
in a d m is ib le ;
d ire c ta e t
p a re c e
p r i n c ip a u x
p á g .
1 7 8 ) .
d e
4 8
L a s
1 7 . —
T a l
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el
e n
c o n c e b id a s
e x p líc ita m e n te
e n s e ñ a n z a s
A
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d e s c u b ie rto s m a s
m á s
d e
la s si
J .
d o s d e
m il
n o s
q u e
m é tic a
d e
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d e l
e n
( 8) ,
te ó ric a s
y
la s
n in g u n a
d e
s e ría
d e
lo s
m e jo r
la
d e
p r o b le le n g u a
fo rm a s
ra ro s
d ió
re p ro d u c e c r is ta li
lu z
e g ip c io .
la
se
e n
q u e
R h in d
s id o c u y a s
a n tig u o s ,
s o lu c ió n
p e n s a m ie n to
q u iz á s
p a p iro s
a p o r ta
p re s u n c ió n
s o n
h a n
m a e s tro s
m a te m á tic o
1 8 9 2
n o s
e n c u e n tra n
ju s tific a c ió n
lo s la
se
c ó m o
lo s
d e
d e
p a p ir o
n o d e l
u n a
n o
c la s e
p a p iro
p u b lic a d o
s a c a r
p o r
c o n tie n e n el
e g ip c ia ,
q u e
q u é
q u e
;
d e s p u é s
p rim e ra p o r
n ú m e ro
c io n e s
c u y o
p a rte
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P o r
d e l
p a p iro
o b te n e r
c o n
la
n u m e r a d o r
( 5 ) d e
y
q u e
I g n o ra m o s
m a te m á tic o s
c o n s id e ra c io n e s
la
tie n e n
u n
a
y
á t i c a
o p e ra c io n e s
o p e ra c io n e s
fu n d a m e n ta le s
y
a t e m
s o b re
A s im is m o , d o c u m e n to s
c a lid a d
c a ra c te rís tic a
( 7) ,
d e
la
la
a r it
e g ip c ia .
A s í q u e
h a
a ñ o s
a tre v e m o s
p o s e e m o s ,
a u s e n c ia
e s ta s
( 5)
a ritm é tic a
c o n c e p c io n e s
d e
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’h - m o s é .
re p ro d u c e ,
B a ille t
la
f i l o s o f í a
A
fra g m e n to s
in te re s a n te s
q u e
z a d a s
lo s
d e
p o s te rio rm e n te
m u y
g rie g a
s o lu c ió n
’h - m o s é
N i
la
m ín im u m
im p lic a d a s
d e
la
d e
a y u d a
es
e je m p lo
el
d e
c o n tie n e
d e
la
la
p ro b le m a
u n id a d .
q u e
d a ría
la rg a s
d iv is ió n
e x p re s io n e s
s ie m p re
d e l
R h in d
re s u lta d o
e q u iv a le n te s P o r
p a ra
2 a
e je m p lo
lu g a r,
ta b la s
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p o r fra c
( 8)
n o s o tro s ,
:
la
a l
s is te m a
e c u a c io n e s :
V e r tis c h e c it.,
H .
S c h a c k -S c h a c k e n b u rg ,
S p ra c h e p á g .
4 1 .
(®)
L e
u n d
P a p y r u s
M is s io n
m
a th é m
la
e n
e l
m a n u a l
d e
A ’h - m o s é
d o n d e
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" c u a d e rn o
d e
a lu m n o
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1 8 8 2 ,
E u g è n e
p á g .
( 8 ) ñ a d a
a rc h é o lo g iq u e
2 9 2 3 ra .
e n
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y
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p a p iro
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y
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3 0 4
B e r li n e r
t.
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( 7 )
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A lte rtu m s k u n d e ,
p o r se
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(M
i m
C a ire , M
a x
t.
S im o n ,
e n c u e n tra n
a lu m n o
p o c o
p á g .
é m o ire s
I X ,
1 3 7 ;
in te lig e n te ” .
M
a x
p a r
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S im ó n ,
le s
o b .
m e m b re s
I ) . p á g .
c it.,
o tra
y
p u b lié s
fa se . o h .
p o r
Z e its c h rift
6 6 1 9 ,
1 9 0 0 ,
p a rte R e v u e
2 8 ,
fa lta s
n o
q u ie re
g ro s e ra s ,
é g ìp to lo g iq u e ,
v e r s in o
t.
II,
2 . ta b la
u n a
c á lc u lo
II I ,
E is e n lo h r,
p á g .
3 8 .
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e s tá
a c o m p a
v e rific a c ió n :
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1
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174 ___1 _
232 L a
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d iv id e n d o
2 .
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c u a tro
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e x p re s io n e s
fra c c io n a ria s
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e n to n c e s
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U
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2 9
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4 9
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la
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la s
fra c c io n e s
s ig u ie n te s :
1
1
-
2 4
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m e n o s
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c a m e n te es
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fra c c io n e s
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lu c ió n
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1 8 7 8 ,
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esas
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ta b la s ,
y
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fra c c io n e s c o m o
la se
la s
e n u n c ia
la
s o lu c ió n
o b te n e r
u n a
d e
n u m e ra d o r
sea
p o s ib le
d u p lic a c ió n p u e d e n
fra c c io n a ria :
n i
c á lc u lo .
c o n tra rio
c o n s is te
ta n to
U (a
in m e d ia ta m e n te
in c ó g n ita s ,
fá c il
p o r
c o n c ib e
u n id a d
a u x ilia re s
p o r
y
d e s tre z a ,
d e c ir
fra c c io n a rio s .
( 9) .
d e P o r
e n c o n tra r
p o r
y
la
L e ó n B u lle tin V I,
1
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4
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4
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2 2 9
q u e
R o d e t, la
1 3 9 .
S u r
d e u n
S o c ié té
es
el
c o m o q u e
p a re c e
e fe c tu a r
s im p le ,
a
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y a
si
se
b ie n
h a b e r e ra
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s id o
to d a v ía
t r a re s o g e n e
c o n o
p ro d u c to
p o r
d u p lo ,
c u á d ru p lo ,
c u á d ru p lo ,
c o m p re n d e r
in g r a titu d
C a n to r, M
n o ta r
su el
1 3 ,
se
ó c tu p lo ,
se
se v e ro -—
-d e
( 10) .
lle g a m o s
e x p o s ic ió n
fra c c io n e s
s u c e s iv a m e n te ,
el
d e
2 9
m u ltip lic a c ió n
P a r a
lu e g o
e x e n ta
d e
+
d u p lic a c ió n
la
b u s c a d o
fo rm a n o
e n
2
2 9
h a c e rse
d ire c ta .
s im p le ,
a g re g a n d o
d e
+
d e b e
e g ip c ia ,
p ro d u c to
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V e r
=
m u ltip lic a c ió n
s e v e rid a d
( 9 )
) m á s
tra n s fo rm a c io n e s lo
o p e ra c ió n
ó c tu p lo ;
( 1 0 )
d e
y
s e a n
e x p re s ió n
+
a ritm é tic a
n ú m e ro
o b tie n e
u n a
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P e ro
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to m a
~
c o n
p e rc ib e
fra c c io n e s
2
2 9
la
se
’
s u m a
1
ta d o
n ú m e ro s
s o n
h a c e r
a y u d a
c u a lq u ie r
s in o p u e d e
n u m e ra d o r
c a n tid a d e s
v e z
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2 3 2
p o n d r á
tr a ta r á
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esas
u n a
7
y
lo s
p o r
e le m e n to s
f in
n o
n u m é ric a s
p o r
m e n o s
d e
c o m o
c u y o s
p a r,
fra c c io n e s ,
,
s e m e ja n te s
p la n te a d o
a l
la s
tie n e n
ta le s
1 7 4
e m b a rg o
e x p re s io n e s
p ro b le m a s ,
d e n o m in a d o r
■ ’
c á lc u lo
q u e
1
5 8
a g re g a r
e q u iv a le n te ,
a n o
S in
el
fra c c io n e s
p ro b le m a
s u m a
m a n e ja r
n e c e s a rio
o tra s
d o s
sa b e
s e g u rid a d .
g e n e ra lid a d
la s
c u a le s -j-
c o n
’
1
.
a n u e l
l 3,
p á g .
d u
ra a th é m a th iq u e
—
6 1
y
la
ju ic io ra z ó n
e s p e c u la tiv a
s ig .
c a lc u la te u r
d e
el
q u e
F ra n c e ,
d é c o u v e r t
s e s ió n
d e l
d a n s
2 7
u n
d e
p a p y r u s
m a rz o
d e
5 0
L a s
d e
lo s
g rie g o s
n io s o s
d e
p a re c e n
e n
o b je to
u n
n o
d e
m o m e n to a l
v a
d e
la
re c e ta s a
p ita g ó ric o ,
m u c h o
o tr o m á s
e n
la
m e ro s
fra c c io n a rio s
m ira rá
la
o s a d ía
lo s
el
in te re s a b a n
lo
q u e
lo s
e x p re s a m e n te
la
p rá c tic a
q u e
s u e rte d e
e l
la
lo s
la
in tu ic ió n q u e
d e l
la
e n
la
e n
la
a r it e fe c to
sí
m is m o
c o m o
b a se
se
u n
e s tá
n o s
d e el
lig a d a
v a
p a p e l
a
a p a
c ie n tífic o
n ú m e ro -o b je to .
in te rp re ta c ió n
p le n o
e g ip c io s
a
p o r
a ritm é tic a
tie n e
d e
s o b re p a s a m o s
e g ip c io s
n ú m e ro
p ro v o c a d o lo s
d e
sí
p re s
a rte
e g ip c io s
to m a d o
P e ro
a l
in g e
d e
d ic h a ,
y
re g u la re s .
m á s
e s ta d o
c o n v irtié n d o s e
la
q u e
e n
p ro p ia m e n te
s u p o n e ,
d ific u lta d e s
c o n
e g ip c ia :
n ú m e ro
q u e
h a
á t i c a
e l
el
a llá
c u ltu ra
c ie n c ia
a s p e c to ;
la s
a t e m
té c n ic a s ;
a ritm é tic a
e n
la
m
p e rm a n e c ie ro n
d e m o s tra c io n e s
m u y
P ié n s e s e
f i l o s o f í a
s o b re
c o n c e b id o ,
h is tó ric o
b a jo
la
re p re s e n ta c ió n d e
re a lis m o
q u e
q u e
h a b e r
s is te m a
re c e r
re c a e r
a lc a n z a b a n
p u e s to
n o
d e
d e s c u b rim ie n to s
u tilita ria s ,
“ l o g í s t i c a ’', m é tic a ;
h iz o
s u s
c rip c io n e s
e ta p a s
s ig lo
m a n e ja b a n
d e
lo s
X I X
n ú
y
se
a d
fra c c io n e s
d e
n u -
35— m e ra d o r
fra c c io n a rio
ta le s
c o m
o ----------- —
( 1X ) .
S o b re
to d o ,
e v ó -
1 0 6 0 q u e se
lo
p a ra g u n a
q u e
e so s
se
to n :
“ el
e s p e c ie
u n iv e rs a l
q u e
,
se
e l el
c o n s id e ra
c o sa s,
o fre c e n
n o
( H
)
(1 2 ) ra n d o ,
Z e u th e n
d ic e ,
c a n tid a d e s lo s
v a lo re s
b ié n
L o s
d e
V A r i t h m
t.
(ls )
lo
v a lo re s
e n
q u e s u
m u y
a
a
g é o m
1 9 0 4 ,
é tr iq u e
p á g .
A r i t h m
la s a
la s
m e n u d o
e n
e t i c a
1 1 0 ,
a
y
d e
e se d e s C fr .
la
m e m o ria
v e r
e c u a c io n e s
e m p le o G r e c s
R o d e t,
u n iv e r s a lis
e n
d e e t
d e s
a rt.
( 1 7 0 7 )
;
d u
I n d ie n s ,
tra d .
p á g .
M
n o ta b le
a n u e l
c o m
e n
la
m a n e ra
d u
C a lc u la
c la rid a d .
sirv e
q u e
e so s
se
q u e
c o n o c id a s .
e l
v e rd a d e ro
y
B e a u d e u x ,
q u e
e sa s
e fe c tu a r
su s
re s u l
o b te n id o
A trib u y é n d o le s
lo g ra
d e
p o d e r
v a lo r
se g u n d o
I,
g ra d o ,
M a th e m a tic a ,
1 8 0 2 ,
u n
b u sc a d o .
s ig . t.
ta m
e fe c tu a r
a rb itra ria m e n te ” .
B ib lio th e c a 4 0 5
a
p a ra
h u b ie s e
se
e s c o g id o s
C o n s id e
a trib u y e
c á lc u lo s lo
in d e te rm in a d a s
c it.,
se
d ife re n c ia
in s tru m e n to s
lo s
s e g u id a
n ú m e ro s
s o n
u n a
m is m a
n in g u n a
. .
d e s c o n o c id a s ,
d e s c u b rir
L a
" D io f a n to .
m á s
s u p u e s ta s
q u e la
2 1 4 .
u n a
d e
d e
esa
N e w
in te rv ie n e n
d e
in m e d ia ta m e n te
c a n tid a d e s
la s
c o n
s im p le s ,
c a n tid a d e s
h a c e
p á á g .
c o m o ,
d e
e n to n c e s
q u e
s o n ,
c u a le s q u ie ra ,
la
:
R h in d .
d ’a lg è b r e
X V I I I ,
b a s ta n te
o tr a
e s p e c u la c ió n ,
m e c a n is m o
e n
( ls )
1 — n o
n in p rá c
e x a c ta m e n te
u n id a d e s
c o n
p a p iro
p r o b lè m e s
t.
p e ro
p e rm ite
re s o lu c ió n
v e rs a d o s
e l
re tie n e le
e l
’h - m o s é ,
1 8 8 1 ,
v a ria s
u n id a d ”
s in
o b s e rv a c ió n
c u a lq u ie ra
la
p r é te n d u s
c o n o c id a s ,
q u e
d e
s o lu c io n e s
re c u é rd e se
m á s
fa m o s a
c o le c c ió n
a s id e ro
d e s c rip to
s e g u id a ,
e n sa y o
é t i q u e
V ,
h a
d e te rm in a d o s
h in d ú e s ,
m u e s tra n
III,
e n
o tro s
v a lo re s
c á lc u lo
L e s
A
( 12)
á lg e b ra ,
la
la s
o b te n id a s
p ro c e d im ie n to s
’h - m o s é
el
m u ltip lic a c ió n d e
d e te rm in a d o s
n u m é ric o s ,
a trib u y e n d o
d e
A s ia tiq u e ,
c a n tid a d e s
c á lc u lo s ;
ta d o s
R o d e t,
A
p re s e n ta
n in g ú n
J o u r n a l
u n a
d o n d e
s o n
m e d ia n te
s e g ú n
c o m o
p ro b le m a
L e ó n
é g y p tie n ,
d e
s a lir
c a n tid a d
q u e
c o e fic ie n te d e l
lo s
q u e ,
u n a
in te ré s
s o lu c ió n
t e u r
c o n
m e n o s
d e
p r e á lg e b r a
a ritm é tic a ,
ló g ic o ,
d e b ía la
la
d e
o rd e n
e n
es
a b s tra c ta
p re n d e rá - i-
d e
e m p a re n ta n
n ú m e ro
re la c ió n
lla m a r
p ro b le m a s
p ro c e d im ie n to s
a ritm é tic a
5
c o n v e n d ría
d ifíc ile s
ju s tific a c ió n
tic o s d e
q u e
lo s
p á g .
2 .
se S u r
s e rie
U
d e d e
p e n e tra c ió n lo s
rie n c ia s o rte s
té rm in o s
y
d e
d e l
p ra g m á tic a
c u n d id a d
c o n d e
q u e
u n a la
f r ó b l e m
re la c ió n
e n u n c ia d o d e l
v e rd a d e ra m e n te
m a n ifie s ta
n
a
d e
m e d ía n te a
lo s
c á lc u lo
c ie n c ia
d e d e
’h - M
d e l
lo s
p o n e
c u a le s d e a l
la
el
n ú m e ro s
e s p íritu
s o lu c ió n .
m o s tr a r á
a p a
lo s
m a te m á tic o ,
in c o n s c ie n te se
p a s a
L a
d e s c u b ie rto
p e n s a m ie n to
p r o f u n d id a d lo s
51
o s è
té rm in o s
e g ip c io
in te le c tu a le s
e s p e c ie
A
to d a
c a p a z .
la
re y fe
C
E L
A
R I T M
a
E T I S M
1 8 .—
v a lo r
d e
la
E g ip to
y
a
s o b re
lo s
m a n d r o
m a p a
d e l
b le c e n
el
p u n to
d e
y
d o s
la
ca s
s o n
m a
e n tre y
v e rs o .
la s
c ió n
e lla s
q u e
u n a
p u e d e
d e
c o n o c id a s m is m a
h a
d e
P a u l
d e
a llí,
s in o
u n
u n
d e
P o u r
d ib u ja
e n
a p a re c e u n a
q u e
p u e s to
l ’H i s t o i r e
d e
la
c o n s te la c ió n c o n s titu y e n
E s a s
c a ra c te rís ti
u n a
g e n e ra l
m e n o s
la
la
d e
n o ta b le
S c ie n c e
m is m a
n ú m e ro F ilo la o ( 2)
b e llin e ,
f o r
d e l
n a U
n i
ilu s tra c ió n
p a r tic u la r iz a , el
se
n e c e s id a d
la s q u e
el
m u y
la
D e
fó r m u la
p re c is ió n
a l
e s ta
d e sd e
o b je tiv o s ;
c o n c e p c ió n
o rig e n ,
L a
c ie lo .
c o m o
d ire c
le v a n ta n
in te ré s
u n a q u e
y
A n a x i-
v in c u la
u n
d e
d e c ir
z o d ia c a le s ;
e fe c to ,
el
d e
tr a b a jo ,
a s tro s
f o r m a
e n c o n tra
y
c a ld e o s ;
E s e
in m u ta b le s
p ita g ó ric a .
n ú m e ro ,
se
lo s
u n
la
u n o ,
p re s e n ta
e n lo s
n ú m e ro
u n a
d e
d e
te n e r
in flu e n c ia
T a le s
q u e
v ia je s
p o d a m o s
c a d a
d e
d iv is io n e s
d e
a
la
q u e
d e
( 1) .
v is ta ,
el
c o n o c im ie n to .
T a n n e ry ,
la s
q u e
b a se
s in
p a rte
fa v o rita s
p a ra
c o n s id e ra r
a s tro n ó m ic o
d a to s
d o c trin a
y
c o lo c a rn o s ,
e lla
ra z ó n ,
es
la
d is tin to s
c u e n ta
g e n e ra c ió n
n ú m e ro
q u e
tie n e n
c o n s e rv a d o ,
la
c o n
a
lo s
fu e n te s
e n
e fe c to ,
c u e s tió n d e
a
la s
te n e r
E n
s im p le el
s e rv ir
tie n e n
d e
c o n s te la c io n e s
a
P I T A G Ó R I C O S
im p o s ib le
s in
a s o c ia c ió n
la
su
la
v a m o s
m is m a
E n c o n tr a m o s
( ! ) p á g .
q u e
g e o m é tric a
c o n s te la c io n e s
c o sa s
n o s
e n
la
e m b a rg o
c o n e x ió n la s
O b s e rv a d a
s o rp re n d e n te la s
e n d e
L O S
a n tig u o s
tr a b a jo
c a ra c te rís tic a s :
c o n
lo s
jó n ic o s u n
I I I
o
a le ja d a s
A s ia .
e n
l
E R O S -P U N T O S
in v e s tig a c io n e s
c íe lo
v ís ta
fig u ra
tu r a l
fu e
e n
c u a d ro
p a r tic u la r . tie n e
c u á l
s in
d e l
p e n s a d o re s
c o n
d e
p ita g ó ric a
to d o ,
o c u p a d o s
ta m e n te el
p a re c e
u
D E
N Ú M
d e m a s ia d o
d o c trin a
e x a c titu d
m o s
a lu s io n e s
h is tó ric o ;
c ió n
c o n
L a s e s tá n
í t
O
L O S
P itá g o ra s
p
m a n e ra
es
q u e
to d a s la
q u e
la s
c o n d i
E s to b e o
:
1 8 8 7 ,
c a p .
IV ,
§
3 ,
8 4 . ( 2 )
B e rlín ,
1 9 0 6 ,
H .
D ie ls ,
p á g .
2 4 0 .
D ie
F r a g m e n te
d e r
V o r s o k r a tik e r ,
p rim e r
v o lu m e n ,
2 d a .
e d ic ió n ,
54
L a s
“ Y p u e s
e n
v e rd a d ,
n in g u n a E s ta
d o
d e l
s in o
c o sa
fó r m u la
q u e
to d a s
p rim e r
e x is te n te
lo
la
p a r a d o ja
( 4) ,
y
a
q u e
m e d id a
in te lig e n c ia c o n c e p to ;
d a d ,
n o s
te a d o
u n
m e ro
la
lo s
e n
p ita g ó ric o s ,
b la
d e
d e
u n a
sas
s o n
n ú m e ro s
n ú m e ro s
c o m o
tria n g u la re s lo s
o jo s
E u r ito
c u a l
s o n el
la
M
lo s
liv ia n d a d (B )
y
p e so . . “ P u e s
" c o n s titu y e n
fís ic o s , M
I I I ,
c ie lo
e ta fís ic a ,
g é o m è tr e s
C fr.
e n te ro
d e
la
X I I I , p a ra
1 0 8 0
,
a
a
a
y
d e
a
a trib u irle ,
v e r
p a r a se
u n
h a
g ru p o
e s tre lla s q u e
p o r
( 6) .
a
n ú
q u e ,
la s
d i
la s
c o
c o n c e b ir
lo s
o
n ú m e ro s
A s í,
d e
a n te
c u a n d o
m a n e ra
c o n s titu tiv o
n ú m e ro
d e
d e
c u a n d o
g u ija rro s
el
c o n y
e fe c tiv a m e n te ,
el n ú m e ro o
n o c ió n
c u a d ra d o s
s o n
p la n
la s
a b s tra c ta
d e c ir
triá n g u lo s
p ita g ó ric o s :
q u e
n o
X I V ,
1 0 9 0 la
S e g ú n
e l
n ú m e ro s ; s in o
d e l
d e
d e
ta l
c a b a llo ,
n o
tie n e n a
“ ...p e ro p e s o
p e ro
q u e
c u a n to
a l
liv ia n d a d
h a c e r
lo s
d e
q u e
lo s
tie n e n
3 2 .
n a tu ra le z a lib ro
e n
n i
d e
X I I I e so s
d e
n ú m e ro s la
M
n ú m e ro s
c o n c ib e n
q u e
c o m o
e ta fís ic a ,
n o
la s
s o n
c ie rto s
lo s
u n id a d e s
u n id a d e s
p ita
p ita g ó ric o s
tie n e n
[e n
e l
ta m a
1 8 .
in te rp r e ta c ió n
P la to n
d e
c o m e n z a d o
h o m b re
c o n s ta r
1 6 . c o n
lo s
lo s
a ritm é tic o }
e s ta
G r è c e
d e
h a c e n
3 0 0
la
c o m o
a n te s
v e r
1 5 .
e ta fís ic a ,
e s p e c ífic a m e n te
(® )
a
re la tiv o
a lg u n o s
C ie lo ,
e l
9 8 6
p a s a je
c u e rp o s
g ó ric o s ” . E l
s e n tid o
e l
a
la u n q u e
d e c ir
in tu itiv a
fo r m a
d e te rm in a d o
d e l
n o c ió n
n ú m e ro
n ú m e ro s
c o n g lo m e ra d o
n ú m e ro
I,
e ta fis ic a ,
V e r
n ú m e ro s
el
s u
eso s
a
c a te g o r ía s
p u n to
u n
d e es
p re te n d e r
h a b itu a d o s
n ú m e ro s
c u a d ra d o s
o rd e n
p ro b le m a
la s
u n a
u n
d e
h a b ía n
e x p re s io n e s
n ú m e ro d e
v e r
la
el
u n a
e x tra ñ o
e n c u a d ra r
q u ita r
re s u m e n ,
m e tá fo ra s ;
u n
e n
E n
p ita g ó ric o s la s
é l,
h a b la
fig u ra
( 5) .
e s p íritu ,
fo rm a
re a lid a d ,
( 3)
M
n o a n te
d e
( 4 )
ñ o ” ,
lo s
c o sa s;
d is p o n ía
o b te n e r o
y
u n a
e n
a p lic a c ió n
d e
se
d e
m a te
n ú m e ro
d ifíc il,
d e
e s ta m o s
la
d e l
E l
h a c ía
d u d a
q u e
in s e p a ra b le
c o n s te la c ió n
p a s a je
m á s
¿ C ó m o
m a rc o
s in
m o d o ,
c u a n d o
q u e
e s to s
la
c o n s titu ía e n
es
L o
a d e n tra rs e
el
el
a b s tra c ta
y
n o
e n
c o n v e n d ría
d ib u ja n d o
u n a
se p a
s is te m á tic o
b u s c a r
c ie rto
u n id a d
p u n to s
b u ja n
s u s ta n c ia s .
q u e
c o m o
m á s
q u e
s u s ta n c ia ?
se
d e e n
( 3) .
re a lid a d .
o
d e
e ra
lo
la
o
p re s o c rá tic o s
s ig n ific a c ió n
m á s
d e
d e
o b je to
q u e
lu g a r
lo s
o rd e n
te s tim o n io s c o n s a g ra d o ,
A ris tó te le s
a s p e c to
c o n te n i n ú m e ro s ;
“ P a re c e y
h á b ito s ”
d e
o b je to s
v e z ,
c o n c re ta ,
re in te g ra rle
u n
o tro s
p rin c ip io y
el
p o s e e n
c a p ítu lo
n ú m e ro ,
é s te " .
to d o
c o sa s
p ita g ó ric o s ;
tie m p o
p o s e e n s in
p a re c e r, la s
E n tr e
e ra
p a s io n e s
a r
c o n o c e n
d e l
lo s
s e p a ra b a
d e l
s o n
s u a q u í
E n
re a lid a d
es
a
á t i c a
c o n o c id a
a l
p a s a je
el
to m
h is to r ia d o r
d e
c a u sa s.
la
a
p a re c e
p o r
c e p c io n e s la s
q u e
c o sa s
sea,
e n
re fle x ió n
lo
la s
n ú m e ro
su s
y a
se
to d a s
n ú m e ro
a t e m
n i
n ú m e ro s .
e s te
el
d e b ía
la
y
q u e
to d a v ía ,
s o n
c o m o
q u e
q u e
c o sa s
m
p e rc ib id a
M e ta fís ic a
q u e
P ro p o s ic ió n
f i lo s o f í a
s o la m e n te
c o sa s
d e
ria
d e
la s se r
d e s ta c a r
p e n s a ro n
la
e x p re s a
N o
la s
ta m b ié n
el
to d a s
n o
b a s ta
lib ro
d e
p o d r ía
p ita g o ris m o .
A ris tó te le s , el
e ta p a s
e t
s e s
d e l
p ita g o ris m o
p r é d é c e s s e u r s ,
1 9 0 0 ,
a
M
ilh a u d ,
p â g .
1 0 7 .
L e s
P h ilo s o p h e s
L o s
h a c ía la
d e
n in g u n a
M e ta fís ic a ,
la
p ro c e d im ie n to c ia
filo s o fía a
la
c o m o
lo
d e
d o c trin a
q u e
y
s e g ú n
y
T o d a v ía
s im p lis ta
v o lv e re m o s
el
o b je to
la
p a ra
p a ra
d e
el
a l
lo s
a u to r
d e l
lib ro
p ita g ó ric a
d a r
h a lla r
o fre c e r
le n g u a je
d e l
a c u s a
a
55
p u n t o s
m a n e ra ,
m a te m á tic a ,
v e z ,
n a c ió n
e r o s
p a ro d ia
rá p id o
p s ic o ló g ic a
n ú m
( 7) .
s a tis fa c c ió n
e n
m á s
e s p íritu
d e
u n
c a rte s ia n o s ,
a
X I V
d e
U s a b a
u n
la
u n
o b je to
o b je to
e x ig e n
s is te m a q u e
d e
la
d e
fu e se im a g i
e n te n d im ie n to .
c o n v ie n e
p re c is a r:
m ie n tra s
q u e
la
g e o m e tría
a n a líti
c a _ T m ir4 _ e rT S B [T _ s ín te s is _ D X Íg in ¿ „ lQ ^ jq u e J a a h ía ^ je s ta d c i_ _ _ a n te ric irm e n te d is o c ia d o , tric a la
q u e
a lg e b r a ic a
p ita g ó ric o s
3j t t e m
c ie
o b je to
la
y
e n
re fle x ió n
E l
in te g ra l
n ú m e ro
es
v o lú m e n e s
—
e n
la
a ritm é tic a
g e o m é
c ie rt o
in g e n u a ,
m o d o
u lte r io r
q u e
e n
q u e
el
h a b r ía
d e
d e
d o s
e le m e n
s e p a ra n J E l
p e n s a -
e s tá n
— a
e n tr a r
e n
a q u í
in te ré s tr in a
¿ Q u é
e s ta
q u e
E l
v e re m o s
p rim e r
c o n v ie n e
d e l
c o n s e c u e n c ia s
( 8 )
d e
a lc a n z a d o
M e ta fís ic a , p á g .
V e r
y
su
p le n i
—
e so s
lín e a s ,
d e
s u p e rfic ie s
p u n to s
s o n
d a d a s
la
e n
la
e fe c to ,
el
d e l
d e
c ie n c ia
tie n e
f is o n o m ía
c u rs o
c o rre s p o n d e
n ú m e ro ?
p r e g u n ta
la
c a d a
su s
d e
E s
la
e n tre
im p o r ta n te
a lg o
m á s
o rig in a l
d e
e v o lu c ió n
X V .
1 0 9 2
q u e
“ lo g ís tic o s ” , u n o
U n a
p o r v e z
b
esas
1 0 ,
o b .
c o n
c it.,
es
lo s
q u e
u n a
d e
s in o
p o r
u n o
se
la s
e l
2 4 9 .
s e r
a
f in
u n
d o c
la
m a te
e l
a s í
A le ja n d ro ,
y a
n a tu ra le s , d e te rm in a r e n
n ú m e ro la
te o ría n o
el
a p a re c e n
d e c id e n
d e
u n a
s o n ,
d e
c o lo c a
c u a le s
c o m e n ta rio
d e
re a lid a d e s
c a ra c te rís tic a s
o p e ra c io n e s
p á g .
el
n ú m e ro s
s e p a ra d o , q u e
p ro p ie d a d e s
o p e ra c io n e s
D ie ls ,
p ita g ó ric a
p u e s to
d e fin id o ;
X I V , e n
a ritm é tic a
m e d io s
la s
y
8 2 7 ,
c a p .
N Ú M E R O S
p a r tic u la r
f ija r
d e
n ú m e ro ,
s id o
1 8 9 1 ,
fig u ra s p o r
g e n e ra l
e n
in trín s e c a s .
h a
(T)
Y ,
c á lc u lo ,
la s
B e rlín ,
p a ra
c o n s id e ra rlo s
c a d a
la s
L O S
c a lid a d
re a p a re c e r
ra s g o
p ro p ie d a d e s d e
e q u ilib rio
( 8) .
n ú m e ro s .
a u x ilia re s
D E
d e ta lle s ;
s irv e
m o d e rn a
lo s
y
c o n s titu id a s
c o n c e p c ió n
a lg u n o s
h is tó ric o :
m á tic a
s u
c o m o jn ú m e ro s .
1 9 . p ita g ó ric o s
e n c u e n tra
in m e d ía ta m e n te .- c o m o m x n a ..s u m a
e s p a c io ,
T E O R ÍA
r io r
la
.1 a _ c o n e x i á . r i _ i n s e p a r a b l e ,
p re s e n ta d o
re p re s e n ta d o s
in m e d ia ta m e n te
la s
e x te n s ió n ,
.á .tic o ,- .e n J u g a r jd é „ ir ^ d e J a m e c e s id a íi- - a b s tE a c ta ...a - - la - a p I i.-
in tu ic ió n
p u n to s
d e
c o n
s im p le m e n te
c o n c re ta --n n v u e lv e ro d a s ia s T u n jd o n e s ^ d e lje s p iíritm e irjin a -e s p e -
d e
tu d .
u
a te s tig u a
e s p o n tá n e a
s o la m e n te
i r a tp j ]
r a c ió n
o
id e a
lo s
im p lic a c ió n
to s m
d e
in te c o m o
m is m o
fo rm a
E d .
d e l
H a y d u c k ,
lo s
5 6
L a s
g ru p o m á s
d e
p u n to s
s im p le
p rin c ip io c ió n
d e
tib le s
y
lo s
el
u n a
p ita g ó ric a y
lo
lo
S e p u e d e
e s ta b le c id o
p a rte ,
e n tre
el
a tr ib u y e n
a
J á m b lic o
té r m in o p a re s
la n o
P o r
la o
e x a lta
h o m b re s lo
re s id e ro s
e n
e s p e c ie s d e
d e
lo s
( 9 )
tr o u x ,
t.
t.
I,
2
n ú m e ro s , im p a r e s
o b .
M e ta fís ic a , I,
I 1 1 ) d a ,
+
1 8 7 7 ,
p á g .
T e ó n
d e
p á g .
3 8 3 ,
y
3
la
d e
lo s
c it.,
p á g .
9 8 6
a
+
p o r
el
se
o
a l
p a r
y
d e
la
d e
y
lo s
el
la la
p a ra lo s
fa c to re s p o n e r
n ú m e ro s c o m p le ta
( 14) . la
a d ic ió n
n ú m e ro s ; F ilo
d iv in a
c e le s tia l
v ir tu d
c u a le s es
a
re fie re
o rd e n a d o ra
d e
lo s
el
d e
la s
la
d e l
lo s
to d o
y la
d e
la
d é c a d a
c u a tro d e
d e y
p r im e d iv e rs a s
p rim e ro
3 ,
s id o s e g ú n
q u e
se su s
n a tu r a le z a
p rim e ro
1 0
d a d o y
la s
im p a r h a
e n tre
lo s
v id a L a
s u m a la
el
p e rfe c ta ,
la
a l
q u e
b is e c c ió n ,
d e
u n a
m a te m á tic a
re s u e lv e n
la
c ó m o
p o r
ta m b ié n ,
p a r ”
p o te n c ia
( 15) .
e n c ie rra
p a re s
es
el
2 ,
p a r -im p a r
2 4 0 . 2 2 .
C fr.
Z e lle r,
P h ilo s o p h ie
d e s
G re c s,
tra d .
E .
B o u -
3 4 3 . E d .
H ille r ,
L e ip z ig ,
1 8 7 8 ,
p á g .
2 2 .
C fr.
Z e lle r,
3.
N ic o m a c o ,
A r itm é tic a . A r it.
( M
Ib id . D ie ls ,
y
g ra n d e ,
c o m ú n
4 ,
la
6
v e c e s
lo la s
c o n s id e ra n
d e
( 13) ,
p ita g ó ric a
d é c a d a ”
lo s
N ic o m a c o ,
( 1 5 )
d e
d e d e
g ro s e ra ,
a c e p c ió n
p a r - p a r ”
u n iv e rs o ,
c u a le s
( 1 2 )
$
la
el
c o
e s c u e la
c u a d ro
se
m o m e n to
d u p lic a c ió n ,
g u ía
si
y a
e s ta
fo rm a s
lim ita d o
c o m p re n d e n
u n
es
a l
d e s ig n a
lim ita c ió n
c o n s titu id a +
E s m irn a .
n 9
la
d e l
d e
A
s u sc e p
( 10) .
lo
c o m o
n ú r p e r o
“ P o rq u e
( ! 3 ) )
q u e
fo rm a c ió n
n o r m a
d e
I,
esa u n
a
la
d io s e s :
e s ta n d o
D ie ls ,
( 1 0 )
ju n to e n
p o te n c ia
1
a
“ p a re s
p r in c ip io
q u e
p a re s
“ im
la
n ú m e ro s
ta le s
re ite ra d a ,
s u je to s
) ,
im p a re s .
b is e c c ió n
lo s
es
p a re s
n ú m e ro s
y
y
d o s
jo v e n
d e n o m in a c ió n
( n
e n
d é c a d a ,
. . .
u n id a d
c o n s id e ra
d is tin c ió n
to d a v ía
a g re g a b a
in te rv ie n e
p a p e l
d e
e je c u ta ;
h u m a n a
la
la y
la
n ú m e ro s
p a rte ,
u n
a
la
c o s m o ló g ic a
p a rte ,
E s ta
el
la
h is to ria d o re s
F ilo la o
la
e s ta
b a s e
d u d a
o tr a
Y
tie n e
e n
u n a
im p a r
c o m o
d u p lic a c ió n ,
d e
tra s m itid o
el
lo s
A
a n títe s is
s in
p o r
la
d u p lic a c ió n
q u e ,
h a
q u e
e s tá n
o tr a
q u e
n ú m e ro s
b is e c c ió n :
d e s e m p e ñ a
e n tre
la
( 9) .
la
n o s
“ p a r - im p a r ” .
d a n
lo s
a
m a n e ra
ilim ita d o
el
im p a r
a
p o r
lo
lo s
e n tre
q u e
m e n te
y
a p lic a d a
( 12) ,
n ú m e ro
u n a
p ita g ó ric o s .
b is e c c ió n
d is tin c ió n u n
d e
c o n e x ió n
e s p e c ie :
v eces
p rim e ra
A ris tó te le s
e s e n c ia . es
n ú m e ro ,
F ílo la o
u n ir á
su
to m a d o
p o r
“ E l
p r o p o rc io n a rá
n u m é ric a s
lo s
te rc e ra
a lg u n a s
la
p a r
c la s ific a c io n e s
u n a
q u e
se y
á t i c a
e n
e s tá
p ro d u c id o s
d e c ía
a t e m
o p e ra c io n e s
f u n d a m e n ta l
m e n o s ,
e n tre v e r,
m
n ú m e ro
b is e c c ió n .
p a r ”
ilim ita d o ,
o p o s ic o n e s ,
h a
s o n d e
el
el
esas
p ita g ó ric a
o p o s ic ió n
p o r
lim ita d o
se
q u e
y
f i lo s o f i a
d e
c la s ific a c ió n
im p a r
la
fe c u n d a
c o n s ig u ie n te
rre s p o n d e
d ie z
la
d e
c o n s titu y e
m á s
n ú m e ro s
p o r
p ro p ia s ,
q u e
la
d e
e t a f a s
V III, p á g .
Isa g .
p á g . 2 4 3 ;
E d . E d .
P is te lli, H o c h e ,
L e ip z ig 1 8 6 6 ,
§
1 8 9 4 , X ,
p á g .
p á g .
2 1
2 2 . y
1 5 . c fr.
A ris tó te le s ,
M e ta fís ic a ,
I,
9 8 6
a
8 .
sig .
tr .
c ita
T e o r í a
q u e
es
a q u í
p rim e ro
es
la
el
u n id a d ,
—
c o n s titu c ió n
u n o
d e
lo s
g e n e ra l, e s ta
U n o
d e
lo s
n ú m e ro s
a d ic ió n
s id e ra n p e ro
su s
b a jo
e l
d iv is o re s
p o rq u e
m e n o r
p a rte
5 7
p e r fe c to s
d e
o tr o
e n
su s
el
y
lo s
c u a le s
d e
m is m o
1
+
2
q u e
el
+
3
q u e
4
d a n
e q u iv a le n te s
la
A s í,
lo
s u m a
s e rá
e n
lla m a d o
+
6
1
+
a
=
1
2
la
6
+
; 8 4
s u m a
e
s
=
d e
y
d e
c o n
q u e
se
g e n e ra l
e n
la
su s
u n id a d ,
(e s
p o rq u e
d e
y
se
la
m is m o
se rá
d e
te o ría
n ú m e ro
m u ltip lic a c ió n
a b u n d a n te
+
m á s
r a s tr o
c o m p re n d ie n d o
n ú m e ro , es
a
u n
o b te n id o s .
e s ta
a sí
m a te m á tic a s .
e n tre
n ú m e ro
s u m a n ;
1 2
fo rm a el
c o n c ie rn e n
la
re la c io n a d o
fo rm a c ió n ,
la
a d ic ió n ,
d e
d a d o ,
s u m a d a s
s o n
q u e
v is ta
a l
h a n d e
c o n s id e ra r la
re s u lta d o s
se
d e fic ie n te . e s:
p a ra s e ría
re la c ió n
n ú m e ro
g rie g o s
e s p e c u la c io n e s
la
lo s
lo s
p ro c e d im ie n to s o
el
sí
u n
q u e
d o s
e m b a rg o ,
a líc u o ta s
n ú m e ro s
a
p u n to
e n tre
d e
o
p u e s to
p ro b le m a s
d o b le
q u e
a líc u o ta s
s u s
a lg u n o s
y
a líc u o ta s ),
a b u n d a n te
p a rte s
e r o s
c u a d r a d o s
e s tu d ia r
s in
p a r te s
o
e n
-c o m p a ra r
su s
n ú m
d u p lic a c ió n
p rin c ip a le s
c o n s is te
y
lo s
m a y o r
c u e n c ia
la
re c o n o c e rse
e x c e p tu a n d o ,
lla m a r á o
n ú m e ro s
s e ría
d e b e
c o m p o n e n te s , la
ú ltim o ,
lo s
m u ltip lic a c ió n ,
d u a lid a d
lo s
lo s
P o r
d e
c u a le s
la
d e
lo s
4 .
2 0 . la
la
d e
c o n s e
s u m a
d e
d e fic ie n te
7 . su s
P e ro
h a y
p a rte s
a lí
c u o ta s :
6 ro
6 ,
=
q u e
se
1
+
tie n e
2 8
u n
e l
c a rá c te r la d e d e
d e
la
p ro g re s ió n
té r m in o
fe c to
la
1
+
el
d e
+
lo s
+
el
4
p ro d u c to
d e
es 8
u n +
3 1
7 +
2 8 ,
+
X
1
la
+
2 ,
y
e s te
n ú m e ro es
se d e
si
o
H e ib e rg ,
t.
+
e s to s
la
3 1 ,
4 9 6 ,
su s
p r im o
p e rfe c to .
E le m e n to s ,
I X ,
3 6 .
E d .
I I ,
L e ip z ig ,
d a r
se
té rm in o s
es
u n
E n u n a
el
u n
4 0 8 .
es
ú ltim o c o m o
n ú m e ro
n ú m e ro
p á g .
y
fo rm a
e je m p lo ,
q u e
1 8 8 4 ,
u l
p e rfe c to s
p o r
P o r
es
m
p e r fe c to s .
u n id a d , d e
d e
n ú m e ro s
( 18) .
( l e )
n ú m e
2 4 8
h a s ta
n ú m e ro s
d e
s u m a
a
a
n ú m e ro s
lo s
la
sea
1 2 4
d e s a rro lla
n ú m e ro
ig u a l
1 6 ,
+
el p ro c e d im ie n to
p a r tie n d o
d e
6 2
c o n fie re
s o n
c la s e
s i,
d e l
4
e n tre
4 9 6
c a ra c te rís tic a
3 ) .
3 1
p e rfe c to s
1 6
p o r
2
a d ic ió n
r a z ó n
p r o d u c to
+
+ 1 6
d e
e n tre
p rim o s ;
p ro g re s ió n +
6 ,
d e
X
n o ta b le
n ú m e ro s
g e n e ra l
p a r tic u la r id a d 1
4
8
ta n
la
=
+
+
g e o m é tric a
2
6
2
4
n ú m e ro s
p r im o ,
d e
s u m a
p r im o ,
lo s
+
p e rfe c c ió n ;
c a rá c te r
c la s e
(c o n
p ro c e d im ie n to
te o ría
la
n ú m e ro
2
1
c o rre s p o n d e n c ia y
+
=
U n a
re la c ió n
la
3
=
E u c lid e s
u n
+
4 9 6
tip lic a c ió n
1
2
ig u a lm e n te ;
p e r
5 8
L a s
e ta -p a s
d e
la
f i lo s o f í a
P R O G R E S IO N E S
2 1 . — d e el
m a n e ra s a b io
fo rm a
L a
d e s e n tra ñ a q u e
d e s c rib e la
lla
la
d e
fo rm a
p a rte
S e la
tic a
q u e
y
y
se
1 ) .
p o r
s u c e s iv a
3
l
+
3 - ( - 5
1
+
3
la
9
tie n e n
re s p e c tiv a m e n te
la
a
ta m b ié n
a l
u n id a d
ig u a l
a
la
la
y
es
a q u e y
e n
a g re g a
a
la
c a d a
s u m a
u n o
d e
u n i
a ritm é
la
d e
lo s
u n id a d
c u a d ra d o
=
1 6
+
7
+
9
d a d o s
5 ,
7
s ig u ie n te ,
la d o s
d o s
d e
9 ,
1 6
e n te ro s
la
s u m a
d e
re c tá n g u lo s
s u p e rfic ie s
ó
p u e s to p a s a r 2 5 ,
e x p lic a u n
ig u a le s
f o r
d e
to d o
la
a d i
u n
c u a
n ú m e ro
c u a d ra d a s
la
es
q u e
d e c ir,
c o n s titu c ió n
c u a d ra d o
c u y o
a r it
c u a d ra
q u e
c o n s e c u tiv o s ,
d e
d e
p ro g re s ió n
s u p e rfic ie s
g e o m é tric a
es
la s
p e rm ite
9 ,
p ro c e s o
u n a
A d e m á s ,
d o s
él
2 5
p o r e s te
to d a s
ó
d e
=
la d o
d e
la d o
m e n o r
es
u n id a d :
p a rte ,
o b te n e m o s
u n a
s e rie
m é tic a s
q u e
s o n
y
q u e
9
e n te ro s .
d e fin ic ió n
9
o tr a
p ita g ó ric a ,
e n
la
n ú m e ro
7
im p a r ;
7
p o r
o
m é to d o
p ro g re s ió n
q u e
+
d ife re n c ia
5
S i
d e
c o n s id e ra c ió n
im p a r
d o s
e s te
se
la
d e te n g a ,
c o n s titu id a s
p o r
m is m a
s im p lic id a d
p a r tid a ;
u n
=
5
n ú m e ro s
E s ta
n ú m e ro
5
c u a d ra d o
c o m o
g rie g a ;
la
4
+
n ú m e ro
d e fin e
ig u a l
= +
s o la
p u e s
la d o s
g n o m o n .
se
c u a d ra d o s e s tá n
se
d e l
3
A
e n
im p a re s ;
c o n s titu y e
e n
g e o m é tric a s ,
d o c trin a
p ro p ie d a d
+
4 ,
u n
d e
u n o
+
d ra d o
c o m o
1 6
la
q u e
m a n ifie s to
m o d e rn a .
p u n to
1
P o r
fig u ra s
la
d e
a ritm é tic a
n ú m e ro s ,
c o m p a ra b le s
n ú m e ro s
d e
e n
la
c e le s te s .
d e
á lg e b ra
1
im p a r
in te r n a
lo s
p o n e
d e
lo s
la s
b e lla
le y e s
c o m o
im p a re s
d e n n ó
m á s
d e l
d e
e n c u e n tra n ,
tie n e n
y
g o z a
n ú m e ro s
(fig .
q u e
c ió n
fo rm a
d e
d e
c o n s te la c io n e s
s ó lid a
c o n s tru c c ió n
lo s
m é tic a
la s
u n id a d
n ú m e ro s
to d o s
d e
fó rm u la s
la
se
su
lo s
p ro p ie d a d e s
á t i c a
p e rfe c to s
e s p e c ífic o
in te r n a
la s
a t e m
M E D IA S
n ú m e ro s
c a rá c te r
e s tru c tu ra
a s c e n d e n te
a s í
lo s
el
d e s p re n d e n
la s
to m a
m a c ió n
d a s
se
a
s e rie
d e
d e
m á s
q u e
fe c u n d id a d
d a d
d e
la
o b s e rv a
la
d e b id a
p a s o s
te o ría
s o rp re n d e n te
Y
m
d e a l
=
1
= =
1 1
+
2
+ +
4
s u m a m o s n ú m e ro s
m is m o
+
3
2 ; +
+
lo s
q u e
tie m p o
3 ; 4 .
n ú m e ro s
s o n
s u m a s
p r o d u c to s
p a re s d e y
c o n s e c u tiv o s ,
p ro g re s io n e s p o r
a r it
c o n s ig u ie n te
P r o g r e s io n e s
s u p e rfic ie s ;
s ó lo
q u e
a
d e l
ú ltim o
la
m ita d
p rim e r la d o s 2 ) .
fa c to r
d a d a
a
e s to
la
d u c c ió n la s
d ie z
c ió n
la
p e ro se
d ire c ta
c o n
m á s
E n
e n g e n d ra n ú m e ro s
el
q u e
e n
c u a d ra d o s
m a n e ra
q u e
n o
E l es
g e o m é tr ic a ,
h e m o s s id o
d e l
n o s d e l
n u e v o
q u e
la
y a a
a
e n
la s lo s
la
s e rie
c o rre la
D e
a q u í
p a r
a n tité
s e ñ a la r
n ú m e ro s
y
c o n
s u m a
la
q u e d e
la
im p a re s
p e rp e tu a m e n te
c o n tra s ta
se
d ire c to ,
e n s e ñ a n z a s
la
d e
e n
el
d e
(fig .
in tr o
la
m e n o s
m is m o s ,
s o n
in d e fin id a
e n tre
v ín c u lo
d e
sí
q u e
y
e n
p a r.
o c a s ió n
él
s u m a
s e m e ja n te s
re c tá n g u lo s
e l
ese d o s
h e te ró m a c o s
tr a s m itid o , y
su s
re c ta n g u la r
a ritm é tic a s ,
v ín c u lo
te n id o
a
o tr o
p u e s
h e te ró m a c o
h a
u n o ,
el
n ú m e ro s
im p a r
p o s te rio r
v a ria c ió n
lo s
a lc a n c e
m e n o r.
filo s ó fic o A p a r te
p ita g ó ric o s
a
—
d e
lo s
d ife re n fije z a
d e l
1
a
m e d ia
8
M
ilh a u d ,
8
^
c it.,
b
e n tre
1 2
6
- - 6
o b .
1
a rm ó n ic a
1 2 - -
la
d o c trin a
m e d ia la
p ita g ó ric a
a r itm é tic a m e d ia
y
d e
d e
la s
la
m e d ia
a r m ó n ic a .
L a
m e d ia
o rig in a
ig u a ld a d ;
a b
m
es
d e la
in tro d u c e n
— m
2
8
d e
—- b
m
( 1 7 )
u n
tie n e o
ig u a le s ,
y
( 17) .
2 2 . —
A s í
d e
s ie m p re
su
p ro g re s io n e s
in ic ia l
ta n to
e n g e n d ra
d e
lim ita d o - ilim ita d o ,
h a b r ía
e fe c to ,
p a re s
c u a d ra d o
m e d ia s
q u e
s u p e rfic ie
y
s o n
p ro g re s ió n
h e te ró m a c a
A ris tó te le s
p a r
la
la
5 9
p r o d u c to s
d e
c u a d ra d o
o p o s ic ió n
e l
s u p o n e r
E s c u e la .
q u e
e so s
lla m a
n u e v a s d e l
m e d ia s
d e n o m in a c ió n
in d ic a c ió n
y
ló g ic o
se
la
d e p a r
u n o ;
q u e
e sas
la
la
im p a r -p a r
d e
d e
o p o s ic io n e s
p u e d e
te s ;
lo
e n
e x p lic a
o p o s ic ió n
d e riv a -ta m b ié n tic o
p o r
se
s u m a
d e
fa c to re s n ú m e ro
a u m e n ta d o
d e s ig u a le s , P o r
lo s
y
p á g .
1 1 5
y
sig .
la
L a s
6 0
e ta p a s
“ E n c o n tra m o s c ió n 1
d e
a
la
te n e r e n
a rm ó n ic o p rim e ra
d e s p u é s
lu g a r
lo s
ta rs e
a l
p r o p io y
in s c rip ta s
e n
la s
N ic o m a c o
a d ju d ic a
p u e s to
q u e
s io n e s ,
p re s e n ta
q u e
es
lo s
f ija r lo s
s u
d e
el
s ib le
o íd o s .
y
2 3 . a
q u e
se
n ía
te rre s tre ,
s in tie ra n
p o r
lo s
s e g ú n p u d o
p e rc ib irla S e
n ú c le o la
d e
g in a
( 1 9 )
20)
m ú s ic a
e n
se
b a se
a
la
fu é
lo s
n ú m e ro s q u e
a rm o n io s o
s e g ú n
la s
tre s
c o m p o n e n
a
e s tá n
o b s e rv a c ió n
6
lo s
sí
d im e n
la
m e d ia
c a ra s lo
o jo s
q u e e n
( 21) . q u e
c o m o
es
s e n
O
d e
la s
c o rre s p o n d e n c ia s
u n iv e rs a lid a d ,
le y e s
n u m é ric a s
c o n c ie rto
a r m o n ía
el
d e
re m o n
a ritm é tic a
m is m a s
v é rtic e s ,
v is ib le
d e
la
c o rre s p o n d e n :
s e m e ja n te s
e s p e c ie
P itá g o ra s ,
c o m o q u e
s u
ú n ic o
d e
d e
im a g in a c ió n
f o r m a b a n
a c ú s tic a —
fra g m e n to
P to lo m e o ,
s e
O b .
e n
W
d t.,
y
d e
a llis ,
p á g .
" P itá g o ra s , o rig in a n
c a n tid a d ” .
u n d
la
e l
es
8
n o
c u a rta ,
d e
c e le s te ,
la s
lo s
la
p a ra
a r m o
e n g e n d ra d o
e sfe ra s
to d o s
h a y a n
c o m o
c e le s te s
q u e
m o rta le s ,
q u e
la s
es
n e c e s a rio
A rq u ita s O p e ra ,
e s p e c u la tiv a
te o ría s
s o b re
t.
I I I ,
a g re g a r
la s
h a
p o s itiv a s
m e d ia s
O x fo r d ,
d e
el
p á g .
d e
S o b re
2 6 7 )
el
a ritm é tic a ,
e s b o z o
(P o r f ir io ,
1 6 9 9 ,
ro d e a d o
la
y
a s tro -
lo s
a rm ó
D ie ls ,
p á
2 6 1 .
(
y
Y e r
q u e
a
u n a
q u e
a ris ta s ,
p a ra la
p a re c e
a sí
la s
m is m o
n ú m e ro s
1 2
6 a
c o rre s p o n d e n c ia
q u e
re la c io n e s s o n
s e g ú n
sí
d e n o m in a
c o rre s p o n d e r
( 22) .
lu m in o s o
18)
( n ic o s
a
la
( 18 9 ) .
p e rfe c ta m e n te
s u s c e p tib le s
u n a
2 ”
n o ta b le
L a s
P IT A G O R IS M
c o m o
d e
la
m u s ic a l
a s tro n ó m ic o s :
c o n c ib e
g e o m e tría ,
lo s
d e
h a c e r
in c o rp o ra d o
ta n to
c o n c ib e
s u p o n e r
le y e n d a ,
lu g a r
c u b o ,
a r m o n ía
a u to riz a d o s
a
n ú m e ro s
la
S e
p ita g ó ric o s
d e
c o rre s p o n d e r
m u s ic a le s
tie n e
a ritm é tic o ,
-—
lo s
el
d e
o rig e n
c o rre s p o n d e rá
d e
e s tá
id é n tic o
E L
c id o
e n
8
g e o m e tría :
F ílo la o ,
c o n e x ió n
el
á ti c a
lu g a r
h a c e
c a rá c te r.
la
a t e m
(d e s c u b rim ie n to
a c o rd e s
d e s c rib ir:
p a ra
se
o c ta v a ,
( 20)
d e
a
la d e
e n
e n te ro s ,
s o n id o s
e n
g e o m é tric a
lo s
la
fig u ra s
in te lig ib le a
a
m
ilh a u d ,
e fe c to ,
o c ta v a ,
p e rfe c ta m e n te
a c a b a m o s
A r m o n ía
la
P itá g o r a s )
a c a b a
M
e n
d e s c u b rim ie n to
y
m a n ifie s ta n
f i lo s o f í a
n ú m e ro s
1 2
n ú m e ro s
p ita g ó ric a , se
y
la
d ic e
S i
d e
q u e
m a ra v illo s o
e n tre
q u e
n o ta
d e
E l
a q u í,
( ls ) .
m á s
d e
n o
P o rf irio ,
S a r m m lu n g
d e r
s in o b .
N ic o m a c o ,
( 2 2 )
A ris tó te le s ,
1 8 9 3 ,
p á g .
d ic e
c it.,
4 6 8 ,
C fr.
c o n s is te n
2 1 3 ,
y
L e ip z ig ,
C ie lo ,
h a lló
p u e s
p á g .
A r itm é tic a , E l
J e n ó c ra te s ,
n ú m e ro ,
F r a g m e n te .
( 2 1 )
B e rlin ,
9 3 .
s e g ú n
§ II,
Z e lle r,
H e in z e , 1 8 9 2 ,
X X V I , 2 9 0 o b .
b c it.,
u n a
p á g .
lo s
in te rv a lo s e n tre
D a r s te llu n g
d e
la
c a n tid a d d e r
L e h r e
1 6 2 .
1 3 5 y
q u e
c o m b in a c ió n
X e n o c r a te s ,
p á g .
p á g . 1 2
ta m b ié n
e n
y
D ie ls ,
S im p lic iu s , 4 0 9
y
sig .
o b .
c it.,
C o m m .,
p á g . E d .
2 3 8 . H e ib e rg ,
a p a re
E l
n o m ia c u a l
c o p e rn ic a n a , —
se
d a b a n ,
b le m a s
es
v e rd a d ; a
lo
in s e n s a to ,
el
m u n d o
g u ire m o s
la s
la
m a tr im o n io
e sa
m e z c la
e s e n c ia
y
lo
rie n c ia
p o r
( y
tro ló g ic a s
la s y
c a s,
m á s
ra le s ,
es
ju s to
s u
p e n s a m ie n to .
p a r a
(2 3 )
e
( 2 4 )
n a
8 5
y
" L a to d o
(2 5 )
M L e
lo s
a l
q u e
d e l
p á g .
2 3 9 .
p r o b lè m e le s
d e l y
D ie ls ,
c o sm o s
e n y
e l
X I I I , d u
o r ig in e s
p á g .
1 9 0 6 , h a
lo
h a y
q u e
S im o n , b
e v e n i r
j u s q u ’à
la
o b .
s id o e n
c it.,
la
p á g .
E n
P itá g o ra s
v is to
a l lo s la a s
e n
su s
a c ú s ti
s o b r e n a tu ra c io n a l
d ife re n te
d e
d e l
b a s ta n te
fu e rte
e fe c tiv a m e n te
a lc a n
fa ls e d a d
n a tu ra le z a
d e
a lg u n a ,
d e
lo
P h ilo la o s ,
c o sa s
D io g e n e s
1 3 2
e fe c to
p u e s
in f in ito , A rc h iv e
1 7 7 .
c o m p u e s ta é l” .
e x p e
c a ra c te rís tic o
N e w b o rd ,
p á g .
m a te ria la
o rd e n
c re e rse
a d m ite a
V e r
X I X ,
d e
la
p r o b a
re s p e c ta
c re e n c ia s
h a b ía
a rm o n ía
2 4 4 .
t.
la
E n a
es
R iv a u d
y
q u e
s is te m a
d e
es d e
y
h a n
a p o rte
u n
p e rte n e c e n
c o sm o s
1 0 7 8 D
c ia .,
a ñ o
e n
y
e x p e rie n c ia s
su s
d e re c h o
n i
n o
el
q u e
p o p u la re s
c o rre s p o n d e n c ia s
s u s
d e
p re s e n ta n
m á s
( 26) .
e x p e rie n c ia s
p o rq u e
e n v id ia
q u e
tr a s m itid o
c o m o
el
n ú m e ro la
o b .
to d o
C fr.
e sas
c ris ta liz ó
m e n o s
P h ilo s o p h ie ,
n a tu ra le z a
c o n ju n to y
p r e te n o c a s ió n ,
e x tr a o r d in a r io y
lo
a n tig u a s ”
e n
c o n f u n re c o rd a r
ju s tic ia ,
m a rc o
E n
la s
lo s
se
o b s e rv a c ió n
d e
n o
c u a l
c o n
a b s o lu to
“ el
se
p a rte el
o rig in a le s :
p ita g ó ric o s
u n iv e rs o ;
fa ls e d a d
e ta fís ic a ,
d e p u is
si
e n
ra s g o s
d e ta lle .
h a n
a rm o n ía
o b s e rv a c ió n
L a
m a te m á tic o s ,
c o n s id e ra r
eso
n a tu ra le z a L a
d e r
e l
D ie ls ,
( 2G) g r e c q u e
la
irra c io n a l” .
G e s c h ic h te ,
c o m o
p o r
el p e s o
p ro p ia .
in s e n s a to
a s í
te n ía
"]S f¡
es
y
p e n s a m ie n to , n o
s o p o r ta r
le s
P e ro
re te n e r
m á s
c o s m o ló g ic a s ,
d e s c u b rim ie n to s
q u e
e l
b a b iló n ic o s )
c o n firm a c io n e s
eso s
E s te
lo s
lo s
lo s
la
la
v ece s
m é to d o ,
e s to s
d e
in fin ito ,
p ita g ó ric o s
a r b itr a r io
im á g e n e s
p u ra m e n te
lo
n u e s tro ,
la s
lo s
d e v e n ir :
e n
a
s o c ia le s :
p e n e tra n te d e l
y
n a tu
lo
o tr a
flo re c im ie n to
a n tig u a .
q u e
o p o s ic io n e s
m o ra le s .
q u e
s o n
m á s
in ta c ta s
d e s c u b rim ie n to s
la
p o r
la
p r o
( 24) . N o
h is tó ric o
e s te
d e
d e
in f in ito
q u e
c u a le s
el
s e g u ra m e n te a q u í
lo
p o r
a
c o n te n ta re m o s
d e
s o n
c o s m o g o n ía
ta m b ié n
d e
la s
y
b ie n
el
e n
lo s
p rin c ip io
a d v e n im ie n to s o b re
re a lid a d e s
s o b re
p re s o c rá tic a s
la
d e ja n
S i
s o n
in te rv ie n e n
c o n ju n to ,
h e re n c ia
in s is tir
a p lic a r
d o c trin a s
n o
jó n ic o s
n o
p u e d a
d a d o s
p o r la s
q u e
el
p e rte n e c e n
e n c u e n tra n ,
rig u ro s a
q u e la s
n u m é ric a s
m is te rio s o .
E l
s e r
v a s ta ,
to d o s
n ú m e ro a
e n v id ia
N o s
p re c is ió n
p ita g o ris m o ,
e s tá n
se
P la tó n .
d e
el
lle g a
p e río d o
p ro c e d e n te s
d e l
s o b re
P itá g o ra s
s in
a
s o lu c ió n
d o c tr in a ;
a n a lo g ía s
b le
se
la
u n
d e
m á s
u n a
n ú m e ro
e s ta
n a tu ra le z a
d e
d e
y
c o n s id e ra r
d e
( 2B ) ,
s ím b o lo s
f ü r
s in
d e
in f in ita m e n te
F ilo la o ,
( 23* S ) .
d e l
61
o
m e n tira ,
ir r a c io n a l
su c e so re s
e x p lic a r
C o n
m e n tir a
d e s a rro llo
lo s
d e
la
z o n a
a lg u n a ,
la
v ic to ria
re p re s e n ta c io n e s
d ía n
n o
lo
la
a le ja d o s
c o n
re c ib ir
q u e
h a c e r
d is c íp u lo s
u n a
d iv in o s .
d e
a
es
el
p o d r ía m o s
d e n ,
o
in c a p a z m ie n tra s
c o n
v a c ila c ió n
h u m a n o s
ra le z a
e n
s in
f i t a g o r i s m
y
fin ita s
e
in f in ita s ,
L a e rc io ,
V I I I ,
p á g i
d a n s
p h i lo s o p h ie
s ig .
2 1 . e t
la
n o t io n
T h é o p h r a s te ,
d e
la
1 9 0 5 ,
M
a tiè r e
p á g .
2 6 7 .
la
(P a r is ,
F .
A lc a n ) .
L a s
6 2
z a d o e l
la
id e a l
c la ro s
m á s d e
y
p a ra lo d io el
y
la
y
c o n tro la ,
g e o m é tric o d e
lo s
ese y
o b je tiv o
d e
la
y
la
a ritm e tis m o ta m e n te e n
u n a
d e
u n a
e s p íritu
el
tin to
o
L a
p a r a
y
ta l a
a r m o n ía d ic h o , lo s
el
la s Y
q u e
esas
d e l y
la
d e
a l
se
m is m o
e n
es
e n
se
la
c o n s titu y e
le y
e n
el
y
la s
a
p o r d e
e n la
s u fic ie n te n ú m e ro , e l
e s tu
e rig ie n d o
el
re v is te
la
la
d e
p r o
n ú m e ro
ig u a l
y
u n e n
n a tu r a le z a to d a s
a rm o n ía
u n id a d ,
“ c o s m o s ” .
e n
lo
d e l
e x a c
re a lid a d
d e
d e
s e n tid o
tie n e n
la
y a
c o n
fó rm u la s
a c ú s tic o
d e fin itiv o
e n
la
d e l
n o c ió n
rig e n
re fle ja
fu n d e n
lo
S i v e z
d e s c u b rim ie n to
ó rd e n e s
e q u ilib rio
la
q u e
c o n c re ta
u n a
a d a p ta d a s
a
tie m p o
g e n e ra l
q u e
c a p a z .
p rin c ip io s
o b s e rv a c ió n ,
y
le y e s
lo s
c o n te n ía
a ritm e tis m o
u n iv e rs o o tr a
d e
re a lid a d
la
es
p rin c ip io s
c o n c e p c ió n
c o m p o r ta ;
p a re c e n
p ita g ó ric o s
la
d ife re n te s
el
h o m b re
e x p e rie n c ia
a ritm é tic a s
p e rfe c to
a s e g u ra r
u n a
la
e n
d e
q u e
lo s
e l
s o b re
c o n c e b id o
d e l
á t i c a
m a rc o
c o n
d e s p re n d e
a c o rd e
q u e
m a te m á tic a
g e n e ra l
c a rá c te r.
d e s tin a d a s
m e jo r
q u e ,
se
a t e m
p ita g ó ric o
re la c io n e s
h o m o g é n e a
s im p lic id a d
fu n c io n e s . id e a s ,
m is m o
d e
e n
e s tu d io
v e rd a d
g e o m é tric o
s ín te s is
y
d e
h a b ía
m
a s e n ta rs e
c o n ta c to
u n
la s L a
fo r m a
n o c ió n
es
Im p lic a n d o
c o m o d e
v e rd a d
m a te m a tis m o
p a la b r a ; la
el
fís ic o ,
n a tu ra le s .
g re s iv a m e n te p e rfe c to
e l
n ú m e ro s
d e s c u b rim ie n to
re la c io n e s
d e
f i lo s o f í a
d e s a rro lla rs e
id e a l.
lo
la
p o s itiv a
m a n te n e r
s a tis fa c e r
d e
c u a lid a d
c ie n c ia
d e lim ita d o s ,
e s ta b le c id o s firm a
a lta
u n a
e t a f a s
d e
s o n d e l su s la s
in d is
G E O M E T R IA
C a p ítu lo
E L
S
e
c
c
M
i ó
n
A T E M
A T I S M
A .
L
■—
IM
2 4 . — tip o a
A ris tó te le s ,
p a la b ra d a s
e n
h a b r ía
el
n ic a s
s o n
es,
m itid a la
c o m o
( ! )
( 2 )
4 8
J o u r n a l
l a te r
la
e .
o f
th e o r y
d iá lo g o s
p á g .
U e b e r
h a d ie
S c h r i ft e n
y
s e rie
y
lo s
e n
q u e
la la s
to d o
q u e
la
q u e X I I I ,
te o ría c o m o
re e m p la z a d a s
" p a rtic ip a c ió n ” d if ic u lta d e s
d e
d e e l
p o r
lo s
s e ría u n a
d o p p e lt e n
S c h r ifte n ,
t.
I,
m
a
p
l
a
t
ó
n
i c
o
lo s
s e n s ib le s
s o n
q u e
d o s y
X
in c lu s o
u n a
e l
T e e te to ,
tip o s
F ile b o ,
re a lid a d
s e p a ra c ió n G e s ta lt
1 9 1 0 ,
d e r
p á g .
y
1 8 8 1 e l
e n e l lo s
s ig .
I,
a d
la s
( 2) .
d e
9 8 7
h a s ta
títu lo :
lo s b
1 8 8 5 ,
O n
ra d ic a l
1 1 . e n
P la to ’s
e n tre e l
I d e a s ,
lo s
P e d e n
e l
T i m
p a ra d ig m a s
( t.
X I I I ,
p á g .
2 8 9 ) .
P o lític o ,
c o m p le ta
y
u n a
im ita c ió n
e ta fís ic a ,
I d e e n le h r e
3 6 9
d e se a rse : .
v is ib le ”
p o r M
" im ita c ió n ” ta n
p la tó
im ita c io n e s ;
in a lte ra b le ;
d is tin c ió n
n a tu ra le s ,
s u p o n e
id e a s
s ie m p re
b a jo
p a rtic ip a c ió n
a
e q u ív o c a s
p o d r ía
d e sd e
) ,
la
to m
.
e x is te n
V
lo s
f o r m a s .
e n g e n d ra d a
a p a re c id o
q u e ,
s o n
a
s ó lo
im ita c ió n la s
c o sa s
p la to n is m o im ita n
c o p ia ,
d e
a te n e rn o s
n ú m e ro s ;
la
e x p líc ito
X I V ,
e n
el
re c o n o c e r
S i
la
filo s o fía
c o sa s
p a r tic ip a c ió n
c o sa s
h a n
y
la s
p a rtic ip a c ió n ” .
la
u n a
q u is ié ra m o s
d e
d e
la s
p o r
p ro p u e s to
e in e r
si
in te lig ib le
h a
K l e i n e
y
lo
n o m b re ,
ta le s
y
e n to n c e s
J a c k s o n e x p o n e
y
p a ra d ig m a ,
a n á lis is
e
n e c e s a rio
la s
X I ,
n t e r s c h e id u n g
( 1 8 8 7 ) ,
q u e
d ic e n
l
p ita g o ris m o
im ita c ió n
X ,
d iá lo g o s
e s ta ría n
d e
b
p ita g o ris m o
es
(v o l.
P la tó n
m o s tra d o U
u n a
id e a s ,
q u e
I d e a s
2 4 2 ) ,
Z e lle r
E n
o f
e n
d e l
e l
o
p a rtic ip a n
P e ro
lo s
p ita g ó ric o s
r
p ita g ó ric o s
p a ra d ig m a ,
c a m b ia n d o
P h ilo lo g y
R e p ú b lic a ,
la s
lo s
P la tó n ,
p
el
el
lo s
d is tin g u id o
d e
l
re s p e c to ,
o rig in a l
re s p e c to ,
im ita c ió n
" P u e s y
e s te
fo rm a
s e g u n d a ,
n ú m e ro s ,
q u e
a
h a b ía m o s
e
P L A T Ó N I C O S
in te rc a m b ia d a s .
d e l e n
d
c o m o
c o sa s
se r
L O S
P A R T IC IP A C IÓ N
e s te
p a la b ra s
s e p a ra c ió n
e fe c to :
Y
( 1) .
p o d e r
n
e n tre
la s
c a m b ia d o la s
i ó
S e g ú n
" p a r a d ig m a s ”
T im e o
“ E n
y
la
a
d ife re n c ia
d e
i c
es
a ú n ,
P la tó n
p u n to
to d o
s
D E
IT A C IÓ N
v e rb a l.
s e g ú n
a n te
e l
la
sí m is m a s ,
h a s ta
e l
M á s
p u ra m e n te
n ú m e ro s ,
o
p la to n is m o
m a te m á tic o .
s e ría
y
E l
p
a
O
I V
in
( t.
X ,
e n d e n
u n a
e o
e n
m e m o ria
P la to n is c h e n
6 6
L a s
P o r d e
o tra
p a r te
la
n o c ió n
A n a x á g o ra s ,
“ T o d o to s
tie n e
d e l
to d a s
y
lo s
la s
d e
e n
to d o ” ,
c o s a s ”
c o n
( 4) ,
q u e
E n
c o n v e n d ría p a rtic ip a c ió n
ric o s ,
d e a l
c u e rp o s m e ro s
la
v e r
q u e
E l
a
lo s
d if ic u lta d ;
p la tó n ic a :
“ E l lo s
G u a n d o
n a tu r a l;
d e
a
lo g ra
d e
u n a
y
d e
s in o
“ la
c o n
el
c o sa s
d e
s o b re d a n
la d e l
p la to n is m o , “ L o s
p ita g ó
e x is te n
n ú m e ro s ,
la s
e fe c
m e z c la
M e ta fís ic a
n ú m e ro s
s o n
q u e
es
n ú m e ro s .
lo s
( 3) .
e le m e n
p r o f u n d iz a la
lo s
lo s
e n tre m e z c la n
c o n tra s te
c o sa s
el
es
e n
p e ro
e s tá n
o
y
d e
lo s
n o
n ú
h e c h a s
e n
su s
“ el
d e
tip o s
c o n s titu y e n
el
se
lo s
X I V ,
a
2 0 .
M e ta fís ic a ,
I ,
9 8 7
b
2 7 ;
c fr.
( 7 )
M e ta fís ic a ,
I,
9 8 5
b
2 7 .
a
la s
lo s
y
y
c o sa s
n ú m e
la
re a lid a d
d e l
n ú m e ro m u c h a s
q u e
d e
d e
lo s
el
c ie lo
E l
y
a
d ife re n te s e n
la s d e
v e rd a d ;
d e l
n ú m e ro sea
tip o s
s í,
a l
c o sa s, e s ta s
d e fin id o
d e s p u é s
s e g ú n
to m a d o s
d e
p rin c ip io e s tá
n ú m e ro
o b je to ,
d e
n ú m e ro s
c a ra c te re s
ig u a ld a d ,
s u p e rio r
M e ta fis ic a ,
c o rre c ta m e n te ” .
la
p la n o
( 6 )
d e ( 6) .
n ú m e ro s
. . .
d o m in io
s o n ,
( B )
la d e
d e
y
d e
u n id a d d e te rm i
re a lid a d e s o
c o n ig u a l
a u tó
e x is te n c ia
3 1 6 .
3 1 5 .
p rim e r
si
c ie n c ia a
a p lic a rá n
o b .
m e d id a —
la
id e a le s
p á g .
u n
y
m is m o
I b id .,
se a
d e v ie n e
s in o
re la c ió n
A l
D ie ls ,
" E n
p á g .
lo s
la
( 7) .
c u y o
ig u a l
( á )
q u e
c it.,
s í,
s u b s is te
c o n ju n to e n
p ita g ó
d e m a s ia d a
tr a s c e n d e n c ia
im ita n
d e te rm in a c io n e s .
s e ría
( 8) .
q u e
la
n u m é ric a
el
lo s
a p a rte
c o sa s
e n tre
P la tó n e n
f in ito ”
q u e
la s
y
n ú m e ro s ”
o b s e rv a r lo
a s in
v e rb a le s ,
e s tá n
s o n
re a lid a d
n ú m e r o ”
n u m e ra c ió n ,
e s to s
q u e la
y
s e g ú n
F ile b o : lo
n ú m e ro s
d ic e n
e x is te
a trib u y e
in v e rtid o
p ita g ó ric a
m is m a s
p la n o
to m a d a s
m e d id a ”
p e ro
lo s
“ C re ía n
“ lo
s e r
s e m e ja n z a s
s e m e ja n z a
q u e
c o sa s
A ris tó te le s p u e s ,
la s
( 3 )
lo
se
v o c a b u la rio
m a te ria l
to d o s
se
d e
e n
in m a n e n c ia
c o sa s
c o s a :
a rm o n ía
to d o
a
m e d id a
( 8 ) to d o
u n a
la
c o n tra río , la s
e n
d o b le
n o m a s ;
e n
q u e
q u e la s
m is m o
c o m p re n d e r
p re c is ió n
n a c ió n ;
d ic e
lo
u n a el
n o
m e d id a
si
X I V
la s
d e
la
p ita g ó ric o s
c o n
e ra
e n c im a
q u e
u n
d e te rm in a c io n e s
el
q u e
u n iv e rs o
y
c o sa s
p o d r ía ,
e n tre
c o n s ta ta n
P o r
q u e
lo s e n
s e m e ja n z a s
c a n z a
p o r
u n o
c o n ju n to
e n te ro
re s p e c tiv o
o tro s ,
c o lo c a n
el
la s
s e p a ra d a m e n te ,
p r o f u n d a
s e n s ib le s ;
y
y
p ro p ie d a d e s
p la tó n ic o s
p e ro
o p o s ic ió n
ro s ,
el
d e l
( 5) .
v o c a b u la rio
y
to m a d a
p u ra m e n te
e x p re s a
q u e
I I I
q u e
á t i c a
in te lig e n c ia ” ,
re s titu irle , d e
a t e m
e s tá
s e n tid o ,
X
d e c id ie ro n
e x is te n
fra s e
“ la
e s te
m u c h a s
s e n s ib le s ,
n ú m e ro s ”
ric o s
q u e
m
s e n tid o
o tro s ,
lib ro s
la
u n
e s ta
lo s
lo s
f i l o s o f í a
a llí
e x c e p tu a n d o
p ita g o ris m o , te s is
la
p a rtic ip a c ió n
tie n e
u n o s
in te rp re ta c ió n
d e
e lla
p a rte
u n iv e rs o ,
tiv a m e n te
e ta p a s
1 0 9 0
lu g a r
n ú m e ro
p o n e m o s F ile b o ,
2 5
lo c o n
to d o a.
ig u a l
y
F ís ic a ,
la
re s p e c to e so
e n
ig u a ld a d , a
la
I I I ,
u n
2 0 3
d e
6 .
d e s p u é s
n ú m e ro
c u e n ta
a
lo
o
d e
u n a fin ito ,
lo
ig u a l
m e d id a c re o
lo
c o n
q u e
lo
d o b le
y
re s p e c to
a
h a ría m o s
I m
d e
d o n d e
p o r
m e d io q u e ñ
p ro c e d e
( 10) ,
es
a q u e llo , q u e
a
T a l
es,
V a m o s la
el
d o m in io
c ie n c ia
d e
re c id o
d u r a n te
n o el
d e b e
la
c e r
d o b le
( 9 )
F e d ó n , ( n id a d
fu é
p o r
p o r
e s to
u n a
p re s e n c ia
c u a lq u ie r
sea
c o sa
m á s
sea
o tr o
g ra n d e
m á s
p e q u e
a l
la
el
la
ta n
id e a s
s ig lo s ,
la
d e
c rític o
d e
n o
lo s
d e
s e g u id o ,
c ie n c ia a
la
s o m o s
a
b re v e
¿ C ó m o h a
c ie n c ia
m u y
f ilo
m a te m á
p re g u n ta
le jo s
c a p a c e s
la
a p a
a p a re n
s e g u n d a
e s ta re m o s si
m o d e r
re a l —
la
E s ta
d e l
e s ta
m a te m á tic a ? la
a n ti
m e to d o lo g ía
( 12) ,
v e rb a le s ?
p la tó n ic o
la
q u e
s u b o rd in a d a
p rim e ra ;
d e
u n a
fu é
s o b re e x c e d e
p r o f u n d o s
b r illa n te
—
a lc a n
q u e
a llá
m á s
a d v e n im ie n to
filo s o fía
la s
p ro g re s o
m á s
g e rm e n
es p la
m e d ita c ió n
c o n o c im ie n to a ú n
filo s o fía
d e
el la
id e a lis m o
c la s ific a c io n e s d e
d e l
el
p a rte ,
e n tre
d e
d is tin c ió n
m a te m a tis m o
p re c is a
in té rp re te s
e lla
la
d e l
¿ C ó m o
c o m ie n z o
v e in te
te x to s ,
d ire c to
lo s
e n
o tr a a l
la s
lo s
p r o lo n g a
d e
a b s o rb id o
d e
D E S C U B R IM
—
D ire c ta
e n
la
e x a c ta
" P u e s
p o r
sea
o
d e
d e
a s ir
s a tis fa
c u rio s id a d .
in te rv e n id o
s í,
q u e
d o c trin a se
m a te m a tis m o
2 5 .
e n
e s to
q u e
fo r m a
v in c u la d a
p o r
s e p a ra d a
d e l
tific a c ió n
se r
c a si
E L
h a
h a c e
e n
q u e
c o n e x io n e s
c ie n c ia se r
e s ta
h a c e
d e
u n a
d e s a p a ric ió n
la s
s e n tid o
Q u e fo r m a
P la tó n .
a lg u n o s
d e
h a b e r
p o r
la
( 9) .
e s tu d io
d e s c u b ie rto
é x ito
p a re c ía
a
q u e
¿ c ó m o ,
p la z o ,
■—
d e
e x tr a íd o
c a p a z
c u y o
lu z
d e te rm in a r
h a
h a n
P e ro ,
tic a
q u e
6 7
a c ió n
o tr a
q u e
lo
a l
m a te m á tic o ,
p la to n is m o
s o fía ,
a
p u e s to
u n iv e rs a l,
lo
c ru d a
c o n d u c e
re fle x ió n
m a te m á tic a
n o s ?
la
n o s
la
g ü e d a d ,
a r tic if
c u a lq u ie r
p e q u e ñ e z
a
tó n ic o .
p o r
f
( 11) .
q u e
z a d o
b a jo
g r a n d o r
la
y
p a rtic ip a c ió n
o
el
es
o tr a
p e c ífic a
te
la
c o m u n ic a c ió n
i t a c i ó n
q u e
m e
n in g ú n
o
D E
el
L O S
d e
la
p ita g o ris m o ,
a l
q u e
m o tiv o
IR R A C IO N A L E S
in d ire c ta m e n te ,
e la b o ra c ió n
p a re c e
o tro
IE N T O
si
a lg u n a
e s
b e lla ,
lo
h a c e
m e n o s
o tra
s in o
la
c o n s id e ra c ió n
filo s o fía
c o sa
e n
es
p o rq u e
p la tó n ic a . su
b e lla ,
fo rm a
a p a rte
p a rtic ip a
d e
d e
L a
la
té c n ic a
id e n
p r im itiv a
d e
la
a q u e lla
b e lle z a b e lle z a .”
1 0 0 c .
10) d e
" N in g u n a a q u e lla
n id o ” . F e d ó n , ( 1 1 ) n in g u n a g ra n d e ,
y
( 1 2 ) M e ta fís ic a ,
q u e
in s is tirá s
ú
c o sa u n a
" P a r a I,
c o sa d e
b e llo
c u a lq u ie r
s in o
m o d o
y
la
p o r
o
b ie n
p re s e n c ia
c u a lq u ie r
v ía
o
q u e
b ie n
h a y a
c o m u
s o b re v e
lO O d . " T
o tr a
o tra
b e lle z a ,
9 9 2
es
m á s
c o sa lo s a
e n
m á s
d e
n o
s in o
p e q u e ñ a
h o m b re s 3 2 .
q u e
g ra n d e ,
d ic e s
p o r . . .
h o y
la
s u
lo
es
q u e
to d a
ta m a ñ o , a
c a u sa
filo s o fía
se
y
c o sa a
d e h a
c a u s a s u
m á s d e
g ra n d e s u
p e q u e ñ e z ” .
c o n v e rtid o
e n
q u e
g ra n d o r F e d ó n ,
e s
o tra , m á s 1 0 1 a .
m a te m á tic a s .”
p o r
6 8
L a s
y ,
e n
c ie rto
m e ro
y
y a
e s tá
a
la
p ro p io s
re in a d o
d e l
c o n m e n s u ra b le s . c ía n
e n
e v id e n c ia
h a b r ía
o c u rrid o
n o c id a
c o n
la d o s
d e
u n
E s ta B ü r k ,
el
e n
d e
é p o c a
el
d e
u n a
in tro d u c c ió n
a
A p a s ta m b a
( 14) ,
d e
c ris tia n a
d e
el
la
m
te o re m a
d e
p o s e y e s e n c o n
s e n ta r
d a r
a
la
lo s
p a r a
la
la d o s
lo s
y
u n a
! u n
d u d a r u n
te rre n o
e l
s in
el
D io g e n e s
L a e rc io ,
(1 4 )
V e r
a lt
W
i e
d e u ts c h e n
is t
I I I,
d e r
q u e
a p o rte
p ita g ó ric o s el
lo s
b 2 =
d e V
h a n
q u e
lo s
S u l-
I I I
a n te s
h is to r ia e x p re s a d o
a f irm a r
se
q u e
c o n te n ta b a n
q u e
e n tre se
lo s
p o d ía n
m á s
le s
c o rre s p o n d ía n
b ie n ,
in d u c c ió n la
le s
d e l
d e b ía
o b s e rv a c ió n
e ra
p o s ib le
d e
el
q u e
p o r
d e
p a ra
o rig in a l —
u n a P ítá -
te o re m a
lo s
la d o s
n ú m e ro s
e n c o n tra ro n
c o n c e p to
d e
e x p re
e n te ro s
c o n tra rio ,
se
c 2.
é p o c a
( o
re p re s e n ta d o s
e n tre
c o
ú ltim o s
p a r tic u la r id a d
ser
lo s
el
e lla
s ie n d o
u n a
m ú ltip lo s
P o r
s u
la
L a
s ie m p re
c o m o
d u d a
q u e
p u s o
g e n e ra l
c o n e x ió n
s e g ú n
q u e
se
+
s ig lo
triá n g u lo
( 15) .
d e
e n
a 2
p o d e m o s
la
in p la
e le m e n to
b
es
e n te ro s ,
e n te ro s
c re e r
p a ra le lis m o
(1 3 )
n o
se
u n
y
h in d ú e s
d ia g o n a l) .
p u e d a n
m o m e n to , q u e
d e l
triá n g u lo
a
lo s
se
d a ría
c o n je tu ra r,
P o s ib le m e n te
c u a n to ,
“ e n
c o n s is te
ese
e n
d e r
la
in d e p e n d ie n te
p o r
n ú m e ro s
re c to
q u e
p u b lic a c ió n
lo s
e n
q u e
¿ C ó m o
a l
e n
p o n e
q u e
fó r m u la
a d v in ie n d o
e n
p e q u e ñ a
re c tá n g u lo
si
n u m é ric o s
p a ra
la
g e n e ra lid a d ,
d u d o s a
d e
e s to
D e s d e
Z e its c h rift y
( o
a
a c e p ta d a
g e n e ra l.
á n g u lo
la
n ú
m a g n itu d e s
p u e d e
h in d ú e s ,
y
C ire n e y
e n c o n tra r
r e m o n ta r
a ú n
in d u c c ió n ,
m e n o s
e n
su
v a lo re s
la d o s
triá n g u lo
te ro s .
d e l
lo s
v e rd a d
es
la s
h ip o te n u s a ,
lo s
d e
fig u ra s
p u n to s .
d e
la
h a c e
e x p re s a d o s
s u fic ie n te m e n te
g o ra s —
d e l
p o r
n o , d e b ía n
tre s
u n id a d
e s
y
ta n to
Z e u th e n , s a r
le y
h ip o te n u s a
p a re c e r
e n
c
p o r
P e ro
d e
se
el
re a lid a d
—
c a p ita l
P itá g o r a s :
e d ic ió n
fe c h a
d e m o s tra c ió n
v a lo re s ,
re c tá n g u lo )
la
á tic a ) .
P itá g o ra s
u n a
d ife re n te s
( y
a te m
la
d e
y
c o n q c id a
su
e ra
d e
la
c ie n tífic o s —
la s
c o m o
te o re m a
d e
la
d e
d e b ie ro n
T a n to
v a s u tr a s
d o re s
c u rio s o
d e s c u b rim ie n to
s u m a
e n tre y
T e o d o r o
d e s c u b rim ie n to
re c tá n g u lo
e ra
q u e
e s ta b le c im ie n to
n o m b re
tr iá n g u lo
el
c u a d ra d o ,
el
e s ta b le c id o a ritm é tic o
R e s u lta
a rm o n io s a
d ific u lta d ? p o r
e n
á t i c a
p ro c e d im ie n to s
el
e ra
a t e m
h a b ía
( 13) .
su s
m á s
n o
re la c ió n
e n
la
m
p e n s a m ie n to
P la tó n
la
y a
e s ta
p u r o ,
e l
n ú m e r o : E n
q u e
f i l o s o f í a
p ita g ó ric o s
c o n s id e ra r,
g e o m é tric o e n
e n
a
la
e s ta d o
fe c u n d id a d
lo s
a l
el
d e
e n tre
r o ta
m a te m á tic a s
e v id e n c ia
fin
e n
m a g n itu d ,
c o n c re ta ,
d e b a
m o d o ,
la
s e ñ a b a
e ta p a s
e n
s o b re
n u m é ric o
y
la
6 .
S a tz
v o n
Q u a d r a t
m o rg e n lä n d is c h e n
d e r
H
G e s e lls c h a ft,
y p o t e n u s e
t.
L V ,
b e i
a ñ o
d e n
1 9 0 1 ,
I n d i e r n ?
p á g .
5 5 0
sig . ( 1 5 )
T h é o r è m
In te rn a tio n a l p á g . d e s
8 4 6 ) . S c ie n c e s ,
s c i e n t i fi q u e ,
e
d e
P y th a g o r e ,
d e
P h ilo s o p h ie ,
V e r
ig u a lm e n te
1 9 1 0 ,
1911,
p á g . p á g .
I P M
5 1 2
109
y y
o r ig in e
s e s s io n , ilh a u d , s ig ., s ig .
y
L a N
d e
la
R a p p o rts G
é o m
o u v e l l e s
g é o m
e t
é tr ie
é tr ie
c o m p te s
s c i e n t i fi q u e
re n d u s ,
d 'A p a s t a m
É tu d e s
s u r
l ’H
b a ,
(C o n g rè s
G in e b ra , R e v u e
i s t o i r e
d e
1 9 0 5 ,
G é n é ra le la
P e n s é e
E l
re p re s e n ta c ió n la
fig u ra
s im p le h a
g e o m é tric a
re c ta n g u la r
es
el
d e b id o
d e l
d e
d e
e s te
e x a c ta d e
d e
la
s o n
la
d ia g o n a l?
ig u a le s
a
la
p o d r á d e
m e d id a
id e a
y
c la ra
m ite
a
d e
su s
s e r
m á s
c u a n to
e n es
u n a
e n
d e
el
el
2 ,
es
a
p a ra
y
a
2 ,
n o
se
u n id a d e s
p la n te a r o n q u e
m á s
é p o c a
d e l
c a te to s
e n c o n tra r
u n a
( 10)
p e r
p ita g ó ric a .
c u a d ra d o ,
irre d u c tib le
e s te
d a
in te re s a n te
A ris tó te le s la
e x a c ta
c u y o s
e lig ie n d o se
el
lo n g itu d
fra c a s o ,
ta n to
d e
la d o
fra c c ió n
la
d e m o s tra c ió n
p r ó x im a
c o n
c u a d ra d o ,
e q u iv a le n te
g rie g o s
q u e
d ia g o n a l
lo n g itu d
h e c h a s fu e ra
a lu s ió n
m u y
fo rm a
y
u n a
la
es
m á s
e m p íric a
la
n u e v o
se rá
d e
lo s
to m a
e n to n c e s
d e fin itiv o
u n a
c u a d ra d o
c u a d ra d o
re c tá n g u lo
e x a c ta
ló g ic o s ,
c o n m e n s u ra b le
p u e s ta
¿ E s
m e d ia n te
fe c h a
¿ c u á l
te n ta tiv a s
r a íz
q u e
u n
c u a d ra d o
p e q u e ñ a s ?
re c u rs o s
a q u í,
d ia g o n a l
u n a
re s o lv ie ro n
u b ic a rla
p u e d e
v e z
la s
se
se rá
is ó s c e le s
o tra .
E í el
o b s e rv a c ió n
si
d e
¿ c u á l
p re fie re
c u y o
d e
d e s c u b rir
lo
re p ro d u c ir
se
T o d a s
d e s p u é s
c a d a
p ro b le m a
si
la
q u e
la d o
d o s ;
tr iá n g u lo
fra c c io n a ria
u n a
lle g a r
O
u n
m a n te n e rs e .
b ie n ,
c o m o a
6 9
n u m é ric a m e n te
A h o r a
ig u a l
u n id a d ?
e x p re s ió n
fra c a s a b a n
d e
y a
y
ir r a c io n a le s
fá c ilm e n te ,
u n id a d es
lo s
p u d o
u n id a d .
la d o
d e
s im p le ;
d e s c u b rir
c u a d ra d o
h ip o te n u s a
u n a
la
d e
i e n t o
n o
m á s
la d o
h a c e rle s
c u a d ra d o
á re a
d e s c u b r i m
È - .
la
E l
S i
r a z ó n
te o re m a
c d e
P itá g o ra s
d o n d e
se
im p a r.
P e ro
g u ie n te
lo
q u e
la
p o s ib ilid a d a
la
ta l
se r
p a r
v il” , q u e s id o
d e
d e
a
c2
m u e s tra q u e
d e
d
y
v e
d
in m e d ia ta m e n te
q u e
y
e n tre
c
s o n
p e rm ite
( 1 6 ) im p a r
es
e n
H e ib e rg ,
( 1 7 )
s e r d e
y
la
d ia g o n a l
V e r X ,
la
a
lo
u n
p rim o s
e x p re s a r
d e
n o
el
es
el
d
es
p a r,
s í,
q u e
te o re m a
e n
a q u e l a l
’P r i m e r o s
t.
I I I ,
c
se
h a n
s u p u e s to
a
la
v e z
im p a r
ra z o n a m ie n to n ú m e ro q u e
d e c
la
es s i
m is m o
tie m p o ; s in
m e d ir
p o r
n o
la
p u e s ,
a n a lític o s ,
in tro d u c id a L e ip z ig ,
e n
1 8 8 6 ,
I,
lo s p á g .
si 4 1
se a
la
la
u n id a d . d e b e ría
c o n
“ e s ta d o la
e x a c titu d
d o m in io
d e
la _ _ ru p tu ra
s u p o n e
c i
m a g n itu d h a la d e l
c o n m e n s u ra b le ,
2 6 .
E le m e n to s 4 0 8 .
im u n i
2 ;
E l
in te lig ib ilid a d ;
d e
la d o
tie n e
n u n c a
( 17) .
la
fu e se
e m b a rg o ,
g e o m é tric a m e n te .
d e
p a r
rig u ro s o
c u a d ra d o
Y
c o n m e n
y
d e te rm in a d o
tie n e
c u y o
p o d e rs e
tip o
y es
u n
in c o n m e n s u ra b le ,
p a r ” .
2 6 ,
u n
in te lig ib ilid a d . a
d c
c u a d ra d o
s e r
p ro p o s ic ió n
A p .
S i
q u e
d e te rm in a d a
s o b re p a s a
ig u a l
lu z
im p a r
c o n d e n a d a
" L a
lo
d e
d e b ie ra
fu e ra
c.
c o rre s p o n d e r
d ia g o n a l
d e b e ría
d e
h ip ó te s is c la ra
h a c e r
c o n s tru id a
e x is te n c ia
p a r id a d la
la
n ú m e ro
e s tá se
la
re s u lta
e s ta b le c e
d a d e s
2
p u e s to
p a r id a d
im p lic a ría
se
U n
=
f o r m a :
s u ra b le s , A s í
d 2
d e d u c iría ,
d e
E u c lid e s
(X, 117),
7 0
L a s
e q u ilib rio
e n
q u e
e ta p a s
se
d e
la
f i lo s o f í a
e n c o n tra b a
el
m
a t e m
á t i c a
d o g m a tis m o
p ita g ó ric o
es
in
e v ita b le . _ D e s id o
e s ta
la
( 18) , d a d
la s
a p o r ta s
g rie g a
tin u a ,
la
re a lid a d
d e
s id o
—
A
tr a ñ o
d o c trin a
la
lis is
d e
q u e
v a
V IF ,
lo s
la
e n
u n
in s is tir
s o b re
s im p le s
q u e
c u a l
el
u n
s í
la s la s
d e s tin a d o c ia .
E l
e s te
n a tu r a l
n a d a
q u e
d a d e ra
se
V e r,
(1 9 )
T e e te to ,
(
20)
R e a l " D e
(
21)
" F íja te 8 2 b .
h a c e
a
sí
§
V e r
e í
d e
h a y
m á s
n o
es
g ra d o s
d e l
P la tó n la
d e l a n á
re c u e rd a
irra c io n a lid a d
la s
d e
la s
L e y e s ,
q u e
se
d e ja d o e n tre
d e
e x
in tro d u c c ió n
ra íc e s P la tó n
le s
d e je
ig n o r a r
la s
S o b re
p ro b le m a ,
o tr o
u n a
ig a
él
m a g n itu d e s
in c o n m e n s u ra b le s
d e l
la
es
p r o b a r
u n
p re te n d e
,
c o n v ie n e
d e
q u e
lo s
d e
e s c la v o p o r
a l
la
la
la d o c u a tro
c u a l
e s tá
r e m in is c e n a
e fe c to
h a c e r
m á s d e
d e l
tie n e
o b je to
te s is
ú n ic a m e n te
u n o
lo n g itu d
e l
la
to d o
d e s c u b rim ie n to
c u a d ra d o
in tr o d u c ir y
q u ie n ,
s in
d e
lu z
la
e n c o n tra r
la
v e r
d e s
liv r e s
(21) .
e s tu d io
d ’E u c l i d e y
L e tra s
n a tu ra le z a
b ie n
la
h a y a
el
c o sa s.
m o d e lo
9 5 .
C ie n c ia s
L e y e s ,
d e
P la tó n ,
d e
d e te rm in a r
m is m a ,
p ro b le m a
l4 7 d .
q U é
in c o n m e n s u ra b le s ” .
M e n ó n ,
p la tó n ic o
d e l
I I
s ig n ific a tiv o ,
tr a ta
E lé m e n ts
d e
e n
se
lu e g o ,
d e s
es
d e
p a tr ia ,
d e s p u é s
la s
irra c io n a le s
d is tin c ió n
e n ó n :
d o b le
q u e
re v e la
( 1 8 )
A c a d e m ia
fu e ra
L o
d ire c ta m e n te ,
s o lu c ió n
a r ith m é tiq u e s
M
p lu
c o n c re to ,
c u y o
in v e s tig a c ió n V
le
d is c o n
p ro v o c a d o
v e rd a d ,
m a g n itu d e s
p re s e n ta r
e je m p lo ;
S ó c ra te s
e n s e ñ a rle
d e l
la
h a n
E n
la
la
se
y
a n tig ü e
a ú n
d e s p la z a n
e s ta b le c ió
la
o
d a to
c ie n c ia
“ h u m a n id a d e s ” .
c o n s is te
q u e
s u p e rfic ie .
q u e
y
a
lib r o
c o n tr a
y
el
p rim e ro s
q u e
la
v e rd a d .
lo s
lo s
V l7 e l
tie m p o ,
p o d ía n
c u a d ra d o
d e
E n
b a s a b a
in c o n m e n s u ra b ilid a d , d e
h a s ta
la
c ie n c ia .
s e n s ib le
c rim e n
e je m p lo
se
la
s e ñ a la r
g rie g o s
e n tre
la
d e
d e
T e o d o r o ,
( 19) .
m u c h o
c o n m e n s u ra b le s
d e
a
p ro s ig u ió
d e
lo s
a p a rie n c ia
jó v e n e s
d u r a n te
d is tin c ió n
p ie s
D iá lo g o s
d e
p la tó n ic a
se
u n a
m a te m á tic a ;
d e s c u b rim ie n to
m a e s tro
y
c o m o
a
m is m o
T
la
p a ra
h a y a
re c u b re n
p lu r a lid a d
c o n
d o n d e d e
tra v é s
d e s tin a d o
su
e n
q u e
a ritm é tic o s
y
irra c io n a le s
q u e ja ,
n o r a r
V
p o r
la
e x te n s ió n ,
fra c a s o
C u a lq u ie ra
p o s itiv a
s ig n ific a d o
p u n to s
e s p a c io el
E le a .
c o in c id ir
c o n o c im ie n to
el
d e sd e d e
d e
c u a d ra d a s se
q u e
d iá lo g o
e s c rito s
c o n
d e
b a se
h a n
á to m o s d e l
la
h a c e r lo s
fija d o d e l
d e
a
d e
E le a
d e
m a rc a d o
n u e v a
2 6 .
T e e te to ,
d e
Z e n ó n
sea
d e
c o n tin u a
te s tim o n io
lo s
Z e n ó n
q u e
p ita g ó ric a
h a n
h a b e r
c o n c e p c ió n
te s tig o ,
im p o s ib ilid a d
a p o r ta s
p a re c ía
u n
c u a lq u ie ra
d e m o c rite a n a
la
L a s
q u e d a
p lu r a lid a d
ra lid a d c o n
c ris is
in te n c ió n ,
V II,
a h o ra
s o n
e t d e la s
d e le u r
Z e u th e n : ra p p o r t
D in a m a rc a , re la c io n e s
S u r à
la
1 9 1 0 ,
la
c o n s titu tio n
q u e s tio n p ig .
re c íp ro c a s
3 9 5
e n tre
d e y
l ’i r r a t i o n a l i t é . s ig .
c o n m e n s u ra b le s
e
8 2 0 c . s i
te
p a re c e
q u e
v a
re c o rd a n d o
o
a p re n d ie n d o
d e
m í.”
u n
E l
L a s d e
la
u n
la d o
p rim e ra s
a ritm é tic a d e
d o b le
2
m e n o r
m o d o a ú n
es
E l
el
p íe s .
y u x ta p o n e rle
D
I,
B ,
ig u a le s
a l
s ig u ie n te ig u a l
a
ta n to
H
y /8 ~ ,
c o n
d e l
es
el
la
S
e
c
lín e a
2 7 . —
c
i ó
e x a c ta
d e
m á s
la
( 2 2 )
C fr.
( 2 3 )
" L o s
n a l] ,
d e
d ic e s
tú ,
m o d o
B .
m o z o
a llá
C a n to r s o fis ta s
d e
s i
F .
M e n ó n ,
• E
s o fis ta s
l
se
m
é
a ú n
tie n e
t
o
d
o
l
( 22)
d e
I
H
c u y a
ó
n
i c
3 ) ,
B
D ,
s u p e rfic ie s p o r
c o n
lo n g itu d
es
s e ría
d iá m e tr o :
t
s u
o b te n e r
c u a tro
s u p e rfic ie
a
(fig .
la s D
la
p
D
m a n e ra
lla m a n
fo r m a
u n a
c o n s id e ra c ió n
d ia g o n a le s
B
q u e
c ie rto
n u m é ric a ,
la s
la d o ,
es
p o r
d o b le
lo
( 23) .
o
A N A L I T I C A
e s tá
m á s
in te lig ib ilid a d ,
p á g .
e l
q u e
d e
e l
e n
te n d r ía
C
te n e r s u p e r
m a y o r
q u e
u n a
d e
c u a d ra d o
q u e
lo
la
lla m a n
é s ta
•—
q u e d e
I s ,
lo s
B
a n d o
u n a
p r im itiv o ;
lo
A
ig u a le s
c a d a
E l
la d o
m a rc o s
la
p r o p ia m e n te
e n to n c e s
T o m
R E G R E S IO N
g e o m e tría
q u e
d o s
q u e
n
R e c o n o c e r
e m b a rg o
e n
c o n
L A
s in
G
4 ,
e n to n c e s ,
d e
c u a d ra d o
lo s
p a re c e
es
re s p u e s ta
p ie s
c u a d ra d o s
d e
d o b le
d o b le
se rá
e s ta
s u g ie re el
p r im itiv o .
d iá m e tro ,
lo n g itu d
tre s
E
c u a d ra d o
to m a d a s
im a g in a c ió n d e
S e a
A
c o rta m o s
c u a d ra d o d o b le
la
tre s
c u á d ru p le
s o n
s u p e rfic ie
P e ro
7 1
ir r a c io n a le s
c u a d ra d o
S ó c ra te s
g e o m é tric a .
s u p e rfic ie H ,
d e
d e
la
3 .
c u a d ra d o
la
I
d e l
d e c ir
lo s
e s c la v o
P e ro
la d o es
d e
c u a d ra d o
re c u rs o s
n u e v e
e x c lu s iv a m e n te
el
d o b le .
4 ,
lo s
d e
p o d e m o s
d e l
1 6 .
in e x a c ta ;
p e rfic ie
re s p u e s ta s
p u r a :
q u e
a g o ta
es
i e n t o
lo n g itu d
fic ie y
d e s c u b r i m
c u a n d o
a llá
d a r
e s ta
d e l
u n
n ú m e ro
lu g a r
s o lu c ió n
a
n o
la
n o
e s tá
s o lu c ió n
p u e d a
p o -
2 1 7 . a
é s ta
p o r
á re a
d iá m e tro
n o m b re d o b le .”
[c o n
d iá m e tro , M e n ó n ,
la
n o m e n c la tu ra
d e l
8 5 b .
d iá m e tro
a c tu a l:
re s u lta ría ,
d ia g o c o m o
L a s
7 2
n e rse
e n
b a se
la
d e
fo r m a
la
i m p o s i b le
y " la s
y
es
m a n te n e r q u e
co sas*
su d e l
se r
la
l a ~ ~ o p i n T ó ñ . '~ S m e íe a ta s
filo s o fía
y
su
u n id a d .
lo
la
E n
e s te
h o m b re s
a c c io n e s
o
a l
la
d is c u rs o s
d e
q u e
lle g a d o ,
h u b ie r o n
d e p u ra c ió n
ra lid a d e n
e ra
c a p a z
c o n fo rm id a d
s u s
in te rlo c u to re s
d ic c io n e s p la c e r v e z
e n
se d e
lo s
m á s
lo
y
s o n
e n
u n a
m is m a
( 2 5 ) S ó c r a te s ,
P h ilo lo g y ,
t.
(2 6 ) m á s
q u e
le h r e ,
6 , X ,
" S e is lo s
E in e
d o s
c o m o
1 8 8 1
la
,p á g .
u n a
E in f ü h r u n g
v e z i n
L o
q u e
se
a
s u
h a n
h ip ó te s is
O n
P la t o ’s
to d o
e l
R e p u b lic ,
c o n
ta n to
s o n
a
c o n
o c h o
la s
y
q u e
el
ju s tic ia , X I I I ,
D ,
la
y
d e
la
g r a n d o r
o b lig a d a
ra z o n a m ie n to .” 5 0 9 ,
la
c o n tra d ic c io
e s tá
e n
c u a l
c o n tr a
in v e s tig a c ió n
e ta fís ic a ,
d e
d e l
c o n
o
e s ta s
p e q u e n e z
V I ,
T e
P la tó n ,
la s
c u a tro
a trib u ir, M
h a r á
in s is tid o
in te lig e n c ia
d e
( 24) .
p e n s a m ie n to
h u e s e c illo s
la
g e n e
ra c io n a l
e s p e c u la tiv a
p a ra
g e n e r a l.”
c o n v e rg e n
re g is tra rá
c o n
la
h a s ta
m is m a
h o m b re
d ific u lta d e s
la
y
a la s
s o b re
d e se o s
m is m o
s e is
la
c o n
d ire c c ió n
d is c u s ió n ,
a g u ijó n
p u e d e
o b lig a d o
a
S ó c ra te s * ,
1 0 7 8 b
2 7 .
R e c u e r d o s
s ig .
a
J o u r n a l
d e o f
1 4 5 .
h u e c e s illo s ,
c u a tro ,
la s la
c ie n c ia
su
e l
h a b ía n
c o n fu n d e n
d e fin ic ió n
J a c k s o n ,
m e d ia n te
c o m p a ra
e n to n c e s
c o sa s
y
re m o n ta r
C fr.
lo s
c a m b ia n te
h a
su s
p o r
d e l
c o m o
s e n tid o s
in d u c tiv o
Í 3 .
se
b ie n ,
p e rc e p c ió n ;
h a c ía IV ,
q u e
s e g u ir
p ro g re s o
y
m e tó d ic o s
v e rd a d e ra
q u e
el
in te lig ib le s .
la
d e
u n a
H e rá c lito :
a rm o n ía
p o r
re fle x io n a r
in v e s tig a c ió n
la s
d e
s irv e n
h a y
la
a
la la ,
o rg á n ic o
s u
c o n f r o n ta r la s
s is te m á tic a m e n te ;
e m b ro lla b a
L o s
" P o r q u e
ra z o n a m ie n to
d e
d e
q u e
( 25) .
c o n
s is te m a
c o n d u c ta
lle v a r
s o b re
s e g ú n
y
la
h ip ó te s is
d e s p u é s
A h o r a
in ic ia l.
(2 4 ) e l
la
s o c rá tic a
fe c u n d a s
h ip ó te s is
a
a p a r ie n c ia
e l
c o n tra rie d a d
n o c ió n
la
e n to n c e s
a
s im
c o n tra d ic c ió n ,
S ó c ra te s
a c c io n e s ,
su
P a rm e n id e s
d ia lé c tic a
c o n fu s a
h o m b re s ,
la
d e
la
n ú m e ro s
to d a
p o r
s u c e s iv o
p la tó n ic a
la
e n
re la c io n e s
s o c rá tic a .
n a tu r a le z a
s e n s ib le ,
( 26) .
in te rro g a c ió n
y
d e
l o s
d is c ip lin a s
p ro c e d im ie n to s
te rre n o
m e n o s ,
d ife re n te s
o tr o s
a b s te n id o
s o fis ta s
h u e s e c illo s
n e s
el
h a b ía
l p
s is te m a
c o n s ta n te
h a s ta
e n
se r
d e
c o m e n z a rá
p ro p ia s
p o r
la
in q u ie tu d
c o lo c á n d o s e
p rin c ip io
la
a
in g e n u id a d ,
m u n d o
m u ltip lic id a d
im p r im ir
c o n
c o m o
el
a m p lia r
lle g a d o
e n tre
s e v e rid a d
la
d e s p re n d e r
d e
n ía
S ó c ra te s
a
e l
la
u n
m á x im a s
s u
e s ta b le c id a
^
n a d a
d o c trin a
su s
d e
d e
v e rd a d
d ia lé c tic a
c o n s id e ra r
in c e rtid u m b re
te s
e n
la
su s
to d a
im p o s ib le ^ a c e p ta r
la s
c u a l
s o b re
lo s
e n
es
H a b ía
a f irm a d o
e n c o n tra rá n
d e
re s u e lv e
s e n tid o ,
a
a ritm é tic a ,
o p o s ic ió n
p la tó n ic a
je ra rq u ía
c a lc a d a
á t i c a
p r o p o n d r á r e c o n s t itu i r
filo s o fía
se
a t e m
n o c ió n .
rig o r,
e n
c ie n c ia s
g ra c ia s
s e n s ib le
p a re c e r lo s
L a
d é
a n á lis is
d e
la s
d e
la
h a b ía
m a n e ja d o
p ja tó n k a „ _ s é
á ' T ’r á v é s d e
o
r e la ja r
h a b ía n
¿ ñ ^ é T T r u ito d a s
su
la
e l
lo s
t o d o
m
re la c ió n
ig u a lm e n te
o
c u a l
m u n d o
u n a
c ru d e z a ,
e n tre d e
d e
f i lo s o f í a
p ita g o ris m o
e ra
to d a
la
tr a n s f o r m a r
e n
el
p e ro
e n
d e
s im p le
c ie n c ia ,
id e n tific a c ió n
p lic id a d ,
e ta p a s
p o r y
d e n
e je m p lo :
m e d ia
m á s .”
I d e a lis m
u s ,
s i
le s
T e e te t o ,
L e ip z ig ,
a g re g a s 1 5 4 c . 1 9 0 3 ,
c u a tro , V e r
p á g .
d e c im o s
N a to r p , 1 6 0 .
q u e
P la to s
s o n
Id e e r t-
L a
a d a ta r
e s ta
p e q u e ñ o c o rrie n te h a c e r
a
la
e n tr a r
ig u a le s , s e ría n fo s
c o n fu s ió n
( 27) .
u n
s e g u ir d e
s irv e p a ra
g u e rra ;
a
a
lo s
la s
lo s
y
L a
v e rd a d e ra
c o n v e rs ió n ,
d e
lo s
lo
“ lo g ís tic a ”
p o r
e je m p lo
to m a n d o a
la s
g e o m e tría p rá c tic a s
o rd e n
d e q u e
v is ib le s ,
y
27) s in o
a
lo
e n
( 2 8 ) y
d e
n a d a
c a d a
(2 9 ) y
d e d iq u e n a
la
p o r
y
la
u n a
s in o
v e rd a d
c o n fu n d id o s
a
d e
s itio
d e l
d e l
p ro p ia
se r
( 2 9 30) .
( 80)
y
ra c io n a lm e n te
( 3 2 *) ;
la
y
e s to ,
u n a
— se
lo
la
el
p a ra
te s tim o n ia n
p r o
s irv e n
d e
P e ro
fig u ra s
el
s o n
o b je to
o tra s
p e q u e ñ o ,
a l
a p li
p a ra
p la z a ,
in te lig e n c ia
s e p a ra d o s ,
su s
g u e rra ,
fig u ra s ,
g ra n d e
s in o
u n a
e sfe ra
im p a r e s ,
d e
( 3S)
G la u c ó n ,
y
d e
la o
p e ro se
re a li
n o
s e p a
v ió
o b lig a d a
d e
a q u é lla .”
c o n tra rio
lo
“ D e s d e
p u n to
R e p ú b lic a ,
im p a r
c u y a
d e
si
5 2 6 d .
se la
V II,
p a r .”
p a r tid a
in v e s tig a c ió n
5 6 c . V II,
y
lo s
u n id a d 5 6 d .
le y e s
so b re
c a rg o s
c o n
c o n v e rs ió n
la
d e d e l
e jé rc ito s o tro s
n o
a lm a
m is m a
q u e
h a s ta
in te lig e n c ia m e rc a d e re s
e n
e n s e ñ a n z a ,
E s ta d o
s in o
y
n u n c a
d ifie re
e s ta
d e l
a fic io n a d o s ,
e je rc ita ra n
p u ra ,
o
d e
d e l
se
lle g a r n o
tr a f i
d e v e n ir
5 2 5 b .
R e p ú b lic a , re c o rre n se
d o s lo s
c a d a
p o n e r
c o m o
to d a s ;
F ile b o ,
m a y o re s
n ú m e ro s
lo s
fa c ilita r
" P o s tu la n d o
q u e
d e
R e p ú b lic a ,
(3 1 )
e n
n o
y
p a ra
e n
e je m p lo , d e
u n id a d e s .”
e s tu d io
c o m o
e s e n c ia .”
a
s u
p o r
g ra n d e
c o n v e n ie n te p a rte
n a tu ra le z a
g u e rr a
a q u e llo
s e rá
v e n ta ,
la
e s te
c o n v ie n e n
to m a r
a c o m e ta n
la
(S 3 )
m á s
s i
d e
F U e b o ,
la
in n u m e ra b le s
h a n
n o
d e s ig u a le s ,
o
e llo s
q u e
(3 2 )
u n id a d e s
o tra s
c o m p ra
p a ra
e n
e
p ro g re s o
a rte
esas
lo
a
la lo s
fu n d a m e n ta le s ,
ra z o n a m ie n to s .
a c la ra r
la s
(3 0 )
c o n c lu y e n
p a ra
y
lle g a
g e ó m e tra s
s o n
ta m b ié n
y
p e q u e ñ ís im a s ,
lo g ís tic a
d e
y
n o
s u s
d e d e
n a tu r a le z a
p a re s
c o m b a te
n o
la
E l p ú
( 31) .
el
L o s
d e
v e ía . . .
c u e n ta n
p u e s ,
lo s
la
u n
c o n
d e
c o n te m p la c ió n m o tiv o
c a n te s , a
a
p e q u e ñ o
a c u e rd o
a
p a ra
fig u ra s .
d e c im o s ,
c o sa s,
" A s í,
p e rs u a d ir
d e
el
( 2S) . v id a
e s p íritu
v e rd a d
m is m o e n
la
p a r tid a ,
p e rfe c ta
la
d e
h ip ó te s is
e n
d e
d e l
c a m p o ,
o b je to
la
d e m o s tra r
e je m p lo
o
d e
la
q u e
filó s o
n e c e s id a d e s
a l
e n
d e s
c o sa s lo s
in trín s e c a s
e n c im a
a s í
n ú m e ro s
d e
la s
in v ita
d e
p u n to
p o r
u n o s
d o s
e s ta ría n
lo s
—
c o n fu s ió n
lo
v ía
d u d a
m iría d a o
lo
5 2 4 c .
" L o s
v a c a s
d e
y
V II,
la
q u e ría
la s
p a ra
p o r
d o s
p la n te a r
re la c io n e s
a lc a n z a
p e n s a m ie n to ,
v is ta ,
la s
y
h o m b re
n o
p e ro
u n a
p riv a d a
c o n te m p la c ió n
p o r
u n
v id a
e le v a
a u n
p o r d e
“ lo g ís tic a ”
s u s c e p tib le
h a c e n
c ie rta
g ra n d e
R e p ú b lic a ,
c o m p ra s ,
lo
d e
m a rc h a
su
” L a
ra d o s
d o s
d e
la s
a b re
q u e
p o s e e n
la s
v e rd a d e ro
la
es
d e
u n a
p ie d a d e s
d e
a ritm é tic a
h ip ó te s is
e s ta b le c im ie n to
v e r
le
c o m e n z a ra
d e l
c o m e n te
p e q u e ñ a s ;
u n id a d e s
g r a n d e
c u a n tita tiv a m e n te
b u e y e s ,
m á s
lo
a ritm é tic a
h o m b re
d o s
la s
la s
la
la
d iv is ió n
e s ta s
c a c io n e s
(
q u e
p ro p o s ic io n e s
L a
el
a
o
la
d e
la
u n id a d e s
s u p o n e n
q u e
lle v a
n ú m e ro s ,
L a
d e
p a ra
p rá c tic a
q u e
n o
u n a
c á lc u lo s
n ú m e ro s .
d e v e n ir,
q u ie n
o
d is tin to s
d e
E l
d o s
to d a s
in te re s e s
v e n ta s
p e ro
filó s o fo .
e jé rc ito s ,
d e
c a d a
c o m o
p a s o
c á lc u lo
d o s
g ra n d e s
re h u s a rá n
b lic a ,
d e l
m is m o
el
7 3
a n a lític a
c o n s id e ra r
o p e ra rá
e je m p lo
m á s
h o m o g e n e id a d c á lc u lo
y
se
a ritm é tic a e n
p o r
la s
A s í
r e g r e s ió n
yq.
h a b ía n
V I, e l
5 1 0 c . re s to
la n z a d o .”
d e
m a n e ra
R e p ú b lic a ,
C o n s is te n te , V I,
5 1 0 c -d .
7 4
L a s
d a d e s
a
la s
c u a le s
p o r
ra z ó n
q u e
tr a z a n ,
g rá fic a b ra
se
o
m a s e n
u n a
su
o
d e
n o m is
m é tic a ,
e ra n h a
q u e
lo s
d e
la s
re p re s e n ta c io n e s re la c io n e s
p u e d e n
m ite
se r
n ú m e ro s
lo
ta n to e n
se a n
e n te ro s
o
U
el
a n á lo g o
" U tiliz a n
ra z o n a m ie n to s Y
p o s e e n
s o m b ra
a sí
d e
a q u e lla s V I ,
la s
e n
e n
lo s e
e n
E lie
H a lé v y ,
" D e
¡o s
(3 T )
" Q u e
e n tre
d e
la
( 36) , la
a r it
c u m p le
g e o m e tría p la n a s ,
tr a ta
a q u í
c o m o
s e m e ja n te s ,
s e m e ja n te s .
n e c e s a rio e x ig e
p e rfe c to .
q u e
lo s
q u e
la
fu e ra
d e
la d o s
re la c ió n
A h o r a
la
b ie n ,
d e l
m á s
a llá
c á lc u lo
la
p e r
h ip ó te s is
g e o m é tric a s
n u m é ric o
es
P a r a
in c o n m e n s u ra b le
fig u ra s
la
n u m é ric a ,
d e
la
e x tie n d e d e
c o n
lo s
lí
n ú m e ro s
a n á lis is
e n
c a so s,
e n
e l
sí
d e
la
h a c e n
a q u é lla s e n
s í
la s
n a d ie
a
y
a q u e lla s
a g u a ,
q u e
y
re g re s iv o
p e rm ite
a s tro n o m ía .
s u s la s
d e c o sa s
u s a n
se
d ia g o n a l
m is m a s a
p o d ría
é s ta s
s u
v e r
e n
q u e
v e z
s o b re
sí,
y
c o n
y
d e
la
su s q u e
tra z a n ,
im á g e n e s , e l
p e ro
h a c e n
n o
m o d e la n
v a -
e lla s ,
p a re c e n ;
c o m o
s in o
fin a lm e n te
m a ra v illo s a
ra z o n a m ie n to s q u e
la
L a
q u e
b u s c a n d o
p e n s a m ie n to .”
R e
sí
re s u lta
p o r
L a
n ú m e ro s s e r
th é o r ie
e n u n
n a tu ra le z a ,
s í,
p la to n ic ie n n e
p e ro
n o
a s e m e ja r c o n
d e
lo s
e v id e n te
re s p e c to
a l
d e s
q u e d e
s c ie n c e s ,
tie n e n lo s
d o m in io
1 8 9 6 ,
c u e r p o .”
n ú m e ro s d e
la s
p á g .
E p ín o m
q u e
n o
fig u ra s
2 3 6 . is
s o n
p la n a s .”
9 9 0 c . se m e E p í
9 9 0 d .
( 3S) R e v u e
E p í-
d o c trin a
5 1 O d.
( 3 6 )
n o m is ,
S e
p la n o s
q u e
e x p re s ió n
v is ib le s
s in o
c u a d ra d o
d e m á s
im a g e n c o sa s
d e
fo rm a s
d e l
( 3 5 )
ja n te s
tip o
la
n a tu r a l
e lla s
a c e rc a
tra z a n .
v e r
d e l
d e tie n e
o b je to
p e n s a n d o
p ú b lic a ,
se
es
s e m e ja n te s ,
la
p u ra m e n te
( 37) .
p e rm a
“ E l
fig u ra s
re c tá n g u lo s
d e
d e
d e
e s p e c ie s ,
s ie m p re
d e s p u é s
la s
c u a d ra d a
in te rv e n c ió n
re la c io n e s
m é to d o
(8 4 ) e s tá n
L a
tre s
g e o m e tr ía :
n ú m e ro s
c u a d ra d o r a íz
e n
le tra
d e s
h ip ó te s is
c u e rp o ”
d e
lo
p o s ib le
e n te ro s .
q u e
d e le y
p o r
es L ^ s
á n g u lo s
la
o tro s
d e
n o
( 34) .
tie n e n
s e a n ;
u n
re c tá n g u lo s
q u e
lo s
lo
la
q u e
n a tu ra le z a
( s s )
d e
m is
re c u rrid o
fra c c io n a rio s .
n
d e te rm in a r
n o
c o n
se a
e lla s
h a n
fig u ra d a s ,
c o n m e n s u ra b le s ,
d a d o s
la s
lo s
su
re p re s e n ta d o s
g e o m é tric a
d e te rm in a r
m ite s
u n o s
s o n
fu n c ió n
la
o
n o
n ú m e ro s
n o
d e
su
p lá s tic a
g e ó m e tra s
lo s
n o m b re
e n
re s p e c tiv o s
c o n m e n s u ra b ilid a d . p o r
q u e
lo s
n ú m e ro s
c o n s tru c c ió n
rid íc u lo
T a n n e r y
re c tá n g u lo s
la
a
tie n e n
d ia g o n a l
s o m
d u d a rlo ,
q u e
p a r tic ip a r
n ú m e ro s
d e
e n tre
n o
“ n ú m e ro s el
P .
a
n e ta m e n te
lo s
s e m e ja n te s
lo s
a q u í,
s e ñ a la
lle v a
d iv is ió n
la
u n a
re a lid a d e s
la s
d e
la
n o
v e z
p e n s a m ie n to
d e
d e
ta le s
d e
e l
d e
h a c ié n d o la
q u e
esas
p o r
s í,
fig u ra s
lo s
a c á
e x p lic a d o
d e c ir
q u e
d e m o s tra c io n e s e n
re p re s e n ta c ió n
e s ta s
c u a le s
a llá
q u e
s e m e ja n z a n o
a lc a n z a r
á t i c a
p ro y e c ta r
e je m p lo
( 3S)
c ie n c ia
to d a s
la s
S u s
c u y a d e
p o r
c ie n c ia
e v id e n c ia ,
lo
a g u a ;
a t e m
d ia g o n a l
fig u ra
el
re p ro d u c e
p la tó n ic a ”
la
e n
p a ra
m á s
q u e
p a re c e n .
y
s u s c e p tib le
a
m
se
sí
o tr a
f i lo s o f í a
es
m o d o
m á s
n e c ie n d o
e n
im á g e n e s
o tr o
la
q u e
im a g e n q u e
g e o m e tría ,
la
y
d e
fig u ra s
c u a lq u ie r
e s fu e rz o
e s ta ría n
esas
c u a d ra d o
d a n ,
m á s
c u b r ir la
el
e ta p a s
L ’E d u c a t i o n
P h ilo s o p h iq u e ,
p l a to n ic ie n n e ,
1 8 8 0 ,
t.
II,
1 1 1 ,
p á g .
D
5 2 9 -
i g r e s s io n
s u r
u n
p a s s a g e
d e
L ’E p i n o m
is ,
L a
rie d a d
d e
m o d e lo d ie n te to s
lo s
d e
la
re a l
d e ro
y
y
la s
e n
s a rio
y
d e l
c o m o
p a s o
c o n o c im ie n to , e s ta
p o d r ía n
s e r
e s p íritu le s
d e
d e l
lib r o
d e
e n
re c íp ro c a :
tig a b a
si
c ip io s ,
c o m o
el
o
U n a h a n e n
e n
la
el
tr a d ic ió n
g e o m e tría , d e l
p rin c ip io
r y
( 43) ,
s u
c u b r im ie n to
" D e
( 3 9 )
le n titu d
re a l
re la c ió n
M o r a l
(4 1 )
" F u é d e
(4 2 )
lle v a n
p rim e ro
a d m itid o .
S e g ú n a
d ic e n ,
h a lla r
d e
u n a
in te le c tu a l.
e n
o
d e
lle g a r
lo s
M o r a l
s u
e s to , a
el
f in a
la
p o r
n o
e n
p á g in a s
f o r m a l
d e ]
re
te o ría
p r o f u n d id a d
d e fin id a s
p rin c ip io s lu g a r
a n á lis is
d e
la s
P la tó n
o p o
e
in v e s
lo s
p r in
á r b itr o s
h a n
lo I,
h a s ta
e s ta
e s tá
la s
la
m o d o
I I I ,
d e
la
P .
S i
v e lo c id a d
e llo s .”
a
T a n n e
se
tr a ta
p u e s to
v e rd a d e ra s ,
e n
lle g a
q u e
re a l q u e
V
d e s e s ta
y
se
R e p ú b lic a ,
d e l
el
d e
la
m u e v e n il,
5 2 9 d .
d e
lo
q u e a
in v e s tig a c ió n
p o r
a n á lis is ,
a
2 4 .
tra n s m itid o s
tra n s m itió
se
3 2 .
e l
re m o n ta r
d e
e n
a n a lític o ,
in v e n tiv o ,
P la tó n
n o s
in tr o d u jo
c u e s tió n
o b s e rv a d o
fig u ra s
( 42)
q u ie n
tra d ic ió n .
d e
c o n te n id o a
P r o c lo
m é to d o
e n
h a
m o v im ie n to s
L a e rc io ,
c o sa s
lo
é p o c a
to d a s
1 0 9 5
s id o
e l
p ro c e d im ie n to
la
e n
q u e 2 ,
d e
d e
e x p lic a r
P la tó n
m u c h a s
c o m o
y
P la tó n
p ro p o s ic ió n
lo s
y
(41)
s id o
L e o d a m a n te , la
e n
. ,
e n
h a c e
L a e rc io
a lc a n c e
D ió g e n e s
a n á lis is
s o n
h a b r ía
P e ro ,
el
N ic ó m a c o ,
e l
a
d e
v e rd a d e ro
q u e
lo s
u n
e x n e c e
e x p líc ita m e n te
in d ic a c ió n
v a c ila b a
p a s o
a c tiv id a d
a d e m á s
s ín te s is
[e l
m a te m á tic a s
c u y a
p re s e n te
u n a
d e sd e
h a c e rse
o b s ta n te ,
q u e
lle g ó
y
a
e l
y
m á s :
v e r d a d e r o s . .
T a s o .”
"¡sfo
m e d ia n te
k
y
fe c u n d a
p o d ía
re c íp ro c a
( 4 0 )
L e o d a m a n te
q u e
lim ita r
n ú m e ro
v e lo v e rd a
m o v im ie n to
c o m o
c ie n tífic a ,
d e
D io g e n e s
a ú n
f o r m a
lo s
e n
q u e
a d m itid o .
n o
la
(40) .
p a r tie n d o
im p o r ta e n
m o v im ie n d e
s u
s is te m á tic o s
o r ig in a lid a d
d e sd e
e n s e ñ á n d o s e lo
y a
d e
in d e p e n
n ú m e ro
e n
c ie n c ia s
g ra d o s
a te s tig u a ,
p a r tir
p re c is a
c u a l
u n
a n á lis is
es
e s p e c ie
lo s
el
in te rv ie n e ,
c re c ie n te
a n á lis is
e s ta d io ,
la s
q u e
e s ta d o
q u e
s e g ú n
e m p re s a
R e p ú b lic a ,
in v e rs a ”
tra s m itid o ,
v ir tu d
la
h a y a
d e
re c íp ro c a s
a r r a s tr a n d o
d e
lo s
c u y a
lo
la
c o m p re n s ió n
e n
e n d e
u n a
c o m p re n s ió n
(39) .
“ A c e rta d a m e n te
c a m in o
a
es
d o n d e
s ic ió n
e lla s
in te n s id a d
e x a g e ra d a s ,
N ic ó m a c o
m e ta ,
la
a s tró n o m o u n a
re la c io n e s
p la tó n ic a
tra v é s
el
7 5
m o v ié n d o s e
m o m e n to
c o n c e p c ió n ,
P la tó n ,
V I
e n
d is tin to a
la
la s
v e rd a d e ra s ,
d o c trin a el
p a r a
p o r re a l
e s tá n
h is to r ia
s e ñ a la n d o
Q u e
e n
fig u ra s
q u e
a n a litic a
p r o v o c a r
m o d e lo :
le n titu d
la s
L a
la
g re s iv o
la
c o sa s
2 8 . — p re s a
d e l
es
a
c o n s titu id o s
d e
s e g ú n
to d a s
c e le s te s
d e s tin a d o
in tu ic ió n
v e rd a d e ro s ,
c id a d
a
c u e rp o s
a rtific ia l,
r e g r e s ió n
m é to d o s ; se
e s tá
L e o d a m a n te ,
g e o m e tr ía .”
e l
m á s
h e rm o s o
in v e s tig a n d o
S o b re
c o n
e l
E u c lid e i,
a l
c u a l I,
s e
p á g .
es
e l
p rin c ip io c u e n ta
2 1 1 .
E d .
F rie d le in . (4 3 ) s o p h iq u e , S e n s
d e s
( N o tio n s n e ry ,
L ’É d u c a t i o n 1 8 8 1 , M o ts
t.
I,
A n a ly s e
h is to r iq u e s
1 9 0 3 ,
p á g .
p la to n ic ie n n e ,
p á g .
a
3 2 7 ) .
e t
2 9 7 ,
y
L a
S y n th è s e
c o n tin u a c ió n
V II,
L ’A n a l y s e
G é o m é tr ie c h e z d e
le s
G re c s
N o tio n s
g é o m é tr iq u e ,
g re c q u e ,
d e
e t
d e
1 8 8 7 , le u r
R e v u e
111.
p á g . A lg è b r e
M a th é m a tiq u e s
d e
P h ilo
C fr.
D u
g é o m é tr iq u e J u le s
T a n
L a s
7 6
b a
im p lic a d o
c o o rd in a r n o
n o s
n e o
e n
lo s
lo s
p o r
T e o d o r o
g e o m é tr ic o s
( 44) ,
p ro b le m a
la
d o s
re c ta s
p a r a
d a d a s
a
( 45)
d e
d e
lo s
u s o
d e l
h a b la
d e l
m é to d o
p la tó n ic o ,
rio re s
P ítá g o ra s
a
tr a b a jo
q u e
n o f o n te h a
u n
( 47)
s u frid o
a lc a n z a d o , m ie n to
H e
lis is ,
a
p u e s
lo s
y
E s ta b le c e r q u e
la
q u e ,
v e rd a d
d e m o s tr a r
d e
e s tá n ,
s ie n d o d e
p o r
A
B
O b .
c i t,
p á g .
66
O b .
c it.,
p á g .
2 1 3 .
(4 6 )
" P ítá g o ra s
te o re m a s
le in ,
p á g . (
47)
R e c u e r d o s
d e
m o d o
e n
la
y
D ie ls ,
c o n v irtió
la
in m a te ria l
o b .
filo s o fía
e x a m in a n d o
d e s d e e
A
e l
q u e
s e g ú n
e s ta
q u e
c it.,
p á g .
s o b re
h a b e r
p ro c e d i
e x a c titu d .
s u
im p o rta n c ia
n o
n o
g rie g a : se
b a s ta
s o b re e n d e
B .
J e
e la b o ra c ió n
p a re c e c o m o
e l
h a
s id o
e s te
a n á
a
m is
sí
c a m p o
d e l
g e n e r a l, m e d ia n te la
g e o m e tría
v e rd a d e ro ,
lo s
v e d a d o
m a te m á tic a ,
je rá rq u ic a m e n te
d e
c o n s e
e s tá
e n u n c ia d a
c a m p o
es
re a li
p ro p o s ic ió n
c u y a
q u e
P o r
v é rtic e s
n o
es
d e m o s tra r
e je m p lo , d e
d o n d e
o rd e n a d o s .
lo s
se
p u e d e
tr iá n g u lo s
2 3 1 .
e lla
c o m ie n z o
in te le c tu a l.”
c o m o
N o
d e
p o s te se
e s ta b le c e r
e x p re s a n el
es
ra z o n a m ie n to s
c u ltu r a
m a te m á tic a
v e rd a d
a n a lític a
lo s
a n á lis is
m o d e rn o s ,
se
e l
c u a n d o
P ítá g o ra s ,
e l
la
c o lo c a d o s ,
v e rd a d e ro ,
im p lic a
( 4 5 )
d e
la
lo s
s in o
la
d e l
g e n e ra lm e n te ,
re g re s ió n
lib e ra l,
d e
e s ta b a n
re c íp ro c a s ,
( 4 4 )
e d u c a c ió n
lo s
a n á lis is
T a n n e r y ,
P ro c lo
S ó c ra te s ,
p e rm ite n
d e
P .
( 46) .
tr a b a jo
p a ra
in te rp re ta c ió n „ d e l
in flu e n c ia
c o n s id e ra c ió n
p ro p o s ic io n e s
p ro p o s ic io n e s
la e s te
q u e
h is to ria d o re s
la s
s o n
es
c o n s titu c ió n
u n a
d e l
c o m o
i n s o lo
g e n e ra c io n e s
m is m o
d e s c o n o c e r
a l
v e rific a c ió n ,
n e c e s a ria m e n te
re m o n tá n d o s e
a n tig u o s
d o n d e
e c u a c io n e s la s
lo s
d ife re n c ia
d e
s a b e r lo —
la
e s ta la s
d e m o s tra c ió n
u ltr a n z a
c a so ,
d e e n
la
e n tre
n o
s in o
su
d e
rig u ro s a
te n e r
d e
a
d e l
fo r m a
d e b ía
a n á lis is ,
e x p re s a m e n te
q u e
c u b o
p ro c e d im ie n to s
d e l
p e r m itir ía n
a p o y o
u n a
e le m e n ta le s
f in a lm e n te
m
á lg e b ra
s in
P la tó n ,
p o r
E n
m u c h o
d e m o s tra c ió n
s u b ra y a d a
a
lo s
o b s e rv a c ió n
re fie re
in flu e n c ia
q u e
to d o
p rin c ip io s
a q u í
o :
E n
la
se
a n á lis is , d e l
m a te m á tic a s ,
q u e
E le m e n to s
d e
p ro p o rc io n a le s
m e tó d ic o
a g re g a r
la
s o b re
v e rd a d e s
s e g ú n
r a z o n a d o r
m e d ia s
la s
m é to d o s
q u iz á s
d u p lic a c ió n
la
p a ra
m is m o
c o n te m p o r á d e
d e
u s o
q u e
lle v a r
lo s
c o n
d e
lo s
o , a l
C h io s , a u to r
p a r tic u la r
d o s
p ro p o s ic io n e s
b a jo
d is ta b a
—
d e
d e
P ro c lo
fo rm a
re fle x ió n
p u e d e
tr a b a jo
m e to d o ló g ic a .
h a s ta
y
d e s p e ja r
p e n s a r
u n a
“ g e ó m e tra s ”
¿ A c a s o
a n tig u o
u n
d e
á t i c a
p rim e ro s
m á s
p ro b le m a
a
a t e m
H ip ó c ra te s
el
p la tó n ic o . se
p a ra
m a te m á tic o s , c u e n c ia
la s
lo s
q u e y
E s ta
a n á lis is
a n á lis is
u n
i
le m a s ;
e s te
z ó
el
d e s c u b rim ie n to
es,
d e
m
o b s e r v a c io n e s .*
u s a d o
c o n d u c ir
d e s c u b rim ie n to e s to
f i lo s o f í a
d e te rm in a c ió n
d e b ía
el
p a r te
h a b ía
lle v a n d o
v e n tiv o s
la
su s
C ire n e ,
“ re d u c c ió n ” , d e
d e
o tr a d e
d e
titu b e o s
re s u lta d o s
e n s e ñ a
d e
e ta p a s
[la
g e o m e tría ]
su s
p rin c ip io s
P ro c lo
( s e g ú n
e n e
u n a
fo rm a
in v e s tig a n d o
E u d e m o ) .
E d .
F rie d -
6 5 . .. y d e
p o r
c | e rt:o
S ó c r a te s ,
IV ,
n o 7 ,
123 3 .
ig n o r a b a
[ |a s
fig u ra s
d ifíc ile s
d e
c o m p r e n d e r ] .”
L a
q u e
tie n e n
u n a
■c o n s ta n te , tra s to c a r lo s
b a se
e s tá n el
el
d e ja ría n
la d o
la
v a lid e z
lo s
d e
v a lo r
d e
c irc u n fe re n c ia
e n
la s
q u e
c io n e s
c o m o
N o d ie n d o n o
es
se
rrie n te ,
lle g a e n
m a rc h a
h a c ia
h a c ia
la
d e
la
la s
2 9 .
•—
tiv o
s ó lo a
a
a
c ió n
e n tre
c ia s la
lo s
lo
q u e
q u e
m a n
( i s ) L e ip z ig ,
H a n k e l, 1 8 7 4 ,
(4 9 ) jiq u ité B o o k s
e t o f
(5 0 )
y
v i l , le
d e
Z u r
p á g .
E u c l i d ’s
e fe c to , a n ti
re c o p ila c ió n
d e
s o lu
el
a n á lis is
s in té tic a
d e l
d e d u c ir y
d e
a n á lis is .
s e n s ib le
y
d e
c o n
c o in c i s ín te s is
la
re g re
p rá c tic a
c o
m a te m á tic o ,
e s ta s
h a c ia
la
S i
la
d e l
d e
es
( 49) .
el
h ip ó te s is , p rin c ip io
la y
s in o
e n
d e la
s u
d e s a rro llo
a n á lis is
a b s o lu to s
es
S IN T É T IC A
d e
es e n
a q u í
q u e e n el
d e
G e s c h ic h te
d e r
in v e rs a s y
su s
n o
la
d e
ta n
la s
c ie n c ia .
r a z o n a m ie n to s ,
M a th e m a tik
im
la s L a
la s
d e l L o s
re
d is tin c o m o
c o n s e c u e n
p o s itiv is m o : té c n ic o s
h ip ó te s is
A lte r tu m
re la
h ip ó
rig u ro s a
p e ro
P la tó n ,
es
a d e m á s d e
f u n d a m e n ta n .
R e p ú b lic a
d e
n o
es
re m o n ta
p o s itiv is m o ;
s o n
filo s o fía
p re p a ra ;
q u e
la s
la
la
m a te m á tic o s
q u e
a n á lis is ,
filo s o fía
p a r tid a
lo s
u n d
to
q u e
n o
M itte la lte r ,
1 3 9 .
634.
m o y e n
p o r p a rte
lo s
p u e d e
m a rc h a
la
E n
se
p a ra
p a s a r
q u e
( 4S) .
a n á lis is
p a rte
c ir
p u e s
p o r
fu n d a m e n ta le s
“ n o
d e
filo s o fía
d e d u c e
p u n to
lo
p ro g re s iv a
e s fu e rz o
a u tó n o m a
c o m o
el
p o s te rio rm e n te
P la tó n
es
s e g u ir
le jo s :
p rin c ip io s
se rá
d e
d e fin itiv a
d e d u c c ió n
c ie n c ia
b a se
se
p la tó n ic a
D IA L É C T IC A
P a r a
n u e v o
y d e l
d e b e m á s
a n á lis is ” ,
lig a z ó n
to d o s
u n a
n e c e s a ria s
u s a d o s
s u
p a r a
( 50) .
m á s
la
u n
te s is
c o m o
a ú n
d e
d u d o s o ,
h ip ó te s is
c o n s e c u e n c ia s :
la
d e m o s tra c ió n
esa
c o n s titu c ió n
d e
p u e d e
s o b re
s o n
a n á lis is
p o r
u n a
q u e
L A
la tiv o
a
m a n e ra
la s
la d o
r e s u e lta
q u e
v a lo r
se
c o n s ta n te ,
c o n s id e ra r
fre n te
o b s e rv a c ió n
c o n c lu s ió n ”
ir
a l
es
d e
n o
q u e
v é rtic e
c irc u n fe re n c ia
d e
c o n c e p c ió n
la
h a s ta
s o lo
m o d o s
“ M a te r ia
d e
s u
n e c e s a rio
u n
lo s
c o lo c a d o
e n
p a rte
c ie n c ia
d e
n o
v é rtic e p e ro
s e n ta r
s u
c o n d ic io n e s la
2 9
el
v é rtic e
d e b e
T a n n e r y ,
e n c u e n tre q u e
el
1 9
n in g u n a
P .
e n
se
y
c o n d u c ie n d o
d e
c o n
la s
e n
y
tie n e n
b a se
h a
a n a lític a s ,
s id e ra d o
q u e
á n g u lo
s itu a d a
P a p o
á n g u lo
c irc u n fe re n c ia ;
p r o p o s ic ió n :
d e s c rip c io n e s
g u o s ,
u n
p ro p o s ic io n e s ,
d e l
7 7
a n a lític a
u n a
c o m ú n
e n to n c e s
la
d e
y
s o b re
la s
b a s e
e s ta
e x tre m o s
s ió n ,
d e
d e
c u n fe re n c ia , d e
c o m ú n
s itu a d o s
o rd e n
tr iá n g u lo s
r e g r e s ió n
V e r
â g e ,
ta m b ié n tra d .
E le m e n ts ,
R e p ú b lic a ,
V I,
t.
Z e u th e n ,
M a s c a rt, I,
5 1 0 b .
H is to ir e
1 9 0 2 ,
C a m b rid g e ,
p á g . 1 9 0 8 ,
d e s
7 5
M a th é m a tiq u e s
y
s ig .
y
H e a th ,
p á g .
1 3 7
y
s ig .
d a n s T h e
V A n -
th ir te e n
es
7 8
L a s
c re e n si
ú til
e sas
d o
e s ta s
ju s tif ic a r
h ip ó te s is
( 51) .
A h o r a
in ic ia le s
n o
b ie n ,
v e rd a d e ra
te s is ,
a
p r u d e n te
n o
v e rd a d
re s id e
e s tá
la
d e
d e
( 55)
d e
;
u n
s u
m á s
a lto
se
d ig n a n
la
a c e rc a
c o m o
la la a
( 5 4 )
e n
e n
R e p ú b lic a ,
e l
s in o
p u e s ,
a s ié n d o s e
d e
su s
n a d a
s e n s ib le , R e p ú b lic a ,
n o
s in o
t.
a
a
p a r tir
la
p e rc e p
s u s
d e
c a d e n a
d e
lo
se rá
la s
p r in
a q u í,
p o r
in in te r r u m
a b s o lu to ,
s e n s ib le , d e
P la tó n
p u e s
d e m á s,
c o n s ti
la
el e n
d ía lé c -
fu n d a m e n to ,
lo s
es
d a n s
y
c o m o
y a
s i
n o
fu e s e n
66. a p re h e n d e n c o m o
e s tá n
v e rla
c u e n ta y
P la to n .
L ’E v o l u t i o n
q u e
im p o s ib le
q u e
d e
C fr.
d e c ía m o s ,
v e m o s
c o n c lu s ió n
p a ra
s y s tè m e
4 8 5 .
p á g .
m o d o ,
d a r
le
p á g .
1 9 0 5 ,
é s ta —
le s
h a s ta
c o m o
n i
X V ,
p u e d a n
lo s
c u a le s
9 9 7 b
d e
lo
m ie n tra s
e lla s .
e m p le e n
P u e s
in te rm e d io
s e m e ja n te
la
s o ñ a n d o
te n ie n d o
e n tre te jid o s
a c u e rd o
se
c o n v ie rta
e l
ú n ic o
la
o tra
p o d e r
e n
p u ra s
q u e
v e rs a n
la s
a v a n z a
d e
m o d o ,
V II,
5 3 3 c .
s e c c ió n
d e
la
re a lid a d ,
p re c is a
5 1 1 b .
q u e
R e p ú b lic a ,
lla m o e l
d ic e n
c ie n c ia s
m a te
2.
c o m o
d e s c ie n d a
id e a s ,
a
d e
g ra d a s
h a c ia a sí
tra v é s
e se
lo
d ia lé c tic a ,
h ip ó te s is ,
c o n s e c u e n c ia s ,
V I ,
y
la
5 3 3 b .
es
h ip ó te s is q u e
a
h a b rá
p o r
re to m a r
5 1 0 c .
c ie rto
e s ta n d o
m is m o ."
q u e
lo
e n
n o
I I I ,
d ia lé c tic o p rin c ip io
p o r
y
so b re
M e ta fís ic a ,
h a s ta
id e a s .”
y
a
d ia le c tiq u e
1 9 0 2 ,
v ig ilia
V I I ,
ra z o n a m ie n to
p rin c ip io s
a b s o lu to
a c a b e
e n
m e d io
in te rm e d io s ,
e l
y e n d o
se
re s p e c to
u n a
S u
m a te m á tic a
fu n c ió n
to m a n
V I,
d e l
( 54) .
c o n
d e fin itiv a
la
s ig u e n
sa b e ,
" A d v ie rte ,
y
q u e
q u e
¿ q u é
m é to d o
e t
h ip ó c a m in o
re g ió n
la
m a te m á tic a
m is m o s
la
u n
la
a
p rin c ip io
la s
s í
d e
u n
in v e s
p o r
f o r ja
P h ilo s o p h iq u e ,
n o
q u e sa b e ,
a
q u e
e n
e n
la
in te rm e d ia
c o n d u c irla s
d e l
c o sa s,
n i
A n n é e
la s
p e ro
e s tá
y
q u ie n
re s p e c to
tie n e
fo rm a
P h ilo s o p h ie ,
[a rte s ]
y
q u e
lo
R e p ú b lic a ,
lo
h a c ia
a p re h e n d e
a p re h e n d a ,
d e r
s itu a d a s
filo s o fía
m a th é m a tiq u e s
in ta c ta s
" E i
q u e
re a lid a d
p o n ía n
e n
in d e p e n d ie n te
L a
e s ta s
d e ja n
“ L o s
66)
p o r
d e
n o c io n e s
la
m a te m á tic a
c ie n c ia
a n á lis is ,
e lla s
m u n d o .”
P la to n ,
A ris tó te le s ,
(5 6 )
n o
u n
P e rm a n e c e rá
d e te rm in a c ió n
in c o n d ic io n a l;
s u
c u a le s
se
h ip ó te s is ,
p a ra
d e
u n a
s u s p e n d id a
d e
re s ta n te s
c ie n c ia ? ”
m á tic a s .”
q u e
e l
re a lid a d ,
n o
lo
c o n o c ie ra n
L e s
la
filo s o fía
é s ta
d e l
b a jo
a lg u n a
g e o m e tría
la s
q u e
(
s i
G e s c h ic h te
" L a s
e n
m a llá
su s
c o n
q u e
S ó c ra te s ,
e n
la
c o m p le ta m e n te
y
d e
s u p e rio r,
“ in te lig e n c ia ” .
to d o
—
d e
q u e ,
g ra d o
p rin c ip io
ja m á s
c o m o '
el
m á s
( 52) .
d ire c to
p ita g ó ric o s ,
y
p a rtic u la re s
( 5e)
R o d ie r,
lo s
d ia lé c tic a
in v e rs o
p a ra
d e
lo
la s
la
D ia le c tiq u e
h ip ó te s is
v a y a
p o s ib ilid a d e s
q u e
q u e
L a
es
c u e n ta
f ü r
r e a lid a d
d e
c o n ta c to
m a te m á tic a s
c ie n c ia
a p o d e ra
" C o m o
( 5 3 )
d e
se
d a r
( 5 2 )
d e
c ie n c ia ;
a
m á s
re la c ió n
m u n d o d e
( B l)
L a s
té c n ic a s
q u e
m u n d o
A rc h iv
u n a
la s
id e a s
e v id e n te s
n o m b re
d e te n e rs e
s o n
c o n c re to .
p ro c e s o
tu ir á
e n
m is m a lo
h ip ó te s is
p id a
d e m á s , to d o
el
d e
e m p re n d e r
n u e v o .
c ip io s
lo s
p a ra n o
filo s o fía ,
p a re c e
h a c e
“ p e n s a m ie n to ”
u n
p a r a
c la ra s
m a te m á tic a
s in
v e z
y
c o m p le ta m e n te
e n
n i
á t i c a
la
s im p le s
s u e ñ o
a t e m
m is m o s ,
ta n to
q u e
la
c ie n c ia
P la tó n
c ió n
sí
m
( 5S) .
p la n o
tig a c ió n
f i lo s o f í a
m e re c e rá
d e
A p a rtá n d o s e m is m o
la
s u fic ie n te m e n te
e n
m á s
e s p e c ie
d e
p a ra
n o
s e rá n
u n a
n i
fu e ra n
s u p o s ic io n e s ,
s ie n d o
e ta p a s
e l a d e
la
e lim in a n d o
in te lig ib le
to m a n d o y
a
p u n to s
p rin c ip io
y
a q u e llo
d e
h ip ó te s is a rra n q u e ,
d e l
c o n c lu s ió n , e lla s
a la
s in
h a c ia
to d o ,
lo
u tiliz a r e lla s ,
y
L a
tic a ,
o
c o m o
fís ic a ,
q u e
se
3 0 . —
q u e
c o m p le ta
d e
a
m in a b a ro s
y
e lla ;
ja n
a
lo s
la
s o b re
n o
p re c is a d e
to m
q u e
se
s u b s is tirá
e lla
m á s
“ d e s v a n e c e r”
q u e
q u e
y
lo s
e l
c e n tro
lo s
q u e
lu z
la s
d e
c a d a
m e ta
la s
la
la g u n a ;
o b lic u a lo s
y
d e
y
a
se
q u e
m á s
lo s
d e te r n ú m e
u n a
id e a ,
d e
lo s
d e p e n d e n
lib ro s
ta rd e ,
ra s g o s
X
I I I
n o
y
re fle
a p ro p ia d a d e l
la s
d e
e s to s
te n e r
lo s
b ie n
e llo s
in d ic a c ió n
m á s
d é b il,
v e rd a d e ro s
y
c ó m o
c o n s e c u e n c ia s
u n a
y
d e
P o d e m o s
re c u rrire m o s
d ire c to s
s is te m á tic a
a lu s io n e s
u n o
D iá lo g o s
y
a
re v e la r
la
S a b e m o s
d e s p u é s n i
c o m p re n d e r,
m a g n itu d e s . d e
in fo rm e s
p la tó n ic a .
d ijo ,
h a c e n
e n
u n a
p a ra
c o n
e x p o s ic ió n
id e a le s , n o s
v in c u la ,
M e ta fís ic a ,
lo s
u n a
n a tu r a le z a
a r
a n a lo g ía
p ro p ia m e n te
n o s la
p o r
p o s e e m o s
h a c e r
n o
e s ta s
te o ría ,
d e c ir
n ú m e ro s
P la tó n
u n a
la
p e ro
d e
lo s
p e ro
c a d a d e
p rin c ip io s
I V
o b je to
7 9
s i n t é t i c a
m e ta m a te m à tic a ,
n o
m e ta m a te m à tic a
fo rm a
d e
d e la
p e r m itir ía n
e s ta , te o ría
e n
e x te rio r
X
la
id e a le s ;
a n tig u o s
d e
n o s
te n ía , p o r
fig u ra s
te n ta d o
s u p la n ta r la ,
D e s g ra c ia d a m e n te
a u té n tic o s
q u e
e s ta ría
d e b ía
d i a lé c tic a
p a ra
p e n s a m ie n to
p la tó n ic o . P a r a d e l
P la tó n
F e d ó n
id e a
d e
d e
la
lo s
d o n d e
d ia d a
y
la
v e rd a d e ro
c a rá c te r
d e
u n o
u n o
s a rio E l la
y
in v o c a r
te s tim o n io id e a
d e
n ú m e ro
le g io
d e
u n o
d e
id e a
y ,
la
v o c e s
q u e
p ro p ia
n o
d e
n in g u n a
la
o tra d e
s e r
F e d ó n ,
(8 8 ) o tro s , y e n
e n
ta le s
(8 9 )
é s ta
S i la
o tro d e
d e
se
c o sa s
u n o
d o s
q u e
h a n
y
c o sa p o r
d o s,
le
( 57) .
d e l m á s
se
q u e
es
d e
la
s í,
p r iv i c a d a u n a
in te r n a
¿ n o
Y
c o n s ig u ie n te ,
c o m o
e n tre el
e x p re s a m e n te
d iv id e
la
d e l a r it
( 58) . A
te
d iría s
p a rtic ip a n d o
d e
a llá
n ú m e ro
id e a
re fie re
s i
F e d ó n ;
c o rre s p o n d e
re s u lta d o s ?
p a rtic ip a c ió n s e r
n e c e
e s tru c tu ra
o
d e
to d a q u e ,
la
d e
u n o
es
d ia d a
n u m é ric a
se
u n a
c a u sa
n a c e r
q u e
a
la
d o s , la
d e l
la
( 59)
q u e
s u m a
s e m e ja n te s
p e ro
u n id a d
I I I
la
te x to
a llá
el
q u e
s o la m e n te
m á s
d ie z
d e
el
n ú m e ro s
p o se e
e s
n ú m e ro
la
e x p lic a r
d e
n o
g u a rd a ría s a
g ra n d e s
la
e s e n c ia
p u e d e s
d u a lid a d ,
[d a r]
q u e
d e b e n
lo
q u e
h a
n o
h a y
u n id a d
y
a
q u e
d e
1 0 1 b .
" A s í,
p u e s ,
s i
d ic e n
a lg u n o s
n i
id e a s
d e
la
X
p a rtic ip a ,
re s u lta r
la s
lib r o
m o d o
q u e
es
a g re g a
e s tá
d e
h a s ta
d iv is ió n
c o m o
e s p e c ie ,
e s p e c ie .”
d e
o
n o
p a ra
d e c ir
p re c is a
p á g in a s
p a rtic ip a c ió n ,
p r o p ia
e s p e c ífic a ;
q u e
e s ta s
p u e s ?
c o sa
c a u sa
p a rtic ip a r u n o .”
d e
a d ic ió n
c a d a
d e l
y
e s tá
u ltitu d
u n id a d
n a tu ra le s
te x to
u n o
sa b e s
m
v e rd a d e ra ,
u n
" ¿ C ó m o , q u e
c o n firm a
e n
el
e s e n c ia
ta m b ié n
u n a
n ú m e ro s
la
m is m a s
la
c ita d a s
d u d a
p r o d u c ir
e n
la s
d e
s o n
se
n ú m e r o -id e a
u n a
E n
te o ría
m ó n a d a
p a ra
q u e
q u e
u n id a d
c a d a
(S 7 )
el
s in o
h a b e r
s e g ú n
d e c ir
o
Id e a s . la
n ú m e ro s :
A ris tó te le s
m á s
lo s
P la tó n ,
d e
d e
P u e d e
la
s u fic ie n te
n ú m e ro ,
h a b ie n d o
d e
lo s
s o n
s a c a d o
p a rtic ip a c ió n
s e n s ib le ,
m é tic o . n o
id e a
d e
es la
n ú m e ro s h e m o s
lo s
lo s q u e
p rin c ip io s
A íe ta fís ic a ,
" [ P la tó n ]
a p a rte
. . .
I I I ,
o b je to s s o n
d e
la s
1 0 0 2 b
2 2 .
h a c e
e l
la s c o sa s
n ú m e ro
s e n s ib le s id e a s ,
n o
e s ta rá n
h a s ta
la
y
m a te m á tic o s ,
h a b rá
s u s ta n c ia
d e te rm in a d o s
d é c a d a .”
F ís ic a ,
u n a
e n
I I I ,
e n
c ie rto s n ú m e ro
n ú m e ro ,
2 0 6 b
s in o
i 2 y
8 0
L a s
le
es
p ro p ia ,
s in
d e
u n id a d e s
la s
id e a s ?
d e
T e o f r a s to
p o r e n
q u e
— E l
( 61)
q u e y
lo s
tó n
ú ltim o s
h a b ía
p a r a b a n f o r tu n a , f u e r o n
s a lu d ,
g e o m e tría u n o ; d e l
la
lo
d e
y
p o r
lo
m a te ria d ic ió n
u n a
c o n v e r tid o
e n
p e rd id o
d ig n id a d
su
c a
d e l
in f in ito q u e
e s p e c ie
id é n tic a ,
(
00)
m e ro s
n o
d e
d e
es
" D e c ía
P l a t ó n . . .
. . .
( 6 2 )
E le m
e n to s
L o s
te x to s
im p o rta n te s :
p rin c ip io
es
d e riv a n
a firm a r g ra n d e
d e
la y
ta n to
e n
,á le g a r
a l
lo
e l
y
s e n tid o
lo
p o r
lu g a r
p e q u e ñ o .” — d e l
F ile b o ,
( 0 3 )
E l
M
lib ro
9 8 7 b
in fin ito
h a
p e ro s o b re
b ie n a
d e
es
u n a
id e a s , W
tra d .
" P o r la
e n
la
2 0 6 b
2 7 :
d e
la
" P la tó n
to d a
o
c o
c o m o
u n a
d e
a
re la c ió n
( 65)
;
q u e
lo s
t. I l l , 1 8 7 6 ,
es
lo s
el
n ú
a firm ó
la
q u e
" E s
d o s
a q u í m a te ria
lo s
lo s e l
n ú m e ro s
p e c u lia r fo rm a d o in fin ito s
p a re c e n
y
1 5 4 .
4 7 .
H e
p a ra y a
n ú m e ro s ,
1 8 6 2 , p á g . p á g .
in fin ito
d is m in u c ió n
m á s
o tr a
3 3 .
2 5 b : e l
h a h a
s e ñ a la r
d e v ie n e
tr ía d a - y
u n o , y
m á s se
u n o ,
d e
n u m e ro s o s .
lo
es
tr a
c a ra c te rís ti
id é n tic o
R u e lle ,
c o n c e b ir
fin L a
e n
é s ta s
s o n
a l
in f in ito
im m e r,
u n id a d ” ; y
lo
y
la
m a n e ra
y
c o n s ig u ie n te ,
e s e n c ia ,
u n o
a
e s tá
1 0 8 3 a
G r a n
d ia d a
lim ita d o
q u e
d ia d a
X I I I ,
la s
1 ;
d e
n ú m e
lo
c o n
o p u e s to
o b je to
( 1 3 ) , e d .
lo s
la
u n a lo
e x c e so
q u e
p rim e ra
§
d e
lo
el
lo
u n
d e
d ia d a ,
d iv id id o
fu n d a m e n ta l
c o m o
el
a c u e rd o
p e ro
g é n e ro
u n a
p a ra
I I I ,
p re
h o m b re s ,
q u e
d is m in u c ió n .
e ta fís ic a ,
c o m o
P la
se
a u d ito rio ,
la
d e
e n la z a
es
c o n
2 0 :
p a rtic ip a c ió n
d e
a l
A ris tó te le s ,
“ T o d o
a l
II,
p u n to
m e n o s
n ú m e ro s ,
p rin c ip io s
e s tá
d u lc e ,
frg . X I I
c re c im ie n to
2 4 9 b .
lo
d e p e n d e r
C fr. F ís ic a ,
2 4 c .
s o fis ta ,
I,
se d e
u n o ,
h a b ía
p e q u e ñ o ;
d e l
in f in ito .”
(64)
e s te
e ta fis ic a ,
E l
te n e r
lo
lo s
te o ría
p r in
p e rfe c ta ;
lo s
ilim ita d o ,
F ile b o ;
s í.”
e ta f i li c a ,
s o b re
a q u e llo s e n
M
a r m ó n ic o s ,
g ra n d e
d ia d a
lo
M
q u e
h a c ie n d o
p r in c ip io s .”
lo
y
y
p o r
p a ra
p a rte
a g re g a
q u e
id é n tic a
e n tre
fe lic id a d
o tr a
g rie g a ;
lle v a rlo
( 64) .
m a n e ra
la
lo s
la
q u e
e l
lo s d ic e
o y e n te s
b ie n
p ita g ó ric a s ,
fu e rte
y
v iv a m e n te .
“ L o s
el
f u n d a m e n ta l
e n
lo
P la tó n ,
s o b re
la
p re c is o
( 62) .
fo rm a ,
y a
id e a s
c o n c lu s ió n
q u e
p o r
a u m e n to
d a d a
c o m p a ra b le s
" P la tó n lo s
y
e s tá tic a , d e
es
la
f u g a ”
es
d e
d e s c o n c e rta d o
v eces
U n o
n e c e s a rio
( 0 3 ) m á s
e n
m ie n tra s
u n id a d ”
u n a
e ra n
01 )
( é s to s
se
e s tá
d e
c o n
c o s m o lo g ía
u n o ,
q u e
e n
m u y
A ris tó g e n e s
b ie n .
p a la b ra
o p o s ic io n e s
c o m p o rte
s e m e ja n te ,
u n a
el
m o v im ie n to
m e n o s , sa
el
lo
id e a le s
c a ra c te riz a d a
d e l
m a te m á tic a s ,
u n o
la
la s
e s tá
u n a
o p o s ic ió n
d e
c o m b in a c ió n
te x to
la s
q u e
e n
( 63) . E s ta
c o n
d o b le
d e
E l
p a r tic u la r
e l
v id a ,
u n
e n tre
e n s e ñ a n z a
h a b la r ía
P e q u e ñ o .
g e n e ra l
la
v a ria s
p a rte
y
n ú m e ro s p o r
c é le b re
d e ja ro n
in d ic a
á t i c a
tr a n s p o r te
lo s
n ú m e ro s
a s tro n o m ía q u e
a t e m
o tr a
la s
p u s ie ro n
A ris tó te le s s o n
s u
q u e
s o b re
m
ju z g a m o s
lo s
c u a l
fu e rz a ,
y
c u a l
a
d e
a
o c u p a n
si
h a b la r
p a ra d o ja s
f i l o s o f í a
a n é c d o ta la
a ñ o s
d is c u rs o s
la
ro s
e n
e s c u c h a r
el
p a rte
la
a n u n c ia d o
a
u n a
lu g a r
s itú a
y
d e
lu g a r,
p o r
A ris tó te le s ,
la
( eo) .
¿ Q u é
p rim e r
;
d e
h a y a
h o m o g é n e a s
3 1 .
c ip io s
e ta p a s
d e
é l
p o r
io
p o rq u e
e x c e d e rs e
y
d e
L a
m is m o
q u e
fre n te
a
P la tó n
la
f in ito c ió n
el
d e l
u n o
u n o
lo
c o n
el
d e
v ie n e n
u n
la
D e
la
a q u í
e sfe ra
d a d es
d e
re a lid a d
m á s
la
c ie n c ia
Ib id ., " ,
u n id a d
ja n d ro ,
y
C fr.
M e ta fís ic a ,
F ile b o ,
e s te
" M
la
to d o
es
s o m e te r
lo
d e
la
P la
la s
c o n
te r m in a
p ro p o rc ió n
m a te m á tic o ;
in s e p a ra b le u n
d e
m a te m á tic a ,
d e s
d iv e rs o
c e sa r
p o r
a fe c tiv o , c ie n c ia s
el
c o m b in a c ió n
h a g a
p u ra m e n te
in
in m e d ia to s
in f in ito ,
la
n o c io n e s
q u e
d e
d e l
la
y n o
o rd e n
v a lo r
m o ra l.
m e d id a ,
u n a
m e c á n ic o s
q u e
y
o rie n ta d a
la
o tr a
im p o rta n c ia
d e s p u é s
m a te m á tic a
q u e
p a rtic ip a c ió n
e n
p o s itiv a
p rin c ip io
d ic e
d e
h a
la
d e
X I V ,
X I V ,
I,
e l
6 ,
1 0 9 1 b
1 0 9 1 b h a c e
d e
p r o
c a p ita l;
h a b e r
d e l
c u a l
la
b ie n
e l
la
a tra v e s a d o
a d q u irid o
id e a
la
lo s
A ris tó te le s
M e ta fís ic a ,
in tro d u c ir
e
e n tre
. . .
E s
n ú m e ro ,
la
p a r e c e ...
s í,
( 7 2 )
q u e
lo n g itu d , c o m o
o p o rtu n o ,
e n
q u e
ta m b ié n
d ig n i
( 72) ,
a n á lis is
n o
re g re -
e n
9 8 7 b
n ú m e ro s
su
3 3 .
y
T r a ta d o
E d .
d e
to d a s
so b re
H a y d u c k ,
e l
la s
c o sa s
b ie n ."
p á g .
A le
5 6 .
1 3 .
3 0 . c e s a r
la s
n ú m e ro ,
e l
a rt.
m á s
p o r
d ife re n c ia s
lo s
h a c e
lo
m e n o s
la
o tra
n e c e s a rio
to d a s y
p o lític o ,
c it.,
A rc h iv ,
re la c ió n
a rte u n a
d e
q u e
g u a rd a n
c o n m e n s u ra b le s
la s
q u e
e n tre
y
2 8 4 d ;
t.
X V ,
c fr.
h a
4 7 9
d o s
to d a s
sí
lo s
a r m o n io s o s .”
c o n
lo e . y
so la m e n te d e
c o n
d e
s ig .
lo s
a
p o r
su
té rm in o
s e p a rá n d o la s
a rte s
re la c ió n
c it.
u n
p a rte s , la s
re la c ió n
a le ja d o
R o d ie r,
p á g .
e n
e n
m id e n se
m id e n
fo rm a c ió n
p a rte s
e sp e s o r
lo s
c u a n to
se la
m e d id a
su s y
n o
c o n
la
d e
a n c h u ra
to d o
E l
y
s u e l
c o m o
p ro fu n d id a d ,
m e d io .”
R o d ie r,
lo
d iv id iría m o s
e s ta b le c e ría m o s
e s ta b le c e ría m o s
s itu a d o
s in o
c la ro
m o d o :
c o n v e n ie n te , h a
d e
q u e
el
c o m b in a
2 5 e .
re la c ió n m e d io
q u e
la
d e l e n
a r m o n ía
v a lo r
e n c o n tra r
c o m o
c o m o
f i n i t o ] . . .
p o r
u n o
h e
filo s o fía
s ig .
se n tó
M e ta fís ic a ,
" [ L o y ,
( 7 1 )
y
a
(0 0 ) ( 7 0 )
y
d u a lid a d ,
(Ü 3 )
o p u e s to s
e l
2 5 3 c
C o m e n ta r io
u n
( 6S) , E n
p u ra m e n te
a d v e rte n c ia a
la
su
el
la
L a s
la
c o n s is tir
s e ñ a la r
c a rá c te r
in te rn a
e s tric ta m e n te
. . P la tó n la
u n a
p o r
a
( 68) .
( 71) .
v u e lv e
d ia lé c tic a ,
la
( o c )
d e
la
se
y
( 70) .
u n
p ro p ia m e n te
p ro v ie n e q u e
d e
e x p r e s a m e n t e 'd o s
fin a lid a d
d e
. ( ü 7 ) la
d e
b ie n
S o fis ta
id e a le s ,
d e
p re d e c e so re s
lim ita c ió n
p ro c e d im ie n to s
té c n ic a
id e a l
m a te m á tic a
lo s
v a
s e p a ra
m e d id a
a trib u y e
el
in te rm e d ia s ,
d e
m á s
s is te m a
su s
d e l
in f in ito
n ú m e ro s
el es
q u e
q u e
e l
p ita g ó ric o s .
q u e
e ta p a s
la
lo s
u n o
n e c e s id a d
b e lle z a
le s
d is tin g u e p o r
d e
h a c ia
la s
y a
esa
P la tó n
P o lític o
in te rv a lo la
d e
lo s
lo
d e te rm in a d o
s o la m e n te
c o n s titu id a
e n
p rin c ip io
tie n e n
el
ie n tra s
in tr o d u z c a
n o
in te le c tu a l. E l
u n
n ú m e ro
n ú m e ro
p o s e e n
a
q u e
u n
el
es
M
F ile b o
in f in ito ,
m o v ie n te
c ió n
el
q u e
s u p re m o s
c a ra c te riz a
g o b ie rn a n
h a c ía n
in f in ito
s a lto
e n
g é n e ro s q u e
p rin c ip io s
c o m o
filo s o fía .
u n
tra rie d a d e s ,
d e
d e l
lo s
q u e
e n s e ñ a
( 69) ,
y
d e
lo s
P la tó n
e s ta
p ro c la m a
d e l
e n tre
81
s i n t é t i c a
p e rp e tu a
p rin c ip io s
m a l
d e
re c o rría n tó n
lo s
( 67) .
es
a r r o llo
y
D e fin ie n d o
d e fin id o
p la tó n ic a
c o lo c a
h e te ro g e n e id a d
3 2 . '— m o s
d ia lé c tic a
q u e
su s lo
m id e n
o p u e s to s ; m o d e ra d o ,
e x tre m o s
y
se
8 2
L a s
s ív o
fo rm a b a
tie m p o m e o
q u e
p a r te ;
se
v e n d ría
tie n e n d ro s
a llí
b le
a
lá te ro )
( 74) .
d is p o n e n n ú m e r o s tie rra
lo s
d o s
u n a
s ó lid o s ,
es
y
e l
m e d io s .
lle z a
s e ñ a la
q u e
m is m o
y
d e
C o n g u la r
e s e n c ia
a
y
la
d e s
la
c o m o
q u e
e s e n c ia
e s tá
d e
e n tr a n
e n
a r b itr a r ia s
s i
s e g ú n
a
3 3 .
to lo g ía P la tó n
la s
o tr o .
d e
d e
d e d u c e
se
a g u a d e
y
la s
lo s
la es
y
la
la
n ú m e ro s
p s íq u ic o ,
re e n c o n tra ra d e l
la
n a c e , d e
esas
s in c o
c o m o la
d o s d e
sí
( 77) .
esa
c o m o
e x p re s a n
e s ta
p r o d e
m e z c la rs e
la
e s e n
e s p e c ie s
lo
m
la s
c o rre s p o n d e n
te o ría
b u e
q u e
m is m a ,
p a re c e ría n
“ e n
a lm a
a
la b e
la
re c o rd a r
n a tu r a le z a q u e
es
d e
c o m p le ta ”
la .
c o m b in a c ió n
ig u a lm e n te
s e rá n
q u e
a q u é l
v ie n e n
p o r
( 7B) .
a ire
p o rq u e
m á s
c o n s ta n te m e n te
p rim o s el
se s o n
e s e n c ia lm e n te
v ín c u lo s ,
s ie m p re
d o
e q u i
c o n d ic ió n
id e a s ;
q u e
es
e le m e n to s
y
im p o r ta n te
e n
( tr iá n g u lo
c o n e x ió n la
u n id a d
p o lie
m ie m b ro s
n ú m e ro s el
T i
m is m o s
tr iá n g u lo
c u a tro
q u e
L o s
u n
c u y o s
( 76)
d e te rm in a c io n e s
p a rte s
S i
p o r
d ife re n te s s í,
5 3 b
( 7 4 )
D ie ls ,
( 7B )
T h .
H .
( 7 8 )
" L a
c ie n c ia
( 7T )
T im e o ,
(7 8 )
T h .
(7 9 )
“ ...P l a t ó n ,
c o n s ig u ie n te c ie n c ia s
c o m o
m a te m a tiz a d o
y
b e llo
c o n g lo m e ra d o
la s
( 7 3 )
i s m
o
c a n tid a a
p ro g re
c o m p le ta m e n
s u c e s ió n
d e
m a te m á tic a
n ú m e ro s d e
la
m
ú
lo s la
la
c o s m o g o n ía
d e sd e
la
a n tig u o s
y a
n a tu ra le z a ,
a ritm é tic a
a s tro n o m ía lo
se
h a b ía n
v e
e n
h a s ta
d e l
la
n o ta d o
q u é
p a ( 79) ,
s e n tid o s
d í-
s ig . o b .
H .
tu r a le z a .”
A g re g a d o
ja n d ro ,
9 8 5 b
I,
lo
d e
tre s
d e
e s to s
h ip o te n u s a
D e m iu r g o
s is te m a
fo rm a ;
el
e le m e n ta le s
tr iá n g u lo
e s to s
m is m o
( 78) ” .
g e n e ra l, h a
u n irs e
n o
—
c o m p re n d e
y
c u y a s
P la tó n
u n
la
c u y a
c o n d ic ió n
in d iv is ib le
a
e l
g e o m é tric a s
la
u n iv e rs a l
fo r m a d a
v ie n e n
d e
ig u a lm e n te ,
a lm a
d iv is ib le
n a tu r a le z a
m á s
d e l
e x tr e m o s ;
d e
a l
lig a d a s
d e l
la
q u e
c u a l
el
p a la b ra s ,
p ro p o rc io n a le s s ic a
a te n to “ es
q u e
p la tó n ic a
in te rv e n c ió n
c o sa s
c o rp o ra l
s io n e s te
la s
p o c a s
m ix ta
y
c ie n c ia
c o n s titu c ió n
ta le s
c ia
s a tis fa c e n
la
)
c u b o )
m ita d
a l
T o d o
c u e rp o s
( 7S)
g e o m é tric a
d o s
se
g e o m é tric a
la
p r o d u c to s lo s
d e la
es
a lte ra d o
L o s
s im p le s
a ú n
A s í
p e rp e tu a m e n te
p o rc ió n
sas
s o n
h a
a p lic a c ió n .
re c tá n g u lo
q u e
á t i c a
ic o s a e d r o ,
m á s
a g re g a r
d e c ir
se
s u
F ilo la o
p ro p o rc ió n
fu e g o
m is m a
y
d e c ir
C o n v ie n e
s e g ú n
d e
o c ta e d r o ,
triá n g u lo es
a t e m
a d v e rte n c ia .
fo rm a s
y
m
e s p e c ífic a
e n s e ñ a b a
la s
m e n o r,
e x ig e n c ia
n o
d e
f i lo s o f í a
h o r iz o n te e s ta
lo
is ó s c e le s ,
c a te to
L a
y a
la
p u re z a e l
( te tr a e d r o ,
d e riv a n
d e l
d e
c o n firm a r
(c o m o
re c tá n g u lo
s u
e x te n d ía
re g u la re s
p o lie d ro s
e ta p a s
2 3 ,
c i i,
M a rtin ,
p á g .
2 3 7 .
É tu d e s
d i f ie r e
d e
s u r l a
le
T im é e
o p i n ió n
d e
P la to n ,
c o r r e c ta
e n
t. e l
I,
1 8 4 1 ,
n e x o .”
p á g .
3 3 8 .
M e n ó n ,
9 8 a .
3 1 c . M
a rtin ,
d e
d e
o b .
o rig e n
c ita d o
r i i ,
q u ie n
p o r
p á g .
d e c ía n
d e s c o n o c id o G o m p e rz ,
3 9 0 . a lg u n o s a l tr.
q u e
h a b ía
C o m e n ta r io R e y m o n d ,
t.
m a te m a tiz a d o
d e
la
M e ta fís ic a
I I ,
p á g .
6 4 8 ,
n í’
la d e 2 .
n a A le
T im e o
L a
v e rs o s m o
e s tá
lo
c ie n c ia c ir:
e lla
el
es
rig e n
la q u e
q u ie re
s o b re
e lla
es
d e
lo s
a
té rm in o .
p ita g ó ric o s
D a d a s
se
fe re n te ;
s e rá n
la s a
A h o r a s in o
d e s c u b ie rta s
u n a
b ie n ,
d e l
q u e
q u e
la s
d e c ir
m é riç a s n o
d e
q u e
te n ta d o s
s o n
la s
q u e
se
p re o c u p a
a n a lo g ía ,
a
d e
a
la s
E l
q u e
s o la m e n te té rm in o
n u m é ric a ,
re a lid a d
la q u e
ré d u c tib le s
g e o m é tric a s .
e s e n c ia
d e
le y e s
.o
la
d e
d e c ir
q u e
c o
se rá
c o rre s p o n d e n c ia s
a lg u n a
v ía
lo
m o d e rn o ,
es
u n a
e n
p o r
a
p a ra
el
d e
m ito
te s tim o n ia
c ie n c ia
d e
la
p a ra
m a ra ñ a
e n re d a r
n o
es
c il
a d m itir
tó n
h a b ía
tiv a
u n a
si
q u e
se
d a d
s o lu c ió n q u e
e s c rito
e lla
esas
u n
p r o
o rd e n
títu lo
d e
p u e s
el
m ito
p a ra
P la tó n ? ,
el
e n
D e m iu rg o ,
la
re c u b re .
o
fo rm a
b ie n
C o n v e n d ría v a m e n te
la a
a n illo s
la
n ú m e ro s
c u la r
s e ría
e so s
n ú m e ro s
re s u m e n ,
c o n
E n
el
d i
fig u r a
q u e
s e ría
a
la
( 8 0 )
C fr.
lo s o p h iq u e ,
a ñ o
11
p h ilo s o p h ie
m o d e r n e ,
a
B ro c h a rá , ( 1 9 0 0 ) , 1 9 1 2 ,
L e s
a lm a s eso s
c ie rta
M y th e s
5 0 .
p o r
y
5 ;
fo rm a
d a n s y
y
la
la
la
d if í P la
e s p e c u la d e sd e q u e la
e n
e lim in a r
y
u n o
u n o
lo s
c u e rp o s . p u e d e n
d e l
p a ra
d e
lo s
in f in ito
E n
p a r ti
c o m u n ic a r
u ltr a - c u a n tita tiv a . el
p u n to
d e
p h ilo s o p h ie
d e d e l
d e f in iti
P la tó n ;
y
d e l
s im b ó lic a ?
f ija r
c a d a
se
v e r
c o n v ic c ió n
d e
P h ilo s o p h ie d e
es q u é
d e
d e l
s o b re
É tu d e s
h e c h a a u to r ;
p e rs o n a lid a d
a n te s
la
c o n
m is m a ,
n e c e s a rio y
d e
d e l
p a rte ,
g ra d o
su s
d o c trin a ,
p ro b le m a
el
te n e r
d e
e n
fu é
¿ p o r
sí
E l
p rin c ip io s
in f o r m a d o
p á g .
la
d o c trin a
m a te m á tic a
p rin c ip io s
la s
a
lo s
p re c is ió n
p le n a
c o rre s p o n d e n c ia
a
e n
su
es
p re g u n ta s
lo s
o tra
p r o p io
n e c e s a rio
c ó m o
1 9 0 1 , p á g .
¿ q u é
s e ría
d e
e s ta r
d e
( 80)
d e
te n ía
p u e s
e x p o s ic ió n ,
m is m o e s ta s
v ir tu d
p o r
n a tu ra le z a
la
la
p e rs o n a l
m is m o ,
e x tra v ia rs e
d e
d a d o d e
in tro d u c c ió n
e x c u s a
re a lid a d ? la
y
a
g e o m e tría
in tro d u c c ió n
q u e d a ría
filo s o fía
s a b e r,
u n a
sí
p e n s a m ie n to
u n e
n e c e s a rio
a
la
h a b ía
c o n d u c ir
e sa
u n a
d e
rig o r L a
d iv e rg e n
in a d v e rtid o
T im e o
p ro b le m a ;
la
m é to d o
d e
y
p a rtic u la r,
el
d e te rm in a n te s n e c e s a rio
p o d ía
q u é
p re g u n ta s ,
c a d e n a
q u e
es
d e l
y
re s p o n d e r
e s ta s
d e l
s o s te n g a
h is tó ric a
f is o n o m ía
re s p o n d e r d e
es
a u to r
m ito
d e te rm in a r
re e n c o n tra r
¿es
el
c o n d e n a d a
d e
q u e
d e l
p e n s a m ie n to .
T im e o
c o n ta c to el
filo s ó fic a ,
a
s o la m e n te
p o s itiv o
q u e
E l
se
n o
p a s a r
d e l
filo s ó fic a m ito
e s tu v ie ra
es
q u e
T im e o
el
e s tu d io
o rie n ta c io n e s ;
m a ra ñ a .
se a n
p o d ía
m o d e lo s
in e x tric a b le
e sas
esa
p o n e
p la n te a
a n á lis is
n o
d e l
re fle x ió n
n e c e s a rio s
d e
q u e
in o lv id a b le s
n o c ió n
d iv e rs id a d
te n d e n c ia s
lo
h e c h o
la
d ia lé c tic o s
d o s es
h a b ía
in tro d u c c ió n
D iá lo g o s
a
u n
p e rc ib id o s
d e
e n c o n tra r
c o n tra d ic to ria s ,
o y e n te s
4 o s
P a r a
e s ta b le c e r
p ro p ie d a d e s
v o lv e rá n
s e g u ra m e n te , d e
e s ta ría m o s
p la tó n ic o s
q u ie re
es
s im b ó lic a .
te s ,
la
o
y
c a n tid a d ,
ç i_ o n e s _ M
re la c io n e s ;
p ie d a d e s
la
fe n ó m e n o s
rig e n J a s _ œ m b ÎM
s e g u ir
c o sa ,
c o sa .
a
E lla
p re s e n tim ie n to
o tr a
o tr a
c a lid a d
el
8 3
s i n t é t i c a
m a te m a tiz a c ió n .
to d o '
la
s u c e s ió n
id e n tific a r
c ió n
esa
p ita g o ris m o , p e ro
c o n d u c e
le y e s
a
e n
m o d e rn a ;
c ie n c ia
d e
o rie n ta d a
e ra
d i a lé c tic a
E n
c e n tra l
P la to n , a n c ie n n e
d e
A n n é e e t
d e
p h i
8 4
L a s
la
m a te m á tic a :
ría n
m á s
lo s
a llá
d e
S
C . —
e
c
c
i ó
n
3 4 . — el
q u e
la s d e l
n e s
a l
se
el
L ic e o
c ré d ito
e s ta
ta n to
a l
m á s
a l
E s p e u ríp o L a
m is te rio s a s la s
d e l si
h u b o
o rig in a l,
p la to n is m o se
p u e d e
s id o
g ó ric o s
o
d e
la s
e x ig e n c ia s
tiv a s
lo s
s o 't e n i d a s
lib ro s d e
im a g in a r
a
X I I I la
p o r
h a .e r
a
su s
p u e d e
h a n
ese
s id o
s e n tid o
e n
el
c u r
in v e s tig a c io
p o lé m ic a
q u ié n
y
el
e x a c ta m e n te
es
N o
lo s
p o r
a n á lis is
c o m o
d a
lo s
el
( 81) .
a n tig u o a
d e
la
d e
la s
c la s ific a c io n e s
d e l
a
to m a d o
h ip ó te s is
A p e n a s q u e
h a n
lo s
q u e
la s
q u e
p ita g o
h a n
s e g u ía
a
la s
tra d ic io n e s
e s c u e la .
tra n s fo rm a c io n e s e x p e rim e n ta r
d e s o n
d is tin g u ir
o p in io n e s
q u e
A ris c o m o
n o
d e
la s
p ita g ó ric o s
p re c is ió n
S i
o y e n te
d e
P la tó n
s e p a ra r
d o g m a s
lib ro s
m e n u d o
m e d ia
p o r
e n
R o b in
a h í
re p re s e n ta n te s
lo s
lo s
L e ó n
h a b la
q u e
p e n s a d o r
tra v é s
e s ta m o s
in c e rtid u m b re
re c ie n te m e n te
p e rm ite
lo s
q u e
n u e s tra
s o m e tid o s
d e
q u e
la s
la
s e g u ra m e n te
d e
h a c e
esas
d irig id a ?
m u y
a lg u n a
d e
X I V
p o lé m ic a ,
p a ra
e s tá
n o
a lg ú n
tra v é s y
¿ a
ta n to
a
e n
a
se
q u e
E s
i c
p ita
el
re d a c
te o ría s
se g ú n
fic tic ia s
s im é tric a s
y
q u e
e x h a u s
( 82) .
( 8 1 ) h is to r iq u e (8 2 ) p â g .
in c o rp o ra rla s c o n
d e
e n s e ñ a d a s
re c o g e r
í s
E v i
ib a
e co
s iq u ie ra
e n s e ñ a n z a s
p e rc ib ir
p la tó n ic o s
to r
a
la s
f
¿ N o
n o ta s
q u e
te s tim o n io s ,
s id o
a
a c la
s id o
su c e so re s,
p o d id o
p a ra
n i
t
a
q u e
lo s
h a b r ía n su s
d e
e s p e ra r
re a lm e n te
lle g a
q u e
a g re g a d o
P la tó n
ris m o
d e
e
c o n tr ib u ía n
el
J e n ó c ra te s
m
d e b ilitá n d o s e .
X I V
d ic ta d o ,
a lu s io n e s ,
te o ría s
h a b r ía n
d e
e líp tic a
a
y
in te lig e n te o
e s to ,
in d ic a c ió n .
d iv e rg e n c ia s
P e ro
h a n
e s ta
n a tu r a lm e n te
p re c is ió n ,
c u a n to
e t a f ís ic a
l
la s
m e d id a
q u ié n
c ie rta
e
A ris tó te le s ?
a
q u e
S o b re
n in g u n a
g ra v e ?
d e
e n c a m in a rs e
c o n tra
m á s
d
ta n
e s tu d io
X I I I
id e a le s
m a te m á tic o s .
X I V
d e
á t i c a
te x to ,
la g u n a el
m is m a s
c o n
y
fo rm a
s in o
q u e
y
a t e m
n ú m e ro s
su
y
A c a d e m ia .
re d a c ta d o
e n tre le
la
m in u c io s o ,
d e
su s
“ s e g u ra ”
h a
I I I
u n a p o r
e n
p ro p o rc io n a n
d e c irlo
d e
X
s
lib ro s
n o s
M
P la tó n .
o
d e b ía n
p o r
la
lo s
r
m
e so s
d a n ,
M e ta fís ic a
lo s
p o lé m ic a
X I V
t o t e 1e s
y
c o n tra
m á s
y
riv a l
la
d e
d e
i b
d e
D e s g ra c ia d a m e n te
e 'l o s
c o n d ic io n e s
I I I
l
n o s
P la tó n
d e
X I X .
d irig ía
d e b id a
es
d e
fin a l
d e n te m e n te
X
L o s
p ro s e g u ía n
ra rs e ,
n o
in v e s tig a c io n e s s ig lo
f i lo s o f í a
p ro p ia m e n te
irre p a ra b le
s ile n c io
re c o g id a s
la
n ú m e ro s
P la tó n
¿ E s
d e
d e te rm in a c ió n lo s
D iá lo g o s
s u p lir
so
la
d e
e ta p a s
3 7 7 .
L a e t
th é o r ie c r itiq u e ,
R o b in ,
p la to n ic ie n n e
d e s
Id é e s
e t
d e s
N o m b r e s
d ’a p r è s
A r is to te ,
É tu d e
1 9 0 8 .
n o ta
2 5 8
( I I ) ,
p á g .
2 7 3 .
C fr.
§
1 6 0 ,
p á g .
3 5 7
y
s ig .;
$
1 6 7 ,
L o s
D e lo s
b u e n
e le m e n to s X
I V
el
tó n ,
u n
h e c h o
d e
P la tó n ,
c ie rto el
q u e
c u rs o
el
S o fis ta ,
d e
d u ra c ió n
A ris tó te le s
el
c e tro
n a d a ,
ló g ic a
m ie n to .
la
E s ta
m a te m á tic a ; rid a d e s
q u e
a ris to té lic o
a
d e
la s
to m a n
3 5 .
—
d o c trin a a
la
té tr a d a .
la
d ia d a
la
té tra d a , E n
L o s
a c a d é m ic a L a
d o s
a p a rte d e
d e l
p s e u d o -A le ja n d r o
s e g ú n
a c tiv o ;
e x p re s ió n
d e te rm in a d a la
d ia d a
h iz o
d o s E l
d o r,
o
c a d o r
(a
la
d ia d a
lla m a
q u e
el
lo
la s
p o r
d e
d e s tro
el
d e
R e n a c i
la
filo s o fía
re s p e c to
d ia d a
a s ir
c o n lo s
la
la s d e
e n
d ia d a
s í”
h a y
o s c u o rig e n
a
lo s
la
p r im e r a
q u e
el
y
p o r n a c ió
se d e
“ d ia d a
e n
p a s iv o
y
c o m e n ta rio
( 85)
to m ó
n itid e z
re fie re n
ilim ita d a
p la tó n ic o s ,
lla m a
d ic e n ,
se
e le m e n to
d o m in a n te ” )
to m a d a
m a y o r
( 84) .
u n
(a
la q u e
d ia d a
la
d ia d a
in d e fin id a
el
d e
u n
es,
p u e s ,
d u p lic a d o r :
s í” )
a p o d e ra , la
d ia d a
:
“ p u e s
a
la
d e te rm in a d a
e l
d e
u n
“ p o rq u e
to m a d o ” .
(S 3 )
O b .
( 8 4 )
M e ta fís ic a , c it.,
h a s ta
es c o n
e
( 86) .
e x a c ta m e n te
c it.,
q u e
d ia lé c tic a
s o n
y
in d e fin id a
s e g ú n
y
ID E A L E S
id e a le s
“ d ia d a
c o rta ,
“ el
ta m b ié n
re fu ta c io n e s
p rim e ra
la
s e ñ a la d o
p o s itiv a .
c o m e n ta d o r
in d e te rm in a d a ,
p a p e l
y
c o m p o s ic ió n
d ire c ta m e n te
d ia d a s ”
m á s d e
la
d e
fu é
e s te
p e rm ite n
d ia d a
d ia d a s
e le m e n to
q u e
P e ro
a
E s
d in a s tía :
e v o lu c ió n y
e s tá
d e
la
d e
o p o n ía .
( 8S) .
d e
la
c o m p u e s ta
la
o p e ra c ió n
u n
p a ra
n ú m e ro s
e s tá
“ D e
c a m b io
h a c e rn o s
e s p e c u la tiv o s
T im e o ,
c o n s e rv a rlo
c a p ita l;
N U M E R O S
lo s
te tr a d a
ilim ita d a :
e s ta
es,
te x to s
d e
u n
le s
y
P la
e s c o la rc a s
d iá lo g o s
el
d in a s tía
s ig n ific a c ió n
L O S
L ic e o
ú ltim o s
P o lític o ,
lo s
lo s
X I I I d e
p u e d e n
p o r
el
q u e
lib ro s
filo s o fía
m e n o s
q u e
e x p o s ic io n e s
u n a
ú ltim a
h e re d e ro
im p o rta n c ia
ro d e a n
la lo
d e b ía
in fle x ió n
u n a
a
8 5
m o d ific a r
lo s
p o r
a l
ta n to ,
e n
m a te m á tic a ”
q u e
lo
b u s c a m o s
p ro fe s a d a s
n u e v a
r e to rn ó
p o r
s o lu c ió n
o
lo s el
la la
fo rm a l,
b ru s c a d e
d e
'
e t a f i s i c a
la
p o r
G o m p e rz
d ia lé c tic a
m
a
re s is te n c ia
el
la
a
P e ro
q u e
la
S i
s e c re ta
la
la
a d a p ta rlo s
o p in io n e s
y
d e
n e c e s a rio
d a r.
F ile b o ,
d e
I V
se rá
é x ito . d e
X
p a ra
filo s o fía
e x p re s ió n
p a s a
v e rd a d
la
A c a d e m ia ,
la
c e tro
a
y
p e r m ita n
c o n ju n to
a n tig u a
I I I
g ra d o
te n d re m o s el
X
p ro b le m a
c o n o c id o s
n o
s e g ú n
m a l
d e l
ac c e so
c o n o c e r la
o
té rm in o s
lib r o s
tra d .
( 8 5 )
E d .
(8 6 )
M e ta fís ic a ,
R e y m o n d ,
X I I I ,
p á g .
1 0 8 1 b
7 5 3 ;
X I I I ,
c fr. 1 0 8 2 a
t.
I I ,
p á g .
6 4 7 ,
n 5
1.
2 1 . R o b in , 1 3 .
p á g .
2 8 5
n ?
2 .
m u ltip lic a e ra
d u p lic a -
la
8 6
L a s
E s te
p a p e l
ilim ita d a
la
h a r ía n
h a b e r
n ú m e ro s
id e a le s
s in o
d a d
se
d e
ñ o ,
d o s
d ia d a ,
L a
lo s
d e
la
c e p c ió n
ta l
d e
c o n s titu y e n
a
X I I I ,
a
" ]
e lla s
1 0 8 4 a
X I V ,
9 8 7 b
R o b in ,
d e
S
h
t a m
u n a
d e
L a
d e l
n ú m e ro
q u e
o
la
u n i
d ia d a
g ra n d e
y
el
p r o to tip o
lo s
c ie n
lo
d e
lo
p e q u e d e l
n ú
a
la
el
ta l
es
d e
es
A h o r a
b ie n , E l
e l
u n o
es
p rim e r
p r im o s , c o n
n in g ú n
o e x
te x to
X III
lib r o
m e d io
d e
e n g e n d ra r
A le ja n d r o ,
p ro b le m a .
im p a r
el
d e
n ú m e ro s
d e
p a p e l
im p a re s ?
e n
c a p a z
lo s
el
n ú m e ro s
A ris tó te le s
m a tr iz ,
( 9 2 93*) .
q u e
d e
la s
m o d o ,
e d .
d ia d a s
a
la s
e l
la
lib ro
la
C fr.
( 9S) .
da
P e ro ,
[ a
o
té tra d a s
a s í
la
p á g .
p á g . 1 0
h a s t a
la s y
1 0 8 2 a
2 8 ,
e le m e n to s
q u e
c o n te m
c o m o
la
d ia d a
u n id a d ]
re s u lta
u n
5 .
1 8 7 8 ,
c o m
e n
X I I I , lo s
ó c ta d a .”
d ia d a
R o b in ,
e r o
e n g e n d r a d o
la
1 0 8 4 a
L e ip z ig ,
d e
ó c ta d a ;
d e
X I I I ,
n ú m
d e l
c o n te n id a s
e n
a g re g á n d o s e
q u e
te x to
té tra d a s
n ú m e r o .”
e s
e l
h e te ro g e n e id a d
c o n te n id a s
H ille r ,
d e l
n o
la s
la
e ta fís ic a ,
M
a b s u r d o
a lu d e
a c u s a r
" S e a n
a
u n o .”
a q u é l
p o r
sí lo s
re c tific a tiv o
lo
e n g e n d ra ro n o tro
d e
2 4 .
s e a
u n i d a d ,
" N i
la
u n id a d
6 6 4 . u n a y
i d e a
é s te
s í .”
y
s e a
m
á s
M e ta fís ic a ,
2 9 .
lo
c o n s tru y e n
g ra n d e
3 3 . n o ta " A l 2 8 .
V e r 2 6 6 ,
y
lo
lo s e l I I ,
m is m o
p rim e ra m e n te
p e q u e ñ o ."
e n g e n d ra rs e
d u a lid a d ]
1 0 8 3 b
s e g ú n
u n id a d . n o
la n o
lo
id e a l,
e x c e p c ió n
e n
tr a ta
E s m irn a ,
" . . . p o r
(9 3 )
e n
u n id a d
e s to ?
id e a le s .
b i é n
d o s
es
im p a re s
p o r
se
d e
a u n q u e
d e l
d ia d a
q u e
p rin c ip io
" A lg u n o s
ig u a la d o s
c o m o
e s te
s in o
1 0 ,
e l
( 9 2 )
la
ig u a ld a d
es
p o te n
d e d u c c ió n
p e q u e ñ o ,
q u e
C ie rto s
q u e
la
F ile b o ,
d e
a n á lo g a
la
re s u lta , la
d e
lo
d e d u c c ió n
d ire c ta m e n te
a n te rio re s
p a r tir
T e ó n
c ib e n
y
s e ñ a la d a
c o n
g e n e ra c ió n
p a rte ,
" . . . d e
( 9 1 )
X I I I ,
e s ta
s o n
n ú m e ro ,
q u e
el
d e s ig u a le s
c o m e n ta rio
n ú m e ro s
d o b le
( 9 0 ) r e a l
a
é s ta s ,
(S O ) u n
u n id a d s e ñ a la r
d e
fo r m a
g ra n d e
la
la
n ú m e ro s
o tra
lo s
(8 8 ) n ú m e ro
la
q u e
p o te n c ia
( 8 7 8) .
u n id a d ?
p ita g ó ric a ,
q u ie re e s ta
n o c ió n
e s to
el
e n te n d e rs e
p e ro
e n g e n d ró
d e
s u
m a n e ra
la
c o n v ie n e
( 90)
d e te rm in a d a
si
in d ic a c ió n
p o r
p o rá n e a s ;
u n a a
g e n e ra c ió n
lo
té rm in o s
la
re s o lv e r
E s
d o n d e ,
la
lo
e n c u e n tra
p e ro
lo s
d e b e
(8 7 ) e n
es
se
s e g ú n
ú n ic a
¿ q u é
d e
d e
ó c ta d a
T a m b ié n
I I I
b a jo
c o m p re n d e r
M e ta fís ic a :
p e rm ite
c o m o
e n
S i
b ie n ,
n o s
lo s
d ia d a
c ó m o
n ú m e ro s ;
m á s
s e r
la
d ific u lta d
lib r o
c o m o
d e
la
( 91) .
3 6 .- — la
X
es
P e ro
( 89) .
lib ro
d ia d a
r a z ó n
a s í
p a r tir
e s c u e la
n ú m e ro
ig u a l;
ig u a la n d o
e n g e n d ra
la
c o m p re n d e
la
h a c e r
( ss) .
p ro c e d e ,
a
e n
e n g e n d ra
a l
e n
y
á t i c a
in d e te rm in a d a
a s í,
d e l
a t e m
d e te rm in a d a
d ia d a
u n
m
c o n s e rv a
y
d ia d a
c o m o
n o
lo
a p lic a
d e s ig u a l;
m e ro
la
f i lo s o f í a
lo
d ia d a la
e x p re s a
m a te m á tic a
u n o ,
e s
d e
s id o
o b s e rv a c ió n
c ia
la d e
p la tó n ic a ,
p a re c e
la
te tra d a ,
p re s u m ir
d u p lic a tiv a
e s c u e la
la
e n g e n d ra
lo
d e
d u p lic a d o r d e
a p lic a c ió n
te x to s c ia
d e
re s p e c to
¿S e p o r
e ta -p a s
M
n a tu ra lm e n te
n ú m e ro s ,
c o m e n ta rio
c o m o d e
p á g .
