La scienza delle costruzioni ed il suo sviluppo storico

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1 LA MECCANICA ELLENICA E ROMANA

1.1

LA

FISICA

DI ARISTOTELE

Inizietemo il nostro cammino risalendo addirittura ad -A.ristotele (384322 a.C.). Potrà forse stupire un richiamo così remoto : ben poco è rimasto oggi della meccanica aristotelicr e tuttì sanno quanto sir stato lungo e diilìcile il combattimento della nuova scienza, dal XVI secolo in poi, per smuolere a uflo a uno quei grevi assiomi, quel rigìdo argomentafe intessuto metalisicamente, che il reiterato commento scolastico alle opere fisiche dello Stasirita aveva reso modo comune di pensare, modo comune di guardare i fatti c i dati dell'espertenza. NIa è proprio la grande influenza esercitata dalla concczione meccanica dell'aristotelismo su tutto il pensiero scienti6co successivo pcr più di un millennio, che ci obbliga a ricordarne - seppu in modo molto ' i r r e r i c o- i ì l c u n i l r a t t i c a r a t t e r i s r i c i . In verità, lo spirito con cui Aristotele si accosta ai concetti e ai temi fonrìlmentali della fisica è molto diverso da quelìo che anima oggi la ricerca: non lirrto per le soluzioni offerte o per le ipotesi a\^nzate, ma per le domande che culi si pone, per il tipo di problemi che egli ritiene meriter.oli di attenzione. l,r sua fisica non ha affatto un corrispondente ossia uno sr.iluppo, una intcgfazione, o anche un rovesciamerito - nella fisica modetna. Semmai un :rnulogo può ritrovatsi in quella < frlosofia della natura > che talune correnti (ortrei margìnali) del pensiero contemporaneo hanno tentato di mantenere rr vita e che ha < per oggetto proprio il movimento, l'esseremutabile in quanto rnrrtnbilc; l'rrrrre dunque (...), ma non l'essere in quanto essere o l'essere .c conclo il suo mistero di intelligibilità, che è l'oggetto della metafisica;l'oggetto ,lclìrt lìlrsolia cìclla na.turaò I'csserepreso sccondo le condizioni che lo costrinr , , r r r oi n t l u c s l o u n i v c r s o < l c l l l i n c ì ì g c n z ac c l c l l a< l i l i s i o n ec h e è l ' u n i v e r s om a t e l i u l c , I ' c s s c r cs c c o n r l o i l n r ì s t c r o p r o p t - i r rc l c l r l i v c n i l c c c l c l l a m u t a ì > i l i t à ,d e l n ì r ) \ ' i n ì c n l on c l L r s l r r z i o r r c l . y r l r l c i c o r P i s o n o i n i n t c l r c l l z i o n c , c ì c l n r o v i -

La nteecanieaelhnica e rurata

nìcnt() (ìi senerazione e di corruzione sostanzialeche è il regno pìir profondo rlclla loro struttura ontologica, del mor-imento di crescita r.eg€tati\.a nel qualc si nranilcsta l'ascesadella materia all'ordine della vita>'. Al>binmo voluto riportare per intero da un celebre saggio di Nlaritaìn rlucsl:r < definizione )t di unà < filosofia della natura > - che del testo viene dtl (laictnno - per una {agione molto semplice: essa riflette con fedelissjme ()sscrvanza,dopo duemila anni, non proprio la precisa artìcolazione, ma il scnso gcnerale della trattaztone aristotelìca sulla natura quale si esprime negli otto libri della Fisica, nel trattato St Ciek, in quello St la GexeraTlrnae la CortrrT.iotrt,r>hteché nelle opere meteorologiche e biologìche, Naturalmente, di frontc alle cultura scientifica d'oggi, tutto ciò non presenta piir interesse: quel chc tli vitale v'era nella problematica studiata da Aristotele si è ormai ricollrcirto jn altre e pìir peftìnenti sedi teoreticlre, e in particolare nella < critica clclla scienza> e nellk epistemologia>, NIa è sìgnificativo riconoscere proprio questo; che la scienza ei su,'i prinri pxssi, c()n un bagaglio sperimentalee interpretativo assaifidotto, quasi embrionalc, conseguì una sua prìma organica configurazione svolgendo la critica di sc stcssa, ossia non per un'apertura pirl intensa alla realtà, ma per una rimedìtrzione sul proprio ruolo, suì propri strumenti di indagine, suì cuncetti orìginari chc delincano il oroorio orizzonte di discorso. Possiamo renderceneconto sfogliando il trattato- fondamentale, la Ititica (Qvowì1 àt póo.o',1): i primi sei libri, tra gli otto che compongono Ì'opera, riguardano temj emtnentemente lìlosolici, come Ìa natura dell'esserecorporeo, composto di rtateria e dr;fortnt, lî dr)ttri.ra cìelle quattro mtrse (efriciente, únale, formale e materiale), la soluzionc dei paradossi zenoniani stilo :paqia, il hnpo e il rtolo. Gli ultini due libri della Fisica, ìl settimo c I'ottavo, trascendono ulteriormentc lirrizzonte fisìco, per indagare la causa ultima, l'origine ptofonda del m()\,imer.ìt().All'inizio della trattaziooe vien stabilito appunto il not,, princilìio sec,rncftril quale tutto ciò che è mosso, è mosso necessafiamenteda qualco",\nav s'altro: < tò r,,r.ro,1pe,rov ir6 t'tr'q à"vi.yxr1 t*eio1o.t >> (VII, 1, 241 b). ll intotno al quale ruoterà il pensiero filosofico e scicntilico occidentale, sino ai giorni nostri, è quindi stabilito quale f ( c l ì . . rrrn. I l). l . : r s c c o n c l ai n t u i z j o n e 1 ì s i c ac l r e è p o s s ì b i l er i n t r a c c i î r c n e l l r r / r i r ì , r r L r . i s r r r t r l i ( r v e î t c s u L r r t e m a d i g r a n d i s s i m ai m p o r t l n z l a p p ì i c l t i r l c t c r ) r i c l l ) c r l i t nrcr-r'rrnicr:si tratta clj un primo barlumc sul prittiltio lti /at,rttitìrtr,r/i. l)i: la risultante e il momento risultante di un sistema d.i fotze in equilibrio debbono annullarsi. Invece questa visione è piuttosto recente, avendo preso definitivamente campo a seguito della sintesi di Varignon (1654-1722) con la sua Noauelle nércuiqae. La prima via per affrontare il problema statico si è valsa, al contralio, di un riferimento al moto: cioè agli spazi percorsi in cetti intervalli di tempo. I due mondi separati che la méccanica successiva ha delineato, distinguendo la cinenatica e li statica, I'una riguardante il moto in sé, I'altra le forze in sé, nacquero storicamente solidali, fuse nell'unico principio sopra riPortato. È opportuno ora esprimere tale principio in forma un Poco meno contorta e piir generale. Esso aflerma, fondamentalmente, che: 1) le dixaxTe perc7r!€ sta/lna tra lat'a cam€i l€n4i 0 le;t'or{e stamo tra laro;2) i p€ri iP7rtali sta na iu ragiarc inersa alle distan1e percorsc trel rtedtirzo ÍenpoÉbbene, la cosa curiosa è che la prima delle due conclusioni è fallace, mentre la seconda è corretta : e la prìma governa la dirunica, meotre la seconda presiede alla sla/ica. 1I grande sforzo della meccanica moderna è stato apPunto quello di lissare il sottile crinale che consente di conservare le affermazioni statiche della meccanica aristotelica, respingendo nello stesso tempo le sue illazioni dinamiche che pur sembrano così (agionevoli e intuitlYe.

Rife$ìani crilh\e

il rapporto

Q:

RIFLESSIONI

CRITICHE

SULLA

MECCANICA

ARISTOTELICA

Vediamolo in modo piir esPlicito. Se, usando notazioni piir familiari, indichiamo le forze, i pesi, le distanze percorse e i tempi ìmpiegati con Q, P, s, t rispettivamente, la tesi 1) verrebbe a dire che:

necca ica atistolelica

tÍa spazio e tempo l,

7

ne derivetebbe la lege errala:

(1.2,2

--'

la cui rimozione costò uno straordinarìo rivolgimento teotico. Si noti tuttavia che la (1.2.2) è solo parzialmente rinnegata dalla mecca. nica classica moderna. Infatti, scritta in tetmini incrementali, essa div€nta:

(1.2,3

dQ : d(mv) e quindi: dQ dt

d(mv) dt

(1.2.4

di;t'arqa,assumendonel'espressi.,ne" . Se allorasi rìdefnisceil coxcelto dalla (1.2.4), si ottiene la legge fnrdanentaledi Newton per la dinamtca: -

d(mv)

s

(r.2.1)

t

essendo m un coeflìciente di proporzionalità ; pertaoto, se r'è la ue/ocilà' ctssta , ln îlrri tcflì1ini: À r ì u , ^ c f ì I l l l u n g o ì n c l i s t , t n z2, rl ' r r e l t c n r p o A ; ^ r ì , u , , \ c r i I I I l r r r r g , ,h . ì i s r , r n z rl ' n c l t c n r p . , l A ; ^ r ì r L ' , ) ! c r ìl ì ì L r r r g ,l r, L, l i s r , r r t zIr I ' n c l r c , ì ì P , ìi A ; I ^ ! ì , , , , , ! c r i I l ] l r r r g o l a , l ì s t , r r r zl,' r r t t l t c t r t l r ' 5

