La concepción pitagórica de número y sus proyecciones 9507864598

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Francisco García Bazán

LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL NÚMERO Y SUS PROYECCIONES

COLECCION D AIM O N

Editorial Biblos

COLECCIÓN D A IM O N

B

Dirigida por Leandro Pinkler y Fernando Schwarz

LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL NÚMERO Y SUS PROYECCIONES

García Bazán, Francisco La concepción pitagórica del número y sus proyecciones, - la. ed. - Buenos Aires: Biblos, 2005. 153 pp.; 20x12 cm. (Filosofía) ISBN 950-786-459-8 1. Filosofía Antigua. I. Título. CDD 180

Diseño de tapa: Luciano Tirabassi U. Ilustración de tapa: Busto de Pitágoras (Museo de Ostia) Armado: Hernán Díaz Coordinación: Mónica Urrestarazu © Francisco García Bazán, 2005 © Editorial Biblos, 2005 Pasaje José M. Giuffra 318, C1064ADD Buenos Aires [email protected] / www.editorialbiblos.com Hecho el depósito que dispone la Ley 11.723 Impreso en la Argentina

Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea éste eléctrico, químico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte de la editorial.

Esta primera edición de 1.500 ejemplares fue impresa en Indugraf S.A., Sánchez de Loria 2251, Buenos Aires, República Argentina, en agosto de 2005.

A mis nietos Gonzalo Hugo, José Ignacio y María Lucía

índice

Introducción.................................................................................... 11 P r im e r a p a r t e L a c o n c e p c ió n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

I. La matemática pitagórica..................................................... 23 II. El número: nociones subyacentes y razones numéricas................................................................................. 35 1. Plotino...................... ................ ........................................ 35 2. Jámblico de Calcis............................................................42 Se g u n d a parte Pr o y e c c io n e s d e l a c o n c e p c ió n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

III. Conocimiento científico, número e imaginación en el platonismo que pitagoriza............................................51 I. Conocimiento, ciencia y técnica..................................... 51 II. La imaginación, la ciencia y la técn ica ........................ 60 Conclusiones............................................................................ 63 IV. Aristóteles: la proporcionalidad de la virtud y los tipos de ju sticia ................................................................................ 65 I. Introducción ético-jurídica..............................................65 II. La justicia y los tipos de ju sticia ................................... 69 III. Justicia y equidad........................................................... 73 V. Eudoro de Alejandría, el pitagorismo y su concepción de la ju sticia............................................................................ 75 I. Planteamiento del tema de la justicia en E udoro...... 75

II. Aspectos principales del pensamiento preneoplatónico de E u doro............................................. 77 III. Dimensión propia de la doctrina del telos según Eudoro de A lejandría...........................................82 VI. El platonismo pitagorizante y los gnósticos valentinianos. Sobre la mediación liberadora, la justicia y el n ú m ero................................................................ 89 I. La mediación entre los valentinianos........................... 89 II. El dios justo y las ju sticia s............................................. 90 III. La justicia como péntada y la justicia como virtud cívica y paradigma............................................... 97 IV. Las dos ju sticias............................................................. 102 Conclusión.............................................................................. 104 VII. Conclusiones.................................................................. .......109 Bibliografía Fuentes................................................................................... 117 Estudios.................................................................................. 120 Apéndice Antología de textos sobre la matemática pitagórica

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Introducción

Resultará metodológicamente útil al lector para que se pueda proyectar hacia las fuentes del pensamiento matemático occiden­ tal, y más ceñidamente hacia la reflexión filosófica sobre el núme­ ro, tomar como referencia y punto de partida del presente estudio los primeros capítulos de una obra clásica de la filosofía de la ma­ temática contemporánea. Nos referimos a la Introducción a la filosofía matemática de Bertrand Russell (1919), que resume para el interesado en estos temas, aunque no especializado, los resultados técnicos desarro­ llados en dos libros anteriores del autor inglés: Principios de las matemáticas (1903) y los Principia mathematica redactados en colaboración con Alfred N. Whitehead (1910).1 Efectivamente, en la primera parte del libro de Russell citado se confirma una concepción logicista de la aritmética que tanto la distingue de la formalista a ultranza, representada por David Hilbert en relación con la interpretación de la geometría, como de la intuicionista de Luitzgen E.J. Brouwer. La teoría de la aritmética del matemático y lógico inglés mues­ tra con superior claridad que en los otros dos casos en qué consiste la propensión de una orientación vigente de intérpretes de la ma­ temática hacia el reductivismo de la naturaleza del ente matemá­ tico, confinando al número en el plano simplemente semiótico sig­ nificativo y dejando de lado el aspecto simbólico que asimismo le

1. Véase Bertrand Russell, Introduzione alla filosofia matematica, Milán, Longanesi & C., 1947, pp. 9-31. 11

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concierne dentro de la historia misma de la matemática. Se trata de un hecho que a su vez emparienta al lógico inglés con autores de la segunda mitad del siglo XIX y de la primera del siglo XX que asimismo son figuras ilustres en las tentativas de fundamentación teórica de la matemática, como Gottlob Frege, Giuseppe Peano y el aludido David Hilbert. Iniciado de este modo el planteamiento de la cuestión, se po­ dría, asimismo haber comenzado la presente exposición prelimi­ nar no desde una perspectiva restrictiva sino más amplia, ingre­ sando en el universo numérico por la avenida que conduce por su más generoso panorama dentro de la aventura humana, abordan­ do, por lo tanto, nociones que remontan al cuarto milenio antes de nuestra era y que han precedido incluso al uso humano del len­ guaje, de las técnicas de rodados y de la fundición de los metales, mediante el empleo etnológico de muescas en la madera y en los huesos largos de los organismos, el manipuleo de bolitas y peque­ ñas piedras (latín calculi) y la inscripción de palotes y otras figu­ ras en las piedras en Egipto, Babilonia, Creta, Grecia, Roma, en­ tre los mayas, etc. Todos estos procedimientos han dejado cons­ tancia de que el significado cuantitativo que permite distinguir a las pluralidades y asociaciones presentes en partes característi­ cas del cuerpo humano, bien sean órganos pares (2): ojos, orejas, manos, pies; conjuntos de 5 (dedos, lat. dígitos), asociaciones de conjuntos parejos (10), su unidad (1) o ausencia de componentes (0), ha gobernado conceptualmente a la semejanza que entre ellos se impone en el trato cotidiano, del mismo modo como les ha sido inseparable el orden sucesivo de menor a mayor tamaño que está en relación con la numeración de esos mismos agrupamientos. La peculiaridad ordinal del número aludida ha sido particularmente puesta de relieve y conservada en los ritos.2 De esta manera puede decirse qué el número como una enti­ dad mental referida al orden y la cantidad ha acompañado al hom­ bre desde que se lo conoce como tal, y se ha agregado a sus com­ portamientos religiosos arcaicos;3final y mucho más recientemente se impuso la sucesión decimal sobre la sexagesimal y, por razones

2. Véase F. García Bazán, Aspectos inusuales de lo sagrado, Madrid, Trotta, 2000, pp. 50-52. 3. Véase E. Anati, “Simbolización, pensamiento conceptual y ritualismo en 12

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de economía lógica y de utilidad operativa, el algoritmo cifrado sobre el abacismo práctico.4 En los capítulos del libro de Russell a que se hizo alusión anteriormente, en cambio, con fines más estrictos, se describen dos enfoques posibles de estudio o reflexión sobre el número: uno que va de lo simple a lo complejo; el otro, de lo simple a lo primi­ tivo, o sea, a los fundamentos racionales del número. Esta últi­ ma es, además, para el autor la tarea propia de la filosofía de la matemática. Se confirma lo dicho señalándose que esta actividad de fundamentación tenida en cuenta ya la realizaron los geómetras grie­ gos, al ir de la práctica a la teoría en que se basaban y que una vez captados estos principios, axiomas y postulados, Euclides de Ale­ jandría (fl. 365 a.n.e.) dedujo una serie de teoremas entendiendo la matemática en el sentido constructivista habitual y asentando los cimientos de la axiomatízación en geometría.5 A menudo, sin embargo, se omite, y es también el caso de Russell, aclarar que una actividad paralela a la citada fue llevada a cabo en extensión y con las exigencias que les reclamaba la propia orientación del pensamiento por los filósofos volcados hacia la aritmética dentro de la orientación platónico-pitagorizante, la que se presentaba a su vez como fundamento racional de la geometría, de la armónica y de la astronomía o esférica: Moderato de Gades (segunda mitad

el Homo sapiens”, en J. Ríes (coord.), Tratado de antropología de lo sagra­ do [1]. Los orígenes del Homo sapiens, Madrid, Trotta, 1995, pp. 183 y ss. 4. Véase John L. Bell, “The Art of the Intelligible”, en Elementary Survey of Mathematics and its Conceptual Development, Dordrecht, Kluwer, 1999, pp. 1-9 y 193-209. Sobre el intuicionismo de L.E. Brouwer véase, asimis­ mo, V. Hósle, 1 fondamenti delVaritmética e della geometría in Platone, Milán, Vita e Pensiero, 1994, pp. 89-97. 5. Véase, por ejemplo, R. Torretti, “El método axiomático”, en C. Ulises Moulines (ed.), La ciencia: estructura y desarrollo, Madrid, Trotta, 1993, pp. 89-110, y, con mayor extensión, El paraíso de Cantor. La tradición conjuntista en la filosofía matemática, Santiago de Chile, Editorial Universitaria-Universidad Nacional Andrés Bello, 1998, pp. 71 y ss. (con profundi­ dad de la que carecen otras obras contemporáneas), y Giovanni Reale y Dario Antiseri, Historia del pensamiento filosófico y científico, III, Barcelo­ na, Herder, 1995, pp. 321-334 y 843-849. 13

