Investitionsrechnung: Fallorientierte Einführung [2.,erw. und akt. Aufl. Reprint 2016] 9783486813388, 9783486273168

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Investitionsrechnung Fallorientierte Einfuhrung

Von Universitätsprofessor

Dr. Gebhard Zimmermann

2.,erweiterte und aktualisierte Auflage

ROldenbourg Verlag München Wien

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Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 3-486-27316-7

Vorwort

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Vorwort zur 1. Auflage

Investitionen erfordern langfristige Entscheidungen, denn Investitionen dienen dem Einkommenserwerb und damit dem Konsum. Für die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen im Vergleich zu anderen Mittelverwendungen bedarf es der betriebswirtschaftlichen Begründung. Die Betriebswirtschaftslehre hat neben der theoretischen Analyse die Aufgabe, Aussagen zu treffen, die in der Praxis Anwendung finden können. Sie ist ausschließlich als Entscheidungshilfe zu verstehen. Vor diesem Hintergrund möchte die vorliegende Schrift die Gestaltung und Bewertung von Investitionen vorstellen und diskutieren sowie in die Verfahren der Vorteilhaftigkeitsermittlung (= Investitionsrechnung) einfuhren. Dieses Lehrbuch richtet sich vor allem an Studenten und Studentinnen der Wirtschaftswissenschaften im Grundstudium. Für die Einfuhrung in die theoretische Fundierung und die praktische Umsetzung wurde eine aktive Lernmethode zur Hilfe genommen. Die „Einfuhrung in die Investitionsrechnung" dient der Entscheidungshilfe und erfolgt fallorientiert. Dabei werden neben der Vorbereitung für den Einsatz der einzelnen Investitionsrechnungsmethoden die einzelnen Entscheidungsprobleme in aufeinanderfolgende, z.T. sich ergänzende Teilprobleme zerlegt. Hierdurch soll mit den einzelnen Kriterien und Methoden das Verständnis für die Grundprobleme geweckt werden. Dies erfolgt in insgesamt 12 Kapiteln, die jeweils neben einer das betreffende Lernziel beschreibenden Einfuhrung eine Zusammenfassung und einen Hinweis auf weiterführende Literatur enthalten. Im Zuge der Erstellung des vorliegenden Werkes ist mir eine große Dankesschuld entstanden: Meine Mitarbeiter, die Herren Dr. Thorsten Jöhnk, Dipl.-Oec. Ralf Grundmann und insbesondere Dipl.-Oec. Andre Wortmann haben engagiert, kompetent und kreativ zum Gelingen beigetragen; Frau Dipl.-Oec. Marion Bauer und Frau cand.rer.pol. Melanie Bechstein haben konstruktiv-kritisch Korrektur gelesen. Gebhard Zimmermann

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Vorwort

Vorwort zur 2. Auflage

Die 2. Auflage der „Fallorientierten Einführung in die Investitionsrechnung" wurde in allen Abschnitten umfassend überarbeitet, teilweise neu gefaßt und an vielen Stellen wesentlich erweitert sowie aktualisiert. Da die Grundkonzeption des Buches Anerkennung gefunden hat, wurde die im Vorwort zur 1. Auflage umrissene Zielsetzung und die Systematik des Stoffes grundsätzlich beibehalten. Einen besonderen Schwerpunkt der Aktualisierung bildet das Kapitel „Die Berücksichtigung von Steuern im Investitionskalkül". Die Aktualisierung folgt aus Gesetzesänderungen. In diesem Kapitel wurden deshalb wesentliche Erweiterungen vorgenommen. Mein Dank gilt dem Kreis der Kollegen, Mitarbeiter und Studenten, die durch Hinweise und Anregungen halfen, das Werk zu verbessern. Namentlich gebührt mein besonderer Dank meinen Mitarbeitern, Herrn Dr. Andre Wortmann und insbesondere Herrn Dipl.-Oec. Andreas Bruns, die kreativ, sorgfältig, engagiert und unter besonderem Einsatz zur Vollendung des Werkes beigetragen haben. Weiterer Dank gebührt meinem Freund aus gemeinsamer Studien- und Assistentenzeit, Herrn Prof. Dr. Winfried Mellwig, Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftliche Steuerlehre der Universität Frankfurt/M., der mich bei der Bearbeitung des Steuerwirkungsteiles unterstützt hat. Oldenburg

Gebhard Zimmermann

Inhaltsübersicht

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INHALTSÜBERSICHT

Kapitel 1 Einführung

1

Kapitel 2 Einperiodige Kriterien der Investitionsrechnung

19

Kapitel 3 Das Barwert-Prinzip

43

Kapitel 4 Der Kapitalwert einer Investition

77

Kapitel 5 Die Annuität, der interne Zinsfuß und die Pay-off-Periode als weitere Vorteilhaftigkeitskriterien im Rahmen der mehrperiodigen Investitionsrechnung A. Die Annuitäten-Methode 1. Die exakte Annuitäten-Methode 2. Die approximative Berechnung der Annuität B. Methode des internen Zinsfußes C. Die Pay-off-Periode als Vorteilhaftigkeitskriterium

119 121 121 130 147 173

VIII

Inhaltsübersicht

Kapitel 6 Die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit bei alternativen Sachinvestitionen

189

A. Die Notwendigkeit der Berücksichtigung von Komplementärinvestitionen

191

B. Entscheidungen auf der Basis des KapitalwertKriteriums

195

C. Die unterschiedliche Rangfolge der Vorteilhaftigkeit bei Anwendung der Kapitalwert-Methode und der Methode des internen Zinsfußes

206

D. Die unterschiedliche Rangfolge der Vorteilhaftigkeit bei Anwendung des Kapitalwert- und des Annuitäten-Kriteriums

224

E. Handlungsempfehlungen bei alternativen Vorteilhaftigkeitskriterien und die Abstimmung mit dem Kriterium der Pay-ofF-Periode

236

F. Der Baldwin-Zinssatz und die Kapitalwertrate

244

1. Der Baldwin-Zinssatz

244

2. Die Kapitalwertrate

256

3. Der Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zinssatz

260

Kapitel 7 Investitionsrechnung und unvollkommener Kapitalmarkt

271

Kapitel 8 Die Berücksichtigung von Steuern im Investitionskalkül

291

IX

Inhaltsübersicht

Kapitel 9 Optimale Anschaffungsauszahlung, optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt

367

A. Die optimale Investitionsauszahlung

368

B. Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer

375

C. Die Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes

404

D. Technischer Fortschritt und Ersatzzeitpunkt

421

Kapitel 10 Die Planung programmen

von

Investitions-

und

Finanzierungs429

Kapitelll Unsichere Erwartungen im Investitionskalkül

479

Kapitel 12 Schlussbetrachtung

499

Anhang 1 Die wichtigsten Formeln der Investitionsrechnung

515

Anhang 2 Verzeichnis der wichtigsten Symbole und Abkürzungen

527

Anhang 3 Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

533

Literaturverzeichnis

543

Stichwortverzeichnis

547

Einführung

1

Kapitel 1

EINFÜHRUNG

Mit der Einführung sollen fundamentale Aspekte der Investitionsrechnung angesprochen werden. Dem Leser werden Einblicke in die Grundlagen der Investitionsrechnung vermittelt, mit dem Ziel, Anregungen für eine eigenständige weiterfuhrende Auseinandersetzung mit den dargestellten Ansatzpunkten zu geben. Die wesentlichen Aspekte der Einführung sind: 1. Eine Darstellung der Zusammenhänge zwischen der Investitionsrechnung und dem ökonomischen Prinzip anhand der obersten Zielsetzung wirtschaftlichen Handelns (Konsum ermöglichen) und der Konsequenz des Investierens (Verzicht bzw. zeitliche Verlagerung von Konsum). 2. Hinweise auf die mit Unsicherheiten verbundenen Einflußfaktoren zu geben, die auf die Vorteilhafligkeit von Investitionen wirken. Die Determinanten der Investitionsrechnung müssen erfaßt und rechenbar gemacht werden. Das Ziel ist ein Vergleich von Investitionsalternativen. 3. Die Beschreibung von Möglichkeiten zur Erfassung der Präferenzen eines Investors bezüglich des gegenwärtigen Konsums und des zukünftigen Konsums resp. des Verzichts auf gegenwärtigen Konsum zugunsten von Investitionen sowie des zukünftigen Konsums. Daraus resultieren Wege, effiziente Investitionsentscheidungen von nicht effizienten zu unterscheiden. 4. Eine Erörterung verschiedener Definitionen und begrifflicher Abgrenzungen dient als Grundlage der wissenschaftlichen Auseinandersetzung mit der Investitionsrechnung. 5. Schließlich werden Anregungen gegeben, die Auswirkungen von Investitionen auf den Prozeß der betrieblichen Leistungserstellung zu reflektieren.

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Einführung

Aufgabe 1.1 Welche originären Ziele sind mit dem Investieren verbunden? Dem Investieren liegt im wesentlichen eine aus drei Ebenen bestehende Hierarchie von Zielsetzungen der Wirtschaftssubjekte zugrunde:

Das oberste Ziel der Wirtschaftssubjekte ist die Befriedigung der Konsumwünsche. Zur Finanzierung des Konsums benötigen die Wirtschaftssubjekte eine Möglichkeit zur Generierung von Einkommen. Dieses Einkommen resultiert aus wirtschaftlichem Erfolg und den vorangegangenen ökonomischen Aktivitäten. Eine Form oder ein Element des Wirtschaftens ist das Investieren. Aufgabe 1.2 Konkretisieren Sie die Ziele des Investierens vor dem Hintergrund der allgemeinen Aussage des ökonomischen Prinzips zur Beurteilung wirtschaftlichen Handelns! Das ökonomische Prinzip gilt als zentrale Grundlage der Beurteilung sowie der Gestaltung wirtschaftlicher Aktivitäten; seine allgemeine und grundsätzliche Definition ökonomischen Erfolgs läßt sich konkretisieren und auf sämtliche Formen und Elemente des Wirtschaftens transformieren. Im Hinblick auf das Investieren beantwortet die spezifizierte Fassung des ökonomischen Prinzips die Frage, unter welchen Bedingungen eine Investition erfolgreich ist: Welche Ziele müssen mit einer Investition realisiert und dementsprechend angestrebt werden?

Einführung

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Im Hinblick auf das oberste Ziel der Wirtschaftssubjekte, Konsum zu befriedigen, ergibt sich für Investitionen die folgende anwendbare Definition der beim ökonomischen Prinzip relevanten Faktoren Mitteleinsatz und Zweckerfolg: Als Mitteleinsatz wird der Verzicht auf einen zum Zeitpunkt des Investierens eigentlich zum Konsum zur Verfugimg stehenden Betrag finanzieller Mittel angesehen: Eine Investition verursacht eine Auszahlung zur Finanzierung der Investition, diese Investitionssumme wird dem Konsum entzogen. Der Mitteleinsatz ist der Verzicht auf einen zum Zeitpunkt des Investierens realisierbaren Konsum. In Anlehnung an die Definition des Mitteleinsatzes und vor dem Hintergrund der Ziele des Investierens wird der Zweckerfolg einer Investition definiert als ein in Zukunft aus den Rückflüssen der Investition generierbarer Konsum, welcher größer ist als der zum Zeitpunkt des Investierens erreichbare. Der in Zukunft darstellbare Konsum muß größer sein als der, welcher im Zeitpunkt des Investierens realisierbar ist. Diese grundsätzlich formulierte Definition von Mitteleinsatz und Zweckerfolg bei Investitionen verdeutlicht zentrale Elemente des Investierens: Investitionen bewirken eine zeitliche Verlagerung der Befriedigung von Konsumwünschen. Diese zeitliche Verlagerung - das Investieren - muß sich in dem Sinne lohnen, daß die Investition ein in Zukunft signifikant höheres Potential des Konsumierens erwarten läßt. Die Beurteilung und die Gestaltung von Investitionen basiert demnach auf bestimmten Erwartungen des Investors im Hinblick auf seinen zukünftig darstellbaren Konsum. Aufgabe 1.3 Beleuchten Sie die Rolle der mit einer Investition verbundenen Erwartungen; berücksichtigen Sie dabei, daß der Investor eine Investition grundsätzlich ex ante zu beurteilen hat! Investitionen haben eine optimale Gestaltung der Konsumströme des Investors zum Ziel. Bei der Beurteilung einer zur Diskussion stehenden Investition muß der Investor den Mitteleinsatz (Verzicht auf Konsum im Betrachtungszeitpunkt) dem Zweckerfolg (Zuwachs an potentiellem

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Einführung

Konsum in der Zukunft) der Investition gegenüberstellen. Dabei entsteht ein Dilemma, dessen Intensität im wesentlichen von der Art des Investierens abhängig ist: Während der Mitteleinsatz der Investition vergleichsweise sicher ist, kann der mit der Investition verbundene Zweckerfolg nur unsicher angegeben werden. Der Grad der Unsicherheit wird hauptsächlich von der konkreten Investition determiniert, aber auch von Faktoren, die nicht unmittelbar mit der Investition verbunden sind. Unsicherheiten, die unmittelbar mit der Investition verbunden sind, beruhen auf der Prognoseungenauigkeit des mit der Investition letztendlich zu erwirtschaftenden Erfolges. Faktoren, die unabhängig von der konkreten Investition sind, liegen in allgemeinen volkswirtschaftlichen Daten begründet. Sie sind mehrdeutig und ungenau. Die wahrscheinlich eintretende Marktsituation kann nicht exakt erfaßt werden. Die Entwicklung des Preisniveaus und die der Angebotssituation am Gütermarkt seien hier exemplarisch genannt. Es kann aber auch sein, daß die Unternehmensleitung es für möglich hält, daß auch Situationen eintreten können, mit denen sie zur Zeit nicht rechnet. Die zentralen Erwartungen bei der Beurteilung einer Investition sind demnach unsicher und mitunter gar nicht von der Investition bzw. dem Investor zu beeinflussen. Aufgabe 1.4 Beschreiben Sie prinzipielle Möglichkeiten, den gegenwärtigen Konsumverzicht und die mit einer Investition verbundene Unsicherheit kalkulativ bei der Beurteilung und der Gestaltung einer Investition in Rechnung zu stellen! Die Realisierung einer Investition ist empfehlenswert, wenn der Erfolg der Investition sowohl die zeitliche Verlagerung des Konsums als auch die mit der Investition verbundene Unsicherheit hinsichtlich nicht erfüllter Erwartungen zu rechtfertigen bzw. zu entschädigen verspricht. Dabei ist die Höhe der Entschädigung insbesondere von der Art und dem Charakter der zur Diskussion stehenden Investition abhängig zu machen: Eine (sichere)

Einführung

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Geldanlage bei einem Kreditinstitut muß einen geringeren Vorteil erwarten lassen als eine unternehmerische Investition in ein innovatives und am Markt unbekanntes Produkt. Der mit einer Investition verbundene Zweckerfolg stellt einen ökonomischen Mehrwert dar, der aus der Investition zu generieren ist. Hohe Renditen mindern die Ungeduld hinsichtlich der zeitlichen Verlagerung von Konsumwünschen und erhöhen die Risikobereitschaft beim Eingehen unternehmerischer Investitionen. Die (positive) Verzinsung der Investitionssumme ist dabei nur einer der verschiedenen denkbaren Maßstäben ökonomischen Erfolges; grundsätzlich geht es darum, das - als Entschädigung für gegenwärtig aufgegebenes Einkommen - in Zukunft generierbare Mehreinkommen abbildbar und rechenbar zu machen. Die Einflußfaktoren der Vorteilhaftigkeit von Investitionen beeinflussen Prognosen und Planungen; sie bilden die Basis einer fundierten Wirtschaftlichkeitsrechnung. Dabei ist jedoch auch darauf zu achten, nur die tatsächlichen Einflußfaktoren der Vorteilhaftigkeit zu berücksichtigen, nicht entscheidungsrelevante Überlegungen dürfen nicht in die Kalkulation einbezogen werden. Unternehmerische Investitionen sind in aller Regel sehr komplex und bedürfen vorab der Prognosen verschiedener Spezialisten: Die Vertriebsabteilung bewertet Absatzmöglichkeiten des mit einer Investition zu produzierenden Produktes, Ingenieure schätzen die Effizienz und Zuverlässigkeit der anzuschaffenden Maschinen, die Materialbeschaffung urteilt über die Konditionen der zur Produktion notwendigen Materialien usw. Die Prognosen werden um die Richtlinien des Managements ergänzt: Wie sieht die Planung des Unternehmens aus, paßt die in Erwägung gezogene Investition in das strategische Konzept der Unternehmung, welche konkreten Stückzahlen sollen dann über welchen Zeitraum angestrebt werden usw. Überlegungen zu den Prognosen und den Planungen haben das Ziel, sämtliche mit der Investition verbundenen Vor- und Nachteile zu erfassen und rechenbar zu machen. Die Erfassung der Faktoren ist dabei bereits ein großes Problem, die Quantifizierung oder gar Monetarisierung qualitativer Einflußfaktoren (Imponderabilien) ist eine weitere typische Schwierigkeit

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Einführung

bei der Bewertung von Investitionen. Verschiedene Konzepte der Wirtschaftlichkeitsrechnung versuchen diesem Umstand Rechnung zu tragen. Der Investitionsrechnung liegt schließlich das allgemeine Prinzip zugrunde, die Alternative „Durchführung der Investition" derart darstellen zu können, daß sie anhand der Alternative „Unterlassung der Investition" gemessen und beurteilt werden kann: Ist die Investition sinnvoll? Um eine zielfuhrende Antwort erhalten zu können, sind sämtliche von der Investition auf den Erfolg der Unternehmung ausstrahlenden Effekte zu erfassen und kalkulativ in Rechnung zu stellen. Bei mehreren zur Diskussion stehenden Investitionen sind die Einflußfaktoren darüber hinaus gründlich abzugrenzen: Welche Vor- und Nachteile sind welchen Objekten zuzuordnen? Dabei ist konsequent auf die Vergleichbarkeit der zu vergleichenden Investitionen zu achten; echte Alternativen bedürfen der Einhaltung sehr restriktiver Bedingungen, können aber durch bestimmte Konstruktionen gestaltet werden. Aufgabe 1.5 Ein Unternehmer verfügt im Betrachtungszeitpunkt t0 über ein Einkommen in Höhe von eo = 100 GE. Diese Summe kann er für Konsumzwecke Co verwenden. Eine Anfrage bei seiner Bank hat ergeben, daß er Geld zu einem Zinssatz in Höhe von i = 10 % pro Jahr anlegen kann. a) Stellen Sie die dem Unternehmer möglichen Kombinationen aus gegenwärtigem Einkommen/Konsum (e«/co) und dem im Zeitpunkt ti möglichen Einkommen/Konsum (ejci) graphisch dar, indem Sie beliebige Annahmen hinsichtlich seiner Präferenzen unterstellen! Die folgende Graphik enthält eine Darstellung der bei einer Geldanlage zu einem Zinssatz von i = 10 % möglichen Einkommens-/Konsumströme in den Zeitpunkten to und ti sowie die prinzipielle Erfassung der persönlichen Präferenzen des Unternehmers. Die Gerade der Einkommens-/Konsumkombinationen hat entsprechend der Verzinsung des nicht im Zeitpunkt to für Konsumzwecke verwendeten

Einführung

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Geldes eine (negative) Steigung von 110 : 100 = 1,10. Der Unternehmer kann sämtliche Kombinationen von Konsum und Finanzinvestition realisieren, die auf oder unter dieser Geraden liegen; nur die Kombinationen auf der Geraden sind effizient.

Die Auswahl einer Kombination ist abhängig von den Präferenzen des Unternehmers. Diese werden von den Indifferenzkurven Ii, I2 und I3 abgebildet. Die Indifferenzkurven zeigen an, welche Kombinationen aus der Summe von periodischen Konsumeinkommensbeträge und der Größenrelation dieser Periodenbeträge aus der Sicht des Unternehmers gleichwertig sind; der Unternehmer ist gegenüber sämtlichen Kombinationen, die auf einer Indifferenzkurve liegen, indifferent. Die verschiedenen Indifferenzkurven spiegeln unterschiedliche Niveaus der Zufriedenheit wider. Die Indifferenzkurven liegen um so weiter vom Koordinatenanfangspunkt entfernt, je höher das Nutzenniveau ist. Letztendlich gilt es, jene Kombination aus Konsum und Einkommen in beiden Perioden zu wählen, bei der ein Punkt auf einer möglichst weit vom Koordinatenanfangspunkt entfernt liegenden Indifferenzkurve verwirklicht wird. Die Punkte der Kombinationen Α und C sind also suboptimal, da der Punkt Β ein höheres Niveau der Zufriedenheit ermöglicht.

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Die Lage der Indifferenzkurven, welche sich nicht schneiden dürfen, ist abhängig von der allgemeinen Bereitschaft des Wirtschaftssubjektes, auf gegenwärtigen Konsum zu verzichten, um in Zukunft zusätzliches Einkommen zu erzielen. Der Verlauf der Kurven ist ableitbar aus dem bekannten Böhm-Bawerk" sehen Gesetz der Minderschätzung zukünftiger Bedürfnisse. Das hinter dem Unternehmen stehende Individuum möchte entsprechend dieser „human impatience" oder auch „time-preference" über ein bestimmtes Gut (Einkommen) lieber in einer früheren Periode als in einer späteren Periode verfügen. Je steiler die Indifferenzkurven verlaufen, desto weniger ist das Wirtschaftssubjekt bereit, gegenwärtigen Konsum aufzugeben. b) Wie verändert sich die Graphik, wenn der Unternehmer eine Investition durchführen kann, die bei einer Investitionssumme im Zeitpunkt to in Höhe von A0 = 60 GE zu einer Einzahlung im Zeitpunkt ti in Höhe von e t = 69 GE führt? Die folgende Graphik enthält im Rahmen einer ceteris-paribusBetrachtung neben der Geldanlage bei einer Bank die Möglichkeit der skizzierten Investition. ei.ci

•I3 -h

I. 40

+· eo, c0 100

Investitionssumme Aq

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Die Graphik skizziert die mit der Investition verbundenen Auswirkungen auf die Einkommens-/Konsumkombinationen des Unternehmers. Da die Sachinvestition (SI) eine höhere Verzinsung als die Finanzinvestition (FI) aufweist, ist die Gerade der möglichen Einkommens-/Konsumkombinationen aus Aufgabenteil a) - hier als gestrichelte Linie dargestellt zu korrigieren. Bei einer vollständigen Realisierung erwirtschaftet die Sachinvestition aus einer Auszahlung von 60 GE (100 GE - 40 GE) eine Einzahlung im Zeitpunkt ti in Höhe von 69 GE; eine Anlage bei der Bank führte nur zu einer Einzahlung von 66 GE. Der Unternehmer kann daher nun - im Vergleich zum Aufgabenteil a) - im Zeitpunkt ti ein maximales Einkommens-/Konsumpotential von 113 (+3) GE realisieren. Dabei erwirtschaftet die verbleibende Finanzinvestition von 40 (= 100 - 60) GE eine Einzahlung von 44 GE. Die durchgezogene Linie enthält also sowohl die Sachais auch die Finanzinvestition. Durch die Sachinvestition erhält der Unternehmer die Möglichkeit, die Indifferenzkurve I3 zu erreichen; der Punkt D ist nun optimal. Voraussetzung für die Erzielung dieses erhöhten Niveaus ist, daß die Verzinsung der Sachinvestition höher ist als die der Finanzinvestition. Der Punkt D kann zudem nur unter der Prämisse erreicht werden, daß der Investitionsbetrag auch beliebig teilbar ist. Aufgabe 1.6 Eine Investition wird häufig definiert als „Überführung von finanziellen Mitteln in konkrete Werte". Umfaßt diese Definition sämtliche Formen der Anlage finanzieller Mittel? Im Rahmen der Investitionsrechnung soll festgelegt werden, ob eine Investition vorteilhaft ist. Dies ist nur möglich, wenn in die Vorteilhaftigkeitsrechnung u.a. die Aspekte mit einbezogen werden, die für die Beschaffung von längerfristigen Nutzungspotentialen notwendig sind. Definiert man eine Investition als „Überführung von finanziellen Mitteln in konkrete Werte", so erfaßt man die Überfuhrung von Geld und/oder geld-

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werten Mitteln in Anlage- und Umlaufvermögen, aber auch sämtliche für den Betrieb geleisteten Dienste. Diese BegrifFsbildung umfaßt aber nicht die Überfuhrung finanzieller Mittel in abstrakte Werte, die unter dem Begriff der Finanzinvestition (Geldanlage, Beteiligung) subsumiert werden. Die genannte Definition vernachlässigt darüber hinaus die Verwendung finanzieller Mittel für Werbung, Ausbildung, Forschung und Entwicklung, Organisation, soziale Aufgaben und dergleichen. Zwar sind entsprechende Positionen nicht bilanzierungsfahig, sie stellen aber immaterielle Investitionen dar. Auszahlungen für Löhne, Rohstoffe, Versicherungen etc. sind für eine Investitionsentscheidung zwar von großer Bedeutung, sie werden jedoch den laufenden Einzahlungen der gleichen Periode gegenübergestellt und sind somit im Einzahlungsüberschuß einer Periode enthalten. Entsprechende Positionen sollten daher nicht im Investitionsbegriff enthalten sein. Da Finanzinvestitionen und immaterielle Investitionen neben den Sachinvestitionen zu den Investitionsarten zählen, lassen sich Investitionen wie folgt definieren: Investitionen sind jede Art von Kapitalbindung durch Auszahlungen für materielle und immaterielle Vermögensgegenstände. Aufgabe 1.7 Inwieweit müssen zur Charakterisierung einer Investition auch physische Eigenschaften und technische Daten berücksichtigt werden? Zur Bestimmung der Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjektes ist eine Quantifizierung erforderlich. Dazu bedarf es eines Maßsystems, mit dessen Hilfe man jede Investitionsmöglichkeit beschreiben, im Hinblick auf die Vorteilhaftigkeit beurteilen und mit anderen Investitionsmöglichkeiten vergleichen kann. Als ein solches Maßsystem bieten sich die mit einer Investition verbundenen Zahlungsströme, bestehend aus Einzahlungen (Einzahlungsreihe) und Auszahlungen (Auszahlungsreihe) an. Darüber hinaus sind die entscheidungsrelevanten physischen Eigenschaften, die technischen Daten und die imponderablen Faktoren zu berücksichtigen. Das kann im Rahmen einer Investitionsrechnung nur insoweit erfolgen, wie die Faktoren einen erkenn-, meß- und prognostizierbaren Einfluß auf die

Einfuhrung

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zukünftigen Zahlungsströme der Unternehmung haben. Investitionen lassen sich somit durch zukünftige Einzahlungen und Auszahlungen charakterisieren. Aufgabe 1.8 Klassifizieren Sie die Investitionsarten ! Die Übersicht der folgenden Seite klassifiziert die wesentlichen Investitionsarten. Aufgabe 1.9 Grenzen Sie das Begriffspaar „Einzahlungen - Auszahlungen" von dem Begriffspaar „Einnahmen - Ausgaben" ab! Einzahlungen und Auszahlungen stellen konkrete Zahlungsvorgänge, tatsächliche Zu- und Abgänge an liquiden Mitteln dar. Eine Einzahlung fuhrt zur Erhöhung des Zahlungsmittelbestandes (= Kassenbestände und jederzeit verfugbare Bankguthaben), eine Auszahlung zu einer Verminderung des Zahlungsmittelbestandes. Beispiele für Einzahlungen sind der Barverkauf betrieblicher Leistungen, Bareinlagen, Barkredite. Beispiele für Auszahlungen sind der Barkauf von Produktionsfaktoren, die Bartilgung von Krediten, Barentnahmen. Die Begriffe Einnahmen und Ausgaben sind weiter gefaßt als die der Einzahlungen und Auszahlungen. Unter den Begriffen Einnahmen und Ausgaben werden auch Kreditvorgänge subsumiert. Das Begriffspaar „Einzahlungen - Auszahlungen" wird dementsprechend durch Forderungszunahme und Schuldenabnahme bzw. durch Forderungsabnahme und Schuldenzunahme zum Begriffspaar „Einnahmen - Ausgaben" erweitert. Einnahmen umfassen somit Einzahlungen, Forderungszunahmen und Schuldenabnahmen. Ausgaben umfassen Auszahlungen, Forderungsabnahmen und Schuldenzunahmen. Einnahmen entstehen beim Verkauf, Ausgaben beim Kauf von Gütern. Der eigentliche Kassenvorgang ist dabei unbedeutend. Unter der Annahme, daß nur Barverkäufe und Barkäufe getätigt werden, lassen sich die Begriffe Einnahmen und Einzahlungen sowie die Begriffe Ausgaben und Auszahlungen synonym verwenden.

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Einführung

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Aufgabe 1.10 Beschreiben Sie den finanzwirtschaftlichen und den leistungswirtschaftlichen Aspekt der Investitionsrechnung! Mit jeder Auszahlung ist die Erwartung verbunden, zukünftige Einzahlungen erzielen zu können. Beim finanzwirtschaftlichen Aspekt wird davon ausgegangen, daß Investitionen Zahlungsvorgänge auslösen, die mit Auszahlungen beginnen und dann zu Rückzahlungen fuhren: „Eine Investition ist durch einen Zahlungsstrom gekennzeichnet, der mit einer Ausgabe beginnt" (Dieter Schneider, Investition und Finanzierung, 2. Auflage, Wiesbaden 1971, S. 137) Beim leistungswirtschaftlichen Aspekt besteht die eigentliche Tätigkeit des Investierens in der Schaffung einer Leistungsbereitschaft bzw. Leistungsfähigkeit und der daraus resultierenden optimalen Kombination von Absatz- und Produktionsbereichen. Aufgabe 1.11 Investitionen beruhen auf langfristigen Entscheidungen. Durch die langfristige Bindung der finanziellen Mittel entsteht ein Verlust an 1. leistungswirtschaftlicher Flexibilität und 2. finanzwirtschaftlicher Flexibilität. Welche Probleme und dementsprechende Aufgaben ergeben sich daraus fur die Investitionsplanung? Durch den Verlust an Flexibilität treten Probleme in der Organisation, in der Investitionsrechnung und im Bereich Technik auf. Organisatorische Maßnahmen müssen eine Übereinstimmung von Investitionsanträgen und den Zielsetzungen der Unternehmung sicherstellen. Für die Investitionsrechnung sind die Informationen entscheidungsorientiert zu verarbeiten. Technische Lösungen tragen zudem dazu bei, daß ein optimales Verhältnis aus Flexibilität und ökonomischem Vorteil erzielt wird. Aufgabe 1.12 Kennzeichnen Sie die Phasen des Investitionsprozesses!

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Einführung

Der Investitionsprozeß läßt sich in die folgenden acht Phasen gliedern: 1. INVESTITIONSIDEE Erkennen von Investitionsmöglichkeiten und Investitionsnotwendigkeiten. 2. INVESTITIONSVORSCHLAG Begründung des Vorhabens: Nützlichkeit, Notwendigkeit. Rangordnung nach der Dringlichkeit. 3. PLANUNGSGRUNDLAGEN Erarbeiten der technischen und wirtschaftlichen Daten. 4. VORPLANUNG Untersuchung des Investitionsvorschlages unter Berücksichtigung von möglichen Alternativen. Vorauswahl nach dem Grad der Dringlichkeit (Ausfall einer Maschine) und der rechtlichen Notwendigkeit (Vorschriften des Gesetzgebers bzgl. der betrieblichen Ausstattung). 5. HAUPTPLANUNG Durchführung der Investitionsrechnung. Prüfung des Investitionsvorhabens nach technischen Gesichtspunkten. Erfassung und Auswertung von Imponderabilien. Abstimmung mit anderen Planungsbereichen. 6. INVESTITIONSENTSCHEIDUNG Prüfung der Investitionsmöglichkeiten mit Hilfe von Vorteilhaftigkeitskriterien und Entscheidung für das optimale Vorgehen. 7. REALISIERUNG Kontrolle der Kosten und Beachtung der Einhaltung zeitlicher Vorgaben.

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8. INVESTmONSKONTROLLE Nachbereitung der Investition im Hinblick auf Wirtschaftlichkeit, technische Funktion und qualitative Faktoren. Aufgabe 1.13 Investitionsidee und Investitionsvorschlag erfordern wirtschaftliche Planungsgrundlagen, um die Investitionsnotwendigkeiten zu erkennen und zu begründen. Wann liegen Investitionsnotwendigkeiten vor? Welche Planungsinformationen sind geeignet, Investitionslficken zu erkennen? Investitionsnotwendigkeiten liegen vor, wenn gesetzliche Vorschriften Investitionen bedingen (z.B. Filteranlagen) oder gegebene betriebliche Umstände entsprechende Maßnahmen erzwingen (z.B. Ersatz einer ausgefallenen Maschine). In diesen Fällen ist nicht die Frage zu beantworten, ob eine Investition getätigt werden soll, sondern welche Maßnahme (bei möglichen Alternativen) die vorteilhafteste ist. Investitionslücken lassen sich durch die systematische Verarbeitung von Rahmen- und Detailinformationen erkennen. Rahmeninformationen liefern Daten über die Weltwirtschaft, die Gesamtwirtschaft, die Branche, die Marktstrukturen, den Kapitalmarkt und ähnliche Aspekte. Daten zu Investitionsauszahlungen, Marketingauszahlungen, Absatzprognosen, Preisentwicklungen, Nutzungsdauern und ähnlichen Aspekten stellen Detailinformationen dar.

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Zusammenfassung zum 1. Kapitel

Die Einfuhrung zu den Grundlagen der Investitionsrechnung hat verschiedene Aspekte aufgezeigt, auf denen die in den weiteren Kapiteln darzustellenden Investitionsrechenverfahren basieren. Im wesentlichen ging es darum, ein wissenschaftliches Fundament zu schaffen, mit dem der Leser in die Lage versetzt wird, die weiteren Kapitel in einem Zusammenhang zu sehen und dabei kritische Überlegungen zu weiterfuhrenden Fragen und Problemen anstellen zu können. Zentrale Ergebnisse dieses Kapitels lauten: 1. Investieren ist Mittel zum Zweck. Der mit einer Investition verbundene Verzicht auf gegenwärtigen Konsum (Mitteleinsatz) muß mit dem damit in der Zukunft realisierbaren zusätzlichen Konsum (Zweckerfolg) verglichen werden. 2. Jener Vergleich ist mit Unsicherheiten verbunden, da der mit einer Investition angestrebte Zweckerfolg grundsätzlich mehr oder weniger unsicher ist. Um so bedeutender ist es, die Einflußfaktoren der Vorteilhaftigkeit systematisch zu erfassen und rechenbar zu machen; nicht entscheidungsrelevante Aspekte dürfen in dem Kalkül nicht berücksichtigt werden. Die Bewertung einer Investition kann nur anhand eines Aiternativenvergleichs erfolgen. Bei einer einzelnen Sachinvestition besteht die Alternative darin, die Sachinvestition zu unterlassen. 3. Indifferenzkurven eines Wirtschaftsubjektes zeigen dessen Bereitschaft, auf gegenwärtigen Konsum zu verzichten, um durch Investitionen zusätzliches Einkommen in der Zukunft zu erzielen. Ein Wirtschaftssubjekt entscheidet sich effizient, sofern es eine Einkommens-/Konsumkombination aus gegenwärtigem und zukünftigem Einkommen/Konsum wählt, die auf der Gerade der möglichen Einkommens-ZKonsumkombinationen liegt und zudem einen Berührungspunkt dieser Gerade mit einer Indifferenzkurve des Wirtschaftssubjektes repräsentiert. Eine Sachinvestition kann das Nutzenniveau eines Wirtschaftssubjektes nur erhöhen, wenn die Verzinsung der Sachinvestition größer ist als die

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einer alternativ grundsätzlich möglichen Finanzinvestition bei einer Bank. 4. Eine Auseinandersetzung mit den Verfahren der Investitionsrechnung muß anhand einer sicheren Anwendung des entsprechenden Vokabulars erfolgen. Beispielsweise darf das Begriffspaar „Einzahlungen und Auszahlungen" nicht mit dem Begriffspaar „Einnahmen und Ausgaben" verwechselt werden. 5. Investitionen haben nicht nur unmittelbare Auswirkungen auf die Konsummöglichkeiten des Investors, sondern in aller Regel auch mittelbare, indem Investitionen den sonstigen Prozeß der betrieblichen Leistungserstellung beeinflussen. Investitionen können beispielsweise sowohl auf die leistungswirtschaftliche als auch auf die finanzwirtschaflliche Flexibilität einer Unternehmung einwirken.

Literaturempfehlungen zum 1. Kapitel

Altrogge, G., Investition, 4. Aufl., München 1996, S. 1 - 18. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 1 - 20 und S. 100 - 107. Kruschwitz, L., Investitionsrechnung, 8. Aufl., München 2000, S. 1 - 24. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 5 - 5 0 . Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 13 - 19.

Einperiodige Kriterien

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Kapitel 2

EINPERIODIGE RECHNUNG

KRITERIEN

DER

INVESTITIONS-

Das zweite Kapitel stellt die Kriterien und Verfahren der einperiodigen Investitionsrechnung dar. In diesem Zusammenhang werden erste Hinweise auf die Prinzipien der mehrperiodigen Verfahren erfolgen, um die Besonderheiten der einperiodigen Kriterien deutlich hervorzuheben. Zu den zentralen Aspekten des zweiten Kapitels zählen: 1. Die Abgrenzung einperiodiger von mehrperiodigen Verfahren anhand der entsprechenden Kriterien der Wirtschaftlichkeitsrechnung. 2. Der Einfluß gegebener Daten auf die Auswahl und die korrekte Anwendung eines Investitionsrechenverfahrens. 3. Hinweise auf die (impliziten) Prämissen der einzelnen Verfahren und die daraus resultierende Notwendigkeit, abweichende Gegebenheiten von Investitionsobjekten explizit im Kalkül zu berücksichtigen. 4. Die Hervorhebung der Bedeutung eindeutiger Definitionen und der Zielsetzung sowie der Notwendigkeit, Alternativen zu betrachten, um Vorteilhaftigkeiten bestimmen zu können. 5. Erste Anmerkungen bezüglich der Konsequenzen eines - im Rahmen der Investitionsrechnung eine große Rolle spielenden - vollkommenen Kapitalmarktes. 6. Eine ausführliche Erläuterung der umfangreichen und bedeutenden Mängel der einzelnen Kriterien aller einperiodigen Verfahren.

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Einperiodige Kriterien

Aufgabe 2.1 Klassifizieren Sie die Verfahren der Investitionsrechnung zur Beurteilung der vorteilhaftesten Kapitalverwendung! Theorie und Praxis haben eine Fülle von Verfahren der Investitionsrechnung zur Beurteilung von Einzelinvestitionen und Investitionsprogrammen entwickelt. Grundsätzlich lassen sich zwei Gruppen unterscheiden: 1. Auf Erlösen und Kosten beruhende Verfahren. Dies sind kalkulatorische Verfahren. Es werden nur die repräsentativen Erlöse und Kosten einer durchschnittlichen Periode betrachtet. Die Tatsache, daß Zahlungen in unterschiedlicher Höhe und zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, bleibt unberücksichtigt. Diese einperiodigen Verfahren werden auch statische Verfahren genannt. 2. Auf Ein- und Auszahlungen basierende Verfahren. Diese Verfahren enthalten sämtliche Zahlungen über den gesamten Investitionszeitraum bis zur Desinvestition. Im Wege der Zinseszinsrechnung erfolgt eine explizite Berücksichtigung der Zahlungszeitpunkte. Die entsprechenden Verfahren werden als mehrperiodige Verfahren bezeichnet. Man findet zuweilen auch den Begriff dynamische Verfahren. Die einperiodigen Verfahren werden als sogenannte „Wirtschaftlichkeitsrechnung im weiteren Sinne" angesehen. Da die Verfahren Durchschnittswerte unterstellen und bestimmte Charakteristika der zu beurteilenden Investitionen ignorieren, legen sie den Wirtschaftlichkeitsbegriff recht weit aus und bieten eher Anhaltspunkte als exakte Handlungsanweisungen. Die mehrperiodigen Verfahren stellen eine „Wirtschaftlichkeitsrechnung im engeren Sinne" (= Investitionsrechnung) dar. Diese Verfahren sind geeignet, sämtliche Bestimmungsfaktoren für die Beurteilung einer Investition zu berücksichtigen. Die Instrumente der Investitionsrechnung legen den Wirtschaftlichkeitsbegriff eng aus, sie stellen einen erhöhten Anspruch an die auszugebenden Handlungsanweisungen. Aufgabe 2.2 Warum sind die mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung nicht dynamisch im Sinne wirtschaftstheoretischer Begriffsbildung?

Einperiodige Kriterien

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Die Wirtschaflstheorie versteht unter Dynamik eine Betrachtungsweise, bei der die Variablen einer Periode von Variablen vorhergehender Perioden abhängen. Als statisch wird hingegen ein Modell bezeichnet, in dem alle Variablen auf ein und denselben Zeitpunkt bzw. auf ein und dieselbe Zeitperiode bezogen sind. Da bei den mehrperiodigen Verfahren explizit keine Variablen enthalten sind, die von anderen Perioden determiniert werden, sind die mehrperiodigen Verfahren im Sinne der wirtschaftstheoretischen Begriffsbildung nicht dynamisch. Aufgabe 2.3 Nennen Sie die Verfahren der einperiodigen (statischen) Investitionsrechnung! Die folgenden Investitionsrechnungsmethoden gehören zu den Verfahren der Wirtschaftlichkeitsrechnung im weiteren Sinne: 1. Kostenvergleichsrechnung (KVR) 2. Gewinnvergleichsrechnung (GVR) 3. Rentabilitätsvergleichsrechnung (RVR) Häufig wird darüber hinaus die (statische) Amortisationsrechnung/Payoff-Periode (PoP) der einperiodigen Investitionsrechnung zugeordnet. Aufgabe 2.4 Charakterisieren Sie die Kostenvergleichsrechnung! Durch einen Vergleich der Kosten von zwei oder mehr Investitionsalternativen wird die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten bestimmt. Unter der Voraussetzung, daß die Alternativen zum gleichen Erlös fuhren, ist anhand des Kostenvergleichs die Investition mit den geringsten Gesamtkosten pro Periode zu wählen. Bestehen Unterschiede in den Ausbringungsmengen der Alternativen, so werden Stückkosten zum Vorteilhaftigkeitsvergleich herangezogen. Da die Kostenvergleichsrechnung eine einperiodige Investitionsrechnungsmethode darstellt, werden entweder echte Durchschnitte der voraus-

22

Einperiodige Kriterien

sichtlichen Kosten während der Nutzungsdauer herangezogen oder es besteht die Möglichkeit zur Generierung der entscheidungsrelevanten Daten darin, die wahrscheinlichsten Kosten des ersten Jahres als repräsentativ für die folgenden Perioden zu unterstellen. Aufgabe 2.5 Sie können für die Produktion eines bestimmten Produktes zwischen den Investitionsobjekten Α und Β wählen. Der Erlös ist unabhängig davon, auf welchem Investitionsobjekt das Produkt erstellt wurde. Folgende Daten sind Ihnen gegeben: Investition Anschaffungsauszahlung Ao

A

Β

140.000 GE

150.000 GE

14 Jahre

10 Jahre

Beanspruchte Kapazität pro Periode

10.000 Stück

10.000 Stück

Personalkosten pro Leistungseinheit

1,10 GE

1,10 GE

25.000 GE

24.000 GE

5 GE

4,75 GE

Energiekosten pro Periode

2.000 GE

2.500 GE

Raumkosten pro Periode

4.000 GE

4.500 GE

Instandhaltungskosten pro Periode

5.000 GE

6.000 GE

Nutzungsdauer η

Personalkosten pro Periode Kosten für Fertigungsmaterial pro Leistungseinheit

Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (hier identisch mit Restverkaufserlös)

-

-

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Einperiodige Kriterien

Bestimmen Sie das kostengünstigste Investitionsobjekt. Die Abschreibungen erfolgen linear. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. Die Zinsen werden auf das durchschnittlich in der Anlage gebundene Kapital berechnet! Die gesamten durchschnittlichen Kosten pro Periode berechnen sich wie folgt: Investition

Β

A

Durchschnittliche Abschreibungen pro Periode

10.000

15.000

Zinskosten (i = 0,10) auf das durchschnittlich

7.000

7.500

Leistungsabhängige Personalkosten pro Periode

11.000

11.000

Leistungsunabhängige Personalkosten pro Periode

25.000

24.000

Fertigungsmaterialkosten pro Periode

50.000

47.500

Energiekosten pro Periode

2.000

2.500

Raumkosten pro Periode

4.000

4.500

Instandhaltungskosten pro Periode

5.000

6.000

114.000

118.000

gebundene Kapital

Gesamte durchschnittliche Kosten pro Periode

Die durchschnittlichen Abschreibungen Α errechnen sich dabei anhand der folgenden Formel: A —R A =— η

[R, = Restbuchwert]

24

Einperiodige Kriterien

Bei den gegebenen Daten bedeutet das konkret: 140.000-0 Aa = = 10.000 14 150.000-0 , , ΛΛΛ AB = = 15.000 10 Die Formel fur die auf das durchschnittlich gebundene Kapital berechneten Zinskosten Ζ lautet: A

o+Rn 2

Daraus folgt: 140.000 + o

ζ,

150 0 0 0 + 0 =

.

0 4 0 = Μ 0 0

. 0,10 = 7.500 A +R

Dabei bestimmt der Ausdruck — — d . das im Durchschnitt gebundene Kapital der entsprechenden Investition. Aufgrund der geringeren durchschnittlichen Gesamtkosten pro Periode ist die Investitionsalternative Α mit Kosten in Höhe von 114.000 GE zu wählen. Aufgabe 2.6 In der vorhergehenden Aufgabe 2.5 sei die Annahme aufgehoben, beide Investitionsalternativen könnten gleiche Ausbringungsmengen produzieren. Die Investitionsalternative Α soll nunmehr nur über eine Ausbringungsmenge von X = 8.000 Einheiten pro Jahr verfugen. Die leistungsunabhängigen Personalkosten betragen jetzt bei der Investition Α nur 20.000 GE. Ändert sich die Vorteiihaftigkeit? Betrachtet man die jährlichen durchschnittlichen Gesamtkosten, so ergibt sich:

Einperiodige Kriterien

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Investition

A

Β

Durchschnittliche Abschreibungen pro Periode

10.000

15.000

7.000

7.500

8.800

11.000

20.000

24.000

40.000

47.500

Energiekosten pro Periode

2.000

2.500

Raumkosten pro Periode

4.000

4.500

Instandhaltungskosten pro Periode

5.000

6.000

96.800

118.000

12,10

11,80

Zinskosten (i = 0,10) auf das durchschnittlich gebundene Kapital Leistungsabhängige Personalkosten pro Periode Leistungsunabhängige Personalkosten pro Periode Fertigungsmaterialkosten pro Periode

Gesamte durchschnittliche Kosten pro Periode

Kosten je Ausbringungsmengeneinheit

Die durchschnittlichen Gesamtkosten pro Periode dürfen nicht mehr verglichen werden, da die Anlagen über unterschiedliche Kapazitäten verfügen. Eine Entscheidung ließe sich aber durch einen Vergleich der Kosten je Ausbringungsmengeneinheit treffen. Hiernach ist die Anlage Β der Anlage Α vorzuziehen. In diesem Zusammenhang ist zu bedenken, daß die Anlagen mit großer Wahrscheinlichkeit unterschiedliche Erlöse erwirtschaften. Darüber hinaus bleiben sowohl beim Vergleich der durchschnittlichen Gesamtkosten pro Periode als auch bei einer Entscheidung anhand der Kosten pro Ausbrin-

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Einperiodige Kriterien

gungsmengeneinheit Differenzen in der Nutzungsdauer sowie in der Kapitalbindung der Investitionsalternativen unberücksichtigt. Diese Feststellung signalisiert erste Schwächen der Kostenvergleichsrechnung, da unterschiedliche Erlöse, Differenzen in der Nutzungsdauer und in der Kapitalbindung die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten beeinflussen. Aufgabe 2.7 Welche Mängel weist die Kostenvergleichsrechnung auf? Neben der Annahme gleich hoher Erlöse sind die Mängel der KVR hauptsächlich im einperiodigen Charakter dieses Verfahrens begründet: 1. Die Kostenvergleichsrechnung ist kurzfristiger Art und erlaubt nur Vergleiche zweier Zustände. 2. Das Verfahren kann lediglich einen Kostenvorteil bestimmen. Es wird keine Aussage darüber getroffen, ob die Investition überhaupt vorteilhaft ist - beispielsweise im Vergleich zu einer Finanzinvestition. 3. Der unterschiedliche zeitliche Anfall der Zahlungsgrößen bleibt unberücksichtigt. 4. Die angesetzten Durchschnittswerte gelten als repräsentativ für alle Perioden. 5. Differenzen in den Nutzungsdauern der Investitionsalternativen werden nicht explizit berücksichtigt. 6. Ein Unterschied im Kapitaleinsatz bleibt ebenfalls ohne explizite Beachtung. Aufgrund ihrer fundamentalen Mängel kann die Kostenvergleichsrechnung nur als Instrument der groben Orientierung Anwendung finden. Aufgabe 2.8 Sie haben eine Erweiterungsinvestition durchzuführen und wollen sich zur Beurteilung dieser Investition der einperiodigen Investitionsrechnung bedienen. Eignet sich hierfür die Kostenvergleichsrechnung?

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Einperiodige Kriterien

Ein Kostenvergleich ist bei einer Erweiterungsinvestition nicht aussagefahig, da sich die Erlösseite in aller Regel mit der Erweiterung ändert. Die Auswirkungen der Investition auf der Absatzseite sind daher zu berücksichtigen. Hierzu bietet sich eine Gewinnvergleichsrechnung an. Dabei ist diejenige Alternative zu ermitteln, die nach der Erweiterung den höchsten durchschnittlichen Gewinn pro Periode aufweist. Aufgabe 2.9 Ausgehend von der Aufgabe 2.6 sei unterstellt, daß die Alternativen einen Absatzpreis von 15 GE je produzierter und abgesetzter Leistungseinheit erzielen. a) Prüfen Sie mit Hilfe der Gewinnvergleichsrechnung, welche der beiden Investitionen die vorteilhaftere ist! Der durchschnittliche Gewinn pro Periode ergibt sich aus der Differenz zwischen den durchschnittlichen Erlösen und den durchschnittlichen Kosten pro Periode. Für die Investition Α beträgt der Erlös pro Periode 8.000 * 15 = 120.000 GE, für die Investition Β ergeben sich 10.000* 15 = 150.000 GE. Aus einer Gegenüberstellung dieser durchschnittlichen Erlöse mit den durchschnittlichen Kosten pro Periode (vgl. Aufgabe 2.6) ergibt sich die folgende Gewinnvergleichsrechnung: Investition

A

Β

Durchschnittlicher Erlös pro Periode

120.000

150.000

Durchschnittliche Kosten pro Periode

96.800

118.000

Durchschnittlicher Gewinn pro Periode

23.200

32.000

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Einperiodige Kriterien

Die Alternative mit dem höchsten durchschnittlichen Periodengewinn ist durchzuführen; dem Urteil der Gewinnvergleichsrechnung folgend, ist daher das Investitionsobjekt Β zu wählen. b) Welche Annahmen über den Kapitaleinsatz liegen dem Verfahren der Gewinnvergleichsrechnung zugrunde? Um die Investition Β zu finanzieren, muß der Investor über einen Kapitalbetrag von 150.000 GE verfugen. Demnach ist hier die Annahme unterstellt, der Investor sei in der Lage, die alternativen Projekte finanzwirtschaftlich darstellen zu können. Wählt der Investor das Investitionsobjekt Α mit einem Anschaffungspreis von 140.000 GE, so hat er die Möglichkeit, den nicht benötigten, aber verfugbaren Restbetrag von 10.000 GE für eine zusätzliche, gewinnbringende Investition zu verwenden. Der Erfolg aus dieser ergänzenden Investition müßte bei einem Vergleich der Alternativen berücksichtigt werden; bei der Gewinnvergleichsrechnung ist das aber nicht der Fall. Die Gewinnvergleichsrechnung basiert vielmehr auf der impliziten Prämisse, der für eine Ergänzungsinvestition vorhandene Kapitalbetrag werde in der Kasse gehalten. Auf diesem Wege führt die Gewinnvergleichsrechnung möglicherweise zu suboptimalen Entscheidungen. c) Die Investitionsobjekte weisen unterschiedliche Kapitalbindungszeiträume auf. Wie wird diese Differenz beim Verfahren der Gewinnvergleichsrechnung berücksichtigt? Die Investition Α hat eine Nutzungsdauer von η = 14 Jahre, die Investition Β erstreckt sich über η = 10 Jahre. Sollte ein Investor, der sich entsprechend der Höhe des durchschnittlichen Gewinns pro Periode (32.000 GE) für das Projekt Β entscheidet, nach einer Nutzungsdauer von zehn Jahren keine Sachinvestition mehr tätigen, so müßte man ihm unterstellen, er sei dann ökonomisch nicht aktiv. In diesem Fall entsteht während der Nutzungsdauer für das Investitionsobjekt Β ein gesamter Gewinn in Höhe von 10 * 32.000 = 320.000 GE.

Einperiodige Kriterien

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Während der gesamten Nutzungsdauer des Investitionsobjekts Α wird ein Gesamtgewinn in Höhe von 14 * 23.200 = 324.800 GE erwirtschaftet. Das nach dem durchschnittlichen Periodengewinn unvorteilhafte Investitionsprojekt Α wäre also bei einer Beachtung der gesamten Kapitalbindungsdauer vorteilhafter. Vor diesem Hintergrund ist es eine sinnvolle Annahme, der Investor werde zwischen dem Ende der Nutzungsdauer der kurzlebigen und dem der langlebigen Investition eine erneute Investition tätigen. Entscheidet man anhand des durchschnittlichen Periodengewinns über die Investitionsobjekte, so liegt dem die konkrete Annahme zugrunde, nach Ablauf der Nutzungsdauer des kurzlebigen Investitionsobjektes könne eine weitere Investition mit einem durchschnittlichen Periodengewinn in gleicher Höhe getätigt werden. Der durchschnittliche Periodengewinn der kurzlebigen Investition wird also solange fortgeschrieben, bis das Ende der Nutzungsdauer der langlebigen Investition erreicht ist. Es ist aber zu bedenken, daß eine entsprechende Möglichkeit zum Zeitpunkt der Beurteilung der Investitionen nicht gegeben ist. Analog zu den Ergebnissen der Kostenvergleichsrechnung muß daher konstatiert werden, daß die Gewinnvergleichsrechnung nur in bestimmten Situationen und unter restriktiven Annahmen hinsichtlich der entscheidungsrelevanten Daten eine Hilfe zur Orientierung des Investors sein kann. Aufgabe 2.10 Welche Mängel weist die Gewinnvergleichsrechnung auf? Die Gewinnvergleichsrechnung weist im Grundsatz analoge Mängel wie die Kostenvergleichsrechnung auf, da beide Verfahren zu den einperiodigen Instrumenten der Investitionsrechnung (Wirtschaftlichkeitsrechnung im weiteren Sinne) zählen. Durch die Berücksichtigung der Erlösseite besteht die Möglichkeit zur

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Einperiodige Kriterien

Bestimmung des durchschnittlichen Gewinns pro Periode; vorausgesetzt, Kosten und Erlöse können den Investitionen eindeutig zugeordnet werden. Wenn nicht definierbar ist, welcher Anteil der Erlöse im Rahmen der Betriebsmittelkombination welchem Investitionsobjekt obliegt, kann das Problem eventuell gelöst werden, indem die durch die Investitionsentscheidung verursachte Veränderung aller Erlöse und Kosten der Unternehmung berechnet wird. Die Gewinnvergleichsrechnung ist jedoch nicht in der Lage, die Frage zu beantworten, ob ein anderes Projekt als die vorgegebenen Investitionsalternativen besser geeignet ist, das zur Verfügung stehende Kapital zu verwenden; so fließt die generell vorhandene Alternative einer Finanzinvestition nicht in das Kalkül der Gewinnvergleichsrechnung ein. Aufgabe 2.11 Bei mehrstufiger Produktion ist für eine Produktionsstufe, die keine marktfähigen Zwischenprodukte erstellt, eine Erweiterungsinvestition geplant. Läßt sich zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit eine Gewinnvergleichsrechnung heranziehen? Eine Gewinnvergleichsrechnung setzt die Gegenüberstellung von Erlösen und Kosten voraus. Der Produktionsstufe, welche keine marktfähigen Zwischenprodukte erstellt, sind keine Erlöse zurechenbar. Ein Gewinnvergleich ist daher nur möglich, indem die Gesamterlöse und Gesamtkosten des Unternehmens, welche sich bei Verzicht auf das Investitionsobjekt und bei Durchführung der Investition ergeben, verglichen werden. Aufgabe 2.12 Welche Mängel der Gewinnvergleichsrechnung werden durch die Rentabilitätsvergleichsrechnung behoben? Im Rahmen der Rentabilitätsvergleichsrechnung wird das Verhältnis aus dem Gewinn einer Investition und dem dazu notwendigen Kapitaleinsatz berechnet. Die Rentabilitätsvergleichsrechnung basiert damit auf einer relativen Größe und nicht auf einem absoluten Wert, wie es beim Gewinnvergleich

Einperiodige Kriterien

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der Fall ist. Mit der Rentabilitätsvergleichsrechnung erhält der Investor eine Information über die relative Leistungsfähigkeit einer Investition, indem nicht nur der Erfolg einer Investition, sondern auch das gesamte dazu notwendige Investitionsvolumen in die Betrachtung einbezogen wird. Die aus der Rentabilitätsvergleichsrechnung resultierende Kapitalrentabilität muß größer sein als eine von der Unternehmensleitung vorgegebene Mindestrentabilität. Bei Investitionsalternativen wird dasjenige Investitionsobjekt ausgewählt, welches die höchste Kapitalrentabilität aufweist und darüber hinaus dem Kriterium der Mindestrentabilität genügt. Aufgabe 2.13 Wie läßt sich eine Mindestrentabilität ableiten? Zum Vergleich der Vorteilhaftigkeit von Investitionen ist ein Vergleichsmaßstab erforderlich, der beispielsweise anhand einer Mindestrentabilität ausgedrückt werden kann. Beim Vergleichsmaßstab handelt es sich um den Zinssatz, der sich aus einer alternativen Verwendungsmöglichkeit des für eine Sachinvestition zur Verfugung stehenden Kapitals ergibt. Folgende Verwendungsmöglichkeiten lassen sich ohne Anspruch auf Vollständigkeit exemplarisch anfuhren: 1. Anlage des Kapitals als Finanzinvestition; etwa bei einer Bank 2. Rückzahlung von aufgenommenem Fremdkapital 3. Anlage des Kapitals in einer (alternativen) Sachinvestition 4. Reservierung des Kapitals in der Unternehmung als liquide Mittel für Sachinvestitionen in zukünftigen Perioden 5. Privatentnahme des Kapitals bzw. Ausschüttung an die Aktionäre Die alternativen Verwendungsmöglichkeiten werden durch Verzinsungsmaßstäbe ausgedrückt und rechenbar gemacht. Bei den verschiedenen Verwendungsmöglichkeiten des Kapitals ergeben sich entsprechend die folgenden Zinssätze: 1. Haben-Zinsen der Bank 2. Soll-Zinsen der Bank

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Einperiodige Kriterien

3. Rentabilität des jetzt vorhandenen alternativen Investitionsobjekts 4. Rentabilität des in Zukunft vorhandenen alternativen Investitionsobjekts 5. Rentabilität einer Investition des Gesellschafters bzw. Nutzen aus dem Konsum der Ausschüttungsbeträge Die Alternativrendite als Vergleichsmaßstab drückt aus, welche Rentabilität bei einem Verzicht auf die zur Diskussion stehende Investition mit einer alternativen Verwendung der Investitionssumme zu erwirtschaften ist. Grundsätzlich sollen nur solche Investitionen realisiert werden, die einen größeren ökonomischen Erfolg versprechen als der alternative Einsatz des Kapitals. Die unternehmerische Praxis eruiert die Mindestrentabilität häufig, indem sie auf die Rentabilität bereits durchgeführter Investitionen abstellt und dabei zukünftige Gegebenheiten besonders berücksichtigt. Darüber hinaus spielt der Zinssatz, der bei einer Finanzinvestition erzielbar ist, eine bedeutende Rolle bei der Definition von Mindestrentabilitäten. Der Hintergrund dieser Vorgehensweise besteht darin, daß eine alternative Anlage der Investitionssumme in einer Finanzinvestition nahezu immer möglich ist. Aufgabe 2.14 Welche Rentabilitätsgrößen sind ermittelbar? Die Rentabilität ergibt sich entsprechend dem Wirtschaftlichkeitsprinzip aus der Relation von Zweckerfolg und Mitteleinsatz. Als Zweckerfolg können die um die Abschreibungen gekürzten Nettozahlungen angesehen werden, es können aber auch die Nettozahlungen um die Abschreibungen und Zinskosten gekürzt sein. Bezugsbasis fur den Kapitaleinsatz kann die Anschaffungsauszahlung, die um den Restverkaufserlös verminderte Anschaffungsauszahlung oder das durchschnittlich gebundene Kapital sein. Es sei: Ao = Anschaffungsauszahlung η = Nutzungsdauer

Einperiodige Kriterien

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R„ = Restverkaufserlös im Zeitpunkt η; bei der Rentabilitätsberechnung erfolgt der Ansatz gewöhnlich in Höhe des Buchwertes dt = Nettozahlungsstrom (Einzahlungen abzüglich laufender Auszahlungen) in den Perioden t = Ι,.,.,η d =

1 —*

A =

— * ( A o - R n ) = durchschnittliche Abschreibungen pro Periode η

—

A

Ζ =

—^—- * i=

n

n

t=l

dt = durchschnittlicher Nettozahlungsstrom pro Periode

+R Zinsen (pro Periode) auf das durchschnittlich gebundene Kapital

Somit ergibt sich in Abhängigkeit der Definition von Zweckerfolg und Mitteleinsatz die folgende exemplarische Übersicht an Rentabilitätskennziffern: \

Zähler

\

(Zweckerfolg)

d- A

d - A - Z

d-X

d-X-Z

A0

A0

d-Ä

d-X-Z

Ao-Rr

Ao _ R „

A0 - R „

A 0 + R„ 2

2*(d-X)

2 * (d - X - Z)

A 0 + R„

A0+R„

Nenner (Mitteleinsatz)

Ao

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Einperiodige Kriterien

Aufgabe 2.15 Die RentabilitStsvergleichsrechnung berechnet das Verhältnis aus dem durchschnittlichen Gewinn eines Investitionsobjektes und dem dafür notwendigen Kapitaleinsatz. a) Läßt sich eine Rentabilitätskennziffer, bei der kalkulatorische Zinsen gewinnmindernd angesetzt worden sind, sinnvoll mit der Mindestrentabilität vergleichen? Nach dem Kriterium der Rentabilitätsvergleichsrechnung wird unter den konkurrierenden Investitionsobjekten dasjenige gewählt, welches die höchste Rentabilität aufweist und zusätzlich das Kriterium der Mindestrentabilität erfüllt. Da die Mindestrentabilität häufig durch den kalkulatorischen Zinssatz einer alternativen Finanzinvestition ausgedrückt wird, erfordert die Vorteilhaftigkeitsbestimmung eine Rentabilitätskennziffer, in der die kalkulatorischen Zinskosten für die entsprechende Finanzierung nicht erfaßt sind. Das Kapital muß dem Investor offensichtlich zur Verfügung stehen, da er sonst nicht die alternative Anlage als Finanzinvestition erwägen könnte; zumindest aber muß die Frage der Finanzierung geklärt sein und darf keinen Einfluß auf die Rangfolge von Investitionsalternativen haben. Das Entscheidungskriterium bei einer einzelnen Investition lautet unter diesen Bedingungen: _ .... durchschn. Gewinn vor Zinsen _ Rentabilität = > Mindestrentabihtät Kapitaleinsatz Für den Vorteilhaftigkeitsvergleich mehrerer Objekte stellt die maximale Rentabilität das Vorteilhaftigkeitskriterium dar. Dabei muß auch die Mindestrentabilität erreicht sein. Ermittelt man hingegen den Gewinn nach Abzug der kalkulatorischen Zinsen und stellt die Finanzierungskosten der Investition damit explizit in Rechnung, so genügt das Investitionsobjekt der Mindestrentabilität, wenn die Nettorentabilität positiv ist. Die zur Diskussion stehende Investition gilt dementsprechend als vorteilhaft, wenn gilt:

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Einperiodige Kriterien „ .... Rentabilität =

durchschn. Gewinn nach Zinsen Kapitaleinsatz

>0

Auch an dieser Stelle gilt fur den Vorteilhafligkeitsvergleich mehrerer Objekte, daß die maximale Rentabilität das Vorteilhaftigkeitskriterium darstellt. b) Sollte für die zu ermittelnde RentabilitätskennzifTer die zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung notwendige Investitionssumme oder der durchschnittliche Kapitaleinsatz über die Laufzeit der Investition die Bezugsbasis bilden?

Die Definition der Bezugsbasis hat nicht nur einen Einfluß auf die absolute Höhe der Rentabilität, sondern kann auch fur die Rangfolge alternativer Projekte entscheidend sein. Bei alternativen Investitionsprojekten muß das Objekt mit der höheren Investitionssumme zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung nicht zwangsläufig den höheren durchschnittlichen Kapitaleinsatz verursachen. Diese Feststellung ist darin begründet, daß das durchschnittlich gebundene Kapital nicht nur von der Investitionssumme zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung abhängig ist, sondern darüber hinaus von der Nutzungsdauer der jeweiligen Investition und damit dem am Ende der Nutzungsdauer vorhandenen Restbuchwert bzw. dem am Ende der Nutzungsdauer zu realisierenden Restverkaufserlös. Die im Rahmen einer Rentabilitätsvergleichsrechnung zu bestimmende Rangfolge alternativer Investitionsobjekte ist also nur dann zwangsläufig unabhängig von der Wahl der Bezugsbasis, wenn die Investitionen über die gleiche Nutzungsdauer sowie den gleichen Restbuchwert bzw. den gleichen Restverkaufserlös verfügen. Da die Rentabilität die zeitliche Struktur von Erfolgsströmen unberücksichtigt läßt und somit primär auf durchschnittliche Erfolgsgrößen gerichtet ist, erscheint als Bezugsbasis ebenfalls eine repräsentative Größe, der durchschnittliche Kapitaleinsatz, geeignet zu sein.

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Einperiodige Kriterien

Die unternehmerische Praxis wählt aber in aller Regel den zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung notwendigen Kapitalbetrag als Bezugsbasis zur Beurteilung der Rentabilität alternativer Investitionsprojekte. Aufgabe 2.16 Ausgehend von den Daten der Aufgaben 2.6 und 2.9 soll die Vorteilhaftigkeit der Investitionsobjekte Α und Β mit Hilfe der Rentabilitätsvergleichsrechnung bestimmt werden! Die mindestens zu erzielende Rentabilität ist mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 vorgegeben. Dabei sei davon ausgegangen, daß der Gewinn vor Zinsen und der Kapitaleinsatz zu Beginn der Investition als Basis zur Berechnung der Rentabilität dienen. Die folgende Tabelle zeigt die notwendigen Berechnungen: Investition Gewinn nach Zinsen

Β 23.200

32.000

7.000

7.500

Gewinn vor Zinsen

30.200

39.500

Kapitaleinsatz in to

140.000

150.000

21,57%

26,33 %

+ kalkulatorische Zinsen =

A

Rentabilität

Das Investitionsobjekt Β erwirtschaftet die höchste Rendite und erfüllt zudem das Kriterium der Mindestrentabilität. Da die Rentabilität anhand des Gewinns vor Zinskosten berechnet wurde, kann hier die Annahme zugrunde liegen, der Investor verfüge über das zur Finanzierung der jeweiligen Investition notwendige Kapital. Er hat dann die Möglichkeit, diese Mittel im Rahmen einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i anzulegen und vergleicht die Renditen der Sachinvestitionen mit der Verzinsung einer Finanzinvestition.

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Einperiodige Kriterien

Scheidet diese Prämisse aus, so muß der Investor hier davon ausgehen, der für die einzelnen Investitionen jeweils notwendige Kapitalbetrag lasse sich mit fremden Mitteln, die zum Kalkulationszinssatz i zur Verfugung gestellt werden, finanzieren. Dabei müssen die Finanzierungen der alternativen Investitionen mit einem identischen Zinssatz i verbunden sein, so daß die Finanzierung keinen Einfluß auf die Rangfolge der zu überprüfenden Investitionen hat. Die anhand des Gewinns vor Zinsen errechneten Rentabilitäten der alternativen Investitionsprojekte dürften sonst nicht mit dem einheitlichen Kalkulationszinssatz i verglichen werden. Zwar sind die absoluten Kosten zur Finanzierung der alternativen Investitionsobjekte aufgrund ihrer unterschiedlichen Investitionssummen nicht identisch, bei der Rentabilitätsvergleichsrechnung sind die absoluten Größen aber nicht entscheidungsrelevant, sondern ausschließlich die relativen. Aufgabe 2.17 Welche Einwendungen werden gegen die Kapitalrentabilität als Kriterium zur Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen erhoben? Die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen anhand des Rentabilitätsvergleichs ist mit verschiedenen Problemen verbunden: 1. Die RentabilitätskennzifFer ist nicht in der Lage, einen Unterschied im zeitlichen Anfall der entscheidungsrelevanten Daten zu berücksichtigen. Bei einem durchschnittlich gebundenen Kapital von 1.000 GE können bei den Objekten Α und Β folgende Einzahlungsüberschüsse (EÜ) in den verschiedenen Perioden der Nutzungsdauer der Projekte auftreten (Angaben in GE): Zeitpunkt

tl

t2

t3

ZEÜ

U

0EÜ

Investitionsobjekt A

160

140

100

80

480

120

Investitionsobjekt Β

80

100

140

160

480

120

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Einperiodige Kriterien

Beide Investitionen weisen eine durchschnittliche Rentabilität von Γα ~ γβ = ^ = 0,12 Fpro Jahr auf. 1.000 Die Tatsache, daß die 160 GE der Investition Α im Zeitpunkt ti höher zu bewerten sind als die 160 GE der Investition Β im Zeitpunkt U, bleibt dabei ohne Einfluß auf die Entscheidungsfindung. 2. Die einperiodigen Verfahren gehen von Durchschnittswerten aus und unterstellen daher einen linearen Verlauf der Kapitalbindung. Eine mögliche Kapitalknappheit im Investitionszeitpunkt oder eine besondere Beanspruchung der Liquidität im Verlauf der Investition kann nicht erfaßt werden. 3. Der Periodengewinn beruht auf Erträgen und Aufwendungen bzw. auf Erlösen und Kosten. Die tatsächlichen Zahlungen und damit die Unterschiede zwischen Ertrag und Einzahlung sowie Aufwand und Auszahlungen sind in der Kalkulation nicht enthalten. 4. Die Rentabilität ist ein relatives Kriterium. Nach dieser Kennzahl wird eine Rendite von 100 % auf 10.000 GE einer Rendite von 20 % auf 100.000 GE vorgezogen. Diese Rentabilitätsmaximierung entspricht nicht zwangsläufig dem Maßstab der Gewinnmaximierung. Unterschiedliche Kapitalbeträge der Investitionsalternativen können daher suboptimale Entscheidungen anhand der Rentabilitätsrechnung begründen. Im Hinblick auf eine mit der Gewinnmaximierung konsistente Entscheidungsfindung müssen die Renditen des insgesamt verfugbaren Kapitals bei alternativer Verwendung für verschiedene Investitionsobjekte verglichen werden. Aufgabe 2.18 Welche Kritik läßt sich generell gegen die einperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung vorbringen? Die Kritik an den einperiodigen Verfahren ist bereits im Zusammenhang mit den Mängeln der Kostenvergleichsrechnung, den Mängeln der

Einperiodige Kriterien

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Gewinnvergleichsrechnung und den Mängeln der Rentabilitätsvergleichsrechnung genannt worden. An dieser Stelle erfolgt eine Zusammenfassung der Kritikpunkte, die sämtlichen einperiodigen Verfahren zuzuordnen sind: 1. Den einperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung ist gemeinsam, daß kein Verfahren explizit von der Zielsetzung der Einkommens- oder Vermögensmaximierung ausgeht. Die Verfahren unterstellen Kostenminimierung, Gewinnmaximierung oder Rentabilitätsmaximierung. 2. Die Kriterien berücksichtigen nicht die zeitliche Struktur der Zahlungsströme, sie orientieren sich ausschließlich an durchschnittlichen Erfolgsgrößen, die als repräsentativ gelten. 3. Einperiodige Verfahren der Investitionsrechnung vernachlässigen den Planungszeitraum für das jeweilige Investitionsobjekt. Sie beschränken sich auf die Abrechnungsperiode des Rechnungswesens. Demzufolge werden Differenzen in den Nutzungsdauern der Investitionsalternativen nicht berücksichtigt. 4. Die Vergleichbarkeit der Investitionsalternativen ist häufig nicht gegeben. So können zwei Investitionsalternativen, die unterschiedliche Anschaffungsauszahlungen von beispielsweise 50.000 GE und 70.000 GE erfordern, bei einem vorhandenen Investitionsvolumen von 80.000 GE nicht verglichen werden, da Aussagen über die Anlagemöglichkeiten des nicht für diese Investitionsalternativen genutzten Restbetrags von 30.000 GE bzw. 10.000 GE beim einperiodigen Kalkül vernachlässigt werden. Eine Vergleichbarkeit von alternativen Investitionsprojekten ist an sich erst dann gegeben, wenn die Objekte sog. echte Alternativen darstellen: Die Investitionen unterscheiden sich dann in nur einer entscheidungsrelevanten Größe. Eine Gewinnvergleichsrechnung kann daher nur unter der Voraussetzung, daß beispielsweise der Kapitaleinsatz der Investitionsalternativen identisch ist, zu einer eindeutigen Lösung fuhren. Einperiodige Verfahren lassen Differenzen in der Kapitalbindung aber unberücksichtigt.

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Einperiodige Kriterien

Zusammenfassung zum 2. Kapitel

Mit dem zweiten Kapitel wurden die Kriterien der einperiodigen Investitionsrechnung vorgestellt. Die Darstellung der besonderen Prinzipien der einperiodigen Investitionsrechnung erfolgte vor dem Hintergrund einer knappen Beschreibung der grundsätzlichen Spezifika mehrperiodiger Kriterien der Investitionsrechnung. Wichtige Erkenntnisse des zweiten Kapitels sind: 1. Einperiodige Verfahren werden auch statische Verfahren genannt. Es sind Instrumente der Wirtschaftlichkeitsrechnung im weiteren Sinne. Kostenvergleichs-, Gewinnvergleichs- und Rentabilitätsvergleichsrechnung beruhen auf Durchschnittswerten oder auf repräsentativen Daten. Einflußgrößen der Vorteilhaftigkeit sind Kosten und Leistungen bzw. Aufwendungen und Erträge. Die einperiodige Investitionsrechnung bietet nicht die Möglichkeit der Gestaltung echter Alternativen bei nicht direkt vergleichbaren Investitionen. 2. Bei bestimmten Datenkonstellationen können nur bestimmte Rechenverfahren zum Einsatz kommen. Beispielsweise darf bei unterschiedlichen Leistungen der Investitionsalternativen kein Kostenvergleich auf der Basis von Gesamtkosten pro Periode durchgeführt werden, sondern allenfalls ein Vergleich der Stückkosten. Darüber hinaus ist es von Bedeutung, ob die Vorteilhaftigkeit anhand absoluter Kriterien (Gewinn) oder relativer Kennzahlen (Rentabilität) zu bestimmen ist. 3. Die einperiodigen Verfahren beinhalten die Gefahr, Investitionen zu vergleichen, die keine tatsächlichen Alternativen sind. Zwei Beispiele sollen dieses Problem verdeutlichen: Sind zwei zu vergleichende Investitionen mit unterschiedlichem Kapitaleinsatz verbunden, so enthalten die einperiodigen Verfahren keinen Hinweis darauf, wie der entsprechende Unterschiedsbetrag im Kalkül zu berücksichtigen ist. Analog dazu enthalten die einperiodigen Verfahren keinen Hinweis auf die Frage, wie eine unterschiedliche Laufzeit (Kapitalbindungsdauer) von Investitionsalternativen in Rechnung zu stellen ist. Die zeitliche Differenz zwischen einer Investition mit kürze-

Einperiodige Kriterien

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rer Kapitalbindungsdauer und einer Investition mit längerer Kapitalbindungsdauer kann aber ebenso wie ein Unterschiedsbetrag in der Kapitalbindung entscheidungsrelevant sein. Der Investor muß das Kalkül also um eine explizite Berücksichtigung der exemplarisch beschriebenen Defizite ergänzen. 4. Um MißVerständnisse und gar unkorrekte Entscheidungen zu vermeiden, ist die Beachtung verschiedener Definitionen von großer Bedeutung. Beim Rentabilitätsvergleich können beispielsweise suboptimale Entscheidungen entstehen, wenn die Vielfalt der einsetzbaren Verhältniszahlen unreflektiert bleibt. In diesem Zusammenhang wird die Erkenntnis unterstrichen, daß eine Investitionsrechnung auf dem Vergleich von Alternativen beruht, und ein Vergleich nur zielführend sein kann, sofern die Alternativen auch vergleichbar sind bzw. vergleichbar gemacht wurden. 5. Der Kalkulationszinssatz i spielt eine zentrale Rolle im Rahmen der Vorteilhaftigkeitsbestimmung von Investitionen. Sind keine anders lautenden Angaben gemacht, so ist davon auszugehen, daß der Kalkulationszinssatz einem vollkommenen Kapitalmarkt zuzuordnen ist. Eine wesentliche Konsequenz dieser Annahme ist die Irrelevanz der Finanzierung: Für die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit ist es ohne Bedeutung, ob die Investition mit bereits zur Verfügung stehenden oder noch am Kapitalmarkt aufzunehmenden Mitteln zu finanzieren ist. 6. Die umfangreichen und fundamentalen Mängel der einperiodigen Verfahren fuhren dazu, daß die entsprechenden Instrumente nur als grobe Orientierung i. S. einer Vorselektion hinsichtlich der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen fungieren können.

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Einperiodige Kriterien

Literaturempfehlungen zum 2. Kapitel

Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 59 - 83. Blohm, H./Lüder, K„ Investition, 8. Aufl., München 1995, S. 157 - 172. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990. Eisenfiihr, F., Investitionsrechnung, 12. Aufl., Aachen 1998, S. 40 - 47. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 49 - 66. Grob, H.L., Einführung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999, S. 13-23. Kruschwitz, L., Finanzmathematik, 3. Aufl., München 2001, S. 31 - 40. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 251 -282. Troßmctnn, E., Investition, Stuttgart 1998, S. 91 - 118.

Das Barwert-Prinzip

43

Kapitel 3

DAS BARWERT-PRINZIP

Mit dem dritten Kapitel wird einem, wenn nicht gar dem fundamentalen Prinzip der Investitionsrechenverfahren Rechnung getragen. Das BarwertPrinzip ist die zentrale Basis der mehrperiodigen Instrumente der Wirtschaftlichkeitsrechnung. Das dritte Kapitel kann somit als Einleitung der mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung betrachtet werden. Die folgenden Aspekte werden dabei von besonderer Bedeutung sein: 1. Die Erläuterung des Barwert-Prinzips vor dem Hintergrund des jedermann gegenwärtigen Gesetzes der Minderschätzung zukünftiger Bedürfiiisse. 2. Eine umfassende Darstellung der Anwendung des Barwert-Prinzips anhand praxisnaher Aufgabenstellungen. Die Aufgaben sind weniger durch Schwierigkeitsgrade im Detail gekennzeichnet, es geht in erster Linie darum, die Idee sowie die prinzipielle Funktionsweise des Barwert-Prinzips zu vermitteln. Im Zuge dessen sollen die vielschichtigen Anwendungsmöglichkeiten des Barwert-Prinzips erkannt werden. 3. Wie schon im zweiten Kapitel wird auch im dritten Kapitel die Rolle des Kalkulationszinssatzes ausdrücklich zu beachten sein. Es ist von besonderer Bedeutung, dem Leser zu vermitteln, wie zentral der Einfluß des Kalkulationszinssatzes ist und wie die mit dem Kalkulationszinssatz verbundenen Prämissen auf das Barwert-Prinzip einwirken. 4. Eine Darstellung der notwendigen Voraussetzungen einer rechentechnischen Vereinfachung bei der Anwendung des mitunter in seiner Grundform aufwendig durchzuführenden Barwert-Prinzips. 5. Hinweise auf verschiedene Merkmale der Wirtschaftlichkeitsrechnung, die auf den ersten Blick nicht dem Barwert-Prinzip zugeordnet werden, aber dennoch von diesem abgeleitet sind.

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Das Barwert-Prinzip

Aufgabe 3.1 Was ist unter dem Barwert einer Zahlung zu verstehen? Zukünftige Zahlungen werden niedriger eingeschätzt als gegenwärtige Zahlungen gleicher Höhe. Dies folgt aus dem Gesetz der Minderschätzung zukünftiger Bedürfnisse. Unter dem Barwert (BWt) einer in Zukunft anfallenden Zahlung versteht man den Betrag, welcher dieser Zahlung zum Zeitpunkt t - dem Bezugszeitpunkt - äquivalent ist; in aller Regel wird der Barwert auf den Betrachtungszeitpunkt to bezogen. Die Ermittlung des Barwertes erfolgt, um Unterschiede im zeitlichen Anfall von Zahlungen abzugleichen. Man ermittelt den Barwert einer Zahlung durch Abzinsung mit dem sog. Abzinsungsfaktor oder durch Aufzinsung mit dem sog. Aufzinsungsfaktor auf den betreffenden Bezugszeitpunkt. Der Barwert in t„ wird auch als Endwert, der Barwert in to zumeist einfach als Barwert oder Gegenwartswert bezeichnet. Zur Bestimmung wird die Zahlung mit dem entsprechenden Ab- bzw. Aufzinsungsfaktor multipliziert. Aufgabe 3.2 Wie groß ist der Barwert einer Einzahlung in Höhe von e GE, die im Zeitpunkt t2 fällig wird, im Zeitpunkt to? Der Kalkulationszinssatz pro Zeiteinheit sei i. Die Einzahlung e im Zeitpunkt t2 - also e2 - ist um t2 - to Zeiteinheiten (hier zwei Zeiteinheiten) auf den Zeitpunkt to abzuzinsen. Um den Barwert C E o dieser Einzahlung zu erhalten, wird die Einzahlung e2 mit dem Abzinsungsfaktor (l + i)" (t2_to) multipliziert. Es ergibt sich somit: C E o = e 2 * ( l + ir(ti_t°) C E o = e 2 * ( l + i)-2 Bei einem Kalkulationszinssatz von i ist ein im Zeitpunkt to anfallender Betrag in Höhe von C E o gleichwertig einer im Zeitpunkt t2 falligen Zahlung in Höhe von e2.

Das Barwert-Prinzip

45

Aufgabe 3.3 Ermitteln Sie den Barwert einer Einzahlung in Höhe von e = 10.000 GE, die von heute an gerechnet in η = 4 Jahren fällig wird. Der Barwert sei auf den Bezugszeitpunkt t0 bezogen. Der Kalkulationszinssatz pro Jahr betrage i = 0,10! Die Einzahlung von e4 = 10.000 GE ist um η = 4 Jahre abzuzinsen. Der Barwert der Einzahlung bezogen auf den Zeitpunkt to ist dann: C Eo = e 4 * ( l + i ) ^ Daraus folgt bei den gegebenen Daten: C E o = 10.000* (Ι,ΙΟ)"4 C F 0 = 10.000 * 0,6830 ' C F 0 =6.830 Der Barwert einer in η = 4 Jahren falligen Einzahlung in Höhe von e4 = 10.000 GE beläuft sich bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 auf C F = 6.830 GE. Aufgabe 3.4 Ermitteln Sie den Barwert einer in η = 5 Jahren fälligen Einzahlung in Höhe von e 5 = 10.000 GE für einen Zeitpunkt, der 2 Zeiteinheiten vor dem Fälligkeitstermin liegt. Der Kalkulationszinssatz sei i = 0,10! Um den geforderten Barwert der Einzahlung zum Zeitpunkt t3 zu erhalten, ist die Zahlung um ts - t 3 = 2 Zeiteinheiten zu diskontieren. Der Barwert der Einzahlung bezogen auf den Zeitpunkt t3 ist dann: C E j = e 5 * ( l + i)~ (ts-t3) C E j = e 5 * ( l + i)-2 Daraus folgt bei den gegebenen Daten: C E j = 10.000 *(1,10)-2

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Das Barwert-Prinzip

C E j = 10.000 * 0,8264 C E =8.264 Eine in η = 5 Jahren fällige Einzahlung in Höhe von es = 10.000 GE ist bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 äquivalent zu einer in drei Jahren falligen Einzahlung in Höhe von C E j = 8.264 GE. Aufgabe 3.5 Ein Betrag von 200.000 GE wird am 1. Januar 2003 zum Zinssatz von i = 0,08 angelegt. Die Zinsen werden jeweils per 31. Dezember dem Kapital zugeschlagen. Auf welchen Betrag beläuft sich das kumulierte Kapital 31. Dezember 2012?

am

Die Laufzeit der Kapitalanlage beträgt η = 10 Jahre. Der kumulierte Kapitalbetrag C Eio errechnet sich dann unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen anhand der folgenden Kalkulation: C Eio = Anlagebetrag * (1 + i)10 Bei den gegebenen Daten bedeutet das: C Eio = 200.000 * (1,08)10 C E 10 =200.000 *2,1589 ' CF

=431.780

Dabei wird der Ausdruck (1 + i)n als Aufzinsungsfaktor bezeichnet; er berücksichtigt Zinsen und Zinseszinsen. Der Wert in Höhe von (1,08)'° = 2,1589 stellt den Betrag dar, der sich aus der Anlage von 1 GE zu i = 0,08 bei der Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen nach η = 10 Jahren ergibt. Eine Zahlung im Zeitpunkt to in Höhe von 200.000 GE ist bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08 äquivalent zu einer Zahlung im Zeitpunkt tio in Höhe von 431.780 GE.

Das Barwert-Prinzip

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Der Ausdruck C E | o stellt den Barwert der ursprünglichen Zahlung von 200.000 GE im Zeitpunkt t, 0 = 31. Dezember 2012 dar. Dieser Wert wird auch als Endwert bezeichnet. Aufgabe 3.6 Der Gläubiger einer Forderung über 20.000 GE, die in η = 5 Jahren fällig ist, bittet den Schuldner um sofortige Begleichung gegen Gewährung eines Abschlags. Der Gläubiger hat die Möglichkeit, das Geld zum Zinssatz i = 0,10 anzulegen. Zu welchem Abschlag wird der Gläubiger maximal bereit sein? Die relevanten Daten sind: e5 = 20.000 GE

i = 0,10

Um den äquivalenten Wert dieses Betrags von e5 = 20.000 GE für den Zeitpunkt to zu ermitteln, ist der Barwert der Zahlung zu bestimmen. Die 20.000 GE sind mit dem Diskontierungsfaktor auf den Zeitpunkt to zu transformieren: C E o = et * (1 + i)"1 Daraus folgt: C E o = 20.000 *(1,10)- 5 C Fto =20.000*0,6209 ' C Eb0 = 12.418 Die Forderung repräsentiert bei einem Zinssatz von i = 0,10 zum Zeitpunkt to einen Wert in Höhe von 12.418 GE. Der vom Gläubiger gewährte Abschlag wird demnach maximal 20.000 - 12.418 = 7.582 GE betragen. Aufgabe 3.7 Was ist unter dem Barwert einer Zahlungsreihe zu verstehen? Erläutern Sie den Begriff anhand des Bezugszeitpunktes to!