,

rlrrr.e m assume il significato dt massa,Nel caso in cui m è costante, nc sclÌuc in oarticolare la nota formula elementare:

lt.2.6) t-,

lL

I'arrc/eraqiaze, Per questo, ad esempio, Carnot utilizzir tt.tcorn

lrr nozi (pue"l). s/ionì neccaúcLe, cap. È superfluo sottolineare quanto una simile impostazione sia di fatto oscura e inconcludente. Tutta\-ia, alcune ossen'azioni critiche si offtono sPootanee. ,A.nzitutto è interessant€ I'attenzione pet la. bilatcia e P-'[ la /eM, due strumenti tecnici che non solo presentano un'immediata evidenza e una grande importanza applicativa, ma anche adombrano nel loro comportamento una qualche intuizione delle leggi fondamentali di equilibrio: dilettamente, dell'equiÌibriti alla rotazione ben visibile nella leua, e indirettamente, dell'equilibrio alla traslazione che viene in luce nella bi/artia, dove l'uguaglianza dei bracci consente di asfrarre àalla posiqiorc d,ei caricl.ri per valutarne soltanto l'entità. Infatti il riferimento concettuale alla bilancia e alla leva è rimasto costante nella lettura statica delle strutture da sempre, sino al secolo XVIII: al ptincipio della leva furono ticondottì, con tentativi più o meno ftuttuosi, il problema della trave ir.lllessa,secondo la trattazione di Galileo e dei successori,i problemi delle volte e degli archi nel dibattito settecentescoin proposito, il problema del murtr cli sosteqno secondo le indicazioni tramandate da BelicLrr, da Bossut, c 1.toi sviluDDîtc ch C()ul()n-ìb : eccetera. In sec,rn (Ibìdem, 5), o a motivare < perclré le bilancc con bracci piìr lunghi sono più precise di quelle a bracci corti ) (Ibidem, 2), o a capire < perché una sbarta di legno si spezzi piir facilmente col ginocchio quanto piìr divaricate si tengano le mani > (Ibidem, 13), eccetera. Ma il monento essenziale in cui l'autore d,elle pue$iani dimostra di aver superat,, un intenso sfotzo di pensieto sta nell'aver saputo assimilate fenomeni csìdivcrsi, o.slraexdoAa,tutti gli aspetti . Ad esempio è significativo quel che dicono in proposito Galileo e Lagtange: sospendiamo un prisma omogeneo per il suo punto centrale; dividiamolo ideàlmente in due prismi di lunghezza 2rn e 2n, applicandooe i pesi nei baticeotri G, e G, (fig. 1.5). Si verihca subito che le distanze di Gr e di G, dal punto cli sospeosionevalgono tt e m rispettivlmcnte; c,,n cit) la legge della Icv^ è (lim( )strîta.

Partì quanto I'altra se nc sione, allora una parte st avvtcina al fulcro esattamente questo caso, si ha in ,ìir"i"r^.- Sr ri "ier*" che l,effetto resta lo stessoanche del momento- da l' giacchéla .";"iJ *ia definíta la for-" àtll" dipendenza "iirtÉ*io quando t po,,ibile solo quando tale forma sia P'l' cioè ."rir"s' fra P e I vi sia un raptorto di proporzionalità > fot-s9.d9l tutto lertjnentc' La ctitica di MacL è certJ co;retta, ma non è della legge di equilibrjo' proveni;nza empirica la tesi.di una "é p; ;;;;i;t;* e,la fotza siafloc()ncettl peso il che Infatti essasuppone,pur 1n mod; implicito, come è noto e clcficosì Aichimede' .Éingoi^il . ai.pottiuili'ad ir"""-"i* i suoì te.remi' ln tal dimostra che ii triu'tgolo ui geometra i.ìir ii .À"*"t soPrarjPortata Ma non ;;t;;;" giusto consiàerart ttÉiotu la dimostrazione ;; progrcssiva profondo cìeipostulati cli Archimedesta nella loro J".;ti;ii;..:" t:^l^11":p",1 dclla asPetti soli quei isolancl" di stuclit', oggetti .,,*"r1""" a.gfl ".,,n,iiil.'ro,,ti per I'equilibtir) e astraendocl^ tutti gll îltrl A(l -..,^frif" .h. 'ggctti .pcsantimcssi "l",rir;,, if crl.rc clei bracci .kila lcv'n,,, la f.rma tlegìi ( l u c s t ( ) . r c a l l 2u7nî î c r c c " . , , ' i f r-gl*-ìi,l , , n r , , n " n c n t r i n r ) l f l r p a r t c c ì c lc l i s c < r r s o : jmcdc c tlci clcllcct,ncltrsioriirîggiuntc' La trírttîzioncrli Arch i.ìi " p 47' lirrino' 1977' r l ì . M L r c h , l , a n n r c a n ì t tn t d ttx) Ît'ìlt!'Ìo !taritl'îrititt)' tratl it '

20

La nuccanìca clhrha

e ronlana

suoi successori esplica appunto un preciso ruolo speculativo nella definizione sempre piìr scarna e rigorosa degli aspetti che coxnatanoil concetto dì peso o di forza, escludendo, ad esempio, che il peso complessivo sia influenzato dalla sua eventuale dir.isione in due parti uguali disposte simmetricament€. Forse è veto che tale identificazione astfattiva rende tautolosico il successivo riconoscimento della legge di equilibrio: ma ciò non jmplìca affatto che il procedimento seguito sia inutile o errato, né tanto meno, che se ne debba uscrre con una risoluzione empirica.

1.ó

I MECCANICI

ALESSANDRINI.

ERONE,

21

ahrîa dú1i, Eratle, Pa??o

a quanto pare - è l'unico che si sia occupato del problema del moto e delI'equilibrio di un corpo pesante su un piano inclinato (libro VIII delle Collazioii\. La sua soluzione è fondamentalmente errata risentendo dei falsi pregiuiiri-d.ll" scuola aristotelica: tuttavia essa continuelàr ad essere ribadita anche da meccanici rinascimentali come Guido Ubaldo del Monte, e solo a fatica Galileo riuscirà a smontarne I'apparente tagionevolezz.

PAPPO

Per brevità e soprattutto perché non è nostro intento seguire con la dovuta complotezzz lo sviluppo storìco della meccanica in generale, sorvoleremo sugli altri autori che nell'antichità seguitono e svilupparono Ie idee di Aristotele e di Archimede. Diremo soltàflto qualcosa sui meccanici di Alessandria e su Pappo. Si è già ricotdato come la civiltà ellenica sottovalutasse il signìficato cuiturale dell'attività tecnica, nonostante il grande sviluppo delle costruzioni, delle macchine belliche, degli impianti per il drenaggio dell'acqua. Nel III secolo a.C. sorse però ad Alessandria un'atte che ha diretta atttnenza alla tecnica, e a.lla. meccanica, per la creazione di ingegnosi dispositivi, spesso a scopo ricreativo, ma talvolta anche pet fini pratici e scientiEci. ,{ Ctesibio si deve, ad esempio, I'invenzione dell'argano ad acqua e della pompa idraulica. La scuola e La,rela' tiva probabile attività artigianale si mantennero vive, sino a diventare una duratura tradiziofle. Nel I secolo d.C., il meccanico alessandrino Erone tramandò, con le sue opere, una nutrita testimonianza della ralînata perfezione e dell'inventiva che era stata taggiunta: egli ci parla degli apparecchi a pressione che impiegavano l'arìa compressa o riscaldata, o il vapore acqueo, e funzionavano con cilindti e stantum, con eliche, con ruote dentate, con sifoni, con valvole; oppure ci descrive il teatro degli ^vtorrrr ^zionati da pesi mediante corde tese su rulli e, ancora, il dispositivo automatico per aprire Ie porte del temPlo. La memoria di Erone e dei suoi astuti aftifici non verìne meflo sia durante il Nledioevo, sia nel Rinascimento e nell'epoca barocca: alla sua meccanica si rifaono infatti costantemente i costruttofi di fontane con figure mobili, di orologi artistici, di termoscopi. La sua opera intitolata Le meccaniche, a noi pervenuta su una tîaduzione araba, Irutta le macchine semplici con le loro combinazioni, e dimostra una certa elaborazione dei concetti classici: in palticolere, nel caso della leva angolare, Erone intuisce la corretta valutazione dei momenti affcrnrendo che per I'equilibrio vale (fig. 1.6): I)r:P,,.:bî