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del siglo I), Nicómaco de Gerasa (siglo II), Jámblico de Calcis (se­ gunda mitad del siglo III), etcétera. Dejando a un lado los insoslayables antecedentes indicados, se da un gran salto histórico en la exposición de la filosofía de la matemática y de inmediato se compromete el redactor en descri­ bir los intentos modernos de fundamentación de la aritmética, entrando en el contenido de las entidades numéricas, puesto que en esta disciplina se ha ido avanzando lógicamente de lo mental­ mente más accesible, la serie de los números naturales, hacia los hallazgos matemáticos que son de mayor complejidad. Pero inver­ samente, también se consigna que se ha realizado el camino opues­ to, retrotrayéndose el pensamiento hacia los principios presupues­ tos o subyacentes que permiten lógicamente llevar adelante esos desarrollos. Sostiene Bertrand Russell, en consecuencia, con un inocultable prejuicio socioevolucionista que se han necesitado muchas épocas históricas para descubrir que: Una pareja de faisanes y un par de días eran ambas expresiones del número 2, pues el grado de abstracción aquí implícito está lejos de poder ser fácilmente capta­ do. También el descubrimiento de que 1 es un número debe haber sido bastante difícil. En cuanto al cero, es una conquista muy reciente. Griegos y romanos care­ cían de tal cifra. Pero bien que ahora familiares, no son generalmente comprendidos. Muy pocos serían capa­ ces de definir lo que se entiende por “número”, “cero” o “uno”.6 Seguidamente aborda Russell en su ilustrativa exposición la pregunta sobre qué es un número y se apoya para esto en la tenta­ tiva de axiomatización de la aritmética del matemático italiano Peano, quien llegó a demostrar que la teoría de los números natu­ rales puede hacerse derivar de ideas y enunciados básicos limita­ dos, y en Frege que fue todavía más a fondo al formular y respon­

6. B. Russell, ob. cit., p. 13. Adviértase que Russell escribe “cifra”, es decir, notación numérica, palabra que proviene del árabe cefer (vacío), “cero” como signo numérico, guarismo (ár. huarisme: número en general), al haber sido considerado el algoritmo (ár. al-guarísme), es decir, el símbolo numérico por antonomasia. 14

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der, en Fundamentos de la aritmética (1884 y más tarde en 1893), la pregunta “¿qué es un número?”, esfuerzos unidos que han pues­ to en el camino correcto para poder transitar hacia una filosofía del número. Lo dicho lleva a Russell, en primer lugar, a excederse al atribuir a Pitágoras algunas ideas que no son más que una mala caricatura del pitagorismo y subsiguientemente a elaborar una, más que filosofía, teorización lógica sobre el número, y que con el pretexto de que no debe confundirse el número con la pluralidad, una reserva que desde luego es inatinente en relación con muchos autores antiguos, le permite impulsar el propio razonamiento acer­ ca de qué sea el número, puesto que: “Un número es algo que ca­ racteriza a ciertas combinaciones [...] conjuntos, series o clases”. La clase se puede definir extensivamente, por la enumeración de sus términos, o bien, con mayor provecho, intensivamente, por una propiedad que pertenece a todos sus miembros. En este caso podemos apuntar a una propiedad de una clase, pero que la tenga en común con otra. Esa propiedad común representará a una cla­ se que lo es para ambas. En tal circunstancia, por ejemplo, el nú­ mero tres no será más que el concepto lógico de tres, el que com­ parten todos los conjuntos que posean tres términos. Porque las clases que poseen la relación de términos de uno a uno son seme­ jantes o biunívocas, y toda clase es igual a sí misma -relación re­ flexiva-, y si una clase es semejante a otra, esta otra es semejante a la anterior, o sea que son simétricas y tienen que ser así para que tengan el mismo número de términos y, si no son simétricas, no los tienen. Por lo tanto: “...el número de una clase es la clase correspondiente a todas las clases semejantes a ella” o, con supe­ rior generalización: “Número es algo que es el número de una cla­ se dada”. De acuerdo con esto se puede definir el “3” como la clase correspondiente a todas las clases que son semejantes por poseer tres miembros, y el “1” como la clase que corresponde a todas las clases que son semejantes por poseer un término y el “0” como la clase que es correspondiente a todas las clases que son semejantes por afirmar un miembro que es la carencia de miembros. Dicho en palabras de Russell: “El cero es la clase cuyo solo miembro es la clase nula”. Comprendido lo dicho y teniéndose en cuenta —prosigue expli­ cando Russell con seguridad- la axiomatización de la aritmética de Peano puede perfeccionarse y se tom a más rigurosa por mayor economía en sus términos primitivos y se puede asimismo avan­ 15

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zar siguiendo con Frege la idea de que la aritmética compleja se basa en la serie de los números naturales y esto último se justifica asimismo en la estructura lógica propia de la mente humana. Será fácil mostrar más adelante, sin embargo, que el pitago­ rismo ha resuelto de un modo diferente y realista los problemas de la filosofía de la matemática que Russell apoyándose en las relaciones formales de los términos volatiliza, reduciendo la filo­ sofía de la matemática a una simple teoría lógica del número, un procedimiento que simplifica la complejidad interna de las enti­ dades matemáticas y que trivializa la profundidad de las cuestio­ nes de naturaleza filosófica. Sin ir más lejos y en relación con los mismos Elementos de Euclides, el libro que para el enfoque de los teóricos de la matemática ha llegado a ser el escrito fundador de la matemática como ciencia, pues le otorga autonomía y posibili­ dades futuras de desarrollo, la lectura del Comentario al Primer libro de los Elementos de Euclides de Proclo confirma la riqueza de la filosofía de la matemática que supera ampliamente la ante­ rior posición, más estrechamente epistemológica, en tanto que el estudio de la Introducción a la aritmética de Domnino de Larissa, discípulo como el anterior de Siriano, confirma que las polémicas entre filósofos y epistemólogos de las matemáticas ya eran pro­ pias de la filosofía antigua.7 Pero si se va hacia la orientación de los expositores de la matemática, asimismo se ratifican los oríge­ nes de la escisión entre matemáticos y filósofos, por ejemplo, en Pappo (primera mitad del siglo IV).8 Se ofrece, a modo de propedéutica, un inventario esencial acer­ ca de este trabajo de las dificultades en relación con la filosofía de la matemática que Russell no se plantea por no estar familiariza­ do con ellas y que para los autores antiguos constituyen cuestio­ nes de reflexión central y en muchos casos de razonamiento preli­ minar respecto de la aritmética: 7. Véase F. Romano, Domnino di Larissa. La Svolta Impossibile della Filo­ sofia Matematica Neoplatonica. Manuale di Introduzione all’Aritmetica, intr., texto y trad., Catania, CUECM, 2000, pp. 27 y ss. 8. “Los filósofos son deficientes en aportar pruebas y solamente hacen afir­ maciones”, Collectio mathematica 1.350.28-9. Véase J. Mansfeld, Prolegomena Mathematica. From Apollonius ofPerga to thè Late Neoplatonists. With an Appendix on Pappus & thè History of Platonisme, Leiden, Brill, 1998, p. 93 y véanse, además, 99-121. 16

In t r o d u c c ió n

1) El pitagorismo no sólo ha caracterizado el número en general como un ente racional, o sea, como “aquello sobre lo que sólo se puede razonar”,9 sino que al mismo tiempo ha definido el nú­ mero en general y los miembros de la serie natural contenidos en la década, en particular. A partir de la serie, además, surge la noción de cero, como “nada” (oudén) o ausencia de más y de menos, o de realidad. También, como cualidad mental inter­ mediaria entre la inteligibilidad en sí y el pensamiento, ha afir­ mado su naturaleza simbólica no refutativa. 2) Pero antes del número y de la serie de los sucesores, hay que examinar cuestiones incluso más primitivas, a saber: a) los elementos de la composición o mónadas numéricas cons­ tituidos por el límite y lo ilimitado: el uno y la diada indefi­ nida. b) La composición determinada (el número particular). c) Las nociones de limitado e ilimitado incluidas en la compo­ sición, o sea, qué sean la diada indefinida y el límite monà­ dico. d) Qué sea el Uno que excede al uno numérico. e) Qué sea la diada indefinida y qué la diada numérica. f) Qué sea, entonces, el número, como principio de orden y de cantidad. g) Qué sea la cantidad que en relación con lo indeterminado es simultáneamente infinitamente acrecentable e infinita­ mente divisible, aunque siendo ambos extremos simultá­ neos inseparables. h) Qué son las relaciones numéricas cuantitativas y las de lo par e impar que permiten la serie de los sucesores natura­ les. i) Qué es, entonces, el número cuantitativo, útil para la ra­ cionalidad del cálculo, y qué el número sustancial, necesa­ rio para la definición conceptual. Platón ha proporcionado un atisbo del conjunto de toda esta problemática cuando en el Timeo 35B-C y 36A-B abor­

9. “Efectivamente, se dice que los entes matemáticos son entidades sobre las que sólo es aceptable razonar”, Jámblico, De communis math. scientia 26,13-14 (en F. Romano, Giamblico, II numero e il divino, Milán, Rusconi, 1995, pp. 90-91). 17

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3)

4)

5)

6)

da la composición del Alma del cosmos, y el demiurgo usa el orden numérico de acuerdo con las proporciones aritméti­ ca, geométrica y la media armónica o proporcional: es de­ cir, la coordinación y armonía que resulta de la aplicación de las proporciones de formas, figuras e intervalos, porque un organismo viviente debe manifestar equilibrio total. La unidad de medida proporcional (métron) será el modelo para regir no sólo el dinamismo cósmico, sino asimismo ético (Filebo), político-social, jurídico y psicosomático (Repúbli­ ca, Leyes, Carta Vil). Las enseñanzas no escritas de Platón vienen a ratificar esto mismo.10 Pero los pensadores que lo siguen se detendrán más que en la presencia armonizadora del número en mostrar sus rasgos esenciales. El sentido simbólico o enigmático de la aritmética y el signifi­ cado filosófico y epistemológico del número: definición de las entidades numéricas por Moderato de Gades. Sentido del Uno trascendente donador del número esencial e importancia de caracterizar el límite y lo ilimitado para poder pensar el número: Plotino. Amplitud de la concepción de la media proporcional platónica y limitaciones de la interpretación platónico-pitagorizante: Plu­ tarco de Queronea. Una filosofía completa de la matemática incluye a sus antece­ sores dentro de la tradición pitagórica y neopitagórica (Filolao, Arquitas y Nicómaco de Gerasa), hace explícitos los contenidos de las entidades matemáticas, desarrolla su sistematicidad y muestra su simbolismo o múltiples proyecciones epistémicas, psicológicas, éticas, jurídicas y teológicas, como lo muestra Jámblico de Calcis.