6 6 1
y
u n o
e n
e l
a l
e ta fís ic a ,
d e
d e
u n a
A le ja n d ro
n ú m e ro
p a r
X I V ,
1 0 9 1 a
é l
[d e l
m a triz , y
la s
o tro
s a lv o
d e
d e s ig u a ld a d e s ,
a l
2 4 . p rin c ip io ,
lo s
d iv e rg e n c ia s
q u e
n ú m e ro s d e
c o n
p r im o s .”
in te rp re ta c ió n
s ig . im p a r
lo
c o n c ib e n
c o m o
m e d io .”
M e ta fís ic a ,
L o s
N o
se
p u e d e
ú n ic a m e n te ro s
e n
p a re s ;
d e
lo s
lo s
la
n ú m e ro s
p o r
la
e n
b a se .
el
c ia
d e
la
y
la
P e ro
si
q u e
tó n ;
y
la
lo
la d e
s i
el
re g re s ió n
d e
c a m in o ,
tr ía d a .
L a
lib ro s
p a rte
fa c to ria s ; s a m ie n to
I I I
y
tie n e
la
d e
lo s
e n
ra le z a
e s te q u e
es
in te r v e n ir
e n
c ip io
X I I I , (9 5 )
P u e d e
u n
y
d e
" D e
la
d e
e s te
1 0 8 4 a E lie
e n
a
la
q u e
d ia d a , s is te m a
ese
es d e
H a lé v y ,
o b .
O b .
c it.,
p á g .
4 4 6
id e a le s ”
a g re g á n d o s e
( 9 7 )
O b .
c it.,
p á g .
4 7 1
c it., y
p á g . s ig .
y
es
e l
s ig .
2 1 8 .
a
u n a o
ese
a l
a d e
re g re s ió n
lo
p e q u e ñ o .
el
m u tu o
p o r
e s t á 1a
p a r,
m ita d
p rim e ra
p r o f u n d a
d e
la s
m á s e n
d e
s a tis
el
p e n
p r o p ia m e n
s o b re p a s e
s u
o b je
d iv e rs id a d
d e
n a tu
la
q u e
v e z
o p e ra c ió n v a c ío
T a n t o
la
s e p a ra r,
a
e je m
m o v im ie n to
n ú m e ro
la
v is to
u n id a d
y
y
si
la
d e P la
d e
c o n v e n c e rs e
( 97) .
u n o
y
d e
h e m o s
q u is ie ra ;
d e l
g e n e ra c ió n
q u e
q u e
se
p o d ía
e s ta
p u n to
2 ,
h ip ó te s is
d ifíc il
in te rv a lo
4 .
(9 S )
q u e
e s ta
u n
in te n c io n e s
m e d ita c ió n
id e a l
d ia d a
s u p o n e r
a c a d é m ic o ?
h ip ó te s is ,
h e te ro g e n e id a d ,
d u p lic a c ió n
m o d o ,
lo
n ú m e ro
la
p rin c ip io s
e n g e n d ra n d o
u n a q u e
s e ñ a la r el
la
fig u ra s
p o r
la
es
a tr ib u ir
e q u ilib rio
y
p é n ta d a
d e s tru iría
to m a r
y
d e
la
c o m o
o
la s
c o m o
a ritm é
e n tre
¿ n o
g r a n d e
e s ta b ilid a d
a ú n a
s ie n d o la s
d e
y
p ro g re s ió n lo
p a rte
ta n to
d e
ser
p e se
m is m o
c o m o
e s e n c ia l
(9 4 )
v e n ta ja
e s e n c ia l
p rin c ip io
n u m é ric a
p u n to
es,
d e d e
e s ta d io s
a u to r iz a d a
X I V
s e n tid o ;
d ia d a
d a ría
p la tó n ic o s ,
m a te m á tic o .
tiv o
el
p e n s a m ie n to
e s to
ig u a la d o ra
m o v im ie n to
le
y
n e c e s a rio
p ro g re s ió n
4 ,
P e ro
d ia d a ,
id e a s -
o b je tiv a .
in d e te r m in a d a
p la tó n ic o
a c c ió n
la s
te rre n o
e s ta b le c ió
c a p ta r
q u e
te o ría
in c o h e re n
d e
el
e l
tr ía d a
( 94 5 ) .
p rim e ra
la
e n
in tro d u c id a s
p a ra
la
m e n c io n a d a la
te o ría
in d e fin id a ;
s e ría
ta n to s
u n o
h ip ó te s is ,
la
d e
d e
d e
el
se r
e s ta
d e
e s té
in d e te r m in a d a
d u a lis m o ( 96)
d o b le
e n to n c e s
la
u n id a d e s
d e m o le r
a d iv in a r
u n id a d
d ia d a
d e l
n a tu ra le z a
y
X
la
d ife re n te
m o v im ie n to
d e
la
p u e d e n
g e n e ra liz a r
el
e n tre
q u e
su s
n ú m e
e s p e c ífic o
re c o n s titu c ió n
d e
d e te rm in a d a
R o b ín
f ija r la
tr a ta
s u
c o n s is ta
lo s
c a rá c te r
d e
la
p e rm a n e c e r
p é n ta d a
la
s id o
e c o n o m ía
o b te n d r ía n
p lo ,
a
c o n s titu c ió n
e x p re s a
la
d ia d a
h a
L e ó n
se
p a ra
e n tre
p é n ta d a s
la
e n
to d o ,
re la c ió n
c o m p le ta m e n te
p o d e r
s ic a ,
u n a
c o n v e n d ría
a c tu a r
q u e
d e
n e c e s a rio ,
o
S e g ú n p a r tid a
e l
o b te n e r
c o m o
s u p o s ic ió n
te
d e
s e m e ja n te
tría d a s
p rim e ro s
lo s
im p o s ib ilid a d p e s a r
d e
a te s tig u a r
tra n s m itid o
d e te r m in a d a ,
d e te r m in a d a ,
p a r a
h a
a
el
in te rp re ta c ió n
s u fic ie n te
u n o
u n o
s e ría
n o s
s e ría
in d e te r m in a d a
a ritm é tic o s ; e s ta
d e l
c a d a
m e n o s p re c ia r
p a rte ,
p a re c e
q u e
a
“ in a d íc ío n a b ílid a d ”
o tr a
( 04) ,
d e te rm in a r
tr ía d a
S e
p o r
I I I
la
in te rv e n c ió n
u n id a d
s e ría
8 7
id e a le s
la
la
n ú m e ro s
e x p o s ic ió n
p la tó n ic o ,
e l
lo s
e r o s
q u e
d e
e s to
id e a le s : d e
X
n ú m e r o s ,
tic o ,
q u e
Q u e ,
lib r o
itir
a d ic ió n
p u e s to
d ife re n c ia
a d m
n ú m
q u e m á s ,
re s u lta
u n
e lla
c o m o
p u e d a s ie n d o
p ro p ia m e n te s e rá
“ e l
c u a n to
im p a r .”
p r in q u e
M
si
e t a f i
8 8
la
L a s
g e n e ra c ió n
ra c ió n q u é to
d e
la
d e
d e
lo s
o rd e n
v ir tu d
e n tre
3
d e
la
es
s u s c ita d o ,
m e n te
n i
to d o s
m o d o s ,
le s
y
a
lo s
p o r
y
y
n o
d e b e
e n
lle g a d o
a
d e
la s
la s
se
L a
q u e
p o r
d e l
n o
se
d e
m e ro te s
la
e n
(9 8 )
E n la
s e r
tu la b a
p á g .
(1 0 0 ) m e ro , s ó lid o s ,
d e
6 5 4
o
X e n o c r a te s ,
p u n
d o b le
e n tre
m o
2
y
3 ,
y
q u e
d ia d a
b ie n p á g .
la s
d e 5 7 .
e l
lo
p o c o ”
b ie n
se
m u c h o
a
la
y
lo
lo s lo
n a tu r a
( 9S) .
te o ría
d e
a
p o c o ,
la
el
p u n to d e l
e n tre
p o rq u e
e n
s im é
q u e
n ú
J e n ó c ra -
y
g ra n d e
lín e a
lo
n ú m e ro ,
M e ta fís ic a ,
p r o
P la tó n
c o m o
s e ría
d ia d a
lo
a c u e r
p u n to
p a r tic u la r
m a g n itu d e s .”
d e
la h a n
id e n tific a c ió n
d e s ig n a rlo
e n
c o n q u e
g e o m é tric a .
el
p r in c ip io y
n ú m e ro s
P a re c e , a
c o n s e rv ó
lle g ó
lo s
id e a le s ,
g e o m é tric a s
re n u n c ia n d o
e s ta b le c e
la s
d e
id e a le s la
el
id e a
a d e p to s
m a g n itu d e s
s e n tid o ,
el
es
q u e
n ú m e ro s
n ú m e ro s
D e
u n
lo
c a ra c te riz a r
P la tó n
y
h iz o d e
a lg u n o s
“ c o n v e n c ió n ”
e s te
se
ID E A L E S
p la tó n ic o s ,
d e
y
p le n a
e n s e ñ a b a .
lo s
c o n o c im ie n to .
q u e ,
E n
lo s
d e
lo s
v a le
la s
d e l
la
R o
e fe c tiv a
s a tis fa c e r
P la tó n
c o n s id e ra c io n e s
d e
m á s
a
d e
h a y a
c o m p le ta
d e
re d e a
lín e a ,
p ro p io
l o n g i t u d , 9810
y
¡o
X I V ,
p e q u e ñ o 1 0 8 7 b
1 6 .
s ig .
c o m b a tía
v e c e s
" [ L o s la
es e n
d e
m á s
c o n v e n c ió n
m u c h a s
la
d e
id e a le s ;
d e
la s
q u e
g e n e ra c ió n
p u n to ,
( " ) .
q u e
h a b la n
" P la tó n u n a
d e l títu lo
c o rre s p o n d e n c ia
n a tu ra le z a
R o b in ,
la s
a l
m á s
m á s
q u e
a
d e
e fe c to ,
" O tro s
p o r
(9 9 ) p o r
a l
p o r
u n
re c o n s titu c ió n id e a s
n u n c a
“ m u c h o
te o ría
y a
c o r ta r
u n id a d ,
( 10° ) ,
p a re c e
s ó lo
la
te o ría
su
p rin c ip io
s í.
lo
la
a ú n
g é n e s is
A ris tó te le s ,
n ú m e ro
n i
A G N IT U D E S
r e to rn a
d e
p u e d e
M
a la s
m u c h o
p a re c ía
la
f o r m a r
d ic h o
lla m a b a
tric o
C fr.
a
te s tim o n io
p ia m e n te lo
e x tie n d e
d e
n e c e s a ria m e n te
d e s p u é s
la
n ie b la
s o b re
p la to n is m o
p ita g ó ric a
q u e
m is m a
c ie rn e
c o n tr ib u id o a l
se
c o n s id e
p re g u n ta rs e
d e te rm in a c ió n
lle g a d o
q u e
e n
m a g n itu d e s ,
3 7 . —
h a y a
m a g n itu d e s
L A S
d o
n in g u n a
d e b e rá
n o
d e
e n s e ñ a d a ,
h a c e rlo ,
p e q u e ñ o ” ,
el
la
o b je c io n e s d o c trin a
fo rm a
“ g ra n d e
c u a l
q u é
s e ñ a la rs e
s e p a ra r,
y
la
fu é
re e m p la z a ro n
id e a le s
y
á t i c a
im p lic a se
e s ta b le c e rs e
n o
le s
g e n e ra c ió n
d e
c o n
p o r
a t e m
n o
a g o ta
s o n
p la tó n ic o s
le z a
4 ,
q u e q u e
q u e
h a b ía
la
im p a re s
m
n u m é ric o ,
se
d e b e rá
p o s ib le
m e n te
m a e s tro
2
q u e
c u e s tio n e s
p u e s
fu e rz o
u n id a d
f i l o s o f í a
4 .
E s ta s b in ;
la
n ú m e ro s
e n tre
in v e rs o y
d e
p ro p ia m e n te
e q u ilib rio
v im ie n to
e ta p a s
c o n tin u a m e n te
g e o m é tric a , lín e a s
o tro s
la
in d iv is ib le s .”
p o s tu la n la rg o ,
p e ro
d e
la s la
n ú m e r o s ."
id e a s ] tr ía d a
c o n tra
e s ta
lla m a b a
M e ta fís ic a , h a c e n q u iz á
M e ta fís ic a ,
la s e l
c la se
[la
p rin c ip io I,
9 9 2 a
m a g n itu d e s p la n o ,
X I V ,
d e
d e
y
1 0 9 0 b
lo s
la
p u n to s ] ,
lín e a ,
y
p o s
2 0 . d e d e 2 1 .
m a te ria la
y
n ú
te tra d a
lo s
C fr.
H e in z e ,
L a s
e n tre
tr ía d a
a q u í
e n tre
s u p e r fic ie ,
te tr a d a
N o id e a le s
y
se
d e
ta b le :
“ el
a n im a l
tu d
d e l
a n c h o
e s tá n
es
re c c ió n la
d e q u é
ú n ic a
la
c o m u n id a d d e l
c u a l
E s es
g a r
a lg o
a
ese
c ip io
d e
p a c ió n
la
a lg o
e n
se
d e
d e l
e s p a c io , ( 104) ,
( l ° l )
e n la
s í,
" y
o tro s
e n
se
y e l
(1 0 3 ) e n
a q u é lla s
e l
“ e s p a c io ”
(1 0 4 )
e s tá
c o m o
la
a q u e llo c a so
d e
" Q u e [ la s § y
d e l lo s
a
si
la e l
e l
4 0 4 b
es
fo rm a ,
lín e a
y a
n o
4 7 8 ,
y
p á g .
p o rq u e
2 0 3 a 4 1 4 . y
la
E l
q u e
sig .
s í
d e
id e a s
y
u n o s d ic e n la
M e ta fís ic a , ta n to
y
a g re e x te n
se rá la
p r in
p a r tic i
a lg o
se
e n
A l
c o n tra rio
a c la ra
la s
p o r
h a
s e n s i
p la tó n ic o h e c h o
e s p e c ific a c io n e s
t.
I,
1 9 0 0 ,
to m a n q u e
a
d ia d a V II, e n
lo s
la
v e c e s y
la
p á g .
d ia d a es
1 0 3 6 b
R o d e
lo
1 9 .
c o m o u n a
fo rm a
sí
c o m o
c o sa s
s is te m a lo
c o n
o p o n ie n d o
p la tó n ic o ,
el
c o m o d o s
d e b e
id e a s ,
in f in ito
( 102) .
te n d e n c ia s
c o m o
se
u n a
a q u e llo
c o n v e n d ría
q u e
q u e
c o sa
s í
m is m a
ese
e s
o tr a
c o n
id e a s ,
¿ E s
p a ra le
e n
id e a l,
la s
¿ E n
o rd e n
es
n e c e s id a d .
R o d ie r,
e je m p lo ,
a s í.”
n o ta 3 0 3
id e a s ,
e n
p a ra
id e a s
la s
tra d .
c ie rta m e n te
I I I ,
d e
la s
e n tre
p o r
es
la s
d e
u b ic a r,
la s
lín e a ;
e s tá
F is ic a ,
1 9 ,
n o
lín e a
a ú n
re c o n s titu ir
a
d e
la
in fin ito
d e v e n ir,
e n
q u ie re
d e
d e
ra z ó n
d iv id ie ro n
lín e a
d u a lid a d
n e c e s a rio
a llí.
g e o m é tric o
a lm a ,
q u e
p á g .
d e
v e z
se
e x p o s ito re s
id e a s ] ” .
2 1 8 ,
la
d e
s í la
la
tie m p o
in e rc ia
c o n d u c id o
fo rm a d e
la
el se
c a ra c te riz a rs e
m u n d o
e n
id e a le s ?
e n
e n y
d i
s u p e rfic ie
p re c is a d a .
p e ro
e l
u n a
s im p le m e n te
lín e a y
u n a
p a ra
la
c o n fu n d e
la
m o d o ,
P e ro
n ú m e ro s
e x te n s ió n ,
es
d e
sea
lín e a
re c e p tá c u lo
d e d u c e
e s p a c io
d e
el
o tr o
lo n g i
a n im a le s
s ig u ie n d o
( 101) .
se
la
D e
q u e
d ia d a ,
d e
. .
a b s tra c to
p a ra
m is m o
c o n tra río
se
e s tá
el
T r a ta d o
102)
fo rm a
p e ro
n o
E n to n c e s ,
b in
e n
e fe c tiv a m e n te ,
A ris tó te le s ,
( lo s ) .
L a
y
n ú m e ro
id e a
la
e x n o
o tro s
d ia d a
e x p re s e
a l
in te lig e n c ia
q u e
q u e
n ú m e ro
P e ro
el
la
fig u ra s
s u m a m e n te
lo s
h a y
la
la
la s
h a
U n o
p r e g u n ta ,
u n o s ,
d e
y
v a
lo s
q u e
la
s e ría
p a rtic ip a n te ,
la
el
c o n
o
d ia d a ,
u b ic a d o
.
e x ig e
e n tre
p la to n is m o .
lu g a r
s u je to
;
p u ra m e n te
q u e
d e l
lo
s e n s a c ió n ”
id e a le s
d iv is ió n
p u r a
e s ta rá
p e ro
d ic e
a l
d e
(e lla
ú n ic o )
m ie n tra s
e s ta
y u x ta p o n e
m is m o ,
(
q u e
d ia d a
la
h a y
la
lín e a ,
p a rtic ip a c ió n .
a c c ió n
b le s
id e a , la
id e a
te n g a
v ie rta
lo
la d e
in h e re n te
s ió n ;
id e a l
es
id e a
e n
p a s a je
s e m e ja n te
S e g ú n
o tro s ,
e x a c ta m e n te
A ris tó te le s
u n
Id e a
te o ría
o rd e n
P la tó n .
p rim e ra s ,
p la n te a r o n
s o lu c ió n .
(m á s
c o n c e p c ió n
d e
id e n tid a d ,
d e l
f o r m a :
p o s ib le
q u e
la
la
e s ta
fig u ra s
h a y
s ó lid o
e s ta
la
la
re s u lta d o
s e g ú n
d e
e lla la
c ie n c ia
v o lu m e n ,
q u e
d e
d e
u n
la s
y
filo s o fía
m a n e ra
la
im p o rta n c ia
d ia d a ;
s e p a ra r
re s u lta
p la tó n ic o s
p ro p ó s ito
q u e
la
d e l
e s tá n
L o s
q u e
e n s e ñ a n z a
u n a
y
el
d e c ir
te tr a d a
p r o f u n d id a d
d e
tra s p o s ic ió n
p a c ia l?
a
y
re la c ió n
lis m o ,
sí
8 9
id e a le s
r e g u la r ) .
s o b re
la
h a c ia
m is m a
n e c e s a rio
a
e n y
u n o ,
o p in ió n
su
la
D is c u r s o s
lo
e n tre
d e s c o n o c e r e n
c o n s titu id o s
in te le c to
es
lo s
a g n i t u d e s
te tr a e d r o
e s e n c ia l
tr a íd o
y
y
p o d r ía
e ra
m
la
lín e a
m is m a d e
la
c o sa
d ia d a ;
1 5 .
o b je to s
s e n s ib le s
c o m o
9C fr.
e n
R iv a u d ,
o b .
e it.,
e l
e s tu d io
so b re
9 0
L a s
G ra n d e
y
c e p tib le
lo
c o m ú n e n
e l
P e q u e ñ o :
“ b a jo
e x te n s o s ,
la
c u a l
la
la
el
d e
p a ra
d e
lo s
lo
in h á b ile s
q u e s o b re
m á s
q u e
e s tá
la s
p o r
la
c o m o
e le m e n to
p rim e ro
E l
el
e le m e n to
e q u ilib rio
p o r
lo
m e n o s
d ic ió n a
d e
s e g u ir
a
c o n c e p to s
L o s la
a u to r
e n
el
c a rre ra , e n tre
la
d e
“ p is ta ”
d e
la s
X I V
M
p ita g o riz a n te s .
la
el
L a
re fle
n ú m e ro y
la
( 1 0 5 106) .
E u d e m o
( lo e )
el
n o
es
la
y
y
u n a y
p a rte la
tr a
m a te m a tis m o ,
v is lu m b r a n
m a te m á tic a s
e n
S ó c ra te s
e l
n o P e ro
g e n e r a liz a d o r a .
e s ta b le c e r, d e
a lg o id e a l
c o m p r e n s iv a
e x te n s ió n
E s p e u s íp o
m á s
p r o p o r c io n a r
a
y
q u e
a lg o
a n te r io r
o r a l
q u e
b a s ta
m a te m á tic a ,
g e n e ra d o ra s
es
tra d ic ió n
P la tó n d e
y
p o s itiv o .
c o n e x ió n
la
e lig ió ;
I I I
id e a ;
c o n c e p tu a lis m o
d e
A ris tó te le s
c a d a
a
ín c e rtíd u m -
e m b a rg o ,
y
d e
b a se
s in
la
d o m in io
la
la
la
e n
c o n o c im ie n to s
e n s a y a d o
e n tre
X
d e
n o c io n e s
o rd e n
el
lib ro s
a q u e lla
d e
h a b ía
su c e so re s
v e z
( 107) .
el
o rd e n
P la tó n s u
la s
d e
s u fic ie n te m e n te
rá p id o
P a re c e ,
in c a p a z
a
p o s te r io r ,
el
c o m ú n
d e
s u
n a d a
in te lig ib le
id e a le s .
in fo rm a c ió n ,
s u s
es
tie n e
P L A T Ó N
té c n ic a
p a rtic u la re s
s e ñ a la
q u e
d e
d e
n o
p la to n iz a n te s
d e
e s tu d io
es
e n
lo s
p e r
d e te rm in a d o s ,
a b s te n id o
lo s
p e rfe c c ió n
c o n e x ió n
P itá g o ra s ,
ro m p e rs e .
d e
lo
a
m a te m á tic a s
é s ta
e n to n c e s ,
m á s
el
n o c io n e s
e n g e n d ra d a :
n u e s tra
d e
e x te n s ió n
p rin c ip io
d e m a s ia d o
d o c trin a s .
d e d u c ir
c o m b in a c io n e s
d e fin id o
c ió n
la
la
“ q u e
D E
h e m o s
d e b id a
p a ra
c o m p o rta b a
x ió n
d e
a
fig u ra s
d e d u c ir
fin a l
p o r
á t i c a
v a c ío ,
la s
n o s
p ro p ia s
d e rro ta
d e s a rm a d o s
h a c ía
d e
la s
o tr a el
D E S P U É S
h a r ía
tr a d ic ió n
la
O
c o n fu s ió n
d e
la
es
p ro d u c e
n o
q u e
y
la
e x p lic a r
E s ta b a n
v is ib le ”
Q u iz á s
a t e m
e s p e c ífic a m e n te
d iv is ib le s ” ;
—
m
c o rre s p o n d ie n te
c u e rp o s
P L A T O N IS M
id e a s
f i l o s o f í a
u n a
E L
c o n fu s ió n
c a rá c te r
y
la
d e
d e te rm in a c ió n
in c e rtid u m b re y
la
e x te n s ió n
3 8 .
la
d e
fo rm a
c o m p u e s to s
c o n
a s o c ia c ió n
b re
e ta p a s
v a
im p o s ib ilid a d
la
“ p is ta ”
J e n ó c ra te s
d e
lo s
ta m b ié n
e lig ie ro n .
(1 0 5 ) y
" A lg u n o s
p o s te rio rid a d —
s e n s ib le s .”
n o
a lg o
fu e ra a
a n te rio r,
p o rq u e
d o b le
e l
c o m ú n
o
se a
(1 0 7 ) la
v e z
d e
q u e y
X I I I ,
" A d e m á s , h a y ,
a n te rio r
es
d ic e n id e a s , —
M e ta fís ic a ,
(1 0 6 ) rid a d
la s
to d a s
a q u e lla s
a n te rio rid a d :
d e
lo s
s e p a r a b le .” c a u sa
m a te m á tic a s
y
e n
a
d e
la s
y
e fe c to , se
m ú ltip lo s ,
e rr o r
c o sa s
c o m ú n
c o m ú n
M o r a l
d e l
n ú m e ro s : a p a rte
e l
d e
la s
q u e
p o s e e
id e a s
y
a n te rio rid a d
d e
lo s
o b je to s
1 1 .
n a d a
lo
a m b o s
m a te m á tic o ,
1 0 8 0 b
é s ta s ,
d e s tru id o
p rim e ro
'X a la s
la
e n
d e
e x is te n e l
n o
q u e
q u e
e s te
lo
p o s ib le
I,
1 2 1 8 a
d e fin ic io n e s
fu é
a n te rio rid a d
s e p a ra b le .
a lg o
es
c a y e ro n
h a y
se a
d e s tru iría
E u d e m o , e n
e n
q u e
c o m ú n
a n te rio r. q u e
lo
P u e s
y
s i
p o s te rio
n o ,
y
s e p a ra b le
P o r
e je m p lo :
m ú ltip le
h a b ría s e ría s i
p re d ic a d o
lo e n
1 . q u e
g e n e r a le s .”
in v e s tig a b a n
M e ta fis ic a ,
p a rtie n d o
X I I I ,
1 0 8 4 b
a 2 3 .
d e
la
E l
L o s d e s p u é s
p rim e ro s
d e
o tr o
c o n s e rv a n d o
d e
tra s c e n d e n c ia e fe c to
m u n d o
e l a
p o r
la
se
la s
a
la
c ie n te
d e
e n
ric a ,
q u e
a
o
la
lo s
la
q u e
p a re c e
d e
d e
p la n o te n id o
m o r ta l,
¿S e
el
u n o id e a s ,
s o lo
re s u lta r
to d o
la s
h a b e r
p la tó n ic a .
la
p e d irá
u n iv e rs o ,
g e o m é tric o
n u m é ric a s
o
q u e
J e n ó c ra te s ,
d iv in id a d e s
d e
la
o
a d e l
fís ic o ? ;
c o n s e rv a ,
d e
a c u e rd o
m ó n a d a
y
la
u n a
a
H e in z e
X e n o c r a te s ,
(109)
A e c io ,
O
y
d e
s u
y
lo
la
n ú m e ro s
el
lo
la
d e
E s
s u f i
h a n
p e n
e s c u e la d e
la
in ú til
c u a lita tiv a
c o m o
g e n e ra l
q u e
d e v ie n e
jo v e n
p o r
e le v a
d e s e m p e ñ a n
im p a r id a d .
E s p e u s ip o , d e
se
p o s itiv a q u e
e n to n c e s
p rin c ip io
d e
q u e
n a tu r a le z a
d e riv a rá ,
s e rie
n o
p o d ía ,
a m b o s
p ita g ó
“ m
u ltip li
p ro c e d im ie n to
h o m o g é n e o s ,
3 4
y
a
I,
7 .
3 5 ,
se
tr a ta
1 ,
u n irs e
e s c a p a r y
p e rd e rs e
ta n to
1 1 .
a l
y
C fr.
a
e n
p rin c ip io s
E s p e u s ip o
p á g .
p in io n e s ,
n 9
lo s
1 0 8 3 b
3 5 ,
p a re c e r,
a
p a ra
c o m o
X I I I ,
fr.
a l
v a
[n ú m e ro s } ,
s o lo ,
e ta fís ic a ,
p á g .
el
p ita g o ris m o
u n o
V e r
H e in z e ,
M
o p o n g a
m a te m á tic a
" R e c o n o c ía n
la
q u e ría
re s trin g irs e
a
d ia d a
la
p a r id a d
lo s
e fe c tiv o
P e ro
lo
c u a n tita tiv o a
c o n c e p c ió n
a ritm é tic a .
s u
lo
u n i
lo s
u n o s
( 112) .
d e l
c o n s id e ra ro n
la
p a p e l
re p re s e n ta n te s
p la tó n ic a
d e b e
a
d e l
p rin c ip io ,
o tr o s
m ís tic o
m u c h o y
s e p a ra
a ritm é tic o s
f u n d a m e n ta r
d e
se
e s te
se
n ú m e ro s
la
c ie rto s
C o m e n ta r io
o b s e rv a
d e
d ia lé c tic a
108) lo
a
la
a lte r n a
r e fo rz a r e l
e l
y
rig u ro s a m e n te
id e a l
c o m o
J e n ó c r a te s .” X I I I ,
ib id .,
s im
o c u ltis m o
a l
m a te m á tic o ,
S e u d o
1 0 8 7 a
e n
d e te r
A le ja n d ro
2 ,
p á g .
7 8 2 .
1 7 1 .
H e in z e , a q u í
o b . n o
c it.,
d e
la
fr.
1 5 ,
d ia d a
p á g .
1 6 4 ;
c o m o
lo
s in o
d e
in d e te rm in a d a ,
d e te rm in a d a .
110)
" T o d o s
p e rfe c ta 1 0 7 2 b ( i n ) L e ip z ig ,
y
112)
c u a le s q u ie ra , m a te m á tic o
la
lo s
q u e ,
c o m o
b o n d a d
lo s
p ita g ó ric o s
p e rfe c ta
n o
y
e x is te n
E s p e u s ip o ,
e n
e l
c o n c ib e n
p rin c ip io
. .
.”
q u e M
la
b e
e ta fís ic a ,
3 0 . Z e lle r 1 8 8 9 ,
o b s e rv a r (
u n
m u n d o
e n
E s p e u s ip o
p a ra
a d ic ió n ,
te o s o fía ;
h a c e n
m á s
d e b ía
p e s o
d e l
p ro p u s ie ro n y
s o b re n a tu ra le s :
a c e rc a
e s e n c ia
e s c u e la
b o lis m o
e d .,
el
“ e rig e
n ú m e ro s ,
u n id a d ; y
d e
L a
X I I ,
se
c a so
la
d e
re s p e c to
lle z a
q u e
m a te m á tic a
c o m o
lo s
p o s ib le m e n te
( U 1 )
fo rm e
(
a
lo s
la
to d o
c id a d ”
la
c o n
es
d ia lé c tic a
c o m o
s a d o
(
si
si
u n o
h a c e
n ú m e ro ,
p e ro
se
n ú m e ro s
s e n s ib le ,
d e n o m in a c io n e s
e n tid a d e s
c o m b in a c io n e s
a c u d ir
la
( 1 1 0 *)
id e a lid a d ,
tiv a :
a s í
la s
E s to b e o ,
c o n tra rio ,
c ie n c ia
c a d a
a
la
s o p o rte n
d e
lo s
s im p lific a c ió n
a g u d e z a
d e
re lig io s o
d e
e s ta
d e
91
P l a t ó n
A c a d e m ia ,
d u a lid a d
n ú m e ro
u n a
q u e
la
d e
C1« 9 ) .
A l
e n
y
a c u d e
c u a lita tiv o a
d e l
d e s p u é s
d e
la
P e ro
c o n
e n c im a
re fe re n c ia
d ia d a ”
a
a llá
( 108) .
id e a le s
m o ra l
filó s o fo la
f in
f u n d a m e n ta l
n ú m e ro s
e n to n c e s
m á s
a c u s a r,
a m b ig ü e d a d lo s
e s c o la rc a s
p o n e r
n o
p o r
■p la to n is m o
" o
q u e s o n
s e g ú n n in g u n a
a trib u y e p á g . e s ta
e s ta
1 0 0 1 ,
c o n c e p c ió n
n 9
2 ) .
a trib u c ió n
to d a s a firm a n u n id a d
es
d ire c ta m e n te q u e
e s
d ifie re
a
R iv a u d ,
e l e n
8 5 6 ,
a b s o lu ta m e n te s u c e s iv a s n ú m e ro n a d a
(P ío .
E s p e u s ip o n 9
d e
y
p á g .
3 6 2
der y
G r .,
R o b in ,
I I , p á g .
I,
4 ?
6 5 5 ,
in c ie rta . c u a le s q u ie ra
m a te m á tic o : o tr a .”
M
p u e d e n
p o rq u e
e ta fís ic a ,
e n
X I I I ,
s u m a rs e e l
a
n ú m e ro
1 0 8 0 a
2 0 .
9 2
L a s
m in a d o s m a rla s
d e
e n
u n a
e ta p a s
c ie n c ia
re a lid a d e s
re s p o n d e r
a
la s
o r g a n u m
u n iv e rs a l
d e
la
f i lo s o f í a
p o s itiv a
y
s e p a ra d a s .
e s p e ra n z a s q u e
n o
se
e n
á t i c a
y a
e n to n c e s
h a b ía n
re c la m a b a
a t e m
h a b r á
P e ro
q u e
m
r a z ó n la
p u e s to
ese
p a ra
tr a n s f o r
m a te m á tic a e n
e lla ,
m o m e n to
n o
la
cesa
es
d e
m á s
el
e s p e c u la c ió n
g rie g a .
3 9 . d e ra d o p a r te d e
—
es la
u n a
E l
a ritm é tic a
y
d e s c u b rim ie n to
s a d o r
d e b e
E n
la
la
g e o m e tría
c e rc a
lo s
p ro c e d im ie n to s
y
d o s ific a c ió n
d a d
d e
a
lo s
n e c e s a rio c a m in o
m a te m á tic a E l
d e
d o b le
d e
la
s u
q u e
la
e je rz a
ra s ,
y
q u e
c a d a
d e
q u e
lo s
e s ta
re a p a re c e r
la
c o n
esa
lo s
m is m a
d e
P e ro ,
h a n
v e rd a d
s a rio
q u e
m a tis m o , h a b ía
e n la
u n
el
p u d ie ra la
lo s
m é to d o
el
ra z o n a m ie n to
y
e n
la
o r g a
s e g u irá n
d e
n u m é ric a
la e s tá
d e l
filo s o fía
lig a d o ;
se r.
y
q u e
u n iv e rs a li
p rin c ip io s ,
s u p re m o s
u n a
p e n
u n iv e rs a lid a d
ta n to
q u e
m o d e lo
es
p o r
u n
A lte r n a ti
f u n d a m e n ta
la
m a te m á tic a
y
s o b re
d e
su sea
c ie n c ia
lle g u e d e
u n a
la s
q u e
D e s c a rte s es
líc ito
u n
la
lo s
el
h e c h o
d e
la s
tr a m a
f ig u
in tr in
c o m o
e s tá
N e w to n , q u e
p a r a
E l
m a te m á tic a s ,
R e n a c im ie n to
c re e r
d o b le
la
re s o lu c ió n ,
y
s e n tid o ,
c o n c e p c ió n
d e l y
e n
d e
n ú m e ro s
re la c io n e s
e s ta
d e s p u é s
d u ra b le .
e n
el
c o m o
fu n c ió n
lo s
d e s c u b rir
c o n s id e ra rs e ,
e x p lic a
a s í
g ra n d e z a
d e
a
e lla ,
p la
d e s tin a d a
p a ra
e n
h a c e
el
la
a
c o n v e rtir
s u s ta n c ia
p la to n is m o
es
la
d e v e r
filo s o fía . n e c e s a rio s
d e s ta c a rs e
p s ic o lo g ía
d e l
la
p u e s to
e n
v e in te
e n
la
el el
a
m é to d o d o m in io
p ro g re s o
s ig lo s
p u re z a
s u s titu y e n d o
c o n v irtie ra n
d ire c ta
la
u n a
c o n o c im ie n to
im p lic a
e n
filo s o fía
o rd e n
p u e d a
s id o
in tr o d u c id o
m e d id a
d e
g ra d o
m o d e rn a , la
el
q u e
d e l
ese
p e n s a m ie n to
e n
G a lile o ,
a
p o lític o
p a rte ,
g é n e ro s
e s ta
a y u d a
y
P la tó n
h e m o s P o r
p ro p o rc io n a lid a d
o tr a
p r o n u n c ia d o
in m e d ia ta m e n te
c iv iliz a c ió n
d a d
d e
fe n ó m e n o s
m is m o ;
el
m a te m á tic o s
d e c a d e n c ia
g ra d o
la
m a te m á tic a
h a
d e l
la
c o n c e p c ió n
to n is m o
se,
c o n
lo s
a
e x a c ta
in d iv id u a l y
lo
filo s o fía .
c a rá c te r h is to r ia
d e
P o r
c u a le s
d e la
u n a
fu n c ió n
se
p e rm ite n
lo s
d e
in m e d ia ta
q u e
c o n d u c ta
q u e
s e n tid o .
d o c trin a
m o ra lis ta
p rin c ip io s
tra v é s
saca
s o b re
q u e
d o ja
a
a
e so s
u n a
e n
d o b le
p r o p o r c io n a n
la
r a z o n a m ie n to s
p rin c ip io s
P la tó n
q u e
fo rm a
u n
d e m o s tra c ió n
el
c u a n tita tiv a .
lo s
d ire c to
d e
c o le c tiv a
ju s tific a r
v a m e n te
ju ic io
v id a
d e
la
e n
e s ta b le c e r
d ire c c ió n
d e
c a ra c te riz a
y
p a ra
n iz a c ió n
la
la
b a jo
m a te m á tic a
fe c u n d o
re fe rirs e
v e rd a d e ro .
p la to n is m o
filo s o fía
la
d e d e
la
s u fic ie n te
su
te o lo g ía
a n á lis is
c ie n tífic o ,
in d e p e n d ie n te ,
d e
d e
lu z ; y
la
re fle x ió n
p a ra
h a
s id o
c rític a
re g re s iv o
h a c ie n d o a l
re fle x ió n
q u e
a l
e s p íritu ,
se p a ra
d o g
P la tó n
e s p e c u la tiv a , q u e
q u e n e c e
e n
la
c o n s titu y e s e a p re h e n d e r
n a tu ra le z a . L a
m o m e n to
o b ra
p o s itiv a
d e te rm in a d o
d e d e l
re s o lu c ió n , p ro c e s o
e n tre v is ta d ia lé c tic o ,
p o r e s tá
P la tó n p u e s ,
e n
u n
le jo s
d e
c o n s i
E l
d e fin ir m e n te
la y
fo rm a se
P la tó n .
E l
h a
y
d e d u c e
n e s
d e l
d e
la
y
p a rte
d e
e so ,
s o la m e n te
n o
d e
in e v ita b le u n
fía
s is te m a
d e
b e rá
b a se
o b je to
a
d is c u s ió n
la s
n o
q u e
su
s a b e r,
la
el
lo s
y
e n
el
u n
le s
el
s o b re p a s a
fu e ra
se
u n a
a c a rre a se
ser
e n
u n
E l
y
la
d e l
q u e
a
se r
q u e
d e l
le s
es
s e c u la r
c ie n tífic o
ser,
d e d e
s u je to
se rá
ta n to
s a b e r,
h a c e
p o s itiv o
d is tin ta
el
d e d e l
c o m b in a c io
p o r q u e
la la
q u e
ru in a filo s o
P la tó n d e
la
P o r
s in o a
d e
d e
a je n a .
in e v ita b le ;
m u y
e n
y
la s
p la to n is m o
e c lip s e
id e a
e fe c tiv a
o y e n te s
p r e p a ra to rio
d o m in io
g ra m a tic a l;
ta n to d e
p a s o
h a c ía
c o sa
in te le c tu a lis m o
p e rju ic io
c o n s titu id o p rim e ro s
n e c e s a ria s
m é tric a s .
in tu ic io n is m o
e n
h a lo s
p rin c ip io s
in m e d ia to
fra c a s o
E l
se
q u e
h ip ó te s is
9 3
P l a t ó n
d e
m a te m á tic a ,
q u e
p a r tic u la r
a n te
m á s
re la c io n e s
fra c a s o
ese
es
la s
d e
d o c trin a
a lc a n z a
d e
d ia lé c tic a
c o n v e rtid o d e l
la
la
q u e
m a te m á tic a .
b o rra rs e
p o s ic ió n e l
u n a
c u a l
id e a lis ta
té c n ic a
d e s p u é s
a
p rin c ip io s
c ie n c ia ,
e ra
la
s u p e rio r eso s
c á lc u lo
p e n d e r
b a jo
o fre c id o
a n á lis is
c o n o c im ie n to
'p la to n is m o
la
d e p r o
e x c e le n c ia n ú m e r o .
C
E L
N A C I M
A R IS T Ó T E L E S
4 0 .
y ,
s e g u id a s m a l
y
e n
lo s
m is m o
la
la
te n g a m o s
p o r ta n te ló g ic a
q u e
b id o
n i
p u e d a
lle g a r
a
e n
q u e la
o tr a
a p r o x im a r
a q u í
e s c u e la
la s
le y e s
d e
la
d e
la s
s u
p r o p io
e n
a
sí
id e a s
el
la s
y
lo g ró
el
p r o
ló g ic a
e n
d e
c o n s ig u ie n te ,
a ris to te lis m o
n o
A ris tó te le s ;
te n ta tiv a s
in tr o d u c id o
c o n s id e ra c ió n
e x p o s ic ió n
p la tó n ic a
d e
p ro p o r c io n a r á n
p a rte
la s
h a n
P o r
el
la
A L
P L A T Ó N IC A
s ilo g ís tic a
A n a lític o s
P o r
la
F O R M
D IA L É C T IC A
p rim e ro s
p a r tid o .
la
se r
p o r
c ó m o
el
n ú m e ro s u
se r e n
u n
e n sí
“ N o I,
( 2 )
8 3 b
f o r
c o ra z ó n
c la s e s,
d e
p e s a r
d e
q u e
m is m o ,
es
im
g e n e ra d o ra s
d e
la
sí ( 2)
o ;
lo n o
h a
e n u n c ia d o
e s
p o s ib le
e l
f in ito
d e
h a y
e n
sí
lle g a d o p a re c e n
re c o rre r
e l
se r,
p o r
q u é
n u e v a :
p u e d a n d e l
se r n i
n i
q u e
rid ic u la s
in fin ito
c o n
a y
la
s a
( 1) . e n
u n
q u e
n o
E n
o
h a
a
d e
u n a
c a m in o
q u e
e s té
q u é
a p r o x im a n
m á s
y
P la tó n
c o n s id e ra d o s
e s p íritu ,
id e a
in te le c tu a l
a l p la to n is m o
a b rirs e
in te rv a lo s
se
“ d e s tin o ”
f a lta r o n
ló g ic a
d e
b e llo
q u e
c o m p u e s to
p rim e r
c o n s is te
lu g a r
la
id e a ,
se
d is tin g u e n
d e l
p la n te a r
c u e s tio n e s
q u e
q u e
n o
tie n e n
in te lig e n c ia .”
s o lu c ió n ,
S e g u n d o s
a n a
6 .
P a ra m a n e ra lib ro
re c o rrid o
n ú m e ro
la
q u e
p rin c ip io s
d e te rm in a d o
m is m o
( ! )
p rin c ip io s
c o m o
d e
c o n d ic io n e s
s a tis fa c e r
e fe c tiv a m e n te
n o
c o n c ie n c ia
la s
p o r
h a s ta
u n iv e rs a l
h a
p rim e r
L A
m a te m á tic a
e s tu d ia r
e s fo rz a rá
s o la m e n te
u n a
D E
L Ó G I C A
m a te m á tic a ,
h a b ía
s e ñ a la d o
P la tó n
d e
L A
u n iv e rs a l
p a ra
la
a d m ira b le
h a
se
m a n e ra
lític o s ,
d ía s
c a b id a
u n a
A ris tó te le s
p o r
lo s
V
o
a ris to té lic a . C o n
la s
q u e
d a r
l
d e d u c tiv a .
d e
filo s o fía
s ilo g ís tic a
u
e n c o n tra rlo
s ig lo s ,
n u e s tro s
í t
D E
o r g a n u m
e x p o s ic ió n
p rin c ip io s
d e
d o n d e n o
la
p
C R ÍT IC A
c re y ó
v e in te
d e
L A
E l
G re c ia
d u r a n te
m o d e lo
I E N T O
Y
—
c o n s titu ir,
a
d e
e s ta s c a si
d ific u lta d e s in e x tric a b le
R o b in :
q u e la
L ’é te n d u e
A ris tó te le s
e x p o s ic ió n d u
m o n d e
y d e s
s e ñ a la la
e n
c rític a ,
id é e s ,
té rm in o s v e r
p á g .
la
1 2 0
q u e
te rc e ra y
s ig .
m e z c la n p a rte
d e l
9 6
L a s
c o m o
esas
e n
d é c a d a
la
n ú m e ro
se
sí
la
m é tic o
o
el
o b ra
s a m ie n to s
a h í
to d o e n
lo
la
q u e
o b ra
p u r a m e n te u n a b re
el
g a d a
se r, a
a s e g u ra d a m á tic a , lo
a
fís ic a
§
d e
u n a
y
X I I I ,
M e ta fís ic a ,
I I I,
b r e . ( 5 )
M e ta fís ic a ,
4 0 3 a ( 7 )
2 :
le s
t.
G re c s
M
ilh a u d ,
X V I , e t
c h e z
la
1 0 8 4 a
9 9 1 a
la
el
lu g a r,
s e n s ib le ,
a ritm é tic o . a l
el
lu g a r
h o m b re
n ú m e ro
P e ro
n ú m e ro
a r it
s e n s ib le ,
s u c e s iv a m e n te
d e
y
u n
d e
es
h a s ta a h í.
d e c is iv o
ló g ic o a
s e r
e n tre
( 7)
d e
;
la
e s to
ese
c o n
o
fís ic a
d e
la
a
( 6)
su
u s o
re s trin g id o
a firm a c io n e s
c o n c e p c ió n
in tu ic ió n
p e n
d e se c h a
d ia lé c tic o
es
la s
d e
él
lle v a d o s
d o c tr in a :
la
d e
q u e
la
e s tá
li
d e
la
m a te
s u s ta n c ia ,
p rim e ra ,
a d e c u a d a
a
s o
in d e p e n d e n c ia
s e p a ra d a
filo s o fía
a
la s
c o n
p o r
fin
e x ig e n c ia s
in tu itiv a .
D E
e s ta
s is te m a
P a r a
m a te m á tic a
m e ta fís ic a
el
L A
L Ó G IC A
té c n ic a
m é to d o
es
la
p la tó n ic o
c la s ific a c ió n d e
la
d e
d iv is ió n
la s
X I I I ,
la
n o ta
1 0 7 6 b 5 1 ,
3 9 ,
p á g .
c ita d o s 6 0 9
y
s o b re
c o m e n ta d o s la
o b je c ió n
p o r d e l
R o b in , te rc e r
3 0 .
2 0 . I,
1 2 1 7 b
2 1 :
" ló g ic a
y
v a c u a m e n te ” .
P r im e r o s
a n a líti
v a c u a m e n te ” . A r is to te
1 9 0 3 , le s
e s
se
1 2 .
1 2 ;
E u d e m o , y
( 5) ,
m e to d o ló g ic a
q u e
1 0 3 8 b
a
" d ia lé c tic a
C fr.
P h ilo s o p h ie , c h e z
I,
a
b a se
o b je to
2 1 3
V II,
M o r a l
d e
B IO L Ó G IC O
9 9 7 b
p á g .
M e ta fís ic a ,
( 8 ) co s,
E l
M e ta fís ic a ,
s ig u ie n te s ,
el
a r g u m e n to
v u e lv e n
c u a lid a d ,
la
d e
g é n e ro s
( 4 ) y
es
n ú m e ro
d e fin id o .
c a n tid a d
la
té c n ic a
— lo s
la
d e
fo rm a
c u a lita tiv a
d e
“ S i
s e g u n d o
id e a l
a sí
c o n te n e r
p rim e r
h a c in a m ie n to ,
p a r tic u la r
re c o n o c id a
(® )
1 0 6
io m
y
E n
y
c o n s titu ir y
fu n d a m e n ta le s
c a te g o ría
4 1 .
e n
tr ía d a
a l
y
h a c e r
p rim e ra s :
n ú m e ro
u n
m e ta fó ric o n ú m e ro s
m o d o
O R I G E N
p e c ie s
a s í
d o m in io
u n
c a te g o ría
d e
se rá
o
el
es
A ris tó te le s
c o n s titu c ió n la
q u e
la
e n
u n iv e rs a l
L o s
n o c io n e s a
el
a b s u rd o
c o n v ie rte
v e z
m ític o
s u p e rio rid a d
q u e
d e
la
P la tó n .
la
la
n ú m e ro
a ritm é tic o
u n
se
I I I :
( a ) .
id e a l
in te rm e d ia rio s
re s u lta
a ritm é tic o ;
la s
es
d e l
n ú m e ro
si
s í? ”
q u e
X
id e a s
a lg u n o s ,
n ú m e ro
re la c ió n
q u e
a
ju z g a
c a te g o ría
el
A ris tó te le s
sea
d e
la s
e je m p lo , e n
á t i c a
( 4) .
d e
q u e
la
n u e v o s
p la to n is m o L a
P o r
a t e m
lib r o
a f irm a n
c a b a llo
e n tre
d e l
“ a m o n to n a m ie n to ” , tr a
el d e
id e a s . el
m
d iv e rs id a d
in te rm e d ia rio ,
a ú n
D e
f i lo s o f í a
c o m o
s e rá
e x p lic a r
in s e rta r
in f in ito .
la
c o n s e rv a d o
la
re la c ió n
b ie n
n e c e s a rio
h a
la s
u n
p a r a
d e
d ie z ,
n ú m e ro
in s e rta
e n to n c e s ,
e l
h a s ta
e x p lic a r
P la tó n
n o s
a c a b a rá n
¿ q u é
p a ra
eco
p r im o r d ia l
lle g a
p r o n to e n
c u y o
e ta p a s
p á g .
e t
le s
3 6 8
m o d e r n e s ,
M a th é m a tiq u e s , y
s ig .,
1 9 0 6 ,
y
p á g .
É tu d e s 1 0 3
y
A rc h iv s u r sig .
la
f ü r
G e s c h ic h te
p e n s é e
d e r
s c ie n tifiq u e
O
p r o p o n ía
in s titu ir ,
e x c lu y e n d o n is m o
s o b re
m ie n to s tó n
la
n o
p e rm ite n ,
p o r
n e ra lid a d
d e
te s
se
a l
c o n c e p to z a r á
lo
e n
d e
el
re a l :
A h o r a lo s
q u e
u n a
m u y
el
d e
lo s
a l
d e ta lle
q u e
d e
la
g lo s
h a
lo
u n a
y
la d e
la
u n a
tip o
d e l
d e
u n
lu g a r
lo s
fra g m e n to la
lo s
c ó m ic o
e x c e p c io n a l
ja rd in e s
d e
A c a d e m o s .
P r im e r o s
a n a lític o s ,
I I ,
6 8 b
3 8 .
( 9 )
P r im e r o s
a n a lític o s ,
I I ,
7 0 a
3 .
S e g u n d o s
(1 1 )
P r im e r o s
( 1 2 )
M
(1 3 )
" S ó lo
im p o rta n te s b u e n a s
y
( 1 4 ) L ili,
a n a lític o s , a n a lític o s ,
I,
e ta fís ic a ,
y ,
lo s
s o n
s e p a rá n d o la s
a b s te n e rs e
d e
O r g a n is a tio n
p á g .
9 8 7 b
q u e
1 1 .
la s d e r
e n
d e
II,
6 9 a
3 7 .
II,
6 9 a
2 0 .
d e
e fe c
la
d e
la
m a rc h a
a rtic u la c io n e s ,
p ro p o rc io n a d a ,
q u e ,
e s p íritu
b u e n a
e n
a
q u e
n o s
E p ic ra to ,
R e tó r ic a ,
lo s
I,
d u r a n te y
s i
u n i
d e
p o d e r
o r
to m a r
n a tu ra le s ;
e l
a z a r
h a
la
c o n
d e l
( 14) .
d e
c o n s ti
a b s tra c to
d e
p o r
tie m p o
p ro b le m a s
g é n e ro s
c a la b a z a
e l
p e r m itía n
s u e rte
B u s c a n d o
C fr.
s o lu c ió n
in v e r tir
f in ita
im p o rta n c ia
( 8 )
( 10)
la
p la n te a d o
e s p e c u la c io n e s
s ilo g is m o ,
p rim e ro s d e
c o m p le m e n to
e n
m a e s tro ,
E l
la
p la n ta
el
( 1S) .
e s p e c u la tiv a ,
h a b ía
ra z o n a m ie n to
T e n e m o s
p rá c tic a
c ie n c ia
e s ta rá
su
d e l
a lc a n
d e s v ío ;.r e c la m a
p a s o s
a p lic a c ió n
d e
la
d e
b io ló g ic a .
el
s o b re
lo s
y
q u e
in d iv id u o s .
in d u c c ió n d e
el
a c c ió n
n in g u n a
s e rie
lo s
re
S ó c ra e n
p e r m ita n
u n a d e
e s c u e la
fo rm a c ió n
s e ñ a ló
p o r
e s ta
m is m a
d e
q u e
re a lid a d
p a rtic u la r.
p rim e ro , e n
v o lv e r, a
c o m o
d is e rta c ió n
ta le s
le jo s .
c o n s titu id o
P la tó n
a
g e
( 1 0 1) ,
p re o c u p a b a
te ó ric a
o tr o
q u e
la
se
e x tra v ia d o
p o r
P la
re a lid a d
v e z
re c la m a n
c o n d u c ir
c u e s tió n
c la s ific a c ió n
s e rv a c ió n
t.
la
s u rg id o
v iv o
p o d ía n
m á s
la
la
la
p re s e n tir
N o
d e
q u e
o b je c ió n
u n a
v e z
re s p e c to ,
h a b ía
o b s e rv a c ió n
a p a re c id o
c o n c re to
s o b re
la
e n
p rim e ra
h a
v e rs a l,
d e
y
y
la
S ó c ra te s
se
p rin c ip io s
a
p ro c e d i
y
d e
c la s e p la to
a p ro x im a c ió n
ir
p o r
te rre n o
e s te
p e ro
p re c is a
p o r
d e
d e
n e c e s a rio
es
es
a q u e llo s
( 9) ,
in te r lo c u to r ,
A
la
m e d io s
in d u c tiv o .
el
a
d e
d e l
e m p le a d o
p a rtic u la re s ,
s ig n o s
es
n o c ió n
c o n ta c to
( 1 2 13) ;
s o b re
n o
c o sa s,
fo r m a
A ris tó te le s ,
d e n
la s
p a rte ,
tu ir
lo g re
r a z o n a m ie n to s
L a o tr a
q u e
a l
la
c o n s e rv a
v u e lv e
m o ra le s
re g re s iv o s
re to m a
lo s
q u e
s o c rá tic a
p ro b le m a ;
A ris tó te le s
in d u c c ió n
d e l
b a s e
h a b ía
c a so s
d is c u rs o
p ro g re s iv a .
m e ta -m a te m á tic a s tiv a .
el
d ia lé c tic a
s ín te s is
b ie n
e n
tr a n s p o r ta d o s
p ro c e d im ie n to s
d e
d e
( 8) ,
S ó lo
c u e s tio n e s
e s p íritu
la
b ie n ,
) ,.
c o m o
tr a n s f ig u ra d o
d e
9 7
lò g ic a
A ris tó te le s
S ó c ra te s
e je m p lo
( n
d e te n id o
m á s
y
la
s o c rá tic a ;
q u e
n in g u n o
re g la :
a b s u r d o
h a b ía
e fe c to ,
to m a
tr a d ic ió n
o b s e rv a c ió n
la
d e
re la c ió n .
c o m ú n
d e s d e ñ a la
q u e
d e
tr a n s f o r m a d o
m a te m á tic a ;
b io lò g ic o
d e c ir
la
s e n tid o
h a b ía
d u c c ió n
es
n o c ió n
to d o
d e
r i g e n
v a lid o c u a l
L a
lím ite s
1 3 5 7 b
U s e n e r,
e sc e n a q u e
el
tie n e se p a -
2 5 .
1. d u e ñ o s
d e
su s
c la s e s
m a la s .”
sí
m is m o s c o n
R e c u e r d o s
w is s e n s c h a ftlic h e n
p u e d e n
o b ra s d e
y
S ó c r a te s ,
A r b e it ,
e x a m in a r
p a la b ra s , IV ,
5 ,
P re u s s is c h e
la s
p u e d e n
c o sa s
m á s
e le g ir
la s
1 1 . J a h rb ü c h e r,
1 8 8 4 ,
9 8
L a s
r a n
d e
ta s
( 15) ,
lo s
y
A
lu e g o
u n a
a n im a le s
c a b e
la b a c e ra .
u n
g é n e ro s
la
d o .
E n
lo s o fía . le s
p a p e l
u s u a le s
u n a su s
y
p a d re
a
su
b ió lo g o
d e
in d iv id u o s
m u lo ,
d e
A h o r a
d e
e d .
)
( l s ) la s
m á s
( 1 9 )
la s
jó v e n e s
u n a
la
la
c a
p la tó n ic o s
p la n ta d e
lo s
p la n
a
r e d o n d a ,,
S ic ilia
jó v e n e s
a lte ra c ió n ,
re to m e n
q u e
n o
c o n
le
m
u
d e te rm in a c ió n
d e
d e
lo s
v e z
¡ M
C fr.
e n
se
y
5 1 3 a P a u l
c o sa s
c o n fu s a s .” I b i d .,
1 8 4 b
la s
la
c la s e
a
m á s
p u e s
el
la s
la
f i c u a
( 18) .
P a n e
lo
o p e ra
se
lo s
q u e
u n
m e n o s
c o m o
s e p a ra b a n
F r a g m e n to s
d e
lo s
u n
o
d e
c u a l e sp e
p e rc e p c ió n . c u a le s
n a tu r a lis ta el
o
ta l
la la s
su
s e rv ir
tr a b a jo
e n tre
a
p o d r á
d e
d e
es
s o n
h o m b re s
m u lo
tr a ta
C o n s id e re m o s
n a tu ra le z a ,
q u e
d is tin g u e n
u n
c o m u n e s
g e n e ra l
c o sa s
a n im a le s
q u e
a n
c a p ítu lo
d is tin c ió n
to d o s
v e m o s
d e l
fó rm u la s
p rim e r
b ie n
h e c h o
lo s
A ris tó te le s
n o s o tro s
c u y a
a
e s p e c ie s
p la n ta s .”
5 1 2 b
lo s
p a ra
ta rd e
q u e
p r o p ia
e n la s
la
la s
c o m p le ja s
lla m a r
v e z .
c o m o
d e a
d e
m u c h a s
s ó lo
su
e s c o la rc a s
re to m a
c o n
el
a h o ra sí
ja m á s ,
d e
ta re a
d e
1 8 5 5 ,
m á s
e n
le n g u a je
p o s e s ió n
d ic e
p a rte s ,
c o n d ic io n e s
d iv is io n e s la
la s
c o n o c e m o s
E l
p ro c e s o s
d e s ta c a
c o sa s
p o r
s a b e r
la s
lo s
n e ta m e n te ,
q u e
lo s
h a
m a te m á tic a ,
re s p u e s ta
se
D e c im o s
a g r u p a n
es
e s tá n b u s c a r
e je m p lo
la
v id a
p o e ta s
cé-
a n im a l, c ó m ic o s
1 3 .
3 5 . T a n n e ry ,
P h ilo s o p h ie ,
" L a s
a
in d iv id u o s ,
e in e k e - B o tb e ,
d e r
s in
c a b a llo .
re s p o n d e
á rb o le s
I b i d .,
o
q u e
a q u í
p a r tid a ;
s a b e r,
u n a
lo
c o m p re n d e
e s p e c ie s .
la
q u e
la
v iv o s . L a
p e n s a m ie n to ;
H e
a
c o n tra d ic c ió n
m a m á ;
( 10) .
c u a l
;
m a e s tro ,
g e n e ra liz a c io n e s
f ija r
seres
c o m ie n z a n
c o m o d e
d e l
se rá
e n
s o n
m u je re s
d e l
A ris tó te le s
la s
d a to s ?
a n te s
p o rq u e
" H a c ie n d o
G e s c h ic h te
s o n
e s tá
n iñ o s
e s p e c ie s
( iß )
d e
m é d ic o
s u s titu y e
lo s
m á s
F ís ic a ,
u lte r io r
c ó m o
( H
la
la s
o
(1 5 )
a
a p a re c e
to d o
p u n to
ta l
fre n te
p rim e ro s
n o s
lo s
g r ie g o s ,
es
m e n o r
h e re n c ia
f o rm a l
( 17)
q u e
b ie n ,
d e
la
p ro c e d e n
d o c trin a
re p a rtid o s
c a te g o ría
lo s
u n
o
e n c u a d ra r
b a g a te la s ;
q u e
n a c ie n te
q u e
ló g ic a
m a d re
q u e
e sas
la
to d o ,
a n te s
c ific a c ió n
la
la
L o s
a
c a b a llo ,
b u r la
S in
la
v is ta
to d a s
y
á rb o le s
d e
d e s p re c ia d o ,
p rim e ra
e l
d e
d e
a
e s fu e rz o
p a rte s .
p a p á
á t i c a
h a r á
c a la b a c e ra se
c o m o
h a b e r
lo s
lib ro
e s p e c ie
p a rte
d e
d e
q u e
s e n tid o s u n
la
d is c íp u lo s
re c u rre
d e
lo
p rim e r lo s
c e s ita
a l
y
lo s se
s ile n c io
e s to ,
b io lo g ía
s o n
a p a re c e r
to d o
d e l ra
la
c e n tra l,
¿ C u á le s
te
su s
E s a
el n a tu r a lis ta
m á s
e l
a t e m
d e
g é n e ro
p re s e n te .
p a re c e n
L ic e o
E l
p u e d e
a
■—
el
q u é
s ig u e
O id o
e s tá
p id e
A c a d e m ia
d is c ip lin a
g é n e ro s
e n
m
( 16) .
4 2 . d e
lo s
f i lo s o f í a
in v e s tig a c io n e s
P la tó n
d u lz u r a ,
lo s
la
d iv e rg e n te s :
á r b o l.
e s ta s
re s p o n d e n :
v iv o s ,
p r e g u n ta
re s p u e s ta s
c o n s id e ra
d e
p re g u n ta rs e
e s ta
h ie r b a ,
c h a
e ta p a s
t.
q u e F ís ic a ,
1 2 .
S u r
V I,
u n
p o i n t
1 8 9 3 ,
p rim e ra m e n te
I,
1 8 4 a
2 1 .
p á g . s o n
d e
la
4 6 8
m
y
c la ra s
é t h o d e
d ’A r i s t o t e ,
A rc h iv
für
s ig . y
m a n ifie s ta s
p a ra
n o s o tro s
la
O
le h r e
d a d o
b re , la
d e l
e n
lo s
c a b a llo
lo n g e v id a d .
titu id o y
el
p o r
m u lo
p re c is a
la
se r
u n
p ro p ie d a d
s e n c ia tiv a ;
d e
es
es
h ie l,
a n im a le s
s in
h ie l
p ro p o s ic ió n
la
u n a
ig u a ld a d
h ie l
la
lo s
y
el
q u e
s in
se
4 3 .- — d e l
( 22) .
L a
c ip io d a d
d e to ta l
c o m o d e
re la c ió n
el
q u e
q u e
q u e
g é n e ro to d o s
c a d a
d e ra r
q u e
se
" lo n g e v o ” , c a b a llo -y
e l
se
a
e n
a p lic a
Ib id ,
in e s s e (2 3 ) es
a
m u lo . C
n o
B
e s
p u e s
tie n e
L u e g o
to d o .
s i
B :
A
L u e g o ,
se
n e c e s a ria m e n te
C A
se
p o r
C
C fr.
n u e s tro
e s tu d io :
Q u a
C
m u lo
d o s lo s
a
a u
to d o s
to d o s
té rm in o s
lo s
d e
la
té rm in o s
lo s
v e z , d e
s e a n d e
d o s a
la
es
d e
a n im a le s el
s in
h o m b re ,
c o n c lu s ió n :
e l
to d o s
S IL O G IS M O
in d u c tiv o d e se
s e rie
to d o . a
a
ló g ic a
d e
e n
s in
el
d e
y
C ,
in d u c c io n e s . lo n g e v o s ” ,
P e ro B
B .” s u m a
y
B
" e l
e l
d e
n o
té rm in o
P r im e r o s
sea
lo s
v e r
h e c h o
d e d u z c o c o n s i
el
m u lo ;
m e d ia n te
e je m p lo :
c o m o
e l
te n e r
h ie l” n o
c a so s
I I ,
se a
h o m b re ,
m e d io
a n a lític o s ,
to d o s
D e l
d e m o s tra r
P o r
p r in
q u ie ra
c a b a llo ,
A
el u n a
tie m p o , q u e
in v e r
p a rtic u la re s ,
e s p e c ie s .
h ie l
sea
e n
e fe c to
v e rd a d e s d e
la
a ris to té lic a
c o n v ie rte
m u c h o
m e d io la s
la
p e rm ite
la
c o n s titu y e
" in d iv id u o s
a p lic a
e n te n d e r
lo s
a tr ib u ir
a n im a le s
a
el
c o n ju n to
e n tre
h o m b re ,
C
y
el
n ú m e ro
c o rre s p o n d e
p re c is o
c a b á llo
v iv a n
té rm in o
y
" E s
e x h a u s
u n a
h a c e m o s
a p lic a
si
e n
;
h ie l
e l
h ie l”
p o r
s e c re to
c ie rto
a sí
p a ra e n tre
d e te rm in a c ió n
c o n c lu s ió n
el
é s te :
e n u m e ra c ió n
e n tre
el
( 23)
d e
es
e s ta b le c e
la
D E L
u n
sea
se
tie m p o .
s in
e s p e c ie s
tie m p o ,
d e te rm in a c ió n
la
a n á lis is
la
q u e
c o n s
e l c a b a llo
A e l
ta m b ié n s o b re p a s a
6 8 b
1 7 .
p a r tic u la r e s .”
2 7 . ( 2 2 )
m o
la s
e je m p lo ,
" q u e
e x te n s ió n , ( 2 1 )
y
B
e n
a n im a le s
d e
a p lic a
e n
la
e s e n c ia l
p ro p o s ic ió n
to d o
d iv id ir
d iv id e
m u c h o
" p o r
A
se
el
es
g ru p o
y
p o s e ía n ,
la
p ro g re s iv a
p o s ib le
lo s
u n a
v iv e
(2 0 ) C
es
a s í,
d e fin id a
s ín te s is
a s í
a l
h o m
c o m ú n ,
q u e
p e rm itid o
m u c h o
q u e
a n im a le s
q u e
E L E M E N T A L E S
C o n d u c id o
u n a
e s tá
d e l
el h o m b re ,
p u n to
el
h a y
e s p e c ie s
p ro p ie d a d
g e n e ra l
q u e
fo rm e n
a firm a b a
v iv e n
m o v im ie n to
el
d e
e llo s
o b te n e m o s
T IP O S
lo s
h o m b r e ,
q u e
la s u n a
c o n e x ió n
e q u iv a le n c ia
q u e
h ie l
la
E n to n c e s
m is m a
m u lo ;
d e
a
;
p o r
lo n g e v id a d
el
( 21) .
(20)
n o ta r
P e ro
9 9
lò g ic a
p ro p ie d a d
a s e g u ra rs e
m a te m á tic a ;
a n im a le s
s ió n
la
im p o r ta
p ro p ie d a d
c a b a llo
d e
s u fic ie n te
s in
h ie l.
d e m o s tra tiv o
n e c e s a rio
a n im a le s
e s ta
h a c ie n d o
c o n ju n to s in
la
v in c u la n
lig a r
el
g e n e ra l
h ie l,
n o
e n
a n im a le s
v a lo r
se
e s p e c ie s ,
d e
a n a lític o s
m u lo
p o s ib le
tre s
tie n e n
d e
c o n fe rir
d e l
E s
b io lò g ic o
P r im e r o s
y
esas
r i g e n
d e m o s tr a v e r it, " L a
im p o s ib le
lític o s ,
8 1 a
4 0 .
d e m o s tra c ió n , p e n s a r C fr.
lo
r a tto n e
A r is to te le s
m e ta p h y s ic a m
v im
s y llo g is -
1 8 9 7 . p u e s ,
g e n e ra i
M o r a l
a
p a rte s in o
d e
p o r
N ic ó m a c o ,
lo
g e n e ra l,
m e d io
V I,
d e
1 1 3 9 b
la la
2 8 .
in d u c c ió n in d u c c ió n .”
d e
lo
p a rtic u la r:
S e g u n d o s
a n a
1 0 0
y
L a s
e s ta
c o n c lu s ió n
fre n te
a
to d o s
im p o s ib le n e c e
a l
q u e
to d a v ía
la
to
e n
e v id e n c ia ,
d e
la s
g a r
—
e n
c ie n c ia a
la
d e
a
la
q u e
a b s o lu ta m e n te
n o
E l
le y
la
q u e q u e
e s ta b a
u n a
q u e
v id a
se r
e s e n c ia l
e n
v e z
a c e p
la
in te
v o lv e ría
( 2 S 26) .
d e d u c e
L a
d e
p o
p u e s ta
d e
p e n s a n te ,
d e l
o b je
re h u s a ra
v e g e ta tiv a se
c o m
p o r
f u n d a m e n ta l d e
p e rte h e c h o
e s tá n
te n d r á
v e rd a d
h o m b re
la
q u e
h a y a m o s q u e
ló g ic o
c o n c lu s ió n
p ro p ie d a d
in q u e b ra n ta b le
p ro p ie d a d
m a n e ra
f u n c ió n
in te le c tu a l
u n a
la
ta l
c o n
su
es E s
p ro p o s ic io n e s
a c to ,
y
d e
la
d e s a rro llo
e n
e je rc e r
p o s e a
d o s
el
( 24)
n o
la s
la
y
d e l
m u lo
T o d o s
d e
lo s
u n
e s tá
la
s ilo g is m o
n e c e
v e rd a d a ris to té
re a lid a d
e n
d e
e s tá la
s u
d e
re d
S e g u n d o s
a n a lític o s ,
“ ¿ E n
d if e riría
e x p o s ic io n e s d e s
( 2 6 ) re s u lta
" E l
d e l
s ilo g is m o
e s ta b le c id a s ] .”
d o m in io tie n e
d e
la
t. es
o tr a
P r im e r o s
n e c e s id a d
" n e c e s a rio "
q u e
d e
la s
g ru p o
p a p e l
o
d e
ta l
se
d e l
E l
e s te
d e
la s
d o s
h o m b re , c a d a
g ru p o
re s
p e n s a m ie n to
m u lo .
im a g in a m o s
u n
la
a g re
g e n é ric o ,
d e
tr a n s p o r ta ,
lle g a
ra z o n a m ie n to
p u e s ,
a
u n
g r a
e je m p lo :
h ie l.
h ie l.
p ro p o s ic io n e s
m á s
I,
la s
I, u n
1 1
y
d e
d e
a n a lític o s ,
e s
m á s
“ s ilo g is m o " .
e l
I,
el
c a rá c
P e ro
in d iv id u o ;
s u je to
d e
e n
la
e s ta
c a p ta n
p ro p o s ic ió n
4 2 ,
e l
c u a l,
1 8 . q u e
P r im e r o s
P e ro e l
1 0 0 8 b
A ris tó te le s ,
p á g .
e n
2 4 b
IV ,
e ta fís ic a ,
e s ta b le c id a s ,
a m p lio
m is m o
2 3 . M
1 8 9 6 ,
la s
el
n e c e s id a d .
h a s ta
id e n tid a d
ra z o n a m ie n to
tie n e
m is m a
8 6 a
p la n ta s ?”
T ü b in g e n ,
d is tin ta
ló g ic a
la
c o n c re ta ,
7 1 a
d e
c o n
d e s c ie n d e n
p rin c ip io
A r is to te le s ,
n e c e s a ria m e n te
u n
d e l
se
d e
a
a u n q u e
e s p e c ie s
el
d e s p r o v is to s
ló g ic a
(2 5 )
S y l l o g i s t ik
A s í,
im p lic a d a
e x p re s ió n
q u é
d e
h e m o s p a s o s
o b lig a
la s
p ro g re s o
e s tu d ia r
e s tá n
(2 4 )
d ife re n te s
c a b a llo d e
n o s
s e g u n d a ,
S i
q u e
p rim e ro s
c a b a llo .
e n c a d e n a m ie n to
m a lla s
u n a
e le m e n to s
el
o rd e n
lo s
a ris to té lic a ,
n a tu r a lm e n te q u e
el
a
A ris tó te le s .
d e s p r o v is to
c o n c lu s ió n
m e n o s
ló g ic a
lo s
ta l
c a b a llo s
lo
v in c u la r
s ilo g is m o
e n
c o n o c im ie n to .
B u c é fa lo
la s
d e l
a c a b a m o s
es
v e z
la
in d iv id u a le s
B u c é fa lo
E l
d e
s o n
re s p e c to
d e l
p o r
p a ra
d e s e m p e ñ a
se re s
m e c a n is m o
la
g é n e s is
fo rm a
e s p e c ie s
d is tin g u ir ;
te r ;
to d o ;
c o n fu n d id a s
lo s
n u e v o
es
e x p o s ic ió n
p rim e ra
d e
c u y o
s ió n
s o la m e n te
la s
v e rd a d
es
E s to
e s té n
d e
p e c to
[la s
la
n u e s tra
c a b a llo
u n a
la
o c u rrir
c o n tra d ic c ió n
v id a
b io ló g ic a
fo rm a s
d o
la
c u a l
p re m is a s
4 4
a
n o
d e
q u e
e s c é p tic o s .
(20) .
g u id o
d e l
d e
la
lo s
g é n e ro
re a liz a r
a
- m a te m á tic a
in trín s e c a
d e
irre s is tib le m e n te .
e n
re n u n c ia ría
c o n
lic o
d e l
e s p íritu
im p o n e
d e s c e n d e r
s id a d
f i lo s o f í a
v e rd a d
r a z o n a m ie n to ;
p o n d r ía
lig e n c ia : a
p a r te
n u e s tro se
se
e l
e n
e n
c la ro
ta r la
u n a
la
a rg u m e n to s
ín te g ro . P o d r á
e n
p o n e r
d e
a p ro x im a c ió n
p re n d id a s
te n c ia
p o se e
io s u n a
g é n e ro
e ta p a s
d e
n 9
1 1 .
v e r
e s ta b le c id a s
e s
a n a lític o s ,
la s D
i e
1.
p o r
la
S o b re
M a 'i e r ,
e l
h e c h o
n e c e s a rio s ilo g ís tic a : I,
4 7 a
3 3 .
c ie rta s d e n o ta r “ M á s
c o sa s, s e r q u e
a sí e l
e x te n
T i p o s
n o
p u e d e
c o n v e rtirs e
a c c id e n ta l ta b le
a
d e n
la s
tra v é s
d e l
n o c ió n
d e
d e l
la s
re p re s e n ta n
h e c h a a
fo rm a
fo rm a s im ita
d e
la
la
a
s ilo g is m o
la
e s p e c ie
p o d e m o s d e
n u e s tra
te
ta m b ié n
s ic ió n
el
in ic ia l
b a jo
u n a
d e la
f o rm a
la
ló g ic a u n
la s
n e g a tiv a : re la c ió n
h ie l
es c a b a llo
p o r
su
d a r
e s to s
d e
d ire c ta
d e el
e s ta r
y
im p lic a a q u í
e s tá
d e l
la s
d e
h ie l;
a c c id e n
la
p r o p o s in
h ie l
p ro p o s ic ió n p r o v is to
g é n e ro la
in
a c c id e n te
p o r
esa
q u e
a tr ib u id o
p o r
a
p re s e n ta
o tra s
a n á lis is
a n im a le s
c a b a llo
( 29) . D e
d e l
H e m o s
N in g ú n
n a tu ra le z a ,
q u e
r a z o n a m ie n to
a lg u n o s
e l
( 28) ,
d e s p ro v is ta
o
ló g ic a lle v a
v in c u la
s e ñ a la re m o s
e s p e c ie
e x is te n
n o r m a l
s u je to
la
s u s ta n c ia s q u e
q u e
a trib u irs e
a sí
o rd e n p o r
m a te ria
p a s a je
c o m o
p u e d e
la
la s
a ris to té lic a
g iro
el
u o r
in te lig ib le s
e s e n c ia
tra d u c id o
e n
d e
re la
re c ip ro c id a d :
fo rm a s
n u e v a s
d e
e je m p lo s :
T o d o
a n im a l
s in
h ie l
A lg ú n
a n im a l
s in
h ie l es c a b a llo ;
A lg ú n
c a b a llo
v iv e
la
h e m o s
d e
q u e ,
esa
p ro p o s ic io n e s .
c u a l
sí
d e
s e n s ib le
es
o p e ra d o
p a rtic u la r id a d :
e x c lu s ió n
p o d e m o s
e lla
c a b a llo ;
a n im a l c o n
c u a le s
;
esa
a l
to d a v ía ,
la
( 27)
c o n
el
e x p re s a d a
c a b a llo s
d e
in m
q u e
c a ra c te re s
c o m o
m a te ria
e s e n c ia l
se r
lo s
u n id a d
e s e n c ia l
s u je to
e s tá
to ta lid a d
o jo s
a
d e
d e
p u e s
n o ta b le
q u e
la
c o m p le ta m e n te
p e rm a n e c e
R e s u lta
esa
h a
p ro p ie d a d
f o r m a
d e
o
se
p ro p ie d a d
b ie n
c ió n
la s
c u a l
a c c id e n te ,
tr a n s f o r m a m o s
n in g ú n
la
la
h ie l,
a
y
la
d e
d e d u c tiv a
esa
O
y
es
re c u rrie n d o
p ro p ie d a d
c a b a llo s .
n u e s tro s
in trín s e c a ,
p ro p o s ic ió n ,
c o n
se rá n
c a b a llo
la
c a b a llo
a
ú ltim o ,
p o r
lig a z ó n
to m a r
d e l
a b s tra c ta s
P o r
v u e lc o
s e n s ib le s .
to ta lid a d
e s p e c ífic a
e v id e n c ia
in v e rs ió n
d u c tiv o a
d e
u n
101
o
c u a lid a d e s
e s p e c ífic a
la
g e n é ric a s
—
e s p e c ie
v e z
c u a lid a d e s
4 5 . u n a
la
o fre c e n
n o c io n e s
a q u e lla s
a
la s
c o n fo rm id a d
fo rm a
e s p e c ie
se
E s ta
d e
es
u n a
s ilo g is m
p o r
d e
m o d ific a c io n e s
L a
d e
s in o
s u b s tr a t
p re s e n ta
la
q u e
e n t a l e s
a tr ib u to el
c o sa s.
c a b a llo
re a lm e n te .
se r
d e
la s
in d iv id u a le s
e n
id e a s ,
s ilo g is m o
o b je tiv o
q u e
d e
e l e m
v iv e
m u c h o
m u c h o
tie m p o ;
tie m p o
( 3 0 31)
b ie n :
N in g ú n B u c é fa lo B u c é fa lo
(2 7 ) V II,
1 0 4 5 a (
28)
" L a
a n im a l es
u n
n o
es
m a te ria
c o n
u n
es
e s
a n im a l
c a b a llo ;
la
u n a
c o n
h ie l
in te lig ib le
( 3 ;1 ) .
y
la
q u é
d e
o tr a
s e n s ib le .”
M e ta fís ic a ,
3 3 . " P o r q u e
lo s
(2 9 )
P r im e r o s
a n a lític o s ,
(3 0 )
Ib id .,
2 8 a
1 0 .
(3 1 )
I b id .,
2 6 b
3 4 .
1 0 3 4 a
h ie l
c a b a llo ;
s ilo g is m o s
p a r te n
d e l
3 2 . I,
2 5 a
8
y
2 7 .
u n a
c o s a .”
M e ta fís ic a ,
V I I ,
1 0 2
L a s
A s í,
p o r
( 32)
d e l
ta s ”
el
e ta p a s
m e c a n is m o
e q u id is ta n te
( 3S) ,
n e ra l
e n
c a so ,
el
e n
lo g is m o
p rim e r la
se
te o ría
p re s e n ta
4 6 .
— e n
lo s
e s tu d io s , d e
la
es
d e
d e
s u fic ie n te
a ris to té lic a
la
d u r a r
p o r
d e
la
c o n
y
m é to d o
e s p e c ífic o q u e
p a r tic u la r , la
e n
se
e s tá
la s
a l
le g is la d o r
la
d e b e
m e n o r .
le y
d e
u n
d e
le
E l
d e
la
E n
d e
u n o
ju s tic ia
d e l
el
y
c a so
d e el e n
d e
(3 2 )
P r im e r o s
I 3 3 )
C fr.
( 3 4 )
S e g u n d o s
I b id .,
e l
s i
h e m o s
d e
m a n
n u e s tro s h is tó ric a
el
p a r tic u la r ;
d e
la
u n
d e
p a s a
d e
p re v é
a
ta l
el
v e re d ic to
a
la
A ris tó te le s .
E l
a f irm a
la
es
la
d e l
a l
c a so q u e
d e
lo s
d iv is ió n
E n
e fe c to ,
a rtíc u lo
ju r a d o
in te rv ie n e n
s e n te n c ia
e ra n
ta l
ju ic io
to d o
la
d e d u c c ió n
p u n to
c o rre s p o n d e
u n iv e rs a l.
q u e
u n iv e rs a l
p a ra
la
e n
e x p o n e n te s
u n
m a y o r e s ;
d e
q u e ,
to d a
lo
s ilo g is m o ;
d e
h a b r ía
c a rte s ia n a .
p re p a ra to rio s
c o m o
in
f u n d a
q u é
c la s ific a c ió n
im p o rta n c ia
q u e
la
s is te m a
h a b e r
c rític a
p a rte ,
C rim e n s u
y
o tr a
la s
filo s o fía
o n to lo g ia ,
p a s o s
n o r m a l
d e l
la
d e l
e s ta b le c e
c u lp a b ilid a d p a ra
v in c u la r
c o n c lu s ió n
v iv a
a c c ió n .
la
s ilo g ís tic a
e n c o n tra r
m is m o ,
q u e
d e l
fo rm a
q u e
C á m a ra
c a so
la
u n a
d e l tr a b a jo
u n a
in te
;
q u e
le n g u a je ,
to d a v ía
f o r m u la r
e n
la
lo s
F ra n c ia
s ilo g is m o
e n
y
s itu a c ió n
a
d e l
d e
P o r
le y ,
e n
e fe c tiv a
e x p re s a rs e
é x ito
u n a
c o rre s p o n d e
s ilo g is m o
s o la m e n te s a r
el m o ld e
d iv is ió n
g e n e ra l
b io lo g ía .
e n
la
v in c u la d o s
y
a ñ o s
a
m a g is tra d o s
la
c ie n
s u b o rd in a
p ro p o s ic io n e s
c ó d ig o
la
g e
p e n s a m ie n to .
re a liz a r
s o la m e n te
c o n s e rv a rá n
d e
d e l
s o n
( 34)
p ro s e c u s ió n
a d v e n im ie n to
v a c ia d a
o rg a n iz a c ió n
d e
d e
d e
p ro c e d im ie n to s
b o tá n ic a ,
c a so ,
c ie n tífic o
u n
sea
F O R M A L
la
m a rc o s
e x a c titu d ,
lo s
a lre d e d o r
c rím e n e s u n a
lo s
la
a
c o m ú n
e l
s e g u n d o y
o c u p a
c o n c lu s ió n ,
u n iv e rs a l
rig u ro s a m e n te
a d e m á s ,
n a tu ra le z a ,
h a c e
lo s
s e n tid o
h a s ta
m ira d o s
p rá c tic a
y
d e l
el
“ im p e rfe c
n o
a lc a n c e .
o fre c e
d e
u n a
L Ó G IC A
ú til
fo rm a s
m e d io
c a ra c te riz a r
su
n o
s ig lo s ,
z o o lo g ía
p a ra
s a c a r
d is tin to s
e n
a c a b a m o s
e ra
a p re c ia r
d e
a lia n z a
re fle ja ,
c ie n c ia
p a ra
v e n ta ja
q u e
q u iz á
L a
c o n c e p to s
E lla
q u e
lo
la s
o b te n e r
L A
á t i c a
té r m in o
in s tr u m e n to
e x p o s ic ió n d e
a t e m
“ p e rfe c to ”
D E
y
m e n ta d o
d e
P R O B L E M A S
L a
el
a firm a tiv a
el
m
c o n v e rs ió n ,
q u e
s ilo g is m o
c o m o
lím ite s
ló g ic a
la
e n
in c a p a c e s
s ilo g ís tic a
a p re c ia b le
f i lo s o f í a
d e
sea
d e l
L O S
te n id o
la
ra z o n a m ie n to
lu g a r
g ra d a s
d e
e s te
a n te
c ie rta s
a n a lític o s , 2 5 b
es
é x ito
I,
p u e s
te la s
2 4 a
in d is c u tib le .
d e m a s ia d o d e
S e
c o m p le to ,
R a fa e l
u n o
e s tá y ,
te n ta d o
c o m o
re p ro c h a
a l
a
p e
p in to r.
1 3 .
3 5 .
a n a lític o s ,
I,
7 9 a
2 3 ;
c fr.
S e g u n d o s
a n a lític o s ,
I,
7 1 b
1 8 .
L o s
la
a d m ira c ió n
g e n e ra c io n e s u n a c e b ir
id e a l
s im ila r
s o b re
tic o s . s in
e x c e s iv a
u n
a c titu d
la
S e g ú n
s o b re
te
p r o p io
p o r
el
e v id e n c ia e llo s
n o
la
d e
c o n
re c la m a b a n n o
h a c ia
a d e la n te
u n
s o lo
p a s o
h a c ia
q u e
lo s
L a
ló g ic a
se
d e
p a rte
ó rd e n e s
se
le s
la
4 7 .
—
e s p íritu ,
d e s d e
m is a s s e n y
lo s
p á g .
d e l
o rd e n
o jo s
d e l
A c a d e m ia 1 7 ;
" L o s
(3 8 )
d e l
p a rte
ta n to
to d a s
p a r
to d o
la s
e n
c a so
d e
h a c e r
a
h a c e r
q u e
o tra
u n
a
tr a ta
lo s
lo
s ig lo . d e
c u a lq u ie r
la s
c o s a ;
d ife re n te s
e x p e rim e n ta l
ló g ic a
ín te g ra m e n te
p o r
ló g ic a ,
d e
m é to d o
la
a
a p a rie n c ia s ,
m á s
p ro p io s el
re n o v a b a
e x p re s a ,
g e n e ra l
q u e
o tr a
o b lig a d a
d e m o s tra r
y
o b ra
m e jo r
q u e
p ro fe s o re s
m é to d o s
la
s o n
a l
n ú m e ro , S e g u n d o s
g e n e ra l
p o r
la
E n
t.
I I I, d e e s tá
la
a
la
ló g ic a
d e l
a q u é llo s
m a g n itu d .” I ,
7 ;
a c u e rd o
7 ;
d e
tr . y
d e
P a c a u d , e l
II,
9 lb
d e
B a rn i,
1 9 0 5 ,
p á g .
p e n s a m ie n to
c u a le s
[p ro c e d e
é s to s
a n a lític o s ,
I,
S e g u n d o s
la
d e
d e l p re d ie
té rm in o s q u e
1 2 . ( 1 7 8 7 ) , t.
I,
1 7 . A ris tó te le s '
c o m o ,
2 7 .
a n a lític o s ,
e d .
1 8 6 9 ,
d e m o s tra c ió n ]
p a rtic u la re s , 8 8 b
d o s
o rg á n ic a ,
e d ic ió n ,
el
h a c e
o rd e n
la s
tre s
v id a
fra n c é s
el
o
s o b re
g e n e ra d o ra , lo s
s e g u n d a
a l
c o m u n e s,
c fr.
d e
e n q u e
a n a lític o s , la
c o n
lo s
S e g u n d o s
7 3 a
e s p e c ie
S e g u n d o s
p á g .
s o n
s is te m a
re g e n te a r
d e fin ir
s ilo g is m o
c o lo c a rs e
v ir tu d
E l u n a
d e s d e
el
a
n a tu r a le z a
s ilo g is m o
y , p o r su
T re m e s a y g u e s d e
d e l
lla m a d a la
n e c e s a rio
p a re c e
P r e fa c io
1 9 0 4 ,
p rin c ip io s
a n a lític o s ,
3 3 .
es
es,
( 3S) .
4 6 a
d e
e fe c to ,
p a ra
A ris tó te le s
P u r a .
q u e
in flu e n c ia
c o n s titu y e
I,
tie m p o ,
c ie n c ia s
p ro b le m a s
se re s v iv o s ,
fra n c é s
a lg o ; la
q u e
d e l
la s
m a te m á tic o .
R a z ó n
d o b le s :
fu e ra
q u e
c o n o c im ie n to ,
d o s
d iv is ió n
d e
a sí
c o n c lu s ió n
B e rlín ,
ta l
a c e rc a e l
e n
ju z g a r
a n a lític o s ,
d e
d e
U n a
p rin c ip io s
e je m p lo ,
la
tra d u c c ió n
p rin c ip io s
lo s
E n
e n
d u r a n te
p a ra
p o r
d e s tin a d a
d e c la ra c ió n lo s
u n a
in d u c c ió n
p o n e r
e s tu v o
s e g ú n
d e
u n a
títu lo
b ió lo g o
c o m o a
C r ític a
( S 7 )
n o
m a te m á tic o
s u s c ita
q u ie re
P r im e r o s
( 8 I3 ) la
m is m o
tre s p ro p o s ic io n e s
(3 3 )
d e
el
se
se u n ie s e n
la s
d e
p e n s a m ie n to
n a c im ie n to
d e
e s tá
q u e
c o n
A n a lí
p o rv e n ir.
n o
c o n s titu id a
s ilo g ís tic a
sí
d e l
a b s tra c c ió n A
d e l
e n s e ñ a n d o
T r a n s p o r ta d a
c o n
la
a h o ra ,
d e s a rro llo
se r.
s ilo g ís tic a .
E s ta
e s p e c ia l, e s tá
d e
la
q u e
lo s
la
e s b o z a d a
m á s
q u e ,
p a rte s :
m é to d o
ló g ic a
s o n
ló g ic a
n e c e s a ria s
tr a ta
E l
A n a lític o s c o n
to m a r
( 3 7 38) .
m a te m á tic a
d e l
q u e
s u b o rd in a ,
s ilo g is m o
la
d o s
lo s
h iz o
ta n ta s
h iz o
d e
o b ra
m a y o ría
c o n tin u a r o n
c ie n c ia .
c o n s titu y e n c u a l
( 36) .
la
q u e
p e rfe c c ió n
la
d e c ir
p a ra e v ita r
la
re e d ita r
m is m o
es
te rm in a d a ?
e s p e c ia l
d e
lo
ilu s io n e s
p la tó n ic a ,
la
a s í
p u e d e
c o m p a ra c ió n
n o
a l
q u e
n o
la s
c o m p le m e n to
p o r
e n
la
1 0 3
a l
f ija n d o
u n o
p o r
a lc a n c e
K a n t,
ra z o n a m ie n to
f o r m
a c o g ió ,
fo rm a l,
( 3* 5 ) , el
a trá s ,
d iv id e
la s
d iv is ió n
y
e n s e ñ a b a n
m a n u a le s
f o r m a s u n a
y
ló g ic a
b e lle z a ,
ra íc e s :
c o n o c im ie n to ,
q u e
la
tra d ic io n a l,
n in g ú n
p a s o
lo
la
d e c la ró
u n
c e rra d a
se d e
ló g ic a
A ris tó te le s
d e l
p a rte ,
la
tu v ie ro n
to d o
d e
A ris tó te le s
c o n c e p c ió n
te o ría
e s tá
q u e
a
o r ig in a lid a d
¿ A c a s o la
fre n te
a p e n a s
s o c rá tic a ,
c o n
a s
a rtific ia l
v ir tu d u n a
m o d e lo ;
p r o b l e m
I I ,
9 4 a
2 4 .
y
p o r
1 0 4
es
L a s
p a ra le la
d e r
su
u n a e n
a
la
e x is te n c ia
g é n e s is .
P e ro
c o n tra p a rte , to d a s
d e s
su s
e ta p a s
p ro p o s ic io n e s .
el
S i,
p o r
c io n e s
q u e
p re n d ié n d o la s
tific a c ió n m á s
d e
lá s
ra d o
d e
la
ló g ic a
Q u ié ra s e
c il
d e
d a r A ,
la
d ic e
h a n
se
q u e ,
la
c la s e
( 42)
B ,
o
q u e
e l
e l
a s id e ro
a
a c u s a c ió n
la
( 43) .
( 3 9 )
" L a
c o n d ic io n e s .” (4 0 )
e l
V I I I ,
" P o r
g ú n
o tro
m e r o s
m e n te
p o r
q u e
(M
a ie r,
se
(4 3 ) o b .
es
d e s
s ig .,
a n te rio r p a ra
u n o
y
v e rd a d
q u e _ha
p re p a -
a
la
c o n
n o s o tr o s
q u e
m á s
e x p re s ió n
p e n s a d o re s
A
d if í
c o rre c ta
a
d e
e n
a
ló g ic a , p a r te
A ?
c o n
lo
d e
d e
q u ie n e s
la
fo r m a n
m e n o s
n e c e s a ria ,
lo s
b ie n ,
la
ta n to
e x te n s ió n -, a l
d e
O
u m v e r s a lm e n te
lo s
d e
E n
el
q u e
d a
p e tic ió n
d e
c o m p r e n s ió n ;
s in o
n e c e s a ria
y
6 8 b
A rc h iv
S to ïc ie n s ,
y
É tu d e s ,
m á s
n o s o tro s
I I ,
a n a lític o s ,
d e
h i re c
d a d a s
se
ta le s
3 2 .
lo g iq u e
y
e s to
p ro b le m a s
o
e lla s
c u rio s a
e s p íritu
q u é
in te r p r e ta
s e n c illa m e n te
e n
n e c e s a r ia m e n te
e n
se
q u e d e s
s u
p a ra
a fir m a
lo s
v ic io s o
3 0 b
el
o rd e n
to d o s
p e r te n e c e
c a so ,
I,
4 5 6
p e ro
se
q u e
m á s
c o n o c ib le
es
3 5 .
m á s
C fr.
f ü r
2 2 4
p i g .
e l
y
s ilo g is m o
e v id e n te
e l
I,
F ís ic a ,
G e s c h ic h te
d e r
s ig . q u e
q u e
1 8 4 a
p ro c e d e
p ro c e d e
1 6 ,
y
p o r
T ó p ic o s ,
4 .
1 9 0 0 , la s
" p re d ic a r
d e l I,
a n a lític o s ,
" A trib u y a s e lo
n a tu ra le z a
e je m p lo
e n c u e n tra n
L a
p á g .
m e d io ,
" D e c im o s
T u b in g ia ,
es
a n a lític o s ,
1 8 5 2 ,
P r im e r o s
1 5 6 a
(4 2 )
n o
B
d e
re la
( 41) .
lle v a
s a b ría m o s
la s
m is m a s ,
a ris to te lis m o ,
g e n e ra c io n e s
c írc u lo
v e rá e n
c o n s id e ra c ió n
in te rp re ta
s e g u n d o
B ro c h a rd : V ,
té rm in o
in d u c c ió n .” t.
t.
se
d e
el
c o n c lu s ió n
C fr.
(4 1 )
E n
P r im e r o s
P h ilo s o p h ie ,
p o r
s ilo g is m o
B
y
e n
d e
d e
q u e d a sí
in d u c tiv o
ese
re a lid a
e x c e so
c o n te m p o rá n e a . d e l
A ris tó te le s ,
c a r á c te r
c a so
n o
s ig n ific a
le
g e n e ra le s
d e
d e
e sfe ra
p o r
a n tic ip a
a ris to té lic o
la s
n o
tie n e
d e s a rro lla rá
e s te
la
e s to ic o s
a n á lis is
p re m is a .
d e
¿ e s to
p r im e r
p rin c ip io
e l
s u p e ra r;
p e ro
d e
p re m is a s
ló g ic a
c o m p re n
g e n e ra lid a d
ju s tific a rla s ,
la
e lla ,
la
d e s p u é s
p re g u n ta d o :
c o lo c a d o ,
lo s
y
je ra rq u ía
d e s e rta r
la s
re g re s iv a ,
s in
a c e p ta rá
u n a
d e
s ilo g is m o
re c h a z a
p ro p o s ic io n e s
d e
d e l
ló g ic o
e n _ e l_ m a rc o
p ro p u e s to
m e d io
d e
( 40) , o n e
el s ilo g is m o
c u a n to
d e
h e c h o
d e
el
o rd e n
d e
p u e d a
q s
la s
u n iv e rs a lid a d
p re o c u p a d o ,
h a n
q u e
in d u c c ió n
h a b ía
el
e s tá
s o lid a ria _ £ Q n
n o ,
la
a l
e x c u s a
h a b ía n
á t i c a
d a
e s c o lá s tic o
a ris to té lic a
d e
A ris tó te le s
se
lo
ín d u W
se rá
o
d e
e v ita r
a
se
a t e m
q u e
e x is te n c ia
d e s c u b rim ie n to s
p re m is a s
y
m
in d e p e n d e n c ia
c o n s id e ra rá
to d o
l a ~ c o h c e p c i o 'n
A ris tó te le s
la
si
b ie n
e n to n c e s
s id e ra c ió n
re a lis m o
( 89) , c o m o
p re c io s o s
q u e d a m o s
O
d e
p u ra s
c o sa s
n e c e s a ria m e n te
a lte rn a tiv a .
p ó te s is
la s
c o n s ig u ie n te ,
d o g m á tic a ,
la
f i lo s o f í a
c o rre s p o n d ie n d o
im a g in a c ió n e n
la
p re te n d id a
c o n s e c u e n c ia s :
tra s c e n d e n te s
u n a
d e
e s ta
q u e
d e
s u je to
2 4 b
p á g . d o s
1 3 ,
A
L a c it.,
a
to d o
a l
n ?
s in B ,
y
p rin c ip io ,
o b je c ió n t.
P o r
II,
q u e
p á g .
1 ,
d e l
o tr a 2 ,
e x p re s io n e s
id e n tific a d a s
d ijo
2 8 .
u n iv e rs a lm e n te ”
a c e rc a
c u a l
p a rte ,
la
c o m o
a firm a tiv a
" a tr ib u ir
d e
m á s
e x p lic a c ió n
B
a lg u n o s
a
A ris tó te le s 1 7 3 ,
1 )
h a c e
y
s i
o tro
n o ta r se
d e
y
c it.,
to d o ” , I,
q u e 2 6 a
u n iv e rs a lm e n te ”
H
P r i
I I ;
se 2 3 : es
C .”
e n sa y a d o la s
n in
in d ife re n te
a n a lític o s ,
a lg u n o s
d e s d e
o b .
tra d u c e
“ p re d ic a r a
to m a r
té r m in o .”
M a ie r,
" p re d ic a r
a trib u y e
c lá s ic a
p o s ib le
e l
P r im e r o s
v is lu m b ra d o es
es
u n iv e rs a l
lo s
se
n o
p re d iq u e
lo
lu e g o , A
h a b ía n 9
c u a n d o se
to d o ” e n
C ;
n e c e s a ria m e n te
p á g .
n o
d e
p re v e n ir
i p o t i p o s i s
p ir r o -
L o s
fu n d a
s o b re
a c e rc a rse r itm o
in h e re n c ia
ta n ta
fo rm a
d e b a te d e
la
es
in d u c c ió n
c u e n c ia s
v ita l;
es
y
b a jo
u n a
d o s
e n
in d u c c ió n
c ie ,
el
la o tr o
s u m a
d e
q u e
el
re v is ió n
es
ig u a lm e n te ,
p ia m e n te
p a rc ia l la
a s í
u n a
e n
d e
d e
d e
u n
n o
a lg o
d e
d e l
E m p iric u s , c o m m e
e r>
ló g ic a
a lg o rítm ic a
fu n d a d a
so b re
c o n s titu irs e
s in o
d e
( 4 5 )
j
la
e x te n s ió n , q u e
p u n to
u n a
q u e
II,
9 2 a
d e
v is ta h a b e r
la y
a sí
to d o
d e a
v ín c u
u n a
m i
p u e d e
lo
a llí
E x is te
p a rtic u la r,
e n
lo s
c o m ie n z o
1 0 2 .
d e
lo
p r o
“ h o m b r e ” ,
el
V e r
p e p r i
d e
la
V a ila ti,
L a
M é ta p h y s iq u e ,
d e
la
y
1 8 9 8 ,
s o b re
c o n s id e ra c ió n c a so s
n o
p á g .
r ig u ro s a )
n o
c o m p re n s ió n ;
a s e n ta rs e
d e
1 9 0 1 ,
L e i b n iz ,
e x a c ta
v a g a
q u e
es u n p a r a
im p lic a d a
d e
tra v é s
a q u e llo
n o
e s p e c ie
1 3 5 .
ló g ic a
u n a
n a tu r a l
c a b a llo .
d e
p á g .
u n a
in d u c c ió n
e n c u e n tra
d e l
R é v u e
o tr a
a
c a b e z a ,
e fe c to ,
1 8 4 2 ,
p á g .
h iz o
s u s c e p tib le
e n
lo g iq u e
la
in d u c c ió n
la
n o
lo g ró
c o n s id e ra c ió n
m a te m á tic a .”
p a rtic u la re s
c o n te n g a
3 8 7 : p u e d e
u n
c a so
q u e
s o n
d if e r e n te .”
3 7 .
a n a lític o s ,
A ris tó te le s ,
p o d r ía
e s
L a
s u
a te n to
m u e s tra
r e c h e r c h e ,
1 9 1 1 ,
d e
e je m p lo ,
B e k k e r,
p o r
P e ro
e s p e c ie
e s e n c ia le s
lo
L a
B u c é fa lo ,
s e n s a c ió n
c o n fu s a é l
la
h e c h o
c o n s id e ra
p ro c e d im ie n to
y
u n a
c u a n d o
m e rc e d
la
c o
es
D e
e n
d e
g ra e sp e
g ra d o s
( 45) .
p e z .
fo rm a
p o r
su m a ,
p o rq u e
ú n ic a
h a c e
la
la
a g o ta d a ,
s u p e rio re s .
“ S ie n te ,
d .e
C o u tu ra t, e n
el
o b s e rv a d o r
E s ta
F lo re n c ia ,
d e c ir,
B o o le ,
d e m u e s tra
d e
(e s
el
e d .
e n t
d e
fo rm a c ió n
a
d o s
a
g é n e ro
to m a r
d e
c o n s e
e x p e rie n c ia s H a y
re s e rv á n d o n o s ,
in tu ic ió n .
q u e
su s
eso s
E l
a p a re n te s ,
es
la
c o m o
1 9 6 ,
c o n s id e ra c ió n
c o n
S e g u n d o s
in te n c ió n
y
p a rtic u la r,
a n a lític o s ,
( 4 6 )
n o
la " F
m a n ifie s to s ,
e l
e n
d e
d e
e s tá
es
c la s e s
ó rg a n o s
( 46) .
I I ,
h ie l
e l in d iv id u o
u n iv e rs a l,
i n s t r u m
L e ip z ig
S c r itti,
la s
p a ra
m á s
p e n s a m ie n to
S e x tu s
y
d e
la s
e n u m e ra d a s
d e fin ic ió n
u n iv e rs a l: lo
s in
s o n
a n a lític o s
lo s
u n o
la
re s p u e s ta e n
in d iv id u o
d ife re n te .
c o n o c id a s ,
b u e y ;
C a lía s
y
S e g u n d o s
lo d e
c a d a
e x c e p c io n e s
e n tre
y
d e l
s o n
a lg u n a ,
u n
v a
o v íp a r o s ,
n u e s tra
la
a q u í d e
a
s ig n ific a c ió n
d e l s ilo g is m o .
s o n
la s
d irig e
d e
es
(4 4 )
e x c lu s iv a
se
a
re fe rirs e
la
p u n to
d u a lid a d
q u e
m u lo
in d iv is ib le
d é d u c t i v e
6 8 5 ,
" P u e s
n o
la
y
ese
tra d u c irs e
a n im a le s
y
n o s
re la c ió n
h o m b re
p a s o s
é t h o d e
q u e
d e
a c to
q u e
lo s
p e c e s
c a ra c te rís tic o s
d e l
n ia n a s
la
u n
s e n s a c ió n
m e ro s
d e
fo rm a
s e n s a c ió n
la
n o
d e s d e
rie s g o
s in
e x a m in a r
s o b re
u n o
fo rm a c ió n
a p a rie n c ia
ra s g o s
la
a
a lg e b ra ic o
s o lu c io n a rlo
n a tu ra le z a
P r im e r o s
la
d ic h a :
lo s
s e r
105
a l
c o n c e p to s
s in
v e r
g é n e ro ;
d e
e lim in a r
lo s
p a ra
in m e d ia to ,
p e ro
a
d e
n e c e s a rio
te n e r
lo s
a
e x p líc ita
h o m b r e
c o n v e n ie n te
e n u m e ra tiv a
" L a
lo s
e l n a c im ie n to
a l
c la s e
e s p e c ie s
y
ra d a
la
d e re c h o
b ie n ,
v a m o s
f o r m a
e s p e c ie
to d o s
la s
y
a ris to té lic a :
c a b a llo ,
to d a s
p á g .
f o r m
a l rig o r
e n s a y a r
A h o r a
o p e ra c ió n
e s p e c ie s ;
a f irm a r
m
d e
p re m is a s ,
p re s id id o
la
u n a
e s p e c ie s
p a rte ,
h a n
d e
rre s p o n d e
ro
ló g ic a
e x a c titu d
la s
p re v ia ?
q u e
lo
o
¿ c ó m o
d e
c o m p le ja ,
b io ló g ic a s
c ió n
la
c o n e x ió n
fa c ilid a d
a d q u is ic ió n
A ris tó te le s
la s
y
d e
( 44) . E l
d e
la
c o n
- p r o b le m a s
p e ro
1 0 0 a a
p s ic o ló g ic o . s e n s a c ió n
16.
L a
c o n d ic ió n E l d e
te x to lo
tra d u c c ió n d e
d e
n o
d e
b u s c a r
P r im e r o s
u n iv e rs a l” .
S e
re s p o n d e
s e n s a c ió n
u n a
in te rp re ta c ió n
a n a lític o s ,
tr a ta
d e
8 8 a e se
2
es
a
lite ra l fo rm a l:
s e n tim
ie n to
10 6
L a s
F ís ic a ,
es
rá c te r q u e
la
d e l
A ris tó te le s
v ín c u lo
ló g ic a re c u rrir
a
P e a n o
q u e
■—
h a
d a d o
p a rtic u la r,
la s
d e
sea
p a ra d e
se
d e l
a
es
c ó p u la s
u n
re s u lta
o rd e n
lo
h a
c a e s to
el
e le
d e s c rip ta s p u e s to
q u e
c o m p le ta m e n te
in d iv id u a l u n a
s u
p o r
c o m p le ta m e n te
in d u c c ió n ,
v ín c u lo
c o m o
E s
n a tu ra lm e n te ,
d e
re a lid a d
ese
es
c u a l
d e
e x p lic a
u n a
d a r
c o n s e rv a
e s p e c ífic a ,
fo rm a s
s u je to
p e ro
in te le c tu a l.
a ritm é tic o esas
el
s u je to
d e
el v a lo r
u n a
es
o tr o
ló g ic a
p u n to
d e
a l
b ie n ,
u n a
o
u n a
e x p re s ió n
h e c h o
la
ta n
y
la
m e ta fis ic o . d e
a tr ib u c ió n n e c e s a r ia ,
p o s ib ilid a d
( 49)
h a y a
in c lu id o
s u til
d e
in tu i c ió n
a p a rie n c ia
o c u lta
c o e fic ie n te
r e la c ió n
la
a ú n
A ris tó te le s
d o g m á tic o
re la tiv o
a h o ra
d e
s im p le se
la
o rd e n
p re m is a s ;
tic o s ,
S o b re
a
c o n c lu s io n e s
te n e r
el
y
á t i c a
p re c is a ;
u n id a d
n itid e z ,
s ím b o lo s
4 8 .
a
ta n ta
a t e m
s e n tim ie n to
la
d e
el p re d ic a d o
m
c la s e
e x a c ta ,
fe liz m e n te
( 48) .
se
la s
fo rm a d e
d is c ie rn e
C o n v e n d ría
d o s
f i l o s o f í a
u n a
e s p e c ie
d u a lid a d
c o n
s e g ú n
( 4 r) .
la
p ro p ia m e n te
L a
e n tre
d ife re n te
q u e
q u e
p ro c e s o
g e n é ric o .
d e
to m a r
es u n a
in d u c c ió n ,
m e n to
e l
d e
in m e d ia to ,
d is tin ta
p o r
c a p a z
e ta p a s
;
d e
E n
d e l
q u e
p re d ic a d o d e
q u e ,
la b o rio s a
p u ra m e n te
c o n c e p c ió n
e fe c to ,
v e rd a d
el v a lo r
a q u í
y
u n a
u n
e n
a lc a n c e
h a
a l
s u je to o
p u e d e
el v a lo r
P r im e r o s
d e
lo s
d e
a c o rd a d o
h e c h o
lo s
te o ría
el
se
f o rm a l
m u y
a n a lí
s ilo g is m o s
m o d a le s .
i n m
e d ia t o ,
lig e n c ia ] ; p o s ic ió n M
o r a l
a
N ic ó m
s o b re
( 4 7 ) L e ib n iz ;
la s
(4 8 ) a )
b
a
S e a
d o s
d ife re n te s
la
u n a
d e c ir:
d e
s e r
sig n o s
es
d e l
h e c h o
q u e
e se
u n a
d e
n ú m e ro la s
es
d o s
e l e n
%
x
S
es
n o
se
1 3 n ,
e x a c ta ; e s tá n i
q u e
p re c is a m e n te
L o g iq u e $
1 6 ,
to d a e n
q u e a
d e l
[ in te
" ñ u s ”
p rim e ro
e s
la
p r o
[ i n t e l i g e n c i a ] . ’’
ñ u s
c o rre s p o n d e
N
d e
e s ta
u e v o s
d is tin c ió n
e n s a y o s
a
se
s o b r e
la s
—
d e fin i
u s o
d e
la s
a b s tra c c io n e s ;
d e
lo s
in d iv id u o s
s ig n ific a :
" x
e s
u n
e n c u e n tra
e l
q u e
d is tin to s
d e
1 2 ?
o
b
V
d a d o
e n te n d i m
p e ro
a
la s
S e a n
a l’.
q u e
a
=
X S
V
b
=
d e
1 3
se a
d e
In tr o d u c tio n
la
I ,
2 5 a
v ,
es
q u e
x)
e s
e n
i e n t o
m e jo r
e s p e c ie s .”
a
y
b
c la s e s ,
m e d io
u n a
d e
re s to
1 3
A s í,
d e
e je m p lo s
p u e d e
p o n e rs e :
b la s 1 ,
d a rá
P e ro
1
la
d o s se
c o n d ic io n e s ,
p u e d e
p o r
d e d u c ir
re s to ,
fo rm a
s ie n d o
a n á lo g a
b la
to d a
fo rm a
1 3 n
p o te n c ia
fo rm a
1 3 n
p u e d e n
s e r
F o r m u la ir e
1 .
a
p o r
p o r
d e
x $
V,
c ie rta .
a,
1 2 ? n i
au
d e
p o r
v in c u la n .
s a tis fa g a
x)
e so
se a ,
d iv id id o
p o te n c ia
m u e s tra
e llo s
p o r
g e n e ra lid a d ,
a n a lític o s ,
P e a n o a
n e c e s a ria m e n te
to d a
s u
a
d iv id id o 1 3
y
q u e
1 9 .
P r im e r o s
e l
[in te lig e n c ia ]
lo s
n ú m e ro
d e d u c ir
d e
a lta lo
e s te
a
q u e
p o te n c ia
ra z ó n
M a th é m a tiq u e .
p á g . (1 9 )
a u to riz a d o
c ie n c ia ,
p rin c ip io
x £
u n
d e
m ú ltip lo
d e c ir,
m á s
s ilo g is m o
g é n e ro s
ó )
p ro p o s ic io n e s ,
e s
la
ñ u s
o p e ra c io n e s
x) n o
) —
v a lo re s
q u e o
6
lo s
la s
=
1 3 ,
fu n c ió n e l
b ” .
d e
d e
d e
y
la
ra z o n a m ie n to .”
e s c rib e
a
tie n e n
d iv e rs id a d
m ú ltip lo
—
c la s e , a
es " E n
" E l
q u e
I I I ,
V e s
h a y
e s p e c ie s
" to d o
2 5 :
n o ta r
c a p .
8 4 b
d e m o s tra c ió n
n o
h a c e rs e
la s
s ig n ific a : E so s
c u a le s
I I I ,
d e
I,
1 1 4 a
d e s a c o n s e jo
( lib r o
a n o
re m o n ta n d o
la
V I,
a c o ,
D e b e " n o
e n
q u e 3 9 :
in te le c tu a l,
a n a lític o s ,
in m e d ia ta ;
c io n e s ,
h u m
e s a
S e g u n d o s
de
+
1 ;
fa ls a s
1 2 ? la s
a
la
o
1 3 n s e a
d o s v e z .
M a th é m a tiq u e s ,
+
d e
1 , la
p e ro fo rm a
p ro p o s ic io n e s ,
N o ta tio n s T u r in
de
1 8 9 4 ,
L o s
L a c ió n
d is tin c ió n
h u m a n a
e s fu e rz o
d e
m is m o
y a
la c ió n
d e l
c o n s is te rá
su
d e
re a lid a d
se
d e la
ces
lo
y
el
su
s o la
te rc e ra
m e n o r ,
c o n v e rtid o
la
tra n s fo rm a c ió n q u e
p re m is a s .
H a y
d e
n in g u n a
d e l
p re d ic a d o .
te ra lm e n te
d e l
es
d r a g ó n
U n
d r a g ó n
L u e g o ,
d o s
es
c o n v e rtir
n o
e n
u n
su
C fr.
( 5 1 )
S y s tè m e
e n
L a
F ilo s o fía
p á g .
5 6 4 .
lo s
T h e
q u e ,
d e
q u e
e lla
y
es
v e d e
P e ro ,
e n
im p lic a c ió n
q u e
p o r
u n a
d e
d e
n o
la s
s u p o n e
c o n s ig u ie n te
q u im e ra
“ e s ta
es
v ir
d o s
n a tu r a le z a
ill:
lla m a s ,
e n
p re d ic a d o
m a y o r .
s u je to
d ra g ó n
es
li
p ro p o s ic ió n :
in c o n te s ta b le m e n te
p o d e m o s
e x h a la
e x h a la
v á lid o
d e
h a
s a c a r
la s
p re m is a s
lla m a s ;
e s tu d io
lla m a s
c o n
b a jo
M a c su
p e ro
el
s o b re
c o n d ic ió n d e l
M o d a lité tr.
q u e
“ e l
h a b itu a l”
c o n d ic ió n
s is te m a
la
C o ll,
d e
s ilo g is m o ( 52) .
S e
" a g re g a r
le
a
la s
m
a n
p o rq u e
lo s
( 53) .
e s ta
( 1 8 4 3 ) ,
( S1) .
fo r m a
a
e x is te n c ia ”
e x p lic a d o
L o g iq u e
L o g iq u e
(P a r ís ,
E l
c a lc u lu s
1 9 0 0 ,
la
a l
M
e x ig e n c ia s
C o n s id é re
e n
u n a
s u je to
S tu a r t
e x h a la
la
d e
s e r p ie n te ;
in te g ra l
n u e s tro
s y m b o liq u e
1 9 0 0 ) ,
t.
d e s c u b rim ie n to
P ro o c e e d in g s
(5 3 )
el
la s
e l
el
p la n o
s a b ría ,
es
n o se
( 50) ,
el
c o m p le ta .
p o r
d e l
P u r a
a
e n tre
re
e x is te n c ia ;
o tr o
n o
d e
la
a l
d u
n e c e s a ria
s ilo g is m o ,
ju g e m e n t,
fra n c é s
d e
L .
p a ra
es
1 8 9 7 ,
p á g .
P e is s e ,
t.
4 5 .
I,
4 -
e d .,
1 6 5 .
(5 2 ) d e
el
h a y
p re d ic a d o
q u e
c o n c lu y e n te ,
n o
m a rc o
(5 0 )
p á g .
s u je to
a d m itir,
es
ju ic io
S i A ris tó te le s
1 8 9 6 ,
a l
p ro s ig u e ,
s e r p ie n te
p u e s
D a r a p li,
e n
q u e
c o sa
u n a
a lg u n a
p re m is a s
te n e r
u n a
es
fo rz o s o
lla m a d o
p re d ic a d o
lo
m o d a lid a d
la
m e d io
el
d ic h o
d e
b ie n ,
re la c ió n
re a l
d e
d e fin ic ió n ,
té rm in o
el
o c u rrir
d is c u s ió n
la
R a z ó n
A h o r a
u n a
d e
e n
c o n
e s p e c u la
lim ita d o
s ilo g is m o :
U n
S e rá
s e r p ie n te
e s ta
el
e x is te n c ia
h a
la
la
h a d e b ía
d e
a ris to té lic a
ju s tific a d a
a trib u c ió n
lo
d e u n o
y
n o
p u e s to
s a tis fa c c ió n
y
e s ta r
c o m o
el
q u e
se r
el p la n o
ló g ic a u n a
p ro p o s ic ió n o ,
u n a
D e
s ig u ie n te
p u e d e
L a
la
s u je to ,
n o
la
e n
id e a lid a d .
p re d ic a d o
p u e d e
m a n e ra
d r a g ó n
la
ta n to el
P e ro
h a
C r ític a
e x p re s a
e n
c ie rta
la
s ilo g is m o :
d e l
c ie rta ,
c o rre c ta ” .
e n
a p o r ta r
d e l
e n e n
p ro b le m a
c o n f r o n ta r
c o n c lu s ió n
la
e x is te n c ia ,
v e r
d e
fo rm a ,
E l
je ra rq u ía
p ro b le m a ,
fig u ra la
se r.
1 0 7
f o r n a i
g ra d o s .
m o d e rn a
d e l
y
p la n o ese
su s
u n a
h iz o
ló g ic a
s u fic ie n te ,
re fle x ió n y
la
e n te ra m e n te
d e fin ir
d is tin g u ir
p o r
s u je to ,
u n
a
s e ñ a la r
K a n t
o rig in a d a s tu d
la
d e
p a re c id o
a n á lis is
e n
a s
c o lo c a d o
p e n s a m ie n to
m á s
c o m o
h a
h a
c u a n d o
p ro b le m a la
se
p r o b l e m
o f
o f
E q u iv a le n t
C o u tu ra t, p á g .
th e
3 3 5 .
I l l, d e
L o n d o n
e t
M â c
A p p lic a tio n s
p á g .
C o ll
1 5 2 , h a b ía
M a th e m a tic a l
S ta te m e n ts
A lg e b r e
se s
1 9 0 1 ,
( I I ) ,
u n iv e r s e lle
d e
.
e n
R e v u e
s id o
S o c ie ty ,
p á g . M
y
B ib lio te c a d e
p u b lic a d o t.
I X ,
d e l
C o n g re s o
M é ta p h y s iq u e ,
1 3
p o r d e
1 9 0 0 ,
p rim e ra
ju n io
d e
v e z
1 8 7 8 :
1 8 4 . W h ite h e a d ,
R e v u e
d e
M é ta p h y s i
108
L a s
p r in c ip io s s ic a d e
y la
d e
d e s u
e x p re s ió n
q u e
a s í n o
ló g ic a
e n
v e rb a l
d a rle se
e n tre u n a
el
h a c ía
el
b a s ta b a d e q u e
la
f i lo s o f í a
d e
s ilo g is m o
p a ra u n a
m
d e p e n d ie n te s
D e s p u é s
d e d u c c ió n
v a lo r m á s
d e
e ra n
m e ta fís ic a .
c o n e x ió n
c o n v e rtid o
d o
su
e ta p a s
él y
d e
se la
a t e m
h a
ju s tific a r
o sc u re c e r
la
lo s
la s
f o rm a l
la la
y
v e rd a d e ra
d e
ló g ic a
e n
q u e se
p o s itiv a , d e
la
su
f í
in te lig e n c ia
c o n c lu s io n e s ;
a u tó n o m a id e a
p rin c ip io s
b o r r a d o
o n to lo g ia :
rig u ro s a m e n te
c ie n c ia
á t i c a
se la
h a e n
c ie n c ia .
h a s o la
c re í ta n to
C
L A
4 9 . h u e lla
la
E u c lid e s
se
q u e c ía
U n a
p o r
h u b o
y
d e
c ie rto sa s
u n
d e d u c tiv a d e
d e
lo s
a p lic a c ió n
c o n v ie n e e n
b a
a
c ita r
lo s
lo s
q u e
d e
c o m p re n s ió n
la
fig u ra
la s y
y
c o n te n d r ía n
la s
fig u ra s
tra c ió n
( 1 )
I X ,
s o n d e
d e
P a ra
1 S 9 5 ,
( 2 ) tra s b u rg o
d e s
a ú n
c u a n d o
p á g .
y
se
o tr o
v e r
lo s
y
n o
c o m o
es
p a ra
el
la
( 2) ,
a h a
S c h e u b e l,
G e s c h ic h te
e s c ri
la
p r u e
fa c ilita r a te n c ió n ; lo s
a x io
ra z o n a m ie n to
E s
lig a rla s
q u e
É l
in d e p e n d ie n
f ija r
e x is tie ra .
z u r
fo rm a
te s tig o
d e fin ic io n e s ,
J o h a n n e s
A b h a n d lu n g e n
e n
m e n o s
L a
d a n
es
q u e
h a c e n
H e rlin u s
S ta ig m u lle r,
s id o
el
S c h e u b e liu s
p u d ie ra n
c o m o
d e se sp e
u n iv e rs a lid a d
q u e
p a ra
la s
q u e
lo
p a re
c a p a z .
la s
m á s
d e
n u m e r o
tra d ic io n a l.
fig u ra s
d e c ir
fig u ra
q u e
la
L e ib n iz
u tiliz a
es
h a
d e m o s tra c ió n
d e c ir
la s
ló g ic a .
c o n s a g ra e ra
se
d e p e r
m o d e la d o ,
p a ra
d e
y
d e
p o r
e s to
( x) ,
h a
la
q u e , d a d o
d e m o s tra -
re d u c id o
E in d e r
la s
d e u ts c h e r
M a th e m a tik ,
s ig .
L a
e d ic ió n
d e
d e
1 5 6 4
1 5 6 6 ,
a
la
le tra s
y
J a h r h u n d e r ts ,
4 4 1
n o
h a n
q u e
q u e
h a
s u b s ta n c ia ,
y
la s la
q u ie re
g e ó m e tra
s in
e d ic ió n ,
X V I -
p ro fe s o r
d e m o s tra d o s
s a b io
E u c lid e s
e s ta
se
su
in te rp re ta c ió n
u n iv e rs a le s ,
y a
u n
q u e
q u e
c o rre s p o n d ie n te ;
A J g e b r a ik e r t.
“ N o
lo
d e
A ris tó te le s
fu e rz a
L a
r ig o r
a n tig u a
p r o f u n d o ,
e n s a y o s :
te o re m a s
L e ib n iz ,
d e
ló g ic o
A n a lític o s
d e s tin o ;
u n
E u c lid e s ,
d e ja d o
lo s
p re c e d e rla s
d e
u n
h a n
E le m e n to s
p e rfe c c ió n
e v id e n te
e s ta
p ro p o s ic io n e s lo s
h a c e
d e
d e
m a s
q u e
q u e
lo s
d e
p o d ía
d e
m o d e rn o .
o b ra s
m is m o
c u a d ro
r a z ó n
n u tr id o
y
el
q u e
el
la
la s
c ie n c ia ,
d e s p u é s
p u n to
ló g ic a
d ib u ja d a ,
s o n
lo
la
a p o y o
N u e v o s
lo
e lla s ,
h a n
g e ó m e tr a s . . .
la
d e
g e o m e tría
p r o f u n d o e n
te
a g re g a
se
d e
d e
la
te n id o
u n
P o r
I
E U C L I D I A N A
d e
o fre c ie n d o
E le m e n to s
d e
G e ó m e tra
b ió
q u e
p ro fe s o r
V
o
h is tó ric o
h a n
p e n s a m ie n to
g e n e ra c io n e s
q u iz á
l
filo s ó fic a
s e ñ a la n d o
a l
u
e s tu d io
d e s lig a d a s
s u p e ra r.
m o d o ,
í t
E T R Í A
o b ra
s e g u irla s ,
p o d e r
p
in m e d ia ta m e n te
o tr a
s ig lo s ,
d e
irre p ro c h a b le ,
ra b a
e l
c o n c e p c ió n
p re s e n ta n
A ris tó te le s . d u ra d o
G E O M
-— • E n
e n
a
C h ris tia n C a n to r,
H e rlin u s I I 2
y
C o n ra d
( 1 9 0 0 ) ,
p á g .
D a s y p o d iu s 5 5 3 .
a p a re c ió
e n
E s
su
1 1 0
L a s
m is m a s
d e m o s tra c io n e s
a d e la n te : fu e ra y a
“ H a y
d e
la s
la
d e
d e
lo s
h a
s o n
e x te n s ió n
■— a p a re c e
re c tific a d a g o . d e
S í
p o r
e n
e x tra e n
d e
b u c io n e s
d e
c a m e n te s u rg id o g e n io
te r n a
q u e
e ra
p o s te rio r d e
u n a
g rie g o
d e s a rra ig a d a s e te rn a :
( 3 )
L ib ro
IY ,
Ib id .,
c a p ítu lo
( 5 )
H e ib e rg ,
I I ,
W
C fr.
L a e t
L e s
m é th o d e d e
M o ra le ,
H a n k e l,
o b .
id e a
p a ra
d e
y
d e
c o n
s in
u n
I,
§
d e
y
y
y
d e
q u e la s
la
a
re
la
q u e
b a jo
A m b a s ,
( 7) d e
d e
c o n
;
el
e n
h a n
a m b a s
a r m o n ía
lo s
[T u c íd id e s ,
d e
es c ro n o ló g i
p rim e ra .
id e a l
la
ló g ic a
g e o m e tría
q u e
se
d e fi
a lc a n z a d o
la
se
c o n tr i
C o m b in a to r ia
tra v é s
h is tó ric o s ,
s ie m p re ”
la s
c u a n d o
c ie n c ia
e s p íritu s u
a
d e
in m e d ia ta m e n te
la
é x ito
g rie
té c n ic a
c o n tie n e n
la
q u e
m is m o
a p a re c e r,
p a r a
u n a
e u -
fu é
P itá g o ra s ,
h e c h o ,
é p o c a ,
A ris tó te le s
ta n to
a
d e
e sa
re a liz a rla
d e
o ríg e n e s
§
D e q u e
te o ría d e sd e
n e c e s a ria m e n te
s ig lo s ,
a s p e c to I,
d e
in c o la
2 2 ] .
9 .
9z u
is s e n s c h a fte n ,
G o m p e rz ,
M é ta p h y s iq u e ( 7 )
su s
la
m u tu a m e n te ,
ra z a
c a p ítu lo
la
ló g ic a
M a th e m a tis c h e s
M a th e m a tis c h e n
V a ila ti,
m e d io s
te s o ro
( 4 )
( 8 )
s u g e rir
p u e s ,
d e
q u e
h a b ía ,
ló g ic a
e n c a d e n a m ie n to d e
m a te m á tic o s
lle g a d o
“ u n
d e
e s c u e la
a x io m a s
im p re s o
h a n
o b ra o b ra
lo s
p ro c e d a
h a
e lla s
la la
lo s
d e
la
A n a lític o s
d e
L a
m is m a
lo s
s ó lo
p a s a je s
( 4) .
p e n s a m ie n to q u e
d e
d e
lo s
q u e
n o
P la tó n .
lo s
e n
s is te m á tic a s
e u c lid ia n a
( 6) .
d e
q u e
a ris to té lic a ,
u tiliz a n
la
d e c ir
g e n e ra l”
te r m in o lo g ía
c o n v e n c e
c a p a z
e n
ta n
p u e d e
p ro p o s ic io n e s ,
ló g ic a d e l
d a d o es
a rg u m e n ta r
ló g ic a
m e to d o ló g ic a
y
se
la s
d e s p u é s
E u c lid e s
A ris tó te le s
la
la
la
A ris tó te le s ,
o b ra
d e
m á s
h a
ló g ic a
y
d e
d e s a rro llo
d e
la
tra d ic io n a l, d e
tie m p o
E u d o x o
d e
se e s c la re c e rá n
q u e
v e rd a d
C fr.
se
fo rm a
p e rfe c c ió n
E u c lid e s
d e r
u n o
la
d e l
a
la
d e
m a n e ra s
d e
y
d e m o s tra c ió n
A ris tó te le s
e fe c to ,
h a b la n d o
e m p re n d id a
c o n c e p c io n e s
p r o p o r c io n a r
to d a
m o
s in o q u e ,
a
la s
( 3)
d e
g e o m e tría ,
p a rtic u la r
E le m e n to s
e s c rito s
la
p a r tic u la r
m u c h o
q u e
E n
p e rs p e c tiv a
c a so
p re c e d ie ro n
a lu s io n e s
( 5)
m a d u re z
el
lo s
v in c u la
e s ta
u n
e s c u e la s
s u s
n ic io n e s
y
P e ro
lo s
d e c ir
c o m o
c o n o c im ie n to
q u e
la s
o
p ro d u c e n
se
-
d e m o s tra c ió n
te rm in a
p u e d e
o
á t i c a
p ro s ílo g is m o s
a n a lític o s .
p ro m o c ió n
d e s c u b rim ie n to , d e
se
a t e m
c o n s id e ra b le s
e s ta b le c id o
c o m p u e s to s
A ris tó te le s ,
d e
o
y
c o m o el
fu e ro n
g e n e ra c io n e s
y
y
m
y
b a s ta n te
g e ó m e tra s
e x p lic a d o
5 0 .
f i l o s o f í a
s ilo g is m o s
d e m o s tra c io n e s
ló g ic a
c líd ia n a
la
P r im e r o s
su s
E u c lid e s u n a
a
e je m p lo s
e n
s u s c e p tib le
d e
m a te m á tic a s ,
a lg u n o s
q u e
e t a f a s
p e n s e u r s
d é d u c tiv e 1 8 9 8 , c it.,
A r is to te le s ,
C u a d e rn o d e
p á g .
p á g .
la
c o m m e
1 4 8 .
6 8 3 ,
A b h a n d lu n g e n
X V I I I ,.
G rè c e ,
t.
1 9 0 4 , I l l ,
in s tr u m e n t n ç
1.
p á g .
tra d . d e
z u r 4
y
G e s c h ic h te sig .
R e y m o n d ,
re c h e rc h e ,
1 9 1 0 , R é v u e
p á g . d e
5 1 .
L a s
L A S
5 1 . —
L o s
d e fin ic io n e s ; tría , n o
n o
lo
s o n
e le m e n to s q u e
lo
la
la
d iv is ió n
lo
q u e
es
e l
q u e
n o
V
) . L o s
V
c o n
to d a s
h e c h o ,
d ic e
té c n ic a
d e l
u n
a lc a n c e
o b .
c it.,
( 8 )
N
I, E n
s u p e rfic ie p u n to
c o n s tru id a , y
e l
u n
q u e
n o
u n a
q u e
tie n e
lo n g itu d m á s
c o m o
lo s
la
m á
e le m e n ta le s
a
p a r tir
el
es
p o s ib ilid a d
a p o r ta r
d e l
( L ib .
d e c ir
q u e la rg o
c o m o
lo s
I
c u a l
a n c h o
a n c h o
e x tre m o s
e x tre m o s
d e
s u p e rfic ie
p la n a
I .) .
e le m e n to
tie n e
y
es
lla m a
d e f.
u n
n o
q u e
d e
a p re c ia b le ;
g e ó m e tra
p a r te ” .
p u n to ,
c o n s id e ra d o s
lín e a s
d e
d a to s
q u e
d e rea l
“ d e fin ic io n e s
p ro g re s o
lo
tie n e el
c o n c ib e n o
es
la
s o n
lím ite
n in g ú n
á to m o ,
se
d e
a
tro d u c c ió n
d e
la s
a rte
se r
lín e a
re c ta
es
I V
) .
q u e
H
1 4 4
la s
(d e f. d e
la s
s u p e rfic ie s
p la n a
q u e
lo s
s id o
la
q u e
n o
te n e r
es
e x
e n
(d e f.
e lla ” p a re c e n
p o d i
m a ra v illa s
a eq u o q u e
p o r
h a n
o
s u p e rfic ie
d e fin ic io n e s
c a p ítu lo
h a
p o r
a
I I I ,
d e fe c to e le g id o
e l
d e
§
es
e n
to d o s
e x
c e q u o
V
I I ) .
p ro v e n ir
c o n s ig u ie n te
1 9 .
C fr.
la
la
D e
d e
m á s
n o ta
n in g u n a
c o n tro l.
e n
M a s c a rt,
e sa s
id e a s
p ro c e d im ie n to
d e
la s la
d e
d e
lo
d o s la
la
q u e
H e a th ,
2 . y e n
la
s u p e rfic ie
se
h a
c o n s tru id o
v e r ific a c ió n
re c ta ,
s o n
n e c e s a ria s e n
n ?
re c ta
d e
n o c io n e s :
P e ro
9 4 ,
lín e a
c o m p a ra c ió n :
q u e
lín e a
c o n d ic io n e s c ie n c ia .
p á g .
d e
d ire c c ió n
e n tre
L a s
d e fin ic ió n
c o m o
fu n d a m e n ta le s
tra d .
q u e
c o in c id e n c ia
p a ra
a n á lis is ,
e n
p o r
s o b re
d e
e n
Z e u th e n ,
p e n s a r
a d q u irid a s
im p lic a d a s
e le m e n to s
a tiq u e s ,
in v ita
c o n s tru id a ,
n in g ú n se
y
I I I ,
a th é m
lín e a
d i fe r e n c ia ,
e n c o n tra rs e d e
m
h a n la
es
s itu a d a s
“ esas
lib ro
T a n n e ry
c o n s ta ta
a q u e lla
in s o lu b le s
s ig .
d e s
P a u l
d e
e s tá n
d e
( 9) .
y
i s t o i r e
d e
y
e n ig m a s
p la n o
c o n s tru ir,
e n s a y o s ,
p á g .
“ E l
T a n n e r y , d e
re c ta
p o r
re c ta s
P a u l
lín e a
r a z ó n ,
“ L a
(d e f.
in s tru m e n to
n e g a c ió n
v u e lv e n
la s
ig u a l
u e v o s
t.
( 9 )
n in g ú n
y
e m p íric o ”
s u g e s tió n
d e
se
e x is te a
lo s
e lla s
s ín te s is
d e fin ic ió n
v e r
p re o c u p a c ió n
c o n c ib e
e n to n c e s
d e fin ic io n e s
p u n to s ”
p a ra
L a
I I I ) ,
p ro f u n d id a d .
su s
se
“ h a c e
a
a
d e
g e o m e
p r in c ip io ;
la
e u c lid ia n a s
s e rie
la
I ) .
p a s a r,
d e
s o n
el
a q u e llo q u e
s u p e rfic ie
p u n to s
L a s d o
u n a
(d e f.
(d e f.
es
lo n g itu d ,
o
q u e m á s
lla m a b a
p u n to
L e ib n iz ,
ú n ic a
p a la b r a
E u c lid e s
a c e rc á n d o s e
n a tu r a l
m a n e ra
tie n e
la
c o rre s p o n d e ría
“ E l
I I ) ,
lín e a s
h e c h o
n o
m is m a
(d e f.
c o n
le n g u a je ,
“ fis ió lo g o ”
p u n to . la
u n
el
u n a d e
c o rre s p o n d e n
e n
d e fin ic io n e s
p o r
p rin c ip io s
la
n o
e n c u e n tra d e
lo s d e
c o sa s,
c lá s ic a
L a s
c o m ie n z a n
s o n
p r o f u n d o
se
E U C L ID E S
E u c lid e s
la s
N o
( 8) .
e n
e x p e rie n c ia . A s í,
d e
fo rm a d a s
c la rid a d
la
D e
s e n tid o
e x p re s ió n
n o m in a le s ” ,
el
el
111
E u c l i d e s
D E
d e fin ic io n e s
e s e n c ia
d e fin id o ”
x im a
la s
in te lig ib le s .
s e g ú n
d e
d e
si
e n
la
d e
D E F I N IC IO N E S
E le m e n to s
p e ro
e x p re s a n
d e f i n i c i o n e s
la
p a ra
é p o c a
la s la e n
y
q u e in q u e
1 1 2
L a s
E n d e n c ia
la s
a
re c to s , b le c e
á n g u lo
p la n o
re c tilín e o s o b tu s o s
u n a
el
(d e f. es
V
es I )
lo X
lo s
(d e f.
X ,
el
o tr a
es
p a rte
e tc .
e s c a le n o s
te ro s
(d e f.
la
) .
lín e a s
u n a
to d a s d e
p u n to
o
d e
e s p e c ie s e rá n
la s
lim ita o
d e l
se
se
e s ta
q u e
c o s a ”
té rm in o s e s tá
h a s ta e n tre
c írc u lo
p o r
lla m a
a lg u n a
ig u a le s
lo s v e z ,,
sa c a d o
v a rio s
p la n a
c e n tro
d e D e l
su
e s p a c io s ,
tra z a d a s
s o n
te n y
d e
a
fig u ra s
ló g ic o
u n o
re c ta s
el
la
lo s
q u e
la
g é n e r o s
a ris to té lic a .
a
P a r a
p o r
fig u ra
in te r io r
p a s a
fig u ra
la s
la
d e
e le m e n to
a q u e llo
H a y
lín e a ,
fig u ra s
X
X
I X
X
) .
) .
re c tilín e a s
L o s
O tr o
c o n s id e ra c ió n
5 2 . p u e s
c o n s titu y e n
a s í
p o r
d e
á n g u lo s ,
E u c lid e s
e n
e s c rib ió ,
L a
lín e a
in te rio re s
[Ia d e
" E s e
" C irc u la r,
e n d e
( 1 0 )
g é n e ro
la
c o m
e s ta
s í;
lí
la
(d e f.
f i
X V ,
d e
se
se
c o n tro l
y
X V ,
se
se
d ic e :
d irig e n
es
e n
d e
s ó lo
la es
to d a s h a c ia
c e n tro a q u e llo
ta l
e n
la s
" C írc u lo y
la d o s ,
d e
X
lo s
tr ilá tr ilá
X
e n tre
c u a
is ó s c e le s
re c tá n g u lo s , I ) .
e sa d e l
( n
c u a l
q u e
) .
E l
c o m o
se
se
s ilo g is m o
d e
e s;
se
e x p líc ito s
tra b a jo
d e l
q u e
lo
q u e
se
re g u la rid a d
d e l
tra z a d o .
fig u ra
re c ta s
lín e a ,
p la n a
q u e
so n
e x tre m o s
e s p íritu ,
la s
q u e
h a c e
u n o
e s
e n tre
P la tó n ,
e q u id is ta n
d e
s í.”
L a
a
to d a s
lo s v e r-
se
h iz o
re tir a r
p o r
lo s
e l
u n a
p u n to s
d e f.
X V I ,
P a r m e n id e s , e n
la
d e
c o m p re n d id a
d e s d e
ig u a le s C fr.
o b te n
tr a n s p o r ta r ía
c o n o c im ie n to s
e se
d e
p re c o n iz a ,
g e n é ric a s
c írc u lo ” .
c u y o s
p r im e r - lib r o
p ro p ie d a d e s
u n a
la s
d e l
A ris tó te le s
d ife re n c ia
e s ta b le c e rs e
c o n s e rv a r
lla m a
e je m p lo ,
q u e
e lla s
c o n c ie n c ia p u e d e
c irc u n fe re n c ia ], fig u ra
la a
o b tu s o s
te n ía
(d e f.
d e fin ic io n e s
p ro p o s ic io n e s
m o d o ,
d iv is ió n
tr ilá te ro s
tip o
p o r
tr a n s f o r m a r ía
n o
d e f.
la s
d e l
y
tre s
e q u ilá te ro s ,
A X IO M A S
a p lic a rs e
d e
c ie rto
p u n to p o r
p u e s
á n g u lo s
q u e
in c o n s c ie n te ; in s tru m e n to
el
s e rie
lo s
u c h a s
d e
s o n
d e
á n g u lo ;
a c u tá n g u lo s
e x a c ta m e n te
p o d r ía
u n a
e s p e c ie
M
s o n
tr ilá te ro s
p rin c ip io
d e l
tr ilá te ro s
—
s o n
A ris tó te le s
d ic e :
la s
m a n ifie s ta
re c tilín e o s
I I ) .
el
es
la s
(d e f.
o b tu s á n g u lo s ,
c lid e s
s o la
X
e n c e rra d o
e s tá
LO S
d r ía
X I ,
o rd e n ;
q u e
in te r io r
y
E u c lid e s á n g u lo s
d e
se
je ra rq u ía
c la s ific a c ió n
té rm in o
I V
s o la
p u n to
c írc u lo
la d o s ,
te ro s
I I I ) , ;
á t i c a
lib r o
u n a la
a t e m
( 10) . P o r
o
V
I X )
m
p rim e r
s e g ú n
m is m o
“ E l
u n a
u n
d e l
c o n s id e ra c ió n
(d e f.
p o r
el
d e l
T o d o
fig u ra
d e sd e
tr o
la
I I I ) .
(d e f.
a g u d o s
té r m in o .
X
u n a
g u ra X
d e
f i lo s o f í a
e x a c ta m e n te
(d e f.
je r a r q u ía
p re n d id a n e a
o
la
n o c io n e s
re c u e rd a
a b s tra c c ió n a q u í
la s
q u e
á n g u lo s
d e
d e fin ic io n e s
d is p o n e r
e s p e c ie s , g é n e r o
o tra s
e ta p a s
1 3 7 e :
p a rte s
d e l
m e d io ” . (1 1 ) y
V é a se
d ife re n c ia s ” .
e n
p a rtic u la r
T ó p ic o s ,
I,
1 0 3 b
1 5 :
" la
d e fin ic ió n
es
p o r
g é n e ro
E u
L o s
d a d e s
im p líc ita m e n te
e m p íric o s se,
e n
n o
ta le s
e fe c to ,
p u e d e
c ió n
h a b ía
le s
y
q u e d e
se
u n a
c o m u n e s ]
d e l a
f in
d e
la
e x p líc ita ,
fu e se
m a
é l,
y
c ía
¿ n o
la
d e
B
lu g a r
q u e q u e
y a
ig u a le s
a
s a b e r
la
la
N o s
( 1 8 7 3 ,
e n
d e
12) p á g .
e n tre
A r is tó te
d e l
p ro b le m a
a
o tr a
c la s e s
a b s tra c
d e
la
ló g ic a
u n a
d o b le
s o b re
lo s
lo s
d o s
“ a x io m a s ”
e la o b je
ó rd e n e s
[n o c io n e s
s í,
se
1 9 4 ;
d e
C
C
=
A
d e
la
h a
h a
el
m is m o A
y
A p o lo n io
u n a
fo rm a
fo rm a
c u y a
d e p e n d e r
el
el
m is m o
lu g a r
q u e
C
s o n el
y
v e r a x io
h e
a q u í
lu g a r
é l,
A
ig u a le s
q u e
o c u p a ( ia ) .
r a z o n a m ie n to ,
d e s liz a
e n
s u
A
h a
d e m o s tra
fig u ra s
q u e
o c u p a n
el
m is m o
lu
la s
fig u ra s
q u e
o c u p a n
el
m is m o
lu
E n
q u e ,
m e d id a
se es
o tro s lle v a
e s p a c ia l c u a n d o
h a
la
sí
fo rm a
p r im e r
u n
se r
lib r o d e
d e
;n o
q u e
d e
la p o r
s ie n d o
s in tió
e d ic ió n
B u lle tin
a
E u c lid e s .
p o rq u e
E u c lid e s ,
F e rg e .
id e n
c u e s tió n
a x io m a
es
la
c u e s tió n
a s im ila d a
e s ta
A p o lo n io
a
u n a
a x io m a
e x p líc ita
A p o llo n iu s
es
z a n ja
a l
A p o lo n io
ig u a ld a d
p u e d e se
in v o c a d o
q u e
té rm in o s ,
p re c is a m e n te
e q u iv a le n te
d e
e l
a
e n
A p o io n ío
o c u p a
c o n s e rv a d o
e v id e n c ia ;
so b re
u n a
p e n s a d o
B
e lla s .
e n
ig u a le s
la s
s ie n d o
q u e
p rin c ip io e x p re s ió n
p o n e rs e
h a c e r
a
c o n s ig u ie n te
T a n n e ry , 1 2 6 .
s ilo g is m o
q u e
n o s
a x io m a
P a u l p á g .
ese
o c u p a
q u e
el
e s ta
g rie g a ) p u e d e
p u d ié s e m o s
lo
fá c ilm e n te
ese
a
c o n s ig u ie n te ,
C o m e n ta r io
1 8 8 1 ,
B
=
e n tre
e n c u e n tra
c fr.
=
B
ig u a l
te r m in o lo g ía
c u e n ta
P ro c lo ,
y
lla m a d o
fó r m u la a x io m a
A
q u e
s e r
(in tro d u c im o s
s ilo g is m o :
a d v e rtirlo ,
e s p a c ia l
P o r
u n
E s
C
s a b e r,
c a m p o
p o n e r
m a th é m a tiq u e s ,
la
la s
la
p a s a r
s e rv irá n
p o d r ía
la
A
p o r
s in a
id e n tid a d
su
d a m o s
c e s id a d
el
ló g ic a .
a firm a tiv a ,
d ife re n te
y
d e
c u a l
a
ig u a le s
m e d id a si
P a r a
p ro c e d e r
d a to s
a p lic a r
d e
q u e
té rm in o s
q u e
c o sa s
d a r
la
q u ie n
e n tre
s o n
d e s p la z a d o
id e n tid a d
lo s
e s t)
s í” . E l
d e
q u e
C
q u e ,
s o n
d e
d e
es
g a r,
o tr a
“ L a s
e n tre
ig u a l
h ip ó te s is :
tid a d
ló g ic a
c o m p a ra c ió n
s u c e s iv a m e n te :
E u c lid e s
ig u a ld a d ?
d o s
h a
d e
p o s ib le
y
p u e s to
P ro c lo ,
q u e
la
A
p u e d e
c a m in o
d e d u c c ió n ,
p a ra
v a g u e d a d
s e ría
c ió n
g a r
es
e x p re s ió n
q u e
o b s e rv a r
y
L a
y
el
n e c e s a rio
d e
u tiliz a r á n
ig u a le s
la
r a z o n ó :
q u e
se
e v id e n te
m is m o
lo
f o rm a
a x io m a
s o n
p u e s to
la
c la s e s
d e fin ic io n e s .
se rá
m a te m á tic o :
e u c líd ia n o
c ó m o
la s
p re c is a r
la s
g e n e ra l. n o
“ p o s tu la d o s ” .
b a jo
P e ro , d a d
p a ra
d e
a firm a c ió n
e u c lid ia n a s ,
in v e rs o
p re v ia m e n te .
c ie n c ia ;
re s p e ta r
c o sa ,
u n a
d e
s e n tid o
p a r tir
q u e
y
ló g ic a
g e o m e tría ,
p r im e r
d e
la
p u e s
s o b re
s ilo g is m o
m is m a
el
a la
e n
1 1 3
a s
d e fin ic io n e s
e n
s irv e
a
p rin c ip io s
E l
q u e
s e g u ir
p la n te a
p ro p io s
d e
la s
re c o rrid o
c la s e s
b o ra c ió n , to s
m á s
E u c lid e s
la s
c o n te n id a s
c o m o
s in o
a x io m
d e s
la se
n e f i a b a 12
F rie d le in , S c ie n c e s
1 1 4
L a s
e n
su
la s
lín e a s
u n a
in tu ic ió n o
d e fin ic ió n
F é lix
c ió n
g e n e ra l
K le in ,
e n
e n
a b s tra c ta
e l
d e b e rá
q u e
m a g n itu d e s m a
V
:
(q u e
D e
q u e a
d e
d e
P o r
o tr a
p a rte
se
a d ic io n e s
f u n d a
u n a la
u n a
d e
v e rd a d e ra
ló g ic a
d e
s e rie la
y
la
5 3 . '— lo s
y
es
a
S i
u n e s to
( 1 S ) p á g .
( 1 4 ) ig u a le s . D e b e
Y
q u e d a n
la
g e o m e tría . ese
D e s
m a rc o
g e o m é tric a . s o b re
la e n
la s
A x i o
la
o tra ,
la
p e rfe c ta
y
e v id e n c ia
c ie n tífic a
d e l
a firm a tiv a s ,
a g re g a n
a s í, lo s
s u s tra c c ió n
la
a l
e n
a n a lític a
p rin c ip io
c a so s
d e
d e l
v ín c u lo
d e
d e
ig u a ld a d
e le m e n to s
ig u a le s
V
I I I : d e
e l la
a x io m a s
to d o
es
m á s
g r a n d e
d e s ig u a ld a d ; e n
lo s
q u e
p r im itiv a
c o n s titu y e n
g e o m e tría ,
d e u n
se
s o b re h a n
lo s
a
s o s p e c h a d o
d e
la
la
d e s
E le m e n to s
c u e rp o
p a ra le la
q u e e sa
p o r
d o c trin a ,
A n a lític a
d e
d e b e
se r
q u e
la
e s tá n
p u e d e
s u r
q u e
lo s
e l
la s
p e lig ro
le s
d e
h a g a
d e s tin a d o s
te n e r
C o n fé r e n c e s
ló g ic a
la
g e o m e tría
p re v ia m e n te
m a n e ja b le s
tre s
d e
e s ta
e n
su
ló g ic a ,
p e tic io n e s ,
s u
(C h ic a g o ,
n e c e s a rio
re c ib a n
p o r
p rim e ra s
d is im u la r
M a th é m a tiq u e s
se rá
d e fin id o s ,
c u y a
im p o rta n c ia .
1 8 9 3 ) ,
tra d .
L a u g e l,
4 1 . " S i s i
n o ta rs e
(H e ib e r g ,
ló g ic o
P O S T U L A D O S
g e o m é tric o s ,
tr a ta m ie n to
s im p lic id a d
1 8 9 8 ,
ta l
o b je to s
m a y o r ía
in tu i
fo rm a l.
L O S
q u e
la
p rim e ro
m a rc o
u n a
p r o
( 14) .
q u e
d e
el
d is tin c ió n
el
a
o tra s
s í” .
fo r m a
I I I
m á s la
u tiliz a
c ie n c ia
in d ire c ta s ,
re d a c c ió n
E u c lid e s , A n a lític a
d e
d e
a
s u s titu c ió n
e la b o ra c ió n ,
a p lic a rs e
s o b re
la
sí
a x io m a
a
la
y
ta n to
a d a p ta r
u n iv e rs a le s
I I
o
la
u n a s
e s ta
s e g ú n
c o n s titu ir
d e
fo rm a s
d e
E u c lid e s
e n tre
a
c o n s id e ra c ió n
p o s te rio re s
su c e so re s
d e
e n tre
el
la
s a b ia
p u e d e n
c o m o
a d ic ió n
s a c a r
p e r m itir á
ig u a le s
a x io m a s
ig u a le s
in tro d u c e
ig u a ld a d
lo s
la
y a
d e
f u n d a d a
s e rie
lo s
u n a
p r o p io
q u e
m a n e ra
u n a
d ire c ta ,
re s u lta n
p a r te ,
o b je to
s o n
d ire c ta m e n te y
r a z o n a m ie n to s q u e
á t i c a
c o n s is te ,
( 13) .
f in
p ro p o s ic io n e s
u n e
e le m e n to s
a
lo s
m a g n itu d e s
m is m a
té rm in o s
ig u a ld a d
e l
p o r
a t e m
A p re c ia m o s
q u e
r e fin a d a
in m e d ia ta m e n te
a ris to té lic a
ig u a ld a d .
c o n d ic ió n
s o n
d o s
la
la
E u c lid e s ,
ig u a ld a d
c o n g ru e n te s )
s ilo g is m o , tre
la
q u e
“
s o n
m e d id a ,
e n c u a d ra r
d e te rm in a
m
s u s titu ir
tr a n s f o r m a r
d e
f i lo s o f í a
p a ra
d e d e
la
id é n tic a
in tu ic ió n
n o c ió n
p u é s
d e
c o n tra rio
in g e n u a
d e
g e ó m e tra
s u p e rfic ie s
c e d im ie n to d e
d e
e t a f a s
o b .
a
a
e le m e n to s
e le m e n to s
q u e c it.,
e le m e n to s
la
fó rm u la p á g .
ig u a le s
ig u a le s
5 ) :
ig u a le s ” ;
se
se
e s tá
y a
" S i
a
c fr.
a ñ a d e n
q u ita n e n
e le m e n to s
e le m e n to s A ris tó te le s ,
e le m e n to s
M e ta fís ic a ,
X I ,
ig u a le s ,
ig u a le s ,
lo s
P r im e r o s
ig u a le s 1 0 6 1 b
se
to ta le s s o n
a n a lític o s ,
q u ita n
2 0 .
lo s
re s to s
s o n
ig u a le s ” . I,
e le m e n to s
4 lb
2 1
ig u a le s
L o s
I. — p u n to
I I. d a d
Q u e
—
u n a
y
d e
—
sea
sea [e s
el
p r im e r
p u e s to
p u n to s
d a d o s
d o s
p u n to s
d e
E l
te n e r
d a d se
d a d
p o s ic ió n u n a
r e c ta
se
d e s c rib e
re c ta . s in
( 1 5 )
le
re n te
h o y
t.
I,
1 8 8 3 ,
d e b ía
(1 8 ) lo s
( v e r E s ta
" p a s a j e s ’;
m e n o s
n o ta d o
d e e n
y
e n
c o n tin u i
c e n tro
c u a lq u ie
v e rd a d ,
E u c líd e s
la
q u e
re c ta
la
d e
d is ta n c ia
lo s
d o s
p o s ib le
e s ta b le c e
a
ig u a l p o r
q u e
la
u n e e n tre
e x tre m o s
la
a d ic ió n
e x is te n c ia
s o la m e n te
se
la
d e
d e
la
p ro p ie d a d
d is ta n c ia
e x c e le n c ia
d e l d e
d e
c e n tro ;
la
a c tiv i
d a d o
u n a
c irc u n fe re n c ia ,
q u ie ra
u n a
lín e a
d e
ig u a l;
s u p e rp o s ic ió n
ra d io a l
la
a
la
a
se
ig u a l
s id o
e n sa y o s,
y
e l
IV ,
c a p ítu lo
o rig in a l
d e m o s tra c ió n
lo '
d e
e n
es
la
a
y
a d m ite
n o
u tiliz a r
q u e
e lla s
1 2 ,
§
e l
e s
c o m o
6 .)
p o s tu la d o , d e
a x io m a s ,
I V
y
re fe
d o s
p re
c o n s id e ra d o s
s e g u n d o
a x io m a
d e l
E d . p o r
la
u n a s irv e
u n o
E so s
im p o s ib le ” .
s i,
c o m p re n d e n
so n
E l
d e le
d o s
n o
te o re m a
d e s a rro llo
p ro p ia
lo
d e c ir,
o s c u ra
E u c líd e s .
p a ra
e l
d e
d e l re c ta
e n c u e n tra n ;
E le m e n to s
c u a l
ta m b ié n
c o n s id e ra b le
lo s
d a d a
e s p a c io :
se
es
a
p r o s o b r e
la
d e m o s tra c io n e s ;
o tro
d e
d e
E u c líd e s
e x p re s a d a ,
su s
c ie n c ia
s o lu c ió n
lo n g itu d
o b lig a d o
e n
L a
e x tre m o s
ta n to
e s ta d o
V u lg a ta
c o n s id e ra d o
p a p e l
h a
e n tre
la
p rim e ra
p ro b le m a :
c írc u lo s
e m p le a
re d a c c ió n
la
la
c la ra m e n te
c o m ú n ,
la
lo s
d e
la
u n
m e n o s
d o s
d a
q u e
p a rte
c o m p re n d e rá n
la g u n a
p o r
lo s
es
d e
fig u ra ,
q u e
y
to q u e d e sd e
e q u ilá te r o .
u n o
id e a
la
N u e v o s
d e
h a
c a d a
u n a
d e
p ro p o s ic ió n
q u e
q u e
tie n e n
p ie d ra
m a n ifie s to
d e m o s tra c io n e s ),
n o
u n
la
tr iá n g u lo
la
d e fin ic ió n
191)
§
q u e se
d e c ir
h e c h o
e s tá tic a
te n g a
p e rte n e c e n
re c ta s 1 8 ;
u n
d e
(y a
la s
te x to
d e s e m p e ñ a r
e u c líd ia n a
fa lta
d e
q u e
d e l
p á g .
a
p u n to
d e
d e sd e
( 16) ,
in te rp o la c io n e s
" d o s
h a
u n
E s ta
s o b re
(L e ib n iz ,
a x io m a s
p rim e ro :
a
re c ta s
e s p a c io ” .
to m a d o
u n
re c ta s .
p e rife ria
p o n e
q u e
v e
re c ta
p a ra
d o s
c o m o
e s tá
se
lín e a
m o d o
d o s
in d ic a b a
se a n
se
sí
c írc u lo
q u e
n in g ú n
b e
c o n v ie rte
se
d e sd e
c o n s tr u ir
s e rv id o
te n d id o s
c írc u lo
u n ic id a d
in s tr u m e n to
E le m e n to s .
h a n a
q u e
' 'E u c l í d e s ,
n in g ú n
q u e
re c ta
c o n g ru e n c ia
la s
ig u a ld a d
in m e d ia ta
u n
d e
se
d ire c c io n e s
la
e x p lic a c ió n
d e fin ic ió n d e
la s a
a lg o
E n to n c e s
o tr a
a
ra d ío .
lo s
es
lín e a
q u e ,
la
a lc a n c e :
su
el
p o s tu la d o s
d a d a
p ro b le m a
d e
sa c a
to d a s
e s
d e
c u a lq u ie ra
c u a lq u ie ra .
b ie n
la
d e
d o b le
T r a z a n d o
eso s
e u c líd ia n a ,
u n
p u n to s
d e l
Q u e
q u e
d e fin ic ió n
s u s titu ir
m ó v il
y
p o s tu la d o
tie n e
lo s
e n
a s í
u n
r a d io ]
re c ta
ig u a ld a d
p ro p ie d a d
o b tie n e
la
m a n e ra
c u y a
c ie n tífic a .
p u e d e
d e
e x p líc ita
( 15) ,
la
te rc e ro
esa
p u n to
g e o m é tric o s .
c irc u la r to d o s
d e
u n
e n
d e s c rib ir
d e c ir ,
s e g u n d o
e le m e n to s
fig u ra
y
el
p e d id o
fo r m a
ta l
s e n ta r
P o r d o s
p r o lo n g a r
p o s tu la d o ,
e n
d o s
p e rm itirá
d e sd e
re c ta .
p e d id o
Q u e
h a y a
tr a z a r
lín e a
lim ita d a .
d is ta n c ia
P o r n o
p e d id o
u n a
Q u e
re c ta
I I I . ra
sea
c u a lq u ie ra
115
p o s tu la d o s
lib ro
H e ib e rg , e s a
ra z ó n ,
g e o m e tría
n o
• h a
C la v iu s e n c u e n tra
s id o h a a n te
s e ñ a la d a o m itid o to d o
e n
q u iz á e n la
p o r
E u c líd e s
p rim e ra " u n o
d e m o s tra c ió n
v e z d e
d e
la
p o r lo s
L e ib n iz .
m á s
p rim e ra
E n tre
n o ta b le s
y
p ro p o s ic ió n
1 1 6
e n
L a s
v ir tu d
c u e n tro q u e
d e l
c o n
p o s tu la d o
lo s
s a tis fa c e
tr iá n g u lo n o s ,
a
A h o r a e s tá
d e l
v ic io
a
a ;
( 18)
p rim e r la
se
( r l ) a n t ik e n
a
.
le
e n tre ta n to
triá n g u lo re c to s ,
u n a
y
p a ra le la s
p re c e d e
a l
p o s tu la d o
( 1 9 )
t.
d e
la
c o m p re n d id o p o s tu la d o s
o
b ie n ,
s in o
la
1 8 3 9 ,
c o n tie n e n e l
d e t.
la s
L e ib n iz :
" L a
e l la
m o v im ie n to d e fin ic ió n
o ,
a!
a l
v o lv e rá
§
9 0 ;
1 8 8 3 ,
t.
D a s
II,
id e a d e re a l,
c fr. p á g .
d e l
s u
d e
u n a
a
y
e d ic ió n ,
re c ta
p u e s
es
e n
d e
d e fin ic ió n d e
u n
c ie n c ia .
e n
q u e
s irv e n
a lg u n a
p a rte ,
ja m á s ” .
p á g .
c it.,
d e
Œ
2 2 2
p á g .
( G e rh a rt,
s u se
y
p u e d e
a sí
la
P a s c a l:
se
n e c e p u e d e
lla m a r
d e
d o s
a
u n
á n g u lo s
E u c lid e s
d e fin ic ió n e d .
u v r e s ,
C fr.
q u e
p o s e e d o r
y
d e r
s ig .
v in c u la c ió n
s e r;
A s í
i n
y
7 ) .
n in g u n a
a
d e fin e
d e
c írc u lo
L .
B ru n s c h v k g
d e
lo s
y
in
d e
e l
p o r
a
c ie n c ia c u a le s
la
d e
p rá c tic a
s u s c e p tib le s
u n a
L X
" c o m o
lín e a
T r a c ta tu s
R e f o r m
e d . u n
9 8 ) .
E u c lid e s
e n
d e
P h il o s o p h i e
a
v o n
u n d
c o m o
d e
u n
e x tre m o
es
p o s ib le .
7 0 ) ,
y
L a n d ,
in f lu e n c ia
h a
fig u ra
d e
%
i s s e n s c h a f t
a q u í,
f ig u r a
p la n o ” .
i n t e lle c tu s
V lo te n
W
p o r c a u sa
d e fin im o s
( v e r
v ín c u lo
D e
ó rd e n e s
u n
a ti o n s
p a s a d o
tra z a d a
in m ó v il, { D
e
la
h a c e r
u n a
c u a n d o
re c ta
n o
L o n d re s,
d o s
te n e r
D e s c a rte s
( 5 4 ) ,
y
d e s ig n a d a
d e
s u p o n e r
p á g .
d e
d e
e s p e c u la
M o le s w o rth ,
c o sa
p e ro
s in o
s o n
d is tin g u e
a lre d e d o r ta l
lo s
e d .
g e n e ra c ió n :
d e r
la
la
id e a
c o sa s
1 9 1 1 ,
q u e
d e
la
in d ic a c io n e s
p ro p u e s ta p la n o
n o
p o s tu la d o s
p rin c ip io s ,
c o n c e p c ió n ,
p e rm itid o
B e rlin ,
u n
es,
a lre d e d o r
e n
v e rd a d
la tin a s ,
T s c h ir n h a u s ,
m a n ifie s to
e n
c o rre s p o n d e n
d e
la s
e s tá
s ig n ific a c ió n
s o n
te o re m a s ,
e s ta
fo rm a
lle v a r
L e t tr e
2 1 2 ) ,
lo s
e s p ír itu
e n c o n tra rs e
c írc u lo
el
c a p a z
c írc u lo s
im p o s ib le ;
la
O b r a s
a
e l
E r k e n n t n i s p r o b l e m
2 ?
o b . h a y
e x is tir,
e s to
d e
n o m b re
m e n o s ,
n a c id a
s in o
" E x i s t e ru c h e o s é is ”
1 S 9 6 ,
c o m o
es
b ie n
1 3 ,
e n
re firié n d o s e
fig u ra
(C a s s ire r, Z e i t ,
e v o c a n
a
( v e r
n o
C o rre la tiv a m e n te
q u e
es
u n a
d o s
a ls
n o
p e tic io n e s
c u a le s
V I,
q u e
H a y a ,
n e u e r e n
lo s
c a p .
c o n fo rm e
S p in o z a
d ire c ta
7 2 ) .
A s í,
in s tr u m e n to
lo s
v e rd a d e ra .
m u y y
m is m o ,
c o n c e p c ió n ,
la
L a
lo
d s
;
s ig n ific a
o c u lta ,
e n c o n tra rs e
s e g u rid a d
c o n s tru c c ió n ,
p ro b le m a s ,
c a u sa
E s ta
e s
( 17) s e g ú n
1 8 5 .
la
C o r p o r e ,
la s
c o m o
ta m b ié n
I I ,
e
q u e
s u
q u e
io s
{ D
p á g .
o
c írc u lo
{ I b i d . ) .
es
d e
d e fin ic io n e s : p a la b ra ,
lo
d e
la
1 6 6 .)
p o s ib ilid a d .”
h a b ía
o b ra ”
I,
la
v ir tu d
e l
X L V II,
p u e d e n
la
( 1S) .
e n c o n tra rs e
p á g .
tr iá n g u lo
lla m a d o s
a lg u n a
d e
e x p re s a
g e n e ra l
v e rd a d e ra
q u e
im a g in a ra
q u e
" L o s
s in o
u n a
q u e
u n a s e
ta l
m u e s tra
H o b b e s
c io n e s,
t.
u n
lu e g o q u e
c o m o
c u a n d o
y
m a te m á tic a
v a lo r
~ncr
t.
la
d e l
m o d e r
g é n e ro
s u p o n e
q u e
(H e ib e r g ,
y
el
g e o m e tría
d e b e n
1 8 9 0 ,
1 5
la
la
C o n s tr u c tio n
c o sa
p á g .
d e m o s tra c ió n
p o te n c ia ;
q u e
y
se r
e v id e n te
1 9 0 8 ,
e u c lid ia n o s :
II,
u n a
im p o s ib le
lu e g o
Jas
B o u tro u x ,
d e
el
p o d ría n
9 2 b
“ E s
re c tá n g u lo
p rim e ro
P .
( 1 6 4 8 ) .
d e
la
m á s
A n n a le n ,
e n
p o s ib ilid a d
e n u n c ia
e ra
tá c ita m e n te
B e rlín ,
II,
a n a lític o s ,
c o sa
m o s tra r
V I I ,
d e
tr iá n g u lo
té rm in o s
e x is te n c ia ”
q u e
e q u ilá te ro ,
c írc u lo s
u n
a b s o lu ta m e n te
su
es
p u n to s
L a E n
g e ó m e tra
a
g e o m e tr is c h e
d e fin ic ió n
re c tilín e o
y
t.
i e
P a ille tte
la
s u p o n e
M a th e m a tis c h e
S e g u n d o s M
é l
q u e
n o m in a le s e lla
lo s
o b tie n e
e x is te n c ia .
a ris to té lic a ,
a lc a n z a
a lg u n o s
D
“ el
o n to lò g ic a
q u e
d e
se
p r o p ia
d e m u e s tra
tr iá n g u lo
S c h r i ft e n ,
G e o m e tr ie .
d e fin ir
q u e
q u e
ló g ic a
d e c ía :
y
u n o
p ro b le m a .
es
ló g ic a
á t i c a
d e m o s tra d a .
m e to d o lo g ía
e s to
d e !
Z e u th e n ,
(l s ) s a ria
e n
d e l
p ro c e d im ie n to
la
a t e m
d a d a ,
d e
p e ro
m
u n e
te o re m a
f o r m a l
s e p a
P h il o s o p h is c h e
u n
la
p o r
lib ro ,
se
re c ta
p u e s
d e fin ic io n e s
es
c o n s tru c c ió n
a u n q u e
L e t tr e
el
d e
su s y
la
d e s c rip c ió n
h ip ó te s is
ra z o n a m ie n to
p a ra
la
A ris tó te le s
e s c o n d id o ,
c o n fe rir
d e l
a
s o b re
la
re a l
d e
q u e d a ,
tr iá n g u lo ,
re c u rrir
f i lo s o f í a
c o n d ic io n e s
b ie n ,
a n tig u o s .
c ió n
la
p rim e ro »
a g re g a d o
f u n d a d o
lo s
la s
q u e
h e m o s
d e
e x tre m o s
e q u ilá te ro
d ire m o s
e s p e c ie
e ta p a s
d e r
a p o r
p re s e n ta
S y n th e s i
e t
L o s
5 4 . — m é tric a ,
E s to
n o
E u c lid e s
e d ific a r
el
s is te m a
s id e ra d a s ,
a l
es
d e
m e n o s
c o n s e c u e n c ia s
to d o
a ú n :
e n c u e n tra
d e
la
c o n
su s
p a r a le la s .
M á s
p e rp e n d ic u la re s
y
p a ra le la s
se
s o n
s u s c e p tib le s
d a to s E l
r e c to s d e s
p rim e ro
s o n
re c ta la
p o r
d e l
d e
á n g u lo
la
a te n c ió n
se
c o m p re n d e
c a c ió n
el
la
q u e
re c to s
d e l
c o m ú n ,
la d o
c o n d ic ió n c ió n
u n
d e
la
lín e a
A
la
d e fin ic ió n
h a s ta
in f in ito ,
el
d e fin ic ió n se
a
to
ta n
u n a
tie n e n
A n a l y s t
u n iv e r s a li,
S c h r ifte n ,
t.
L o g i q u e
(
2° )
( 2 1 )
V I I ,
X I V
c it.,
p á g .
2 2 5
p o r
lo s
la d o s ; p u e s to
n a tu r a le z a
d e
lo s
( 21) ,
lo s
c re ía p á g .
e t
2 9 4 .)
d e
la
1 9 0 ,
s ig .
c fr.
n 9
h a c e rs e
e n
a
c o m p o rta h a
la s
p u e s
q u e
p o r la
r e a l
b ie n
in d ic a
el la s
P h ilo s o p h is c h e
o tra
p a rte ,
re fu ta c ió n
( l b i d . \
d e
p a ra le la s ,
a h o ra
G e rh a rd t, n o ta r,
H o b b e s
v e z to d a
f u n d a m e n ta r
te o re m a
d e f i n i c i ó n
e n c o n tra rlo
I ;
p a ra
j u d ic a n d i.
n o
Z e u th e n
re la tiv o s
u n
la d e
m a n ifie s ta m e n te ,
e x is te n c ia ;
es
D e b e
d e
q u e
g rie g o s ,
E u c lid e s
es,
a
lím ite s
d ic c io n a rio ,
c o n c e p c ió n
c u a n d o , e x tre m o s
d o s
q u e
p á g .
y
d e
d e fin ic ió n ,
la
m a n e ra ,
a m b o s
fó r m u la
d e
L a
c o n c e p
c o n tra d ic to ria ,
s u
a llá
d o s
la d o s
e x p líc ita .
u n a
d e
lib ro
p o r
sí
o tra .
la
m is m a
e s ta
c o n c e p c ió n
1 9 0 1 , d e l
es
la
p a ra le la s
n in g u n o
m á s
i n v e n i e n d i
1 8 9 0 ,
c o m o
L e i b n iz ,
P ro p . A r t
ta l
q u e
s ig n ifi
q u e ,
e n
fija ( 20) ,
a m b o s d e
la
s o n
c o n s id e ra
p ro p o s ic ió n
A r t e
e s ta
d e
la
r a z o n a m ie n to s
u n a
s e u
e n
a b s o lu to , d e
d e
lo s
re c ta s
p r o lo n g a d a s
se
S e g ú n
p a ra le la s
B e rlín ,
e n c o n tra b a
m in a lis m o L a
la s
lín e a s
y
n o
c la ro
p o s itiv a
d e
la s
a
fo rm a d e
p o r e sp e
se
p o r
d e c ir,
p ro lo n g a c ió n
e n
es
c a rá c te r
tie n e
es
el u n a
p o s tu la d o
s itu a d a s
v in c u la ,
c a e r
ig u a le s ; el
s o b re e n te n d id o
se
E u c li
d e fin id o
Z e u th e n ,
E u c lid e s
e x p re s a d a
c o lo c a d a
P e ro ,
e n
n e c e s id a d
p o s tu la d o
y
g e o m é tric o .
ju s ta m e n te
a q u í
p ro p ie d a d
d e s c rip c ió n ,
m a n e ra
L e ib n iz
u n a
la
á n g u lo s
q u e
h a c ie n d o
ese
d e q u e
p o s tu la d o s . lo s
h a b e r
s u g ie re
d e
in tr o d u c id o s
e x tr a ñ o
c o n c e b ir
re c ta s
e n
g e o m é tr ic o s
to d o s
d e
la s
n o c io n e s
se r
q u e ,
d e fin ic ió n ,
la s
d o s
c o n c o m o
s o n
n u e v o s
d e
h e c h o
d e
la
e n c u e n tra n si
in tu ic ió n
d e
u s o
se
d o s
lo
h a
h a b ía
p la n o
a ú n
e fe c tiv a .
e n s a y o
n in g ú n
e n
la
in tu ic ió n u n
n o
s in g u la r,
b a s a
re la tiv a
m is m o
la s
d e b e n
a
c o m o
p a ra le la s
E u c lid e s
a
p a ra
se r
g e ó m e tra ,
a d y a c e n te s
lle g a
se
d e
se
e s tá d e
P a r a
u n
s í, q u e
u n a
q u e
el
p a re c e r
á n g u lo s
g e o m e tría
p u e d e n
h e c h o s
q u e
la
n e c e s a ria s
n o c io n e s
d e s p u é s
p e n s a m ie n to
c a d a
re c ta ,
d o s
p u e d e
q u e
a d y a c e n te s ,
d e
e n
d o s
r e c íp r o c a
e s tá n
p a r a esas
c o n s tru c c ió n
P e ro
el
n o
p e rp e n d ic u la re s :
á n g u lo s
u n ic id a d :,
s itu a d a s
q u e
e n la
s o n
p o s tu la d o .
la
a p lic a c ió n
e n u n c ia r
á n g u lo s
d e
re c to .
s o b re
la s
p ro p o s ic ió n ,
d o s
q u e
y
e x a c ta m e n te ,
v e rd a d ,
d e te rm in a
e so s
s o n
ú tile s
v in c u la n
d e
q u e
p ro p o r c io n a r á n
a
d e c ir
m e d io
o tra ,
ig u a ld a d
c ífic o
q u e
s e m e ja n te
re c to
s o b re
A
p la n a
d e m o s tra c ió n ,
y
c o n c ie rn e
ig u a le s .
fo rm u le
á n g u lo
d e
n a tu ra le s ,
d e s a rro llo
a d q u irid a s :
y
c o m o
e l
n o c io n e s
c a ra c te re s y a
p e r p e n d ic u la r e s
n o
e n
d o s
g e o m e tría
v e rd a d e s
1 1 7
p o s tu la d o s
c fr.
a l
q u e n o
C o u tu ra t,
2 ) .
Z e u th e n ,
o b .
d t.,
tr.
M a s c a rt,
p á g .
1 0 1
1 1 8
L a s
c o n d ic io n e s re c ta s
q u e
fo r m a
u n
d o s
c u a tro
c a rá c te r
L o s
y
p o r
d ife re n te s : c u a rto
la re s
e n
el
E l
e le m e n to
es
ju ic io s
m a g n itu d e s ,
d o x o
( h o y es
la
ta re a
22)
(
n itu d e s
y
s in
d e
d e
la
m e n o s
e n
tie n e
u tiliz a d a
ig u a ld a d
o
d e
tr iá n g u lo s , d e
lo s
d u d a el
V ,
c o m ie n z a d e
el p o r la
a u x i
s u p e rfic ie s
e l
te rc e ro
p o líg o n o s
c ie n c ia
c o n
s o n
d e l
e n
y
re g u
s e m e ja n z a
s in
e n u n c ia r
p rá c tic a
e n
q u e
d e
d e
e le m e n to s c u e rp o
d e lo s
L a
el
e n
( 2S) ,
e s ta b le c e n e n tre
te o ría
d o s
d e
la s
g e o m é tric a .
E l
d o c trin a s
g e n e ra
s e n tim ie n to
d e sd e
el
s ig lo
s u s tra e rs e
a
d e
IV ,
la
la
la
E u -
c o n f u
in c o n m e n s u ra b le s , la s
d e
q u e
re la c io n e s
la
p ro p ó s ito
lo s
la s
n u e v a ,
to m a d a s
m a g n itu d e s
e n
la
c ie n c ia
a q u e llo s
d e
c o n ju n to
u n
la s
p r o p o r c io n e s .
s a b e m o s el
d e
la s
c ó m o , e n
u n a
m a g n itu d e s
r e la c ió n
d e s c u b rim ie n to
g e o m e tría
la s
ig u a ld a d )
n o s o tro s
e x tra e r
la
q u e
o ríg e n e s
re u n irlo s
L ib ro
se
v e rd a d e s
e n to n c e s
te o ría
la s
a u tó n o m o
d e
d e
d o c trin a
p r o ( 25) .
V . d e l
I I I :
" R a z ó n
es
c ie rta
c o n
re s p e c to
a l
ta m a ñ o
d e
d o s
m a g
h o m o g é n e a s ” .
( 2 4 ) 9 2 ,
p á g in a
e x p re s ió n
in s c rip c ió n
la
la la
in s p ir a r o n
p o r
p o r
d e
m u e s tra
P e r o
P o s tu la d o
( 2S )
a l
tra z a d o s
d e fin e n
s u s
se
C n id o ,
p o rc io n e s ,
y ,
g e o m e tría
in s tr u m e n to
la
e n to n c e s
q u e
A 'h - m o s é
( 24) .
c o n o c id a s
p á g .
tie n e
a c a rre a d a
d ió
la
p o r
p a re c e
d iría m o s
d e c ir,
e g ip c io s
d e
s ió n
e n
p o r
c o m p a ra c ió n
c o n s titu tiv o s
p ro p o rc io n e s d e
lib r o la
s e m e ja n z a
lo s
se
( 2 2 *) .
tie n e n
p a r a le lo g r a m o s y
m e n o r
" E L E M E N T O S "
la
lib ro s
p la n o ]
se a
re c to s ”
u n a
tr a n s f o r m a c ió n
d e m o s tra c ió n
c írc u lo ,
o b je to
lo s
s e m e ja n z a
e l
q u in to
p o r
la
le s ,
la
d o s
d o s
si
m is m o
s u m a
n a tu ra le s ;
s e g ú n
s u
a
E le m e n to s ,
p rim e ro s
u n
e n tre
q u e
in d e fin id a m e n te
L O S
h e c h o s
lo s
y
e n c u y a
in f e rio r
D E
p e d id o
c írc u lo .
y
m a n u a l
d o s
fig u ra s
o b je to
el
tie n e
g e n e ra l.
la s
e s tu d ia n
s o n d e
in te rs e c c ió n
sea
[s itu a d a s
es
n a tu r a l,
r e c tá n g u lo s ,
C o n q u e
L o s
d e
d e
p r o lo n g a d a s
s u m a
lib ro s
á t i c a
in te rio re s
F IL O S Ó F IC O
c ie n c ia
C o m te .
c o n s tru c c ió n
la
a t e m
“ Q u e
re c ta s
re c ta s
m
p u n to
á n g u lo s
p o s tu la d o s
u n a
u n
te rc e ra :
d o s
c u a l
p rim e ro s
d e
A u g u s to
d o s
A L C A N C E
5 5 . —
el
la d o
d e l
f i l o s o f í a
e x is te
o tra s
la s
la
u n a
a
la d o
E L
lia re s ,
p o r
m is m o
re c to s , d e l
d e
c u a le s
e n c u e n tra
d e
c u e n tre n
lo s
la s
e n c o n tra d a s
re c ta
q u e
e n
e t a f a s
C a n to r, y
T 3 ,
Z e u th e n ,
p á g .
5 5 .
H is to ir e
C fr.
d e s
4 .
( 2 5 )
C a n to r,
I s ,
p á g .
233
2 3 3
y
P .
T a n n e ry ,
M a th é m a tiq u e s
s ig .
L a d a n s
G é o m é tr ie l ’a n t i q u i t é ,
G re c q u e , tra d .
1 8 8 7 ,
M a s c a ri,
E l
L a
o b ra
s e p a ra lo
d e
E u d o x o
c o n
q u e
a l
lla m a re m o s
la
fo rm a
d e
g e o m é tric a ; c io n a l
d e l
e s te
d e
la
s in
q u e
se
e s tu d io
d e
p ia m e n te m a n
e n
la
a
c ió n
d e
s e g u n d o
( 2S) .
d e te rm in a c ió n
lib ro
X I I I ,
n a le s ,
q u e
5 6 . —
tic a
d e
s id o
B a jo
e l
s e n tid o
S i, e n
n a tu r a lm e n te
c o n
e u c lid ia n a
h u b ie s e
d e d u c tiv a
c e ) S e g u n d o (2 7 ) d ’E u d i d e ,
P r o d o ,
la
e n
(2 8 )
P a u l
(2 9 )
I b id .
e it.,
d e
S u r
la
4 7 ,
T a n n e ry ,
d e
d e
d e
lib r o
p o r
lib r o el
V ,
lín e a s , c o n
V I I ,
te rre n o
el
p r o
p ro p o rc io n e s
d e
n o
la
lo s
n o
la
to
s o la m e n te
p o s ib ilid a d
d e
d e
la
d e
g e o
s ig u ie n te s .
re g u la re s
la
la s
m a g n itu d e s ,
lo s
e x p o s ic ió n ,
el
4 2 6 .
C fr.
la
p á g .
8 4 8 .
l iv r e s
d e
re a c c ió n
d e
M
in o rg á n ic o
e m
o r i a
a r i t h m
1 9 1 0 , p á g .
la
e lla
d e s a rro llo la
F ilo s o fía ,
la
u n a
p u e s ,
m o d e rn a s ,
to d a v ía
g r e c q u e ,
tri- c u a d r a p a ra
d e
q u e
e c u a
c o e fic ie n te s
lib ro s
te o ría
c o n s
la
e n
el
irra c io
( 29) .
c o n s e c u e n c ia
d e s
lo s
p ro lo n g a m o s
D in a m a rc a ,
d e
e x p o
la s
p a ra
e c u a c ió n
la
X
id e a s
c o n te n id o
“ p o r
s ó lo
p o lie d ro s
d e
a p a re n te
G é o m é tr ie
el
in tro d u c c ió n
lib r o
g e n e ra l
d e
h a c e r
m a g n itu d e s
la s
c o n s a g ra d o s
el
c o n s t it u t io n
A c a d e m ia L a
p a ra
p á g .
el
b ic u a d ra d a
p a rte ,
n u e s tra s
el
e n
la q u e
c ie n c ia
in c o n m e n s u ra b le s ;
e c u a c ió n
a p lic a c ió n
p o r
I,
la
lo s
e s p e ra ría m o s
s o b re
p a re c e u n a
p r o p o rc io n a d o s
e s p e c ie
e n
V I ,
d e
e n to n c e s
ta m b ié n
p e n s a m ie n to ,
In te rn a c io n a l
Z e u th e n , B o le tín
la
s o b re
p ro p ie d a d e s
e s tá n
te o ría
te n id o
e d .
C o n g re s o
p e ro
tr a d i
( 27) .
e le m e n to s
o rie n ta d a ,
ra c io n a l
y
p a ra
s e g ú n
e n tre
tr a ta
a b o rd a
su s
q u e
el
q u e ,
s in o
lib r o
to d o :
d ife re n c ia s
la s
e v itó
re s e rv a n d o
el
s o b re
d e s o rd e n
u n a
p a ra
es
d e él
s e m e ja n z a
re p re s e n ta d o s
re to m a d o ,
u n a
lo s
p a rte ,
a p lic a c ió n
n o
se
la
p ro p o rc io n e s ,
la
E s o
p o rq u e
lib ro s a
es
e s ta b le c id a
im p lic a
u n iv e r s a l. e l
la
o tr a
e tc .,
p la n a ,
te o ría
d e m o s tra c ió n
E n
c o n
p ro p o rc io n a rá h a
e u c lid ia n a
a
es
la
re c u rrir la
E u c lid e s
g e o m e tría
p rim e ro s
e s ta b a n
irra c io n a le s
ta m b ié n , e s tu d io
e s p a c io ,
la s
E u c lid e s
y
y
P o r
la s
té r m in o s ”
. .
d ire c ta
h iz o
p ro p o s ic io n e s
lo s
g ra d o
s in o E s te
m e t r í a '' d e l
e n
X , d e
la
in c o n m e n s u ra b le s .
re la c io n e s ,
g e o m é tric a s .
ra c io n a le s ,
g e n e ra l.
s e n tid o
la s
lib r o
( 26) .
s o b re
c u e n ta
m e n o re s
c la s ific a c ió n
tru c c io n e s
L a
d e
su s
el
e n
“ la s
n u e v o
se
1 1 9
E le m e n to s .
d e
im p lic a ra
v is ta ,
e n t o s
lo s
c u a tro
g e o m é tric o
p ro p o rc io n e s
ig u a ld a d
lo s
q u e
lib r o
m a g n itu d e s
u n
d e
e x p o s ic ió n
p ro p o rc io n e s e n
E l e m
p a ra le ló g ra m o s ,
a l
n u m é ric o : él
C o n
d a ”
y
la s
re d u c irla s
la
la s
tu v ie s e n
m e n s u ra b le s
e n
d e
p u ra m e n te
d e
lo s
m é tric a
P itá g o r a s
p ro p o rc io n a lid a d
té rm in o s
n e
d e
tr iá n g u lo s ,
e s tu d io
lo s
d e
p a rte
p u n to
in m e d ia ta m e n te
d e
la
g e o m e tría
e s te
d e
o rd e n a c ió n e n
d e m o s tra c ió n
d e sd e
d e
la
m e n o s
u n a
te o re m a
s e m e ja n z a s ig u e
P o r
f i lo s ó f i c o
e x p lic a
c u id a d o ,
p ro p o rc io n e s . to d a
a l c a n c e
p á g .
1 0 1 .
d e
é ti q u e s
4 0 2 .
c ie n c ia a r itm é h is to ria
n o s
p a re c e
la
c ie n c ia
la
fo rm a
.N o
Z e u th e n ,
d e s
s o la
e n
É lé m
e!
e n ts
1 2 0
L a s
m e n te d e l
la s
te o ría s
e s p a c io
s o b re
e ta p a s
a n á lo g a s
h u b ie r a n
to d o ,
d e
lo s
la s
d e s p re n d e rs e
lo s
lo s e n
lo s
d e
lo s
la s
p rin c ip io s
E le m e n to s o b ra
e n
ló g ic a
q u e
ta b le c e r
M
q u e
e d ía ,
e l
n e c e s a rio
tiv a la
p a ra
lle g a r
E n
p u b lic a d o s ro
e s tá
lo s
e n
1 6 6 7
y a
d e
la
lo
m u e s tra
R e c ié n
e x te n s ió n ,
D is c u r s o
d e l
d e
E u c líd e s m e n ta l
el
d e
e n
el
d e
la
s ig lo
o b ra
la
lín e a
I V
d e
( y
a y
la
b a s e
E le m e n to s , e s p íritu
d e
e n
la
la
a
la
o b ra
d e
p o r
( S1) , e l
la la es
y
la
c o n s e c u e n c ia
lo s
te n ta
s e n tid o
d e
q u e
fu e ro n
lib r o
p rim e
la s
c u a tro
a
h a b la r
b ie n ,
c o m o
e x tra c to s d e
la s
o rd e n
d e
d e
u n a
A h o r a
e d ic ió n
e n
E d a d
e x c e le n c ia .
a
a lg u n o s
d e l
E u c lí
la
c o m ie n z a
e tc .
c rític a
d e
E le m e n to s
d iv e rs id a d
g e n e ra l”
d o n d e
la
E u c lid e s
e n c o n tra r
re c o n s tru c c ió n
A r n a u ld ,
la
L o s
A r n a u ld
la
d e
v e rd a d e ro
s e g u n d a
lo s a
d e fin itiv a s
G é o m é tr ie ,
c irc u la r,
d e
e n
A r n a u ld
L ó g ic a
p a r tir d e
y
d e
d e
r e la c io n e s .
y
el
u n a
e le c c ió n
fre n te
c a te d ra le s
d e
q u in to
re c ta
d e
q u e
q u e
d e
la
in te le c tu a l
s ig lo s .
a n te s
a u to r e n
té rm in o s :
e n
b a se s
la s
s e g ú n
X V I I
lib r o
su s
el
m a te ria
h o m o g é n e a
E lé m e n ts
s o n
o tro s
p a re c e
la s
o b ra
q u e
m o m e n to
la
q u e ,
in c o n m e n s u
d e s ta c a d o ,
g e n e ra c io n e s
d e
g e o m e tría S in o
s e m e ja n z a s
la
E n
a h o ra
d u r a n te e n
la
la s
c o n tin u a d o re s
c h o c a
E le m e n to s
el
in tro d u c c ió n
es,
lo s
ló g ic a
la s
el
p a re n te s c o
la s , " m a g n itu d e s
e n
lib r o
lo s
el
lo s
q u e
m é to d o
e n
d e
d e
d e
re u n id a
s o b re
c o m o
N o u v e a u x
c o n s a g ra d o
o p e ra c io n e s .
s irv e n
h a s ta
el
e n
o tro s .
h e m o s
n o s
in a d v e rtid o
re o rg a n iz a r
L ó g ic a .
la
q u e
im p re s ió n
u n id a d
A ris tó te le s ,
a
y
v in c u la d a s .
m a g n itu d e s
la
lo s
c o n s titu id a
s u c e s iv o la
d e
q u e
d e
d e s e n tra ñ a r
d a d o
la s
e n c u e n tra
c o rre s p o n d ía
p a s a d o
a p o rte
h a n
se
p ro p ia
p la n a
c o n c ie n c ia
m é to d o s ,
el d e s o rd e n
á t i c a
s u c e s iv a m e n te y
u n o s
p u e s to
lo s
fo rm a
d e b e m o s
e s tilo s , E s
su
te n e r
lo s
e n c u e n tra
re a lid a d h a
y
d e
g e o m e tría
tr a ta n
A n a lític o s
c la s e s ,
b a jo
( 80) ,
lo s
y
lo s
se
la s
E n d e s
c o n
d e
n o
a t e m
n a tu r a lm e n te
n u m é ric a s
E u c líd e s
r e la c io n e s ;
m
e x p líc ita m e n te
p o d ía
d e
la se r
c o n tin u a c ió n
E le m e n to s
ló g ic a d e
a
n o
f i lo s o f í a
q u e
re la c io n e s
E le m e n to s
d is p o n ía
d e
lib ro s
g e o m é tric a s ,
d e
la
d e b id o
ra b le s ,
d e b ía
d e
d e l
R e g la s )
s e g u id o
p o r
g e o m e rtía
e le
d e
la
re v o lu c ió n
c a rte s ia n a . A s í, n ifie s to
g ra m e n te d o s
d e
m e n te
a u n q u e
e n
la
d e n tro
É lé m
V e r titu la d o :
e n t s
d e
( S 1 )
G
é o m
é tr ie
e l
M
a t h e m
a ls
fa s c íc u lo
X I V ,
lo s
lím ite s
L a
e n
e s to
d e
a ti k e r ,
p á g .
d e
d e la
la
m a te m á tic a
C h .
d e s
M é ra y ,
y
s ig .
c ie n c ia
q u e
e t 9 0
K a rl z u r
d e
y
se
a ú n
n o
m á s
e s té n
d e s e n tra ñ ó e n
d e l
d e
d e s e n v o lv ió
e u c lid ía n a )
m a th é m a tiq u e
p á g . d e
A b h a n d lu n g e n 2 3 5
p o n d r á
p e rm a n e c ió
p r o c é d é s
d e ta lla d o
se
K a n t,
a n tig ü e d a d
L ’E n s e i g n e m e n t
a n á lis is
1 9 0 2 ,
( y
tr a s c e n d e n ta l
J u s t if i c a t i o n
V e r
A r n a u l d ,
E le m e n to s
m a te m á tic a ,
filo s o fía .
(3 0 ) a rtíc u lo
d e
filo s o fía e sa
lo s
E s té tic a
el
15
e s ta d o
d e
l ’o r d o n n a n c e
d e
c o lm a e fe c tiv a d e
m a rz o m e s
m a ín te
t r a n - 30*
d e
1 9 0 4
N o u v e a u x
sig .
B o p p ,
A n t o i n e
G e s c h ic h te
d e r
A r n a u l d ,
M
d e r
a th e m a tik ,
g r o s s e
L e ip z ig ,
ex
E l
s ic íó n se
y
d e
o
p o r
a l
lo s
q u e
tó te le s , la
n a d a
es
ta rio s q u e
su
c u a l
d e
c o n
lo
o
h a c ía
r e la c ió n
filó s o fo
c o n s is te n te p a ra
d is ta n c ia P ro c lo ,
p la tó n ic o , á n g u lo
la
—
p a r a
el
q u e
ta l
c o sa
d e
m e n te
d e
L a
la
d a to s
d e
c o sa s,
m is m a
el
p e n s a m ie n to
(3 2 )
P r o d o ,
(3 3 )
T ra d u c c ió n
p á g .
se
q u e
q u e
1 2 3 .
la
C fr.
d e
lo
e sa
o
c ie r to
s u p e r fi
b u e n
n e o -
p a r tic ip a r
e n
q u e
a l
fu e ro n
v e rd a d se r
d e
la s
s ó lo v is to
e n
e llo s
L a
c la s ific a c io
m e ta fís ic a s ;
d e s p re n d e r
d e
p u r o
h e m o s
d e
c o n c e d id o
p o r
A ris tó te le s .
d e
e n tid a d e s
e llo s
h u m a n o
s u g e rid a
p e ro
d e l
re a lid a d ,
e s p íritu
la
d a to s
q u e
e n
lo
d e l
m is m o
d a to s , lo
q u e ,
M e d ía ,
lo s
p o d id o
se r
c o n s e rv a
p o r
h a b ía
n in g u n a
H e a th ,
N o
u n a
t.
V in c e n t,
I,
to m a d a
re s p e c to
s ilo g ís tic a .
d e
e n
e s te riliz a c ió n
E s
a ris to té lic o ;
s o b re
e x p e rie n c ia
re s u m id a
d e
u n a
lín e a
te n d rá la
v ir
im p líc ita m a n e ra
el
d a to s .
h a
A n a lític o s
la
h a
eso s
ú ltim o , e ra
u n a
h a c ía
s u rg ir
E d a d
a l
a
d e
la
e so s
P o r
c o m o
s e m e ja n te
e n g e n d ra ría
to d o
o
y
y
q u e
e n
s u p e r fic ie
m id ie n d o
lin e a ,
h a r ía
d u d a ,
E u d e m o ,
la
b a jo
p u n to ,
q u e
d e
d e
A n tio q u ía ,
s in g u la r.
o r g a n u m
n o
a c titu d
in m e d ia to s
a h o ra
f in
r e la c ió n , s u p e r fic ie
c a te g o ría s .
a l
n a d a
d e
d e fin ic io n e s
c o n s titu y ó
g rie g a
u n
a m b ic io s o s
d e d u c tiv o
lo s
d e
d e
u n a
o b lic u id a d .
c o m p r e n d id a
d iv e rs a s
m á s
p e ro
la
C a rp o
c ris ta liz a c ió n ,
s in
g e o m e tría
c o n s titu c ió n
esas
la s
o rd e n
a g re g a r
e n
d e
c o m e n
c o n s id e ra b a
s u p e r fic ie .
S iria n o ,
p o n e r
c o n te n id o ;
o
o
re s p e c to
lo s
S e
a fe c c ió n
e s ta
e rig id a s , d e
o tr a
d e
d e sd e
se
a
e n
d e l
A r is
c a te g o r ía
e s te
c a te g o ría
d e
ló g ic a
e x tra ñ a
m e c a n is m o
d e re c h o
r io r
es
la
D io -
p o r
la
A
( 3 2 3) .
lín e a
c a l i d a d : la
p a ra
p a re c e
a c o rd a d o
n a tu ra le s ,
d e l
la s
A ris tó te le s
p re te n s ió n
tu d
d e
p o d id o
c ré d ito
ló g ic a n e s
h a
a
n o
n a tu
e d u c a d o re s
d e fin ir
p a r te s
ta l
u n a
a
la
A p o lo n ío ,
lo s
im p u e s to s
e n s e ñ a n z a
d e
d e
y
d e
d e s c u b rim ie n to s
c o n s e rv a d a
u n a
r e la c ió n
s ó lid o )
to d a s
n o s
lo s
á n g u lo
d e
r e c titu d
d o s
la
g rie g o s
id e a
c o n o c im ie n to
ra c io c in io
la
lo s
L a
lim ita b a
d e l
a lr e d e d o r
ta s a
U n a
g e o m é tric o
m is m o s .
la
sea
n a tu r a le z a
5 7 .
p o r
d e fie l
s in te tiz a b a
d e
s a m ie n to
el
e n
fle x io n a d a
la
c o n
d e
m a rc o s
á n g u lo
él u n a
A p o lo n ío ,
s u p e r fic ie
s o m o s
o e n
a n tig ü e d a d
in v e s tig a c io n e s .
in c lin a c ió n
lín e a
L a
u n iv e rs a l
A rq u ím e d e s ,
d is c u s ió n ,
el
d e jó .
c ie n tífic o
se
n a tu ra le z a
la
s u p e r fic ie ,
( 83) .
la
la
121
e n t o s
c ie n c ia
lo s
su s
c o rre s p o n d e r
( sea
m o d o c ie
la
c o m o
o tr a
P lu ta r c o ,
c a n tid a d u n a
a
d e
q u e
p e rip a té tic o , v e ía
d e l s ó lid o
p a ra
o b je to
E l e m
h u m a n o
d e
e s p e c u la tiv a
s o b re
d e fin ía
la
re n a c im ie n to
s ig n ific a tiv o
E u c lid e s
a
h a c e r E u c lid e s ,
R e s p e tu o s a
el
lo s
E u c lid e s
p e n s a m ie n to
m o d e rn o .
P ro c lo ,
q u e
d e
e x te n s ió n
d e l
c u rio s id a d
m á s
p o rq u e
d e l
p e rte n e c ía
e n
la
d e b ie ro n
in ic ia d o re s
p e n s a m ie n to
a
b u s c a r
a n á lis is
a d m ira b le s f a n to ,
f i lo s ó f i c o
h e te ro g e n e id a d
p re o c u p ó
ra le z a
a l c a n c e
p á g .
la
p re te n d e
e s p e c ie
o b .
p o r
d e
d e
m o d e lo re a lid a d
o p e ra r
p á g .
s o b re
tra s m u ta c ió n
1 7 7 .
c it.,
2
y
s ig .
e n
la
e x te lo s q u e
p e n
1 2 2
L a s
lo s
h a r ía
ta l
o p e ra c ió n
s e m e ja n te s
a n tig u a ,
d e l
fo r m a
p u r a
se
d e l
p o r
c u y a s
c r ític a
sí
d e l L a
d e
u n
c o n d u z c a
a l
e s tu d io
la
m o d e rn a .
c ie n c ia
e u c lid ia n a ,
la s
s e n tir,
la
p o r
y
e n
E s ta
c ie n c ia
h ip ó te s is
e n
a c e rc a
q u é
h ip ó te s is
d e l
fís ic o
E d .
. .
D ie ls ,
p h y s iq u e p á g in a
d e 1 2 2 .
q u e
lo
C o m e n ta rio
P la to n
1 8 8 2 , a
la
n a tu q u e
la la
d e
d e
e q u ilib rio
e n
el
y
la
la
e s p a c ia l
a r m o n ía
e n
el
se y
e s ta d o
fin a m e n te
p o r
la
p o c a la
e s ta
la
f u n
d e
g ra c ia
K a n t
e n
la s
d e l
d e c id ir
la
d e p á g .