I /t&îaniîi

+-:--4---J---+ ,Fig. 1.6. L'asDetto piì1 caratteristico della trattazione sta forse nel fatto che, pcr affrontarè il próblema, Pappo non può evitare di ricorrete al concetto di lcva. Dovendo determinare quale < potenza > Q si debba applicate a una sfcra pcsante P situata sul piano inclinato pet evitarne la discesa,Pappo si ingcgna ippunto a r€perire u;a leva con il fulcro in C, sulla verticale passante per il pLrnto di app;ggio; il peso P è applicato all'estremo -A coincjdente col centro .Ì.ìla sfera,-eìa < potenza > Q all'altto estremo B in corrìspondenzadella supcrlìcie (fig. 1.7). In tal modo si ottiene la determinazione:

a-" à; l-ffi,-1

o,

(1.6.1)

d r r r c l c t l i s t a n z cî c l ) s ( ) n ( )n r i s u m t c s u l l ' o r i z z o o t a l c . l)lrppo, scicrrziuto dcl lV sccoLr tl.(ì., nrcritt tl'csscrc ntenzionrto poichó

(1.6.2)

I i.q. |.7.

oO

22

La nucania

elhnica e ronana

purtroppo scorretta. Non diremo altro su questo punto, poiché le ulteriori considerazioni svolte da Pappo portetebbero del tutto fuori strada. A titolo di curiosità possiamo invece ricotdare che a Pappo si deve anche un noto metodo < sperimentale ) per I'individuazione del baricentto di una figura piana : sì sospenda ta.le frguz da un punto qualsiasi di essa A e ii taici Ia verticale per A; si sospenda ora la stessafigura da un altro punto B e si tracci la verticale per B. L'ìntersezione delle due rette così disegnate è il baricentro G (fig. 1.8).

Fig 1.8.

1.7 MECCANICA E ARCHITETTURA IN VITRUVIO Concludiamo questo capitolo sulla statica e la meccanica degli antichi riportando qualche oasso del celebre trattato De Architecttta di Vitruvio, dove si pada déIa necelsutia integtazione tra le compet€nze scientifico-tecniche e l'atiività progettoale. Come si potrà notare, la civiltà romana cui Vitruvio appattiene (la sua opera, scritta tta ll 25 e il' 23 a.C. fu da lui dedicata all'imperatore Augusto), assegna all'architetto l'intero campo della tecnica, attribuendogli non soltanto la cosiruzione di edifici civili, ma anche quella di macchine per il sollevamento dei pesi, di ^ttezzatite belliche e di altri dispositivi. D'altro lato, è parzialmente est:,z;lea all'orizaonte culturale di Vitruvio una vera e propria seÀsìbilitàper il momento statico nella concezionedell€ strutture: egli considera, è vero, la lîrrtitas, Ia solidità, come componente essenziale delle costtuzionì, ma non si dà carico di andar oltre alcune generiche indicazioni sulla saldezza delle fondamenta, sulle modalità costruttive, e sulla scelta accurata dei mater i . r l i . L a m c c c a n i c a ,i ' r v € c c . è m e n z i o n a t as u P r a t t u l r o p e r g ì i s r r u m e n t ì s u s s ì il primo capitolo, senza addentrarsi nei temì piìr specificamcnte disciplinati. BeÍI presto, però, l'analisi si faràL circoscritta, abbandonando via via qualsiasi richiamo genetale che non sia attinente alla meccanica delle strutture. Sinota, invece, è necessario capire, in via preliminare, quali siano i veri ()ggetti che la scienza del costtuire isola e definisce nell'atto stesso in cui formula su di essi problemi apPropriati: ebbene, mentre la ricerca delle.rohqioti rppartiene all'esercizio della disciplina e non ammette divagazi,'ni su clmpi estranei o collaterali, l'ìndivìduazione d,ei probleni non può esser ottenut^ sc non conse(vando yiyi riferimenti pirì ampi. Del resto, lo abbiamo vccluto a proposìto della fisica aristotelica, questo è stato il tragitto storico: la lìsicr è nata meditando su se stess.r,riflettendo sulla ptopria epìstemologia, prinra ancora che il suo bagaglio teorico e sperimentale meritasseil titolo di scicnza, cluando la fisica era poco più di un nome, un'ambizione più che una tcaltÀ, ll non accade forse qualcosa dì analogo, ancor oggi, per talunc ( nuovc scienze> che si affacciano alla cultura contemporanea ben agguerritc tli una propria terminologia esoterica,quasi a r.oler anticipate artiHcjalmentcullî tcnìîtiz?.^zionedisciplinare esile e vaga? Il Nleclioer.oè testimone di un primo awicinamento ai problcmi sPccilìci ,lclla hsica e della meccanicain particolare, ma in un moclo silrg,,hrmcrttc irttlilctt() c nasc()st(),sì da rcnder legittima pjuttosto lÌrpìnione comunc sccontkr i r c v a l c n t i< l c g l i l r t c l u u ì eI ' l t t e n z ì o n e s p e r j m e Í ì t a l cs a r e b b ea s s e n t ed a g l i j n t e r e s s p s c i c n z i r t i ,s i n o l l l a g r a n d e s r ' o l t a c l e l \ V I I s c c o | r . I n p a r t c è r ' c r a u n i t s i m i l c r , 1 ' r i n i o n cl:a t i s i c a m e t l i e v a l es i s v o l g c i n t ( ) r n o l i t e s t i x t i s t o t c l i c i ,o b b c t l c t r c ì t r :rl rrrccìcsirrr,,r )ricntlrl-ìcnk) ctc,gt/icnchc governa I'attivìtlì sPcculllìvir rlcl tco1 , , 1 1 rt rì ,i c , r l L r i c, i o ò , c h c c { } n c o ì t r i tl l s u t c u r i o s i t l ìn o n s u ] L rs c o p c r l r tc l i t r u o v i

r l l ' i r ì < r r .o . l l ' 1 2 ,

26

Lo st'if4po dei canîetti rtatiîì e meccal1iîi îitîÒ at rinaicineùa

oggetti o sulle realtà percepibili dell'esperienza, ma sulla lettura ancora e sempre rip€tuta del testo sacro. Tuttavia, satebbe ingenuo tagliar corto e affetmate di conseguenza che soltanto nell'epoca moderna la fisica è riuscita a spezzare il catenaccio e ad aprirsi finalmente ai fenomeni. Sarebbe ingenuo, perché i risultati sperimentali sono muti e ciechi fin tanto che non siano veicolati su precedenti binari teorici, medìante la selezione di quei soli parametri che definiscono il fatto vientifco ben distinto d.alfatto bruto (Poincaré); Ia vetifrca empirica è spesso tanto pir) peftinente quanto pirì tiesce a sorvolare sui fattori preventivamente ritenutì irrilevanti o di disturbo, per esprimere un sistema astratto di aspetti che il paradìgma, la congettura, il progetto scientifico, ereditati dal passato, hanno saputo comporre insieme, configurando l'unità à1 w aggettl da sperimentare. Si può dire allora che la vera svolta empirica si ebbe nel momento in cui tale retroterra speculativo fu, in certo senso, dimenticato, e I'interesse per il dalo d'espetienza apparve come tl mamexÍo iniTiah della ricerca e favotì il convincimento di poter nascondete induce un momènto rispetto acl A che deye esscrc equilibrato dal momento del carico e agente, ad esempio sulla parte AB, rispetto al medesimo A. Ora, la dìstanza tri la retta d,azioie clì e e il punu, i I vale essendo I la semi-luce dell'arco, mentre la distanza tra.la tetta d,^zionc , , di N ed -A è I nel caso dell,atco a tutto sesto (frg.2.1.a), ed è h>l nel caso dell'arco.a sesto acuto (frg. 2.1.b). Imponendo dinque l;equilibrio si ottìcnc, Pef rr pfrmo caso: ì

N r _Q ; : da cui: 1

N:;A

lti.4. 2. | .

o

30

La

tt/"?po dei tatîretti rtatici e ne.canhi :ino al ùllasîineftlo

L' ifllererramenla ai ?rableni

t.txic; ,el tuedtaeta

JI

e per il secondocaso:

N n _q j :

o

da cui :

^:**q È allora chiaro che, pet essere il rapporto -l- -ir.ror"

dell'unità, la spinta indotta

dall'arco a. sesto acuto è ridotta ,isp.tto " quella dell'arco a tutto sesto. Non è lecito supporre che gli atditi costrutori che ttilizzarono I'arco a sesto acuto nella basilica di Sainte Madeleine a,Yézelay e in altre chiese cluniacensi verso la fine dell'Xl secolo, avessero chiata la, considetazione statica el€mentare sopra rìportata. Ma è probabile che una celta cognizione intuitiva del differente comportamento vi fosse: si faceva strada il riconoscimento sperimentale che I'intlinaqione dei concilapidei non era irrilevante ai fini dell'equiIÈrio. La dei concì a scendere, scorrendo sui di separazione. è tanto maggiore quanto piìr si sale dall'imposta alla chiave dell'arco (69. 2.2).

Fi9.2.1.

traiettoria p o s s i b il e

'del

moto

t r a i e t t or i a d e l mo t o p o s s i b i l e

l;it.2.1.