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Das Barwert-Prinzip

Um den Barwert einer Zahlungsreihe zu ermitteln, wird jede einzelne Zahlung der Zahlungsreihe auf den Bezugszeitpunkt to abgezinst und die Summe der Barwerte der einzelnen Zahlungen gebildet. Die Summe der abgezinsten Zahlungen stellt den Barwert der Zahlungsreihe dar. Die folgende Skizze verdeutlicht diese verbalen Erläuterungen: et * (1 + ι)"1

e,*(l+i)-' e2»(l+i)"2 e3»(l+i)·3 e4*(l+i)"4 e5*(l+i)"5

t

to

t,

t2

t3

L,

t5

Die Skizze enthält fünf Einzahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten (et), die Einzahlungen fallen in unterschiedlicher Höhe an. Um den Barwert dieser Einzahlungsreihe zu bestimmen, wird jede Zahlung ihrem zeitlichen Anfall entsprechend mit dem Abzinsungsfaktor auf den Bezugszeitpunkt abgezinst. Die Summe der abgezinsten Zahlungen stellt den Barwert der Einzahlungen C Eo dar. Es ist C E o = e, * U + ι)'1 + e2 * (1 + i)-2 + ... + e„., * (1 + i ) - ( " 0 + e„ * (1 + i) n C

E0=2>t*(l + i r t=l

Das Barwert-Prinzip

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Aufgabe 3.8 Bestimmen Sie den Wert einer Zahlungsreihe anhand der Bezugszeitpunkte to, tm und t„! Der Wert einer Zahlungsreihe kann nicht nur auf den Zeitpunkt to oder auf den Endwert t„ bezogen werden, sondern auch auf jeden anderen beliebig definierbaren Zeitpunkt tm. Für 0 < m < η folgt daraus für C E o : C E o = e, * (1 +1)"1 + e2 * (1 + i)"2 + ... + e^ * (1 + i) m +...+ e„ * (1 + i) n C E o = ΐ > * (1 + i) 1 t=l Der Endwert der Zahlungsreihe C En ergibt sich aus der Bestimmungsgleichung: C En = e,*(l + i)n"1 +e 2 *(l + i)n"2 + .. +em*(l + i)n"m +..+ " -n ' ° i * ( l + i) C Eo = e * B W F ( n ; i ) Durch Umstellung dieser Gleichung nach e erhält man: . - c . . E °

i,(l+i>

· (1 + i) n - 1

e=CEo*WGF(n;i) Bei den gegebenen Daten folgt daraus: e = 200.000 * WGF (n = 20; i = 0,10) e = 200.000* 0,1175 e = 23.500 Die verschiedenen Rechenwege führen zum gleichen Ergebnis: 200.000 GE im Zeitpunkt to sind bei i = 0,10 äquivalent zu einer jeweils am Ende einer Periode anfallenden Rente von e = 23.500 GE über η = 20 Jahre sowie zu einer einmaligen Zahlung im Zeitpunkt t2o in Höhe von 200.000 * (1,10)20 = 1.345.500 GE. Aufgabe 3.17 Ein in den Ruhestand gehender Arbeitnehmer hat Anspruch auf eine über η = 15 Jahre laufende, am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betriebsrente in Höhe von e = 12.000 GE. Der Arbeitnehmer äußert

Das Barwert-Prinzip

63

den Wunsch, den Wert der Rente in einer einzigen Zahlung zum Zeitpunkt tio ausgezahlt zu bekommen. Wie hoch ist die Zahlung, wenn die Rente jeweils am Jahresende zu zahlen ist und das Unternehmen mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 rechnet? Folgende Daten sind entscheidungsrelevant: i = 0,10

Laufzeit der Rente: η = 15

Betrag der Rente: e = 12.000 GE

Zeitpunkt der Zahlung: ti0

Zur Berechnung der Zahlung in t )0 stehen im wesentlichen vier alternative Rechenwege zur Verfügung: 1. Berechnung durch Auf- und Abzinsungen der einzelnen Zahlungen der Rente auf den Zeitpunkt t10: Sämtliche Zahlungen der Rente werden ihrem zeitlichen Anfall entsprechend mit dem Ab- bzw. Aufzinsungsfaktor auf den Zeitpunkt t ]0 bezogen. Die Summe aller auf den Zeitpunkt ti0 bezogenen Zahlungen stellt den Wert der Rente im Zeitpunkt tio dar. C

E10

= ei * (1 +i)9 + e2 * (1 + i)8 + ... + e, * (1 + i)1 + e10 * (1 + i)° + en * (1 + i)"1 + ... + eis * (1 + i)"5

Für i = 0,10 folgt daraus: C E]o = e, * (1,10)9 + e2 * (1,10)8 + ... + es * (1,10)' + e10 * (1,10)° + e„ * (MO)"1 + ... + e15 * (MO)'5 Bei einer konstanten Zahlung für et in Höhe von e = 12.000 GE ergibt sich: C Eb10 =236.738,54 ' 2. Berechnung mit dem Rentenbarwertfaktor (BWF): Multipliziert man den Betrag der Rente mit dem entsprechenden Barwertfaktor, so ergibt sich als Produkt der Barwert C E der Rente. Dieser Bar-

64

Das Barwert-Prinzip

wert kann mit dem Aufzinsungsfaktor (1 + i)10 auf den Zeitpunkt tio transformiert werden. CEi=CE>.(l+i)' c E = e » < l ± i > L i L . ( i +iy Et i *(l + i) n C E = e * BWF (n;i) * (1 + i)1 Das bedeutet: C E = 12.000 *

(UQ)1S

0,10*(1,10)15

* (1,10)10 vlO

C E i o = 12.000 * BWF (n = 15; i = 0,10) * (1,10)' C E = 12.000 * 7,6061 * 2,5937 10

'

'

C E 10 =236.735,30 ' 3. Berechnung mit dem Rentenendwertfaktor (EWF): Multipliziert man den Betrag der Rente mit dem entsprechenden Endwertfaktor, so ergibt sich als Produkt der Wert der Rente zum Zeitpunkt ti5: E

"

i

Dieser Betrag kann mit dem Abzinsungsfaktor (1 + i)"5 auf den Zeitpunkt tio transformiert werden: C E = C E _ M l + i)' (n -° CB,=e*^Tl|n

x

* (1 + i)

C Et =e * EWF (n;i) * (1 + i) (n

t)

Daraus folgt: C E = 12.000 * EWF (n = 15; i = 0,10) * (1,10)"5

Das Barwert-Prinzip

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C E = 12.000 * 31,7725 * 0,6209 C E =236.730,54 4. Berechnung mit dem Rentenbarwertfaktor (BWF) und dem Rentenendwertfaktor (EWF) Zunächst wird der Barwert der letzten (n - t) Zahlungen zum Zeitpunkt t berechnet. Danach wird der Endwert der ersten t Zahlungen zum Zeitpunkt t bestimmt. Die Summe dieser Werte ergibt den Barwert der Rente zum Zeitpunkt t. El

(l + i ) ' - · ' - • i * ( l + i) (n - t}

..fl+jg^l i

C E( = e * BWF (n-t;i) + e * EWF (t;i) Bei den gegebenen Daten bedeutet das: C E[o = 12.000 * BWF (n-t = 5; i=0,10) + 12.000* EWF (n=10; i=0,10) C E = 12.000 * 3,7908 + 12.000 * 15,9374 C E 10 =236.738,40 ' Die vier Rechenwege fuhren generell zum gleichen Ergebnis. Abweichungen sind auf Rundungen zurückzuführen. Die verschiedenen Wege verdeutlichen die vielfältigen Möglichkeiten der Transformation von Zahlungen, Zahlungsreihen und Renten in äquivalente Werte zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Aufgabe 3.18 Welche Beziehung besteht zwischen dem Endwertfaktor (EWF) und dem Tilgungsfaktor (TF)? Der Tilgungsfaktor (TF) ist der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF): EWF (n;i) =

(1 + l)

(vgl. Anhang 1, Formel 3)

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TF (n;i) =

Das Barwert-Prinzip

(l + i) n - 1

(vgl. Anhang 1, Formel 6)

Mit dem Tilgungsfaktor kann somit eine Rechenoperation durchgeführt werden, die der des Endwertfaktors genau entgegengesetzt ist. Der Endwertfaktor wird mit dem Betrag einer Rente multipliziert, der jeweils am Ende einer jeden Periode anfallt. Das Produkt ergibt den Barwert der Rente zum Zeitpunkt t„ (Endwert) und zwar unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen. Mit dem Tilgungsfaktor wird eine Zahlungsreihe konstanter periodischer Zahlungen konstruiert. Das geschieht, indem eine zum Zeitpunkt t„ (Ende der zu konstruierenden Zahlungsreihe) bewertete Größe mit dem Tilgungsfaktor multipliziert wird. Der Tilgungsfaktor ist - wie der Endwertfaktor vom Kalkulationszinssatz i und von der Laufzeit η der zu konstruierenden Zahlungsreihe abhängig. Die Transformation der zum Zeitpunkt t„ bewerteten Größe in eine aus konstanten Zahlungen bestehende Zahlungsreihe geschieht also auch unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen. Dies sei an einem Beispiel erläutert: Eine Rente in Höhe von e = 1.000 GE fällt jeweils am Jahresende an. Die Rente wird über η = 8 Jahre gezahlt. Was ist die Rente aus der Sicht des Zeitpunktes t8 wert, wenn ein Kalkulationszinssatz von i = 0,05 angesetzt wird ? Der Wert einer Rente zum Zeitpunkt t„ errechnet sich wie folgt:

C E n = e * EWF (n;i) Bei den gegebenen Daten bedeutet das: CE> = 1.000*

(1,05) 8 -1 0,05

Cg 8 = 1.000 * EWF (n = 8; i = 0,05)

Das Barwert-Prinzip

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Daraus folgt: C E e = 1.000*9,5491 C E e =9.549,10 Die Rente hat bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,05 aus der Sicht des Zeitpunktes t8 einen Wert von C E e = 9.549,10 GE. Der Betrachter ist somit indifferent zwischen der Rente in Höhe von 1.000 GE, während der Zeit von η = 8 Jahren jeweils am Jahresende gezahlt, und einer einmaligen Zahlung in Höhe von C E g = 9.549,10 GE zum Zeitpunkt t8. Diesem Beispiel zum Endwertfaktor wird nun eines zum Tilgungsfaktor angefügt. Dabei werden die gleichen Daten gewählt, die Fragestellung ist aber eine andere. Es besteht die Möglichkeit, einen im Zeitpunkt ts fälligen Betrag in Höhe von CEg = 9.549,10 GE in eine Zahlungsreihe konstanter Zahlungen über η = 8 Jahre zu transformieren. Die Zahlungen erfolgen jeweils am Jahresende. Dabei wird von einem Kalkulationszinssatz in Höhe von i = 0,05 ausgegangen. Wie hoch müssen die jährlichen Zahlungen sein, damit der Betrachter indifferent ist zwischen den beiden Optionen ? Die konstante Zahlungsreihe mit dem Betrag e am Ende jeder Periode wird mit Hilfe des Tilgungsfaktors ermittelt: e=C

E

*

(1 + i) n - 1

e = C E n * TF (n;i) Bei den gegebenen Daten bedeutet das: e = 9.549,10*

°'Qg5 (1,05) - 1

e = 9.549,10 * TF (n = 8; i = 0,05) Daraus folgt: e = 9.549,10* 0,1047

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Das Barwert-Prinzip

e = 999,79 Der Betrag der konstanten Zahlung entsteht unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen; er entspricht der Rente aus dem Beispiel zum Endwertfaktor, die geringe Differenz ist in einer Rundung begründet. Das bedeutet, der Endwertfaktor faßt eine Zahlungsreihe konstanter Zahlungen zum Endwert zusammen. Der Tilgungsfaktor transformiert einen zum Zeitpunkt tn (Ende der zu konstruierenden Zahlungsreihe) bewerteten Betrag in eine Zahlungsreihe konstanter Zahlungen. Beide Faktoren setzen eine Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen voraus und unterstellen, daß die Zahlungen jeweils am Ende einer Periode anfallen. Aufgabe 3.19 Zeigen Sie, daß Investitionsrechnungen auf der Grundlage von Auszahlungen (bzw. Ausgaben) oder Kosten zum gleichen Ergebnis führen. Gehen Sie dabei von der folgenden Situation aus: Eine Investition erfordere eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 100 GE und erstrecke sich über η = 2 Perioden. Weitere Auszahlungen fallen nicht an. In jeder der zwei Perioden wird mit einem Abschreibungsbetrag von 50 GE gerechnet (lineare Abschreibung). Der Kalkulationszinssatz sei i. Am Ende der Nutzungsdauer liegt weder ein Restverkaufserlös noch ein Restbuchwert vor. Welche Rechenelemente sind in einer Investitionsrechnung zweckmäßig? Die entscheidungsrelevanten Daten einer Investitionsrechnung, die auf tatsächlichen Zahlungen basiert, lauten hier: Ao = 100 GE und η = 2 Jahre. Mit der folgenden Tabelle werden die entscheidungsrelevanten Daten einer Wirtschaftlichkeitsrechnung dargestellt, die Kosten (und Erlöse) beachtet: Zinsen

Abschreibungen

1. Periode

100 * i

50

2. Periode

50 * i

50

Das Barwert-Prinzip

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In der ersten Periode ist Kapital in Höhe von 100 GE gebunden, daraus ergeben sich Zinskosten in Höhe von 100 * i GE. Durch die Abschreibungen reduziert sich das in der zweiten Periode gebundene Kapital auf 50 GE, die Zinskosten betragen dann nur noch 50 * i GE. Damit die an Zahlungen orientierten Daten mit denen verglichen werden können, die auf Kosten (und Leistungen) basieren, werden letztere auf den Zeitpunkt to transformiert. Die auf den Zeitpunkt to zu diskontierenden Kosten Ko errechnen sich nun wie folgt: Ko = (50 + 100 * i) * (1 + i)"1 + (50 + 50 * i) * (1 + i)"2 Die Zinsen der ersten Periode lassen sich aufspalten: 100 * i = 50 * i + 50 * i Daraus folgt: Ko = 50 * (1 + i) * (1 + i)"1 + 50 * i * (1 + i)"1 + 50 * (1 + i) * (1 + i) 2 Durch Umformungen ergibt sich: Ko = 50 + 50 * i * (1 + i)"1 + 50 * (1 + i)"1 Ko = 50 + 50 * (1 + i) * (1 + i)'1 Ko = 100 = Ao Der Ansatz von einfachen kalkulatorischen Zinsen auf das betriebsnotwendige Kapital führt zu einer Gleichheit zwischen Auszahlungen (bzw. Ausgaben) und dem Barwert der durch diese Auszahlungen verursachten Kosten. Eine Rechnung mit tatsächlichen Anschaffungsauszahlungen fuhrt somit zum gleichen Ergebnis wie eine Kalkulation auf der Basis von Kosten. Sinnvollerweise verwendet man dasjenige Verfahren, das einfacher zu handhaben ist. Das ist in der Regel die Rechnung mit Zahlungsgrößen. Die Anschaffungsauszahlung erscheint dann nur einmal in der Kalkulation. Bei einer Rechnung mit Kosten hingegen muß die Anschaffungsauszahlung in Abschreibungsbeträge aufgeteilt werden, darüber hinaus ist der Zins auf das jeweils gebundene Kapital zu bestimmen.

70

Das Barwert-Prinzip

Aufgabe 3.20 Was versteht man unter dem „Zeitzentrum einer Zahlungsreihe"? Wie läßt sich das Zeitzentrum einer Zahlungsreihe grundsätzlich ermitteln? Man kann den Barwert einer Zahlungsreihe nicht nur auf den Zeitpunkt to beziehen, sondern auch auf jeden anderen beliebigen Zeitpunkt. In jeder Zahlungsreihe existiert ein Zeitpunkt, zu dem der entsprechende Barwert der Zahlungsreihe gleich ist der Summe aller nicht auf- bzw. abgezinsten Zahlungen. Dieser Zeitpunkt stellt das Zeitzentrum der Zahlungsreihe dar. Im Zeitzentrum einer Auszahlungsreihe gilt: η Σ *

=

c

t.

t=l

η Die Summe aller Auszahlungen ^ at entspricht dem auf das Zeitzentrum t=l

bezogenen Barwert der Zahlungsreihe C t . Desweiteren gilt: η C Ao = C ti *(l + i) _ t "; dabei ist Ct = £ at t=l

Somit ergibt sich die folgende Gleichung: a, * ( l + i ) 1 + . . . + a n * ( l + i ) n = ( a , + a 2 + . . . + a n ) * (Ι + ίΓ 1 · Dabei stellt der linke Teil der Gleichung den Barwert der Auszahlungen C A o und der rechte Teil den mit dem Zeitpunkt des Zeitzentrums auf to diskontierten Betrag der Summe aller Auszahlungen C t j * ( l + i) _t · dar. Damit ergibt sich die folgende Bestimmungsgleichung für das Zeitzentrum einer Auszahlungsreihe ta: [a, * ( l + i)-1 + . . . + a n * ( l + i)- n ]* (l + i)'· =a, + ... + a„ Daraus folgt: a, * (I + i) 1 ·' 1 + ... + a„ * (1 + i)l'~n = a, + ... + a„

Das Barwert-Prinzip

71

Aus dieser Definitionsgleichung ist das Zeitzentrum der Auszahlungen ta zu bestimmen; analog errechnet sich das Zeitzentrum der Einzahlungen te. Aufgabe 3.21 Bestimmen Sie das Zeitzentrum einer Zahlungsreihe auf approximativem Wege! Unter welchen Bedingungen kann diese Näherungslösung Anwendung finden? Bei Anwendung des Binomischen Satzes gilt:

Die quadratischen und sämtliche folgenden Glieder können vernachlässigt werden. Als Näherungslösung ergibt sich dann aus der Binomischen Formel für (1 + i)' 1 » 1 - t * i. (Zur Übertragung des Binomischen Satzes auf das Problem (1 + i)"' vgl. Κ. E. Boulding, Time and Investment, in: Economic^ Vol. 3 (1936), S. 196ff.) Verwendet man diesen Näherungsansatz, so kann der Ausdruck ai * (1 + i)_t> + ... + a„ * (1 + i)"tn = (a, + ... + a„) * (1 + i) _t · transformiert werden in: ^ * (1 - ti * i) + ... + a, * (1 - 1 * i) = (a, + ... + a„) * (1 - ta * i) Die Auflösung der Gleichung nach ta ergibt: a, *t, +... + a n *t η a, +... + a n Diese approximative Lösung führt zu ähnlichen Ergebnissen wie die exakte Bestimmung, wenn der Kalkulationszinssatz kleiner ist als i = 0,10. Aufgabe 3.22 Nennen Sie die Merkmale einer Investition vom Typ I und charakterisieren Sie eine Investition vom Typ II!

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Das Barwert-Prinzip

Ist bei einer Investition das Zeitzentrum der Auszahlungen vor dem Zeitzentrum der Einzahlungen, so liegt der Schwerpunkt der Auszahlungen zeitlich vor dem Schwerpunkt der Einzahlungen dieser Investition. Eine derart zu charakterisierende Investition gilt als Investition vom Typ I. Eine Investition vom Typ I wird auch als eigentliche Investition oder als Normalinvestition bezeichnet. Untypisch ist der Fall, daß der Schwerpunkt der Auszahlungen einer Investition zeitlich nach dem Schwerpunkt der Einzahlungen liegt. Bei einer solchen Investition vom Typ II liegt das Zeitzentrum der Einzahlungen vor dem Zeitzentrum der Auszahlungen. Aufgabe 3.23 Geben Sie eine kritische Beurteilung der Klassifikation von Investitionen in Investitionen vom Typ I und vom Typ II! Eine entsprechende Klassifikation erfolgt in aller Regel im Hinblick auf eine Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Die Klassifikation kann aber nicht immer und zumindest nicht eindeutig erfolgen, da sie sich als Ergebnis der Lage der verschiedenen Zeitzentren (Einzahlungen im Vergleich zu Auszahlungen) ergibt. Die Anordnung der Zeitzentren einer Investition ist vom Kalkulationszinssatz i abhängig. Die Höhe des Kalkulationszinssatzes hat u.a. einen Einfluß darauf, ob das Zeitzentrum der Auszahlungen vor oder nach dem Zeitzentrum der Einzahlungen liegt. Die Klassifikation der Investition ist damit nicht allein von den Daten der Investition determiniert, sondern wird entscheidend von Rahmenbedingungen beeinflußt, die nicht zwingend im Zusammenhang mit der Investition stehen; der Kalkulationszinssatz muß nicht unmittelbar durch die Investition selbst bestimmt sein.

Das Barwert-Prinzip

73

Zusammenfassung zum 3. Kapitel

Das dritte Kapitel stellt eine umfangreiche Darstellung des BarwertPrinzips als Vorbereitung der weiteren Kapitel zu den Instrumenten der mehrperiodigen Investitionsrechnung dar. Sämtliche noch folgenden und in der Praxis der Wirtschaftlichkeitsrechnung etablierten Verfahren basieren auf der Idee und der daraus resultierenden Funktionsweise des BarwertPrinzips. Instrumente der mehrperiodigen Investitionsrechnung sind somit vor dem Hintergrund der folgenden zusammenfassend dargestellten Grundlagen zu sehen: 1. Das Gesetz der Minderschätzung zukünftiger Bedürfnisse macht es fur jedermann offensichtlich, daß 100,- GE zum Zeitpunkt to zwar betragsmäßig 100,- GE zum Zeitpunkt t„ entsprechen, nicht aber wertmäßig. Aus verschiedenen Gründen ist ein in der Gegenwart verfugbarer Betrag höher einzuschätzen als ein gleich hoher Betrag, der erst in der Zukunft verfugbar ist. Sollen wertmäßige Äquivalente zwischen verschiedenen Zeitpunkten hergestellt werden, so ist das unter Verwendung von Ab- oder Aufzinsungsfaktoren möglich. 2. Das Barwert-Prinzip bietet vielschichtige Anwendungsmöglichkeiten bezüglich der Konstruktion wertmäßig äquivalenter Beträge und Zahlungsreihen. Entsprechende Ab- oder Aufzinsungen sind dabei abhängig vom zeitlichen Anfall des zugrunde liegenden Betrages bzw. vom zeitlichen Horizont der zu konstruierenden Zahlung(en). Als weitere wichtige Einflußgröße der Ab- oder Aufzinsungen fungiert der Kalkulationszinssatz i, indem er das Maß der Minderschätzung zukünftiger Bedürfhisse bestimmt und rechenbar macht. Je größer die Laufzeit und/oder der Kalkulationszinssatz anzusetzen sind, desto stärker wirken Ab- oder Aufzinsungsfaktoren auf die Kalkulation ein. 3. Neben der absoluten Höhe einer Zahlung ist der im intertemporalen Vergleich ermittelte Wert dieser Zahlung insbesondere von der Höhe des zu berücksichtigenden Kalkulationszinssatzes abhängig. Ein hoher Betrag kann in Verbindung mit einem hohen Kalkulationszinssatz wertmäßig niedriger beurteilt werden als eine geringere Zahlung, der

74

Das Barwert-Prinzip

aus welchen Gründen auch immer ein niedriger Kalkulationszinssatz zuzuordnen ist. Diese Erkenntnis ist beispielsweise vor dem Hintergrund der Tatsache von Bedeutung, daß Kalkulationszinssätze in der Praxis regelmäßig nicht exogen gegeben sind, sondern durch die zu transformierende bzw. zu bewertende Zahlung/Zahlungsreihe determiniert werden. Zukünftige Zahlungen, die besonders ungewiß oder risikobehaftet sind, werden in aller Regel mit höheren Kalkulationszinssätzen bewertet als vertraglich zugesagte oder aus anderen Gründen mit höherer Sicherheit verbundene Beträge. Da Ab- und Aufzinsungsformeln in aller Regel Zinsen und Zinseszinsen berücksichtigen, kann eine geringe Differenz im Zinssatz gerade bei einer langen Laufzeit der Aboder Aufzinsung zu großen Unterschieden in der Bewertung von Zahlungen oder Zahlungsreihen fuhren. Schließlich sei an dieser Stelle darauf verwiesen, daß die Ab- und Aufzinsungsfaktoren nicht nur Zinsen und Zinseszinsen berücksichtigen, sondern hier implizit angenommen wird, daß die Zinszahlungen einmal pro Periode und zwar am jeweiligen Periodenende anfallen. Diese Annahme entspricht den üblichen Vereinfachungen der Wirtschaftlichkeitsrechnung, bei der regelmäßig davon ausgegangen wird, daß die Zahlungen einmal pro Periode am jeweiligen Periodenende anfallen. Mehrere Zahlungen im Laufe einer Periode werden zu einer Zahlung am Periodenende zusammengefaßt. 4. Zahlungsreihen, die als Rente vorliegen, können mit dem Barwertfaktor (BWF) auf den Anfangszeitpunkt der Rente und mit dem Endwertfaktor (EWF) auf das Ende der Laufzeit der Rente transformiert werden. Den Kehrwert des Barwertfaktors stellt der Wiedergewinnungsfaktor (WGF) dar, Kehrwert des Endwertfaktors ist der Tilgungsfaktor (TF). Sämtliche Faktoren lassen sich durch einfache Rechenoperationen ineinander überfuhren, da sie auf identischen Annahmen beruhen. Bei der Bewertung und der Konstruktion von Zahlungen/Zahlungsreihen kann man so äquivalente Ergebnisse erzielen. 5. Zahlreiche Merkmale der Wirtschaftlichkeitsrechnung sind aus dem Barwert-Prinzip abgeleitet, auch wenn diese Verwandtschaft nicht immer auf dem ersten Blick identifizierbar ist. Beim Zeitzentrum einer Zahlungsreihe ist der Bezug zum Barwert noch direkt feststellbar, da

Das Barwert-Prinzip

75

hier die Summe einer Zahlungsreihe dem zum Zeitpunkt des Zeitzentrums bewerteten Barwert der Zahlungsreihe entspricht, der Barwert also explizit in Erscheinung tritt bzw. zu berechnen ist. Der Zusammenhang zwischen der Klassifikation von Investitionen in Investitionen vom Typ I und Investitionen vom Typ II und dem Barwert-Prinzip ist dagegen erst auf dem zweiten Blick zu erkennen. Da die entsprechende Einteilung von Investitionen vom Zeitzentrum der Ein- und Auszahlungen determiniert wird, tritt das Barwert-Prinzip an dieser Stelle nur mittelbar in Erscheinung. Die Bedeutung des Barwert-Prinzips und die damit verbundene Problematik hinsichtlich der Klassifikation von Investitionen wird durch den Einfluß des aus der Idee des BarwertPrinzips hervorgehenden Kalkulationszinssatzes auf die Bestimmung des Investitionstyps deutlich: Eine Variation des Kalkulationszinssatzes kann eine Investition vom Typ I in eine Investition vom Typ II umwandeln und vice versa.

Literaturempfehlungen zum 3. Kapitel

Altrogge, G., Investition, 4. Aufl., München 1996, S. 55 - 85. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 85 - 111. Kobelt, H./Schulte, P., Finanzmathematik: Methoden, betriebswirtschaftliche Anwendungen und Aufgaben mit Lösungen, 7. Aufl., Herne, Berlin 1999. Kruschwitz, L., Finanzmathematik, 3. Aufl., München 2001.

Der Kapitalwert

77

Kapitel 4

DER KAPITALWERT EINER INVESTITION

Der Kapitalwert stellt ein zentrales Entscheidungskriterium im Rahmen der gesamten Investitionsrechnung dar. Alle weiteren Kriterien der mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung sind formal mehr oder weniger eng mit der Methode der Ermittlung des Kapitalwertes verwandt. Ein Beleg für die herausragende Relevanz der Kapitalwert-Methode ist die Tatsache, daß sie als Grundlage der heute etablierten Methoden der Unternehmensbewertung fungiert. Die folgenden Aufgaben werden sich nahtlos an die des vorausgegangenen Kapitels anfügen und die These bestätigen, der Kapitalwert sei letztendlich nur eine spezifische Form des Barwerts, die Kapitalwert-Methode dementsprechend nur eine spezielle Ausprägung des Barwert-Prinzips. Mit dem vierten Kapitel sollen die folgenden Aspekte vorgestellt werden: 1. Eine Darstellung der Kapitalwert-Methode. Dabei wird die Kapitalwert-Formel anwendungsorientiert hergeleitet und erläutert. Im Zuge dessen ist der Bezug zum Barwert-Prinzip herzustellen. 2. Mit der Anwendung der Kapitalwert-Methode sind verschiedene Begriffe und Bedingungen verbunden, die dem Leser vorgestellt und erklärt werden. Ziel ist ein sicherer Umgang mit den vielschichtigen Facetten des Einsatzes der Kapitalwert-Methode sowie mit den mitunter komplexen Interpretationsmöglichkeiten der Kapitalwertberechnungen. 3. Einperiodige Verfahren der Investitionsrechnung basieren in aller Regel auf dem Vergleich mehrerer konkret definierter Investitionen. Die Kapitalwert-Methode ermöglicht die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen konkret definierten Investition, ohne einen expliziten Vergleich durchzuführen. Eine anwendungsorientierte Herleitung und Erläuterung des Vorteilhaftigkeitskriteriums der Kapitalwert-Methode soll dieser besonderen Bedeutung Rechnung tragen.

78

Der Kapitalwert

4. Analog zu den Kalkulationen im Rahmen des Barwert-Prinzips werden auch speziellere Fälle der Kapitalwertberechnung sowie die dabei zu beachtenden Spezifika und Voraussetzungen vorgestellt.

79

Der Kapitalwert

Aufgabe 4.1 Was ist unter dem Kapitalwert einer Investition zu verstehen? Der Kapitalwert Co einer Investition ist die Differenz zwischen dem Barwert der Einzahlungen C Eo einer Investition und dem Barwert der Auszahlungen C Aq der Investition. Indem die Einzahlungen und die Auszahlungen durch Abzinsung auf den Zeitpunkt to vergleichbar gemacht werden, ist ihre Differenz eine sinnvolle Größe: C 0 = CEO - CAO Dabei gilt: C

E 0 = Z e t I , , ( l + i)"t + R n * ( l + i r t=l

c

A o

=Ao+i>*(i+ir t=l

Danach ergibt sich die Formel für den Kapitalwert wie folgt: η

η

Co= 2 > * ( 1 + 0 " 1 + Η η * ( 1 + ί Γ - [ Α ο + t=!

2 > * ( l + i H t=l

η

η 1

a, * (1 + ι)"' + R„ * (1 + i) n

Co = - A o + Σ et * (I + i) t=l

t=l

Unter Berücksichtigung von et - at = dt als Einzahlungsüberschuß der Investition in der Periode t gilt die folgende Formel für den Kapitalwert: II

Co = - A o + ^

dt * (1 + i)"' + R„ * (1 + i)'n

t=l

Dabei werden die Anschaffungsauszahlung Ao als erste Zahlung der Investition und der Restverkaufserlös R„ als letzte Zahlung der Investition explizit berücksichtigt. Die anderen Zahlungen während der Laufzeit der Investition werden in den Einzahlungsüberschüssen zusammengefaßt. Aufgabe 4.2 Eine geplante Investition ist durch die folgende Zahlungsreihe gekennzeichnet:

80

Der Kapitalwert

a, = 150 GE

e, = 550 GE

a2 = 190 GE

e2 = 580 GE

a3 = 130 GE

e 3 = 620 GE

a4 = 200 GE

e 4 = 650 GE

a s = 170 GE

e s = 610 GE

Die Anschaffungsauszahlung fur die Investition beträgt A0 = 1.000 GE, die Nutzungsdauer ist η = 5 Jahre, der Kalkulationszinssatz wird mit i = 0,08 angenommen. Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition, wenn der Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer den Betrag R s = 100 GE erbringt! Die Formel zur Bestimmung des Kapitalwertes einer Investition lautet: η Co = - Ao + ^ dt * (1 + i)_t + R„ * (1 + i)"1 •n

t=l

Dabei ist d t = et - at Für die konkrete Aufgabe ergibt sich dann die folgende Rechnung: C 0 = - 1000 + 400 * (1,08)·' + 390 * (1,08)"2 + 490 * (1,08)- 3 + 450*(1,08)" 4 + 440 * (1,08)"5 + 100 * (1,08)"5 Co = - 1000 + 400 * 0,9259 + 390 * 0,8573 + 490 * 0,7938 + 450 * 0,7350 + 440 * 0,6806 + 100 * 0,6806 Co = 791,94

Der Kapitalwert der Investition beträgt 791,94 GE. Aufgabe 4.3 Der Kapitalwert einer Investition läßt sich errechnen als Differenz zwischen dem Barwert der Einzahlungen und dem Barwert der Auszahlungen der Investition. Eine andere Definition beschreibt den Kapitalwert als Differenz zwischen dem Ertragswert und der Anschaffungsauszahlung einer Investition.

Der Kapitalwert

81

Zeigen Sie, daß die Aussagen äquivalent sind, indem Sie auf die jeweils benutzten Formelbestandteile abstellen! 1. Definition des Kapitalwertes über den Barwert der Einzahlungen und dem Barwert der Auszahlungen C 0 = Barwert der Einzahlungen - Barwert der Auszahlungen Co = C Eo - C A o Dabei gilt: η t=1 C

a0

= A

o

+

η Σ3«* t=l

+i

)~ t

Danach ergibt sich die Formel für den Kapitalwert wie folgt: η η t n Co= £ e t * ( l + i)- + R n * ( l + i ) - - [ A 0 + ^ a t * (1 + i)1 ] t=l t=l η η Co = - A o + Σ > + ( 1 + ϊ ) < - 2 a t * ( 1 + i)"t + R 0 * ( l + i ) ' e t=l t=l Mit et - at = dt als Einzahlungsüberschuß der Investition in der Periode t erhält man als Formel für den Kapitalwert einer Investition: η Co = - A o + X d t ^ i l + i y ' + Rn + il+i)·" t=l 2. Definition des Kapitalwertes Anschaffungsauszahlung

über den Ertragswert

und

die

Co = Ertragswert - Anschaffungsauszahlung Der Ertragswert (EW) einer Investition errechnet sich als Barwert aller mit der Investition verbundenen Einzahlungsüberschüsse. Dabei bleibt nur die Anschaffungsauszahlung Ao unberücksichtigt; der Restverkaufserlös R„ ist im Ertragswert zu berücksichtigen. Die Formel für den Ertragswert lautet somit wie folgt:

Der Kapitalwert

82

EW = ] T dt * (1 + i)'1 + R„ * (1 + i)"n t=l

Demnach ergibt sich die Formel für den Kapitalwert, indem die Anschaffungsauszahlung Ao berücksichtigt wird: II

Co = 2 > * ( 1 + i ) " , + R n * U + i)- n -Ao t=l

η Co = - A o + ^ d t * ( l + i ) " t + R n * ( l + i r t=l

Die genannten Definitionen lassen sich durch einfache Termumformungen ineinander überfuhren; die Definitionen sind äquivalent. Aufgabe 4.4 Wie groß muß der Kapitalwert einer Sachinvestition sein, damit diese Investition gegenüber einer alternativ möglichen Verzinsung der Investitionssumme im Rahmen einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i vorteilhaft ist? Es sei eine Sachinvestition (SI) mit einer Anschaffungsauszahlung Ao im Zeitpunkt to betrachtet. Diese Sachinvestition fuhrt zu einer Einzahlung e„ im Zeitpunkt tn. Alternativ läßt sich eine Finanzinvestition FI mit dem gleich hohen Anschaffungsauszahlungsbetrag, bezeichnet als AoF, durchführen. Diese Finanzinvestition fuhrt im Zeitpunkt t„ zu einer Einzahlung in Höhe von AoF * (1 + i)n. Die Sachinvestition ist vorteilhaft, wenn gilt: A o F * U + i) n 0

II Um den Kapitalwert zum Zeitpunkt ti zu bestimmen, können verschiedene Rechenwege Anwendung finden: 1. Transformation jeder einzelnen Zahlung der Investition auf den Zeitpunkt t,. Dabei werden die Zahlungen der Zeitpunkte t2, t3, t4 und t$ auf den Zeitpunkt tt abgezinst, die Zahlung zum Zeitpunkt t0 wird auf den Zeitpunkt tj aufgezinst und die Zahlung zum Zeitpunkt t; bleibt unverändert. C, = - A« * (1 + i)1 + d, * (1 + i)°+ d2 * (1 + i)"' + d3 * (1 + i)"2 + d* * (1 + i)"3 + d5 * (1 + i)"4 Bei den gegebenen Daten bedeutet das: C, = - 12.000 * (1,08)' + 10.000 * (1,08)° + 6.000 * (1,08) ' + 6.000 * (1,08)' 2 + 8.000 * (1,08)"3 + 10.000 * (1,08)^ C, = - 12.000 * 1,08 + 10.000 * 1 + 6.000 * 0,9259 + 6.000 * 0,8573 + 8.000 * 0,7938 + 10.000 * 0,7350 C, = 2 1 . 4 3 9 , 6 0 > 0

2. Der zum Zeitpunkt t0 berechnete Kapitalwert C0 wird auf den Zeitpunkt t\ aufgezinst. C, = Co * (1 + i)'

Bei den gegebenen Daten ergibt sich: C, = 19.851,60 * (1,08)' C, = 21.439,73 > 0

Die Rechenwege fuhren zum gleichen Ergebnis und sind äquivalent. Die geringen Abweichungen sind auf Rundungen zurückzuführen.

Der Kapitalwert

89

III Der Kapitalwert C3 ergibt sich in Anlehnung an die beiden zuvor dargestellten alternativen Rechenwege: 1. Transformation jeder einzelnen Zahlung der Investition auf den Zeitpunkt t3. Dabei werden die Zahlungen der Zeitpunkte t4 und t5 auf den Zeitpunkt t3 abgezinst, die Zahlungen zum Zeitpunkt to, tt und t2 werden auf den Zeitpunkt t3 aufgezinst und die Zahlung zum Zeitpunkt t3 bleibt unverändert. C 3 = - Ao * (1 + i)3 + d, * (1 + i)2+ d2 * (1 + i)1 + d3 * (1 + i)° + d4 * (1 + i)"1 + d5 * (1 + i)"2 Bei den gegebenen Daten bedeutet das: C 3 = - 12.000 * (1,08)3 + 10.000 * (1,08)2+ 6.000 * (1,08)' + 6.000 * (1,08)° + 8.000 * (1,08)"' + 10.000 * (1,08)"2 C 3 = - 12.000 * 1,2597 + 10.000 * 1,1664+ 6.000 * 1,08 + 6.000 * 1 + 8.000 * 0,9259 + 10.000 * 0,8573 C 3 = 25.007,80 > 0 2. Der zum Zeitpunkt t0 berechnete Kapitalwert Co wird auf den Zeitpunkt t3 aufgezinst. C 3 = Co * (1 + i)3 Bei den gegebenen Daten bedeutet das: C 3 = 19.851,60* (1,08)3 C 3 = 19.851,60 * 1,2597 C 3 = 25.007,06 > 0 Auch hier sind die Abweichungen im Ergebnis der beiden Rechenwege durch Rundungen verursacht. IV Für den Zeitpunkt ts ergibt sich der folgende Kapitalwert C5 analog zu der zuvor gewählten Darstellung: 1. Transformation jeder einzelnen Zahlung der Investition auf den Zeitpunkt t5. Dabei werden die Zahlungen der Zeitpunkte t0 bis t4 auf den

90

Der Kapitalwert Zeitpunkt t5 aufgezinst, die Zahlung zum Zeitpunkt t5 bleibt unverändert.

C5 = - Ao * (1 + i)5 + d, * (1 + i) 4 + d2 * (1 + i)3 + d3 * (1 + i)2 + d4 * (1 + i)1 + d5 * (1 + i)° Bei den gegebenen Daten folgt daraus: C 5 = - 12.000 * (1,08) 5 + 10.000 * (1,08) 4 + 6.000 * (1,08) 3

+ 6.000 * (1,08)2 + 8.000 * (1,08)' + 10.000 * (1,08)° C5 = - 12.000 * 1,4693 + 10.000 * 1,3605 + 6.000 * 1,2597 + 6.000 * 1,1664 + 8.000 * 1,08 + 10.000 * 1 C5 = 29.170,00 > 0 2. Der zum Zeitpunkt t0 berechnete Kapitalwert C0 wird auf den Zeitpunkt t5 aufgezinst. 5

C 5 = Co * (1 + i)

Bei den gegebenen Daten ergibt sich: C 5 = 19.851,60 * (1,08)5 C 5 = 19.851,60 * 1,4693 C5 = 29.167,96 > 0 Obigen Ausführungen soll das folgende Fazit angeschlossen werden: Bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen anhand der Kapitalwert-Methode ist es offensichtlich nicht von Bedeutung, zu welchem Zeitpunkt der Kapitalwert der Investition bestimmt wird. Da bei einer Einzelentscheidung nicht der eigentliche Betrag des Kapitalwertes entscheidend ist, sondern in erster Linie die Frage, ob der Kapitalwert positiv ist, fuhren die Kapitalwerte verschiedener Zeitpunkte zur gleichen Handlungsempfehlung: Bei Co > 0 ist auch C0 * (1 + i)' = Ct positiv; bei C0 < 0 ist auch C0 * (1 + i)1 = Ct negativ; bei Co = 0 ist auch C0 * (1 + i)' = Ct Null. Dann liegt Indifferenz für die Entscheidungsempfehlung vor.

Der Kapitalwert

91

Aufgabe 4.9 Wie werden bei der Berechnung des Kapitalwertes auf dem vollkommenen Kapitalmarkt implizit Zinsauszahlungen und Zinseinzahlungen berücksichtigt? Im Rahmen der Kapitalwert-Methode werden Zahlungsströme durch eine Diskontierung transformiert. Bei den transformierten Zahlungen handelt es sich um wertmäßige Äquivalente. Zur weiteren Erörterung sei die folgende Situation angenommen: Einer Anschaffungsauszahlung Ao steht nur eine Einzahlung e„ gegenüber. Der Kapitalwert zum Zeitpunkt t„ beträgt dann: C„ = e„ - Ao * (1 + i)n 0, = ^ - [ Α ο + Αο*(1 + ί)η-Αο]

Cn = e „ - A o - A o * [ ( l + i ) n - l ] Die Zinsauszahlungen belaufen sich dabei auf Ao * [(1 + i)n - 1]. Der Kapitalwert in t„ enthält somit die Anschaffungsauszahlung Ao sowie die Zins- und Zinseszinszahlungen bezogen auf den Betrag Ao. Nun läßt sich der Kapitalwert zum Zeitpunkt t„ in den Kapitalwert C 0 transformieren: C0 = C n * ( l + i ) - n Co = [ e n - A o - A o * [ ( l + i ) n - l ] ] * ( l + i ) " n n

n

Co = [e„ - [Ao + Ao * ((1 + i) - 1)]] * (1 + i)"

Dabei repräsentiert wiederum der Ausdruck Ao * [(1 + i)n - 1] die Zinsund Zinseszinszahlungen bezogen auf den Betrag Ao. Die tatsächlichen Zins- und Zinseszinszahlungen erscheinen nicht ausdrücklich in der Kapitalwertformel, denn durch die Multiplikation mit dem Diskontierungsfaktor (1 + i)"n ergibt sich: n

Co = [e„ * (1 + i)' - Ao]

Die tatsächlichen Zins- und Zinseszinszahlungen werden aber implizit berücksichtigt. Diese Tatsache ist darin zu begründen, daß die Kapital-

92

Der Kapitalwert

wert-Methode einen vollkommenen Kapitalmarkt unterstellt und die Aufzinsung der auf Ao bezogenen Zinszahlungen dementsprechend mit dem gleichen Zinssatz vollzogen wird wie die Abzinsung der tatsächlichen Zahlungen auf äquivalente Werte zum Zeitpunkt to. Eine andere Formulierung soll die dargestellte Argumentation unterstreichen: Durch den Diskontierungsfaktor und insbesondere aufgrund der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarkts enthält die Kapitalwertformel weder explizite Zinsauszahlungen noch Zinseinzahlungen. Eine explizite Berücksichtigung von Zinsauszahlungen hätte eine Aufzinsung dieser Zinsen über die Zeit der Nutzung bzw. über die Laufzeit der Finanzierung zur Folge. Zur Berechnung des Kapitalwertes wären diese aufgezinsten Zinszahlungen mit dem gleichen Zinssatz abzuzinsen, so daß sich - aufgrund der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarkts - die Auf- und Abzinsungsfaktoren genau entsprechen. Dies bedeutet: Bei der Kapitalwert-Methode erfolgt keine explizite Berücksichtigung von Zinszahlungen, sehr wohl aber eine implizite, so daß die Zinszahlungen keineswegs vernachlässigt werden. Sie erscheinen aufgrund der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarkts nur nicht explizit. Aufgabe 4.10 Eine Investition ist mit einer Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 10 Mio. GE verbunden. Die Nutzungsdauer der Anlage ist nicht begrenzt und es wird mit jährlichen Einzahlungsüberschüssen in Höhe von d = 1,10 Mio. GE gerechnet. Ist die Investition bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 vorteilhaft, wenn davon auszugehen ist, daß die jährlichen Zahlungen am Ende der jeweiligen Periode anfallen? Diese Aufgabenstellung weist zwei wesentliche Besonderheiten auf: 1. Die Nutzungsdauer der Anlage ist unbegrenzt; ein Restverkaufserlös ist daher nicht zu berücksichtigen.

Der Kapitalwert

93

2. Die Einzahlungsüberschüsse sind konstant und fallen am Ende einer jeden Periode an. Unter den im Punkt 2 genannten Voraussetzungen ist im Rahmen der Investitionsrechnung von einer sog. ewigen Rente die Rede. Die Kapitalwertformel η Co = - A o + 2 > * ( 1 + 0"' + Κ η * ( 1 + ΐ)"η t=l

vereinfacht sich unter Verwendung des Barwertfaktors (BWF) und der konstanten Einzahlungsüberschüsse zu: Co = - Ao + d *

(1+/i>)n

Co = - Ao + d *

1 _ ( 1 + l)

Co = - Ao + d *

~ 1 + R„ * (1 + iyn ι * ( l + i) " + Κ * (1 + i)"n

1

1

i

i * ( l + i) n

+ R„ * (1 + i)"'

Im Fall der ewigen Rente - der unbegrenzten Laufzeit (n - > oo) - und der damit verbundenen Konsequenz eines nicht vorhandenen Restverkaufserlöses ergibt sich zusätzlich: Co = - Ao + T - - T " * l i m ^ i i n-*»(i + j) n Co = - Ao +

1

1

* 0

C 0 = - Ao + — 1 Bezieht man die Kapitalwertformel für den Fall der ewigen Rente auf die in der Aufgabenstellung formulierten Daten, so resultiert daraus die folgende Berechnung:

Der Kapitalwert

94

Co -

10.000.000 +

1 100 000

· 0,10

Co= 1.000.000 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Aufgabe 4.11 Wie ändert sich der Kapitalwert einer Investition in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz? Zur Erläuterung des Zusammenhangs zwischen dem Kalkulationszinssatz und dem Kapitalwert sei von den folgenden Daten einer Investition vom Typ I ausgegangen: Die Anschaffungsauszahlung beträgt Ao = 100 GE und die Einzahlungsüberschüsse fallen als ewige Rente in Höhe von d = 10 GE jeweils am Ende einer Periode an. Der Kapitalwert für den Fall der ewigen Rente lautet: C 0 = - Ao + — 1 Für alternative Werte von i ergeben sich die folgenden Kapitalwerte der Investition: Co (i = 0,05) = 100 Co (i = 0,08) = 25 C 0 (i = 0,10) = 0 Co (i = 0,20) = - 50

Die Skizze auf der folgenden Seite verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem Kapitalwert C0 und dem Kalkulationszinssatz i. Bei einer Investition vom Typ I liegt das Zeitzentrum der Auszahlungen vor dem Zeitzentrum der Einzahlungen. Steigt der Kalkulationszinssatz, so sinkt der Barwert der Einzahlungen stärker als der Barwert der Auszahlungen, da später anfallende Zahlungen durch die Diskontierung stärker

Der Kapitalwert

95

beeinflußt werden als frühere. Bei einer Investition vom Typ I sinkt daher der Kapitalwert bei einem ansteigenden Kalkulationszinssatz. Co

Liegt das Zeitzentrum der Einzahlungen jedoch vor dem der Auszahlungen, so schlägt die durch den steigenden Diskontierungsfaktor induzierte Reduzierung beim Barwert der Auszahlungen stärker zu Buche als beim Barwert der Einzahlungen. Bei Investitionen vom Typ II steigt daher der Kapitalwert mit einem steigenden Kalkulationszinssatz. Aufgabe 4.12 Ein Unternehmer hat ein Patent entwickelt. Dieses Patent fuhrt im Zeitpunkt to zu einer Auszahlung in Höhe von Ao = 6.000 GE. Er erwartet jetzt in jedem Jahr Einzahlungen in Höhe von e = 880 GE und geht dabei von einer unbegrenzten Laufzeit aus. Wie hoch ist der Ertragswert, das heißt der maximal zu zahlende Preis fur einen Erwerber des Patents, wenn zu unterstellen ist, daß die jährlichen Zahlungen am Periodenende anfallen und der Kalkulationszinssatz i = 0,10 beträgt? Verhält sich der Unternehmer, der sein Patent zum Verkauf anbietet, rational, so müßte er durch den Verkauf des Patents mindestens so gut gestellt sein, als wenn das Patent in seinem Besitz bleiben würde. Der verkaufende Unternehmer würde als Preis mindestens fordern: - die Anschaffungsauszahlung für die Entwicklung des Patents und

96

Der Kapitalwert

- den Kapitalwert aus dieser Investition. Anschaffungsauszahlung und Kapitalwert ergeben zusammen den Ertragswert des Patents: EW = Ao + C0 (vgl. dazu Aufgabe 4.3). Ein Verkaufspreis unterhalb des Ertragswerts fuhrt dazu, daß der Unternehmer einen wertmäßigen Verlust 201 realisieren hätte. Ein potentieller Käufer wird als maximalen Grenzpreis den Ertragswert (EW) des Patents zu zahlen bereit sein. Der Ertragswert ist der Gegenwartswert des Patents; er repräsentiert den gesamten Erfolg aus dem Patent, bewertet zum Zeitpunkt to. Aus der Sicht des Käufers ist eine Investition nur dann vorteilhaft, wenn der Ertragswert der Investition größer ist als die dazu notwendige Anschaffungsauszahlung Ao. Der zum Zeitpunkt to bewertete Erfolg der Investition wäre sonst geringer als die in to anfallende Anschaffungsauszahlung Ao. Unter der Voraussetzung, daß Käufer und Verkäufer die gleichen Annahmen hinsichtlich der entscheidungsrelevanten Daten haben (Zahlungsreihe der Investition und Kalkulationszinssatz), können sie sich nur im Grenzpreis in Höhe des Ertragswerts der Investition einigen. Beide Parteien sind dann eigentlich indifferent gegenüber einem Kontrakt. Geht man nun aus von Co = - Ao + EW bzw. EW = Co + Ao und unterstellt eine ewige Rente, so daß gilt: C 0 = - Ao + — 1

bzw. EW = ( - Ao + - ) + Ao = 1 1

Der Kapitalwert

97

dann beläuft sich der Ertragswert auf EW = —; dabei wird der gesamte i Erfolg der Investition auf den Zeitpunkt to bezogen. Konkret bedeutet das: C 0 = - Ao + EW = - 6.000 +

880 —

0,10

Co = 2.800 > 0

Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 ist das Patent mit den folgenden Daten verbunden: Kapitalwert = 2.800 GE Ertragswert = 8.800 GE Der Käufer ist maximal bereit, 8.800 GE für das Patent zu zahlen. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 könnte er die Investitionssumme sonst vorteilhafter in eine Finanzinvestition anlegen. Eine Investitionssumme von beispielsweise 9.000 GE würde bei einer Finanzinvestition zu i = 0,10 eine jährliche Auszahlung in Höhe von 900 GE erwirtschaften; also 20 GE mehr als das Patent verspricht. Der Unternehmer ist nur zum Verkauf bereit, wenn er mindestens 8.800 GE erzielen kann. Unter Berücksichtigung der getroffenen Annahmen benötigt er diese Einzahlung aus dem Verkauf des Patents, um in Zukunft ökonomisch nicht schlechter gestellt zu sein als bei eigener Verwendung des Patents. Um die mit dem Patent zu erwirtschaftenden jährlichen Einzahlungen von 880 GE auch mit einer alternativen Geldanlage zum Kalkulationszinssatz i erzielen zu können, muß der Unternehmer mindestens die errechneten 8.800 GE aus dem Verkauf des Patents realisieren. Aufgabe 4.13 Sie stehen vor der Entscheidung, eine Kiesgrube zum Preis von 100.000 GE zu erwerben. Zur Finanzierung des Projekts steht ausschließlich Fremdkapital zu einem Zinssatz von i = 0,10 zur Verfugung.

98

Der Kapitalwert

Aus der Betriebsergebnisrechnung für die Kiesgrube ist zu ersehen, daß in den vergangenen Jahren jeweils ein Verlust von 30.000 GE ausgewiesen wurde, darin enthalten sind jährliche Abschreibungen in Höhe von 50.000 GE. Bei unveränderter Bewirtschaftung reicht der Kiesvorrat noch für η = 10 Jahre aus, eine Veränderung in der Höhe des Betriebsergebnisses des Unternehmens ist nicht zu erwarten. Dabei sind die zukünftigen Abschreibungen wie bisher anzusetzen. Der Restverkaufserlös nach zehn Jahren deckt genau die Auszahlungen für die notwendigen Maßnahmen zur Rekultivierung. a) Formulieren Sie die für eine mehrperiodige Investitionsrechnung entscheidungsrelevante Zahlungsreihe! Unterstellen Sie dabei, daß sämtliche Zahlungen am Ende der jeweiligen Periode anfallen! Der im Betriebsergebnis ausgewiesene Erfolg resultiert aus der Differenz von Leistungen und Kosten: Gewinn - Leistungen - Kosten Die Kosten setzen sich hier zusammen aus den laufenden Auszahlungen einer Periode und den periodischen Abschreibungen. Unterstellt man dementsprechend, daß die Leistungen aus Einzahlungen (ξ Erlösen) resultieren, so gilt für den periodischen Gewinn: Gewinn = Einzahlungen - laufende Auszahlungen - Abschreibungen Die Differenz aus den Einzahlungen und den Auszahlungen wird als Einzahlungsüberschuß bezeichnet. Durch Umformung ergibt sich: Einzahlungsüberschuß = Gewinn + Abschreibungen Bei Verwendung der oben angegebenen Daten erhält man den folgenden jährlichen Einzahlungsüberschuß der zur Diskussion stehenden Kiesgrube: Einzahlungsüberschuß = - 30.000 GE + 50.000 GE = 20.000 GE Mit dem Kauf der Kiesgrube ist also die folgende Zahlungsreihe verbunden:

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Der Kapitalwert

to

tio

• ν - 100.000

20.000

20.000

20.000

b) Ist der Kauf der Kiesgrube vorteilhaft? Zur Bestimmung der Vorteilhaftigkeit wird die Kapitalwert-Methode herangezogen. Da der Einzahlungsüberschuß als Rente vorliegt, kann mit dem Barwertfaktor gearbeitet werden: Co = - Ao

Co = - Ao

+d*

(l + i ) " - l i * ( l + i)n

+ d * BWF (n;i)

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: Co = - 100.000 + 20.000 * BWF (n = 10; i = 0,10) Co = - 100.000 + 20.000 * 6,1446 Co = 22.892 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Die Aufgabe verdeutlicht den prinzipiellen Unterschied zwischen den einperiodigen und den mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung. Die einperiodigen Verfahren basieren auf Kosten und Leistungen (= Erlösen). Sie stellen auf die mit einer Investition verbundenen betrieblichen Wertveränderungen ab: Kosten werden nach dem wertmäßigen KostenbegrifF definiert als periodischer, betrieblich bedingter Werteverzehr, Erlöse sind nur betrieblich bedingter Wertezuwachs pro Periode. Sie seien hier gleichgesetzt mit den Einzahlungen. Abschreibungen spiegeln den Werteverzehr einer Anlage wider und sind daher bei den einperiodigen Verfahren entscheidungsrelevant. Die mehrperiodigen Verfahren basieren auf den Einzahlungen und den Auszahlungen einer Investition, nur tatsächlich zahlungswirksame Einflußfaktoren sind entscheidungsrelevant. Die Instrumente der mehrperiodigen

100

Der Kapitalwert

Investitionsrechnung lassen nicht zahlungswirksame Kosten unberücksichtigt. Da Abschreibungen nicht zahlungswirksam sind, müssen sie aus der Betrachtung ausgeschlossen werden. Abschreibungen werden daher nur berücksichtigt, um von einem in der Bilanz oder dem Betriebsergebnis ausgewiesenen Gewinn auf den Einzahlungsüberschuß zu schließen. Aufgabe 4.14 Bestimmen Sie den Kapitalwert der folgenden Investition bei einem Kalkulationszinssatz von i= 0,10! Zeitpunkt

to

Anschaffiingsauszahlung

541 GE

tl

t2

-

-

Abschreibungen

-

270 GE

270 GE

Zahlungswirksame Kosten

-

116 GE

134 GE

Zahlungswirksame Erlöse

-

402 GE

562 GE

Restverkaufserlös

-

-

56 GE

Zur Berechnung des Kapitalwerts ist zunächst die entscheidungsrelevante Zahlungsreihe zu ermitteln. Der jährliche Einzahlungsüberschuß (EÜ) ergibt sich dabei wie folgt: EÜ = Zahlungswirksame Erlöse - Zahlungswirksame Kosten Daraus folgt fur die Einzahlungsüberschüsse der einzelnen Perioden: d, = 4 0 2 - 116 = 286 GE d 2 = 562 - 134 = 428 GE Die Abschreibungen sind nicht zahlungswirksam und bleiben daher ohne Berücksichtigung. Für den Kapitalwert folgt nunmehr:

101

Der Kapitalwert

Co =

-

Ao +

dt * (1 + i)"' + R„ * (1 + i)*n

^ t=l

Bei den gegebenen Daten bedeutet das: Co =

-

5 4 1

+

2 8 6

* (1,10) 1

Co =

-

5 4 1

+

2 8 6

*

Co =

1 1 8 , 9 8

0 , 9 0 9 1

+ +

4 2 8 4 2 8

* *

(1,10)' 0 , 8 2 6 4

+

2

+

5 6 5 6

* *

(1,10)"

2

0 , 8 2 6 4

> 0

Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Das Ergebnis läßt die Abschreibungen unberücksichtigt. Ein solches Vorgehen ist nur unter der Bedingung korrekt, daß keine Ertragsteuern zu berücksichtigen sind. Werden gewinnabhängige Steuern in das Kalkül aufgenommen, so haben die Abschreibungen einen Einfluß auf die zu zahlenden Steuern; denn es fallen zusätzliche Auszahlungen (Steuerzahlungen) auf den erzielten Gewinn (= Einzahlungsüberschuß - Abschreibungen) an. Abschreibungen haben daher bei der Berücksichtigung von Steuern Auswirkungen auf die mit der Investition verbundenen Zahlungen und sind dann im Kalkül zu berücksichtigen (vgl. dazu Kapitel 8). Aufgabe 4.15 Eine Ersatzanlage wird während der Nutzungsdauer von η = 10 Jahren bei gleicher Ausbringungsmenge wie die zu ersetzende Anlage jährlich zu zahlungswirksamen Einsparungen in Höhe von d = 12.000 GE führen. Der Verkaufspreis der mit den Anlagen zu produzierenden Güter ist unabhängig von der gewählten Maschine. Für die Ersatzanlage wird nach zehn Jahren ein Restverkaufserlos von R]0 = 10.000 GE erwartet. Die Investitionssumme der neuen Anlage ist mit einem Kredit zu i = 0,10 zu finanzieren. Wie hoch darf die AnschafTungsauszahlung maximal sein, damit die Ersatzanlage noch vorteilhaft ist? Die jährlichen Einsparungen sind zahlungswirksam und führen daher zu einer Erhöhung der bisherigen Einzahlungsüberschüsse. Die Einsparungen

102

Der Kapitalwert

können daher wie Einzahlungen behandelt werden. Da die Einsparungen jedes Jahr gleich hoch sind und die Nutzungsdauer der Ersatzanlage begrenzt ist, liegt der Fall der Rente vor. Die Anschaffungsauszahlung als kritische Größe errechnet sich daher anhand der Kapitalwertformel unter Verwendung des Barwertfaktors: Co = - Ao + d *

0 +

' ) Π 1 + R n * ( l + i)"n ι *(1 + i)

Co = - Ao + d * BWF (n;i) + R„ * (1 + i) n Setzt man den Kapitalwert gleich Null und berücksichtigt man die genannten Daten, so ergibt sich: 0 = - Ao + 12.000 * BWF (n = 10; i = 0,10) + 10.000 * (1,10) 10 0 = - Ao + 12.000 * 6,1446 + 10.000 * 0,3855 0 = - A o + 73.735,20 + 3.855 Ao = 77.590,20 Damit die Investition vorteilhaft - das heißt C0 > 0 - wird, muß die Anschaffungsauszahlung kleiner sein als 77.590,20 GE. Aufgabe 4.16 Eine neue Fertigungsanlage, mit der ein neues Produkt erstellt werden soll, ist für eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A0 = 8 Mio. GE zu errichten. Die jährlichen Auszahlungen zur Erstellung des neuen Produktes auf der neuen Anlage betragen bei vollständiger Auslastung a = 2,5 Mio. GE. Das neue Produkt beansprucht darüber hinaus Auszahlungen für Werbung in Höhe von aw = 500.000 GE pro Jahr. Welchen Jahresumsatz e muß der Betrieb mindestens erwarten können, damit die zur Diskussion stehende Investition durchgeführt werden sollte ? Unterstellen Sie bei den Berechnungen eine unbegrenzte Nutzungsdauer der Anlage, einen Kalkulationszinssatz von i = 0,10 und die Annahme, daß die Zahlungen jeweils am Ende einer Periode anfallen.

Der Kapitalwert

103

Die entscheidungsrelevanten Daten sind: Ao = 8 Mio. GE; a = 2,5 Mio. GE; a w = 500.000 GE; η = oo;

i = 0,10

Das Umsatzvolumen pro Jahr ist als kritische Größe e anhand der Kapitalwertformel zu bestimmen. Da die jährlichen Zahlungen konstant sind und eine unbegrenzte Nutzungsdauer unterstellt ist, liegt hier der Fall der ewigen Rente vor. Dann ergibt sich für den Kapitalwert: Co = - Ao + 1 bzw.: C 0 = - Ao +

e-a' ι

Dabei gilt: a' = a + a w Setzt man den Kapitalwert gleich Null und berücksichtigt man die entscheidungsrelevanten Daten, so resultiert daraus der folgende Ausdruck: 0 = - 8.000.000 +

e-3.000.000 0,10

Ein Auflösen der Gleichung nach e ergibt ein kritisches Umsatzvolumen in Höhe von: e = 3.800.000 Das zur Diskussion stehende Investitionsobjekt muß ein jährliches Umsatzvolumen von mindestens 3,8 Mio. GE versprechen, damit die Investition bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % vorteilhaft erscheint. Aufgabe 4.17 Ein Unternehmen hat die Anfrage erhalten, ob es jährlich eine Menge von X = 12.000 Flaschen aus Kunststoff liefern kann. Bei einer Annahme des Auftrags muß eine Presse angeschafft werden, die eine AnschafTungsauszahlung von A 0 = 19.000 GE verursacht und eine Nutzungsdauer von η = 6 Jahren hat. Der Restverkaufserlös der Presse wird auf R* = 1.000 GE geschätzt.

Der Kapitalwert

104

Eine Kalkulation ergibt, daß die Produktion der Flaschen zu variablen Auszahlungen von av = 0,15 GE je Flasche fuhrt. Das Unternehmen rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08. Welchen Preis ρ pro Flasche muß der Abnehmer mindestens garantieren, damit sich die Aufnahme der Flaschenproduktion fur das Unternehmen lohnt? Die folgenden Daten sind gegeben: A o = 19.000 G E

^ = 0,15 G E

R „ = 1.000 G E

η = 6 Jahre

X = 12.000 Stück

i = 0,08

Zur Berechnung des kritischen Preises ρ ergibt sich der folgende auf der Kapitalwertformel π Co = - Ao + 2 > * (

1 +

') 4 + R « * ( l + i r

t=l

basierende Ausdruck: η Co = - Ao + £ ( p - a v ) * X * ( l + i)"t + Rn*(l+i)" n t=l

Da sämtliche Zahlungen der zu bildenden Summe als konstante Größe über die Nutzungsdauer der Investition aufgefaßt werden und jährlich am Ende einer Periode anfallen, kann unter Verwendung des Barwertfaktors der folgende Ausdruck Anwendung finden: Co = - A o + ( p - a v ) * X *

(1+ /

l)n"1 +Rn*(l + ir

ι *(l + i)

Co = - Ao + (p - av) * X * BWF (n;i) + R„ * (1 + i)

n

Den Kapitalwert gleich Null gesetzt, ergibt sich: 0 = ~Ao + ( p - a v ) * X * ^ t

0

" "

i * ( l + i)

1

+ Rn * (1 + 0 "

Nach verschiedenen Termumformungen resultiert daraus:

105

Der Kapitalwert A0-R*(l+i)"n x (p - a v ) = — —-—— d + i)n-ltX i*(l + i)n A0-R,.(.+i Γ BWF(n;i)*X Für ρ bedeutet das: \ - n

ρF = av + —2 — — bzw.: BWF(n;i)*X ρ = av + [A00 - R n *(l + i)~"]*

'[(1+l)—1 X*[(l + i ) n - l J

Unter Verwendung der gegebenen Daten erhält man: ρ = 0,15 +

19.000-1.000 *(1,08)"6 BWF(n = 6;i = 0,08)* 12.000

1 Da WGF(n;i) = BWF(n;i) lautet die obige Bestimmungsgleichung für den Preis: ρ = 0,15 + 19Ό00 -1.000 * (1,08)~6 12.000

φ

=

=

Daraus folgt: . 19.000-1.000*0,6302 2 ρ = ftl 0,15 + * 0,2163 12.000 Ρ = 0,48 Der Preis pro Flasche muß größer sein als 0,48 GE. Aufgabe 4.18 Ein Unternehmen plant im Rahmen der Sortimentserweiterung die Aufnahme eines weiteren Produkts. Für die zu installierende Produk-

106

Der Kapitalwert

tionsanlage ist eine Anschaffungsauszahlung von A 0 = 500.000 G E erforderlich. Zusätzlich bedingt die sofort durchzuführende Einfuhrungswerbung eine Auszahlung von W 0 = 114.500 GE. Die zur Diskussion stehende Anlage hat eine Nutzungsdauer von η = 10 Jahren. Während dieser Zeit fallen jährliche Auszahlungen für die Instandhaltung in Höhe von ai = 10.000 G E an. Am Ende der Nutzungsdauer fällt fur die Produktionsanlage kein Restverkaufserlös an. Das Unternehmen geht davon aus, daß sich pro Einheit des neuen Produkts ein Preis von ρ = 20 G E erzielen läßt und die variablen Auszahlungen a v = 10 G E pro Stück betragen. Die Absatzmenge X soll in jeder Periode der Nutzungsdauer gleich hoch sein, der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10 und die Zahlungen fallen jeweils am Ende der Periode an. a) Formulieren Sie die Zahlungsreihe der Investition! to

t]

t2

tio

- v - Ao - W0

(p - av) * X - a!

(p - a„) * X - ai

(p - av) * X - ai

b) Wie hoch muß die jährliche Produktions- und Absatzmenge mindestens sein, damit die Investition vorteilhaft ist? Die Beantwortung der Frage erfolgt anhand der Kapitalwertformel: C ^ - A . - W o M p - a J . X . ^ 1 ' · - ' - » . " * " ' - ' i * ( l + i) n i * ( l + i) n Co = - Ao - Wo + (p - av) * X * BWF (n;i) - ai * BWF (n;i) Daraus folgt für C 0 = 0: , v (1 + i) n - 1 . (l + i) n - 1 (p - a v ) * X * v , / = Ao + Wo + ai * ' i * ( l + i)n i * ( l + i)n Für X folgt daraus:

Der Kapitalwert

χ =

A0+W0 J*(l+i)" p-av (l + i)n - 1

107

p-av

Da WGF(n;i) = 1*(1+ ')" , V ' (l + i ) " - l läßt sich auch die Formulierung verwenden: A X =

«+W»*WGF(n;i) + ^ p-av p-av

Unter Verwendung der gegebenen Daten bedeutet das: „ 500.000 + 114.500 A 10.000 X= * 0,1627 + 20-10

20-10

X = 10.997,92 Damit die Investition vorteilhaft wird, müssen mindestens 10.998 Einheiten pro Jahr produziert und abgesetzt werden. Aufgabe 4.19 Ein Investitionsobjekt mit der Anschaffungsauszahlung A0 habe eine Nutzungsdauer von η Perioden. Pro Periode fallen zeitabhängige Auszahlungen in Höhe von a an. Die mengenabhängigen Auszahlungen betragen av Geldeinheiten pro Stück, die mengenabhängigen Einzahlungen werden mit ρ Geldeinheiten pro Stück kalkuliert, dabei ist ρ > av. Sämtliche Zahlungen fallen am Ende der entsprechenden Periode an. Während der Nutzungsdauer von η Jahren wird mit einer jährlichen Produktions- und Absatzmenge von X Stück gerechnet. Es wird kein Restverkaufserlös im Zeitpunkt t„ erzielt. a) Bestimmen Sie in allgemeinen Symbolen, um wieviel Prozent die geplante Produktions- und Absatzmenge X bei einem Kalkulationszinssatz von i periodisch unterschritten werden darf, ohne daO die Investition dadurch unvorteilhaft wird!

108

Der Kapitalwert

Als Ausgangspunkt dient die Kapitalwertformel für den Fall der Rente. Für die kritische Menge wird der Ausdruck b * X gewählt: Co = - A o + [ b * X * ( p - a v ) - a ] * B W F (n;i)

Für C 0 = 0 folgt daraus: 0 = - A o + [ b * X * ( p - a v ) - a ] * BWF (n;i) Da der Wiedergewinnungsfaktor der Kehrwert zum Barwertfaktor ist, gilt: Ao * WGF (n;i) = b * X * ( p - 3 v ) - a Daraus folgt: Ao * WGF (n;i) + a = b * X * ( p - a v ) Für b ergibt sich dann: b

_ A 0 * WGF(n;i) + a X*(p-av)

Es müssen mindestens b * 100 % der möglichen Produktionsmenge X hergestellt und abgesetzt werden, damit das Investitionsobjekt vorteilhaft bewertet wird. Da die kritische Produktions- und Absatzmenge mindestens b * X betragen muß, ist der gesuchte Prozentsatz zur Bestimmung, um wieviel die geplante Menge X unterschritten werden darf, somit (1 - b) * 100 %. b) Wie groß ist dieser Prozentsatz bzw. die kritische Menge bei einer Anschaffungsauszahlung von A0 = 950 GE , zeitabhängigen Auszahlungen von a = 500 GE pro Periode, einem Preis von ρ = 8 GE pro Stück, variablen Auszahlungen von av = 6 GE pro Stück, einer Produktions- und Absatzmenge von X = 1.000 Stück, einer Nutzungsdauer von η = 2 Perioden und einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10? Unter Verwendung der Formel A 0 * WGF(n;i) + a X*(p-av) folgt bei den gegebenen Daten:

109

Der Kapitalwert

. 950*WGF(n = 2;i = 0,10)+ 500 b= — 1.000* ( 8 - 6 ) b=

950*0,5762 + 500 1.000* ( 8 - 6 )

b = 0,5237 Der gesuchte Prozentsatz, um den die geplante Produktions- und Absatzmenge von X = 1.000 Stück unterschritten werden kann, beträgt demnach (1 - b) * 100 = 47,63 %. Die kritische Menge beläuft sich auf b * X = 523 Stück pro Periode. Aufgabe 4.20 Eine Investition erfordert eine Anschaffungsauszahlung von A 0 = 50.000 GE. Der Investor rechnet in den ersten vier Jahren mit Einzahlungsüberschüssen von jährlich di = 9.000 GE. Für die Jahre fünf bis zehn werden Einzahlungsfiberschüsse von jeweils dn = 6.000 GE veranschlagt. Der Kalkulationszinssatz sei i = 0,10. a) Ist die Investition nach der Kapitalwert-Methode vorteilhaft, wenn kein Restverkaufserlös erzielt werden kann? Der Kapitalwert zum Zeitpunkt to läßt sich auf der Basis der Kapitalwertformel für den Fall der Rente wie folgt berechnen: . , (l + i)"1 - 1 , . (l + i)"" - 1 „ „_„, Co = - A o + d,1 * + d tIΠ * * (l + i) ' n i*(l + i)"' i*(l + i) ° *

«

'

>

«

'

Wert des ersten Teils

Wert des zweiten Teils

der Rente in to

der Rente in t n,

Co = - Ao + di * BWF (ni;i) + d„ * BWF (nn;i) * (1 + i)" n ' Dabei gilt: di = Betrag der Rente von ti bis t n [ , hier von ti bis U du = Betrag der Rente vont„ i+1 bist n n , hier von t5 bis t ]0

110

Der Kapitalwert

ni = Laufzeit der ersten Rente, hier vier Jahre nn = Laufzeit der zweiten Rente, hier sechs Jahre η = ni + n n = Nutzungsdauer der Investition, hier zehn Jahre Unter Verwendung der genannten Daten ergibt sich folgender Ausdruck: Co = - 50.000 + 9.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) + 6.000 * BWF (n = 6; i = 0,10) * (1,10)^ Co = - 50.000 + 9.000 * 3,1699 + 6.000 * 4,3553 * 0,6830 C 0 = - 5 0 . 0 0 0 + 2 8 . 5 2 9 , 1 0 + 17.848,02 Co = - 3 . 6 2 2 , 8 8 < 0

Da der Kapitalwert negativ ist, wird die Investition nicht realisiert. Das Ergebnis des dritten Terms läßt sich wie folgt erläutern: Die zweite Rente wird zunächst mit dem Barwertfaktor für η = 6 und i = 0,10 multipliziert. Der Barwertfaktor muß dabei unter Berücksichtigung der Laufzeit der zweiten Rente ermittelt werden, diese ist nicht zwangsläufig identisch mit der Laufzeit der gesamten Investition. Das Produkt aus der zweiten Rente und dem entsprechenden Barwertfaktor ist der Wert der zweiten Rente zum Zeitpunkt t - hier t» -, denn der Barwertfaktor diskontiert in diesem Fall sämtliche Zahlungen der Rente auf den Zeitpunkt, der unmittelbar vor der ersten Zahlung dieser zweiten Rente liegt. Der Wert bildet die Summe der abgezinsten Zahlungen zu diesem Zeitpunkt. Um auch die Zahlungen der Jahre t n|+1 bis t nn - hier t5 bis tio - im Gesamtkapitalwert zu erfassen, muß im vorliegenden Fall das Produkt aus der zweiten Rente (du = 6.000) und dem zu der zweiten Rente gehörenden Barwertfaktor (BWF (n = 6; i = 0,10)) daher zusätzlich mit dem Diskontierungsfaktor (1 + i)^ auf den Zeitpunkt to abgezinst werden. Das Ergebnis dieser Rechnung - welches einen Bestandteil des Kapitalwertes darstellt - ist der Wert der zweiten Rente zum Zeitpunkt to. b) Die Unternehmung geht nunmehr davon aus, daß sie einen Restverkaufserlös in Höhe von R10 = 10.000 GE erzielen kann. Ist die unter a) getroffene Entscheidung nun zu revidieren?

Der Kapitalwert

111

Der Kapitalwert zum Zeitpunkt to lautet jetzt: Co = - Ao + di * BWF (m;i) + d n * BWF (n„;i) * (1 + i ) " ' + R„ * (1 + i)'n Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: Co = - 50.000 + 9.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) + 6.000 * BWF (n = 6; i = 0,10) * (Ι,ΙΟ) 4 + 10.000 * (1,10)'10 Co = - 5 0 . 0 0 0 + 9.000 * 3,1699 + 6.000 * 4,3553 * 0,6830 + 10.000 * 0,3855 Co = - 5 0 . 0 0 0 + 28.529,10 + 17.848,02 + 3.855 Co = 2 3 2 , 1 2 > 0

Bei der Veranschlagung eines Restverkaufserlöses in Höhe von Rio = 10.000 GE ist der Kapitalwert positiv und die Investition vorteilhaft. c) Der angenommene Restverkaufserlös wird vom Investor als besonders unsichere Größe eingeschätzt, hat aber einen wesentlichen Einfluß auf die Vorteilhaftigkeit der Investition. Bei welcher Höhe des Restverkaufserlöses ist der Investor indifferent zwischen der Sachinvestition und einer Finanzinvestition zu i = 0,10? Der Kapitalwert der Investition sinkt mit abnehmendem Restverkaufserlös. Entscheidungsindifferenz liegt bei einem Kapitalwert von Null vor. Die Indifferenz ist erreicht, wenn der Rückgang des Restverkaufserlöses R io eine Reduzierung des Kapitalwertes um 232,12 GE bewirkt: Co = 2 3 2 , 1 2 = R ' 1 0 * ( l + i ) - n

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: R',o = 232,12 * (I,10) 10 R',o = 2 3 2 , 1 2 * 2,5937 R'io = 602,05

Bei einer Reduzierung des Restverkaufserlöses um 602,05 GE resultiert daraus eine Reduzierung des Kapitalwertes in Höhe von 232,12 GE. Bei einem Restverkaufserlös von 10.000 - 602,05 = 9.397,95 GE ist der Kapitalwert der Investition Null und der Investor damit indifferent

112

Der Kapitalwert

zwischen der Sachinvestition und einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i = 0,10: C 0 = - Ao + d, * BWF (m;i) + d n * BWF (n„;i) * (l + i)~n' + R„ * (1 + i) n Co = -50.000 + 9.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) + 6.000 * BWF (n = 6; i = 0,10) * (1,10)^ + 9.397,94 * (1,10) 10 Co = - 5 0 . 0 0 0 + 9 . 0 0 0 * 3 , 1 6 9 9 + 6 . 0 0 0 * 4 , 3 5 5 3 * 0 , 6 8 3 0 + 9.397,95 * 0,3855 Co = - 5 0 . 0 0 0 + 2 8 . 5 2 9 , 1 0 + 1 7 . 8 4 8 , 0 2 + 3 . 6 2 2 , 9 1

Co = 0 d) Ausgehend von den Daten der Frage a) sei zusätzlich davon ausgegangen, daß am Ende der Nutzungsdauer eine Auszahlung in Höhe von A„ = 3.000 GE zur Entsorgung der Anlage notwendig ist. Wie hoch darf die Anschaffungsauszahlung A0 maximal sein, damit die Investition gerade noch vorteilhaft ist? Die Anschaffungsauszahlung wird anhand der bekannten Vorgehensweise zur Bestimmung des Kapitalwerts als kritische Größe berechnet: Co = - Ao + dr *BWF (nt;i) + d„*BWF (nn;i)* (1 + i)"n' - A„*(l + i)"n = 0 Dies ergibt bei den vorgegebenen Daten: 0 = - Ao + 9.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) + 6.000 * BWF (n = 6; i = 0,10) * (Ι,ΙΟ)"4 - 3.000 * (1,10) 10 0 = - Ao + 9 . 0 0 0 * 3 , 1 6 9 9 + 6 . 0 0 0 * 4 , 3 5 5 3 * 0 , 6 8 3 0 - 3 . 0 0 0 * 0 , 3 8 5 5 0 = - A o + 2 8 . 5 2 9 , 1 0 + 1 7 . 8 4 8 , 0 2 - 1.156,50 Ao = 4 5 . 2 2 0 , 6 2

Bei einer Anschaffungsauszahlung, die kleiner als Ao = 45.220,62 GE ist, ist die Investition noch vorteilhaft. Ein anderer Rechenweg fuhrt zur gleichen Lösung: Durch die zusätzliche Auszahlung für die Entsorgung der Anlage am Ende der Nutzungsdauer wird der in a) errechnete Kapitalwert C0a) um den auf to

Der Kapitalwert

113

abgezinsten Betrag der Entsorgungskosten reduziert. Bei unveränderter Anschaffungsauszahlung beträgt der Kapitalwert nach der Berücksichtigung der Auszahlung für die Entsorgung: n

Co = C 0 a ) - A„ * (1 + i)'

Co = - 3.622,88 - 3.000 * (1,10) 10 Co = - 3.622,88 - 3.000 * 0,3855 Co = - 4 . 7 7 9 . 3 8

Damit die Investition gerade noch vorteilhaft wird, muß die zum Zeitpunkt to bewertete Anschaffungsauszahlung Ao um den Betrag dieses negativen Kapitalwerts reduziert werden. Die Anschaffungsauszahlung darf unter den geänderten Bedingungen demnach maximal 50.000 - 4.779,38 = 45.220,62 GE betragen. Aufgabe 4.21 Wie beeinflussen die kritischen Größen die Höhe des Kapitalwerts? Die Berechnung kritischer Werte geschieht, indem die unbekannte Größe als Variable angesehen wird. Für die anderen Einflußgrößen gilt die ceteris-paribus-Bedingung. Es wird deijenige Wert der Variablen ermittelt, bei dem der Kapitalwert gleich Null ist. η Co = - Ao + ^ dt * (1 + i)"' + R„ * (1 + i)"n = 0 t=l Steigt der Kapitalwert mit zunehmender Größe der Variablen „Einzahlungen" bzw. „Restverkaufserlös", so zeigt der kritische Wert eine Untergrenze bzw. eine Mindestgröße zum Erlangen der Vorteilhaftigkeit an. Sinkt der Kapitalwert mit zunehmender Größe der Variablen „Anschaffungsauszahlung" bzw. „laufende Auszahlungen", so fungiert der kritische Wert als Obergrenze und gibt den Wert an, welcher von der Variablen nicht überschritten werden darf, wenn die Investition vorteilhaft sein soll.

114

Der Kapitalwert

Zusammenfassung zum 4. Kapitel

Das vierte Kapitel hat die engen Verbindungslinien zwischen dem Barwert-Prinzip und der Kapitalwert-Methode aufgezeigt. Damit ist der Kern der mehrperiodigen Investitionsrechnung erfaßt. Weitere Instrumente vervollständigen die Wirtschaftlichkeitsrechnung im engeren Sinne, sind aber im Prinzip aus der Kapitalwert-Methode ableitbar. Die wesentlichen Erkenntnisse aus der Darstellung der Kapitalwert-Methode lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1. Der Kapitalwert einer Investition wird durch die Differenz aus dem Barwert der Einzahlungen und dem Barwert der Auszahlungen der entsprechenden Investition bestimmt. Die Vorteilhafligkeit eines Investitionsobjekts ist damit ebenso wie der Barwert einer Zahlungsreihe vom Kalkulationszinssatz i und vom zeitlichen Anfall der verschiedenen Zahlungen sowie der Laufzeit der Investition abhängig. Analog zur Berechnung des Barwertes kann auch der Kapitalwert zu jedem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden. Die Kalkulationen zu den verschiedenen Zeitpunkten sind äquivalent, zwar ändert sich die Höhe des Kapitalwerts bei unterschiedlichen Bezugszeitpunlcten, die Vorteilhaftigkeit einer Investition wird aber vom zugrunde gelegten Bezugszeitpunkt nicht tangiert. Der Kapitalwert ist ein Kriterium der mehrperiodigen Investitionsrechnung und enthält nur zahlungswirksame Größen. Nicht zahlungswirksame Angaben werden nicht im Kalkül berücksichtigt. 2. Eine zentrale Größe im Rahmen der Kapitalwertberechnung ist der Ertragswert einer Investition. Der Ertragswert zeigt die gesamte Leistung einer Investition ohne Verrechnung der Anschaffungsauszahlung an und bewertet diese zum Zeitpunkt to. Da der Ertragswert unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen bestimmt wird, bedarf es weder bei einer Eigen- noch bei einer Fremdkapitalfinanzierung der expliziten Berücksichtigung von Zinsen. Mit dem Kalkulationszinssatz i werden je nach Datenlage Zinsauszahlungen für Fremdkapital bzw.

Der Kapitalwert

115

Zinszahlungen als Opportunitätskosten entgangener Zinseinzahlungen alternativ einsetzbaren Eigenkapitals in Rechnung gestellt. Bei einer Finanzierung mit Fremdkapital gibt der Ertragswert an, welcher Kapitalbetrag zum Kalkulationszinssatz i maximal aus der Leistung der Investition gedeckt werden kann. Ist der aufzunehmende Kapitalbetrag zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung größer als diese Leistungsfähigkeit der zu beurteilenden Investition, so sollte die Investition abgelehnt werden, da die Erfolge aus der Investition nicht ausreichen, um die Bedienung des Fremdkapitals inklusive Zinsen und Zinseszinsen zu erwirtschaften. Bei einer Anschaffungsauszahlung, die kleiner als der Ertragswert der Investition ist, reichen die Erfolge der Investition aus, um das Fremdkapital inklusive Zinsen und Zinseszinsen zu decken. Bei einer Finanzierung mit Eigenkapital kann der Ertragswert der Investition im Rahmen der Kapitalwert-Methode als der Betrag interpretiert werden, welcher im Rahmen einer alternativ möglichen Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i angelegt werden muß, um den mit der Investition realisierbaren Erfolg zu erwirtschaften. Ist jener alternativ anzulegende Betrag - ausgedrückt durch den Ertragswert - geringer als die bei der Sachinvestition notwendige Anschaffungsauszahlung, so kann der Erfolg im Rahmen einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i mit einem geringeren Kapitaleinsatz erwirtschaftet werden als mit der Sachinvestition. Vorteilhaft ist die Sachinvestition, wenn der bei einer Finanzinvestition alternativ anzulegende Betrag - in Höhe des Ertragswertes - größer ist als der bei der Sachinvestition notwendige Kapitaleinsatz zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung. 3. Das eigentliche Vorteilhaftigkeitskriterium der Kapitalwert-Methode beruht ebenfalls auf einem Vergleich der Sachinvestition mit einer grundsätzlich alternativ möglichen Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i. Ist der Kapitalwert einer Sachinvestition positiv, so bedarf es zu den vorgegebenen Bedingungen im Rahmen der Finanzinvestition eines höheren Kapitaleinsatzes als bei der Sachinvestition, um den durch die Sachinvestition vorgegebenen Erfolg zu erzielen. Es läßt sich die bei

116

Der Kapitalwert

der Sachinvestition notwendige Anschaflungsauszahlung vergleichen mit dem Kapitaleinsatz einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i, wenn beide zum gleichen Erfolg fuhren. Bei einem positiven (negativen) Kapitalwert ist der bei der Sachinvestition notwendige Kapitaleinsatz geringer (höher) als bei der alternativ zur Verfugung stehenden Finanzinvestition zum herrschenden Kalkulationszinssatz i. Indifferenz liegt vor, sofern die notwendigen Kapitaleinsätze identisch sind. Durch diese implizite Berücksichtigung einer alternativ möglichen Finanzinvestition am Kapitalmarkt beinhaltet die Kapitalwert-Methode grundsätzlich einen Alternativenvergleich. Somit läßt sich auch eine einzelne Sachinvestition hinsichtlich ihrer Vorteilhafligkeit beurteilen. Damit ist die Vorteilhaftigkeit einer Sachinvestition nicht nur von den endogenen Daten abhängig, sondern auch von der Situation am Kapitalmarkt. 4. Der Fall der Rente und der der ewigen Rente vereinfachen die Anwendung der Kapitalwert-Formel erheblich. Diese spezifischen Konstellationen sind für die betriebswirtschaftliche Praxis durchaus nicht unbedeutend. Bei Verwendung des Barwertfaktors im Rahmen der Rente sei daran gedacht, daß sich der Barwertfaktor grundsätzlich an der Laufzeit der Rente und nicht an der Laufzeit der zugrunde liegenden Investition orientiert. Weicht die Laufzeit einer Rente von der Laufzeit der entsprechenden Investition ab, so ist diese Abweichung explizit zu berücksichtigen.