G a lilé e ,
es y
q u e
q u e
n o
ej p rin c ip io d e
la
d e
d e d u c c ió n
te o re m a s
s o b re
la s
la s
m a g n itu d e s
re la c io n e s
g e o m é tric a s
n o s
m o tiv o s ,
n o
d e l
fu e ro n
y
h a c e n
la
se
p re
c o n c e p c ió n
s in
p la to n is m o
re fle x ió n
L a s
e m b a rg o ,
e s ta
c o n c e p
im p u s ie s e
d e
a l
S im p lic io
esas
e n
a
d e l
la
a n tig u a
a
c fr.
la
y
e l
se
d e
E ssa i
p h ilo s o p h ie
el
d e
es
lo
y
su s
A ris tó te le s ,
II,
n o tio n
c h ré tie n n e ,
a
m a y o
la t o - 34*
q u e
e s tá
in tro d u c e
e x a m in a
to m a r
la
ra s g o s
v iv a
b ie n ,
m u e v e n ,
sur
d e L a
( 84) . lo s
m á s
q u é
a n te s
d e
e s tá n
o p o s ic ió n
lu z
la s
m a te m á tic o
u n o p o r
se
s e g ú n
fís ic o .
fís ic o
s u
H a
a l
a l
c o n o c e r
o tro s c ie lo .
F ís ic a
D u h e m , d e
e n
e n s o n
m a te m á tic o
o tr o :
es
es
fís ic o
a p a rie n c ia s
m o v im ie n to ;
[fijo s ]
d e l
E l
p e rte n e c e n
a s tró n o m o
e n
g e o m e tría
c o rre s p o n d e
a p a re c e rá
a p a re c e
A n n a le s
d e
c ie n c ia
e s tá n
la
m o v im ie n to s ,
m a te m á tic o
la
a b s o lu to
2 9 2 ;
lo s
d o m in io
p r in c ip io s
c o sa s
se
d e
d e c is ió n el
q u e
c a te g o ría s
m a te m á tic o .
c u a le s
ta l
p e rm a n e c e n q u e
q u e
lo
n a tu r a l
s o b re
la s
in flu e n c ia
o p o s ic ió n
e n
s ie n d o
es
d e
o tro s
fís ic a .
h o r iz o n te
q u é
p u e s
a s tro n ó m ic o ,
d e
lo s
la
u n o s
d e
lu z
c a rá c te r
y
c o n c o rd a rá .”
a
m á s
p rin c ip io s
fo rm a l
u n iv e rs a l;
u s u r p a r
d e l
P e ro
re p o s o
B e rlín ,
e so
lo s
c a n tid a d ;
o
fra c a s o
u n a
p o d r ía
el
y
a
q u e
c o rre s p o n d e
d e
e s té
n ú m e ro s ,
c o n fig u ra c ió n
h ip ó te s is ,
m e jo r
“ is ío
c ie n c ia a
u n a
c ie n c ia
g rie g o s .
la
la
te n e r
n o
la
im a g in a c ió n
E le m e n to s
lo s
d e l
s o b re
re a lid a d ;
m o d e rn a .
(3 4 )
lo s
ú ltim o
re s tric c ió n
n a tu ra lm e n te
la
s u p e rio re s
la s
q u e- s e ñ a la n
u n a
d e
d ib u ja r
la
u n o
m u e v e
lo s d e
c o n o c e m o s
a
e je rc e r
s in
c o n
d e
ló g ic a
m e c á n ic o
d e s p u é s
n u e v o
d e
c o n
a p a rie n c ia s
d e l
la
in te le c tu a l
a q u í
e n
o rd e n
c ie n c ia
d e
c a p a z
a c u e rd o
se
la
q u e
je rá rq u ic a m e n te
ta re a
d e
a n a lo g ía
c o rre s p o n d e n c ia
la
c u a l
c a lid a d e s
la
p a r a
d e
ta n
la
fin ,
d e
la
p e rm a n e c e ,
d e
L a
q u e
c o n fo rm a
a n tig u o s
c u a lita tiv o
la s
n o s o tro s
D e
a n a liz a d o
te o ría
e n
el
e s p íritu
la
s u fic ie n te s
to n c e s
lo s
in tro d u c c ió n
s u rg ie s e
el
h a
d e
d e
re p re s e n ta c ió n
e n
d e
d e
c o n c ie n c ia
c u a l
in te le c tu a l;
re a lis m o
p u n to
fu n c ió n
c u a n tita tiv o
re la c io n e s a
la
ló g ic o , la
u n
s o b re
c a rte s ia n a
c ió n
d e
e s tu d io
p ro p o rc io n e s , irra c io n a le s ,
e l
el
b e lle z a .
g e o m e tría
lla m a re m o s
c o n
e n
a c tiv id a d
e la b o ra c ió n
d e
á t i c a
s e m e ja n te
h a lla r
e n tre
c o n d ic io n e s
ju ic io
la
c a ra c te re s
s im p lic id a d
m is m a
a t e m
c o n
n a d a
L a e n
m
d e
lo s
c o n o c e
s o la m e n te
in te lig e n c ia ,
e s té tic a
s ie m p re n o
la
f i lo s o f í a
n a tu ra le z a
e n c a d e n a m ie n to
c o m o
d e
la
p e n s a m ie n to .
e n c u e n tre n
b le z c a c ió n
d e l
à e
c o n tra d ic c ió n
q u e
c o n s is te
c la rid a d
la e n
s u b o rd in a
o b je to ,
g e o m e tría
a
e s ta ría
q u e
ra le z a
c u a l
e ta p a s
c o n
p rin c ip io s 1 9 3 b d e d e
2 3 .
th é o r ie 1 9 0 8 .
E
d a v ía ,
u n a
v e z
e u c lid ía n a ,
la
s ig lo
e n
X V II
re e m p la z a r n is m o ta n to
la
s o b re m á s
m e n o s ,
a
l
a lc a n c e
q u e
h a y a m o s
fis o n o m ía la
e s c u e la
ló g ic a u n a
fá c il
d e
la
b a s e
v ís ta ,
q u e
la
c o m o
lo s
E l e m
d e te rm in a d o ,
c a rte s ia n a :
p o s itiv a .
d e
m a te m á tic a
a ris to té lic a
c u a n to
p rim e ra
f i l o s ó f i c o
u n a
fre n te
ta l
c u a l
ló g ic a
c la s e s
d e
la s
L a
c o m p a ra c ió n
m a te m á tic a s ie n d o
12 3
e n t o s
y
a se
la
m a te m á tic a
p re s e n tó
u n iv e rs a l a
re s ta u ra r se rá
c a rte s ia n a
e s e n c ia lm e n te
p o r se u n a
e n
lla m a d a a l o tr a
el a
p la to p a rte
p re s e n ta
a l
g e o m e tría .
C
L A
5 8 . q u e u n a
p a ra
q u e
e s tá
e n
ria l
p a ra
lo s
fe c h a s
m ie n to s ;
h u b ié s e m o s
si
n o
H e
a q u í,
d e
tr a ta r
a n te
el la
a
d e
d e
d e
la
re v o lu c ió n
E l
fra g m e n ta rio s la s
q u e
o b ra s ,
s o n
d ire c ta m e n te
m e n u d o
s u c e s ió n
lo s
p ro b le m a s
p re c is ió n
a s p ira r
se
y
e n
ilu s io n e s , q u e
d e
es
lo
q u e
re fie re
lo s
o b ra s . la
c o n o c e
y
d e
la s
L a s
in v e s
filo s o fía
m a te
o b je tiv id a d
c a p ítu lo s
a
la s
p re c e d e n
c o m e n z a rá
a l
la s E n
d e s c u b ri
tr a b a jo s
u n a
d e
a c c e s ib le s ; d e
n o
m a te
s a b io s .
d e
n u e s tro s
n u e v o
d e
la s d e
d e
lo s
d e
y a
filia c ió n
d e
fe c h a s
c o m u n ic a c io n e s
e s c la re c e r u n a
y
p o r
p e n s a
el
s irv e n
la
a
la s
d e l
s e ñ a la r
h is to r ia d o r
le
la
e s té rile s ,
c o n s titu tiv a s
d e b e m o s
e s tu d io s .
d e
s id o
id e a s
filó s o fo s
la s
p o d id o
h a n
la s
lo s
e x p lic a n
to d o ,
s is te m a
la
la
d e
c o m o lo s
a
la
d e
es
la q u e
p r ó x im o s
p o s ib le
in v e n to re s .
si
d e
a
a p a re c e r
e s ta b le c im ie n to
se
p o r
s in g u la r
in te ré s
p e rm ite
c o n d u c ir
q u e
s o lu c ió n
e m p le a d o
e n s e ñ a n z a m u y
h a lla z g o
tra d u c c ió n
p u b lic a c ió n
s a c a r
d ife re n te s
u n
d e
g e o m e tría
d e s c u b rim ie n to s ,
e s p íritu
q n e
p a ra
a b o r d a n d o
p e río d o
s is te m á tic a m e n te
a n te r io r
s ig lo s
fis o n o m ía
h a c e m o s
d e l
N A L I T I C A
d e
la
a n a lític a .
o b je to ;
s id o
n o s
A
n u e s tro s
d e
I I
D e s c a rte s ,
o rig ín a le s
a
V
o
y
p u b lic a c io n e s ,
q u e
l
d e
in flu e n c ia
id e a s
e s tu d io
b le m a s
la
u
s in o
d o c u m e n to s
s u s c e p tib le s
g e o m e tría
tr o
d e
d e s tin a d a s
n o
y ,
to m a r
in f o r m a d o
d e
s o n
el
la s
e s tá
tig a c io n e s m á tic a
e n
a
e s c rito s
d e
in flu e n c ia s
te s ;
v a n
re c íp ro c a
a d e la n te
lo s
m is m a ,
n o m b re
re c o n s titu ir
la
c u a le s
a l
í t
E T R I A
m a te m á tic a ,
p re s e n c ia
id e a s ,
p
S a lv a n d o
c ie n c ia
lig a d a
c a rá c te r
la s
la
filo s o fía
m ie n to
G E O M
—
n o
a
d e
e c u a c io n e s
F e rm a t
G e o m e tr ía c o m p o rta p o r
su
e n d e
la
u n
la
n u e s
lo s
p r o
a lg e b ra ic a s e s c rito
D e s c a rte s .
s im u lta n e id a d
c o n te n id o
c o n s id e ra
p a ra
té c n ic o ,
o rie n ta c ió n
h a
q u e
es
D e b e m o s d e p e ro
g e n e ra l
eso s ta n d e l
c ie rto
1 2 6
L a s
e ta p a s
S
EL
5 9 . —
"IS A G O G E
E l
“ u n a
s ó lid o s
q u e
a l
la
re s p e c to ”
fo r m a
m á s
fá c ilm e n te e n
u n
si
e s tá
s ic ió n ”
É lo g e
s a v a n ts ,
e l
s i
H e n ry ,
q u e
a
e n
a llí,
se
lu g a re s
q u e
y
d e
:
lo c o s
u n
s o la m e n te
la
[g e o m é tric o s ]
la
d e l
e te n
e s ta b le c e rs e
re c to ) [la ]
d e fin ic ió n la
y
p o
d e
la s
e c u a c ió n
G e o m e tr ía
p la n o
y
d e s c o n o c id a s
p o r
ta m b ié n e n
p la n o s
e n u n c ia d o
á n g u lo
d a d a
u n
p u b lic a d o
“ P u e d e n
s u m o
su s
es
p la n o s
h u b ie s e a d
a q u é lla s ,
b u s c a rá
q u e
p ro b le m a s
c a n tid a d e s
s in o
e n tre
s ó lid o s ,
a n a lític a ,
( 2)
a p a re c ió
s e ñ a la b a
Is a g o g e
lo
d e
n o
E lo g io
d e l
d o s
g ra d o ,
v a n o
lo s
c o m ie n z o
la d e
d e
d e
a l
n in g u n a e c u a c ió n
s u
R e v u e 1 5 7 .
( 3 )
T U .,
( 4 )
I b i d .,
t.
I,
y y
e n
d e
u n ( I I 2 ,
d o n d e
a l
lu g a r p á g .
p á g .
so b re u v r e s
p o r
T H .,
C a n to r,
y
d e
d e l
d e
1 6 3 7
e s p a c io .
—
d e
I s a g o g e
F e r m a t,
t.
I I ,
p á g .
c o n
8 1 7 ) .
M
C fr.
1 9 0 6 ,
t.
I,
m u y
e d .
P a u l
y
c a rta d e
s o b re
e l
T a n n e ry -C h a r-
d e s c rip to
7 3 ,
y
e l
e s ta b le c i
c o m o
D e s c a r te s
p á g .
u n a
c o n te n to
to p iq u e
c la rid a d
ilh a u d ,
p o r
1 3 4 .
h a
ta n ta
J o u rn a l
T o u l o u s e ,
" E s ta ría
D e s c a rte s
g e o m é tric o
e s c rib e d e
B ra s s in e
P ie r r e
re c ta
in d e fin id a
( f ig .
4
)
.
S u p o n e
d e te rm in a d o
la s
c a n tid a d e s
to
N Z N M
L u e g o ,
( P r é c is
F e r m
T o u lo u s e ,
p h a n te ,
a
m i
d e
c o n firm a d o
e t
N
F e rm a t
la
a l
g é o m é tr ie
o u v e l l e s
É tu d e s ,
9 2 .
q u e s
tá
e s tá
F e rm a t:
Œ
s c ie n c e s ,
F e rm a t,
P a r la m e n t
p a s a je
e s c rib e
o tr o ” .
d ic e
a u
E l
P a s c a l
a d e la n te
d e s
1 8 9 1 , 9 5 .
c o n s e ille r
1 6 6 5 .
d e
p a rte ,
g é n é ra le
p á g .
d e
1 6 3 8 ,
u n o
I s a g o g e "
1 9 1 1 ,
F e r m a i,
fe b re ro
R o b e rv a l
v is to
a n a ly tiq u e ,
p á g .
d e
d e
d e s ig n a m o s
" E n d e
A i.
9
fe b re ro
h a n
q u e
( 2 ) m ie n to
d e
ju ic io
A p p e n d i x ,
le s
d e
lu n e s
M e rs e n n e ,
s a b e r
( 4) ,
e l
a
*
F e rm a t,
d e se a rse
u n a
S O L ID O S "
D e s c a rte s
fija m o s
s e g u n d o
E T
T .
I 1 )
a
e n c u e n tra d e
d e
t
g e o m e tría
to m a re m o s
S e
c u rv a s
In tro d u c c ió n
d e !
d e s
( y
a
á t i c a
p la n o s
q u e
la
si
m
s o lu c ió n
e fe c to ,
d e
p u e d a
té rm in o
re c ta
( * ) N .
q u e
la
a n te s
e n
u n
( 3) .
lín e a
Y
r
d e
lu g a re s , a
v is to
e
a t e m
C a rc a v i)
m u e rte
lo s
e c u a c io n e s
d a d o
d a d o
la
F
m
PL A N O S
d u d a
p rin c ip io
p re c is a
á n g u lo
A . —
LO C O S
a
( 1) .
el
[la s ]
p rin c ip a le s la
s id o
f i l o s o f í a
n
c o n c e rn ie n te
h a b ía
c o n tie n e
la
i ó
d e
in tro d u c c ió n
a n a lític o
n a d a
c
(s in
d e sp u é s
tr a ta d o
s o lid o s
c
A D
a u to r
in m e d ia ta m e n te o b r a s
e
d e
a t
so b re
la
q u e
la
b
la
re p re s e n ta d a si
se
u n e
I N ,
o e u v r e s
V A r it h m
p á g . c u a l
to m a
p o s ic ió n
la s
p o r p o r
y
c o m o
y s o n
s e g ú n
a ti D
d x e l
I =
la
N . e s b y ;
s e g m e n
p e rp e n d ic u la r
c a n tid a d e s
i o
u n a
fijo
p u n to
d a d a s ;
la
d e
p u n to u n
c o n s ta n te
lín e a s x ,
a th é m
c o n s id e ra
u n d e
m
é t iq u e
1 1 ) ,
re la c ió n
s o n
re p re s e n ta d o
d e s
d e
1 8 4 3 ,
p o r d ,
e t
IZ
v a ria b le s .
re la c ió n
e s ta b le -
E l
y
e n
lo s
e s c rito s
“i s a g o g e
d e
su s
ta
c u w a tu m
lin e a r u m
la
e x p re s ió n
m á s
b ra ic a
y
la
s e g ú n
e s c rib e ,
tr a d o
la
g ra d o
a
c u rv a s
o
s e x to
d e l
d e
s e g u n d o
d e
d e l
el
6 0 . — n o
s e g ú n
to d a
S i
d e
la
se n
p re s e n ta d o
d e
d e
el
D e s c a rte s .
d e l
6 1 .
la
1 6 6 0 ,
n o v e n o
o
h a s ta
fo rm a
a lg e
o
m o s
u
o c ta v o
d e l
d é c im o
c u rv a s d e l
(s in o ,
h a
s é p tim o
e x ig ía
s é p tim o
E le m e n
c o m p le ta r
E n
d e
d e l
a l
d e l
q u in to
o c ta v o
p a ra
el
h a
el
s ig lo d e
u n y
q u e
es
a l
s id o y
d e
e n
C u a n d o , el
s e c c io n e s
h u b ie s e
a le b ra n c h e
q u e
le n g u a je
a
y
c re e r
n o
el
S p in o z a
d e
el
u n a
e ru d ito ,
y
E s
q u e
c o n c e p o rig in a l
c o n tra rio , q u e
a n te rio re s
d e
d e s
h u b ie
u n a
su c e so re s
q u e
a fe c ta d a ,
e n c o n tra m o s .
u n
D e s
h u b ie s e
q u e
s id o
d e
p o r
p rá c tic o s
es
la
re to m a
a
é l,
p a ra
d e
A p o -
s im p lic id a d .
c o m e n ta d o r,
e l
e x é g e ta
A le ja n d ría .
d e
lo s
p ro c e d im ie n to s lo s
s o rp re n d e
a l
g e o m é tric a
y
su s
q u e
c o n je tu r a r
p ro c e d e
tie m p o
c o n s id e ra
se
y
e lla s q u e
Is a g o g e ,
el
d e
in s tr u id o
á lg e b ra
e n
le g a
E l
p a r tic u la r
c ó n ic a s
u n
d e
d ifíc il
e le g a n c ia
h is to r ia d o r
d e
es
m is m o
D io f a n to
m a te m á tic a
n o
M
d e
la
X V II
q u e
d e
h ip ó te s is p o d r ía
p e ro
p ro c e d im ie n to s g ra d o
la se
d e
m e tó d ic o ,
c ie n tífic a .
a lto
P e rg a
fo rm a s
e v o lu c ió n
c ie n c ia ,
lo s
c o n s titu tiv o s
la
d e
"IS A G O G E ”
h ic ié ra m o s
s is te m á tic o
o b ra la
m á s
—
D E L
G e o m e tr ía ,
d o c trin a s
té c n ic o ,
m o d e rn o s la s
la
e n
v e rd a d
F e r m a t d e
O R IG E N E S
rig o r
la
p r o f u n d iz a
re n te s
d e
lo s
re m o n ta
e n tre
p ro b le m a s
D e s c a rte s
e n
c o m o
c a p a z
p ro b le m a s
q u e
c o n s ig u ie n te
la s
d e
la
u n
lle v a rlo s
s o b re
es
d e
lo s
p ro f u n d a m e n te ;
es
u n iv e rs a l
n o c ió n
lo s
o b ra
lo s
e s c rito
p a r tic u la r
G e o m e tr ía
ío n ío
h a s ta
( 5) . A s í
F e rm a t
p ro b le m a ,
filo s o fía
e n
o b ra
i tt
1 2 7
s o lid o s
c o rre s p o n d e n c ia
la
v e r o s im ilitu d
q u e
y
p o r
h u b ie ra
m o d ific a d a
a rro llo
c ió n
e t
( 6) .
c a rte s
la
W
re d u c ir
m ie n tra s
p rim e r
-p la n o s
c o m e n ta d o re s ,
d e
la
c u a rto ,
LO S
s id o
d e
c o rre g ir)
s e x to ,
p a ra
J e a n
g e o m é tric a ,
p o s ib ilid a d c u rv a s
a
lo c o s
p rim e ra s d e
s im p le
fo rm a
a d
tr a b a jo s e n c o n tr a r
q u e ,
re p re s e n ta c ió n ,
c o n
la
s ig u e
a n a lític o s d e a llí
lo s
a y u d a
u n
d e
A p o lo n io ra s g o s
d e
c u rs o
d ife
p a ra le lo
\ c id a
la
q u e
n o
ra z ó n
y / x
v a ria n d o
d a s -D e m o u lin , p á g .
e s e l
L e
c o n s ta n te
á n g u lo
N
p a ra
e l
C a r té s ia n is m e
to d a s
lu g a r
o u
la
d e l
la s
p o s ic io n e s
p u n to
v e r ita b le
I
s e rá
r é n o v a tio n
d e l
la
p u n to
re c ta
d e s
N
I ” .
s c ie n c e s ,
1 3 .) ( 5 ) (6 )
R .
C a r te s ii
T H .,
t.
I,
G e o m e tr ia , p á g .
1 2 9 .
2 ?
e d .,
t.
I l,
1 6 5 9 ,
p á g .
2 4 4
y
I,
s ig .
re s u lta rá
( C f r . t.
I l,
B o r1 8 4 3 ,
1 2 8
a l
L a s
d e
la
g e o m e tría
s im p le ,
el
o rd e n
in tr o d u c ir
la s
f u n d a m e n ta l 5 )
;
sea
d o
u n
s o b re
tic a
d e
d e
la
c u e rd a
E
c o n
A B
y
el
( 8) .
B ;
d e
E B
c o rta lo s
e n
d o s
d e
F
a
la
F
C B
_
S ea
u n
lo s
d o s
e je m p lo
h o y
fig u ra
e n
C D ;
y
la
E
2
Ä B
el
la
c u a d ra d o
A C e n
y
C B
re p re s e n
a lg e b ra ic o s ,
E le v o
d a
(fig . to m a
c a ra c te rís
e n
lo n g itu d
le v a n ta d a
C F B
te o re m a
A C
la
c o n s is te
A E
p a ra
e lip s e
e n té rm in o s
a
A E B
el
u n a
s e g m e n to
a u x ilia r.
d o y
m á s
A p o lo n io
s e g m e n to s
A p o lo n io
p e rp e n d ic u la r
A
el
c ó n ic a s ,
I I I ) .
c o n ju g a d a
d e
u n a
to m a r
c o n s t a n t e -------- - e n t r e a
d e
d iá m e tro ,
á t i c a
re c u rrid o
2 a ,
c u e rd a
triá n g u lo s
C
d e
X
q u e tra d u c iría m o s
a!
p o r
h a
s e c c io n e s
re la c ió n
c o n s tru c c ió n
d e
d e
p ro d u c to
a t e m
a q u í,
lo n g itu d
u n a
m
c u a l
( p r o p .
E l m é to d o
p e rp e n d ic u la re s
m e ja n z a
lib r o
s e rá la
re la c ió n ,
la
e s p e c ie s
p r im e r
C D ,
e s ta
la s
a l
fig u ra ,
ta r
C
H e
d iá m e tro , y
d iá m e tro
f i lo s o f i a
( 7) .
d iá m e tr o
d e l
la
c o n s id e ra c ió n
d ife re n te s
ese
d e
a n a lític a
d e
d e l
la
m e d ia n te
e tà .f a s
e n
A
y
2 p , C .
L a
e n u n o se
p ro p o r c ió n :
p
l a
d o n d e : P
C F
=
—
C B
.
A C
.
a L a
e c u a c ió n :
C D 2
—
C B
a
to m a r á
e n to n c e s
( 7 ) e n
C h a s le s ,
g é o m é tr ie , ( S
)
la
y
e r
B ru s e la s Z e u th e n ,
fo rm a
A p e r ç u ( 1 8 3 7 ) , tr.
C D 2
=
A C
h is to r iq u e 2 ?
M a s c a ri,
e d .
s u r
C F .
l ’o r i g i n e
1 8 7 5 ,
p á g .
.
1 6 7
p á g . y
e t
le
1 8 .
fig .
2 0 .
d é v e lo p p e m e n t
d e s
m é th o d e s
L o s
S e e lla
v e
d e
in m e d ia to
d e te rm in a
re la c ió n d e l
q u e
s o b re es
re c tá n g u lo
d a
C D .
d is , la
a
d e
d e
m a d o
s o b re
el
ra
n e c e s a rio
q u e
es
p o r
o tra
e s ta
e x p re s io n e s
d e
g e o m é tric a ; la
c ie n c ia
T a m b ié n fo r m a
y
y
q u e
ta l
p o r
d e
n o
esas
d e l
ra s g o
(c u y a
d e l
d e s c u b rim ie n to 1 4 4 2
a
m a g n itu d ,
lín e a s
re fe re n c ia
d e
e sfe ra .
o rd e n a d a , d e lo s
la
L o s
fo r m a ;
(9)
I b id .,
" L o
p á g .
o b s e rv a c ió n
s o b re
e p íg ra fe
s u
d e
C o p e n h a g u e , la
q u e
e x p o s ic ió n
1 8 8 6 ) , d e
lo s
su
re la c ió n
s id o el
e l
h a
e x p re s a d a
re c tá n g u lo
s o lu c ió n ;
d e
c a so
d e
m a n e
p a rtic u la r,
o b je to
u s o
s e g ú n
d e
la
y
la s
re p re
la
d if i
la
e s p e c ie s
d e
d u ra d e ra se
d im e n s io g e o m é tric a , u n
s a b io
p u n to
q u e
c u a tro
e d i
la s
v a ria c io n e s
s u p e rfic ie
h a b ía n
s id o se
O re s m e
lín e a
la s
tra z a d a s
lla m a
a b s c is a s ,
d e te rm in a d a
p o r
d e
p la n a
re p re s e n ta n
N ic o lá s d e
a
la titu d in ib u s a l
u n a
n a tu r a l
re c ta n a u x ilia r
s u c e d ie ro n
re p re s e n ta r
c u rv a
d e
c o rre s p o n d e r
y
s o b re
q u e
c o o rd e n a d a s
n a tu r a le z a
T v a c ta tu s
g ra n d e
d e c ir,
la a
la s
c o o rd e n a d a s
re p re s e n ta c ió n
E l
a
d e
s in o
p a re c e
e n to n c e s
L a
d e t o
la s
s o b re p o r
la
la titu d
re p re s e n ta lo s
p u n to s
1 6 9 . fa lta
la
o b ra
c o n
fe n ó m e n o
es
a l
im p re n ta ,
lo
s irv e n
s e g m e n to
e s ta
h a
c a d a
e v id e n c ia
e n s e ñ a
a sí
e c u a c ió n
c o m p lic a c ió n
a p lic á n d o la s
fu é
h a s ta d e l
lo n g itu d ,
q u e
e n
la
d e
la
y
la
d a r
O re s m e .
d e
tr a z a d o
la
( 10) .
h o n o r
c o rre s p o n d ie n te s .
( 1 0 )
s u rg e n
tr a n s p o r ta n d o
g ra d o s
la
m e d io
e m p le a n d o
1 5 1 5 ) ,
c o n s titu y e n d o
tie m p o s
el
h a
c o m b in a c io n e s ,
g e n io
in flu e n c ia
c u a lq u ie r
u n a
p a ra
c u e r
m u ta n
c o o rd e n a d a s .
n o
d is tin to
la
q u e
y
a u x ilia r,
n o
E l
m
d e sd e
p o s ib le ,
d e
N ic o lá s
d e s p u é s c io n e s
g e n e ra lid a d
e q u iv a le n c ia
d e
e le m e n to s
v e rd a d e ra s
u n a
la d o
q u e
c o n ju g a d a
m ú ltip le s
p o n e r
fo tm a m
lo s
q u e
d e
m u ta tis
d e c ir
es
e n tre
la
p o r
s o lu c ió n
d e
d o n d e
c a lo r.
la
la
c o n fu n d irs e
X IV ,
a
in te g ra n te s
c o o rd e n a d a s
e l
s ig lo
d e
A p o lo n io
p a rte
y
A C
v a ria b le s
re la c ió n
c o n s tru c c ió n
p o s ib le *
p o d ía n
e je m p lo
fra n c é s
d e
u n
o tr a
la
( 9) ,
d e
s im p le
p o r
m e tó d ic a
n e s
fu e
m á s
g u la re s ,
si
tie n e
e s ta
a
s e g m e n to
m e d ia n te
q u e
c u e rd a
c o m o
te o re m a
Z e u th e n
c u lta d
la
q u e ,
e s ta b le c e n
s e n ta c ió n d e
p a p e l
el
p o d e m o s
a tr ib u ir
p a rte s
u n se
e x p re s a
a p lic a
el
y
e le m e n to s
c u a d ra d o
re la c ió n :
s ie n d o
p a rte
se
C D
lo s
p a rá b o la ,
e x p líc ita ;
s ig u e n
y
la
S ó lo
re fe re n c ia ,
s o n
12 9
is a g o g e
re p re s e n ta c ió n
c la ra m e n te
fo rm a
el
d e l
c u e rd a
q u e
p o d e m o s a
— ta n
u n a
a la
d iá m e tro ,
6 2 . p e rc ib id a b a jo
y
g ra d o ;
la
A p o lo n io
a
p a r tid a
y c o n
c o m o
a d e c u a d a
s e g u n d o
p u n to
g e n e ra l,
h ip é rb o la
fig u ra
q u e
d iá m e tro
A C .C F
L u e g o ,
la
el
o r íg e n e s
a
A r i t h m D
n o
i e
lo s
L e h r e
s o n
m a te m á tic o s
é t i q u e v o n
ta n to
m é to d o s ” .
g rie g o s ,
p y th a g o r ic ie n n e , d e r
lo s
B u lle tin
d ic e q u e
K e g e l s c h n i tt e n
m é to d o s d e s
. . .
s c ie n c e s
c o m o
P a u l
T a n n e ry
Z e u th e n in
la s
A l t e r t u m
h a
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e d .
,
fó rm u la s
m a th é m a tiq u e s ,
( e n
to m a d o
a le m a n a ,
p ro p ia s
1 8 8 5 ,
p á g .
p a ra 8 6«^,
s id o
1 3 0
d e
L a s
in te rs e c c ió n
fe n ó m e n o
es
h a
— d e l
d e
p o te n c ia s ,
d e n c ia
y
la s
c o n
d e
s u g ie re n
id e a
y
p u e s ta lle g a
e n
u n a a
es
m é to d o
u n
c o sa s:
se
u n
u s o
es
e n
in e rte ,
d e
d e
la
ló g ic a
p u e s to
q u e
d e
la s
e n
s í
c u a lid a d e s
q u e
e n
la
“ lo g ís tic a
d e
e x p re s a n
c o m b in a rs e
d i ) D
e
C a n tp r,
l a t i t u d i n e
Z e its c h rift s io n e s
d e
f ü r
d e
M
la s
d ifíc ilm e n te c ie rta s
f o r m
I I 2 ,
e l
v a ría n
e x a m e n
d iv is io n e s
in fin ita s
u n d
d e
la s
e s p e c ie s
d e
n o
se
d e
V e r
la s
e n
e x te n s io n e s a
y
e s ta
e m p le o ( 12) ,
u n a
fo rm a
m ú ltip le , a
la s
c o n
su s
a
lo
q u e
la s
n o
la
ta n to
o
fo r m a s
q u e
e n
a l
o
s ig n o
d e l
p á g .
p a ra
fe c u n d a ;
9 2 :
p ro lo n g a c io n e s ,
se
P o r
d e
T h o rn : C u rtz e ,
la s
. . .
m u y
a n te p u e s ta s
a p lic a c ió n ,
fig u ra s
e x te n
p e rc ib e
e so ,
e n
p ro c e
a x im ilia n
" P o rq u e
la
s in o
lo s
m a n u s c rito M
e
re p re s e n
y
T o d o
m u ltip lic id a d
d e
p a s iv o
c o n s is te
p o r
la s
ló g ic a
s u b s ta n c ia s ,
d in á m ic a n o
d e
la
p e rm a n e c ía
g e o m é tric a s .
e s p e c ie s
f ilo
n u m e r o s a ;
lín e a s
la
e ra
L o g ís tic a
h a c e
S u p l.,
S e
q u e
c o n c e p c ió n
d ic e . V iè te ,
u s o
y
es
a r itm é tic a ,
e s tu d ia d o
fig u ra s
in fin ita s
im
Y
d e s ig n a r
m a te m á tic a .
H o re n ,
eso s
s id o
in d iv id u o s
se
X I I I ,
d e s p o ja r h a b ía
r a z o n a m ie n to .
e s p e c ie s
p a s a r
p rim e ra s
t.
m a n e ra
e lla s
( 1S) ,
n a tu r a le z a la
N ic h o la i
el
L a
e s te
c u y a
re fie re
c o n s
in d e p e n el
p ro c e d im ie n to
la s
q u e
p u e d e n
le s
p a ra
n ú m e ro s : s o b re
e s p e c ie s ”
P h y s ik ,
d e
el
s ig n ific a d a s ,
le y e s
1 3 0 .
la
b a jo
p re c is o
q u e
tr a ta
e llo s .
lo s
n o
m a g is tr i
a th e m a tik
fo rm a s si
la s
p á g .
a r u m
e n
S ó lo
c a n tid a d e s
s ig u ie n d o
e n tre
p o s ic ió n
n u m é ric a .
c o n
e s p e c ie s ,
la s
fa ls a
e ra
A ris tó te le s
( 14) .
ta rla s ,
le tra s
d e
la s
d e
lite ra le s
m o d o
c o sa s
in c ó g n ita
re la c ió n
c o n s titu y e
c u a le s
s o b re
p o s e e n
la s
s ig n o s la s
o p e ra to rio
e s p e c io s a
la
la d e
o p e ra to rio .
la
p ro b le m a ,
re s tric c ió n
a s o c ia d a
o p e ra to rio
se
d e
p o r
D io f a n to
g e o m é tric a s ,
re g la
a p lic a c ió n
lo s
e s te
m é to d o
d e l
d e c is iv o :
la
A n a lític o s
u n
d e
el
g e n e ra le s .
la
s o b re
d e
la
q u e
p a s o
d e
e n c u e n tra
lo g ís tic a
f o rm a l
c ie n c ia
s o lu c io n e s
d a r
a l
lo s
q u e
á lg e b r a
lla m a rá
d e
s im b o lis m o
re p re s e n ta c io n e s
se
n e c e s id a d
s ó fic a
d e l
q u e
( x l) .
a d v e rtid o s
d e s ig n a c ió n
d e te rm in a d a s
la s
q u e
e n c o n tra r
c o n s ta n te
el
a
la
in te n s id a d
a ritm é tic a
e c u a c ió n
o p e ra to rio s
la
a
e s e n c ia le s
d e
tie m p o
e s ta n d o
la
d e
in d e te rm in a d a s
v u e lv e
m a n e ra ,
el
d e
g ra c ia s
c io n e s
m is m a
e n
d e l
la
fa lta b a
p o r
fu n c ió n
p la n te o
á t i c a
v a ria c io n e s
e n
ra s g o s
a t e m
p a ra
lo
p ro c e d im ie n to s
la s
m
e m p le a d a s
tie n d e
P e ro
f i l o s o f í a
d e
c a n tid a d e s
s is te m á tic o
a b s tra c ta
la
re s p e c to
la
la
re c o n o c e m o s
a lg u n o s
in c ó g n ita
se
D e
a b re v ia tu ra s su s
g rá fic a
á lg e b ra ,
A le ja n d r ía L a s
la
d e
e x p e rim e n ta d o
6 3 . titu c ió n
e ta p a s
e n
re s u lta rá
fin , m á s
c la ra m e n te ” .
12)
V e r
§
( l s )
C fr.
P a u l
(
d e s
s c ie n c e s
d e b e
d e
d e c irs e
( 1 4 ) p á g in a
4.
y
Z e u th e n ,
T a n n e ry :
m a th é m a tiq u e s ,
s im b o lis m o
a lg o ritm o
ly ,
d e I n
la s q u e
le tra s a
lo s
o b .
S u r
1 8 8 5 ,
e m p le a d a s g rie g o s
n o
d t.,
tra d .
M a s c a rt,
V A r ith m é tiq u e p á g . p a ra le s
8 6 :
" C u a n d o
re p re s e n ta r fa lta b a
p á g .
2 0 6
p y th a g o r ic ie n n e ,
y
a rt.
se
e s tu d ia
e n
lo s
o b je to s
d e l
m á s
q u e
í
e d .
u n
p a s o
s ig . e it.,
B u lle tin
A ris tó te le s
e l
p e n s a m ie n to ,
p a r a
lle g a r
a l
V iè te ” . a r te m
a n a ly tic a m
Is a g o g e ,
1 5 9 1 ,
4 ,
S c h o o te n ,
L e y d e n ,
1 6 4 6 ,
L o s
d ím ie n to s
d e b id o s
re c o g id a s d e l
y
u n
lo s
s in
p a rtic u la rid a d e s
fo r m a
d e
u n a y
d e
6 4 . n o
el
s ie m p re
m e tría ,
y
m e jo r
ria le s
el
d e
la h a
m e n to
q u e
Is a g o g e
la
d e
lo s la
b ie s e e so s
h a
d e
d ie n d o
a s í
p o in t
s u
e n
d e
d e
p a r a e n
L ia rd ,
P a ris ,
v u e
d u
a d e la n te
( 1 7 )
ese
h a c e r ( 17) .
s o b r e
m á s E n
lo s
e fe c to , la
p ro g re s o
tr a n s p o r ta r
s o b re
e n tre
la s
u n
c u rv a s
d e
m
a l
o
la s
c o m o e m p le o
la
el
T e r m
d e m o s tra d o p la n o s ”
m é to d o
el
c u lm i
e la b o ra d o s . y
d e
m e n o s
c o m o
i lo s
e x p re s a
q u e
le
h u
c o n s tru c c io n e s
la s
o
m é
im p lic a b a
g e o m e tría
la s
e l
s im u ltá n e o
m á s
la s
te o ría d e
a d v e n i
e n tre
c o n d u c ir
u n
la
e l
F e r m a t,
lu g a r e s
d e
n o m m a te
D e s d e
g e o m é tric a
e le g a n te s
p e rfe c c io n a r el
d e
“ re s ta b le c id o
g e o
g e o m e tría
c o m p le m e n to ,
m o m e n to
e l
lo s
g e n e ra le s
te n d r á n
h a y a
d e
m e re c e ría
q u e
e s tu d io
le n ta m e n te
h a b ía
P e rg a
q u e
D e s c a r te s , s e lo n X ,
r ô le
d e
fin a l
lu g a r e s
p á g .
A p é n d .
ju n io p o r
I.
d e
A T .) ,
d e l
p la n o s ,
5 8 ,
y
B ib lio te c a
d e
a n a lític a
s e c c io n e s
h a
c ó n ic a s
in v e s tig a c io n e s
in f in ite
n u e v o
el
y
la s
p á g .
1 6 4 5 , t.
Is a g o g e : q u e
3 7 E d .
IV ,
la d e
te rre n o
p r in
e c u a c io n e s ,
y
e s te
tie m p o
B o u tro u x ,
F a c u lta d V iè te
e x te n
e t
d e
L ’i m a g i n a t i o n L e tra s
c e lle
d e
d e
la
D e s c a r te s
s ig .
C h a r le s
p á g .
“ S i
h a c e
P ie r re
d e
L ’a n a l y s e
l’im a g in a tio n , d e
d e s ig n a re m o s
lo s
1 8 8 2 ,
D e s c a r te s ,
1 9 0 0 ,
C a r ta
P a rá g ra fo s o b re
el
se
1 6 3 7 ,
la
a n a lí
h a y a
fe c u n d id a d .
D e s c a rte s ,
lib ro s
c o m o
c o rre s p o n d e n c ia
C fr.
( l e )
d o s
to d o
e l
d is c ip lin a s
e n
d e
d e b ía n
p ro g re s ió n
tre s
d e
la
g e o m e tría
p rim e ro
ló g ic a .
re la c io n e s
c o m o
d e s
lle v a d o
d e s c u b rim ie n to
y
a
s u s
s e g u n d o
d e
h a n
d ife
d e
lite ra lm e n te
s e rv irs e
d e
la s
g ra d o
p ro b le m a s
p e rfe c c ió n ,
g rie g o s
d e
g e o m é tric o s
m a th é m a tiq u e s
U n iv e rs id a d
( q u e
m e d io
p e r m itid o
la
( 1 B ) le s
d is p o n e r
d e
d is p u e s to
la
el
G e o m e tr ía
s a b id o
la
q u e
q u e
la
d e
el
lo s
le y e s
( 16) .
a u n q u e
n e c e s id a d
p ro c e d im ie n to s
F e r m a t
m o m e n to
s im a le s c ip io
a u
el
s o b re
el
la s
s a c a d o
m e n o s
d e
el
d e
h a y a
a u n q u e
lo
g ra d o
tip o s
y
A p o lo n io
n o
lu g a re s
s e rv id o
e t
d e
d e
d a d o
h a s ta
d e
Is a so g e ,
lib r o s
lo s
a p a re c e rá n
d e fin itiv a
p e s a r
ta l
h a b ía n
Y
y
lo
c a rá c te r
a ritm é tic a
a lc a n c e :
d o s
q u e
a s tró n o m o s
m is m o
el
a
e l
o
P o r
m is m o
re s o lv e r
p ra c tic a d o
tr ig o n o m e tr ía ,
lo g a rítm ic o .
el
p a ra
lo c o s ,
u n
X V I ,
la s
re d u c ir
p e rfe c to ”
V iè te ,
s ig lo
h a y a
p a r a
d e s c u b rim ie n to a
g r á fic o s ,
p ro d u c irs e
c á lc u lo
n a n d o
a d
g rie g o s
d e
p ro g re s ió n
n a c ió n
a s í
c ie n c ia
d e b ía
p rá c tic a s
s is te m á tic o
lo s
d e
q u e
d e l b a jo
e m b a rg o ,
c u e rp o
el
y
c o lo c a rs e
c o m o
s in
n i
á lg e b ra
d e te rm in a r
m a g n itu d e s , la s
“ u n
a n a lític a .
n u e v a
p a r a
te o ría s
m e d ia
a
s in
e c u a c ió n
( 15) ,
d e
a d q u ir id o lo s
u n a
tip o
su
e d a d
g e n e ra l
O re s m e
h a y a
g e o m e tr ía
m ie n to
tric a
d e
q u e
q u e
d e
a
la
v e n d r á n
V iè te ,
C ie rta m e n te , n i
m é to d o
s e rv id o
b re
su s
—
p e rte n e c e
in v e n ta d o
d e
e c u a c ió n
c u b rim ie n to s
q u e
1 3 1
is a g o g e
d e
V iè te ,
s u fic ie n te m e n te
re n te s
tic a
p o r
e s p e c io s o ,
le n g u a je
d e l
a lg e b ris ta s
e x te n d id o s
a n á lis is
d e
a
o r íg e n e s
A d a m
e t
P a u l
T a n n e r y
2 2 8 . h a lla z g o h e
h u b ie s e
re e s ta b le c id o ,
p re c e d id o s in
d u d a
a
lo s
1 3 2
S
e
L a s
c
c
i ó
B .
n
—
L
e ta p a s
a
m
a
d e
t
e
la
m
á
t
l
L A
6 5 . — e n
c ie rta
e fe c to ,
L a
la
e x c e p tu a d a s c a m e n te
a
s o n
d e
u n
m e n te
q u e
te s
la
la e n
y
s o b re
m o d e rn o s
h a b ía n y
d irs e
m a n e ra
d e
e s te -la s
la
m é to d o fig u ra s ,
e n
q u e
su s
s e a n
T H .,
t.
re s u lta d o I,
(1 8 )
p á g .
e n
m á s
e le g a n te s
X ,
p á g .
3 7 3 .
p á g .
17
i 2 9 )
R e g .,
II,
(2 1 )
I b id .,
IV ,
(2 2 )
ib id .,
X ,
)
a
t
n o
la s
.,
A T ., A T ., p á g .
X ,
y
X , 3 7 3 .
p á g .
3 7 6 .
fo r m a
e
s
y
y
y
s u
d e
y
e le m e n ta l:
lo s
d e a
n a d a
a b s o lu ta
b ie n
c o n s is te n
y
e n g e n h a b ía n la
q u e
h a c ía n
( 20) .
( “ D e s c a r
o tra ,
p e rm ite s o b re
á lg e b ra
re s u lta d o s
la s
d e
lo s
la
s im
re o rg a n iz a rs e ,
f u n
la
E l
p rin c ip io
d e
re p re s e n ta c ió n
d e
“ to d a s
esas
m a te m á tic a s . .
c o n c o rd a r
lo s
s o n
g e o m e tr ía . . .
s e c re to ,
el
la
e s tá n
c ie n c ia s
a n tig u o s
el
e n
s is te m á ti
fe c u n d id a d
u n iv e rs a l.
d e
y
e n s e ñ a d a s :
V iè te
lo
d e b ía n
c o m ú n
d e
la
á lg e b ra
e n c im a
a c la ra
r a z o n a m ie n to ”
a n tig u o s
m é to d o
es
e s ta s
a n te s
a n tig u o s
c o n s tru c c io n e s
3 6 5 .
s u
re v e la r
c o m ú n m e n te
s ig .
p á g .
t
( 18)
o p o n e
g e ó m e tra s
a m p litu d
d e ja n
r
d is c ip lin a s
s u p o n e n
lla m a
lo s
q u e
a
S ig u ie n d o ,
fu e ro n
A p o lo n ío
d e
lo s
p o r
1 0 3 .
V I,
19
u n
lo
d e n o m in a n
d ife re n te s ,
n o
p r in c ip io s ;
d e s p re n d e r se
la
c
F e rm a t
le
a ritm é tic a
lo s
se
d e
e le v a rs e
A T .,
(
a
lo s
c o n s titu ir
c o n s is te
p a rtic u la re s
h u b ie ra n
d e
d e
B a jo
m a n ifie s ta n
c o m o
a n á lis is
s a c rific a d o
p u re z a
y
o b je to s
el
s
in g é n u
in c ie rto ;
re h u s a d o
n ú m e ro s
d e
d o s
m e d ía n te
q u e
q u e
e
D e s c a rte s .
E u c lid e s ,
d a d o
( 21)
a ritm é tic a
P e ro
p lic id a d
c o n s e c u e n c ia s
a n á lis is
D
e
D e s c a rte s
q u e
h a c e r
h a n
d
c o m o
d e
“ L a
s im p le
le s
l
( 19) ,
g e o m e tría .
h u b ie s e n d e
lo s
( 22) .
q u e
y
a
U N IV E R S A L
é th o d e
ló g ic a :
s
a n a lític a
ta le s
p u e d a
c ie rto
a u n q u e
M
r
d e
c ie n c ia
D io f a n to ” )
“ u n
e
á t i c a
d ir e c tio n e m
g e o m e tr ía
q u e
i v
Á T IC A
a d
la
la
y
p u r o
s u p e rio r
g é n e ro
fig u r a s ”
y
d e d u c ir
P a p o
c ie rto
o p e ra r
ta n
A T E M
n
a t e m
a
r o tu n d a la
e x p e rie n c ia
u n a ,
p ra c tic a d o
a
i c
g e o m e tría
d e
v e rd a d e ra
o b je to
d ic e :
u n
la
fo rm a
d r a n d o ,
y
u
í s
R e g ù la e
P itá g o r a s
d e
M
a
f
m
m a te m á tic a
n e g a tiv a
a ritm é tic a
e n te ra m e n te B a jo
la
i c
a
la
D is c o u r s
la
m o d e lo s
d e
la s
filo s o fía
d e
tr a ta n
d e
d e l
L A
filo s o fía
la
a r itm é tic a lo s
la
c u a rta
p a rte
D E
g é n e s is
m e d id a
s e g u n d a
é s ta s
ID E A
f i lo s o f í a
to d a s ,
te o re m a s
d e
.
c ie n c ia s A u n q u e
e n
q u e
n o
lo s
lu g a re s " .
L a
c o n s id e ra n
o tra
e n tre
se
e llo s E n
e n
lo s
ta l
“ e sas
s u je to s es
d e
la s
re la c io n e s
to
q u e
c ió n
d e c ir,
n o
re p re s e n ta r
v a rio s
se
e n
n o
e s tá
y
c o rre g iré
u n a
in s p ira c ió n ,
6 6 . —
la
m i
’P o r
g é n e s is
ta m e n te ,
c o n s e rv a
u n
c o n v ie n e
“ s u p o n e rla s .
fa c ilita r
es
a
la
to m a d o
s í
n i
lo
d e s tin a d o s
y o
m is
p r o p io
d e l
a n á lis is
d e l
u n o
el
a l
el
la
a lc a n c e
la s
P o r
d e
d e
re la
lín e a s ;
e s te y
se
m e d io ,
d e l
d e l
á lg e
m é to d o
F e rm a t,
s a b e r
e s ta
la
( 24) .
D is c u r s o
F a lta
p u e s - j
d is tin ta
m a te m á tic a
d e
o tr a ”
Is a g o g e
u n iv e r s a l.
m is m o ,
d e
la
s o p o rte
P e ro
g e o m é tric o
p o r
s ig u ie n d o
el
s u
c o m p re n d e rlo s
p o s ib le s .
m e jo r
c e rc a
o
. .
e so s
m á s
s e n tid o s ” .
d e fe c to s
d e
p u d ie s e
g e o m é tric a
m e n o s
s e r
p a ra
D e s c a rte s ,
re te n e rlo s
o b je to
lo s
a
o b s e rv a
q u e y
p a p e l:
c o n o c im ie n to ” :
lín e a s ,
“ p a ra
el
m a te m á tic a
e n
se r
s ig n o s ,
re c u e rd a
la
e l
n a tu r a le z a
c o n s ig u ie n te ,
d e
q u e
g e n e ra l” ,
s im p le
q u e
lo s
q u e
p ro p o rc io n e s
g e o m e tría
té rm in o s
sa c a ré
to d o s
o
e n
im a g in a c ió n
lo s
a lg u n o s
D e s c a rte s ,
b ra ,
ra z o n e s
p a rtic u la re s
m á s
y
1 3 3
u n i v e r s a l
la
d e b e rá n
s o m e tid a
" m e d ia n te
c o n c lu y e
c a ría
a
c o n ju n to ”
u n iv e rs a l e x p lic a
c o n
a g re g a
á t i c a
d iv e rs a s
p a r a
té rm in o s
g e n e ra le s , " n a d a
a t e m
( 2S) .
s e rv iría n
le s
m
la s
c o n c e p c ió n
h a b r ía
q u e
q u e
la
p ro p o rc io n e s
q u e
je to s ,
m e n te
c o sa
d e
e n c u e n tr a n ”
u n a
e x a m in a r
i d e a
c u á l
e x p li
es
e x a c
m a te m á tic a
u n i
v e rs a l. P a r a
e s ta
c o n s id e re c ir
la
la
e x te n s ió n
p ro b le m a s c a rte s c ió n
p r e g u n ta
o b ra
d e l
e n
el
e s p e c u la c io n e s
p o r
c ie rto ,
J a
q u e
fís ic a
s o n
m
la
la
m a te m á tic a
lo
n u e v a
q u e
h a
m ie n to c ió n
la
n a je s
a
es p a c io . a l
fís ic a m u y
c a n tid a d
d e
es
e n
q u e
d e te rm in a c io n e s
A T .,
( 2 4 )
I b id .,
e n
n o
V I,
p á g .
la
2 0 .
c o n
q u e
es
n a d a es
o c a s ió n
d e
tie n e n
el
d e
d e
D e s c a rte s
la s
la s
d u d o s o
c o n c lu ir
d e
re fo rm a
d e
a
d a
té c n ic a
re fo rm a
d e l
d e
la
y
p e n s a
b a s e
e s p a c io
fe n ó m e n o s
re d u c
Q u e
s e g u id a ,
d e
lo s D e s
c o n fu n d irla s ,
p o r
e n
re d u c c ió n
a y u d a
u n a
'i n t e r p r e t a c i ó n
d e c irlo
la
es
u n a
d e b e
s e g u n d a
lo s
n o
se d e
d e
q u e
p o r
in e x a c to
la
la
o b ra
á lg e b ra .
p rim e ra
g e o m e tría
la
la
d e
e x p o s ic ió n :
d e
a
d a d o
o tr a
fís ic a
re te n e r
1 9 .
p á g .
p e ro
in te re s a
e n la
u n iv e rs a lid a d
s e ría
L a
o b ra
y
es
e s p íritu ,
u n a
d o b le
q u e
g e n e ra l,
m a te m á tic a
la
m e n s u ra b le s
V I,
la
in e x tric a b le y
s e g ú n
filo s o fía la
m is m o
q u e h a
d ife re n te ,
p ro b le m a s
o tra .
ta n to
n u e s tra
E n
a
e m b a rg o
la
b ie n ,
D e s c a rte s
c o n s is te
s in a
d e
a u n
q u e
v ece s
d ife re n te s .
(2 3 )
e n
A h o r a
le c to r
d e
u n a
L o
la
ú n ic a m e n te
p r o p io
m a te m á tic a s ,
m is m a .
h e c h o
re fie ra
p e ro
g e o m e tría ,
d e
m a te m á tic o
g e o m e tría
lle v a rs e
s e rá
d e n tr o
se
p ro c e d e n
c a rte s ia n o ,
d e l
o r ie n ta r e n
d e
e d ia n te la s
d e
o
d o m in io
c o n e x a s ,
p u e d a n
re s p u e s ta
m é to d o
p ro b le m a s
d o s
a q u í
la
D e s c a rte s
c o s m o ló g ic o s ,
re a liz ó d e
d e
Ja
a
n o
f in
d e
d e s e m p e ñ a d o s
p e rs o
c u a lid a d
s e n s ib le s
a
s in o
d im e n s io n e s
d e
la la s l a 23*
L a S
1 3 4
e x te n s ió n . a p a re c e n m a s d e
E n
la
e s ta
u n a
y
ta s
d e
E n
d e
la
se
o b ra ,
6 7 .
1 6 2 8
(2S) .
u n id a d , h a y
m á s
p a r a
L a
q u e
6
lo s
es
m á s
q u e
el
c o m o
se
la
u n
d á n d o s e
e
d ic e
L a
m e d id a ;
y
R e g .,
u n a
la
N o ta
d e I,
(2 7 )
H a n n e q u in ,
V I, (2 8 )
A
d e T . , R e g .,
la
X ,
es
la s
lo s
f o r
g ra d o s
filo s o fía d e
s o n
a n a lis ta .
q u e
in d ic a n
c o m p le ta m e n te
L a
,
m
3 8 4
A T . ,
X ,
la
d is tin
6
es
la
c o m o
se r
p o r
e s te
a ritm é tic a
o tr o
el
(o
4 8 5
y
a
f u n e n
el
s im p le
o ,
q u e
c ie n c ia
á lg e b ra ) la
la
c a so
g ra c ia s
e je m p lo , la
ó p tic a ,
p á g .
c u a n d o
a p re h e n d id a
c o m o
S e
té rm in o s
e n
lo
y
n o ta r
( 2 7 28) .
e s p ír itu ” ,
d e
d e 3
n a d a
b a s ta 1 2 ”
a
u n
e je m p lo
p e rfe c ta
d e l
n o
ú n ic o
c a d e n a
ta n to s
p a r tie n d o v e
X ,
es
e le m e n to
ta n to
y
es
g e o m é tric a ;
p u e d e ,
la s
a ñ o
s ig u ie n d o u n a
p o r
q u e
p u e d e
S e
o r d e n d e
m é to d o
p ro v e e rá
u n
d e sd e
e s e n c ia lm e n te
d e d u c c ió n ;
d e
”
d e l
o b r a n d o
s in o
in in te r r u m p id o
A d a m -T a n n e ry ,
d e y
m e c á n ic a
d e
la la la
( 2S) .
sig .
3 6 0 .
I,
d e
D e s c a r te s ,
1 9 0 8 ,
p á g .
s ig . p á g .
E l
“ S e a n
se
q u e
es
p ro b le m a
p ro b le m a
c u a n d o
la
é t h o d e
y
c ie n c ia
p o r
q u e
a p a re c e
a lre d e d o re s
( 26) .
d o b le
d e
" R E G U L Æ
h u m a n a
u n
m ú s ic a ,
p á g .
L A S
p ro g re s ió n
a b s o lu to . d e l
t.
lo s
la
in tu ic ió n ,
a d e m á s
e d ic ió n X
el
in ic ia l
lo
a
te rc e ro
p a s a r
la
E N
c o n s titu ir
u n a
d e l
e
d e
d e
T . ,
p á g .
el
d e c ir,
p h i lo s o p h ie ,
IV ,
la
d ire c c io n e s
s im p le s :
d e
s o lu c ió n
re la c ió n
la A
d e
c o n c e p c io n e s
d e
re la c io n e s
a s tr o n o m ía ,
R e g .,
e s p a c ía le s a
a
g e o m e tría
la s
q u e
n o
h a lla r
c ie n c ia
( 2 6 )
es
d e
c o n tin u o
( 2 5 )
d ’h i s t o i r e
y
c o m p re n d e ,
g e o m e tría ,
fig u ra s lle v a d a s
c a n tid a d ,
u n a
c o m p re n d e r
g e o m é tric a ,
la
esas
e le m e n to s
in d iv is ib le
es
d e
d e
D e s c a rte s ,
m a te m á tic a
es
E S P A C IO
c o m p le jo s
3
o rd e n ,
s o b re
ú n ic o
c o m o
e t
d e
“ m o v im ie n to
a c to
la
in te lig e n c ia
té r m in o s
s e rie
p ro g re s ió n
la
d e te rm in a r
d o b le
u n
d e
r e m o n ta n
m a n e ra
e n tre
q u ie ra .
tie n e
es
d a to s d e
q u e
d e
se
m a n e ra
lo s
u n a
la s
s e rá n
c o n c e p c io n e s
D E L
p rim e ra
e lla
p rim e ro s
c o n s titu y e
d e
u n a
s im p le es
á t i c a
P r in c ip io s
lo s
fu n d a m e n ta l
q u e
s im p le s
d o s
6
s e rie
L a
in te lig ib le ,
re la c io n e s
q u e
s ig u ie n d o
d o s
F U N C IO N E S
id e a
d is p o n e r
o rd e n
q u e a
a t e m
c o n tra río ,
G e o m e tr ía
p ro b a b le m e n te
p u e s to
el
m
m a te m á tic a .
—
q u e
p o r
p a la b ra s , la
lle g u e
D IV E R S A S
g u la e ,
f i lo s o f í a
in te le c tu a le s
e x p lic a
se
filo s o fía
L A S
la
c u a lid a d e s , e
p o c a s
g e ó m e tra ;
m a n e ra
o tr a
d e
a b s tra c ta s
e c u a c ió n . fís ic a
d e
g e o m e tría ,
e s p e c ie s
p u ra m e n te
u n a D e
la
c o m o
e ta p a s
3 7 7
y
s ig .
É tu d e s
2 2 2
d ’h i s t o ir e
(P a r is ,
F .
d e s
A lc a n ) ,
s c ie n c e s
s e g ú n
la
R e
L a s
6 8 . — m a n e ra g e n e s
d iv e r s a s
P a r a
P o r
u n a
n o s
¿ Q u é
el
b la n c o ,
ra s
el
c o m o
se
q u e
to d a s
la s
q u e ,
p a ra
p o n d e r m e
la s
(2 9 ) (3 0 ) a v a n t
l e
se
( q u e
R e g .,
E s
d e h a
lo g o s .
(L a la n d e ,
s iq u e ,
1 9 1 1 ,
H e a th ,
t.
I l i,
A A
n o ta r
S u r
y
L o n d re s ,
el
p a ra
la
s in
re
e m
q u e
te n g a
p ro c e d e r a
q u e
e x is te
d e
s u
la d e
se
d e
lig e ra lo s
o tro s , a
e x is te n te
e n tre
la
u n a
re fie re
la
e n tre
ta le s
4 4 1 . 4 l 3,
c ie rto , d e
c o n
p á g .
p a ra
se
T e r m
h a s ta
B a c o n
re fe re n c ia
2 3 7 .)
n o
p á g .
i n u s
d e
a
q u e
c o lo re s ,
o f
1 7 3 4 ) , e t
d e
o p e ra s e
B e rth e t,
1 8 9 6 ,
d e
d ife re n c ia s
p rá c tic o
S i
c fr.
V a le r iu s
t e x t e s
la s
n e c e s id a d
p ro p io s
M é ta p h y s iq u e ,
es
p u e s to
n o c ió n
c o n s is te n c ia
p á g .
e l
c o sa s b a s ta
f ig u
q u e
es
e x p re s a r
e s p a c io
S ig n ific a ría
d iv e rs id a d ,
d e
p á g .
3 1 1 ,
la
(81) .
tie n e
lo s
X ,
e n
la s
fig u ra s
m é to d o
X ,
1 8 7 6 ,
q u e
q u ie ra ,
d ife re n c ia
to d a s
la s
s a b io
. T ,
y
e n
c o n v e n c io n a l.
o p in io n e s
q u e
p o r
( 30) .
s o b re
q u e lq u e s
se
f o r ja r
la s
d is tin ta m e n te el
p u b lic a d o ,
3 0 9
d e
d e
T . ,
q u e
la
p o p u la r iz a d o .
d e
q u e
o
la
in tro d u c c ió n
e n tra ñ a
R e v u e
p á g s .
ta n to
d e s p ro v is ta s
X I I ,
c o m o
c a so
a q u e llo
m e to d o ló g ic o
y
q u e
s id o
e tc .,
s ig u ie n d o
X I V ,
R e g .,
n o
la
o p e ra ría
h ip ó te s is ,
d e
s in o
u n a im á
v a ría
c o n s e c u e n c ia
e n to n c e s
n a d a
re te n e r
o tr o
c la ra
g rá fic a s
h a b r ía
el
lo p o r
d e la s
h a g a .
e s q u e m a
in ú tilm e n te
in f in ita
v a lo r
y
d e
p re s c rip c ió n
u n
to d o
1 3 5
D e s c a rte s ,
se
c o n s id e ra n
se a
s e n s ib le s ”
in v e n ta d o
D is c o u r s ,
( 3 1 ) t u r e
d e c ir
e s ta
q u e
“r e g u l æ
6 ) .
c u a lita tiv a s ,
c o m o
d e
fig .
la s
s im p lic id a d
e lla s
c o n c e b ire m o s
r o jo ,
fo rm a ,
c o n s e c u e n c ia s
s e rie
y
u ltitu d
im a g in a r
h a b ía
b o lo s ,
el
u n
c o m o
n o
la
d e
e x te n s ió n
ta m p o c o
c o n
d ife re n c ia s
e s ta
c o lo r
e n
o rd e n ,
d e
m á s
a d m itir
(V e r.
p u e d e
s in o
d a d a s
se a
fig u ra ,
m
es
el
n e g a r
a z u l,
la
B a jo te n d r ía
la
é s ta s .
“ Y c ie rto
la s
s in
d e
q u e
R e g u la e
n o
q u e
s in
c o n te n ta re m o s
n a tu r a le z a
la s
d e l
a lc a n c e
in c o n v e n ie n te
s ig u ie n te ? , e s e n c ia ,
el
q u e
n e g a rá
fig u ra .
n u e v a
P e ro
g e o m é tric a
se
e s p a c io
a p ro v e c h a r
a p lic a c ió n
s u p o n e r
n o
m a n e ra
la
c o n s ig u ie n te ,
p u e d e
b a rg o
( 29) .
s e g ú n
d e l
c o n s titu c ió n
re c o m ie n d a
e s p a c ia le s
p re s e n ta c ió n “ S e
la
g e n e ra l,
c o m p le to ,
f u n c i o n e s
se
n o
s o la m e n te q u e
le
h a c e r N ic o lá s
O re s -
s o b re
e so s
a
d e
f in
te n d r ía
s o n
c o rre s
s ím
c a p ta r
s in o
u n a
in trín s e c a ,
d e s tin a d a s
L a
m
é t h o d e
d e
4 0 9
y
s ig .
t h e
I n t e r p r e ta t i o n
B a c o n
e m p le a b a
D e s c a r te s ,
B a c o n .
D e s c a r te s
E d .
R e v u e E llis ,
o f
s ig n o s d e
M
N
a
a n á
é ta p h y
S p e d d in g
y
13 6
L a s
s o b re lo s
to d o ,
c o m o
fe n ó m e n o s ,
a
6 9 . el
s e ría
s u b s titu ir ía d u d a
d e
a
q u e
re n te .
P e ro
si
a
es
s u fic ie n te
p a rtic u la re s ” ;
se
c o n s tru y e
h a n
o tr o s
c o n s id e ra d o té rm in o s ,
“ p r o v is o r ia ” s o fía ,
s u es
e s p íritu , ra l
d e l
y
s e a n ,
c o n
d e
es
h a y a
se rá
g e ó m e tra s
tre s
lo s
g ra d o s
s im p le r a íz ;
b i-c u a d r a d o , p o n d e n c ia d u r a n te g ra d o s d a d
es
la s
d a d a ;
(3 2 ) d e
V e r
( 3 4 )
es
la s
C fr. R e g .,
tr a n s p o r ta r a
la s
s o b re
le y e s
e fe c to s q u e
n o
( 33) .
E n
u n a d e
m o ra l su
f ilo
m é to d o
p r o
lo s
p ro b le m a s
fu n c io n e s
la
re la c ió n
s e g ú n
s o b re
e s p a c io
u n
L a y
d e l
g e n e
D e s c a rte s
u n a
c a n tid a d
d e l
n o ta
C a r ta X V I ,
d e d e
à
M
es
M a r s e n n e A T .,
X
L a
p á g .
,
d e l p á g .
la s o n
e n
11
d e
e l
d e
d e
ser
d e
esas
d e te rm in a r. lo s
tre s
a lg e b ra ic a s :J ]la
c a n
á lg e b ra
h a b e r
ra íz ,
m o d e rn a ]
c u b o ,
la
d e
e s ta
s id o
s u
E n
re la c io n e s es
d ’a p r é s
c o rre s v íc tim a
u n a
u n a
se
c u a rta
e fe c to ,
c o n
p ro p o rc io n a l,
p h y s iq u e
la
c o n s id e ra d o
re p re s e n ta n
te rc e ra
“ la
e s p a
g e n e ra lic e
s u s c e p tib le s
e n g a ñ o s a .
g ra d o ,
4 5 6 .
el
s in o
q u e
y
fá c ile s
o
la
s e g u n d a
y
d e
im a g in a tiv a
es
th é o r ie
2 1 8
e s ta
e n u m e ra c ió n
e s p a c io
c o n fie s a
n u n c a
q u e
b ie n ,
h a b ía n
fig u ra s a
g ra d o
u n a
e n tré :
1 9 0 4 ,
lo
a ritm é tic a s
p r im e r
c u a d ra d o
c o m o
el
e m b a rg o
ta n to
c o n d ic ió n
c u a d r a d o ;
s o n
e n
A h o r a
s im p lifiq u e
d e
s im p lic id a d
n o
c o sa s.
g e o m e tría
D e s c a rte s S in
a
g ra c ia s
p r im e r lla m a
tie m p o .
a g o s to
la
el
la s
ta l
s is te m a
d e
d e se
( 3 4 *) .
el
d e
q u e
e s p a c io ,
m a g n itu d e s
m a g n itu d e s
la
ta n to
u n
h a r ía
la s
a lg u n o s
im p lic a ,
e fe c tiv a m e n te ,
s e d u c to ra ,
la
P h ilo s o p h ie , ( 3 8)
d e
e tc .
f u n d a
m a g n itu d e s - e n
s e g u n d a
p r o p o r c io n a l;
q u e
d im e n s io n e s ;
la s
m u c h o d e
a
lo
d e
té rm in o
d is tin g u ir
a d a p ta d o
re a lid a d
E l
[lla m a d a la
se
la
p ro b le m a s
p rim e ro s
y
a l
c a b e d ife
e x p e rim e n ta l
d is tin g u id o
a p o y a d o
e la b o ra c ió n
a n tig u o s ,
p a rte ,
tid a d
u n a
n o c ió n .
o tra
lla m a
a
o b te n id a
s e g ú n
d im e n s io n e s P o r
c o sa s,
d e fin itiv o
a d e c u a d o
c o rre s p o n d ie n te lo s
c u a d ro
d e fin itiv o ,
la s
h a
q u e
n o
c o m o
n a tu r a le z a ”
c o n s titu ir,
d e s tin a d o
u n
la
p a p e l
m u y
f ó r m u la
e n
d e
el
D io s .
s u frid o
m e d id a s
a
la
f u n d a m e n to ” ,
c o rre s p o n d e
a rtific io
lim ita b a ,
d e
m is m o
d e
fe n ó m e n o s , a m b ic ió n
ra z o n e s
c a u s a s
D e s c a rte s
m é to d o
m é to d o
a d e c u a c ió n c io
u n
e s p íritu
e s p a c io
“ s in
h a b r ía
se
“ la s
m a n te n e r
a r b itr a r io
m a te m a tis m o
in d u c c ió n
p rim e ra s
q u e
lo s
u n a
a l
a
c la ra m e n te
e s q u e m a
d e
G a lile o
p o r
g rie g o s ,
o b s e rv a d o
tie n e
c o n o c e r
d e fin itiv a ,
q u e u n
e x a c ta E s te
el
la
d e c ir,
c u a le s q u ie ra
te o ría
c o m o
d e
m o ra l
v is o r io ,
“ la s
á t i c a
( 32) -
c o m o
a c a so
p o rq u e
N o
se
h a
v e rd a d e ra s
b u s c a r
a t e m
a s tró n o m o s
c a rte s ia n o
c ritic a b a
N e w to n ,
m
a p a rie n c ia s
d e s e m p e ñ a r
p re c is a m e n te
n a tu ra le s ?
lo s
la s
c o n e x io n e s
n o
f i l o s o f í a
D e s c a rte s
d e
m e c a n is m o
¿ D e s c a rte s
ta rd e
la
q u e ría n
c a p a z
la s
el
G a lile o ,
m á s
lo
d e
c o o rd in a r
—
e s p a c io
e t a f a s
lo s u n i
p rim e ra
e tc .”
a h o
D e s c a r te s .
R e v u e
s ig . o c tu b re
d e
1 6 3 8 ,
A T .,
I I ,
p á g .
3 8 0
q u e
L a s
ra
b ie n ,
c o n fo rm e
s u p e r fic ie , e le m e n to
e x te n s o ( 35) .
d o n d e
s ig n o s
d e l
s ió n
2 )
c ie rto
y
lo
s ic ió n
d e
eso s
n a d a
fia n z a ? d a v ía
es
p u e d e
p o r
u n a
q u e
s u
n e c e s a rio
p rin c ip io s
y
d is tin to ?
E n
X I V
y
X V I ,
q u e
d im e n s ió n
tu d ;
se
c ia l,
c o m o
p u e d e
c u la r
e n
se
a
m o d o
la
q u e
la
d a s ;
la
la
p a rte s
d e
m e d io
m e d io
d e
E s te
q u e
p a s a je
m ie n d a E s to s
s ig n o s
;
d e
es
p á g .
u n a
la
4 5 3 :
p e ro ,
.
d e
u n
d e
,
fig u ra s
n o
s o n
M é to d o
s e r
la y
o
la
e n
n e c e s a ria m e n te
p u n to s .
la s
ta n ta s
n e D is
1 9 1 0 ,
la
la
d e l
,
a q u e
to d a
la
p o r
o tra la
d e
la
s ig n o s
" c ifra s ” ,
H a m e lin :
L e
re a lid a d
q u e
re p re s e n te y
c a p a z
y d e
R e g la
X V I ,
m u y
b re v e s ,
c o m o s y s tè m e
e s p a
m o d o c a so
d e
p a r ti
e le m e n to
d im e n s ió n
n o
se
d ic e
s o n
y
p a ra
u n id a d
o ,
e lla
c o n c ib a , in fin ita s
d e
la rg a
la rg a ,
p e r
e n se
tre s y
e l
d e
D e s c a r te s ,
p a s a je
e n
m o
a n c h a , fin ,
p o r
c o m p o n e
e n te n d e re m o s d im e n s io n e s .”
D e s c a rte s
b r e v is s im a s
e n
u n a
d im e n s ió n
c o m o
d o n d e
s in o p e s a
d iv is ió n
u n a
d e
y a
D e s
c o sa s a s í
y
q u ie ra .
d e p e n d e
d e
la
d e
lo n g i
d im e n s io n e s ,
c o m o a
R e g la s
la
c o m o
la s
c o n s id e ra m o s
s o la m e n te
fo rm a
es
to d o
m o d o
s in o
esas
u n
c o n s titu y e
c o sa
to
m é to d o
a lre d e d o r
s o la m e n te ,
re p re s e n ta re m o s la
d e
u n a
s o n
re
lle v a d o
e s te
q u e
c u a l
T o d o
s i
se
la
P e ro
“ n o
in te le c tu a l,
Q
d e s c o n
d e
m o v im ie n to ,
lu g a r,
e s ta
d e
g ira
c o m o
d im e n ta m b ié n
e n
h a b ía
d im e n s ió n
s e g ú n
s o la
e s p a c ia l
m á s
q u e
c o m p o
y
re te n e rs e
p r o f u n d id a d
la
e s ta d o
d im e n s io n e s
d e
e sp e ra
v e r
m a g n itu d e s ;
d im e n s ió n
p rin c ip io
e n te ra s
(C fr .
p o r
s o n
p u e d e n
re c o n s tru ir
c o n s id e ra m o s
m o d o
n o a l
D e s c a rte s
p a ra
se
u n a
q u e
d im e n s ió n
d e
m ira m o s
e l
d e b e
d e
c o n s id e ra d o
p rim e r
e x te n s o
e x p lic a r la s
s e r
, si n o
u n
R e g la
d e l
q u e
p ru d e n c ia
D e s c a rte s ,
c u a d ra d o ,
c u a lq u ie r
d e l
p u e d e n
s i
s u je to
p e rm ite
d e
q u e
d e
h a b r á d e
s e m e ja n te s .
" E n
la
D e s c a r te s ,
lo n g itu d e s
d im e n s io n e s .
d im e n s ió n
u n
d e
n o
d e c ir
R e g u læ ,
d e
d im e n s ió n
lín e a , —
p u n to ,
es
la
e fe c tiv o
m e d io
re e m p la z a r
D is c u r s o 2 )
X ,
p o r
u n
m u ltitu d ;
s ie m p re
d e l
A T ,
sa b e r,
a n c h o
d e
e x te n s ió n
s ig n o s
lo es
a n a lític a
e s p a c ia l
d e
u n a
e n te ra s
d e
in te r io r
q u e
tre s
o jo s
d im e n s io n e s se a
lo
p ro b le m a
es
v e lo c id a d
( 3 5 )
d e
p u e d e
el
p e s o
ig u a le s ,
a
p o r
el
el m á s
la s
lo n g itu d
e s p a c ia l
a
c o rre s p o n d ie n te
¿ N o
e n
c o m p o s ic ió n
u n
lo n g itu d ,
in f in id a d
la
e n
v o lu n ta d
fig u ra s
E s to s
a q u í,
p o s ic ió n
q u e
r e p r e s e n ta c ió n
a d e m á s
d o s,
d e
e n
e le m e n to
lo s
lo n g itu d
n a tu r a le z a
c a rte s ,
a
a
p rin c ip io la s
G e o m e tr ía ,
d é je lo s o
c a so ,
la
el
s y s tè m e
a g re g a
la
p e n s a m ie n to
E l
d e
es,
in tr o d u c ir á n
d e
í f
n o
la
E n to n c e s ,
el
m u ltip lic id a d
e l
a n á lo g o
p a r tir
n o
g e o m e tría
to d o
e s p a c ia l.
c o m p o s ic ió n
o
es
L e
ser
re p re s e n ta c ió n
s e n tid o s
p a s a je
lo n g itu d .
la
lo s
n o ta s .
h a c e rse
c re e r
p u e d e
la
1 3 7
" r e g u læ !
p u n to s .
e te rn a
d e
es
e x p lic a r
el
e n
el p r o d u c to
c la ro
la
h e c h o
la s
re e m p la z a r
H a m e lin : se r
e n
u n id a d
to d o s
e n
D e s c a rte s , d e
g ra d o s q u e
m á s
¿ o lo s
e n
p e rm ite
c o m o
p u e d e n
d ic e
la
e s e n c ia l,
b r e v is s im a s
( C f r .
:
re p re s e n ta d a
s e rv a
p e r
e s p a c io
X V , L o
p re s ta
p a s a je
q u e
q u e
e s p e c ia l,
se r
E s te
é to d o
n 9
E s d ig a ,
se
“ c ifra s ” ,
M
6 8 ,
R e g la
p u n to .
q u e
b re v e s ,
c e s a ria m e n te
p á g .
la o
d e l
D e s c a rte s , r e c o m ie n d a
m u y
c u r s o
f u n c i o n e s
a
lo n g itu d
ilim ita d a X V I ,
d iv e r s a s
re c o n o ta s .
c o rre s p o n d ie n te 1 9 1 0 ,
p á g .
6 8 ,
138
L a s
s e g ú n
la
h a y a
c u a l
e n
d id a
u n
se
h a c e
se r
—
c a p ita l
p u e d e
e n tre
la
y
e s p a c ia le s q u e
u n a
b a n
e n
“ a ú n
q u e
se
te o ría ,
a
v a lo r
d e
lo s
c o lo re s e n
o tr o s ”
(37) ,
d e
m a n ifie s to
la . r e a lid a d
d im e n s ió n
g e n e ra liz a d a
te rn a d e
la
la
a n a lo g ía
r a z ó n
D e s c a rte s
y
s ig u ie n d o
e n
fra c c ió n ,
el
es
e le m e n ta le s , v e rsa s d e y
y
re la c io n e s
e s té
se
p u e d a
d ific u lta d e s , S e
si
m e d id a s
d e
b o ra c íó n m ie n to c ia ;
la
el
s o lu c ió n
b a jo
la
e s ta
m o v im ie n to s
n o c ió n d e
tu s
c a lo v e m , jr to tu s
el
c a p ítu lo
q u e
h a c e
u n
c a s;
ta l
se
36
38
)
c o m o
d e l
lo s
to d o s
M
lo s
d e l
a ú n
d e c ir
X I V ,
A T .,
A T .,
V I ,
p á g .
1 8
A T .,
X I ,
p á g .
3 9 .
d e
a lc a n z ó
“ lo s se r q u e
c o m o
n o c ió n
e l
in
o rd e n
lo
h a
h e c h o
le y e s
d e
la
d e
d e
lo s
p o n e r
L a
re
d im e n s io n e s a
q u e
e sas
el
d i
s is te m a
e x h a u s tiv a ,
c a d a
u n a
Y
lo s e n
d e
la s
b a s e
e s p e ro
4 4 7 .
p o r
e s tá
q u e a d
la
o tr o , d o s ”
d e
la s
d e
la
h a b la r
el
p o te n
“ m u c h o s c u e rp o
a q u é l.
o c u p e n
( 38) .
L a
g e o m e tría . es
m
D e s c a rte s
n o c io n e s
a q u í,
m o v i
e n
s in o y
a
re e la -
fo tr n a m ,
c o n tin ú a
a
m a te
n in g ú n
n in g u n o
e n tre
la s
re d u c id o
c o n c ib e n
s in
y o ,
m a rc o s la
q u e
m o tu s
lu g a r
e x is te n te s
s e r
o b je to
filó s o fo s ”
lla m a n
p o r
A ris tó te le s ,
re a liz a d o s
u n
p á g .
p a r a
re s o lu c ió n
la s
ta n to
c o n o c id o
q u e
la
p u e d e
P a r a e n
d e
e s tá
q u e
h a s ta
ese
h e
d e l
s u p o n e r
n a tu r a lm e n te
f ilo s o fía
n o
q u e
X ,
la
p a s e n
e n
m á s
e n c a d e n a
p re s c rib e
e n u m e ra c ió n
fe n ó m e n o s
q u a lita te m .
e n tra
h a b ía se
c o rre s p o n d e n
u n a
p o te n c ia
g e n e ra l
e s p a c io s
d e
e fe c to ,
e s q u e m a s
s ig u ie n d o
p a r tic u la r
e n
u n d o ,
m o v im ie n to
q u e
m o v im ie n to .
c u e rp o s
E n
lo s n o
d e te rm in a d o
se r
a d
s im b o lis m o
q u e
c o sa s,
e s p a
p ro b le m a .
lo s
p u e d e n
d e
p o r
re c íp ro c a s ,
re fo rm a
a q u e llo s
m o v im ie n to
R e g .,
)
(3 7 ) (
I I
p o d r ía
tu ra le z a
(
V
q u e
c iv a m e n te d e
lu g a r,
la s
d e
p ie n s a n
d e
d e
e n
D e s c a rte s
d e fin ic ió n q u e
u n
m á s
p ro b le m a
s o lu c ió n d e l
d e
m e
e s p a c ia l.
d im e n s ió n
fe n ó m e n o s .
f u n d a m e n ta l
to d o s
u n
c a m b íe a d
la
la
d e
lo s
re la c io n e s
to ta l
re a liz a d o
a c to
u n
c o m p re n d id o
d im e n s io n e s .
el
d e
re la c io n e s
d e
c u b rir
n ú m e ro
la s
s u s
e s tu d io
d e
es
a
d e
u n iv e rs o .
p re c e d e n
s u b s titu ir
n a tu r a le z a
u n
el
d e l
m é to d o
p a ra
T r a t a r
q u e
se
c u y a
re p re s e n ta c ió n
h ip o té tic a s e l
d im e n s io n e s
h a b r á
n o c ió n la
d iv e rs id a d
n o
p e rm ite
a
d e d u c ir
h a b r á
m á tic a s ,
la
in v e s tig a r
d im e n s io n e s
e sas q u e
e s
q u e
c o m o
c o rre s p o n d e r,
p o rq u e
d e s c u b rim ie n to
c o n d u c irlo
la
v e rd a d e ra
e x te rio r.
la
e fe c tiv a y
s e rv ía n
d e
d e
ra z o n e s
o b je to s ]
á t i c a
re p re s e n ta c ió n
c o m o
h a c e rle s
la s
u n a
d is tin to
c ie n c ia
s im p le m e n te [(o s
p o r
e x p lic a
m u y
u n a
e x te rio r;
e n tre
lo s
a
a t e m
c u a n tita tiv o s
g e n e ra liz a c ió n
R e g u lc e ;
u n
m
( 36) . T a n t a s
e le m e n to s in d ic a d a
c o n v in o
a n a lo g ía
f i l o s o f í a
n u m e ra c ió n ”
c o n d u c ir
o rd e n ,
u n o s
la s
d iv e rs id a d
la
ta n to s
E s ta
d e
a d q u ir ir
a r b itr a r io ,
d e
n a tu r a lm e n te
7 0 .
c ia l
la
p ro b le m a ,
p u e d e
p u n to
e ta p a s
ta n
o e n . .
su c e -
n o c ió n
g e o m é tri “ L a fá c il
n a d e
es
el
L a s
c o n o c e r
q u e
h o m b re s
lo s
la s
in te lig ib le lo
c o sa s
y
q u e
d e
d e
la s
té
e n
id e a
T a l
te n s o
e n
s io n e s p a ra
n o
tid a d e s S i
se
a g re g a
q u e
e n tr a n
se
p u e d e
to d o
fá c il” , ese
se
la
y
v is ib le , c o sa s
h a y
n in g ú n
o m itid a ”
la s
d e
n in g ú n
y
la
a sí
d e
la s
el
u n a
m a g n i d is tin ta s
a
la s
c o sa s
tra ta rs e
s ig u ie n d o
lo s
p rin c ip io s
g e o m e tría ,
e le m e n to
m á s
p o r
e n to n c e s ,
u n iv e r s a l
d e fin e
( 41)
c o m o
d e l
la
q u e
c o m o ;
p e ro
q u e
p u e s to
q u e
n o
e s
la s
la
p a ra
p o r
e n
e so
ta n to [se ]
la
d e
m is m o
q u e
h a n
es
c u y a
la
d e
n o
y
es
u n a
d e l
m o
la s
c a n
m e c á n i
s itu a c ió n
p o r
s o la m e n te
e x p lic a d o ”
n a tu ra le z a
d e
n u e s tro s
“ q u e
e x
c o m b in a rs e
c o n s titu ir
p e rc ib ir
es
d im e n
m e d id a
m o d ific a c io n e s
“ e n u m e ra c ió n ”
q u e tre s
m o v im ie n to
f ig u r a ;
p o d e m o s
m e c a n ic is m o
p u e d e n
E l
v o lu m e n
el
a q u e llo
m e d ía n te
la
e n
d e
re la tiv a s
fu n d a m e n ta le s
q u e
fe n ó m e n o
lín e a
c la ra s
e c u a c io n e s
p r o b a d o
q u e
m á s
lo s
y
lín e a s ;
m o v im ie n to ,
u n iv e rs o .
n o s o tro s
c o m o
h a
fig u ra s ,
d e b e rá
e s p a c ía le s
d e l
m e d id a
q u e
la
m e c á n ic a s ” ;
p r o f u n d id a d
la s
m u n d o
b le ,
y
e x p lic a r “ lo
s im p le s u s
lo s
d is tin
m o v im ie n to
id e a s
d e
c o n
se
d im e n s ió n
e n
a sí
to d o
s e n tid o s ”
“ m u y
a
la s
la s
m a te m á tic a m a te ria
e le m e n to s
d e
el
la s
y
d e
c o n tie n e
fe n ó m e n o s
s u s c e p tib le
v e lo c id a d lo s
lo s
lo s
y
d e
to d o s
b ie n
e s p a c io .
la
L a
a n c h o
a g o ta n
n o
d e l
d e
lle n a r.
e x p lic a r
v im ie n to
d e
fo r m a a
“ d e
e x te n s ió n
m á s
y
e x p lic a d o
u n iv e rs o
h o m o g é n e o s
id e a
lo n g itu d ,
m a g n itu d
d e
la
v a
la
ju z g a d o
h a y a n
e n tre
c o n c e b ir
e n te n d im ie n to , d e l
g e o m e tría
s ie n d o
a
1 3 9
" r e g u is e
c u e n ta n
s u p e rfic ie s
c o n s titu y e n
d e
la s
s u p e r f ic ie ,p o r
n u e s tro
la
se
h a n
n o c io n e s
c ie n c ia
m o v im ie n to
e n
es
c a rte s ia n o
ca.
d e
lo
q u e
la
la s
q u e
e n
a p lic a d o
su s
d e
y
té rm in o s
d e
im p lic a d o
e n “ L a
m e c á n ic a s
la
h e c h o
p u n to ,
e s ta r
p rin c ip io s
q u e
el
e s p a c io
h a n
d e
m o v im ie n to s ”
( 40) .
ú n ic a m e n te
se
c o n s id e ra n ,
U n ic a m e n te
p u e d e n
d e l
m is m o s ,
m á s
n a tu r a le z a
u n
lo s
m a te ria le s
“ lo s
q u e
la
d e
( 39) .
tu d e s
q u e
d e m u e s tra
m o v im ie n to lín e a ”
lo s
q u e
f u n c i o n e s
g e ó m e tra s
c o m o
ta m e n te
c o m o
d iv e r s a s
y
in te rm e d io s e n tid o s
h a y
v is ib le d e d u c ir
e x p lic a c ió n
es
n a d a o
e n
s e n s i
“ q u e
h a y a
n o s id o
( 42) .
i
(3 9 )
Ib id .,
" . . . p u e s V e r
ta m b ié n
f lu ir c o n
e l
d ic e n
d e l e l
P ro c lo ,
p u n to ”
p u n to
d e
(4 0 )
P r.
( 4 1 )
“ E n
e s p a c io ,
A T .,
es
V I I I ( 4 2 )
p á g in a
C fr. q u e
y
e l lo s
P h il.,
lín e a
o b .
c i t,
te x to
5 la
c la ra m e n te p á g .
I b id .,
IV ,
d e
E l
a lm a ,
m o v id a p á g . la
g e ó m e tra s , IV ,
v e rd a d ,
( 1 ) ,
3 1 7 .
A ris tó te le s , la
2 0 3 ,
9 7 :
R e g ., e n
e x te n s ió n la
m is m a
1 9 9 ,
A T .,
la
4
V e n
q u e
A T .,
q u e
i l i
d e
( I ) ,
la rg o ,
( e d .
R o d ie r,
s u p e rfic ie ;
" d ic ie n d o X I V ,
ta n to
A T .,
4 0 9 a
fo rm a
lo s X , s u
3 2 6 , a n c h o
y
u n o s p á g . f lu ir y y
c o n s titu y e
e l
( 1 ) ,
3 2 3
e l
t.
[q u e
4 5 0 :
la
" lo
fra n c e s a ,
p ro f u n d id a d c u e rp o ” .
P r.
p á g . la
la I X q u e
P h il.,
4 4 ) .
lín e a ” .
lín e a ]
m is m o
c o m p o n e n
tra d ,
I,
p u n to ,
es
u n
s u c e d e rá
lín e a ” . ( 2 ) ,
3 2 1 .
c o n s titu y e I I ,
§
1 0 ,
t.
I X ,
4 5 . $
V
i l i
p á g .
( 2 ) :
tra d ,
fra n c e s a ,
L a s
1 4 0
S
e
c
c
e ta p a s
i ó
7 1 . te m a
p a rtic ip a
p ír itu d e !
se
s o n
d e
q u e
la
la
m é tric o s fís ic a , s í
a
d e
la
lo s
d o
el
c o n tra rio
m é to d o s ra s g o
c rític o
p o r
a lc a n c e
d e
e s e n c ia l c ie rto
d e
ju s ta s
la
s u s
p u e d e
riv a le s ?
s a b e n
lo
q u e
g e b ra , y
d e
L u is
p lic id a d s ie n d o
lín e a s
d e d e
n im is ,
q u e
n o
la
le
e l
e n
e l
y I I I
lo s
4 9 0 . lib ro
la
lo s
tra b a jo s
D e s c a rte s la
y
q u e
a
d e
a
d e s
o p e ra
es
u n
y
q u e
E n
e s te
m é to d o s
g e o
m e c á n ic a , es
c la ro
q u e
d e
a
d e
la
q u e
e n
se
h a
u n o
ju ic io
q u e
e n
la
la s
( A T .,
o
s u s
u n
d e
e n
la
u n a
y y
p á g .
p o r
la
á l F e
m
u lti
A n g la is e t
d e
m a
y i la s
p re v e n id o
F e rra ri,
in v e n c ió n
4 7 2 ) .
p e
e l d e l
e c u a c io n e s V iè te ,
L u d o v ic o la
e n
S c ip ió n
la s
c a r
h a n
g e o m e tría ,
m a x im is
q u e
i n g ra n
p re d e c e so re s
H a r r io t
d e
F e rro
V I,
d e
e s tá
d e
d e
a p lic a d o
n o m b re
el
e c u a c io n e s
s u p e rio re s ,
d e l
el
r e s trin g ir
tra s c e n d e n c ia
s ie n d o
s i
a
“ Q u ie n e s
y
h a
L e ib n iz ,
a c u s a c io n e s
d e
S a v a n ts :
d e
¿ C u á l
d e
o b ra
p r e g u n ta
s ie n d o
h a b e r
tr a n fo r m a c ió n
in c lin a d o
ta n g e n te s
e l
u n a
á lg e b ra .
a n á lis is
c e ro
S c ip io n
G e o m e tr ía
es
d is tin to
e x te rio r
id e a
p a rc ia le s
d e l
g ra d o s
d e
la
s is
d e
a l
e s p a c ia l
lo s
P e ro
d e l
e s ta
V iè te ,
re c u e rd a
d e
el
e s p a
c a ra c te re s
im a g in a c ió n .
c o n v e rtir
id e a s
la s
a p o y a
s u b s ta n c ia s
la
m á s a
g é n e s is
d e
lo s
s ié n d o le d e
y
d e s c u b ie rto
ig u a le s
y
d e
s e m e ja n z a s
d e
se
irre d u c tib ílid a d
e x te n s ió n
1 6 3 7
J o u r n a l
h a
c u a l
d im e n s ió n
d im e n s ió n
c o m o
el
in te r io r
m á s
d e
d e
d e
la s
el la
m a te m á tic a .
p re c is a
a l
m é to d o
q u e d a
S o b re 4 8 2
c o n
( 4S) ,
la
tra n s fo rm a c ió n
el
e c u a c io n e s
g e o m e tría
( 4 3 )
F e rre u s ”
F e rra ri
la s
s u
c a m b ia r
la
c a rte s ia n a
n a d a
d e
g e o m e tría
f u n d a m e n ta l
F e r m a t
d e
p á g s .
lo
n o
d e
la
re s p u e s ta
D e s c a rte s
s ie n d o
s o b re
p ro b le m a s
in d u lg e n te ,
e n
E T R IA ”
o rd e n
u n a
lo s
1 6 3 7
e
p s ic o -fis io lo g ia .
in e v ita b le s
s u fic ie n te
d
q u e
e s fu e rz o
es
d e
d irig id a
í a
á t i c a
e x te n s ió n ,
u n
u n
la
e s ta
o fre c e r
L a
v e ro s ím ilm e n te
n e tra d o
d e
d e
re v o lu c ió n la s
la
G e o m e tr ía
d e
r
o tr o
r a z ó n
d e
p u e d e
m e n o s
p la g io
m a te m á tic o d e
la
es
d e e n
p r o p ia
té c n ic o s
t
a t e m
" G E O M
re p re s e n ta
d e
té c n ic a
e
e s p iritu a le s ;
se
e x te n s ió n
la
el
q u e
u n iv e rs a lid a d
e s ta
m
L A
n o
u n iv e rs a l
o
o
m
m a te m á tic o
e x is te n c ia
b io lo g ía
d e
P o r d e
I I 2 ,
c a ra c te re s
n a tu r a lm e n te
la
m is m a ,
r r o
lo s
m a te m á tic a
fo r m a d o
ta ,
D e s c a rte s
s u b s ta n c ia s
e
Y
e le m e n to
in te lig e n c ia
a c o m p a ñ a
s e n tid o
g
”
d e
la
la s
f i l o s o f í a
a
" R E G U L Æ
a q u e llo s
a te s tig u a n
o rd e n
o b je to
o
d e
e x te n s ió n ,
L
E l
c o s m o ló g ic o
c ia l; la
—
la
C . —
n
LA S
d e
d e
v e r
C a n to r,
“ S c ip io
L a s
p o r
lo s
b ía
d e s p re c ia d o ”
a n tig u o s ,
D e s d e m a n e ra p o r
el
m á s
a 2
o
g e b ra ,
p rim e r
o
7 2 .
e lla
n o
c e rse
tic a d o
(4 5 ) .
d e sd e
te
a l
m a n e ra
e m b a rg o ,
lo s
la
P e ro
e n
c ie rto
“ P u e s
n o
re s o lv e r
la s
ló g ic o s
n ic o s ,
d e
te s
e n
g e ó m e tra s ” la
d e
G e rh a rd t,
(4 5 )
p ,
4 6
)
m o n ta r
E n
h a s ta
( 1 6 1 9 - 1 6 2 0 ) ,
su s
m i
e se
la
R e g .,
(4 3 )
C a r ta ,
(4 9 )
R e g .,
B a ille t
a
u n a A
d e l IV ,
T . ,
X , d e X ,
M .
q u e
g e n e ra l,
e c u a c ió n T . ,
15 A
e n
d e
se c o n
d e l
p á g . a b ril p á g .
(46) ,
la
d e d u
c o n f ia n
m é to d o .
q u e
es
c a ra c te rís tic o
m á s
q u e
su
d e
s a b ría
la s
( 49) .
ro m p e r
L a la
lo s
e s c rib e
a
m a te m á ti
to m a rm e
e n v o ltu ra
p a ra
o c io
p ro b le m a s ,
e l
d e
q u e
tr a
lo s
té c
la s
p a r
p re o c u p a c ió n
e n v o ltu ra
p a ra
3 4 7 .
C a r te s ia n a e ,
D e s c a r te s ,
t.
p re p a ra b a la
a y u d a
te rc e r
o
e l
d e d e l
L e y d e n ,
I,
1 6 9 1 ,
1 6 3 0 ,
3 7 4 .
A
T . ,
p a rá b o la ,
c u a rto
I,
1 6 5 6 ,
p á g .
d e s c u b rim ie n to
u n a
g ra d o ” .
3 7 3 . d e
el
p a r
4 3 .
P h ilo s o p h ia e
( V ie
lo s
p ro s e g u id a
m a te m á tic a s
u n iv e r s a l
p á g .
p á g .
b u e n a
m é to d o
c a n s a d o
la
d o s p r a c
a n a lític a ;
e n tre te n e r
n o
es
h a y a
in te le c tu a l
b a s ta s e n
L a s
re p re d e
m a tiz a d o
n o
m á s
R e g la s ,
IV ,
d t.,
S p e c im in a
IV ,
la s
S e h r ., o b .
s o lu c ió n
s o n
m a te m á tic a e n
q u e
I I I ,
e n
d e
h a
a b s tra c ta :
s u e le n
( 4S) .
“ v u lg a re s ”
p e río d o
" la
p o c o ,
m is m o ”
id e a
m a te m á tic a
la
ta n
la
c u rio s a ,
a le ja m ie n to ,
a lg u n o s
e s to y
á l
D e s c a rte s
V
e x p lic a
d e l
ra s g o
si
q u e
“ P a r a
ta n
d e l
a ñ o s ,
d e
re g la s
c o n
é p o c a ,
e lla s
P h il.
p o r
lle v a d o s
( 4 " )
d e
B o u tro u x ,
a ta d o
s ó lid o s ,
d e p o r
D e s c a rte s
( 4 4 )
e s ta s
( 47) .
m is m a
c o n s titu itiv a s
(
m u c h o
X
g e o m e tría
s u
a
p ro d u c to
c o n tr ib u ir
n u e v e
in v e s tig a c io n e s
p ro b le m a s
m a te m á tic a s
c o n s ta n te
L ip s to rp ,
la s
re g la
s is te m á tic a
u n
m u y
in c lu s o
D e s c a rte s
fe c u n d id a d
D e s c a rte s :
re s o lv e rlo s
la s
la
D e b e
el
in v e n c ió n
a firm a
p re o c u p o
m e
d e b ió
d u ró
la
q u e
e n
c o sa
a c tiv id a d
a p lic a c ió n
e n
la
la
se
cas
d e
y
la
lín e a s
re d a c ta d a s ,
q u e
s u
d e
h a c ia
y
d e
y a
M e rs e n n e
b a jo
su q u e
v a lo r
R e g la s
v a n o s
lo s
d e
él
e n
s u rg ir
s in o
e m p le a d o s
R e g la s .
p o r
in te le c tu a l
te n d r ía
o
d e b ía
p ru e b a e l
d e s d é n
lo s
é x ito
e n
f is o n o m ía
tie m p o s
q u e
la s
d u d o s o
a c o m p a ñ ó
d e
d e
es
q u e
p e r ío d o
D e s c a rte s
n o
d e
s e ñ a la r
p e ro ,
re c tá n g u lo
p ro c e d im ie n to s
e l
u n
u n
d e s ta c a
q u e
s e g u ra m e n te
R e g la s ;
e n
eso s
q u e
d e
c o n
p rim e ro s
d e
ra n te
h a
e tc .” .
“ p ro p o n e
d e
“ H a y
v in c u la
la s
p á g in a s
c o n c e p c ió n :
d e
se
e x p re s a d a
ú ltim a s
D e s c a rte s
n o m b re s
c u b o s ,
e x p o n e n
S in
lo s
z a
g e o m é tric a s ,
c o m ú n m e n te d e
o
c o n c e p c ió n
s u p e rfic ie
e n tu s ia s m o
ig u a l
b a s ta n te
o r ig in a l:
c o n c ib o
la
p ro c e d im ie n to s d e s c u b rim ie n to
1 4 1
e t r ía
G e o m e tr ía ,
s e rv irm e
q u e
la s
e s ta
la
c u a d ra d o s
■ E s ta
e n
m e d ia n te
fa c to re s ”
d e
n o
fo rm a lm e n te q u e
d e s d e ñ a r
s e n ta r
“g e o m
c o n s id e ra b a n
p a ra
p o r
•—
e s tá
p a re c e
q u e
u n iv e rs a l
n o ta r
la
c o n c e p c ió n
s e m e ja n te s ,
d e s ig n o
m a te m á tic a
la s
lib r o
e s ta
m ie n tra s
lo s
n o
y
( 14) .
c la ra
b s
s im p le s ,
q u e
" r e g u l æ ”
p á g .
1 3 9 .
d e
p á g .
7 0 ) ,
h a c e
d e l lo s
7 9
r e
m é to d o
p ro b le m a s
,
la
1 4 2
L a s
h a c e r
a p a re c e r
c o n c re to . b ie s e d e
a s í
a
u n ió n
n ic o s
p a ra
p a ra
tu ra s
el
d e
fic a c ió n
se
a d e
R e q la s
a ñ o s :
y
su
m o d ific a r
el
c u rs o
s in
c re y ó
—
s a b e r
fe liz :
lo
q u e
fu é a
v e rs a d o
la
c a si
e n
y
la
in d ic ó
fa c ilid a d
e l
c o n s is te
g ra n e n
lu g a re s
H a r d y fin e s
(
c a si
b o
)
a
t
.,
lo
lo s o p h is c h e (5 2 ) t.
h a
( 52)
I,
S c h r ifte n , V e r
la
I,
p á g .
c a rta 2 3 2 .
lo h u
sa c a d o
;
la s
sí
d e
s in
té c
o c u rrid o c o n je
m é to d o s
e m b a rg o
d a rle s
u n a
se
ju s ti
a b a n d o n a n d o
a
su
s in g u la r
d e
la
la
G e o m e tr ía
s o b re
e n
u n
u n a
s e r
u n a
u n a
o b ra
m a te m á tic a
d e l
d e
L u e g o ,
in tro d u c c ió n
c re a d o
d e
p e río d o
d e fin itiv a m e n te .
h a
c ie n c ia
d e
a n te rio re s
y
q u e
s ig lo
la d e
X V II
n o s
h a
a
d ió d e
C A R T E S IA N O
c o n s e rv a d o
o fre c ía d e
d e
la
o c a s ió n
h a c e rla
d e
p re d ic a b a
lib ro
d e
h a c e
D e s c a rte s
lo s
la s s e is
la
m u y
p o r
lín e a s
e n
h a b e r
q u ie n
a
P a r ís ”
m u y
a lto
s id o
Su
m é
G o liu s
P a p p u s ,
G e o m e tr ía . . .
p a re c e
y e ra
c u rv a s
s e m a n a s
tie m p o
b u e n o
h a b ía
p ro b le m a s ,
re fe rid o s
d e
q u e
d e
es
n a c e r,
G o liu s
a n tig u o s ,
a n tig u o s
c o s tó
D e s c a rte s ,
P o r q u e
re s o lv e r
p ro b le m a
c o n ta d o
lo s
D e s c a rte s
lo s
d e
c ie n c ia .
p a ra
p rim e r
c irc u n s ta n c ia s
G e o m e tría
e s ta
c o m o
la s
la
le
q u e
p o r
lo s
D e s c a rte s , S é
e s to
( 51) .
e n v ia d o
E s a
y
p o r
h a c ía G o liu s
7 5 .
su r t.
s e g ú n
( 50)
v u e lv e
d e b ió
g e o m e tría
q u e
p á g .
R em arques
(5 1 )
1 6 3 2 ,
m e
1 6 3 1
d e lo
h a b e r
p a ra
c rite rio ,
u n iv e rs o ,
s is te m a tiz a c ió n
el
n o
h a b r ía
p a re c e
p o d e r
s o b re p a s a d o
s ó lo
d e l
q u e
E s te
to d o
s u
n o
s itu a c ió n
A N Á L IS IS
Y
c ie rta
n o
D e s c a rte s ,
p o r
c ie n c ia s
m a te m á tic a .
p ro b le m a
u n a
q u ie n d e
el
q u e
g e o m é tric o s .
c o n s titu y e
h a b e r
in ic ia c ió n
d e sp u é s.
c o sa
R o v e rb a l
a
la s
p ro c e d im ie n to s
d is p o n ía
G e o m e tr ía
q u e
p r o f u n d a
o lv id a d a
to d o
d e
la
d e
la
re s p e c to
G o liu s
c o n tr ib u y ó
la
s in o
p ro b a b le m e n te
la
L e ib n iz
“ C o n
a
e x te rio r
G e o m e tr ía ,
m e n o s
o
s o n
e n
filo s o fía
7 3 .
la
q u iz á s
d u d a
le
E L
a c c id e n te
a p lic a c ió n
T a n n e r y ,
s ig n ific a c ió n
la
lo
á t i c a
s o lic ita c ió n
in d iv is ib le s ;
filo s o fía
la
d e
a t e m
in v e n c ió n .
q u e
q u e
m
g e o m e tría
ra c io n a l
la
s o b re
a
P o r
P a u l
D e s c a rte s
p r o f u n d iz a n d o p re p a ra c ió n
la
C a v a lie ri
d e
la
u n a
d e
c o n o c e r,
e x p lic a ría
la s
d e
si
lo s
d e
d e
h o n o r
p e n s a m ie n to
b ía
d e
h a c e rlo s
el
A s í
s u
p e rs o n a l.
lo s
f i lo s o f í a
c o m p o n e r
y
s u fic ie n te m e n te
é m u lo s
c e n a
a
u s o
a
la
a lc a n c e
á lg e b ra
c á lc u lo
d e
q u e ,
D e s c a rte s
p la u s ib le s
e q u iv a le n te s a b s tu v o
el
c la ro
d e l
s u
m u y
fre n te
m e jo r
P a re c e
lle v a d o
la
e ta p a s
l ’a b r é g é
IV ,
p á g .
d irig id a ,
de
la
v ie
de
M ons
de
D e s c a r te s
(G e r h a r d t,
P h i
3 1 6 ) . s e g ú n
A d a m
y
T a n n e ry ,
a
G o liu s ,
e n
e n e ro
e s te
E l
" p r o f e s o r c ió n
d e
d e
ese
E n e s ta
u n
a
lo s
o tra s es
d e
d ic e
tre s
D e s c a rte s p a r te
d o ,
p o r
u n
p a s a je
el
m u y
a
e n
E n q u e
m ie n to
té rm in o s
I b id .,
(5 5 )
" P a r a
h u b ie ra
C fr.
C a r ta
su s
u n
e l
p o r
m is m o ,
b ie n ,
n o
d e
u v r e s
( 1 ) ,
te n ía n
a l
la
c o m o
la
la s
p 'r u e b a
c a u s a s ) ”
p a r a d o ja l,
D e s c a rte s
se
y
y
t.
F e rm â t,
d e l
c á te d ra
d e
p o c o d e
I,
2 3 5 .
I I ,
p á g .
R a m u s , m á s
P a p p u s ,
M e r s e n n e , A T .,
d e d e
I,
d e
m e
d ifíc il,
im a g in a c ió n re p re s e n ta n
1 0 5 .
p a ra
q u e
m e d e
la s
p ro c e d i
c o n d ic io n e s
la
h u b ie s e
a b ril
s o b re
q u é
g u s ta d o
v e r fu é
s i
p o d ía
p ro p u e s ta
1 6 3 4 ,
A T .,
q u e lle g a r h a c e
I,
2 8 8 .
2 5 6 .
1 4 0 .
A lg u n a s c o s tu m b re
q u e
p á g .
re s e rv a
p ro b le m a
la s
p a r a
q u e ( 57) .
c u e n ta
d ire c ta m e n te m e d ia n te
s a tis fa c e r
T H .,
la
d a b a
m is m o
r a z o n a
D e s c a rte s ,
c a ra c te riz a
p o r
in v e s tig a
e n te ra m e n te
s ig n ific a c ió n
p o r
in ic ia
lo
(a u n q u e
e je m p lo
D e s c a r te s ,
p o r
c u a l
o b je c
n a tu r a lm e n te
p á g .
y
se c o n d e s
q u e
II,
tre s
m é to d o
s ín te s is .
s o n
1 6 3 2 ,
d e
a u x
d e
1 2 2 .
ig n o ra s e n
y
q u e
à
lo
p a ra
P a p p u s
p rá c tic a m e n te
es
e fe c to s
q u e
e
a q u e lla
T H ., p á g .
im p o rta n c ia ” .
lo s
el
u n
o b ra
D e s c a rte s
n u e v o
lín e a s ,
L e ttr e d e
el
m a n e ra
la
la
F e rm a t
a n tig u o s ,
d e
C fr.
c o n
d e
lo s
e sas
c u e s tió n
ju n io
F e r m a t,
ta n ta
d e
e je m p lo ,
à
e fe c to s
s ín ttié c o
d e
7 2 3 .
a lg u n a
I X
p o rq u e
d a b a n
Œ
R é p o n s e s
d e l p ro b le m a
p á g .
d is
a b s tra c ta .
a n tig u o s
fig u ra s ,
tr a z a d a s
G o liu s ” .
g e ó m e tra s
d e
la s
esas
s u s
s ó lid o s
g e n io ,
y
s e g u ra m e n te
c o n
m é to d o
su
n
q u ie n
d e
m é th a p h y s iq u e s ,
es
a
o p o n e rs e
lo s
d e
d e
d e
p ro b le m a
m é to d o
g e o m é
e le g a n te ,
lu g a re s
d e
a
q u e
m u y
e l
s u s
p ru e b a
c a n d id a to
a l
e s c rito s , le
V I,
p o r
A T .,
s e c re to
e n
t.
c o m o ,
a n tig u o s
p o rq u e
se r
p ro p u e s to
C a r ta
(5 T )
b a jo
lu g a r
re la c io n a
lo s
d e b ía
su s
s ín te s is
A h o r a
a ñ o s
( 6 6 )
a n u n c ia
el
a n tig u o s
c o n d u c id o
d e
se
R o b e rv a l,
s e c re to
d e
e m b a rg o
el
T a n n e ry ,
tre s
" L o s
s in
el
p o r
e le m e n ta le s
(5 4 )
té rm in o :
s o lu
p r o d u c to
se
lo s
e s te
m a te m á tic a
p a ré n te s is
p u e d e n
c a si
la
d is ta n c ia s
el
s o lu c ió n ,
a
G o liu s ,
ta m b ié n
la
su s
p la n te a s e
b ie n ,
é d ita tio n s
c o m p o n e n
lo s
a
M
d e
1 6 4 0 ,
se
c o m o
c a u sa s
d e
e fe c to ,
p ro b le m a .
le
L e y d e n ”
P a p o
c o n
in te g ra lm e n te
m é to d o
m e n u d o
e l
d e l
(5 3 )
E l
le s
e x p lic a
lín e a s
q u e
p o r
la
d e
su
te ó ric a m e n te
d e
la s
c o n c e p c ió n
e x p re s a d a
P a p o .
e n
e n c o n tr a r
p ro b le m a
(* 4 ) . E n
v e z
d e
re c ta s ,
m é to d o
s ig n ific a tiv o
s u c
sea
E s te
el
A h o r a
s id o
——
c o n tie n e
S e
su
2 n
c o n s e rv a
p re s e n ta b a
e s tu d io
fa ite s
se
e le g id o
h a b ía
" e x a m in a n d o
e llo .
a
p ro b le m a
p r o d u c to
( 53) .
( 56) .
7 4 .
tio n s
o rie n ta le s
d e te rm in a d a
re s titu id o
te rre n o
q u e
se
n ”
re c ta s ”
h a b e r
o tr a
el
s ig u ie n d o
lín e a s
s o b re , el
el
q u e
“ ú n ic a m e n te
c u a tro
le n g u a s
“ d a d a s
re la c ió n
a c o n s e ja d o
( 55) ,
T a l
ta l
u n a
la s
lu g a re s
h a b ía
d e
m o d e rn o
s im p le :
p u n to e n
A p o lo n io ;
a b o r d a :
o
m u y
e s té
ta n c ia s d e
le n g u a je
d e
re c ta s
y
1 4 3
c a r te s ia n o
p ro b le m a .
fo r m a
tric o
m a te m á tic a s
a n á lis is
lo
lín e a s
m á s
e m p le a r e l
a n á lis is ,
re s e rv a b a n
a b a jo ,
D e s c a rte s
ú n ic a m e n te s in o , p a r a
e s ta
s e g ú n e llo s
a g re g a :
s ín te s is m i
e n
p a re c e r,
s o lo s ,
c o m o
e n
144
lo
L a s
a b s o lu to ,
re la c io n e s s o n
la s
s a lta r
u n
lu to
la
lla m a d a
a llí
p re s a d a
m u y
s id o
re la c io n e s
d e
lo s y
d e
la s
T a l
es
el
d e s p u é s
d e l
s in o
la
c u a n d o
m a n e ra
d e
d ife re n c ia
c o m o
u
y
c o sa s
(
60)
m a r c h e
d e
R é p .
y
e r
d e s
la s
A T .,
X ,
s e n c illa la
el
c a u sa ,
e s tilo ” .
a u x
l i m
a c e rc a e t
e ,
d e
es e x d e l
u n a
c o
e fe c to s s o n
la s
lín e a s ;
d a to s
d e l
es
p r o
c o n fig u ra c ió n
y
s u p u e s ta s
q u e
c o n fie re n
a s p e c to
d e s
n o
se r
p ro b le m a
d e
e n ig
s im p le ,
p u n to la s
é v é n e m
e n ts
A T .,
u n iv e rs a l, o b . I X
le s
c it., ( 1 ) ,
t e m
a
c o m o
d e p s
la
lo
p á g . p á g .
la
in te -,
d e c is iv o .
h a c e
“ s ím b o lo ” , re s o lv e r y
e n
c u e n ta se
d e b e
fo rm a
q u e
n o m
q u e
ig u a l, 2 2 0
ta n to n in g u
e x a m i
m á s
c o n tie n e
lo
se
n a tu
e n
s í
la
c o n s id e ra
s e m e ja n te , y
d e
a lg ú n
d a r
c o n s tru irlo ,
to d o
u n o ,
a q u e l
s ín te s is
es y
h e c h o ,
te n e r
d e
a b s o lu to
re fle x io n e s d a n s
y a p a r a
s in
n o
re s o lu c ió n
u n
d e s c o n o c id a s ,
c u e s tió n ;
M a n n e q u in ,
o b je c tio n s ,
y
la
a n á lis is
la
f in ;
“ Q u e rie n d o
m u e s tra
" L la m o
e s tá e n lo
q u e
se rá ,
e l
P a p o ,
n e c e s a ria s
c o n o c id a s
o rd e n ,
h a s ta
c o m o
D e s p u é s ,
d e
c o m p o s ic ió n
in te r v e n ir
lin e a le s
a lg e b ra ic a .
d e
c a ra c te rís tic o
d e
e le m e n to s
n o m b re
a n a lític o
h a c e
e fe c tu a d a p a re c e
o tra s .
el
tr a b a jo
m é to d o
q u e
p a re c e n
C fr.
e s te
E l
c o n s id e ra rlo
3 8 1 :
q u e
e s te
id é e s
se r
lo s
lín e a s
su
p o r
q u e
a c titu d
la s
la
la s
a n tig u o s
d a
el
lo s
e sa s lín e a s
VI,
p u r a
a
s e g ú n
in d e p e n d ie n te ,
o tra s
d e
q u e
c o m o
e n tre
R e g .,
(5 9 )
la
a n te
lín e a s
d ific u lta d
a
a b s o
y
c u a l
d e
d e s c o n o c id a s , lo s
el
c a u s a s ,
lo s
re fe re n te s
u n
s id o
to d o
la s
la s
d e
d e
e l
c o m o
p o s ic ió n
D e s c a rte s
n o s
e c u a c ió n
in c ó g n ita s
(5 8 )
h a
q u e
u n o
d e b e
a
n a tu ra le z a
lo
se
to d a s
v e r
la
s e g u rid a d ,
a q u e l
o b te n e r u n a
a
la
s in o
A p lic a d a
c a d a
b re s
n a r
c u a l c o n
re s o lu c ió n .
re s o lu c ió n
—
p ro b le m a ,
la s
d e
a n á lis is
a
a l
s ín te s is ,
7 5 . rre s p o n d e r
p o r
la
p o r
a q u í,
d is tin c ió n
s u p u e s ta s
c o m p o rte ,
la
d e l
h a c e
s in o
e n g e n
d e b e
c o n s is te
el q u e
re la c ió n :
g e o m é tric a
d e s p re n d e rla s
la
y
e n te n d id o ,
re la c ió n
e s to
o b je to
( 60) .
tr a b a jo
e x c lu y e
a
e l
d o m in a
b ie n ,
e x p re s a n
c o n s titu y e n
u n a
c a m in o
y
A h o r a
e m p le a d o s
m é to d o
e l m is m o
e n
v e rd a d e ro
c irc u n s ta n c ia s
lín e a s
h a z a ñ a s
a u n q u e
n a
la s
p a r tic u la r
A s í
E s ta
la s
in d e p e n d e n c ia ,
p ro p o rc ió n
ta z ó n .
p o d e r
d e
d e
d e l p ro b le m a ;
n o
e s p íritu
R e g ía s
in v e n ta d a ,
q u e
el
( B 8) .
m is m a ;
el
d e p e n d e n
q u ie n e s
a b s o lu to ,
la s
la
sí
q u e
el e n u n c ia d o
p a ra
u n a
( 58 9 ) .
n e c e s a rio
e n
y
d e
g ta lid a d
p a ra
c a u s a s ”
p ro c e d im ie n to s
m a s
q u e
y
m a g n itu d e s
lín e a s ,
c o n o c id a s a
d e fin e
p u e s to
a p a rie n c ia
in d ic a n
m u e s tra
e lim in a n d o
la s
lo
á t i c a
lín e a s ,
p o r
q u e
e x a c ta m e n te
c o n s ig u ie n te
b le m a , d e
la s
la s
u n a lo
m e tó d ic a m e n te d e
p o r
c o n
q u e
a n á lis is
d e p e n d e n
n o
a t e m
e n
d e te rm in a c io n e s
s í, m i s m a
“ el
y
m
e fe c to s ,
c o n te n id a s
c a u sa ,
c o m o
re la c ió n
e n
a n á lis is :
la
d e
se r,
f i lo s o f í a
e n te n d e m o s
v is ta
c o n ju n to
p u e d e
h a
la
si
s im p le ,
e je m p lo
sa
a
la
lo s
e s tá n
m é tric a s ,
a b s o lu to ,
p rin c ip io
d e
re a lid a d
q u e
re la c io n e s
p a re c e
d ra
e n
m é tric a s
v e rd a d e ro
e l
s o n
e ta p a s
re c to ,
s ig .
1 2 1 .
C o u rn o t, m o d e r n e s ,
C o n s id é r a tio n s
t.
I,
1 8 7 2 ,p á g .
s u r
2 6 5 .
c o
E
ra l
d e
q u é
h a s ta
q u e
tid a d
e n
m a n e ra se
d o s
té rm in o s Y
se
d e
re c u e rd a n la s
d e
se
d e
c e rc a , e n
se
P e ro
p o d ía
n o
-a p lic a rs e
d e ra m e n te c rib e
e x p re s a r
e s ta
la s
P a r a
la
m á s
p u ra m e n te
q u e
q u e
d e
“ el
“ p re s e n ta d o d e
se
r a r
la
n a tu r a le z a
b re
el
g ra d o
re c tá n g u lo u n a
d e
m is m a ,
c u a l
s ó lo
y
e lip s e .
la
d e
d e s u
P e r o . . .
p o rq u e
n e c e s a rio
(6 1 )
A T .,
( 6 2 )
L a
M é ta p h y s iq u e ,
la s
V I,
d e s
p á g .
g é o m é tr ie a ñ o
d e l
d e
la s
u n a
c u rv a s ,
1 8 9 6 ,
d e
d o s
d e l
p a rte , d e l
( 84) .
y
la
la
a
P o r
y
e c u a c ió n la s
e x p lic a r
la
a
la
a q u í
la
E l
p ro c e
d e l
p r o
V iè te ;
p o r
la
a
la
c o n
c o n s id e
c la s ific a c ió n n o a l
lle g a
s in o
c u a d ra d o g é n e ro , la
es
e c u a c ió n
p a r te
lle v a
s im p le
c a n tid a d e s
e n
re c ta s ”
d e
p a rá b o la ,
lle g a
d o s
d e
o tr a
b ie n
m á s la
c u a le s
re s o lu c ió n
e c u a c ió n
d e
c o o rd e n a d a s
c u a tro
f u n d a r
c írc u lo ,
d e
y
re p re
m is m o
g e n e ra l
o
la s
c a rte s ia n a s .
á lg e b ra d e
s is te m a
lo s
d e
a l
p ro b le m a
e s ta
p rim e r
el
u n a
p a ra
a
s is te m a
in d e te rm in a d a s ,
c u a n d o o
s ím b o lo s
e n to n c e s
d e l
“ C u a n d o
el
p a ra
d is c u s ió n
g e n e ra le s
es
u tiliz a
g e o m é tric o
in c ó g n ita s ”
lín e a s
c u rv a
u n a
p re s
a lg e b ra ic a s ,
c o o rd e n a d a s
c o n d u c e
lu g a r
fo r m a
lo s
te rre n o
v e rd a
G e o m e tr ía
e m p le a b a
re c u rrir:
P o r
ig u a le s ”
e n u n c ia d o ,
e c u a c io n e s la
d e
p o rq u e
c a p ita l.
G e o m e tr ía
ta m b ié n
el
la s d e
el
e c u a c io n e s
O re s m e
c o m o
F e rm a t. s o b re
e n
lu g a r
[té rm in o s ]
d e
re g la
e x p re s a d a s
e n
q u e
( 6 2 *64)
L a
d if ic u lta d :
m á s
m é to d o
p u n to
la
lo
c o m p re n d id o s
d e
el
el
q u e
c a n tid a d e s
d im e n s ió n es
el
d o s
fo rm a c ió n q u e
lla m a d a s
d o s
e n tre
te n e m o s
g e o m é tric a s
e c u a c ió n :
lín e a
e s tá n
la
G ib s o n
m a g n itu d e s
la
se
D e s c a rte s
R e g la s .
d e s c o n o c id o s
lo s
o tra .
lín e a s
d e
d e
la s
d ire c ta m e n te
n o
ta n to
c o n d ic io n e s
d o s
la
q u e a
ta n ta s
té rm in o s
re c o rre r
D e s c a rte s
c o n
la s
b u s c a r
c o m o
la
h a c e
la
g ra d o d e
q u e
o b s e rv a c ió n d e
d e
c u a n ta s
e x p re s io n e s
re d a c c ió n
g rá fic a s ,
a n á lis is
b a jo
s e g u n d o
s id e ra c ió n
d e
la
a
e c u a c io n e s L a s
in te re s a n te
c o n s titu y e
p ra c tic a b a
P a p o
e je m p lo :
la
ta le s
( 61) .
re c o m e n d a b a
s o n
m e tó d ic o
b le m a
d e
e x p re s ió n ,
D e s c a rte s
d im ie n to
la
q u e
ta l
la s
re c ta n g u la re s
lo s
s im p le s ,
s e n ta c io n e s
p ro c e s o
ig u a le s
e n
q u e
o b te n e r
R e g la s .
s o n
re la c io n e s
e x p re s ió n
c o o rd e n a d a s
m a n e ra s
d e
m á s
c a n
d o s
c o m p a ra c io n e s
g e o m é tric a s ,
o tra s ,
q u e
p a ra
re g la ,
la s
m is m a
p u e s to
d e tu v o
ta n ta s
e s ta
d e
u n a
e c u a c ió n ,
“ H a y
s u p o n e m o s
u n a s
u n a
s e g ú n
a s í:
la s
e x p re s a r
lla m a
ta n ta s
se
d e
se
d ife re n te s
te n d r á n
( 83) .
m e d io
q u e
e sa s
q u e
m o d o s
c o n o c id o s
m u tu a m e n te
el
d e s c o n o c id a s ”
f o r m u la
d o s
a s í
d e
lo
1 4 5
c a r te s ia n o
d e p e n d e n
e n c o n tra r
p á g in a s
X I X
es
u n a
s u p u e s to
a n á lis is
e n c o n tra d o
fo rm a s :
d e b e n
h a y a n
e lla s
h a y a
l
e n
s o a l d e el
h ip é rb o la
te rc e ra
o
c u a rta
in d e te rm in a d a s :
re la c ió n
d e
u n
p u n to
3 7 2 . d e
D e s c a r te s
p á g .
a u
p o in t
d e
v u e
3 9 5 .
( ° 3 )
A T .,
X ,
p á g .
4 6 8 .
(6 4 )
N o ta
d e
P a u l
T a n n e ry ,
A T .,
V I,
p á g .
7 2 5 .
d e
sa
m é th o d e ,
R e v u e
d e
1 4 6
c o n la
el
o tr o :
q u in ta
es
o
in f in ito ”
el
tu a
—
y
la s
so
d e l
c o n
c ia
u n a
c o n
p o r
tr in a
se
e s e n c ia l
d e n
m is
V I, ( 6 6 )
la s
lle g a
o tra s
h a s ta
h a s ta
el
la
d e l
q u e
L ib . d e
I I ,
se
§
c o n n a îtr e
p á g .
y ,
c u e v a s,
p o r
y
ra íc e s
g e o m e tría ;
e d .
el
S e
p o r
u
á l
p u e d e
e je m p lo ,
o
e n
se
lo s
p u e d e
o b te n e r
c o m u n e s .
m o s tra d o
el
g e o m e tría ,
la s
d o s
E n
su s
u n
o tr o
la s
a s í
lo s
m á s
se
c a h a c e
fa ç o n
la s
u n
p o r
lo s a
d is tin g u e r le u r s
le s
e fe c to s ; d e
S c h o o te n ,
1 6 4 9 ,
p á g .
1 4 0
la s
c o m o E s
(p á g .
a
la
c e u x
c u y o
9 3 ) .
o r
s im p le s
p o r e s ta
p r o
p o r
m á s
c o u rb e s d e s
d e
d o c
e c u a c io n e s
g ra d o s , p rá c tic a
m e ta fís ic a s :
lig n e s à
d e
c ie n
a lg e b ra ic a s
“ c o n d u c ir
p o c o ,
p o in ts
n u e v a
p ro c e d im ie n to
o b je to s
M e d ita c io n e s
d e
p ro c e d e r
la
a n a lític o ,
c o m p u e s to s ” .
to u s
in te rp re ta c ió n
d e
lo s
D is c u r s o :
p o c o
la
in d ife re n te
e c u a c io n e s
es
m é to d o
p o r
fe c u n d id a d
es
d e
c o n s titu c ió n
e l
la s
q u ’o n t
d e
c a u sa s
d e l
lle g a r
o
d e s p re n d e r
la
e n
ig u a l
m a n e ra s
g e o m é tric a s
a
d e
a n a lític a
3 9 2 .
G e o m e tr ia ,
e x m
d e te rm in a n d o
e je m p lo ,
la
d e
d e
p a ra
Lm
la
e n tre
d ife re n te s .
s u s
e x ig e n c ia s
r a p p o r t
la s
re s o lu c ió n
c o n fo rm a n
le
c o rre la c ió n
d e
c o m e n z a n d o
titu la d o :
V iè te ,
c o n v e n ie n c ia
e c u a c io n e s
la
tr a ta
L a
d e
e s ta
g e o m e tría
a
d ire c ta m e n te
c o n o c e r
d e
s e g ú n
c o rre s p o n d ie n te s ,
h a n la
P e ro
se
f o r m u la d o
d e
se
á lg e b ra
la s
la
n o c ió n
á lg e b ra .
e n c u e n tro
a
y
es,
la
m a te ria le s
a lg e b ra ic o
p rin c ip io
p rá c tic a s
c u rv a s
c ie n c ia ;
si
d e
c o m o
( 65 6 ) .
d e
d e
p e n e tra d o
a n á lis is
la s
c á lc u lo
a y u d a
C A R T E S IA N A
re la c ió n
c u rv a s
c o n s tru c c io n e s a l
el
d o s
d e
la s
el
te ó ric a .
c o n o c im ie n to
(6 5 )
A T .,
d e
p e n s a m ie n to s ,
in te le c tu a l
e t
v a
e s tá
fá c ile s el
e c u a c ió n a s í
re te n ie n d o
c u y o
“ la
a
la s
p o r
d e l
la s
y
g e o m é tric a s
d e
la
s a tis fa c e
ceso
m á s
la
c a rte s ia n o ,
té c n ic o ,
lu g a r
g e o m e tría .
re fie re
a lg e b ra ic a s ,
g e n r e s
d e
la
d e
q u e
y
á t i c a
y
E T R IA
g e o m e tría ”
c o m u n e s
a y u d a
c o n c e p c ió n
in d u c c ió n
h a s ta
a t e m
c u a n d o
G E O M
v is ta
d a
e q u iv a le n te s
a y u d a
q u e
la
d e
c o n
a p lic a c ió n
s e r
la
m
te rc e rp :
h u m a n a ,
p ro c e d im ie n to s
e x te n s ió n la
d e
la
L A
B e a u n e ,
e c u a c io n e s
d o s
á lg e b ra
ja n
. . d e l
d is c ip lin a
d e
ra íc e s
á lg e b ra
L o s
m e n te
y
in te rs e c c ió n
g e o m e tría
la
.
A p o lo n io
d e
p u n to
la s
la s
d e
h a c e
p a ra
d e
n u e v a
in te rs e c c ió n
d e
se
D E
p ro p ie d a d e s
d e
p a r tir
Y
p e n s a m ie n to
g e o m e tría ,
“ c o n s tr u ir ”
p u n to s
u n a
el
la
p u n to s
f i lo s o f í a
es
c ie n c ia
a ritm é tic a
D e s d e
u tiliz a r
E l la
F lo r ím o n d
la
g e b ra
-
g e o m é tric o
d e
d e
s e g u n d o .
la
d im e n s ió n
d e
e n g e n d ra d o
p re s ió n
d e l
A L C A N C E
u n id a d
a n á lis is
h a
d e
( 85) ./
7 6 . la
e ta p a s
s e x ta
E L
d e
L a s
D e s -
e n
c e r ta in s
lig n e s
d r o ite s .
E l
c a rte s
d e c la ra
c io n e s ,
se r
p rá c tic a
q u e
in ic ia q u e
c io n e s :
es
a
m á s
e l
c a rte s ,
te
s e g u id o
la
e s ta
lo s
te rc e r
d e
d e c ir
m a ”
a l
te o ría
la
R e s p u e s ta s
re s u lta d o
a c e rc a
c o m p u e s ta s
se rá
a
c o n s id e ra d o s m e n u d o
q u e
d e
la s
v a rio s
lo s to d o s
e n
[le ]
Y
es
e s c rib e d e
u n o s
D e s
la s
e c u a
e n
s o n
c o n ju n to ,
c o n s id e ra rlo s
d e
e c u a c io n e s ,
té rm in o s ,
c u a le s
o b je
e lla
e n s e ñ a r” .
n a tu r a le z a
d e
m e jo r
s e g u n d a s
n e c e s a rio ,
la
d e
la s
te o r ía
“ E s
d e
1 4 7
p u e s to
p a r a
la
G e o m e tr ía :
a
. . .
p r o p ia
d e s c o n o c id o s ,
v a le , q u e ,
c a r te s ia n a
a n a lític a m á s
h a
s u m a s
d e s o rd e n o
a l
e s tá
te m p o rá n e o s , g e b ra ic a lo
d e l
la
s u s
la
d e
la
b ro
sea
c o m o
T r a t a r
m á s
n u lo , d e
y
la
h a b e r,
e je m p lo ,
si
x = 3 ,
se o
la
p a r
ig u a le s
s o n
e n
b a jo
q u é
el
h a c e r
la
ig u a
e s ta
f o r
c a n tid a d
ig u a l 3 =
la s
a
0 ;
2
o
q u e
la
ta l
esa b ie n
d e e n
el
la s
2
m u ltip lic a n d o
la
e l
m é to d o
c o n
la
d e
a y u d a
ra íz
u n a
ra íc e s
c e ro ,
sj
e s ta s
p r o
m ie m
es
p u e s to a
a l
m a g n itu d :
e c u a c ió n ,
ig u a l
c o n
e c u a c ió n
ra íc e s
ta n ta s
e n tre
( 88) ,
lo s
s e g u n d o
c a d a
c a n tid a d : x —
L a
n o c ió n
q u e
re a lid a d
p a ra
s ig u ie n d o
in c ó g n ita ,
d e
fu e
e c u a c io n e s
c o m o
fo r m a
p u e s
y
e n
d e s a fío
c o n s titu y e
d e s c u b rim ie n to
v a lo re s
x
v e r
u n a
“ S a b e d
tie n e d e c ir
q u e
es
d e
c a rte s ia n a .
a lg e b ra ic a s d e
q u e
in te n c ió n
D e s c a rte s ,
g e n e ra c ió n
p u e s ta
x —
d e
e c u a c io n e s
a
G e o m e tr ía , u n a
f u n d a m e n ta l
es
s u p o n e b ie n
la
m a te m á tic a
s im p le s ;
p o r
es
d e
e sc o n d e
la
e c u a c ió n :
d im e n s io n e s
p u e d e
d e
re la c ió n
e c u a c ió n ,
s o lu c ió n
q u e
p e n s a m ie n to
a s is tir
fo rm a s
ced e
el
c la v e
a b s o lu to . es
a p a re n te
m e n o s
e n
e x p re s a
a n á lis is ,
v o
la
e t r ìa
( 67) .
e s ta
d e
la s v ía
g e n e ra l
p a rte
m á s
a rtific io ,
es
e n
la s
e n
p o rq u e
P e se u n
d e
y
o
c e ro ;
lib r o
g e o m
e n
y
q u e
a lg o
la
“ la
v e rd a d e ra
d ig a
o tro s ,
a
a llí
in te le c tu a l
c o n o c id o s
le s
d e
e x p re s a m e n te ,
h a b e r
p a re c e
a l c a n c e
re
ta n ta s
d iv e rs a s q u e ,
y
d e
d o s
p o r n u e e c u a
c io n e s , V se
x *
q u e
es
m e n te
—
la s
e c u a c ió n 3 ”
2
=
0
y
x
—
3
=
0 ,
d e
—
la s
e n
a
S in
la s
6
la
=
“ d ific u lta d e s ” ,
c u a l
te n e r
p o d e m o s
la
o
b ie n
x 2
c a n tid a d
q u e
s o b re
v is lu m b r a r u n
tr a n s f o r m a
f u n d a m e n ta l
V I .,
n e c e s id a d
c u m p le
d e
(6 7 )
A T .,
p á g .
4 4 4 .
( 6 8 )
L ia rd ,
o b .
r it.,
p á g .
4 8 .
L ib ro
I I I ,
A T ,
V I ,
p á g .
(6 9 )
0
o p e ra c io n e s
e c u a c io n e s
n o c ió n
+
=
5
x
—
x
v a le
2 ,
6
y
s im u ltá n e a
( 69) .
e c u a c io n e s ,
la
x
u n a
7 7 .
le z a
5
v a le
c o n c e rn ie n te s
y
—
te n d r á :
la
ta l
la s
re c o rd a r
ra íc e s
c o m o
y
la
e s ta
p ro g re s o
c o n c e p c ió n
c a n tid a d .
4 4 4 .
d e
el
te o ría e n
d e
d e ta lle
d e
tr a n s f o r m a c ió n
la la
d e
la
la s d e
n a tu r a
re d u c c ió n m a te m á tic a
d e
la s
p u r a
le y e s
L a s
1 4 8
L a s
R e g la s
e x te n d e r
a l
h o m b r e
p a r tía n
c o n ju n to
el
b ía
d a d o
y u x ta p u e s ta s o rd e n
c a m b ia im
y
d e
e n
e n
re la c ió n
s im b ó lic o s D e b ra ic a
d e
la s
d e l
p o s ib le d e
m
o
m e n te la s
q u e
se
m is m o p a ra
v a lo r es
d e
“ si
d e
a lg u n a
d e l
a p lic a d e l
g in a r
ta l
d e s c rip ta s
n o )
A
(7 1 )
A T .,
I ;
a lg o
p o r
se
q u e
le
c o m p u e s to
m e d io d e
lo s
d e
la s
s is te m a s
g e n e ra l
la
d e
V I, X ,
e n
a
c u a l la s
la
a
le s
e n
el
“ c o n
m o v im ie n to lo s
c o n tin u o ,
ú ltim o s
e s té n
4 7 5 . 3 8 9 ;
c fr.
X ,
p á g .
3 9 3 .
V I I lo s
L a
q u e
se
o
p o r
e n
c o n tin u o , c o m p re n b ie n ,
la
“ a u d a z ’" :
c o n d u c e
n o
a n á lo g a
p re s c ri
a l
c o lo c a d o
( 71) .
v ía s
e le m e n to s
A h o r a
e n c u e n tra ta l
la s
in s p ira n
p o d e r
n o
m o v im ie n to
á lg e b ra ,
g e o m é tric a s
se
re g la
e s ta rá
es
c la ra
( 70) .
u n o
d e
d e
d e m o s tra r
c o n c lu s ió n
h o m b re s
h u m a n a ” e l
to d a s
m o v im ie n to
e s ta
m é
q u e
e n to n c e s
m e tó d ic a .
c o n o c im ie n to
g e o m e tría :
a p a re c e
u n
p á g .
el
u n
q u é a lg o
e l
v e rá
p a r a
es
L a
m a n e ra
m e n u d o
in te lig e n c ia
c u a le s
p á g .
a
d e
p o r
d e y
se
a m b a s
e n
p o r
p ro b le m a s ,
s im p le ”
u n o
e n si
c o n s id e ra c ió n
s u fic ie n te
R e g la s .
s u fic ie n te
a c c e s ib le s
lín e a s
p o r lo s
la s
a m b ic io n o
c o m o ,
G e o m e tr ía
to m a r
to d o s
p e rm ite
la
la
d e l
re s o lu c ió n
d ic h o
e c u a c ió n ,
m á s
a lg e
f in a l
a s e g u ra r
la d e
F ilo s o fía ;
p e n s a m ie n to ,
s o lu c ió n , d e
d e la
c ie n c ia ,
a
e n u m e ra c ió n
la
la
h e
c u e n ta
sea
A l
“ n o
n o
b a jo
g é n e ro
y
c ié n c ia
p a ra
m o d o
e n
q u e
la
a g re g a
a lg u n a
u n a
h a lla r ,
d e
m é to d o
cae
d e
d e
g e o m é tric a .
e s te
tie n e
ra íc e s
h a c e r
d e l
v ía s
la
s o b re
y
e n
to d a v ía
d e
m is m o
fo r m u la d o
n a tu r a lm e n te
c o n tin ú e n
e s tá n
e x ig e n c ia s
re s tric c ió n
lím ite s
el
q u e
c o n c lu s ió n
re g la
la s
d e
se
e x a m in a rlo s
e s ta
d e
e s p íritu ,
la s
d e
lo s
q u e
lo
u n
e n u m e ra c ió n
a lc a n c e
e je rc ita rs e
a
m á s
L a
si
to d o
P r in c ip io s
y
u n a
c u b rim ie n to c im a
la
p e rfe c c ió n
a p lic a c ió n
P e ro ,
p u e d e
p rin c ip io
e n
la s
a y u d a
D e s c a rte s
c ie rto
a tre v e rm ë
d ifíc il
in te r r u m p id o ,
d e rlo s
la
c ie n c ia
g ra d o ,
E s
d e
la s
lo s
p ro b le m a
n u n c a
es.
re d u c e
se
d e
in d ic a d o
c u a rto
e s c o g id o
la
c o n
a l h a
y u x ta p o s ic ió n
la
ú n ic a m e n te
p a ra
g e o m e tría a
la
a
d ic h a ,
p la n te a rs e
ú n ic a m e n te
la
c o n v ie rte
e x p re s a d a
h a b e r
p a ra
—
el
d e l
d e
se
7 8 .
b e
se
la
lo
n o
c o n c lu s ió n
y
G e o m e tr ía ,
q u e
s irv o ,
c u a le s h a
é s ta
ig u a lm e n te
d e fin id a
lím ite s
m e
el
q u e
p o r
c u a l
s o m e tid a
c o n s e c u e n c ia :
d e
n o
b u s c a r
la
e s p a c ia l
a te r ia . . .
g e ó m e tra s d e
p o d ía n
a ritm é tic a
Sos
f u n d o ,
q u e
p ro p ia m e n te
á lg e b ra .
lu e g o
m e
C o n
c a n tid a d
e s ta
e s ta
L a
á t i c a
q u e
d e l
c a n tid a d
a ritm é tic a ,
e c u a c io n e s e n
to d o
el
la
a q u í
ra z o n e s
lo s
la
lib ro ,
m á s ,
es
a d e
d e te rm in a n
te rc e r
la
a t e m
m a te m á tic a
a llí.
m e d id a .
m
p ro b le m a s
s a tis fa c ie n d o
re p re s e n ta c ió n
o p e ra c io n e s
la
f i lo s o f í a
re s o lu c ió n
h a s ta
la
la
lo s
c o m o
je r a r q u ía ;
p o n e . la
d e
d e
e je m p lo
d e
d e
m é to d o
a llí d e l
e ta p a s
d e s
p o r
e n
d o c trin a
se
in te r r u m p id o m a te ria la s
p u e d a
v a rio s
c o m p le ta m e n te
p a ra im a
q u e
se
d e te rm i
a
la
E l
n a d o s
p o r
lo s
c o n d ic ió n lo
m is m o ,
s o n
p o r
q u e
e s tá n m á s
( 7S) .
c u e rd a s ,
es
c a u s a
d e
re c ta s
y
T a le s
c a c ió n
d e
s u n c ió n
u n a
. . .
la s
b a jo
la s
y
c re o ,
q u e y
lín e a s
se
re c ta s
n o
d e
s a tis fa c e n
a lg e b ra ic a
q u e y
g e o m é tric a s b ie n
o tra s
d e te r a
la s
c u rv a s ,
e x is te n te
q u e
e s ta
y , p o r
p a re c e n
p u d ie n d o
e lla s
a
e n tre
la s
p o r
lo s
s e rlo
fu e se
e x a c to
d e c is iv a
p a ra
F e r m a t
e n
la s
fe liz
d e
a lc a n z a r
la
ú ltim a
b a jo
g e b ra ic a .
u n
E r a
C o n u n
la
y
E n
s o b re
to d o
el
q u e
s u
c o m o
to d a
m e d id a
s ic o .
L a
d e l
p o r
e s p e c ie
u n a
)
d a to
la
la
d a
3 9 0 . 3 9 2 .
T . , V
p á g .
4 1 2 .
(7 4 )
A
C a r ta a
I,
p e n s a d o r d e
là
p a ra
la
la
p a ra
q u e
d e b e
el
a d m ira b le
d e
d e
D e s c a rte s
c o sa s.
L a
fa c ilid a d
q u e
s e ñ a le s
y
e v id e n
la s
m e d ita c ió n P o r
n o c ió n
la
c o n s e
es
e lla
d e
re s o lu c ió n c o m o
n o s “ s u b
o jo s
re a lid a d .
n u e v o
s u m á s
p e n s a m ie n to .
v e n ta ja s
c u y a
e n to n c e s
id e a d e
c a rte s ia n a la
la
P h i l i p p i ,
o b ra
d e
la
e n e ro
d e
e x te n s ió n ,
b a se la
c a p a z se
d e s
e c u a c ió n
d e
lo s
ra z ó n
a l
p r o b le
d e
la s
d e
d e
d e
la
s e rv ía
d e
lo s
la
m a te m á tic a
p r io r i,
1 6 8 0 ,
n o
e le m e n to s la
e s p a c ia l
n o
G e rh a rd t,
p e rm itía
p r e
p a re c ía
te n e r
g e o m e tría
q u e
d im e n s ió n a
m a te m á tic a ^ a d q u ie
u n iv e rs a l
e s p a c ia l,
a
la
c a rte s ia n a
m a te m á tic a
im a g in a c ió n
p á g .
(7 5 )
d e l
c o m o
p á g .
.,
la s
p r e
la s
c o m o
d e l
lo s
la s
c o m b in a c ió n
V I ,
t
a
s o n
d im e n s ió n
A T ., V I ,
a
p ro c e d im ie n to
s a b io :
g e o m é tric o ;
d e
u n
d e
g ra n
filó s o fo
filo s o fía
u n
re s to
to d a
G e o m e tr ía
e s ta
h is to r ia
c a si
re c tifi
p o r
e s tá
la
y a
d e sd e
u n
e n
s o n
p r o p ó s ito
a
a
u n a
in te re s a n te
n o
in ic ia l,
e ra
y
te le c tu a l
(7 3 )
e l
fo r m a
e le m e n to
es
la
e x te n s ió n .
G e o m e tr ía ,
a lc a n c e
c is a r.
la
h a c e
d e
c a rte s ia n a
n a tu r a le z a
a p ro p ia d o
a p a re c e
d e
la s
c o n v ie rte
e n te ra m e n te
m e d io
g e o m é tric o s ;
te rm in a c io n e s
se
p r o f u n d id a d
a s p e c to
u n
la
y
s o lu c io n e s
p e n e tra c ió n
p re n d e
q u e
p o r
p o s te rid a d
p a la b ra s
g e o m e tría
filo s o fía ,
f u n d a d o
in v e n c ió n
la s
la
L e ib n iz
im p o s ib le
e n g a ñ a d o
to d a
a llí
“ c o m o d id a d ” ,
d e
h a d e
lo
s e v e ra m e n te :
d e c la ra n d o
“ se
fe c h a
es
d e
q u e
es
la
la
( «
n o
m e d id a
p ro p o rc ió n
ju z g a d a s
v e r
eso d e
d e
s o ;
v e c e s
la
fu e rz a s
c ie rta
u n a
m é to d o
la
m a s
la s
a lg u n a
“ lín e a s
n a d a
s id o
n e c e s a rio
u n a
s im p lic id a d
c u e n c ia s
re
es
s e ñ a la d o
u n
d e
q u e
re s o lu c ió n
h u m a n o :
q u e
D e s c a rte s
té c n ic o ;
m is m o
c ia n
lo
re c o rd a r
c o n s titu c ió n
“ e le g a n c ia ”
la
h a n d e
c u rv a ,
u n
L a
s u m id a ”
y
a
lín e a s
b a jo
u n a s
1 49
c a r te s ia n a
la
la s
c o n c lu irs e
m id ie n d o P e ro
d e
o tro s .
e n
d e
c a e n
c o n o c id a
a ú n ,
p a la b ra s o c a s ió n
( 75) .
E s to
q u e
h a c e n
s ie n d o y
( 72) . L a s
d e se c h a
se
p o d r ía
e t r ìa
( 74) .
p e rd e rá
h a b e r
g e o m
c o n o c im ie n to
q u e
c u rv a s
n o
s e g u ro ”
q u e
d e l
D e s c a rte s
n o
la
d e l d o m in io
a q u e lla s
d e c ir
la s
d e
p re c e d e n ”
a llá
a llá
q u e '
h o m b re s ,
y a s ”
lo s
m á s
d e fin ic ió n
m in a d a
n o
a lc a n c e
es
m á s
P h .
a l
d e d e l
u n iv e r
m o d e lo
a
m u n d o
re s o lu c ió n
f í in
p ro p o rc io n a d a q u e
S e h r .,
IV ,
u n
a p o y o
p á g .
2 8 5 .
-
i
1 5 0
L a s
e x te rio r
p a ra
d e
re p re s e n ta c ió n
to d a
c ie n c ia e n
u n a
e ta p a s
E u c lid e s ,
u n a
d e
p a ra b le
u n a
a
lo s
d e te rm in a c ió n
c ie n c ia
e s p íritu
c o n d u c ir
la
y
a
la
L a
d e
p ro s e g u ir
la
h a s ta
es
p o r la
n o
d e
la
id e a
d e
es
m á s
c o m o
a b s tra c c ió n
c a n tid a d
s o la e l
in d e p e n d ie n te
e n to n c e s ,
c a n tid a d
n o c ió n p o r
á t i c a
e s e n c ia l
D e s d e
s a c a d a
p r io r i
a t e m
v a lo r
c ie n c ia
n a tu r a l.
e s ta b le c e
m
c a n tid a d
n o es
c a p a c id a d
in f in ito
d e
y a
la es
la
o b c o m
p u ra m e n te
q u e
“ la rg a s
tie n e
el
c a d e n a s
ra z o n e s " . E s ta
c o n c e p c ió n M
c u y o
tr a n s f o r m a d a :
o b je to s ;
se
d e
f i lo s o f í a
im a g in a tiv a .
es
in te le c tu a l; d e
la
c o n c e p c ió n
m a te m á tic a
s e rv a c ió n
d e
c o n c e p c ió n d e
a le b ra n c h e
d e s a rro llo
d e
la y la
n u e v a
filo s o fía , d e
S p in o z a
filo s o fía
d e
q u e y
la
m a te m á tic a
d e b ía
to m a r
d e te rm in a r
m a te m á tic a .
e n tra ñ a b a
c u e rp o u n a
e n
e ta p a
lo s
u n a
n u e v a
s is te m a s
e s e n c ia l
e n
d e el
C
L A
F I L O S O F I A
S
E L
e c c i ó
D E
7 9 .
tie n d o
d e
te n d e r
la
la
a
e lla
la
n o
m e c á n ic a ,
d e
E s
n o
d e se
c ie rto ,
m e tó d ic a .
e s ta s
p a rte s
d o s
a n á lis is d e
la
s ín te s is
e fe c to ; m o ,
p u ra m e n te
s in o
s is te m a s r o n
b a jo
su
e so s
d e tre s
re v o n ó
( ! )
lo s
C a r ta
q u e a
fo rm a
lo s
la s
a
a
m is m a
c o n d u c irla
c u y a
n o
p a re c e n n a c id o
u n id a d
m a te m á tic a
d e
s in o
q u e
fin e s
le
u n a
d e
q u e
se d e
n u e v a
e p is o d io
d e sp u é s
a rra n c ó
1 6 3 7 ,A T .,
á l
c o n d u c ir
d o s la
u n a
u n a
la s
I ,
p á g .
d e l
p ro c e d e
e s ta b le c ió
p o r
e n
m is lo s
p r o p o r c io n a c ie n c ia .
e n
d e
e n tre
D e s c a rte s y
d e in s
p ro c e d e q u e
la
ta re a s
e s ta b le c e rs e
p u ta
la
c o s
d e
m is m a
G e o m e tr ía ,
s ig u ie ro n
d e
in v e rs a s d e
o b r a
la
u n
d e
h e m o s
E x
la
lo s
la s
c o m e n ta d o re s
p rin c ip io s fu e
-
u n id a d
la
d e
a
u n iv e r s a l
la
e n
la
p a r
in te le c tu a liz a r
d e b e
m a te m á tic a
Y
e
si q u e
d ife re n te s .
á lg e b ra
q u e
e x c e le n c ia
h a d a
a l
h a n
In m e d ia ta m e n te
d e c la ra c io n e s
M e r s e n n e ,
b io lo g ía ,
lo s
p e ro
m a n e ra
q u e
q u ie n e s
D e s c a rte s ,
g e o m e tría d e
o
D E S C A R T E S
p ro b le m a s
s in o
v e rific ó
lo s
d e
lo s
la
c o m e n ta d o re s
e x p líc ita
lib ro s
d e
la
D E
d ire c c io n e s a
d e
se
G e o m e tr ía
D e s c a r te s ."
d o s
g e o m é tric a . n o
filó s o fo s
e fe c to , la
filo s ó fic a
( x) ,
g ra c ia s d e
E n
d e
p u ra m e n te
a r t e s i a n i s m
O B R A
E u c lid e s
m a te m á tic a :
C A R T E S I A N O S
“ g e ó m e tra ” ,
d ic h a
a lg e b ra ic o ,
ú n ic a m e n te
L A
la
e m b a rg o ,
C
d e l
d e
e n
L ó g ic a m e n te , la
L O S
m a te m à tic a
d e
fís ic a ,
a s
E N
p ro b le m a s
c o n fu n d e n ,
d e
D E
filo s o fía
m a n e ra
s in
p ira c ió n
E T R ÍA ”
c ie n c ia
la
E u c lid e s
s o la m e n te o tra .
la
i l i
Á T I C A
p ro g re s a
lo s
V
o
p ro p ia m e n te
re d u c ir
g e n e ra liz a r
c ie n c ia
la
y
l
filo s o fia u n a
g e o m e tría
g e o m e tría
m o lo g ía , g e b ra ;
es
u
p r o b l e m
" G E O M
L a
b ie n ,
í t
A T E M
L A
—
in te rp re ta d o
p
A . — •L o s
n
L U G A R
M
a
la
la
g rito
tra y e c to ria p u b lic a c ió n d e
o r g u llo
R e g la s ;
e s c rib ió
4 7 8 .
1 5 2
a
L a s
M
e rs e n n e :
tr ía : re r
y a
“ N o
q u e
m á s
h a y c o n
la
g e n e ra l
te o ría
P ie rre tr a n te
d e
d e l
lo s
se
d e
n o y
y
m á s
m u c h o
y
m
d e
a t e m
m í,
á t i c a
si
o s
tie m p o
p ie n s o
p o d e r
d e l
p la c e ,
q u e
e n
G e o m e
m a n ifie s to
p o n e rle
s o rd o ,
o rd e n
n o
h o n e s ta m e n te
la s
d e c ir
la
u n a
p e n a , p a ra
q u e b a jo
im p e d ir
m u r m u r a r
( 2 )
s in
d e l
p ro m e tí
p ro b le m a ( 3 )
O b .
( 4 )
" N o
d e l 3 1
c it.,
p o rq u e
la s
c ie n c ia s
d e m á s A T .,
II,
p á g .
n o
s e tie m b re d e
p e d id o
o b s ta n te , so n
y
d e
( 5 )
R e s p u e s ta
(® )
I b id .,
I I ,
( 7 )
C a r ta
a
n o
s u
1 6 3 8 ,
d e te n e rm e a m ig o ” .
la
a ritm é
h a y
se
q u e
su s
A T .,
n o
n a d a
ja m á s I I ,
es
d e l
q u e tie n e s is te
c o m o
n o
n o
s o n
C a r ta
q u in c e
s o lu c ió n
se r-
p u e d a n
c fr.
d e
u n a
d e b e
p o rq u e
3 6 1 ;
d e
a b s tra c
d e
a
a ñ o s
n in g ú n
9 5 .
29. p re f e rir ía m á s
q u e
c o m u n e s C a r ta
se a
d ije s e la
m a te m á tic a s
g e o m e tría
(a tr ib u id a
a l
q u e P .
a
p u ra s la
m á s
a ritm é tic a
C ie r m a n s ) ,
h a c ia
b ie n y
2 3
d e
m a rz o ,
A T .,
I I ,
p á g .
7 0 .
7 1 .
M e r s e n n e ,
d e l
2 7
d e
ju lio
d e
1 6 3 8 ,
A T .,
I I ,
p á g .
a
q u e to d a s
m a rz o
5 6 .
p á g .
c u e s f in
m á s
c o m o
m á s la
lle v a
o s c u rid a d
e x p re s a
p á g .
e n
p á g .
( 6) .
lo
D e s c a rte s
d e
y a
o b s
c o m o
s e m e ja n te s
I I ,
n o
A
su
s o b re
c u ltiv e ”
s irv e n
ta rd e ,
h a c e
e n
tra ic io n a n d o
c o n fu s ió n ;
q u e
c o n
e je m p lo
g e o m e tría
G e o m e tría
" S a b é is
a lg ú n
la
m á s
y
a
p ro p o n e
G e o m e tría , i
a
d e
1 6 3 8 :
m a te m á tic a s " .
p á g .
“ M
v u l
D e s c a rte s
c o n fe s ió n
la
[R o b e rv a l]
g e o m e tría ,
e l
la
s o b re
c o n d u z c a
d e
a ñ o s
s e n tid o
n a tu r a le z a ” .
c u e s tio n e s
D ie z
o rig in a l:
m a rz o
la
la s
( 7) .
R o b .
se la
a b a n d o n a r . . .
re n o v a n d o
e llo
1 2
d e
a n te
g e o m e tría ,
1 6 3 8 ,
lo s
q u e
d e ja r
s in o
d e
c e rn irs e
fo r m a
q u e
C a r ta
M e r s e n n e ,
q u e
fe n ó m e n o s
h a
m a te m á tic a :
c u a le s
q u e
a
el
D e s
e n se ñ é
la s
c o n d u c ía
G e o m e tría ,
d e
q u e
p a r
q u e
p rin c ip a lm e n te ,
m e n o s
q u e
el la
lo s
ta m p o c o
d e
r e to rn o ;
e s ta
lo
e n
esa
s e g u n d a
D e s c a rte s
d e
e n
d e
p e n e
G e o m e tr ía la
a g re g u e ,
v e rs a n
p o r
le c to r
s ig n ific a tiv o
lo s
to d a v ía
a d e m á s ,
“ re s u e lv e
d e ja d o
d e
e s p íritu ;
e x p re s ió n
u n
a
D e s c a rte s
s u
p ro p ia m e n te
lo s
e s p ír itu ”
d e
h a
y
la
la
p a rte s
a ta ñ e
e x a m e n
in v e s tig a c ió n el
v e le id a d
m á tic a
e llo
es
p ro b le m a s
q u e
p e n s a m ie n to
d e
e n
g e n e ra lid a d
m e d id a ,
p u ra s ,
e s p e c ie
p a ra
e je rc ita r
q u e
“ P e ro ,
c u y o
e x p lic a c ió n
tie m p o
es
d e
o tr a
la
s e g ú n
c o n te n ía
d iv e rs a s
e so s
s ig n ific a tiv o
s o b re
im p u ls o
la
lo
e ra
c u a n d o
(4) ,
la
la s
d e
c o n
m a te m á tic a s
“ c u ltiv a r
p a ra
d e
p re o c u p a c ió n :
E l
te n e r
n a d a
q u e
re p ro c h á n d o le
E n s a y o s
d e
Y
a n u n c io
in te rp re te
n in g u n o
ju n to
m o v im ie n to ,
tio n e s
e
G e o m e tr ía ,
fo rm a , ( 3) .
h a s ta
su s
g e n e ra l
( 5) . E s
c o n s ta n te
d e
la
e n c o n tra d o
c u y o
é to d o ,
el
re s o lv í
D io f a n to ”
ta n te ,
M
n o
h a b e r
d e
filo s ó fic o
p a ré n te s is
cre e
fin a l
re d a c c ió n
e c u a c io n e s , u n
a l
e x p liq u é
el
la
p e n s a m ie n to
u n iv e rs a l,
re v is ió n
n o
s id e ra
la s
E n s a y o s
h a g a
u n a
“ A llí tic a ,
q u e
n a d a
e n
el
s in o
p u r a
re le g a d o
c a rte s g a r
d e
D is c u r s o
b e rla
ta ,
f i lo s o f i a
h a c e
e lla :
a ú n :
c u id a d o
B o u tr o u x ,
m a te m á tic a
a
e n
m á s
d is im u la
el
q u e
la
( 2) . P e ro
te
d e
e s p e ré is
s a b é is
e je rc ita rm e
f in ”
e ta p a s
2 6 8 .
d e
E l
c a p a c e s d e ,
d e
lu g a r
v a lía n
e so s
e s p íritu s
h e
lo
la
a lg ú n
d ía , o
si
h a b r ía
q u e
d e
e s ta
d e l
c io n e s
lib ro ,
la
y
d e
e n
D e s c a r te s
d e
e s ta
d e
m u y
n o
o tr a
c la ro ;
lo
lo
1 5 3
m a n e ra
p o n ie n d o
e s tá n
la
D E
la s
a d re
c o sa s
q u e
te n e r
e n
c u e n ta
f o rm a
d e
lo
q u e
q u e
q u iz á s
h a ré
s u fic ie n te m e n te
v e n
la
d e
s u c e s iv a s
b u s c a r
G E O M E T R ÍA
a ñ o s p e ro
A lg u n o s
d e s p u é s y a
d e
lo s
lo s
G e o m e tr ía q u e
lo s
p u b lic a c ió n
e sas
L A
d o s
u n iv e rs a l
p o s e s ió n
p o r a
d e b ía n
d e
q u e ,
m á s
n a d a ;
m a e s tro .
a b s tra c ta
d e l
e s c rito
m u rió
a d m ira d o re s
in te rp re ta c ió n
a n e x a d o s
c o n fie s o
e m p re n d id o
s ile n c io
ta d o s
s ó lo
m o n s tr u o s
• D e s c a rte s
p rim e ro s
la tin a
y
m u c h o
e so s
o b r a
c o m p u e s to
C O M E N T A R IS T A S
h a b e r
te rp re ta c ió n
h e
la
( 9) .
—
el
lo s
e n
fá c il, le
s id o
h a b r ía
8 0 .
s u p lid o
la
m á s
y
v ie s e
s in
y o
e ra
e t r ía ”
m a lig n o s ,
L O S
y
y
e o m
( 8) . P e ro
a b a tid o s ”
fe s ió n ,
" G
q u e
p e n a
h e c h o ,
c id o s
la
e n te n d e rla ,
o m itie n d o
m á s
lo
d e
el
q u e
s e c re to
la s d e
h a b ía n
le c to re s la
la
a
tra d u c c ió n
y
d e
lo s
n u e v a s
la
y in
a s e g u ra ro n
m e d ia n te
e n
s in g u la r
d a rle
c o m e n ta rio s
e d ic io n e s
n a tu r a lm e n te
p rim e ro s
c o m p o rta b a ,
lo s
e s ta
s u p ie ro n
e s p íritu s d e
d e
d is c íp u lo s
tr a
g e n e ra
c ie n c ia
c a rte
s ia n a . D e s d e
e l
s u r
g e b ra
e s p e c io s a ,
c ie n c ia , s is
la
c o m ie n z o
N o te s
q u e
d e l
D is c u r s o h a y a
c o m o
e n E n
d u c c ió n m á s te s
la tin a
J e a n
( s )
C fr.
(® )
C a r ta
( 1 0 ) a ñ o
f 1 1 ) p á g .
M
la
C a r ta 5 3 .
la
d e
la
d e
1 6 4 9 ,
a
N o ta s
C a r ta
V e r
é to d o .
a ta ñ e
F ra n ç o is
a
d e l
2 0
‘ ‘H e
B e a u n e , d e l
á lg e b ra
s e g ú n
q u e
n o
g e n e ra lid a d s e rá n
d e
S c h o o te n , d e
d e
fe b re ro a b ril
la tin a
d e
fe b re ro
d e t. d e
e sa s I,
e s c rib e
d e
1 6 3 9 ,
1 6 3 9 ;
e n
A
la
el
q u e
A
( u
) ,
o s c u ra m e n te
u n
d e
la
tr a
c o m e n ta rio
c a rta s y
im
p o r ta n
c o rre s p o n s a l
I I ,
T . ,
T . ,
a l sa c a
. . ”
d e
d o s
a n á li
D e s c a rte s
s in o
á l
n u e v a
tie n e
c o n tin u a c ió n
1 6 4 8 ;
n o ta s
p á g .
y
q u e
la s
d e
la
c o n c e p c ió n
m é to d o .
y
d e
d e
lo
p u e s to
a
re d a c tó
n o c ió n
n u m é ric a
A m s te r d a m
d e
la
e x tie n d e
a c o m p a ñ a d a s
4
(1 6 5 9 ,
le
d e l
d e
to d o la
h e
im p re s a s
2 0
1 4 0 .
B e a u n e ,
se
ta m b ié n
a d m ira d o ,
c o sa s
d e
P a r te
p u n to
el
s in o
b u rg o m a e s tre
tra d u c c ió n p á g .
q u é
s o la m e n te
G e o m e tr ía ,
M e r s e n n e ,
( 10) .
p ro p o rc ió n ,
la s
H u d d e ,
a
n o
F lo r im o n d
h a s ta
a n tig u o s ,
re c o n o c e r
q u e
1 6 4 9 ,
lo s
1 6 3 9 ,
D e s c a r te s
v e r
a lg u n a
d e l
c o m p le to d e
m e tr ía ,
c it.,
o
p o d id o lo
h a c e
d e
re la c ió n
q u e
y
d e
c o m p re n d e
g e o m é tric o
g u n a
d e
G é o m é tr ie
V ,
e d ic ió n
p á g .
p á g .
5 1 1
y
d e
s ig .
1 4 2 .
la tin a
d e
la
G e o
1 0 7 .) A
T . ,
I I ,
p á g .
5 1 0 .
C fr.
L ia rd ,
o b .
c o n
L a s
1 5 4
S p in o z a :
u n a
m é to d o
d e
E n v o
s o b re
1 6 5 9 ,
s ig lo
u n iv e r s a lis
d e
B a r th o lin ,
q u e
d e
n o
q u e
lo s
e s c rito s
y
la
c o n s titu c ió n
e le m e n to s to r
d e
d e
c u e n tra tr a
la
fa c io
c o m p le ja
L a tig u a r
d is p o s ic ió n
e s p íritu sa s
y
d e
c a si
lo s la
a u to r iz a d e
la
d e
a
su
’h a b í a
d e
E d .
c it.,
t.
d o s la
d e
la
s e g u n d a
c ó m o a
lo s
a
lo s
c u a le s
p a rte
W
itt,
E n
d a d o ,
e so s
se
c u a lq u ie r W
i tt la
a n tig u o s
a
E le
se
e n
e n c u e n “ g ra d o ” ,
e n
a
L o s
p ro te c
a n a lític a ,
re c o p ila c io n e s
im p lic a d o
e s p íritu ,
p a rte
su
P r e
o p e ra c ió n tr a ta r
la s
c ó n ic a s .
h a n
e n
d e l d e
la s
a le b ra n c h e filo s ó fic a s
y
b a s ta
fó rm u la s d e l
G e o m e tr ía .
a
q u e
lo s
p a ra
a te s
d e s p re n d id o
D is c u r s o
la
tr a s m itid o
M
29.
d e
d e
G e o m e tr ía
p a rte
la s e s tá
n a tu r a le z a
o tr a
m é to d o
lo s
u n a
la
e n tr e
p o r
d e
d e lo s
d e s e n v o lv ie n p o r
s o b re
J e a n
c u e s tio n e s
p á g .
a
p e rs o n a l.
e s te
v o lu n ta r io e s te
a p lic a d a s
y
J e a n
“ c u rv a s ”
u n iv e r s a l,
d e s o rd e n
II,
la s
a
la s
c o m p le m e n ta rio s
g e o m e tría
d e
u n a a
in tro d u c c ió n
h a b ía
a l
E ra s m e
d e c ir,
lím ite s
p o r
s e c c io n e s
d e
(e s
ra íc e s E s ta
a m ig o
lle v a d o
c o m o
g e n e ra l
s o r d a s
F e rm a t
lu m in o s a
D e s
re s u lta n te s
lo s
g e n e ra c ió n .
R e n a ti
fra c c io n e s
B e a u n e
d e
d e l
m a th e s e o s
o p e ra c io n e s ,
c o n s e c u e n c ia s :
fu é
c u a l
títu lo
a u to r,
p rin c ip io s
s o b re
E l
in tro d u c c ió n
E l
la s
“ v e r d a d e r a s ” ;
la s
o
a s p e c to s
lo s
d e
q u e
s o b re
s u s p e n s o .
( 1 2 )
el
n u e
la
s im p le s ,
d e
re d a c ta d o s
re c ta
d e
q u e
la s
u n
c a n tid a d e s
( 12) . d o s
a
la s
S p in o z a
la
g e n e ra c ió n , re s o lv e r
lo s
s is te m á tic o
g ra d o
p r e g u n ta r
n u e v a
p e rm itirle s
e x a c ta s
d e
c o m e n ta d o re s
el
la s
e x tra c c ió n
c u r v a s ,
M a te m á tic a
b a jo
c o n
m e th a d u m
c a n tid a d e s
r a íc e s
q u ie n
e n ig m á tic a s
d is im u la d o
a
e c u a c io n e s ,
s im p lic id a d
o s c u ra
q u e
la s
o rd e n
s e g u n d o
s o b re
P r in c ip ia
d e
la s
F lo r im o n d
e s tu d io el
la
y
d e
d e
tr a ta d o
u n
s e g ú n
o p o n e
c u rv a s
d e
e c u a c ió n
ta m b ié n
tra ta d a s
la
c a d e n a
lín e a s
p rim e r
o tr a
b a jo
D e s c a rte s .
D e s c a rte s ].
r e m o n ta n d o
la
d e
la s
la s
ra íc e s
c o m p o r ta n
H o la n d a ,
m e n to s ,
d e
a u m e n ta
u n iv e rs a le s
a
d e c ir, a
d e
g e n e ra l
d e s a rro lla n
p o s tu m o s
e c u a c io n e s
te o ría
es (
c a rte s ia n a ,
m e tó d ic a m e n te
R e n a to
u n a
tie n e n
o b ra s
c ie n c ia
y
fis o n o m ía
G e o m e tr ie s
s u c e s iv a m e n te
im p e rfe c ta )
d o
la s
a llí
se la
e x p re s iv o :
m a te m á tic a s d e
re s u lta n te s
c a n tid a d e s
a n d
la s
g e o m e tría
d iv is ió n
la
p a rtic u la rm e n te
c o m p u e s ta s
irra c io n a le s
d e
G e o m e tr ía
d e
á t i c a
e c u a c io n e s ,
re c o p ila c ió n
la
a p lic á n d o la
c a n tid a d e s
s e g u id a
p rim e ra
c o n o c id o
e x p o n e
lo g ís tic a ,
la s
a t e m
m in im is .
in tr o d u c tio
la
d e
m
c a ra c te riz a r
[P rin c ip io s
m é to d o
f i lo s o f í a
d e
es
se u
la
te rm in a
o p ú s c u lo
C a r te s .
u n a
h a
d e
re d u c c ió n
e t
e s ta
q u e
X V I I
p rim e r
la
m a x im is
v o lu m e n ,
el
e ta p a s
a
lo s
M
é to d o ,
E llo
n o s
filó s o fo s
S p in o z a ,
D e s c a rte s
el
c o n c i
d e b ía
d e ja b a
e n
L a s
L A S
D IF IC U L T A D E S
8 1 . d e lo
d e
— la
le g ítim o .
lia r
d e
la
q u e
p ro b le m a s
h is to r ia d o r
la
d e
la s
m e c á n ic a
m e ta fís ic a , se rá
re la tiv a s d e
la s
la
se rá
s e r
c o sa s
n a r
la
tra te ,
e n to n c e s
c ie n c ia
ra lm e n te d o c trin a D e m e n te
d e
y
h u e lla c a p a z
la q u e
P a r a
el
d e
la
m o v im ie n to
b a se s
el
d e
d e
lle v a
p e c u lia r
la s
P a r a la
lo
d e
re fle x ió n
d e p e n d e r
e n tre y
D io s ,
e n q u e
to d a s
h is to r ia d o r
d e
e m b a rg o
n o
la
y
la
b a jo
e n
el
c ie n c ia ,
re n u e v a
q u e
m is m o y
e x te n s ió n d e
e s p e ra r
u n
r a z o n e s ’’
S in
n o
c u e rp o
sí
a
se
d e
d e
c a rte
la s
la
te s is
re a lid a d
a s í.
A s í
p r e c i s a r .e l
g e o m e tría
p o r
d o n d e
a s p e c to
tr a te
d e l
d e
e n tre
e m p le o
s in té tic o ,
la
tre s
d e
la
re la c io
e s p ír itu ; la
d e l
e x te n s ió n
n in
esas
u n id a d
la z o
el la
la
se
c o n o c im ie n to d e
e n c u e n tre
d o c trin a
re c o n s titu ir
es
a p lic a d a s u
d e l
s e n tid o
d e
esas
d e
e n
q u e
s o n
filo s o fía
¿ Y d e
c o m p le jid a d
y la
p o r
c o n te n ta rs e ,
la s
la
la
d e
n o
¿ d e
a s í
se
m a te
m é to d o
e s tá
n a tu
c o n tin u id a d
c o n
e lla ,
d e
la
o tra
la s
u n a
u n a
d e
p a rte ,
c o n
p u r a
h a s ta
lo s
p a s io n e s ,
h a s ta
la s
y
s e n s ib le s
h a s ta
b ie n ,
si
la
u n a
q u e
d is tin ta , e x tra ñ a
re a lid a d
e n
el
r e te n c ió n t a l 'a c c i ó n
e n
el y
h o m b re u n a
v o
in c o m p a ra b le
s im p le m e n te la
a c c ió n
in te lig e n c ia
ta n
a q u í
la
m a te ria
p ro v ie n e
to ta lm e n te
e s tá
d e la
c u a lid a d e s
A h o r a
d ó n d e
o s c u rid a d
p o r
d e
d e
im a g in a c ió n ,
c o n c e b ir
D e s c a rte s y
id e a s
e s e n c ia
c ó m o
s u rg ir
y
m e m o ria .
e fe c to s ,
u n a
h a c e r
p a rtíc u la s
a p e tito s
d e
c o m p o n e rs e d e
la s
la s
c o m ú n
id e a s
a
lo s
p o r
s e m e ja n te s p a ra
p re te n d e
a trib u y e
p ro d u c id a s
d e
p o d ía
D e s c a rte s q u e
in te rio re s
in c o m p a tib le ? L a
e n
m a te m á tic a
h e c h o ,
in te rv e n g a n lu n ta d
h a c e
á lg e b ra .
y
d e te rm in a r
p r o p o r c io n a
p e c u lia r
p e c u
s is te m a
c u rv a s ,
d e l
p a r a
c a rá c te r
fa lla .
im p re s io n e s
o
d e
c o n s id e ra d a
m o v im ie n to s
es
y
e x is te n c ia
n a tu r a l
r e u n ir
la
q u e la
m e c á n ic a
ó rg a n o
e n
in te rio r
p u ra ,
a n a lític o ,
d e l
el
p a re c e
el
c a rá c te r
v e rd a d e ra s .
q u e
la
el
b a s ta
c a rá c te r
a
el
c o m o
n a d a
m a te ria le s .
“ c a d e n a s
el
el
y
la s
s is te m á tic a
q u e
se r
s is te m á tic a
c a rte s ia n a .
e n
m á tic a
ú ltim o ,
p e n s a n te ,
d ific u lta d
filo s o fía
fís ic a ,
fe n ó m e n o s ,
p u e d e n
a
p ro b le m a s
la
1 5 5
m e n u d o
m a te m á tic a ,
e c u a c io n e s
lo s
d e
a
m o d e rn o s ,
o rd in a ria m e n te ,
c o n s id e ra c ió n
lo s
q u e
lig a z ó n
a l
p rin c ip a le s
la
a
y
la
la s
d im e n s io n e s
e n
p o r
P a re c e ría g u n a
g e o m e tría
tre s
o b je tiv o
d e
lo s
o
C A R T E S IA N IS M O
c o n s id e ra d o
se rá ,
c o rre s p o n d e r
la
e x p lic a c io n e s
s ia n a
h is to r ia d o r
la
d e
es
c a r te s ia n is m
D E L
e n tre
c a rte s ia n a
d e
c a rte s ia n a
d e l
F IL O S Ó F IC A S
c a rte s ia n is m o
el
h a c e
d e
e x te n s ió n
h a y
la
P a r a
f ilo s ó fic a s
s is te m á tic a
g e o m e tría
p a r a le lis m o
c ie n c ia
E l
filo s o fía
m á s
lo s
d i f i c u l t a d e s
e
c o m p o s ic ió n ? im p e d id a
p o r
p s ic o -fis io ló g ic a ,
re g is tra r
c o m o
“ n o c ió n
m
o
L a s
1 5 6
p r im
itiv a ” ,
to d o
p ro m e te r m ie n to d e
ú n ic a
c ie n tífic o
la
el
q u e
a c tiv id a d ,
d is tin ta , la
s in
d e
su
a lm a
— la s
m is m a
f ilo s o fía
A
q u e
e l
la
d e l
la
re la c ió n
esa
q u e ,
el a
d e
u n
re g ió n
d e l
a l ta l
q u e
el
m a n e ra a tr ib u to
d o s
d e
v a lo r
p e n s a m ie n to ,
u n iv e rs o
c la s e s
d e l
c a r d e
la
p e n s a m ie n to
o s c u ra s u
su s e n
d o m in io
d e
p a r tic u la r d e l
te n ie n d o
o rd e n
d e
n e c e s a rio
s e ñ a la n
e s tá fu e ra
m is m o
f u n d a m e n ta l
p ro b le m a
e n
es
p e n s a m ie n to
p e n s a m ie n to
p e n s a
o rd e n
p e rte n e c ie n te
d ific u lta d
el
c o m
c o n e x ió n
e x te n s ió n ,
d e l
e s ta
s in
d u a lid a d
y
d e
p o te n c ia
y
lo
d e l
su s
la
y
p s ic o
in trín s e c o p u e d e
c o m p le ta m e n te
la
P o r
a p li
d e s p ro
ju d ía
p o r la
re v e la d a :
p o r
lim ita c ió n
y
y
r
le
h a c e
s u je to
el
s u
p a rte d e
a l
d e l
y
d e
g e n io
V e r b o
to d a
v e d a
q u e
m á s
m u ltip lic id a d ,
e n
la
c u y o
c o n
lo
a llá la
f ilo
s e c re to
in f in ito d e
la
c o s m o ló to d a
u n id a d
e x c lu s iv e
a l
e te rn a
S p in o z a
d e
la e lla
re la c ió n
e s p e c u la c io n e s
re p o s a r
P a r a
q u e
s a b id u ría
a
u n a
lite ra l;
tie m p o
e n tre
v ie n e
p e n s a m ie n to le
la
a
re lig io s o .
D io s d e
m is m o
P e ro
c o n v e n d ría
v e rd a d
a q u e lla s
d e
q u e la s
o b e d e c e n
p re g u n ta s
d iv in o
a l
S p in o z a .
fu e n te
m is m o
L a s
im p u ls o
q u e
u n a
p re c is a m e n te
m e d ía
lle v a
o tr a
s u d e
m e d ia c ió n
e d a d
R e n a c im ie n to ,
to d a
el
c o n tra rio , la
d e
tra s c e n d e n c ia
e n
d e
c u y a
c ie rto ,
re lig ió n ,
s o n
y
e v id e n c ia
in te lig e n c ia .
c re a d o ra ,
d e
d o g m á tic a ;
n u m e ra c ió n ,
la
es
re s p o n d e rá n
a le b ra n c h e
p a rtic u la rid a d
ra d ic a l
el
M
c a rte s ia n is m o ,
c a tó lic o
p o r
p a la b ra
fu n d a m e n ta l
d e
re s p u e s ta s a l
re s o lv e rla s
la
tr a d ic ió n
d e
e n
re lig ió n
f in ito .
d ific u lta d
ju s tific a d a
p la n te a
d e
c o m o
la
m é
d e
q u e
el
c o s a s ;
el
filo s ó fic a s
d o g m a
h o m b re ,
s iv a
la s
d e
P a r a
s e g ú n
s e g ú n
d e
d e l
s u s c e p tib le
L a
c ie n c ia
e x tr a ñ a
b u s c a r
e s tá
la
e s ta
es
c o n tie n e
m u la
in te lig e n c ia
fo rm a
c o n
d ire c ta
d iv e rs id a d
d u d a
g ic a s
u n a
e s tric ta
d o c trin a s
a le b ra n c h e ,
s o fía
a ú n
la
p e n s a m ie n to .
in s p ira c ió n
a c la ra
e s ta
c u e rp o ;
m a n e ra
8 2 . tie m p o
s in
d e l
ju s tific a r
u n a
d e
e n
á t i c a
e d ific io .
p u e d a ,
n o c ió n
( 14) .
e n
n a tu r a le z a
q u e
a tr ib u to
c o n s id e ra d a s
d e b e
d e
v is to
M
y
c o n fo rm id a d
c a rse
la
el
a t e m
d u a lid a d
d e l
la
n o c ió n
la
s u b s ta n c ia s
e x te n s ió n ,
fis ic a ;
y
d e
m
es
c o m p re n d a ,
m is m a
s o b re p a s a
d e l
s o lid e z d e
;
u n a
e n c a d e n a m ie n to
e m b a rg o ,
te s ia n is m o
e n
la
( 13)
c o n
n e c e s a rio
el
f i l o s o f í a
e s p e c ie
y
e s ta
e x te n s ió n
la
c h o c a
el p e n s a m ie n to
d ife re n te s
u n ió n
d e
c ie n c ia
es
d e s e n v o lv e r
d e
la
la
n a tu ra le z a ,
su
s u
e lla
e q u ilib rio
to n c e s
d e
d e
q u e
c o n s titu y a
id e a s ,
e ta p a s
la
f ó r
e x c lu m is m a
n oln7quneln7quiel237uael—3nulel3qvu elvmqusel33muiel2m7uóel—vqu elímqupel32muael3í,nb u r
o
L a s
c h e
y
d e
h a n
S p in o z a ,
p u e s to
a l
c o n c e p c ió n m á s ta n
b ie n
e
d e
el
e n
la
m e jo r
u n a
c
c
B .
n
L O S
c h e , d e
L
M
im a g in a
o
re c to
c u y o s
P e ro
p u e s to
d e
s u
p o r b ie n ,
y
la s
q u e
n o
es
d e
d e s ig u a ld a d ” e n te ro s , c o m o
e x p re s a rs e
s o b re
2 ,
o
(1 « )
o tr a
d e
p h ilo s o p h e
e lla s
o tr o
c a rte s ia n o , h a
h a n
D e s c a rte s
p o d id o
el
o
o rg a n iz a d o
m a te m á tic a ,
p re s e n
c o m o
tip o
d e
p á g .
re a
in te g ra l
u n
la d o u s o
a ritm é tic a
y
p a ra
u n a
n ú m e ro
s o la
c u a lq u ie r d e
q u e
c ifra :
c h in o is -,
la
V é r ité ,
“ O b s e rv a d
c fr. q u e
o
la
la
u n a
y
g e o
im a g i
lín e a u n
el
q u e
á n g u lo
o tr o
4
. . .
m á s
e s tim a
á lg e b ra " . s o n
la
q u e
A h o r a
c o n ju n ta
v e r d a d ”
sea
d e
re la c ió n :
( 1B ) .
ig u a ld a d ,
“ T o d o s
lo s
re la c io n e s
lo s
n ú m e ro s
a u n q u e
se
o
c o m
p u e d a
e n te ro s
e je m p lo
ta n
—
n o
p u e d e n es
u n a
—
.
L a
u n id a d
a
la
c u a l
4
se
o
V I,
E n tr e tie n s e s ta
d e
c o m ú n ,
im a g in a c ió n
n ú m e ro s
p o r
e
2
——
lib .
2
su
re a l,
q u e
e so s 4
c o m o
ta m b ié n
o
h
In v e s tig a c ió n
q u e
el
o tr o ;
c
e la b ra n -
e n tre
á lg e b ra
u n a
s o n
q u e b ra d o s ,
p o r
el
n
tie n e
M
c o m ú n m e n te p o r
a
g e o m e tría
v a le d e
r
q u e
d e
la
d e s c u b rir
es
b
s u b te n d e r
re la c ió n
a le b ra n c h e ,
d e
20
p a ra
e
lo
e s p íritu
tie n e n
l
IN T E L IG IB L E
e n
“ L a
h a c e r
s irv e
a
p a ra le lo
ó V
“ la
U n
V I
el
V íT
y
c o m o
3 0 0 ;
lib r o
c u a l
M
e
p e n s a m ie n to
p a p e l,
q u e
d
D e s c a rte s , el
á lg e b ra .
m á s
q u e
a
n o ta b le
e s tu d io
c a u sa
u n a
i c
a ritm é tic a
M
a
t
ta n to
el
n ú m e ro s
e llo s ,
á
la
c o sa
( le ) .
v e rd a d e ra
R e c h e rc h e Ib id .,
m é to d o c ie n c ia
d e
d e
4
( 1 5 )
m is m a
E X T E N S I Ó N
e n
el
d e l
d iv id id o s
m e d ia n te
ta n
y
la
L A
d e l
1
re la c ió n
u n o u n a
d e
m
u n
o
m u c h o
p o r
lo s o
e
Y
V
s o b re
e s c rib e
t
e x a c ta m e n te
ló g ic a
se a
re fle x io n a r
a
p e rfe c c io n a
a le b ra n c h e ,
o tro ,
m
p re s e n te
p e rs o n a s
v e rd a d
a
í a
g e o m e tría
m á s
v a le n
“ la
v e rd a d e ra s
f
e n c u e n tra
g u s ta n
Y ,
p a ra d o s
o
a ritm é tic a
v e rd a d e ra
n ú m e ro s
s
d e s c rib e
q u e
M
c ó m o
la
q u e
filo s o fía
c a p ítu lo
n o
g e o m e tría
la
o
se
c o n o c e
la d o s
s e g ú n
m e n te
d o c trin a s
1 5 7
o
a n ta g ó n ic a s el
d e
p ro m o c io n e s
la
e l
la
se
e s p íritu , la
i l
Q u e
d o n d e
S e
a p o rta b a
N U M E R A D O R E S
a le b ra n c h e , . . .
le s
p r o p ia
f
p ru e b a
c o m ú n
n a c ió n se
lo
in v e s tig a r
c o n c e p c ió n
s u s
p e rp e tu a m e n te
v e r d a d
m e tría d ic e
a
—
n o s la
la
N Ú M E R O S
e s tá
d é
e n
c a r te s ia n is m
in s p ira c io n e s
q u e e s ta
h a y
d e l
m a te m á tic a .
—
8 3 . c ífic o ,
esas
c o m o
q u e
filo s o fía
i ó
c ó m o
h is to r ia
filo s ó fic a s
in te ré s
d e
c ie n c ia ,
c o n ju n to
la
liz a n d o
S
m a y o r
s e rv ic io
e x a c ta m e n te ,
ta rs e
d e
d i f i c u l t a d e s
c a p .
V
d ’u n
p a la b ra
( t.
I I ,
1 6 7 5 ,
p h ilo s o p h e
v e r d a d
n o
p á g .
c h r é tie n
s ig n ific a
s in o
3 0 5 ) . a v e c
u n
re la c ió n ” .
e sp e
L a s
1 5 8
re la c io n a 4
a
es
n o
u n a
—
”
u n iv e rs a l. e n to n c e s
m a g n itu d , c ifra s ,
y
m e n te
se
v e
¿ n o
lo
la
lo s
d e
la
c ie n to
es
e n
o b je to
4
es
la s
1 ?
v e rd a d
( 1 7 )
I b i d .,
R e s p u e s ta
le b ra n c h e p á g .
e s tá
4 4 5 ) ,
a trib u to s
a
-í—
o
lo s
(1 9 )
M
20)
P .
p á g .
y
n ú m e ro s é d i t .
d e
c o n
D e s c a rte s
h a n
p a r a
S o la c re a d o
c o n ta r
fo r m a
p re g u n ta
q u é
d e
u n
la s
o b je
A r n a u ld ,
la
lo s
s e n s ib le
d e
a d v e r
a c a so
c íe n
n ú m e ro s
n ú m e ro
su
o jo s
d e
v is ió n lo s
c o n tr a
lo s
m o n tó n
v u e lv e
la
n o s
e s c u d o s d e
la s
n u m e ra d o re s ;
n u e s tra s
p e rc e p c io
y
d iv in o s ,
a ritm é tic o s
se
in s tr u y e n ,
el s u
e s p ír itu
h a c e
e s p íritu
y
c o sa s
in m u ta b le s
a ritm é tic a q u e
la s
p re y
a b s tra c c ió n
h a c ia
p u ra s ,
es
“ L a
la s
la
lín e a s
re la c ió n
in m u ta b le ,
s o n :
lo s
n ú m e
“ R e la c io n e s
v e rd a d e s
n u m e r a d o r e s
to d a s
M
a le b r a n c h e
6 0 .
d e
a
se
—
la
b u rla
d e
d e
la
m a g n itu d c o n y
s u s
la s
e n
re a le s
g e o m e tría . g e n e ra l,
q u e
p ro p ie d a d e s ,
fig u ra s
ig u a ld a d
n e c e s a ria ,
q u e
e n tre
e s c rib e
la
te r c e r a
c a r ta
q u e
s e ñ a la r
q u e
c o n d e
u n
c o sa s
IV ,
p á g .
te x to
a q u e llo s
q u im é ric o s ;
la s
te r c e r
a
H a y
d ire c ta
p u ra m e n te
C h r é t.,
R e s p u e s ta
l í n e a s ’’.
la
e s g rim ie n d o
c u a n d o
m is m o
c o n tra d ic c ió n
d o n d e
p o r
u n a
m e d ia n te
s e n s ib le ?
u n
q u e
d e s p u é s :
re la c ió n
re la c io n e s
b a jo
“ ¿ E s
el
s o rp re n
M
e n
2
2 9 e lla
v eces
2
a le b ra n c h e
3 0 3 .
IV ,
m is te rio s o s
s e p a ra s e n
(
q u e
( 1S) .
i 20) .
d e l
t.
le e n
n ú m e ro s
Y
to d a
re p re s e n ta c ió n
f o r m a r
p o rq u e
e te rn a ,
p á g .
e n
e s to s
n ú m e ro s
in te lig ib le
1 7 0 9 ,
p a r a
o
n a tu r a lm e n te
se
c o n ta m o s
es
d e
e n to n c e s
m a te m á tic a s
d e s c u b rirs e ” u n a
d e
s irv e q u e
lo
lo s
y
e n tre
es
v e rd a d e s
(1 8 ) la c ió n
ig u a l
p r o f u n d id a d
la s
e x te n s ió n ,
in te lig e n c ia s ,
( 39) ,
d e
e x te n s ió n
p u e d a n y
es
p u e s to
in m e d ia ta m e n te
to d a s
re s p o n d e ,
N o
e te rn o s ”
L a s
la
h a y
u n a
im a g in a c ió n
A g u s tín :
q u e
d e
p e rc e p c ió n
c o m e rc ia n .
y
in te lig ib le s ”
y la
S a n
n u m e ra d a s ,
in m u ta b le s
c o m p re n d e : la
4
re la c ió n ,
e m p le a d a s
m e d ia n te la s
la
g e o m é tric a s
d e
n o s
c o m e rc ia n te s
“ E l
s o n
d e
e llo s
E s
u n a
e x p re s ió n
a le b ra n c h e
q u e
to d a s
c o sa s
d e
u n o ? . . .
la
8 4 . — e
M
m e d ia n te
s e n te s
la s
q u e
p ro s ig u e
e x p re s a rs e
n ú m e ro s
d ife re n c ia
s e n s ib le s .
ro s
á ti c a
s o b re e n te n d id a ,
c la rid a d ,
m e d ia n te
e x tra íd a s
q u e
n u m e ra d a s
d e
a t e m
p u e s to
u n a
p u e d e n
fig u ra s
a u to r id a d
e n s e ñ a n
lo s
o
m a g n itu d
c ifra s
la s
s o n
d e
m e d io s
la s
c o m o
a b s tra c c io n e s
n e s
m
e s tá
a le b ra n c h e
to d a q u e
e s to s
e q u ív o c o :
A
M
re p re s e n ta rs e
q u e
c o sa s,
p e ro
p e ro
—
in te rp re ta c ió n
es
“ S ie n d o
o tr o
c o m o
f i lo s o f í a
^
E s ta
s a rio
la
( 17) .
d e n te ,
to s ;
d e
e x p re s a d a ,
re la c ió n
2
u n
e s tá
e ta p a s
lo
d e
d e
A r n a u l d .
e s ta la s
d o c trin a
R e g u la e
q u e
c o n fie re n
q u e
n o
o b .
c it.,
le s
a
4 .
c a r ta
d e
A r n a u l d ,
p á g .
( A
lo s
o c u rr iría
n o m b ra d a s ” .
5 3 .
C o m p i d e T . ,
M
a X ,
n ú m e ro s " s i
n o
e n
la s
n e s,
a p lic a rá
e s p a c io
m ite s :
o
e s ta
e s p íritu s , re la c ió n m e n te
la
su
es
n in g ú n
se
a ír a n
s u
e s tá
d e l
tr ía
a l
IV ,
(2 2 )
§
p o r
( I I ,
E n tr e tie n s
p á g .
a
d e l
1 8 5 2 , P ie r re " P o r
s e r
2 7 0 . a lg ú n
v e z
C fr.
y
( 26) .
ta l
se
s in o
n u e s tro
d e
c o n
p a ra
lo s
es
D o r to u s n o
h a b ía
la
c u a l
es
lo
a
la
e n
d iv is ió n M
la
y a
r e d u c c ió n p a re c e r
e q u ilib rio ,
m é to d o
d e s p e c h o p a rte s
a le b ra n c h e n o
p u e d e
re a liz a d o
su
m a n te n d r á
C o n
e n
a n o
e s p íritu s ,
q u e
lo c a l
n o
a
c o n v ie rte ,
re d u c c ió n
d e f in itiv o
a
p ro p ó s ito
m is m a
c írc u lo s "
d e l q u e
" s u fic ie n te
d e
la
id e a
c írc u lo , se
h a n
r e a lid a d
m ê th a p y s iq u e s ,
1 2
d e
ju n io
q u e
el
e n
la
d e
la
q u e
h a
d e s o n
p a s o
a p lic a g e o m e
la
m a te
re a liz a d o
e n
e n
v is to ,
q u e
im p lic a
c o m o
d e l
g e n e r a l
ta n to
p a ra
e lla
" la
d a r
c írc u lo , es
id e a
M a le -
d is tin ta d e l
d e l
in f in ito ”
g e n e ra lid a d
[ a
la s ]
u n a
c o n
la
u n o
y
I I ,
d e
6
p á g .
1 7 1 4 .
E d .
C o u s in ,
F r a g m e n ts
d e
p h i lo s o p h ie
3 1 0 . o b .
d is tin g u ir
I b i d .,
m o d o " .
e x te n s ió n
lig a d a s
a
e x te n s o ,
p u e d e n
e n
lo
c a rte s ia n a
id e a
B o u tro u x , s e r
tra s la d a r la
la
y
m
p e ro
lo s
in te lig ib le
D e s c a rte s
e s ta b le c e ,
e s ta
( 24) .
im a g in a c ió n ,
g e o m e tr ía ,
lo s
p á g .
d e te rm in a d a ,
p u e d e n
;
q u e
s u
s o la
C a r ta
26)
la
o c u p e
9 .)
(2 3 )
fig u ra
( 25)
a d e la n te , la
d e
s í
p á g .
c a r té s ie n n e ,
d o s
q u e
( 2 4 )
e s te
d e
e x te n s a s ”
c u e r
n o
in f in ita m e n te
u n ió n
e x te n s ió n
e x te n s ió n ,
la
to d o s
n u m e
lo s
D e
c o rre s p o n d e n c ia
" L a
L a
e x a c ta
5 .
M á s
c o n fu s o
(2 5 )
la
L a
( 213* S ) . es
in f in ito s ,
m a n e ra
fu e se
u n a
lo s
n ú m e ro s
. .
lí
to d o s
e x te n s ió n
d e c irlo
p o r
d e
G ra c ia s
p á g .
8 .
s o s tie n e
p o s e e
(
( 23) .
lo s
e s ta
lo
a
id e a
tie n e
re p re s e n ta
n in g u n a
q u e
v ie s e
a
“ la
n o
m is m o ”
e s p a c io s
a s í
d e
p a rte s
g e o m e tría a
p o r
e x p re s io a
e x te n s o s
lo c a lm e n te .
lo s
tie n e
o ru s ,
a lc a n z a d o
(2 1 )
id e a s ” .
M
á lg e b r a
" c o n ju n to
lo s
D io s
e je m p lo ,
e x te n s o s
e x p líc ita :
n o
c o m p le ta
d e
la
h a
b ra n c h e
a n
y
á lg e b r a .
m á tic a
si
a
q u e
c o m ú n
c u e rp o s
a u n q u e
n e c e s a rio
in d is o lu b le m e n te
d a d o ;
c ió n
q u e
m e n o s
p o r
d e d u c e
e x te n s o s ”
c o n c e p c ió n
in s is te n c ia
se
y
lo s
re p re s e n ta
S e ría
m a n ifie s ta m e n te
n o c io n e s
d e
es
a
m is m a s
d ig o ,
n u m e ra d o re s
o c u p e
n o
la s
1 5 9
m e ta fís ic a s
in m u ta b le ,
P e ro
s o n
a u n q u e
in f in ito s
e lim in a c ió n
te n d ía
id e a .
s o n
e s p a c io ,
á n g e le s
n ú m e ro s
s u
e llo s ,
e x te n s a
u n
in te lig ib le
o
e x te n s o .
n o
lo s
c u e rp o s
y
a
d e
i n t e l i g i b l e
P lá tic a s
e te rn a ,
a
in te lig ib le
lo c a lm e n te
E n
la
lo s
e s p a c io s
c a lm e n te
e s ta
lo s
a rq u e tip o
sea
p a c io s M
d e
E s ta s
la s
in te lig ib le
e x te n s ió n
n in g u n o :
lo s
d e
h o m b re s , e x te n s ió n
d e s c u b ra
e s p íritu v e r
n e c e s a ria ,
e x te n s ió n
o c u p a
( 31) . d e
p rim e ra
es
lu g a r,
la
e x t e n s i ó n
la
id e a
re la c ió n
y
c r is tia n a s ”
e n
e x te n s ió n ,
lo s
p o s ;
e r a d o r e s
la
la
“ L a
y
n u m
d e
a d e
ra d o s :
n e ra
e r o s
M e d ita c io n e s
q u e
d e l
ú m
.
N
d e
la s
c i t,
to d o s c o n c u a le s
im a g in a c ió n e l
" E n
m is m o v e rd a d ,
p á g .
2 5
y
e n tie n d e n
3 5 .
c o m ú n m e n te
la
im a g in a c ió n
n o
p u e d e
u n a s
lu g a r ” . n a d a
e n
s e r lu g a r
C a r ta
c a e
b a jo
d e l la
v a ria s
o tr a d e 5
d e la s d e
a lg o
im a g in a b le . . . ,
p a rte s n in g ú n o tra s ,
fe b re ro
im a g in a c ió n
d e
m a g n itu d
m o d o , p e ro d e
q u e
y
n o
1 6 4 9 , n o
se a
y y
ta m b ié n im a g in a r A
T . ,
V ,
e x te n s o
160
L a s
c ie rto
m o d o
o b je to ,
d e
lo
a b s o lu to
ig u a la r,
a d e c u a d a
a
e ta p a s
la
si
p u r a
n o
8 5 . —
'L a
B o d e m a n n
d irig ía
T s c h ír h a u s :
e n
la
to r
d e
p e n e tra d o
in v e n ta r,
á lg e b ra
n o
es
la
m á s
a ritm é tic a L a
c rític a
y
n o
el
á lg e b ra la
c rib e
V e rju s ,
h a s ta u n a
q u é
p u n to
p a rte ,
m o d o
d e
“ lo s la s
D e s c a rte s ” p o r
sí
X 2 la
+
fig u ra
L a
n o
( 2 7 ) p á g . P o r d e l d e
a 2
lo
q u e
o tr a
C fr.
a n á lis is
se rá
q u e
in v e n c ió n u n a
h a b ía
p o r
B o d e m a n n ,
( 2 9 )
G e rh a rd t,
( 30)
C a r ta
I,
d e
p á g .
H
5 8 0 .
m
m
c u a le s
S e h r .
u y g h e n s ,
se
d e l d e c ir,
la
a s í,
IV ,
su
d e
d e
s o n
e r
y
d e
la
v e rd a d
(L ib .
c á lc u lo
lo s es
( 2S) .
P o r
n in g ú n
n o
d e
tie n e
u n a
tr a
“ d ic ie n d o
q u e
e x p lic a r
lo s
L e ib n iz
H a n n ó v e r,
1 8 9 9 ,
m á s
V I,
c a p .
in te g ra l”
q u e
( 30) .
g e ó m e
P e ro
I,
p o r
e tc .”
L e i b n iz ,
t.
in tro d u c irá
d e
d e
re c ta s ,
v o n
la
(27) .
m o s tr a n d o
n e c e s a rio
G e rh a rd t,
q u e
g e o m e tría
d e
el
c re e
o s a d o ,
e c u a c io n e s es
él
u n o
fu e rte ,
“ s ín te s is
L e ib n iz
d e l
e n
a n á lis is ” .
