Kursbuch Mathe-Abitur 2019

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GYMNASIUM Hessen Grund- und Leistungskurs

abiturma I ZEITiDSCHOLERCAMPUS

Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

abiturma I ZEITASCHOLERCAMPUS

Kursbuch Mathe-Abitur 2019 Gymnasium Hessen Grund- und Leistungskurs

abiturma I ZEITiimSCHüLERCAMPUS

© 2018 abiturma GbR

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abiturmas Unternehmenszweck:

Dich so auf dein Mathe-Abitur vorbereiten, dass du sicher in die Prüfung startest und ein Unterrichtsfeld schaffen, in dem du dich gesehen und unterstützt fühlst und du dein Verhältnis zu deinen mathematischen Fähigkeiten stärkst.

abiturma ist holokratisch organisiert. Das bedeutet, dass es bei uns keine Hierachien oder Chefs gibt, sondern wir in unseren verschiedenen Funktionen gemeinsam und gleichberechtigt den obigen Unternehmenszweck bestmöglich verwirklichen. Weitere Informationen findest du auf abiturma.de/struktur.

abiturma abiturma ist ein führendes deutsches Nachhilfeinstitut, das bundesweit fünftägige Intensivkurse für die Abiturprüfung in Mathematik anbietet. Alleinstellungsmerkmal von abiturma ist ein klares Bekenntnis zur Qµalität von Lehrkräften und Kurskonzept. Das Kurskonzept wird in Kooperation mit der Uni Tübingen stetig weiterentwickelt, um eine bestmögliche Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung sicherzustellen.

ZEIT ID SCH OLERCAM PUS DIE ZEIT, Deutschlands führende meinungsbildende Wochenzeitung, steht für höchste Qualität und leidenschaftlichen Journalismus in Wirtschaft, Kultur, Wissenschaft, Bildung, Gesellschaft, Reisen und Geschichte. Gründlich recherchierte Hintergrundberichte, konträre Sichtweisen und präzise Analysen machen DIE ZEIT nicht nur zu einer relevanten Informationsquelle, sondern vor allem auch zu einem wichtigen Orientierungsmedium. Die Themen der ZEIT haben auch über die redaktionelle Berichterstattung hinaus eine weitreichende Bedeutung. Wir wollen junge Menschen auf ihrem Bildungsweg unterstützen, ihre Freude an Literatur wecken und ihre Lesekompetenz fördern. Daher richtet sich DIE ZEIT seit mehr als 25 Jahren mit zahlreichen Projekten und Aktivitäten gezielt an die junge Zielgruppe. Der ZEIT-SCHÜLERCAMPUS bündelt verschiedene Bildungsangebote des Zeitverlages für Schülerinnen und Schüler im Alter von 8 bis 18 Jahren. Weitere Informationen findest du auf www.zeit-schuelercampus.de.

Über das Kursbuch In diesem Kursbuch findest du zu jedem Abi-relevanten Thema entsprechende Merkregeln, Rezepte und zahlreiche Übungsaufgaben. Viele der Aufgaben sind mit Abi** gekennzeichnet. Ein bis drei Sterne deuten dabei den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an. Das Taschenrechnersymbol liiii zeigt an, bei welchen Aufgaben ein grafikfähiger Taschenrechner zwingend erforderlich ist. Die Lösungen aller Aufgaben sind am Ende des Buches abgedruckt. Inhalte und Aufgaben , die nur für den Leistungskurs relevant sind , haben wir gekennzeichnet.

Schreibe uns Hast du Hinweise, Kritik oder Anmerkungen zu unserem Kursbuch, dann freuen wir uns über eine Email von dir. Wir haben auch sonst ein offenes Ohr für dich. Solltest du vor, während oder nach dem Kurs ein Anliegen haben, wende dich einfach direkt an deine*n Kursleiter*in oder schicke uns eine E-Mail an [email protected].

Viel Erfolg Wir alle wünschen dir viel Erfolg beim Kurs, dem bevorstehenden Mathe-Abitur und auf deinem zukünftigen Lebensweg.

Dr. Aaron Kunert

Alex Bückne r

Eileen George

Dr. Ma rtin La i

C hristiane Schul z

Cora- Lis G rießhaber

Rebecca Arndt

David Ewer!

Rick Kummerow

1n haltsverzeichn is

nalysis Gleichungen

2

3

4

5

1.1 1.2 1.3

Quadratische Gleichungen Gleichungen höheren Grades Exponentialgleichungen

1.4 1.5

Wurze lgleichungen . . . Gemischte Gleichungen

14 14

15 17 19 20

Funktionen

21

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

21 24 26 29 31 32

Potenzfunktionen Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen . Wurzelfunktionen . . . . . . . . Zusammengesetzte Funktionen

Ableitung

34

3.1 3.2

Hilfreiche Umformungen Ableitungsregeln . . . . .

34 34

3.3

Bedeutung der Ableitung .

37

3.4

Graphisches Ableiten

39

Tangenten

43

4.1 4.2 4.3

43 45

Tangente an einen Kurvenpunkt Tangent e mit gegebener Steigung Normale . . . . . . . . . . . . . .

Kurvendiskussion 5. 1 Definitionsbereich . 5.2 Strecken und Stauchen

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

6

13

Verschieben Spiegeln Symmetrie Monotonie

47 49

49 50 51 52 54 57 58 62

Hoch-, Tief- und Sattelpunkte Krümmung . .. . . . . . . 5.9 Wendepunkte ......... 5.10 Verhalten im Unendlichen .. 5. 11 Die Umkehrfunktion - nur LK

63 65 67

Integration

70

6.1 6.2 6.3 6.4

70 71

Grundlagen ... . ...... . Integrat ionsregeln . . . .. . . Bestimmte Integrale und Fl äc heninhalte Mittelwert von Funktionen . . . . . . .

74 79

Inhaltsverzeichnis

10

6.5 6.6 7

7.6

Stetigkeit und Differenzierbarkeit - nur LK . Wachstum . . . . . . . . . . . . Änderungsraten und Bestände .

Umfangreiche Aufgaben

Geometrie 9

80 81

Besondere Aufgabentypen 7.1 Extremwertaufgaben 7.2 Steckbriefaufgaben . . . 7.3 Scharen . 7.4 7.5

8

Rotationskörper . . .. ... . Näherungsverfahren - nur LK

84

86 88

. -. ---

90 91 93

98

101

Grundlagen der Vektorrechnung 9.1 Lineare Gleichungssysteme. 9.2

84

Rechnen mit Vektoren

102 '32

'05

10 Geometrische Objekte 10.1 Geraden . . . . . . 10.2 Ebenen . . . . . . . 10.3 Zeichnen geometrischer Objekte .

'12 '12 '13 '2 1

11 Lagebeziehungen und Schnitt 11.1 Lagebeziehung Gerade-Gerade. 11.2 Schnitt Gerade-Gerade . . . . 11.3 Lagebeziehung Gerade-Ebene 11.4 Schnitt Gerade-Ebene . . . . 11.5 Lagebeziehung Ebene-Ebene

124

11.6 Schnitt Ebene-Ebene 11.7 Schnittwinkel 12 Abstand

12.1 Abstand Punkt-Punkt 12.2 Abstand Punkt-Gerade 12.3 Abstand Punkt-Ebene . 12.4 Abstand Gerade-Ebene 12.5 Abstand Ebene-Ebene . 12.6 Abstand Gerade-Gerade 13 Konstruktionsprobleme

'24 '25 '27 '28 '30 131 33 137 137 137 1 38 140 1 41 142

. ..

145 45 148

14 Umfangreiche Aufgaben

150

13.1 Spiegelung ... 13.2 Schattenpunkte

Matrizenrechnung 15 Grundlagen - nur LK 15.1 Definition einer Matrix - nur LK 15.2 Addition und Skalare Multiplikat10

155 156 156 156

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15.3 Matrizenmultiplikation - nur LK. 15.4 Matrixpotenzen - nur LK . 15.5 Inverse Matrix - nur LK . . .

11

158 159 160

16 Abbildungsmatrizen - nur LK 16.1 Aufstellen einer Abbildungsmatrix - nur LK 16.2 Eigenschaften von Abbildungsmatrizen - nur LK. 16.3 Einige spezielle lineare Abbildungen - nur LK ..

162 162 164 165

Stochastik

167

17 Wichtige Grundbegriffe 17.1 Der Wahrscheinlichkeitsraum 17.2 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . 17.3 Vereinigung und Schnitt von Ereignissen 17.4 Stochastische Unabhängigkeit . 17.5 Die Vierfeldertafel . . . . . . . . 17.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

168 168 170 172 175 176 177

18 Mehrstufige Wahrscheinlichkeiten 18.1 Baumdiagramme . . . . . . . . . 18.2 Kombinatorische Abzählverfahren

179 179 181

19 Zufallsvariablen 19.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 19.3 Histogramme . . ......... .

185 185 186 189

20 Binomialverteilung 20.1 Bernoulli-Ketten . 20.2 Kumulierte Binomialverteilung. 20.3 3M-Aufgaben . . . . . . . . . 20.4 Tabelle: Kumulierte Binomialverteilung

191 191 195 198 199

21 Weitere Verteilungen 21.1 Hypergeometrische Verteilung . 21.2 Normalverteilung - nur LK . . . 21.3 Tabelle: Normalverteilung - nur LK 21.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung - nur LK .

200 200 201 203 204

22 Konfidenzintervalle - nur LK 22.1 Konfidenzintervall verstehen - nur LK

205 205

. . . . . . . . .

22.2 Häufigkeiten/Wahrscheinlichkeiten schätzen - nur LK 23 Hypothesentest 23.1 Grundidee . 23.2 Testen von Hypothesen . . . . 23.3 Zweiseitige Hypothesentests . 23.4 Operationscharakteristik - nur LK . 24 Umfangreiche Aufgaben

206 208 208 210 216 218 221

12

Lösungen

Inhalts verzeichnis

223

Analysis

1 Gleichungen 1.1 Quadratische Gleichungen Merke Die Lösungen einer quadratischen Gleichung x 2 + berechnet werden: X1,2

px + q = 0 können mit der p-q-Formel

± ✓~2 - q.

=- ~

Steht vor dem x 2 noch eine Zahl( =/= 1), so muss zunächst die gesamte Gleichung durch diese Zahl dividiert werden.

Diskriminante Der Term, der in der p-q-Formel unter der Wurzel steht, also

p2

D

=4

-q,

heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Anhand der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. ► Ist die Diskriminante

O

> 0, so gibt es zwei

Lösungen.

-... Ist die Diskriminante O = 0, so gibt es genau eine Lösung. ► Ist die Diskriminante

O

< 0, so gibt es

keine Lösung.

Beispiel: Die Lösungen der Gleichung x 2 - 4x + 3 = 0 sind gegeben durch: x 1, 2 = - ~ ±

✓ (-~)

2 -

3= 2±

0

= 2 ± 1.

Die Lösungsmenge ist somit[, = {1; 3} .

Aufgabe 1 -

@

Bestimme jeweils die Lösungs menge der folgenden Gleichungen.

(a) -3x + 10 - x 2

(c) x 2

=0

= 2x + 4

Aufgabe 2 -

(b) 2x 2 + 4x

=x-3

(d) x 2 - 2x + a

= ax - 1

@ Abi*

Gegeben sind die Funktionen f und g m it f( x ) = 3x 2 Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen.

-

2 und g(x) = x 2

-

3x . Berechne die

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Aufgabe 3 -

15

Abi*

Gegeben ist für a E IR die Funktionenschar Fa durch

F0 (x)

= 2x 2 + ax + 2.

Der Graph der Funktion Fa heißt Ca, Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von Ca mit der x-Achse in Abhängigkeit von a.

1.2 Gleichungen höheren Grades 1.2.1 Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Beispiel: Um die Lösungen der Gleichung x 4 + 3x 3

= 0 zu bestimmen , wird zunächst x 3 ausgeklam-

mert:

x 3 (x + 3) = 0

==>

Damit sind die Lösungen: x 1

Aufgabe 4 -

x3 = 0

oder

x + 3 = 0.

= 0 und X2 = -3.

Abi*

Bestimme die Nullstellen von F(x)

Aufgabe 5 -

= -2lx 2 + x4 - 4x 3 .

Abi*

Löse folgende Gleichungen:

(a) x 4

= x 3 + 2x 2

(b) (x - 3) 2 · (x + 2) · (3x 3

(c) (x

4

-

16)

2

• (

2

x +x +

-

3x 2 - 6x)

i)=

=

0

0

1.2.2 Substitution Substitution Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von x auftreten , kann eine Substitution durchgeführt werden .

1 Gleichungen

16

Rezept Bestimme die Lösungen der Gleichung

x4

-

5x 2

= 36.

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:

= 0. Substitution: Setze u = x 2 , dann gilt: u 2 - Su - 36 = 0. x 4 - 5x 2 - 36

Schritt 2:

Schritt 3: Löse die Gleichung (zum Beispiel mit der p-q-Formel). 2

U1 ,2=~±J ;+36

==}

U1 =9,

Schritt 4: Rücksubstitution: Löse x 2 = u, also: U1 = 9 : x 2 = 9 ~ XJ = 3, u2 Es folgt also[,

Aufgabe 6 -

= -4:

x

2

= -4

==:>

U2=-4.

X2 = -3

keine weiteren Lösungen .

= {-3; 3}. Abi*

Bestimme die Nullstellen der folge nden Funktionen. (a) f(x)

= x4 + x2 - 2

(c) h(x) = 2x 4 + 4x 2 - 4

Aufgabe 7 - @ Abi** Löse für x

i=

0 folgende Gleichung.

12 1 -+x4

x2

=1

(b) g(x) = x 4 - 4x 2 + 4

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1.3 Exponentialgleichungen Die drei Typen von Exponentialgleichungen ,.. Typ 1: Alle Exponential-Terme haben den gleichen Exponenten, zum Beispiel: e)x-1 +2=4-e)x-1_ ►

Typ 2: Es treten verschiedene Exponenten auf, aber dafür keine Zahlen, zum Beispiel: 3e2x - 4e5x = 0. Typ 3: Es treten verschiedene Exponenten und auch Zahlen auf, zum Beispiel: e2x

-

Se"

= 36.

Rezept Exponentialgleichungen Typ 1 Bestimme die Lösungen der Gleichung Se2x+l - 3 = 3e2x+l + 1.

Schritt 1: isoliere den Exponentialterm: Se 2x+ 1 - 3 = 3e 2x+l + 1 {=c}

2e2x+l = 4

{=c}

e2x+ l = 2.

Schritt 2: Logarithmiere beiden Seiten: {=c} ln ( e 2x+l) = ln(2)

2x + 1 = ln(2).

Schritt 3: Löse nach x auf: ln(2)- 1 X= --2--.

Aufgabe 8 -

Abi*

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: (a) -se-Jx- 2 - 4

=1

(c) 2ex' + 2 = Sex' - 4

(b) 3e-x+ 1 - 1 = 2e-x+ 1 + 4

17

1 Gleichungen

18

Rezept Exponentialgleichungen Typ 2 Bestimme die Lösungen der Gleichung 4e 3x = 2e 5 '.

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite: 2e 5x

-

4e 3'

= 0.

Schritt 2: Klammere die kleinste e-Potenz aus und beachte dabei die Potenzgesetze: e 3• ( 2e 2x

-

4)

= 0.

Schritt 3: Wende den Satz vom Nullprodukt an: e 3 ' = 0 oder 2e 2x - 4 = 0. Die Gleichung e 3 ' = 0 besitzt keine Lösung.

Schritt 4: Bestimme die Lösungsmenge der zweiten Gleichung: 2e 2x - 4 = 0 ~ e 2' = 2 ~

Aufgabe 9 -

x=

1

2 Ln(2).

@ Abi*

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. (a) 4ex' = 2e 3x'

(c) 3ex -

(b) e2x-1 = e-x

~ =0 e•

Rezept Exponentialgleichungen Typ 3 Bestimme die Lösungen der Gleichung e 2x + ex = 6.

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite: e 2x + ex - 6 = 0. Schritt 2: Substitution : Setze u = e': u2 + u - 6

= 0.

Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung mit der p-q-Formel: U1 '2 = -~ 2

± y4+o ~

~

U1 = 2,

Uz

= -3.

Schritt 4: Rücksubstitution : Löse e' = u: u1 = 2 : u2 = -3: Es folgt also[,= {ln(2)} .

ex = 2 ex= -3

~ ~

x = ln(2)

keine weiteren Lösungen.

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Aufgabe 10 - @ Abi* Löse folgende Gleichungen: (a) 4e 2x + 12ex = 16 4

(c) e x + -

e'

+3

(b) e x + 3 =

10

-

e'

(d) 4e 6x + 6e 3x = 4

=0

1.4 Wurzelgleichungen Merke Ein Wurzelausdruck ist nur definiert, wenn der Term unter der Wurzel, auch Radikand genannt, größer oder gleich O ist.

Beispiel: Der Ausdruck

-197 ist nur für -3

:s; x :s;

3 definiert. An den Stellen x = -3 bzw. x = 3 ist der Ausdruck gleich 0.

Lösen von Wurzelgleichungen Finde alle Lösungen der Gleichung

V4x + 16 + x + 1 = 0.

Schritt 1: isoliere die Wurzel: V4x+16=-x-1

Schritt 2: Qµadriere beide Seiten und beachte dabei die binomischen Formeln: 4x + 16 = (-x - 1)2 = x2 + 2x + 1

Schritt 3: Löse die entstehende Gleichung mit der p-q-Formel: x 2 -2x-15=0

also

xi=-3

oder

x2=5

Schritt 4: Mit den gefundenen Lösungen eine Probe machen , denn durch das quadrieren können Lösungen dazugekommen sein: X1

= -3:-/4·(-3)+16-3+1 = 2-3+1 =0 ✓

xi= 5: V4 · 5 + 16 + 5 + 1 = 6 + 5 + 1 = 12 Also gilt:[,= {-3}.

keine Lösung

19

20

1 Gleichungen

Aufgabe 11 Abi* Finde jewei ls alle Lösungen der folgenden Gleichungen:

(a) ~

=0

(c) J4x + 6 + 4

=5

(b) 2 - ~

=0

(d) 10 + J2x - 3

=5

1.5 Gemischte Gleichungen

Aufgabe 12 -

® Abi*

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion f mit

f( x)

= (x 2 -4) · (x 2 + 8) · (ex -1).

Aufgabe 13 -

(j) Abi*

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)

Aufgabe 14 -

= x 5 - Sx 3 - 9x.

® Abi**

Bestimme jeweils für O s; x 3

3

(a) 2e2x • cos(2x)- 2e2'

s;

2JT die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

=0

(b) 2 (sin (x +

2

1))

cos(x)

-

Aufgabe 15 Abi* -** Löse folgende Gleichungen:

(a) (4x 2 - 16) . (e 2x - 5)

=0

(b) x 2 sin(x) - 4 sin(x)

(d) (x - 3) 4 + (x - 3) 2

Aufgabe 16 -

(j) Abi*

Für welchen Wert von x hat die Funktion

f(x)

= e3.7x . x3 + 4 + 8. e3,7x

den Funktionswert 4?

=0

=2

=0

2 Funktionen 2.1 Potenzfunktionen Merke Die Standardform einer Potenzfunktion f ist gegeben durch: f(x)

= x'

► Die Graphen von Potenzfunktionen verlaufen immer durch den Punkt P( 1 11 ).

,

Aus den Potenzfunktionen können durch elementare Verknüpfungen die ganzrationalen Funktionen, die gebrochenrationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen gebildet werden.

►

Je nach Exponent r können die Graphen von Potenzfunktionen sehr unterschiedliche Gestalt besitzen.

Die drei wichtigsten Untergruppen von Potenzfunktionen werden in den folgenden Merkkästen untersucht. Tipp: Oft wird in Büchern die Standardform einer Potenzfunktion definiert als f(x) = ax'. In diesem Kapitel betrachten wir nur den Fall o = 1, alle Streckungen und Verschiebungen werden in späteren Abschnitten erklärt.

Parabeln n-ter Ordnung Die einfachsten Potenzfunktionen sind solche mit positiven ganzzahligen Exponenten, also

f(x)=xn,

nEN.

Ihre Graphen nennt man Parabeln n-ter Ordnung. ► Parabeifunktionen sind auf ganz lR definiert. ►

Für x

-->

+oo gilt xn

-->

+oo.

Je nachdem ob der Exponent n gerade oder ungerade ist, liegt ein Parabeiast im zweiten oder dritten Quadranten, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von f(x)

= x2

und

g(x)

= x3

erkennen kann.

X

2 Funktionen

22

Entsprechend ergibt sich der Grenzwert für x

--->

-oo.

Tipp: Die einfachste Parabel erster Ordnung ist die Funktion f(x) Winkelhalbierenden.

= x 1 = x. Der Graph entspricht der ersten

Hyperbeln n-ter Ordnung Hyperbelfunktionen n-ter Ordnung sind Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten. Man kann sie auch schreiben als f(x) ►

1

= -, x"

nE N

Hyperbelfunktionen n-ter Ordnung sind für x 1

i

O definiert.

►

Für x

►

Je nachdem ob n gerade oder ungerade ist, liegt ein Hyperbelast im zweiten oder dritten ~adranten, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von

--->

±oo gilt -

f(x)

x"

1

= -X

und

--->

0.

g(x)

1

= x2

sehen kann.

'\_ _),'

\ ►

X

==----+---1---==~ X

Hyperbeln n-ter Ordnung besitzen zwei Arten von Asymptoten. Als Asymptoten bezeichnet man Geraden, denen sich der Funktionsgraph für bestimmte Bereiche des Definitionsbereiches annähert. Alle nicht verschobenen Hyperbeln n-ter Ordnung besitzen die y-Achse als senkrechte Asymptote und die x-Achse als waagerechte Asymptote. Man sagt auch, dass die hier betrachteten Funktionen eine Polstelle bei x = 0 besitzen.

Tipp: Wenn man Hyperbelfunktionen verschiebt, verschieben sich ihre Asymptoten einfach auf die gleiche Art und Weise mit. Dementsprechend kann man auch das Verhalten im Unendlichen von verschobenen Hyperbeln leicht berechnen.

23

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Elementare Wurzelfunktionen

Elementare Wurzelfunktionen kann man darstellen als f(x) ►

= x¾

f(x)

= y'x,

n E N.

Elementare Wurzelfunktionen sind nur für geraden nur für x auf ganz lR definiert.

► Für x ►

beziehungsweise

~

0, für ungeraden aber

-+ +oo gilt y'x-+ +oo.

Je nachdem ob n gerade oder ungerade ist, haben elementare Wurzelfunktionen einen oder zwei Äste, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von

Tx

f(x) =

und

g(x) = ,fx

sehen kann. y

y

c,

X

Tipp:

X

Elementare Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen von Parabeifunktionen.

Aufgabe 17 -

Abi*

Ordne die Schaubilder den folgenden Funktionen zu und begründe deine Zuordnung. (a) f(x)

= ffe

(c) h(x)

=4

'

1

X

y

(b) g(x)

= x3

(d) i(x)

= -X

8

6

4

-3

-2

-1

-2

2

3

X

+2 y 6 ~I) 4 2

(1)

(

1

2

X

2 Funktionen

24

(111)

3

-3

X

2.2 Ganzrationale Funktionen Merke Die Standardform einer ganzrationalen Funktion f ist gegeben durch:

f(x)

== OnX"

+ On-1Xn-l + ... + 02x 2 + a,x + Oo.

Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome. ►

Die höchste auftretende Potenz n heißt Grad der Funktion f. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.

Tipp: Um das Verhalten im Unendlichen zu untersuchen, muss lediglich der Term mit der höchsten Potenz herangezogen werden (Vorzeichen beachten). Geht der Term gegen +oo, geht f(x) gegen +oo. Geht der Term gegen -oo, geht f(x) gegen -oo.

Beispiel: Die Funktion f(x) == -x 3 - 3x 2 - x + 3 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Also kann f maximal drei Nullstellen haben. Im Schaubild kann man erkennen, dass der Graph von f genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat und die Funktion f somit genau eine Nullstelle.

X

Für das Verhalten im Unendlichen wird der Term der höchsten Potenz untersucht, also -x 3 . ► Für x -+ +oo geht -x 3 -+ -oo, also f(x) -+ -oo. ► Für x-+ -oo geht -x 3 -+ +oo, also f(x) -+ +oo.

Das Verhalten im Unendlichen lässt sich zudem am Graphen der Funktion ablesen.

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Aufgabe 18 -

25

Abi*

(a) Warum ist h(x)

= (x - 2)(x - 3)(x - 4) eine ganzrationale Funktion?

(b) Was ist der Grad von h? (c) Was sind die Nullstellen von h? (d) Wie verhält sich die Funktion h im Unendlichen?

Aufgabe 19 - @A bi** Ordne folgende Funktionsterme den Schaubildern zu und begründe Deine Wahl: (a) f(x)

= x5 - x 2 + 1

(b) g(x)

(c) h(x)

= -x 3 + x + 1

(d) i(x)

= Sx - x 4

(e) j(x)

= -x 7 + x 6 - x

(f) k(x)

= 2x 4 -

y

y

= 3x 4 - 2x 2

1

(1)

(11)

X

X

(111)

X

0,5

y

X

y

(V)

10000 -4

-2

(VI)

2 Funktionen

26

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 2.3.1 Potenz- und Logarithmusgesetze

Potenzgesetze

Es gelten: ex . elJ ►

= ex+y

ex ex : eY = - = e•-y eY (e' )Y ex•y

=

Logarithmusgesetze

Es gelten: ln(x · y)

= ln(x) + ln(y)

ln(x : y) = ln(x) - ln(y) ln(xY)

= y ln(x)

Beispiel: Gegeben ist eine Funktion f durch

f(x)

= e2'

+

e' - 2.

Bestimme den Funktionswert f(ln(t)) und vereinfache anschließend den Ausdruck so weit wie möglich. Es gilt: f (ln(t))

=

e2ln(t)

+

eln(t) -

2.

Mit Hilfe der Potenzgesetze erhält man: f(ln (t))

= (eln(t)) 2 + eln(t) - 2.

Schließlich gilt: f(ln(t)) = t2 + t-2.

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27

2.3.2 Die Exponentialfunktion Merke Die Funktion f(x) ►

= ex

nennt man Exponentialfunktion.

Es gilt: ex > 0 für alle Werte von x. Somit hat die Exponentialfunktion f(x) Nullstellen.

► Es gilt: e0

= ex keine

= 1.

►

Für x

-->

+oo gilt ex

►

Für x

-->

-oo gilt ex

--> -->

+oo. 0.

X

Tipp: Die Exponentialfunktion wächst für x -+ +oo sehr schnell gegen unendlich. Für jedes n E J\I gilt insbesondere:

e' x"

--+ +oo für x --+ +oo .

-

Aufgabe 20 -

Abi*

Ordne die Graphen den folgenden Funktionen zu:

(a) f(x)

= e' 2

(c) h(x) = -e'

3

y

(1)

(b) g(x)

= e-x'

(d) i(x)

= -e-x' y

(11) X

0,2 X

-1

y

(111)

y

(IV) X

-1 ,5

1,5

X

-5

28

2

Funktionen

Aufgabe 21 - @Abi*

Untersuche das Verhalten folgender Funktionen für x

--+

±oo: x200

(a) f(x)

= x 2 ex

(b) g(x) =

(c) h(x)

= x - e·x

(d) i(x)

e=;-

= e·x' +x

2.3.3 Die Logarithmusfunktion Merke

Die Funktion f(x) ►

►

= ln(x) nennt man (natürliche) Logarithmusfunktion.

Die Logarithmusfunktion ist nur für x > 0 definiert. Es gelten: ln(x)

< 0 für O < x < 1 und ln(x) > 0 für x >

Es gelten: ln(l)

= 0 und

Für x

--+

oo gilt ln(x)

Für x

--+

0 gilt ln(x)

--+

--+

ln(e)

=

1.

1.

oo.

-oo. y 1

Tipp, Die Logarithmusfunktion wächst für x --+ +oo sehr langsam gegen unendlich. Für jedes n E J\I gilt insbesondere, ln(x)

x"

--->

0 für x

--->

+oo .

29

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2.4 Trigonometrische Funktionen 2.4.1 Die Sinusfunktion Merke Die Funktion f(x)

= sin(x) nennt man Sinusfunktion.

►

Für alle x E IR gilt: - 1 '.';'. sin(x) '.';'. 1.

►

Die Sinusfunktion hat die Periode 27T. Es gilt also: sin(x)

►

Die Nullstellen von sin(x) sind . . . - 27T, -JT, 0, 7T,27T, ... (allgemein: klT mit k E Z).

= sin(x + 27r).

y

Beispiel: Gesucht sind die Nullstellen von f(x) sin(2x + 47r)

= 0,

also

2x + 47T

sin(x)

= sin(2x + 47r) im Intervall [-2JT; 0). Es gilt:

= kJT,

k E Z.

Das ist gleichbedeutend mit: 2x

= klT

klT 2

x =-.

= - x. 2 2 2

Produktregel Falls die Funktion f als Produkt zwe ier Funktionen u und v geschrieben werden kann, gilt für die Ableitung f' folgende Beziehung:

f(x)

= u(x) • v(x)

=*

f'(x)

= u'(x) · v(x)

+ u(x) · v'(x).

Beispiel : f(x) = (x 2 + 3) · (8x + 2)

=*

f'(x) = 2x · (Bx + 2) + (x 2 + 3) · 8

Beispiel : f(x) = (x 2 + 3) · e7x

=*

f'(x) = 2x · e7x + (x 2 + 3) · 7e 7x

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Kettenregel Falls die Funktion f als Hintereinanderausführung oder Verkettung der beiden Funktionen u und v geschrieben werden kann , also f = u( v(x) ), dann gilt für die Ableitung f' folgende Beziehung:

f(x)

= u(v(x))

=>

f'(x)

= u' (v(x))

· v'(x) .

In diesem Zusammenhang heißt v die innere und u die äußere Funktion von f .

Tipp:

Statt u ( v(x)) schre ibt man a uch manchmal ( u o v )(x).

Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

= (3x 7 + 2x)4. Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

= 3x + 2x (innere Funktion), = x4 (äußere Funktion). 7

v(x) u(x)

Die Ableitung der Funktion f kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

= 4 · (3 x7 + 2x)3 • (2l x 6 + 2) .

f' (x)

Beispiel: Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

=x

v(x)

2

= e x'+ix _ Dann gilt mit obigen Bezeichnungen :

+ 2x (innere Funkti on),

u(x) = e x (äußere Funktion). Die Ableitung der Funktion f kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

f ' (x)

= (2 x + 2) · e ' ' +ix

Quotientenregel - nur LK Falls die Funktion f als Qµotient zweier Funktionen u und v geschrieben werden kann , gilt für die Ableitung f' folgende Beziehung:

f(x)

= u(x)

f

v(x )

' )

u' (x) · v(x) - u(x) · v'(x) ------=- - -

(x = - --

(v(x)) 2

Beispiel: x3

+x2

f(x) - - - 2x + 1 f' (x)

=

2

3

2

(3x + 2x )(2x + 1) - (x + x )(2) (2x + 1)2

4x 3 + 5x 2 + 2x (2x + 1) 2

35

3 Ableitung

36

Aufgabe 27 Bestimme von folgenden Funktionen jeweils die ersten drei Ableitungen

= x 3 + 2x 2 -

(a) f(x)

(b) f( x) = 15x4 - 3x 2 + 1

1

(c) f( x) = 5x - 2

(d) f(x)

1 2 = -x + 4x - 2 2

(e) f(x) = 3x + 52x 2 - 73x 3

(f) f(x)

= (x + 2)(x - 4)

= 10x 10 - 2x 2 + (3x)(4x - 1)

(g) f(x)

@ Abi*

Aufgabe 28 -

Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen.

(a) f(x)

= (2 - 3x) • e-x

(c) f(x)

=

(b) f(x)

= (2x 2 + 5) · e- 2x

VX · e 2x

Aufgabe 29 - @ Abi* Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen.

(a) f( x) =

1

8 sin(4x

2

(b) f(x)

)

= x 2 · sin(3x + 1)

(c) f(x)

Aufgabe 30 -

= (1

+ sin(x))

2

(d) f(x) = (sin(x) + 7) 5•

@ Abi*

leite folgende Funktionen ab:

2 3 2 7 (a) d(x) = - x + 5x - x +

(b) e(x)

= -2x 100 - x + 2

= e-Jx

(d) g(x)

= (2x - 3) • e x

(e) h(x) = J 4x 2 + 2x

(f) i(x)

= sin(x) · cos(x)

(h) k(x)

= sin(2x)

2

3

(c) f(x)

(g) j(x)

= x · sin(x) + Sx 2

(i) /(x}

= -e-0,3xcos(x)

2n

l Aufgabe 31 Gegeben ist für n E N die Schar der Funktionen fn beziehungsweise 9n durch:

(a) fn(x)

= 4x 5 -

nx 3 + 1

Bilde jeweils die erste Ableitung.

(b) 9n(x) = 3x"

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3.3 Bedeutung der Ableitung 3.3.1 Mittlere und Momentane Steigung Merke ►

Die durchschnittliche/ mittlere Änderungsrate für eine Funktion f in einem Intervall = [a; b] entspricht der Steigung der Gerade, die durch die zwei Punkte A( a I f(a)) und B( b I f(b)) verläuft. Man spricht hier auch von der Sekantensteigung. Sie lässt sich entsprechend der Betrachtung im Steigungsdreieck über den Differenzenquotienten berechnen. I

m

y B

=

f(b) - f(a) b-a

f(b) f(a)

a

X

b

Also: Mittlere Änderungsrate= Steigung der Sekante= Differenzenquotient (.,QJ.Jotient aus Differenzen") ►

Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Falls der Grenzwert existiert, gilt f'(a)

= lim

f(b) - f(a). b-a Der Punkt B rückt dabei immer näher an den Punkt A heran, sodass mit der Ableitung dann die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt A angegeben wird. b-a

y

m = lim f(b) - f(a) = f'(a) b-a b-a

f(a)

a

X

Also: Ableitung= Momentane Änderungsrate= Steigung der Tangente= Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten)

Tipp: ► Von einer Änderung spricht man, wenn man nur eine einzelne Variable betrachtet. ►

Von einer Änderungsrate spricht man, wenn die Änderung einer (abhängigen) Variable y in Beziehung (Größenverhältnis) zu der Änderung einer (freien) Variable x gesetzt wird. ·

37

3 Ableitung

38

Beispiel: Ein Temperaturverlauf wird beschrieben durch die Funktion

T(t)

1 = -101t 2 + -t-4 2

mit t in Stunden seit Beginn der Messung und T(t) in °C. Bestimme die mittlere Änderungsrate während der ersten sechs Stunden sowie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 6. T

7 6

5 4

3 2

6

7

8

1

Für die mittlere Änderungsrate gilt:

T(6)- T(0)

6-0

= 1,1.

Im Mittel steigt die Temperatur in den ersten 6 Stunden also um 1, 1 °C/h. Für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t , 1 t+ 1 T(t)=

5

2

= 6 gilt:

T' (6)=1.7.

=}

Die momentane Temperaturänderung nach 6 Stunden beträgt damit: 1,7 °C/h.

'i

Aufgabe 32 - liiil Abi* Bestimme für folgende Funktionen f die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall / 1

2

(a) f(x) =- x-(-12+x)

6

(c) f(x)

= 5 · sin (

(b) f(x)

= [-2; 2]:

= 2. (e-0,8+0.4x + 2xe-0.4+0,3x)

-i ·

x)

Aufgabe 33 - liiil Abi** Ein Bergprofil wird für 0 f(x)

= 0,001

~

x ~ 6 beschrieben durch die Funktion f mit

3

· (x + 6x 2 ).

Dabei entspricht eine Längeneinheit 500 m. Ein Autofahrer möchte die Straße über den Berg nehmen. Davor befindet sich ein Schild, das eine mittlere Steigung von 7,2 %angibt. überprüfe die Angabe auf dem Schild und finde heraus, ob der Autofahrer über den Berg kommen wird , wenn sein Auto für eine maximale Steigung von 13 % ausgelegt ist.

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39

3.3.2 Interpretation der Ableitung Merke Allgemein gilt: ►

Ist P ein Punkt auf dem Graphen von f mit x-Wert a, dann ist f'(a) die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P.

Je nach Kontext hat die Ableitung von f noch weitere Bedeutungen: Beschreibt der Funktionswert f(x) den Weg, der seit Beginn in der Zeit x zurückgelegt wurde, dann entspricht der Wert der Ableitung f'(x) der Geschwindigkeit zur Zeit x. ►

►

Beschreibt der Funktionswert f(x) die Geschwindigkeit, die zur Zeit x erreicht wird , dann entspricht der Wert der Ableitung f'(x) der Beschleunigung zur Zeit x. Beschreibt der Funktionswert f(x) die Menge einer Flüssigkeit in einem Behälter zur Zeit

x, dann entspricht der Wert der Ableitung f'(x) der Zufluss- bzw. Abflussgeschwindigkeit zur Zeit x. Tipp: ► ► ►

Die mittlere Änderungsrate entspricht (in Anlehnung an die obige Reihenfolge).

... der mittleren/durchschnittlichen Geschwindigkeit.

... der mittleren/durchschnittlichen Beschleunigung. ... der mittleren/durchschnittlichen Zufluss- bzw. Abflussgeschwindigkeit.

Beispiel: Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe wird beschrieben durch die Funktions mit

s(t)

= lOt - St 2

mit t in Sekunden und s(t) in Metern. Die Ableitungs' beschreibt die Ableitung der Strecke nach der Zeit. Bei verschwindend kleinen Zeitinte rvallen ergibt sich damit die Momentangeschwindigkeit des Balls. Analog entspricht die mittlere Ände rungsrate in diesem Kontext dann der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Balls in m/s .

3.4 Graphisches Ableiten Ableitungsfunktion skizzieren Gegeben ist der Graph C, der Funktion f. Beim Skizzieren des Graphen G,, der Ableitung f' kann wie folgt vorgegangen werden: ►

Stellen, an denen C, Extrempunkte hat, werden zu Schnittpunkten mit VZW des Graphen von f' mit der x-Achse.

►

Stellen, an denen G1 Sattelpunkte hat, werden zu Berührpunkten von G,, mit der xAchse.

►

Stellen, an denen C, Wendepunkte hat , werden zu Extrempunkten des Graphen von f'.

► In allen Abschnitten , in denen der Graph von

f steigt, verläuft der Graph von f' oberhalb

der x-Achse. ► In allen Abschnitten, in denen der Graph von

der x-Achse.

f fällt, verläuft der Graph von f' unterhalb

3 Ableitung

40

Beispiel: Der Graph G1 der Funktion f ist im folgenden Schaubild dargestellt. Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion f'.

X

Es gelten: ►

Der Graph von f hat etwas links von x = -1 und etwas rechts von x = 0,5 Extrempunkte. Also hat der Graph von f' dort die Nullstellen E, und E, .

► Der Graph G1 hat zwischen den beiden Extrema eine Wendestelle mit maximaler Steigung. Also

hat G,, dort einen Hochpunkt W. Daraus entsteht die untenstehende linke Skizze. In allen Intervallen , in denen der Graph von f fällt , liegt der Graph von f' unterhalb der x-Achse. In allen Intervallen, in denen der Graph von f steigt, liegt der Graph von f' oberhalb der x-Achse. Damit ergibt sich die Skizze des Ableitungsgraphen rechts:

y

y

w

3

•

E,

E,

X

-1

Aufgabe 34-

X

Abi**

Gegeben ist jeweils der Graph einer Funktion. Skizziere den dazugehörigen Graphen der Ableitungsfunktion rechts daneben. y

X

X

y

X

X

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41

y

X

X

Aufgabe 35 -

Abi**

Gegeben ist eine Funktion f. Der Graph C,, der Ableitungsfunktion f' ist im folgenden Schaubild dargestellt. y

X

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe deine Antwort: (a) Der Graph von f hat bei x

= v'2 eine waagrechte Tangente.

= 2 eine waagrechte Tangente. = 0 eine waagrechte Tangente. Der Graph C,, berührt bei x = 0 die x-Achse. Der Graph von f" hat bei x = 2 eine waagrechte Tangente.

(b} Der Graph von f hat bei x (c) Der Graph von f hat bei x (d) (e)

(f) Die Funktion f hat mehr als eine Nullstelle.

Aufgabe 36 -

Abi**

Gegeben ist der Graph C, einer Funktion f:

Entscheide, ob folgende Aussagen für eine Stammfunktion Fund die Ableitungsfunktion f' wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe deine Antwort. (a) Die Funktion Fist für -3

:s;

x

:s; 1 monoton wachsend.

(b} Die Funktion F hat mindestens eine Nullstelle.

3 Ableitung

42

(c) Es gilt

f

0

f'(x) dx

= 0.

-3,5

(d) Der Graph von F(x) kann im dargestellten Bereich keinen Sattelpunkt haben. (e) Es gilt F(-2)

Aufgabe 37 -

>

F(O).

Abi**-***

Ordne die Graphen der Funktion und der zugehörigen Ableitungsfunktionen jeweils passend zu. Begründe dabei Deine Zuordnung. (a) Gegeben sind die Graphen der Funktionen f und ihrer Ableitung f'. y

(b) Gegeben sind der Graph der Funktion f und die Graphen der ersten beiden Ableitungen f' und f". y

..·,

••

X

•• I I

...: ,,

(c) Gegeben sind die Graphen der Funktionen f und g und die Graphen der Ableitungen f' und g'.

I

I

4 Tangenten 4.1 Tangente an einen Kurvenpunkt

Rezept

Gegeben sind der Graph C der Funktion f mit f(x)

=

-3x 3

-

x

und ein Kurvenpunkt P(-1 1f(-1) ). Bestimme eine Gleichung der Tangente an C im Punkt P .

Schritt 1: Die allgemeine Geradengleichung lautet: y

= mx + c.

Dabei entspricht der Parameter m der Steigung und der Parameter c dem yAchsenabschnitt der Geraden.

Schritt 2: leite die Funktion f ab: f'(x)

= -9x 2 -

1.

Schritt 3: Setze den x-Wert von P in die Ableitung f' ein, das liefert die Steigung m:

m = f'(-1) = -10. Schritt 4: Damit ist ein Ansatz für die Tangentengleichung: y =-10x+c.

Schritt 5: Bestimme den y-Wert des Punktes P:

f(-1)=-3·(-1) 3 -(-1)=4

=}

P(-1 14) .

Schritt 6: Setze P in die Tangentengleichung ein, das liefert den y-Achsenabschnitt c:

4 = (-10)·(-l)+c

=}

c=-6.

Damit ist eine Gleichung der Tangente gegeben durch y

= -10x- 6.

Tipp, Es gibt auch eine Formel für die Gleichung der Tangente t an den Graphen einer Funktion f im Kurvenpunkt P( b I f(b) ), t(x)

= f'(b) · (x - b) + f(b).

4 Tangenten

44

Abi*

Aufgabe 38 -

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den entsprechenden Graphen im jeweiligen Kurvenpunkt:

(a) f(x) =

1

4x

4

-3x 2 +1 ,

o(ivilivi)

(b)g(x) = ~ .

(c) h(x)

= (x - l)e-x ,

Aufgabe 39 -

P(2l-7)

R(

11 h(l)}

@ Abi*

Der Punkt H ( 2 l 5) ist ein Hochpunkt des Graphen C einer Funktion f, deren Funktionsgleichung unbekannt ist. (a) Wie lautet die Gleichung der Tangente in H an C ? (b) Ließe sich auch eine Gleichung angeben, wenn H kein Hochpunkt, sondern ein Wendepunkt wäre? Begründe Deine Antwort .

Aufgabe 40 Abi** Bestimme eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen C der Funktion f(x)

= x 3 - 3x 2 + 2x + 2.

Aufgabe 41 Abi** Ein Deich wird durch den Graphen C der Funktion f(x)

= -2x 2 + 8

für

- 2 -:::; x -:;; 2

beschrieben. Die x-Achse kann dabei als Erdboden angesehen werden. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Im Punkt P( -1 l 6) des Deiches soll tangential eine Leiter angelegt werden .

l

(a) Wie weit vom Deichrand muss die Leiter aufgestellt werden? (b) Wie lang muss die Leiter mindestens sein?

,

Aufgabe 42 Abi** Für z

> 0 ist die folgende f, (x)

= z cos

Funktionenschar gegeben:

( ~) + z.

Der Graph der Funktion f, wird dabei mit C, bezeichnet. Bestimme in Abhängigkeit von z die Gleichung der Tangente in demjenigen Wendepunkt von C,, der die kleinste positive x-Koordinate besitzt.

Zwischenergebnis:

Der Wendepunkt hat di e Koordin aten W, (

;JTZIz)

45

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

Aufgabe 43 - nur LK Abi*** -------------------------------l Gegeben ist die folgende Funktionenschar:

f,(x)

= e'

+ tx + 1,

t E IR.

Mit g, werden in Abhängigkeit von t alle Tangente an die Graphen von f, an der Stelle x = 1 bezeichnet. Bestimme g, und zeige, dass sich alle Geraden g, in einem Punkt schneiden.

Aufgabe 44 - @A bi* Die Funktion f ist für x

f(x)

:s;

2 definiert durch

1

= 6x 3 - x 2 + 4.

Im Punkt P( 21 f(2)) soll an den Graphen von feine lineare Funktion ohne Knick angeschlossen werden. Gib eine Gleichung dieser linearen Funktion an.

4.2 Tangente mit gegebener Steigung Rezept Gegeben ist der Graph C der Funktion f mit

f(x)

= x 2 + 2x + 1.

Bestimme die Gleichungen aller Tangenten an C mit der Steigung m

= 6.

Schritt 1: Bestimme die Ableitung von f: f'(x)

= 2x + 2.

Schritt 2: Löse die Gleichung f'(x) 2x + 2 = 6

= m. Das liefert die x-Koordinate des Berührpunktes:

~

X

= 2.

Schritt 3: Bestimme den Funktionswert an der Berührstelle: f(2)

= (2) 2 + 2 · 2 + 1 = 9

~

P( 219).

Schritt 4: Ein Ansatz für die Tangentengleichung ist also gegeben durch: y

= 6x + C.

Schritt 5: Setze die Koordinaten von P in die Tangentengleichung ein, das liefert c: 9

=6·2+C

~

C

= -3.

Damit ist die Gleichung der gesuchten Tangente gegeben durch

y

= 6x - 3.

46

4 Tangenten

Aufgabe 45 Abi* Wie viele Tangenten an den Graphen der Funktion f mit

f(x)

= 3x 3 - 5

haben die Steigung m

= 18 und wie lauten ihre Funktionsgleichungen?

Aufgabe 46 Abi* Die NASA hat wieder einmal eine Rakete ins All geschossen, um einen zusätzlichen Satelliten in die Erdumlaufbahn zu bringen, der dort für die nächsten 12 Jahre im Dienste der Navigationsgeräte herum kreisen soll. Beim Start wurden die Messdaten an die Zentrale gesendet. Diese Messdaten geben die zurückgelegte Strecke ausgehend von der Erde (in km) in Abhängigkeit von der Zeit (ins) seit Start der Rakete an. Für die ersten 20 Sekunden kann dieser Vorgang näherungsweise durch die Funktion

f(I)

1

= 31 2

beschrieben werden. Wann hatte die Rakete eine Geschwindigkeit von 4 km /s?

Aufgabe 47 Abi** Der Qyerschnitt eines Hügels wird für 0 f(x)

~ x ~

9 beschrieben durch die Funktion

2

= - x 2 + 2x.

9

mit x und f(x) in Metern. Die x-Achse beschreibt dabei den Erdboden. Der Hügel soll von einem Geländewagen überquert werden. Der Wagen kann nur Steigungen bis 50 %bewältigen. Deswegen muss für Stellen, die zu steil sind, eine Rampe angesetzt werden, die so steil ist, dass der Geländewagen sie gerade noch bewältigen kann. (a) Wo liegt diese Rampe auf dem Berg auf? (b) Wie weit ist die Rampe vom Fuß des Berges entfernt?

Aufgabe 48 Abi** In 10 km Höhe wird ein Stein fallengelassen. Die Höhe des Steins wird zunächst näherungsweise beschrieben durch die Funktion

f(t) = 10000-4,812 , dabei entspricht I der Zeit ab Loslassen des Steins ins und Höhe f(t) der Höhe des Steins zum Zeitpunkt I in m über dem Erdboden. Sobald der Stein eine Geschwindigkeit von 60 m/s erreicht hat, wird der Stein aufgrund des Luftwiderstands nicht mehr weiter beschleunigt, sondern behält diese Geschwindigkeit bei. Wie lange benötigt der Stein , um den Boden zu erreichen?

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Aufgabe 49 - nur LK Abi*** Zwei Leiterbahnen auf einer Platine lassen sich durch die Graphen der Funktionen f und 9 beschreiben, wobei

f(x)

= x 2 - 2x

9(x)

= 2x -4.

+2

Die Größen x, f(x) und 9(x) sind jeweils in µm angegeben. An die Leiterbahnen wird eine Spannung von 200 V angelegt. Bei dieser Spannung kommt es zum Funkenüberschlag, wenn Leiter weniger als einen µm entfernt sind. Wird es zu einem Funkenüberschlag kommen? Hinweis:

Eine Skizze hilft zur Ideenfindung.

4.3 Normale Merke Gegeben sind die Geraden 91 und 92 durch

91 : y

= m1x + Ci

und

92 : y : m2x + c2.

Die Geraden 9 1 und 92 stehen genau dann orthogonal zueinander, wenn gilt:

1 m1 =--. m2

Tipp:

Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung m 1 m 2

= -1.

Rezept Gegeben sind der Graph C der Funktion f mit

f(x) = x 3 - 2

l -3 ). Bestimme eine Gleichung der Normalen an C im Punkt P.

und ein Kurvenpunkt P( -1

Schritt 1: Die allgemeine Geradengleichung lautet: y

= mx + c.

Schritt 2: leite die Funktion f ab: f'(x) = 3x 2. Schritt 3: Setze den x-Wert von P in f' ein und berechne die Tangentensteigung m 1 m1 =

f'(-1) = 3.

Damit kann die Steigung der Normalen bestimmt werden:

mn

= -= --. m 3 1

47

4 Tangenten

48

Schritt 4: Damit ist ein Ansatz für die Normalengleichung: y

1

= -3x + c.

Schritt 5: Setze P in die Normalengleichung ein, das liefert den y-Achsenabschnitt c:

-3 = -

1

3

-(-l)+c

=>

c=-

10

3

.

Damit ist eine Gleichung der Normalen gegeben durch

1

10

y =-3x-3 . Tipp: Die Berechnung der Normalengleichung in einem Kurvenpunkt unterscheidet sich nur bei der Berechnung der Steigung von der Berechnung einer Tangentengleichung in diesem Punkt .