Fig.2.2. Ecco : un'analogia - non del tutto appropriata, in verità, ma suggestiva può esser intravista per catatterizzare la situazione dei divetsi conci: quelli meno eleyati, prossimi alle imposte si compoftaflo com€ un grave disposto su un piano poco pendente, che è trattenuto in equilibrio esercitando una lieve {otza diretta tangenzialment€ al piano; invece quelli prossimi somigliano piuttosto a un grave disposto su un piano molto pendeflte il cui equilibrio è ottenuto mediante u.na lorza altfettanto inclinata e d'entità. maggiore (frg. 2.3). La conclusione tratta dai teorici del XIII secolo è abbastanza singolare ma non certo irragionevole: ed è che la grauità dipendadatta patiTiaw (glauitat tt:crrrrdrrtt .ri/tttt). In altri termini, come diranno i lettori del De ratiane paaderis attribuit() a Giordano Nemorarìo, il corpo appeso al braccio di una leva (fig.2.4) o t l r p o g g i a t o a u n p i a r r oi n c l i n a t o ( l ì g . 2 . 3 ) d i v c n t a p i i L o m c n o p e s a n t es e c o n d o

clìc lî tr^iettoria del suo moto possibile, compatibile con i legami del sistema, ò piir o meno diretÍa, neI senso che è piìr o meno vicina alla direzione verticale. In clucstcr concetto di grattitas xcwdam sittttu è cefiamente sot nteso un lrrirnrr riconoscimento dell'esigenzadi decompore la. Íorza (o il peso) seconclo ll cìirezione attiya e secondo quella contrastata dal vincolo. ll riferimento al problema del piano inclinato è, sotto questo proúlo, molto chiarificatore: il lrcso Q clel grave può esser decomposto nella direzione tangenzìale e in qr.rella rr,,rmalc al piano ottenendo rispettivamente le componenti T e N (fig. 2.5);

l;i,4.2.5.

32

Lo lril ppo dei cutcefii rlalici e mecîatici ina a/ îi,larcil etlta

(,iudatn

Nuravrio

e il îaa allieD lcnrarîiúo

JJ

ora, se sì trascura l'eventualità di un attrito, T è responsabile della discesa, mentre N è ne.rtta]jzzata Aalla reazíone di appoggio. La soluzione era dunque a. portata di mano: eppure occorsero secoli prima che essa fosse .onsegl,it" con chiatezza. Anzì, gli autori medievali non avyertirono I'evidenza del moée o meccanico costituito dal piano inclinato e preferirono, generalmente, restar fedeli al modello arìstotelico intorno al quale si articola, possiamo dire, tutta la meccanica antica, cioè alla leva.

2.3

GIORDANO E IL

l:iu 2.6.

NEMORARIO

SUO ALLIEVO

SCONOSCIUTO

Diamo ora un breve cenno su alcune personalità importanti di scienziati c h e c o n r r i b u i r o n o n o t e v o l m e n r ea l l o s v i l u p p o d e i c o n c e i r i m e c c a n i c i ,p r e p a rando piir di quel che non si sia soliti ritenete a"lla sctenza del Seicento. Nel XIII secolo spicca la figura di Giordano Nemorario. Gli storici hanno molto discusso sull'identità di Giordano al quale erano attribuiti almeno tre trattati di statìca, gli Elementa Jordani super denonstrationeupondtris, il Liber tte porderiLtrrse tl Liber Jordanì de ratiaue ponderis, che portano invece l,impronta di autori diversi. Del nostro meccanico si ìgnora la patla e v'è anche incertezza sull'epoca in cui visse, Daunou lo fa vivere in Germania verso il 1050, Chasles lo assegna al XIII secolo, Michaud lo identifica con Raimondo Jordano della chiesa di Uzès appartenente al tardo XIV secolo, Boncompagni e Curtze lo situano, al contrario, nel 1200 sotto il nome di Giordano di Sassooia,Montucla conferma I'opinione mediana ritenendolo del XIII secolo. Attenendoci anche noi a tale opinione, limitiamo ora |'attenzione alla prìma delle opere sopra indicate, gli Elenenta, sulla scorta di quel che ne dice il Duhem. Giordano stabiliscesette assiomi da cuì trae nove teoremi; tra i princìpi sono e d e s e m p i oi s e g u e n t i :

l() stcss()che Descartes prenderà a fondamento di tutta la statica e che, grazie ru (ìior.anni Bernoulli, diventerà il prìncipio dei lavori virtuali > 7. (ìrme nota piìr specificamente il Dugas, la statica di Giordano < procede "lavorr>", trts\, rutte litteran, dal principio dei lavori virtuali, dove il termine "velocità1" e alla concezione 1'r'cs,rnel senso moderno, si oppone al termine icllc t'thr:ità ùrluali, che si può far risalire alle puestianì -l[ectaniche.Ben inteso, prcsso (ìiordano, I'esptessione"lavoto" è assente.Giordano considera la pesansiÍun), senza esplicìtczziì rcllìtiva alla posizione del mobile (grauifas secanduzn tirrc (l'rrltr()nde la relazione che esiste tra questa gtavità e il peso proprirmente (lcll(, )) '-

tÌn rilevante passo innanzi è compiuto nel Lilter Jordaù de ratìare poulcrit il cui scotrosciuto autoreJ ptobabilmente un allievo di Giordano, diede contrilrtrti così cospicui alla statica da meritare, secondo Duhem, iì titolo cli < prcculsrrrc rli Leonardo >>.Trattando il problema della bilancia a gomito (frg. 2.7) c rrrrreggendo una tesi degli Elemeúa, il nostro anonimo riconosce la rclaz l D C C () î f e t t a :

(2.3.1)

l'r:l'" =l" lr

. La dimostrazione è condotta utilizzando implicitamente il principio dei lavori yirtuali. In realtà, indicando con s lo spostamento d'entità comune associato a P. lungo DC e a P, lungo DA, la formula e. Sarebbe impossibile ricordare in questa sede le sttaotdinarie intqizioni del teologo francescano Guglielmo di Occam e dei suoi seguaci ad esempio in telazione al principio di causalità e al concetto di sostanza, che anticr'pano interi capitoli della filosofia moderna, da LocLe a Hume, a Kant; basterà dire che la fedeltà al famoso principio metodologico, noto come < rasoio di Occam >>, secondo il quale < non bisogna moltiplicar€ glì esseri senza necessità >, conduce inevitabiìmente a rinnegare due tesi fondamentali della cosmologia aristotelica: e cioè la distinzione tra i corpi celesti e i corpi terrestri, e la distinzione tra il ,spicca Giovanni Buridano, di Béthune, rettore dell'Uniyersità di Parìgi nel 1327 e nel 1348, morto a Parigi dopo il 1358. Il titolo del suo trattato puestiores oúaai libri phlsicoran indica, ancora una volta, l'obbligatorio riferim€nto alla fisica di Afistotele che caratterizzò ìl Medioevo: tuttavia Buridano svolse la sua indagine proprio con I'intento di espellere dalla fisica quelle astrazionì aristoteliche che Guglielmo di Occam aveva già espulse dalla metafisica. Il tema su cui s'accentfa I'attenzìone è il medesimo già afftontato dal maestro francescano: l a p r o p r i e t à c h e h a ì l m o b i l e d j m a n r e n e rv i r o i n s é i l m o r o . Nell'antichità, solo Giovanni di Alessandria detto Filopone (VI secolo d.C.) si efa opposto alla dottrina di Aristotele spiegando il persistere del movimento mediante Dn inpell che il mobile imprime al corpo mosso. In tal modo veniva meno la distinzione tfa moti naturali e moti r'iolenti. come osservò S, Tomo E. Gilson, cit., a.286-2A7. ! o E . G i l s o ' r ,c i r . , p . 2 9 0 .