B r i e f w e c h s e l
e d .
la
a u
e n
ló g ic a ”
n e c e s a rio
la
M a le b ra n c h e c rític a
q u e
h a s ta
lín e a s
e n
a tik e r n ,
y
to d a
e l
q u e
d e p e n d e n
la s
es
q u e
q u e
D e s c a rte s ”
n o
d e
L e ib n iz
g e n e ra l
v e ía
e s p a c ía le s :
to d a v ía
D
s u
m a te
p e n s a m ie n to s
e n
“ H e
g e o m é tric a ;
q u e
la
q u e
v e rd a d e ra
e n
c írc u lo ,
d e
d e s ig u a ld a d .. .
re d u c e
re la c io n e s
a th e m
q u e
p o r
m é to d o ,
te s tim o n io
c o n v e rtirá
c ie n c ia
re c o n o c e r
B r ie fw e c h s e l,
P h il .
la
d ife re n c ia l
d e c ir
se
y
c ie n c ia s ,
g e o m e tía
1 6 7 9 ,
i t
s e ñ a la r
c á lc u lo
e x te n s ió n
es
s u
p a ra
c u a n d o
im p o r ta n te s
tro c a d a
p ro v o c a d o
d e l
a
y ,
ser
la s
c a rte s ia n o s
la
la s
e n to n c e s
q u e
( 2 8 )
G e rh a rd t,
e
d e sp u é s
h a y
lo s
e c u a c ió n x
re irm e , d e
el c a rta
a n á lis is
c o rre s p o n d e n c ia .
la s
v e z ,
h is to r ia
m u c h o
la
p a rte
a
B r i e f w e c h s e l
p a rte ,
c a p ítu lo " la
s o n
el
c a rte s ia n a
a
la
p o r
h e rm o s o s
c o n ju n ta m e n te
s ig n ific a c ió n
la
p o d id o
E s c rito
3 4 8 .
es
e n d e
d e
f a lta
y
m á s
a
y
p o r
u n a
ig u a ld a d
a
o tr a
a p lic a rla
=
h a
P o r
la
1 8 8 9
p e ro
d e
lim ita d a
n in g u n a
c o n c lu s ió n
tra s
es
e c u a c io n e s ,
p a ra
y 2
a ta c a r
e n
n e c e s a rio ,
s u b lim e
s u
p ro b le m a s
( 29) .
m is m a
d u c c ió n
d e
c a p a z
u n iv e rs o ,
c a n tid a d
d e ja r
g e o m e tría
“ m o tiv o s ”
P .
u n a
s o n
á t i c a
A L G E B R A
e n
V e r d a d ,
m á s
a t e m
s e rá
a l
p e río d o
fu e se
re la c ió n
q u e
D E L
p u b lic a d o
y
u n a
m
in te lig e n c ia .
ta l
sí
p o d ía
p rin c ip a le s a l
d e
la
p rim e ra
d e
la
p ro f u n d a m e n te
q u e y
d e
“ H a y
d e
c ie n c ia ;
P E R IO D O
h a
In v e s tig a c ió n
h a y a
a rte a l
a
la
s o b re p a s a r,
c o n firm a d a ,
L e ib n iz .
f i l o s o f í a
d e
e x is te n c ia
e s ta ría
la
d e
fo rm a
E L
m á tic a
d e
ta rd e , V ) " h a
p á g . a l e l
4 6 5 . fin a l
e lo g io
d a d o
a l
ilim ita d a ” . p á g .
3 5 6 .
p á g .
2 9 1 ;
G e rh a rd t
M
a t h .
c f r .,
p á g .
S e h r .
I I ,
3 4 7 . p á g .
3 0 .
B r i e f w e c h s e l ,
e d .
E l
a g re g a
q u e
e s ta
te m p o rá n e o s . n e c e s a rio m á s
c o n c lu s io n
“ S e
s a b e r
v a le
re d u z c a
el a
q u e
m a g n itu d e s
la
p u e d e n
b le m a
d e
la
m á s
ta rd e
a
a sí
n o s
m in o s p o r y
d e l
la
es
K a n t
la s
E l
d e sd e
ce se r el
d e
e x a m in a r
d o s
te n .
Y
c la s e s si
v u e s tra
e s ta
a lm a
re c e ría n o
h a b la
d o
m u n d o
c o n
a u to r
o tr a
to d a s
ta l
)
lle n o
O p u se ,
( 3 2 )
I I .
(3 3 )
I X ,
u n o
e t
p á g . p á g .
9 .
la
la
la s
Y
d e l
M
a u n q u e
y
c u y o
p u ra m e n te
d e
p r o
o c u p a rá
la
R a z ó n
p a re c ía
P u ra .
lo s
té r
p re s e n ta d o
re a lid a d q u e
lo s
s u g e rirá
in m e d ia to s
le s
la s
( 81) .
e s tu d io
d e
se
to d a s
p ro b le m a ,
E X T E N S I Ó N
el
in te le c tu a l,
e llo s
f o r m u
d o s
la
q u e
o tra ,
d e
“ d o s
su s
d e
o s
a l
el
tie n e
e s c rib e q u e
n o
d e
L e ib n iz ,
p o r
e n
a
M
la
L o u is
se
o s
d e
m á s
la
u n a
a le b ra n c h e id e a
se
d e
la
p re s e n ta n
in te lig ib le e s tá
d e
M
a ir a n ,
q u e
e s ta
C o u tu ra t,
p a
S p in o z a ”
la
e s e n c ia
D o r to u s
e d .
M
q u e
n o
re p re s e n
e x te n s ió n ,
o b je to
o tr o
m o d ific a ra es,
c a so
a le b ra n c h e
p ru e b a
o
“ m is e ra b le d e
p a re
e l
A ris te ,
la s
q u e
e s p a c ia le s
q u e
y
q u e
to c a ra
p r im e r
M a le -
n o s
P lá tic a s , “ N o ,
id e a s
e s p e c ie s
E n
ra z o n e s e n
la s
in te lig ib le
a g ra v ia
( 33) .
d e
e s c rib e :
p e n s á is
d e
c o n s id e ra rlo ,
u n o
c la s e s
R E A L
p e n s a m ie n to
q u e re m o s
a le b ra n c h e
n i
S e ñ o r,
in é d its
es
q u e
d is c u s ió n
e s p a c io
L A
e x tra íd o s ,
p rin c ip io
e q u ív o c o s
n u e v o
C r ític a
p e n e tra r c u a l
g e o m e tría
tie n e n el
u n
títu lo
d e te rm in a c io n e s
fr a g n i,
1 2 .
e n
E n
“ C re o , d e
d e el
d is tin g u ir :
es
a
es
D e s c a rte s
re la c io n e s
e s p a c io
p u r a
s e n tim ie n to ,
m a te r ia l”
s e n s ib le y
S p in o z a . e s tá
3 1
( 31 2 ) .
g e ó m e tra ; y
e x te n s ió n ;
(
a lg ú n
s a b id o
la
c o m o
E n
la s
c o n
p e ro
lín e a s ,
ta n to
s u s
filo s ó fic o .
p a s a je s
e x te n s ió n
h a b e r
e x te n s ió n ,
s e g ú n
e x te n s ió n ,
p o r
s e n s ib le ”
in te lig ib le ,
el
d e
el
y
n ú m e ro s ”
a
la
a q u í,
la s
p re d e c e so re s
D e s c a rte s
m e d io
d o s
d e
c u y a
d e
su s
IN T E L IG IB L E
m e jo r
M e d ita c io n e s .
h a y
p a ra
d e
d ig o
V iè te
e n
in te le c tu a l
d ire c tric e s
o rd e n
el á n g u lo
d e
el
filo s o fía ,
d is tin to s ;
d e
d e
q u e
c o m ú n
q u e
a n á lis is
p ro v o c a
in te le c tu a lid a d
E X T E N S I Ó N
8 6 . —
la
la
c u e s tio n e s
b ra n c h e
e n
e ra n
a n a lític a d e
L A
p o r
q u e
lo
m e d ia n te
a c tiv id a d
id e a s
p ro b le m a
p a r tir
la s
la s
o p in io n d e
e s p a c ia le s
L e ib n iz
p ro p ia su
la
1 6 1
in d ire c ta m e n te ,
e x p re s a d a s
su d e
el
n ú m e ro s
re la c io n e s
a d v ir tió
c ie n c ia
a
la b a n
d e
e n
m o m e n to s
P e ro
lo s
e c u a c ió n ,
te m ib le
ú ltim o s
d e
se r
á lg e b r a
q u iz á s
á lg e b r a ] ,
la s
d e l
c o n tra
[e l
g e o m e tría
O p o n ie n d o a b s tra c ta s
v a
s o rp re n d e rá n
a n á lis is él
f e r i o d o
1 9 0 J ,
d e
a c u e r q u e
el
v e rd a d ,
p á g .
1 8 1 .
1 6 2
L a s
q u e
la
ta l
id e a
a u n q u e la n a
h a y
P e ro
u n a
d o n d e
v e
lo s
la s
id e a s
E l
c ie n c ia s :
q u e
. .
b le m e n te la s
o tro s
o b ra s
te : d e q u e
filó s o fo “ N a d a q u e
re a lid a d M
h a y
p la m o s
la s
p e rc ib im o s b a jo
e s ta m o s lu g a r
( 34) (35) ( 36) (37)
e n
e n
el
la
C a r ta
e n
d e c ir,
C a r ta
es
a q u í
“ é l
c o n fu n d e
q u e
to m a n d o
la
“ q u e
se
lo s
q u e
o b ra
h a y
el
n o
e n
q u e
e n
id e a le s
m is m a
q u e d e
la s
c o n c re ta d e d e
la
P lá tic a
d e
e l
to m a m o s
c o n
la
c o lo r,
p o r
q u e
d e l q u e
d e
es
d e
n o
la
o
e x re a l.
d e
c o n
s o rp re n d e n el
s o lo
h e c h o
( 37) .
p u e s ,
P e ro
la
L o
su
d e s
c o n te m c u a n d o s e n
re s is te n c ia ,
n a tu ra lm e n te
p o d e m o s
del 29 de setiembre de 1713. Ed. Cousin, pág. 272. s u r la M é ta p h y s iq u e , II, pág. 5.
la
v eces
c r is tia n o
im p re s io n e s
e n c u e n tra n
h u m a n a ;
“ el n o s
lo
c u a n d o
d is ta n c ia .
s a b o r
d e
e x is ta ”
c o n c ie n c ia
a y u d a
p o r c o n
m u c h a s
filó s o fo
in te lig ib le ,
d e
a d m ir a
e x a c ta m e n te
del 12 de junio de 1714. Ed. Cousin, pág. 312.
E n tr e tie n s
y
ú n ic a
m á s
in f in ito ,
y
b a s ta n te
v iv im o s ” .
o
n e c e s a rio
g e o
re la c io n e s
a firm a c ió n
u n
la
c ie n c ia s
o tra s sí
p a rtic u la rm e n te
m a g n itu d
a c tiv id a d
la s
a rg u m e n ta c ió n ,
m o d ific a c io n e s la
“ la s
id e a
la
y
s a tis fa c e n
e n tre
u n a a
ó rd e n e s
o tra s
s in o
in te lig ib le ,
e x te n s ió n
d e l
la s
re m o n
d o s
fe n ó m e n o s
c u a le s
q u e
fó r m u la
e x te n s ió n
d e
tie n e n
la s
c o n te n g a
la
y
e s tu d ia m o s
d e
es
m e ta fís ic a
a ritm é tic a
lo g ra n
q u e
D e
in f in ito , d e
y
re la c ió n
la
e s ta
la
m o r a l
n o
m á s
d o b le
la
ra d ic a lm e n te
c o m o la
q u e
re a lid a d
q u e
s o b re
I b id .
Cfr.
e x
u n iv e rs o
R a z ó n ,
c o n
d e
n in g u
p e rm ita d e l
s u p o n ie n d o
d e m o s tra c io n e s
m e d io
u n a
e s ta d o
m a rc o
ta le s
re la c io n e s
s in o
re a lid a d
fo r m a
e l
P a s a n d o
in te lig ib le ;
es
d e
v e rd a d
p u e s
n o
s o b e ra n a
e x p e rie n c ia s
a le b ra n c h e ,
p re s e n c ia
e n
la
P lá tic a s
“ c u y a s
p re s e n ta
re la c io n e s e s ta
(3á) .
e x tr a v ía :
y
e s p íritu e s ta
m is m a
e s p íritu s ,
fís ic a ,
in te lig ib le .
f in ito
la
la
d e
u n a
v is lu m b ra m o s
p ro p o rc ió n
su
p o r
c h in o
c o n firm a
s ib le s ,
D io s
c o rre s p o n d e
e s ta
se
( 35) ,
o
el
e n c o n tra rá
e s e n c ia
d is tin g u e
m ie n tra s
c o m p o rta
re p ro d u c id a u n
d e
la s
e x a c ta s ,
la s
c o n s ig u ie n te ,
id e a es
D io s
c u rio s id a d ” ,
s í” ,
la s
d e
p a rte
v a n a
e n tre
e lla
e s ta
n u e s tro s
P
m e n u d o
c o n o c e r . . .
te n s ió n , la
V
p rim e ra s ,
d e
P o r
id e a
a
e n
p ru e b a
in te lig ib le
c u e rp o s ”
a
y
e x is te n c ia
m u n d o ”
c o n fu s ió n :
o tr a
n u e s tra
id e a s
d e se o
la
c ie n c ia s
L a s
se
S p in o z a
lo s
ilu m in a n
e s ta
p o r
d e p e n d e n
in c ie rto s ” .
el
p o r
n o
la
d e
p re s e n te
e x te n s io n e s ”
e x te n s ió n
c o n fu n d e
d e
d e
“ la s y
d e
q u e
á t i c a
( 36) .
c o m ie n z o
m e tría .
d e
. . .
q u e
p rin c ip io
c o n
c u e rp o s
re p re s e n ta n ”
la
a t e m
a g o ta rla
d a d o
a le b ra n c h e ,
e x te n s ió n
m is m o s
id e a s
n e c e s a ria
M
la
s í
d e
m
e s tá
p u e d e
u n iv e rs o q u e
d e
id e a s
A
d e
f i lo s o f í a
in f in ita
s ig n ific a
d e
c ie rra
d e
n o
id e a s
e n
a l
a l
e s p a c ia l
ju ic io
la
n o
c la se s
c o n s e c u e n c ia
a
id e a
“ la s
e s p íritu
d o s
e s to
d e
e x te n s ió n
el
g e o m é tric a
p ro p ie d a d
sea
ta
u n a
q u e
n o
c ie n c ia
p lic a r.
la
d e
m a n e ra
e ta p a s
v e r
e n
L a
e lla s
s in o
m o d a lid a d e s
s e n ta c io n e s
fu e s e n
C o n s id e ra d a
e te rn a
río
te n c ia c ia
a
d e
la
re a lid a d .
d e la
r a n ;
u n
tu m ;
s u
p u e s to
q u e
n o
n o
v e o
id e a
c o n
lo
id e a lis m o
S a n
la
e n to n c e s c h e
e n
d e
a l
s a rio
m a n e ra
es
la
c o n o c im ie n to d e
la
c ie n c ia
v is lu m b ra d o
la d e
n a
(3 8 )
C a r ta
(3 3 )
C fr.
6 9 8
y
sig .
d e l
el
d e
q u e
se
in te rp re te e s ta
h a b e r
n o ta d o
e
se
lle g a
a
id e a lis m o
6
S p in o z a
u n a
d e e t
n o c ió n
s e tie m b re s e s
d e
la
el
el
a í-
id e a s in
e fic a z , q u e P e ro
1 7 1 4 .
E d .
a
d e d e
y
d e
d e
la
la
id e a ,
id e a
H u m e .
d e
M
se
q u e
la s
y
s e ría d e
d e
e n c e n e c e M
c o n d ic io n e s
h a b e rla s
y E s
a le b ra n
p u e d e
s u b je tiv a ;
D io s ”
p o r
tra v é s
d e
id e a lis m o :
d e
a
p re c is a m e n te , n o
d e
id e a lis
re a lid a d
y
p u e s to
C o u s in ,
R e v u e
d e l
o rig in a lid a d
im p re s ió n
d e
re la c ió n
p re s e n c ia
P e ro
L a
n a tu r a l,
c o n te m p o r a in s .
la
p e n s a m ie n to
fo rm a s
la
la
fo r m a
a le b ra n c h e
id e a lis m o ,
r e a lis ta
d e
n o
e s p íritu s ,
e x te rio r
p a r tie n d o
d o s d e
lo s
B e rk e le y
o p u e s ta .
¿ in c o m p a tib ilid a d a
a l
M
q u e
id e a lis ta .
q u e ,
M
e te rn id a d
a s im is m o
c o n s titu y e re c o g e
in te rp re ta c ió n ,
in te rp re ta c ió n
id e a
d e
d e s g ra c ia d o s .
u n a
d o n d e
in c lu ir
filo s o fía
y
u n a
c o n s id e ra r
ta n to
p re c u rs o r
la
e x a c ta
s u b o rd in á n d o la s
e s c é p tic o
d e
e n
d e
id e a
e n
o
d e fin ir
p la tó n ic a
o b je to
s o b re
“ L a
a c tu a lm e n te
íd e a ,
y
e x is
e x ig e n
( 88) .
p a ra la
la
u n a
h a y a
la
fe lic e s
c o n tr a
re q u ie re
D o r to u s
s id o
o b r a n
e s ta b le c e el
s a tis fa c e r:
n e c e s a ria
m a n e ra s
d o n d e
p o r
c o m o
re p re v e rd a d .
d e s p re n d e
e s tá
n o
s in o h a
se
m is m a
a
Q u iz á s
id e a
id e a tu m ”
te n ta c ió n
h u m a n o
s u
la
q u e
s e rv ir
d e
la s d e
s í
y
a le b ra n c h e
h a c e rlo s
d o s
d e l
m a le b v a n c h is m o
b ra n c h e
e l
id e a lis m o
la
p o r
in c a p a z
M
in f in ita ,
in s p ira c ió n
c o rrie n te
a g re g a rle
q u e
id e a s
a le b ra n c h e
g ra n d e
la
c u a lq u ie r r r a r
M
es
q u iz á s .
p u e d e n
p u e d e
e x is te n c ia
h a rá
d e
s in o
a b s o lu to
c u y a
A g u s tín ;
e x c lu y e q u e
y
e x te n s ió n
y
e x te rio r
in m e d ia ta m e n te
e s ta s
re a l
es
e te rn a ,
q u e
d e
e lla
e s c rib e
lo
v e o
es
y
u n a
e x c e le n c ia , d e
n o
N o
p e n s a d o ” ]
tie m p o
in m e d ia ta m e n te
C a d a
m o :
[ “ a lg o
lo
q u e
v a lo r
la
p s íq u ic o ,
h a y
ilu m in a n ,
d e
d e
in f in ita ,
id e a
id e a
a lg ú n
s u b je tiv id a d
c o n v e n c id o
L a
la
p s ic o ló g ic o ,
16 3
r e a l
n e c e s a rio
s e n s ib le ,
id e a tu m
e s to y
s e ría
a d q u ir ir
c o m o
m is m o es
e x t e n s i ó n
C o n s id e ra d a
la
id e a tu m .
y
id e a tu m .
la
a i
la
y
p a r a
s o p o rte
id e a tu m
c u a l
p e ro
lo s
e n
e x te n s ió n
n in g ú n
s u
y
a lm a ,
c o sa
in te lig ib le ,
d e
e n c e rra d a
i n t e l i g i b l e
d e l
o tr a
c o m o
n e c e s a ria m e n te s u
e x t e n s i o n
a le d e l
id e a lis m o d e
h a b e r
c o n c ilia d o
( S 9 ) . 38
p á g .
3 4 3 .
M é ta p h y s iq u e ,
1 9 0 5 ,
p á g i
L a s
1 64
e ta p a s
E L
8 7 . — M
ta s . d e
L a s la
ú n ic a s
la
d e
la
ta l
e n
d e
la
o tr o
S i
es
el
d a d
p u e d e
se r.
L a
to d o
la
q u e
el
e s to
a
es
e n
e l s u je to ,
es
re p re s e n ta tiv a
n o
p o r
h a y a
e n
g ib le s
,
L a
la s
e n
sí
d e c ir.
e
( 4 0 ) 1 7 0 9 ,
p á g .
la s
se
p u e s to
R é p o n s e 1 8 6 ) .
a u
q u e
lo n o
es
ta l
d e
e s tá
q u e es
p a rte s
e s tá
e n
o
s e n
d e
lo s
p r o p io
lu z . es
a n te
e x te n s ió n
p e rfe c ta ; n o
s u b s ta n c ia
y
a
in te lig ib le s , es
p u e s,
lo
D io s
D io s
d iv is ib le
D io s
d e
es
se r
n o e n q u e
D io s
p e s a r
d e
fig u ra s
u n
la
c la ri
v e m o s ,
la
e x
n o
L a
“ E s ta
la
c o m o
la
y
fin a l,
la
e n
fo rm a
n u e s tro
d o b le :
c o m o
s in o
s u
m a te ria l,
in f in ita m e n te
g e o m é tric a s ,
í n q u e
in te li
s im p le ,
in
e x te n s ió n
d e
( 4) . d e l
e s p a c io
A ris te ,
D io s
tr a ité
es
re a
in te g ra l,
d o m in io
s ó lo
lu z
fá c il
c o m o
c la ro ,
in te lig ib le ;
n o
c ria tu ra s ,
in te lig ib le ,
e n c u e n tra n . q u e
D io s
e x te n s ió n
s u b s ta n c ia
v e rd a d e s
e x te n s ió n ,
e n
d e ja n
d is o c ia c ió n
re s u lta d o el
d ire c ta m e n te
c u e rp o ,
la s
el
C o g ito
m á s
in te lig ib le .
m u n d o
m is m a
es
g e o m e tría ,
lo
s o b re
d e l
p o te n c ia ,
d e l
es
la
d e
tie n e
p e sa
e s ta la
m is m a
a lm a ;
c u a lid a d
el
d e te rm in a r
la
la
d is o c ia n
q u e
a lm a
c o m p re n s ió n
c ie n c ia
la
p e n s a m ie n to , el
id e a s
b ie n ,
c o n tra s ta n
d e
s e ñ a la d o d e l
d e
d is tin
la s
D e s c a rte s ,
o b je to ;
el
q u e
P u e s to
S u
in m u ta b le ”
re a lid a d e s
c u e rp o s ,
m is m a .
e s p iritu a lid a d
“ L a
u n a
y
es
d e
e x te n s ió n
to d a s
d iv is ib le
D io s .
e te rn a
a s í la
y
q u e
s o n
lim ita d o
d e
y
A h o r a
in f in itu d ,
p e n s a m ie n to
h o m b re ;
d e
s a b id u ría ,
id e a
v e m o s
te g ro
el
y
in te rp re ta d e l
c la ra s
e s p íritu
su
fá c il
m a te m á tic a
to d o ,
p o rq u e
q u e
su
re p re s e n ta c io n e s
e s tá
y
a c to
s ig n ific a
s e r
la
in te lig ib le
ta n to
m á s
e x p e rim e n ta m o s
n o
s o p o rte ,
es
d e c ir
c o n fu s ió n
la s
o s c u rid a d
P e ro
d e
c o n o c e r
s o b re
d e
s e n tim ie n to s
d e
el
h a b ía
d e l
p e n s a m ie n to
id e a s
c o n c ie n c ia .
ju ic io ,
c o n te n id o
lle g a r
m e jo r
trá te s e
el
la
d e l
la s
e x te n s ió n .
fu g itiv o
e n
a le b ra n c h e
á t i c a
p r o p io d e
la
m is m a
es
a t e m
a n te
y
in m e d ia ta
c u e rp o ,
fá c il
c o n c e n tra d a
s ib le ,
d a d a
c o n o c im ie n to
m á s
d e s ta c a r
d e s ta c a n
c a rá c te r
e s tá
M
r itm o
in m u ta b ilid a d
e x is te n c ia
el
el
c a rte s ia n a
c o n te n id o -d e l
la
q u e
p s ic o lo g ía ,
d e
el
s e n tid o :
o s c u ra .
te n s ió n
el
m
M A L E B R A N C H E
n ú m e ro
s u
c o n
s u b s ta n c ia l.
m u y es
id e a s ,
e lla
se
e l
c e rtid u m b re
d u d a
c o n o c e r
lid a d
y
la
q u e
f i lo s o f í a
D E
c o n e c ta r
p u ra ,
c u a l
fo rm a
a firm a b a d o
e sas
O
e x ig e n c ia
id e a s
o s c u rid a d ,
s e n s ib le , d o
la
m a te m á tic a
c la rid a d c o n
c o n
la
D U A L IS M
P o d e m o s
a le b ra n c h e
d e
es
D io s
p o se e
d e s
v r a ie s
p e rm ite
u n a es
p u e s
to d a s
e t
a f irm a r
re a lid a d ,
d e s
la s
y
e n
e x te n s o ,
lo
re a lid a d e s
fa u s s e s
id é e s ,
la lo
in f in ito m is m o
q u e
a b s o lu ta s ,
1 6 4 8 ,
c a p .
to d a s
o
X V I .
lo s to -
(E d .
E l
d a s
la s
p e rfe c c io n e s .
c o m o n e s
a c a b o
d e
tr a r á
su s e n
la s
la
lu n ta d
d e
n o c ió n
d e l
m e n te
a
s u ra b le s o b re d a
S e r
la
c ie n c ia
el
c o n o c e r
C re a d o r n o
se
re la c ió n
M
e n
el
P o r
d e l
u n a
p a rte ,
c o n o c e r
r a z ó n
p o r a
la
lo
lu n ta d
la
la
s í
y
te m a tis m o ,
P o r
y
o tr a
q u e
h a y
( 4 1 )
E n tr e tie n s ,
( 4 2 )
I b id .,
( 4 3 )
K e c h e r c h e
I 4 4 )
R e c h e rc h e
V I ,
V
ili ,
p á g . d e d e
la
la
a lm a
q u e rid o
c o m ú n
su s u
m u n d o
el
v é r ité ,
6 e .
v é r ité ,
1.
a c to
c a p .
V .
y
e v id e n
n o
e x is te
la la
E v a n g e lio , d e
e n
la
fís ic a .
D io s ; y
e lla s
e s ta
es
a p lic a c ió n tie n e n
u n d e
s o n
fís ic a
la d e l
c o m u n ic a c ió n re la c io n e s
d e c re to
la s
d e
in e x
u n a
v o
c ie n tífic o ,
a
f in
v e rd a d e s
y
d e
es
m a n i
in m u ta b le s ,
in te lig ib le
a r b itr a r io
d e l
é c la ir c is s e m e n t. V ,
es
e s p e c u la tiv a
d e l
c a rá c te r
m u n d o
7 .
la
la
u n
5.
la
es
im p rim irle s ,
s e n s ib le
ta l y
e s e n c ia ,
c u e rp o ,
e n tre
d e l
n o
p u e
T a m p o c o
q u e
a s ie n to
p u e s
el
q u e
v e rd a d e ra m e n
D io s
m e c á n ic a ,
re tie n e n
fe
d o c trin a el
c ie n c ia s
el
c o n s titu y e n
p ig .
la
e n
m a n ifie s ta n sí
h a d e
y
. .
es
p u e s to
d e
esas
d e
in c o n m e n
la
m a te m á tic a
v e r
la
p le n a
( 4S) .
tie n e n
d e ja
p ro c e d e n te s el
d e
n o
v o
e n
re v e la c ió n ,
s in o
n e c e s a ria s ,
to d a
a p o y a r
a
o
“ L a
e x c lu ir
es
la
d e
u n iv e rs o
b a s ta
p a re c e
c u e rp o s . es
u n d o ”
p a rte ,
d e l
D io s
d o m in a n
h a y
c o n tin g e n te ,
q u e
le y e s
m
d e
n o s
s o b re
e x is te
D io s
e n c o n
s e c re to
e l
se
e x is te n c ia
n o
se
el
crea r.
q u e
n o c ió n
la
s e n s ib le ;
p u ra s
lib re ;
q u e
N a d a
la s
e s ta
c o n d u c e
s o la m e n te
e te rn a s , y
ta l
a p lic a c ió n
u n ió n
q u e
g lo ria .
y
n o
c o m p re n d id a
S e r
re la c io n e s
d u a lid a d
D io s
( 44) .
la
y
la s
c u a l
v e rd a d e ra m e n te
n e c e s a ria s
C re a d o r,
e n
D io s
“ la
g e n e ra lid a d s u
m a te ria l
q u e
d e
p u e s ,
im p e rfe c c io
p re s e n ta
v o lu n ta d
re p o s a
si
c u e rp o s ;
la s
in te lig ib le , q u e
d e
e s e n c ia ;
e v id e n c ia
lo s y
re s u lta
d e l
e llo ,
c ie n c ia
m a te m á tic a s
c u a l
e n
d e
n e c e s id a d
to d o p o d e ro s a
la
fe s ta r
a la
q u e
m o v im ie n to s ,
p lic a b le s
p o r
la s
D io s ”
c o n te n id o lo s
e n tre
es
la
e fe c tiv a m e n te
s in o
m e d ia d o r ,
h a c e n
e s p íritu
q u e
c o m o
n e c e s a ria m e n te
p e rfe c to ,
la
e n te ra
c o n c lu s ió n
V e rb o
c o n tie n e
L a
d e
m u n d o
a ie b ra n c h e ,
m is m o
e x te n s ió n
e s tá
1 6 5
lim ita c io n e s
“ V e rd a d e ra m e n te
e n c u e n tra
n e c e s a ria
L a d e
d e
c o n
e x te n s o
e s to
le jo s
( 42) .
in te lig e n c ia ;
c o n v e n c e rn o s
c ia
n o n o
B ie n
es
a l e b r a n c h e
la s
la
in f in ita m e n te
m is m o .
c o n
p o s ib le
D e
M
im p e rfe c c io n e s
d iv in a
v o lu n ta d ”
la
n o
d e
la s
c u e rp o s
d e
tie n e
( 41) .
d e
r a z ó n c re a r
sí
ta l
y
o
D io s n o
c o n te m p la c ió n
lim ita c io n e s
D io s
P e ro
d e c irlo ,
c ria tu ra s ”
la
m a te ria l;
te
d e
d u a l i s m
d e l
g ra c io s o
m e c a n ic is m o .
m a d e l
L a s
1 6 6
S
e
c
c
i ó
L A
C
n
8 8 . —
c o n s ig o
L a
u n la
el
se r,
y a
m á tic a ,
d e
la
ra
S o b re se
la
r e g la
d e
d e d e
la
la
re g la
r a z o n a n a le s . la
d e l
d e s c u b re ( 4S) .
titu y e n
e n d e l
la
( 4 5 )
I I ,
n i
d e l s u
d e
la s
d e l
y
L a n d
p á g .
3 0 3 ;
tr .
( a
d e
y
a
la
d e
M
a le
d is tin ta s ,
L a
lu z
la
es
o
p e ro
q u e
la
d e l
q u e
q u e
s in té tic o
tra ía
h a c ia
d e
lo s
q u e
e n
a p lic a
la
m a te
a
e sa
re a li
la
a c tiv id a d
c a rte s ia n a se
p o
a n tig u o s .
tr a ta
ju e g o
q u e
u n
h u b ie r o n
e s p íritu
p o n e
tr a ta d o
c o n d u c e su c e d e n
o tr o
c a so s e n
a rte
d e
a
p a
e s tá
d e
c u a l
n o s
1 9 0 7 ,
d e l
e n
l ’h o m m e
d e
la
1 0 2 .
e n
e t
.
el
s e g u n d a
d e e n
la
m é to d o s
s a n té
lla m a
p ro p o rc io
s u e n
g é n e r o
d e
a d e la n te ) ,
y
n i
in tu ic ió n to d o s q u e el
lo s
c o n s
c o n o c i
in c o n c lu s o
p a rte
co
u n iv e rs a l
g ra d o s ,
tr a ta d o
re c o
e x a c titu d
a u to r id a d ,
“ m e d ia n te
a l
‘" 'a p l i c a r
re g la
n ú m e ro s
n i
ú ltim o s
la
re m itim o s
p á g .
lo s
u n a
s e g u n d o
p re c is a d a y
d e
d o s
la
te x
le e
in d ic a c ió n
p ro p o rc io n a lid a d
eso s
lo s se
d e b a
S p in o z a
p o se e
d e d u c ir:
la
u n a
se
v e rific a rá
É tic a
n e c e s id a d
d e
É tic a ,
p a rtic u la re s —
la
q u e
la
q u e
s e g ú n
p ro p ie d a d e s tie n e
h a s ta
S u p o n g a m ó s ,
tr a ta d o ,
A q u e l
D ie u ,
A p p u h n ,
z
re fle ja
n o ta b le .
q u e
c o n o c im ie n to
la
o
S p in o z a
s o b re
tr a b a jo
E n te n d im ie n to
T r a ité
V lo te n
i n
c o n c e n tra b a
c ie n c ia
B r e v e
lo
n o
d ife re n c ia el
la
p
a le b ra n c h e
e s p iritu a le s ,
a lg u n o s a
d e l
g é n e r o ,
c o m o
s id o ,
y
S
e
C A R T E S IA N A
c a rte s ia n a ,
c o n v e rs a c ió n ;
d e
f in ,
d
c ie n c ia .
a p lic a c ió n
B r e v e
g é n e r o .
a ú n
la
h a b ía n
in m e d ia ta m e n te
É tic a
C o u r t
u n a
s o b re
L a
te r c e r
R e fo r m a
el
d irig irá
e n
d e
m a n e ra
p a rte
c á lc u lo
a
p ro b le m a .
u n a
p r im e r
e x p e rie n c ia ,
m ie n to
t.
el
c ie n c ia ,
fu n c io n e s
d e sd e
d e
i c
c la ra s
M
re a lid a d
d e
c o rre s p o n d e n
c u a rto ,
c á lc u lo s ”
V a n
u n o
q u e
im a g in a c ió n ,
m is m o
el c u rs o p o r
la
t
p e n s a m ie n to .
la
m e d ita c ió n
d e
a p o y á n d o s e U n
c la ra ” ,
L a
u n
á
ra z o n a m ie n to
la
d e
m
id e a s
y
q u e
e
á t i c a
p re te n d e ,
d e
d e
t
a t e m
I N T U I C I Ó N
la s
v e rd a d
el
d e
L a
a
L A
d e
m
g e o m e tría
m o d o
s e g u n d a
q u e
n o c im ie n to
la la
p o r
p u n to ,
tr e s :
d u r a n te
e n g a ñ o s o s
d e
d e
m
Y
a s ie n to
d e
je r a r q u ía
e s te
í a
d is tin to
el
c o rre s p o n d e n
p rin c ip io
g id a
el
p a rte
s o lu c ió n
f
S p in o z a ,
v e rd a d e ra m e n te
la
u n a
o
p ro b le m a s
in te lig e n c ia .
la
to s
a
tr a n s f o r m a
d e s ta c a r
s
d e
p ro c e d e
re s u e lto s
lim ita
o
f i lo s o f í a
c a rte s ia n a ,
s o b re
d id o
i l
la
e x ig e n c ia
c a ra c te rís tic a
m o d ific a r
f
m u y
d o n d e
o rig in a l
d a d ;
la
r itm o
m é to d o
d e
S P IN O Z IS T A
g e o m e tría
d e
L a
a
filo s o fía
o b je to ,
fu e n te
S in
L
s a tis fa c e r
s ig u ie n d o
la
—
I N T U I C I Ó N
b ra n c h e ,
s o b re
.
e ta p a s
d e
la
so n
ä m e ,
L a
H a y a ,
d e
É tic a .
I I ,
X ;
e d .
1 8 8 2 -8 3 ,
L a
E n
e so s
d o s
(e s c rib e c lid e s
lu g a re s
e n
e l
d e
la
p o r
V I I , e n tre
c u a rto
e m b a rg o , lo s
n ú m e ro s
d e
E u c lid e s ,
c ió n ” tre s
(46) .
p lic a r
el
q u e
h a n
p o r q u e d e
n ú m e ro s
d e
s im p le s , lo s
m u y
lo s
e l
1 ,
es
a l
o tr o
e l s
í ó
d e
la
a l
q u e
m is m o j
.:
in
la
p o r
o tr a
el
c u a l
d irá
e n
z ó n ,
in m a n e n te
a
p ro v e e
c o m o
re s u lta n te
( 4 e )
§
( 4T )
P a r t.
1 6 ,
I, I I ,
s u s
q u e
la
la s
9 ;
tr .
p r o p .
u n a
e n
el
e l
d e
la
m á s
e je m p lo ,
c u a rto
p r o
p o rq u e el
o
c a so
p ro p ie d a d
p o r
d e
la
d e
p rim e ro
la c o n
S p in o z a
m o d o s P o r
m is m a
p á g .
4 0 ,
I I ,
I,
d e l q u e
u n a
in tu ic ió n
s irv e
d e
o b je to
y
la a l
d e
e x p re c u a l
d e
in tu ic ió n
6 ,
d e la
E u c lid e s A
lo s
e m p íric a ,
v is ió n
d e m o s tra c io n e s .
H a y
tie n e n
a d e c u a d a
n ú m e ro e n
la
in tu ic ió n :
in te le c tu a l.
v e rific a c ió n
in m e d ia ta
a m b o s
d e
se
d e
el
a s í
i m a g i n a t i v o , .e l
d e
d e s i g n a r 'e l
n e ta p o r
S e ñ a la
p la n o s
fo rm a s
d e
f u n c ió n
ra c io n a le s
c o n c e p to s . d o s
s o lu c ió n ,
s e rie
u n a
p u ra m e n te
p e n s a n te .
A p p u h n , S c h .
el
o lv id o
n ú m e ro s
tie n e
p u ra m e n te
d o s
p a ra
c o n s titu c ió n
d ire c ta m e n te d e
e n tre
p e rc e p c ió n
s u je to
q u e
s o b re
q u iz á s ,
c o n tra s te
d e l
p o r
el
la
lo s
q u e
e n to n c e s
c o n o c im ie n to
la
p o r
c la rid a d ,
re la c io n e s
p ro c e d im ie n to s
re c a e E l
a c titu d
in tu itiv a la
el
v e a
el
u lti
d e m o s tra c ió n ,
D a d o s ,
la s
c o n o c im ie n to
p a rte
e n
d e m o s tra c ió n
tie n e
d iv is o r ia , e l
n o
m
p ro d u c to
p a r a
m a y o r
e je rc ita
A d re d e
a p lic a n
q u e
o je a d a ,
c a p ta r se
P e ro
c o m o e n
m e n u d o
la
e je m p lo ,
(47) .
s im p lic is s im is ,
p ro p o rc io n a lid a d . la
d e
el
to d a v ía
a
o p e ra
p o r
te rc e ro
d e c ir,
n e c e s a rio .
n a d ie
u n a
d e
es
p ro p o s ic ió n
n in g u n a
n in g u n a
fu e rz a
es
c u a r to ”
lín e a
d o m in io .
la
m u c h a d e
c a e r
s in
la
d a n ,
a l
d iv id ir
E u c lid e s ,
e u c lid ia n a
tr a ta
n u m e r is
s o b re
e l
c o rre s p o n d e
c o m e rc ia n te s a q u é l
v e m o s
c o rre s p o n d e
o b s e rv a r
j
h a y c o n
g e n e ra lid a d ;
c u a l
e n
d e ja d o
m e d io s
n o
c ie n c ia
in te rm e d ia ,
u n o ,
q u e
L a
p o r
d e
d e
titu b e a r á n
p ro c e d im ie n to
d e
s in
se a
e l
té rm in o
p ro p o rc io n a lid a d
“ S e
n o
E u p r o
p ro p o rc ió n ,
p rim e r
r e a liz a r
q u e
la
d e s o n
te rc e ro ;
v ir tu d
s in
p ro p o c io n a le s .
e s to
q u e
d e fin id a :
ro d e o
3 ,
y
o
e so s
d e d u c im o s
8 9 . —
e ta p a
2 ,
e n
m a e s tro s
e s te
I I
la
to d a v ía :
y
h a n
su s
V
d e
6 ,
m is m a
s e g u n d o ,
m e n te
lib r o
p o r
c u a rto
te rc e ro
d e
s e g u n d o
es
m a te m á tic o s
n ú m e ro s
d e l
c o m e rc ia n te s
n o
d e
n ú m e ro s
n ú m e ro s
re la c ió n
el
e llo s
s im p le s ,
1 9 ,
n in g u n o
p o rc io n a l
u n
L o s
p o r
q u e
q u é
p ro d u c to
d e l
n o
“ L o s
d e m o s tra c ió n
n a tu r a le z a
el
e x p líc ita
e x p e rim e n ta d o
p ro p o s ic ió n c o m ú n
m á s
a p re n d id o
h a n
la
q u e
v e n ,
o b te n e r
s e g u n d o
la
s a b e n
167
c a r te s ia n a
E u c lid e s .
s o b re
a d e c u a d a m e n te
la
p rim e ro .
p u e s to
d e
d e
p r o d u c to
si
es
p a r a
a l
a
in tu itiv a m e n te ,
É tic a
i n t u i c i ó n
1 9 ) ,
d e d u c e n
s ie m p re o
la
re m ite
p o s e e n a l
s in o
L a
y
a p o y á n d o s e
lo
q u e
d a d o s ,
es
p rim e ro ; lo
s í:
v e n
n ú m e ro s
s e g u n d o
S p in o z a
ig u a la
n o
o z i s t a
P ro p o s ic ió n
p ro p ie d a d
el
s o m
T r a ta d o )
( lib r o
p o rc io n a le s y
i n t u i c i ó n
la
y la
re s i la
r a
c ie n c ia a p a re c ía
in tu ic ió n
2 3 4 . p á g .
1 1 0 ;
tra d .
A p p u h n ,
1 9 0 9 ,
p á g .
2 1 2 .
1 6 8
L a s
s e n s ib le ,
fa c u lta d
se
o p o n e
e n
es
d e c ir,
c ió n .
la
m a ría
la
q u e
es
c u a l
u n a
N o
h a y
R e g la s i d e
k e r.
v ín c u lo
la
es
d e
d e d u c ir
es
s e rie
d e
p r o p io
es
c e p c ió n
m á s
la
m o v im ie n to la
la
s im p lic id a d
(4 8 )
N o ta d e
q u e
u n
ú n ic a ..
e n
" A s í, tr iá n g u lo
.”
R e g .,
v e r d a d . . .
c o n
( 5 0 )
Ib id .,
( 5 ! )
R e g .,
2
d e l
d e
e n tre
in te lig ib le ,
la
a le ja d a
d e
la s
R e g u la e
c a d a e s tá I l l ,
c u a l
( v e r
lim ita d o
A T .,
X ,
a c to
ú n ic o
X ,
p á g .
3 6 9 .
A T .,
X ,
p o r
y
p á g .
su
d e
d e
1
c o m o
la
la
a ú n N o
la
h a y
d e d u c c ió n ;
q u e
d e
e s tá
lig a
c e rtid u m b re E n to n c e s c u y o e n
q u e
c o n
c o n
la
u n
fu n c ió n
e lim in a d a . p o r
lo s
o fic io
u n a
re c o rrid a
te rm in a
la d e
in tu i
es
( 50) . y
p a ra
in te
q u e
la
s in o
re u n id o s
c o m o
d o n d e la
tra n s fe rirs e
p e n s a m ie n to se r
G la z e m a -
a g re g a
e v id e n c ia
ín te g ra m e n te
la s
Œ
so b re ; v e r
s ó lo
y
d e
c u a l
D e s c a rte s , S p in o z a
lín e a s ,
R e g .,
s ig .
I X ,
n o
H a m e lin ,
m e n ta lm e n te
tre s c fr.
u v r e s la
ig u a lm e n te
d is tin to ” .
3 8 8
+
la s
c írc u
R e g la s c o m o
4 ,
3
el
lo s
d e l
d e
P r á c tic a
e q u iv a le r
a
( 51) .
6 7 )
3 6 8 ;
e n
c o n s e c u e n c ia s .
e s te
c o n te m p la r
p á g .
u n
V I I ,
§
a
p ro c e d e
o b je to
=
in tu ic ió n
d e d u c tiv a
n u m é ric a
p u e d e
el 1
e s ta
c o n s id e ra d o
e d ic ió n
y
p u e d e n
la
rá p id o
s ín te s is
la
lle g a d a
a y u d a
D e s c a rte s
=
la s
es
in tu itiv o
e n
p u r a d e
la s
2
p u e d e n
c a d e n a
se r
a f ir
n o
la
d e
e x te n s ió n
p o r
s in g u la r,
la
m e
y
e v id e n c ia ;
c ie n c ia
e s p íritu ,
+
+
lo
a c to
A d a m
3
d e
p ro p o rc io n a lid a d
fu n d a m e n ta l (4 9 )
la
la
q u e
0
p ro m o c ió n
p u e d a
s í,
d iv e rs id a d
H o la n d a
in tu ic ió n
la
la
m e n o s ,
( 48 9 ) .
4
s u fic ie n te m e n te
m e m o ria
d e l
=
m á s
d e
S c h ü lle r
p ro p o s ic io n e s ;
a llí
e c u a
in te le c c ió n
u n a
c o n
e n
lo s
a c to
la
n a tu r a le z a
d o n d e
lo
d e
2
e s p íritu ,
u n a
e n
in tu ic ió n
o rig in a le s
u n
s u c e s iv a m e n te
lo
p o r
e je m p lo e s
e n
la
a ú n
2
in tu ic ió n
to ta l
m e n te
d e
d e
fo rja d o s
( 4S) , m á s
re la c ió n
+
la
u n a
a lg u n a s
d e
c o m o
n e c e s id a d
a n illo s ,
a
es
d e
c o n s e rv a d a
c o m o
c e rtid u m b re
d ife re n c ia
la
e ra
u n a
s o la m e n te
d e d u c c ió n
d e
d e
c o sa
v e rd a d
p re c is a
s p in o z is m o
d e fin id a
u n a
d e
d o c trin a se
c o n c e p c io n e s
e n u n c ia d o s
e n to n c e s
la
el
la s
e s tá
y
n o
a
e n
d e
e s ta
s a b e m o s
in m e d ia ta
n e c e s id a d
a
c o p ia
p rin c ip io
d e
re p re s e n ta c ió n
c o n e x ió n
c o m o
im á g e n e s ,
d e l
p la n te o d e
c o n
la s
a c to
in te lig ib ilid a d .
q u e
e v id e n c ia
d a
el e
d e
lig e n c ia
c ió n
es
c la rid a d
u n
el
o b je to ; d e
u n id a d
E l
in tu ic ió n
la
d e
es
s u p e rio r
d e l
á ti c a
c o n te n id o
e lla
re la c ió n ,
in d iv is ib le s u
a t e m
p o r
c o m u n ic a ría
tra s c e n d e n te
a firm a
m
q u e
fo rm a
d u d a
u n a
s im p le s
u n a
u n a se
tie n e
p u e s to
d e
m e ta fís ic a ,
in ic ia d o s
f i l o s o f í a
q u e
c a rte s ia n o . c u y a
E s
es
a c to
y
g ra d o
la
id e a ,
e s p íritu
u n
f a c u lta d
a lto
e s p íritu
la
e n
d is tin ta s ,
m á s
lo
el
n o
re a lid a d
re ú n e
id e a s
la
e s ta b le c im ie n to
in tu ic ió n
d ia n te
d e
re c e p tiv a
S p in o z a
el
L a
e ta p a s
la
q u e
e s fe ra
A T .,
X ,
X ,
p á g .
d e ja
o b .
c it.,
e x is te , p o r p á g .
d e
4 0 1 :
E l
in s is tir
p á g .
q u e
u n a
3 5 3 .
1 0 6 .
p ie n s a ,
s u p e rfic ie " C a p ta n
L a
L A
C O N C E P C IO N
9 0 . s ia n a ,
—
la
a lc a n c e
c o n
el
n o
in d iv id u a l, d e
llo
d e l
p re s ió n L a
n o
d id o ,
s in o
c ia y
d e
c o n e x ió n e sfe ra ,
g ira
a lre d e d o r
p o r
e s ta
e n
d e ra
y
(5 2 )
§
S p in o z a ,
2 d a .
(5 3 )
J,
Ib id .,
u n id a es
a l
d e c ir,
s e m e ja n te
c o n te n id o
e s te
d e l
c a u sa
d e
§
la
la
p á g .
4 1 ,
la
es,
d e
e s ta
s in
2 9 ;
tr .
I I ,
p á g .
d e l
d e
h a b la n d o
a b s o lu ta m e n te ,
lim ita r ía
m o v im ie n to
n i
d e te rm in a n te
lo
p á g .
A p p u h n ,
c o n c e p to
se
a e n d e l
a
es
e lla
sí
q u e
la
e l
c o n c e p to
y d e
u n
s e m ic írc u lo e n g e n d ra d a y
d e
a u n q u e e s ta
p e rc e p c ió n
d e
u n a la
id e a
c fr.
ju ic io p o r
c o m o
p re te n d e
266;
es
c o sa
ja m á s
“ L a
el
in te lig e n
v e rd a d e ra ,
u n a
h a s ta
h a s ta
c o o rd in a c ió n
q u e
e s tá
a ú n
L a
o tr a
S p i
p re c e
p ro d u c e
la
s a b e r
c o n c e p to
p á g .
s e m ic írc u lo ; la
es
e x
m a
v e rd a
e s fe ra ”
( 5S) .
d e fin ic ió n v e r d a d e r a
n u e s tro
e s tu d io
tr a d e b e
so b re
m é th o d e .
tr.
d e l
y
f o r m a r
e sfe ra
o b je to :
A p p u h n ,
L a
2 4 ;
ro ta c ió n
y
n o
d e
h a n
lle v a r
h o m b re ;
e m b a rg o , el
lo
d e l
m is m a ,
e n g e n d ra d a
c o m o
n o ta b le
s e g u irlo , d e
r a
d e s a rro
( 5 2 53*) .
fa c u lta d .
p a ra
d e l
el
p e n s a m ie n to ,
la
d e
id e a
s id o
s im u lta n e i
es
q u e
e s ta b le c e
u n a
fo r m a r
id e a
c a p .
q u e
q u e
h a
é s ta
fá c il
d e
1 9 0 6 ,
e s tu v ie s e
c a so
e s fe ra
sí
v o lu n ta d ,
y
e fe c tiv a m e n te ,
4 6 .
a firm a
e n
es
e d .,
S p in o z a ,
v im ie n to ,
m á s
v id a a
e je m p lo ,
C ie rta m e n te ,
n a tu ra le z a ,
a c u e rd o
a
la
d e l
c a p a z
v e rific a c ió n
“ P o r
c e n tro ,
n in g u n a
m e d io
la
L a
o r ig in a lid a d
d e b ía n
e s c o lá s tic a
L a
c a u s a
u n
q u e
s o ñ a b a .
m o m e n to s
re to m a r
c a rte
u n
p e n s a m ie n to
m is m a ;
ra d ic a l
ú n ic o
a
b a jo
p e n s a d o re s
el
a firm a
sí
g e o m e tría
a d q u ie re
n i
E n te n d im ie n to
lo s
s in té tic a
id e a s .
ro ta c ió n .
d ic io n a l,
se
a
la
d e l
n a tu r a le z a
la
lo s
a
c o e x te n s ív a
u n a
v e rd a d
h a c e
s id o
q u iz á s
p a ra
d e l
a
n o c ió n
p o te n c ia
d e
q u e
el
la
id e a
la s
f o r jo
la
L a
la
d e
u n a
s e p a m o s
h a
c o n s e c u e n c ia s .
c o n c ie n c ia
n e ra
d e
q u e
re la c ió n
q u e
T o d a
su s
lo
d e
in tu ic ió n
d is tin to s
la
R e fo r m a
é x ito
h is to r ia
b a s ta
h a c e
re la c ió n
e n
es
a c tiv id a d
v o lu n ta d .
m is m a
la
—
e x c lu s ió n
u n a
q u e
V E R D A D
m a n te n e r
e s p ir itu a l,
la
e n
ta m b ié n d ía s
la
es
d e
s o la m e n te
n u e s tro s f in a l
in te r n o
a l e n
la
lo s
se
L A
R e g la s
e n
p o r
in tu itiv a
c o n s e c u e n c i a , •—
n o z a ,
la s
1 6 9
v e r d a d
D E
g ra c ia s
in te le c tu a l
c ie n c ia
tr a ta d o
d e
p a s a je ro
a u to m a tis m o
d e l
y
la
d e d u c c ió n
a c c id e n te
e s fu e rz o
d in a m is m o
s ig n o
la
a u to r
u n
d e
S P IN O Z IS T A
d e
c o n s id e ra c ió n L a
s v i n o z i s t a
S p in o z a ,
el
m á s
u n
la
d e l
c u a l
es
z o n a m ie n to .
e l
C o n
tra n s fo rm a c ió n
in tu ic ió n
d a d
c o n c e p c i ó n
e s fe ra
a firm a r e l
o
e l
a l s i
2 5 3 .
d e e lla
la
c a u sa
e s tá
m o v im ie n to
c o n c e p to
m o v im ie n to ."
" E s ta
a firm a c ió n
d e l V e r
p e rc e p c ió n ,
q u e
5 3 .
s i
n o
d e l ' m o
p o rq u e
e l
e s p íritu
s e m ic írc u lo ,
n o
e s ta n d o
s e m ic írc u lo §
c o n tin ú a
fa ls a
d e te rm in a n te
a is la d a ; d e l
s e ría
n i
h a b ie n d o
s a lid o
1 70
L a s
c o n c o r d a r e fe c to » id e a
c o n
y
n o
es a
c irlo s :
lo s
o
s í,
—
q u e
lig e n c ia .
L a
c o n d u c e
a
c ió n el
d o
d e
to
la
la
p o r
le y e s
él
d e
u n a .e la
la
d e
p a ra
je ra rq u ía
—
s e n s ib ilid a d
la
d e l
d e l
in te lig e n c ia
la
la s
n e c e s a ria s , o
d e
e n
m is m o y
p o r
lu g a r
u n
m
el
u n
o b je
u n
m y
u n p r o
a p lic a ría n
o p o s ic ió n u n a
u n iv e rs o , la
h a y
se
la
n o
p e rc e p
D io s
c u a l A
d e
in te
q u e
y
d e
s u b s titu y e
e u c lid ia n a
la
c ie n c ia
s e ría
g e o m e t r í a » *—
S p in o z a
la
u n a n o
q u e
a l
d e
la
e n tre
a r b itr a r ia
h o m b re ,
u n
d e
c o sa s,
re s u e lv e
m o v im ie n to .
d e
g e o m e tría
d e
v e rd a d
im a g in a tiv a
c o n s ig u ie n te
v o lu n ta d
m a te m ä tts m o ,
d e
y
á lg e b ra
la
c o m u n ic a c ió n
y
P o r
la
a c c ió n
m a le b ra n c h ia n a
in te lig ib le s
p o r
se
la
( 55) .
re a lis ta
d o m in io
d is c o n tin u a
in f in ita .
a b s tra c ta
d e l
p e n s a n te
d is tin c ió n
c re a d a s
a
la
m é to d o s la
p a rc ia l,
la
se
p r o p ie d a
d e
s e n tid o
fu e ra
p r o d u
c u a n to la s
la
q u e
A T IS M O
re p re s e n ta c ió n
d is tin to
p a ra
e n
e s p iritu a l el
u n a
in te r n a
to d a s
A T E M
es
c o sa
v e rd a d e ra ”
M
e n
d e sd e la
sea
p o te n c ia
re a lm e n te
m a te m á tic a
m e c a n ic is m o
a
la
p a r a
e x is te n c ia s
p u e s ta s
d e
v is ió n d e
c o n tin u id a d
v e rd a d e s
d e
la s
u n a
s p in o z ís m o
d e
d o
es
lim ita r
q u e
A L
p u ra m e n te
s e n s ib le ,
q u e
tie n e
id e a
fa c u lta d ,
la
d e s p le g a d a id e a
o b je to , la
a c u e rd o d e
a d e c u a c ió n
u n a
d e
e s te
e x te rn a
e s ta
E C A N IC IS M O
d e
d o m in io
p ro g re s o
d e
e n
c a p a z
in tu ic ió n
u n
in tu itiv a ; s o lo
sea
el
á t i c a
q u e
a c tiv id a d
c o n
h a y
a t e m
s ó lo
d e
la
c o n c e p c ió n n o
;
e n tie n d o
M
m
a d e c u a c ió n
in trín s e c a s
u n iv e rs a l;
p a la b ra »
( 54)
la
id e a le s
D E L
E s ta
f i lo s o f í a
c o ro la rio
re la c ió n
P A S A J E
9 1 . a lc a n c e
E n
a d e c u a d a
s in
la
id e a d o ”
el
d e n o m in a c io n e s
E L
el
v e r
id e a
e n
d e
p rin c ip io .
p r o d u c to s
“ P o r
c o n s id e ra
u n
o b je to
u n
n e c e s a rio
ig u a la
d e s
e l
e ta p a s
d e
je ra rq u ía
c o m p a ra b le
g e o m e tría
c a rte
s ia n a . E l
m e c a n ic is m o
d e l
u n iv e rs o
d e l
m o v im ie n to
e s ta
a
im a g e n
c ie n tífic a ,
c o n
el
re c o rta n
p o r
le y
d e
( 5 4 )
(55) L a
P a rt. A u fs ä tz e P a r t.
r e v o lu t i o n
p h y s iq u e ,
s u s
I,
A x .
V I ;
c fr.
d e f.
p á g .
7 7 2 .
IV , e t
d e y
C a rta
re a lid a d e s la s
I X
S p i n o z a
L e ip z ig , ( 6 4 )
u n d
1 8 8 7 , a
d e
o
c a m b io s
fe n ó m e n o s
E n d e
ta n to
la
c o n
d i e
p o r
la
la s
o tra s
L a
re la -
S c h o la s tik ,
P h ilo -
s u c e s iv o s .
p á g .
q u e
re d u c c ió n
d e fin id a s
u n a s
1 2 8 .
T s c h irn h a u s la
lo s
lo s
e s p a c ia l. té rm in o
u n id a s
s p i n o z i s t e
to d o s
e s tu d ia r
im a g e n
F re u d e n th a l,
n o tio n
y
s im u ltá n e o s
g e w id m e t,
c fr. la
re d u c ir
ú ltim o
c o n ju n to
d e s p la z a m ie n to s
c a r té s ie n n e
1 9 0 4 ,
su el
e x te n s ió n ,
E d u a rd ' Z e lle r II,
d e
s ie n d o
u n
la
fu n c ió n
m o v im ie n to ,
a y u d a
es
e n
p o r d e
s ig u e
u n iv e rs o
q u e
s o p is c h e
la
e s p a c ia l
fig u ra la
tie n e
fe n ó m e n o s
s u b s ta n c e ,
( I I , R e v u e
2 1 2 ) .
V e r
d e
é ta
M
tie n e
E l
c ió n
d e l
ces
u n a
e n
la
to d o
d e
re la c ió n
I V
p a r te
c o ro la rio
d e l
A h o r a S p in o z a L a
e s ta
la
q u e
d e
y
e n
sí
la
fá c il,
la
m ú ltip le .
e s tá lo
q u e
e n
la
q u e
es
m u y
tra re m o s
n a c ió n ,
n o
c e r
c o m o
a lg o
E n
o tro s y
e s p a c ia l.
d e
es
id e a
d e
a s ig n a d a la
la
S e
n e c e s a rio c írc u lo a l
(5 6 )
R e f
(
5 7
U id .,
(
5 8
) )
E tic a ,
1 5 ,
§
X I I e sc .
(5 9 )
H a m e lin ,
60)
I n t.,
(
6 7 ,
I,
I,
p á g .
6 5 ,
( 2 9 ) I, .o b . %
a
p á g . c it., 6 0 ,
I,
la
d e
la
q u e
c írc u lo ,
es
L o u is
p á g . p á g .
lo
f o n d o id e a
y
el
a
lo
q u e
d e
la
e s tá es
p a rte s , ta l
es
c u a l e n
la
s í,
e n c o n
2 0
q u e
id e a t, d e
re c o n o
d e
la
d e l
im a g i
e x te n s ió n ” la
(° 9) . e c u a
re p re s e n ta
c írc u lo
p a r ti id e a ;
q u e
es
sea
e s e n c ia ( 80) ,
la
d e
la
lo n g itu d
e n
p e ro
c o m o
el
o rd e n
in d e p e n c u a lq u ie r
2 7 7 .
2 7 6 .
d e
a b ril
d e
5 7 .
1 7 2 . A p p u h n ,
la
a lg e b ra ic a ,
p á g .
p á g .
d e
u n
S p i
o b je to
u n a
e s p a c ia l
p á g .
c a n tid a d ,
c o rre s p o n d e
u n a
A p p u h n ,
d e l
la
c a m p o
a f irm a tiv a ”
A p p u h n ,
tr.
p o r
c u a l
y
m is m o
c u a lq u ie ra
A p p u h n ,
3 2 ;
ta l
c u a l
la
d e l
q u e
re a lid a d ,
M e y e r,
tr.
ta l
d e
fó r m u la
d e te rm in a c ió n
5 2 ;
r a z ó n
e x te n s ió n
q u e el
ti.
la
e x te n s ió n
d e te rm in a d o ,
tr.
a u x i c o m o
c a n tid a d ,
d e
u n a
s o b re p a s a r
3 6 ;
u n a ,
c o n
d e m o s tra d o ,
fa ls a
a
3 5 ;
p r e
la
( 5S) .
q u e
p á g .
e s ta
c a n tid a d
m e n u d o
h e
d e
in f in i
in c lin a d o s a
c o m p u e s ta
re a lid a d
lo
e n
u n a
es
m is m a
la
ite . . .
p a r tic u la r
la
c a n tid a d , a
la
c a n tid a d :
E s ta la
o rig in a l
c a n tid a d
in te le c tu a l
la
d iv is ib ilid a d
e s ta m o s
la
p e rfe c ta m e n te
c o rre s p o n d e
c u a lq u ie r
i„ t.:
C a r ta I,
ta n to
“ e s e n c ia
§
a
ta m a ñ o
ta m b ié n
ra d ío ,
a
lo
d e
la
e n
e x p re s a
q u é
f in ita ,
p a rte s ;
n o
p u re z a
c o n c e b ir
ú n ic a ”
e s p iritu a l,
c o n d u c e
e n
e x te n s ió n , d e
e n
la q u e
q u e
s u p e rfic ia l. sí
la
c o m o
p a ra le lis m o
u n
el
p ro p ie d a d
c o n c e b ir
h a c ía
la
y
u n a
c re a
e n
p o r
e n
d e
c o m p re n d e
c o n
c u a l
c o m o
p lu r a lid a d ,
re s p o n d o
p e rc ib im o s
c o rta r
q u e
b a s ta n te
“ a d m
la
e x te n s a ,
d iv is ib le ,
y
d e
im a g in a r
o c u rre
d ife re n c ia
e l
e n to n la
a p a re c e
m u ltip lic id a d
in te lig e n c ia .
e n to n c e s ,
u n id a d
c u rv a ,
d ie n te m e n te
c fr.
la
tr a z a d o
p e ro
d e
d e ja
e n
re fe rim o s
si
a le b ra n c h e , a
es
p o r
a b s tra c to
la
a d a
d e
tr a n s fig u ra c ió n
té rm in o s ,
c ió n c u la r,
n o s
M
se
c ió n
la
in d iv is ib le
q u e ,
p a rte s
m o ra l
a b s o lu ta
a te n c ió n
e s ta
e n te n d im ie n to
171
o
ra z ó n
e x p re s a n
T o m
id e a
c o n s is te
d e
a
c o m o
p a rte s ,
p re g u n tá is ,
q u e
d ifíc il,
in f in ita ,
G ra c ia s n o z a ,
( 5e) .
e n c o n tra m o s si
su s la
el
re fra c ta ,
u n a
n u e s tra
P e ro ,
la s
y
o tr a
in te lig e n c ia ,
a t i s m
d e es
es
c a n tid a d ;
c o n s is te
lo
u n a
c o m o
s u b s ta n c ia
s u rg e
v o lv e m o s
a t e m
é s ta
v is ta
m a n e ra s
la
im a g in a c ió n ,
m á s y
lo
d e
la
s u p e rfic ia l
m
s e rv id u m b re
d e
la
e m b a rg o
d o s
c a d a
d e n u n c ia r
es
d iv id ir
s e n tid o s ,
s u b s ta n c ia , c u a l,
d e
tra d u c e
te n e m o s
lo s
la
re fra c c ió n
s in
a l
e x te rn a ;
p u n to
c a n tid a d
a
c o n
o
g e o m é tric o .
d e
q u e
“ S i,
a b s tra c ta lio
e s te
e s e n c ia
n a tu r a lm e n te g u n ta
É tic a
n u n c a
m is m a
( 56 7 58960) .
la
in d e p e n d ie n te
la
n o c ió n ,
tu d
n e c e s id a d
d e
im a g in a c ió n
s u
e c a n i c i s m
n a tu r a le z a
m e c a n ic is m o
e x is te n c ia
p o r
m
la
d e ja
a
d e l
d e
b ie n ,
n o
a lc a n z a n la
p a s a je
p á g .
2 6 9 .
1 6 6 3 ,
II,
p á g .
4 2 ;
1 7 2
L a s
d e te rm in a c ió n c ió n
V
d d ’
te m p o ra l
i l i
d e
ee’
e n tre
=
la
tra z a d a s
a
m e n te
to d a s
a
m e n te
la
p a r a
la s
d e
la
a l E l
d is tin to
e
e n
“ e s e n c ia s
d e
c o m p u e s ta
d e
s u b s ta n c ia , d is u e lv e n le c tu a l
es
f in
e n
y
h a c e
ria
( 60)
c ia
n e c e s a ria S e
v e
É tic a ,
(® 2 ) ( 6 3 )
( 6 4 )
C a r ta
( 6 e )
É tic a I ,
a fe c ta d a n o
n o d e e n
se
la
d e
1 5 ,
E sc .
y
I,
p á g .
y
d e s p e c h o d e s p e c h o
d e
e te rn id a d ,
u n
c o rre s
—
es
p a ra d e
e n
s is te m a
( 61 2 ) .
in d iv id u o
q u e
la
la le y
su
to ta l
e n
la
re a
d e
la s
p á g .
S e r
q u e
X
C a r ta
( 2 9 )
y
E s c .,
I ,
p á g . n o
lo
c u a l
C a r ta ,
s ig .;
IV ,
p á g .
ta n to
su s a
d e
la
e n
d e
u n id a d la
su d e l
m a te
c o n s e c u e n
s u b s ta n c ia ,
h a m fm a lg a s ta d o
p á g .
5 0 1 .
A p p u h n , 6 2 6 . C fr.
p á g . S p in o z a e t
6 2 8 . s e t
4 0 . e i t ) .
p á g .
m a te ria q u e
p a rte s H .
p a la b ra
tr.
p á g .
( lu g . 8 ,I ,
" L a
e n
s ig n o
in d iv is ib le
la
A p p u h n ,
( 2 9 ) I I I ,
5 3 .
si
ir.
1 9 0 6 ,
I I
m is m a
la
p a rtíc u la
p o r
A p p u h n ,
É tic a
se
in te
p e rs e v e ra r el
;
R e n o u v íe r
2 6 6 y
tr.
su
es
( 6B)
h a c e
c a d a
h a s ta
p á g .
q u e
ú n ic o
su
y
m o v im ie n to
a
e s tá
e n
f o r m a n
m e d ía n te
se r
n o
to m a d a
se
q u e
c o n ju n to .
2 1 8 ;
I,
el
la s
p u e d e n
d u r a c ió n
“ te n d e n c ia
p u e s to
d e
la
q u e
e n
c o n
a q u í,
m is m a ,
e s tá
d e l
B a y le
2 6 6 ;
p o r
p u n to s ;
e n g a ñ a d o s
X I I
C fr.
p a ra d o ja s
a g u a
u n iv e rs a l
E sc .
p a rte s
el
d e l
M é ta p h y s iq u e ,
m o d o s ;
r e a lid a d .”
I,
2 3 ,
É s e .
1 5 ,
a a
s in g u la r
h a s ta
p a rtíc u la s
c o sa ,
e te rn a
V ,
d e
el
la s
d e
lín e a
c a d a
d e sd e
3 9 ,
2 2 ,
—
c a so
ín te g ra m e n te
p u n to ,
E tic a
d is tin g u e n
d iv e rs o s
la
m o v im ie n to s
IV ,
É tic a , I ,
d e
ú n ic a
q u e
R e v u e
( 8 5 )
d e
lo s
É tic a , V ,
c o n te m p o r a in s ,
v is ta ,
d u r a c ió n
v id a
É tic a ,
in d iv id u o
tro p e z a d o
d e s p la z a m ie n to
la
es
e n
“ ilu s
te m p o ra l,
in te le c tu a l
s e n s ib le
u n
id e a l
s e n tim ie n to
g o z o
E
o
y
p rin c ip io
y
ig u a l
p a ra
c ó m o ,
m o v im ie n to
te m p o ra le s ;
la
le y
d e
d e
d e h a
d e l
h a s ta
c rític o s
(6 1 )
la
d e l
c o m p u e s ta
u n id a d
la
É tic a :
c u y o
es
D
tra z a d a s
re a liz a c ió n
el
o tr o
e c u a c ió n
e je m p lo
p e rs o n a lid a d
y
p r o p o s i
la
c o n v ie n e
la
f u n d a d a
c o m p u e s ta
e s e n c ia
e n
q u e
su
u n
la
s e c a n te s
la
es,
to d o
e n g e n d ra d o
la
p a rtic ip a c ió n e n
e s tá
u n i d a d 'd e
q u e
q u e
p u n to
n o
e s tá
h a
la s
a d e
( 6S) .
e le m e n to s
la
la
d e
d e
d e
re la c io n e s
e s te
L a
h a b la
e s te
im a g in a c ió n
n a tu r a le z a
lín e a
a c o n
m e c a n ic is m o ,
la s
E s c o lio
e
c o n q u is ta r
la
d e
el
y
c o n s titu y e , lo
el
e fe c tiv a m e n te
e te rn a s
y
á t i c a
re la c ió n
s e c re to
se
e
re c u rre
in te lig ib le ” ,
la
n o
q u e
s e r”
p e ro
g ra n
p a ra
p a ra
^ ( 64) .
f in ic ió n ;
e lla
q u e
D e s d e
L a
e s té n
a t e m
E n
u n a
q u e
to d o
in te lig ib le s ”
e lim in a d a s .
d e
m
S p in o z a
d ’,
a p a re n te s
e n
g e n e ra l
9 2 . —
e n
el
( 81) ,
e s e n c ia
filo s o fía
lo s
—
y
e s e n c ia s
in d e p e n d ie n te
" u n a
a g u a
la s
se r
d
c o m o
p r o f u n d iz a r ,
a b s tra c ta ,
rig e
lid a d
q u ie ra . É tic a ,
a g re g a
d e
d e l
se la
s e c a n te s , Y
m is m a
c u e rp o
c ie n c ia
el
la s
s a b io
f i lo s o f í a
s e g m e n to s
e n tre v e r
f u n d a m e n to p o n d e
la
d e
tra n s fo rm a c io n e s m u e rte
la
q u e
c írc u lo ,
re la c ió n
d e
p a rte
lo s
u n
p e r m itir
d e
q u e
I I
c o n c e b id a s .
tr a r ”
e ta p a s
se
1 3 2 ; es
tr. la
c o n c e b im o s d is tin g u e n
O ld e m b u rg ;
I I ,
A p p u h n ,
m is m a la s ó lo p á g .
p á g .2 7 1 .
d o q u ie ra , m a te ria e n 1 1 .
e l
y
c o m o m o d o
E l
s u s
g o lp e s
p a s a je
s o b re
u n a
s u b s ta n c ia lis m o c ió n ,
n o
es
m a c ió n
p lu r a lid a d tr a to
a
n o c ió n
u n a s in
p o r
ú ltim o
c o n ta c to
y
u n a
fo r m a
d e
to d a s
la s
u n iv e rs o
c o rre s p o n d e r p u n to
d e
s is te m a lid a d
v ía
se r
d e
b a se
e x te n s ió n
P o r
y
e n
su
p ír itu
la
e n
e n te ro
es
e n
sí
la
a d e c u a c ió n m is m a
m é to d o
d a d te
m is m a ,
u n irs e d e
L a
p a ra
d e
d e l
d e fin ic ió n s ín te s is ,
( 67) .
L a
d e
n u e v a
li
c ie n
q u e
d o n d e
d e l
e n to n c e s ín tim a
e n
in te lig ib le ,
d e
u n
la
re a
d e
lo s
q u e
s e r
la
in tu ic ió n
el
s e n o
el
u n
d e riv a
e s p a c io
e n
h a c e es
y u x ta p o s ic ió n
re s u e lv e
e s e n c ia
lu g a r
la
to ta lid a d
p a rte s
u n a s u b s
in te le c tu a l;
d e la
a f ir
in f r a n
u n
p rim e ra ,
c o n e x ió n la
re s u lta d o
u n id a d
d e
la
e n tre
le y la
d e l
d e
a tr ib u to
u n a d e
h a s ta a
la
el
q u e
la
É tic a
la
d e
id e a t;
p a ra
c ie n c ia
la
la
c o n
la
d e
q u e
n in g ú n
el
q u e
la
E l
s o b re
h o m b re
S p in o z a
lle
la
fe c u n d id a d es
n a tu ra le z a ,
a firm a c ió n
es
p rin c ip io
re fle x io n a r
el
d e l
in te lig e n c ia
a c tiv id a d ,
q u e
d e
in te le c tu a l
re m a ta
su
e n
in te g rid a d
in te le c tu a l.
c a d a
b a s ta
in f in ito ,
s u
n a tu ra le z a
d e s c u b rir
to ta lid a d
m a te m a tis m o
la
in te lig e n c ia ;
el
e n to n c e s
e n
g a ra n tiz a
e n
d e
c o n s titu tiv a y
n e c e s a rio
to m a d a
n i
im p u ls o
c o n o c im ie n to
d e n tro
c o sa s
c a d a
id e a
e x tie n d e
E l
a
se rá
s u b s ta n c ia
la s
el
n o
m is m a ,
la
d e
in te r io r
c o m o
d e sd e
D io s .
S p in o z a
re a lid a d
d e te n e r
d e l
se
d e la
n a tu r a le z a
v a
d e
se
c e rc o
c o n s titu y e
a c tiv id a d
q u e
la
u n
m a te m á tic a
la
d ife re n te s
s in o
u n
a l
im a g in a
c o n c e b ir
re a lid a d e s
filo s o fía ,
h a s ta
la
ta l,
f in ito
L a
c o n d e n a
d e
fe n ó m e n o s
la
su es
d e
d e
u n id a d
q u e
q u e
a
la s
e n
q u e
q u e
la
s u rg irá
v e rd a d
la
d e
s u b s ta n c ia c o sa
u n id a d .
u n iv e rs o
g ru p o ,
la
L o
¿ C ó m o
s e rie
d iv e rs a s
1 73
o
d iv in a .
o tr a
o b s tá c u lo
a
d e c ir
in d iv is ib le
s u b s ta n c ia
te n d e r
es
ta n to
e sas
n u e v a
m e c a n ic is m o ,
m a te m a tis m o ,
e n
c a d a
d e fin ic io n e s
tra v é s
a t i s m
filo s o fía
ju e g o
u n a
d e
u n a
c a d a
s im p le
p a ra
a t e m
s p in o z ís m o .
c o m u n ic a c ió n ?
líb re
id e a
a
a l
d e
lle v a d a
m a te ria le s
d e
m
s u b s ta n c ia s . d e
e n tre
el
e x te n s o
p u e d a
se re s
la
p a r tid a
m á s
d e
d e trá s
a l
s in o
im a g in a c io n e s
p o r
a
d e l
se r
o
s u b s ta n c ia
a lre d e d o r
y
d e l
n o
d e
im a g in a r
in v is ib le ,
b e ra
e c a n i c i s m
p lu r a lid a d
q u e a b le ,
c ia
m
c a ric a tu ra
v u lg a r
la
d e
d e l
a
c a p a z
la
u n i
c o n d u c e
a
a b s o lu ta
es
d e
la
lib e rta d . I
¡í
( 6T ) id e a s n o
d e
d e
la
y
I n t.,
a
u n a
m e n te ,
§
4 9 ,
d is tin ta s ,
m o v im ie n to s
re d u z c a n n u e s tra
R e f.
c la ra s
so la , h a s ta
n a tu ra le z a ,
e n
a
I,
3 0 ;
tr .
s a b e r,
fo rtu ito s
ta le s
d e l
c u a n to
p u e d a a
s u
q u e
c u e rp o .
p ro c u ra re m o s d o n d e
A p p u h n ,
to ta lid a d
y
re p ro d u z c a y
e n
2 6 8 :
" L a
fo rm a d a s
D e s p u é s ,
c o n c a te n a rla s h a c e rlo ,
p á g .
e s té n
p a ra
d e
q u e
o rd e n a rla s
m
m e n te
to d a s
la s
d e
o b je tiv a m e n te
c u a n to
a
su s
e t a . . .
la
ta l la
p a rte s ” .
e s
te n e r
p u r a id e a s
m o d o
y se
q u e
fo rm a lid a d
1 7 4
L a s
e t a f a s
E L
9 3 . — el
P o d e m o s
c a rte s ia n is m o
te m á tic a
y
o tr o
u n a
d id o
q u e
d e
a l
S e r
q u e
q u e
a
“ el
re to m a r
la s
d e
la
d e
in v o c a r la s
c a ta a
d e y
la
id e a s ,
y
el
d e
n u e s tro h a
s id o
ces
d e
lo s
k o r iz o n te
b u to - e x te n s ió n . c o m o
el
lid a d
irre d u c tib le
c ie n c ia y
D io s
d e l
d e
ese q u e
M
e n
d e sd e
a
la
re a l,
a
la
la
la s
d e
a
f in
d e d e d e
l a
la
c u a l
p u e s to
c u a l
e n
ju s tific a r la s
y
la
c o m u n i E l
( p a ra
“ d e
lo s
d e
la
q u e
d e
la
d e l
e s e n c ia s lo s
s in
d e sd e
v e r to ta l
ra d ic a l y
in c e s a n te s
lu g a r
D io s
es
s a b e r,
u n iv e r q u e
u n id a d
e x
lím ite s
s o m o s y d e
d e n o s
c a p a
d e l
a tr i
in te rv e n ir
fu e ra
la
d u a
in te lig ib le s
p e rm ite
d e l
tr a n s
e m b a rg o
q u e
e s e n c ia s
S p in o z a
p e rfe c c ió n
se
u n id a d
d e l
p a rte s
a tr i
s is te m a
a s p e c to d e
d e
D io s
el
f a
S p in o z a
( " )
a tr ib u to -p e n s a m ie n to p o r
D io s
es
d e
to d a s
m e d id a
d e l
c ie n c ia el
d e n tro
to ta l;
la s
d e
m is m a v e z
in f in id a d
p o r
q u e
el
d e
c o n te n ta d o
e x ig e n c ia
la
tra v é s
e s ta
c ie rta
la
a
id e n tid a d
d e
rá z ó n
la
in te g ra lid a d
p ro d u c tiv id a d
a le b ra n c h e e n tre
la
c re a d o
C ris to
es
in f in ita ,
d e ja rs e
P a s c a l)
el
g a r a n tía
ju ic io
c o n d ic ió n
s is te m a
d e s b o rd a n
la
la
a
p a ra
q u e
im a g in a c ió n .
h a b la b a
d e riv a n
es
p a ra le lis m o
u n iv e rs o
c o n f irm a r
h e c h o
A
e n
ú n ic a m e n te
h a b ía
a q u é l
la
p o r
e te rn a
es
d e
s in o
la
la
p u e d e n
J a c o b ” ,
d e fin e
m a n tie n e
q u e
E s ta
D io s
d o n d e
h u m a n o ,
el
d e
se
m a y
c o m p re n
p o te n c ia
u n iv e rs o
( 8S) .
d e
d e
p a rtic ip a r
p la n te a r
y el
e n
la
u n o
s e rv ía
la
é l,
n o
S e
fe n ó m e n o s ,
re a lid a d ,
d a d o
d e
q u e
a l
q u e
él
n o
y
q u e
M e m o r ia l
h a n
in f in ita
p r o d u c tiv id a d
la
es
c o m o
d e l
o b je to
fo rm a c io n e s
p re s a n
Is a a c
c a ta ,
c o m ú n
S ó lo
d e
e n
h a b ía
re c la m a b a
a d a p ta d o
a le b ra n c h e ,
re s e rv a d o
p e rfe c ta
tra d ic io n a le s
s a b io s ” .
in f in ito
la
in te le c tu a l,
c u a lid a d e s
d e a
filo s o fía
fu e n te
in te lig e n c ia
es
la s
y a
s o lu c io n e s ,
e s ta b a
M
tie n e
D e s c a rte s ,
la s
e n
e s tre c h a
e x p e rie n c ia
ra z ó n
h a b e r
e s p ír itu
lo s
la
c ria tu ra .
c o m o
v in c u la c ió n
v e rd a d
la
re lig io n e s
m o v im ie n to
s o ;
la
e x p re s io n e s
y
la
v e z
á t i c a
v in c u la c ió n
s u g e rir
la
a t e m
S p in o z a
e s ta
q u e
p a ra d e
A b r a h a m ,
xas
es
la
e n
m
S P IN O Z A
d is tin ta .
la
y
m a n e ra
e s p ír itu
c ie n c ia
e n
D E
u n a
a c tiv id a d
a
M o is é s
filó s o fo s
d e
la
ta l
d e
d e
c o n
d a d :
d e
c o n
q u r h a b l a
la
d e
D io s
D io s
c a b a
m u y
d e fin itiv o
n a tu ra le s
m e n u d o a l
p e ro
fu e se
p u d ie s e
c u lta d e s
b u ir
te o lo g ía ,
c ie n c ia
d e s a rro llo
u n
O
c o n c lu ir:
p ro b le m a s
ta b le c im ie n to
f i lo s o f í a
O N I S M
e n
la
u n a lo s
M
la
d e s e m b o c a
s ig n ific a c ió n
p la n te a r
d e
y
la
p r o f u n d iz a r d e
la
c ie n c ia
h u m a n a .
( 6 8 )
H a m e lx n ,
(6 9 )
T h e o l.
o b .
P o l.,
c it., I ;
I,
c a p . p á g .
X V : 3 8 3 .
L e s
a ttr ib u ts
d e
D ie u ,
p á g .
2 1 7
y
sig .
E
E n d e a
lo s
s u m a ,
re a liz a r
c ie s e d e b e
e n
p o r
m ite s
m á tic a s
la
el
lo s
p ra c tic a
a
d e y
es
a lm a s
la
in te lig e n c ia
d e
la
c o n tin u id a d
L A
g io s a
ta f is ic i
q u e
lig io s a ,
es
m is m a
z o
la
la s
e je m p lo s
p á g .
P e ip e rs
h a
la s
e n
y
P o r
s o
g e o m e tría
P e ro
a p o y a n
q u e
la s
s o b re p a s a b a
d is
lo s
e s p e c u la c io n e s
lí
m a te
la
tr .
p a ra
P la to n
p o r
la
L e ip z ig ,! 1 8 7 4 ,
R e y m o n d ,
t.
I I ,
d e
p á g .
es
t.
I,
In tro d u c c ió n ,
c ie n c ia
d e
y
q u e el
d e l
la
la
p r iv i
e n tu s ia s
e x p e rie n c ia
d e
la
y
s o lid e z
y
a lg u n a h ip ó te s is
la
u n a la
h a b e rla s
p á g . 5 0 5 ,
5 9 4 , y
n ç
N a to r p ,
p o r
la
p u ra m e n te
1 .
d e
P la to s
e n
c o m o
la h i
la s
la -
in te le c tu a l lo s
m e jo re s
D e s c a rte s ,
C fr.
re
ra z ó n
S p in o z a ta n to
c o n c e b id o ,
a n a lític a
m e
d o c trin a
lle n a ría n
d e te rm in a c ió n
g e o m e tría
la
s e g ú n
q u e
re li
c o n s tru c c ió n
p a ra
re h u s ó
H a n n e q u in
d o c trin a
c ie n tífic a ,
id e n tific a n
p a re c e
O
A r th u r
d e
c ie rto
E tu d e s ,
d e
to d a
d o c tr in a
filo s o fía
q u e ,
d e
u n a
S P IN O Z IS M
e je m p lo
q u e
la s
e x
c ie n c ia
m a te m á tic o .
r u in a
se
la
la
ra ra s e n
té c n ic a
d e
c o n c ib e
p a rtic ip a
n o ta b le
p a ra
b a s e
c o n s titu ía
h o ra s
q u e
ú n ic o la
e n
la
f u n d a d a
ju ic io
L o
c u a l
la s
D E L
( 71) .
p ro p o rc io n a d o s P l a t o ’s ,
e n
la
c ie n c ia
e n
q u e
T E C N IC A
el
la
q u e
u n itiv a ”
to ta l,
re lig ió n
ta l
É tic a
c o n v e rtirs e
a h o r a
n a d a
o b s e rv a d o
la
h o m b re
“ v id a
u n
J a m á s
g e o m é tric a s ,
G rè c e ,
a l
im a g in a c ió n
4 2 0 . ( 7 1 )
c ita
ta m b ié n
la
la
a
h i
c u e rp o
“ p e n s a m ie n to "
se
c o n v e rtirs e
p e n s a m ie n to
q u iz á s
c ie n c ia
e s ta ría n
d e
c u a le s
la
p u ra .
ra c io n a lis m o
E n
h a s ta
I T A C IO N
e s p íritu .
E r k e n n tn is s th e o r ie p e n s e u r s
d e l
se
el
lu z .
o
a llá
tie n d e
a lm a
la
c á lc u lo ,
p la tó n ic a
h a s ta
a p a re c e
d e l
“ E s
a
fig u ra s
e sa
e n v u e lv e ”
q u e
É tic a ,
la s
a l
( 70) .
u n iv e rs o
c o n m u e v e la
d e l
(7 0 ) d e
d e l
c ie rto
d e
u n id a d
o fre c e
e le v a r
q u e
G ro s je a n
n o
s o b re
a l
c o m o
“ in te lig e n c ia ”
e x tra o rd in a ria s
L IM
S p in o z a : q u e
d e d e
a rre b a to ,
—
1 6 3 7
d e s a rro lla d a
c a p a z
e n
s o b re
p e d ía
e n c im a
m á s
S p in o z a
re c ib a
el
p o r
la
d e
v e rd a d ,
o jo
re to rn a b a
p o s e ía
c u m b re
la s
d e l
d e
e s p iritu a liz a d a
la
el
“ in te lig e n c ia ”
d e n o
v e z
y
p u ra s ,
q u e
la
s o m e tid o s
y
D e s c a rte s ,
p ita g ó ric o s .
la
re a lid a d
c u a n d o
re c ib ir
p a ra
p o s itiv a ,
p la to n is m o a
P la tó n
h ip ó te s is
d e
in te le c tu a lis m o
“ o r d in a r io " ,
la
175
S p i n o z a
in s p ira c ió n el
e s ta b a n
la s
G e o m e tr ía
te n s ió n ,
m o
d e
d e
p a ra
d o m in io
c ie n c ia
d e
L a
le g io
el
p a rtic u la re s ,
d e
id e a s
q u e
o
la
te n ía
c o m p le to
s e n tid o
lib e ra rs e
c ip lin a s
d e
te o lo g ía , q u e
a l
s u
o n i s m
in te lig e n c ia
c o lo c a b a
rie n d o
a llá
la
s u e ñ o
d is c u r s o
to m a d a
q u e
d e
e n te ro
e rig irs e e l
P la tó n
la
el
p o r
b re
m á s
d o g m a s
m
l
D ie
G o m p e rz ,
Id e e n le h r e ,
L e s 1 9 0 3 , '
p á g .
X
X X I I I .
y
h a s
176
g u n a s
d e l
re te n e r
s a b e r;
s in o
la
la s
re la c io n e s
a s í
la
ú n ic a
p a re c ía m o
y
d e
b ié n
p o r
d e
m o d e rn o
m o m e n to ,
D e la
a
e s to s
c o m ò
te n s io n
c o n d u c e
tie n e
p o r
n o z a la
e n te ra
si
d e l
Q u iz á
( 7
2
P e ro
)
J
(7 3 ) (7 4 ) d e
1 6 7 6 , ( 7
b u rg o d e
5
y
)
la
a l
te n id o
L a s
p e rm ite n n o lo
tr.
d e
9 2
C a r ta
L X
( 6 4 ) ,
É tu d e s ,
le
y
h a c ia d e
s is te m a
p á g .
1 6 2 .
I I ,
p á g .
el
sea se
in d ic a c ió n
la
e x
to ta lid a d
in
d e l
d e l
e s p a c io
y
e n
d e
g ra d o s
se
e x c u
e x p ro fe s o m á s
d e l d e te
c o rre s p o n d e n c ia
d o c trin a
m is m a
H o b b e s
d e
e le m e n ta
e s to
su
su
Î I
n a tu r a
S p in o z a
tr a ta r
S p i
V
la
p a rte s
to d o
y
le m a
in f in id a d
n a tu r a l
s p in o
d e
e le m e n to s ,
la s
la
y
s in o
h a y a n
d e l
c o m p le ta m e n te
L e ib n iz
fa lta b a
p á g .
su s
q u e
c o n a tu s
u n
A p p u h n ,
p á g .
t.
el
u n a
p u n to
c o n te n id a s
re
lib e rta d
n o
m a g n itu d
d e
o tr o
p e n s a m ie n
n u e v o s
es
d e m o s tra r
ja m á s
m a te m á
d e
q u e
c rí ta m
s o lu c ió n .
u n a
e s te
p re s u m ir
s id o
h a c ía
p re c is a m e n te
L e ip z ig ,
L e ib n iz .
h a
p o r
re s o lu c ió n
9 1 ;
y
a lu s io n e s
( 74) ,
é p o c a ,
( 7S) ,
e n
u n a
in s tr u m e n to
d e
la
m a
te rm in a d a .
el
e n
la s
m e d io
d e
in f in id a d
d e
té c n ic o ,
el
q u e
1 6 2 .
2 1 3 ;
y
L X X X I I I
( 7 2 ) ,
d e l
1 5
d e
ju lio
2 5 7 .
G e s c h ic h te
L a s s w itz ,
)
e x p lic a r
d e l
c u a lq u ie ra ,
in te n c ió n
m is
p r o p o r c io
fá c ilm e n te
e n to n c e s
S o b re
la
q u e
c u a lq u ie r
E s c o lio
c o m p o rta n
q u e
a l
e s tá n
d o m in a n te
d e
el
ta l
té c n ic a
c a p a z
e s e n c ia le s
in f in ita
s e rá n
a lc a n z a r
filo s o fía
q u e
e x te n s io n
in d iv id u o
in d iv id u o ?
c o m o
p á g .
d e
c o n s titu y e
in te le c tu a lid a d
p e q u e ñ e z
u n
b a se la
p ro b le m a s
la
s e g ú n
¿ C u á le s
I b i d .,
I I ,
in f in ita
E tic a ,
m á s
c a rá c te r
la
la
la d e
e n c o n tra rá
u n
P e ro
in te rio re s .
d e b id o
p á g .
se
es
p u e s to
m o v im ie n to
la
y
c a ra c te re s
a p o rta b a
la
( 73) .
c o m p re n d e r
n o
o b s e rv a c io n e s
e m b a rg o ,
n o
q u e
h u b ie s e
b u s c a b a ,
p a r a
s is te m a
u n a y
la s
e so s d e
S p in o z a
e fe c to ,
c o n c e p c io n e s -in s p ira d a s
p a rte s .
d e
y
ra s g o s
s in
s p in o z is m o
p ro b le m a s ,
( 72) .
h u b ie ra
y
su s
c o n s e c u e n c ia :
T s c h ir n h a u s
te ria
el
c o n
e x p lic a ,
s o b re
in te le c tu a lis m o
D io s ,
c o n s titu y e n
n id a m e n te ” c o n
él
y a
m e re c e el
in d iv id u a lid a d ,
“ P e ro ,
to ta l
in te lig e n c ia
e v o lu c ió n
q u e
e n
q u e
E l
s p in o z is m o
q u e ,
e s tre c h e z
d e
le s
c u e rp o ,
d e
a l
la
q u e
a
su
e s fu e rz o
es
a p o y a d o
S ó lo
la
p a rte
c o m p o s i.ió n
h a
m a le b ra n c h is m o ,
e s ta
d e
s a :
la
E n
S e
c o n tra p a rte
e n tre v e
a
p u e s to
E n
re la c io n e s
s e g u n d a
le z a
d e l
ta l
p o rq u e
p re s e n tir,
d e sp u é s
q u e
É tic a .
se
s p in o z is m o ,
q u e
z is m o ,
d e
lig a d o s
n u e v o s
m is m a
f in ita
h e c h o
d e s p re n d e
y
á t i c a
p e n s a m ie n to .
p e rm itid o
q u e
a n a lític a . d e l
lo s
s ó lo
re a lid a d .
ilim ita d a s .
p la n te a d o ,
h a es
la
a te n c ió n , se
ú n ic o
a t e m
h iz o
d e l
tra n s p a re n te , a
h a n
p a rte
n u e s tra
fe c u n d id a d
e n
lo
m o m e n to
m
a lg u n a
e fe c tiv a
es
q u e
a g o ta r
u n a
f i lo s o f í a
filo s o fía
v e rd a d ,
g e o m e tría
e l
u n
la
L e ib n iz
la
te n e r to
d e
la
re a lid a d . lo
p e rfe c ta m e n te
tic a s
tic a
to ta l b ie n ,
tie m p o
n a b a
ja m á s
d e
o rg a n iz a c ió n in te lig ib le s
A h o r a c o n c e p c ió n
e ta p a s
I I , t.
1 8 9 0 , II,
der
p á g .
1 9 0 8 ,
4 6 6
p á g .
A to m is tik y 8 1 .
sig .
y
vom
M itte la lte r
H a n n e q u in ,
La
b is
N e w to n ,
p r e m ie r e
H a m -
p h ilo s o p h ie
L a
ta m b ié n c ió n
y
f a ltó
a
p a ra
m is m o
q u e
lo s o fia
m a te m á tic a , q u e
H o b b e s
e n y
p re c e d e r
u n
u n
d e
e s te
q u e
p o r
P a r a
el
e le m e n to
to r ia
d e
d e
d e
u lte r io r
e s c u e la la s
d e
q u e
le y e s
p re v ia
d e
a
s e rie
u n a
in f in ito ,
to
h a b ía
n a d a
L a
W
m is m a
p e rte n e c ió
a
( 7 0 )
D
( 7 7 )
C fr.
b o d ie r n a e o p .
p á g .
K ö h le r,
( 8 0 )
p u e d e q u e
t.
y
d e
y IV ,
e s c rib ir
in te ré s
e s to
1 5 ,
S tu d ie n
se
o sa
es
§
2 ,
c it.,
e d . t.
e s
p o r
p á g .
d e
p á g .
la s 1 7 9 .
E x a m
e x te n d e rs e
q u e
el
1 6 6 0 ,
n u e v o
h a
o p .
t.
I,
v is to
c á lc u lo
c u a n to
h e c h o
s o b re in f in i
( 80) .
D is c íp u lo
y
se
q u e n o
n o
riv a l
d e s c o n o c e r
1 8 3 6 ,
a
p á g .
1 7 7 .
A rc h ,
f ü r
s ig . d e s
T h .
s in o
H
d o n d e
in a tio
m a te m á tic a s C fr.
d e
lo s
a l
la t.,
d e s a fío
e n u m e ra c ió n
o b b e s ,
7 9 .
in d u c c ió n
im p o s ib le ."
c o rre c c ió n 1 8 4 5 ,
1 9 0 3 ,
u n
lo s
( 7S) ,
in d u c c ió n
h a b ía
y
N a t u r p h i l o s o p h i e
X V I ,
d e m o s tra r
a q u í
2 1 4
q u e la
n o ta b le
H o b b e s .
P e ro ,
n a tu r a l
m á s
la
p ro g re s o
o b ra .
e n
h is
q u e
A ü th m e tic a
I n fin ito s
re s p e c to
q u e
p á g .
la
p o r
la
a n a lític a
u n
in c a p a z
lo s
M o le s w o rth ,
II,
la
e x ig e
tie m p o
c a m in o
e x p re s ió n
to d o s
m á s
q u e
p re ju ic io
z u r
t.
c o n
ta n to
el
H o b b e s
d e
c a n tid a d . m a n e ja d a d e
re a liz a b a
es
a
la
el
p u e s to
p o r
a llis
( 79) ,
m e c á
m is m a ;
se r
p re v e n c ió n W
la
s a b e m o s
s e n tid o ,
ra z o n a n d o
A r itm é tic a
d e l
o b .
d e
p a re c e
d iv id ir,
d e
e n
in d u c c ió n
s i
;
e le m e n to
e s tu d ió
a b s u rd o s
g e n e ra c ió n
y
lo
[E x a m e n la t.,
la
y
P h ilo s o p h ie ,
'N o
5 4
N a d ie ,
lib re
II,
la
u n
u n a
p e rs p ic a c ia
c u e n ta
u n a
e s te
su
o b ra
q u e
n u e v o s
el
m á s
y
a
té rm in o s ;
q u e
L a s s w itz ,
p a rtic u la re s ,
w o rth ,
y a .
la
e n
e n tre
d e la
f i s in
c o n a tu s ,
(76)
c ie n c ia e n
la
s o b re
a s ig n a
h o n r a la
te n e r
1 6 5 5 ,
p a rtic u la re s
d e
m is m a
c o r p .
d e r
(T O )
e d .,
e
a g re g a d o s
le
s u s c e p tib le
E n
d e
d e c ir
p r o f u n d a s si
b u s c a r
le y ó
a g re g a
e s tá
y
es
p u n to
p a ra
a d e n tra rs e
H o b b e s
e n
u n
c ie n
d e
p o s ic ió n
n o c ió n
d e te rm in a d a ,
e n
p u e s to
a u s e n c ia
la
se r
p u b lic a d a
n a d a
S p in o z a ,
D e s c a rte s ,
( 7 S )
lo s
a llis
re la c ió n
la
in te ré s
fu e se
a b ie rto ,
c a so s
a fre n to s o
e n
G e s c h ic h te
v ie ra ló g ic a : lo s
la
p u d ie s e
b ie n ,
o rig in a d o
m á s
q u e
n o
in fin ité s im o s .
ilim ita d a
e n c u e n tra
d e
la
to d o s
el
h a y
p e rs o n a le s
n o
d e
h a y
h a b ía
A h o r a
re s e n tim ie n to s
n o
re c u rs o s
la
n a c ie n te ,
m á s
p ro g re s o
c o n a tu s
lo s
c u e n ta
p o r
c o n tin u a
e v o lu c ió n
p e q u e ñ o s ;
lo
q u e
la
C o n
e s ta d o
n in g ú n
q u e
'W a l l i s ,
e n
a
u n iv e rs a l.
d e
e n
a n tic ip a c ió n ,
n e c e s a rio
e n tre
d e
im p o r ta n te .
la s
p a ra
G a lile o
a l
c o n c e p c io n e s
d e l
e ra
tie n e
re s p e c to .
e s ta
c o n q u is ta r
lim ita c ió n
se
1 7 7
o
filo s o fía
re p re s e n ta
lím ite ,
e s p a c io
re la c io n e s
h iñ e r o n
lo
la s
e s te
q u e
in fin ito r u m
a
y
im p lic a
m a te m á tic a m e n te , y
si
e s te
P e ro
in tu ic ió n
d e b ía la
a rb itra ria m e n te
s im p le m e n te
la
s f i n o z i s m
s p in o z is m o
el m o v im ie n to
m o d o
d e b a jo
q u e
a
d e
e s ta
d e l
e x p lic a
o c u p a
d e l
L e ib n iz
q u iz á s ,
se
( 77) . n o
es
q u e
fe c h a
n ú m e ro ,
filó s o fo ,
c o n a tu s
y
té c n ic a
re n o v a c ió n
tie m p o
m o d e rn a
d e l
la
H o b b e s
y
tu a c ió n
n ic a
m a rc a
a p re h e n d e
e s p a c io
la
m o d o
tífic o s ,
g u la r
i t a c i ó n
H o b b e s ,
e m p le a r
D e l
l i m
d e
C a s s ire r,
e t
h o y ] . D a s
se
e n u m e ra n
e m e n d a tio
D ia l.
M
to d o s
a th e m
V I ,
e d .
E r k e n n t n i s p r o b l e m
a tic a e
M o le s ,
2 d a .
sig .
I b i d .,
p á g .
1 7 8
y
sig .
—
P a ra
la
o b ra
d e
W
a llis ,
v e r
lu e g o
§
1 0 9 .
f
178
L a s
H o b b e s rid a d
el
d e
S ó lo
a lc a n c e
la
e n
e n c e rra d o
el
d e l
S p in o z a el
m e n te
a
c o m o d e l
e n
la
s e r,
a c tu a l.
la
a
la
p a rte la s
d e
tie rra .
a
la
la
y
m e d id a
d e
q u e
e s ta
Q u e d a c o lm a d a e ta p a ,
q u e
(8 1 ) É tu d e s ,
t.
lo
E x a m in a tio , 1 9 0 8 ,
C a r ta
X I I
( 8 3 )
L e m a
a
y
tr.
d e
e n
e l el
I I I , y
tie m p o ,
p á g .
d e
sí
fo r m a
a
el
v e
e n
la
n o
la
se
d e
la s
p e rm a n e n c ia
c o n s ig o
c o n e x ió n
la
c o n s ta n
c o n s ta n c ia la
d e
in f in ito
in f in itu d se
re te n e r la
m a g n i n ú m e ro
m is m o
c o n
la
d e
( 83) ,
c o n c e p
e le m e n ta l.
s is te m a ;
y
p a ra
p e n s a m ie n to
C fr.
d e el
a u x ilia r
la
q u e
d e s c e n d e r
c o n tra y
lo s
lo
p a r tic u la r
r e b a ja r
d e fin e
e n
h a c e r
u n
e n
p o r
e x is te n c ia
C o m o
m is m o
h a b e r
e s to
a
s in o
e s p a c ia l,
( 81) .
c re e rá
in s is te ,
c lá s ic a s
lim itá n d o s e
s u p e rio
a l
d o m in io
M a n n e q u in ,
q u e
h u m a n o
L a
d e
la
e s ta
la g u n a
s a lv e
u n a
c ie n c ia
p h ilo s o p h ie
sea
n u e v a
e x a c ta .
d e
H o b É e s
s ig . I I ,
c o n tin u a c ió n
A p p u h n ,
la
in fin ite s im a l
( 2 9 ) ,
la
p o s itiv o .
e x te n s ió n
q u e
1 4 1
p o r
lle g ó
s o b re
m o v im ie n to ,
d e
la
D iá l.
p á g .
y
s im ilitu d
la g u n a
n e c e s a rio
(8 2 )
9 0 ;
o
d e
n o
la
á lg e b ra
m a te m á tic a
es
in c o n m e n s u ra b ilid a d
re la tiv id a d
a g re g u e
I,
el
y
el
á lg e b ra
ú n ic a m e n te
y u x ta p o s ic ió n
la
d e l
y
S p in o z a
o b je c io n e s
S p in o z a
d e
p o r
u n a
c o m o
É tic a ,
h a c e rse
s e rá
es
d ire c to
v e lo c id a d
d e b e
( 82) ,
e s tu d io
la
in d iv id u a lid a d p o n e r
la
s o s te n e r
in te lig ib ilid a d
C u a n d o
la s
y
a ritm é tic a
a le b ra n c h e ,
y
á t i c a
1 6 3 7 ,
la
o b je to
a s í
d e
a t e m
a lg e b ra ic o ;
M e y e r
-su
d e s e c h a r
d e
M
L o u is
re la c io n e s
re la c io n e s
p u r a
o
a
re la c ió n
g u n d a
p á g .
d e
m
in te le c tu a lid a d
D e s c a rte s
n in g ú n
c ia
c ió n
p ro p ia
d e
s o b re
c ie lo
c o m o
f i l o s o f í a
p ro p ia m e n te
c a rta
L a
c o n d u c e
la
G e o m e tr ía
in c o n m e n s u ra b le s ,
n o
s in
la
d e
s in té tic a
d o m in io
im a g in a c ió n ,
la
d e
a n á lis is
in f in ito
tu d e s
d e
g e o m e tría
v ir tu d
lím ite s
e ta p a s
p á g . d e
1 5 9 .
la
4 4 . p r o p .
X I I I ,
p a rtic u la rm e n te
e l
le m a
V ,
I,
L I B R O
A N Á L IS IS
T E R C E R O
IN F I N IT E S IM A L
C
E L
D E S C U B R I M
I E N T O
S
e c c i ó
9 5 . —
E s
d e
n u e s tra
s a m ie n to p o r
y
y
el
h a b e r
E le a . h a c e
la s
el
la
h a s ta
Z e u th e n
( s ) ,
d e el
a
m e n ta l
u n a e n
la
í 1 )
C fr.
p re á m b u lo , ( 2 ) lo V I,
q u e
" E l se
2 3 9 b
( 3) M a s c a rt,
la
a
A
Y
A R IS T Ó T E L E S
d e
la
m a te m á tic o s
p re s e n te
sea
d e
a
■—
d e
q u e
e l
( 2) ,
lo s
a
m ó v il la
el
q u e
el
d e
la
ese
a n te s esa
s e g ú n
la
d e l
d e s c u b rie ro n
p e n s a d o r
d e
p e n q u ie n
v o lu m e n
a
q u e
p a
Z e n ó n
d ic o to m ía ,
re c o rra
m ita d
c o n c ib e ,
c u a le s
d e l
a c tu a l
D e m ó c rito
e n tre
s in o
tr a z a
e s ta d o
m a te m á tic o s ,
a rg u m e n to
lu e g o
el
p ita g ó ric o s
a q u e llo s
el
e n
re la c ió n
lo s
a n tig u a
e n
sea
irra c io n a le s —
lín e a ,
m á s
d irig irn o s ,
te o re m a
A L
n t i g ü e d a d
e n c o n tra r
lo s
I N F I N I T E S I M
q u e
la
m ita d
d e
c u a n d o
y
lín e a a sí
o b s e rv a c ió n
d e d e
=
c u a lq u ie ra
o r ig in a
tr a ite
G é n .
p rim e r
m u e v e
C Á L C U L O
s e rie :
se
U n
R e v .
a
fo r m u la
lo n g itu d
q u e
el
in f in ito
1
a p lic a
n o
( x) ,
n e c e s id a d
m ita d
s e g u id o
p a ra
I X
o
d e b a m o s
a d v e rs a rio
Z e n ó n
l
ELEA
m a g n itu d e s
s id o
s u rg ir la
e n u n c ió
u
L
e s ta d o
c ilin d ro
C u a n d o
e n te ra
h a b e r
v e z d e l
m a n e ja r e n
re c e
D E
q u e ,
in fo rm a c ió n ,
í t
D E L
in fin ite s im a l,
p a re c e
p rim e ra
c o n o
n o ta b le
p
A .—
n
Z E N Ó N
p e n s a m ie n to
a
d e s
d e
e s ta
g é o m
é tr ie
S c ie n c e s ,
d e l
[ra z o n a m ie n to ]
d e b e
lle g a r
a
la
to m a d a
c o m o
u n id a d
la
o p e ra c ió n
s e rie .
e s
i n é d i t
3 0
d e
a c e rc a
m ita d
d ’A r c h i m
e d e ,
n o v ie m b re d e
a n te s
q u e q u e
d e
n o a l
tra d .
T h .
1 9 0 7 ,
p á g .
R e in a c h , 6 1 4 .
h a y
m o v im ie n to ,
p o rq u e
f in .”
(A ris tó te le s ,
F is ic a ,
1 1 .) H
i s t o i r e
p á g .
5 4 .
d e s
m
a t h é m
a tiq u e s
d a n s
l ’a n t i q u i t é
e t
le
m o y e n
â g e .
T ra d .
1 8 2
L a s
L o X V I I ,
n ía
q u e ,
p o r
o tr a
q u e
u n a
ta l
es
n ifie s te
la
d e
le y
s u
d e
h a y
d o n d e
a
la
e n tre
el
h e c h o
u n id a d ”
a x o n v e r tír s e e lla
es
u n
e n
e n
el d e
u n a
p a ra
e l
re a lis m o
lo s
p u e d e
d e
y
a s e g u ra r
fo r m a
la
b ie n ,
c u c ió n
d e
lo s
esa
ta r
la
la s
d iv is io n e s
lín e a
9 6 .- —
D e
q u e
el
m o v im ie n to e le m e n to s .
(4) p o r
G
p á g .
4 0 3 ) .
m u ltitu d h a
C fr.
o
O
p u s
II,
D
u n a
lín e a
la
g e o m
L e ib n iz :
s e rie s
in f in ita s ,
la
s e rie .
ú ltim a U n
m ó v il
n o
a l
tie m p o
u n a
E d .
S a n
à
e s tá n q u e
e n
c ir c u ii
s i e t
e s c o lio
( q u e
la
e lla
s e c tio n u m
d e
la
p ro p .
lo
e n e ro
p a ra
a
p o r
to d a s
e n te ra .
c o n s e c u e n c ia s d e
E le a :
e x is te n c ia
d e l
s u c e s iv o
d e s ig n a re m o s
1 6 9 2 :
la
s u m a
la
( G
d e
.,
I,
u n a
d e c re c ie n te ,
p ro p ia
s u p o s i
A q u ile s la
q u e
la
d e la n te r a .”
A n v e rs , p á g .
d e
o b je to
d e
to m a d o
8 7 ,
p e rs e
c o m p le
re c o rre r
g e o m é tric a
c o n i,
ín te g ra . la
n u e s tro
a v a n z a r
h u b ie ra
e n
d is c o n tin u a
a
e n
d e
re c o rd a rlo , d e b e
p o n e r
Z e n ó n
q u e
d e q u e
e le m e n to s
e n
d o s a
e fe c to
lo
lín e a
q u e
re firié n d o s e
m á s
lo s
re c o rre rla
p ro g re s ió n
p u e d o
c u a n to
g e o m e tr ic is ,
a
in ú til
L o u c h e r ,
V ic e n te ,
a lc a n z a rla
q u a d r a tu r a e
c o m o
e n
p u e s
la
p lu r a lid a d
G e rh a rd t
L e ttr e
a
tu v ie ra
o tra
Y
a g o ta n
sa c a rse
la
e s p a c io
c o m p re n
to ta lid a d
n e c e s a ria
n u n c a
m a n o s ,
el
la
to d o s
a tr ib u id a s
la d o ,
in fin ito ,
d e b e ría
p r o g r e s s io n ib u s
d e
q u e ta n to
d o s
e x is te ,
ta m b ié n
e n
q u e
p u e d e n
la s
se
s e ría
lle g a ría
n o
d e
n e c e s a rio
e q u iv a le
q u e
e n
la
u s o
p rim e ra s
fo rm a c ió n ,
e s p a c ia l
s u m a
su s
p a rte s . d e
el
d e s tin a d a
la s
o b te n e r
d e
im a g in a c ió n
S c h r ifte n .
G re g o rio
S e ría
E n
fra c a s a r
su s
le y
e s tru c tu ra q u e
e s ta b a
re la c io n e s
d e
la
in tu ic ió n
d e
h a c e
re p re s e n ta c ió n d e
c u y a
q u e
in te le c tu a l.
la s
d e
m o d e rn o
s e rie
m e d id a
la
la
d ife re n c ia
h u m a n o
la
s id o
-m a g n itu d e s
e tr ìc u m
la
h ip ó te s is
V e r
la
s o b re
p ro p o s ic ió n
ju s ta m e n te
q u é
la
fig u ra s
e tc .
m is m a
d e
d e
h a n
5 7 0 .
la s
ir o d e
3 2
c la rid a d
es
g e o m é tric a
d iv is ib ilid a d e n
e
d e
m u y
la
e n
re c u rs o s
p a d re
in f in ita
d e
to r tu g a
c a p ta r
d e ja re m o s
p á g .
" E l
m o s tra d o
c ió n
b ro
IV ,
d e
re s p o n d e
e n
p e n s a m ie n to
re g u la rid a d
P h ilo s o p h is c h e
t.
. ) ,
q u e
m a
la
p a ra d o ja s
—
e s p íritu
p o r
m o v im ie n to
P e r o
la
e le a ta
la
re fu ta
f in ito s ,
d e s tru c tiv a ;
a l
to ta l u n
q u e
la s
s ig lo
y
a g u z a
d e s c u b rim ie n to
eso
m e jo r
el
m a te m á tic o s
é s ta
c o n tra d ic to ria s , u n a
d e
d e s c o m p o n e r. d e
d e l
n a tu r a l
q u e
d e
1 6
esa
y
re p re s e n ta c ió n
a
e n
+
y
d e
e x is te n c ia
y
p ro g re s ió n
A h o r a
la
lo s
n o
e x p líc ita
la
E le a
m o d e lo
d e
d e s p u é s
B a y le
el
e s p a c io s
te s tim o n ia a n tig u o
c a n tid a d
té rm in o s
c o m o
—
im p id ie n d o
s ió n
A
8
d ia lé c tic a
d e
tie m p o ,
d u d a r
( 4) .
d e
el
a rm a
e s p e c u la c io n e s o
+
e fe c to ,
Z e n ó n
y a
á ti c a
c o m p le ta m e n te
e s p e c tá c u lo
ta le s a
a t e m
q u e :
—
p e n s a m ie n to
p o r
a l
4
e n
c a b e sea
e x tr a o r d in a r io
+
m
ra c io n a l.
fre n te
d e m o s tra d o
N a d a ,
f i lo s o f í a
n o
ig u a le s
m á s
2
ig u a l
p a rte ,
in d iv is ib le s ,
—
es
la
a c tiv id a d
in f in ita
h a
d e
o p e ra c ió n
s e n tid o
n a d a
se
la
lo s
lo n g itu d
“ N o
d e
b u e n
g e o m e tría d e
e ta p a s
1 0 1
1 6 4 7 , y
s ig .
L i
Z e n ó n
e l
p ro b le m a
rio s ,
e n tre
m e n to
d e lic a d o
esas
c o m ú n ,
d ic o to m ía , c ió n
te
la
c ia l
d e c ir,
u n a
a
e n s e ñ a
c ió n
q u e
s e r
c ie rta
b le m a ; y
c o n
es la
f u ta d o .
p o s ic ió n
se
e n
a c to
la s
d e s c u b re el
e n
s e c u tiv a s se a
ra a
lo s u n
p o s e e r
( 5) .
v e r
M
p a r a
L a
p la n te a r p a ra
d e
el
h a c e r
( B )
I s ,
el
p á g .
d e l
p a ra
C o n g re s o
2 0 4 .
la
u n
n o
d e
s ig lo s
In te rn a c io n a l
s irv e ,
el
d e
d e
s u
tr a ta d o
s in o
p a rte s
c o n
p o r
T .
S ó lo
la
es p a
p e rte n e c e n
el
h a y
el
c u a l
fre n te
d é
u n a
m e d io
re a lid a d ,
e n
F ilo s o fía ,
el
u tilid a d
d a d o
g e n io d e
e x
e s ta b le ,
e s ta r
S i
la
u n i
C a n to r
c a rá c te r
e n
re s o lv e rlo .
d e a
se
o r itz
la s
h a b r ía
A ris tó te le s
a u to r id a d
M
p o s itiv a ; el
u n a
a p a re c e
v is ta
c re e ría
p u n to q u e
n o d e
q u e
d e
n in g u n a
c ie n c ia a lto
d e l
in f in ite s im a l? ”
tie n e n
u n a m á s
P o r
lig a d a
e x tre m o se
re
d ia lé c tic a
a c to
e s ta d o
m is m o
c á lc u lo
e n
d e
o b je to
in f in id a d
e s tá
q u e
la
se rá
b o rd e s .
d e v e n ir
u n
d e l
la
u n a
d e
a n tig u o s ,'
ja m á s
p u n to
“ ¿ N o
c ie n tífic o ,
lo s
d a d a '
d ic o to m ía ,
lo s
p o r
c ie n c ia
c u a lid a d
A ris tó te le s ,
la
n o
p r o
c o ra z ó n
d e
c ie n c ia
es
la el
d e
p e n s a m ie n to q u e
la
n o
es
im p o s ib ilid a d
p o r
c o n s a g ra
B ib lio te c a
C a n to r ,
es
la
el
lín e a
la
el
d o s
m o d e rn a s ”
o tr a
a l
e n
re c o rre r
d e
a g re g a :
p a ra
d e
p ro b le m a
in te rv e n ir
la
lle v a
o p e ra
re s u lta
n a tu r a le z a
ú ltim o
in f in ito
a ú n
q u e
a
e s te
f ó rm u la s
a d iv in a c ió n
in fin ite s im a l, c la s ific a d o r
n i
e s ta
u n a
Z e n ó n
s u s
d e
la d o ,
tr a ta d o
e s ta s
fís ic a
lo
C fr.
u n
d e
d e b e
f in ita s ;
p la n te a b a n
c a v a d o
e s p íritu
c o n tin u o y
la
re c o rre r
a l
v ir tu a lid a d
C a n to r
d e
m u n d o ,
ló g ic a
d e
a b is m o
D e s d e
u n a
q u e
d e m o s tra r
c o n
" E l el
p a r e s p a
q u e
lín e a s
c o m o
a s í
la
s o b re
e n te ra m e n te
la
d e
e l
o tr o
la
y
m a te m á tic o s ,
d e
y
P o r
o r itz
b ie n
tr a ta d o
m e ta fís ic a .
q u e
m is m o
d e
c o n s titu c ió n
ilim ita d o .
in tro d u c c ió n
n e c e s a rio
la
A ris tó te le s :
d e
to c a n ” la
q u e
“ lo c u c io n e s
c re c im ie n to
e s ta lla
s o fis m a
p o s ib le
o p o n d r á e
q u e
lím ite s
c o lm a rá
es
to d o
re c íp ro c a
s im p le
e s p a
o tr a
e le m e n ta le s .
lo s
c o n te n ta rá n o
a l
la
in tu i
d e
p o r
e le
d e
e x p e rie n c ia
d e
a n tig u o s
el
d e
n o c ió n
f in ito
c o n o c im ie n to
ra z o n a m ie n to
n o
la
to ta l,
d e l
p e r e n to
q u e
fo rm a s
d a d a s ,
la
ta n
m á s
a r g u m e n to
L a
n a tu r a l
lo s
d e l
p r e te n d id o
lím ite .
in d e te rm in a d o p lic a n
el el
q u e
P e ro
m á s
p a rte s
e n
lín e a
e s tá n
p ro c e d im ie n to e n
la
e l d o s
u n id a s
q u e
p a r tie n d o
d e
n ú m e ro
la
te s tim o n io s
re s u m e
d e
q u e
e n
d e te rm in a
A s í
u n
se
m e d id a . y
d e
re te n d re m o s
e le m e n ta le s .
u n
s o rp re n d e n te
e n s e ñ a rá d e
la
fá c il
u n
A ris tó te le s
té rm in o s ,
v e rs o
d e
s ie m p re
p u e s to
N o
ra d ic a l
p a rte s
c o n d ic io n e s
e s p a c ia l
e le a tis m o ;
a u s e n c ia
q u e
p a rte s
d e
m á s
re s o lu c ió n
a p o y a
la s
le y e s
d is im e tría
re p re s e n ta d o .
p a rte ,
d e
18 3
A r i s t ó te l e s
re p re s e n ta c ió n
im p o s ib le
in tu ic ió n
d e l
la
la
la s
la
L a
q u e
la s
a y u d a
te r m in a r
e n
y u x ta p o n ie n d o
a s í
e n
e n
s e p a ra c ió n
tr a n s p o r ta r
p a re c e
y
in s e p a ra b le m e n te
p a r te
re c o n s titu irs e , n o s
la
re p re s e n ta c ió n e n s e ñ a
e le g ir,
p rin c ip io
p a re c ía n
p o r
d e
E l e a
in te rp re ta c io n e s .
el
es
q u e
c io :
d o s
d e
m á s
o c a s ió n
d o m in io
d e
e n c ic lo p é d ic o p a rtic ió n
I I I,
1 9 0 1 ,
q u e
p á g .
6 .
18 4
L a s
a b a n d o n a c ia ,
y
d e l
lo
e ta p a s
d is c re to
re s e rv a
a
c o n tin u o
y
la s
y
d e
lo
la
f i lo s o f í a
f in ito
a
la s
e s p e c u la c io n e s
d e
lo
m
a t e m
á t i c a
c o m b in a c io n e s
d e
la
m e ta fís ic a
d e
la
la
c ie n
v ir tu a lid a d
in f in ito .
A R Q U ÍM E D E S
9 7 . d a
e n
—
la
te o ría
tr u c tiv o
s e g u ir
s o rte a r la s
ese
e n
d e l
v o c a d o
c re e r
a l
s ió n ,
y
se
u n a
m á s
v a lo r a b r irá
c o m o
d e
e n
c írc u lo ,
lo s
y
se
es
ig u a ld a d ,
ta n
d e
n itid e z
la
se
lo s
lla m a d o
m é to d o X
lib r o m á s
d e
d e
( 7 )
y
la
la s
S í
se
lle g a
e s b o z a b a
la
s u p e rfic ie y
d e l
la s
d u p lic a q u e
a p ro x im a
s in m á s
h a c e rse
es
la
fig u ra s
c e sa r
el
esa
c e sa r
a
su
c o n c lu d ic h a
c o n s id e ra rá
y
e n tre se
d o s
la
n ú m e ro o
m e
a c o rd a r
se
in s c r ip to s
a
c írc u lo
p o líg o n o
in te rm e d ia s
esas
s in
e s tá n
N o
la
e q u i
p ro p ia m e n te
s o fís tic a .
e n
d e
d e l
d e l
p ro c e d e
m a te m á tic a
e n tre
la
b a s ta rá
q u e
p a ra
e s ta b a
c írc u lo
P e ro ,
in s
y a
p ro b le m a
H e ra c le s
m a g n itu d e s
se
c o n s titu irá
c o m o
se
d e
y
c u y o s d e l
e x h a u c c ió n ,
E le m e n to s :
m ita d
se rá
a s í
d e d e
m e n o r
V e r
lo s
s ig .,
y
te x to s
C fr.
H e ib e rg ,
3 0 6 a
u n a
5 .
la
h a rá
d e
lo s
c ir c u n s c r ip to s
la
s u p e rfic ie
p e q u e ñ a
es
q u e
d e l
c u a lq u ie r
m á s d e
d e
e sas
B ra n d is ,
I s ,
E le m e n ta ,
p ig . t.
se
d e
el
d e
la
1 8 8 6 ,
ir r e p r o
m ita d
m a y o r
d e
in
p á g .
te o re m a
d e la s
la
s i se c a n
c a n tid a
( 7) .
A r is to te le m
4 .
la
u n a
m é to d o ,
d e s ig u a le s
c a n tid a d e s ”
S c h o lia
d e
S u
p rim e r
2 0 3 . I l l,
a y u d a
c o n
C r is to .
e n
la
la
c o n s titu ir á
m a g n itu d e s
re s to
c o n
d e d u je ro n
e x p lic a d o d o s
q u e ,
a p ro x im a c ió n
c o m o
? a n te s
lu e g o
el
p o r
C a n to r ,
E u c lid is
V
e s tá
m e n o r
re c o g id o s C fr.
n u e v a u n a
p rin c ip io s s ig lo
m a y o r,
la
A s í
" D a d a s
s e g u id o , q u e
c ie n c ia
p r o p o r c io n a q u ie ra .
g e ó m e tra s
lo s
la
re s ta n te
d a d a s
9
d e
s e p a ra c ió n
re g u la re s
d e s ig u a ld a d
d e l
( 6 )
la
d e c re c ie n te s
fin a
ló g ic a
2 1 1 b
to d a s
s u p e rfic ie
c o m o
c h a b le
tid a d
h a c ia
in te lig e n c ia
el
a p ris io n a
m á s
se
d e
s u p e rfic ie ( 6) .
es
la
in s c rip to
s o s p e c h o s a m e n te
d ife re n c ia
d e s ig u a ld a d e s
sa c a
la
s u p e rfic ie s
c a m in o
m e d irá
su
q u e
p o líg o n o
q u e
d e
re s o lv e r
B ry s o n
p e rm a n e c e
e q u ilib rio ,
d a d a .
A s í
d es
el
p a ra
c o n s id e ra c io n e s
p o líg o n o s
la
c a n tid a d
d e
la s
g rie g a
ese
m o v im ie n to
c o n s ta ta r
d e d u c ir d o s
d e
m o v im ie n to
E se
d e l
p ro g re s iv a m e n te .
la d o s
c írc u lo
la
e q u iv a le n te s
d a d a s ;
d is m in u ir
el
b a s ta b a
c o n s id e ra c ió n
fig u ra s
el
le y
S e g u ra m e n te
e sas a
g e o m e tría
la
re a liz a d a s
e n tre
d e
la
d e
fic tic io .
q u e
p a r a
a r itm é tic a
v e rd a d e ro
q u e
p rá c tic a
c ír c u lo .
c o m p re n d id a
c irc u n s c rip to ,
a
la
te n ta tiv a s
c u a d r a tu r a
d ia
ta n to
o b s tá c u lo
p rim e ra s
e s tá
E n
d e p e n d ie n d o
L a
d e -
( 1 8 3 6 ) ,
A r q u í m
m o s tra c ió n
d e l
in tro d u c id a
a
y
q u e
d e s e m p e ñ a ,
fu n d a m e n ta l
e n
m a g n itu d e s p u e d e n
to
a s tu ta m o d o
c e s a rio
el
te n g a
u n a
r itm o
s u
v is ib le m e n te
re p e tic ió n
c o m o
se
q u ie ra
p u ’v e r iz a c ió n tu ic ió n
d e l
te n s ió n ,
d e
a
P e ro
es
d e l
a te n c ió n
e x te rn a
d e
s u p e rp o n e r
p ro p io s
a l
q u e
m a e s tro s ,
la
in v e s tig a c ió n
la
in te lig e n c ia D e
p o r
a l
a q u í
a s p e c to s
A rq u ím e d e s .
el
d e
a b s tra c c ió n
d e
c u a d r a tu r a
u n
v o lu m e n
d e
v o lú m e n e s
( 8 )
y
q u im e d e s )” . p á g in a ( 9 )
e r
o
e l
y
E u d o x o ,
a
la
q u e
d e
la
a
lo s
la
d e l
a l
a
h a b ía n
d ic o to m ía ,
la
lo s
la
e x q u e
d e b ía
se r
d e l
m é
a d a p ta r
la
d e s c u b rim ie n to s d e s v ía
la
h a c ia
la
lle v a rla n o
e s ta b a u n
a d e m á s ,
o b ra s ,
in
r e d o n d o s .
in te lig e n c ia e ra
d is c íp u lo s
su s
d e
m a te m á tic a , p a ra
d e
la
te o re m a s
p re c io
lo s
ta n to
p a s o
c re a d o re s
in c o n v e n ie n te p o r
d e
p a rte s
lo g ra d o
d e
c ie n c ia
d is c u r s o ;
p a ra
lo s
a
s e g ú n
e n tre
c u e r p o s
se
s a q u e
m is m o
d e
q u é
c u a l
e s p íritu
E l
la s
s e rie
im
q u e
se
la
n e
la
m a y o r,
a b is m o
d e
a
e x p o s ic ió n
d e
b a jo
" g r u p o
V
lo s
c u a le s
N a d ie ,
c u b a tu r a
p r in c ip io s
IV ,
o
p o r
p o r
q u e
se
s ó lo
s e g u n d o
s in o
p a ra
lo s
in ic ia b a n
s u b o r d in a r
d e
a
la
e n tre E s a s
ib id .,
t.
e n
n e ta m e n te
a x io m a s d e
I I ,
2 .
p á g .
c o n s id e ra r lle v a d o lle v a
s u m a to ría s
s u m a to ría s
a x io m a s ',
h a
d e te rm in a c ió n d o s
fu n d a m e n ta le s
1 8 8 4 ,
c o n v ie n e
c ie rto ,
A rq u ím e d e s
2 4 . D e f.
c ie r
e ra
c o n tra río ,
p a rte
u n
in tu ic ió n ló g ic a
in te le c tu a l.
e le m e n ta le s .
e i
c re a d o
re s u e lto
c o m p re n d id o s
L o s
e n
s id o to ta l
d is c u rs o .
d o s
d e
m a s
s u
c o m p re n d e r
e s tu d io
s a m ie n to p o d e r
la
e x p o s ic ió n .
el
d e l
h a b ía
a rtific io
m e n o s
el
d a d a s ,
re s to
tá c
E l
c o n c e rn ía a l
P o r
lo s
u n a
m o s tra b a
p ro c e d im ie n to
c ir c u la r e s
p ro b le m a
s ó lo
h a n
a
p ro b le m a .
in te r io r
la
s u p e ra d o
G ra c ia s
e x a c ta
d ire c to
p ro g re s o
h a b e r
d ic o to m ía
a l
d e l
y
d o s
m u ltip lic a d a s ,
a p ro x im a rs e
Z e n ó n
d e s a rro llo
d e l
p ro b le m a
d e
p a p e l
q u e
p e r m itir á
A n tíf o n
d is c u rs iv a
u n
o p e ra c ió n
to ta l
E l
( 8) ,
m o v im ie n to
m a g n itu d e s
n e c e s a rio
v ic to ria .
la
lu e g o
q u e
s u p e r fic ie s
a s í
a rg u m e n to u n
in ic ia l.
ju s tific a c ió n
e x h a u c c ió n ,
n a c id o s
e n
u n a
la s
la
d ia lé c tic a
fo r m a
s o lu c ió n
m o v im ie n to
9 8 . — a lc a n z a d a
la
la
in te le c tu a l,
a p o r ta
c o n c ie rn e n
to d o
a
d e
n o ta b le
E le m e n to s
" D íc e s e
s ie n d o
p a re c e
y
e le m e n to
im ita d o
ilim ita d a
m u y lo s
H ilb e r t
s u s c ita d o .
d e l
in ic ia l
d o s
d e
( 9) .
h a b ía
m a y o r,
V
c u a n d o
g rie g o s
a lc a n c e
e n tre
p a rte
p ro p ie d a d
lib ro
g e o m e tría :
re c o m p o n e r
e le m e n to
d ife re n c ia
la
o tr a ”
lo s
el
ese
el
d e m o s tra d o d e
ló g ic o
y
u n a
e n
re la c ió n ,
la
P a r a
f ija r
d ife re n c ia
u n la
u n
d e
a d e
rig o r
s e n tid o
p o s e e r
p o s ib ilid a d
esa
u n a
in v e rtid o s .
s o b re
h a
u n a
ló g ic a su
lo
e s tru c tu ra
c o m p o rta n
q u e
fu n d a
d e fin ic ió n
c o m o la
s u tile z a
o b s tá c u lo s
se
d e
s o b re p a s a rs e
L a
tic a
te o re m a títu lo
185
e d e s
la
m is m a s ,
d e
d e
u n
d e la s
c o n tin u id a d
g e o m e tr ia ,
lo s
tra d .
el
p e n
m á s
a lto
p r o b le
á re a
o
s u p e rfic ie s f u n d a
( a x io m a L a u g e l,
d e o
s o b re
d e
A r -
1 9 0 0 ,
18 6
L a s
re la c io n e s
q u e ,
e je m p lo , ( 10) ,
to m a d a s
q u e
h a c e
p ie d a d e s ,
e ta p a s
e n
el
d e
e n
la
s í,
s o n
T r a ta d o
in te rv e n ir c o n o c id a s
la
f i l o s o f í a
d e
d e
a n tig u o ,
a t e m
o rd e n
to s
d e s ig u a ld a d
d e
m
a n a lític o .
c o n o id e s s ig u ie n te ,
d e
á t i c a
la s
y
d e
d e d u c id a
p ro g re s io n e s
n 2 h
4.
su s
s ig u ie n in f i
re to m a se rá
la
im -
c a rta
a
a d m ite
lín e a s
re a le s ,
p u e d e
s e m e ja n te s
S e h r .,
fe
c o n c lu
s ó lid o
2 4 1 .
5 3 6 .
la s
L e ib n iz ,
ra z o n a m ie n to ,
c o m ú n ” .
m o d u s
m is m o
a lg u ie n
e s te
L a
p á g in a s
u n
c o m o
se d e
e m p a re n
T o r r ic e lli
d e
S i
m é to d o
p ro b le m a
v e z
el d e l
la
e l
( 3S) .
p o r
te o re m a
1 7 0 2 :
g e o m e
y
p o r
c ie n tífic a ,
el
q u e
h y p e r b o lic o
ú ltim a s
s u
la
m e ta
lla m a r
p o b re z a
m a n ifie s ta
p á g .
la
g e r m a n u s
m e ta fis ic o
a n á lis is
d e
d e m o s tr a n d i
re s u e lto
e n
u n a
c o n c lu s io n e s .
la
e s t
E n
s im p lific a n
e l
p o r
d e
le g itim id a d
e n tu s ia s m o
se
s ó lo
e n tre
le y e n d a
d e b e
a c u to
in d iv is ib le s
S a v a n ts ,
e n
s u c e s iv o
G e o m e tr ic a , p á g .
lo s
se la
su s
n a tu r e s
f in ito ” . “ N o
e n
d e
V e ra s
h a b ía
C fr. d e
d e
d e m o s tra c ió n
s u rg e n .
u n o
y a
S o lid o
el
ip s i
p o r
a
J o u r n a l
p á g .
V II,
e t
q u e
p ie d a d
la
u n a
n ie b la
d u d a n
d e
in te le c tu a l
im a g in a ria s
I l i ,
el
es
la
a d v e n im ie n to lo
v e rd a d
y la
C a v a lie ri:
n o c io n e s
d e s ig n a re m o s ( 8 7 )
ig u a l
in f in ita m e n te c o m o
d e
el d e
a n tig u o s
C a v a lie ri
p á g . e n
la
a
lo s
fá c ilm e n te es
E x .,
d e
d ir e c tu s
q u e
la rg o
( S 8 )
n i
p a r a b o le e
q u e
e n tre
n o
n a tu r a le z a ” :
( 39) ,
“ D e m o s tr a r
V a rig n o n
m a te m á tic o s
a b s tra c c ió n
in e s p e ra d a s
E x e r c ita c io n e s
n ita m e n te
v ic to ria
v e rd a d e ro
s e m p e r
d e
c o n tra rio
d e
p r o p ia
sc ie n tif i c u s,
el
m e z c la rs e
m é to d o
re s u lta
u n a
in d iv is ib le s
r ilid a d
s io n e s
L o s
a n te r io r
in fin ite s im a le s
p o r
D im e n s io n e s
T o r r ic e lli,
ta d o
lo
s e ñ a la
p o s itiv o .
c á lc u lo
te :
D e
im p e n e tra b le ; d e
a b re
—
in v e s tig a c io n e s
e d .
a
lo
G e rh a rd t
h a c e
L a s
19 6
p e n s a n d o la
y
p o r
d e c irlo
d e m o s tra c ió n A h o r a
m e tría h a n
s id o ,
z á
s o b re
e llo s
s a rc a s m o s d e
d u d a ,
m a ra v illa s
d e
c ie rta s
E n ta c a él
la s
la
la
tic is m o
p a ra
a
B la s
a rtíc u lo
el
p o r
P a s c a l.
N o
tra rio ,
es
b re
el se
d e s p u é s
e s ta ría n
d e m o s tra d o s ,
Y o
d e s p re c io d ió
la
d e
la
g e o q u e ,
re s p e c to
e n
n ú m e r o ”
d e
q u e
d e
id e a n a
la
in d iv is ib le s
B a y le
e je m p lo
la
e l
d e s
d a d o
d e
a p o y o
d e
p o r
e so s
n a d a
S id ó n ,
el
p u n to s
d e
( 41) .
d e
e x tra c to s
s is
p e rm itid o ;
el
c o m p o n e
y
q u i
m u ltip lic a
m e z c la r
Z e n o n
d irig id a
p e ro
to d o
d e m o s tra c io n e s
lo s
d e
d e s c o n fia n z a
s u y o
se
d e
p e n s a d o re s
G a s s e n d i
n o
G a s s e n d i
la rg o s
m e
d ig o
c a b le ,
p o rq u e
m is ta
h a
q u e
id e a l
se
a
la s
a l
el
lu g a r
h a
p o r
lo s
m a te
su
e sc e p
d e
c a rta
c o n tr a
c a b a lle ro
d e
e n
d e
lo
c u a n d o
el
e s p íritu la
se
p r o p io a
( 4 0 )
O b .
( 4 1 )
F is .
( 4 2 )
Πu v re s ,
la
c it., o p .,
( 42) .
G a s s e n d i,
p á g .
I l,
la
la
M é ré
p r o p io fu e rte ” . el
1 6 5 8 ,
t.
I,
H e
y
se
c o n fu n d e .
p o r
el
s e n tim ie n to
el
b ie n ,
p á g .
2 6 4 .
1 6 9 2 ,
p á g .
6 1 .
sea
é s ta
se
D e
a le ja d o
d e l
d is p u ta
. . .
e n
la
h a c e
ta l
M é ré ,
n a tu r a l d e
m e n o r ' in e x p li
m a n e ra
n a tu r a l,
d is tin ta
c o n
a c o g id a
p e q u e n e z :
m á s
s e g ú n
s e n tim ie n to
m a te m á tic a
la
d e
la s
e s ta ría n
e le g id o ,
n u e s tra
a u n q u e
h o m
to d a s
a q u í
a
c o n
d e d u c
d e l
q u e
te rre n o
a l
d e
p rin c ip io s
c u e s tió n ,
A h o r a
el
s ig lo
te ó ric o
r a z ó n ;
in fin ito
e n
6 .
A m s te rd a m ,
e n
to d a v ía
d ijis te is in f in ito
la
p o r
e s c o lá s tic o
lo s
p a re c e
d e te rm i d e l
im p o rta n c ia
u n a
tu r b a
v e rd a d
a b s tra c c ió n
L y o n , t.
e l d e
id e a l
s o b re
m e m e
e n tra
c o n s id e ra c ió n
m e jo r
el
P a s c a l
q u e
c o n tra
to d o s
" e s p ír itu
in v o c a ,
tu v o
p e rfe c to
q u e s o b re
el
q u e
o
el
q u e
p e n s a m ie n to
y
m o s tra d o
m é to d o
re s p e c to ,
to d o
el
p o r
d e s e c h a d o
c h o c a ,
id e a s
e n
p a r tid o
d e l
d e
a u to rid a d e s
in d iv is ib le s
se
d e m o s tra c io n e s ”
q u e
n in g ú n
se
ir o n ía
q u e ,
e n c u e n tra
v u e s tra s
la
la
lo s
d e fin id a s ,
q u e
e n
la s
in ic ia d a
to m a r
q u e
e s c rib ís
s e n tid o o s
d e
el
y
c ris is d e
c u a n d o y
M é ré
q u e
c a n tid a d ,
se
u n o
B a y le la
d e sp u é s
n o c io n e s
b u e n
e n
s o b re d e
in d iv is ib le s ,
tr a ta
u n iv e rs a l,
“ L o
él
c á lc u lo
re a liz a r
q u e
c o n tin u o
p re te n d id a s
A g re g a
d e
p a ra
el
d e
d e
c a rá c te r
X V I I ,
c ió n
lo s
d e
m é to d o
p o s itiv is m o ,
te n e rlo
re in o
el
lo s
T o r r ic e lli,
c re e n
a q u e l
a rtíc u lo
la s
d e l
a
se
el
( 40) .
p a ra d o ja s
d e
g u a rd a n
in g e n io s a ” d e
e sas
s u p e ra ro n
y
q u e
q u e
ta m b ié n n u e v o ”
re n o v a d o ra s .
C a v a lie ri
su
q u e
á t i c a
P a s c a l.
E l n a n
d e
q u e
d e te rm in a d a s
d e
h a c e r
es
p re c u rs o re s
p ro te g e r
p a rte s
n o ta s
s in o
re s is te n c ia
te o ría s
a d m itir
m a te m á tic o .
G e o m e tría
la
se
a t e m
to ta lm e n te
d e
d e lic ia s ,
v a n id a d
m á tic o s ”
y
n o ta b le
lo s
a
p a ra
“ o b s e rv a c ió n
“ d e
es
la s
m
p a ra d ó jic o ,
s e n tid o
d e
y
d e
f i lo s o f í a
le v a n ta d o
el
p u e s ,
n i
la
a b s tra c c io n e s
“ S in
. .
q u e
re s p e c to
la s
ta le s
m a te ria .
a s í,
ta m b ié n ,
re s p e c to
a m a n te s
c o m o
lo
e n
d e
in u s ita d o
h a y a n
to d o
te m á tic a lo s
se rá
b ie n ,
n u e v a
e ta -p a s
q u e m á s
q u e , p o r a to
n o
a c u e rd a
la
re a lid a d
'
P a s c a l
fís ic a .
N o
c o m ie n z a
q u e
sea
u n
p re
a s í
h a s ta
te n g a
e s ta b le c e ,
n o s
e s tá
e n
v eces
n o sea
se
p u e s
le n g u a je p la n o s
d e
. .
.
d e
la
lo s
la
lo
a
ú n ic o
a ritm é tic a ,
u n a
o
p o r
ta n ta s
e x te n s ió n ,
s u m a
n o
p e c a r
( 44)
e je m p lo
la
q u e
es
d e
in d iv is ib le s ,
p o r
lín e a s
n ú m e ro
m e
in d iv is ib le ”
e s p a c ia l,
q u e
u n
tie n e
m u ltip lic a d o
a q u e llo s
im a g in a n
la
n o
s e n tid o
lo s
s u p e ra r
y
la s
p o r
q u e
P a s c a l
re s p o n d e
u n o
lo s
u n
c ie rto
e s p a c io s ,
c a d a
s e m e ja n te u n
p o r
y
to d o s
e n c o n tra d o s p u n to s
“ ese
d e
lo s
e n te n d ie n d o
c o n tra
la
in d e f in id o
—
in h e re n te
ra m e n te
n e g a tiv a
ig u a lm e n te
g e o
d e
lí
fa ls a ,
n e c e s a ria m e n te
u n o
su s
y
s u r
l’e s p r it
es
e n to n c e s
d e
y
c o n te n
in d iv is ib le s a
c u a d ra d o s
le s
d o s
ig u a l
u n o
P a s c a l
c o n te n g a
q u e
d e c ir
o tr o ,
n ú m e ro
e n
q u e
in te rv ie n e
u n o
re c o n o c e ré
a q u í
g e o m é tric o ;
re c u rs o s .
se rá
S ó lo
d e l
d ic e
p u n to s
c o m p u e s to
s u s
a d v e r
h a s ta
q u e
d o b le
n ú
c o m o
lo s
( 48) .
d is c ie rn e n o
d e l
c o n s e c u e n c ia ,
r a z ó n
e lla
c ie rta .
R é flé x io n s
d o b le d o b le
ra z o n a m ie n to
d e d u c iría
s ie n d o
a to m is m o
a g o ta
se
c u a d ra d o ,
u n d o ”
in a c c e s ib le s ,
c o n s ig u ie n te
( 4 S )
L a a l
d e
e s tu v ie s e
fu e ra
o tr o
m
e s p e c ie
e s p a c io
c u a le s
c u a d ra d o s
el
d e l
el
in d iv is ib le s ,
o rd e n a r
d o s
q u e
1 0 3 . d ic c ió n
d e
e s ta
d e
u n a
q u e
in d iv is ib le s b ie n
lu e g o
g e ó m e tra s
p o r
v e rd a d
la d o s ,
d e
trá te s e
d e
m e jo re s
d e
R e c u é rd e s e
h a y a n
m e ro
fu e se
n ú m e ro
o tro .
s a rio s ,
D e
u n a c a p a z
u n a
d o s
q u e d e
e s ta b le c e r
e s ta
q u e
le
s o n
y
p o r
q u e
e s p e c ífic a ,
e t
c o n tr a
e n te
c o n tra d ic to ria
d e m o s tra r
P e n sé e s
la
fu n c ió n
n o c io n e s
es
e x p e rie n c ia
g é o m é tr iq u e ,
p a ra
p e ro
o p u s c u le s ,
la
o tr a
es
c o m p a ra b le
5 ?
e d .,
1 9 0 9 ,
1 7 4 . ( 4 4 )
la
P á g .
1 8 2 .
a ritm é tic a ,
in d iv is ib le ( 4B )
e d .
d e
u n
f in ito
e l
p o d e r
s o lo
in d iv is ib le s ,
n ú m e ro
d e
d e
u n
s u m a
p la n o
d e
n o
g e ó m e tra
r a z ó n
b u e n
d e
in d iv is ib le
g e o m é tric o
p o r
p á g .
le jo s
el
m a y o r E l
o rd in a ria s
“ u n
si
s ie m
q u e
in d iv is ib le , c o n
c á lc u lo
re p re s e n ta c ió n
“ S i
se
el
y
in d iv is ib le
e x is te n c ia . e n
p e q u e ñ o
( 45) . A
d e l
u n
d e
“ p o r m e n o r,
c o n s ig u ie n te ,
y
q u e
e x p e rim e n ta l:
d r ía
u n
c á lc u lo ,
ta n
p a re c e
e x p re s a r
n e a s ”
d e
a
m ín im o
re g la s
in d iv is ib le s , n o
P o r
q u e
to d a v ía
s u
q u e
m á s
o tr o
ja m á s
q u e ,
la s
d e
e s tá
re c o n o c e r
u n
lo
c o n
le y e s
q u e
d o c trin a
m e tría ,
sea
f o r m a r
lo s
d e
to d o
q u ie ra
p u e d e la s
( 43) .
n e g a c ió n
p ro p o s ic ió n
c o n
lle g a r
c o m o
u n a
o p o s ic ió n
c o m o
q u e
la
c o m o
p o r
c o n s id e ra r
s in
e le m e n to
c o n s id e ra rlo
la
P a s c a l
p u e d e
e x te n s ió n ? ”
d e s d e ñ a rá
e je m p lo
se
in f in ito ,
c o m o a
to d a v ía
M é ré
—
el
n in g u n a
d e re c h o
a c a so
e s p a c io ,
1 9 7
B o s s u t, ( 4 e )
es
u n
L e ttr e L a
E l
q u e
in d iv is ib le
e s,
d ic e
v e rd a d e ro
d e
M
H a y a ,
R e fle x io n e s ,
.
c e ro
D e tto n v ille
1 7 7 9 , p á g .
t.
e s,
e n
P a s c a l,
Y , 1 7 9 -
d e a
ra z ó n
" u n
d e
e x te n s ió n ” . M .
p á g .
d e
2 4 7 .
e sa
p ro p ie d a d ,
v e rd a d e ro
in d iv is ib le
(P á g .
C a r c a v i,
a s im ila d o d e
n ú m e ro
a l
cero c o m o
1 8 3 ) .
d e l
1 0
d e
d ic ie m b re
d e
1 6 5 9 ,
198
a
L a s
la
o b ra
n o
e x p e rim e n ta l
b a jo
la
p rin c ip io s E s o
a c c ió n d e
la
e x p lic a ,
tiv is m o d e
c o n
p re n s ib le
u n
L a
n o
d e í
n o
lo s
s a rio d e l
la
y
q u e
ro s
c u a d ra d o s
el
d e
la
c o ra z ó n
c u a n d o
to
q u e
el
a
la
m é to d o d e
n o s .
E s ta
e l
tie n e n
lo s
m a te ria
d e
lo s
q u e
la
c o m p le ta m e n te h a b la
re fie re e
d e
u n o
m a n e ra
la
d e
c o s a ; la
s ie m p re
in d e fin id a s
( 49)
( 4 7 )
Ib id .,
(4 S )
P e n sé e s,
p á g .
( 4 9 )
in d e fin id a s ,
f"
y d e
el
s u s titu y e
p a re c e
d e
c ie rta
a q u e lla s
s o n
E l
p rim e ro
u tiliz a m u ltitu d
re c ta ,
p o r
S e c c ió n
q u ie re
d e c ir,
IV ,
f5
se
2 8 2 .
in d e te r m in a d a s .
d ic e
p o r
q u e E n
se
ta n
a n tig u o s
e n
la se
fig u ra
y
d e
la
m ira d a , p o r
u n a
d im e n s ió n
m e
q u e
n o
a
d a d a
u n a
s o n
p ro fa n o s a
q u ie
d e s c u b re n
n a tu r a l
e n tre
R o b e rv a l)
re p re s e n ta
in d e fin id a c u y a s
a h o ra
d ic h a
o fre c e n
el
a p li
in te g ra c ió n
y
s o b re e n te n d id o s :
m u ltip lic a d a s .
1 7 8 . 1 9 1 .
(o
n ú m e la
in fin ite s im a le s ,
s im p le
C a v a lie ri
E n
s in té tic a ,
lo s
y
n ú m e ro s
d o s
d e
y
q u e n e c e
c o ra z ó n
lo s
h a y
c o m o
é s to s
c o n o
c o ra z ó n
( E l
( 48) .
a q u e llo s
r a z ó n ,
es
e x p e rie n c ia .
se
u n a
e l
u n a
”
tie n e n
g e o m e tría ;
d e
u n a
a
Y
q u e n o
p o r
e lla s
la q u e
d e l
p r o p ia m e n te
la
h a b la r .
. . .
im p líc ita
q u e
p a ra
s e g u n d o
s u m a a
c o m o
g e o m e tría ,
a n tig u o s
y
in tu ic ió n ,
c o n
p e n s a
p e n s a m ie n to
d is c u rs o .
la
u n
p o r
p ro b le m a s
p ra c tic a d o
e s c a n d a lo s a
d e
el
q u e
e n
p r in
h a b la n d o
m a n e ra
o tr o )
lo s
e m
e s p a c io
ese
a s í,
s ó lo
d e s c u b rim ie n to s
e le m e n to s
d e
d e l
s in
a l
s in
es,
e s p a c io ,
d a d o
ta le s
in d iv is ib le s
s e rlo
u n o
( 47) .
n o
su
v is ió n
o b je to
m is m a s ,
in f in id a d
e n
el
la
c re a
c o n o c im ie n to s
in tu itiv a
s u s
n o
c o m b a tirlo
d e s p u é s
a
o
u n a
d e
c o m p re n s ió n
m é to d o
el
d ire c ta ;
q u e
q u e
to d o
d o b le
e x h a u c c ió n
s u s titu c ió n ,
h e ré tic o s
se
s o b re
fig u ra s d e
d ife re n c ia
d o
d e s ig n a r
d e
e so s
e n
in te rv e n ir —
in c o m
ú ltim a
e n s a y e
in d iv is ib le
d e m o s tra tiv a
u n a
sea
a lg o
a
v a n o
d e m u e s tra
u n o
d e
es
e llo s
re p re s e n ta c ió n
m é to d o
la s
s u m a
n e s
q u e
d ire c ta m e n te
re fie re
o
ta le s
a
y
d im e n s io n e s r a z ó n
es
v e rd a d , e s ta
p o s i
in f in ita
n o
la
ra z ó n .
d e
h a b la r
d e
la
c ie rto m á s
a lm a ”
a tre v e
d e
u n a
a d e m á s
s in
c ris tia
v e rd a d e ro s
s e d u c id o
in d iv is ib le s
s o b re e n
d e
se
e llo ,
a p o y e
n o c ió n
a
e n
fu n d e
e n tie n d e
e x p o s ic ió n
e l
se
la
p u e d e
es
p rim e ro s ,
p a rte
v u e lv e
se
o p o s ic ió n e je rc e
c o ra z ó n ;
h a
d e l
lo s
d o m in io
g e ó m e tra
“ C o n o c e m o s
el
tre s y
d e
a l
a lia n z a
re p re s e n ta c ió n
h a y
u n o
s e n tim ie n to
d iv is ió n
se
á t i c a
re s ta b le c e r
la
q u e
h o m b re
si
a l
s u p e rio r
to d a
N o
se r
es,
q u e
h a y
in f in ito s ;
a
a t e m
b ie n
P a s c a l,
U n a
m a te m á tic a id e a ;
r a z ó n
s o n
c a c ió n
in f in ito .
n in g u n a
q u e
d e
“ n o
p u e d e
p o r
in s tin to
s ie n te
q u e
p rin c ip io s
tie n e
e sfe ra
e sc a p a
c o r a z ó n .
o
m
p e rm ite
m is tic is m o ,
e l
u n a
ta m b ié n
c e m o s
fís ic o ,
e n
se
n o c ió n
m ie n to s in o
q u e
f i lo s o f í a
g ra c ia ,
filo s o fía
d e c ir
h a s ta
c o m o
e x a c titu d ,
la
c o n te m p o rá n e o s .
e x a c to
d iv is ib le
la
c ie rto
p u e s to
es
c ip io
la
d e
d e l
d e
c ie n c ia
e n
n u e s tro s
b a rg o
e ta p a s
d e
“ C u a n
lín e a s ,
p o rc io n e s
P e ro
o tr a
e x p re s a
c u a n d o
se
ig u a le s n o
se
1 9 9
P a s c a l
e x p re s a
esa
e s tá n
u ltip lic a d a s ) ,
la s
m
d iv is io n e s
q u e
la s
d e
d e
m o ,
es
d e
lo
s o b re n te n d id o
u n a
v e z
se
tig u o s
la
h a b ía
el
d e r
d e
sea
la
b u e n
q u e
a b s u rd o s d illa d o
le
v ie rte
e n
ju s tic ia e n tre
la
T o d o
la
in f in ito . u n a
5 0
a
)
h a g a n
U n
(5 2 )
P e n sé e s,
(5 3 )
1 b id .,
la s
d i
la
s u m a
m is
p o r
la s
( 50) .
ra z o n a b le s
p rá c tic a d e
m é to d o
re s o lv e r
n e c e s id a d
g e o
lo s
a n
d e
d e s
p ro b le m a s d e
u tiliz a r
n o
n u e v a
e s p íritu
N o
h a y
ta n
D io s ,
c o m o
to m a d a s
a l
e s ta
in f in ito ,
a l
y
d e
n o
h a b e rs e
u n id a p ie
a
id e a s :
fin ito . —
d e
c o
u n a
m e d id a
D io s ,
d e ja
a r r o el
in f in ito
a n te
p a ra
y a l
in f in ito
la
p a r a
a p a re n te s
e s p íritu
g ra n d e
a z a r
el
lo s
d e
c o n
p re te n d id o
lo
e n tre
s u c e s ió n
ig u a l
e l
u n
d e
la s
c u a lq u ie ra
e s tre c h o
u n id a d
n a d a
y
n u e s tro E s
d e s p u é s
p re s e n c ia
n u e s tro
d e
a
P a s c a l
c o m p re n
s ig u e
g e o m e tría
“ L a
d e
p a ra
a c e p ta d a s ,
s o m e te rle
in c o m p re n s ib le
D e tto n v ille ,
f 9
se r
n a tu ra le z a .
a g re g a
e n
d iv in a . la
es
d e m o s tra c ió n
d e
le
e x p re s ió n c o m o
y
se
a sí
c o n
n u e s tra
d e s p ro p o rc ió n
u n id a d u n a
y
el
in
c o n fe r e n c ia
“ In c o m p re n s i se r.
E l
In c re íb le
n ú m e ro q u e
D io s
( B3) .
M a rie ,
f9
u n
n o ta b le
d e b e n
e s c rib ió :
e n c u e n tra
e s p a c io
a
D io s
n o ta s
q u e
n o s o tr o s ”
C a r ta
y
la s
se
V e r
e n
p o rc io n e s
p e rs o n a s la
d e
. . .
d iá m e tro
“ tim id e z ”
la
e lla s
e x p re s a rlo ”
P a s c a l,
In m e d ia ta m e n te
A s í
ju s tic ia
la
la
la
a n iq u ila
to ta l.
E n
(5 1 )
la
e x p e rim e n ta r
d e
a
c o m o
ju s tic ia
lo
d e
c u y a s el
q u e
im a g in a c ió n
d e riv a n
P a s c a l
se
s e g ú n
p re te n d id a
ro g a d o
n a d a
P o r t- R o y a l
b le .—
se
p a ra d o ja s
n a d a ,
( B 2) .
la s
c o n s titu ir a
e je m p lo
m u ltip lic a rla s
a
m o d e rn o
g e o m e tría ,
q u e
f in ito
a n te
es
p a ra
q u e
p e rm ite
s a b io
c ris tia n is m o .
n u e s tra
f in ito ”
(
la
lib e rtin o ,
L o
e n
q u e a q u e lla
n a c id o
n e c e s a rio
b a s ta
p a ra
el
p o r
q u e
q u is ie ra
es
s im p le m e n te
re c ta
c h o c a r
b a s ta n te
e lla
la s
a g re g a
la
s e ría
p u e d e
tie n e ,
n u e s tra
h a b e r
d e l
in f in ita .
se
se
d e d e
y
d e l y
ra z ó n
e n
si
re p u g n a n c ia
e n tre
es
se
si
e n
d ic e
y
fe c u n d o : u n
se
e n te n d e r
d ific u lta d
P e rs u a d e r ,
s e n tid o
le lis m o
n o
y
c u á l
b a s ta
e n tie n d e q u e
( 5 1 523) .
h ip ó te s is
s e c u e n c ia s
n o
la
c o m o
d e b e
a d v e r tid o ”
p a ra
ú ltim o ,
A r t
la s
d e
d ire c to
d o b le s
P o r e n
h a
se
h a b ie n d o
c u a n d o
e n to n c e s
a rro ja d o ,
s u p o n d r ía n
in te g r a le s
se
“ q u e
la s
d e s p o je
c u b rim ie n to q u e
se
n a c id o ,
e x p re s a r
lín e a ,
ig u a le s
s o b re n te n d e r
s e m ic írc u lo
n a tu r a l:
E s te
m é tric a
d e l
s in
o tra
q u e
h a n
d iá m e tro ,
m u ltip lic a r,
p o rq u e
p o rc io n e s
,
p o rc io n e s
n e c e s a rio
e lla s
Z M
d e l
Z M
q u ie re
c u y a s es
q u e
ig u a le s
la s 'lí n e a s la s
( p o r
o rd e n a d a s
v is io n e s
se
re c ta
o b . 3 ,
3 2 2 ,
c it.,
s e c c ió n s e c c ió n
lo e ,
c it.,
p á g .
IV ,
p á g .
1 8 9
II I , V II,
fr. fr.
2 4 7 . y
s ig .,
p a rtic u la rm e n te
p á g .
2 2 5 .
2 3 3 . 4 3 0 .
R e v u e
d e
M
á ta p h is iq u e ,
1 9 0 5 ,
p á g .
6 8 0 .
2 0 0
L a s
e ta p a s
E L
1 0 4 . e l
p re n d e r
s o n
u n a
te s is
ig u a lm e n te
E l
d e
d e l
te m á tic a
d e l d e
q u e
s o n
re to m a
m á s
d e
Z e n ó n je z a ,
d e
a l
E le a ,
p e ro
s e n tid o , v u e lo
d e ja rs e c ip a
a n á lis is
y
la
y
a
e q u ilib rio d e
P o r
d e
T é c n ic a m e n te la
a d iv in a c ió n
e le m e n to c ie rra p io s la
lo
q u e
d e l
h a y
c á lc u lo
g e o m e tría
¿ n o
d ifie re n
d e
fu n d a m e n ta le s la s
lo
a b re v ia tu ra s
p ó s ito
d e
té tic a
d e l
e lla
se
te rio r
u n a
h a c e r q u e
d e l
c ip a c ió n p a c id a d
d e
to d o
d e
d e
lo
fe . m
p a ra
m o s tr a r q u e
q u e
c o n la
f i
b u e n
im p o n e r
q u e
re c h a z a
q u e
se
p o d e r
ú n ic a
d e
la
el
p re te n d e n
el
a n ti
p a ra
q u e
d e l
a d e
R e n o u v ie r,
p ro g re s o
re tro c e d e r
a
s o b re
h a b ía n
se r la
d e l
q u e
a s e
tie n e
el
p e n s a m ie n
la
e s tá
el
d e
la
u n
lo s
v a
la s
u n a
p a re z c a
a
q u e
v is ió n
s in
q u e
e n
y
d e
p o r
n o
p o r p r o
e le m e n to
y el
c o n s e
te n d e rá
d in a m is m o
re s titu irle
d e
¿el
a l
te n e r
c ie n c ia , lib e ra r
p r in c i
n o c io n e s
c o n tr a r ío
c a d a
¿ e n
C a v a lie ri
m á s
s o b re n te n d id o s
v e lo ,
lo s
d e
d e
e n
q u e
e x p líc ita
in te lig e n c ia c u a l
a l
u n
re c ta s ,
a b re v ia d a s
te rm in a d a o
s ig u ie n te : lin e a l
e n
y
P a s c a l
im p lic a d o
n o
d e
a c tiv o
e x p re s ió n
fe c u n d a
lím ite s
s u m a
p o r
le n g u a je ?
y
d e ja d o
y
m a n e ra e le m e n to
d ire c ta s
c ie n c ia
fo r m a
la
u n a
to m a d a s a
la
u n
fo rm a s
a d e c u a d a ,
lo s
d e
p o r
e s c la re c e d o r
d e
e n
e x p re s ió n
p ro g re s o ?
el
c o m o
la s
d ire c ta
p o n e r
p e n s a m ie n to
es
p la n te a
á re a
lle g a rá
c o rre s p o n d e
in tu itiv a
ú n ic a
la
a rg u m e n ta c ió n
e x p líc ito ,
q u e
e n tre
se
u n
d is c u rs o
p o r
d e
la
I n tu ic ió n
la
d e
o tr a
filo s o fía
lim ita c io n e s
la
es
la
e n
p o r
e s c la re c im ie n to
a p ro p ia d a
s u s titu ir
c o n v e n c io n a le s
e s p íritu ,
e n c o n tra rle c u e n c ia
q u e
e l
f in itís m o
p u e s to
in d iv is ib le s
d e s p re n d e r
a p o y a ,
e s ta b le c e r
tr a ta r
el
" p o te n c ia s
el
q u e
c o sa s?
re a lm e n te
e n
p a r te
h á b ito ;
q u e
d e s
fa m ilia r;
s e n tim ie n to ,
p a r a
la s
P a s c a l
fa c u lta d e s
p e rte n e c e
d is c u rs o
¿ n o
c u e s tió n
lo s
d e l
in d iv is ib le s ,
d e
h e c h o
re p re s e n ta tiv o ,
d e l
lo s
e n tre
d e l
d is ta n c ia
c o n tr a r ío
in fin ite s im a l?
d e
E l
d e
d a to
p e rm ite
s u p e rfic ia l,
h a
u n a
q u e
d e
c o n ta c to
la s
la
q u e
a l
h o y .
c ie n c ia
el
n o s
p o r
d e
g e n io
s u s c ita
im p o r ta n te
ló g ic a , la
m a n te n e r
se
in s tin to ,
m a rc o s
la d e
n a tu r a le z a
d e l
el
a l
a c tu a l
fra g ilid a d
lo s
g e o m e tría
n a tu r a le z a
d e l
á t i c a
im a g in a c ió n ,
s ig lo s
d e
la
e x ig e n c ia
p riv ile g io to
es
e n
la
h is tó ric o
p u e s
a t e m
L E IB N IZ IA N O
r a z ó n : la
d is c u tid a s
c ie n tífic o ?
e-1
la d e
v e in te
¿ n o
e n c e rra r
a l
g u r a r
es
ta m b ié n
la
a
m
p e rm ite
filo s o fía
s u p e rio re s
c u e s tio n e s a
la
m o m e n to
P a s c a l
d e
p e n s a m ie n to
s e n tid o s ,
p o te n c ia s
e s tu d io
IE N T O
n a c ie n te ,
e x tra ñ a s
lo s
f i lo s o f í a
e je m p lo
q u e ,
in te r io r
g a ñ o s a s ” p a rte ,
E l
in fin ite s im a l
c o n flic to
la
D E S C U B R IM
—
c á lc u lo
d e
d e to d a
la
a in
a n ti su
c a
es
E
A
e s ta
re s p u e s ta U n a
lle g a r
d e
lo s
P a rís ,
s e n o s a llí
p a s a je
q u e
c á lc u lo
fu é
d ife re n c ia l.
e je ,
y
W
d e
e n u n c ia
se a n lo s
r a d io
c u a te s e l
d e
r a d io
á n g u lo
n o
le v a n ta d a s
a rc o
b a se
a l
es, el
s o b re
c u a lq u ie ra
L a
p ré s ta m o
to m a d o u n
n a c ió n
la
A l m o .
p e ro
e n tre
p o r
lo s
la
d e
L e ib n iz
s id o
la
(A c ta s
a ú n
a
(5 5 )
E K E
F ra g m e n to
d e
la la
q u e
lo s
la
n o
si
y se
s e m e ja n ig u a l
le m a
d e s ti
p e rp e n d ic u lo s
s e n o s
p o rc ió n
m u ltip lic a d o s n o
p o r
p ro p o s ic ió n
la s
es
in d iv is ib le s
q u e
y
u n
d e
“ d e
E K E
E E ,
la
s ie n d o
la
ig u a l
e x tre m o s
d e
r e c tá n g u lo
p a r a le la s )
E D I
a
la
q u ie r a ,
in m e d ia ta
P a s c a l,
es
se
e n tr e
q u e
m á s
se n o e n
ta n g e n te
la s es
s u m a ”
d ic e
p ru e b a
B o s s u t,
p o r
tr iá n g u lo
a l
a
la
d e '
d e p o r
m á s
s o b re v iv e
d e
P a s c a l
t.
V ,
d e
p á g .
a
q u e
la el u n
g e o m e tría
a
p e q u e ñ o s
la
,
te r m i
L e ib n iz 1 8 9 1 ,
p á g . h a n p á g .
d e l
3 9 9 s id o 1 0 5 3
,
I I ,
L o s
m is lo s
q u ie ra ;
p e rm a n e c e n
b ie n ,
p á g .
2 5 9 .
p rin c ip a le s
re u n id o s y
se
tr iá n g u lo
A h o r a
M
s í
q u ie ra ” ,
c o m o
D I A .
l ’H o s p i t a l . V ,
e n
se
in a s ig n a b le s ,
s e m e ja n z a
d e M
E K E
“ d o n d e
a s ig n a b le
B e rlín , 3 3 1 .
E
se r
la
1 7 1 4 .
s o b re
tr iá n g u lo
ta n
m a rq u é s
d ifje r e n tia lis .
C ie n c ia s
ese
p u n to s
lle g u e n
el
in flu e n c ia d e
lo s
c u a n d o
d e s tin a d o
c a lc u li
A c a d .
F J ,
c írc u lo ,
h a c e rse
c o n
re la tiv o s
c o m o
p u e d e n
a s ig n a b le
o r ig o
o , d e
c o n s id e ra
d e te rm in a d o s
e t
“ la
p u n to e l
D E ,
re c tá n g u lo s
P a s c a l,
u n
e l
la
e n tr e
S ó lo
tr iá n g u lo
to m a d o s
tr iá n g u lo
e n to n c e s ,
( 5 4 )
d e q u e
g e o m e tría
c o m p le ta m e n te
H is to r ia
( 55) .
s e n o s
d e l
y
o
A B C
p e r p e n d ic u la r e s
q u e
I
el d e l
d e m o s tra c ió n .
c o n tr a r io
d e l
b a s e ,
m o m e n to
H a b ie n d o
la d o s
d e
D
d o n d e
la s
E E K
S e a
tr a z a d o
c o m p r e n d id o
á n g u lo
I ”
o jo s
c u a rto
c o n s id e ra c ió n
o rd in a ria , d e
lo s
la
d e l
c o m p re n d id a
r a d io ” .
a
A
te o re m a
D
“ triá n g u lo s
o rig e n
ta n g e n te E
“ e n
a q u í
c o n s id e r a d o
sea
sea
d e m o s tra c ió n
el
e l
se rá
d ig o
(e n c e rr a d a
L a
E K E , D
:
H e
s ig u ie n te :
la
s e n o
b a se
lo s
C
e l
la
D I A ,
y
T r a ta d o
L e ib n iz ,
e s tá
b a se ;
a c a b a b a
el
( 54) .
A B
tr a z a d a s A
e n tr e
A B ” .
ta rd e
p u n to s
se a n
r a d io
r e c tá n g u lo
te s
e s ta b le c e r
u n a
H u y g e n s
q u e
L e y e n d o
e l c u a l
;
to s
a l
c o n s id e ra
u n
c o rn o
to m a d o s
s o b r e
c ió n
la re s
A C
A C
e l
P a s c a l,
d o n d e
r a d io
e l
s o b r e
ig u a l
d e
p ro p o s ic ió n
D
es
c o rre s p o n d e
v is to ”
c u y o
d e sd e
i
le
a le m á n
m á s
h a b ía
la
8 ) ,
c o m p r e n d id o
a sí
c u e n ta
d e l a rc o ,
d e sd e
a
jo v e n
L e ib n iz .
n o
p e r p e n d ic u la r
E R
n a d o
m u e rte
c u a lq u ie r a
c u a l
d e m o s tra d a
la u n
e s c la re c im ie n to ,
{ fig .
r a d io
a
ilh e lm
a u to r
ese
P a s c a l
p la n te a ,
d e
c ír c u lo ,
el
c u c u lo
el
d e s p u é s
d e
q u e
2 0 1
l e i b n i z i a n o
h is to r ia
D e tto n v ille
c u a r to
m o tiv o
i e n t o
s in g u la r.
a ñ o s d e
lu z
d e
la
G o ttf r ie d
d e l
u n a
c u a r to
c o m o
d e
e s c rito s
a
q u e
p re c is ió n
d e c e n a
c o n tré
u n
u n a
lo s
d e
d e s c u b r i m
p r e g u n ta
d e
p re s ta b a
l
s ig .) .
p o r
in e s ta
C ft. te x to s
G e rh a rd t
2 0 2
L a s
e ta p a s
d e
la
f i lo s o f í a
m
a t e m
á t i c a
V
d e te rm in a c ió n
s u b s is tirá ,
q u e
e n
la
ta
n o r m a l
p o n e r
e n
el
fo rm a
in a s ig n a b le
y
p a ra
P a s c a l
c u y o s
n a ”
( B6)
d e
la
:
d e
la s
d e l
d e
d e
g e n e id a d , e n tre c ie
lo s
c a ra c te rís tic o ”
lín e a s ” ,
in tro d u c e
e n
el
d e
re la c ió n ;
o ,
e n
d e
e x a c titu d ,
la
a
f in ito
n a l
a
p o r
ta n g e n te s u n
A
e s te
q u e
in ic ia d o , o tro . d o
p u e d e
L e ib n iz
d a d a
e n
p ro b le m a re c o n o c e ta n to
d e
h a b ía n
la
(5 8 )
B o rra d o r C a rta
t.
I,
p á g .
( B 8)
C fr.
( B 9)
E d .
B e a u n e ,
p á g .
e t h o d u s
a
d e
a s í
o
d e
d e
c a rta
p a ra
J a c q u e s
e n
d e l
e n
u n
m
i t
d e
d e
se
d e
la s
in s ta n c ia s ,
u n
h a
s e n tid o
la s
s id o o
e n
h a b ía
s i ;
el
ta n g e n te s ;
y
lo s
c u r v a s ,
d e
( 5S) .
s e g u n d o :
to ta l
c o n
d e
d e l o b
q u e
D e s c a rte s d e
( 58 9 )
p ro b le m a s
a
lo s
q u e
se
in te g ra c ió n .
1 7 0 3 . M
y
in d ic a c ió n
p ro b le m a
B e rn o u lli,
té c n ic a
N e w 't o n
s u m a
d e
ra c io
e n to n c e s
a
la
a l
m é to d o s
lo
m é to d o
Is a a c
c u y a
n in g u n a
d e
n a tu r a lm e n te a
n o c ió n in c a p a z
p a s a je
H u y g e n s ,
L e ttr e s
B r i e f w e c h s e l
el
p a s a je
1 6 7 0
in v e r s o
e s te
lo s
el
q u e
r e c tific a c ió n
e n to n c e s
T s c h irn h a u s ,
la s
la
d e
e n
p o r
tie m p o
es
fe c u n d id a d
e n
p ro b le m a e n
m is m o
lig a d a
o
s u p e rfi
lín e a
p e q u e ñ o
p o r
d ife r e n c ia l
la
la
re s u lta d o s
o tr o
v in c u la
el
A l
p u n h o m
C a v a lie ri,
m is m a s ;
e x p o s ic ió n
p r o b le m a
c o m o
h a s ta
la
lo s
d e
c o m o
L e íb -
el la
in d iv is ib le
e n
in d ife re n te m e n te
a n a lo g ía
c u a d r a tu r a s
a p lic a d o
se
v o lu m e n
la
la
s id o
e le m e n to
B e a u n e
v e z
( 5 7 ) 1 8 9 9 ,
M
a
te rc e r
d e
q u e
p o r
D e s d e
c o n s e rv a
re s u lta
p e q u e ñ a s
c o n s id e ra c ió n
h e c h o
e s ta n d o
se
p u b lic a d o
h a b e r
e fe c u ta rs e
n o
c o n o c id o s
p ro g re s o d e l
d e l
s u b s is tía
e n
h a b ía n o
re e n c u e n tra
el
d e
e ra n
L a
in f in ita m e n te
a q u í
in f in ita m e n te
re s ta b le c e r
s u m a s
f o r tu
c a r a c te r ís tic o
p a rte
c o r p ú s c u lo s .
d a d a ,
m a y o r ía
p a re c e
la s
o c u lto
d e
in f in ita m e n te
p a s o
e n
B a s
triá n g u lo s ,
e s p e c ie
s o b re n te n d id o s
im a g e n
s o la m e n te
y a
su
p a s a je
lo la
c o m o
D e
u n a
p e rm ite
s e m e ja n z a ,
( 57) .
p rim e r
el
d e
u n
s u p e rfic ie s ,
p o r
d o s
p e rm a n e c ió
in d iv is ib le s .
lo s
s im p le
c írc u lo .
e le m e n to
p r im e r
y
d e l
lo s
o rd e n a d a .
lo s
p o r
q u e
d e
B a r r o w
q u e
el
d e
m a g n itu d
L e ib n iz
q u e
a m ig o
d a d o
ta n to
e n
es
c u e rp o
s e ñ a la rs e
e n c o n tra b a
la
s u m a s
d o m in io
c u a l
a
p e q u e ñ a s
in fin ite s im a l,
d e b e
te n id o s
el
fo rm a
o
lo
la s
p o r
o
irra c io n a l
m é to d o ;
lo s
ta l a
lo
d e
c o m p u e s ta
p o r
c o n s id e ra c ió n
a p a rie n c ia
u n
p o rc io n e s
y
v u lg a r
e s ta
e n
se
lo
a b s c is a
m é to d o
e le m e n to s
m a n e ra
la s
d e q u e
p o r
c o m o
y
te ó ric o
“ p e q u e ñ a s
tr a ta r
c o n s titu id o
la
ra d io
lo
c e rra d o s
ta n g e n te , a
u n
e le m e n to s
e s ta b a n d e
p a rtic u la rm e n te
es
d e s c u b rir
triá n g u lo
r o ta
e s ta rá
lo s
la
d e l
v is ta
“ o jo s
c a so
el
p a ra le la s
fu e ra
d e l
c o n ta c to
p a ra
p o s ib ilid a d
“ tr iá n g u lo
-n iz to
la
d e
e x p líc ita
a s ig n a b le ,
c u rv a
p e q u e ñ a
fu e ra
p u n to
M
a th e m
I l l,
.
p á g .
a tik e r n ,
e d .
7 2
y
s ig .
G e rh a rd t,
4 0 8 . L e c tio n e s
C le rs e lie r,
4 1 2 .
{ A
t a n g e n t i u m
T ,
G e o m e tr ic a e ,
1 6 6 7 . I I ,
in v e r s a ,
p á g . e n
L e t tr e
5 1 4 ) .
L o n d re s , L
X
X
I ,
V e r
B r ie fw e c h s e l,
e l
1 0 ? d e l
le c c ió n , 2 0
d e
e s c rito
d e
e d .
p á g .
8 0 .
fe b re ro
d e
ju lio
G e rh a rd t,
t.
d e I,
1 6 3 9
1 6 7 6 ,
p á g .
2 0 1 .
a
d e
titu la d o
E l
1 0 5 .
—
p re p a ra c io n e s la
q u e
lo
a l
q u e
s id o
es
m á s
in tro d u c id o s ló g ic a ,
h a b e r
d e s c o n o c id o
m u y
n o ta b le ,
ta d o
ta n
s in
p o c a
m á tic a .
E s to
c e n d e n te , ta d o s
h a
e s te
p o r
el
L e ib n iz
o b s e rv a c ió n
la
z a c ió n
d e
lo n io ,
1 6 8 4 ,
la
la
d e
60)
d e l
I,
y
la
es
g e o m e tría e n
tr a b a ja r
la
d e
p á g in a s
s e b re y
C o u r s
d e
C a r ta
d e l
e n
te o ría
q u e
la
m é to d o
es
d e
la s
h a b e r
d e l
p ro b le m a
d e
la s
la
la
d e
e x p o n e
m a n e ra
c a n tid a d e s
f in ita s
m e
q u e
y
g u s ta
la o
d e
v e n ta ja q u e d e
n o s
A p o -
( 62) . e l
m in im is
el E l
y
la
te rc e r ra s g o
fo r m a
h a c e r
la
h a b e r
in te le c tu a li-
d e g e
lib ro c a ra c
a n a lític a
c o rre s p o n d e r
re la c ió n
y
e s te
e s c u e la
m is m a
e n
e n
d e
la
p o d i
á lg e b ra
s im p lic id a d
e x p re s a d o
d e
la
E u c líd e s
e c u a c io n e s .
ta n
e je m p lo
in v e r tir
el
m á s
d a
la
c a si
h a y a a
e n tre
m a x im is
im ita r
re s u l
e x p re s a m e n te
im a g in a c ió n ” p r o
tr a s
a
E l
p u n to ,
A rq u ím e d e s ,
D e s c a rte s
g e n e ra l
( 61) .
q u e
n o s
g e o m e tría
c o n
to d a v ía
p a ra
“ L o q u e
q u e rid o
( 8 - )
6 8 3 .
H u y g e n s ,
m a te
a n á lis is
a d h e rirs e
m o d e lo
h a b e r
■
8 4
d e
p a re c e
la
p o r
n e c e sa
c ie n c ia
tra s c e n d e n te
c o n e x ió n
m e th o d u s
n u e v o
e r
s irv ió
c ie rto
p re s
D e s c a rte s ,
o b te n id o s
d e c la ra
in f in ite s im a l:
a
d e
L a
N o v a
( 6 1 )
p á g .
se r
d e
e s ta b a
d e l
a n tig u o s ”
L e ib n iz
H u y g e n s . le
lo s
la
e le m e n to s
p á g .
p o d id o
e m p e z a r
q u e
D e s c a rte s
e n
D
t.
e n
y
la s
re la c ió n
(
d e
e s c rib e
G e o m e tr ía
c ia lm e n te
lo
g e o m e tría le
q u e
n e c e s a rio
e le m e n ta l
L e ib n iz
lo s
p a ra
e s to
c o n s e jo
e fe c to ,
te rís tic o to d o s
e ra
V iè te
n e ra lid a d d e
h u b ie r a n
o
“ E s
h a y a n
la
c o n d u c ir
a n á lis is
e x im ié n d o n o s E n
p o d ía
h a s ta
a n tig u o s
d a d o
a u x ilio
el
la
lo s
h a n
n o
el
y
c á lc u lo ,
s o b re
d e
s in
P a s c a l.
P a s c a l,
s is te m a
c o m p le ta r,
es
lo s
q u e
q u e
m
b ie n ,
p a re c e n
y
f u n d a m e n ta l
el
el
c o m p le
g e n e ra l
to d o
es
A h o r a c a so
re v o lu c ió n e n
h a n
tr a d u c
a lc a n c e
c o n c e p c ió n
p e rm ite
g e o m e tría
e s te
c o m o
d e
y
q u e
e s te
c u y o
R o b e rv a l
g e o m é tric o
C o m te :
e n
c a rte s ia n a
a
h a c ia
q u e
u n a
( 60) .
la
p o r
n o
u n iv e r s a l
e n c o n tra b a
h o m b re s
a d m ira b le
q u e
re c ib ir
m á s
ta n g e n te s »
n u e v o s
L e ib n iz
m é to d o
d e
p o r
d e
a ú n
e s p a c ia l
la s
la
p r o d u c ir
m é to d o
D e s c a rte s ;
h e c h o
a
q u e
d e
e le m e n to s
lo s
s o n
irre s is tib le m e n te
d e b e rá n
s in g u la rm e n te C o m te ,
a
se
g e o m e tría
o c u rrid o
c o n s titu irs e ,
d e
la
a b s o lu to
e s e n c ia le s
b ie n
tra d u c c ió n
d e s tin a d a
L o s
C a r a c te r ís tic a
la
ta n
B a r r o w
o rie n ta
filo s ó fic a
es
a te n c ió n e n
d e
c a rre ra
e s c rib e
p re s e n tir
ria m e n te
a
d e
f o r ja d o :
c la ro .
n o
re p re s e n ta c ió n
d e
se
m a te m á tic a
p la n
la
q u e
g e n e ra le s
L a
m é to d o
m á s
la
el
d e
in s tr u m e n to
ta m e n te
y
e n
s e g ú n
el
2 0 3
l e ï b n i z i a n o
d e c is iv a .
L e ib n iz
g e n e ra l
c o n d u c to r
d o
d e
i e n t o
c o n s id e ra c io n e s
e ta p a
c o n s tre ñ id o
tiv o
d e
la
g e n io
c ió n
e l
E s ta s
p a ra
e s ta b a
re p u g n a
d e s c u b r i m
-------------
d e
d y
p u n to
L o g i q u e
a e
L e i b n iz ,
p o r
L .
C o u tu ra t,
1 9 0 1 ,
e s p e
s ig . p h i l o s o p h ie
2 9
d e
p o s itiv e ,
d ic ie m b re
d e
(y
le c c ió n ,
1 6 9 1 .
M ,
t. II,
I,
1 8 3 0 ,
p á g .
1 2 3
p á g . y
2 3 7 , - n o ta . B r i e f w e c h s e l
q u e
2 0 4
L a s
la s
c a n tid a d e s
d e
u n a
p o r
lo
lo
g e n e ra l
d y
c u a l
d o s
q u e
s u m a s ,
se
e x p o n e n d e
d e
la s u n a
a sí
ta l u
L a
c ris is
d e
a l
h a b ía
q u e
n o
lo s
e s p e c ie
in ic ia d a
e l
in d ic a d o d e
tu r a
c ie n c ia ,
d e
la
q u e la
la
d e l
M
C a te n a r ia
lo s
in fin ito s
d e
W
a llis ,
la s
la s
c u a le s p á g .
n i
lo s
q u e
o
es
d ife re n c ia s , la s
2 5 9 .
s u m a s
d e la
d e
a e sa
la s
E lla
ra íc e s ,
s o n
e n
la s
d e
s ig .;
d e s
I n f i n i s ,
n o s
e l
s in o
la s
p o r
a lg o ritm o
sirv e
d e
u n a
m a rc a d a
d ife re n c ia s
d e la s
la s
la
d e e n
n u e v a
s o n
a
e n te ra m e n te
o tra la s
la s
v a rio s
la s y
d e
n o
c o m o
d e
p a rte
d e e s
o rd e n a d a s ;
s u m a s
c a ra c te re s
e t
so b re
a ritm é tic a
c ie rto s
c o n s id e ra
lo
p a rtic u la r
a fe c c ió n
d e
1 6 9 .2
e s la
d e
la s
c o n
r e c o n d ita
in fin ito s
e n
c ie rto s
lo
e s ta
p ro b le m a
d e
p o r
s u m a
e n
s is te m a
d ific u lta d e s
q u e
g e n e ra l,
d ife re n c ia s
ra íc e s
a
e l
d e q u e
lo s
n u e v o ” ;
p o r
y
y
in d u c c ió n ,
a n á lis is
m a g n itu d e s
u n
c o m o
d a ,
n u e v o
b u sc a
a n te s
el
la s
p a r a
p u n to s
d e l
G e o m e tr ía
y
C a v a lie ri,
q u e
lo s
E s
d e l
e s tru c
m is te rio
d e ja d o
2 2 6
d e
m is m a ,
re c íp ro c a s ,
1 6 8 6 :
la
m is m a
p la n te a d o
g e o m e tría la s
e n
lu z
h a n
m is m a ,
r u p tu r a
o rd e n
p le n a
g e o
o p u e s to
c ris is la
re s u e lta s
A n a ly s e
e n
la
p e n s a m ie n to .
p á g .
la
s e n tid o
d e
C a v a lie ri
q u e
se
e n
h a b e r
d e
p o r
X V I I
d e
d e
e sa
m u e s tra
.e l
c o n fo rm e
a rtic u la c io n e s
v e z
i b id .,
irra c io n a
u n
in d iv is ib le s
b ú s q u e d a ,
v a ria c ió n o
,
o
in te lig e n c ia
g e n io
el
a rtíc u lo
fig u ra s
m ie n tra s
la s
e l
lo s
n ú m e ro s ,
o rd in a ria .
p o te n c ia s
v a ria b le s , e n
fa c ilita r
C fr.
lo s
ta n g e n te s ,
h a c e rse
in tr o d u c id o
la s
d e l
u n a
p o r
h a lla rs e
c o m ú n , la s
ju s tif ic a r
la
d e l
d e b e
o p e r a c io
p u e d e n
s ig lo e n
h a c e r
p o n e r
in te g ra l
i n f i n i t o r u m
P o rq u e
lig a d a
n ú m e ro s ;
fig u ra s
" e s p e c io s a ” la s
e s tá
p a ra d e
a llis .
y
y
q u e
a d v e n im ie n to
c á lc u lo
fa c u lta d e s
to d a s
s a v a n t s ) : ''. .
d e s
g e o m e tría
c o n ju n to s
d e
2 2 2 .
la
fin
d e sp u é s,
a tq u e
( J o u r n a l
lim ita d a ,
W
p á g .
e
d e
c o n
c h is p a z o s
L e ib n iz
n u e v o ,
V ,
,
q u e
d e l
h a
a
c u e n ta
p o r
c o n tin u a
d e
m u y
n i
r e u n ir
i n d i v i s i b i l i u m
d ife re n te
y
fu g itiv o s
filo s ó fic a
a u d a z
lla m a d o
e n
a lg o ritm o ,
fra c c io n a ria s
p re te n d e r
d e s ta c a r
y
c o rrie n te
( 03)
p a ra
p a ra
a lg o r itm o
a n a ly s t
u n
L e ib n iz
o b ra ,
rá p id o s
c e p c ió n
la
s u
s o m b ra ,
e n
p o r
tra s c e n d e n te ,
c o m p le ta r
in v e n c ió n
el
d e
d e
to
d ife r e n c ia c ió n
a s im is m o
p e ro
lu g a r
d e
o rd e n
c u a tr o
es
el
d x ,
d e
( 63) .
re s u e lta , E n
la s
h u b o
p e n s a m ie n to
c ró n ic o ,
u n a
a q u í”
e s tá
P a s c a l.
e s ta d o
q u e
y
e n
la s
o b s ta n te ,
h a s ta
in d iv is ib le s
p o r
te n e rs e
u n a
d ife r e n c ia s
s ig n o s ,
m o d o
n o D Y ,
e x p líc ita
d ife r e n c ia l,
q u ita r
n o
p a ra
a
p e ro
d e
m é
m u e s tra n
D X ,
m is m o
c o n c lu s ió n e s to
lla m o
p re c is o
fo rm a
lo s
lo s
p u e s
e n
c á lc u lo
d e
p u e d e n
c u a l,
p a s a je ,
el
in te lig ib le
“ P e ro
m is m a s
e n
d ife re n c ia le s y
p a s a je
s e m e ja n te ,
R e g la s
L a
q u e
p u b lic a d o s
e q u ilib rio
so
r a íc e s .
e l
la s
u n
L e ib n iz
“ C o n o c id o
sea
lo
e x p re s ió n
á lg e b ra :
la s
ta l
d e
in te r p r e ta c ió n
m ín im o s
q u e
m e tría
u n a
d e l
a s í
o tr a
e s ta b le c e r
c á lc u lo ,
la z o s ,
m é to d o s
L a
e c u a c io n e s
lo s
u
á t i c a
d ife r e n c ia l:
p o s e e n d x
e n u p c ia
d e
e s te
o b te n e r
n o
p e rm ite
y
o tra s
m o d o
.
a t e m
e c u a c ió n
c o m o
.
re g la s
y
m
p r o p o rc io n a l
g e n e ra l:
d e
o tro s
lo s
re c ta
re g la s
c ie n c ia
y
f i lo s o f í a
la
a q u í
a r itm é tic a ,
la s
la
a
c u a rta to d o
p o te n c ia s
to d a s
a
la s
la
m á x im o s
le s
la
c u y a s
d e c irlo ,
d e
u n a
es
e le m e n to s
d e
d e
h a s ta
tr a s to r n a
eso s
n e s
o r d in a ria
p u b lic a d o s
re c ta
d e
in fin ite s im a le s ,
e c u a c ió n
to d o s
e ta p a s
h a c e
" e n
la
lu g a r
m a g n itu d e s q u e
c o n s is te
g ra d o s ,
p o te n c ia s ” ;
a
lo s
M ,
V ,
E
té c n ic a s ,
el
h a b e r
e x c e le n te ,
m á s
d e s ta c a d o
el
to m
a r
te s
y
a l
la s
z ig
es
ta n to
lo s
n e c e s a rio e n tre
a n á lis is
n u e v o ;
c e ro s.
o
L a s
y
e l
in fe rio re s
e rro r
g u ie n te
n u lo ”
P e ro p e ra d a s
n o
e x p lic a r
p o d e m o s
L e ib n iz .
d e
re fe rirn o s
ra c ió n
e n
tic u la r
a
s ió n la
d e
lo s
fu é
d o b le o tr o
s o b re
m o
la s
tie m p o ,
d u c e
ta n to
te n d r á
la
s a m ie n to
a l
d e
d e s c rib ir la
la
o b je tiv id a d
(8 4 ) I l l ,
p á g .
(6 5 )
L e ttr e
n a d a s ,
n i
c a n tid a d e s
a ú n
a s ig n a b le
l
q u e e n
el
to p ia d a s
c o m o
in f in i
in c o m p a ra b le m e n te
m a g n itu d
e rro r
A
L e ip
c o sa ,
fu e s e n
d ife re n c ia s , o
d a d a lo
d a d o
o
a s ig
q u e
y
c o n
o p o n e r
p ro g re s o e s to s d e l
lo s
p o r
h a c e c o n s i
e n lo s
( 84 5 ) .
m é to d o
p o n e r
e n
e v id e n c ia
g é n e s is d e
p s ic o lo g ía
d e
e l
e s tu d io
a u
P .
d e l
d e l
lo s
d e l
la
2 8
d e
d e
e n la
s e ñ a la d o q u e u n
ta n g e n c ia le s ,
e s te
a l
m is
e s tu d io
Y ,
c o n
d ife r e n c ia l,
c o le c tiv o q u e
d e l se
p e n
im p o
in fin ite s im a l,
in te lig e n c ia
p a r
e x te n
p á g in a
c á lc u lo
s in g u la r
B a g e n e
e m p re n d e r
n e c e s id a d
c á lc u lo
d e b e
la
h a b ía
in fin ita s .
c a rá c te r
L a
es
m é to d o s
a l
1 6 7 5 ,
tu v im o s
d e
u n a
ta n to
s e r ie s
el
u n a
d e s a rro llo
L o u r n e m ir e ,
lo
c o m o
s e g u ir.
es
e s ta
la s
y a
d e b id o
P a s c a l
h is tó ric a m e n te
flu x io n e s
a n a lític a ,
d e
a
q u e
la s
la
p o r d e
q u e
o tr o ,
e n
su s
d e
ta n g e n te s
In g la te rra ,
c u a le s
s u
d e
b e n e fic ia rio
fra n c e se s
el
e n
s id o
filo s o fía ;
c u y o
a l
in d iv is ib le s
in v e n c ió n
q u e re m o s
v eces
lo s
re la tiv a s
d e
e ta p a s
P a s c a l;
D e b e m o s
e n c u e n tra
a
la s
m a te m á tic o s
a ritm é tic o s
la
p ro g re s o s , d e
h a n p a s a d o
tr iu n f a l
filo s o fía
tr a b a ja b a n
d e
h a
c ie n tífic o ,
m é to d o
c re c id o
q u e
té c n ic a s
L e ib n iz
d e s c u b rim ie n to
c á lc u lo
se
d e
d ific u lta d e s ra p id e z
a l
p o r
o p e ra c io n e s
d o s
la s
d e
s o b re
g e o m e tría
p r e p a r a r
c o m o
sí
la s
h a b la r
1 6 6 5
u n o
c u y a s
d e
t.
e n
v e n ta ja
la
c o n fu n d id a s
m i d e
m a n e ra s
u n a
h a b ía
el
c o m o
n e
d e b e
a l
s e n o
c o n
e s tu d io :
a lg u n a
s o n
q u e
U n o
tr a b a jo s
p u b lic a d a
s o n
d ife re n te s
d e
D e sc a r
q u e
A c ta s
q u e
d o b le
m a te m á tic o s
c o n e x ió n
la s
su
lu g a r
F e r m a t,
q u e
c ó m o
re a liz a d o
c u y o lo s
e n
h a b e r p a re c e
a d a p ta r
a n te s
m á s
c o n
u n
s e r
s id o
d e
c o m o
d e
y
c o n te n ta r
s o b re
re s u ltó
h a
c o m o
h e c h o ,
e l
q u e
“ E n
la s
te ó ric a s
o c a s ió n r r o w ,
O ,
h a n
n o ta c ió n
(® 4 ) .
re fle x io n e s
in s is tir
d e
c la rid a d
p re o c u p ó
m a g n itu d e s
n o
s in o
c u a lq u ie r
e fe c tiv a m e n te ,
n o s
m o s
o tra s
q u e
p a ra
p rim e ra s
p u e s
rig o r,
u n a
ú ltim o
m e ta fís ic a :
a p a re c id o
s e ría n
p e q u e ñ a s ,
a
m e n o r
la s
se
p o r
o tro s
p o r
u n a
s u
s e ñ a la d a s
q u e
c o n s id e ro , e n
n o
d e
h a y a
s o n
p u e s to
p e q u e ñ o s
q u e
lo s
q u e
q u e
in d e fin id a m e n te
n a b le ,
to d o s
s o lu c ió n ,
c o n
in fin ite s im a le s
y
la
N e w to n ,
in v e n c ió n
c u a n to
s u p o n e r
sí
d e
irre d u c tib le
2 0 5
le ib n iz ia .n o
e x p re s a r la
in c o m p a r a b le s
d ifie re n
p o r
la
m á s
N e w to n
i e n t o
p a ra q u e
d e
re a lis m o
d e
ta m e n te
c re a d o
m a g n itu d e s
a ú n
g o r itm o
d e s c u b r i m
c o m p le ta
a lc a n c e
irre p ro c h a b le le n g u a je
l
c o m o
s ig n ific a c ió n c u y a
p a ra
c o n s titu c ió n
c ie n tífic o .
o c tu b re
d e
1 7 1 4 .
E d .
D u te n s ,
1 7 6 8 ,
4 4 2 . Πu v r e s ,
1 9 0 8 ,
t.
I l l ,
p á g .
3 6 6 ,
y
la
n o ta
d e
P ie rre
B o u tro u x .
V e r
5
2 7 2 .
L a s
2 0 6
S
e ta fc is
e c c i ó
C . —
n
L O S
1 0 6 .— s a m ie n to m a x im a m m e n te su
P o c a s
h u m a n o e t
q u e
u n a
re p re s e n to m e to d o
d a
p o r
c ió n tid a d
p o r
A
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y
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P o n g o c io n e s
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—
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—
(6 6 )
F e rm a t,
( 6 7 )
C fr.
e c u a c ió n
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tr a d u c ir
la
X
1 ,
V ,
tr a d u c ir á 1 4 ,
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la
e n
u n a
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A
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+
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E l
A
A
e n
c a n tid a d s e c re to
e x p re s ió n e n
a q u í
q u e
c ie rta
re d u c c ió n ,
p e n
in m e d ia ta
( ee) . s u p o n g o
e c u a c ió n
la
d e l
d is q u ite n d a m
D e s c a rte s
n o ta b le
p u n to
B
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sea
e m p le a
y
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q u e
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(B
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d e
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d e s c o m p o n e r
m a x im u m .
o b te n g o
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q u e p o r
L e ip z ig ,
2 A
u n
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A
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A B
—
2 A E
+
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—
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B
S u s
e c u a c ió n
A B
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—
A 2
—
s e g u n d o s
té rm in o s
E 2.
e c u a
e d ic .
c o m o
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P .
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I b id .,
ig u a le s ,
a d ig u a ld a d ,
x a p t c o 'T r j ç
q u e
y
B a c h e t
s ig n ific a
ig u a ld a d
p á g .
T a n n e ry
fu e s e n
c o m p a ra c ió n
1 8 8 3 ,
2 A E
+
E B
—
E 2
E 2
m é to d o ” .
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A 2 — +
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m is m o
a p p r o p in q u a tio t.
—
2 A E
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B -A c ,
g rie g a
q u e
A B
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Πu v r e s ,
" p a r a
s e m e ja n te
s e ñ a la
0£ p t í j ó v i ) q
lo
h is to r ia
p ro b le m a ,
la
la d o s
h o y ,
sea
—
A 2 =
B
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e x p re s ió n
u n
e q u iv a le n te
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la
la
p re c e d e n te s :
A B
c o n
c o n
s e rá
E ;
c o m o
e n
e th o d u s
e c u a c ió n
( 07)
la
c u y o s
d iría m o s
p ro d u c to +
t o n
b u s c a d o .
p ro d u c to
A
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G e o m e tr ía
d e l
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o b tie n e
d iv id ir
c o m o
p o r
+
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s e g ú n
“ a d - ig u a la r ” d e
M
F e r m a t
d e
la
o ,
N
a u m e n ta d a
f o r m o
re c tá n g u lo
c ú y o su
A
y
á t i c a
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fa m o s a s
p o r
es
ig u a la r
m in im u m
q u e
m á x im a ;
E :
A
t
e s c rito
e c u a c ió n
D e s p u é s
.
P ro p ó n g a s e m a n e ra
la
a
a t e m
T A N G E N C IA L E S
ta n
e n v ia d o
m
e r m
p u b lic a c ió n
e n
e n
E
F
e
b re v e
c a n tid a d
re s id e
F e rm a t,
e n
D
f i l o s o f í a
s o n
el
P la n te o
e c u a c ió n
d e i
la
la
É T O D O S
lín e a s c o m o
d e
c o n te n id o :
e s ta
M
m in im a n
d e s p u é s
d e
é l
la
o
e n
d ic e P a u l
p o r
1 8 9 1 ,
1 4 0 .
t.
" P rim e ro
v e rd a d
n o
D io fa n to T a n n e ry ,
e x p re s ió n
a p ro x im a tiv a ;
[a c e rc a m ie n to 1 5 1 .
a u n q u e
c o m o
e m p le a ) ."
e m p le a n
H e n ry , p á g .
o tra
p a rte ,
lo
lo e .
se a n ,
e l
a sí
c it., p a ra
m is m o
D io fa n to ,
1 3 3 . c o m p a ro
(p u e s
a d a e q u a lita s ,
a p ro x im a c ió n ],
lo
y
h e
p u e d o
p á g .
1 3 3 ,
tra d u c ir T a n n e ry
A r itm é tic a ,
L a
a n u la c ió n
x im u m
d e
la s
L o s
m
E
d a
d e
d o s
p a rte s
é to d o s
el
d e
re s u lta d o
la
2 0 7
t a n g e n c ia le s
b u s c a d o ;
c a n tid a d
B
el
B 2 ---------.
es
p ro d u c to
M
é to d o
rn a -
in fa li-
4 b le ,
a g re g a
lo s
m á s
e s te
m é to d o
c rito
q u e
d is ta n c ia S i
la s
m á x im a
e n tre
ese
p u n to
b r ir
el
d a r
e n
d e la
c e ro .
el
e n
n a c io n e s lo s
el
ese
d e
d e
o
m o v im ie n to
la s
n o c io n e s
d e l
á lg e b ra ,
es
fo rm a c ió n
d e
y
la s
d e s a rro llo
ta m b ié n
(6 9 ) M o m e n te rie ,
L e ç o n s
1 8 8 4 ,
t.
V ,
p á g .
—
L a la
s u r
o b ra
t.
I,
p á g .
la
V iè te ; p o r
E s
d e
o r ig in a lid a d
c a lc u l
d e s o b .
p á g .