Aufgabe 50 -

@ Abi*

Bestimme zu folgenden Funktionen die Normale im angegebenen Kurvenpunkt:

(a) f(x)

= 3x 3 - x 2 - 6x + 2,

P(-1 I 4)

(b) g(x)=xex, Q(0 I 0)

(c) h(x)

= sin(2x),

R( 7r 1 0)

Aufgabe 51 - @ Abi* Der Graph einer Funktion f hat im Punkt P( 0 l 3) eine Tangente mit der Gleichung

t(x) =7x +3. Wie lautet die Gleichung der Normalen an den Graphen von f im Punkt

P?

Aufgabe 52 - nur LK @ Abi*** Gegeben ist die Funktion f durch

f(x) = ~ Zeige, dass alle Normalen an den Graphen von f durch einen gemeinsamen Punkt gehen und ermittle diesen.

S Kurvendiskussion 5.1 Definitionsbereich Merke Bevor man mit einer Kurvendiskussion des Graphen einer Funktion f beginnt, muss man zunächst untersuchen, welche Werte man überhaupt in den Funktionsterm einsetzen kann. Die Menge aller dieser Werte nennt man dann Definitionsbereich D der Funktion. In ganzrationale Funktionen können alle reellen Zahlen eingesetzt werden und der Definitionsbereich ist daher D = 1P1.. Auch bei trigonometrischen und Exponentialfunktionen ist dies normalerweise der Fall. Bei den folgenden Funktionenklassen ist der Definitionsbereich jedoch häufig eingeschränkt: ►

Hyperbelfunktionen

►

Logarithmusfunktionen

►

Wurzelfunktionen

Bei Hyperbelfunktionen darf der Nenner nicht 0 werden. Bei den Logarithmusfunktionen darf im Argument keine negative Zahl und auch keine 0 stehen, da diese nur für x > 0 definiert ist. Bei den Wurzelfunktionen darf unter der Wurzel keine negative Zahl stehen.

Beispiel : Es wird folgende Funktion f betrachtet:

f( x) =

1 vx·

Zwe i Faktoren sind zu beachten : ►

Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen Der Nenner darf nicht Null werden.

Da mit ergibt sich als Definitionsbereich D = ]O; oo]. Eine offene eckige Klammer drückt aus , dass die Gre nze nicht im Definitionsbereich enthalten ist. Beispiel: Betrachtet wird nun die Funktion g(x)

= ln(-x 2 + 3x + 4).

Das Argument, also die innere Funktion, muss Werte größer als 0 liefern , damit man den Logarithmus ausführen kann. Dazu berechnet man zunächst die Nullstellen der inneren Funktion:

- x2 + 3x + 4 = 0

=

x1

= -1

oder

x2

= 4.

Da es sich hierbei um einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel handelt, muss man nur noch überprüfe n, auf welcher Seite der Nullstellen die innere Funktion positiv ist. Man berechnet also zum Beispiel den Funktionswert der inneren Funktion an der Stelle x = 0:

-0 2 + 3 · 0 + 4

= 4 > 0.

5 Kurvendiskussion

50

Damit weiß man, dass die innere Funktion zwischen - 1 und 4 positiv ist und erhält den Definitionsbereich:

D

= ]- 1;4[.

Aufgabe 53 Bestimme den Definitionsbereich D der folgenden Funktionen:

(a) g(x)=

vx3+8

(b) h(x)

= ln(3 - x)

Aufgabe 54 Für welche x-Werte ihrer maximalen Definitionsmenge schneidet der Graph der Funktion f mit

= (x 3 + 2x 2 + 2x + 2)(x - 1) die Gerade y = -2? f(x)

Aufgabe 55 Gegeben ist die Funktion f(x)

= ~ mit

maximalem Definitionsbereich D.

(a) Bestimme D. (b) Bestimme dasjenige x ED mit f(x)

= 2.

5.2 Strecken und Stauchen Merke Für einen Parameter o > 0 und den Graphen G1 einer Funktion f gilt: Veränderung bezüglich der y-Richtung:

a · f(x),

a

a · f(x),

a

>



C ist monoton fallend.

Die Monotonie von C kann sich nur an Definitionslücken von f und Nullstellen von f' ändern.

Beispiel: Der Graph der Funktion f(x)

f'(x)

= 3x 2

~ 0

für alle

Der Graph der Funktion g(x) g'(x)

= 2x ~ 0

~

=

x 3 ist auf ganz IR monoton steigend, denn:

x E R

= x 2 + 0,5 ist im

Bereich x ~ 0 monoton fallend, denn:

x ~ 0.

Die Graphen der entsprechenden Funktionen sind in den nachfolgenden Schaubildern abgebildet. IJ \

f'(x) \ \

,,

X

,

X

g'(x),,'

, ,,

,,

Aufgabe 64 Abi** Ein Patient nimmt zweimal täglich zu einer festgelegten Uhrzeit ein Medikament ein. Die Konzentration des Medikaments im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion f(t) bestimmt werden (t in Stunden nach der ersten Einnahme, f(t) in mg). Bekannt über den Verlauf der Funktion f( t) ist nur, dass sie den Hochpunkt H ( 21 6) und den Tiefpunkt T ( 9 12) besitzt. Was lässt sich über das Monotonieverhalten von f(t) sagen? Wie lassen sich die Ergebnisse im Sachkontext deuten?

Aufgabe 65 Abi* Untersuche folgende Funktionen auf Monotonie: (a) f(x)

= -x 4 + x3

(b) f(x)

= x · e-x

(c) f(x)

= Vx-=--i'

(d) f(x)

= x • ln(x 2 )

5 Kurvendiskussion

58

Aufgabe 66 - @ Abi** Gegeben ist eine Funktionenschar f, mit f,(x) = tx - cos(x). Begründe, warum der Graph von f, für t > 1 monoton wächst.

Aufgabe 67 -

® Abi*

Ein Medikament wird durch eine Tropfinfusion zugeführt. Die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten wird beschrieben durch die Funktion f f(t) = 100 • (1 -e-0 · 351 ) mit t in Minuten nach lnfusionsbeginn und f(t) in mg. Zeige, dass die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt.

5.7 Hoch-, Tief- und Sattelpunkte Merke Für eine Funktion f und den dazugehörigen Graphen C gelten folgende Aussagen. ►

Der Graph C hat an der Stelle x = a genau dann eine Extremstelle, wenn die Ableitung f' an der Stelle x = a eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) hat.

►

Falls x = a eine Extremstelle von C ist, so gilt f'(a) = 0. Allerdings kann auch f'(a) = 0 gelten, ohne dass x = a eine Extremstelle von C ist.

►

Gilt f'(a) = 0 und f"(a) =fo 0, so ist x = a eine Extremstelle von C. Allerdings kann auch f"(a) = 0 gelten und x = a ist trotzdem eine Extremstelle von C.

►

Gilt f'(a) = 0, f"(a) = 0 und f"'(a) =fo 0, so hat C an der Stelle x = a keine Extremstelle. Dann ist P( a I f(a)) ein Sattelpunkt von C.

Tipp, ► Hat die Funktion

der Stelle x ►

f' an der Stelle x

= o eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach+, so hat

C an

= o einen Tiefpunkt.

Hat die Funktion f' an der Stelle x = o eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von+ nach-, so hat C an der Stelle x = o einen Hochpunkt.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

59

Beispiel: Für zwei Funktionen f und g sind im folgenden Schaubild die Graphen der Ableitungen f' beziehungsweise g' abgebildet. y

y

f'(x) ,'

' g'(x)

1

1

1

1

1

1

1

XJ

X

1

I

X3

1

X

1 1

1

' ,

.\us dem Schaubild von f' kann abgelesen werden: ►

Der Graph der Ableitung von f wechselt zweimal das Vorzeichen.

► Beim VZW von+ nach - an der Stelle

Beim VZW von - nach + an der Stelle

x, besitzt der Graph von fein Maximum H.

X2

besitzt der Graph von fein Minimum T .

.\us dem Schaubild von g' kann abgelesen werden: Der Graph der Ableitung von g hat an der Stelle wechsel. Der Graph von g besitzt an der Stelle

x3

X3

zwar eine Nullstelle, aber keinen Vorzeichen-

einen Sattelpunkt S.

un können die Graphen von f beziehungsweise g skizziert werden. y

f'(x) ,'

y , g'(x) 1

1

s

X3

X

5 Kurvendiskussion

60

Berechnung von Extremstellen Gegeben ist die Funktion f mit

f(x)

= e' - x.

Der Graph der Funktion f wird mit C bezeichnet. Bestimme alle Extremstellen von C.

Schritt 1: Bestimme die Ableitung von f. Es gilt: f'(x)

= e' - 1.

Schritt 2: Berechne die Nullstelle von f': f'(x) = e' - 1 = 0

{=}

x = 0.

Schritt 3: Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt. ►

Lösungsweg mit f": Bestimme zunächst die zweite Ableitung von f. Es gilt:

f"(x)

= e'

und damit

f"(0)

= 1 > 0.

Der Graph von f hat also bei x

= 0 ein Minimum.

Lösungsweg mit VZW: Untersuche, ob die Ableitung f' an der Stelle x = 0 einen Vorzeichenwechsel aufweist. Setze in die Ableitung f' je einen Wert etwas links und etwas rechts von der Nullstelle von f' ein. Vergleiche die Vorzeichen. Es gelten:

f'(-1) =e- 1 -1 ~ -0,6 f'(l) =e-1 ~ 1,7

0.

Damit hat die Ableitung an der Stelle x = 0 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach + und der Graph von f an dieser Stelle ein Minimum.

Aufgabe 68 Abi* Bestimme (falls vorhanden) jeweils alle Extrempunkte der, zu den folgenden Funktionen gehörenden, Graphen:

(a) f(x)

= x5 -

15x 4

(b) f(x)

= x 3 + 4x 2 - 3x

Aufgabe 69 - nur LK @ Abi** Gegeben ist für

f,(x)

=x

4

t E IR eine Funktionenschar f 1 durch 40 3 2 2 -

9

tx + 2t x

.

Für welches t nimmt die Funktion an der Stelle x

=

3 den kleinsten Wert an?

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Aufgabe 70 - nur LK Abi*** Gegeben ist die Funktionenschar

f 0 (x)

1 x -2ax+a

= -=-----. 2

Für welche Werte von a hat f 0 (x) keinen Extrempunkt? Bestimme für die übrigen Werte von a die Extrempunkte von f 0 (x) in Abhängigkeit von a. Für welches a hat der Extrempunkt den kleinsten positiven y-Wert?

Aufgabe 71 -

Abi**

Der Graph eines Polynoms dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Zudem kann man erkennen, dass sich an dem Punkt P( 21 2) ein Hochpunkt befindet. Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.

Aufgabe 72 - nur LK

Abi**

Gegeben ist die Funktionenschar

ft(x)

= 3x 2 - 12x + 4t 2 - 6t,

t

E

IR.

Für welchen Parameter t ist der Wert des Tiefpunktes der Funktion ft(x) am kleinsten ?

Aufgabe 73 -

Abi***

Gegeben ist für t E IR die Funktionenschar f, durch

f,(x) =

e x- t - X.

Der Graph der Funktion f, wird mit C, bezeichnet. Die Tiefpunkte aller Kurven der Scharf, liegen auf einer Kurve. Gib eine Funktionsgleichung dieser Kurve an.

Aufgabe 74 - nur LK Abi* Bestimme (falls vorhanden) jeweils alle Extrempunkte der, zu den folgenden Funktionen gehörenden, Graphen: x2 - 4

(a) f(x)

= (x - 3)2

10 (b) f( x) = 5 - 2 . X

61

5 Kunendiskussion

62

5.8 Krümmung Merke Gegeben ist eine Funktion f mit zugehörigem Graphen C. Das Krümmungsverhalten von C lässt sich wie folgt an der zweiten Ableitung ablesen:

=

f"(x) > 0 f" (x)

Tipp:

=

0

Damit hat die zweite Ableitung and er Stelle x = 1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und der Graph von f an dieser Stelle eine Wendestelle.

65

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Aufgabe 77 - @ Abi* Berechne die Wendepunkte folgender Funktionen:

2 3 8 = -x - -x

(a) f(x)

3

3

(c) f( x) = x 4 - 2x 2 + x + 2

(b) f(x)

= x 3 - 6x 2 + 11 x - 1

(d) f(x)

= x4 -

14x 3 + 60x 2

-

5

1

- x+3 4

Aufgabe 78 Abi** Ein Patient bekommt ein Medikament verabreicht. Die Wirkstoffmenge im Blut wird beschrieben durch :

f(t)

= 10 • (e·0 ·5 ' - e·' )

mit t in Stunden nach Verabreichung und f(t) in mg . Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wirkstoffmenge am schnellsten ab?

Aufgabe 79 Abi** Untersuche, ob die Funktion f(x)

= 5 + 5 sin(Sx ) einen Wendepunkt im Intervall

(- ~; 0) hat.

5.10 Verhalten im Unendlichen Rechnen in der Unendlichkeit Mit sehr großen und sehr kleinen Größen und einer Zahl c werden: ► +oo · (+oo) ► c· (+oo)

>

0 kann wie folgt gerechnet

= +oo.

= +oo ,

c > 0.

+oo + (+oo) = +oo. +oo ► = +OO, C > 0 .. ►

C

►

+oo · (-oo)

►

C

►

- = 0. +oo

+ 00

=

= -oo.

+OO.

C

Folgende Ausdrücke sind unbestimmte Ausdrücke und ergeben ohne weitere Informationen keinen Sinn:

+oo +oo

+oo - oo

0

0- (+oo)

0

Merke Zum Vergleich wesentlicher Funktionstypen gilt folgende Dominanzordnung für x --+ +oo: ln(x)

« y'x «

x

«

x2

« ··· «

x 100

«

ex

«

e 2'

« ... «

ex' .

5 Kur vendiskussion

66

Rezept - Grenzwert ermitteln

Gegeben ist eine Funktion f. Untersuche das Verhalten von f für x ----> +oo. Benutze folgende Regeln: Ist feine ganzrationale Funktion , so betrachte nur den Term mit der höchsten Potenz:

f(x) ►

= -x 5 + 1200x4 - x2 + 1 ~ -x 5 ----> -oo.

Ist feine zusammengesetzte Funktion, so berechne das Grenzwertverhalten jedes Ausdrucks und verrec hne sie nach obigen Regeln :

f(x)

= e-x + -1

+ 1 ----> 0 + 0 + 1

X

= 1.

Tritt ein unbestimmter Ausdruck auf, so hilft oftmals eine Termumformung, zum Beispiel Kürzen mit höchster Potenz. ex - e2x ex ( 1 - ex) 1 - ex f(x) = - - = - ---'-e' + l e' (l+e·x ) l+e·x

==> ►

f(x)

1 - oo

----> - -

1+0

= -oo.

Tritt ein unbestimmter Ausdruck auf und hilft keine Termumformung, so geht der Grenzwert dahin , wohin die dominanteste Komponente strebt, siehe Dominanzordnung oben. ex +oo

f(x) = -

x

==>

f(x)

->

---->-

+oo

(da ex dominanter als x).

+oo

Grenzwertsätze

Für stetige Funktionen f und g gelten folgende Grenzwertsätze: Summenregel

lim (f( x) + g(x)) \'--++00

=

lim f(x) + lim g(x) X--++00

X--++OO

Differenzenregel

lim (f (x) - g(x )}

x--++oo

= X--++oo lim f( x) - lim g(x) x-++oo

Produktregel

lim (f (x) · g(x))

\-+oo

= x--++oo lim f( x) · lim g(x) x--++oo

Quotientenregel

lim ±oo? (a) f(x)

= -6x 2 + 5x 5 - 2

(b) f( x )

= -x 3 e·x

(c) f(x)

= e-x

(d) f( x)

= -x 5 e· 3x'+ 2

(e) f(x)

= 100 • ( 1 - e·O, JSx )

Aufgabe 81 -

Abi*

Die Wirkstoffmenge eines Medikamentes im Blut lässt sich durch die folgende Funktion f beschreiben:

f(t)

= 55 · (2- e·0 •11 ' ),

t 2 0,

mit t in Minuten und f(t) in mg. Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden ?

5. 11 Die Umkehrfunktion - nur LK Merke - nur LK Sei feine Funktion. Gilt g(f(x)) = x und f(g(x)) = x, hebt also g die Wirkung vo n f beziehungsweise hebt f die Wirkung von g gerade auf, so heißt g die Umkehrfunktion von f. Für die Definitions- und Wertebereiche beider Funktionen gelten: ►

1>1

= Wg

,,. Dg =W1. Der Graph von g geht aus dem Graphen von f mittels Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden hervor. Tipp:

Nicht jede Funktion lässt sich umkehren.

is piel : Gegeben ist die Exponentialfunktion f(x) =ex. Die Umkehrfunktion von f ist die Funktion = ln(x), denn es gelten:

g( f(x)) = ln(ex) = x f(g(x)) = eln(x) =

X.

e1ter gi lt D1 = lR und W1 = (0; +oo). Somit ist D9 = (0; +oo) und W g = lR.

68

5 Kur vendiskussion

In der Skizze sieht man deutlich , wie der Gra ph vo n g durch Spiegelung des Graphen von f an der ersten Winkelhalbierenden hervorgeht.

Umkehrbarkeit - nur LK

Eine Funktion f , definiert auf einem Intervall /, ist umkehrbar, falls der Graph von f auf/ streng monoton ist.

Aufgabe 82 - nur LK Abi*

Entscheide, ob folgende Funktionen auf dem jeweiligen Intervall umkehrbar sind: (a) f( x) = x 2 ,

1 =[ 1;2]

(c) f(x) = ex' ,

/ = lR.

(b) f(x) = x 2 + x, (d) f(x)

I = [3; 8]

X

= x + 1,

/

= [-4; -2]

Aufgabe 83 - nur LK Abi*

Gib jeweils ein größtmögliches Intervall an , auf dem die folgende Funktion f(x) umkehrbar ist: (a) f( x)

= x 2 + 2x + 4

(b) f( x )

Berechnung der Umkehrfunktion - nur LK

Gegeben ist die Funktion f durch

f(x) =

e4x+ 2

Bestimme die Umkehrfunktion von f . Schritt 1: Ersetze f(x) durch y :

y

= e 4x+2_

Schritt 2: Löse diese Gleichung nach x auf:

y =

e4x+2

ln (y)

= 4x + 2 = 4x

ln(y)- 2 1

4 · (ln(y) - 2) = x.

= e x + e-x

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69

Schritt 3: Ersetze auf der linken Seite y durch x und auf der rechten Seite x durch g(x). Drehe die Gleichung bei Bedarf um:

g(x) =

1

4 · (ln(x) - 2).

Die Gleichung für die Umkehrfunktion ist damit gegeben durch 1 g(x) = •(ln(x) - 2).

4

Aufgabe 84 - nur LK Abi**

Bestimme jeweils die Umkehrfunktion von f(x) auf dem angegebenen Intervall: (a) f(x) = ln(4x + 8),

/ = (-2; oo)

(b) f(x)

=4 - ~.

/

= (-oo; 3).

6 Integration 6.1 Grundlagen Merke Eine Funktion Fist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für alle x E TJ gilt: F'(x)

=

f(x) .

Das unbestimmte Integral von f ist dann die Menge aller Stammfunktionen von f. Es gilt:

f

f(x) dx

= F(x) + C

mit einer beliebigen Zahl C E IR. Tipp:

Eine Stammfunkt ion ist also bis auf eine Konstante C eindeutig.

Beispiel: Die Funktion F(x) F'(x)

= 2x - 3 = f(x)

Aufgabe 85 -

= x2 ===}

3x ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x - 3, denn es gilt:

f

(2x - 3) dx

= x 2 - 3x + C.

Abi*

Zeige jeweils, dass F eine Stammfunktion von f ist : (a) f(x)

= l 2x 2 - 4x ,

(b) f(x) = 30x-3,

F(x)

= 4x 3 - 2x 2 + 1.

F(x) = 15x 2 -3x+ 12.

Aufgabe 86 - @ Abi* Zeige jeweils, dass F eine Stammfunktion von f ist: (a) f(x) = ex' (1 + 2x 2 ), (b) f(x) = (c) f(x)

x 2 e-x,

F(x) = xex'.

F(x) = -(x 2 + 2x + 2)e-x .

= sin(x) · cos(x) ,

F(x)

= 0,5 · sin 2 (x).

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71

6.2 Integrationsregeln Stammfunktionen elementarer Funktionen

x", n =fo -1

f(x)

e'

sin(x)

cos(x) X

_l_xn+l n + 1

F(x)

ex

- cos(x)

sin(x)

ln lxl

Merke

Summen und Differenzen von Funktionen werden getrennt aufgeleitet. Konstante Faktoren bleiben stehen. Beispiel: Gesucht ist eine Stammfunktion von

f(x)

3 = 10x 4 + -. X

:entsp rechend obiger Regel werden beide Summanden getrennt aufgeleitet. Die Faktoren 10 und 3 eibe n einfach stehen, also 1 F(x) = 10 · x 5 + 3 ln(x) = 2x 5 + 3 ln(x).

5

Aufgabe 87

Bestimme jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen (a) f(x) = 8x 7 - 21x 2 + 2 (c) f(x)

= 4x 3 - 6x

(e) f(x)

= 2x 2 -

(g) f(x)

= 500x4 - 156x3 + 6x 2 - S0x + 2

1

-

2

(b) f(x) = 15x 2 - 2x + 1 (d) f(x)

= 42x 6 + 8

(f) f(x)=

5

2x+Sx

5

+7

Aufgabe 88

Finde jeweils die Stammfunktion zur Funktion f, deren Graph durch den Punkt P verläuft. (a) f(x) = 3x 2 -4x + 1, P(0 11) (c) f(x)

= 6x 5 - 6x 3 , P( 1 11)

(b) f(x) = 2x 3 -3x 2 ,P(0l4) (d) f(x)

= 0, P( 718)

6 Integration

72

Abi*

Aufgabe 89 -

Gib jeweils eine Stammfunktion von f an: (a) f(x)

= -5x 4 - 3x 3

(c) f(x)

=

(e) f(x)

-7 2 5X + 3x - 4

(b) f(x)

=

2 t.: 3vx

(d) f(x)

= - cos(x) + 5 sin(x)

= (x 2 - 2)2.

(f) f(x)

=

3 X

+

2 2 X

- X

2x

Aufgabe 90 Abi** Bestimme eine Stammfunktion der Kurvenschar ft(x)

= -tcos(tx)-sin(t).

Lineare Substitution Eine Verkettung der Form f(x) F(x)

Tipp,

=

g(mx + c) wird nach folgender Regel aufgeleitet:

1

= -m C(mx + c).

In Worten, ,,Äußere Aufleitung mal den Kehrwert der inneren Ableitung."

Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x) g(x)

= cos(x),

m = -3,

c

= cos(-3x + 2). Mit der Notation wie im Merksatz gilt:

= 2,

Demnach gilt: 1 F(x) = - sin(-3x + 2).

3

(

Aufgabe 91 -

@ Abi*

Finde jeweils die Stammfunktion zu f , deren Graph durch den Punkt P( 0 (a) f(x)

= VX+3

Aufgabe 92 -

(b) f(x)

11) geht.

= x2 + 7x - 3

Abi*

Finde jeweils die Stammfunktion zu f , deren Graph durch den Punkt P( 0 l 1) geht. (a) f(x)

= si n(x) + x 2

(b) f(x)

=

e- 2x + 1

73

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

Aufgabe 93 -

Abi*

Finde jeweils eine Stammfunktion von f(x):

(a) f(x)

= J4x + 2

(c) f(x)

=

(e) f(x)

1 = -ex+ 7 1

(b) f(x) = e-x

3

(d) f(x) =

(Sx - 2)4

7

X

2

-

2

X+

1

.2.1 Partielle Integration - nur LK Regel: Partielle Integration - nur LK 1

Sei F eine Stammfunktion von f. Dann gilt folgende Regel:

J

f(x) · g(x) dx

= F(x)g(x) -

J

F(x) · g'(x) dx.

Tipp, Ist der Term F(x) · g'(x) leichter zu integrieren als der ursprüngliche Term, so ist dies ein Hinweis, partielle Integration anzuwenden.

Anwendung der partiellen Integration - nur LK Gesucht ist eine Stammfunktion von h(x)

= xex.

Schritt 1: Schreibe die Faktoren hin, und entscheide, welcher Faktor die Rolle von f(x) und welcher die Rolle von g(x) einnimmt. Im Folgenden ist dies durch Pfeile gekennzeichnet:

J

x · ex dx. !

i

Wähle hier f(x)

= ex und g(x) = x. Es ist dann F(x) = ex und g'(x) = 1.

Schritt 2: Schreibe die Formel hin und setze ein:

J

xex dx

= g(x)F(x) -

J

F(x)g'(x) dx

= xex -

J

ex dx.

Schritt 3: Löse das verbleibende Integral auf. Eventuell muss dabei erneut partielle Integration angewendet werden:

H(x) =

J

xex dx = xex - ex.

Tipp, Bei der Produktintegration muss ein Faktor integriert, der andere abgeleitet werden. Dabei hat man freie Wahl. Man wählt immer so, dass das Produkt F(x)g'(x) möglichst einfach zu integrieren ist. Ist ein Faktor eine e-Funktion, ist es praktisch immer sinnvoll, sie zu integrieren, also als /(x) zu wählen.

Beispiel: Ein schwieriger Spezialfall von partieller Integration wird im obigen Rezept noch nicht

6 Integration

74

abgedeckt. Dieser wird im Beispiel erläutert. Gesucht ist die Stammfunktion von h(x)

= cos(x) · ex.

Partielle Integration liefert:

J

co~(x) ·

f dx = cos(x) · J(- sin(x)) · ex dx = cos(x) ex -

•ex+

J

sin(x) • ex dx .

Das Integral kann man nicht direkt ausrechnen. Es kann allerdings erneut mit partieller Integration vereinfacht werden:

J

cos(x)ex dx

= cos(x) · ex + = cos(x) · e '

J

sin}x) ·

f dx

+ sin(x) · ex -

J

cos(x) · ex dx.

Jetzt ist man scheinbar genauso schlau wie vorher. Allerdings kann man jetzt das unbestimmte Integral Jcos(x) • ex dx wie eine Variable betrachten und danach auflösen. Es folgt die Gleichung:

J J

2

cos(x) · ex dx = cos(x) · ex + sin(x) · ex

cos(x) · ex dx = ; (cos(x) · ex + sin(x) ·ex ).

==>

Aufgabe 94 - nur LK @ Abi*-**

Bestimme jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen: (a) f(x)

= x · sin(x)

(b) f(x)

= x 2 . ln(x)

(c) f(x)

= x 2 · e 2x

(d) f(x)

=x+1

(e) f(x)

= sin(x)

e'

e'

6.3 Bestimmte Integrale und Flächeninhalte 6.3.1 Flächeninhalte Merke

Das bestimmte Integral drückt den orientierten Flächeninhalt aus, den der Graph von f im Intervall [o; b] mit der x-Achse einschließt. Es gilt:

t

f(x) dx

= [F(x)]t = F(b) - F(a),

falls F eine Stammfunktion von f ist. Hinweis: Der Flächeninhalt ist orientiert. Das bedeutet, dass Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb der x-Ac hse negativ gewertet werden.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

75

= sin(x) auf dem Intervall [-JT; JTj hat den Wert 0, da sic h die Flächen rha lb und unterhalb der x-Achse genau a ufheben .

Beis piel: Das Integral von f(x)

y

-Jr

X

·• ::) es lässt sich auch wie folgt nachrechnen:

1:

sin(x) dx

= [- cos(x)t" = - cos(JT) + cos(-JT) = -(-1) + (-1) = 0.

st ma n stattdessen am Flächeninhalt A interessiert, der im Bereich -JT s; x s; JT zwischen f(x) = sin(x) Jn d der x-Achse eingeschlossen wird , so muss man das Integral entsprechend aufteilen und jeden oe reic h getrennt ausrechnen. Dort, wo die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, wird das Integral 1t einem Minuszeichen versehen. ~ gilt: A=

-J

0

sin(x) dx + 1 \ in(x) dx = -[- cos(x)fn + [-cos(x)J; 0

- }T

= -(- cos(0) - (- cos(-JT))) + (- cos(JT) - (- cos(0))) = cos(0) - cos(-JT) - cos(JT) + cos(0) = 1 - (-1) - (-1)+1 = 4. Aufgabe 95 -

Abi*

Berechne folgende bestimmte Integrale:

L L 2

(a)

(3x

4

-

3x 2 + 1) dx

2

(b)

1 2

2

-dx X+ 1

0

(c)

(x

2

-

x + 3) dx

Aufgabe 96 - liiil Abi*

Bestimme mithilfe des GTR/CAS den Flächeninhalt, den diese Kurven mit der x-Ac hse einsc hließen. (a) f( x )

= 3x 3 e·x - 1

(c) f( x)

= -x 2 . (e

(b) f( x)

= -3x2 + 10 - 1 1 +eX

+ e·x) + 2

(d) f(x)

= sin(x) - 0, 125ex'

6 Integration

76

Aufgabe 97 - nur LK @ Abi* Bestimme die folgenden Integrale ohne Rechnung. Betrachte hierfür die Symmetrie der zu integrierenden Funktionen :

f~ 1

(a)

-1

7

2

·

e·x' dx

(b)

1

x3

- -dx +1

2 X2

Aufgabe 98 Abi** Auf einer Fahrradrennstrecke wird die Geschwindigkeit eines Radlers gemessen. Für eine Runde, die er innerhalb von 2 Minuten absolviert, wird die Geschwindigkeit beschrieben durch die Funktion

f(t)

= t· (t-1) 2 .

Hierbei wird t in Minuten und f(t) in Kilometern pro Minute gemessen. Bestimme die Länge der Rennstrecke.

Aufgabe 99 Abi** Das Wachstum einer Alge wird für die ersten 8 Monate näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

f(t)

= 0,5e 1· 11

Hierbei wird t in Monaten , und f(t) in Zentimeter pro Monat gemessen. (a) Wie groß ist die Alge nach 3 Monaten? (b) Die Alge wächst auf dem Grund eines Sees in 5 Metern Tiefe. Beim Brustschwimmen hängen die Zehen einer etwa 1,70 m großen Person bis zu einem Meter unter der Oberfläche. Nach wie vielen Tagen könnte ein Schwimmer mit dem Fuß gegen die Alge stoßen?

Merke Verläuft der Graph der Funktion f im Intervall [o; b] oberhalb des Graphen der Funktion g, so kann man die Fläche zwischen den Graphen von f und g mit der folgenden Formel bestimmen:

A

Tipp:

=

t

(f(x) - g(x)) dx.

Bei dieser Formel ist es irrelevant, ob Teile des Graphen von f oder g unterhalb der x-Achse verlaufen.

Beispiel: Gegeben sind die Funktionen f(x)

= -x 2 + 4x

g(x)

= x 2 - 2x.

Es soll der Flächeninhalt A, der von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird, berechnet werden.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

77

►

X

Zu nächst bestimmt man die Integrationsgrenzen. Dazu berechnet man die Schnittstellen von f und g. ::s folgt 2

= x 2 - 2x

-x + 4x

=c}

X1

= 0, X2 = 3.

:::>a der Graph von f oberhalb des Graphen von g verläuft, gilt:

1 3

A =

1 3

(f (x) - g(x)) dx =

2

(-x + 4x - (x 2 - 2x)) dx

1 3

=

(-2x 2 + 6x) dx 3

= [ - 2 x 3 + 3x 2] = - 2 · 33 + 3 • 3 2 - 0 = 9. 3 3 O Aufgabe 100 Schreibe zu allen drei Schaubildern jeweils die markierten Flächen als Integral der Funktionen /(x) und g(x). y

(b)

(c)

X

Aufgabe 101 -

Abi*

Gegeben ist die Funktion f(x)

= 3 · (x - 2) 2 • (x + 1).

Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird ?

78

6

Integra tion

Aufgabe 102 Abi*

Berechne die Flächen , die die Graphen der folgenden Funktionen einschließen: 2x 2 , g(x)

(a) f(x)

=

(b) f(x)

= x 2 + 3x - 5,

=x+3 g(x)

= -x 2

6.3.2 Uneigentliche Integrale - nur LK Merke - nur LK

Eine Fläc he kann ins Unendliche reichen und dennoch endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral. y

X

0

Rezept - Berechnung uneigentliches Integral - nur LK

Gesucht ist der Flächeninhalt zwisc hen dem Graphen der Funktion f(x) für X ~ 0.

= e-x und der x-Ac hse

Schritt 1: Führe eine variable rechte Grenze z ein und stelle einen Term A(z) für den Flächen-

inhalt auf:

A(z)

=

1'

e-x dx.

Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von z:

A(z)

=

1'

e-x dx

= [-e-x]~ = -e-z + 1.

Schritt 3: Bestimme den Grenzwert für z -+ oo:

A

= z-+oo lim A(z) = lim -e-z + 1 = 1. z-+oo

Der Flächeninhalt beträgt genau 1.

Aufgabe 103 - nur LK

Abi**

überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninh a lt mit der x-Achse einschließen. Ist dies der Fall, so g ib den Flächeninhalt an. (a) f(x)

=

1 (x + 5)3

(b) f( x)

=

1

r--:, vx+ l

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

79

Aufgabe 104 - nur LK Abi*** Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben. Seine Geschwindigkeit lässt sich durc h die Funktion v(t) beschreiben. 10 v(t) = 12 + 2t + 1

Dabei ist t in Stunden nach Start und v(t) in km / h angegeben. (a) Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon zu Beginn? (b) Zeige, dass sich der Ballon zu jedem Zeitpunkt aufwärts bewegt. (c) Welche Höhe kann der Ballon maximal erreichen? (d} Wie lange dauert es, bis der Ballon die Hälfte der Maximalhöhe erreicht hat Welche Geschwindigkeit hat er zu diesem Zeitpunkt?

6.4 Mittelwert von Funktionen Merke Seif eine Funktion. Der Mittelwert M von f auf dem Intervall M

= b _1 0

·

1b a

[a; b] berechnet sich als

f(x) dx .

Beispiel : Ein Auto beschleunigt 30 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist gegeben ;forc h 5 f(t)

= 4t,

n Seku nden, f(t) in m/s. ~s so ll berechnet werden, wie groß die Durchschnittsgeschwindigkeit während dieser 30 Sekunden ist. =ur die Durchschnittsgeschwindigkeit M gilt

1

30

30

1 5 1 [ 5 2] 1 5 2 75 M=3o-o o 4tdt=30 st o = 3o·s 30 =4=18.75 rn Sc hnitt ist das Auto also mit einer Geschwindigkeit von 18,75 m/s gefahren. Aufgabe 105 - liiii Abi** Eine Wetterstation misst zwischen 6 Uhr und 18 Uhr die Außentemperatur, die an einem Tag näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben wird: f(t)

1

= 24 t 3 -

2

t + 6t + 5,

t in Stunden seit 6 Uhr, f(t) in Grad Celsius.

(a) Wie hoch war die Temperatur zu Beobachtungsbeginn und um 12 Uhr mittags? (b) Was war die Tageshöchste mperat ur? (c) Wie hoch war die Durchschnittstempe ratur im Beobachtungszeitraum.

6 Integration

80

Aufgabe 106 Abi* -------

--

Die Funktion f mit f(t)

=

1

e +1

beschreibt die Wassermenge in einem Teich während eines immer stärker werdenden Wolkenbruchs in Tausenden von Litern mit t in Stunden. Wieviel Liter Wasser befinden sich während der ersten zwei Stunden durchschnittlich in dem Teich?

6.5 Rotationskörper Merke Lässt man eine Funktion f(x) im Bereich [o; b] um die x-Achse rotieren entsteht ein Rotationskörper. Für das Volumen V des Rotationskörpers gilt:

V=

Jr

1b

(f(x)) 2 dx.

Tipp: Achtung: Erst quadrieren, dann a ufleiten! ►

Beim Rechnen das 7T nicht vergessen'

Beispiel: Bei der Rotation der Funktion f(x) = x 2 + 1 um die x-Achse im Intervall [- 1; Rotationskörper. Dessen Volumen V soll bestimmt werden.

X

Mit obiger Formel gilt dann für das Volumen :

V= Ji(x + 1) dx = Ji(x + 2x ;r

2

= Jr [ ixS

2

3

4

;r

r

+ ~x + X

= Jr

(

i

+

2

+ 1) dx

~ + 1- (-i-

r 1) )

= ~: Jr.

l] entsteht ein

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Aufgabe 107 Abi* Folgende Funktionen rotieren im Intervall entstehenden Rotationskörper. (a) f(x)

= x2 -

(c) f(x) =

2x 1

~

[0; 2] um die x-Achse. Bestimme die Volumina der (b) f(x)

= x2 - x + 1

(d) f(x)

= e 2x - ex + 1

vx+l

Aufgabe 108 Abi*** Gegeben ist die Funktion

f(x)

= Vx+l.

Die Funktion f(x) rotiert um die x-Achse. Welches Intervall von 4 Längeneinheiten mit positiven G renzen muss gewählt werden , damit das Volumen des Rotationskörpers der Funktion f(x) über diesem Intervall den Wert 500 hat?

Aufgabe 109 - liiil Abi** -*** Für o

> 0 ist folgende f 0 (x)

=

X

Funktionenschar gegeben:

VX +

10 10 + o .

Ein Hersteller von Glasvasen möchte eine Vase herstellen, deren Innenwand sich durch die Rotation einer Funktion der Schar f0 (x) im Intervall [0; 2] um die x-Achse beschreibe n lässt . Die Größen x und f(x) sind hierbei in Dezimetern gegeben. (a) Die Vase soll einen Inhalt von 1 Litern fassen. Bestimme a auf drei Nachkommastellen genau. (b) Die Außenwand wird durch die Funktion fo.2s (x) beschrieben. Aus wie vielen Kubikzentimetern Glas besteht die Vase?

6. 6 Näherungsverfahren - nur LK Merke - nur LK Gesucht ist die Fläche A zwischen dem Schaubild einer Funktion f(x) und der x-Achse von a bis b. Lässt sich die Funktion f(x) nicht aufleiten, so kann das gesuchte Integral näherungsweise durch Ober- oder Untersumme bestimmt werden. Dazu wird das Intervall [o; b] in n gleichlange Streifen der Länge d = b~a zerschnitten .

81

6 Integration

82

Als Untersumme U bezeichnet man die Gesamtfläche an Streifen, deren Höhen bis zum jeweils niedrigsten Punkt auf der Streifenbreite reichen. Sie ist eine untere Abschätzung von A.

0

o+d

b

•

X

Es gilt: U

= d · ( f(a + d) + f(a

+ 2d) + · · · + f(b)).

Als Obersumme O bezeichnet man die Gesamtfläche an Streifen, deren Höhen jeweils bis zum höchsten Punkt über der Streifenbreite reichen. Sie ist eine obere Abschätzung von A.

b-d

0

b

'

X

Es gilt: 0

= d · ( f(a)

+ f(a + d) + · · · + f(b - d) ) .

Tipp: ►

Die Näherung kann weiter verbessert werden, wenn man den Mittelwert von O und U verwendet:

A~ O+U_ 2 Für monoton steigende Funktionen sind die Formeln für Ober- und Untersumme genau vertauscht. In der Regel wird aber der Mittelwert der beiden Werte gesucht.

Beispiel: Gesucht ist die Fläche unter der Funktion f(x) = 16- x 2 zwischen 0 und 4. Um das Integral näherungsweise zu bestimmen zerlegt man die Fläche in 4 Streifen . In diesem Fall ist

d

4-0

= - 4 = 1.

Dann gilt:

0

= f(O)

+ f(l) + f(2) + f(3)

= 16 + 15 + 12 + 7 = 50.

+ f(2) + f(3) + f(4)

=

Weiter gilt: U

= f(l)

15 + 12 + 7

Der exakte Wert des Integrals beträgt 4

128 (16- x 2 ) dx = = 42,67 . 3

1 0

= 34.

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· arit hmetische Mittel von Obersumme und Untersumme ist M = 0 + U = 50 + 34 = 42 _ 2 2 ...,,t ist ersichtlich , dass der Mittelwert eine deutliche Verbesserung der Näherung gibt. Aufgabe 110 - nur LK liiil Abi*

Approximiere die Fläche zwischen der x-Achse und den Graphen der folgenden Funktionen auf dem Intervall [O; 2] durch den Mittelwert aus Ober- und Untersumme. Unterteile dabei das In tervall in jeweils 4 Teilintervalle. (a) f(x)

= e-x'

(b) f(x)

=

-JfcosNT

83

7 Besondere Aufgabentypen 7.1 Extremwertaufgaben Rezept Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x 2 + 4x. Sei P( u I v) ein Punkt auf dem Graphen von f mit 0 ~ u ~ 3. Der Ursprung 0, der Punkt P und der Punkt N ( u 10) begrenzen ein Dreieck. Welchen Flächeninhalt A kann dieses Dreieck maximal haben?

Schritt 1: Fertige zunächst eine Skizze an, die den Sachverhalt verdeutlicht. Hierzu werden der Graph Cr von f und die Dreiecksseiten eingezeichnet. y

0

X

N

Schritt 2: Finde genau eine Variable, die das gesamte Problem beschreibt. In diesem Fall ist das die Variable u. Denn wenn u bekannt ist, können auch P und N bestimmt werden. ►

Definitionsbereich

Bestimme den Definitionsbereich von u. Es gilt:

0 :s; u :s; 3 ►

Bestimmung der Zielfunktion

Stelle einen Funktionsterm für die zu maximierende Größe auf. Diese Funktion nennt man auch Zielfunktion. In diesem Fall entspricht die Zielfunktion dem Flächeninhalt Ades eingezeichneten Dreiecks. Es gilt: A(u) =

1

2 ·Grundseite· Höhe 1 = · u · f(u) 2

=~-u-(-u 2 +4u)

2 1 3 = --u + 2u 2 2

Schritt 3: Gesucht sind die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion A. Hierzu wird die Ableitung der Funktion A bestimmt und deren Nullstellen berechnet:

, 3 2 A (u) = - u + 4u = 0

2

0 hat der Graph der Funktion f 1 an der Stelle x = -t - 1

Schritt 2: Bestimmung der Koordinaten des Tiefpunktes Bestimme den Funktionswert von ft(-t - 1). Dies liefert den y-Wert des Tiefpunkts: ft(-t - 1)

= (-t - 1) 2 + 2t(-t - 1) + 2(-t - 1) + 1 = -t 2 - 2t.

l

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten T, ( -t - 1 -t 2 - 2t)

Schritt 3: Bestimmung der Gleichung der Ortskurve Schreibe Gleichungen für x und y hin und löse die x-Gleichung nach tauf:

= -t - 1 y = -t 2 - 2t. X

=

t

= -x-1

Die Gleichung des Parameters t in Abhängigkeit der Variable x wird in die Gleichung für die Variable y eingesetzt:

y ~

= -(-x - 1)2 - 2( -x - 1)

y = -x 2 +1 .

Schritt 4: Bestimmung des Definitionsbereichs Bestimme gegebenenfalls den Definitionsbereich der Ortskurve mithilfe des Definitionsbereichs von t und der x-Gleichung. Es gelten : x =- t-1

und

t 2". 0

=

x ~ -1 .

Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet also:

y

= -x 2 + 1, X ~ -1 .

Tipp, Dieses Reze pt lässt s ich mit de r entsprechenden Modifikati o n a uch für die Orts kurve der Hochpunkte und Wendepunkte a nwenden.

89

7 Besondere Aufgabentypen

90

Abi**

Aufgabe 120 -

Ermittle für folgende Scharen f, die Ortskurve alle r Extrempunkte. (a) f,(x)

= x 2 - 2xt + t 2 + t ,

(c) f,(x)

= -X+ f , e

(b) f 1(x )

t E IR

= e 2x - 2tex + 1,

t 2'. 1

t 2'. 1

Aufgabe 121 - nur LK @ Abi** 1

Für alle t E IR ist die Schar der Funktionen f , gegeben durch: f,(x)

= x3 + 3tx 2 -x + 1.

Ermittle die Ortskurve aller Wendepunkte der Scharkurven .

7.4

Stetigkeit und Differenzierbarkeit -

nur LK

Merke - nur LK

Gegeben sind zwei stetige bzw. differenzierbare Funktionen f und g. Der Graph der Funktion f soll an der Stelle x = o an den Graphen der Funktion g angeschlossen werden. Dabei heißt der Übergang an der Stelle x = o: stetig, falls /(o)

= g(o) gilt.

differenzierbar, falls zusätzlich f'(o)

= g'(o) gilt.

zweimal differenzierbar bzw. krümmungsruckfrei , falls zusätzlich f"(o)

= g"(o)

gilt.

Beispiel: Betrachtet werden die folgenden beiden Funktionen

= x 2 , für x ~ 0 g(x) = -x 2 , für x > 0. An der Stelle x = 0 geht der Graph der Funktion finden Graphen der Funktion g über. f(x)

Es gelten: f(0)

= 0 = g(0)

f'(0)

= 0 = g'(0)

f"(0)

= 2 =fo - 2 = g"(0).

Somit ist der Übergang der Graphen f und g zwar stetig und differenzierbar, aber nicht krümmungsruckfrei .

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91

Aufgabe 122 - nur LK Gegeben ist die Funktion

h( x) =

{e:-1, X

+

X,

x;::: O X
oo.

S

=

lim B(t) l-+ 00

=

tim 100 - 100 e- 0 -11 f-+00

....__,_.,

= 100.

Alternativ kann man auch die Gleichung solange umformen , bis sie die Form der allgemeinen Formel hat: 100 · (1 - e-kr)

= 100 - (100 - 0)e-0 •1 ' .

Ein Vergleich mit der Formel liefert: S = 100, Bo = 0 und k = 0, 1. Nun kann gezeigt werden, dass die Funktion 8 die Differentialgleichung erfüllt, indem man die Funktion 8 in obige Differentialgleichung einsetzt. Hierzu berechnet man zunächst die Ableitung B' der Funktion 8: B'(t)

= lOe-0·11_

Eingesetzt in obige Gleichung folgt:

B'(t) = k(S - B(t)) 10e 0 ·1' lOe-O, lt

= 0, 1 · ( 100 - 100 • ( 1 - e -o, 1') ) = 0,1 · (100-100 + 100e·O, lt)

l0e-0 · 1 ' = l0e-0 · 11

0

= O✓

Aufgabe 125 - lil Abi*-** In einem Laborschrank wurde im Jahr 1960 eine Menge von 10 Gramm des Kohlenstoffisotops C eingeschlossen. Dieses hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren.

14

(a) Stelle die Bestandsfunktion auf. (b) Wieviel

14

C befindet sich im Jahr 2015 im Schrank?

(c) Kurz nach der Auslöschung der Menschheit finden Außerirdische den Laborschrank. Dort befinden sich noch 7 Gramm 14 C. Wie viele Jahre bleiben uns noch?

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93

Aufgabe 126 Abi**

-------

Zum Neujahr 2015 betritt ein neuer Mobilfunkanbieter den Markt. Durch radikales Marketing gewinnt er monatlich 5000 Neukunden. Aufgrund des schlechten Kundenservices verliert der Anbieter jedoch jeden Monat ein Prozent seiner Kunden. Die Anzahl der Kunden wird durch die Funktion 8 beschrieben, wobei B(t) die Anzahl der Kunden t Monate nach Markteinführung beschreibt. (a) Stelle eine Formel für die Änderungsrate der Kundenzahl auf. (b) Bestimme eine Gleichung für die Funktion 8. (c) Wie viele Kunden hat der Anbieter nach 10 Jahren ? (d) Wie viele Kunden hat der Anbieter langfristig?

7.6 Änderungsraten und Bestände Beis piel: Die momentane Neuerkrankungsrate einer Läuse-Epidemie in den Schulen eines Landkreises rd beschrieben durch die Funktion f mit f(t) = 3 • e· 0 · 3 ' • (27t-1),

obe i t der Anzahl in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) der Anzahl der Neuerkrankungen .ro Woche entspricht. Bei Beobachtungsbeginn sind schon 45 Schüler erkrankt. Jede Erkrankung wird ;em Gesundheitsamt gemeldet. rn fo lge nden Schaubild ist der Graph

G1 von f dargestellt.

y 80

40

10

20

Bestimmte Größe der Änderungsrate Fragestellung: In welchem Zeitraum ist diese Erkrankungsrate größer als 80 Neuerkrankungen pro Woche? ► Bestimmung der Zeitpunkte, an denen die Neuerkrankungsrate 80 Neuerkrankungen pro Woche entspricht Setze f(t) = 80 und bestimme die Lösungen :

3-e·0 · 3'-(27t-1)=80 ►

==>

t1 GJt1,66,

t2 cg 5,98.

Zeitraum, in dem die Erkrankungsrate größer als 80 ist

{(3)

> 80

==>

Zeitraum: 1,66 :5: t :5; 5,98.

7 Besondere Aufgabentypen

94

Somit ist die Erkrankungsrate im Zeitraum von ungefähr 1,66 bis 5,98 Wochen nach Beobachtungsbeginn größer als 80 Neuerkrankungen pro Woche.

Extremum der Änderungsrate Fragestellung: Wann erkranken die meisten Schüler? Wie viele sind das? Bestimmung der Extremstellen von Cr Zunächst wird die Ableitung der Funktion f bestimmt. Es gilt: ►

f'(t)

= e- 0 ·31 - (81,9- 24,3t).

Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch:

f'(t)

= e- 0·31 • (81,9 - 24,3t) = 0

==>

t

=

91 27 ~ 3,37.

Die Existenz des Hochpunktes kann mit dem GTR bestätigt werden. Bestimmung der Koordinaten des Hochpunktes Bestimme die Funktionswert der soeben berechneten Extremstelle:

►

{(3,37)

= 3 · e-0 ·33 ·37 · (27 · 3,37 - 1) c;r 98.

Somit erkranken die meisten Schüler zu Beginn der vierten Woche. Das sind ungefähr 98 Schüler in dieser Woche.

Schnellste Abnahme der Änderungsrate Fragestellung: Wann nimmt die momentane Erkrankungsrate am stärksten ab? Die Ableitung der Funktion f wurde bereits bestimmt und es gilt: f'(t)

= e-0·31 • (81,9-24,3t).

►

Bestimmung des Minimums des Graphen von f' Hierzu wird zunächst die zweite Ableitung f" gebildet:

f"(t) = e-0 •31 - (-48,87 + 7,29t) Die Nullstelle der Ableitung f" ist gegeben durch:

f"(t)

= e-0•31 - (-48,87 + 7,29t)

==>

181 =~ 6 70. 27 '

t= -

Die Existenz des Tiefpunktes kann mit dem GTR bestätigt werden. Die Erkrankungsrate nimmt etwa in der Mitte der siebten Wochen nach Beobachtungsbeginn am stärksten ab.