L'otîarli //o rcientìlìto. Bnlida,ta

37

n'vrsct(Comm. in Librmt ,4riÍotelis de Caelaet l[ttnda, L,7). Buridano riprenclc questa antica nozione. Anzitutto egli confuta I'ipotesi di un'azione dell'aria pcr: la trasmissione del moto con gli esempi della trottola o della macina (che continuano a muoversi senza urÌ concepibile int€rv€nto d,el mezzo circostante) e tìclla barca (che prosegue il suo moto anche se il vento ha cessato di soffiare: in questo caso, anzt, I'aria esercita una azione frenante). Quindi Buridano formula la sua ipotesi altetnativa così: nel moment() in cui il motore muove il mobile, gli attribuisce un certo impeto (inpettu) prnfnr4iomh alla uelocità ittpresu e alla quantità di materia del corpo mossa.Tale impeto o slancio mantiene il movimento fintantoché la resistenza dell'aria e la gravita, contrastanti il movimento, prendono il soprawento. Con questa spiegazj()ne si può allora capire perché, lanciando < un leggero pezzo ài legno e un pesante pezzo dì ferro che abbiano lo stesso volume e la stessa forma a parità di vekrcìtà.iniziale, il pezzo di ferro va piìr lontano: infatti lo slancio impresstrgli,è l)iù intenso >, Non solo, ma si comprende anche perché ]a caduta naturale clci crrrpi sia acceleratai all'inizio del moto, infatti, solo la gravità è responsabilc della caduta, ma a causa del moto stesso, la gravità imprime al corpo un iltpekt chc si aggiunge alla gravità, accelerando il movimento; e quanto più la caduta si accelera tanto piìr lo slancio cresce, e rende così continuamente acceleratrr il nroto. Da questa concezione semplice e , Buridano trae ulteriori c()nseguenzenel campo dell'astronomia (forse possiamo già. dire: della meccanica celeste). Le Iúelligenry p{epost€ dagli antichi al movimento deglì astri c .lclle sfere diventano ormai superflue: basta supporre cbe Dio abbìa asseljnÍìr() rri crrrpi celesti un certo inpela e che siano assenti le resistenze che trennno il nrot() come accade per i corpi terrestri: ebbene quell'impeto originîl.i() l)ui) pcrsistereper sempre. Buridano conclude: dillc_ rcntì, secondo la direzione BC e secondo la direzione NM (fig. i.14); tl, trt

'' ''...::

I;i.q.2.14. ltig 2.12.

l,r

'l](j'|)l'rv()pisslI,|'iÍnmndi|i.l./hnt|\,'|,I//'l|||l1|lt!.th|ùJh'll.hnu'('i)| l . , " . t r u ? ú ' t r , ( . t . . p . l . ' H 1 f ) , i \ t , t . i r r , , ,l , , S ì .

)dl|||/|1I,h]ll.

|0

La piltlppo dei

44

ncetli $atiù

e ,e daici rina al titurti'

enlo

parte non si spinge più innanzi e non indica in qual modo il peso (verticale) s i r i p e r t i s c an e l l e d u e c o m p o n e n t i . becisamente innovativa è invece I'analisi che Leonardo tenta di svolgere in tema di decomposizione di una forza (o di un peso) in due direzioni concoffenti. Lo studio è condotto considerando un peso sospeso a due cotde AB, BC (fig. 2.15): Leonardo si domanda come esso ripartisca la sollecitazione sulle ào"" .otdÉ. La sua tesi può essere espressa in termini moderni, indicando con N,ro, N.,c la fotza notmale su AB e su BC rispettivamente, mediante la propofzlone I N_nn N'*.

DC AD

DC

] D I

i

(2.6.'t) Fig.2.16.

e questa è una relazione crtatl, mentre quella corretta è: NTIT -N";i:

AB

AD'-Éc

(2.6.2)

appatsaun istante, emergendoalla super6ciedi opinioni incomplete o efronce, si è inabissatanuovamente,attendendo dal futuro chi I'avrebbe definitivamentc tirata a rìya>>'4. Il CodiceArandel ai fogli 11t e 95r, e il CodiceAtlaxtico al foglio 33v riportano interessanti applicazioni del teorema, ben intuito da Leonardo, detto dcl poligono,di sottertaqione seconAoil quale, se ufl corpo pesantepoggia su un piano, I'equilibrio esige che la verticale passanteper il suo centro di gravità incontri il piano all'interno della superficie di appoggio. La ragione ci appare subìto chiara quando si consideri che il vincolo costituito dall'appoggio sul suolo è capacead esptimere soltanto reazioni d'ugual segno (e cioè rivolte verso l'alto), interna alla basedi contatto (frg.2.17): lret cui la loro risultante è necessariamente quindi mentre il caso (a) della figura può corrispondete a equilibrio, il iaso (b) lo escìude,restando presentela coppia formata dal peso e dalla reazione complessiva.

Fiq.2.15. : t ^

Tuttavia, tra i suoi schizzi si trova anche un'altra enigmatica figura commentata da un oscuro ragionamento che fa appello a una ideale leva angolare di bracci DC e CF (frg. 2.16).Il Duhem suggerisce allora I'ipotesi che a Leonardo balenasse la rcgola.:

N,rrFC:

45

Il rinanimcnto italia o. Leaflardo da Vinîi

Q DC

I

(2.6.3)

a.qgiunge Duhem -- le corrispondente al vero. un concetto, che rendono visibile una legge, che rializ,za,,,o capitoli-prece, "d ese-pio la leuae la"bilawia, cone s'è visto nei r"ìir""tl""," . o m e n t o 'I ' i n t u i ^ i , ' r , i " t u < J is é l a s c o p e r t ad e l c o n c e r t o . d im r ì ; ; ; ; ;;;: di equilibrio' leggi delle ,i,,".'a.f principio dei lavoti virtuali, la definizione alla rotaziooe' o a r t i c o i a r ed. e ì l ' e q u i l i b r i o "i n 'óoon," il \Vti t..olo il campionario degli ogetti si arricchisce preciin volta meglio e isolandoperciò con-maggior cura gÌi.aspetti.divolta sancìosi con distinzioni liryagio i come nel frattempo si ir1ìcchìsce "ì"À"i""".i,-.tri norme piìr esigentiche già da sole adombranola teoria' viene ìrì;:;id;:-:; accoglie pro!,"i i" f"l. il ruolo dej piana"itclitaÍocÈe, nelle mani di Stevino' forza second

E DI V,\RIGNON

La lcggc cli composizione clclle frrrzc cla stata intuita c aPPlicata dx Stcrico"in,,, m^'nirtt si pur) rlirc chc f,,ssc pictrlmcntc clrilritl, nó chc lc fossc in scguito' ch cssa rÌcquistît') la stîticfÌ pcr nosciuto il ruok> foncìamcnttlc t

66

La îonq ista àei pi"cìpi

teì recoli XVI

e XVI|

Furono inyece alcuni scienziati della seconda m€tà del XVII secolo ad impri_ meîe un nuovo corso, facendo della composizione delle forze e della compòs! zione dei movimenti la pietra angolare della < nuova meccanica >r,in polÀica o almeno in alternativa alla concezione antica, tutta fondata sulle Àacchine semplici e sul principìo delle velocità (o dei Ìavori) \irtualj ante litferam. La syolta che si è verificata è stara veramente mdìcale, benché, in ultima analisi, non riguardasse l'introduzione di nuove o travolgenti verità., ma una dlersa otgantzzazione di concetti piìr o meno noti, piir o meno presagiti. Ne è nata infatti una nozione piìr astratta e generale di iorza, interamènte affidata alla sua descrizione geometrica: e la sola possibilità di operare su di essa, componendo e scomponendo, ne ha mutato I'identità scientjfrca. In che senso? Ecco: fintanto che la forza esprime semplicemente la descrizione o la misura dt wn fatÍo fenomenologìco, essa resta cònF,nata,al ranqo deì modelli concet_ tuali con i quali la fisica riveste la realtà, traendo pur sempre dall,esperienza le indicazioni necessarìe pex cornatarli. Ma nel momento in iui la loria vjene rmmedlatamente assoclata a oppoftune regole che ne governano la composizione e La.decomposizione, essa diventa it possibite térmìne di w tinguagio 1n certa misura autonomo o automotivato. Ossia ìl concetto di forza si distacca quasi dalla realtàLfisica che lo ha prodotto e comincia a vivere di una vita pro_ pria, essendo identtf,cata proprio in virtù delle leggi < opetative > che la riguar_ dano: e.mno-questea?p/tnfa il prnîipil necetsarioe saficirie per la sua connatulqirne, mentre il riferimento ai îatti, a.gli ogefti frsict della meccanica, decade al ruolo di applicazione, o meglio_, di pir\ o meno plausibile isterpreta. Spesso si preferisce fare appello allo spastamentoairtaale, anzrché alla velocità virtuale. In tal caso, il prodotto Aella forza per lo spostamento virtuale può essere denominato lauoro uirtaale, e la precedente ptoposizione diventa I'enunciato del principio dei lavori virtuali ancor oggi seguito.

3.8

IL

CONTRIBUTO

DI CHRISTIAN

Il corib to di Cbritian Hayeu

Lo scienziato olandese nacque all'Aia nel 1.629e rnoÀ nel 1697 ; la sua opert fondamentale in meccanica è il ttattato Horokgian oscillatoritn, siae de noln penùlortn ad ltoralagiaaptato demonstratiznei g€anetriîa p\lbblicato a Patigi neì 1673. E un'opera, si può dire, di intelligente ingegneria per la costruzione di orologi tecnicamente elaborati in modo p€rfetto per quei tempi. Huygens infatti aveva ideato e costruito sin dal 1657 degli orologi cicloidali; invitato da Colbert in Francia nel 1665, ne migliorò notevolmente la meccanica per owiare ai difetti di isocronismo che si veriÉcano sulle oscillazioni 6nite del pendolo circolare e per realizzate strumenti adatti allramarina, dove a causa del continuo sballottamento della nave è necessario ottenere che le oscillazioni di grande e di pic-

HUYGENS

Secondo il giudizio di Mach, la grand.ezzadi Christian Huygens è, sotto ogni riguardo, pari a quella di Galileo. (Forse le sue doti di filosofo erano meno straordinarie, ma in compenso la sua genialità nel campo della geometria fu maggiore. Non solo continuò, ma superò le ricerche che Galileo aveva iniztato, gracché risolse problemi relativi a tist€ni di Pìtì îzrpi, meotre Galileo aveva studiato il moto di.un so/ocorpo>>s. a P . D u h c D r ,c i r . , 1 , p . 3 5 1 . s Iì:. Mrch, cit., p. 17tì.

l,

I i3,1.1ti.