1 4 7 .
h a
la s
d e
d e
C fr.
a p lic a
C .
IV , R .
a
la s
y
lo s
e s p a c ia l ;
el
o rig e n el
p ro b le m a s d e
d e
te rre n o
la
d e
tr a n s
a b s tra c to
q u e
la
le y
p la n te a d a s .
d e
a u to r
F e rm a t d e
Πu v r e s ,
la s
e d .
e s tá R e - 689
S e rre t,
9 3 .
a lln e r ,
In fin ite s im a lr e c h n u n g ,
m a x im u m ,
ju s tific a
c o n c e p c ió n E l
a d iv i
in s e n s ib le s
e n
le y e s
q u e
( 1 7 9 9 - 1 8 0 1 ) . p á g . W
v e r
d ific u lta d e s
D e s c a rte s .
jo n c tio n s d t.,
m o m e n to la s
c o n s id e ra c ió n
n a c id o
p e n s a m ie n to
la
el
d e l
la
fu e se
d e s n u d o ,
in tu ic ió n d e
h a
P a p o ,
u n
E n
q u e rid o
in te lig e n c ia
s o lu c ió n
M a rie ,
d e r
1 2 1 .
d e
( 09) . d e
u n a
u n a
si
a d -ig u a ld a d
re c u e rd a n
a lre d e d o re s
d e ín
p a r a
e x a c to ,
v a ria c io n e s
e n
e s tá
c o m o
la
in c u
c o rre s p o n
m a n ifie s ta
q u e
d e
a lg o ritm o s
se r
id e n tid a d .
lo s
le jo s
in te rv ie n e
p a ra
d e
L a g r a n
p rim e r
d ife re n c ia l q u e
n o s
la s
se
lo s
y
s o s p e c h a d o .
m u y
s u p rim id o
p e n s a m ie n to
re s is te n c ia
le C fr.
q u e
la
c o n fia n z a
“ el
tra d ic io n a l;
a p o y o
tra s m itid o s
la
p o r
E n s ie h u n g
1 9 0 4 ,
la
in te r io r
p o r
2 9 4 .
Πu v re s , h e i
d e
se
s u
m a g n itu d e s
in d e p e n d ie n te
e n
E se
la
c o m o
c o m o
c o m o
d e
es,
es
d e
e n
b u s c a
tie m p o
e c u a c io n e s
d e s a rro llo
(6 8 ) X ,
d e l
n o
ta le s
E
la s
n o
s o b re
c o m p le to
m in im u m
1 0 7 .
t.
p o r
d e
re s u lta d o s
K e p le r
e s a
s im p lic id a d
e s tá
a u x ilia r
p rin c ip io
s e g u n d o
h a b e rlo
ju e c e s
p ro c e d e n
ló g ic a
d is m in u c io n e s
F e rm a t
p ro c e d e y
tu a d a
d e
la
el p e n s a m ie n to
la
h a lla r
d e
m é to d o
re la c ió n
d e
d e c o n
ta n g e n te
ju s tific a d o
F e rm a t
d ife re n c ia l
d e l
d ife re n c ia le s .
m a x im u m
ese
la s
d e
d e l
o
a
fin a lm e n te ,
fo rm a s
a
d e
e m b a rg o
q u e ,
ríg id o
h a
p u d ie ra
s ím b o lo la
s in
y
q u e
u n la
c o n s id e rá n d o la
c la ra
m is m o
m e n o s
d e
q u e
O re s m e
p a rtic u la rm e n te ,
d e
ese
v u e lv e
a u m e n to s
e l
d e
la s
m a rc o q u e
p e n s a m ie n to
s ig u e
lo
m a y o ría
p a rá b o la .
( 6S) . S u
p e n s a m ie n to
to d a s
la ta n
c o n s id e ra r
P o r
e x p re s ió n
e je ,
a u to r id a d
o p e ra c io n e s
p ro b le m a ,
Y
d e s b o rd a
d e
la s
N e w to n .
y
la
d e te rm in a r
e n
e je m p lo
p o r v e n ir
él la
c á lc u lo s ”
d e te rm in a d a
d e s lig a d o
d e
e in ju s to
n u e v o s d e
q u e
p e s a r
c o n c e p c ió n
a l
m a g n itu d
m is m o
lo
el
c u rv a s ;
d e l
a
p a rtic u la r,
c o m o
c o n c ie n c ia
m é to d o ,
d e
y a
s e g u n d a
d ie n te s
u n a
su
a ú n —
lo s
o
u n a
u n
d e
c a m p o
L e ib n iz te g ro
tu v o
e x te n d id o
e n
lín e a s
p u n to
e x a g e ra d o
d e
la s to m ó
u n
m á s
• es
d e
D e s c a rte s
se r
fá c il,
d e sd e
C ie rta m e n te
v e n to r
a
d e
S e rá
tr a z a d a
g e n e ra lid a d
g e, —
s u s c e p tib le
ta n g e n te s
F e rm a t
m u c h o
y
p ro b le m a s .
e n v ió
p a rá b o la
la
F e rm a t,
b e llo s
E n tw ic k e lu n g s g e s c h ic h tlic h e
B ib lio th e c a
M a th e m a tic a ,
I I P
se
a c e n
L a s
2 0 8
g u lc e
a d
d ir e c tio n e m
v in c u la r
c o m o
“ n o c ió n
c la ra
tre
la
él
la
f ó r m u la
ta n g e n te to d o
a
d e
la
b le m a
a
p ro c e d e
se
a
tin ú a
s ie n d o d e
m a n e ra s o b re
d e c ir,
d e
ta l
n o
g e o m e tría ” E l lo s
m é to d o
u n
te m a
d e
g a m o s
ese
p u n to
( 7 0 ) I,
lo
d e c re c e r
e n
t.
p á g .
q u e
a
lo s
to d a s
m é to d o
la
el
y
a q u é lla s
q u e
q u e
si la
m é
q u e
u n
“ f u n d a d a
d e la
la a
d e
la
s o
es
la
se
u ti
c u rv a
d e l
p r o
la
d e
re c ta s
q u e
es
se p a ,
ra d io .
é s te s in o
( 71) ,
F e rm a t,
e n
se
el
y o
se
es
la
e n
e lla ,
A h o r a
b ie n ,
q u e
D e s c a rte s
p e ro
q u e
se
c o n
esa
c o n d u c e
f o r m a n d o
Y
m á s
h a y a
a
á n g u lo s
e le g ir.
p ro b le m a
la
S i
u n iv e rs a íiz a d a .
q u ie ra
q u e
q u e
m a te m á tic a ,
g e n e ra l
c a ig a n
q u e
s im p le
se rá
in s p i
e n tre
d e te rm in a d a a l
in v e n c ió n
c u rv a s
h a
a lg e b ra ic a .
m á s
e s tá
re g la
q u e
c o n ju n c ió n
g e o m e tría ”
la
la s
re s o lu c ió n
e x p re s ió n
c irc u n fe re n c ia
q u e
y o
la
ta n g e n te
d e
a
la
g e n e ra l
p e rp e n d ic u la r
d e
la
p a ra
c o n c e p c ió n
p u n to s
d e
a
a h o ra v a n el
a
C a r ta
d e
a
s o lu c ió n
d e
D a d a
la
d o s
m e
ú til
c a L a d a r re c
a tre v o
y
d e s e a d o
d e l
a c e rc a rse
la
p u n to
e l
m á s
s a b e r
c írc u lo ,
E se
p u n to
p e ro
fe c h a d a
e s tá
q u e
a l
d o s
a d e
la
a
ra íc e s
e n to n c e s a
la
e n
e n
a u x ilia r
c o
u n
m is m o
s is
c o m u n e s .
H a
d o s
d e
c o in c id ir
e n
la
c u rv a
y
lo s
a
c o in c id e n c ia
d e te rm in a d o
a p ro x im a d a m e n te
p o s ic ió n
e n
tra c e m o s
e n c u e n tre
c írc u lo
re fe rid a s
lle g a r
p e rp e n d ic u la r
c u rv a .
y
e n
c u a lq u ie ra ,
c írc u lo
d a d a
m e n o s
h a s ta
lím ite ;
M e r se rm e ,
lo
c o n te n id o
c u rv a
e c u a c io n e s ;
el
s e rá
u n
c u rv a
p o r
ra d ío
e s tá
u n a
c u rv a ,
A
te n d r á n
ra d ío
ta n g e n te
p a p e l
la
la
m e n o s .
a n a lític a m e n te
in te rs e c c ió n
e l
lo
d e
p a r tic u la r
c o m o
in te r io r
p o r
d e
p u e s
im p o s ib le ,
re d u c e
la
p ro b le m a .
c o o rd e n a d a s ,
p o n d ie n te
m á s
a
s e c re to
g e n e ra l d e l
p u n to
p u n to s
rre s p o n d e n
q u e
él
e n
d e
( 72) .
té rm in o s
d e s d e d o s
e n
p o s ic ió n ,
f o rm a
lín e a s d e
q u e
c a so
v e r
p r e
c o m o
f ó r m u la
fa ls a
c o n s id e ra
D e s c a rte s ,
s ó lo
el
la
d e
c a so
ta n g e n te
c u a l
a g re g a
g e n e ra l,
se
el
tr a z a r
o
se r
la e n
F e rm a t
r e g la
d e
la
ta n g e n te la
e n
q u e
p o d r á
u n ió n
e s c o lá s tic o
d e b ie s e
a ú n ,
q u e
F e rm a t,
la
q u ie re
q u e
“ m e ta fís ic a
d e
h a r á
n o
d e s d ic h a d a m e n te
la
d e te rm in a c ió n
si
él
se
p u ra m e n te
in g e n io s a
u n y
d e s c u b re
p a ra
c u a l
a l
p o r
( 70) .
u n ifo rm e ,
e s ta
a b s o lu to
u n iv e rs a lid a d
Y
v e rd a d e ro
c u rv a
o rd e n ,
a p 'i c a d o
d e
se
el
o jo s ,
la
m e n o s
c o m o
la
h a b ía
“ la
d e
á t i c a
in v e n ta d o
la
p a rá b o la
s u s
d e d u c e
m a n e ra
to s
a
p r io r i;
c irc u n fe re n c ia ,
a
la
L a
c u a lq u ie ra .
el
c o n
ra c te rís tic a
la
D e s c a rte s
d e
c o n fo rm e
a
d e
s e n tid o
d e m o s tra r y
a t e m
v a n o
m e d io
u n
a p lic a c ió n
g e o m e tría
n a tu r a le z a
u n a
e n
c u rv a
d e
e n
m
p ro c e d im ie n to
p o r
triu n fa s e
u n a
f i lo s o f í a
in tu ic ió n .
m a te m á tic a s ”
es la
la
la
b u s c a
el
ta n g e n te
u n a
S e g ú n
ra d o
la
e s tim a d a e n
y
in te r p r e ta
m a n e ra
liz a n
d e
r a z ó n
d is tin ta ”
F e r m a t
m e n o s
d e
in g e n ti
s u
y
d e
e x p e d ie n te , b re
a
in te lig e n c ia
te n d ía , la
e ta p a s
p u n to s
u n o la
s ó lo ; c o rre s
d e s e m p e ñ a
in d e p e n d ie n -
e n e ro
d e
1 6 3 8 ,
4 9 0 .
( 7 1 )
C fr.
C a r ta
(1 2 )
A T .,
V I ,
a
M e r s e n n e ,
p á g .
4 1 3 .
d e l
9
d e
e n e ro
d e
1 6 3 9 ,
A T ,
I I ,
p á g .
4 9 0 .
A T ,
L o s
te m e n te io s y
d e
to d a
v a lo re s el
fu e ra
u n
n i
m o d o
s u je ta
m é to d o
y
m e c á n ic o
q u e
“ el
L a
d e
H e
a q u í s u r
tr o u v e r d e l
le s
p rin c ip io
c u rv a ,
p o s ic ió n
d e l
p u n to
p a la b ra s .
q u e
la s
d e l
e n
la
d e y
R o b e rv a l, e n
el
e n
el
in tu ic ió n
se
m a n ifie s ta
P e ro
la
s o
a v e n tu
se y
p re s ta n e n
c ie rto
p re c is a m e n te la
d e l
d es
p o r
a p lic a c ió n
p r o p io
la
es
d e l
d e l
D e s c a rte s ,
lu g a r
la s
q u e
la
q u e
u n q u e
se
se
c u rv a
tr a z a r
y
te n d ré is
la
la
m é q u e
e n
c a d a
e s ta s
s im
le
a c e p ta rá
a te n c ió n ” .
y
a
la
c u rv a
q u e
h a c e
la
(q u e e l
to d o s
d e
d e
o s
p u n to
d e
lín e a
ta n g e n te
D e
s u c e s i d iv e rs a s
ta n g e n te :
tr a z a d
le s
el
a p lic a rá
c ó n ic a s
m o v im ie n to s
s o lo ,
se
d e
d e
s u r
p u n to
a g re g a n
p o c o
e s p e c ífic a s
e t
u n
y
p a rte
p re s e n ta d o
a p o y a
d e
R o b e rv a l
u n o
c o m p u e s to ,
o tr a
h a
lín e a
s e c c io n e s
q u e ré is
e n
q u e
in te lig ib le
c o n
d iv e rs o s
e n
a
lo
g e n e ra l”
c o m p u e s to s
el
se
m is m a
m é to d o
in s p ira c ió n
m o u v e m e n ts c o u r b e s
s o b re
b a s ta n te
a
la
el
p o r
re d a c ta d o
d e s
A
e n
c o m p e te n c ia
ta n g e n te
d e
p rin c ip io s ,
m o v im ie n to
p ro p ie d a d e s lo s
lo s
a p a re c e n
lig n e s
in v e n c ió n ”
es
e n
e s c rito
c o m p o s itio n
re g la
la s
m o v im ie n to
D e s c a rte s
fic io
c u a l
ig u a le s ,
d ire c
la
lín e a
( 7S) ” .
m é tric a ,
a
D e s c a rte s
es
a p lic a c io n e s ,
c o n s id e ra rlo
“ la
e x a m in a d
d e s c rib e
c u rv a
el
s o n
la
fin a l
s im p lic id a d
“ ta n g e n te s ”
m o v im ie n to s
c ió n
c o n fe s ió n
d ire c c ió n
d e
“ P o r
d a d a s )
la
lo s
la
p rin c ip io
d e riv a
n u e v a s :
s e rá n
p a ra
p r o p o r c io n a r á
c o rre s p o n d e n c ia ,
m e n c io n a d o ” .
“ E l
d e s p u é s
p rin c ip io a
esa
d e
lín e a
lín e a s
d e
la s
la
u n a
v a m e n te
a q u é l
d e y
g e o m e tría .
to u c h a n te s
d e s c rib e
fá c ilm e n te
la
c o m o
“ L a
ese
p e n s a m ie n to in te lig e n c ia
y
e n
R o b e rv a l:
p le s
el
m is m a
d e s a rro lla b a
O b s e r v a tio n s
a x io m a
es
c irc u n fe re n c ia
c o rre s p o n d e n c ia
s e g ú n
a h o n d a r
T o r r ic e lli.
to d o
la
le y e s
■— p a ra
d e
la
in d e te r m in a d o s
la
á lg e b ra
la s
1 0 8 .
s u y a
d e
p e n o s a .
p lic a c ió n
m o y e n s
q u e
q u e
p e rm a n e c e ,
re s trin g id a
c o n
e n
el
a
in f in ite s im a l:
e c u a c ió n
in s ta n te ,
e n
e n tre
2 0 9
t a n g e n c ia l e s
p ro b le m a .
u n
m u tu o ,
la
c o e fic ie n te s
d e l
d o m in io
lite ra l
e s tá
d e
lo s
p o r
d e l
a p o y o
q u e
d e
a lg e b ra ic a
A s í, ró
é to d o s
c o n s id e ra c ió n
c o m u n e s
m é to d o
lu c ió n
m
n o
d e l
q u e
re d u c ía
q u is o
s u y o
v e r
( 74)
c o n s id e ra c ió n q u e
se
c o m p o s ic ió n
n o
le s
p u n to s
(7 3 ( 7 4 )
d e
a
d e
a s í
a l
la
n o
sea
l 'A c a d é m i e
M e r s e n n e ,
d e l
15
el
e le m e n to
q u e
R o y a le d e
e n
s in o
m e n o s
lo
a
R o b e rv a l
la
q u e
el
p r o b a r á
d e s
n o v ie m b re
p a ra
m á s Q u e
t.
V I,
A T ,
II,
a g re g a
s im p le s , e s ta
d e s
d e s a rro llo g ra d u a l
s u fic ie n te m e n te
1 6 3 8 ,
g e o a r ti
m o v im ie n to
a c e rc a m ie n to
S c ie n c e s , d e
el
u n
q u e
d e l
v e lo c id a d .
fe c u n d a
q u e
n u e v o
m o v im ie n to s e n
in tu ic ió n
m á s
d e s c o m p o s ic ió n
d ife re n c ia c ió n es
m e c á n ic a
d e
m ó v il,
d ire c c ió n
in te rs e c c ió n ,
M é m o ire s C a r ta
e n
m e c á n ic a
p ro c e d im ie n to s
in tu ic ió n m é to d o
p ro b le m a
a n im a d o
s ó lo
lo s
d e
la el
d e s c o n o c ió
d e l
s u p o n e
d ife re n te s
;
e n
1 7 3 0 , p á g .
d e d e
el
e je m -
p á g .
2 5 .
4 3 4 .
c o m
L a s
2 1 0
p ío e n
d e q u e
p a z
d e
q u e
se
lo s
tre s
B a r r o w
y
a c tu a lm e n te
a
h a
e s c rib ía
a
c a rte s ,
y ,
m á s
E n
ta n
u n a
te m e n te c a si
m á s lo s
s u
la
re fle x ió n
d e
lo s
h e c h a
m o v im ie n to s d e b id a
a
el
se
h a
lle v a rá
c u a n d o
e n
su
m a te m á tic a , ( 7S) . se
( 7B ) C h a s le s ,
d e
R o b e rv a l
u n
s u
m á s
la
C a r ta
d e l
4
e n
d e
h is to r iq u e ,
0 7 6 )
B e rlín ,
0 7 7 )
L a c ro ix ,
1 8 8 3 ,
( 7 S )
A i,
( 7 9 )
1 ?
IV , d e
o b . p á g .
a g o s to
d e l
a g o s to
p á g . e it,
d e
h a g a
“ u n
d e
c ita d a ,
1 6 4 0 p á g .
e n
1 6 8 7 .
X I X .
G ,
I I ,
d e
D e s
u n d m u y
m e
s e in e n o ta
s o b re
la
in fin ite s im a l: s irv e
e n c ie rra
q u e
esa
p a ra
fre c u e n
m e ta fís ic a
m á s
p re c is ió n
E n
la
e s tá
d e
la
la
a
e n
es,
e n
la
v e lo c id a d d e
d e
la
ló g ic a y
d e
p a r tic u la r p e q u e ñ a ) ,
d e
d e te r d e
lo s
a d -ig u a ld a d , in te lig e n c ia n u e v a ,
q u e
g e n e ra lid a d
in fin ite s im a le s
re la c ió n
lo s
e llo s
c o in c id e n c ia
D e s c a rte s ,
lo s la
F e rm a t,
6 1 .
1 0 5 . d e
d e
p o r
fu n d a m e n ta l
d e
la
d e s ig u a l
e s c rib ió
a
A r -
( 79) .
9 7 .
p á g .
d e
c a so
la
h a c e r,
c la rid a d
(in f in ita m e n te
s id o ,
m e d io
1 7 9 2 ,
n o c ió n
d e
d e
fu e ra
re c o m p e n s a
e n
d in á m ic o
c á lc u lo
ig u a ld a d ”
e d .
la
p rin c ip io g ra d o
o
“ c o m ú n ”
d ire c c ió n
p ro c e s o
p a re c e
( 77) ” .
d e
e n
d e R o -
h a
e th o d e
d e
ta n ta
c u rv a s
la
el
ig u a ld a d ,
p o r
c o n
n o
p a s a je
c o m ú n
e le m e n to
c o m o
( 1 7 0 2 ) ,
d e s ig u a ld a d
c o n v ie rte
d e
a lto
J u s tific a c ió n
d e
la s
d a d o ,
es
d e
a q u í
q u e
p o r
c á lc u lo
tra tá is
re p re s e n ta c ió n .
m is m o
o r d in a r ia
L a
A p e r ç u
la
e l
“ E l
u n
d e
d e s c u b re
a p lic a
c o rta n
p u n to
es
a
á lg e b r a
n a u ld ,
se
se
h e se
q u e
e m p re n d id o ;
L e ib n iz
d a d
q u e
c u a n to
d a to s
u n
F e rm a t,
c o sa
e n
e n
L a c ro ix
q u e
u n o
ta n g e n te s
v u e s tra
( 76)
tie n e n
c a
( 7B ) ” .
m é to d o s
q u e
L a p la c e
q u e
p o r
e n
lo
la s
in v e n ta d o la
v ís ta
d ife re n c ia l,
c a d a
p a s a je
a r tific io ;
a
c o m o
n a tu ra le z a .
I n fin ite s im a l- M
e s c rib ió
d e
to d o
e n
la
d e
c o rto
s e ñ a la d o
m e ta fís ic a ;
d e
e n
d e r
h a
d e
d ic h a .
c o m o
m á s
m é to d o s
y
v e la d a
m is m o
m e n o s
d iv e rs o s
lo s
ta n g e n c ia le s
m in a c ió n
d e l
d e
ú ltim a
p u n to s
q u e
lo s
v e rd a d e ra
a le ja d o d o s
d e
m u tu a m e n te ,
m é to d o s
e l
q u e
o
m é to d o ,
y
P r in c ip
L a p la c e
s ie m p re , L a
c o n
c a rta
el
p u n to
p e n s a m ie n to
m is m o
s u til
n a tu r a l
d a s
ese
el
s o b re
p ro b le m a
su
a p a re c e
C o h e n
a c e rc a m ie n to
a c la ra rlo s
d e
H e r m a n n
d e sd e
p ro p ia m e n te
y
s in té tic a
e n el
p r o f u n d a
m á s
e s tu d io
e x p o s ic ió n “ E l
h a b la n d o
d e
c u rs o
c o n e x ió n
á ti c a
a p a re c e
e x p líc ita
e l
m a te m á tic a
s im p le ,
s u
fo r m a c o n
a t e m
n o s o tro s ,
c o n e x ió n
d e
la
m
c o lo c a d o s ,
tr a n s p o r ta d o
s u rg ie n d o ,
G e s c h ic h te , d e
e s ta
f i lo s o f í a
h a b e r
F e rm a t,
p a re c e
e n
la
P a r a
la
riv a le s ,
c a p ta d o d e
g e o m e tría
b le
m e jo r
h a lla r
m é to d o s
d o m in io
u n a
N e w to n .
s u rg ir
v u e lv e
e x c u s a rs e d e l
d e
e s ta m o s h a c e r
b e rv a l
e ta p a s
p á g .
1 0 5 .
o b .
d t.,
II,
p á g .
2 0 1 .
C fr.
L a s
s e r ie s
L A S
1 0 9 . '— d e
la s
A l
m e n o s
ta n g e n te s ,
s e ría
b rie ro n
n e ta m e n te
c á lc u lo
in fin ite s im a l,
s e c re to
d e l
lo
q u e
g e n te s
el
p o r ( 80) .
in te g ra c ió n c a m in o
re c o n o c id o
Y
a s í,
p la n te a r a n
q u e
e n
q u e
d e
la
u n
g o ra s ,
la
la
el
el
d a d e s
e n
la s
lo s a
p o r q u e
d e
e s c rib e
la s
la
d e s c u
la
a
d e l
v eces
re la c ió n
d e
e s tá
la s
ta n
e q u iv a le n te s
a n tig ü e d a d ,
h a
el
q u e
el
e n tre
in te g ra l
re g la
in te g ra c ió n
la s
u n a
( s o )
L o e . C a r ta d e
d e l
d e
a
la
s id o
el
h a
s id o
A T ,
C a re il,
la
d o n d e se
( 81) .
I I ,
lo s
g e n e re P e ro
p á g . ju lio
1 8 5 4 ,
o
d e
B rig g s
el
la s
lo s
a ú n
d e
d e
lo s
m á s
s id o
lo g a r it
q u e a
d e
s o s p e c h a h a b ía
u n
lo
t r a
q u e
tie m p o s
c u a n d o
s e rie s
d e
era
P iíá -
p u d ie ra
in f in ita s N o
y a
u n a
q u e
h a y
se
o tr a
o
b ie n
se r
lo
q u e
m é to d o
d e
in te g ra c ió n . d o s
s u m a
c á lc u lo
m e d ia n te
q u e “ H e
m a n e ra s d e
u n a
e n v u e lv e
n u e s tro
d e c is iv o
la s
p e q u e ñ o s ,
p o r la
es tr a ta
re c tific a c io n e s
in f in ita m e n te
e n
n o
c o m p a ra b le d e
o
re c u rs o s
v e rific a c io n e s .
la s
b u s c a ;
b u s c a
te rm in a
fo fo
d e
se
o
m e c á n ic o s
lo s
d e s c u b rim ie n to
c o n s titu y a
se
q u e
q u ie n e s
in fin ite s im a l.
a
q u e
p ro b le m a s
tra s c e n d e n te s
s o m b ra
d e
o
m e d ia n te
e lla
1 2
X V I I ,
re c o rre r
e s to ,
m é to d o s
s ig lo
F o n te n e lle ,
á re a s
s u m a
lo s
a
p a r a
lo s
s u p e ra b a
a ritm é tic a
e n
in f in ita a
p o r
u tilita r ia ,
la
lle g a ro n
e s to
N e p e r
c á lc u lo
la s
d ifie re
c it.,
d e
n o
n e c e s a rio ,
a b s tra c to
d e l
e s tu d io
d e l
c u y a
s u m a s ”
( 8 1 )
s id o
fu n c io n e s
té c n ic a
el
d e
c u a n d o
F o u c h e r
L a
o p e ra c io n e s la
v e r
c á lc u lo
d e
p ro b le m a
c o n s titu c ió n
c re íd o
el
fra n c e se s
d e l
la s
p a r tir
L e ib n iz
s u m a s
m é to d o
d e a
s e rie
m in a c ió n
p o r
se rá
e n
a
d e s c u b rim ie n to s
u n a
in f in ito :
d e
la s
P e ro
te ó ric o s
a q u í
o r d in a rio s
c ia s ,
h a
a l
fra n c e se s
la
L e ib n iz .
q u e
re s u e lto s
m a n te n e rs e
e le m e n ta le s ,
e s te
p a ra
se
y
a n á lis is
ta b la s
h a c e r
té rm in o s
y
lo
q u e
m ita d
u n a
d e s c u b rim ie n to
a
p re s ta ro n
“ c o n v e rs ió n ”
H u b ie ra
s id o
c ie n c ia
p a ra
o b s e rv a d o ,
p o r
la
p a ra
s u m a c ió n
lle g a r
d e
d e l
p rim e ra
d e s tin a d a
H e p a ra
y
m a te m á tic o s
te rre n o
p rá c tic o ,
lo g ís tic a
u tiliz a d a
N e w to n
in te g ra c ió n .
v e ía n
d e
c u a l
p ra c tic a d a s
c o n o c im ie n to
p o r
n o
b a jo
la
u n a
q u e
m a te m á tic o s
e s e n c ia l
d ife re n c ia c ió n
h a b ía n
d e
el
a d q u irid o m o s ;
d e
c a m in o .
el
e n to n c e s
s a b io s
e n
d e
p e s a r
lo s
e s te
g e o m é tric o s lo s
re la c ió n
s id o
la
lo s
p rim e ro .
c ie rto
b a n
a
d e
a te n c ió n
d ife re n c ia l
b ú s q u e d a
IN F I N I T A S
q u e
re la c ió n
c á lc u lo
v a
la
u n a
la
e fe c tiv a m e n te
h a s ta
a llí
h u b ie s e n
q u e
E s
p o r
d e s c u b rim ie n to
se rá
s e ñ a la d a
S E R IE S
e v id e n te
2 1 1
i n f i n i t a s
d e
c u rv a s
o
c a n ti
p ro g re s ió n o a l d e
la s
b ie n
d e
la
te r
in f in ito
. . . ,
la s
d ife re n
s e rie s
d a b a
a
5 1 4 . d e
p á g .
1 7 0 2 . 2 1 3 .
L e ttr e s
e t
o p u s c u le s
in é d its ,
p u b lic a d o s
2 1 2
L a s
lo s
m a te m á tic o s
m a n e ja d o c ia l:
“ H o y
c ió n
d e
p e ro
e n
c e p to la s o
s in
la
q u e
p o d e m o s
L e ib n iz e l
s ig lo
a lg e b ra ic a s
L a e x tra e
lo s
la
la
p rim e ra
W
a llis
re a lid a d
a p a re c e n u n a
la
d e
d ra d o s es
el
c o n v ie rte
lo s
0
+
1
1 X 2
L a s
L a q u e
d a
lo s
la
la
e l
c o n
ta n to
q u e
g e o m é tric a
la
q u e
in d u c c ió n
e s p e c ífic a
n o ta s e rie s ;
e m p e
—
d e
n o
la
e n te n d id a
d e
d e d u c
e n
el
s e n
d ire c ta m e n te
A r ith m e tic a s e n c illo
p u n to ,
d e
a
se r
la s
p ro b le m a s
d e
B u f f o n ,
c u a le s
el
n a tu ra le s
té rm in o s
a
d e l
c o n o c id a
p o r
n u m é ric a s . g e o m é tric o s
p a r tir
d e
m á s es
W
to d a e s ta
el
in d e o b s e r
a llis
d e
tra d u c e
c u a d r a tu r a ; la
s u m a y
q u e
ú ltim o ,
in d u c c ió n ” . y
a ritm é tic a
s im p le .
la
c e ro ,
n u m e r a d o r
p re s e n ta r
p o r
d e
re a lm e n te
e je m p lo
( 1 6 5 5 )
es
e q u ív o c o
n u m e ra d o r
re a lid a d , u n iv e rs a l.
re la c io n e s
q u e
a p lic a
el
la s
s u e rte
p riv ile g ia d a
re la c io n e s
lo s
in v e s tig a r
to d o
m a te ria
T o m e m o s
la s
d e
la
re g la
I n fin ito r u m
d e
o b s e rv a r
e x c lu y e n d o la
s o b re
u n a
d e
S ea
u n a
lo s
c u a
d e n o m in a d o r
m u ltip lic a d o
p o r
el
n ú
té rm in o s :
0
+
’
1
+
4
4 x 3
1
1
3
6
s u m a s
B u lle tin V e r
§
d e s
2 9 8 .
0
+
1 +
'
1
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d e
1
1 2
d e la s
S c ie n c e s
+
9
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’
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9 +
1 6
a
1
1 8 ’
3
+
2 4
p e rm ite
fo rm a d a s
m a th é m a tiq u e s ,
+
1 6 X 5
1
re s u lta d o s
fra c c io n e s
+
re s p e c tiv a m e n te
1
3
0
’
e q u iv a le n
1
3
4
9 X 4
fra c c io n e s
c o n s id e ra c ió n
( 8
)
la
e n
la
m á s
e n
in f in ito .
( 8 2 ) 3
es
d is tin ta s
la s
q u e
la g u n a
d e
p a rtic u la re s
lle g u e
q u e
n ú m e ro s
eso s
d e
c ie rto
e x p re s ió n
d e
e s ta
e n
se r
e s p a
d e
fa lta b a
m á s
in d u c c ió n
re c íp ro c a m e n te ;
se
d e l
fig u r a r
fo r m a
o p e ra c a so s
u n iv e rs a l
fra c c io n e s
d e
d e
a ritm é tic o s
ú ltim o
m e ro
a llis
m o d o
re a lid a d
fe liz
d e
la
h a s ta
m e tó d ic a ,
id e a s
s e rie
“ E l
la
té rm in o s
la s
W
c o m p a ra rla s
te rm in a c ió n
s e g ú n
d e
p ro p o s ic ió n
m is m a
y
b ie n ,
v a c ió n
d e
q u e :
p ro p o s ic ió n
A h o r a
s in o
e m p le o Ies
d e
im a g e n
T a n n e r y ,
el
p o rq u e
p rá c tic a u n a
la
in tro d u c irs e
p re c is a m e n te
es
s u s c e p tib le d e
P a u l
s in
p o d ía
q u e
o b s e rv a c ió n
s e ñ a la
d ic e
p o d ía n
e ra
ro d e o
fís ic o s .
in d u c c ió n
d e
—
el
p o s ib le ,
la
á t i c a
in f in ito
p o r
n o
n o
F u e
a t e m
a p lic a d a
e ra
m e d ia n te
( 8S)
d e
el
m
c ie rto ,
y
q u e
c o m p le ta ”
D e s d e
a
( 82) .
a llis
m a te m á tic a e s tric to
p o r
n o
n o
tid o
e n
e llo
re la c io n e s
c ió n
q u e p a s a r
c o n c e b ir
X V I I
W
f i lo s o f í a
d e s a rro lla d a
fu n c ió n ,
“ in d u c c ió n
la
d e
d e
c o lm a r
la
d e b ie ra
g e n e ra l
a
la
d e
c e rte z a se
m e c á n ic a m e n te ”
z ó
e ta p a s
1 8 8 6 ,
f o r m a r
s u c e s iv a m e n te
p á g .
2 8 1 .
u n a
re g la
s e g ú n
el
L a s
m is m o
p ro c e d im ie n to .
a u m e n ta ,
el
re g u la r;
d e
m in a d o r le y
e x c e so
d e
d o n d e
se
p o r
la
—
d e
a l
q u e ,
f in
u n a
c ia
d e
d e
d u c c ió n
q u e
d e
p ro p ó s ito
s o b re
la
p e ro
la s
q u e
n o ta s
d e sd e
g a n te ”
( 85) .
h e c h o
m á s
ra c io n e s
P o r
q u e
d e
la
b le m a
d e
a l
a
p ro c e s o
tra v é s
d e
s u
d e l
o p ., C a r ta d u d a
L ó g ic a , la
h a
in d u c c ió n
L o g iq u e ,
5 ?
e d .,
t.
I
d e
t.
el
a l
la
e l
p r o p io
d e
la
q u e
p á g .
d e l
1 5
re c o rd a r e s tu d io
p á g ,
ese
4 6
la
y o
lo s
e s ta
a p ru e
W
y
a llis la s
h a
c o n s id e
P e ro
a
la
p o s ib le d e
e le
n o
re a liz a d o
a y u d a ,
p o r
m á s
p a ra
p ro b le m a s
v ía q u e
m a n e ra
re s o lu c ió n se rá
la
lo
d e d e
p a la b ra s
C a v a lie ri.
h a b ía
c o n
f u n d a d a
d e m o s tra d a s
m e n o s
la
A r i t
E s c rib ió
m a n e ra
n o
es in
s ilo g is m o s
p ro g re s o
p ro g re s o
e n to n c e s
in tu ic ió n
d e
tr a
la
la
e s tá
a
a lc a n z a b a n
a n a lític o
in te lig e n c ia
h a s ta
ese
te o ría c u a n d o
d e l
p r o
v in c u la r
c u a d r a tu r a
p e ro
ta m b ié n
g e o m é tric a .
3 8 3 . d e
a g o s to
q u e d e
p ro c e d im ie n to 1 8 6 8 ,
a
q u e
r a z ó n :
F e rm a t
o rd e n
M e rc e d
d e
in te ré s
I ,
te rre n o
e n
c o n v in c e n te
tie n e
o
D ig b y ,
c o m o
F e rm a t
e s e n
se
in ú til.
p re fe rid o
m á s
u n
d e
re to m a d o
h a
c o rre s p o n d e
( 1 6 9 5 ) ,
a
q u é es
la
p ra c tic a r
v is to
se r
m u c h a s
A rq u ím e d e s
q u e
a
es q u e
c o n
q u e
m é to d o
e ra
g e o m é tric o s ,
q u ie re n
N o
q u e
p u n to
té c n ic a m e n te
p u d íe n d o
d e
tr a ta d o s
v e lo ,
(8 4 )
el
fin .
a l
d e l
q u e
d e m o s tra r,
te rre n o
ta n g e n te s .
( 8 5 ) s in
m o m e n to ,
c o ra z ó n
h a y a
q u e
s u e rte
( 84) .
ra z o n a m ie n to
el
p o r
a n tig u a
a lg o r itm o
s id o
sé
el
a b s tra c to
h a b ía n
c a re c e a
la s
n o
la
n o
n o v ic io s ,
A r c h im e d e a
lib ro ,
d e l
u n
el
h a s ta
a
d e
n a tu ra le z a s o b re
q u e
e t
in fin ite s im a le s
a p o y ó
lo s
a c e r
d e
a s ig n a b le ,
p a rte
la
e x p re s a d a a llis ,
c o m p lic a c ió n
d e
s o b re
a
d e s p la z a r
d e s p la z a m ie n to
u n a
el
d e n o
W
té rm in o s
o tra
el
s e g ú n
se
lím ite
q u e
e n
p o r
p ro p o s ic io n e s
le g ítim a , s u
p u e s to
m a n e ra
q u e
el c o m ie n z o
a lg e b ra ic a s ,
Y
p la n te a d o s
“ S u
o tr a
a l
y
le y
d ic e
lím ite s ]
e n
p a s a je
u n a
in d u c c ió n
d e s a p a re c e rá ”
h a lla rs e
q u e
p o r
to d a
té rm in o s
e s ta rá
e x p e rim e n to ,
d e
a fe c to
lo s s e g ú n
c o lo c a d o s
re la c ió n
d e s c u b rim ie n to ,
m á s
su s
c o n tie n e
a
d e
n u m e ra d o r
v a lo re s
in f in ito ,
m á s
tr a b a jo
to d a s
o r d in a r ia ,
d e
a llis :
d a rá
m o s tra tiv o s b e ;
W
in d u c c ió n
A rq u ím e d e s ,
q u e
ta n
I n fin ito s
d e
m e n o r
v u e lv e
el
su el
lo s
g e o m é tric o s .
m e d io
lo s
si
té rm in o s
h a lla d a s
a
p ro b le m a s
F e rm a t,
c o m o
m é tic a
A s í
m é to d o s
q u e
h e c h o
sea
el
n ú m e ro
d is m in u y e
d e
ra z o n e s
[o
h a s ta
el
in d ic a r,
p ro c e d im ie n to
re s o lv e r
e x p lic a b le
la s
e s ta s
— m is m o
lo s
ta b a
d e
d ife re n c ia
1 1 0 . ese
d e d u c ir
“ P o rq u e ,
a
q u e s o b re
in f in id a d
q u e
c o n tin u a d a
m é tic o
a
.
m a n ifie s to
c o n tin u a m e n te
re s u lte
u n a
a c a b a m o s
fra c c ió n
re s u lta rá c a n
q u e
s u m a s
2 1 3
i n f i n i t a s
m e d id a
e sa s p u e d e
c o m p o rta n
re g u la r
A
s e r ie s
y
e l
e so s
P .
d e
te x to s
tr a s c e n d e n te s ig .
1 6 5 7 ,
G ra try , p a ra d e
e n
T H , u n a
I I ,
p á g .
3 4 3 .
In tr o d u c c ió n
a p o y a r
e n
e llo s
p a s a je
a l
in f in ito
s u
— -
N o
a g re g a d a c o n c e p c ió n m e ta fis ic o .
a r it
2 1 4
L a s
E s ta d e
la
e ta p a s
c o n c lu s ió n
d e
la
c o m p re n d id o
M
es
e x p re s a r
la
d e
c u a d r a tu r a
s e g m e n to e rc a to r
f i lo s o f í a
a p a re c e rá
L o g a titm o -te c h n ia
B u s c a n d o
la
d e
o rd e n a d a
la
p o r
á ti c a
e le c c ió n
e n
u n
e rc a to r, es
h ip é rb o la
la
la
M
h ip é rb o la ,
la
p o r
a t e m
c la ra m e n te
N ic o lá s
e n tre
c o n d u c id o
m á s
m
d e c ir,
la
e q u ilá te ra
h e c h a
p a s a je
c é le b re
(L o n d re s ,
d e
s u p e rfic ie
y
su s
la s
fra c c ió n — i — . A h o r a
1 6 6 8 ) . d e l
a s ín to ta s ,
c o o rd e n a d a s
b ie n ,
e fe c tú a
a
d ire c -
1 -)- a ta m e n te
s e g ú n
m e ra d o r
o p e ra c ió n ,
--------------- — 1
+
la s
p o r
el
re g la s
u n a
1
—
o rd in a ria s
d e n o m in a d o r ; s e rie
a
+
in f in ita :
a a —
a 3
+
lo
e n
c ie rto
in f in ito ;
s e rv a r
d e sd e
L a
re g u la rid a d
d e
lu g a r
fu e ra
fo rm a c ió n
esas
m o d o
e n
d e
d e
la s la
d e
c a n tid a d e s ;
fin ita
se
m e n o r
q u e
la
la
o b ra
e n
d e
M
c ir c u ii
e n tre
la
e l c o c ie n te fo r m a
e n
d e riv a
a
la
e t
e x a c ta
q u e
e
a b ie rto
p r o p .
L e ib n iz
c ir c u n s c r ip iu m
la
f ó r m u la
X V ,
in
e l
p a -
p á g .
d ic e ,
u n id a d ,
e l
á re a
d e l
la
m e n o re s
s e rie q u e
m e n o r lo
c u a l,
q u e la
n o c ió n d e
o b
la
le y
c a n tid a d e s .
la
in f in id a d
p a rtid a ,
la
d e
s e r ie
in -
y
la
E n
el
a
la s
es
d e
c o n v e r g e n c ia
in s c rip to s e n
n o
d o s
d e
h a y
e n
d e
d e
la
c írc u 1 6 6 7 :
la
a p re
d iv is ió n
to m a d a c ie n c ia ,
Z e n ó n
d e
b a jo c o m o
E le a
e s tá
( 87) .
re p re s e n ta c io n e s e s tá n
d e l e n
d ife re n c ia
in f in ito
h u m a n o
y
P a d u a
té rm in o s
p a r a d o ja
e s p íritu
a
e x p re s ió n
n o c ió n
la
q u e
e n c o n tra m o s
c iu d a d a n ía
el
e n
n o
p u b lic a d o
lo s
c a so
re a lid a d
p o líg o n o s
e x p líc ita m e n te
e je m p lo ,
d e
fu n c io n e s
lla m a d a s
e n
e l
D e
v e ra p r o p o r tio n e
( 1 6 8 2 ) ,
1
q u e
1
s i
e l
1
a
p o r
d e s e m p e ñ a r
3 a
p o rq u e
la
5
v e z
to d a s
s e g ú n
u n a
fra c c ió n
d a d a ,
s e rie
e n te ra
e x p re s a
y
se
p o r u n
ta n to ,
v a lo r
9
m e n o r
e x a c to .
Y
q u e s i
-j-
11
c o n tin u a d a
p o r
■— * —
o
v a lo re s
la rg a m e n te
n o
. . . :
1 3
c u a lq u ie r b ie n
q u a d r a tu r a
to m a d o
1
a p ro x im a c io n e s
e n tie n d e ,
e s
1
— • — • —
7 la s
c ir c u ii a d
d iá m e tro
1
e s ----------------- — ■ - | ---------------------------------- } -
c o n tie n e
e x a c to :
lo s
e n
d e
r a tio n a lib u s
c írc u lo
e n te ra e l
q u e
L a
1 " L u e g o ,
d e
d e
p a ra
3 0 .
p o r
n u m e r is
á lg e b r a
d ire c ta m e n te
d e
s e rie .
c a m in o o
d a
c a rta
p a ra
a l
in f in ita
p u n to
q u a d r a tu r a —
la
in f in ito
e x p re s a r
lle g a d a .
G re g o ry
1
P o r
e s ta
n u
d e
o p e ra c ió n
d e te rm in a d a s
p a ra
el
d e
in te lig ib le ;
im p líc ita
( 8T )
es
re p re s e n ta
p o r
re s u e lta
q u e
(8 6 )
la
a d q u ie re
Q u e d a s e rie s ,
s e rá
la
d e l
a
p u n to
h ip e r b o lœ
lo
e rc a to r
b a s ta
-—
p e ro
d e
s u c e s ió n
o b s e rv a c ió n
J a m e s
e x p re s a d o
M
u n a
+
re la c ió n
d e
a n a lític a
e x p re s ió n
el
—
fra c c ió n
d e fin itiv a m e n te
y
d iv is ió n
( 86) . C o n
c a n tid a d e s
fo rm a c ió n
e rc a to r;
e s c rito
V e r a
s u
a ' 1, e t c . ” ,
p ro p ie d a d e s ,
u n id a d
a p lic a d a s
u n
c ia b le y
c o n tin u a c ió n
la
c o n tin u a d a
a r itm é tic a
fr a c c ió n —
e n c u e n tra
f ig u ra n ,
la
la
“ A s í
m a n e ja r
q u e
esa
la
la
d e
1
lo ,
c á lc u lo p o r
a
s a m o s
e n
d e l
o b tie n e
m a y o re s e l
c a n tid a d
p u e d e
e rro r d a d a .
e x p re s a rs e
L a s
e n
e l
a n á lis is
n u id a d
o p e ra c ió n n o c e
u n
q u e , d e
c o n
p a p e l
s e g ú n M
e rc a to r
1 1 1 . te c h n ia
q u e
p ro p ó s ito
d e
n u m e r o
él
tr a b a jo s
L a
g é n e s is
to n
e n
tu b re
d e
eso s
Z
2
)
v o s
d e l
a llis ;
h a
u n a
\ 2
( l la s
-
z
d e
g e n e ra l
la
d e
2 )
i
lo s
E s to s
c o n
z ig ,
1 8 9 5 ,
d e el
m é to d o s
p r im e
I n fin ito s .
m is m o e l
d e
e n
in m e
lo s
lo s
L e ib n iz
N e w
2 4
d e
o c--
in te r c a la c ió n
s e rie
d e
e x p re
2
p o r
sí
m is m a
n ú m e ro e s tá to d a V e r
p á g .
la
la
la
s u m a
d e p o r
la
M
m e n te .”
R o s e n b e rg e r,
z
4 3 3 .
,
e sa
la
y
s o la
p á g .
la
le y
+
z
,
6
e tc .,
4
—
6
X
e tc .,
,
81
la
id e a
a ritm é tic a
s e rie d e
e tc .,
,
5
z
n a tu r a lm e n te d e
6
16
—
e q u iv a le n te
s e rie
u n a V ,
4
9
a y u d a
Isa a c
z
1
+
2
ra n g o s u c e s i
16
1
s e rie
c o n s titu id a
—
4
8
z
ig u a l
e je m p lo ,
3
s u g ie re n
c o n
d e
c o e fic ie n te s
8
—
re s u lta d o s
re a liz a d a
P o r
X
1 i
lo s
1
—
2
z
=
té rm in o s
p a ra
1 2
3
(8 8 )
q u e
a u n
œ q u a tio n e s
e rc a to r,
p o r
p a ra
s e m e ja n te s .
z
-
1
m e n te
e n v ío
la
e rc a to r
s ig u ie n d o
( 8S) .
M
L o g a v ith m o -
(l
2
3
3
s o lo
la
re c o
1
\ 3 X
2
q u e
se
la
M
1 6 6 9 ) d e
lo s
d e
p e r
d e s a rro llo
u n e n
b in o m io s
3
u n
el
A r itm é tic a
fo rm a c ió n
! 2
p u e s to
y
re c o n s tru id a
el
d e
A n a ly s t
ju lio
1 =
c o n
in g e
in c id e n te :
o b te n id o
D e
re to m a r
q u e
d e
1 2
q u e m o s
p u b lic a c ió n
O ld e n b u r g
/ i l —
2
2)
re la c io n e s
le y
d e s a rro llo
fic a c ió n
q u e
in m e d ia to
h a b ía
d e
s id o
p o r
e n
s ig n ific a tiv o
h ip é rb o la
c o n s id e ra b a
/
2
b u s c a n d o
o b te n ía
la
d e sd e
la
c a ra c te riz a
a q u e lla s
g e n e ra le s ,
(3 1
d e
d e
tr a ta d o
d e riv a n
e s c rita
W
q u e
m á s d e l
in fin ita s
p o rq u e
c o m o
\ i —
N e w to n
C o m e n z ó
p o r
/ U
la
tr a b a jo s
c a rta
ta le s
p o r
N e w to n
1 6 7 6 .
e x p u e s to s
c o n c ib ió
c u a d r a tu r a
d e
d e
u n a
s io n e s
y
la
a q u í
C a n to r ,
a lc a n c e u n
C o llin s
te r m in o r u m
C o m o ro s
a
el
p o r
re s u lta d o s
h iz o
h e d e
g e n io .
s u b ra y a d o
a lu m n o
s e m e ja n te
d ia ta m e n te
d e l
H is tó ric a m e n te
B a r r o w su
Y
e x p re s ió n
v e rd a d e ra m e n te
s e ñ a l
e n c u e n tra
in q u ie tu d
m é to d o
es
la
—
se
c u rio s a
2 1 5
i n f i n i t a s
p re p o n d e ra n te .
la
s e g u rid a d
s e r ie s
a
( 1 —
se
p ro lo n g a
p ro g re s ió n
d e
x 2 ) 2
se
u n a
v u lg a r.
a l la
;
v e ri
M
u ltip li
n o
s u b s is -
in f in ito p e rc ib e
c o n
to d o ,
s u fic ie n te
1 2 0 .
N e w to n
u n d
se in e
p h y s ik a lis c h e n
P r in c ip ie n ,
L e ip
L a s
2 1 6
te n
m á s
se
q u e
lo s
e lim in a n
O c u rrirá
d a
u n
a
d ire c ta
h a lla r
la
la
e n
d o s
e n
el
s o b re la
y
m e ro
m e d io
q u e
e v ita
d e
lo s
d e
lo s
ra s g o
la
p rá c tic a
ta d o s
d e ra d o s
fu e ra
p a re c e r
d e sd e
p a ra
é l
s o lid e z
es
p u b lic a c ió n ( 1 7 1 2 ) , — es
la
la
p a ra
d e
to d a
fu e ra
lo
u n
ra íc e s el
n o
se
lo
la
la s
la
d a rá
ig u a l
a
lim ita
la
o p e
a
v u e l
a p lic a rla
a p o y a d o
h a n
la
te rc e ra
p o te n c ia
N e w to n
g e n e ra l q u e
c á lc u lo .
a
c a m in o
s id o
b a se
n u e v o
a d q u ie re n q u e
e le v a d a
c o m o
a n á lis is
in trín s e c a
A N Á L IS IS
e n
o rig in a l,
q u e
m is m a
s o b re
e m p le a
la s
fa c ilid a d
o p e ra c io n e s
el
o p e ra
c o n
p rá c
u n
n ú
d e l
N E W T O N IA N O
d e
p e rm ite
d e l
p u e s to u n a
n u e v o , re a lid a d
a q u e llo s
h a n
e x a c ta m e n te
la
A n a ly s is
y a — d e l
s e g ú n
n a tu r a le z a
la
L I X
d e l d e
la
e x a m e n
e d ific io
a l
p u n to
h a n
la
g e n e ra
se
s o b re
g a r a n tía
c o m o
p o d r á
re c la m a rá n
te n d r á
u n
p la n d e
su
y a .
p ro g re s o
œ q u a tio n e s c o lo c a d a
a l
d e
in fin ite s im a l. d e
c o n s i
c o n s tru id o q u e
c a so s re s u l
s id o
c o m p re n d e rá
d e l
A r itm é tic a
lo s
v e rific a r
su
lig a d o
d e
a
d e l
d e
N e w to n ;
el
E l
e p is to lic u m
c á lc u lo
p a s o
d o m in io
s u frid o
p e t
R e c e n s io
C o m m e r c iu m
té c n ic a
p ro p o s ic ió n
d e l
y
p r e
p rim e r
a n tic ip a
g e n e ra l,
o tr o
c o n s tru c c io n e s
q u e
tra v é s
le y
e n
h a
d ire c to
d e
se
q u e
e s tu d io
el
p o r
q u e
d is c u s ió n .
e n
el
d e sd e
in ic iá n d o s e
e n te ra m e n te
in f in ita s ,
p a ra
p e n s a m ie n to
q u e
p o s ib le
s e rie s
X V II
re c o g e r,
f o r m u la r
c im ie n to s ;
la s
s ig lo
a
la
a
m é to d o
p re s e n ta
d e
re a lid a d ,
a n tig u a s
e n c u e n tra
3
a s í
él
té rm in o s
d e l
in d u c c ió n .
p e ro
u n
o tro s
e le v a c ió n
d e s p e ja la
lo s
o rd in a ria s
p ro c e d im ie n to s
im p o n ié n d o s e ,
p ru e b a s
a p a re c e
d e
h a c e
p ro c e d im ie n to s
la s
la s
T a l
se
a
n u e v o s
a m p lia d o
q u e
y
o b te n id o s p o r
e x tra c c ió n
e rc a to r;
c a ra c te rís tic o
p e ro
liz a c ió n
la
c o n s id e ra c ió n
g e n io , a
M
x 2 )
y
á t i c a
to d o s
re g la s
1 —
a n a lo g ía
m a te m á tic o s
in fin ite s im a l,
p a rtic u la re s ,
x 2 ;
la s
(
a t e m
té rm in o s .
p ro b le m a el
—
m
q u e
in f in ita s
c la rid a d
1 1 2 .— - L a a
la
g e n u in o ”
s e rie s
y
c o n tro l
a b s tra c to ;
E l
p a r a d o
la
d ife re n te s
m á s la s
1 d e
p u e s to
d e
d e
f i l o s o f í a
s e rie
c u a d ra tu ra ,
m is m a
f in ito
la
c o rre c to ,
c á lc u lo
tic a
p a ra
d iv is ió n
“ f u n d a m e n to c io n e s
té rm in o s
e ra
u n a
c o n e x ió n
la
c o n s ig u ie n te
q u e
é x ito
d e
a p lic a c ió n
m is m o
P o r
lo
ra c ió n v e
la
re s u lta d o
m e n te ;
c o n
d o s
p o r
lo
p o te n c ia .
e ta p a s
lo s
d e
p e n s a m ie n to
in fin ita s
A n a ly s i E l
e n
c o m ie n z o
p u n to
I n fin ito s .
q u e d e
la
p v o m o ta d e
p a r tid a
S e a
(fig .
E l
9 )
X
la
a b s c is a
A B ,
y
m
n
a n á lis is
la
n e w
o rd e n a d a
2 1 7
t o n i a n o
B D
d e
i
m
es
a x
ro s :
n e l
=
y ,
á re a
y
A B D
s ie n d o
e s tá
d a d a
a n
E l
p u n to
re la c ió n p o r el
la
p o r
le tra
o
c re c im ie n to
s u
d e
c ió n .
S o la m e n te to d a s
d e c re c e r
a l
c ió n
s ig u e
( 90) ,
q u e ñ o
el
fo rm a s
y
la
y
a
f in
s o b re
m
lo
d e
lín e a
s u m a
d e l
P e ro
a b re v ia r,
lo
d e s p re c ia
el
q u e
N e w to n e n
lo
sa b e
—
d e l esa
p ro b le m a
lo s
el
in c a p a c e s
d e s p u é s
A n a ly s is
q u e , d e
s irv e
s e g ú n
la
d e m o s tra
d e
a c a rre a r
d e
p o d r á
in f in ita m e n te
se
d e
d e
a n tig u o s
m o m e n to
q u e
se
y
a p r o x im a
m á s
y
a q u í c u y o
c a n tid a d
q u e
s u p o n e
e s c rito
es
s u p e rfic ie
r a z o n a m ie n to ,
e n
m is m a
d e s ig n a d o
n in g u n a
e c u a c ió n ,
in v e s tig a c ió n
d e
d e
s in
e s ta
( 89)
o
e x a c titu d
la
d e
e n t o —
G re g o ry
f in ito ,
p a rte
s o b re
o m
e c u a c ió n
la
la
d e
d e sv a n e c e rse .
a p ro x im a c ió n
a
la
p o r
to d a
s e g u n d a
m é to d o
m o m e n to ,
d e
c o n
re d u c c io n e s
u n
to m a d a
in ic ia l
g e n e ra l
E l
c u a lq u ie ra
g e o m e tría
e n
in f in ito
R e c e n s io ,
n o ta c ió n
u n if o r m e ;
la
la s
d e m o s tra c ió n
m o m e n to s .
c a n tid a d
c a n tid a d
e n
la
lo s
o p e ra n d o
lo g ra d o
h e c h a s
u n a
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la
se rá
d e
s u p o n e
p u e s
m o m e n to ,
h a b ía n
lle g a d a
s e g ú n
se
s u s titu irá ,
n
m é to d o
in c re m e n to
e n te
fó rm u la
11
X
+
d e
el
la
m + n
--------------- ;—
m
n ú m e ro s
p o r
p e
to d a s
e rro f
la s
e n
la
c o n c lu s ió n . H e
a q u í
la
fo r m a
q u e
to m a
la
d e m o s tra c ió n ,
y e n d o
e s ta
v e z ,
t i 'ú
d e
la
m e d id a
d e l
á re a
a
la
d e te rm in a c ió n
d e
y . P o n g a m o s ' ----------------- -------
p m
•+
n
—
p ;
te n e m o s
S u s titu y a m o s p a r te
z
lu g a r
d e
( z
+
+
o v , z .
d e
o
lo
N o s
o y )
b in o m io . c ia s
a h o ra
11
q u e
q u e
u n a es
c u y o
lo
d e
la d o
n
=
x
+
o
m is m o ,
d ic e
fre n te
la
d e s a rro llo
d e b e rá n
e x
p a rte
e n c o n tra m o s
D e ja n d o
o ,
e n to n c e s
p o r
m
a
n o s
lo s
o
s e rá
cn
lu g a r
N e w to n
e c u a c ió n d a d o
té rm in o s
fin a lm e n te
z , e n
el
se
+
o y
+
o ) p
la s
.
o tr a
te o r e m a
c o n te n g a n c u a n d o
z n
p o r
z
( x
c
n
=
x ;
( 91)
p o r
q u e
d e sv a n e c e rse
x p
d e
c n
+
e n = d e l
p o te n
h a g a
o
=
0 ,
q u e d a cn
y
x p
(8 9 )
N
(9 0 )
M a n s io n
L e fo rt,
d ’a n a ly s e
1 8 5 6 ,
d e
C a n to r, h a
p á g .
i n f i n i t é s i m
(9 1 ) ta n g e n te s
o t a
cn
d e
B a rro w :
o z p -1
I I I 2
d e
e n
la e l
l ’ U
s i
z n
m u y
e s tá
e n tra
+
p á g .
a te n c ió n
n o y
d e
d e e n
e l
G a n d ,
a c u e rd o e l
s 11' 1
1 5 7 .
s o b re
s u s ta n c io s o
n iv e r s ité
s u s titu c ió n " P e ro
=
( 1 9 0 1 ) ,
lla m a d o
1 8 ) ,
a l e
E s ta
p
c á lc u lo
p a s a je
d e
A p é n d i c e
1 8 8 7 , c o n u n a
la
a
p á g .
la
R e c e n s io
s u
R é s u m
2 1 0 ,
ú ltim a p a rtíc u la
é
n o ta
re g la
( e d . d u
B io t c o u r s
1 8 .
d e l
in d e fin id a
m é to d o d e
u n a
d e
la s
2 1 8
o ,
L a s
p u e s to
q u e
lo s
e ta p a s
d o s
d e
la
p rim e ro s
f i lo s o f í a
té rm in o s
c n p x pA =
O b te n e m o s
a s í
( 92)
m
u n a
a t e m
d e
á t i c a
c a d a
m ie m b ro
s o n
ig u a le s ,
n z n A y .
e x p re s ió n
q u e
p e rm ite
la s
s ig u ie n te s
tra n s fo rm a c io n e s :
_
cn
p
n
y
sí
X P_1 z
c n
lo s
/ y
-
o ,
la
in v e rs o
q u e d e
im p líc ita se rá
r r o w .
lo
tic o ,
N o s
d e
o
z
p e
x q r
x
n
o
a ú n
p e r
a
x
x
a g re g ó -a
.
W
a llis ,
in c r e m e n to ,
d e l
p o r
c o n s ig u ie n te
el
el
m é to d o
d e
es
id e a
c a m in o
ú ltim o
in fin ita s ,
d e
c o m o
la
d e
c o m o la
id e a
p e ro
e s tru c tu ra d o
c o n s e rv a rá
“ la
c o n
m o m e n to
in te g ra c ió n
p o r
c e q u a tio n e s
flu x io n u m
a
A g re g a d o re fe re n te s
a
d e
la
la
ese v e z
d e d e
q u e
d u r a n te
u n a
d e
la s
g e n e ra c ió n
d e
la s
d e
d e l
la s
la
c o m o
p á g .
d e l d e
m e c á n ic a s
tie m p o
s u
q u e
d e c ir
m é to d o
lu g a r
u n a re c ta
la s y
e n s e ñ a n z a
h e m o s
d e s p u é s
q u e ,
p a rtíc u la
el
¿ e o m e tr ic a e ,
q u e
e n
es
1 6 7 0 ,
n e
p ro b le m a q u e
m a te m á tic a
d e b id a m e n te ( lo
p a r
p o n ie n d o
s e ñ a la b a
L e c c ió n
m a g n itu d
e q u ip o le n te
c o n
lo s
to d o
c a r a c te r ís
ta n g e n te s
p ro b le m a ,
B a
d e
s o b re
tr iá n g u lo
ta n g e n te s
p u b lic a d a s d e
d ic h o
g e o m é tric a s ,
p rim e ra
L s c tio n e s
g e o m e tr ic œ
la
R o b e rv a l,
s e ñ a la r
c u a lq u ie r
e n
lo
a
to m a d a p o s ib le p á g .
B a c a -
d e p o r
8 1 .
1 5 7 .
s e g u n d a
L e ib n iz .
d e
e le m e n to s
c u r v a tu r a ) .”
I I I 2 ,
L e c tio n e s
d e l
e n
[s u s titu y a s e le ] d e
y
p ro b le m a
te o ría
C a n to r,
la lo s
d e l
la s
d e s p u é s
s o b re
to d o s
s u s titú y a s e
p o r
e n c o n tra b a n
o c a s ió n
n u e v o
in d e fin id a C fr.
se
F e rm a t
lim ita re m o s u n a
c u a lq u ie ra , ta n g e n te ;
( 9 3 )
p
d e
N e w to n
ju z g a r
te n id o
d e
c o n e x ió n
e x p o n e
E s c o lio s
__
n
N e w to n
es
e th o d u s
n e c e s id a d ,
e x p líc ita
in v e rs o .
( 9 2 )
q u e
in v e n to ;
c o n s id e ra c io n e s
p e q u e ñ e z
z
' x
d ife re n c ia c ió n ;
q u e
s u
A
h e m o s
la
la
M
c o n c e p c io n e s
v o lv e r
fo r m a
c u rv a
d e
x p
— ñ
e le m e n to
A n a ly s is
y
d e
ta n g e n c ia le s
ta m e n te
u n a
el
te n e m o s
d e
r r o w
e n
—
q u e d e
tie n d o e n
el
P_1
( 9S) .
e sas
N o
m é to d o s d e
e n
1 6 7 0 - 1 6 7 1
1 6 7 0 ,
lo
d e l
X c n
x -
q u e
m é to d o
1 1 3 . e n
a
a n a lític a ;
d is tin tiv a s
c a n tid a d e s ”
n
n )
c o n s titu ir
u n
p
in ic ia le s
u n id a d
to d a v ía
a ñ o s
s e ñ a le s
c n
p e r m itir á
d e s a rro lla d a
lo s
_
n
\
+
c la ra m e n te
c o m o
el
z
s ig n o s
c o n s id e ra c ió n
to m a d o
v u e lta
P_1 z n
.
(m
A p a re c e e n
X
n
re s ta b le c e m o s
s is tió
p
n_1
e d ic ió n
d e
lo s
P r in c ip io s ,
1 7 1 3 ,
a
lo s
fa m o so s
E
ra c te riz a d a
p o r
s id e ra r
in s ta n te
el
B a r r o w la
d e d u c e
s im p le
a s í
d e c ir,
u n a
lu g a r
a
lo s
se r
tic u la re s la
se
c u r v a s
fin ite s im a l ta b le c id o
y
e s tá
la
f u n d a m e n ta l eso s
a n á lis is
a n á lis is
a q u í
p rin c ip io s
e n
u n
d o m in io
la
I n tr o d u c ilo
s id e ra c io n e s v in c u la z a n
a
p a rte s ,
ta s
d e
“ e l
e tc .
se
E d .
d e
B a rro w ,
1 7 1 6 ),
B a rro w , ( I I I ,
6
la s
ib id .,
la s y
7 ;
o b ra s p á g .
6 ) .
e n
s u
I,
p á g .
p á g .
2 8 1 .
c ita d a s 3 5 1
2 7 3 .
s o b re
p a ra
y
d e
p o r A
to d o — ■
m is m o
lo
la s
V e r,
2 6
q u e
q u e
s o b re C o h e n
e l
d e
4 6 ,
d e
E n c o n
s e r
C fr.
q u e
“ S e
p u n to s . y
tr a
1 7 1 6
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m á s
q u e
L e ib n iz , " S i
e s tu d ia d o g e n e ra l y
s ig .)
E s v e n
la
u n
in flu e n c ia C o n ti
d is fra z
B r ie fw e c h s e l,
é l” .
d e
d e
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a b a te
a lg u n o
c o n
. se
m a n ife s ta d o
d e
4 2
el
e n c ie rra f ijo .
y u x ta p o s ic ió n
n a tu r a le z a
p á g .
la s
e x p o s ic ió n se
p a rte
lo s
re s p o n d ía : h a
a lc a n c e ( §
p o r
n o
E l
d e
m a te m á tic a s ,
d e
fe b re ro
1 6 7 0 ” .
L e ib n iz
la n o
a n tig u o s :
in d ire c ta m e n te d e
a p li
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lo s
la
id e n
se
ín te g ra .
u n
n o
la
m e c á n ic a .
N e w to n
d e
e s
m a te m á
c o n v e rg e n c ia
a
in
h a
c u a le s
N e w to n
e n
e n
lo s
( 1 7 0 4 ) ,
ta n g e n te s ”
B a rro w
se
re c o n o c id o
c a n tid a d e s
h a b ía
N e w to n ,
H e rm a n n
s ig .) .
e n
c o n tin u o
d e l
r e c tific a
c á lc u lo
c ie n c ia
tr a z á n d o la s
c a rta
E l
lo s
p a r
e m p e ñ a d o
d e
in d iv is ib le m e n te
g e o m é tric a s
N e w to n
o
q u e
a
d e
c u r v a r u m la s
e n
c u e s tio n e s
g e o m e tría ,
re s trin g e
d e
e n
e le m e n ta l,
es
v e rd a d e ra m e n te
p u b lic a d o
s e rá
se
e n to n c e s S o la m e n te
la
to m a
m o v im ie n to
d ife re n c ia l
s id o
d e
q u e
n o
e n g e n d ra el
h a
p u n to
in d e p e n
s o la m e n te
in v e rs o s
in fin ite s im a l.
g é n e s is
c u a n d o
m é to d o h a b ía
G e rh a rd t, a
la
re a liz a n
B a rro w
" a l
fo r m a
c á lc u lo
q u a d r a tu r a m
p o r
(P á g . d e
q u e
c h a d o
se
el
g e o m é tri
in te le c tu a l
n o
se
m a te m á tic a ,
c o n s tru c c io n e s
y
(9 4 ) d e c is iv a a c u s a b a
a d
e n
d e
d e
h a b ía
m a te m á tic o
o p e ra c ió n
á lg e b ra ,
p e r
o
F e rm a t.
d o m in io s
p ro m o c ió n
p a rtic u la r,
s in o
g é n e s is
la
la
d e l
s o b re
la s
lín e a s ,
la s
d e u n a
o
q u e
tr a b a jo s
c o n v ie rte
in te g ra c ió n .
q u e
p o r
o b je to
c u a d r a tu r a s
m é to d o s a ú n
se
p a r a
q u e
d iv e rs o s
s itu a d o
re s u lta
lo s
lo s
lo s
u n
p ro c e s o
la
p o r
f lu jo ,
B a r r o w
p e n s a m ie n to
d e
d e c ir
a ritm é tic a
d is c ip lin a s
d e
es
q u e
re s o lu c ió n
d e
lo s
m e c á n ic a s
e s ta
la
p ro c e s o
s in o
e n tre
le íb n iz ia n o ,
D e
b a se
el
d e s c u b ie rto ,
n e w to n ia n o
d ife re n te s
la
e n tre
m é to d o s :
e l
d e l
c o n e x ió n
h a b ía n
p o r
“ sea
el
le n g u a je
c o n
e llo s
e ra
a ñ o s ,
p ro b le m a s
c o n s titu id o ,
tic o s
lo
e n
es
tid a d c a b a n
c o m o
a
q u e
u n
d ife re n c ia le s
ú n ic a m e n te
lo s
e n
d e
c o n
( 94) .
d ife re n c ia c ió n
tr e in ta
d e
y a
p o r
d e
p e q u e ñ a ,
tie m p o ,
sea
c o o rd in a
h a c e
re a liz a d o s
c o n v ie rte
re s o lu c ió n d e
la
p o s ib ilid a d
el
s u c e s iv o s ,
la s
q u e
e le m e n ta l
a p lic a d a
la
d e te rm in a c io n e s
a n a lític a
ú ltim o s
D e
in d e fin id a m e n te
m o m e n to ”
e le m e n to s d e
2 1 9
re c o n s titu ir
e x p re s a d a s
in te lig e n c ia ;
lo s
d e
N e w to n
lo s
c u rs o .
p a r tíc u la
s o lo
id e a s
p ro g re s o s
d e
d e
c ió n
la
u n
m e d io
o p e ra c ió n
c u rs o
e n
p o r
p a ra
g ra c ia s e l
a
su
t o n i a n o
m o m e n to s
d e
e sa s
e x p re s ió n
u n a
lo s
s u y o ,
c o n fie re
d ie n te
d e
n e w
d e
u n a
p o s ib ilid a d
b ie n ,
re p re s e n ta d o
e n
la
c o m o
a llis ;
c a s,
c o m o
c o n tin u a d o
A h o r a
a n á lis is
u n if o r m id a d
s u m a c ió n
m a n e c e rá W
la
l
lo s y
h a ( 9
a p ro v e d e
tra b a jo s d e
a b ril d e
Z e u th e n
2 2 0
L a s
c a d a d e
d ía
e n
to ;
es
fá c il
m a n d o p o
el
ta n
c ió n ”
g ra l,
es
la
q u e
ra d o r, c ió n
o
c a n
y
c ia l
d e l
c a d o s u
c o m o
n o ta b le
F lu e n te fin ite s im a l a l
p u n to n o
tu r a lis d e l
d e
y
q u e se r
la s
c á lc u lo
s in N o
m e d ia r
la
se
in d iv is ib le s
p o r
c o n s id e ra r,
n o
lo s q u e
d e
té rm in o s
p o rc ió n
el
(9 5 )
E d .
( 9 6 )
1 9 0 8 ,
q u e
e n
P a r t.
I,
( 9 8 )
P a r t.
II,
se
p o r
y
( 9 7 98) .
la s
e n
s in
el
L a s
p á g .
d e
V ,
d e l
L e m a
II,
ib id .,
a
d e
p á g .
X I .
E d .
2 2 4 .
1 7 2 3 ,
la s
la s es es
p á g .
3 3 .
n a -
re g la s
el
n u e v o d e
la s
y
re
S u s titu y e d e
p o
c a n tid a d e s
d e
4 3 .
L e m a
la s
m a n e ra
d e
s ig .
e s c o lio
p u e
e m p le a b a n
( 9S) .
1 7 2 3 ,
flu e n te
s u m a s e n
c a n tid a d e s
" n o
in
re la c io n e s ,
e m p le a r
c o n s id e ra
c á lc u lo ,
e n
c á lc u lo
c o m p lic a c ió n
e x p re s io n e s
m o m e n to s ;
in te rv ie n e
in d i
fu e rz a
in d iv is ib le s .
in fin ite s im a le s
N e w to n
q u e
6 1
e n
d e
h a b ía
e x p o n e
a s ig n a r
la s
g ra d o
la s
d e
re la c io n e s
p u e d e n
fl u in d i
P h ilo s o p h ie s
a n tig u o s lo s
d e
e s e n
E l
y
d e s v a n e c e n ,
la s
c u a n d o
e le m e n to s
A m s te rd a m ,
( S ’7 )
se
re la c ió n
n a c im ie n to ”
p á g .
se y
lo
n o ta
ra s g o
m á s
d e
N e w to n
d e
d e s v a n e c im ie n to
lo s
la
q u e
s u m a s
lím ite s
d e
lla m a d o s
e n
h ip ó te s is
el
g e n e
—
q u e
el
es
lo s
la
in te
( 9S) .
f lu x ió n
lo s
le tra
flu x io n e s
c á lc u lo
E n
la
e n g e n d ra d a ,
la
m u c h a
e v ita r
d e
e le m e n to
q u e
flu x ió n ,
q u e
a s í
c o rre la tiv a s .
d e
q u e
a s í
e x p e rie n c ia ;
s ím b o lo s
N e w to n
u n
p a la b ra
c a n tid a d e s
p u e s to s
m o m e n to s
la
la s
d e
d e l
N e w to n
c o n
( 1 6 8 7 ) ,
m á s
c a n tid a d e s
o
c o m o
re la
m a g n itu d
s ig n o
E l
to
tie m
m ín im o
p ro c e d e n , lo
e x p líc ita .
a b s u r d o
d e
lo s
c o n s titu y e n s o n
el
y a
e sas
n a c im ie n to
n ita s , e so s
s in o
la
p ro p o n e
p o r
ta l
m is m a s
el
lo s
q u e
c o m o
fo r m a
la
d e
" p r im e r
L a
s o b re
d e
n o c io n e s
m a th e m a tic a
d e r
d e
e n
“ d u re z a ”
te rm in a d a s ,
s o n
la
c o n s titu ir
d e
c á lc u lo ,
m a g n itu d
p u n to
c á lc u lo :
P h ilo s o p h ie
e n
e s ta
m o s tr a d o
n o c io n e s
lo s
re la c io n e s
la
p r o n u n c ia r
d e m o s tra c io n e s
el
e l
e le m e n to c re c im ie n
in te rv a lo
in te rv a lo
á lg e b ra .
s u c e s ió n
d e te rm in a d o
P r in c ip ia
a
u n
flu x io n e s
flu x ió n
p u e s ta s
a lg o r itm o .
la
h a
e l
s u m a s
fie l
p e rm ite
p o r
lo
s o b re
e s ta rá
su s
c o n
lle g a
la s
c o n
d a r
E l d e
e n
u n
in d e p e n d ie n te .
c o m b in a c io n e s
B lo c h
o b ra
.c o n
( 9 5 96) .
m o v im ie n to
d u ra n te
p a ra
q u e
q u e
m é to d o
y
d e n
la s a l
c u e rp o s ”
c o m u n m e n te
d e s ig n a d o
m a n e ra
á ti c a
d e te rm in a n d o
o rd in a riô s -
a p a re c e r
a t e m
in tr o d u c ir lo
v a ria b le
in v e n ta
d e
c la ra m e n te
e
y
d a d a
m
d e l
" n a c ie n te ”
es
h a c e r
a p ro x im a c ió n
lo s
m a g n itu d
c o n te n ta
es
d e
p o s ib le
c o m o
s ig n o s
flu x ió n
e le g id a
x io n e s ,
la
sea
q u e
se
lo s
f i l o s o f í a
e le m e n to
d e
L e ib n iz
N e w to n
flu e n te ,
la
v e lo c id a d
c re c im ie n to
c o n s id e ra d o
ta n to
la
e s te
c o m o
e s te
e n g e n d ra d a e n
p u e s
c a p ta r
c o rto
d e
m o v im ie n to
se rá
c re c im ie n to
d e
tie m p o
o
el
g e n e ra c ió n
e ta p a s
eso s
s u
d e
y
la s
e s ta d o q u e
s o n
lím ite s
c a n tid a d e s la
su
m a g n itu d p rim e ra
y f i d e
p r o
E l
1 1 4 . b ía n
—
c o n d u c ir
p o s e y e s e '( " )
su
se
e n u n c ia d o s v o
d e
m o
p o r
p o r la
o tr a
q u e
la
u n
el
tid a
el y
titu y e b le e n
e l
d e b ía
a
lo
el
a la
q u e
P r in c ip io s
n o
es
c ie rto
d e
la
la d e l
s ig lo
p r o f e ta d e
la s
X V I I . su
le s
M
a p a re c ía y
d e
la
c o m o
e so s
se
v e
n ú m e ro s s a b io s
y
e r
la s
la
Ja
e d ic ió n
d e
q u e
B io t
y
n o c ió n
s a tis
id e a s
se
d e
c a p a r
la
y
r a
p r io
h a b ía
d e
m á s
a
p u n to
d e
p e n
el
D e s c a rte s
p r io r i,
e x p e
q u e
c a si
s u s
in e v ita
n e w to n ia n o ,
la
fís ic a
d e
a
la
a l
fís ic a ,
c o m o
e n
n o
d e
lo s
p o rq u e
p e rp e tu a
d e
s o b re d e
p re o c u p a d o s
la el
su s
s id o
C o m e r c iu m
la s
n o e n
m ita d
p a r a
la
n a d a
a u to r id a d
R o b e rv a l,
G a s
a n ti-c a rte s ia ta n to
el
c o m o
d e d u c c ió n
te rre n o
d e
m é to d o s ,
s a c a r
e p is to lic u m
la
c a rte s ia n is m o
m e c á n ic a
p o r
a l
p e ro
P r in c ip io s d e
p rim e ra
a llí
D e s c a rte s
q u e
in te le c tu a l
la
F e rm a t,
d e te rm in a c ió n
d e l
e s p íritu s ;
re g ió n
h a b ía
a l
d u d o s o
e n c o n tr a r o n
lo s
re s u e lta m e n te d e
a p o r ta r
es
m u n d o
e s ta r
ra z o n e s ,
n a tu r a le z a
L e fo rt
N o
c o n s titu ía n
fu e ro n la
la
e s tu v ie ro n
e fe c to d e
d e fin ía
e s tu d io ,
p re s tig io
p o n e r
c o n c r e ta . 'A ú n
h a s ta
la
a
e n
c o n o c ía
y
n a tu r a l
M e rs e n n e :
y
la
N o
e s p íritu
e s te
D e s c a rte s
m is m a s
p o r
d e
p a rte
el
a
c o n fu s ió n
v e rific a c ió n
lo s
d e
d e
P a s c a l,
p o r
d e
filo s o fía
c e s a d o
g e o m e tría y
c o
c o m p re n d e r
d a to s
a
d e l
to r b e llin o s
s a b io s
B la s
la
lo s
v iv ió ,
L o s
lo s
d o m in io
m a y o r
v o lv e r
a lre d e d o r
m e ta fís ic a
la
la
h a b ía
ie n tra s
y
te o ría
(9 9 )
n o
s o b re
el
h á
fo rm a
p o r
tra d ic io n a l.
d e s tru y e n d o
q u e
to m a
v ic to ria
e l
Y ,
la
eso s n u e
N e w to n
e x ig e n c ia
o p o s ic ió n
té rm in o
d e
E s te b a n
c o m o
2 4 3 .
m á s
tie rra .
te m á tic a ,
g e n te ,
q u e
esa
d e
d e d e l
e m p iris m o .
a l
d e
c o m p le to .
c u a l
e n
P r in c ip io s
to m a d o
h a c e rse
re c ib ir
a s o c ia c ió n
s im p lific a c ió n
re le g a n d o
q u e
c ritic a ro n
tra c ta
d e l
A c a d e m ia s ,
p r o p ia s e
e n
e n
s e n d i, n o s ,
y
h ic ie ro n
a c titu d
y
p o s e s ió n
F ilo s o fía n o
la
m a te m á tic o s e n
v e la s ,
in te r p r e ta r
h a
a
a firm a d a s
U n a
m a te m á tic a
e s ta
c a rte s ia n is m o m e n o s
s im p le s
n i
h a c e
A
e fe c tu a d o
p o d re m o s , a
q u e
el
se
e m p ir is m o ,
p o r
lo s
q u e
N e w to n
a p a re n te
c o n q u is ta r.
d e l
n e w to n ia n o ,
a d v e n im ie n to
c o rre c c ió n
y
re a lis ta
h ip o té tic o .
d e
d e
q u e
in fin ite s im a l,
p a ra
in te le c tu a l.
a n á lis is
V I I I
p o r
m a rc o
D e s c a rte s ;
n a tu ra le z a s
c o n d u c ir
P a re c e g u n a lo s
d e l
d o m in io
s e ñ a la n d o
d e
X
p e rs o n a le s
n e g a r
in te rp re ta c ió n
lle g a d o
a c a b a b a
a
c o m p u s o
la
c á lc u lo
e x p lic a rs e
e x ig e n c ia
p o lé m ic a s
d iv e rs id a d
p a ra
h a
te n ía
in tu ic ió n
la s
re a l
n o
a
n o
m é to d o
la
s ig lo
r a c io n a lis m o
u n a
d e
n o
lo
el
d e l
re s id u o
rie n c ia
v e z
ra c io n a lis m o
ra c te riz a b a
el
la s
c u a n d o y
d e l
h u m a n id a d
p o r
o b je to
fe c h o
e n
L e ib n iz , ta l
o p o s ic ió n
c io n a lis m o r i
n i
la
flu x io n e s
c o n c is ió n
q u e
2 2 1
t o n i a n o
B e rn o u lli
d ific u lta d e s
tra d ic io n a l
q u e
J u a n
m e ta fís ic a
p a rte
c o m p le to
filo s o fía
lo
la
n e w
in te rv e n ir
a
la s la
c re a r
S o b re
lla m a r
s a m ie n to
d e
q u e
d e b ió
a n á lis is .
h a c e r
e je m p lo
c á lc u lo
p re s ie n te
b ito
S in
p o r
a n á lis is
la
m a
d e sd e
d e d e
a b s
la la
( 1 8 5 6 ) ,
la
ta n e x p e -9
p á g .
1 8 5
d e
L a s
2 2 2
r ie n d a
lo s
m e d io s
c ie ro n
d e
o tr o s
té rm in o s ,
q u e
se
la
q u e
c o n
d e
d is tin ta la s
titu im o s
la
el
p a ra
el
e n
el
y
h a
g ra n d e
D e s c a rte s . N e w to n
la
la
es
el
la
la
e l
( 10° ) ,
a l
la
m u y
si
d e s u s
v e rd a d e ro re s e r
p e rp e tu a
la
p o r
d is ta n c ia
m a te m a tis m o
re s p e c to
c o sa
c a rte s ia n o
p re o c u p a c ió n
el
d e
c rític a
to d o
p o r
m é to d o
la
v iv a c id a d
s o b re
le y e n d a
q u e
E s
re a n u
la
u n a
d e y
G a
e v o lu c ió n d e
e s te
d e
d e
d e s p e c h o
d e
c ie n tífic a s
c o n f irm a r
fo rm a c ió n
m a n ife s ta d o
q u e
a
e x p e r im e n ta l
y
E n
q u e
p a ra
la
A
e n
h i
d e d u c tiv o .
e x p e r im e n ta l
lo
e s e n c ia l
lu g a r
e x p e rie n c ia ;
re la c io n e s
n e w to n ia n o s ,
n e w to n ia n o
m e n o s
d e
m e ta fis ic o
p a ra
a n a lític a ,
D e s c a rte s
m a te m a tis m o
in f in ita m e n te
es
e s q u e m á tic o
re g re s ió n q u e
n o ta r
la
v e n d ría
e x p e rim e n ta l
c a rte s ia n o s
a
m a te m a tis m o
m a te m a tis m o
p e n s a m o s
la
a l
á ti c a
ra z o n a m ie n to
Ita lia
m a te m á tic o .
D e s c a rte s sí
e
p a r tic u la r
b ie n ,
a t e m
s o b re p a s a r d e l
m a te m a tis m o
e n
m
in te rc a m b io
F ra n c ia
a l
e n tre
e x p e rie n c ia
tre
a c tiv o
e m p ir is m o
D e s c a rte s ,
p a r a
p re fa c io
h a c e rlo
A h o r a d e
f i lo s o f í a
m a te m a tis m o y
p o lé m ic a s
v a b a
el
c ie n tífic a ,
k a n tia n a .
la
v in c u la ro n
ese
b rillo ,
filo s o fía
el
e n tre
o p u s ie ro n
tra d ic ió n d a
y
e s ta b le c ió se
d e
n e c e s a rio s
in d u c c ió n
a c e rc a m ie n to , lile o
e ta p a s
e n
c a rte s ia n o ,
e m p iris m o
es
p ro p ia m e n te
d ic h o .
1 1 5 .
—
je tiv a m e n te , la
es
m a te m á tic a
e m p iris m o . ría
d e
to
q u e
d a s
e s to C o n
p o d ía n
p a ra
c o n q u is ta
la
se
e n
el
a d d r e s s e d
fá c il
q u e
to
in fin ite s im a le s g u id o , fin
y
s in
lím ite . la d o
m is m a s
q u e
se
100)
p h y s iq u e
C fr.
lo
d e
fie le s in f in ito
(P á g .
y la s
q u e es
X X V .)
. .
L ia rd .
e r
P e ro
la s
l a
la u n
p ro g re s o
s e p a ra m o s
p á g in a
iró n ic a
el
m is te rio
e x p re s a d a s
c a p .
IV ,
d e
a
a q u í
la s
a
r ô le
A
:
c u a r to
m á s y
lo s
y
s e
re g u la r
m ir a r
s in
d e trá s ,
c o n s id e ra r
d e
el
d is c o u r
“ n a d a
p o r
el
c la v e
flu x io n e s
in d ic a d a s
u
la
a b o rd a
o r ,
fo r m a
p a ra
se e fe c
a tr ib u i
v e r
te rc e ro ,
v e lo
el
e x a m e n
c o m o
( 1 7 3 4 )
m is m a
o
su
d u d a
d e l
c p m o
d e s tru ir
A n a ly s t,
p a ra
D
a u té n tic a
la s e lla s ,
l ’e x p é r i e n c e
s i,
c o sa s d e s
d a n s
la
A lc a n ) .
( 1 7 4 0 ) ;
G e o m e tría
n o
p o n e m o s
e s ta b le c id o
c o n f r o n ta r
in c re d u lid a d
H e
T h e
la
1 8 8 2 ,
F .
c u a l
e n
s u p u e s to
D e s c a r te s ,
d e
s e g u n d o ,
n o s
se r
ta n to
s o m e tió
n o ta c io n e s
p rim e ro ,
(P a r is ,
fin
m a th e m a tic ia n o
s i
s irv e n a
u n iv e rs o .
e x p re s io n e s
F lu x i o n e s
el
o p ú s c u lo :
in fid e l
e l
n o s
B e rk e le y e n
p u e d a p e rm ita
in te rp re ta c ió n
d e c la ra c io n e s
d e l
s u
o rd e n
h a n
c a r té s ie n n e
(1 0 1 ) é to d o
lo s
a n
p ro s ig u ié n d o s e
d e
M
d e
n o s
p ia d o s a ,
N e w to n
e x p re s io n e s d e
d e ja n d o
(
d e
V III
u n a
( 10 0 1 ) ,
c ie n tífic a
§
e le g ir
c o n
la s
p u n to
h is to r ia
in te n c ió n
H a lle y
in fin ite s im a l
ú ltim o
la
c irc u n s ta n c ia s
p r o d u c ir
c á lc u lo
e s te
q u e
la s
u n a
a s tró n o m o
p ro b le m a
q u e
n e w to n ia n a
E n
d e se a r.
a l
P a r a
n e c e s a rio
es m á s
d e
B u ffo n
" e s te
c o n tra ria g ra n d e -
e n
D o c to r a
la
q u e
s u
P r e fa c io
s u b e
a
la
R e lig ió n . . . to d o s
lo s
a
la
c á te d ra S e g ú n
m is te rio s
tra d u c c ió n p a ra
é l, d e
e l la
e n s e ñ a r c á lc u lo
d e l a d e
r e lig ió n ” .
o b
E l
c u b rim o s a ú n ,
sí
u n a
n o
d ic c io n e s ” E l
el
d e
la
la s
U n a
y
u n a
es y
q u e
x ió n c e ra ? f in
u n
¿ 'O
su s
D e n a c ió n
la
lín e a
0
3
o
id e a ,
" L a L a V e r
c
s o b re
y
0
(M
4
e s to s )
5 )
§
a
m u ltip lic a rs e . u n a
lo n g itu d
u n a
d e l
la
si
u n
p u e s
p rim e ra
s e g u n d a d e
f in i
f lu x io
h o m b re , la
d e
v e lo c id a d
p rim e ra s
“ Y
y
d e
f lu
la
te r
c o m ie n z o
q u e
N o
e n
y
el
g ra n d e
tra d .
te x to s ,
p a ra
C a s s ire r,
A n a ly s t, p á g .
§
u so s o b .
X L I V ,
2 5 .
es
n o
c it.,
ib id .,
se
d e s v a
q u e
su s
d e
lo s
c re
p ro p o rc io n e s ,
la
n o
s u p o s ic ió n
p o n e
p á g .
e n s u
d e
d u d a
d e
a b s u rd o
h a b la r
la s
4 8 .
y
d e
la s
p á g .
es
in s
el
d e a n o
im a g in a r o
h a c e r
c u a le s ( L ije
8 8 ) ,
y
n o
m á s
s e n s a c io n e s
p o r
G ó u rg ,
4 9 7 ,
y
su s
u n a
p r o p o te n e m o s
a n d
p á g . s ig .
la
2 2 . p o d e m o s
1 9 0 8 ,
c o n d e
a
m a te m á tic o s
p á g .
c o sa s
la
In tr o d u c c ió n
" N o
Ib id ., 3 0 2
a fie l
in f in ite s im a le s ” .
G o u rg ,
p á g .
e n
1 9 0 9 ,
so b re lo s
lle g a
a s u n to s
es
n o b le s ." II,
d e
c re c im ie n to s
e s tric ta m e n te
lo s
ju z g a r
m á s
lo s q u e
N e w
e s c rib ir
e n to n c e s
s o b re
ta n to
p o r
q u e
q u e
IV ,
ra z o n a r
m á s
e n tre
p ro p o rc ió n
s u p o n ie n d o
(1 7 0 5 - 1 7 0 8 ) .
R a y m o n d
m a te m á tic o s
es
L o
t.
e n
u n a
B e rk e le y
a l
y
ra z o n a r
lo s
tr a ta
c o n s id e ra d o
d e riv a d o
e s to
F ra s e r,
se
e x is te n
( 105) .
“ E n
B o o k
d e b e m o s
4 2 1 ;
h a
ló g ic a s
y
tie n e n
lím ite
s u p o n e r
e llo s ”
C u r v a s :
p o d e m o s
d a d a
se
c o n
C a m p b e ll
y
el
n o
S e g u ra m e n te
B e rk e le y ,
a tr ib u y ó
la s
q u e
c u a n d o
e m p iris m o .
se
e d .
lo s
X I I I ,
p u n to
c o n c e b ir
q u e
to d a v ía
lo
d e l
d e
s id o
rp ¡ o e
ese
s in
re la c io n e s
d e b e m o s
c á lc u lo ,
p á g .
d e h a
( 103) .
d e
v a n
la s
n o c o n
s e n s ib le s
r a z ó n
P r in c ip io s
d a d a s ?
o b s e rv a
to d o
e llo s . . .
1 8 7 1 ,
n o s
p a ra ( 1
a lc a n z a d o
in fin ita m e n te
in s e n ta te z ra z ó n
se rá
d e sv a n e c e
n o
d e l
a l
f in ito .
m e d ib le s
es
C o m m o n p la c e
e n to n c e s
F ra s e r,
s o n
im p o s ib ilid a d e s
f r .
o tra
c o rre s p o n d e n
y a
d e
d e
filo s o fía n u e v a
c o m ie n z o
la s
c a n tid a d e s
N e w to n
e s p a c io
s ic io n e s
c o n tr a
m a te m á tic a
c o m p re n s ió n lo
lo s
d e
n o
y
se
JY o r k s ,
)
d e
el
é s to
n u e v o
q u e
e n
s a b ría
d ire m o s
c o n
lím ite
e x is te n ,
p r o f u n d a
102)
( 1
e l
d e s v a n e z c a n
C u a d r a tu r a
(
d e
e s ta rlo
u n a
im á g e n e s
y
se
d e
¿ q u é
c ie rta m e n te ,
esas
la s
c o n s ig u ie n te
c o n c e b ir
esas
p e ro
d e l
p ira c ió n
e d .
d e
e x is te n c ia ,
re c h o
P o r
s o s te n d rá
e x p re s io n e s ,
su
c o n fu s io n e s ; y
( 104)
se
se
a
v ís ta ,
c o n s ig u ie n te
d o m in io
lím ite
c im ie n to s
la
s ím b o lo s
n o
p o r
c a p a c id a d
" Y ,
p o d ía
im p o s ib ilid a d e s
la s ;
la
c re c im ie n to s
ese
n o
y
d e l
c re c im ie n to s
to n ;
lo s
v e lo c id a d -,
p u e d e
y
d e
f in ita .
d e te rm in a r
n e z c a n .
d e
d ire c ta s
n e c e s a ria m e n te
c o n c re ta ,
e s p a c io ,
f in ? ”
te r m in a d a ;
sí
fu e ra
b ie n
d e
lo s
u n a
a s í,
es
s u p e ra r
¿ Q u ié n
q u e
o s c u rid a d e s ,
p u n to
in c o m p re n s ib le ,
d e
d e
re p re s e n ta d o :
q u e
ese
s in
e s tá n es
q u e
o b je to
m á s
d u ra c ió n
p a re c e n
to
2 2 3
t o n i a n o
im p o s ib ilid a d e s
p la n te a d o
d ific u lta d e s
flu x ió n
n e s
d e l
d e sd e
tie m p o
ta
d e
e x p e rie n c ia
b ie n ,
v is ta
s in
e s tá
ju s tific a d a
te n id o
v a c u id a d e s ,
e m p iris m o
in m e d ia to ,
A h o r a
n e w
( 102) .
p o r
e s ta rá
d e
e x tr a lim ito ,
p ro b le m a
m a n e ra d a to
s e rie
m e
a n á lis is
L e tte r s . a d e la n te : s e n tid o s .
p á g .
1 5 8 .
2 2 4
se
L a s
h a n
m a
d e
a l
d e s d e ñ a r
q u e
re m a s
d e
o p o n e
m a te m á tic o s y
g ir
lo s
a
v a lo r
a l
rig o r
la s e n
c o n
y ,
T o d o c ie rto s
lo s
o tro s ,
se
—
q u e
u n a
c re íd o
fo rm a
a c c e s ib le d e
n u e v o s iq u e
y d u
lo s ó fic a d e
p o n e r
c u lo
lo s
a l
d e
la
v u lg o
f in
a
la s
d e
q u e
re tro s p e c tiv a m e n te L e ib n iz , c la ro
la
filo s o fía
d e s t.
J,
la
p e n e tra c ió n
g (j.
c ít.,
(1 0 7 )
y
e n
1 8 3 0 ,
h o n o r q u e
su s
é s ta
m is m o
a lc a n z a d a
p o r
el
q u e
q u e
la
lo
e s te
u n o s
el
g é n e ro b a io
la
la
m é ta p h y
d e b ilid a d la
fu n d a m e n to I I I .
e x p o s ic ió n
e n
e n u n a
d e
la
V
la
d e s c u b rir
m e n o s
X
a
L e ib n iz
f o r m u la d o
s u r
s ig lo
B e rk e le y
B e rk e le y
c o n
lo s
d e b id o s
d e b ía
fu e se
p o r
s o b re en
tie m p o
“ p ra g m á tic a ”
q u e
su
q u e
c o n
h a b e r
R e fle x io n s
te ó ric a s
p re o c u p a ro n
a s í d e
e l
in d ic a rá
in fin ite s im a l d e
d ir i
in fin ite s im a l
e rro re s
C a r n o t
tu v o
q u e re r
re c o n o c e rá
a p ro x im a d o s
te o ría
lo s
p r in
fi
v e n ta ja d e l
c á l
J u s tific a
p o p u la r
a d o p tó ;
p u s o
la
e x p re s ió n
e n
1 7 0 2 ,
d e
d e e n la
e m p iris ta .
( i o s )
S a v a n ts
a l
a c titu d
e n
a
te o
q u e
lo s
c a n tid a d e s
lo s
u n a
e n
q u e
d iv id e
C u a lq u ie ra
C a r n o t,
d is c u s io n e s
in fin ite s im a l
q u e
a x io
c ie rto s
b a s ta
a n á lis is
la s
a n á lis is
( 107)-— - e l
1 7 9 7
tie m p o d e l
B e rk e le y
el
L e
re n u n c ie n
e n
( 106) ,
d e
in f a lib ilid a d ;
v a lo re s
p r o p o n e r
se a n
e v id e n c ia
q u e
m a n e ra
c o m p e n s a d o s e n
la
m is m o
e so s
ta l
in fin ité s im a l. o b ra
a l
p re s e n ta r
p o p u la r iz a r c a lc u l
d e
d e b e r a
e rro re s
a
s u
q u e
le n g u a je .
a rtific io
n e u tr a liz a n .
d e s tin a d a
te o ría
el
á t i c a
d e fe c tu o s o
s u
e le m e n to s
re la c ió n
a rre g la
se
h a b ía
c a rta
e n
d e
c á lc u lo
d e s p re c ia r
a p ro x im a c ió n
d e
o
p re tc n s ió n
n o m b re
a t e m
p e q u e ñ o s
d e m o s tra c io n e s ,
n u e v o
p o n ie n d o
p o r
m
p a r a d o ja l
su
n a tu ra le z a . e n
f i l o s o f í a
v a ria c io n e s d e
e n
la
e rrro re s
la s
p r o f a n o s
v e rd a d e ra
s id e ra ,
y
d e l
d e
c a rá c te r
a b d iq u e n
p rá c tic o
c o n s is te
lo s
el
N e w to n
c ip io s
e ta p a s
e r
( v e r p á g .
$ 2 4 2 .
p á g .
4 4 .
p a rtic u la r 1 0 1 ) ,
q u e
la
c a rta p ro v o c ó
a
V a rig n o n la s
s e v e ra s
p u b lic a d a
o b s e rv a c io n e s
d e
e n
e l
C o m te .
J o u r n a l C o u rs,
C
L A
F I L O S O F Í A
S
1 1 6 . m a l
h a
o p o s ic ió n m a t
y
el
n o
u n
c o ,
b u s c a
n e r
la
c ie n c ia
d e
lo s
e s p íritu
n is m o ” ;
to n
es,
la s la
y
p a ra
d e
H u m e ,
ra z ó n
la s
fe n ó m e n o s
v a lo r d e
a
y
la s a
F o u rie r
m á s n o
el
d e l
a
la
el
tip o
p re c is ió n
im a g in a ,
n o
d e l
p e rfe c to
e je rc e
la
c ie n c ia ,
a p o r ta s in o
es
el
v a ria d o s
d e l
m a te m á tic o ,
d e l
s ig lo
im ita c ió n
la
u n iv e rs o
P o r
a tra c c ió n p re te n s ió n
X I X d e
e n
la
e x p lic a la s se
la s
a
e l
o jo s
la
d a b a
p re te n s ió n
te o ría s
m e ta fís ic a s a
d o n d e d e
d e
s is te m a e le m e n to
s u s
v o lv e rá
le y e s
f ó r m u ú n ic a
u n
E s .
se
o b ra s
N e w to n ,
im a g e n
q u e
a s í
N e w
n in g u n a
la s
d e
p o r
d e
e n
d e
c u a d ro
c o n
la s
es
el
q u e
P r in c ip io s
e s p e c u la c ió n
o b ra
n o
e n
“ c h a u v i
lo s
la
fís ic o .
e llo
d e
la
e m p le o
p o r
e n
e le m e n to
d e
a l
d is p o N e w to n
d e s p e c h o ,
si
la s i
m a e s tro ,
d e
e n
e je m p lo ,
r e u n ir
n e w to n ia n a .
d e l
s o b re
e n
m a te m á ti
d e
e x e n to
la
F e r
s e r
p u e d e
e s c u e la
e s ta b a
se
d e
q u e
q u e
la
in f in ite s i d e
d e
q u e ría
m é to d o
d e
in flu e n c ia
P o r
c á lc u lo ra s g o s
e n c o n tra r
h e re d a d o s
la
V I I I
g e o m é tric a s ,
te o ría
a
a
n a tu r a le z a
X
p a r a
v u e lv e n N e w to n
m e d io s
n o
q u e
el
a lg u n o s
s o la m e n te
q u e
la
la
e n t o
d e s c u b rim ie n to
d o m in io
té c n ic o s ,
s ig lo
a s o c ia c io n is m o ,
c o m ie n z o s
e l
se
lo s
N o
d e
e m p le a d a
m e c á n ic a
c o m p a ra r
c o m o a ú n
la
d e
a llí
m e ta fó r ic o ,
el
L E I B N I Z
a n a lític a ,
e n tre
m a te m á tic o .
re la c io n e s
a tr a c c ió n
lo s
d e l
c a rá c te r
u n d a m
L e ib n iz .
d e c irs e
c ie n c ia
filo s ó fic a
su
e n
d e
D E
A s im is m o ,
m u ltip lic a r
p u e d e
F
l
D e s c a rte s
y
n a tu ra le z a .
la
À T I C A
E
c o n s e rv a d o ris m o
d e
p ro p ia m e n te
m a n e ra
la
ta m b ié n
d e
d e
X
o
g e o m e tría
p ro c e d im ie n to s
d e
m a te m á tic o s
d e c irlo ,
to d o
l
v eces.
E x te n d ie n d o
s o b re
u
s e ñ a la d o
N e w to n
p r á c tic o :
c u ltiv a rá u n
la
h a b ía m o s
d e
í t
A T E M
d o s
d e s c u b rim ie n to
c o m p a ra c ió n
p
A . —
n
C o m o
in v e n ta d o
q u e
M
e c c i ó
—
s id o
a
e n c o n tra r
u n la
C h a rle s
" a tra c c ió n
in d u s tr ia l” . P o r c e p c ió n
el
c o n tra río ,
filo s ó fic a ,
y
la se
in v e n c ió n c o n v ie rte
le ib n íz ía n a e n
la
b a se
p ro c e d e d e
u n
d e
u n a
s is te m a
c o n
g e n e ra l
2 2 6
L a s
d e
lo s
te
o b je to s :
o c u p e s
m á s
a lg o
m is m a s
se
“ Q u iz á e n
p r o f u n d a
e s te
e le v a ro n
a q u í,
o
si
e x c lu s iv a m e n te ,
lu z
d e
sea
Y
D e s p u é s y
el
d e s p u é s
d e l
d e
ta n to
e n
d e l
in fin ito
la
la -
D E L
y
g e n e ra l
d e
h a n rio
e n
f ó rm u la s
la s
e n
m a te m á tic o s ,
e n
y
e n
q u e d e
la s
h a s
c u a le s ,
g e o m e tría p a rte
p a rte
la
m a te m á tic a s
a c o s tu m b ra d a s
la
le s
í 1 )
C a r ta d e
c a y
el
re c ib irá n
d a r á n
la
a u to
la
re c ié n
el
d e l
3 -1 3
1 8 5 7 ,
s u
L a s
d e
in
p a re c e r
u n a
se
n o
3 2 7 .
d e
o b ra a
1 6 9 6 .
d if ic u lta
la
o b ra ,
d e
s u s
c o
d a d o d e la
o la
la
L e ib n iz
la s
m á s
ta m b ié n la s
m is m o
fo rm a
es
c ie n c ia
e x p o s ic ió n
s o b re
a l
s in o
d e y
a
m e d ia s tr a d u c i p a ra
e s tá n
la
in d ic a
e s c rito s c u y o
s id o
a rtíc u lo s
a p ro p ia d o
m a s a
re la
tie m p o
h a n
d e
c a rta s ,
ta m b ié n ,
H a n n ó v e r, a
la
c o n te m p o rá
s in o
re v e la b a n
el
e n d e
c o m ie n z a
s e tie m b re
d e
a lg o r itm o
id e a s
s u p o n ía
R e a l
o b je tiv a m e n te d e
s o la m e n te
a p a re c ía n
p ro y e c to s
f ija r
c a re c e
g ra n
b a jo
c o rre s p o n s a l;
d e
d e
v eces
h a b r ía
X V I I
e lla s
B ib lio te c a
p á g .
d o s
Á T IC A
in fin ite s im a l,
n u e v o
d is tin ta s ,
s ig lo
a h o ra
n ú
le ib n iz is m o ,
a l
M A T E M
n o
n o
a n á lis is
L e ib n iz
y
la
e n c o n tra d o
s o rp re n d e n te s
n o ta s
s o n
el
m a te ria le s
ta n ta s
b ie n
e n
q u e
d e
irra c io n a
te s tim o n ia .
c o m p u s o
d e l
Y
ta re a
e lla
y
d e
lo s
m a rc a r
L e ib n iz ,
o
q u e
n o c ió n d e
c a rte s ia n a ,
d e b e
b re v e s
d e
C a re il,
e n
m e ta fís ic a . d e l
p a r tic u la r
e x h a u s tiv o
n o
y
la
s p in o z is m o
L Ó G IC A
q u e
f u n d a n d o
la
le n g u a je
fo rm a
d e l
c irc u n s ta n c ia s
h a b r ía n
a
y
v e rd a d ,
g e n io
c la ra s
s o b re
d e s c u b rim ie n to
s e n tid o ;
c o n s e rv a d o
F o u c h e r
F a ld e lla , d e riv a d o
c u a l
a h o ra
g e o m e tría
p ro m e tid o
p ú b lic o
v e rd a d e ro
fis o n o m ía d a s
a l
la s
d e l
q u e ,
in tro d u c c ió n
el
d e
m é to d o s
n o c io n e s
e n tre g a d a s
e n
a
m a te m á tic a .
d e c ir
h a b ía
lo s
la
m a te m á tic a
e llo s
d e
te o ría
d a s
h a s ta
f u n d a d o a l
P R O B L E M A :
L e ib n iz
q u e
d o n d e
d e fin itiv a
su
el
n o c io n e s
in fin ite s im a l,
A
r a z ó n
to d o ,
d e
filo s o fía
a m p litu d
A n te
c u y a s
e s c rib e in f in ito ,
p o r
filo s ó fic a s
lig a d o
a n á lis is
d e
filo s o fía
p o r
u n a
le
á t i c a
im a g in a b le s ,
h u n d id a s h a lla z g o s
a t e m
d e l
la s
c o sa s
p ita g o ris m o ,
—
la
m o
c io n e s
d e
la s
m a le b ra n c h is m o
1 1 7 .
la
in ú til,
a n á lis is
a llá d e
d iv e rg e n te s
d e l
n u e v a
n e o s ,
m
filo s o fía ,
m e d ita c io n e s
P O S I C I Ó N
d e s,
a llá
n u e v o s
d e l
p ro c e d e n te
id e a
se rá
la
p la to n is m o ,
te rp re ta c io n e s
e ta p a
f i lo s o f í a
( 1) .
m e ro , le s ,
d e
e s ta b a n
e s to s
la
n o
m á s
m á s
n u e s tra s
r id a d ”
d e
n u e s tro
fu e n te
ta
a n á lis is .
e ta p a s
q u e
se
in v e n ta
p u b lic a r.
N o u v e lle s
le ttr e s
e t
o p u s c u le s ,
e d .
la
P o s ic ió n
N o
s o la m e n te
z ía n a
e s tá
s u m o
e s p e ra r
a
a n te
to d o
e s tu d io ta l
H a s ta
el
d e l
ló g ic o , E n
c o m o
lic a
o
e s ta
la
p r o v e n d r ía
d e
q u e
h a
d e b id o
a
h e c h o q u e ,
c a r a c te r ís tic a n o c io n e s
L a
ló g ic a
n o
c ia
d e ja
d e
J e a n
L e ib n iz ( 3 )
m is m o u n
e t
a
c á lc u lo d e l
fo rm a c ió n ( 4 ) c o n s a g ra d o
m e V e r a l
E l
R u s s e ll: R a y ,
d o c u m e n to s
C a r ta
a
h a c ia m á s
a n á lis is p a re c e e n
la
c á lc u lo
la
T h e
P a ris ,
in é d ito s ,
G ,
im p o rta n te
q u e
la s
u n a
d e
la s
o b ra
d e
L .
p á g . lo s
id e a s .
g e o m é tr ic o ,
1 9 0 1
se
ta re a s
p á g .
la
3 8 8
L a y
la
d e
u n a
in
ló g ic a . n o
la
se
ló g i
a lg o ritm o s
p a ra
p a re c e r
in te le c tu a l,
fu n d a m e n ta le s e n tre
la
e n to n c e s
C a m b rid g e , C o u tu ra t:
L a
d e
c ie n e n
lo s
1 9 0 0
( tr .
L o g iq u e
A lc a n ) . 4 6 5 .
— •
in s in u a d o y
d e
L e ib n iz
e n la
o tra
q u e d e
d irá
p a rte
g e o m e tría ,
C a ra c te rís tic a
im p o rta n te s L o g iq u e
la s
la
la
m u n d o
L .
p á g .
a ritm é tic a
s ig .
d e
es la
a
d e
in te rp o n e
L e ib n iz ,
F .
d e
filo s o fía
e x p re s a rá
y
d ife
a d e c u a d o y
le lle
A n a ly s is
p ro y e c to
c o n e x ió n
" H e
s e ría
m á s
C o u tu ra t,
IV ,
5 7 1 :
d e
E s te
o f
e n
c á lc u lo
e m p le o
1 9 0 8 ) ,
,
el
s im
q u e
in v e n ta r ” ,
el
a
y
e s fo rz ó
d e
e n
d e l
la
( P a r is , M
n o ta c ió n
d e l
se
el
u n a
S im b ó
a ritm é tic a
e lla ,
se
c a te g o ría s d e
A lc a n ,
1 6 8 4 ,
IV ,
d e
la s
P h ilo s o p h y F .
u n a
c o m b in a to r ia
le ib n iz ia n a
T s c h ir n h a u s , 1 6 9 8 ,
d e
to ta lid a d
s o b re
la
a p lic a c ió n
m e d ia n te
p ro b le m a
filo s o fía
B e rtra n d
B a y le ,
d e p e n d e
la
a
a
d ife re n c ia c ió n
a m b a s
d e
la
lla m a b a
m a te m á tic a
E n tr e
á lg e b ra
D e
“ a rte
u n a
a l
e n
a lg o r itm o
la
rig u ro s o
re p o s a r
R e n é e -J .
s e g ú n V e r
d e
la
re n o v a d a
q u e
u n
d e
y
p a ra
in s p ira
e n to n c e s d e
s is te m a
a ris to té lic a . y
es
e x te n d id a
e so
a p o r ta
p ro c e s o
L e ib n iz .
se r
u n
le ib n iz ia n a
d e
q u e
el
p a s a je
e n
s e r
p o r
m e ta fís ic a
( 2 ) c e sa
el
p a ra
p o r
s u s c e p tib le
y
e n
t i
d e p e n d e ría
L e ib n iz
d e l
se
d e
m a te m á tic a .
re s p e c to
lo
lím ite s
filo s o fía
la
to d a v ía
d e
y
re s u lta d o
q u e
d e
d e s c u b rim ie n to
m e n o s ,
a l
m a te m á tic a
q u e y
el
R u s s e ll
el
u n iv e rs a l,
ú n ic a m e n te d e
p e rs
e s tu d io .
“ m u e s tra s ”
c ie n c ia
c o n
g e n io
lo
in te rp re ta d o
P a r a
a ritm é tic a
c ie n c ia
p o s e ía
d e
ese
s id o
u n a
s in o
p a rte s
c re a c ió n si
d e
a
p re v ia
e s c o lá s tic a .
la
e s ta
L e ib n iz
d ire c ta m e n te
p re c is o s
d e
lo s
u n iv e r s a l,
a
s o n
la
re tro c e d e r
c o n s ig u ie n te ,
h a c e
la
e n
la
p a rte ,
im p lic a d a s
te g ra c ió n .
c a ,
o tr a
“ c e n tro
h a b ía
la
le ib n i-
p o d r á
c u e s tió n
u n
s e ría
d e
n o
d e
el
u n a
p ro g re s o
é s ta
la
c o n s titu id a
m e d ia n te
P o r
o
g e o m e tría
a p r o p ia d a ;
se
s im u lta n e a m e n te
( 2) ,
n o
filo s o fía
q u e
m a te m á tic o .
d ife re n te s
d e
s id o
el
tip o
c a si
E s
la
es
2 2 7
á t i c a
a l
d e te rm in a r
é s ta s
re ta rd o
la g u n a
re n c ia l
d e
h u b ie s e
( 4) .
d e
b ie n
(3) .
e x a c ta m e n te
P o r
m á s
la s
el
el
d e
q u e
c o n s id e ra
d e s a rro llo
q u e
s itu s
n o
C a r a c te r ís tic a
á lg e b ra
fu e se
o
a t e m
le ib n íz ia n is m o
a u tó n o m a s ;
el
y
n a r
L e ib n iz
m
id e a l
s in o
A ris tó te le s
la
m a n e ra ,
a l
d e
g e n e ra l,
e s ta
b ó lic a
el
filo s o fía p u b lic a d o
la
u n
d e te n id o
in d e p e n d ie n te s
c o m o
m á s
to n c e s
h a y
h a n
e fe c to ,
v e a
y
c o m p le ta ”
g ra d o s ,
X I X ,
u n a
d is c ip lin a s
c ie n c ia
se
ló g ic a
c o m o
le ib n iz ía n ís m o
s ig lo
q u e
a :
“ n o c ió n
p o r
n o
in v e s tig a c io n e s
p o
d e
d e l
c o m o
C o u tu r a t,
la
p r o b le m
h is to r ia d o r
q u e
f in
g e n e ra l
d e
el
a c e rc a rse
p e c tiv a ”
e n
d e l
p o d ría
L e ib n iz ,
y
u n iv e rs a l
lo q u e q u e
c u y a
e m p re n d e rs e ” . e l
c a p ítu lo
I X ,
f r a n
2 2 8
L a s
e ta p a s
té rm in o s
c o rre s p o n d ie n te s
y
e s c o lá s tic o s ;
d e
lo s
e n tre
el
p r e d ic a d o
y
el
n e c e s a ria
d e l
p re d ic a d o
e s tá
1 1 8 .— z ia n is m o p o n d e n c ia u n a a
N o
d e
q u e
a c e rc a r d e b re
la
su
A r n a u ld
P o r
y
n o
h a
e d ific io
ca,
y a
h a b ía
s o b re
s id o
e l
U n iv e r s a l.
L a
ra s tro s
re c o g id o
a
re s e rv a r
u n
u n
s is te m a
s o b re
la s
c u a n d o
te s is
fe s a d a
e n
d e
p la n ta r
el
c o n s id e ra c ió n e s tu d io s re la c ió n s u
d e s
( 5 )
A .
G e n e r a lis , m o s tra r d e lo s
e sa
c o sa .
re q u is ito s
(® ) É tu d e s s ig .
p á g .
a c e rc a Y
e n
d e l
p a ra C fr.
se
d e
T o m
q u e
ju n io " . . . N
a n d o
c o m o
a lg u n a
y
c o sa ,
to d o s lo s
o
lo s
G ,
I I ,
s in o
p á g . n i
d e l
5 6 .
d e l
e fe c to
( 6) .
Q u iz á s ,
su s
o
I n itia
e t
p o r
d e
lo s
e s tá n
la
d if ic u lta
u n
la
á n g e l,
lo s
ló -
S c ie n tic e d e
re q u is ito s
c o n te n id o s
c o n tie n e n
la lo s
in tr o d u c ir
s p e c im in a
s iq u ie ra
p re d ic a d o
s u
c rític a s
a
e n te n d e m o s
b u sc a d o ,
ín c o n -
q u e
in te ré s
m is m a s
n i
e n
s o m b ra
in v e n c ió n
C fr.
d o n d e
d e re c h o s
su
lle g ó
la s
c u
o b li
c u e rp o
d u d a rs e
d e
la
n o s o tro s ,
h a s ta
re q u is ito s
re q u is ito s
d e
m e d ia n te
p o d e m o s
lo s
e x te n d e r
e l
c e n tro
n o s
a u to r id a d
p u e d e
R u s s e ll
A r te
in te le c tu a lis m o
d e b id o
a lg u n a s
a p a r ta r
d e l
re n o v a d o
q u iz á s
d e
C a r a c te r ís
to m a r
la
f r a g
te n ta tiv a s ,
s o s te n id o .
a
s o to d a
a r is to té li
la
e fe c tiv o , a
y
d e
c o n s tr u ir
e sas
h a
p u n to s
tra v é s
d e
fin a l
a p e la r
h a y a
su s
p ro y e c ta r
T a m p o c o
n o
1 6 8 6 ,
h a
a
a
d u d a
h u b ie ra
le ib n iz ia n is m o ,
6 2 .
tra d ic io n a l,
C o u tu r a t,
d e
fra c a s o
n e c e s a rio
p r o p o n ía
v e rd a d ,
s u je to ,
e l
p re d ic a d o ,
A rn a u ld ,
V I I ,
n a d a
n e c e s a rio s
y
G ,
se rá
L e ib n iz
d e
d e
e n
d e b e m o s
d is e rta c ió n
to d o
cesa
re a lm e n te
e s c rito s
a
d e l
L e ib n iz
n o
in fin ite s im a l.
s u je to
e x p o s ic ió n
q u e
q u e
c o m o
s ilo g ís tic a
le ib n íz ia n is m o
ló g ic o s
le ib n iz ia n o s . d e
u ltitu d
le ib n iC o r r e s
s u b s ta n c ia s
y
la
s in
la
ló g ic a
la s
p rim e ra
lle g a
d e l
e n
( 5) .
1 6 8 6 ,
p a rte ,
d e
s u je
v e r d a d ”
A r n a u ld , d e
s o b re
n o
e x p lic a r
e so s
m
y
la
n o c ió n
d e l
m e tó d ic a
la
p la n e s
s u
la
ta n to
e s ta b le c im ie n to la
d e l
.L e ib n iz
m a rc o s
d e
y
q u e
p e ro
q u e
a n á lis is
d e el
es
a ñ o
o tr a
b o s q u e ja r
id e a l,
L e ib n iz ,
e so s
P o r
e n
a f ir m a
la
M e ta fís ic a ,
d e
c o m o
a m p lia c ió n
e x a m e n
q u e
te n g a m o s
d e l
d e n tro
d e
p a ra
s in g u la r,
q u e
d e
in d iv id u a lid a d
o b je to
o
p u b lic a c ió n
ta le s
in h e re n c ia
in te rp re ta c ió n
D is c u r s o
c u y a
G e r h a r d t
d e fin itiv o ,
m a te m á tic o
e n
el
le ib n íz ia n is m o
sé
p e rip a té tic o s d e
p ro p o s ic ió n
te x to s ,
a lre d e d o r
p e rs is te n c ia
e n
lo s
lo s
m a n e ra
n o
la
y
tic a
d e
la
p a ra
y o s g a n
el
to d a
e s ta
e n
d e
re la c ió n
u n iv e rs a l
q u e
e n
p a rte ,
( 1 6 6 6 ) ,
h a
d e
n o ta s
d e ja d o
d e
q u e
y
á t i c a
la
e n
b ie n
p re e s ta b le c id a ” .
m e n to s
c o m b in a to r ia
o
a u to riz a d o s ,
“ a r m o n ía
d e
c ie rta
p e rm a n e c ie n d o
p e rs o n a le s
c a rre ra
e n
s ó lid o
d e
u n a
p e n s a d o re s
v is ta
d u d a
a t e m
p re o c u p a c io n e s
c o n tin g e n te ,
a s id e ro
p o d r ía ,
m
a lre d e d o r
s u b je c to ;
e s c rito s
C o u tu r a t.
c re íd o
o
c a b e
u n
c o n
s e rie
la s
c o m p re n d id a
in e s t
tie n e
a
f i lo s o f í a
s u je to : “ S ie m p re
v e rd a d e ra ,
p r c e d ic a tu m
la
g ira rá
tiv a
to ,
d e
e n
a rtific io s
re v e la rlo s .” H a n n e q u in ,
d ’h i s t o i r e
d e s
L a
s c ie n c e s
p h ilo s o p h ie e t
d ’h i s t o i r e
d e d e
L e ib n iz la
e t
le s
p h ilo s o p h ie ,
lo is t.
d u I I ,
m o u v e m e n t, 1 9 0 8 ,
p á g .
e n 2 4 0
P o s ic ió n
g ic a
in fin ite s im a l
fu e ra
d e
to d a
le íb n iz ia n a P o r d e
lo s
d e
la
c a r
d e l
h e a d
s u
n iz ,
lo
m o
u n
p id ió
le
a
tic o s
1 1 9 .
c a p ita l—
d e
L e ib n iz
la
te n e m o s fu é
A
q u e
a p lic a c ió n
la
d iv e rs o s
ta fís ic a , c u n d a
su
lo g ra d o la
la la
C o u tu r a t,
u n
le
a
d e
p o n e r
c o n c e p c ió n
se
u n a
te n id o
e n
y
s o b re
la
g lo ria
P e a n o
h a
y
d e l
te o ría
ra c io n a l
k a n tia n a
d e
d e
d e
u n
o c u rrid o
c o m ie n z o s
d e s p re n d e
c o n s tru c c ió n , e d ifi
W
a s í
h ite -
a
L e ib
s ig lo
X X
a s í
c o m o
se
v e rd a d ,
se
c o n te m p o rá n e o s :
d o c trin a
la
la
lo s
ju ic io s
c o
s in té
es
a n a lític a ,
y
d e
e n
s u
p o r
V e r
( 8 )
I b id .,
i
( 9 )
I b id .,
S
§
( 1 0 )
O b .
( H
“ . . . D
p ro b a d a
a
n a tu ra le z a
R e a l
y
e llo s
e n
s in
e fe c to , d e
d iv is ió n
a
e l
s u s
a tre v e rs e
ú ltim a s
s u b s titu id o
la
d e
la
ese
p ro c e s o
c o m p le ta m e n te
la
p a r te
p a r te
la
d e
c ie n c ia
y
a es
A r is e n
lo s
in f in ite
m a te m á tic o
p s ic o lo g ía ,
s ó lid a
d e
c o n c e p to
p r o p io
c o n s titu id o
o tr a
s ilo g ís tic a u n
d e
p e n s a m ie n to
p o r
d e
la
p o r ta n
c o n s e c u e n c ia s
e x a c ta
m e c á n ic a ,
p a ra
im
d e s c u b rim ie n to s
m é to d o
la
tie n e n u n a
d e
la
a
m e
d ire c ta m e n te
fe
a
e s te
re s p e c to
o
d e l
v ir tu a lm e n te
c o n s e c u e n c ia y
d e
d e l la
d e b e
la
fó r m u la
m is m a
le ib n iz ia n is m o id é n tic a ,
p o d e r
p r in c ip io
tra d u c c ió n
d e
o
( 10)
c o m o
d e m o s tra rs e
d e
s u
d o n d e
“
. . .
d irá a
id e n tid a d ”
fra n c e s a
:
p r io r i
( “
)
o b ra
t o
K a n t,
y
p o r R u s
s o b re
la
1 2 8 . 1 3 8 . 2 2 4
c it., e
a q u í
p r io r i, d e
y
p á g .
e x is te
p u b lic a d o e t
s í,
p re s ió n
la s
in te rp re ta c ió n
P r e fa c io
e fe c to
la
-y
el
d e
f o r m a l
( 7 )
O p u s c u le s
d e
d e fin ic io n e s
e l
)
h a u n a
c o n s id e ra r
re s u m e
v e rd a d
m e d io
p o r
—
le ib n iz ia n is m o
d o c trin a .
B a s ta rá C o u tu r a t
p u n to s
d e l
té r m in o
m a te ria ,
h a b e r
e s to s
q u iz á s ,
a
p ro b le m a s
p a re c e
d e
b lio te c a
h a
e n tra ñ a
id e a l
h a n
p r e g u n ta r n o s
s o b re
s im a l;
T e x to
q u e
L e ib n iz
re p o s a d e
la
p la n
( 9) ,
a p re c ia c ió n
s u y o
e le m e n to s
s e r
s e ñ a la d o el
a c tu a r
a c tú a
d e s v ia d o
p e s a r
s u b s titu c ió n ,
n in g ú n
P a s c a l,
c o n tra
c o m p le ta m e n te
tó te le s ,
s e ll,
h a
P re c is a d o s
p a ra
n o
c ie n tífic o s .
d a
2 2 9
á t i c a
q u e
q u e
e n c o n tra d o
re fu ta ra
—
c o m o
c ia
lo s
a t e m
s e g u ro ,
G ra s s m a n n h a
a
q u e
es
m
p r io r i.
p re n s ió n
ta
lo
L e ib n iz
u n
P a s c a l
L e ib n iz
a
lle v a r
d e
s is te m á tic a
o c u rrió
a
c a so
y
( 8) .
c o n te m p o rá n e o
a y u d a
p id ió
c o n tra d ic c io n e s
q u e
te rm in a c ió n q u e
to d o
o
la
ló g ic a
e n
c o m o
B o o le
p a rte s ,
a :
la s
ló g ic o s
u n
f r o b l e m
e s p a c io p a rte ,
e s b o z o s q u e
( 7 ).
ré p lic a
o tr a
c ie rta s
d e l
la p o r
s in o
2 1 0 . n a c e
u n
c a u sa . q u e
v e rd a d
n o
H a n n o v e r,
se
o tro
a d m itid o : m o d o ,
re s o lv e ría
s ie m p re e n
in é d its
a x io m a
D e
q u e
C o u tu ra t,
fr a g m e n ts d e
2 2 5 .
la d e
1 9 0 3 ,
es
R e v u e
e n
d e
p á g .
5 1 9 -
e x is te
u n a
id e n tid a d e s ,
id é n tic a ,
L e ib n iz . . .
n a d a
d a ría s e
y a
E x tra c to s
lo
e x p re s a
M é ta p h y s iq u e , d e
s in
v e rd a d c u a l y a
1 9 0 2 ,
ra zó n , q u e es
n o
o
se a
p o d ría
c o n tra rio
a
im p líc ita m e n te ” . p á g .
m a n u s c rito s
3,
y
d e
e n
lo s
la
B i
c o m
L a s
2 3 0
F ilo s o fía
d e
e v id e n te
tid a d
L e ib n iz
q u e
p re s ió n
la
u n a
c o n
( 1S) ,
S i
la
tific a b le s s o n
a n a lític a s
fo r m a l;
la s
q u e
p re te n d e
e llo
se
d e
u n
el
e n
d e
e n tre
d is ta n c ia
d e
lo
a
e l
d e
[d e
tu r a le z a a s í
s o n
o
m a
la
lo s
a
lo
d e
K a n t,
d u d a
el
u n iv e r s a l;
c ió n
m u y
d ife re n te
c u y a
p ru e b a
p u e d e
se r
o
E n
el
p r im e r
c a so ,
p o r
el
m é to d o
d e
la
s o m e tid a
a
d u d a
L e ib n iz c ip io
d e
(1 2 )
a n te s
e n
p á g .
(1 3 )
" y
s o n
c u a lq u ie r
e n
fo rm a
r a z ó n
c o n tr a r ío ,
e te rn a
d e
q u e
la
se
d e
r a z ó n
el
c o n
la
p ro p o s ic ió n
a y u d a
a d e
c ie n c ia
la
c o n fu n d e
c o n
c a so ,
el
p a rte ,
d e
la
lo la
d e m o s
y
n ú m e ro
p u e d e
d e
se r a
lle v a d a
u n a
a
lo s
p r o
o jo s
re c o n o c ía ; d e
d e
in f in ito .
c o n tra d ic c ió n ;
re v is te
d e
a c e p e te rn a s
f in ito
el
e l
id e n tid a d . r a z ó n
es
d e
p r in P o r
el
el
p u n to
IV . es
m a n ifie s to
v e rd a d
es
a d m ite
in c a p a z la
q u e
id é n tic a s .”
ra z ó n
d e
to d a s G ,
a n á lis is
ú ltim a
y
la s
V I I , y
la
n o
p ro p o s ic io n e s p á g .
3 0 0 .
p u e d e
n e c e s id a d
s e r s ó lo
C fr.
n e c e s a ria s ib id .,
d e m o s tra d a , d e
o
p á g .
d e
v e rd a d
2 0 0 :
“ L u e g o
p o r
la
m e n te
d e
I I I ,
p á g .
5 8 2 .
n e c e s a ria ” . ( 1 4 )
“ re
e n
u n iv e rs a le s
le
p rin c ip io
el ^ p rin c ip io
to
la
u n a
u n
n o
d e s
s o fís tic a :
e n v u e lv e n
y a
lo s
q u ie
le íb n iz ia n o
c o m p o rta
p rin c ip io
H o b b e s
n a a
se
q u ie n
y
c o n
a d
n o
e q u iv a le n te s ” ,
d o m in io
n a
s in té tic a .
d e m o s tra r lo s
d e l
q u e
d e
q u e
ju ris d ic c ió n
e s te
si
p rin c ip io
v e rd a d e s
s in g u la re s ,
la s
e v id e n te m e n te
d e m o s tr a b ilid a d d e
n a tu r a p o r
e n
d e m o s tra c ió n
es
a d
q u e
a lg u n a
n a tu ra le z a
la
p rim itiv a s ,
p a ra
c o n s titu y e
“ s u b s titu c ió n la
e n
p e n
h a y
re d u c írs e lo
a n á lis is
s in
n e c e s a rio s ,
P e ro
n e c e s a rio ,
el
el
p o s te r io r ib u s
E s c u e la ,
d e
tra te
h e c h a
s e g u n d o
v irtu a lm e n te
b ie n ,
d e
e s ta
v e rd a d e s la
tip o
p ro c e s o
a n a lític a
se el
p e ro
la
la s
p u e d a
P a s c a l
q u e
d e
u n
es
d ic e
a n á lis is
u n
s e g ú n
p ro p o s ic io n e s ,
n a d ie
es
p r in c ip io
tr a b ilid a d
p o s ic ió n
c o m o
el
n a tu r a
E n to n c e s
lo s
n o c io n e s
ja m á s
lo
s u p rim id a s
d e
u n id a d e s .
a
q u e
ló g ic a
d e n o m in a
te rm in o lo g ía
s in
re c o n o c e r
la
in f in ito ” ,
L e ib n iz
S in
y
e n
q u e
e n
v ir tu a lid a d
a
ju s
té rm in o ,
p o s te r io r ib u s
la s
ló g ic a s s o n
tra ic io n a ría la
p o s te rio re s e n
d e m o s
in g re s a ría
s e r
a n á lis is
n a tu r a
s o n
a n á lis is
( 14) .
id e a s , d e
a
re s u e lv e n
e s te
té rm in o s
p ro p ia s
“ E l
te rm in a
in f in ito ,
c o n tr a p a r te
g re s ió n q u e
a l
y e n d o
se
e x is te n c ia s , lle g a
su s
in f in ito .
se
p r im itiv o s ”
e n re d a r
p re c ia r
n ú m e ro s
s u p re s ió n y
id e n
es
v e rd a d e s
p o d r ía n
e x
s ig n ific a
d e l
E s
m is m a
o p e ra c io n e s
la s
v ir tu a l
fo r r y a lid a d
n a tu r a le z a
a n te rio re s ]
p r io r a
e le m e n to s
p o r
d e
lo
s u
p ro p o s ic ió n
a ris to té lic o
e s ta
la
in te rp re ta c ió n . e n
.¿ Q u é
la
to d a s
k a n tia n o ;
lo
e s e n c ia s ,
q u e
lo s
tin g e n c ia s
re
la s
la s
c o m o
tu r a
f in ito
q u e
s e n tid o
h e c h o
L e ib n iz :
es
f in ito
d e c ir
v ir tu a lm e n te
d e
q u e
n ú m e ro
s e n tid o
iP e ro
re s o lv e r. q u e
el
o
e s ta
e n tie n d e
n e c e s a rio
s a m ie n to
p r io r a
á t i c a
c o n tie n e
d o s .p a la b ra s
in c o n v e n ie n te s .
a t e m
c o n
ló g ic a
e n
m
s e m e ja n te
p o r
la
f i l o s o f í a
c o n c u e rd a
s e ría
p o r
la
( 1 2 13)
a y u d a
e n to n c e s
d e
f ó r m u la
d ific u lta d
v ir tu a li
tra b le
e ta p a s
C a r ta
a
B o u r g e t
d e l
5
d e
a g o s to
d e
1 7 1 5 ,
G .,
su s
ra z o n e s ;
D io s ;
n o
e s
P o s ic ió n
d e
p a r tid a
“ N o
d e
e x is te
u n iv e rs a le s la s
u n a
el
o
y a
el
h e c h o
es
c a p a z
d e
p e rm ite
h o m o g e n e id a d es
s e ría
L e ib n iz
v is te
u n
tic a
a
la
é s te
u n
b le
d e
eso
a l
u n
a lc a n c e
d e
la
la
d r ía n
ló g ic a
p e ro
e n
e l
n ific a
la
f in ito
se
q u e
V e r
d e s ig n a d a ( 1 7 )
q u e q u i d e l
la lu i
u n a
O
p o r
( ie ) . c u
y
re s ta b le c e r
ta n
fá c ilm e n te
d e
S in la
s u
lo
m e n o s
a s tu c ia
d e
su
e m b a rg o
s a b id u ría
e n
re
n o
se
d ip lo m á
p e n s a m ie n to :
se
h a c e
el
f o n d o
d iv in a ,
q u e
o rig e n ,
d e
n a d a
( 18)
e n
e s p e c ie
q u e
s in
ra z ó n ,
e s to
a u n q u e
n o
es
n o
h a
( 19) .
el
q u e
p rin c ip io e l
c o n s titu id a s e n a l
la
B o sse s,
D io s .
d e l
l 9
d e
d e l
d e
la
d e
lo
y
1 7 0 6 .
G ,
q u e
es
p o r e s tá
II,
lo p o
a c tu a l
té rm in o ,
to d o
d e n o
es
v ir tu a lid a d ,
re a liz a c ió n ,
q u e
fe b re ro
f in ito ,
u n a
tie n e
fo rm a s
v ir tu a lid a d
in f in ito ,
P u e s to
L a s
to d o
es
d e l
q u e
ilim ita d a
lo
S i
in f in ito
P a r a
L e ib n iz
c o n s id e ra c ió n d e
in f in ito .
a c tu a lid a d
d e
la
m a rc o
el
e n
id e n tid a d .
n e g a tiv o
re a liz a rs e .
c a p a c id a d
r a z ó n d e
p o r
el
A ris tó te le s ,
a
d e
p rin c ip io
c u id a d o
d e
e n
d e s
D io s
té rm in o s
C o u tu r a t
ló g ic o
e x p re s ió n
c o m p le ta m e n te
m a n e ra
N u e v o s e n
C fr.
n o tio n
si
e l
n o s
lo
R e m a r q u e s
à
n o
e s tá
v ia je s e ría
ja m a is
q u e ta n
O b .
(1 8 )
B o d e m a n n ,
3 9 ) .
c it..
p á g .
so b re
p o r
N .
la
d e
c h a q u e
( 1 6 8 6 ) :
h e s e r
e l
E .)
s u r
e n c e rra d o y o fá c il
( l s )
p á g .
E n sa y o s
s u c e s iv o
in d iv id u e lle
a r r iv e r a
d iá m e tro
ju z g a r
I,
q u e
c o n tra d ic c ió n
c o n e x io n e
a
c re a d a , a
p rin c ip io
re a l,
c o n
te o ló g ic o ” .
filo s o fía .
in te rv e n c ió n
C a r ta
m e n te
d e se r
s ig
d e l
i n
n e c e s a rio
e llo
es
n e
d e m o s tra d o
p á g .
3 0 0 ,
C fr.
V II,
(L a
o b ra
2 0 0 . (1 6 )
s e rá
s e n tid o
se la
( l s ) p á g .
s in
a firm a r
p u ra m e n te
es
c o n
im p o te n c ia
e lla
p u e d e n
“ p r o f e ta ”
la
p e n s a b a
c o n v ie rta
n o
lo s
lo
e n
re s u m e n ,
lo
es
v e rd a d e s
ra z o n e s
p e rte n e c e
d e
d e
h u m a n a s .
la s
la s
u n a
d e l
p rin c ip io s
tra d ic io n a l,
c o m o
c e s a ria
d e
e n c e rra d a s
y
re c u rrió
d is tin to
e x te n d e rs e
f in ito ,
e x a c to
m á s
p r in c ip io ”
m u y
u n id a d
ra z ó n ,
c o n fe s ió n
1 2 0 . ---------E n
y
d e
g ra n d e s
q u e
e n
p o r
in f in itu d
D io s
d e
s in g u la re s ,
d e d u c id o
la
la
fu e rz a s
U n ic a m e n te
se r
c ie n c ia ;
m a n e ra
p rin c ip io
( 15) .
la s
e m b a rg o ,
la s
2 3 1
á t i c a
( 17) .
L e ib n iz
m is
c o sa
f in ito
la
m e ta fis ic o
e s ta
q u e
d e
o tr a
d e
eso ,
p u e d e
a t e m
ra z o n e s
p e rfe c ta m e n te
c o m p le ta m e n te
c a rá c te r
“ U n o es
d e
m
la s
s in
d e s c u b rir
“ el p rin c ip io
tr a d u c ir ía
P o r
y
s o b re p a s a e n
e x is te ,
p la n te a r
“ g e ó m e tra ”
N o e n
q u e
in f in ito ”
el
D io s
c o m o
p e ro
c o m o
lò g ic a
in f in ito
c o m p re n d id a s
c o n e x ió n
la
a l
s in g u la re s .
im p lic a n
e n te n d e r S ó lo
in v e s tig a c ió n
e te rn a s ,
[v e rd a d e s ]
p o rq u e
'p r o b le m a :
p ro g re s o
o
e x p lic a d a s
d e l
le ttr e
e n te n d im ie n to IV ,
c a p .
d e
M
A r n a u ld ,
e n
la
p ro fe ta s
.
p e r s o n n e
“ A u n q u e
d e c id id o
h u m a n o ,
L .
s e a
n o c ió n
X V I I ,
g e n e ra l
h a c e r
e s tá
c o m o
s e r
u n e
ju z g a r d e
e n c e rra d o g e ó m e tr a s .”
1 7 0 4 .
2 3 .
to u c h a n t
e n fe r m e fá c il
§
fo is
q u e
e l
m a
p r o p o s itio n :
p o u r
to u te s
n ú m e ro
e sfe ra ,
n o
e n
n o c ió n :
G ,
m i II,
es
p á g .
d e ta n d e
ce p ie s
fá c il o tra
4 5 .
2 2 1 .
D ie ' L e ib n iz -H a n d s c h r ifte n ,
H a n o v e r,
1 8 9 5 ,
p á g .
5 8 .
(P h il,
L a s
2 3 2
e n
D io s ,
d e
n o c io n e s
e s tá
e n
la
a s e g u ra d o
q u e
d e b e
n a tu ra le z a
n e rs e
m e n te
ra d ic a l
E .
S e la
c r ite r io
c ie rto ,
s o lu c ió n
p o r
m is m o
im p lic a
a
p o r
“ lo s
V II,
s u
2 0 0 :
a
in m e d ia ta m e n te
b ile s ,
m o d o ,
G e n e r a le s
es
Ib id .,
§
G ,
p á g .
(2 4 )
V e r
I,
e l
7 4 ,
lle v a n
la
l ’É t u d e
d e
o tr a
d e s
d e
la e l
p á g .
p á g .
a
s e rie ,
ló g ic a e s te
d e
p o r
m á s ,
filo s o fía
a u to r
d e
e n
d e
u n
L e ib p a n lo a i
c o n c lu id a .
c ie rto
a n á lis is
le
h a b la b a
a l
c á lc u lo
té rm in o
filo s ó fic a
1 8 8 5 ,
ta l
( 22) .
p re d ic a d o
u n
P a ris ,
d e
d a d a ”
tr a d ic io n a l
h a c e
P e ro y
d e m o s tra c ió n
v e z
s e g ú n d o
E s s a is ,
d a d a ,
c o n s ig u ie n te
la
L e ib n iz
a m b ic ió n
in f in ito D io s
o
la
d e m o s tra c ió n
d e l
q u e
d e
( 21) .
d e m o s tra c ió n
lo s
N o u v e a u x
e n
la
su
d ife re n c ia
p re ju ic io s ,
re a l,
la
a l
q u e
re
d e
re g la la
[c o s a ]
re la c ió n
p a r te
p ro g re s o
d e s d e
d e
d e
p á g .
la s
v e c e s
d e
la s
c o sa s,
p o d ría
la
L e ib -
7 1 .
[la ]
C fr.
ra z ó n , s e r
e n
c o m ie n z o ” . d e
A n a ly s t
n o tio n u m
e t
v e r ita tu m
1 6 8 6 ,
§
6 6 ;
3 7 4 .
3 7 6 .
3 4 9 .
o p ú s c u lo
2 f.
d e
la
a
p o r
c o n tra d ic c ió n ,
u n a
c a d a
s in
la
ló g ic a
A lg e b ra ”
s a tis fe c h o
m is m o
in fin itu m V I,
la d e
y
y
c u a lq u ie ra
y
u n d e l
la
re c o n o c id o ,
lle g a r
c u a lq u ie r
q u e
p o r
d e
h a y a
d e c ir
a llí
q u e
q u e
a c e rc a m o s
d e
d e
a
s a
y
d e
v e rd a d e ra ”
n o
e q u ív o c o
la
es
a
n u n c a ,
b ie n ,
c la ro
c o m p le ta ,
e x ig e n c ia s
In q u is itio n e s
(2 2 )
T h e o l.,
c á lc u lo
c o n tin u a d a
s u rg ir
c o n s titu y e
q u e
d e re c h o
d e
d e
p u e d e
n o s
m e n o r
n o s
à
e tc .,
(2 3 )
in
d e l
s u je to ,
n a c id a
m e n o r
n o
se
d e l
fu e ra
O p u s c u le s ,
p ro c e s su
ir r a
e n é rg ic a
a u to r iz a d o
a n te s
re d u c e
sea
n u n c a
Q u e
" E l
se
P e d ro
h a y a
te n d id o
(2 1 )
d e te
u n a
d e m o s tra c ió n
d e l
re s u lta
d e
s ie m p re
( 23) , ( 24) .
si
c o sa
re g la
s in
d e
h a
ig u a lm e n te
p rin c ip io s
p o rq u e ,
C o u tu ra t
a
d ic h o
re s o lu c ió n
n u n c a
e so
es
la
p ro p o s ic ió n
e s ta
la s
in tr o d u c tio n p á g .
c o n
h a
c re íd o
p ro g re s ió n
n e c e s a rio
a
ja m á s
p o r
P e ro
la
e n to n c e s
s e ría
a le b ra n c h e
(2 0 )
e x
q u e
d ife re n c ia
in fin ite s im a l
G ,
ja m á s
c o n d e n a ría
lo
re g la
c o n tin u a d a
la
q u e
in d e p e n d ie n te
a lte rn a tiv a
re s o lu c ió n
g e n e ra liz a c ió n
h a y a
c o in c id ir
q u e
n o c ió n
te n e m o s
h e c h o ,
M
d e b e n
s a tis fic ie s e
g e n e ra l
u n a
e n c o n tra rá
p a rte
c o m o
u n a
q u e
re s o lv e r
q u e
p o rq u e
s u je to
lo
c o in c id e n c ia ,
la '
m e n o s ,
o b s ta n te
la
se
. .
u n a
v e rd a d e ra m e n te ,
g is m o ;
s i.
d e
c o m p re n d e
n o
q u e
se a
D e
el
“ L a
N o n iz
lo
in f in ita s ;
p e rfe c ta ;
q u e
la
e n
n o
n in g u n a
d e
in fin ito
y
o p ú s c u lo ,
a c a b a d a :
e n
“ D io s ,
re s o lu c ió n
d e m o s tra d o se
á t i c a
in f in ito ,
o b s tá c u lo
L e ib n iz
p ro p o s ic ió n .
q u e
c o sa s
ta m b ié n
m o d o
la
p o r
u n a
la s
a t e m
e m p e ñ a d o
el
g a ra n te
d e m o s tra rs e
a p a re c e ,
p o s ib le
e l
q u e
c o n tin u a d a
h a b r á
el
“ P u e s
p ro g re s ió n
u n
irre d u c tib le . es
m
h o m b re , h a s ta
c h o c a rá
v e rd a d : y
f i l o s o f í a
( 20) .
p u e d e
e n tre
n o
d e l
d e
la
el
c o sa s
p r o g r e s ió n
p re d ic a d o
re g la
e
c o m p re n d e
d e
se
q u e
la s
B o u tr o u x ,
in f in ite s im a l”
es
d e
d e
p ro s e g u ir
d e fin itiv a m e n te ,
c io n a lid a d
c a r
e ta p a s
1 1 ,
a d
q u e
lle v a
e x e m p lu m
e d .
G q u tu ra t,
e s te
títu lo :
E r o p o r tio n u m p á g .
1.
O r ig o
v e r ita tu m
c o n tin g e n tiu m
in te r
q u a n tita te s
in c o n m e n s u r a -
P o s ic ió n
n íz ,
q u e
tr ía ,
L e ib n iz
e n
el
d e
s u
ca
u n iv e rs a l
y
ric a
q u e
d e l
h a
d a s to
es
la s d e
d e
e n
in tu ic io n e s
d e
c ib e n
e n
e n
y
p u r a ,
m ie n tra s
q u e
p a re c ía n
a p o rta rle
s is te m a u n a
d e
o b ra
q u e
la
la
C o u tu r a t
e s c rib ía
L e ib n iz ,
es
c irlo ,
p o d r ía
lle g a r
s e rlo ”
a
E L
1 2 1 .— ta tio n iz la
E n
in d ic a
s o b re
c ie n c ia ,
q u e
(2 5 ) te s is
la tin a ( 2 e ) ( 2 7 )
g o ,
d e
s u s
u n
se
V e r d e
e n
1 8 9 6
C a r ta
a
L e ib n iz
a p o y a
lo s
s o b re
A r n a u ld , A
la
s e tie m b re in
l ’H ô p i t a l ,
d e l
E L
te rre n o
m e c á n ic a , ( 25) ,
re
c la rid a d
in
d e
L e e u -
e x p e rim e n ta l
h a
a
v is to
C a s s ire r n o s
( 27) .
m a te m á tic a ,
C a r ta
a
e s c rito s
p o r
i
m e
a s í
d e
ló g ic a
d e
u
o c tu b re
c ie n tífic o s ,
s im p lic e la
d e
lo
d e
d e
M e d i-
( 1 6 8 3 ) ,
o rig in a l
d e
la
L e ib n iz ,
1 6 8 7 ,
G ,
w is s e n s c h a ftlic h e n
d ic ie m b re
d e
L e ib
c o n c e p c ió n
d e
in fin ite s im a l.
H a n n e q u in ,
p h ilo s o p h ie
s e in e n
2 7
el e n
p a re c e
“ M
re d a c c ió n t.
II,
I I ,
p á g .
p á g .
fra n c e s a 7 4
1 6 9 4 ,
A I,
I I ,
p á g .
y
s ig .
1 2 2 .
G r u n d la n g e n ,
1 9 0 2 . ( 2 S )
( 26) .
o rg a n iz a rs e
A N Á L IS IS
s im p le
p o s tu m o s
p r e m iè r e
S y s te m
el
p r o f u n d id a d ,
in te r u s u r io
s o b re
T o
p e n s a m ie n (in tu ic io n e s
p le n a
in ju s ta m e n te
p rim e ro s
m u y
É tu d e s
t a
Y
d e
e je m p lo
fe c u n
( 2S) .
Á L G E B R A
u n o
lo
y
el
G a lile o )
su
h is tó
su
s o b re
e n to n c e s
c o m p le ta m e n te
ju r id ic o -m a th e m a tic a
y
m ic ro s c ó p ic o s
c o m o
d is c u tid o
ta fís ic a , o
v a
b a s e
filo s o fía
p o r
s u e
in c a n s a
c a r a c te r ís tic a
P a r ís
la
L e ib n iz
e x a c titu d
h a n
a
c a so n u e
d ife r e n c ia l.
u n o
c o n firm a c ió n
le ib n iz ía n a ,
fu n d a m e n ta l
y
la
d e
d e s c u b rim ie n to s u n a
L a
d o n d e
v ia je
ló g i
d e
L e ib n iz ,
a n im a d o
a rro ja d o s
p o r
d e
v ita lid a d
el
la
c o n c ie rn e ,
e s té ril.
q u ie n e s
m a te m á tic a
filo s o fía
c u y a
R u s s e ll
lo s
n u e v a
a l
d e
títu lo
n o
a lg o r itm o
h a n
s o b re
g é rm e n e s
te le c tu a l,
d e
o tr o
a
G e o m e
p r o b a to r ia
im a g in a c ió n
a llí s u
q u e
a n te r io r
d e s c u b ie rto
v e n h o e k
c re e r
d e l
H o b b e s
el
lo s
a lg o r itm o
A lre d e d o r
p u d o b u s c a d a
m a n ife s ta r
d e
e s to
u n a
s u
s is te m a
e n tr a r ía
d e
e n m á s
le ib n iz ia n is m o
se se r
a l
2 3 3
á t i c a
D e s c a rte s
p e ro
n u b e s
in fin ite s im a le s
d e s a rro lla d o d e l
d e l
p e río d o
a t e m
“ m u e s tra ”
d u d a ;
s ig lo s
m
c o m o la
e s ta b le c im ie n to
el
y
re n u n c ia d o
la s
d e b e
C a v a lie ri
m a te m á tic a
h a b ía n
d e
s u e ñ o
d o s
el
ló g ic a
m a te m á tic a
in m e d ia ta m e n te
L e ib n iz
la
a l
p e rd e rs e
d e c ir
to m a d a s
h a y a
fu e ra
d u ra n te
a :
s in o
n u e v a
le ib n iz ia n is m o
lo g ra d o
d id a d ,
n o
la
q u e a
v is to
q u e
e s tá
m á s
d e s tin a d o
b le
y
d o n d e
p r o b le m
in fin ite s im a l,
h a y a
e s to
v a m e n te , ñ o
c á lc u lo n o
m é to d o ,
p a rtic u la r,
d e l
2 5 8 .
M
a r b u r
d e
la
2 3 4
L a s
S u p o n g a m o s e je m p lo c o m o E l
e n
u n
in te ré s b ie s e
q u e
a ñ o ,
u n id a d .
d e re c h o
M
i
e x ig e
q u e
el
M
a n u a lid a d
d e
la
te n g a
n o
la
q u e
m e
p id e
re c íb a
h u b ie s e m a n o s . im p u ls o q u e
1 ---------,
,
m e
a te n g o
e fe c to ,
el
d e n tr o
d e
ta l
a
u n
c o m o
el
te ré s
d e l
m o n to
q u e
m ie n tra s
d e l
d e q u e
o
a
la
o p e ra c ió n
b re
c o m e te ré
p u e s to la
q u e
s u m a
to ta l
c u e n te ,
e n
m í
d u r a n te
e l
a ñ o
a p lic a rá
p o r
g a r
a
d a rá el
u n lu g a r
te n g o L a
m i
a
la
q u e
te n e r
e n
la
e n
la
p a rte
u n L a
s e rie
u n
n u e v o s u m a
u n
Ì
u n
ta s a
d e :
la
la
d o s
s u m a
s u m a s
n e c e s a rio
es
e n to n c e s
a c re e d o r q u e
e n
d e b id o
c u e n ta
S ó lo
e s ta
re la tiv a
- i . .
e n
d e b e ré
R e b a ja ría ,
A
m í
e s te d e l d e l
si
e n
el
in
d e te n g o
n e c e s a rio
a l
in te ré s
s e g u n d o
m is m o
e s ta rá
d e s v e n ta ja
c a lc u la d o
es
y
a s í
s o
q u e
d e l
d e s
d in e ro
d e s c u e n to
o rd e n :
a c re e d o r,
fa v o r,
p a g a r
v e z
n u e v a m e n te a ñ o ;
p ro v e c h o
d e s c u e n to
q u e
c o n
h u b ie ra
d e l
•
e rro r,
ra z o n a m ie n to e n
u n a
la s
es
c u e n ta
e s tá
d e
x
re to rn o
e s te
p o r
V
p o rc ió n
c u rs o :
d e
a ñ o ;
x
in te ré s
d e n tro la
el
h u
in te ré s
a c re e d o r. c o m o
u n
—
n u e v o
p a g a r
sí
d e d u c c ió n ,
el
p a g a ré ,
d ife re n c ia
p o r
se a
d e l
p ro v e c h o ,
o tr a
a
d e
in te ré s a
s e g u n d o
in f in ito .
p o r
e l
e s ta
ta l
V
m ía ,
d e d u c irle a ñ o ,
v - 1 ---------------------- .
s e a
lle v a n d o
in te ré s
p o r
to m a d a
in m e d ia ta m e n te .
e s te
s u s tra e r
p a g a r ;
s e rá
n e c e s a rio
d u r a n te
d e
d in e ro
in te ré s
b a la n c e
d e l
p a g u e es
tie m p o ,
a q u í
V
a c tu a lm e n te .
el
la
c a lc u la r
el
p e rju d ic a ré
s u m a
m o n to
re s ta b le z c a
se rá
c ie rto
q u e
V
la
d e b o
se
á t i c a
u n
ín te g ra ;
1 1 ------------------o
c á lc u lo ,
d e
a ñ o ,
la
p re c is a m e n te q u e
ese
in te ré s
e n
d in e ro ,
¿ C ó m o
te n ía
V
S i
a t e m
p r o d u c id o
m is
s u m a
m
p a g a r, d e
p r im e r la
f i lo s o f í a
s u m a
a c re e d o r
q u e
e n i
d e
c ie rta
d in e ro
q u e d a d o
d e s c u e n to ?
e ta p a s
q u e
d e
d a rá
lu
a s im is m o
s e g u id o
e x p re s a d a
se
h a s ta
e x a c ta m e n te
in f in ita :
_1
1—
+ V
L a
s u m a
e x a c titu d ;
es
d e
e s ta
s e rie
a
fra c c ió n
ig u a l
la
p u e d e
se r
— V
q u e s o lo lis is
la
m u ltip lic a c ió n
té r m in o : d e l
E l
d e
la
s e rie
p ro b le m a
p o r e s tá ,
~—
X v
;
p u e s to
ta m b ié n ,
q u e
e s
c o n
fá c il
v e r
1 +
1
p u e s ,
n o
d e ja
s u b s is tir
re s u e lto
m e d ía n te
s in o el
u n
a n á
in fin ito .
P e ro n o
v .
d e te rm in a d a ,
v o lv e r
a l a
té rm in o e n c o n tra r
d e
e s ta u n
e x te n s a
v a lo r
q u e
d e m o s tra c ió n el
á lg e b ra
n o
p o d ía
h a re m o s
s i
fa c ilita rn o s
E l
d e
la
m a n e ra
m á s
d ire c ta m e n te
la
á lg e b r a
s im p le
y
e c u a c ió n
y
m á s
d e l
e l
a n á lis is
e le g a n te ;
2 3 5
¿ n o
b a s ta
a c a so
p la n te a r
p ro b le m a :
X
X
-f-
-------
=
1
V
p a r a
o b te n e r
v a le
a
c a si
in m e d ia ta m e n te
el
v a lo r
q u e
d a
d e
x ?
L a
e c u a c ió n
e q u i
V
+
v x
=
X
V
;
lo
=
x
---------------— +
V
E l ju ic io fá c il
e m ite
q u e
c a n c e , y
c o n tra s te
q u e
e l
p rim e ro ,
p u e s to
c o n
la s
tie n e
c ia s
a
d e
e s te
la
y
c la ro
d e
e n
tip o la s
la
lo
q u e
m a rc o s m a n a ;
d e
esas
p ia m e n te
(2 9 )
lo
es
d e
p o r
M ,
filó s o fo el
e s p a c ía le s ,
c a si
la L o s
n o
m a n e ra
id e n tific a r
e l
V II,
a
n a c id a s s is te m a
p á g .
1 2 9 .
la
q u e
d e l
d e l
q u e
s o r p r e n
m a te m a tis m o f o n d o
es
v a g r a
d e
e v i
a b s o lu ta m e n te
s im p lic id a d ;
s ie n ta
d im e n s io n e s
a n á lo g a s
o
d e
tr a n s f o r m a c ió n m e d ia n te
lo
a
la
q u e
h e m o s
re c u e rd a la
d e
d e
la n o
d e
e n tr a n
v is to , a l
la s
e n
la
e sas
d e
lo s
ra z ó n
c re e rlo s
d o g m a tis m o
e s p e c u la c ió n
d e
d e n tro
d e
el
e c u a c io n e s
c o m b in a c ió n
c o m p re n s ió n
h u
in s o lu b le s d e
p ita g ó ric a
la
a n ti
h a b ía
c o n
el
tr o p e z a r
c o n
la s
p a ra d o ja s
y
la s
d e
lo s
irra c io n a le s .
E s
la
a s tro n o m ía
P to lo m e o
p e n s a m ie n to
c o
u n iv e rs a l
d e s c u b rim ie n to
c lá s ic o
el
( 29) .
re lie v e
u n
g ra n
e m b a rg o
in f in ita ”
y
o b
d e
d e
ra z ó n
rie s g o
es
la s
e s c a p a n
e s ta
a n á lis is
m á x im u m
p ro b le m a s
d u d a ,
el
m e d id a
c ie n c ia
c o n c e p c ió n
a ritm é tic o ,
c o n
E l
T a l
c o n tra d ic c io n e s q u e
d e fin e
re la c io n e s
D e s c a rte s
m e n z a d o
s o b re
c o n s titu y e
s ie m p re .
g ü e d a d ;
le ib n iz ía n o re p o s a
c o m o
ig u a la rla
á lg e b ra
s in
u n
m a te m a tis m o
a l
n o ta b le
c o n o c id a s ,
el
s e rie e n
d e l m á s
g ra n
p a r a
L e ib n iz ,
e llo
y a
d e
c o n tra rio
a
u n a
c a so
c o n s id e ra
m e d ia n te
lle g a r
p o n e r
D e s c a rte s ,
.
c a n tid a d e s a g re g a
o b te n e r p u e d e
e l
in te ré s
e s te
a n á lis is
a llí
e n
p re s e n ta
in te lig ib le s .
q u e ,
p a ra
in te lig ib le :
d im e n s io n e s
re la c io n e s
a s í
d e l
d e
in te rv e n ir
b a s ta n
ra z ó n ,
re la c ió n
a lg e b ra ic a s ;
p a ra
h a c ie n d o
s im p lic id a d .
s í,
d e
L o
u n
d e
p o r
a y u d a
im p o s ib le se
p a rte
el
e n
p rim e ro
d e
á lg e b r a . .
y
v a lo r ;
la
in c ó g n ita ,
d ife re n c ia L a
s u
c o n
in c ó g n ita .
re fe x io n e s
c a rte s ia n o . d e n c ia
la
m é to d o ,
E s ta s d e n te
b u s c a r
es
la
e l
sea
a l
e je m p lo
q u e
s u b ra y a
s e g u n d o
e s tim o
el
e n
m é to d o s el
d e s c o n o c id a ,
y
d ire c ta m e n te c u a n d o
d o s
e m b a rg o
á lg e b ra
ú n ic a m e n te
ra c io n a l
lo s
“ A u n q u e
s in
c a n tid a d
c o n o c id a s ,
u tilid a d : lo r
d e
p ro p o rc io n a
d e l
la
p ro c e d ie n d o
a
q u e
d ifirie n d o
c o n o c id a
té c n ic o L e ib n iz :
1
p r o
h e lé n ic a
2 3 6
L a s
p ro c e d e m e n te lo s
d e l
p rin c ip io
c irc u la r,
c o n fu s ió n
a lc a n c e
ju ic io d e l
d e
u n iv e rs o
c ilid a d , lo s
te a r.
n o
c a p a z
n o a
re s o rte s
d e
p o s itiv o .
f i l o s o f í a
to d o
p ie rd e
f in ito .
p a r a
d e
m
a t e m
á t i c a
m o v im ie n to e n
la
c e le s te
c o n fu s ió n
e n
p u e s ,
s o n
a q u í
a c c ió n ,
la
h a c e
p a r te
h a lla r
la
1 2 2 .—
L a
s e rie
q u e
a rm a s
d e
es
n e c e s a ria
lo s
c ic lo s
d e
d e lo
a lte rn a d a
f in ita s ”
D IN A M
IS M
té rm in o s
n o
e n
y
d e
p u e d e
p a ra
d e
la
d e
e n
la
la s
p la n
re a l;
s o n d e l
s a b e r
g e n e ra c ió n
d e
e n
d e lo
fin ita s :
U n iv e r s a le s
m e d id a
o lo s
d o m in io
c a n tid a d e s
la lo s
c e rra d a s ,
ilim ita d a el
f a
d is c e rn ir lo
y
c a s o s
p re s e n c ia
c ie n tífic o ;
M a te m á tic a s e n
e n
y a
e n
p r e
m is m a
d e ja r
sa b e
m u e v e
h a lla r
d e l
c ie rto s
s a b io
s is te m a
se
lim ita d o
m a te m á tic a
e s ta
d e te rm in a d a s
in f in ito
n o
q u e
es
es ú til
( 80) .
O
IN T E L E C T U A L
u n iv e rs a l la s
a l
e x te n s ió n
in f in ito
c o n s titu y e d e
la
la s
q u e ,
c a ra c te rís tic a
d e l
a l
m e n o s
p o rq u e
s im p le
fo rm a s
s irv e
e x p lic a c ió n
q u e
lo
g rie g o s ,
p rim e ra
c ie n c ia
a q u e l fá c il;
d e
a l
d e b ilid a d
c o m p re n s ió n
re a lid a d
p a ra
lo s
in f in ito
c a n tid a d e s
d in á m ic o
la
in te r v e n ir
E L
ceso
q u e
o la
p a r a liz a
c ris ta liz a c ió n
la s
d e l
m á s
s u tile z a ” ,
c o m o
la
m a n e ra
filó s o fo ,
m á s
la
fra c a s o ,
d e s c u b re
p a ra
a p a rie n c ia
in m e n s a
o p e ra r
q u e
a l
“ la
c ie n c ia
c o sa
m é to d o
a p lic a c ió n
la
e l
d o c trin a s ,
p ro b le m a s
L e ib n iz
L a
p ro v o c a d o
n in g u n a
la
s e d u c ir
q u e
la
h a
m e jo r
D e s c a rte s ,
f in ito ;
" A s í,
es
d e
a q u e l
d e s tin a d a s
o tr a
E l
c o m p le jo s
E s
p rin c ip io s
la
se
d iv e rs a s
p re s e n ta
c o m p le jid a d ,
lo
la
q u e
q u e
q u e
esas
d o g m á tic o .
e le m e n ta le s ,
d e
d e
h a s ta
d e
e p ic ic lo s . L a
el
e ta p a s
re p o s a
s e rie s
e n to n c e s
in f in ita s
d e c re c ie n te s
q u e
s o b re
e l
c o n v e rg e n te s , h e m o s
te n id o
p r o c o m o q u e
c o n s id e ra r
; V
+ — y
o ,
p a ra
fa v o r ito
to m d e
a r
el
e je m p lo
L e ib n iz ,
la
m á s
s im p le ,
s e rie
+
(3 0 )
M a th e s is
>1
V-
u n iv e r s a lis .
M
,
V II,
p á g .
6 9 .
q u e
es
ta m b ié n
el
e je m p lo
E l
L a
d i n a m
i s m
o
2 3 7
i n t e l e c t u a l
d ife re n c ia 1 1
es
m á s
E llo
(
p e q u e ñ a
n o
q u e
im p e d irá
a
c o n d ic ió n
b a jo
la
la
a
c o n c e b ir
p r im e r a lo
se
o
u n
c o n s ig o ”
a
y
c a p a z
c ió n ,
“ d e
e s té
P o r
d in a m is m o o r d e n c o sa s
d e
C o h e n ,
C a r ta la
o b .
(3 2 ) p á g .
—
d e
d t.,
la
p á g .
N o te
q u e la
g e n io
el
e l
la s
sea
g e n e ra l”
la
a
d e p e n d e
le s
y
so b re
u n
s ig .
V e r
o r ig in e s
§
d e
d a to s
lo
le
c o sa
y
q u e
q u e el
q u e
e s té
s u p o n e ,
c o m ie n z o
o p o n g a
d e
la
e s ta
se
e x c e p
d e sv a n e c e
c o n c e p c ió n
p r in c ip io s :
ta m b ié n e l
p r in c ip io
c o n s id e r a c ió n
la
e n u n c ia r
fo r m a
—
la
d e
in f in i
d e m o s tra c ió n
d e sd e se
e s tá n
p r in c ip io
g e n e r a l, s a b id u r ía
ú til
a
d iv in a ,
d e
la
d e l
p r in c ip io
d e
o rd e n a d a s
la s
c o n tin u id a d :
e x p lic a c ió n
G .,
IV ,
p á g .
d e 5 3 ,
c a lc u l
in fin ite s im a l,
C o n g re s o
d e
1 9 0 0 ,
lo c .c it., i
R é p o n s e
( 3 4 )
C a r ta
a
la s C fr.
1 0 8 .
d u
4 6 . (3 3 )
la
r iv a liz a
“ c á lc u lo su
p o r
h a c e r,
d o n d e
q u e
e s p e c ia l
n o
d e v e
d a d o
( 34) .
L e ib n iz
q u e
q u e
y
el
fe liz
to d o
c ie n c ia ,
q u e
c o n c e b id a
e n
la
lo g ra d o
E l
sea
( 31) .
in te lig e n c ia
h a b e r
lle v a
le
h a c e r
q u ie ra ”
s e g ú n
d ic h a ,
p u e s to
e s p e c ia l
lo s
p o r
q u e
c o n s id e ra d a
la
h a
c a r
p u e d e
d e
d e
á lg e b ra .
lo s
s u s tra c c ió n
n u e v a
s u m a s
ilim ita d a ,
b a jo
u n a
ja c ta
u n a
p rin c ip io
re g la
d e
L e ib n iz
le g itim id a d ;
lle g a rá
d e l
d e
c o n
c a so
d e
se
c o rre s p o n d e ,
se
d e
d e
se
c o m o
p r o p ia m e n te
• “ o rd e n a d o s
5 8
s u r
n u la .
c o n s id e ra d o
se r
y
in fin ite s im a l
q u e
in te lig e n c ia
L e ib n iz
n a tu r a le z a
el
e x te n s ió n
p a rte ,
b u s c a d a s ”
( 3 1 ) le y e s
q u e
e n
la
y
p u e d e
ta n to
d e
h a b ía
p e q u e ñ a ,
q u e
b a se
e s tá tic a
m o v im ie n to
a
la
s u
in te le c tu a l
g e n e r a l
e m b a rg o
...
F e r m a t
re s u lta y
a d ic ió n
re c la m a
m o d o
o tr a
s in
+
ig u a ld a d
el
n o
g e n e ra lid a d
u n a
c o n te n id o
s e r
ig u a ld a d
“ m o m e n to
d ife re n c ia s n o
d e
ta l
q u e
la
ju s tif ic a r
p re c is a m e n te
c o m o
p o r
c iv il,
s in
e n
“ L a
p a la b ra ,
m o s tra d o ,
:
s in
q u e
ig u a ld a d
a s í
a l
e s ta d o
la s
( 8S)
d e s tin a d o
la
d ife r e n c ia l
e fe c tú a
d e
la
ilh a u d , la
a b s tra c c ió n
te s im a l
es
M
D e
h e m o s
s u m a c ió n e n
d e
v e z
a
d ife r e n c ia d e
la
la
in f in ita m e n te
c o n d u c id o s
u n a
( 32) .
c o m o
a d -ig u a ld a d .
a ritm é tic o
e x p re s ió n n ir ”
d e
s u b s titu ir d in á m ic a ,
d e s ig u a ld a d
E s ta m o s
s e n tid o
d e
d e s ig u a ld a d
a p r o x im a r
d a d a ,
— + — 8 16
ig u a ld a d
n o m b re u n a
c a n tid a d
=
s o la m e n te
p o r
el
c o m o
to d a
s e n ta r
1
te s ia n o s
)
2
a u x
r é fle x io n s
d e
J e a n
B e r n o u lli,
d e l
B a y le , 2 7
d e
G ,
V I,
ju n io
d e
p á g .
5 6 9 .
1 7 0 8 ,
/W ,
I I I ,
p á g .
8 3 6 .
\
2 3 8
L a s
" c u a n d o
la
d e
m a g n itu d
to d a
n e c e s a rio
d ife re n c ia
q u e
m a g n itu d P e ro
d e s tin a d o
a
S u
es
c ip io
d e
d a d
ú ltim a
e n
d e
1 2 3 .—
u n
d e
m e n te
a c a b a
y
p o r
m ie n to
d e l
u n iv e rs o
m a c ió n
p a ra le la q u e
lib e ra
in te lig e n c ia u n a
m a n ife s ta r y
o ,
e x a c ta m e n te ,
m á s
a
lo
q u e
lo s
g ra c ia s
c u a le s
e s te d e
y
p o r
d e l
P e ro
la
la
tr a n s f o r
u n
p ro g re s o
e n
S p in o z a
D e s c a rte s ;
h a
re a liz a d o
a p ro p ia d a
in m a n e n c ia g ra c ia s
lím ite c o n o c i
to d o ,
n o
c ie n tífic a ,
el
a l
in te le c tu a liz a c ió n
a
lib re
u n
e n
c o n m o v ía
in f in ita .
c o n d i
e s e n c ia s
c o rre s p o n d e
la
el
u n id a d
p rin c ip io
im p o n ía
e s p iritu a l q u e
ili
m is m o .
re u n ié n d o lo s
L e ib n iz
la
p ro g re s o c o n c e p c ió n
D is tin g u ie n d o
lim ita d a
a
sí
c o m ie n z o
p re c is a
f in ,
el
e s ta
d is tin ta s ,
el
e x p a n s ió n
a l
c o m o c o n
a p lic a d o
r e la tiv id a d
lle g a ,
re a li
h a b ía
c o n o c e r,
in te lig e n c ia
p r in
L a
la
d e sd e
fo rm a
E l
( 3e) .
la s
u n ific a c ió n
d e
e x p a n s ió n
s o n
g ra d o s
u n a
in te le c tu a l.
la
q u e
lo s
la
a p o y o
p rin c ip io
y
( 35) .
d e
a n á lis is
es
to d a
re s u lta ”
e s p e c ie
m o v im ie n to
c la ra s
e n
d e
s u
d e
in te lig e n c ia .
d e
f in ito ;
d e
q u e
la
d e b a jo
in fin ito ”
c o n c ie n c ia '
d e b a jo
in fin ite s im a l.
c o n c e b id a
el
a
el
p o r
p la n te a d o ,
e llo
d e l
y
a
p o r
d e
o r d e n a d o ;
p e ro
h a
p e n s a m ie n to ,
e n
la
a
se
u n a
a n á lis is
d e
p o te n c ia
u n a
d e l
p la n te a d o
id e a s
o b je to
b a jo
e n
es
d e
q u e
m é to d o s
el
c o n tin u id a d
c o n d u c e
p o te n c ia
a r
d is m in u id a
q u e
lo
le y
r a z ó n
p e rfe c ta ;
d e l
in te r io r
a s e g u ra
la
to m
D io s ,
p ro g re s o
e s ta
lo s
es
á ti c a
d is m in u id a
o rig e n
h a b ía
la
a l
le
d e
c ie n c ia
c re a d a s
la
es
lo
f ó rm u la s
d e
s u
a t e m
se r
e n
to d o
fu e ra
“ tie n e
d e te rm in a d o
e x te rio r
e n e sa s
títu lo
D e s c a rte s
la
tip o
o
m
p u e d e o
ta n
m a n ife s ta c ió n
in te lig e n c ia
c io n e s
c a so s
d e s e n v o lv im ie n to
in te le c tu a lis m o
la
a
L e ib n iz ,
u n
f i l o s o f í a
d a tis
e n
d e sd e
re g is tra r,
c o n tin u id a d
m ita d o
d e
b u s c a r
c u y a
la
lo s in
q u œ s itis
n o
s o s te n e r
e s p o n tá n e a
d e
e n c o n tra rs e
in
d a d a
d e
d a d a
p u e d a
c o n v ie n e
o fic io
e ta p a s
d e l
p a ra
D io s
i n
d e s c u b rim ie n to
d e l
a n á lis is
in f i
n ite s im a l. P o d e m o s c o n s titu id o in d ife re n te , d e l
L e ib n iz
tie n e
d e
la
n e c e
lo e .
p o r o
u n
q u e
q u e (3 6 )
c it.,
S p e c im e n
m u ta c ió n
n e rs e
d a d
G , y
se
e l
c a so
e s
s a lto ,
m ín im o ,
II I ,
p á g .
ta m b ié n
e s p e c ia l y
p á g .
d e l
e l
d e sv a n e c e ” . M G ,
r a z ó n :
d y n a m ic u m ,
,
5 2 .
V I,
5 2 .
C fr.
la
p á g .
el
ra z ó n
“ C o n lo a
ig u a ld a d
e s ta
s ig u ie n te : s a b e r, p u e d e
p o r
h e c h o
y
el
d e l
h o y , y
d e
e s tá
n o
s ig n ific a c ió n
se rá
o b je tiv a
p r a g m a tis m o . c o n
q u e
s ig lo
el
X X ,
c o a p a
q u e
c re e n
q u e
tr a ta r la
c o m o
p e d a n -
q u o d d a m le y
m o d e rn o
el
d e s p re c io
g e n te s la
P r in c ip iu m
I I :
2 4 9 .
la
c o m ie n z o
“ H a y
c o n c u e rd a
d e
a l
c o n tra
p a rte
a u té n tic a ;
c o n tra
m o v im ie n to ;
c a so
in te le c tu a lis m o y
in te le c tu a lis m o
s e m e ja n te
d e c la m a r
I I I ,
e l
d e te rm in a r
el
p a la b ra s
X V I I I ,
la
d e
e n tre
e n é rg ic a s
s ig lo
q u e
h is tó ric a
tra te m o s h o y
re fin a d o
( 3B ) 1 2 0
f o rm a
c o n s id e ra r
e s p íritu
p á g .
a b ie rto
d e l
r e n ta b a d e
e n to n c e s
s u
c u a n d o
d e b a te
m ie n z o
d e c ir
b a jo
la
e l u n
te n e rs e
g e n e r a le ,
e tc .,
c o n tin u id a d
c a so
d e l
re p o s o
m o v im ie n to p o r
u n
q u e
c a so
q u e d e
M ,
V I,
e x c lu y e
p u e d e se
es
te
d e sv a
d e s ig u a l
E l
te
in c ó m o d a .
c o n g ra tu la n p a ra se
d e
la
r a z ó n ,
es
d e
p u e s to
el
e n
s e g u irla ”
—
y
es
d e la
n u e s tro s r a z ó n
m e n te ” a l
s o b re
q u e Y
es
q u e la
p e ro m á s a l
si
la
m a n e ra
e s ta
m u y
s u s
d e
M
fá c il,
la
e
c
c
el
i ó
E
l
re la c io n e s
a le b ra n c h e
(3 7 )
N .
E .,
II,
(3 8 )
N .
E .,
IV ,
L
Y
p rim e ra e n
q u e el
X X I ,
§
X V I I ,
e n
la
s
a
p
L A
i c
q u e
el
a
c
v e z
el
d e
q u e d e l
c o n d u c e
e s p e c u la c ió n to m a d o el
to d a
d e
la
m is m o ,
lo
m i
filo s o fía .
c o n o c id a s
c o n o c id a s ;
f o n d o ,
ta n ta
l
su
d e m a s ia d o s
la
n e c e s a rio
la s
lo
m á s
q u e
u tiliz a r la es
h a a s í;
ta m b ié n p u e d e
a b u n d a n c ia
d e
la
v a ria r o rd e n
( S8) .
i o
n
e
s
E X T E N S I Ó N
a p lic a c ió n
d a b a n
16.
e n
n a tu r a le z a
c o n
lo s
5 0 . §
es
d e l
c a rte s ia n o s y
la
in te rp re ta c ió n
S p in o z a
c a p .
q u e
in f in ito
la
re in a
y
“ p ra g m á tic a
in ic ia l
im a g in a rs e ”
a
a
b ie n ,
a p lic a c ió n
s ie m p re
c la ra m e n te
s im p le
a a
la
c o n fu s a m e n te
m á s
B . —
e n tre
c a p .
es
c re o
p o s ib le
c o n tr a y
te m a
q u e
es
e n c a
su
c o n o c e rla
p e n s a m ie n to
q u e
u n
o b s e rv a c io n e s
a te s tig u a
u n
a u n
I N F I N I T O
U n a
m a n tie n e ,
s o n
e n
v is ta
e x te n s ió n
o
c o n tra
es
le íb n iz ia n o ,
f o n d o y
ta m b ié n
es
n
e n ig m a
d e
“ E l
p u e s to
h a c e
c o m o
—
la s
es
lo
la
e s p e c ie
d o m in a d e
q u e
d e l
s o b re
n o s
y
m a n e ra s ,
c o m o
re s o lv e r
im p u ls o
m í,
q u e
q u ie n e s
H a b la r
e s ta s
c o n tin u o ,
s is te m a ,
e n
d e
p rin c ip io
d e l
d e s c o n o c id a s q u e
a lc a n c e
si
c o n tra
c o n s is te
se
n u e v a
r a z ó n
m is m o ,
q u e
h e rm o s o s
e fe c to , u n a
la
p e rd e r
el
y
n u e v a :
la s
filo s o fía
e n
el
el
a m p lia c ió n
c o sa s
o rn a m e n to s
p o rq u e q u e
s o la
d e
1 2 4 .
d o ,
es
el
f u n d a m e n ta l
S
m ite
to d o
sí
ra z ó n
h e c h o es
E n
p o rq u e
la
v a lo r,
p a s a d o s .
R e n o u v ie t,
h a
e s p e c u la c ió n
la s
filo s o fía
ric a
d e
in f in ito
m a te m á tic a
m á x im a
in f in ito , d e
p o r
la
la
d e l
d e
la
c o n c ib o
d e
ce
fu e n te
d e
D io s ,
n o
d e
s in
d e m a s ia d o
s e ría
s ig lo s
c o n tra
c o n s titu y e
J a m e s ,
fe c u n d id a d ,
d e
h a b la r
a c c id e n te
illia m
tra v é s
filó s o fo
ló g ic a
y
la
a su
el
q u e
lo s
v e rd a d ,
p rin c ip a l
L o
v e rs o s
p e n s a m ie n to s .
e n
la
E s
d is c u rs o s
v e o
b u e n a m e n te ,
c o n te m p o rá n e o s —
es
p rin c ip io
c o n tra
p u n to
W
fa ls o s
2 3 9
i n t e l e c t u a l
v eces
h a b la s e n
v e rd a d e s .
q u e
d e
ta n
o
lib rillo s ,
a
d e s c o n o c id a
( 3 7 38) .
lo
a c c id e n te
a u n
e n
h a b la r
d e n a m ie n to q u e
y
ra z ó n
e x tra v a g a n c ia ,
i s m
p e q u e ñ o s
e llo ,
e m p le a d o s
b u r la n
d e la
s e r
V e o d e
d i n a m
a
la
d in a m is m o se
h a b ía n
e x te n s ió n .
P re c is a m e n te
p u ra m e n te
m a te m á tic a
in te le c tu a l e m b r o lla
in te le c tu a l
c a rte s ia n a ,
la
p e r
2 4 0
L a s
n e c e s id a d
d e
L e ib n iz e x te n s ió n la
d iv is ib le
m e n o s
e n
e l
S e g ú n
n o n o s
“ u n
s id e ra d a ta d a ,
la
L a
n o
s e r
u n
lo
la
g e o m e tría ,
p a r a d o ja e n
el
la
n o
u n a
s e n tid o ,
q u e
d e
d e
e x te n s ió n
tie n e
c o sa
ó rd e n e s
.d e
T r a ta d o
q u e
q u e
u n a
s o n
lo
u n a
p a ra
re a c c ió n
e s tá
m á s
e s tá
fo r m a d o
( 8 8 )
e n
lu g a r ; 2 9 ;
d e
q u e tr.
p o r
n o
fu e se
c o sa s
re m ite
d e b e
S p in o z a
p a r
s e r
( 4 1 )
C a r ta , C a r ta
a
y
n o
( 4 3 )
C a r ta ,
( 4 4 )
C a r ta
m u n d o
es
p á g .
re c o n o z c o ( 4 5 )
a tre v e ría e n
e n
ra z ó n D io s
C a r ta
P h ilo s o p h ie z , ( 4 e )
a g o s to
N .
£ .,
a
a
la
n in g u n a
II,
§
L e ib n iz
a
lim i
( 42) lo
es
p r i
in f in ito
n o
se
v u e lv e
d e
a
“ n e ( 45) .
lo s
p r in
e n
rig o r,
c o m p o s ic ió n P o r
o tr a
d o n d e
e x te n s ió n la s
lo
o b te n d r á
in f in ito ,
( 46) .
la
es
d e
in d e fin id o
o rig in a l,
re a l
q u e
p a r tie n d o
to d a
p a r te s ”
d is tin c ió n
o
G e o rg .
m a rz o
a c h te r ! b a jo
d e
in fin ito ,
e x te n s ió n d e l
2 3
y
p a rte ,
S p in o z a
d e b e
p a rte s ” ,
lib r u m e l
§
1.
d e
1 6 4 9 , n o
p o rq u e y a
d e
títu lo
—
p á g .
§
c ita
e x is tir 4 6 ,
e n
í,
p á
r e c o n d ita
d e
H e b r ts o -
R é fu ta tio n
in é d ite
s in o
V ,
p á g .
3 5 6 .
4 2 7 . A T ,
V ,
p á g .
re c o n o z c o
c o m o
d e
3 5 3 .
A T ,
p e rc ib o
q u e ,
a b ril
I,
1 6 4 9 ,
p á g .
p o rq u e
p ro p ia d e
d e
I I I ,
a b ril
e x te n s ió n —
A T T ,
a b ril
A T ,
in d e fin id o ,
X V I I ,
W
C a re il
1 6 3 7 .
d e
1 6 4 1 , 1 5
d e
d e
2 3
2 7 . c a p .
se r
d e
v e rd a d e ro
" q u e
c o n
c o m p le ta m e n te
n o m b re
e d ic ió n
a s í,
q u e
3 4 .
d e l
d e
C le r s e lie r , I,
u n a
] o h .
lla m a rlo
d e
o rd e n
la
y
o
p o
h a b la r
id e a
d e
e x te n s ió n ,
im a g in a c ió n :
F o u c h e r
p á g .
d e l
in d e te rm in a d o
m e n o
a d
h a c ia
M o r o ,
d e
d e l
d ifie re
a n te r io r
—
se
( 41) .
d e
la s
3 8 5
la
c o n
p o r
C le r s e lie r , d e
a
es
q u e
D io s ,
y
2 6 6 .
1 8 5 4 ,
e s c rita
a
p á g in a
a
a lte r
D e s c a rte s .
a
la
la
“ el
u n
a tre v o
E n to n c e s ,
c a rte s ia n o s ,
d e
m e
g e n e ra l
el
la
s im p le
m e d ita c ió n
g e n e ra l,
f in ito
re s e rv a
q u e
d e la
re p re s e n ta
d e
a
m e d ita c ió n
h u m a n a ”
( 4 i)
a d ic ió n
la
sí
( 4S) .
p a rte ,
n o ,
la
e n
lo
p a rte s
d e b id o s
p u b lic a d a
a
s e r”
lo s
fin ita ,
L e ib n iz ,
( 4 2 )
d e
u n a
A n id m a d v e r s io n e s
p h ilo s o p h ia ,
n o
la s
la
y
n o c ió n
c u a l
v o lv e r
d e m a s ia d o
m e d ia n te
n o s
o
p o r
p o r
a lm a
la
a b s o lu to ,
e rro re s
A p p u h n ,
( 4 0 )
q u e u n
D e s c a rte s
p o r
o
c la ro ,
in f in ito
P o r
lo
L e ib n iz
e je m p lo
la
d e
c o n tra
D e s c a rte s .
s í
d e s c u b re
in d e te r m in a d a c u a l
n o
p o r
d e b a m o s
s ie m p re
in te le c tu a l
n e g a c ió n
la
q u e
ló g ic a
m u y
o
lim ita c ió n
n o
c ip ia
d e
la
n e g a r
c o m o
“ a d q u ir ir ”
es
á n g e l d e
e s to
la
u n o
n a tu r a le z a
im a g e n
d e
m u n d o ,
p u e d e
y u x ta p o n ie n d o
E n
p e ro
b a s e a
p a rte s ;
tie m p o
ló g ic a
lim ita c ió n ,
o
u n a
c ip io s
la
se
n o c ió n
g a tiv o ” ,
e l
d e
q u iz á
la
d e
“ la
f in ito ,
d e
d e d u c e
c o n o c im ie n to d e
s in
es
m itiv a ;
r u m
el
la
p a re z c a
d e
á t i c a
S p in o z a
e s p a c io
y
e n c e rra b a
e s tre c h a ,
in tu itiv o ,
g in a
se
D e s c a rte s ,
s e e —
u n
e s p a c io
q u e
e x a c ta m e n te
c o m o
( 39) ,
a l
e n
q u e
c o m p u e s ta
a t e m
m is m o ,
e x tr a ñ o
s u p u e s to
q u e
d e m a s ia d o
s in o
y
m
s in té tic a
D e s c a rte s
“ E s
p a rte s
h a y a
P e ro
S ó lo
u n
f i l o s o f í a
( 40) .
n a tiv a
m á s
la
E n te n d im ie n to
e n
q u e
d iv is ib le . c o s a s ”
c o m o
in d iv is ib le . d e l
d e
p e rc e p c ió n
n ie g a ,
R e fo r m a
sea a
u n a
se
e ta p a s
e n
1 6 4 9 ,
q u e
h e
3 4 4 :
e n
é l
D io s
d ic h o
ra z ó n A T ,
e s
c o n
d e V ,
" d ig o
n in g ú n
la
p á g .
. . .
q u e
té rm in o ;
m a y o r
q u e
fr e c u e n c ia ,
e l n o
p e rfe c c ió n ” . 3 5 6 ;
c fr.
P r in
E l
“ u n o
se
e n g a ñ a
to d o
in f in ito ,
P e ro
e n tre
q u e rie n d o
la
p u r a
el
id e a
la
d e
q u e
u n
d in á m ic o
d e
e s p a c io
N o
q u e
im p lic a la
2 4 1
e x t e n s i o n
p a rte s .
m e ta fís ic a
e s tá tic a
p ro c e s o
y
im a g in a r
c o m p u e s to
re p re s e n ta c ió n s e rta r
i n f i n i t o
h a y
es
a b s o lu to ,
n a d a
d e
o rd e n
y
se a
¿ n o
se
u n
( 47) .
tra s c e n d e n te
c o n tra d ic c ió n ,
in te lig e n c ia ,
q u e
s e m e ja n te ”
y
la
p u e d e
c o n fe rirle
u n
in
v a lo r
p o s itiv o ? " T o m e m o s se a
el
d o b le
d e
p e rfe c ta m e n te ra y
d e
te n e r
d e
la s
o
v e rd a d e s
p a c ia l lo
u n a
n o
s o b re es
n o
se
la
a u to r
tre ,
q u e
b ra n c h e )
I,
p á g . d e
a g re g a v e
el
e s p íritu
a
c o n tin u a c ió n
M
u y
b ie n ; el
d e
p e ro
a
u n a
n o c ió n
e s te
n o d e
P e ro
m in u c ió n ;
la
( « )
I b id ., Ib id .
)
( 4 9 )
el
§
C a r ta -a
y
o rd e n
q u e
d e
lo
p o r
la
c ie n c ia m u y
d e
la
el
d e
v eces q u e
Y
se
L A
la
d e
p o s itiv a
el
p o r d e l
se r
s í
m is m a : d u
d e
lo
p u e s ta s se
es
d e l
4
d e
n o v ie m b re
d e
a le -
u n a s
q u ie ra .
c o n o c e r
h a c e r”
e s te
tie m p o
el
( 49) .
el
p ro c e s o d e
s id o
o rd e n
re n o v a r
1 7 1 5 ,G ,
II I ,
c a p a z d e
a lg u n a s
p á g .
d e
L e ib n iz ,
4 .
R e m o n d ,
T e r M
in f in ito ,
c o m o y a
d e
h u m a n a ,
P .
d e
h u b ie ra e n
a q u í
lo s
G E O M E T R IA
e n
d is tin to
d e
q u e
e x is te n c ia
p u e d e
c re c im ie n to ,
m e n o s
e s p o r
re a lid a d
s is te m a
p u e d e n
s ie m p re
p e rm ite
la q u e
im a g e n
la
c o n o c im ie n to
A L
d e l
a lg o
in f in ito
d e l
in f i
in f in ito ,
a p o y a
p r o p ó s ito
c o n s id e ra r
lo
la
d e l
c o n s id e ra rla a
u n o
el
d e
m is m o
p r o b a r
ta n ta s
re p e tic ió n
v ie n e
d u d a
m a n e
q u e
h a s ta
v e rd a d e ra m e n te
lo n g itu d e s
I N F IN IT E S I M
el
p a ra
d e
p o s ib le
el
q u e
s ie n d o
p re c e d e n te s ;
in te lig e n c ia ,
R e fu ta c ió n
p o d r ía
e s ta
E n
la
la s
la s
p u r a se
la
e n
re p e tid a s
c o n d u jo ,
o c u rre
id e a
q u e
a
es
es
q u e
L e ib n iz
u n a
n o
id e a
p o te n c ia
p r e te n d id o
a u to r
q u e
C Á L C U L O
a d u e ñ a rs e .
( «
e n
la
m a n e ra
s e g u n d a
d u p lic a d a
in f in ito
d e
e s tá
d e
la
p r o lo n g a d a
o rig e n
s in o
la
d ic e
s e r
e s p a c ia l
L e ib n iz
3 0 7 ,
o tra s
—
ilim ita d a
d e
a
se r
( 48) . : S i n a
p ro c e s o
s e rv id o
s o la m e n te
1 2 5 . c ió n
el
p u b lic a r
q u e
c o n o c e r
E L
im a g e n
h a b ía n
a c a b a b a
in f in ito
la
q u e
s e m e ja n te
d e l
su
n e c e s a ria s ”
tra s c e n d e n te
( t.
y
c la ro
r a z ó n ,
p u e d e
in a d e c u a d a
s o b re
o r ig in a lid a d
“ E l
m is m a
r a z ó n ,
y
es
p u e d e
c o n s id e ra c ió n
s ie m p re
es
p ro lo n g u é m o s la ,
ta m b ié n
lín e a
m is m a
s in o
in f in id a d
q u e
la
y
b ie n ,
p rim e ra , es
la
la
u n iv e rs a le s
in f in ito ,
c a rte s ia n o s
a s í
q u e la
p e rm a n e c e
m is m o
lo
y
d e
la
q u e
s ie m p re
ja m á s ;
m a n e ra
s e m e ja n z a
re c ta , A h o r a
a
te rc e ra ,
lu g a r
d e te n id o
n ito ;
lín e a
p rim e ra .
s e m e ja n te
u n a
te n ie n d o
se a
u n a
la
6 5 8 .
la d e
d e d is la s
re p e ti
2 4 2
L a s
id e a s
e ta p a s
fu n d a m e n ta le s
d e
tr a n s p o r ta d o s
d e l
la
s e rv irá n
p s ic o lo g ía , E n
u n
p rin c ip io
la d e
c o n to d a
p rin c ip io s
tid o ,
la
te x to
lo s
p a re c e n
p u e s to d e
s e g ú n
la
q u e
e q u iv a le b ie n
c a so
el
o tra ,
d e l
y
e l
o rig e n
d e
la s
e m b a rg o
u n a
in f in id a d
e n
e n
c ia
d e l
( 53) .
(5 0 )
re c u rrir P e ro
,
V II, E .,
C o u tu ra t,
(5 3 )
V e r
IV ,
c u r v ilin e o r u m ,
d o n d e
L e ib n iz
q u e
to d o
n in g u n a m a y o r
lo
q u e
c u e n ta
n ú m e ro
se d e l d e
a
la
I I I ,
d e
la s
a d d itio e s te
u n
§
se
E s
lo
n o
lo
q u e
la
m a n e ra s , e l
to d o
f in ito ”
—
o
y
es
e n
u n a
a
la
c e n tro
o b tie n e
la
p ro p ie d a d e s
d e
=
in ú tilm e n te
d e
la
lo n g itu d
c o n s id e ra c ió n
y 2
d e
e s te
R 2.
p o líg o n o
la s
la p o r
c o n s e c u e n
x 2 +
p a re c e
la
d e
c írc u lo
c o m o
c o m o
p ro g re s o
tip o
d e l
q u e
a el
á lg e b ra
c irc u n fe re n el
e c u a c ió n
c írc u lo
el
la
o fre c e
e l
se
el
c a lc u la r
o p o n e n
o p o n ía n
f in ito ,
P itá g o ra s
d e
c o m
e le m e n ta le s ,
c ie n c ia . la
Y a
es
c irc u n fe re n
e le m e n to
d ife re n -
n ú m e ro se
2 0 . e tc .,
p á g .
A c ta s a d
s c h e d a r ti
d e
d e m o s tra r d e
la d o s ,
to m e ,
d e
5 2 5 .
E r u d ito r u m
p rin c ip io :
p o líg o n o
p u e d e
la d o s
p e ro
d o s
el
fig u ra s
c o n tin u id a d ” ,
se
to m a n d o
a s e g u ra
p a ra
“ L a s
p o s ic ió n :
C o n s id é re s e
lo
a te n e m o s
O p u s c u le s ,
re c u e rd a
d e
d e fin ic ió n
q u e
la
s e n
3 5 5 .
c a p .
n o ta
n ib u s
e q u ip o le n te
n o s
to d a
p á g .
( 5 2 )
la
E s ta
e lla
s o b re
N .
es
a
q u e
re c ta n g u la re s d e
a
o tr o
( 50 1 ) .
d e
d e
to d o s
g e o m e tría í
d e
d e
g e o m e tría
c o n s id e ra r
ú n ic a
(5 1 )
n e a
q u e
la
le y
v is to
u n if o r m e ;
la d o s .
ta n to
g
y
la
tr a ta d a
“ c ie n c ia
in fin ite s im a l.
te o re m a
d e
la
d o m in io
c o n v ie n e
re a lid a d
n e c e s a rio
el
a
!
p a ra
d e c ir
E n
a
c o rre s
b a s ta
es
m o ra le s ;
“ p rin c ip io
o
la
m a te m á tic a
in f in ito ”
se r
d e
f o r m a l:
c o sa s
el
c o n tin u a
( BS) .
d e
h e m o s
la
d e
ú n ic a m e n te
( B0) .
e s e n c ia l
la s
tra n s ic ió n
c o o rd e n a d a s
in m e d ia ta
p lic a d a
e n
e l
in f in ito ”
c o m o
s im p le
S in
es
lo
a n á lis is
c írc u lo :
c o n s tru c c ió n
c ia
d e
d e
es
e n to n c e s
c o n c e p c io n e s
e x a c ta m e n te
c a rte s ia n a c ia
“ p rin c ip io
es
re a lid a d
p rin c ip io
d e
y
L e ib n iz .
sa c a d o
s o lo
ig u a lm e n te
p u e d e
s o b re y
la
q u e ,
d in á m ic a
g e o m e tría ,
p a s a r
q u e
m é to d o s
la d e
p r in c ip io ”
e n v u e lv e
c o n tin u a
f u n d a d a
d o s
es
s im p le s
p a r te s ” ,
“ c ie n c ia
p a ra
a
d e
o tro s ,
la
in f in ito
c o n tin u o
re a lid a d
la s
E s ta s
m á s
e l
e s té
a
s o b re
e s te
q u e
o rig e n a l
re c u rrie n d o
“ E s te
o tr o
E n s a y o s
á t i c a
tr a ta r
e n tre
to d a
P e ro
lo
d a
p u e d e
y
a ú n
d e
y
in f in ito ,
f o r m a l:
n e c e s a rio
N u e v o s
g e o m é tric a s
c ie n c ia
es
c o n s id e ra c ió n
d e
s o n ,
es
a t e m
e s p lritu a lis m o
p a s a je
a ritm é tic a
m
g e o m e tría
a l
d e l
m a te m á tic o s .
a g re g a ,
la
b a s e
U n
C la rk e , la
f i lo s o f í a
g e o m e tría
id e n tid a d .
d e m o s tra r lo s
d e
d e
la
la
g e o m e tría ,
c o n s id e ra c ió n
p o n d e n c ia
fís ic a ,
la
d o m in io
s e n tid o ,
e v itá n d o s e
d e
d e
" q u e
se
in fin ito s d e y a ta l
ta l d e
d e
L e ip z ig
d im e n s io n ib u s h a
d e
la d o s ” ,
p o líg o n o m o d o
m o d o
q u e
—
q u e e l
p e n s a r y
( 1 6 8 4 ) :
q u e
a g re g a : y a
se
d e
u n a " d e
m o d o
v e rifiq u e
e rro r
D e
jig u r a r u m
se a
d im e n s io -
in v e n ie n d is , fig u ra
d o n d e q u e
ta n to
m e n o r
n o
c u rv ili se
s ig u e
se
te n g a
m á s
q u e
c u a n to
c u a lq u ie r
E l
c ia l, la
q u e
n o
es
c u rv a tu ra
a n á lis is d e
e n tre
d o s
p u n to s
c o n
d e el
ra r
n o
q u e
h a s ta
fle x u r a ; lín e a
re c c ió n p o r
a s í
la
p o r
e l
el
es
d e c ir
q u e
( 54) .
c o n tin g e n c ia
o
p re c e d e n te
se
p u e d e
v o lv e r
c o m o
la
p e c to
d e l
a
u n
d e
la
tip o
d e
d e
d e
[c o s a ]
a c e rc ^
d a d a , — d e
d e
se
M
,
( 5B )
tie n e
( 5 6 ) n o u v e a u
é x ito
n o
p u e d e
q u e
lo s
d e
c u rv a
p o r
o b
á n g u lo s
g e ó m e tra s e x p e d ie n te , c u a lq u ie ra
c o n
la
s o la es
la
lo s
c u rv a
o
la s
o tra s ,
s u p e rfic ie
re s
e n
c o sa
u n
p o r
v e rd a d e ro
fís ic a ”
q u e
( 55) .
L e ib n iz
e x p lic a rs e
m é to d o E l
D e
e n
h e c h o ,
re a liz a b a
a n á lis is
p r in
n e c e s a rio
c o m p le ta m e n te el
a lg o
d is tin ta
u n iv e rs a l.
a b s o lu ta m e n te
la
el
m u y
s in
la
e n
ese
la
in
in fin ite s im a l
p o
d e
la
c u rv a .
d e p e n d e
fig u ra s
D e
to d o
d o n d e lo
c u rv ilin e a s
q u e
o
lo
s u rg e n h a s ta
q u e
d o s
a q u í
se
e s p e c ie s
se
p o d rá
h a
d e
h a lla d o
h a lla r
e n
lo
1 2 6 . n o v a
fig u r a s
p á g .
d e
n a tu r a
fa c ilio r e s
1 6 8 6 ,
M ,
a n g u ii
su c c e d a n e a s
V II,
p á g .
c o n te c tu s
e t
o s c u li,
d iffic ilio r ib u s
h o r u m q u e
s u b s titu e n d a s .
u s u
A c ta
3 2 .
5 2 .