Bestimmung des Gesamtbestands Fragestellung: Wie viele Schüler wurden nach 6 Wochen dem Gesundheitsamt gemeldet? Berechnung der Anzahl der Neuerkrankungen Die Fläche unter der Kurve von f im Intervall [0; 6] entspricht der Anzahl der Schüler, die dem

►

Gesundheitsamt in den ersten 6 Wochen dem Gesundheitsamt gemeldet wurden. Es gilt: 6

1

f(t)dt

GTR

=

475,1.

0

►

Bestimmung der Anzahl der Gesamterkrankungen Die Anzahl der Gesamterkrankungen setzt sich zusammen aus der Anzahl der Neuerkrankungen in den ersten 6 Wochen und der Anzahl der zu Beginn der Beobachtung bereits erkrankten

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Schüler. Es gilt also:

=

475 + 45

520.

Nach 6 Wochen wurden dem Gesundheitsamt 520 Schüler gemeldet.

Mittlere Änderungsrate Fragestellung: Wie groß ist die mittlere Erkrankungsrate während der ersten 10 Wochen ? ► Berechnung der Anzahl an Neuerkrankungen in den ersten 10 Wochen

Die Anzahl der Neuerkrankungen in den ersten 10 Wochen ist gegeben durch:

l

lO

f(t)dl

GTR ~

711,3 .

0

► Bestimmung der durchschnittlichen Erkrankungsrate

Für die mittlere Erkrankungsrate gilt:

1

10

-1 · 10

GTR ~

f(1)dt .

0

71,13.

Die mittlere Erkrankungsrate während der ersten 10 Wochen liegt bei etwa 71, 13 Neuerkran kungen pro Woche.

Gesamtzahl der Erkrankungen

Eine Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f ist gegeben durch

F(I)

= e·0 ·3 '

·

(-270t- 890).

Bestimme eine Funktion 8 , welche die Gesamtanzahl der gemeldeten Schüler nach I Wochen angibt. Wann werden 700 Schüler beim Gesundheitsamt gemeldet sein? Eine Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f ist gegeben durch

F(t)

= e·0·3 '

·

(-270t - 890) .

►

Bestimmung der Funktion B Es gilt: B(t) = Bo +

1'

f(x) dx = 45 +

1'

f(x) dx .

Bestimme das Integral nun unter Verwendung der angegebenen Stammfunktion:

B(t)

= 45 + [e·O.Jx · (-270x-890)]~ = 45 + (e-0 ·3 ' • (-2701 - 890) + 890) = 935 + e·0·3 ' • (-2701 - 890).

► Bestimmung des Z eitpunktes, an dem 700 Schüler gemeldet wurden Es gilt:

8(1)

= 700

===}

t

GTR ~

8,76.

Als Funktion für die Gesamtzahl an gemeldeten Schülern ergibt sich: 8(1)

= 935 + e·0·3 ' · (-270t - 890) .

95

7 Besondere Aufgabentypen

96

Am Ende der 9. Woche werden dem Gesundheitsamt 700 Schüler gemeldet sein. Tipp: Da man nicht jede Funktion mit Schulmethoden integrieren kann, wird häufig eine Stammfunktion in der Aufgabenstellung angegeben.

Einführung einer Abbaurate

Eine Expertin für Entlausung kommt drei Wochen nach Beobachtungsbeginn in einige Schulen. Sie schafft es, bei 10 Schülern pro Tag die Läuse zu bekämpfen. Wie viele Schüler werden in den ersten 10 Wochen von ihren Läusen befreit? Die Anzahl der Wochen , in denen die Expertin aktiv ist , ist gegeben durch: 10-3 = 7. Die Anzahl der Schüler, bei denen sie die Läuse in den 7 Wochen bekämpft:

7 · 7 · 10

=

490.

In den ersten 10 Wochen werden 490 Schüler von ihren Läusen befreit. Tipp: Beachte, dass bei Rechnungen mit Abbaurate der momentane Bestand niemals negativ sein kann. Wird der Bestand zu einem Zeitpunkt 0, so fällt in diesem Moment auch die Abbaurate auf 0. Logisch: Gibt es keine Läuse mehr, hört die Entlauserin auf zu arbeiten.

Vollständiger Abbau

Wann hat die Expertin alle Läuse bekämpft? ► Anzahl der Erkrankten nach t Wochen Die Gesamtanzahl an erkrankten Schülern wurde bereits bestimmt und es gilt:

B(t) = 935 + e·0 ·3 ' · (-270t- 890). ►

Anzahl der Geheilten nach t Wochen Die Anzahl der Geheilten C nach f Wochen ist gegeben durch: C(t)

= 70 · (t-3),

t 2:'. 3.

►

Bestimmung des Zeitpunktes, an dem alle geheilt sind Bestimme den Zeitpunkt t, an dem ß(t) = C(t) gilt: 70 · (t- 3)

===>

= 935 + e·0 •3 ' t

GTR ~

·

(-270t - 890)

15,7.

Nach knapp 16 Wochen hat die Expertin alle Läuse bekämpft. Tipp: In dieser Konstellation geht man davon aus, dass die Schüler nur geheilt werden, wenn sie von der Expertin behandelt werden. Eine Heilung aus eigener Kraft ist nicht vorgesehen.

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ufgabe 127 -

Abi**

Betrachtet wird die Funktionenschar f 0 mit f 0 (t) = ¾t 3 - at 2 + a 2 t für a > 0. Die Funktionen di eser Schar werden verwendet, um die Durchflussgeschwindigkeiten an einer bestimmten Ste lle eines Flusses für die ersten 8 Monate nach Beobachtungsbeginn zu modellieren. Dabei st t in Monaten und f 0 (t) in Mrd. Kubikmetern pro Monat gegeben. ►

Wie viel Wasser fließt in den ersten 6 Monaten durch einen Fluss, dessen Durchflussgeschwindigkeit durch die Funktion f 3 der oben genannten Funktionenschar modelliert werden kann ?

> Die Durchflussgeschwindigkeit eines weiteren Flusses kann für den gleichen Zeitraum

durch die Funktion f 2 der oben angegebenen Funktionenschar dargestellt werden. Zu welchem Zeitpunkt ist durch beide Flüsse gleich viel Wasser geflossen ?

97

8 Umfangreiche Aufgaben Aufgabe 128 Durch eine Handelsflotte wurden Hasen auf eine bis dahin hasenfreie Insel gebracht. Die Regierung dieser Insel beauftragt einen Biologen mit der Beobachtung der Hasenpopulation. Die folgende Tabelle spiegelt seine Aufzeichnungen wider:

Zeit in Wochen

0

2

5

10

15

20

30

Anzahl der Hasen

30

34

43

60

80

105

180

Eine Mathematikerin versucht die Vermehrung des Hasen anhand eines mathematischen Modells zu beschreiben. Ihre erste Arbeitshypothese ist , dass sich die Population der Hasen gemäß einer Funktion f entwickelt mit

f(t)

= aeb',

hierbei entspricht t in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) der Anzahl der Hasen auf der Insel zum Zeitpunkt t. (a) Bestimme aus der Hasenpopulation zu Beginn der Aufzeichnung (t = 0) und nach 5 Wochen (t = 5) die Werte der Parameter a und b im obigen Modell. Runde diese auf zwei Nachkommastellen. (b) Vergleiche die in obigem Modell zu erwartende Anzahl an Hasen mit der tatsächlich beobachteten nach 20 Wochen. (c) Wann ist in dem durch f beschriebenen Modell die momentane Zuwachsrate größer als 8 Hasen pro Woche? (d) Bestimme, wann es nach diesem Modell erstmalig mehr als 150 Hasen auf der Insel gibt. (e) Begründe, weshalb dieses Modell nicht die Realität abbilden kann. Die Mathematikerin korrigiert aufgrund der Überlegungen in Aufgabenteil (e) ihre Aussage und vermutet, dass sich die Hasenpopulation der Insel näherungsweise gemäß der Funktion g mit 600 g(t) = 1 + 19e-0,07r entwickelt. Dabei bezeichnet t die Anzahl der Wochen nach Beobachtungsbeginn und g(t) die Anzahl der Hasen auf der Insel zum Zeitpunkt t. (f) Im folgenden Schaubild ist der Graph C der Funktion g mitsamt seinen Asymptoten eingezeichnet.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

99

y

600 -t-- - - - - - - - := . - - - -

300

50

100

150

1

Gib an, welche Eigenschaften der Funktion g sich direkt aus dem Schaubild entnehmen lassen und erläutere ihre Bedeutung bezogen auf die Entwicklung der Hasenpopulation. (g) Bestimme welche Anzahl von Hasen langfristig auf der Insel zu erwarten ist, wenn man das durch die Funktion g beschriebene Modell zugrunde legt. (h) Bestimme zu welchem Zeitpunkt laut dem zweiten Modell 90 %der langfristigen Anzahl an Hasen die Insel bevölkern. (i) Welche Bedeutung hat der Ausdruck 9 1 (20) im Sachzusammenhang?

Gege ben ist die Funktionenschar 9k durch 9k(x)

= x 3 + k x 2 - x - k, k

E ~-

Ihr Schaubild sei Ck. (j ) Bestimme den Wendepunkt der Funktionenschar in Abhängigkeit von k.

(k) Gib eine Gleichung für eine Kurve an, auf der alle Wendepunkte von Ck liege n.

·•

Geometrie

9 Grundlagen der Vektorrechnung 9.1 Lineare Gleichungssysteme 9.1 .1 Lösungsverfahren Merke Ein lineares Gleichungssystem (LGS) wird gelöst, indem man es durch Zeilenumformungen auf Stufenform bringt.

Beispiel: Ges ucht sind di e Lösungen des fol genden LGS: 2X1 + X1 -

X2

- X3

X2 - X3

= 1 = 3

(1) (11}

2x1 + 2x2 + x3 = 1

(111}

Gleichung (1) wird behalten. Durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen (11) und (111} die Va riable x1 eliminiert. X2

-

X3

=

3 X2

+

X3

= -5

(1) (11 ' }

=

(111'}

2x1 +

(1) - 2 · (11)

-x2 - 2x3

(1) - (111}

1

0

Gleichungen (1) und (II ' } werden behalten. Durch Zeilenumformungen wird in Gleichung (111') die Variable x2 eliminiert.

2X1

+ X2

-

3x2

+

(11 ' } + 3 · (111 ' }

X3

= 1

(1)

X3

= -5

(II'}

-5x3

= -5

(111"}

Jetzt hat das LGS Stufenform und es könn en nacheinander die Lösungen für x3, x2 und x, abgelesen werden.

(111" )

-5x3 = -5

(11 ' }, X3 = 1

(1),

X3

3X2

= 1, X2 = -2

+ 1 = -5

2x1 - 2 - 1

=

1

==> x3 = 1 ==> X2 = -2 ==> x1 = 2

Aufgabe 129 - @ Abi* Bestimme die Lösun ge n des linea ren Gleichun gssystems.

10x1

-

2x2 +

X3

3x1 +

X2

- X3

7x1 -

X2

+

X3

=

80

= 11 Ü = -,0

'------------------------------~1

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ufgabe 130 Abi** Im Baumarkt werden drei unterschiedliche Pä ckchen bestehend a us baug lei c hen Schrauben , Unterlegscheiben und Muttern verkauft. Im ersten Pä ckchen befinden sich 100 Schrauben , 50 Unterlegscheiben und 10 Muttern. Es wiegt 1155 g. Das zweite Pä ckchen wiegt genau 1 kg . Darin befinden sich 20 Muttern , 100 Unterlegscheiben und 69 Schrauben. Das dritte Päckchen wiegt 155 g und besteht aus jeweils 10 Schrauben , Unterlegscheiben und Muttern. Bestimme jeweils das Gewicht der drei Bauteile.

· 1.2 Lösungsmöglichkeiten Merke Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem. ►

Eindeutige Lösung. Jede Unbekannte kann eindeutig und ohne Widerspruch gelöst werden (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich in genau einem Punkt). Keine Lösung. Die Lösung enthält einen Widerspruch (Geometrische Interpretation : Objekte schneiden sich nicht).

►

Lösungsschar. Es gibt mehrere Lösungen (Geometrische Interpretation: Objekte schnei den sich in einer Geraden oder Ebene).

Bei spiel : Löse fol gendes LGS :

-Xi +

X2

= -1

2xi +

6 x2

= 10

Xi - 2x2 =

Ü

::>as LGS wird auf Stufenform gebrac ht und liefert eine eindeutige Lösung. -x i

= -1

=}

Xi

= 2

8x2 = 8 - x2 = -1

=}

X2

= 1

=}

X2

= 1

+

X2

Beispiel : Gegeben ist folgendes LGS:

-x i + 2x2 =

Xi +

4 x2

1

= 11

2xi + 3x2 =

5

Das LGS hat keine Lösung, denn es entste ht fol gender Widerspru c h:

-xi + 2x2 =

1

6 x2

= 12

=}

X2

= 2

7x2

=

7

=}

X2

= 1

Beispiel: Gesucht ist die Lös ung des fol gend e n Glei chungssystems:

Xi +

X2

- X3

Xi -

X2

+

X3

=2 =4

103

9 Grundlagen der Vektorrechnung

104

Das LGS wird auf Stufenform gebracht. Xi

+

X2 -

X3

= 2

2x2 - 2x3 = -2 Da das LGS unterbestimmt ist , existieren mehrere Lösungen beziehungsweise eine Lösungsschar. Setze X3

=t

t E JR.

mit

Aus der zweiten Gleichung des LGS folgt

=

2x2 -2t=-2 Dies zusammen mit Xi

+ f - 1- f

x3

x2=t-l.

=t

und der ersten Gleichung ergibt:

=

=2

Xi

= 3.

Die Lösung kann in Vektorschreibweise dargestellt werden:

Dabei ist t E IR ein Parameter.

Aufgabe 131 -

Abi*

(a) Löse das LGS:

2xi +

6x2

-xi + 2x2 + 2xi -

X2

0

+ 8x3 = X3

= -10

5

- 2x3 =

(b) Löse das LGS:

-xi + O,Sx2 - 3x3 = -4 3xi + -2xi -

2x2 + 2x3 = -2 6x2

+ 8x3 = 20

(c) Löse das LGS:

-12xi + 24x2 - 32x3 = 4 -3xi + 3xi -

X2 6x2

+

X3

= 2

8x3 = 1

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105

_ Rechnen mit Vektoren _ 1 Addition und Länge Merke Zwei Vektoren werden rechnerisch addiert, indem jede Komponente der Vektoren einzeln addiert wird:

Geometrisch werden zwei Vektoren addiert, indem man den Schaft eines Vektors an die Spitze des anderen Vektors verschiebt.

-o/ /

'-...6"' +

6'-

'O ... ~ ·...

~=~ O+b

tttJ

Der Vektor ist dabei der direkte Weg, den man erhält, wenn man zunächst entlang und dann entlang b (oder umgekehrt) geht.

ä

Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten P und Q ist:

PÖ = Q- P. ►

Die Länge eines Vektors berechnet man wie folgt :

171~ (::)

= ✓•/uj.xj

Bei spiel : Um den Abstand der Punkte P( 1 l 2 l -4) und Q(-3 l 5 l -4) zu bestimmen, wird zunäc hst ue r Verbindungsvektor zwischen diesen Punkten aufgestellt:

Der Abstand zwischen P und Q entspricht der Länge des Vektors

PQ und berechnet sich wie fol gt:

Aufgabe 132 Abi* Ermittle den Ergebnisvektor:

{,)

(;) {)

{b)m•m·m

9 Grundlagen der Vektorrechnung

106

Aufgabe 133 -

Abi*-**

Die Punkte P1 ( 1 121 0 ), P2( 2 l 41 0 ), P3( 2 l 5 I 2), P 4 sind die Ecken eines Parallelogramms, bei dem die Punkte P1 und P3 und die Punkte P2 und P 4 sich jeweils gegenüberliegen. P,

P,

P,

P,

(a) Berechne die Koordinaten von Punkt P4. (b) Berechne die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms. (c) Allgemein gilt für ein Parallelogramm mit den Seitenlängen a und b und den Längen e und f der Diagonalen:

e2 + ,2 = 2 ( a2 + b2) Bestätige diese Formel beispielhaft mit dem gegebenen Parallelogramm. )

Aufgabe 134 Abi* Gegeben ist der Punkt P1 ( 21 3 1 1 ). Gib Punkte mit ausschließlich positiven Koordinaten an, die zusammen mit P 1 ... (a)

.. einen Würfel mit Kantenlänge 2 bilden.

(b)

.. einen Qµader mit drei unterschiedlich langen Kanten a

= 2, b = 3 und c = 4 bilden.

Aufgabe 135 - @ Abi* -** Auf einer Messe wird ein Tanzroboter vorgeführt. Dieser soll als verlässlicher Tanzpartner zu Trainingszwecken in Tanzschulen eingesetzt werden. Beim Robo-Tanz verfügt der Tanzroboter über folgende Tanzschritte: ►

Tanzschritt (1): Einen Schritt von 30 cm Länge nach rechts

►

Tanzschritt (11): Einen Schritt von 30cm Länge nach links

►

Tanzschritt (111): Einen Schritt von 20 cm Länge nach vorne

►

Tanzschritt (IV): Einen Schritt von 15 cm Länge nach hinten

►

Tanzschritt (V): Einen diagonalen Schritt mit 10 cm vor und 20 cm nach rechts.

Der Roboter ist auf folgende Schrittfolge programmiert: (1)-> (1)-> (111)-> (IV}-> (11)-> (V) -> (11)

(a) Ermittle, wie weit der Tanzroboter nach dieser Schrittfolge von seinem Startpunkt entfernt ist. (b) Der Tanzroboter tanzt auf einer rechteckigen Fläche. Bestimme den minimalen Platzbedarf, den er für diese Schrittfolge benötigt. (c) Es soll eine zweite Schrittfolge programmiert werden, die mit Schritt (V} beginnt und exakt am Ausgangspunkt endet. Kläre, ob eine solche Schrittfolge möglich ist. Falls ja, gib eine solche an.

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.:-2 Skalarmultiplikation

Merke Ein Skalar ist eine reelle Zahl. Vektoren werden mit Skalaren wie folgt multipliziert:

Graphisch wird der Vektor dabei gestreckt.

Aufgabe 136 Abi* - ** Eine T-förmige Antenne besteht aus einem vertikalen und einem horizontalen Antennenstück. Die Antenne ist am Bodenpunkt B( 10 l 1010) verankert und fünf Längeneinheiten hoch. Das obe re horizontale Antennenstück ist mittig auf dem vertikalen Antennenstück befestigt, fünf Längeneinheiten lang und zeigt in Richtung

(a) Bestimme die Koordinaten des Auflagepunktes, auf dem das horizontale Antennenstück auf dem vertikalen Antennenstück liegt. (b) Bestimme die Koordinaten der beiden Enden des horizontalen Antennenstücks. (c) Fertige eine Skizze der Antenne an.

9.2.3 Linearkombination Merke Wenn man beliebige Vielfache von Vektoren addiert, so erhält man eine Linearkombination aus diesen Vektoren:

v =r ·ä

+s·

b.

Dasselbe kann man auch mit drei , vier oder noch mehr Vektoren machen. Findet man eine mit Zahlen rund s, von denen mindestens eine ungleich 0 Linearkombination für ä und ist, sodass

b

b

gilt, so nennt man die Vektoren ä und linear abhängig, ansonsten heißen sie linear unabhängig. Auch dies kann man mit beliebig vielen Vektoren machen.

107

9 Grundlagen der Vektorrechnung

108

Um zu prüfen, ob die Vektoren

ä, b und

7 linear unabhängig sind, stellt man ein LGS auf:

,ö«b.ic~(:) ' (J, (:}{:) (:) r · 01

+ s · b1 + t · c1 = 0

r · o2 + s ·

b2 + t · c2 = 0

=0 Erhält man als ei nzige Lösung r = 0, s = 0 und t = 0, so sind die Vektoren ä , b und 7 linear r · 03 + s · b3 + t · c3

unabhängig, ansonsten sind sie linear abhängig.

Beispiel: Die folgenden drei Vektoren werden auf lineare Abhängigkeit geprüft:

(D.(:).U) Als erstes versucht man , den Nullvektor als Linearkombination aus den drei Vektoren darzustellen.

Wenn man die Zeilen einzeln aufschreibt, erhält man ein LGS:

3x +

y - 6z 2y

4x + 2y + z

=0 =0 =0

Dessen einzige Lösung ist: x

= 0, y = 0 und z = 0. Also sind die Vektoren linear unabhängig. '\

Aufgabe 137 Abi* Untersuche die Vektoren

ä, b und 7

auf lineare Abhängigkeit.

abiturma - Dein Intensivkurs f ürs Ma the-Abi

109

fgabe 138 Abi** -***

--------

Ummeeiaeo Vekto,

7 so, dass die Vektoceo O - (:).

b-

(!)

,odc

a) linear abhängig beziehungsweise

b) linear unabhängig sind .

.\ufgabe 139 Abi*** .·.'en n man ein beliebiges Dreieck in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnet ~'ld die Seiten als Vektoren auffasst, sind diese drei Vektoren dann linear abhängig, linear Jnabhängig oder kann je nach Dreieck beides auftreten ?

_ 4 Skalarprodukt

Merke Das Skalarprodukt zweier Vektoren cf und bist definiert als:

Zwei Vektoren cf, b stehen genau dann senkrecht (rechtwinklig, orthogonal, im Lot) aufeinander, wenn cf ob= 0:

d

l_

b

er ob= o.

Be ispiel: Die Vektoren

-,nd nicht orthogonal, denn es gilt:

(

--~,) o

2 (4,) = -1 · 2 + 2 · 4 + (-3) · 1 = 3 f

0.

9 Grundlagen der Vektorrechnung

110

Aufgabe 140 Abi* Die Punkte A( 1 l 211 ), B(-1

l 412), C( 2 l 3 l 1) beschreiben die Eckpunkte eines Dreiecks.

(a) Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist und bestimme die Ecke des rechten Winkels. (b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. (c) Bestimme einen Punkt D =/= C, so dass das Dreieck ABO rechtwinklig mit rechtem Winkel am Punkt A ist.

9.2.5 Kreuzprodukt Merke ► Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren

::)

X

(~:)

( X3

= (::~: : ::~:) .

x,

Y3

► Das Kreuzprodukt Tj steht:

X, Tj ist definiert als:

Y2 - X2Y1

x x Tj ist ein Vektor, der jeweils senkrecht zu den Vektoren x und

z = X x Tj

=}

z

l_

X

und

z

l_

Tj.

XxV

~V x ► Ist ABC ein Dreieck, so ist der Betrag des Vektors Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Eselsbrücke Berechnung Kreuzprodukt

(

-2) 3 1

X

(10) 2 -1

=

(

3 · (-1) - 1 · 2 ) 1-10-(-2)·(-1) -2-2-3-10

=

►

Schreibe Vektoren zwei mal untereinander.

►

Streiche oberste und unterste Zeile. Rechne kreuzweise.

(-5) 8 -34

AB x AC gerade der doppelte

abiturma - Dein Intensi vkurs fürs Mathe-Abi

3

-2

3

>< >< >


3x1 + 4x3 = 10

=0

=0

„ m von der Koordinatenform zur Normalenform zu gelangen, muss man den Normalenvektor ablesen ,md e inen beliebigen Punkt der Ebene wählen , hi er zum Beispiel P 1 ( 0 10 12,5 ).

10 Geometrische Objekte

118

Dann erhält man für diese Ebene die Normalenform:

An dieser Stelle kann man noch einmal erkennen, dass die Normalenform einer Ebene nicht eindeut if ist, sondern mit jedem Punkt, der in der Ebene liegt , gebildet werden kann. Die Hessesche Normalenform

Eine spezielle Form der Normalenform ist die Hessesche Normalenform. Hierbei benutzt man einen normierten Normalenvektor i'i"t, also einen Normalenvektor der Länge 1. Aus einem beliebigen Normalenvektor erhält man einen solchen Vektor i'i"t durch folgende Rechnung:

1

->

__.

no = --;====== · n

Jn/ + n/ + n/ Mit diesem Vektor i'i"t kann man dann die Hessesche Normalenform aufstellen: E:

(x-P)orit=O

Diese Form der Ebenengleichung eignet sich gut zur Abstandsberechnung von Punkt und Ebene.

Aufgabe 155

Eia La,e,po;ote, st,ahlt seok,echt '"',;oe, R;chtoog

G)

wf deo M;ttefpookt M( 210 l 11

einer aufgehängten Platte. (a) Bestimme eine Normalenform der Ebene E, in welcher die Platte liegt. (b) Bestimme eine Hessesche Normalenform dieser Ebene. (c) Gib eine Koordinatenform dieser Ebene an.

10.2.4 Umwandlung Parameterform -+ Koordinatenform Merke

Gegeben ist die Parameterform

s,t ER Gesucht ist die Koordinatenform von

E.

abiturma - Dein Intensivkurs fü rs Ma the-Abi

119

Schritt 1: Berechne das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Das liefert den Normalenvektor n):

Schritt 2: Schreibe einen Ansatz der Ebenengleichung hin:

E: 4x1

+x2 +4x3

= a.

Schritt 3: Setze den Stützpunkt der Ebene ein, um a zu erhalten: 4 • 2 + 1 • 3 + 4 · (-1)

=7=a

Somit lautet die gesuchte Ebenengleichung

E: 4x1 + x2 + 4x3 = 7.

---------------------------------------------------------Tipp: Mit Koordinatenformen kann viel einfacher gerechnet werden als mit Parameterformen. Eine Umwandlung in die Koordinatenform ist für anschließende Teilaufgaben daher meist sinnvoll.

Aufgabe 156 Abi*

Wandle folgende Ebenengleichungen in Koordinatenform um:

Aufgabe 157 -

Abi*

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, die jeweils die folgenden Objekte enthält: (a) die PunkteA(-11012), B(-21311) und C(2121-1) (b) den Punkt A(-1 12 / 4) und die Gerade

10 Geometrische Objekte

120

(c) den Ursprung und die Gerade

sE R

10.2.5 Umwandlung Koordinatenform -+ Parameterform Merke

Gegeben ist die Koordinatenform

E:

2x1 + 4x2 - 3x3

= 12.

Gesucht ist die Parameterform von E. Schritt 1: Bestimme drei beliebige Punkte auf E, beispielsweise die Spurpunkte:

A( 0 101 -4),

B( 013 10).

C( 61010).

Schritt 2: Stelle die Parameterform auf:

Tipp: In der Abiturprüfung wird die Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform nur sehr selten abgefragt.

Beispiel: Wandle die Ebene Ein Parameterform um:

E: x1 - 3x2 + 4x3 = 5. Bestimme zunächst drei Punkte auf der Ebene. Hierfür werden x1 und x2 frei gewählt und x3 berechnet. Drei beliebige Punkte auf der Ebene sind P1 { 1 1011 ), P2( 411 11 ) und P3( 2 l -1 10 ). Daraus ergibt sich die Parameterform:

E:

x = (~) 1

+ r (~ : ~) + s (-~ -_ ~)

1- 1

0- 1

(i)+,(}{l

,.,ER

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Aufgabe 158 Abi* Bestimme eine Koordinaten- und eine Parameterform der folgenden Ebene:

-o.3 Zeichnen geometrischer Objekte Dreidimensionales Koordinatensystem Um geometrische Objekte dreidimensional darzustellen zeichnet man ein Koordinatensystem wie es in der untenstehenden Abbildung zu sehen ist. Wichtig ist dabei , dass die Einheiten auf der x 1 -Achse kürzer sind als die auf der xi- und der xrAchse. Auf kariertem Papier bedeutet das, dass man vom Koordinatenursprung schräg nach links unten zeichnet und die erste Einheit genau auf das nächste Karokreuz macht. Die Einheiten auf der xi- und der xr Achse müssen dann zwei Kästchen lang sein. Um Punkte in das Koordinatensystem einzuzeichnen geht man nun vor wie in der Abbildung für den Punkt P ( 2 1 3 1 2,5) dargestellt. Es werden also alle Koordinaten der Reihenfolge nach abgearbeitet.

2

P( 21312,5) -1

2,5

3

Beispiel: Um die Ebene

E : 4x1 - 2x2 + X3 = 4 m Koordinatensystem darzustellen , bietet es sich an, die Spurpunkte zu berechnen : ►

Spurpunkt 51: Setze

x2

=

4x1-2x2+X3= 4 ► Spurpunkt 52: Setze X1

4x1 - 2x2 +

X3

=

= 4

X3

=

0:

==> X3

=

==>

X1= l

==>

51(11010).

0: x2

= -2

==>

52( 01-2 10).

121

70 Geometrische Objekte

122

►

Spurpunkt 53: Setze

X1

= x2 = 0:

4x1 - 2x2 + x3 = 4

=

x3

=

= 4

5 3( 0 10 l 4)

Jetzt können die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Das Dreieck 5, 5, S visualisiert die Ebene E. X3

X1

Beispiel: Eine Pyramide besitzt die Eckpunkte A( 01010 ), B( 41010 ), C( 4 l 410) und D( 0 l 410 sowie die Spitze 5( 212 l 3 ). Wie in der Abbildung zu sehen ist, werden zunächst die gegebenen Punkte eingezeichnet und dann dem Objekt entsprechend verbunden. Nicht sichtbare Verbindungslinien werden gestrichelt dargestellt. X3

3

s

x, B

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Aufgabe 159

(a) Ein durchsichtiger Würfel besitzt unter anderem die Eckpunkte A( 01010), B( 5 I O 10 ), C( 5 l 5 10 ), D( 0 l 5 I O) und G( 5 l 5 15 ). Zeichne den Würfel in ein geeignetes Koordinatensystem und gib die Koordinaten der restlichen Eckpunkte an. (6) Eine Ebene, welche die xrAchse und die durch die Punkte C und C verlaufende Gerade beinhaltet, schneidet den Würfel. Stelle die Schnittfläche in der Zeichnung gut erkennbar dar. Aufgabe 160 Abi*

Skizziere folgende Ebenen jeweils in einem Koordinatensystem: (a) E: - X1 + 3x2 + 2x3 (6) E: 2x1 + X2 = 2 (c) E: 3x1

=1

=1

123

11 Lagebeziehungen und Schnitt 11.1 Lagebeziehung Gerade-Gerade Lagebeziehung Gerade-Gerade Gegeben sind zwei Geraden g und h

= r + tv, x = Q + sü,

9 , -;

t E IR

h:

s E IR.

Gesucht ist die Lagebeziehung der beiden Geraden.

Fall 1: Es gilt

v II Ü. Dann teste, ob P auf der Geraden h liegt.

Fall 1.a: Es gilt zusätzlich: P liegt auf h. Dann sind g und h identisch. Fall 1.b: Es gilt: P liegt nicht auf h. Dann sind g und h echt parallel. Fall 2: Es gilt

v ./t Ü. Dann teste, ob die Gleichung P + tv = Q + sü eine Lösung hat.

Fall 2.a: Die Gleichung besitzt eine Lösung. Dann schneiden sich g und h in genau einem Punkt. Fall 2.b: Die Gleichung besitzt keine Lösung. Dann sind g und h windschief.

Beispiel: Betrachte die beiden Geraden g und h:

g:

X=

(-lf)

h:

X=

(i) •{:)

I ER

sER

Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind parallel , denn es gilt:

-2

C) (J

Damit sind g und h entweder echt parallel oder identisch. Der Punkt P( 1 10 I S} (Aufpunkt von h) liegt nicht auf g, denn eine Punktprobe von P in g führt zu:

(i)

(-l,C)

(-2) (-2) 2

3

= f

1

-1

t

==> ==> ==>

= ,

t = 2 t = -3

Damit fällt die Punktprobe negativ aus. Die Geraden g und h sind also echt parallel.

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2 Schnitt Gerade-Gerade Schnitt Gerade-Gerade Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden

Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Schritt 1: Setze Geradengleichungen gleich und löse das LGS:

==}

-1 + 2t = -2 + 2t = 3 + 6 - t

= 11

2t ==}

5

+ 2s

= 2 2t - s=S -t - 2s = 5

==}

t= 1

==}

5

= -3

==}

5

= -3

Schritt 2: Setze einen gewonnenen Parameter in die Geradengleichung ein und lies den Schnittpunkt S ab:

'=(J, m(:) Damit ist der Schnittpunkt S( 1 10 l 5) gefunden.

Aufgabe 161 Abi* Untersuche die Lagebeziehung der folgenden Geraden zueinander und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

(a) g:

X=

(;),{:)

(b) g:

X=

(-J,C)

t E IR

und

I ER

""d

125

77 Lagebeziehungen und Schnitt

126

Aufgabe 162 - @Abi* Unter einem Haus sollen neue Leitungen verlegt werden. Eine Wasserleitung gibt es bereits und ihr Verlauf wird beschrieben durch die Geradengleichung

(a) Es soll neben der Wasserleitung eine Stromleitung verlegt werden. Diese soll parallel zu der vorhandenen Wasserleitung liegen und durch den Punkt P( 0 l -3 I 0) verlaufen. Bestimme eine Geradengleichung der Stromleitung. (b) Zudem wird ein Blitzableiter in das Haus eingebaut. Der Verlauf des Blitzableiters wird beschrieben durch die Gerade

Bestimme, ob der Blitzableiter eine der beiden Leitungen schneidet.

Aufgabe 163 - nur LK Abi*-*** Für die Zeit t durch:

Ä=

> 0 (in

2,0) 2.0 (3,0

Minuten) werden die Positionen zweier Kampfjets A und 8 beschrieben

+ t

(4,0) 6.o 1,0

und

8=

3,7) + t (3,0) 4,0 (5,0 0,0 5,6

Die Flugzeuge werden als punktförmig angenommen. Eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer. Die x1,x2-Ebene beschreibt dabei die Erdoberfläche. (a) Bestimme die Geschwindigkeit von Flugzeug A sowohl in m/s als auch in km/h. Kläre, welches der Flugzeuge ab t > 0 an Flughöhe gewinnt. (b) Zeige, dass die beiden Flugbahnen nicht rechtwinklig zueinander stehen. (c) Kläre, ob sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge kreuzen. Wenn ja, berechne den Schnittpunkt der Flugbahnen. (d) Besteht die Gefahr, dass die beiden Flugzeuge miteinander kollidieren?

22 32

(e) Flugzeug A befindet sich an dem Koordinatenpunkt P( I l 8 ). An welchem Punkt befindet sich Flugzeug 8 zum gleichen Zeitpunkt? Berechne den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. (f) Stelle in Abhängigkeit der Zeit t einen Ausdruck auf, der den Abstand der beiden Flugzeuge beschreibt. Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand der beiden Flugzeuge am geringsten? W ie g roß ist der geringste Abstand? Interpretiere dieses Ergebnis im Sachkontext.

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nweis:

127

Die Wurzel eines Ausdrucks wird genau dann minimal , wenn der Term unter der Wurzel minimal wird .

.3 Lagebeziehung Gerade-Ebene

lagebeziehung Gerade-Ebene Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E:

g:

x = P + tv, t E IR

E: n1x1 + n2x2 + n3X3

= d.

Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g und E.

Fall 1:

n o v =/= 0. Dann schneiden sich g und Ein genau einem Punkt.

Fall 2:

n o v = 0. Dann teste, ob P in E liegt.

Fall 2.a: P liegt in E. Dann liegt g in E. Fall 2.b: P liegt nicht in E. Dann sind g und E echt parallel.

Ti pp,

Man kann natürlich auch direkt die Schnittmenge der beiden Objekte berechnen.

ispiel: Die Lagebeziehung von

E : 4x1 + x2 -

2x3

= 10

bestimmt werden. Betrachte dazu zuerst das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor:

:::>amit sind g und E entweder echt parallel oder on g in E liegt:

g liegt

in E. Kläre nun, ob der Aufpunkt P( 211 14)

4 - 2+1-2-4 = 1=/=10. :)amit liegt P nicht in E. Also sind g und E echt parallel.

11 Lagebeziehungen und Schnitt

128

11.4 Schnitt Gerade-Ebene Schnitt Gerade-Ebene Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E , die sich in einem Punkt schneiden:

E: X1 + 3x2 - 2x3 = 10. Gesucht ist der Schnittpunkt von g und E.

Schritt 1: Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimme den Parameter r:

(0+r-0)+3(1 +r-(-1))-2(0+r-2) ==}

= 10

r = -1.

Schritt 2: Setze den berechneten Parameter r in die Geradengleichung ein und lies den Schnittpunkt S ab:

l l

Der Schnittpunkt von g und E ist also S( 0 2 -2 ).

Aufgabe 164 -

Abi*

Untersuche die Lagebeziehung der Geraden g zur Ebene E und ermittle gegebenenfalls den Schnittpunkt.

(a) E: 3x1 - x2 + Sx3 = -3

g:

X=

(b) E:

X=

g:

X=

(l{J (:}{:),,(_:,) s E IR

(;'}{D

(c) E: 2x, - x2 + 4x3

g:

k ER

=1

•~(~) ·{)

r E IR

s,t E IR

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129

---------------------------------------------------------Hinweis:

Wandle die Ebenengleichungen immer zunächst in Koordinatenform um.

Aufgabe 165 Abi** liegen die Geraden g und hin einer Ebene? Wenn ja, wie lautet eine Darstellung dieser Ebene? (a) g :

x=

(b) g:

x=

(c) g:

X=

-+

Aufgabe 166 -

(J{;) (l{) (:)»(:)

s E IR

und

s E IR

und

i e Anzahl der Möglichkeiten 2 aus 4 Objekten auszuwählen ist also 6_ Es gibt somit 6 verschiedene löglichkeiten die Freunde für den kostenlosen Kinobesuch auszuwählen_

Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten

► (~) = 1,

►

(~) = n _ (n\) (:)-

►

(:)

n(n-1)---(n-k+l) k!

Beispiel: Der Wert des Binomialkoeffizienten ( ~ ) lässt sich mit obigen Regeln wie folgt ohne Tasc henrechner bestimmen:

(1n (1n

10!

10 - (10-1) - (10-2)

3!(10 - 3)!

3 -2 1

10-9-8

720

3 -2 - 1

6

= 120 _

18 Mehrstufige Wahrscheinlichkeiten

184

Aufgabe 226 (a) In einer Stadt in Deutschland hat jede Telefonnummer ohne Vorwahl sechs Stellen. Sie darf nicht mit einer Null anfangen . Wie viele verschiedene Telefonnummern kann die Stadt vergeben? (b) In einer Buchstabensuppe schwimmt noch genau einmal das Alphabet. Wie wahrscheinlich ist es, dass bei den nächsten vier Nudeln der Name NORA entsteht? (c) Ein Passwort eines Computers besteht aus fünf Ziffern . Wie viele unterschiedliche Passwörter gibt es? (d) In einer Talkshow stehen sieben Stühle nebeneinander. Der Showmaster sitzt in der Mitte und möchte neben seinem berühmtesten Gast sitzen. Wieviele Sitzplatzkombinationen gibt es? (e) In derselben Show werden zwei Gäste zufäll ig für ein Spiel ausgewählt. Wie viele mögl iche Spielpaarungen gibt es?

Aufgabe 227 - liil Abi** Einige Komponisten des letzten Jahrhunderts haben mit der sogenannten Zwölftonmethode komponiert. Das Grundprinzip besagt, dass jeder der zwö lf Töne einer Oktave erst dann wieder e rklingen darf, wenn die a nderen erklungen sind. Daher wurde stets eine Reihe aus zwölf Tö nen gebildet, die als Grundgerüst für die Komposition genommen wurde. (a) Wie viele verschiedene Zwölftonreihen gibt es? (b) Ein Komponist hat bereits sieben Töne de r Reihe geschrieben und möc hte jetzt einen Dreiklang schreiben, das heißt drei der verbleibenden Töne so llen gleichzeitig erklingen. Wie viele Möglichkeiten hat er drei Töne auszuwählen?

9 Zufallsvariablen

1 Grundbegriffe

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angenommen. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl x,, X2, X3 , ... zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable gibt die Wahrscheinlichkeit P1, p2, p 3 zu j eder dieser Zahlen (und damit den zugehörigen Ergebnissen) an. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ist dann die Wahrscheinlichkeit P(X = x;) = p; , dass die Zufallsvariable den zugehörigen Wert x ; annimmt. Tip p,

p, + P2 + ... + Pn = 1, d.h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist stets 1.

ispiel: Ein Glücksrad hat drei Sektoren , einer ist genau ein Grad und ein zweiter 29 Grad groß. en n man das Glücksrad dreht und es bleibt in dem kleinsten Sektor stehen, gewinnt man 100 Euro, enn es in dem 29' -Sektor stehen bleibt, gewinnt man 10 Euro. In dem Sektor mit den übrigen 330' cwi nnt man nichts. Die Zufallsvariable X wird definiert als Gewinn in Euro, sie kann die Werte 0, 10 ~d 100 annehmen:

X: Gewinn in Euro,

X E {0,10,100}

- Jr die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gilt:

P1 : P(X = x1) = P(X = 0) = p2: P(X = x2) = P(X = 10) = p3 :

P(X =

330 , 360 29

360

,

1

X3 )

= P(X = 100) = 360 .

Bemerkung: In der Stochastik ist es manchmal praktisch, Brüche nicht zu kürzen , da man dann eichter überblicken kann , ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten tatsächlich 1 ergibt. Endgülti ge ::rgebnisse, zum Beispiel in Antwortsätzen, müssen aber natürlich gekürzt sein .

Aufgabe 228 Abi* Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung der folgenden Zufallsvariablen an. (a)

X : Augensumme beim Würfeln mit ei- (b) X: Augensumme beim Würfeln mit zwei nem Würfel.

Würfel.

19 Zufallsvariablen

186

Aufgabe 229 -

Abi*

Zwei Glücksräder tragen in gleich großen Abschnitten die Zahlen 1 bis 4. Beide Glücksräder werden gedreht und die Zahlen addiert. Ist das Ergebnis 8, dann wird der Hauptgewinn von 50 Euro ausgeschüttet. Ist das Ergebnis eine Primzahl, bekommt man einen Trostpreis von 2 Euro. In allen anderen Fällen bekommt man keinen Preis. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn des Glücksspiels an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

Aufgabe 230 Abi** Ein Zufallsgenerator liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % eine 2 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %eine 3. Es wird zunächst eine Zufallszahl generiert, dann eine Münze geworfen und dann eine weitere Zufallszahl generiert. Zeigt die Münze Kopf, wird die erste Zufallszahl von der zweiten subtrahiert, zeigt sie Zahl, werden die Zahlen addiert. Die Zufallsvariable X gebe das Ergebnis dieser „ zufälligen Rechnung" an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

19.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Merke Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X wird Erwartungswert E(X) genannt. Nimmt X die Werte x1, X2, ... , Xn an, so gilt:

E(X} = X1 · P(X = x1} +

X2 ·

P(X = X2} + ... +

Xn ·

P(X =

Xn}-

Tipp: ► ►

Tipp:

E(X) muss kein Wert sein, den X auch tatsächlich annimmt. Ein Spiel ist fair, wenn E(X) dem Einsatz entspricht.

Ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p, so gilt E(X)

= n · p.

Beispiel: Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von 1 € von einem Zufallsgenerato· Zufallszahlen von 1 bis 100 generieren lassen. Bei der 55 erhält man 50 € Gewinn, bei 11, 22 un: 33 nur 5 €, bei 44, 66, 77, 88 jeweils 3 € und bei 99, 1 und 100 je 1 €. Ansonsten verliert man seineEinsatz. Es soll geprüft werden , ob sich eine Teilnahme an dem Spiel lohnt. Man berechnet dazu deErwartungswert wie folgt:

1 3 4 3 E(X) = 50. 100 + 5. 100 + 3. 100 + 1 . 100 = 0,8. Also kann man im Schnitt einen Gewinn von 80 Cent erwarten. Dem steht ein Einsatz von einem Euf" gegenüber. Das Spiel ist also nicht fair. Auf lange Sicht verliert der Teilnehmer.

187

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Merke Die Streuung einer Zufallsvariable X um ihren Erwartungswert wird Varianz Var(X) genannt. immt X die Werte X1, x2, . .. , Xn an und hat X den Erwartungswert E, so gilt: Var(X)

= (E - X1) 2 · P(X = X1) + (E - x 2 ) 2 · P(X = X2 ) + · · · + (E - xn) 2 · P(X = Xn ) ,

Oftmals ist auch nach der Standardabweichung a(X) gefragt. Diese ist die Wurzel der Varianz. Es gilt also

= y'Var(X).

a(X)

Tip p:

Ist X binomialverteilt mit de n Para metern n, p, so gilt

E(X) ►

= n ·p

= n ·p · (1 - p) = ✓ n • p • (1 -p)

Var(X)

a(X)

Bei spiel: Betrachtet man nochmal obiges Gewinnspiel mit Erwartungswert E Var(X)

89 = (0 ,8- 0) 2 • 100

1

2

+ (0 ,8 - 50) ·

100

3

2

+ (0 ,8 - 5) ·

= 0,8, so folgt:

100

2 4 2 3 + (0 ,8 - 3) . 100 + (0 ,8 - 1) . 100

= 25,5. : eht man die Wurzel, erhält man die Standardabweichung a(X)

= 5,04975.

_A_u_f_g_a_b_ e _2_3_1_A_b _i_*_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

----1

Berechne den Erwartungswert E(X) . Dabei bezei chnet X die Augen zahl beim . . . (a) . . . Würfeln mit einem Würfel.

(b) ... Würfeln mit zwei Würfeln.

Aufgabe 232 Abi** Die Firma Supersicherundbillig möchte eine Haftpflichtversicherung BeCareful mit einem monatlichen Beitrag von 4,49 Euro anbieten. Der Vorstand verfügt über fol gende Tabelle jährlicher Versicherungsfälle einer Person : Höhe Versi cherungsfall in Euro

50

100

1.000

10.000

Wahrscheinlichkeit in%

20

5

2

0,2

Zeige, dass diese Versicherung zu billig ist.

79 Zufallsvariablen

188

Aufgabe 233 Abi**-*** Die Pfarrgemeinde hat für ihr Gemeindefest ein Glücksrad bestellt. Es wird erwartet, dass 1000 Personen am Glücksspiel teilnehmen. (a) Das gelieferte Glücksrad besitzt 9 gleichgroße, durchnummerierte Felder, der Gewinn soll sich an der Nummer der Felder orientieren, d. h. für Feld 1 gibt es einen, für Feld 2 zwei Euro, usw. Bei der letzten Pfarrgemeinderatssitzung kam vom Kassenwart der Einwand , dass der Einsatz mindestens so hoch sein muss, dass kein Verlust zu erwarten ist. Wie hoch muss der Einsatz sein ? (b} Die Nachbargemeinde hat den großen Erfolg des Glücksrades mitbekommen und möchte die Idee für ihr Gemeindefest kopieren , beschließt allerdings, den Einsatz um 1 Euro zu verringern. Auch diese Gemeinde möchte keinen Verlust mit dem Spiel machen. Wie viele gleichgroße Felder muss das Glücksrad haben , das diese Gemeinde bestellen muss?

Aufgabe 234 - nur LK Abi**-*** Eine Spielbank bietet gegen eine Teilnahmegebühr folgendes Gewinnspiel an: Es wird wiederholt eine Münze geworfen. Das Spiel endet, wenn zum ersten Mal Kopf (K) fällt. Der Gewinn des Spiels wird durch die Anzahl der Münzwürfe bestimmt. In einer ersten Version des Glückspiels ist das Spiel auf maximal fünf Würfe limitiert. Die Gewinne hierfür betragen: Anzahl Würfe

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

Gewinn in Euro

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

(a) Ermittle eine faire Teilnahmegebühr für das auf 5 Würfe begrenzte Glücksspiel. Das Glücksspiel wird nun insofern verändert, dass die Anzahl der Münzwürfe nicht mehr beschränkt ist. Auch jetzt verdoppelt sich der Gewinn nach jedem Wurf so lange, bis zum ersten Mal K fällt. (b) Setze die oben stehende Tabelle fort und ermittle den Gewinn im Falle von 6, 7 oder 8 Würfen. Gib eine allgemeine Formel für den Gewinn im Falle von n Würfen an. (c) Zeige, dass der Erwartungswert der unbeschränkten Version des Glücksspiels nicht endlich ist. (d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1000 Euro zu gewinnen.

Hinweis:

Dieses seltsame Glückss piel ist unter dem Namen Sankt-Petersburg-Paradoxon bekannt.

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189

.3 Histogramme Merke Ein Histogramm ist ein Hilfsmittel, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu veranschaulichen. Es handelt sich dabei um ein Säulendiagramm: Jedem auf der x-Achse eines Koordinatensyste ms aufgetragenen Wert der Zufallsvariable wird eine Säule in y-Richtung zugeschrieben. Die Höhe der Säule ist die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert angenommen wird.

p P2

- -- - - --

p, p3 x,

Tipp:

Ein Histogramm kann auch für Häufigkeitsverteilungen verwendet werden. Dann werden auf der senkrechten Achse die relativen Häufigkeiten abgetragen. Ist das Histogramm symmetrisch um einen Wert , so ist dieser Wert der Erwartungswert.

Beis piel: Ein Histogramm soll die Verteilung für die Anzahl an Kopf für den gleichzeitigen Wurf von er Münzen beschreiben.

P(x

2

0

Xn

= Xn)

3

4

1

4

4

1

16

16

16

16

16

2

3

4

6

:>amit ergibt sich folgendes Histogramm:

p 6

16 4

16 1

16 0

Aufgabe 235 Abi* Ein Würfel wird sieben Mal geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Zeichne ein Histogramm von X.

19 Zuf allsvariablen

190

Aufgabe 236 - @Abi** Die folgenden Histogramme A, B, C und O zeigen die Häufigkeitsverteilung von vier Binom alverteilungen mit jeweils n = 15 und verschiedenen Trefferwahrscheinlichkeiten. p

p

A

B

0, 1

0, 1

0

5

10

15

p

0

5

15

10

p

C

D

0, 1

0,1

0

5

10

15

0

5

10

15

(a) Ordne die Histogramme nach aufsteigender Trefferwahrscheinlichkeit. (b) Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl von Kopf bei fünfzehn Würfen einer Münze. Welches? (c) Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei fünfzehn Mal würfeln. Welches?

Aufgabe 237 -

@ Abi**

Peter hat sich ein Spiel ausgedacht, um der Langeweile in den Pausen Herr zu werden. Es wird ein Würfel und eine Münze geworfen. Zeigt die Münze Zahl , so wird der Wert des Würfels verdoppelt, zeigt sie Kopf, so wird von der Augenzahl Eins abgezogen. Die Zufallsvariable X bezeichne das Ergebnis dieser Rechnung. (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und zeichne das Histogramm dazu. (b) Schnell hat sich eine Gruppe um Peter geschart und er wittert das Geschäft. Frei heraus sagt er: ,, Der Einsatz beträgt nur 3 Euro! Erzielt ihr eine größere Zahl als 6, bekommt ihr 5 Euro, ansonsten nichts!" Macht Peter damit langfristig Gewinn?