Der Kapitalwert

117

Literaturempfehlungen zum 4. Kapitel

Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 116 - 120. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3. Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 43 - 50. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 71-93. Grob, H.L., Einfuhrung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999. Kruschwitz, L., Investitionsrechnung, 8. Aufl., München 2000, S. 56 - 85. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 163 - 197. Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 128- 138. Troßmann, E., Investition, Stuttgart 1998, S. 43 - 51.

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

119

Kapitel 5

DIE ANNUITÄT, DER INTERNE ZINSFUSS UND DIE PAYOFF-PERIODE ALS WEITERE VORTEILHAFTIGKEITSKRITERIEN IM RAHMEN DER MEHRPERIODIGEN INVESTITIONSRECHNUNG

Das fünfte Kapitel stellt die neben der Kapitalwert-Methode etablierten Verfahren der mehrperiodigen Investitionsrechnung vor. Sämtliche Beurteilungskriterien sind mehr oder weniger eng mit der Kapitalwert-Methode verwandt. Es wird mit Zinsen und Zinseszinsen gerechnet, alle Zahlungen erscheinen im Kalkül, Zahlungen finden annahmegemäß einmal pro Periode und zwar am jeweiligen Periodenende statt und die exogenen Daten des Kapitalmarktes sind eine ubiquitäre Größe. Die Darstellung der Instrumente erfolgt ebenso wie bei der Kapitalwert-Methode anhand der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Sachinvestition und enthält im wesentlichen die folgenden Aspekte: 1. Das mit der Kapitalwert-Methode am engsten verbundene Verfahren ist die Annuitäten-Methode. Im Rahmen der Verwendung der AnnuitätenMethode sind diverse Begriffe und Definitionen von Bedeutung, die es zu klären gilt. Darüber hinaus wird die Frage zu beantworten sein, ob bzw. unter welchen Bedingungen die Annuitäten-Methode einen zusätzlichen Nutzen im Vergleich zur Kapitalwert-Methode bieten kann. 2. Als dritte Methode der mehrperiodigen Investitionsrechnung wird die Methode des internen Zinsfußes erläutert. Die Berechnung des internen Zinsfußes ist je nach Datenlage entweder recht simpel oder aber mit erheblichen mathematischen Schwierigkeiten verbunden. Dementsprechend gilt es die Frage zu klären, in welchen Fällen eine Lösung anzustreben und zielführend ist. Ein weiterer wichtiger Aspekt der Methode des internen Zinsfußes ist die Interpretation der errechneten internen Zinsfüße.

120

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

3. Zur vollständigen Darstellung der Instrumente der Wirtschaftlichkeitsrechnung im engeren Sinne bedarf es schließlich einer Erörterung der sogenannten Pay-off-Periode. Neben einer Beschreibung der Anwendung dieser Methode wird insbesondere zu erläutern sein, welchen zusätzlichen Beitrag die Pay-ofF-Periode bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer Investition neben den zuvor kennengelernten Instrumenten zu leisten vermag. Zum Zwecke einer besseren Überschaubarkeit wird das fünfte Kapitel in drei Abschnitte gegliedert, wobei jeder Abschnitt einem der drei gerade angesprochenen Instrumente zugeordnet ist.

Die exakte Annuitäten-Methode

121

Α. Die Annuitäten-Methode 1. Die exakte Annuitäten-Methode

Aufgabe 5.1 Was versteht man unter dem Kapitalwert und der KapitalwertAnnuität und wie lassen sich diese Größen ermitteln? Der Kapitalwert einer Investition Der Kapitalwert Co einer Investition wird in aller Regel auf den Zeitpunkt to bezogen. Er bildet die Differenz zwischen dem Barwert der Einzahlungen und dem Barwert der Auszahlungen der Investition. Eine andere Möglichkeit, den Kapitalwert zu errechnen, besteht darin, die Differenz aus dem Ertragswert und der Anschaffungsauszahlung einer Investition zu bestimmen (vgl. dazu Aufgabe 4.3). Der Ertragswert repräsentiert die gesamten Einzahlungsüberschüsse der Investition zum Zeitpunkt to. Das geschieht, indem sämtliche Zahlungen während der Nutzungsdauer der Investition unter Verwendung des Kalkulationszinssatzes i auf den gemeinsamen Bezugspunkt to diskontiert werden. Beim Ertragswert bleibt die Anschafiungsauszahlung unberücksichtigt. Diese bereits zum Zeitpunkt to bewertete Zahlung Ao wird vielmehr dem Ertragswert gegenübergestellt. Der Vergleich von Ertragswert und Anschaffungsauszahlung beantwortet die Frage, ob die Investition beim angenommenen Kalkulationszinssatz i aus der Sicht des Zeitpunktes to einen Wert generiert, der höher ist als die in to zu leistende Anschaffungsauszahlung. Beide Rechenwege fuhren zum gleichen Ergebnis. Eine einzelne Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist: C0 > 0. Die oben beschriebenen prinzipiellen Vorgehensweisen können im wesentlichen in drei Fällen Anwendung finden. 1. Der Kapitalwert wird fur eine diskontinuierliche Zahlungsreihe ermittelt: η Co = - A o + 2 > * ( 1 + ί ) - ^ * ( 1 + 0 " η t=l

Die exakte Annuitäten-Methode

122

2. Der Kapitalwert lautet im Fall einer Rente: Co = - Ao + d *

U

J i * ( l + i)

+Rn*(l+i)n

Co = - Ao + d * BWF (n;i) + Κ * (1 + i)"

3. Bei einer ewigen Rente ergibt sich der Kapitalwert wie folgt: C 0 = - Ao + —

ι

Die drei Formeln basieren auf den gleichen Prinzipien, wobei die zweite und die dritte Formel rechnerische Vereinfachungen darstellen, welche auf die genannten Voraussetzungen (Rente/ewige Rente) zurückzuführen sind. Die Kapitalwert-Annuität

einer

Investition

Die Annuitäten-Methode ist der Kapitalwert-Methode verwandt. Im Rahmen der Annuitäten-Methode wird der Kapitalwert einer Investition periodisiert: Der Kapitalwert wird unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen gleichmäßig auf die Nutzungsdauer der Investition verteilt. Der mit der Kapitalwert-Methode berechnete Erfolg der Investition wird also bei der Annuitäten-Methode in einen in jeder Periode der Nutzungsdauer der Investition gleich hohen Betrag d transformiert. Die Höhe des Betrages d , der jeder einzelnen Periode zugerechnet wird, bestimmt sich anhand der Feststellung, daß der Investor indifferent sein muß gegenüber den folgenden Möglichkeiten: a) entweder den betreffenden Gesamtbetrag (Kapitalwert) in einem einzigen Betrag zu Beginn der Investition (in to) ausgezahlt zu bekommen oder b) am Ende jeder einzelnen Periode während der Investitionslaufzeit den gesuchten Betrag d zu erhalten. In beiden Fällen muß der Investor also wirtschaftlich gleichgestellt sein.

Die exakte Annuitäten-Methode

123

Es gilt daher die folgende Beziehung zwischen dem Kapitalwert C0 und der Kapitalwert-Annuität d , für die häufig der Ausdruck „Annuität" verwendet wird: Co = d * BWF (n;i) bzw.: d = Co * WGF (n;i) Das Vorteilhaftigkeitskriterium der Annuitäten-Methode muß offensichtlich analog zu dem der Kapitalwert-Methode lauten: Wenn C 0 > 0 => Co * WGF (n;i) = d > 0 => Sachinvestition vorteilhaft; Co < 0 => Co * WGF (n;i) = d < 0 => Sachinvestition nicht vorteilhaft; C 0 = 0 => Co * WGF (n;i) = d = 0 => Indifferenz zwischen Sachinvestition und Finanzinvestition. Die Kapitalwert-Annuität läßt sich nicht nur über den Kapitalwert berechnen. Ein alternativer Rechenweg zeigt erneut die enge Verwandtschaft zwischen Kapitalwert- und Annuitäten-Methode. Ausgangspunkt der Erörterungen sei die Berechnung des Kapitalwerts über die Differenz aus dem Barwert der Einzahlungen C Eo und dem Barwert der Auszahlungen C Ao einer Investition:

c0=cEo-cAo Multipliziert man die Gleichung mit dem Wiedergewinnungsfaktor WGF (n;i), so ergibt sich: C 0 * WGF (n;i) =C E o * WGF (n;i) - C A o * WGF (n;i) Die einzelnen Produkte lassen sich wie folgt formulieren: d = e-a Dabei steht d für die Kapitalwert-Annuität, e für die EinzahlungsAnnuität und a für die Auszahlungs-Annuität der Investition. Ebenso wie die Kapitalwert-Annuität eine Periodisierung des Kapitalwertes unter

124

Die exakte Annuitäten-Methode

Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen darstellt, handelt es sich bei der Einzahlungs-Annuität um eine gleichmäßige Verteilung sämtlicher Einzahlungen und bei der Auszahlungs-Annuität um eine gleichmäßige Verteilung sämtlicher Auszahlungen über die Nutzungsdauer der Investition, jeweils unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen. Die Kapitalwert-Annuität kann also auch berechnet werden, indem der Barwert der Einzahlungen sowie der Barwert der Auszahlungen einer Investition bestimmt werden, beide Größen mit dem Wiedergewinnungsfaktor in Abhängigkeit von der Laufzeit der Investition η und dem Kalkulationszinssatz i multipliziert werden und die Differenz der Produkte gebildet wird. d =C E o * WGF (n;i) - C A o * WGF (n;i) Für die Kapitalwert-Annuität ergibt sich daher die folgende Bestimmungsgleichung: d = C 0 * WGF(n;i)= e - ä Beide Rechenwege führen zum gleichen Ergebnis. Zudem kommen sowohl die Kapitalwert- als auch die Annuitäten-Methode immer zu einer übereinstimmenden Einschätzung bezüglich der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition. Die Kapitalwert-Annuität sollte dann berechnet werden, wenn sie einfacher zu ermitteln ist als der Kapitalwert. Liegen die Einzahlungen und/oder die Auszahlungen als konstante Zahlungen vor, so ist die Berechnung der Kapitalwert-Annuität besonders einfach. Aufgabe 5.2 Wie groß ist die Einzahlungs-Annuität einer Investition, wenn die folgenden effektiven Zahlungen zu erwarten sind und ein Kalkulationszinssatz von i = 0,10 anzusetzen ist? e, = 4.000 GE

e2 = 2.500 GE

e 4 = 2.000 GE

e s = 3.500 GE

e3 = 3.000 GE

Die exakte Annuitäten-Methode

125

Die Beantwortung der Frage erfolgt in zwei aufeinander aufbauenden Schritten. Zunächst ist der Barwert der Einzahlungen C Eo zum Zeitpunkt to zu bestimmen: c

E o

=i>a+i)-< t=l

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: C Eo = 4.000 * (1,10)-' + 2.500 * (1,10)"2 + 3.000 * (1,10) 3 + 2.000 * (1.10)·4 + 3.500 * (1,10)"5 C Eo = 4.000 * 0,9091 + 2.500 * 0,8264 + 3.000 * 0,7513 + 2.000 * 0,6830 + 3.500 * 0,6209 C E o = 11.495,45 Um die jährliche Einzahlungs-Annuität zu bestimmen, ist der Barwert der Einzahlungen mit dem Wiedergewinnungsfaktor für η = 5 und i = 0,10 zu multiplizieren: ;=c

EE *

°

" · ( ι + |n) " (l + i ) - l

e = 11.495,45 * WGF (n = 5; i = 0,10) e = 11.495,45 * 0,2638 e = 3.032,50 Die Einzahlungs-Annuität beträgt e = 3.032,50 GE. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 ist ein Investor indifferent zwischen den oben genannten effektiven Zahlungen und der berechneten Annuität. Aufgabe 5.3 Eine Investition führt zu gleichen periodischen Einzahlungen, so daß diese konstanten Einzahlungen je Periode gleich der EinzahlungsAnnuität e sind. Für die Berechnung der Auszahlungs-Annuität stehen folgende Informationen zur Verfügung:

126

Die exakte Annuitäten-Methode

Die laufenden Auszahlungen sind in jeder Periode gleich und betragen a = 4.000 GE. Die AnschafTungsauszahlung beträgt A0 = 20.000 GE. Der Investor rechnet mit einer Nutzungsdauer von η = 5 Perioden und einem Kalkulationszinssatz von i = 0,05. Wie hoch muß die Einzahlungs-Annuität mindestens sein, damit die Investition nach der Annuitäten-Methode vorteilhaft ist? Die Investition ist vorteilhaft, wenn gilt: d = e-a

>0

Die Auszahlungs-Annuität a läßt sich wie folgt ermitteln: i * (1 + i)n a = a +Ao * — — (l + i)n - 1 Bei den gegebenen Daten folgt daraus: ä = 4.000 + 20.000 * WGF (n = 5; i = 0,05) ä =4.000 + 20.000 * 0,2310 ä = 4.000 + 4.620 ä = 8.620

Die Investition ist somit vorteilhaft, wenn die konstanten periodischen Einzahlungen e größer sind als die Auszahlungs-Annuität a = 8.620 GE. Aufgabe 5.4 Eine Investition führt zu einer Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 500 GE. Die Nutzungsdauer beträgt η = 9 Jahre, der Kalkulationszinssatz i = 0,10 und der am Ende einer jeden Periode anfallende Einzahlungsüberschuß beläuft sich auf d = 80 GE. Ist die Investition nach der Annuitäten-Methode vorteilhaft? Nach der Kapitalwert-Methode läßt sich die Vorteilhaftigkeit anhand der folgenden Formel bestimmen:

Die exakte Annuitäten-Methode

127

Co = - A + d * 0 + i * ( l + i)n Für die Kapitalwert-Annuität gilt dementsprechend: d =C0*

i *(l + i)n (l + i) n - 1

Unter expliziter Verwendung der Kapitalwertformel bedeutet das für die Ermittlung der Kapitalwert-Annuität: j - e A . + d . ? ^ . - n 1 ) . ' · 0 n^ i * ( l + i) (l + i) - 1 Daraus folgt: d = - Ap * i * ( l + i ) " (l + i)n - 1

+ d

,(l + i)n-l, i * (1 + i)n

i * d + i) (1 + i)n - 1

d = - Ao * WGF (n;i) + d *BWF (n;i) * WGF (n;i) Da der Wiedergewinnungsfaktor der Kehrwert des Barwertfaktors ist, läßt sich vereinfacht schreiben: d =-Ap* 0+0"-i Es ist also lediglich die Anschaffungsauszahlung Ao = 500 GE auf einen für η = 9 Jahre gleich hohen wertäquivalenten Betrag umzurechnen. Dieser Betrag ist zum Einzahlungsüberschuß d = 80 GE zu addieren: d = - 500 * WGF (n = 9; i = 0,10) + 80 d = - 5 0 0 * 0 , 1 7 3 6 + 80 d = - 86,80 + 80 d = - 6,80 < 0 Da die Kapitalwert-Annuität negativ ist, ist die Investition unvorteilhaft.

Die exakte Annuitäten-Methode

128

Aufgabe 5.5 Wie werden bei der Berechnung der Annuität auf einem vollkommenen Kapitalmarkt implizit Zinsen berücksichtigt? Zur Beantwortung der Frage sei von einer Investition ausgegangen, die mit einer Anschaffungsauszahlung Ao beginnt und im weiteren Verlauf der Nutzungsdauer nur eine jährlich konstante Einzahlung e aufweist. Bei einem Kalkulationszinssatz von i errechnet sich die Annuität wie folgt: d = e- a Da die jährlichen Einzahlungen hier konstant sind und ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt ist, gilt: e =e Darüber hinaus ist: a = KD = Ao *

v

;

(l + i ) n - l

= Ao * WGF (n;i)

Der Term Ao * WGF (n;i) wird als Kapitaldienst KD bezeichnet. Er gibt an, wieviel der Investor bei Fremdfinanzierung jedes Jahr an Tilgung und Zinsen zu leisten hat, um die finanzierte Investitionssumme Ao im Laufe der Nutzungsdauer der Investition durch konstante Zahlungen an den Geldgeber zurückzuzahlen. Die folgende Termumformung erläutert diese Aussage, indem die Zahlungen für Zinsen und Tilgung deutlich hervorgehoben werden: KD = Ao*

KD = Ao *

i *(l + i) n (1 + i)n - 1 i * ( l + i)" - i + i (l + i) n - 1

(l + i) n - 1

Die exakte Annuitäten-Methode

KD = Ao *

129

i*[(l+i) n - l ] i n + (l + i) - 1 (l + i)n - 1

KD = Ao * i +

(l + i)n - 1

KD = A o * i + A o *

(l + i)n - 1

Der Ausdruck Ao * i repräsentiert die Zinsen auf die Anschaffungsauszahlung, der zweite Summand ergibt sich aus dem Produkt von Ao sowie dem Tilgungsfaktor (TF) und entspricht daher der - für Ao - zu leistenden jährlichen Tilgung. Wird die Investitionssumme aus eigenen Mitteln finanziert, so gibt der Kapitaldienst an, welchen konstanten Betrag die Investition jedes Jahr zu erbringen hat, damit dessen verzinsliche Anlage zur Wiedergewinnung und Verzinsung der eigenfinanzierten Investitionssumme Ao führt. Die implizite Berücksichtigung von Zinsen im Rahmen der Berechnung einer Kapitalwert-Annuität erfolgt bei einem vollkommenen Kapitalmarkt durch die Periodisierung von Zahlungen unter Verwendung des Kalkulationszinssatzes i. Dabei ist es aufgrund der für den vollkommenen Kapitalmarkt charakteristischen Identität von Soll- und Haben-Zinssatz gleichgültig, ob die Investitionssumme durch Eigen- oder Fremdkapital finanziert wird.

130

Die approximative Annuitäten-Methode

2. Die approximative Berechnung der Annuität

Aufgabe 5.6 Eine Investition verursacht eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A0 = 60.000 GE. Die Nutzungsdauer des zu finanzierenden Projekts beträgt η = 4 Jahre, der Kalkulationszinssatz ist i = 0,06. a) Bestimmen Sie den Kapitaldienst bei exakter Berechnung! Zur Berechnung des Kapitaldienstes ist die Anschaffungsauszahlung annuitätisch über die Laufzeit des zu finanzierenden Projekts zu verteilen, indem sie in vier nachschüssig gerechnete Periodenbeträge transformiert wird. Die Auszahlungs-Annuität a entspricht hier dem Kapitaldienst KD und errechnet sich wie folgt: ~a = ™ a * i*(l + i)n KD = Ao (1 + i)n - 1 Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: KD = 60.000 * WGF (n = 4; i = 0,06) KD = 60.000 * 0,2886 KD = 17.316 Der errechnete Kapitaldienst verteilt sich wie folgt (vgl. Tabelle auf der nächsten Seite) auf seine beiden Komponenten Zinszahlungen und Tilgungsleistung. Die Werte sind auf ganze Zahlen gerundet, die Differenz zwischen der Kapitalbindung im Zeitpunkt t3 und der Tilgung im Zeitpunkt t4 in Höhe von 2 GE ist damit erklärt. Der Rechenweg ist wie folgt nachzuvollziehen: Ein Kapitalbedarf in to bewirkt Zinszahlungen in ti in Höhe von 60.000 * 0,06 = 3.600 GE. Bei einer gegebenen Annuität von 17.316 GE verbleiben dann in ti noch 17.316 - 3.600 = 13.716 GE für Tilgungsleistungen. Diese Tilgung reduziert die weitere Kapitalbindung. Bei konstantem Kapitaldienst nehmen die Zinszahlungen von Periode zu Periode ab und die Tilgungsleistungen zu.

Die approximative Annuitäten-Methode

Zeitpunkt

Kapitalbindung am Ende der Periode

Dl

Kapitaldienst

Zinszahlung

Tilgung

-

-

-

to

60.000

tl

46.284

17.316

3.600

13.716

t2

31.745

17.316

2.777

14.539

t3

16.334

17.316

1.905

15.411

17.316

980

16.336

U

-

b) Bestimmen Sie den Kapitaldienst bei approximativer Berechnung! Bei der approximativen Annuitäten-Methode wird von einfachen Zinsen ausgegangen und diese werden auf Durchschnittswerte bezogen. Anstatt mit Hilfe des Wiedergewinnungsfaktors ermittelt man die jährliche Tilgungsleistung und Zinszahlung iur die Perioden der Nutzungsdauer des Investitionsobjektes wie folgt: Jeder Periode werden gleiche Abschreibungsbeträge (lineare Abschreibung), die jährlich zur Tilgung (Wiedergewinnung) des Fremdkapitals (Eigenkapitals) aufgebracht werden müssen, sowie durchschnittliche Zinskosten zugerechnet. Ao, Rt

132

Die approximative Annuitäten-Methode

Die vorstehende Graphik enthält die vereinfachte Annahme, daß die Abschreibungen unendlich oft im Sinne von permanent (und nicht 1-mal am jeweiligen Ende der Periode) anfallen und daß der jeweilige Restbuchwert RBWt identisch ist mit dem Restverkaufserlös R,. Unter den genannten Bedingungen ergibt sich der dargestellte Verlauf des Restbuchwertes (= Restverkaufserlös Rt). Die durchschnittlichen Abschreibungen pro Periode Α belaufen sich dementsprechend auf: X_A0-Rn η Dies ist der approximative jährliche Tilgungs- bzw. Wiedergewinnungsbetrag. Im Durchschnitt ist während der Nutzungsdauer ein Kapitalbetrag KB in Höhe von 2 gebunden. Auf diesen Durchschnittswert werden die Zinsen Ζ berechnet:

Der approximative Kapitaldienst resultiert aus der Summe von Zinsen und Tilgung. Die Zinsen werden auf das durchschnittlich gebundene Kapital bezogen, die Tilgung entspricht annahmegemäß den Abschreibungsgegenwerten. Für den approximativen Kapitaldienst bedeutet das: Approximativer KD = Zinsen auf das durchschnittlich gebundene Kapital + durchschnittliche Abschreibungen. KD,approx

η 2

η

Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: approx

2

4

133

Die approximative Annuitäten-Methode

KDjpprox = 30.000 * 0,06 + 15.000 KDapprox = 16.800 Dieser Kapitaldienst verteilt sich wie folgt auf Zinsen und Tilgung bzw. auf Zinsen und Abschreibungen: Zeitpunkt

Kapitalbindung

Kapitaldienst

Zinskosten

Tilgung/ Abschreibung

-

-

-

to

60.000

tl

45.000

16.800

1.800

15.000

t2

30.000

16.800

1.800

15.000

t3

15.000

16.800

1.800

15.000

16.800

1.800

15.000

t.

-

Die Tabelle zeigt die prinzipiellen Unterschiede zur exakten Berechnung. Die approximative Kalkulation basiert auf Durchschnittswerten und rechnet mit Kosten, während die exakte (mehrperiodige) Kalkulation mit tatsächlich anfallenden Zahlungen operiert. Der approximative Kapitaldienst ist geringer als der exakte, da die approximative Berechnung nur einfache Zinsen und keine Zinseszinsen berücksichtigt. An dieser Stelle sei der Hinweis hinzugefugt, daß sich die approximative Auszahlungs-Annuität - sie sei dann mit a^p™ bezeichnet - ergibt, indem die laufenden Auszahlungen a zum approximativen Kapitaldienst hinzuaddiert werden: A0+Rn ä approx — a +

. A0-Rn * lH

Aufgabe 5.7 Bestimmen Sie für die Daten der Aufgabe 5.6 den approximativen Kapitaldienst, wenn die Abschreibungen nicht unendlich oft, sondern linear am Ende einer jeden Periode anfallen!

134

Die approximative Annuitäten-Methode

Bei einer linearen Abschreibung am Periodenende ergibt sich der folgende Verlauf des Restbuchwertes bzw. des Restverkaufserlöses: A o , Rt

+ ti

t2

t3

t

L,

Die Graphik zeigt den Verlauf einer Treppenfunktion. Die Breite einer A Stufe entspricht einer Periode, die Höhe jeder Stufe beträgt — - . Jede η Stufe hat die gleiche Breite und die gleiche Höhe. Bei Abschreibung jeweils am Periodenende beträgt die durchschnittliche Abschreibung pro Periode Α demnach:

η Bei diesem Verlauf der Abschreibungen beläuft sich der im Durchschnitt gebundene Kapitalbetrag K B auf:

K B = —— Daraus folgt:

Die approximative Annuitäten-Methode

ΚΒ

=

135

Αο.·£±Ι 2 η

Dabei geht der Ausdruck

n+1

für η -> oo gegen 1.

Die Zinsen Ζ auf das bei einer Abschreibung am Periodenende durchschnittlich gebundene Kapital betragen dementsprechend:

%

A0 +

η · A0 n + 1 . — *i = ——* *ι

Ζ=

Bei einer Abschreibung am Periodenende ergibt sich der näherungsweise ermittelte Kapitaldienst K D approx wie folgt: _ An K D a'approx. o o r o x . — ~—~~ " ~t η

An n + 1 ~~ * ———— * 2

ί

Unter Verwendung der in Aufgabe 5.6 gegebenen Daten folgt daraus: =

60.000

K D approx =

60.000 5 +

4

* —+ 0,06

2

KDapprox.

=15.000 + 2.250

K D approx.

=17.250

4

Unterstellt man wie im Teil b der Aufgabe 5.6, daß die Abschreibungsgegenwerte zur Tilgung bzw. Wiedergewinnung verwendet werden, so sind die Zinskosten bei linearer Abschreibung am Periodenende (im Zahlenbeispiel: 2.250 GE) höher als bei unendlich häufiger Abschreibung (Zinskosten: 1.800 GE). Diese Tatsache ist darin begründet, daß die durchschnittliche Kapitalbindung im Falle der Abschreibung am Periodenende höher ist als die bei unendlich häufiger Abschreibung. n+1 Für besonders lange Laufzeiten (n —> oo) konvergiert der Faktor η gegen 1. Die Ergebnisse bei einer Abschreibung am Periodenende entsprechen dann denen bei einer unendlich häufigen Abschreibung.

136

Die approximative Annuitäten-Methode

Die folgende Graphik verdeutlicht die vorhergehenden Ausführungen: Ao, Rt

Ao.

T t2

ι t3

Die Graphik enthält den Verlauf des Restbuchwertes/Restverkaufserlöses bei unendlich häufiger Abschreibung (gestrichelter Verlauf) und bei einer Abschreibung am Periodenende (Treppenfunktion). Zunächst ist offensichtlich, daß das gebundene Kapital bei unendlich häufiger Abschreibung grundsätzlich geringer ist als bei einer Abschreibung am Periodenende. Dem entspricht die oben gemachte Feststellung, daß die Zinsen bei unendlich häufiger Abschreibung geringer sind als bei einer Abschreibung am Periodenende. Darüber hinaus zeigt die Graphik die Annäherung einer am Periodenende stattfindenden Abschreibung an eine unendlich häufige Abschreibung bei η —> oo. Die Treppenstufen werden bei η —> oo unendlich klein (und nahem sich dem gestrichelten Verlauf). Aufgabe 5.8 Wie vereinfacht sich die Formel für die approximative AuszahlungsAnnuität a appro» wenn in t„ kein Restverkaufserlös anfällt und die Abschreibung unendlich häufig im Sinne von permanent erfolgt?

Die approximative Annuitäten-Methode

137

Die folgende Graphik verdeutlicht den gegebenen Fall der unendlich häufigen Abschreibung:

Bei R„ = 0 lautet die approximative Auszahlungs-Annuität aapprox: ä approx = a +

Aq A 0 1" —— * 1 η 2

Die Summe der Abschreibungen ist bei R„ = 0 höher und die Zinsen sind niedriger als im Falle eines Restverkaufserlöses. Das verdeutlicht die folgende Graphik. Ao,Rt Legende — - Kapitalbindung ohne Restverkaufserlös — — Kapitalbindung mit Restverkaufserlös durchschnittliche Kapitalbindung ohne Restverkaufserlös durchschnittliche Kapitalbindung mit Restverkaufserlös

138

Die approximative Annuitäten-Methode

Die Graphik enthält einen Verlauf der Kapitalbindung und der durchschnittlichen Kapitalbindung mit Restverkaufserlös (gestrichelt) und ohne. Ohne Restverkaufserlös nimmt der Wert des Anlagegegenstandes schneller ab und die Abschreibungen sind daher höher. Ohne Restverkaufserlös ist aber auch die durchschnittliche Kapitalbindung niedriger: Höhere Abschreibungen fuhren zu höheren Abschreibungsgegenwerten. Da beim Verlauf ohne Restverkaufserlös die durchschnittliche Kapitalbindung geringer ist, resultieren daraus geringere Zinsen. Aufgabe 5.9 Bestimmen Sie für die Daten der Aufgabe 5.3 die Höhe der notwendigen jährlichen Einzahlungen, wenn unterstellt wird, daß die Auszahlungs-Annuität approximativ zu ermitteln ist. Es sei davon ausgegann -f-1 gen, daß der Faktor vernachlässigt werden kann und kein Restn verkaufseriös anfallt! Die Formel für die approximative Auszahlungs-Annuität lautet: α approx— αrt '+A n Λ

— 0

R„ "^ IA 0 0+ R„ n t i 1 *1

"n

2

Bei den gegebenen Daten reduziert sich die Formel zu: ä approx = a +

Aq η

A0 1 —*1 2

Für die gegebenen Daten folgt daraus: ΛΛΛ _+L 2 0 a approx = Λ4.000

000

5

20 000

+

2

Λ* *Λ0,05

a approx = 4.000 + 4.000 + 500 a approx = 8.500 Die Investition ist nach der approximativen Annuitäten-Methode vorteilhaft, wenn gilt: d approx = β - a approx > 0 bzW.:

Die approximative Annuitäten-Methode

C >

139

ä approx

e > 8.500 Die Investition ist bei Anwendung der approximativen Annuität vorteilhaft, wenn die konstanten jährlichen Einzahlungen e größer sind als die approximative Auszahlungs-Annuität a »pprox = 8.500 GE. Bei exakter Ermittlung der Auszahlungs-Annuität (vgl. dazu Aufgabe 5.3) ergab sich ein Wert von 8.620 GE. Dieser Wert ist gegenüber der Approximation größer, da nicht mit einfachen Zinsen, sondern mit Zinseszinsen gerechnet wurde und diese sich auf das jeweils gebundene Kapital beziehen. Aufgabe 5.10 Für eine Sachinvestition, die einen Kapitaleinsatz in Höhe von Ao = 10.000 GE erfordert, wird ein konstanter jährlicher Einzahlungsüberschuß in Höhe von d = 4.010 GE für die Nutzungsdauer von η = 3 Jahren prognostiziert. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. Die mit der Investition verbundenen Zahlungen erfolgen am jeweiligen Periodenende. a) Berechnen Sie den exakten Kapitaldienst der Sachinvestition und zeigen Sie, wie sich die einzelnen Komponenten dieser Größe im Zeitablauf entwickeln! Der Kapitaldienst resultiert aus einer Periodisierung des zur Finanzierung der Sachinvestition notwendigen Kapitalbetrags Ao: i * 1(1 + i)n KD = Ao * ' (l + i) n - 1 Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: KD = 10.000 * WGF (n = 3; i = 0,10) KD = 10.000 * 0,4021 KD = 4.021

140

Die approximative Annuitäten-Methode

Kapitalbedarf, Kapitaldienst, Zinszahlung und Tilgung verhalten sich im Zeitablauf wie in der folgenden Tabelle dargestellt. Dabei sind die Werte auf ganze Zahlen gerundet. Kapitalbedarf am Ende der Periode

Zeitpunkt

Kapitaldienst

Zinszahlung

Tilgung

-

-

-

to

10.000

t.

6.979

4.021

1.000

3.021

t2

3.656

4.021

698

3.323

4.021

366

3.655

t3

-

Die Sachinvestition verursacht einen Kapitaldienst in Höhe von KD = 4.021 GE. Dieser Wert ist von Daten der Sachinvestition (Anschaffungsauszahlung, Nutzungsdauer) und von Einflußfaktoren determiniert, die nicht zwingend unmittelbar mit der Sachinvestition verbunden sind (Kalkulationszinssatz). b) Berechnen Sie den approximativen Kapitaldienst unter der Annahme, daß nur einfache Zinsen berücksichtigt werden und die linearen Abschreibungen jeweils am Ende einer jeden Periode erfolgen! Bei einer geringen Nutzungsdauer, hier η = 3 Jahre, ist im Durchschnitt Kapital in folgender Höhe gebunden: A0

A

-

KB =

+

Α

n

, |

n_ = ^ 0 - * £ ± i 2 2 η

Die Zinsen auf das im Durchschnitt gebundene Kapital betragen somit:

= Ζ=

A0

η . A0 n + 1 . — * 1 : —iL* *( 2

2

η

Die durchschnittlichen Abschreibungen belaufen sich auf:

Die approximative Annuitäten-Methode

141

η Für den näherungsweise zu ermittelnden Kapitaldienst ergibt sich daraus: An A n n + 1 KDapprox 'approx —' = - ± + - < U — *i η 2 η Bei den gegebenen Daten ergibt sich die folgende Rechnung: = 10.000 10.000 3 + 1 A 1 A KDapprox = + * *0,10 3

2

3

KDapprox. =3.333,33 + 666,66 KDapprox = 4.000 Zinszahlung und Tilgung sind bei der approximativen Rechnung in jeder Periode konstant. c) Berechnen Sie für die Sachinvestition die Vorteilhaftigkeit nach der exakten und nach der approximativen Annuitäten-Methode, gehen Sie dabei von den Daten der Aufgabenstellungen a) und b) aus! Die exakte Kapitalwert-Annuität errechnet sich wie folgt: d = e-a Bei den Daten der Aufgabenstellung a) bedeutet das: d = d-KD Daraus folgt: d =4.010-4.021 d = - 11 < 0 Die Kapitalwert-Annuität ist negativ, die Investition ist bei Anwendung der exakten Annuitäten-Methode daher nicht vorteilhaft. Im Falle der approximativen Berechnung ergibt sich die Vorteilhaftigkeit, wenn gilt: d approx

C ~ Ε approx ^ 0

Die approximative Annuitäten-Methode

142

Da die laufenden Auszahlungen im Einzahlungsüberschuß enthalten sind, lautet die Bestimmungsgleichung für die approximative KapitalwertAnnuität in Anlehnung an die Aufgabenstellung b) wie folgt: d approx d — K D approx Die Investition ist also vorteilhaft, wenn gilt: d approx

d

K D approx

0

Bei den gegebenen Daten bedeutet das: d

approx

= 4.010-4.000

d approx = 10 > 0 Die approximativ ermittelte Kapitalwert-Annuität ist positiv, die Investition wäre bei dieser Kalkulation vorteilhaft. d) Interpretieren Sie den (exakten) Kapitaldienst in Abhängigkeit von der Frage, ob die Sachinvestition mit Eigen- oder mit Fremdkapital zu finanzieren ist! Bei einer Fremdfinanzierung gibt der Kapitaldienst an, welche Zins- und Tilgungsbelastungen die entsprechende Investition jedes Jahr der Nutzungsdauer im Durchschnitt verursacht. Damit der hier notwendige Kapitaleinsatz in Höhe von 10.000 GE bei einem Zinssatz von i = 0,10 nach η = 3 Jahren vollständig verzinst und getilgt ist, muß die Investition eine Annuität - also eine über die Perioden der Nutzungsdauer konstante Zahlung - in Höhe von 4.021 GE erwirtschaften. Bei einer Finanzierung mit Eigenkapital zeigt der Kapitaldienst an, welche Leistung die Sachinvestition jedes Jahr mindestens erwirtschaften muß, damit sie einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i vorzuziehen ist. Eine Finanzinvestition in Höhe von 10.000 GE fuhrt bei i = 0,10 und η = 3 Jahren zu einer Annuität - also zu einer periodischen Einzahlung - in Höhe von 4.021 GE. Die Sachinvestition ist nur dann vorteilhaft, wenn sie eine Leistungsfähigkeit vorweisen kann, welche größer ist als die der Finanzinvestition.

Die approximative Annuitäten-Methode

143

Demnach ist sowohl der Kapitaldienst bei Fremdfinanzierung als auch der bei Eigenfinanzierung ein Wert, der an sich noch keine Auskunft hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit der Sachinvestition gibt. Der Kapitaldienst muß mit der tatsächlichen Leistungsfähigkeit der Sachinvestition verglichen werden. Das geschieht, indem sämtliche Zahlungen neben der Anschaffungsauszahlung annuitätisch verrechnet und dem Kapitaldienst gegenübergestellt werden. Die dabei entstehende Differenz ist die KapitalwertAnnuität. Aufgabe 5.11 Der Kauf einer Maschine ist mit einer Anschaffungsauszahlung von Ao = 200.000 GE verbunden. Nach einer Nutzungsdauer von η = 10 Jahren ist der erwartete Restverkaufserlös Rio = 30.000 GE. Der Investor rechnet mit jährlichen Einzahlungsüberschüssen in Höhe von d = 30.000 GE. Die Zahlungen fallen jeweils am Ende der entsprechenden Periode an. Der Kalkulationszinssatz wird auf i = 0,10 fixiert. a) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit mit Hilfe der exakten Annuitäten-Methode! Die exakte Kapitalwert-Annuität berechnet sich aus der Differenz von Einzahlungs- und Auszahlungs-Annuität: d = e-a Die Annuitäten-Methode läßt sich relativ einfach anwenden, wenn die laufenden Einzahlungen oder die laufenden Auszahlungen einer Investition in jeder Periode gleich groß sind. Da der Einzahlungsüberschuß d = 30.000 GE konstant ist, kann hier unterstellt werden, daß er einer „Einzahlungs-Annuität" von e*= 30.000 GE entspricht. Die Auszahlungs-Annuität enthält dann keine laufenden Auszahlungen. Der als Einzahlung anfallende Restverkaufserlös könnte in Verbindung mit der Anschaffungsauszahlung Ao berücksichtigt werden. Der zur Auszah-

144

Die approximative Annuitäten-Methode

lungs-Annuität führende Barwert der Auszahlungen muß daher um den auf to diskontierten Restverkaufserlös reduziert werden: C A o = Ao - R„ * (1 + i)"n Bei den gegebenen Daten folgt daraus: C A o = 200.000 - 30.000 * (1,10)-'° C AAo = 200.000 - 30.000 * 0,3855 C AAo = 188.435 Daraus ergibt —· sich eine den Restverkaufserlös enthaltende „AuszahlungsAnnuität" a in Höhe von: A

(1 + i)n - 1

°

Das bedeutet: ä* = 188.435 * WGF (n = 10; i = 0,10) ä* = 188.435 * 0,1628 ä* = 30.677,22 — *

Nachdem a

—*

und e

bestimmt sind, ergibt sich die Kapitalwert-Annuität

d wie folgt: — —* — * d = e - a Daraus folgt: d = 30.000 - 30.677,22 d = - 677,22 < 0 Die Methode der exakten Annuität fuhrt zu dem Ergebnis, daß die Investition nicht vorteilhaft ist: d < 0.

Die approximative Annuitäten-Methode

145

b) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit mit Hilfe der approximativen Annuitäten-Methode unter der Annahme, daß die Abschreibungen während der Nutzungsdauer unendlich häufig erfolgen! Eine approximative Berechnung läßt Zinseszinsen unberücksichtigt und rechnet mit Durchschnittswerten. Diese veränderten Bedingungen wirken sich auf die Berechnung der Auszahlungs-Annuität aus: a approx = a +

An0 4- R „

An — R„ *1 Η S-

Dabei steht der Ausdruck a für jährlich anfallende Auszahlungen. Da die laufenden Auszahlungen a im Einzahlungsüberschuß d erfaßt sind, entspricht die approximative Auszahlungs-Annuität a 3ρρΓοχ dem approximativen Kapitaldienst KDapprox. Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: 200.000 + 30.000 KDapprox =

nIft

200.000-30.000

* 0,10 +

KDapprox

= 115.000 * 0,10 + 17.000

KDapprox

= 28.500

Unter der Annahme eines konstanten Einzahlungsüberschusses in Höhe von d = 30.000 GE gilt hier wiederum, daß der Einzahlungsüberschuß der „Einzahlungs-Annuität" e = 30.000 GE entspricht. — ·

Für die approximative Kapitalwert-Annuität d approx gilt dann: d approx

6

—

KDapprox

Bei den gegebenen Daten ergibt sich: d

approx

= 30.000 - 28.500

d. p p r o x = 1.500 > 0 Unter den Bedingungen einer approximativen Kalkulation ist die Investition vorteilhaft: d approx > 0.

146

Die approximative Annuitäten-Methode

Literaturempfehlungen zum 5. Kapitel: Die Annuitäten-Methode

Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 120 - 124. Blohm, H./Lüder, K„ Investition, 8. Aufl., München 1995, S. 75 - 77. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3. Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 34 - 42. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 93 - 96. Grob, H.L., Einführung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999. Kruschwitz, L., Investitionsrechnung, 8. Aufl., München 2000, S. 78 - 82. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 198-213. Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 138- 140. Schultz, R./Wienke, R., Interner Zins und Annuität als subsidiäre Zielgrößen des Kapitalwerts, in: ZfB, 60. Jg. (1990), Heft 10, S. 1065ff. Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 24 - 30.

Die interne Zinsfuß-Methode

147

Β. Die Methode des internen Zinsfußes

Aufgabe 5.12 Was versteht man unter dem internen Zinsfuß einer Investition? Bei der Methode des internen Zinsfußes wird der Zinssatz r gesucht, bei dessen Anwendung als Kalkulationszinssatz der Kapitalwert einer Investition gleich Null ist: η Co = 0 = - Ao + ^ dt * (1 + r)-t + R„ * (1 + r)"n t=l Für den Fall der Rente gilt dementsprechend: Co = 0 = - A o + d *

(1 + r)

" + Rn * (1 + r) n r * ( l + r)

Eine relativ einfache Berechnung ist möglich, wenn die Bestimmungsgleichung nach dem Barwertfaktor aufgelöst wird und der gesuchte Zinssatz aus der Tabelle der Barwertfaktoren abgelesen oder durch Interpolation approximativ ermittelt werden kann. Bei der ewigen Rente ist die Bestimmimg des internen Zinsfußes besonders unkompliziert: Co = 0 = - A o + -

r

Daraus folgt: =

A0 Stellt man den Kapitalwert einer Investition als Funktion des Kalkulationszinssatzes dar, so ergibt sich die folgende Graphik fur den Fall einer Investition vom Typ I (vgl. Aufgabe 3.22 und Aufgabe 4.11). Demnach nimmt bei einer Investition vom Typ I der Kapitalwert C0 mit steigendem Kalkulationszinssatz i ab. Durch den Schnittpunkt der Kapitalwert-Kurve mit der Abszisse wird der interne Zinsfuß r der Investition determiniert.

148

Die interne Zinsiuß-Methode

Co(0

Im Falle einer Investition vom Typ I ist die Investition vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß r größer ist als der zum Vergleich zugrunde gelegte Kalkulationszinssatz i, die unternehmensinterne Verzinsung also größer ist als der Zinsertrag am Kapitalmarkt. Der Kapitalwert der Investition ist bei r > i positiv, so daß die Investition einen Wertzuwachs generiert. Das Entscheidungskriterium für die Methode des internen Zinsfußes lautet bei einer Investition vom Typ I: Bei r > i ist die Sachinvestition vorteilhaft; bei r < i ist die Sachinvestition nicht vorteilhaft; bei r = i besteht Indifferenz zwischen der Sachinvestition und einer Finanzinvestition. Die folgende graphische Darstellung erläutert den Hintergrund der Methode des internen Zinsfußes nunmehr am Beispiel einer Investition vom Typ II. Bei einer Investition vom Typ II liegt das Zeitzentrum der Einzahlungen vor dem der Auszahlungen. Mit steigendem Kalkulationszinssatz i werden die Auszahlungen stärker abgezinst als die Einzahlungen, der Kapitalwert Co steigt daher. An der Stelle, an der die Kapitalwert-Kurve die Abszisse schneidet, befindet sich der interne Zinsfuß r der Investition. Im Falle einer Investition vom Typ II ist die Investition nur dann vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß r kleiner ist als der zugrunde gelegte Kalkulationszinssatz i.

149

Die interne Zinsfuß-Methode

Co(0

Zins

Co (i = 0)

r

Der Kapitalwert der Investition ist bei i > r positiv, so daß die Investition einen Wertzuwachs generiert. Das Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des internen Zinsfußes lautet bei einer Investition vom Typ II: Bei r < i ist die Sachinvestition vorteilhaft; bei r > i ist die Sachinvestition nicht vorteilhaft; bei r = i besteht Indifferenz zwischen der Sachinvestition und einer Finanzinvestition. Beim Wechsel einer Investition vom Typ I zu einer Investition vom Typ II dreht sich die Vorteilhaftigkeit um. Aufgabe 5.13 Eine Investition ist durch die folgenden Zahlungen gekennzeichnet: A 0 = 100 GE

e2 = 400 GE

a) Berechnen Sie den internen Zinsfuß der Investition! Die Berechnung basiert auf der allgemeinen Kapitalwertformel: Co = 0 = - Ao + e, * (1 + r)-'

Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: 2

Co = 0 = - 100 + 400 * (1 + r)"

100* (1 +r) 2 = 400

150

Die interne Zinsfuß-Methode

(l+r)2 = 4 Γι,2 = - 1 ± Λ/4 Dies ergibt die folgenden internen Zinsfuße: r, = 1

r2 = - 3

b) Deuten Sie die errechneten internen Zinsfüße! Die positive Verzinsung in Höhe von η = 1 bedeutet, daß sich das eingesetzte Kapital jedes Jahr zu 100 % verzinst. Die negative Verzinsung zu r2 = - 3 würde anzeigen, daß die Investition jedes Jahr nicht nur die vollständige Anschaffungsauszahlung Ao verliert, sondern darüber hinaus noch zu leistende Zahlungen in Höhe von 2 * Ao erfordert, um sämtliche Verbindlichkeiten zu befriedigen. Insgesamt würde die Investition also einen jährlichen Verlust in Höhe von 3 * Ao verursachen. Da die Einzahlungen bei der gegebenen Investition größer sind als die Auszahlungen, liegt hier der Schluß nahe, daß der mathematisch korrekte interne Zinsfuß r2 = - 3 ökonomisch nicht von Bedeutung ist. Aufgabe 5.14 Eine Investition ist gekennzeichnet durch eine AnschafTungsauszahlung im Zeitpunkt to in Höhe von A0 = 9.000 GE und durch eine Einzahlung im Zeitpunkt t t in Höhe von ei =8.100 GE. Ermitteln und deuten Sie den internen Zinsfuß! Der interne Zinsfuß ergibt sich aus der folgenden Bestimmungsgleichung: 1

Co = 0 = - Ao + et * (1 + r)"

Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: Co = 0 = - 9.000 + 8.100 * (1 + r)'1 9.000 * (1 + r ) = 8.100 1 + r= — 90 Eine Auflösung der Gleichung nach r ergibt:

Die interne Zinsfuß-Methode

151

r = - 0,10 Die negative Verzinsung von r = - 0,10 bedeutet, daß mit dem Einsatz der Investitionsauszahlung ein Verlust von 10 % dieser Investitionssumme verbunden ist. Aufgabe 5.15 Ermitteln Sie den internen Zinsfuß einer Investition, die aus einer Auszahlung im Zeitpunkt to in Höhe von A0 = 100.000 GE und aus Einzahlungsüberschüssen in Höhe von d = 18.031 GE besteht, welche als nachschüssige Rente mit einer Laufzeit von η = 9 Jahren anfallen! Der interne Zinsfuß berechnet sich auf der Basis der Kapitalwertformel für den Fall der Rente wie folgt: Co =

0= -A0

+

d * ( 1 + r ) n - 1n r * ( l + r)

Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: Co = 0 = - 100.000 + 18.031 * BWF (n = 9; r) Die Auflösung nach dem Barwertfaktor ergibt: BWF (n = 9; r)=

1 ^ = 5 , 5 4 6 18.031

Aus der Tabelle der Barwertfaktoren ergibt sich der interne Zinsfuß in Höhe von r = 0,11. Aufgabe 5.16 Eine Unternehmung bekommt von ihrer Bank das folgende Kreditangebot zur Finanzierung einer Investition: - Kreditbetrag 1 Mio. GE • Auszahlungskurs 98 % - Laufzeit 10 Jahre - Erforderliche Zins- und Tilgungszahlungen jährlich nachschüssig 139.522 GE

152

Die interne Zinsfuß-Methode

a) Skizzieren Sie die Zahlungsreihe dieser Finanzierungsalternative! Die Zahlungsreihe sieht im Zeitpunkt to eine Einzahlung in Höhe von 980.000 GE vor. In den Jahren ti bis tio erfolgen Auszahlungen in Höhe von je 139.522 GE. b) Ermitteln Sie die Effektiwerzinsung des Kredits unter Zuhilfenahme eines mehrperiodigen Verfahrens der Investitionsrechnung! Die Aufgabe kann anhand der Formel fur den Kapitalwert gelöst werden: Co = 0 = 980.000 - 139.522 *

+ "Τ* r * ( l + r)

Daraus ergibt sich: B W F ( n = 10, r ) = ^ 0 0 =7,0240 139.522 Ein Barwertfaktor von 7,0240 entspricht bei einer Laufzeit von η = 10 einem internen Zinsfuß von r = 0,07 (vgl. dazu die Tabelle der Barwertfaktoren). Aufgabe 5.17 Eine Investition ist gekennzeichnet durch eine Auszahlung im Zeitpunkt to in Höhe von Ao = 10 GE, durch eine Einzahlung im Zeitpunkt ti in Höhe von ei = 50 GE und durch eine Auszahlung im Zeitpunkt t2 in Höhe von a2 = 60 GE. Ermitteln Sie die internen Zinsfuße und erklären Sie diese! Aus der Zahlungsreihe ergibt sich der folgende Ansatz für die Bestimmung des internen Zinsfußes: Co = 0 = - Ao + e, * (1 +r)"' - a2 * (1 + r)"2 Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: Co = 0 = - 10 + 50 * (1 + r)-1 - 60 * (1 + r)"2 Die Lösung erfolgt mit Hilfe einer quadratischen Gleichung: 0 = - 10 * (1 + r)2 + 50 * (1 + r)' - 60

153

Die interne Zinsfuß-Methode

(1 + r)2 - 5 * (1 + r)1 = - 6 [(1 + r) - 2,5]2 = - 6 + 2,52 1 + r = 2,5 ± 7^25 Die Berechnung ergibt die folgenden internen Zinsfuße: r, = 1

r2 = 2

(Quelle: Schneider, Dieter, Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7., vollständig überarbeitete und erw. Auflage, Wiesbaden 1992, S. 87f.) Die mathematische Lösung ergibt eine Verzinsung von 100 % und 200 %. Diese positive Verzinsung entsteht, obwohl die Summe der Auszahlungen größer ist als die Summe der Einzahlungen. Das Ergebnis ist mit der sog. Wiederanlage-Prämisse zu erklären. Die Methode des internen Zinsfußes unterstellt eine Wiederanlage zwischenzeitlicher Zahlungen zum internen Zinsfuß. Der folgende Zahlungsplan verdeutlicht diese mit der Methode verbundene Annahme.

t2 Zeitpunkt

Zahlungsreihe der Investition Wiederanlage zwischenzeitlicher Zahlungsüberschüsse zum internen Zinsfuß Zahlungssaldo

to

- 10

-

- 10

tl r, = 1

i2 = 2

50

-60

-60

-50

100

150

0

40

90

Dieser vollständig formulierte Zahlungsplan verdeutlicht die implizit in der Methode des internen Zinsfußes enthaltene Wiederanlage-Prämisse. Das Ergebnis der Methode beruht auf der Annahme, daß sich zwischenzeitliche Zahlungen zum internen Zinsfuß verzinsen: Einzahlungsüberschüsse erwirtschaften eine Verzinsung in Höhe von r und Auszahlungsüberschüsse sind durch einen Kredit, der die Finanzierungskosten r verursacht, abzugleichen.

154

Die interne Zinsfuß-Methode

Aufgabe 5.18 In welchen Fällen ist die Berechnung des internen Zinsfußes eindeutig und einfach zu lösen? Zur Ermittlung des internen Zinsfußes ist eine Gleichung n-ten Grades zu lösen. Diese Lösung kann algebraisch oder auch graphisch erfolgen. Die Ermittlung ist in einigen speziellen Fällen einfach und fuhrt dann zu einer reellen Lösung. 1. Wenn die Investition aus einer Auszahlung Ao und einem einzigen Einzahlungsüberschuß zu irgendeinem Zeitpunkt t„ besteht, dann gilt: Co

= 0 = - Ao + d„ * (1 + r) n

Zur Bestimmung der internen Zinsfuße kann diese Gleichung nach r aufgelöst werden: Ao = dn * (1 + r)"n

η - ^ = ( l + r)n An 1 V

V

VAo

J

r=

= 1+ r

'd.

^ -

A

1

V o j Löst man die Gleichung approximativ, so lassen sich die tabellierten Werte der Diskontierungsfaktoren fur (1 + r)"n heranziehen. 2. Bei nur einer Periode (n = 1) folgt aus der Bestimmungsgleichung C 0 = 0 = - Ao + di * (1 + r)-1 der interne Zinsfuß r:

Die interne Zinsfuß-Methode

r

_

155

d,-A„ A0

Im Einperiodenfall ist der interne Zinsfuß gleich der Kapitalrentabilität. 3. Setzt sich die Investition aus einer Auszahlung Ao und zwei Einzahlungen zu den Zeitpunkten ti und t2 zusammen, so folgt aus der allgemeinen Bestimmungsgleichung die spezielle Form: Co = 0 = - Ao + d, * (1 + r)"1 + d2 * (1 + r)'2 Eine Auflösung der Gleichung nach r ergibt: 2

Hieraus ergeben sich zwei Lösungen. Besteht die Investition aus einer Auszahlung Ao und einer Zahlungsreihe gleich hoher, aber endlicher Einzahlungsüberschüsse, so gilt die Bestimmungsgleichung: Cp = 0 = - Ap + d *

+ r )" ~ 1 r * ( l + r)n

Daraus ergibt sich: (l + r ) " - l _ A 0 r * (1 + r)n Aus der Tabelle für den Barwertfaktor (BWF) läßt sich der interne Zinsfuß in Abhängigkeit von der Laufzeit η (annähernd) ermitteln. Dieser Fall tritt bei Finanzinvestitionen häufig auf. 5. Für den Fall einer ewigen Rente entwickelt sich die Gleichung Co = 0 = - A o + d *

Co = 0 = - A o + r Daraus ergibt sich:

(1 + Γ )

" ~ 1 zu r * (1 + r)n

156

Die interne Zinsfuß-Methode

=

_d_ A0

An dieser Stelle sei der Hinweis gegeben, daß es hier nicht um die Frage der eindeutigen Definition des ökonomisch relevanten internen Zinsfußes geht, sondern um die rechnerische Bestimmung von internen Zinsfüßen. Aufgabe 5.19 Welche Probleme treten bei der Ermittlung des internen Zinsfußes auf? Die Ermittlung des internen Zinsfußes erfordert im allgemeinen die Lösung einer Gleichung n-ten Grades. Bei η > 4 lassen sich die Ergebnisse nur mit großem Aufwand ermitteln, sofern die Lösungen nicht komplex sind. Darüber hinaus sind die Lösungen der Gleichungen n-ten Grades nicht eindeutig. Es lassen sich zwei wesentliche Probleme feststellen: 1. Eine Gleichung n-ten Grades kann bis zu η verschiedene Lösungen haben. Die folgende Zahlungsreihe (Quelle: Heister, Matthias, Rentabilitätsanalyse von Investitionen, Köln/Opladen 1962, S. 95) einer Investition verdeutlicht diese Aussage: to

-5.000

t,

19.500

t2

-26.950

t3

L,

15.405

-2.970

Diese Investition hat folgende interne Zinsfüße: Γι = - 0,60

r2 = - 0,10

r3 = 0,10

r4 = 0,50

Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0 ist der Kapitalwert Co(i = 0) = - 15.

Das bedeutet:

Die interne Zinsfuß-Methode

η

157

η

Σt=0Κ Ι > t=0 ΣΚΙ Da mit η = 4 vier interne Zinsfüße vorliegen, hat die Kapitalwertfunktion tendenziell den folgenden Verlauf: C0

Die Bestimmungsgleichung fuhrt zu vier reellen Lösungen. In diesem Zusammenhang taucht die Frage auf, welche dieser Lösungen beim mehrdeutigen internen Zinsfuß ökonomisch relevant ist und bei welcher Art von Zahlungsreihen überhaupt ökonomisch sinnvolle Lösungen vorliegen können. 2. Einzelne oder sämtliche Lösungen können komplex sein. Die folgende Zahlungsreihe einer Investition verdeutlicht diese Aussage: to

t,

t2

I

1

1

- 200

200

100

Eine Berechnung des internen Zinsfußes der Investition geschieht anhand der allgemeinen Vorgehensweise über die Formel für den Kapitalwert:

158

Die interne Zinsfuß-Methode

Co = 0 = 100 - 200 * (1 + Γ)"1 + 200 * (1 + r)"2 Nach einer Multiplikation mit (1 + r)2 folgt daraus: 0 = 100 * (1 + r)2 - 200 * (1 + r) + 200 Eine Auflösung nach (1 + r) ergibt: (1 + r ) = 1 ± λ/Μ Die Summe der Einzahlungen ist größer als die Summe der Auszahlungen. Die mathematisch eindeutige Lösung ist aber komplex. Aufgabe 5.20 Welche Eigenschaften einer Zahlungsreihe müssen vorliegen, damit ein eindeutiger positiver interner Zinsfuß ermittelt werden kann? Typisch für eine solche als Normalinvestition bezeichnete Zahlungsreihe sind folgende Eigenschaften: 1. Die Zahlungsreihe beginnt mit Nettoauszahlungen in der ersten oder den ersten Perioden, dann folgen nur Einzahlungsüberschüsse. Dieses Eindeutigkeitskriterium bedeutet, daß das Vorzeichen im Rahmen einer Zahlungsreihe nur einmal wechselt. Bei entsprechenden Zahlungsreihen liegt das Zeitzentrum der Auszahlungen vor dem Zeitzentrum der Einzahlungen. 2. Die Summe der Einzahlungen ist größer als die Summe der Auszahlungen: η

η

t=0

t=0

ΣΚΙ > ΣΚΙ Dieses Deckungskriterium läßt Zinsen unberücksichtigt. Die durch diese beiden Eigenschaften gekennzeichneten Investitionen werden als Normalinvestition bezeichnet. Investitionen dieser Art haben stets nur einen positiven internen Zinsfuß. Dieser allein ist für die Normalinvestition relevant, negative Zinsfuße haben für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit keine Bedeutung.

Die interne Zinsfuß-Methode

159

Aufgabe 5.21 Zeigen Sie, daß für Normalinvestitionen nur ein einziger positiver interner Zinsfuß existiert! Die Kapitalwertfiuiktion einer Normalinvestition hat bei einem Restverkaufserlös von Null die folgende Form:

t=l

Die erste Ableitung dieser Kapitalwertfunktion nach dem Zinssatz i ergibt die Steigung der Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit von i. ά£ο_ = _ γ d» tT

t*dt (l + 0 ,+1

Dabei ist sowohl dt als auch t positiv. dC — - ist dementsprechend negativ, solange i > - 1 ist. di η η Da ^ | e t | > y j a j (Deckungskriterium), weist die Funktion C0 = C0(i) t=o t=o fur i = 0 einen positiven Kapitalwert auf: Co (i = 0) > 0. Der Graph für i > - 1 verläuft monoton fallend und schneidet den positiven Ast der Abszisse nur 1-mal. Die Kapitalwertfunktion nähert sich mit zunehmendem i asymptotisch der Größe - Ao. Für i —» - 1 geht 1 + i -> 0 und damit der Kapitalwert C0 -> + oo. Es ergibt sich folgender Kurvenverlauf:

160

Die interne Zinsfuß-Methode

Co, Ao

Ökonomisch bedeutsam ist der Teil der Kapitalwertfunktion, für den i > 0 und Co > 0 ist. Aufgabe 5.22 Der Käufer eines Produkts leistet eine Vorauszahlung e.i. Nach dieser Zahlung erfolgt die Anschaffiingsauszahlung A0 für das Investitionsobjekt, um dieses Produkt zu produzieren. In den Jahren der Nutzungsdauer η sind dann die Einzahlungsüberschüsse d stets positiv. Im letzten Jahr der Nutzung überwiegen die Auszahlungen für den Abbruch (SAB) der Anlage den Einzahlungsüberschuß aus dem Verkauf der Produkte. a) Stellen Sie die Zahlungsreihe der Investition dar! Li

Η e.I

to

t,

t2

1

1

H

- Ao

di

d2

tn

-

V

1 — •

-

aAB + dn

b) Transformieren Sie diese Zahlungsreihe mit einer Anfangseinzahlung und einer Auszahlung am Ende der Nutzungsdauer in eine Normalinvestition! Die Transformation in eine Normalinvestition erfordert eine Kapitalanlage der Anfangseinzahlung zum Kalkulationszinssatz bis zu dem Zeitpunkt, in

161

Die interne Zinsfuß-Methode

dem die Anschaffungsauszahlung erfolgt. Die abschließende Auszahlung fur den Abbruch ist ebenfalls auf den Zeitpunkt to zu transformieren. Es ergibt sich dann folgende Zahlungsreihe: to

- Ao

t,

t2

di

t3

d3

t„

V

dn

+ e.i * (1 + i) - a A B * ( l + 0"n Die dargestellte Zahlungsreihe repräsentiert eine Normalinvestition. Aufgabe 5.23 Wie läßt sich der interne Zinsfuß approximativ bestimmen? Allgemein ist eine exakte Bestimmung des internen Zinsfußes für Investitionen mit mehr als 5 Zahlungszeitpunkten rechnerisch schwierig. Eine Lösung kann fur η > 4 nur durch „trial and error" oder durch Näherungsverfahren erreicht werden. Zwei Möglichkeiten der approximativen Bestimmung bieten sich an. Zunächst kann der Versuch unternommen werden, auf graphischem oder algebraischem Wege die Nullstelle der Kapitalwertfunktion einzukreisen und mit Hilfe der linearen Interpolation zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit resultiert aus der Anwendung des von Boulding entwickelten Konzepts der Zeitzentren für Aus- und Einzahlungen. Aufgabe 5.24 Bestimmen Sie approximativ den internen Zinsfuß mit Hilfe der Boulding'schen Näherungslösung! Das Zeitzentrum einer Zahlungsreihe gibt jenen Zeitpunkt an, bei dem der Barwert dieser Zahlungsreihe zu diesem Zeitpunkt gleich ist der Summe aller (nicht diskontierten) Zahlungen (vgl. zum Zeitzentrum auch die Aufgaben 3.20 und 3.21). Für eine Einzahlungsreihe gilt demzufolge:

162

Die interne Zinsfuß-Methode

Gleichung 1 t=0 Der Barwert der Einzahlungen zum Zeitpunkt to ist dann: C E e = C t t * ( l + r)-*·

Gleichung 2

bzw. X e t * ( l + r ) - t = ( 2 ; e t ) * ( l + r)- t · t=o t=o

Gleichung 2a

Diese Gleichung läßt sich umformen zu: Gleichung 2b

2>t*o+r)te_t=Zet t=0

t=0

Entsprechend gilt fur die Auszahlungen: X a ^ a + r r ^ i X a J M l + r)-'· t=0 t=0

Gleichung 3a

bzw. Gleichung 3b t=o

t=o

Eine Multiplikation der Gleichung 3b mit (1 + r) te-t · ergibt: η £a t=o

t

η *(1 + r)' e_t - £ a t *(l + r) tc_t · t=0

Gleichung 4

Man ermittelt den internen Zinsfuß aus der Kapitalwert-Funktion. Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert (bzw. der Gegenwartswert) Null wird, und zwar zu irgend einem Zeitpunkt. Hierzu sei betrachtet der Zeitpunkt te, das Zeitzentrum der Einzahlung. Der Kapitalwert zum Zeitpunkt te ist Null, wenn gilt: *(l + r) te_t = ^ a t=o

t

*(l + r)' e_t

Gleichung 5

163

Die interne Zinsfuß-Methode

Setzt man nun die rechten Seiten von Gleichung 2b und Gleichung 4 in die Gleichung 5 ein, so resultiert daraus: η ^e t=o

t

η =^ a t=o

*(1 + r) te_t '

t

Gleichung 6

Hieraus folgt: η Σ'. (l + r)'·-·· i>. t=0 bzw. η Σ·. t=0 t.4 η Σ*. 1 t=0 Voraussetzung fur diese approximative Bestimmung des internen Zinsfußes mit Hilfe der Boulding'schen Wurzelformel ist die Kenntnis der Zeitzentren. Diese sind abhängig vom jeweils angesetzten Kalkulationszinssatz. Unterschiedliche Kalkulationszinssätze fuhren demnach zu sich ändernden internen Zinsfußen. Aufgabe 5.25 Eine geplante Investition ist durch eine Auszahlung in Höhe von A 0 = 5.000 GE und durch zwei Einzahlungen von je 3.000 GE in den Zeitpunkten ti und t 2 gekennzeichnet. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,06. Errechnen Sie den Kapitalwert, den internen Zinsfuß und die Annuität dieser Investition! 1. Die

Kapitalwertmethode

Die allgemeine Formel fur den Kapitalwert lautet: C 0 = - A 0 + X d t * ( l + i r + R n * ( l + irn t=l

164

Die interne Zinsfuß-Methode

Im vorliegenden Fall bedeutet das: Co = - Ao + e, * (1 +i)-' + e2 * (1 + i)"2 Für die Daten der Investition folgt daraus: Co = - 5.000 + 3.000 * (1,06)-' + 3.000 * (1,06)"2 Co = 500,18 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. 2. Die Methode des internen Zinsfußes Die Bestimmungsgleichung zur Berechnung des internen Zinsfußes lautet: C0 = 0 = - A 0 + £ d

t

*(1 + γ Γ + R n * ( l + r)"n

t=l

Im vorliegenden Fall bedeutet das: Co = 0 = - Ao + e, * (1 +r)"' + e2 * (1 + r)"2 Für die Daten der Investition folgt daraus: Co = 0 = - 5.000 + 3.000 * (1 +r)"' + 3.000 * (1 + r)"2 Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen: r , = 0,1307

r2 = - 1,5307

Da es sich um eine Normalinvestition handelt (vgl. dazu Aufgabe 3.22 und Aufgabe 5.20), ist nur η = 13,07 % ökonomisch relevant. Bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % erscheint die Investition vorteilhaft, da sie eine interne Verzinsung von 13,07 % aufweist. Die vorliegende Investition ist daher einer alternativen Kapitalanlage zum Kalkulationszinssatz vorzuziehen. 3. Die Annuitäten-Methode Die Kapitalwert-Annuität läßt sich auf zwei Wegen berechnen: a) Die direkte Berechnung der Kapitalwert-Annuität: d = C 0 * WGF (n;i) Für die Daten der Aufgabe bedeutet das:

Die interne Zinsfuß-Methode

d = 500,18 *

165

0,06*(l + 0,06) 2 (l + 0,06)2 - 1

d =500,18 * 0,5454 d = 272,70 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da die Kapitalwert-Annuität positiv ist. Kapitalwert- und Annuitäten-Methode fuhren (erwartungsgemäß) zu gleichen Handlungsanweisungen. Die Rechnung auf der Basis des Kapitalwertes wird durch die folgende indirekte Berechnung bestätigt. b) Die indirekte Berechnung der Kapitalwert-Annuität: d = e - a Zunächst sind die Einzahlungs-Annuität und die Auszahlungs-Annuität zu bestimmen: Die Einzahlungs-Annuität ist bereits gegeben. Es ist e = 3.000. Diese Einzahlungs-Annuität sei dennoch berechnet. Da von einem vollkommenen Kapitalmarkt ausgegangen wird, erfolgt die Diskontierung der einzelnen Zahlungen ei und e2 zum Barwert der Einzahlungen mit dem gleichen Zinssatz wie die spätere Periodisierung mit dem Wiedergewinnungsfaktor. Daraus folgt: C Eo = e 1 * ( l + i ) " 1 + e 2 * ( l + i r 2 Es ist ei = e2 = e und damit gilt:

Für die Einzahlungs-Annuität e resultiert daraus:

Die interne Zinsfuß-Methode

166

e = CEo*WGF(n;i) _ _ (l + i) n - 1 . . . . . Da C p = e * ist, ergibt sich: Eo 6 i * ( l + i) n (1 + i) n - 1 i * ( l + i)n e = e** — — i * ( l + i) n

=>

e=e

(l + i) n - 1

Da die Einzahlungen in jeder Periode 3.000 GE betragen, ist e =3.000 Die Auszahlungs-Annuität errechnet sich, indem der Barwert aller Auszahlungen mit dem Wiedergewinnungsfaktor multipliziert wird: i - c

. °

A A

i , ( 1 + i ) · (l + i) n - 1

Der Wert fur a resultiert hier ausschließlich aus der Anschaffungsauszahlung Ao, weitere Auszahlungen fallen nicht an: C A o = Ao Daraus folgt für die Auszahlungs-Annuität:

ä = 5.000 * WGF (n = 2; i = 0,06) ä =5.000* 0,5454 ä =2.727 Die Investitionssumme ist mit einem Kapitaldienst bzw. einer Auszahlungs-Annuität in Höhe von 2.727 GE verbunden. Nach der Bestimmung der Einzahlungs-Annuität und der AuszahlungsAnnuität erfolgt nunmehr die Berechnung der Kapitalwert-Annuität: d = e-a d =3.000-2.727 d = 273 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da die Kapitalwert-Annuität positiv ist.

Die interne Zinsfuß-Methode

167

Die geringe Abweichung dieses Ergebnisses von dem der direkten Methode ist auf die Rundung zur vierten Stelle nach dem Komma zurückzufuhren. Das Beispiel zeigt, daß die Rechnung mit Annuitäten häufig recht umständlich ist. Sind die Barwerte der Einzahlungen und Auszahlungen errechnet, so kann die Vorteilhaftigkeit im Sinne der Kapitalwert-Methode unmittelbar abgelesen werden. Aufgabe 5.26 Zeigen Sie am Beispiel der Aufgabe 5.25, daß die Methode des internen Zinsfußes die implizite Annahme enthält, die Einzahlungsüberschüsse der Sachinvestition verzinsen sich zum internen Zinsfuß der Sachinvestition (Wiederanlage-Prämisse)! In der Aufgabe 5.25 wurde ein positiver interner Zinsfuß in Höhe von rSI = 13,0662 % ermittelt. Dieses Ergebnis entsteht bei der folgenden Zahlungsreihe: to

t,

- 5.000

3.000

t2

3.000

Mit der Zahlungsreihe scheint ein „Nettokassenüberschuß" in Höhe von 1.000 GE im Zeitpunkt t2 verbunden zu sein. Der gleiche Einzahlungsüberschuß entsteht auch, wenn die in der Aufgabe 5.25 gegebene Anschaffungsauszahlung Ao = 5.000 GE in einer über zwei Jahre laufenden Finanzinvestition zu r " = 0,0954 investiert wird. Die folgende Rechnung belegt diese zunächst widersprüchliche Behauptung. Mit: Ao = 5.000 GE und e2 = 6.000 GE folgt: e 2 = Ao * (1 + r)2 Bei den gegebenen Daten bedeutet das:

168

Die interne Zinsfuß-Methode

6.000 = 5.000 * (1 + r)2 Daraus folgt fur die Verzinsung der Finanzinvestition: r " = 0,0954 Der interne Zinsfuß der Sachinvestition ist gemäß der Berechnungen anhand der Methode des internen Zinsfußes nun aber 13,0662 % und nicht 9,54 % ! Führt man hingegen eine Finanzinvestition FI in Höhe von 5.000 GE zu einem Zinssatz von 13,0662 % durch, so ergibt sich: e2FI = 5.000 * (1,130662) 2 e 2 FI = 6.392 Der Nettokassenbestand im Zeitpunkt t 2 würde dann 6 . 3 9 2 - 5 . 0 0 0 = 1.392 GE betragen. Wie kann nun eine Sachinvestition, die zu einem „Nettokassenüberschuß" von 1.000 GE führt, zu einer Finanzinvestition äquivalent sein, die 1.392 G E netto in der Kasse aufweist? Die Lösung dieses scheinbaren Widerspruchs liegt in der Tatsache begründet, daß der Einzahlungsüberschuß, den die Sachinvestition in der 1. Periode erwirtschaftet, gemäß der impliziten Annahme der Methode des internen Zinsfußes nicht untätig in der Kasse verbleibt, sondern wieder investiert wird. Die 3.000 GE, die die Sachinvestition im 1. Jahr erwirtschaftet hat, werden sofort wieder angelegt; und zwar zum internen Zinsfuß von 13,0662 %. Die 3.000 GE aus der Periode ti verzinsen sich im Laufe des zweiten Jahres zu 3 . 0 0 0 * 1,130662 = 3.392 GE Dies ergibt sich auch aus dem folgenden Zahlungsplan.

169

Die interne Zinsfuß-Methode

Zeitpunkt Zahlungsreihe der Sachinvestition Wiederanlage zwischenzeitlicher Zahlungsüberschüsse zum internen Zinsfuß Zahlungssaldo

to - 5.000

-

- 5.000

t.

t2

3.000

3.000

- 3.000

3.392

0

6.392

Der Kassenbestand der Sachinvestition (3.000 + 3.392 = 6.392 GE) entspricht dem Kassenbestand einer Finanzinvestition zu r " = 13,0662 %: 5.000 * (1,130662) 2 = 6.392 GE Der interne Zinsfuß einer Sachinvestition ergibt sich demnach aus den vom Investitionsobjekt direkt erzielten Einzahlungsüberschüssen sowie aus den Einzahlungen, die aus der Reinvestition zwischenzeitlicher Einzahlungsüberschüsse erzielt werden (indirekte Überschüsse). In die Berechnung des internen Zinsfußes geht also stets implizit eine Annahme über die zukünftige Verwendung zwischenzeitlich erwirtschafteter Mittel ein. Diese Annahme lautet: Die freigesetzten Mittel werden angelegt und erwirtschaften einen Zinsfuß wie die Sachinvestition selbst. Aufgabe 5.27 Nehmen Sie zu der folgenden Aussage Stellung: „Bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition mit Hilfe der Kapitalwert-Methode und auch bei der Methode des internen Zinsfußes wird letztendlich ein Vorteilhaftigkeitsvergleich durchgeführt!" Im Rahmen der Ermittlung des Kapitalwerts wird die Sachinvestition stets an einer zum Kalkulationszinssatz i möglichen Finanzinvestition gemessen. Der dabei stattfindende Vergleich ist in der Kapitalwertformel implizit enthalten. Für Co < 0 ist es vorteilhafter, die Finanzinvestition zu tätigen, da die Finanzinvestition den von der Sachinvestition vorgegebenen Erfolg mit einem geringeren Kapitaleinsatz erreicht. Die Differenz in der jeweils notwendigen Investitionssumme spiegelt der Kapitalwert wider.

170

Die interne Zinsfuß-Methode

Das Kapitalwert-Kriterium ist daher in gewisser Hinsicht ein Minimierungskalkül: Der von der Sachinvestition vorgegebene Zweckerfolg soll mit dem geringsten Kapitaleinsatz erwirtschaftet werden. Auch die Methode des internen Zinsfußes basiert auf einem Vergleich. Der interne Zinsfuß der Sachinvestition r wird mit dem Kalkulationszinssatz i verglichen. Ist r < i und handelt es sich um eine Normalinvestition, dann ist die Finanzinvestition vorteilhafter als die Sachinvestition. Aufgabe 5.28 Warum wird statt der Kapitalwert- oder der Annuitäten-Methode häufig die Methode des internen Zinsfußes für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition herangezogen? Die Anwendung der Kapitalwert-Methode und auch der AnnuitätenMethode ist problematisch, wenn die Höhe des Kalkulationszinssatzes i umstritten ist. Der Ansatz des Kalkulationszinssatzes ist zum Beispiel bei Investitionen in Ländern mit einer hohen Inflationsrate schwierig. Stammen die Finanzierungsmittel aus verschiedenen Ländern mit unterschiedlichen Zinsniveaus und Inflationsraten, so verschärft sich das Problem der Bestimmung des Kalkulationszinssatzes. Vor diesem Hintergrund wird der Versuch unternommen, ein Beurteilungskriterium anzuwenden, welches das Problem einer exakten Bestimmung des Kalkulationszinssatzes auszuklammern scheint. Der interne Zinsfuß ist ein Verzinsungsmaßstab. Die Funktionsweise der Methode des internen Zinsfußes ähnelt der eines Rentabilitätskriteriums und ist auf das jeweils in einer Investition gebundene Kapital gerichtet. Zur Ermittlung des internen Zinsfußes wird die Kapitalwertgleichung herangezogen. Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem die gleich Null gesetzte Kapitalwertgleichung erfüllt ist. Als Vorteilhaftigkeitskriterium wird der interne Zinsfuß r mit dem - doch unumgänglichen - Kalkulationszinssatz i verglichen. Dabei lautet das Entscheidungskriterium: Eine Investition vom Typ I ist vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß größer ist als der Kalkulationszinssatz; eine Investition

Die interne Zinsfuß-Methode

171

vom Typ II ist vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß geringer ist als der Kalkulationszinssatz. Die Methode des internen Zinsfußes ist also auf die gleichen Einflußgrößen angewiesen wie die Kapitalwert-Methode. Beide Methoden kommen bei der Beurteilung einer Einzelinvestition zur gleichen Handlungsanweisung.

Literaturempfehlungen zum 5. Kapitel: Die Methode des internen Zinsfußes

Albach, H., Wirtschaftlichkeitsrechnung bei unsicheren Erwartungen, Köln, Opladen 1959. Altrogge, G., Investition, 4. Aufl., München 1996, S. 311 - 339. Betge, P., Investitionsplanung, 4. Aufl., München 2000, S. 53 - 66. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 124 - 130, Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 105 - 115. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 96 - 107. Grob, H.L., Investitionsrechnung mit vollständigen Finanzplänen, München 1989. Grob, H.L., Einfuhrung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999, S. 120 - 142. Kraschwitz, S. 97 - 107.

L.,

Investitionsrechnung,

8.

Aufl.,

München

2000,

Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 144 - 151.

172

Die interne Zinsfuß-Methode

Schneider, D., Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7. Aufl., Wiesbaden 1992, S. 81-94. Schultz, R./Wienke, R., Interner Zins und Annuität als subsidiäre Zielgrößen des Kapitalwerts, in: ZfB, 60. Jg. (1990), Heft 10, S. 1065ff. Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 25 - 27. Witten,P./Zimmermann, H.-G., Zur Eindeutigkeit des internen Zinssatzes und seiner numerischen Bestimmung, in: ZfB, 47. Jg. (1977), Heft 2, S. 99ff.

Die Pay-off-Methode

173

C. Die Pav-off-Periode als Vorteilhaftigkeitskriterium

Aufgabe 5.29 Was wird unter der Pay-off-Periode verstanden? Wie lautet das Vorteilhaftigkeitskriterium? Ein in der Praxis häufig herangezogenes (zusätzliches) Kriterium zur Beurteilung von Investitionsobjekten ist die Pay-ofF-Periode (Amortisationsdauer). Bei der Pay-ofF-Periode (PoP) wird nach der Zeit gefragt, in der die bei einer Investition verausgabten finanziellen Mittel in den Betrieb wieder zurückfließen. Die Pay-ofF-Periode t* ist deijenige Zeitraum, innerhalb dessen sich der in to investierte Betrag amortisiert hat. Zum Zeitpunkt der Pay-ofF-Periode muß somit der Barwert der Einzahlungsüberschüsse der Anschaffungsauszahlung entsprechen. Der Kapitalwert in Abhängigkeit von der Zeit muß somit den Wert Null annehmen. Eine Berechnung der Pay-ofF-Periode t* geschieht unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen anhand der folgenden allgemeinen Bestimmungsgleichung: 2 Χ * ( 1 + »Γ=Αο t=l

Sofern die jährlichen Einzahlungsüberschüsse konstant sind, vereinfacht sich die Formel zu: . (1 + i)'* - 1 . d* * =Ao 1 i * (1 + i) (1 + ί ) ι ' - 1 i * (1 + i)'*

=

Α0 d

BWF (n = t*; i) =

d

174

Die Pay-off-Methode

Die Pay-off-Periode t* läßt sich dann bei gegebenem Ao, d und i analog zu der Bestimmung des internen Zinsfußes näherungsweise aus der Tabelle der Barwertfaktoren ablesen. Eine Investition ist vorteilhaft, wenn die tatsächliche Ist-PoP t* kürzer ist als eine von der Unternehmensleitung vorgegebene Soll-PoP tSoiiAufgabe 5.30 Eine Investition verursacht eine AnschafTungsauszahlung von A0 = 10.000 GE. Wie groß müssen die jährlich konstanten Einzahlungsüberschüsse d sein, damit sich die Investition bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 nach η = 10 Jahren amortisiert hat? Der Investor ist entscheidungsindifferent, wenn der Kapitalwert für η = t* gleich Null ist:

i *(l + i)n Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: Co = 0 = - 10.000 + d * BWF (n = t* = 10; i = 0,10) Eine Auflösung der Gleichung nach d ergibt den folgenden kritischen Einzahlungsüberschuß : d = 1.627,47 Damit sich die Investition nach 10 Jahren amortisiert, müssen die jährlich konstanten Einzahlungsüberschüsse d = 1.627,47 GE betragen. Aufgabe 5.31 Eine Investition mit einer AnschafTungsauszahlung in Höhe von Ao = 4.329,50 GE fuhrt während der Nutzungsdauer zu gleichbleibenden Einzahlungsüberschüssen von jährlich d = 1.000 GE. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,05. Nach welcher Zeitspanne sind die verausgabten finanziellen Mittel unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen zurückgeflossen?

Die Pay-off-Methode

175

Wann wäre die Investition nach dem Kriterium der Pay-ofF-Periode vorteilhaft? Ausgehend von dem Kriterium der Aufgabe 5.29 (l + i ) l ' - l

=

i * (1 + i)'*

A0 d

ergibt sich bei den gegebenen Daten: (1 + i)1' - 1

4.329,50

i * (1 + i)'

1.000

= 4,3295

Aus der Tabelle der Barwertfaktoren ist abzulesen, daß ein Barwertfaktor in Höhe von 4,3295 bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,05 zu einer Laufzeit von η = 5 Jahren fuhrt. Die Pay-ofF-Periode beträgt somit t* = 5. Die Investition wäre nach dem Kriterium der Pay-ofF-Periode vorteilhaft, wenn der Zeitraum, innerhalb dessen das Unternehmen sein eingesetztes Kapital wiedergewinnt, kleiner einer von der Unternehmensleitung definierten Soll-Pay-off-Periode tSoii ist. Es müßte also gelten: t* = 5 < tsoii Aufgabe 5.32 Unter welcher Voraussetzung fuhrt das Vorteilhaftigkeitskriterium der Pay-off-Periode bei einer Entscheidung zwischen einer Sachinvestition und einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i zum gleichen Entscheidungsergebnis wie die Kapitalwert-Methode? Mit der Pay-ofF-Periode wird der Zeitpunkt bestimmt, in dem der Barwert der Einzahlungsüberschüsse einer Investition gleich der Anschaffungsauszahlung ist. Eine Investition ist vorteilhaft, wenn die tatsächliche Ist-PayofF-Periode t* geringer ist als eine von der Unternehmensleitung vorgegebene Soll-Pay-ofF-Periode tSoii. Sämtliche Zahlungen der Investition, die nach der Ist-Pay-ofF-Periode anfallen, werden vernachlässigt.

176

Die Pay-off-Methode

Weisen die Zahlungen nach diesem Zeitpunkt einen negativen Kapitalwert auf, so wäre nach der Kapitalwertmethode, bei der die Zahlungen der gesamten Nutzungsdauer erfaßt werden, der Kapitalwert negativ. Damit die Pay-off-Periode und die Kapitalwert-Methode zum gleichen Ergebnis führen, müssen die Zahlungen nach der tatsächlichen Pay-offPeriode zu einem Kapitalwert von größer Null führen. Aufgabe 5.33 Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: „Je kürzer der Unternehmer die Pay-off-Periode ansetzt, um so geringer ist seine Risikobereitschaft." Der Unternehmer unterstellt hier, daß die Rückgewinnung des Kapitaleinsatzes um so unsicherer wird, je länger die Pay-off-Periode ist, da mit zunehmender Entfernung vom Betrachtungszeitpunkt to auch die Unsicherheit der geschätzten Größen wächst. Die Pay-off-Periode wird lediglich als eine Art Sicherheitskriterium angesehen. Mit dem Kriterium der Pay-off-Periode wird keine Aussage über die Rentabilität oder den Gesamtgewinn der Investition gemacht, da die Zahlungsströme nach der Pay-off-Periode unberücksichtigt bleiben. Aufgabe 5.34 In einer Unternehmung gilt der Grundsatz, daß nur solche Investitionsvorhaben genehmigt werden, die eine vorgegebene SollAmortisationsdauer nicht überschreiten. Beurteilen Sie diesen Grundsatz! Die Soll-Amortisationsdauer wird als jene Wiedergewinnungsdauer definiert, welche gerade noch akzeptiert wird. Amortisiert sich die Investitionsauszahlung in dieser vorgegebenen Zeit, dann steht im Falle einer Fehlprognose der Daten für dieses Investitionsobjekt der ursprüngliche Auszahlungsbetrag für eine Umstellung innerhalb der Unternehmung wieder zur Verfugung.

Die Pay-off-Methode

177

Dies setzt jedoch voraus, daß die rückfließenden Einzahlungsüberschüsse in der Unternehmung in liquider Form und vor allem separat angesammelt und nicht umgehend reinvestiert worden sind. Sinnvoll erscheint der obige Grundsatz nur dann zu sein, wenn die SollAmortisationsdauer als zusätzliches Kriterium zu einem anderen Entscheidungskriterium herangezogen wird. Unter dieser Voraussetzung gehen nur solche Investitionsalternativen in eine konkrete Optimumbestimmung ein (beispielsweise bei der Kapitalwertmaximierung), die eine vorgegebene Soll-Amortisationsdauer nicht überschreiten. Aufgabe 5.35 Eine Investition ist mit einer Anschaffungsauszahlung von A 0 = 800.000 GE verbunden. Während ihrer Nutzungsdauer kann mit jährlichen Einzahlungsüberschüssen von d = 160.000 GE gerechnet werden. Es sei davon ausgegangen, daß der Kalkulationszinssatz i = 0,10 ist und daß mit einfachen Zinsen gerechnet wird. a) Wie lautet das Kriterium der minimalen Pay-off-Periode in diesem (approximativen) Fall? Neben der Anschaffungsauszahlung müssen während der Pay-off-Periode nur die einfachen Zinsen durch die durchschnittlichen ( - konstant angesetzten) Einzahlungsüberschüsse verdient werden. Die einfachen Zinsen werden berechnet, indem der Zinssatz auf das durchschnittlich gebundene Kapital bezogen wird. Die allgemeine Bestimmungsgleichung für die Pay-off-Periode unter Berücksichtigung einfacher Zinsen und repräsentativer (= durchschnittlicher) Einzahlungsüberschüsse lautet dementsprechend: d * t* = Ao + — * i *t*

2

A Der Ausdruck — - * i steht dabei für die durchschnittlich pro Periode 2 anfallenden Zinsen. Ein Restverkaufserlös ist nicht zu beachten, da die Pay-off-Periode unabhängig ist von der tatsächlichen Nutzungsdauer.