C o n s id é r a tio n s d e s
c re a d o s u n a
re v e la rs e
ú n ic a m e n te
a firm a r
L ip s ie n s o ru m ,
C fr.
a “ es
a ú n
p o d r ía
la s
p á g .
a d
e n to n c e s
c a rte s ia n a ,
d e
c a lc u l
n o
a
d e
u n a s
la d i
( 56) .
c u a le s ,
I I I ,
u n a
d ife re n c ia c ió n s o n
L e ib n iz
d im e n s io n e s
G ,
p o r
c u rv a tu ra
tie n e
q u e
s u p e rfic ie
v a
d ic e
M e d ita tio
E ru d ito ru m
la
la
d e
h a
m is m a
o s c u la
títu lo
la s
c o n s titu y e n
ju ic io ,
M a th e s i
d e
p ru e b a ,
m i
(5 4 )
d e
la
a
V ,
a n á lis is
s im b ó lic a ;
c o n c e p to s
lo s
la s
s u c e s iv o .”
p r a c tic a
e n
1 6 8 6 ,
d e
in f in ito
m e c á n ic a
p ro p o r c io n a r
m é to d o s ,
d e l
q u e
la
d e
o s c u la c ió n , a
la
p u n to
M e d ita c ió n
se
c u rv a tu ra ,
c u rv a tu ra ,
q u e
e m p le a d o
el
c o m o
m id o
d e te rm in a c ió n
in c o m p a ra b le s
re s p e c to
s u c e s iv o s
p e ro
a ñ o ,
te rv e n c ió n
e n
s in o
p a rte s
c o n s id e
d ire c c ió n
c u rv a
m is m a
e s ta
d e
h a b ía n
la
la s
la
y
d ife re n
p u e d e
m is m o
la
to m a d a
m is m o .
c o n tin u id a d ,
re fo rm a
d ía
y a
e s c ritu ra
g e o m e tría ,
m is m o
es
e l
to c a ,
“ E n
se
la
d e l d o s
ta n g e n te ,
e le m e n to
ta n g e n te ,
la
la
d ire c c ió n ,
d e
e n
d e
a
in c lin a tic i,
d e
ta m b ié n
d e
d ire c c ió n ,
m e d id o
re c ta
á n g u lo s
e n c o n tra r
a n á lis is
e x p lic a c ió n ,
c ip io
le
lo
g ra d o s
d e l
lo s
m a g n itu d e s
c u e rp o
L o s r itm o
a
d e
lín e a
d e
a u t
q u e
d is tin g u ir
d ire c c ió n :
p u n to
te n d r ía
m e d io
la
je r a r q u ía
la
la d e c ir
c u a lq u ie ra
h a n
u n
c o n tin u a c ió n p o r
'a
p u e s to
g e n e ra liz a c ió n
n u e v o
c a m b io
s o la m e n te
d e
u n a
e n
a
es
u n
lín e a
s in o
d e
g e n e ra c ió n
c u rv a
d e c liv ita s
p o r
n o
L a
c o m o ,
la
d e
q u e
d ire c c ió n ,
c írc u lo
c a b e n
c a m b io
el
c írc u lo ,
g e n e ra l,
c o n
u n a
el
2 4 3
e n
g e ó m e tra s
s im p le
e n
e t r ía
la
m is m a
te n d r ía
g e o m
p e rm ite
d e
ta m b ié n
lo s
la
p ró x im o s ,
d ire c c ió n ,
q u e
m á s
m o s tr a r
d e
s in o
c o m o
m is m a
p r o p u e s ta ” je to
la
e lla ,
lín e a
m e n te c ir
e x p re s a
s im p le
q u e
la
re la c ió n
p e q u e ñ a s
y
a c c id e n te
c u rv a
ta n g e n te
a q u í,
y
m á s
u n a
la
a l
c o n s ta n te ,
in f in ita m e n te
s o la m e n te
h e c h o
p o r
es
E n
e s ta
in f in ita m e n te
i n f i n i t e s i m
s in o
c írc u lo
re la c io n e s :
re la c ió n
c ia l,
s im p le
d e l
g e o m é tric o .
c la s e s
la
c á lc u lo
s u r
tr a n s c e n d a n te s
la
d iffé r e n c e
( J o u r n a l
d e s
q u ’i l
y
S a v a n ts ,
a
e n tr e 1 6 9 4 )
l ’a n a ly s e :
" S ie n d o
o r d in a ir e n u e s tro
e t
m é -
m
2 4 4
L a s
E L
1 2 6 .— d e
la s
e
d e
E s ta
se
lo
el
c o m o
D e s c a rte s
(m u c h o
e l
tu a le s ”
;
h a c e q u e
q u e e l
se
A l,
V ,
D u h e m , á
s e s ió n ,
l ’h i s t o i r e G in e h ra ,
( 5 8 ) ti
a lla
n a l,
t.
(5 9 ) ( p á g .
60)
3 3 7 .
1 9 0 4 ,
e
i
e
N o ta
d e
D u h e m ,
d e l
M e rs e n n e
d e
la
3 0 8 .
d e l
el
V a c c é lé r a tio n
C o m p te s
e t
d im o s tr a z io n i
la
2 0 1 .
c o rre s p o n d e n c ia o r ig in e s
p a r
re n d u s ,
d e
la
L e y d e n , C fr. A T ,
p á g .
s ta tiq u e ,
c a p .
h ip ó te s is
d e
d ic e
P a u l
es
T a n
re fle x io n e s n e ta m e n te
1 6 3 8 :
tra ta la s
d e
lo
fo r c e
la s
v ir
“ E l
in f in ito ,
m a te m á tic a s e n
e n
lo s
in d iv is ib le s
su s
d e
a
p e so
es
la
e s to
fís ic a ,
o p e ra c io n e s
c o n s ta n te . d e
N o te s
d e
p o u r
F ilo s o fía ,
2 d a .
9 0 6 . à
d u e
T e rc e ra o b .
s o la m e n te
lo s
In te rn a c io n a l
in to r n o
C o h e n , I,
q u e
p á g .
1 6 3 8 .
in s
T o r r i
d e s p la z a m ie n to s
ju lio
u n e
C o n g re s o
h e
h a n
s e ñ a la d o
o rd in a ria m e n te
m a te m a tic h e
lo c a li,
lo
a ú n y
a p lic a n d o
p r o d u ite
R a p p o r ts
d e
d e
D e
y
le y
d e
lo s
g e n e ra l
e n tra
S e g u n d o
L e s
1 3
m is m o ,
in fin ito
p á g .
P e ro
“ c a p ta d o
d y n a m iq u e .
m o v im e n ti
( 59) .
d e
e s p a c io
p rim e ra s
c o m o
m é to d o
m a te m á tic a
n e c e s id a d
1 8 9 8 ,
la s
o b te n e r
e ra ,
p r in c ip io
u n
in f in id a d
c o n c r e to .
d e l
h a
e n
G a lile o
la
q u e
re ta rd a d o ,
C a v a lie ri
N o
A u to r
F lo re n c ia ,
d e
d e
q u e
o
( 5S) .
in tu ic io n e s .
d e l
la
p a rte ,
fa llid a ,
p á g .
D e
d e
D is c o r s i
M e c á n ic a V I I I ,
p a rte
c a rá c te r
n a tu r a le z a .”
s e r v ir
la
fo rm a
m is m a s
a l
la
u n a
u n a
c o n
o
G a li c o n
o tr a
v e lo c id a d
H o b b e s ,
q u e
p o r
p a s a ,
m e c á n ic a s
d e
C a v a lie r i) ”
te n g a
d e
a b s tr a c to
a n á lo g o
a
é l,
la
b a jo
la s
m u e s tra n
e s c rib ía
es,
p a r te
in fin ite s im a l
( 60)
tra v é s
a
d e
e s p a c io s
( 57) .
a c e le ra d o ,
in te g ra l
p ro c e d im ie n to
q u e
e s tá tic a
v e rd a d e ra m e n te
q u e
p u e s to la
a n te s
la
c a rá c te r
to d o
a
“ c o m p le ta m e n te
s o b re
c á lc u lo
lo s
e fe c tu a d o
c o n tie n e
g ra d o s
m o v im ie n to
u n
sea,
p a s a r
d a
G a lile o ,
v u e lv e
in tu ic io n e s
d e l
o tr a
q u e
m o v im ie n to q u e
q u e
g e o m é tric a s
el
d e s c u b rim ie n to
P a r a
in te g ra c ió n ,
e le m e n to
q u e
el
h a b ía n
E n
te n id o
p o r
e m p le a b a
n e ry ,
lo
h a
te n ta tiv a ,
p a c io s ,
el
v e rd a d e ra
u n
d e
p o r
fó rm u la
d ife r e n c ia !.
la s
in s p ira ro n , s o b re
la
la
in f in id a d
M E C Á N IC A
c u e rp o s .
D e s c a rte s ,
o
á t i c a
L A
d e
re p o s o
v is to ,
Y
lo s
p u ra m e n te
p e q u e ñ o
re n a c im ie n to
L e ib n iz
s u
d e l
a t e m
p ro b le m a
a
él
m
A L
d e
u n a
d e
im p lic a
p o r
u n a
h e m o s
p ir a d o c e lli,
p o r
el
c a íd a
o p e ra r
e llo .
s a le
q u e ,
in s ta n te s ,
d e
q u e
c o n
q u e
tie m p o
c h o ,
la
e q u iv a le n te
e n g a ñ ó
f i lo s o f í a
v e lo c id a d e s ,
in te g ra c ió n e l-
c u e rp o
d e
a
c o n s id e ra c io n e s
in tu itiv a ,
e l
la s
h a b ía
la
I N F IN IT E S I M
in d e p e n d ie n te m e n te
a y u d a
n o
d a
d e
p la n te a d o
re la tiv a s
q u e
re c o rrid o s , le o ,
C Á L C U L O
E s ta b a
le y e s
fó r m u la
e ta p a s
c it.,
n u o v e
s c ie n z e
jo rn a d a . p á g .
4 4
a tte n e n
E d ic ió n y
n a c io
s ig .
7 5 . X I V ,
t.
I,
1 9 0 5 ,
p á g .
3 5 0 ,
c fr.
E l
re la tiv o
d e
n e c e s a rio d o
e s tá
c a d a
e n
c ie rta
q u e
a lz a rlo
c o m o
P e ro
n a l. lo
d e
p a ra
s e g u irlo
b ie n
“ q u e
lo s
la s
su
d e
q u e
c o m o
el
e n
s o b re
e n
ig u a lm e n te ,
u n o
d e
sea
se
d e
te n ía
q u e
m o v i
ta n to
p a ra
to d o s
p e s o
c u a lq u ie ra
d ic e
B o u a d e
G a lile o
se
lo s
“ p a ra
c o m ie n z a
q u e
G a
g ra d o s
re c u e rd o d e
p a ra
c o n lo s
c o m o el
ra c io
lu g a r
a d m itir
p o r
h a c e r
ló g ic a
to d a v ía
p o r
u n
p ro p o n e
u n a
e n
p a s a n
a m b o s
(o
te n d r ía n g ra n d e
a
p u e d a
c a e r, d e te r
A T ,
(0 2 )
C a r ta
II, a
p á g .
In tr o d u c tio n
(6 1 )
D e
(6 5 )
P r in c ip e s ,
I I ,
(6 6 )
P r in c ip e s ,
§
la
la
s u s L a
. . . la d o
le y
d e
d e l
c h o q u e
c o n
ig u a l a m b o s
d o n d e
P e ro o
p o
si
h a y a n
se
s u p o n e
te n ie n d o y
la
“ a u n
te rc e ra s o lo ,
e
le y ir á n
( 86) . d o s
d ife re n c ia
in fe rio r
a
d e n o
la
c a so s
d ife re n c ia
u n a
s e g ú n
se r
p e
d a d a ) ,
d ife re n c ia
ig u a ld a d ,
p o d r ía
q u e ,
in f in ita m e n te
to d a
c o n s e c u e n c ia s ,
p e q u e ñ a
a
c o n tin u id a d .
re b o ta rá
L e ib n iz ,
re g la
e x c lu
e x p o n ía la
s e g u n d a le n to
m e c á n ic a ,
re b o ta r á n
g ra n d e ”
m á s
d e s ig u a ld a d ”
es
d e c ir,
m u y d e
c o m p re n d id a
la b a
( 87) .
2 2 9 .
M e r s e n n e ,
(6 3 )
( 6T )
e n
d e
( 65) .
la
u n a
to m a d a
se
p rim e ra
el
m á s
o b s e rv a r
te n d r ía n
. . .
d e
el
e llo
o tr o
h a c ia
p o c o
la
c o lo c á n d o s e
[ m o v ié n d o s e ]
v e lo c id a d ”
d ire c c ió n
se r
la y
el
u n o
u n
in f in ita m e n te
(0 1 )
h a c ía
m is m a
p o r
d e
ig u a le s
v e lo c id a d ” ,
h a c e
c o n s titu ir
e x ig e n c ia s
la
n o ta b le
g e n e ra l
la s
o
e m b a rg o ,
m u y
re g la
e n
f in ito ;
c o n
s u
d e
g e o m e tría ,
p e q u e ñ o
p o d r ía
s in
d e s ig u a ld a d
sea
d a to s ,
q u e
y
d e
d e
m a n e ra o
lo
c a d a
m á s
la
e x p re s ió n
u n o
n a d a
e l .-m á s
h ip ó te s is
q u e ñ a
re c ta
“ a u n q u e
e s ta
d e
la
ta re a
y
e x a c ta m e n te
p o c o
q u e
la
d ire c ta
v o lv e rá n
e llo s
a d e la n te
la
q u e
titu b e a
e n
es
c u a n
( 61) .
m a rc o s n o
q u e
d e l
s o s tie n e ,
r a z o n a m ie n to s
q u e
d a d o
s e g ú n
p e rd e r
u n
“ D e
jo
c o m ie n z o
lo
d e se c h a ,
lo s
a b s tra c ta
te rre n o
lín e a y
s in
e x p lic a n
la s
el
m a n e ra ,
v e n id o ,
q u e
el
fu e rz a
d e s c ie n d a ,
e n c a re c ie n d o ,
m a e s tro
m o m e n to
h a b ía
c u e r p o s . . .
v e lo c id a d
e n
se
c o n tra d ic c ió n
e s ta
“ d o s
a r io tte ,
p e q u e ñ a
m a te m á tic a
s iv a m e n te
D e
m á s
p o r
d o g m á tic o , lo s
d e s c ie n d e n
E le a ,
p r im e r
es
u n e n
la
q u e
d e s c e n d ie s e ”
ra c io n a l
M
m is m o ,
q u e
D e s c a rte s
d e l d e
lo
2 4 5
e c á n i c a
( 64) .
la
n e rse
Y
Z e n ó n
e n
v e lo c id a d in a r ”
ló g ic a
m
im p e d irle
m e d ir
él
ta m b ié n
q u e
la
p o te n c ia sí
p e q u e ñ o .
( 62) .
D e s c a rte s
a
la
y
es e
d e b e
la
a l
q u e
c ie n tífic a
o p in io n e s
a rg u m e n to s p r o b a r
es
c u e rp o s
v e lo c id a d ” ( 83) ,
se
h a c e r
A h o r a
sse
m
p o s ic ió n ,
d e d u c c ió n
lo
s o s te n e rlo
d e b e ría
in f in ita m e n te
lile o
o ,
p a ra
D e s c a rte s
la
i n f i n i t e s i m
c u e rp o
e m p le a r
m ie n to
e n tr a r
c á lc u lo
à
d e l
l ’é t u d e
p e r c u s s io n §
o u
11
d e
d e s
c h o c
o c tu b re
d e
th é o r ie s
d e s
c o rp s,
d e
1 6 3 8 , la
1 6 7 3 ,
A T ,
II,
p á g .
m é c a n iq u e , p á g .
2 4 8 .
4 6 .
4 7 -4 8 .
A d n im a d v e r s io n e s
in
P r in c ip ia ,
a d
II,
4 7 ,
G .
IV ,
p á g .
3 9 9 -
1 8 9 5 ,
3 7 7 .
p á g .
2 1 9 -
2 4 6
L a s
T a l
in c o h e re n c ia
L e ib n iz : p ie d ra la
la
d e
le y
d e
to q u e
la
1 2 7 .— d e
P e ro
es
la
e n
E s
u n a
d e
d e
c u rs o
lo s
d e
lo s
p la n o s
“ P r o p . b r io
V J .
n o
[ L L ’]
a
e je m p lo la
la s
b ra s
c a p a z
s u s
s o n
y
e n
la
a
la
“ C u a n d o q u e
la
a
e n
la
(6 8 ) (6 9 ) ( 7 0 ) (7 1 )
d e
la
lo s
o jo s ( 68) ,
d e u n a
c o n s e c u e n c ia
m a n e ra
d e
c a rte s ia n a . e n
la
d e
a lc a n
s a b io
d e
p o r
si
a
g e n e ra c ió n ,
o b s e rv a c io n e s
h u b ie ra
m á s
p r in
c o n d u z c a
s u
la s
E l
e x p e rie n c ia .
e x p e rie n c ia
o tr o
e n
g r a v e d a d
d e
e s ta s
d is p u e s to
d e
p r o f u n d a m e n te
d o s
=
el
a ltu r a
[ H
le y
la
y
e s ta
p e n s a r m á s
d e
d e
q u e
la
u n
h a y
ta n to
g ra n d e ”
b ie n ,
d e
la
Ib id ., A d
I I ,
C a r ta
la s
( 71)
4 8 ,
I l,
V
le y e s
d e h l 3
P r in c ip e s ,
4 5 ,
IV ,
I I ,
G ,
p á g .
d e §
3 6 .
e s tá n a
H
la
e je m p lo d e
e n
e q u ili
la s
la
p e s o
lo n g itu
[ P ]
( 70)
la
p a la n c a ,
e n
E s tá tic a
le v a n ta r
. .”
d e
re la c ió n
d e
el
1 0 0
u n o
“ p r in
. . .
( p o r
lib ra s
d e
2 0 0
a li
:
’P '
c o n s e rv a c ió n se
m u e v e
v eces
m á s
d e l
d o s
v eces
g ra n d e
m o v im ie n to
e n
la
=
M
q u e m á s
m o v im ie n to : m á s la
rá p id o
p rim e ra ,
p e q u e ñ a
c o
’V '
d e
la
c a íd a
y
d e
la
IV ,
p á g .
d e
lo s
c u e rp o s ,
e x p e rie n c ia ,
3 7 5 .
3 7 8 .
ju lio
e q u ilib rio :
:
o b s e rv a c ió n
a d .
=
d o s
u n
p ie .
d e
es
e q u ilib r io
d e l
lig a d a s ” :
to d a
ta m b ié n
m a te ria
o tr a
d e
e le v a r
p u e d e
el
fo rm a
g e n e ra l
p u e d e
’]
d e l
le y
[ G G ’]
e s tá n
s o b re
m is m a
f u n d a m e n ta l p a r te
la
G ’L ’
a p o y a rs e
p íe s
T r a ta d o
p ro p o rc io n a le s
m a g n itu d e s
a
q u e
e l
c o m e n s u ra b le s
f u n d a m e n to
d e
u n a
A h o r a s a c a d o
m e c á n ic a
e s ta b le c id o
M
h a
la
d e
s e g u ra m e n te
c e n tr o s
e n c o n tra r
fu e rz a
la
o tr a ,
d e b e m o s m o
la
p e n e tr a r
H P
—
q u e
d e s c u b rir
d e
a
g e n e ra l
( 69) .
re c íp ro c a m e n te
c u a le s
el
[ H ]
[ P ’ ]
p o s ib le
s u m in is tra d o s
d e b id o
re h u s á n d o s e
es
. . .
a ltu r a
f o r m a l
c r ité r iu m
c u a lq u ie r
m a g n itu d e s
v u e lv e
q u e
á t i c a
d e s v a n e z c a
e s tá
re s u lta d o s h a y a
d e
e lla s
A u n q u e
c ip io ,
es se
r e fo rm a r
G L
D e s c a rte s
u n
in te rp re ta c ió n
h a b ía
o
L a s
c u a n d o
d e s
“ N o
o
a t e m
re a lid a d , i
A rq u ím e d e s d e
la
m a te m á tic a
la
es
ig u a ld a d ”
D e s c a rte s
G a lile o ,
fo rm a
la
m
c o n d e n a c ió n
le ib n iz ia n a
q u e
q u e
p o s e s ió n
fís ic a s
d e
n e c e s a rio
n o ta b le
f i l o s o f í a
u n a
d e s v a n e c ie n te
re fo rm a
re s u lta d o s
es
la
c o n tin u id a d
c o n s e c u e n c ia
c ip io
d e
irre s is tib le .
d e s ig u a ld a d
z a r
e ta p a s
d e
1 6 3 8 ,
A T ,
I I ,
p á g .
2 2 8 .
q u e
c o n tra d ic e n
G a lile o la
fó r-
E l
m u la
d e
la
e n g a ñ a d o , e s p íritu q u e A l
h a
se
p u e d e
p rin c ip io
le z a ,
q u e
sa b e r e l
q u e
ta fis ic o ,
h a y
n o
y
s ie m p r e
el
s u
c ilia c ió n
m u y
c o n flic to , y
q u e
d e
d e
e lla
d re m o s
a l
s u
la
d e
te n d rá
1
s e g ú n
a
m a n e ra
se
tie n e n
e n
s is ta
a ltu ra ,
a
a q u é lla
y
la
d e
la
m á s
e n tr e se a
d e
d is tin ta
“ le y
y
la
se a
n a tu r a
in v io la b le ,
c a u sa
p u e d a n u n
la
( 73) .
p le n a
c o m p le ta m e n te
q u e
y
m e
e m p le a r
c á lc u lo
e n
g e o m é
h a
sí,
p á g .
e n
q u e
m á s
la
o
p a ra
n e c e s a ria
á
q u e
d e
p a ra
2
4
sa c a d o
p o r
d e
la
e n
p la n o
a s c ie n d e
la
a
fin
a
la
d e
m is m a
fu e rz a
re c ib ie s e
lib ra
a ltu ra
d e
1
p ie ,
tr a n s fe r id a
q u e
e l
la
n a d a
e l
1 6
d e
1
d e
1
lib ra s
d e
a
v e lo c i
c o n s ig u ie n te ,
1
fu e rz a
li
u n id o e l
4
lib ra ,
c u á d ru p le ,
la
4
s e m e ja n te )
e le v a r
p o r
( f e
d e
p ie ;
g ra d o s
so b re
es
s a c a re m o s
e s ta n d o
c a so
Y ,
P o
L e ttre s
c u e rp o
d e
4
p ie s .
e fe c to
tr ip le
e l
p a ra
a
p r o
d in á m ic a ,'
d e s
( e n
1
L a
in s ta n te
v e c e s,
a ltu ra
p o d e r
le y
c o m o
h o riz o n ta l,
la
d e
el
la
" S i
h a s ta
p u e s to
d e
m u c h a s
C o n ti.
la
L e ib n iz .
R é p u b liq u e
d e
u n
d e
c o n s id e ra d a
g e n e ra l
e n
c a u
( 75) .
e n
d ic e
c o n
la s
s a lto ”
c o m o
1 6 9 9 ,
c u e rp o s d e
a g o ta
l ’a b b é
d e
lo s
m e d io
-d e
re p e tid o
g ra d o s ,
d e
lib ra s
im p o s ib le ,
C o n ti,
lo
q u e
b a la n z a ,
s e a
e ra n y
la
y
e l
la
e je m p lo ,
fu e rz a p a ra
d e te rm in a d o
a v a n z a r
( 7 4 )
G ,
II I ,
p á g .
4 5 .
( 7 5 >
G ,
IY ,
p á g .
1 5 4 .
h a c ia
u n
p á g .
s o n d e
u n a
ta n to
ta m a ñ o ,
a b s o lu ta
• .
re s o rte c ie rto
s in o es
a
u n
la s
y
q u e
p o d ría d e
e s ta
h a b ía
a l
L a
fu e rz a
p o r
e l
h a b e r
se
n e c e s a ria p e so
p a ra
e s
es
la
q u e
n o
s e
n o
se
d e b e
p a ra a
h a c e r
u n a
s u
se d e
p o r
la
o b s e r v a b a
e s tim a r
f u tu r o ” . q u e
T e s is s u b
d e te rm in a d a
g ra d o )
c o n s e rv a r
se
ra z ó n
q u e
e fe c to
d e te rm in a d o o
p u e d e
m a te ria ,
e x te n s io n e s ,
E s ta
c u a n to
d e te rm in a d o
la d o ,
q u e
e s ta
a
b a la n z a . m á s
q u e
u n
" L o
m á s
re c íp ro c a s
e x t e n s i ó n .
e le v a r
4 8 :
e n m a ra ñ a d o
fu e ra
v e lo c id a d
I l l,
G .
ig u a le s ,
v e lo c id a d
" e n tre
h a
v e lo c id a d e s
fu e rz a s
la
u n
d e
y
c u y a s
la
( p o r
e s tira r
tie n e
c u e rp o
a s c e n d e r
l ’a b b é
u n a su s
d is tin c ió n e fe c to
y
h a
n e c e s a ria e l
se r
N o u v e lle s
d e
e s
e le v a r es
L e ib n iz
a
u n a
se
p ro b le m a
q u e
s i
q u e
m u e r ta ,
L e i b n iz
d e
d is p u e s to
4 5 .
c u e rp o s ,
se a
q u e
e s to
e s p e c ie
p e rp e n d ic u la r,
e x c e le n te s ,
c o m p o s ic ió n a
q u e
g a n a d o
ta n
c re íd o
c u e r p o s
p o d ría
L o
G .
y
c a u sa
la s
p rin c ip io s
e q u iv a le n c ia
e n to n c e s
q u e
P e ro
p o d ría
d e
to d a
el
e n
h ilo
d e h a
e q u ilib rio
le y
la
e n
v e lo c id a d
p ie s .
R e p l i q u e
lo s
o
d e
fu e r z a
g ra d o ,
P u e s to
4
q u e
III,
G ,
la
G .
u n
u n a
p ie s .
a u to re s
a lg ú n
fu e rz a
4
p ie s .
q u e
la
lig a d a
e s ta
fu e rz a s
a b s o lu ta ,
p u e d e a
d e
p é n d u lo
h a b ría
e n tre
se
l o s
s im p le , c la ra
e c u a c ió n
le y
“ a
a p a re c id a
d e
te n e r
C fr.
a
v is to
p o r
su
m á s
V o id e r ,
e v ita
d e m o s tra c ió n n o ta
lib ra
1 6
( 7 S )
c u a l
h a
d e
ú tile s
la
es
re te n e rla
D e s c a rte s ,
p rin c ip io ” .
d u c id o
u n
fu e rz a
e le v a rla
q u e
R é p l i q u e
q u e
h a s ta
q u e
m is m a
h a
se
c o n s ta n te
n a tu r a le z a
y
a p lic a
y
v e lo c id a d
e x tre m o
d a d ,
D e s c a rte s
a x io m a
la s
d e
la
q u e
e fe c to ” ,
u n a
a
“ la
q u e
se
e s ta
d e
1 6 8 7 ) :
c o n
p ie
s u
D e
d e
a s c e n d e r 1
( 72) .
u n iv e rs a l
e s te
2 4 7
e c á n i c a
te n d e n c ia
c a so
m á s
m á s
e n tre
g ra d u a l
e n to n c e s
(7 2 )
lib r a
m
s u b s titu ir á
la
lo s
re la tiv a ,
a c tú a
a
re s u m e n
b ra s
d e l
re d u c ir
c a r ta
e fe c to s ,
e q u ilib r io
q u e
b re ro
esa
p e r fe c ta
d e d e
c ó m o
es
lo s
p o rc io n a l
e l
se r
e le g a n te
tra n s ic ió n
e n
d e
la
c o m p le ta m e n te
a u n q u e
p rim e ra
m u e s tra
le y
Y
p o r
L e ib n iz
u n a
. . .
m e d io
L e ib n iz
sa s
id e a
p o r
y
( 74) . E n
d e
u n a
a l
m o v im ie n to
s o lu c ió n
e s c rib e ,
d e ja
d a
tr ic o ”
la
c a rte s ia n o ,
ín te g r o
d e l
e n g a ñ a d o
d a r
te n g o ,
e fe c to
fís ic a
s id o
g e n e ra liz a r
u n o
i n f i n i t e s i m
c o n s e rv a c ió n
y
a
c á lc u lo
y
e n tre
d ire c c ió n ” .
la
2 4 8
L a s
s u p o n ié n d o la m e r
a
d ic h a ,
q u e
la c ió n
d e
es e n
c ió n
la
d e
la
c o m o
x s
o
f
1 2 8 .— p a ra
lo s
d e b e
c o m o
x d x ”
( 77) .
g ía
c o n
u n
d e sd e
fu e ra ,
el
e s fu e rz o
r e q u is ito
c u e rp o s
P e ro
e s ta
e n
c e p c ió n
el
C fr.
o ,
. (?7)
q u e
y
A i,
Y
tie n e n y
d ig o ,
la
es
a
lo
( 78) .
m e c á n ic a
y
d e
c á lc u lo L a
la s
la
f in ito ,
e le m e n to s
le ib q u e
el
a r g u m e n ta
lu m in o s a :
v e lo c id a d e s
a c u m u
la
a n á lis is ,
a d
b ie n ,
d e
in fin ite s im a l.
la
“ S e g ú n
la
s o lic ita c io n e s
c o m o
e x p o s ic ió n
le ib n iz ia n a in tu ic ió n
n a c e
p á g .
5 3 .
p á g .
1 5 6 .
la
u n a
s o b re d e
q u e
d e
x ,
la s
o
fu e r z a s
p re c e d e ,
fu e rz a
in m e d ia ta el
te rre n o
G a lile o
es
o t u u m
fin
lo s
n o
o
d e
la
e lla
b a s
e n tra
p o r
s o b re
e n
u n a
c a íd a
m e ta fis ic o ,
tie n e ,
la
a n a lo
c ie n c ia ,
la
d e la
c o m o d e
lo s
in f in ita m e n te
d e
e n
la
u n
m
p á g .
la s
o t u u m
c o m u n e s ,
p e q u e ñ a ,
g ra v e d a d (A c t.
C o u tu ra t, 2 0 .
o
s i
y e l
la
su e lo
. . .
d e a
y
d e
e l
o
A A é ta p h y s iq u e
se
d e
M ,
la
v u e lv e
" Y
s o n
in p e
in a s ig n a b le s
lo s
m á x im o s
c a si
e n
se
d e
p o r
re p r e
v e lo c id a d ,
p o r V I,
y
to d a
m o v im ie n to
e le m e n to
1 6 8 9 ,
y
m u e r ta ,
v e lo c id a d
c e n trífu g o ,
L e ip z ig ,
e x tra ñ o g ra v e d a d
in f in ita m e n te
a s im is m o ,
ím p e tu
m is m o
es la
a q u e llo s
ta n g e n te s
c o n a to
n o d e
c a u s is :
lo s
lo
c o n
v e lo c id a d
lla m a r
re p re s e n ta
e l
la
la
im p re s io n e s ,
lín e a s ;
se
e l
" Y
C o e le s tiu m
la s
E ru d .
S u r
y o
c o m o
la s
d a d o ,
y
c o m p a ra c ió n
s e m e ja n te s d e
d e
p u e s
to ta l
re p e tid a s
g ra n d e s
tie m p o
p e q u e ñ a ” .
p a rtic u la r
1 9 0 2 ,
d e
n a tu ra le z a ,
lín e a
d e
f u e r z a
p o r
c u rv a tu ra
re c o rre
V e r
c u y a
e n
p o r
m e ta fis ic o ;
1 6 8 9 :
c a u s is ,
d e te rm in a c ió n
la
e n
fu e rz a
in f in ita
ím p e tu
triá n g u lo s
m ó v il
in f in ita m e n te
e s
T 'e n tu m e n
la
a lc a n c e
c o e le s tiu m
c o n a to ,
u n
u n la
in f in ita m e n te
e n
e x p lic a c ió n
o rig e n
e n tre
p e rc u s ió n
C fr.
a
d e
L e ib n iz ,
s im p le
e m p le o
s o lic ita c ió n
e n e ro
m
a l
d e
g e o m e tría
e l
la
n o d e
la
d e l
II,
la
v e c e s
( 7 8 )
d e
q u e
V I,
e n
es
ta p h y s iq u e ,
e n
e m p le a rs e
p o r
in fin ita s
se a
re la c ió n
p u e d e n
d e
c o m o
y o
m u c h ís im o
q u e
s e n ta rá
e n tu m
la
ta n to
u n a
ta l
p o r
a h o ra
su s
p r i
S U B S T A N C IA
u n a
si
g ra d o s ,
tr a s la c ió n lín e a
d e
c o n c ib ie n d o
G ,
lo s
m ín im o s ,
1
c o m o
v i v a .
q u e ñ o s .
a
fó rm u la
la s
e x p e rie n c ia s
n o c ió n ,
G a lile o ,
o b ra n d o
fin ito s
es
el q u e
p ro p ia m e n te
in f in ito
re la c ió n
n u e s tro
n o c ió n
p e n s a m ie n to
a firm ó
d e s n u d a c u a l
u n a
d e
in te r io r ;
la s
o rig in a l
(76) q u e
d e
d e
a n á lis is
d x ,
p o r
el
fu n d a m e n ta le s
e n
q u e
la
v e lo c id a d
c o n s titu id a
lín e a
p a ra
a q u e l
( 7S) .
m e n o s
lo
b re v e q u e
p a ra
e le m e n ta le s ;
c o m o
la
o
L a
e s tá
m o d o s
o
s e rá n
m o s tr a r
m e c á n ic a
v iv a ,
a l
á t i c a
in f in ite s im a l,
c a íd a .
d e s n u d a
c o n c lu y e
P o r
su
n o c io n e s a
a t e m
d e s c e n d e r,
s o lic ita c io n e s
L A
ta
a l
fu e r z a
g e o m e tría
a c e le r a c io n e s ,
m
m o m e n to
d ife re n c ía le s la s
h u m a n o
d e
u n re c ib e
o
lig a d a s
L e ib n iz
a n a lo g ía
f i lo s o f i a
d u ra n te la
n u e s tra s
e s ta rá n
la
s o lic ita c ió n
m a n e ra ,
p e n s a m ie n to
e n
im p u ls o s
a
d e
g ra v e
m a n ifie s ta
e s ta
n iz ía n a
el
in s ta n te
e so s
c o m o D e
q u e
c a d a
v e lo c id a d o
v e rd a d e ra
im p u ls o
q u ie re
e ta p a s
u n a
lín e a
p á g .
1 5 1 ).
L e i b n iz ,
R e v u e
d e
M
é
L a
d e l
m o v im ie n to
m is m a
y
la
s u b s ta n c ia A ta n te
d e
q u e
c ió n
d e
c u y o s
e ra
ta ,
q u e
la s y
2 1
d e
la s
p a rc ia le s e n
tra d ic h o ta n c ia
c a ,
e n
to d o
si
n o
es
q u e
a g e n te ,
fís ic a m e n te ca
d e
d e l
u n a
s iv o s
o
d e c ir
q u e
q u e
to n c e s
la
c a d o s , d e
c o n
y
d is tin
y
e s ta
e n
s u m a
d e
c a r ta
e n te ra s
n o
to ta le s
p r e d i
d e
V o id e r
s o n
q u e
c u a
o p u e s
su s
a
la
P e ro
el
a firm a c ió n
u n a
es
( 79) .
la s
q u e
c o n tie n e n
d e
la
filó s o fo
se
h a
f u n d a m e n ta l
d e
la
s u b s
se r
in te r
p re d ic a d o
d e sd e la s
lo s
el
p a rte s ,
m á s
el
q u e
d e
e s ta
y
e n
v a le r
si
d e
u n o
d e
p a rte s
lo s
m e ta -
la
c o
n o
es
U n a
té rm in o s
lo
ló g i
h a n
e m in e n c ia ,
m e ta fís ic a .
té rm in o s ;
el
s u b s tr a tu m ,
D e s c a rte s
la s
ló g i q u e
re a lid a d
re la c ió n
to d o
c a d a
d e
n i
in m a n e n c ia
d e te rm in a d a
u n
u n a
d e ja
la
E n
c o n
o n to lò g ic a m e n te
h a y
A ris tó te le s
e n tre
es
a tr ib u to s ,
E n to n c e s ,
d e
p u d ie s e
m o m e n to
a tr ib u to s
e so s
n i
n o
a ris to té lic a .
c o n c lu s ió n
q u e
el
q u e
n o
in s e rie
su c e q u ie re
d e b a
se r
e n
s ío t r a c o s a .L a s u b s ta n c ia p o d r í a
ú n ic a
d e
la
c u a ld e riv a la m u ltip lic id a d d e lo s p r e d i
es
lo
e x is te
q u e
q u e
( 7 9 )
O b .
(8 0 )
G , G ,
L e ib n iz
d o n d e
la
le y
d t., II,
d o c trin a
I I ,
c o m o
s u s ta n c ia
c a p .
p á g . p á g .
c re y ó d e
p e rs is te n te
c o n c e b im o s la
a firm a
R u s s e ll
c o n
c ie rta
c o n s titu y e
( S i)
la
s u b s ta n c ia s
le y
c o n tra d ic c ió n
a q u e llo
es
u n a m u y
e lla
V o id e r
“ Q u e
to ta l
la
q u e
ló g ic a
d e
a
d o c trin a
a
d o s
L e ib n iz
la
c o sa s
m e d io :
d e trá s
c a n tid a d
a la
m a te m á tic a ,
c o sa
u n a
a d e
im p o r
( 80) .
s u m a
tip o
d e
s a c a d o
a d m itir
d e
P e ro
c o n fe rir
a llí
re fe rirs e
s in o
s u je to
la
u n
in d is c e rn ib le s ”
s u b s ta n c ia s
re la c ió n
u n
u n a
si la
s e g u ra m e n te
c o n f u n d iría n ,
c o n c e p c ió n
in fin ite s im a l.
tr a s c e n d e n c ia
in f in ita ,
q u e
c o n
d e
tip o
c o m p a tib le
d e
es
la
té r m in o
p a rte s ;
es,
“ L a s
d e
tra s c e n d e n te .
le íb n iz ia n a
n o c id o ,
a
su s
q u e
e n q u e
p ro p o rc io n a
in trín s e c o :
lo s
te x to ,
m o d e lo
fo r m a lm e n te
L e ib n iz
m e ta fís ic a
p o d r ía n e s te
s o b re
h a y
re la c ió n
s o b re
v is to
e n c o n tra r
n e c e s a rio
re la c ió n
n o
la
a
e m in e n te ”
el
v e lo c id a d
la
V o id e r
h a
se
d e
fo rm a lm e n te ,
s e ría
s e g ú n
e fe c to ,
v a
1 7 0 4 :
g ra d o
la
s in o
d is tin to s u n
d e
e n
n o
d e
m is m o s
e n c ie rra
a p o y o
e fe c to
. . .
lo s
c o m o
p a rte s
e s ta a
R u s s e ll
d e
f u n d a m e n to
“ id e n tid a d
s u
d e
R u s s e ll
la
g ro s e ra m e n te
p re ta d a
o
e n
e n tre
c o n
filo s o fía
e s c o lá s tic a ,
e n e ro
c o n tie n e n
Y
la u n
fu e s e n d e
y
p r o to tip o
o b s e rv a c ió n
c r u c is .
e n
s u b s ta n c ia s
c ita
d e
a c c id e n te s .
u n a
e s e n c ia l
ló g ic a
d a d o ,
s irv e
c o rre s p o n d e n c ia
tie m p o ,
la
c a d o s ;
su s
s u b s ta n c ia s
d o c trin a
d e
p u n to
e x p e r im e n tu m
m is m o
la s
la
p re d ic a d o s
d r o
d e l
c o n
d e
la s
p r o p ia
u n
re s p e c to ,
p a s a je
b ie n
a l
tie n e
e s te
e s p e c ie
e n
a c e le ra c ió n ,
2 4 9
s u b s t a n c i a
IV ,
2 6 3 . 2 6 4 .
tr .
e x p re s a m e n te
e n
esa
s o rp re n d e rlo
e n
f la g ra n te
la
q u é
im p lic a
id é n tic o ,
id é n tic a ”
R a y .
id e n tid a d
p á g .
5 4 ,
e so
d e
lo s
m is m o
lo s
( 81) .
y
c a p .
V I,
p á g .
m is m a
6 4 .
e n
c a r ta d e lito
in d is c e r n ib le s :
e s ta d o s es
se r
lo
f u tu r o s q u e
d e
a firm o
2 5 0
L a s
1 2 9 . L e ib n iz
—
a
s u
c o n c e p c ió n L e ib n iz e s to s
n in g u n a d e l
d e c ir,
p u n to ,
c o n
es
re la c ió n
a l
e s p a c io
m i
filo s o fía
e n
lo s
p u n to s ”
P e ro a l
e n
in f in ito ,
y
d e l
E l
5
d e
tiv a s :
e s p a c io
lo s
es
e n
p a rte s
la s
d e
p a rte s . e lla s S i
s e a n lo
( 8 4 )
P .
D .
(8 5 )
C fr.
n o
d e
d e
la
c a r ta d e
v e lo c id a d
y
o tra s
a g re g a d o s
a s ig n a r
p a rte s
s ig n ific a n
G ,
se
(e s
lo
q u e ( 82) .
e le m e n to s
1 7 0 9 ,
a lo ja b a
c u a n
la s
d e
n in g u n a
p á g .
a
p a rte s ,
G ,
5 8 3 .
c o sa I I ,
y a
a lm a s
lo
G ,
2 7
id e a le s
q u e
e s tá es
o
h a n
h a n
d a d o
e n tr a n
filo s o fa d o
e m b ro lla d o , y
q u e
la
el
d iv is ió n
to d o ,
a u n
n o
lo
p e se
es a
c o m o
to d o
u n
e n
el
e s p a c io
o
c o
p á g .
3 7 2 .
2 2 9 .
c o m o
a b ril
e n te s
e l
d e
h o ra ,
p u n to
1 7 0 9 , la
G ,
lín e a ,
I I ,
e l
d e
p o s ib ilid a d
m o v im ie n to s e m e ja n te s ,
in d e fin id o
e n te n d e r
m is m a
a l
m a te m á tic o s
e n te ra m e n te p re c is o
a q u e lla
2 7 6 .
la
e lla .
fra c c io n e s
( 8e) .
p á g .
d e
e n tie n
s im p le s
n o c io n e s
m a te ria l,
IV ,
la s
q u e
d e
( 8 5 86) .
q u e
u n id a d )
se
e s p a
s ig n ific a
s im p le
la
re te n d ría
n ú m e ro ,
q u e
e n
d e l
p ro c e s o
b ie n
m e n o s
s im p le s
es
re s o lu b le ,
p o rq u e
u c h o s
u n id a d e s fu e rz o
c o m p le ta
m á s
q u e
m o v im ie n to ,
ta m b ié n
p á g .
sea
to d o ”
lo
B o sse s ,
c a n tid a d e s
e lla s ; y o tra
d e
e s to
a l
m á s
la
d e l
el
lín e a s
es
u n id a d
m á s
e l
1 6 7 1 ,
d e s
M
re s o lu c ió n
u n id a d
e s
e s ta s
la
d e o
p a rte
n o c io n e s
s ie m p re
v a
c o n tra rio , q u e
s im p le s
q u e
se
p u n to
re s o lu b le ,
s o b re
V o ld e r : '" E \
e n
q u ie ra n ” .
III,
y
a b s tr a c ts ,
a
s o n
c o
in fin ite s im a l
e n
re s o lu c ió n
n o
fra c c io n e s .
p o rq u e
e s fu e rz o
u n a
es
n o
el
n o c ió n
tie n e n
la
s o n
C a r ta
p a rte s
(8 6 )
e n tre
es
" E l
in f in ito ” .
la s
u n a
e s c rib e
n o
m e n o re s
m o tu s
ib ¡ d .,
a l
n o
d e
p o r
u n id a d
c u y a
p u n to
c o n s titu tiv o ,
u n o
n u lo ,
ta m b ié n
y o
u n ser
el
d e m o s tr a r ”
s o n
d e l
d a d o s ,
e n
(m e n o s
n o
e s p iritu a l
la
u n id a d ,
el
s ie m p re
T h e o r ia
p o d ría n
la
p a rte s
C fr.
c u a n ta s
e s tá n
n u n c a
p e ro
d is tin g u ir
(8 2 )
v e rd a d
c o m o
e n te ro s
s o b re
( 8 3 )
g ra d o
q u e
d e
a y u d a
m o v im ie n to ;
p a r te
n o c io n e s
L a s
e le m e n to
e l
te n e r
d iv is ib le ,
m a te m á tic a
lo
el ta l
te r m in a r
n ú m e ro s
in c a p a c e s
se
s in
p o d r ía
la s
s ie m p re
m o
o
L e ib n iz
s o n
es
L e ib n iz
L e ib n iz
la
q u e
q u e
( 83) ,
d e
p u e d e
tie m p o ,
o rd e n
m a d u re z ,
d e
c o n
1 7 1 5
q u e
q u e
u lte r io r
c o m p o n e
d ic h o
u n id a d
e n
filo s o fía se
h e
L a
d e
id e a
e n to n c e s
o
n e c e s a rio
C a v a lie ri;
n o
d e l
in s ta n te )
e ra
s u
la
c u a l
la
filo s o fía ,
d e
in e x te n s o ;
e s c rib e
a
d e
n o
el
m o v im ie n to
lle g a d o
lo
c o n d u c ir
p iv o te
p rim e ra
e s p a c io ; a
e le m e n to s
a ñ o s ,
su
m o v im ie n to ,
q u e
a g o s to
q u e
el
es
d e l
“ C u a n d o
d o
e n
h a b ía
m o v im ie n to
d iv is ib ilid a d ,
a l
e n
c o n a ta s , lo
E n
d e b ía
p o r
in d iv is ib le s
“ A q u e llo
e s fu e r z o ,
y
lo s
q u e
tie n e
( 84) .
la
el
s o b re e x is tir
b a s ta n te s
n o
n o
in d iv is ib le c io
e s te
“ H a c e
d o
o
á t i c a
s u b s ta n c ia ,
e x te n s ió n ,
in e x te n s o , y
a t e m
p e n s a m ie n to
la
e s p a c io ,
e s fu e rz o
p u n to
e s p iritu a le s :
d e
d e l
m
in fin ite s im a l.
p o d r ía n
p a rc e la
el
o
e s te
d e
d e
c o n tra d ic c ió n :
c u e rp o ,
a b s u rd o ,
L u e g o
f i lo s o f í a
e v o lu c ió n
c á lc u lo
n o
im p lic a
m ie n z o
la
d ire c ta m e n te
in d iv is ib le s
q u ita d o
d e
d e fin itiv a
d e l
a p o y a
m in im u m
es
L a
n o c ió n
té c n ic a
se
el
e ta p a s
e s te
d e
q u é
m o d o ,
p u ra
d e
o e n
m o d o p u e s to a s ig n a r
a
L a
in te r io r
d e
d e riv a
la
c o n c ilia r c ió n
e x te n s io n ,
e n
la s
d e
la
lo s
d e
es
e n
lo s
la
d e
la
1 3 0 .—
a p lic a c ió n la
in fin ite s im a l
v a
la
d iv e rs id a d
la s
a
la
S e g ú n c e p c io n e s
la
le y
lo s
re s u e lv e n le y
d e
d e
u n
rio ,
d e
n o
g e n e ra l
(ST)
" P e ro
d e
o
o t e s
la
s u r
d e
P e ro
lo
q u e
p rim itiv a ,
d e
ta l
té rm in o (8 8 )
v e a u
d e
e n
n o s
a s í
p á g .
la se
la
C fr.
e l
q u e
la
la
1 6 2
y
sig .
( 8 9
)
c e a ,
I I I ,
C a r ta
a
R é m
2 4 2 .
e t
o n d ,
d e l
el
.
o
s e rie
d e l
el
p e r c á lc u
p ro g re s o
d e
la
es
re la c io n a o
u n
á to m o ,
le y
d e
y
m ó n a d a -
la s
c o n
e s p íritu
“ n o
s in o
c u rv a tu ra s ,
lo
o b s e rv a c ió n
se
p o n e r
tie m p o s
d e
e n
h a y
q u e
d e
c a m b io lo
d e te rm in a r
la
c ie rto s p u n
tie n e n
c o n c e b ir
g e n e ra l:
ja q u e
in fle x ió n ,
lín e a s
n e c e s a rio
ta m b ié n
la s
g e o m é tric a ,
h a y
a
e s ta
p u n to s
c o m d
v e rd a d e ra
d e
v e rs ió n ,
d e
la
d e
V o id e r ,
e s ta d o
v é r ité
q u e
to d o
e n
u n a
la
v id a
e x tr a o r d in a
m is m o
q u e
p o r
su
n a tu r a
lu g a r
A s . e s p e c ie
e n
e n
V o u c h e r ,
2 1
to d o s
c o m o
d e
ta n to
p re s e n te
im p lic a se a
p a r
d e l
p re s e n te
q u e
p rim itiv a
p á g .
c o r p s
a
p u e s to
m e d id a .e n
1 1
la
C a r ta
m is m o
fu e rz a
d u
s e g u ir p a s a r
p a re c e n
re g la
s e r
d i f f i c u l t é s
l ’â m e
a n a lo g ía
a lm a
lín e a
R e c h e r c h e
d e s
p á g .
h a
e d ia n te
p u e d e n
E c la ir c is s e m e n ts
I I ,
in fin ite s im a l
.
lo s
( 89) .
a n tic ip a d a m e n te , e n
y
lo s
e n
3 0 3 . e s
la M
v is ta
q u e
p a re c e
d e
o
v é rtic e s ,
I I ,
c it.,
§
es
u n h a c e
u n a
(G ,
d e
la
m is m o
( 88) ,
e n
s e rie ” .
l ’u n i o n
re la
m ó n a d a -e s p ír itu .
h a c e r” .
c u rv a
c r itiq u e
m o d o
d e d e
m a n e ra ,
e c u a c ió n ”
p e rs is te ,
la
la
o b r a r . d e
la
m e d io
c o m o
p e rs o n a
la
d e riv a tiv a
im p lic a
el
L e ib n iz
lla m a n
e s ta r
( S u i t e )
lo
a lg ú n
se
c á lc u lo
s u b s ta n c ia ;
p rim e ra
o tr a
e n
la
o
tu ro .
q u e
p e rm ite
es
d e
n a tu r a le z a
s u b s ta n c ia ,
la
d e
a
u n a
C a re il,
fu e rz a
la
d e l
q u e
n o
p r im itiv a
c o m o
d ire c c ió n
“ C o m o
d e
s u
S u c e s ió n
N
F o u c h e r
g u ie n te
o
d e ja n
a q u e
d e
p u n to s ,
s in g u la re s
( s o r t e ) .
E d ,
d e
la
y
c a p a z
q u e
o
ta le s
a n im a l
p u n to s
d e
d ire c c ió n ,
q u e
s in g u la re s ,
q u e
le z a
es
c a so s
re tro c e s o
m u ltip lic id a d ,
d e l
la
ju v e n tu d
c a m b io s n o
lo s
in f in id a d d e
s u
c o n tin u id a d :
p u n to s to s
p rim e ra
á to m o
d e
p ro p o r c io n a r
fo rm a s
s o la m e n te
d e
el
a
p e n s a m ie n to
su
to ta l
L o
Ó N A D A
d ire c ta
m ó n a d a -v id a u n
d e
c o n s e rv a
q u e
d e
M
n a tu r a le z a
lo
m a te r ia
la
p rin c ip io
e x te n s o s .
( 87) .
L a
p e n e tra r
q u e
“ fu e rz a
c a m b io s
L A
m itid o
ta n to
y
es
lo s
2 5 1
fe n ó m e n o s
u n id a d
c a n tid a d ,
[s u c e s ió n ]
n ú m e ro s ”
lo d e
a lm a s
g e o m é tric a
le y e n
la
m u ltip lic id a d
s u b s t a n c i a
e n e ro
q u e
e s tá
lo s
L e ttr e s ,
d e
tie n d e
p re ñ a d o
c a so s,
d e te rm in a c ió n
tie n e q u e
e tc .
1 7 0 4 . a l
s i
d e
su
fu e rz a d e s ig n a
2 6 2 ) . q u e
( 1 6 9 8 ) .
fe b re ro
A i. B a y l e G ,
d e
II,
a
t r o u v é e s
p á g .
1 7 1 5 .
G ,
5 4 4 .
I I I ,
d a n s
C fr.
p á g .
s y s tè m e
n o -
H a n n e q u in ,
le
o b .
6 3 5 .
C
h
. - T e o d i
2 5 2
L a s
L a s is
m á s
c ie n c ia la
d e lic a d e z a
y
p r o f u n d o
y
d e l d e
p a ra d ó jic a
fic id a d
a ñ o s
d e , su
e s p iritu a l. E s
a lm a
in s p ira d o f u s o ” el
te s is ; tie n e
c o n o c im ie n to y
d e
g a n
m e c á n ic a
d e
u n a
p a ra
n a d a c la ra ,
h u n d e
b r a
la
la
el
(9 0 ) c ie rto
.
d e
o
d e
d e
la
" P a ra
[la
a
e se
e se
to d o ,
la a
u n a d e
q u e
e l
[d e l
d e c ir,
lu g a r
c ie n
m il
P r ó lo g o
d s
ru id o s
o la s ,
N
“ p e
A s í se
e n
se
a g re
s e rie
la
o rd e
p e rc e p c ió n la
re c u e rd o s
a
p e n u m
( 92) ,
c a d a
a p a rie n c ia
e s
s u m a .
o tr a d e
s im
la
d e
c a d a q u e
u e v o s
m is m o re a liz a
v id a
d e
n u e s tra
p e n s a r,
d e
c o n s c ie n te
m e n te
s o b re s o b re
la la
es
in c o im p o
7 2 ) .
n e c e s a rio
d e
L o q u e
m a n ife s ta c ió n
c o n s e c u e n c ia s
d e ja r
p á g .
p u e s to
l o s
u n a
s u
e n
a b s
la s
q u e
d e
v e rd a d e ro
d e
I,
G ,
m a r]
io s
d e
n u e v a
a d m ira b le s
im p o s ib ilid a d A r n a u l d ,
c o n
m a te m á tic a
d ife re n c ia c ió n
m o m e n to
c ie rta s
ru id o
e s
d e
n a d a ” .
y o
d e
in e s p e ra d a s .
d e
e l
a m b o s
a s p e c to
p e rd e rs e )
fu e rz a
u n
e llo
so b re ( C a r ta
p e rc e p c ió n ]
c o n s titu ir
d e
la
u n
n u e v a
o
lo s
P a rís , q u e
e le m e n to s .
d e
a c to
d e
q u e
d e m o s tra d o
. ”.
.
d e
u n
la
d e s p e c h o
e le m e n to
lle v a
d e d u je
m e n te ,
a
in f in id a d
v e z
m is m o
e s c u c h a r
q u e
o la . c ie n
E n s a y o s
. .,
m il
se d e
e sc u c h e n o tr a
n a d a s
s o b r e
e l
n o
la s
p a r
m a n e ra
n o
s e ría n
c a
e n te n d i m
i e n t o
a n o .
( 9 2 )
" J a m á s
a lg u n a
p e rc e p c ió n
c u e rd a ,
p o r
p o r
se
lo
c e n tro ,
c o m p o n e n
te n d ría
p a c e s
su
es,
m a n ife s ta c ió n
o lv id a r.
( 9 1 ) q u e
h u m
u n a
a
" H a b ie n d o
p u n to
s ib ilid a d
u n a
( 93) ,
rr u p tib ilid a d
te s
d e es
m o v im ie n to
fu e rz a
c o n s c ie n te
a d e
e n d e
in a d e c u a d a ”
c o n s c ie n te ,
o
v id a X V I I .
h a b ía n
le ib n iz ia n a
( 91) ,
e sp e -
la
“ s e n tim ie n to
to d a v ía
d e s tin a d a
s e n s a c io n e s
se
la
s ig lo
te s is
a
ta r d a r á
d e
e s ta d ía
el
d e
in f in ita s
filo s o fía
el
in fin ite s im a le s ,
re fle x ió n
e s tá
la s
su
e x te n s ió n
d e fin id o
la
(o
d e
v id a
s u m a
d e
d e
la
e n
“ c o n c ie n c ia
te o ría
u n a
b a jo
p s ic o lo g ía
fa m o s a
a n a lo g ía
y
c o n
in f in ito ,
in c o n s c ie n te
d e
a n á li
la
c o n c e p c ió n
c o m o
a l
d e
s e rie s
e n
S p in o z a
la
d a
la s
la
el
la y
im p re s io n e s
e s ta d o
ra íc e s ,
la
la
lo
c o n o c id a
tie n e n
q u e
d e
d e
la
a n te s
o
g é n e r o ,
p re c is ió n
u n
e ra
n o c io n e s s í,
d e
q u e
h o y
a le b ra n c h e
p o r
d e
fo r m a
h e c h o
c iu d a d a n ía
c o n tra d ic e
d e sd e
ta n to
c e n tro
s u m a c ió n
p a s a je
la
el
s u s
d e
E s ta q u e
u n a
c o n fu s ió n
m o m e n to p le ,
e n
la d e
y a
c o n d u c e n
h a y a
c á lc u lo
d e m o s tra r
p e ro
u ltitu d
d e sd e
M
to m a
c o n s titu ir
q u e
y
m
y
d e
se
el
d o m in a
a
p r im e r
p e rc e p c io n e s ”
la
tra te
d e l
e s q u e m á tic o ,
q u e ñ a s
se
e s ta a lm a
b a jo
ta n to
á t i c a
p a ra le lis m o
to d o ,
n o c ió n
( 90) .
a t e m
in c o n s c ie n te ,
q u e
d e d ic a d o
s ie m p r e
el
lo
c a rte s ia n is m o
e n
q u e
tr a c to
el
e s ta
h a b ía
p ie n s a
o
m
ja m á s
d e re c h o
a s im ila r,
d u d a ,
a l
se
A n te
d e
y
;S in
e s e n c ia l
L e ib n iz
e n
e s te
q u e
d a
m é to d o ,
f i lo s o f í a
d e
d ife re n c ia c ió n
d e c re c ie n te s ,
n o tio n
d o s c ie n to s
y
la
la
r ig o r
p e n s a m ie n to .
té rm in o s
e s ta
m á s
el
d e
s u til,
fo r m a
d e
e ta p a s
m e n o re s
e l
n o s d e
m a y o r
d e s p e rta ría m o s
s u
c o m ie n z o ,
e s fu e rz o
e sfu e rz o s,
d e l
a u n q u e
la
q u e
p o r e s
m u n d o ,
e l
m a y o r
r u id o
p e q u e ñ a ; si
e lla
p e q u e ñ a
n o
c o m o fu e s e
e x te n s ió n
q u e
d e l n o
m u n d o , se
te n d id a é s to s
s i
ro m p e ría y
n o
a la rg a d a
h a c e n
n o
h u b ie s e
ja m á s u n
u n a p o c o
a p a re z c a ” .
I b i d .
(® 3 )
C fr.
tie m p o ) ,
ja m á s
S p e c im
e x is te
e n
s i
d y n a m
re d u c e
i c u m
la s
" P o rq u e c o sa s
a
s u
e l
m o v im ie n to
e x a c titu d ,
p u e s
(lo ja m á s
m is m o e x is te
q u e
e l
e n te ro ,
L a
im p lic a s e rie la s
u n a
c u y a
te n d e n c ia
u n id a d
m ó n a d a s
tr á n s ito
a
m á s
itir
n u e v o
c u rs o
la s
h a y
e s ta d o ;
d e
la
v id a
es
c la ro a
es
d e
y
E n
a n a lo g ía
té r m in o
lo s
q u e
p e rc e p c ió n
u n
c o n s c ie n te
re p re s e n ta c io n e s
fe n ó m e n o s ,
—
lle v a r
m á s
re p re s e n ta c ió n :
r a l
a q u e llo
c o n
la c ió n
es
L e ib n iz s in o v e rs a l
( 96) .
s o n
o
o rd e n a d o s
c a u s a
e n
d e l
E l
o
f
V
e n
n o
,
a
c o n
el
d e
la
c a u sa
tr á n s ito
h a y
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s ie n d o
fe n ó m e n o s e lla s
m e n to s
a p e te n
la
y ,
c u a n d o
e n
é l,
n o
u n
d e
la
té rm in o s a
d e
la
u n i
d o n d e
si
e so s
la té r
u n id a d ,
m
u
u ltitu d
p e rc e p c ió n
in f in ita ,
m a n e ra
re
e le m e n to ,
e s ta
u n a
u n a
n a tu
a c c ió n
d e fin itiv a
re la c ió n
p o r
d e l
le ib n íz ia n is m o , d e
la
s in
( 98)
s u m a s in
:
su
d e
p e ro
d e
c o n s
e n
ta n to
s u
e x p re
e s ta
la
c o m o q u e
a p a re c e
a lm a
es
h a
c o n
e q u iv a e x a c
fin ita m e n te
to ta lid a d
s u m a
lo
la
re p re s e n ta
“ re p re s e n ta
e n tra
e m b a rg o ,
es
e x te n d id a ,
“ C a d a
d o n d e
a p o rte ,
h u m a n id a d ,
s e r
re p re s e n ta c ió n :
u n a
A u n
e x te n s ió n
lim ita d a
ín te g r o ”
es
e s ta
( 97) .
p e n s a m ie n to
la
b ie n ,
ra y o s
u n id a d
u n a
a
la
re la c ió n
in f in ito .
d e
v a
ju s tific a r
u n a
filo s o fía
e n
y
A h o r a
d e c re c ie n te :
la
d e
in fin ite s im a l
u n a
d e
lo s
p a r te :
la e le
p a rs
( 10° ) .
n o
tie n e
m o m e n tá n e o p á g .
;
u n iv e rs a le s ,
to ta lis
c u a n d o
( " )
d e v ie n e
lo s
in f in id a d
e n
es
p r o f u n d iz a d a
d e
u n iv e rs o
in f in id a d ”
e n
el
v e ía
to d o s
p e q u e ñ o s
q u e
o rig in a l a l
tie n e ( 95) .
p u n to ,
u n a
p e rfe c ta ”
m á s
u n iv e rs o el
d e
in te g ra
to d o ,
in d iv id u a l,
ta m e n te
se
c á lc u lo
m e ta fis ic o ,
c o n
in d e fin id a m e n te
s u b s ta n c ia
C a s s ire r,
a l
u n
p re c is a
s u m a
s e rie
u n id a d
c o m o
in f in ita m e n te
m e n o s
ra s g o
s e ñ a la d o
le n te
la
e x p re s a
m á s
c ie n c ia
se r
la
c o n c u rría n se
d e l
a n á lis is
re p re s e n ta d o ”
d e
a lm a
c o n fu s a s
“ U n a
e lla
la
el
re p re s e n ta c ió n
se r
n o c ió n
e n
im p re s io n e s c ie n te : q u e
el
L a
p u e d e
m in o s
‘ ‘L a
d e b e
d o n d e
la
to d a v ía
e x a c ta m e n te
c e n tro
u n id a d
s ió n
q u e
d e fin ía
u n
fin ,
le jo s
p r o p ia
q u e
p a rte s d e b e
c o e x is te n te s . c o n s titu irs e
Y
a
ta l
p u n to
n a d a
e n
la
fu e rz a
q u e
d e
a g o s to
d e
p á g .
1 6 3 .
C fr.
es
re a l
tie n d e
a
la
e n
é l
s in o
m u ta c ió n " .
a q u e llo M
,
V I,
2 3 5 . ( 9 4 )
C a r ta
(9 5 )
T e o d ic e a ,
( 9 6 )
H a n n e q u in ,
d e
n o v ie m b re
d p
re p re s e n ta r
re n c ia
se
( 97) (9S) (9 9 ) ( p á g .
u n e l
2 5 3
ó n a d a
( 94) .
1 3 1 . m
q u e
n u e v o s
re p re s e n ta c ió n c ia ”
a
fo r m a
m
100) 3 0 7 .
d e
d e s
3 5 6 .
o b .
c it.,
t.
II,
" L a s
e l
a
u n id a d e s ,
c e n tro " .
d e la
R e s p u e s ta T ) e
2 3
§
m u ltitu d e s , e n
is c u r s o
C a r ta
d e l
I I I,
B o s s e s ,
P a rte
1 6 9 6 :
la s
re ú n e n D
a
r e r u m
a
V II,
m e ta fís ic a ,
X V ,
la s
s e a n
a p ro x im a d a m e n te G ,
P r in c e s a
a u n q u e
S o fía ,
G ,
G ,
r e f le x io n e s
o r ig ín a iio n e
p á g .
d e
C a r ta
a
la
in d iv is ib le s
c o m o
p á g .
p á g .
B a y le ,
r a d ic a li,
II,
G ,
to d a s
la s
p á g .
4 8 1 .
p r in c e s a
y
s in
S o fía ,
p a rte s ,
lín e a s
d e
la
n o
d e l
4
d e ja n
c irc u n fe
5 4 2 .
IV ,
V I I ,
1 7 1 3 ,
2 3
4 4 0 ,
e d .
L e s tie n n e ,
1 9 0 7 ,
p á g .
5 1 .
5 4 2 . G ,
d e
IV ,
p á g .
5 6 2 .
n o v ie m b re
d e
1 6 9 7 ,
G ,
V II,
p e r
2 5 4
L a s
e ta p a s
d e
L A
1 3 2 .— u n id a d la
E s to
d e l
q u e
d e l
“ L a s
d e
f o rm a
re p re s e n ta r”
( 101) .
¿ C ó m o se
c o m ú n q u ie re
la
q u e
e n
E l
1 6 7 4 ,
d r a tu r a d a d , d e
el
a c u e rd o
se
v u e lv e
c u a d ra d o
la
63
b ie n ,
1,
------------ +
Y
e s ta
b ía a l
m á s
e l
M
ta rd e
a
(1 0 1 )
a
p á g .
02)
C a r ta N u e v b
L e ib n iz
la
+
P r in c e s a d e
S o fia ; la
la s
ra d io
S in c a u s a
P e ro ,
s i
f ó rm u la s h a
se
m a o b te
s u p e rio r,
fu é
p e rm ite
la
c u a
c írc u lo
la
u n i
d e l
B D
q u e
s í? la
L e ib n iz
q u e
p o r
d e
la
m ita d
B D
se rá
ó s b n -------------------------— , e t c . 9
es
1 1
fá c il es
—
v o lv e r
q u e ,
a
e n c o n tra r
s ie n d o
---------- ,
9
el
ra d io
Io s-
y
s u
la
e n
e l
V I I ,
la
d e
la
( 103) ” .
p á g . d e
c u a d r a tu r a
1 6 7 0 :
c írc u lo
a r m o n ía s ”
G ,
c o n
e n
h ip é r b o la ”
c o m u n ic a c ió n
e tc .
11
re la c io n a
e n c u e n tra
m a ra v illo s a s
s is te m a
. +
p u b lic a d o
s o b re
( 102) ,
d e
q u e
s u b s
n a d a
d e
m a te m á tic a
a rc o
la s
e n tre
e x p re s ió n
in f in ita el
d e
te n d r ía n
la
im p lic a
c o m p a ñ ía ;
m ó n a d a s la
e n tre
es
la
h a b ía
h e c h o
7
te o re m a
c írc u lo
H u g o n i,
" la s
5 ■
7
e rc a to r
n o
la
d e l
a rc o s ,
—------------- --
fó r m u la ,
q u e
m a n ifie s ta
( !
lo s
s in
e fe c to s ”
7
e s te
re la c ió n
[trig o n o m é tric a ]
5
5
d e s c u b rim ie n to
e lla
d e
e n
“ S ie n d o
----------—
h a lla d o s
y
a n a lo g ía
s e rie
5
c o ro la rio a
la
m a g n itu d
3
el
d e
fe
y
lo s
la
la
re p re s e n ta d o
c o m u n ic a c ió n
im p o r ta n te
ta n g e n te la
d e a
lo
s o la s
“ es
in ic ia c ió n
, - f
3
h ip é rb o la
d e
c írc u lo :
a
B D E ,
ig u a le s
1
re s u lta d o
d e l b
1
y
g e n e ra l:
e n to n c e s
d a d o
la
d ife re n te s
e n
d e s c u b rim ie n to
A h o r a
d e
ja m á s
la s
b ----------------—
e s p a c io s ;
e s tá n
re p re s e n ta n
lla m a n d o a rc o
g e n e ra l
d e
d e
fu n c ió n
p e río d o
á t i c a
c o n c e p c ió n u ltitu d
s in
a r itm é tic a
y
u n
el
ía m
e s ta b le c e
s u
a t e m
O N A D O L O G IA
la
n o
m
e s ta ría n
p rim e r
d u r a n te
y
re s p o n d e r
p re c is a r,
te m á tic a s . n id o
se
p u e d e
M
f i lo s o f í a
to d o :
p ro b le m a
u n id a d e s
o tra
d u d a
es
re p re s e n ta n te
s o lu c ió n
ta n c ia s :
n o
la
d e l
" L e ib n iz
lo
( 104) . c írc u lo
q ú e E n y
e s c ri
re s p o n d ía ta n to
d e
la
q u e
h ip é r
5 5 6 . la s
s u b s ta n c ia s ,
1 6 9 5 ,
G ,
IV ,
4 7 5 . (1 0 3 )
¿ v i,
(1 0 4 )
B o d e m a n n ,
V ,
p á g .
8 8 . D ie
C fr.
D e
v e ra
p r o p o r tio n s
L e ib n iz -H a n d s c h r ijte n ,
c ir c u ii,
1 8 9 5 ,
p á g .
1 6 8 2 ; 3 0 8 .
A i,
V ,
p á g .
1 1 8 .
L a
b o la
( 110B) ,
la
lític a
d e
re la c io n e s
la s
A h o r a s ó fic a
u n a
o fre c e
se
f a z
q u e o tr o
la d o
la s
a
b r im ie n to
d e
la c ió n
la
la
e n tre
y
L a s
u n a
y
d e
su
la
e n
té r m in o c u e n tra n m
la
tie m p o .
q u e
p o r d o ”
f ilo
y
to rre
u n o
se
es
o
a p o r ta r
a l
e s ta
u n
el
d e s c u
d e
la
re
re la c ió n
d e
m ó n a d a s
p o r
c u a lid a d e s
p a s a r la
si
m is m o
a le je
G ra c ia s
a
la
a p a
q u e
el
la s
p o s ib le
y
d e
m is m o
v a r ía n
e s p a c ia le s
h a c e c iu d a d
m e d io
v a ría
( 105 0 6 107) .
la s
n o s
e s e n c ia ;
lo
a c e rq u e
es
s e rie s ,
e n tre
q u e
e n
c o m o
p e rs p e c tiv a
m is m a
p ro p ia
q u e
a s í
c u rv a s ,
la s
la
u n a
la
fu e ra ,
fig u ra s
d e
d e
in
m a n e ra
s e n tid o
m á s
e x p re s a n y
e n tre
re g la d a
a sí
c o m o
u n a
A h o r a
b ie n ,
la
g e o m e tría ,
fu e n te
d e
la
q u e
la
e s to
d e l
n o
es
a lm a ,
e n
s u o
a l
d e b e d e
s in o
q u e
c u e rp o
el
p e rs p e c tiv a
m is m o d e
q u e
d e
la
d e b e
n o
lo
d e
to d a s
q u e
la s
a e n
e n v u e lv e n
h a y
q u e
d e
la
s o r
e llo
c o n
n a tu ra le z a
p a s a ,
e n
se
s e n tim ie n to s
d e
q u e
la
e x p re
m e ta fís ic a
re s u lta r
m o d o
h a y d e
té rm in o
tie m p o ,
p e q u e ñ o s
c o n s e c u e n c ia
c ie rto
c o rre s p o n d e n c ia
d e
“ q u e d e c ir
p e rc e p c io n e s
e x p re s a r
e n
d e
p u e d e
d e s a rro lla r;
lo
u n a
d e b e y
se
o rd e n
" L a s
a lm a
in f in ita
s e n tid o
c o rre s p o n d e n c ia
in f in ita
s u c e s ió n
el q u e
e n la
a rm o n ía .
m is m a
e n lo
p ro y e c c ió n
d e
u n a
s í
e n tre
y
ta m b ié n
to d o s
lo s
o tro s ,
p a rte s
d e l
m
u n
( 108) .
e n
m á s lo s
n a tu r a le z a
(1 0 5 )
E l
p a ra le lis m o
e s tre c h o
a ñ o s y
q u e
d e
C a r ta
¡a
a
d e
to d a v ía ,
si
p re c e d e n
la
la
d e
re fe rim o s
p u b lic a c ió n
c o m u n ic a c ió n
O ld e n b o u r g ,
m a te m á tic a
n o s
d e
P a rís ,
la s
1 6
a
y
d e
lo s
d e l
N u e v o
s u b s ta n c ia s .
d e
o c tu b re
la
m e ta fís ic a
tr a b a jo s
d e
d e
s is te m a
E n
1 6 7 4 ,
1 6 9 2
L e ib d e
la
y
e n
B r i e f w ,
1 8 9 5 ,
1 0 7 . (
c it.,
se
( W 7) .
T o d o
1 3 3 .—
p á g .
u n a
ó rg a n o s ”
re la c ió n
v a rie d a d
c o n e x ió n
a p a re c e n iz
la
e n
la
p a s a rá
la
re fle x ió n
su
c o m o
s e m e ja n te ,
la s
v e rd a d e ra m e n te
re p re s e n ta tiv a lo
té rm in o s
E s
u n id a s
in d is tin g u ib le s ,
el
lo s
e n tre
o rd e n
d e
a n a
p r o f u n d o .
u ltitu d
p re n d e rs e
d e
a sí
d e
s e g ú n
e x te rn a
o tra .
s e rá
re s o lu c ió n
re p re s e n ta c io n e s
c u e rp o ;
fo r m a
d e
ju e g o s
c o n te m p la
u n o
d e l
e n
lo s
d e sd e
se
d e
d e
u n a
c o m ie n z o
la s
v e s si
c iu d a d ,
c o n s ta n te
el
la
c u a d ra tu ra
g e o m e tra l”
c o m o
d e
a c e rc a
a sí
m ó n a d a s
re la c ió n
u n a
la
lo s
m á s
u n a
se
v a rie d a d
la
e x p lic a c ió n
in te rio r
sa
d e
p u ra m e n te
te le c tu a l a
si
O e s te ,
a l
" P o r q u e
q u e
c u a lid a d e s
u
c o n fo rm e
si
m is m o
e x te rn o
E s te
s u m in is tra
c o m o
d iv e rs id a d re a lid a d :
m o d o
p e rc ib e
a s p e c to
la
lo
s e rie s
o b s e rv a d o
d is tin ta
es
la s
p re c is a m e n te
m is m a
u n a
d e
y
d e
2 ,5 5
o n a d o l o g i a
e s p a c ia le s .
h a b ía
ilu s tr a r
d e
c iu d a d , re c e
b ie n ,
L e ib n iz
p e rm ite n m o s
d o c trin a
m
106)
I I ,
p á g .
C a r ta
a
T h o m
a s iu s ,
a
A r n a u l d ,
d e
a b ril
d e
1 6 6 9 ;
d e
1 6 8 7 ;
G ,
I,
p á g .
1 9 .
C fr.
H a n n e q u in ,
4 8 .
(1 0 7 )
C a r ta
(1 0 8 )
A c la r a c io n e s
d e
s e tie m b re la s
d i fi c u lt a d e s
q u e
G ,
II,
B a y le ,
f> á g . é té .;
1 1 2 . G ,
IV ,
p á g .
5 2 3 .
o b .
2 5 6
L a s
1 6 9 4 ,
L e ib n iz
m e m o ria s
h iz o
d o n d e
im p o rta n c ia v e n te s
e ta p a s
a p a re c e r
:
“ d e
la s
se
c o n c a r r e n tib u s
in
re
A n a ly s is
a p p lic a tio
e t
lu g a r
te s ,
d e
la
p a rte
d e
la s
g e n e ra liz a c ió n ,
d ia n te le y
d e
es,
s o n
d o .
E l
lín e a
ta b le
el
o m n e s la
y
L e ip z ig ,
la s
d o s
d e
u n a
lín e a s
e n v o l
o v d in a tim
d u c tis
ta n g e n te ,
“ N o v a
c a lc u li
ac
d e
n o v o
d iffe r e n tia lis
c o n s tr u c tio n e m ,
la s
o rd e n
d e
o
e x
to d o s
d a ta
se r
la s
lín e a s
ta n g e n te
a
u n a
el
la s
c o n
ta l
h a z
d o s
y
q u e
o fre c e
m u y
q u e
d ifie re n p e q u e
se r
a s ig n a
e n g e n d ra lo s
u n a
p u n to s
p a rtic u la rid a d ,
m u tu a s
n o
p e ro
p ró x im a s ,
q u e
p u e d e
to d o s
e s ta
c u y a s
c a ú s tic a s
c o n v e rg e n te ,
c o n v e rg e n c ia
re c ta s
la s
in f in ita m e n te
d e
u n a
e le m e n to
lín e a s
L e ib n iz ,
d e m e
h a y a
u n
d e d e
lín e a s
p o r
u n
in f in id a d
lín e a s
s is te m a
c o m ú n
p ró x im a s ,
to d a s
u n a
se r
la
s e m e ja n te
in te rp re ta d a s
u n
d e
lu g a r
d e
tie n e n
d e
;
c u a d ro
d e
c o n v e rg e n c ia
p u n to s
es
y
lín e a s
d is ta n c ia
d e
( 110)
D e s c a r
el
p a ra le la s
o b s e rv a c ió n
re g u la r:
e n
m o d e lo
esas
u n
e m p le a d a s
p u n to
e s to s
q u e
la
p ro p ie d a d ,
tie n e n
el
d e
f o r m a r
s is te m a
y
la s
d e
c o n v e r g e n c ia
el
s o la m e n te
e je m p lo
c o n
la
re c ta s
u n a
D e s a rg u e s
p a ra le lis m o
S o b re
e n tre
c a d a
p u e d e
q u e
c o n v e rg e n c ia d e
a
d e el
la s
d e
re c ta n g u la re s
s u s c e p tib le s
c á lc u lo
e x p re s io n e s
p o c o
q u e
s e rá n
se
u n
tr a b a jo s
e n tr a r
in f in ito .
P o r
q u e
lo s
c o o rd e n a d a s
c o n c e b ir
d e
c o n v e r g e n te s ,
d e
y
d e
n o c io n e s
in fin itis
lin e a r u m
h a c e
q u e
e m b a rg o ,
d e n o
in te rs e c c io n e s
c o n s titu y e n . L a
d e s c rip c ió n
fa c ilid a d
el
c á lc u lo
a n a lític a :
el
p a s a je
m e n te
p r ó x im o
e c u a c io n e s
q u e
c o e fic ie n te s lo s
e n
h a b la n d o
c o n v e rg e n c ia
lo
e a sq u e
s u p o n ie n d o
s is te m a s
s e g ú n
d e
d o s
c u rv ilín e a s
c o n s id e ra c ió n
c o rre s p o n d e r
in f in ita m e n te ñ a ,
á t i c a
e r u d ito r u m
n u m e r o
u s u ’;
la s
y
p o s ib le
s u g ie re
s in
d e c ir,
a t e m
g e o m e tría
re c o rd a r
la
d e te rm in a d o .
c o n s titu y e n ,
es
d e re c ta s
es
h a g a
r e fle x ió n
q u e
p o r
p o s ic ió n ,
n u e v o s
q u e
g e o m é tric o d e
fo r m a ta ,
c o n c u rre n c ia
re la c io n e s
L in e is
s o b re
c o n v e rg e n c ia , d e
e x
c o m ie n z a
D e s a rg u e s
p u n to
A c ta
la
m u ltip lic e r n
a p o y a rs e
d iv e r g e n c ia d e
a d
la s
e n
m
c o n d itio n e ” .
L e ib n iz e n
e n
in fin ito r u m
u s u s ,
ta n g e n tiu m
f i l o s o f í a
c o o rd e n a d a s
L in e a
in te r ea
la
in tr o d u c ía
d e c is iv a ,
( 109)
d e
a
titu y e n
lo s
p a r tic u la r
(1 0 9 ) (
11 °
)
e s ta s
la s
d e
u n
e x p re s a n
d o s y
lo s
c o n s titu y e n c o n d ic io n e s
u n a
C a n to r, A l,
Y ,
p u n to
c o rre s p o n d e
e le m e n to s a
re la c io n e s
in fin ite s im a l
c o n s ta n te s
p rim e ro s
p o n d e n
d e
I I I 2 ,
d e la
lín e a s
y
g e n e ra le s ,
2 1 1 s ig .
la
y
2 1 5 .
m u e s tra
ta n g e n te
a
la u n
d ife re n c ia c ió n . d e
la
s e rie ,
d e
q u e
lín e a s :
p e rm ite n
q u e
p u n to
in f in ita
C o m p a r a n d o
d e
la s
in d ife r e n c ia b le s
la s
c o n
in te rp re ta c ió n
p o d re m o s
v a r ia b le s
p a rá m e tro s
p ró x im a .
p á g . 2 6 6
g e o m é tric a s s u m in is tra rá
c o e fic ie n te s
lo s
d ife r e n c ia b le s
lín e a
p á g .
a
le
lo s
s e p a ra r
e c u a c io n e s ; q u e
c o rre s
s e g u n d o s
p a s a r
la lo s
d e
u n a
c o n s lín e a
L a
E s te re c ta s s u a
m e to d o ,
p u e d e
se r
a p lic a c ió n a q u e lla
q u e
tu ra le z a c e s o ria s ”
q u e
to m a d o
e x te n d id o
e n
la
d a
la
c o m ú n ;
d e
tra d u c e n
ria b le s ,
y
tr a n s itu m
q u e
d a n
a
la
el d e
es
la
e c u a c ió n L a
d e
L a
d ife re n c ia c ió n
in tr o d u c id a
es
d e c ir
r á b o la
la
d e
u n a
1
la
c u rv a
la s
el
c a d a
M
q u e
D e
y
e n
el
)
112)
la
la
—
a
n a a c
lo s
c o e fic ie n te s
v a
p a s a je
d e
c u rv a
a
e je m p lo ,
a h
b
es
u n
x 2 —
la
p a r á m e tr o
v a r ia
y 2.
re la c ió n
c irc u n fe re n c ia ,
s e rie
su
“ e c u a c io n e s
fo rm a
b
su
A lm a , q u e
lo s
la
d e
la s
e s ta
re la c ió n
c irc u n fe re n c ia s
d e
a
u n a lo
la s
n o
y
es
d a
u n a
p a
es
c o m o
p u n to s
re p re s e n ta c io n e s
es
la
d e
B a y le ,
y
in v e n c ió n p a rtic u la r
es,
y a
le y
u n a
re c ib e
d e
la
se
,
V ,
p á g .
3 0 5 ;
O b s e r v a c io n e s
y
so b re
C a n to r e l
I I I 2 ,
p á g .
D ic c io n a r io
d e
le y q u e se
v a rie d a d
u n a
G ,
IV ,
es
la
in f in id a d
p á g .
5 5 3 .
n e
p a re c e m ire .
in f in ita
d iv e rs a m e n te
t o q u e
g e n e ra l
c iu d a d
2 1 5 . B a y le ;
d ic e
lo s
q u e
O b
re s u m e
( 112) .
M
g e n e
su s
p a r tic u la r , d e
d e sd e
m a n e ra
s is te m a
d o n d e
m is m a
e x p re s a d o
d ife re n te s ,
a l
u n a
“ C u a n d o
u n a
v is ta
d e
c o n c lu s ió n
v a ria c ió n
u n a
d e
s ie n d o
c u a l
e n
re c ib id o u n a
la
e c u a c ió n
p a r tic u la r
m e ta fís ic a :
s in o
a c la ra
la
fa m ilia ,
m ó n a d a
h a
es
q u e
ta l
la
o b je c io n e s
m u n d o
v a ria d o
e n tre
re c o n o c e
E s p ír itu ,
d ife re n te s el
d e
e s p e c u la c ió n
e lla
. . .
m a te m á tic a s
re la c ió n
g e n e ra l
L e ib n iz
u n iv e rs o ;
d e
in v e n c io n e s
e c u a c ió n
d e
s ie n d o
fin íd a d e s ”
(
e s ta s
re s p ü e s ta
m a n e ra
in f in id a d
( l n
d e
d e
re la c ió n
s e g ú n
y
x )
c o n d u c e
e c u a c ió n
m ó n a d a s .
re g la
m is m o
b
la
a g re g a r
e s ta
s e g ú n
la
p r im a r ia ”
e x p lic a
la s
d e
“ el
P o r
d o n d e
e n
2
+
le ib n iz ia n a ;
la
ó n a d a ,
d ife re n te
(a
d e
d e s a rro llo
c e s a rio
e s ta b le c e r
c irc u n fe re n c ia p o n e rs e
e lla
re c íp ro c a
— b ) 2+ y2 =
e n v o lv e n te
é x ito
s e r v a c io n e s d o
d e
q u e
d e
p re c is a
) .
p re c is a ,
d e
“ e c u a c ió n
la d o
d e
fa m ilia
L e ib n iz
y
a l
c u r v a m .
u n a
c u rv a s
f o r m a r
in
d e
c u rv a s .
L la m a
la s
m e d io
=
la
m e ta fís ic a
m u y ra l
q u e ( m
;E d e
e n
1 6 9 4 .
d e p e n d e n c ia
p u e d e
b 2
d e
d e
d e
c u r v a
u n a
e c u a c ió n
o b s e rv a c ió n fa m ilia
s e r ie
( x
b le .
la
u n a
la
2 5 7
o n a d o l o g i a
d e a
m e m o ria le y
e n s e ñ a
c u rv a ” :
m
e n
p o r d e
sí
u n a in «
2 5 8
L a s
L a
c o n c e p c ió n
la s
“ le y e s
ra l
( lls )
p io
g e o m é tric o
d e
la
e l
d e
;
le y
la
la
so
u n a
n o
c o n
fó s ile s ,
lo s
la
id e a
d e l
té rm in o s q u e
e n
D io s
u n iv e rs o . d e
d e
m a te m á tic a
a b s o lu ta m e n te
d e s c u b rir
la
e lla
el
p rin c i
L a
s e rie
(1 1 3 )
c f r . p u e s ,
d e riv a tiv a s .
L a
lín e a s ,
d o n d e
a s í
d e Y
u n id a d
m a n ifie s ta
p ro c e d e n
e
d e
m a n ifie s
C a r ta
e l
la
a
d e
la s
es
p re te x to
n o
d e l
V o id e r ,
te n d e n c ia s
m is m o
el
u n a
q u e
a
y
lo s
c o m o
a
s u
to d a s
d e
q u e
p e rfe c ta m e n te
es
g ra d u a c ió n c u y a
q u e
e s to
e n to n
d ire c ta m e n te
c u e rp o s
la s
n o
re la c io n a n
é s ta s
r a c u rs o
c u rv a
c a u s a
se
el
u n iv e rs o
m is m a
d o s ,
h o m b re s
p la n ta s v e z
c re e r
e n
lo s
c o n
s e n tid o s
m u e rto s
e
in
c o m o
e n
p rin c ip io
d e
la s
le y e s
n o v ie m b re
d e
s u fic ie n te
e n te ra ,
s iq u ie ra
1 0
p rim itiv a s ,
p u e s d e
d e
u n a
lo
q u e
la s
s e rie s
e s tá n o tro
1 7 0 3 ;
o
e n
c o n te n id o s
m o d o
ra z ó n
d e
p a ra
G ,
c o n v ie n e
d u d a r,
la s
p á g .
2 5 8 .
lo s
n e c ia s a lv o
e n
n a tu ra le z a s
to d o s
s e ría
II,
re c o n o c e r
e
la s
p ro g re s o s .
in d ig n a
q u e
la s
d e
la s
.d e
Y u n
g e n te s
se
a c o s tu m b r a d o .”
T e o d ic e a ,
P a rte
I I ,
§
2 2 5 .
C fr.
R e s p u e s ta
a
la s
r e fle x io n e s
d e
B a y le ,
G ,
5 5 6 . C fr.
A n im
c o n s id e ra rs e
c o n s ig u ie n te p a rá b o la .
n a tu ra le z a ,
m is m o ;
su
d e
e n tre
L o s
la s
a
p a ra
g e o m e
b u e n a s
K ö n in g
d is tin ta m e n te
o tra s
re p re s e n ta n
n a tu ra le z a
v e o
( 1 1 6 ) p o d r ía
c o n
S .
a tr i
“ p r o g r e
la
te n e r
f o rm a
o rd e n a d a s
c o lo q u e
é s to s
p o r
( 1 7 5 2 ) ,
c o n o c e
L e ib n iz c u y o
c o m o
e n to n c e s
c o n ju n to
im p e rfe c c ió n .
n o s
s itu a c ió n
lo
( U 4 ) p á g .
q u e
q u e
u n iv e rs o
e x a c ta m e n te
p u b lic a d a
c u y o
v in c u la rá n
u n
“ C re o
ta n ta s
se
in f in ita s
s a le
ta n
a u p e rtu is
D io s ,
q u e
se
e n
e n
s e r n o
a s u s ta n
d e
to d a s P o r
c u y o
o tro
a tv e r s t o n e s
c o m o la s
c ie rto
u n a
n o
p r in c ip ia ,
p ro p ie d a d e s q u e
d e
s a p ie n tís im o
m o d o
a d
e lip s e ,
se
u n o d e
d e la
e lip s e
s e m e ja n te s
A u to r
e n
p á g .
la
e lla
4 5 :
fo c o s se
m á s
" . . .
e s t á 'a
e s tá
lle n a
p e rfe c ta
n in g ú n
C o m o
la
d is ta n c ia
v e rific a ría n
e je m p lo s
p ra c tic a
m a n te n d ría
I I ,
c u y o s
e n
g e n e ra l
1.16)
£ n
G u h ra u e r,
G ,
W
.
L
e i b
n
i z t.
I,
1 8 4 6 ,
O b s e r v a c io n e s ,
p á g .
p e ro
o b s e rv a
o rd e n a d o ” .
y
ta m b ié n
la ' g e o m e tría ;
g e o m e tría ,
p ro g re s o
p a rá b o la
in f in ita ;
G ,
3 7 5 . (
d e
g e n e
( 116) •
" Im a g in a ,
h a
( 13 1 4 *)
c a rta
seres
o tra s
a n im a le s , q u e
c o m b in a c io n e s
la
M
d e
c o m o
im a g in a c ió n
fo rm e s ”
p á g .
lo s
á t i c a
d e
c re a c ió n
té rm in o s
D io s ”
e n
lo s
d e s o rd e n
lo s
la
a t e m
a lc a n c e
p a ra
la
s a tis fa c e
c o n d e
p e rm ite
ces
p o r
u n
f in
c o n tin u id a d :
id e a s
s in o
s e ñ a la ría
IV ,
lo s
d e d e
L e ib n iz
c la se s
la s
u n ió n
s a b io .
e n
m
p ro c e d e
d e
p ro c e d e n
d e
( lt3 ) d e
p o lé m ic a
e n
la
q u e
p re s id id o
in f in id a d
e s c rib e
e s e n c ia l,
la
c u a l
le y
d ife re n te s
e n
la
“ s a b id u ría
la
z o n e s ,
y
h a
in f in id a d
la la
a
tá n
f i lo s o f í a
e n to n c e s
c o n y u n tu r a
o rd e n a d o ”
d e
la
r iq u e z a .
a
tr ía
es
q u e
s é g ú n
D e b u y e
la
d e
filo s ó fic a
s e rie ”
d a
o r d e n ;
ta n
e ta p a s
3 2 .
lo IV ,
C
L A
I D E A L I D A D
M
a
A T E M M
1 3 4 .— je to
q u e
g u ir
su
m o d e rn a .
E l
p r o f u n d a la
d iv e rs o s
ú n ic a , q u e
fu e n te
v im ie n to
d e
a p lic a c ió n
lo
p o r e l
L a
o b s tá c u lo s ,
lo s
d e l
d a d n o
s o b re
n o
h a
D io s u n e
d e l
la
la s
el
a n a lo g ía y
el
d e
d e
m is m o
la
d e
s ig u ie ro n ;
d e fin irs e
a
sí
a
y
m á s
d e l d e
la
re n o v a n d o
la
d e
su
g e n io d e
lo s
d e te rm in a c ió n
d e
d e
y
m o
q u e
s e c re to
q u e
re
n a tu ra le z a
la
d e l
n o
d e
c o n o c e
u n a
d e
c á lc u
c re a c ió n
m á x im u m
fo rm a
filo s o fía
se
u n a
to ta lid a d
el
a l
d e s p u é s u n a
m a te m á tic a le
la
d e s c u b rim ie n to s
o c u rrió
la
p e ro
p la n o s
o rd e n
p re c is ió n
o fre c e
o b
d e
e x a c ta
a
s u tile z a ”
la
h a s ta
m e ta fis ic o , u n a
m á s
in v e n c io n e s
lo s
el
in te le c tu a lid a d
s p in o z is ta
d e sd e
d e
lo s
q u e
lo g ra d o
h a lla r ,
p a ra
n e c e s a rio
m o n o to n ía
re s o lv e r
p la to n is m o ,
c o m p le ta ,
q u e
O
v o lu n ta r ia m e n te la
v id a ,
la s
c o n c e b id o
lo
filo s o fía
y
a n tic ip a d o ,
c o n
a
la
“ in m e n s a
p re te n d e
m á x im u m
a p o y a ,
g e n e ra c io n e s
h u b ie ra
h a
c a p a z
p rin c ip io
m e d ia n te y
E r a
s o rp re n d e r
la
el
o fre c e ,
d is c ip lin a
d e
m o v im ie n to
le ib n íz ia n is m o
m e n o s
la
e n
es
fig u ra
la
ig u a la r
p u e d e
el
R E A L I S M
c a p ita l.
c o sa s
a
p e n s a m ie n to
se
e m b a rg o ,
lo g ra d o
a
d e
re e m b o ls o
p ita g o ris m o
S in n o
u n
o s a d ía
c a rte s ia n o s ,
fe c u n d a ,
filo s o fía
E L
L e ib n iz
se
la s
d e s ig n io
a b o rd a
c u a l
te s ,
u n o
e fe c to
e l
d e
in te ré s
d e
In s p irá n d o s e
q u e
rie d a d .
p u é s
e n
c o n
p r in c ip io
la
a q u é l
a d m ira b le s
d irig e
Y
irra d ia c ió n
q u e
in f in itu d ,
e s te
q u e
m e d ia n te
e s c o g id o
n i
se
L e ib n iz
d a d a
q u é
e s e n c ia lm e n te
d e
p ro b le m a s s u m a
s u
es
m a te m á tic o ,
d e
u n
a s p e c to s
e x is te ,
u n iv e rs a l.
in te lig e n c ia
la
v e r
Á T I C A
m a te m á tic a
p ro p u e s to ,
p a ra
X I
l o
E T A F I S I C O
m a te m a tis m o
lo s
a b s tra c c ió n
filo s o fía
h e m o s
m a rc h a
d u c ie n d o
e n
L a
n o s
p í t u
y
v a
lím i
in g e n io s id a d té c n ic o s .
lo s
D e s
s is te m a s
n u e v a ,
n o
d e
m e n o s
m a te m á tic a . la s
d o c trin a s
L e ib n iz
a ú n
m is m a ,
m á s , y
a n te rio re s ,
im p o n e r p a re c e
fija rs e
e n
su
c o m o s u
v e r q u e
v e rd a d
in trín s e c a . ¿ C u á le s p a r a
la
s o n
filo s o fía
la s
ra z o n e s
m o d e rn a
c o m o
d e el
u n
ta l
fra c a s o
fra c a s o , d e l
ta n
p la to n is m o
c o n s id e ra b le p u d o
s e rlo
2 6 0
e n
L a s
la
a n tig ü e d a d ?
fic a s
d e
la
la
e s p e c u la c ió n
h o m o g e n e id a d
b a
lo s
Q u iz á s ,
d o s
la si
lo s
la
ló g ic o s ,
h a
d ific u lta d
a
lo
y
e le v a d o
q u e
c o n o c e n c ió n ; e l
d e
p e ro
m a rc h a
c o n s id e ra
la
q u e E n
la s
( c o n tra
el
L e ib n iz e n
o
“ lle g a r u n
a
to d o
o c u rre
s is te m a
lo
—
c o n
u n a
c o m o
m á s
fo r m a d o m is m o
d e
d e
1 6 9 5
m u y
p o r
re p re s e n ta n
p o r c o n
la
lín e a
C a r la
a
d e s
B o sse s ,
d e l
31
C a r ta
a
d e s
B o sse s ,
d e l
1 4
( 3 )
G ,
4 9 1
y
s ig .
d e d e
se
ju lio
d e
fe b re ro
lo
a n te r io r
a
o rig in a lid a d , m o tiv o s .
la
d e
ló g ic a
u n
d e
la
lo m á s
e le m e n ta le s
a
y la
d e
n o
s u s tra c
c u a l
d e l
se
d e b e
s ig u e
u n a
n ú m e ro
n a tu ra le z a ,
fra c c io n e s
d e
o rd e n
in f in ito ”
p r in c ip io
n o
si
sé
si
se
e n te ra m e n te
m e
(2 ) . la s
o b je c io n e s d e
la s
es
o
q u e o tra s
lo s
p u e d e
1 7 0 6 ; d e
p a rte s . el
G ,
n o
II,
p á g .
G ,
II,
( 3) ,
e s tá
- j“ d e
fra c c io n e s ” N o
se
p o d rá
n ú m e ro
c o m o
e le m e n to s
d iv id ir,
1 7 0 6 ;
F o u c h e r
n ú m e ro
d e
c o n c e b ir d e
“ E l
d e c ir
su s
d e
s u b s ta n c ia s )
id e a l:
e m b a rg o
q u e
id e a l,
s u
a d ic ió n
d e l
o rd e n
fra c c io n e s ,
( ! )
p á g .
el
e n s a m b la d u ra
u n a
es
c o m p o s ic ió n
s in
lo
a c tu a l
es
d o s
m a g n itu d e s ,
s im p le ” ,
la
e s c la d is tin
p re g u n ta rn o s
e n tre
d e
so b re
e s te
a
d e
g e o m e tría
c o m u n ic a c ió n
p re c is ió n
p e q u e ñ a s
la
“ a n á lis is es
lo
to d o
e s to s
é s ta
v u lg a re s
in f in ito ”
la
re la c ió n
y
el
d e
“ E n
ta m b ié n
re la c io n e s
la s
m o tiv o
el
d e
e m p le a
p a ra
ID E A L
te n e m o s
el
d e
c o m o
a n te rio rid a d
( 2 )
IV ,
d e trim e n to
L e ib n iz
o p o r tu n id a d
s e n tid o ,
el
q u e
fo rm a d o
q u e
la s
c ie n tí
te s tim o n ia
c o n d u c id o s
y
id e a l
la s
d e o
la
O b s e r v a c io n e s
d e s c rib e
- j-
o
lo
LO
u n id a d
y a
es
s o n
g e n e ra l
h a s ta
m a n e ra
b a se s
q u e
e n
n itid e z :
D E
c ie rto
fra c c io n e s ,
u n id a d
n u e v o
a b s tra c to
la s
c ie n c ia
a c tu a l
in te rfe re n c ia
a ritm é tic a
m a g n itu d ,
n in g u n a
a
c o m o la
e s ta m o s
c o n
e n
s is te m a ,
E n
“ . . . l a
e n
lo
te n g a m o s
L Ó G IC A
L a
ra z o n e s
la
d e
L e ib n iz
-¿ C u á le s
c ie n c ia la s
la s
lig a d a s
m a n e ra
é x ito
p ro c e d im ie n to s
in v e rs a :
c o n s id e ra n
la
m o tiv o
d e l
id e a li
io s
d e
á t i c a
o b te n id a
m e ta fís íc o s ,
p e rp e tu a
a q u é lla .
la
c á lc u lo
n o re s
lo
s in o
s o b re
q u iz á s
la
■—
ló g ic a
a t e m
e x tr a o r d in a r ia
s id o
a g re g a d o ,
e s e n c ia l d e
1 3 5 . la
h a
te n ía n
s e ñ a la d o
—
p ro v ie n e n
m
e s tá n
riq u e z a n o
q u e
LA
y
m e d id a
p ro b le m a s
a n te r io r (Q
f i lo s o f í a
e s tru c tu ra l?
m o tiv o s
es
la
la
re fle x io n a n d o
d e
p a r te ”
n o
q u é
le ib n íz ía n a ,
o p o s ic ió n
s im p le
d e
¿ y
p ro c e d im ie n to s
re c im ie n to
c u y a
¿ e n
d o c trin a ?
s u
g u ir
e ta p a s
ú ltim o s ;
ig u a l
3 7 9 .
p á g .
3 0 0 .
q u e
u n
a c tu a l
L a
n ú m e r o ” . fic ie s , p io s
e s ta
y
c o m o d e
d e s a rro llo d e
la
te rio
d e
lo
c io n e s
in f in ita s
te m o s
o b lig a d o s
“ L a h a c e a
a s í
fís ic a ;
e m b a rg o
u n a
c o m o
e q u iv o c a c ió n
n o
se
h a
le jo s
e n
e s ta
h e c h o
tic a s la s se
d e l
D e
p u e d e
d e c ir, q u e
la
es
c u a l
in ú til,
e n
s e ría
p rin c ip io
d e
c o n tin u id a d
p o r ta n te s
e n
la
s e n tid o s la s
y
1 3 6 .— tin u id a d d e l
es
c á lc u lo
fís ic a .
E n
c o n tr a
s u
G ,
fu n d a m e n to
q u e
h a c e
p á g .
id e a l”
p á g .
d e
lo s
in te lig ib le s
p o d r ía
4 9 1
a la s la
y
lle g a r
e c o n o m iz a r
y
es
d e
q u e
e fe c to ,
lo s
fe n ó
r a z ó n
re a liz a r
p o r e n
in fin ite s im a l:
v a ria s
o rig e n
d e
p o r
lo s
la “ E l
v e rd a d e s
e le v á n d o s e
lo
m a te m á
e n
la
la
n o s
p u e s to
re g la s ;
E s ta
h a y
d e
m é to d o s
u tilid a d ,
a
p o rq u e
im s o b re
fe n ó m e n o s
a firm a r
d e b ilita r,
el
a lc a n c e
p r e g u n ta r
a a
d e
p e s a r la
q u e
n i
el
s u
la
c o n
in trín s e c o
u tiliz a c ió n
s u y o
c ie n c ia
“ to d a
v a lo r
o
p o r
d e
lo
lo
m e ta m e n o s
in f in ito
el
s ig .
v e rd a d
d e d e
la s lo s
de
B a y le ,
c o sa s
G ,
IV ,
p á g .
c o n tin g e n te s
s e n tid o s
e s té n
y
5 6 9 .
C fr.
s in g u la re s
lig a d o s
N .E ,
e s tá
e x a c ta m e n te
e n
c o m o
IV , e l
§
5 :
é x ito ,
la s
v e r
e x ig e n ” .
( e )
G u rh a u e r,
(7)
C a r ta
a
p u e d e
s in
d e b id o ,
r e fle x io n e s
fe n ó m e n o s lo
se
a ú n
h a
( 8) ,
el
es
c a p a z
p re te n d e r
c u a l
la h a y
p o rq u e
re a lid a d
s e rv ir
b u s c a
y
d e
a n á lis is
la
la
a
( 6) .
( 7)
n i
el
el
filo s o fía ,
L e ib n iz
p re v is ió n
IV ,
.
ju e g o
la
es
d e
c u a n d o
m e d ita c io n e s
( 5) .
a b s u rd o
y
m á s
c a p a z
re s id e
c ri
y
re g la s
e x a c to ,
su s
el
c o m p o s i
m a te m á tic a s
h e c h o ,
s u
g e
fe n ó m e n o s
la s
la s
ú ltim o s
d e
s u e ñ o s ”
e n
. .
in fin ite s im a l, e fe c to ,
R e s p u e s ta
q u e
c o n s ig u ie n te , c o sa
( 5 )
q u e
p o n e
la s
la s
u n a
q u im é ri
p e rd a m o s ,
d e
ta n to
a u n q u e
d e
y e rra n ,
d is m in u y e
im a g in a c ió n ,
P o r
( 4 )
m á s
s u p e r p r in c i
s e n s ib le ,
n o s
el
n u e s tro s
lo s
in te le c tu a le s ”
u n a
" E l
d a d e s
la
es
e s to
v e rd a d e ra
re g io n e s
se
h a s ta
la s
e n
q u e
es
a p a rta rs e
d e
in tu ic ió n
lo s
id e a s
se
n a d a
p o d r ía n es
y
A s í
m a n e ra ,
d is tin g u e
fin
lo s
lo
a p lic a c ió n
p o r
c o sa s
rig e n
d e
ra z o n a m ie n to
c o m o
e n
n o
q u e
lo s
u n
s o n
se
a p lic a c io n e s
c u a n to
e s ta e llo
n o
d e
la s
tie n e n
n ú m e r o ” .
g ra n d e
p o r
la
y
n o
e n to n c e s
q u e
s u fic ie n te m e n te
in f in ito ,
a c tu a le s
m e n o s ,
d e
el
fo rm a
a p lic a c io n e s e sas
e s p a c io . . .
h a c e
la s la
q u e e n
s u p o s ic ió n .
id e a le s ,
c o sa s
n u n c a
la
v e r.
s e a n
la s
a p lic a c ió n ,
c o n s id e ra c ió n h a n
e n
e s c u d riñ a r
e n
tie n e
d e m a s ia d o
v e rd a d
d e s p u é s
s a b id o
im p e rfe c c ió n
e n
el
re la c io n e s
es
u ltitu d
d e te n e rn o s
m e ta fís ic a s in
m
o
se
p o r
id e a l
2 6 1
c o n c e b ir
lo
e s ta s
e te rn a s , L o
id e a l
e x te n s ió n
p u e d e n
p e ro
( 4) .
lo
m a te m á tic a
v e rd a d e s
re a l;
se
d e
ta m p o c o
la
re la c io n e s ;
n a tu r a le z a ”
“ la
q u e
E l
“ e n c ie rra n
d e
m a n e ra
p u n to s ,
c o m p o n e n te s ,
n e ra c ió n c a s;
D e
lín e a s
lò g ic a
lo e .
c it.,
V angnon,
p á g .
3 3 .
p u b lic a d a
e n
e l
J o u r n a l
d e s
S a v a n ts
d e
1 7 0 2 ;
M
,
IV ,
9 3 . ( 8 )
e s p e ra d a
E s c rib e lu z
s u rg ió
a
p ro p ó s ito
d e l
d e
m e n o s
d o n d e
p ro b le m a
d e
e s p e ra b a :
la a
lib e rta d : s a b e r,
d e
" A l la s
f in
u n a
n u e v a
c o n s id e ra c io n e s
e
in
m a te -
2 6 2
L a s
s e c re to
d e
la
u n ió n
fu n d a m e n ta le s , a
s a b e r
s o b re
d a d e s ,
y
m
n o
s u je to
q u e L a
es
y
d a d ,
d e
n o
s o lu c ió n
la
q u e
e l
y
in te r io r
d a d e ro
d e l d e
la
u n
e n
e s p iritu a lis ta :
q u e
c o m o
m a te ria le s
e n
“ E x a c ta m e n te , a s í
c o m o
m e n o s la
e l
e n
e fe c tiv o s ,
s o b re
te
h u m a n a ,
d e
la
d e
C a re il,
( 9)
la
y
2 6 5 .
n o
d e l la
d e l
E l
d e d e
la
le ttr e s , 4
d e
e l
fu e n te
p á g .
n o v ie m b re
e s p a c io
q u e
d e
s in
d u d a s ,
d e l
d e
la
b ie n
c o e x is tir ,
la
v e z ” . p o r y
n o ( n
la b e rin to s
a c e rc a
d e
d e
la
D e
lib e r ia te ,
e d .
o b .
c it.,
2 1 0 .
o b je to s
V II,
p á g .
C a r ta
a
R em ond,
1 4
m a rz o
d e
v e rd a d e ro s ,
1 7 1 4 ,
G ,
m e n
F o u c h e r
5 4 2 .
C o n ti, B r ie jw e c h s e l, p e ro
e d .
id e a le s ,
n ú m e ro s ” . í 1 1 )
e s tá n ) .
la
in f in ito ” .
G ,
L a s
fe n ó
n a tu ra le z a
C o u tu ra t,
p á g .
y
c o sa s
re g id o s :
d e
u n id a d ”
lo s
o tro
c o m
la s
e x te n s ió n
s o n
la
m a te ria
q u e
a
y
a firm a c ió n
la
o r d e n
la
te n d e n
lo
1 6 9 6 ,
“ s o n
la
p o s ib ilid a d , e n
c o n tin u o ,
c a r ta a l a b a te d e
tie m p o
la s
s o b re
n o
o r i
e s p a c io ,
d e
la
re fle
re a lis m o
C fr.
d e
1 7 9 .
la
la
e s tá n
u n
d e
la
A l
p o r d e l
p e r o
e n
e n
fra c c io n e s
m is m a
q u e
in
“ v e r
e x is te n c ia
c o n s id e ra r
e x is tir ,
d e l
la
b a se s
se r
p o r
fe n ó m e n o s
c o sa
D o s ,
a
d e
la
e s ta
d ig n id a d
e x tr a íd o
la
d e
o b je to
c o n c e b im o s
d e
s in o
d e
la
e n
re la c io n e s
lu g a r
d ific u lta d e s
q u e
o tr a
m á s
e n
lo s u n i
te o ría
d e v ie n e y a
la
ig u a la r
c o m p re n d id o .
la s
s e ñ a la d a s
in fin ito .
de una
y
s o n es
la s
e
id e a lid a d
lu g a r
c o m p o s ic ió n
1 8 5 7 ,
la d e l
d e
a
im p lic a d a d e
f a v o ritis m o
la
o rd e n
la
re la tiv o
e s tá
u n
el
f u n d a r
p re te n d e r
d e
o r d e n
la s
a lm a
u n id a d
u ltitu d
in te rio r,
e s p a c io ,
c o m o
e n
e s tá n
a c e rc a
v e z
n u e s tra s
n o n o
A p o s tilla
C fr.
d e
c o n s is te n
c o m o
s u rg e n
C a r ta
tie m p o ,
u n
n o
n a tu ra le z a
N o u v e lle s
( 1 0 )
es
q u e
s in o
u n o
lib e rta d
p á g .
tie m p o
ta n to
lín e a
m á tic a s
m is m a s
m
e n to n c e s
D e s c a rte s ,
p u e d e
s u b s ta n c ia s ,
e s p a c io
la
s im u lta n e id a d ” ,
p ro v ie n e n
e l
d e
v id a
E l
q u e ría
o p o n d r á
fu e n te
sí
la
la
s o s p e c h a
d e l
c o n tin u o
a
d e
el u n iv e rs o
se
u n i
el
c o n tra rio ,
la
c o n tra d ic e
v a
p e rc e p c io n e s ,
L e ib n iz
“ L a
d e l
e s p a c io
p a rte s
la s
c o rre la tiv a
p o s ic ió n
I,
el
m a te ria lis ta s ,
id e a lid a d
e n
d e
e l
a
c o sa s,
la s
b ie n ,
p o r
re la tiv a
q u e
q u e
P e rm ite
N o
q u e
u ltitu d ;
d o s
s o n
A h o r a
f u n d a m e n ta l
( 10) .
m e d ita c io n e s
a lm a s
e s tá
“ o rd e n
is
s o b re
p ro b le m a
lo
d e
L a s
( 9) .
es
ta n to
u n iv e rs a l.
e n
m
" M
g ira n
m u ltitu d ,
c o m o
m ó n a d a
N e w to n ,
el
v id a
c u e rp o :
in f in ito .
ta n to
a l
a lm a .
id e a l” es
la
á t i c a
p e rc e p c ió n .
e n
c o n tin u id a d
c o n ju n to la
a
a t e m
S o fía ,
c u e rp o
la
e n
d a
el
re a l,
p e ro
g in a l
c ia s
a
p e ro
x ió n
d e
u n id a d
la
s u b s ta n c ia ;
d e
el
e x te n s ió n
id e a l,
L e ib n iz
s o b re
te le c tu a l
d e l
m a te ria ,
c u e rp o
m ó n a d a v id a
la
lo
el
m
m u ltitu d e s ”
la
c e n tro d e
d e
la s
e n
y
E le c to ra
s o b re
e le m e n to
el
ló g ic a
s e n tid o s
e n tre
el
y
f i lo s o f í a
a lm a
la
s o n
d e s p le g a d a
la
el
a
u n id a d
c u e rp o s
es
u ltitu d
d e
e n tre
e s c rib e
la
lo s
u n id a d
e ta p a s
II I ,
p á g .
6 1 2 .
G e rh a rd t, c o m o
lo s
E
l
E L
1 3 7 .— s o la m e n te m o
D e
a
e s ta
u n
r e a lis m
m a n e ra
c u y a s
lo s
p rin c ip io s .
c a rta r,
d e sd e
su
m is m o
L e ib n iz
e n
tie m p o ta rs e
c h o c a b a el
p o r
p o rq u e
D io s
h a c e
c re a d o
e n
c o rre s p o n d e n
P e ro a
C la rk e
sí
e s ta es
m is m o .
c rito s e n
la
a
id e a lid a d
ría
d e
se
b a s ta
la
sí
n a d a
s u b s ta n c ia ,
e s tá la
u n a
a
u n a
q u e
d e te rm in a r la s
la s
a lm a s ,
h a
§
1 3 - lá .
G ,
V II,
d e
m e ta fís ic a ,
p á g .
" N a tu r a lm e n te c o s tu m b re m e n s a je ra s ,
4 5 1 .
E d .
la y
q u e
p á g .
el
a l
c u e n ta
h a
d e
la
(18)
y
d e
l a
lo
q u e p r o
id e a l
a d ic ió n
s in te o
m o n a d o lo g ia
ló g ic a
e s
d e b id o
p a s a r
a p a rte ”
d e
p a ra
p rim e ro s
e m p e o ra m ie n to
c u a l
o
( 1 ¡2 ) ,
c a rre ra ,
y
o
d e
d e
la
e s p iritu a l
to d a
s u b s
d e
e x te
c o m o
n a d a
p ro p o s ic ió n n o
h a y
la
m á s
u n a
e n
d e
ta n to
e s p e jo s ,
m u ltip lic a r
es
d e
la
q u e
m e ta fís ic a ,
p lu r a lid a d
ta n to s
e s tá
a llá
c o n s tru c c ió n
d e
o tr o s
u n
d e
s p in o z is ta
m ó n a d a ,
u n a
m e d io
la
re la c ió n
el
d e el
m
ó
A u to r
u n iv e rs o ,
3 7 3 . X I V ;
n a d a
s i
la
ú ltim a ,
p o r
d e
m ó n a d a ,
S ó lo
d e
e n
su
o
a c tu a l.
la
re la c io n e s
te n e m o s
c o m o
L e s tie n n e ,
d e
d e
su s
P a r a
la
L e ib n iz
c o m o
e n c o n tra d o
te n id o
ló g ic a lo
el
p r e
d e s v a n e c e n f in
e s p e c ie
e x c lu y e
( 12* 4 ) .
se a l
c o n c e p c ió n
e le m e n to
D is c u r s o
m a la
la
p a ra
el
la
q u e
p ro p o s ic ió n
es
y
m ó n a d a s
d e
fu e ra
( l s )
e s p e c ie s p á g .
S p in o z a
(1 2 )
(1 4 )
ló g ic a
d a d o
m ie n tra s
c o sa s
la
a
y
p r e g u n
d ire c c ió n ,
in s p ira d o
a b a n d o n a r
e s p a c io p a ra
m is m a s
“ m u n d o
la s
v o lv e r
s u b s ta n c ia
d e s tin a d a
la s
a
a a
d e
s in g u la r,
d e
y
e s p o n tá n e a ,
e x is te n c ia
“ P o r
c o m o
el
ta l
in e s p e ra d o s .
d e
c o n
o b s e rv a
la s
h a y a
u n a
d e s
in s o lu b le s
h a c ia
in fin ite s im a l,
s is te m a
lle g a d o
to m a
v e rd a d e ra m e n te
n a d a s :
a l
e s p a c ia l,
d e
s in o
c o n s id e ra d a
h a
a c tiv id a d
fu e ra
v is to
la
d e
lu g a r
h a c ía ,
h a b ía
ta n ta
el
c o n tra rio
im p o s ib le s ”
q u e
c o n
es
n o
id e a lis
e je m p lo ,
“ si
h a b r ía
c a so
u n
L e ib n iz
P o r
u n iv e rs o
s ie m p re
p ro c e s o
in te le c tu a l
L e ib n iz
r io r id a d :
h a
e s te
m is m a ,
y u x ta p o s ic ió n
n o
a
id e a lis m o ,
C la r k e ,
e n
c o rre s p o n d e
p ro b le m a s
L e ib n iz
d e s c u b rim ie n to s
d ic h a ,
re la c ió n
d a d o
n o
d e
q u e
a m b ic ió n
m ó n a d a , a
ta n c ia ,
q u e
la
ta n to s
p ia m e n te la
p o s ib le
F ie l
lo s
el
“ fic c io n e s
a d v e rte n c ia
filo s ó fic o s ,
e m b a rg o
a
d e l
c o n tr a
é p o c a ;
id e a l
ta m b ié n
v is lu m b ró
a b s o lu to ” ,
a v a n z a r ta l
lo
o n to lò g ic o .
e s c r ito o b je to
h a
d e s in o
v e n ta ja
re a lis m o
q u é
lo
g u n ta s
el
a lg ú n
L a
e n u n c ia d o ,
C u a r to
fu e s e n
ló g ic a
c o n s e c u e n c ia s
c o m o
c u a le s
E S P A C IA L
m a te m á tic o ,
n itid e z
lo s
la
2 6 3
e s p a c ia l
R E A L IS M O
id e a lis m o
m e ta fis ic o ,
o
d e
tu v ie s e
7 3 .
G ,
e n tra
p á g .
4 3 9 ;
d e n tro
d e
p e n s a r
c o m o
p u e rta s
y
s i
E d .
L e s tie n n e ,
n u e s tro n u e s tra
v e n ta n a s ” .
e s p íritu a lm a Ib id .,
p á g .
4 9 .
d e s d e
re c ib ie s e X X V I ,
fu e ra , a lg u n a s G ,
IV ,
y
es
2 6 4
L a s
p o r
a s í
d e c ir,
p a re c e
¿ S ig u e
e ra
re la tiv o
la s
d e
a l
la s o
ta n to
q u e
c o m o
u n a
m is m a
d e sd e
s e g ú n
e n c ie rra
S in d a n
re la c ió n
d e l
in d iv is ib le
d e
a lm a
d e l
c iu d a d
d o n d e
y
la
re d u c c ió n
d e l
m ó n a d a ;
id e a lis ta
p e n u m b ra ,
c o n e x ió n
fís ic o s , p u n to s
d e l
h a y
fo rm a s
s in o o
re a l,
ti tu d ” E n c o ra z ó n
(1 5 )
y
se
la
d e l
es
e n
la s
s o n
p u n to s
m e ta fís ic o s q u e
s o n
s in
d e
re a le s ,
v e rd a d e ra s
y
y
” L o s
e s ta c u y o
p u n to s
a p a rie n c ia :
s in o
s u b s ta n c ia y
d e s liz a rs e
m e tá fo ra ,
e n
s o n
v is ta
( c o n s titu id o s s in
u n id a d e s
lo s
m o d a lid a d e s :
e llo s n o
n o
p o r
h a b r ía
h a b r ía
m
u l
( 19) . to d o d e l
c a so
es
in e v ita b le
le ib n iz ia n is m o :
C a r ta
a
la
E le c to r a
S o fía
d e l
d e l
( 16)
E n
d e
( 1T)
C a r ta a la P r in c e s a S o fía ,
( 1 S )
O b.
lu g a r
c it.
N uevo
d e
§
69
a,
y
S is te m a ,
v e rs ió n
s ig .;
G,
q u e
¿ c ó m o
C a r ta a la R e in a S o fía - C a r lo tá ,
( I 9 )
o
n o
re a
té rm in o
c ie n tífic a ,
s in o
re -
ac á
la d e
su
D e ja b a
d e n u n c ia d o :
p e ro
e x a c to s
la s
y
q u e
filo s o fía
p u n to s
u n a
la
p u n to
tr a ta b a
h a s ta
in s u fic ie n c ia
in d iv is ib le s
e x a c to s ,
lo s
lle v ó
d e
d e l
d e m o s tra r
e s p a c ia le s .
d e s c u b ie rto
n o
d e
n o
se
e s ta
d o n d e
u n a
n o
q u e
c r íti
e n
c u e n ta
e n
q u e
te n ía
s u a v iz a d a
c u y a
d a d o
e n
( 17) ,
c u y a s v e r
L e ib n iz
e s p a c io
p u e s to
n o c io n e s
p u n to
s o n
q u e
h a b r ía
q u e
re p re
c o n fu s a
a c o m p a ñ a n ,
in te rm e d io
g e o m é tric o
fo rm a
a lm a s )
p u e s to
se
n o
e s ta
m e ta fis ic o
y
n e c e s a rio d e
u n
c u a l
q u e
R u s s e ll,
es
d e l
a l
v is ta , la
v is ta
e m in e n te m e n te ”
p o r
id e a lid a d ,
h a b ía
1 6 9 5 ,
q u e y
o p e ra
n o
d e e x is te
v a lo r
d e
s u g e rid o
re a lid a d
lu g a r
e l
p u n to
( 18) ,
p e ro
e s p a c io
c o n s id e ra
p u n to s
a b re v ia d o ,
filo s o fía
p o s itiv a :
la
d e l
m a te m á tic o s
la s
la
d e
m a te ria lis ta , e s c rib e
n o
n a d a
a lm a
su
s im p le m e n te
b a jo
a d q u ie re
h a
se
E l
m ó n a d a
e s p a c ia l,
ó rg a n o s
lo
la
d iv e rs o s
m u n d o
b la n c o
L e ib n iz
e s p a c io , s in o
q u e
lo s
id e a lid a d
s im u ltá n e a m e n te ;
u n
p rim e ra
la
c u a l
d is tin ta m e n te
lu g a r
o p e ra c ió n
o b je tiv a
y
e sa
le ib n iz ía n o ?
lo s
s e g ú n
el
la
in e x te n s o .
u n a
c a d a
c a rá c te r
e n
el
o rd e n
es
c o m o
a q u í
p ro c la m a d o
d e
d e
la
d u d a ,
e fe c tiv a m e n te
h a b ía
lid a d
to d o
re s id u o
e
in tr o d u c ía
u n
a lm a
d is tin ta m e n te D io s
m a n te n e r
q u e
re la tiv a s ,
fu e ra
u n
C fr.
á t i c a
lu g a re s
d a d o s
v is ta ,
( 16)
d o c trin a
e n
a t e m
v is ta s ,
b a jo
e s tá n
d e
s o n
d e
1 3 8 . '—
él
v is ta
“ C a d a
a c e ra d a s
q u e
m
e s p iritu a lis m o
e n tr e ta n to
p u n to s
c o sa s
m e n te
p a r a
su s
e n to n c e s
m ó n a d a s
a b s o lu to :
s e n ta
c a s
f i lo s o f í a
d is tin to s
d e l d e
a q u í
m ó n a d a s
u n
b a se
p u n to
h e
lo s
la s
d e
lo s
p o s ib le
la
d iv e rs a s
lu g a r v e z
la
v a ria r
s e g ú n
s ie n d o
q u e
u n iv e rs o ;
d e
d e
d e
( 13) .
p ír itu , e ra
es,
d ife re n te
m ire ”
a l
e s to
e ta p a s
ti.
IV ,
8
e l
p ro b le m a
tr a ta r
31 d e
d e
e s to s
o c tu b re
m a y o
d e
se
p u n to s
d e
1 7 0 4 ,
1 7 0 5 ,
G,
p la n te e
G ,
V I I ,
p á g .
I I I ,
p á g .
3 4 7 .
V II,
p á g .
5 6 6 .
G e rh a rd t. 6
d e
R a y .,
p á g .
fe b re ro p á g .
4 8 3 .
d e
1 3 6
l7 0 6 . y
s ig .
G,
e n
m e ta fís ic o s
el s in
5 6 7 .
E l
s u b o rd in a r, lo a
e n
lo s
in fin ite s im a l, la
se
p r o p u s o
p lu r a lid a d su s
la s
o
d e
la s
b le c id a
e n tre
D io s ,
la s
s e n ta n
u n
m in u ir
la
s e r
se
la
q u e
a p a rie n c ia
in ic ia l
e x te rio r
s u b s is te :
la
u n a
a l
re la c ió n
ta n
d e
h a
d e
1 3 9 .— n o
q u e
q u e
s e rv a
y
c ió n ,
a ú n
el
p a r a
la s
la s
su
m ira d o
s in o
g ira r,
d ç sd e
y
M o n a d o lo g ia ,
( 2 1 )
C fr.
(
J .
el
e l
d e
P e ro
s in
m á s
la
d ific u lta d p la n te a d a
ta n
im p lic a
d e p u ra d a ,
e m b a rg o
p e rm a n e c e
p e
te n d r á
se r
u n ir lo s ;
fo r m a
d is
p a re z c a n
u ltitu d
d e b e
q u e re p re
p o r
q u e
m
( 20)
p u e s to
—
el
c a rá c te r
y
L e ib n iz
irre d u c tib le
a
la s
c o e x is te n c ia s ,
c o n d u c e
b ie n ,
es
a
c o n c e b ir
p rim e ra m e n te
d e p e n d e n
d e
p o r
D io s
a
la
u n a
e s p e c ie
e v i c o n
d e
d e
la d o s
d e c ir,
y
el
m ir a n d o
e s ta
§
si
q u e d e
lu g a r,
v is ió n ,
q u e
to d a s
p u e s to
re s u lta d o
c ie rto esa
to d o s
fe n ó m e n o s
es
u n a
d e
to d a s
d e l
d e l
s u b s ta n c ia b ie n
m a
p ro d u c ir
re la c ió n
v is ió n
a
e m a n a P o rq u e
e n
fa c e ta s
h a y
tie n e
s u b s ta n c ia ”
y
p la c e
la s
n o c a d a
D io s
se
c re a D io s
la s
a s í
lo s
la u n m u y
q u e
p e n a 'a m i e n t o s .
d e
1 7 1 4 ,
L a c h e lie r,
d e
n u e s tro s
p o s ib le s ,
u n
o rd e n
e s p a c io ;
n o s o tro s
p r o d u c ir
(2 0 )
—
“ A h o r a
g lo ria ,
c o n fo rm e
p e n s a m ie n to
la
c o n s ig u ie n te ,
c o n tin u a m e n te
p o r
g e n e ra l
m a n e ra s
c o m o
p o r
c re a d a s
o m n is c ie n c ia ;
u n iv e rs o
p a g in a
es
e s p a c io :
su
m a n te n d r á
su s
e s fu e rz a ta l
p e rm ite u n a
sí
m ó n a d a s
d e
in te rn a .
b a jo
e llo
se
té rm in o s q u e
q u e ,
e n
e n
p ro d u c e
m a n ife s ta r
a
y
e s p a c io
p ro d u c im o s
s is te m a
to d a s
c a p e
E n
el
lo s
e s ta
d e
p ro y e c c io n e s
d o s
c o n ju n to
q u e ,
q u ie ra ,
s u b s ta n c ia s
h a c ie n d o
n e ra s
el
e n
c o m o
D io s
su
S i
la s
d e
e n tre
m a n e ra
e n tre
e n tre
a r m o n ía
( 21) .
im a g in a
im a g in a
d e n te
a l
se
e l
a n a lític o
e n é rg ic a m e n te
in te le c tu a lid a d
c ió n
y
c o r r e s p o n
“ fu lg u ra c io n e s ”
L e ib n iz d e
c o n tin u id a d
e s p a c ia lid a d ,
in s is tid o
p u r a
se
d u d a
c u rv a s ,
p lu r a lid a d
c o m o
la
la s
la d e
C re a d o r
c o n e x ió n
d iv e rs a s
d ife re n c ia
la
la
la
c u a n
s in o to m ó
d e
el
q u e
a
s o n
c o m o
S in
d a d a ,
p ro c e s o
o rd e n
g ra c ia s
id e a
p o r
c á lc u
q u e ,
m ó n a d a , L e ib n iz
la
e s ta b le c id a
d e l
in te le c tu a l
v is to
la
n e c e s a ria m e n te
e sas
d e
y
m ó n a d a s ,
m is m o ¡
s im u lta n e id a d
s u b lim a d a
e s e n c ia l
la s
m ó n a d a s
la
h e m o s
in f in ita s ,
c u rv a s
e n tre
y a
s u b s ta n c ia
re a lid a d
c a n tid a d
a n te rio rm e n te
d e l
L a s
s u p o n d r á
to d a
d e v e n ir
s e ríe s
g e o m e tr a l.
d is ta n c ia
a n a lo g ía
el
d e
c o rre s p o n d e n
m is m o
ta n g e n te s ;
q u e ñ a
es
m is m a
la
a rm o n ía
d ife re n te s
u n a
s u g ie re
g e o m e tría , b ie n ,
la y
la s
a n a lític a s .
q u e
re p re s e n ta n
y a
L a
c ria tu ra s
te rm in a c io n e s d e
s o b re
q u e
A h o r a
n o
2 6 5
e s p a c ia l
la
s u b s ta n c ia s
e x p r e s ió n .
d ife re n te s
a
e s p a c ia l?
in v e s tig a c io n e s
d e n c ia
d e
a n á lis is
e x p lic a r
d e
o
p ro c e d im ie n to s el
re p re s e n ta c ió n
d o
r e a lis m
m u n d o q u e
es
u n iv e rs o ,
q u e
e x p re s a
h a c e r
e fe c tiv o
( 22) .
4 7 .
B u lle tin
d e
la
S o c ié té
F ra n ç a is e
d e
p h ilo s o p h ie ,
1 9 0 2 ,
8 5 .
22)
u n a
D is c u r s o
c a r ta
a
la
d e
M e ta fis ic a .
E le c to r a
S o fia ,
q u e
X I V .
G ,
IV ,
re p ro d u c e
a
p á g . m á s
4 3 9 , d e
E d .
tre in ta
L e s tie n n e , a ñ o s
d e
p á g .
d is ta n c ia
4 6 . la
2 6 6
L a s
P o r la
c o n s ig u ie n te ,
id e a lid a d
o rig in a l la
d e l
y
u n ív o c a ;
in m a te ria lid a d
y
d ire c ta m e n te p re s e n ta la c ió n
el a
d a ría re n a l
el
el
p u n to
d e
c io n e s u n a
rio r ,
re d u c c ió n
p ie n s o ,
u n a
d e
la s
la
es
su s
e s p e jo
v ís ta ,
y
se
“ T a m b ié n
ú n ic a m e n te
p o r
la s
el
v u lg a rm e n te
la
a firm a c ió n q u e
re
to d o
e n
re
re s u e lv e
e n
c o sa s lo
o
d ifie
la s
p o r
c o n c ib e n
u n s o li
q u e
q u e
lu g a r
se
d e
s o b re
p a r tic u la r
es,
a
a u to r
v iv ie n te
s itu a c ió n
e s to
la
s o b re
m is m o
lu g a r,
a l te s is
m ó n a d a ,
u n
d e
lig a d o
s ig n ific a c ió n
d e
n u e s tra
su
su
c o n d e n a
u n a
c u e rp o
a
c e n tro u n
s í
d e
d e
o tr a
s in
e m b a rg o ,
p a rte
s in o
g e n d ra
la
d e
to s
( p a s a je d e m
r a c ió n
ro d e a , la
s o la
ta le s
ta n to
s tr a e ió n
I,
d e
la s
u n a
c re a c ió n c o n
o c tu b re
d e o
c o
re p ro d u c c ió n d e
G ,
O b s e r v a c io n e s C a r ta a d e C a r ta d e
1 7 1 6 ,
d e
G ,
u n
V I I ,
( 2 3 )
( 2 5 )
d e
la d e
q u e
lo s
p á g .
a
" S e
d e
c o m o
e n
q u e q u e
d iv e rs id a d
e l
p e n s a m ie n to
c o n c lu ir
c a d a
n o
y o
h a y
e s
u n o , a llí
e s
u n a
d e
u n o
lo s
ta m b ié n e l e n
q u e
p a s a je
m o m e n
L e ib n iz q u e
la
in s ta n te ,
c o n tin u o ,
C a r ta a la E le c to r a S o fía ,
p ró x im o ” .
e n
m u lti
c o n g lo m e ra d o c a d a
y , d e l
c iu d a d ” .
u n a
d e
d o s 5 5 6 .
id e a
in tu ic io n e s
la
p u e d e
p á g .
la
c o rre s p o n d e r
m o m e n tá n e o s , lo
d e
n o
p o r
V II,
p o r
e s
[y
n o s o tro s
s in o
m u n d o
n o
d e
" [ D io s ] to r re
b ie n ;
G ,
" E l
m o d o s ,
h a c e
u n a
d e c ir
h a c e
m u ltip lic id a d
re fie re
c o sa s,
o tro
v a rio s
se
“ c o n
re s e rv a
p re s e n te
c o s ta d o ” .
m e n te
c a d a
a lm a
e s c rib e :
es
a l
p a rtic u la re s :
la
a lg u n a d e
la
d e s d e
e lla ,
d e
L e ib n iz
e s ta d o s
la s
e n
e n g e n d ra ría se
L e ib n iz
e x te
m e ta fís ic a :
d e l
b a jo
m u n d o
c o n d i
s u b s ta n c ia
c iu d a d
c iu d a d
d e
tie m p o ) .
d e
e l
e s ta
q u e
q u e
to d a s
sobre
a
D iv in id a d ,
e s ta d o
V o id e r ,
m u n d o
D io s ,
1 3 2 , la
la s
s u je c ió n
p e rfe c c io n e s
s in o
e s tu v ie ra
p u e s ,
p a re c e
d e l
la s
§
v is io n e s
fin ,
c u a n to
m u ltitu d
( 2 4 )
m a y o
e n
id e a lid a d la
su s
e l
e l
v e ría
u n a
A s í,
E n
m a te ria
e x is ta
d e n o
P r o f u n d iz a r
d e
la
la s
d e te rm in a
d e
e s p o n ta n e id a d ”
v e m o s
v e ría
D io s
se re s,
n o ta b le ,
o
y o
1 5 1 ) .
lo s
fu lg o re s
1 7 0 5 ,
a
q u e
ilu s o ria .
u n a
q u e
e n
y o
n o
d iv e rs a s .
s u c e s iv a s
p ro p ie d a d , d e
c o m o
y
c o n te m p la
d e
la
c o sa s,
o
p á g .
m á s d e
G e rh a rd t]
s o n
D io s
c ita d a
d e la s
c o m o
e n te n d e rs e
c o m o
a
to ta lid a d
to d a s
“ p e rfe c ta
p a rtic u la re s ,
la
e lla
c o n
d e b e
o p e ra d o ,
tie m p o
e n to n c e s
V o id e r,
m u n d o
a trib u y e
G,
II,
a l
el
lim ita c ió n
d e
L a
es
s o b re
re la c ió n
e s c rib e
m e n te s
c o n c e p c io n e s
in f in id a d
a
h a b e r y
e n c o n tra r
la
n o
c a b e z a ,
p o rq u e
u n a
b la n d o
c o m o
d iv e rs id a d
tu d
v e
L e ib n iz
E th ic a m ,
e lla
(23) .
c e n tro s
la s
es
p e s a n
u n a
y
c re ía
e s p a c io
s u b s ta n c ia
e s c rib e
n u e s tra
E n
el
c a r ta a T h o m a s í u s ,
la
s in o
la
m is m a ”
p a tio ,
a g u je ro s
c u e rp o ,
le
u n iv e rs a l;
so m o s
L e ib n iz
e n
o tr a s ”
c o m p a ra c ió n
d e
el
c o m o
e n
q u e
im p liq u e
re s p e c to
d e s d e
d e
in tro d u c e n
n o
d e
Y
L e ib n iz , d e
f a ta lid a d
d e
u n iv e rs o :
p a rtic u la r,
u n iv e rs a le s e
“ N o
q u e
e x trín s e c a s
in trín s e c a s
q u e
la
p u n to
d e
v a c ia d o
c a d a
a lm a
su
d is tin g u irs e
s u b s ta n c ia
c io n e s
(A d
a
e x p re s a r
e x trín s e c a ,
á t i c a
( 24) . L a
n o
d e
d e
h a c e n
d e l
h a n
n o
m in a c io n e s
e l
“ C a d a
q u e
a t e m
e s p lritu a lis m o
a u to n o m ía
(23) .
m
e n c o n tra rs e
fre n te
la
c o n ju n to
lu g a r
f i lo s o f í a
e s p e c ie
s e g ú n
c u e rp o ”
d e n o m in a c ió n s a s ”
s o b re
re la c io n e s
c o n
a
u n a
c o n tra ria .
su
la
el
v a
c o lo c a r,
u n iv e rs o
d e
p o r
a
d e
to d o
e s p a c io ,
M o n a d o lo g ia
s is te m a
e ta p a s
a
du d e es h a
d e l
3 1
d e l
2 9
5 6 2 .
B a y le , 1 7 0 3 ,
a b ril
d e
1 7 0 2 ,
II,
p á g .
5 1 6 .
G , G ,
G , II, I I ,
IV ,
p á g .
p á g . p á g .
5 3 2 .
2 5 0 . 2 3 9 .
C fr.
C a r ta
a des
B osses,
E l
u n a
“ p e rfe c ta
le y
d e l
c u la r,
c o n fo rm id a d
o rd e n ,
tie n e
ta n c ia ,
y
q u e
u n a
e n
el
h a c e
re la c ió n
e x a c ta to d o
d e
r itm o
E s o
— la
d e
e l
p u n to
d e
fo rm a
d e
ca
d e sd e
e l p u n to
ra
a
m ó n a d a s
g u ie n te , d e l
y
m e d io
el
e le m e n to
L a
q u e
e n h a y a
e n
d o n e s
a
n o
o tr a
la
m o m e n to
su
c u a n d o
el
u n iv e rs o
la
id e a lid a d ,
e q u ilib rio .
a b a n d o n a n d o
se
p ro y e c ta
L e ib n iz
p o r
D io s
m is m o ,
la
d e la
y
u n id a d
la
d e
c o sa es
p u e s to
u n a
n o
h a y
d o n d e
p o s ib le .
N a tu r a le z a ,
u n a
tra d u c c ió n
y ,
m ó n a d a
s u b s ta n c ia p a rte s .
h a y
Y
p a rte s , e s ta s
e n
u n a
q u e
s im p le ,
q u e
es
n o
o
n e c e s a rio
s o n
p a la b ra ,
p o rq u e
a g r e g a tu m
h a y
m ó n a d a s
la tin a , d e
c o m p u e s ta s ;
a g lo m e ra c ió n
Y
se
(e n
q u e
q u e
e n
u n iv e rs o
a to m is m o .
s in
c o n s i
e x p re s a r
d e l
u n a
c o n fie
c o n v ie rte
E l
“ L a
c o lo
re a lid a d
o
s is te m a :
d e c ir
se
d e
se
D e m ó c rito .
q u e
q u e
d e ja
d u r a c ió n ;
a ritm e tis m o
d e l
e x ig e
b a jo
se
im p lic a
m ira d a
se
d iv e rs id a d
q u e
y
s u b s
d a d o
u n a
q u e
c o sa
a llí
o tr a
c o e x is te n c ia ,
s im p le ,
d iv is ib ilid a d d e
d e
M o n a d o lo g ia
o tr a
u n
c o m p ro m e te r
m o m e n to ,
s im p le s ,
es
L u e g o , n i
im a g in a c ió n s e n tid o
e s c rita s
c o n fu s ió n te
es
to d a
lo s
e x te n s ió n , lo s
v e r
e le m e n to s
c o sa s” .
L a s ib le
la
e n
m o n a d o lo g ia
p o p u la re s
c o m p u e s ta s ;
á to m o s
la s
d e
n o
y
P itá g o ra s
ra s g o s
e n
e n te n d e r,
d o n d e
la
d e l
“ E s ta p a r ti
le ib n íz ia n ís m o
e x te n s ió n
o rd e n
s u b s ta n c ia s
s im p le s . fig u ra ,
d a d e ro s d e
la s
c o m p u e s to
d e n i
lo s
h a b la re m o s ,
e n tr a
lo
el
la d e
e s te la
d e
p u b lic a c ió n fija
d e
o c u rre
(26) .
s u b s ta n c ia
A C T U A L
d e b ía
in te rio r
a n te
E n d e
s im p le s e g ú n
q u e
f u e ra ”
c a d a
( 27) .
q u e
d e l
d e d e
q u e
LO
n u e s tro
o rd e n
re s ta b le c e
lo
D E
m ó n a d a ,
v is ta
u n
in f in id a d
c o n s titu y e
la
d e
e s p a c ia l.
d o b le
a q u í
d e
c o n tin u id a d
q u e
la
1 7 2 1 ) ,
v is ta la
c o n
e n to n c e s
s e g ú n
2 6 7
o b je to s
e n te ro ”
ló g ic a
o rie n ta c ió n ,
la
la s
P a re c e
o c u rrid o ,
e s p a c ia l
lo s
L Ó G IC A
s u b e s tru c tu ra
y
h a b r ía
o
in d iv id u a lid a d
u n iv e rs o
1 4 0 . e n
a
la
LA
d u je s e
r e a lis m
d e
e n lo
“ a q u e llo s
c a d o
lo s
m u y
o tr a
(2 6 ) ( 2 7 )
d e
la
re s p u e s ta id e a l
q u e
p rim e ro s m a n e ra
N u e v o
m e ta fís ic a
in v e rs o
y
d e
p a re c e
ló g ic a
a
d e
F o u c h e r,
lo
a c tu a l” ,
[c o m p o n ie n d o ] e le m e n to s d e
s is te m a ,
E s c la r e c im ie n to
lo
G , d e
e n
q u e
IV ,
la s
e ra
p á g .
la
la s
ir, lo
c o m o id e a l.
L e ib n iz es
p a ra
lín e a c o sa s
n e c e s a rio
la S i
in tu ic ió n e n
h a
c o n
n o
p u n to s , o
h a c e rlo ,
d e
B a y le ,
G ,
IV ,
p á g .
“ la
s o la m e n h a n
b u s
re la c io n e s , s in o
4 8 4 /
d ific u lta d e s
s e n
O b s e r v a -
d e n u n c ia d o
re fu ta r,
id e a le s
la s
5 1 8 .
d e
ta m b ié n
in tr o
2 6 8
a
L a s
a q u e llo s
e s p a c io
q u e
(q u e
te n te s
h a n
p o s ib le s )
p rim e ro s
e le m e n to s
s im p le s ”
la
d e
q u e
q u e
to d o
s ib le
es
e
es
p o r
d e
la
tu a lid a d a
la
la
,
d e s ”
q u e ' 3 7 2 )
d e
s u
s im p le s d e l
( p o r
e je m p lo )
d u ra
d e
e l
re s to
o
L e ib n iz lo s
a c tu a l.
e s tá
lo s
el
d e
lo s
n e g a r
lo s
[c o m o ]
si
e lla s
s u b s ta n c ia s
d e
la
q u e
q u e
n o
lle g a la
n o
y
d e
a l
c u a rto ,
n o
es
d o n d e
s in o
s in o
la s
p o d iv i
s in o
u n
re s u lta d o
o
(29) .
L a
id e a lid a d
d e
re s o lv e r p u e s ta
la
a c tu a lid a d
e n
ja q u e
S o b re p a s a e n
a
la
a c tu a l
e n
la
a c
p e ro
es
d o n d e
la
c a p a z
d e
es
ta n to
la
a ritm é tic a
D io s ,
L e ib n iz
u n
a p a
p o r
la
m ó n a d a ;
d e
p a la b ra s , lo
s ig n o
lín e a ,
e n tr a n
g e o m e tría
d e
o c u rre
p a rc ia l
se
p a rte
u n a
O b s e r v a
el
e n
d e s e m b o c a n
p o c a s
(e n
re la c ió n
e s ta
es
la s
in
d e
c o m o
d e
q u e
es
p e ro
la
e x ig e n c ia s
a b s o lu to
la
in te le c tu a
re la c io n e s
o c u rre
d o n d e
p a r a
y
esas
a n te rio r
a
m e ta fís ic a .
L e ib n iz
s u
m á s
d e
u n a
ló g ic a
L a d e
d e
q u e
e n
la
fe n ó m e n o s
id e a l
la
p e ro
e s
y
c u e n ta ,
re s p u e s ta
“ E s
p e q u e ñ a
re a l
d e l
d e c ir,
a u n q u e to d o
b ie n
c o n ta r
d e
L e ib n iz
p e rm ite
q u e
n o
h a b ía
es
D .
q u e
e s tá
e l
e l e s
a
d e l
u n a
d e l
a p a rte
a sí
b ie n ,
e l
p rim e r
d e l
la
y
re la tiv a
e l
q u e
c o n ta r a l
se
c o m o
d o n d e
ló g ic a
d e
sie n d o
p a re c e
u n iv e rs o
p ro b le m a ,
s e g ú n
h a s ta
n o
re b a ñ o
lu g a r
in f in id a d
p u e s to c a rn e ro
e n s a m b la
u n id a d e s ,
la
u n iv e rs o ,
II, la s
m a n e ra
A h o ra
ú ltim o
G , d e
c o n tin ú a
e sa s
e le m e n to s
1 2 9 ,
in fin ito ,
to d a v ía
se
§
b ie n
d if ic u lta
n ú m e ro
c u e rp o
m is m a
e s to
e n
e v id e n c ia n
c it.,
q u e se a ,
e s
la
fu n d a d o s ” . lo s
p la n te a d o d e l
( P . c ie rto
q u e d e
q u e
" in n u m e ra b le s
a n im a l,
v u e lv e
c o n c e b ir
c o m p o s ic ió n
lín e a s la s
B o sse s
c o m p u e s ta
r e a l;
d ife re n te s :
lo
tra e r
d e s
p o r
u n id a d
u n id a d
m ó n a d a ;
e n tra n
m a s a
la
a c tu a lm e n te ,
fin a l
m á s
a
p o c a s
a
a lm a s -p u n to s :
in v is ib le s ,
s u
e s ta s
v u e lv e
ta rd e
la s
e n
p la n ta s
a l
a g re g a
re a lis m o
c o n s titu y e
p ro b le m a s
u n id a d
m ó n a d a s
4 9 2 ,
e n tra n
c a rn e ro . la
lo
c a rn e ro s ”
m e d io
e s c rib irá
q u e
d e
d e
a la s
m e d io
to d o
d e
re la c io n e s
4 9 1 .
ta m b ié n ,
d o s d e l
e l
id e a l
s u b d iv id id o
o
a
es
p u e s to
E n
lo
la s
m is m o
s e n s ib le ;
p rim itiv a
re s u lta d o s
p ro b le m a ,
u n id a d e s
a l
o
c o e x is -
re u n ió n
c o n c lu s ió n
—
re a lid a d e s
el
d o c trin a
q u e
a lm a
m e z c la
in m a n e n te
la
c o sa s
h u b ie s e n
im p id e
la
d e l
lo
a ritm é tic a
p á g .
e v id e n te - q u e
e le m e n to s
g u n d o
n o
s e g u id a
se rá
y
h o m b re ,
c o m o
c o n s titu y e , e s
la s
d e
p á g .
a n im a le s
in f in ito ,
n ú m e ro
la s
m a y o ría
si
d e
n o
d o m in io
p a r te
d a d o
d o c trin a
s u b s ta n c ia s
q u e
la
la
la
q u e
lo
e l
d e
p o r
s u
e s c o lá s tic o s )
re b a ñ o
d e l
IV ,
c o n te n ía ,
a p a rte
lo s
e le m e n to .
IV ,
fin a l
p á g .
c o m o
s u b s ta n c ia le s ,
to ta l
c o m p o s ic ió n
u n
I b id .,
a l
a
c o n flic to
g
(2 9 )
el T a l
id e a l;
e n
p o r
es
(2 8 )
c ó m o ,
e n
c o m o
e n
s u b d iv is ió n
u n
g e o m e tría
el
e n
re p re s e n ta c ió n
d e
m ó n a d a
la
h a b ía
s o b re p a s a d a
z a n ja r
á t i c a
re la c ió n
s u p re m a c ía
a c tu a lm e n te ,
c o m o
m a te m á tic a
y
o
m a te ria l
re la c ió n
o rd e n
P e r o
h e c h a s
re n te
h a c e
a n te r io r
c o n ju n to ,
la
h a b la n
el
id e a l.
s io n e s
a t e m
fo rm a d a s
re a lid a d e s
v u lg a r. “ L a
c o m o
c o n s id e ra n d o el
se
1 6 9 5 :
ra z ó n ,
p u e s to
la s
s u b o rd in a d a s
p e rc e p c ió n
c io n e s
o
e s ta r
p rim itiv a s ,
té rm in o s ,
e s ta r
c o m p o s ic ió n
la
d e
m
re la c io n e s
o rd e n
e q u iv o c a d o
re p re s e n ta c ió n
te le c tu a le s
la
h a n
u n id a d e s
o tro s
s o b re
c o n
q u e
e l
p o d r ía n
se
f i lo s o f í a
( 28) .
E n le s
la
h a lla d o
n o
[e llo s ]
tu v ie s e n
d e
c o m p re n d e n
p u n to s ;
n o
e ta p a s
d e
la s lo
L a
e n
p re s e n c ia
s in o
in te le g ib le ; d a d
in te lig ib le
lo s
e s fu e rz o s
p o n e r
e n
d e
p e ro
su
y
d o s
la
L a
tr in a
a n tin o m ia s
d e e n
d e
la s
te s is ; e s ta la
la
e n
ló g ic a
m a n e ra
d e
d e
la
u n a
la s
y
to ta l d e l
m in a c ió n
e n
d e l
q u e
se
e n
tie m p o .
E l
u n iv e rs o
b re
v iv e
el
u n iv e rs o .
H a s ta p a ra
u n a
d e d e
la
el
el
p a rte ,
ta re a c o s
q u e
to d o
c o n flic to
lo s
m e ta fís ic o s
c o n
h a b ía
s id o
el
p a rte ,
lo s
d e
e n tra r
el
filo s ó fic o s el
a n á lis is
h a b ía
q u e
la
id e a l
e s p a c io c o n o c e
y
q u e
d e
d e
p u ra m e n te
d e l
la
q u e
la
e s c u e la
e n
p o r
el
s u
m o m e n to e l
la te n te
e n
a
él
tra v é s P o r
e m p re n d e n e n
lo s
el
c o n ta c to q u e
P o r
o tra
a le ja d o s e ra n
d e s c ré d ito
la
m a r
m a te m á tic a ,
q u e
in e
in m e d ia to .
e s tá n
p r o p ia
h o m
e ra
le ib n íz ía n o .
y
e s
d e te r
a p o y a rs e
m a n te n e r
le ib n iz ia n a
g o lp e a r
d e l
d o b le
M o n a d o lo g ia
in s p ira d o ,
in fin ite s im a l,
c o m p la c id o
a
a l
fo rm a rs e
filo s ó fic a ,
in te lig e n c ia
p r o c o n
a c u e rd o d e
c a d a
L e ib n iz ,
s in
el
e n .é l;
é x ito
a
p e n s a m ie n to
h a b ía n
a
a c tu a l, su
ló g ic o ,
d e
y
iría
lo
la
fu n d a d a s e n
d e
la
e s tá
re fle x ió n
re iv in d ic a b a n
d o c trin a s
d e
d e l
in s p ira
a p a re c e rá n
in f in itu d
s u fre
su
d o c
p r o f u n d a
c a p a z
d o b le
c o m p ro m e tie s e
e fe c tiv o
m a te m á tic o s
ju s tif ic a r se
lo
su
es
la
K a n t,
d e
d in a m is m o
m o to r
p rin c ip io s
m a e s tro
la s
ra c io n a lis m o
in m e d ia to
lo s
d e
d e
h o m b re
d e
o rie n ta c ió n
p o r
la
a c tu a l
ig u a lm e n te
in d iv id u o ,
lu g a r
el
lo
e n
A m b a s
c o n fo rm a d a s
tra v é s
h a lla r á
e m p e ñ á n d o s e
e s p íritu ,
q u e
c a d a
q u e
le ib n iz ia n is m o ,
h a c e r
u n
a
a d v e n im ie n to
c a m b ia r
v ita b le d e
el
a
e s tá n
s in o
d o c trin a .
ló g ic o s
d e
e x ig e n c ia s
q u e
ta n to
v in c u la
d e l
e n
q u e
c u a l
h a c e n
h is tó ric a ,
a n títe s is .
h u m a n o ;
id e a li la
A C T U A L
ló g ic a
la s
m a n ife s ta rá n ,
ta n to
u n iv e rs o
tie m p o ;
L O
id e a lid a d
p o r
n o
la
m o tiv o s
L a
in s p ira
e x p re s a n d o
c o n d ic io n e s
Y
d o s
r a z ó n
d e
ju s tific a c ió n
k a n tia n a s . id e a l
filo s ó fic a ,
in d iv id u a l:
id e a
p a d o
lo s s u
la
e
s e n s ib le ,
c o n fu s ió n
ID E A L
p e n s a m ie n to
c rític a
tra d ic c ió n , e s p íritu
d e l
d e
m o d o
lo
c o m o
n a tu r a le z a
g re so
c ie rto
la
es
c o n fu s ió n
L O
s e n s ib le
a c tu a lid a d e s ta
d is ip a r
D E
o p o s ic ió n
y
a c tu a lid a d tre s :
in e x tric a b le
c o n firm a c ió n
la s
p a ra
2 6 9
a c tu a l
m e ta fís ic a ;
C O N F L I C T O
1 4 1 .—
lo
e x ig e
a c tu a lid a d
e v id e n c ia
d e
té rm in o s :
s is te m a
in te n ta d o s
E L
lò g ic a
d e
cap a c e s
c o n
q u e
el
d e
la
c o n c e p c ió n
id e a lid a d . P a re c e d e
la
q u e
h is to r ia :
m a te m á tic a L e ib n iz
to c á s e m o s la
e n tre
c o m o
la
p a r a d o ja lo s
a q u í
u n a
c e n tra l
m p d e rn o s .
in te le c tu a lid a d
d e e n
N a d ie d e l
la s la h a
m á s
g ra n d e s
e v o lu c ió n
d e
c o m p re n d id o
p ro c e s o
p a ra d o ja s
la
filo s o fía
m e jo r
in fin ite s im a l,
q u e
p e rm i
2 7 0
L a s
tie n d o
e n te n d e r
v a n e c im ie n to ta c ió n
d e
Y to n ,
e m b a rg o
re q u e rid a
in fin ite s im a l. g ra n d e ,
b o rd in e
a
d e
la
c o n tra rio ,
in tu ic ió n
re le g a r
la s
h ip ó te s is
te ó ric a ,
s in
te rm in a rá la
d e
re c o m p e n s a
id e a l
y
n e n
lo
e n
q u e
v ic e v e r s a se
lo
la
la s
h u b ie s e y
" S e
la
e s to
b u e n
se a y
té rm in o ,
s in o
fic c io n e s ” .
N e w to n
n o
Y o
h e
e n
d e c ir
y
n o
q u e
g o b e rn a rs e
si
la s
e n
n o
L a
lo
n o
¿ n o q u e
e n
la
p e ro
p o r
lo
f in ito
tie
(e s
d e c ir
e le
n o
lo s
q u e
s in lo
h a y a ,
f in ;
y
f in ito ,
h a y a
lle g u e
c a r ta
1 7 0 2 ,
n u n c a
d e
e n
d e la s
e x a c titu d
u n ifo rm e s ;
d e
é x ito
p a ra
g e n e ra l,
h a y
á to m o s ,
a u n q u e
m a te ria
d e
( 82) .
s u b d iv id íd a
tie n e n
T o d o
c o n
p e rfe c ta m e n te
p e s a r
s u
c a te g o ría
e n
re g la s
h u b ie s e a
la
lu g a r
p u e d e
q u e
se
e x ig e n c ia s
in f in ito ,
S a v a n ts ,
la
c á lc u lo
re a lis m o .
a p lic a c ió n
d e s
d e l
la s
el a
n o
to m a r
c o n tra d ic c ió n
q u e
N e w
( 31)
q u e c o m o
n e c e s id a d
n u n c a
a
d e
p a rtíc u la s
la
c o n fo r m id a d
o p o n e
u n
e s ta
n ú m e ro
n a d a
q u e
s id o
m á s
fe liz
C o n ti
m u e s tre e n
la
in fin ito ,
c a r ta a l a b a te d e
d a n
de
Fé
c o n c e p c ió n
q u e
o
a
con la
R a zó n ,
in fin ita m e n te
( 1 7 1 5 ) : s u
la
" M
m a e s tro
e
h a
7 0 .
P o l
re a lis ta :
p e q u e ñ o ;
a s o m b ra
le s
B r r ie fw e c h s e l,
d is c íp u lo s ” .
i
in te rp re ta c ió n
q u e
p e ro
lo s
c o m u n ic a d o e d .
G e rh a rd t,
se u n I,
2 6 6 .
(3 2 )
y
p á g .
2 1 5 ) .
1 8 9 4 ,
de
L e ib n iz
ú ltim o
s o n
m é to d o .
I I I ,
p á g .
q u e
r ig u
( 3S) .
D is c u r s o
v e
la
im i
in f in ita m e n
a
d e l
p e rfe c ta m e n te
m e ta fís ic o s , d e
e n
la
" S e
d e
in f in ito
d e s
a
p o rq u e
id e a l
a n á lis is
p e ro d e
a c tu a lm e n te
lo
A p o s tilla d e u n a
d e
p á g in a
M ,
u n
n o
(3 1 ) c u a c e s
se
s u a ú n
e n c u e n tra
e s tá
d e
d iv is ió n
T e o d ic e a ,
d e
lo
es
a c tu a liz a r
id e a l,
c o m o
d e
n o
p rin c ip io d e
n a tu r a le z a )
p e q u e ñ a s ”
p re c e d e ,
c o n c ib e
to d o
la
in fin ité s im o s
q u e
( s o ) q u e
d e
h a c e rle s
ra c io n a lid a d
re la c ió n el
p a rte s
d e ja
se
m a te ria
in f in ita m e n te
lo
n o
y
la
J o u r n a l
c o sa
te n g a
in f in ito ,
re g la s
el
d e
a
d is c íp u lo s ”
id e a lis m o ,
u n a
é x ito
e n
e s ta d o
c o m p a rá n d o s e e n
im a g in a c ió n
re a lid a d , el
u n a
re a l
a s ig n a b le s
p u e s to
e llo s ,
q u e
lo
d e
el
c o n c e b id o s
f u n d a m e n ta b a
p e q u e ñ o ,
s ig u ie n te ? ;
es
a b s tra c to ;
é x ito
m e n to s
la
m a n e ra
n a d a
la
c o n d e n a
p o r
c o n tin u id a d
n a tu ra le z a e n
la
s u
in trín s e c a ,
p u b lic a
q u e ,
fe liz
im p o s ib ilid a d
d e
ju s tific a n q u e
m á s
fu n d a m e n ta le s
e v id e n te s
se
n o
la
( 30) ,
c o m p re n d ie s e n
c o n s is te n c ia
V a r ig n o n ,
to d a
re a lis ta ;
p e q u e ñ o
L e ib n iz ,
c o n tra
á ti c a
a n á lis is .
d e
in te lig e n c ia
in v o c a
a t e m
f o rm a d a s ”
in f in ita m e n te
n o c io n e s
c o n d ic io n e s
a
la
m
m a g n itu d ,
n u e v o
" s id o
q u e
lo
u n a
m is m o
p ro te s ta
d e
e llo
lo
y a
s e c re to
p a ra
S i
o
d e
d e l
h a b e r e l
f i lo s o f í a
in f in ita m e n te
e s te
d e
re v e la rle s
a c titu d
lo
la
c o m ie n z o
le g itim id a d
ja c ta b a
lo g ra b a
te
d e
d e
m a g n itu d e s
la
s in
se
" p o r
o
la s
ro s a m e n te
e ta p a s
e r
E n
V iv a n ti
c o m o
la
c o rre s p o n d e n c ia
4 9 9 ) la h a
y
c o n
n o ta
6
re u n id o
a d v e r s a r io ,
se a
d e
s u
p rin c ip a le s
c o m o
M ,
e s tu d io
p a r tid a r io x
IV ,
p á g .
9 3 .
J e a n
B e rn o u illi
(F o u c h e r
lo s
s ig u ie n te s . (3 3 )
c o n
F o n te n e lle
y a
c ita d o ,
te x to s d e
d e
lo
q u e
(c a r ta
C a re il,
Il
c o n c e tto
h a n
d e l
L e ttr e s
d e
et
d e
1 6 9 8 .
o p u s c u le s ,
ju n io
1 8 5 4 ,
d ’i n f i n i t e s i m o
p e rm itid o
in f in ita m e n te
7
p re s e n ta r
p e q u e ñ o
,
M a n tu a ,
a
L e ib n iz ,
a c tu a l;
p á g .
6 7
E l
1 4 2 .— B e rk e le y . tu a lis m o
y
la
A p e n a s
L e jo s q u e
p ro v o c a d o
c e p c io n e s ” ,
d e
el
E n
u n a
q u e
fic c io n e s
e le m e n to
d e
e s tre lla lla s
f ija
fija s ,
re n c ia
a
p rim e r
g ra n d e
d o s ,
m á s
re d u c ir u n
se
se
el
lo
e rro r
q u e
n a d a ,
fu e ra y
d e
lo
fu é
a ñ o
m a n e ra :
p a r a
e so .
p e q u e ñ o s , e s to
d e
e n
ta d o
e s ta
c ió n
él
lo s
h a
p o r
s ie m p re
to d o
se
h a
C a r ta C fr.
V a r ig n o r i,
d e l
C a r ta 2
d e
a
ru e g o s ”
el
E lo g io
d e
P a rís ,
p a rte ,
a
a
su
D a n g ic o u r t,
fe b re ro
d e
d e l
d e
m á s
2 9
1 7 0 2 ,
y
P a re c e h a
L e ib n iz
u n a
e s c rita d e M ,
e n
a g o s to IV ,
d ife u n a
c u a n to
eso s se
g ra
p o d r ía
fic c ió n
e n
la
d e
d e
fo rm a
l ’H o s p i t a l n o
A c ta s
d ije s e
d e
L e ip
s in
lo s
d e
u n o s
9 1 .
M
s in g u la r.
el
in v e n to r
q u e
q u e
lo s h a n
a
IV ,
1 7 1 6 , p á g .
o tro s , a d o p
c o n tin u a
d ife re n te s
d e ,
p o c o
in f in ita m e n te
g e ó m e tra s
e so s
e n e s ta
in f in ita m e n te
s e p tie m b re 1 7 0 1 ,
d e
b a s ta n te
e m b a rg o q u e
p ro n u n c ió
e x p re s ó
ó rd e n e s
g ra n d e s
p á g .
e s tre
4 ° :
Y
N e w to n ,
f a lta
d e
d e
la s
u n a
u n a
la
q u e se
c o sa
c o m o
c re íd o
d e 2 ° :
m á s
la s
d e
d e
ro g a ro n
d e
es
( 34) .
p e q u e ñ o s
m á s
q u e
g ra n o
e n tre
a rq u é s
F o n te n e lle ac á
p e ro
p e q u e ñ o
a s ig n a b le ,
m e
lu g a r
ta n to
io s
rig o r.
a s u s ta d o
P in s S n ,
u n
in f in id a d
y
s is te m a g ra d o ,
re a liz a d o M
p e q u e ñ o s ,
in f in ita m e n te
e n
el
v e r
c o m o
y
d e l
m e d ia n te
c a u s a ,
,
d is ta n c ia
ta n to
se r
e n
g e o m é tric o ;
id e a
la
q u e
n i
u n
in f in ita .
y
g o lp e
d ic h o
e s ta
el
i
d e
in te rv a lo
c o m o
in f in ita m e n te
m is m o
to d o
o r d in a ria
d e
su s
v A .
la
s e g u n d o
o
o c u lta r
su
c o n o c id o
el rig o r
( 3 4 ) 5 0 0 .
n e c e s a rio
es
d e
m u e rte , “ C u a n d o
fic c io n e s ,
d iá m e tro 4 ° :
s ie m p re
P e ro
a c c e d e r e n
c o m o
e x a c titu d ,
p o d ía
C ie n c ia s
es
d e
E l
la
h a b ía
d e l
te s tim o n ié
s in o
in f in ita m e n te
tra ic io n a b a
s ig u ie n te ,
n o
s is te m a
q u e
c o n
u n iv e rs a lm e n te ,
d iá m e tro
d e l
su
in f in ita s
el
lín e a
s u p rim irlo q u e
y o
fá c il
“ N o
L e ib n iz
d e l
n a
e llo
A c a d e m ia
S i
a ú n
a
e ra n
el
d e
le s
ta le s
29:
p ro p o rc ió n
A r q u ím e d e s .
p o r
m e
A l la
y
u n a
lín e a
la
in f in ito ,
h a c ía
c re ía
z ig ,
h a c ía
p e r
su s
re s p e c to :
. . .
te rre s tre ,
ta m a ñ o
3 9 :
u n a
a
e s c é p tic o ,
a n te s a l
h a b la r
l 9 :
a re n a ,
e l
a p ro x im a b a
in te rv a lo
q u e
5 ? :
n o
p a ra
d ife re n c ia l
g ra d o ,
v iv a
“ p e q u e ñ a s
re la tiv is m o
F ra n c ia
é s ta s
y
g lo b o
5 ° :
u n a
fu e r z a
p re s e n ta
v e rd a d e ra m e n te
á lg e b ra
d e
se
d e
in te le c -
d ife re n c ia l,
d e
la s
d e l
d e l
c á lc u lo
d e
c u a l
u n
L e ib n iz
n o c ió n
s e m a n a s
e n
q u e
el
d e l
n o s o tro s ,
in f in ita ,
m á s
el
1° :
d e
e je m p lo ,
g ra n o
3 ° :
c o m o
d e
lín e a
y
u n
m is m o ,
e n
p o r
ta l
d e
fe c u n d a
d e l la
in s tru c tiv o
a b re v ia r
im a g in a ria s
y
n o c ió n
a lg u n a s
m u y
in fin ite s im a le s ,
c o n c e b ir,
la
m a g n itu d e s
p a ra
le n g u a je
p o r
27 1
a c tu a l
e s c a n d a liz a d o .
d is p u ta b a n
n e c e s a rio
a re n a
p o r
a s p e c to
re la to
h u b ie s e
ú tile s
ra íc e s
el
lo
a lg o r itm o
L e ib n iz ,
e s c rita ,
u n
el
d in á m ic a
h a y a n
y
a u té n tic a
el
la
d e
se
c a rta
d a d e ra m e n te
la s
q u e
id e a l
d ifie re
p s ic o lo g ía
a m ig o s ]
c re ía
d e
lo
fo rm a
d ic ta d o
a d q u ie re
h a c e
[n u e s tro s
la
id e a lis m o
c o n c ib e
L e ib n iz
n o
la
d e
a q u í
se r
re fo rm a
te m p o rá n e o s , se
si
d e
h a b ía
la
re fo rm a
c u a l
c o n f l i c t o
ó rd e n e s
D u te n s , 9 5 ,
y
I I I
C a r ta
p á g i tt
2 7 2
d e
L a s
in f in ita m e n te
c a u s a e l
d e
su
g lo b o
p e ro
A h o r a
n o
a q u e llo s
u n a e n
e lla ;
lid e z ,
ta l q u e
q u e
lo
d e n te .
se
P e ro ,
r ia s ? ”
b o c a
e n
v e rd a d
e n d e
n o se
D E L
C A L C U L O
se
p la n e ta s ,
P o r
s in o
él
es
m á s ,
e s ta h e c h o
a lo ja rs e
e n
su
s o
s in
a c c i
c o n d e s c e n d e n c ia
s u b le v a d o . q u e
h a a
q u e
u n a
eso
to m a d o
a tre v e
q u e
a re n a
d e s ig u a ld a d ,
h a n
m á s
lo
e ra
lo s
a rq u ite c to
n o
h a b r ía
g e o m e tría ,
a y
d e
s is te m a .
n o
U n
y ,
e n
In c o m p a r a b le s , g ra n o
g ra n
ese é l,
c o n fía
te m o r
a te n u a c ió n
u n a
m is m o
q u e
s in
u n
c o m p re n d e
q u e
p e rd e r. él
g e n te
E T A F IS IC A
E l
e s fu e rz o e n
u n a
o b je tiv o
la
d e
e s p e c u la c ió n
p e c h a ,
c a si
m é to d o s
s e rá
¿ S í
e n
d e
el
el
g a d o s
ju s tific a r S e
E l
m á s
n iz
h a b ía
es
n e c e
o tra s
m a te
( 8e)
e x p o s ic ió n
se
ja c ta
el
d e d e
le íb n iz ia n a :
( s 5 )
É lo g e s
( 3 e )
L e ttr e s
( e d . e t
to d a v ía
m á s la
n o
el
T o m o
O p u s c u le s ,
e d .
la s
e x is te n c ia m a n e ra
p o r
la
m is m o la s
p á g .
F o u c h e r
lu g a r
d e
h a n
d e
e le m e n to s
e n
la s
d e l
y
la
s ig lo
lo s
ser
li
o b li in f in i
a v e n tu ra s
d e
m á s y e n
a llá la s
fe c u n d id a d
d e
ese
a
q u ie n
d e l
d e
p á g .
c u a d ro L e ib
b u e n
tim id e c e s
1 7 2 7
1 8 5 4 ,
q u e
X V I I I .
q u iz á s ,
C a re il,
d e
c re íd o
e n
el
4 8 1 . d e
d e s o s
c o n tra d ic c io n e s
F o n te n e lle ,
e s c rib e
la
filo s ó fic o
s o lid e z
c o sa s
E l
s o b re
re n o v a c ió n a r r o ja r
se
y
d e b ilid a d e s
p e s o ,
I,
la
e n
re a lis ta ,
el
d e s e m
f u n d a m e n ta r
s id o
L e ib n iz ,
e s c á n d a lo
“ lle v a r
“ ¿ Q u é
h a
s o rp re n d e n te
q u e
s u p e ra r
1 7 6 6 ) .
el
o c u p a
d e s c o n c e rta n te .
d e
o s c u rid a d e s
q u e
m a te m á tic a
in te le c tu a le s
e s ta
A L
lu g a r
f u n d a m e n to
la
d e
el
f in a l
p re ju ic io
fu e ro n
e n
s id o
d e
c u y a s
c h o c a n te s
a d v e rtid o
el
in tu ic ió n
el
filo s o fía a p a rie n c ia ,
d e s tin o
s o b re
s a lid a ,
o b ra
e n
h a b ía
m é to d o s
el
d e l
la
ra s g o ,
la
la
d is c íp u lo s
té c n ic o s ,
p o r
d e
es,
e m b a rc a d o
s in
p rim e r
d a d o
e n
h a n
re s u lta d o s
e s tá
L o s
m a e s tro
m e ta fís ic a v u e lto
n u e v o s
d e s c ré d ito ,
p o r
a
q u e
IN F IN IT E S I M
d e te rm in a r
d o c trin a
filo s ó fic a ;
b e ra d o s
se h a n
la
m is m o s .
te s im a le s .
p a ra
e v o lu c ió n
c o n c lu s ió n
in ic ia l
d e s c u b rim ie n to
tid o ”
a
im a g in a c ió n
la
M
1 4 3 .—
lo s
la
q u e
e s ta b le c e
q u e
e lla
s e ría n
m á s
to m a d o
to d o
á t i c a
m a g n itu d e s
e sfe ra é s ta
se
a u d a z
e n
s in o
a t e m
c o m o l lo
la
h a n
e n c u e n tra
m
( 35) .
le íb n iz ia n ís m o
u n a
y
e c h a ría
c u y a
L A
la
lo
a lo ja
a te m p e ra r
f i lo s o f í a
e ra n
s e ría
c o m o
q u iz á s ,
a q u e llo s
s a rio
n o
ta n
se
q u e
n o
tie rra
m is m o s
p e ro
y
p a r a
el
la
b ie n ,
c o n s tru c c ió n
la
d e s ig u a ld a d ,
in f in ita ,
a te n u a c ió n
d e
p e q u e ñ o s
e x tre m a
te rre s tre ,
e tc é te ra .
e t a f a s
2 J 4 .
s e n d e
la
P r e fa -
L a
c io
a
rid a d h a
lo s
E lé m e n ts
d e l
in v e n to r
tr iu n f a d o ,
se
lo s
g e ó m e tra s .
lo s
ó rd e n e s
p a r tid o s e n
la s
d e
la
es
c o m o
y
q u e
q u e
ta n
la
c o m o
la s
o tra s ,
“ s u c e s ió n
té r m in o
d e s p u é s
d e
h a s ta
to d o s
ese
1
lo s
m is m o
c e s ió n d e
h a b e r
e m b a rg o
lu ta m e n te n o m b re , d e
la s
n o
q u e
lo s
q u e
p u e d o
d e
eso s
g ra d o s ”
e n to n c e s d e l d e
se r,
h a r ía
p e re c e r
S u p o n g o y
ese
la
p a s a je
n e c e s a rio s , v e z
d e
té r m in o
s ig n o
es
y
e n
n o
la
u n
q u e
lu z
a b s o
s o b re
c ie rto ,
se r
in f in ita ,
lo
in f in ito ,
se a n , la
su
p a rte
h a b ie n d o
e llo s
se r s u d e s
ja m á s
h e c h o
a y
es L a
in f in ito .
n o b le
d e b e
f in ito
c u a le s q u ie ra
la
c o m o co
m á s
c o m p le ta m e n te ,
a lg u n a
p u e d a
a b a n d o n a r
q u e
lo
q u e
c o m o
u n o
e s to
m a g n itu d
e s tá n
n ú m e ro
( 37) .
c o ”
p r o n u n c ia r
g ra n d e
d e
el
d e c ir
te n e r
n o
h a y
s u c e s ió n
ú ltim o
a
re a
q u e
q u e
a l
la
la
p u e s to
n e c e s a rio
o s c u ro
e n tre v e r
“ E n
in c o n c e b ib le
y
q u e
es n o
c ó m o d a ,
a
té rm in o s
in f in ito ,
m á s
p u e s
to m o
e n te ro s .
lle g a es
él
p a
si
n o
n a tu ra le z a
( 38) .
re s u e lta s a
la
f ra n q u e a d o
a lg u n a
lo
in f in ito .
b ie n
d e
in m e d ia ta m e n te
in f in ito
in f in ito ,
c o n
d e m u e s tra
lig a d a
d a d a
u n
“ E s lo
p r o
re a l
s o la m e n te
p a s a je
a
c u y a s es
tie n e
el
fin ito s o
lo
se
m e d ia n te
el
f in ito
q u e
e s tá
e s tá
E n to n c e s ,
c la ra :
a b
e m p le a d o ” .
p e q u e ñ o
tie n e
d o s m á s
fig u ra s
q u e
n ú m e ro
e x p re s a
d e
c o n tra d ic c io n e s
p a s a je lo
d e b e
e n
h a
m á s
c o n fía
in d e p e n d ie n te
n e c e s a rio
id e a
q u e
h a y se
d e
to d o s
d o g m a tis m o
in f in ito
n ú m e ro s
in f in ito ,
lo
la s
s u p o s ic ió n , la
a l
té rm in o s
g ra d o s
es
L a s
lo s
a u n q u e
h a b ié n d o lo
p o r
d e
id e a
e s ta n d o
c o m o
s a d o
e s to
d e se
g ra n d e ,
lo
in c o m p re n s ib le ,
c o m o
id e a
d e
d e
a u to r id a d ” .
u n
c o m o
la
n o
m is m a es
a u to
in f in ito
e s p e c u la c io n e s
in te le c tu a l,
E l
y
in c lu s iv e .
d e
m a te m á tic a s .
a u n q u e
s in o
p a s a
c o n c ib e
q u e
ig u a l
es
s u
la
el
p e q u e ñ o s
titu b e a d o ,
e x is te n c ia
f in ito ,
es
S e
te n id o
e n
to d o
a lta s
F o n te n e lle
o b je to .
re p re s e n ta c ió n
to d a lo
la
u n a
e v id e n te ,
u n a
n a tu r a l
p u é s S in
es
d e
h a
te n d r á
d e
e s ta b le c id o s ;
in f in ita m e n te
té rm in o s
la s
2 7 3
a l
n o
p e s a r
to d a s
q u e
d e
d e sd e
é l,
in f in ito .
c o n c lu s ió n o b je to
é l,
su
n a tu r a l”
c a d a
A
in f in ita m e n te
q u e
lo
lo
l ’i n f i n i ,
L e ib n iz
d e
in f in ita m e n te
n a tu r a l
d e
s i
lo e n
re a l
d e
d e
c o m p le ta m e n te
y
T o d o
d e s a p a re c e r
lo
d e o
d e
es
a c tu a l
re a lid a d
d e
y
tie n e n
i n f i n i t e s i m
in v e n c ió n ?
ig u a lm e n te
s u p o n e
to d a s
L a
la
m a te m á tic a
d e s c u b re .
d e b e
lid a d p o r
se
c á lc u lo
G é o m é tr ie
in f in ito s
g e o m e tría
re a lid a d
d e l
a p o d e ra d o
h o y
d e s c rip c ió n
e n to n c e s
la
A c a d e m ia ,
q u e
“ L a
p ie d a d e s la
h a
filo s o fía
s o lu to :
d e
L o s
la
lu c e s
e t a f í s i c a
c o n tra
e s tá n
e n
L a
m
in f in ito
D e
a p a re n te s
m e d ia n te
e s ta
ta ? )
N
9
85,
pág.
(3 8 )
N
9
8 6 ,
p á g .
y
la la
m a n e ra
30» 3 0 .
d e l
c á lc u lo
d is tin c ió n c la rid a d d e sd e
el
e n tre
d e el
in h e re n te p rim e r
lo
in f in ito
o s c u ro
s e rá n
d in a m is m o
a
la
id e a
p u n to
d e
v is ta ,
e s tá tic a es
c ie r
L a s
2 7 4
to
( 39) ,
q u e
s ie n d o
“ p o r
ra le z a
la
m is m a
ta n to y
q u e
( 40)
la
si
p a s a je
2
A
a l
2
A
e s tá
e v id e n te m e n te d e
“ fin ito s la
G e o rg to ,
C a n to r
a
q u e
c o n ta b a g u id a
n o
lo s
u n a
d e l
n ita m e n te s u
p e q u e ñ o
se
d e sv a n e c e ,
( 44) .
la c ió n ,
P e ro
la
q u e
se
c e ro .
e s to
es
a p ro x im a e sas
z a d o
c u a n d o
la s
c a n tid a d e s
g e n io s a
o b je to
d e
M
d e l
a n s io n
“ el
N
9
8 8 ,
p á g .
3 1 .
(4 0 )
N
p
9 0 ,
p á g .
3 1 .
( 4 1 )
j\¡9
1 9 g ,
(42)
C r itiq u e
(4 3 )
V e r
§
p á g .
es
n o
( 4 4 )
S a n
P r e ja c io ,
p o r
p á g .
q u e
el
q u e
n s u n a
s e ría n
in
a
lo
u n
q u e
f in ito
ac á
m is m a s
es
m á s n o
d e l
n a d a q u e
in f in ito lo
d e
V I,
1 7 5 5 ,
p á g .
7 7 .
t.
I,
in f i a p o y a " U n a
q u e
u n a
c a n tid a d
re a lid a d
se rá
ig u a l
h a y
u n a la
v a r ia a lc a n
a n iq u ila d a s . v a ria c io n e s ,
S e g ú n d e sd e
p á g .
p o r
a re
rig u ro s a m e n te
esas
( 45) .
1 8 7 7 ,
in
lo
p e q u e ñ a s
in fin ite s im a l,
a ñ o
p a ra lo
E u le r
h e c h o
d e
e s tá
d iffe v e n tia lis :
m á s
es
lo
d is tin ta
e n tre
q u e
q u e
se r
in f in ito ,
d e te rm in a d o
s o n
se
g ra n d e p o d r ía
p a s a je
e n
lím ite
d ife re n c ia l
y
c a lc u li
ú ltim a
lo
d e s
in ic ia l
m a g n itu d
c o n c e p c ió n
lím ite el
c ie r
p o r
u n á n im e
s e g u rid a d
v e rd a d e ro
la
es
o s c u rid a d .
u n a
lo
R e d ía s
c o m p re n d e
a d h e s ió n
e s ta
c o n
n u e s tro s
c o rrig ie n d o ,
c o m o el
e n
c la ro ,
d a r
r a z ó n
la s
n o
in
a
té r
p a ra le la s
c u a lq u ie r
n e c e s a rio s o b re
es
d ic ie n d o
q u e
p h ilo s o p h iq u e s
d e
e n te ra m e n te
1 8 7 3 , d e
to d o S i
p á g .
a
c e tte
lo s la s
P ro c lo ,
1 9 2 .
l ’h i s t o i r e d e
se
im p o s ib le
g e o m é tr ic o s .”
p o in t
f o r
v e rifi
in ic ia l.
in te g ra l
F rie d le in ,
S u r
d e
g e o
c o n s e c u e n c ia
a
a te n d e r
lo s
la
c o m o
la
es
e n c u e n tro n o
e n
n e c e s a rio
b a jo
ra z o n a m ie n to s
p r in c ip e s
e n tre
in c e rtid u m b re
a
e n
d e s tin o
ré d u c tib le
sea
q u e
re d u c c ió n
h a c e r
el
p ro p o s ic ió n
a p re n d id o
a d m is ió n
lib r o
d e
p a r a
y
a q u e llo s
a tr ib u c ió n
esa
c o rre c ta m e n te
tra d u c id o
G re c s
p o r
m e tó d ic o
ta l
es
d e fin ic ió n ,
s o sp e c h a
h a b ía m o s la
su
m u y
c a p a z
si
q u e la
o b ra
a n á lis is
m a e s tro .
e s tric ta m e n te
p ro p o s ic ió n
s o s te n id o
d e
el
c o m o
p r o b i la
p la n te a
q u e
p ro p o s ic ió n
u n a
se
la G e
e x p u l
la
c o n
v eces,
g e o m e tría
d e m o s tra d a s , d e
a
in a d
p o r
te o re m a s .
p u e s
p a r tid a ,
sea
a
u n
lo s
c re íd o
es
p a ra
y
el
p a ra le la s .
e je m p lo
e u c lid ia n a ,
d e
d e b a te
la s
a q u í
to d o ,
e s fu e rz o
e s,
h a
d e
n o
re s u lta n
p r im e r
e s tá le s
p u n to
q u e
y a
c ie n c ia
e l
P ro c lo
c o m o
n in g u n a
le s
e sa
u n
tra m a
p la n te a rs e
c o n tra rio ,
v e ro s ím ile s
d e
F s te la
s c ie n c e ,
1 0 .
(1 8 ) th ir te e n
d e
la
p a ra
d e
c ris tia n a ,
c o n s e rv a d o
a p a re c e r
h a c e r
" G e m in o je fe s
e ra
d e b e
se
el
h a
E u c lid e s
A ris tó te le s
la
e x i a q u í
p o r
d e
g e o m e tría
d o c trin a
p o r
y
y
c o n q u is ta d o
v e ro s im ilitu d
ló g ic o s
q u e
d e
d e
e n
p r o b a r
s e r
d e m o s tra c ió n
E u c lid e s ,
té r m in o
d e
la
D e
d e
la
m a n ifie s to la
p o r
E u c lid e s ,
m á s
s u
m is m a
n o s
re a lid a d ,
e n
a rte
d e
c o m o
p o s tu la d o s
c o n s titu id o ;
d e b e d e
io s
lo s
p a re c e r
te o re m a s ,
p o s tu la d o
d is c íp u lo s
d e fin id o s ,
c u e rp o
m is m o s
la
d e
p ro p ie d a d e s
c a r,
a
E n
p ro p o s ic io n e s
la
d e d e
v a
e s tá
c ie rto s
q u e
P ro c lo
P e ro lo s
s u g e rid o
P la tó n a
s ig lo
E u c lid e s
q u e
c o m o
n in g ú n
m in o s
s e g u n d o
p o n e
d e
d e
lla m a d o
c a p ita l
el
q u e
p o d ía n
in tro d u c id a s
a
d e
p a rte ,
d e m o s tra c ió n .
h a b ía el
o tr a
c o n d ic io n e s
s e r
d e
id e a l la
su c e so re s
c o m p ro m e tid o ,
a u n
tr o d u c ir
m a
se
e u c lid ia n a .
s e g ú n
e n
el
c u a l
p ro b le m a
e s ta ría
m e tría ,
d e
d e
la g u n a
c ie n c ia
e s ta r
el
la
lo
c o m o
g e o m é tric o .
d e l
e s c ru p u lo s a
p o r
a x io m a s
y
e s fu e rz o
a u to r id a d
to d o
d e sd e
p o s tu la d o
E l c u a le s
la
L o s
p a rtic u la r,
lo s
p ro b id a d
p o d ía n
c o n s id e ra d a
e fe c to ,
( 1 6 *18) ,
e s ta
e n
á t i c a
c o n te n id o ,
E u c lid e s
a c o rd a r
e n
el
m is m o
se r
g e o m e tría
( 15) .
d e
E n
c rític a .
p o r
a t e m
la
in trín s e c a ,
re a c c ió n
p id a
a p o y a n
la
e l
m
e v id e n c ia ,
p e n s a m ie n to
c o m o
d e b e
se
e n
d e fin ic io n e s
o rig in a ría ,
g e o m e tría
m is ib le
d e l
f i lo s o f í a
re a lid a d ;
d e
a n á lo g a s ,
in e v ita b le a ú n
p ro b le m a S i
la s
c o n s ig u ie n te
p ro v ie n e
e n
e v id e n c ia
le g ítim o s
e ra n
la
p o n ía
m o tiv o s
p o r
in te le c tu a l;
p r o d u c to s
d e
e u c líd ia n a e ra n
ju s tific a d o s
e ta p a s
Ib id ., B o o k s
o f
p á g .
E u c l i d ’s
3 6 2 ,
C fr.
E le m e n ts ,
V in c e n t, t.
I,
1 9 0 8 ,
o b ra p á g .
c ita d a , 2 0 4
y
p á g .
1 5 -2 1 ,
s ig u ie n te s .
y
H e a th ,
T h e
L a s
d e
h e c h o ,
la
s in o
d e
g e o m e tría
n e c e s a rio d ia n o s la
o
n e x ió n
c o n
e s ta
q u e
la
H e
d e
la
d e
m e tría :
la s
s in
d e b ía
p re v e r
a
a lc a n c e
p e rs p e c tiv a y
su s
a
lo s
p rim e ro s
C u a n d o c o n s a g ra d o d e
la
lo s
g u lo s
á n g u lo s re c to s ,
m a rc a n d o p a re c ía , d e l d e
u n a
h a s ta
e s p íritu la s
d e
c o sa s,
e n
g a c ió n
c ie n tífic a
c u a l
s u m a
g u lo s
re c to s
im a g in a r ia :
d e h a la
e
c o n ta n
y
v u e lta
el
d e b ía
d e l
e m p e ñ a á n g u lo s
d e b id o
d e
u n
lla m a d a , e n
la
L a
u n a
e l
m is m o s u m a
lo s a
h a b ía c o m ú n
d e s a rro lla d o el
c u a l
m e n o r
e n
L a
q u e
d e
lo s
d o s
á n
c o m o
E u c lid e s
n a tu ra le z a
fig u ra
in m u ta b le
d e
la
in v e s
a p a re c e d e
la
q u e
h iz o ,
á n g u lo s
b r u s
in v e s ti
g e o m e tría
la
u n
s u m a
la
m e n o r
q u e
la
s u p u e s to ,
e s fu e rz o
d e
m e n u d o
e n
p o r
es
d e
B o ly a i,
se r
b ifu rc a c ió n el
v e rd a d e ro
d o m in io
la
d e
h a c e n
ilu s io n e s
h o r iz o n te
d e s tin o .
la
el
g e o m e tría
tr iá n g u lo el
a d m i
p a r tic u la r
g ra b a d a
e n
c u a l
a
g e o
d e s c u b rim ie n to .
a l
fu e se
m ira d o ,
y
p o r
e n
c la ra m e n te
o tr o
d e
o c u rrir
g ra n
p o d ía
a n te m a n o
u n
m
la
a p a rie n c ia
c u á n ta s
c a m in o ,
d e
c o n s ti
u n a
d e
la
d e s p e ja rs e d e
h a
p a s a d o .
q u e
d e
L o b a ts c h e w s k y ,
q u e
fu é
s o lu c ió n
L a
c o n c lu s io n e s ,
g e o m é tric a s
ta n
d e
a q u í
se
s id o
a l
a lte rn a tiv a
s a b id u ría
su s
p ro f u n d a m e n te
lo s
g e o m e tría
a
re c tilín e o
d is e ñ a b a
h e
la
in c o rp o ra d a
a d m itid o
d e lim ita b a
c a m e n te
c o
o b je to
la
“ e u c lid ia n a ”
p re c e d e n te s ,
d a
le
la
q u e
e q u ív o c o .
L o b a ts c h e w s k y
tr iá n g u lo
h u m a n o ,
u n a
c u a l
fu é
r u p tu r a
c ie n tífic a ;
d e
la
S A C C H E R I
lo s
c o m o
d e s c u b rim ie n to
tig a c ió n
la
v íc tim a s
la
e n to n c e s ,
q u e
fre n te
e l
c o n firm a d o
e u c lid ia n a s ,
p ro p o s ic io n e s
u n
e s te
e ra
in d e m o s tra b le s .
c o n te m p o rá n e o s
a
d e
D E
e q u ív o c o s
f u é . c o n o c id a
c u a n d o
c o h e re n te
a l
y
p a re c e
tu v o
c o n fu s a
n o
s e r
lo s
o b ra v id a
c ie n c ia ,
s is te m a d e
la
a
h a
E u c lid e s
c o m e n ta d o re s ,
s u
p a s a
e u c li-
e x p líc ita m e n te
n in g ú n
c o n s id e ra c io n e s
c u á n to s
o
q u e
r a z ó n :
p e d id o s
h is tó ric o s ,
b ie n ,
a
P R E C U R S O R E S
p o d id o
in ic ia d o re s
té rm in o s
e fe c tiv a m e n te ,
g e o m e tría s
h a n
lo s
ra z o n a m ie n to
p ro p ia m e n te
q u e
s o n ,
L a s
d e
la s
d e l
“ lo
tie n e
c o lo c a r
s e ñ a le n
e u c lid ia n a s
te rm in o lo g ía
tra v é s d e
e q u iv a le n te s ,
d u d a ,
c o n c e p c ió n
—
P a s c a l,
m e d ia n te
A h o r a
a
ra o
p ro p o s ic io n e s
u n a
y
q u e
su s
lu g a r
L O S
q u e
e n
g e o m e tría s
1 8 6 .
p a r te ” ,
re s o lv e r.
d e ja
la
c o m o
E u c lid e s
a p lic a rs e .
d e m o s tra c ió n
r a d o ja
h a b la r
a b s tra c ta
3 4 3
e u c l id i a n a s
e n to n c e s
e n u n c ia d o s
e x p re s a d a
d e fin itiv a
n o
p a ra
a lg u n a
fo rm a
n o
la s
si
p ro p o s ic io n e s
d e b e
a q u í,
h is to r ia
n e ra
ti r
la
h is to ria
tu c ió n
e n
o tro s
fo rm a
e tr ía s
s o b re p a s a ” ,
a lg u n a s
e n tre
c u a l
d e re c h o ,
n o s
“ d e te n e rs e
c ie n c ia
g e o m
e n
d o s
la á n
g e o m e tr ía d e l
tr iá n -
p a
3 4 4
L a s
g u io
es
ig u a l
m o n o p o lio la
a
g e o m e tría
v a lo r
d e
d o s
d e
d e
re c to s ,
s e c u la r
y u x ta p o s ic ió n ,
e ta p a s
q u e
la
la
se
le
f i l o s o f í a
g e o m e tría h a b ía
L o b a ts c h e w s k y ,
d e b ía
se r
p a ra
d e v e n ir
e s tu d io s
h is tó ric o s
a t e m
d e
á t i c a
E u c lid e s ,
re c o n o c id o ; y
re b a ja d a
re a lid a d
m
p a re c ía
a l
si
n iv e l
n o
se
q u e d e
h a
p e rd id o
u b ic a e n
é s ta ,
a l
la d o
v ir tu d y
q u e
“ im a g in a ría ”
d e
e s ta
p e rd ía
p o r
lo
el d e
su
m e n o s
h ip o té tic a . L o s m e tría
n o
p u n to es
d e
v is ta .
m e n o s
e n la c e c u a l a
e u c lid ia n a ,
d e
se
la
u n la
c ris is
el
q u e
la
m á s
e u c lid ia n a s lo s
e x tre m o s d e
s ig lo d e l
la
a
se r
la
Y
e n tre
e s e n c ia l;
la
e n
el
c ia s
la s
tra c ió n
ta m a ñ o
el
s o b re
d e
o tra s
el
q u e
g e o o tr o
E s
el
c u rs o
d e b ía n
p r im e r
L a
d e s d e
la
p re s id ir
se
I
q u e
d e
a
A
se
a n te s
s u s titu y e
p o s tu la d o e m p le a d a
fó rm u la s ,
re fie re n .
lo s
r e s u lta d o :
el
f ó r m u la
c a ra c te rís tic a s
a llis
la
c a p a c e s
p a ra le la s
e s te
re s p e c to ,
C ris to ,
d e
e n
la
la
lo s
d e fin i
E u c lid e s ;
p a ra
d e
la s
e n c u e n tra n
d e
in v o c a
d e
O b ra
d o s
re c ta s lín e a s
y
el
la
d o s
e n
el
d e m o s tra c ió n
re c ta s
e s ta
a s ín to ta s
p u e d e n d e
d e b e
la
( 17) , h a
se
h ip é rb o la
e n c o n tra rs e ,
q u e n o
h a
es
e s ta r
im p o rta n c ia
q u e
a
n o
h e c h o
s ie m p re
d e fin ic ió n
g e o m é tric a ”
p a ra le lis m o
p a ra le la s
u n a
re la c ió n
f u n d a d a
d e c is iv a
s in
e s ta b le c id o
d e
e n
la
u n
te o ría
g e o m e tría . p ro s ig u ie n d o lo s
e u c lid ia n o ,
p a ra
to d a
( 18) .
W
p á g .
1 7 6 .
f in
d e fin ic ió n
el
e s fu e rz o
m a te m á tic o s
q u e
e n
“ p a r a d o ja d e
la s
s o n
tr a n s m itid o
v in c u la c ió n
p a ra
c ita d a ,
p a ra le la s
h a
la
e x p liq u e
la
q u e
« P re s u m o
d e
q u e
p o s tu la d o
la
p o r
s ig lo
d o s
n o s
e x is te n c ia
p a rte ,
( 1 7 )
p o r
e n
u n
p a r.
e lla s
W
a s in to tis m o
a r b itr a r io
y
q u e
la
( l s ) ra z o n e s
y
la
L o b a ts c h e w s k y
in tr o d u jo
s in
q u iz á el
q u e
q u e
re q u e rid a s
f u n d a m e n ta l:
e n
P u e s to
e s c u e la s
d e l
d ic io n e s
lle g a d a .
d e
a d q u irid o
y
q u e s o n
p a ra le la s ,
d e s a rro llo
a
a l
P o s id o n io
d e fin ic ió n
o tra
d e
p u n to
E u c lid e s
P o s id o n io
la
p o s itiv o ,
P o r
d e
d e sd e
g e o m e tría
n o c io n e s
p ro p ie d a d e s
P ro c lo ,
c o n c o id e .
c a rá c te r
la s
in s is tie n d o
E u c lid e s
é x ito c o sa s
E u c lid e s .
P a r a
e m b a rg o
fu é q u e
re e m p la z a d a
q u e
G e m in o :
s in
el
la s
a n tig ü e d a d la s
ú n ic o
e v o lu c ió n :
d e
1 8 7 .—
ñ a la d o
se r
p ro p o s ic ió n
e q u id is ta n te s . d e fie n d e
h e c h o
e s p a c io
p a ra le la s
X V II
e n
s ig n ific a tiv o s
e s ta
p o s tu la d o
la
u n
d e l
d e
la u n
la
tr a b a jo
fo rm a
c la ro
m á s
d e
q u e
d e sd e
p ro v o c a r
p re s e n ta r
le n ta m e n te
e s te
p u e d e
y
ra s g o s
c ió n
a
e n
a
e u c lid ia n a . d e
E u c lid e s
p o n e r
o
n o
c o rre s p o n d e
p o r
p a r tid a
in ic ia d a
c u rs o
re c o n o c ió
n o
d e
e la b o ra d o
g e o m e tría
d e b ía
a d v e n im ie n to
p u n to
h a n
E n se
E l
q u e
c o n d u c e n
la s
W
a llis
e x is ta
s e ñ a la
p re s u p o n e r fig u ra s
in in te r r u m p id o , p a ra
lo g ra ,
d e m o s tra c ió n
fig u ra
a llis
( p o r d e
la
á ra b e s ,
q u e
c o m o
c o m o sea
u n a el
u n a
la d e
rig u ro s a , fig u ra
c o m o
la u n a
g r a
d e m o s la s
e s te
c o n le m a
s e m e ja n te
p o s tu la d o
c o n o c id a
s e m e ja n te s ),
lo g r a r
I I I
d e
n a tu ra le z a id e a
d e E u -
d e
c o m ú n ,
la s q u e
L o s
e lid e s : u n
Q u e
c a so
e l
d e
la
q u e
fig u ra
c o m o
d e
d irá
ra z a ,
se r
d e
la
a llis
c o n s titu c ió n
a u m e n ta d a
h a
d e
p e rd e r
( 19) .
p u e s to
la s
g e o m e tría s u n
h a n
u n
s u p e rio r
P e ro to d a
g ra d o
p a ra
ilu s ió n
e v id e n c ia
c e b ir- d if e r e n te s ra c ió n
tip o s
p u d ie ra
e s p a c io
se r
la s
1 8 8 .— n o s
tr a d o
c u a lq u ie r
fig u r a
( a
d e
c a u sa
a u m e n ta d le s s a b e r,
p ro p .
V
e t
ili,
d e
p á g .
p a ra
u n a
fig u ra
q u e
p o r
( 2 0 ) R e v u e
d e
se
y
h a n S u r
la
p a la b ra
u n e
la
s ie m p re
c a m b ia d o
c re c id o
o
c la s s e
m é ta p h y s iq u e ,
o tr a
1 6 9 3 ,
q u e
la
n o c ió n
la
p á g .
la
q u e
a lg u n o s
d is ip a n d o
c a p a z
c u a le s
d e
la
e n
c o n
c o m p a
v e n ta ja
te rre n o
la s u r
d e
p a ra
el
q u e
se
v is ta
e n
el
d e lo
m is m a
q u in ti
d e m o s c o m o
m a g n itu d .
in fin ito ,
e s p e c ia l)
p o s tu la ti
h a
p ro c e d e
c u a lq u ie r a l
fig u ra
e
d e
y a
P u e s
ig u a lm e n te la
c a n tid a d ;
d is m in u ir,
E u c lid is
y a
( 1 6 6 3 ) ,
6 7 6 . g é o m é tr ie le s
n o
e t
s o lu tio n s
fo n d e m e n ts § 2 3 4 ,
d e
t.