76

La îúnq iîta dei prìmì?i

nei lcroli XVI

e XVII

cola ampiezza siano realmente isocrone. Huygens costruì anche ofologì astronomici, sia a Leida, sia a Parigi, che conseguono la precìsione di circa un iecondo al giorno. Ma nell'Horolagian osùllatoùai non è sàlo l,aspetto tecnico ad esser considerato: 'r'i sono tratati, per la prima volta, argoménti cli grande importarza. teorrca.i la teoria del centro di oscillazione, la determinazlone dell'aìceLerazrone di gtavità utrltzzando le leggì del pendolo, i teoremi sulla fotza centrifuga, Ie proprietà della cicloide, la teoria-delle evolute, la teoria del centro d i . c u na t u r a ( f i g . 3 . 1 8 ) . ' Entra dunque in scena un altro di quegli ( oggetti ) privilegiati che hanno :

',2

IP,h, i:1

,ile r, La fonnatadi Hqgease it Teatenadellenccttoprcciso cli massî: sîrà Newton a fissareil sr:ttilc discriitcmpi, cìurlquc,utilizzi^nloI'inscgnaminc trr Ìt massac ìl pcso.Prccctìcnclo mcnto cli Ncwtolt, ricorcìanrllchc lî nlitsslìm c il pcso P son()tîíì Lrrll lcgati

92

La conq"iÍa àe; prinîìpi

nei îeco/i XVI

e XVII

dallarelazione : (3.12.1)

dove g, al solito, è l'acceletazione di gravità.

Allora i termini prf 1

93

L

che figurano nella (3.11.6)possono essertrasfor_
'. Con queste paroli che bene esprimono I'atteîzione rivolta da Galilco ai problemi della tecnica e alle soluzioni tfamandate dal passato o conscguitc giorno per giorno nella pratica lavorativa, ha inizio la < giornata prima > dci Distorsi. E vero - risponde Sagredo a Salviati: è spesso utile rivolgere domandc a chi, nell'esetcizio del suo lavoro, ha acquistato esperienzae perizin, c s{,prîttutto a coloro che, per la loro preminenza sul resto della maestranza,si chiamano (proti). Eppure: < Quello che poco fa ci diceva quel buor.r vccchio è un dettato ed una proposizione ben'assai,vulgata;ma però.io la reputnvl in tutto vanal come molte altre, che sono in bocca de i poco intelligenti, crcrkr, da loro intfodotte per mostrar di saper dir qualche cosa intorno a quello, tli chc non son caPacl )r. Il , yeniamo a sapere, sosteneya che le cnstruzioni Pcrdono in robustezza quando se ne aumentino le dimensionì, . Qui Galileo si cliverte nel paradosso; ma non quando si rìchiama all'esperienzad€i costruttori: < e così, per esempio, piccole Guglie, Colonnette ed altre solide figure, sicuramente si potranno mancggiare distendere e tizzaÍe, senza risico di rompersi, che le grandissime pcr ogni sinistro accidente andaranno in pezzi, e non per altra cagione che per il lor proprio peso >. Dunque all'aumentare proporzionale delle dimensioni, la resistenza decaclc: e allora ciò vuol dire che Ìa forma geometrica non basta. Il modello iclcalc, schiettamente consegnateall'imprevedibìlità : essipossono esserestudìati rigorosamente con < djmostrazioni seometriche ). L'argtto Salviati sa bene di annunciar cose conrrarie alle vecchie convinz i o n i s c i e n t i f i c h e ,e s i c o m p i a c e n e l l o s t u p i r e c o n e s e m p i u r t a n t i i s u ( ) i i n t c r locutorj, in particolare SimpÌìcio, il fedele aristotelico. < E qui è forza chc io vi racconti un caso degno veramente di esser saputo (...). Era una grossissinrn Colonna di marmo distesa, e posatal presso alle sue estremità, sopra duc l.rczzi di trave; cadde in pensiero dopo un certo tempo ad un Mecanico chc tlssc bene, per maggiormente assicurarsi che gravata dal proprio pes(, n(,n si r()nìpessenel mezzo, supporgli rnco in questa parte un terzo simile sostegno: parvc il consiglio generalmente molto oportuno, ma l'esito lo dimostrò essercstît(, tutto l'opposito, atteso che non passarono molti mesi che la colonna si Irovir tessae rottal glusto sopra il nuovo appoggio dt mezzo r (fig. 4.1).

l;ì.q. 4.1.

r \ c l u c s t op u n t o , S i m p l i c i o n o n n c p u i r p i ù , c s b o t t a c o n g o l l : r i r r c r < t l u l i t r \ : nella nuova configutazione. Tale è il caso della trave su due appoggi (frg. a.r. Se invece i vincoli sono sovrabbondanti, e cioè se la struttura è iper-

rnateria delle resistenzeessereun campo pìeno di belle ed utili contemplazioni; e se vi conrentate che questo sia il soggetto de i nostri ragionamènti di oggi, a me, e ctedo al Sig. Simplicio, sarà1"lratissimo >. Salviati s'apprestadunquè a illuitrare quel Jhe egli ha appreso( dal nostro . Acca.lemico [cìoè 4, Galileo], che sopra tàl materia haveva iatte molte speculazioni, e tutte, conforme al suo solito, Geometricamentedimonstrate,in àodo che, non senza xagione, questa sua potf€bbe chiamarsi ufla nuoya scienza>r. E subito, però, il discorsosi inciampa nella ricerca del percbé : da che cosaderiva Ia resistenzadi uo solido alla rortuìa? Quale ne è la iaara? < Segniamo il Cilindro o Prisma AB di leqno o di altra materia solida e co€r€nte,fermato di sopra in A e pendentea piombo, al quale nell,altra estemità..B sia aftaccatoil peso C (frg. 4.5): è manifesto che qualunque sì sia la tenacitàe coereîza.tra di loro delle parti di essosolido, put che non sia in6nita,

Fig.4.l. statica, a causa dei cedimenti possono insorgere deformazioni e conseguenti sollecitazioni, anche in assenza di carichi esterni. Tale è il caso della lrarc czftÍiflaa s! tre appoggi disegnata nella fig. 4.4. L'esempio qui addotto non corrisponde, in verità, al precìso argomento che è syolto nel dialogo tra Salviati e Simplicio. Ma, in ultima istanza, Ie conclusioni convergono, Ormai, I'attesa di Sagredo s'è fatta viva: ne vuol sapcrc di piùr su questa nnua scieuqa,e incalza I'amico: < Adunque, Sig. Salvilti, spiînatecj qucsti sc()gli e c l i s c h i a t a t c ccil u e s t eo s c u r i t à ,s c n c h î v c t c i l n r o c ì o : c h é b c n c o n i c l t u r ' ' . c l u c s t r

I;i!. 4. î.

110

.Il Probhna di Calileo

potràr esser superata dalla forza del traente peso C, la cui gravità pongo che possa accrescersi quanto ne piace, e esso solido finalmente si strapperà, a guisa d'una corda. E sì come nella corda noi intendiamo, la sua resistenza detivate dalla moltitudine delle fila della canapa che la compongono, così nel legno si scorgono ìe sue fibre e filamenti distesi per lungo, che lo rendono grandemente piÌr resistente allo strappamento che non sarebbe qualsivoglia canapo della medesima grossezz^ | ma nel Cilindro di pietra o di metallo la coerenza (che ancora par maggiore) deÌle sue patti depende da altro glutine che da filamenti o fibre; e pute essi ancora da valido tiramento vengono spezz^tr >. Il problema è difficile; di piìr, per le conoscenze scientifiche che potevano essere accessibili a Galileo, è insormontabile. La neccanicadel/a rattua è riuscita solo fec€ntemente, e non senza incertezze t:utfota perduranti, a chiarire le ragioni del fenomeno, riferendone gli aspetti macroscopici alle nozioni acquisite dalla fisica dello stato solido a livello molecolare. La soluzione indicata da Galileo è perciò lacunosa e oggi può apparire ingenua; < volendo voi sentir' il mìo pensiero intorno alla resistenza all, se si solleva la superiore, questa < si tira dietro I'altra e perpetuamente la ritiene sollevata, ancorché grossa e grave >? Ciò mostrerebbe, appunto,

E bene fat sosta qui un momento, e riconsidetate criticamente rutro questo discorso, esponendolo in modo pìir esplicito. Anzitutto Galileo fa riferimento al concetto dt resistexTaassohttae la definisce come < quella che si fa col tirar (la trave) per diritto >. In altri termìni, si ttatta del valore limite che può esser lrggiunto dalla forTa assialeN che lungo la sezione a-a una parte dèlla trave soggetta a trazione esercita sull'altra. La forza. N è, in verità, urio srrano personaggio: €ssa traduce nel linguaggio della statica, e cioè in termini di foize, lrn fatto che, di per sé, ha natura geometfica. Osservando la trave della fig. 4,8