Binomialverteilung _ .1 Bernoulli-Ketten Merke

Eine Folge von Zufallsexperimenten, die jeweils nur zwei Ausgänge (Treffer/ Niete) haben, und deren Trefferwahrscheinlichkeit immer gleich ist, nennt man Bernoulli-Kette. Die Verteilung der Anzahl der Treffer in solch einer Kette nennt man Binomialverteilung. Ist die Trefferwahrsc heinlichkeit p und wird das Experiment n mal durchgeführt , so ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Treffer erzielt werden gleich: P(genau k Treffer)= B(n; p; k) = (:) . pk. (1 - p)n-k.

Tipp: ,

Das Modell der Binomialverteilung ist immer dann geeignet, wenn n Versuche durchgeführt werden, die genau zwei verschiedene Ausgänge (Treffer/ Niete) haben , voneinander unabhängig sind .

Bei spiel: Ein Würfel wird 10 mal gewürfelt. Man betrachtet die Ereignisse

f 1: Es wird genau zweimal eine 6 gewürfelt. E2 :

Es wird mindestens zweimal eine 6 gewürfelt.

:es so llen die Wahrscheinlichkeiten von f 0 P(f1) = (~ ) ·

= 45. 316

(if

(~r

1

und E2 ermittelt werden. Es gilt:

390625 1679616

= 0,291 . ... m das Ereignis f 2 direkt mit der Binomialverteilung zu berechnen, müsste man die Wahrscheinlichkeien von k = 2 bis k = 10 aufaddieren. Da dies sehr umständlich ist, kann man mit dem Gegenereignis arbe iten: P(f2) = 1 - P(höchstens eine 6) = 1 - (P(keine 6) + P(genau eine 6)) 1 6

= 1 -(0,1615 + 0,3231) = 0,5155.

20 Binomialverteilung

192

Aufgabe 238 - liiil Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Angaben der jeweiligen Binomialverteilung:

= 19; (b) n = 10; (c) n = 22; (a) n

= 0,6; p = 0,3; p = 0,7; p

k =9 k 6

s6 s k s 9.

Aufgabe 239 Abi* Eine faire Münze wird 15 Mal geworfen. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit exakt fünf mal Zahl zu werfen? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens zwei mal Kopf zu werfen?

Aufgabe 240 Abi*-** Kevin ist am Boden zerstört: Heute wird in Physik ein Test geschrieben und er hat überhaupt nicht gelernt. Der Test besteht aus 20 Multiple-Choice-Aufgaben. Jede Aufgabe bietet vier Antwortmöglichkeiten, von denen exakt eine richtig ist. Da Kevin überhaupt keine Ahnung hat beschließt er, blind zu raten. (a) Um den Test zu bestehen, muss mindestens die Hälfte aller Aufgaben richtig beantwortet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kevin den Test besteht? (b) Alle, die weniger als fünf Fragen richtig beantwortet haben, sollen zu einer Wiederholungsstunde kommen. Alle, die keine Frage richtig beantworten, müssen nachsitzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Kevin zur Wiederholungsstunde? Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss er nachsitzen?

Aufgabe 241 - nur LK @ Abi* Eine Infektion mit dem Ebolavirus vom Stamm EBOV, so wie er im Jahre 2014 in Westafrika auftrat, verläuft in etwa 71 %der Fälle tödlich. Anfang Dezember 2014 wurden 1200 Neuinfektionen gemeldet. Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang. 400

L (12k00) . (0,71)k. (0,29)1 200-k ~ 2,3%. k=O

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.\ufgabe 242 - liiil Abi**-*** Eine kleine Werkstatthalle soll durch das untere Koordinatensystem vereinfacht werden. Ein Ro boter beginnt im Koordinatenursprung sich auf den Weg zu seiner Ladestation zu machen. Einmal pro Minute macht der Roboter einen Schritt. Dabei bewegt er sich jeweils einen \.\ete r weiter und zwar entweder nach rechts (d.h. in x-Ric htung) oder nach oben (d.h. in q- Richtung). Der Roboter entscheidet bei jedem Schritt neu in welche Richtung er sich bewegt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts beträgt dabei p = 0,65. y 8

z

7

•

6 5 4

M

3

2

2

3 4

5 6

7

8

X

(1 LE enspricht 1 m)

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter zur Ladestation , die sich bei Z( 7 l 6) befindet? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter dabei über die Messstation M ( 5 1 3) zur Ladestation Z?

Aufgabe 243 - liiil Abi**-*** Bad Max öffnet den Kofferraum des großen grauen Lieferwagens und wendet sich Really Bad Jo hn zu: ,,Da hast du 's! Einen ganzen Lieferwagen voller Päckchen mit feinstem weißen Zeug. Jetzt sind wir quitt". Really Bad John knurrt: ,, Du weißt, Bad Max, wenn mehr als zehn Prozent der Beutel kein feines weißes Zeug beinhalten, dann mach' ich dich platt. Darum machen wir jetzt Folgendes: Ich überprüfe fünf Päckchen. Und wenn darunter ein oder mehrere Päckchen kein feines weißes Zeug enthalten, dann ... " Während Really Bad John sich symbolisch mit einem Finger über die Kehle streicht mischt sich Really Bad Johns Freundin Evil Emma ein: „Ich habe eine bessere Idee. Du überprüfst zwanzig Beutel. Wenn darunter drei oder mehr kein feines weißes Zeug enthalten, dann ... " Und auch Evil Emma streicht mit ihrem Zeigefinger über ihre Kehle. Bad Max schwitzt wie ein Hund , denn er hat tatsächlich zehn Prozent der Päckchen nicht mit feinem weißen Zeug befüllt. Bad Max überlegt. Bad Max rechnet. Soll er sich für Really Bad Johns oder für Evil Emmas Vorschlag entscheiden?

193

20 Binomialverteilung

194

Aufgabe 244 - liiil Abi*** Seit dem Jahre 2000 sind Kamerasysteme in kommerziellen Handys erhältlich. Eine Handykamera besteht in der Regel aus einer gepressten Glaslinse sowie einem photosensitiven digitaler, Detektor. Im Photodetektor werden Photonen (Lichtteilchen) mit einer gewissen Wahrschein lichkeit in Elektronen (Strom) umgewandelt. Die Stärke des erzeugten Stroms kann als Bil d decodiert werden.

Linse 0

(D r-1"

(D

7' r-1"

0

""'I

Ein Gütemerkmal eines Detektors ist die Qµanteneffizienz p, die beschreibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein auf einem Pixel einfallendes Photon absorbiert und in ein Elektron umgewandelt wird. Die Wahrscheinlichkeit für die Absorption aufeinanderfolgender Photonen ist unabhängig. (a) Welche Teile der Beschreibung im Text erlauben es, die Detektion von Photonen als Binomialprozess zu modelieren ? (b) Nimm an, dass die Wahrscheinlichkeit für die Messung von k Elektronen bei n einfallenden Photonen beschrieben wird durch

B(n; p; k) =

(:)pk(l-p)"-\

wobei typische Qµanteneffizienzen bei 85 % liegen und 200 Photonen auf den Detektor einfallen. Wie groß ist die Wahrsscheinlichkeit, dass 170 Elektronen gemessen werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass mindestens 165 und maximal 170 Photonen gemessen werden? [Hinweis: 8 (n; p; k)

= B (n;

1 - p; n - k) ]

(c) Bei kurzer Belichtung ist die Bildqualität vermindert. Das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) eines Detektors ist definiert als das Verhältnis von Erwartungswert zu Standardabweichung (SNR = µ/a). leite eine allgemeine Formel für das SNR von binomialverteilen Detektionsprozesse her. Wie groß ist das SNR mit den Werten aus Aufgabenteil (b)? (d) Wie viele Photonen müssen mindestens einfallen, damit der Detektionsprozess näherungsweise durch eine Gaußverteilung beschrieben werden kann ?

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„

195

Kumulierte Binomialverteilung

Definition

. 1t Hilfe der Formel für die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette kann man es s eh ersparen, große Baumdiagramme zu zeichnen. Oft muss man allerdings trotzdem noch seh r viele einzelne Trefferwahrscheinlichkeiten ausrechnen und addieren, beispielsweise wenn "'1a n sich für eine Wahrscheinlichkeit P(X ::; 24) interessiert. =ü r solche Fälle wird die kumulierte Binomialverteilung F(n; p; k) wie folgt definiert: k

F(n; p; k) = P(X ::; k) =

k

~ B(n; p; i) = ~

(:) . p;. (1 - p)n-i

T·PP'

In den meisten Lehrbüchern und Tafelwerken/ Formelsammlungen gibt es Tabellen zur kumulierten Bi nomialverteilung für n = 5, n = 10, n = 20, n = 50 und n = 100 mit jeweils vielen unterschiedlichen .Va hrscheinlichkeiten p. Eine andere Möglichkeit ist die Benutzung eines graphikfähigen Taschenrechners.

spiel: Ein Würfel wird fünfzigmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens zehnmal e 4 geworfen wird?

;eben:

X: Anzahl der geworfenen Vieren n

=

50

p=i suc ht:

P(X::; 10) -statt nun mühsam

P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 10) ~sz urechnen, kann man das gesuchte Ergebnis einfach mit Hilfe der kumulierten Binomialverteilung n = 50 bestimmen:

- t

P(X ::,; 10)

=F

( 50;

i:

10)

= 0,7986.

Rechenregeln zur kumulierten Binomialverteilung

Die kumulierte Binomialverteilung liefert nur Antworten auf Fragestellungen wie: ,,Wie groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens zehn Treffer erzielt?" also wenn nach P(X ::; k) gefragt ist. Man benötigt aber auch ein Verfahren für die Fragestellungen weniger als, also P(X mehr als, also P(X > k) und mindestens, also P(X 2'. k).


k)

= 1 - P(X ::; k) = 1 - F(n; p; k)

20 Binomia/vertei/ung

196

►

P(X

~

k)

= 1 - P(X

~

k - 1)

= 1 - F(n; p; k - 1)

Mit Hilfe dieser Regeln kann man sich dann auch Fragestellungen wie ,,Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als vier und höchstens elf Treffer?" erschließen. Beispiel: Eine faire Münze wird hundertmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ►

mehr als 48-mal Kopf erscheint?

►

mindestens 54-mal Kopf erscheint?

►

mehr als 43-mal und weniger als 57-mal Kopf erscheint?

Alle diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit den gerade gelernten Regeln einfach bestimmen : ►

P(X

> 48) = 1 - P(X

~

47)

►

P(X

~

= 1 - P(X

~

53)

►

Es gilt:

54)

P(43

= 1 - F(lO0; 0,5; 47) = 1 - 0,3086 = 0,6914 = 1 - F(l00; 0,5; 53) = 1 - 0,7579 = 0,2421

< X < 57) = P(X ~ 56) - P(X ~ 43) = F(l00; 0,5; 56) - F(lO0; 0,5; 43)

= 0,9033 - 0,0967 = 0,8066 Verfahren mit Hilfe des Taschenrechners

Wenn man im Abitur einen Taschenrechner benutzen darf, der über eine Summationsfunktion verfügt , gestalten sich Beispiele wie das obige einfacher. In diesem Falle kann man derartige Aufgaben als Summe schreiben und dann direkt in den Taschenrechner eingeben. Tipp:

Es ist trotzdem empfehlenswert, den Umgang mit den Tabellen zu beherrschen, da die Taschenrechner

zur Berechnung umfangreicher Summen teilweise sehr lange brauchen.

Beispiel: Es wird dasselbe Beispiel wie oben betrachtet. Bei der Lösung mit dem Taschenrechner mu

man die Aufgabenstellung in eine Summe umschreiben und dann eingeben: ► P(X

> 48) =

100

L (1~0 ) . 0,5; . o,5 1oo-; = 0,6914,

i= 49

► P(X ~ 54)

=

100

L (1~0 )

·

0,5i · 0,5 100-i

= 0,2421 ,

i=5 4

► P(43

< X < 57) =

56

L (1~0 ) · 0,5 i · o,s 100-i = 0,8066. i= 44

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197

Aufgabe 245 Ein Bogenschütze trifft das Zentrum der Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von P Wä hrend einer Trainingseinheit schießt er fünfzig Pfeile auf die Zielscheibe.

= 0,3.

(a) Wie wahrscheinlich ist es, dass er genau 15-mal trifft? (b) Wie wahrscheinlich ist es, dass er höchstens 15- mal trifft ? (c) Wie wahrscheinlich ist es, dass er mindestens 13-mal trifft? (d) Wie wahrscheinlich ist es, dass er mehr als 16- mal und höchstens 21-mal trifft ? (e) Wie wahrscheinlich ist es, dass er beim 14. und beim 17. Mal trifft ? (f) Gib ein Argument an, welches gegen eine Verwendung der Binomialverteilung bei dieser Bogenschützenaufgabe spricht.

Aufgabe 246 ------

Zwanzig Prozent der Menschen in Deutschland , die älter als vierzig Jahre sind, können sich etwas unter dem Begriff „ Hashtag" vorstellen. Man wählt zufällig eine Gruppe von 20 dieser \,\enschen aus. (a) Warum kann man bei dieser Aufgabenstellung nur näherungsweise von einer Binomial verteilung ausgehen? (b) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich mindestens vier dieser Menschen etwas unter dem Begriff vorstellen können ? (c) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich mindestens neun und höchstens siebzehn dieser Menschen nichts unter dem Begriff vorstellen können?

Aufgabe 247 - liil Abi** In der Stadt Fietshausen wird bekanntlich viel Fahrrad gefahren. Laut eine r Statistik eines deutschlandweiten Fahrradclubs sind ein Drittel al ler Fahrräder in Deutschland codiert, d. h. mit einem Code versehen , welc her der Polizei Auskunft über den Besitzer gibt, um es bei Diebstahl w iederfinden zu können . Der Fahrradverband Fietshausen möchte in Zusammenarbeit mit der örtlichen Polizei mit einer Aktion auf die Vorteile einer Codierung aufmerksam machen und führt an einer Hauptstraße eine 3-stündige Kontrolle durch . Hierbei werden 100 Fahrräder gesichtet. (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau 33 der gesichteten Fahrräder codiert sind. Bestimme zudem die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 50 Fahrräder codiert sind. (b) Bei der Kontrolle besteht die Möglichkeit, das Fahrrad direkt im Anschluss codieren zu lassen . Bei einer ähnlichen Aktion in der ebenso fahrradbegeisterten Nachbarstadt Velokirchen wurde die Erfahrung gemac ht, dass 50 % der kontrollierten Fahrradfah rer, die keine Codierung haben, dieses Angebot in Anspruch nehmen. Mit wie vielen Neucodierung kann die Polizei im Schnitt bei solch einer Kontrolle rechnen ?

20 Binomia/vertei/ung

198

20.3 3M-Aufgaben 3M-Aufgabe Beispiel: Bei einem Glücksspiel gewinnt man mit einer Chance von 5 %. Wie oft muss man mindestens spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens einma l zu gewinnen?

Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf: Pn(mindestens 1 Treffer) ::2'. 0,99.

Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um: Pn(kein Treffer):::; 0,01.

Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Pn(kein Treffer)= (1 -0,05)".

Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten: (1-0,05)"::,; 0,01. Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach n auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen beim Teilen durch ln 0,95 erneut um: 0,95" :::; 0,01

==}

ln (0,95") :::; ln 0,01

==}

n · ln 0,95 :::; ln 0,01

ln0.95 < 0 ==}

n

Ln 0,01 > -- ln0,95

~

9 0.

Man muss mindestens 90 mal spielen.

Aufgabe 248 - liiil Abi** In einer Stadt haben erfahrungsgemäß 94 %aller Fahrgäste der S-Bahn einen gültigen Fahrausweis. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer S-Bahn mit 70 Fahrgästen ► ►

genau drei mindestens drei

Schwarzfahrer befinden ? (b) Wie viele Fahrgäste muss der Kontrolleur mindestens überprüfen , damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 %auf mindestens einen Schwarzfahrer trifft?

Aufgabe 249 - liiil Abi** Ein Mathematik-Wettbewerb verläuft in drei Runden . Man wird zur nächsten Runde nur zugelassen, wenn man die vorherige Runde bestanden hat. Einern Mathe-Überflieger gelingt eine erfolgreiche Teilnahme an der 2. Runde in 85 % aller Versuche. An wie vielen Mathewettbewerben muss dieser Schüler mindestens teilnehmen , damit die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einmal in der 2. Runde ausscheidet mindestens 95 % beträgt?

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199

_ .4 Tabelle: Kumulierte Binomialverteilung

"

5

p

k 0,05

0, 10

! 0,30

0.25

'I

0.45

0,50

7738

5905

4020

3277

2373

1681

1317

0778

0503

0313

4

1

9774

9 185

8039

7373

6328

5282

4609

3370

2562

1875

3

2

9988

99 14

9645

9421

8965

8369

7901

6826

5931

5000

2

9995

9967

9933

9844

9692

9547

9130

8688

8 125

1 0

9999

9997

9990

9976

9959

9898

9815

9688

0

5987

3487

1616

1074

0563

0282

0173

0060

0025

0010

9

1

9139

7361

4847

3758

2440

1493

1040

0464

0233

0 107

8

4

2

9885

9298

7754

6778

5256

3828

2991

1673

0996

0547

7

3

9990

9872

9304

8791

7759

6496

5593

3823

2660

1719

6

4

9999

9984

9846

9672

92 19

8497

7869

6331

5044

3770

5

9999

9976

9936

9803

9527

9234

8338

7384

6230

4

9997

9991

9965

9894

9803

9452

8980

8281

3

9999

9996

9984

9966

9877

9726

9453

2

9999

9996

9983

9955

9893

1

9999

9997

9990

0 14

5 6 7 8 9

15

0.40

0

3

10

'•

0,20

0

4633

2059

0650

0352

0134

0047

0023

0005

0001

0000

1

8290

5490

2598

1671

0802

0353

0194

0052

0017

0005

13

2

9638

8159

5325

3980

236 1

1268

0794

0271

0107

0037

12

3

9945

9444

7687

6482

4613

2969

2092

0905

0424

0 176

11

4

9994

9873

9104

8358

6865

5155

4041

2173

1204

0592

10

5

9999

9978

9727

9389

8516

7216

6184

4032

2608

1509

9

9997

9934

98 19

9434

8689

7970

6098

4522

3036

8

7

9987

9958

9827

9500

9118

7869

6535

5000

7

8

9998

9992

9958

9848

9692

9050

8 182

6964

6

9999

9992

9963

9915

9662

9231

8491

5

9999

9993

9982

9907

9745

9408

4

9999

9997

9981

9937

9824

3

9997

9989

9963

2

9999

9995

1

0000

0000

19 18

6

9 10 11 12 13 0

20

3585

1216

0261

0115

0032

0008

0003

0000

1

7358

3917

1306

0692

0243

0076

0033

0005

0001

0000

2

9245

6769

3289

2061

0913

0355

0176

0036

0009

0002

17

3

9841

8670

5669

41 14

2252

1071

0604

0160

0049

0013

16

4

9974

9568

7690

6296

4148

2375

1515

0510

0189

0059

15

5

9997

9887

8983

8042

6172

41 64

2972

1256

0553

0207

14

6

9976

9629

9133

7858

6080

4793

2500

1299

0577

13

7

9996

9888

9679

8982

7723

6615

4159

2520

1316

12

8

9999

9972

9900

9591

8867

8095

5956

4143

2517

11

9

9994

9974

9861

9520

9081

7553

5914

4119

10

10

9999

9994

9961

9829

9624

8725

7507

5881

9

9999

9991

9949

9870

9435

8692

7483

8

9998

9987

9963

9790

9420

8684

7

9997

9991

9935

9786

9423

6

9984

9936

9793

5

9997

9985

9941

4

9997

9987

3

9998

2

11 12 13 14

9998

15 16 17

"

k

0,95

0,90

'•

0,80

0,75

0,70 p

'h

0,60

0,55

0,50

k

n

5

10

15

20

"

21 Weitere Verteilungen 21.1 Hypergeometrische Verteilung Merke In einer Urne liegen r rote und s schwarze Kugeln. Es werden nacheinander n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln genau k rote Kugeln sind, beträgt P(k rote Kugeln) = (;) ·

(n~k )

(7 )

Beispiel: In einer Klasse von 30 Schülern sind 12 Mädchen. Es werden 6 Schüler zufällig ausgewä· Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass genau 4 der gewählten Schüler Mädchens ~ Entsprechend des Urnenmodells (schwarz=Junge, rot=Mädchen) gilt: r = 12,

s = 18,

n = 6,

k = 4.

Mit der Formel folgt: P(genau 4 Mädchen) =

(~2) . (~8) (3i)

495 · 153 -5-93-7-75- ~ 0 · 1275

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen genau 4 Mädchen s 12,75%.

Aufgabe 250 Abi**

----

Kevins Mutter hat diesmal 20 überraschungsseier aus der Fabrik „mitgebracht". Sie weiß, dass in genau 8 Eiern eine Spielfigur ist. Kevin darf sich 5 Eier aussuchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: (a) A : Alle ausgesuchten Eier enthalten eine Spielfigur. (b) 8 : In genau zwei Eiern ist eine Spielfigur. (c) C : In mindestens einem Ei ist eine Spielfigur. (d) 0: In höchstens 3 Eiern ist eine Spielfigur.

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201

2 Normalverteilung - nur LK Merke - nur LK . iele in der Natur auftretende Zufallsgrößen (Messfehler, Körpergröße, IQ) sind normalverteilt. Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariable X mit Erwartungswertµ und Standardabweichung a ist gegeben durch

cp(x)

1

1 (!!.:i!. )2

= - - •e- 2 a../'iii

a

.

Alle Fragestellungen lassen sich stets auf die Standardnormalverteilung (d. h. 11 = 0 und 1) zurückführen. Die Dichtefunktion bildet eine Glockenkurve deren Maximum beim Erwartungswert µ liegt und deren Breite mit der Standardabweichung wächst.

a=

y

X

µ

Die Wahrscheinlichkeit P(a $;X$; b) ist gerade die Fläche unter cp(x) zwischen a und b: y

a

b

X

Da sich cp(x) nicht einfach aufleiten lässt, arbeitet man oft mit der Funktion (2)- (1) = 0,977- 0,841 = 0, 136.

27 Weitere Verteilungen

202

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswertµ und Standardabweichung Dann gilt:

P(X

~

x)

= ( x /

) .

Beispiel: Sei X normalverteilt mitµ zwischen 20 und 25 liegt. Es folgt P(20 ~ X ~ 25)

= P(X = (

~

= 15 und

a

= 5. Gesucht

ist die Wahrscheinlichkeit, dass

25) - P(X ~ 20)

25 ; 15 ) _ ( 20 ; 15 )

= (2)- (l) = 0,977 - 0,841 = 0, 136. Aufgabe 251 - nur LK Abi*-** Beschreibe X die Körpergröße eines zufällig ausgewählten 18-jährigen Mannes. Aufgrun d von statistischen Erhebungen ist bekannt, dass X in etwa normalverteilt mitµ = 180 cm un d a = 7,5cm ist. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Mann größer als 180 cm? Mit welcher Wahrscheinli c hkeit ist er kleiner als 170 cm? (b) Wie viel Prozent aller 18-jährigen sind größer als 2 m groß? (c) Wie groß muss ein 18-jähriger sein , damit nur 5 % aller Männer kleiner als er sind.

Aufgabe 252 - nur LK Abi** -*** Ein Mathelehrer prüft die Schnellrechenfähigkeit seiner Schüler indem er eine langes Aufgabenblatt mit vielen (aber einfachen) Rechenaufgaben austeilt. Dabei wird die Zeit gemessen. die ein Schüler zur Bearbeitung benötigt . Die Bearbeitungszeit X kann als normalverteilt angenommen werden. Im Durchschnitt benötigt ein Schüler 60 Minuten zur vollständigen Bearbeitung. Ein Zehntel aller Schüler benötigt mehr als 90 Minuten. (a) Berechne die Standardabweichung der Zufallsvariable X. (b) Der Lehrer möchte gerne die Noten 1, 2, 3 und 4 verteilen. Dies soll so geschehen, dass je ein Viertel aller Schüler die gleiche Note haben. Für welche Bearbeitungszeit gibt es welche Note?

203

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-

.3 Tabelle: Normalverteilung - nur

LK

~

Die Za hl in der Tabelle ist de r Wert P(Z :-Funktion gefunden werden.

Aufgabe 255 - nur LK Abi*

Der Intelligenzquotient (IQ) deutscher Erwachsener ist normalverteilt mit Erwartungswert a = 15. Finde das kleinste Intervall um 100, in dem sich die Intelligenzquotienten von 90 % aller deutscher Erwachsenen befinden? µ = 100 und Standardabweichung

22.2 Häufigkeiten/Wahrscheinlichkeiten schätzen - nur LK Rezept - Häufigkeit mit Konfidenzintervall schätzen - nur LK

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit genau 110 günstigen Ereignissen bei n = 1000 Versuchen. Schätze die Trefferwahrscheinlichkeit p von X und gib ein Konfidenzintervall für p zum Niveau a = 0,997 an. Schritt 1: Zunächst wird die Trefferwahrscheinlichkeit geschätzt (Schätzwert wird p0 genannt). Die beste Schätzung ist

=

Po

110 1000

= 0, 11.

Schritt 2: Der Erwartungswert von X wird alsµ = 110 angenommen. Schritt 3: Nun lässt sich die Standardabweichung von X gemäß folgender Formel bestimmen

a

= J Po · (1 - Po)· n = 9,89.

Wegen a hern.

> 3 lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annä-

Schritt 4: Gesucht ist also z mit

(z) = 1 + a = 1 + 0,997 = 0 9985.

2

2

'

Schritt 5: Ablesen in der Tabelle liefert (3)

= 0,9985

=

z ::::: 3.

Schritt 6: Nun kann das Konfidenzintervall berechnet werden. Beachte, dass man den Erwartungswert alsµ = 110 annimmt. [110 - 3 · 9,89 ; 110 + 3 · 9,89] ::::: [80 ; 140]

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Schritt 7: Teilt man diese Werte durch n bekommt man das Konfidenzintervall für p:

80 140 ] [ 1000; 1000 ~ [0,0 3 ; O,l 4] Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt mit 99,7 %-iger Sicherheit zwischen 0,08 und 0, 14.

Aufgabe 256 - nur LK Abi**

In einer Umfrage unter 5000 Personen zwischen 20 und 30Jahren in Deutschland gaben 75 % der Befragten an , Nichtraucher zu sein. Berechne zum Konfidenzniveau a = 75 % das Konfidenzintervall und interpretiere diese Zahlen.

Aufgabe 257 - nur LK Abi***

Punker Kalle möchte gerne wissen wie viele Mercedes es in Hannover-Nordstadt gibt. Daher lä uft er montags quer durch Nordstadt und bricht bei 100 Mercedes den Stern ab. Am Samstag lä uft er nochmal quer durch Nordstadt und zählt die Mercedes, denen der Stern fehlt. Von 120 Mercedes, die er zählt, sind 17 ohne Stern. Kalle möchte einen Bereich angeben für die Anzahl der Mercedes in Hannover-Nordstadt angeben , der mit einer 80 %-igen Sicherheit die wahre Anzahl widerspiegelt. Welchen Bereich wird er angeben ?

207

23 Hypothesentest 23.1 Grundidee Merke Eine Hypothese Ho (Nullhypothese) ist eine Behauptung, die aufgrund einer Beobachtung abgelehnt oder angenommen werden soll.

Beispiel: Folgende Aussage ist eine typische Nullhypothese.

H0 : Bei 70 %aller Klassenarbeiten wird abgeschrieben . Diese Aussage kann angenommen (für wahr befunden) oder abgelehnt (für falsch befunden) werdeMerke Bei einem Hypothesentest können folgende Konstellationen auftreten:

Das Ergebnis der Stichprobeliegt im Annahmebereich von Ho.

Ho ist wahr

Ho ist falsch

Richtige Entscheidung (Ho ist wahr und die Hypothese wird angenommen.)

Falsche Entscheidung (Ho ist falsch, aber die Hypothese wird angenommen.) Dies entspricht einem Fehler zweiter Art.

Das Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich von Ho

Falsche Entscheidung (Ho ist korrekt , aber die Hypothese wird abgelehnt.)

Richtige Entscheidung (Ho ist falsch und die Hypothese wird abgeleht.

Dies entspricht einem Fehler erster Art.

Merke Bei Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese können zwei Arten von Fehlern auftreten: ►

Fehler 1. Art (a-Fehler): Ho wird abgelehnt, obwohl H0 richtig ist. Beispiel:

Ho: Der Würfel ist fair. Es wird sieben Mal hintereinander eine Sechs gewürfelt. Daraufhin wird der Würfel entsorgt, weil er angeblich gezinkt ist. In Wahrheit war es aber nur Zufall. ►

Fehler 2. Art (ß-Fehler): Ho wird nicht abgelehnt, obwohl Ho falsch ist. Beispiel:

Ho: Der Würfel ist fair. Bei sieben Würfen wurde zweimal die Sechs gewürfelt. Der Würfel wird behalten, obwohl er in Wahrheit gezinkt ist.

209

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Aufgabe 258 Kathrin glaubt nicht, dass andere Personen ihre Zukunft vorhersagen können. Doch dann trifft sie auf Jack. Dieser schaut sie an und behauptet, dass sie morgen 20 Euro und einen herrenlosen Hund auf der Straße finden wird. Die Vorhersage trifft ein. Setze die Geschichte auf zwei Weisen fort, sodass Kathrin aufgrund dieses Erlebnisses einen Fehler 1. Art bzw. 2. Art macht. Merke >

Ein Hypothesentest ist ein standardisiertes Verfahren zur Überprüfung einer Nullhypothese Ho. - Dieser beinhaltet eine Entscheidungsregel, die im Vorfeld eines Experiments angibt, bei welchen Beobachtungen die Hypothese Ho angenommen bzw. abgelehnt wird. - Das Signifikanzniveau (a-Niveau) eines Hypotesentest ist dabei die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art.

Tipp:

Bei einem Hypothesentest möchte man im Normalfall die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler l.Art

minimieren.

Be ispiel: Amazon behauptet, dass 90 % aller Bestellungen am nächsten Tag versendet werden. Der erantwortliche für Q\Jalitätssicherung möchte diese Behauptung überprüfen und geht dabei nach der ·olge nden Entscheidungsregel vor:

10 000 zufällig ausgewählte Bestellungen werden beobachtet. ,.. Falls davon 1050 oder weniger Bestellungen nicht am nächsten Tag versendet werden, dann ist alles in Ordnung. ,. Falls 1051 oder mehr Bestellungen nicht am nächsten Tag versendet werden, dann ist die Behauptung nicht tragbar und Amazon kann die Hypothese nicht mehr geglaubt werden. Aufgabe 259 Nachfolgend werden zwei Szenarien beschrieben. Entscheide bei jedem Szenario, ob dort im Sinne eines Hypothesentests verfahren wird und beschreibe die entsprechenden Entscheidungsregeln. (a) Anita ist es wichtig, dass ihr zukünftiger Partner gut küssen kann. Sie weiß, dass gutes Küssen auch eine Frage der Tagesform ist. Daher nimmt sie sich Folgendes vor: Nur wenn eine Person sich in mindestens 8 von 10 Dates als guter Küsser herausstellt, kommt er für eine Partnerschaft in Frage. (b) Einen Blick in die Zeitung werfend, findet Anita folgende Tabelle zur durchschnittlichen Temperatur der letzten Jahre im August auf Helgoland: Jahr Temperatur

01

02

03

04

05

19,3 °C

20,8 °(

21,2 °(

21,1 °(

22,9 °(

Daraufhin fühlt sich Anita in ihrer Hypothese bestätigt, dass auch in Helgoland die globale Erderwärmung stattfindet.

23 Hypoth esentest

210

23.2 Testen von Hypothesen 23.2.1 Die Nullhypothese und die Alternativhypothese Wie bestimmt man die Nullhypothese? Grundlage eines Hypothesentests ist die Nullhypothese Ho, welche auch häufig die Ausgangshypothese ist. Diese soll abgelehnt bzw. befürwortet werden und steht im Gegensatz zu r Alternativhypothese H 1 . Die Alternativhypothese wird bei Ablehnung von H0 angenommen und umgekehrt. Falls man wissenschaftlich arbeitet, gilt in der Regel: Hat man eine Vermutung, so stellt deren Aussage die Alternativhypothese dar, denn a priori kann nicht davon ausgegangen werden. dass diese Vermutung richtig ist. Gewissermaßen ist man gegenüber den „Befürwortern der Nullhypothese" in der Beweispflicht, dass deren Aussage nicht korrekt sein kann. Ansonsten gibt auch häufig die Bedeutung des Fehlers erster Art einen Hinweis auf die Wah l der Nullhypothese. Denn dessen Wahrscheinlichkeit wird ja gerade über das Signifikanzniveau gesteuert. Man wählt die Nullhypothese also gerade so, dass der Fehler erster Art bei dieser Konstellation der „schlimmere" Fehler ist. Die Wahl von Nullhypothese und Alternativhypothese hängt also stark vom Sachzusammenhang ab. In Aufgaben, in denen aus dem Zusammenhang nicht klar hervorgeht, welche Aussage die Nullhypothese ist, wird die Nullhypothese in der Aufgabenstellung angegeben. Tipp: Beim wissenschaftlichen Arbeiten ist die Beweisführung quasi verdreht: Man nimmt nicht an, dass die Vermutung wahr ist und zeigt dies, sondern man nimmt an, dass diese Vermutung falsch ist und untersucht anschließend, ob die Ergebnisse der Stichprobe eine Gültigkeit der Nullhypothese Ho zulassen oder ausschließen.

Beispiel: Ein Pharmakonzern entwickelt ein neues Medikament zur Behandlung von Alzheimer ur_ testet dieses zunächst in einem Tierversuch an 1000 Ratten . Im Anschluss dürfen keine kliniscStudien durchgeführt werden , wenn im Tierversuch mindestens 3,5 % der Ratten schwerwiege n Nebenwirkungen zeigen. Gesucht ist nun eine Entscheidungsregel für die Durchführung der klinisc he· Studie. Der Pharmakonzern hat großes Interesse an der klinischen Studie. Denn die Entwicklung des Med kaments war teuer und die Aussicht auf ein profitables Geschäft ist groß. Der gewünschte Ausgar,;: der Stichprobe ist für den Pharmakonzern also, dass weniger als 3,5 % der Ratten schwerwiegendt Nebenwirkungen zeigen. Die Alternativhypothese lautet somit für die Wahrscheinlichkeit p, dass d t Ratten schwerwiegende Nebenwirkungen zeigen:

H1 : p < 0 ,035. Jetzt kann leicht die Nullhypothese bestimmt werden , diese lautet:

Ho : p

z 0,035.

Mit dieser Nullhypothese kann nun mit noch zu bestimmendem Signifikanzniveau eine Entsche dungsregel gefunden werden . Die Konsequenz eines Irrtums ist hier: Ein Medikament mit potentie schwerwiegenden Nebenwirkungen wird in einer klinischen Studie an Menschen getestet, dies möchte der Pharma-Konzern natürlich verhindern . Eine Reihe von Gegnern des Pharmakonzerns wirft diesem vor, rein wirtschaftliche Interessen zu haben und glaubt, dass das Medikament in mehr als 3,5 %aller Fälle schwerwiegende Nebenwirkungen zur Folge hat. Die Gegner möchten also eine klinische Studie verhindern und ihre Alternativhypothese lautet:

H1 : p > 0 ,035 .

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211

,:;,zt kann leicht die Nullhypothese bestimmt werden, diese lautet:

s 0,035.

Ho : p

un kann auch hier wieder mit gegebenem Signifikanzniveau eine Entscheidungsregel bestimmt erden . Die Konsequenz eines Irrtums ist hier: Ein potentiell gutes Medikament wird nicht weiter ;:etestet. ~e

Wahl von Nullhypothese und Alternativhypothese hängt also entscheidend vom Sachzusammenang ab. Aufgabe 260

Ein Pharmakonzern hat ein neues Medikament zur Bekämpfung von Lymphdrüsenkrebs entwickelt. Laut Firmenaussagen ist der Anteil der Patienten mit Nebenwirkungen unter 15 %. Bestimme die Nullhypothese aus Sicht des Pharmakonzerns.

:!.3.2.2 lrrtumswahrscheinlichkeiten berechnen (Aufgabentyp 1)

Merke

Gegeben: ►

X (binomialverteilte Zufallsvariable)

Po (Hypothese Ho) ►

n (Stichprobenlänge)

k (Entscheidungsregel) Gesucht: ►

a (lrrtumswahrscheinlichkeit)

Fall 1:

Ho: p 2': Po (Linkseitiger Hypothesentest). Dann gilt:

Fall 2:

= P(X s k). Ho : p s Po (Rechtsseitiger Hypothesentest). Dann gilt: a = P{X 2': k) = 1 - P{X s k- 1) . a

Zur Bestimmung von P(X ~ k) benötigt man oft einen Taschenrechner oder eine statistische Tabelle.

Tipp:

Beispiel : Bevor ein Großkunde eine sehr große Menge an Schokoladentafeln abnimmt, wird die

Hypothese H0

:

Weniger a ls 10 %der Schokoladentafeln sind beschädigt.

5etestet. Hierzu wird folgende Entscheidungsregel festgesetzt: Es werden 10 Tafeln gesichtet. Werden darunter 2 oder mehr Tafeln als fehlerhaft bemerkt, wird die '-/0 -Hypothese abgelehnt und der Kauf findet nicht statt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers l. Art. Gegebe n:

,

Ho : p

s 0, 1 (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit Po = 0, 1)

23 Hypothesentest

212

= 10 (Stichprobenlänge)

►

n

►

k = 2 (Entscheidungsregel: Abk = 2 wird Ho abgelehnt.)

Gesucht: ►

a (lrrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)

Es gilt:

a

= P(X ;:::

2)

= 1 - P(X ::::; =

= 1-( ~

1)

1 - P (0 oder 1 Tafel sind nicht ok) 0 10 (~ )-0,1°-0,9 +

(1,0 )-0,1

1

-0,9

9

)

0,26.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 26 % wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erste r begangen. Die Entscheidungsregel ist also nicht besonders gut.

Aufgabe 261 - liiii Abi* -** Der Parteivorstand der Partei FüR MEHR POLITIK (kurz FMP) verkündet folgende Entscheidungsregel: ,,Wir befragen 1000 zufällig ausgewählte Personen, ob sie uns nächsten Sonntag wählen. Wenn davon 160 oder mehr Personen bekunden, dass sie uns wählen werden, dann verwerfe ich meine Hypothese, dass wir maximal 15 %der Stimmen bekommen werden." (a) Angenommen 160 oder mehr befragte Personen teilen mit, dass sie die Partei FüR MEHR POLITIK wählen. Welche der beiden Überzeugungen wird die Hypothese des Vorstandes ersetzen? A: Wir werden weniger als 15 % der Stimmen bekommen. 8: Wir werden mehr als 15 % der Stimmen bekommen. (b) Berechne das Signifikanzniveau , zu welchem der Parteivorstand seine Entscheidungsregel testet.

Aufgabe 262 - liiii Abi* -** Peter besitzt zwei Würfel: F: Fairer Würfel: Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von

1/6

geworfen.

C: Gezinkter Würfel: Die Zahl 6 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %geworfen. Alle anderen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%. Peter ist sich fast sicher, dass der rote Würfel, den er gerade in der Hand hat, der faire Würfel Fist. Doch um sicher zu gehen möchte er seine Hypothese testen. Hierzu überlegt er sich folgende Regel: Er möchte zehnmal würfeln und sich die Anzahl der auftretenden Sechsen notieren. Wird dreimal oder weniger eine Sechs gewürfelt, dann hält er an seiner Hypothese fest. Ansonsten geht er davon aus, dass er den Würfel C in der Hand hält. Bestimme die Fehlerwahrscheinlichkeit erster und zweiter Art bei Peters Vorgehen.

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213

~. 2.3 Entscheidungsregel bestimmen (Aufgabentyp 2) Binomialverteilung Gegeben: ►

X (binomialverteilte Zufallsvariable)

►

Po (Hypothese Ho)

►

n (Stichprobenlänge)

►

a (Signifikanzniveau)

Gesucht:

,.. k (Entscheidungsregel)

Ho : p ;::-: Po (linksseitiger Hypothesentest). Dann gilt:

Fall 1:

P(X

~

k)

~ a.

Hieraus wird k ermittelt. (Größte natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)

Ho : p

Fall 2:

~

Po (Rechtsseitiger Hypothesentest). Dann gilt:

P(X ;::-: k)

~

=*

a

P(X

~

k- 1) ;::-: 1 - a,

Hieraus wird k ermittelt. (Kleinste natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)

Tipp:

Zum Bestimmen von k benötigt man oft einen Taschenrechner oder eine statistische Tabelle.

Beispiel: Paulo hört im Radio, dass es im Schnitt in Tuttlingen höchstens an 10 von 100 Tagen regnet. Diese Hypothese möchte er prüfen. Hierfür beobachtet er 20 Tage das Wetter in Tuttlingen. Er möchte zud em sicherstellen, dass er die Hypothese nur zu einer Wahrscheinlichkeit von 5 % unberechtigter -!ei se ablehnt. Wie sollte seine Entscheidungsregel lauten ? Gegeben:

Ho : p > n >

~

0, 1 (also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit p0

= O, l).

= 20 (Stichprobenlänge)

a = 0,05 (Signifikanzniveau)

Ges ucht: > k (Entscheidungsregel)

nsatz: Bezeichne X die Anzahl der Regentage. Dann gilt:

P(X ;:,-: k)

~

=*

0,05

P(X

~

k - 1) ;::-: 0,95

-,jeraus kann mit den Werten Po = 0, 1 und n = 20 die unbekannte Größe k bestimmt werden. Dem - asc henrechner oder einer Tabelle entnimmt man:

k-1

P(X

~

k - 1)

0

1

2

3

4

5

0, 12

0,39

0,68

0,87

0,96

0,99

De r Wert 0 ,96 ist der kleinste Wert , der größer oder gleich 0 ,95 ist. Daraus folgt:

k-1

=4

=*

k

= 5.

23 Hypoth esentest

214

Die Entscheidungsregel lautet also: Beobachtet Paulo 5 oder mehr Regentage, dann wird die Hypothese, dass es im Schnitt in Tuttli ng: höchstens an 10 von 100 Tagen regnet, abgelehnt.

Aufgabe 263 - liil Abi** SexySportSchuh bietet nur Damenschuhe ab Schuhgröße 35 an . Denn vor vielen Jahren ermittelte die interne Statistikabteilung von SexySportSchuh , dass mindestens 98 %aller Frauen eine Schuhgröße von mindestens 35 haben. Frau Fuß, eine dynamische Unternehmensberaterin, schlägt vor, diese Hypothese zu überprüfen. Die Hypothese soll durch eine Stichprobe von 100 Frauen zum Signifikanzniveau a = 0,05 getestet werden. Bestimme eine Entscheidungsregel.

Aufgabe 264 - liil Abi**-*** Zu einem gegebenen Signifikanzniveau a

> 0 soll folgende

Hypothese getestet werden :

H0 : Mindestens 7 % aller in Deutschland lebenden Personen ernähren sich vegetarisch. Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Antwort. (a) Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest mit p 0

= 0,07.

(b) Angenommen, die Hypothese wird mit einer Stichprobe von n = 100 getestet. Eine Entscheidungsregel könnte dann lauten: ,,Wenn 9 oder mehr Personen eine vegetarische Ernährung angeben , wird Ho verworfen." (c) Vergrößert man bei festen a den Stichprobenumfang n, dann wird das k der Entscheidungsregel kleiner.

215

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23. 2.4 Hypothesentest für normalverteilte Zufallsvariablen - nur LK ,

Hypothesentest für die Normalverteilung - nur LK

Gegeben: X (normalverteilte Zufallsvariable) ►

Po (Hypothese Ho) Erwartungswertµ, Standardabweichung a

a (Signifikanzniveau) Gesucht:

k (Entscheidungsregel) Fall 1:

Ho : p

~

Po (linksseitiger Hypothesentest). Finde zunächst ein z mit (z)

= a. Dann

gilt:

k

~

µ + az.

Hieraus wird k ermittelt. (Größte natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.) Fall 2:

Ho : p

~

Po (Rechtsseitiger Hypothesentest). Finde zunächst ein z mit (z) = 1 - a.

Dann gilt:

k

~

µ + az.

Hieraus wird k ermittelt. (Kleinste natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)

Aufgabe 265 - nur LK

Hans hat eine neue Anlage zur Fertigung von Spezialschrauben konstruiert. Hans behauptet, dass die Anlage maximal 8 %Ausschuss produziert. Gib eine Entscheidungsregel an , wenn diese Behauptung anhand einer Stichprobe von 200 Stück zu einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden soll. Hinweis:

Approximiere die Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

23 Hypothesentest

216

23.3 Zweiseitige Hypothesentests Was ist der Unterschied zu den bisherigen Testverfahren? Im Gegensatz zu den bisher besprochenen Testverfahren gehört zur Nullhypothese nur genau eine Wahrscheinlichkeit und die Realität kann in beide Richtungen abweichen. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also auf beiden Seiten anzusetzen. Wenn Po = 0,5 ist wie im nächststehenden Beispiel ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch und man kann die beiden Intervalle links und rechts als gleich groß ansetzen. Wenn allerdings Po =fo 0,5 ist wie im zweiten Beispiel ergibt dies wenig Sinn. In diesem Fall wählt man die beiden Bereiche des Ablehnungsbereiches so, dass sich der Fehler 1. Art in etwa zur Hälfte auf die Intervalle links und rechts verteilt. Tipp:

Das erste Beispiel lässt sich auch auf die Normalverteilung übertragen.

Beispiel: In einer Münzprägeanstalt soll untersucht werden , ob die Gewichtsverteilungen der Münze~ gleichmäßig sind. Wären sie es nicht, würde die Münze in die eine oder andere Richtung unfair werde Deshalb wirft man eine Münze hundert mal und zählt die Würfe, nach denen die Seite „Zahl" ober liegt. Wenn das Ergebnis um mindestens 10 vom Erwartungswert 50 abweicht, glaubt man nicht a~ eine gleichmäßige Gewichtsverteilung. Es soll der Fehler 1. Art bestimmt werden . Dies entspricht de~ Aufgabentyp 1 aus den vorherigen Kapiteln. Gegeben : ► ►

Ho: p = 0,5 H1 : p < 0 ,5 oder p > 0,5 (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit p0 = 0,5)

► n

►

= 100 (Stichprobenlänge)

k1 = 40 und k2 = 60 (Entscheidungsregel: Bis k1

= 40 und ab k2 = 60 wird

Ho abgelehnt.)

Gesucht: ►

a (lrrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)

Es gilt:

a = P(X .:; 40) + P(X 2'. 60)

= P(X .:; 40) + 1 - P(X ~

.:; 59)

0,0284 + 0,0284

= 0,0568 Beispiel: Ein Präsidentschaftskandidat in den USA hat in der einem Monat zurück liegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 40 Prozent erzielt. Nun möchte er wissen , ob sich dieser Stimmenantei verändert hat und er lässt 100 Menschen separat befragen. Er möchte den Fehler 1. Art , also dass er irrtümlich denkt , dass sich sein Anteil verändert hat , auf maximal 20 Prozent festsetzen. Es soll di e Entscheidungsregel bestimmt werden . Dies entspricht dem Aufgabentyp 2 aus den vorherigen Kapitel n Gegeben: ► ►

Ho: p = 0.4 H1 : p < 0.4 oder p > 0.4 (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit Po

= 100 (Stichprobenl ä nge) a = 0,2

► n

►

= 0.4)

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217

Ges ucht: ~

k1 und k2 (Entscheidungsregel)

Es soll gelten:

P(X ::; k1) ::;

a

2

= P(X ::; k1) ::; 0,1

..md:

P(X

~

k2) ::;

a

2

= P(X

~

k2) ::; 0, 1

= l-P(X ::; k2-l) ::; 0,l etzt kann man die Werte für k1 und k2 aus der entsprechenden Tabelle ablesen und erhält k1 = 33 ,m d k2 = 47.

Aufgabe 266 Zu einem Testverfahren werden folgende Angaben gemacht: ►

Ho : p

= 0,5

►

H1 : p < 0,5 oder p > 0,5

►

n

►

k1 = 22 und k2 = 28 (Entscheidungsregel: Bis k1 abgelehnt.)

=

50 (Stichprobenlänge) 22 und ab k2

28 wird Ho

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a für einen Fehler 1. Art?

1

Aufgabe 267

--1

Eine Fabrik produziert Nägel. In der Vergangenheit hat sich herausgestellt, dass zehn Prozent der hergestellten Nägel unbrauchbar waren. Aus diesem Grund hat man das Herstellungsverfahren revolutioniert und möchte nun wissen, ob sich der Anteil der unbrauchbaren Nägel verändert hat. Man möchte einen Fehler 1. Art, also dass man irrtümlich denkt, dass sich der Anteil verändert hat, auf fünf Prozent festsetzen und untersucht aus diesem Grund eine Stichprobe von n = 100 Nägeln . (a) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

/

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ß für einen Fehler 2. Art , wenn der Anteil der unbrauchbaren Nägel in Wirklichkeit auf fünf Prozent gesunken ist ?

23 Hypothesentest

218

23.4 Operationscharakteristik -

nur LK

Der Zusammenhang der Fehler 1. und 2.Art - nur LK Bei den meisten Hypothesentests ist unbekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit p, der zu testende Sachverhalt in der Realität auftritt. Insofern kann man die Wahrscheinlichkeit ß des Fehlers 2. Art nicht bestimmen. Um eine Übersicht über mögliche Größen der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu bekommen, kann man eine Operationscharakteristik erstellen. Hierbei errechnet man die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art in Abhängigkeit von den unterschiedlichen möglichen Wahrscheinlichkeiten p, und erstellt einen Graphen der Funktion ß(p). Diese Operationscharakteristik ist natürlich abhängig von der Entscheidungsregel und somit vom zu Grunde gelegten Signifikanzniveau . Tipp: Meist ist es in einer Abiturprüfung zu zeitaufwendig, eine komplette Operationscharakteristik erstellen zu lassen. Daher geht es oft nur um die Interpretation einer solchen.