Rasgos de este modo de entender la filosofía de la matemáti­ ca aplicada a la filosofía de la ciencia platónico-pitagorizante y a la filosofía del derecho -e n particular a la virtud y a la Justi­ cia -, no sólo entre platónicos que pitagorizan como Eudoro de Alejandría, sino asimismo en Aristóteles y entre los gnósticos y el hermetismo.

10.

Véase V. Hósle, ob . cit., y, aquí, caps. III y IV. 18

I n t r o d u c c ió n

E] conjunto de los temas enumerados es amplio. Ha sido nece­ sario circunscribirse, por lo tanto, sólo al desarrollo de los que son útiles para ilustrar la problemática en relación con el tema gene­ ral del estudio y sus proyecciones históricas sobre la concepción de las matemáticas, algunas de tanto interés como la influencia en el neoplatónico cristiano Severino Boecio, en tanto que sobre el resto se proporcionan únicamente algunos comentarios de orientación.

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P r im e r a pa r te

LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL NÚMERO

!

L La matemática pitagórica

Una vez establecida en la Introducción la diferencia restricti­ va que representa la teoría de la matemática en cotejo con la filo­ sofía de la matemática, es necesario hacer explícitas las nociones que son propias de la matemática pitagórica en relación con la segunda, en la medida en que sostiene que matemática y filosofía de la matemática son distintas, pero inseparables, en tanto que la naturaleza de los entes matemáticos, y en particular el número, posee notas características de identidad mixta o intermediaria, un modo de realidad que existe entre lo inteligible y lo natural y somático, que abarca en su propia esencia a toda la realidad. Para llevar adelante esta tarea se debe tener especialmente en cuenta al filósofo platónico pitagorizante Jámblico de Calcis (240325), ya que se trata del autor que con mayor precisión representa esta línea de pensamiento y del que se ha conservado la más ex­ tensa y crítica producción específica sobre la temática dentro de los diez libros que conforman sus enseñanzas Sobre la escuela p i­ tagórica [Peri tés Pythagorikés hairéseos].1 Expresa con claridad al respecto: 30.91 [...] La matemática de los pitagóricos no es la matemática que comúnmente se practica. Esta última,

1. Véase D.J. O’Meara, Pythagoras Revived. Mathematics and Philosophy in Late Antiquity, Oxford, 19933. Las lecciones sobre la escuela pitagórica están constituidas por diez libros con la siguiente ordenación: La vida pi­ tagórica, Protéptico a la filosofía, Sobre lo común de la ciencia matemáti­ 23

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en efecto, es sobre todo técnica [techniké] y no tiende a lo Bello y al Bien, en tanto que la de los pitagóricos es exquisitamente contemplativa [ theoretiké] y orienta to­ dos sus teoremas hacia un fin último, y hace de modo que todos sus razonamientos se unan estrechamente a lo Bello y al Bien, y se sirve de razonamientos que son capaces de elevar hacia el ser. Movida por tal impulso, se divide convenientemente en sí misma: algunas de sus teorías se adaptan a la teología, y pueden compar­ tir el orden y las medidas de los dioses y son éstas las que asigna a tal parte de la filosofía; otras, en cambio, pertenecen a la investigación del ser, para captarlo, medirse con él y convertirse en él, y es precisamente a esta parte de la filosofía que la matemática asigna este segundo grupo de teoremas. Tampoco escapa a la mate­ mática el que algunas de sus enseñanzas ayuden cien­ tíficamente [epistemonikós] a dar precisión al discurso, enseñando a operar silogísticamente, a demostrar y definir correctamente, refutando la falsedad y distin­ guiendo lo verdadero de lo falso. Tampoco ignora la equi­ librada armonía de la investigación física, cómo ella se constituya, cuál sea su utilidad, cómo llene los vacíos de la naturaleza y cómo use la prueba en todo esto. Desciende, además, a la vida política y descubre la or­ denación de las costumbres y la corrección del estilo de vida y las definiciones matemáticas que son propias de la vida privada y de la pública, (92) y se sirve de estas definiciones como conviene para llevar estas vidas a su mejor estado, para corregirlas y procurarles una edu­ cación óptima y la debida moderación [eumetrían], pro­ tección de la ordinariez, adquisición de la rectitud y, en general, actuando así, es de ayuda, en su conjunto, a cada una de ellas en particular. Y pasando después a los bienes naturales y a los beneficios de las técnicas, descubriendo algunos e introduciendo otros como acce­ sorios y colaborando a obtenerlos como un agregado, y

ca, Introducción a la Aritmética de Nicómaco, Sobre la ciencia aritmética en lo físico, Sobre la ciencia aritmética en lo ético, Sobre la ciencia aritmé­ tica en lo teológico, Sobre la geometría pitagórica, Sobre la música pitagó­ rica, Sobre la astronomía pitagórica. 24

L a m a t e m á t i c a p it a g ò r ic a

prestando sus obras por sí sola o transfiriendo parte de ellas en algunas otras, lleva a completitud la vida hu­ mana, de manera que sea autónoma en sí misma y no esté falta de ninguna de aquellas cosas que necesita.2

Lo escrito por Jámblico, entre otras informaciones dignas de confrontar con lo que ha llegado a ser en Occidente una filosofía de la matemática restrictivamente reduccionista, incluye dos no­ tas implícitas, que deben ampliarse y tenerse en cuenta en el de­ sarrollo de la concepción de lo matemático en sentido amplio: 1) Que las que aparentan ser laboriosas explicaciones sobre el número de Aristóteles caen fuera de este marco, ya que están dirigidas en parte a justificar abstractivamente la “materia inteligible” y su determinación propia del número en un ni­ vel intelectual y cosmológico, por oposición a Espeusipo y otras interpretaciones platónico-pitagorizantes que no tiene en cuenta abarcativamente y, además, las violenta dentro de su personal interpretación del número: Met, XIII y XTV.3 En cam­ bio, las noticias que el Estagirita proporciona al paso sobre el arithmós funcionando cósmicamente, e incluso sobre su cons­ titución, sí son solidarias y aun confirmatorias del estudio del número en su integridad.4 2) Que dentro del platonismo pitagorizante, como para el mis­ mo Platón, el ente numérico (como las restantes entidades matemáticas) es estrictamente intermediario (metaxy o me­ són), como naturaleza mental o psíquica, entre lo inteligible y lo sensible/corpóreo, entidad al mismo tiempo intelectiva (noerós) y racional (dianoetikós), y que se abre, consecuente­ mente, tanto hacia lo inteligible (noetós) como hacia lo corpo­

2. Véase De communis mathematica scientia 30, pp. 91-92 (F. Romano, Giamblico, Il numero e il divino, pp. 172-174). 3. Véase F. García Bazán, “La presencia de Espeusipo en Plotino. Problemas de interpretación en relación con Aristóteles, Proclo y Jámblico”, Diadokhé, 1-1/2 (1998), pp. 7-29. Brevemente, L. Tarán, Speusippus of Athens, Brill, Leiden, 1981, pp. 13-29 y las críticas a este autor de P. Pritchard, Plato’s Philosophy of Mathematics, Sank Augustin, 1995, pp. 33-38 y 150-152. 4. Phys IV, De anima 403all-432a3, Met VII. 25

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ral (somatikós).5 Por lo tanto en esta corriente de pensamien­ to se distinguen con rigor, pero sin separarse, lo ontológico, lo epistemológico y lo fenoménico. Lo primero encierra un cam­ po cuya tarea corresponde dilucidar al dialéctico, el estudio de la realidad inteligible y esencial, a cuyas realidades co­ rresponde la presencia del “número real” o “sustancial”; en tanto que la segunda esfera es estudiada por el matemático, bien sea mediante la fundamentación teórica de las nociones o demostrando y calculando las propiedades y posibilidades que hay sin desarrollar en éstas.6 De este modo son diferentes el “número sustancial”, el “nú­ mero cuantitativo” y el “número natural” o “corpóreo”. No se con­ funden entre sí, pero tampoco son separables. Aristóteles inter­ pretado según una lectura “científico-técnica” anacrónica suele desorientar a los críticos, mientras que leído en su contexto his­ tórico e intertextual, o bien de escuela, permite rastrear la ense­ ñanza tradicional del platonismo-pitagorizante a la que trata de dar rigor superior y que es la que ha seguido Espeusipo, trans­ mite Jámblico con extensión y retoman Siriano y Proclo y los representantes de la Escuela Neoplatónica de Alejandría. Pero esta filosofía del número se lleva a cabo sobre un dato empírico concreto, que es lo que habitualmente ha sido considerado “nú­ mero” en el mundo griego. Es útil en este momento distinguir con P. Pritchard,7 la con­ cepción moderna del “número” que desde la época posrenaceñtista, basándose en ciertas informaciones de Pappo y Diofanto y en algunas noticias de matemáticos árabes medievales, distorsiona la noción euclidiana, preeuclidiana y poseuclidiana del arithmós que es unánime en la lengua literaria, los filósofos y los matemá­

5. Véase Platón, Carta 987bl5.

VII

342B ss. y Rep. 506B-534C; Aristóteles, Met.