178

Die Pay-off-Methode

Die folgende Graphik skizziert die mit der Bestimmungsgleichung einhergehende Überlegung: A Ao, d * t , Ao + — 2

»i»t

Eine Umformung der Bestimmungsgleichung ergibt: > * * Ao = d * t

An * — * ι* t

2

Ao = t* * (d - - γ * i) Für die Pay-off-Periode bei einfachen Zinsen folgt schließlich: t =

An

2 b) Nach welcher Zeit hat sich die Investition amortisiert? Die nach t* aufgelöste Bestimmungsgleichung lautet: t =

An

Bei den gegebenen Daten folgt daraus:

Die Pay-off-Methode

179

800.000

t =

160.000-^^*0,10 t = 6,67 Unter der Annahme, daß die Zahlungen nur am Ende eines jeden Jahres anfallen, beträgt die Pay-off-Periode sieben Jahre. c) Wie groß ist die Pay-off-Periode, wenn konstante Einzahlungsüberschüsse erzielt werden und das Investitionsobjekt keine Zinsen zu verdienen hat? Bei vollständiger Vernachlässigung von Zinsen wird der Zeitpunkt gesucht, in dem die nicht diskontierten, kumulierten Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung decken: d * t* = Ao Die folgende Graphik skizziert die mit der Bestimmungsgleichung einhergehende Überlegung zur Bestimmung der Pay-off-Periode: Ao, d * t

Für die Pay-off-Periode bedeutet das:

180

Die Pay-off-Methode

d Die in der Aufgabenstellung formulierte Investition hat unter der Voraussetzung, daß sie keine Zinsen verdienen muß, die folgende PoP: *=

800.000

160.000 t* = 5 Bei einer Vernachlässigung von Zinsen hat sich die Investition nach fünf Jahren amortisiert. Aufgabe 5.36 Eine Investition ist mit einer Anschaffungsauszahlung von A0 = 80.000 GE verbunden. Während ihrer Nutzungsdauer fallen folgende Einzahlungsüberschüsse an: d, = 18.000 GE

d4 = 25.000 GE

d2 = 26.000 GE

d5 = 15.000 GE

d 3 = 16.000 GE

d 6 = 8.000 GE

a) Wie lang ist die Pay-off-Periode, wenn davon auszugehen ist, daß das Investitionsobjekt Zinsen und Zinseszinsen verdienen muß? Die Soll-Amortisationsdauer möge bei 3 Jahren liegen. Wird die Unternehmung diese Investition durchführen, wenn der Kalkulationszinssatz mit i = 0,08 anzusetzen ist? Die Amortisationsdauer ist in dem Zeitpunkt erreicht, in dem die Summe der auf den Zeitpunkt to diskontierten Einzahlungsüberschüsse gleich ist der Anschaffungsauszahlung: £dt*(l + ir=Ao t=l

Die Kalkulation erfolgt nun im Rahmen einer Kumulationsrechnung, welche in der folgenden Tabelle vorgestellt wird.

181

Die Pay-off-Methode

Zeitpunkt

dt

dt * ( 1 + i)_t

Ao t=l

tl

18.000

16.666,67

16.666,67

80.000

t2

26.000

22.290,81

38.957,48

80.000

t3

16.000

12.701,32

51.658,80

80.000

t4

25.000

18.375,75

70.034,55

80.000

t5

15.000

10.208,75

80.243,30

80.000

t6

8.000

5.041,36

85.284,66

80.000

Die Pay-ofF-Periode ist nach fünf Jahren erreicht. Da die SollAmortisationsdauer kürzer ist, wird die Unternehmung diese Investition nicht durchführen. b) Es sei unterstellt, daß das vorstehende Investitionsobjekt keine Zinsen verdienen muß. Die Soll-Amortisationsdauer beträgt ebenfalls drei Jahre. Wie hoch ist die Pay-off-Periode (PoP)? Wird die Unternehmung die Investition durchführen? Die Amortisationsdauer ohne Berücksichtigung von Zinsen läßt sich bestimmen, indem die kumulierten Einzahlungsüberschüsse der Anschaffungsauszahlung gegenübergestellt werden: Zdt=A0 t=l

Die folgende Tabelle zeigt die notwendige Kalkulation:

182

Die Pay-off-Methode

η

Zeitpunkt

Σ".

d,

Ac

t=l

tl

18.000

18.000

80.000

12

26.000

44.000

80.000

t3

16.000

6 0 . 0 0 0

8 0 . 0 0 0

U

25.000

85.000

8 0 . 0 0 0

ts

15.000

100.000

80.000

te

8.000

108.000

8 0 . 0 0 0

Die folgende Graphik skizziert die Lösung:

Λ» Z d t 108.000 100.000 8 5 . 0 0 0

Die Pay-off-Methode

183

Da bei Zahlungen am Periodenende die tatsächliche Pay-off-Periode t* = 4 Jahre beträgt und die Soll-Pay-off-Periode mit tSoii = 3 vorgegeben ist, wird die Unternehmung die Investition nicht durchführen.

Literaturempfehlungen zum 5. Kapitel: Die Pay-ofT-Periode

Albach, H., Wirtschaftlichkeitsrechnung bei unsicheren Erwartungen, Köln, Opladen 1959. Altrogge, G., Investition, 4. Aufl., München 1996, S. 286 - 310. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 132 - 135. Blohm, H., Lüder, K., Investition, 8. Aufl., München 1995, S. 77 - 82 und S. 172 - 175. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 25 - 28. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 128 - 131. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 63 - 6 6 und S. 107-110. Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 31 -36. Troßmann, E., Investition, Stuttgart 1998, S. 247 - 254.

184

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

Zusammenfassung zum 5. Kapitel

Mit dem fünften Kapitel endet die Vorstellung der Instrumente und Entscheidungskriterien einer Wirtschaftlichkeitsrechnung im engeren Sinne (= Investitionsrechnung). In den folgenden Kapiteln werden jene Instrumente vertieft, indem sie auf weiterführende Probleme Anwendung finden. Als Grundlage der weiteren Kalkulationen sind die folgenden zusammenfassend dargestellten Erkenntnisse aus diesem Kapitel zu beachten: 1. Bei der Annuitäten-Methode erfolgt eine Periodisierung des Kapitalwertes über die Nutzungsdauer der Investition. Die Multiplikation des Kapitalwertes mit dem Wiedergewinnungsfaktor führt dazu, daß die Differenz aus der Anschaffungsauszahlung und dem Ertragswert einer Investition (Tilgung bzw. Eigenkapitalwiedergewinnung unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen) gleichmäßig auf die Nutzungsdauer des Objektes verteilt wird. Die Kapitalwert-Annuität gibt dementsprechend an, welchen Betrag die Investition in jeder Periode durchschnittlich nach der Bedienung der zur Finanzierung der Investition notwendigen finanziellen Mittel (inklusive Zinsen und Zinseszinsen) erwirtschaftet. Eine positive KapitalwertAnnuität bedeutet, daß die Investition nicht nur die durchschnittlich pro Periode laufenden Auszahlungen der Sachinvestition und die für die Finanzierung im Durchschnitt pro Periode zu berücksichtigenden Zahlungen (Fremdkapital) bzw. Opportunitäten (Eigenkapital) erzielt, sondern darüber hinaus einen durchschnittlichen Periodenerfolg in Höhe der Kapitalwert-Annuität erbringt. Bei einer negativen KapitalwertAnnuität ist die Leistung der Investition nicht ausreichend, um die auf die Perioden verteilten Auszahlungen bzw. Opportunitäten zu decken. Eine Berechnung der Kapitalwert-Annuität kann erfolgen, indem man die Differenz aus der Einzahlungs-Annuität und der AuszahlungsAnnuität bildet. Dazu werden vorab der Barwert der Einzahlungen

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

185

bzw. der Barwert der Auszahlungen mit dem entsprechenden Wiedergewinnungsfaktor multipliziert. Auf diese Weise wird der durchschnittliche Periodenerfolg unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen aus dem Vergleich der Einzahlungs-Annuität mit der AuszahlungsAnnuität ermittelt. Ohne explizite Berechnung des Kapitalwertes kann die KapitalwertAnnuität zudem bestimmt werden, indem der Kapitaldienst mit dem periodisierten Ertragswert verglichen wird. Der Kapitaldienst ergibt sich als Produkt aus der AnschafEungsauszahlung und dem Wiedergewinnungsfaktor, der periodisierte Ertragswert entsteht aus der Multiplikation des Ertragswertes mit dem Wiedergewinnungsfaktor. Da der Kapitaldienst anzeigt, wieviel die Investition mindestens im Durchschnitt pro Periode erwirtschaften muß, um die Auszahlungen bzw. Opportunitäten (inklusive Zinsen und Zinseszinsen) für die Finanzierung der Anschaffungsauszahlung decken zu können, und der periodisierte Ertragswert die tatsächliche durchschnittliche Leistung der Investition pro Periode anzeigt, ist der Vergleich jener Größen ein geeignetes Vorteilhaftigkeitskriterium. In diesem Zusammenhang sei auf zwei wesentliche Aspekte hingewiesen. Erstens soll die Entstehung und Interpretation von Annuitäten nochmals betont werden: Annuitäten stellen wertmäßige Äquivalente zu effektiven Zahlungen dar, denn sie beruhen auf dem Barwert-Prinzip und berücksichtigen somit Zinsen und Zinseszinsen. Zweitens sei beachtet, daß sich nicht nur die verschiedenen Wege zur Berechnung der Kapitalwert-Annuität mit einfachen rechentechnischen Umformungen ineinander überfuhren lassen, sondern auch die Beziehung zwischen Kapitalwert- und Annuitäten-Methode evident ist. Bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition führen beide Methoden dann auch zur gleichen Handlungsanweisung. Diese Identität gilt jedoch nur, sofern die Kapitalwert-Annuität in der exakten Form berechnet wird. Die approximativen Verfahren stellen

186

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

eine Vermengung der Prinzipien ein- und mehrperiodiger Instrumente dar, da die approximative Annuität nicht nur Zahlungen, sondern beispielsweise auch Abschreibungen berücksichtigt und zudem von Durchschnittswerten sowie einfachen Zinsen ausgeht. Da Kapitalwert- und Annuitäten-Methode zur gleichen Handlungsanweisung bezüglich der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition fuhren, und der Kapitalwert im Rahmen einer Wirtschaftlichkeitsrechnung quasi pflichtgemäß zu berechnen ist, kann die KapitalwertAnnuität einen echten Beitrag zur Investitionsrechnung erst dann leisten, wenn es um die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit bei mehreren Sachinvestitionen geht. In diesem Fall können jedoch abweichende Handlungsempfehlungen aus der Anwendung der Kapitalwert- und der Annuitäten-Methode entstehen (vgl. Kapitel 6, Abschnitt D). 2. Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Investition den Wert Null annimmt. Eine einfache Berechnung des internen Zinsfußes ist in verschiedenen Situationen gegeben: Bei der ewigen Rente, bei einer Rente ohne Restverkaufserlös (Tabelle der Barwert-Faktoren) sowie bei Normalinvestitionen mit einer Anschaffungsauszahlung und einem Einzahlungsüberschuß zu irgend einem Zeitpunkt oder mit einer Anschaffungsauszahlung und zwei Einzahlungsüberschüssen in den Perioden ti und t2. Im Rahmen der Methode des internen Zinsfußes bedarf es einer Unterscheidung mathematisch korrekt errechneter und ökonomisch verwertbarer Lösungen. Bei der fur ökonomische Entscheidungen zielfuhrenden Kalkulation muß die zugrunde liegende Sachinvestition das Deckungskriterium und das Eindeutigkeitskriterium erfüllen. Das ist bei Normalinvestitionen der Fall. Zahlungsreihen, die nicht den genannten Bedingungen entsprechen, können mitunter durch Äquivalenzumformungen auf der Basis des Barwert-Prinzips in Zahlungsreihen transformiert werden, die eine mathematisch und ökonomisch eindeutige Lösung ermöglichen.

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

187

Ebenso wie die Kapitalwert-Methode und die Annuitäten-Methode ermöglicht auch die Methode des internen Zinsfußes die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Sachinvestition, indem die Sachinvestition mit einer Finanzinvestition verglichen wird, die die Bedingungen am Kapitalmarkt widerspiegelt. Dabei ist das Vorteilhafligkeitskriterium (interner Zinsfuß r im Vergleich zum Kalkulationszinssatz i) davon abhängig, ob die Sachinvestition eine Investition vom Typ I ist (fallender Verlauf der Kapitalwert-Kurve) oder eine vom Typ II (steigender Verlauf der Kapitalwert-Kurve). Es ist aber zu beachten, daß die Einteilung von Investitionen in die Typen I und II vom Kalkulationszinssatz i determiniert wird und sich mit einer Variation des Kalkulationszinssatzes ändern kann! Ein wesentlicher Aspekt der Methode des internen Zinsfußes ist die in der Methode implizit enthaltene Wiederanlage-Prämisse, welche besagt, zwischenzeitliche Zahlungen verzinsen sich zum internen Zinsfuß der Sachinvestition. Das bedeutet, zwischenzeitliche

Einzahlungsüber-

schüsse während der Nutzungsdauer der Sachinvestition müßten sich zum internen Zinsfuß der Sachinvestition reinvestieren lassen. Analog dazu geht die Methode des internen Zinsfußes davon aus, daß zwischenzeitliche Auszahlungsüberschüsse durch einen Kredit zu den Konditionen des internen Zinsfußes der Sachinvestition zu finanzieren sind. Aus diesen Erkenntnissen resultiert schließlich der Schluß, daß die Aussage, der interne Zinsfuß stelle die Verzinsung der Sachinvestition dar und müsse mit der Verzinsung einer alternativ möglichen Finanzinvestition - ausgedrückt durch den Kalkulationszinssatz i - verglichen werden, nicht korrekt ist. Denn der interne Zinsfuß - die vermeintliche Verzinsung der Sachinvestition - resultiert nicht nur aus der eigentlichen Sachinvestition, sondern errechnet sich unter den Einflüssen der impliziten Wiederanlage-Prämisse. Die ist in aller Regel bei der Sachinvestition selbst nicht zu erfüllen, sondern bedarf zusätzlicher Annahmen

bzw.

Möglichkeiten

Anlage oder Finanzierung.

hinsichtlich

der

zwischenzeitlichen

188

Weitere Vorteilhaftigkeitskriterien der Investitionsrechnung

3. Mit dem Kriterium der Pay-off-Periode werden die Investitionsrechenverfahren um ein Instrument vervollständigt, das in erster Linie auf Risiko- bzw. Sicherheitsaspekte abstellt. Die Amortisationsdauer wird in aller Regel als zusätzliches Kriterium bei einer gewissen Unsicherheit hinsichtlich der Entscheidungsfindung auf der Basis der zuvor diskutierten Instrumente eingesetzt. Eine Entscheidung ausschließlich nach der Handlungsanweisung der Pay-off-Periode auszurichten, bedeutet, sämtliche Zahlungen einer Investition, die zeitlich nach der Pay-offPeriode anfallen, zu vernachlässigen.

Alternative Sachinvestitionen

189

Kapitel 6

DIE BESTIMMUNG DER VORTEILHAFTIGKEIT ALTERNATIVEN SACHINVESTITIONEN

BEI

Mit dem sechsten Kapitel werden die Kriterien der mehrperiodigen Investitionsrechnung vertieft. Die Lemziele dieses Kapitels sind dabei weniger auf die einzelnen Kriterien gerichtet als vielmehr auf die Anwendung der Verfahren in verschiedenen Situationen. Diese unterschiedlichen Konstellationen sind in erster Linie dadurch gekennzeichnet, daß es nunmehr nicht mehr um die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Sachinvestition geht, sondern um die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit bei alternativ möglichen Sachinvestitionen. Der implizite Vergleich mit einer grundsätzlich möglichen Finanzinvestition bleibt dabei aber erhalten, da er ein immanentes Element der mehrperiodigen Verfahren ist und diese Verfahren in ihrer Konzeption auch bei der Beurteilung von alternativen Sachinvestitionen Anwendung finden. Der Vergleich alternativer

Sachinvestitionen

verdeutlicht dennoch bestimmte konzeptionelle

Besonderheiten verschiedener Verfahren, die unter bestimmten Bedingungen von Bedeutung sind. Die folgenden Aspekte werden mit den Aufgaben dieses Kapitels bearbeitet: 1. Alternativen müssen vergleichbar sein, eindeutige Ergebnisse sind sonst nicht ermittelbar. Eine systematische Aufbereitung der Einflußfaktoren für die Vorteilhaftigkeit von Investitionen erfolgt mit der Zielsetzung, Möglichkeiten zu eruieren, nach denen unechte Alternativen in echte transformiert werden können. Das geschieht unter der Nebenbedingung, eine Verzerrung der Bewertung zu minimieren. 2. Nach entsprechenden Überlegungen zur Formulierung vollständiger Alternativen werden diese auf die verschiedenen mehrperiodigen Verfahren bezogen. Diese Erkenntnisse fuhren zu umfangreichen Kalkülen im Rahmen der Vorteilhaftigkeitsbestimmung alternativer Sachinvestitionen.

190

Alternative Sachinvestitionen

3. Die Betrachtung der einzelnen Kriterien fuhrt zu dem Ergebnis, daß die verschiedenen Vorteilhaftigkeitskriterien bei der Bewertung von alternativen Sachinvestitionen nicht zwangsläufig identische Handlungsanweisungen signalisieren. Dementsprechend ist die Frage zu beantworten, welche Kriterien unter welchen Bedingungen zielfuhrende Ergebnisse anzeigen. 4. Der Kalkulationszinssatz spielt bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen grundsätzlich eine entscheidende Rolle, das ist auch bei alternativen Sachinvestitionen der Fall. Damit verbundene Überlegungen sind demnach ein wesentlicher Aspekt dieses Kapitels. 5. Neben dem Kalkulationszinssatz ist gerade beim Vergleich alternativer Sachinvestitionen der sogenannte Baldwin-Zins von besonderer Bedeutung. Der Baldwin-Zins wird daher als zusätzliches Vorteilhafligkeitskriterium der Investitionsrechnung dargestellt und anhand verschiedener Ergänzungen vertieft. Damit der Leser die Komplexität dieses Kapitels erfassen kann, werden die wesentlichen Aspekte bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit alternativer Sachinvestitionen anhand verschiedener Abschnitte gegliedert.

Die Notwendigkeit von Komplementärinvestitionen

Α.

191

Die Notwendigkeit der Berücksichtigung von Komplementärinvestitionen

Aufgabe 6.1 »Um Investitionsmöglichkeiten miteinander vergleichen zu können, müssen sie vollständige Alternativen darstellen". Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung! In das Investitionskalkül sind grundsätzlich die Auszahlungen, die Einzahlungen, die Kapitalbindungsdauer und die zeitliche Lage der Kapitalbindung einzubeziehen. Zur Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen müssen diese Daten in drei der obigen vier Größen bei den Alternativen übereinstimmen. Die Vorteilhaftigkeitsentscheidung wird dann anhand der vierten Größe getroffen. Tatsächlich sind entsprechende Voraussetzungen in den seltensten Fällen gegeben. Dann könnte die Konsequenz sein, daß eine rational fundierte und eindeutige Entscheidung nicht ohne weiteres getroffen werden kann. Bei einem Vergleich der Investitionen 6.000

- 2.000

Investition I to

- 1.800

tio

5.400

Investition II

t

U kann eine Vorteilhaftigkeit nicht ohne weiteres bestimmt werden. Die Investitionen unterscheiden sich in der Höhe der Zahlungen sowie im zeitlichen Anfall und in der Dauer der Zahlungen.

192

Die Notwendigkeit von Komplementärinvestitionen

Um die Schwierigkeiten eines Vergleichs auszuräumen, müssen - die Höhe der Auszahlungen und/oder - die Höhe der Einzahlungen und/oder - die Kapitalbindungsdauer und/oder - die zeitliche Lage der Kapitalbindung durch Ergänzungsinvestitionen (= sog. Komplementär- oder auch Supplementinvestitionen) vergleichbar gemacht werden. Aufgabe 6.2 Eine Investition I ist gekennzeichnet durch eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 2.000 GE und durch eine Einzahlung im Zeitpunkt t2 in Höhe von e 2 = 2.464 GE. Eine Investition II verursacht eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 2.000 GE und eine Einzahlung im Zeitpunkt t3 in Höhe von e 3 = 2.622 GE. Stellen Sie einen vollständig formulierten Zahlungsplan auf. Legen Sie Ihren Berechnungen die Annahme zugrunde, daß eine Anlage zwischenzeitlich freigesetzter Mittel zu einem Zinssatz von i = 0,08 möglich ist! Um die Vergleichbarkeitsbedingung zu schaffen, ist für die Investition I der Ansatz einer zeitlichen Komplementärinvestition (= Zeitsupplement) im Zeitpunkt t2 erforderlich. Durch dieses Zeitsupplement werden gleiche Einzahlungszeitpunkte geschaffen. Die zur Entscheidung fuhrende Größe ist dann die Höhe der letztendlich erwirtschafteten Einzahlungen, es findet ein Vergleich auf der Basis des Maximalprinzips statt. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08 führt das Zeitsupplement der Investition I zu einer Einzahlung im Zeitpunkt t3 in Höhe von 2.661,12 GE. Die Investition II ist der Investition I vorzuziehen, da sie einen höheren Endwert erzielt. Die anderen Daten zum Vergleich der Vorteilhaftigkeit sind bei beiden Objekten identisch (vgl. dazu die Tabelle der folgenden Seite).

Die Notwendigkeit von Komplementärinvestitionen

193

Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe der Investition I

- 2.000

-

2.464

-

-

- 2.464

Zahlungssaldo der Investition I

- 2.000

-

-

2.661,12

Zahlungsreihe der Investition II

- 2.000

-

-

2.662,00

Zeitsupplement der Investition I

tl

t2

t3 -

2.661,12

Aufgabe 6.3 Eine Investition I fuhrt zu einer Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 2.000 GE und zu einer Einzahlung im Zeitpunkt t2 in Höhe von e 2 = 2.800 GE. Eine Investition II erfordert eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 1.700 GE und erwirtschaftet im Zeitpunkt t2 eine Einzahlung in Höhe von e 2 = 2.450 GE. Stellen Sie einen vollständig formulierten Zahlungsplan auf. Unterstellen Sie dabei, daß der Investor über Kapital von 2.000 GE verfügt und die Möglichkeit hat, eine Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz von i = 0,10 durchzufuhren! Die alternativen Investitionen weisen im Zeitpunkt to auszahlungsmäßige Differenzen auf. Wenn für die Investition I 2.000 GE zur Verfugung stehen, dann steht dieser Betrag auch für die Altemativinvestition zur Verfügung. Der DifFerenzbetrag in Höhe von 300 GE kann für eine Finanzinvestition (= Zahlungssupplement bzw. auszahlungsmäßige Komplementärinvestition) verwendet werden. Nach dem folgenden Zahlungsplan führt der Ansatz eines Zahlungssupplementes in Höhe von 300 GE zu i = 0,10 über zwei Jahre dazu, daß die Investition II der Investition I vorzuziehen ist.

194

Die Notwendigkeit von Komplementärinvestitionen

Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe der Investition I

- 2.000

-

2.800

Zahlungsreihe der Investition II

- 1.700

-

2.450

-300

-

363

-2.000

-

2.813

Zahlungssupplement der Investition II Zahlungssaldo der Investition II

tl

t2

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

195

B. Entscheidungen auf der Basis des Kapitalwert-Kriteriums

Aufgabe 6.4 Begründen Sie die folgende Aussage: „Bei Anwendung der Kapitalwert-Methode ist beim Vorteilhaftigkeitsvergleich der Kapitalwert von Supplementinvestitionen gleich Null." Stehen einem Unternehmer mehrere Investitionsmöglichkeiten zur Verfügung, so kann er deren Vorteilhaftigkeit nur eindeutig bestimmen, wenn die Investitionsmöglichkeiten sich in einer Ausprägung unterscheiden. Diese Größe eignet sich dann zum Vorteilhaftigkeitsvergleich der Investitionsobjekte (vgl. dazu Aufgabe 6.1). Diese Bedingung für eine eindeutige Entscheidungsfindung im Investitionskalkül ist tatsächlich in aller Regel nicht gegeben. Um die damit verbundenen Schwierigkeiten auszuräumen, werden die Investitionen durch Ergänzungsinvestitionen (sog. Komplementärinvestitionen oder auch Supplementinvestitionen) vergleichbar gemacht. Unterscheiden sich zwei Investitionen Α und Β beispielsweise durch eine unterschiedliche Höhe der Anschaffungsauszahlungen, so wird eine Auszahlungskomplementärinvestition in Höhe des Differenzbetrages angesetzt. Bei AoA < AOB gilt für die Auszahlungskomplementärinvestition ΑοΜ : AoKI = AOB-AOA Der Kapitalwert dieser Komplementärinvestition berechnet sich wie folgt: Co 0 = - Ao 0 + Ao^ * (1 + i)n * (1 + i)"n Co^O Die auszahlungsmäßige Komplementärinvestition verzinst sich über die Laufzeit der Investition zum Kalkulationszinssatz i. Der Barwert dieser Komplementärinvestition ergibt sich, indem die aufgezinste Differenz der Anschaffungsauszahlung wiederum auf den Zeitpunkt to diskontiert wird. Unter der Prämisse eines vollkommenen Kapitalmarktes gleichen sich der

196

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Aufzinsungsfaktor und der Abzinsungsfaktor aus, der Kapitalwert der Komplementärinvestition ist dann gleich Null. Aufgabe 6.5 Ermitteln Sie die Kapitalwerte der folgenden Investitionsalternativen! Investition A: Ao = 10.000 GE

e, = e2 = .... = e10 = 2.000 GE

Investition B: A0 = 4.000 GE

e, = e2 = .... = e,0 = 1.000 GE

Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. Welche Investition ist vorteilhaft? Für beide Investitionen gilt die folgende Kapitalwertformel: *

..

(l + i)n - 1 i*(l + i)

Co = - Ao + d * i

Daraus folgt fur die Alternativen: C0A = - 10.000 + 2.000 * BWF (n = 10; i = 0,10) C0A = - 10.000 + 2.000 * 6,1446 C0A = 2.289,20 > 0 C0B = - 4.000 + 1.000 * BWF (n = 10; i = 0,10) C0B = - 4 . 0 0 0 + 1.000 * 6,1446 C0B = 2.144,60 > 0 Die beiden Kapitalwerte dürfen nun noch nicht ohne weiteres miteinander verglichen werden. Bei Realisierung der Investition Β ist der Kapitaleinsatz um 6.000 GE niedriger als bei einer Realisierung der Investition A. Es muß daher für den Vergleich eine AuszahlungsKomplementärinvestition in Höhe von 6.000 GE angesetzt werden. Bei ungleicher Kapitalbindung und gleichem Kapitalbindungszeitraum kann die vorteilhaftere von zwei Investitionen mit der Kapitalwert-

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

197

Methode nur dann bestimmt werden, wenn der Kapitalwert der Auszahlungs-Komplementärinvestition auch berücksichtigt wird. Als Zahlungssupplement müssen 6.000 GE in to angesetzt werden. Da eine Verzinsung des Zahlungssupplementes zum Kalkulationszinssatz unterstellt wird, resultiert aus den 6.000 GE eine Einzahlung in Höhe von: 6,0^ = 6.000 * (1,10)'° Der Kapitalwert dieser Komplementärinvestition ist: Co10 = - 6.000 + 6.000 * (1,10)'° * (1,10) 10 Die beiden Terme heben sich aufgrund der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes auf. Es ist Co" = 0. Bei einer Anlage der Auszahlungs-Komplementärinvestition in Form einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i kann bei der KapitalwertMethode der explizite Ansatz dieser Investition unberücksichtigt bleiben. Es ist dann diejenige Investition vorteilhaft, die den größeren Kapitalwert aufweist. Dies ist hier Investition A, da C0A > C0B > 0. Aufgabe 6.6 Ermitteln Sie die Kapitalwerte der beiden Investitionsalternativen ! Investition A: Ao = 1.000 GE

e10 = 2.100 GE

Investition B: Ao = 1.000 GE

e s = 1.500 GE

Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,06. Welche Investition ist vorteilhaft? Welche Annahmen sind bei der Berechnung der Vorteilhaftigkeit unterstellt worden? Die Kapitalwerte berechnen sich anhand der Formel: C 0 = - Ao + e, * (1 + i)"1

198

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Für die Investitionen bedeutet das konkret: C0A = - 1.000+ 2.100 *(1,06)"10 C 0 A = 172,63 > 0 C0B = - 1.000 + 1.500 * (1,06)"5 C 0 B = 120,89 > 0 Bei gleicher Kapitalbindung, jedoch ungleichem Kapitalbindungszeitraum kann die vorteilhaftere von zwei Investitionen mit Hilfe der KapitalwertMethode grundsätzlich nur dann bestimmt werden, wenn bei der Kapitalwertbestimmung eine zeitliche Komplementärinvestition mitberücksichtigt wird. Es ist der Kapitalwert der zeitlichen Komplementärinvestition zur Investition Β im Zeitpunkt ts: € 3 - = - 1.500 +

1

·

5 0 0

^1:Γ (1 + i)10"5

-0

Dieses Zeitsupplement hat hier den Kapitalwert Null, da ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt ist. Unter der bei der Kapitalwert-Methode gemachten Annahme, der Investor könne zum Kalkulationszinssatz i beliebige Beträge ent- und verleihen und die Komplementärinvestition in Form einer Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i durchführen, kann der explizite Ansatz der zeitlichen Komplementärinvestition unberücksichtigt bleiben. Ihr Kapitalwert ist bei den genannten Bedingungen gleich Null. Es ist diejenige Investition vorteilhaft, die den größeren Kapitalwert aufweist. Das ist hier Investition A, da C0A > C0B > 0. Aufgabe 6.7 Welche Annahmen werden bei der Kapitalwert-Methode bezüglich der Komplementärinvestition gemacht, wenn die Investition durch mehrere Einzahlungen und Auszahlungen gekennzeichnet ist und wenn Kapitalbindung und Kapitalbindungszeitraum der zu vergleichenden Investitionen nicht identisch sind?

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

I.

199

Beim Vergleich von zwei Investitionen, welche durch mehrere Einzahlungen und Auszahlungen gekennzeichnet sind, ist wie folgt vorzugehen: 1.

Für jede Periode, in der die Einzahlungen einer Investition die Auszahlungen übersteigen, ist eine Komplementärinvestition zu berücksichtigen, die in dieser Periode beginnt und im Endzeitpunkt der Investition endet.

2.

Für jede Periode, in der die Auszahlungen einer Investition die Einzahlungen übersteigen, ist eine Komplementärinvestition zu berücksichtigen, die im Zeitpunkt to die Investition eines Betrages vorsieht, welcher einschließlich der Verzinsung zwischen to und der betrachteten Periode bei seiner Desinvestition in dieser Periode ausreicht, den Auszahlungsüberschuß der betrachteten Periode zu decken.

Unter diesen Bedingungen wird jede Investition auf eine einzige Auszahlung im Zeitpunkt to und auf eine einzige Einzahlung im Zeitpunkt t„ reduziert. II. Wenn Kapitalbindung und Kapitalbindungszeitraum der zu vergleichenden Investitionen nicht übereinstimmen, sind neben der noch notwendigen zahlungsmäßigen Komplementärinvestition zusätzlich zeitliche Komplementärinvestitionen vorzunehmen. Ein echter Vorteilhaftigkeitsvergleich ist nur dann durchzuführen, wenn sämtliche Charakteristika, die die zu vergleichenden Investitionen auszeichnen, bis auf eines in Übereinstimmung gebracht sind. Dies erfolgt durch Komplementär- bzw. Supplementinvestitionen. In der Theorie wird dies durch die Prämisse, der Investor könne zum Kalkulationszinssatz i beliebige Beträge ent- und verleihen, vereinfacht. Die Annahme hat zur Konsequenz, daß keine Liquiditätsschwierigkeiten auftreten und Komplementärinvestitionen ohne Einfluß auf die Vorteilhaftigkeit von Sachinvestitionen sind, weil der Kapitalwert der Supplemente unter den Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes gleich Null ist.

200

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Die Komplementärinvestitionen können jedoch einen solchen Umfang annehmen, daß der Erfolg der Investition mehr durch die Komplementärinvestition bestimmt wird als durch die eigentliche Sachinvestition - beispielsweise, wenn man sich die Supplemente als Anlage in festverzinslichen Wertpapieren auf einem nicht vollkommenen Kapitalmarkt vorstellt. Aufgabe 6.8 Ein Unternehmen möchte das Sortiment erweitern. Es ergeben sich zwei Möglichkeiten: Das evtl. ins Sortiment aufzunehmende Produkt Α ist gekennzeichnet durch eine Anschaffungsauszahlung für eine neu zu installierende Anlage in Höhe von A 0 = 100.000 GE. Zusätzlich erfordert eine sofort durchzuführende Einführungswerbung eine Auszahlung in Höhe von Wo = 100.000 GE. Die Anlage Α hat eine Lebensdauer von η = 10 Jahren. Während dieser Zeit fallen jährlich am Ende des Jahres laufende Auszahlungen für Löhne, Rohstoffe und Energie in Höhe von a =70.000 GE an. Um die Einzahlungen auf stets gleicher Höhe von e = 150.000 GE zu halten, ist jedes Jahr eine Erinnerungswerbung erforderlich, die zu jährlichen Werbeauszahlungen in Höhe von w t = 30.000 GE (t = 1,..., n) führt. Die Alternative besteht darin, durch Produktdifferenzierung ein leicht verändertes Produkt B* zusätzlich zu dem bereits im Sortiment vorhandenen Produkt Β auf den Markt zu bringen. Dabei entstehen für die folgenden fünf Jahre die aufgeführten Einzahlungen: e, = 40.000 GE

e 2 = 50.000 GE

e 4 = 50.000 GE

e s = 35.000 GE

e 3 = 60.000 GE

Diese Produktdifferenzierung erfordert Auszahlungen für die Umrüstung einer stillgelegten Produktionsanlage in Höhe von A 0 = 30.000 GE. Die Einführungswerbung beträgt W 0 = 20.000 GE. Die jährlich laufenden Auszahlungen belaufen sich auf: ai = 10.000 GE

a 2 = 15.000 GE

a 4 = 15.000 GE

a 5 = 8.000 GE

a 3 = 20.000 GE

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

201

Um die angegebenen Einzahlungen erzielen zu können, sind jährliche Auszahlungen für Erinnerungswerbungen in folgender Höhe erforderlich: w, = 5.000 GE

w 2 = 10.000 GE

w 4 = 10.000 GE

w s = 2.000 GE

w3 = 15.000 GE

a) Formulieren Sie die Zahlungsreihen der Alternativen! Die Zahlungsreihe der Alternative Α lautet: to

t,

t2

t3

1

1

1

- 70.000 - 30.000 150.000

- 70.000 - 30.000 150.000

- 70.000 - 30.000 150.000

50.000

50.000

50.000

- 100.000 - 70.000 - 100.000 - 30.000 150.000 - 200.000

50.000

tio «f

κ

Die Zahlungsreihe der Alternative B* lautet: t0

t,

t2

t3

t4

t5

- 30.000 - 20.000

- 10.000 - 5.000 40.000

- 15.000 - 10.000 50.000

- 20.000 - 15.000 60.000

- 15.000 - 10.000 50.000

- 8.000 - 2.000 35.000

-50.000

25.000

25.000

25.000

25.000

25.000

b) Welche impliziten Annahmen sind in den obigen Zahlungsreihen enthalten? Den Zahlungsreihen liegt die Annahme zugrunde, die Einzahlungen und Auszahlungen seien dem jeweiligen Investitionsobjekt eindeutig zurechenbar, zusätzlich ist die Kenntnis der Zukunft unterstellt. c) Welche Alternative ist bei der Verwendung der KapitalwertMethode vorteilhaft, wenn ein Kalkulationszinssatz von i = 0,10 anzusetzen ist?

202

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Bei alternativen Sachinvestitionen ist die Investition mit dem höchsten positiven Kapitalwert am vorteilhaftesten. Die beiden Objekten sind mit jährlichen Zahlungen verbunden, die als Rente anfallen. Für die Kapitalwertformel bedeutet das: e . - A . + d . c + ' r - '

i*(l + i)

Unter Verwendung der gegebenen Daten folgt daraus: C0A = - 200.000 + 50.000 * BWF (n = 10; i = 0,10) C0A = - 200.000 + 50.000 * 6,1446 C 0 A = 107.230 > 0 Die Investition Α ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. CoB* = - 50.000 + 25.000 * BWF (n = 5; i = 0,10) C 0 B * = - 50.000 + 25.000 * 3,7908

C0B* = 44.770 > 0 Auch die Investition B* ist empfehlenswert, der Kapitalwert ist größer als Null. Letztendlich führt die Kalkulation zu der Entscheidung, das neue Produkt Α in das Sortiment der Unternehmung aufzunehmen: CoA > Co3* > 0. d) Was unterstellt die Kapitalwert-Methode für die Investition B* bezüglich des Zeitraumes der Jahre U bis tio sowie hinsichtlich der Anlage des Differenzbetrages im Zeitpunkt to in Höhe von 150.000 GE? Welche Auswirkungen haben diese Annahmen auf den Kapitalwert? Die Kapitalwert-Methode unterstellt für die Investition B* eine zeitliche Komplementärinvestition für den Zeitraum der Jahre t6 bis tio und ein Zahlungssupplement in Höhe von 150.000 GE zum Zeitpunkt to. Diese Komplementärinvestitionen verzinsen sich zum Kalkulationszinssatz i.

203

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Da die Kapitalwert-Methode einen vollkommenen Kapitalmarkt unterstellt, ist der Kapitalwert beider Komplementärinvestitionen Null. Aufgabe 6.9 Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, entweder das Investitionsobjekt Α oder das Investitionsobjekt Β zu realisieren. Das Investitionsobjekt Α weist eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 100.000 GE auf. Mit der Anlage kann ein Produkt hergestellt werden, für das folgende Absatzentwicklung zu erwarten ist: Zeitpunkt Absatzentwicklung X,

t|

t2

ts

1.000 Stück 2.000 Stück 2.000 Stück

U 1.000 Stück

Der Absatzpreis ρ beträgt in jeder Periode 60 GE pro Stück. Die Erlöse fuhren am Ende der jeweiligen Periode zu Einzahlungen. Die mit der Produktion verbundenen Auszahlungen betragen av = 30 GE pro Stück. Außerdem ist für die Wartung der Anlage mit Auszahlungen in Höhe von 10.000 GE pro Periode zu rechnen. Am Ende der Nutzungsdauer von η = 4 Jahren wird aus dem Verkauf der Anlage eine Einzahlung in Höhe von R» = 10.000 GE erzielt. Das Investitionsobjekt Β weist eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 90.000 GE auf. Die Überschüsse der Einzahlungen über die laufenden Auszahlungen betragen in den Perioden t t , t2, t3 und t 4 gleichbleibend d = 35.000 GE pro Periode. Sämtliche Ein- und Auszahlungen fallen am Ende der jeweiligen Periode an. Bei den Berechnungen soll ein Kalkulationszinssatz in Höhe von i = 0,10 zugrunde gelegt werden! a) Formulieren Sie die Zahlungsreihe für das Investitionsobjekt A! Die Zahlungsreihe der Investition Α wird anhand der folgenden Tabelle dargestellt.

204

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

Periode

Absatz-

Preis

Einzah-

fixe Aus-

Rest-

Zahlungs-

menge

./. var.

lungen aus

zahlungen

ver-

reihe

Aus-

(P - av) * Xt

af

kaufs-

zah-

erlös

lungen to

- 100.000

- 100.000

ti

1.000

30

30.000

- 10.000

20.000

t2

2.000

30

60.000

- 10.000

50.000

t3

2.000

30

60.000

- 10.000

50.000

U

1.000

30

30.000

- 10.000

10.000

30.000

b) Entscheiden Sie aufgrund der Kapitalwerte der Investitionsobjekte, welche Alternative vorzuziehen ist! Für die Investition Α gilt: C 0 = " A 0 + £ [ ( p - a v ) * X t - a f ] * ( 1 + r) _t + R n *(1 + r) " t=l

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: C0A = - 100.000 + 20.000 * (1,10)·' + 50.000 * (1,10)'2 + 50.000 # (1,10)-3 + 30.000 * (1,10)^ C0A = 17.560,28 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Für die Investition Β gilt:

Alternative Sachinvestitionen und Kapitalwert-Kriterium

205

Unter Verwendung der gegebenen Daten folgt daraus: C0B = - 90.000 + 35.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) C0B = - 90.000 + 35.000 * 3,1699 C0B = 20.946,50 > 0 Auch die Investition Β ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Letztendlich ist das Objekt Β zu realisieren, da C0B > C0A. c) Wie hoch muß die Einzahlung aus dem Verkauf der Anlage A am Ende der Nutzungsdauer sein, damit Indifferenz zwischen den Investitionsalternativen Α und Β besteht? Damit Indifferenz zwischen den Investitionsalternativen Α und Β besteht, muß ein zusätzlicher Restverkaufserlös ΔΙΙ4 den geringeren Kapitalwert der Anlage Α gerade kompensieren: AR4*(l + i)^ = Co B -Co A Das bedeutet konkret: AR* * (MO)"4 = 20.946,50 - 17.560,28 AR4 = (20.946,50 - 17.560,28) * (1,10)4 AR, = 4.957,76 Der Restverkaufserlös der Anlage Α muß demnach R4 + AR4 = 10.000 + 4.957,76 = 14.957,76 GE betragen, damit Indifferenz zwischen den Investitionsalternativen vorliegt. d) Ändert sich die unter b) getroffene Entscheidung, wenn für die Investitionsobjekte unabhängig von deren Realisierung in to eine Auszahlung für Planungsaktivitäten in Höhe von 5.000 GE fallig sind? Begründen Sie Ihre Aussage! Die Entscheidung ändert sich nicht, denn die Auszahlung für die Planung ist nicht entscheidungsrelevant, da sie in jedem Fall erfolgt; sowohl bei der Durchführung von Β als auch bei einer Entscheidung für A.

206

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

C.

Die unterschiedliche Rangfolge der Vorteilhaftigkeit bei Anwendung der Kapitalwert-Methode und der Methode des internen Zinsfußes

Aufgabe 6.10 Wie lautet das Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des internen Zinsfußes bei der Auswahl alternativer Investitionsobjekte? Zur Bestimmung der Akzeptanz einer Investition nach dem Kriterium des internen Zinsfußes wird der interne Zinsfuß im Fall einer einzelnen Investition einem Kalkulationszinssatz i als Vergleichsmaßstab gegenübergestellt. Ist das Kriterium r > i (bei einer Normalinvestition) erfüllt, so ist die Investition vorteilhaft. Die Methode des internen Zinsfußes und die Kapitalwert-Methode fuhren unter den genannten Bedingungen zur gleichen Entscheidung. Das Entscheidungskriterium für die Vorteilhaftigkeitsbestimmung nach der Methode des internen Zinsfußes lautet bei alternativen Sachinvestitionen: Wähle diejenige Sachinvestition, die den höchsten internen Zinsfuß η (= Auswahlkriterium) aufweist, sofern dieser die Bedingung η > i erfüllt. Aufgabe 6.11 Kann sich die Rangfolge der Vorteilhaftigkeit von alternativen Investitionsobjekten durch Variation des Kalkulationszinssatzes ändern, wenn der Investor seinen Entscheidungen nicht die KapitalwertMethode sondern die Methode des internen Zinsfußes zugrunde legt? Begründen Sie Ihre Antwort! Verdeutlichen Sie Ihre Begründung durch eine Zeichnung, bei der der Kapitalwert in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz dargestellt wird! Der interne Zinsfuß wird ermittelt aus der Bestimmungsgleichung: C0 = 0 = - A 0 + £ d t=l

t

*(l + r)-' + R n *(l + r)- n

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

207

Auf die Höhe des internen Zinsfußes hat die Variation des Kalkulationszinssatzes keinen Einfluß. Indem der interne Zinsfuß mit dem Kalkulationszinssatz verglichen wird, nimmt dieser einen mittelbaren Einfluß auf die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit. Wird die Vorteilhaftigkeit der Investitionsalternativen mit Hilfe des Kapitalwertkriteriums ermittelt, so hat der Kalkulationszinssatz i einen unmittelbaren Einfluß auf die Rangfolge alternativer Investitionsprojekte. Die folgenden Graphiken zur Darstellung der Kapitalwertkurven von zwei Investitionsalternativen Α und Β verdeutlichen diese Aussage:

Co

Schneiden sich die Kapitalwertkurven nicht, so wird bei vorgegebenem Kalkulationszinssatz i nach dem Kapitalwert-Kriterium dasjenige Investitionsobjekt gewählt, welches den höchsten Kapitalwert aufweist (hier Investition B). Da bei C0B > 0 stets rB > i ist, ist auch nach der Methode des internen Zinsfußes die Investition Β vorzuziehen. Schneiden sich hingegen die Kapitalwertkurven, dann fuhrt eine Entscheidung auf der Grundlage des Kapitalwert-Kriteriums nicht zwingend zum gleichen Ergebnis wie auf der Grundlage des internen Zinsfußes.

208

Kapitalwert versus interner Zinsfuß Co

Für i > ikrit führen die Kriterien der Kapitalwert- und der internen ZinsfußMethode zum gleichen Ergebnis hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit. Für i < iknt fuhren die obigen Kriterien zu verschiedenen Handlungsanweisungen. Aufgabe 6.12 Sie haben die Vorteilhaftigkeit folgender Investitionen zu prüfen: Investition A: A0 = 20 GE

e = 4 GE als ewige Rente

Investition B: A0 = 200 GE

e = 20 GE als ewige Rente

Für die Investition stehen 200 GE zur Verfugung. a) Zu welchem Ergebnis kommen Sie, wenn Sie die Vorteilhaftigkeit der Objekte anhand der Methode des internen Zinsfußes untersuchen? Die Formel zur Bestimmung des internen Zinsfußes lautet für den Fall der ewigen Rente: Co = 0 = - A o + -

r

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

209

Bei den gegebenen Daten folgt daraus für die Investition A: CoA = 0 = - 20 + — Das fuhrt zu: Γα =

0,20

Für die Investition Β folgt analog dazu: C 0 B = 0 = - 200 +

90 — Γ

Β

Das fuhrt zu: r B = 0,10 Die Investition Α ist der Investition Β vorzuziehen, da rA > r B . An dieser Stelle kann jedoch noch nicht die Frage beantwortet werden, ob die Investition Α tatsächlich zu realisieren ist. Das Maß zur Beurteilung dieser Frage ist der - hier noch unbekannte - Kalkulationszinssatz i. Darüber hinaus ist der Kapitaleinsatz bei den alternativen Investitionen unterschiedlich. b) Wie fällt das Ergebnis aus, wenn Sie die Entscheidung anhand der Kapitalwert-Methode treffen sollten und ein Kalkulationszinssatz von i = 0,05 anzusetzen ist? Der Kapitalwert einer ewigen Rente lautet: Co = - Ao + — Bei den gegebenen Daten folgt daraus für die Investition A: C0a = - 2 0 +

4

0,05

C 0 A = 60 > 0 Für die Investition Β folgt analog dazu: Cob = - 2 0 0 +

— 0,05

210

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

C 0 B = 200 > 0 Nach dem Urteil der Kapitalwert-Methode ist die Investition Β vorzuziehen und durchzuführen, da C 0 B > CoA > 0. c) Wie lassen sich die vorstehenden unterschiedlichen Ergebnisse bezüglich der Vorteilhaftigkeit erklären? Die Kapitalwert-Methode unterstellt, daß der bei Investition Α nicht verwendete Kapitalbetrag in Höhe von 180 GE zum Kalkulationszinssatz i = 0,05 angelegt wird. Der Kapitalwert dieser Auszahlungskomplementärinvestition ist Null: C 0 K = - 180 +

180*i

= 0

Die Methode des internen Zinsfußes unterstellt, daß der Kapitalbetrag der Auszahlungskomplementärinvestition in Höhe von 180 GE zum internen Zinsfuß der ursprünglichen Investition (r A = 0,20) angelegt wird. Aufgabe 6.13 Die beiden alternativen Sachinvestitionen Α und Β weisen folgende Zahlungen auf: Investition A: A 0 = 1.000 G E

e 2 = 4.000 G E

Investition B : A 0 = 1.000 G E

β! = 2.000 G E

e 2 = 1.000 G E

a) Beurteilen Sie die Vorteilhaftigkeit und die Rangfolge der Investitionsobjekte nach dem Kriterium des internen Zinsfußes bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10! Die Bestimmung der internen Zinsfüße basiert auf der Kapitalwertformel. Für Investition Α folgt daraus: C 0 A = 0 = - Ao + e2 * (1 + rA)·2 Für die konkreten Daten bedeutet das:

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

211

C 0 A = 0 = - 1.000 + 4.000 * (1 + rA)"2 Daraus folgt: rA'=l

rA2 = - 3

Nur der interne Zinsfuß von r A ' = 1 ist ökonomisch relevant, da die Investition die Kriterien einer Normalinvestition erfüllt (vgl. Aufgabe 5.20). Für die Investition Β folgt analog dazu: C 0 B = 0 = - Ao + e, * (1 + r B )·' + e 2 * (1 + rB)"2 Bei den gegebenen Daten folgt daraus: C 0 B = 0 = - 1.000 + 2.000 * (1 + rB)"' + 1.000 * (1 + rB)"2 Daraus ergibt sich: r B ' = 1,4142

rB2 = - 1 , 4 1 4 2

Auch an dieser Stelle ist nur r B ' = 1,4142 von ökonomischer Bedeutung, da eine Normalinvestition vorliegt. Für beide Investitionen gilt: r > i. Auch wenn die Investition Α einen höheren Überschuß erwirtschaftet, empfiehlt die Methode des internen Zinsfußes eine Entscheidung für Investition B: r B > r A > i. b) Begründen Sie das Ergebnis ökonomisch! Obwohl bei der Sachinvestition Α der absolute Nettoüberschuß 3000 GE und bei Β nur 2000 GE beträgt, ist die Investition Β nach dem Kriterium des internen Zinsfußes vorteilhafter. Dieses Ergebnis kommt dadurch zustande, daß die Methode des internen Zinsfußes unterstellt, die im Zeitpunkt ti zu vollziehende zeitliche Komplementärinvestition bei der Sachinvestition Β verzinse sich zum internen Zinsfuß der Investition B. c) Bei welchem Kalkulationszinssatz weisen die beiden Sachinvestitionen den gleichen Kapitalwert auf? Die Kapitalwerte der Investitionen müssen in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsssatz i gleichgesetzt werden:

212

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

C 0 A (i) - C 0 B (i)

Daraus folgt: - Ao Ä + e2A * (1 + i)"2 = - AOB + e,B * (1 + i)"1 + e2B * (1 + i)"2 Unter Verwendung der gegebenen Daten folgt daraus: - 1.000 + 4.000 * (1 + ι)"2 = - 1.000 + 2.000 * (1 + i)"1 + 1.000 * (1 + i)"2 Als kritischer Zinssatz ikm. ergibt sich nach Auflösung der Gleichung: iknt = 0 , 5 0

Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,50 haben die Investitionsalternativen Α und Β den gleichen Kapitalwert. Dieser beträgt: C0A(i = 0,50) = - 1.000 + 4.000 * (1,50)"2 C 0 A (i = 0,50) = 777,78 > 0

Beziehungsweise: CoB(i = 0 , 5 0 ) = - 1.000 + 2.000 * ( 1 , 5 0 ) 1 + 1.000 * (1,50)" 2 C 0 B (i = 0 , 5 0 ) = 777,78 > 0

Aufgabe 6.14 Zwei Investitionen sind durch folgende Zahlungsreihen charakterisiert: Zeitpunkt

to

t.

t2

t3

U

t5

Investition A

- 100 GE

10 GE

20 GE

30 GE

40 GE

50 GE

Investition Β

- 100 GE

40 GE

40 GE

30 GE

20 GE

10 GE

Quelle: Kern, W., Investitionsrechnung, S. 171

Ermitteln Sie für alternative Kalkulationszinssätze die jeweiligen Kapitalwerte!

213

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Bestimmen Sie die vorteilhaftere Investition nach der Methode des internen Zinsfußes und in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz i nach der Kapitalwert-Methode! In Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz i ergeben sich die folgenden Kapitalwerte:

rM )B

C0A

i 0,00

50,00

40,00

0,05

25,70

24,60

0,0575

22,50

22,50

0,10

6,00

11,80

0,12

0,00

7,30

0,15

-8,70

1,20

0,156

- 10,30

0,00

Die folgende Abbildung skizziert die tabellierten Werte: C 0 (i)

214

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Bei Anwendung der Kapitalwert-Methode ist für 0 < i < ikm der Kapitalwert der Investition Α größer als der von B: CoA > CoB > 0. Für Kalkulationszinssätze unter i^t = 0,0575 ist die Investition Α gemäß der Kapitalwert-Methode vorteilhafter und durchzufuhren. Für ikrit < i < γβ ist gemäß der Kapitalwert-Methode die Investition Β vorteilhafter als die Investition Α und dementsprechend zu realisieren: C0B > C0A > 0. Bei i = iknt liegt nach der Kapitalwertmethode Entscheidungsindifferenz vor: _ r* Β C0A — L/0 . Steigt der Kalkulationszinssatz i über den internen Zinsfuß Γβ der Investition B, so ist keine der Investitionen von Vorteil. Für i > rB ist eine Finanzinvestition zum Kalkulationszinssatz i zu realisieren. Bei der Entscheidung mit Hilfe der Methode des internen Zinsfußes wird von mehreren vorteilhaften Objekten dasjenige ausgewählt, welches den größten internen Zinsfuß aufweist. Hierbei ist zusätzlich darauf zu achten, daß der interne Zinsfuß r der Sachinvestition größer sein muß als der Kalkulationszinssatz i. Nach dem Kriterium der internen Zinsfußmethode ist hier die Investition Β zu realisieren: rB > rA; unter der Bedingung, daß rB größer ist als i. Die sich zum Teil widersprechenden Ergebnisse zwischen der KapitalwertMethode und der Methode des internen Zinsfußes kommen dadurch zustande, daß die Methoden mit unterschiedlichen Annahmen über die Verzinsung der Komplementärinvestitionen arbeiten. Die KapitalwertMethode unterstellt die Wiederanlage freier finanzieller Mittel zum Kalkulationszinssatz i, während die Methode des internen Zinsfußes eine Wiederanlage zum internen Zinsfuß der Ausgangsinvestition implizit unterstellt. Aufgabe 6.15 Zwei Investitionen sind durch die folgenden Zahlungsreihen charakterisiert.

215

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Zeitpunkt

to

ti

t2

t3

U

ts

Investition A

-5.000

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

Investition Β

- 5.000

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

Quelle: Albach, H., Wirtschaftlichkeitsrechnung bei unsicheren Erwartungen, S. 29f

Stellen Sie die Höhe des Kapitalwertes in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz dar! Es ergeben sich die folgenden Kapitalwerte für verschiedene Kalkulationszinssätze: i

0,00

0,05

0,10

0,15

C0A

5.000

3.448

2.242

1.246

C0B

5.000

3.869

2.941

2.086

0,20

0,25

0,30

0,40

441

-232

-748

- 1.582

1.518

953

503

-275

Die internen Zinsfuße liegen bei rA » 0,23 und rB « 0,35. Nach der Methode des internen Zinsfußes ist die Investition Β vorteilhafter. C0(i)

216

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Da der Kapitalwert der Investition Β fur jeden Kalkulationszinssatz größer ist als der Kapitalwert der Investition A, fuhrt hier die KapitalwertMethode stets zum gleichen Ergebnis wie die Methode des internen Zinsfußes. Aufgabe 6.16 Zur Auswahl stehen zwei Investitionsobjekte Α und B, die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichnet sind: Zeitpunkt

to

tl

12

Zahlungsreihe der Investition A

- 5 0 GE

40 GE

24 GE

Zahlungsreihe der Investition Β

-50GE

30 GE

36 GE

a) Ermitteln Sie die positiven internen Zinsfüße der beiden Objekte! Die Bestimmung der internen Zinsfüße basiert auf der Kapitalwertformel: 1

2

Co = 0 = - Ao + e, * (1 + r)" + e2 * (1 + r)"

Für die Investition Α bedeutet das: Co A = 0 = - 5 0 + 4 0 * ( l + γα)"1 + 24 * ( 1 + r A )' 2

Daraus folgt: r A = 0,20

Für die Investition Β ergibt sich: C 0 B = 0 = - 50 + 30 * (1 + rB)-' + 36 * ( 1 + rB)"2 und damit r B = 0,20

b) Formulieren Sie die Zahlungsreihen für die Investitionen Α und Β vollständig, wobei die impliziten Unterstellungen der Methode des internen Zinsfußes explizit zu berücksichtigen sind! Der vollständig formulierte Zahlungsplan sieht wie folgt aus:

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe der Investition A Wiederanlage zu rA = 0,20

tl -50

-

Zahlungssaldo der Investition A

-50

Zahlungsreihe der Investition Β

-50

Wiederanlage zu rB = 0,20 Zahlungssaldo der Investition Β

217

40

24

-40

48 72

-

-

-50

t2

30

36

-30

36

-

72

Die impilizit in der Methode vorhandene und hier explizit dargestellte Annahme der Wiederanlage zwischenzeitlicher Einzahlungsüberschüsse zum internen Zinsfuß der Sachinvestition unterstellt einen letztendlich mit der Sachinvestition zu erwirtschaftenden Endwert in Höhe von je 72 GE für jede Alternative. c) Unter welcher Voraussetzung sind die beiden Investitionsobjekte gleichwertig? Die Investitionsobjekte sind dann gleichwertig, wenn die zwischenzeitliche Anlage der Einzahlungsüberschüsse zum internen Zinsfuß der ursprünglichen Investition (rA = rB = 0,20) jeweils tatsächlich möglich ist. d) Bestimmen Sie den Kalkulationszinssatz, bei dem die Kapitalwerte beider Objekte identisch sind! Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,20 sind die Kapitalwerte der Alternativen identisch: C0A = C0B = 0. e) Bestimmen Sie jeweils den Kapitalwert der Investitionsobjekte für folgende Kalkulationszinssätze und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar! i: 0,00; 0,02; 0,04; 0,05; 0,07; 0,08; 0,10; 0,12; 0,15; 0,20

218

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

Die Kapitalwerte der Investitionsobjekte Α und Β sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: i

C0A

i

CoB

CoA

CoB

0,00

14,00

16,00

0,08

7,61

8,64

0,02

12,93

14,01

0,10

6,19

7,02

0,04

10,65

12,13

0,12

4,85

5,48

0,05

9,86

11,22

0,15

2,93

3,31

0,07

8,35

9,47

0,20

0,00

0,00

Die folgende graphische Darstellung skizziert den Verlauf der daraus resultierenden Kapitalwertkurven: Co(i)

0 Welche Investition ist auszuwählen, wenn die Entscheidung anhand der Kapitalwert-Methode getroffen werden soll? Bei Verwendung des Kapitalwertkriteriums ist der Kapitalwert der Investition Β für jeden Kalkulationszinssatz i < 0,20 stets größer als der Kapi-

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

219

talwert der Investition A. Die Investition Β ist also vorteilhafter. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,20 liegt Entscheidungsindifferenz vor. Für i > 0,20 treten negative Kapitalwerte auf. Aufgabe 6.17 Gegeben sind zwei sich ausschließende Investitionsobjekte Α und B: Investition A: A 0 = 2.000 GE

e, = 2.300 GE

Investition B: A 0 = 3.000 GE

e2 = 3.630 GE

a) Welche Investition ist bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,05 nach der Kapitalwert-Methode das vorteilhaftere Objekt? Die Formel zur Bestimmung der Kapitalwerte lautet: Co = - A o + e , * ( l + i)-'

Für die Daten der Investition Α bedeutet das: C 0 A = - 2.000 + 2.300* (1,05)-' C0A = 190,48 > 0 Für die Investition Β folgt analog dazu: C 0 B = - 3.000 + 3.630 * (1,05)"2 C 0 B = 292,52 > 0 Die Investition Β ist zu wählen und durchzufuhren, da C 0 B > C0A > 0. b) Ändert sich die Vorteilhaftigkeit bei einer Verwendung der Methode des internen Zinsfußes? Die Berechnung basiert auf der Formel für den Kapitalwert: Co = 0 = - Ao + e, * (1 + r) '

Für die Daten der Investition Α bedeutet das: C0A = 0 = - 2.000 + 2.300 * (1 + rA)"'

220

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

rA = 0,15 > i Für die Investition Β gilt analog dazu: C 0 B = 0 = - 3.000 + 3.630 * (1 + r B ) 2 rB = 0,10 > i Nach der Methode des internen Zinsfußes ist die Investition Α zu wählen und durchzufuhren, da rA > rB > i. c) Wie ist die Vorteilhaftigkeit, wenn bei der Investition Α davon ausgegangen werden darf, daß die Zahlung ei zum internen Zinsfuß rA bis zum Zeitpunkt t 2 angelegt werden kann? Für die Kapitalwert-Methode ergibt sich nunmehr: A

Co = - Ao + e2 * (1 + ι)'

2

Dabei gilt für e2A: e2A = e, * (1 + r A )' Für die geänderten Bedingungen der Investition Α bedeutet das: e2A = 2.300 * (1,15)' e2A = 2.645 Daraus folgt für den Kapitalwert: C 0 A = - 2.000 + 2.645 * (1,05)-2 C 0 A = 399,09 > 0 Unter der Annahme einer zeitlichen Komplementärinvestition zum internen Zinsfuß rA (und nicht zum Kalkulationszinssatz i) ist die Investition A nach der so modifizierten Kapitalwert-Methode vorteilhafter als die unveränderte Investition Β mit dem Kapitalwert C0B = 292,52. Bei der Methode des internen Zinsfußes hat die hier explizit gemachte Annahme hinsichtlich der Komplementärinvestition keinen Einfluß auf das zuvor berechnete Ergebnis, da die Methode des internen Zinsfußes die entsprechende Annahme implizit enthält.

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

221

Aufgabe 6.18 Einem Investor stehen zwei sich ausschließende Investitionsobjekte A und Β zur Auswahl: Investition A: A0 = 1.000 GE

e, = 1.150 GE

Investition B: A 0 = 2.000 GE

e, = 2.260 GE

a) Welche Investition ist bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,06 nach der Kapitalwert-Methode das vorteilhaftere Objekt? Die Formel zur Bestimmung der Kapitalwerte lautet: Co = - Ao + et * (1 + i)"1 Für die Daten der Investition Α bedeutet das: C0A = - 1.000 + 1.150* (1,06)-' C 0 A = 84,91 > 0 Für die Investition Β folgt analog dazu: C0B = - 2.000 + 2.260 * (1,06)'' C 0 B = 132,08 > 0 Die Investition Β ist zu wählen und durchzuführen, da C0B > C0A > 0. b) Zu welchem Ergebnis kommt die Methode des internen Zinsfußes? Die Berechnung basiert auf der Formel für den Kapitalwert: Co = 0 = - Ao + et * (1 + r)"'

Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: C0A = 0 = - 1.000+ 1.150 * (1 + rA)"' rA = 0,15 > i Für die Investition Β gilt analog dazu: C0B = 0 = - 2.000 + 2.260 * (1 + rB)"'

222

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

r B = 0,13 > i Nach der Methode des internen Zinsfußes ist die Investition Α zu wählen und durchzufuhren, da rA > r B > i. c) Wie hoch müQte die Verzinsung der zahlungsmäßigen Komplementärinvestition bei Objekt Α mindestens sein, damit die Investition A nach beiden Kriterien vorteilhafter ist? Die Investition Α hat einen Kapitalbedarf von 1.000 GE, die Investition Β einen von 2.000 GE. Zur Herstellung der Vergleichbarkeit der Investitionen ist eine zahlungsmäßige Komplementärinvestition in Höhe von AOB-AO

A

= 1.000 G E

anzusetzen. Die entsprechende Verzinsung der zahlungsmäßigen Komplementärinvestition i K muß im Bereich i < iK < r A liegen. Die Kapitalwerte der beiden Investitionsobjekte sind dann identisch, wenn für die Komplementärinvestition gilt: (ΑοΒ-ΑοΑ)*(1+ΐκ),

=

β,Β-β,Α

Für die konkreten Daten bedeutet das: (2.000 - 1.000) * (1 + i K )' = 2.260 - 1.150 1.000 * ( l + i K ) ' = 1.110 Daraus folgt für i K : i K = 0,11 Bei einer Verzinsung des Zahlungssupplementes in Höhe von ίκ > 11 % ist die Investition Α nach dem Kriterium der Kapitalwert-Methode der Investition Β vorzuziehen. Dies entspricht dann der Entscheidung nach der Methode des internen Zinsfußes. Das Zahlungssupplement verzinst sich dabei zum internen Zinsfuß der ursprünglichen Investition. Die mit dem internen Zinsfuß diskontierten Zahlungen - bestehend aus der ursprünglichen Investition und der fiktiven Ergänzungsinvestition - führen zu einem Gesamtkapitalwert von Null.

Kapitalwert versus interner Zinsfuß

223

Aufgabe 6.19 Welche Regeln ergeben sich aus den unterschiedlichen Prämissen hinsichtlich der Berücksichtigung von Komplementärinvestitionen im Rahmen der Kapitalwert-Methode und der Methode des internen Zinsfußes für den Fall konkurrierender Investitionsobjekte, deren Kapitalwert-Kurven sich im relevanten Bereich schneiden? 1. Muß davon ausgegangen werden, daß die Komplementärinvestition zum Kalkulationszinssatz zu verzinsen ist, so fuhrt die KapitalwertMethode zu aussagefahigen Ergebnissen. 2. Ist die Annahme realistisch, die Komplementärinvestition verzinse sich zum internen Zinsfuß der jeweils untersuchten Investition, so ergibt die Methode des internen Zinsfußes ein korrektes Ergebnis. 3. Entspricht die vom Investor zu treffende Annahme hinsichtlich der Verzinsung des Supplementes weder dem Kalkulationszinssatz noch dem internen Zinsfuß des jeweils untersuchten Objekts, so ist zu prüfen, ob die angesetzte Verzinsung über oder unter dem Schnittpunkt der Kapitalwert-Kurven (kritischer Zinssatz) liegt. Die angesetzte Verzinsung ist mit dem kritischen Zinssatz i^t. zu vergleichen, welcher genau die Indifferenz zwischen den beiden Objekten anzeigt.

224

Kapitalwert versus Annuität

D.

Die unterschiedliche Rangfolge der Vorteilhaftigkeit bei Anwendung des Kapitalwert- und des Annuitäten-Kriteriums

Aufgabe 6.20 Sie haben zwei Investitionen zu vergleichen. Investition Α hat eine Nutzungsdauer von η = 10 Jahren, Investition Β hat eine Nutzungsdauer von η = 4 Jahren. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,06 errechnet sich für die Investition Α ein Kapitalwert in Höhe von C0A = 2.000 und für die Investition Β ein Kapitalwert in Höhe von C0B = 1.200. Bestimmen Sie die vorteilhaftere Investition mit Hilfe der KapitalwertAnnuität! Welche Annahme liegt diesem Vorteilhaftigkeitsvergleich zugrunde? Die Handlungsempfehlungen der Kapitalwert-Methode dürfen auf den jetzt betrachteten Fall nicht ohne weiteres übertragen werden. Der bei der Annuitäten-Methode zu verwendende Wiedergewinnungsfaktor ist von der Nutzungsdauer der entsprechenden Investition abhängig und differiert hier zwischen den Alternativen. Die Annuität der Investitionen berechnet sich wie folgt: d = Co * WGF (n;i) Berechnet man die Annuitäten entsprechend der Kapitalbindungsdauer, das heißt laufzeitenindividuell, so ergibt sich: d A = 2.000 * WGF (n = 10; i = 0,06) d A = 2 . 0 0 0 * 0,1359 d A = 271,80 > 0 d B = 1.200 * WGF (n = 4; i = 0,06) de = 1.200 * 0,2886 H B = 346,32 > 0

Kapitalwert versus Annuität

225

Zwar sind beide Annuitäten positiv, die Rangfolge der Investitionen unterscheidet sich aber gegenüber den Ergebnissen der Kapitalwert-Methode. Es ist C0A > C0B aber du > d A . Dieses Ergebnis unterstreicht die Relevanz der Kapitalbindungs-Zeiträume im Rahmen der Bestimmung der Kapitalwert-Annuität. Die folgende Graphik verdeutlicht das Ergebnis.

C0, d

CoA = 2.000 d A = 271,80

t tio B

C 0 = 1.200

dg = 346,32

Die vermeintliche Inkonsistenz zwischen Kapitalwert- und AnnuitätenMethode läßt sich dadurch beheben, daß eine zeitliche Komplementärinvestition in die Kalkulation aufgenommen wird. Unter der Annahme, der Unternehmer könne zum Kalkulationszinssatz i beliebige Beträge ent- und verleihen, wird der Kapitalwert einer Komplementärinvestition zwischen den Perioden U bis tio gleich Null. Das Zeitsupplement macht die Investitionen vergleichbar, es verändert dabei zwar nicht den Kapitalwert, es tangiert aber die Kapitalwert-Annuität, da

226

Kapitalwert versus Annuität

sich der Wiedergewinnungsfaktor mit einer erhöhten Laufzeit reduziert. Diese Kapitalwert-Annuität - hier bezeichnet als d - einer Investition wird also beim Ansatz eines Zeitsupplements geringer. Im hier vorliegenden Fall fuhrt das zu einer zeitlichen Komplementärinvestition bei der Sachinvestition Β über sechs Jahre. Das geschieht, indem der Wiedergewinnungsfaktor nicht mehr von der eigentlichen Laufzeit der Sachinvestition Β bestimmt wird, sondern von der Laufzeit dieser Sachinvestition zuzüglich der Laufzeit der notwendigen Komplementärinvestition. Letztendlich werden beide Sachinvestitionen Α und Β mit dem gleichen Wiedergewinnungsfaktor periodisiert. Die längerfristige Sachinvestition determiniert die Laufzeit des Zeitsupplements der kürzerfristigen Investition: d B = C0B * WGF (n = 10; i = 0,06) d B = 1.200 * WGF (n = 10; i = 0,06) de = 1.200 * 0,1359 d B = 163,08 > 0 Durch die zeitliche Komplementärinvestition werden formal die Sachinvestitionen vergleichbar gemacht, die Kapitalwert-Annuitäten beziehen sich nun auf die gleiche Laufzeit. Co, d

C 0 B = 1.200 dB = 163,08 -*t tio

Kapitalwert versus Annuität

227

Die vorstehende Abbildung verdeutlicht die veränderte Konstellation der Daten. Damit erweist sich auch nach der Annuitäten-Methode, bei der der unterschiedliche Kapitalbindungs-Zeitraum durch eine zeitliche Komplementärinvestition zum Kalkulationszinssatz gleichnamig gemacht wird, die Investition Α als die vorteilhaftere der beiden Alternativen. Aufgabe 6.21 Welche Einwände lassen sich bei Anwendung des Annuitätenkriteriums gegen den Ansatz zeitlicher Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinssatz i machen? Der Ansatz zeitlicher Komplementärinvestitionen scheint notwendig zu sein beim Vergleich von Investitionen mit unterschiedlichen Kapitalbindungs-Zeiträumen. Eine laufzeitenindividuelle Berechnung der Kapitalwert-Annuität kann zu Widersprüchen zu den auf der KapitalwertMethode beruhenden Handlungsempfehlungen führen (vgl. dazu Aufgabe 6.20).

In diesem Zusammenhang ist die Frage zu diskutieren, ob die unterschiedlichen Kapitalbindungszeiträume bei Anwendung der Annuitäten-Methode durch eine zeitliche Komplementärinvestition zum Kalkulationszinssatz i gleichnamig gemacht werden dürfen. ökonomisch bedeutet diese Annahme, daß der Investor, wenn er die Investition mit der tatsächlich kürzeren Nutzungsdauer wählt, nach der Nutzungsdauer der Sachinvestition keine Realinvestition mehr tätigt, er ist dann ökonomisch nicht mehr aktiv. Es könnte daher eine sinnvolle Annahme sein, der Investor realisiere für den Zeitraum zwischen dem Nutzungsdauerende der kurzlebigen und dem der langlebigen Investition eine Anschlußinvestition, die zur selben Annuität fuhrt, wie sie von der kurzfristigeren Investition vorgegeben ist. Dadurch wird ein einheitlicher Vergleichszeitraum geschaffen. Für die Daten der Aufgabe 6.20 folgt daraus die in der folgenden Abbildung dargestellte Situation:

228

Kapitalwert versus Annuität

d

dA = 271,80

>t ^

dB = 346,32

ι

ιο

Diese Annahme bedeutet, daß die bei kurzlebigen Investitionsobjekten erforderliche zeitliche Komplementärinvestition, welche Unterschiede in den Kapitalbindungszeiträumen ausgleicht, die gleiche KapitalwertAnnuität aufweist wie die Ausgangsinvestition. Nun lassen sich unterschiedliche Kapitalbindungszeiträume nicht immer dadurch ausgleichen, daß nur eine (identische) Anschlußinvestition getätigt wird. Betragen die Nutzungsdauern von zwei zu vergleichenden Investitionsobjekten nA = 7 Jahre und nB = 5 Jahre, so kann nur das kleinste gemeinsame Vielfache der unterschiedlichen Nutzungsdauern (35 Jahre) der beteiligten Objekte als Vergleichszeitraum dienen; eine offensichtlich unbefriedigende Lösung. Eine andere Möglichkeit, unterschiedlichen Nutzungsdauern bei der Berechnung der Kapitalwert-Annuität Rechnung zu tragen, besteht darin, fur den Zeitraum zwischen dem Nutzungsdauerende des kurzlebigen und dem des langlebigen Investitionsobjekts eine zeitliche Komplementärinvestition zu unterstellen, die die gleiche Kapitalwert-Annuität aufweist wie die ursprüngliche Investition (= Ausgangsinvestition). Dies bedeutet, daß die ursprüngliche Investition und die zeitliche Komplementärinvestition den gleichen internen Zinsfuß haben.

229

Kapitalwert versus Annuität

Die Annahme, das Zeitsupplement zum Ausgleich unterschiedlicher Kapitalbindungszeiträume verzinse sich zum internen Zinsfuß der jeweiligen Ausgangsinvestition, kann zu unterschiedlichen Rangfolgen bezüglich der Vorteilhaftigkeit der Investitionsobjekte nach dem Kriterium der Kapitalwert- und der Annuitäten-Methode fuhren. Überlegungen hinsichtlich der Verzinsung von Komplementärinvestitionen sind daher im Rahmen der Annuitäten-Methode von besonderer Bedeutung und vor dem Hintergrund der jeweils vorliegenden Situation durchzuführen. Aufgabe 6.22 Welche Annahmen über die Verzinsung der zeitlichen Komplementärinvestitionen sollen bei Anwendung des Annuitäten-Kriteriums gemacht werden? Existieren nach dem Ende der Nutzungsdauer des kurzlebigen Investitionsobjekts sich diesem annähernd gleich rentierende Investitionsmöglichkeiten, dann sollte für die zeitliche Komplementärinvestition der interne Zinsfuß der kurzlebigen Investitionsalternative gewählt werden. Erlaubt die zeitliche Komplementärinvestition jedoch nur eine Verzinsung zum Kalkulationszinssatz, so kann in aller Regel nur der Wiedergewinnungsfaktor für die Investition mit dem größeren Kapitalbindungszeitraum herangezogen werden. Aufgabe 6.23 Zwei Investitionsobjekte Α und Β sind mit den folgenden Zahlungsströmen verbunden: Zeitpunkt

to

tl

t2

Zahlungsreihe der Investition A

- 1.000 GE

1.100 GE

1.210 GE

Zahlungsreihe der Investition Β

- 500 GE

621,06 GE

621,06 GE

t3 -

621,06 GE

Kapitalwert versus Annuität

230

Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. a) Vergleichen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investitionsobjekte mit Hilfe der Kapitalwert-Methode! Für die Ermittlung des Kapitalwertes der Investition Α gilt: CA = - A 0 + £ d

* (1 + i)-' + R n * (1 + i)"n

t

t=l

Bei den hier vorliegenden Daten bedeutet das: C0A = - 1.000+ 1.100* (1,10)"'+ 1.210 * (1,10)-2 C 0 A = 1.000 > 0 Für die Investition Β gilt: CoB = - A o + d *

(1+

ΐ)Π 1 ~ + R „ * ( l + i)·" /ι i * ( l + i)

Bei den hier vorliegenden Daten bedeutet das: C0B = - 500 + 621,06 * BWF (n = 3; i = 0,10) Co3 = - 500 + 621,06 * 2,4869 CoB = 1.044,51 > 0 Ein Vorteilhaftigkeitsvergleich fuhrt zu der Entscheidung, die Investition Β zu realisieren, da C0B > C0A. b) Welche Annahmen werden beim Kapitalwert-Kriterium bezüglich der notwendigen Komplementärinvestitionen implizit unterstellt? Bei den Investitionsobjekten Α und Β sind zu den Zeitpunkten ti und t2 zeitliche Komplementärinvestitionen notwendig. Dadurch werden gleiche Einzahlungszeitpunkte geschaffen. Der Kapitalwert dieser zeitlichen Komplementärinvestition ist Null. Da zwischen den Investitionen Α und Β im Zeitpunkt to auszahlungsmäßige Differenzen bestehen, ist dieser Unterschied durch ein Zahlungssupplement in Höhe von 500 GE abzugleichen. Der Kapitalwert dieser zahlungsmäßigen Komplementärinvestition ist Null.

231

Kapitalwert versus Annuität

c) Stellen Sie einen vollständigen Finanzplan unter Berücksichtigung der notwendigen KompIementSrinvestitionen auf! Die folgende Tabelle zeigt den vollständigen Finanzplan unter Berücksichtigung von Komplementärinvestitionen: Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe der Investition A

- 1.000

Zeitsupplement I

-

Zeitsupplement II

-

Zahlungsreihe der Investition Β Zahlungssupplement -

Zeitsupplement II

-

Zahlungssaldo der Investition Β

1.100

-

- 1.000

t3

t2

- 1.100

Zahlungssaldo der Investition A

Zeitsupplement I

t|

1.210

-

- 1.210

-

1.331 1.331 2.662

-

-

-500

621,06

621,06

621,06

-500

-

-

665,50

-

751,48

-

-621,06

683,17

-

-

- 1.000

-621,06

2.721,21

Bei sonst identischen Daten erwirtschaftet die Investition Β unter den gemachten Annahmen einen höheren Endwert als die Investition A. d) Ermitteln Sie den Kapitalwert der beiden Investitionsobjekte unter expliziter Berücksichtigung der jeweiligen Komplementärinvestitionen! Allgemein gilt: Co = - A o + d t * ( l + i)"1

232

Kapitalwert versus Annuität

Daraus folgt: C 0 A = - 1.000 + 2.662 * (Ι,ΙΟ) 3 C 0 A = 1.000 > 0 C 0 B = - 1.000 + 2.721,21 * (Ι,ΙΟ)"3 C 0 B = 1.044,51 > 0 Die Berechnung der Kapitalwerte unter expliziter Berücksichtigung der Supplemente bestätigt die Kalkulation aus a). Die Supplemente haben beim hier unterstellten vollkommenen Kapitalmarkt einen Kapitalwert von Null und somit keinen Einfluß auf die Vorteilhaftigkeitsbestimmung im Rahmen der Kapitalwert-Methode. e) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit mit Hilfe der AnnuitätenMethode. Es sei unterstellt, daß nach Ablauf der Nutzungsdauer des Investitionsobjekts Α nur eine Finanzanlage zum Kalkulationszinssatz i möglich ist! Auch bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit mit Hilfe der AnnuitätenMethode sind die Kapitalbindungszeiträume vergleichbar zu machen. Unter der Annahme einer zeitlichen Komplementärinvestition zum Kalkulationszinssatz i sind die errechneten Kapitalwerte mit dem gleichen Wiedergewinnungsfaktor zu multiplizieren. Dabei ist die Laufzeit der längerfristigen Investition zu wählen: Für die Investition Α gilt dann bei η = 3 und i = 0,10: d A = C 0 A * W G F ( n = 3 ; i = 0,10) d A = 1.000* 0,4021 d A = 402,10 > 0 Für Investition Β gilt: d B = C 0 B * WGF (n = 3; i = 0,10) d ß = 1.044,51 * 0,4021 d e = 420,00 > 0

Kapitalwert versus Annuität

233

Unter der Annahme, die zeitlichen Komplementärinvestitionen verzinsten sich zum Kalkulationszinssatz i, ist das Investitionsobjekt Β dem Investitionsobjekt Α vorzuziehen, da de > dA > 0. f) Welche Annahmen werden im Aufgabenteil e bezüglich des Zahlungssupplementes gemacht? Die Kapitalwert-Annuität wird ermittelt aus der Multiplikation von Kapitalwert und Wiedergewinnungsfaktor. Bei der Ermittlung des Kapitalwertes ist bezüglich des Zahlungssupplementes in Aufgabe e wie bei der Kapitalwert-Methode eine Verzinsung zum Kalkulationszinssatz i unterstellt. Die Annuitäten-Methode enthält in diesem Fall implizit die Annahme, Zahlungssupplemente verzinsten sich zum Kalkulationszinssatz i. g) Es sei unterstellt, daß zwischen dem Nutzungsdauerende des Investitionsobjektes Α und dem des Investitionsobjektes Β eine zeitliche Komplementärinvestition möglich ist, die die gleiche Annuität aufweist wie die Investitionsalternative A. Unterscheidet sich der interne Zinsfuß der Investitionsalternative A von dem der zeitlichen Komplementärinvestition? Wenn die Ausgangsinvestition Α und die zeitliche Komplementärinvestition die gleiche Annuität aufweisen, dann haben sie auch den gleichen internen Zinsfuß. Dies bedeutet, die zeitliche Komplementärinvestition verzinst sich unter den gemachten Annahmen zum internen Zinsfuß der betrachteten Investitionsalternative. h) Welche Rangfolge der Investitionsobjekte ergibt sich mit Hilfe der Annuitäten-Methode unter der Annahme, daß zeitliche Komplementärinvestitionen sich zum internen Zinsfuß der jeweiligen Ausgangsinvestition verzinsen? Die Annuität des Investitionsobjektes Α ist jetzt: d A = C 0 A * WGF (n = 2; i = 0,10) d A = 1.000* 0,5762 d A = 576,19 > 0

Kapitalwert versus Annuität

234

Für die Investition Β gilt weiterhin: de = C0B * W G F (n = 3; i = 0,10) d ß = 1.044,51 * 0,4021 d B = 420,00 > 0 Es ist dA > d ß . Damit ist das Investitionsobjekt A - unter der Annahme, daß nach dem Ende der Nutzungsdauer des Investitionsobjektes die zeitliche Komplementärinvestition die gleiche Annuität erzielt - dem Investitionsobjekt Β vorzuziehen. Dieses Ergebnis läßt sich graphisch wie folgt darstellen:

d

d A =576,19 d A = 576,19 d A = 576,19

d B = 420,00 d B = 420,00

dg = 420,00

Kapitalwert versus Annuität

235

Aufgabe 6.24 Bei der Energieversorgung Weser-Ems Aktiengesellschaft (EWE AG) möchte man feststellen, ob es vorteilhafter ist, defekte Stromzähler zu reparieren oder zu ersetzen. Ein neuer Stromzähler fuhrt zu einer Auszahlung in Höhe von Am = 50 GE und hat eine Nutzungsdauer von η = 12 Jahren. Danach kann er repariert oder durch einen neuen ersetzt werden. Eine Reparatur erfordert AR = 41 GE und verlängert die Nutzungsdauer um η = 8 Jahre. Anschließend kann der Zähler unendlich häufig in der gleichen Weise wieder repariert werden. Bei einem Austausch fallen neben den Anschaffungsauszahlungen zusätzlich Auszahlungen fur die Montage in Höhe von Am = 10 GE an. Der neue Zähler hat wieder eine Nutzungsdauer von η = 12 Jahren. Welche Alternative ist vorteilhafter, wenn bei der EWE AG mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,06 pro Jahr gerechnet wird ? Zum Vorteilhafligkeitsvergleich lassen sich die Auszahlungs-Annuitäten heranziehen, da die Reparatur (R) bzw. der Ersatz (E) unendlich häufig zu wiederholen sind. Für die Auszahlungs-Annuität des Reparierens gilt: aR = Ar * WGF (n = 8; i = 0,06) ä R = 41 * 0,1610 aR = 6,60 Für die Auszahlungs-Annuität des Ersetzens gilt: äE =

(AN + Am)

* WGF (n = 12; i = 0,06)

ä E = (50+ 10)* 0,1193 ä E = 7,16 Eine ständige Reparatur ist vorteilhafter, da aR < a ε .

236

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

Ε.

Handlungsempfehlungen bei alternativen Vorteilhaftigkeitskriterien und die Abstimmung mit dem Kriterium der Pav-off-Periode

Aufgabe 6.25 Zwei Investitionen sind wie folgt charakterisier!: Investition Α erfordert eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 8.000 GE und erwirtschaftet eine über η = 5 Jahre anfallende Rente in Höhe von d = 2.000 GE. Investition Β erfordert eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 12.000 GE und erwirtschaftet eine über η = 9 Jahre anfallende Rente in Höhe von d = 2.000 GE. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,06. a) Bestimmen Sie die vorteilhaftere Investition nach der KapitalwertMethode! Die Kapitalwertformel für den Fall der Rente lautet: Co = - A o + d *

(1 +

' ) n . " 1 + Rn * (1 + i)~n ι * (1 +1)

Für die Investition Α bedeutet das: C0A = - 8.000 + 2.000 * BWF (n = 5; i = 0,06) C0A = - 8.000 + 2.000 * 4,2124 C0A = 424,80 > 0 Für die Investition Β ergibt sich analog dazu: C0B = - 12.000 + 2.000 * BWF (n = 9; i = 0,06) C0B = - 12.000 + 2.000 * 6,8017 C 0 B = 1.603,40 > 0 Die Investition Β ist der Investition Α vorzuziehen, da CoB > CoA.