Beispiel: Es gibt immer wieder Menschen, die behaupten , dass sie elektromagnetische Felder spü r~ können und teilweise sogar gesundheitliche Störungen durch diese davontragen. Dieses Phänomen : Elektrosensibilität soll durch einen Hypothesentest untersucht werden. Die Probanden werden a zehn mal befragt, ob sie ein elektromagnetisches Feld spüren. Manchmal ist ein Feld vorhanden u,. manchmal nicht. Dann wird ausgewertet, wie oft ein Proband richtig lag. Die Versuchsleitung glaubt nicht an das Phänomen und stellt als Nullhypothese Po = 0,5 auf, v. einem blinden Raten gleich käme. Als Entscheidungsregel wird angegeben, dass man bei acht oo, mehr richtigen Ergebnissen davon ausgeht, dass eine Person tatsächlich elektrosensibel ist. Dies füt-dazu , dass man ein Signifikanzniveau von 5,5 Prozent erreicht, man bescheinigt also circa 5,5 Prozer der Probanden eine Elektrosensibilität, obwohl sie gar keine besitzen. Die interessante Frage ist nun , was mit den Menschen in diesem Test passiert, die tatsächlich e, gewisse Elektrosensibilität besitzen und zum Beispiel mit einer Wahrscheinlichkeit von p 1 = 0,6 spür ob ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist oder nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ma· diese als nicht elektrosensibel einstufen ? Die Wahrscheinlichkeit

ß = P(X :::;

ß einen

7) ~ 0,83

solchen Fehler 2. Art zu begehen berechnet sich wie folgt :

bei

n

=

10

und

p1

=

0,6.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist sehr groß, schwach elektrosensible Menschen würde kaum erkannt werden. Wenn die Sensibilität aber stärker ausgeprägt ist, also ein Proband mit ei re· Wahrscheinlichkeit von p 1 = 0,9 Felder erkennt, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. A wesentlich geringer:

ß = P(X :::;

7) ~ 0,07

bei

n = 10

und

p,

=

0,9.

Wenn man nun eine Wertetabelle für alle möglichen Wahrscheinlichkeiten p, aufstellt, kann man de Graphen der zugehörigen Operationscharakteristik zeichnen:

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

Pl

ß

0,51

0,94

0,55

0,90

0,60

0,83

0,65

0,74

0,70

0,62

0,75

0,47

0,80

0,32

0,85

0,18

0,90

0,07

0,95

0,01

219

ß

0

Pi

0,5

-\us dem Graphen kann man nun zu einer beliebigen Wahrscheinlichkeit p 1 die Wahrscheinlichkeit ei nes Fehlers 2. Art ablesen.

Typische Operationscharakteristiken - nur LK In der folgenden Abbildung sieht man typische Operationscharakteristiken für einen linksseitigen , einen rechtsseitigen und einen zweiseitigen Hypothesentest:

ß

ß

ß

p,

p,

Pi

Die Operationscharakteristik liefert auch Erkenntnisse über die Güte des Tests. Je steiler die Kurve ist, umso schneller wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art klein . Wenn man dies über eine Modifizierung der Entscheidungsregel bewirkt, wird allerdings der Fehler 1. Art größer und das möchte man meistens nicht in Kauf nehmen. Die einzige Möglichkeit beide Fehler gleichzeitig zu verkleinern besteht darin, die Stichprobenzahl n zu vergrößern:

ß

ß

Ho

H,

p,

Beispiel für vier verschiedene Entscheidungsregeln: Wird a klein , dann wird ß groß und umgekehrt .

Ho

H,

Beispiel für drei verschiedene Stichprobenzahlen n: Je größer n, desto kleiner werden a und ß.

p,

ß

23 Hypothesentest

220

Aufgabe 268 - nur LK

(a) übertrage den Graphen der Operationscharakteristik aus dem Beispiel in ein geeignetes Koordinatensystem. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn ein Mensch mit einer Wahrscheinlichkeit von p 1 = 0, 77 spürt, ob ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist oder nicht? (c) Skizziere in deinem Koordinatensystem qualitativ den Graphen einer Operationscharakteristik, die sich ergäbe, wenn man als Entscheidungsregel k < 8 statt k = 8 gewählt hätte. (d) Skizziere ebenfalls den Graphen einer Operationscharakteristik mit k

= 8 und größerem

n. (e) Wie sähe der Graph der Operationscharakteristik für den Grenzwert lim aus? n -t+OO

24 Umfangreiche Aufgaben

Aufgabe 269 Die Pfadfinder der lustigen Strolche fahren dieses Jahr ins Zeltlager nach Tirol. Insgesamt nehmen 28 Jungen und 18 Mädchen an der Freizeit teil. Im Zeltlager gibt es für die Mädchen jeweils ein 6er Zelt, ein Ser Zelt, ein 4er Zelt und ein 3er-Zelt. (a) Wie viele Möglichkeiten gibt es , die Mädchen in den Zelten zu verteilen ? Das Highlight der Reise ist es an einem nahe gelegenen Fluss zu raften. Die Teilnehmer haben sich gut dafür vorbereitet , denn vor dem Raften muss noch eine Prüfung für den „Raftingschein " abgelegt werden . Hierfür muss ein Multiple-Choice-Test bestanden werden, welcher aus insgesamt 20 Fragen besteht. Zu jeder Frage gibt es dabei 3 Antwortmöglichkeiten , von denen genau eine richtig ist. Alexander hatte leider keine Zeit sich auf den Test vorzubereiten. Deshalb wählt er bei jeder Frage zufällig eine Antwort aus. (b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander den „Raftingschein " erhalten kann, wenn es zum Bestehen des Test genügt , die Hälfte der Fragen korrekt zu beantworten. (c) Wie viele Antwortmöglichkeiten müsste es pro Frage geben , damit die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen des Tests durch bloßes Raten der Antwort kleiner als 2 % ist? Die Rafting-Guides haben die Erfahrung gemacht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen während einer Tour über Bord geht bei 10 % liegt , und dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge über Bord geht , lediglich bei 6 % liegt. Alle Teilnehmer des Zeltlagers sind bei der Rafting-Tour dabei . (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht genau drei mal ein Mädchen über Bord? (e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Teilnehmer über Bord geht? (f) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Teilnehmer über Bord gehen? Die Teilnehmer des Zeltlagers werden für die Rafting-Tour in zwei Gruppen zu je 23 Personen aufgeteilt. Die Aufteilung erfolgt zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Gruppe aus 10 Mädchen und 13 Jungen besteht, wird mit p bezeichnet. (g) Begründe, warum p nicht durch den Term

beschrieben werden kann. (h) Gib eine korrekte Beschreibung des Terms p an. Die Rafting-Touren werden auch über ein Erlebnisportal angeboten. Die Koordinatoren haben die Vermutung, dass bei ihren Kunden der Anteil derjenigen , die sonst gar keinen Sport treiben unter 20 % liegt. Diese Vermutung stellt die Alternativhypothese dar. Die Nullhypothese, gegeben durch Ho : p 2".: 0,2, soll nun anhand eines Fragebogens überprüft werden. Hierzu werden Fragebögen an die nächsten 300 Kunden verschickt , die dieses Erlebnis buchen. Die Hypothese soll mit einem Signifikanzniveau von 5 %getestet werden. (i) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösungen

Lös ungen

224

Lösung 1

(a) L

= {2; -5}

(c) L

= {l

+

(b)

y'S; 1 -

v'S}

L

= {}

(d)L = {l;a+l}

Lösung 2

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt: f(x) = g(x) ===> 2x 2 + 3x - 2 = 0.

f

Anwendung der p-q-Formel: ===> x1 = -2, x2 = Da laut der Aufgabenestellung Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen die Funktionswerte zu den beiden x-Werten bestimmt werden. Setze hierfür x1 und x2 entweder in die Gleichung für f oder g ein. Es gelten : f(-2)

= 10

und

f ( 1) . 2

Die beiden Schnittpunkte der Graphen von f und g sind somit gegeben durch: Si(-2110)

und

s 2(

i

1 ~).

Lösung 3

Die Anzahl Schnittpunkte von C 0 mit der x-Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung f 0 (x) = 0: 2x 2 + a x + 2 = 0. Dividiere die Gleichung durch 2: 2

x +

i

x +

1 = 0.

Wende die p-q-Formel an: X1 ,2

=

a

~

-4 ± V16 - 1.

Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab: 02

►

- -1=0

{==}

a

>0

{==}

a < -4 oder a > 4

2. Es wird wie im Rezept

Al/gemeine Ceradengleichung:

Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben durch:

y ►

= mx + c.

Ableitung von f:

Für die Ableitung von f gilt:

f ' (x) ►

=

1

2x

2-

2x.

Bestimmung der Steigung:

= 2 (x-Wert von P) in f' ein:

Setze x

m = f'(2) = -2. ►

Ansatz für Tangentengleichung:

Ein Ansatz für die Tangentengleichung ist damit:

y ►

= -2x + c.

Bestimmung des y-Achsenabschnitts:

Setze P in die Tangentengleichung ein und erhalte c: f(2)

4

= ) = -2 · 2 + C

=}

Damit ist

y

16

= -2x + 3

für x > 2 die Gleichung der linearen Funktion, deren Graph ohne Knick in P an den Graphen von f angeschlossen werden kann.

Lösung 45

Lösungsweg wie im Rezept: ►

Ableitung bestimmen

Für die Ableitung von f gilt:

f' (x) ►

= 9x 2 .

Bestimmung der Berührstel/en

Löse die Gleichung f'(x)

f'(x) ►

= 18

= 18 (liefert die x-Koordinaten der Berührpunkte):

~

9x 2

= 18

~

x

= ±v'2.

Bestimmung der Berührpunkte

Setze die x-Werte in die Funktion fein , das liefert die y-Koordinaten der Berührpunkte. Für x1 gilt:

= v'2

3

r(v12) =3(v0) -S= 6v'2-s

=}

P,(v'216v'2-s).

Lösungen

244

Analog gilt für x2 = -/2: 3

f (-/2) = 3 (-/2) ►

-

5 = -6/2- 5

~

P, ( -/21-6/2- 5) .

Ansatz für die Tangentengleichungen

Ein Ansatz für Tangenten mit der gegebenen Steigung ist dann gegeben durch:

y = 18x + c ►

Bestimmung der y-Achsenabschnitte

Setze P, und P, jeweils in Tangentengleichung ein , das liefert jeweils den y-Achsenabschn itt C.

Für P , gilt:

6/2 - 5 = 18 - /2+c1

~

Ci = -12/2-5 .

Genauso gilt für P , :

-6/2- 5 = 18 ·

(--12) + C2

~

C2 = 12V2 - 5.

Es gibt somit genau zwei Tangenten mit einer Steigung von m lauten

= 18

und ihre Gleichunge n

Y1 = 18x - 12V2 - 5 beziehungsweise

Y2 = 18x + 12V2 - 5. Lösung 46

Gegeben ist

f(t)

= 1 · t2 3

für

0 $; t $; 20.

Die Funktion f' gibt für 0 $; t $; 20 die Geschwindigkeit der Rakete an. Gesucht ist damit die Stelle, an welcher f' (t) = 4 gilt. Die Ableitung der Funktion f ist gegeben durch: l

f (t)

= 2 . t.

3

Um zu erfahren, wann die Rakete eine Geschwindigkeit von 4 km /s hatte, wird das t ermittelt, für das f'(t) = 4 gilt:

2

- ·t 3

=4

~

t

= 6.

Die Rakete hatte also 6 Sekunden nach Start eine Geschwindigkeit von 4 km /s.

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245

Lösung 47

Der Graph von f beschreibt den Querschnitt des Hügels, an den eine Rampe (gepunktet) tange ntial angelegt werden soll: y

....········· ....··· X

(a) Um herauszufinden , an welcher Stelle des Hügels die Rampe aufliegt, muss ermittelt werden , an welcher Stelle die Steigung von 50 %, also m = 0,5, nicht mehr überschritten wird. Dazu wird zunächst die Ableitung der Funktion f bestimmt: f

f (x) = 2-

4

9 · X.

Nun wird diejenige Stelle bestimmt, an welcher die Tangente an den Graphen genau die Steigung m = 0,5 ist, also:

2-

4

~

x = 0,5

9

27

X=

S

= 3,375.

Um die genaue Stelle auf dem Berg zu ermitteln wird x

=

f

noch in f eingesetzt:

2

-~. ( 27) + 2 ( 27) 9 8 8

= ~32

Die Rampe liegt also im Punkt A ( 27 1 135 ) auf dem Berg. 8 32 (b) Um zu ermitteln, wie weit die Rampe vom Fuß des Berges entfernt liegt, wird zunächst die Tangentengleichung bestimmt, welche die Rampe beschreibt. Dazu wird A in die Tangentengleichung y = 0,5x + c eingesetzt um c zu erhalten:

135

27

32 = 0,5 · S

+

C

~

81 C= -

32

.

Somit ist die Tangentengleichung der Rampe durch A an den Graphen von f gegeben durch : 81 y = 0,5x + .

32

Als nächstes wird für die Abstandsberechnung die Nullstelle der Tangente bestimmt:

0,5x +

81 32

=0

~

x

=-

81 16

~

-5,065.

Da der Graph von f durch den Ursprung verläuft, ist der Abstand vom Berg zur Rampe 81

damit

16 .

Die Rampe steht also etwas über 5 m vom Fuß des Berges entfernt auf dem Erdboden.

Lösungen

246

Lösung 48

Zunächst wird der Zeitpunkt ermittelt, an welchem der Stein eine Geschwindigkeit von 60 m s erreicht. Dazu wird zunächst die Ableitun g der Funktion f bestimmt. Diese beschreibt d ie Geschwindigkeit des Steins. Es gilt:

f' (t)

= -9,6t

Der Zeitpunkt, an dem der Stein eine Geschwindigkeit von 60 m/s erreicht, entspricht der Lösung der Gleichung f'(t 1 ) = -60. Das Vorzeichen ist negativ, da der Stein fällt . Also:

-9,6t1 = -60

f1 =

25

4

= 6,25 .

Nun wird berechnet, in welcher Höhe sich der Stein dann befindet:

2 2 ,( : ) = 10000-4,8( ; )

2 = 9812,5 .

Von nun an fällt der Stein mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 m/s. Die Tangente a n den Graphen von f im Punkt P( 6,25 l 9812,5) hat die Gleichung:

y

= -60t + C.

Der Punkt P liegt auf der Tangente, damit kann der y-Achsenabschnitt c bestimmt werden:

9812,5 = -60 ·

25

4

+

=?

C

C

= 10187,5.

Damit erhält man für den weiteren Fall des Steins die Tangentengleichung

y = -60t + 10187,5. Von dieser muss nun noch die Nullstelle bestimmt werden :

-60t + 10187,5 = 0

t =

4075

24

~

169,79.

Der Stein kommt also nach ungefähr 170 sauf dem Boden an . .w Alternative: Die Geschwindigkeit des Steins liegt nach 6,25 s bei 60 m/s. Dann hat der Stein eine Höhe von 9812,5 m. Weil der Stein danach mit der konstanten Geschwindigkeit von 60 m/s weiterfällt, kann diejenige Zeit, die der Stein dann benötigt, berechnet werden durch :

t2 =

9812,5

~ =

3925

24 .

Die Zeit t, die der Stein benötigt, um auf dem Erdboden aufzutreffen , setzt sich dann zusammen aus der Zeit t1, in welcher der Ste in beschleunigt und der Zeit t2, in welcher der Stein mit konstanter Geschwindigkeit fällt . Es gilt also:

t = t1 + t2 =

25

4

+

3925

24

=

4075

24

~ 169,79.

Der Stein kommt also nach ungefähr 170 s a uf dem Boden an .

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Lösung 49

Zuerst hilft eine Skizze der beiden Leiterbahnen.

Am nächsten kommen sich die beiden Bahnen an der Stelle, an welcher die beiden Graphen dieselbe Steigung haben. Da der Graph von g konstant die Steigung m = 2 hat, wird diejenige Stelle gesucht, an welcher auch der Graph von feine Steigung von m = 2 hat. Für die Ableitung von f gilt: f' (x)

= 2x - 2.

Nun wird die Stelle gesucht, für die f'(x) 2x - 2

=2

¾ oder x < - ¾ ist f( x )

Lösung 66

Es wird zunächst die Ableitung der Funktion {1 bestimmt,. Es gilt:

r;(x)

= t + sin(x).

Die Sinusfunktion nimmt nur Werte zwischen - 1 und 1 an , also gilt folgende Ungleichung: sin(x) 2 -1 . Für t

>

1 folgt dann

r;(x)

= t + s in(x) 2

0.

Das bedeutet, dass der Graph von {1 für t

>

1 stets monoton wächst.

Lösung 67

Es wird zunächst die Ableitung der Funktion f bestimmt und diese auf Vorzeichen untersucht. Es gilt:

f'(t)

= 35. e-o,Jst 2

0.

Damit ist der Gra ph von f überall monoton steigend, was bedeutet, dass die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt. Lösung 68

(a) ► Bestimmung der Ableitung

leite die Funktion f ab:

f'(x) ►

= 5x 4 - 60x 3 .

Bestimmung der Nullstelle

Berechne die Nullstelle von {':

f'(x) ►

= 5x 4 - 60x 3 = 0

x,

= 0,

x2

= 12.

Untersuchung der Art des Extrem ums

Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt.

255

Lös ungen

256

► Lösungsweg mit

f" :

Es gilt:

f" (x) = 20x 3

-

l 80x 2.

Da

= f" (0) = 0

f"(x1)

ist der Test mit der zweiten Ableitung erfolglos und es muss der Lösungsweg mit VZW eingeschlagen werden. An der Stelle x2 gilt jedoch:

f"(x2) = ( 11 (12)

> 0.

Also besitzt der Graph von f an der Stelle x2 ►

= 12 ein Minimum.

Lösungsweg mit VZW: Hier werden Werte links und rechts von den Nullstellen jeweiligen Funktionswerte für f' verglichen. Es gilt: X

-1

0

f '(x)

65

0

12

13

0

10985

-55

x1,2

eingesetzt und die

An der Stelle x1 = 0 wechselt f' das Vorzeichen von + nach- . Deshalb liegt dort ein Maximum vor. An der Stelle x2 = 12 wechselt f' das Vorzeichen von - nach+. Daher liegt dort ein Minimum vor. Jetzt können noch die y-Werte der Extremstellen bestimmt werden:

f(0) = 0 ,

f(12) = -62208.

Damit hat der Graph von punkt T( 12 l -62208 ).

f den Hochpunkt H ( 0 1 0) und den Tief-

(b) Lösungsweg wie in Teil (a):

f' (x) = 3x 2 + 8x - 3

~

Hochpunkt H (-3 j 18 ), Tiefpunkt T (

i 1-~; )•

Lösung 69 Gegeben ist die Funktionenschar f 1 und gesucht ist der Parameter 1, für welchen der Wert von f,(3) am kleinsten ist. Es wird zuerst die Funktion g(I) = f,(3) bestimmt:

g(I) = ft(3) = 3 4

-

40 91. 33 + 21 2 . 32 = 181 2 -1201 + 81.

Gesucht sind also die Extremstellen der Funktion g. Dafür wird die Ableitung dieser Funktion gebildet :

g'(I) = 361- 120. Für die Nullstellen der Ableitung gilt:

g ' (l) = 361-120 = 0

10

1 = -3 .

Mit dem VZW-Kriterium kann nachgewiesen werden, dass an der Stelle 1 = -1j- ein Minimum vorliegt.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

nne rhalb der Funktionenschar f, ist der Funktionswert an der Stelle x = 3 für den Parameter · = .; ==>

d

=0

c= 0.

257

Lösungen

258

Mit d

= 0 und c = 0 ergibt sich dann aus den weiteren

Bedingungen:

f(2) = 8a + 4b = 2 1

f'(2) = 12a + 4b = 0

a = --b .

===}

3

Setzt man den zweiten in den ersten Teil ein erhält man:

8

b

--b+4b=2 3

=i

2

und

a

1

= --2·

Die gesuchte Funktionsgleichung ist dann f(x) =

-½x

3

+ !x 2 .

Lösung 72 Gegeben ist die Funktionenschar f,(x) und gesucht ist der Parameter

t, für den der Wert des

Tiefpunktes von f,(x) am kleinsten ist. Es wird zuerst die Ableitung von f,(x) bestimmt und gleich Null gesetzt:

r;(x) = 6x-12 = 0

===}

x=2.

Mit dem VZW-Kriterium wird nachgewiesen, dass an der Stelle x wird bestimmt für welches t die Funktion

= 2 ein Tiefpunkt ist. Nun

f,(2) = g(t) = 3 · (2) 2 - 12 · (2) + 4t 2 - 6t = 4t 2 -6t- 12 minimal wird. Zuerst wird die Ableitung bestimmt und gleich Null gesetzt:

g'(t) = 8t-6 = 0

=8 > 0

g"(t)

===}

t =

3

4

an dieser Stelle ist der y-Wert des Tiefpunkts minimal.

===}

Die Funktionenschar ft(x) nimmt also für t

= ¾ den kleinsten Wert an der Stelle x = 2 an. An

dieser Stelle befindet sich jeweils der Tiefpunkt.

Lösung 73 Gegeben ist die Funktionenschar f 1 . Gesucht ist die Funktionsgleichung der Kurve, auf der alle Tiefpunkte der Schar f 1 liegen. Zunächst wird die Ableitung von f 1 bestimmt. Es gilt:

r;(x)

= ex-t - 1.

Die Nullstellen der Ableitung sind gegeben durch die Lösung der Gleichung

1

e x-t -

=0

{==}

X

= t.

Mit dem VZW-Kriterium wird bestätigt, dass der Graph C 1 an der Stelle x besitzt. Dessen Koordinaten werden nun berechnet:

ft(t)

= t einen Tiefpunkt

= et-t - t = 1 - t.

Der Tiefpunkt hat also folgende Koordinaten: X

=

y

= 1 - t.

f

Setzt man x = t in die zweite Gleichung ein, so erhält man y(x) der Kurve, auf welcher alle Tiefpunkte der Schar f 1 liegen.

= 1 - x. Dies ist die Gleichung

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Lösung 74

(a)

►

Bestimmung der Ableitung

leite die Funktion f ab: f'(x)

=

-6x + 8.

(x-3)3 ►

Bestimmung der Nullstelle

Berechne die Nullstelle von f': f'(x) ►

=

-6x + 8 (x - 3) 3

{==}

4

X1

= .

3

Untersuchung der Art des Extremums

Untersuche, ob und welche Art von Extrem um vorliegt. ► Lösungsweg mit

f":

Es gilt: f"(x)

=

12x - 6 (x - 3) 4

und damit:

{"(~)=162 O 3 125 > Also besitzt der Graph von f an der Stelle x1 ►

= 1ein Minimum.

Lösungsweg mit VZW:

Hier werden Werte links und rechts von den Nullstellen x1 eingesetzt und die jeweiligen Funktionswerte für f' verglichen. Es gilt: X

2

f'(x)

4

1

An der Stelle x1 = wechselt f' das Vorzeichen von - nach +. Deshalb liegt dort ein Minimum vor. Jetzt können noch die y-Werte der Extremstellen bestimmt werden:

r(i)=-i· Damit hat der Graph von f den Tiefpunkt

T(

1I -~ ).

(b) Lösungsweg wie in Teil (a): f'(x)

=

20 x3

===}

der Graph von f besitzt keine Extrema.

259

Lösungen

260

Lösung 75

(a) Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion f bestimmt:

f'(x) f" (x)

= ex - 2e 2x = ex - 4e 2x

Damit gilt

>0

~

ex - 4e 2x

>0

~

x < -2 ln(2)

f"(x) < 0

~

ex - 4eh < 0

~

x

f"(x)

> -2 ln(2)

Für x < -2 ln(2) ist der Graph von f damit linksgekrümmt und für x gekrümmt.

> -2 ln(2)

rechts-

(b) Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion f bestimmt: ex · (2x + x 2 )

f'(x)

=

f"(x)

= ex · (2 + 4x + x 2 )

Damit gilt

f"(x) f"(x)

= ex · (2 + 4x + x 2 ) > 0 = ex · (2 + 4x + x 2 ) < 0

~

x

> -2 + V2

~

-2 -

V2 -2 + V2

oder

x < -2 -

V2
+oo.

->

Daher ist der eingeschlossenen Flächeninhalt nicht endlich groß.

Lösung 104 (a) v(O)

= 10 km /h.

(b) Der Nenner von v(t) ist eine binomische Formel. Daher gilt:

v( t)

=

10 12 + 2 t + 1

10

(t+1)2 '

Nun erkennt man , dass stets v(t) > 0 gilt. Also ist die Geschwindigkeit stets positiv und der Ballon bewegt sich daher immer aufwärts. (c) Für die Höhe H zum Zeitpunkt T gilt:

H(T) Da

=

lim H( T)

T- ++oo

1T

=

[-~]T = - ~

0

lO dt t 2 + 2t + 1

=

10 beträgt die maximale Steighöhe des Ballons 10 km. Diese Höhe

t+1

0

T+1

+ 10

wird der Ballon allerdings nie errei chen, er wird sich dieser nur beliebig nahe annähern. (d) Gesucht ist der Zeitpunkt T, für den H( T)

= 5 gilt. Mit den

Ergebnissen der letzten

Lösungen

272

Teilaufgabe folgt:

10 ---+10=5 T+l

===>

T = l.

Nach einer Stunde hat der Ballon die halbe Maximalhöhe erreicht. Seine Geschwindigke, beträgt dann

v(l)

10

= ~ = 2,5 km/h.

Lösung 105 (a) Der Beobachtungsbeginn ist um 6 Uhr morgens, dies entspricht also entspricht 12 Uhr mittags dem Zeitpunkt t = 6. Es gilt

f(0) = 5,

t

= 0. Analog

f(6) = 14.

Die Temperatur um 6 Uhr morgens betrug 5 °C. Die Temperatur am Mittag betrug 14 °C. (b) Um das Maximum zu finden, bildet man die beiden ersten Ableitungen: 1 2 f'(t) = 8t -2t+6

f"(t)

= ~t- 2 4

Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen sich mit der pq-Formel zu

t1=4,

t2=12.

Eingesetzt in die zweite Ableitung ergibt sich

{"(4)=-1

H(25IA(25)).

Es gilt: A(25) = 1250. Wie oben schon erwähnt sind die Definitionsränder in diesem Kontext keine sinnvollen Lösungen. Die Fläche ist maximal , wenn die kurzen Seiten des Rechtecks 25 m und die lange Seite 50 m lang sind. Die Fläche beträgt dann A = 1250 m2 .

Lösung 112 ►

Skizze Eine Skizze kann hier hilfreich sein, ist aber nicht unbedingt notwendig. ► Zielfunktion Der Abstand der beiden Funktionswerte wird beschrieben durch die Funktion d mit:

d(x)

= g(x) - f(x) = -3x 2 + 8x.

►

Extremwertbestimmung Hierzu werden zunächst die Ableitung d' der Funktion d und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Es gilt:

d'(x) = -6x + 8 = 0

~

4

X =

3·

Eine Untersuchung der Funktionswerte an der soeben berechneten Stelle und der Randwerte

275

Lösungen

276

liefert :

d(O) = 0

d (;) = 5,33 d(2)

=4

1

An der Stelle x = haben die Funktionswerte der Funktionen f und g den größten Abstanc Dieser beträgt d = 5,33 LE. Beachte: Falls die Funktion h(x) = f(x) - g(x) betrachtet wurde müssen zum Schluss noch Beträge genommen werden , da nach dem Abstand gefragt wurde Für diesen Fall gilt hier gerade lh(x)I = -h(x).

Lösung 113 ►

Variable

Oberfläche und Volumen eines Zylinders sind abhängig vom Radius rund Höhe h des Zylinders Weil das Volumen des Zylinders vorgegeben ist, kann der Radius r als Variable gewählt werde n die das Problem vollständig beschreibt. ►

Definitionsbereich

Für den Radius des Zylinders gilt r ~ 0. ►

Zielfunktion

Für das Volumen eines Zylinders mit Radius rund Höhe h gilt die Formel

V = ;rr 2 h.

= 500 folgt damit h = 500.

Wegen V

;rr2

Für den Oberflächeninhalt der Dose gi lt:

0 = 2;rr 2 + 2;rrh. Diese beiden Formeln kombiniert, erhält man die Zielfunktion O(r) ►

=

0:

1000 2;rr 2 + - - . r

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung O' der Funktion O und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

0 , (r) = 4;rr - -1000 - = 0 r2

Somit hat die Funktion O an der Stelle x

r -- P!-27r50

= ~ ein Minimum Als Definitionsrand ist nur = 0 entsteht gar keine Dose. Allerdings gilt:

der rechte Rand (r -+ oo) interessant, denn für r lim O(r)

-->

+oo.

r--++oo

Die Dosen haben also für r

= ~ cm ~ 4,3 cm den geringsten Oberflächeninhalt.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Math e-A bi

Lösung 114 ► Skizze Eine Skizze ist hier nicht notwendig und wenig hilfreich. ► Variable Die untersuchte Variable ist der Parameter t der Funktionenscha r. ► Definitionsbereich Der Definitionsbereich von t kann der Aufgabenstellung entnommen werden. Es gilt t E !lt ► Zielfunktion Der Funktionswert f(xTP ) des Tiefpunktes T ,( xTP I fr( xTP )) soll minimal werden. Zunächst müssen also die Koordinaten des Tiefpunktes von C1, bestimmt werden. Hierzu werden zunäc hst die Ableitung der Funktion f 1 und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

r;

r; (XTP) = 6x - 12 = Ü r;' (2)

=6 > 0

=2

$=>

XTP

==>

T, ( 2 1 f,(2)) .

un kann eine Gleichung der Zielfunktion z aufgestellt werden : z (t)

= f,(2) = 3 • 22 -

12 • 2 + 4t 2 - 6t

= 4t 2 - 6t - 12.

►

Extremwertbestimmung Hie rzu werden zunächst die Ableitung z' der Funktion z und deren Nullstellen bestimmt . Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

0

= 8t-6

z" ( ~) =

$=>

8

t

3

= -4

> 0.

Also befindet sich an der Stelle t = ¾ ein Minimum. Die Randbetrachtung entfällt hier, da t E lR gilt. Somit hat für t = ¾ der Tiefpunkt der Funktionenschar f, den kleinsten Fu nktionswert. Dieser ist gegeben durch :

' ¾(2) = -14,25 . Lösung 115 ►

Skizze Eine Skizze ist hier ni cht notwendig. ► Variable Die gewählte Variable wird hier x genannt. Sie soll den Anfang des betrachteten zweimonatigen Zeitabschnitts beschreiben. ► Definitionsbereich Der Definitionsbereich der Vari a ble x ist gegeben durch:

Ü::; X::; 10. Die Funktion f ist definiert für O ::; t ::; 12 und die Variable x definiert einen zweimonatigen Zeitabschnitt. ► Zielfunktion Die Funktion f beschreibt die Durchflussgeschwindigkeit an der Staudammöffnung. Die im Zeitraum von o bis bin den Stausee geflossene Wassermenge ist gegeben durch das Integral :

1b

f(t) dt.

277

Lösungen

278

Die Dauer des Zeitraums beträgt 2 Monate, daher gi lt für die lntegralgrenzen: O=X

b

=x+2

Nun kann eine Gleichung der Zielfunktion g bestimmt werden: g(x)

=

1x+ f(t) dt 2

= F(x + 2) - F(x) 1 16 = --x 2 + 5x + -

2

3

Dabei bezeichnet F eine Stammfunktion von f. Diese Funktion F beschreibt die Menge an Wasser, die in zwei Monaten ab dem Zeitpunkt x durch die Staudammöffnung geflossen ist. ► Extremwertbestimmung Hierzu werden zunächst die Ableitung g' der Funktion g und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. g'(x)=-x+5 g'(x)

=0

=

X

=5

Eine Untersuchung der Funktionswerte an der soeben berechneten Stelle und der Randwerte liefert :

= 5,3 = 17,8 ✓

g(0) g(5)

= 5,3.

g(l0)

Damit beginnt am 1.Juni der Zweimonatszeitraum, in welchem das meiste Wasser durch die Staudammöffnung fließt.

Lösung 116 ►

Ganzrationale Funktion dritten Grades und alle nötigen Ableitungen: f(x)

= ax 3 + bx 2 + ex+ d

f'(x)

= 3ax 2 + 2bx + c = 6ax + 2b.

f"(x) ►

In der Aufgabe sind vier Bedingungen gegeben: ►

►

Nullstelle bei x

=0

===}

f(0)

►

lokaler Extrempunkt P( 1 l 10)

►

Wendepunkt bei x

= -1

===}

= 0. ===}

f"(-1)

f(l) = 10 und f'(l) = 0.

= 0.

Gleichungssystem aufstellen: f(0)

f(l) f'(l) f" (-1)

= =

03 • a +

02 · b + 0 · c + d =

13 •

12 • b + 1 · c + d = 10

a +

= 3-1 2 -a+2·1·b+ = 6 • (-1) • a + 2 b

C

0 0 0

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d

a + b + c + d

= 0 = 10

3a + 2b + c

0

-6a + 2b ►

0

Nach Auflösung des LGS erhält man:

a

= -2,

b

= -6,

c

= 18,

d

= 0.

Die gesuchte Funktion lautet also f(x)

= -2x 3 - 6x 2 + 18x.

Lösung 117 ►

Ganzratianale Funktion dritten Grades und Ableitung:

f(x) f'(x) ►

Gleichungen aufstellen: ►

►

= ax 3 + bx 2 + ex + d = 3ax 2 + 2bx + c.

berührt die x-Achse im Ursprung

=

Punkt P(-211)

►

Tangente in P(-211) parallel zu y

Gleichungssystem aufstellen:

d = 0 C

-Ba + 4b - 2c + d

12a - 4b + c ►

=0 = 1 =2

Als Lösung des LGS erhält man: 3 a=-

C

4'

= 0,

Die gesuchte Funktion lautet: f(x)

3

7

4

4

= -x 3 + -x 2 .

d

f(0) = 0 und f'(0) = 0.

= 1. = 2x - 2

►

f(-2)

=

= 0.

=

f'(-2)

= 2.

279

Lösungen

280

Lösung 118 ► Da f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll, hat f(x) nur ungerade Exponenten. Um den Grad zu bestimmen, zählt man zunächst die gestellten Bedingungen. ► Gleichungen aufschreiben:

►

Punkt S( 1 l 8)

►

S(ll8)isteinSattelpunkt

=?

f(l) = 8. =?

f'( l) = 0undf"(l) = 0.

► Da drei Bedingungen an f(x) gestellt werden , benötigt man drei Freiheitsgrade. Somit ist eine Funktion vom Grad 5 der passende Ansatz:

f(x) f'(x)

f"(x)

= ax 5 + bx 3 + ex = 5ax 4 + 3bx 2 + c = 20ax 3 + 6bx.

Durch Einsetzen der Bedingungen erhält man: f(l) =a +b+c=B

f'(l) =S a+ 3b + c = 0 f"(l) = 20a + 6b = 0. Dies führt auf das folgende LGS: a+b+c=8 + 3b + c

Sa

=

0

20a + 6b = 0. ►

Gleichungssystem lösen. Ergebnis: a=3,

b =- 10,

c=lS.

Die gesuchte Funktion lautet also: f(x) = 3x 5 -10x 3 + lSx.

Lösung 119 ►

Gleichungen aufstellen: ►

Punkt P( 211)

►

Funktion berührt die Gerade y = 3x - 5 im Punkt P( 211)

=?

f(2) = 1

Damit erhält man die Gleichungen: f(2) = a · eb 2 = 1 f'(2) = a·b ·eb 2 =3. ►

Gleichungen lösen: Löst man die erste Gleichung nach a auf, erhält man:

a

= e-2b_

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

b • e 2b • e- 2 b = 3

=?

b = 3.

Den Wert von b eingesetzt in die erste Gleichung liefert: a

=

e- 6 .

=?

f'(2) = 3.

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Die gesuchte Funktion lautet also: f(x) =

=

e -6 . e 3·x

e 3x-6 .

Lösung 120

(a)

►

Bestimmung der Extrempunkte

Es gelten: f;(x) = 2x - 2t = Ü

=2

r;'(t)

= =

X

= f

Tiefpunkt.

Der Graph von f, hat an der Stelle x

=

f,(t) = t ►

= t einen Tiefpunkt T,. Es gilt:

T, (tlt).

Bestimmung der Ortskurve

Schreibe die Gleichungen für x und y in Abhängigkeit von tauf und löse die X-Gleichung nach tauf:

= y = X

f t.

Es gilt also y = x. ►

Definitionsbereich

Da t E IR ist, gilt auch x E Rund die Gleichung der Ortskurve lautet: y

=

X,

XE

R

(b) ► Bestimmung der Extrempunkte

Es gelten: r;(x) = 2e 2x - 2tex = 0 r;'(x)

= 4e x - 2tex 2

= =

Der Graph von f, hat an der Stelle x

=

f,(ln t) = -t 2 + 1 ►

x

r;'(ln t)

= ln t = 2t 2

= ln t einen Tiefpunkt. Es gilt:

T, ( ln t J -t 2 + 1 ) .

Bestimmung der Ortskurve

Schreibe die Gleichungen für x und y in Abhängigkeit von tauf und löse die x-Gleichung nach tauf: X =

ln t

=

t=

ex

y = -t 2 + 1.

Es gilt also y = -e 2x + 1. ►

Definitionsbereich

Da t 2 1 ist, gilt x = ln t 2 0 und die Gleichung der Ortskurve lautet: y

= -e 2x

+ 1,

x

2". 0.

281

Lösungen

282

(c)

►

Bestimmung der Extrempunkte

Es gelten:

r;(x)

=~ =0 e

==>

r;'(x)

=

==>

X+

t-2

e

X =

f"(l - t) t

Der Graph von f 1 hat an der Stelle x f 1 (1 - t)

1 = -el-t - = e 1- 1

==>

1- t -1

= -et-1 < 0

= 1 - t einen Hochpunkt.

I

H, ( 1 - t e 1- 1

Es gilt:

) .

► Bestimmung der Ortskurve Schreibe die Gleichungen für x und y in Abhängigkeit von tauf und löse die x-Gleichwnach tauf:

==>

x=l-t

t=l-x

= e'-1. Es gilt also y = e-x . y

►

Definitionsbereich

Da t 2 1 ist, gilt x y

= e-x ,

x

= 1- t ~

~

0 und die Gleichung der Ortskurve lautet:

0.

Lösung 121

Zunächst bestimmt man die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f 1• Die ers·e drei Ableitungen von f 1 sind gegeben durch:

r;'(x)

= 3x 2 + 6tx - 1 = 6x + 6t

f;"(x)

=6

r;(x)

Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind gegeben durch:

f;'(x)

= 6x + 6t = Ü

=6j

Wegen f;"(-t)

{=}

X

= -t

O besitzt der Graph von f 1 an der Stelle x

3

= -t einen Wendepunkt. Es g

3

f,(-t) = (-t) + 3t. (-t)2 - (-t) + 1 = 2t + t + 1 Der Wendepunkt hat also die Koordinaten W, ( -t j 2t 3 + t + 1 ). Also: X=

y

==>

-f

= 2t

3

+

t+

t

= -x

1.

Damit kann die Gleichung der Ortskurve ermittelt werden: y

= -2x 3 - X+

1.

Wegen t E lR ist die Ortskurve der Wendepunkte für alle x E lR definiert.

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-A bi

Lösung 122

Defi niere die Funktionen f und g folgendermaßen: f(x)

= ex - 1

g(x)

=

2

x +x

Dann gelten f(0) = e 0

-

1= 0

g(0) = 0 2 + 0 = 0.

und

Die Funktion h ist als Zusammensetzung der beiden Funktionen an der Stelle x = 0 stetig. We iter gilt f'(x) = ex

==>

f'(0) = l ,

g'(x)=2x+l

==>

g'(0) = l .

Da die Funktion h an der Übergangsstelle stetig ist und die Funktionenswerte der Ableitungen f' und g' an der Stelle x = 0 übereinstimmen, ist die Funktion h einmal differenzierbar an der Ste lle x = 0 und damit für alle x E IR. Nun gilt weiter: f"(x)=e x g"(x) = 2

==> ==>

f"(0) = l, g"(0) = 2.

Die zwei ten Ableitungen der Funktionen f und g stimmen an der Stelle x = 0 nicht überein un d som it ist die Funktion h nicht zweimal differenzierbar an der Stelle x = 0. Lösung 123

(a) Es gelten: f(x) = 2e 2x + ln(l - x) + 2 f'(x) = 4e

2

x -

f" (x) = 8e 2x

-

1 1- X 1 - -(1 - x) 2

==}

f(0) = 4

==}

f'(0) = 3

==}

f" (0) = 7.

==}

g(0) = 4

==}

g'(0) = 3

==}

g"(0) = 7.

Ausserdem: g(x) = 4 ~ +4x 2 +x g ' (x) =

2 /l+x ] +X

+ 8x + 1

1 g "( X ) = - y'(x+1}3 +8

Somit gelten an der Stelle x = 0 folgende Beziehungen: f(0) = g(0), f'(0) = g'(0),

f"(0) = g"(0).

Daher sind Funktionswerte, Steigung und Krümmung der beiden Funktionen f und g an der Stelle x = 0 gleich. (b) Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Funktionsgleichung h(x) = ax 2 + bx + c Es gelten: h(0) = c, h'(0) = b

und

h"(0) = 2a.

283

Lösungen

284

Somit erhält man folgende Glei c hunge n:

h' (0)

= f(0) = f' (0)

==> ==>

b

= 4, = 3,

h" (0)

= f"(0)

==>

a

= -.

h(0)

C

7 2

Die gesuchte Funktion h zweiten Grades hat folgende Funktionsgleichung:

h(x) =

7

2x

2

+3x+4.

Lösung 124

Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein :

= gk(0),

fk(0)

f{ (0)

= g~(0) ,

ff (0)

= gi (0).

Die erste Bedingung ist für jedes k E IR erfüllt, da beide Funktionen den gleichen yAchsenabschnitt haben. Um die anderen beiden Bedingungen zu prüfen, bildet man die ersten beiden Ableitungen der Funktionen fk und 9k·

f{ (x) g~(x) r;(x) gi (x)

= 15x 2 -6x+2k = -15x 2 - 6x - 2k

= 30x - 6 = -30x - 6

Es muss also gelten :

= g~(0) ~ 2k = -2k ~ k = 0 . Somit muss k = 0 gelten , damit der Übergang knickfrei ist. f{(0)

Desweiteren muss gelten:

r; (o) = -6 = gi (o). Somit ist der Übergang an der Stelle x = 0 für alle k E IR krümmungsruckfrei. Der Übergang der Gra phen der Funktionen fo und go ist stetig, knickfrei und krümmungsruckfrei .

Lösung 125

Bei diesem Vorgang ha ndelt es sich um exponentielles Wachstum. Der korrekte Ansatz lautet also:

8( t)

= Boekt.

(a) Eine Halbwertszeit von 5730 Jahren bedeutet, dass nach 5730 Jahren genau die Hälfte des anfänglichen Bestandes übrig ist. Es gilt also:

2l ß0 -_

ß0.

e k -5730

.

Nach Division durch Bo folgt: 0,5 ln(0 ,5 ) 5730

= e k -5730 = k ~ -0 00012. '

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285

Eine Gleichung der Bestandsfunktion 8 lautet also

=

8(t)

80.

e •o,000121 _

(b) Zwischen 1960 und 2015 liegen 55 Jahre. Der ursprüngliche Bestand aus dem Jahr 1960 war 10 Gramm. Nach 55 Jahren gilt: 8(55)

= 10 . e •o. 00012s s;::; 9,93.

Es sind also noch etwa 9,93 Gramm vorhanden. (c) Gegeben sind der Anfangsbestand 80 und der aktuelle Bestand 8(t*). Gesucht ist t*. Es gilt:

8(t* ) 7 t*

= 8oek,· =

lOe •o,000121·

= - ln(O, ?)

;::; 2972 29.

0,00012

'

Gerechnet vom Jahr 1960 verbleiben uns also noch gut 2972 Jahre. Somit steht uns die Auslöschung erst im April 4932 bevor.

Lösung 126

(a) Der Anbieter gewinnt monatlich 5000 Kunden und verliert 1 %seines Kundenbestands. Jeden Monat gilt daher: Zuwachs: 5000 Verlust: 0,01 • 8(t). Somit ist die Änderungsrate gegeben durch: 8'(t)

= 5000- 0,01

· 8(t).

(b) Man vergleicht die soeben berechnete Änderungsrate 8' mit der Formel für beschränktes Wachstum. Diese lautet: 8'(t)

= -k(S - 8(t)) .

Klammert man in obigem Ausdruck die den Faktor 0,01 aus, so erhält man 8'(t)

= 0,01

· (500000- 8(t)).

Somit liegt beschränktes Wachstum vor mit S lautet die Bestandsgleichung:

8(t)

=

500 000 und k

=

0,01. Wegen 8 0

=

0

= 500 000 - 500 000. e •o,o i '.

(c) Nach zehn Jahren sind 120 Monate vergangen. Somit ist der Bestand nach 10 Jahren gegeben durch: 8(120)

= 349403 .

Nach 10 Jahren hat der Anbieter knapp 350 000 Kunden. (d) Um den langfristigen Bestand zu bestimmen, berechnet man den Grenzwert des Funktionswertes 8(t) für t -> +oo.

Lösungen

286

Es gi lt: lim (500000-500000 ·e·0 .ü1

lim B{t) = t--++00

1

)

f--t+OO

lim 500 000 - lim ( 500 000. e· 0 -011 )

=

t--++00

t--++00

= 500000- 0 = 500000. Auf lange Sicht kann der Anbieter also 500 000 Kunden binden.

Lösung 127

(a) Zunächst wird der Wert des folgenden Integra ls bestimmt:

1 6

1 6

f3{t)dt =

(

2 3 it -3t +9t )dt = 27.

Somit sind in den ersten 6 Monaten 27 Mrd. Kubikmeter Wasser durch den Fluss geflossen . (b) Bezeichne x den gesuchten Zeitpunkt. Dann muss folgende Gleichung erfüllt sein: [

f

b =

i-

Ln (

~~)

Die Funktionsgleichung für das erste Modell ist damit f{t)

=

30eom,_

;:::: 0,07.

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(b) Wegen f(20) = 30e 1·4 ~ 121,7 wären nach dem Modell nach 20 Wochen 121 Hasen auf der Insel zu erwarten. Laut Aufgabenstellung sind es aber tatsächlich nur 105 Hasen, also 16 Hasen weniger. (c) Es gilt:

f'( t) = 30 · 0,07e 0·071 = 2,leo.on Durch Lösen der Gleichung f'(t) = 8 wird nun ermittelt, wann die Zuwachsrate erstmals den Wert von 8 Hasen pro Woche erreicht:

f'(t) = 30 · 0,07eo.o 71 = 8 eo.071 = ~ 2, 1

1

8

t=-ln-~19,11. 0,07 2,1

Weiter wird nun die zweite Ableitung von f untersucht. Diese ist gegeben durch f"(t) = 2,1 · 0,07e 0.D7t = 0,147eO.D7t_ Da diese stets größer als O ist, nimmt f' stets zu. Also ist in dem Modell die Zuwachsrate nach ca. 19, 11 Wochen, also ab dem ersten Tag der 20. Woche, größer als 8 Hasen pro Woche. (d) Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem es nach dem Modell erstmalig mehr als 150 Hasen auf der Insel gibt. Dafür wird die Ungleichung f(t) > 150 nach t aufgelöst: f(t) = 30e 0·071 > 150 ==}

e 0·071

>5

1

==}

t > - - ln 5 ~ 22,992. 0,07

Nach dem Modell sollte es dann nach 23 Wochen erstmals mehr als 150 Hasen auf der Insel geben. (e) Das Modell kann nicht die Realität abbilden, da mit diesem gelten würde

t

--> 00

==}

f( t)

--> 00.

Die Anzahl der Hasen auf der Insel ist aber zumindest durch das endliche Nahrungsangebot begrenzt.

(f) Gesucht sind Aussagen über die Funktion g beziehungsweise die Entwicklung der Hasenpopulation, die sich direkt aus dem gegebenen Schaubild C des korrigierten Modells ablesen lassen.

y 600

r ------=------

300

50 ► ►

100

150 t

Der Funktionswert an der Stelle x = 0 beträgt g(O) = 30. Das ist der Bestand an Hasen bei Beobachtungsbeginn. Der Graph ist streng monoton steigend, die Funktion ist also streng monoton wachsend. Das bedeutet, dass die Hasenanzahl ständig zunimmt.

287

Lösungen

288

►

►

Der Graph der Funktion hat einen Wendepunkt. Bis zu diesem nimmt die Steigung des Graphen der Funktion ständig zu , danach nimmt sie wieder ab. Somit vergrößert sich die Anzahl der Hasen zunächst immer schneller, danach verlangsamt sich der Zuwachs dann aber stetig. Für t -> oo nähert sich der Graph der Funktion der Asymptote y = 600 an. Das ist die Anzahl der Hasen , die die Population langfristig umfassen wird.

(g) Gesucht ist die langfristige Größe der Hasenpopulation im korrigierten Modell

g(t)

600 1 + 19e-0,07t .

=

Dafür muss das Verhalten von g für t -> oo untersucht werden. Es gilt e-0-071 -> 0 für t

->

oo

und damit t->

00

==>

g(t)

->

600 -0

= 600.

1+

Mit dem korrigierten Modell umfasst die Hasenpopulation langfristig 600 Hasen. (h) Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem erstmalig mehr als 90 % der langfristigen Anzahl an Hasen auf der Insel leben. Die langfristige Anzahl Hasen wurde bereits mit 600 Hasen ermittelt und 90 %davon sind 0,9 · 600 = 540. Damit muss die Gleichung g(t) = 540 gelöst werden: 600

==>

g(t) = 1 + 19e-0,07r = 540

==>

e -0.01,

= _1 171

==>

-1

t

10 = 9 + 9 . 19e-0,07t

1

= 0,0 7 ln m ~

73,45.

Nach ungefähr 73,5 Wochen gibt es auf der Insel erstmalig mehr als 90 %der langfristigen Anzahl an Hasen. (i) Der Ausdruck 9 ' (20) ist die, nach dem korrigierten Modell berechnete und in Hasen pro Woche angegebene, momentane Zuwachsrate 20 Wochen nach der Ankunft der Hasen auf der Insel.

(j) Gesucht sind die Wendepunkte der Funktionenschar

gk(x) = x 3 + kx 2 - x - k, k ER Hierfür werden die zweite Ableitung zur Bestimmung möglicher Wendestellen und die dritte Ableitung zum Nachweis , dass eine Wendestelle vorliegt , benötigt:

g~(x) g~(x) gt(x)

= 3x 2 + 2kx - 1 = 6x + 2k = 6 > 0.

Da die dritte Ableitung stets größer als Null ist , liegt für die Lösung der Gleichung g~(x) = 0 eine Wendestelle vor. Zu dieser muss dann noch der zugehörige Funktionswert berechnet werden :

g~(x) = 6x+2k = 0

==>

1 xw= --k 3

l -3 k.