6. Véase F. García Bazán, “Conocimiento, ciencia e imaginación en el pla­ tonismo”, en AA. W ., Epistemología de las ciencias. El punto de partida del conocimiento, Buenos Aires, CIAFIC, 1998, pp. 51-64. Véase cap. III, en el presente volumen, pp. 49 ss. 7. Véase P. Pritchard, ob. cit., pp. 3-62. 26

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ticos helénicos,8 para hacerla volver al significado primitivo del arithmós, escapando de la posible pendiente orientada al nomina­ lismo aritmético hacia el que pudo invitar a lo largo del tiempo la lectura de Aristóteles. Al respecto y restringiéndonos en primera instancia al número en tanto que número matemático, o sea, a su aspecto cuantitativo (to posón, hóper estí ton arithmón), se puede tomar como punto de partida el inventario que Jámblico, a continuación de Nicómaco de Gerasa, aunque explicándolo, desarrolla en Introducción a la aritmética de Nicómaco 10, 9-25.9 Tales de Mileto, bajo influencia de los egipcios, ha enseñado que el número es “composición de unidades“, uno cada uno en sí mismo e infinitos como multiplicidad; Pitágoras lo ha definido como “expansión y actualidad de las razones seminales en la unidad”, o bien como “lo que subsiste previo a todos [los números], en el inte­ lecto divino y por lo cual y a partir de lo cual se ordena y conserva su orden indisoluble todo lo numerado”. Otros pitagóricos, como “progresión de los números a partir de la unidad y regresión hasta ella” (véase más abajo lo que se dice sobre Moderato de Cádiz). Eudoxo el Pitagórico enseña: “El número es cantidad [pléthos] de­ terminada”, perteneciendo de acuerdo con esto la cantidad a “los seres superiores”, aunque diferentes de los géneros y las especies, o sea que se trata de entidades anímicas. Entonces, los acusmáticos seguidores de Hipaso no dudan en definirlo como “paradigma primero de la producción del cosmos” y asimismo “instrumento [órganon] con el que el dios artesano distingue las cosas”. Final­ mente, Filolao sostiene: “El número es el enlace más potente y autogenerador que hace siempre estables los entes cósmicos”. Pues bien, estas definiciones no se contradicen entre sí, por esa razón Jámblico las reúne, y, al contrario, manifiestan una po­ lisemia que es intrínseca al concepto de arithmós y que permite

8. Véase J. Wallis, Mathesis Universalis, Oxford, 1695; I. Newton, Arith­ metica Universalis, 1728, pero asimismo Vieta, Stevin, Descartes y Frege. 9. Véase en F. Romano, Giamblico, pp. 212-214. Nicómaco escribe escueta­ mente: “El número es «una cantidad determinada» o una «composición de unidades» o un «flujo de cantidad formada de unidades»” (Introducción a la aritmética I, vii; J. Bertier, Nicomaque de Gérase. Introduction arithmé­ tique, París, Vrin, 1978, p. 60). 27

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entender en su propio medio intelectual la definición de Euclides al comienzo del libro VII de los Elementos, espontánea y directa, y que han confundido los intérpretes modernos al sacarla y mante­ nerla fuera de contexto. Escribe, por lo tanto, Euclides: “El núme­ ro es una asociación [o cantidad] [pléthos] constituida [sygkeímenon] a partir de unidades [ek monádonf’. Y enseguida aclara: “Una unidad/ monas] es aquello de acuerdo con lo cual lo que cada cosa es, es llamada «uno» [h e n f. O sea que el número en tanto que can­ tidad determinada expresa una cantidad que puede ser grande o pequeña, pudiendo ser individual o plural o incluso negación de cantidad. Es una “pluralidad” como composición constituida o de­ finida a partir de unidades, gracias a lo cual posee cantidad y determinación de la cantidad. Lo aclara, por lo tanto, del siguien­ te modo Sexto Empírico: Pitágoras dijo que un primer principio [archéj de las cosas es la unidad [monas], por participación en la cual cada una de las cosas es llamada “uno” [hen]... Hay, por lo tanto, dos primeros principios de las cosas, el pri­ mero siendo la unidad, al participar en lo que todas las unidades aritméticas son les permite ser pensadas co­ mo unidades; la otra, la diada indefinida [aoristos dyás], al participar en aquello por lo que las diadas definidas son diadas.10 Plotino manejaba poco antes que Jámblico este mismo signifi­ cado del número. Lo comienza a usar y decir de manera rigurosa y general, primero, en relación con el Intelecto, o la segunda hipóstasis inteligible, pero sabiendo que ese mismo significado puede alargarse hacia las otras expresiones aritméticas inferiores: a) “Las ideas y los números provienen de la diada indefinida y del Uno.”11 b) “¿Quién, entonces, ha engendrado a esta divinidad múltiple? El ser simple y anterior a esta multiplicidad, la causa de su existencia y de su existencia múltiple y el que produce el nú­

10. Adv. Math. X, 26, 2. 11. Enéada V,4 (7), 2. 28

L a m a t e m á t i c a p i t a g ó r ic a

mero. Ciertamente el número no es primero. Y porque la uni­ dad es anterior a la diada y la diada en cambio es segunda y nacida de la unidad, ésta la define, pero ella en sí misma es indefinida: cuando se ha definido ya es número, número como sustancia (por otra parte también el alma es número) [...] Por lo tanto, lo que en el mundo inteligible se denomina número y la diada son principios informadores e Intelecto. Existe, sin embargo, la diada indefinida, en tanto que se la toma, por de­ cir, por el sustrato, y el número, que proviene de ella y del Uno, es cada cual una idea, puesto que ha sido formado por las ideas engendradas en él [= sustrato inteligible]. Por un lado el Inte­ lecto se forma de lo Uno, por otro, desde sí, igual que la visión en acto, porque la intelección es una visión que ve, siendo am­ bos uno.”12 Esta “diada indefinida” es la “diada de lo grande y lo pequeño” o “del defecto y el exceso” que Aristóteles conoce de las clases de Platón y que opera, diversamente, en el ámbito numérico, bien sea inteligible, mental o natural.13 Puesto que el arithmós apare­ ce, como cualquier universal: ante rem, post rem e in re, como en parte lo ha seguido una correcta tradición de interpretación bi­ zantina y medieval de los universales inspirada por el neoplato­ nismo alejandrino.14 Con la eliminación de los prejuicios modernos que se han ido previamente señalando, una tarea que emprendió frustradamen­ te René Guénon al enfrentar “molinos de viento” como es el caso de Leibniz para este tipo de refutaciones,15 y recuperados estos conceptos para la exégesis integrativa del número, según los ofre­

12. Enéada V,1 (10), 5, 3-19. 13. Informaciones esparcidas al respecto de Hermodoro, Aristóteles, Ale­ jandro de Afrodisia, Porfirio en Simplicio, etc., pueden cotejarse en F. Gar­ cía Bazán, Neoplatonismo y Vedánta, Buenos Aires, Depalma, 1982, pp. 13-14 y 92-116. 14. Véase Porphyre, Isagoge, texto griego y latino, trad., int. y notas de A. de Libera, París, 1998, y F. García Bazán, “Libros recientes sobre platonis­ mo medio y neoplatonismo”, Diadokhé, 2-1/2 (1999), pp. 173-176. 15. R. Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal, París, Gallimard, 1946, y, asimismo V. Hosle, ob. cit., pp. 84-89. 29

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ce el platonismo pitagorizante, la en apariencia exótica presenta­ ción polisémica del número y la aritmética en los fragmentos de un notable maestro pitagórico de la segunda mitad del siglo I de nuestra era, Moderato de Cádiz, resulta menos extraña, más fa­ miliar, y sirve para completar y fortalecer instrumentos intelec­ tuales para comprender el número. Efectivamente, la disciplina (pragmatéia) de los números está al servicio de la mostración de las “primeras formas y los primeros principios”, que en tanto que primitivos son indecibles y se expre­ san necesariamente por los elementos que provienen de ellos. En este caso lo que se enseña de manera diáfana es el carácter simbó­ lico y no refutativo del número pero, simultáneamente, su signifi­ cado matemático. Por lo tanto, se escribe; “En una palabra, el nú­ mero es una asociación de mónadas o una progresión múltiple a partir de la mónada y una retroversión que concluye en la móna­ da. [...] La mónada es lo que determina la cantidad [posotés], lo que queda cuando la cantidad es disminuida por la sustracción de cada número a su vez y que así tiene las características de perma­ nencia [moné] y de reposo [stásis]. Porque la cantidad no puede retroceder más allá de la mónada”.16La premiosa caracterización ofrecida en relación con lo dicho más arriba es transparente y ra­ tificatoria. Pero Moderato da generosamente mucho más. Porfirio en Vida de Pitágoras 49-52 dice literalmente que, se­ gún Moderato, los pitagóricos: Han denominado “uno” [hen] al concepto significa­ tivo [lógos] de la unidad, de la identidad y de la igual­ dad y a la causa del acuerdo conjunto y de la simpatía del universo y de la conservación de lo que mantiene también inmutablemente la identidad. [...] Pero al con­ cepto significativo de la alteridad, de la desigualdad y de todo lo que es divisible, en cambio, y que admite di­ versas formas, la han llamado “biforme” y “diada”, por­ que también en los particulares es así la naturaleza de los que son duales [...] similarmente [...] hay algo entre los hechos de la naturaleza que posee comienzo, medio y fin. De acuerdo con esta forma y naturaleza han de-

16. loannis Stobaei Anthologium, Berlín, 1884,1, pp. 21, 8-16 y 19-25. 30

LA MATEMÁTICA PITAGÓRICA

nominado al número tres. También por esto dicen que todo lo que posee la mediedad es triforme [...] se han servido del nombre de tríada para él y queriendo intro­ ducimos en su noción nos han introducido a través de su forma. [...] Y [éstos] y los que siguen son contenidos por una forma y potencia, a ésta la han llamado “déca­ da”, como un receptáculo [dechás]. También por esto dicen que la década es número perfecto, e incluso el más perfecto de todos, porque comprende en sí toda diferen­ cia numérica y todos los tipos de razones y proporcio­ nes. Porque si la naturaleza del universo está determi­ nada según razones y proporciones numéricas y todo lo que nace, crece y se completa se regula según razones numéricas, pero a toda razón, a toda proporción y a toda forma numérica, las abraza la década. ¿Cómo a o se po­ dría decir de ésta que es el número perfecto?