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

237

b) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition nach der Methode des internen Zinsfußes! Die Berechnung des internen Zinsfußes erfolgt auf der Basis der Kapitalwert-Formel. Da die Einzahlungsüberschüsse als Rente vorliegen und kein Restverkaufserlös anfallt, gilt: Co = 0 = - A o + d * ^ + i * ( l + i)n Für die Investition Α bedeutet das: C0A = 0 = - 8.000 + 2.000 * BWF (n = 5; r) Daraus folgt: BWF (n = 5; r) = 4 Das ergibt einen approximativ aus der Tabelle der Barwert-Faktoren abgeleiteten internen Zinsfuß in Höhe von: rA * 7,95 % Für die Investition Β gilt analog dazu: C0B = 0 = - 12.000 + 2.000 * BWF (n = 9; r) Daraus folgt: BWF (n = 9; r) = 6 Das ergibt einen analog ermittelten internen Zinsfuß in Höhe von: rB » 8,90 % Nach dem Kriterium des internen Zinsfußes ist die Investition Β der Investition Α vorzuziehen: rB > rA > i. c) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition nach der exakten Annuitäten-Methode! Es sei davon ausgegangen, daß zeitliche Komplementärinvestitionen nur zum Kalkulationszinssatz i möglich sind. Die Kapitalwert-Annuität errechnet sich grundsätzlich nach der Formel: d = Co * WGF (n;i)

238

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

Da hier ausdrücklich von einer Verzinsung der zeitlichen Komplementärinvestition zum Kalkulationszinssatz i auszugehen ist, werden die beiden Kapitalwerte mit dem gleichen Wiedergewinnungsfaktor multipliziert. Dieser wird von der längerfristigen Investition determiniert. Für die Investition Α bedeutet das: -r i *K( l + i ) n d A = 424,80 * ' (l + i ) n - l d A =424,80* 0,1470 d a = 62,45 > 0 Für die Investition Β gilt: d B = 1.603,40*

i * ( l + i) n (1 + i)n - 1

du = 1.603,40* 0,1470 d B = 235,70 > 0 Nach der Annuitäten-Methode ist die Investition Β zu wählen, da dB > dA. d) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition nach der Payoff-Periode unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen! Die Bestimmung der Pay-off-Periode erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie die Berechnung des internen Zinsfußes. Bei konstanten Einzahlungsüberschüssen (Rente) gilt: C. = 0 = - A „

+

d . < i ^ i ι *(l + i)

Für die Investition Α bedeutet das: C 0 A = 0 = - 8.000 + 2.000 * BWF (t*; i = 0,06) Daraus folgt: BWF (t*; i = 0,06) = 4

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

239

Aus der Tabelle der Barwertfaktoren resultiert der folgende Wert für die Pay-ofF-Periode: t A *«4,73 Für die Investition Β gilt analog dazu: C 0 B = 0 = - 12.000 + 2.000 * BWF (t*; i = 0,06) Daraus folgt: BWF (t*; i = 0,06) = 6 Das ergibt eine Pay-ofF-Periode von: t B *» 7,35 Nach der Methode der Pay-ofF-Periode ist die Investition mit der kürzesten Amortisationsdauer vorzuziehen. Das ist hier die Investition A: tA* < tB*. Die Investition Α ist nach dem Pay-ofF-Kriterium vorteilhaft, wenn tA* kleiner als eine vorgegebene Soll-Pay-ofF-Periode ist. e) Bestimmen Sie die Pay-ofF-Perioden unter Berücksichtigung von einfachen und auf Durchschnittswerten basierenden Zinsen! Die Pay-ofF-Periode berechnet sich bei einfachen Zinsen und konstanten Einzahlungsüberschüssen wie folgt: d * t* = Ao + ^

2

* i *t*

Die Pay-ofF-Periode beträgt dann: t* =

AQ

2 Für die Investition Α bedeutet das: 8.000

U =

2.000-^*0,06 t A = 4,55

240

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

Für die Investition Β gilt analog dazu: 12.000

tB =

2.000-^*0,06 tB* = 7,32 Bei der Vernachlässigung von Zinseszinsen und dem Ansatz von Durchschnittswerten ändert sich die Rangfolge der Investitionen nicht. Es ist tA* < te*. Aufgabe 6.26 Zwei Investitionsobjekte sind durch folgende Zahlungsreihen charakterisiert Zeitpunkt

to

t.

h

t3

Investition A

-2.000

1.100

1.100

1.100

Investition Β

-2.000

600

600

600

U

ts

te

t7

-

-

-

-

600

600

600

600

a) Definieren Sie in allgemeinen Symbolen das Pay-off-Kriterium unter Berücksichtigung einfacher Zinsen! Die Formel zur Bestimmung der Pay-off-Periode bei einfachen Zinsen lautet: t* =

2 b) Welche der Investitionen ist gemäß a) bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 vorteilhafter? Unter Verwendung der Formel ergibt sich für die Investitionen Α und B:

.

2.000

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

. tß

241

2.000 ~

2 000

6 0 0 0 , 1 2

Die Investition Α ist vorteilhafter, da tA* < tB* ist. c) Welche Investition ist nach dem Kapitalwertkriterium unter Verwendung des obigen Zinssatzes vorteilhafter? Da beide Investitionen eine Rente darstellen, gilt: C o

=-A„+d. i*(l + i)n

Für die Investition Α ergibt sich: C 0 A = - Ao + d * BWF (m;i) C0A= - 2.000 + 1.100 * BWF (n = 3; i = 0,10) C 0 A = - 2 . 0 0 0 + 1.100* 2,4869 C 0 A = 735,59 > 0 Für die Investition Β ergibt sich: Co B =-Ao + d*BWF(n„;i) C0B = - 2.000 + 600 * BWF (n = 7; i = 0,10) C 0 B = - 2 . 0 0 0 + 600* 4,8684 C 0 B = 921,04 > 0 Nach dem Kapitalwertkriterium ist die Investition Β vorteilhafter, da C0B > C0A ist. d) Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: "Wähle bei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsobjekten stets das mit der kürzesten Amortisationsdauer!M Beurteilen Sie diese Aussage ausgehend von der in Aufgabe 6.26 dargestellten Zahlungsreihe!

242

Die Pay-off-Periodc als zusätzliches Sicherheitskriterium

Gegen das Kriterium der minimalen Wiedergewinnungszeit wird der Einwand erhoben, es stelle zu sehr auf Risikominderung und zu wenig auf Gewinnmaximierung ab. Sicherheit und Liquidität werden überbewertet. Die Alternative Α gilt nach dem Kriterium der Pay-off-Periode als optimal, obwohl die Alternative Β unter reinen Gewinnaspekten vorteilhafter ist. Beim Kriterium der Amortisationsdauer bleiben sämtliche Zahlungen, die nach dem errechneten Zeitpunkt anfallen, unberücksichtigt. Langfristige Investitionen, wie beispielsweise Forschungs- und Entwicklungsinvestitionen, Grundstückskäufe oder die Errichtung von Gebäuden, schneiden bei der Amortisationsrechnung in aller Regel schlechter ab als kurzfristige. Entsprechende Entscheidungen fuhren deshalb zu einer kurzfristigen Unternehmenspolitik. Daraus resultiert beispielsweise die Gefahr einer Überalterung des Maschinenparks. Aufgabe 6.27 „Mit Hilfe der Methode der Pay-off-Periode kann beim Vorteilhaftigkeitsvergleich von zwei Objekten generell keine Auswahl getroffen werden, da hierbei alle Zahlungen nach der Pay-Off-Periode vernachlässigt werden." Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage! Die Aussage ist in dieser pauschalen Form nicht haltbar. Wenn beispielsweise bei gleichen Laufzeiten nach dem jeweiligen Amortisationszeitpunkt bei beiden Objekten identische positive Einzahlungsüberschüsse anfallen, muß das Objekt mit der niedrigeren Pay-ofF-Periode das vorteilhaftere sein. Aufgabe 6.28 Zur Auswahl stehende Investitionsobjekte enthalten Risiken, da die Auszahlungen und die Einzahlungen in der Zukunft liegen und ungewiß sind.

Die Pay-off-Periode als zusätzliches Sicherheitskriterium

243

Sollte fur eine Investitionsentscheidung zur Vermeidung dieses Risikos ausschließlich nach dem Kriterium der Unterschreitung einer vorgegebenen Amortisationszeit entschieden werden? Dem Kriterium der Pay-ofF-Periode liegt der Gedanke zugrunde, daß die Erhaltung der Umstellungsfahigkeit die unternehmerische Sicherungsmaßnahme darstellt. Je früher der investierte Betrag wieder verfugbar ist, desto eher ist der Investor in der Lage, im Falle einer Fehlprognose der Einzahlungen und Auszahlungen Umstellungsmaßnahmen zu ergreifen. Man sollte jedoch unter den Entscheidungsalternativen nicht alleine anhand von Risikogesichtspunkten auswählen. Das Kriterium der minimalen PayofF-Periode sollte als zusätzliches Kriterium bei sonst fast gleichen Handlungsempfehlungen herangezogen werden. Auch eignet sich die Pay-ofF-Periode zur Vorselektion und damit zur Vorplanung von Investitionsmöglichkeiten. Dann werden in die Hauptplanung (vgl. dazu Aufgabe 1.12) nur noch solche Investitionsobjekte einbezogen, die dem Sicherheitsbedürfiiis genügen.

244

Der Baldwin-Zinssatz

F. Der Baldwin-Zinssatz und die Kapitalwertrate

1. Der Baldwin-Zinssatz - ein modifizierter interner Zinsfuß

Aufgabe 6.29 Erläutern Sie den Hintergrund des Baldwin-Zinssatzes als modifizierten internen Zinsfuß zur Beurteilung von Investitionsalternativen! Bei den mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung kann zur Ermittlung der Vorteilhaftigkeit der Investitionsalternativen die Notwendigkeit bestehen, zeitliche und auszahlungsmäßige Komplementärinvestitionen (= Zeit- und Zahlungssupplemente) durchzuführen. Bei der Kapitalwert-, der Annuitäten- und der internen Zinsfuß-Methode wird methodenbedingt dann eine Verzinsung in Höhe des sich auf dem vollkommenen Kapitalmarkt bildenden Kalkulationszinssatzes und/oder des internen Zinsfußes der Ausgangsinvestition unterstellt. Dabei werden die Zinsen bezogen bzw. ermittelt auf das jeweils gebundene Kapital. Entscheidend für Planungsüberlegungen ist aber die gesamte Investitionssumme. Zudem sollte für die Verzinsung der Komplementärinvestitionen eine den tatsächlichen Möglichkeiten des Investors entsprechende Annahme, das heißt ein erreichbarer Zinssatz, unterstellt werden. Der Baldwin-Zinssatz und die Kapitalwertrate versuchen, diese Bedingungen zu erfüllen. Aufgabe 6.30 Gegeben sei eine Investition I, die mit der folgenden Zahlungsreihe verbunden ist: Zeitpunkt Zahlung

to - 2.882,00 GE

tl - 3.300,00 GE

h 5.445,00 GE

t3 8.994,25 GE

Den notwendigen Berechnungen soll ein Kalkulationszinssatz von i = 0,10 zugrunde gelegt werden.

245

Der Baldwin-Zinssatz

a) Bestimmen Sie den Kapitalwert dieser Investition I! Die allgemeine Formel für den Kapitalwert lautet: η Co = - Ao + 2 > · ( 1 + 0 4 + Κ η * ( 1 + ΐ)-Β t=l

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: Co1 = - 2 8 8 2 , 0 0 - 3.300,00 * (1,10)-' + 5.445,00 * (1,10)" 2 + 8.994,25 * ( 1 , 1 0 ) 3 Co1 = - 2882,00 - 3.000,00 + 4.500,00 + 6.750,00 Co'= 5.368,00 > 0

Da C0' > 0 ist, ist die Investition I vorteilhaft. b) Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit der Kapitalwert positiv ist? Der Kapitalwert einer Sachinvestition ist unter den folgenden Bedingungen positiv: 1. Über die Rückflüsse fließen dem Investitionsauszahlungen zurück.

Unternehmen

die

gesamten

2. Die Investition erwirtschaftet Zinsen in Höhe des Kalkulationszinssatzes i auf das jederzeit gebundene Kapital. 3. Der Investor generiert zudem Überschüsse, die zum Zeitpunkt to einen Wert in Höhe von Co haben. Ein positiver Kapitalwert sagt aus, daß die betrachtete Sachinvestition vorteilhafter ist als die im Kalkulationszinssatz i implizit zum Ausdruck kommende Alternative. Die Vorteilhaftigkeit einer Investition wird also mit dem Kapitalwertkriterium - wie auch bei den anderen Verfahren der mehrperiodigen Investitionsrechnung - nicht in absoluter Hinsicht gemessen, sondern relativ im Vergleich mit einer finanzwirtschaftlichen Alternative. c) Stellen Sie am Beispiel der Investition I dar, wie sich der Kassenbestand in den Perioden der Nutzungsdauer ändert und bestimmen

246

Der Baldwin-Zinssatz

Sie den Wert des Kassenbestandes im Zeitpunkt to, also den Kapitalwert! Die folgende Tabelle enthält die notwendigen Berechnungen: Zeitpunkt to

Finanzwirtschaftlicher Vorgang Kassenabgang (= Kapitalbindung in to) - Zinszahlung (i = 0,10) in ti

tl

t2

- 2.882,00 - 288,20

+ Rückfluß in ti

- 3.300,00

= Kapitalbindung am Ende der Periode ti

- 6.470,20

- Zinszahlung (i = 0,10) in t2

- 647,02

+ Rückfluß in t2

5.445,00

= Kapitalbindung am Ende der Periode t2

tj

Betrag

- 1.672,22

- Zinszahlung (i = 0,10) in t3

- 167,22

+ Rückfluß in t3

8.984,25

= Kassenendbestand am Ende der Periode t3

7.144,81

Bei einem Kassenendbestand im Zeitpunkt t3 in Höhe von 7.144,81 GE ergibt sich ein auf den Zeitpunkt to diskontierter Betrag in Höhe von: 7.144,81 * (l,10)- 3 = 5.368,00 Der Wert des Kassenbestandes zum Zeitpunkt to (= Kapitalwert) beträgt also unter den gemachten Annahmen 5.368,00 GE. Der Kapitalwert gibt damit den Wert des Kassenbestandes der Investition gegenüber der Alternative, zurückgerechnet auf den Zeitpunkt to, an. Dabei wird die Alternative durch den Kalkulationszinssatz in Rechnung gestellt. Somit fuhren das Kapitalwertkriterium und eine Maximierung des Kassenendbestandes bei einheitlichem Zinssatz und unter der Bedingung, daß die finanziellen Mittel ausreichen, um alle Investitionen zu realisieren, zu identischen Vorteilhaftigkeitsbestimmungen. Der Kapitalwert ist dann ein Maß für den absoluten Mehrgewinn aus einer Investition, der über den

Der Baldwin-Zinssatz

247

Gewinn aus der zum Vergleich herangezogenen Alternative hinaus erzielt wird. d) Bestimmen Sie den internen Zinsfuß der Investition I und spalten Sie die zu ermittelnden Rückflüsse in einen Zins- und einen Kapitalfreisetzungsbetrag auf! Der interne Zinsfuß wird auf der Basis der Kapitalwert-Formel η Co = 0 = - Ao + £ d t * ( l + r ) 1 t=l

errechnet. Der zu bestimmende interne Zinsfuß beträgt r1 = 0,5. Die folgende Kalkulation beweist diese Feststellung: Co (r = 0,50) = - 2 8 8 2 , 0 0 - 3.300,00 * (1,50)-' + 5.445,00 * (1,50)" 2 + 8.994,25 * (1,50)"3 Co (r = 0,50) = - 2 8 8 2 , 0 0 - 2.200,00 + 2.420,00 + 2.662,00 Co (r = 0,50) = - 5.082,00 + 5.082,00 Co (r = 0,50) = 0

Analog zu den Berechnungen beim Kapitalwert (Aufgabenteil a) gilt für den internen Zinsfuß r, daß 1. über die Rückflüsse die gesamten Investitionsauszahlungen gedeckt werden und 2. in Höhe des internen Zinsfußes r Zinsen auf das jeweils gebundene Kapital erwirtschaftet werden. Der interne Zinsfuß zeigt die Rendite der jeweiligen Investition an. Dies läßt sich anhand der Tabelle der folgenden Seite zeigen, indem die Zahlungen laut Zahlungsreihe und die impliziten Zinszahlungen in Höhe von 50 % auf das zu Beginn der jeweiligen Periode gebundene Kapital berücksichtigt werden. Die Rückflüsse aus der Investition reichen demnach gerade aus, um neben der aus der Kapitalfreisetzung möglichen Tilgung auch Zinsen in Höhe von 50 % auf das jeweils gebundene Kapital abzudecken.

248

Der Baldwin-Zinssatz

Spalte

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Periode

Kapitalbestand zu Beginn der Periode

Zahlungen laut Zahlungsreihe

Zinszahlungen (50% auf

Zahlungsreihe und Zinszahlungen (2) + (3)

Kapitalbestand zum Ende der Periode (1) + (2) + (3)

(D)

0

0

- 2.882,00

0

- 2.882,00

- 2.882,00

1

- 2.882,00

- 3.300,00

- 1.441,00

- 4.741,00

- 7.623,00

2

- 7623,00

5.445,00

-3.811,50

1.633,50

- 5.989,50

3

- 5.989,50

8.984,25

- 2.994,75

5.989,50

0

Aufgabe 6.31 Das jeweils investierte Kapital und nicht die gesamte Investitionssumme ist Berechnungsgrundlage fur die Höhe des internen Zinsfußes. a) Stellen Sie die Höhe des jeweils gebundenen Kapitals fur die Zahlungsreihe der folgenden Investition II dar und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen der Investition I aus der Aufgabe 6.30! Zeitpunkt Zahlung

tl

to

- 5.882,00

7.623,00

t2 1.125,00

t3 1.012,50

Der Kalkulationszinssatz beträgt wiederum i = 0,10. Auch die Investition II hat einen internen Zinsfuß in Höhe von r" = 0,50. Die folgende Kalkulation beweist diese Feststellung: Co ( r = 0 , 5 0 ) = - 5 8 8 2 , 0 0 + 7 . 6 2 3 , 0 0 * ( 1 , 5 0 ) · ' + 1 . 1 2 5 , 0 0 * (1,50)" 2 + 1.012,50 *(1,50)"3 Co ( r = 0 , 5 0 ) = - 5 . 8 8 2 , 0 0 + 5 . 0 8 2 , 0 0 + 5 0 0 , 0 0 + 3 0 0 , 0 0 Co ( r = 0 , 5 0 ) = - 5 . 8 8 2 , 0 0 + 5 . 8 8 2 , 0 0

249

Der Baldwin-Zinssatz

Co (r = 0,50) = 0 Der Kapitalbedarf bei der Investition II entspricht dem der Investition I. Er beträgt 5.882 GE. Im Fall der Investition I setzt sich der Kapitalbedarf aus 2.882 GE in to und 3.300 GE in ti zusammen. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 folgt daraus ein zum Zeitpunkt to bewerteter Kapitalbedarf in Höhe von 2.882 + 3.300 * 1,10"' = 5.882 GE. Eine vergleichende Kassenbestandsrechnung für die beiden Investitionen sieht wie folgt aus: Periode 0

Finanzwirtschaftlicher Vorgang Kassenabgang (= Kapitalbindung in to)

2

- 5.882,00

- 288,20

- 588,20

+ Rückfluß in ti

-3.300,00

7.623,00

= Kapitalbindung/Kassenbestand in ti

- 6.470,20

1.152,80

- Gewinnentgang/+Gewinn (i=0,10) in t2

- 647,02

115,28

+ Rückfluß in t2

5.445,00

1.125,00

- 1.672,22

2.393,08

- Gewinnentgang/+Gewinn (i=0,10) in t3

- 167,22

239,31

+ Rückfluß in t3

8.984,25

1.012,50

= Kassenendbestand am Ende von t3

7.144,81

3.644,89

= Kapitalbindung/Kassenbestand in t2

3

Inv. II

- 2.882,00

- Gewinnentgang/+Gewinn (i=0,10) in ti 1

Inv. I

Eine Transformation des Kassenendbestandes der Investition II in Höhe von 3.644,89 GE auf den Zeitpunkt to ergibt: 3.644,89 * (1,10)-3 = 2.738,46 Der Wert des Kassenbestandes zum Zeitpunkt to (= der Kapitalwert) beträgt unter den gemachten Annahmen 2.738,46 GE bei Investition II.

250

Der Baldwin-Zinssatz

Aus der Tatsache, daß zwei Investitionen den gleichen internen Zinsfuß r1 = r" = 0,50 aufweisen und einen identischen Kapitaleinsatz benötigen, läßt sich selbst bei gleichem Planungshorizont der Alternativen nicht der Schluß ziehen, daß die Kassenbestände am Ende des Planungshorizontes und die Kapitalwerte gleich hoch sind. b) Wie beeinflußt die Struktur der Einzahlungsüberschüsse die Höhe der durchschnittlichen Kapitalbindung und die tendenzielle Höhe des internen Zinsfußes? Die Investitionen I und II zeigen folgenden Zusammenhang: 1. Lassen sich bei einer Investition die Rückflüsse primär in den ersten Jahren der Nutzungsdauer erwirtschaften, so ist die durchschnittliche Kapitalbindung niedrig und damit der interne Zinsfuß tendenziell hoch. 2. Erfolgen dagegen die Rückflüsse erst zu einem späteren Zeitpunkt, so ist die durchschnittliche Kapitalbindung hoch und damit der interne Zinsfuß tendenziell niedrig. Die Schwierigkeit bei der Interpretation des internen Zinsfußes liegt vorwiegend in dieser Tatsache begründet. Die Höhe des internen Zinsfußes hängt von der durchschnittlichen Kapitalbindung ab und diese wiederum von der Höhe des internen Zinsfußes. Also kann die durchschnittliche Kapitalbindung erst dann genau erkannt werden, wenn der interne Zinsfuß berechnet wurde. Allgemein läßt sich sagen: Wird der interne Zinsfuß zur Vorteilhaftigkeitsbestimmung von Investitionen verwendet, so werden nicht nur bestimmte Arten von Investitionen systematisch bevorzugt; es wird auch nicht gewährleistet, daß das gewinnoptimale Programm realisiert wird. Auch dies wird am oben dargestellten Beispiel deutlich. Unter der Annahme, ein Investor verfuge über Investitionsmittel von 5.882 GE, wäre er bei einer Beurteilung nach der Methode des internen Zinsfußes indifferent zwischen den alternativen Sachinvestitionen I und II, obwohl die KapitalwertMethode ein deutliches Ergebnis zugunsten der Investition I anzeigt.

Der Baldwin-Zinssatz

251

Aufgabe 6.32 Mit dem Baldwin-Zinssatz möchte man die Rendite einer Investition bezogen auf die gesamte Investitionssumme messen. a) Welche Annahme wird bei der Baldwin-Methode über die Verzinsung der Reinvestitionen gemacht? Das Problem bei der Methode des internen Zinsfußes besteht u.a. in der Annahme, daß Komplementärinvestitionen zum internen Zinsfuß der Ausgangsinvestition angelegt werden. Diese Wiederanlageprämisse wird von Baldwin modifiziert. Er unterstellt, daß die Komplementärinvestitionen mit einem Zinsfuß zu verzinsen sind, der die erwartete durchschnittliche Rendite r des Unternehmens widerspiegelt. Prinzipiell ist diese Prämisse über die Reinvestitionsmöglichkeit ebenfalls willkürlich, da die erwartete durchschnittliche Rendite eine unbekannte Größe ist und zudem von der Verzinsung der durchzuführenden Investition abhängt. b) Wie ist die gesamte Investitionssumme fur die Ermittlung des Baldwin-Zinssatzes zu bestimmen? Mit dem Baldwin-Zinssatz möchte man die Rendite der Investition bezogen auf die gesamte Investitionssumme messen. Dazu ist zunächst der gesamte Kapitaleinsatz zu ermitteln. Die entsprechende Investitionssumme wird definiert als der Investitionsauszahlungsbetrag, der zum Zeitpunkt to zur Verfugung gestellt werden muß, damit die gesamte Investition finanzierbar ist. Dazu wird der Barwert der Investitionsauszahlungen (BA), die den Einzahlungsüberschüssen vorgelagert sind, ermittelt. Der Barwert der Investitionsauszahlungen BA wird anhand der folgenden Formel bestimmt: BA=

IT1U1 m

^ — { - A 0 + y V e t - a , ) * ( l + r) _t } tr

Es wird also für jede Periode m (1 < m < n) ermittelt, wie hoch der Barwert der Auszahlungen bis zu diesem Zeitpunkt ist. Die maximale Kapitalbindung ist erreicht, wenn der Barwert der Investitionsauszahlungen den höchsten negativen Betrag annimmt, er also minimal ist.

252

Der Baldwin-Zinssatz

c) Bestimmen Sie den Barwert der Investitionsauszahlungen für die Investitionsalternative I aus der Aufgabe 6.30! Unter Verwendung der Formel BA=

rtlin m

^ _ {_A0+£(et-at)*(l + r r w

}

ergibt sich der folgende Barwert der Investitionsauszahlungen der Investition I: BA = - 2.882,00 - 3.300,00 * (Ι,ΙΟ) 1 BA = - 2 . 8 8 2 , 0 0 - 3 . 0 0 0 , 0 0 BA = - 5 . 8 8 2 , 0 0 Der Barwert der Investitionsauszahlungen beträgt BA = - 5.882,00 GE. Aufgabe 6.33 Bestimmen Sie die Formel zur Berechnung des Baldwin-Zinssatzes r ! Im Zeitpunkt t = m erreicht die Investitionssumme ihr Maximum, das heißt das Minimum des BA. Ab der Periode t = m + 1 reduziert sich die maximale Kapitalbindung. Zur Ermittlung des Baldwin-Zinses werden nun die Einzahlungsüberschüsse ab t = m + 1 bis zum Planungshorizont mit der erwarteten durchschnittlich Rendite des Unternehmens r angelegt und aufsummiert. Der Endwert der Einzahlungsüberschüsse (EE) ist dann: E E = £ ( e t - a t ) * ( l + Ön-t t=m+l

Dieser Endwert drückt die Kassenbestandsleistung aus, die sich einschließlich der Wiederanlage der Rückflüsse zur durchschnittlich erwarteten Unternehmensrendite

r

ergibt, nachdem die Investitionssumme

BA

ausgegeben ist. Da nun der modifizierte interne Zins, der Baldwin-Zinssatz r , gesucht ist, bei dem der Barwert des Endwertes der Einzahlungsüberschüsse gleich dem Barwert der Investitionsauszahlungen ist, gilt:

Der Baldwin-Zinssatz

253

Co = 0 = BA + EE * (1 + ?)'" Daraus folgt fur r : (1+f)» = _ EE BA

.

ΓΕΕ ^ r i Ä "

1

Eine Investition nach dem Kriterium des Baldwin-Zinssatzes ist dann vorteilhaft, wenn gilt: r^r Bei alternativen Investitionsobjekten ist dasjenige mit dem höchsten Baldwin-Zinssatz auszuwählen. Aufgabe 6.34 Wie hoch ist der Baldwin-Zinssatz für die Investition I aus der Aufgabe 6.30, wenn die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite mit r = 0,10 angegeben wird? Die Investition I fuhrt zu der folgenden Zahlungsreihe (vgl. Aufgabe 6.30): Zeitpunkt

to

Zahlung

- 2.882,00

tl - 3.300,00

H

t3

5.445,00

8.994,25

Der Barwert der Investitionsauszahlungen beträgt laut Aufgabenteil c der Aufgabe 6.32: BA = -5.882,00 Der Endwert der Einzahlungsüberschüsse ergibt sich als: EE= £

( e t - a t ) * ( l + ;) n - t

t=m+l

Bei den gegebenen Daten bedeutet das:

254

Der Baldwin-Zinssatz n=3

EE = ^T (e t - a t ) * 1,1 On_t t=2 Daraus folgt: EE = 5.445,00 * Ι,ΙΟ1 + 8.984,25 EE = 5.989,50 + 8.984,25 EE = 14.973,75 Damit errechnet sich ein Baldwin-Zinssatz von

f = 36,54% Der Baldwin-Zinssatz drückt die „Rendite" auf die gesamte Investitionssumme aus. Die Investitionssumme, also der Barwert der Auszahlungen, entspricht einer Auszahlung für eine Kapitalanlage mit einer Laufzeit von η Jahren. Der Endwert der Einzahlungsüberschüsse entspricht dann dem Rückzahlungsbetrag dieser Kapitalanlage nach η Jahren. Die Umrechnung in den Baldwin-Zins besagt, daß der Zinssatz ermittelt wird, der bei einer Kapitalanlage in Höhe von BA bei einer Laufzeit von η Jahren zu einem Endbetrag von EE fuhrt. Der Begriff der Rendite muß in diesem Zusammenhang in Anführungszeichen stehen, da der Baldwin-Zinssatz nicht nur durch die eigentliche Investition bestimmt wird, sondern zudem von Annahmen bezüglich der Verzinsung zwischenzeitlicher Zahlungen determiniert ist. Das Problem der Wiederanlageprämisse aus der Methode des internen Zinsfußes ist mit dem Baldwin-Zinssatz also nicht behoben, sondern nur anders berücksichtigt, indem andere Annahmen hinsichtlich der Verzinsung zwischenzeitlicher Zahlungen gemacht werden.

Der Baldwin-Zinssatz

255

Weder der Methode des internen Zinsfußes noch der des BaldwinZinssatzes kann demnach bedingungslos unterstellt werden, die Verzinsung einer Sachinvestition anzugeben. Aufgabe 6.35 Welcher Zusammenhang besteht zwischen der durchschnittlich erwarteten Unternehmensrendite ?, dem internen Zinsfuß r und dem Baldwin-Zinssatz r ? Laut Definition muß für eine vorteilhafte Investition die Bedingung erfüllt sein, daß der interne Zinsfuß r größer ist als die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite r : r> r Da die Methode des Baldwin-Zinssatzes bei einer vorteilhaften Investition eine geringere Verzinsung der zwischenzeitlichen Zahlungen unterstellt als die Methode des internen Zinsfußes, gilt: r > ?> r Baldwin-Zins und interner Zinsfuß liegen um so näher beieinander, je später die (positiven) Einzahlungsüberschüsse einer Investition anfallen. Die Zinssätze sind identisch, wenn eine Auszahlung zum Betrachtungszeitpunkt to und eine Einzahlung am Planungshorizont tn anfallen. Je vorteilhafter eine Investition ist und je früher die Einzahlungsüberschüsse anfallen, um so weiter liegen Baldwin-Zins und interner Zinsfuß auseinander.

256

Die Kapitalwertrate

2. Die Kapitalwertrate

Aufgabe 6.36 Die Höhe eines ermittelten Kapitalwertes ist allein nur bedingt aussagefähig, da die gesamte Investitionssumme im Vorteilhaftigkeitsvergleich nicht direkt berücksichtigt wird. Definieren Sie die Kapitalwertrate unter der Annahme, daß der Kalkulationszinssatz i der durchschnittlich erwarteten Unternehmensrendite F entspricht! Bei der Kapitalwert-Methode erfolgt die Auswahl unter verschiedenen Alternativen nach der Höhe der Kapitalwerte. Diese absolute Zahl vernachlässigt eventuelle Finanzierungsengpässe, da die Höhe der jeweiligen Investitionssumme nur mittelbar in Rechnung gestellt wird. Das Verhältnis aus dem Kapitalwert und der notwendigen Investitionssumme behebt diesen Nachteil: Kapitalwert Investitionssumme

C0 _ - BA

Der Quotient aus dem Kapitalwert und der Investitionssumme ist die Kapitalwertrate k. Sie gibt eine „Überrendite" über den Kalkulationszinssatz an, die während der gesamten Laufzeit der Nutzungsdauer einer Investition erzielt wird. Eine Investition ist nach dem Kriterium der Kapitalwertrate vorteilhaft, wenn gilt: k>0 Beim Vergleich alternativer Investitionsobjekte ist die Investition mit der höchsten positiven Kapitalwertrate zu realisieren. Aufgabe 6.37 Bestimmen Sie die Kapitalwertrate der Investition I aus der Aufgabe 6.30! Bei der Investition I beträgt der Barwert der Investitionsauszahlungen BA = - 5.882,00 GE (vgl. dazu Aufgabenteil c der Aufgabe 6.32). Der

Die Kapitalwertrate

257

Kapitalwert der Investition I beträgt C0 = 5.368,00 GE (vgl. dazu Aufgabenteil a der Aufgabe 6.30). Daraus ergibt sich eine Kapitalwertrate in Höhe von: k =

_C^=5;368 = 9 -BA 5.882

%

Dies bedeutet nun, daß die Investition neben der Alternativrendite in Höhe von i = r auf das jeweils gebundene Kapital zusätzlich noch eine „Überrendite" von k auf die gesamte Investitionssumme erreicht. Diese „Überrendite" wird in dem gesamten Zeitraum bis zum Planungshorizont erwirtschaftet. Wann diese Mehrerträge dem Unternehmen zufließen, geht aus der Ziffer nicht hervor. Daher ist die Kapitalwertrate nur im Zusammenhang mit dem Planungshorizont zu interpretieren. Eine „Überrendite" von 91,26 % wie im obigen Beispiel ist relativ hoch, weil sie in einem Zeitraum von drei Jahren erzielt wird. Sie wäre relativ gering, wenn der Planungshorizont 20 Jahre betragen würde. Der Begriff „Überrendite" steht in Anführungszeichen, da sich die berechnete Kennzahl auf eine mehrperiodige Laufzeit bezieht und nicht auf eine Periode - wie es bei Renditen üblich ist. Aufgabe 6.38 Wann erscheint es sinnvoll, die Kapitalwertrate zu verwenden? Beim Ansatz der Kapitalwert-Methode wird unterstellt, der Investor könne zum Kalkulationszinssatz beliebig viel Kapital anlegen und aufnehmen. Sofern sich verschiedene Investitionsobjekte nicht ausschließen, können unter diesen Bedingungen sämtliche Investitionen realisiert werden, bei denen der Kapitalwert positiv ist. Die Bedingungen des vollkommenen Kapitalmarktes sind in der Realität aber nicht gegeben, Kapital kann somit ein knappes Gut sein. Zur Lösung bzw. zur Berücksichtigung dieses Knappheitsproblems kann einerseits auf Modelle der simultanen Investitions- und Finanzplanung zurückgegriffen werden (vgl. dazu Kapitel 10). Zudem kann man versuchen, das Knappheitsproblem im Beurteilungskriterium zu berücksichtigen. Dieses geschieht, indem man das Beurteilungskriterium ins Verhältnis

258

Die Kapitalwertrate

zum Engpaßfaktor setzt. Analoge Überlegungen finden sich beim Einsatz der relativen Deckungsbeitragsrechnung im Rahmen der Produktionsprogrammplanung. Der Einsatz der Kapitalwertrate erscheint demnach sinnvoll, wenn ein Engpaß bei der Kapitalbeschaffung zur Finanzierung der zu bewertenden Investitionen besteht. Aufgabe 6.39 Wie kann man unterschiedliche Laufzeiten von Investitionsalternativen bei der Kapitalwertrate berücksichtigen? Sollen Investitionsalternativen mit unterschiedlichen Laufzeiten bei Kapitalknappheit verglichen werden, so sind die unterschiedlichen Laufzeiten der Alternativen im Rahmen der Kapitalwertrate zusätzlich zu berücksichtigen. Zu diesem Zweck kann die jährliche Kapitalwertrate k* berechnet werden. Diese errechnet sich, indem die Gleichung 1 + k = (l +k*)n nach k* aufgelöst wird: k* =Λ/Γ+ΊΓ-1 Die Kapitalwertrate k wird auf diese Weise unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen auf die einzelnen Perioden der Nutzungsdauer η gleichmäßig verteilt bzw. periodisiert. Der Ausdruck 1 + k enthält die Verzinsung über die gesamte Laufzeit. Mit dem Ausdruck (1 + k*)n wird diese Verzinsung auf die einzelnen η Jahre periodisiert, und zwar unter der Annahme, daß jährliche Zinsen zum Ende einer jeden Periode zu berücksichtigen sind. Aufgabe 6.40 Bestimmen Sie die durchschnittliche jährliche Kapitalwertrate k* für die Investition I aus der Aufgabe 6.30! Die Kapitalwertrate der Investition I beträgt k = 91,26 % (vgl. dazu Aufgabe 6.37). Daraus folgt fur die jährliche Kapitalwertrate k*:

Die Kapitalwertrate

259

Bei den gegebenen Daten bedeutet das: k* = ^/l,9126 - 1 k* =24,13 % Die jährliche Kapitalwertrate bedeutet nun, daß im Durchschnitt über die im Kalkulationszinssatz i = r berücksichtigte Alternative hinaus in jedem Jahr der Nutzungsdauer eine zusätzliche Rendite von k* = 24,13 % erzielt wird. Aufgabe 6.41 Läßt sich die Summe aus der durchschnittlichen Unternehmensrendite F und der jährlichen Oberrendite (der jährlichen Kapitalwertrate) k* als Gesamtrendite der Investition interpretieren? Die durchschnittliche Unternehmensrendite r bezieht sich auf das jeweils gebundene Kapital, die Überrendite k* auf die gesamte Investitionssumme. Die Größen sind somit nicht vergleichbar und daher auch nicht beliebig kombinierbar.

260

Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

3. Der Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

Aufgabe 6.42 Welche Beziehung besteht zwischen der jährlichen Kapitalwertrate k* und dem Baldwin-Zins ? ? Indem der Endwert der Einzahlungsüberschüsse EE auf den Betrachtungszeitpunkt diskontiert und mit dem Barwert der Investitionsauszahlungen BA verrechnet wird, errechnet sich der Kapitalwert wie folgt: Co = BA + E E * (1 + r)" n Daraus folgt: EE = (Co - BA) * (1 + r )n Setzt man diesen Ausdruck in die Formel zur Bestimmung des BaldwinZinssatzes ein, so folgt aus 1 EE~ ? = nl- — - ι (vgl. dazu Aufgabe 6.33) der Ausdruck:

Eine Umformung ergibt:

C Da k = —2— ist, folgt daraus: ? = (1 + r)* Vk + 1 - 1 Aufgrund der Gleichung k* = R/TTk-1 (vgl. dazu Aufgabe 6.39) folgt letztendlich:

Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

261

? = (1 + r)*(k" + 1)- I r = f + k"*(l + r) Liegt die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite r vor, so lassen sich die durchschnittliche jährliche Kapitalwertrate k* und der BaldwinZins ? durch lineare Transformation ineinander überfuhren. Aufgabe 6.43 Bestimmen Sie fur die Daten der Investition I aus der Aufgabe 6.30 die Beziehung zwischen dem Baldwin-Zins r und der jährlichen Kapitalwertrate (Überrendite) k*! Die Kapitalwertrate für die Investition I lautet: k=

= = 91,26 % (vgl. dazu Aufgabe 6.37) — BA 5.882

Das entspricht einer jährlichen Überrendite von: k*=^/TTk-1 Bei den gegebenen Daten bedeutet das: k*=VÜ>I26-1 k* = 24,13 % (vgl. dazu Aufgabe 6.40) Die Berechnung des Baldwin-Zinses führt zu dem Ergebnis:

. I 14.973,75 , r=} 1 V 5.882,00 f = 36,54 % (vgl. dazu Aufgabe 6.34) Aus der Gleichung r = f + k * * (1 + f) (vgl. dazu Aufgabe 6.42) folgt somit: ? = 0,10 + 0,2413 * 1,10

262

Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

? = 0,10+ 0,2654 f = 0,3654 Die Ergebnisse entsprechen sich und bestätigen die Aussage, die Zinssätze ließen sich ineinander überfuhren. Aufgabe 6.44 Welches der betrachteten Vorteilhaftigkeitskriterien (Kapitalwert, interner Zinsfuß, Baldwin-Zins, Kapitalwertrate, jährliche Kapitalwertrate) ist anzuwenden, wenn die finanziellen Mittel keinen Engpaß darstellen und nur ein Einzelobjekt zu beurteilen ist? Bei dieser Fragestellung geht es nur um das Problem, ob eine einzelne Investition vorteilhaft ist. Es wird nicht gefragt, wie vorteilhaft das Projekt ist. Eine kardinale Messung wird nicht verlangt. Unter den genannten Bedingungen fuhren sämtliche Kriterien zur gleichen Handlungsanweisung, denn eine Investition ist vorteilhaft, wenn •

der Kapitalwert positiv ist: Co > 0

•

der interne Zinsfuß größer ist als der Kalkulationszinssatz: r > i (Voraussetzung: eine Normalinvestition)

•

der Baldwin-Zins größer ist als die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite bzw. der Kalkulationszinssatz: f > r bzw. ? > i.

•

die Kapitalwertrate positiv ist: k > 0

•

die jährliche Kapitalwertrate positiv ist: k* > 0

Dabei gilt fur den Fall einer einzelnen Investition und unter den Bedingungen des vollkommenen Kapitalmarktes, daß ein positiver Kapitalwert zu r > i (Normalinvestition), r > r bzw. f > i, k > 0 und k* > 0 fuhrt. Aufgabe 6.45 Welches der in der Aufgabe 6.44 betrachteten Kriterien ist anzuwenden, wenn alternative Sachinvestitionen zu beurteilen sind und finanzielle Mittel keinen Engpaß darstellen?

Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

263

Um diese Frage allgemein beantworten zu können, wird hier das Prinzip der Gewinnmaximierung als Zielsetzung wirtschaftlichen Handelns zugrunde gelegt. Als Kalkulationszinssatz i wird die Alternativrendite unterstellt. Die Bewertung der Investitionsaltemativen und die Bestimmung einer entsprechenden Rangfolge erfolgt dann anhand der Kapitalwert-Methode. Die Kapitalwert-Methode abstrahiert von Problemen der Finanzierung und entspricht somit dem hier gegebenen Fall. Die anderen Kriterien können zu einer falschen Handlungsanweisung führen, da sie auf anderen Prämissen (beispielsweise hinsichtlich der Möglichkeiten einer Verzinsung zwischenzeitlicher Zahlungen) basieren. Aufgabe 6.46 Welches der in der Aufgabe 6.44 betrachteten Vorteilhaftigkeitskriterien ist zur Beurteilung alternativer Sachinvestitionen anzuwenden, wenn finanzielle Mittel einen Engpaß bilden? Stellen finanzielle Mittel einen Engpaß dar, so muß das Vorteilhaftigkeitskriterium den Kapitaleinsatz unmittelbar in Rechnung stellen. Der Kapitalwert fuhrt somit nicht zwingend zu einer richtigen Steuerung, da er nur eine absolute Größe abbildet. Es ist daher eine Kennziffer auszuwählen, die eine relative Größe abbildet und zudem zu den geringsten Fehlsteuerungen im Sinne der Gewinnmaximierung fuhrt. Das Instrument, welches dem Kapitalwert hinsichtlich der Wiederanlageprämisse am nächsten kommt, ist die Kapitalwertrate. Nun ist die Kapitalwertrate nur dann aussagefahig, wenn der Zeitraum mit angegeben wird, in dem diese „Überrendite" anfallt. Dies bedeutet, daß die durchschnittliche jährliche Kapitalwertrate zu ermitteln ist. Diese wiederum ist bis auf eine lineare Transformation identisch mit dem BaldwinZins. Der Baldwin-Zins hat zwei wesentliche Vorzüge: Zum einen ist er eindeutig interpretierbar, denn er mißt die durchschnittliche Rendite auf das insgesamt investierte Kapital. Alle anderen Renditemaße erfordern zusätzliche Informationen. Zum anderen erscheint der Baldwin-Zins das beste

264

Zusammenhang zwischen Kapitalwertrate und Baldwin-Zins

Maß zu sein, um vorgegebene Investitionsobjekte in eine Rangfolge zu bringen. Dadurch wird in aller Regel der maximale Gewinn erreicht. Aufgabe 6.47 Stellen Sie dar, welche Verzinsungs- bzw. Wiederanlageprämissen die in der Aufgabe 6.44 genannten Kriterien hinsichtlich unterschiedlicher Investitionsauszahlungen A 0 , zwischenzeitlicher Zahlungen dt und verschiedener Planungshorizonte η bei alternativen Investitionsobjekten enthalten! Die folgende Tabelle zeigt die geforderten Zusammenhänge auf: Kriterium

Ao

dt

η

Kapitalwert

i

i

i

Interner Zinsfuß

r

r

r

Baldwin-Zins

?

r

r

Kapitalwertrate

k und r

r

r

Jährliche Kapitalwertrate

k* und r

r

k" und f

Die Angaben „k und r " bzw. „k* und ? " soll andeuten, daß überschüssige Beträge sowohl die Altemativrendite r bzw. k* wie auch die Überrendite k bzw. r verdienen. Da sich die beiden Größen auf unterschiedliche Basen beziehen, können sie nicht addiert werden.

Alternative Sachinvestitionen

265

Zusammenfassung zum 6. Kapitel

Das sechste Kapitel stellte die Besonderheiten bei der Vorteilhaftigkeitsbestimmung alternativer Sachinvestitionen dar. Dabei wurde deutlich, daß die mehrperiodige Investitionsrechnung nicht ohne jede Reflektion der jeweils enthaltenen Prämissen einerseits und der gegebenen Daten andererseits eingesetzt werden darf. Die Kriterien signalisieren bei bestimmten Bedingungen unterschiedliche Handlungsanweisungen, so daß die Bewertung alternativer Sachinvestitionen bei unterschiedlichen Verfahren zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann. Welche Einflußfaktoren in diesem Zusammenhang von Bedeutung sind, war Gegenstand der Aufgaben dieses Kapitels. Die folgende Zusammenfassung stellt die erarbeiteten Erkenntnisse komprimiert dar: 1. Verschiedene Investitionsobjekte werden als vollständige oder echte Alternativen bezeichnet, sofern sie sich in allen ihrer wesentlichen Charakteristika bis auf ein Merkmal gleichen; beispielsweise in drei der vier folgenden: der Höhe der Auszahlungen, der Höhe der Einzahlungen, der Kapitalbindungsdauer und der zeitlichen Lage der Kapitalbindung. Die Bestimmung der Rangfolge echter Alternativen ist eindeutig und erfolgt anhand des vierten Kriteriums, welches beispielsweise bei gleicher Kapitalbindungsdauer und gleicher zeitlicher Lage der Kapitalbindung entweder nach dem Minimum-Prinzip (Auszahlungen) oder nach dem Maximum-Prinzip (Einzahlungen) beurteilt wird. Dabei ist dann unterstellt, daß die Einzahlungen bzw. die Auszahlungen gleich hoch sind. Echte Alternativen sind der Praxis einer Wirtschaftlichkeitsrechnung fremd. Ein Weg, eindeutige Entscheidungen unter realistischen Bedingungen treffen zu können, ist die Gestaltung von Ergänzungsinvestitionen, die auch als Komplementär- oder Supplementinvestitionen bezeichnet werden. Sowohl Zeit- als auch Zahlungssupplemente sind grundsätzlich vor dem Hintergrund der gegebenen Daten zu konstruieren, da sie einen Einfluß auf die Bewertung der betrachteten Investition haben. Eine unreflektierte Aussage hinsichtlich der Konstruktion vergleichbarer Alternativen ist daher nicht möglich.

266

Alternative Sachinvestitionen

2. Die Kapitalwert-Methode enthält die Annahme, Komplementärinvestitionen verzinsten sich zum Kalkulationszinssatz i. Mit einem vollständigen Finanzplan kann diese implizite Prämisse explizit dargestellt werden. Der Kapitalwert einer Komplementärinvestition ist bei einem vollkommenen Kapitalmarkt Null, die Komplementärinvestition hat unter diesen Bedingungen keine Auswirkung auf den Kapitalwert einer Sachinvestition. Die Methode des internen Zinsfußes unterstellt bei Komplementärinvestitionen eine Verzinsung zum internen Zinsfuß der zugrunde liegenden Sachinvestition. Eine Vorteilhaftigkeitsbestimmung auf der Basis des internen Zinsfußes kann daher bei alternativen Sachinvestitionen zu einem anderen Ergebnis fuhren als die Kapitalwert-Methode. Schneiden sich die Kapitalwert-Kurven alternativer Sachinvestitionen, so ist eine derartige Situation gegeben; über die Bestimmung des kritischen Kalkulationszinssatzes (Schnittpunkt der Kapitalwert-Kurven) kann dann definiert werden, unter welchen Rahmenbedingungen welche Methode zur korrekten Handlungsanweisung fuhrt. Bei der Annuitäten-Methode ist wie bei der Kapitalwert-Methode im Grunde die implizite Annahme enthalten, Komplementärinvestitionen verzinsten sich zum Kalkulationszinssatz. Diese Analogie liegt darin begründet, daß die Kapitalwert-Annuität auf einer Bestimmung des Kapitalwertes basiert. Trotz dieser identischen Prämisse können Annuitäten- und Kapitalwert-Methode bei alternativen Sachinvestitionen zu unterschiedlichen Handlungsanweisungen fuhren. Zwar fuhrt ein positiver Kapitalwert immer zu einer positiven Kapitalwert-Annuität, beim Vergleich mehrerer Sachinvestitionen ist aber die Bestimmung einer Rangfolge notwendig und somit auch die absolute Höhe der Kapitalwert-Annuität von Bedeutung. Dieser Betrag ist vom gewählten Wiedergewinnungsfaktor abhängig, der wiederum nicht nur vom gewählten Zinssatz determiniert wird, sondern auch von der zugrunde gelegten Laufzeit. Bei einer betragsmäßigen Komplementärinvestition fuhren Kapitalwertund Annuitäten-Methode auch bei alternativen Sachinvestitionen zu identischen Handlungsanweisungen, bei zeitlichen Komplementärinve-

Alternative Sachinvestitionen

267

stitionen können demgegenüber auch unter der Bedingung identischer Annahmen bezüglich der Verzinsung von Supplementen unterschiedliche Empfehlungen aus den beiden Methoden resultieren. Diese Differenz liegt in den unterschiedlichen Laufzeiten der Investitionen begründet, die dann zu verschiedenen Wiedergewinnungsfaktoren fuhren. Eine diesbezügliche Prämisse ist in der Annuitäten-Methode nicht implizit enthalten, die Annuitäten-Methode enthält keine Annahmen bezüglich der Problematik, wie unterschiedliche Laufzeiten alternativer Sachinvestitionen zu berücksichtigen sind. Wird die jeweilige Laufzeit der Sachinvestition angenommen, so sind die Sachinvestitionen bei unterschiedlichen Laufzeiten mit unterschiedlichen Wiedergewinnungsfaktoren verbunden, was zu Differenzen zwischen den Handlungsanweisungen der Kapitalwert-Methode und der Annuitäten-Methode führen kann. Diesem Vorgehen ist dann die Prämisse zuzuordnen, die zeitliche Differenz der Alternativen könne zu einer Ergänzungsinvestition genutzt werden, welche einen internen Zinsfuß in Höhe der (kürzerfristigen) Ausgangsinvestition erwirtschaftet. Der Investor unterstellt hier die Möglichkeit, die Annuität der kürzerfristigen Sachinvestition über die zeitliche Differenz zur längerfristigen Sachinvestition fortschreiben zu können. Die Ergänzungsinvestition erwirtschaftet also eine Annuität, welche der der kürzerfristigen Ausgangsinvestition entspricht. Ausgangs- und Ergänzungsinvestition haben dann den gleichen internen Zinsfuß. Verwendet der Betrachter trotz unterschiedlicher Laufzeiten der alternativen Sachinvestitionen einheitliche Wiedergewinnungsfaktoren, so ist dem die Prämisse zuzuordnen, die kürzerfristige Sachinvestition führe zu keiner (besonderen) Anschlußinvestition, sondern zu einer Anlage der Mittel am Kapitalmarkt zum Kalkulationszinssatz i, der Investor ist dann während der zeitlichen Differenz der alternativen Sachinvestitionen ökonomisch nicht aktiv. 3. Unterschiedliche Kriterien fuhren bei der Bewertung alternativer Sachinvestitionen unter bestimmten Bedingungen zu

unterschiedlichen

Handlungsanweisungen. Der interne Zinsfuß und die KapitalwertMethode können bei sich schneidenden Kapitalwert-Kurven voneinan-

268

Alternative Sachinvestitionen

der abweichende Ergebnisse anzeigen, Kapitalwert- und AnnuitätenMethode beim Ansatz zeitlicher Komplementärinvestitionen. Die Frage, welches Instrument wann das richtige Ergebnis liefert, ist somit von den Rahmenbedingungen abhängig, und zwar insbesondere von der Frage, welche Möglichkeiten bei der Berücksichtigung der Ergänzungsinvestitionen gegeben sind bzw. geschaffen werden können. In Erwägung zu ziehen sind Finanzinvestitionen zum Kalkulationszinssatz i, weitere Sachinvestitionen, deren interner Zinsfuß zu bestimmen ist, eine betragsmäßige Verteilung der Supplemente auf verschiedene Optionen usw. 4. Der Kalkulationszinssatz hat einen erheblichen Einfluß auf die Bewertung von Sachinvestitionen. Werden bei der Vorteilhaftigkeitsbestimmung die Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes angenommen, so resultieren daraus nicht unbedeutende Probleme. Das Vorgehen, Komplementärinvestitionen anzusetzen, ist im Grundsatz korrekt und zielführend, unter den Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes aber mitunter an erhebliche Verzerrungen gebunden. Der Vergleich alternativer Sachinvestitionen hebt demnach die Notwendigkeit hervor, den Zinssatz für die Komplementärinvestition auf der Basis umfangreicher Reflektionen und insbesondere situationsspezifisch zu definieren. Dieses Erfordernis ist auch bei der Bewertung einzelner Sachinvestitionen von Bedeutung. Bei alternativen Sachinvestitionen wird aber hervorgehoben, daß der notwendige Zinssatz nicht nur von endogenen Daten determiniert wird, sondern auch von den Bedingungen der Sachinvestition selbst abhängig ist. Sachinvestitionen mit hohem Finanzierungsbedarf führen beispielsweise zu anderen Finanzierungskosten als Sachinvestitionen mit geringem Mitteleinsatz. 5. Mit dem Baldwin-Zins wird das zentrale Problem dieses Kapitels emeut aufgenommen und in einer weiteren Möglichkeit der Bearbeitung dargestellt. Die regelmäßig bei alternativen Investitionen von großer Bedeutung gekennzeichnete Annahme bezüglich der Verzinsung zeitlicher und/oder betragsmäßiger Supplemente wird anhand der durchschnittlich erwarteten Unternehmensrendite angegangen. Da der Baldwin-Zins aus dem internen Zinsfuß bzw. den damit verbundenen Pro-

269

Alternative Sachinvestitionen

blemen abgeleitet ist (beim internen Zinsfuß ist die Wiederanlageprämisse auch bei einer einzelnen Investition als kritischer Punkt angesprochen worden), enthält der Baldwin-Zins zudem ein Element, das ihn vom internen Zinsfuß unterscheidet. Der Baldwin-Zins bezieht sich auf die gesamte Investitionssumme einer Investition, der interne Zinsfuß dagegen auf das jeweils in einem Zeitpunkt bzw. im Durchschnitt der Perioden gebundene Kapital. Zur Berechnung des Baldwin-Zinses wird quasi der Zinssatz ermittelt, bei dem der mit diesem Zinssatz diskontierte Barwert der Einzahlungsüberschüsse dem Barwert der Investitionsauszahlungen entspricht; bei der Methode des internen Zinsfußes wird analog dazu der Zinssatz berechnet, bei dem der mit diesem Zinssatz ermittelte Ertragswert die Anschaffungsauszahlung deckt. In enger Verbindung zum Baldwin-Zins sind die Kapitalwertrate und die jährliche Kapitalwertrate als weitere Kriterien der Bewertung von Investitionen zu nennen. Die Kapitalwertrate macht aus der absoluten Größe des Kapitalwertes eine relative Kennzahl, indem der Kapitalwert zu der dazu notwendigen Anschaffungsauszahlung ins Verhältnis gesetzt wird. Mit der jährlichen Kapitalwertrate wird diese Kennzahl für die Jahre der Nutzungsdauer periodisiert. Liegt die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite bzw. der Kalkulationszinssatz vor, so lassen sich die durchschnittliche jährliche Kapitalwertrate und der Baldwin-Zins durch lineare Transformation ineinander überfuhren.

Literaturempfehlungen zum 6. Kapitel

Adam, D., Investitionscontrolling, S. 144 - 158.

3.

Aufl., München

u.a.

2000,

Albach, H., Wirtschaftlichkeitsrechnung bei unsicheren Erwartungen, Köln, Opladen 1959. Baldwin, R.H., How to Assess Investment Proposals, in: Harvard Business Review, 37. Jg. (1959), S. 98-104.

270

Alternative Sachinvestitionen

Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 136 - 159. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 51 - 62. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 116 - 121. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 119-130. Grob, H.L., Einführung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999. Jacob,H./Voigt,K.-J., Investitionsrechnung, 5. Aufl., Wiesbaden 1997, S. 31 - 34 undS. 111-117. Kern, W., Investitionsrechnung, Stuttgart 1974. Kleine-Doepke, R./Standop, 2. Aufl., München 2001.

D./Wirth,

W., Management-Basiswissen,

Krause, W., Investitionsrechnungen und unternehmerische Entscheidungen, Berlin 1973. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 233 - 248. Perridon, L./Steiner, M., Finanzwirtschaft der Unternehmung, 11. Aufl., München 2002, S. 68 - 76. Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 157 - 160. Schultz, R./Wienke, R., Interner Zins und Annuität als subsidiäre Zielgrößen des Kapitalwerts, in: ZfB, 60. Jg. (1990), Heft 10, S. 1065ff. Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 38 -58.

Unvollkommener Kapitalmarkt

271

Kapitel 7

INVESTITIONSRECHNUNG KAPITALMARKT

UND

UNVOLLKOMMENER

Die vergangenen Kapitel haben immer wieder auf die besondere Bedeutung des Kalkulationszinssatzes im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsrechnung aufmerksam gemacht. Dabei repräsentierte der Kalkulationszinssatz regelmäßig die Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes, wodurch wesentliche Aspekte einer praxisorientierten Investitionsrechnung ausgeblendet werden. Die folgenden Aufgaben sollen dementsprechend die Rolle des Kalkulationszinssatzes in anwendungsorientierter Hinsicht differenzierter betrachten. Dabei wird es im wesentlichen um zwei sich ergänzende Themenkreise gehen: 1. Eine Betrachtung der Funktion des Kalkulationszinssatzes soll zu den Einflußfaktoren der Bestimmung des Kalkulationszinssatzes fuhren. Dabei sind Hinweise auf die Probleme einer Berechnung des Kalkulationszinssatzes vor dem Hintergrund der realen Verhältnisse am Kapitalmarkt zu machen. 2. Die grundsätzliche Beschreibung der Problematik um den Kalkulationszinssatz wird um Aufgaben zu ergänzen sein, die die Berücksichtigung eines unvollkommenen Kapitalmarktes im Rahmen der Vorteilhaftigkeitsbestimmung von Sachinvestitionen darlegt.

272

Unvollkommener Kapitalmarkt

Aufgabe 7.1 Was ist unter einem vollkommenen Kapitalmarkt zu verstehen? Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt besteht grundsätzlich und immer die Möglichkeit, Kapital im beliebigen Umfang anzulegen und aufzunehmen. Dies bedeutet: Es liegen gleichbleibende Zinssätze im Zeitablauf vor. Diese Zinssätze gelten für jeden Marktteilnehmer. Dabei ist der SollZinssatz als Zinssatz der Geldaufiiahme gleich dem Haben-Zinssatz als Zinssatz der Geldanlage. Es besteht keine Kapitalbeschränkung. Da Kapital als homogenes Gut angesehen wird, existieren keine unterschiedlichen Finanzierungsarten und damit weder unterschiedliche Zinssätze noch Fristigkeiten. Aufgabe 7.2 Was versteht man unter einem unvollkommenen Kapitalmarkt? Die Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes, auf dem beliebige Beträge zu einem einheitlichen Zinssatz angelegt und aufgenommen werden können, ist nicht realistisch, zudem gibt es in der Realität keine sicheren Erwartungen über die Zukunft. Es lassen sich drei Formen eines unvollkommenen Kapitalmarktes unterscheiden: 1. Eine schwache Form der Marktunvollkommenheit liegt vor, wenn der Zinssatz für die Geldanlage (Habenzins in) nicht dem Zinssatz für die Geldaufiiahme (Sollzins 1FK) entspricht. Dieser Fall wird als beschränkter Kapitalmarkt bezeichnet, dabei sind die Zinssätze konstant und in der Höhe vom Volumen der Geldanlage bzw. der Geldaufiiahme unabhängig. In aller Regel ist der Haben-Zinssatz geringer als der SollZinssatz. Eine Kreditaufnahme ist nur dann sinnvoll, wenn die zu finanzierende Sachinvestition einen Erfolg erwirtschaftet, der auch die Zinszahlungen deckt. 2. Im Fall der strikten Kapitalrationierung ist das am Kapitalmarkt zur Verfügung stehende Kapital durch bestimmte Restriktionen begrenzt. Die zu einem gegebenem Zinssatz maximal zu beschaffenden finanziellen Mittel sind durch Restriktionen fixiert.

Unvollkommener Kapitalmarkt

273

3. Eine schwache Kapitalrationierung liegt vor, wenn die Finanzierungskosten mit der Höhe des aufzunehmenden Kapitals steigen. Da Kapital in der Realität kein homogenes Gut ist, können die Zinssätze für die Geldaufhahme und auch die der Geldanlage von der Fristigkeit der Kapitalbindung abhängen. Zudem sind die Kosten der Finanzierung einer Investition auch abhängig von den zu realisierenden Investitionen. Aufgabe 7.3 Welche Probleme werden bei den klassischen Verfahren der Investitionsrechnung, insbesondere bei der Kapitalwert-Methode, mit der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes gelöst? Da auf einem vollkommenen Kapitalmarkt Soll- und Haben-Zinssatz gleich hoch sind, für die Kapitalbeschaffung einheitliche Konditionen bestehen (Kapital ist dann ein homogenes Gut) und keinerlei Kreditbeschränkungen vorliegen, besteht kein Liquiditäts- und Finanzierungsproblem. Der Kapitalwert von Finanzierungsmaßnahmen ist gleich Null, so daß alternative Finanzierungsprojekte keinen Einfluß auf den Erfolg der Unternehmung haben. In der Realität ist die Prämisse des vollkommenen Kapitalmarktes nicht gegeben. Die Frage der Finanzierung ist in aller Regel von entscheidender Bedeutung im Rahmen der Finanzwirtschaft einer Unternehmung. Probleme der Finanzierung sind demnach existent, sie dürfen daher nicht von der Investitionsrechnung separiert werden, schon gar nicht darf eine vollständige Vernachlässigung der Finanzierungsfragen erfolgen. Überlegungen zur Optimierung von Investition und Finanzierung erfordern eine simultane Investitions- und Finanzierungsplanung. Aufgabe 7.4 Welche Aufgaben hat der Kalkulationszinssatz bei den klassischen Verfahren der Investitionsrechnung? Der Kalkulationszinssatz dient z.B. bei der Kapitalwert-Methode in erster Linie dazu, Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen sowie Zahlungsreihen mit verschiedenen Beträgen vergleichbar zu machen.

274

Unvollkommener Kapitalmarkt

Dies geschieht, indem die alternativen Zahlungen bzw. Zahlungsreihen auf einen gemeinsamen Bezugszeitpunkt diskontiert werden. Bei der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition wird diese zudem gemessen an einer grundsätzlich alternativ möglichen Anlage der Investitionssumme zum Kalkulationszinssatz i. Bei einer Finanzierung der Investition mit Fremdkapital stellt der Kalkulationszinssatz die Finanzierungskosten in Rechnung. Die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten hängt damit entscheidend von der Höhe des angesetzten Kalkulationszinssatzes ab. Aufgabe 7.5 „Die Höhe des Kalkulationszinssatzes wird durch die Annahme zur Vereinfachung der Entscheidungsfindung bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung! Bei vollständiger Formulierung eines Investitionsvergleichs (Totalmodelt) besteht jedes Handlungsprogramm letztendlich aus zwei Zahlungsgrößen: der Auszahlung im Planungszeitpunkt und der Einzahlung am Planungshorizont. Ein dynamisches Entscheidungsproblem wird auf eine Anfangsund eine Endzahlung reduziert. Unter den Bedingungen des Totalmodells läßt sich die optimale Entscheidung eindeutig ablesen und umfangreiche Methoden zur Kalkulation von Investitionsalternativen sind überflüssig. Die Investitionen müssen nicht mehr anhand komplizierter Verfahren und verschiedener Annahmen in einen Zustand der Vergleichbarkeit transformiert werden. In der Realität sind aber in aller Regel nicht sämtliche Zahlungen der Investitionsalternativen eindeutig zu berücksichtigen. Darüber hinaus dürfte auch Unklarheit darüber bestehen, ob tatsächlich sämtliche in Erwägung zu ziehenden Alternativen erfaßt worden sind. Bleiben verschiedene Zahlungen oder Investitionsmöglichkeiten unberücksichtigt, so liegt ein Partialmodell vor. Im Falle eines solchen Partialmodells bedarf es zum Vergleich der Investitionen eines Vergleichsmaßstabes. Als solcher fungiert regelmäßig der

Unvollkommener Kapitalmarkt

275

Kalkulationszinssatz i, und zwar als Größe, die Auskunft über die Vorteilhaftigkeit einer alternativen Verwendung des Kapitals gibt. Der Kalkulationszinssatz hat dabei die Aufgabe, aus einem Partialmodell ein Totalmodell zu konstruieren, denn es werden Annahmen hinsichtlich der Daten gesetzt, die für ein Totalmodell notwendig sind. Dabei erfüllt der Kalkulationszinssatz folgende Funktionen: 1. Das Kapital der Unternehmung ist in diejenige Verwendungsmöglichkeit zu lenken, in der es eine maximale Rendite erwirtschaftet. Der Kalkulationszinssatz dient dabei als Instrument zur Durchführung eines Vorteilhaftigkeits Vergleichs. 2. Der Kalkulationszinssatz verkörpert die Rendite nicht explizit berücksichtigter Investitionsmöglichkeiten. Im zeitlich unvollständigen Partialmodell erlaubt der Kalkulationszinssatz eine implizite Berücksichtigung der Investitionen jenseits des Planungshorizonts. 3. Darüber hinaus stellt der Kalkulationszinssatz die Effektiwerzinsung nicht ausdrücklich genannter Finanzierungsvorhaben in Rechnung, indem er die Grenzkosten des Kapitals repräsentiert. In der Summe ergibt sich daraus die Konsequenz, daß ein allgemein gültiger Kalkulationszinssatz nicht zu definieren ist. Der Kalkulationszinssatz wird durch die im Kalkül gemachten Annahmen zur Vereinfachung der Entscheidungsfindung determiniert. Aufgabe 7.6 Bei ausschließlicher Finanzierung einer Investition mit Eigenkapital müssen die Kosten des Eigenkapitals bestimmt werden. Welche Überlegungen spielen in diesem Zusammenhang eine Rolle? In welcher Höhe ist der Kalkulationszinssatz bei ausschließlicher Finanzierung der Investition mit Eigenkapital anzusetzen? Die Kosten der Eigenfinanzierung entsprechen dem vom Eigenkapitalgeber geforderten Alternativertragssatz. Dies ist die Verzinsung, die bei einer alternativen Verwendung der Mittel - unter Berücksichtigung eines ver-

276

Unvollkommener Kapitalmarkt

gleichbaren Risikos - erzielt werden kann. Ein solcher Alternativertragssatz kann bei börsennotierten Unternehmen beispielsweise aus dem Börsenkurs erschlossen werden. Bei ausschließlicher Finanzierung mit Eigenkapital ist die Rendite einer alternativen Anlagemöglichkeit der Investitionssumme als Kalkulationszinssatz anzusetzen. Dabei ist zunächst die beste, nicht mehr realisierte Investitionsalternative zu bestimmen. Ein solches Vorgehen setzt voraus, daß sämtliche in Erwägung zu ziehenden Investitionsalternativen nach der Höhe der Rendite zu ordnen sind. Bei Kenntnis dieser Investitionsrenditen ist ein Kalkulationszinssatz jedoch gar nicht mehr erforderlich, es ließe sich nämlich ein Totalmodell formulieren. Die Frage nach der richtigen Definition des Kalkulationszinssatzes ist daher insbesondere bei einer Finanzierung mit Eigenkapital mit erheblichen Problemen behaftet, da die Verzinsung der besten Alternative nicht eindeutig bestimmbar ist. Aufgabe 7.7 In welcher Höhe ist der Kapitalkostensatz anzusetzen, wenn das Unternehmen Gewinne einbehält, die formal ausschüttbar wären? Werden ausschüttbare Gewinne einbehalten, so spricht man bei dieser Form der internen Finanzierung von Selbstfinanzierung. Die Finanzierungskosten der Selbstfinanzierung entsprechen dem Aiternati vertragssatz, dabei handelt es sich um Opportunitätskosten. Bei einer Selbstfinanzierung verzichten die Anteilseigner auf die Möglichkeit einer anderen Verwendung der Mittel. Konsumwünsche und auch Investitionsmöglichkeiten der Anteilseigner können aber für die einzelnen Eigentümer unterschiedlich und somit auch von verschiedener Wertschätzung bestimmt sein. Deshalb ist zu fragen, an welchem Kalkulationszinssatz die vom Unternehmen angestrebten Investitionen zu messen sind, um zu entscheiden, ob es im Interesse der Eigenkapitalgeber ist, die Gewinne einzubehalten und zu reinvestieren.

Unvollkommener Kapitalmarkt

111

Aufgabe 7.8 Wie hoch ist der Kalkulationszinssatz bei ausschließlicher Finanzierung der Investition mit Fremdkapital anzusetzen? Bei einer ausschließlichen Finanzierung der Investition mit Fremdkapital ist es unproblematisch, der Finanzierungsentscheidung Zahlungen zuzurechnen. Mit der Aufnahme von Krediten verpflichtet sich das Unternehmen zu der Zahlung vertraglich vereinbarter Tilgungs- und Zinszahlungen über die Laufzeit des Kredits. Die Kosten der Finanzierung werden durch diese vertragliche Vereinbarung eindeutig determiniert. Aufgabe 7.9 In welcher Höhe ist der Kalkulationszinssatz anzusetzen, wenn die Finanzierung der Investition durch eine Verwendung von Eigen- und Fremdkapital erfolgt? Für eine Investition, die sowohl mit Eigen- als auch mit Fremdkapital finanziert wird, ist ein gewogener Zinssatz zu ermitteln, der sich aus dem Zinssatz des Fremdkapitals Ifk und der Verzinsung des Eigenkapitals ϊΕκ errechnet. Die jeweiligen Zinssätze werden anhand des eingesetzten Fremdkapitals FK sowie des zur Verfugung stehenden Eigenkapitals EK zum gewogenen arithmetischen Mittelwert verdichtet: . _ irc-EK+ipK+FK EK + FK Aufgabe 7.10 Beurteilen Sie den Vorschlag, das mit einer Investition verbundene Risiko im Kalkulationszinssatz zu berücksichtigen! Bei der Berücksichtigung des mit einer Investition verbundenen Risikos im Kalkulationszinssatz resultiert dieser aus dem Marktzinssatz und einem von der Investition abhängigen Risikozuschlag. Dabei stellt der Risikozuschlag eine subjektive Komponente des Kalkulationszinssatzes dar.

278

Unvollkommener Kapitalmarkt

Entsprechende Kompensationszuschläge sollen das mit der Investition verbundene Risiko mindern und eine Art Sicherheitsventil gegenüber Fehlern beim Ansatz der Einzahlungen und Auszahlungen sein. Ein hoher Risikozuschlag zinst spätere Zahlungen der Investition stärker ab und reduziert somit den zu berechnenden Kapitalwert. Ein entsprechendes Vorgehen führt dazu, daß die hohen Auszahlungen in to und den ersten Perioden der Nutzungsdauer mit einem zu großen Gewicht in die Kalkulation einfließen. Die in aller Regel erst in den späteren Perioden anfallenden hohen Einzahlungen werden besonders stark abgezinst und haben einen zu geringen Einfluß auf die Vorteilhaftigkeit des Projekts. Die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit wird auf diesem Wege manipulierbar. Der Kalkulationszinssatz sollte vielmehr die Aufgabe erfüllen, das Kapital in die objektiv beste Verwendung zu lenken. Bei der Berücksichtigung eines subjektiv geprägten Risikozuschlags im Kalkulationszinssatz kann es daher zu suboptimalen Entscheidungen kommen. Um das mit einer Investition verbundene Risiko in Rechnung zu stellen, sollten vielmehr mehrere alternative Datenkonstellationen einer Investition in den Entscheidungsprozeß einbezogen werden. Dies schließt eine pessimistische Situation ein, in der die Auszahlungen höher und/oder die Einzahlungen niedriger anzusetzen sind als im eigentlich für möglich gehaltenen Fall. Diese Art der Berücksichtigung von Risiken ist ein differenziertes Vorgehen und weniger global als die Berücksichtigung des Risikos im Kalkulationszinssatz. Aufgabe 7.11 Eignet sich eine subjektiv festgelegte Verzinsung als Kalkulationszinssatz ? Eine subjektiv festgelegte Mindestverzinsung läßt sich ökonomisch nicht begründen. Für eine Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Handlungsalternativen ist grundsätzlich ein nachvollziehbarer und prüfbarer Maßstab anzusetzen.

Unvollkommener Kapitalmarkt

279

Aufgabe 7.12 Die Anschaffung einer Maschine zur Herstellung eines Produkts fuhrt zu einer am 31. Dezember 2002 fälligen Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 100.000 GE. Während der vierjährigen Nutzungsdauer fallen Auszahlungen für Inspektion und Wartung in Höhe von ai = 12.000 GE pro Jahr an. Die Entwicklung der zur Herstellung des Produkts anfallenden Auszahlungen pro Stück ist aus der folgenden Tabelle abzulesen: Jahr Auszahlungen pro Stück

2003 100 GE

2004 105 GE

2005

2006

110 GE

120 GE

Die geplante Preisentwicklung geht aus der folgenden Tabelle hervor: Jahr Preis pro Stück

2003 200 GE

2004

2005

2006

205 GE

210 GE

200 GE

Die Entwicklung der Produktions- und Absatzmenge des Produkts zeigt die folgende Tabelle: Jahr Anzahl pro Jahr

2003 500 Stück

2004

2005

2006

700 Stück 600 Stück 400 Stück

Die Ein- und Auszahlungen sind auf das Ende der Periode, in der sie anfallen, zu beziehen. a) Ermitteln Sie die Zahlungsreihe des Investitionsobjekts! Die folgende Tabelle stellt die Zahlungsreihe der Sachinvestition und ihre wesentlichen Elemente dar:

280

Unvollkommener Kapitalmarkt

Jahr

2002

Zahlungen

- 100.000

pro Jahr

Zahlungsreihe

- 100.000

2003

2004

2005

100.000

143.500

126.000

80.000

- 50.000

- 73.500

- 66.000

- 48.000

- 12.000

- 12.000

- 12.000

- 12.000

38.000

58.000

48.000

20.000

2006

b) Ermitteln Sie den Kapitalwert und die Kapitalwert-Annuität des Investitionsobjekts unter Verwendung eines Kalkulationszinssatzes von i = 0,10. Wie beurteilen Sie die Vorteilhaftigkeit des Investitionsobjekts? Der Kapitalwert ist definiert als: C0 = - A 0 + £ d

t

*(1 + ι Γ ι + R n *(1 + ι Γ

t=l

Bei den hier vorliegenden Daten bedeutet das: 1 2 3 Co = +-100.000 20.000*+ (38.000 u o y 4 * (1,10) + 58.000 * (1,10) + 48.000 * (1,10)"

Co = 32.202,72 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. Die Kapital wert-Annuität ist definiert als: d = Co * WGF (n;i) Für die hier vorliegenden Daten bedeutet das: d = 32.202,72 * WGF (n - 4; i = 0,10) d =32.202,72 * 0,3155 d = 10.159,96 > 0 Die Kapitalwert-Annuität muß zur gleichen Entscheidung führen wie die Kapitalwert-Methode, die Investition ist vorteilhaft.

281

Unvollkommener Kapitalmarkt

c) Ermitteln Sie die Vorteilhaftigkeit des Investitionsobjekts auf der Grundlage einer vollständigen Finanzplanung unter Verwendung des Ziels der Endwertmaximierung! Unterstellen Sie dabei, daß die Anschaffungsauszahlung zu 30 % mit Eigenkapital finanziert wird. Liquide Mittel können zu einem Haben-Zinssatz von iH = 0,05 angelegt werden. Für Kredite ist ein Soll-Zinssatz von iFK = 0,10 anzusetzen. Die Konditionen gelten für eine Laufzeit von jeweils einem Jahr. Die folgende Tabelle zeigt den vollständigen Finanzplan unter Berücksichtigung von iH * ifk· Dabei bleiben die Stellen nach dem Komma unberücksichtigt. Zeitpunkt Eigenkapital Zahlungsreihe der Sachinvestition Fremdkapital zur Finanzierung

to 30.000

tl

h

-

•

t3

t4 -

- 100.000

38.000

70.000

- 70.000

-

-

-

-

-

-

-39.000

-

-

-

-

58.000

Sollzinsen zu ΐρκ = 0,10

-

- 7.000

Fremdkapital zur Finanzierung

-

39.000

Sollzinsen zu ire = 0,10

-

-

- 3.900

Finanzinvestition

-

-

- 15.100

Habenzinsen zu iH = 0,05

-

-

-

48.000

20.000

15.100

-

755

-

282

Unvollkommener Kapitalmarkt

Finanzinvestition

-

-

-

Habenzinsen zu iH = 0,05

-

-

-

-

3.193

Zahlungssaldo

-

-

-

-

87.048

-63.855

63.855

Bei einer alternativen Verwendung des Eigenkapitals EK als Finanzinvestition FI ergibt sich ein Endvermögen EV in Höhe von: EVtFI = EKo * (1 + iH)1 Für die Daten der Aufgabe bedeutet das: E V / 1 = 30.000 * (1,05) 4 EV 4 f i = 36.465 Da das Endvermögen der Sachinvestition mit 87.048 GE größer ist als das der alternativen Finanzinvestition mit 36.465 GE, ist die Sachinvestition vorteilhafter und durchzufuhren. Aufgabe 7.13 Für ein Investitionsobjekt mit einer Nutzungsdauer von η = 4 Jahren, dessen AnschafTungsauszahlung A 0 = 100.000 GE beträgt, wurde ein interner Zinsfuß von r = 0,10 berechnet. Die Geschäftsleitung bittet Sie, zur Erhöhung der Übersichtlichkeit der Entscheidungsunterlagen einen vollständigen Finanzplan mit dem Ziel der Endwertmaximierung aufzustellen. Gehen Sie dabei von folgenden Annahmen aus: 1. Die Einzahlungsäberschfisse des Objekts pro Jahr sind während der gesamten Nutzungsdauer von η = 4 Jahren konstant. 2. Die Investition wird zu 20 % mit Eigenkapital finanziert. 3. Der Haben-Zinssatz zur jederzeitigen Anlage überschussiger Mittel beträgt iH = 0,05.

Unvollkommener Kapitalmarkt

283

4. Als Soll-Zinssatz zur jederzeitigen Deckung des Finanzbedarfs sind >FK = 0,10 anzusetzen. 5. Die Laufzeit der Kredite beträgt jeweils ein Jahr. Die als Rente anfallenden Einzahlungsüberschüsse berechnen sich wie folgt: Cp = 0 = - Ap + d *

+ r )" ~~ ^ r * (1 + r)n

Daraus folgt: Co = 0 = - 100.000 + d * BWF (n = 4; r = 0,10) Co = 0 = - 100.000 + d * 3,1699 Für d ergibt sich: d = 31.546,74 Bei einer Anschaflungsauszahlung von Ao = 100.000 GE, einer Nutzungsdauer von η = 4 Jahren und einem internen Zinsfuß von r = 0,10 muß die Sachinvestition einen als Rente anfallenden Einzahlungsüberschuß in Höhe von d = 31.546,74 GE erwirtschaften. Der vollständig formulierte Finanzplan mit in * 1fk und einer Rundung auf ganze Zahlen findet sich auf der folgenden Seite. Wenn das Eigenkapital EK in Höhe von 20.000 GE alternativ als Finanzinvestition FI Verwendung finden würde, so ergäbe sich das folgende Endvermögen: EVtFI = EKo * (1 + iH)' Das bedeutet konkret: EV/ 1 = 20.000 * (1,05)4 EV 4 n = 24.310 Da das Endvermögen der Finanzinvestition zu iH = 0,05 geringer ausfallen würde als das Endvermögen der Sachinvestition (= 29.282 GE), sollte die Sachinvestition durchgeführt werden.

284

Zeitpunkt Eigenkapital Zahlungsreihe der Sachinvestition Fremdkapital

Unvollkommener Kapitalmarkt

to 20.000

tl

t2

t3

-

-

-

31.547

U -

- 100.000

31.547

31.547

31.547

80.000

- 80.000

-

-

-

-

-

-

- 56.453

-

-

-

-

Sollzinsen = 0,10

-

- 8.000

Fremdkapital

-

56.453

Sollzinsen = >FK 0,10

-

-

- 5.645

Fremdkapital

-

-

30.551

Sollzinsen ire = 0,10

-

-

-

-3.055

Fremdkapital

-

-

-

2.059

Sollzinsen = 0,10

-

-

-

-

-206

Zahlungssaldo

-

-

-

-

29.282

ΪΕΚ

- 30.551

1FK

-

-

- 2.059

Aufgabe 7.14 Ein Tankstellenpächter plant die Anschaffung einer Auto-WaschStraße, die mit einer Anschaffungsauszahlung in Höhe von A 0 = 300.000 GE verbunden ist. Sein Pachtvertrag fur die Tankstelle läuft in η = 4 Jahren ab. Aufgrund der schnellen technischen Entwicklung rechnet er nicht damit, nach vier Jahren noch einen Restverkaufserlös fur die Wasch-Anlage zu erhalten. Die jährlichen Einzahlungsüberschüsse der Auto-WaschStraße schätzt er auf d = 100.000 GE.

285

Unvollkommener Kapitalmarkt

Eigenkapital zur Finanzierung der Investition steht ihm nicht zur Verfugung. Der Pächter hat mit seiner Bank einen Kredit in Höhe von 300.000 GE vereinbart, welcher am Ende der Nutzungsdauer der Anlage in einem Betrag zurückgezahlt werden soll. Die Soll-Zinsen in Höhe von iFK = 0,10 sind jährlich an die Bank zu zahlen. Einzahlungsüberschüsse können jeweils für ein Jahr zu ih = 0,05 angelegt werden. a) Stellen Sie einen vollständigen Finanzplan zur Ermittlung des Endwertes auf! Ist das Investitionsobjekt danach vorteilhaft? Zeitpunkt Zahlungsreihe der Sachinvestition Fremdkapital

to

- 300.000

300.000

t.

100.000

-

t2

100.000

-

t3

100.000

U

100.000

- 300.000

-

Sollzinsen = 0,10

-

- 30.000

- 30.000

Finanzinvestition

-

- 70.000

70.000

-

-

Habenzinsen >H = 0,05

-

-

3.500

-

-

Finanzinvestition

-

-

- 143.500

Habenzinsen in = 0,05

-

-

Finanzinvestition

-

Habenzinsen iH = 0,05 Zahlungssaldo

ine

- 30.000

- 30.000

143.500

-

-

7.175

-

-

-

- 220.675

-

-

-

-

11.034

-

-

-

-

1.709

220.675

286

Unvollkommener Kapitalmarkt

Der vorstehende vollständig formulierte Finanzplan mit 1h * ire. enthält Rundungen auf ganze Zahlen. Da der Endwert der Sachinvestition positiv und der der Unterlassungsalternative Null ist, erweist sich die Investition als vorteilhaft. b) Ermitteln Sie den Kapitalwert der Investition bei einem Kalkulationszinssatz in Höhe von i = 0,10! Da die Einzahlungsüberschüsse als Rente vorliegen, gilt: C - A o + d . * 1 ^ ' -n1 i * ( l + i) Daraus folgt: Co = - 300.000 + 100.000 * BWF (n = 4; i = 0,10) Co = - 300.000 + 100.000 * 3,1699 Co = 16.990 > 0 Da der Kapitalwert positiv ist, sollte die Investition durchgeführt werden. c) Besteht Äquivalenz zwischen dem in a) ermittelten Endwert und dem in b) errechneten Kapitalwert? Begründen Sie Ihre Erkenntnis! Zwar sind die Handlungsempfehlungen gleich, die errechneten Werte sind aber nicht identisch. Da im vollständigen Finanzplan zwei Zinssätze, u.z. ire und in, enthalten sind, müssen die Werte differieren, denn die Kapitalwert-Methode geht von einem vollkommenen Kapitalmarkt mit ire - Ϊη aus.

Unvollkommener Kapitalmarkt

287

Zusammenfassung zum 7. Kapitel

Mit dem siebten Kapitel erfolgte eine Analyse des Kalkulationszinssatzes vor dem Hintergrund der Fragestellung, welche Aspekte im Rahmen der Investitionsrechnung zu beachten sind, wenn man die unrealistische Annahme des vollkommenen Kapitalmarktes aufgibt und reale Kapitalmarktverhältnisse bei der Bewertung von Investitionen berücksichtigen möchte. Die Aufgaben dieses Kapitels haben die entsprechende Thematik ohne Anspruch auf Vollständigkeit in den Grundzügen dargestellt und im wesentlichen die folgenden Erkenntnisse erbracht: 1. Die Funktion des Kalkulationszinssatzes besteht darin, mehr oder weniger ungewisse zukünftige Zahlungen einer Investition bewerten und vergleichen zu können. Mit dem Kalkulationszinssatz werden tatsächlich anfallende Auszahlungen für die Finanzierung einer Investitionssumme (Finanzierung mit Fremdkapital) bzw. als Opportunitätskosten anfallende Eigenkapitalkosten (Finanzierung mit Eigenkapital) in Rechnung gestellt. Letztendlich soll der Kalkulationszinssatz die Funktion erfüllen, knappes Kapital in eine optimale Verwendung zu lenken; das geschieht im Rahmen einer vergleichenden Bewertung. Dieser Vergleich bezieht sich auf die zu bewertende Sachinvestition einerseits und die beste alternative Handlungsoption andererseits. Bei einer Finanzierung mit Fremdkapital besteht die Alternative zur Sachinvestition darin, die Investition zu unterlassen. Als Kalkulationszinssatz sind die durch die Geldaufhahme angegebenen Finanzierungskosten anzusetzen. Hat der Investor Eigenkapital zur Verfugung, so muß er die Möglichkeit einer alternativen Verwendung der finanziellen Mittel in Rechnung stellen. Bei der Bewertung dieser Opportunitätskosten kann ihm eine Bank nur im Ansatz Unterstützung leisten, indem sie ihm den Zinssatz für eine Geldanlage am Kapitalmarkt nennt. Hat der Investor darüber hinaus Möglichkeiten des Investierens, so ist es an ihm, risikogleiche Alternativen zu bewerten. Idealerweise muß der Investor die Renditen sämtlicher Alternativen ermitteln. Gelingt ihm das, so kann er die Investitionsentscheidimg direkt treffen und der Kalkulationszinssatz ist nicht mehr notwendig. In aller Regel wird der Investor

288

Unvollkommener Kapitalmarkt

aber die Renditen nicht exakt feststellen können, der Kalkulationszinssatz behält also seine wichtige Funktion und ist auf der Basis einer besonders umfassenden Analyse gerade bei einer Finanzierung mit Eigenkapital notwendig. 2. Ein vollständiger Finanzplan ermöglicht die explizite Berücksichtigung eines unvollkommenen Kapitalmarktes. Ergebnis des vollständigen Finanzplanes ist das mit einer Investition erzielbare Endvermögen. Dieses Endvermögen wird mit dem Endwert alternativer Optionen verglichen. Der vollständige Finanzplan vergleicht also nicht die Barwerte alternativer Investitionen, sondern die am Ende der Laufzeit alternativer Objekte anfeilenden Endvermögen. Es ist aber zu beachten, daß bei einem vollständigen Finanzplan mit zwei Zinssätzen (ίρκ und iH), das Endvermögen nicht durch Abzinsung in den Kapitalwert transformiert werden kann, da die Kapitalwert-Methode einen vollkommenen Kapitalmarkt unterstellt und daher nur einen Zinssatz berücksichtigt.