I I ,
d e
la
h a b e r o
la
d ifie ra
c o n s tru c c ió n ,
d e
o
d e s
n o s
1 8 5 1 ,
g e o m e tría
d e
s e m e ja n z a q u e
p u n to
C o m o
S a c c h e ri
im p e r fe c c ió n
o tra d e
e l
n a tu ra le z a
s u
p ro v ie n e d e
p á g .
e le m e n ta l, te o ría
d e
re h u s a d o
id e a
d e
d e
f ig u r a
la
p o rq u e
p o s tu la ts ,
c o n n a is s a n c e s 5 5 , y
la s
u n
n °
1.
p o c o
p a ra le la s
a d m itir
c o m o
sie n d o
d a d a ,
q u e
p rim itiv a
to d a s
la s
lín e a s
m á s d e
p ro p o rc io n a lm e n te » .
re m a r q u a b le 1 9 0 4 ,
d e
c o n o c im ie n to s
d e c re c id o
la
a
v a lo r,
c o n
d iv is ib le s
p h ilo s o p h iq u e ,
e s c a la
d e
o to r g a r el
se r
lo s
e l
s e m e ja n te
p á g . d e
E ssa i
im a g in a r la
e n tre
p a d re
D e m o s tr a tia
c o n s a g ra d a )
p rim itiv a ,
ju s to
d e sd e
c o n tin u a s
(m a n te n ie n d o
d e
m a te m á tic o d e s p u é s
d e b ía
S a c c h e ri.
el
d e s p re n d e rs e
p o c o s
fig u ra ,
m in o r a d a ,
u n
q u e ,
e n
c a n tid a d , su
S A C C H E R I
d e c is iv a
p o s ib le
c r itiq u e
d e
n e c e s a rio
te rm in a d a
( 20) ,
C o u rn o t,
q u e
o
s u
e ra
c u m p lió
O x fo rd ,
m a y o r a d a
el
f u n d a d o
la d e
s im p lic id a d
p re p a ra r
p h ilo s o p h iq u e s
c o n v e n c e rs e
p u e d e
h a b e rs e
d e
o b ra ,
in f in ito .»
C fr.
m á s
la
n a tu ra l
fig u ra
a l
I I ,
1 3 2 .
c a r a c tè r e s
e m p le a r
n o c ió n
t.
n e c e s a rio s
re fle x ió n ,
(p a r a
la
p u e d e
P r o lé g o m è n e s
le s
s o n
es
p a re c e
O p e ra ,
y
c a n tid a d e s
c u a lq u ie ra
1 8 6 0 ,
s u r
la s
c o n tin u a m e n te
(1 9 ) L iè g e ,
d a d a ,
s e r
d e
e s p e c ífic a
c a rá c te r
e s p a c io s ,
P A D R E
q u e
e s e n c ia
es
re c la m a
e u c lid ia n a s .
V a d a ti
a l,in f in ito )
q u e
a u m e n ta r
« N o
la
e x c e le n te m e n te
e s to
a
fu e
c o lo c a d o ,
p a ra
d e
n o
y
ra c io n a lid a d .
n e c e s a rio
g e o m e tría s
T a l
h e m o s
d e
c u a lq u ie r a ,
c o m ú n ” ,
in s tin to el
in tu ic ió n
e s ta b le c id a e ra
la
e u c lid ia n a s ,
in te le c tu a l,
E L
q u e
d e
e s ta
p o s ib le s
e u c lid ía n o ;
e s ta b le c e ría n
a
e l
n o
p riv ile g io
c o n fe rir
d e
c o n
e v id e n c ia
e u c líd ia n a
e n
c u a lid a d
d is m in u id a ,
A s í, e n
g e o m e tría v is to
o
c e n tr o
s e m e ja n z a
“ n o c ió n
e s tá
la
d e
d e
u n a
c a n tid a d ” :
s in
D e lb o e u f
W
c ír c u lo
c o m o
3 4 5
S a c c h e r i
g e n e ra l
te o re m a
sea,
d e
u n
te o re m a
el
“ n a tu ra le z a
to d a
d e s c r ib ir
d e l
p re s e n ta r
s u s c e p tib le
d e
p e d id o
p a r tic u la r
d e re c h o s o b re
sea
p r e c u r s o r e s
d e
7 9 9
r a is o n n e m e n ts y
sig .
p a r
r é d u c tio n s
à
l ’a b s u r d e ,
3 4 6
u n
L a s
ló g ic o .
d e
lo s
A p lic a
p rin c ip io s
e u c líd ia n a la
d e
r e d u c c ió n
e s ta b le c e r, h ip ó te s is e n
la
d a
d e
y e n
u n a
a b s u r d o .
se
m u e s tra
S e
se
e n
s u
e s ta s
d o s
d ic a d o la
e n
la
m e n o r,
es
s ie m p re
d ic e
q u e
n u n c a
q u e sas
el
m e n o r
q u e s e r
d o n d e
la
u n
s ió n ,
el
A
es
se
s ilo g is m o
d e
la
e n
s e ría
el
q u e
d o s
e n
C
la s
s ilo g is m o
la d e
la
tiv a s
es
S i
n o ,
( 2 1 )
d o s la
p rim e ra
p r im e r
v á lid o .
E le m e n to s ,
( 1 6 9 7 ) ,
c o n s id e
la
fig u ra
m a y o r
fig u ra ,
m e n o r
n o
d e b e
s u p o n e r
e n to n c e s
c o m o d id a d
s ig u ie n te
el
p r e
e s c o lá s tic a
s u fic ie n te
d e v ie n e n
e n y
p rim e ra re g la
la
E s
p o rq u e
la
e s ta
p o r
la
n o
es
A ,
C
n o
e l
es
tip o
p r e m i
d e
e x p re
f o r m a :
B .
d e
es
p re m is a s
e s te
p s e u d o -s ilo g is m o
p o s ib le
s ie n d o
e s c o lá s tic a
c o n e x ió n
D e
la
I X ,
p r e m is a s
a
c o n s tr u ir
v e rd a d e ra s , la
c u a l
S i
o tr a
e l
u n la
r a c o n
p s e u d o -s í-
la
c o sa s,
c o n c lu s ió n
1 2 .
E d .
u n a ,
II,
d e
la s
h a d e
la s
p á g .
d o s
S a c c h e ri:
3 6 2
y
es
d o s
v á lid o . n e g a tiv a p r e m is a s
N in g ú n
s i
n e g a
“ O
a c o rd á is ,
el
o b je tiv o .
a c o rd a d o
s ig .
u n a
p r im e r a
p r e m is a s
a lc a n z a d o h a b e r
P o r
la
m e n o r
c o n c lu s ió n :
d irá
se
d e sp u é s
H e ib e rg ,
la
u n a
a c o rd á is ,
u n a
te n ie n d o
p a rte ,
d e
a fir m a tiv a s
te n ie n d o
fig u r a
S a c c h e ri.
s ilo g is m o
u n iv e r s a le s
te n ie n d o
d o s
o b tie n e
T o d o
fig u r a
p r im e r a
P o r
la s
q u e
e v id e n te s :
fig u r a
c o n c lu s ió n .
re c h a z a n d o
é x ito
B ,
re g la
la
la
d e
la
m is m a
S a c c h e rí
n a d a
d e
b ie n ,
le g ítim o ,
p r im e r a
lo g is m o n o
la s
d o s
d e
a fir m a tiv a s .
n e g á is
la tie n e
c o n tra d e c ir.
u n iv e r s a le s
o
es
c u a l,
d e
q u ie re
q u e
d e
s ilo g is m o
e s ta b le c id a ?
es
tip o
e fe c to ,
s ilo g is m o
u n
la
d e m o s tra r,
e l
e je m p lo
s u je to
A h o r a
n in g ú n
p ro p o s ic io n e s
te n ie n d o
es
el
to m a r á
A
p re c is a m e n te
a q u í,
la s
fig u r a
S i
p re te n d ía
N in g ú n n o
r e g la .a
se
e n
m é to d o
d e d u c ir
es
lla m a re m o s ,
le g ítim o .
H e
p u e d e
p ro p o s ic io n e s
y
E l
te o ría
s u til
A ;
q u e
z o n a m ie n to
p a rte ,
es
d o s
fa ls a ;
la
q u e
v e rd a d e ra
e le g a n te
la s
n ie g a
lo g ís m o
el
ra z o n a m ie n to
L u e g o
c lu s ió n
c o m o
fa ls e d a d .
m e d io e n
N in g ú n
se
p ro p o s ic ió n
n o
n o
T o d o
S i
la
e n
e la b o ra c ió n
B ,
C
d e c ir,
p s e u d o -s ilo g is m o ,
d e v ie n e
fa ls a
se r
es
d e m o s tra c ió n
u n a
¿ p u e d e
re g la
d e
e n
la
e n c u e n tra
d e m o n s tr a tiv e
a firm a tiv a .
n e g a tiv a ,
p a ra
se
s ig u ie n te s :
té r m in o
es
á t i c a
es
s u
L ó g ic a
p ro p o s ic io n e s
e n
y a
re c o n o c e
p ro p o s ic io n e s
a t e m
q u e
re to m a r
T o d o
s ilo g is m o
q u e
y
p la n te a d o
P a r a
m
s is te m á tic a
s u p o n e
N in g ú n
d e
f i lo s o f í a
( 21) ,
q u e
h a b ía
fo rm a l.
d o s
la
m a n e ra
n ú m e ro s
m é to d o
la s
d e
ra z o n a m ie n to
a l
q u e
e s te
d e u n
lo s
ló g ic a
re m o s
e ta p a s
la s
p re -
E l
m is a s ,
c o n fe s á is
fo rm a
la
q u e
n o
c o n c lu s io n
rig u ro s a
c o m o
se
p u e d e
irre s is tib le m e n te
d a d
C o g ito
m a l. la s
E l
el
e s fu e rz o
ra d a .
E n
e n
L o g ic a
e n
lo s
d e
la
o
p o r
e fe c to ,
c u a le s ,
lo
c o n fo rm e
a
u n a
d e
d e
d e
lo s
S a c c h e ri,
C o n
u n a
c o n s id e ra c ió n
í
1 1 )
e n to n c e s
o b tu s o
o
u n
v a lo r
c re y ó
d e m o s tra r
e n
la
d o s
p o s tu la d o p e rfe c ta
L ó g ic a
(2 3 )
C fr.
u n a
V I
d e
E x is te
1 9 2 3 .
p á g .
1 5 i
N .
to d o
y
es
y a
el le
a
d e
h ip ó te s is
p o s tu la d o ,
lo s a
lo s
to m a
in te n
R íe m a n n .
c o m o
C
b a se o
B C .
E d d ín - a l- T u s i)
se r
d e
d a d o
la
m e jo r
L o s
p u e d e
p o s tu la d o
h a b ía
p s e u d o -
la s
A B C D , L M
re c to s ,
G .
( tr .
o :
a
la
d e
á n r e c tc
E u c lid e s
el
c o m e n ta
(23) ,
q u e L e
o
a
u n a
b ie n
q u e
c o n s e
a p a re z c a
h ip ó te s is
d is im e tría
d e l
a lg u n a s c o n c e b ir
q u e
la
e s e n c ia l d e
h a s ta e s ta s
h ip ó te s is
lo
c u y a s
d a ría
e u c lid ía n a .
b a s ta n
V u lg a ta
d e
p re s e n ta n
la
h ip ó te s is
s e g u ir
te s is
p ro p ie d a d
la
p á g .
d e l
lo s
á n g u lo
p ro p o s ic io n e s d o s
re c ta s
c o lo c a , d e l
c u rio s a .
o b tu s o
d is tin ta s
s e g ú n
e s p a c io ,
E le m e n to s .
es
p a ra
S a c c h e ri,
p re c is a m e n te
H a y ,
p u e s ,
c la
e n
D ie
e s p a ñ o la
d e
V a ila ti,
a rt.
c it.,
N ic h te u k lid is c h e G u tié rre z
d e l
p á g .
8 0 5 .
G e o m e tr ie ,
A rro y o ,
C a lp e ,
L e ip z ig , M a d rid ,
T ra d u c to r. E u c lid e s
p r im a
E n sa y o
1 3 2 ,
L ie b m a n n ),
tra d u c c ió n
S a c c h e ri:
s ta b iliu n tu r lu n a r
tr a ta
d o s
e lim in a c ió n
c o n d u c e
d e m o n s tr a tiv e .,
B o n o la
1 3 .
d e
la
e s te
p e se
is ó s c e le s
a g u d o ;
c o m u n e s ;
c o n
p á g .
(2 1 )
é s te
h ip ó te s is
h ip ó te s is
1 9 0 8 ,
q u o
s e g u ir
g e o m e tría
( 24) .
( 2 2 )
c u s
d o s
p r o b a r
p u n to s
c o n tra d ic c ió n
rid a d
la s
c o n tra d ic to ria .
q u e
tie n e n
el
n o ta b le ,
N a s ir
la
a p o d íc tic o
p o d e r
a b s o lu ta m e n te
c o n
a
in e s p e
v is to
p a ra le la s
trirre c tá n g u lo
q u e
b ie n se
f o r m a l:
P r o b á n d o la s ,
q u e
a
la
f o r
d e b id o
d e
E u c lid e s ,
v o lv e r
a
ló g ic a
p e ro
tip o s
a n tic ip a ,
s ie n d o
( y
p e rs a
la
3
1 1
c o n tra d ic c ió n
S a c c h e ri
h a b la r ,
B
fo rm a
tr a n s f e r ir
e n
h e m o s
L o b a ts c h e w s k y
,
se
v e r
e q u iv a le n te .
d e
M
c u e n c ia s u n a
d e
ta n
la
fe c u n d id a d
le
h a c e r
b írre c tá n g u lo
L ,
la
ris ta A
F ig .
q u e
p o s tu la d o
c u a d rilá te ro
(fig .
A
u n a
e s ta
n e g a c ió n .
a h o ra
c o n s titu ir
s u m a m e n te
g u lo s
e n
a
c o m o
fra c a s a r;
d e
d e
p u e s ,
e s c o lá s tic a
p o rq u e ,
se r
a
es,
re g la
p r o p ia
a
d u d a
v a
d e lo s
c u a d rilá te ro
C
l
e l
la
p s e u d o -g e o m e tr ía s ,
o b ra
d e l
D
v a
m a rc h a
a c a b a m o s
la
d e
su
re v e la
p ro p o s ic ió n
p e n e tra c ió n
d e l
la
p re m is a s
e x p e rim e n ta d o
c o n s e c u e n c ia
e s ta s
q u e
a
fa ls o
p o r
e n
s in se
S a c c h e ri
s u p u e s to
tre a c íó n
s ilo g is m o s
d e s tin a d o
te n d ría
m e n o s
L a
h a
e n c u e n tra ,
d e d u c tiv a ,
fa ls e d a d
c io n e s
e s tá q u e
d o s
h u m a n o ,
S a c c h e ri q u e
d e
d e m o s tra c ió n
v e rd a d
a firm a
d e
p ro c e d im ie n to
d ific u lta d e s
s u
se
e s fu e rz o
la
L a
e s p íritu
c a rte s ia n o ,
1 8 9 .— - E l g e o m e tría
a l
s a c a r
( 22) .
d e s e a r;
3 4 7
S a c c h e r i
le g ítim o
d e s e a d a ”
im p o n e d e l
es
'p a d r e
ip s a e
a b
o m n i
u n iv e r s a e
g e o m é tric o
c o n
e l
n a e v o
v in d ic a tu s
g e o m e tr ic a e c u a l
se
s iv e :
p r in c ip ia .
e s ta b iliz a n
lo s
C o n a tu s
g e o m e tr i-
(E u c lid e s
v in d ic a d o
p rim e ro s
p rin c ip io s
3 4 8
L a s
P o r e n
la
el
lo g ra
y
u n
a
la s
¿se
p u e d e
su
q u e
c o m o
h a b ía a b
v ís p e ra s
d e
s u
la
a l
fin itiv a , s u
la
sí
c o n tra d ic c ió n ,
m a n e ra
la
d e l
q u e
e s ta
le s h a b í a n
s id o
la s
tra z a d a s
d is e ñ a d o s e n
p o r
el
n o
N a d a
es
m á s
b a ts c h e w s k y ,
ta l
d e
d e fin ic ió n
1 8 5 5 .
L a
in s u fic ie n te q u e
e n
u n
d a d a ,
d e
p a ra
im p id a
p re n d e n
la
u n
p la n o ,
m is m a d e
d e
la
S o c ié té X
el
n o
R IE M
la
p o r
d e
u n iv e r s a l) .
p á g .
d a d o ,
a
M
1 7 3 3 ,
d e
ilá n ,
h a n
(2 5 )
P r o p .,
7 0 .
(2 6 )
P r o p .,
X X X I X ,
E s c o lio ,
p á g .
9 8 .
(2 7 )
P r o p .,
X X X I X ,
E s c o lio ,
p á g .
9 9 .
su
L ó g ic a c o n
L ó g ic a
fra c a s a r
lo s
la
( 27) ,
e n
q u e
d e
lle v e
a
e u c lid ia n a .
c o n s titu id o tra z o s
m is m o
d e
p r o p ó s ito s
te s is
d e
la s
d e
la
e n
la
p o r
d e
u n a
e s e n c ia
L a m b e rt,
p u n to
y
p r o -
a
d o s u n a
lla m o
y
d e
L o
h a y
re c ta s
q u e
p a ra le la
p r o p .,
X I V ,
c lá s ic a
n o
re c ta
lím ite
X I V ,
id e a s
P a n g e o m e tr ía
g e o m e tría
re c ta ;
re c ta
t.
s u e n
A N N
“ D a d o s
B ru x e lle s ,
d e
1 7 3 2 ,
a g u d o . a
c u y o s
el
lín e a
la
s u
m a rc h a
L o b a ts c h e w s k y ,
s c ie n tifiq u e
q u e
p a ra le la
s e c a n te s :
e n
e je m p lo ,
p a ra le la s , s o la
d e
p o s te rio rm e n te p o r
Y
q u e
u n a
n o c ió n
p u n to
X X I I I ,
S K Y
s u rg e , la s
y
p la n o
c la ro
d e
re c ta s
e s c rib irá p o r
g e o m e tría la
e lla
c a ra c te riz a r
e x te n d e r h a z
tr a z a d a
A n n a le s
c o m o
B o ly a i,
h a s ta
d e m o s tra r
ig u a l
c o n s i P a re c e
p e rfe c c io n a r,
c o n tra
e u c lid ia n a ,
S a c c h e ri,
m is m o
a
á n g u lo
p u e d e
a l
c o n
L O B A T S C H E W
1 9 0 .—
se
n o
(26) .
d e s p u é s
d e s tin a d a s
v o lv e rá
c o n s e rv a rs e ,
g e o m e tría
d e l
lín e a
p u b lic a c ió n
tr a z a d o
e s tá n
n o
c o n ju n ta m e n te
a ñ o s
s id o
se
la
la
m e ta f ís i
S a c c h e ri
a p a re c ió
se
c o m ú n
d e
fo rm a
d is c u s ió n
su c e so re s
h ip ó te s is
m é to d o
h ip ó te s is ,
p o s itiv a ,
re c ta s
d e
h a
u n a
la
n o
a g u d o ,
n a tu ra le z a
p o s ib le
c in c o su s
te n ta tiv a s
m e re c e rá
L o b a ts c h e w s k y ,
y a
la
la
s a tis fe c h o ;
á n g u lo
fo rm a l? d e
q u e
d e d u c c io n e s
p e rp e n d ic u la r
c o n s e rv a
fu e
c o n tra d ic c io n e s
d e
d e l
u n a
c o n tr a r ía q u e
tr e in ta
m o d e lo
e s ta s
la
h ip ó te s is
c o m o
in v ita
c u y o
a p lic a c ió n
p r o m o to r ;
y
c o s ta
c o m p le ta m e n te
te n d r ía n
v in d ic a tu s ,
a b s u rd o
S o la m e n te
la
á t i c a
d e s c u b rir a
e s tá
d e fin itiv a
ta n to
S a c c h e ri
a
c o n tra d ic c ió n
s o lu c ió n
m u e rte ,
r e d u c c i ó n 'a l
e n
a t e m
q u e
m is m o
q u e
m
lle g a
m á s
a g re g a ,
u n a
la
n o
a s e rc ió n ,
n a e v o
m é to d o
él
q u e
E s to , e s ta
re tra s a d o
o m n i
d e m o n s tr a tiv a , fo rm e
n i
lín e a s
d e d u c ir
o b ra
E u c lid e s
d o s
d e
f i l o s o f í a
a g u d o
m o s tr a r
c o m ú n .
la
S a c c h e ri
c u a le s
P e ro
d e
á n g u lo
c o n c e b ir
( 25) .
d e ra s e r
d e
p u n to
re c ta ca,
d e l
s o la m e n te
lle g a ría y
c o n tra rio ,
h ip ó te s is
b o rio s a s
e ta p a s
e n tre
p á g .
1 9 .
1 8 8 9 -1 S 9 0 ,
y
u n a
c o m p u n to
la
re c ta
a q u e lla s
C fr. p á g .
es
n a d a
d e
M a n s io n , 3 5
y
sig .
L o b a t s c h e w
to n g a d a s s o b re
d e
L a s q u e d e
la
q u e
a
e s ta
n o s
lo s
p e rm itid o
lo s
E s te
c io n a l
o
in tu itiv a ”
v e rd a d ,
d ic e
e n
m e d id a s
si
n a d ie
h a s ta
e s te
d e
d e
A
la
c o n d ic ió n
d e
la
triá n g u lo
g a r
a
d e
se r
la d o s
la
fu e s e n
m u y
e u c ’i d í a n a
sí
n o
y
la
y
a b a n d o n a te n ía
m o
re le g a n d o
tie m p o
rie n c ia
q u e
d e
la s
q u e
c u la r ”
( 31) .
e n
s u p e re
( 2 S ) y
II,
c u a l
d o s
la
E n
d e
p á g .
la s
a
la
s u m a
á n g u lo s
P a n g e o m e tr ía ,
r ig u r o s a
V o l.
—
el
a
d e c ir,
o
6 1 8 ) .
( 2 9 )
I b id .,
p á g .
6 1 7 .
(
3
0
)
I b id .,
p á g .
6 7 8 .
(
3
1
)
I b id .,
p á g .
6 1 9 .
la
d e
lo s
a
d o s
c o n
la s
“ n o c io
e n
d e
la s
r a
d u d a
su
n in g u n a
e lla ;
y
triá n g u lo s
e rro re s
la
á n g u
e v id e n c ia
e n c u e n tra d e
q u e
c lá s ic a :
p u e s to
se
re s
p ro p o s ic ió n
u n a
h a
p o rq u e
re c tilín e o s
m e d id a s
s a tis fa rá
s u m a
d o s
d e
lo s
á n g u lo s
p o d ría ,
m á s
el
ig u a lm e n te á n g u lo s
re c to s ;
s e g ú n
e n
d e
d e b e n
el
d e
q u e d a ,
u n
p u e s ,
L o b a ts c h e w s k y ,
e s p a c io
la s
tr iá n g u lo s
q u e
a p a re c e r la
lle
c u y o s
tro p e z a b a n
d a n d o
la
g e o m e tría
lo s
d e
c o m p e n d io (C o le c c ió n
n o d e
h a y u n
d e
d e
g e o m e tr ía lo s
fu n d a d o
tra b a jo s
filó s o fo s a l
m is
d e
a p a
p o r
la
c a so
n in g ú n
u n a
p a ra
re c tilín e o
c re ía
d e
el
p a r ti
lu g a r
triá n g u lo
so b re
p o r
g e o m é tric a
c o m o
g e o m é tric o s
in tr o
n o m b re
“ te o ría
L o b a ts c h e w s k y
d e
g e o m e tr ía
lo s
p ro b le m a s
ese
u n a
g e o m e tría
c ie n c ia ,
e n to n c e s
o rd in a ria
á n g u lo s
in c lu s o
lo s
S u s titu y ó
id e a
P a n g e o m e tr ía d e
la
c o n s id e ra d a s .
a n te
n a c ie n te
m a te m á tic o s
im a g in a ria s .
ló g ic o ,
ig u a lm e n te
d e n o m in a c ió n d e
fic c io n e s
lo s
la
v is ta se r
p rim e ra
re c to s ;
p a r a le la s .
P a r a
c o n d ic io n e s
ig u a l
d e d u c e n
lo s
p u n to
la
lo s
c o m p re n d e
1 9 1 . te m a
el
e n tre
c a n tid a d e s
es
s in
( 30) .
d e
c o n
es
se
in c o n v e n ie n te
e v o c a b a
P a n g e o m e tr ía ,
g e n e ra l
el
c a m p o
in e x tric a b le
d u c c ió n -d e
a l
q u e
g e o m e tría
im a g in a r ia ,
q u e
d e
c u a l
q u e
d e sd e
n u e v a
la
la s
g e o m e tría
n o
d e
c o n s id e ra ra n
L o b a ts c h e w s k y
c o m o
la
m e n o r
g ra n d e s
ta n to ,
p re s e n te
c o n tra d ic c ió n
e n
se
s o b re
d a to s
( 28) .
d ife re n te
g e o m e tría ?
la
p u n to
( 29) ,
e x p e rie n c ia ,
d e c is iv o
E n tr e
es
lo s
q u e
lím ite s
d e
g e o m e tría
re c tilín e o
c rite rio
lo s
d e
e s te
c o r ta n ”
d e s a rro lla rs e
e x c lu s iv a m e n te
á n g u lo s
te o re m a ”
s is te m a
e l
lo s
e s ta
“ p o rq u e
c o n s e c u e n c ia s
d e n tro
c o n
el
la
g e o m e tría
v e rd a d e ra
c o n
es,
u n a
r e c tilín e o
d e m u e s tra
d e sd e
n o
p u e d e n
re fle x io n a r
c o m o
s ó lo
3 4 9
q u e
p u e s
d is tin tiv o
d e c ir,
la s
h a y
tr iá n g u lo
se
a n n
tr a z a d a
v e rd a d e ra
es
d ire c ta s
c o n c u e rd a n , p e rfe c ta s ,
lo
L o b a ts c h e w s k y ,
c o n tra d ic c ió n la s
¿ E s
u n
te o re m a
fu n d a m e n ta le s ,
i e m
c o n c e p c ió n
a tr ib u ir
d e
R
a q u e lla s
n e c e s a rio
c o m o
á n g u lo s
y
a lg u n a ;
o r d in a ria .
c o n s id e ra r
r e s to s .
e s ta
es
y
p e rp e n d ic u la r
c o rta n ,
d e
p re g u n ta ,
h a n
d e
la la
c o n tra d ic c ió n
g e o m e tría
s u m a
d e
q u e
c o n s e c u e n c ia s
p u e d e
n e s
la d o
d a d a ,
a p a re z c a
p o n d e r
se
u n
la ; r e c t a
s k y
h a b e rlo
te o r ía
g e n e r a l
L o b a ts c h e w s k y ,
el
s is
3 5 0
L a s
e x c lu id o d o se
a
m e d ia n te
lo
q u e
s e r
la
m á s
p le ta m e n te n e r
e n
u n a
p o d ía n
ju z g a b a n
d e b ía
d ifíc il
n o
s in o
c e b ir
s u p e rfic ie
u n a -
la
c o m u n e s ,
u n a
h a b e r
g e n
d ie
( 1 8 5 4 ) q u e
c o n s tr u ir v e rs a s
el
d e
c ie
d e
g a r
el
d e
c rim in a c ió n c o n s is te lu g a r
d e
e n
d e
lo s
d e
\
d
d x
c o n s titu c ió n
s ig u ie n te s ta n c ia se
h a
s id o
p ia
d e
la
a l
d e l
la s
(3 2 )
(3 3 )
v é a s e
( 3 4 35)
K le in ,
L a u g e l, (3 5 ) p á g .
e n
1 8 9 8 ,
e l
p á g .
G a u s s : 2 1 9
y
s ig .
;
s u p o n e
d e
g e o m e tría
T o m
a
q u e
e n e sp e
p r im e r le jo s d e
lu
la
d is
R ie m a n n
p e q u e ñ o , c o m o
e x p re s a b le
m a n e ra
la
c u a lq u ie ra
R ie m a n n
s in
d u d a
tr a b a jo s
( S5) .
e n
el
a
o rig in a l,
d e
G a u s s
n u e s tro
s u r
p la n te a
la
la
e n
b a s e la
e l
fo rm a
p ro b le m a
sea
el
th é o r ie
p e ro
e s p a c io
d e s
d e
lu g a r la
d e
e n
la
tre s
p a r a llè le s ,
lo s d is
q u e
e lla
d e
c u r
c o n s titu c ió n
c u rv a tu ra
n o c ió n , d e
e n la
n o c ió n
c u y a
s o b re e s ta
e n to n c e s
m e d id a
in tr o d u jo
G e n e ra liz a n d o
é tr iq u e
p á g .
se
c o n d ic io n e s
m is m a ,
lo s
g é o m
m é tric a
q u é
p a r tic u la r
1 8 9 5 ,
in f in ito .
“ q u e
(84)
n o c ió n
R e c h e r c h e s
H o ü e l,
in f in ita m e n te
re s o lv e rlo ,
y
e n
p ro c e d im ie n to
e s p a c io
d i
c a d a
m á s
lo
el
d e
la s
k
s u p e rfic ie s
e s p a c io ,
lle v a r
el
e n
tr á ta
e s ta b le c e rs e
in te rv e n ir d e
lie lo s
u n id o s .
c a ra c te riz a rá n
h a c e r
tr a ta r á
d e
R ie -
e n tre
d e te rm in a n d o
e s p a c ía le s :
¿ b a jo
p o r
q u e
d e
a n a lític a s ;
e s p a c io
in tr o
G r u n d e
d is o c ia c ió n
s u s c e p tib le s
p u e d e
lin e a l,
u n a
e s p a c io
la
p u n s o b re
p a re c ía
m e m o ria z u
la s
c o n
d o s
( 32 3 ) ,
in d is o lu b le m e n te
y
S e
L a
p o
d e
c o n tra ria ,
G e o m e tr ie
p u r a m e n te d e
c o m
tra z a d o s
e s p a c io
d x
s ie n d o
P a r a
p o s ib le
tra d u c c ió n
IV ,
d e
s e g u irá
v a tu r a
el
i
té rm in o s :
e fe c tú e ?
se
g o lp e
ik
la
e s ta b a n
m é tric a s
te n e r
E u c lid e s
d u d a .
d e r
es e x ig e
n e c e s a rio
p u e d e n
e fe c tu a d o
g e n e ra l
A s í
d is ta n c ia
S
h a
E s
q u e
o b tu s o
in d e m o s tra b le
m á x im o s
d e
a c u e r
á n g u lo
p o rq u e
p ro p o s ic ió n
to d a
n o c io n e s
tip o s
d e
la
d e
S a c c h e ri
a b s tra c c ió n
e
re c ta s
w e lc h e
d im e n s io n e s .
c o n s id e ra r
d a rs e
e le m e n to
=
d e
q u e
e le m e n to s ,
m u ltip lic id a d .
d e
q u e , d e
d e l
p a ra le la s .
E le m e n to s
e n to n c e s
m á s
la s
la s
d e
E s
g e ó m e tra ,
c írc u lo s
se
re la c io n e s
m u ltip lic id a d e s
el
d e
lo s
a b rig o
d e
e s fu e rz o
d o n d e
lo s
c o m o
c o n c e p to
tre
d s
a l
p a rte
n ú m e ro
e n
h ip ó te s is
d e
H y p o th e s e n
h a s ta
fo rm a s
e n
á t i c a
( s2) .
d e te rm in a d a
m is m a
a rc o s
m u e s tra
R ie m a n n
E l
m ie n tra s
s ie m p re
lie b e r
e le m e n to s
p la n a lo s
la
p a ra
p ro p ie d a d
a t e m
in v e s tig a c io n e s
fá c il,
m e n o s
p o s tu la d o
e s ta d o
m a n n ,
m á s
m
f o rm a l
la s
re a liz a r.
a l
e s fé ric a ;
c o m o
f i lo s o f í a
p re v e r
e x is te n c ia
c o m o
s u p e rfic ie
d u c id a
d e
u n a
la
d e m o s tra c ió n
h a c e r
d ife re n te ,
d u d a
d e
re fu ta c ió n
p a ra le la s ,
to s
e ta p a s
p r o
a p lic á n d o
d im e n s io n e s ,
p ro p o s itio n
n °
1 9 ,
7 .
§ 5 3 .
C o n fé r e n c e s
s u r
le s
M
a t h é m
a ti q u e s
(C h ic a g o ,
1 8 9 3 ) ,
tra d u c c ió n
8 6 . D
i s q u i s i t i o n e s
H e
a q u í
c o m o
g e n e r a le s
se
c ir c a
p u e d e ,
s u p e r fic ie s
s ig u ie n d o
a
c u r v a s
L é c h a la s ,
( 1 8 2 7 ) , p re s e n ta r
Œ
la
u v r e s ,
id e a
L ó b a t s c h e w
R ie m a n n h a c e n q u e
e s tá
e n
p o s ib le
s a tis fa c e n
la
lib r e
m a rc o
m á s
u n a
p a rte s ,
p a ra
d o s
d a s
es
e n
la
se
la
m a y o r
c u a l
lo s
c o m u n e s ,
c o m o
f in a lm e n te
se rá
g e o m e tría
d e
la
la
c u rv a tu ra
c u rv a a
c e rra d a
la s
n o rm a le s
p u n to s
d e
c o n ju n to in te r i o r
s o b re d e l d e
d e
la
la
le y
e n
M ,
h a y
s o n
e l
la
e l
s e g ú n
S e
es
R e v u e
m á x im o
d e
A n n a lé s C fr. R e v u e
c o n es
S e g ú n
G a u s s
S i
e l
o
a
W
e r k e ,
E s s a i
2 *
c o u rs
L e s
la s
e n
lo
h a
e s tu d ia la
g e o m e tría a
lo s
tr iá n
d o s
u n a
se r
d o s
1 8 9 6 ,
c u rv a s
p u n to s
e sfe ra ,
in f in ito ;
e s
s c ie n tifiq u e s ,
d e l
p á g .
p a r te
se
d e
ra d io s
y
e n é s ta
es
e t
la
ig u a l la
la
lu e g o
d e
lím ite
d is tin to s
c u rv a tu ra
u n
d e
e l
d e
la
p o r
e le m e n to
s u p e r fi
d is tin to
g e n e ra l u n
d e
s u p e rfic ie v e
d e
q u e
la
c u rv a tu ra
s e n tid o ,
g é o m
p u n to
p rin c ip a le s ,
se
ra d io s
e n
a lre d e d o r
a d o p ta d a
p rin c ip a le s ,
d is ta n c e
e l
e n
c o n s id e ra d a
lla m a d o s
d o s
p o r
in d e p e n d ie n te
s u p e rfic ie
lo s o
lo s e s fe ra
re g ió n
u n a
p a ra le la s
c o m p r e n d id a
la
c u rv a tu ra ,
p ro d u c to
e n la
e x p re s ió n
d ire c c io n e s
d e
d e
m e d ia n te
tr a z a n
in d e fin id a m e n te
so b re
c o n s id e ra
s e a n
s o b re
in te g ra l,
la
se
s u p e rfic ie
in te g ra l
d e
1,
s u p e r f i c i e
e stre c h a
e m p le a r
re g ió n
ra d io
la
c u rv a tu ra
c o u r b u r e
é tr ie
la
c u r
g é n é r a le ,
1 9 5 .
1 8 9 2 , d e
la
p á g .
la
s e g u n d a
2 8 2 ;
tra d u c c ió n
g é o m é tr ie
n o rm a le d e
a
c o n s id e ra d a ,
la s
u n a
d e
d e te rm in a d a
tra z a d a s
se
ra d io s L a
l 'E c o l e
a x io m
e s ta
s í,,c u y o s
in v e rs a
lim ita
ta n g e n te s
la
p a ra
a
se
e s fe ra
c u rv a tu ra
re g ió n
S i
e d ic ió n ,
a
tie n d e
m ín im o .
la
u n a
re g ió n
la
p a ra le lo s
e s to s
d e
m e n o r
p o s itiv a ,
tie n e n
m á x im o s
es
u n a
a n á lo g a s
s in
c u rv a tu ra
s id o
es
se rá
s u p e rfi
B e ltra m i
o b tie n e
g e o d é s ic a s
re g ió n
to ta l,
d ’i n t e r p r e t a t i o n
s c ie n tifiq u e s
H e lm h o ltz ,
la
e n tre
n e g a tiv a .»
m é ta p h y s iq u e ,
la
e s ta
c u a l
to d a s
o tro
d e
p la n o s
lla m a
a h o ra
la d o s
q u e
y a
u lti e s to s
n o
la
la
h a b ía n
p ro p ie d a d e s
s u p e rfic ie ,
r e la c ió n
c u rv a tu ra
ig u a l
p o s itiv a
d e s
[ c o n
d is m in u y e
e l
S i
to d a s m
E n
triá n g u lo
c u rv a tu ra se
ilim ita d o
c e n tro
d e
e n tre
y
u n a
e l
lo s
h a c ia
su s
( 38) .
s ó lo .
c o m o
la
c írc u lo s
a
e s
s u
d e
es
s u p e rfic ie
p e rp e n d ic u la re s
to ta l
(36) (S7)
p o r
q u e
c u a l
q u e ,
p rin c ip a le s . v a tu ra
la
sa b e
re c ta n g u la r, c u rv a tu ra
lo
lím ite
M ,
u n o
so b re
s i,
d a d a .
p u n to
d o s
« S i,
re c ta s
c u r v a \
M ,
e l
m e n te .
e s ta s
S i
re c to s ;
e n la s
re c tilín e o
d e l
p ro p ie d a d e s
lín e a s
d e
u n o
a s í,
d e
d e
es
e s p a c io
c o n c lu y e
c e ro
fu n c ió n
á n g u lo s
p e ro
el
R ie m a n n
p a r te s "
u n
g e o m e tría
q u e
a
d e
a
R ie m a n n .
y
la
e n
la
p a r tic u la r
e n
a x io m a
p a r te s ,
ig u a l
tr iá n g u lo
e s tá lo s
e n
m é tric a
c a so
u n
el
c o rre s p o n d e n
to d a s
es
q u e
d e fo rm a c ió n ,
ta rd e
p a r te s .
to d a s
e n c o n tra r
la s
p e rp e n d ic u la re s
c u rv a ,
s u p e rfic ie
p u n to
c ie
o
la d e
p ro p ia .
a rb itra ria
lo d e
e s p a c io
d e
e n d e
g o z a n
a rc o s el
u n
B o ly a i.
d o n d e
lo s
d o n d e
c o m o
á n g u lo s
tr iá n g u lo s e n
to d a s
e n
c u rv a tu ra
c u y a s
y
d o s
n u la
d e te rm in a d a
a
g e o m e tría
q u e
e s fé ric o s ,
e n
c u y a
in tr ín s e c a s
s in
e s p a c io :
g e o m e tría
u n a
s u m a
v u e lv e
d e
d e
c u a n d o
L ó b a ts c h e w s k y
es
g u lo s
y
m á s
es
á n g u lo s
la
fig u ra
re la c io n e s
e u c lid ia n o
q u e d a
tr iá n g u lo
( 37) ,
p o r
s u m a
lo s
m é tr ic a s
u n a
lla m a r á
c o n s ta n te
p e ro
n e g a tiv a ,
re c to s ,
v e r
d e
d e
351
a n n
e s p a c io
c o n s id e ra d a s
re c to s ;
R i e m
e s ta s
c o n s ta n te
c u rv a tu ra
to d o
c o n s ta n te
h e c h o
se r
s u m a
d o s
tip o
d e l
m u ltip lic id a d e s
d e
la
a
el
y
v e la c io n e s
b ie n ,
e x is te n c ia
c u rv a tu ra
p u e d e n
e s p a c io s
la s
H e lm h o ltz
A h o r a q u e
la
“ la s
p lic id a d e s
q u e
q u e
c u r v a tu r a
p a ra
e n to n c e s :
c ie
lo
a m p lio la
s u fic ie n te
ig u a l
a
d e
d e s p la z a m ie n to
m o v ilid a d .
e u c lid ía n a
te n g a
p o s e s ió n
el
s k y
n o n
s u p é rie u re ,
g é o m é tr ie ,
s e rie ,
t.
l e u r
X I I ,
L a u g e l,
e u c lid ie n n e ,
t.
V I,
1 8 6 9 ,
o r ig in e
e t
1 8 7 7 ,
p á g .
1 8 9 8 ,
p á g .
tra d u c c ió n p á g . l e u r
1 2 0 1
2 5 1
2 9 2 .
H o iie l. y
s ig .
s ig n ific a tio n .
b .
3 5 2
L a s
e ta p a s
d e
L A S
1 9 2 .- — m in a d e
d e
-E l
D e
el
le jo s
q u e
to d o
s id e ra la
la
o b ra
d e
lo s
a
e l
d e
la
e n tre
d o s
e s te
s im p le
e u c lid ia n a . m o d e lo
m in a c ió n
p a ra
la
q u e
c a te g o ría
c o lo c a n d o
e n te n d im ie n to
d e
la
ló g ic a
es
d e
h a c e u n a
re c ib e e n a
u n a lo s
d e c ir,
q u e
a ú n
( 88)
:
es
a
e n
lo s
q u e
n o
la
g e o m e tría
e m b a rg o ,
d e te rm in a c ió n
es
d e
c o m p re n d id a
q u e s in
q u e c o n
h e c h o
o b s e rv a r
lím ite s
p r io r i
c u e n ta d e f in i
a c o n te c ió
fig u ra
c ie rto ,
lo s m á s
q u e
d e
le
p u r o
c la ra m e n te E s
e n c e rra d o
q u e
e ra
L o
fo rm a s
f u n d a d a y
/a
d e
L a
lo s
es
la
e ra
A h o r a
d e
la
g e o m e tría
c o n c e b id a
e x c lu s iv a
q u e
d e m a
s o b re
el
d e
la
d e te r
ju ic io s
y
la s
c u y o
lo
R e v u e
( 3 9)
A ,
n o
g e o m e tría
lle g a
d e l
d o m in io
d e
d e l
p o r
b a jo
a
la
eso
m e n o s
re s titu y e ju ic io s
c o n tr a d ic to
s in g u la r
ra d ic a l
a
lo s
im p e rio
e u c lid ia n o ,
“ in c o m p u e s to ”
c o n c lu s ió n
d is tin c ió n
lo s
el
e s p a c io
re p re s e n ta c ió n ,
la
s in té tic o s ,
fu e ra
c o n s e rv a d o
e ra
la
s o b re
la
ló g ic a s . h a b ía
N é o -s c o la s tiq u e , A K B ,
g e o m e tría
s u b s is te
fo rm a s
2 2 0 .
la
d ife re n te
d e
e s e n c ia l
q u e
q u e
m e c a n is m o
(3 8 )
d e
h a b ía
d e
ju ic io s
a n a lític o s ,
lo s
d e
q u e ,
ju ic io s
s in té tic o s
e s to
es,
q u e
in a d m is ib le .
b ie n ,
a s im ila c ió n
s í,
C r ític a
e n te ra m e n te
c a ra c te rís tic a
c o n tr a r io
e n
n e c e s a ria s
h u m a n id a d .
lo
tiv a ,
v is to
lo s
c o n tra d ic to rio
tu ic ió n
K a n t
d a r
a g re g a r
q u e
rie m a n n ia n o
to d o s
a n s io n ,
re fu ta c ió n
e m b a rg o
p u ra .
d e
J u s tif ic a
M
te r
rig u ro s a
lle v a n d o
p re te n d ía n
P o d e m o s
u n a
s in
y
q u ie n e s ,
k a n tis m o .
c o n c e p to
H a
ló g ic a
g e o m e tría .
c o m o
K a n t
se r
p r io r i
d e l
p rin c ip io s
la s
a n a lític o s a
lo s
n o
la
la
rie m a n n ia n a la
S a c c h e ri a
ló g ic a ,
d e
in tu ic ió n
c o n
p a ra
el
ló g ic a ,
p u ro ,
c o n tra d ic c ió n .
e s ta n d o
d e
ta le s
e m p ír ic o ,
la
d e
s u e ñ o
u n
ló g ic a
e s té
fo rm a
d e l
r io
d e
e n
a
tr a z a d o
s e ñ a la
( 89) .
a g re g a d o
g e o m e tría
e u c lid ia n o s .
e u c líd ia n a
la
á t i c a
o p u e s ta .
A u n
p a r a
lo s
p u r a ,
a
la
p o r
e s e n c ia le s
re c ta s
a t e m
h a b ía
re d u c c ió n
p e n s a m ie n to
L a
d e
a
le n g u a je
a d ic ió n
e le m e n to
s ia d o
d e
c o n tra d ic c ió n
lín e a s
u n a
y
n o
el
el
p rin c ip io s
te s is
r a z ó n
d e l
n in g u n a
e x ig ía
la s
h a b la r
P o s tu la d o s h a y
d e
g e o m e tría
C r ític a
K a n t
E u c lid e s
u n a
la
d e sv a n e c e
in c lu s o
tiv a m e n te
d e
q u e
e n te n d e m o s
E u c lid e s e
ju s tific a
si
m
M E T A G E O M E T R ÍA S
p r o g r a m a
g o lp e
m e ta -e u c lid ia n o s
d e
f i lo s o f í a
e s ta b le c im ie n to
c u m p lir
S a c c h e rí.
la
IV ,
p á g .
e n E l
ju e g o
re v e la d o
L o v a in a , 1 4 6 .
n o
K a n t,
B u ,
d e la
1 8 9 6 , I,
e u c lid ia n a
e n tre
p á g .
la
la s
im a g in a c ió n
te o ría
p á g . 2 8 0
h a
fo rm a s
d e l
T P ,
d e
la
in
c o n s tru c
e s q u e m a t i s m o , 38
2 5 3 . y
d e m o lid o ,
p á g .
2 3 3 .
L a s
re c o b ra d e
u n a
lib e rta d ,
u n a
Y
el
e n
e n
e fe c to ,
el
p u n to
q u e
a u d a c ia
se d e
d e sd e
lo s
d é b il
n e c e s id a d
3 5 3
e t r í a s
p la s tic id a d
d e
la
q u e
n o
K a n t
d e
e s ta
n o
e u c lid ia n a :
d e
la s
p a ra le la s
se r
b le
—
q u e
p u e d e
y
s in
e s ta b a
o tra s
a s e n ta r
le y
la
p a ra le la s ; c lá s ic a ta l
o
se
a
c a d a d e
p o s ib le
la
m u y
le jo s
la s
p a r a
u n o
ra c ió n
to d o s
q u é
d e
a ú n
g e n e r a l, su s
d e
c o n fin e s ,
d e
lo s
tre s
tip o s
re la c io n e s
d e
la s
c u a le s
d e s c rip c ió n
e x a c ta
s io n e s
c o m o
ta le s
tin u o ”
m á s
n o
d e
la
q u e d a
el
o
s in
p o s tu la d o
in d e m o s tr a
la s
c u a le s
d e te n e r
p o r
e l
él
n o
q u e
y
se
c o m p o n e n q u e
la
c re ía
tie n e
re la c io n e s e n tr e ,
d e b e el
h ip ó te s is
p a r a
a
la
a g o ta r
d e b e r ',
a lc a n
c o n s id e to d a s
d e
“ d e s ig n a d a s
p a r a le la s ,
q u e
H ilb e rt,
h a b e r
e x te n d id o
m é tric o s ,
g e o m e tría
la s
re la c io n e s
L o b a ts c h e w s k y h a
in tu i d e
g e o m e tría
p o r
d e
c o m o
se
a d S e rá
la
la
a s í
lu e g o
E s
n o
id e a
e n
s is te m a
m o v im ie n to p r o p io
p rim e ra ?
e x c lu y e n d o el
el s u
c o n tr a r io
c o rre s p o n d e n
e u c líd ía n a s
la
a u d a z
ta m b ié n
( 4 0 )
L a
I e r
( 4 1 )
A n n é e D .
1 9 0 0 ,
d e
e t
H ilb e r t,
se s
H ilb e rt: 2 4 . d e
V e ro n e s e
g e o m é tric a ,
es
e l
n o m b re
d e
la
r è g le
a p p lic a tio n s 2 °
d a r
la s
“ u n a
p o r
e x p re
c o n g r u e n te s ,
q u e
n e c e s a /io
c o n s titu id a s
e t
a ñ o , d e r
in tro d u c ir
d u
p a ra
s e p a ra r
n o d a r
to d a v ía
d e
c o m p a s,
c o n
1 8 9 2 ,
p á g .
1 8 9 9 ;
T o w n s e n d , es
in ú til
o tro
3 ?
g ru p o
a l
c u a l
lo g iq u e e t
à
q u e
d e
la lo s
H ilb e r t
d u
la
( 42)
:
ju g e m e n t
m é th o d e
d e s
2 2 . tra d u c c ió n e d ic ió n ,
re c o rd a r
d e
la
fra n c e s a
d e
1 9 3 8 .
e s ta
c o m p le ta m e n te
p o s tu la d o ,
m á s
to m a n d o
c o n tin u id a d
th é o r ie
g é o m é tr iq u e s
c u e n ta
s o n
d e l
A r q u ím e d e s
G e o m e tr ìe , d e
n o
e je m p lo ,
a x io m a
( 1 8 9 1 ) ,
in g le s a
q u e
d e
id é e s
d e n o m in a c ió n , d ic e
P o r
p o d r á
d e
a u x
G r u n d la g e n T ra d u c c ió n e s ta
se
a x io m a
e l
p h ilo s o p h iq u e ,
p á g .
R e s p e c to
im p o rta n te
c o n
y a
m e ta g e o m e tr ia .
d e
p h ilo s o p h ie
r a p p o r ts
g é o m è tr e s ,
d a d
la
a b s u rd o
c o n tra
p ru e b a
h ip ó te s is .
s itu a d o s ,
fu n d a m e n ta le s
d e s ig n a
( 4 2 )
c u y a
R e n o u v íe r
a l
p ro p o s ic ió n
e s tu d ia rá
c o m p le ta ” ,
g e o m e tría s
a x io m a s
L a u g e l,
q u e
q u e
q u e re r
s e ría
m is m a
e s p a c io s
la
e s tá n
p a rtic u la re s
te n ta tiv a
d a n s
n o
c u a l
d e
p a ra
—
d e
a rm a
e le m e n to s
q u e
d e
( 41) .
L a s c a so s
y
la y
fu e ra
c o m o
la
e s ta
c la ro
d e m o s tra b le
e le m e n to s ;
e n
ú n ic o lím ite
e u c lid ia n a
re s u lta
n in g u n a
se
a n tig ü e d a d ,
( 40) .
a x io m a s
eso s
e l
re d u c ir
te m e ra rio
lo s a
a x io m a s ,
c o n s titu ir
h a s ta
d e
d e
la
c u rio s o
n o
p rim e ra s ,
ló g ic a
s o m e te rlo s
e s to s
g e o m e tr ía
z a d o
m á s
b u s c a rá
c u a l
q u e
m u y
in trín s e c a
e n to n c e s y
es
h a y
p a ra
m e n o s
e s g rim ie n d o
c o n c lu s ió n
e s p a c ia l,
n i
g e o m e tr ía ”
P e ro
n e c e s id a d
a n a liz a r
c ió n
d e sd e
m á s
es
n o
R e s u lta
g e o m e tría
d e sd e
n o
q u e
ilim ita d a ,
p ro p o s ic io n e s
h u m a n o
¿ L a
itir
n i
n in g u n a
—
e s p íritu
é x ito .
es
p o s tu la d o
e u c líd ía n a ,
“ L a
p re te x to ,
n o
1 9 3 . d e l
lib e rta d
el
v is to
p a re c e
e u c lid ia n a .
a p ro v e c h e
d e
q u e
h a b ía n
p re s c in d ir;
c rític a
r a z ó n
m o m e n to
g e o m e tría
p u e d a la
e l
m a te m á tic o s
g e o m e tría
es
e ta g e o m
s o s p e c h a r.
le la s ,
m
m
d e
o b s e rv a c ió n la
c o n tin u i
s ig u ie n te
fo rm a :
3 5 4
L a s
se a
u n
m is m a p o r la
la
s e g m e n to
d e
re c ta ,
e s ta n d o
A i
a d ic ió n
d e
d e s ig u a ld a d
c o m p le to s d e
la
d e r la
A
( f )
q u e
a
e s te
y
u n
y
1
s e g m e n to
e s tá
d e
a
e n
lo s
es d e
la
d a r
c o n h a
in v o c a d o
'l a s
L a d ía n te a la
c a so s
e s ta s
la
la s
P e ro
1 9 0 0 ,
la
p á g .
Ib id .
a u n q u e
d e
se
q u é
d e
n o
c a so s
la
o tr a
s a le n
e n d e
q u e
el
é l,
M
s u fic ie n te
a n s io n ,
d e
G a u s s ,
n o s
a rq u e ( 45) . m e
q u e rría
in s tru y e ra
s a b e r
in te r io r
d e
n o
s u p e ra d a se
y
q u e
“ S u p o n e r
p a ra
N o
d e riv a
filo s o fía ;
p a rte ,
q u e
es
se
sea
la
se r
u n a
p a rte ,
C o n
g e o m e tría ”
p o d r ía P o r
e s to
a lc a n c e .
g e o m e tría
la
m e ta g e o m e tria
m a n tie n e n
d e
g e o m e tría ;
té c n ic a s .
p o r
su
a u to r id a d
s u p r im ir
a n s io n
la
e s p a c io ;
e s tá
d e
p e rm itid o
e s ta
v a ria b le ,
L a u g e l,
d e
J o u r n a l a s í
a rq u im e d ia n a
la
c ie n c ia
a f irm a r
a
e u c lid ia n a
c o n tie n e
d a n s
S o c ié té
u n
p u n to
l ’e n s e i g n e m e n t ,
d e l
n e c e s a rio
e n
q u é
d o m in io p o s e e r
y a
títu lo
e n
la
d is tin to
d e
C o n g rè s
d e fin itiv o ,
q u e
d e s
se
su s
h a
es
el
q u e rid o
e x tr e m o s .”
L e s
m a th é m a tic ie n s ,
P a
3 3 .
s c ie n tifiq u e
S a v a n ts , n u e s tra
n u e s tra s
d e s tru y e
n u e v o s ” .
p á g .
d e s
d e c irlo
tra s to rn a n d o
e le m e n to s
sí
a ú n
A n n a le s
p o r
M
es
lle g a r
b ie n ,
d is o c ia c ió n .
c o sa .
p a r a
s in
t el
( 44) .
e s p a c ia l
ta l
s e g m e n to
4 4 9 .
T ra d .
P o in c a ré ,
e n
g é o m é tr ie
( 4 S ) )
s e ñ a la
la
a lo s
“ d e s liz a r
v eces
a lg e b ra ic o ,
la
a d m ite
d e n o m in a c ió n
u n
d e
e s p a c io .
q u e
( «
re s p e ta b a
n o
lo
K a n t
n o
“ re la tiv a s
a h o ra
p ro b le m a s
p re te n d e n
p u ra m e n te
d e l
y
d e l
c o m p le jo
d e
( 4 5 ) C fr.
q u e
le jo s
s is te m a
lo s
n o
d e t;
s e rá
c o rre s p o n
h a c e r
e x a c ta m e n te
d o m in io
a
m a g n itu d e s ,
in v e s tig a c io n e s
s e g m e n to ,
p o s tu la ts
la
s o n
in v e s tig a c io n e s
g e o m e tría
c a rá c te r
ris ,
H ilb e r t n o
u n
u n
c o n tra
R ie m a n n ,
n a tu r a le z a
n o c ió n
" T o d o
v ece s
d e
d ific u lta d
s o b re
u n a
m a te m á tic o s
c o n s id e ra c io n e s
p e d ir
d e
d e
d is ta n c ia s
d e
e n tre
A r q u ím id e s ” m á s
“ g o z a n
p rim e ro
d e s p la z a m ie n to
p u e d e
e tc .,
n ú m e ro s
0,
>
c o n v e n c io n e s a l
A s ,
d e
d e l
la
o b te n e r
2
A
H a c ie n d o
in f in id a d
d e
=
a m b o s
s e g m e n to
lle v a d a
p o s itiv a
f,
se
d e
ta n ta s
q u im e d ía n a
u n a d e l
2
A
s o b re
p o s ib le
s is te m a
c o n c e b ir
id e a l
a rtific ia l
y
to m a d o
es
A i u n
( 4S) .
q u e
a x io m a
se r
a
ta l
e v o c a c ió n
lo s
L o b a ts c h e w s k y ,
1
a p re c ia r
s o lu c ió n
s e g u rid a d
el
=
c o m o
lle g a
A A i
c u a lq u ie ra
p a ra
la
u n a
a s í
e x tre m o
p o d r ía
A A i
c o n c ib e
c o m p le jo s
se
á t i c a
s ie m p re
n ú m e ro s ”
e x tre m id a d c o n
B ;
p re v e n irs e
c o n s titu c ió n
p a ra
e s to s
a t e m
s e g m e n to y
n ú m e ro s
re la c ió n a
la
m
m ú ltip lo
e le m e n to s
e x tre m o
q u e
d o s
n ú m e ro s
c o n tra d ic c ió n
s e g u ro
u n A
ig u a le s
u n
d e
u n a
a lc a n z a r
f i lo s o f í a
H ilb e r t
á n g u lo s ”
1
s o la m e n te
y
c u a l
lo s
D ifíc ilm e n te v ie n e
A B
B .
q u e
d e
d e
s e g m e n to
ja m á s
el d e
s is te m a
s e g m e n to s
la
e n tre
n > A
s e g u n d o
d is trib u c ió n
d e
s e g m e n to s
e n
el
re c ta
A
p ro p ie d a d
m e n o r
e ta p a s
id e a s
e s ta
1 9 0 2 ,
d e p á g .
c o n c e p c ió n so b re
la
c o n c e p c ió n ;
B ru x e lle s , 2 6 2 :
c u a lita tiv a
m e d id a d is e c a
t.
“ L a
d e e l
X X I X ,
1 9 0 5 ,
g e o m e tría
n o
d e l
e s te
c o n tin u o
c o n tin u o .
c o n tin u o
p a ra
L a
p á g .
2 0 0 .
e u c lid ia n a g e o m é tric o g e o m e tría
in tro d u c ir
a llí
L a s
v e r s í
d u r a n te lo s
d o s
c o m o se r
s ig lo s
el
m o d e lo
e le m e n to s
o b je to s
d e
c u ltiv a d o
d e
la
m
e ta g e o m
d e
o r d e n
la
y
s e p a ra d o ,
m e d id a
C a d a
y
3 5 5
h o m o g e n e id a d
d e
m a te m á tic a .
p o r
e t r î a s
d a r
q u e
u n o
d e
ra c io n a l.
D e s c a rte s
e s to s
n a c im ie n to
U n e
e le m e n to s
a
e n
p r o p o n ía p u e d e
d is c ip lin a s
p a r ti
c u la re s . S in s e rá
q u e
d e b a m o s
s u fic ie n te
in s is te
s o b re
n a tu r a le z a
p a ra
la
in tu ic ió n
e s p e c ífic a
d ife re n te s
tip o s
d e
c o n s id e ra
e n tre
lo s
y
d e
P o r
n a d a
o tr a
ra lid a d
a
d e
n u e v o s
e
c
C . —
n
E L
1 9 4 . '— c ie rn e lo s d e
la
p u n to s la
s o b re es,
a
'E n
d e y
to d o
la
d e
lo
la
d e m á s ,
tr a r n o s
la
h is to r ia
m á s
id e a s
u n a
se
h a b ía
sa c u d e y
p o r
c la ro
a y
rig u ro s o ,
a l la
id é e s d e
P a r a
le s
filo s o fía ,
n
es
la
la
lo s
P a ris ,
i n
u
i d
e n
d u
d e
lo s ( 4e) .
d
q u e d e o
E l
c o m tis ta
e s p e c tá c u lo
c ie n c ia
e n
q u e
n a tu r a l e l
s u m in is q u e
n a tu ra le z a
p rim e ro s
c o n
s e ñ a la r
o c u p a rn o s
p u e d a
n o
d e
el
e s p íritu
d e l
p o r
se
e s ta s
é x ito s ,
q u e
h o m b re ,
p ro g re s o
in tu ic ió n
c ie n tífic o el
a n á lis is
ra c io n a lid a d .
c a lc u l t.
lo
q u e
m a rc o s
p o r
1 9 0 0 .
a
d e b e m o s
la
v e rd a d e ra
p r in c ip e s
g e n e c u e n ta
te o ría
k a n tia n a
su s
la
la
e n
tra ta re m o s
a c titu d
d e
re la c io n e s
G r a s s m a n n
c o m o
d e
d e
c o n e n tr e .
X V I I I
u n a
ro m p e
se
d e
te n e r la
t
lo s q u e
d ire c c ió n
n o
la s
c o n tin u id a d .
o rig in a d a s
d e
o
e llo
s u rg ir
c o n fu s a s
e t
S IG L O
E n
v e
d e
d e
in s tru c tiv o s
q u e
f u n d a m e n to
C
a
d e
m a rc a
c o m o
a
re la c ió n
c o n v ie n e
l
s itio
c u a l
la
la
c o n c e p c io n e s
se
q u e
y
u n
p r o y e c tu r a
la
e x te n s iv o
d e
se la
re d u c c ió n
á lg e b ra
a n á lis is ,
id e a
K a n t,
d a r
e n
g e o m e tría
c o n s e c u e n c ia
s ín te s is
L e s
a
m á s
d ific u lta d e s
In te rn a c io n a l
E L
la
lo s
d o g m á tic a
M a c fa rla n e ,
C o n g re s o
E N
a c tu a l.
in trín s e c a
la s
i s i s
la s
p u ra s ,
c o m o
p ro p ia s s u s titu ir
l
p e n s a m ie n to .
id e a s
n e c e s id a d
p e re z a
á
y
d e
d e
d e l
c o n
n
c o n c ie rn e
e n tre
la
c o n
re la c io n e s
ta le s
c á lc u lo
A
ra c io n a l
u n o
im p u e s to
la s
( 4 8 ) d e l
q u e
la
o b lig a
q u e
e n
g e o m e tría ,
el
l
la s
d is c ip lin a s ,
d e te rm in a n d o
g e o m e tr ía
s itu s
d e l
g e o m é tric o ,
e v o lu c ió n
lo
v e
la
c o n c e p c ió n
p o r
tr a ta
se
o
c o n v ie n e
e s ta s si
d is trib u c ió n ,
a b s tra c ta s
E
r u p tu r a
c ie n c ia ,
d e
P R O B L E M A
m e c á n ic a
c o m o
A n a ly s is
C o m te
H a m ilto n ,
i ó
e s p a c io
e s p a c ia le s
o
d e
q u e ,
m é tric a :
o rd e n
c á lc u lo
d e s a rro llo re c o rd a r
d e l
n o
s u s c e p tib le
d e d e
c
el
el
g e o m e tría ,
e le m e n to s
c o n
es
tip o s
S
la
re la c io n e s
q u e
c u a te r n io n e s
d e
q u e
si
la s
o rig in a l
to p o lo g ía
m á s
p a rte ,
e s p a c ia le s
a q u í o b je to
g e o m e tría
in te rs e c c ió n ,
s id e ra
s e g u ir
n u e s tro
I I I ,
g é o m é tr iq u e , 1 9 0 1 ,
p á g .
B ib lio te c a 4 0 5
y
s ig .
3 5 6
L a s
L o s
m a te m á tic o s
ju s tific a c ió n P e ro
p rá c tic a m e n te
d o m in io
la
re p re s e n ta c ió n
c ie n c ia
lo s
se
lim ita
d e
u n a
c u rv a s
p a ra
se
n e s
lu e g o ,
e s tá
“ la b e rt
c u rv a
fig u ra s y
q u e
h a b ía d e
ú n ic a
la
q u e
“ la
c u rv a
s in u s o id e ] le s q u ie ra v a ” ( x ,
y )
d e
la
s e a n
la s
D ic h o
d e
lo s
la
o
u n
o tr a
p u n to s
=
u r
d e c ir,
a sí
sí
p u e s ta e l s e r
;
p o r
se
“ m ix ta s
d e
v ib ra n te
es
lle g a
a
se el
[d e
’A l e m
d ife re n te s
u n a
a l la
m is m a
re to m a
c u a l
c o rre s
tr o c o id e
d e [o
c u a
d a d o
c u r
t
lo n g itu d
el la
s e m e ja n te s ,
h a y a n tie m p o
a
c o n c lu s ió n
u n a
tro c o id e s
e n
c u e rd a
e n
D
c o n s o b re
e s p e c ia lm e n te
s ie m p re
d e
q u e
“ sí
y
la s
p a rte ,
v ib ra c io n e s ”
e
d e sd e
v in c u la
q u e
o tr a
d e d ic a
e x p re s io
d ’A l e m b e r t
e n
la s
ú n ic a
d e fin id a .
se
e n c e rra d a s
B e rn o u lli, ( 49)
e n
c a so
y
q u e ,
v ib ra c ió n ” .
in ic ia le s
la
p re c is a d a
m e n o s u n id a d
C u a n d o
p o r
te n s a
m a n e ra , d e
la
s o la
a n á lis is
c o n tin u id a d
“ p a ra
tie m p o .
c o n s ta n te .
es
la lo s
c o n tin u a s
u n a
tie n e n
e l
y
lo
d e
c o m p u e s to
fig u ra s
d e
la
p o r
a rm ó n ic o s ,
c u e rd a
le y
d is c o n tin u a s ,
“ m e z c la
s o n id o s
u n a
d e
d e
c o n f irm a d e l
p o r
c o m o
y
p o r
su y
o
la
é s ta
e x p re s a r
m e d io
d ire c ta d e
p ro b le m a
d e
e s c la re c e
p o rc io n e s
p u e d a n
D a n ie l
e s p a c io
y
d e
d e
in v e s tig a c io n e s
c u e rd a
a la rg a d a ,
( 50) .
la s
v ib ra n te
a
e x te n d ía n
f u n c ió n
e n c u e n tra
c o n s id e ra p o r
la
la
a n a lític a
a b s tra c to
p e q u e ñ o s
im p o n e
d a r
p rin c ip io
d e
o rd e n
d e l
le
el
e n
fra c a s a d o .
fó r m u la
e ra
el
se
q u e d a
s o lu c ió n
d e l
d e
e sfe ra E u le r
p o r
( 48) .
fe n ó m e n o
se
s o n
u n a
m a te m á tic a
el
x ,
c a p tu ra
la
e n
E u le r
u n a
c u e rd a
s in té tic o
e x p re s ió n p o n d e
fo rm a
e c u a c ió n ”
e x a m e n
a
in ic ia d a
in d ic a d o
si
o b e d e c e n
d e
la
q u e
e s p a c ia l
d ife re n te s
la
s ó lid o :
a q u é lla ,
su s d e
a
c o n c e p c ió n
c o n tro v e rs ia
d e
q u e
d ife re n te s e s c a p a n
te rre n o
e n tre
c o n tin u id a d
c o m o
d e c ir,
h a b ía n
s o lid a rid a d
a n a lític a m e n te
re s trin g id o
E s ta la
a s í
ta le s , q u e
fu n c io n e s
irre g u la re s ” ;
E s
es
s o n
la
m a te m á tic o ,
tra d u c e n
(47) ,
c u rv a s
la
e s fo rz a d o y
in f in ita m e n te
c o n tin u id a d
e l, u s o
fu n c ió n . q u e
f u n c ió n la s
la
u n
m a n ifie s to
p e q u e ñ o s e n
á t i c a
h a b ía n
c o rre la c ió n
in c re m e n to s
ilu s tra c ió n
R e c íp ro c a m e n te ,
s o b re
p a rte ,
d e
a t e m
in f in ite s im a l;
c o rre la c ió n
u n a
p o n e
in f in ita m e n te su
la
m
se
X V I I I
a s e n ta b a n
P o r
se
e n tre
c a m b io s y
q u e
f i l o s o f í a
c á lc u lo
g e o m é tric a ,
c a rte s ia n a .
c o n e x ió n
c ió n
se
la
s ig lo
d e l
tra s c e n d e n te
v a ria b le ,
d e
d e l
m e ta fís ic a
a l
la
e ta p a s
la s \
a
la
c o o rd e n a d a s
]
v e rific a n
la
e c u a c ió n 3 2
y
3 2
--------------
a
d
( 4 7 )
In tr o d u c ilo
(4 8 )
M e m o ria s
d e
la
A c a d e m ia
M e m o ria s
d e
la
A c a d e m ia
( 4 9 ) tra c to , m á s
f
q u e
b ie n (5 0 )
se a
h a g a
s in
in
n in g ú n
s o rp re n d e rn o s M o n tu c la ,
A n a ly s in
q u e
H is to ir e
a
( u
c o n s ta n te )
X 2
in fìn ito r u m ,
e x a m e n
d e s
y
---------------
L a u s a n a ,
t.
I I ,
d e
B e rlin ,
1 7 5 0 ,
p à g .
d e
B e rlin ,
1 7 5 3 ,
p à g .
s in té tic o
d e l
p ro b le m a
1 7 4 8 ,
p à g .
1 4 8 :
" U n
p ro p u e s to ,
a n á lis is e s tá
ilu m in a rn o s ” . M a th é m a tiq u e s ,
t.
II,
6.
3 5 8 .
1 8 0 2 ,
p á g .
6 6 2 .
a b s
e x p u e s to
E
B e rn o u lli d e
d e m u e s tra
s e n o s
y
n
t
E s ta
p o s ic ió n
0 ,
P e ro
e s ta
E u le r, d e b e ría c ió n
es
s e rie
n a tu r a l
m á s
p a ra la
p a rte s le y
se
to d a s
d e
y
L A
1 9 5 .—
q u e ,
A s í,
lo s
fu n c io n e s la
tin u id a d ,
el
c o m p le jid a d el
c írc u lo
(5 1 ) e d ic ió n ,
e n
I I ,
o tra s
es
p â g .
d e
la
p o d ía ,
c u e rd a . p u e s ,
se r
c h o c a r es
a
lo s
u n a
p e rió d ic a s ? d e
sea
u n a ta l
c o n te m p o tra s c e n d e n te
A
lo s
la s
( 5 2 53) .
c u rv a q u e
o jo s
tro c o id e s L a
e n
s u
d e n o
c o n d i
u n a
e c u a
c o n tin u a c ió n
p a rte s a
n o
re ite ra d a s ” .
e s ta
e s tá n q u e
A h o r a
c o n d ic ió n : lig a d a s
p o r
la
“ L a s
e n tre
sí
b ie n ,
la
d ife re n te s
p o r
d e s c rip c ió n
n in g u n a q u e
e s tá n
( 5S) .
es
lo
d e l
P O N C E L E T
p o d e m o s X V I I I
c o n s e rv a r
tu v ie ro n
c o m p le ta m e n te
e x p o n ía
e s ta b a n
E N
q u e s ig lo
n o c ió n
se
L e ç o n s
1 9 1 0 ,
X
1 2
m á s
fe n ó m e n o s
d o n d e
F o u ë t, t.
la
a n á lis is lo s
i g .
n i c x
p a r tic u la r ”
1 2 )
s e rie
----------------------
/
in ic ia l
q u e
c o m p re n d e r
(fig .
c u rv a
e s to
s o b re
d e
m u y
la
( 51) .
d e
n o
p ro d u c to s
t \
a r b itr a r ía
c o m b in a c ió n
C O N T I N U I D A D
y
u
c o n
in te g ra l,
--------------- s e n
p o s ic ió n
s e rie
s a tis fa c e
n o
la
d e ja r
c o m o
m a te m á tic o s
f u n d a d o
n
fu n c ió n
u n a
d e
la s n o
c o n ju n ta m e n te ”
tro v e rs ia ,
s e
p o d ía
p u e d a
e s ta
c o n tin u id a d ,
u n id a s
c o m o
J i x
on
d a r
u n a
A D B
B e rn o u lli
s e m e ja n te s
d e
s a tis fa c e
a r
X
n o
q u e
q u e
fig u ra
e n tra ñ e d e
se
to m
.
+
F
tro c o id e
a
,
t
¿ c ó m o
s a c a d a
m ira d a
“ q u e
e c u a c ió n
trig o n o m é tr ic a ”
re p re s e n ta r
s o lu c ió n
s e r
i
3 5 7
c o n t i n u i d a d
lle v a
d e b ía
c o n c lu s ió n
n e c e s a ria
c ió n ,
u n a
p o d r ía
“ la
i
a r b itr a r ia :
B e r n o u lli:
p e rió d ic a ,
la
---------------
re la c ió n
e ra p o r
d e
i
la
X
e s ta
re p re s e n ta d a
e o s
y
lo
\
1
P a r a
rá n e o s
q u e
n
a n
=
=
q u e
lo
/
2
=
a n á lis is
. . .
c o s e n o s ,
"
y
l
a
h a c e rse
n a tu ra le s ;
la
in tu itiv a
in a d e c u a d o
p e ro
n o
d e
la
c o n
p re s u n c ió n d e
la
fre n te
lo g ra ro n
d e
c o n a
la
ro m p e r
e n c e rra d o s .
é lé m e n ta ir e s
s u r
la
th é o r ie
d e s
fo n c tio n s
a n a ly tiq u e s ,
9 4 .
(5 2 )
E u le r,
M e m o ria s
d e
la
A c a d e m ia
d e
B e rlin ,
1 7 5 3 ,
p â g .
2 0 1 .
(5 3 )
E u le r,
M e m o ria s
d e
la
A c a d e m ia
d e
B e rlin ,
1 7 5 3 ,
p â g .
2 1 7 .
2 ?
3 5 8
L a s
H a y la
id e a
m á s
q u e
te n e rs e
la
b a s e
d e
u n a
e n
q u e
la
d e
la
e s te
la
a r
d e
e lla
re a l
u n
la
c ie rto
d e l
la
la
c ie rta s
c a si
P o r
d e
e n
la
e n
a l
él
q u e
c o m p le ta m e n te
y
le
to m a
p e rm ite
la
e x te n
d e l a
la
p ro c la m a
a m p lia rla
n u e v a :
e n v o l
s u s titu y e y
la
p a rtic u la re s
fla q u e a ;
e s p a c ia le s ,
o n g e ,
d e
a n á lis is
c a so s
q u e
el lo s
c o n s titu id o
m o v im ie n to
lo s
id e a l,
d e
h is to r ia
p a re c ía
d e
s o b re
e x te n s ió n
c o n tin u id a d
M
in s is tir
p e d ir
c o n tin u id a d
o rig in a lid a d c o n v ie n e
la
u n
a
a u n
im á g e n e s
d e
e
X IX ,
v a
y
a n á lis is ,
p a ra
s ig lo
e s p a c io , d e
a lc a n c e
in e s p e ra d o
d e l
c o n tin u id a d
a x io m a
su d e l
é l,
e s p a c ia l.
d e s c rip tiv a
c ie n c ia
d e es
á t i c a
in tu itiv a
P o n c e le t
e s p a c ia l
d e
g e o m e tría u n a
s a c a r
e p is o d io
c ie n c ia
a t e m
to d o
c o n tin u id a d
e x tre m a ,
d e
e n
m
fis o n o m ía
c o n tin u id a d
n o c ió n
m o d o
to m
a s ir
c o m ie n z o s
a u d a c ia
d is c o n tin u id a d
f i lo s o f í a
la
s u p o
E l
a
e x p e rie n c ia
la
la
d e
la
P o n c e le t
fe c u n d a r
a n á lis is
f in
d e
a n á lis is ,
s o b re
y
a
g e o m é tric o s . E l
v e n te d e r
e ta p a
q u e
m é to d o s
y
d e
tr a n s f o r m a d o
la
p ro v e c h o
c ie n c ia .
a ú n ;
h a
e n
e ta p a s
d e
v o lv e r
h a s ta
a
h a c e r
g e o m e tr ía
p r o -
y e c tiv a . L a
d e fin ic ió n
in d ic a d o s
c o n
T e rq u e m ,
el
e x a m in a d o p u n to
d e
n o
in d e fin id a
m o
d e
s is te m a
E s te
e n
á lg e b ra
sa b e
d e
le
su s
d e
la s
h a
es
e n
c u a n d o
se
d e
q u e ,
“ E l
c o n tin u id a d
e s tá n
d e
a
P o n c e le t
a x io m a
c o n s id e ra
la s
o
m a g n itu d e s c ie rto s
q u e
d e
h a s ta
b a jo
p e r m a n e n c ia ,
p a ra
m á s
d e
c a rta
lo
d e
f u n d a m e n to y
q u e
c o n c ie rn e n e s ta
u n a
u n
O .
a q u í c ie rto
c o n tin u id a d v a r ia b le s
e s ta d o s
d e
m a n e ra
y
sí
q u e
s o b re
m is m a s
e l
A p l i c a ti o n s
( S6) .
p o r n o
d ’a n a ly s e
g ra tu ito ,
q u é
s e ría
la s
e t
d ’a n a l y s e
e t
I b i d .,
I I ,
p á g .
5 3 3 .
(5 7 )
I b i d .,
I I ,
p á g .
5 3 1 .
n o
d e
d o s
D e
to d o s e s ta s
u n
p o r m is
p u ra m e n te
la
d e
g e o m e tría h a s ta el
g é o m é tr ie ,
p o r
c o n tin u id a d d e
g é o m é tr ie ,
e s ta d o s ,
d e
t.
e n
I I ,
e s ta
es
p á g .
d e l im a
A h o r a
b ie n
s id o m á s
p o c o q u e
la
le y e s
p u n to ,
a lg e b ra ic o ”
p á g .
y
g e n e
re s trin g id a
c ie rto
1 8 6 4 ,
3 2 0 .
a u n
c u e s tió n
ta n
u n
d e c ir” . la s
c o n
d e s c u b rim ie n to s
a n á lis is
a sí
h a
c e rte z a
d e
s u rg e
p u e s
e le m e n ta le s
o p e ra c io n e s .
s ig lo s
a q u í
q u e
lo s
fu n d a m e n to
( E5) ,
v o lu n ta r ía
tie n e
p o s ib le ,
in d u c c io n a l d e
a
p u r a ,
g r a tu ito
o p e ra c io n e s
a
e lla
v e n ta ja s
p rin c ip io
( 5e)
á lg e b r a
e x te n s ió n
e x p e rie n c ia
y
" p u r a m e n te
q u e
in m e d ia ta m e n te
p r e g u n ta
la s
d e l
“ e n te ra m e n te
d e fin itiv a
la
A p p li c a ti o n s
1 8 1 8 -1 8 1 9 )
u n a
1 8 1 8 :
p r in c ip io
m a te m á tic o s ”
d e
d e
m e n u d o
a h o ra ,
(5 5 )
té c n ic a s
a
a x io m a
e n
m a te m á tic a s
p u n to
(5 4 )
y
e l
el
le tra s q u é
h a s ta
se
g o z a r
f o n d o ,
P o n c e le t,
im p re s o
“ U n o
e s te
( 5 4 5) .
e x tie n d e n
h a s ta
d e
c la rid a d
c o n tin u id a d
s u b s is te
c o n c e p c io n e s ,
c e rla
fic a s
le y e s
a g re g a
tr a b a jo s
r a l:
el q u e
p rin c ip io
d e m o s tra d a q u e
e n
id e a l
se
g é n e s is
n o v ie m b re
m á s
a d m itir
g in a rio s , se
es,
la s
n o
e
im p líc ito , s is te
d e
in s e n s ib le ,
a b s tra c ta
la
m a y o r
2 3
v is ta ,
s u c e s ió n
y
la
e n h a
( 57) .
5 3 3 .
C o n s id e ra c io n e s g e o m é tric a s
filo s ó
(I n v ie rn o
L a
P a r a
c u m p lir
e x te n s io n p u r a la
y
d e
e s tá n
c o n
. . .
la
d e
n o
p r im itiv a
a u n
h a n
d e v e n id o
a
e s ta d o
se o
d ic e , n o
e n
q u e
d is ta n c ia
la
d a d o
e n
s o b re
o tr a
e l
el
u n a
e s p a c io
. . .
re a le s
se
ja n d o
p o r
q u e
y
e n to n c e s
y
se
d is tin to s
h a c e r
d is ta n c ia
q u e
p o r
e s ta r
p ie rd e n la
d e
g o lp e
re c ta
e n to n c e s , e n
p a ra
h a n
la
d is ta n c ia
d o s
( 5 S ) (5 9 ) ( 8 ° )
d e
lín e a s ”
u n a
d e
a
u n a
la
d e
se
m id e
c u a lq u ie ra lo s
su
I b id ., I I , p á g .
fic tic io
(6 1 )
Ib id .,
II, p á g .
3 4 7 .
(6 2 )
Ib id .,
II, p á g .
3 4 9 -3 5 0 .
y
e l
p u n to s p o r
to d a
se
su
d e
e ra n
e n
c o m o se
im a g in a r io s ,
a s í re a l
in d e fin id a
e n
la
I b id .,
II,
q u e
se
to d a
S u p o n g a
p a rtic u la r,
d e s
p e q u e ñ a ,
g e o m é tric a ,
p o r
c o rre s p o n d ie n te ;
q u e
a l
m e n o s
e s to s
p u n to s
c o m o
es
d a d o ;
y
im a g in a ria a s í
in te rs e c c ió n
p á g .
c o
a n te s ,
m o v im ie n to
s ig n o ,
d ic e
id e a l,
in te rs e c c ió n
m is m o
c u rv a
d e
h a b r á
g e o m é tric a .
in f in ita m e n te
e x is te n c ia
a b s tra c to ” .
se
m e n o s
p e q u e ñ a
e x is te n c ia
p u n to
lo
p e q u e ñ a ” .
d e l
c o n s id e ra
p o rc ió n
m u tu a
lo
m á s
“ p o d rá
in te rs e c c ió n
c o n fu n d irs e ,
d e
c o m o
d is ta n c ia
m o v im ie n to
d e
p o r
p u n to s
c o n c ib e ,
c u a lq u ie ra
e x is te n c ia
e x is te n c ia
d o s
se
e v id e n te m e n te el
3 1 9 .
3 1 9 .
n o
c o n
c o n tin u a
d is ta n c ia
c o n c e p c ió n ,
c o n tin u id a d
d e c ir
e x is
q u e
p a ra le la s ,
d ic e ,
( 62) .
e s
su
c o n c u rre n c ia
p u n to
c o n s id e ra m o s
d is ta n c ia
to d o
se
u n
in fin ita m e n te
la
u n a
e n
s e p a ra
Ib id ., II , p á g . " I d e a l,
ra z ó n ,
te rm ín e n
q u e
s im u ltá n e a m e n te lo s
d e
sí
y
s im u ltá n e a m e n te
y
re a l, fig u ra
( 59)
re c ta s
c o n tin u id a d
u n a
c o n s e rv a rle
q u e
id e a
a
id e a l
p u n to
e n tre
u n a
la
s e p a ra d a
e x p o s ic ió n
h e c h o
a
in te rs e c c ió n
y
e s ta rá
la
se
la
d e
p ró x im o s
a s í
v a ría s
c u rv a
lo s
u n a
p u n to s
la
e s ta d o s
d e
c o n c e p tu a lm e n te ,
e s tá n
lo s
su
p e rd id o
a
d e
d e
p a r a
d e
p e rd ie n d o
d is ta n c ia
d e
e s to ,
d a d a ,
d o s
b le c e
d e
fin a lm e n te ,
p u é s
id e a l,
h a b r á
q u e
“ lo s
q u e
y
c o n s ig u ie n te
h a z
d is tin to s ;
c o n c ib e
d is ta n c ia m o s ,
e s ta
u n a
se r
p e s a r
c o n s ig u ie n te ,
rre s p o n d ie n te s d ic e
a
d e
p r i
c o rre la c ió n
tie n e m is m a
c o n tin u a m e n te
c o n s e rv a rle ,
p o r
y
c u a le s q u ie ra
c o n s ig u ie n te
fig u ra
c u y a
p a rte s
to d o s
c o n c u rre n c ia
A s im is m o , a
p o r
d e
g e o m e tría tr a n s p o r ta
la
fig u ra
y
c a rá c te r la
p a ra
c o rre la c ió n
“ el
la
d e
c o rta
d e
P o n c e le t
c ie rta s
a
“ ese
( 60) .
“ p o r
in fin ita ,
q u e
a c e rq u e n
Y
( 61) .
d o s
u n a
p la n o ,
p u n to
es
re c ta
d e s v a n e c id o P a r a
d e l
u n a
in f in ita s ,
d e c ir,
q u e
m is m o
p a ra le la ”
lín e a
o c u rrir
c o n c ib e
d e
c u a le s
es
q u e
( 58) ,
in d ire c ta
lo s
s is te m a ”
in f in ito ” .
re s u lta d o s
e s ta d o s
e n
m á s
u n
a lc a n z a r
lo s
d e s c u b ie rta s
im a g in a ria s ,
se
e n
s itu a d o
lo s
in d iv id u a l,
d e l
p a ra
q u e
s im p le m e n te
n u la s ,
p r im itiv o
A s í
a
3 5 9
P o n c e l e t
d e s p ro v is to s ”
a q u é llo s
c o n s e rv a d o
s itu a d a s
d e l
" p ro p ie d a d e s
es
to d o s
g e o m é tric a
h u b ie r a n
d e
la s
e n
p ro g ra m a ,
s o la m e n te
s in o
te n c ia
e s te
g e n e ra lid a d
n a tu r a lm e n te
a p lic a c ió n
m itiv a
c o n t i n u i d a d
3 1 9 .
se
e s ta
c o m ú n
3 6 0
L a s
P o n c e le t se
p u e d a
q u e
se
p o rq u e h a
e l
c ió n
m a s el
d e l es,
la e n
tin ta m e n te
c o n
a
d e s,
S e
d es
n o
q u e
y
s o n
m á s
1 9 6 .
o
lín e a s ;
a n á lis is . p o d ía n
u n a
d e
lo
q u e
p e rm a n e c e n
u n a
c a so s
c u rv a s
e n d e
e n e n
la la
u n
q u e
in d u c
e s ta b le c id o s
q u e
esas
s e g u n d o
y
N o
n i a
o b s ta n te ,
a u n v eces
in d is d e
a n á
e n
e r r o
d e te rm in a c ió n e v a lu a c ió n
g ra n
lo s
d e
n ú m e ro
v a lo re s
c o m p re n d id a s
d e
d e
la s
lo n g itu
d e la s
e n tre
m is
g ra d o ,
a p lic a d o
c a e r
el
s o b re e s c rib e
h á b il
e x a c to s .
p o d r ía
e n
c ru e l,
p rin c ip io ,
q u e
g e o m e tría ,
se
ta n to
fu é
s u
c ó n ic a s ,
e n c o n tró
le
g e n e ra l
d e
C ie n c ia s
te o re m a s
lo s a
e n c u e n tra
e n
d e
s e c c io n e s
“ E s te
e n
c o n s ig u ie n te , se
q u e
p r a g
s is te m á tic o
la s
q u e
re s u lta d o s
G .
c ie rta s
h e c h a s ( 64) .
p u n to u n
n o
c o n s e c u e n c ia q u e
I b id .,
(® 4 )
É tu d e
s u s
p o r
I I ,
el
la s
f ó r m
u
c a n tid a
c ie rto s
lí
m a th é m a tiq u e s ,
le
o p ta r
d e
e líp tic a , te n ía d e l
d e l
5 5 7 .
lo s
y
d e
T r a ta d o q u e
a
C a u c h y ,
v a lo r d e
d e l
d is ip a r:
n e g á n d o s e
p rin c ip io , “ P o n c e le t,
p re s e n ta rlo p o r
o tr a
s in
e n
d e
la s
h e m o s
c a so
p r o p ie d a d e s h e c h o ,
se
c o m o
p a rte ,
a p lic a b le s e l
p r o v o
m a le n te n d id o s
b re v e
d e
q u e
p ro y e c tív a
v e
d u d a la s
n o a
a p li
p r o y e c q u e
e n
y
d é v e lo p p e m e n t 1 9 0 4 ,
fá c ile s
le ja n a
g e o m e tría
té c n ic o ,
o b je c io n e s ,
c a re c ía n
p o lé m ic a la
d e m a s ia d o
s o n
r a z ó n
la
e n tre
v ís ta
a n á lis is ;
p ro p ia s
a u to r
C A U C H Y
p r o lo n g a r
tra n s c rip c io n e s
p á g .
s u r
E N
e n u n c ia d o
tra s c e n d e n te s ,
P o r
(6 3 )
s c ie n c e s
el o
o c io s o n e c e s a rio
d e m a s ia d o
fig u ra s
tiv a s ”
es
D e s d e
re c o n o c e r
c a c io n e s
S e ría
D a r b o u x ,
s im p le
q u e ría
C O N T I N U I D A D
n o
o r ig in a r
c rític a
e s c rib e u n a
—
e s ta s
e l
a
c o n fia n z a
q u e
e n c ie rra n
y
m á s
A p lic a d o
e je m p lo ,
v is ta
( 63) .
c a ro n
q u e
p o r
d e
e x tie n d e n
p ro b le m a s
p o r
L A
y
d e
y
re s u lta d o s ,
p ro p ie d a d ,
a
p e rfe c ta d e
A c a d e m ia
c la ra ,
a d m itid o
v o lú m e n e s ,
c ie rta s
e lla s
m ite s ”
y
la
c o n tin u id a d .
a u to r
d e m a s ia d a sa b e ,
a
re s tric c io n e s ,
s e r
re g u la r
b e llo s
se
m á s
el p u n to
m o d e r n a .
m u y
c u a l
a l
c la s e
d e fin id a s ,
m á s
e x is te n .
d e b e ría
to d a
s u p e rfic ie s q u e
n o
lle v a d o
n o
e v id e n te s .
la
c ie rta s
y a
O to rg á n d o le
in te g ra le s
la s
d e
h a
a
s u s
á t i c a
p ru e b a
p r o y e c tiv a s
re s e rv a
d e
la
d e s a rro llo
c o m u n ic ó
h a b la n d o
b a se
q u e
d e
u n a
a y u d a
p rin c ip io
lis is .
e l
a t e m
d e sd e
g e o m e tr ía
p r in c ip io
re s tric c io n e s
c re e m o s
re s
a lg u n o s
C a u c h y
n o
c o n
p rim e ro
la
p r o p ie d a d e s
a lc a n c e
C a u c h y ,
a llí
e n
c u a n d o
d e
m
c o n c e p c io n e s ,
re la c io n a
ta s
f i lo s o f í a
s e g u ra m e n te
e s ta s
s o b r e
c o n te n ía
I n fo r m e
la
e m b a rg o ,
M e m o r ia q u e
d e
c o n v e rtid o
S in
d e
p ro p o rc io n a
c o n c e b ir
m á tic o ,
e ta p a s
p á g .
2 3 9 .
d e s
m é th o d e s
g é o m é tr iq u e s ,
B u lle tin
des
L a
re a lid a d e s te
P o n c e le t
d o b le
b re s ,
se
m á s
e x a c ta ,
el
C a u c h y
d e s id e r a tu m .
e n fre n ta n
h o m b re s d o
y
c o n t i n u i d a d
y
se
d o s
p a ra
p u e d e
p e río d o
h a b ía n
es
e v id e n te
filo s o fía s
n o s o tro s
c lá s ic o
e l
d e
d e
m á s
la
36 1
a u c h y
e s ta d o q u e
le jo s
a
d e
la
a
a
la
o
s a tis fa c e r
d e
d e
q u e
d o s
u n a
tra v é s
filo s o fía
m a te m á tic a s
d e
tra v é s
m a te m á tic a ;
in s tru c tiv a ,
p a s a je
la s
C
n o
P e ro
c a p ta r
e n
d e
m a n e ra
e s to s
h a b ía
filo s o fía
a
h o m
d o s
in s p ir a
d e l
p e río d o
m o d e rn o . E n m ú n
e l
d e l
p e río d o
a n á lis is
p re s e n ta c ió n c o n e x io n e s
c lá s ic o ,
y
d e
la
c o n c re ta , re c íp ro c a s ,
g e o m e tría
m e c á n ic a
s o b re
el
c ré d ito
m é tric a s
m á s
P o i
el
a llá
n e ra liz a c ió n q u e
la
d e
c o n tin u id a d .
d e
a n á lis is
E s
s a c a d a s
d e
b a s ta n te
s e ríe s
re a le s
a
v e rd a d ,
q u e
m e n te d e s
a e n
q u e
S e
la s
1 9 7 .—
E s
d e
lo
n a tu r a le z a
m e n e s te r q u e
la
L a
re o rg a n iz a c ió n d e
h a c e r
e l
c o ro n a m ie n to
h a
p ro v o c a d o
( e 5 )
C o u rs
y
y
a
la
o tra , L a y
re la c io n e s
la
es
g e o
M á s
a llá
n u e v o
d e
to d o y
y
la
se r
a lg e
p rin c ip io d e l
C u r s o ra z o n e s
d e
e s ta
e s p e c ie ,
e n
el
la s
p a s a je
d e
c a n tid a d e s
c o n s id e ra d a s ,
h a c e r
la
e x a c titu d
p re s e n tir
e lla s
e x te n s ió n
a
la g e
la s
d e
p a ra
q u e
d e l
ja m á s
ra z o n e s
s o b re
d e
a
la s
a
h a c e r
in d e fin id a , s u b s is te n
v a lo re s
d e
la s
m e
v eces
c ie n c ia s
tie n d e n
fó rm u la s
c ie rto s
h a b ía
fu n c ió n
In tr o d u c c ió n
e s ta s
a n á lis is ,
q u e
g e n e ra liz a c ió n
p u e d e n
u n a
la
la
c o n
p a ra
d e
u s o
L a s
n o
d e l
in tu itiv a
re c u rrir
a p ta s
d e
la s
el
a s im is m o
m a y o ría
su s
p r in c ip io s ;
m o d e rn a
d iv e rg e n te s ,
a lg e b ra ic a s
re
p o r
m ie n ú n ic a
c a n tid a
( 63) .
r a r
te n ta d o
y e n
p o c o
o b s e rv a r
c o n d ic io n e s
c o n tie n e n
“ f iló s o f o ”
c o n c u e rd a n
la
re c u sa
a d m itid a s , s e rie s
c o
la
p r e s ta ta r io .
su s
c o n ju n to .
“ n o
im a g in a ría s ,
f ó rm u la s
c ie rta s
la s
u n a
d e
a n a lític a
á lg e b ra ” .
in d u c c io n e s
d e b e
re a lid a d
b a jo
q u e
c o m o
p e ro
m a te m á tic a s .
tra s
a
c ie n c ia
s u
e s c rib e
d e l
el
e v id e n c ia
f ó r m u la
c o m ú n m e n te
r a íz y
in tu ic ió n .
la
el
o ra
la
fe c u n d a b a n
e x te n d e rá
la
e n
im p o n e rs e
g e n e ra lid a d
q u e
la
P o n c e le t, la
se
a n á lis is
d e fin ic ió n
n e c e s a rio ,
e x p re s io n e s
m á s
a tr ib u ir
d e
c o n v e rg e n te s
la s
p a re c e , la
la
la
to m a d a
in s p ira d o
a lg e b r a ic o ,
a u n q u e la s
c u rv a
d e
f u n d a
d is c u s ió n s í
e lla ,
a l
P o n c e le t
lím ite s
e n tre
a
c o m o
a b s tra c ta
a lte rn a tiv a m e n te
d a d o
q u e
e n
a p a re c ía fó r m u la
p r e s ta m is ta
C a u c h y
g e o m é tric a h a b ía
g ra c ia s
h a b ía n
lo s
p o n e r
a p o y a rs e d e
d e
a n á lis is d e
p o r
c o n tin u id a d
b ra ic a
p a p e l
c o n tra rio ,
c o m e n z a n d o p e r m itid o
el
d e l
L a
a v e n ta já n d o s e
o ra
la
c o n tin u id a d
a s o c ia d a s
d e s e m p e ñ a n d o o
la
g e o m e tría .
h a
n o
e s p e c ífic a
d e l
in te le c tu a l
u n d e h a
p u n to u n a h e c h o
d ’a n a l y s e
h a c e r
p r e te n d id o
d e
o b ra
a
C a u c h y
s e r;
p ro g re s o d e l
q u e
n e c e s a ria .
a lg é b r a iq u e ,
q u e
a n á lis is ,
p a r tid a la E n
1 8 2 1 .
m á s
s e ría
a l
tr a ta m o s d e l
c u a l
a b s o lu to ,
m is m a
I n tr o d u c c ió n ,
d e
fo r m a
p á g .
tie m p o
d e
e l
s e ñ a la
o b s e rv a c ió n la
e s p e c u la tiv o ,
m is m o
I I .
m
is
a lte
re c o n s tru ir.
ló g ic o
e s ta ría
e fe c tiv a m e n te la
n a tu ra le z a
q u e
la
c o n s -
3 6 2
L a s
titu c ió n n a
u n a
d e
la
p o r
a
d e
L a s
d e
a s í
p ro v o c a d o ,
s u s p e n s o
d u jo
a
p o r
la s
c u e rd a s d e
u n a
e
im a g in a ría
a
E u le r
a
e n
s ig lo
d a b a n
f ó rm u la s
I c o e fic ie n te s
se
“ L a s
( 66) . la
s e n
x
i
7
'j -
o
+
e l
q u e
u n a
á t i c a
c á lc u lo
e n
in fin ite s im a l
c a m p o d e l
lo s
d e
la
e s tá
p ro b le m a s a
c o ro
m e c á n ic a
a n á lis is
s o lu c ió n
la
d e
y
v in c u
la
c u e s tio n e s
p ro p a g a c ió n
a
la s
fó rm u la s
q u e
n o
F o u rie r
d e l
rig e n
d ifie re n
in d e te rm in a d a ,
s e rie
fís ic a
d e ja d a s
p a rte
q u e
d e
la
c a lo r,
la s m á s
es
c o n
v ib ra c io n e s q u e
re a l
e n
p o r u n
o b s e rv a c ió n ,
el
c a so
d e b id a
trig o n o m é tric a
+
0
d e
a n á lo g a s
c o n s ta n te
e n
a i
d e l
a t e m
m o d e rn a
c o n d ic ió n
o tr o ”
m
X V III.
d e
“ q u e
L e ib n iz
m a te m á tic o s
v ib ra n te s :
( 6 7 68) ,
f i lo s o f í a
p e rs e g u id o s
q u e
m is m a
la
c o n c e p c ió n
y
el
d e
p o r
la
e c u a c io n e s
F o u r ie r
v a lo r
lo s
y
e s fu e rz o s
d e s c u b rim ie n to s
h a b ía n e n
N e w to n
s e rie
g e o m e tría ,
la d a
e ta p a s
a
+
2
Oí
d e te rm in a n
2 a;
s e n
c o s
+
x
m e d ía n te
. . .
2
2 a;
+
ó
eo s
la s
fó rm u la s
+
% O
f ( x )
'n
s e n
n
x
d x
c o s
n
x
d x .
1C
v ió
q u e
c ió n
e s ta
f
u n a
d e te rm in a c ió n
( x )
sea
fu n c ió n
p u n to u n a
d e
q u e ,
( 88) .
m a n e ra
( 8 7 ) d ’u n e
(6 8 )
( 6 9 )
h a
1 8 8 0 ,
R e ih e
q u e
fu n c ió n
a r b itr a ria ;
p a ra
la
e n
e lla
d ie
la s
es
p á g .
s e n tid o
q u e d a
a b s c is a
la
el
II,
s u r
la
/
x )
y
p á g .
p o r
e t
d e
la
d a d a
a u
u n a sí f u n
d e
e n
u n
u n a c íe r-
m o u v e m e n t
d e s
2 6 1 .
r e p r é s e n ta tio n tra d ,
f u n
o b tu v o
v a lo r e s ta ría
é la s tiq u e s
1 8 9 0 ,
la ( x )
p re s e n ta b a
d e te rm in a c ió n
s u r fa c e s
t.
2 3 2 ;
d e
d ’u n e
fra n c e s a ,
a
fo n c tio n
B u lle tin
lo s
f u n c ió n ” .
m á s
la
p o r
u n a
es
le y
q u e
a r b itr a ir e
d e s
s c ie n c e s
d e b e
N e tto ,
a
q u e
re c o rrid o ,
re g la
p o d e m o s
L e ip z ig ,
es
e n te n d e rs e
e n
d ie
d e
T h e o r ie 1 8 9 4 ,
q u e d a d e r
p á g .
a rb itra ria s c o n v e n ie n te
e s ta q u e
e le g ir
q u e
tr ig o n o
K ro n e c k e t:
fu n c io n e s
e m b a rg o
u n a
e in e
2 3 1 .
re fle x ió n
S in
d e
ü b e r
p á g .
re p re s e n ta r
s o m e tid a
V o r le s u n g e n
p u b lic a d a s
d e
d u r c h
L a u g e l,
m a te m á tic o s .
c o n s is te
fu n c ió n ,
F u n c tio n
re p r o d u c ir
m a te m á tic o
a rb itra rio
e in e r
tra d u c c ió n
F o u rie r
s ie m p re
la
In te g r a le ,
d e s
in te re s a n te
s e rie s
d e
la
q u e
D a r s te lb a r k e it
e r k e ,
L o
a
la
s ie m p re
tr ig o n o m e tr iq u e ,
v a lo re s
p re s c rip ta
v ie lfa c h e n
h is to r iq u e
p rá c tic a .
d ife re n te s
m e n te d e r
d e
s o la m e n te
ta l
D a rb o u x ,
e x tra o rd in a ria m e n te
o b s e rv a r
d e
c u a n d o
o rd e n a d a
“ g rá fic a m e n te ”
v ib r a tio n s
n o c ió n ,
tie n e n
a ú n
p rim e ro
4 7 .
X Je h e r W
(c u y a
d a b a
d e c ir,
s é r ie
p á g .
e s ta
q u e
im p re s io n a d o
p re c is a
u n e
( 1 8 5 4 ) ,
S o b re
p ro p ie d a d
a u x
E ssa i
p a r
a p lic a b le s u s titu y ó
v a lo re s
q u e
es
e d ic ió n
S a c h se ,
R ie m a n n ,
m e tr is c h e
( 69) ,
r e la tiv e
v a r ia b le
m a th é m a tiq u e s ,
" L a
fu n c ió n
Πu v re s ,
C fr.
se u le
c ie rto s
e fe c tiv a m e n te ,
U n a
¡J o le
1 8 1 8 ;
s ie n d o
“ d is c o n tin u a ”
p a ra
a r b itr a r ia
(6 6 ) o n d e s ,
s ig u e
a rb itra ria m e n te :
lla m a d a
r u p tu r a
s e rie
c ió n ”
d a d a
9 4 .
n o c ió n la
le y
d e m á s
d ife re n te m e n te in c o n d ic io n a l e in fa c h e n
u n d
L a
to
in te rv a lo
in te rv a lo , L a o b je to
d e
la
s e ría
v a ria b le
u n
c u a le s
la
la
s o la m e n te
c ie n c ia
d e
h a b e r
c o n tin u id a d h a b ía
q u e
la s
(la
v a lo re s
lín e a
c o n fu n d e
el
1 9 8 .—
q u e
g ú n
se
el
es
V
p a ra
x
y
la
—
x ;
e s c rib e D e
e s tá p e ro
+
y /
a q u í
lu g a r
d e
( 7 0 )
la
" S o b r e
la
1 8 2 9 ,
p á g .
1 5 7 .
V e r
" E s
n e c e s a rio
d o s
lím ite s
v a ria b le
u n
n ú m e ro
tu c io n e s
n o
s o n
se n ta d a s
p o r
d e
s u
p á g .
c u rs o
a r b itr a r ia
la s
Πu v r e s ,
(7 3 )
L e ç o n s
3.
se
la
d e
lím
n o
su
es
u n
d ific u lta d e s a ú n
c u a n q u e
é s ta
se
a p a re c e
fu n c ió n
E s ta
ig u a l
fu n c ió n
fu n c io n e s
c o m o
se
( 72) .
e x tr a jo
d e c ir,
la
d e
y
c u rs o ”
la s
i
e s tá
o rd e n a d a
p re s e n ta n
n e g a tiv o .
a p a re c e
e n tre
fu n c ió n ,
d o s
tie n e
a r b itr a r ia ,
s im p le s ,
d e
p o r
q u e
v a ria b le
e je m p lo ,
x
g e
a n a lític a
( x )
“ q u e
u n a
c o m o
p a ra
re fo rm a
q u e
la
m is m a s .
u n a
su r
I,
la s
e d . e n
L a s
n o
c o n tin u a s
c o n tin u a
t.
e s p e c ie
n o d e
p á g .
l ’i n t é g r a t i o n
I I ,
e n
p á g .
c u a n d o
o s c u la c ió n
q u e
d e
s ir v e n
C re ile ,
to m a -
p a ra
í.
fu n c io n e s
c u a le s q u ie ra d o s lo s
g o z a n
c o n tin u id a d .
fu n c ió n ,
re p r e
IV ,
B e rlín ,
q u e
tie n e n
9 7 .
e s ta s
m á s
d e
u n a
m a te m á tic o
in te rv a lo , q u e
d e
J o u r n a l
v a lo re s
c o in c id e n
n o c ió n o
tr ig o m é tr íc a s ,
a n á lis is
to m e
fu n c io n e s
q u e
1 8 8 8 ,
c it.
o tro
la
d a d o s -1
s u s titu y e n d o e n
d e
c u rv a
s e r íe s
e l
v a ria b le
q u e
u n a
lim ite s
L e ç o n s,
d ife re n te s ,
t.
d e
e n tr e
c o m p re n d id o
o fre c e n
(7 2 )
d a r
p a rte s
d e
a d m itir
m ie n tra s
lín e a s y
F o u e t,
s ie m p re
d a d o s ,
m é to d o
C a u c h y
( 73)
m u y
f
la
re s to
F o u rie r,
p a ra
x
el
d e
e u le r ia n a )
E n te n d e m o s
f o rm a
p rá c tic a s ,
d e
c ita ,
la
c o n v e r g e n c ia
fu n c ió n
ig u a le s ,
to d o
c o n tra rio
s u rg ir
u n a
v a lo re s
e n
c o n
e s tre c h a
u n
m id e
d e
L e b e sg u e
—
p ro p ie d a d
s e n ta r
(7 1 )
c u a n d o
fu n c ió n
F o u
e x p re s ió n
fu n c ió n .
f in ito
q u e tu v o
x 2” .
d e b ía
s e r
E s ta
a rc o
p o r
el
la
c o m p re n d id a
C a u c h y
p o r
m u y
c o n tin u id a d
. . .
n u lo
e x p re s io n e s
fo rm a d a
F o u r ie r
n o c ió n
a
d e m o s tra r
c o n v e rg e n c ia
m e n o s
e s tá
d ic e
a
c o n d ic io n e s
v a ria b le
a b s c is a s
y
la s
se r
p a rtic u la r,
p u d ie ra
fu n c ió n
e m p le a d o
n o .
se
“ f o r m a d o ”
d e
o tr o
d e b ía
E n
u n a
in v e s tig a c io n e s
p o s itiv o ,
lo u n a
p a r te s
u n
q u e
q u e
lla m a rá
c o n s e c u e n c ia s
m á s
o
x
c o n tin u a ,
E n
la s
c o n tin u a
+
+ se
d e
e s ta b le c e r
H a
e n
p ro p o s ic ió n
su c e so re s.
fu n c ió n ,
la
s e ñ a ló ,
u tilic e n
se
) .
lím ite s .
e s ta s
d e p a ra
q u e
s ie m p re
la s
p ro c e d im ie n to
c o m o a
d e
su
p rin c ip a l
o
es
eso s
e je
D e
( n
d e
c u a n d o v a lo r
te ó ric o :
re s u lta n n o
a n á lis is
d e te rm in a c ió n
trig o n o m é tric a .
su s
P o r
e n
“ e le m e n to
la
re p re s e n ta ,
e n to n c e s
c o m p re n d e
c o n
p ro b le m a
m a rc o
o- p a r t e
e n tre
q u e
la
( 70) .
3 6 3
a u c h y
a
d e
p ro b le m a
se p a ra d a s,
c u y o
c o m p re n d id a
d o
a l
d a b a
p a rte
q u e
d e sd e
s u b s is te n te s y
el
C
s e rie
s a tis fa c e r
s e rie
p e r
se p a ra d a ,
d a d o s ,
u n a
q u e
tie n e
el
s u p u e s to
r o to
fu n c io n e s
fu n c ió n
te s
la
a p ris io n a d o
n e ra l d e
d e
d e
d e b ía
h a b ía
u n a
F o u rie r
p la n te ó
e n
im p lic a ría
p o r
a te n to
fu n c ió n
c o n v e rg e n c ia
rie r
q u e
e x a m e n
L e je u n e -D iric h le t la s
n o
re p re s e n ta b le
g e n e ra lid a d
d e
c o n tin u id a d -
fu n c io n e s ,
re s u lta d o s
d e
q u e
f in ita ” .
c o m p re n d id o s
e s ta e n
e n
d e
la s
p ro p ie d a d
u n a
Πu v re s ,
p o rc ió n t.
I,
e n tre
lu g a r
d e
d o s
e s tá n
la
s u s ti re p r e
d e te rm in a d a
1 8 8 8 ,
p á g .
2 2 4 .
3 5 0 . e t
fa
re c h e r c h e
d e s
fo n c tio n s
p r im itiv e s ,
1 9 0 4 ,
L a s
3 6 4
d a
e n
su
c o n ju n to ,
c o n tin u id a d m e n to
eso s
y
lím ite s ,
p e q u e ñ o
S i,
se
a ,
la
u n a
e s ta
d e
la
E s to
n a d o s
a
c a d a la
la
fu n c ió n
m is m a
a l
m is m o la
fu n c ió n
v a ria b le
x ,
u n a
v a lo r
d e
x
in d e fin id a m e n te
( x )
p e rm a n e c e rá
d a d o s ,
d e e l
la
s í,
e n tre
p ro d u c e
d e d e
tr a ta ”
( 74) .
x ,
E s ta s
x
f u n c ió n
x
d e
in te rm e d io
la
e n
u n
v a lo r
c o m p re n d id o
e n tre
in c re m e n to
in f in ita m e n te
in c re m e n to
n u e v a
se rá ,
la
v a ria b le
e n tre
c o n tin u a e so s
u n a
d e
la
in s tr u
d ife re n c ia
( x )
la
h ip ó te s is
lo s
d e
e l
a
y
d o s
esa
lím ite s ,
d e
a .
la
u n
d e l
v a lo r
lím ite s
v a ria b le ,
v a lo r
a s ig
s i,
p a ra
n u m é ric o
d e
s ie m p re
q u e
c o n tin u id a d ; m a te m á tic o s
a
la sea
u s o
h a b ía n
f
lím ite s
( x )
v a ria b le
x ,
c o n tin u a el
im p o rta n c ia
re c u p e ra
fu n c ió n
lo s
p e q u e ñ o
fu n c ió n
a
su
la
e n tre
in f in ita m e n te
e n c ie rre n
p a ra
le
x
p e q u e ñ o
la
e lla
q u e
u n a
m e n o s
q u e
a tr ib u id o
p ró x im o s ,
té rm in o s ,
in f in ita m e n te
in c re m e n to
p a r tic u la r
a l
o tro s re la c ió n
in c re m e n to
u n
tie n e n
( x )
E n
c o n
ta m b ié n
d ic e
e s ta r,
lo s
el
/
S e
m u y
d e
q u e
—
c o n tin u a
v a ria b le ,
d e
a )
s ie m p re
v a lo r
a u n
d e ja
e n tre
v a lo r
c a p ita l.
es,
d e
d o s
q u e
L a
a n a lític o
e n
fu n c ió n
se
n o c ió n
s u b o rd in a d a
té c n ic a m e n te
to d a
a s ig n a d o
te ó ric a m e n
y a
la
g e
( T5) . P o r
o tr a
c o n tin u id a d
se
c o n
d e fin ic io n e s
fu n c ió n
n e ra lid a d
d e
u n e s ta
d e
te
u n
/
( x )
+
lím ite s ,
fu n c ió n .
e n to r n o
la
e so s
p ro p ia
lím ite s
a
d e
p o r
—
e n tre
( x
s ie n d o
v a ria b le
la
c o n tin u a
d e
x
( x )
d e
c o n s ta n te m e n te
v a lo r
d e
f
/
m a te m á tic o ,
s e rv irá
d ife re n c ia
d e c re c e
d e
a )
fu n c ió n
in te rm e d io
s u je to q u e
v a lo r
a d m ite
u n
tie m p o ,
s e n ta d o ,
á ti c a
u n
" S e a
te n d r á
+
a
c a d a
v a ria b le
( x
/
/
d e
a
d e p e n d e rá , x .
p a ra
fu n c ió n
a trib u y e
a t e m
e le m e n ta l,
f u n c ió n :
p a r tie n d o
m
in h e re n te
q u e ,
/
q u e
f i lo s o f í a
re la c ió n
d e
d a d o s ,
f in ito .
la
a tr ib u to
s u p o n g a m o s
lím ite s y
d e
u n a
el e s tu d io
x ,
d o s
ú n ic o
u n
d e v ie n e
p a ra
v a ria b le tre
e ta p a s
p a rte
p u e d e
( 7 4 )
C a u c h y ,
(7 5 )
" L o s
fu n c io n e s h a
o p e ra c io n e s c a n tid a d e s ' s u m a s , id e a s ,
u n a e l
a
to d a
p ro d u c to s ,
d e
la s d ic e
e s
n e c e s a r io
p o r
fu n c io n e s : q u e
d iffé r e n tie l
es
d u
d e
se
T o d a
d e l
e s ta s
y
p a ra
r e m o n ta r
c a lc u l
in té g r a l,
c u y o
d e t.
I,
p ro b le m a q u e
se
d e c id ir
re s u e lv e
v a lo r
é s ta s
d e
h a n
e sa s
d a d o
d e p e n d e
lo s
re s u lta d o s
fu n c ió n d e
d e
o
a
p r im e r a .”
la
p á g .
1 ) .
d e
si
la
g ra c ia s
u n a
a
u n a
ig n o r e
la o
d e n o m in a c ió n E n
lo
d e
u n a
P o r
o
d e
(L a c ro ix ,
d iv e rs a s
d e
ú ltim o
n u e v a s
d e fin ic ió n
v a r ia s q u é
v a ria s
c u a lq u ie ra ,
s ig u ie n te
m e d ia n te
s u c e s iv o
la s
m a n e ra
c a n tid a d e s . lu g a r
se p a
1 8 1 0 ,
se
la
c a n tid a d .
e n c ie rre ,
ra íc e s
b a jo
e sa a
ta m b ié n
q u e
se
g e n e ra l, d e
a p lic á n d o la
a n á lis is
ú ltim a s ,
e n
p o te n c ia s
lla m a d o
p o te n c ia s
c a n tid a d d e
la s
p a la b ra , h a
u n
3 4 .
a lg e b ra ic a
p ro g re s o
es
p ro b le m a
c o m p re n d ía n ,
to d a s
e sa
a s í
c o c ie n te s ,
fu n c ió n ,
p á g .
a n a lis ta s
e x p re s ió n
fu n c ió n
p a sa r e t
c ita d a ,
s e n tid o
e l
u n a
a tr ib u id a ,
c a n tid a d ,
a lg e b ra ic a s :
tra íd a s
s e
O b ra
a n tig u o s
d e
e x te n d id o
d a d a s e rle
c a n tid a d e s , o p e r a c io n e s
T r a ite
d u
c a lc u l
L a
a
u n
lo s es
e s tu d io
p o s itiv o
d e fin id o s
d e
c o n tin u a
b le
x;
—
e n
es
la el
c o n t i n u i d a d
d e l
c u rs o
v a ria b le .
e n to r n o
c o n tin u a
d e
la
A s í,
d e
e n
C
fu n c ió n
s e g ú n
to d o
s o la m e n te
a u c h y
y
e n
re la c ió n
C a u c h y
v a lo r
e n tre
3 6 5
( 7e) ,
fin ito
lo s
la
a
in te r v a
fu n c ió n
a tr ib u id o
a
la
a x
v a r ia
lím ite s
X
10 x
—
—
L A
1 9 9 .— c o n c e p c ió n tr o
E s
y
c a p ta d a s
e n
s u
d e
u n
e n tre lo s
d o s
n ito ;
y
s a je
E n
tin u a s
d e
u n
T a l
a
se n
1,
( —
+
E s a l
O b .
( 7 7 )
D e
1 8 4 7 ,
( 7 8 )
o tr o
su
M e m o r ia
s in
p a ra x
d t.
q u e
p á g .
2 3 .
A n n a le s
a
L e b e sg u e ,
e n
o tr o ” .
s in o
m á s y
q u e
p a s a n d o
p o r
ilim ita d o
la
s o n
q u e
la
fu n c io n e s
la
e x is te to d o s
o
d u r a n te
in f i el
p a
d is c o n tin u a s ,
“ E x is te n a
v eces
lo s
“ el
c u a lq u ie r
fu n c io n e s
se
la
v a lo re s
s im p le , a
o
tra n s c u rre
c o n tin u a s ,
to d o s
d e
c o n tin u a ,
( 77)
la s
q u e
1 8 4 7 ,
id e a
n e c e s a ria m e n te re p o s o ,
n ú m e ro
q u e
E n
la
c o n s id e ra
d e
n o
c o m o
p o d e r
d e
v a lo r
la
d e l
el
v a ria r
in te rm e d io s ” c a so
G .
d is c o n
( 78) .
fu n c ió n in te rv a lo
re n o v a c ió n id e a s .
d e l
P e ro
se
a n á lis is
d a
q u e rría
m á s
s a b e r
p re c is ió n a lg o
m á s ;
3 6 . e t
d e s
C fr.
lim ite s
E s s a i,
S c ie n tifiq u e s
o b .
e n
v a r ia r
s o b r e
la s
c it.
p á g .
d e
c a p . d e
109. ( 7 9 )
c u e rp o
q u e
la
n u e s
( 79) .
e s ta
c la rid a d
p á g .
a
0,
9e
0”
=
l ’o r i g i n e
m a g n itu d
c o n c e b ím o s
re n o v ó s e g ú n
te x to s .
la
e je m p lo x
d e
d e
id e a
tie m p o
p o r
C a u c h y
re fe rim o s ,
la
o b s e rv a c ió n :
p a s a r
q u e
n o s
ra z ó n
fu n c io n e s
el
oo.
la
p ro p ie d a d
la s
to m a r
m á s
el
+
d e
u n
lu g a r
u n a
s i
c o m p a ra c ió n
p u e d e n
c o n
—
A N Á L IS IS
m a g n itu d ,
u n
in d is c u tib le y
n o
d e
, x
v is ió n
A s í a
d e
d e
p a r a
( 7 6 )
m é tr ie ,
m ó v il
0
—
e v id e n c ia
u n a
a b s o lu to .
d e
—
1)
le n g u a je
g in a
a
p a r a
a
u n a
s ig u ie n te
g o z a n
v a lo r
ig u a l
e n la
e n
x
c o n tin u id a d ,
p o r
m is m o
d is tin tiv o
se rá ,
la
m ó v ile s ,
lo
h a c e
q u e
c a rá c te r
p o n e r
c u e rp o
1 8 7 4 ,
—
c o n s ig u ie n te
lo s - c u e r p o s
D a r b o u x
D E L
in te rm e d io s
o c u rre
d e
Í A
d e
r ig o r
c u e rp o s
e s ta d o s
A U T O N O M
“ E s
p o r
d is ta n c ia
2°
x
h a b itu a l
e s c rib ía :
c o n tin u id a d ,
y
fá c il
filo s ó fic a
p ro c e d im ie n to
C o u r n o t
0
o o ,
9 0 .
la
X I I I ,
l ’E c o l e
c o rr e sp o n d a n c e d e
la
e n tr e
C o n tin u id a d
N o rm a le
l ’a l g è b r e t.
S u p é rie u re ,
I,
p á g .
t.
IV ,
e t
la
g é o
3 9 0 . 1 8 7 5 ,
p a
3 6 6
L a s
se
q u e rría
la
re a lid a d
A
e s ta
c ió n d e
s a b e r
la
u n a
q u e
200.
—
in s is tir
g r a c ió n ,
y
n ite s im a l
d e
m a
lo s
d e
es
b a jo
v a ria b le
U n a
ta l
d e
s ig n o
J
L o fu e ra d a
d e l
ria b le s
e n tre
b u id o s
a
g ra n d e s , d e v ie n e q u e
d e
p u n to
u n
eso s
d e
e s ta s
d o s
la
e v o lu
e le m e n to s
o
fin ita
y
la
to m a d a
lo s
c—
la s
a
c á lc u lo
in f i
e lla
lo s
la
o p e ra
es
“ la
d iv e rs o s se
. . .
lo s
d o s
q u e
el
v a lo
tr a ta
fu n c ió n
to d o
s u
d ife re n c ia l
q u e
s ie m p re
e n
d e fin id a ,
p rim e ra s
d e
fin ita s ,
n o c ió n
c o n
d e
d e
la
( 81) . u n
la
b a jo
el
in te rv a lo
in te g ra l
lla m a
re s p e c to
s a b e r
c u a le s
e n
d e
C a u c h y
a
a
u n a
v a lo re s
( a ,
d e fin i
v a ria s
v a lo re s
v a a tr i
in fin ita m e n te
b a jo
S u p o n g a m o s ,
in te r v a lo
o
c ie rto s
fu n c ió n
d e fin id a
in te g r a l
el
p o r
b )
s ig n o
J*
e je m p lo ,
e x c e p to
e n
u n
in te g ra le s
f f x j dx y tie n d e n d e
in te
e x p re s ió n
f in ito ,
p r ó x im o s
h
s u m a
la
in
la
( 80) .
v a ria b le s ,
fo r m a r
d e l
d e
in te g ra l
la s
lím ite s
y
c o n tin u id a d .
c o n tin u a
la
c o n tin u a
in d e te r m in a d a ” sea
lo s
ú n ic o
im p o rta n c ia
a n a lític a :
d e
c a n tid a d e s
p a ra
in te g ra le s
c e ro ,
d e
h e c h o s .
la
lo s
n o c ió n
f is o n o m ía
C a u c h y ,
c o rre s p o n d e n
in f in ita m e n te
v a lo re s
p o d e m o s
a
lo s
c a p ita l,
s u
la
p ro v o c a d o
e x te n d e r
la
la
e n tre
lím ite s ” es
e n
d e
re c ib e
f
b
h a c ia
e s to s
rh J
(x) dx.
/ c +
S i
p r o f u n d a
e n
a p o r ta d o
ra z ó n
p e q u e ñ o s
v a lo r
in te g ra l
f tie n d e
c u e s tió n h a
d e fin ic ió n
q u e
s ie n d o
m is m a s
fu n c ió n
c,
,
ta m b ié n
lím ite s
in f in ita
u n a
tie n e
“ u n a
e sa a s o
J"
im p o rta ,
a
la
q u e
h a
u n a
c o m p re n d id o s
d o m in io
s in g u la r ,
re c ib e
s ig n o
e n tre
q u e
m á s
c o n s a g ra c ió n
es
C o n
g e o m é tric a
in f in ita m e n te
e lla
c o m p re n d id o
á t i c a
p e n e tra c ió n
e n
e x te n s ió n
c o n s e c u e n c ia .
v a ria b le
sea
a t e m
C a u c h y
tra n s fo rm a c ió n
el
la
d e
m
su
filó s o fo
la
in te g ra l
lím ite s
u n a
s u
v a lo re s
re s
la
a
c o n v ie n e
la
in te g ra c ió n ,
c o lo c a d a d e
el
to d o
re p re s e n ta c ió n
c io n e s
f i lo s o f í a
e n c u e n tra
d e s p u é s
s o b re
s o b re q u e
la
s ig n ific a tiv a .
'A n t e
trín s e c a ,
si
p a ra
m a te m á tic a
re s p u e s ta
d e
c o rre s p o n d e
m a te m á tic a ,
c u e s tió n ,
d e
c u y a
si
e ta p a s
h
lím ite s
lím ite s
d e te rm in a d o s
re p re s e n ta rá
la
c u a n d o
h
in te g ra l
f f x j dx,
a
(
2*
80)
s e rie , ( 8 1 )
J o u r n a l
t.
I ,
p á g .
Πu v r e s ,
d e
l ’E c o l e
P o ly te c h n iq u e ,
t.
t.
n 9
X I I ,
c u a d e rn o
X I X ,
p á g .
3 3 3 . 2 ?
s e rie ,
I,
p á g .
5 7 2 ,
2 ,
y
p á g .
3 3 5 ,
n 9
2 .
5 7 1 .
Πu v r e s ,
L a
y
e s ta b le c e re m o s
J f(x)
la
a u t o n o m
S e
o b te n d r ía
d x
v a lo d e
(a ,
e llo s
to d o
l i m
b )
e n
u n a
d x
f
iff a )
J
to m a d a
p u n to
R ie m a n n ,
h e m o s
o p e ra to rio c u la r
la
q u é
e n
d e
el
c +
in te rv a lo
d is c o n tin u id a d
p a rc ia le s
ta le s
s in g u la r,
y
to d a v ía
q u e
q u e
d x
( a ,
n o
b )
e x is te si
es
1 J
h
c u a n d o
d iv id ie n d o
a p lic a n d o
lím ite
ese
a l
e n
e n
in te r
c a d a
p o s ib le ,
u n o
el
m é
( x ,
E n L
u n a
fu n c ió n d a d o ,
tie n e
d iv id ir
in te rv a lo
n -i)
Y
la
u n
fu n c ió n
lím ite
e l
fu n c io n e s
L e je u n e a
re c ib ir
c u y a
e x p o
p ro c e d im ie n to c o n tin u a s ,
q u ie ra ,
y
y
se
c a l
p re g u n ta
d is c o n tin u a s ,
q u e
lím ite
d a
p e rm a n e c e
s u p e rio r:
in te rv a lo
p u e s
la s
tie n e
in f e rio r
e n
u n a
L ,
s e rie
li
y
u n
d e
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L x
+
(x 2 —
X j)
s n
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(* i —
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h
+
0 2
*
F o rm a m o s d e
in te g r a l
p o r
la
d e fe c to ,
lím ite s
ta m b ié n ,
el la s
O b ra
el
e n
c o ta s
d o n d e
d e c is iv o : e n
p á g .
d e
a
la
m is m o
d e fin ic ió n ,
a q u í
d o n d e
2 3 .
z x
) . P o r e n
d e l
p ro p io s
d o b le
p a ra
p ro p u e s to
lo s
e n
p ro g re s o
d e
e n tre
a
d o c trin a
le y
d in á m ic a
lo s
c u a l
la
la
h a
m a te m á tic a
q u e
e s te
c o n s e c u e n c ia
se
p o n e r
a l
m e n c io n a r
té rm in o ,
d e
id e a lis m o
a te n e rs e d e
a
u n a
in tu ic ió n
e m p ir is ta ,
es
p r u e b a s
( 41) .
3 3 4 . c o n ju n to
a
n e u tr a
e m p iris ta ,
É l,
a
te s tim o n ie
n in g u n a
p e rte n e c ie n te
v o lv e r
lím ite
tím id o ”
e x p o s ic ió n
a llí
m a te m á tic o s ,
d e l
e x p re s a r
c o n s titu y e
e n
y
la
e s tá tic a
c o m o
L le g a
a llí
s u s titu y e
d e
“ re p re s e n ta c io n is ta ” ,
n o
c o m ú n .
B o is -R e y m o n d
fu n d a m e n ta le s
p e n s a r
irra c io n a l
“ o s c u ro
d u
m a te m á tic a .
n o c io n e s
e s tá tic o , d e
p a re c e n
n o
filo s o fía
la s
tra d ic ió n
d e
d e d u z c a
la
p a r tid a
s e n tid o
q u e
q u e
m a te m á tic o s ” ,
d e
re a lis ta
c u rio s o
p o d ía la
—
P e ro
d e sd e
se r
b ie n
o r d e n a d o ,
p o s ib ilid a d
( 3 8 )
Ib id .,
p á g .
1 0 4 .
( 3 9 )
Ib id .,
p á g .
6 2 .
( 3894 0 )
Ib id .,
p á g .
( 4 1 )
Ib id .,
p
á g
1 2 0 .
.
1 3 0 .
d e
e le g ir
el
m o m e n to
u n
h a
s id o
e le m e n to
e n
q u e ,
p a r a
n e c e s a rio , e
p r o b a r
c o n
d is tin g u id o ,
q u e
Z e rm e lo , e n
c a d a
to d o
5 6 8
L a s
u n o
d e
lo s
c o n ju n to s
c o n ju n to s
( 42) ,
a p a rta rs e el
fin a l
e ta -p a s
d e e n
lo s
e s ta la
E
d e
la
q u e
f i lo s o f í a
c o m p o n e n
m a te m á tic o s
n e u tra lid a d ,
ló g ic a
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su
- m a te m á tic a
se
y
h a n
p a p e l,
la
to ta lid a d
v ie ro n
e n c a rn a d o ,
lo s
in f in ita
b ru s c a m e n te
d e
p ro s ig u ie n d o
p e rs o n a je s
lo s
o b lig a d o s
im a g in a d o s
a
h a s ta
p o r
d u
B o is -R e y m o n d . S e g ú n d e je m o s o tr o s
J .
d e
H a d a m a r d
la d o
la
o r d e n a r ? ” ,
p a ra
d e n a c ió n ?”
( 4 S *) . E s t a
la
y
p rim e ra ,
d e
d e
d a m a rd
q u e
p re s id irá v e
q u e
m u la d a
q u e
e s te
—
h o n o r
p a g a r
e n
n o
s u p o n e n v eces
n o
es
. . .
to d o ,
el
in f in id a d
s e rá
b re
lo
n ito ( a ú n
s u
B u lle tin
e l
( 4 4 )
R e v u e
( 45 )
I b i d .,
( 4G )
M a th e m a tis c h e C fr.
d e s c o n fío
m u c h o ,
c u e s tió n e n
1 9 0 5 ,
h a b la r
p o rq u e
ru tin a ,
ra z o n a m ie n to s
e le c c io n e s ,
c o m o
u n a y e n
e n
el
la
o r q u e
“ L a
id e a
se a . d e
la
p o s i
( 44) . J . :
“ N o
H a es
in d ic a r
d e
la
E .
le y
P e ro ,
e x p líc ita m e n te
lo
§
f o r
d e
h e
n o
e llo s
q u e
ta n
la
ra d ic a r
su
ser
n o
e s ta
p a g a d o s
y
( 4G ) .
d u d a
p o r
n o
d e
re a liz a r
c o n s ig u ie n te ,
tie n e
se
a s im ila c ió n ,
E s to
in ic ia l;
d e re c h o
d ire c ta m e n te
r a z o n a m ie n to s q u e
q u e
n u m e ra b le
im p o s ib le
r a z o n a
“ D e s d e
v e r, e n
ra z o n a m ie n to s
m a te m á tic a s ”
c o m o
1 8 9 7 ,
C fr.
B u lle tin
q u e
la
q u ie re
re g la d a
h a c e n
in f in id a d
le jo s es
m a th é m a tiq u e
b .
le y
lo s
m a te m á tic o
lo s
se
s o b re
h a b la
lo
a s o
in f i
d e
in f in ito
o
in c o n s -
c o n s c ie n te
2 5 1 .
t.
n o
E l
S c ie n c e s ,
2 4 1
q u e
n u m e ra b le ,
f in ito :
A n n a le n ,
u n a
n o
in f in ito
B a ire ,
d e s
la s
m á s
n o
e s ta ría
ta m b ié n
u n a
d e
v a
c o n d u c ir
v is to
la
S o c ié té
n u n c a
n u m e ra b le a
e n
u n a
la
S o c ié té ,
p á g .
a rt.
m a th é m a tiq u e , in f in id a d
q u e h a y
p á g .
2 7 0 .
c it.,
p á g .
2 6 2 .
1 0 5 .
ta n
n o
es
in fin id a d
2 6 9 :
e le c c io n e s ,
q u e m á s
g ra v e s ,
tr a s fin id a d
p á g .
d e
m ie n tra s
P e ro
u n a
u n a
1 9 0 5 ,
tr a s fin ita
le y e s ,
d if ic u lta d e s
m á s q u e
1 9 0 5 ,
b .
e le c c io n e s .
v e c e s
lo s
1 3 4
s e m e ja n te s d e
in te rv ie n e n
ra z o n a m ie n to s
F ra n c e ,
d e
1 9 0 5 ,
d e fin e
v e o
d e p á g .
B u lle tin
L X ,
q u e
re fle x io n a n d o , lo s
q u e n o s
e fe c to ,
c o n ju n to
se r
q u e
h e c h a
( 47) .
in fin id a d
lo s
c a d a
q u e
q u e rría n ,
o p e ra c io n e s
S o c ié té
p á g .
d e
e n
lo
h e c h o s ,
c u a n d o
Z e rm e lo
d e
es
g é n é ra le
d e fin e n d e
la
a
—
d u d a
c ita d o ,
d e
L e b e sg u e ,
o ig o
q u e
te x to
q u e
in f in id a d
e s c rib e
V e r
p o s ib le
Z e rm e lo
m a te m á tic o s
d o m in io
s o b re
(4 2 )
" C u a n d o
le y e s
d e b e r
e r a b le ) ,
e n
D io s
d e
s o b re
( 4 3 )
( 4T )
d e l
s o s p e c h o s a
ra z o n a m ie n to s n u m
y
e n
lo s
a r b itr a r ia
u n a
d ire c ta m e n te
d e
p o d e r
in f in ito
a
o b je ta
n u m e ra b le
f in ito ;
a
a l
a ú n
fu e ra
c o m o
p rim e ra
c o n
e
d e
" ¿ E s
g e n e ra l,
d e te rm in a c ió n ”
p o d a m o s , e le m e n to
n e c e s a rio
¿ p o d e m o s
in d e p e n d ie n te
p ro b le m a
c re e n c ia
p rin c ip io
m e n o s
r a z o n a r
u n a
c o n ta d o ,
e s tá n
e fe c tiv a m e n te n o
c ré d ito
e le c c ió n
y
e s ta
es
( 4 5 *) .
B o re i
“ u n a
d e
u n a
a l
la es
n e c e s id a d
s a tis fa c e
E .
es m á s
q u e
c o n s is te
d e l
te n g a
s in
a l
p e ro
s u b je tiv a
s o la m e n te :
T a n n e r y ,
q u e
e le c c ió n
a n tig u a m e n te ,
c o n ta d o .
q u e
e x is tir? ”
e te rn id a d
a l
re s u e lta
d is tin c ió n
le y
p a r a
S ó lo c o m o
e n
v á lid o ;
p r e g u n ta
J u le s
e v id e n te
la
u n a
es
p r e g u n ta r n o s
se r
e s ta
m a n e ra
a x io m a
c o m p le ta m e n te
s e g u n d a
d e c ía
f o r m u la r
a p lic a
n in g u n a
se
p u e d e
d e te rm in a c ió n ,
b ilid a d
el
“ c u e s tió n
a
c o n o z c o q u e
m i
n u m e ra b le d e
u n a
ju ic io , d e
e le c c io n e s ” .
E m
c íe n te ,
c o n
a p a re c e r u n
u n
sa c o
d a m o s
el
c o n ju n to
m e
h e c h a la s
la s
re s is to
e n
c a d a
d a r
lim ita rs e a
-—
a l
re g is tra r
v a
a
rio re s
a
la
g re s o
d e
la
P o r c a n c e
v e la n d o a ú n
B u r a li se le s
q u e lo s
ra íz
tie n e
p r o n to
h a
la
e ra n
el
la
d e y
d e ra d o
( 49) .
n o
q u e d a
q u e
p o r
q u e
n u e s tro
p e n s a m ie n to
c u a n d o
e s p íritu
s o b re
se
se re s
I b i d .,
p u e d e
A rq u ím e d e s ” ,
2 6 3 .
fia rs e
a
lo s s u
( 4 9 )
V é a s e
e l
R e v u e
g é n é ra le
§
( B 1)
B u lle tin
d e
¿ o
1 8
d e
la
d e s
S c ie n c e s ,
S o c ié té
lo s
n o
q u e
y
re fle x ió n
re s ig n a rs e se
e x te h e m o s
q u e
el
p r o
e n
m á s
J .
c o n
a l re
d e
lo s
e n
¿ s e rá
lo la
a
si
la s
s o b re
d e
d e
fin ita s , d e
1 9 0 5 ,
m a th é m a tiq u e ,
p á g . p á g .
5 4 2 . 2 7 1 .
se
tie n e
se r
( 51) . c o n s i
tra s c e n d e n te
d e
to d o
M
H .
a lc a n c e
s e rie
d e fin id o s ;
1 —
1
in fin ita s , fo rm a
,
IV ,
q u e
L e b e sg u e ,
b ie n
la
el
e x is
c o n tra d ic c ió n
la
e n
c o n s i
c o n tr a r io ”
s e rie s
1 7 1 3 ,
to d o s
“ se r
“ n o
e s c rib e
la s
id e a le s
d e
s u c e s iv o ,
e s tu v ie ra n
p ro p ó s ito
e n e ro
lo
q u e
o r d in a
d e s e m b a
W
re a lid a d
“ B u r a lí- F o r ti c o m o
q u e
A s í
la
p re v ia m e n te
e n c im a
p rin c ip io
a
o b je to s
a g re g a ,
q u e ,
id e a l.
n ú m e ro s
H a d a m a rd ,
s u p o n e
p o r
e n tid a d e s
lo s
o b je to s
W
r e s trin g ir
c o n ju n to
e fe c to ,
d e
el
d e
a
s im p le
“ E l
d e b e rá ,
p o r
el
B o is -R e y m o n d ,
c o n tra d ic c ió n
2 4 5 .
la
a
d e b e
¿ O
e x is te n c ia
to d o s
es
q u e
e s c rib ía ,
d e l
v a d u
d e s a p a re c e r
ra z o n a m ie n to s v e rd a d
V a r ig n o n ,
( 5 0 )
d e
p r im e r o :
a p lic a ?
L e ib n iz
d e m o s tra r
C a r ta
1 8 9 7 ,
c o lo c a d o s
d e fin id o s
e n
y
q u e
h u m a n o ?
m a l
p á g .
q u e
e s tá n
le s
e s te
s e g ú n
m á s
lo
u n a
p re ju ic io s
c o m o
m u n d o
d e fin ic ió n
v e rd a d e ra m e n te
d e l
h a y
la
r a
p e se
filó s o fo
¿ D e b e
c ie rto s
d e
n a d a
d e b e ría ” ,
s a b e r
d e
p ro v is ta s
c o n tra d ic c ió n :
;
p a ra
e le c c ió n
p a rte ,
irre d u c tib le s ?
d e
h a c ie n d o
( 50)
fa ls o
u n a
¿ E l
B o i-R e y m o n d ,
c o n ju n to
c o n ju n to
o tr a
s e n tid o
d e sd e
d u d a ,
e x is te n te ”
e fe c tiv o
" N o
S in
e s ta
f o r m a r u n
o b je to s
( 4 S )
el
n o s
m a y o r
c u e n ta s ,
ra d ic a l?
m a te m á tic a
el
s e n o
s u rg ir,
o r d in a le s . .
c o m o
r a z o n a
el
d é
q u e
e lim in a r?
e s ta b a n
re a liz a r
es fá c il v e r
e s to s
e n
e n
d e
y
filo s ó fic o
d u
e x p e rie n c ia
h e c h o
d e
d e
es
se
( 48) .
u n a
tr a z a
o rd e n
e fe c to
e n te n d id o
s u je to
c o m o
S o la m e n te ,
e tc .:
p o r
la
f in
to m a d a .
o p o s ic ió n
d e
c o n tra d ic c ió n ,
n ú m e ro s
d e ra d o
p o r
p o s ic ió n
c o n flic to
in d e s c rip tib le s ,
d e
E n
d e s
q u e
C o n
c o n c e b ir
f in ito ”
d e se a r,
la
c o n c e p c io n e s
id e a lis m o
( tr a s f ín ito s )
te n te s ,
d e l
p re ju ic io s
la s
q u e rie n d o
d e re c h o
d e
la
F o r ti,
ra z a rs e
lo
d e b e
d e
e je m p lo ,
d a d a s.
d e
“ m e n ta lid a d e s ”
c o n tra d ic c io n e s
lle g a
d e
. . .
a
m a n o ,
p o s itiv o s ) ,
h e c h o
e s ta
c ie n c ia
s ie n d o
a l
a
h e c h o
p o r
c o m o
d e
e n
d e
d e l
d e c ir,
e n te ro s
c o n ju n to
d ifíc il
d e l
d e
c ie n c ia ,
a c tu a r
d e
5 6 9
m a n o
e n c u e n tro
e n
v is to
e n
c o n ju n to
lle v a rs e
ra z o n e s
o
d e
e s p e c tá c u lo el
b u s c a r
u n
■ S e ría
la s
d a n
a c u e rd o
e s te
d e b e
id e a l i s m
p a rtic u la r,
s e n tid o
d e
to d o
s o b re
d e
u n
p a r te
3 3 5 . n e ta
d e
e
se
E n
s u c e s io n e s
p a r te s a
a p a rie n c ia s ,
m á s
d e
o
q u e
. . .
(e s ta re m o s
c o n s id e r a r
z ó n
b o la s
c o m p le ta m e n te
c o n ju n to
m í
d e
p i r i s m
q u e p á g .
+
1 —
m á s lo 1 9 1 .
1, q u e
h a c ía
5 7 0
L a s
a h o ra
b ie n ,
el
e m p iris ta
c a ra c te riz a
el
a d m itir
p ru e b a s
ñ a d o u n a
la s
c ó m o ,
a n te s
B re v e m e n te , d e
B .
se
v a g o
d e
c o sa
y a
la
a lg o d e
la
q u e
o tra
p a rte ,
q u e
u n a
re g la
d e
m á tic a
y
la s
p o s itiv a ,
c e rra ría
rig u ro s a m e n te
c u lta d e s
p rá c tic a s
te s
d e
le n g u a je .
p o s itiv a se
a
lo s
p u e d a
“ in d ic a r
m in a d o
a
re g la
“ n o
fin id o s ta n
W
in te r ,
m o
se
se
u n o
d e
p re s ta la s
q u ie r a ,
g r a n d e
in d e fin id a m e n te ,
q u e
la
d e fin ic ió n q u e
s e ría
a lg u n a s
d e
p ro h ib id o
e s ta s
a p r o x im a r m o
i r o e
( 5 2 ) d e
la
ta n to
( 5 3 )
e l
u n
L e s
à
" p a r a d o x e s ”
( 5 4 )
L a
(5 5 )
N
1 9 0 8 ,
L o g i q u e
o t e
s u r
se
se
p á g . d e
l ’i n f i n i
a l
q u ie r a
1 9 0 7 , d e
la
d e
d e s
p á g .
el
d e
la
c a m p o
se
m á s el
d a
q u e
H .
ta le s
la s
c á lc u lo
ta n
s e g u ro s ,
d e
e s ta
el a
c o r r e s p o n d a n c e s
d e
M
.
e so s
c a so s,
in f in id a d
e m p iris ta m é to d o ta le s
d e c im a le s ;
Z e r m
e n
e l o ,
se el c o es
B u lle tin
2 1 2 .
th é o r ie
R e v u e
m a th é m
d e
h a b id o
d e s
e n s e m b le s ,
A n n a le s
s c ie n tifiq u e s
4 4 6 . l ’i n f i n i ,
c o
s ie m
su
d e
r a z ó n
c o m o
tra s c e n d e n te s g ra n d e s
d e
re g la
litig io s a ;
h u b ie ra
c u a le s
e s ta
se r
fr e c u e n te
e n
la
u n
d e te r d a
d e
to d a
ta le s
e s e n c ia l
m á s
ra n g o
q u e
a u n q u e
q u e
p a la b ra s ,
c o n
c o m o
c ie n c ia
ta le s
c u e s tió n
p o te n c ia ,
d e
la
d e c ir,
S ó lo
p a la b ra s
s ie n d o
e n d if i
e x p e d ie n
d e
P o in c a ré
o b je ta
Y
e n
c o n
es
u n a
se
s u s c ita ría n
s u s c e p tib le s
¿ e s ta m o s
m á s
y
m a te
q u e
d o m in io
( 54) .
( 55) .
s o r
el
( B3) ,
e n
o tra
y
n o c io n e s
u n
o
a c tu a l,
e m p iris ta
a m b ig ü e d a d
m á s
h a
f u tu r a .
o p o r tu n a
d e
q u ie r a ,
c o n tin ú a
c ie n c ia
c ie n c ia
m e ta fís ic a
f in ito ,
m e n o s
p ro b le m a
la s
o b je to s
a
e v ita r ? ”
l ’é tu d e
la
la
f in ito ,
p a la b r a s ”
q u e e lla s
re c o n o c im ie n to
fin ito
e x p re s io n e s
n ú m e ro
m a th é m a tiq u e ,
N o rm a le ,
q u e
e x p re s io n e s
u s o ,
c o m o
C o n tr ib u tio n
S o c ié té
l ’E c o l e
ú ltim a s
to m a n d o
m á s
c o m o
n e c e s a rio
h u b ie ra
s in
n ú m e ro
im p lic a ,
d e
n u m e ra b le s ,
in fin ita m e n te ;
n o
lo
lo g is
m á s
m a n e ja d o
n ú m e ro
a p lic a c ió n e n
e n c o n tra r
ta n
e n
e l
e l
a c titu d
u n a
e le m e n to s ”
d e
la
lim ita
u n
a tr ib u ir
ja m á s
la
e n
a lg o
a
( 52) .
p ro b le m a ;
q u e
d e
a p a r ta r
B o re i
d e
f in ito
e n
p re ,
p a la b ra s
E .
[s u s ]
c u a l d o n d e
h a n
d e
e fe c tiv a m e n te
p a la b ra s
p o d r á n
re c in to lo g r a ría n
p a ra
n ú m e ro
se
e n tre
se
o
d e
fru c tific a r
m e d io
c o n s id e ra r
u n
s im p le
“ P u e s
p o r
s e g u ro
c a d a
e n
n o
h a c e n
p a rtic u la rm e n te
e n
e n se
c o n d u c id o
re a lis m o
m á s
q u e
h u b ie s e
d e l
ta l
v e r
le
h a y a
c rític a
c o n q u is ta s
e rig irla
e je m p lo ,
c o n ju n to s
p ro c e d im ie n to
d e
q u e
P o r
se
q u e
p u e d a
ile g ítim o ”
d e te rm in a c io n e s
m is m o s
el
q u e
lo
e m p iris ta
o
la
q u e d a
la s
d e b ía e n
p re c is a m e n te u n
le g ítim o
filo s ó fic a
h e c h o
se
e n
n e c e s a rio
lo s
e so q u e
id e a lis ta
re s o lv e r
p ru d e n c ia
h a n si
la s
e ra
d e
es
á t i c a
c a n to n a ría s
n o
p a ra
si
p a rte
c a n to ría n a s
d e
id e a lis ta
d e
n o P a r a
si es
s e ñ a la m o s
a n tin o m ia s
s u p e ra
P o r
a t e m
n e c e s a rio
d e s c u b rir d e
“ re c e p tá c u lo ”
p re n d e n te
s e ría
m
ra z o n a m ie n to
c o n c e p c ió n
a c titu d
si
id e a lis ta .
u n
lo
la s
f i lo s o f í a
p re g u n ta
im p o s ib ilid a d
c o n s ig o
D e
e s p e c ie
q u e
p o d r á
c o m o
la
lle v a n
s a lid o .
se
la
id e a lis ta s ,
d e
R u s s e ll,
d e m o s tra r
d e
ra z o n a m ie n to
c o n tra d ic c ió n ,
tic o
e ta p a s
d e
a tiq u e ,
m é ta p h y s iq u e , ib id .,
1 9 1 1 ,
1 9 0 9 ,
p á g .
p á g .
6 1 5 .
4 8 2 .
d e
E m
c la ro
q u e
re s p e c to v e z la
la
s e m e ja n te
la
id a
re a lid a d
g e o m e tría
d u y
u n a a
d e
d e
n o s
la
la la
e n te n d id o s
su
lo s
o
im p o n e n .
y
lo
D e
e s ta n o
d e l
d e
h a
c a n to ris m o ,
n in g u n a
filo s o fía
d e l d e
ta l
el
m a n e ra e ra
id e a
d e l
in f in ito
q u e
e ra
id e a
ilu s o ria
to d o
si
d e
n o
v a
n o
e n
s e n ta c ió n , s e rie
q u e e n
n u e s tro n id a d
q u e e s ta
d e
el
im a g in o
d e
lo s
le y E s ta
re s p e c to
, ( 5 (î)
d e
e n
d e
a h o ra
e n te ro s
e n te ro s
lo
R e v u e
f in ito
q u e y
g é n é ra le
se
e n
n o
m is m o s
m á s
es
d e a
la
d e
e s tá
s u c e s ió n
su
d u
y a
tie n e d e
J u le s
o
e ra
B o is s e g u ro
e s c rita
d e
u n a d e
e n
p o
re p re d e
u n a
él e n
n o
p e n s a r
p e n s a r
la
. . .
lo s
sí
e n
a lg u n a
e x is te n c ia
in f in id a d
in f in ita ;
d e
la
T a n n e r y ,
e n te ro s ,
m a n e ra
im p lic a
in f i
in f in ito
g e n e ra d o r
e s tá
q u e
d e l
re p re s e n ta d o ;
se
e s c rib e
e s e n c ia lm e n te
s u
la d e
o b je to
n ú m e ro s
n u e s tra
s o b re
té rm in o s .
e l
q u e
la L a
c o m p o n e rlo ,
m a te m á tic o
e n te ro s
tr a ta
q u e
la
la
re p re s e n ta c ió n
a c titu d
re s p e c to
d e s
in v e rs a
filo s o fia ,
s id o d e
m a te ria .
m a te m á tic a
m a rc h a
d e
su
e s ta b a
e n
h a
d e s c a n s a r
n o c ió n
lo s
n o
c o n c e p c ió n
p u e d e n
c o n c lu
la
e n
in f i le y
Y o
d e n o
c o m p re n d o
( 6e) .
e n tre
m u e s tra
y
u n a
re n o u v ie rís m o
p o r
n o c ió n
s e g u rid a d ,
c o n s is te
n ú m e ro s
c re a r s o b re
d e s p re n d e d e l
u n a
a c tu a l
in f in ito
b ie n ,
n ú m e ro s ,
a llí
O
la
n ú m e ro s
n o
s e ñ a la b a
lo g ra
d o g m á tic a ,
q u e
c o m p re n s ió n ,
d e
lo
e s tá n
se
e n to n c e s
la
in f in id a d
lib r o ;
d e
n o
d e fin ía
in tu ic ió n ,
“ C o n
u n a
f o r m a c ió n ”
d e
la
d e
in f in id a d
d is o c ia c ió n
in te lig e n c ia ,
o
el p ro b le m a id e a
su
re s u lta d o s
c u e n ta ;
s id o
se
in f in ito
la
e s to s
d e
h a
d e b ía
a
la
c o n a
y a
p o rq u e
f o r m a
id e a
u n a
a c to
e x is te
n ú m e ro s
la
la
n ú m e ro s :
g ra n
s u
s i se- s i g u e
q u e
p e n s a m ie n to ;
fo rm a c ió n
su
e n d e
a lg ú n
lo
e n
c ie n c ia
lo s
q u e
s u p o n e
c o m o
in s o lu b le
re p re s e n ta b le ,
c o n te n id o
s in o
d ic e
tie n d e p a rte ,
e n
el
ilim ita d a
a lg u ie n
d e
c o n s id e ra r
B u s c a re m o s s itiv o ,
e ra
c o m o
d ific u lta d e s
c ie n c ia ;
e l
m á s
id e a
IN T E L E C T U A L IS M
e le g ir:
y
e s ta
d a r
q u e
re p re s e n ta c ió n
n e c e s a rio
.P e ro
se
E
m a te m á tic o d e
s e n tid o
q u e ta l
a lte r n a tiv a
d o n d e
p o s itiv a ,
a c tu a l
R e y m o n d ,
e n
tie n e
id e a lis m o .
d o b le s
la
p r o p ia
e le m e n to s
u n a
in f in ito
u n a
la
tra d ic io n a l
e x is te n c ia
e s ta s
c o n c e b id o s
m a n e ra
e x is te n c ia
n ito
D e
d o m in a d o
5 7 1
e x a c titu d ,
m á s
d e l
o
y
p u e d e
le n g u a je
r a z o n a m ie n to s
—
q u e
n o
irra c io n a l,
el e m p iris m o
p r o p io
3 3 6 .
i d e a lis m
e x a c ta ,
C O N C E P T U A L IS M O
s ió n :
e
a p ro x im a c ió n
o p e ra c ió n
m a g n itu d
B o is -R e y m o n d , c o m p re n d e r
p i r i s m
d e
s c ie n c e s ,
d e l lo
1 8 9 7 ,
p ro p ia m e n te
m a te m á tic o
in f in ito .
p á g .
1 3 1 .
L o
n o
q u e
es
d ic h a la
y
la
m is m a
c a ra c te riz a
a l
5 7 2
L a s
c o n ju n to te s
f in ito ,
to m a d a s
n ito
n o
p o r
p o d e m o s
lo s
la
s o b re
r a z o n a m ie n to s .
lo s
e n
n ú m e ro s
m u tu a s . id e a le y
d e
g a d a e n
la
q u e
se
3 3 7 . — c o m p o rta la
e n
e s te
s e rie
m e ra b le . m in o s , e s tá n o
L a
es
ta l
te n ie n d o
d e
s e rie .
c ia ,
q u e
to ,
n o
h a
n o
d e
h a
m e n c io n a r q u e
s o b re
la
g ra c ió n m a n n
a q u í
s o n
m e d id a
L a " S e a
R ie m a n n ,
d e u n o
p o r
d e
y
la
u n a
lo s
d o n d e lle g a d e
e n
tr a b a jo s d e lo s
h a n
d ire c triz
e n
d e
c re c ie n te in te rv a lo s y i
d e
la
el
d e d e l
la
la li
re s
a
n o
e n
a llá
s o b re
lo s
d e
la s
re tro c e d e r
p u e d e
in te rv a lo .
p a rc ia le s
y
fu n c ió n
e n
d e
s u
E n
d e
u n a
e s te
fro n te ra s
in te rv a lo ,
d e la s
u n q u e
d is c o n ti
c o n c e p c ió n
lu g a r
la
c lá s ic a .
c o m o
s o b re
re s u m id a
p u n e n
m á s
J o r d á n
m u ltip lic a r
c a d a
d e
s o lu c ió n
fu n c io n e s
la s
s e r
in
m o d e rn o .
L e b e s g u e
a m p lia r
la
u n a
c o n v e rg e n
re v e la rs e
lo s
c u a l
s o b re
s u m a , d e
n u té r
d e l
te n d re m o s
la s
c o n tin u a s ,
u n a
s u p e rio r,
g e o m e tría
p a ra n o
d e
d e
d e
s o b re p a s a
la
d e
fig u ra n
p a r tir ra n g o
la
a n á lis is
e n c u e n tre o
q u e
in d iv id u a l
c o n
q u e
c o n ju n to
in f in id a d
d e
n o
d a d o
in f in id a d
n o c ió n
q u e
n o
u n
a
e s tá
lím ite s
u n a
e s ta
lím ite ,
L e b e s g u e e n
es
o
h e c h o
u n a
p r e g u n ta
el
m á s
re s u lta d o
la
p re s c in d ir
B a ire
es
c o n s id e ra d a
n o s
c o m o
fo rm a
p o te n c ia ;
c o n ju n to s ,
p o r
v a lo re s
d e
d e
re la c io n e s
c o n d ic ió n
p o d e m o s
e le m e n ta l
fu n c io n e s
q u e ,
es
m o m e n to
ta n to
ir
se rá
in h e re n te
irra c io n a le s
té rm in o s
d e c is iv a
d e
es
S i
u n
b a se
a d m ira b le
s u s
n in g u n a
re s u lta
la
n e c e s id a d
n u e s tro s s a b e r
n u m e ra b le s
lo s
q u e
n i d e
n a tu r a le z a d e
n u m e ra b le q u e
c o n ju n to
e n
a ritm é tic a
d e
c o n ju n to
c ie rta
c o n
d ific u lta d
q u e
c o n s titu y e
c o m o
fu n c ió n
d iv is ió n d e
d e
o p e ra r
tr a b a jo s
id e a
e l
p a rte s
re p re s e n ta c ió n
g e o m é tric o :
q u e
p a r in f i
in f in ito .
c o n ju n to s ,
u n a lo s
e n
la s
d o n d e
n u e s tro
in f in ito
u n
s e rie
im p o rta n c ia
m á s
n ú m e ro s
E n to n c e s
p a ra
tu v ie ro n
( 5 7 )
é s to s
la
lím ite s
( 5T) . E s t o s
g u ie n te :
lo s
te n id o d e
q u e
la
n in g u n a
in s tr u m e n to
n u a s
d e
lo s
q u e
la
n u m e ra b le s ?
c á lc u lo
m á s
lím ite .
s o b re
la
p u e s to
a l
n o
q u e
el
d e
d e
la d o
im p lic a
c o n tin u o
le y ,
m a n ife s ta d o
s u s c ita
e lla
la
s a b e m o s
d e l
te o ría
c o n s id e ra c ió n Y
d e
le y
c o rre s p o n d e n c ia n o
m e n o s
b ie n ,
la
c o n ju n to s
m is m a
a l
d e l
d e s p re c ia r
a q u í
d e
in tro d u c id o s
té rm in o s
se
L a
p r io r i,
in flu e n c ia
D e
s í
ra c io n a le s ,
q u e
d e te rm in a c ió n
ta l
p o r
A h o r a
d e
v is to ,
in fin id a d e s
fo rm a
p e rm itid o
fin id a d
h e m o s
el
o
c o n ju n to
c o n c lu s io n e s
d e
s im p le ,
e l
p ro p ie d a d ,
b a s e
d e ja r
e x is te n c ia
e le m e n ta l
s o n
n ú m e ro s
la
v is ta ,
a n a lític a
c o n ju n to
d e
la s
d e m á s
c o n
ú n ic a m e n te
m o d o ,
p o s ib le
fo rm a
a
re a le s .
es
f u n d a r
o tr o
E n
s o la m e n te
p u n to
lo
-¿ H a y
h a b la n d o
y
á t i c a
to ta l.
o c u p a rn o s
p ro s ig a
e x p re s ió n
s e rie ,
se a
la
re s p u e s ta
n ú m e ro s
h a y a ,
a t e m
in d ife re n te m e n te ,
c o n ju n to
n o
o p e ra c ió n c o m o
m a n e ja r
el
p o s e e m o s
d e
m
p a r a
la
n u m e ra c ió n ;
tric tiv a ,
es
d e
f i l o s o f í a
d e b e m o s
n o s
e s te
y
sí m is m a ,
lo s
q u e
D e s d e
a
la
q u e
in f in ito s
p o s itiv a ,
q u e
D ic h o
ta n to
o
to d o ; d e
lo
la
p o d e m o s
d e c ir u n
té rm in o s
le y
s ó lid a
q u e
d e
c o le c tiv a m e n te
c o n s ig u ie n te
r iv a n d e
es
e ta p a s
d e
y la
B o re i in te
d e
R ie -
d e l
a n á -
la
p a rtir ,
m a n e ra c o m o
lo n g itu d e s
in v e rs a m e n te ,
d e a l
s i
C
lis is S e
p e ro
c o n es
n o
p u e d e
h a n
d e c ir
r o to
q u e
L e b e s g u e ,
la
u n a
d e te rm in a d a ,
o
e n
3 3 8 . te
e n
n o te
el
es
—
d o m in io
ta n to
m á s
d e
s o n
té rm in o s
p e ro
d e
p a r tid a
la
d e
u n
c o n d ic ió n
d e
u n
d e ja r
d e
la d o
c u rs o
d e l
d e
o p e ra c ió n el
f in ita ,
s in o
re a liz a d o p a c e s
lu g a r
d e
s e rie s ,
n u e v a :
c o m o
e l
p a p e l
la
s e rie :
d e
ta l
d e
esa
la
d e
u n a
s o b re
la
q u e
c ió n ) , c u a le s
n o s y C ’.
1 9 0 2 ,
tin u e s ,
th é o r ie
d e s
( 5 8 ) la
S o c ié té
g in a
1 4 5 .
y
1 9 0 4 .
lo s
o rd e n
la
2 5 8 ,
n ?
d e
lo s
la
e n
f a lta
le y
d e
d e re c h o
d e
e n
e l
c o rre s p o n d e rá el
to d a
d e re c h o
d e
e x p re s ió n
d e
d e te rm in a c ió n
n u e v o
d e
re la c io n e s ,
m is m o s
q u e
h e m o s
o p e ra c io n e s ;
y
te o ría
o rd in a le s
d e
1 .
P a ra
u n a
L e ç o n s
s o m o s
in c a
L a
fo n c tio n s ,
R e v u e
g é n é ra le
C o n tr ib u tio n 1 9 0 7 ,
th é o r ie
à
2 0 3 .
la
d e
d e
d e
S c ie n c e s ,
d e s C fr.
la
e t
1 9 0 9 ,
d e
la
lo s
e so s le s
e s
d e
3 2 1
d e s
M .
lo s e d i
a
lo s
d is c o n
fo n c tio n s
r é c e n ts y
q u e
( 1 ?
tra b a jo s
a
lo s
d e c ir, I,
fo n c tio n s
p ro g rè s
p á g .
d e
c la s e
t.
re c h e rc h e le s
c o rr e sp o n d a n c e s J o u r n a l
d e
d e s u r
la
e t
la s
d e
in tu ic ió n
v a ria c ió n ,
L e ç o n s
E n
d e
d ire c ta
a n a ly tiq u e s ,
c o n ju n to
e n s e m b le s
tra s -
a n te rio rm e n te
la
fo rm a c ió n
l'in té g r a tio n d e s
d a d o s
c o m o
fo n c tio n s
B a ire ,
g e n e ra d o ra s
in tu ic ió n
se r
la
le s
v is io n
d e s
l’é tu d e
p á g .
a
lo s
e x tra -c ie n tífic o .
le y e s
v a ria c io n e s
s u r
B o re i,
a
d e b e n
s u r
m o n o g ra fía s
L e b e sg u e ,
la s
v in c u la ,
la s
d e
c a rá c te r d e
a n te r io r
é lé m e n ta ir e s
la s
la
d e
té rm in o s
C fr.
m a th é m a tiq u e ,
q u é
r e to r n a r
q u e
d iv is ió n
L e ç o n s
c o n s a g ra d a s
1 9 0 5 ,
p r im itiv e s ,
d a m o s
p á g .
e s tá n
a
n e c e s a ria m e n te
F o u e t.
d e el
c o m o
d e
d e
m is m o
a p a re c e n
te n e r
s ó lo
el
c o n v e rtirs e
q u e
n o s o tro s d e
a
s a c a r
p a ra
n o
e x is c u y o s
c o n s id e ra d a
n u e v o
s is te m a
a
n a tu r a le z a
p u e s to d e l
p o r
p ro b le m a s
té rm in o s ;
c o m ie n z o
y a
si
in f in ito
sea
te n d re m o s
té rm in o s
n n
in f in id a d
e n to n c e s c o n
o b lig a d o
n ú m e ro s
n o
d is tin ta
d e
s a b e r
n a tu ra le s ,
s e rie
ig u a lm e n
d ific u lta d
s e g u rid a d .
e s ta d o
es
b a s e
la
q u e ,
a s e g u ra m o s
la
n ú m e ro
té r m in o
tr a s f in ito ,
c u a lita tiv a m e n te
c h o c a d o
in d iv id u o s
lo s
c a d a
m a n e ra
n ú m e ro
s ie n d o
a p o y a rs e
d e a
e n
v a ria b le s
¿ e n tra rá
c o m o
d e s tin a d a s e n
p u e s
lím ite ,
d e
in f in ito
p o d re m o s
d e te rm in a d o ,
(a d ic io n e s ,
a l
v e rd a d
u n
n ú m e ro
n o
p rim e r
a b s tra c c ió n
ese
c o n v e rg e n c ia :
h a
la
e m b a rg o
o p e ra c io n e s
n e c e s id a d
h a
s in
fu n c ió n
e fe c tu a n d o ,
y
n ú m e ro s
e fe c to
C o m p re n d e m o s f in ito s
tie n e
lo s
c ie n c ia . lla m a rá
u n a
tr a s f in ito s
d e c ir
tr a s f in ito ,
d e
n u e v a s
p r io r i
d a rn o s
s e rie
q u e
e fe c tiv a m e n te
d e
n ú m e ro la
A
la se
( 5S) .
E n
d e te rm in a c ió n
te n d ría m o s
c o n s ta n te s
n ú m e ro s
s e g u ro
re s u lta d o a
lo s
q u e
p a s a je s
n u m e ra b le ”
p o s itiv a ?
u n q u e
d e
d e
q u e
e le m e n ta le s y
tr a s fin ito .
d e s a rro llo
c o n s id e ra r u n a
es
c á lc u lo
s e ria c ió n
u n a
d e
c ie n c ia
fin ito s
n o
p u n to
la
te o ría
la
e x is te
to d o s
p a r tir
lo
c o n s tr u ir la
o p e ra c io n e s
a
d e
“ D iré
p u e d e
d iv is io n e s )
L a
s e g u ro
se
5 7 3
o
c o m u n e s
in te r io r
a n a lític a :
o
si
E s
el
si
f in ito
d e
s a b e r
u n o .
té rm in o s
b a se
e n
la s
n u m e ra b le ,
n ú m e ro
i n t e l e c t u a l i s m
p ro c e d im ie n to s
m u e v e n
m u ltip lic a c io n e s ,
f in ito
s u p u e s ta s
lo s
e
a n a lític a m e n te ,
le y
s u s tra c c io n e s , n ú m e ro
c o n
se
o
re p re s e n ta c ió n
r e p r e s e n ta b le
s e g ú n
o n c e f t u a l i s m
d e
la
sig .
Z e r m e lo ,
m a th é m a tiq u e s ,
B u lle tin
1 9 0 5 ,
p á
d e
5 7 4
L a s
e so s
in d iv id u o s
c o n te n ta p o r d e
p u n to la
d e
a
c o m o
es
q u e
C o m o
n o
te n d ría
tr a s f in ito s d e
lo s
c ió n :
“ U n o
lo s
se
s e n s ib le
D e
se
d e l
y
la
es d e
se
p o se e L a
e n
m á s
d e l
lu g a r
e n
m á s
s u p r e m u m
s e r
d e
q u e
lo s
a b a rc a r
e s ta lla
in e v ita
c o n tra d ic s e ñ a la
a
lo
y
d e fin e ,
re
c o n ju n to e
la
e le v a rs e
lo
n ú m e ro s
el
c a n to rís m o ,
s ó lo
u n a
es s o s p e c h o s o .
fre n o
c o m p lic a d a s
y
r a p a r
fe c u n d o ,
tr a s f in íto s ;
d e
d e
o tr a
c o n s id e ra r
c o n c e p c ió n
B u r a li- F o r tí,
q u e
p ro c e s o s
p o r
p e ro el
h a s ta
lo s
se
to m a r
ilu s ió n
a q u í
m á s
u n o
p u e d e
p o r la
q u ie re
o rd in a le s
q u e
se
ta n to
p ro m e te
c a ra c te rís tic o s
u n
d e l
c u rs o ,
e l
d o s
c o n
g e n e ra l
d e fin ir
p o r
c o m o
h a b r ía n
d iffe r e n tia m
s p e c ifi-
p r o x im u m
e t
p ro v o c a d a s
p o r
q u e
n e c e s a rio
( 5 9 )
re la c ió n la s
d e
1 8 9 9 ,
c o n c lu s ió n
d e
se
d e
d e
( 61) ,
lo s
el
re c o n o c e r
in c lu s ió n
6 2 9 : o
d e
la
L a
d e l
se
s in
L a
" N o s
e n
m
e n tre
d o s
a
d o s
a tiq u e
c o n c e b ir c la s e s ,
s in
la
p a p e l
la
id e a e s e n
d e l
d is e n
in te le c tu a lís ta
d e
es
A t.
u n a
“ a c c ió n
o p e ra d a “ e l
fo rm a s ,
d e
a llí
e n c e rra rlo s
id e a
u n a
d e b a te
v e
u n a ,
el
B o is s u p r a
el
g e n e ra le s
v in c u la c ió n
a th é m
d ifíc il
m á s
c o m p re n d e r,
esas
lo
se
p a ra
d u
d e
S e g ú n
d o c trin a
la
p o r
sí
e s c o lá s tic o ;
la
e n te n d e r
tie n e
c o n tra rio ,
m is m a
q u e
d e
q u e
lo g iq u e
la
q u e
re a lis m o el
c o n c e p
e m p le a d o
n u e s tro
d e s tin a d o
la
e n
p a re c e
e x c lu s ió n
y
es
m is m o
d u d a ,
e l
sí
e s fu e rz o
tra d u c e
h e c h o
y
té rm in o s
s e g u n d a
h a n
im a g in a d a
ra c io n a lis m o .
lo s
n u e v a s
se
s e g ú n
P o r
p o r
a ris to té lic o
el
la s
q u e
im p o rta n c ia
s a lid a .
im p o n d r á
e n
q u e
la
s e n s ib le
s in
c a p ta r
C o u tu ra t,
p á g .
lo
c a rte s ia n o s
q u e
e x p re s a
d e
a lte rn a tiv a
o p u e s ta s
p rim e ra . y
L a
s e n tid o
el
e x p re s io n e s
s u fic ie n te m e n te
a g o ta rs e
C fr.
p h y s iq u e ,
m is m a s
c o n flic to
e l
es d e
p la tó n ic o s
y
u n
e n
rie s g o
e s p ír itu ”
u n a
fo rm a s
d e fin ic ió n
ju ic io
la s
re a lis m o
a
e s p íritu
a
d is c u s io n e s
s o lu c ió n
c o n c e p to
q u e
n o
lo s
p e r g e n u s
n u n c a
e n tre
es
E s
sí
in e v ita b le m e n te d e
ta n to
a s í
in o fe n s iv o ,
p o s itiv id a d .
c o n o c im ie n to .
e n tre
d e l
d a rs e
re p re s e n ta c ió n ;
m o s tra d o
d e
d e s p re n d e
lu c h a
lo s
y
m is m o
la
e n
f in ito ,
p ro p o rc io n a d o s
b a s e ,
g e n u s
d e l
la s
c o n d u c e
c la ro
u n a
la
ra s g o s
in f in ito ,
R e y m o n d
c ia l
lo
á t i c a
b ie n ,
n ú m e ro
se rá
d e
la
P o in c a ré ,
p a rte
e x a g e ra rá
te o ría
es
lo s
e s c o lá s tic o s
d e l
e lla s ,
la
e n
c o n s tru c c io n e s
3 3 9 . —
n o
d a to s
h a
e n
ra z o n a m ie n to
to ta lid a d
lo s
A h o r a
a t e m
( 60) .
c io n e s e n
el
d e
la
H .
c o n s tru c c ió n , d ic h o
o c u rre
lo s
m
g e n e ra liz a c ió n
e x te n d e rs e
d e
p r o f u n d id a d
c a m
a
d o m in io
c o m o
e d ific a n d o
N o
g a r a n tía
c o n ju n to s ,
b le m e n te ,
( 69) .
re s u lta d o s
la
té rm in o s :
d e b e
f i lo s o f í a
ra z o n a m ie n to
a g re g a
e l
la
té rm in o s
io s
d e
el
h a y
e n
o
e s té ril.
d e
p u e s to
s o b re
p a r tid a
p r io r i:
in f in id a d
d e
c o n s titu y e n
o p e ra r
a b s tra c c ió n
z o n a r te ,
c o n
e ta p a s
c u y o
c o n s id e ra r
el
y
a n ta g o -
R e v u e
P e a n o ,
c la s e ,
p o r
e n te n d e r ” .
a ú n
lo s
m á s
d e
m é ta la
in d iv id u o s
c o m p o n e n ” .
(® °)
S c ie n c e
( 6 1 )
" E l
d e fin ic ió n
II I ,
e t
m
c o n c e p to
é th o d e ,
p a re c e
e x p lic a c ió n .
p á g .
4 1 .
e x p re s a r
la
a c c ió n
d e l
e s p ír itu ” .
S p in o z a ,
É tic a ,
III,
C
n is m o s id o
la te n te
lis m o , d e
la
g lo
c o m o
n o
X I X
h e m o s
h a
s a b id o
q u e ,
d e
lo g is tic o ,
a n á lis is
d e l
p e rm ite n
lig e n c ia
e n
u n ific a c ió n
la
y a
e l
e
la
s ie m p re h a
c o m o
la
lle v a r
el
lo s
y
a
u n iv e rs o P o r
e n
la
c ie n tífic o . e n u n o
e l d e
é s ta
y
te rre n o s u s
d e l
e l
c u rs o d e l
a m b ic ió n
e n
c rític o
la s
q u e
á lg e b ra ,
p rin c ip a le s
d e
se
p r o
la s
c o n
d e l
m
o
p ro p o rc io n a d o s
p r o p io d e
s i
d e d u c c ió n
c o n o c im ie n to
ta re a
d e l
la
d is c u rs o
r itm o
la
la
e x a m e n
c o m p o s ic ió n
E s
d e
h a n
in te le c tu a
p a r tic u la r
p o s itiv o s
el
filo s o fía E l
s ig u ie n d o
lo
d e l
a ritm é tic o d e s ta c a r
a
e l
la
a rítm e tis m o
c o m p a r tir
re s u lta d o s
y
e l
o b s e s ió n
g e n e ra l
in ic ia le s .
re s ta b le c e r
c o lo c á n d o n o s
lo
d e
v eces
re s is tir
d e
5 7 5
n itid e z .
h a s ta
c o n o c im ie n to
a rítm e tis m o
v a ria s
a
o
h is to r ia
p la tó n ic a
d e ja d o
d a to s
la
s u fic ie n te
c o m p ro b a d o
e n v o lv e r
s a b e r
i n t e l e c t u a l i s m
d o m in a r
c o n
e s c u e la
p ro d u c c ió n
d e l
te r m in a r
lle v a d o
se
o
p ro c e d ie n d o
a lg u n o s
m é tric o ,
m o s
la
n a tu r a lm e n te
v im ie n to el
p a re c id o
d e sd e
ló g ic a ;
s e c u e n c ia s
p o r
lo
d o c trin a s
p o n e n
h a
d is tin g u id a s
d o c trin a
p u ra m e n te la s
n o s
ra ra m e n te
o n c e f t u a l ì s m
d e
la
id e a s , n o s
g e o in te e n
la
p r o p o n e
a d o n d e
e s fu e rz o s .
h a b ía
C
L A S
R A Í C E S
3 4 0 . —
L a
d ie n te -s e ñ a la
la
s ó fic a
d e
la
V iè te ,
y
e n
q u e
e n
el
f in ,
P o r
p o r
lo s
tis m o y
se
d a r
u n a
d e l
d e l
p u e d a
y
e n
s u
d e b e
a
e n c o n tra r
d e
la
ta n
d is c ip lin a
c la ra
d e
h a lla d o
a lg e b ra ic a .
a u to n o m ía
c o n e x ió n
f ilo H a s ta
a p a re c e n
a ritm é tic a s .
la
d e l p e n
c o n c e p c ió n
a lg e b ra ic a s
e n
in d e p e n
a d v e n im ie n to
o p e ra c io n e s
q u e la
h a
E l
es
re a lid a d ,
ta rd ía m e n te
a
m is m a s .
y
T a l
n o
c o
D e s c a rte s , d e l
á lg e b ra
d ire c ta
u n
lo g ra ,
c o n
p la n te a d o . q u e e n tre lle v a
a d q u irid a s o p o s ic ió n
el
d e sd e
a e n n o
d e e n
la
e l
m e jo r
A s itó te le s d e l la s
n o c io n e s
d e
la
n o c io n e s
s o la m e n te
u ltip li a ritm e -
m ín im o , n ú m e ro é x ito .
c a rá c te r
in s tr u m e n to g e n e ra lid a d
q u e
e l
á lg e b ra
s o lu c ió n
d e
m á s
y
ilu s o ria ;
el
c o m o o rd e n
a b s tra c ta s
c a p a c e s
lo s
v o lv e m o s
e s ta b le c id o
c o n o c im ie n to
p r im e r a s ,
e lla im a
m
a l
p re ju ic io h a
es o
tie n e n
su
e llo
ese se
e n
re
el
d e l
s e n tid o
re c u rs o s d e
n o
v a lo r
q u e
la
e s fu e rz o
s in o
n o c ió n
p ro b le m a s
o rd e n
es
d e l
la
fic c io n e s
c o n c lu ir
q u e
lu c h a s ,
p la n o d e
E l
n e g a tiv a s
d e
c ie rto
o rig e n
e rig ir
lo
e fe c to ,
s e g u rid a d
lo s
p ro p io s
E n
el
el
ú tile s ,
c o n
e n
se r p a ra
a p o y o .
to d o
C a n s a d o e n
p re ju ic io su s
d e
d e b ie ra u n
c a n tid a d e s
e x te n s ió n
p la n te a r
m e d ia n te
q u e
es
q u e
la s
lig a d a s
á lg e b ra
p a ra
d o g m a
d e
re fu g ia d o la
á lg e b ra
b ie n
lib e ra rla
p r io r i
e s tá n
o p o s ic ió n
d e
y
c o n v e n c io n e s
p e ro
h a
a
d e l
m á s
“ e s c á n d a lo s ” .
se
d e se a r
m á s s i
el
p u ra m e n te
e c u a c io n e s
c o n s id e ra r
d e
á lg e b ra .
e s p e c ie
c o m o
o p e ra c io n e s
u tiliz a c ió n
lo s
a
s u m in is tr a r
u n a
la
X I X ,
p u re z a ;
p ro b le m a s
A L G E B R A I C A
h e m o s sea
a u to n o m ía
d ific u lta d e s
q u e
n o
la s
o b s tá c u lo
y
s is te m a
p r o p io se
la s d e
v is ió n
ju s tific a c ió n
s ig lo
E s ta s
I I I
á lg e b ra
q u e
a lg e b ra ic a
d e
re s ig n a d o
u n
d e c ir
la s
X
m a te m á tic a
e m b a rg o
d e
e s ta
u n
“ e s c o llo s ”
h a
c o m o
p a rte
v e rd a d
p a ra
g in a r ia s c a r
la
la
X
o
V E R D A D
la
V iè te ,
te o ría
l
g e o m é tric a .
o tr a
a is la r
s in
te n id o
filo s ó fic a
m is m a ,
u
d e l
d e
p o d a m o s
la
re p re s e n ta c ió n
fle x ió n
y
m is m o
h a
a ú n
í t
L A
g e n e ra liz a c io n e s
q u e
p re s e n ta
D E
h is to r ia
m o d e rn o ;
s im p le s
p
c o n s titu c ió n
e n
s a m ie n to
m o
a
d e
y
b a s ta rs e
lle g a rá
a
se r
5 7 8
L a s
p e lig ro s a a
la s
n o s
im p id e ,
e x p re s io n e s
v o c a r E n
si
su
e ta -p a s d
e fe c to ,
es
a
a
la
la
q u e
c o n c e p c ió n
e n
el
la
n o
d e
la
X
es
la
c u y a s n ita . a l
d e
d e l
la
(q u e
A h o r a
e n te ro
b ie n ,
a ,
p a ra
b le m a
es
im p o s ib le ,
d e u d a
d e
1 5
d e
u n a
q u e
a b s u r d a s
o
b r illa n te s :
" s é
q u e
0 ”
p o r
c ie rto
a ritm é tic a o p u e s ta
p o r
ta m e n te h e c h a
e s ta
c e ro ,
d e l
d o n d e
y
la s
d e
)
( 2 )
lo s
d o m in io
V e r
e n
d e
la
se
c á lc u lo
se
se
lo s
e n
re g la s
d e
f?
la
L a
im p o s ib le
e llo s
lo
p a ra
d o g m a tis m o
sa c o
n e g a tiv o s
4
lo s
q u e d a q u e
la
r o tu n d a
e s tá
P e ro ,
c o n s titu y e
el
d e m a s ia d o
n e g a tiv a
p e rfe c
u n a
u n
v e z
d o m in io
n ú m e ro s
m o d e la d a s
m a te
m o s tr a r
d e
a ritm é tic a .
c o n s id e ra r c á lc u lo
lo s
a l la
u n a a q u í
im p o s ib le s ,
si
c e ro ;
q u e
d e
v e rd a d e s 0
p r o
es
la s
n ú m e ro s
a
d e l
p a g a r
c o m o
d e
in c ó g
a g re g a d o
le n g u a je
n e g a r
la
q u e ,
el
q u e
u n a
la
im p o s ib ilid a d
d e
d e
d e
s o lu c ió n
n e g a tiv a s ,
a
m e d ía n te
in fe rio re s
s o b re
la s
re g la s
p o s itiv o s .
b a s ta
a
sí
a ritm é tic a s n ú m e ro s
E n c y c lo p é d ie
3 5 5 ,
c o n
p o r
c a d a
la
d e
d e s
m is m o s in
s c ie n c e s
s e c c ió n
II,
fr.
7 2 .
ta n to
p re s ta r
p o s itiv o s
3 4 . P e n sé e s ,
y
d e la n te
d e
p o s itiv o
es
s e rv irá
o p o n e
c o n v e n d rá
h e m o s
le v a n ta d a s
p o s itiv o s
a .
p o r
in f e rio r
d o m in io
e n te ro s
;
p o d r ía
e s te
a
8
e n te n d e r se
la
in
g e o m e tría .
e x a c ta m e n te
a
q u e
d e
to d o
o p e ra c io n e s
c u a lita tiv a
P
se
n o
c u a l
la
s im p le
e n te ro
c a n tid a d e s
p u e d e n
d e
d e te rm in a c ió n
in fe rio r
h o m b re s
n a d a
s o m e te rlo s
E s te
p á g in a
a e n
n u e v a
c o n s a g ra d a
n ú m e ro
c o n c e s ió n ,
c á lc u lo
d e fin ir c ia
P a s c a l
m á s
e n te ro s
m a n e ra
P a s c a l
q u e
c o n o c e
f u n d a d a
d ife re n te a
n o
n o
ta l
y
" n u b e s ”
re la tiv a s
d ire c ta m e n te ,
b ,
h a y
h a b e r
la s
c ie rto s
la s
s o n
n o
ig u a l
a
a ritm é tic a
=
u n a
a ,
u n
( x) .
d e
b
e n te ro
p rim a ria ,
fa ls a s
Y
< u n
c o n
tr a ta r o n
e n c e g u e c ím íe n to
( 2) .
b
d e
p e so s
e v id e n c ia
m á tic o s
e n tra ñ a
re p ro d u z c a
la
s im b o liz a d a
y
p ro p ie d a d e s
N E G A T IV O S
a
e s ta ría a
c ie rta s
v e rific a rs e
e c u a c ió n
+
á t i c a
á lg e b ra .
N Ú M E R O S
in te rro g a c ió n ;
d e te rm in a c io n e s
d e
a t e m
m a te m á tic a ,
f o rm a l
C o n s id e re m o s
in c ó g n ita
s ig n o
q u e
d is ip a r
X
u n
e n
m
p u e d e n
v e rd a d
u n id a d
IO S
f i lo s o f í a
c a so
c o rre s p o n d e
p u ra m e n te
3 4 1 . —
la
a lg e b ra ic a s
p a rtic ip a c ió n
c e b id o ,
e n
e
m
y
q u e
se
a te n c ió n
lo s
a
n ú m e ro s
a th é m a tiq u e s ,
t.
I,
v o l.
h a
lo g ra d o
la
d ife re n
n e g a tiv o s ;
1 ,
1,
n ?
1 4 8 ,
L o s
e l
p r o d u c to :
c o m o : c u y a 1 0
(—
p e s o s
( —
)
L a p u e d e
e s ta s
d e c ía n y
la
el
el
d e
e s ta
c o m o
d e
s u s
a l
5
s u
d e
a
c u e s tió n
e fe c tiv a m e n te
y
e n te ro s
la
d e y
el
el
es
v a lo r
)
la d e
E s ta s im p le .
lo s
d a rá
e l
fa c to re s ,
5
X
(—
p r o d u c to
s a b e r
d e
5
y
)
d o s
d e b e rá n
se r
n o
e n tre
o p e ra c ió n
D e
la
d e
se
a
la
el
re c la q u e
q u e
el
se
p r o
5 0 .
se
d e s c a rta d o
p la n te a
e n
la
ig u a ld a d e s :
5 0 .
n ú m e ro
d e
p o r 5
o
la
lo s
e s ta
id e n tif i
p rim e ra
c a n tid a d
la
p o s itiv o s
v e rd a d
p a rte , p o r
d e
o
u n a d e la
la
to d o
b ie n
p rim e ra
s e g u n d a
1 0
d e s p ro v is ta s
e n te ro s
s a le
la
o tr a
es d e
e s c ritu ra s —
d o n d e
X
la
n e g a tiv o s p ro d u c to
d e fin itiv a m e n te
d e
d e
5 0 ,
u n a :
p e rd e rá n ju e g o
c o rre s p o n d e ría
s im b ó lic a s ,
c á lc u lo
d e
q u e
n ú m e ro s
c o sa s,
p ro v ie n e
p r o d u c to
p r o
c a p ita l?
d e c re to
d o s
5 0
d o s
el
s e g u n d a
p re s e n ta rá ,
R e e m p la c e m o s
)
n o c io n e s
u n
el
c o n c e b ir
p a ra
h a b r ía
q u e d e
( +
d o s
o p e ra c ió n d o n d e
se
r iq u e z a ,
u n
e s c rib irá
c o n v e n c ió n ,
e l
s in o
la
(-i- )
q u e
lib re
p o r
q u e
e n
5 0 , =
d e
c a lific a d a s
p a rtic ip a r
c o n e x ió n
=
f o r m a
h a s ta
h in d ú e s
p u e d e
p o s itiv o
p re s e n c ia
1 0
a m b a s
ser
se
m a n e ra
)
in trín s e c a ;
e x p re s io n e s
q u e
n ú m e ro
1 0
¿ se
es
q u e
lo s
c o n
ig n o ra n c ia
a r b itr io ;
e n
a g re g a r
se
lo
d o m in io
c o n s titu id o
c o n v ie rte
p e ro
e s ta
c a n tid a d
1 0 . u n a
se
d e u d a
y
es el
a b a n d o n a ;
p u e d e
d ific u lta d
c a n tid a d
d e
se
d e
m u ltip lic a c ió n
re s u lta d o
h a c e r
la
h e m o s
n o s
o tr a
el
la
(—
si
e n
d e u d a
( 3) ,
es
X
q u é
e n r iq u e c e ;
n in g u n a
X
s a b e m o s c a lific a d a s
la s
y
lib re
1 0
q u e
5
m is m a
e s ta b le c e r
y
c a p a z
)
la
p o r
la
p o r
d e l
d e
p o s itiv o s
c ie n tífic o
p o s ib le d a d
la s
se
e n c o n tra rn o s
s ig n ific a c ió n
d e
c e ro ,
d e u d a ” ;
s ig n o s
(—
es a
la
s e g u n d a
to d a
n a tu r a lm e n te
d e
n o s
c o n
n o
p rá c tic a s
d e u d a
lo s
X
n o
V a m o s
es
m is m o
se ' a p ro v e c h a rá
U n ic a m e n te
c o n v e n c ió n
c a c ió n
lo
ta n
in v e rs ió n
a d m itir ,
n o s o tro s
d e u d a s
e je rc ic io
r e g ía )
e n
5
d o s
n o
5 7 9
c o n c ib e
la
e x p re s io n e s
a n a lo g ía s
q u e
m a n e ra
L a
se
Y
p a ra
d o s
ta le s
(—
p o r
5 0 ,
irre p re s e n ta b le ; d e
la s
p a g a
la (—
re a lid a d .
)
o c u rrirá
c o n v ie rte
d e re c h o
3 4 2 . — d e
es
m u ltip lic a
e s ta b le c e rá d u c to
n o
n e g a t i v o s
5 0 .
r a z ó n
“ d is m in u id a
in d u d a b le m e n te m a r
(—
p e so s
h a y
P e ro
d e
se
q u ie n
q u ie n
=
=
p r o d u c to
a p o y o
b ie n :
v e rb io :
0
e r o s
c a lific a d a s .
r iq u e z a
q u e
n o
c a n tid a d e s ,
E l
1
0
o p e ra c ió n
d a r
a q u í.
X
1
5 0 .
e x p re s io n e s
5
X
le g itim id a d
=
d e
)
5
n ú m
es
c a n ti
c o n e x ió n p rim e ra .
m a n e ra
la
e x p re s ió n
P .
T a n n e ry ,
m á s e q u i
v a le n te : ( 1 0 —
( 3 ) " la
c a re n c ia
D io fa n to , m u ltip lic a d a
A r i tm
p o r
5 )
e t i c a ,
la
X
( 2 0 —
L ib ro
c a re n c ia
I ,
d e f.
c o n s titu y e
1 0 ) ,
I X , la
e d .
e x is te n c ia " .
t.
I,
p á g .
1 2 :
L a s
5 8 0
y
e fe c tu e m o s
q u e
la s
s a b e m o s
Q u e d a ta d a s u n a
la
( 2 0 —
el s ig n o
c ió n
L a
1 0 ) n o
q u e
—
. E l
p e ro
a l
p o d e m o s
v a lo r
d e
v e rd a d
e x tie n d e
a
la
s a tis fa c e r
ju s tific a
la
e c u a c ió n
E s ta q u e
es
re g la
lib re
el
d e s c u b rir lo s h a y d e
P e ro
se
v u e lv e
m ie n to
d e
p r io r i d e
el
d e
y
la
d e
( 4 ) o
g in a rio
lle g a n
p ro p io ,
o b lig a n d o
le
la a
la
se
b ie n ,
“ c o n
( 1 0 —
5 )
a
c o n d i
e s ta
X
5 0 .
=
a ritm é tic a :
5 0
re a lid a d e s
q u e
d e
a
a ú n
d e
d e
n o ta c ió n
la a
id e a
y
c o n
fo r m a s
la
n o
a y u d a
o p e r a to r ia s .
p rin c ip io
d e
r a c io n a l” ,
c o n e x ió n se
u n s e g ú n
e l
d e
d e c ir
t.
p o r
y
s u s
d e
1 4 1 : lo
d e
é x ito
" L o s
n e g a tiv o
e v o lu c ió n
e s p íritu
a
la
c o m b i
d e
p e ro
a l
fa c ili
c o n
el
p á g .
y
la
q u e
I,
e lla
a
le n g u a je
p a ra le lis m o
u s o ;
m o v im ie n to a
el
p e n s a
c a rte s ia n a
n e g a tiv a s
rig u ro s o
o
el
n a tu r a l.
c o n firm a
c o n c e p c ió n
1 8 7 2 ,
a c o m o d a rs e
d e
n e g a tiv o s ,
p a s a je
la s
p a ra
d o m in io
e n
p o d r ía
c o n v e n c ió n
el
s irv e
n o c ió n
L a
C o n s id é r a tio n s ,
c o sa s
el
a d q u irid o
se
f u n d a m e n ta d o
u n se
E n tr e
d e
s ig n ific a
d e
s o lu c io n e s
p re s e n ta r
q u e
n ú m e ro s
d e
s e n tid o n o
im p u ls o
d e l
( 4) .
c o n e x ió n
e s p a c ia l.
el
la
m e jo r,
la s
d e l
ju s tific a r
h a y
e n
lib e r ta d
y
lo s
“ c o n e x ió n
e s ta
p r io r i
a q u í
p e r m a n e n c ia
lo
d e
a
P e ro
re a lid a d ,
p u e d e
la
—
d e
v ir tu d
d e
el e s ta
s ig n o s y
lo
q u e
s e g u irla ,
d e im a le
es
a u n q u e
c u e s te " . ( 5 )
D .
p o r
s o n
1 0 )
d o m in io
to d a v ía
C o u rn o t,
im a g in a rio
la
d e
F ilo s ó fic a m e n te
C fr.
d e
m e d ía n te
le y
5 0
p ro c e d e
in te r p r e ta r
m a n e ra
=
e s p íritu .
c o n
d e
re p re s e n ta c ió n
( 5) .
0.
a fe c
s in o
u n a
p r o d u c to
s ig u ie n te
=
c a n tid a d e s
fija d o a
tre s
d e c ir
p o n ie n d o :
c o n v e n c ió n
el
n a tu r a l
p e rm ite
q u e
( —
d e l
n o el
el
1 0 )
s u b s titu y e n d o
q u iz á s
d e
á lg e b ra
y
c o n e x ió n
c a rá c te r
n a c io n e s
u n a
e n c o n tr a r
u n a
E l
g e o m e tría
tiv o
a
H a n k e l,
C a r n o t,
d a d
c o m o
se r
h a y
es
s ig n o s .
h o r iz o n te s
ló g ic a ;
p rin c ip io
la s
1 0 . A h o r a
la
X
c o n ta c to
p o s itiv o s
id e n tid a d
u n
5 )
es
X
1 0
c o n v e n c ió n
e n
n u e v o s
n ú m e ro s
X
c re a c ió n
L a
e s p íritu
e n
d e
o b e d e c e
q u e
(—
o p e ra c io n e s ,
a lg e b ra ic a :
lo s
e x te n s ió n
u n a
a r b itr a r ie d a d . p o r
d e
c u a tro
p u e d e
m á s
X
h a y
( —
y
n o
5
á t i c a
200— 100— 100,
ta l
p ro d u c to
q u e
a t e m
m u ltip lic a c ió n
s e r
5 )
m
la s
d a n :
c o n v e n c ió n
5
se
S o b re
la
d e b e
ig u a l
f i lo s o f í a
re s u lta d o
(—
E l
la
n o s
la
re g la
se a
la s
y
o p e ra c ió n :
c o n v e n c ió n ;
v e n ie n c ia ” .
d e
o p e ra c io n e s .
h a c e r
c u a rta
p o r
e ta p a s
B ie re n s
E n d e
s u
In v e n tio n s
H a a n ,
n o u v e lle
L e y d e n , .1 8 8 4 ) ,
e n
a lg è b r e ,
A lb e rt
A m s te rd a m ,
G ir a r d
h a b ía
1 6 2 9
in d ic a d o
(re im p re s a d e
la
p o r
m a n e ra
n e g a
L o s
c o rre la c ió n f o r m a r e n
h a
u n a
u n a
s id o
n e c e s id a d
s id o
n e c e s a rio
la s
c o m b in a c io n e s
p re c is a r
lo s
y
d e
la
la
u n a
—
n o c ió n
d o s
ig u a l c ió n
la
es
c a lc u la r
y
se
p o r
n o
se
q u e
c o rre s p o n d e rá n
o tra s
h a y
u n a
c o rre la c ió n
d e l
c o n c e b id o ,
es
m á s
c la ra
e x p lic a F 9
3
tra z a s . . . e s
e n
la
v e rso . d e
e s ta
s in o
á lg e b ra
y
a p ro p ia d a
tra d u c c ió n
C fr.
d e
n e g a tiv o ,
d e
la
d e d e
d e c ir,
e n
e n la
y
in te le c
n a c e
d e l e s tu d io
p ro c e s o
e c u a c ió n
d e
d e
p rim e r
p o r
n ú m e ro s
q u e ta l
e s ta
n e g a tiv o s .
c i t ,
d ire c c ió n
n o ta o b ra
v a
ra z o n e s
d e
e x tra e r,
P e ro
" L a
1 4 9 . c ita d a ,
c o n tra ria ” .
1 6 6 ,
a
la s
c u a le s y
o p o s ic ió n ;
la
la s
p o r
d o n d e
p á g .
e s ta
u n a s
D e s c a rte s
C o le b ro o k e §
d e
s o lu c io n e s
)
la
s o lu c ió n a llí
s im e
d e s ig n a r
e n tre
o p o s ic ió n ;
re tro c e d e
d o s c a so
e fe c tiv a m e n te
X V I I
c o m o
lo s
d e
p o d r á
se r
e c u a
ese
se
h a s ta
el
n u n c a u n a
e n
c o lo c a rá n
im a g in a rio s .
m e n o s
L iliv a ti,
se
s ig lo
e n
p ro d u c to
c u a le s
q u e
s u m in is tra d a s
g e o m e tría ,
lu g .
lo s
im p o s ib le
d e l
q u e
p u e d e
d e c ir
a
n in g u n a
e l
re s o lv e r
p a ra
“ re a le s ” ,
s u b ra y a r
e l
n o
e m b a rg o ,
ra íz ,
v e z
u n a
lle g a r
m á s
n e g a tiv a ;
s i
v e rific a r
s ie m p re
p u e d e
c a d a
es
im p o s ib ilid a d ,
la
d a
c o m p o rte
e n to n c e s ,
n a tu ra le z a
y
n o
n e c e s a rio
S in
p e rm ite n
p e ro
n e g a tiv o s ,
e x p re s ió n
la
q u e
p re s e n ta
s o lu c io n e s
p a r a
lo s
u n
in c ó g n ita
in c ó g n ita
es
n ú m e ro s
E n c y c lo p é d ie ,
e s
o
c o m o
re tro g ra d a n d o
in te rp re ta c ió n
se
e s ta
n o ta b le
d ife re n c ia
g e o m e tría
d e
a p a re c e n la
la
s im p le ;
D e s d e
re s o lv e r.
la d o
u n a
s u b -ra d íc a l
p o s itiv o s
e s p e c ia l
A í
p o r
d e
v a lo re s
a lg e b ra ic a c a so
re s a lta r
(s e g ú n
c o n
id é n tic o s ,
p u e d e
c o sa s.
d is o c ia r
g e o m é tric a ,
im a g in a ria s
g ra d o
s u rg ir
fo rm a
el
v a lo re s
s ím b o lo
n ú m e ro s
n o
lo s
n e g a tiv a .