Oportunamente se ha analizado el significado de estos pasa­ jes,17 pero lo que ahora es importante subrayar es que la potencia organizadora del número cuantitativo no sólo ilustra simbólica­ mente sobre su origen inteligible, sino que encierra asimismo un contenido cualitativo que proviene de la forma/mónada que lo de­ fine y qué asimismo dirige sus posibles relaciones para que reine la armonía. Lo capital, entonces, no es que se compruebe que el número “1” (a) en tanto que determinada la cantidad por la mónada significa una cosa y sólo una, sino que los conceptos de unidad indivisible, de identidad y de igualdad nos hacen pensar que la unidad cuan­ titativa se debe a las anteriores cualidades. Por eso el “uno” es un número y no del misino modo que el ser es un género extremo “que se puede decir de muchos modos”, puesto que a todas las cosas les atribuimos el ser “unas”, como cansinamente elucubra Aristóte­ les. Tampoco el “dos”, el “tres”... el “diez” son meramente abstrac­ ciones mentales de conjuntos de cosas ordenadas, o bien clases lógicas de conjuntos, sino “dualidad”, “trinidad”, “década”, o sea,

17. Véase F. García Bazán, “Los aportes neoplatónicos de Moderato de Gades”, Anales del Seminario de Historia de la Filosofía, 15 (1998), pp. 1536, esp. 18-24. 31

L a c o n c e p c i ó n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

alteridad, divisibilidad y desigualdad, merced a lo cual el dos de la cantidad, y dos cosas, son diferentes y distintos de “uno” y “una cosa”; y porque lo que es medio incluye principio y fin, hay concep­ to de tres y porque la cuaternidad es síntesis de progresión indefi­ nida, se genera el cuatro, y porque la conjunción de estos concep­ tos y las propiedades propias y relativas que implican se concen­ tran en la “década”, ésta comprende todos los números y sus rela­ ciones. El número, por consiguiente, en tanto que entidad matemáti­ ca, tanto es razón significativa que encierra cualidad y cantidad como enigma o símbolo, que manifiesta de la mejor manera posi­ ble la inefabilidad de la sustancia inteligible (“primeros principios y causas”), que el dialéctico trata de expresar filosóficamente en la totalidad de sus exigencias. El filósofo de la matemática no puede desdeñar ninguno de estos aspectos que son inherentes al número y a la aritmética que lo estudia. Resulta ser, entonces, que el número como una mera entidad cuantitativa abstracta y aislada es una fantasía mental, apta des­ de luego para calcular, operar y encontrar pruebas confirmatorias de esta actividad, pero todo esto clauso o encerrado en sí mismo, amputación de lo real que gira sobre sí y, como tal, acción a medias humana y arbitraria y, en el fondo, inútil. Estas mismas distinciones son las que Plotino tiene en cuenta en Enéada V, 5 (32), 4 y 5 y el motivo que exige el uso de las propor­ ciones aritmética, geométrica y de la media armónica por Platón en Timeo 35B-C y 36A-B cuando el demiurgo dispone el Alma del uni­ verso. Por este motivo Jámblico, siguiendo a Filolao, insistirá en que al caracterizar al número básico para los diversos entes mate­ máticos (nivel epistémico), en su misma definición general y las definiciones numéricas particulares se manifiestan sus supuestos o fundamentos hipostáticos que son más elementales o primitivos, lo uno y lo múltiple, limitación e ilimitación, igualdad y desigualdad, par e impar, que ya están presentes en la entidad numérica sustan­ cial, ordenadora del mismo cosmos inteligible y, por eso, lógicamen­ te anteriores a su organización en tríada ser, vida, conocimiento, grandes géneros del ser e ideas y especies. Esto es lo que se seguirá desarrollando en el próximo apartado, aunque ya el habla culta y la lengua popular nos van orientando en relación con la historia con­ flictiva de las interpretaciones matemáticas y el nexo asimismo ol­ 32

LA MATEMÁTICA PITAGÓRICA

vidado que la filosofía de la matemática integral debería guardar con el uso científico, en especial, de la matemática, en relación con las ciencias hum anas y del comportamiento. Porque si en la cima, el acusma (sentencia simbólica) pitagórico reza: “Lo m ás divino, el número”, a todo ser hum ano le gusta que “se lo tome en cuenta” y a nadie “ser contado” o “confundido con un núm ero”.

33

II. El número: nociones subyacentes y razones numéricas

1. Plotino Afirm a, pues, Plotino en relación con el núm ero sustancial o esencial, el m atem ático y el natural, según se adelantó:

4.6. Ahora, sin embargo, deseamos examinar, siem­ pre que ello sea posible, qué es lo Uno pura y realmente y no relativamente. En verdad en este punto es preciso lanzarse en lo Uno y no ya ponerse junto a El, sino que­ darse firme por entero como teniendo miedo de alejarse lo mínimo y deslizarse en una dualidad. De lo contrario podrías poseer dos, en el que no está lo Uno, porque es posterior. Ya que lo Uno no quiere contarse con otro, bien sea uno o varios, ni en absoluto contarse, pues él es medida y no lo medido, ni tampoco es igual a los de­ más números para estar junto a ellos; de lo contrario existirá algo común a El y a los que se cuentan con El y esto le será anterior; pero El no necesita de nada. Por lo tanto el “número esencial” nada tiene que ver con Él y menos el posterior a éste, el “número cuantitativo”: esen­ cial es el número que ininterrumpidamente proporcio­ na el ser, cuantitativo, el que facilita la cantidad entre las demás cosas [...] Por consiguiente también la natu­ raleza que posee el número cuantitativo que hay en las cosas se orienta a la unidad, su principio, como imagen de la naturaleza que estando en los números anterio­ res orientada hacia lo realmente Uno tiene la realidad, sin consumirlo ni fragmentarlo; nacida, sin embargo, 35

L a c o n c e p c ió n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

la dualidad existe una mónada que es anterior a la dua­ lidad, por más que esta mónada en lo dual no es ningu­ no de sus elementos, ni el dos. ¿Por qué, pues, habrá de ser cualquiera de ellos con preferencia? Si, por lo tanto, no es ninguno de ellos, entonces el dos manteniéndose igualmente parece no permanecer. ¿De qué modo, en­ tonces, son diferentes? y si asimismo es la misma uni­ dad la que está comprendida en uno y otro, ¿de qué ma­ nera es unidad el dos? En rigor debe decirse que parti­ cipan de la Unidad primera, pero que son diferentes de ésta que participan, y del mismo modo que el dos, en cuanto unidad participa, pero de modo diferente, por­ que tampoco un ejército y una casa son unidad de la misma manera. 5.1. Pero debemos remontar a aquel punto en el que decíamos que lo primero permanece siendo idéntico, aun cuando a partir de Él surgen otras cosas. El número, por consiguiente, existe según la unidad, porque en los números hay la unidad de lo que permanece y la de lo que produce que es dife­ rente·, peTo en lo que es anterior a los seres, lo Uno en este caso, permanece con mucha más razón. Sin em­ bargo, en tanto que permanece (idéntico) no produce otro, aunque los seres producen de acuerdo con El, pero El es suficiente para engendrar a los seres. E igual que allí en los números había en todos una forma del pri­ mero (la mónada) en primero y segundo lugar, porque también cada uno de los números que siguen no parti­ cipan de ella de la misma manera, del mismo modo su­ cede en nuestro caso, cada uno de los que vienen detrás del primero tienen en sí, por decir, cierta forma de Aquél. Y si en el primer caso la participación dio existencia a la cantidad de ellos, en el segundo la huella del Uno ha dado lugar a la esencia de los seres, en la medida en que el ser es una huella del Uno.18 Plotino está enseñando lo siguiente en esta lección: el Bien, lo Primero y Uno es unidad y unicidad o simplicidad en sí mismas, “uno y solo” o “uno y aislado” de todo lo demás. De esta manera no

18. Enéada V, 5 (32), 4 y 5,1-13. 36

EL NÚMERO: NOCIONES SUBYACENTES V RAZONES NUMÉRICAS

es un número, ni esencial, los que intervienen en el orden inteligi­ ble, ni matemático o cuantitativo, los que instituyen la vida orde­ nada en el mundo psicofísico y por los que el hombre puede contar. Sin embargo, todos, inmediata o mediatamente, participan de lo Uno en sí mismo o Unidad más alta ¿Cómo es esto posible? Por una simple razón. Lo Uno en sí excede a los números esenciales. En síntesis de síntesis, a la cuaternidad (tetraktys) o década, fuen­ te de la naturaleza numérica eternamente fluyente (1.2.3.4 = 10), potencia oculta de toda sucesión numérica, porque cada uno de los números no es simple sino necesariamente compuesto. Cada uno de ellos es una unidad numérica, una mónada característica: “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro”, diferentes del Uno, pero afines con él, como mónadas. Diferentes, porque no son lo Uno, afines y semejantes, porque todos estos números, siendo mónadas o unidades aritméti­ cas, participan de la Unidad en sí. De esta manera lo Uno no es un número esencial, pero los sobrepuja porque cada uno de ellos en tanto que es una mónada singular y distinta tiene su unidad pro­ pia, la que se la otorga Aquello que de r«d a la recibe: lo Uno. Éste así no es medido, sino que da la medida. \ ..... primerísima simpli­ cidad, puesto que los números esenciales al constituir unidades participadas son los primeros compuestos. En efecto, todos ellos comparten entre sí algo propio que los identifica como unidades, al darles límite y determinación, pero algo que asimismo es diferente entre ellos, que los distingue entre sí al haberlos liberado de la ilimitación o indeterminación, y que es lo que cada de uno de ellos da de sí: uno, dos, tres, cuatro (en sentido ordinal y cardinal). Y todos ellos tienen estos elementos constitutivos en común porque su unidad no les es propia sino ajena, participada, surgida del fontanal único. Pero lo que tienen en común de acuerdo con su rango inteligible debe aclararse no es Aquello de lo que participan, el Uno, que en realidad está más allá de ellos y cuya Unidad cada uno refleja de la manera que puede, sino su participación o acto de compartir el Uno; luego, en reali­ dad, en tanto que números esenciales, todos tienen algo otro en común, una alteridad primera o alteridad indeterminada total, que se conserva oculta en sus determinaciones numéricas, y que es lo que les permite y los coacta a ser seres aritméticos participa­ dos: el sustrato indeterminado inteligible sobre el que se levantan sus perfiles eternamente inconfundibles, donadores de orden y cantidad intemporal e inespacial en el nivel inteligible. Se trata 37