Unvollkommener Kapitalmarkt

289

Literaturempfehlungen zum 7. Kapitel

Adam, D., Investitionscontrolling, 3. Aufl., München u.a. 2000, S. 118 148. Altrogge, G., Investition, 4. Aufl., München 1996, S. 37 - 41. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 112 - 125. Grob, H.L., Investitionsrechnung mit vollständigen Finanzplänen, München 1989 Grob, H.L., Einfuhrung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999, S. 7 7 - 188. Kruschwitz, L., Investitionsrechnung, 8. Aufl., München 2000, S. 56 - 82. Perridon, L./Steiner, M., Finanzwirtschaft der Unternehmung, 11. Aufl., München 2002, S. 86 - 92. Rolfes, B., Moderne Investitionsrechnung, 2. Aufl., München, Wien 1998, S. 168 - 170. Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 90 - 96. Troßmarm, E., Investition, Stuttgart 1998, S. 162 - 174.

Steuern im Investitionskalkül

291

Kapitel 8

DIE BERÜCKSICHTIGUNG VON STEUERN IM INVESTITIONSKALKÜL

Neben den Bedingungen des unvollkommenen Kapitalmarktes wurde in den einführenden Kapiteln zur Wirtschaftlichkeitsrechnung auch von den Effekten der Besteuerung abstrahiert. Und ebenso wie der unvollkommene Kapitalmarkt Realität ist, sind auch steuerliche Wirkungen bei der Bewertung von Investitionen ein wesentlicher Faktor. Das achte Kapitel soll dementsprechend darstellen, wie sich die Besteuerung auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionen im Falle des vollkommenen Kapitalmarktes auswirkt, und welche Möglichkeiten bestehen, diese Effekte rechenbar zu machen. Dabei werden die folgenden Aspekte zu bearbeiten sein: 1. Eine systematische Beschreibung der möglichen Auswirkungen einer Besteuerung auf die Bewertung von Investitionen legt den Grundstein des Kapitels. Denn bei einer Investitionsneutralität der Besteuerung sind weitere Überlegungen überflüssig. 2. Zur Berücksichtigung von Steuern sind diese in verschiedene Steuerarten zu klassifizieren. Es wird zu erörtern sein, wie die verschiedenen Steuerarten die Investitionsrechnung beeinflussen. Das geschieht letztendlich, um Instrumente zu entwickeln, mit denen die Besteuerung konzeptionell korrekt im Investitionskalkül erfaßt werden kann. 3. Die umfangreichen Regulierungen des Steuerrechts lassen verschiedene Spezialfälle im Zusammenhang mit der Bewertung von Investitionen erwarten. Mit einigen Aufgaben sollen solche Konstellationen dargestellt werden. Bei diesen Aufgaben sind die Ergebnisse zum Teil gerundet.

292

Steuern im Investitionskalkül

Aufgabe 8.1 Begründen Sie die Notwendigkeit der Berücksichtigung von Steuern im Rahmen der Investitionsrechnung! Steuern sind Bestandteil des realen Wirtschaftslebens. Sie könnten im Rahmen der Investitionsrechnung unberücksichtigt bleiben, wenn sie keinen Einfluß auf die Vorteilhaftigkeitsentscheidung ausübten (Investitionsneutralität der Besteuerung). Dies bedeutet, -

eine Investition, die ohne Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft ist, ist auch nach Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft;

-

eine Investition, die ohne Berücksichtigung von Steuern nicht vorteilhaft ist, ist auch nach Berücksichtigung von Steuern nicht vorteilhaft;

-

die Rangfolge von Investitionsalternativen ohne Berücksichtigung von Steuern bleibt nach Berücksichtigung von Steuern unverändert.

Diese Investitionsneutralität der Besteuerung ist in der Realität nicht gegeben. Vielmehr sind Situationen möglich, in denen -

eine Investition, welche ohne Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft ist, nach Berücksichtigung der Besteuerung unvorteilhaft wird;

-

eine Investition, welche ohne Berücksichtigung von Steuern unvorteilhaft ist, nach Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft wird (Steuerparadoxon);

-

sich die Rangfolge von Investitionsobjekten durch die Berücksichtigung von Steuern in der Investitionsrechnung ändert.

Folglich sind Steuern im Rahmen der Investitionsrechnung zu berücksichtigen, da es ohne Berücksichtigung zu falschen Investitionsentscheidungen kommt. Aufgabe 8.2 Wie lassen sich gewinnunabhängige Steuern im Investitionskalkül berücksichtigen?

Steuern im Investitionskalkül

293

Gewinnunabhängige Steuern lassen sich - unabhängig von der Diskussion um den Kostencharakter von Steuern - als sog. Kostensteuern bezeichnen. Sie umfassen Verbrauch-, Verkehr- und Substanzsteuern. Verbrauchsteuern belasten den Verbrauch oder Gebrauch von Gegenständen, exemplarisch seien in diesem Zusammenhang die Mineralölsteuer und die Tabaksteuer genannt. Die Verkehrsteuer erfaßt die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit, genannt sei beispielhaft die Kraftfahrzeugsteuer und die Grunderwerbsteuer. In diesem Zusammenhang ist auch die Umsatzsteuer zu nennen, die aber ökonomisch eine allgemeine Verbrauchsteuer darstellt. Verkehrsteuern sind stets mit einem bestimmten Vorgang verbunden, sie treten daher einmalig auf. Zu den Substanzsteuern gehören beispielsweise die Grundsteuer und die Erbschaft- bzw. Schenkungsteuer. Substanzsteuern fallen im Gegensatz zu Verkehrsteuern permanent bzw. periodisch an. Die gewinnunabhängigen Steuern werden ohne Modifikation beispielsweise in der Kapitalwert-Formel als allgemeine Auszahlungen im Einzahlungsüberschuß einer Periode dt = et - at erfaßt. Sie sind damit Bestandteil der laufenden Auszahlungen a + 51.500 - 1.848.500 —> + 424.250

+ 424.250

- 1.424.250

Von den positiven Einkünften der Einkunftsart EA 1 in Höhe von 900.000 Euro kann ein fester Sockelbetrag in Höhe von 51.500 Euro abgezogen werden. Darüber hinaus dürfen weitere Beträge nur abgezogen werden, sofern sie die Hälfte des 51.500 Euro übersteigenden Betrages der positiven Einkünfte aus EA 1 nicht übersteigen. Da sich der 51.500 Euro übersteigende Betrag der positiven Einkünfte aus EA 1 auf 848.500 Euro (900.000 - 51.500) beläuft, können zusätzliche 424.250 Euro (die Hälfte von 848.500) zurückgetragen werden.

Steuern im Investitionskalkül

305

Es zeigt sich, daß die negativen Einkünfte in Folge der gesetzlichen Begrenzungen nicht mit den gesamten positiven Einkünften in Höhe von 900.000 Euro verrechnet werden dürfen. Statt dessen konnten lediglich 475.750 Euro (51.500 + 424.250) durch einen sofortigen Verlustausgleich ausgeglichen werden, so daß im Jahr ti noch Einkünfte in Höhe von 424.250 Euro zu versteuern sind. Für die verbleibenden negativen Einkünfte in der Einkunftsart EA 2 in Höhe von 1.424.250 Euro ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob diese in die Vorperiode (to) zurückgetragen werden können. 2. Verlustrücktrag Von den 1.424.250 Euro Verlust aus to dürfen laut § lOd Abs. 1 EStG maximal 511.500 Euro in das Voijahr to zurückgetragen werden. Dabei sind die Verluste zunächst in uneingeschränkter Höhe mit eventuell vorhandenen positiven Einkünften derselben Einkunftsart zu verrechnen (horizontaler Verlustausgleich). a) Horizontaler

Verlustausgleich

Da die Verluste in ti auf negativen Einkünften in EA 2 zurückzufuhren sind und in to positive Einkünfte in Höhe von 300.000 Euro durch EA 2 erzielt wurden, können die gesamten 300.000 Euro zurückgetragen werden: positive Einkünfte aus t0 + 300.000 - 300.000

negative Einkünfte aus 11 - 1.424.250 > + 300.000

0

- 1.124.250

Somit verbleiben für die weitere Verrechnung noch 1.124.250 Euro Verlust (1.424.251 - 300.000). Weil der maximal mögliche Verlustrücktrag in Höhe von 511.500 Euro nicht vollständig durch positive Einkünfte derselben Einkunftsart (EA 2) ausgeglichen werden konnte, ist im weiteren zu überprüfen, ob die verbleibenden 211.500 Euro (511.500 maximaler Verlustrücktrag - 300.000 bereits erfolgter Verlustrücktrag) mit eventuell

306

Steuern im Investitionskalkül

vorhandenen positiven Einkünften anderen Einkunftsarten (EA 1) verrechnet werden können (vertikaler Verlustausgleich). b) Vertikaler Verlustausgleich Der vertikale Verlustausgleich erfolgt unter Beachtung der gleichen Einschränkungen wie beim sofortigen Verlustausgleich. Wie oben bereits angeführt, ist allerdings zu beachten, daß der gesamte Verlustrücktrag (horizontal + vertikal) auf maximal 511.500 Euro begrenzt ist. Da bereits 300.000 Euro durch den horizontalen Verlustausgleich zurückgetragen wurden, dürfen durch den vertikalen Verlustausgleich maximal 211.500 Euro (511.500 - 300.000) zurückgetragen werden. Es ergibt sich folgendes Bild:

Sockelbetrag

positive Einkünfte aus EA 1 + 600.000 - 51.500

„Halbabzug"

+ 548.500 - 160.000 + 388.500

negative Einkünfte aus EA 2 - 1.124.250 —> + 51.500 —>

- 1.072.750 + 160.000 -

912.750

Die fur den vertikalen Verlustausgleich zur Verfügung stehenden positiven Einkünfte aus anderen Einkunftsarten (EA 1) belaufen sich auf 600.000 Euro. Hiervon ist wieder ein Sockelbetrag in Höhe von 51.500 Euro abzuziehen, so daß insgesamt bereits 351.500 Euro (300.000 + 51.500) zurückgetragen wurden. Über den bereits zurückgetragenen Betrag von 51.500 Euro hinaus dürfen weitere Beträge nur abgezogen werden, sofern sie die Hälfte des 51.500 Euro übersteigenden Betrages der positiven Einkünfte aus EA 1 nicht übersteigen. Der 51.500 Euro übersteigende Betrag der positiven Einkünfte aus EA 1 (600.000) beläuft sich auf 548.500 Euro (500.000 - 51.500). Hiervon sind maximal die Hälfte, also 274.250 Euro, abzugsfahig. Zu beachten ist allerdings, daß bereits 351.500 Euro in die Periode to zurückgetragen wurden, so daß aufgrund der Beschränkung des gesamten Verlustrücktrages auf 511.500 Euro lediglich noch 160.000 Euro Verlust

Steuern im Investitionskalkül

307

(511.500 - 351.500) zurückgetragen werden dürfen. Entsprechend belaufen sich die in Periode to noch zu versteuernden Einkünfte auf 388.500 Euro (500.000 - 51.500 - 160.000). Von den negativen Einkünften in Höhe von 1.424.250 Euro, die nach dem sofortigen Verlustausgleich noch verblieben sind, wurde somit der maximal mögliche Betrag in Höhe von 511.500 Euro in die Vorperiode to zurückgetragen (300.000 durch horizontalen und 211.500 durch vertikalen Verlustausgleich). Die verbleibenden 912.750 Euro Verlust (1.424.250 511.500), die bisher weder durch einen sofortigen Verlustausgleich, noch durch einen Verlustrücktrag ausgeglichen werden konnten, sind in zukünftige Perioden vorzutragen. 3. Verlustvortrag Zuerst ist zu überprüfen, ob die verbleibenden 912.750 Euro Verlust durch einen Vortrag in die Periode t2 ausgeglichen werden können. Sofern dies nicht (vollständig) möglich ist, sind die Verluste gegebenenfalls in weitere Perioden (t3, t», etc.) vorzutragen. a) Horizontaler Verlustausgleich Wie beim Verlustrücktrag sind die Verluste auch hier zunächst mit den positiven Einkünften derselben Einkunftsart (EA 2) zu verrechnen. Die positiven Einkünfte der Einkunftsart EA 2 belaufen sich auf 700.000 Euro. Diese können uneingeschränkt zum Verlustausgleich herangezogen werden: positive Einkünfte aus t2 + 700.000 - 700.000 0

negative Einkünfte aus tj — 912.750 + 700.000 -212.750

Die positiven Einkünfte in EA 2 werden somit von 700.000 Euro auf 0 Euro reduziert; es verbleiben noch 212.750 Euro Verlust (912.750 700.000), die evtl. durch positive Einkünfte in anderen Einkunftsarten (EA 1) ausgeglichen werden können.

308

Steuern im Investitionskalkül

b) Vertikaler Verlustausgleich Positive Einkünfte in anderen Einkunftsarten sind in Höhe von 374.000 Euro vorhanden. Diese können unter Beachtung der gesetzlichen Einschränkungen zum vertikalen Verlustausgleich herangezogen werden:

Sockelbetrag Halbabzug

positive Einkünfte aus EA 1 + 374.000 - 51.500 + 322.500 - 161.250

negative Einkünfte aus EA 2 -212.750 —> + 51.500 —>

- 161.250 + 161.250

+ 161.250

0

Von den positiven Einkünfte aus EA 1 in Höhe von 374.000 Euro sind wieder der Sockelbetrag in Höhe von 51.500 Euro und darüber hinaus ein Betrag bis zur Hälfte des 51.500 Euro übersteigenden Teils der positiven Einkünfte aus EA 1 abziehbar. Der 51.500 Euro übersteigende Betrag der positiven Einkünfte aus EA 1 beläuft sich auf 322.500 Euro (374.000 - 51.500). Hiervon darf maximal die Hälfte, also 161.250 Euro, abgezogen werden. In Periode sind damit insgesamt noch Einkünfte in Höhe von 161.250 Euro (aus der Einkunftsart El) zu versteuern. Die mittels Verlustvortrag zu verrechnenden Verluste in Höhe von 912.750 Euro konnten somit komplett auf die Periode ti vorgetragen werden, so daß ein Vortrag auf weiter in der Zukunft liegende Perioden entfällt. Der ursprünglich in der Einkunftsart EA 2 angefallene Verlust in Höhe von 1.900.000 Euro wurde letztendlich wie folgt ausgeglichen: 475.750 Euro durch sofortigen Verlustausgleich in Periode ti 511.500 Euro durch Verlustrücktrag in die Periode to 912.750 Euro durch Verlustvortrag in die Periode t2

Steuern im Investitionskalkül

309

Verglichen mit der Ausgangssituation haben sich die Einkünfte innerhalb der Einkunftsarten damit wie folgt verändert: in t0: EA 1: 388.500 EA 2: 0

(./. 211.500) (./. 300.000)

388.500

(./. 511.500)

EA 1: 424.250 0 EA 2:

(./. 475.750) (+ 1.900.000)

424.250

(+ 1.424.250)

161.250 0

(./. 212.750) (./. 700.000)

161.250

(./. 912.750)

EA 1: EA 2:

Aufgabe 8.10 Ein GmbH-Geschäftsfiührer erzielt in der Periode to Einkünfte in vier verschiedenen Einkunftsarten: Einkunftsart 1 (EA Einkunftsart 2 (EA Einkunftsart 3 (EA Einkunftsart 4 (EA

1): 2): 3): 4): -

200.000 400.000 300.000 200.000

Euro Euro Euro Euro

Welche Auswirkungen ergeben sich durch die Verlustausgleichsbeschränkungen des § 2 Abs. 3 EStG? Sofern positive Einkünfte in mehreren Einkunftsarten erzielt werden und Verluste in mehreren Einkunftsarten auftreten, sind - neben den in Aufgabe 8.8 bereits erwähnten Einschränkungen - weitere Verlustausgleichsbeschränkungen zu beachten.

310

Steuern im Investitionskalkül

Im Einzelnen verlangt der Gesetzgeber, daß a) Verluste bei positiven Einkünften aus mehreren Einkunftsarten jeweils im Verhältnis der einzelnen positiven Einkünfte zur Summe der positiven Einkünfte abzuziehen sind (§ 2 Abs. 3 Satz 4 EStG) und b) der nach vertikalem Verlustausgleich verbleibende Verlust, sofern er sich aus mehreren Einkunftsarten zusammensetzt, im Verhältnis zur Summe der negativen Einkünfte aufzuteilen ist (§ 2 Abs. 3 Satz 5 EStG). Für die Daten der Aufgabe bedeutet dies: positive Einkünfte

negative Einkünfte

EA 1: +200.000 (1/3) EA 2: + 400.000 (2/3)

EA 3: - 300.000 (3/5) EA 4: - 200.000 (2/5)

Sockelbetrag

+ 600.000 - 51.500

- 500.000 + 51.500

Halbabzug

+ 548.500 - 274.250

aufzuteilen in

•

—

-

—

•

- 448.500 + 274.250

•

+ 274.250 I

- 174.250 I

EA 1: + 108.583 (1/3) EA 2:+217.167 (2/3)

EA 3: - 104.550 (3/5)

274.250

- 174.250

1

1

EA 4: -

69.700(2/5)

Die Summe der positiven Einkünfte vor dem Verlustausgleich (600.000) setzte sich zu 1/3 aus der Einkunftsart Ε A 1 und zu 2/3 aus der Einkunftsart EA 2 zusammen. Da gemäß oben genanntem Punkt a) gefordert ist, daß Verluste in eben diesem Verhältnis von den positiven Einkünften abzuziehen sind, müssen sich die nach dem vertikalen Verlustausgleich verbleibenden positiven Einkünfte (274.250) ebenfalls zu 1/3 aus EA 1 und zu 2/3 aus EA 2 zusammensetzen. Entsprechend ist laut Punkt b) gefordert, daß sich der verbleibende Verlust (174.250) zu 3/5 aus Verlusten in EA 3 und zu 2/5 aus Verlusten in EA 4 zusammensetzt, weil der ursprüngliche Verlust (500.000) eben genau diese Zusammensetzung hatte.

Steuern im Investitionskalkül

311

Aufgabe 8.11 Welche vereinfachenden Annahmen liegen dem Standardmodell der Besteuerung der Investition zugrunde? Die folgenden Prämissen sind im Zusammenhang mit dem Standardmodell der Besteuerung der Investition zu nennen: 1. Die drei gewinnabhängigen Steuern (KSt bzw. ESt und GewSt) werden zu einer Gewinnsteuer zusammengefaßt. Solidaritätszuschlag und Kapitalertragsteuer werden nicht berücksichtigt. 2. Die Besteuerung erfolgt proportional und nicht progressiv. Der Steuersatz ist s. 3. Steuererhöhungen sind nicht auf die Preise überwälzbar. 4. Für die Steuerzahlungen wird von einer vereinfachenden Gewinndefinition ausgegangen: Betriebsgewinn = Einzahlungsüberschuß - steuerliche Abschreibungen Für den steuerlich relevanten Gewinn bzw. Verlust im Rahmen der Veräußerung von Anlagen gilt: Veräußerungsgewinn = Restverkaufserlös R„ - Restbuchwert RBWn 5. Die Steuerzahlungen erfolgen zu den jeweiligen Einzahlungs- bzw. Auszahlungszeitpunkten des Investitionsobjektes. Es liegt also eine sofortige Besteuerung vor. Zinserträge aus Ergänzungsinvestitionen müssen ebenfalls besteuert werden und unterliegen dem Steuersatz s. Zinsaufwendungen für aufgenommene Kredite mindern den steuerpflichtigen Gewinn. Dies wird jedoch nicht beim effektiven Ertrag oder bei der effektiven Zinsbelastung berücksichtigt, sondern erfolgt durch eine Korrektur des Kalkulationszinssatzes. Der Kalkulationszinssatz nach Steuern beträgt is = ( l - s ) * i . 6. Es ist ein sofortiger Verlustausgleich unterstellt. Falls in einer Periode der Einzahlungsüberschuß dt kleiner ist als die steuerlich zulässigen Abschreibungen (d, < AfAt) oder der Restbuchwert RBWn größer ist

312

Steuern im Investitionskalkül

als der festgestellte Restverkaufserlös R„ (RBW„ > R,), tritt ein steuerlicher Verlust bzw. ein Veräußerungsverlust ein. Beim sofortigen Verlustausgleich wird nun unterstellt, dieser Verlust könne mit anderen steuerpflichtigen Gewinnen des Steuersubjektes verrechnet werden und so die gesamte Steuerlast reduzieren. Die durch den Verlust realisierbare Steuerersparnis wirkt praktisch wie eine negative Steuer als Zuwendung an das Unternehmen. 7. Es existiert nur eine Einkunftsart, d. h. Verluste können lediglich durch andere Investitionsobjekte ausgeglichen werden. Hinsichtlich des Verlustausgleiches bedeutet dies, daß keine höchstbetragsmäßigen Einschränkungen zu beachten sind, da Verluste innerhalb einer Einkunftsart uneingeschränkt ausgeglichen werden dürfen (horizontaler Verlustausgleich). 8. Beteiligungserträge werden grundsätzlich thesauriert und nicht an die Anteilseigner ausgeschüttet. Dadurch entfallt die Anwendung des Halbeinkünfteverfahrens . Aufgabe 8.12 Erklären Sie, welche Änderungen sich durch die Berücksichtigung von Steuern in der Investitionsrechnung ergeben. Gehen Sie dabei von der allgemeinen Kapitalwertformel vor Steuern aus! Die Kapitalwertformel ohne Berücksichtigung von Steuern lautet: C 0 = - A 0 + ^ d t * ( l + i ) - t + R n * ( l + i)- n t=l

Dabei gilt: dt = et - at Bei der Berücksichtigung von Steuern im Rahmen der Investitionsrechnung ist grundsätzlich in gewinnabhängige Steuern (Einkommensteuer, Körperschaftsteuer oder Gewerbesteuer) und gewinnunabhängige Steuern (Grundsteuer oder Kraftfahrzeugsteuer) zu unterscheiden. Die Berücksichtigung gewinnunabhängiger Steuern im Rahmen der Investitionsrechnung erfolgt, indem die laufenden Auszahlungen at um die

Steuern im Investitionskalkül

313

laufenden gewinnunabhängigen Steuerzahlungen erweitert werden; die Größe at wird materiell umdefiniert. Die Aufnahme gewinnabhängiger Steuern in die Kapitalwertberechnung ist hingegen mit weitergehenden Änderungen der Kapitalwertformel verbunden. Bemessungsgrundlage für die Steuerzahlungen ist der in der Steuerbilanz ermittelte Gewinn nach Abzug der GewSt. Dieser ist aber nicht identisch mit dem Einzahlungsüberschuß dt der entsprechenden Periode. Der für die (zahlungswirksame) Steuerlast maßgebliche Gewinn läßt sich aus dem Einzahlungsüberschuß ableiten, indem der Einzahlungsüberschuß um finanzunwirksame Aufwendungen und finanzunwirksame Erträge korrigiert wird. Einen wesentlichen Posten in diesem Zusammenhang stellen die Absetzungen für Abnutzung (AfA) bzw. die Abschreibungen dar. Vereinfachend ist der steuerlich maßgebende Gewinn somit anhand der folgenden Vorgehensweise zu berechnen: Gewinn = Einzahlungsüberschuß - Abschreibungen Dieser „Gewinn" dient als Bemessungsgrundlage für die gewinnabhängigen Steuerzahlungen. Liegt den Berechnungen die Annahme eines allgemeinen proportionalen Steuersatzes s zugrunde, so gilt für die Steuerzahlung S t in der Periode t: S t = s * (dt - AfAt) Der Gewinn nach Steuern Gs beträgt somit: G s = d t - AfA t - s * (dt - AfA t ) Um den Einzahlungsüberschuß nach Steuern ds zu berechnen, ist dieser Gewinn wiederum um die nicht zahlungswirksamen Abschreibungen zu korrigieren: ds = dt - AfA t - s * (dt - AfA t ) + AfA t In der Summe ermittelt sich der Einzahlungsüberschuß einer Periode nach Steuern somit folgendermaßen: 4 = [dt - s * (dt - AfAt)]

314

Steuern im Investitionskalkül

Ebenso wie der Betriebsgewinn unterliegt auch ein möglicher Veräußerungsgewinn am Ende der Nutzungsdauer der Besteuerung. Ein solcher Veräußerungsgewinn entsteht, sofern der Restverkaufserlös R„ einer Anlage bei Veräußerung größer ist als der Restbuchwert dieser Anlage RBW n . In diesem Fall unterliegt die Differenz zwischen Restverkaufserlös und Restbuchwert der Besteuerung. Liegt hingegen der Restverkaufserlös einer Anlage unter dem Restbuchwert dieser Anlage, so wirkt der bilanzielle Verlust, der hieraus resultiert, steuermindernd. Vor dem Hintergrund dieser Steuerwirkungen beim Veräußerungsgewinn läßt sich die Zahlung R* am Ende der Nutzungsdauer einer Investition mit Berücksichtigung von Steuern wie folgt errechnen: Rs = [R n - s * (Rn - RBW n )] Bei der Berücksichtigung von Steuern im Rahmen der Investitionsrechnung ist schließlich der Kalkulationszinssatz i zu korrigieren. Der Kalkulationszinssatz nach Steuern is beträgt: i s = (1 - s) * i Dieser Korrektur des Kalkulationszinssatzes liegt bei Vorgabe des Kalkulationszinssatzes durch eine Altemativinvestition die Annahme zugrunde, daß auch die Gewinne aus dieser Alternativinvestition der Besteuerung unterliegen. Wird ein finanzierungskostenorientierter Zinssatz (Fremdkapitalzins) als Kalkulationszinssatz gewählt, so verbirgt sich hinter der Korrektur des Zinssatzes die Annahme, die Zinszahlungen könnten steuermindernd geltend gemacht werden. Eine Zusammensetzung der einzelnen erörterten Bausteine führt zu der allgemeinen Formel für den Kapitalwert nach Steuern: Co = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(l + i s ) _ t t=l

+ [ R B - s * ( R n - R B W n ) ] * ( l + i i )" n

Darin enthalten ist die Steuerwirkung auf den Einzahlungsüberschuß, auf den Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer und auf den Kalkulationszinssatz.

Steuern im Investitionskalkül

315

Aufgabe 8.13 Interpretieren Sie die Formel für den Kapitalwert nach Steuern (vgl. dazu Aufgabe 8.12), nachdem Sie diese Formel durch das Ausklammern von (1 - s) umgeformt haben! Der Ausdruck Cs0 = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(l + i s r t=l

+ [Rn-sMR„-RBWn)]*(l + isrn läßt sich durch das Ausklammern von (1 - s) umformen zu: Co = - A 0 + £ [ ( l - s ) * d t + s * AfA t ]*(l + i s ) _ t t=l

+ [ ( l - s ) * R n +s*RBW n ]*(l + i s r n Verbal formuliert bedeutet das: CQ = - Ao + versteuerter Ertragswert + Barwert der Steuerminderung Restbuchwert und Abschreibungen wirken sich steuermindernd aus und fuhren zu einem positiven Effekt auf den Kapitalwert in Höhe der abgezinsten Werte von s * AfA, und s * RBWn. Aufgabe 8.14 Welches Problem kann bei der Ermittlung des Kapitalwertes nach Steuern auftreten? Verdeutlichen Sie das Problem am Einzahlungsuberschuß nach Steuern, der mit der Formel d, = [dt - s * (dt-AfAt)] berechnet wird! Es kann der Fall eintreten, daß die Absetzungen für Abnutzung in einer oder mehreren Perioden größer sind als die Einzahlungsüberschüsse der entsprechenden Perioden. In einer solchen Situation ergibt sich ein Einzahlungsüberschuß nach Steuern, der größer ist als der Einzahlungsüberschuß vor Steuern; nicht der Investor zahlt Steuern, sondern das Unternehmen erhält eine Einzahlung vom Staat.

316

Steuern im Investitionskalkül

Dieses Ergebnis ist nur möglich, wenn die Verluste der Periode aus dieser Investition mit Gewinnen der Periode aus anderen Investitionen oder Einkunftsarten verrechnet werden können (sofortiger Verlustausgleich) oder wenn eine Verrechnung mit Einkünften aus der Vorperiode möglich ist (Verlustrücktrag). Sind entsprechende Möglichkeiten der Verrechnung nicht gegeben, so muß ein Verlustvortrag gemäß § lOd Abs. 2 EStG durchgeführt werden. Die obige Formel zur Berechnung der Einzahlungsüberschüsse nach Steuern führt dann möglicherweise zu falschen Investitionsentscheidungen. Aufgabe 8.15 Sie haben die Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen, welche durch die folgenden Zahlungsreihen gekennzeichnet sind: Zeitpunkt

to

tl

h

t3

t4

Investition A

-10.000 GE

1.000 GE

2.000 GE

7.000 GE

7.000 GE

Investition Β

-10.000 GE

7.000 GE

6.000 GE

1.000 GE

1.000 GE

Ein Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer fallt weder bei Objekt Α noch bei Objekt Β an. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. a) Berechnen Sie die Kapitalwerte der Investitionsalternativen und ermitteln Sie die Rangfolge der Alternativen! Ausgangspunkt der Kalkulation ist die allgemeine Kapitalwertformel: C 0 = - A 0 + £ d t *(l + i) _t +R n *(l + i) t=l

n

Für Investition Α ergibt sich: C 0 A = - 10.000 + 1.000 * (1,10) 1 + 2.000 * (1,10)"2 + 7.000 * (1,10)'3 + 7.000 * (1,10)"4

317

Steuern im Investitionskalkül

C 0 A = 2.602,28 Für Investition Β ergibt sich: C 0 B = - 10.000 + 7.000 * (1,10)·' + 6.000 * (1,10) 2 + 1.000 * (1,10)"3 + 1.000+ (1,10)^ C 0 B = 2.756,64 Das bedeutet: CoB > CoA > o Die Investitionsalternative Β ist zu realisieren, da sie den höchsten positiven Kapitalwert erwirtschaftet. b) Berechnen Sie den Kapitalwert der Investitionsalternativen unter Einbeziehung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von s = 0,50. Die Absetzungen fur Abnutzung erfolgen linear. Ein sofortiger Verlustausgleich ist möglich. Ermitteln Sie auch die Rangfolge der Investitionsobjekte! Die allgemeine Formel für den Kapitalwert nach Steuern lautet: Cs0 = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - A £ A t ) ] * ( l + i s ) _ t t=l

+ [Rn-s*(R„-IU3Wn)]*(l + i s r n Der steuerkorrigierte Kalkulationszinssatz beträgt: i s = (1 - s) * i

=>

is = ( l - 0 , 5 ) * 0,10 = 0,05

Die jährliche Absetzung für Abnutzung ist bei den Alternativen identisch und führt zu gleichen Abschreibungen in Höhe von: Ao-R^ η

AfA^ 1 ^ 4

= 2.500

Für Investition Α bedeutet das: C 0 M = - 10.000 + + + +

[1.000 [2.000 [7.000 [7.000

-

0,5 0,5 0,5 0,5

* (1.000 * (2.000 * (7.000 * (7.000

-

2.500)] 2.500)] 2.500)] 2.500)]

* * * *

(1,05)·' (1,05)"2 (1,05)"3 (1,05)^

318

Steuern im Investitionskalkül

Co^ = 1.718,56 > 0 Für Investition Β ergibt sich: 1 C 0 Bs = - 10.000 + [7.000 - 0 , 5 * (7.000 - 2.500)] * (1,05) + [6.000 - 0,5 * ( 6 . 0 0 0 - 2.500)] *(1,05)- 2 + [ 1 . 0 0 0 - 0 , 5 * (1.000-2.500)] *(1,05)· 3 + [ 1 . 0 0 0 - 0 , 5 * (1.000 - 2 . 5 0 0 ) ] * (1,05)^

C 0 B s = 1.330,14 > 0 Das bedeutet: C0M > C 0 Bs > 0 Unter Einbeziehung der Besteuerung vermindern sich die Kapitalwerte der Investitionsalternativen; beide Projekte erwirtschaften aber nach wie vor einen positiven Kapitalwert. Es ist bei Berücksichtigung von Steuern nun allerdings das Investitionsobjekt Α zu realisieren. Die Rangfolge der Investitionsobjekte ändert sich gegenüber einer Kalkulation ohne Berücksichtigung von Steuern, weil Steuern Projekte mit steigenden Einzahlungsüberschüssen (Investition A) begünstigen und Projekte mit sinkenden Einzahlungsüberschüssen (Investition B) benachteiligen. Aufgabe 8.16 Eine Investitionsmöglichkeit ist durch die folgende Zahlungsreihe gekennzeichnet: Zeitpunkt Zahlungsreihe

to - 1.000 GE

tl 600 GE

t2 300 GE

t3 200 GE

t4 100 GE

Ein Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer fällt nicht an. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. a) Berechnen Sie den Kapitalwert dieser Investitionsalternative! Die Formel fur den Kapitalwert lautet:

Steuern im Investitionskalkül

319

C 0 = - A 0 + 2 i d t • d + i ) " ' + R n *(l + i)"n t=i Für die Daten der Aufgabe folgt daraus: Co = - 1000 + 600 * (1,10)·' + 300 * (1,10)"2 + 200 * (1,10)"3 + 100 * (MO)-4 Co= 11,95 > 0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. b) Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition unter Einbeziehung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von s = 0,50. Die Absetzungen für Abnutzung erfolgen linear. Ein sofortiger Verlustausgleich ist möglich! Eine Korrektur des Kalkulationszinssatzes unter Berücksichtigung von Steuern fuhrt zu: i s = (1 - s) * i

=>

is = (1 - 0,5) * 0,10 = 0,05

Die Ermittlung der jährlichen Absetzungen für Abnutzung ergibt: Ao-R^ η

^

A f A t = =

!M 4

= 250

Daraus resultiert der folgende Kapitalwert nach Steuern: Co = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(1 + i s )

1

t=l

+ [Rn-s*(Rn-RBWn)]*(l+is)-n Co = - 1.000 + [600 - 0,5 * (600 - 250)] * (1,05)-' + [300 - 0,5 * (300 - 250)] * (1,05)"2 + [200 - 0,5 * (200 - 250)] * (1,05)'3 + [100 - 0,5 * (100 - 250)] * (1,05)^ Co = - 7,48 < 0 Die Investition ist unter Berücksichtigimg von Steuern nicht vorteilhaft, da der Kapitalwert nach Steuern negativ ist.

320

Steuern im Investitionskalkül

Aufgabe 8.17 Für eine Investitionsalternative wird die folgende Zahlungsreihe erwartet: Zeitpunkt

h

to

Zahlungs-

- 50.000 GE

»3

E

W

- EW5

325

Steuern im Investitionskalkül

Durch einsetzen der ermittelten Ergebnisse ergibt sich: 22.162,18 > 48.668,12 - 27.997,85 22.162,18 >20.670,27 Das Ergebnis ist wie folgt zu interpretieren: Der Ertragswert der Investitionsalternative sinkt durch Einbeziehung der Besteuerung um 20.670,27 GE, d. h. der Kapitalwert vor Steuern (-1.331,88) müßte sich um 20.670,27 GE reduzieren. Dieser negative Effekt der Besteuerung wird allerdings dadurch kompensiert, daß sich Abschreibungen und Restbuchwert steuermindernd, d. h. positiv, auf den Kapitalwert auswirken. Der Barwert der Steuerminderungen in Höhe von 22.162,18 GE repräsentiert diesen positiven Effekt. Da im vorliegenden Fall die negativen Wirkungen der Besteuerung (20.670,27) paradoxerweise um 1.491,91 GE geringer sind als die positiven Wirkungen (22.162,18), sinkt der Kapitalwert der Investitionsalternative durch die Berücksichtigung der Gewinnsteuer nicht, sondern steigt um eben diese 1.491,91 GE: - 1.331,88 Kapitalwert vor Steuern - 20.670,27 Reduzierung des Ertragswertes 1 Υ + 1.491,91 + 22.162,18 Barwert der Steuerminderungen J =

160,03 Kapitalwert nach Steuern

Aufgabe 8.19 Gegeben sei die folgende Zahlungsreihe: Zeitpunkt

Zahlungsreihe

to

ti

»2

- 20.000 GE

-

10.000 GE

t3

5.000 GE

t4

11.600 GE

Steuern im Investitionskalkül

326

Die nächstbeste Alternative möge eine Verzinsung von 10 % erwirtschaften, so daß dies der Kalkulationszinssatz ist. Der Gewinnsteuersatz beträgt s = 50 %, die Nutzungsdauer η = 4 Jahre. Die Abschreibung erfolgt linear. Am Ende der Nutzungsdauer liegt weder ein Restverkaufserlös noch ein Restbuchwert vor. a) Bestimmen Sie ohne Berücksichtigung der Gewinnsteuer mit Hilfe der Kapitalwert-Methode, ob die Investition vorteilhaft ist! Die Kapitalwert-Formel lautet:

C 0 = - A 0 + 2 d , * ( l + ir t +R 11 *(l + i r t=l

Unter Verwendung der gegebenen Daten folgt daraus: Co = - 20.000 + 10.000 * (1,10) 2 + 5.000 * (1,10)"3 + 11.600 * (Ι,ΙΟ)"4 Co = - 20.000 + 8.264,48 + 3.756,74 + 7.922,96 Co = - 5 6 , 0 1 < 0 Da der Kapitalwert negativ ist, ist die Investition nicht vorteilhaft. b) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investitionsalternative unter Berücksichtigung von Gewinnsteuern. Es sei kein sofortiger Verlustausgleich zugelassen! Bezieht man die Gewinnsteuer in das Investitionskalkül ein, so berechnet sich der Zinssatz nach Steuern wie folgt: i s = (1 - s) * i

=>

is = ( 1 - 0 , 5 ) * 0,10 = 0,05

Für die Alternativinvestition wird somit eine Verzinsung von 5 % nach Steuern unterstellt, so daß mit diesem Kalkulationszinssatz gearbeitet werden muß. Die Ermittlung der jährlichen Absetzungen für Abnutzung ergibt: AfA t = ^

= 5.000

Daneben ist die Steuerwirkung bzgl. der Investition, das heißt die gezahlte Steuerlast, zu berücksichtigen. Dabei ist zu beachten, daß bei diesem

327

Steuern im Investitionskalkül

isolierten Investitionsobjekt keine sofortige Verlustkompensation möglich ist. Wenn sich nicht die Möglichkeit der Aufrechnung des Verlustes mit den Ergebnissen der letzten Vorperiode (Verlustrücktrag) ergibt, so können die Verluste auf zukünftige Perioden vorgetragen werden (Verlustvortrag). Dies gilt insbesondere, weil ein Verlust häufig in der Anlaufzeit bei neuen Objekten auftritt. Bei fehlender Möglichkeit des Verlustausgleichs ist nur ein Verlustvortrag denkbar. Unter der Annahme einer linearen Abschreibung ergibt sich der folgende Gewinn nach Steuern: Zeitpunkt Zahlungsreihe der

to

ti

- 20.000

-

t2

t3

t.

10.000

5.000

11.600

5.000

5.000

5.000

Investition ohne Steuern ./. Abschreibungen

-

5.000

./. Verlustvortrag aus dem -

-

5.000

-

-

Voijahr = Gewinn vor Steuern

-

./. Steuern (50%)

-

= Gewinn nach Steuern

-

- 5.000 -

- 5.000

-

-

6.600

-

-

3.300

-

-

3.300

In ti werden keine Steuern gezahlt, da ein Verlust vorliegt. Zieht man die gezahlten Steuern von der ursprünglichen Zahlungsreihe ab, so ergibt sich: Zeitpunkt Zahlungsreihe

to - 20.000

h -

t2 10.000

»3

«4

5.000

8.300

nach Steuern Der Kapitalwert der Investition unter Berücksichtigung von Gewinnsteuern und der Annahme eines Verlustvortrages ist bei is = 0,05: c ; = - 20.000 + 10.000 * (1,05)"2 + 5.000 * (1,05)"3 + 8.300 * (1,05)"*

328

Steuern im Investitionskalkül

Cs0 =217,91 > 0 Da der Kapitalwert nach der Berücksichtigung von Steuern positiv ist, ist die Investition nunmehr vorteilhaft. c) Wie verändert sich die Vorteilhaftigkeit, wenn unterstellt werden kann, daß der Investor Gewinne aus anderen Objekten erzielt und diese mit den periodischen Verlusten der zu bewertenden Investition verrechnet werden können (sofortiger Verlustausgleich)? Die Kapitalwert-Formel unter Berücksichtigung von Gewinnsteuern und der impliziten Annahme eines sofortigen Verlustausgleichs lautet: Cs0 = - A 0 + j r [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(l + i s r t=i + [ R n - s * ( R n - W J W n ) ] * ( l + i s )- n Unter Verwendung der gegebenen Daten folgt daraus: Co = - 20.000 + [0 - 0,5 * (0 - 5.000)] * (1,05)"' + [10.000 - 0,5 * (10.000 - 5.000)] * (1,05)"2 + [5.000 - 0,5 * (5.000 - 5.000)] * (1,05)"3 + [11.600 - 0,5 * (11.600 - 5.000)] * (1,05)" Cq =331,29 > 0 Die Investition ist bei Berücksichtigung von Steuern und der Möglichkeit eines sofortigen Verlustausgleiches vorteilhaft, da der Kapitalwert unter diesen Bedingungen positiv ist. Der Kapitalwert ist hier höher als der beim Verlustvortrag, da der Vorteil aus der negativen Steuerzahlung früher realisiert werden kann und daher weniger abgezinst wird. d) Vergleichen Sie die Zahlungsreihe des Verlustvortrages mit der des sofortigen Verlustausgleichs! Der Kapitalwert im Falle des sofortigen Verlustausgleichs ist aus dem bereits skizzierten Grund höher als der im Falle eines Verlustvortrages. Bei der Möglichkeit des Verlustvortrages ergibt sich die folgende Zahlungsreihe nach Steuern:

329

Steuern im Investitionskalkül

Zeitpunkt

Zahlungsreihe

to

ti

- 20.000

-

*2

10.000

t3

5.000

t4

8.300

nach Steuern

Die Zahlungsreihe im Falle des sofortigen Verlustausgleichs lautet: Zeitpunkt

Zahlungsreihe

to

- 20.000

tl

*2

2.500

7.500

t3

5.000

t4

8.300

nach Steuern

Die durch Verluste eintretende Steuerersparnis wirkt wie eine negative Steuerzahlung als Zuwendung an das Unternehmen. Beim sofortigen Verlustausgleich kann dieser Effekt früher realisiert werden als beim Verlustvortrag. Nach dem Abzinsen der Einzahlungsüberschüsse auf den Betrachtungszeitpunkt to ist der Barwert dieser Zahlungen somit beim sofortigen Verlustausgleich höher als beim Verlustvortrag. Der folgende Vergleich unterstreicht dies: Der Barwert des Einzahlungsüberschusses aus der Periode t2 beträgt beim Verlustvortrag: C E o (Verlustvortrag) = 10.000 * 1,05"2 C E o (Verlustvortrag) = 9.070,29 Der Barwert der Einzahlungsüberschüsse aus den Perioden t< und t2 beim sofortigen Verlustausgleich beträgt: C E o (sofortiger Verlustausgleich) = 2.500 * 1,05-' + 7.500 * 1,05"2 C E (sofortiger Verlustausgleich) = 9.183,67

330

Steuern im Investitionskalkül

Beim sofortigen Verlustausgleich ist der Barwert der zu vergleichenden Zahlungen um 9.183,67 - 9.070,29 = 113,38 GE höher als beim Verlustvortrag. Dieser Betrag ist die Differenz zwischen dem Kapitalwert bei Berücksichtigung des sofortigen Verlustausgleichs (Aufgabe 8.19c) und dem Kapitalwert unter den Bedingungen des Verlustvortrages (Aufgabe 8.19b): C0S (Verlustausgleich) - C 0 S (Verlustvortrag) = 331,29 - 217,91 = 113,38 Der Zinsgewinn durch die frühere Realisierung des Vorteils macht den sofortigen Verlustausgleich attraktiver als den Verlustvortrag. Aufgabe 8.20 Der Kapitalwert einer Investition steigt ceteris paribus unter den realistischen Bedingungen der Normalinvestition mit abnehmendem Kalkulationszinssatz (vgl. dazu Aufgabe 4.11). Bei der Berücksichtigung von Steuern im Investitionskalkül ist der Kalkulationszinssatz niedriger als der ohne Berücksichtigung von Steuern. Warum ist der Kapitalwert nach Steuern aber regelmäßig geringer als der Kapitalwert vor Steuern? Mit der Besteuerung vermindert sich der Kalkulationszinssatz. Es gilt: is = ( l - s ) * i Gleichzeitig fuhrt die Berücksichtigung von Steuern in aller Regel zu Auszahlungen, so daß der Einzahlungsüberschuß nach Steuern sinkt. Diese Steuerzahlung hat bis auf den Sonderfall des Steuerparadoxons einen schwerer wiegenden Einfluß auf den Kapitalwert als die Korrektur des Kalkulationszinssatzes. Aufgabe 8.21 Für eine Investitionsalternative wird die folgende Zahlungsreihe erwartet:

331

Steuern im Investitionskalkül

Zeitpunkt

Zahlungsreihe

ti

to - 7.500

1.750

t2

*3 1.750

1.750

0 Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. b) Berechnen Sie den Kapitalwert der Investitionsalternative unter Einbeziehung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von 50%, wenn 1. linear abgeschrieben wird, 2. eine 100%-Sofortabschreibung möglich ist, 3. zunächst geometrisch-degressiv (20%) abgeschrieben wird und der optimierende Wechsel auf eine gleichbleibende (= lineare) Abschreibung vorgesehen ist! Zur Kalkulation sei die Möglichkeit eines sofortigen Verlustausgleiches unterstellt. Der korrigierte Kalkulationszinssatz beträgt: i s = (1 - s) * i

=>

is = (1 - 0,5) * 0,10 = 0,05

332

Steuern im Investitionskalkül

Den folgenden Berechnungen dient nunmehr die allgemeine Kapitalwertformel unter Berücksichtigung von Steuern als Grundlage: Cs0 = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(l + i s )- 1 t=l + [Rn-s*(Rn-RBWn)]*(l+isr 1. Annahme einer linearen Abschreibung Die Ermittlung der jährlichen Absetzungen für Abnutzung ergibt: AfA t '

A =

°-R" η

=»

ΑίΆ.= ™ ° = 1.250 6

Der jährliche Einzahlungsüberschuß nach Steuern d, beträgt dann: 4 = [dt - s * (dt - A£At)] Bei den vorliegenden Daten bedeutet das: ds = 1.750 - 0,5 * (1.750 - 1.250) ds =1.500 Der Kapitalwert nach Steuern kann nun wieder unter Verwendung des Barwertfaktors errechnet werden: Co = - 7.500 + 1.500 * BWF (n = 6; i = 0,05) C ; = - 7 . 5 0 0 + 1.500 * 5,0757 CJ = 113,55 > 0 Die Investition ist bei Berücksichtigung von Steuern und einer linearen Abschreibung vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. 2. Annahme einer 100%-Sofortabschreibung Bei einer 100%-Sofortabschreibung machen sich die Abschreibungen nur in der ersten Periode bemerkbar. Unter Berücksichtigung der oben angegebenen allgemeinen Kapitalwertformel folgt daraus:

Steuern im Investitionskalkül

333

Co = - 7 . 5 0 0 + [1 .750 - 0,5 * (1.750 - 7.500)] * (1,05)-' 2 + [1 .750 - 0,5 * (1.750 - 0)] * (1,05)" 3 + [1 . 7 5 0 - 0 , 5 * ( 1 . 7 5 0 - 0 ) ] * (1,05)" + [1 .750 - 0,5 * (1.750 - 0)] * (1,05)^

+ [1 .750 - 0,5 * (1.750 - 0)] * (1,05)"5 + [1 . 7 5 0 - 0 , 5 * ( 1 . 7 5 0 - 0 ) ] * (1,05)"6 Cs0 = 512,66 > 0 Die Investition ist unter Berücksichtigung von Steuern und einer 100%Sofortabschreibung vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist. 3. Annahme einer geometrisch-degressiven

Abschreibung mit optimie-

rendem Wechsel auf lineare Abschreibung Zunächst ist die Höhe der Abschreibungen für die einzelnen Perioden sowie der optimale Wechselzeitpunkt für die Abschreibungsmethode zu bestimmen. Die folgende Tabelle zeigt die dazu notwendigen Berechnungen:

Zeitpunkt

Abschrc;ibung geometrisch-degressiv

Restbuchwert linear

bei jeweils höchster AfA

tl

1.500

1.250

6.000

t2

1.200

1.200

4.800

t3

960

1.200

3.600

U

720

1.200

2.400

t5

480

1.200

1.200

U

240

1.200

-

Der optimale Zeitpunkt für den Wechsel der Abschreibungsmethode liegt an der Stelle, an der die lineare Abschreibung größer ist als die geometrisch-degressive. Dieser Zeitpunkt ist nach zwei Jahren erreicht. Der

Steuern im Investitionskalkül

334

Restbuchwert RBW 2 = 4.800 GE wird dann gleichmäßig auf die verbleibenden vier Jahre verteilt. Die jährlichen Abschreibungen errechnen sich dann wie folgt: λ ft

AfAünear =

RBW 2 n-2

=

4.800 — = 4

1 200

Wahlweise hätte bereits nach dem ersten Jahr auf die lineare Abschreibung gewechselt werden können, da die Abschreibungsbeträge im zweiten Jahr bei beiden Methoden identisch sind und genau den oben ermittelten 1.200 GE entsprechen. Für das zweite Jahr ist es somit unerheblich, welche Abschreibungsmethode gewählt wird. Entsprechend hätte auch der Restbuchwert RBWi = 6.000 GE gleichmäßig auf die verbleibenden fünf Jahre verteilt werden können: _ RBW, 6.000 AfAünear = = 1.200 Minear '= n-1 Beide Alternativen (Wechsel zur linearen Abschreibung nach dem ersten bzw. nach dem zweiten Jahr) führen zum gleichen Ergebnis. Der optimale Zeitpunkt für den Wechsel der Abschreibungsmethode ist folglich nach dem ersten Jahr, spätestens aber nach dem zweiten Jahr erreicht. Vor diesem Hintergrund kann das oben genannte Kriterium zur Bestimmung des optimalen Wechselzeitpunkts dahingehend modifiziert werden, daß gesagt wird, der optimale Zeitpunkt für den Wechsel der Abschreibungsmethode liegt an der Stelle, an der die lineare Abschreibung größer oder gleich der geometrisch-degressiven Abschreibung ist. Für den Kapitalwert nach Steuern gilt unter Berücksichtigung der erstellten Tabelle: CJ = - 7 . 5 0 0 + [1.750 - 0,5 * (1.750 -

C*0 =

129,50 >

1.500)] * (1,05)1 (1,05)2

+ [ 1 . 7 5 0 - 0,5 * ( 1 . 7 5 0 -

1.200)] *

+ [1.750 - 0,5 * (1.750 -

1 . 2 0 0 ) ] * (1,05)"3

+ [1.750 - 0,5 * (1.750 -

1.200)] * (1,05)^

+ [1.750 - 0,5 * (1.750 -

1.200)] * (l,05)

+ [1.750 - 0,5 * (1.750 -

1.200)] * (1,05)-*

0

s

335

Steuern im Investitionskalkül

Auch bei der Wahl dieses Abschreibungsverfahrens ist die Investition unter Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft, der Kapitalwert ist erneut positiv. Unter Berücksichtigung von Steuern ist der Kapitalwert bei einer 100%Sofortabschreibung am größten, da der gesamte steuermindernde Vorteil aus den Abschreibungen nur über eine Periode abgezinst wird. Bei einer Verteilung der Abschreibungen über die Nutzungsdauer der Investition wird auch der steuermindernde Vorteil über die Laufzeit verteilt, so daß spät realisierbare Vorteile stark abgezinst werden. Aufgabe 8.22 Für eine Sachinvestition wird die folgende Zahlungsreihe erwartet: Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe

- 4.500 GE

t| 2.400 GE

t2 -

ts 3.075 GE

Ein Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer existiert nicht. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. a) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition mittels der Kapitalwert-Methode! Ausgangspunkt der Kalkulation ist die allgemeine Kapitalwertformel: C0 = - A 0 + £ d t=l

t

*(l + i ) _ t + R n *(l + i)-"

Für die Investition bedeutet das: Co = - 4.500 + 2.400 * (1,10) 1 + 3.075 * (1,10) 3 Co = - 7,89 < 0 Die Sachinvestition ist nicht vorteilhaft, da C 0 < 0. b) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition mit Hilfe der Kapitalwert-Methode unter Berücksichtigung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von 40 %.

336

Steuern im Investitionskalkül

Gehen Sie dabei davon aus, daß die Möglichkeit des sofortigen Verlustausgleichs besteht. Die Abschreibungen erfolgen linear! Die allgemeine Formel für den Kapitalwert nach Steuern lautet: Co = - A 0 + £ [ d t - s * ( d t - A f A t ) ] * ( l + i s r t t=l

+ [Rn-s*(R„"IUJWn)]*(l + i s r n Der steuerkorrigierte Kalkulationszinssatz beträgt: i s = (1 - s) * i

=>

is = ( l - 0 , 4 ) * 0,10 = 0,06

Die Ermittlung der jährlichen Absetzungen für Abnutzung führt zu einer linearen AfA in Höhe von: AfA t1 =

A

°~R" η

=>

AfA t = « 5 0 = 1.500 3

Für die Investition folgt daraus:

Cs0 = - 4.500 + [2.400 - 0,4 * (2.400 - 1.500)] * (1,06)"' + [0 - 0,4 * (0 - 1.500)] * (1,06)'2 + [3.075 - 0,4 * (3.075 - 1.500)] * (1,06)"3 C* = 11,40 > 0 Die Investition ist unter Berücksichtigung von Steuern und unter der Annahme eines sofortigen Verlustausgleichs vorteilhaft. c) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition mit Hilfe der Kapitalwert-Methode unter Berücksichtigung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von 40 %. Gehen Sie dabei davon aus, daß die Investition die einzige Erfolgsquelle des Steuersubjekts ist, so daß die Möglichkeit des sofortigen Verlustausgleichs nicht gegeben ist. Die Abschreibungen erfolgen linear!

Steuern im Investitionskalkül

337

Als Ausgangspunkt für die Ermittlung der Zahlungsreihe nach Steuern soll auf die Berechnung des Kapitalwertes im Aufgabenteil b) zurückgegriffen werden: 1. Auf die Steuerzahlung in der Periode ti hat der Wegfall des sofortigen Verlustausgleichs keine Auswirkungen, so daß sie weiterhin 0,4 * (2.400 - 1.500) = 360 GE beträgt. Der Einzahlungsüberschuß nach Steuern beträgt somit unverändert 2.400 - 0,4 * (2.400 - 1.500) = 2.040 GE. 2. Aufgrund der nicht mehr vorhandenen Möglichkeit eines sofortigen Verlustausgleichs erhält das Unternehmen in der Periode t2 keine Steuererstattung in Höhe von - 0,4 * ( 0 - 1.500) = 600 GE. Der steuerrechtliche Verlust in Höhe von 1.500 GE kann ζ. T. aber in die Periode ti zurückgetragen werden: 2.400 - 1.500 = 900 GE (zu versteuernder Gewinn in t,) Dieser Rücktrag fuhrt zu einer Änderung der Steuerbelastung für die Periode ti. Da in der Periode ti dann 360 GE (ohne Anspruch auf Verzinsung) zuviel Steuern gezahlt worden sind, resultiert daraus in der Periode t2 eine (nicht verzinste) Steuererstattung von 360 GE, so daß in t2 ein Einzahlungsüberschuß in dieser Höhe entsteht. 3. Der weitere Verlust in Höhe von 600 GE aus der Periode t2 wird in die Periode t 3 vorgetragen. Somit steigt in dieser Periode der Einzahlungsüberschuß nach Steuern auf: 3.075 - 0,4 * (3.075 - 1.500 - 600) = 2.685 GE. Mit dieser neuen Zahlungsreihe nach Steuern ist nun der Kapitalwert zu berechnen: c ; = - 4.500 + 2.040 * (1,06)-' + 360 * (1,06)"2 + 2.685 * (1,06)"3 - 0,70 < 0

338

Steuern im Investitionskalkül

Da Co < 0 ist, ist die Sachinvestition nicht vorteilhaft. d) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition mit Hilfe der Kapitalwert-Methode unter Berücksichtigung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von 40 %. Gehen Sie dabei davon aus, daß die Investition die einzige Erfolgsquelle des Steuersubjekts ist, so daß die Möglichkeit des sofortigen Verlustausgleichs nicht gegeben ist. Die Möglichkeit des Verlustrücktrages ist zudem auf 500 GE beschränkt. Die Abschreibungen erfolgen linear! Als Ausgangspunkt für die Ermittlung der Zahlungsreihe nach Steuern soll erneut auf die Berechnung des Kapitalwertes im Aufgabenteil b) zurückgegriffen werden: 1. Auf die Steuerzahlung in der Periode ti hat weder der Wegfall des sofortigen Verlustausgleichs noch die betragsmäßige Begrenzung des Verlustrücktrages eine Auswirkung, so daß sie weiterhin 360 GE beträgt. Der Einzahlungsüberschuß nach Steuern beträgt somit unverändert 2.040 GE. 2. Da kein sofortiger Verlustausgleich möglich ist, muß der Verlust aus der Periode t2 in die Periode ti zurückgetragen werden, wobei der Rücktrag auf 500 GE begrenzt ist. Dieser Rücktrag fuhrt zu einer Änderung der Steuerbelastung für die Periode tj. In der Periode t 2 resultiert daraus eine Steuererstattung in Höhe von 0,4 * 500 = 200 GE, so daß in t2 ein Einzahlungsüberschuß in dieser Höhe entsteht. 3. Der weitere Verlust von 1.000 GE aus der Periode t 2 wird in die Periode t3 vorgetragen. Somit steigt in dieser Periode der Einzahlungsüberschuß nach Steuern auf: 3.075 - 0,4 * (3.075 - 1.500 - 1.000) = 2.845 GE. Mit dieser neuen Zahlungsreihe nach Steuern ist nun der Kapitalwert zu berechnen: Co = - 4.500 + 2.040 * (1,06)·' + 200 * (1,06)"2 + 2.845 * (1,06)"3 - 8,76 < 0

Steuern im Investitionskalkül

339

Da Co < 0 ist, ist die Sachinvestition nicht vorteilhaft. Der Kapitalwert ist niedriger als im Aufgabenteil c), da die Begrenzung des Verlustrücktrages dazu fuhrt, daß der steuerliche Vorteil aus dem betrieblichen Verlust stärker in spätere Perioden verlagert und daher stärker abgezinst wird. Aufgabe 8.23 Für eine Sachinvestition wird die folgende Zahlungsreihe unterstellt: Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe

- 1.000 GE

tl

t2 600 GE

700 GE

Ein Restverkaufserlös am Ende der Nutzungsdauer wird nicht erwartet. Der Kalkulationszinssatz beträgt i = 0,10. a) Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition mit Hilfe der Kapitalwert-Methode unter Berücksichtigung einer allgemeinen proportionalen Gewinnsteuer mit einem Steuersatz von 50 %. Die Abschreibungen erfolgen linear! Die allgemeine Formel für den Kapitalwert nach Steuern lautet: Co = - A „ + £ [ d t - s * ( d t -A£A t )]*(l + i s )~ l t=l

+ [Rn-s*(Rn-RBWn)]*(l + i s r n Der steuerkorrigierte Kalkulationszinssatz beträgt: i, = (1 - s) * i

=>

is = ( l - 0 , 5 ) * 0,10 = 0,05

Die Ermittlung der jährlichen Absetzungen fur Abnutzung fuhrt zu einer linearen AfA in Höhe von: AfA

t =

Aodk η

=>

AfA t = 1 ^ = 500 2

Für die Investition folgt daraus:

340

Steuern im Investitionskalkül

C ; = - 1.000 + [600 - 0,5 * (600 - 500)] * (1,05)-' + [700 - 0,5 * (700 - 500)] * (1,05)"2 = 68,03 > 0 Die Investition ist unter Berücksichtigung von Steuern vorteilhaft. b) Der Investor erwartet eine Steuerreform mit einer Absenkung des Gewinnsteuersatzes in der Periode t2. Nach der Reform würde der allgemeine proportionale Gewinnsteuersatz der Periode t 2 mit s 2 = 30 % zu veranschlagen sein. Der Steuersatz für die Periode ti bleibt hingegen unverändert bei Si = 50 % (s, = Steuersatz in der Periode t). Diskutieren sie die Auswirkungen dieser Steuerreform auf die Berechnung des Kapitalwertes nach Steuern und berechnen Sie diesen! Die erwartete Steuerreform wirkt zunächst auf den Einzahlungsüberschuß nach Steuern in der Periode t2. Bei einem allgemeinen proportionalen Gewinnsteuersatz von s2 = 30 % beträgt der Einzahlungsüberschuß nach Steuern: 700 - 0,3 * (700 - 500) = 640 GE. Bei einem Steuersatz von 50 % betrug er nur 600 GE (vgl. dazu Aufgabenteil a). Darüber hinaus ändert sich der Kalkulationszinssatz für die Periode t2. Der Kalkulationszinnsatz nach Steuern beträgt in der Periode t 2 nun: (1 - 0 , 3 ) * 0,10 = 0,07. Zuvor lag er bei 0,05. Diese Änderung des Kalkulationszinssatzes in der Periode t 2 ist bei der Berechnung des Kapitalwertes nach Steuern zu beachten, wobei zwei Varianten der Berechnung betrachtet werden sollen. Bei der Variante 1 erfolgt das über zwei Perioden zu vollziehende Abzinsen der dem Zeitpunkt t2 zugeordneten Zahlungen in einheitlicher Weise anhand des Kalkulationszinssatzes in Höhe von 7 %.

Steuern im Investitionskalkül

341

CJ = - 1.000 + [600 - 0,5 * (600 - 500)] * (1,05) ' + [700 - 0,3 * (700 - 500)] * (1,07)'2 Cg= 82,81 > 0 Bei der Variante 2 erfolgt eine Differenzierung bezüglich der über zwei Perioden zu vollziehenden Abzinsung der Zahlungen in t2. Das Abzinsen auf den Zeitpunkt ti erfolgt mit dem Kalkulationszinssatz in Höhe von 7 %, zur weiteren Abzinsung auf to wird der ursprüngliche Kalkulationszinssatz in Höhe von 5 % verwendet, da dieser der Periode ti zugeordnet ist. CJ = - 1.000 + [600 - 0,5 * (600 - 500)] * (1,05)"' + [700 - 0,3 * (700 - 500)] * (1,07)·' * (1,05)·' Cq = 93,46 > 0 Nach beiden Varianten ist die Investition vorteilhaft. c) Begründen Sie mit Hilfe vollständiger Finanzpläne, welche der beiden Methoden der Diskontierung die korrekte ist. Gehen sie bei der Erstellung der Finanzpläne von der Annahme aus, daß die Investition zu 100 % fremdfinanziert und mit einem Zinssatz vor Steuern in Höhe von i = 0,10 verbunden ist! Variante 1 Ein Kapitalwert nach Steuern in Höhe von 82,81 GE bedeutet, daß bei einer 100 %igen Fremdfinanzierung die Rückflüsse aus der Investition ausreichen, um den Kredit zu tilgen, die Zinszahlungen auf den Kredit zu leisten und die Steuerzahlungen zu zahlen. Die folgende Tabelle zeigt die Wirkungen einer einheitlichen Abzinsung der Zahlungen aus der Periode t2.

342

Steuern im Investitionskalkül

Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe

- 1.000,00

Kreditaufnahme

t.

1.082,81

t2 700,00

600,00 -

-

Zinsen

-

-108,28

- 58,70

Steuern

-

4,14

- 42,39

Tilgung

-

- 495,86

- 586,95

Restschuld Zahlungssaldo

1.082,81 82,81

586,95 -

-

11,96

Die entsprechende Darstellung zur zweiten Variante macht die Aussage der Tabelle deutlicher. Variante 2 Der Kapitalwert nach Steuern beträgt bei dieser Art der Berechnung 93,46 GE. Dies bedeutet, daß bei vollständiger Fremdfinanzierung die Rückflüsse der Investition ausreichen, um einen Kredit in Höhe von 1.093,46 GE zu tilgen und darüber hinaus auch die Zins- und Steuerzahlungen zu leisten. Die folgende Tabelle zeigt die entsprechenden Überlegungen. Der vollständige Finanzplan der zweiten Variante zeigt, daß nur die bei der zweiten Variante zugrunde gelegte Art der Abzinsung bei der Berücksichtigung veränderter Steuersätze über die Nutzungsdauer einer Investition korrekt sein kann. Diese differenzierte Diskontierung führt dazu, daß der Zahlungssaldo genau dem zugeordneten Kapitalwert entspricht. Der vollständige Finanzplan der ersten Variante führte zu einem Zahlungssaldo, der nicht mit dem Kapitalwert kompatibel ist, welcher auf der Basis der gemachten Annahmen errechnet wurde.

Steuern im Investitionskalkül

Zeitpunkt

to

Zahlungsreihe

- 1.000,00

Kreditaufnahme

t,

1.093,46

343

t2 700,00

600,00 -

-

Zinsen

-

- 109,35

-59,81

Steuern

-

4,68

- 42,06

Tilgung

-

- 495,33

- 598,10

Restschuld

1.093,46

Zahlungssaldo

93,46

598,12 -

-

-

Aufgabe 8.24 Ein Unternehmen plant die Errichtung einer neuen Produktionsstätte mit einer Nutzungsdauer von η = 20 Jahren. Aufgrund langfristiger vertraglicher Vereinbarungen ist die Annahme realistisch, die neue Produktionsstätte erwirtschafte während der Nutzungsdauer jährliche Einzahlungsüberschüsse vor Steuern in Höhe von d = 4.000 GE. Die Auszahlungen zur Errichtung der Produktionsstätte im Zeitpunkt to betragen A 0 = 40.000 GE. a) Beurteilen Sie die Vorteilhaftigkeit der Produktionsstätte anhand des Kapitalwertes nach Steuern; unterstellen Sie dabei in steuerrechtlicher Hinsicht, daß die Anschaffungsauszahlung A 0 vollständig und linear über die Nutzungsdauer abgeschrieben wird! Der Unternehmer rechnet mit einem Kalkulationszinssatz nach Steuern in Höhe von is = 0,0585, dem liegt ein Steuersatz von s = 35 % zugrunde. Die Möglichkeit zum sofortigen Verlustausgleich ist nicht gegeben. Die Formel für den Kapitalwert nach Steuern bei einer Rente lautet: CJ = - Ao + d s * BWF (n; i s ) + Κ * (1 + is)"n

344

Steuern im Investitionskalkül

Für die gegebenen Daten folgt daraus: Cs0 = - 40.000 + d s * BWF (n = 20; i s = 0,0585) Dabei gilt fur d s : d s = d - s * (d - AfA t )

mit AfA t = ^ η

=

40 000

= 2.000

20

Bei den gegebenen Daten resultiert daraus: ds = 4.000 - 0,35 * (4.000 - 2.000) ds = 3.300 Damit ergibt sich fur Q : CJ = - 40.000 + 3.300 * 11,6109 Cs0 = - 4 0 . 0 0 0 + 38.315,97 C ; = - 1.684,03 < 0 Die Realisierung der Produktionsstätte ist somit unter den gegebenen Bedingungen nicht vorteilhaft, da der Kapitalwert negativ ist. b) Um den Unternehmer dennoch zur Errichtung der Produktionsstätte zu bewegen, gewährt die öffentliche Hand eine Zulage ZL gemäß § 1 Abs. 1 InvZulG (Investitionszulagengesetz). Die Zahlung der Zulage soll in ti erfolgen (ZLt). Wie hoch muß die Zulage sein, damit die Errichtung der Produktionsstätte vorteilhaft ist? Bei einer Zulage handelt es sich nicht um eine direkte finanzielle Förderung, sondern um einen über das Steuerrecht wirksamen Kapitalrückfluß. Das bedeutet, Zulagen mindern die für das betreffende Wirtschaftsjahr zu zahlende Einkommens- bzw. Körperschaftsteuer. Zulagen sind nicht zu verzinsen, sie sind nicht zurückzuzahlen und sie werden steuerfrei gewährt (vgl. § 9 InvZulG). Damit entsteht die Frage, ob bzw. wie die in t| anfallende Zahlung ZL\ auf den Betrachtungszeitpunkt to zu diskontieren ist! Zur Beantwortung dieser Frage sei auf die Funktion des Kalkulationszinssatzes verwiesen.

Steuern im Investitionskalkül

345

Der Kalkulationszinssatz soll Zahlungen aus der Sicht des Betrachtungszeitpunktes (in der Regel to) bewerten. Dementsprechend geht es hier um die Frage: was ist die in ti fließende Zulage ZLj aus der Sicht des Zeitpunktes to wert? Die Bewertung der Zahlung erfolgt nach dem Opportunitätsprinzip, also über einen Vergleich. Da die Zahlung zum Zeitpunkt to bewertet werden soll, aber erst in ti anfallt, lautet die Frage zur Bestimmung der Opportunität bzw. der zum Vergleich heranzuziehenden Alternative: welche Zahlung müßte im Zeitpunkt to fließen, um Indifferenz zu der Zulage im Zeitpunkt ti herzustellen? Eine andere Formulierung könnte lauten: wie hoch ist der Nachteil zu beziffern, daß die Zulage nicht im Zeitpunkt to, sondern erst im Zeitpunkt ti geleistet wird? Zur Beantwortimg der Fragen wird auf die folgende Argumentation verwiesen: erfolgt eine Zahlung nicht in to, soll sie aber zum Zeitpunkt to bewertet werden, so wird die Annahme zugrunde gelegt, die Zahlung müsse zum Zeitpunkt to erfolgen und daher durch eine alternative Zahlung (Finanzierung) ersetzt bzw. überbrückt werden. Die dann im Zeitpunkt ti fließende Zulage ZLi löst die Finanzierung ab; es verbleiben die Finanzierungskosten fur die zeitliche Differenz zwischen dem Bewertungszeitpunkt und dem Zeitpunkt der anfallenden und zu bewertenden Zahlung. Damit ist geklärt, daß die Zulage zu diskontieren ist, auch wenn sie selbst tatsächlich nicht zu verzinsen ist; die Finanzierung zur Überbrückung der zeitlichen Differenz zwischen dem Zeitpunkt der Bewertung und dem der fließenden Zahlung verursacht Kapitalkosten. Diese Kapitalkosten sind nach dem Opportunitätsprinzip anzusetzen, um in der Zukunft anfallende Zahlungen aus der Sicht der Gegenwart zu bewerten. Eine Diskontierung ist also nur zu vernachlässigen, wenn die Opportunität der zu bewertenden Zahlung nicht zu verzinsen ist; nicht die zu bewertende Zahlung, sondern die Opportunität bestimmt den Kalkulationszinssatz! Hinsichtlich der gegebenen Aufgabenstellung ist abschließend die Frage zu klären, wie hoch der Kalkulationszinssatz zur Diskontierung der Zulage ZLi zu wählen ist? Laut Aufgabenstellung soll der Kapitalwert nach Steuern berechnet werden, die Zulage ist aber gemäß § 9 InvZulG nicht zu versteuern! Die resultierende Frage - ist i oder is anzuwenden - ist bereits

346

Steuern im Investitionskalkül

im Grundsatz beantwortet: nicht die zu diskontierende Zahlung, sondern die Opportunität bestimmt den Kalkulationszinssatz. Unter der Annahme, daß die Finanzierung der zeitlichen Differenz zwischen to und t| durch zu versteuerndes Eigen- oder Fremdkapital erfolgt, stellt is den korrekten Kalkulationszinssatz dar: C* = - Ao + ZU * (1 + is)'1 + d s * BWF (n; i s ) + R„ * (1 + i s ) n Für die gegebenen Daten bedeutet das: c ; = 0 = - 40.000 + ZL, * 1,0585·' + 38.315,97 Cq = 0 = - 1.684,03 + ZL, * 1,0585·' Für ZL| resultiert daraus: ZL, = 1.782,55 Die für den Zeitpunkt t, gewährte Zulage muß mindestens 1.782,55 GE betragen, damit die Errichtung der Produktionsstätte vorteilhaft ist. c) Nehmen Sie zu der folgenden Aussage Stellung: Eine Veränderung der Zahlungsreihe eines zu bewertenden Objektes (Sachinvestition, Unternehmung) führt zu einer Veränderung des Kalkulationszinssatzes! Die Aussage ist in aller Regel - jedoch nicht zwingend - korrekt. Der Kalkulationszinssatz zur Bewertung eines Objektes resultiert aufgrund des Opportunitätsprinzips nicht direkt aus der zu bewertenden Zahlungsreihe, sondern aus der vergleichbaren bzw. alternativen Zahlungsreihe. Da diese Zahlungsreihe der zu bewertenden Zahlungsreihe in möglichst vielen bewertungsrelevanten Faktoren gleichen soll, determiniert die zu bewertende Zahlungsreihe den Kalkulationszinssatz entscheidend. Die tatsächliche Fixierung des Kalkulationszinssatzes erfolgt jedoch anhand der Daten der Opportunität; die oben angeführte Aussage ist also nicht korrekt. Dementsprechend kann sich die Vorteilhaftigkeit eines Bewertungsobjektes ändern, auch wenn die Zahlungsreihe unverändert ist. In der Praxis kann diese Aussage an der Börse beobachtet werden: die Bewertung börsennotierter Unternehmen ist nicht ausschließlich von deren

347

Steuern im Investitionskalkül

Geschäftsverlauf und von den tatsächlich anfallenden Kapitalkosten abhängig, sondern auch vom allgemeinen Zinsniveau. Bei sinkenden Zinsen wird die Investition in börsennotierte Unternehmen ceteris paribus attraktiver, so daß der Wert der Unternehmen auch bei unveränderten betriebswirtschaftlichen Daten steigt. Kritiker beurteilen diese Erscheinung als Beleg für die Ineffizienz des Kapitalmarktes, da es ihrer Meinung nach nicht nachvollziehbar ist, den Wert einer Unternehmung aufgrund eines sinkenden Zinsniveaus am Kapitalmarkt zu erhöhen. Tatsächlich ist diese Erscheinung aber ein Beleg für die Funktionsfahigkeit des Kapitalmarktes, da der Wert der Unternehmung grundsätzlich die Attraktivität aus der Sicht eines Investors widerspiegeln soll. Aufgabe 8.25 Zur Erweiterung einer Produktionsstätte hat die öffentliche Hand einem Unternehmer zugesagt, einen Zuschuß (ZS) gemäß § 10 Abs. 1 Satz 3 UStG in Höhe von 15 % der erforderlichen Investitionssumme zu gewähren. Die Erweiterung der Produktionsstätte erfordert am 1.01.2003 eine Investitionssumme in Höhe von 1.800 GE. Die Einzahlungsüberschusse vor Steuern erhöhen sich durch die Erweiterung der Produktionsstätte wie folgt: Periode Erhöhung des Einzahlungsüberschusses vor Steuern

2003

2004

2005

2006

400 GE

800 GE

800 GE

600 GE

Am 31.12.2006 wird die Produktionsstätte vollständig an einen Investor verkauft, der dann fällige Verkaufspreis beträgt 600 GE. Der Unternehmer beurteilt die Erweiterung nach Berücksichtigung von Steuern; dabei beträgt der Steuersatz 35 %, der Kalkulationszinssatz nach Steuern wird mit is = 0,0585 angesetzt. Die steuerrechtlichen Bestimmungen sehen eine lineare Abschreibung über sechs Jahre vor.

348

Steuern im Investitionskalkül

a) Ist die Erweiterung der Produktionsstätte bei direkter Versteuerung des Zuschusses ZS vorteilhaft, wenn die Entscheidung anhand des Kapitalwertes nach Steuern erfolgen soll? Wie Zulagen sind auch Zuschüsse weder zu verzinsen, noch zurückzuzahlen. Im Gegensatz zur Zulage handelt es sich aber um eine direkte finanzielle Förderung, die i. d. R. zum Investitionszeitpunkt ausgezahlt wird. Zudem sind Zuschüsse nicht ausdrücklich von der Besteuerung ausgenommen, so daß sie den Ertragsteuern zu unterwerfen sind. Die direkte Versteuerung des Zuschusses erfolgt, indem der Zuschuß als außerordentlicher Ertrag den steuerpflichtigen Gewinn des entsprechenden Jahres erhöht (vgl. R 34 Abs. 2 EStR). Da die Zahlung des Zuschusses mit der Realisierung der Investitionssumme Ao erfolgt (ZS0), sieht die Formel für den Kapitalwert nach Steuern wie folgt aus: C s 0 = - Ao + ZSo * (1 - s) + ^ [ d t - s * ( d t - AfA t )]*(l + i s ) _ t i=i + [Rn-s*(R„-RBWn)]*(l + isrn mit ZSo = 0,15 * Ao = 0,15 * 1.800 = 270 und A^ 6

=

L

8OO=300 6

Bei den gegebenen Daten folgt für den Kapitalwert nach Steuern: Co = - 1.800 + 270 * (1 - 0,35) + [400 - 0,35 * (400 - 300)] * 1,0585 1 + + + +

[800 [800 [600 [600

-

0,35 0,35 0,35 0,35

* * * *

(800 (800 (600 (600

-

300)] 300)] 300)] 600)]

Cq = - 1.800 + 175,50 + 365 * 1,0585"' + 625 * 1,0585'2 + 625 * 1,0585"3 + 495 * 1,0585"* + 600 * l ^ S " 4

* * * *

1,0585"2 1,0585"3 1,0585"* 1,0585^

Steuern im Investitionskalkül

349

Cs0 =- 1 . 8 0 0 + 175,50 +2.301,92 Co = 677,42 > 0

Die Erweiterung der Produktionsstätte ist unter den gegebenen Bedingungen vorteilhaft. b) Wie hoch ist der Kapitalwert bei einer indirekten Versteuerung des Zuschusses ZS0? Bei einer indirekten Versteuerung des Zuschusses erfolgt eine Reduzierung der Anschaffungsauszahlung Ao als Grundlage zur Bestimmung der steuerlich relevanten Abschreibungen. Dadurch entsteht die Steuerlast nicht im Zeitpunkt to, sondern im Verlauf der Nutzungsdauer (ceteris paribus höhere jährliche Steuerlast aufgrund geringerer Abschreibungen). Die Formel zur Berechnung des Kapitalwertes sieht dann wie folgt aus: Cs0= - A o + Z S o + X d t - s * ( d t - ( A f A t — η t=l

*o+isr

Rn-s*(R„-(RBWn-^U(n-t))) *u+i rn s η Dabei stellen AfAt und RBW„ die jährliche Abschreibung ohne Zuschuß (AfA t ) und den Restbuchwert zum Zeitpunkt η ohne Zuschuß (RBWn) dar. Y Y Die Komponenten — und — * (n -1) können wie folgt erläutert werden: η η γ — = durch den Zuschuß bewirkte Reduzierung der jährlichen Abschrein bung γ — * ( n - t ) = durch den Zuschuß bewirkte Reduzierung des Restbuchn wertes im Zeitpunkt η Für die gegebene Aufgabenstellung bedeutet das:

350

Steuern im Investitionskalkül

CJ = - 1.800 + 270 + [400 - 0,35 * (400 - (300 - 45))] * 1,0585-' + [800 - 0,35 * (800 - (300 - 45))] * 1,0585'2 + [800 - 0,35 * (800 - (300 - 45))] * 1,0585"3 + [600 - 0,35 * (600 - (300 - 45))] * 1,0585" + [600 - 0,35 * (600 - (600 - 45 * (6 - 4)))] . 1,058s-4 Co = - 1.800 + 270 + 349,25 . 1,0585"' + 609,25. 1,0585"2 + 609,25. 1,0585"3 + 479,25 φ 1,0585" + 568,50 . 1,0585" CJ = - 1.800 + 270 +2.221,84 Cs0 =691,84 > 0 Die Erweiterung der Produktionsstätte ist unter den gegebenen Bedingungen vorteilhaft. c) Erläutern Sie die Differenz zwischen den Kapitalwerten nach Steuern bei direkter und indirekter Versteuerung des Zuschusses! Die indirekte Versteuerung bietet gegenüber der direkten Versteuerung einen Zinsvorteil, da die Reduzierung der steuerlich relevanten Abschreibungen erst im Verlauf der Nutzungsdauer zu einer zahlungswirksamen Steuerlast führt; bei direkter Versteuerung entsteht die gesamte zahlungswirksame Steuerlast im Zeitpunkt to. Die folgende Gegenüberstellung zeigt, daß die Summen der nicht diskontierten Zahlungen bei direkter und indirekter Versteuerung gleich sind, somit muß auch die insgesamt zu zahlende Steuerlast identisch sein: nicht diskontierte Zahlungsreihe nach Steuern bei direkter Versteuerung - 1.800 + 175,50 + 365 + 625 + 625 + 495 + 600 = 1.085,50 nicht diskontierte steuerung

Zahlungsreihe nach Steuern bei indirekter Ver-

- 1.800 + 270 + 349,25 + 609,25 + 609,25 + 479,25 + 568,50 = 1.085,50

Steuern im Investitionskalkül

351

Die Differenz in den Kapitalwerten ist somit in der später wirksam werdenden Steuerlast bei indirekter Versteuerung begründet. Aufgabe 8.26 Ein Papierhersteller hat auf den ersten beiden Produktionsstufen dauerhafte Überkapazitäten. Diese ließen sich für die zusätzliche Gewinnung von jährlich 20.000 Tonnen Zellstoff verwenden. Es besteht die Möglichkeit, diese Menge Zellstoff für fünf Jahre zu einem Preis von 400 GE je Tonne an ein anderes Unternehmen frei Haus zu liefern. Die Unternehmensleitung des Papierherstellers prüft, ob das Zusatzgeschäft abgeschlossen werden soll. Die Erfolgsdaten für Zellstoff sehen variable Kosten in Höhe von 200 GE je Tonne sowie Abschreibungen und Fertigungsgemeinkosten in Höhe von 100 GE je Tonne vor. Für den Transport zum Abnehmer bestehen zwei technisch gleichwertige Alternativen. Alternative I: Die erste Möglichkeit besteht darin, den Zellstoff zu trocknen und ihn in Ballen zu transportieren. Zur Trocknung des Zellstoffes wird eine Anlage benötigt, die eine Anschaffungsauszahlung von 4.000.000 GE erfordert und eine Nutzungsdauer von fünf Jahren ermöglicht. Für den Transport zum Abnehmer ergeben sich Kosten in Höhe von 40 GE pro Tonne. Darüber hinaus entstehen pro Tonne die folgenden Betriebskosten der Anlage: 14,50 GE für Energie, 2,50 GE für Öl und Wartung, 3,00 GE für Verpackung, 30,00 GE für Abschreibungen und 10,00 GE für kalkulatorische Zinsen. Alternative II: Die zweite Möglichkeit besteht darin, den Zellstoff zu filtern und in Kübelwagen zu verladen. Dabei entstehen Transportkosten in Höhe von 73 GE pro Tonne. In diesem Fall muß eine Filteranlage für 2.560.000 GE beschafft werden, die eine Nutzungsdauer von acht Jahren ermöglicht. Nach Ablauf von fünf Jahren wird diese Anlage nicht mehr genutzt; daher erfolgt am Ende der fünften Periode eine Sonderabschreibung im Umfang des Restbuchwertes. Ein Restverkaufserlös

352

Steuern im Investitionskalkül

kann nicht erzielt werden. Die Filteranlage verursacht die folgenden betrieblichen Kosten je Tonne Zellstoff: 10,00 GE für Energie, 3,50 GE für Öl und Wartung, 25,00 GE für Abschreibungen und 7,00 GE für kalkulatorische Zinsen. Die Unternehmung berücksichtigt im Rahmen der Beurteilung von Investitionsvorhaben stets eine allgemeine proportionale Gewinnsteuer (Steuersatz 60 %). Es soll linear abgeschrieben werden. a) Formulieren Sie die Zahlungsreihe (nach Steuern) für beide Alternativen! Die jährlichen Einzahlungsüberschüsse sind aus der Erfolgsrechnung für den Zellstoff und den anderen Angaben zu den Alternativen zu ermitteln. Da die Angaben einer Kostenrechnung entstammen, müssen sie für eine Investitionsrechnung dahingehend überprüft werden, ob sie zu Zahlungen fuhren. Bei sämtlichen variablen Kostenarten wie Energie, Öl und Wartung sowie Verpackung kann man davon ausgehen, daß sie auch zu Auszahlungen fuhren. Nicht unmittelbar zahlungswirksam sind mit Sicherheit die Abschreibungen. Die Fertigungsgemeinkosten sind nur dann zahlungswirksam, wenn sie durch den zusätzlichen Auftrag von 20.000 Tonnen Zellstoff determiniert sind, dies ist hier nicht der Fall. Die anteiligen Fertigungsgemeinkosten dürfen daher bei der Beurteilung des ZellstofFauftrages anhand der beiden Alternativen nicht berücksichtigt und als Auszahlung angesetzt werden. Die Produktion einer Tonne Zellstoff ist somit mit Auszahlungen in Höhe der oben genannten variablen Kosten (Energie, Öl und Wartung, Verpakkung) verbunden. Für die Alternativen errechnet sich der jeweilige periodische Einzahlungsüberschuß dementsprechend wie folgt:

Steuern im Investitionskalkül

353

Alternative I:

-

Preis

400 GE

variable Produktionskosten

200 GE

= Deckungsbeitrag aus der Produktion -

200 GE

variable Kosten aus der Trocknung und dem Transport: Energie

14,50 GE

Öl, Wartung

2,50 GE

Verpackung

3,00 GE

Transport

40,00 GE 60 GE

= gesamter Deckungsbeitrag je Tonne

140 GE

Der gesamte periodische Deckungsbeitrag für die zusätzlichen 20.000 Tonnen Zellstoff beträgt somit bei der Alternative I: 140 * 20.000 = 2.800.000 GE Dieser gesamte Deckungsbeitrag stellt den zusätzlichen Gewinn pro Jahr ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung für die Maschine zur Trocknung des Zellstoffes dar. Berücksichtigt man nun die proportionale Gewinnsteuer von 60 %, so resultiert daraus Steuern:

der folgende jährliche Einzahlungsüberschuß

nach

354

Steuern im Investitionskalkül

zusätzlicher Gewinn pro Jahr

2.800.000 GE

-

jährliche Abschreibung (4.000.000 : 5)

=

Gewinn vor Steuern

2.000.000 GE

-

Steuern (60 %)

1.200.000 GE

=

Gewinn nach Steuern

800.000 GE

+ jährliche Abschreibungen

800.000 GE

=

Einzahlungsüberschuß pro Jahr

800.000 GE

1.600.000 GE

Analog zu der Vorgehensweise bei der Alternative I ergibt sich der jährliche Einzahlungsüberschuß der Alternative II: Preis

400 GE

-

variable Produktionskosten

200 GE

=

Deckungsbeitrag aus der Produktion

200 GE

-

variable Kosten aus dem Filtern und dem Transport: Energie Öl, Wartung Transport

10,00 GE 3,50 GE 73,00 GE 86,50 GE

-

gesamter Deckungsbeitrag je Tonne

113,50 GE

Der gesamte periodische Deckungsbeitrag für die zusätzlichen 20.000 Tonnen Zellstoff beträgt somit bei der Alternative II: 113,50 * 20.000 = 2.270.000 GE Dieser gesamte Deckungsbeitrag stellt den zusätzlichen Gewinn pro Jahr ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung fur die Maschine zum Filtern des Zellstoffes dar.