2 gk(xw)=xw +kxw -xw-k = 2 3

2

3

2

Die Wendepunkte der Funktionenschar befinden sich also bei

289

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(k) Es soll eine Ortskurve bestimmt werden , auf der all e We nd epun kte W, ( liegen: x

= -~k 3

y

=

=

k

-½k I t-r k 3 -

~ k)

= -3x

l 3 - 32 k = 272 (-3x)3 - 32 (- 3x) = - 2x 3 + 2x.

2 2

Die Gleichun g der Kurve, auf der alle Wendepunkte der Funktionenschar 9 k liegen , lautet

y

= - 2x 3 + 2x .

Lösung 129

Gesucht sind di e Lösungen von :

l0x1 - 2x2 +

=

x3

3x1 +

X2

- X3

7X1 -

X2

+

(1)

80

= 110 = - 10

X3

(11) (111)

Vo rgehen wie im Beispiel liefert x 1 = 10 , x2 = -60 , x 3 = - 140. ~ Alternative: Hier können di e Vari ablen auch in der umgekehrten Reihenfolge eliminiert we rden. Gleichung (1) wird behalten . Durch Zei lenumformungen wird in den Glei chungen (11) und (111) die Vari able x3 eliminiert.

lOx1 - 2x2 + (1) + (11) 13x1 -

X2

3x1 -

x2

(1) - (111)

x3

= 80 = 190 = 90

(1) (11) 0 (111) 0

Gleichungen (1) und (11) 0 werden behalten. Durch Zeilenumformungen wird in Gl eichung (111 ) die Variable x 2 elimini ert.

lOx1 - 2x2 + 13x1 (11) 0

-

x3

X2

(111) 0 10x1

=

80

(1)

= 190

(11) 0

= 100

(lll) b

Jetzt können nac heinander die Lösungen für x 1 , (lll) b

10x1

= 100

(11) 0

13 - 10 -x2

= 190

(1) 10 · 10 - 2 · (-60) + X3

=

80

x2

und

= x, = = = = =

X3

abgelesen werden .

10

X2

-60

X3

- 140

Lösungen

290

Lösung 130

Diese Aufgabe kann als LGS formuliert werden. Hierfür werden zunächst Variablen eingefü hrt s: Gewicht einer Schraube u: Gewicht einer Unterlegscheibe m : Gewicht einer Mutter Das LGS hat die Form: 100s + 50u + 10m

= 1155

69s + lO0u + 20m

= 1000 = 155

10s +

l0u + 10m

Das LGS wird auf Stufenform gebracht und anschließend werden nacheinander die Lösungen für die Variablen abgelesen. Man erhält s = 10, u = 2,5 und m = 3. Eine Schraube wiegt also 10 g, eine Unterlegscheibe 2,5 g und eine Mutter 3 g.

Lösung 131

(a) Das LGS wird auf Stufenform gebracht und man erhält die eindeutige Lösung P( 31 -513 ). (b) Gesucht ist die Lösung von:

= -4

(1)

2x2 + 2x3 = -2

(11)

6x2 + 8x3 = 20

(111)

-x1 + 0,5x2 - 3x3

3x, + -2x1

-

Es wird versucht, das LGS in Stufenform zu bringen. Dafür wird Gleichung (1) behalte n und durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen (11) und (111) die Variable eliminiert:

x,

= -4 = - 14

(11')

7x2 - 14x3 = - 28

(111')

-x, + 0,5x2 - 3x3 3 · (1) + (11)

2 · (1) - (111)

3,5x2 - 7x3

(1)

Gleichungen (1) und (11 ' ) werden behalten. Der Versuch durch Zeilenumformungen di e Variable x 2 in Gleichung (111 ' ) zu eliminieren liefert eine Trivialzeile:

-x, + 0,5x2 - 3x3

=

(1)

-4

3,5x2 - 7x3 = -14 2 · (11 ' ) - (111')

0

=

(11 ' ) (111")

0

Das LGS ist folglich unterbestimmt. ►

► ►

Setze x3 = t. Aus (11 ' ) folgt x2 = 2t - 4. Gleichung (1) liefert x1 = 2 - 2t.

Das LGS hat unendlich viele Lösungen. In Vektorschreibweise sind diese gegeben durch 1

X=

x

( ::

)

(2-2t)

-4 : 2 t

(2)

-;

+

t

(-2)

~

,

t E IR.

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291

(c) Gesucht ist die Lösung von:

-12x1 + 24x2 - 32x3 = 4 -3X1 +

X2

-

X3

=2

3x1 - 6x2 + 8x3 = 1

(1)

(11) (111)

Der Versuch, das LGS auf Stufenform zu bringen, liefert einen Widerspruch in Gleichung

(111'): -12x1 + 24x2 - 32x3

=

(1)

4

20x2 - 28x3 = -4

(1) - 4 · (11) (1) + 4 · (111)

(11) (111')

0 = 8

Das LGS hat damit keine Lösung.

Lösung 132 Komponentenweise Addition liefert jeweils den Summenvektor:

l•l

rn l

Lösung 133

P,

P,

f>jJ P,

ä

P,

(a) Gegeben sind die Koordinaten der Punkte P 1 ,P 2 ,P3. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes P 4 • Die Koordinaten des Punktes P 4 lassen sich wie folgt bestimmen:

~=

F½ + p;p:; = F½ + ~ = F½ + (r7 - f½)

m·(:)-GJ ~ (i) Der Punkt P 4 hat die Koordinaten P 4( 1 1 3 l 2 ).

Lösungen

292

(b) Die Diagonalen des Parallelogramms sind

e~e;P;~r;r;~m-m m f =~

=P:;-i=½ =

l) - (~2) (~

(--211)

Für die Länge der Diagonalen ergibt sich e

= lel = ✓ 1 2 + 32 + 22 = V14,

f

= 111 = -J(-1) 2 + (-1) 2 + 22 = V6.

(c) Um die Formel

e2 + r2 = 2 ( o2 + b2) anhand des gegebenen Parallelogramms beispielhaft zu überprüfen , werden zunächst die Seiten o und b des Parallelogramms bestimmt.

Es können nun die dazugehörigen Seitenlängen berechnet werden:

o

= lal = ✓ 1 2 + 22 + 02 = ✓s,

b

= ✓s .

Nun kann die Formel durch Einsetzen überprüft werden: e2 + { 2

2 ( o 2 + b2)

= 14 + 6 = 20 = 2(5 + 5) = 20 .

Da mit wurde die Formel beispielhaft an diesem Parallelogramm bestätigt. Lösung 134

(a) Für die Punkte der Grundfläche lassen wir zunächst die xr Koordinate fix und verschieben den Punkt P 1 um zwei Einheiten in x,-Richtung. Die so erhaltenen Punkte P 1 und P2 verschieben wir um zwei Einheiten in xi- Richtung und erhalten so P3 und P 4. Um aus der Grundfläche den Würfel zu generieren, verschieben wir die vier Punkte um zwei Einheiten in xr Richtung.

P,(2 j 3 j 1)

P2(4 j 3 J 1)

P3(2l5 J l)

P4(4 l 5 l l)

Ps(2 J3 j 3 ) P6(4 j 3j 3 )

P1( 2 15 13)

Pa( 41 5 13)

(b) Ein Quader mit den Seitenlängen a

= 2 in x1-Richtung, b = 3 in xi- Richtung und c = 4

293

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in x3-Richtung hat zum Beispiel die folgenden Eckpunkte: P1(213ll)

P2(413ll)

P3(216ll)

P4(416ll)

Ps(2j3j5)

P6(4j3j5)

P1( 2161 5)

Ps( 4161 5)

Lösung 135

Zunächst werden die Tanzschritte (1)-(V) als Vektoren geschrieben. Beachte dabei, dass die Vektoren nur zwei Einträge haben , da der Roboter nicht hüpft: (1) : 7 = ( 300)

(11):

-+I --

(-300)

h= (

(V) :

d=

(

(IV):

O ) -15

(111):

v=

(; ) 0

~~) .

(a) Um die Entfernung des Roboters vom Ausgangspunkt festzustellen, muss zunächst ermittelt werden, wo sich der Roboter am Ende der Schrittfolge befindet. Sei Po( 0 10) der Ausgangspunkt, dann ist der Zielpunkt P 1 gegeben durch -+ p 1 =Po+ r + -+ r + -+ v + -+ h + -+ 1 + -+ d + -+ 1=

-

(

20) • 15

Es gilt:

1Pol571

=

✓20 2 + 152 = V625 =

25.

Die Entfernung vom Startpunkt beträgt folglich 25 cm. (b) Ausgehend von der Startposition Po( 0 10) werden alle Positionen des Roboters berechnet. ( 600)

r5;=i5';+v=

(~~)

= ( 350)

F\=~+d=

(~~)

P7=~+7=

( 300)

i5;=

P7 + 7 =

P:;=fS";+h=

( 650)

~=

P:; + 7

~=F\+7=

(~~)

.

Nun kann man die maximale Entfernung des Roboters vom Startpunkt Po( 01 0) ablesen. In xi-Richtung ist die Position, die am weitesten rechts ist

Die Position am weitesten vorne, also in xi-Richtung ist P3 =

( ~~) . .

Die rechteckige Tanzfläche für den Roboter muss mindestens 60 cm (x 1-Richtung) mal 20 cm (x2-Richtung) groß sein. (c) Um festzustellen, ob eine solche Schrittfolge existieren kann, überlegt man sich, ob eine Kombination der Vektoren den Zielpunkt P 1( 0 10) erreicht, in der mindestens einmal der d vorkommt.

Lösungen

294

7

Da d nach vorne rechts geht, werden die Schritte h und betrachtet. Gesucht sind also ganzzahlige, positive Werte der Parameter k,i,j , so dass gilt:

k-

d + i- h + i · 7

= P1(0 10) .

Das bedeutet, dass der Roboter wieder am Punkt P 1( 0 10) ist, nachdem er k diagonale Schritte, i Schritte nach hinten und j Schritte nach rechts getanzt ist. Einsetzen liefert:

Das dazugehörige LGS lautet

=0

- 30j

20k

10k-15i

= 0

und hat unendlich viele Lösungen. Umstellen zeigt, dass

2

i

= ·l

2

und

j

= -:/

gelten muss. Nun kann k , die Anzahl der diagonalen Schritte so gewählt werden, dass J und i ganzzahlig sind. Eine mögliche Lösung lautet k = 3, j = 2, i = 2. Die dazugehörige Tanzfolge könnte so: {V)-> (V)-> {V)-> (IV)-> {IV)-> {11)-> {11) oder so: (V)-> (IV) -> (11)-> (V) -> (11)-> (IV)-> (V) aussehen. Viel Spaß beim Nachtanzen!

Lösung 136

(a) Um den Auflagepunkt des horizontalen Antennenstücks zu bestimmen, bewegt man sich vom Bodenpunkt fünf Längeneinheiten nach oben

Das obere Stück liegt also am Punkt A( 10 l 10 l 5) auf. (b) Der Vektor

lal =

ä

hat die Länge fünf, denn

✓32 + 42 = 5.

Die Endpunkte des oberen Antennenstücks bestimmt man , indem man einen Vektor de r Länge 2,5 einmal in Richtung ä und einmal in die entgegengesetzte Richtung auf den Punkt A addiert. Auf diese Weise erhält man

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Die beiden Endpunkte der Antenne sind also T 1 (

'lj [ 12 [ 5)

295

und T 2 (

lf [ 8 [ 5 ).

(c) Eine Skizze der Situation ist unten dargestellt:

T,(11,5j12l5)

f

T,(8,S18

b H

10

x,

P(4 I0l2)

Lösung 137 (a) Das zugehörige LGS lautet: 2r + 3s + St

4r + 2s +

=0

t= 0

9r + 8s + 2t

=0

Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige Lösung

r = 0, Die Vektoren

s= 0

und

ä , b und

t = 0.

c sind also linear unabhängig.

(b) Das zugehörige LGS lautet: r + 2s +

St = 0

3r + 2s + 7t

=0

3r + 4s + 11 t

=0

Im Verlauf des Gaußverfahrens entsteht eine Nullzeile. Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel

r = -1,

s=-2

und

t = l.

Damit sind die Vektoren linear abhängig.

Lösung 138 Bei dieser Aufgabe gibt es viele Lösungsmöglichkeiten, im Folgenden wird eine einfache dargestellt. (a) Einen weiteren linear abhängigen Vektor zu finden ist immer leicht, man kann einfach ein Vielfaches von einem der Ausgangsvektoren bilden , also zum Beispiel:

(b) Für einen weiteren linear unabhängigen Vektor ist es praktisch, einen Vektor auszupro-

296

Lös ungen

bieren, bei dem zwei Komponenten gleich 0 sind, also zum Beispiel :

Mit diesem ergibt sich zum Prüfen der linearen Unabhängigkeit das LGS

=0

2r + s r +

=

s

4r + 2s +

c3 ·

t

0

=0

aus dem sofort r = 0 und s = 0 folgt. Somit erhält man in der dritten Zeile die Gleichung: C3 ·

t = 0.

Damit t = 0 gelten muss, kann man nun also ein beliebiges c 3 wählen mit der Eigenschaft c3 =fo 0. Damit erhält man als mögliche Lösung:

c

c

Für diesen Vektor sind die Vektoren ä , b und linear unabhängig. Dieses Verfahren funktioniert nur dann nicht, wenn sich in der dritten Zeile des LGS eine Nullzeile ergibt. Dann müsste man das Verfahren mit einem weiteren Vektor wiederholen , zum Beispiel mit

Lösung 139 Zunächst beschriftet man ein (beliebiges) Dreieck wie folgt :

Beliebig deswegen, weil man das für alle Dreiecke machen kann. Es spielt in diesem Fall keine Rolle, welche Seite wie lang ist, solange nur ein Dreieck dabei entsteht. Aus der Vektoraddition weiß man, dass

C+O =

b

gilt. Wenn man nun auf beiden Seiten

-+

-+

-+

a - b+c =

0) ( ~

b subtrahiert, erhält man

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Die Koeffizienten, die zuvor r , s und t genannt wurden, sind hier alle un gl eich 0. Dam t at man eine Möglichkeit gefunden , den Nullvektor als Linearkombination aus den d rei Vektoren zu erhalten . Also sind die Vektoren

ä , b und c, die man aus den Seiten eines Dreiecks erhält, immer linear

abhängig.

Lösung 140

(a) Zunächst werden die Verbindungsvektoren der drei Seiten des Dreiecks berechnet:

Nun kann auf Orthogonalität geprüft werden :

c o ä = - 2 · 3 + 2(-1) + 1(-1) = -9 j

o

= 3(-1) - 1(-1 l - 1 . o = -2 +o b O C = -1(-2)-1. 2 + 0 - 1 = 0. ä

o --;

Der rechte Winkel ist also bei Punkt A . (b) Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich durch

F

1 2

= - b.

C

berechnen , wenn b und c die Schenkel am rechten Winkel sind. In diesem Fall erg ibt sich

(c) Einen solchen Punkt D erhält man beispielsweise, indem man den Punkt C am Punkt A spiegelt:

Das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und D( 0 11 11) ist rechtwinklig am Punkt A.

Lösung 141

(b) Fü, dea ;, (a) enechoet,a Vek b.

b stehen , haben die gleiche Richtung.

Sie unterscheiden sich nur in der Länge und im Vorzeichen . Aus Teil (b) folgt somit, dass

Lösungen

298

die Menge aller auf

ä

und

b senkrechten Vektoren beschrieben ist durch:

Lösung 142

Zwei Geraden verlaufen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind . Zwei Geraden sind identisch, wenn zudem beide Aufpunkte auf der Geraden liegen. Um weitere Darstellungen zu finden , setze für r also eine beliebige Zahl ein , um einen weiteren Punkt auf der Geraden zu finden und nimm ein Vielfaches des Richtungsvektors. Zwei mögliche Darstellungen sind:

Lösung 143

(a) Punktprobe durchführen , indem für anschließend nach r aufgelöst wird:

x der Ortsvektor des Punktes eingesetzt wird und

Lösen des enstandenen LGS:

= 5 5 - 3r = 14 1 + Sr = -4

-1 - 2r

= = =

r = -3 r = -3 r = -1/-3.

Das LGS hat keine Lösung, also liegt der Punkt A nicht auf der Geraden g. Zu beachten ist, dass der Parameter r in alle drei Gleichungen eingesetzt werden muss und sich dabei für alle Gleichungen gleichzeitig eine wahre Aussagen ergeben müssen. (b) B Iiegt nicht auf der Geraden g. (c) C liegt auf der Geraden g mit r

= 1. 3

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Lösung 144

Verwende einen der Punkte als Aufpunkt und finde den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten, dieser wird zum Richtungsvektor der Geraden. Die Geradengleichung lautet somit:

Beachte, dass die Darstellung der Geraden nicht eindeutig ist.

Lösung 145

Zunächst wird die Gleichung für die Gerade g durch die Punkte A und B aufgestellt. Die Geradengleichung lautet:

Dann wird der Punkt C für

-2 +

r

= -4

4 - 2r = 2t l+ i r =-2

x eingesetzt und das LGS gelöst: ==> ==> ==>

r

= -2

4-2(-2) = 2t

==>

t= 4

r =-2.

Folglich liegen die Punkte A( -2 1411 ), B ( -1 121 ~ ), C(-4 18 l -2) auf einer Geraden.

Lösung 146

Für rund s werden beliebige Zahlen eingesetzt (z.B. r = s = 1), um einen weiteren Punkt auf der Ebene zu finden. Dieser Punkt wird als Stützvektor benutzt und zusam men mit Vielfachen der Spannvektoren erhält man eine weitere mögliche Darstellung der Ebene:

Beachte: Die Parameterform ist nicht eindeutig.

299

Lösungen

300

Lösung 147

(a) Um zu bestimmen , ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wird dieser für entsteht ein LGS: 1 + 3p +

r = 2

0 + 2p + 2r = 2 -2 -

p + 3r = 1

x eingesetzt. Dabe

(1) {11) {111)

Das LGS lösen : -2(1) + (11)

==}

-2 - 4p = -2

==}

p = 0.

Einsetzen in (1): l+0+r = 2

==}

r = 1.

Probe mit (111) -2- 0+3 = 1.

Folglich liegt A in der Ebene. Ein Probe kann gemacht werden, indem man p = 0 und = 1 in die Ebenengleichung einsetzt und dann A erhält.

r

(b) Der Punkt B liegt nicht auf der Ebene. (c) Der Punkt C liegt in der Ebene (p

= -3, r = -2).

Lösung 148

Es wird einer der drei Punkte als Stützvektor verwendet und jeweils der Verbindungsvektor zu den beiden anderen Punkten berechnet. (a) Berechnung der beiden Spannvektoren:

Man kann erkennen, dass AB und °AC. keine Vielfachen voneinander sind und somit eine Ebene aufspannen. Die Ebenengleichung E lautet:

s,t E IR.

(b) Die Ebenengleichung E lautet:

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Lösung 149

Zunächst wird die Ebenengleichung aufgestellt. Um nur die Pferdekoppel zu beschreiben, werden dann die Parameter s und t begren zt. Di e Ebenengleichung lautet:

Normalerweise gilt s, t E R Da die Pferdekoppel allerdings genau 40 x 100 Einheiten lang ist , gilt:

0 .,;; s,t .,;; 1. i&

Alternative: Dieselbe Ebene wird auch beschrieben durch die Parametergleichung

In diesem Fall gilt dann: 0 .,;; s .,;; 40,

0 .,;; t .,;; 100.

Lösung 150

(a) Wähle beliebig drei der vier Punkte aus und stelle die Ebenengleichung auf:

(b) Der Punkt S wird zum Aufpunkt der Ebene. Da die Spannvektoren parallel verlaufen , kann man die Spannvektoren der Ebene E verwenden:

Lösung 151

Eine Ebenengleichung wird bestimmt du rch drei Punkte beziehungsweise eine Gerade und einen Punkt. Die Ebene E wird somit definiert über die Gerade g und einem Punkt auf h. Stelle den Verbindungsvektor zwischen dem Aufpunkt A von g und einem beliebi gen Punkt B auf h auf.

301

Lösungen

302

Eine Ebenengleichung lautet dann:

s,t ER

Lösung 152

Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein:

E: -2-(-1)+5-(-2)+2·0=-8/ 1. Also liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Der Punkt P( 3 l 1 11) ist einer der vielen Punkte mit positiven Koordinaten in der Ebene E.

Lösung 153

Der Richtungsvektor der Geraden wird zum Normalenvektor der Ebene E. Der erste Ansatz für die Ebenengleichung von E lautet:

E: x1 - 8x2 - 12x3 = a. Zudem ist der Punkt P( 1 1214) in der Ebene gegeben . Punkt in die Ebene einsetzen:

1 - 8 · 2 - 12 · 4 = -63. Die Ebenengleichung von E lautet somit:

E: X1 - 8x2 - 12x3 = -63.

Lösung 154

(a) Der Normalenvektor der Ebene E wird zum Richtungsvektor der Geraden, in welcher der Pfosten liegt. Die Geradengleichung, in der der Pfosten liegt, wird somit beschrieben durch:

Die Länge des Richtungsvektors beträgt:

i

Also wird r = in die Geradengleichung eingesetzt, denn Pfosten die gewünschte Länge.

Also liegt das obere Ende des Pfosten bei

P(

i

1

~

I

i · 9 = 3. Somit hat der

i ).

(b) Da die Ebene F parallel zur Ebene E liegt, verlaufen die Normalenvektoren parallel, das

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heißt sie sind Vielfache voneinander. Zudem ist der Punkt Der erste Ansatz für die Koordinatenform ist: F: 4x1 + 4x2 + 7X3

=

P(

~

303

l

1t

1 ~ )

a.

Der Punkt Punkt P wird eingesetzt, um a zu berechnen: 7 11 7 4 · - + 4 · - + 7 · - = 33. 3 6 3 Die Ebenengleichung F lautet: F: 4x1 + 4x2 + 7x3

= 33.

Lösung 155

(a)

(b) ->

no =

E

1 .,,;02 + 32 + (-6) 2

( (:}

.

m, m(_{:)

m) {i:)

"0

(c) E: ((x1 - 2) · 0) + ((xr 0) · 0,8) + ((xr 1) · -0,6)

-1 5 -

=

t

=

-t + Ss

- t - 2s 6s

==>

-t

+ Ss

5 + 2s

= 4 = -8 = 0

2t - 4s

==>

1 + 4s

t = -9 - Ss

= - 12 = -8

-t - 2s =

0

==> 5 = -2 ==> t = -2 ==> t = 4

Es ergibt sich keine Lösung, damit sind die Geraden windschief. (b) Die Richtungsvektoren von g und h sind parallel, denn es gilt:

4 Punktprobe mit P ( -~

IO 1-~) (Aufpunkt von h) und der Geraden g ergibt:

rn C}fl (:}fl ==> ==> ==>

t t t

=1 =1 =1

Damit fällt die Punktprobe positiv aus. Die Geraden g und h sind also identisch. (c) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Das Gleichsetzen der Geradengleichungen führt ohne Widerspruch zu s Geradengleichung von g ergibt:

Damit ist der Schnittpunkt S ( - 1; 5

=~

und

t

1-20 1-28)

= 7. Einsetzen des Wertes t = 7 in die

gefunden.

307

Lösungen

308

Lösung 162 (a) Die Stromleitung h verläuft parallel zur Wasserleitung g , somit sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Der Aufpunkt von h ist der vorgegebene Punkt P( 0 j -3 I 0 ). Also ergibt sich:

(b) Gleichsetzen der Geradengleichungen des Blitzableiters und der Stromleitung ergibt:

6 + 3r =

1+

r

= 2s = -6

2+

r

3r r r -

s

+ 2s

= -3 s

= -4 = -2

===} 5 ===}

r

===} 5

= -3 = -4 = -2

Es gibt keine Lösung, also schneiden sich der Blitzableiter und die Stromleitung nicht. Gleichsetzen der Geradengleichungen des Blitzableiters und der Wasserleitung führt ohne Widerspruch zu t = 0 und r = -2. Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt 5( 01-1 10) von Blitzableiter und Wasserleitung.

Lösung 163 (a) In einer Minute bewegt sich das Flugzeug A genau um die Länge des Richtungsvektors fort.

4,0) 6,0 (

= V4,0 2 + 6,0 2 + 1,0 2

~ 7 ,28.

1,0

In einer Minute legt A also etwa 7,28 km zurück. Die Geschwindigkeit von A beträgt folglich

7,28 km/min

= 436,8 km/h = 121,33 m/s.

Die x 3 -Koordinate des Richtungsvektors von A ist positiv, das Flugzeug A steigt also. Die xrKoordinate des Richtungsvektors von 8 ist 0, das Flugzeug 8 fliegt demnach auf gleichbleibender Höhe. (b) Die Richtungsvektoren von A und 8 sind nicht senkrecht, da

(

4,0) 6,0 1,0

0

(3,0) 4,0 = 36,0

i=

0.

0,0

Damit sind die Flugbahnen nicht rechtwinkli g zueinander.

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(c) Gesucht ist die Lagebeziehung der Flugbahnen . Es sollen also die gesamten Geraden und nicht nur der Ort der beiden Flugzeuge zu gleichen Zeitpunkten untersucht werden. Daher dürfen die Parameter in den Geradengleichung nicht gleich heißen. Gleichsetzen ergibt:

(

2,0) 2,0 + t, (4,0) 6,0 3,0

(3,7) 5,6 + f2 (3,0) 4,0

1,0

5,0

4t, - 3t2 6t, - 4t2 t,

===>

= =

0,0

===> f2 = 2,1 ===> t2 = 2, 1 ===> t, = 2,0

1,7 3,6 2

Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen ergibt den Schnittpunkt 5( 10 l 14 l 5) der beiden Flugbahnen. (d) Aus dem vorherigen Aufgabenteil ist bekannt, dass die Flugbahnen sich bei t1 = 2 min und 12 = 2, 1 min schneiden. Da t1 und t2 am Schnittpunkt nicht gleich sind , befinden sich die Flugzeuge nie zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort. Die Flugzeuge kollidieren also nie. (e) Zunächst wird der Zeitpunkt berechnet, zu welchem sich Flugzeug A im Punkt P( 22 I 32 l 8) befindet.

(

~~)

(~:~) +

8

Einsetzen von t

(

t (::~)

3,0

1,0

: :: : ===> t = 5

= 5 in die Geradengleichung von

:::) + 5

5,0

8 ergibt:

(!:~) (~!::) 0,0

5

Flugzeug 8 befindet sich zum Zeitpunkt t = 5 min folglich im Punkt Q( 18,7 l 25,6 l 5 ). Der Abstand zwischen Q( 18,7 l 25,6 l 5) und P( 22 l 32 l 8) ist

l&I ~

7,8km.

(f) Die Geradengleichungen können umgeschrieben werden:

Ä = (~:~)

+ t (::~)

3,0

ä=

(

1,0

2 + 41) 2 + 6t 3+/

(!::) (!:~) (!::: !:) =

+ t

5,0

0,0

5

Zum Zeitpunkt t befindet sich das Flugzeug A im Punkt A( 2+41 12 + 61 l 3 + t) und 8 im Punkt B( 3,7 + 3t l 5,6 + 41 l 5 ). Der Abstand der beiden Punkte lässt sich wie folgt

309

Lösungen

310

ausdrücken:

IÄBI =

(!::: !;)- (~: :;) 5

=

1 (3 .:--;t) 2-t

3+t

= y(l,7 - t) 2 + (3,6- 2t) 2 + (2- t) 2 = a(t) Gesucht ist das Minimum der Funktion a. Diese wird minimal, wenn der Ausdruck unte· der Wurzel minimal wird. Es soll also das Minimum von: (1,7 - t) 2 + (3,6 - 2t) 2 + (2 - t) 2 berechnet werden. Hierfür wird unter Berücksichtigung der Kettenregel die erste Able itung berechnet und dann gleich Null gesetzt: -2 · (1,7- t)- 4 · (3,6- 2t)- 2 · (2- t)

=0

~

t ;::; 1,8.

Einsetzen liefert a( 1,817) ;::; 0,22. Die Flugzeuge haben also nach 1,8 min= 108 s den geringsten Abstand von 0,22 km. Lösung 164

(a) Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung ergibt: 3 · (3 + s 2)-(3 + s · (- 1)) + 5 · (- 1 + s · (-1)) ~

s

= -3

= -2.

Einsetzen von s in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt S(-1 I S I1 ). (b) Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform umgeschrieben. Hierfür wird der Norm alenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet:

Das Einsetzen des Stützpunktes der Ebene Ein den Ansatz der Ebenengleichung (E = d) ergibt

4x1 - 9x2 - 6x3

4x1 - 9x2 - 6x3

= 2.

Das Skalarprodukt aus Normalenvektor von E und Richtungsvektor von g ist

Wird der Aufpunkt P( 8 l -2 l 14) von g in die Koordinatengleichung von E eingesetzt ergibt sich ein Widerspruch. Damit sind g und E echt parallel. (c) Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist 0. Das Einsetzen des Au fpunkts P( 3 l 13 l 2) von g in E ergibt keinen Widerspruch. Damit liegt g in E.

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3

Lösung 165 Zwei Geraden liegen in einer Ebene, wenn sie nicht windschief zuein ander s,nd (a) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, das heißt sie sind ke ine Vielfache voneinander. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt ohne Widerspruch zus= 0 und t = 3. Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen liefert den Schnittpun kt S( 2 l - 1 Die Geraden sind nicht windschief, damit liegen sie in einer Ebene E. Diese Ebene enthält den Schnittpunkt als Aufpunkt und die Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren:

10).

(b) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf einen Widerspruch, die Geraden sind also windschief. Damit liegen diese nicht in einer Ebene. (c) Die Richtungsvektoren sind linear abhängig. Der Aufpunkt P( 5 l -6 l 7) von g liegt nicht auf h, damit sind die Geraden echt parallel. Da sie nicht windschief sind , liegen die Geraden in einer Ebene E. Um eine Parametergleichung von E aufzustellen, verwendet man den Aufpunkt von g als Aufpunkt von E und den Richtungsvektor von g als ersten Spannvektor. Ein weiterer Spannvektor ist beispielsweise der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte. Es gilt:

w

Somit ist eine Gleichung von E gegeben durch :

j

u~ (:),{}{:) , w

- - - ~ Lösung 166

l l

(a) Die Geraden schneiden sich in ihrem gemeinsamen Aufpunkt S( 3 3 6 ). Sie schneiden sich senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander sind. Dies ist der Fall , wenn gilt

(l (;)

= Ü

Diese Gleichung ist für t

= -4,5 erfüllt.

(b) Die gesuchte Ebene E enthält den Aufpunkt von g als Stützvektor und den Richtungsvektor von g als Normalenvektor. Einsetzen des Normalenvektors und anschließende Punktprobe mit S liefert die Ebenengleichung

E:

3x1 -2x2 -4x3

= -21 .

Lösungen

312

(c) Die Geradengleichung von g in F eingesetzt führt zu einem Widerspruch: 4 • (3 + r · 3) - 2 · (3 + r · (-2)) + 4 · (6 + r · (-4)) = 6

{==}

24 = 0

Damit haben g und F keine gemeinsamen Punkte, das heißt g muss echt parallel zu F sein. Lösung 167

(a) Die Ebenengleichung in Parameterform lautet

E

>~ QA„

ÄB H

AC=

m., (-~} {\,) ·

,,t ER

Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren

liefert nach Kürzen den Normalenvektor

Den Punkt A in den Ansatz der Ebenengleichung (E: -2x 1 - lx2 + 2x3 liefert die Ebenengleichung in Koordinatenform:

= d) eingesetzt

E : -2x1 - lx2 + 2x3 = 18. (b) Die Gleichung der Geradenschar 9m in E eingesetzt ergibt: -2 · (-6 + r · (1 + 2m)) - (8 + r · (2 - 2m)) + 2 · (7 + r · (2 + m))

= 18

Vereinfachen dieser Gleichung führt zu 18 = 18. Diese Aussage ist für aller und m wahr, das heißt die gesamte Geradenschar 9m liegt in der Ebene E.

Lösung 168

Anstatt die Gerade g in die Gleichung von E0 einzusetzen, ist es etwas einfacher zu untersuchen, wann der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor von E senkrecht aufeinander stehen. Es gilt:

Somit sind E2 und g entweder echt parallel oder g liegt in E2. Um das letzte auszuschließen , muss man überprüfen , ob der Stützpunkt von g in E 2 liegt. Setzt man den Stützpunkt von g in E2 ein , so folgt 3 · 1- 5 · 7

= -32 i= 40.

Somit liegt g nicht in E2, folglich sind g und E2 echt parallel.

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Lösung 169 (a) Die Normalenvektoren der Ebenen lauten:

--+

n E, =

{1E3

=

(::) (:,:) .

--+

n E, =

--+

n E, =

Es gilt:

m m

Die Ebene E3 schneidet die anderen drei Ebenen in einer Schnittgeraden. Die Koordinatengleichungen von E1 und E4 sind Vielfache voneinander, das heißt E1 und E4 sind identisch. Die Koordinatengleichungen von E2 und E1 (bzw. E4) sind keine Vielfache voneinander, also ist E2 echt parallel zu E1 und zu E4. (b) Die Schnittmenge von E1 und E3 ist eine Schnittgerade, welche man durch Lösen folgendes Gleichungssystems erhält:

4x1 - 6x2 - 2x3 = 4 X3

= 2

4x1 - 6x2 - 2x3

=4 =8

-2x1 - 3x2 +

- 12x2

Setzt man nun x 1 = t und x2 = - 2/J in die erste Zeile ein, ergibt sich x3 = 2t und damit die Schnittgerade

E1 und E4 identisch sind, ergibt sich aus E3 n E4 dieselbe Schnittgerade wie für E3 n E4 im vorherigem Aufgabenteil.

(c) Da

Lösung 170 (a) Die Normalenvektoren der Ebenen

sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von E2 lautet

E2 : -3x1 - 9x2 - x3 = 0. Die Koordinatengleichungen von E1 und E2 sind keine Vielfachen voneinander, das heißt die Ebenen sind echt parallel.

313

Lösungen

314

(b) Die Normalenvektoren der Ebenen

sind linear unabhängig, d.h. die Ebenen schneiden sich. Die Koordinatengleichungen der Ebenen lauten E1:x1+x3 =4

und

E2:-x2 -x3=-12.

Aus dem LGS der beiden Koordinatengleichungen folgt mit x3 = r die Schnittgerade

(c) Die Normalenvektoren der Ebenen

sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von E 1 lautet E1 : 6x1 + 13x2 + 2x3 = 5. Die Koordinatengleichungen von E1 und E2 sind Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind identisch.

Lösung 171

(a)

U

0

fo ÄB.iÄS "

rn "(:) ,, m.

(b) Die Schnittgerade der Seitenwand ABS und der Grundfläche ABC ist die Gerade durch A und B:

(c) Der Normalenvektor der Ebene

E, die ABS enthält, lautet

Die Gerade h verläuft durch den Punkt C und besitzt

nl als Richtungsvektor:

Um den Schnittpunkt von h und E zu erhalten, wird Ein Koordinatenform umgeschrieben (E : 8x1 - 6x2 + 3x3 = 5) und anschließend die Geradengleichung von h in die

315

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Koordinatengleichung von E eingesetzt. Daraus folgt r = Schnittpunkt

1~ 9

und damit schließlich der

p ( 49316931253 ) . 109

109

109

Der Abstand zwischen P und C beträgt

Die Länge des Holzträgers beträgt also circa 4,6 Längeneinheiten. Lösung 172

(a) Wandle die Gleichung der Ebene Ein Koordinatenform um:

E = -27x1 + 9x2 + l0x3 = 23 . überprüfe, welche der Punkte A, B, C,D in der Ebene E liegen. Durch Punktprobe erhält man: A,C, D E E. Somit liegt die gesamte Seitenfläche ACD in der Ebene E und damit natürlich auch alle Kanten , die zwei der drei Punkte enthalten. (b) Aus vorherigem Aufgabenteil ist bekannt, dass das Dreieck ACD in der Ebene E liegt. Die gesuchte Gerade ist also die Schnittgerade der Ebenen E und F.

Ö Fc (i) -

F>,d>,

0

1.

Das LGS aus den Koordinatengleichungen von E und F ergibt mit x2 rade g mit

= r die Schnittge-

(c) Beim Zerschneiden der Pyramide entstehen nur dann zwei Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche, wenn der Schnitt durch genau zwei Eckpunkte geht. Das heißt, die Aussage des Mannes würde stimmen, wenn genau zwei der Eckpunkte (A, B, C oder D) in der Schnittebene Fliegen. Durch Einsetzen der Punkte in die Koordinatengleichung von F ergibt sich A( -3I -21-4) C( -1 14 1-4)

tt. F, tt. F,

B( 31-41 -4)

tt.

F,

D( 1 101 5) E F.

Nur D liegt in der Schnittebene, das heißt, der Mann hatte unrecht und durch den Schnitt entstehen keine zwei Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche.

Lösungen

316

Lösung 173

------ ------

Für den Schnittwinkel a zwischen den Geraden g und h gilt:

cos(a) =

(} (l) (:)·(:)

112+18+121

v'56. v's4

also

a

~

40,2°.

Lösung 174

(a) Für den Schnittwinkel a zwischen den Geraden g und h gilt:

cos(a)

=

(} (l)

112 + 18 + 121

v'56. v's4

a

also

~

40,2°.

(:)·(:) (b) Für den Schnittwinkel a zwischen den Ebenen E, und E2 gilt:

cos(a)

=

l-3-6-4I

v'14· /26

also

a

~

47,0°.

(c) Für den Schnittwinkel a zwischen der Ebene E und der Geraden g gilt:

sin(a)

=

18 + 0 + 61

/52. v1s

also

a

~

60,3°.

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Lösung 175

(a) Die Flugbahn des Habichts wird durch die Gerade h beschrieben:

Die Maus befindet sich im Schnittpunkt M der Flugbahn des Habichts mit dem Boden. Durch Einsetzen von h in die Ebenengleichung des Feldes F: z

=0

ergibt sich der Schnittpunkt mit r = 6 zu M( 45 l -15 I O). Für den Winkel a zwischen dem Feld Fund der Flugbahn des Habi chts h gilt:

sin(a) =

(l) {!)

l-61 1 . )46

also

a

~

62,2' .

m·rn

(b) Durch Einsetzen von h in die Ebenengleichung von E ergibt sich mit r = 4 der Schnittpunkt von h und E zu 5(43 l-9 l 12}. Der Schnittwinkel beträgt 64,8' . (c) Durch Einsetzen von g in die Ebenengleichung von E ergibt sich ein Widerspru ch, d.h. die Flugbahn des Weibchens schneidet nie die Ebene Eder Zugvögel. Da die Flugbahn des Weibchens die Ebene der Zugvögel nie schneidet, muss es parallel zu den Zugvöge ln fliegen , das heißt der Winkel zwischen E und g muss O' sein. Dies erhält man auch aus der Berechnung mithilfe der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden. Der Schnittwinkel der Flugbahnen des Vogelpärchens beträgt etwa 85,3' . Lösung 176

Der Abstand zwischen den Punkten A und B entspricht der Länge des Verbindungsvektors.

d(A B) ~

=

mrn ~

f1 = ~ ~

(H)'. (H'

2,35 .

+ H) )'

317

Lösungen

318

Lösung 177 Wie im Merksatz werden die Abstände d(P; g) und d(P; h) berechnet. Für die Gerade g erhält man:

Schritt 1: die Ebene H9 :

=

Schritt 2: ( mit j

i)

x1 -

5x2 + 2x3 = -3,

den Lotfußpunkt S 9

(

~ 11 1 ~ ) ,

Schritt 3: den Abstand

d(P; g) =

8 V/64 5 = v'5 =

8v'S

-5- ~ 3,58.

Und analog für die Gerade h:

Schritt 1: die Ebene Hh : X2 - 2x3 = -3, Schritt 2: ( mit k

= -~)

den Lotfußpunkt Sh (

2 21~ 1: ) ,

Schritt 3: den Abstand

d(P;h) =

{84

V5

~ 4,1.

Die Gerade g ist also näher am Punkt P als die Gerade h.

Lösung 178 (a) Wenn Lara Yannick zu irgendeinem Zeitpunkt erkennen soll, muss Yannick während des Schwimmens weni ger als 5 m von ihr entfernt sein. Wir berechnen also den Abstand von Laras Sitzplatz zu Yannicks Schwimmbahn. Der berechnete Abstand ist der minimale Abstand zwischen Lara und Yannick, während er schwimmt.

Schritt 1: Die Ebene, die senkrecht zur Geraden g ist und durch den Punkt P geht, ist H: x1 + 5x2 + 3x3 = 8. Schritt 2: Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist S( 9 l -2 l 3 ). Schritt 3: Der Abstand ist d(P; g)

= IPSI = v'40 ~ 6,32.

Wie Yannick auch schwimmt, er wird Lara nie näher als 6,32 m kommen, wenn er seine Schwimmbahn ni c ht verlässt. Er wird sie also nicht beeindrucken können. (b) Der Punkt auf der Geraden, der dem Punkt M am nächsten ist, ist der Lotfußpunkt. Das Vorgehen entspricht also wieder obigem Rezept.

Schritt 1: Die Ebenengleichung, die durch M geht, ist H: x1 + 5x2 + 3x3 = 43. Schritt 2: Den Lotfußpunkt, also der Punkt, an dem Yannick den Mädchen am nächsten ist, erhält man , wenn m a n s

=

2 in die Geradengleichung einsetzt:

S(10l3l6). Schritt 3: Der Abstand zwischen der Gruppe und Yannick beträgt dann

d(M; g) also 12 ,08 m.

=

livisl = v'l46 ~

12,08,

319

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Lösung 179

(a) 13 (-1)-2-3+(-2)-41 -J32 + (-2)2 + 12

d(P; E1)

=

d(P· E)

=~ Vl2 = ~1 = 2.

1-151

15

= v1l4 = v04·

(b) '2

(c) Die Ebene in Parameterform wird in Koordinatenform umgewandelt.

Schritt 1: Berechnung des Normalenvektors

n als Kreuzprodukt der beiden Spannvek-

toren:

Schritt 2: Ansatz für Ebenengleichung:

E3 : - l 6x1 + 2x2 + 8x3 = a. Schritt 3: Einsetzen des Stützpunkts P( -1 101 3) liefert a: - 16 • (- 1) + 2 • 0 + 8 • 3

= 40 = a.

Nun kann der Abstand berechnet werden:

d(P; E3)

=

1-16. (-1) + 2. (3) + 8. (-2)-401 -J(-16)2 + (2)2 + (8)2 34 18

l-34I

= v'324

17 9

(d) Wie in (c) wird die Ebene zunächst in Koordinatenform umgewandelt. Man erhält

E4: 2x1 + 5x2 + 3x3

= 7.

Dann ist

d(P; E4)

=

12-(-1)+5-(3)+3-(-2)-71 -)(2)2 + (5)2 + (3)2

0

= ,/38 = 0.

Folglich liegt der Punkt P in der Ebene E4 .

Lösung 180 Gesucht sind diejenigen Punkte Pr von g mit d(P ,; E) = 3v114. Die Punkte der Gerade sind gegeben durch P ,( r 12r 11 ). Der Abstand zwischen einem solchen Punkt und der Ebene E kann in Abhängigkeit von r berechnet werden:

d(P,; E)

=

13 · r + 2 · 2r + 1 · 1-11 J32 + 22 + 12

=

l7rl r,;; vl4

l7rl

v04·

Es sol l ge lten

d(P,; E) Daraus folgt r

P(-6I-12I1).

=

,.-;

= 3v 14.

l

l

±6 und demnach sind die beiden gesuchten Punkte P( 6 12 l) und

Lösungen

320

Lösung 181 Gesucht sind diejenigen Ebenen E1 mit d(P; Et)= 2. Der Abstand zwischen der Ebenenschar und dem Punkt P in Abhängigkeit von t ist gegeben durch:

d(P; Et)

lt-6-4 5+4-1-81

=

---;=;,==-=;;,--

-.j t2

+ (-4)2 + 42

l6t-24I

v't2+32.

Nun kann gleichgesetzt werden:

d(P; Et)= l6t- 241 = 2 _

v't2+32 v't2+32 und Division durch 2 liefert:

Multiplikation mit

l3t-12I=~Nun werden beide Seiten quadriert, dadurch fallen die Betragsstriche weg: 2 (3t-12) = t 2 + 32 2

72t + 144 = t 2 + 32

9t

8t 2 - 72t + 112

-

t

2

l-(t 2 + 32)

=0 - 9t + 14 = 0.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung können mit der p-q-Formel bestimmt werden : t = 2 und t = 7. Folglich haben die Ebenen E2 : 2x1 - 4x2 + 4x3 = 8

und

E1: 7x1 - 4x2 + 4x3 = 8

einen Abstand von zwei Längeneinheiten zum Punkt P. Um zu sehen , welche Werte der Abstand zwischen E1 und P annehmen kann , fassen wir d(P; Et) als Funktion von tauf:

F(t) = l6t - 241 _

v't2+32 Eine Kurvendiskussion zeigt: die Funktion hat eine Nullstelle bei t = 4. Für

t > 4 ist f monoton

wachsend und es ist limh +oo f(t) = 6. Für t < 4 ist die Funktion monoton wachsend bis t = -8 und danach monoton fallend (f'(t) hat VZW von+ nach-), hat also ein Maximum bei t = -8. Der maximale Abstand ist f(-8) = 3v'6. Es handelt sich hierbei um ein globales Maximum, denn limh ±oo f(t) = 6. f( t)

4

Der Abstand von der Ebenenschar zum Punkt P nimmt Werte zwischen O LE und 3v'6 ~ 7,35 LE an.

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Lös un g 182

Die Ebene E wird in Koordinatenform umgewande lt. Schr itt 1: Normalenvektor

Schr itt 2: Ansatz für die Ebenengleichung: E: 6x1 + 10x2 = a Schr itt 3: Stützpunkt P( -7 10 l 3) einsetzen und a bestimmen : 6(-7) + 10 • 0 + 0 • 3 = -42

= a.

Die Koordinatenform der Ebene lautet

E: 6x1 + 10x2 = -42 . Die Gerade g ist parallel zur Ebene E, da der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Norma lenvektor n ist:

Nun kann der Abstand für einen beliebigen Punkt, beispielsweise P(-210 13) auf der Geraden bestimmt werden: d( . E)

g,

= 16(-2) + 10 · 0 + 42 1 = ~ = 30v1'i'36 = 1sv1'i'36 ~ 2 57 J62 + 102 + 02 v1'i'36 136 68 ' .

Lös ung 183

(a) Wie zuvor wird die Ebene in Koordinatenform umgewandelt:

E : 2x1 + X2 + 3 x3

= 14.

Damit die Gerade die Ebene nicht schneidet, muss die Gerade parallel zur Ebene, der Richtungsvektor also senkrecht zum Normalenvektor, sein:

(b) Der Abstand von 93 zur Ebene E berechnet sich wie zuvor durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden : 12(-2) + 6 + 3 . 4 - 141 0 d(g 3; E) = J 22 + 12 + 32 = /14 = 0. Für a

= 3 liegt die Gerade 9

0

in der Ebene E.

321

Lösungen

322

Lösung 184

(a) Gesucht ist der Abstand der Ebenen EH und Et. Der Punkt P(-25 101 0) liegt in L und es gilt: d(E ;E) = d(P ; E) = 116 - (-25)+12-0-201 = H L L ✓ 162 + 122

420

J450

= 21 _

Der Abstand zwischen den beiden beträgt mindestens 21 LE. (b) Da sich der Aufzug senkrecht zu den Stockwerken bewegt, entspricht der Richtun gsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebenen, in welchen sich die Stockwerke befinden. Diesen kann man beispielsweise bei EH ablesen:

Als Aufpunkt der Gerade kann Heriberts Startpunkt H ( -101-20 l 10) gewählt werden. Die Geradengleichung lautet:

(c) Um herauszufinden, in welche Richtung Heribert fahren muss, werden zwei beliebige Punkte in den jeweiligen Ebenen betrachtet. Setzt man beispielsweise x2 = 0, so kann man erkennen, dass sich in Heriberts Ebene der Punkt P(-25 I O 10) und in Louises Ebene der Punkt L( ¾ 1010) befindet. Folglich muss sich Heribert entlang der (positiven) bewegen. Die Länge von ist gegeben durch: Richtung des Vektors

v

2

v

2

1v1 = ✓4 +3 = s. Heribert bewegt sich zehn Stockwerke in Louises Richtung, also ist seine neue Position A gegeben durch:

Um herauszufinden, in welchem Stockwerk seine neue Position ist, wird eine Punktprobe mit A durchgeführt: EA: 4x1 + 3x2 = 4(-2) + 3(-14) = -50 = a.

Heribert befindet sich nun in der Ebene EA : 4x1 + 3x2 = -50 .

Da er sich zehn Längeneinheiten in Louises Richtung bewegt hat und vorher mindestens 21 Längeneinheiten von ihr entfernt war, ist er jetzt noch mindestens 11 Längeneinheiten von ihr entfernt. (d) In Heriberts Etage hält der Fahrstuhl am Punkt H, (-101-20 l 10). Um die Position des Fahrstuhls auf Louises Etage zu berechnen , muss der Geradenvektor mit Länge 21 auf den Punkt H, ( -10 1-20 l 10) addiert werden. Da Ivl = 5 erhält man den Punkt, an dem

323

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Louise wartet wie folgt:

Louise wartet also im Punkt L2( 6,8 l -7.4 l 10 ). Lösung 185

(a) Mit Möglichkeit 1: Schritt 1: Hilfsebene Haus g und Richtungsvektor von h:

H : - X1 + 2x2 - 2x3 = - 1. Schritt 2: Abstand zwischen Hund Stützpunkt P( 5 1-2 l 5) von Gerade h. d(g; h) = d(P; H) = 1- 1 · 5 + 2 · (-2) - 2 · 5 + 11 = 6 _ ✓ 1 2+ 22+2 2

(b) Mit Möglichkeit

2

v zwischen g und h:

Schritt 1: Allgemeiner Verbindungsvektor --+

v

=

(5+4t)

t

-

(6-4s) 6 - 3s

-1 - t Schritt 2: Orthogonalität von

--~ ++ 4/ ++

=

6 + 2s

(-1+4t+4s) -6 + t + 3s -7 -

t - 2s

v und Richtungsvektoren liefert s und

3:5)

t.

= 0

=>

-3 + 18t + 21s = 0.

4 --~ ++ / ++ 3~) o (:;) = 0 ( -7 - t - 2s 2

=

8- 21t - 29s = 0.

(

0

-7 - t - 2s

(

~)

-1

Daraus folgt: t =- 1,

s= l .