La c o n c e p c ió n p ita g ó r ic a d e l n ü m ero

de la materia inteligible bajo el aspecto de diada indefinida prime­ ra. Por eso ya hemos dicho que Plotino pudo sostener, confirman­ do cierta noticia de Aristóteles: “Las ideas y los números provie­ nen de la diada indefinida y el Uno” . Porque el cosmos inteligible, todo-uno, animal viviente como Intelecto, hipóstasis segunda como imagen del Uno, no es más que eso, el reflejo organizado de lo Uno en la materia luminosa, la que como soporte de la primera multi­ plicidad indisociable de lo Uno, es tólma o audacia separadora o la alteridad de la que procede el sustrato material. La parte final del pasaje del capítulo 4, prosiguiendo sobre la misma base semántica del número, composición o dualidad prime­ ra que se distingue de lo Simple o Uno, continúa, por lo tanto, expli­ cando lo siguiente: si se tiene en cuenta la composición que en apa­ riencia es primera (dualidad = dos), esta éntidad numérica se des­ compone analíticamente en los siguientes elementos: sus compo­ nentes o principios internos, que son dos, y la unidad que constitu­ yen esos componentes, el dos propiamente dicho, que le otorga uni­ dad e identidad numérica, determinación esencial o cuantitativa. Esta unidad, evidentemente, no se confunde con los componentes a los que organiza, pero puesto que los conserva en su nexo o unión como dos unidades, reclama la precedencia lógica del uno numérico ya incluido en su análisis. De esta manera todos los números (1, 2, 3, 4...) poseen unidad aritmética (son mónadas) y un sustrato múl­ tiple indefinido, al que limita la forma numérica. El Uno no se con­ funde con el uno numérico, que resulta ser una asociación o unidad compuesta tanto como el dos, el tres o el cuatro, y todos ellos proce­ den del Uno que es el otorgador de unidad y límite. Llegados aquí y concluido el capítulo, es de nuevo posible pa­ sar de los números a las ideas para ratificar las mismas nociones en lo inteligible. ' Es decir que engendrado el número incluido entre los compues­ tos desde el Uno, que queda inmutable y sin modificaciones por encima de todo lo producido, generada tal condición que une lími­ te-ilimitado, surgen después el ser y los seres, reconociendo igual­ mente su origen en lo Uno. Y así continúa Plotino profundizando la misma idea ilustrada asimismo por el lenguaje, ya que to on deriva de to hen.19

19. Véase asimismo F. García Bazán, Plotino. Sobre la trascendencia divi­ 38

E L NÚMERO: NOCIONES SUBYACENTES Y RAZONES NUMÉRICAS

Ahora bien, Plotino señala en esta ocasión los puntos centrales acerca de la esencia del número y de sus niveles de significación, pero estando su reflexión sumida en el desarrollo general de la “gran tetralogía” cerrada por Enéada II, 9 (33): “Contra los gnósti­ cos”, posterga la continuación del tratamiento “Sobre el número” (En. VI, 6 [34]) que remata este mismo curso lectivo.20 Y en este tratado independiente que Plotino promete ofrecer (Enéada VI, 6) abordará dos temas. El primero consistirá en su­ brayar, determinar y ampliar lo ya sostenido sobre el número como entidad polisémica, y el segundo, en señalar el error conceptual que significa entender el número infinito como actualidad virtual o simple posibilidad. Veamos algunos pasajes ratificatorios, por más que se trata de temas que en otras oportunidades el neoplatónico ha tenido en cuenta al pasar: Empero, cuando Platón dice “en el número verda­ dero”, y que el número está en la esencia, con ello afir­ maría a su vez y a la inversa una cierta autosubsistencia del número, y que no subsiste en el alma numeran­ te, sino que de resultas de la sucesión alterna que se da en el mundo sensible, la propia alma suscita en sí mis­ ma la noción de número.21 O sea, no se trata—como podría sostener Aristóteles para algu­ nos exegetas- de que el origen del número en la mente surja por una abstracción en relación con los grupos o conjuntos, en contac­ to con la experiencia sensible, sin o que la noción aparece en la mente, porque con anterioridad ontológica y lógica el número en sí preexistía. Por ese motivo el número posee una naturaleza propia, ya que “a la multiplicidad de cada cosa que, sin embargo, es una va emparejado un número, una unidad de la misma cuantía, por ejemplo, la década [...] y la década en sí no será, por cierto, la cosa

na: sentido y origen, Mendoza, Facultad de Filosofía y Letras de la Univer­ sidad Nacional de Cuyo, 1992, pp. 46-49. 20. Véase F. García Bazán, Plotino y la gnosis, Buenos Aires, FECYC, 1981. 21. Véase 4, 2-25. 39

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en la que la mente percibe la década”.22 Y en este caso se agrega también que el número está como totalidad y preexiste al ser (uno) y a los seres (múltiples).23 En síntesis: ¿Y no es verdad que el ser será número aunado, los seres número desarrollado, el Intelecto número que se mueve en sí mismo y el animal (inteligible) número abarcador? En efecto, como el ser proviene de la unidad, así como aquél era uno, así también el ser debía ser núme­ ro; y por eso llamaban a las formas hénadas y números. Y éste es el número sustancial. Hay otro número, el lla­ mado “monàdico”, imagen de aquél. El sustancial es de dos clases: el sobrepensado en las formas y cogenerador de las formas, y el sustancial primario, que es el que está en el ser, está con el ser y es anterior a los seres. Los seres tienen en el número su base, su fuente, su raíz y su principio. El principio del ser es la unidad y en ésta es­ triba el ser -si no, se dispersaría-, y no la unidad en el ser. De lo contrario, el ser sería ya uno antes de partici­ par en la unidad, y lo que participa en la década sería ya década antes de participar en la década.24 Es decir, confirmatoriamente, que cada número sustancial es uno, por eso participa de la unidad, pero es uno como un uno di­ verso; por eso, unidad, dualidad, trinidad, etc., base de su unidad formal. Y de ellos, de estos números formales que se comunican henádicamente entre sí, participan los números monádicos (= ma­ temáticos), que son mónadas diferentes, y cuando están en las co­ sas (número corporal), ese número se sabe, porque antes estaba en la mente como noción de una subsistencia.25 Y de esta manera es como la naturaleza acopla cada multiplicidad y cada uno de los seres a sus respectivos

22. 5,10-15. 23. 9,10-13. 24. 9, 30-45. 25. 10, 7-27 y 11, 15-16. 40

E l NÚMERO: NOCIONES SUBYACENTES Y RAZONES NUMÉRICAS

números, a sabiendas de que, si cada ser no se acoplara a su respectivo número, o no existiría en absoluto o se­ ría otra cosa, algo desajustado, al quedar carente de número y de razón.26

Así, pues, lo que permite que una cosa sea una, es la unidad, y que dos sean dos, la dualidad, etc., y aquí tenemos la cuestión de la participación en los números, igual que en relación con las for­ mas, por eso en las cosas discontinuas el número inherente a ellas como cantidad que cuenta y recorre aparece de una manera, es decir, discretamente al contar, y en las continuas, de otra, o sea, extensamente o según la magnitud, al medirse.27 Todo lo escrito ratifica que el ser total es al mismo tiempo ser, intelecto y vida, todos los seres, inteligencias y vivientes, viviente total al que imita nuestro universo como puede con su unidad, número total al que imita otro número total más pobre. Y en el mismo Intelecto, entonces, hay número primario, el uno con sus potencias numéricas, números primarios numerados, y en cuanto dan número al Intelecto y son modelos, son numerados y nume­ rantes, tanto de los números en la mente, como de las cosas nume­ radas en el mundo. El problema que vuelve, entonces, en la reflexión plotiníana como en los primeros capítulos se lo planteaba el maestro neoplatónico es ¿qué es el número infinito (ápeiros arithmós)? Responde Plotino: no precisamente el número ilimitado que como potencia de recorrer o amontonar sucesivamente imaginamos indefinido o sumamos, multiplicamos o dividimos mentalmente, porque el nú­ mero sustancial existe siempre inteligiblemente, luego nada le falta, ni nada lo excede, sino que cada uno está en los demás y en el número total, como su propia determinación, porque el ser es uno, o bien unidad plena. Y en este sentido paradigmático el nú­ mero es infinito, porque carece de límites espaciales y temporales, y es el ser que es lo primero que aparece ante nosotros el que nos mueve deseándolo, o sea que es el Bien lo que nos atrae, y cuando torcemos la meta, el anhelo del infinito inteligible, totalidad una sin límites interiores, nos hace fantasear que existe un infinito

26. 11 al final. 27. 14, 40-50 al final, y 16. 41

L a c o n c e p c i ó n p i t a g ó r ic a df ,l n ú m e r o

cuantitativo, extenso o discreto, mensurable o calculable, que es irreal.28 Es decir que si la diversidad y el comportamiento de los seres cósmicos se explican por la participación (méthexis) en las ideas, tanto de las formas como de su comunicación o comunidad (koinonía) ideal por los grandes géneros del ser compartido, la división de los números en extensos o sucesivos y discretos que dan unidad y diversidad cuantitativa al universo, participa de una unifica­ ción simultánea (henádica) que permite que cada número esencial al ser tal es al mismo tiempo como imagen de la irradiación inin­ terrumpida y manifiesta del Uno, sucesiva (ordinal) y acrecentable o sustraíble (cardinal); por ese motivo en la procesión tanto el Intelecto es orden inteligible que revela al Uno como uno-todo, cuanto el universo psicofísico, mundo sensible, orden y revelación del Intelecto, uno y todo. Luego lo que la méthexis o participación entre los seres sensibles es a la koinonía o comunicación sin ba­ rreras entre las ideas, la continuidad y cantidad numérica es a la expansión numérica no discriminada de las hénadas entre los números esenciales. Pero descendamos de la metafísica del número, del nivel propia­ mente inteligible, a su tratamiento acotado epistémico y teórico. 2. J á m b lico d e C alcis Como se comprobó en el capítulo anterior, Jámblico caracteri­ za en toda su amplitud a la matemática de los pitagóricos con sus proyecciones superiores e inferiores al número de la cantidad (De communis mathematica scientia). Pero en el comentario introduc­ torio a la Introducción a la aritmética de Nicómaco se ciñe a este último, porque de él se encarga la aritmética. La aritmética es la ciencia de los números y como tal precede a las otras tres epístemai (geometría, armonía y astronomía) que la