355

Steuern im Investitionskalkül

Berücksichtigt man nun die proportionale Gewinnsteuer von 60 %, so resultiert daraus der folgende jährliche Einzahlungsüberschuß nach Steuern: zusätzlicher Gewinn pro Jahr -

2.270.000 GE

jährliche Abschreibung (2.560.000 : 8)

320.000 GE

= Gewinn vor Steuern

1.950.000 GE

-

1.170.000 GE

Steuern (60%)

= Gewinn nach Steuern

780.000 GE

+ jährliche Abschreibungen

320.000 GE 1.100.000 GE

= Einzahlungsüberschuß pro Jahr

Bei dieser Kalkulation wurde die Anschaffungsauszahlung auf die insgesamt mögliche Nutzungsdauer von acht Jahre abgeschrieben. Da die Filteranlage am Ende der Periode fünf noch drei Jahre nutzbar ist und einen Restbuchwert von 3 * 320.000 = 960.000 GE aufweist, ergibt sich für den Fall eines Restverkaufserlöses von Null die Möglichkeit, im letzten Jahr der Nutzung gegenüber dem Finanzamt eine Sonderabschreibung geltend zu machen. Diese Sonderabschreibung fuhrt zu zahlungswirksamen Einsparungen bezüglich der Steuerlast in Höhe von: 960.000 * 0,60 = 576.000 GE Es ergeben sich somit die folgenden Zahlungsreihen (nach Steuern) der Alternativen: Zeitpunkt

Alternative I

Alternative II

to

- 4.000.000

- 2.560.000

tl

1.600.000

1.100.000

t2

1.600.000

1.100.000

t3

1.600.000

1.100.000

L,

1.600.000

1.100.000

ts

1.600.000

1.100.000 576.000

356

Steuern im Investitionskalkül

b) Ermitteln Sie für beide Alternativen den Kapitalwert nach Steuern, wenn der Kalkulationszinssatz vor Steuern mit i = 0,10 anzusetzen ist! Soll das Zusatzgeschäft abgeschlossen werden? Welche Transportalternative ist ggf. nach dem KapitalwertKriterium vorzuziehen? Da Zinserträge aus der im Kalkulationszinssatz enthaltenen Komplementärinvestition zu versteuern sind und Zinsen für aufgenommene Kredite die zahlungswirksame Steuerlast mindern, reduziert sich der entsprechende effektive Ertrag oder die entsprechende effektive Belastung um s * i. Für den Kalkulationszinssatz nach Steuern is gilt demnach: is = i - s * i = i * (1 - s) Bei i = 0,10 und s = 0,60 folgt daraus: is = 0,10* (1 - 0 , 6 0 ) = 0,04 Bei den gegebenen Daten ist nunmehr die Kapitalwert-Formel für den Fall der Rente anwendbar: Cs0 = - Ao + d * ,(1 + 1 , ) ° + R„ * (1 + is)-n i s * ( l + is) Für Alternative I bedeutet das: Co1 = - 4.000.000 + 1.600.000 * BWF (n = 5; is = 0,04) q , 1 = - 4 . 0 0 0 . 0 0 0 + 1.600.000 * 4,4518 C· 1 = 3.122.880 > 0 Für Alternative II bedeutet das: CQ11 =-2.560.000 + 1.100.000 * BWF (n = 5; is = 0,04) + 576.000 * (1,04)'5 Cs0" = - 2.560.000 + 1.100.000 * 4,4518 + 576.000 * 0,8219 C s " =2.810.394,40 > 0

Steuern im Investitionskalkül

357

Beide Alternativen erwirtschaften positive Kapitalwerte nach Steuern. Da der Kapitalwert der Alternative I höher ist als der der Alternative II, sollte das Zusatzgeschäft durchgeführt und der Zellstoff getrocknet und in Ballen transportiert werden. c) Berechnen Sie für beide Alternativen die Kapitalwertrate, den internen Zinsfuß und den Baldwin-Zins (die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite entspricht dem Kalkulationszinssatz)! Nehmen Sie zu den Ergebnissen Stellung! Die

Kapitalwertrate

Ausgehend von den im Aufgabenteil a) festgestellten Zahlungsreihen und den im Aufgabenteil b) errechneten Kapitalwerten nach Steuern ergeben sich die folgenden Kapitalwertraten der Investitionsalternativen. Kapitalwertrate der Alternative I: Aus der allgemeinen Formel für die Kapitalwertrate (vgl. dazu Aufgabe 6.36)

-BA ergibt sich bei den gegebenen Daten: k

, . a .3- l a w A0 4.000.000

s

Der Kapitalwert ist auch hier nach Steuern berechnet und der Barwert der Investitionsauszahlungen entspricht der Anschaffungsauszahlung. Kapitalwertrate der Alternative II: Aus der allgemeinen Formel für die Kapitalwertrate

-BA ergibt sich bei den gegebenen Daten:

358

k

„

Steuern im Investitionskalkül

=

0^2.810.394,40 A0

2.560.000

Der Kapitalwert ist hier nach Steuern berechnet und der Barwert der Investitionsauszahlungen entspricht der Anschaffungsauszahlung. Auf der Grundlage des Kriteriums der Kapitalwertrate ist die Alternative II (Filtern des Zellstoffes und Transport in Kübelwagen) zu realisieren, da die über die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals zum Kalkulationszinssatz i hinausgehende Rendite bezogen auf die gesamte Anschaffungsauszahlung bei dieser Alternative höher ist: k11 > k1 > 0 Der interne Zinsfuß Die internen Zinsfuße lassen sich nur approximativ bestimmen. Bestimmt man die Kapitalwerte der Alternative I für i s = 0,25 und i s = 0,30, so erhält man: C s 0 ' = + 302.880

is = 0,25 is = 0,30

-»

C; 1 = - 103.200

Der interne Zinsfuß ist durch lineare Interpolation zu ermitteln. Für den internen Zinsfuß r1 der Alternative I ergibt sich die folgende Näherungslösung: r 1 = 25 +

3

°2·880 *5 = 28,73 % 302.880 + 103.200

Die Kapitalwerte der Alternative II sind fur i s = 0,30 und is = 0,40: is - 0,30

->

C ; n = + 270.547,60 Cs0" = - 2 1 6 . 8 2 1 , 2 5

is = 0,40

Für den internen Zinsfuß r" der Alternative II ergibt sich daraus die folgende Näherungslösung: rn =

30 +

27

°·547'60 , 1 0 = 35,55 % 270.547,60+216.821,25

Steuern im Investitionskalkül

359

Nach dem Kriterium des internen Zinsfußes ist ebenfalls die Alternative II zu realisieren: r" > r1 > is Der Baldwin-Zins Für die Ermittlung des Baldwin-Zinses muß der Wert der Einzahlungsüberschüsse am Ende des Planungshorizontes bestimmt werden. Sämtliche Einzahlungsüberschüsse sind mit dem Kalkulationszinssatz nach Berücksichtigung von Steuern is auf den Zeitpunkt t„ aufzuzinsen. Zur Ermittlung des Baldwin-Zinses der Alternative I ist wie folgt vorzugehen: Da die Einzahlungsüberschüsse als Rente vorliegen, kann der Endwert dieser Rente mit dem Endwert-Faktor bestimmt werden:

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: EE1 = 1.600.000 1.600.000** ( 1 , 0 4 ) 0,04 EE1 = 1.600.000* 5,4163 EE1 = 8.666.080 Dieser Betrag wird nun zur Berechnung des Baldwin-Zinses verwendet. Die allgemeine Formel zur Bestimmung des Baldwin-Zinses lautet (vgl. dazu Aufgabe 6.33):

Da der Barwert der Investitionsauszahlungen hier der Anschaffungsauszahlung entspricht, gilt:

Bei den gegebenen Daten bedeutet das für die Alternative I:

360

Steuern im Investitionskalküi

8.666.080 - 1 = 16,72 4.000.000

%

Für den Baldwin-Zins der Alternative II gilt: Da die Einzahlungsüberschüsse im wesentlichen als Rente vorliegen, kann der Endwert dieser Rente mit dem Endwert-Faktor bestimmt werden. Die zahlungswirksame Steuerersparnis aus der Sonderabschreibung im letzten Jahr der Nutzungsdauer wird explizit berücksichtigt und mit Rs bezeichnet:

Bei den gegebenen Daten folgt daraus: EE" = 1.100.000*

(1,04) 5 -1 + 576.000 0,04

EE" = 1.100.000 * EWF (n = 5; is = 0,04) + 576.000 EE" = 1.100.000 * 5,4163 +576.000 EE" = 6.533.930 Dieser Betrag wird nun zur Berechnung des Baldwin-Zinses verwendet. Die allgemeine Formel zur Bestimmung des Baldwin-Zinses lautet:

Da der Barwert der Investitionsauszahlungen hier ebenfalls der Anschaffungsauszahlung entspricht, gilt:

Bei den gegebenen Daten bedeutet das für die Alternative II:

Der Baldwin-Zins hätte alternativ auch gemäß der Formel

Steuern im Investitionskalkül

361

r = r + k"*(l + r) errechnet werden können (vgl. dazu Aufgabe 6.42). Dabei gilt für die durchschnittlich erwartete Unternehmensrendite nach Steuern, daß sie dem Kalkulationszinssatz nach Steuern entspricht: r = i,. Die jährliche Kapitalwertrate k*, die notwendig ist, um den alternativen Rechenweg anwenden zu können, errechnet sich wie folgt (vgl. dazu Aufgabe 6.39): k*=VTTk - 1 Die Kapitalwertrate k wurde oben bereits für beide Investitionsalternativen berechnet. Die jährlichen Kapitalwertraten der beiden Investitionsalternativen lauten somit: k*1 = ψ + 0,7807 - 1 = 12,23 % k*11 = \Jl + l,0978 - 1 = 15,97 % Für den Baldwin-Zins folgt nunmehr: f =0,04 +0,1223 »(1+0,04) =16,72 % f" =0,04+0,1597 * (1 + 0,04) =20,61 % Die Ergebnisse entsprechen denen der ersten Rechenmethode. Wird der Baldwin-Zins als Kriterium zur Vorteilhaftigkeitsbestimmung herangezogen, so sollte die Alternative II realisiert werden: r" > r ' Es zeigt sich, daß eine Entscheidung auf der Grundlage der KapitalwertMethode zur Realisierung der Alternative I fuhrt, während bei den drei anderen hier verwendeten Beurteilungsmaßstäben die Alternative II vorteilhafter ist. Die Auswahl der Investitionsalternativen hat nach der absoluten Höhe des Erfolges zu erfolgen. Es ist dann diejenige Investition zu wählen, die den höchsten Kapitalwert erzielt. Das Kriterium des maximalen Kapitalwertes hat jedoch einen Nachteil, da es den notwendigen Kapitaleinsatz vernachlässigt. Dieser müßte berücksichtigt werden, wenn die Finanzierung nicht gesichert ist.

362

Steuern im Investitionskalkül

Bei Finanzierungsengpässen ist der Erfolg auf den knappen Faktor, das heißt auf das eingesetzte Kapital, zu beziehen. Man greift dann also auf Renditemaße zurück. Von den drei Renditemaßen (interner Zinsfuß, Kapitalwertrate, BaldwinZins) besitzt der Baldwin-Zins zwei Vorteile: 1. Der Baldwin-Zins ist einfacher zu interpretieren, denn er mißt die durchschnittliche jährliche Rendite auf das insgesamt investierte Kapital. Kapitalwertrate und interner Zinsfuß beruhen auf Annahmen, die weitere Informationen erfordern. 2. Zudem wird mit der Steuerung durch den Baldwin-Zins der maximale Erfolg angestrebt. Dazu ist erforderlich, daß die nach der Höhe des Baldwin-Zinses geordneten Investitionsprojekte realisiert werden.

Steuern im Investitionskalkül

363

Zusammenfassung zum 8. Kapitel

Mit dem achten Kapitel sind Auswirkungen der Besteuerung auf die Vorteilhafligkeit von Investitionen dargestellt worden. Aufgrund der Komplexität des Steuerrechts mußte die Darstellung im Rahmen dieser Einführung in die Investitionsrechnung auf ausgewählte Aspekte beschränkt bleiben. Die Bearbeitung der Aufgaben sollte aber die grundsätzlichen Wirkungen einer Besteuerung sowie das prinzipielle Vorgehen bei der Berücksichtigung steuerlicher Effekte im Investitionskalkül vermitteln. Aus dem Kapitel kann die folgende Zusammenfassung abgeleitet werden: 1. Steuern wirken grundsätzlich nicht neutral hinsichtlich der Bewertung von Investitionsobjekten. Investitionen, die ohne Berücksichtigung der Besteuerung vorteilhaft (nicht vorteilhaft) sind, können durch eine Besteuerung unattraktiv (attraktiv) werden. Darüber hinaus kann sich die Rangfolge alternativer Investitionsobjekte vor Steuern von der nach Steuern unterscheiden. 2. Im Rahmen der Investitionsrechnung können gewinnunabhängige Steuern und gewinnabhängige Steuern unterschieden werden. Steuern, die nicht von der Höhe periodischer Erfolge determiniert sind, können als Auszahlungen im periodischen Einzahlungsüberschuß Berücksichtigung finden. Eine Änderung der bisher bekannten Kapitalwert-Formel ist dazu nicht notwendig. Bei einer gewinnabhängigen Steuerlast sind steuerliche Effekte insbesondere von den zu berücksichtigenden Abschreibungen determiniert. Abschreibungen wirken unter Berücksichtigung von Steuern auf die Einzahlungsüberschüsse. Diese sind daher um die steuerliche Wirkung der Abschreibungen zu korrigieren. Ebenso erfolgt eine Besteuerung auf einen Veräußerungsgewinn. In der Folge fungiert nicht der originäre Einzahlungsüberschuß bzw. der Restverkaufserlös einer Periode als Bemessungsgrundlage zur Bestimmung der Steuerlast, sondern ein um die Abschreibung bzw. um den Restbuchwert berichtigter Betrag. Die errechnete Steuerlast ist vom Einzahlungsüberschuß bzw. Restverkaufserlös zu subtrahieren, unter bestimmten Bedingungen kann die

364

Steuern im Investitionskalkül

Steuerlast ein negatives Vorzeichen tragen, die Steuerlast wirkt dann additiv auf den originären Betrag. Neben den Einzahlungsüberschüssen und dem Restverkaufserlös einer Investition ist der Kalkulationszinssatz durch die Besteuerung beeinflußt. Die Notwendigkeit, den Kalkulationszinssatz steuerlich zu korrigieren, besteht sowohl bei einer Finanzierung der Investition mit Fremdkapital als auch bei einer Finanzierung mit Eigenkapital. Im Rahmen einer Finanzierung mit Fremdkapital wirken Soll-Zinsen steuermindernd, die effektiv zu zahlenden Finanzierungskosten sind also nach Steuern geringer als ohne Steuern; vorausgesetzt, die angesetzten Zinsen können mit Erträgen der Investition verrechnet werden. Steht dem Investor Eigenkapital zur Verfugung, so muß er den Kalkulationszinssatz aus einer alternativen Verwendung der finanziellen Mittel ableiten. Die Erfolge aus der alternativen Anlage sind zu versteuern, wodurch der tatsächliche Erfolg der Alternative nach Steuern geringer ist als ohne Berücksichtigung von Steuern. Sowohl bei einer Finanzierung mit Fremdkapital als auch bei einer Finanzierung mit Eigenkapital wird der Kalkulationszinssatz vor Steuern um den als Prozentsatz ausgedrückten Steuersatz reduziert. Gilt beispielsweise ein Steuersatz von s = 60 %, so wird der Kalkulationszinssatz vor Steuern (i) um 60 % vermindert, um den Kalkulationszinssatz nach Steuern (is) zu erhalten. (Bei einem Kalkulationszinssatz vor Steuern in Höhe von i = 10 % ergibt sich fur die Beispielrechnung ein Kalkulationszinssatz nach Steuern in Höhe von is = 4% [is = (1-s) * i].) Bei einer Finanzierung mit Fremdkapital wirken in dem genannten Fall 60 % der Soll-Zinsen mindernd auf die zu zahlende Steuerlast; bei einer Finanzierung mit Eigenkapital sind die alternativ zu erwirtschaftenden Erträge nach Steuern um 60 % geringer als die vor Steuern. Die konzeptionelle Berücksichtigung von Steuern im Kalkulationszinssatz kann also unabhängig gemacht werden von der Art der Finanzierung. 3. Aus den komplexen Regelungen des Steuerrechts gehen verschiedene Spezialfälle steuerlicher Effekte bei der Bewertung von Investitionen hervor. Einer davon ist das sogenannte Steuerparadoxon, bei dem eine Investition ohne Berücksichtigung von Steuern nicht vorteilhaft ist,

Steuern im Investitionskalkül

365

nach Steuern aber positiv bewertet wird. Das Steuerparadoxon entsteht, wenn der Barwert aller Steuerminderungen größer ist als die Differenz aus Ertragswert vor Steuern und Ertragswert nach Steuern und der Investor davon ausgehen kann, daß der entstehende Überhang durch Gewinne in anderen Unternehmensbereichen auszugleichen ist. Beim sofortigen Verlustausgleich wird der originäre Einzahlungsüberschuß der Investition um einen Betrag in Höhe der überschüssigen Abschreibung erhöht; die überschüssige Abschreibung reduziert die Steuerlast in anderen Unternehmensbereichen, die zahlungswirksamen Einsparungen werden dem Investitionsobjekt zugerechnet. Eine weitere Besonderheit ist die Berücksichtigung einer Änderung des Steuersatzes im Laufe der Nutzungsdauer einer Investition. Eine Änderung des Steuersatzes bewirkt nicht nur eine Änderung der relevanten Zahlung nach Steuern, sondern auch eine Änderung des Kalkulationszinssatzes. Aus dieser Änderung des Kalkulationszinssatzes resultiert die Frage, wie Zahlungen, die nach der Periode, in der die Änderung des Steuersatzes stattgefunden hat, auf den Betrachtungszeitpunkt abzuzinsen sind. Die Untersuchung dieser Frage hat zu dem Ergebnis geführt, daß Zahlungen grundsätzlich mit dem Kalkulationszinssatz abzuzinsen sind, der der entsprechenden Periode zugeordnet ist. 4. Nach der Steuerreform 2000 hat das ausschüttende Unternehmen ab dem 1.01.2001 auf Dividenden und Gewinnanteile aus Aktien, Genußrechten, GmbH- und Genossenschaftsanteilen (die dem Geschäftsjahr 2001 zuzurechnen sind) nur noch 25 % statt bisher 30 % KSt zu entrichten. Diese Steuer konnte sich der Aktionär bzw. Gesellschafter bisher als Körperschaftsteuergutschrift auf seine persönliche Steuerschuld anrechnen lassen. Ab dem 1.01.2001 gilt anstelle dieses Anrechnungsverfahrens das sogenannte Halbeinkünfteverfahren, d. h. die Dividende ist zur Hälfte steuerpflichtig (§ 3 Nr. 40 EStG).

366

Steuern im Investitionskalkül

Literaturempfehlungen zum 8. Kapitel

Adam, D., Investitionscontrolling, 3. Aufl., München u.a. 2000, S. 162 185. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 175 - 197. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 65 - 72. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 152 -161. Grob, H.L., Einführung in die Investitionsrechnung, 3. Auflage, München 1999, S. 270-299. Mellwig, W., Investition und Besteuerung, Wiesbaden 1985. Schneider, D., Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7. Aufl., Wiesbaden 1992. Wagner, F. W./Dirrigl, H., Die Steuerplanung der Unternehmung, Stuttgart, New York, 1980.

Anschaffungsauszahlung, Nutzungsdauer, Ersatzzeitpunkt

367

Kapitel 9

OPTIMALE ANSCHAFFUNGSAUSZAHLUNG, OPTIMALE NUTZUNGSDAUER UND OPTIMALER ERSATZZEITPUNKT

Das neunte Kapitel geht nicht mehr der Frage nach, ob eine bestimmte Investition vorteilhaft ist, sondern der, wie eine Investition zu gestalten ist, damit sie bestimmten Optimalitätskriterien genügt. Voraussetzung einer solchen Betrachtung ist die Annahme bestimmter Gestaltungsoptionen, die optimierend wirken. Im Rahmen der folgenden Aufgaben werden drei Möglichkeiten einer entsprechenden Analyse dargestellt: 1. Die Berechnung der optimalen Anschaflüngsauszahlung einer Investition auf der Basis einer Maximierung des Kapitalwertes sowie einer Maximierung des internen Zinsfußes. Dabei besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen der Anschaffungsauszahlung und dem periodischen Einzahlungsüberschuß bzw. der periodischen Einzahlung. 2. Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer einer Investition, die noch nicht realisiert ist. Bei der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer ist der Kapitalwert der zugrunde liegenden Investition maximal. In diesem Zusammenhang werden im wesentlichen die Fragen zu beantworten sein, was die (weitere) Nutzung der Anlage erwirtschaftet und was diese Nutzung kostet bzw. welcher Vorteil mit der Einstellung der Nutzung verbunden ist. 3. Auf der Basis der Überlegungen zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer erfolgt schließlich eine Darstellung der Kalkulation zur Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunktes einer Investition, die bereits betrieblich genutzt wird. Wann eine betrieblich bereits eingesetzte Anlage zu ersetzen ist, wird insbesondere von den Leistungen der Ersatzanlage determiniert.

368

Α.

Die optimale Investitionsauszahlung

Die optimale Investitionsauszahlung

Aufgabe 9.1 Sie wollen Anlagen kaufen und haben zu entscheiden, wie hoch ihre optimale Anschaffungsauszahlung sein soll. Der Einzahlungsüberschuß, der hier als Einzahlung e gekennzeichnet wird, da keine laufenden Auszahlungen anfallen, ist in jeder Periode abhängig von der gewählten Anschaffungsauszahlung: e = - A 0 2 + 6 * A 0 - 2,56 Der Kalkulationszinssatz ist i = 0,10. Die Einzahlungsüberschüsse bzw. Einzahlungen sind als ewige Rente anzusehen. Bestimmen Sie die optimale Anschaffungsauszahlung A 0 bei a) Maximierung des Kapitalwertes! b) Maximierung des internen Zinsfußes! 1. Die optimale Anschaffungsauszahlung wertes

bei Maximierung des Kapital-

Die Einzahlungsüberschüsse bzw. Einzahlungen sind abhängig von der Anschaffungsauszahlung: e = e (A0) Für den Kapitalwert einer ewigen Rente bedeutet das: C

- ^ 1 - A 1

Dieser Kapitalwert ist in Abhängigkeit von der Anschaffungsauszahlung zu maximieren. Das geschieht, indem die erste Ableitung der Formel nach Ao bestimmt und gleich Null gesetzt wird: dC n ^ =0 dA 0 Aus dieser Bestimmungsgleichung folgt konkret:

369

Die optimale Investitionsauszahlung de dC 0 _ dA 0 dA 0

- 1 = 0

Eine Umformung ergibt: de dA 0 Der Ausdruck

de

repräsentiert den sog. auszahlungsmarginalen

inter-

dA 0 nen Zinsfuß r' der Sachinvestition. Im Optimum ist diese Grenzrate des internen Zinsfiißes der Sachinvestition identisch mit dem Kalkulationszinssatz i: r' = i Unter Verwendung der in der Aufgabenstellung gegebenen konkreten Definition e = - Ao2 + 6 * Ao - 2,56 folgt: de · = -2* A n +6 dA 0 Der Ausdruck [ - 2 * Ao + 6] ist dabei der oben allgemein definierte auszahlungsmarginale interne Zinsfuß der Investition. Vor dem Hintergrund des allgemeinen Optimalitätskriteriums r' = i folgt -2* A0 + 6 = 0,10 Daraus resultiert eine optimale Anschaffungsauszahlung in Höhe von: A0C·" = 2,95 Die folgende Graphik verdeutlicht das bisher ermittelte Ergebnis:

370

Die optimale Investitionsauszahlung r, ι

Αο Λ A

c

ο "·

Abb. 9.1: Die optimale Anschaffungsauszahlung

bei einer Maximierung des Kapitalwertes

2. Die optimale Anschaffungsauszahlung bei Maximierung des internen Zinsfußes Ausgangspunkt ist die allgemeine Bestimmungsgleichung zur Berechnung des internen Zinsfußes. Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Einzahlungsüberschüsse bzw. Einzahlungen von der Anschaffungsauszahlung abhängig sind: C0 = o = - A

0

+^^

Die Auflösung der Gleichung nach r ergibt: r_e(Ao)

A„ Zur Maximierung wird die erste Ableitung nach Ao gleich Null gesetzt: dr dA 0

d A„ A0

Daraus ergibt sich:

=0

Die optimale Investitionsauszahlung

371

de(A 0 ) _ e(A 0 ) dA0 A0 Dabei stellt der Ausdruck druck

de A

( o) eine Grenzgröße dar, während der AusdA0

eine Durchschnittsgröße ist. A0

Eine Interpretation der Bestimmungsgleichung ergibt: r' = r Der auszahlungsmarginale interne Zinsfuß r' muß im Optimum identisch sein mit dem internen Zinsfuß r der Investition. Die Optimalitätsbedingung läßt sich graphisch wie folgt verdeutlichen:

Abb. 9.2: Die optimale Anschaffungsauszahlung bei einer Maximierung des internen Zinsfußes

Die Bestimmung der optimalen Anschaf!Ungsauszahlung bei einer Maximierung des internen Zinsfußes erfolgt nun anhand der konkreten Aufgabenstellung. Für dA 0

372

Die optimale Investitionsauszahlung

folgt bei den gegebenen Daten: r' = - 2 * A < , + 6 Unter Verwendung der allgemeinen Bestimmungsgleichung fur r folgt nun: r

_e(A°)

=

-A,2+6A„-2,56

Daraus ergibt sich für r:

Die zur Bestimmung des Optimums notwendigen Ausdrücke für r und r' sind nun bekannt und können anhand der entwickelten Bestimmungsgleichung r'= r eingesetzt werden: _ . , . , -2*A0 + 6 = -A0 +6

2,56 A

o

Ein Auflösen der Gleichung nach Ao ergibt die folgende optimale Anschaffungsauszahlung bei Maximierung des internen Zinsfußes: A / * = 1,6 Entsprechend der Aussage der Abbildung 9.2 ist die optimale Anschaffüngsauszahlung bei einer Maximierung des internen Zinsfußes geringer als die optimale Anschaflüngsauszahlung bei einer Maximierung des Kapitalwertes. Aufgabe 9.2 Vergleichen Sie die Ergebnisse bei Maximierung des Kapitalwertes mit denen bei Maximierung des internen Zinsfußes! Bei der Kapitalwert-Methode wird der Kapitalwert maximiert. Das Maximum ist erreicht, wenn die zuletzt investierte GE eine Verzinsung in Höhe des Kalkulationszinssatzes erbringt, wenn also der auszahlungsmarginale interne Zinsfuß dem Kalkulationszinssatz entspricht:

Die optimale Investitionsauszahlung

373

r' = i Bei der Methode des internen Zinsfußes ist der Kalkulationszinssatz grundsätzlich von nachrangiger Bedeutung. Das Optimierungskriterium verlangt nach einer Maximierung des internen Zinsfußes. Dies ist erreicht, wenn der auszahlungsmarginale interne Zinsfuß dem (als Durchschnittswert gegebenen) internen Zinsfuß entspricht: r' = r Es handelt sich um den aus der Marginalanalyse bekannten Schnittpunkt einer Durchschnittskurve mit einer Grenzkurve. Bei der Maximierung des internen Zinsfußes wird solange investiert, wie jede zusätzliche GE mehr erbringt als die bereits eingesetzten GE. Nun kann aber die Möglichkeit bestehen, daß die über diesen Betrag hinausgehenden Geldeinheiten ebenfalls noch einen Gewinn erbringen. Dies ist solange der Fall, wie die Grenzrate des internen Zinsfußes größer ist als der Kalkulationszinssatz (vgl. dazu Abbildung 9.2, Aufgabe 9.1). Unter diesen Voraussetzungen sollte solange investiert werden, bis die Bedingung gilt: r- i Dies ist das Kriterium zur Maximierung des Kapitalwertes. Aufgabe 9.3 Ein Unternehmer will eine Anlage kaufen und hat zu entscheiden, wie hoch die optimale Anschaffungsauszahlung A 0 sein soll. Er weiß, daß die periodischen Einzahlungsüberschüsse bzw. Einzahlungen abhängig sind von der Höhe dieser Anschaflungsauszahlung. Der Kalkulationszinssatz auf dem unterstellten vollkommenen Kapitalmarkt sei i. a) Wie lauten die Kriterien für die optimale Anschaffungsauszahlung bei Maximierung des Kapitalwertes und bei Maximierung des internen Zinsfußes? Die Kriterien zur Bestimmung der optimalen Anschafifungsauszahlung lauten:

374

Die optimale Investitionsauszahlung

r' = i

Kriterium zur Maximierung des Kapitalwertes

r' = r

Kriterium zur Maximierung des internen Zinsfußes

Dabei ist: i=

Kalkulationszinssatz

r = interner Zinsfuß r'= auszahlungsmarginaler interner Zinsfuß b) Unter welcher Bedingung ergibt sich bei beiden Kriterien die gleiche optimale Anschaffungsauszahlung? Die Kriterien fuhren zum gleichen Ergebnis, wenn: r m a x =i

oder

r = r' = i

Der maximal erreichbare interne Zinsfuß rmax muß so groß sein wie der Kalkulationszinssatz i. Es sind dann Α0Γ·" und A0C*" identisch. Bei der graphischen Ermittlung dieses Optimums ergibt sich für einen linearen Verlauf der Grenzrendite r' die folgende Darstellung: r \ r, i

• Ao A

= Λ

Abb. 9.3: Optimale Anschaffungsauszahlung

bei r' = r = i

Die optimale Nutzungsdauer

375

Β. Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer von Investitionen

Aufgabe 9.4 Worauf ist es zurückzuführen, daß eine Anlage zeitlich begrenzt einsatzfähig ist? Die Nutzungsdauer einer Anlage ist deijenige Zeitraum, in dem eine Anlage im Produktionsprozeß eingesetzt wird. Eine zeitliche Begrenzung des Anlageneinsatzes ergibt sich aus folgenden Gründen: 1 Verschleißursachen 1.1 Ruhender Verschleiß Dieser umfaßt beispielsweise das Verwittern und Verrosten der Anlage. Ruhender Verschleiß tritt ein, wenn die Anlage nicht im Produktionsprozeß eingesetzt wird. 1.2 Abnutzungsbedingter Verschleiß (Gebrauchsverschleiß) Dieser umfaßt die mechanische Abnutzung durch Beschäftigung der Anlage. 2 Technischer Fortschritt Infolge des technischen Fortschritts treten bessere Ersatzanlagen auf. Dies bewirkt einen vorzeitigen Ersatz der alten Anlage. 3 Wirtschaftliche Überholung Unter wirtschaftlicher Überholung versteht man ein ganzes Bündel von Einflußfaktoren, insbesondere den Einfluß von Bedarfswandlungen (Änderung der Absatzlage). Auch gehören hierzu Lohnerhöhungen; diese können dazu fuhren, daß kapitalintensivere Investitionen vorteilhafter werden gegenüber der bisherigen arbeitsintensiven Anlage. Diese drei Gründe werden auch als Abschreibungsursachen bezeichnet.

376

Die optimale Nutzungsdauer

Aufgabe 9.5 Die technische Nutzungsdauer ist in aller Regel größer als die wirtschaftliche Nutzungsdauer. Ist es sinnvoll, für Optimierungsüberlegungen von einer technischen Nutzungsdauer auszugehen? Die technische Nutzungsdauer eines Investitionsobjektes ist deijenige Zeitraum, während dessen das Investitionsobjekt in der Lage ist, technische Nutzleistungen abzugeben. Die technische Nutzungsdauer ist erst beendet, wenn das Investitionsobjekt nicht mehr gebrauchsfähig ist. Als Ursachen fur die Abnahme der Gebrauchsfahigkeit kommen der ruhende Verschleiß und der abnutzungsbedingte Verschleiß in Frage. Das Abstellen allein auf den Verschleiß bedeutet jedoch, daß die Nutzungsdauer bereits beendet ist, wenn bei einer großen und teuren Anlage beispielsweise eine Sicherung im Wert von 0,20 GE ausfallt. Würde man jedoch durch ständige Wartung und Instandhaltung die technische Nutzungsdauer verlängern, so kann die Anlage praktisch eine unendliche Nutzungsdauer erreichen. Eine ständige Durchführung von Reparaturen ist jedoch ökonomisch nur in den seltensten Fällen sinnvoll. Es ist also stets zu fragen: Wie lange ist es ökonomisch empfehlenswert, bei einer Anlage Reparaturen vorzunehmen? Unter einer technischen Nutzungsdauer ist dann eine verschleißbedingte Nutzungsdauer zu verstehen, die wirtschaftlich sinnvoll ist. Darüber hinaus müßte bei der Bestimmung der wirtschaftlichen Nutzungsdauer der technische Fortschritt und die wirtschaftliche Überholung berücksichtigt werden. Dazu ist es erforderlich, die Abschreibungsursachen in den Zahlungsströmen zu erfassen. Die Literatur nennt neben den zwei Verschleißursachen noch eine dritte Art von Verschleiß, den sogenannten Katastrophenverschleiß. Jedoch wird dem Katastrophenverschleiß durch den Ansatz von Anlagewagnissen bzw. durch die Berücksichtigung von Versicherungsprämien Rechnung getragen. Der Katastrophenverschleiß stellt dann keine Abschreibungsursache dar, die bei der Ermittlung der wirtschaftlichen Nutzungsdauer zu berücksichtigen wäre.

Die optimale Nutzungsdauer

377

Aufgabe 9.6 Bestimmen Sie die wirtschaftliche Nutzungsdauer einer Anlage bei einmaliger Investition! Die zu betrachtende einmalige Investition sei gekennzeichnet durch eine Anschaffungsauszahlung Ao, durch Überschüsse in den einzelnen Perioden dt sowie durch einen Restverkaufserlös R«, der abhängig vom Veräußerungszeitpunkt ist. Der Kapitalwert beträgt: η Co = - Ao + X dt * (1 + i) 1 +

* (1 + i) n

t=l

Der Kapitalwert steigt solange, wie die Weiternutzung einen höheren Periodenerfolg erbringt als die Nichtnutzung. Bei einer einmaligen Investition fuhrt das zum Abwägen zwischen den Fragen: a) Was bringt die Nutzung? und b) Was kostet die Nutzung bzw. was bringt die Einstellung der Nutzung? Die weitere Nutzung der Investition fuhrt zu einem Einzahlungsüberschuß der Periode, sofern ein solcher entsteht. Um die Frage nach den Kosten der Nutzung zu beantworten, sei zunächst gefragt, aus welcher Größe der Kapitalwertgleichung sich überhaupt Kosten der Weiternutzung ergeben können: Kosten der Weiternutzung resultieren ausschließlich aus dem Restverkaufserlös. Existiert kein Restverkaufserlös oder wird er vernachlässigt bzw. nicht angesetzt, so lohnt sich eine Nutzung so lange, bis aufgrund der Veralterung der Anlage kein Einzahlungsüberschuß mehr erzielt wird. Wenn ein Restverkaufserlös in die Betrachtung einbezogen wird, ist zu fragen, welchen Vorteil die Einstellung der Nutzung bringt. Der Periode nach der Einstellung der Nutzung können die folgenden Überschußgrößen zugerechnet werden: a) die Zinsen auf den Restverkaufserlös der Vorperiode

378

Die optimale Nutzungsdauer

b) die Restverkaufserlösabnahme Im Ergebnis heißt das: Die wirtschaftliche Nutzung einer einmaligen Investition lohnt sich nicht mehr, wenn der Einzahlungsüberschuß nicht mehr die Abnahme des Restverkaufserlöses in dieser Periode zuzüglich der in dieser Periode erzielbaren Zinsen auf den Restverkaufserlös der Vorperiode deckt: dn < i * Ka + [Rn-1 - Rn] Die wirtschaftliche Nutzungsdauer ist demzufolge erreicht, wenn gilt: dn = i * Rn.i + [R„-, - Rn] Aufgabe 9.7 Eine Anlage wird zum Preis von A 0 = 300.000 GE erworben. Folgende Einzahlungen und Auszahlungen sowie Restverkaufserlöse werden von der Unternehmung erwartet: Zeitpunkt

ti

t2

t3

U

t5

t6

Einzahlungen in GE

69.000

80.000

100.000

100.000

100.000

100.000

Auszahlungen in GE

10.000

20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

280.000 250.000

200.000

150.000

100.000

10.000

Restverkaufserlöse in GE

Das Unternehmen rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10. a) Formulieren Sie das Kriterium der optimalen Nutzungsdauer für den Fall diskontinuierlicher Zahlungsreihen! Das Kriterium zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer für den Fall diskontinuierlicher Zahlungsreihen lautet: dn = i * Rn., + [Rn., - R„] b) Ermitteln Sie die optimale Nutzungsdauer der Anlage!

Die optimale Nutzungsdauer

379

Die Berechnung wird anhand der folgenden Tabelle vollzogen: Spalte

(1)

(2)

Zeitpunkt

Rn

•*Rn-l

(3)

Rn-1 " Rn

(4)

(5)

(2) + (3)

d„

-

-

to

300.000

t|

280.000

30.000

20.000

50.000

< 59.000

t2

250.000

28.000

30.000

58.000

< 60.000

tj

200.000

25.000

50.000

75.000

< 80.000

t.

150.000

20.000

50.000

70.000

< 80.000

ts

100.000

15.000

50.000

65.000

< 80.000

t6

10.000

10.000

90.000

100.000

> 80.000

-

-

Die optimale Nutzungsdauer der Anlage liegt zwischen dem 5. und dem 6. Jahr der Nutzung. Unter der Prämisse, daß die Zahlungen am Ende einer Periode anfallen, beträgt die optimale Nutzungsdauer der Anlage 5 Jahre. Aufgabe 9.8 Leiten sie das Kriterium zur Bestimmung der wirtschaftlichen Nutzungsdauer einer einmaligen Investition fur den Fall ab, daß an die Stelle der einmaligen Zinserfassung pro Jahr eine unendlich oft erfolgende, unterjährige und stetige Verzinsung tritt! Die unteijährige stetige Verzinsung wird als Momentanverzinsung bezeichnet. An die Stelle des Kalkulationszinssatzes i tritt dann die Verzinsungsernergie ρ (Zur Ableitung vgl. Anhang 1, Punkt 7). In diesem Fall gilt für den zu maximierenden Kapitalwert einer einmaligen Investition das folgende Optimalitätskriterium: η C 0 = - A 0 + Jd(t)*e" pt dt + R(n)*e" pn =>max.! ο

380

Die optimale Nutzungsdauer

Dabei steht e für die Euler sehe Zahl. Es ist η so zu wählen, daß Co ein Maximum erreicht. Die Kapitalwertfunktion wird dazu nach η differenziert und diese erste Ableitung gleich Null gesetzt. Aus der daraus folgenden Bestimmungsgleichung läßt sich die optimale Nutzungsdauer ermitteln. Beim Differenzieren ist folgendes zu beachten: 1. Die Ableitung eines Integrals ergibt den Ausdruck unter dem Integral, wenn die Untergrenze des Integrals Null ist. 2. R(n)*e"p n wird nach der Produktenregel u'v + uv' differenziert. Setzt man: u = R(n) und ν = e"pn Dann ist: u = R'(n) v' = - p*e"pn bzw. u'v = R'(n)*e"pn u v'= - p*R(n)*e"pn Somit ergibt sich für die erste Ableitung des Kapitalwertes nach der Nutzungsdauer n: Hf™1 —^- = d(n)*e -pn + R'(n)*e~pn + R(n)* ( - p)*e -pn = 0 dn Nach einer Division durch e_pn erhält man: d(n) = R'(n) - p*R(n) = 0 d(n) = p*R(n) + [ - R'(n)] Es bedeuten hierin: d(n) = Periodenüberschuß des Zeitpunktes η

Die optimale Nutzungsdauer

381

p*R(n) = Zinsen auf den Restverkaufserlös [ - R'(n)] = Restverkaufserlösabnahme bei infinitesimaler Verlängerung der Nutzungsdauer Dieses abgeleitete Kriterium stellt nur eine notwendige Bedingung dar (1. Ableitung). Liegen mehrere relative Maxima vor, so ist die Entscheidung anhand des absoluten Kapitalwertmaximums zu treffen. Dazu ist es notwendig, die Kapitalwerte in Abhängigkeit der Nutzungsdauer explizit zu berechnen. Aufgabe 9.9 Bestimmen Sie die optimale Nutzungsdauer graphisch, indem Sie von dem Kriterium der Aufgabe 9.8 ausgehen! Trennt man die Einzahlungsüberschüsse d(n) in laufende Einzahlungen e(n) und laufende Auszahlungen a(n), so ergibt sich: e(n) - a(n) = p*R(n) + [ - R'(n)] bzw. e(n) = a(n) + p*R(n) + [ - R'(n)] Die optimale Nutzungsdauer ist erreicht, wenn die Grenzeinzahlungen in bezug auf die Zeit den Grenzauszahlungen in bezug auf die Zeit gleich sind. Hierbei läßt sich die Verminderung des Restverkaufserlöses - sie stellt einen Verzicht auf eine Einzahlung aus dem Verkauf der alten Anlage dar - wie eine Auszahlung behandeln. Auch die Verzinsung des Restverkaufserlöses ist ein Verzicht auf eine Einzahlung. Durch die infinitesimale Verlängerung der Nutzungsdauer verzichtet der Unternehmer auf die Verzinsung des durch den Verkauf erzielbaren Restverkaufserlöses. Dieser Einzahlungsverzicht läßt sich wie eine Auszahlung behandeln. Bei konstanten Grenzeinzahlungen in bezug auf die Zeit ergibt sich folgende graphische Darstellung:

382

Die optimale Nutzungsdauer

e(n) a(n) + p*R(n) -r [ - R'(n)]

a(n) + p*R(n) + [ - R'(n)]

e(n)

* η ΠορΙ

Abb. 9.4: Optimale Nutzungsdauer filr den Fall der Momentanverzinsung

Die optimale Nutzungsdauer liegt dort, wo die Kurve der Grenzauszahlungen die der Grenzeinzahlungen von unten her schneidet. Aufgabe 9.10 Beweisen Sie, daß die optimale Nutzungsdauer einer einmaligen Investition erreicht ist, wenn der zeitmarginale interne Zinsfuß gleich dem Kalkulationszinssatz ist! Das folgende Optimalitätskriterium, welches zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer geeignet ist, soll als Basis für diesen Beweis dienen: d(n)=p*R(n)+[- R'(n)] Der Ausdruck läßt sich transformieren in: p*R(n)

=

Grenzkosten des Kapitaleinsatzes

d(n)-[-R'(n)] Grenzerlös aus diesem Kapitaleinsatz

Löst man den Term nach ρ auf, so ergibt sich: P=

d(n)-[-R'(n)] R(n)

Die optimale Nutzungsdauer

383

Dabei ist ρ der Kalkulationszinssatz; der rechte Ausdruck der Gleichung repräsentiert die Grenzrendite bzw. den zeitmarginalen internen Zinsfuß. Aufgabe 9.11 Ein Unternehmer plant, ein Investitionsobjekt identisch zu wiederholen. Er möchte feststellen, ob die optimale Nutzungsdauer des ersten Gliedes dieser aus zwei Gliedern bestehenden Investitionskette erreicht ist und rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08. Der Restverkaufserlös am Ende der betrachteten Periode beträgt 17.500 GE. Am Anfang der Periode waren es noch 20.400 GE. Für das folgende Glied der Investitionskette wurde ein Kapitalwert von 51.000 GE ermittelt. Der Einzahlungsüberschuß der derzeit genutzten Anlage beträgt 7.400 GE a) Formulieren Sie das Kriterium für die optimale Nutzungsdauer unter der Prämisse einer stetigen Verzinsung! Um den gesamten Kapitalwert beider Glieder zu erhalten, ist der Kapitalwert der Ersatzanlage über den Zeitraum der optimalen Nutzungsdauer der ersten Anlage abzuzinsen. C0=Cj(nI)+CBni(nn)*e·

-pn.

Zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer der beiden Anlagen, also um ni und nn zu ermitteln, ist die obige Gleichung partiell nach ni und n n zu differenzieren. Differenziert man C0 partiell nach ns, so erhält man: [Gleichung 1]

Für den Ausdruck — - ]äßt sich schreiben: δη,

384

Die optimale Nutzungsdauer

Setzt man diesen Term in die Gleichung 1 ein, so ergibt sich nach dem Kürzen um e~ pn ': din^-I-R'^nOl-p^inO-pC^O Für die partielle Differentiation von Co nach nu ergibt sich: ßC dC11 f ^ o . = e-p». * — i L = ο önu δη„ Da e

pn

[Gleichung 2]

' Φ 0 ist, ist diese Bedingung erfüllt, wenn gilt:

öC" 5n„

=0

Daraus resultiert schließlich: d(nn)-[-R'n(nn)]-p*Rn(nn) = 0 Für die jeweilige optimale Nutzungsdauer der beiden Anlagen lassen sich somit die folgenden Kriterien ableiten: 1. Anlage: d(n,) = ρ *R ! (η : ) + [ - R'1 (η,)]+ ρ *C" 2. Anlage: d(n I I )=p*R n (n I I )+[-R' n (n I I )] b) Ist die optimale Nutzungsdauer bereits erreicht? Es sei der diskrete Fall betrachtet! Beim Wechsel von der stetigen zur diskreten Verzinsung ergeben sich folgende Änderungen: aus ρ * R'(ni)

wird i * R'n.,

=> 0,08 *20.400

aus [-R'Vi)]

wird

[R'n., - R'n] => 20.400 - 17.500

= 2.900 GE

aus p * C " „ i

wird

i * C n nI

= 4.080 GE

=> 0,08 *51.000

= 1.632 GE

Demzufolge wird aus ρ * R'(ni) + [-R'On)] + ρ * C"ni nunmehr i * R'n! + [R'm - R'n] + i * C"„i

=i> 1.632 + 2.900 + 4.080 = 8.612 GE

Die optimale Nutzungsdauer

385

Anhand des Kriteriums zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer ist die Entscheidung zu treffen, ob die optimale Nutzungsdauer erreicht ist: d > i*R'n-l + [ R ' n - l - R'n] + i*C° 7.400 TtοfS

•η rin

+

ON »—Ι

00 00 ο f-N 00 «Ν "1-

651,58

ο

Ι/Ί ON

Τι

ON

Ι

a

«a.

&

ω Ν

Γ)

α

393

Die optimale Nutzungsdauer

a 2 ) Bestimmen Sie die optimale Nutzungsdauer mit Hilfe des Grenzkalküls! Bei Verwendung des Grenzkalküls gilt im diskreten Fall das folgende Kriterium zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer: d„ = i * R„.1 + [Rn.! - R„] Daraus ergibt sich für den vorliegenden konkreten Fall die folgende Tabelle: Spalte

Zeitpunkt

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Rn

i*Rn-l

Rn.. - Rn

(2) + (3)

dt

-

-

-

-

to

36.000

t.

22.500

3.600

13.500

17.100

< 22.500

t2

11.250

2.250

11.250

13.500

< 17.100

t3

2.700

1.125

8.550

9.675

< 10.080

270

2.700

2.970

>954

U

-

Nach einer Nutzungsdauer von drei Perioden sind die Einzahlungsüberschüsse letztmalig noch größer als die Summe aus der Restverkaufserlösabnahme und den Zinsen auf den Restverkaufserlös der Vorperiode. Die optimale Nutzungsdauer liegt bei den unterstellten diskreten Zahlungsströmen demnach bei t = 3 Jahre. b) Verändert sich die Nutzungsdauer der Anlage, wenn die Investition einmal identisch wiederholt wird? Werden kontinuierliche Zahlungsströme bei stetiger Verzinsung zugrunde gelegt, dann lautet das Optimalitätskriterium für die Bestimmung der Nutzungsdauer der 2. Anlage: d(n I I ) = p * R " ( n I I ) + [ - R ' I I ( n I I ) ] Für die 1. Anlage gilt:

394

Die optimale Nutzungsdauer

d(n I ) = p * R I ( n I ) + [ - R " ( n I ) ] + P < I 1 Im diskreten Fall lauten diese Kriterien: dBB=i 2.000

t5

1.000

220

1.200

165,13

1.585,13

> 1.000

Die optimale Nutzungsdauer liegt in der Periode, in der letztmalig der Einzahlungsüberschuß größer oder gleich den Zinsen auf den Restverkaufserlös der Vorperiode, der Restverkaufserlösabnahme sowie den Zinsen auf den Kapitalwert der Folgeinvestition ist. Die optimale Nutzungsdauer beträgt daher drei Jahre.

404 C.

Der optimale Ersatzzeitpunkt Die Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes

Aufgabe 9.17 Leiten Sie aus dem Standardmodell zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer (Aufgabe 9.14) das Kriterium fur den optimalen Ersatzzeitpunkt durch Kostenminimierung ab! Kostenminimierungsmodelle unterstellen eine im Zeitablauf gleiche Erlössituation. Durchschnittliche Kosten sind dann minimal, wenn sie gleich sind den Grenzkosten. Es gilt daher, die durchschnittlichen Kosten zu minimieren: t Ein Extremum liegt genau dann vor, wenn die erste Ableitung Null wird: d (K(t))*t-K(t)*l diK(t)l_dt dt

t

t2

=0

Der Ausdruck läßt sich umformen in: —K(t) = dt

t

=>

Grenzkosten = Durchschnittskosten

Im Kostenminimum sind also Grenz- und Durchschnittskosten gleich hoch. Unterstellt man, daß alle Kosten zu Auszahlungen fuhren, dann sind im Auszahlungsminimum die Grenzauszahlungen und die Durchschnittsauszahlungen gleich hoch. Dies sei auf das Standardmodell der Nutzungsdauerbestimmung d'(n) = ρ * R ' ( n ) + [- R' 1 (n)]+ ρ * C f . angewendet. Dabei stellt d' (n) den Einzahlungsüberschuß der 1. Anlage dar usw. Trennt man zwischen laufenden Einzahlungen und Auszahlungen, so ergibt sich:

405

Der optimale Ersatzzeitpunkt

eI(n)-aI(n) = p*RI(n)+[-R'1(n)]+p*[CEf-CAf] Der Ausdruck CEf steht für den Barwert der Einzahlungen der Folgeinvestition, der Ausdruck CAf für den Barwert der Auszahlungen der Folgeinvestition. Für einen Vergleich des Standardmodells der Nutzungsdauerbestimmung mit dem Grundmodell der Auszahlungsminimierung seien im Standardmodell zusätzliche Annahmen gemacht. 1. Annahme: Es liegt eine unendliche Investitionskette vor. Bei einer unendlichen Investitionskette entspricht der Wiedergewinnungsfaktor dem Kalkulationszinssatz. Für den Wiedergewinnungsfaktor gilt: *i V

n

(l + i) - 1

'

1

r

(1 + i)"

1— 0 + 0"

d + i)n

Für η —> oo folgt daraus der Grenzwert:

=ι

limWGF(i,n) = lim η

Lm i

*

'

n kfli

1(l + i)" Dies bedeutet, daß bei einer unendlichen Investitionskette die Zinsen auf die Barwerte von Einzahlungen und von Auszahlungen gleich sind der Einzahlungs- bzw. Auszahlungs-Annuität der folgenden Anlagen: p*C E r = e n ( n ) p*CM

=ä"(n)

Hieraus ergibt sich das folgende Optimalitätskriterium: e I ( n ) - a , ( n ) = p * R , ( n ) + [-R"(n)]-feII(n)-äI1(n) 2. Annahme:

Die Anlagen Periode.

flihren

zu konstanten

Einzahlungen

pro

406

Der optimale Ersatzzeitpunkt

Bei konstanten Einzahlungen der Anlagen sind die jährlichen Einzahlungen der ersten Anlage gleich der Einzahlungs-Annuität der Folgeinvestition: e'(n) = c n (n) Hieraus folgt: a I (n)+ p - K R ' ^ + t - R ^ n ) ] = ä n ( n ) Einzahlungsverzichtdurch Weiternutzung ;int erpretieit als Auszahlung

Somit lautet das Kriterium fur die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bei Auszahlungsminimierung:

Grenzauszahlungen der Altanlage = gesamte Durchschnittsauszahlungen der neuen Anlagen

3. Annahme:

Häufig wird zusätzlich der Restverkaufserlös der Altanlage vernachlässigt. Es gilt dann:

a I (n) = ä I I (n) Die jährlichen Betriebsauszahlungen der Altanlage (Grenzauszahlungen) entsprechen der Auszahlungs-Annuität (Durchschnittsauszahlungen) der Folgeanlagen. Aufgabe 9.18 Ausgehend vom Kriterium der Aufgabe 9.17 soll der optimale Ersatzzeitpunkt graphisch bestimmt werden! Es sei davon ausgegangen, daß die Nutzungsdauer der Ersatzobjekte simultan mit der Ermittlung des Ersatzzeitpunktes des Erstobjektes festgelegt wird. Die Grenzauszahlungen der Altanlage sind: a 1 (η) + ρ * R 1 (n) + [- R' 1 (n)]

Der optimale Ersatzzeitpunkt

407

Die Kurve der Grenzauszahlungen in bezug auf die Nutzungsdauer verläuft in der Regel u-förmig. Verschiedene Faktoren beeinflussen den Graphen: 1. Die Betriebs- und Instandhaltungsausgaben steigen mit der Nutzungsdauer: a'(n) 2. Für den Restverkaufserlös sei unterstellt, daß er mit zunehmender Nutzungsdauer sinkt. Dabei ist die Abnahme des Restverkaufserlöses in den ersten Perioden der Nutzung der Anlage besonders hoch. 3. Mit sinkendem Restverkaufserlös sinken auch die Zinsen auf den Restverkaufserlös. Die zusammengesetzte Wirkung dieser einzelnen Komponenten fuhrt zu dem u-formigen Verlauf der Grenzauszahlungen in bezug auf die Zeit. Betrachtet man die zum Vergleich herangezogenen durchschnittlichen jährlichen Auszahlungen ä n (n)der Ersatzanlage, so ergibt sich auch hier ein u-förmiger Verlauf der durchschnittlichen Auszahlungen in Abhängigkeit von der Dauer der Nutzung. Mit steigender Nutzungsdauer sinkt die mit dem Wiedergewinnungsfaktor multiplizierte Anschafftingsauszahlung (Ao * WGF(i;n)). Diese Abnahme wird bei zunehmender Nutzungsdauer durch ansteigende durchschnittliche Betriebsund Instandhaltungsauszahlungen überkompensiert. Beide Graphen verlaufen demnach zunächst fallend, erreichen ihr Minimum und weisen sodann eine positive Steigung auf (vgl. dazu die Graphik der folgenden Seite). Entsprechend der Einleitung in Aufgabe 9.17 liegt der optimale Ersatzzeitpunkt im Minimum der Kurve der durchschnittlichen jährlichen Auszahlungen. Hier wird diese Kurve von der Kurve der Grenzauszahlungen der Altanlage geschnitten.

408

Der optimale Ersatzzeitpunkt

;"n ) Λη 0 ι (1 +1) - 1 ι

. [Gleichung 3]

Der optimale Ersatzzeitpunkt der Folgeanlagen ist erreicht, wenn die Summe aller Barwerte der Auszahlungen der Investitionskette minimal ist. Eine Multiplikation der von der Nutzungsdauer abhängigen Barwerte der Auszahlungen der ersten Ersatzanlage mit dem Verhältnis aus Wiedergewinnungsfaktor und Zinssatz ergibt die Tabelle der Seite 412.

Der optimale Ersatzzeitpunkt

/•—s +

cn II

e υ c1 + »

G"

ο ο SO sO_ m" -Ι-

ο -It Γ«τι ri Ο

Ό 00 ο Γν| ο >ο CN

Ο Ο >r> •t '/-ι fl

ο ο VO ο Ό

ο«Ί r

187.500

= BWF(n = 8; r) = 4,0000

Da r nur durch lineare Interpolation ermittelt werden kann, ergibt sich hinsichtlich der linearen Interpolation bei einem Barwertfaktor in Höhe von 4,0776 fur η = 8 und i = 0,18 sowie einem Barwertfaktor in Höhe von 3,9544 fur η = 8 und i = 0,19 als interner Zinsfuß: 8 + ί

0 7 7 6 - 4!0000=

%

4,0776-3,9544 Für die Investition Β ergibt sich bei η = 6:

d

B

BWF(n;r)

=>

500 000

· = BWF(n = 6;r)= 3,5714 140.000

Der interne Zinsfuß muß auch hier durch lineare Interpolation ermittelt werden. Man erhält einen Barwertfaktor in Höhe von 3,5892 für η = 6 und i = 0,17 sowie einen Barwertfaktor in Höhe von 3,4976 für η = 6 und i = 0,18. Daraus folgt: 3 5 8 9 2 - 3 5714 14 rB = 17 + ' =17,19 % 3,5892-3,4976 Für die Investition C errechnet sich der interne Zinsfuß wie folgt: —c = BWF(n;r) d

=>

210.000

= BWF(n = 6; r) = 3,8095

Hinsichtlich der linearen Interpolation ergibt sich ein Barwertfaktor in Höhe von 3,8887 für η = 6 und i = 0,14 sowie ein Barwertfaktor in Höhe von 3,7845 für η = 6 und i = 0,15. Daraus folgt:

470

Investitions- und Finanzierungsprogramme

r c = 14 + -2 = 14,76 % 3,8887-3,7845 Da die Investitionen Β und C Alternativen darstellen und somit nur eine der Investitionen direkt in der Kapitalnachfrage-Funktion enthalten sein kann, sind hier die Daten einer Differenzinvestition (C - B) zu bestimmen: Investition

Kapitalbedarf

jährlicher Deckungsbeitrag

Interner Zinsfuß

Β

500.000

140.000

17,19 %

C

800.000

210.000

14,76 %

C-B

300.000

70.000

10,58 %

Dabei errechnet sich der interne Zinsfuß der Differenzinvestition (C - B) wie folgt: A C B)

o ~ (C - B) =BWF(n;r)

_ =>

300.000 = BWF(n = 6; r) = 4,2857 70.000

Es ergibt sich ein Barwertfaktor in Höhe von 4,3553 für η = 6 und i = 0,10 sowie ein Barwertfaktor in Höhe von 4,2305 für η = 6 und i = 0,11. Entsprechend ist der durch lineare Interpolation gewonnene interne Zinsfuß: (

B)

4,3553 - 4,2305

Die Werte der Differenzinvestition sind wie folgt zu interpretieren: Wenn statt Β das Projekt C realisiert wird, dann müssen dafür 300.000 GE an zusätzlichen finanziellen Mitteln eingesetzt werden. Dieses zusätzliche Kapital erwirtschaftet jährlich einen zusätzlichen Erfolg (im Vergleich zur Realisierung von Investition B) in Höhe von 70.000 GE. Dabei entspricht die Summe aus jenem zusätzlichen Erfolg und dem Erfolg aus der Investition Β genau dem Erfolg aus der Investition C. Der interne Zinsfuß der Differenzinvestition von 10,58 % gibt die maximale Höhe des Soll-Zinssatzes an, bis zu dem der Übergang von Β auf C vorteilhaft ist. Für die Investition D läßt sich für η = 6 der interne Zinsfuß über

Investitions- und Finanzierungsprogramme AD d

D

471

3 Ι Η ΠΟΟ = BWF(n = 6; r) = 4,0260 77.000

= BWF(n; r)

und der linearen Interpolation (Barwertfaktor in Höhe von 4,1114 für η = 6 und i = 0,12 sowie ein Barwertfaktor in Höhe von 3,9975 fur η = 6 und i = 0,13) bestimmen: 4,1114-4,0260 rDD = 12 + — = 12,75 % 4,1114-3,9975 Dabei errechnet sich der zugrunde gelegte Einzahlungsüberschuß in Höhe von 77.000 GE wie folgt: 1.200 * 135= 162.000 (Auszahlungen für Fremdbezug) - 1 . 2 0 0 * 5 0 = 60.000 (Auszahlungen Anlage D) - 1 . 0 0 0 * 2 0 = 20.000 (Auszahlungen Anlage Ε ohne Überstunden) -

200 * 25 =

5.000 (Auszahlungen Anlage Ε mit Überstunden) 77.000 (Ersparnis gegenüber Fremdbezug)

Die Investition Η verfugt über eine Nutzungsdauer von η = 8 Jahre. Die Anschaffiingsauszahlung von 550.000 GE reduziert sich um den durch Verkauf der vorhandenen Anlage erzielten Liquidationserlös von 50.000 GE. Für den internen Zinsfuß folgt daraus: ^ |H- = BWF(n;r) d

=>

^ ^ = BWF(n - 8 ; r ) = 3,4843 143.500

Mit Hilfe der linearen Interpolation ergibt sich bei einem Barwertfaktor in Höhe von 3,5179 fur η = 8 und i = 0,23 sowie einem Barwertfaktor in Höhe von 3,4212 für η = 8 und i = 0,24 als interner Zinsfuß: „ 3,5179-3,4843 „ , e e / rH = 2 3 + — 2 = 23,35 % 3,5179-3,4212 Für die Investition I errechnet sich bei η = 8 der interne Zinsfuß aus

472

Investitions- und Finanzierungsprogramme

A1 —f= BWF(n;r) d1

=>

4ΠΩ ππη — — — - = BWF(n = 8; r) = 4,5455 88.000

und der linearen Interpolation (Barwertfaktor in Höhe von 4,6389 für η = 8 und i = 0,14 sowie ein Barwertfaktor in Höhe von 4,4873 für η = 8 und i = 0,15): 4 , 6 3 8 9 - 4 , 25 4 5 5 r,1 = 14 + — = 14,62 % 4,6389-4,4873 Der bei der Kalkulation eingesetzte Einzahlungsüberschuß in Höhe von 88.000 GE pro Jahr geht aus der folgenden Rechnung hervor: 1.400 * 170= 238.000 (Einzahlungsüberschüsse aus Anlage I) -1.000 * 140= 140.000 (Einzahlungsüberschüsse aus Anlage K) 10.000 (Auszahlungen für Werbung bei Anlage I) 88.000 (Vorteil durch Wechsel von Anlage Κ auf I) Aus den Berechnungen resultiert die folgende Rangfolge der Investitionsprojekte: Rang

Investition

Interner Zinsfuß

1

Η

23,35 %

500.000

500.000

2

A

18,63 %

750.000

1.250.000

3

Β

17,19%

500.000

1.750.000

4

I

14,62 %

400.000

2.150.000

5

D

12,75 %

310.000

2.460.000

6

C-B

10,58 %

300.000

2.760.000

Kapitalbindung

kum. Kapital

Aus den Tabellen zur Bestimmung von Kapitalangebots- und Kapitalnachfrage-Funktion resultiert die folgende Graphik mit der optimalen Schnittpunkt-Lösung:

Investitions- und Finanzierungsprogramme

473

i, r

In der Abbildung wird das Eigenkapital als Finanzierungsobjekt behandelt. Da der Haben-Zinssatz (7 %) kleiner ist als der niedrigste Soll-Zinssatz (12 %), werden die Eigenmittel, die um die Anschaffungsauszahlung der Investition G reduziert sind (1.800.000 - 380.000 = 1.420.000), in die Kapitalangebots-Kurve aufgenommen. Nach dem Dean-Modell sollten die Investitionsprojekte Η, Α und Β realisiert werden. Kann davon ausgegangen werden, daß das Projekt I beliebig teilbar ist, so sollte es mit einer Investitionssumme von 170.000 GE (von insgesamt 400.000 GE) durchgeführt werden. Zur Finanzierung der Investitionen sollten die eigenen finanziellen Mittel und der Kredit zu 12 % vollständig zum Einsatz kommen. b) Zeigen Sie Vor- und Nachteile des Verfahrens auf! Der wesentliche Vorteil des Dean-Modells besteht darin, daß Investition und Finanzierung vor dem Hintergrund eines unvollkommenen Kapital-

474

Investitions- und Finanzierungsprogramme

marktes in einer besonders übersichtlichen Form simultan optimierbar sind. Diese Übersichtlichkeit und einfache Nachvollziehbarkeit liegen in den restriktiven Annahmen des Modells begründet, daraus wiederum ergeben sich die bedeutenden Nachteile. Eindeutige und verwertbare Lösungen kann das Modell nur liefern, wenn sämtliche Projekte einperiodig sind und vollständig realisiert werden sollten bzw. wenn nur unvollständig zu realisierende Projekte auch tatsächlich entsprechend teilbar sind. Darüber hinaus findet mit dem Konzept der Differenzinvestition eine Vermengung der Elemente des Grenzkalküls (Dean-Modell) mit denen einer Durchschnittsbetrachtung (Verlauf der Differenzinvestition) statt.

Investitions- und Finanzierungsprogramme

475

Zusammenfassung zum 10. Kapitel

Investitionsentscheidungen können bei einer zielfuhrenden Betrachtung weder von anderen Investitionen noch von den damit verbundenen Finanzierungsfragen abstrahieren. Die Gestaltung optimaler Investitionsprogramme unter Berücksichtigung der Finanzierung und anderer Interdependenzen war das Thema dieses Kapitels. Dabei konnten die folgenden zusammenfassend dargestellten Erkenntnisse generiert werden: 1. Eine Möglichkeit der Berücksichtigung von Interdependenzen besteht in der Darstellung von Kapitalnachfrage- und KapitalangebotsFunktionen. Indem die entsprechenden Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen werden, ergibt sich das Grundmodell von Joel Dean zur Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms. Mit dem Ansatz nach Dean besteht die Möglichkeit, sich ausschließende Investitionsalternativen in Form von Differenzinvestitionen in die Kapitalnachfrage-Kurve zu integrieren. Differenzinvestitionen sind aufzunehmen, wenn die kapitalintensivere Alternative eine geringere Rendite als das weniger kapitalintensive Objekt erwirtschaftet; ohne eine entsprechende relative Optimalität kann eine der Alternativen ex ante ausgeschlossen werden. Das Dean-Modell wird als Simultanmodell bezeichnet, da es Investition und Finanzierung simultan optimiert. 2. Die Annahmen des Grundmodells von Dean unterstellen u.a., die betrachteten Projekte seien unabhängig voneinander. Der oben beschriebene Fall hinsichtlich der Berücksichtigung von Alternativen durch den Ansatz von Differenzinvestitionen stellt somit bereits eine Abwandlung des Grundmodells dar, die unter bestimmten Bedingungen problematisch ist - die im Grundmodell gemachte Annahme wäre sonst obsolet. Darüber hinaus ist das Modell mit der Prämisse verbunden, daß eine beliebige Teilbarkeit der Investitions- und Finanzierungsprojekte vorliegt. Ist diese Teilbarkeit tatsächlich gegeben, so kann das Optimum direkt aus dem Schnittpunkt der Graphen abgelesen werden. Sind die

476

Investitions- und Finanzierungsprogramme

Projekte nicht beliebig teilbar, so kann die sogenannte optimale Schnittpunkt-Lösung zu suboptimalen Handlungsanweisungen führen. Eine Situation, die nicht den Prämissen des Dean-Modells entspricht, kann kombinatorische Probleme bei der Gestaltung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms begründen. Das ist der Fall, wenn Datenkonstellationen dazu fuhren, daß eine Optimierung auf der Basis von relativen Größen (Ordnung der Investitionen nach dem internen Zinsfuß) nicht zwangsläufig den Ergebnissen einer Optimierung auf der Basis von absoluten Kriterien gleicht. Dementsprechende kombinatorische Lösungen lassen sich mit Hilfe vollständiger Finanzpläne, die für alternative Möglichkeiten der Kombination von Investitionsund Finanzierungsobjekten aufzustellen sind, ermitteln. 3. Vollständige Finanzpläne sind nicht in erster Linie auf die Rendite von Investitionen gerichtet, sondern auf die mit einem Investitionsprogramm realisierbaren absoluten Erträge. Eine Kalkulation auf der Basis vollständiger Finanzpläne kann bei umfangreichen Investitionsprogrammen mit zahlreichen alternativen Kombinationsmöglichkeiten recht komplexe Dimensionen annehmen, da im Grundsatz jede mögliche Kombination hinsichtlich der mit ihr zu erwirtschaftenden Erträge zu beurteilen ist. Die Vorzüge der Optimierung eines Investitionsprogrammes auf der Basis vollständiger Finanzpläne im Vergleich zur Optimierung anhand des Dean-Modells sollen an zwei Aspekten erläutert werden: Sind die Objekte des zu bestimmenden Investitionsprogrammes nicht beliebig teilbar, so kann die beim Dean-Modell vollzogene Ordnung nach den internen Zinsfüßen der Projekte zu nicht ausgenutzten Finanzierungsmöglichkeiten führen. Vollständige Finanzpläne können unter diesen Bedingungen zu dem Ergebnis kommen, daß es vorteilhafter ist, beispielsweise das Objekt mit der höchsten Rendite nicht zu realisieren, dafür aber eine Investition, mit der das Finanzierungspotential vollständig ausgenutzt und somit trotz geringerer Rendite ein in absoluter Höhe gemessener größerer Ertrag erwirtschaftet wird. Bestehen Interdependenzen zwischen verschiedenen Objekten, so können diese möglicherweise durch Hilfskonstruktionen im Dean-Modell berücksichtigt werden, beispielweise indem sich ausschließende Alter-

Investitions- und Finanzierungsprogramme

477

nativen durch Differenzinvestitionen in die Kapitalnachfrage-Funktion aufgenommen werden. Das Dean-Modell zeigt in diesem Fall aber nur dann eindeutig die korrekte Lösung an, wenn die Differenzinvestition vollständig in den Bereich des optimalen Investitionsprogrammes fallt. Da das Dean-Modell auf einer Marginalanalyse basiert und das Konzept der Differenzinvestition einen Durchschnittswert errechnet, der nur bei vollständiger Realisierung der Differenzinvestition mit dem entsprechenden Grenzkalkül übereinstimmt, fuhrt das Dean-Modell bei einer partiellen Realisierung der Differenzinvestition regelmäßig zu suboptimalen Handlungsanweisungen. Eine differenzierte Fallunterscheidung mit vollständigen Finanzplänen ist zwar in aller Regel komplexer, aber bei den genannten Bedingungen auch sicherer hinsichtlich der korrekten Bestimmung des optimalen Investitionsprogrammes.

478

Investitions- und Finanzierungsprogramme

Literaturempfehlungen zum 10. Kapitel

Adam, D., Investitionscontrolling, S. 2 1 6 - 2 3 8 .

2. Aufl., München u.a.

1997,

Albach, H., Investition und Liquidität, Wiesbaden 1962, S. 262 - 268. Betge, P., Investitionsplanung, 4. Aufl., München 2000, S. 258 - 318. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 249 - 266. Blohm, H./Lüder, K., Investition, 8. Aufl., München 1995. Busse von Cölbe, W./Laßmann, G., Betriebswirtschaftstheorie, Band 3: Investitionstheorie, 3. Aufl., Berlin u.a. 1990, S. 197 - 210. Dean, J„ Capital Budgeting, 9. Aufl., New York 1978 (1. Aufl., New York 1951), S. 14- 139. Hax, H„ Investitionstheorie, 5. Aufl., Würzburg, Wien 1993, S. 65 - 122. Matschke, M., Investitionsplanung und Investitionskontrolle, Herne/Berlin 1993, S. 2 9 0 - 3 0 0 . Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 168 - 185. Seelbach, H., Planungsmodelle in der Investitionsrechnung, Würzburg u.a. 1967, S. 3 - 5 4 . Spremann, K., Wirtschaft, Investition und Finanzierung, 5. Aufl., München 1996, S. 435 -442. Swoboda, P., Investition und Finanzierung, 5. Aufl., Göttingen 1996, S. 73 - 80. Troßmann, £., Investition, Stuttgart 1998, S. 274 - 305.

Unsichere Erwartungen

479

Kapitel 11

U N S I C H E R E E R W A R T U N G E N IM INVESTITIONSKALKÜL

Die zuvor dargestellten Kapitel waren sämtlichst von der Annahme geprägt, die mit einer Investition verbundenen Bedingungen und Zahlungen seien im Planungszeitpunkt bekannt und feststellbar. Zwar wurde im zehnten Kapitel darauf hingewiesen, daß Investitionen vor dem Hintergrund bestimmter betriebswirtschaftlicher Programme, Restriktionen und Interdependenzen zu bewerten sind, in diesem Zusammenhang galt aber die Prämisse, jene Aspekte seien ex ante bestimmbar und im Kalkül zu berücksichtigen - beispielsweise über die Berechnung von Differenzinvestitionen. Mit dem elften Kapitel soll nun die Tatsache berücksichtigt werden, daß die im Betrachtungszeitpunkt zur Verfugung stehenden Daten in aller Regel auf mehr oder weniger unsicheren Erwartungen basieren. Unsichere Erwartungen entstehen insbesondere, weil die zukünftigen Rahmenbedingungen wirtschaftlichen Handelns grundsätzlich unbestimmt sind und somit auch die notwendigen Maßnahmen und Ergebnisse nicht exakt antizipiert werden können. Eine im Betrachtungszeitpunkt vollzogene Vorteilhaftigkeitsbestimmung bezüglich einer in Zukunft durchzuführenden Investition kann daher nur dann tatsächlich zum Erfolg führen, wenn sich die ex ante zugrunde gelegten Prämissen in der Zukunft erfüllen bzw. wenn sich die eintretende Realität nicht derart von den gemachten Annahmen unterscheidet, daß eine andere Entscheidung vorteilhafter gewesen wäre. Das bedeutet, unsicheren Erwartungen kommt offensichtlich eine bedeutende Rolle im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsrechnung zu. Zur systematischen Berücksichtigung unsicherer Erwartungen im Investitionskalkül werden die folgenden Aspekte anhand der Aufgaben dieses Kapitels bearbeitet: 1. Grundlage einer fundierten Beachtung unsicherer Erwartungen ist die Erfassung der mit der Unsicherheit verbundenen Konsequenzen. In diesem Zusammenhang wird die Frage zu klären sein, wie den aus

480

Unsichere Erwartungen

unsicheren Erwartungen begegnet werden kann.

resultierenden

Problemen

grundsätzlich

2. Das grundsätzliche Vorgehen zur Berücksichtigung unsicherer Erwartungen wird anhand anwendungsorientierter Aufgabenstellungen konkretisiert. Im Rahmen dieser Veranschaulichung werden sämtliche Schritte einer entsprechenden Lösung beschrieben, dargestellt und erklärt. 3. Wie all die anderen Verfahren der Investitionsrechnung ist auch die Berücksichtigung unsicherer Erwartungen nicht ohne Schwächen; kritische Anmerkungen sind daher auch für das Verstehen des elften Kapitels unerläßlich.

Unsichere Erwartungen

481

Aufgabe 11.1 Erläutern Sie die mit den unsicheren Erwartungen im Rahmen der Investitionsrechnung verbundenen betriebswirtschaftlichen Probleme! Unsichere Erwartungen sind an sich noch kein tatsächliches Problem der Investitionsrechnung. Von Bedeutung sind sie erst dann, wenn sie in den Grundlagen der Planung nicht berücksichtigt werden (können) bzw. wenn die betriebswirtschaftliche Flexibilität nicht ausreicht, auf unerwartete Situationen zu reagieren und somit wirtschaftliche Nachteile entstehen. In der Praxis wird die Unsicherheit hinsichtlich prognostizierter Daten und Situationen in aller Regel mit der Gefahr negativer Auswirkungen auf den unternehmerischen Erfolg verbunden sein. Darüber hinaus besteht bei Investitionen, die sich über mehrere Perioden erstrecken, das Problem der zeitlichen Interdependenzen aufeinander aufbauender Entscheidungen. Bestimmte in der Zukunft umzusetzende Entscheidungen müssen im Betrachtungszeitpunkt getroffen werden und sind aufgrund bestimmter Verbindungslinien nicht rückgängig zu machen oder zu korrigieren. Unsichere Erwartungen hinsichtlich der zukünftigen Bedingungen des Investierens sowie zeitliche Interdependenzen in dem Sinne, daß in der Gegenwart Entscheidungen zu treffen sind, die sowohl sofort umzusetzende als auch zukünftige Maßnahmen determinieren, lassen es manchmal sinnvoll erscheinen, bestimmte Entscheidungen aufzuschieben. Der Informationsstand kann sich im Zeitablauf nur verbessern. Dabei müßte akzeptiert werden, daß Entscheidungen hinsichtlich zukünftigen Handelns offen bleiben und auf eine Abstimmung zwischen gegenwärtigen und zukünftigen Maßnahmen zu verzichten ist. Eine solche für die Praxis relevante Situation kann mit zwei verschiedenen Planungsprinzipien angegangen werden: mit einer starren oder einer flexiblen Planung. Aufgabe 11.2 Erläutern Sie die Prinzipien der starren und der flexiblen Planung!

482

Unsichere Erwartungen

Das Prinzip der starren Planung unterstellt quasi-sichere Erwartungen. Es abstrahiert von den Unsicherheiten und Interdependenzen, indem eine bestimmte, als am wahrscheinlichsten angenommene Konstellation dem Kalkül zugrunde gelegt wird. Bei der starren Planung werden im Betrachtungszeitpunkt sämtliche Entscheidungen und somit sämtliche in Zukunft umzusetzende Maßnahmen fixiert. Starre Planung ist nicht zwangsläufig mit starrem Handeln gleichzusetzen. Erweisen sich die ex ante festgelegten Entscheidungen ex post als suboptimal und besteht die Elastizität, eigentlich vordefinierte Maßnahmen zu korrigieren bzw. anders umzusetzen als geplant, so ist das durchaus im Sinne der starren Planung. Änderungen der Planung sind im Betrachtungszeitpunkt nur nicht vorgesehen. Das Prinzip der flexiblen Planung basiert auf einer expliziten Berücksichtigung unsicherer Erwartungen und interdependenter Beziehungen zeitlich aufeinander aufbauender Entscheidungen und Maßnahmen. Im Betrachtungszeitpunkt werden alternative Entwicklungen eruiert und verschiedene Maßnahmen in die Planung aufgenommen, die in Abhängigkeit der tatsächlich eintretenden Entwicklung umgesetzt werden. Die denkbaren Entwicklungen im Zeitablauf werden dargestellt, um alternative Maßnahmen durch die Situation des jeweiligen Zeitpunktes zu bestimmen. Flexible Planung berücksichtigt die Möglichkeit, Entscheidungen hinsichtlich der Maßnahmen zukünftiger Perioden aufschieben zu können, indem ein System bedingter Teilpläne bzw. ein System situativer Eventualpläne aufgestellt wird. Kalkulationen nach dem Prinzip der flexiblen Planung sind in aller Regel mit einem erheblichen Planungsaufwand verbunden. Soll der Idealfall der flexiblen Planung erreicht werden, so müssen sämtliche für die Zukunft denkbaren Entwicklungen eruiert und dargestellt werden. Daraus resultiert eine erhebliche Redundanz der flexiblen Planung. All die (bedingten) Teilpläne, welche tatsächlich nicht eintreten, werden obsolet. In der Praxis kann flexible Planung daher in aller Regel nur in reduzierter Form Anwendung finden. Ein vereinfachtes Vorgehen berücksichtigt nicht sämtliche, sondern nur die wesentlichen potentiellen Entwicklungen sowie die daraus abzuleitenden Entscheidungen und Maßnahmen.

Unsichere Erwartungen

483

Der wesentliche Unterschied zwischen starrer und flexibler Planung besteht darin, daß die starre Planung bereits im Betrachtungszeitpunkt das für den gesamten Planungshorizont optimale Entscheidungs- und Maßnahmenbündel fixiert, während die flexible Planung mit einer mehr oder weniger großen Anzahl bedingter Entscheidungen operiert. Kalkulationen auf Basis der starren Planung erfassen damit weniger Optionen und fuhren daher in aller Regel zu anderen Bewertungen der Vorteilhafligkeit von Investitionen als Rechnungen mittels der flexiblen Planung. Aufgabe 11.3 Die Anschaffungsauszahlung einer Maschine, welche 1.000 Stück eines bestimmten Produkts pro Jahr herstellen kann, beträgt A 0 = 200 GE. Die maximale Nutzungsdauer der Maschine beträgt η = 2 Jahre, nach einer zweijährigen Nutzungsdauer fällt kein Restverkaufserlös an. Der Restverkaufserlös bei einjähriger Nutzungsdauer ist abhängig vom Zeitpunkt des Verkaufs. Wird eine Maschine ein Jahr nach dem Betrachtungszeitpunkt verkauft (also in t t ), so resultiert daraus ein Restverkaufserlös von R t = 60 GE. Ein Verkauf im Zeitpunkt t2 (Kauf der Maschine in ti) erbringt R2 = 40 GE. Das Unternehmen erzielt einen Einzahlungsüberschuß in Höhe von 0,16 GE pro Stück. Der Investor rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % damit, daß in der ersten Periode 1.000 Stück des zu produzierenden Produkts abgesetzt werden können. Die Wahrscheinlichkeit für eine Absatzmenge in Höhe von 2.000 Stück in der ersten Periode liegt bei 70 %. Die Absatzmenge der zweiten Periode sei abhängig von der der ersten. Bei einem Absatz von 1.000 Stück in der ersten Periode wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % damit gerechnet, daß der Absatz in der zweiten Periode konstant bleibt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % können in der zweiten Periode 2.000 Stück verkauft werden. Konnten in der ersten Periode 2.000 Stück abgesetzt werden, so sind es in der zweiten Periode zu 80 % ebenfalls 2.000 Stück und zu 20 % nur 1.000 Stück. Andere Konstellationen der Absatzentwicklung sind aufgrund vertraglicher Vereinbarungen nicht in Erwägung zu ziehen.

484

Unsichere Erwartungen

a) Erläutern Sie die konkrete Anwendung der flexiblen Planung anhand der beschriebenen Investition! Die folgende Abbildung gibt die denkbaren Entwicklungen der Absatzund Produktionslage wieder. Zustandsbaum Zeitpunkt t0 30 % 1.000 /

70 % 2.000

Zeitpunkt tj

1.000

Zeitpunkt t2 Wahrscheinlichkeit

l 24 %

Die Abbildung zeigt einen sogenannten Zustandsbaum, welcher sämtliche denkbaren Auftragsabfolgen mit den ihnen zuzuordnenden Wahrscheinlichkeiten darstellt. Es findet eine Verknüpfung von Alternativen mit Umweltsituationen statt. Der Zustandsbaum bildet nur die denkbaren Zustände hinsichtlich der Absatzlage ab, er enthält keine Aussagen über daraus abzuleitende Entscheidungen. Entscheidungen sind hier im Hinblick auf die Frage zu treffen, wieviele Maschinen zu welchem Zeitpunkt angeschafft werden sollen. Die folgende Abbildung stellt einen sogenannten Entscheidungsbaum dar. Dabei handelt es sich um eine Erweiterung des Zustandsbaumes. Ausgefüllte Kästchen stellen einen sogenannte Zustandsknoten dar, nicht ausgefüllte Kästchen stehen für sogenannte Entscheidungsknoten. Der Entscheidungsbaum enthält die Aussage des Zustandsbaumes und stellt darüber hinaus die Gesamtheit der denkbaren Entscheidungen des Investors dar.

486

Unsichere Erwartungen

Zwar fuhrt der Entscheidungsbaum zu mehr Ästen und dementsprechend zu mehr Zustandsknoten als der oben dargestellte Zustandsbaum, der Entscheidungsbaum gibt aber die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Zustandes an wie der Zustandsbaum. Der linke Ast (Pfad 1) des oben dargestellten Zustandsbaumes gibt an, daß die Wahrscheinlichkeit für die Absatzkonstellation 1.000 Stück in Periode 1 und 1.000 Stück in Periode 2 mit 24 % anzusetzen ist. Diese Aussage wird im Entscheidungsbaum mit den Pfaden 3, 9 und 11 bestätigt. Diese Pfade unterscheiden sich nicht in den ihnen zugeordneten Zuständen, sondern nur hinsichtlich der Entscheidungen bezüglich der Ausstattung des Unternehmens mit Maschinen in den verschiedenen Zeitpunkten. Bei einer reinen Betrachtung des Entscheidungsbaumes hinsichtlich denkbarer Zustände der Absatzlage enthält der Entscheidungsbaum eine gewisse Redundanz. Die verschiedenen Zustände können nicht einfach an den Spitzen der Äste abgelesen werden; die sich wiederholenden Zustände müssen unberücksichtigt bleiben. Auch der Entscheidungsbaum enthält wie der Zustandsbaum vier verschiedene Zustände. Der Entscheidungsbaum ermöglicht aber im Gegensatz zum Zustandsbaum eine Darstellung der für den Investor in Erwägung zu ziehenden Entscheidungen. Entscheidungen sind im Betrachtungszeitpunkt to und im Zeitpunkt ti zu treffen. Dabei hat der Investor im Betrachtungszeitpunkt to die Möglichkeit, eine oder zwei Maschinen anzuschaffen ( I M oder 2 M). Im Zeitpunkt ti ist die Entscheidung abhängig von der im Betrachtungszeitpunkt to. Hat der Investor im Betrachtungszeitpunkt to eine Maschine angeschafft, so kann er nach dem Zeitpunkt t| diese eine Maschine weiternutzen ( I M ) oder eine zusätzliche Maschine anschaffen (2 M). Bei einer Entscheidung im Betrachtungszeitpunkt to für zwei Maschinen hat der Investor die Optionen, entweder weiterhin zwei Maschinen zu nutzen (2 M) oder aber eine Maschine zu verkaufen ( I M ) . Die folgende Tabelle quantifiziert die bei unterschiedlichen Zuständen gegebenen Handlungsalternativen des Investors, indem die mit den Entscheidungen verbundenen Zahlungen zum Kapitalwert verrechnet werden.

487

Unsichere Erwartungen

Zur Vereinfachung der Kalkulation wird dabei ein Kalkulationszinssatz von i = 0 angesetzt.