./Ì.q.+.,\.

di Gatilco,t Riferiari I . I-a tesi può esser dimostrata confrontando i momenti resistenti limite in C e in A: ìn C,I'akezza della trave è data da H I nn,t, -

(nedi fr'g.4.23); e quindi:

ott. BH'

(4.7.1)

, "1, ltìt,. 1.2L ll rrr,,rncntoestcrnoin C e in A, dovuto al carico Q, è poi :

Fig. 1.21. Il discorso muta se la mensola non ha sezione c()staote,ma è sagomata in modo opportuno. Lcggiamo quel cìre crrmp('rtarìrcnto di una trave sotto carico. L'ossetvazione rivela sensibili cliÍlèrcnzc tra Lrnirmcnsola lignea e una metallica; vi sono matetiali che si deformano lrotcr r rlrrente prima di giungete a.lIa rottura, e materiali che mantengnnl irrvccc lrL dcformazione entro margini molto stretti. Ebbene, il modellr passr sotto rilcnzio questa diversità. I cilindri o i prismi di cui parìa Galileo sorro assti ricini agli astratti solidi della geometria euclidea: alla loro formr gc,,nrctricr, ,, nrcqlio, alle loro dimensioni s'aggiunge soltanto la proprietà di p()tcr sr,f()gni altra l),ìrtrÌrc, entro limiti assegnati, dei pesi concentrati o distribuiti. sq,r'cilicazione descrittiva sarebbeirrilevante, così come sarebbejrrilcvtntc intli, rrlc ìl colore del legno e la lucentezza del metallo. Il modello di Galileo è dunque il piir scarno possìbile; infattì csso può csscrc ospite soltanto delle pitr elementari regole geometriche e clelÌc pìùr ovvic Icrlri statiche. Da un certo punto di vjsta, questo è un pregio: i miglìori prolircssi la scienza li ha compiuti sapendo isoÌare tra gli inesauribili aspctti rlclll rc;rltr'ril minor numero di pafametrj significatìvi. Solo così si pLri, giungcrc ,rl pcnctale, alla legge semplice c certa. N{a sino a qual segno ò lccito imPovcrirc il lcssico? E come si può awertirne l'inadelluatezza?La rispostl ò clillìcilc c ()s(-ulrÌ::rcc()ntcntiamocidj un abbozzo t1i rillessionc, con rigr-rarcì,r ull'cscnrpio r , t f ut t L r r l l l cc l l e c i i n t e l e s s a . l . : r r i c c r c a s c j c n t i l ì c an o n p u i r r i s p o n c l c r cî u n ' L l n i c l tc s i g c n z l r l i s i n t c s i; c . s ' Lt l c v c t n c h c s a p c rr c n c ì c L c o n t o t l c l l c d i l l c r c n z c .S o n o ,< l u c s t id, u c o b l r i c l l i v i ( l | r ì l r : t s l , r n {ci , i l m l . q g i o r s f o r z o ò p r o P t i o < 1 u c ì l oc ì i t r ( ) \ , í r f l r cu r l ' r n ì r } r i c r c o n t p , ' s i z i o n c .l , l l l l o t a s i v c r i l ì c t , r t o n c 1 il t c l r , u r r d u p l i c c n t o v i r r r e n l ( )t ,c s l i n ì ( ' ! ì i r t { , r l . t l l : ts t o r i i r c l c l l l s c i c n z t t r c l l c s u c t r t p p cc s s c n z i l l i .A n z i c l r ó p r o g l c < l i r c< I i r t c t r t t t c r t t c > , < l r r l l ' i n r l i s l i n t ct o n r P l c s s i t ìr l c l l i r s g c t t o l ì s i c o t l l l s u c t c s s i v as c P i t r t -

1.36

S,il'QPi a"tìcbi e nîe'iri

del problm,a di Galiho

zione di tutti e solì gii aspetti scientificamente interessanti, la ticexca si sviluppa, come dire?, a nella forma: F:KU

r) (5.3.

La (5.3.1) è in realtà valida con buona approssimazioneper moltissimi matetiali, e in partìcolare Per quelli che intervengono nelle costruzioni. Dobbiamo aggiungere, però, che la r-erifica sPerimentale, inevitabile fondamento della 15.3.1;, dimostra a.nzrtwttoche non è lecito estendere la relazione lineare tra forza e spostamento a qualsivoglia corpo solido. ,Altre eqtnliotti îl.tlit//lirt Possono intervenite, non soltlnto oltre ìl dominio dell'elasticità, come ad cscnrpio scriin corpi plastici o viscosi, bensì anche in carupo eltstico, quando si cìcl>l.la z ìbnlenr.o. 347. 8C.'l.rcsid|,,|'h,:n1|n'jl|nr|uuit'ttll/t'xìhhatLLlllìthul|ll. 'lLrrici, 1960. abt:tt or tìt, //, scr. ll, p. 55,

dove f è un'opportuna funzione dello spostamento. Tuttavìa, e qucsta è la seconda osservazione,si può rittovate la (5.3.1) partendo dalla (5.3.2) qualrra si limiti f intervallo di variabilità àeIla Íorza. F, in particolare intorno al vllor nullo, valutando i corrispondenti spostamenti anch'essi o addirittlJa infútesirzi, tali cioè da doverne trascluate ogni potenza u!, urr, ... supctiore alla prima. Se zllora. Ia. f:unzione f gode di appropriate carattetistichc di tl, ò lccit() regolatità, ed è continua e derivabile, essendoinoltre nulla per u: arrcsttnclosi tn Mac Ì,lurin, della (5.3.2) serie di sviluppare il secondo membro al orimo termine. Ne viene: . - d f ou

ù:o

(s.3.3

c questa equazione è identica alla (5.3.1), ove si ponga:

,-

I . : . '

dt I

ou lu_o

(s.3.4

Ciò conduce alla conclusionc che la < lcggc tli f Tool (ng. 5.11).

(s.6.6)

valida per qualunque disttibuzione delle tensioni lungo I'ahezza deÌla trave, è stabìlita, quale

Ma, nella medesima memoria, altri contributi di eminente valore sono offertì : Lelbniz ritrova ed estende alla luce della sua teoria, i risultati galileiani sui solidi di ugual resistenza o di minimo peso, e aff€rma la connessione delle proprieta elastiche a quelle acustiche dei corpi. Tutto ciò, secondo Truesdell, autotrzzt 'r a considerare Leibniz < come il padre della teoxia matematlca dell'elasticità > anche per l'orientamento da lui dato a Giacomo Bernoulli in questo settorc della meccanica.

5.7

I : iv' d-A

Ml < oaafio

(5.6.3)

dove :

J":

G;acono Berro lli e I'Infart\,lio

1tiq.5.11. '5 (ì, I nrc$dcll,cil., f'. 63.

r)z

Sri/appi a liîùi e rueatì drl prablena di Calileo

Fi"alhe

le la tula> la fine del Settecentoperché la chiarezzaancora assailacunosanella memotia di Parent veriisse p.ienamenteconseguita nel saggio celebte e fondamentaledi C. A. Coulomb: Essai su tne Applicatian du Règlu de maxinis et nininis à qtrclqauproblènes de statiqae relaÌift à I'archìteùare, presentato all'Accademia di Irrancianel 1773 e pubblicato nel 1776'o.

5.9 COULOMB:

ú^u^

I;ig, 5.17,

1

IL PROBLEM,{, È ORMAI CHIARITO

Di Coulomb dovremo Padare Piit difiusamentein un capitolo successivo. (]ui diciamo soltanto qualcosa della sua ttattazione sul problema, sempre lo stcssot, dì Galileo. Conìiderando la mensolaa sezione tettangol^re caticr.taéta un peso Q (fig. 5.18) trasversaleall'asse,Coulomb riconosceche: 1) le fibre della parte suPerioreAC sono tese mentre quelle della partc intcrjore CD sono compresse; 2) esistono due componenti della tensione: la componenteoi n(,rmale irllt sczionetrasversale,e la componenteî tangentealla sezioncstessa; It (i, l ru.sdcll, cit,, p. 114. 1 0 " M ó r r r . r ù : r t l r . p h y s . n c a c l .s c i . d i v c r s s r v : r n s " , 7 , l 1 p . 3 4 3 - 3 8 2 , 1 7 7 6 ,

158

Sril"P?i

anJicùi e recenti drl prablena di Galìho

La defhitira !;iena-. In verità Huygens si muove ancota nell'area culturale vecchia, ed esercita, sia pur con grande petìzia, il complesso metodo geometrico. Leibniz invece dà Ia formula anafitica. corrctta. della catenatia nel piano (x, y) della figuta originale qui tipottat^ (frg. 6.6):

"t" f : j '8. Nei paragtafi 2,3,4 dell'AdditaruerîtanI, Eulero formula e risolve il problema di-minìmo suggeritogli da Bernoulli: ( tra tutte le curve di ugual lunghezza dne non solo Passinoper -A e B ma anche abbìano in tali punti assegnate pendenze,determinarequella in cui il valore della seguenteesPressione:

fd' IR'

,i^ iúni-o , '0.