Schritt 3: Setze s und t in den allgemeinen Verbindungsvektor ein:

Schritt 4: Berechne die Länge von

v:

Lösungen

324

Lösung 186

Für die xi-Achse lautet die Geradengleichung:

Gesucht ist der Abstand zwischen g und h. Mit Möglichkeit 1:

Schritt 1: Hilfsebene Haushund Richtungsvektor von g:

Schritt 2: Abstand zwischen Hund Stützpunkt P( 6 I 211) von Gerade von g:

12 . 6 - 1 21 10 r,: d(g; h) = d(P; H) = - - - = = 2v 5

~

Js

~

4,47.

Lösung 187

Idee: Es werden zwei beliebige Punkte von g an S gespiegelt und anschließend aus diesen beiden Punkten eine Gerade konstruiert. Der Bildpunkt BP von P( 211 l -4) lautet:

~

Bp(Ol-1I8).

Der Bildpunkt BQvon Q( 2 l 5 l -2) lautet:

~

BQ( O 1-516).

Eine mögliche Darstellung der Gerade h durch die Punkte BP(O I-1 l 8) und B0 (0 l-5 l 6) lautet:

Merke, dass h parallel zu g verläuft.

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Lösung 188

(a) Eine mögliche Gleichung der Geraden, in welcher der Laserstrahl verläuft, lautet:

Der gesuchte Winkel ist der spitze Winkel a zwischen der Geraden g und der Ebene E. Es gilt:

sin(a)

=

(:)

{)

1211

m. rn und somit a

~

48,02' .

(b) Um die Geradengleichung des reflektierten Strahls f zu erhalten, werden zwei beliebige Punkte von g an E gespiegelt und die Gerade durch die beiden Bildpunkte gebildet. Der Punkt P( 7 l 5 l 15) wird an der Ebene gespiegelt. ►

Aufstellen der Hilfsgerade

Es gilt:

► Bestimmung des Lotfußpunktes Schneide h mit E und erhalte den Lotfußpunkt L:

3(7 + 3s) + 2(5 + 2s) + 5(15 + 5s)

= 30

==}

==?

►

s

= -2

L( 1 l 1 1 5) .

Spiegelung des Punktes

Spiegle P an L.

6B = 6P + 2n = ( ; ) 15

+2. (

~

:; ) 5 - 15

(:!) . -5

Ein weiterer Punkt auf der Gerade ist zum Beispiel Q( 3 I 3 l 14 ), man erhält ihn für r = -1. Spiegelt man Q an der Ebene E so erhält man genauso wie eben den Spiegelpunkt C von Q als C ( -1081-531-9 ) . 19 19 19 Nachdem man den Richtungsvektor „gekürzt" hat, lautet die Geradengleichung durch

325

Lösungen

326

die Punkte B und C wie folgt:

Um zu prüfen , ob der Laserstrahl auf das Reagenzglas trifft, wird eine Punktprobe mit dem Punkt R( -3 l 5 1 0) und der Geraden h durchgeführt:

Kein t E IH:. erfüllt diese Gleichung, also liegt das Reagenzglas nicht in dem Laserstrahl. Lösung 189

(a) Die Gerade g geht durch die beiden Punkte D und V, also:

(b) Der Punkt M( 3 l 21 0) wird an der Geraden g gespiegelt. ►

Aufstellen der Hilfsebene

Es gilt:

= 20.

E: 4x1 + 4x2 ►

Bestimmung des Schnittpunktes

Für den Schnittpunkt S von E und g gilt: 4(1 + 4r) + 4(1 + 4r) = 20

Das führt zu ►

S(

~

1

~

J

===>

3

r - -

- s·

1 ).

Spiegelung des Punktes

Spiegle M an S , um B zu erhalten:

Die Spitze des zweiten Propellerflügels befindet sich also an dem Punkt B( 2 l 3 l 2 ). (c) Der Abstand der beiden Propellerspitzen beträgt:

Der Umfang des Kreises , auf dem sich die Propellerspitzen drehen, beträgt dann:

u = V6 · JT, also U =

v'6JT m.

Die Propellerspitzen legen also in einer Minute eine Strecke von

327

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

1000v'6JT ;::; 7695 m zurück. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von: 7695 60

= 128,26 m/s.

Lösung 190

(a)

X3

E

0

D Um zu zeigen, dass die Liegewiese rechteckig ist, genügt es zu zeigen , dass der Winkel an O und an B jeweils 90° beträgt. Es gilt:

6Äo5c=m (-io)=O = 6Ä c5c. Somit beträgt der Innenwinkel an der Ecke O genau 90°. Weiter gilt:

ßA oßC = (,:)

(T)

=0

=

ßA C ßC.

Somit ist auch der Innenwinkel an der Ecke B ein rechter Winkel. Also muss das Viereck OABC ein Rechteck sein. Der Flächeninhalt wird berechnet, indem die Länge des Vektors mit der Länge des Vektors multipliziert wird:

0A

AB

Der Flächeninhalt beträgt also: 20m · V104m ;::; 204m 2 . Als nächstes wird der Steigungswinkel der Liegewiese bestimmt. Eine Parametergleichung der Ebene EL , in welcher die Liegewiese liegt, ist gegeben durch:

Lösungen

328

Durch Umformung erhält man die Koordinatengleichung der Ebene EL als: EL: : x2 + 5x3 = 0.

Der Steigungswinkel ist der spitze Winkel zwischen der Ebene EL, in welcher die Liegewiese liegt und der x1,x2-Ebene. Die Koordinatenformen dieser Ebenen lauten: EL: x2 + 5x3 = 0

Ex,,x,:

X3

= 0.

Der spitze Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Es folgt:

cos(a) =

a

also

= 11,31 °.

(b) Zunächst werden die Schattenpunkte auf der Liegewiese berechnet. Die Hilfsgeraden durch die Punkte P, Q und R lauten:

gp:

X=

G)HU).

r E

lR

9Q:

X=

(-l{J

s E

lR

9R'

-+ X=

m"U·

t E JR.

Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene EL, in der sich die Liegewiese befindet. Durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung werden Schnittpunkte für r = 1, s = 1 und t = 2 erhalten , also sind die Schattenpunkte auf der Liegewiese:

P, ( 9 1-5 11), Q, ( 41-51 1) , R, ( 41-1012). Im Punkt Q, ( 4 l -5 1 1 ) liegt der rechte Winkel des Dreiecks P, Q, R, vor, denn

Für alle Punkte auf der Liegewiese gilt:

0 S X1 S 20, - 10 S X2 S 0

und

0S

X3

S 2.

Da P,, Q, , R, diese Bedingungen erfüllen, ragt das Dreieck nicht über die Liegewiese hinaus. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt

i ·lorl -IQRI = i ·

5 · 56

~ 12.7 5 -

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Der Anteil an der Gesamtfläche beträgt dann: 12,75 ~ O 06. 204 ' Also liegen ungefähr 6 %der Liegewiese im Schatten.

Lösung 191 (a) Zunächst ist eine Koordinatengleichung der Ebene

gesucht. Zum Bestimmen eines Normalenvektors der Ebene wird das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet:

Ein Ansatz für eine Koordinatengleichung der Ebene E ist also 2x1 + x2 + 2x3

= a.

Durch Einsetzen eines Punktes der Ebene E wird a

=

2 ermittelt und somit ist

E : 2x1 + x2 + 2x3 = 2 eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Oberfläche des aufgeschütteten Hangs liegt. Jetzt lässt sich der Neigungswinkel des Hanges gegenüber der x 1xrEbene bestimmen. Es gilt:

CDS

a

(!Hi)

= -;c====c--;c= ✓ 22 + 12 + 22v112

2 3

also

a

~

48,2°.

Der Neigungswinkel des Hanges beträgt also etwa 48,2°. (b) Gesucht sind die Spurpunkte der Ebene E, also die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen. Um den Spurpunkt S 1 zu ermitteln, werden in der Ebenengleichung x2 = X3 = 0 gesetzt. Man erhält: 2x1

=

2

===>

S1 ( 1 1 0 1 0).

Analog ergeben sich für X1 X2

=2

2x3 = 2

===> ===>

= X3 = 0 und x1 = x2 = 0 die Spurpunkte S2 und S3:

S, ( 01210)' S, ( OI O l 1).

Mit Hilfe der Spurpunkte lässt sich dann die Ebene E skizzieren:

329

Lös ungen

330

s

s,

s, F

(c) Gesucht ist der Abstand des Freifall-Turmes zum Fuß des Hanges. Es muss somit der Abstand des Punktes F( 3 l 210) von der Geraden h durch die Punkte 5 1 ( 110 10) und 5 2( 0 12 10) berechnet werden. Für h gilt:

Als erster Schritt wird nun eine Hilfsebene H definiert, die den Punkt F enthält und für die der Richtungsvektor von h ein Normalenvektor ist. Dann ist

H : -xi + 2x2

=a

ein Ansatz für die Koordinatengleichung der Ebene H. Setzt man Fein, ergibt sich a Eine Koordinatengleichung von H ist also

= 1.

H : -xi + 2x2 = 1. Nun wird die Gleichung der Geraden h in die Ebenengleichung eingesetzt -1 + r + 4r = 1

=*

r =

2

5.

Damit ist dann

der Schnittpunkt der Geraden durch den Fuß des Hanges mit der Hilfsebene H. Jetzt kann der Abstand zwischen dem Mittelpunkt F des Turmfundamentes in der x1 x2 -Ebene und dem Punkt K berechnet werden:

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Der Abstand zwischen der Mitte des Turmfundamentes und der Hangkante beträgt also ungefähr 2,68 LE beziehungsweise 26,8 m. Da das Fundament einen Durchmesser von 10 m hat, sind zwischen Hangkante und Freifallturm noch etwa 21,8 m Abstand für Warteschlangen, Wege und Grünflächen. Der Mindestabstand wird also eingehalten. (d) Gesucht ist der Schattenpunkt S. der Turmspitze auf der Ebene E. Es muss also der Schnittpunkt der Ebene E : 2x1 + x2 + 2x3 = 2

mit der Geraden 9 , die den Lichtstrahl von der Turmspitze zur Ebene enthält, berechnet werden. Es gilt

Zur Bestimmung des Parameters r für den Schattenpunkt S. wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt: 2(3 - 3r) + 2 - r + 2(6 - 4r)

=2

~

Damit ist dann

der Schattenpunkt der Spitze des Freifallturmes auf der Ebene E. (e) Gesucht ist der genaue Verlauf des Schattens der Turmmittelachse. Dieser liegt vom Fuß der Mittelachse bis zur Hangkante in der x1xrEbene und danach bis zum Schattenpunkt der Spitze S. ( -0,6 I 0,8 I 1,2) in der Ebene E. Die Projekton des Schattenpunktes S. in die x1xrEbene ist V(-0,6 I 0,8 I 0 ). Der Schatten verläuft also am Fuß des Turmes auf der Geraden:

Für die weitere Rechnung ist es geschickt, den Richtungsvektor mit ¾zu strecken. Dann gilt für die Gerade 9 1, die den Schatten enthält:

Jetzt wird der Punkt berechnet, an dem der Schatten auf die Hangkante trifft, also der Schnittpunkt der Geraden 91 mit der Ebene

E : 2x1 + x2 + 2x3 = 2. Diesen erhält man durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung. Es gilt: 2(3 - 3k) + 2 - k

=2

~

Der Turmschatten trifft also im Punkt

auf die Hangkante. Der restliche Teil des Schattens verläuft in der Ebene E und dort auf

331

Lösungen

332

der Geraden 92 durch G und den Schattenpunkt der Turmspitze S•. Es gilt:

92 .

x = C + k CS: =

-r ; (3)~ (!;)_ ) (-~) +k

6 + 35 k

(-6) -:

k E lR.

,

Den Richtungsvektor dieser Geraden streckt man am besten wiederum mit

;i;. Dann ist:

eine Gleichung für die Gerade, in der der Schatten auf dem Hang liegt. Der Schatten des Turmes verläuft also ausgehend vom Fuß der Mittelachse des Turmes zunächst auf der Strecke

trifft dann im Punkt

auf die Hangkante und verläuft anschließend auf dem Hang auf der Strecke

Lösung 192

(a) Die Koordinaten der gesuchten Punkte können direkt aus der Skizze abgelesen werden und sind gegeben durch A(2 I 0 10), 8(2 l 3 I 0), C(0 l 3 I 0) , E(2 I 0 l 2) ,1( 110 l 3) und J( 1 1 3 1 3 ). (b) Die Eckpunkte des Dreiecks sind gegeben durch F ( 2 l 3 I 2 ), G ( 0 13 I 2) und J( 1 13 I 3 ). Der rechte Winkel im Dreieck FGJ kann nur am Dachfirst sein. Es gilt

Somit ist das Dreieck FGJ tatsächlich rechtwinklig. Die Fläche des Dreiecks FGJ lässt sich damit berechnen als:

Es wird daher 1 m2 Holz benötigt. (c) Mittels der drei Punkte, die auf der Ebene E liegen, erhält man folgende Parameterdar-

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stellung der Ebene E:

Mithilfe des Kreuzprodukts kann nun der Normalenvektor der Ebene E bestimmt werden. Es gilt:

Da es beim Normalenvektor einer Ebene nur auf die Richtung ankommt, kann dieser mit einem beliebigen Faktor multipliziert werden. Ein Ansatz für die Koordinatengleichung der Ebene E ist dann: X+ z

=

d.

Zur Bestimmung der Konstante d wird nun ein beliebiger Punkt, der auf der Ebene liegt eingesetzt. Setzt man E( 21012) ein, dann folgt: E: x + z

= 4.

Alternativ kann hier mit einem allgemeinen Ansatz für die Koordinatengleichung der Ebene gearbeitet werden, dann erhält man ein Lineares Gleichungssystem. Ein Ansatz lautet hier:

E: ax + by + cz

= d.

Nun werden Punktproben mit den Punkten E,F und J durchgeführt und man erhält: 2a +Ob+ 2c 2a + 3b + 2c

= =

d d

la+3b+3c=d.

Dieses LGS muss nun noch gelöst werden. Eine mögliche Lösung ist gegeben durch:

E:

x +z

= 4.

(d) Der gesamte Fahnenmast verläuft innerhalb der Gerade

Für alle Punkte dieser Gerade ist die erste Koordinate größer als 1. Somit muss der Fußpunkt des Mastes auf der Dachschräge E F IJ liegen. Diesen Punkt berechnet man durch Schnitt der Gerade g mit der Ebene E. Es gilt:

= -1. Damit ist der Schnittpunkt S( 1,5 l 3 l 2,5) und die Höhe h des Fahnenmastes ist gegeben 1,5 + 3,5 + k

= 4 ==>

k

durch: h

= ISRI = 1.

Die Höhe beträgt also 1 m. (e)

►

Gesucht ist der Winkel, unter dem die Sonnenstrahlen auf das Dach treffen. Um den Winkel unter dem das Sonnenlicht auf die Dachfläche trifft zu bestimmen, muss

333

Lösungen

334

der Winkel zwischen Einfallsvektor des Sonnenlichts und der Ebene E bestimmt werden. Es gilt:

sin(a)

►

=

cn om

I-0,51

also

a

~

13,63°.

(~D (i)

Gesucht ist das Ende des Fahnenmast-Schattens. Das Ende des Schattens befindet sich auf der Gerade

h: 7

1,5)

= (/

+s

(0,5) :~ ,

s > 0.

5

Die erste Koordinate des Schattenpunkts ist stets größer als 1,5, somit kann das Ende des Schattens also höchstens auf der Dachschräge E F IJ liegen. Den Schnitt der Gerade h mit der Ebene E erhält man durch:

1,5+0,5s+3,5-s = 4

===>

s = 2.

Der Schnittpunkt ist also S( 2,5 l 1 l 1,5 ). Die dritte Koordinate von S ist kleiner als 2, somit liegt der Punkt S nicht auf der Dachfläche. Der Schatten liegt folglich also nicht komplett auf dem Dach. (f) Die Ebene 5 , in welcher sich die Solarzellen befinden, ist parallel zur Dachschräge. Also ist eine Koordinatengleichung der Ebene 5 gegeben durch:

5: x+z = a. Um den Parameter t zu bestimmen, muss nun der Abstand der beiden Ebenen bestimmt werden. Es gilt: 4-a

d(E; F) = .../2 = ± 0,1

===>

a = 4 ± 0,1.../2

Nun muss noch diejenige Ebene bestimmt werden , die oberhalb des Daches liegt. Für = 0, y = 0 sieht man direkt die richtige Lösung:

x

Z = O

===>

0=4+0,1.../2.

(g) Ähnlich wie im Aufgabenteil (c) bestimmt man zunächst den Normalenvektor der Dachschräge HGJ 1. Dieser ist gegeben durch

Es gilt folgende Überlegung: Ist das Fenster geschlossen , so ist der Normalenvektor des Fensters gleich dem Vektor Öffnet man nun das Fenster, so „dreht" sich der Normalenvektor langsam nach unten. Das heißt, die ersten beiden Koordinaten des Normalenvektors bleiben gleich , während die dritte Koordinate kleiner wird. Ein Ansatz

n.

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für den Normalenvektor der Fensterebene ist daher:

< -1.

u

Berechnet man nun den Winkel zwischen Dachschräge und Fensterebene, führt dies auf folgende Gleichung:

ln ° n";;I

111 1· 1n:1 =

,

cos ( 3o).

Einsetzen der Werte führt zu:

v'3

11-ul

J2-v'l+u2

2 Da u < -1 ist, kann man die Betragsstriche weglassen. Auflösen der Gleichung führt zu :

v'3

1-u vl21 - u 2

1-u = 2

2

v'3. v'2 ----Vl7

(1-u) =

2

3

2

2 (1-u)

3

1 - 2u + u 2 = -( 1 - u2 ) 2

u

= -2 ± \/3.

Wegen u < -1 folgt u = -2 durch:

F: x + (-2 -

v'3. Somit ist ein Ansatz für die Fensterebene F gegeben

V3) · z = d

Um d zu bestimmen, muss ein Punkt auf F bekannt sein. Dazu bestimmt man den Mittelpunkt M von W und X. Es gilt:

M( 0,75;0,2511;112,25;2,75) =M(0, 5 lll 2,5 ) Eine Punktprobe mit M liefert schließlich:

d = -4,5 - 2,5 · \/3. Eine Gleichung der Fensterebene Fist also gegeben durch

F: x + (-2 -

V3) · z =

-4,5 - 2,5 · V3

335

336

Lösungen

Lösung 193

(a) Aus den Punkten A, C und D können Spannvektoren der Ebene E bestimmt werder

AC =(t3)

und

AD =(~~)

-8

-10

Ein Normalenvektor von E kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes besti mr-· werden :

5 1 ( 3)

X

(

-8

~

~)

-10

( -; ; )

68

Zur Vereinfachung kann dieser Vektor mit 2 gekürzt werden und es ergibt sich de· Norm a lenvektor:

Daraus entsteht der folgende Ansatz für die Koordinatenform der Ebene E:

E : -21x1 + 29x2 + 34x3 + a = 0. Durch eine Punktprobe, beispielsweise mit dem Punkt A kann der Wert des Paramete rs a bestimmt werden:

- 21 · 2+29 - (-10)+34 - 15+o=0

~

o = -178.

Man erhält damit folgende Ebenengleichung:

E : -21x1 + 29x2 + 34x3 - 178 = 0. (b) Die Geradengleichung des Baches ergibt sich als Schnittgerade der beiden Ebenen Hierfür setzt man die Ebenengleichung von F in die Gleichung von E ein:

-21 · (3 + 2s - t) + 29 · (20 + 19s + 18t) + 34 • (12 + 7s + 6t) - 178 = 0 beziehungsweise:

925 + 747 s + 474t- 178 = 0 ~ ~

747 + 747s + 474t = 0 t = -1-s

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Setzt man nun t gerade:

= -1 - s in die Parameterform der Ebene Fein, ergibt sich die Schnitt-

Eine Gleichung der Schnittgerade g, innerhalb derer der Bach verläuft, ist gegeben durch

~

Alternative: Zunächst wird eine Koordinatengleichung der Ebene F bestimmt. Ein Normalenvektor der Ebene F kann mithilfe des Kreuzproduktes bestimmt werden:

Eine Koordinatengleichung von Fist damit gegeben durch: -12x1 -19x2 + 55x3 + c = 0. Der Wert des Parameters c kann durch eine Punktprobe mit dem Punkt B ermittelt werden. Es gilt: -12-3-19-20+55-12+c=0

{==}

c=-244.

Eine Koordinatengleichung der Ebene Fist also gegeben durch: F: -12x1 -19x2 + 55x3 - 244 = 0. Die Schnittgerade der beiden Ebenen kann nun bestimmt werden: E: -2lx1 + 29x2 + 34x3 -178 = 0 F: -12x1 -19x2 + 55x3 -244 = 0. Das Gleichungssystem kann nun gelöst werden: -747X2 + 747X3 = 2988 Mit x 2 = r folgt: X3

=

X2

= 3r - 2

4+r

und damit ist die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen, in welcher der Bach

337

Lösungen

338

verläuft, gegeben durch:

(c) Um auf die Zeiten zu kommen , müssen die jeweiligen Wegstrecken durch die zugehörige Geschwindigkeit geteilt werden. ►

Assad Die Fußgängerbrücke führt auf direktem Weg zur Zielhütte, also entlang des Verbindungsvektors

Die Länge der von Assad zurückgelegten Strecke, enthält man durch den Betrag dieses Vektors:

Eine Längeneinheit entspricht 100 min der Realität. Die Strecke, die Assad zurücklegen muss, ist also ungefähr 3,017 km lang. Er ist mit einer Geschwindigkeit von 10 km /h unterwegs, für die Zeit, die er benötigt, gilt: fAssad

=

3,017

~

::::; 0,30.

Assad benötigt also ungefähr 0,30 h, also 18 min. ►

Paul Paul fährt mit dem Fahrrad zu der kleinen Brücke am Fluss. Dabei bewegt er sich entlang der Geraden h, die durch den Punkt A in Richtung des Baches verläuft:

h:

x=

(-

~o)

15

+ 1(

~~

) , 1E R

-10

Nun sollen die Koordinaten der Brücke ermittelt werden. Diese ergeben sich als Schnittpunkt des Baches mit der Gerade h:

Löst man das daraus resultierende LGS, so erhält man k

= -1

und 1 = 1.

Setzt man k in g oder I in h ein, so ergibt sich der Schnittpunkt S( 1 11 I S ). Die benötigten Zeiten vom Schankhaus zur Brücke und von der Brücke zur kleinen Hütte müssen aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeiten einzeln bestimmt werden.

339

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Die Strecken werden dabei analog zu oben über die Länge der Vektoren berechnet:

IBI = ( ~~)

(-1) 2 + 11 2 + (-10) 2

rn

-10

ISB

=v

=

=

= vin

~

AS, bzw. SB

14.90

✓,,. ,,, • ,, = V41h 2035

Eine Längeneinheit entspricht 100 min der Realität. Paul muss also eine Strecke von 1,49 km bergab bis zur Brücke zurücklegen und 2,035 km bergauf bis zur Berghütte. Bergab fährt Paul mit einer Geschwindigkeit von 30 km /h. Die Zeit fPaul ,I, die Paul bis zur Brücke benötigt, ist damit gegeben durch: fPaul, I

~

1,49

3Q =

0,05

Bergauf fährt Paul mit einer Geschwindigkeit von 10 km /h. Die Zeit tPauJ,2 , die Paul von der Brücke zur Berghütte benötigt, ist damit gegeben durch: tPaul,2

~

2,035

----io- = 0,2035

Paul benötigt damit ungefähr 0,2535 h, also 15,21 min ►

Michael Hier ergibt sich die Gesamtdauer durch die Wartezeit und den Aufenthalt in der Gondel. Zunächst wird die Wartezeit in Stunden umgerechnet: (Michael, !

=

6 60

= 0, l

Die Gondel bewegt sich auf einem Kreisabschnitt mit Radius r = 21,33. Um die zurückgelegte Strecke zu ermitteln, muss zunächst der Winkel a des Kreisabschnitts bestimmt werden. In der folgenden Skizze wird der Sachverhalt veranschaulicht. M

,

___ d_ __

A

B

Der Abstand d

=

IÄBI = V222

ist bereits bekannt. Mit M wird der Kreismittelpunkt bezeichnet. Die Punkte A, B und M bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln BM und MA. Fällt man das Lot vom Punkt M auf die Seite AB , so entstehen zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Mithilfe des Sinus kann die Größe des Winkels a bestimmt werden:

a

sin 2

ld

= Lr =

l2 . v1910 21,33

~ 0 71

'

==>

a

= 90°.

340

Lösungen

Von den Gondeln wird also ein Viertelkreis zurückgelegt. Die zurückgelegte Strecke der Seilbahn ergibt sich dann aus dem Viertel der Bogenlänge des ganzen Kreises:

s

= 41 •2JTr ,

5

=

s

also

1 2JT. 21,33 =

33,50.

Eine Län geneinheit entspricht 100 m. Damit legt die Gondel eine Strecke von 3,35 km zurück. Die Geschwindigkeit der Gondel beträgt 20 km /h und damit ist die Verweildauer von Michael in der Gondel

3,35

fMichael,2

= 2Q = 0, 1675

Die Zeit, die Michael benötigt, um am Ziel anzukommen liegt somit bei (Michael =

fMichael,l

+

fMichael,2 =

0, 1 + 0, 17

=

0,27.

Michael benötigt daher ungefähr 0,27 h, also 16,2 min. ►

Vergleich der Ankunftszeiten

Assad benötigt also ungefähr 18 min, Paul ungefähr 15 min und Michael ungefähr 16 min. Paul kommt also als erster an der Zielhütte an , um sein Bier zu genießen. (d) Der Schatten des Berggipfels bewegt sich vom Punkt Q aus in Richtung der Sonnenstrahlen , also auf der Geraden

Gesucht ist nun der Schnittpunkt der Gerade j mit der Ebene F . Dazu wird zunächst analog zur Teilaufgabe (a) eine Gleichung von F in Koordinatenform bestimmt:

F: -12x1 -19x2 + 55x3 - 244

= 0.

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung ergibt:

-12(2- m)-19(-12 + 6m) + 55(25 + 3m)- 244 = 0 m = 5.

=

Einsetzen von m

5 in die Geradengleichung ergibt den Schattenpunkt Qs (-3 l 18 l 10 ).

(e) Die Gerade u verläuft durch den Punkt R und senkrecht zur Ebene E. Ein möglicher Richtungsvektor ist also ein Normalenvektor der Ebene E. Aus Teilaufgabe (a) ist ein Normalenvektor von E bekannt. Eine Geradengleichung von u lautet:

u :

x=

-9 ) + ) (-21) 10 29 , (

-27

) ER

34

Die gesuchte Stelle ist genau der Schnittpunkt der Gerade u mit der Ebene E. Dazu wird zunächst die Geradengleichung in die Koordinatengleichung von E eingesetzt:

-21(-9- 21A) + 29(10 + 29)) + 34(27 + 34))- 178 2438) + 1397 -178

=0 =0

) = -0,5 Einsetzen von A = -0,5 in die Geradengleichung von u ergibt den Schnittpunkt und somit die gesuchte Stelle T( 1,5 1-4,5 110 ).

341

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Der „Flying Fox" trifft also im Punkt T( 1,5 j -4,5 j 10) auf die Ebene E. Lösung 194

(a) A + B

=

(c) U- V=

(~ 174) (~ ~) -3

(b) A + C =

2

( 20! 3

-6 5

~)

13

Lösung 195

(a) A· 8 = (242

(c) 8 · C =

(" ~

10

:)

(b) Das geht nicht, denn B hat drei Spalten aber A hat nur zwe i Zeilen .

16

35) 12

(d) C · B =

7

41

7 17

(" ~') 16

0

7

26

28

7

Lösung 196

f

l

(a)

32

A~+~)

(b) A.~ ( : )

-75

Lösung 197

(a) Schritt 1: 2 (2

211 4 0

0) . 1

Schritt 2: Erzeuge Zeilenstufenform links: 2 (0

211 2 -1

0) 1

Schritt 3: Erzeuge Einheitsarray links:

(~ ~ 1-~

-ll)

~ ~

-n

(

1

-1

j

342

Lösungen

Schritt 4:

33 (b) ff

1

=

(

-14

-4

(c) L' = (:~ (d) Schritt 1:

(:

0 -4

1

1

0

3

0

1

0

-2

0

0

\)

Schritt 2: Erzeuge Zeilenstufenform links:

(:

0

1

0

-12

8

-1

3

0

0

2

0

\)

Folglich ist die Matrix O nicht invertierbar.

Lösung 198

(a)

f(A)

=

B

=*

1 ( } (;)

f(B)

=

A

=*

'(;) = (;)

f(C)

=

E

=*

,(i) = m

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Vorgehen wie im Rezept liefert:

/(i) a,(;) ,(;) a(-:) (i) a(;) a(;) a

/ (;) a

/ (;)-

(;)-(;)

2 /

2 (:)

/(!) a/(:)-{) am- ma(J Die Abbildung wird folglich beschrieben durch die Matrix

1

-1)2 .

0

1

3

M=

C ~

(b)

f(F)

=F

==}

f(D)

=C

==}

f(A)

=F

==}

/(:) am

(} (:) ,(;) ,(:) /

Manchmal muss ein LGS aufgestellt werden , um festzustellen , wie man die Bilder der Einheitsvektoren ermittelt. Hier:

/

(:)

a

"

. /

==}

m.,, /(:) .,, ./(;) 3X1

+

X2

+

X3

=

1

4X1

+

X2

+

X3

=

Ü

7X1+X2+

Die Lösung ist x1

= Ü.

= -l ,x2 = 7 und x3 = -3. Man bekommt das Bild des ersten Einheits-

343

Lösungen

344

vektors also wie folgt:

_- (-12) -9 . -21 Die Bilder der anderen beiden Einheitsvektoren erhält man dann auf einfache Weise aus den schon bekannten Bildern:

Und schließlich:

Die Abbildungsmatrix lautet:

M =

-12 (-21-9

13

-3) -3 .

28

-6

15

Lösung 199

(a) Der Schattenpunkt des Punktes P( p, J p2 J p 3 ) auf der Ebene ist der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden

Dieser wird in Abhängigkeit von p, ,p2 und p3 berechnet. Dafür wird der allgemeine Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt und der Wert des Parameterskin Abhängigkeit von p, ,P2 und p3 bestimmt:

Pi + 2k + 2(p2 - 2k) - (p 3 - k)

=0

==>

k

= Pi

+ 2p2 - p3.

Den Schattenpunkt S( 51 J 52 153 ) erhält man durch Einsetzen von k in die Geradengleichung, wobei die Koordinaten gegeben sind durch: 51

= 3p, + 4p2 - 2p3,

52

= -2p1 - 3p2 + 2p3,

53 = -pi - 2p2 + 2p3. (b) Um die Abbildungsmatrix M der Abbildung f zu bestimmen, die einen Punkt auf seinen Schattenpunkt abbildet, werden zunächst die Schattenpunkte der Einheitsvektoren

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bestimmt:

f

1) ( 3 1 40-2·0) = ( 3) ( O

+ -2 · 1 - 3 · 0 + 2 0

-2

0

-1-2 0+2·0

-1

Auf gleiche Weise erhält man die Bilder der anderen Einheitsvektoren:

Die Abbildungsmatrix ist folglich

M

= (-~ _: -;) -1

-2

2

(c) Der Ursprung U ( 0 10 10) liegt offensichtlich in der Ebene. Er ist der Schattenpunkt all jener Punkte, die auf einer Gerade entlang der Einfallsrichtung des Lichts liegen:

Lösung 200 (a) Wenn man einen Punkt P an einer Ebene spiegeln möchte, dann berechnet man zunächst den Lotfußpunkt L, und addiert dann zum Punkt P zweimal den Verbindungsvektor Den Lotfußpunkt erhalten wir, wenn wir die Gerade durch P, die in Richtung der verläuft mit der Ebene schneiden. Normalen der Ebene,

PL.

n,

Den Lotfußpunkt L erhält man durch Einsetzen in die Ebenengleichung:

- (pi - k) + 2(p3 + 2k)

=

=0

k

= Pi - 2P3 5

= (::) = (~Pi; ~p3) 2

/3

~Pi + 3"P3

Dann ist der Verbindungsvektor vom Punkt P zum Lotfußpunkt L gegeben durch:

345

Lösungen

346

Der gespiegelte Punkt

P' lässt sich nun leicht bestimmen:

~ = P + 2_PL =

(:: ) +

P3

2_(-¾P1; iP3) = (~P1; ~p3) iP, -~p3

2

~p, -~p3

(b) Wir fassen das Spiegeln an der Ebene E als lineare Abbildung f auf. Um die Darstellungsmatrix zu erhalten, erzeugen wir zunächst die Bilder der Einheitsvektoren:

Die Abbildungsmatrix ist folglich

M

~ i (: : _:)

Lösung 201

(a) Dasselbe Vorgehen wie im Reze pt liefert:

Schritt 1: Parameterform von E:

Schritt 2: Umwandeln in Vektor:

E:-;

=(

:t )

,:/+ t

Schritt 3: Multipliziere den Vektor mit A:

( ~) ( _:: ) ~

-;

1

0

9

l+ s+ t

Schritt 4: Ebenengleichung in Parameterform:

4s + 12t ) (

-3s +St+ 1

9s + 13t + 9

.

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(b) Man wendet das Rezept für die Untersuchung des Bildes einer Ebene auch für das Bild einer Gerade an. Schritt 1: Die Gerade hat bereits die richtige Form:

g Y~

(lt)

Schritt 2: Man schreibt die Gerade als Vektor:

g:

x=

("'') -;) (' .~) ("'') 4s

-1 - 3s

Schritt 3: Multipliziere den Vektor mit A:

2

(:

0 0

5

-1 ~ 3s

Schritt 4: Geradengleichung:

u~ (:).,

5 + 1 ls

.

2 + 3s

m

Das Bild der Geraden g unter der Abbildung, gegeben durch die Matrix A, ist die Gerade h. Lösung 202

Die Matrix A lässt sich auch schreiben als cos(a) A

= -4 sint) (

-sin( a ) cos(a) 0

l)

Wendet man A auf einen Vektor im JR 3 an , so wird dieser zunächst um den Faktor 4 verlängert und umgekehrt (Multiplikation mit -4) und dann entgegen den Uhrzeigersinn um den Winkel a gedreht. Für die beiden Geraden bedeutet das, dass sie um den Winkel a gedreht werden. Dabei ändert sich ihre Position zueinander nicht. Die Streckung und Richtungsänderung haben keine Auswirkungen auf das Aussehen der Geraden und insbesondere keinen Einfluss auf die Lage. Folglich stehen die beiden Bilder der Geraden auch senkrecht aufeinander.

347

Lösungen

348

Lösung 203 Werden die Münzen gleichzeitig geworfen, dann gehören beispielsweise (ZZK) und (ZKZ) zu einem Ereignis. Der Stichprobenraum kann beispielsweise als die Anzahl der geworfenen Köpfe beschrieben werden:

0 = {0; 1;2;3 } . Ereignisse sind beispielsweise: ►

E1 = {2; 3} : Es wird mindestens zweimal Kopf geworfen.

►

E1 = {O} : Es wird kei n Kopf geworden.

Die dazugehörigen Gegenereignisse sind: ►

E1

►

E2

= {O; 1} : Es wird höchstens einmal Kopf geworfen. = {l ; 2; 3}: Es wird mindestens einmal Kopf geworfen.

Lösung 204

0 = { {5,5,8}; {5,5,W}; {5,5,C }; {5,8,C}; {5,8,W}; {5,C, W} ; {B,C,W} } . Lösung 205 (a) Die Augensumme 9 wird mit folgenden Ereignissen erzeugt:

(6,3), (5,4) , (4,5), (3 ,6). Anmerkung: Da nacheinander gewürfelt wird, sind die Ereignisse (5,4) und (4,5) unterschiedlich. (b) Die gesuchte Menge ist:

{ {K,K,K,Z}; {K ,K,K ,K }} c 0 (c) E

= {2; 3; 5; 7}. Anmerkung: 1 ist keine Prim za hl.

Lösung 206 (a) Es befinden sich 13 Herz-Karten im Deck, damit ist

P(H) = ~52 (b) Es befinden sich 4 Damen im Deck, damit ist

P(O)

=

~. 5

(c) Es gibt insgesamt 13 Herz- Karten im Deck. In diesen ist schon eine Dame enthalten. Es gibt daher noch 3 weitere Dam en, die noch nicht gezählt wurden. Insgesamt gibt es also 16 „günstige" Karten im Deck. Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P=

~ 52

= ~ 13

349

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Lös un g 207

(a) E: Die Augensumme ist größer als 7. Es gilt:

E

= {{6,2} ; {6,3 }; {6,4} ; {6,5}; {6,6}; {5,3}; {5,4}; {5 ,5} ; {5 ,6}; {4,4}; {4,5} ; {4,6}; {3,5} ; {3,6}; {2,6} } .

Also P(E)

=

15

. 36 (b) E: Das Produkt der Augenzahlen ist größer als 16. Es gilt:

E

= {{6 ,3}; {6,4}; {6,5} ; {6,6} ; {5,4} ; {5,5} ; {5,6}; {4,5}; {4,6}; {3,6} }.

Also: P(E)

10

= 36

(c) E: Es werden zwei verschiedene Zahlen gewürfelt.

E

E: Es wird ein

= {{6,6} ; {5 ,5} ; {4.4} ; {3,3}; {2 ,2} ; {1,1}}

P(E)

-

= 1 - P(E) =

==>

Pasch gewürfelt.

P(E)

=

6 36

30 36

Lös ung 208

Die achte Klasse hat insgesamt IOI = 69 Schüler. Die Anzahl der Schüler, die den Mensadienst nicht übernehmen können ist IEI = 36. Dam it ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgeloster Schüler den Mensadienst nicht übernehmen kann , zu

P(E)

=

36 69

=

E. 23

Lös un g 209

Zunächst werden ein paar Schreibweisen eingeführt. Bürgermeisterkandidat von A wurde gewählt: BA, Kreistagska ndidat von D wurde gewählt: Ko. Die Stimmen für die Bürgermeisterkandidaten sind:

IBAI = 60 , IBal = 90, IBcl = 100. Die Stimmen fü r die Kreistagskandidaten ergeben sich aus den Eigenstimmen und den Fremdstimmen:

IKAI

= 30 + 20 ,

IKal

= 45 + 0,

IKc l

= 50 + 20 .

Die Stimmen für den Kreistagskandidat von O ergeben sich aus den Fremdstimmen von A, B und C:

IKo l

= 30 + 25 + 30 .

Damit können die Aufga ben gelöst werden . (a) Es wurde mindestens einmal für B gestimmt, wenn der Bürgermeisterka ndidat oder der Kreistagskandidat von B gewählt wurde. Da der Kreistagskandidat von B keine Fremdstimmen bekommen ha t, fol gt

P(Ba U Ka) =

90 . 250

Lösungen

350

(b) Dies wird über das Gegenereignis , dass mindestens einmal für C gestimmt wurde, wie in vorigem Aufgabenteil bestimmt. Es gilt IBc l = 100, weiter hat der Kreistagsabgeordnete noch 20 Fremdstimmen erhalten. Also gilt:

= 1 - P(Bc U Kc ) = 1 -

P(Bc U Kc)

120 250

130 250 (c) Für den Kreistagsabgeordneten der Partei D stimmten 30 Wähler, die den Bürgermeisterkandidaten von A gewählt haben:

P(BA n Ko)

=

30 250

.

(d) Die Hälfte der Wähler des Bürgermeisterkandidaten von 8 stimmten für den Kreistagskandidaten von 8. Daraus folgt: -

P(Ba n Ka)

1

90

= 2 · 250 =

45 250 ·

(e) Die Wahrscheinlichkeit , dass Kandidaten unterschiedlicher Parteien gewählt wurden , ergibt sich aus den Fremdstimmen für die Kreistagskandidaten A, 8 und C plus allen Stimmen für 0: P(unterschiedliche Parteien gewählt) =

20

P(BA n KA) + P(Ba

-

-

n Ka) +

P(Bc

0

+

250 Alternativ kann dies auch so berechnet werden:

250

+

20 250

+

85

=

250

30 45 50 125 250 + 250 + 250 = 250.

n Kc ) =

Lösung 210

(a) Mit E,: Durch drei teilbar, E2: Primzahl gilt dann:

= {3,6,9 , 12, 15, 18,21 ,24,27,30,33,36,39 ,42,45,48}, E2 = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}. E1

Damit gilt: P(Ei)

=

16 49 ,

P(E) 2 =

~ 49,

Also kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden: P(E1 U E2) = P(E,) + P(E2) - P(E,

n E2) =

16 49

15

+

49

-

1 49

=

30 49

.

(b) E 1: Kleiner als 20, E2 : Gerade Zahl. Es gilt: P(E1) =

19 49

,

P(E2) =

24 49

,

P(E,

P(E, U E2) = P(E,) + P(E2)- P(E1

n E2)

n E2)

= =

9 49 19 49

24

+

49

-

9 49

=

34 49

.

(c) E 1 : Durch 7 teilbar, E2 : Durch 9 teilbar. Es gilt: P(E1 ) =

7 49

,

P(E2) =

5 49

P(E,

125 250

n E2)

P(E, U E2) = P(E,) + P(E2)- P(E, n E2) =

=

7 49

0 49 +

5 49

-

0 49

=

12 49

.

.

l'3

l'3

1

1

laz e-Abi

351

Lösung 211

6

(b)

1

1

4

= 12 = 2 P(8 ) = 12 = 3. 2 1 P(8 n C) = 12 = 6

(a) P(C)

(c) P(8

u C) = P(C)-.- P(8)- P(8 0 C) =

--

(d) P(8 U C)

= 1 - P(8 U C) = 1 -

2

3

1

2

2 + 3 - 6 = 3.

1

= . Mit dieser Wahrscheinlichkeit zeigt der Zeiger 3

auf ein Feld , das weder blau ist noch eine gerade Zahl zeigt. Das heißt ein Drittel der Felder zeigen ungerade Zahlen und sind gelb oder rot.

Lösung 212

(a) P(H)

1

= ,

P(K) =

4

P(Hn K)

=

4

52

Es gibt nur einen Herz-König, also ist der Schnitt

1 52·

Die Vereinigung berechnet sich mit dem Additionssatz: P(H U K)

1

= P(H) + P(K)- P(H n K) = 4 +

4 52

-

1 52

=

16 52

4

= l3

(b) Zu A gehören alle Paare, in denen mindestens eine 1 oder 2 enthalten ist:

P(A)

=

20. 36 Zur Berechnung von P(8) ist zunächst eine Liste hilfreich. Hier wurde die Augenzahl des einen Würfels immer zuerst geschrieben, um zu erkennen , dass einige Kombinationen doppelt auftreten (z.B. {2.4} = {4,2}).

8

= {{1,2},{1,5},{2,1},{2.4}.{3,3},{3,6}, {4,2},{4,5},{5,1} ,{5,4},{3,6},{6,6}}

===}

P(8) = ~ 36

Schnitt und Vereinigung ergeben sich zu

P(A n 8)

=

6 , 36

P(A U 8)

= P(A) + P(8) - P(A n 8) = -20

36

12 6 + - - 36 36

= -26

36

Lösungen

352

Lösung 213 Zu Beginn werden folgenden Bezeichnungen eingeführt:

V : Ereignis, dass in einem zufällig ausgewählten Restaurant „Verkohltes Allerlei" angeboten wird. C : Ereignis, dass in einem zufällig ausgewählten Restaurant „Grünkohl-Schwefel-Saft" angeboten wird. Gegeben ist:

P(V)=!~, Gesucht ist P ( V

5 P(VuC)=5 0

P(C)=:~.

n C)

Der Additionssatz besagt:

P(Vu C) = P(V) + P(C)- P(V n C) Es gibt nur 5 Restaurants, in denen keine der beiden Spezialitäten angeboten wird. Daher wird in 45 der Restaurants mindestens eine der Spezialitäten angeboten:

P (V

u C)

) 45 = 1 - P (VuC = 50

Dies zusammen mit den Angaben in den Additionssatz einsetzten.

P(V U C) = P(V) + P(C)- P(V n C) 45 = 30 + 40 _ P( V n C) 50 50 50 1

P(Vn C)

=2

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %wird in einem zufällig ausgewählten Restaurant „Verkohltes Allerlei " und „ Grünkohl-Schwefel-Saft" angeboten.

Lösung 214 (a) Der Autor geht von einer stochastischen Abhängigkeit aus. Männlich zu sein impliziert für den Autor, dass die Wahrscheinlichkeit, naturwissenschaftlich begabt zu sein, steigt. (b) Hier geht der Autor von einer stochastischen Unabhängigkeit aus. \

Lösung 215

P(A)

= ;,

P(B)

=

27 36

=~

4

==>

P(A) · P(B) = ~-

Die Schnittmenge sind alle Paare gerader Zahlen:

9 1 3 = i= = P(A) · P(B) 4 8 36 Damit sind A und B nicht stochastisch unabhängig.

P(A n B) =

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Lösung 216

(a) Mit den Bezeichungen R (Robben trifft) und A (Aubameyang trifft) kann die Vierfeldertafel mit den Angaben befüllt und die fehlenden Werte abgeleitet werden:

II A

R

1

R

I

1

0,75

A

=

0,1

R

R

A

0,75

0, 15

0,9

A

0,05

0,05

0, 1

0,8

0,2

0,8

(b) Das Spiel ist zu Ende, falls nur einer der beiden Spieler trifft. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt P (R nA) + P(RnA)

= 0,05 + 0,15 = 0,2.

Lösung 217

(a) Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird, lautet unter der Bedingung, dass Vollmond ist:

(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird und Vollmond ist, lautet:

P(S nM). (c) Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird , lautet unter der Bedingung, dass sie verhütet hat: Pv(S). (d) Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola verhütet hat, lautet unter der Bedingung, dass sie

schwanger ist: Ps(V) .

Lösung 218

(a) Es gilt: Die Ereignisse A und 8 sind stochastisch unabhängig, genau dann wenn

P(A n 8)

=

P(A) · P(8) .

Also:

p 8 (A) = P(A n 8) = P(A) · P(8) = P(A) P(8)

P(8)

(b) Es ist

P8 (A)

=

8 P(A n ) P(8)

=

P(A n 8)

= P8 (A) · P(8).

=

8 P( nA) P(A)

=

P(8nA)

= PA(8) · P(A).

Ebenso gilt

P (8) A

Wegen An 8

= 8 n A können die Gleichungen gleichgesetzt werden. Hieraus folgt die

353

Lösungen

354

Formel von Bayes:

=

= PA(B) · P(A)

Pa(A) · P(B)

P(A) Pa(A) = PA(B) P(B).

Lösung 219 (a) Aus den Angaben des Textes kann man ablesen:

P(H)

=

80000 80 000 000

= 0 001 . '

(b) Da der Test in 99 %aller Fälle korrekt ist, gilt:

P (H n T)

CR)

Mit P

= 0,001

· 0,99

= 0,00099 .

= 1 - P(H) = 0,999 und der Tatsache, dass der HIV-Test in 1 %aller Fälle

falsch liegt, gilt

P

("R n T) = 0,999. 0,01 = 0,00999.

(c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person HIV-positiv getestet wird , ist

P(T) = P (H

n T)

+P

(H n T)

= 0,00099 + 0,00999 = 0,01098.

Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt damit:

p (H) = P (H n T) = T

P( T)

0,00099 ~ O 09 . 0,01098 '

(d) Pr( H) ~ 0,09 bedeutet, dass eine positiv getestete Person nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 9 % HIV-positiv ist. Als praktische Konsequenz ergibt sich, dass ein positiver HIV-Test kein ausreichender Grund ist, von einer HIV- Infektion auszugehen. Im Fal le eines positiven Tests sind weitere Tests nötig, um eine verlässliche Aussage treffen zu können. Die geringe Wahrscheinlichkeit ist nur auf den ersten Blick überraschend . Würde man alle in Deutschl and lebenden Personen auf eine HIV-Infektion testen , dann würde der Test bei 1 % aller HIV-negativen Personen fälschlicher Weise ein positives Ergebnis anzeigen . Und dies wären (80 000 000 - 80 000) · 0,01

=

799 200

Personen. Dies sind fast 10 Mal so viele wie die Anzahl der tatsächlich HIV- positiven Personen.

Lösung 220 Es bietet sich nur Variante (a) an, da sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen der Lose (ohne Zurücklegen) ständig verändert. Beim Glücksrad bleiben die Bedingungen bei jeder Drehung die selben.

355

ab1turma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

Lösung 221 In beiden Teilau fgaben soll das folgende Ereignis betrachtet werden:

E : Es werden zwei verschiede nfarbige Kugeln gezogen. (a) Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen . Das Baumdiagramm dafür sieht wie folgt aus: Urne mit 38, 2R, 1C

~l~

8

(U rne , 38. 2R . 1G)

l

'\

BR

88

C

(Urnd8 . 2R. 1 G)

l

~l

3

R

(Urne, 38. 2R , l G)

3

RB

BC

l

~l '\

RC

RR

~l

3

CR

GB

'\

CC

Die Wahrscheinlichkeit P(E) beträgt beim Ziehen mit Zurücklegen:

P(E)

= P(BR) + P(BG) + P(RB) + P(RG) + P(GB) + P(GR) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 = - . - + - . - + - . - + - . - + - . - + - . - = -. 2 3 2 6 3 2 3 6 6 2 6 3 18

(b) Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Das Baumdiagramm dafür sieht wie folgt aus: Urne mit 38, 2R, 1C

B

~l~ R

88

BR

I\

RB

BC

RR

RC

GB

Die Wahrscheinlichkeit P(E) beträgt beim Ziehen ohne Zurücklegen:

P(E)

= P(BR) + P(BG) + P(RB) + P(RC) + P(CB) + P(CR) = -12 .- + 2

5

C

(Urne, 38. 1R. 1G)

(Urne, 28. 2R. 1G)

2

113111312

.- +- .- + - .- + - .- + - .-

5

3

5

3

5

6

5

6

5

11 = -.

15

CR

Lösungen

356

-

'

Lösung 222

Bei der Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten in dieser Urnenaufgabe muss beachtet werden, dass die beiden zuerst gezogenen Kugeln bei der dritten Ziehung wieder zurückgelegt werden. (a) Für das erste Eregnis gilt:

P(E1 ) = P(SSS) + P(CCC) + P(WWW). Zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten wird exemplarisch P(SSS) bestimmt:

3

2

3

= 10 . 9 . 10 =

P(SSS)

1 50.

Schließlich ergibt sich:

P(Ei)

1 1 1 50 + 225 + 9

=

61

= 450.

1

(b) P(E2)

= 5.