“ f in g id a s ”
d e
n e g a tiv a .
h a c e r
u n
c a n tid a d
ig u a le s ,
la s
p a ra
n e g a tiv a .
g ra d o
y
d e
tr a n s
e s p a c ia l
p ro p ia m e n te
c a n tid a d e s
d ife re n te s
c a n tid a d
h a c e n
p a ra
m e d ia n te
la
c a n tid a d
e c u a c ió n
tr ía ,
c á lc u lo ,
a
A G IN A R IO
h e c h o
re p re s e n ta c ió n
d e
m ie m b ro s
lo s
re a lid a d
im a g in a rio s
in te rp re ta c ió n
IM
la s
lle v a
tra n s p o s ic ió n
o p e ra c ió n
s e g u n d o
h a
c a n tid a d d e
m ie m b ro
u n a
q u e
a lg e b ra ic a
n ú m e ro s
a
a l
d e
p o rq u e
la la
lo s
su la
D E
d e
s e g u n d o
e s ta
p o s ib ilid a d
d e
n o c ió n
d e
d e
re p re s e n ta c ió n
s e g u n d o
L a
a lg e b ra ic a
b ú s q u e d a
q u e
d e
N O C I Ó N
e n
d e
d e
L A
a n á lo g o
e c u a c ió n
o c u rrir
a lg e b ra ic a s
in tu itiv a .
p e n s a m ie n to
L a
in s c rip ta
c o n s id e ra c ió n
im a g e n
la
c o m p le to ;
n a tu r a lm e n te
e s ta ría
5 8 1
n e g a t i v o s
d e m a s ia d o
o fre c e
p a p e le s
e c u a c ió n
g ra d o
la
e r o s
re s p e c tiv o s
3 4 3 . d e
q u e q u e
H a
tu a l
q u iz á s
v e n ta ja
n ú m
e l
h a 7 1 :
la
h a b ía
s o lu c io n e s
lo m á s
m e n o s
e n c o n tra d o " e l
se
a v a n z a ’’ . la s
s e g m e n to
L a s
5 8 2
im a g in a ria s p o r
e x p re s a n
c o n s tru c c ió n E n
c ió n
e s ta s
n a ria s la
a
p a r a
N o
c a n tid a d e s
lo s
h a c e r
e
- l ,
e l p ro b le m a
re s u lta d o la
la
su
p a r tid o :
tífic a
d e
o tr a
d e s v ío
la
la
q u e
u n a
la
v e rd a d
d e
se r
D e
- P a r a
e s ta
p ro c e d im ie n to
e s te
p a ra lo s
c írc u lo
q u e
n o
d e
la s
el
y
la
se
la
c u e n ta
o
se r
a
o p e ra c io n e s
(—
e s tá
e n
d e l
1
) ,
y
id e n tif i d e l
n e c e s a rio
p re s e n c ia
a ritm é tic o
d e
fo r ja
m a te m á tic a la
re a lid a d
p a rtic ip a
c o n
es
n a tu r a l
e s ta
■— 1
p o r
n ú m e ro s
se
c ie n
i '2 —
p ro p o s ic ió n
y
n o
id e n tific a d a
e n to n c e s
n e g a r
la
s im b ó lic a ,
s ig n o
h o m o g e n e id a d
filo s o fía
lle g a r
el
c o n v e n c ió n
re s u lta d o
se rá
o tr a
y
u n a
q u e
el
d u d a ,
c a n tid a d
s in
v o lu n ta d
p la z c a ,
h a y
V é a s e
el
c a so
m a n e ra ,
e n
e l
“ c o n s tru ir
c o rta
d e
lo s
( A T , 2 1 0 .
la s
lib ro ra íc e s
in te rs e c c ió n
n i
n in g u n a
§
d e
p a rtic u la rm e n te
p u n to s n o
i m a g i n a r i a s '’. ( 7 )
la
la
la
b ie n
e x p re s ió n
p o r
S in
p o d id o
es
la
p o r d e
a lg ú n
re a le s
h a n
s u s c e p tib le s .
p a re c e
d e te rm in a n d o
d e
1 .
s o b re
q u e
v e z ,
lib re
re n d ir
q u e
—
1— 2 ,
e q u ilib rio
e c u a c ió n la
es
el
y
d e s ta c a r a
se
v in c u la rá
d o m in io
e fe c tu a r,
=
h a y a
c o m o :
le
2
la s
c o m o
p e r m itir á
el
p a ra
d e l
d e
re a le s ;
q u e
q u e
lo
d ific u lta d
d ific u lta d
n ú m e ro s
e n
d e
n o s o tro s
d e s g ra c ia
p r o p o n d r ía
q u e
d e
( 8 )
la
e x p lic a r,
la
lo s
p ro p o s ic ió n
ú ltim a
la
d e
im a g i
c o n s id e rá n d o lo s
si
i
c o n c e p
n o m in a lis ta
d e fin ic ió n
re a le s ,
im p o s ib le s
p a rte
la
s u b s titu y e
ta l
c u a le s
re la c ió n
q u e
3 4 4 .- —
to d a s
u n a
lo s
c o sa
tic ip a c ió n
firm a
d e
a
se
s ím b o lo s ,
U n a
d e fin itiv a m e n te
p a re c id o
" s i
o
e n tre
a g ra d o
in flig e
es
c ie n c ia .
u n a
q u e
v e rd a d e ra
im a g in a rio s
e s ta
a
c o m b in a c ió n
té rm in o s ,
p a r a
c o m p ro m e tid o
d e
“ s im u la c ro s ” a
q u e
o p e ra c ió n
o b te n id a
a s im ila c ió n
p a re c e
c o m p le jo s ”
p ro p o s ic ió n
d o s
se r
e x p re s io n e s
c o n c e b ir
d e
la
la s
la
n ú m e ro s
f a lta r ía d e
1
sea
d e
p o r
p a ra
im a g in a rio ,
d e s c a n s a r q u e
re a lid a d
n o
io s
o p e ra c io n e s
—
u n a
h a y a
to m a r
o tro s
la
p u e d e
in te rp re ta c ió n
re la c ió n
lo s
E n lo
r a íz
n e g a tiv a s ,
c o n
d e
p ro d u c to
d e
e n
p a r tic u la r
c o n
á t i c a
n a tu r a lm e n te
la
P e ro ,
“ n ú m e r o s
c á lc u lo
h a c e r
c a n tid a d
s is te m a
o
d e
lo
q u e
e fe c to ,
ju s tific a r
P e ro , d e l
v e rd a d e ro c a c ió n
e n
a t e m
n in g u n a
lle v a d o
( 7) .
m o d o
d e
es
c o n tra d ic to rio
c o n
el
el
in d ic a c ió n
a rb itra ria .
e s tá v is to
c a n tid a d e s
p o s itiv a .
i,
se
q n e
m
( 6) .
n o m in a lis m o
c o m p le jo s
V
en>
“ in s o c ia b le s ”
s im b ó lic o
f i l o s o f í a
d e s a rro lla d o
tr a ta
e n tr a r
m a te m á tic a c a rá c te r
e s p a c io
la s
ju s tific a r
n ú m e ro s
e llo
c a so
im a g in a ria s ,
h e te ro g é n e o s d e
e l
h e m o s
e l
se
la
el
im a g in a rio
re s p o n d e
p ro b le m a .
tr a ta
y
se h a
lo
c o m o
q u e
d e
c o n d ic io n e s
d e l a ritm e tis m o
a
e n
n o m in a lis ta ,
irra c io n a l
e ta p a s
e s
ta n g e n te
ra íz ,
V I,
p á g .
n i
n ú m e ro s d ifíc il
I I I d e d e a
d e
e s ta b le c e r,
G é o m é tr ie ,
la .e c u a c ió n , u n a la
v e rd a d e ra ,
4 6 7 ) .
la
im a g in a rio s ,
d e
p a rá b o la p a rá b o la n i
fa ls a ,
d e y e n e n
u n a p o r
D e s c a rte s te rc e ro
d e
u n
n in g ú n la
y
ta l lo
p a r
m e n o s
d e te rm in a c u a rto
c írc u lo ” , p u n to ,
e c u a c ió n ,
y
a g re g a :
e s to y/
e l
g ra d o s ,
q u e
c o n so n
L a
e n
lo s
m a rc o s
m ie n to .
L a
m e n te
la s
p le jo s ,
n i
N o
N o
p o r
d e
u n
re la c ió n
lo s
n o
E n d id a d ,
u n a
rís tic a
q u e
la s
e n
d e
e n
h a n
la
e je m p lo
q u e
h e m o s
e n
n ú m e ro s su
el
q u e es
el
h a b r ía
e s ta
n o c ió n
h ip ó te s is
e x p lic a r,
y
d e
a
h a
q u e
q u e
la s
se
e c u a
c o n s id e ra r
p o d id o
p o r
sí
n a d a
la h a
p r e v e r lo ,—
m a n ife s ta d o
m is m a
el p ra g m a tis m o
u n
p o c o
m á s
e s ta
a
y
la
y
e n
lig e ra ,
q u e
e n
n o c ió n
e s ta
fe c u n
e l in tu ic io n is m o c o m o
la s
n in g u n a
s o rp re n d e n te
( 8)
e le m e n to
d e
y
s e ñ a le s
p a rte
m á s
p u ra m e n te
la s
y
la
p a re c e r
d e
e l
d e y
o tr a le y e s
s in
c a ra c te
a b s tra c ta
d e l
d e
h a n
c o n s e rv a r
á lg e b ra
o r d in a ria ,
m u ltip lic a c ió n
d e
la
lo s
c u a te rn io n e s
G ra s s m a n n ,
“ el
c o n ju n to
si
d e l
p a r a
se
c á lc u lo
d a r
in te n ta
n ú m e ro
á lg e b ra ”
es
la
e s ta
n u e v o s n u e v a
im a g in a rio
es
( 9) .
q u e ,
es
d e
á lg e b ra
in tro d u c c ió n
m a te m á tic a e m p le o ,
a l
c re a r
a lg e b ra ic o ,
E l
s ig n ific a tiv a
su
D e d e k in d
d e
o r d in a ria .
e x c lu ir
d e
d e l la
c á lc u lo
p a rte , d e l
d is c ip lin a
y
c o n d ic ió n
s u fic ie n te
u n iv e rs a l
m á s
la
o p e ra c io n e s
n e c e s a rio P o r
a
e n
e ie rs tra s s c o n
lib e ra d o s
á lg e b ra
a ú n
d e b ie ra
la s
e x te n s iv o
e s e n c ia l
im a g in a rio
W
c o n m u ta tiv a
. . .
a l
d e
n o ta b le :
d e
es
o b e d e z c a n
p o r
d e c ir,
s u
e n
d e
la
m is m a
la
te o r ía
n ú m e r o s .
E s ta
in tro d u c c ió n
e n
C o u r s
el
( s )
C fr.
(® )
C o u tu ra t,
n o m b r e s
c o m p le x e s ,
H a u p te in h e ite n
W
d ire c
im a g in a ria ,
c ó m o
ra z ó n ,
tr a b a jo s
c á lc u lo
re d u c ib le
d e fin ic ió n ,
p o r
d e
e s tá n
c o m p le jo s
3 4 5 .- — - P e r o
A s í,
la
h e c h o
q u e
e x te n s ió n
n ú m e ro s á lg e b ra
o
lo s u n
p ro p ie d a d
v is to
H a m ilto n
lo s
c o m
re c u rrir
u n a
a
lle v a d o
c o m p ro b a r
fo rm a
e s e n c ia le s
la
lo s
d e
u n a
d e
ló g ic a
n ú m e ro s
d is c u s ió n
h a
c o n o c i
m a te m á tic a .
q u e
a
a q u í
c a n tid a d
q u e
p re s e n ta d o ,
p r o n to ,
d e
n o c ió n
la
lo s
p o d a m o s
la
d e l
d e fe c c io n a n
d e d u c irs e
a
h e c h o s
c u a n d o
p a rte
la
irra d ia c ió n
p ro p ie d a d e s
p u e s ,
d e
e x tr a ñ a
e v id e n c ia
p o r
to d a
o tr a
c u a l
lo s
te o ría
s e n s ib le
p u e d a n
p rim e ro
fe c u n d id a d
la
c o m p le jo .
P o r p u e s to
a l
te n d re m o s
a p a re c e n
n ú m e ro
d e
“ im p r e v ís ib ílid a d ” , q u e
a c tiv id a d
e m b a rg o
p o r
la
h a b la r
v is ta
d e
re la tiv a s
a
c o n s titu y e
d o m in io s
c o n te m p o rá n e o s d e
e n
o
e v id e n c ia
d o n d e
in tu itiv a
s u p e rio r
v e m o s
re a lid a d ,
e s ta
la
d e
ta m p o c o
q u e
e x tr a o r d in a r ia
d ife re n te s
y
5 8 3
a g in a r io
p s ic o lo g ía
c o n s e c u e n c ia s :
g ra d o
o rig in a l
p re v is to , — la
p u e d e
su s
i m
c o m b in a c io n e s
c o n s tru id a
ju s tific a ría
d e
se
la
d e
p rin c ip io
la s
re p re s e n ta c ió n
s id o
c io n e s
d e
d e
ra c io n a l
h a y
le y e s
ta m e n te . h a b r ía
o rd in a rio s
e v id e n c ia
ig u a lm e n te .
n o c i ó n
D e d e k in d
is s e n s c h a fte n
T a n n e ry , D e p á g .
g e b ild e te n e n z u
se
d ’a n a l y s e
1 8 8 5 ,
R e v u e l ’I n f i n i 5 8 9 ,
h a
h e c h o ,
g é n é ra le
c o n
G ö ttin g e n .
lo s
d e s
re m is ió n G rö sse n ,
N a c h ric h te n
c ie rta
m a n e ra ,
( 1 8 2 1 )
s c ie n c e s ,
m a th é m a tiq u e ,
c o m p le x e n e n
e n
a lg é b r iq u e
a
n o ta la s
I,
1 8 9 7 , S u r
la
m e m o ria s ,
p u b lic a d a s v o n
d e r
e n
C a u c h y
p o r
p á g .
d o s
W
g é n é r a le
T h e o r ie
e ie rs tra s s
K ö n ig lic h e n
q u e
1 3 8 .
th é o r ie Z u r
e ta p a s .
m u e s tra
d e r e n
d e s a u s
1 8 8 4 ,
G e s e lls c h a ft
d e r
5 8 4
L a s
el
r e c u r r i r
a l
m
i e n t o s
m
u l t i p l i c a n
c u a l e s s u m
s e a
a
l o s
b o l o
é t i c o s .
u n o l a
d e
d o s
S e
s í m
a r i t m
e ta p a s
i m
V
p o r
s u m
d o s
a
e l
d e
n ú m
e r o s
d o s
+
b
V
—
l)
( a '
+
V
b
V
—
i )
( a '
—
b
m
u l t i p l i c á n d o l a s d e m
( a 2
+
P e r o t i e n e m
u n
u y
s e m
a
p r i m
n ú m
c o m
a
l a
i m
e d i a t a
q u e
a f i r m
p o n i b l e
p r i m
l a
d e m
d e l i m
+
s i
s e
d e
l o s
u n a
b i é n
p e r f e c t o s ,
b ,¡>) .
+
l a
e s d e
d e M
i e n t r a s
d e c i r l o s
4
h
e l
l a
3 ,
a
n ú m
+
e r o s
1 ,
n ú m
l o s
1 1
e s
e r o
2 ,
a
+
c o m
a ’b ) 2 .
i m
a g i n a r i o
e r o s
p r i m
b i.
n ú m
e t c .,
1 3 ,
o s q u í
e r o s
d e 1 7
d e s c o m
“ A
p r i
c o n t i n ú a n
p l e j o s
5 ,
l.
o b s e r v a c i ó n
+
l o s
1
— —
p r o p o s i c i ó n
d e
. . .
s o n
V
n ú m
a
d e c i r
V
a 'b )
u n a
q u e
7 ,
a ‘b )
+
l a
n o c i ó n
i t a r n o s
+
a b ’
(
f o r m
a
1 3
=
d e
l a e r o s
a u s s
in te r,
a
e l e m
n ú m m
i b i d . ,
e s
G .
.
a u s s , .
e t c .,
p o n i b l e s
e n
t.
e n t o n c e s
t e o r e m
u n a
0
• •
u n a
d e l
a
d e
c o s a u n a
n ú m
o s
d e
e t c . ”
m
f o r m a
( n
u y
4
e s
u n
e r o .
h
d e
d o s
la
th é o r ie
.
d i s t i n t a
e
p o r +
1 ,
d e
p a .r a -
i n s t r u m D
e n t o
h e c h o ,
r e c o r d a r
a
)
e x t e n s i ó n
d e s c u b i e r t o
l a
s u m
•
e n t e r o s ;
a
p h ilo s o p h iq u e
G a u s s ,
p á g .
e r o s
a c a b a m
o
0 2
d e c r e t a n d o
í n t i m
p r i m
2
—
h a c e F e r m e s
c u a d r a d o s
l a c a s i
a t ,
d e s c o m ( 1 2 )
y
.
1 8 1 .
3 3 2 ,
II,
0
—
( 3
n ú m
d e l
e n
—
( 1
0
e n t o s
e r o
p á g .
V e r
e rk e ,
2
l o s
a n e r a
p á g .
( 1
a b s t r a c t a ,
Im p o r ta n c e
1 1 3 . W
+
o s t r a c i ó n
1 9 1 0 ,
p á g .
( 1 8 3 1 ) .
G
0 2 1 )
e s t r u c t u r a
c ita d a ,
in te r ,
+ +
( 3
r e l a t i v a
s o l a
W
b tí) 2
—
1
o b t e n d r á
d e
3
a g r e g a r
s e
(a b '
d i v i s i b i l i d a d
f o r m
( 1
u n a
m é ta p h y s iq u e ,
12)
t a m
( a '2
(a b
p l e j o s
i n i o
( 1
d e
W
(
l a
=
t o d o
1 9 1 1 ,
b r o ,
P a r a
l a
+
=
q u e
E d ic ió n
s e c u n d a
i e m
(a c t
c o m
2
a
( U
tiq u e s ,
m
=
5
e n
( 1 0 ) )
a
i n t e r e s a n t e .
a g i n a c i ó n
n o c i ó n
c u y o s
i n m
+ —
h
d o m d e
n e c e s a r i o
p e n e t r a c i ó n
t a b l a
h b ‘ b b ‘
e s t u d i a r á
e l
s e r á
y
:
u n o
p l e j o s ;
d e
d e
= a a ’— = a a ‘—
f a c t o r e s
c o n c e p c i ó n
j u e g o
d o j a l
e s
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i n t r o d u c c i ó n
4
b 2)
+
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( 1 0 )
c u a d r a d o s
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b '2)
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s i e n d o
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l o s
c a d a
p r o d u c t o
—
b r o
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—
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a
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(
f a c i l i t a r
p r o p o s i c i ó n
V
+
f o r m
p a r a e s t a
e l
a
á t i c a
V
b u s c a b a :
f e n ó m l a
o s
e r o s
c u a l e s
L
d e
u n
1
d i s t i n t o .
l o s
d e
f o r m
a t e m
s i g u i e n t e s ;
m
a u s s
r e a l e s
l a
s e
u y
n ú m
c u a d r a d o s ;
a u s s ,
a
f a c t o r e s
d e
G
G
l o s
u n
c o n
p l e ,
s i e n d o l o s
( o '2
r e l a c i ó n
p r o d u c e o s
b 2)
a l c a n c e
s i m
c o n
m
o s t r a c i ó n
s i r v e
o s t r a r
d o s
e c u a c i o n e s
—
,
m
a 2, b 2, a ' 2, b n
t e n d r á n
l a s
f i lo s o f í a
d e m
o t r o
( a
c u y a
a
c u a d r a d o s ;
e s c r i b i r á n
la
a g i n a r i o ,
o y
( a
Y
d e
y
L a
T h e o r ia
d a n s
r e s id u o r u m
1 8 7 6 ,
p á g .
1 0 2
3 3 2
p á g .
1 1 4 .
y
d e
m é th o d e
y
s ig .
la
d e s
n o m b r e s ,
p h ilo s o p h ie
d e s
b iq u a d r a tic o r u m .
R e v u e
m a th é m a C o m e n ta tio
L a
3 4 6 . a rro lla d o el
s ig le
—
X V III
“ p a r a
re d u c c ió n
la
d is c rim in a c ió n
d e
lo s
se
lo s
la s
c a n tid a d e s
e n
el
E u le r
x
el
O +
e n
p o r
s e rie
d o b le
d e
q u e
la
a
lo s
se n o s
la
1 . 2
‘
y
fu n c ió n
s ig u ie n te
( x i
1 . 2 . 3
d e
im a g in a rio s
)3
( x i
h a
E n
a c titu d
lo s
e x p re s a
o b tie n e
se
in f in ite s im a l.
la
e m p le o
se
1.2
im a g in a ría s
a n á lis is
im a g in a rio s
la
x i
2
O
5 8 5
u tiliz a r o n
p e rm ite
( 13) . S í
re e m p la z a
1
d e
r itm o y
a g in a r io
e x p o n e n c ia le s
re a le s ”
+
i m
q u e
x l
1
=
d e
a rc o s
e x p o n e n c ia l,
c xi
m is m o
B e rn o u lli
y
d e
d o c trin a
e l
J e a n
c o n e x ió n
c o s e n o s
L a
s ig u ie n d o
n o c i ó n
s e rie :
)4
. 3 . 4
( x i ) ! + 1
té rm in o s
p a re s
im a g in a rio s ;
x
L
q u e
2
d e
la s
d e c ir
p u e d e
u n a
c o n s e c u e n c ia
p a rte ,
e n tre
tric a s ,
y
la s
+
( w ) .
p ia d o
p a ra
tra c ta
q u e
p e rm a n e c e n
p o n e rs e
b a jo
la
d e
in
1 2.3
.
d e l
d e
q u e
+
a
la
le y
s e ría
p o r
d e l
q u e
d ifíc il
es, e l
e n
d e s
la s
y
d e
y
su s
e t
la
d u
I,
lo s
a n á lis is
V
- l ,
a
a rc o s ta n
e je m p lo d e
la
lib e rta d
L a u s a n a ,
h e c h o c o m o
p o r
u n a
tr ig o n o m é d e
c írc u lo ,
d iv e rs o ,
in c re m e n to s
u n
c a lc u l
s e g u n d a
e s ta b le c e ,
e n
d ife re n
m á s
a p r o
c ie n c ia
a b s
in te le c tu a l,
m a te m á tic o —
t.
la
fu n c io n e s
d o m in io
in fin ito r u m ,
el
se
o rig e n
h a lla r
e s te
fo n c tio n s
e n
q u e
x ,
x .
a lg e b ra ic o y
rig e
ju e g o
e o s
se n
h a y
lo g a ritm o s
p e n s a m ie n to
a n a ly s in
th é o r ie
lo s
a
i
“ n o
n a tu ra le z a
c u á l
c re a d o
la
ig u a l
x
e x p o n e n c ia le s e n tre
e fe c to ,
T r a ité
es
e o s
s ig n o
E n
In tr o d u c ilo
=
e m p le o
re m o n te
v e rd a d e ra
p a ré n te s is e xi
in e s p e ra d a
se
( 1 3 )
1
6
C o u r n o t,
p a rte ,
p a re c ía
i
v in c u la c ió n
fu n c io n e s
( 1 4 ) 1 3 2 .
.
d e l
m a n ife s ta r
o b je tiv id a d ”
p á g .
c o n
[ la ]
o tr a
n o
e n tre tie n e ;
fu n c io n e s
e n tre
q u e
c ia le s ”
q u e
p o r
d e c ir
se
d e c ir,
n o ta b le
ta n to
im p a re s
p u e d e
1 2 3.4
s e rie s
q u e
m á s
es
e xi
x
+
es
S e
té rm in o s
s e rie
1 2 3.4
+
p rim e ra x ;
lo s
la
4
x
x
se n
•
4 . 5
f o r m a :
1.2
L a
.
re a le s ,
m a n e ra
.
r
d e v ie n e n
ta l
3
.
s ig u ie n te
d e
.
.
L o s
2
.
■ y
1 7 4 8 ,
u n
p á g .
in fin ité s im a l,
“ la
e je m p lo
t.
1 0 4 . I,
1 8 4 1 ,
d e s
L a s
5 8 6
q u e
e v o q u e
e s p e c ífic a P e ro s ig lo el
e n
o
c u a l
b ie n , d e
s id e ra c ió n in te ré s
u
y
y
es
n o
te n e r
p o d r ía
v a ria b le
“ S í e n
re a l.
q u e
e s tá n
lo
u
y
c i ó n
q u e
d e
a n a l í t i c a
a
u n a
T a m b ié n
+
a q u í
h a b ía a l
n e c e s ita b a
re g u la r
( 1 5 ) C fr.
P ie r re
p h y s iq u e ,
la s
y
fo rm a
se
p o r v e n ir:
la
a
+
d e ja r
a
C a u c h y ,
la
p a la b ra s ,
d e
y
+
x
fu n c io n e s
.
c o n
n in g ú n
c o m p le ta m e n te
b u s c a n d o ú n i c a ”
) .
c u a le s q u ie ra
fu n c ió n
la s
le y
s e g u n d o
q u e
p re s e n ta r d e
se
( x ,
d e l
fu n c io n e s
n o
i u
e v id e n te
e s ta
a c e rc a se n
+
in ic ia l y
i y ,
y )
c u e s tió n
si
im a g in a rio ,
p o s ic ió n
( x ,
el
re n u e v a
tra s c e n d e n te s
c o m ie n z o s
d o s
d e riv a d a
d e
x
p u e d e
p u e d e
( 16) ,
d e
e n
“ es
u n a d e
i y
d e
u n a
la s
c o n d ic io n e s
E s ta s
c o n d ic io n e s
id e n tid a d e s :
d i}
d
d
x
y
d U
d V
d y
d x
id e n tid a d e s ,
ú n ic a .
S e
p ro d u c id o
a
la
d ic e
fu n c ió n
q u e
u
+
tie n e ,
i u
re p re s e n ta
c o m
re to m a r
d e
la
u n
la
o b ra
s e rie s
n e c e s a rio
d e
T a y lo r
le
p o s itiv is m e
h a
p l e j a
d e
c o n v e rg e n c ia
d e fin itiv a m e n te : es
“ fe n ó m e n o
h a b r ía p e r m itid o
p r i o r i v a r i a b l e
im a g in a rio
c ó m o
v e rg e n te s ”
c la s e
lo s
n o
i y
d U
d o s
p a ra
rig u ro s o
f u n d a m e n ta d o
d o m in io
u n a la s
e n
i
el
n o c ió n
fo rm a
b u s c a r
la
h e c h o
n o c ió n d e
e s tu d io
y
h a
h a
p r e v e r .L a q u e
la
s in o
te n g a
se
a ú n
el
u n a
u n a
f u n
i y ” .
n in g u n a d e d u c c ió n
e n
a
p a ra
c o m p le ja
( 1 8 9 3 ) ,
P e ro v ,
q u e
e sas
q u e
a rm a
y
d e riv a d a
x
d e
s ím b o lo
a
la ta l
g e n e ra le s
+
x
a q u í
e l
d e
p a ra
P ic a rd
d e
m e d ía n te
s a tis fa c e n
v
p u n to ,
lig a d o
im a g in a ria s ”
h a c e o
n á l i s i s
in ú til.
fu n c ió n
á t i c a
p ro m e s a
v a ria b le
E .
A
c a ra c te re s
E s
e s ta
la
h a y
fu n c io n e s
e x p re s a d a s
c a d a
d e
m e d ia n te
la s
q u e
p rin c ip io s
s e ñ a la
a b s o lu ta m e n te
a t e m
n a tu r a l,
u n a
c o m b in a c ió n
n o
m
c a n tid a d e s
fu n c ió n
p a r tic u la r ;
a r b itra ría s
p a r a
u n a
u n a
v in c u la c ió n
s in o
la s
s u s
lo
h e c h o
p a r tic u la r
T r a t a d o
d e
u n
f o rm a rá
c o m o s u
f i l o s o f í a
( 15) .
e m p le o
e n
c o rre s p o n d e r
A h o r a
el
S e
la
to d a v ía
c a so
s in o
d e
d e
d e
m e d ia n te
ta l
v o lu m e n
'a
es
s ig lo
p ro b le m a .
h a r á
id e a
n o
“ el
d e te rm in a d a s , d e l
la
e x p e rie n c ia
e s to
X I X ,
a n á lis is
n o
m á s
d e
e ta p a s
p a ra c e sa n
d a d o
a l
L a g ra n g e
d e
“ el
in te re s a n te ” , e s ta b le c e r
la s
p a s a je e x p lic a r
d e
b ru s c a m e n te
o
a n á lis is
el
a p o y á n d o la
s e rie s d e l
y
q u e
A b e l
d o m in io u n a d e
re a l
m a n e ra s e r
c o n
( lt7 ) .
L o u is
W
e b e r,
B o u tro u x , 1 9 0 3 ,
p á g .
( 1 6 )
M é v a y ,
( 1 7 )
K le in ,
U
V e r s
o b je c tiv ité
a b s o lu
in tr in s è q u e
d e s
p a r
l ’i d é a l i s m e ,
m a th é m a tiq u e s ,
5 7 3 .
L e ç o n s
n o u v e lle s ,
E le m e n ta r
t.
I ,
M a th e m a tik ,
p á g . t.
I,
3 8 . 1 9 0 8 ,
p á g .
4 9 5 .
1 9 0 3 , R e v u e
p á g . d e
2 6 4 . m é ta
L a
3 4 7 .— d ie ro n
u n a
m é tric a
d e
b le m a ,
e ra ,
s is te m a
d e
re a le s e s te
d e
E n
f in ,
a
s o lu c ió n la s
c a n tid a d e s
c o m o
lo
la s
s e n tid o
to ta lm e n te
ín tim
a :
c o rre s p o n d ía n
c ió n
e s p a c ia l.
d e
re c o rd a rlo ,
d e
la
im a g in a tiv a s n a tiv a s .
L a
tr a r ia : m in e d e
q u e
g e o m e tría ,
se
lo s
e s te
u n a
y
e s ta b a n
p a ra
é l,
m a n e ra
é x ito
d e
q u e
d e
h a lla r
p o s itiv a
la s
p ro b le m a
se
p u e d a
se
d o s y
( 18) .
v eces
c ió n , u n
d e
E n
el
e x te n s ió n
im a g i
in te n c ió n
g rá fic a
q u e S í
n e g a tiv a s
a es
v e c to r
( 1 8 )
A rg a n d ,
le s
c o n s tr u c tio n s C fr,
s e r
c a m in o
a
la
E ssa i
d e s
re p re s e n ta d a
c o m p le jo s
D e a l
u n la s
c o n d e te r
se
p a rte
s u r
p o r
e n
re c ta d e
L ’I n f i n i
m a th é m a tiq u e ,
p la n o
a
y
lo s
d e
e s ta
v e c to r e s ,
d e
e n
c a p ítu lo s 1 7 3
y
e je
e je
le s
p o r
y la
y
p o r
d e
a b s c is a s ,
la s
e je a
d ire c c ió n
im a g in a ir e s
e t
p á g .
p á g .
p u e d e
d a d a s ,
q u e
tie m p o ” . d e
6 .
in te r p r e ta
ib id .,
d a d a s
a p lic a c ió n
la s
d e re
o rd e n a d a s , e n
p o s itio n
d e
d e la
1 8 7 4 ,
H o ü e l,
d ire c
te n ie n d o
el
y
n e g a re p e tir
d e
q u a n tité s
p o s ic ió n
la
la s
c o m o
d ire c c ió n
u n id a d
s o b re s ig .
d e
H o ü e l, d e
p o s itiv a
d e
n o c ió n
d e
d o s p a ra
d ire c c ió n
m a g n itu d
re e d ita d o s
m a g n itu d
p á g .
e l
c u a le s
o tr a
'p o s i t i v a s
G é o m é tr ie
in te n s id a d
y
u tiliz a r á
q u e e n
la s
h á b ito
la
r e p r é s e n te r
d e
fu e rz a ,
lo s
se
re e d ita d o
p r in c ip e s
fu e rz a
el el
r e a le s —
d e
im a g in a ir e s ,
U n a
u n a
v ir tu d
( 1B) ,
( 1 8 0 6 ) ,
la
s e g m e n to
m ie n tra s
m a n ie r e
N o u v e a u x
s y m b o le s
to d o
p ro p o rc io n a l
u n e
s o b re
a
a d o p ta n d o
d ire c c ió n
a
to m a d o
v e z
v e c to r
g é o m é tr iq u e s
la
es
e m p le a n d o
c a n tid a d e s
iz q u ie rd a ,
m e c á n ic a :
re c o rrid o ,
C o u tu ra t,
e je m p lo ,
m e d io
F ra n ç a is ,
g é o m é tr iq u e
" A p lic a c ió n
p o r
la
u n a
q u e
é s ta
h a b ía
q u e ,
p o s itiv o s ,
ta l,
c o m o
se
m a g n itu d e s
m a n e ra
v a lo re s
o rd e n a d a s :
s ie n d o
u n
p re
la
in tu i
o c a s ió n
c o n c e p c io n e s
im a g in a ría s .
d e
d e
te rc e ra
tr a ta
n e g a c ió n , la s
g é n e ro
lo s
u n a
se
re p re s e n ta r
d o n d e
tio n
la
d e
c h a —
( 1 9 )
q u e
d e
c o m o
p a r a
p a r a
té rm in o s ,
c o n s id e ra n d o ,
s e n tid o ,
u n
d ire c c ió n ,
e x is ta
la
e je
d e
u n a
o tro s
el s ig n o
s o b re
a b s c is a s
d a n s
la
-1
“ h a lla r
id e a
n e g a tiv o s ,
a q u e lla
o tr a
a
la
o p u e s ta s ,
v a lo re s a
lle v a
v in c u la r
d ire c c io n e s
tiv a ”
u n
p ro p o rc ió n
e l
fu e se
e n
r e p r e s e n ta c io n e s
tra d u c c ió n
E n
n a tu r a le z a
a
u n a
el
e n
te n id o
c o m o
c o n
c a n tid a d e s
p e ro
d a d o s
a n á lis is
d e
q u e
e le m e n to s
su
h e m o s
el
p ro c e d e
V A
lo s
e s tá n
p r o
g e o m é tric o s ,
lu g a r,
im a g in a rio s
u n a
lo s
g e o
el
c o rre la c ió n
e x p re s a r
n o
F ra n ç a is
d ifíc il
e n tre
u n
c o m o
s e rv ir
p u n to s
A r g a n d
h a c ía
e le m e n to s
id e a s
y
re p re s e n ta c ió n
la
te n ía n
a c o m p a ñ a d a s
d e
la
q u e
p a re c ía
h a c ie n d o
lo s
A r g a n d
X I X ,
d e
L o
lo s
q u e
d e
5 8 7
e s ta b le c id o
y
p u n to s
P o n c e le t,
n o
el
h a b ía
o rd e n
in v e s tig a c ió n
tr a ta ,
d e
la
a
s ig lo
im a g in a rio s
in tr o d u c ía
q u e
d e l
a lg e b ra ic a s
n e g a tiv o ,
e n
a g in a r io
p ro b le m a
d ic h o ,
c a rte s ia n a
e le m e n to s
E s
a l
i m
im a g in a ria s .
h e m o s
e c u a c io n e s lo s
d e
c o m ie n z o s
d e fin itiv a
tra d u c c ió n
s is te m a
n o c i ó n
lo s
V e r
7 1 : s ie m e s
e l e n
n ú m e r o s
5 S 8
L a s
e n tre
lo s
el
o tr o
d e
la
v e c to re s
re s u lta d o s n a d a
d e
a ,
q u e
d e
a
fo rm a
b ,
a d e
se
c o n c e p c ió n b
d e
la s
d e
s itu a c ió n ,
E n
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a l
d a r
ra z ó n
q u e
ta n to
d e
o rd e n d e
le
p a re c e
h a
s u b s titu id a te o ría ,
q u e
C a u c h y
s ig n o
m in a d a ; se
y
n i
e n to n c e s
lo
q u e
d a
q u e
la el
v a ria b le
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H o ü e l,
M é m o ir e
m a th é m a tiq u e , I b id ., d e y
s e n tid o
a l
s ig .
s u r
p á g .
e sa s
IV , 9 4 .
id e a s
la
c á lc u lo
P r e fa c io
t.
d e b e
le tra
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s ig n o
—
a
le s
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1 8 4 7 , E n
la
e n
la
d e
e v id e n c ia
d e
su s
(21) .
a l
s ig n o
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+
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s im b ó lic o a b a n d o n a r ese
p r e
c o n tra río ,
re a l,
p e ro
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u n a
e q u iv a le n c ia
1 ” .
p o r
L a q u e
D is q u is itio n e s
p o d e m o s
c a n tid a d
U n a ,
A r g a n d
a ritm é tic a s
el
e c u a c ió n
T o d o
p o lím o n io
el p o lin o m io
f u n d a m e n ta l
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=
lo
a lg e
—
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y
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im a g in a rio s .
re e d ic ió n
d e
A rg a n d ,
p á g .
g é o m é tr iq u e s ." E x e r c ic e s 1 5 7 I I I
C a u c h y ,
im a g in a ria s .
e n
té c p a ra
p r o p o n d r á
P o r
d iv is ió n
te o ría
m is m o
a trib u írs e le . u n a
a l
“ d é b il”
p rin c ip io s
q u e es
( 20) .
c o n c e p c ió n
b a s ta
s ig n ific a
d iv is o r
n o ta
la
sí
q u e
a l
p á g .
ta r d e ”
lo
s u
q u a n tité s
g e o m e tría
e q u iv a le n c ia s
y
q u é
y
lo s
el
re p re s e n ta r
d e
d e
d is c u s ió n
la
im a g in a ria s ” .
im a g in a r ia
i
re s to
in m e d ia ta m e n te
( 2 1 )
6 0 5
la
d e
d e c irs e
e c u a c ió n
ig u a l
( 2 < ))
( 2 2 )
p á g .
a
re g la s
a p lic a c ió n
s a b ría
m e d ia n te
re la tiv a
i es
la s
q u é
la s
c a n tid a d e s
“ i d e ja rá
la
s im b o lis m o ,
p á g in a s
c o m p le ta m e n te ,
n o
u n a
la s
( 22)
s u b s titu y e n d o
e n
tific a
q u e
lla m a b a
b ra ic a ,
d e
h e c h o ,
p o n e
d e
y d e
m á s
c o n g ru e n c ia s
p rim e ra s “ te o ría
d e s c u b rir m e d ia n te
c a n tid a d e s
la s
s is te m a s
d e b ió
o jo s ,
lo s
n ú m e ro s
lo s
c o n s ig u ie n te ,
d e m a s ia d o
s o b re
d e
la s
u n a
re p u d ia re m o s
p re s e n ta re m o s
q u e
e n
es
la s
lo s m á s
tra d u c irs e
s im p le
d e l
C a u c h y
te o ría
te o ría
p e n a ,, p u e s to
te n d id o
la
c o n o c e r
la
d e
d o s
m a te m á tic o s
d e
te o ría
f u n d a d a
d e
im a g in a ría s ,
Y ,
la
im p o rta n c ia
s o b re
a
s o b re
o fre c e n
P o r
c o m p le ta d o
filó s o fo
p o te n c ia .
e s tá
( 1 8 0 1 )
e s c rib e
- y /- l, s ín
c u y a
h e c h o
a v ith m e tic a e
a l
a
lo s
h e c h o s
y
s ím b o lo s
c o n d u c ir
q u e
C a u c h y
ib a n a
“ lo s
n o
p la n o .
p ro b le m a h a
y a
m a n e ra
q u e
p o s itiv o ,
lo g ra d o
s is te m a s
u n
c a n tid a d e s
d ife re n te s
g e o m é tric o ,
d e
u n
e s to s
p e d a g o g o ,
a p o y a d a
G a u s s
d e
in s is tid o
s o n
h a b la n
e n
F ra n ç a is ,
m is m a
R ie m a n n
p re s e n c ia
s e m e ja n te
la
u n o
im a g in a ria s .
h a b ía
a n a lític a ,
q u e
u n id a d ,
d e
se
re s u lta d o s
p o te n c ia
á t i c a
a n a lític a s ,
p u n to
la s
F ra n ç a is ,
o tra ,
c a d a
s o lu c ió n
in te rp re ta c io n e s
d e
la
y
c u a le s
d e
d e
d e
a
a t e m
c a n tid a d e s
A r g a n d
sí
s im b ó lic a
h a b ía
m
in c o m p re n s ib le ; e n tre
c o n v e rtiría
c u y a
3 4 8 .—
d e
h e rm o s o s
se
la s
o p e ra c io n e s
d e
d e
ig u a l
lo s
g e o m é tric a s
fó rm u la s
p u ra m e n te
y
n i
p ro d ig io s
f i lo s o f í a
d e
a
la s
c o m b in a n
c o n s tru c c io n e s
d o s
\ / - l
lo s
la
e je
la
to d a s
H o ü e l,
m e d ia n te
el
+
c o o rd e n a d a s
a g re g a
d e
lo n g itu d
se rá
im p o s ib le
d o s
n ic o
d e
n e g a tiv o ,
G ra c ia s
e ta p a s
d e d e
y
X I I I . d ’a n a l y s e
e t
d e
p h y s i
s ig . L ’i n f i n i lo s
m a th é m a tiq u e ,
n ú m e ro s
C o u tu ra t
a lg e b ra ic o s
d e
s ig u e
la
K ro n e c k e r,
L a
D e
la s
d e
la
la
c ie n c ia ,
e x c lu s ió n d iv e rs a s e n
d iv e rs a s
n o c ió n
d e
la s
g e o m e tría
e x a c ta m e n te
o tra s ?
q u e
re a lid a d
d e l
o b te n id o s ( |2 a ) . n o
c o n
la
a y u d a
c o n c e p to
d e
c a n tid a d , s e rie
c o n e x ió n m o d e lo
la d e
d e
s is te m a s
d o n d e
y
c a si
d e
lo s
d e
q u e
v a c ío ,
to d o A l
a p a re c e
re s u lta d o s
e s ta
el
c o n c e p to
q u e
h a c e
m e d ia n te
e s c o lá s tic o
s u e ñ o
c o m o
o tro s ? m a n e ra ,
n e c e s a ria m e n te
o rg á n ic o ,
d e fin itiv a m e n te
in te lig e n c ia
fís ic o s
e n c u e n tra
lo s
e fe c tiv a s
c u y o
n o c ió n ,
d e
c o m o
m o n is m o
la s
lo s
d e
s e ría
ta l
d e
lo s
se
u n o s
d e c o n
a n á lis is ,
la
d e
P e r r in ,
e s ta b le c e rá
A ris tó te le s ,
s u b s titu y e
la
J e a n
e n
d e
n o ta b le s
re la c io n e s
u n
c o n e x ió n
á lg e b ra ,
c o n v e rg e n c ia
se
d e
la
e x te n s ió n
re te n e rla
v e rd a d
m á s
d e
la
c o n e x io n e s .
se
la
p a ra a
e n
la
d is c ip lin a s
h a b ía el
d e u n a
c u y o
s id o
re
m o n is m o
d e
p o te n c ia
in d e fin id a
u n ific a c ió n .
3 4 9 . — s ig lo se
a
te o ría
la
q u e
-E l
G É N E S IS
p u e d a
h a
d e
n o c ió n
te n ía
la
d e
la s
e n
y
g r u p o . d e
se
c o n s a g ra n d o
tiv o ,
a u n q u e d e l
d e l
la
el
lo
m á s
á lg e b ra
d e
d u ra n te ,
u n a
e s ta
a l
q u e
es
a
n u e s tro s
ra ra m e n te
ín te le c tu a lis m o
a
la
d e
n o
G a lo is ,
re la tiv o s
s u rg ir
o
el
n o c ió n
a ú n
la
im a g in a tiv o ,
c o m o
la
u n
o b je to ;
d e
re la c ió n
in te le c
ra s g o
m á s
m á s
p rim a c ía
u n a
c o n s id e ra b le :
c o rre s p o n d e ría
el
ú ltim o d e c is iv a
tie n e ,
títu lo
d e l
m á s
n ú m e ro
o jo s
re c o n o c id o
m o d e rn o :
c u rs o
im p o rta n c ia
d e
c u a l
n e c e s a ria m e n te ,
y
h e c h o
n o c ió n o
el
c o n firm a c ió n
h a n
n e g a tiv o
c o n c e p to
G R U P O
L a g ra n g e
m a te m á tic a b ie n ,
D E
la
a lg e b ra ic a s ,
A h o r a
u n
N O C I Ó N
c o s c lu s ió n
n ú m e ro d e
L A
tr a b a jo s
p re s e n ta
tu a l,
z a d o ,
L o s
to d a
e x te rio r
n a c id o ,
e s ta
e c u a c io n e s
n o c ió n
a p a rie n c ia
a
d e se a r.
to m a d o
D E
d e s a rro llo
p ro p o rc io n ó
q u e
h a
la s
d is tin ta s
d e
L e ib n iz ,
e sc o g e r
p re e x is te n te ,
ju e g o
to m a d o
p ro v o c a d o d ife re n te s
in d e p e n d ie n te s
g e n e ra l
5 8 9
c o n tra rio
m a te m á tic a
u n
h a
la s
g a r a n tiz a r
c o n c e p to
d e
L A
la
la
d is c ip lin a s
s id o
el
s o b re
p o r
a
a ritm é tic a ,
f u n d a d a
u n
q u e
in v e s tig a c io n e s
m é to d o s
d e
s in o
in m a n e n c ia ,
p o r
e n
e n
d e
p o r
es
p a r tic u la r
d e m a s ia d o
h a b ía
to m a d o
la s
á to m o
u n id a d
u n
u n a
e n
m e d ia n te
L a
¿ N o
a g i n a r i o
d e b ié s e m o s
c o rre s p o n d e e n
c o n te m p o rá n e o s , la
q u e
e s ta b le c id a s
c o m o
im
im a g in a ria
a lg u n a
te o ría s ,
d e
in te rp re ta c io n e s ,
c a n tid a d
¿ h a y d e
n o c i ó n
s ig n ific a
ra ra m e n te
d e l
ju ic io
u tili
s o b re
el
c o n c e p t o . 23
M o u v e m e n t
( 2 3 )
1 9 0 9 ,
p á g .
(s e s ió n
d e l
9 0 . 2 7
C fr. d e
B u lle tin
e n e ro
d e
b r o iv n ie n d e
la
1 9 1 0 ) ,
e t
m o lé c u le s ,
S o c ié té p á g .
fra n ç a is e
9 8 .
jo u r n a l d e
d e
c h im ie
p h ilo s o p h ie ,
p h y s iq u e , 1 0 °
a ñ o ,
n ?
t .
V
4
I I I ,
5 9 0
L a s
L e ib n iz e n
u n a u n a
c o n
la
c o n
la s
d e
la s
se
q u e
. . .
q u e
u n
se
el
c a so
s e g u n d o , d e
re d u c ir
re n te s d e
e n tre
la
q u e
m in o . p o rq u e
d e
d e
s u e rte
q u e
o
to d a v ía
a lg ú n
c re íd o
d e
e lla s ”
ro s
y
n o
q u e
m a s
lo s
q u e
p o r
se
q u e
s e x ta ,
e s to
n o
la s
q u e
id e a s
se
le s
m á s
e n
el
se
d e h a y
m á s lo
s e x to
c o n c ib ie n d o (p e ro
F e r r a r i)
e n c o n tra d o .
to d o
o
D e s c a rte s
c u a d ra d a s d e
d o s
n e c e s a rio
q u in to
c u a rto
L u ís
u n a
e s to s
es
a u n q u e
e c u a c io n e s el
y
el
d e
m e s c o la n z a e n
é x ito
e n
h a c e rla a f o r tu
s in o
u n a
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b ic u a d ra
p a ra
T a m b ié n
c la ra s
p id e
la s
in te n tá n d o lo
d o s
té r
re s u e lto
to d a v ía
s in o
y
d ifie re
s e g u n d o
d e
se
ta m
E s ta
d is tin ta s
q u e
a
d ife
fe liz m e n te
o
el o
e c u a c ió n
s id o
n e c e s id a d
b ic u b o s ;
m á s
el
la
e c u a c ió n
es
p a ra
g ra d o ,
é x ito .
s e rv ía
o tra s
S c ip io n
to d a s
d e
h a
e n c u e n tra
n o
te n e r
y
la
ra íc e s
(e x c e p to
p rim e ro
u n
o rig in a
d e
E
la s
s o n
g ra d o
g ra d o
tie n e
te n d ría
p a ra
d e
se
se
m é to d o . se
p a ra
c ú b ic a ,
e llo
d a r
S p e c im e n
[ N u e v a y
¿ E s
p o s ib le
D e s d e
1 6 8 3 ,
m a te m á tic o s
C fr.
d e
e n tra n
N ou vea u x
L e ib n iz ,
a n á lis is c o m o
[c a n tid a d e s ] e n
s u
lib ro
á lg e b ra
o tra s
’
M ,
IV ,
V ,
c a p .
s a lg a
d if i
n o
p u e d e
s c ie n tia c ie n c ia
ra íc e s
s o n
o tra s
p á g .
s o n
3 5 1 . §
ese d e
p u b lic a d o
la
X V I I ,
d e
c o n fid e n te
h a b ía
pro
p o r
c o n o c id a s ,
v a lo r . . .
E s s a is ,
el
a n a ly s e o s
d e l
'A s í
q u e
T s c h ir n h a u s ,
d e
novum
m u e s tra
c u a d ra tu ra s ] :
s o la m e n te
p o te n c ia s (2 5 )
a ú n lo
—
c a ó tic o ?
( 2 4 )
su m a s
la
n o
to d o
( 24) ,
id e a s
g e n e ra l;
D ío f a n to ,
s o la m e n te
se
e n
g ra d o
a l
to d a
la s
e x tra e r
q u e
s irv e
p a rte s
es
q u e
n o s sa c a r
( 25) .
q u a d r a tu r a s la s
o sí
p o d r ía e n
to d o
tr a b a jo s
o b tie n e n
a rte
s a b ía
m é to d o
é x ito
e s to ,
d e
s e g u n d o
y
á lg e b ra
n ú m e ro s
p u r a
c u a rto
o tr a ;
P e ro
p ro d u c id a
3 5 0 . ta rio
a m b a s la
s u p e rs ó lid o s
el
f o n d o
m u e s tra
e n
a rtific io
lo s
q u e
s ie m p re
el
se
u n a
p a rte s , el
" E l
d ific u lta d e s
re s p e c tiv a m e n te
e c u a c ió n
d e
o b te n e r
o tr o
c o m o
te n d r ía
c u lta d d a n
el
e n
Y
te ó ric a
re d u c irlo s
s e p a ra n d o la
e n
c o n n o
a
el
g ra d o .
y
d e
d e
q u e
d e
s o la m e n te .
s o n
e c u a c ió n
o
c o sa
fin
P o r q u e
in c ó g n ita
p a ra
a z a r
q u e
e n
la
a
s e ñ a la ,
c u a rto
s e rv id o
a q u e lla
p rim e ro ,
p a rte
g ra d o s ,
g ra d o ,
a l
g ra d o ,
d e l
D e s c a rte s
s im p lic id a d
c o n o c id o
m e d io
a llá
d e
p o rq u e
d iv e rs a s
s in o
m é to d o s
a fe c ta d a
o tro .
la s
m á s
el
h a n
g ra d o ,
la
p rá c tic a :
m á s
lo s se
q u e
el
a lg u n a
c ú b ic a
ú ltim o s
b ié n
d e c ir
p a ra
u n a
y
y
n a d a
to d a v ía
;
d e sp u é s a q u í;
e n tre
s ig n ific a n
e c u a c ió n
F e rra ri
s e g u n d o
a g re g a
e c u a c ió n
q u e
es
n o
tie n e
c u a rto
la
h a y a
q u e
e c u a c ió n
c o rta n d o
se
h a y a
y
re d u c e
n a d a m e n te
la
d e
te rc e r
e x tra íb le
d e
n o
e n
n o
lim ita d o )
s í,
se
E l
e c u a c ió n
p u e s to
u n a
s irv e
c u a d ra d a
d a s ,
p ro b le m a ,
c h o c a
á t i c a
á lg e b ra
el
a u n q u e
a t e m
re p ro d u c ir
p la n te a d o
L u is
te rc e ro
d e l
ú til
c o n tra s te
n in g u n a
m u y
e s ta d o
m
el
s irv e ,
y
el
f i l o s o f í a
p a re c e
s o lu c ió n
d e
la
lu c id e z ,
p ú b lic o
F e rro
fin
h a
la
irra c io n a le s
d e l
n o s
im p e rfe c ta ,
p o rq u e
e n
q u e
a d m ira b le
q u e
d e
d e fin id o
p á g in a
c o n
v ía
h a
e ta p a s
9 .
in fin iti d e
puras,
lo
e s ta d o lo s
u n
c ir c a
m é to d o
su m m a s
in f in ito , p u e s
a fe c ta d a s
fra g m e n
p rim e
a c e rc a
et d e
lo s
v a lo re s
c u a n d o
su s
se
m is
L a
g e n e ra l e s te e n
p a ra
v e n ir
lo s
c a s,
es
h a b ía
d e
a n a liz a r
s o lu c ió n
d e
d e te rm in a
se
lo s
g ra d o
ra z o n e s
d e
e n
la
p o r
s ig lo
X IX ,
te o r ía
d e
y
la s
e m p re n d e r
p o r
le
u n a
v ía
el
P e ro
e fe c tiv a s ,
h a c ie n d o
y
in te r
fu n c io n e s
e s tu d io
m u y
e líp ti
d ire c to
h a n
+
te rc e ro
p e r m itid o
d e
e c u a c ió n
+
q x
+
=
é x ito
c u a rto
e n
la
g ra d o ;
y
é x ito .
d e
r
C o m ie n z a
c o n
o
te n e r
la
2
p x
d is tin ta .
u tiliz a d o s
s e g u n d o ,
e je m p lo s
( 26) .
s o lu c io n e s
( 27) .
d e
q u e
a lg e b ra ic a s
n u e v a s d e l
5 9 1
g r u f o
e c u a c io n e s
p ro c e d im ie n to s
e c u a c io n e s
X
y
la s
m e d ia d o s
e n c a m in ó
C o n s id e re m o s
n o c i ó n
p o d id o
d iv e rs o s
la s
la s
a
h a
q u in to
L a g ra n g e p o r
d e
o b te n id o s
H e rm ite
e c u a c ió n
la
p r o p o rc io n a d o
s o la m e n te
re s u lta d o s
c u a n d o
d e
re s o lu c ió n
n o
re a lid a d ,
la
la
m e to d o
g é n e s is
te rc e r o
g ra d o
,
h a c ie n d o
3
se
lle g a
a
p o n e r
la
e c u a c ió n x '3
S i
se
p o r
o b tie n e
u n a
o tr a
u n a
e c u a c ió n
p a rte
+
se
s e x to
p
la
x ’
fo r m a
+
q ’
s ig u ie n te ;
0.
=
p o n e
e c u a c ió n
d e
b a jo
n u e v a ,
q u e
te rm in a
p o r
tra n s fo rm a rs e
e n
g ra d o :
n/s
+ q' y3 — --------= 0.
y®
2 7
E s ta c ia a
y
la
te rc e ra
3
c o m o E s
e c u a c ió n p e ro
q u e
g ra d o
u n a
( 2 6 ) A c ta
R e v u e
d e
q u e
p u e d e ,
r e s o lv e n te ,
N o v a E ru d .
la
q u e
fo r m a
m e th o d u s L ip s .,
W
in te r ,
es
u n
u n a
1 9 1 0 ,
1 3 9
y
o b .
d t.,
d e
e x p re s a
o m n e s V e r
W
4 9 2 ,
y
5 1 8
y
s e x ta c o n
p o te n re la c ió n
in te rv e n c ió n
té r m in o s in te r , L a
p á g .
a l
la
a te n c ió n :
su
n a tu ra le z a
in te r m e d io s
m é th o d e
d a n s
u n a
a
s e c u n d a ria ,
s u
d e
d e
p ro p u e s ta ,
d is m in u ir
e c u a c ió n
C a r a c te r e s
1 8 1 .
d e
f o r tu ita , la
s ig . p á g .
la
c o n c e n tra
q u e
2 0 4 . p á g .
a
s u p e rio r
n o c ió n
g e n e ra l
la
re s o lv e rs e
g ra d o .
c irc u n s ta n c ia
L a g ra n g e
s in o
p o d r á
d e b id o
g ra d o
e s ta
p á g .
c o n tie n e
s e g u n d o
a u je r e n d i
I I ,
m é ta p h y s iq u e , p á g .
a
s o b re
n o
in c ó g n ita ,
é x ito d e
g ra c ia s E s
q u e
la
d e l
el
“ s e c u n d a ria ” ,
m a th é m a tiq u e s , (2 7 )
d e
e c u a c ió n
e v id e n te
d e s p re n d e r
tio n e .
e c u a c ió n ,
p o te n c ia
in fe rio r.
e c u a c ió n e n
ú ltim a
y
se
e x
o
e s fu e rz a a n a lític a ,
d a ta
l ’a l g è b r e la
u n
ceq u a -
m o d e rn e ,
p h ilo s o p h ie
d e s
5 9 2
y
L a s
e n
b u s c a r
la
fin a lid a d
d e
u n a
L a
la s
l t
x 2
x
la s e n
ra íc e s
—
la
ra íc e s
x
d e
í t
la
e n to n c e s la s
e le v a d o
x
l t
q u e
el
d e
la
lo s
L a
c u a n d o
d o s
v a lo re s
d e
d u c id o
a
la
in v a ria b le tre s ,
la
c u a tro
te rc io ,
a l
d e
te rc e r
fu n c ió n
)
q u e
E l
.
"— 1
y
A h o r a
p u e d e n
d e
g ra d o
c o n
es
c o n
la
a y u d a
d e fin id a
m e
la
d e
s í,
a
re s o lv e n te
q u e
h a s ta
re s o lv e n te
e c u a c ió n
a q u í
e s ta ría
p o s ib le s
d e
se rá
se
s e rá n
v o lu n ta d ,
p e rm u ta c io n e s
u n a
q u e
to m a r
d is tin g u e la
s ie n d o
L a g ra n g e
e n tre
d e
y
m a n e ra
s e ñ a la
la s
la s
m
p u e d e
t
b ie n ,
p a r a
d e
0,
=
ra íc e s
x
p ro p u e s ta ,
q u e
n a d a la s
q u e
g ra d o
a m _1
c a m b ia r
to d a s
d e c ir
+
e c u a c ió n
v a lo re s
d e
es
a h o r a P a r a
p o s ib le
c a m b ia s e rá n
e s ta
P a r a
s a b e r
e fe c tu a r
c o n
u n
se
d o s ,
y
n ú m e ro
la s
ra íc e s
e tc .;
x 2 ,
e l
x
2
g ra d o
m u c h o
c o n
la
g ra d o
ra íc e s
m
,
m á s
x
la
x
ra íc e s
x ¡ .,
h a b r á
d e s a rro lla n d o d e
la
e c u a c ió n
e c u a c ió n
se rá
p e rm u ta c io n e s , s e rá n
e c u a c ió n
se rá
c o n s i
p e rm a n e c e
t
c o n
3
t
la
e c u a c ió n d e
3 ,
d e
g ra d o
c o n s e rv a n d o ,
q u e
e s ta b le c e r,
la s
d e
e s te
L a g ra n g e
o c u rre
g ra d o
m a y o r
c a so
e llo , la s
S i
q u e el
d e
a
p o d r á
u t a c i ó n
a
q u é
e n tre
re s o lv e n te . x \
p e r m
e n
re s p o n d e r
ig u a le s ;
d o s
c u a tro ,
ig u a le s se rá
re
d e ja n d o tre s
lle v a d o
a a l
e tc .
c o n s id e ra c io n e s g ra d o ,
la
q u e
fu n c ió n
se
d e
c u a rto ,
E s ta s
es
fu n c ió n , a
d e te rm in a
. . . .
+
p u e s to
es
3 , m
ig u a le s
m ita d .
X , 3
d e
“ s e
n ú m e ro x
la
q u e
c o n s e c u e n c ia s s o n
se
s u
p ro p u e s ta .
p ro p u e s ta .
q u e
c a m b io
re s o lv e n te
la
r e s o l v e n t e
n ú m e ro
c u e s tió n
s in
la s
t ,
E l
. . .
i n v a r i e n t e ,
t
a
e c u a c ió n
d is m in u c ió n .
c a m b io s
d e ja n d o
d is m in u ir
r e s o l v e n t e .
el
3
d e
á t i c a
e c u a c ió n
d iv e rs o s
e tc .,
x 2 ,
2 .
la
d a n
s ,
1 .
3 5 1 . —
d e
( 28 9 ) .
a
s u s c e p tib le d e ra
x
p o r
ra íc e s
ig u a l
q u e
a 2
ra íc e s
L o s
e c u a c i ó n
x 2 ,
e n tre
a t e m
e lla
r e s o l v e n t e
+
la s
(2S) .
o tr a ’'
d a d o
m
p e rm ite n
f u n c i ó n
X9
a
c u a lq u ie ra
d e
q u e
e c u a c ió n
+
x -i
l ”
f i lo s o f í a
s ig u ie n te :
e x p re s io n e s
u n a
s e r á
la
s ie n d o
—
la
m e d ia n te
( lla m a d a
t
x
r a íz
a m
la s
la s a
3 ...
“ u n a
a
te n g a
d e
ig u a ld a d
t
x
re s o lv e r
fo r m a
la
d e
c o n d ic io n e s
d e
fu n c ió n
d ia n te
e ta p a s
q u e
re s o lv e n te ,
se
h e m o s e n
la s
=
X x
a p lic a n
fá c ilm e n te
to m a d o
c o m o
c o n d ic io n e s
q u e
a
la
e c u a c ió n
e je m p lo . h a n
s id o
g e n e ra l
T e n e m o s
p o r
d e fin id a s
m á s
a r r ib a : t
" L a s E n to n c e s
( d e
28)
1 8 0 8 , ( 2 9 )
p e rm u ta c io n e s la
e c u a c ió n
T r a ité n o ta
d e
X I I I ,
I b id .,
la p á g .
p á g .
+
d e
a
la s
re s o lv e n te
r é s o lu tio n 2 5 1 ,
2 4 7 ,
y
y
p á g .
d e s
x
a 2
ra íc e s q u e
t.
x
3
e s tá n
e n
a d m ite
é q u a tio n s
Πu v re s , 2 9 7 .
T
2
V I I I ,
n ú m e ro lo s
n u m é r iq u e s 1 8 7 9 ,
p á g .
t l ,
d e
1 . 2 . 3
fn , . . .
to u s
3 0 1 .
le s
=
6.
tV I p o r
d e g ré s ,
e d .
L a
ra íc e s
d e b e ría
v e n te d e
X
n o
1 ,
X
d e
a l
g ra d o
E l
m é to d o
te rc e r
d e
g ra d o
d e
g ra n g e , d a
d e
e n
s u p e rio r
s o lu c ió n
3 5 2 . — C o m te
u n
d e l
q u e ,
a
si
ra íc e s P e ro
la s
e n tre
h e m o s
re c o rd a d o ,
q u e
re la c io n a n d o
la
g a c ió n
fu n c ió n
d e sd e g ra r y
la s
ta l
e l
in te r io r G a lo is
a q u e lla s
q u e
tra c ta
o
e n
n o
c a m b ia n
d e
(3 0 ) ( 3 1 )
W
sí
ra c io n a l c u a l
in te r , c it.,
la
( 30) .
e c u a c ió n m á s
la s
e c u a
c o n v e n ie n te
d e l
c o n c lu y e
L a
e fe c to , e l m é to d o
g ra d o ;
s o n
d e
in f e
p e rm itirá ,
d ifíc il,
A b e l
h a
p u e s to
m o s
q u e
s u s c e p tib le s
la
d e
d e
la s
d e
u n a
q u e
o b .
d e
u n a
c it.,
a
p á g .
2 5 7 ,
a l
la s
y
5 0 3 3 0 7 .
q u e
p a r a
y
la
d e
a te n
a p ro x im a c ió n lo s
v a lo re s
el
L e je u n e -D iric h le t
la s
ra íc e s , q u e
y
c o n
h a
la
e n to n c e s ,
e c u a c io n e s la
c o n
in v a r ia n
e n u n c ia d o
a q u e lla s
la
in v e s ti
lo s
p e n e tra r
a lg e b ra ic a s ,
la
y
lo
q u e
s o n
c o n tin u id a d
in v e s tig a c ió n in d ife re n te ,
c a n tid a d e s el
d e
r a d ic a le s .
d e ja b a
1 5 6 .
R e s u lta
p e r m itir
g e n e ra l
n in g u n a
d e
e s p íritu
p e rm a n e c e
d e b ía
s e ñ a la r
m o d ific a
p á g .
g ra d o s
T o d a
si
e c u a c io n e s
p a re c e r,
y
re
c e rte z a ,
d e
L a g ra n g e
m e d ia n te
fu n c io n e s se
d e
ra íc e s ,
la s
la s
c o n
o b te n e r
c á lc u lo .
m a n e ra
q u ie n
p u d ie ra “ la s
c u a n d o
p á g .
m o d o fó r m u la
te o ría
d e
A u g u s to
q u e
re s trin g id o s .
e n tre
esas
d e c irlo
C a u c h y ,
m é to d o
a lg e b ra ic a
d e
p rim e ro s
s u p e rio re s .
el
la
q u e ría d e c ir
h a c e rse
p e r m itir ía
id e a s
r e s o lu b le s
m is m o
c u a tro
o tr o a
lo
p u e d e n
m á s
d e
e s tru c tu ra
s o n
n o
e n
v e z
la
c o m o
n e c e s a rio
p e rm u ta c ió n ,
c o n v ie n e
v a lo r
O b .
n o
g ra d o s
p e rm u ta c io n e s
e s p e c u la tiv a p o r
q u é
m a n e ra ,
e ra ,
e x a c ta ,
s u b s titu ir
o
c o le c tiv o ,
tu d ia d o
g ra d o
a lc a n z a d o ”
p o r
( s l) . E n
o tr a
lo s
lo s
c o n fo rm e
d is tin g u ir
E n tr e ta n to , e s fu e rz o
e c u a c ió n
d e
a d e m á s ,
c u a rto
s e ría
d e
e n
c a d a
fu n d a m e n ta le s
c o n
d e
e c u a c io n e s
re s o lu b ilid a d
d e
p rin c ip io s
d e l
c o n c e n tra rs e
es,
c o n s id e ra c ió n
a
e s
p a re c e
c u a rto
o c u rrirá n
q u e
d e u n a
la s
lím ite s
c o sa s
re la c ió n
u n a
re s o l
s u b s titu c io n e s
v ic to rio s a m e n te
p r io r i"
c á lc u lo ,
re s o lu c ió n
m o d e rn a
e n
d e
d is m in u c ió n
m e
s e r
e c u a c io n e s
u n a
la s
¿ p e ro ,
u n a
f u n c ió n
la s
o b je tiv o
m a te m á tic a
d e
d e
m a te m á tic a
te
la
d e b ie ra
d e
el
la
re s o lv e n te
a b o r d a r
a
a l
d e p a ra
p e rfe c ta m e n te
a llá
p o d ía
p a rtic u la re s
s a b io
f a lta
m á s
3
ra d ic a le s .
n u m é ric a s d e
y
q u e
ju z g a r
s u p e rio r
■L u e g o ,
fo rm a s
c ió n
n o
g ra d o
e x c e p c ió n
la s
q u e
in s tr u m e n to
s o lu c io n e s
a lg u n a s
d e
lo
f
d e p e n d e
re s u e lta ;
“ E s
g e n e ra le s
m e d ia n te
d a d a
5 9 3
g r u f o
c u b o
e c u a c ió n
e x p lic a
se r
d e
d is tin to s
c u b o
u n a
a s e g u ra n d o
im p o s ib le
d e
E l
T s c h ir n h a u s ,
re s o lv e n te ?
1 8 2 6
e c u a c io n e s
d e
p o d id o
re s u lta d o s
tr a d o
c o n
h a
g ra d o
si n o
e s te
e c u a c ió n
d e
n o c i ó n
v a lo re s
p u e s
L a g ra n g e
el
la
g ra d o . d o s
d e
q u e
la
tie n e
la
d e
s e x to
e n to n c e s S e
g ra d o
c io n e s
n o
;
g ra d o .
a f o r tu n a d o
d e
to m a r s in o
x m
1 1 ,
s e g u n d o r io r
se r
p u e d e
g é n e s is
o rd e n
d e
d a d a s e sas
p o r
d e l a b s
h a b ía q u e
e s n o
c a n tíd a -
L a s
5 9 4
d e s ”
(32) ,
y
h a b ía
la s
s u b s titu c io n e s .
d e
p e rm u ta c io n e s
P e ro
v a ria b le g ru p o la
e l
to d a
su
a
la
y
es
c o m o
el
G a lo is
u n a
si
se
le
p rim e r
-
a
d e
x 3
la
se
—
4
a g re g a
el
m ie m b ro
la s
c u a le s
s o n
A h o r a
el
+
se
e le m e n to s , y
la
—
(3 2 )
u n a
d a d a , la s
el
q u e
ra íc e s
g ru p o
d e ja
( 33) .
in E s te
c a ra c te rís tic a s
c o n d ic io n e s
a d ju n c ió n
q u e
: U n a
a rb itra ria m e n te
+
4X
.
r a íz
5.
V
d e
E s
1
=
se
la
d e
p e r
c a n tid a d
e n
c o n s id e
0
s u p o n e n
e c u a c ió n
fá c il,
d e
e n
d o s
/ I
5
d e s p u é s
v e z
d e
v
la
c o n o c id a s ,
z 2—
e fe c to ,
5
O ,
v e rific a r
se es
q u e
fa c to re s :
+ ~
V
5
2
\
—
i
) ’
a d ju n c ió n
e n
q u e
I ,
(3 3 )
el
se
p a se
c o m o
el
d e
d e
d e
M é m o ir e
le
to u te s
l ’É c o l e 1 9 0 5 ,
6 4
le s d e
C o u r s
u n o
e n
la
y
ra íc e s
d e
d e
la s
q u e
a c a b a
d e
p la n
d e
e so s
u n
e c u a c ió n
a u x i
y ,
v a le u r s
a l
g ru p o s q u e c o n
q u ’u n e le s
X V I I ,
o tr o
jo n c tio n
X ,
p o r
e llo s
a y u d a
q u a n tité s t.
a
m e n o r
d e
p e u t
q u ’e l l e
p á g .
1 .
la d e
u n a
c o n te n g a n
se a n la
m e d ia n te
lig a d o
n ú m e ro
g ru p o s
lo s
p o s s ib le s
c a h ie r
u n a
p e rm u ta c io n e s
s u b -g r u p o s
m a n iè r e s
d e
re s o lu b ilid a d
p o r
to d o s
e c u a c ió n ;
n o m b r e
le s
d e
q u e
p o ly te c h n iq u e ,
p á g .
s u r
m a th é m a tiq u e s S e rre t,
s u r
y
d e
la s
c a rá c te r
fo rm a d o s
d e c ir
g ru p o
M é m o ir e
P a ris ,
es
el
g ru p o
g ru p o s
s u b s titu c ió n ,
p e r m u te
J o u r n a l
a d ju n ta d a s
e x p re s a
s ig u ie n te s ;
d iv id irá
V e r y
t .
(3 4 )
d e
ra c io n a le s
u n a
V
s u b s titu c io n e s ,
lo r s q u ’o n
u v r e s
d e te rm in a
d e
e c u a c ió n ;
p ro d u c to
1
G a lo is
ta le s
in v a ria n te s
Œ
b ie n ,
m is m a
m is m a s
s e r i e ,
la s
te o ría
V 5
ra c io n a le s
c o n d ic io n e s
e c u a c ió n
1 8 1 5 ,
d e
la
( 34) .
irre d u c tib le ,
s o la
él
p ro p ie d a d e s
c a p ta r
~
la s :
a u tó n o m a
c o n o c id a
n o c ió n
^ 2
ra d ic a l
es
—
lia r
á t i c a
e c u a c ió n
c o n v ie n e
c a n tid a d e s
le
a d ju n ta
a
q u e
x -
te a rs e ”
a t e m
G a lo is ;
u n a
d e
e je m p lo ,
f
la s
si se
1
lo s
m
d is c ip lin a
re fle ja
re c u rre
P o r
s o lo
ré d u c tib le si
ra íc e s
m e d io
c a n tid a d
c o n o c id a .
irre d u c tib le
" s u
e n
p e rte n e c e
la s
e c u a c ió n
x't
d e c ir
f i lo s o f í a
ra c io n a lm e n te
d a rá
e s to ,
a d ju n ta
h a c e
la
r e s o lu b ilid a d .
P a r a
r a r
d e c is iv o e n tre
fu n c ió n
lig a d o
d e
o rg a n iz a d o
p a s o
e c u a c ió n ,
m ite n
e ta p a s
la s
m is m o s a d ju n -
a c q u é r ir , r e n fe r m e ,
Πu v r e s .
2*
s ig .
c o n d itio n s
E v a r is te d ’A l g è b r e
d e
G a lo is ,
r é s o lu b ilité 1 8 9 7 ,
s u p é r ie u r e ,
3 ?
p á g . e d .,
d e s
é q u a tio n s
p a r
r a d ic a u x .
3 8 . t.
I I ,
1 8 6 6 ,
p á g .
6 0 8 .
L a
c lo n e s n o
s u c e s iv a s ,
c o n te n g a S e ría
la
m á s
d ifíc il
d e
e c u a c ió n
u n a
a n a lo g ía c u b rir
H a
n a d a y
la
e l
d e l
ta n
G a lo is
c a c ió n ta b a
a l
d e
v e r
a
tra s c e n d e n te s , s u b s titu ir
a
v e rific a rs e ” Q u e b ie n ,
d e
e l
y
la
la
la
y
p o r
ta l
m is m a ,
te o ría
( 3B )
u n
d e
G a lo is
y
" A
re s o lu c ió n
g ru p o
e n
p r io r i
a lg e b ra ic a
s u b -g ru p o s
p a ra
ta n
lo s
in
v is lu m b r a r
d iv e rs o s , e n tre
re s u lta d o s
la
d e
c o m o
s u
y
la
u n a
p a ra
d e s
c ie n c ia
d e
e n tre
d o s
h a c e r, q u e
la
h a b ía “ M
d irig id a s
te o ría
s in
o b te n id o s
lo
m u e rte :
e s ta b a n
p o d ía n
p o r
h a b ía
es
d e
e s tu d io
d e l
la
is
la
a m b ig ü e d a d .
q u é
o
a p li
S e
tr a
fu n c io n e s
c a n tid a d e s
re la c ió n
el
p rin c ip a -
s o b re
c a n tid a d e s
e n
p re v is to
se
p u d ie s e
p o d ía
d e ja r
d e
d e
se
la
n o
la
la
c o n tr a r io lo s
v is ta
a b s tra c to
d e
in tr o d u z c a d e
la s
m a n e ra
m e c á n ic a
c ie n c ia
( 3S) ,
in fin ite s im a l d e
e s ta
a
m a n e ra
tra n s fo rm a c io n e s m á s
s o rp re n d e n te
d e
la
n a d a
g ru p o s ,
e n
e l
e s ta
e x a m e n
n o s ig n o es
d o n d e
p a ra d e
la
n o c ió n
d e
o p e ra c ió n
fá c il
v a s ta p o r
la s
a lg u n a s
se r
u n a
te o r ía
o la e n
c o n a
la s
d e
lo s
s u
d e
ú n ic a m e n te
C a r a c te r e s ,
d e
e x te n
d e
la s
in
P e ro
im a g in a rio
c o m p re n d id a
e n
sí
im p o s ib le
d e
c o n c e b ir la s
c o m o
c a n tid a d e s
c o n te m p o rá n e a .
p u e d e
m á s
Œ u v r e s , pág. 40-44. Cfr. Winter, etc., pág. 171 y sig.
la ta n
te o ría
h e c h o
n e c e s a rio :
q u e el
h e m o s
m a te m á tic a
m e n o s
s in o
ra c io n a l,
m a te m á tic a ,
ju s tif ic a r
lo
e n tr a r
d e es
d e
n o c ió n
c o n c e b id o .
c o m o
a q u í
d ific u lta d
el
q u e
el
p ro p u s ié s e m o s
d ifíc ile s
la
y
d e
n e c e s a rio
q u e
p u n to
a d ju n te
h a s ta
fe c u n d id a d
m á s
e s te
se
re s p o n d id o
c o n ju n to
e x a m e n la
g e n e ra l
m é th o d e ,
h a
G a lo is
s e ría
p u e s to
e fe c tu a r;
d e
e n
q u e
g e o m e tría
S i n o s
v e s tig a c io n e s
p re s e n ta
la
el
s u
im a g in a ria s ,
q u iz á s ,
d e
v ís p e ra
d a d a s ,
c o lo q u e L ie ,
a ritm é tic a
c u b re
c o n c ib e .
s ió n
la
e x te n s ió n ,
re la c ió n
s u b s titu c ió n
e n
q u e
D e s d e
se
se
é x ito
e s p e ra n z a s
g r u p o s
d e
tie m p o ,
se
d e s c u b rim ie n to :
e n tre
q u e
( 37) .
o p e ra c ió n
el
u n a
c a m b io s
S o p h u s
a n á lis is
e n
ta l
h a s ta
.
in e s p e ra d a s
to d o ,
la
a lg ú n
p ro s e g u irá
(88) .
es
e s c rib ía
c a n tid a d e s
u n o
c o n
tin u a s ,
q u é
la s
n o
se
5 9 5
( 3B) .
in te le c tu a le s c o m o
tra s c e n d e n te ,
p r io r i,
d e
g e n io
s u s c e p tib le s
d e sd e
a n á lis is
el
g r u f o
g ru p o
c o m ú n
o r d e n ”
■E s to
q u e
m e d ita c io n e s ,
in te ré s
p ro c e s o s
d e l
s o n
d e l
d e
p e rm u ta c ió n
fe c u n d a s
c ie n c ia
■—
m is m o
la s
n o c i ó n
d e s c o m p o s ic ió n
d o s
á lg e b ra
la
d e
eso s
3 5 3 . n io
la
el
h a y
n e c e s a rio
e n tre
y
s o la
s id o
re la c io n e s
n ú m e ro
u n a
e x a g e ra r
C o u tu r a t,
d e
d e s c o m p o s ic ió n
q u e
e s c rib e
v a ria n te s .
g é n e s is
le y e s
q u e d e
" u n a
c o m p o -
etc., pág. 512 y sig.,
L a
(36) S u r l e s r a p p o r t s d u n o m b r e e t d e l a g r a n d e u r , Revue de métaphysique, 1898, pág. 440. (31) C a r t a a Auguste Chevalier, del 29 de mayo de 1832, Œ u v r e s , pág. 32. (SS) Ver Drach, E s s a i s u r u n e t h é o r i e g é n é r a l e d e l ’ i n t e g r a t i o n e t s u r l a c la s s ific a tio n d e s tr a s c e n d a n te s , Annales de l’École normale supérieure, 1898, pá gina 243 y sig.
d o m i
5 9 6
L a s
s ic íó n
d e
d e n c ia . s e n ta r
lo s
s ím b o lo s
E s to s
d e
la
te n e r, a ,
b ,
c
q u e
la s
c o n
la
s e rá o
ta le s
q u e es
a y u d a
=
a b
ca
=
re s u lta
d e
e n
b
ju s tific a r,
g e n c ia id e a
d e
c io
d o s
s e ría
a
la e n
s in té tic o
a
g re s iv a
a
g ru p o
o
b ie n
d e l
se
a b , u n
es
b a ,
s o n
(a b )
c
s o n
p u e s to s
e n
n a tu r a le z a
y
s u b s titu c io n e s ,
á lg e b ra ,
d e
la
e v i
re p re o
a ú n
g e o m e tría
L a
e le m e n to s
d a
u n
u
a
o b
d e l
c o n ju n to ,
e s te
c o n ju n to ,
e n
d e
d e fin id a
g e n e ra l;
p e r m u ta b le s .
( b e ) .
s a
p a r a
e le m e n to
c o m p o s ic ió n
lla m a d o s
o p e ra c io n e s ,
o p e r a c io n e s ,
te rc e r
c o n m u ta tiv a
=
u
p ro c e d im ie n to
D e
a b
=
d e
lo s
E s ta
a c ,
e s ta
m a
e le m e n to s m u ltip lic a
ta n to
c o m o
d e
c.
L a
q u e
te o ría
lo
L a
e rig ir
p r io r i,
c o n tra rio
e s ta
y
d e
m á s
h a c e r
p e d iría
d e
s e rv irá
a
la
d e
d e l e lla
q u e
g ru p o s
n o s
c u a l
g ru p o ,
e x p líc a s e
ta l
o
d e
la
m a
in te li a
la re
a c a b a m o s
e s p e c ie
d e
d e d u c c ió n
c u a l
e s ta
c o n v ie n e
g é n e s is
u n a
p r in c ip io
d e
n e c e s id a d
p e rte n e c e n
b ie n
c u y a e n
p o n e
h a y
d e fin ir
q u e
m á s
e s p íritu , u n
n o
p a ra
p r o f u n d o s
n o c ió n
in n a ta
lo s
in te lig ib ilid a d
te n ta c ió n
fo rm a
se
c u y a
c a ra c te re s
( 40) .
u n a
g e n e ra l
n o c ió n
p o r
lo s
d e
s ím b o lo s ,
e le m e n to s ,
n o
u n a
q u ie n
n ú m e ro s ,
p r o d u c to .
d e
o p e r a c ió n
re c o rd a r,
á t i c a
c u a lq u ie r
e x tra íd o
e s to s
o rd e n
—
d e s ta c a n d o
s is tir, d e
la
a t e m
el
d e
c o n d ic io n e s :
d e
=
p o s e s ió n
se r
d e
e l
el
a s o c ia tiv a :
3 5 4 . n e ra
e n
lla m a d o
sea
m
c o n s titu y e n
e s tá
d e
m u ltip lic a c ió n ,
c ió n
f i lo s o f í a
( 39) .
s ig u ie n te s
s u c e d ié n d o s e
n e ra ,
b a
o rig e n
c o m p o s ic ió n
a
la
p u e d e n
c o n ju n to s
c u y o
m e c á n ic a ”
L a tis fa c e
o
d e
q u e
s ím b o lo s
n ú m e ro s
o p e ra c io n e s o
e ta p a s
ju i p r o
d e te rm in a c ió n
p a rtic u la r. P a r a d e s p u é s ta l,
se
p re c is a r,
d e
h a
lo s
p o d e m o s
tr a b a jo s
e s ta b le c id o
lo s
d e s p la z a m ie n to s
d e
tra n s fo rm a c io n e s .
m e tra f ijo
re te n d rá
u n o E s
d e e n
P o in c a ré e s p a c io
tie n e to d o
d e l
e s te
d e s p la z a m ie n to
d e
s e is
g ru p o ,
es
d e
o rd e n
a
s u b -g ru p o
m o v im ie n to s 3 , o ,
es e n
d e
d e c ir o tro s
c o rre s p o n d e n c ia
el
“ E l p u e d e
e so s
y
g ru p o se r
d e
a s í
u n
to ta l
u n
d e l es
g e ó d e ja n
d e
e s c rib e q u e
el
6,
es
o rd e n
c o m o
in d e p e n d ie n te s .
to d o
el
q u e
s u b -g r u p o .
h e c h o d e
d e
g ru p o
s u b -g ru p o ,
d e s p la z a m ie n to
té rm in o s ,
c o n ju n to
a q u e llo s
e s te
q u e ,
e le m e n
d e s p la z a m ie n to s
c o n s id e ra d o
e le m e n ta le s
E l
m u y
c o n s titu y e
e s tu d io
e x p lic a c ió n
to d o
fo r m a
a n á lis is .
c o n s titu ir á n
la
q u e
la u n a
s ó lid o
su
g ru p o
b u s c a r
d im e n s io n e s .
y
e n tre
e s p a c io : d e
e n
b a jo
c u e rp o
b ie n ,
n e c e s a rio
tre s
u n
p r o p io
re la c io n e s
y
g e o m e tría d e
o b je to
p u n to s
es
la
L íe
A h o r a
lo s
b in a c ió n
e s te
e n tre
c o m o
in te re s a rn o s
S o p h u s
p o s ib le s
la s
q u e
d e c ir, q u e
d e
u n a
c o m
E l
s u b -
p e rte n e c ie n te
d e s p la z a m ie n to
q u e
( 39) Encyclopédie des Sciences mathématiques, I, 1, 4 (1909), pág. 575. Cfr. Couturat, L e s p r i n c i p e s , nota II, pág. 229 y sig. ( 40) Dufumier, L a g é n é r a l i s a t i o n m a t h é m a t i q u e , Revue de métaphysique, 1911, pág. 747 y sig.
L a
d e ja
f ijo
u n
p u n to
c o m b in a c ió n fe re n c ia
h a
tió n la
d e
6 -3
a lc a n c e
p o d id o d e l
d e
e lla
y
si
h e m o s
d e
( 42)
d e
P o in c a ré c o sa
p a r a
q u e
el
p u n to
n e c e s a rio
e n te n d e r
fije
e x a c titu d
c o n
n o c ió n
d e
p u n to
E s ta la s
d ia n a .
b a jo
lo s
u n a d o s
c o m o
la s
L ie
fo rm a
es
S o p h u s
h a
d a d o tip o s
u n o
d e
n u m e ro s o s
n o
u n a
d e
e n
e l
p e tic io n e s la
f ilo
o c a s ió n
s ig n ific a
a q u í
a n a lític a ,
d e
c u e s
s e ñ a la r
d a d o
re s o lu c ió n
n o c ió n
la
m is m o
e je m p lo s
h a
e x p o s ic ió n
la
o rig e n
“ fla g ra n te s
“ o rig e n ” la
el
c o n firm a d a , L ie
el d e
m e d io
lo s
q u e
y
a
o tra
q u e
in te le c tu a l
d im e n s ió n
se
p u e d e
n o
se
la s
fu e se
la
y
es q u e
d e
la
n e c e s a rio ,
g e o m e tría
re fe rir
a
la
e s p a c ia l, c u y a
h ip ó te s is
e s ta
d e
a
u n
a
lo s
e x p re s a
q u e
e x is
e s c rib e
P o in
E u c lid e s ”
m a n e ra
e n g e n d ra
d e
se
d e
p o r
e u c li-
o p o n e r
p ro p ie d a d
p o s tu la d o
d e
n o
u n id a d d e
se r c o n s id e ra d a ,
d e l
c a r a c te r iz a
g e o m e tría ,
si a
s im p le ( 44) . “ L a
e n u n c ia d o s
si
d e
e u c lid ia n o
p e rm u ta b le s
d e
re la tiv a s
c o m b in a c ió n
g ru p o
n o ta b le m e n te
e v id e n te
e s p e c ie s
el
f u n d a d o
esas
d i
s e m e ja n te ?
filo s ó fic a m e n te o
u n a
L a
( 41) .
“ e x p lic a c ió n ”
in te rp re ta c ió n el
c o m o
in d e p e n d ie n te s .
b ie n
d e
o fre c e
d e
re s u lta rá
d e
m o v im ie n to s
P e ro
u n a
d e
c a rá c te r
e u c lid ia n o s
c a ré ,
u n a
re s o lv e r
“ e x p lic a c ió n ”
el
c o n s id e ra d o
( 4á) .
d ife re n te s
n o
a
e s ta ría
n o s
p a r tid a
c o n c lu s ió n
S o p h u s
g ru p o s
te n
d e
a s í,
q u e
se r
d im e n s io n e s
m is m a
b ie n
p o r
in v e s tig a c io n e s
s is te m a
q u e
e s ta
d e s ta c a r
la s
5 9 7
g r u f o
d im e n s io n e s ”
a
re fe rid o
la s
P e ro
d e
a tr ib u ir
fu e se
q u e
c ie n tífic a .
p u e d e
a s p ira b a d e
d e
e le m e n ta le s
n ú m e ro
n ú m e ro
p u n to ;
p rin c ip io ”
n o c i ó n
e s p a c io ,
el
q u e
d e l
la
m o v im ie n to s
ra z o n a m ie n to
s o fía
d e
c o n v ie n e
c re e r
o rig e n
n o c ió n
d e l
tre s
re p re s e n ta
¿ Q u é S e
g é n e s is
c a d a
( 48) .
u n a
p o r
v ía
d e
d e
lo s
g ru p o s
de
d e d u c c ió n
ra c io n a l.
3 5 5 . — c o n d u c ir
a
d o c trin a
d e
h a y
e n tre
ta fís ic a
lo s
é s ta
q u e
c ia l h a b ía e s p íritu ,
E n
y
p o c a s
c o n s id e ra r
p a la b ra s , u n a
c o n ju n to s y
a q u é lla
A ris tó te le s
p e rm itid o , e rig ir
e n
e n
te o ría c o n d u c e
u n a
h a b ía la
la
d o c trin a
g e n e ra l a
u n a
d ife re n c ia e s ta b le c id o
ló g ic a
p rin c ip io
si
d e
la s
a b s o lu to
d e
la s
te o ría
g e n e ra l
ra d ic a l. e n tre c la s e s ,
lo
re la c io n e s ,
q u e
L a lo
la s
e l
e l
y
lo
m e e s e n
tr a b a jo
ú ltim o
la
c la s e s ,
a s im ila c ió n
g e n e r a l
in v e r tir e ra
d e
p u e d e
c o m o
d e l
re s u lta d o
(41) Poincaré, L ’ e s p a c e e t l a g é o m é t r i e , Revue de métaphysique, 1895, pa gina 641. (42) Couturat, Revue de métaphysique, 1896, pâg. 660. (43) Cfr. R é p o n s e à q u e l q u e s c r i t i q u e s , Revue de métaphysique, 1897, pa gina 65 y sig. (44) Cfr. Picard, A p r o p o s d e q u e l q u e s r é c e n t s t r a v a u x m a t h é m a t i q u e s . Re vue générale des sciences, 1892, pâg. 725 y sig.; y Bourlet, V e n s e i g n e m e n t d e l a g é o m é tr ie , Bulletin de la Société Française de Philosophie (21 de marzo de 1907), t. VII, pág. 232 y sig. (45) Bulletin de la Société mathématique de France, 1887, pâg. 210.
5 9 8
L a s
o b te n id o
e n
el
e l fa n ta s m a q u e
se
v e
P e ro
la
p a s a
la s
d e n c ia q u e la
d e
in tu itiv a h a n
u n o
se
o
p o d id o d e
h a c e n
s e r
la
e x p o n e
a l
n o
d e b e y
tu ir
ló g ic a
u n a
c la s e s . m á s
a ú n
T a l
a
R u s s e ll
d e
la s
g e n e ra le s ,
m á s
d e
la s
re la c io n e s ,
s o n
la s
p lir
p a ra
la s
x im a d o
es
e l
sí
E s ta s
to s
h a b ía
s id o
e n c a lla d o
c o n
la
lo g ís tic a
E p im é n id e s . s m a n n ,
a !
d e
te n id o
d e
e s ta
e n ,
lo s
d e
b , la
la
e
d iv e rs a s
d e
c o m o
a lc a n z a r
q u e la
e n tre q u e
P ie re e ,
c a b e
lo s la s
o b je to
h u m a n o
lo s
re la c ió n , S .
c o ñ ti-
ló g ic a
s in o
u n a la
d e b id o
p ro g re s iv a m e n te y
h a
te o ría
re la c ió n ;
a c o n te c im ie n to s
o p e ra c io n e s ,
la s
re la c io n e s :
d e
h a
d e
c a ra c te re s
d e
in d e te rm in a d a
ra íc e s
c ie n c ia . d e
C .
p re s e n ta r
e s p íritu
la s
d e
d e
s o b re
d e m o s tra r
m a te m á tic o ,
id e a
p e n s a d o ,
v e rd a d e ro
in te le c tu a l
lo s
e l
c u m
y
e n tre
h a
a p r o
d e s c u b ie rto
su
q u e
h a c e n
in flu e n c ia u n
d e
d e
la
d e l
tie n e
o
d ire c triz
e s c u e la e n
p o r
d e
v e rd a d e ro d e
el
h a n
p a
c o n ju n y
h a b ía
s o fis m a
B o o le
s im b ó lic a
re s u lta d o
lo s
re a lis m o ,
c o n
ita lia n a
fo rm a
el
te o ría
re n a c im ie n to
e s c ritu ra
m a te m á tic a s
la
B u r a li - F o r ti
p e n s a m ie n to
la
re s a lta r
d e
y
d e
te n id o d e
in s titu ir
d e l
G ra s el
la s
m é
o p e ra
e n tre
e lla s
e s tru c tu ra ” .
o ,
o b s e rv a
n a d a , s o n
m a n e ra a
y
m ín im o
u n id a d
a l
lo g ís tic o s
m a n e ra ,
b ;
la
h a c ia
fie le s ,
s o la m e n te
y ,
la
d e
( 46)
o
c re e m o s
a n tin o m ia
té rm in o s
d e
d iv is o r o
el
la
m o d e lo
e v i
re fle x ió n o
v a lo r d e
s o b re la
n o c io n e s
b ru ta lm e n te
s u
p u e d e n E l
v a c ía
q u e
b a jo
d e s v ia d a ,
c u a l
ló g ic a s
D e
a
q u e ,
C o n fo rm e
c o m p re n d e n
tu y e n
p o d r á
re la c io n e s
e s ta s
p e rm a n e c e r
“ a n a lo g ía s
q u e
la s
o b s e rv a c io n e s
d e
c io n e s
h a b e rlo
q u e
im p lic a
p e n s a m ie n to
c o n c lu ir
el
a
a c u d ir
la
y
lo g ís tic o s .
s is te m á tic a .
p e l
r ito
d e
a
p a ra
q u e
fo rm a
m o v im ie n to
e n tre
u n id a d
la
e fe c tiv a s
a d u e ñ a rs e
c o sa s;
es
m e d ia n te
in v e rs ió n
c ie n tífic a ,
lo s
p o d r ía n
p rim a c ía
s o b re
n o
d e
a lg e b ra ic a s ,
d e l
e s ta
fe c u n d id a d
q u ita rle la
tr a n s itiv id a d .
n o
o p e ra c io n e s
a
p a re c e n
e x trín s e c o s
c o n v e r s ió n , s im e tr ía ,
s u
s in o
ju ic io ,
e fe c to ,
es
filo s o fía
re a lis ta s
S e p a rá n d o le
re la c io n e s
e n
la
c o n o c im ie n to ;
p ro c la m a
B .
a
c u a le s
re a lid a d
tie m p o
se
y
la s
d e l
á t i c a
in te le c tu a l;
e c u a c io n e s
la
n u e s tro
ló g ic a ,
a
g e o m e tría .
m is m o
se r,
S c h rö d e r
la s
e n
a t e m
s ig lo s
p re c is ió n
p r io r i
e la b o ra d a s
s u m e rg irs e
m
e s p e c u la c io n e s
su
a
h a c e
d ia lé c tic a
E n to n c e s , c u a n d o e s to
la s
re s o lv e r d e
f i lo s o f í a
in v e s tig a c ió n
d e b e
la
la
d e sd e
in s p ira r
g ru p o
p o s tu la d o s la
la
d e te rm in a c io n e s
n o
q u e
d e
d e
a to r m e n ta
to d a v ía
d ific u lta d
lo s
o rd e n
q u e
id e a
e ta p a s
b
lo s
P e a n o ,
s ig n o s
s u b s is te n
ta l
n ú m e ro s ,
s ig u ie n te : d e v ie n e n
c o m ú n
a e l
to d a s
q u e
y
c u a l
c o m o
q u e
la s
e s tá
el
( 46) .
N o t a ti o n s ,
Turin, § 8, pág. 10.
fó rm u la s la s
d e
d e
ló g ic a
ig u a l a ,
si h u b ié s e m o s
c o m ú n
s ig n o
id e a s
s ig n ific a c io n e s
c o n te n id o
m á x im o
m ú ltip lo ;
la s
e x p re s a n
e n
b
n a d a
s u p u e s to se
d e v ie n e
d iv is o r
d e
q u e c o n
a
d e v ie n e
s u b s ti a
es
y
d e
el
u n b ;
s ig n o
L a
A s im is m o , c a ra c te riz a s is te m a b le s la s
a
d e
q u e
se r,
p la n o to d o
u n e n
y
a ú n
ló g ic a
e n
q u e
in s tr u m e n to liz a c ió n e n tre
d o s
y
el
s o lu c ió n la
la s
n is tr a n
u n
ñ a n z a
d o s
m e d io la
d e
e je m p lo
p e ro d e b e
e n
la
c a so s
d e
h a
lo g ra d o ,
( 47)
h a s ta
Couturat,
L a
N o
es
L e s
la
“ s o n
n o
c u a le s
la s
c a so s la
a h o ra ,
p r in c ip e s ,
c u a n d o
d e
la s
la s
ra z ó n
p o r el
q u é
la
lo
a
c u a l
“ es
la
c o n
h a c e r,
P o in c a ré la
e n se
d e
g u ía
h a n
d e
la s
o
p r e la
lo g ra d o
g e n e ra liz a c ió n
fu n c io n e s
e n
d o s ,
p ro b le m a
q u e
a
s u m i
fe c u n d a s
u n a
d e l
lo s
re a le s
e n
d e s c u b rir
q u e
fu n c io n e s
v e rd a d e ra
p a rte s
p a ra
tr a
o b te n e r
in v e n c ió n
s e rá n
g e n e ra l
a c a so
H a
se r
p r o lo n g a
v a ria b le
e n tre J .
p e rte n e c ie n te s
D e
p a rtic u la re s ? ”
re s o lv e r
la
a n a lo g ía s
¿ la
a n a lo g ía
d e b e
e s tru c tu ra ”
a rtific io s
s o n
la
d e s c u b rim ie n to
fo rm a lo s
d e
el
g e n e ra
p u e d e
se
el
es
h a lla d o s
q u e
h e c h o .
s o la
p a rtic u la re s :
f in ,
d e l y a
q u é
u n a
d e
la
q u e
e n
a n a lo g ía
d ife re n te ,
a n a lo g ía
d e
si
la
s u p e rfic ia le s
m u y
s e ñ a la r
s in o
e n
y
e fe c tiv a
q u e
c u a le s
d ific u lta d
m a rc h a
es
lo s
in te rs e c
a g u d a m e n te
lo s
h a c e
q u e
a n a ló g ic a
re s u lta d o s d e
in s tr u c tiv o ,
d e
la s
s o n
lo s
“ a n a lo g ía s
5
v a ria b le
C o m p re n d e m o s n o
I
fu n c ió n
u n a
n o
L a
e x te rio re s
a te n c ió n ;
v a ria b le s ,
v a ria b le s
(48) .
f u tu ra s .
d e
lo s
d e l d e s c u b rim ie n to
la
d e
q u e
a p a rie n c ia
tr a ta n d o
c ie rto s
u n o
s e ñ a la
b ie n
o rie n ta d a
c o m o
im p lic a s e
o q u e
c u y a
e x te n s ió n n o
in d e f in i
“ lo
m a rc h a e s tá
q u e
m is m o
re c ta s
re c ta s
e s p íritu ,
d ife re n te s
c ie n c ia ,
in s u fic ie n te ” . re te n e r
fu n c io n e s c u a tro
p e n s a r m u y
s in g u la rm e n te
c o n
a l
la s
la
u n
p u n to s )
re c ta )
q u e
L a
“ D a d o s ,
a n á lo g o s ,
a c la ra r
m a rc h a
d e l p a s a d o
tr iu n f a r
d e
d e la
la s
a s í
p la n o s ,
n o c io n e s
y
d e s c u b rim ie n to ;
m is m a
a n a lo g ía s
d e
re fle ja r
p ro b le m a s
s e g u n d o ”
la s
y
lo s
d e
u n a
p u n to s
re c o n o c e r
lo s
s o n
la s
(s e rie
p o r
y
e s ta b le c e r
c u a l
p la n o s
e lla
c a b e
o p e ra c io n e s
v a ria b le s
c io s a
la s
d e l
in v e s tig a c io n e s
m á s
q u e
n o ,
el
in v e n c ió n .
d e l
p u n to s
r e c ta
lo s
d e
s o lu c io n e s :
d is tin to s
el
m e d ia n te
d e
p rim e ro
re c h a z a r
d o m in io s
la s
o tr o
d e l
c a p a z
p ro b le m a s
s o lu c ió n e n
e n tre
d a
o fre c e rse
la s
lo s
n e c e s a rio
p o d e ro s o
d e
p a ra
la
lo s
e n
d e
5 9 9
g r u p o
p e rm ite
(p a s a n d o
p a ra
es
d e
e n tre
y
p la n o s
h a c e
fó rm u la s
d a m a rd ,
p u n to
p ro d u c e
m á s
f ó rm u la s
s is te
se
d e b a
la s
ta d o
se
n o c i ó n
p ro y e c tiv a ,
v e rd a d e ro
in te lig e n c ia ,
la
s im b ó lic a s
d e d e
d e
d u a lid a d
v e rd a d e ro
(47) .
la
la
d e
la s
h a z
s o n ”
s e n tid o
e n
d e
S í s ig u e
la s
o
te o re m a
es
c ió n
le y
g e o m e tría
c o m b in a c io n e s
p o d r á n d e
la
la
g é n e s is
d e
a rm ó n ic a s
fu n c io n e s
d e
(46) filo s o fía
p ro b le m a
d e
la
m a te m á tic a v e rd a d .
S u -
pág. 154.
g é n é r a lis a tio n e n m a th é m a tiq u e s . Biblioteca del Congreso de Filosofía de París, 1900, t. Ill, 1901, pág. 443. Cfr. Hilbert, S u r le s p r o g r è s d e s m a th é m a tiq u e s , 2 ° Congreso de Matemáticos, Paris, 1900, pa gina 67. ( 4 9 ) L ’A v e n i r d e s m a th é m a tiq u e s , 4 ° Congreso, Roma, 1908, Atti, t. I, 1909, pagina 179.
( 4 S )
N
o t e
s u r
l ’i n d u c t i o n
e t
la
L a s
6 0 0
e ta p a s
p o n ie n d o
u n a
in v e rs ió n
in v e n c ió n
y
o rd e n
q u e
la
d e
d e b ía
ló g ic a ,
a
la
n o
d e ja b a
a
v e z
la
a l
d e l o
e n
sa b e
tr a b a jo
d e l
m a te m á tic a s . d e
L a
u n a
d e
v e rific a c ió n
m a te m á tic a .
E s
e s ta
d e s c u b rir
la
e n
m a n o
se
a b re
m o s é ,
q u e
c io n a ria s , n iz
q u e
filo s o fía d e
lo s
d o s
c ia :
h a c e
e n a
la s
el
c u y a
la
n o c io n e s
d e
el
s u s
d e c is iv o s
ta n to
e n
c á lc u lo s
in v e s tig a c io n e s
p o r el
la
d e es
s u la el
d e
ta re a
p r o g r e s o ,
re
d e
a
lo s
es
N e w to n p o r
e l
s e rie s
to m a n d o d e
la s
p r o d e
y
d e
la
p o d e r la
e s c ríb a
e x p re s io n e s
e s p e c ífic o
in q u ie tu d
lo s
h a
q u e
e s p íritu
d e l
p o n ié n d o s e
h is to ria , s ig n o
la s
d e
im p lic a
c re íd o
el
se
e s fu e rz o
n o
s a b e r;
q u e
o
m o
d e s a rro llo
d e l
d e
lo
a l
h e m o s
la s
a ritm é tic a
e m p le o
p r o p io
lig a d a
lib r o
s o b re
q u e
filo s o fía
p ro g re s iv a
a l
e n
el
la
c ie n tífic o
e s tá
c o n s titu tiv a s
ta l,
c o n s id e ra c ió n
e n to n c e s
n o s o tro s
la
“ m a
tra d u c c ió n
o b je tiv o
c ie n c ia
la
a
la
q u e la
o b je to
s a b e r
in m a n e n te s
q u e
a
a
in te rm e d io ,
e x te n s ió n la
a je n o
c o n tra río ,
m is m o
la
s o n
te rm in a d o
in d e fin id a
es
es
ta n to
c u y a
el
el
u n
m o m e n to s
re la c ió n
y
tra s c e n d e n te :
q u e
n a tu r a l
P o r
d e
e n
a n te rio r
m o m e n to
e s te
ló g ic o :
m e d ia n te
y
d e
im p líc ita m e n te
in d ife re n te
v e rd a d
q u e
v e rd a d
p rim e ra s
o rd e n
c a ra c te re s
y
a s ig n a r
d e
es
p o s itiv a
h o r iz o n te ,
h a
la
e n ^ u n
v a le ,
p s ic o ló g ic o
a d m itía
ra z o n a m ie n to
s in o
e n c o n tra r
m a te m á tic a
s e g u ir
la s lo s
p ru e b a
o b te n id o s
c a p a c id a d
c a c ió n .
la
c o m o
d e e n
n u e v o
v u e lv e n
re s u lta d o s
n e s
u n
d e
á t i c a
o rd e n
ló g ic a
in v e n c ió n ,
v e rific a c ió n
r a íz
e n c o n tra d o
el
la
re a lid a d
c e d im ie n to s
h e m o s
el
e v id e n c ia
sí
s u p o s ic ió n
e n
fo r m a
m e ta fis ic o .
m á s
p o n e
e fe c tiv a m e n te ,
in v e n to r
a
a t e m
e n tre
in v e s tig a c ió n
p ro b le m a ,
o p e ra c io n e s
e n
m
e x p o s ic ió n ,
rig o r
re fu g io la
c u rio s id a d
el
la
d e te rm in a c ió n
a
c a p ítu lo s ,
f i l o s o f í a
s e n tid o
el
p o s te rio r
e sc a p a
la
re s u e lv e ú ltim o s
m á s
p o r
la
d e
e x p o s ic ió n
h a lla b a
q u e
s u e lto
la
v e rd a d ” . L a
se r
m e n to
d e l
q u e
d e
ló g ic o
p re o c u p a c ió n
in v e n c ió n , te ria
el
d e
h u A
’h -
fra c L e ib
á lg e b ra
lo s
in fin ita s .
L a
e n
c o n d ic io
c o n c ie n c ia la
p e r p e tu a
d e
in te lig e n d e
v e r ifi
C
L A
R E A C C I Ó N
a
p
í t
u
l
X
o
C O N T R A
X
I V
E L
M
A T E M
A T I S M
O
EL SENTIDO DEL INTELECTUALISMO MATEMÁTICO
3 5 6 . — d o c trin a s v a n
d e
p a rte ,
S e g ú n
u n
p o s tu la d o
p u n to
d e
f u n d a m e n ta r d e
p ó s ito c o sa s E l e l
d e
q u e
d e
la
m e d io
la
e lla
f in
a g o ta r
a l
a
n e g a r
h a b la .
d e
u n a
ig u a lm e n te
a
q u e
e lla
lo s
a
la
s o lu c ió n
c o m o
o tra , la
lo
d e
u n a
y
d e
p o lé m ic a
o b je tiv a
y
ló g ic o
a ú n
d e l
K le in
p r o “ la s ( 1) .
y
d a
d o g m á tic o s ;
in tu ic ió n ,
d e l
a
q u e
m a te m á tic o
p re ju ic io s
p o s itiv a
p o d e r
h o m b re s ”
s a b e r
a b s tra c ta
u n a
s o b re
c o m p re n
o c u rre
lo s
d o s d e ri
p o r
e l
d e
F é lix
q u e
la
H e g e l,
in te lig e n c ia
d ic e
lo s
a
p u n to ,
c o n c u e rd a n
n e g a tiv o s ,
e s p e c ífic a
c o n c e p to
e n
p o r
ra z o n a b le s
e s tre c h e z
d e l
filo s o fía
d e b e
c o m p re n d e ,
n ú m e ro s
m á s
se
p u n to
fo rm a lis m o la
re a lid a d
a n ta g o n is m o la
e fe c to , p o r
lo
d e
q u e
o p o n e n
F e liz m e n te ,
la
s u s tra e rs e
a
se
E n
fre c u e n te m e n te
d e
z a b a
d e
a
p r o f u n d a
q u e
in tu ic io n is m o
v e rd a d
a te n c ió n
p o n e
y
in te rp re ta c ió n
p a re c e n
p re s ta r
o
p a r tid a
lo
c o n d u c e
c o n c e p c ió n
c o m ú n .
p r a g m a tis m o
el
d e r
la
c o n te m p o rá n e a s
q u e s in
a m e n a
s a lid a ;
p ro b le m a
d e
y la
v e rd a d . N o e s ta
fic o s ; m a tr a h a
h e m o s
s o lu c ió n p e ro
d e
e x a m in a r
p u e d a
p o d e m o s
te n e r
¿ c ó m o
e n c u e s ta ,
c o n s id e ra r
a
el
3 5 7 . — N o
se
lo s
e m p iris ta s
c u rs o
E s
re la c io n a
u n a e l
p la n te a rn o s
re s trin g id a ;
s e ñ a la d o
d e
s o b re
h e m o s
d e l
d ifíc il
p o r
s id o
d is c u tir
h a n
a
la
d ire c ta
lo
la
c o n tra
d u r a n te
el
u n
a l
c u e s tió n té r m in o
d e d e
f o r n u e s q u e
X IX ?
d e
ese
la s
m a te m á tic a s
B e rk e le y
q u e
f ilo s ó
m a te m a tis m o ,
eb s ig lo
c o n tra
re p e rc u s ió n
p ro b le m a s
e s ta
g e n e ra lid a d
d e
la
lo s
m e n o s
p re v e n c ió n
h e re d a d o
d e
c o n d u c id o s ,
re a c c ió n
p e n s a m ie n to
s o la m e n te in g le s e s
la
m a n e ra c o n ju n to
o
m o v im ie n to .
d e
u n
q u e
H u m e ,
(!) F. Klein, E l e m e n t a r M a t h e m a t i k , pág. 68. [Hay traducción española. El primer tomo traducido por R. Araujo apareció en Madrid en 1927. El segundo tomo traducido por R. Fontanilla apareció en Madrid en 1931.]
6 0 2
a
L a s
la s
q u e
te n d e n c ia s h a n
te n id o
e l
s ig lo
c o n
e je m p lo , c ió n ,
a
p e c to ,
lo
fin la s
q u e
d e
te n d r ía
la
c o rd a s e
la s
la
m e n te ,
d e
q u e
d a d o
d e l
s o b re
la
lo s
d e
H a y
á t i c a
h a c ia
la
o r g a n iz a c ió n
a b s tra c ta
id e a lis m o
d e
“ el
v is ta
c u y o
d e
u n
H e g e l
a c u e rd o
s o c ia l
c u lto
d e l
h a b ía se
e n
p u n to
e x c lu s iv a m e n te
d e
m a te m á
a
m á s :
la
e lla
la s
d e
p u e s to
se
a
p a r tid a
la d e l
s u p ie ra
v e rd a d ,
u n
c o m o
a
A
se r
lo
a
d e
y
d e
p o r
s u
e n
c o m o
se
re s
T a in e .
c o n fu n d id a si
n o
se
c o n
el
re
E n s a y o
( 1 8 3 7 - 1 8 4 6 ) .
la s e l
e s te
d e
in v o lu n ta r ia
re n u e v a
c o n tra
A
p o r re a c
m a te m á tic a ,
e x te n s ió n ,
p a rte ,
d irig id o
la
o
e s ta
y
s e r
v o lu n ta r ia
q u e
c e rc a ,
d e
a lc a n c e .
p o d id o
A r is tó te le s
o tr a
m á s
R a v a is s o n
h a
to m a d o s
e n c o n tra rs e
“ u n
“ u n a
m á q u in a b a jo
in u m e ra b le s
E s ta
r e f u ta
“ c a rte s ia n is m o
o rie n ta rs e
in m
d e
la
a b r a z a r lo
o
ta l
( 2) E n c i c l o p e d i a , § 99, W Véra, t. I, 1874, pág. 448. (3) Ravaisson, L a p h i l o s o página 73.
e r k e ,
p h ie
p a ra
d e
to d a
m á s
la
m o v im ie n to s es
la
h a
s e ría
h a
in s is tid o
h a b ía
u n
d e l e n
s o b re
q u e
a
T a ín e
X
1 X
‘
p u n to
c o n c e b id o
el p o
u n iv e rs o , ú n ic o ,
ese
h e c h o
s iè c le
e s tá
c o m o
e l
h e c h o
ese
d e
T o m
d ic h o :
a g re g a d o
a u
d e c ir,
c la s ific a c ió n
d o c trin a
c o n c e b ir
F r a n c e
u n i
e n g ra n a je s ,
p a ra
u n a
g ra n
h e c h o
ú n ic o
ú n ic o ,
T a in e
t. VI, Berlín, 1840, pág. 199, y e n
f ó r m u la ” , a c c ió n
s in g u la re s .
c o m o
h a
c u y a
la
b re v e
T i t o - L iv io
u n a
S p in o z a ,
a b s tra c c ió n .
’A l e m b e r t
P e ro
q u e
in ic ia l,
p u r a
s o b r e
n e c e s a rio
d e
m is m a
el
d ife re n te s
d e
la
re s p e c to
d ire c triz ,
e s e n c ia s
G e rm a in
(3 ) .
el
p o r
d e
c ré d ito
s o b re
E n s a y o
v a n id a d
ín te g ra m e n te ,
S o fía
n e c e s a rio ”
la
e s te
g ra n
d e c is iv a
. . m e d ia n te
s is te m a
la
la s
“ D
su
p a tr o n a z g o
c ie n c ia ,
XVIII.
a
p o s itiv a
u n
e je rc e rá ,
n u e s tro s
g e n e ra l,
d e
h a c ía
d e
fa c u lta d
p e rc ib id o id e a
y
d e
in flu e n c ia
R e lé a s e
a
in s p ira c ió n
g o z a rá
a u to r,
u n a
u n
el
la
ta le n to .
tra n s p o s ic ió n
s ig lo
s u
d ife re n te m e n te
in d e fin id a
q u e
d e
a l p rin c ip io
to d a
u n id a d
c o m o
m e n o s ,
u lte rio re s .
e x p re s a r
h a
e s ta
lo
o b je to ,
h o m b re
d e
p o r
lite ra ria se rá
T a in e
d e
m e jo r
e d ia n te
s itiv is m o
m e d ir la s
A ris tó te le s ,
h a n
c o lo c a d o
c o m p le jid a d
c o n d e n a d a
y
d e
c irc u n s ta n c ia s
c o m p re n d e r
p la to n is m o ,
te o ría s
n u e s tra
es
q u e
fa c u lta d e s
M
q u e
p o r
e n
p re v is to s ” , filó s o fo
q u e
F ra n c ia
c o m u n iq u e
im p r im a
d e te rm in a r la s
s o n
e n
c o n c e p to s
v a
e n
el d e se o
d e s c u b rir
fo rm e
e x a c to ,
M e ta fís ic a
re p u ta c ió n
fo rm a c ió n
:
y
c o m p re n s ió n ,
in s p ira rá ,
q u e ,
d e
( 1 8 5 6 )
m á s ,
F ra n c ia ,
e fe c to , e n
e c lé c tic o s
c o n tra d ic c ió n
p re fa c io
a
S p in o z a .
d o c trin a
g ra c ia s
e n
id e a
c o n fu s ió n
d e ra d o ”
d e b ía
p u n to
s e n tid o
lo s
e x tra ñ a
h a b ía
c io n e s
q u ie n
y
a t e m
s e ñ a la r
s ig n ific a tiv a s
re la c io n e s
R a v a is s o n
m is m a
d e
m
ra z ó n
m is m o
p re c is a r
s u
m á s
d ific u lta d ,
f a c u lta d
la
la
p a ra
c o n c ie rn e
f ija r
o b ra s
c o n
e
d e
el
d e l
q u is ié ra m o s e n
d e
d e
el
f i lo s o f í a
re s ta u ra c ió n
p o s itiv is m o , y
la
c ré d ito
p re c e d e n te :
el
c ie n c ia
u n a
d e
( 2) . P e ro
d e
la
el
m a te ria lis ta
tic o ”
S e
h a c ia
d e b ilita d o
c u e n tra v is ta
e ta p a s
L o g iq u e ,
trad.
(1867), 2? ed., 1885,
E
n o
tie n e
d d
u n
es
v e rs o
n o
e n
u n
to d o
fr a n c e s e s u n
se
tid a d
q u e y
b a jo
c u n s ta n c ia s m a s ta l
u n
m e n te c o n
se
a l
la
h is tó ric a s
h a
d e
re s u lta
P la tó n ,
L e ib n iz
la
E n
m is m o
tic a
n o
p o d r ía
lo s
c o n
d e d u c ir
lo s d e
(4 ) .
“ to d a
a
s in o
e n
q u e
sea
D e
e s ta
fo rm a ,
e n
lo s
en
u n i
to d o
F iló s o fo s
c re a d o ra ” , c o m o
la
el
fo r m a
ju ic io s la
c a u sa
d e l
to d o s ,
( 1 8 7 0 )
e lla ,
la
h e c h o s ,
o tr o s ”
d e riv a
S i
L a c h e lie r
r a z ó n
d e
In te lig e n c ia
la
d e
lo
a lg o
a l
d a to
la
y
a x io m a d e
id e n
g e n e r a le s
re c ta
si
la s
y
e l
d e
la
p o s tu la d o
a
d e
d e
lo
id e a
la
la
la
c u a lid a d in fe rio r. d e
la
p a r te
d e
la
c o n c re ta , L a
u n a
el
fu n c ió n
a p u n ta d o e fe c tiv a
h e m o s
d ia lé c tic a d e
y
y
d e
d ía s , esa
fís ic a
lo s
h a c e
d e l
e n
to d o .
d e
la
d e
u n
s is te
la
m a te m á
s u b s titu c ió n u n a
m a te m á tic a
a is la d o
y
c o n tin u id a d ,
e n tr a ñ a n d o
q u e
m é to d o s
D e s c a rte s
c o n la
v is to
re g re s iv a
d is c o n tin u a s
in te le c tu a l
re la c ió n
o b je to
m is
m a te m á tic a s ,
s im p le m e n te
s o lid a rid a d
e s p a c ia le s
la
f in ita s
s ie n d o
sí
n u e s tro s
in fin ite s im a l.
u n id a d
c ir
e s c o lá s tic o ?
in f in id a d
re la c ió n
e n
fis o n o m ía
c á lc u lo
d e l
la s
e n
h a
h is to ria ,
e n
a
a ta c a b a
la s
in tu i-
fin e s
m a te m a tis m o ,
1 8 7 0 ,
c o m o
la
s o n
e l
¿ n o
d e
d e
v e rd a d e ra
c o m o
la
c o n e x io n e s h a c e
c a m in o
c o m p o n e r
d e
a
a lc a n c e
q u e
re a lis m o
a firm a d o
d e l
s u y
T a in e ;
a l
te n d e n c ia
re v e s tió
c o n tra
d e s p u é s
d e te rm in a c io n e s
h a c ia la
n a c e r,
lo g ís tic a
q u e
y a s u
lim ita
C o n d illa c ,
p o te n c ia
D e s c a rte s ,
fís ic o :
d e
la
q u e
re a c c ió n
d e
re c to
y
n o
h e c h o L a
m á s
el
ju s tific a
n e g a tiv o
filo s o fía
u n a
a b s tra c ta
q u e
c ie n c ia
F ra n c ia
c o n
p a ra
s u p e rio r
la s
la
h a n
e n
in te rp re ta rs e
c a n tid a d
s ió n
d e
la
a lc a n z a r
d o m in a r
in m e d ia ta ,
to d o s d o n d e
d e fin ic ió n
a n a lític o
d e
re c o n o c e n
m a .
c o n ju n to
lo s
e n
h is to ria .
g e o m e tría
s e n s ib le
la
d e
g e n e ra l
“ fó r m u la
la
m a te m á tic a ,
p e rc e p c ió n
d e
s u m a
p re s e n ta d o
p o d e r
d e
q u e la
d e s p re n d e rs e
le
e l
ú ltim a
se a
“ s p in o z is m o ”
n o
la
d e
d e
la
e s c rib ía
u n a
p re g u n ta rs e
R e to m a n d o
d e
m o d e rn o s
c a p a c e s
e n
c o n s titu c ió n
e s p íritu
“ o u tra n c e ” .
c o m o
p o lé m ic o
m a n ife s ta d o
3 5 8 .— el
p u e d e
n o m in a lis m o
re a c c ió n
d e
6 0 3
á t i c o
id e a ”
q u e
g e o m e tría ,
p r e te n d id o
a l
y
T a in e
a s p e c to
a c c id e n te
c u a l
b ie n
;
a
m á s
c a si c o n fu n d irs e
c o n c e p c ió n
el
P e ro
X I X .
to d a
la e l
d e
a t e m
h e c h o ,
b u s c a r
y
c o m ú n
( 1 8 5 7 )
( 5)
m
( 6) .
S e m e ja n te
s ig lo
I X
u n
d e
s im p le
el p rin c ip io
h a s ta
la
s in o
d is tin to
m á s
o
g e n e ra liz a r
se r
n e c e s a rio
f o n d o
c re ía
d e
E u c lid e s
c io n ís ta
el
e te rn o ”
la
a ritm é tic a
X
d e
es
m o v im ie n to ,
a c e rq u e ,
d e
e l
n o
q u e
d e l s ig lo
“ a x io m a
e te r n o
q u e
el
i n t e l e c t u a l i s m
p u e d e
p e n s a m ie n to
se! e x p l i c a
c a m b io ,
d e l
q u e
n i
p r im itiv o ,
c o n s ig u ie n te
m a n e ra
d e
es
e v id e n te
h e c h o
p o r
s e n t i d o
re c u rs o
h e c h o
1 8 6 4 ,
u n
o tr o
l
re g re a g re g a
d e p e n d e r la T a l
d e l
in tu ic ió n c o m o
lo
(4) Revue de l’Instruction publique, 16 de junio de 1864, año 24, pág. 168, Citada por Giraud, E s s a i s u r T a i n e , 1901, pág. 300. ( 5) P h i l o s o p h e s f r a n ç a i s d u X I X e s i è c l e , 5? ed., 1868, pág. 370. (c) I n t e l l i g e n c e , 5* ed., 1888, t. II, pág. 330 y sig.
L a s
6 0 4
c o n c ib e to m a
el
d e
id e a lis m o
p o s e s ió n
F o r ja
“ la s
d e
c a u sa s
la s
c ita
lo s
d e
y
n a tu ra le z a ,
m a n e ra
te s tim o n ia u n iv e rs o
a q u í,
la
c o n c ib e n n e ra
d u c id a c ia
d e
el d e
la
y d e l
tra ria s m á s
d e
el
c o n e x ió n
e
to d o
d e l
la s
el
a l
la
e g o ís m o , la
E tic a ,
e n
la
R e p ú b lic a
n ife s ta d o
to d o .
p e ro
e n
e n
n o el
c o m o
—
m e z c la d o
y
te s is
la
S i
s a lir
d e l
tie m p o .
la
f o rm a
d e l
d o g m a tis m o
p rin c ip io
e n
E l
la
d e
la s
D e
c ie rta
la
m a re
c o n c ie n
c o m o
fu e rz a s
re to m a
lo
L e ib n iz
in c o n s c ie n te
a p a re c e r
la
q u e
fu n c ió n
u n iv e rs a le s ,
su
lu g a r
d e n tr o
el
d e l
ta l
y
se
c o n c lu y e el
C o g ito
q u e
a
el
c o n
la
a
la
e s ta d o s c o n q u is q u e
c ie n c ia
la
la
a d e c u a d a m e n te u n a la
c o n s is te
T r a ta d o
n a d a
p r io r i
s u tiliz a r,
r a d ic a li,
es
lo s
la
c o n
s ig n ific a
a c tiv id a d
p s ic o lo g is m o
E n
n o
in d iv id u o ,
su
p u e d e
d e
p re s e n ta
c o n
re p re s e n ta rs e
d e
h is to r ia
C o g ito
c u a l
c o n s titu y e
ta n to
é l.
la
c o m ie n z a
in te le c tu a lis m o
la
q u e
in te rp re ta c io n e s
m a te ria
e s p íritu
d e l
d e
d e c ir d o s
p a rte ,
a d h e s ió n e n
el
d e s
“ in te n s ific a r”
d e
la s
ta n to
P a s io n e s ,
c o m o
m a te m á tic o
se
a n te s
h a
m a
g e n e ro s id a d .
XVII
h a
p u e s to
p rá c tic a y
d e l
te o ló g ic o ; d e
D io s ,
y la
e lla
fu e ra
id e a lis m o
fra g ilid a d
c a rte s ia n is m o
id e a
n o c ió n
d e b e
p e n s a r,
e n
ín c e rtid u m b re
p ru e b a
s u
d e
e s ta
o r ig in a tio n e
s ig lo
la
tie n e
a
p e rs o n a ;
o rie n ta c ió n
c u y a
d e s ta c a
h o m b re
m o ra l la
d e
el
y
p s ic o lo g ía ,
q u e
o b s e rv a c ió n ,
v e rd a d e ro
P la tó n ,
in te le c tu a le s .
S p in o z a u n a
d is tin ta s a l
re ru n ?
filo s o fía
3 5 9 . e s p e c u la tiv o
L a p o r
c o m o
c o n s titu y e
la
id e a lis m o ,
m is m o ,
p u e d e
D e
d e
y
o b je to
p e rs o n a
a s í
u n a
d e
c e n e s te s ia ,
el
p e rm ite
c o m o
la s
d e
c o e x te n s iv a
p o r
d e d e l
la
P a r a
él
s u s
tra v é s
h a c ie n d o
tie m p o ,
c u a l
a
ie n tra s
p o d re m o s
v id a
c la ra s
es
la
c a d e n a s q u e
e je rc e
m o v im ie n to ,
fe c u n d a d a
re a lis m o ,
d e
la s
re in a
se
la
p o s itiv a s .
h e c h o
L a
id e a s
c u a l
s a c rific io d e
el
q u e
re la c io n e s
c o n ju n to
y
v is ta ,
el
y o .
in f in ito ;
d e l
p ro p o n e rs e
a r r o llo
es
M
a tra v e s a d a
irre d u c tib le s
d e
m u n d o
el
f o r m a :
in d iv id u a l.
u n
y
d e
P a r a
d e l
y
d is c ip lin a s
p u n to
c u ltiv o
el
ta m b ié n
es
u n iv e rs o .
tra s c e n d e n te
m is m o
a
el
n a tu r a le z a
d e l
in d iv id u a l
e x te n d id a
C o g ito .
s u
o rig in a le s y
ese
es g ra c ia s
m e d ia n te
e s tá
c o n c ie n c ia
ta
la s
la
a l
c o m o
d e
s o n
q u e
p e n s a m ie n to
d e
u n iv e rs o .
p e n s a m ie n to
o tr o
n e c e s id a d
g ra c ia s
e s p e c ífic o s
m o d e rn a
d e l
q u e
d e l
o rg a n is m o
e je rc id a
D e s d e filo s o fía
a r m a d u ra
b io ló g ic a s ,
d e l
la
r e la tiv id a d
in d iv id u o
m é to d o s
p s ic o lo g ía
s is te m a
u n a
e l
es
q u e
y ,
la
á t i c a
fin a lid a d
el h o m b r e ;
d e
to ta l
la
T a l
u n
ra íc e s
la
e n
n o
e n g e n d ra
d e
a c c ió n
q u e
q u e
v id a
d e s a rro llo
a
a t e m
D e s c a rte s ,
m is m a s .
in c o n s c ie n te
s u s
su s
m e jo r
m
c u a l
in e s p e ra d o s ,
lo
v id a
d e el
ra z o n e s ”
d e
la
a
o
m e d ia n te
la
c o n
f i l o s o f í a
o p o n e
c o n s ig o
n o c ió n
id e a
d e
e fe c to s ;
c o n tin u a la
la
o b je to ,
a c o n te c im ie n to s
c o n s is te n te s
el
u n
c a d e n a s
lo s
la
d e
m a te m á tic o
d e
la rg a s
c o sa s u n a
e ta p a s
el
d e
d is p u ta
d e b ía n
re v e la rs e
le íb n íz ía n is m o
c o n s titu c ió n o b e d e c e
a
el
m a te m á tic o ,
d e l
le y e s
h a a n te
re v is te n u n iv e rs o
c u y a
s im -
a lc a n c e
E
p líc id a d la
y
d e
g e o m e tría , d e n ,
p e ro
la
id e a
la
e n e l y a
la s
y
d e s a rro llo
lo s
y
se
la
y
la
c o rre s p o n e n tre
e l
re p re s e n ta c ió n h o m o g é n e a
u n a
la
a n a lo g ía
m ie n tra s
e x tie n d e
c o n fu s a
la
d e
ra d ic a l,
c ie n c ia
la
q u e
el
el
P o r
h a b ía
in tu ic ió n
u n
e n c a d e s o b re
la
h o r iz o n te
a llá
d e l
n o c io n e s
a p ro p ia d a
o b ra
la a
a p o y a d o
m á s
la s
es
c re a c ió n
q u e
d e
XIX
e s tá
e n
p ro b le m a
c ie n tífic o .
a
a n á lis is
h a
C r ític a ,
d e
c o n tin u id a d ,
s ig lo
c o n se
u n iv e rs o ,
p la n o
la
d e l
d is o c ia c ió n
la
c o n o c im ie n to
d e l
la
q u e
d e l
a l
u n
y
id e a s
c o n
fre n te n o
p e n s a m ie n
d e
g ra c ia s
se
d e
té rm in o s
e s tá
in te le c tu a l,
d e
lo s
d e
filo s o fía
A le m a n ia
d e l
rig o r
la
e n
m a te m á tic o s
el
e s fu e rz o d e
c o rrie n te
q u ie n
g e o m é tric a s
u lte r io r
3 6 0 .
h a y a
— e n
s id o
filo s o fía m e n te
lo
el
su
la s es
a
la
a ritm e tiz a c ió n p o r
a
el
y la
te m á tic a s .
d e l
ta n to
a
p r io r i
d e
d o m in io
a n a lític a s
p a ra
p ro g re s iv a
y
ilu m in a r
d e
c o n e x ió n
e l
lo s
e n tre n o
q u e o
lo s
o
f in
la
in m e d ia to
te o ría
d e
re s u c ita r
el
lo s
u n a
s a b io s ,
el
d e
v e z
la
p o r
d e
to d a s ,
c ie n tífic a ,
lo s
in f in ito s
d e b a te
la
m a
in v e s tig a c ió n c o n ju n to s
se n o
s im u ltá n e a
g e n e r a le s
d e fin id o s la
y
p r o lo n g a b a n
h e c h o s
n o
p e n e tra c ió n
re c o g e r
filó s o fo s
d e
m o v im ie n to la
filó s o fo s
s a b id o
lo s
p rin c ip io s s in
d o b le
p o rq u e
lo s
h a
s o b re
d e
la
in tu ic ió n
e n c a n ta m ie n to .
e s p íritu
d e
la
s u p e rio re s ,
M á s
XIX
ese
se a
e s c o lá s tic o
d e l
la te n o
re a lis m o .
filo s o fía
r o to
lla m a d a s
E n
a n á lis is
p o rq u e
ín tim a
s ig lo
s o b re
d e l
se a
fa v o ra b le ,
e x te n s ió n
re s u lta d o
h a b e r
c o n tra
d e l
fo r m a s
d e c ir
re fra c ta rio s
m in a lis m o
q u e ,
m á s
s u fic ie n te m e n te
b e n e fic io .
s o b re
E s
S ó lo
o rd e n
m a te m á tic a
te m á tic a ,
n a s
e x i
a n á lis is
O s c ila n d o d e
b ie n , la
c o o rd in a c ió n .
p r o d u c id o
d e
d u d a
L a
fu n d a m e n ta l
im p lic a c ió n
su c e d e
d o b le
d e te rm in a r,
c o n d ic io n e s
p o r
in v e s tig a c io n e s
g e o m é tric a s ,
E l
in te p re ta c ió n
m o d e rn a
c a m b ia r
d e
c la ra s ;
la
a
D io s
d in a m is m o
A
u n a
A h o r a
s a tis fe c h o
u n id a d .
a
lle g a ,
ju s tific a d a
id e a s
d e l
e u c lid ia n o .
n ía n
XVIII
n o c ió n
re fe rid a
a u to n o m ía
h a
s in
re a lis m o
d e l
m a te m á tic a .
s ig lo
s in o la
d e
r a z ó n
la
tr a ta
in tr o d u c id a
b a te
la
m á s
n a m ie n to
d iv in a .
e l
lle g a
c o n c e p c ió n
se
es
y
la
es
s id o
el
n o
n o
e s p a c ia l,
a p r o x im a n
6 0 5
á t i c o
ra c io n a lid a d .
v e rd a d e ra
p o s itiv is m o ,
p a rte ,
d e
u n a
h u m a n o ;
tra s c e n d e n te ,
y
d e e l
o tr a
e n
e n
se
a t e m
L e ib n iz ,
la
in te le c tu a l
p e rc ib im o s
c o n
filo s ó fic o :
la s
o b je to ,
m
p e rfe c c ió n e n
y
o
c o n tin u id a d .
p re p a ra d o
d e s a rro lla d o
la n i
p u r a
le ib n iz ia n is m o d e
m o d e rn a
e s p íritu
e l
p ro c e s o
eso
F ra n c ia
re fle ja n
s im p lic id a d y
i n t e l e c t u a l i s m
D e s c a rte s ,
fu n d irs e
h a
c e p c ió n
d e l
la
el
P o r q u e
e n
d e l
d is tin ta
to
n i
s in
id e a lis m o e s p a c ia l,
s e n t i d o
ra c io n a lid a d
m a te m á tic a ,
g e n c ia
y
l
m a te m á tic a , lle g a
e x a c ta m e n te ,
a le s
a
q u ie n
D e s p u é s v id a
lib e ra r h a
d e
y
c o rre s p o n d e
h a b e r y
d a d o ,
lib e rta d
v iv ific a r
re s titu id o
esa
la s
a
el
m é rito
e n
re a c c ió n
la s
d is c ip li
p ro p ia s
p o te n c ia
m a
in te r io r
h a y a
6 0 6
L a s
q u e
el
p o r
u n
d e
la s
g é n e s is E l
la
q u e rid o
d e
L a
h e c h a
m is m o
d e
( T)
a
q u e
la
to d a
re g la
H e rm ite
e s c rib ía , d e
re s o lu c ió n
d e
d ife re n te
d e l
c u a l
s o b re
s e n ta r
m e d ía n te
u n a
fó r m u la
la s
c o m o
se
o tra s
p re s a
ra íc e s
c o m o h e c h o
d e
ta n ta s
la
u n
s in o
m á s
s o lv e r
q u e
b ie n e l
se
c u a n d o f in ito e n
lo
la
u n
q u e
u v r e s ,
d e
Y
se d e
d e
la
d e sd e
la
e n tre
su
lig a d a s
u n a
d e
e c u a c ió n la
L o
d e b e m o s
q u e
s ie m p re p o r
c u rv a
a s í q u e
tr a ta r d e c irlo ,
a l
el
in tr o
e x p re s a d a s a
esas
se
e x
C o n g r e s o
[ d ife r e n c ia l]
p o d e m o s
y
re p re
c u a n d o
g ra d o ,
s o lu c ió n
p a ra
b u s c a r,
re la tiv a s
p e ro
v is ta
m ú ltip le s
P o in c a ré e n
la
p u e d e
te rc e r
d e sp u é s
la
d e
s í
s e p a ra d a m e n te
c o n o c id a s ;
c ie n .
d e
b u s c a r
se
lo
d e
g ra d o s
e n tre
e s
d e
in d ic a d o
d e
u n ifo rm e s
e x p re s a d o
la
lu g a r
C o n fe r e n c ia
c u a lita tiv a m e n te d e
y
p u n to
s id o
c o e fic ie n te s ,
s ig lo
a r it
q u e
p ro b le m a
p rim e ro s
e c u a c ió n
la
r e s o lu c ió n el
h a n
e je m p lo ,
d e te rm in a c io n e s
ra íc e s
m e d io
p o r
ú ltim o
u n
h a
E n
d e
lo s
fu n c io n e s
g e n e ra l
s o b r e
c a
se
s ig n ific a c ió n
c o n c e b ir
c u a tro
d is tin ta s
e n
d in a
c o m o
q u e
p ro b le m a s
la
tie m p o ,
o b te n e r
h a b ía
n o s o tro s
. . .
lo s
d e
d e
u n
n o ta
ra d ic a l
c a so y
c ie n
u n
c o n s id e ra d o
to m a r
e s tre c h a m e n te
c o n s id e ra b a
c a so
fo r m a
Milhaud, Œ
el
h u b ie s e la
g e n e ra c ió n
p ro b le m a s
d e
re s trin g id o .
s ig u ie n te
p ro b le m a
c o n o c e r
(7) (8)
( 8) .
n o
n ú m e ro m á s
e n
lo
la
d e
p ro g re s o
d e
re v e la
c o m e n z a n d o
P a r a
u n a
fu n c io n e s
fu n c io n e s
m a n e ra
“ A n te s
re s u e lta
ta n
a u x ilia re s ,
v a ria b le s ”
R o m a :
d e
h a
v a ria b le s
n u e v a s
s ib le
la s
c o n s id e ra
d u c ir
o
d e
c o m o
m e d ia n te
lo s
ta m b ié n
e c u a c io n e s h e m o s
se
p o r
la s
d e l
fo rm a s
fo rm a s
e n u n c ia d o
m u c h o
n o s
s is te m a
a sí
d e
d e
a lg e b ra ic a s
h a c e
la s
n ú m e ro ,
p u e d e
e c u a c io n e s d e sd e
el
d e l
e n “ S e
to d o
el
d e
la s q u e ,
re s o lu c ió n
1 8 5 8 ,
p ro d u c to
e n
p o s itiv is
d in á m ic a
c o m p lic a d a s .
s o lu c ió n .
g r a d o :
la
d iv in a . d o c trin a
d e l
o
e n c e rra d a ,
m o d e rn a ,
s in o
el
esas
c u e n ta
p re v ia ;
u n a
el
re fe ría
s a b id u ría
s u c e s iv o
o r d e n ,
p r o lo n g a
s o b re
s ó lo
e n
q u in to
d e
la
e s p íritu
L e ib n iz
h a b itu a le s
d e l
e s tá
d e
e n g e n d ra b a ,
d e l
c u a n d o
lo
K a n t,
m á s
d a r
c o m o
e n
ló g ic o
n o
se
v e z
D e s c a rte s
y
f ó rm u la s
q u e ría
tr a ta
e n te n d e rs e
e c u a c ió n
la
se
es
o rd e n
m a te m á tic a
N o
c u a n d o
p r o g r e s o
im p u ls o c a d a
á t i c a
o rd e n a d o ”
c o n s titu c ió n
p e rm ite
p a ra
d e b e
lo
e s p e c u la c ió n
m is m a .
a
la
c u y o
p r io r i,
p la n te a d o
c a p a
;
la s el
v e n ir
y a
a t e m
g e o m é tric a s
d e l
p o r
m
in in te r r u m p id o ”
“ p ro g re s o
h a c e r
n o c io n e s
N in g u n a te g o ría
a
e
m a te m á tic o
s a lir
c o m o
o rig in a l
s in té tic a
a tr ib u id o
in v e r tir á
c ie n c ia
C o m te ,
y a
m é tic a
a l
h a c e r
tie n d e
in te le c tu a l.
c ia
q u e
lu g a r
f i l o s o f í a
c o n tin u o
d e l u n iv e rs o
e s tá tic a ,
la
re p re s e n ta c io n e s
p e ro
e n
d e
h a b ía
ín te le c tu a lis m o
p o s itiv a , m o :
Ie s
“ m o v im ie n to
m u n d o la
XVII
s ig lo
e ta p a s
c o n e llo
la
d e
a y u d a
n o
h a c e r
es
re p re s e n ta
L e R a tio n n e l, 1898, pág. 19- Cfr. pág. 99 y sig. t. II, 1908, pág. 6.
d e c ir la
p o
s ie m p re ,
h a c e r,
es
d e
c o m o
es
re
tr a ta r
fu n c ió n
E l
in c o g n ita ” d e rá
el
c u la r
( 9) .
é x ito la
m e n o r
q u e
s o lu c ió n
c o n
h e m o s
p ro p ie d a d e s
lo s
s e rv ic io s
m e n te ,
q u e
E s to
d ic h o
d e l
c o n
lo s
la
e
h a n
g ra d o s s a n d o
d e
la
e n
el
n o
h a c e
g e n c ia
n o
tr a ta y
d e
3 6 1 .
R a v a is s o n A u g u s to
se
d e p e n
p e r m itir á n c o n
c a l
m a y o r
e s c rib ía ,
la
n o s
p lic id a d ,
e s ta
o
lo s
(8) ( 10)
L a
y a
la
p o r
d e
e t
e le m e n ta le s
m é th o d e , e n
d e
s in o
q u e
la
q u e ,
p o r
a r b i p o d r ía
im a g e n e l
u n a
tip o
e s p a m
la e l
la lo s
e x p re
se
d e
la s
u lti
in te li
c o n tra rio
s u s c ita .
e s ta
m a n e ra
p la n o
d e
la
-c la s ific a c ió n
d e
a h í
d e
la
h o r iz o n te
la
a ritm é tic a
d e o
in te g rid a d ,
la s
in fe r io r e s . c ie n c ia s
s o n
. . .
p re c is ió n ,
( 10) .
ilu s io n e s ,
el
s u
e s tu d io s
fig u ra ,
m a te m á tic a s ” s o n
e n
lo s
la
pág. 3'2. ed. cit., pág. 62.
P r a n c e ,
a
e n tre
s o b re
c u y o
a
c o n
m o d e rn o ,
a p lic a r
e l
n o
c u rv a s
lla m a d a s
n e c e s a ria
m
re p re s e n ta
F o u rie r,
a n a lític a ,
e x te n s ió n ,
re la tiv a
m is m o s la
h a
e s p a
B IO L O G ÍA
s im p le ;
la s
a rb itra ria m e n te
p h i lo s o p h ie
d e
a la
m á s d e
d e
n o
ro m p e
e s p a c io ;
re la c io n e s
L A
lo s
s o b re
g e ó m e tra
to d o s
m is m o
fu n c io n e s
a n te m a n o
e n
a lu d ie n d o
d e
d e
es
p a s iv a
in tu ic ió n
n a tu r a lm e n te
fo r m a
ilim ita d o
Y
él la
te rc e ro ,
d e l
p o s ib ilid a d
n ú m e ro ,
a l
la s
d e l
re c ib e
c o rre s p o n d e r
m u y
la
o jo s
a r r o ja r
re la tiv a
e s ta d o s
S c ie n c e
lo s
q u e d e
d e l
filo s ó fic o
e x p lic a r
e s p a c io
o b ra
c o n tin u id a d
F IS IC A
fa c ilid a d
re s trin g e
la
h a c e r
c u a le s q u ie ra
o fre c e
fa c ilid a d
la
d e s a rro llo
“ E l
e n
ta m b ié n
a n á lis is
p o d r á n
E l
s u p e rio r
im p u e s to a
se
c o n e x ió n
d im e n s io n e s
d e
d e l
d e s c u b rim ie n to s
C o m p re n d id a
d e ja
C o m te :
n a tu ra le z a
a
6 0 7
c u a lita tiv o q u e
d e c irs e
e s p o n tá n e o
p a r a
d e te rm in a r
—
n o
n o
e s ta b le c id o
a f irm a r
c u y o
d e
g ra d o
c u a d ro
L A
te m á tic a
su s
la s
e le m e n to s
c o m p ru e b a ,
p o d r á
trig o n o m é tric a s
d e fin itiv a , s in o
d e
d e
y
XVIII
s ig lo
E n
p lic id a d
d o lo
á ti c o
c o m o d id a d ,
e x ig e .
s o rp re n d e n te
s e rie s el
le
a p o rte
h a b ía
e c u a c ió n
q u ie b ra
e s p a c ia l.
se
a t e m
re c u rs o s
e s p a c io ,
D e s c a rte s ,
se
m e d ía n te
tra ría s ,
y
a lg e b ra ic a s q u e
s o lo s
fo rm a s e l
a p o y a d o
g e o m é tric a :
c o rre la c ió n
q u e
m
p ro b le m a
m e n o r
n ú m e ro
d e l
ilu s tr a ,
v is ib le
q u e
e c u a c io n e s
tu d ,
ese
o
c u a n tita tiv a s ,
o
m a te m á tic a
s o b re p a s a n
es
te m á tic o s
la
d e
m a y o r
e s e n c ia le s
q u e
tra d u c e
c re a d o ,
c ió n
i n t e l e c t u a l i s m
in v e s tig a c io n e s
D e te rm in a n d o
la s
c re e r
la
la s
in c ó g n ita
L o
c io
D e
d e
d e l
p re c is ió n .
p a c io .
c ia l.
s e n t i d o
d e
la
¿ P e ro
d e q u e
e x a c ti
e s ta
s im
p ro v e n ie n te s c ie n c ia ,
la
la
lo
d e
lim
itá n
g e o m e tría ,
p r o -
la
m a
6 0 8
L a s
v e n ie n te
ta m b ié n
m a te m á tic a
y
s u s c e p tib le v a c ió n q u e
la
el
lo s
c u a le s
c ió n
d e
re s p e c to , d e
m e d id a s a b io
la
n o
el
c o m p le jid a d
tra rs e
d e
e n
d e
la s
la
m a te m á tic a .
L a
fís ic a ,
d e
la s
d a d a .
L a
re d u c id a
c o n
ta l
d e s c u b ie rto
im a g in a c ió n titu ir
a
la
la
d e
n e c e s a ria
a
p ro b le m a c o m o
la
la
L a
a
la
s o lu c ió n
el
m o d o
f ó r m u la a n á lis is
d e d e
re la c ió n
la
g e o m e tría
es
u n a
m e d io
es
s in o
p ro b le m a
d e
la
s in o
la
la
e n
a
u n
la
p o r
d e
N o
re v is te
d e
c o m o
c a u sa
d e
fís ic a ,
la
tie n e
fu e rz a p a r a
g ra d o
m á s
e x p e rie n c ia
d e
le
la
c o in
e s p a c io , Y a
p a ra
la
s u b s
d e
re la
el
p a s o
m e tá fo ra
in ic ia l,
c e le s te .
A
e s te
a b a n d o n a ,
su s
p ro p ia s
L o
q u e el
d e l
a p o rta ,
a p lic a r
te o ría
n o
fu e r
v e h íc u lo
b a s ta
y
u n a
p o s itiv a .
m is m o
e le m e n ta l
p a ra
n a d a
su
e l
s is te m a
q u e
u n a
el
re a lid a d
s in o
d e te rm in a r
el
el
c o n c e n
N e w to n ,
g ra v ita c ió n .
re s p e c to
J a
e n
m e c á n ic a
a tra c tiv a ;
la
c o n o c e d e
u n
u n a
e s ta b le c e r
e s te
n o
d e
e n c im a
q u e
a
d e p o r
e s p íritu ;
e s fu e rz o
p u e s to
a l
o p o n e r
im p e rc e p tib le .
d is ta n c ia
n o
fu n c io n a l
o fre c ía
s u g e s tió n
e u n
c u a lita tiv a s
s o lu c ió n
a l
tr a z a d o
in v is ib le
p re c i
m a te m á tic a .
c u a lid a d e s
e x p re s a b a
a c c io n e s
m a te m á tic a .
m a te m á tic o
e sas
s o e s te
re la tiv a
m a te ria
a
c ie n c ia ,
tra n s m is ió n
d e
la
la
d e
v ie n e n
in m e d ia ta ,
s o n
la s A
p e rfe c c ió n
p ru e b a
la s
d a
d e
a
re fe re n c ia
s u til”
d e l
n o
d e
a tra c c ió n
p o s ic ió n
N e w to n
q u e
e n
d a r.
s u s c ita d a s
c ie n c ia
p ro p ie d a d e s
C o n
in v e s tig a c ió n
u n a
d e
la
a
e s p e c u la
e s tá
e n to n c e s
d a d o s
p o n e
p la n te a
a q u e llo s la
d e
fa c ilid a d
fe n ó m e n o s
re te n ie n d o
d e l
L e jo s
d e
d e s ig u a ld a d
d e
d e
c o n s e r
q u e
m a te m á tic a :
g ra d o
la
in tu ic ió n
p u n to
“ m a te ria
d a d o .
e x tr a ñ o
es
n o
d e s c rip c ió n
e s tá
la
la
d e
q u e
s a b e r
d ific u lta d e s
n a tu r a le z a
a
a c c ió n
la
lo s
s e n s ib le s
c u a l
m a te m á tic a s .
d e c is iv o
z a s ,
o
a
la
s a tis fa c to ria
c re c ie n te
c o n d ic io n e s
a
la s
m á s
p ro b le m a s
a l
d e
in m e d ia ta m e n te
p rin c ip io
v e rd a d e ro e n
c o n s titu c ió n
c u a lid a d e s
u n
a p lic a c ió n
c o m p le jo s
s u p e rio r
q u e
d e L a
la
m a te m á tic a ,
c id e n c ia
c io n e s
p o r
d e l
c o n c re ta
d e c ir
le y
u n a
m a te m á tic o .
c ie n c ia
e c u a c io n e s
re s p o n d e
fu e ra
la
p o d ría m o s
la
u n a
e s p o n tá n e o
s u b o rd in a d a
in s tr u m e n to
á t i c a
e n tre
lo s
m á s
e s tá
se r
e s tá
q u e
d e s a rro llo
la
p o d r ía
o
s o n
el
m a te m á tic a ,
e s p íritu
n a tu r a le z a
re s u lta d o s
q u e
Q u iz á s
q u e
fís ic a
s e c u la r
e x p re s a s e
p e ro
p o r
p la n te o
q u e
e n tro p ia .
el
a t e m
m a te m á tic a m e n te
e fe c tiv a s
su s
c a n z a d o
es
c o n d u c id o
m a te m á tic a ;
s ió n
h a
la
m
c o n c ib e
g e o m é tric a
tie m p o
la
f i lo s o f í a
S e
a n á lis is
d e
h a b r ía
lu c io n e s
la
a l d e
c a so
o b s e rv a c ió n
la
a s o c ia c ió n
tra d u c c ió n
f ó r m u la
e n
u n a
d e
m e c a n is m o ?
in d ife re n te
u n a
c o m o
d e
e l
d e
e ta p a s
c a rá c te r
E l q u e
c o n o c im ie n to ;
e x te n s ió n
d e
la
m is m a
e x p e rie n c ia . E n q u e
el
1 8 3 0 , q u e tu v o
le
e s te
C a u c h y h a n
la
o rd e n
s ig u ie n te ,
id e a s ,
p u b lic ó
v a lid o
a u d a c ia
d e
e v o c a d o
d e
a
la
lo s v e z ,
b a s a r
c a si
n o
h a y
re c ie n te m e n te tr a b a jo s ta n ta
su s
e je m p lo p o r
s o b re
g lo ría
y
la s
s o rp re n d e n te
“ E n tr e
v a ria b le s
ta n to s
in v e s tig a c io n e s
m á s
B o re i:
s o b re
in s u lto s . el
s ig n o
1 8 2 0
y
im a g in a ría s P u e s to y / - l
q u e se
h a
L a
e s c rito q u e
d e
s u s
C a u c h y :
in te g ra le s
v e n c io n e s lo c u ra s s o n
e ra n
e ra n
lo s
q u e
s o n
lo s
la s
d o s
la
p u e d e
p e n s a m ie n to
s u s tra e r
1 8 1 9
p in ta n d o
e n
m is m a
la
v o c a r a
e l
é p o c a
e la b o ra n d o
la
re p e tic ió n
3 6 2 .
—
o rg a n iz a rs e
b a jo
s o b re
la
d e
n a tu r a le z a
esa
tid o , e l
m o d o d e
la
d e
la
d e
h a c e r
d o m in io y ,
e n
d e
v e r
c o m o
d e l
la
q u é
u n id a d lo s
q u e
e sa
d e
d e
c ie n c ia s
re a lid a d
p ro c e d im ie n to s
í 11)
L e
T e m
p s ,
n o
u n a
v e z
fís ic a s
tie n e
h a
p r io r i,
p r o
y a
a
d o m in io el
c o m o
a n te q u e
7 de setiembre de 1909.
la
fo rm a s
m á s
to d o
u tiliz a .
c ó
c ie n c ia re a lid a d
d e
o c a
c o n s titu ir E n
a f irm a r
d e c ir
Q u e
el
e fe c to , y a
m á s p r io r i
A s im is m o , c o n
c e rte z a
fis ic o q u ím ic o ; la
el
o rd e n ,
p o d e ro s o
d e
e n
ta n
es
e fe c tiv a m e n te
fu n c io n e s .
d o m in io
P o r
e s p e c i
te n id o
p e rm ite
d e
s e n
s e ría
to d a s
fis ic o q u ím ic o .
el
d e
d u d a
q u e
m e d io
c ie n p a re c e
la
q u e
d e
v e r
la s n o
d e
h e m o s
d e re c h o
s u
in s is tid o .
y
d e
rie s g o
S in
d iv e rs a s
q u iz á s el
tie n e d e tie n e
el
in v e r s ió n
s o b re p a s a n
se
e x p e rim e n ta le s
a l
a p o y a r
h a c e r
p o r
P e ro
e s p a c ia l
c o n s is te
e n
c o n trib u ir
a lte rn a tiv a m e n te
v id a .
a l
se
a n o
C a u c h y
q u e ,
d e b ía
m o n is ta .
re la c io n e s
se
y
e s p íritu ,
e sa
a
e s fu e rz o
N o
lim ita d a
p ro p ie d a d , la
el
d e
u n o
G é ric a u lt
c o rre r
ta n to
d o g m a te s is
c o m p re n d e r
o rd e n a c ió n
h u m a n o . se rá
la
lo s
h a b itu a d o
m a te m á tic a d e l
e n
m a te m á tic a s
re d
la
p e lig ro
o p o n e rle d e
p a ra
v a s ta
g ra d o la s
la s
re p re s e n ta
g e n io
c o n
m a te m á tic a y
D e
d e
m is m a
a q u í
M e d u s a ,
s in
o rie n ta c ió n ,
u n
c a lo r;
¿ P u e d e
to c a n
in fe rio re s ,
in tu ic io n is ta
e s p e c ie la
re a lid a d
u n a
e fic a c ia
h a b la n d o
la
c a n tid a d ,
m a te m á tic a
s ó lid o q u e
la
la
b ie n
u n a
a b s tra c ta , y
p a r tic u la r ,
u n iv e rs o la
la
e n
m á s
c o m o
d e fin id o
p u e d e ,
e s tu d io s
c o n o c im ie n to
filo s o fía
c ie n c ia s
c a n tid a d
d e
la
u n id o ,
h a b e r
e n to n c e s
a l
o c a s io n a d o
h is to ria ,
h ilo s ,
la
h a n
a b s tra c ta
s in
s o b re e l
c a tá s tro fe s .
m a te m á tic a .
a ú n
v e ría m o s
la s
ta n
la
y
ra d ic a l
c u a l
m a te ria
s ió n
d e
la
c o n tra rio ,
fic id a d
d e
o p o s ic ió n
s o b re
s im p le ,
e n
v e rd a d
la
b ie n ,
b u rla d o s
y
h e c h o s :
d e
e s p e c u la c ió n
d e
A h o r a
e s tá
la
ta le s
lu z
se se
in
q u e
e lé c tric a s .
q u e
d e
h a c ía ; s u s
te o ría
q u e
d o s
B a ls a
s e m e ja n te s
fís ic a
lo s
e s to s
la
fin ,
s u la
C u a n d o
te le g ra fía
in flu e n c ia
c ia s
h a b e r
la
la
d e
L a
la
d a d
la
d e
p a r a
s in c ro n is m o d e
q u e q u e
c ru e lm e n te
P a re c e
h u m a n a .
s o b re
e n
o n d u la c io n e s ) .
lo
e s p ír itu s " . ta n
C a u c h y
( u
y
e le c tric id a d ,
la s
e l
n á u fra g o s
lo s
a x w e ll
d e
a c e rc a m ie n to
lo s
d e s c u b rim ie n to
c o n ju r a r
y
c iv iliz a c ió n
a l
M
d e
in te g ra le s ;
a b s u rd a s ;
la
d e s q u íte ?
el
y
a
s o b re
la
c o n c ie n c ia
C a u c h y
e n tre
d e
e n
te n e r
s in g u la re s
d e
a x w e ll
6 0 9
b io lo g ia
d e s c a rrila r
ta rd e
H e r tz
h e rm o s o
e x tre m o s
d e b ía
h a c e r
M
la
in te g ra le s
m á s
d e d e
y
e ra n
tra s m is ió n
tr a b a jo s
m á s
n o
tr a b a jo s
s e rv id o
d e
in tr o d u c ir
d e
e so s
e x p e rie n c ia s
d e se a rse
se
c a p a c e s
h a n
id e n tid a d
“ q u e
s in g u la re s
b o b e ría s
ju s ta m e n te
f ís ic a
la
d e te rm in a c ió n la
v id a ,
c o n -
d e s
6 1 0
L a s
s id e ra d a p o r
e n
eso s
su
y
lo
d e
d a to
n o s
h a
d e
m e d ía n te
p a r a
e x p lic a r
p u e d e
s e r
m é to d o
u n a
in tu ic ió n ?
d e
la
d e
sí
to d o
m is m o e n
su
b u s c a n
U n a
se
lim ita
e n
se r
. e s té rile s .
v ía :
h a
y
re a c c io n e s
d e l
q u e
p e rp e tu o
d e
y o .
la
y
d e
A h o r a
q u e
el
q u e
c ió n L a
la
D e d e
p r o f u n d a , o p o s ic ió n
la
p lic a r
e s ta
lo s
lo s
N o s
se
n o s
la
q u e
m á s
se
c o n te n ta re m o s
u n a
se
h a n c o n
a m a rg o
h a n
h a el
d e
s o b re
u n
y
se
u n a
d e
la
c ita r
u n a
to d o ,
p á g in a
p o r
a c c io n e s o rg á n ic a s
s o lid a rid a d
c o m o
a u n
h a s ta
el
c a p a z
d e
im a g in a c ió n
la
a l
m a te m á tic a ,
v a s ta
c o rrie n te
e s p a c ia le s
d e
d o n d e
fís ic a s .
s e g u ra m e n te a
m á s
s u
y
c o n s id e ra p o d r ía
h u m a n a .
o rie n ta c ió n
c o m o
u n
h e c h o
h is tó ric a m e n te d e
in e x a c ta
c u rio s a
la
d e
q u é-
d e la
d o n d e
a fe c ta d a
p o r
a m
in s p ir a
in te lig e n c ia
in e x a c ta
s u p e rio rid a d
d e
filo s ó
in m a n e n te
c o n fo rm e la
id e a
id e a
d e
p e rd e r
c o n s e c u e n c ia s
u n a
la
a
b io lo g ía
filó s o fo
c o m o
h e c h o
d e la
y
e s c la re c e rs e
h a c e rlo
y
q u e
p rin c ip io
ín tim a
u n a
b a se
p e ro
d e
el
p u e d e
y
a is lá n
e n c a m in a d o
re la c io n e s
u n id a d
ta l,
v ita lis m o ,
e n te n d id o
a n te
la s
e l
ju e g o
re c u rs o s
u n a
ilu s ió n ;
c o m o
a p o rte
a d q u ie re
p e n s a m ie n to
m u n d o
d e
p ro v e n ir el
fu n c io n e s
la
d e l
h e c h o
q u e
la s
a s tro n ó m ic a s
la
d e
se
es,
in tu ic ió n
c ie n tífic a m e n te
u n id a d
lo s
la
in d iv id u o
d e s tin a d o
c a rte s ia n a ,
re c o rd a n d o
m a te m á tic o s
s e n tim ie n to
le y e s
el
to d o
b io lo g ía
p o d r á
u n iv e rs o
u n iv e rs o
o rie n ta c ió n
p a re c e
d e l
s in o
d e l
re d
d a rs e
a n im is m o ,
y
el
tra v é s
m a n e ra ,
q u e
q u e
la
p s ic o lo g ía ;
re la c ió n
p e n s a m ie n to ,
la s
la
p e n s a m ie n to
m is m o
la
d e
n a tu ra le s ;
e x is te n c ia ,
a
d e
d e s a rro llo
E s ta
s o
c o n d ic ió n
fis ic o q u ím ic a
q u e
c a ra c te riz a
s u
a
p u e s to
d ó n d e
b io lo g ía e n
d e l
re s ta b le c e
ilu s ió n
b ió lo g o s
el
sí
d o c trin a
e n tre
m a te m á tic a ,
e s ta b le c id o ,
c ia s
e s ta
la
la
fu e rz a s
p re p a ra d e
tra te ¿ d e
E l
d e s p le g a n d o
la n z a
q u e
lo
in
n in g u n a
e x p lic a c ió n
m o s tra d o
a s im ila rs e
ta l
s is te m a
3 6 3 . — p lía
u n
e lla
in te le c tu a lid a d , e n c a ja rá
p a ra
b ie n ,
h a n
n o
p r o p ia fu e ra ,
y
la
in m e d ia ta ,
s in o
m a te ria ,
se rá
q u e
u n iv e rs o .
s o b re
su
h a c ia
lo
c o n c e b ir
la s
d e l
re fle x ió n
ta n to
d e
re p lie g u e
n o
q u e
es
c o n c ie n c ia
e fe c to ,
d e
p e n s a m ie n to ,
s e n tim ie n to e x p a n s ió n
la
re la c io n a
in m e n s o
d e l
a
se
E n
tr a ta d o
in d iv id u o lu z
m á s ,
es
n e c e s a rio ,
b ie n ,
d e
a p a rie n c ia
es
s e p a ra d a m e n te
o rg á n ic a s ,
o tr a
a n á lis is ,
ín te g ra m e n te
p a p e l
fis ic o q u ím ic o s .
la
fu e ra
o rig in a lid a d .
to m a d o
fic a m e n te
c a m p o
el
p r o f u n d iz a n d o
el
q u e
e n to n c e s d e
la
el
d e fin itiv a
m é to d o s
A h o r a
v e z
irre d u c tib le
fu n c io n e s
d e
q u e
o rg á n ic o .
p s ic o lo g ía
d o s e
la s
o tr o
v id a ,
a lc a n z a d o
d e l
ta l
la
c a p ta r
p e ro
b io lo g ía ,
c o m o
s u p o n e m o s
si
á t i c a
d e ja rs e
s o b re
la
c o n s id e ra d a
p a rte ,
a
e n
p o r
o b te n id a
re c u rra
o
p a s a r
p a s a d o
a t e m
d is c u te ;
o tr a
in te r n a
d e
e l
s id o
d e
lo
s id o
q u e
e n
el
m
re p u g n a
n a d ie
P o r
lo
y
f i l o s o f í a
h a b e r
b a s ta
la
es
e n s e ñ a
ja m á s
la
in m e d ia to ,
c ie n tífic a
q u e
n o
a l
d e
p ro c e d im ie n to s ,
v e s tig a c ió n
lu c ió n
e ta p a s
la
e x
c irc u n s b io lo g ía ,
m a te m á tic a . se
tra d u c e
lo s
g e ó m e
L a
tr a s
d e
d e l
la
A c a d e m ia
c o m ie n z o
b e ra n a s
e n
b a jo s
d e
lo s
b e rt,
d e
u n a
ta l
a ú n
esa
y
la
c o n
fís ic a ;
la
d e
a p lic a c ió n
d e
la s
y ,
p o r
y
a ú n
a
la
u n iv e rs a l, tr a r
e n
m á s
la
d e
la
s id o
se
m e n te
c o n tr a
c o n tr a
la
s in o e n
la
e n
A h o r a
c o n c e p to ,
d e l
to d o
m a n e ra
es
n o ta b le
y
lo
d e l
to d o
el
m o v im ie n to
la
p rim e ra
la
(12) le u r s
p ro g rè s
d e
lib e ra d a ,
lib e ra c ió n
d e
la
la s
la
Revault d’Allonnes, en
b a se
d e
la
L a m a r c k ,
la
d e
la
q u e
a
q u e
es
e
m o
lo s
d e
ese
p a f o r
g ra c ia s
e l
m e d io p e n e p a re c e
a l
g ra d o
m a te m á tic a ,
q u e
e lla
m is m a
c u a d ro s
q u e
d e
la
a lte r n a tiv a
m a te m á tic o n o
u n a
y s o n
y
o tr a
c o n c e p to
a ris
la
d e l
y u g o
c o n s id e ra c ió n
h a
s u b s titu id o
ín tim a s ,
p la tó n ic a . ta rd e
la
Q u i
s u p o n ie n d o
d e l
c la s e s , re a le s
e n
p a re c ía
b io ló g ic o ,
a
lo s u n a
c u y o s
p e n s a m ie n to
la s
m á s
la
la
c o n s is ta n
d ia lé c tic a
d e b e
a
g a n a s a
v is ta
s ilo g ís tic a ; d e
n a d a
h e c h o
d irig id a s
c ie n tífic a el
e n
b io lo g ía
lo s
v is ta
c o n e x io n e s
c o n
E s
q u e la
y a
m a te
L a m a rc k
s e r
b io lo g ía .
p e Blainville y Maupied, c o m m e
d e
d e
d e
lib e ra d o
e x te rio r
h a b ía
p a ra
h a
u tiliz a b a
e s tu d io
v ir
p u n to
in s u fic ie n c ia
el
m á tic a ,
el
a p a rie n c ia ;
D e s c a rte s
L a
L a s
c o m o
y
a a s
q u ím ic a
p o s itiv a ,
h a b ía
v íc tim a ,
c rític a s
p u n to
d e fin itiv a m e n te in s p ira d o
la s
la
( 12) .
in d iv id u o
b u e n a s
n u e v a m e n te
e l
c o m o
v e rb a l
su
la
A c tu a lm e n te
N e w to n
d e
a
b io lo g ía
c ie n c ia el
a n tic ie n tífic a
d e sd e
la
a trib u y é n d o le
d e sd e
b ie n ,
ta l
u n a
d ’A l e m
a p re c ia d a s
e s tá tic a s
in o rg á n ic a .
tie m p o
o
e m a n c ip a d o
e n tre d e
es
c o n d u c ir
la
h a
re le g a ría
p e ro
o tr o
b io lo g ía
e v id e n c ia
d e l
q u e
e s ta
m a te m á tic a
p o n e r
to té lic o .
e n
D e
e n
n a tu r a le z a
d e ja
e s c o lá s tic a .
se
re la c ió n
p o c o
C u v ie r
a ris to té lic a .
b io lo g ía
seres
m a l
ló g ic a
in te rp re ta c ió n
h a b e r
d e
c o n
d e s c u id a d a s ”
c la s ific a c io n e s
t r a
c ris ta lo g ra fía .
lo s
p u e s
e ra n
lo s
s o
lo s
d o m in io ,
la
e n
p o r
d e
ta n to
d e
ta n to
y
n a tu r a lis ta s re in a b a n
p re p o n d e ra n c ia ,
s u
la s
la
r e a lid a d ;
d e
o tr o
se r
e lla s
m a te m á tic o
la
ta l
p re s tá n d o s e
c o n v e rtid o d e
m a te m á tic a , la
h a c e r
d e b ía n
lo s
C la ir a u lt,
u n a
c o m o
d ic h a s ,
a
L a
h a
d e
e s ta
p o r
in v e rs a s
se
a
L in n e o
la
a n á lis is
d e
m a te m á tic a
ló g ic a
e n
el
m u n d o
in f e rio r
q u e ja
d e
lo s a
in te rm e d io
o c u p a n ,
a te n id a
o fre c id o
q u e
p o r
se
c a m b ia d o s .
p re c is a m e n te se
te n d ía n
s o b re
m a te m á tic a s
p e rfe c c io n a d a s
d e
a b a rc a b a n ,
q u e
f u n d a m e n ta l
el
a le ja rs e
q u e
é p o c a
a b s tra c to ;
n o c ió n
d e ja d o
c ie n c ia s
lle g a d o
c o n s e c u e n c ia ,
la
e s ta ría n
h a b ía
B e rn o u illí,
h a b ía n
m a te m á tic a s ,
h a b ía
m a lis m o
lo s
6 1 1
b io lo g ía
e v id e n te m e n te
e lla s
d e m a s ia d o
le s
p e le s
e n
la
" L a s
:
p r o p ia m e n te
q u e
A c a d e m ia
to d a v ía
I X
m in e r a lo g ía ,
n a tu ra le s ,
fe n ó m e n o s
d e lo s
d e
L a p la c e ,
y
C ie n c ia s X
s o c ie d a d ;
im p o rta n c ia ,
c ie n c ia s
z á s ,
d e
s ig lo
E u le r,
lo s
tr o n o m ía y
d e l
f ís ic a
H is to ir e
d e s
s c ie n c e s
d e
V o r g a n is a tio n
e t
t. III, 1845, pág. 369, citadas, por Introduction, pág. 55. p h ilo s o p h ie ,
d e
6 1 2
L a s
e ta p a s
L A
3 6 4 . — c o lo g ía e l
le y
a g ita
lo g a rítm ic a
m ite
a
la
h e c h o u n
se
lo s
g a c ió n
n o
tr a ta
la s
a l
el
s ie n d o
g re s o s
d e
id e a
c o n c e p to
u n a
c o n
la
c a p ta
d e
u n a
y a
la
rie n c ia ta rs e p o r
lo
la s
la
u n a
h e m o s
s u
es
su
c ie rta
la
d e
la
c o m p le jid a d
s e ñ a la d o
p a ra
el
s u
y
m is m a
n ú m e ro
y
a
lo s
é s ta s u
c ree
la
s id o
m a n e ra y
n o
e s p a c io ,
s u
e n
q u e
es
p a re c e n e n
c o n e lla q u e
h a
d a to s c a b e
e s tá n
el
a s p e c to
d e fin id a s
fe c u n d id a d ;
es
q u e
lo s
c o n s tru id a s
e lla s
lo
lo
K a n t
lo s
p r o
q u e
e s ta r
h is to ria ,
in n a ta s
n a c i
s o b re p a s a r
e s e n c ia ;
c o m o
n o c ió n e l
te n ta tiv a s
n o s
e l
a
p a ra
in c e s a n te s
d e te rm in a r
ig u a l
el
la
s e m e ja n te s
o
A s í
s i
d e
re s is te n c ia
c o n d ic io n a
h a n
e x p e rie n c ia , p o r
g é n e s is
d ific u lta d e s
d e
s e c u la r.
n o
m is m a in v e s ti
c o m p re n d e r
p e r m itir ía
e n
é p o c a
p re te n d id a m e n te
u n iv e rs a lid a d ,
c o n
d e s p le g a d o
s im p le m e n te
d e
sí la
n o
E s ta s
e x p e rie n c ia ,
e n
h a c e r
q u e
P o r
in tro s p e c c ió n ,
o rd in a l,
q u e
e x te rio r
re s p e c to
si
la
e s tá
a firm a tiv a m e n te
d e
q u e
la
q u iz á s
in c o n s c ie n te
d e
la
re la c ió n a
to m a d a
tra d ic ió n
s u g e s tió n
p r o b a r
e fe c tiv a
m u n d o e s te
h a y a
in tro s p e c c ió n ;
h u m a n a ,
p o r
c a te g o ría s e n
la
se
s e n s a c ió n
e s p a c ia l.
d e
q u e
e n
re p e r
id e a lis m o ,
re a lid a d ,
re s p o n d e r
e v id e n te
n ú m e ro
el
es la
m a te m á tic a .
p s ic o lo g ía ,
e n
in m e d ia to s
sí
la
m is m o s ,
e la b o ra c ió n
to d a s
b a jo a
sí
es
e l
e n c u e n tra
in te r io r
la
p u e d e
m a te m á tic o
a
p a r a
d e
o p e ra to rio
p s ic o ló g ic a .
esa
b a s ta
lla m a d o
d e
m is m o
m a n e ra
p re fo rm a d o s
c ia d o
e l
d e l
n a tu r a le z a
p o r
r itm o
s o b re
d im e n s ió n
c a rá c te r
ta c to
d e
c ie n c ia
in a d e c u a d a s
e s p e c ífic o
a b s tra c to
e x a c ta m e n te
re v is te n
e
p u ra m e n te
d ifíc il
e x te n s ió n ,
e n
p s i
m a te m á tic a ,
p s ic o lo g ía
d e c ir
la
C u a n d o
p r o p ó s ito
S e g ú n
s o p o rte
p u e d e
in g e n io s id a d d e l
la
p s ic o lo g ía
la
m u y
m a te m á tic a ;
p ro c e d im ie n to
d e
la a
c o n o c im ie n to
a d u e ñ a rs e
a p o y a r
frá g ile s ,
la
se
d e
a rtific io
c a n tid a d . E l
c o m o
la
d e u n
c o n
d is tin to s .
e je m p lo
si
in d iv id u a le s
m u c h a
d e
u n a
sí
p a r a
s e n tim ie n to
la
a l
s a b e r
p a re c e
p a ra
p o r
m a te ria
re a lid a d
d e s a rro llo
P o r
o
s ig u e n
lig a d a s
d e
b ie n ,
n ú m e ro , d e
u n a
m u y
“ p rim a c ía ”
d ife re n te .
d ic h o ;
á t i c a
m a te m á tic a
á n g u lo s
la
la
c o m o
a t e m
S O C IO L O G IA
m a te m á tic a ,
c o n c ie n c ia s y
p r e g u n ta .
re la c io n a r
c o m o
si
m
filo s o fía
h e c h o
tie n e n
n e c e s a rio s
A h o r a
e l
la
q u e
d e
m ie n to
d e
p ro p ia m e n te
se
h a
F e c h n e r,
s e n s a c ió n
n a tu r a le z a
d e
se
id e a s
re c u rs o s
e s ta
d e
p re s e n ta
la
d e
p ro b le m a
c ó m o
m u y
d e
d e
L A
el
es
s ig u ie n te ,
la
la
Y
d e sd e
e s e n c ia l
o b je to
e lla
P S IC O L O G IA
m a te ria
tr a ta r
c u e s tió n
f i lo s o f í a
c o n s id e ra d a s
p re g u n ta rs e ,
d u c irs e
la
re la c io n e s
s id o
re a lis m o
p a ra
L a s
h a n
d e
e s p íritu s d e n u n e n
a p a
p r e g u n u n a
v e z
le n ta m e n te d e s tin a d a s
e fe c to ,
c o m o
d is o c ia c ió n
e n
L a
e le m e n to s p lin a s
la
D e el
d e
te m á tic a
lo s
in te r n a
y
h a c e
m a n e ra
in s tr u y e
n o
la
a
re a lid a d
se
la s
e n
h o m b re
lo s
u n iv e rs a le s .
ra c ió n
d e l
h a c ía
d e
e l
d e l
S í
y
q u e
se
c u e s tió n to d o
e l
c a d a
d e fin e n
in te r io r e n tre m e ro s
u n a
la s
d e
d e
la s
u n a
d iv is ió n
p a r te
m is m a
o p e ra c io n e s
( 1S) , d e
( 13) gina 236. ( 14) c o n tr ib u tio n
e n tre lo s
la
e n
q u e la
p a r a
y
s o c ia le s
L e s
la s d e
( 14) . Y
jo n c tio n s
D e
(1901-1902), 1903, pág. 55.
m e n ta le s
q u e lq u e s
r e p r e s e n ta tio n s
d e
E s ta s
se
s e ría
la
e sfe ra
se
p u e d e m e n o s d e
q u e
u n a
¿el
e s tu d io c o m o q u e
la
n a c e
p la n te a r á
e l
P o r
u n a
d e
m é
d e
la
te a tro e n c u e n s o b re
m ís tic a s
le
la
d e l
d e
m a n e ra
p r im itiv e s
e n
d e
el
e s p o n tá n e a lo s
e s p a c io
s o c ié té s
c o
c iv ili
e je m p lo ,
u n id a d
m is m a
d a n s
q u e
d a d o
re g io n e s
fo r m e s
e n
re p re s e n ta c io n e s
s o c ia l.
c o lle c tiv e s ,
el
c a p a z
o p e ra r
n o
tie n e n
e s ta d o
la
c ó m o
c o n s ig u ie n te ,
v irtu d e s
la s
n o
e n
c o m o
h a c e
a q u e lla s
p o r
e s ta b le c e
se
p s ic o lo g ía :
q u e
e x tra e
m a te ria
re p a rtic ió n
e n
a g o ta r
u n
c o la b o
a s í
c o le c tiv a
e n to n c e s
q u e ,
p a r tic u la r .
a ritm é tic a s
Durkheim y Mauss, d e s
d e
y
e s ta
p a re c e q u e
o b ra
d e
s o c ió lo g o
se
g ru p o s
l ’é tu d e
c a p a z
s o c ie d a d ,
Cfr. Lévy-Bruhl,
à
e l
s is te m a s
u n a
es
p e r f e n ó
n e c e s a rio ,
d e
s o b re p a s a
u n a
e n c o n tra d o
c o n c ie n c ia s ,
e lla s
s o c io ló g ic o
P e ro
d e
m is m a s .
c o n trib u c ió n
s o c ia l.
h a n lo s
s e ñ a la
y
n o s y
re la c io n e s
r e p r e s e n ta d o ,
in tu ic ió n ,
re p re s e n ta c io n e s
in d iv id u a le s ,
c o n s titu y e n
z a c ió n
la s
e s ta b le c e r
im á g e n e s
es
v e rd a d e
d e
p a ra le lis m o
m a te m á tic o
h e m o s
y
a
h e
e s p a c io ;
q u e
la
lo
in te le c tu a l
R e n o u v íe r;
la s
e lla
d e l
m a rc h a
a
m
q u e
e x p e rie n c ia
te o ría s
y
c ie n c ia
d e l
p o r
u n a
v id a
D e
y
d e
la s
la
la
u n
re g la r la
p a rte ,
d e
la s
la
y
d e
d e s p re n d id o
n ie g a
e n
te rre n o
s o c io lo g ía
to d a s
d e
p re v e r
u n a
a c tiv id a d
o p e ra c io n e s
p o rq u e
la
e n
la
s o b re
se
d e
la s
es
q u e
ig u a le s
le c tiv a s
d is c i
in te lig e n c ia ,
P o r
tie m p o
h a n
d u d a
e l
e n
c o n c ie n c ia s
a
s o b re
S o b re
la
se
la
in s p ira d o d e l
d e
c o sa s
s in
la
la s
p a s a n
n u e v a s
d e s a rro llo
s e p a ra c ió n
h a
p a rte ,
c o n o c im ie n to
d e
la
p s ic o ló g ic o
d e s a rro lla
tr a
q u e
m a te m á tic a
s o c io ló g ic a ?
fa c u lta d e s . a
q u e
d ire c to
q u e
a
d e
r e p r e s e n ta n te
a n á lo g a
p r o p io
re a lid a d
d e
p s ic o lo g ía
fu n c io n e s
m u tu a s
la s
la
el
g é n e s is
o tr a
d e l
in d iv id u a l,
a
c o n tr a r io
e fic a z m e n te
d e
a p o y o
m á s
—
c o n c ie n c ia
6 1 3
a d v e n im ie n to
fu n d a m e n ta le s
y
filo s o fía
p re c io s a .
la
la s
P o r
p r io r i
3 6 5 . la
d e
p ro v o c a d o
m o d o
d e
e x te rn a
s o b re
re la tiv is m o
lib e ra rs e
r a r
la s
o b r a r
e s p íritu
p e n s a m ie n to ,
c ie rto
d e
p a s o s
m e n o s
e l
a c o m o d a r
re a c c io n e s
in s c rip ta s
a
p o r
fic tic io s
c o n c re ta ,
s ín te s is
y
la s
d e ja
m itid o
lo
s o c io lo g ìa
c o rre s p o n d e
d e
e x p e rie n c ia
a s is tir
u n a
la
a l
a c e rc a
p s ic o ló g ic a s
a l
y
c o rre s p o n d e
m a te m á tic a ,
c u a d ro s
v is to ,
ra m e n te
la
la
n o s
b r a n d o
s ic o lo g ía
c ie n c ia .
n in g u n a
c u rs o
m o s
m ú ltip le s
e n
f
n ú y
m á s
in fé r ie u r e s ,
la a llá
pá
c la s s ific a tio n ,
Année sociologique, t.
V I,
e sp e
6 1 4
L a s
d e
la s
d o c trin a s
ta rd e — la
la
te riz a
u n a
C o u r n o t d e l
la
q u e
te s is
la
lo s
s u b je tiv a
p ír itu
p o r se
s e ría n
“ L a
p o r
o tr a
p a rte
rio
d e c ir
q u e
c ie n tífic a
c o n
A h o r a m e n ta l,
m á s
el
b ie n ,
v is to
lig a d a s
a p o y o
e n
c o n s ta n te
lo s
d ie n te
d e a
e n
u n ta l
la d e
d e
o
la s
re fle x ió n , N a d a
d e
a
p a re c e
o p e ra c io n e s ,
y
c o n s id e ra r
p r o p ie d a d p o n e d e a
e n
n o
la
n in g u n a
d e
m a n e ra
o
te o ló g ic o
q u e
d e l
la s
la s
h o m o g é n e o s el m is m o
( 16) , lo s
s in o
e n tre
p la n o .
sí
L a s
a c o m p a ñ a d o
lo s
su
v a lo r
n o
y
d e
d ire c ta
p u n to
d e
d e u n a
y u x
d e
q u e
ta n to
c o m o d e
n o
q u e
s o c ia l,
re a lid a d e s tá n d e
n o
la s c o n se s o n
d e s tin a d o s
o rd e n
im p u ls o s
el
c ie rta s
h a b la n d o
re a lid a d
c o n c e p c io n e s g ra n d e s
a v a n z a d a s o b re v iv e .
c o le c tiv a s
esa
n u
in d e p e n
la s
in trín s e c a
s ie n d o , u n a
es
m á s y
filó s o fo
e le m e n to s
p rá c
m e d ia n te
a p o r ta n d o
e ta p a
v e rd a d
c o m o
e le u n a
re p re s e n ta c io n e s
re p re s e n ta c io n e s
m a te m á tic a
L a s
e s ta ría n
p re e x is te
a l
m o ra l.
o p o n e
h u m a n o ,
tie n e n
E s te
u n a
e lla
la
v e rd a d
c o rre s p o n d e n c ia ,
e n
(q u e
n e c e sa
la
d u d a
q u e ,
p rim e ra s
ilu s tr a r
e n tre
q u e
d e
S i
r e g la
c ie n c ia
q u e
y
y ,
a ritm é tic a
s in
E lla s
p o s itiv o . q u e ,
la
e s p íritu
m a n e ja ,
la
d e
( 15) .
s e ría
s u b je tiv a .
e x p lic a n
s o c ia l.
a
d e
s o c ia l
la
s ín te s is
se
a s o c ia d a s ;
d e
d e
d e
p re s c rip c io n e s
d a n
c a p a z
e fe c to
h a n
u n a n o
d e
m ís tic a s
o rig e n e n
p e rm a n e c e r s o b re
fic o
d e
v a lo r
d iv e rs id a d
e v id e n c ia
c o n s titu tiv o s
o
es
s o c ia l
e x tre m a s
e x p lic a n
e s té tic o
s ín
d e l
p ro v e n d ría
re c h a z a ría )
s o c ia l
c a n o n
o p e ra c io n e s
s e rle
la
v id a
h o m b re
u n
v a lo r
c o n s e c u e n c ia s
G o b lo t
el
si
d is o c ia c ió n
ro d e a n .
A l
s o c io lo g ía ”
fo rm a
el
la s
d e
p u e d e n
esa
la
n a tu r a le z a
c u a l q u e
c re e n c ia s
n o s
e s p e c tá c u lo
la
d u p lic a c ió n ,
g a r a n tía
d e
la
la
m a n ife s ta c io n e s
fe n ó m e n o
o b je tiv id a d
id e a
s is te m a
o b je to s
y
la
a
u n
su s
n a tu r a l
c o m p a ra b le
es
a
d e
d e s e m p e ñ a d o
s a lid o
G o b lo t, ra m a
y
im p o rta n c ia
s u
q u e
c á lc u lo ,
v e rific a c ió n
ta p o s ic ió n m é ric a s
a
d e l
h a
e n
c a ra c
C o m te
la
y
q u e
la
la s
d e
e ta p a
q u e
c o le c tiv o
p a s o s
c ó m o
re g is tra d a s
ta m p o c o
lo s
s o c ia l
h a n
a q u í
d e m a s ia d o
c a d a
s o b re
p o s itiv a D e
to d a s
d e
títu lo
d e sd e
in v e n c ib le
m e n te
la
m is m o
e n
d e s p u é s
s u b je tiv a ” ,
c o n c e p c ió n in d u d a b le
m e n u d o
in s is tir
c ie n c ia
u n a
c o n d ic io n e s
s im p le s
te n d e n c ia s riv a n
e s ta
es
a
c o n s e n s u s
s o c ia l.
e s c rib e
ló g ic a
p a re c e
h e m o s
re s is te n c ia tic a s
la
la s
la
o rig e n
c ie n c ia ,
lle v a r
d e
á t i c a
e n c o n tra r
c iv iliz a c ió n ;
“ s ín te s is
d e
a t e m
— - y
a
s u p e rflu o
c o n s e n s u s
u n a
m
c ie rto
p s ic o lo g is m o ;
c o n s e c u e n c ia ,
q u is ie s e
d e
d e
d e l
h u m a n o
s o c ie d a d :
ese
u n
d e
p a rte
p ro g re s o s d e
n o c ió n
v u e lv e
h u m a n id a d
o tr a
f i lo s o f í a
re d a c ta n
se
p a rtic u la r
p o r
fo rm a c ió n
m e n te
la
la
la
q u e
a b s tra c ta ,
fo r m a
p a p e l
e n
d e
es
d e
filo s ó fic a s
te o ría
e v o lu c ió n
e ta p a s
d e l
filo s ó p e n s a
E s s a i s u r la c la s s ific a tio n d e s s c ie n c e s , 1898, pág. 229( 16) Cfr. Durkheim, S o c i o l o g i e r e l i g i e u s e e t t h é o r i e d e l a c o n n a i s s a n c e , Re vue de métaphysique, 1909, pág. 741: “Realmente, si por origen se entiende un primer comienzo absoluto, la cuestión no tiene nada de científica y debe ser resueltamente descartada.”
i t )
L a
m ie n to
m a te m á tic o ,
m a c ió n , titu ir á
f o r m a n
u n
c ia l” ; y s iv a s
la
c o m o
la
h a y a
lo g ra d o n o
re a lid a d se
es
E n
c u m p le n p o c o ,
la
u n
n a tu ra le z a .
M
e n
c ie rto
m o d o
d e
re fe rir
la s
o s tr a n d o p o r
c o sa s
la
a
la
el
e n tr a r
s im p lic id a d
e n
la
m o v im ie n to
in m e n s id a d
d e l
lu g a r
p riv ile g ia d o
te s
y
s o c ie d a d e s
s u s
la s
s e m e ja n te s ,
66.
3
—
S i la
e n
m e te r
h e c h o s
e n
lo s
la
f ó rm u la s
d a d
le
E s la r rece
e n
c a d a
c io s
y
u n o
d e
d e
d e el
lo s
la
c o sa u n o
d e l
q u e re c ib e
r a z o n a m ie n to s lo s
ú n ic a la
el
p ro b le m a s
le y e s
lo s
p o r
lo s
lo s
ta n
e s e n c ia le s
c a p a z
su s
p r o
d e
h a c e r
d e s p lie g a
en
c o n v e n c e
e s p e c ie s
v iv ie n
c o m u n id a d
n u e s tro
c o n
o
s o c ia le s .
lo s
d e
c rite rio ,
e s p e ra n z a
te n d e n c ia
s o b re
la
a
L a
a
la
su
d e
s o
tra d u c ir filo s o fía
s u b je tiv i
c o n s titu c ió n
re p re s e n ta n te s
to d o
d e
la
d e
la
c o m o
la
p s ic o lo g ía
in te lig e n c ia
re c u rs o s
to d o s d e
a
m á s
s o c io lo g ía ,
m a n ifie s ta .
d e
o tro s ,
v a lo r
a
la
c o m ie n z o s
e s e n c ia le s
lo s
la
p a r te
c o m o
p e n e tra d a
n o s
c u a n tita tiv a s ,
d e
o tr a
fo r m a
c o n
fe n ó m e n o s
e n
d e
so b re
n a tu ra le z a .
s o c io lo g ía , d e b e n
a
se
p o c o
h a c e
se
la s e n
ú n ic a m e n te
s o b re p a s a d e
la
p e n s a
q u e ,
m e d io
q u e
e n tre
s o la m e n te
c o n
d e s a rro llo
c u y o
lo
e l
la
c a p a c e s
se
m a te m á tic a
h o m b re
e s tá
p s ic o lo g ía , e n
d á n d o le
la
d e
e s te
s o m e tie n d o
es
p ro b le m a s
c u rs o
a s tro s ,
d e
u n iv e rs o ,
m e n ta l,
c o sa s
e n
c o le c
p o s ib ilid a d e s
la s
s is te m a ,
p re s e rv a rla s
c u a l
e n
q u e
m ie n tra s
m e d id a
e s tru c tu ra
tie m p o ,
in e v ita b le
la
a c tu a lm e n te
a lg u n a
c o m o
se a
u n o
c ó m o
e ra
c o n tra
a u to riz a d o s , re a c c io n a n
q u e
p a ra
n u e s tra s
e s tá
u n
d e
d e d e l
in te le c tu a le s
c o n c ie n c ia
e s ta d ís tic a s
s e rv irá
a b s tra c ta ,
s is te m á tic a ,
la
y
o
c o n ta c to
la s C o n
in te r io r
fo rm a s
n o
n o
el
lo
y se
d e
ta re a .
la s
c o m u n id a d
p s ic o lo g ía
s e rie
p e n s a m ie n to
c o n c ie n c ia a l
fó r m u la
o c u p a
e n
d e l
te x to s
c u a n d o
la
o
d e
d e l
m a te m á tic a
la s
m a te m á tic a
q u e
e n
d e
n a c id o
n u e s tra
u n a y
la
d e
c á lc u lo
lo s
a n im a le s :
e s tá
in s p ira rs e
d e
e s p a c io
d e l
d e
c a u s a s
d e
q u e
u n id a d
c e d im ie n to s
la
c ó m o
lo s
s o
s u c e
in m e d ia ta
e lim in a ,
a c re c e n ta r
v e rd a d
c o n
c rític a ,
c ó m o ,
a
e ta p a s
se
e s ta
y
la s
la
q u e ,
c o n s
“ c e n e s te s ia
e n to n c e s
p a r te
c o n f ir
q u e
d e
d e
n a c im ie n to
u n a
h u m a n o
m o m e n to
a c c ió n ,
a ú n d e
e s fu e rz o
o p e ra c io n e s
la
s e n s a c ió n
p r im e r
a l
v is to
o
d ire c to
la
d e c is iv a
lo
d e
r e c o n s titu ir
P e ro ,
y
b a s e
c iv iliz a c ió n
e s ta d o
g ra c ia s
h e m o s
d a r
n u e s tra
y
u n a
c o n ta c to
la
s o c ia l
c o n s o lid a
p rim e ra s
d e b e n
o r d e n a r
s in o
s in o
y
e l
6 1 5
d e
e n c a d e n a m ie n to
ra c io n a l
se
u n
re v iv e .
a c c ió n e ra
e llo s
fo rm a
a rtís tic o s ,
n o
e fe c to ,
la s
p o r
lo s
u n
e n
u n a
se p o d r á n
c u m p lid o
y
q u e
se
s o c io lo g ìa
h is to ria ,
d a rs e ,
e n
in d iv id u a l
m á s
m ie n to .
a
la
s o c ia l
d e s p re n d e
e n
v is ta
q u e
h a b r á
p o r
c o n c ie n c ia tiv o ,
d e
la
b u s c a d o él
la
d e
y
m o n u m e n to s
te n e r
se
tie m p o ,
q u e
lo s
in tu ic ió n
la
d e
ese p u n to
c o n
e l
h a n c o n
h u m a n id a d ,
o rig in a le s ,
é p o c a s,
q u e
c u e rp o
s in c r o n is m o
d e sd e
d e
'p s ic o l o g ía
d e l
p u e d e
in d iv id u o
d e
s e ñ a a p a
a is la d o ,
c o m u n ic a rle s ,
re c o n o c e m o s s o c io lo g ía
e l
in d iv id u a l
e l
j u i
ig u a lm e n te . s e ñ a la r
c ó m o
E s la
6 1 6
L a s
h is to r ia
d e
c u a d ro s
s in c ró n ic o s ,
p re n d e g u n a
a lg ú n
c o sa
re a lid a d p o d r á la
la s
u n iv e rs o .
a llí L a
y
p e n s a m ie n to h o m b re
la
es
la
el
f i lo s o f í a
u n a
d e
c o sa
la s a
ta l
d e s tin o
A h o r a
e s tá n
d e l p o r
e s p íritu u n a d e
n o r m a
la
é p o c a
á t i c a
d is tin ta
c u a l
n i
la
u n o
n o
la s
c o m o
v e rd a d e ra
o
si
d a d a s
m is m a
a t e m
d e
fo rm a
e s p e c u la tiv o
b ie n ,
d e
m
re p re s e n ta c io n e s
d e fin itiv a m e n te
d o n d e
d a ta
d e
s u p e rio r
c o n s id e ra c ió n
c o n o c im ie n to n a tu ra le z a ,
c ó m o
a p o y a
re s o lv e rs e
v e rd a d
fic a c ió n .
a l
s o c ie d a d e s
o b je to
q u e
d e l
e ta p a s
se
r a z ó n :
d e
q u e la
la la
b a s e
d e
o b ra
p o r
e s tá
e n la s
lib re
m a te m á tic a
v e rd a d
e s to s
d e d e s
ir
a
d e
la
v e ri
b a s e d e
fe c u n d a
v in o
la
b u s c a r la
c ie n c ia s y
a l a
p ro b le m a s
p o s itiv a s
d e
se
h u m a n id a d
c o m ie n z a
la
s u c e s ió n
c iv iliz a c ió n ,
la
o tr o
m a te m á tic a e n
d e
d e
c o n d ic io n e s
e s tá
e n
n i
u n a
c o le c tiv a s
a
d e l la d e l
a p o r ta r
( 17) .
(17) É t i c a , Part. I, App.: "De ahí establecieron como cosa cierta que los juicios de los dioses dejan muy atrás a la capacidad humana. Esa causa hubiera podido ser la única, ciertamente, de que laverdad estuviese eternamente oculta al género humano, si las matemáticas, que no se ocupan de los fines sino sólo de las esencias y propiedades de las figuras, no hubiesen ostentado a los hombres otra norma de verdad”. Ed. Van Vloten y Land, t. I, pág. 71.
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C
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( P o r
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Abel: 370, 482, 586, 593. Adam: 134, 168. A ’H-mosè: 45-50, 118, 600. Alejandro: 81, 85-86, 91. Ampère: 368, 555. Anderson : 189. Andler : 290. Antifon: 185. Apolonio : 113, 121, 127-128. Arquimedes: 185-186, 189, 246. Arquitas: 60. Argand: 587-588. Aristóteles: 54, 65, 66-69, 80, 84, 95, 109-112, 116, 120, 138, 181, 183, 408, 426, 466, 508, 548, 597, 602. Arnauld: 120, 158.
Bacon: 135. Baire: 422-423, 568, 572. Bancroft: 38. Barrow: 202, 205, 217, 219. Bartholin: 154. Basch: 299. B ayle: 196. Bazin: 42. Beaune (Florimond de) : 146, 153. Beltrami: 351. Bergmann: 423. Bergson: 470, 471-473, 503. Berkeley: 222-224, 275. Bernoulii (D aniel): 356. Bernoulli (Jean) : 221, 346. Berthelot (Bené) : 559. Berthet: 135.
O
M
B
R
E
S
A b e c e d a r io )
A
B
N
Bertrand (de Ginebra) : 500. Bertrand (Joseph) : 368, 524. B lainville (de): 611. Bloch: 220, 448-449. Boas: 514. Bobynin: 47. Bois: 385. Boltzmann: 339. B olyai: 343, 544. Bolzano: 389, 423. Bonola: 347. Boole: 408-413, 598. Borei: 420, 422, 424, 559, 568, 570, 572, 608. Bouasse: 245, 320. Bourdin: 512. Bourlet: 544, 597. Boutroux (Em ile) : 232, 472. Boutroux (Pierre) : 131, 141, 152, 205, 490, 586. Brassine: 126. Brochard: 83, 104. Brooke: 28. Brunhes (Bernard): 338, 474. Bryson: 184. B uffon: 504. Burali-Porti: 435, 444, 569, 574. Bürk: 68.
c Cantor (Georg) : 274, 418-420, 426, 444500, 549. Cantor (M oritz) : 38, 45-46, 49, 118, 126130, 183-184, 189-190, 217-218, 256257. Carnot (Lazare) : 224, 277, 384. Carnot (Sadi) : 335, 338. Carpo: 121.
I n d i c e
6 2 0
d e
Cassirer: 116, 177, 223, 233, 253, 292, 297. Cauchy: 277, 331, 360-361, 363-366, 378-379, 387-388, 389, 179, 5S3, 586588, 593, 609. Cavalieri: 190-195, 204, 563. Chaillu : 37. Chalmers: 34. Chasles: 128. Codrington: 31. Cohen: 219, 244, 450. Colebrooke: 31, 289, 581. Comte: 118, 203, 224, 278, 314-319, 323, 330-332, 340, 469, 172-475, 484, 593, 606. Conant: 25, 31-39, 43. Condillac: 300, 603. Condorcet: 319. Cournot: 144, 287, 345, 365, 377, 481, 547, 561, 580, 585. Couturat: 105, 107, 117, 203, 227, 233, 248, 304, 386, 394, 396, 399, 405, 410, 414-415, 422-425, 130, 432-440, 155, 158, 507, 517, 520, 543, 559, 564, 574, 587- 588, 595-597. Curr: 31. Cushing: 35.
D
D ’Alembert: 275, 290, 318-319, 326, 356, 555, 602. Darboux: 362, 365, 482, 524. Dastre: 548. Dauriae: 385. Dedekind: 422-123, 564, 583. Delacroix: 285. Delboeuf: 551, 560. Delbos: 309, 381, 432. Democrito: 181. Desargues: 386. Descartes: 116, 126, 132-157, 160, 168, 174, 203, 207-209.'221, 235, 238, 245247, 324, 451, 46Ò, 488-489, 516, 549, 577, 581-582, 590, 603-606, 611. Diógenes Laercio: 75. D iofanto: 31, 50, 63, 579. Dobrizhoffer: 25-26, 514. Drach: 595. Du Bois-Beymond: 418-420, 566-569, 571- 574. Dufumier: 436, 596. Duhem: 122, 244, 318, 335, 338, 490.
N
o m
b r e s
Dühring: 385. Durkheim: 332, 470-472, 613-614. Du Tertre: 241.
E
Eisenlohr: 45-48. Epicrato: 97. Espeusipo: 90-91. Euelides: 41, 69, 109-119, 184, 342, 345, 526. Eudemo: 121. Eudoxo: 118-119, 185, 563. Euler: 274, 356-357, 524-525, 564, 585. Eurito: 54. Evellin: 291, 385. Eyre: 27.
F
Fermât: 126-132, 143, 145, 483, 524526, 584. Fichte: 313. Flournoy: 470. Fontenelle: 272-274, 421. Fouet: 357, 363, 369-370, 573. Fourier (Joseph): 315, 322, 326-327, 362-363, 607. Français: 587-588. Frege: 417, 439-440, 442. Freudenthal: 170.
G
Galileo: 189, 244-248, 378, 396. Galois: 40, 482, 589, 593-594. Garnier: 519. Gassendi: 196. Gauss: 350, 535, 584, 588. Gemino: 342. Gennocehi: 526. Gergonne: 407-408. Germain (Sophie) : 602. Gibbs: 338. Gibson: 145. Girard: 580. Gley: 332. Goblot: 614. Goldbach: 524-525. Golius: 142. Gomperz: 82, 85, 110, 175.
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Grassmann: 355, 413, 598. Gregory: 214, 217. Guillaume: 530. Guldin : 193.
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Kronecker: 362, 391, 482, 535. Kummer: 527.
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Hadamard: 484, 568, 569, 599. Haddon: 28-29, 32. H alévy: 74-87. Hamelin: 137, 156, 171, 174, 334, 449, 557. Ham ilton (W. R .): 355. H an tel: 77, 480, 580. Hannequin: 134, 144, 175-178, 228, 233, 251, 253, 255, 315, 337, 339. Hawtrey: 33. Heath: 77, 111, 342. Hegel: 601-602. Heiberg: 110, 114, 186. Heinze: 91. Helmholtz: 351, 398-399, 430, 465, 500. Herlinus: 109. Hermite: 482, 527, 591, 606. H ilbert: 185, 353, 599. Hilprecht: 45. Hipócrates de Chios: 76. Hobbes: 116, 176-178. Hoiiel: 543-544, 587-588. Hume: 285, 286, 330. Hunt: 28.
Laehelier: 265, 603. Lacroix: 364. Lagrange: 207, 275-277, 316-321, 323324, 326, 337, 484, 589-593. Lalande: 135. Lamarck: 611. Lambert: 520. Langevin: 558. Laplace: 210, 290, 316. Lassw itz: 176, 339. Latham: 36. Lavoisier: 454. Lebesgue: 363, 365-367, 568-569, 573. T
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Leibniz: ’ 106,’ 109-111, 115, 116, 140, 149, 160-161, 176, 182, 195, 201-205, 210-211, 215, 218, 224-272, 287, 394, 396, 405, 410, 431-432, 437, 450-452, 564, 569, 589-590, 600, 603-605. Lejeune-Diriehlet: 363, 370, 593. Le Eov: 398, 492. Levy-Bruhl: 23, 25-37, 40, 325, 501, 514-515, 613. Liard: 131, 147, 153, 222, 315, 408, 411, 413. L ie (Sophus): 475, 595-596. Lipstorp: 141. Lobatschewsky: 335, 343, 348-351, 556. Lotze: 550, 557.
J
Jackson: 65, 72. Jacobi: 527. James (W illiam) : 308, 400, 468-469. Jenocrates: 88, 91. Jenofonte: 76. Jordan: 572.
K
Kant: 103, 122, 278, 283-284, 330-332, 339-340, 352-353, 380, 423, 431-432, 466-467, 513, 514, 540, 551, 553, 606, 612. Kepler: 188-189. K lein (F élix) : 114, 350, 368, 391, 484, 487, 527, 586, 601. Kohler: 177.
M
Mae-CoU : 107. M aefariane: 355. Mach: 277, 319. H aler: 100. Maimón: 405-406. Malebranche: 157-159, 161-165, 252. Mansion: 217, 274, 348, 352, 354, 555, 560. Marie: 190, 192-193, 199, 207. M ariotte: 245. Martin (Th. H ) : 82. Mason: 32. Maurolieo: 518-519. Mentre: 136. M eray: 120, 387-393, 544, 586. Mercator: 214-216. Meyerson: 474.
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