28. Caps. 17 y 18; antes había planteado el tema en 1-3. Véase igualmente En. VI, 9 (9), 5, 41-6,12: “Se lo debe igualmente concebir como infinito no porque sea lo interminable por el tamaño o el número, sino por el carácter incircunscripto de su posibilidad [to aperilépto tes dynámeosf, F. García Bazán, “La presencia de Espeusipo en Plotino”, p. 14. 42

E l, NÚMERO·. NOCIONES SUBYACENTES Y RAZONES NUMÉRICAS

presuponen. Y establecidos los teoremas necesarios es posible orien­ tarse hacia teorías numéricas más completas: Esta concepción [epínoia] del número hay que figu­ rársela no como algo que reside en los puros conceptos [ennóema], ni se da como posterior a lo que percibimos, ni como imágenes surgidas de la percepción sensible por explicación Iaposylósanj y separación, sino como la que es posible al adaptar nociones comunes a todos los números que realmente existen.29 Nicómaco representa la aritmética pitagórica en toda su pure­ za y, como transmisor, al que asimismo la transmite sin modifica­ ciones, a Jámblico, pues: No se trata de exponer doctrinas nuevas [kainá légein], sino las enseñadas por los antiguos varones [palaióis ándrasin] y, por lo tanto, exponemos la aritméti­ ca de Nicómaco sin nada quitar ni agregar.30 En este sentido la aritmética es antesala de la filosofía como “amor a la sabiduría” y la sabiduría es considerada la ciencia del ser que realmente es.31 Lo común al número matemático es que se trata de una enti­ dad intermediaria y dianoètica, “sobre la que sólo es posible razo­ nar”; además, los principios que lo componen, como se anticipó

29. 4, Romano, p. 205. 30. 5, p. 207. 3 1 . 6, pp. 207-209.

Sobre la vigencia de esta concepción de la filosofía entre pitagóricos, gnósticos y herméticos y su importancia para Justino Mártir en la determinación de los orígenes de la filosofía cristiana, véase F. Gar­ cía Bazán, “En los comienzos de la filosofía cristiana: la actitud de los escritores eclesiásticos y de los gnósticos ante la filosofía”, Teología y Vida, XLIII/2-3 (2002), pp. 251-268. Juan Filopono lo expresa con precisión: “Pitágoras dio el nombre de sabiduría (sophía) sólo a la ciencia de las cosas eternas y llamó filosofía al amor (philía) a esta sabiduría. Esta efectiva­ mente es él fin (télos) de la filosofía. El conocimiento (gnósis) de los hechos divinos (theíon prágmaton)", Johannis Philoponi in Nicomachi isagogen Arithmeticam Scholia. 43

L a c o n c e p c ió n p ita g ò r ic a d e l n ù m e r o

poco antes, son lo limitado (peperasm énon) y lo ilimitado (ápeiron) en su propio nivel. Composición (syntithem énon) de ambos, que puede llevar hacia el Bien y la Belleza, por su carácter de interme­ diario, y que ordena el universo como número cuantitativo: como cantidad continua por unión (hénosis) y cohesión (allelouchía), es la magnitud (m égethos) o cantidad extensa, y como cantidad dis­ creta por yuxtaposición (paráthesis) y acumulación (soreía) es la cantidad numérica (pléthos). Por la primera aparición el mundo se ofrece como único, sólido, esférico, unido y extenso. Por la segunda, como estructura, arre­ glo y armonía. Sin embargo, cuantitativamente, lo unificado o cantidad ex­ tensa puede dividirse al infinito, pero aumentarse de modo finito; mientras que la cantidad discreta, a la inversa, se puede aumen­ tar al infinito, pero dividirse finitamente. Como se advierte, la cuestión radical de la inconmensurabilidad como irracional es un tema o problema filosófico que estimula las soluciones de lo mate­ mático, y no al revés. Una dificultad que por ser filosófica promue­ ve respuestas matemáticas y no una dificultad que por aparecer en la práctica matemática busque respuestas filosóficas.32 La cantidad discreta se ocupa del cuánto en sí mismo o en rela­ ción (aritmética: par-impar; perfección-deficiencia y armónicaigual-desigual-múltiplo-epimorio) y la extensa, de las magnitudes (geometría y esférica). Como se sabe, Jámblico define el número ilustrándolo en rela­ ción con la historia o transmisión escrita y oral de la aritmética, como también se vio, y posteriormente se encarga de definir cada uno de los números (los naturales) y las propiedades que poseen de acuerdo con esta definición y a partir de aquí las formas combi­ nadas que pueden adquirir. En esta tarea no desmiente a su ante­ cesor Moderato de Gades, del que también nos hemos ocupado. Pero muestra una originalidad que en los fragmentos de su ante­ cesor no se encuentra. La definición del cero (oudén), que surge en la serie de los enteros naturales como privación, en medio de ella, y en relación con la péntada (e’), que iguala ambas partes sin dejar

32. Véase el estudio bien informado de F. Franciosi, L’irrazionalità nella matematica greca arcaica, Università di Padova, Bollettino dell’istituto di Filologia Greca (Supplemento 2), “L’Erma” di Bretschneider, Roma, 1977. 44

E l NÚMERO: NOCIONES SUBYACENTES Y RAZONES NUMÉRICAS

nada, así como al igualar ambas partes, las equilibra, siendo por ello símbolo de la justicia, es lo más notable al respecto. El 5 involucra la idea del equilibrio, está en el centro, como el eje de la década. Y es central y es fundamental, asimismo, porque gracias a la péntada, y a la péntada como símbolo de lo justo, de lo que otorga igualdad a las partes, porque gracias a ello aparece igualmente la idea de la negación del exceso y del defecto. Porque cuando se da el equilibrio no hay desbordes, pero tampoco defi­ ciencia, y se manifiesta e impone así la noción de nada, vacío o cero, como anulación de realidad y si se quiere, secundariamente, de cantidad. Por eso Jámblico inmediatamente después de la ca­ racterización de los tres números primeros y de la década, lo que ya conocemos por Moderato, introduce el tratamiento del cinco, el que a la postre permite pensar el “cero”. Lo cual, subraya Jámbli­ co, lo dice la misma palabra oudén, que significa “nada”. Del mismo modo Jámblico define el resto de los números ence­ rrados en la decena: al 4, al 6, al 7, al 8 y al 9, insistiendo siempre en que la razón numérica, o sea, su contenido significativo, al mis­ mo tiempo cualitativo y cuantitativo, es el que permite el orden cósmico en desarrollo y coordinación y la praxis aritmética que está de acuerdo con él.33 Por ese motivo, igual que en Nicómaco y antes en Espeusipo, la década es el paradigma que sirve de modelo al demiurgo para plas­ mar el mundo y se aplica tanto a las partes como a los intervalos. De aquí que el otro punto bien interesante que resulta de las reflexiones aritmológicas de Jámblico sea la importancia que ad­ quiere el estudio de las proporciones o analogías. De las más antiguas proporciones que regulan los intervalos, selecciona las tres fundamentales que son asimismo las más usa­ das (aritmética, geométrica y armónica) y hace hincapié en la media armónica o proporcional. En la razón aritmética que es consecutiva, el medio supera y es superado por el mismo número (1, 2, 3... o 1, 3, 5... o 2,4, 6...), o sea, se adapta a la regla de que el medio es igual a la mitad de la suma de los extremos. Es propiedad del número discreto. En la razón geométrica, siendo el medio común, la misma rela­ ción que el primer término mantiene con el medio, el medio la

33. Sobre estos pasajes, véase la Antología al final. 45

L a c o n c e p c i ó n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

conserva con el último (por ejemplo, 2 / 4 = 4 / 8). La regla es, entonces, que el producto de los medios es igual al de los extre­ mos, de modo que los números internos pueden variar la posición conservando la proporción. Es propiedad del número continuo. En la razón armónica (analogía o mesótes) los tres términos son desiguales y la misma parte por la que el medio excede al primero, el último excede al medio. Es la definición de Platón en Tímeo 36A(2, 3,6: 3 supera a 2 en una mitad, igual que 6 a 3; 3, 4, 6: 4 excede a 3 en un tercio, igual que 6 a 4). Ahora bien, bases o fundamentos de la mediedad armónica son 2, 3 y 6 o bien 3, 4 y 6. O sea que si estos números en sus relaciones son básicos, no pode­ mos buscar otros más fundamentales o básicos sino a partir de ellos según múltiplos y epímoros, en tanto que los admitan, deri­ var otros, como sus prototipos estables. Justamente, porque en tal proporción residen como en semilla las relaciones musicales, se llama mediedad armónica: aquí estriban los acordes de cuarta, de quinta y de octava. Se torna siempre a lo mismo, lo importante no es calcular, afición de algunos, sino descubrir las nociones en las que están comprendidas las posibilidades del cálculo. La regla de adaptación: “La armónica tiene como propiedad que el producto del medio por la suma de ambos extremos equivale o es igual al doble del producto de esos extremos”. 2, 3, 6: 3 (2 + 6) = 24 : 2 (2 x 6) = 2 4 III3, 4, 6: 4 (3 + 6) = 36 : 2 (3 x 6) = 36 Sobre esta base, por lo tanto, se han construido otras propor­ ciones armónicas, hasta 10, y esta décima formada por 3, 5, 8, es la que domina en la serie de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34...), es el número de oro, la razón dorada, la constante de la serie aditiva que es igual a 1,618 y que surge de las medias armónicas básicas.34

34. Véase 100, 15 y ss., pp. 324 y ss. Sobre el número de oro, véase J.-F. Mattei, Pythagore et les pythagoriciens, París, Presses Universitaires de France, 1993, y asimismo la voz “cinq”, en J. Servier (dir.), Dictionnaire critique de Vésotérisme, Paris, Presses Universitaires de France, 1998, pp. 310-312. 46