(c) P(E3)

=

(d) P(E4 )

= P(WWW) + P(WWW) =

1 . 225

i\

Lösung 223

Die Kontrolle entspricht dem Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. Ein funktionstüchtiger Mikrochip wird mit F bezeichnet. Ein defekter Mikrochip entspricht dann dem Gegenereignis F. Die Ware wird in drei Fällen zurückgewiesen. Die Summe der dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P(FFF) + P(FF F) + P(FFF) ;::; 0,071777 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ware zurückgewiesen wird , beträgt etwa 7,2 %.

1

Lösung 224

Da zwei der Kugeln von U2 in U1 umgelegt werden, befinden sich in U1 zum Zeitpunkt der Ziehung 6 + 2 = 8 Kugeln . Zuerst werden die Wahrscheinlichkeiten für die Ziehungen in U2 berechnet. Dabei gilt beim Ziehen ohne Zurücklegen:

P(25) = P(2W)

=

P(lS,lW)

=

~ ~ 1 8 15

(a) Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden , dass die gezogene Kugel grün ist: Da sich in U2 keine grünen Kugeln befanden, sind zwei der acht Kugeln grün. Also gilt für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

P(C)

=

i-

(b) Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden , dass die gezogene Kugel weiß ist: Da

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sich auch zwei weiße Kugeln in U2 befanden , werden nun alle Möglichkeiten durchgespielt und folgendes gerechnet:

= P(25) ·

P(W)

2

4

3

1

8 + P(2W) · g + P(lS,1 W) · 8 = 3.

(c) Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden , dass die gezogene Kugel schwarz ist: Da sich auch zwei schwarze Kugeln in U2 befanden , werden nun alle Möglichkeiten durch gespie lt und folgendes ge rechnet:

P(S)

4

2

3

= P(25) · 8 + P(2W) - 8 + P(lS, 1 W) · 8

5 12

Lösung 225 ►

Zuerst wird berechnet bei wie vielen Schülern erwartet wird , dass sie aufgrund einer weißen Kugel mit ja antworten:

~ · 3000 = 1125. ► Mit dem gleichen Rechenweg wird berechnet, von wie vielen Schülern erwartet wird , dass sie wahrheitsgemäß antworten:

1

8 · 3000 = 375. ► Um zu erfahren wie viele der ja's tatsächlich „echte" ja's waren , wird folgende Subtra ktion durchgeführt:

1457 - 1125

= 332.

►

Von den Schülern, die wahrheitsgemäß geantwortet haben , lässt sich damit der Anteil an Schülern bestimmen , der angegeben hat schon einmal abgeschrieben zu haben:

332 375 ~ 0,89 . Es haben ungefähr 89 %aller Schüler schon einmal bei ihrem Nachbarn abgeschrieben.

Lösung 226

(a) Es gibt N

= 9 · 10 · 10 · 10 · 10 • 10 • 10 = 9 • 10 5 = 900000 mögliche Telefonnummern.

(b) Es gibt N = 26 · 25 · 24 · 23 Möglichkeiten für die nächsten vier Buchstaben. Die Wahrscheinlichkeit p, dass der Name NORA erscheint beträgt also:

1 p

1

= 26 · 25 · 24 · 23 = 358800

(c) Es gibt N

=

10 5

=

100000 unterschiedliche Passwörter.

(d) Da der Showmaster in der Mitte sitzt, bleiben noch sechs Stühle frei. Für den berühm testen Gast kommen zwei Stühle in Frage, für den nächsten Gast noch fünf, für den übernächs ten noc h vier und so weiter. Also:

N

= 1 · 2 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 240

(e) Es gibt N

=

m= 15

mögliche Spielpaarungen.

357

Lösungen

358

Lösung 227

(a) Es gibt 12 ! = 479001600 verschiedene Zwölftonreihen, da der erste Ton einer von zwölf sein kann , der zweite dann noch einer der übrigen elf usw. (b) Da er schon sieben Töne verwendet hat bleiben ihm 12- 7 = 5 Töne für den Dreiklang. Für die Anzahl der Möglichkeiten des Dreiklangs gilt dann:

(~) =

10.

Lösung 228

(a) Hier ist O = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Da alle Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von gewürfelt werden, gilt:

P(X

1/6

1

= 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) = 6.

(b) Die Augensumme zweier Würfel beträgt mindestens 2 und höchstens 12. Hier gilt 0 = {2,3,4,5,6, 7,8,9, 10, 11, 12}. Die Augensumme 2 kann nur erreicht werden, wenn beide Würfel eine 1 anzeigen. Also: 1

1

1 . 36 Die Augensumme 3 hingegen wird erreicht, wenn der Würfel A eine 1 und Würfel B eine 2 oder wenn Würfel A eine 2 und Würfel Beine 1 anzeigt. Also:

P(X

= 2) = P({Würfel A = l;Würfel B = l}) = 6 · 6 =

P(X

= 3) = P ({A = l; B = 2}.{A = 2; B = l}) =

~ + ~ 3 3

= :6 ·

Mit diesen Überlegungen erhält man folgende Tabelle: X;

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

P(X=x;)

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

12 1

36

Lösung 229

Die Zufallsvariable X kann die Werte 0,2 und 50 annehmen. Also XE {O, 2, 50}. Der Hauptgewinn wird nur dann erreicht, wenn beide Glücksräder eine 4 anzeigen. Also: 1

1

1 . 16 Die Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis in Höhe von 2 Euro beträgt:

P(X

= 50) = P((4.4)) = 4 · 4 =

P(X

= 2) = P( (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (3, 4), (4, 3)) =

9

16

.

Die Wahrscheinlichkeit für keinen Gewinn kann man über das Gegenereignis bestimmen:

P(X

6

= 0) = 1 - P(X = 50) - P(X = 2) = 16 .

359

ab,turma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

Lösung 230

In einem ersten Schritt wird der Wahrsc heinlichkeitsraum bestimmt, d. h. es wird bestimmt, welche Werte X annehmen kann. Zeigt die Münze Zahl, dann werden die Zahlen addiert. Mögliche Ergebnisse sind hier 4,5,6. Wird Kopf angezeigt, dann wird die erste Zahl von der zweiten Zahl subtrahiert. Mögliche Ergebnisse sind nun -1, 0, 1. Damit ist die Stichprobenmenge, d.h. die Wertemenge von X, bestimmt:

0 = {-1,0, 1,4,5,6} . Um die Wahrsc heinlichkeitsverteilung von Wahrscheinlichkeit ermittelt werden:

X zu bestimmen, muss für jedes Ereignis von X die

= - 1) = P((3, K, 2)) = 0,8 · 0,5 · 0,2 = 0,08 P(X = 0) = P( (2, K , 2), (3, K, 3)) = 0,2 · 0,5 · 0,2 + 0,8 · 0,5 · 0,8 = 0,34 P(X = 1) = P((2 , K , 3)) = 0,2 · 0,5 · 0,8 = 0,08 P(X = 4) = P( (2, Z, 2)) = 0,2 · 0,5 · 0,2 = 0,02 P(X = 5) = P( (2, Z,3),(3,Z,2)) = 0,2 · 0,5 · 0,8 + 0,8 · 0,5 · 0,2 = 0, 16 P(X = 6) = P( (3, Z, 3)) = 0,8 · 0,5 · 0,8 = 0,32 P(X

Lösung 231

(a) E(X)

= 1.

1

1

1

1

1

1

6 + 2 · 6 + 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 6 + 6 · 6 = 3,5

1 2 3 6 3 2 1 (b) E(X) -- 2 . 36 + 3 . 36 + 4 . 36 + . . + 7 . 36 + ... + 10 · -36 + 11 · -36 + 12 · -36

=

7

Lösung 232

Es wird der Erwartungswert der jährlich auszuzahlenden Versicherungssumme pro Person berechnet:

E(X) = 50 · 0,2 + 100 · 0,05 + 1.000 · 0,02 + 10.000 · 0,002 = 55 . Die Versicherung würde demnach erst ab einem jährlichen Beitrag von mindestens 55 Euro Gewinn machen. Dies entspricht einem monatlichen Beitrag von etwa 4,58 Euro, d. h. mit dem aktuell geplanten Beitrag von 4,49 Euro macht die Versicherung Verlust.

Lösungen

360

Lösung 233

(a) Zunächst wird berechnet, welche Ausschüttung (X) pro Spiel zu erwarten ist:

E(X) = 1 ·

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9+2·9+3· 9+4·9+5· 9+6·9+7·9+8 ·9+9· 9=

5.

Im Schnitt gewinnt ein Spieler a lso 5 Euro pro Spiel, d.h. der Einsatz muss mind es tens 5 Euro betragen , da mit die Gemeinde keinen Verlust macht. (b) Der Einsatz soll jetzt 4 Euro betragen. Die unbekannte Feldanzahl sei k.

E(X) = 4 = 1 · 4

1

k

+2·

1

k

+3·

1

k

+ · + (k- 1) ·

1

k

+k·

1

k

1

= k · (1 + 2 + 3 + · · · + k)

4=i ·(k;l •k) 4=-k+1 2

k=7 Hat das Glücksrad 7 Felder, so macht die Gemeinde weder Gewinn noch Verlust. Dies wäre ein faires Spiel. Hat das Glücksrad weniger als 7 Felder, so würde die Gemeinde mit dem Glücksspiel Geld einnehmen.

Hinweis: Bei der Lösu ng wurde die Gaussc he Summe nforme l benutzt. Diese findet sich in der Fo rmelsammlung und laute t:

1 +2+3+···+k- k(k+l) 2 . Hat man diese Formel nicht zur Hand, so kann man a lte rn a ti v das Ergeb ni s auch durch Probieren bestimmen. Da man davon ausgehen kann, dass das neue Glücksrad weniger a ls 9 Felder besitzen wird, ist die Anzahl an Möglichkeiten, di e man durchprobieren müsste, stark begrenzt.

Lösung 234

(a) Die Wahrscheinlichkeit, nicht Kopf zu werfen (K) beträgt 1/2. Der Erwartungswert des Gewinns X be rechnet sich zu: 1

E(X)

=2·

(;)

2

+ 4 · (;)

3

+ 8 · (;)

4

+ 16 · (;)

5

+ 32 · (;)

= 5.

Das Spiel ist fair, wenn der Erwa rtungswert des Gewinns genau der Teilnahmegebühr entspricht, also wenn die Teilnahmegebühr 5 Euro beträgt. (b) Die erweiterte Tabelle inklusive der allgemeinen Formel lautet: Anzahl Würfe Gewinn in Euro

2

2

3

4

5

6

7

8

k

4

8

16

32

64

128

256

2k

abiturma - Dein Intensivkurs fürs Math e-Abi

36 1

(c) Der Erwartungswert der unbesc hränkten Version ist nicht endlich, da:

E(X ) = 2 . ( i)

1

+ 4 . ( i) 2 + 8 . ( i ) 3 + ... + 2k . ( i) k + . .

=l-,.l-,.1+ ··· + 1 +-·· +l+ -+ 00.

Im Mittel erwarte t man also einen unendlichen hohen Gewinn . (d) Di e W ahrscheinlichkeit, übe r 1000 Euro zu gewinnen , ist

P(X

> 1000) = 1 - P(X s; 1000) = l-(i), - u r ---- - u r 1 2

1 4

1

= 1- - - - - -·

512

511 = 1- 512 ;:; 0,001953 Die Wahrscheinlichkeit, über 1000 Euro zu gewinnen ist also sehr klein , obwohl der Erwartungswert gegen unendlich geht.

Lösung 235

Die Wahrscheinlichkeit , in 7 Würfen k Sechsen zu würfeln ist 7

7) ( 1 ) k P(X = k) = ( k . 6

. ( 65 )

-k

Damit wurden die Wahrscheinlichkeiten in folgender Tabelle berechnet:

0

P(x = Xn )

0,28

0,39

2

3

4

5

6

7

0,23

0,078

0,016

0,0019

0,00013

;:; 0

Damit ergibt sich folgendes Histogramm :

p

0,2

0

2

3

4

5

6

7

Lösungen

362

Lösung 236

(a) Je höher die Trefferwahrscheinlic hke it ist, desto mehr wandert der „Gipfel" des Histogramms nach rechts. Damit sind die Trefferwahrscheinlichkeiten in aufsteigender Reihenfolge

PA < PD

< PC < PB·

(b) Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen , ist p = Würfen ist: 1 E(X) = n · p = · 15 = 7,5

f

Der Erwartungswert bei n = 15

2

Das Histogramm C ist um den größten Wert von X = 7,5 symmetrisch, also beschreibt Hi stogramm C die Anza hl von Kopf bei fünfzehn Würfen . (c) Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen , ist p = { Der Erwartungswertbein = 15 Würfen ist: 1 E(X) = n · p = · 15 = 2,5

6

Das gesuchte Diagramm hat seinen Gipfel also bei x = 2,5. Also gehört das Histogramm A zu diesem Zufallsexperiment.

Lösung 237

(a) In einem ersten Schritt wird der Wa hrscheinlichkeitsraum bestimmt, d. h. es wird bestimmt, welche Werte X a nnehmen kann . Zeigt die Münze Zahl, da nn wird der Wert des Würfels verdoppelt. Mög li c he Ergebnisse sind hier 2, 4 , 6 , 8, 10, 12. Wird Kopf angezeigt, da nn wird von der Augenzahl Eins abgezogen. Mögliche Ergebnisse sind nun 0, 1,2 , 3,4,5. Damit ist der Ereignisraum bestimmt: 0

=

{O, 1, 2, 3, 4 , 5, 6 , 8 , 10, 12} .

Ergebnisse, die sowohl bei Zahl als auch bei Kopf vorkommen , treten mit der Wahrsch e inlichkeit 2 · ¾ · ½a uf, die anderen mit ¾ · ½-

P(X = 2) = P(X = 4) = 2 ·

1

1

2

· = . 6 2 12

P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 5) = P(X = 6) = P(X = 8) = P(X = 10) = P(X = 12) = Da mit ergibt sich folgendes Histogra mm :

1

1

1

· = . 6 2 12

ab,turma - Dein Intensivkurs fürs Mathe-Abi

p

t

TI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 (b) Ist das Ergebnis kleiner oder gleich 6, so verliert der Spieler seinen Einsatz. Ist das Ergebnis größer als 6, gewinnt der Spieler effektiv 2 Euro (also 5 Euro abzüglich des Einsatzes von 3 Euro). Der Erwartungswert des Gewinns Y eines Spielers berechnet sich wie folgt:

= (0 - 3) · P(X ~ 6) + (5 - 3) · P(X > 6) = -3 - (1 - P(X > 6)) + 2 · P(X > 6) Mit P(X > 6) = P(X = 8) + P(X = 10) + P(X = 12) = i E( Y)

= -3-

E(Y)

9

3

ergibt sich

-21

12 +2- 12 = 12 = -1,75.

Ein Spieler verliert also im Schnitt 1,75 Euro pro Spiel, d. h. Peter gewinnt 1,75 Euro. Damit macht Peter langfristig Gewinn.

Lösung 238

(a) P(k

= 9) = b(19; 0,6; 9) = ( ~) · 0,69

0,4

10

;:;;

0,0976

(b) P(k ~ 6) ;:;; 0,989

(c) P(6

~

k

~ 9) ;:;; 0,004

Lösung 239

(a) P(k

= 5) = b(15; 0,5; 5) = ( ~) · 0,5 5 · 0,5 10 ;:;; 0,0916

(b) P(k

~

2)

=

b(15; 0,5; 0) + b(15; 0,5; 1) + b(15; 0,5; 2);:;; 0,0037

Lösung 240

Es handelt sich um eine ßinomialverteilung, da nur interessiert, ob eine Frage richtig oder falsch beantwortet wird. Es ist immer nur eine der vier Antworten richtig ist. Es gilt n = 20 und p = 0,25. (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass Kevin mindestens zehn Aufgaben richtig rät , ergibt mit obigen Werten:

P(k

~ 10)

= 1 - P(k

~ 9) ;:;; 0,0139 .

Kevin besteht den Test durch bloßes Raten zu 1,39 %.

363

Lösungen

364

(b) Es werden folgende Wahrscheinlichkeiten berechnet:

P(k ::; 4) ;::; 0,4148, 20

P(k = 0) = ( ~)

;::;

0,00317 .

Kevin muss mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 41,5 % in die Wiederholungsstunde und mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0,32 % nachsitzen.

Lösung 241

Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit (2,3 %), dass maximal 400 der Neuinfizierten am Ebolavirus sterben. Die Summe läuft dabei über Null bis zu 400 tödlich verlaufenden Fällen. Lösung 242

Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur interessiert, ob der Roboter nach rechts (p = 0,65) oder na ch oben geht. Die Wahrscheinli c hkeit bleibt die ganze Zeit über gleich. (a) Um nach Z zu gelangen muss der Roboter insgesamt 7 Schritte nach rechts und 6 Schritte nach obe n gehen. Da mit ergibt sich: n

= 7 + 6 = 13.

Bei einer Ausführun g von 13 Schritten muss er also 7 Schritte in x-Richtung gehen . Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zu Z gelangt, wie folgt berechnen:

P(k

1

= 7) = b(l3 ; 0 ,6 5; 7) = ( : )

· 0,65

7

·

0,35

6

;::;

0, 1546 .

De r Roboter ge lan gt mit einer Wahrsch e inli chkeit von ungefähr 15 % zur Ladestation. (b) Der Weg des Roboters muss nun in zwe i Teilwege zerlegt werden. Der Weg zur Messstation erfordert n = 5 + 3 = 8 Sc hritte, von denen 5 nach rechts gesetzt werden müssen. Damit ergibt sich:

P(k

= 5) = b(8; 0 ,65 ; 5) = (:) · 0 ,65 5 · 0,35 3 ;::; 0,2 786.

Für den zweiten Teilweg verbleiben nun n = 13 - 8 nach rechts gesetzt werden müssen . Dann gilt:

P(k

= 2) = b(5 ; 0 ,65 ; 2) =

(5)2 · 0 ,65

2

= 5 Schritte, von denen k = 7 - 5 = 2

· 0 ,35 3 ;::; 0, 1811.

Die Wahrscheinlichkeit d a für, dass der Roboter beide Wege geht , ergibt sich dann aus dem Produkt beider Wa hrscheinlichkeiten: 0,2786 · 0 , 1811 ;::; 0 ,0505. Der Roboter kommt mit einer Wahrscheinli chkeit von 5 %sowohl bei M al s auch bei Z vorbei .

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Lösung 243

Die Wahrscheinlichkeit für ein Päckche n ohne feines weißes Zeug beträgt p = 0, 1. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass Really Bad John und Evil Emma davon ausgehen, dass sich in mehr als 10 %der Beutel kein feines weißes Zeug befindet. ►

Reall y Bad John überprüft n

P(k :::: 1)

= 5 Beutel. Dann gilt:

= 1 - P(k = 0)

~ 1 - 0,59 ~ 0,41

Die Wahrscheinlichkeit, dass Really Bad John dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr 41 %. ►

Evil Emma überprüft n

P(k :::: 3)

= 20

Beutel. Dann gilt:

= 1 - P(k ::; 2)

~

1 - 0,6769 ~ 0,3231

Die Wahrscheinlichkeit, dass Evil Emma dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr 32 %. Bad Max sollte damit die Variante von Evil Emma wählen. Lösung 244

(a) Folgende Eigenschaften sind erfüllt: ► ► ►

Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge: Entweder wird das Photon absorbiert oder nicht. Die einzelnen Photonen (Versuche) sind unabhängig von einander. Die Wahrscheinlichkeit für die Absorption eines Photons bleibt gleich.

Damit sind alle Bedingungen dafür erfüllt, dass die Detektion von Photonen als Binomialprozess modelliert werden kann. (b) Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau 170 Elektronen gemessen werden , gilt: 8(200; 0,85; 170)

= 8(200; 0,15;

30) ~ 0,0788

und für die Wahrscheinlichkeit P, dass mindestens 165 und höchstens 170 Elektronen gemessen werden: P

= 8 (200; 0,85; 165) + .. . + 8 (200; 0,85; 170) = 8 (200; 0, 15; 30) + .. . + 8 (200; 0, 15; 35) = 0,39 15.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 170 Elektronen gemessen werden, beträgt ungefähr 7,9 % und die Wahrescheinlichkeit, dass mindestens 165 und höchstens 170 Elektronen gemessen werden, beträgt ungefähr 39,2 %. (c) Für binomialverteilte Zufallsvariablen gilt µ = n -p

und

a=-Jn - p-(1 - p) .

Daraus folgt: SNR

=

!!_

a

=

np y np(l-p)

Man benötigt also möglichst viele Photonen, um ein hohes SNR zu erhalten. Mit den Werten in Aufgabenteil (b) folgt: SNR

=

✓ 200 · 0,85 m11:

v 0,15

~ 33,6.

365

Lösungen

366

-J

(d) Die Bedingung von De-Moivre und Laplace liefert np (1 - p) > 3. Durch Umformung folgt n > 70,6, das heißt , es müssen mindestens 71 Photonen einfallen, damit der Prozess durch eine Ga ußverteilung an genähert werden kann .

Lösung 245

Gegeben: ►

X: Anzahl der Treffer

► n

= 50

► p

= 0,3

(a) P(X = 15) = (;~) • 0,3 15 • 0,7 35 = 0, 1223

n.

15

(b) P(X ::; 15) =

L (5 i=0

(c) P(X 2". 13) =

0 ,3;. o.7 5o-; = F(50; 0,3; 15) = 0,5692

50

L (5;0 ) . 0 ,3; . o,75°-;

= 1 - F(50; 0 ,3; 12) = 0.7771

i= 13

(d) P(16

< X ::;

21

21) =

L (5;0 ) · 0,3; · 0,7 50-;

= F(50; 0,3; 21)- F(50; 0,3; 16) = 0,2910

i = 17

(e) Sobald die Reihenfolge der Versuche wichtig wird , kann man nicht mehr mit der Binomialverteilung argumentieren. Die Wahrscheinlichkeiten beim 14. und beim 17. Mal sind unabhängig von den 48 anderen Versuchen , insofern gilt: P(Treffer beim 14. und 17. Mal) = 0,3 · 0,3 = 0,09 (f) Bei der Binomialverteilung wird davon ausgegangen, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit p von Versuch zu Versuch nicht ä ndert. Während einer Trainingseinheit kann dies allerdings durchaus passieren, zum Beispiel durch Windeinfluss, Ermüdung oder Steigerung der Leistung nach einigen Schüssen.

Lösung 246

(a) Die zwanzig Menschen werden aus einer sehr großen Gruppe ausgesucht. Trotzdem handelt es sich im Prinzip um ein Ziehen ohne Zurücklegen, das heißt, die Wahrscheinlichkeit verändert sich, sobald man eine Person gewählt hat. Genauer gesagt sinkt die Wahrscheinlichkeit minimal , wenn man eine Person ausgesucht hat, die nichts mit dem Begriff anfangen kann , dass es der näc hsten Person genau so geht. Da der Unterschied jedoch bei einer so großen „Urne" derartig gering ist, kann man in ausgezeichneter Nä he rung mit der Binomialverteilung arbeiten . 20

(b) P(X 2". 4) =

L

(2n ·0,i · 0,8

20

-;

= 1 - F(20; 0,2; 3) = 0,5886

i= 4

(c) Hier muss man die Fragestellung beachten , es geht plötzlich um die Menschen , die nichts mit dem Begriff anfangen können . Insofern gilt hier p = 0,8. P(9 ::;

x ::;

17

17) =

L (2n i= 9

.o ,8 i . 0 .2

20

-i = F(20; o.8; 17) - F(20; o.8; 8) = o. 7938

j

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Lösung 247

-----

367

-----

(a) X: An za h l codierter Fahrräde r.

1 ) 33 (3

P(X = 33) = ( 13030 )

(

2 ) 67

. 3

= 0,084

49

P(X 2 50 )

= 1 - P(X s 49) = 1 ~

(

~

(

100 ) ( 1 ) k ·

3

k

· ( 32 ) 100-k )

0 ,00042.

(b) Sei Y: An zahl der nicht -codierten Fahrräder. Zunächst bestimmt man den Erwartungswert von Y . Die ser beträg t für e ine binomialverteilte Zufallsvariable np. Also folgt:

E(Y) = n · p = 100 -

2

200

3

3 Weiter weiß man , dass die Hälfte aller nicht-codierten Fahrräder neucodiert werden. Die Anzahl der erwarteten Neucodierungen ist daher:

~ _ 200 = 100 ~ 33 3 . 2

3

3

'

Im Sc hnitt ist also etwa mit 33 Neucodierungen zu rechnen .

Lösung 248

(a) Es wird die Binomialverteilung mit n = 70 und p = 0,06 verwend et:

P(k = 3) = b(70 ; 0 ,06; 3) = ( P(k 2 3) = 1 - P(k

7

°) ·

0,06 3 · 0 ,94 67

3

~ 0 , 187

s 2) ~ 0 ,7987

(b) Lösungsweg wie im Rezept: ►

Schreibe die Aufgabe als Formel auf:

P11 (mindestens 1 Schwarzfahrer) 2 0 ,90 ►

Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um .

P11 (kein ►

Schwarzfahrer)

S

0,l

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

P11 (kein Schwarzfahrer) = (1 - 0,06)" ►

Setze die Gleichun g und die Ungleichung zusammen . Es soll also gelten : (1 - 0,06) "

s 0,1

Löse diese Gleichung mit dem na türlichen Logarithmus nach n auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen erneut um . 0,94" S 0, 1

=> ln0,94

ln (0,85")

s ln 0,05

=>

n · ln 0,85

s ln 0,05

ln0,85 < 0

=>

n

ln 0,05

> --

ln 0,85

~

18.4.

Der Mathe-Überflieger muss an mindestens 19 Wettbewerben teilnehmen .

Lösung 250 (a) Es gilt:

8 7 P(A) = 20.

6

5

4

19. 18. 17. 16

7 = -19_3_8 = 0,00 36 ·

Die Wahrscheinlichkeit, dass in allen 5 Eiern eine Spielfigur ist, beträgt gerade einmal

0.4 %. (b) Hier lässt sich die Formel des Urnenmodells anwenden mit r = 8, s = 12, n = 5 und k = 2. Es folgt: P(B) =

m.(25°)(i2)

= 28 . 220 = 0 397.

15504

'

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Spielfiguren dabei sind, beträgt knapp 40 %. (c) Hier kann man mit dem Gegenereignis arbeiten und stattdessen die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in keinem Ei eine Spielfigur ist:

.

.

.

P(C) = 1 - P(keine Sp1elf1gur) = 1 -

12 11 · 20 19

· 10 · 9 · 8 18 17 16

=

613 = 0,949 646

Mit fast 95 %-iger Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Spielfigur dabei. (d) Auch hier kann man das Gegenereignis betrachten und berechnen , wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 4 oder 5 Spielfiguren gezogen werden . Der Fall von 5 Figuren wurde in Teil (a) berechnet. Für 4 Figuren kann man wieder die Formel des Urnenmodells

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mit den We rten r P (O)

= 8. s =

12, n

= 5 und

369

k = 4 anwenden. Es folgt:

= 1 - P (genau 4 Spielfiguren) - P(genau 5 Spielfiguren) = 1-

m(2s·(\l -o 2

0

)

0036

'

= l -0,05418 - 0,0036 = 0,94222 Mit einer Wahrscheinlichkeit von gut 94 %sind in höchstens 3 Eiern Spielfiguren.

Lösung 251

(a) Wegenµ = 180 und

P(X

~

a = 7,5 folgt

180) = 1 - P(X.,:; 180) = 1 - et> (

180 - 180) , 75

= 1 - ct>(0) =

0,5.

Somit ist also die Hälfte aller 18-jährigen Männer größer als 180 cm. Weiter gilt

P(X .,:; 170) = et> (

170

180 ~ ) 75

= ct>(-1,333)

= 0,091.

Also sind etwa 9 % aller Männer kleiner als 170 cm. (b) Hierzu rechnet man wie folgt:

P(X

~ 200) =

1 - P(X.,:; 200) = 1 - et> (

180 ) ~ 75

200

= 1 - (2,667) = 0,0038.

Also sind nur knapp 0,4 %aller Männer größer als 2 m. (c) Beschreibe t die gesuchte Größe. Dann gilt 0,05

= P(X .,:;

t)

= et>

(

t; ~:o) .

Diese Gleichung kann direkt mit dem GTR/ CAS gelöst werden. Alternativ kann mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung gearbeitet werden. Dazu setzt man

t - 180 x = --. 7,5 Gesucht ist somit x mit ct>(x) = 0,05. Da die Tabellen oft erst bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 anfangen, arbeitet man mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Gesucht ist also x mit 1 - ct>(x) = 0,95 . Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt 1 - ct>(x) = ct>(-x). Somit sucht man x mit ct>(-x) = 0,95. Ein Blick in die Tabelle verrät x = -1,64. Nun rechnet man den Wert auf t zurück: t - 180 -1,64 = X=-:;:;==> 167,7 . Etwa 5 % aller 18-jährigen sind kleiner als 168 cm.

Lösungen

370

Lösung 252

(a) Aus der Aufgabe liest man heraus , da ssµ = 60 Minuten ist. Sei Standardabweichung. Es gilt fol gende Glei c hung

=

0 ,1 = P(X 2 90)

P(X::; 90) = 0 ,9 .

Nun lässt sich folgende Gleichung für 0,9

a a ufstellen.

90 - 60 )

= P(X ::; 90) = et>

(

a die noch unbekannte

-a-

.

Ein Blick in die Tabe lle ve rrät 30 = 1,28 a = 23,4.

=

a

Die Standarda bweichung beträg t also 23,4 Minuten. (b) Es sind also Zeitpunkte t,, t2, /3 gesucht, so dass gilt

P(X ::; t1)

= 0 ,25 ,

P(X ::; 12)

= 0,5

P(X ::; /3)

Aufgrund der Symmetrie der Norm a lverteilung gilt 12 da mit auch /3 bestimmen. Es gilt 0,25

= P(X ::;

= 0,75.

= 60. Kennt man

t1 , so lässt sich

t, ) = et> ( t~; .~O) .

Aus der Ta belle erfährt man , dass ct>(-0 ,68)

=

60 = -0 68 23,4 '

t, -

= 0,25 gilt. Damit folgt

t, = 44.

Aufgrund der Symmetrie lässt sich damit a uc h /3 berechnen , denn /3 hat denselben Abstand vom Erwartungswertµ = 60 wie 12. Es folgt /3 = 76. Alle Schüler, die den Test in weni ger a ls 44 Minuten schaffen , bekommen eine 1. Alle die für den Test zwi sc hen 45 und 60 Minuten benötigen, bekommen eine 2. Die Schüle r die mehr al s 60 aber weniger a ls 76 Minuten benötigen, bekommen eine 3. Alle anderen bekomm e n e ine 4. Lösung 253

Ma n stellt zunächst fest :

µ

= np = 1000000 ·

1

6~

166666,7

a = -J n • p • (1 - p) ~ 372,7. (a) Es gilt:

y'n · p · (1

- p) ~ 372,7

>

3 ✓.

Also ist die La place-Bedingung erfüllt. (b) Es gilt:

P(X ::; 166000)

= et>

(

166

ooo-;~~.~66 ' 7 + 0, 5 ) = ct>(-1,78) ~ 0,037.

371

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(c) Es gilt:

P( X ~ 167000)

= 1 - P(X '.';'. 166999) = 1- ( 166999- 166666,7 + 0,5) 372,7

= 1 - (0,89)

~

0, 186.

(d) Diese Aufgabe lässt sich leicht mit den vorherigen Ergebnissen lösen. Es gilt:

P(l66000 < X < 167000) = 1- P(X '.';'. 166000)- P(X

~

167000)

= 1-0,037-0,186 ~

0,78.

Lösung 254

Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 95,5 % ist gegeben durch [60 - 2 · 5; 60 + 2 · 5], also [50; 70]. Damit haben zu etwa 95,5 %alle Bauteile eine Montagezeit zwischen 50 und 70 Minuten.

Lösung 255

Es gilt

P(l00-1,64 · 15; 100 + 1,64 15)

~

0,9.

Etwa 90 %aller Deutschen haben einen IQ zwischen 75,4 und 124,6.

Lösung 256

Bei gegebenem n = 5000 und erwarteter Wahrscheinlichkeit p ist davon auszugehen, dass die Laplace-Bedingung gilt. Wir können also wie mit einer normalverteilten Zufallsvariable rechnen. Es gelten:

Po = 0,75

= ynpo(l -po) = V937,5 ~ 30,62. Da nach dem Konfidenzniveau a = 75 %gefragt war, muss hier wieder gerechnet werden: a

1

; a

= 0,875

==>

z

~

1,16.

Für den Erwartungswert gilt:

µ

= 0, 75 · 5000 = 3750.

Somit gilt für das Konfidenzintervall

[3750 - 1, 16 · 30,62; 3750 + 1, 16 · 30,62]

= [3714,48; 3785,52].

Nun müssen diese Werte noch durch n geteilt werden. Es gilt:

p E [0,743; 0,757] . Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % liegt der Anteil der Nichtraucher zwischen 20 und 30 Jahren in Deutschland zwischen 74,3 % und 75, 7 %.

372

Lösungen

Lösung 257 Zunächst betrachtet man nur den zweiten Teil der Aufgabe. Dort beträgt die Stichprobengröße n = 120 und die geschätzte Trefferwahrscheinlichkeit p = 17 /120 = 0, 142. Als Standardabweichung ergibt sich:

a

= ✓Po · (1 - Po) · n = 3,82.

Wegen a > 3 ist die Laplace-Bedingung erfüllt und man kann mit der Normalverteilung rechnen . Als nächstes sucht man z mit

(z)

=

1 + 0,8 .

2

= 1,28. Also liegt die Anzahl der beschädigten Mercedes im Intervall: [17- 1,28 - 3,82; 17 + 1,28 · 3,8 2] = [12,11; 21,89].

Dies führt zu

z

Nach Division durch 120 erhalten wir das Konfidenzintervall für die Trefferwahrscheinlichkeit

p: p E [0, 1;0, 18]. Bezeichne nun m die Gesamtzahl an Mercedes in Hannover. Die Wahrscheinlichkeit , dass ein 1 0 ~ . Da der Größenbereich von p bekannt ist Mercedes keinen Stern mehr hat, beträgt p

=

folgt:

100 0,1 :::; :::; 0,18

m

==}

556:::;

m:::;

1000.

Mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit gibt es zwischen 556 und 1000 Mercedes in HannoverNordstadt.

Lösung 258 ►

Fehler 1. Art (a-Fehler): Kathrin ändert ihre Meinung und glaubt seit diesem Ereignis, dass andere Personen doch ihre Zukunft voraussagen können. Was Kathrin aber nicht weiß: Tatsächlich können andere Personen ihre Zukunft nicht voraussagen . Kathrin lehnt ihre vorherige Hypothese damit fälschlicherweise ab und begeht damit einen Fehler 1. Art.

►

Fehler 2. Art (ß-Fehler): Kathrin bleibt unberührt und denkt, dass das alles nur Zufall sei. Sie hält an ihrem Glauben fest, dass andere Personen ihre Zukunft ni cht vorhersagen können. Was Kathrin aber nicht weiß: Tatsächlich konnte Jack ihre Zukunft vorhersagen, er wusste alles. Kathrin hält fälschlicherweise an ihrer vorherigen Hypothese fest und begeht damit einen Fehler 2. Art.

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Lösung 259

-

(a) Es wird im Sinne eines Hypothesentest verfahren. Anita überprüft bei der Partnerwahl folgende Nullhypothese Ho:

Ho: Der Kandidat ist ein g uter Küsser. Diese Entscheidun gs regel legt Anita vor dem Date fest. Es werden dann mit jedem Kandidaten 10 Küsse durc hgeführt, wobei sich Anita wie folgt entscheidet: ►

►

Der Annahmebereich liegt bei 8, 9 oder 10 guten Küssen. In diesen Fällen geht Anita davon aus , dass der Kandidat gut küssen kann und er kommt als Partner in Frage. Bei 7 oder weniger g uten Küssen geht Anita davon aus, dass der Kandidat kein guter Küsse r ist. Die Hypothese wird abgelehnt und die Person kommt nicht als Partner in Frage.

(b) Hier verfährt Anita nicht im Sinne eines Hypothesentests. Erstens gilt: Sie hat keine explizite Entscheidungsregel formuliert . Zweitens gilt: Sie hätte eine solche Entschei dungsregel im Vorfeld des Experiments (a lso vor dem Lesen der Zeitung) festlegen müssen. Lösung 260

Der Pharmakonzern ist daran interessiert, dass weniger als 15 %der Patienten Nebenwirkungen zeigen. Dies beschreibt die Aussage der Alternativhypothese H1 . Die Nullhypothese ist damit gegeben durch:

Ho: Mindestens 15 %der Patienten zeigen Nebenwirkungen . Lösung 261

(a) Da 160 oder mehr der befragten Personen angeben die Partei FMP zu wählen , wird ein noch größerer Wahlanteil erwartet. Die Überzeugung lautet dann also:

B : Wir werden mehr als 15 %der Stimmen bekommen. (b) Gegeben ist: ~ 0,15 (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit p0 = 0,15 .) 1000 (Stichprobenlänge) 160 (Entscheidungsregel: Abk= 160 wird Ho abgelehnt.)

►

Ho: p

►

n

=

►

k

=

Gesucht ist: ►

373

a (lrrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)

Es gilt:

a

= P(X 2'.

160)

= 1 - P(X

~

159) ~ 0,199

Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 20 % wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art began ge n.

Lösungen

374

Lösung 262

Peters Nullhypothese lautet:

Ho: Der rote Würfel ist der faire Würfel. ►

Für einen Fehler 1. Art wird H0 irrtürmlich abgelehnt. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine sechs beträgt tatsächlich p = 1/6. Dennoch werden 4 oder mehr Sechsen gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

P(k

~

4)

= 1 - P(k s 3) ~

~

1 - 0,93027

0,06973

Peter begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 7 %einen Fehler 1. Art. ►

Für einen Fehler 2. Art wird H0 irrtürmlich angenommen. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine sechs beträgt aber p 0,5. Dennoch werden weniger als 4 Sechsen gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

=

P(k

s 3) ~ 0,1719.

Peter begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 17 %einen Fehler 2. Art.

Lösung 263

Gegeben sind:

= 0,98 (Hypothese Ho) = 100 (Stichprobenlänge) a = 0,05 (Signifikanzniveau)

►

Po

►

n

►

Gesucht ist: ►

k (Entscheidungsregel)

Bezeichne X die Anzahl der Frauen, die eine Schuhgröße von mindestens 35 haben. Die Entscheidungsregel kann wie im Fall l des Merkkastens zum Bestimmen von Entscheidungsregeln bestimmt werden: ~

Ho : p

0,98 (linksseitiger Hypothesentest).

Dann gilt:

P(X S k)

s 0,05.

Hieraus wird mit Po= 0,98 und n

k

P(X

s k)

=

100 die unbekannte Größe k ermittelt:

93

94

95

96

97

0,004

0,015

0 ,051

0, 14

0,32

Die Entscheidungsregel lautet also: Geben 94 oder weniger Damen eine Schuhgröße von mindestens 35 an , dann wird die Hypothese, dass 98 %aller Frauen nur Schuhe ab Größe 35 tragen , abgelehnt .

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Lösung 264

(a) Richti g, denn es gilt:

Ho: p 2 0,07. (b) Falsch, denn in der Hypo these heißt es, dass sich mindestens 7 %vegetarisch ernähren. Bei der Entscheidungs regel soll die Hypothese verworfen werden , wenn 9 oder mehr Person en ei ne vegeta risc he Ern ährung angeben. Das macht aber keinen Sinn, da in der Hy pothese sch ließ lich auch davon gesprochen wird , dass es ein größerer Anteil sein kann . (c) Falsch, wenn sich der Stichprobenumfang n vergrößert, wird auch das entsprechende k größer.

Lösung 265

Da

a=

-y'0,92 · 0,08 · 200 ::::: 3,83

>3

kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Es handelt sich um einen rechsseiti gen Hypothesentest. Es wird für das Signifikanzniveau a = 0,05 die rechtsseitige 1,64 - a-Umgebung vonµ betrachtet. Es gelten:

P(X .,:; µ + 1,64a) 2 0,95 µ

= 0,08 · 200 = 16

k 2 16 + 1,64 · 3,83

= 22,3.

Falls 23 oder mehr Schrauben als Ausschuss deklariert werden , ist die Beh auptung von Hans falsch .

Lösung 266

Es handelt sich um einen zweiseitigen Test. Die lrrtumswahrscheinlichkeit a berechnet sich wie folgt :

a = P(X .,:; 22) + P( X 2 28)

=

P( X .,:; 40) + 1 - P(X .,:; 27)

::::: 0,2399 + 0,2 399

= 0,4798 Im Vergleich zu dem Beispiel in diesem Kapitel fällt auf, dass man nur ein ähnliches Signifikanzniveau erreicht. Die Stichprobe ist halb so groß, man könnte also erwarten , dass das Signifikanzniveau ähnlich wäre, wenn man auch die Entscheidungsregel halbiert, also k 1 = 20 und k2 = 25 wählt. Dies ist aber nicht der Fall , man muss die Entscheidungsregel für ein ähnliches Signifikanzniveau bei kleinerem n deutlich strenger wählen.

375

Lös ungen

376

Lösung 267

(a) Gegeben: ► ►

Ho: p = 0,1 H, : p < 0, 1 oder p > 0, 1 (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit Po = 0, 1)

►

n

=

►

a

= 0,05

100 (Stichprobenlänge)

Gesucht: ►

k1 und k2 (Entscheidungsregel )

Es soll gelten :

P(X :::; k1) :::;

a

2

= P(X

:::; k1) :::; 0,025

und:

P(X ;;:: k2) :::; ;

= P(X ;;:: k2) :::; 0, 1 = 1 - P(X :::; k2 - 1) :::; 0,025

Jetzt kann man die Werte für k1 und k2 aus der entsprechenden Tabelle ablesen und erhält k1 = 4 und k2 = 17. (b) Die Wahrscheinli c hkeit ß für den Fehler 2. Art berec hnet sich mit p 1 Ann a hmebereich von Ho:

= 0,05 und dem

ß = P(5 :::; X :::; 16) 16

=L

(l~O) . 0,05; . 0,951 00-i

1=5

= F(l00; 0,05 ; 16) - F(l00; 0,05; 4) ~

0,5640

Wenn sich der Anteil der unbrauchbaren Nägel also auf fünf Prozent verringert hat , wird man dies mit ein e r Wa hrscheinlichkeit von circa 56 % nicht bemerken. Lösung 268

(a ) Der Graph der Operationscharakteristik wird durch die dicke durchgezogene Linie da rgestellt:

ß

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377

(b) Den entsprechende n \'ert für ß kann man aus der Graphik ablesen, siehe gepunktete Linien . Es ergib s eh ß = 0.41 . (c) Zusätzliches S rneren des Graphen für Entscheidungsregel mit k gramm: Siehe dunne durchgezogene Linie. (d) Zusätzliches Skiuieren des Graphen für Entscheidungsregel mit k in obiges Diagramm: Siehe gestriche lte Linie.

< 8 in obiges Dia-

= 8 und größerem n

(e) In diesem Fall hätte die Operationscharakte ristik bei Ho den Wert 1 und für alle möglichen Wahrscheinlichkeiten p1 den Wert 0. Lösung 269

(a) Es gibt 18! Möglichkeiten, die 18 Mädchen auf die insgesamt 18 Betten zu verteilen. Allerdings spielt die Verteilung innerhalb der einzelnen Zelte keine Rolle, weshalb noch durch 6!, 5!, 4! und 3! dividiert werden muss. Es gilt: 18! 6! _5! _4! _3!

= 514.594.080.

Alternativ kann man die Anzahl der Möglichkeiten, zunächst 6 Mädchen für das 6er Zelt auszuwählen, mit der Anzahl der Möglichkeiten, danach 5 Mädchen aus den verbleibenden 12 für das 5er Zelt auszusuchen, usw. miteinander multiplizieren:

2 8 (~ ) . (~ ) . (:) .

(!) =

514.594.080.

Es gibt also 514.594.080 Möglichkeiten die 18 Mädchen auf die Zelte zu verteilen. (b) Es gibt n = 20 Fragen . Da es auf jede Frage drei Antwortmöglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit p zufällig die richtige Antwort auszuwählen ein Drittel. Die Auswahl der Antworten auf die einzelnen Fragen ist voneinander unabhängig. Es handelt sich damit um eine Bernoulli-Kette und es kann das Modell der Binomialverteilung verwendet werden. Bezeichner die Anzahl der korrekten Antworten , dann gilt: P(bestanden)

= P(r

~

10)

= 1 - P(r

~ 9) = 1 -

t (io) · (i); · 2

1= 0

~

0,0919

Alexander besteht die Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 9, 19 %, wenn er die Antworten zufällig auswählt. (c) Werden 4 Antwortmöglichkeiten für jede Frage vorgegeben, dann sinkt die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Frage zufällig die richtige Antwort auszuwählen, auf p = 0,25. Die Wahrscheinlichkeit die Prüfung bei zufälliger Auswahl der Antworten zu bestehen, beträgt dann 9

P(bestanden)

= 1 - P(r

~ 9)

= 1- L

(

20) i

1=0 ~

0,0139.

Gibt es also 4 Antwortmöglichkeiten pro Frage, dann ist die Wahrscheinlichkeit durch zufälliges Auswählen der Antworten die Prüfung zu bestehen mit 1,39 % kleiner als 2 %. (d) Bezeichne m die Anzahl der Mädchen, die bei der Tour über Bord gegangen sind. Wenn ein Mädchen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % über Bord geht, dann gilt für die

Lösungen

378

Wahrscheinlichkeit, dass von den 18 Mädchen genau drei mal eines über Bord geht:

8 3 15 P(m =3) = (~ )-0,1 -0,9 ~0. 168. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 16,8 %geht genau 3 mal ein Mädchen über Bord. (e) Bezeichne t die Anzahl der über Bord gegangenen Teilnehmer. Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Teilnehmer über Bord geht, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten , dass keines der Mädchen und keiner der Jungen über Bord geht. Es gilt:

P(t = 0) = 0,9 18 · 0,94 28 ~ 0,0265. Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Teilnehmer über Bord geht, beträgt nur 2,65 %. (f) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Teilnehmer über Bord gehen, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass ►

kein Teiln ehmer

►

ein oder zwe i Mädchen und kein Junge

► ein oder zwei Jungen und kein Mädchen ►

genau ein Junge und genau ein Mädchen

über Bord gehen. Damit gilt:

P(t ~ 2) = 0,9 18 · 0,94 28 + (

1,8 )

+0,9 + ( ~

18

1,8 )

8 . 0,1. o,9 17 . o,9428 + ( ~ ) . o,i2 . o,9 16 . o,94 28 28 - (

27 18 +09 1 ) -006-094 ' ' '

. 0,1. 0,9 17

. (

28 - (

2 -094 26 2 ) -006 ' '

28 1 ) . 0,06 . 0,94 27

0,313

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 31,3 %gehen maximal zwei Teilnehmer über Bord. (g) Der angegebene Term entspricht der Wahrscheinlichkeitsberechnung für einen BernoulliVersuch. Die Voraussetzungen hierfür sind ►

Jeder Versuch hat zwei Ausgänge (Treffer / Niete)

►

In jedem Versuch ist die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu landen gleich groß.

Die zweite Eigenschaft ist hier nicht erfüllt, denn bei jeder Zuweisung eines Teilnehmers zu einer Gruppe verändern sich die Wahrscheinlichkeiten . Die Einteilung der Gruppe ist ähnlich zu dem Versuch: Ziehen ohne Zurücklegen. Das Modell der Bernoulli-Kette ist allerdings nur anwendbar bei dem Versuch: Ziehen mit Zurücklegen. (h) Es handelt sich hier um ein Ziehen ohne Zurücklegen. In der Pfadfindergruppe sind 18 Mädchen und 28 Jungen. Es werden nacheinander 23 Teilnehmer „o hne Zurücklegen " ausgesucht. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgesuchten Teilnehmern genau 10 Mädchen sind, beträgt

P(10 Mädchen) =

C~) · (~~) = 0 199 (~~)

'

.

Di e Wahrscheinlichkeit liegt also bei knapp 20 %

abiturma - Dein lntensi1 kurs fürs .\1athe-Abi

(i) Es soll die Entscheidungsregel für einen H po

H,

~

p

e:se~ o

0 2 (also: lin:.Sse1fger

= 300 St c robe änge a = 0,05 S g~ '1' n

Sei X die Anzah der e1

P(X

~

)

~ 0,05

Mit Hilfe des Taschenrechners

k P(X

~

J..)

0,033

e a ·.:.es-el --

48

49

0,046

0,062

Der Wert 0,046 ist der kle inste Wert ~ 0,05. Daraus folgt

k

= 48.

Die Entscheidungsregel lautet also: Antworten 48 oder weniger der befragten 300 Kunden , dass sie sonst gar keinen Sport treiben , wird die Nullhypothese verworfen . In diesem Fall können die Veranstalter also davon ausgehen , dass ihre Vermutung richtig war und insgesamt weniger als 20 %der Kunden sonst keinen Sport treiben.

(j) Die beiden Ereignisse W: weiblicher Kunde und 5: Wahl der schwierigen Tour sollen auf Unabhängigkeit untersucht werden. Es gilt

P(W)

= 0,38

P(W n 5) = P(W)- P(W n 5) = 0,38- 0,32 = 0,06 P(W n 5) Pw(5)

=

P(W) · Pw(5)

3 = 386 = 19 ~ 0,158

Die Wahrscheinlichkeit , dass eine Kundin die schwierige Tour wählt , beträgt also nur 15,8 %. Laut Aufgabenstellung ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein männlicher Kunde die schwierige Tour wählt mit 26 %deutlich höher. Die Entscheidung für die schwierige Tour hängt also tatsächlich vom Geschlecht ab.

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ZEIT und von ZEIT ONU"IE Diese Wod'ie schreibt Tom, welche T """" Elf' E Jch ermf',ehtt

•Wir lind Charlloc Die Partser Anschläge auf das Satlrebtan ,Charlie Hebdo« und den jüdischen Supermarkt treffen alle Europäer und unsere geseU9Chaftliehen Werte. DeMOCh dürfen Wir nicht aufhören, zwischen Islam und tsiamismus zu ddl'erenzleren. Ein

Kommentar.

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Artikefaufzeltde

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Missbrauch der Terroranschläge

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Als die Täter noch ger NCht gefasst WIiden, versuetlle die A1D den Partser Ansctilag ai. Rectifertigung fOr die Pegida-Bewegung tu nutzen, Heute hat Peglda e1nen Trauermarsch geptanl -

Gegner, d8runter auch f1111nl.Osssche KarlkatuMten, werfen iMen lnstnJmentallslerung vor.

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