La soluzioneottenutain un piano (2, y) è la s€guente(frg.6.22):la attva ha equazioney: y(z) dove: (q.I pz i dy _ -. É: Vg-

A l;ìg 6.22. 'H lbi.lcrrr,pp, 231-232, ru lbi,lcrr, p. 233.

yz2)

(a' a' P' Y' costanti)

(6.12.1)

216

C'ttie Íe$ibili

ed etaî/ict)î

-{ questo punto, osservaEulero, basta ricotdatsi dell'espressione(ó.8.13) già ottenuta da Giacomo Bernoulli, molto vicina alla (6.12.1),per riconoscere che I'ipotesi di Daniele è veritiera. Eulero però desideraporsi in un casopiìr genetale,in cui non sià presente soltanto un carico concentrato all'estremità libera della mensola, ma anche un momento concentrato e una fotza assiale.Nel patagtafo 5, quindi egli considera la verga disegnatar.ella frg. 6.23, àove il tratto CA, lungo c, è rigido.

L'< addilanent u I> al trattaÍa < Metbod r in)e4ie di linear cnrar,.,>

(1744)

dove f è una costante. Elevando al quadrato ambo i membri rispetto a y', si ottiene, ad esempio, Ia:

risolvend '4. Vcclremo tfa poco come al risultato euleriano si possa gìungcrc in moclo rr'lrxduci,rnÙnuovanrcntcinnrodolibcro,pcrl.rrîgionc(lc .ìncllanot:r22;scc,,rxkrIiulcro l l o r r i c o c r i t i c o s î r c h b c r r , I l ) l l ! , i l c h c , p c r l : r t l r v c r n r c n s < , l aò, c r r a r o . rr lbi(lc'Ìì, p. 255.

Cane feribili

222

ul elanicbe

La teorid likeaú4) incastrata-libeta un'inflessione tale che l'estremo libeto B ruoti di un angolo assegnatogB (frg. 6.27) non è possibile attenersi alìa teoúa lineatizzata e occorre tisalire alla impostazione di Euleto (o ad altra equivalente).

9B o' 20'4d 60"Bd loo"rzo"radrodreo" Fi4.6.28. 80" 6.14 LA TEORIA LINEARIZZATA DI EULERO PER L'INDIFFERENZA DELL'EQUTLTBRTO(1759)

100" 120"

Fig.6.27. Notiamo, tra parent€si,che al cresceredi g. aumentail carico P necessaflo. ffitica

La tab, 6.1 indica l'andamento'5 : nel rapporto 3, r'' r (6.13.5) eahriano.

n" è 1l mrico

Tabella 6.1. 80o : r [100o P/P".

1,0153

1,0636

1,1518

1,2939

1,5184

720"

[140.

160"

178'

1,884a

2,5424

4,0301

11,971

II diagramma relativo è rappresentatonella fig. 6.28. 's Cfr. ar! es.: O, Bcll|J,zi,.lùenryltllc Cotruqiorì,4, p, 83, llol,gnr, 19ó1,

La cutiosa scopetta del carico critico di una trave soggetta a :una fotza assiale di comptessione, o, come si suol dite, caricaia di punta, non suscitò intercsse, né presso i matematici, né presso i tecnici, nonostante che Musschenbroek ne avesse ossefyato già da tempo la tispondenza sperimentale, ancor I'rima del saggio di Eulero (cfr. il cap. 8). Sarà lo stesso Euleto a ritornare sull'argomento in una Memoria pubblicîta nel 1759. < Sulla sollecitazione delle colonne >>"ó (che il Todhunter giudica < uno dei pir) impotanti contributi euleriani alla teoria dell'elasticità >). Egli ò rimasto colpito dall'anomalia degli eff€tti dovuti al catco di punta. Mentre una fotza agente perpendicolafmente all'asse induce sempfe un efletto e ( se la {ìrrza è grande la flessione è rilevante, se Ia forza è pìccóh la flessione è forse irlrpetcettibile, ma esiste >, al contrario una îorza. assiale opeta in modo < non poco paradossale > : fino a che essa non abbia raggiunto un certo valore critico, I'inllessione è impossìbile. Non conttaddice, questo, il < principio di continuità rlclla natura >? Pet studiare più agevolm€nte il fenomeno, Euleto usa una trattîzi()ne approssimata, cioè una leoria lineare. Sia data, dunque, la trave AB di lwnghezzz l, vincolata come in fig. ó.29, riu cui grava il carico di punta P. Riferita la linea d'asse all'ascissa z con origìne in A, limitiamo I'attenzione al caso in cui ogni punto C può subire uno tpà autnlo i f,tihiirrro, portandosi in C'; owiamente il segmento CC, è perpendicolare rfl'assc z, îappresenta cioè uno tpzstanerÍo lrayervle che indichiamo con la luazl()ne:

(ó.14.1) "llist. acad.sci.", /J, pp. 252-282,tlcrlit, (1757) 1759. :0 I.. Iir:lcro,.fer la Joru du eolonn*,

C'!rueferîibili eA elaîlhbe

224

Supponiamo ota c]r.ela tra-ve, anziché mantenersi rettilinea, si disponga uariatadi equilibrio,ad esempio la AC'B', e determiniamo in una confgarayione taÌe configurazione varìata quale valote debba assumereil carico P aÉÉinché sia efettiaanente di equilibtio.

La teaùa lifleari>2e. > torsionale di una tîave alta e snella, in cui ad esempio J! J", frg. 6,44' La di equilibrio. mento flettente nella configurazione fondamentale latc\ratiata piega si i la trave rlà un'immagine delta possibile configurazione ralmente subendo così non soÌtanto una flessionema anche una totsione. Non possiamo dire di piÌr, poiché il bagaglio delle conoscenz€,al momento attualc ilcl nostro cammino, è ttoppo lidotto. Ci basta l'aver segnalatol'esistenzadcl fcnomeno che Ludwig Prandtl studiò nel 1899 in occasionedella sua tesi pcr il dottorato di lautea a Monaco.

la determinazione n: 1 non è significativa;lo è invece la determinazione n - 2 che definìsceil caricocririco: 9c.

(6.20.10)

dove 2a è l'angolo al centro sotteso dall'arco ABC' 6.20.2 L' instabilità

e il suo integrale generale è: v:

Basteràimporre che in -A e in C lo spostamentov(0) sia nullo' Ciò conducc al carico critico per l'indifrerenzz dell'arco nel suo piano:

lti.4. 6.41,

dei pitcìpi Prenetse >

di ertftuo

245

7 LE DEI PRINCiPI DI ESTREMO Questo breve capitolo deve essere inteso come un ìntelmezzo su temr matematici e meccanici che non si riferiscono direttamente all,analisi delle strutture, ma rappfesentano lmportanti strumenti concettuali e lìnguistici pex affton_ tame lo studio, con l'ausilio di una chiave di lettura patticolarmente espressiva ed eficace. Si tratta dell'uso in meccanica dei princìpi di estremoe cluindi anche dei nelodi.uariaqionali. È. penlto necessatio limitaró qui il discorso- agli aspetti piìr semplici, omett€ndo qualsiasi sviluppo formale che non sta strertamente necessario; perciò ìl lettore che possegga qualche elementare nozione sul cal_ colo delle yarìazioni può passar sopra a gtan parte di quel che verrà detto nelle pagrne seguentl. Già abbiamo visto nel cap. 6, che il metodo dei massimi e deì minimi si veniva formando, sullo scorcio del XVII secolo, ad esempio in xelazione al ptoblema della catenaria: la fune pesante (e inestensibile), sosiesa ai suoì estremi, si dispone in modo che il suo centro di gravità scenda il più basso possibile. La determinazione della curva y(z) assunta dalla fune è dunque gor.èrnata da una condizione di estremo; in altri termini, tra rutte le possìbili funzioni y+(z) che passano per due punti assegnati e che sono continue e derìvabiÌi, ociorre scegliere quella per la quale il baricentto abbia distanza massima dall,asse z, supposto otizzontale (frg.7.1), con la condizione ulteriore che la lunshezza complessiya delle curye y*(z) si mantenga costante e pari alla luoghezza I de a fune : .

T.

î

t---

I - lds.: lv I + (yr'(z))zdz ) J

( 7. 1 . 1 )

.{B

Ma la vicenda è piir antica: risale a Pierre cle Fcrmat. Iira il cuporltnno . Ebbene, Fermat propone di paúffe .Natutalmente, occofrc ()r,r verificare che da un tal ptincipio le equazioni per Ia riflessione e per la rifrazi,,ne derivano di necessità.Fermat riesce a giungere al termine di questo obietri\.,) con argomenti deduttivi rigorosi, rovesciando l'ipotesi inverosimilc