E l NÚMERO: NOCIONES SUBYACENTES Y RAZONES NUMÉRICAS

Finalmente, Jámblico concluye sus reflexiones sobre la analo­ gía dedicándose: A la proporción perfectísima que corre entre cuatro términos, la que, por lo tanto, es llamada propiamente proporción musical [analogía mousiké], por el hecho de que contiene en sí de manera absolutamente nítida las razones musicales [lógoi mousikoí]. Platón, a continuación de los babilonios; de Pitágoras, quien la importó a Grecia, y de otros pitagóricos como Aristeo de Crotona, Timeo de Locres, Filolao y Arquitas, ambos de Tarento, la utilizó en el Timeo en la conformación de los intervalos del Alma como principio de vida y movimiento del cosmos. Usa para ello dos se­ ries de proporciones geométricas de impares y pares: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27 (1, 2, 4, 8 y 1, 3, 9, 27) y después completa con la proporción armónica y la aritmética: “De modo que en cada intervalo hubie­ ran dos medios, uno que supera y es superado por los extremos por una parte igual de cada uno de ellos (es la proporción armóni­ ca), y el otro medio supera a su vez y es superado por igual canti­ dad numérica (se trata de la proporción aritmética)”; como dice más claramente Proclo: “Los completaba con un semitono de pro­ porción epioctava, de manera de formar un acorde completo”. El tema de las tres proporciones está en la formación misma del alma del cosmos y, por lo tanto, se refleja en el mismo cosmos. Jámblico dice que esto lo profundizará en la Introducción a la música. Pero, concluyendo la Introducción a la aritmética, dice algo más importante: “Pronto, si Dios lo permite, te presentaremos esta misma Introducción a la aritmética de manera más completa, de modo que también tú puedas ahora adquirir con ella un hábito de inteligencia crítica”. O sea, estudiando el número se adquiere un hábito de entendimiento crítico, que va mostrando todas sus apti­ tudes. Por eso: Y estudiaremos al mismo tiempo cuantas otras pro­ piedades irradien desde los números, del uno al diez, tratándolos según el orden natural (según el orden de la física), el moral [ethikón!, e incluso el teológico ftheologikón], que precede a los otros dos, para que partien­ 47

L a c o n c e p c i ó n p it a u ó r ic a d e l n ú m e r o

do de estas propiedades aritméticas te resulte más útil y totalmente fácil la enseñanza de las tres sucesivas introducciones,

o sea, a la música, a la geometría y a la astronomía. El carácter medio de lo matemático infiltra a la realidad en todos sus planos, psicofísico y cósmico, otorgando arreglo, coordi­ nación, disposición y armonía al alma, en su conformación y su comportamiento individual y colectivo (psicológico, ético, social y político), a la naturaleza y su desarrollo y a la vida y movimiento del universo y, siempre mirando más arriba, a sus modelos inteli­ gibles y a la voluntad de los dioses, encósmicos y supracósmicos, de manera que número (arithmós), ritmo, rito, arte y areté recu­ peran su antigua etimología (raíz indoeuropea RT). No se debe insistir ampliando estos desarrollos con los testi­ monios del mismo Jámblico incluidos en la antología final sobre el número pitagórico que acompaña a este volumen como Apén­ dice, pero sí proseguir con algunas reflexiones que pongan al des­ cubierto el desmedro que ha recibido el tratamiento del número desde la perspectiva filosófica por las generaciones posteriores, lo que se ha examinado en relación con su concepto, pero no con su sentido analógico, confirmando, en consecuencia, una obliga­ da obliteración de la continuidad entre la realidad y la matemá­ tica y del respectivo campo y horizonte de despliegue matemáti­ co, que resta posibilidades al desarrollo integral del hombre occi­ dental y a la misma riqueza cualitativa de sus progresos científi­ cos y tecnológicos. Puede confirmarse lo anticipado en los cuatro ejemplos que siguen y que conforman la segunda parte de este volumen.

48

S e g u n d a parte

PROYECCIONES DE LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL NÚMERO

III. Conocimiento científico, número e imaginación en el platonismo que pitagoriza

I. Conocimiento, ciencia y técnica Es conveniente comenzar con la lectura de un pasaje del libro del filósofo neoplatónico Jámblico de Calcis que vivió entre media­ dos del siglo III y comienzos del IV (240-325), Sobre la ciencia común de la matemática (Perí tés koinés mathematikés epistéme), o sea, la enseñanza de aquello que es común a lo matemático, a las cuatro ciencias o epístemai, porque el contenido del pasaje no sólo inter­ preta la doctrina básica de Platón al respecto e indica su origen pitagórico, sino también porque al mismo tiempo la lanza hacia el futuro con toda su rica complejidad. Dice el texto en cuestión: También es necesario hablar, después de chaber mostrado que la filosofía es la única entre todas las téc­ nicas y las ciencias que permite al hombre alcanzar su propio fin> sobre el criterio de verdad de las matemáti­ cas todas, cuál sea su naturaleza y qué diversos modos de operar tenga en sí. Comenzando, por lo tanto, desde arriba, o sea, con el método mismo de la división, haga­ mos una exposición didáctica completa. Pues bien, todos los entes inteligibles [noetá] se di­ viden en dos clases: los inteligibles propiamente dichos y los posibles de conocerse por ciencia [epistetá], es de­ cir, los deducibles/íd dianoetá]. Los inteligibles son pri­ meros [próta], pero los deducibles, segundos e inferio­ res. A su vez hay otra clase de sustancias, las de los sensibles [aisthetá], de éstas algunas son sensibles en sentido propio, las que asimismo son opinables [doxas51

P r o y e c c io n e s d e l a c o n c e p c i ó n p it a g ó r ic a d e l n ú m e r o

tá], pero otras, conjeturables [eikastá]. Opinables y sen­

sibles en sentido propio son los cuerpos particulares, por ejemplo, las piedras, los leños y los cuatro elemen­ tos, y éstos son los primeros entre los sensibles. Des­ pués de éstos hay otros sensibles débiles y desemejan­ tes [ouk hómoios] a ellos, pero que vienen detrás de los primeros. Estos son sus sombras; porque las sombras siguen a los cuerpos y si no tuvieran algo otro puesto debajo [hypobebleménon], tampoco se mostrarían. Por consiguiente, son imágenes [eídola] las sombras, y los reflejos [33] en las aguas y en los espejos, en la medida en que existen en otros y no en sí mismos y tampoco son manifestaciones por partición en dos de otros cuer­ pos, sino algo que se hace accesible como cuerpos dife­ rentes, los que mostrándose se ocultan. Por esto en cuan­ to al género son sensibles, puesto que caen bajo la sen­ sación, pero son más propiamente conjeturas y creen­ cias [pisteutá] que realidades [hypostatá], algo dicho crédulamente [katá pístin] sobre cosas que nada pue­ den indicar [ apodeiktikón]; en otros términos, por ad­ quisición [eis paradochén] de cosas recibidas [paralambanoménon] a partir de la creencia en los que las pro­ ducen. Efectivamente, las sombras no poseen la per­ ceptibilidad / to antiléktikónj desde sí mismas, sino des­ de los cuerpos en que son accesibles y en los que al des­ cansar se muestran. Semejante creencia, por lo tanto, carece de fundamento; efectivamente, si a estos sensi­ bles les faltara el espejo, o el agua o aquello sobre lo que apoyarse, nada quedaría del conjunto. Las sombras están más sujetas a carecer de solidez en sí mismas y, en cambio, a apoyarse en otro que los cuerpos, que tam­ bién son opinables y fundan su ser en el aparecer [dokeín]. En realidad también los deducibles se parecen a las sombras, ya que tienen la relación con/7ógon échonta] los entes posibles de conocerse por ciencia y los inteligibles que los conjeturables tienen con los sensibles y los opinables. Porque las ideas, que son las sustancias que realmente son, el intelecto las posee como por contacto [ oionéi katá epaphén ], pero los entes dedu­ cibles, como son las entidades geométricas, se ven por la deducción cuando todavía no se ha aproximado a ellos directamente ni por intuición [epibolé], sino a lo largo 52

CONOCIMIENTO CIENTÍFICO. NÚMERO E IMAGINACIÓN

del discurso [diá lógouj más que por vecindad con ellos y por decir como inteligibles que han caído [katiánton] desde las ideas como en sus conjeturas e imágenes. [34] También las conjeturas dentro de los sensibles caen dentro de las sombras, porque mientras que los sensi­ bles son accesibles por sí mismos por los sentidos por visión directa, las sombras, a su vez, se ven en otro, sobre otro y por medio de otro. La sombra, en efecto, no existe en sí misma, sino o en aquello sensible en lo que se apoya que es por sí mismo, o en el espejo o en las aguas, que son sensibles por sí mismos. De este modo, por consiguiente, también las entidades matemáticas parecen manifestarse como imágenes [ tá mathematiká, hósper en tais ideáis éoike phantázesthai], y que tienen el fundamento lepéreisma] en éstas. Porque no se las debe pensar como venidas desde los sensibles por abstracción [katá aphaíresin], al contrario, descendiendo a partir de las ideas poseen su carácter de imagen desde ellas al adquirir tanto tamaño como al manifestarse como imágenes [phantázesthai] en la extensión [diástesis]. Porque la debilitación que aparece en las imágenes sensibles y la carencia de sostén en sí está en correspondencia con los inteligibles en relación con la masa [énogkon] y la ex­ tensión [diástaton], pero puesto que esto tiende hacia lo que carece de masa y de división, entonces parece que el ente matemático descansa en la privación de partes propia de las ideas, así como parece que las som­ bras residen en la dureza de los seres sensibles. Por lo tanto, como los deducibles están separados de los inte­ ligibles, así también la razón [diánoia] está separada de la intelección. Por este motivo Brotino en su libro sobre el Intelecto y la razón [...] y más diáfanamente Arquitas en su libro Sobre el intelecto y la sensación distingue los criterios