Endpunkt

Kauf in to und ti

Einzahlung in ti

Einzahlung in t 2

1

-200

160

160

120

2

-200

160

160

120

3

-200

160

160

-40

40

-200 4

-200

Co

160

320

120

40

-200 5

-200

160

160

120

6

-200

160

160

120

7

-200

160

160

-40

40

-200 8

-200

160

-400

120

40

-200 9

320

160

160

-20

160

-20

60 10

-400

160 60

11

-400

160

160

-80

12

-400

160

320

80

13

-400

320

160

140

160

140

60 14

-400

320 60

15

-400

320

160

80

16

-400

320

320

240

488

Unsichere Erwartungen

Der Kapitalwert des Endpunktes 8 ergibt sich wie folgt: Im Zeitpunkt to wird eine Maschine angeschafft, die mit einer Auszahlung in Höhe von Ao = 200 GE verbunden ist. Obwohl die Absatzlage am Markt in der ersten Periode eine Menge von 2.000 Stück zuläßt, kann der Investor nur 1.000 Stück verkaufen, da er nur eine Maschine zur Verfügung hat. Daraus resultieren Einzahlungen in t t in Höhe von 1.000 * 0,16 = 160 GE. Im Zeitpunkt t] entscheidet sich der Investor, eine weitere Maschine zu kaufen; die Auszahlungen zum Kauf von Maschinen erhöhen sich somit um 200 GE. Im Zeitpunkt t2 kann der Investor die Nachfrage am Markt ausnutzen und 2.000 * 0,16 = 320 GE erlösen. Ein Restverkaufserlös aus dem Verkauf der im Zeitpunkt ti gekauften Maschine erhöht die Einzahlungen in t2 um 40 GE. Die im Zeitpunkt to gekaufte Maschine erzielt keinen Restverkaufserlös. Bei der Kalkulation muß darauf geachtet werden, daß sowohl der Zustand am Absatzmarkt als auch die Ausstattung mit Maschinen ein eigentlich mögliches Produktions- oder Absatzpotential verhindern können. Eine Maschine ist nicht in der Lage, ein Absatzpotential von 2.000 Stück pro Jahr darzustellen und bei zwei Maschinen ist eine überflüssig, wenn der Absatzmarkt nur 1.000 Stück pro Jahr nachfragt. Die weitere Bearbeitung des Entscheidungsproblems erfolgt, indem von den oben quantifizierten Endpunkten ausgehend, die optimale Alternative der vorgelagerten Entscheidungsknoten bestimmt wird. Dabei erfolgt eine Gewichtung der entsprechenden Kapitalwerte mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit. Dieses Vorgehen wird fortgeführt, bis der Ausgangspunkt des Entscheidungsbaumes erreicht ist. Die Tabelle der folgenden Seite zeigt die optimale Entscheidung der Entscheidungsknoten zum Zeitpunkt ti. Die zu treffende Entscheidung bezieht sich auf die Frage, mit wie vielen Maschinen in der Periode 2 (P 2) gearbeitet werden soll. Eine Produktion mit zwei Maschinen in der zweiten Periode ist demnach nur zu empfehlen, wenn in der ersten Periode auch mit zwei Maschinen gearbeitet wurde und in der ersten Periode eine Absatzmenge von 2.000 Stück gegeben war.

Unsichere Erwartungen

Knoten

489

Erwarteter Kapitalwert

Erwarteter Kapitalwert

Optimale

bei 1 Maschine in t2

bei 2 Maschinen in t2

Entscheidung

A

0,24 • 120 + 0,06 » 120 = 36

0,24 * - 40 + 0,06 * 120 = - 2,4

1 Μ in Ρ 2

Β

0,14» 120 + 0,56» 120 = 84

0,14 » - 4 0 + 0,56» 120 = 61,6

1 Μ in Ρ 2

C

0,24 » - 20 + 0,06 » - 20 = - 6 0,24 » - 8 0 + 0,06 »80 = - 1 4 , 4

1 Μ in Ρ 2

D

0,14» 140 + 0,56» 140=98

2 Μ in Ρ 2

0,14* 80 + 0,56 *240= 145,6

Auf der Basis dieser Berechnungen kann das Entscheidungsproblem des Ausgangspunktes des Entscheidungsbaumes bearbeitet werden. Dabei geht es um die Frage, ob im Betrachtungszeitpunkt eine Maschine gekauft werden soll, oder ob zwei Maschinen bei den gegeben Daten vorteilhafter erscheinen. Bei der Bestimmung der optimalen Entscheidung im Zeitpunkt to ist zu beachten, daß in den nachfolgenden Knoten (Entscheidungen der weiteren Perioden) jeweils die im ersten Schritt als optimal angesehene Alternative zugrunde gelegt wird. Entscheidet sich der Investor im Betrachtungszeitpunkt to dafür, eine Maschine zu kaufen, so wird er entweder zu Knotenpunkt Α oder zu Β gelangen. In beiden Fällen wird er in der Periode zwei eine Maschine einsetzen, da dann die erwarteten Kapitalwerte jeweils am höchsten sind. Für die im Betrachtungszeitpunkt to zu treffende Entscheidung resultiert daraus bei einer Maschine in to ein erwarteter Kapitalwert in Höhe von: 0,30 * 36 + 0,70 * 84 = 69,6 Trifft der Investor im Zeitpunkt to die Entscheidung, zwei Maschinen einzusetzen, so bedeutet das analog dazu: 0,30 * - 6 + 0,70 * 145,6 = 100,12 Die optimale Lösung des Entscheidungsproblems sieht demnach vor, im Betrachtungszeitpunkt to zwei Maschinen zu kaufen und zum Einsatz zu bringen. Bei guter Absatzlage in der ersten Periode (Xi = 2.000 Stück) wird im Zeitpunkt ti die Entscheidung getroffen, keine der Maschinen zu verkaufen. Ist die Absatzlage in der ersten Periode schlecht (Xi = 1.000

490

Unsichere Erwartungen

Stück), so ist im Zeitpunkt ti die Entscheidung optimal, eine der zwei in to angeschafften Maschinen zu verkaufen. b) Geben Sie eine kritische Beurteilung zum Prinzip der flexiblen Planung, indem Sie das mathematische Instrumentarium der Wahrscheinlichkeitstheorie und damit das Erwartungswertkriterium hinsichtlich

der

im Aufgabenteil

a) gemachten

Aussage

näher

betrachten! Die Gewichtung der Kapitalwerte mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten der verschiedenen Zustände am Absatzmarkt beruht auf dem Prinzip des Erwartungswertes aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die mit dem Verfahren angestrebte Maximierung des Erwartungswertes ist kritisch zu betrachten, da dieses mathematische Vorgehen eine Objektivität, Eindeutigkeit und Sicherheit suggeriert, die nicht gegeben ist. Die tatsächlich eintretende Datenkonstellation kann die mathematisch unwahrscheinlichste sein! Wie würde man nun bei der Lösung aus dem Aufgabenteil a) vorgehen? Zunächst erscheint es sinnvoll, im Betrachtungszeitpunkt zwei Maschinen anzuschaffen.

Die Wahrscheinlichkeit

einer vollen

Auslastung

der

Maschinen im ersten Jahr der Nutzungsdauer beträgt 70 %. Dennoch kann der Fall eintreten, daß der Absatzmarkt nur 1.000 Stück nachfragt. Die Anschaffung zweier Maschinen im Zeitpunkt to ist dann eine echte Fehlentscheidung! Dieses Gedankenspiel kann analog auf die im Zeitpunkt ti zu treffende Entscheidung hinsichtlich der Gestaltung der maschinellen Ausstattung für die zweite Periode übertragen werden. Die Strategie mit dem höchsten Erwartungswert ist also nicht zwangsläufig die vorteilhafteste. Auch bei einer Entscheidung im Rahmen der flexiblen Planung muß auf die Probleme der Unsicherheit bezüglich zukünftiger Erwartungen geachtet werden. Das Verfahren der flexiblen Planung kann die Probleme aus den unsicheren Erwartungen nicht beheben, diesen Anspruch erhebt das Konzept auch nicht. Der Hintergrund der flexiblen Planung besteht vielmehr darin, die Probleme und die Konsequenzen unsicherer Erwartungen transparent darzustellen, um auf diesem Wege Über-

491

Unsichere Erwartungen

raschungen durch unvorbereitete bzw. unvollständige Entscheidungsunterlagen zu vermeiden. Aufgabe 11.4 Zwei alternative Investitionen sind mit den AnschafTungsauszahlungen Ao1 = 250.000 G E und A 0 2 = 225.000 GE verbunden. Beide Investitionen haben eine maximale Nutzungsdauer von η = 2 Jahren. Die Ertragswerte der Investitionen werden von der tatsächlichen Nutzungsdauer sowie von der Entwicklung am Absatzmarkt determiniert. Eine Entwicklung E 1 am Absatzmarkt wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % angenommen, eine Entwicklung E 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %. Die folgende Tabelle zeigt die Ertragswerte der Investitionen in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer und der Entwicklung am Absatzmarkt. Investition

Ertragswert bei der Entwicklung E1 am Absatzmarkt

Ertragswert bei der Entwicklung E 2 am Absatzmarkt

1 Jahr

420.000 GE

70.000 GE

2 Jahre

300.000 GE

200.000 GE

1 Jahr

250.000 GE

300.000 GE

2 Jahre

275.000 GE

225.000 GE

Nutzungsdauer

A

Β

a) Bestimmen Sie die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert, wenn die Entscheidung über die Nutzungsdauer im Betrachtungszeitpunkt definitiv zu fixieren ist (starre Planung)! Die folgende Tabelle zeigt die Erwartungswerte der Ertragswerte und die daraus resultierenden Erwartungswerte der Kapitalwerte. Dabei wird die (sichere) Anschaffungsauszahlung vom Erwartungswert des Ertragswertes subtrahiert, um den Erwartungswert des Kapitalwertes zu bestimmen. Unter den gegebenen Bedingungen ist eine Durchführung der Investition Β über die Nutzungsdauer von einem Jahr optimal. Es wird der maximale Erwartungswert des Kapitalwertes erreicht.

Investition

J

< 275.000 » 0,60 + 225.000 » 0,40 = 255.000

250.000 * 0,60 + 300.000 « 0,40 = 270.000

1 Jahr

2 Jahre

300.000 « 0,60 + 200.000 · 0,40 = 260.000

420.000 » 0,60 + 70.000 » 0,40 = 280.000

1 Jahr

2 Jahre

Ervvartungswert des Ertragswertes

Nutzungsdauer

255.000 - 225.000 = 30.000

270.000 - 225.000 = 45.000

260.000 - 250.000 = 10.000

280.000-250.000 = 30.000

Ervvartungswert des Kapitalvvertes

492 Unsichere Erwartungen

CQ

493

Unsichere Erwartungen

b) Welches Vorgehen ist optimal, wenn die Entscheidung über Fortführung oder Abbruch einer Investition erst im Zeitpunkt ti getroffen werden soll, also nachdem bekannt ist, welche Entwicklung am Absatzmarkt tatsächlich eingetreten ist? Legen Sie Ihren Berechnungen das Prinzip des maximalen Erwartungswertes zugrunde! Die Entscheidung über Fortführung oder Abbruch einer Investition ist erst im Zeitpunkt ti zu treffen. Bis dahin ist bekannt, welche der Entwicklungen am Absatzmarkt eingetreten ist. Bei der Entscheidung für die alternativen Investitionen ist daher zu berücksichtigen, daß die Entscheidung zwischen Fortfuhrung und Abbruch in ti von der im ersten Jahr eingetretenen Entwicklung am Absatzmarkt abhängig sein kann (flexible Planung). Die folgenden acht Strategien sind denkbar, sie sind abhängig von der Entwicklung am Absatzmarkt in ti.

Strategie

Investition

Fortfuhrung oder Abbruch bei unterschiedlichen Entwicklungen am Absatzmarkt Entwicklung Ε1

Entwicklung E2

ai

A

Abbruch

Abbruch

a2

A

Abbruch

Fortführung

a3

A

Fortführung

Abbruch

m

A

Fortfuhrung

Fortführung

b,

Β

Abbruch

Abbruch

b2

Β

Abbruch

Fortführung

bs

Β

Fortführung

Abbruch

b4

Β

Fortführung

Fortführung

Die genannten Strategien sind mit folgenden Erwartungswerten verbunden.

494

Unsichere Erwartungen

Erwartungswert des Ertragswertes

Erwartungswert des Kapitalwertes

ai

420.000 * 0,60 + 70.000 » 0,40 = 280.000

280.000 - 250.000 = 30.000

a2

420.000 * 0,60 + 200.000 » 0,40 = 332.000

332.000 - 250.000 = 82.000

a3

300.000 * 0,60 + 70.000 • 0,40 = 208.000

208.000 - 250.000 = - 42.000

a4

300.000 * 0,60 + 200.000 * 0,40 = 260.000

260.000 - 250.000 = 10.000

b,

250.000 * 0,60 + 300.000 * 0,40 = 270.000

270.000 - 225.000 = 45.000

b2

250.000 « 0,60 + 225.000 » 0,40 = 240.000

240.000 - 225.000 = 15.000

b3

275.000 » 0,60 + 300.000 * 0,40 = 285.000

285.000 - 225.000 = 60.000

b4

275.000 • 0,60 + 225.000 » 0,40 = 255.000

255.000 - 225.000 = 30.000

Strategie

Hat der Investor die Möglichkeit, im Zeitpunkt t| über Abbruch oder Fortfuhrung zu entscheiden, so sollte er nach der Methode des maximalen Erwartungswertes nunmehr die Investition Α wählen. Tritt die Entwicklung E1 am Absatzmarkt ein, so sollte das Projekt nach einem Jahr beendet werden. Bei der Entwicklung E2 ist die Investition über die maximale Nutzungsdauer von η = 2 Jahren zu realisieren. Strategie a 2 ist hier optimal. c) Zeigen Sie den Unterschied zwischen einer starren und einer flexiblen Planung anhand der Ergebnisse aus den Teilen a) und b)! Der Aufgabenteil a) zeigt vier alternative Strategien des Investors. Die Strategien sind unabhängig von der Entwicklung am Absatzmarkt, da die Annahme unterstellt ist, die Entscheidung sei in to definitiv zu treffen. Im Aufgabenteil b) ist demgegenüber unterstellt, es bestehe die Möglichkeit, im Zeitpunkt ti auf bestimmte festgestellte Entwicklungen am Absatzmarkt zu reagieren. Neben den Optionen aus dem Aufgabenteil a) stehen nunmehr die Strategien a 2 und a3 sowie b 2 und b3 zusätzlich zur Verfugung. Diese zusätzlichen Strategien machen von der Möglichkeit Gebrauch, auf unterschiedliche Entwicklungen am Absatzmarkt unterschiedlich zu reagieren. Aufgabenteil a) zeigt das Prinzip der starren und Aufgabenteil b) das der flexiblen Planung.

Unsichere Erwartungen

495

Zusammenfassung zum 11. Kapitel

Das elfte Kapitel hat einen bisher vernachlässigten Aspekt der Wirtschaftlichkeitsrechnung in den Mittelpunkt der Betrachtung gerückt. Bei nahezu sämtlichen Investitionsentscheidungen wird der Investor mit dem Problem unsicherer Erwartungen konfrontiert sein, da er die entscheidungsrelevanten Daten nicht mit Sicherheit antizipieren kann. Die Wirtschaftlichkeitsrechnung bietet diesbezüglich einen Lösungsvorschlag, der im Rahmen des elften Kapitels dargestellt wurde und mit der folgenden Zusammenfassung in seinen Grundzügen repetiert werden soll: 1. Unsichere Erwartungen werden zum betriebswirtschaftlichen Problem, wenn die betriebliche Flexibilität nicht ausreicht, um auf unerwartete Situationen ohne wirtschaftliche Nachteile zu reagieren. In aller Regel geht es dabei um Entscheidungen, die in der Gegenwart getroffen werden (müssen), sich aber erst in der Zukunft realisieren und messen lassen. Solche Schwierigkeiten zeitlicher Interdependenzen sind darin begründet, daß die Realisierbarkeit und der Erfolg getroffener Entscheidungen von nicht antizipierbaren Rahmenbedingungen determiniert werden. Zwei wesentliche Wege, mit unsicheren Erwartungen umzugehen, wurden mit den Aufgaben dieses Kapitels erfaßt: die starre und die flexible Planung. Die starre Planung wurde bereits im Rahmen der bisherigen Kapitel unterstellt. Eine als die wahrscheinlichste Konstellation aus Entscheidungen und Rahmenbedingungen definierte Situation bildet die Grundlage der in der Gegenwart zu treffenden Vorteilhaftigkeitsbestimmung von in der Zukunft zu realisierenden Maßnahmen. Damit sind zukünftige Korrekturen zwar nicht ausgeschlossen, eventuelle Änderungen werden aber ex ante nicht explizit berücksichtigt, sondern ergeben sich allenfalls im Laufe der Realisierung eines Projektes. Mit dem Verfahren der flexiblen Planung erfolgt eine explizite Berücksichtigung unsicherer Erwartungen hinsichtlich der Rahmenbedingungen einer Vorteilhaftigkeitsbestimmung sowie interdependenter Bezie-

496

Unsichere Erwartungen

hungen zeitlich aufeinander aufbauender Entscheidungen und Maßnahmen. Im Betrachtungszeitpunkt werden im Idealfall sämtliche denkbaren Datenkonstellationen erfaßt und als ein System bedingter Teilpläne dargestellt. Der entsprechende Entscheidungsbaum enthält Zustands- und Entscheidungsknoten, die bei zahlreichen Handlungsoptionen und einer mehrperiodigen Laufzeit eine kaum überschaubare Anzahl annehmen können. 2. Aus den Handlungsoptionen des Investors (beispielsweise eine oder zwei Maschinen anschaffen) und den im Zeitablauf unsicheren Rahmenbedingungen (beispielweise gute oder schlechte Absatzlage) resultiert eine in tabellarischer Form darstellbare Übersicht der (bedingten) strategischen Optionen. Eine Quantifizierung dieser alternativen Strategien erfolgt, indem der Kapitalwert einer jeden Strategie in Abhängigkeit von den unterschiedlichen denkbaren Rahmenbedingungen errechnet wird. Schließlich werden die von alternativen Zuständen abhängigen Kapitalwerte einer Strategie einer ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit entsprechenden Gewichtung unterzogen und in der Summe zum Erwartungswert des Kapitalwertes der jeweiligen Strategie verdichtet. Die Strategie mit dem höchsten Erwartungswert des Kapitalwertes gilt als die attraktivste. Das Konzept der flexiblen Planung basiert demnach im wesentlichen auf der Kapitalwert-Formel und den Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 3. Eine Berücksichtigung unsicherer Erwartungen im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsrechnung mit Hilfe des Konzeptes der flexiblen Planung erhöht die Transparenz des Entscheidungsproblems und fuhrt zu einer intensiven Auseinandersetzung mit der Variabilität und Vielschichtigkeit der Einflußfaktoren und deren Einfluß auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Der Investor ist im Idealfall auf alle denkbaren Szenarien vorbereitet, seine Unterlagen erfassen den zu bewertenden Gegenstand vollständig und Überraschungen, die eventuell zu unreflektierten Entscheidungen oder Maßnahmen fuhren, kann er ausschließen. Dennoch darf die mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmte optimale Strategie nicht den Eindruck erwecken, sie sei, da

Unsichere Erwartungen

497

mathematisch einwandfrei auch objektiv eindeutig richtig und zielfuhrend. Der Investor darf nicht verdrängen, daß auch die mathematisch unwahrscheinlichste Datenkonstellation eintreten kann und seine Entscheidungen

und Maßnahmen

somit zu suboptimalen

Strategien

werden. Darüber hinaus wird der Investor gerade bei komplexeren Entscheidungsfeldern in aller Regel nicht den Idealfall der vollständigen Erfassung des Gegenstandes anstreben können, da dieser Weg zu erheblichen Redundanzen fuhrt und kaum den Ansprüchen der Effektivität und Effizienz genügt. Das Konzept der flexiblen Planung ist daher als Instrument zur Verbesserung der Transparenz und zur differenzierten Analyse eines Investitionskalküls geeignet, Funktionalität und Sicherheit der Methode dürfen aber nicht unkritisch betrachtet werden.

498

Unsichere Erwartungen

Literaturempfehlungen zum 11. Kapitel

Albach, H., Wirtschaftlichkeitsrechnung bei unsicheren Erwartungen, Köln, Opladen 1959. Betge, P., Investitionsplanung, 4. Aufl., München 2000, S. 80 - 90. Bieg, H./Kußmaul, H., Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band 1: Investition, München 2000, S. 208 - 243. Blohm, H./Lüder, K., Investition, 8. Aufl., München 1995, S. 280 - 286. Eisenflihr, F., Investitionsrechnung, 12. Aufl., Aachen 1998, S. 99 - 105. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 216 - 228. Götze, U./Bloech, J., Investitionsrechnung - Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 3. Aufl., Berlin u.a. 2002, S. 381 -465. Grob, H.L., Einführung in die Investitionsrechnung, 3. Aufl., München 1999, S. 4 5 6 - 4 6 2 . Hax, H., Investitionstheorie, S. 165 - 190. Kruschwitz, L., S. 296 - 305.

5.

Aufl.,

Investitionsrechnung,

8.

Würzburg, Aufl.,

Wien

1993,

München

2000,

Perridon, L./Steiner, M , Finanzwirtschaft der Unternehmung, 11. Aufl., München 2002, S. 128- 134. Troßmann, E., Investition, Stuttgart 1998, S. 360 - 384.

Schlußbetrachtung

499

Kapitel 12

SCHLUSSBETRACHTUNG

Mit der Schlußbetrachtung soll ein Bezug zur Einleitung dieses Buches hergestellt werden. Die damit verfolgte Zielsetzung ist darauf gerichtet, das vorliegende Buch als ein in sich geschlossenes Ganzes darzustellen, um die einzelnen Aspekte als interdependente Elemente einer umfassenden Untersuchung der Wirtschaftlichkeitsrechnung einordnen und verstehen zu können. Analog zu den wesentlichen Aufgaben der Einleitung sind in den folgenden Aufgaben erstens die Zusammenhänge zwischen Investition und Konsum, zweitens die Präferenzen eines Investors sowie drittens die Analyse der Vorteilhaftigkeit von Investitionen anhand der graphischen Zusammenführung von Einkommens-/Konsumkombinationen und Indifferenzkurven zu thematisieren. Die daraus entstehenden Verbindungslinien zwischen Einleitung und Schluß werden um die eigentlichen Verfahren der Investitionsrechnung - repräsentiert durch die Kapitalwert-Methode als konzeptionelle Basis aller anderen mehrperiodigen Vorteilhaftigkeitskriterien - ergänzt, so daß es abschließend erneut ermöglicht wird, die notwendigen Annahmen bzw. Bedingungen der Wirtschaftlichkeitsrechnung umfassend zu reflektieren.

500

Schlußbetrachtung

Aufgabe 12.1 Erläutern Sie das Fisher-Modell, indem Sie auf das mit dem Modell verbundene Separationstheorem eingehen und es auf die zentralen Elemente der mehrperiodigen Investitionsrechnung beziehen! Der Hintergrund des Fisher-Modells besteht darin, Investitionen anhand der von ihnen beim Investor ausgelösten Einkommens- und Konsumströme zu beurteilen. Der Ausgangspunkt des Modells erinnert an die in der Einleitung dieses Buches dargestellten Grundzüge der Investitionsrechnung. In dem Zusammenhang war die Feststellung erarbeitet worden, Investitionen seien grundsätzlich so zu bewerten und zu gestalten, daß sie den Konsumstrom des Investors optimieren. Diese Aussage ist eine wesentliche Basis des Fisher-Modells. Im Rahmen der Einleitung war auch die These formuliert worden, die persönlichen Präferenzen hätten einen bedeutenden Einfluß auf die Beurteilung von Investitionen. Spätestens an dieser Stelle sollte diese Behauptung in Frage gestellt werden, sind doch die persönlichen Präferenzen des Investors weder bei den einperiodigen noch bei den mehrperiodigen Verfahren der Wirtschaftlichkeitsrechnung berücksichtigt worden! Das Fisher-Modell klärt diesen scheinbaren Widerspruch zwischen den Aussagen der Einleitung und den tatsächlichen Kalkulationen in den vorangegangenen Kapiteln auf. Die in der Einleitung getroffene Feststellung der Relevanz persönlicher Präferenzen zur Beurteilung von Investitionen ist unter bestimmten Bedingungen nicht zutreffend. Oder: Unter bestimmten Bedingungen können die persönlichen Präferenzen des Investors vernachlässigt werden, ohne damit suboptimale Investitionsentscheidungen zu induzieren! Diese Voraussetzungen waren den diskutierten Investitionsrechenverfahren zugrunde gelegt worden. Zur Verdeutlichung dieser Prämissen, welche den Einfluß persönlicher Interessen des Investors auf die Beurteilung von Investitionen neutralisieren, sei die Basis des Fisher-Modells wie folgt erklärt: In seiner Grundform unterstellt das Fisher-Modell zwei Zeitpunkte ti und t2, sichere Erwartungen hinsichtlich der entscheidungsrelevanten Daten,

Schlußbetrachtung

501

das originäre Interesse der Investoren, einen optimalen Konsumstrom zu gestalten sowie einen vollkommenen Kapitalmarkt. Die Konsequenzen dieser Annahmen im Hinblick auf die Bestimmung der Vorteilhafligkeit von Sachinvestitionen sollen anhand der folgenden Graphiken erörtert werden. Hierbei werden wie in Aufgabe 1,5a die möglichen Einkommens-/Konsumkombinationen durch eine Gerade dargestellt.

Ein Einkommen in Höhe von eo = 100 GE kann für Konsum in den Zeitpunkten to und t| eingesetzt werden. Bei einer zeitlichen Verlagerung des Konsums besteht die Möglichkeit, Geld zum Zinssatz von iH = 10 % für ein Jahr bei der Bank anzulegen. Dementsprechend sind sämtliche Einkommens-/Konsumkombinationen, die auf der Gerade liegen, äquivalent. Die Tabelle der folgenden Seite verdeutlicht das. Sämtliche Kombinationen der zeitlichen Verlagerung des Konsums haben den gleichen Barwert in Höhe von 100 GE. Dieser Barwert läßt sich auf der Abszisse im Schnittpunkt mit der Einkommens-/Konsumgeraden able-

502

Schlußbetrachtung

sen. Die Einkommens-/Konsumgerade wird entsprechend ihrer Aussage als Iso-Barwertlinie bezeichnet. Einkommens-/Konsumkombination in den Zeitpunkten to/ti 100/0 75 / 27,5 50/55 25 / 82,5 0 / 110

Barwert der Kombination bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,10 100 * (1,10)°+ 0 *(1,10)"' = 100 75* (1,10)°+ 27,5* (1,10)"'= 100 50 * (1,10)° + 55 * (1,10)·' = 100 25 * (1,10)° + 82,5 * (1,10)·' = 100 0 * (1,10)°+ 110 * (1,10)·' = 100

Die Punkte Α und Β zeigen optimale Einkommens-/Konsumkombinationen der Wirtschaftssubjekte I und II. Die Personen verfugen über verschiedene Präferenzen und werden daher von unterschiedlichen Indifferenzkurven I1 und I11 repräsentiert. Beide Personen haben in den entsprechenden Punkten ihr Optimum erreicht, da die jeweilige Indifferenzkurve die Iso-Barwertlinie gerade berührt. An dieser Stelle soll nun in Anlehnung an die Aufgabe 1.5b die Möglichkeit der Durchführung einer Sachinvestition (SI) in die Betrachtung einbezogen werden. Die Personen haben die Möglichkeit, eine Investition zu realisieren, die mit einer Anschaffungsauszahlung von Ao = 50 GE zu einer Einzahlung in Höhe von e, = 60 GE führt; das entspricht einer Verzinsung von r = 0,20. Die Graphik der folgenden Seite skizziert die Wirkungen der zur Diskussion stehenden Sachinvestition. Die Sachinvestition muß offensichtlich von beiden Wirtschaftssubjekten als vorteilhaft bewertet werden. Beide Personen können ein höheres Niveau der Zufriedenheit realisieren: I1 > I1 und i" > i". Oder: die Punkte A' und B' sind mit attraktiveren Konsumniveaus verbunden als die Punkte Α und Β aus der Graphik ohne Berücksichtigung der Sachinvestition.

503

Schlußbetrachtung

25

50

*

75

Ao (SI)

100 104,55

•

Diese Beurteilung läßt sich anhand der Kapitalwert-Methode bestätigen. Die Sachinvestition hat den folgenden Kapitalwert: Co = - Ao

+ e, * (1 + i)4

Das bedeutet: Co = - 5 0 + 6 0 * (1,10)·' Co = 4,55 > 0 Der positive Kapitalwert kann auch in der Graphik abgelesen werden. Der Wert ergibt sich, indem der Barwert ohne Berücksichtigung der Sachinvestition (100 GE) vom Barwert mit Berücksichtigung der Sachinvestition (104,55 GE) subtrahiert wird. Erwähnenswert ist an dieser Stelle die Tatsache, daß die Wirtschaftssubjekte bei einer Sachinvestition mit den Daten Ao = 50 GE und ei = 52 GE einig darüber wären, die Investition als unvorteilhaft abzulehnen. Die Sachinvestition hätte eine Verlagerung der Iso-Barwertlinie zum Ursprung

504

Schlußbetrachtung

des Graphen zur Folge, dadurch käme bei beiden Personen eine Verschlechterung des Konsumniveaus zustande, so daß beide Personen die Finanzinvestition zu 1h = 10 % bevorzugen würden. Worin besteht nun die wesentliche Aussage des Fisher-Modells? Das Modell zeigt, daß Investitions- und Konsumentscheidungen unter bestimmten Bedingungen getrennt voneinander betrachtet werden können. Dieses Separationstheorem basiert auf der Erkenntnis, daß Wirtschaftssubjekte mit unterschiedlichen Präferenzen (Indifferenzkurven) unter bestimmten Bedingungen die Vorteilhaftigkeit einer Investition einheitlich beurteilen. Das oben dargestellte Modell hat verdeutlicht, daß eine vorteilhafte Sachinvestition die Iso-Barwertlinie nach außen verschiebt und dadurch beiden Wirtschaftssubjekten die Möglichkeit verschafft, ein höheres Niveau der Zufriedenheit zu erreichen. Eine Beurteilung von Sachinvestitionen kann dann unter Vernachlässigung der persönlichen Verhältnisse (Einkommens- und Vermögenssituation ohne Investition, Finanzierungssituation, Konsumverhalten) des Investors geschehen. Unter den Bedingungen des Fisher-Modells ist eine Investition vorteilhaft, wenn sie geeignet ist, die Iso-Barwertlinie nach außen zu verschieben, der Kapitalwert der Investition ist dann positiv. Jeder Investor kann somit ein höheres Konsumniveau erreichen. Wie er seinen Konsum gestaltet, ist dabei nicht entscheidend. Im Fisher-Modell spielen subjektive Momente der Investoren im Hinblick auf die Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen keine Rolle. Interessenkonflikte verschiedener Entscheidungsträger können daher bei der Bewertung von Investitionen nicht entstehen, es gibt eine eindeutig objektiv richtige Entscheidung bezüglich der Beurteilung von Investitionen. Daraus folgt die Erkenntnis, Investitionsentscheidungen unter den Bedingungen des Fisher-Modells an Manager oder externe Berater delegieren zu können. Der Manager bzw. Berater ermittelt dann objektiv mit den Verfahren der Wirtschaftlichkeitsrechnung die für alle am Unternehmen beteiligten Eigner optimale Entscheidung, da er die persönlichen Präferenzen der Eigner nicht zu beachten hat. Die Eigner entscheiden ausschließlich über die Verwendung des erzielten Konsumpotentials.

Schlußbetrachtung

505

Das Separationstheorem basiert im wesentlichen auf einer der oben genannten Annahmen des Fisher-Modells: die Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes. Diese Annahme lag auch den ein- und mehrperiodigen Entscheidungskriterien zugrunde. Dabei wurde bereits im Rahmen der vergangenen Kapitel darauf hingewiesen, daß die Frage der Finanzierung (also auch die individuellen finanziellen Möglichkeiten des Investors im Betrachtungszeitpunkt) ohne Bedeutung ist, wenn der vollkommene Kapitalmarkt angenommen wird. Die Aussage kann nun allgemeiner formuliert werden: Eine gegebene Investition hat unter den Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes einen von der persönlichen Situation des Investors unabhängigen Kapitalwert und damit eine von der Person des Entscheidungsträgers unabhängig definierbare Vorteilhaftigkeit. Investition, Finanzierung und Konsumpläne sind bei einem vollkommenen Kapitalmarkt separierbar. Die in der Einleitung gemachte Formulierung muß daher ergänzt werden, da sie sonst möglicherweise falsch interpretiert wird. Uneingeschränkt zu bejahen ist die als zentrale Grundlage des Investierens gemachte Behauptung, Investitionen dienten einer Optimierung der vom Investor darstellbaren Konsumströme. Investitionen werden durchgeführt, wenn sie in dem Sinne vorteilhaft sind, daß sie das Konsumpotential des Investors erhöhen. Nur bedingt zu bejahen ist die Aussage, die persönlichen Präferenzen des Investors beeinflußten die Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Bei einem vollkommenen Kapitalmarkt ist die Person des Investors zu vernachlässigen, da nicht von Bedeutung ist, wie der Investor sein durch Investitionen erzielbares Einkommen verwendet bzw. konsumiert.

506

Schlußbetrachtung

Aufgabe 12.2 Erläutern Sie die von Jack Hirshleifer entwickelte Variante des Fisher-Modells und nehmen Sie Bezug auf die in diesem Buch dargestellten Verfahren der Wirtschaftlichkeitsrechnung! Das Hirshleifer-Modell beruht auf einem wesentlichen Unterschied zum Fisher-Modell. Es unterstellt einen unvollkommenen Kapitalmarkt, bei dem der Sollzinssatz ίκκ für Geldaufnahme den Habenzinssatz iH für Geldanlage übersteigt. Die folgende Graphik verdeutlicht exemplarisch die damit einhergehenden Konsequenzen für die Einkommens-/Konsumkombinationen eines Wirtschaftssubjektes. Dabei wird unterstellt, der Sollzinssatz sei ίρκ = 15 % und der Habenzinssatz sei iH = 5 %. Die Person verfügt über die Einkommen eo = 80 GE und ei = 50 GE.

Ausgangspunkt ist der Punkt A, welcher die gegebene Einkommenssituation in den Zeitpunkten to und ti darstellt. Der obere Teil des fett gedruckten Graphen zeigt die Möglichkeit, im Zeitpunkt to auf Konsum zu verzichten und Geld zum Zinssatz iH = 0,05 anzulegen. Die negative Steigung des

Schlußbetrachtung

507

oberen Teils des Graphen ist somit 1,05. Mit dem unteren Abschnitt des fett gedruckten Graphen wird die Option in Rechnung gestellt, im Zeitpunkt to einen Konsum zu realisieren, der größer ist als das Einkommen im Zeitpunkt to. Es ist eine Verschuldung zu IFK = 0,15 möglich, die im Zeitpunkt ti inklusive Zinsen zurückzuzahlen ist. Die negative Steigung des unteren Teils des Graphen beträgt 1,15. Die extremen Fälle realisierbarer

Einkommens-/Konsumkombinationen

seien zur Verdeutlichung der Graphik hervorgehoben: Fall 1: Das gesamte zur Verfugung stehende Einkommen wird im Zeitpunkt to für Konsumzwecke eingesetzt. Dabei besteht die Möglichkeit, das gegebene Einkommen in Höhe von eo = 80 GE um einen Kredit in Höhe von 43,48 GE zu erhöhen. Bei einem Zinssatz von ϊρκ = 0,15 und einem Einkommen im Zeitpunkt ti in Höhe von ei = 50 GE ist ei gerade ausreichend, um den Kredit aus dem Zeitpunkt to im Zeitpunkt ti zurückzuzahlen. Fall 2: Ein vollständiger Verzicht auf Konsum im Zeitpunkt to ermöglicht eine Geldanlage zu iH = 0,05 für ein Jahr. Bei eo = 80 GE resultiert daraus eine Erhöhung des gegebenen Einkommens ei = 50 GE um 80 * 1,05 = 84 GE, so daß maximal konsumierbare 134 GE im Zeitpunkt ti zur Verfügung stehen. Der Graph der realisierbaren Einkommens-/Konsumkombinationen ist ein zusammengesetzter, da hier kein vollkommener Kapitalmarkt mit 1FK = ΪΗ vorliegt. Die gestrichelten Verlängerungen der Teile des fett gedruckten Graphen stellen keine realisierbaren Einkommens-/Konsumkombinationen dar, denn es besteht nicht die Möglichkeit, Geld zu 15 % anzulegen (steilere Verlängerung) bzw. Geld zu 5 % aufzunehmen (flachere Verlängerung). Nun sei die Möglichkeit einer Investition in die Betrachtung einbezogen. Ein Investor habe das Angebot, eine Investition mit den Daten Ao = 40 GE und ei = 44 GE zu realisieren. Die Investition führt zu einem internen Zinsfuß von r = 0,10.

508

Schlußbetrachtung

Unter der Annahme einer beliebigen Teilbarkeit der Investition ergibt sich die folgende Graphik (nächste Seite) zur Verdeutlichung der nunmehr vorliegenden Situation. Ausgangspunkt ist wiederum der Punkt A, welcher die gegebene Einkommenssituation in den Zeitpunkten to und ti angibt. Bei einer vollständigen Durchführung der Investition besteht die Möglichkeit, den Punkt Β zu realisieren. Der Investor verzichtet dann auf 40 GE Konsum in to und schafft sich ein zusätzliches Konsumpotential von 44 GE in ti. Mit dem gegebenen Einkommen von ei = 50 GE hat der Investor dann 94 GE zum Konsum in ti zur Verfugung. Eine teilweise Realisierung der Sachinvestition ist annahmegemäß möglich. Die dabei entstehenden Einkommens-/Konsumkombinationen zeigt der mittlere Teil des fett gedruckten Graphen. Dieser Teil hat entsprechend der Verzinsung der Sachinvestition eine negative Steigung von 1,10. ei, ci

\ \

\ *•

40

80

eo, Co

123,48

••Ao (SI)*

Verzichtet der Investor vollständig auf einen Konsum in to, so kann er zusätzlich zu der Sachinvestition eine Finanzinvestition in Höhe von

Schlußbetrachtung

509

40 GE zu in = 0,05 tätigen. In der Summe kann der Investor dann 136 GE im Zeitpunkt ti für Konsumzwecke verwenden. Die Verlängerung des oberen Teils des fett gedruckten Graphens stellt keine erreichbaren Einkommens-/Konsumkombinationen dar, der Investor kann sich nicht zu 5 % verschulden. Ist die Sachinvestition vorteilhaft? Die Frage kann hier nur in Abhängigkeit von den Präferenzen des Investors beantwortet werden. Ein durch die Indifferenzkurve I1 repräsentierter Investor wird die Investition ablehnen. Er ist so sehr auf einen hohen Konsum im Zeitpunkt to fixiert, daß er bereit ist, Zinsen in Höhe von ίρκ = 0,15 zu zahlen, um das gegebene Einkommen von e0 = 80 GE durch einen Kredit zu erhöhen. Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt hätte dieser Investor eine Sachinvestition zumindest teilweise realisiert, sofern die Bedingung r > ίρκ erfüllt wäre. Der durch die Indifferenzkurve i" dargestellte Investor realisiert einen Teil der Sachinvestition. Er ist zwar bereit, das Einkommen eo teilweise zeitlich zu verlagern, seine Präferenzen für einen Konsum im Zeitpunkt to sind aber derart ausgeprägt, daß es für ihn nicht optimal ist, die Sachinvestition zur Gänze durchzuführen. Eine Geldanlage zu in = 0,05 kommt aber nicht in Frage. Mit der Indifferenzkurve I m werden die Präferenzen eines Investors dargestellt, der ein besonderes Interesse daran hat, im Zeitpunkt ti über ein hohes Konsumpotential verfügen zu können. Der Investor realisiert hierfür nicht nur die Einzahlungen aus der gesamten Sachinvestition, sondern zudem einen erheblichen Teil aus denen der zusätzlich möglichen Finanzinvestition zu in = 0,05. Eine Bestimmung der Vorteilhaftigkeit der Sachinvestition kann anhand der Kapitalwert-Methode nur bedingt erfolgen; bedingt, weil hier kein eindeutiger Kalkulationszinssatz gegeben ist! Bei den Investoren, die durch die Indifferenzkurven I1 und I m gekennzeichnet sind, kann der Kalkulationszinssatz ermittelt werden. Für den Investor I beträgt er entsprechend dem Sollzinssatz 15 %. Daraus resultiert ein Kapitalwert in Höhe von:

510

Schlußbetrachtung

Co = - A o + e t * ( l + ι)"' Das bedeutet: Co = - 4 0 + 44 * (1,15)·' C 0 = - 1,74 < 0

Der Investor III rechnet mit dem Habenzinssatz und dementsprechend mit einem Kalkulationszinssatz von 5 %. Der Kapitalwert beträgt dann: Co = - Ao + e, * (1 + i)"1

Das bedeutet: Co = - 4 0 + 4 4 * (1,05)"' Co = 1,90 > 0

Die Berechnungen nach der Kapitalwert-Methode zeigen die gleiche Vorteilhaftigkeit an wie die aus der Graphik zu entnehmenden Aussagen. Für den Investor II kann kein Kalkulationszinssatz bestimmt werden. Seine Präferenzen sind derart, daß sie nicht mit dem Ja-Nein-Charakter des Kriteriums der Kapitalwert-Methode zu vereinbaren sind. In der für seine Präferenzen optimalen Situation realisiert er die Sachinvestition nur teilweise, eine entsprechende Aussage kann die Kapitalwert-Methode nicht liefern. Genau genommen ist die Berechnung des Kapitalwertes bei einem unvollkommenen Kapitalmarkt grundsätzlich obsolet. Um den richtigen Kalkulationszinssatz definieren zu können, muß die für den Investor optimale Entscheidung zuvor bekannt sein. Die Kapitalwert-Methode kann also erst dann eingesetzt werden, wenn sämtliche Beurteilungskriterien vorliegen. Die Methode hat dann allenfalls den Charakter einer Bestätigung der zuvor bereits feststellbaren Schlußfolgerung aus einer simultanen Optimierung der Investitions-, Finanzierungs- und Konsumpläne des Investors. Bei der Bestimmung der Vorteilhaftigkeit von Sachinvestitionen auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt müssen daher die Präferenzen und die Ausgangssituation des Investors (Vermögenslage, Finanzierungspotential, zeitliche Präferenzen der Gestaltung des Konsums) bekannt sein. Werden

511

Schlußbetrachtung

mehrere Personen von einer Investition tangiert, so kann es bei unterschiedlichen Interessenlagen (Indifferenzkurven) der beteiligten Parteien zu Konflikten kommen, da es eine objektiv eindeutig optimale Entscheidung hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit der Investition nicht gibt. Ein Delegieren der Beurteilung einer Investition fuhrt daher nicht zwangsläufig zu einem fur sämtliche Beteiligten optimalen Ergebnis. Das bedeutet im Gegensatz zu der zentralen Aussage des Fisher-Modells: Die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einem unvollkommenen fuhrbar.

Kapitalmarkt

einer Investition ist bei nicht objektiv

durch-

Zwar gibt es flir sämtliche denkbaren Präferenzen

eines Investors eine optimale Entscheidung, diese Entscheidung ist aber subjektiver Natur. Konflikte bei mehreren von der Investition

tangierten

keinem Instrument

Wirtschaftssubjekten können von

oder Experten der

Wirtschaftlichkeits-

rechnung neutralisiert werden. Unter

den Bedingungen

eines unvollkommenen

Kapital-

marktes sind die Investitions-, Finanzierungs- und Konsumentscheidungen des Investors simultan zu optimieren,

eine

Separation der Entscheidungsfelder

Das

ist nicht möglich.

simultan ermittelte Optimum determiniert den für die Investitionsrechnung

notwendigen

Kalkulationszinssatz,

der

aber nach der simultanen Optimierung gar nicht mehr von Interesse ist, da die Investitionsrechnung

im Zuge der simul-

tanen Optimierung obsolet wird. Die im Rahmen der bisher eingesetzten Investitionsrechenverfahren suggerierte Objektivität und Aussagekraft ist daher nur unter den immer wieder betonten Bedingungen des vollkommenen Kapitalmarktes gegeben.

512

Schlußbetrachtung

Zusammenfassung zum 12. Kapitel

Die Zusammenfassung des zwölften Kapitels erfolgt entsprechend der Intention der damit verbundenen Aufgaben vor dem Hintergrund der im ersten Kapitel dargestellten Einleitung sowie im Hinblick auf die Zielsetzung, ein abschließendes Fazit bezüglich der Anwendung der Methoden der Investitionsrechnung zu erarbeiten. Den im Laufe der Kapitel dieses Buches dargestellten Investitionsrechenverfahren war im Rahmen der Einleitung die Zielsetzung zugrunde gelegt worden, Investitionen so zu bewerten bzw. zu gestalten, daß diese einen Beitrag zur Optimierung der Konsumströme des Investors leisten. Diese Aussage ist sowohl bei einem vollkommenen als auch bei einem unvollkommenen Kapitalmarkt notwendig und zielfuhrend. In der Einleitung war auch die These formuliert worden, die persönlichen Präferenzen seien bei der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen explizit zu berücksichtigen. Das ist bei den dargestellten Rechenverfahren nicht geschehen; und zwar zu Recht! Den dargestellten Instrumenten der Wirtschaftlichkeitsrechnung war immer die Annahme zugeordnet worden, es liege ein vollkommener Kapitalmarkt vor, obwohl das beispielsweise für die Verwendung der Kapitalwert-Methode nicht zwingend ist. Notwendig ist nur die Tatsache, daß ein eindeutiger Kalkulationszinssatz gegeben ist. Das Fisher-Modell hat gezeigt, daß die Vernachlässigung der persönlichen Interessen des Investors korrekt ist, da ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt war, welcher den Einfluß der persönlichen Präferenzen des Investors auf die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition neutralisiert. Unter den angenommenen Bedingungen gibt es also die suggerierte Objektivität und Aussagekraft der Kalküle im Sinne einer eindeutig richtigen Ja-Nein-Entscheidung. Die in der Einleitung formulierte These von der Relevanz der persönlichen Präferenzen des Investors ist damit nicht falsch. Gerade im Hinblick auf die unternehmerische Praxis und die in der Praxis oft gesuchte oder gar geforderte Objektivität gewinnt jener Hinweis besonders an Bedeutung.

Schlußbetrachtung

513

Bei dem in der Praxis vorliegenden unvollkommenen Kapitalmarkt kann es keine eindeutig und objektiv feststellbare Beurteilung einer Sachinvestition geben. Jede Entscheidung muß subjektabhängig sein, sie ist sonst nicht korrekt. Zur Verdeutlichung der Wirkung jener zwangsläufigen Subjektivität sei auf die Verbindungslinien zwischen dem Hirshleifer-Modell und den Investitionskalkülen verwiesen. Die Kalküle werden entscheidend beeinflußt vom Kalkulationszinssatz. Der ist entsprechend der Aussage des Hirshleifer-Modells bei einem unvollkommenen Kapitalmarkt aber nur subjektiv und möglicherweise gar nicht definierbar. Und: Ist er definierbar, dann sind die Kalküle eigentlich überflüssig! Die Voraussetzung einer zielfuhrenden Anwendung der Rechenverfahren - ein korrekter Kalkulationszinssatz - macht die Instrumente bei einem unvollkommenen Kapitalmarkt obsolet. Es läßt sich das folgende Fazit ziehen: Die Verfahren der Investitionsrechnung abstrahieren von bestimmten in der Realität vorhandenen Schwierigkeiten. Das sei gestattet, da sie ansonsten tatsächlich überflüssig bzw. nicht praktikabel wären! Das Ergebnis des Hirshleifer-Modells sollte also nicht zu der Konsequenz fuhren, die Anwendung der Rechenverfahren grundsätzlich abzulehnen. Eine kritische Verwendung vor dem Hintergrund der Schwächen dieser Methoden ist - gerade in der Praxis - sicherlich zielführender als der nahezu aussichtslose Versuch, tatsächlich sämtliche (subjektiven) Einflußfaktoren generieren zu wollen und eine simultane Optimierung von Investitions-, Finanzierungs- und Konsumentscheidungen anzustreben. Konkret heißt das: Die Bewertung von Investitionen ist mit zwei zentralen Problemkreisen verbunden. Neben den grundsätzlich vorhandenen Problemen der Ermittlung aller einer Investition in Zukunft zurechenbaren Wirkungen (die Zukunftsvorstellungen über die notwendigen Daten sind unvollständig und ungenau) nehmen die sich im Kalkulationszinssatz niederschlagenden persönlichen Präferenzen des Investors eine zentrale Bedeutung ein. Dabei geht es nicht um die Frage, ob ein Investor risikofreudig oder risikoavers ist (diese Charaktere sollten gerade nicht in den Kalkula-

514

Schlußbetrachtung

tionszinssatz einfließen), sondern um die durch die finanziellen Verhältnisse determinierten Konsumpläne des Investors. Der Kalkulationszinssatz, welcher die (Opportunitäts-) Kosten der Finanzierung einer Investition in Rechnung stellen soll, ist abhängig von der finanziellen Anfangsausstattung und den Konsumplänen des Investors. Bei einem vollkommenen Kapitalmarkt ist der Kalkulationszinssatz eindeutig, da nur ein Zinssatz existieren kann. Die Möglichkeit der Arbitrage schließt persönliche Kalkulationszinssätze aus. Investition, Finanzierung und Konsum sind separierbar. Auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt ist die Zahl denkbarer und (subjektiv) begründbarer Kalkulationszinssätze unendlich. Der korrekte Kalkulationszinssatz läßt sich nur ermitteln, wenn das gesamte Investitions-, Finanzierungs- und Konsumprogramm simultan optimiert wurde. Bei einem Investor als Alleinentscheider mag das Dilemma zu lösen sein womit dann die Rechenverfahren obsolet sind. Liegen divergierende Interessen gleichberechtigter Investoren vor, so könnte daraus eine nicht fur sämtliche Beteiligten optimale Situation erwachsen, die nur dann einigermaßen zufriedenstellend und effektiv zu lösen ist, wenn die Verfahren der Investitionsrechnung mit Bedacht eingesetzt werden.

Literaturempfehlungen zum 12. Kapitel

Fisher, /., The Theory of Interest, New York 1930, S. 263- 322. Franke, G./Hax, H., Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Aufl., Heidelberg 1994, S. 100 - 113. Hirshleifer, J., On the Theory of Optimal Investment Decision, in: Journal of Political Economics, Vol. 66 (1958), S. 329 - 352. Koch, H., Grundlagen der Wirtschaftlichkeitsrechnung, Wiesbaden 1970, S. 39 - 5 0 . Schmidt, R.H./Terberger, E., Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999, S. 99 - 126. Schneider, D., Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7. Aufl., Wiesbaden 1992, S. 118-127.

Formeln der Investitionsrechnung

515

Anhang 1

DIE WICHTIGSTEN FORMELN DER INVESTITIONSRECHNUNG

Die wichtigsten Formeln der Investitionsrechnung beziehen sich auf die mehrperiodigen Verfahren der Investitionsrechnung. Die im folgenden dargestellten Formeln fungieren als Faktoren, die mit Zahlungsgrößen zu multiplizieren sind. 1. Der Aufzinsungsfaktor: (1 + i)n Der Aufzinsungsfaktor ist geeignet, den Wert einer Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt zu transformieren. Diese Aufzinsung ist abhängig vom Kalkulationszinssatz i und von der Laufzeit der Aufzinsung n. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Aufzinsungsfaktors: Welchen Wert hat ein im Zeitpunkt t0 angelegter Betrag in Höhe von 1.000 GE im Zeitpunkt ts (Anlagedauer η = 8 Jahre), wenn ein Kalkulationszinssatz von i =0,10 angenommen wird? Der Wert der 1.000 GE zum Zeitpunkt t8 berechnet sich, indem der Kapitaleinsatz mit dem Aufzinsungsfaktor fur i = 0,10 und η = 8 multipliziert wird: 1.000 *(1,10) 8 = 2.143,59 GE Der Aufzinsungsfaktor lautet dementsprechend: (l+i) n Der Aufzinsungsfaktor berücksichtigt zwei wesentliche Aspekte. Erstens stellt er in Rechnung, daß der Anleger am Ende der Laufzeit nicht nur die Zinsen erhält, sondern auch wieder über das eingesetzte Kapital verfügen kann. Zweitens unterstellt die Anwendung des Aufzinsungsfaktors eine Zinseszinsrechnung. Dem Faktor liegt die Prämisse zugrunde, daß der Investor jährliche Zinszahlungen am Ende einer jeweiligen Periode erhält

516

Formeln der Investitionsrechnung

und diese Zinsen sofort als Wiederanlage einsetzt, um sie erneut zu verzinsen. 2. Der Abzinsungsfaktor: (1 + i)"n Der Abzinsungsfaktor führt eine dem Aufzinsungsfaktor genau entgegengesetzte Rechenoperation aus. Er ist geeignet, den Wert einer Zahlung auf einen früheren Zeitpunkt zu transformieren. Diese Abzinsung ist ebenfalls abhängig vom Kalkulationszinssatz i und von der Laufzeit der Abzinsung n. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Abzinsungsfaktors: Welchen Wert hat ein im Zeitpunkt t8 fälliger Betrag in Höhe von 2.143,59 GE im Zeitpunkt to, wenn ein Kalkulationszinssatz von i = 0,10 angenommen wird? Der Wert der 2.143,59 GE zum Zeitpunkt to berechnet sich, indem der Betrag mit dem Abzinsungsfaktor für den Kalkulationszinssatz i = 0,10 und der Laufzeit η = 8 multipliziert wird: 2.143,59 * (1,10) 8 = 1.000 GE Der Abzinsungsfaktor lautet dementsprechend: (l+i)"n Der Abzinsungsfaktor berücksichtigt die gleichen Aspekte wie der Aufzinsungsfaktor: das Prinzip der Kapitalerhaltung und die Zinseszinsrechnung.

3. Der Rentenendwertfaktor: ίί-tl} i

!.

Der Rentenendwertfaktor fuhrt eine Rechenoperation aus, die prinzipiell der des Aufzinsungsfaktors entspricht. Er zinst aber nicht nur eine einzelne Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt auf, sondern mehrere Zahlungen einer Zahlungsreihe. Voraussetzung für die Anwendung des Rentenendwertfaktors ist eine Zahlungsreihe, die aus konstanten Zahlungen besteht, welche jeweils am Ende einer jeden Periode anfallen. Auch der Rentenendwertfaktor ist ab-

517

Formeln der Investitionsrechnung

hängig vom Kalkulationszinssatz i sowie von der Laufzeit der Zahlungsreihe n. Der Rentenendwertfaktor läßt sich wie folgt herleiten: Während η Zeiteinheiten wird am Ende einer jeden Zeiteinheit eine Zahlung von 1 GE geleistet. Über welchen Betrag C„ verfügt man nach η Zeiteinheiten, wenn die Beträge zum Zinssatz i verzinst werden und die Zinsen am Ende einer jeden Zeiteinheit gutgeschrieben werden (Zinseszinsen)? * 1 GE

1 GE

Η to

1

1 GE

1

t,

(l + i)°

7s—I

(1 + i)1 1 GE, gezahlt in t n _|

tn-]

tn

•

(l + i)"-1

+...+

I GE, gezahlt in t,, steht n-1 Jahre auf Zins

Multipliziert man C„ mit (1 + i), so erhält man: C„ * (1 + i) = (1 + i)1 + (1 + i)2 + ... + (1 + i f 1 + (1 + i)n Aus der Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt sich: Cn * (1 + i) - C„ = C„ * i = - (1 + i)° + (1 + i)n Daraus folgt: Cn * i = - 1 + (1 + i)n Für Cn bedeutet das: _ (l + i ) " - l 1

1 GE

1—«

(η - 1) Jahre

+

1 GE, gezahlt in t n

•

1 GE

ti

«

Cn =

( n - 2 ) Jahre

518

Formeln der Investitionsrechnung

Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Rentenendwertfaktors: Welchen Wert erreicht eine Reihe von konstanten Zahlungen, die η = 6 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres in Höhe von e = 500 GE anfallen, im Zeitpunkt wenn sämtliche Zahlungen während der Laufzeit der Zahlungsreihe zum Zinssatz i = 0,08 angelegt werden und Zinseszinsen zu berücksichtigen sind? Der Wert der η = 6 Jahre lang anfallenden Zahlungen in Höhe von je e = 500 GE errechnet sich, indem der Betrag der konstanten Zahlung mit dem Rentenendwertfaktor für i = 0,08 und η = 6 multipliziert wird. Das Produkt ergibt den Wert der konstanten Zahlungsreihe zum Zeitpunkt U unter der Bedingung, daß die Zahlungen zum Kalkulationszinssatz angelegt werden und Zinseszinsen zu berücksichtigen sind. Ein Anleger, der η = 6 Jahre lang zum Ende eines jeden Jahres e = 500 GE zum Zinssatz i = 0,08 anlegt und die jährlichen Zinsen zur Wiederanlage nutzt, erhält am Ende des sechsten Jahres: 500 *

0,08

= 500 * 7,3359 = 3.667,95 GE

Der Rentenendwertfaktor lautet dementsprechend: H-ti) i

L

Der Rentenendwertfaktor wird auch als Endwert-Faktor (EWF) bezeichnet. Dieser Ausdruck findet im vorliegenden Buch Anwendung.

4. Der Rentenbanvertfaktor: ί ΐ ί - ί ΐ n1 i *(l + i) Der Rentenbanvertfaktor fuhrt eine Rechenoperation aus, die prinzipiell der des Abzinsungsfaktors entspricht. Er zinst aber nicht nur eine einzelne Zahlung auf einen früheren Zeitpunkt ab, sondern mehrere Zahlungen einer Zahlungsreihe. Der Rentenbanvertfaktor ist geeignet, den Wert einer Zahlungsreihe, die aus konstanten Zahlungen am jeweiligen Periodenende besteht, auf einen

Formeln der Investitionsrechnung

519

früheren Zeitpunkt - in aller Regel ist das der Betrachtungszeitpunkt to - zu transformieren. Um diesen Wert zu erhalten, zinst man den mit dem Endwert-Faktor ermittelten Endwert um η Jahre ab: (1 + i)n - 1 i

#

1 _ ( ! + ')" - 1 (l + i)n i * (1 + i)n

Diese Form der Abzinsung ist abhängig vom Kalkulationszinssatz i sowie von der Laufzeit der Abzinsung η und setzt voraus, daß die Zahlungen der Zahlungsreihe konstant sind und jeweils am Ende einer jeden Periode anfallen. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Rentenbarwertfaktors: Welchen Wert repräsentiert eine Reihe von konstanten Zahlungen, die η = 6 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres in Höhe von e = 500 GE anfallen, im Betrachtungszeitpunkt to, wenn sämtliche Zahlungen während der Laufzeit der Zahlungsreihe zum Zinssatz i = 0,08 verzinst werden sollen und Zinseszinsen zu berücksichtigen sind? Der Wert der η = 6 Jahre lang anfallenden Zahlungen in Höhe von je e = 500 GE errechnet sich, indem der Betrag der konstanten Zahlung mit dem Rentenbarwertfaktor für i = 0,08 und η = 6 multipliziert wird. Das Produkt ergibt den Wert der Zahlungsreihe (mit konstanten Zahlungen) zum Betrachtungszeitpunkt to unter der Bedingung, daß die Zahlungen zum Kalkulationszinssatz angelegt werden und Zinseszinsen zu berücksichtigen sind. Ein Anleger, der η = 6 Jahre lang zum Ende eines jeden Jahres e = 500 GE zum Zinssatz i = 0,08 anlegen möchte und die jährlichen Zinsen zur Wiederanlage nutzen wird, bewertet die Zahlungsreihe im Betrachtungszeitpunkt to wie folgt: 500 *

(1,08)

0,08* (1,08)

= 500 * 4,6229 = 2.311,45 GE

520

Formeln der Investitionsrechnung

Der Rentenbarwertfaktor lautet dementsprechend:

i * ( l + i) n

-

Für den Rentenbarwertfaktor wird auch der Begriff Barwert-Faktor (BWF) gewählt, das gilt für das vorliegende Buch. i * ( l + i)n 5. Der Wiedergewinnungsfaktor: ————Der Wiedergewinnungsfaktor (WGF) - auch Annuitäten-Faktor genannt führt eine dem Rentenbarwertfaktor genau entgegengesetzte Rechenoperation aus. Er berechnet nicht den Wert einer Zahlungsreihe zum Zeitpunkt to, sondern transformiert einen zum Zeitpunkt to bewerteten Betrag in eine Zahlungsreihe mit konstanten jährlichen Zahlungen. Der Wiedergewinnungsfaktor ist geeignet, eine Zahlungsreihe zu konstruieren, die aus konstanten Zahlungen besteht, welche jeweils am Ende einer jeden Periode anfallen. Der Wert dieser Zahlungsreihe entspricht einem zum Zeitpunkt to bewerteten Ausgangsbetrag. Der Wiedergewinnungsfaktor gibt aus der Sicht des Kreditgebers den Betrag an, den der Kreditnehmer η Jahre lang pro erhaltene GE am Ende eines jeden Jahres zahlen muß, damit der Kreditgeber nach Ablauf von η Jahren seinen Kredit einschließlich Zinsen und Zinseszinsen wiedererlangt (wiedergewinnt). Aus der Sicht des Kreditnehmers ist der Wiedergewinnungsfaktor der Betrag, den er pro aufgenommener GE und pro Jahr zurückzahlen muß, damit nach η Jahren der pro aufgenommener GE zurückgezahlte Betrag (1 + i ) n G E ist. Diese Form der Verrechnung ist abhängig vom Kalkulationszinssatz i und von der Laufzeit η der zu konstruierenden Zahlungsreihe. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Wiedergewinnungsfaktors: Ein Unternehmer investiert im Zeitpunkt t0 in eine Maschine mit der Anschaffungsauszahlung A0 = 2.311,45 GE. Welchen konstanten Betrag e

Formeln der Investitionsrechnung

521

muß der Unternehmer am Ende eines jeden Jahres erwirtschaften, um die Anschaffungsauszahlung bei einer Laufzeit der Maschine von η = 6 Jahren wiederzugewinnen, wenn er mit einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08 rechnet? Der konstante Betrag e errechnet sich, indem der zum Zeitpunkt to bewertete Ausgangsbetrag Ao = 2.311,45 GE mit dem Wiedergewinnungsfaktor für η = 6 (Laufzeit der zu konstruierenden Zahlungsreihe) und i = 0,08 (unterstellter Kalkulationszinssatz) multipliziert wird. Das Produkt ergibt den am Ende eines jeden Jahres zu erwirtschaftenden Betrag e unter der Bedingung, daß die Zahlungen der Zahlungsreihe nicht nur den Anschaffungsbetrag Ao decken müssen, sondern zudem Zinsen und Zinseszinsen auf Ao zu erwirtschaften haben. Um einen zum Zeitpunkt to bewerteten Anschaffungsbetrag von Ao = 2.311,45 GE nach η = 6 Jahren bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,08 inklusive Zinsen und Zinseszinsen auf Ao wiederzugewinnen, muß ein Unternehmer am Ende eines jeden Jahres einen Betrag erwirtschaften in Höhe von: 2.311,45 *

0,08

*(1;°8) (1,08) - 1

=2.311,45 * 0,2163 = 500 GE

i *(1 + i)n Der Wiedergewinnungsfaktor lautet dementsprechend: ————Entsprechend der oben gemachten Aussage, der Wiedergewinnungsfaktor führe eine Rechenoperation aus, die der des Barwertfaktors genau entgegengesetzt ist, stellt der Wiedergewinnungsfaktor exakt den Kehrwert des Barwertfaktors dar.

6. Der Tilgungsfaktor: * * (l + i ) n - l Der Tilgungsfaktor (TF) fuhrt eine Rechenoperation aus, die prinzipiell der des Wiedergewinnungsfaktors entspricht. Der Tilgungsfaktor transformiert einen zum Zeitpunkt t„ bewerteten Betrag in eine Zahlungsreihe, die aus konstanten Zahlungen am Ende einer jeden Periode besteht.

522

Formeln der Investitionsrechnung

Ausgangspunkt ist also nicht ein im Betrachtungszeitpunkt to bewerteter Betrag, sondern ein Betrag, der zum Zeitpunkt t„ bewertet ist. Dieser Zeitpunkt tn liegt in der Zukunft und stellt das Ende der zu konstruierenden Zahlungsreihe dar. Der Tilgungsfaktor ist geeignet, eine Zahlungsreihe zu konstruieren, die aus konstanten Zahlungen besteht, welche jeweils am Ende einer jeden Periode anfallen. Der Wert dieser Zahlungsreihe entspricht einem zum Zeitpunkt t„ - dem Ende der zu konstruierenden Zahlungsreihe - bewerteten Ausgangsbetrag. Diese Form der Verrechnung ist abhängig vom Kalkulationszinssatz i und von der Laufzeit η der zu konstruierenden Zahlungsreihe. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise des Tilgungsfaktors: Ein Unternehmer muß in η = 8 Jahren einen Betrag in Höhe von as = 10.000 GE als Abfindung an einen dann ausscheidenden Gesellschafter zahlen. Welchen konstanten Betrag e muß der Unternehmer am Ende eines jeden Jahres erwirtschaften, um die in η = 8 Jahren fällige Abfindung leisten (tilgen) zu können, wenn er davon ausgeht, zwischenzeitliche Zahlungen verzinsten sich zum Kalkulationszinssatz von i = 0,05 ? Der konstante Betrag e errechnet sich, indem der zum Zeitpunkt t 8 bewertete Betrag as = 10.000 GE mit dem Tilgungsfaktor fur η = 8 (Laufzeit der zu konstruierenden Zahlungsreihe) und i = 0,05 (unterstellter Kalkulationszinssatz) multipliziert wird. Das Produkt ergibt den am Ende eines jeden Jahres zu erwirtschaftenden Betrag e unter der Bedingung, daß die Zahlungen der Zahlungsreihe jeweils zum Kalkulationszinssatz verzinst werden und Zinseszinsen zu berücksichtigen sind. Um einen zum Zeitpunkt t8 bewerteten Betrag von a 8 = 10.000 GE in η = 8 Jahren bei einem Kalkulationszinssatz von i = 0,05 inklusive Zinsen und Zinseszinsen zu erwirtschaften (zu tilgen), muß ein Unternehmer am Ende eines jeden Jahres einen Betrag erzielen in Höhe von: 10.000 * — ^ — = 10.000 * 0,1047 = 1.074 GE (1,05) - 1

Formeln der Investitionsrechnung

523

Der Tilgungsfaktor lautet dementsprechend: ————Der Tilgungsfaktor fuhrt eine Rechenoperation durch, die der des Endwert-Faktors genau entgegengesetzt ist. Der Endwert-Faktor ermittelt den Endwert einer Zahlungsreihe konstanter Zahlungen, der Tilgungsfaktor periodisiert einen zum Zeitpunkt t„ bewerteten Betrag auf eine Zahlungsreihe konstanter Zahlungen. Beide Faktoren berücksichtigen Zinsen und Zinseszinsen und gehen davon aus, daß sämtliche Zahlungen jeweils am Ende einer Periode anfallen. So wie der Wiedergewinnungsfaktor der Kehrwert des Barwert-Faktors ist, ist der Tilgungsfaktor dementsprechend der Kehrwert des EndwertFaktors. 7. Die Momentanverzinsung ρ Die zuvor dargestellten Faktoren gehen von der Annahme aus, Zinszahlungen erfolgten 1-mal jährlich, unterjährige Verzinsungen sind demnach bisher ausgeblendet. Bei einer unteijährigen Verzinsung ist zu beachten, daß sich der zuvor benutzte Kalkulationszinssatz auf die Laufzeit von einem Jahr bezieht, und er daher im Fall einer unteijährigen Verzinsung anzupassen ist. Eine Lösung besteht darin, mehrmalige Zinszahlungen pro Jahr zu berücksichtigen, indem der Kalkulationszinssatz i durch die Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr dividiert wird. Der Aufzinsungsfaktor verändert sich dann bei m Zinszahlungen pro Jahr wie folgt: f

(l+i) 1

; \

m t

1+— m

Diese Lösung des Problems der unteijährigen Verzinsung ist in dem Sinne eine Näherungslösung, als daß die beiden Aufzinsungsfaktoren nicht vollständig äquivalent sind. Sie sind daher auch nicht mit einem Gleichheitszeichen verbunden. Denn eine unteijährige Verzinsung bedeutet, daß

524

Formeln der Investitionsrechnung

mehrmals in einer Periode Zinsen anfallen und diese Zinsen dementsprechend auch unteijährig zu Zinseszinsen fuhren. Diese Zinseszinsen werden von der Formel zur unterjährigen Verzinsung auch berücksichtigt, die Formel ist daher konzeptionell korrekt. Es besteht aber nicht die Möglichkeit, anhand dieser Formel einen auf ein Jahr bezogenen Zinssatz derart zu korrigieren, daß der korrigierte Zinssatz letztendlich zur gleichen Verzinsung fuhrt. Die Wirkung der unteijährigen Zinseszinsen müßte dazu in der Korrektur des Zinssatzes berücksichtigt werden. Ein nicht dementsprechend korrigierter Zinssatz fuhrt aufgrund der unterjährigen Zinseszinsen - die bei einmaliger Verzinsung pro Jahr nicht anfallen - zu einer zu hohen Verzinsung. An dieser Stelle geht es aber auch nicht um eine äquivalent wirkende Korrektur des auf ein Jahr bezogenen Zinssatzes, sondern um die konzeptionell korrekte Berücksichtigung einer unterjährigen Verzinsung. Die bisher ermittelte Lösung ist daher als korrekte Arbeitsgrundlage geeignet. Ziel ist es nun, eine unendlich häufige (in jedem Moment = momentan) Verzinsung pro Jahr darstellen zu können und auf diesem Weg eine stetige Funktion zu erhalten, die Zinseszinsen berücksichtigt. Hierfür verwendet man die sogenannte Verzinsungsenergie p. Die Verzinsungsenergie ist ein momentaner Zinssatz, der äquivalent ist zum diskontinuierlichen Zinssatz i. Unter dieser Bedingung kann der diskontinuierliche und auf ganze Jahre bezogene Zinssatz i durch die momentane Verzinsungsenergie ρ äquivalent ersetzt werden. Anders formuliert: ρ wird so gewählt, daß trotz unterjähriger Zinseszinsen gilt:

Aufgrund der Definition der Verzinsungsenergie sind die Aufzinsungsfaktoren äquivalent. Da ρ * i ist, kann die Gleichung akzeptiert werden, obwohl die unterjährige Verzinsung weiterhin berücksichtigt, daß unteijährige Zinseszinsen entstehen. Es muß daher gelten, daß ρ < i ist.

Formeln der Investitionsrechnung

525

Setzt man statt — nun —, bzw. k = — , so ergibt sich: m k ρ k-p-t 1

(l+i) =

1+

k

-

X k-p-t Anhand des Aufzinsungsfaktors

1+

k

-

soll nun der Fall untersucht

werden, daß die Verzinsung unendlich häufig bzw. stetig erfolgt: m

oo

Aufgrund der Definition k = — folgt aus m -> oo, daß auch gelten muß: Ρ k

oo

Das bedeutet wiederum, daß die oben angestrebte Grenzwertbetrachtung für m —> oo durch die folgende Grenzwertbetrachtung gelöst werden kann: lim i + i k->oo k

=e

Dabei stellt e die Basis der natürlichen Logarithmen dar (Eulersche Zahl). Aus (l+i) 1 = (l+i) 1 = e * oder ρ = In (l+i)

(

ι Ϋ'^' 1 +— folgt dann:

527

Symbole und Abkürzungen

Anhang 2

VERZEICHNIS DER ABKÜRZUNGEN

WICHTIGSTEN

SYMBOLE

UND

a

Betrag einer Auszahlung im Rahmen einer Auszahlungsreihe mit konstanten Auszahlungen (Rente)

a

Auszahlungs- Annuität (exakte Berechnung)

—*

a

Auszahlungs-Annuität, die einen Restverkaufserlös aber keine laufenden Auszahlungen enthält

aapprox

Approximative Auszahlungs-Annuität bei unendlich häufiger Abschreibung

aapprox

Approximative Auszahlungs-Annuität bei einmaliger Abschreibung pro Periode am Periodenende

&i

Konstante periodische Auszahlungen für Instandhaltung

at

laufende periodische Auszahlungen

av

Variable (leistungsabhängige) Auszahlungen

aw

Konstante periodische Auszahlungen für Werbung

Α

Durchschnittliche Abschreibungen pro Periode bei unendlich häufiger Abschreibung

Α

Durchschnittliche Abschreibungen bei einmaliger Abschreibung pro Periode am Periodenende

Ao

Anschaffungsauszahlung (einmalige Zahlung) Zeitpunkt to

A0C*

Optimale Anschaffungsauszahlung bei Maximierung

zum

des Kapitalwertes ΑοΠ

Kapitaleinsatz bei einer Finanzinvestition (einmalige Zahlung) im Zeitpunkt to

528

A0r°"

Symbole und Abkürzungen

Optimale AnschafHingsauszahlung bei Maximierung des internen Zinsfußes

AfA t

Abschreibungen in der Periode t

An

Auszahlung (einmalige Zahlung) Nutzungsdauer einer Investition

BWt

Barwert zum Zeitpunkt t

Co

Konsum im Zeitpunkt to

Co

Kapitalwert zum Zeitpunkt to

C0A

Kapitalwert der Investition A

Co^

Kapitalwert der Investition Α nach Steuern

Co"

Kapitalwert der Folgeinvestition (bei Investitionskette)

C*0

Kapitalwert nach Berücksichtigung von Steuern

C A ( (S t )

Barwert der Auszahlungen der Strategie 1

CA(

Barwert einer Auszahlung/Auszahlungsreihe zum Zeit-

am

Ende

der

punkt t Cßf

Barwert der Einzahlungen einer unendlichen Kette an Folgeinvestitionen

CE

Barwert einer Einzahlung/Einzahlungsreihe zum Zeitpunkt t

Cf

Kapitalwert einer unendlichen Investitionskette; dieser entspricht dem Kapitalwert einer beliebigen Investition im Rahmen der entsprechenden unendlichen Investitionskette, da nach jeder Investition unendlich viele weitere Investitionen folgen: C 0 = Cf

C Ao (n)

Barwert der Auszahlungen der Ersatzanlage

Cö(n,)

Kapitalwert der ersten Investition einer Investitionskette

C° t (n)

Barwert der Auszahlungen der Folgeinvestitionen

Symbole und Abkürzungen

C° (n n )

529

Kapitalwert der Folgeinvestition einer Investitionskette, bewertet zum Nutzungsdauerende der ersten Investition

C^"(n)

Minimaler Barwert der Auszahlungen einer unendlichen Kette an Folgeinvestitionen

Cti

Barwert einer Auszahlungsreihe zum Zeitpunkt ta

d

Konstanter Einzahlungsüberschuß/Rente/ewige Rente

di

Betrag der Rente I

ds

Einzahlungsüberschuß Steuern

dt

Einzahlungsüberschuß zum Zeitpunkt t

d

Kapitalwert-Annuität (exakte Berechnung)

d approx

Approximative Kapitalwert-Annuität häufiger Abschreibung

d approx

Approximative Kapitalwert-Annuität bei einmaliger Abschreibung pro Periode am Periodenende

e

Betrag einer Einzahlung im Rahmen einer Einzahlungsreihe mit konstanten Einzahlungen (Rente)

eo

Einkommen/Einzahlung im Zeitpunkt to

e

Einzahlungs-Annuität (exakte Berechnung)

nach

Berücksichtigung

bei

von

unendlich

—»

e

Einzahlungs-Annuität, die als konstanter Einzahlungsüberschuß laufende Auszahlungen enthält

EK

Eigenkapital

EV

Endvermögen

FI

Finanzinvestition

FK

Fremdkapital

GE

Geldeinheiten

530

Symbole und Abkürzungen

GewSt

Gewerbesteuer

Gs

Gewinn nach Berücksichtigung von Steuern

GVR

Gewinnvergleichsrechnung Kalkulationszinssatz

1εκ

Eigenkapital-Verzinsung

'fk

Soll-Zinssatz = Fremdkapital-Verzinsung

lH

Haben-Zinssatz für die Anlage überschüssiger Mittel

is

Kalkulationszinssatz nach Berücksichtigung von Steuern

I.

Indifferenzkurve, die das Nutzenniveau 1 repräsentiert

I1

Indifferenzkurve von Wirtschaftssubjekt I

Ko

zum Zeitpunkt to bewertete Kosten einer Investition

KD

Kapitaldienst (exakte Berechnung)

K D approx

Approximativer Kapitaldienst bei unendlich häufiger Abschreibung

KB

Durchschnittlich gebundenes Kapital pro Periode bei unendlich häufiger Abschreibung

KB

Durchschnittlich gebundenes Kapital bei einmaliger Abschreibung pro Periode am Periodenende

KD KSt

approx

Approximativer Kapitaldienst bei einmaliger schreibung pro Periode am Periodenende

Ab-

Körperschaftsteuer Nutzungsdauer/Laufzeit reihe

einer

Investition/Zahlungs-

ni

Laufzeit der Rente/Zahlungsreihe/Investition I

Ρ

Preis

PoP

Pay-off-Periode

Symbole und Abkürzungen

531

r

Interner Zinsfuß

r'

Einzahlungsmarginaler interner Zinsfuß

rA

Rentabilität der Investition A

7

Cut-off-rate

r

durchschnittliche Unternehmensrendite

r,

durchschnittliche Unternehmensrendite nach Steuern

?

Baldwin-Zins

R'„

Infinitesimale Änderung des Restverkaufserlöses

R„

Restverkaufserlös (einmalige Zahlung) am Ende der Nutzungsdauer einer Investition

R„_i

Restverkaufserlös am Ende der Vorperiode

Rs

Restverkaufserlös nach Berücksichtigung von Steuern

R,

Restverkaufserlös in der Periode t

RBW„

Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer einer Investition bzw. zum Zeitpunkt t„

RVR

Rentabilitätsvergleichsrechnung

ρ

Verzinsungsenergie (Maßstab bei stetiger Verzinsung/ Momentanverzinsung)

s

Steuersatz

sG

Gewerbesteuersatz

SI

Sachinvestition

St

Steuerzahlung in der Periode t

to

Zeitpunkt der Gegenwart/Planungszeitpunkt/Betrachtungszeitpunkt

ta

Zeitzentrum einer Auszahlungsreihe

te

Zeitzentrum einer Einzahlungsreihe

TF

Tilgungsfaktor

532

Symbole und Abkürzungen

W0

Auszahlung für Werbung (einmalige Zahlung) zum Zeitpunkt to

WGF

Wiedergewinnungsfaktor

X

Produktions-/Absatzmenge

Ζ

Durchschnittliche Zinskosten pro Periode bei unendlich häufiger Abschreibung

Ζ

Durchschnittliche Zinskosten bei einmaliger Abschreibung pro Periode am Periodenende

ZLt

Zulage zum Zeitpunkt t

ZS t

Zuschuß zum Zeitpunkt t

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

533

Anhang 3

TABELLEN AUSGEWÄHLTER ZINSFAKTOREN

Die folgenden Tabellen enthalten ausgewählte Zinsfaktoren, die im vorliegenden Buch erläutert und eingesetzt werden. Die Faktoren stellen eine Auswahl dar, sie sind für verschiedene Laufzeiten und alternative Zinssätze exemplarisch dargestellt. Die Tabellen enthalten die folgenden Zinsfaktoren:

Aufzinsungsfaktor

(1 + i)n

Abzinsungsfaktor

(1 + i)- n

Endwert-Faktor (EWF)

Barwert-Faktor (BWF)

Tilgungsfaktor (TF)

Wiedergewinnungsfaktor (WGF)

d + i)n-l

(l + i ) " - l i *(l + i)n

(l + i)n - 1 i *(1 + i)n (l + i)n - 1

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

534

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren (i = 0,04) η 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50

(1

+i) n 1,0400 1,0816 1,1249 1,1699 1,2167 1,2653 1,3159 1,3686 1,4233 1,4802 1,5395 1,6010 1,6651 1,7317 1,8009 1,8730 1,9479 2,0258 2,1068 2,1911 2,2788 2,3699 2,4647 2,5633 2,6658 2,7725 2,8834 2,9987 3,1187 3,2434 3,3731 3,5081 3,6484 3,7943 3,9461 4,1039 4,2681 4,4388 4,6164 4,8010 5,8412 7,1067

( i + i r 0,9615 0,9246 0,8890 0,8548 0,8219 0,7903 0,7599 0,7307 0,7026 0,6756 0,6496 0,6246 0,6006 0,5775 0,5553 0,5339 0,5134 0,4936 0,4746 0,4564 0,4388 0,4220 0,4057 0,3901 0,3751 0,3607 0,3468 0,3335 0,3207 0,3083 0,2965 0,2851 0,2741 0,2636 0,2534 0,2437 0,2343 0,2253 0,2166 0,2083 0,1712 0,1407

EWF 1,0000 2,0400 3,1216 4,2465 5,4163 6,6330 7,8983 9,2142 10,5828 12,0061 13,4864 15,0258 16,6268 18,2919 20,0236 21,8245 23,6975 25,6454 27,6712 29,7781 31,9692 34,2480 36,6179 39,0826 41,6459 44,3117 47,0842 49,9676 52,9663 56,0849 59,3283 62,7015 66,2095 69,8579 73,6522 77,5983 81,7022 85,9703 90,4091 95,0255 121,0294 152,6671

BWF 0,9615 1,8861 2,7751 3,6299 4,4518 5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109 8,7605 9,3851 9,9856 10,5631 11,1184 11,6523 12,1657 12,6593 13,1339 13,5903 14,0292 14,4511 14,8568 15,2470 15,6221 15,9828 16,3296 16,6631 16,9837 17,2920 17,5885 17,8736 18,1476 18,4112 18,6646 18,9083 19,1426 19,3679 19,5845 19,7928 20,7200 21,4822

TF 1,0000 0,4902 0,3203 0,2355 0,1846 0,1508 0,1266 0,1085 0,0945 0,0833 0,0741 0,0666 0,0601 0,0547 0,0499 0,0458 0,0422 0,0390 0,0361 0,0336 0,0313 0,0292 0,0273 0,0256 0,0240 0,0226 0,0212 0,0200 0,0189 0,0178 0,0169 0,0159 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0111 0,0105 0,0083 0,0066

WGF 1,0400 0,5302 0,3603 0,2755 0,2246 0,1908 0,1666 0,1485 0,1345 0,1233 0,1141 0,1066 0,1001 0,0947 0,0899 0,0858 0,0822 0,0790 0,0761 0,0736 0,0713 0,0692 0,0673 0,0656 0,0640 0,0626 0,0612 0,0600 0,0589 0,0578 0,0569 0,0559 0,0551 0,0543 0,0536 0,0529 0,0522 0,0516 0,0511 0,0505 0,0483 0,0466

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

535

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,05) n η (1+i) 1 2 3 4 S β 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50

(1 + i p

EWF

1,0500 1,1025 1,1576 1,2155 1,2763 1,3401 1,4071 1,4775 1,5513 1,6289 1,7103

0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835 0,7462 0,7107 0,6768 0,6446 0,6139 0,5847

1,0000 2,0500 3,1525 4,3101 5,5256 6,8019 8,1420 9,5491 11,0266 12,5779 14,2068

1,7959 1,8856 1,9799 2,0789 2,1829 2,2920 2,4066 2,5270 2,6533 2,7860 2,9253 3,0715 3,2251 3,3864 3,5557 3,7335 3,9201 4,1161 4,3219 4,5380 4,7649 5,0032 5,2533 5,5160 5,7918 6,0814 6,3855 6,7048 7,0400 8,9850 11,4674

0,5568 0,5303 0,5051 0,4810 0,4581 0,4363 0,4155 0,3957 0,3769 0,3589 0,3418 0,3256 0,3101 0,2953 0,2812 0,2678 0,2551 0,2429 0,2314 0,2204 0,2099 0,1999 0,1904 0,1813 0,1727 0,1644 0,1566 0,1491 0,1420 0,1113 0,0872

15,9171 17,7130 19,5986 21,5786 23,6575 25,8404 28,1324 30,5390 33,0660 35,7193 38,5052 41,4305 44,5020 47,7271 51,1135 54,6691 58,4026 62,3227 66,4388 70,7608 75,2988 80,0638 85,0670 90,3203 95,8363 101,6281 107,7095 114,0950 120,7998 159,7002 209,3480

BWF 0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295 5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217 8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797 10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622 12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939 14,3752 14,6430 14,8981 15,1411 15,3725 15,5928 15,8027 16,0025 16,1929 16,3742 16,5469 16,7113 16,8679 17,0170 17,1591 17,7741 18,2559

TF 1,0000 0,4878 0,3172 0,2320 0,1810 0,1470 0,1228 0,1047 0,0907 0,0795 0,0704 0,0628 0,0565 0,0510 0,0463 0,0423 0,0387 0,0355 0,0327 0,0302 0,0280 0,0260 0,0241 0,0225 0,0210 0,0196 0,0183 0,0171 0,0160 0,0151 0,0141 0,0133 0,0125 0,0118 0,0111 0,0104 0,0098 0,0093 0,0088 0,0083 0,0063 0,0048

WGF 1,0500 0,5378 0,3672 0,2820 0,2310 0,1970 0,1728 0,1547 0,1407 0,1295 0,1204 0,1128 0,1065 0,1010 0,0963 0,0923 0,0887 0,0855 0,0827 0,0802 0,0780 0,0760 0,0741 0,0725 0,0710 0,0696 0,0683 0,0671 0,0660 0,0651 0,0641 0,0633 0,0625 0,0618 0,0611 0,0604 0,0598 0,0593 0,0588 0,0583 0,0563 0,0548

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

536

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,06) η 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50

(1

+i)n 1,0600 1,1236 1,1910 1,2625 1,3382 1,4185 1,5036 1,5938 1,6895 1,7908 1,8983 2,0122 2,1329 2,2609 2,3966 2,5404 2,6928 2,8543 3,0256 3,2071 3,3996 3,6035 3,8197 4,0489 4,2919 4,5494 4,8223 5,1117 5,4184 5,7435 6,0881 6,4534 6,8406 7,2510 7,6861 8,1473 8,6361 9,1543 9,7035 10,2857 13,7646 18,4202

(1+i)-" 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921 0,7473 0,7050 0,6651 0,6274 0,5919 0,5584 0,5268 0,4970 0,4688 0,4423 0,4173 0,3936 0,3714 0,3503 0,3305 0,3118 0,2942 0,2775 0,2618 0,2470 0,2330 0,2198 0,2074 0,1956 0,1846 0,1741 0,1643 0,1550 0,1462 0,1379 0,1301 0,1227 0,1158 0,1092 0,1031 0,0972 0,0727 0,0543

EWF 1,0000 2,0600 3,1836 4,3746 5,6371 6,9753 8,3938 9,8975 11,4913 13,1808 14,9716 16,8699 18,8821 21,0151 23,2760 25,6725 28,2129 30,9057 33,7600 36,7856 39,9927 43,3923 46,9958 50,8156 54,8645 59,1564 63,7058 68,5281 73,6398 79,0582 84,8017 90,8898 97,3432 104,1838 111,4348 119,1209 127,2681 135,9042 145,0585 154,7620 212,7435 290,3359

BWF 0,9434 1,8334 2,6730 3,4651 4,2124 4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601 7,8869 8,3838 8,8527 9,2950 9,7122 10,1059 10,4773 10,8276 11,1581 11,4699 11,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12,7834 13,0032 13,2105 13,4062 13,5907 13,7648 13,9291 14,0840 14,2302 14,3681 14,4982 14,6210 14,7368 14,8460 14,9491 15,0463 15,4558 15,7619

TF 1,0000 0,4854 0,3141 0,2286 0,1774 0,1434 0,1191 0,1010 0,0870 0,0759 0,0668 0,0593 0,0530 0,0476 0,0430 0,0390 0,0354 0,0324 0,0296 0,0272 0,0250 0,0230 0,0213 0,0197 0,0182 0,0169 0,0157 0,0146 0,0136 0,0126 0,0118 0,0110 0,0103 0,0096 0,0090 0,0084 0,0079 0,0074 0,0069 0,0065 0,0047 0,0034

WGF 1,0600 0,5454 0,3741 0,2886 0,2374 0,2034 0,1791 0,1610 0,1470 0,1359 0,1268 0,1193 0,1130 0,1076 0,1030 0,0990 0,0954 0,0924 0,0896 0,0872 0,0850 0,0830 0,0813 0,0797 0,0782 0,0769 0,0757 0,0746 0,0736 0,0726 0,0718 0,0710 0,0703 0,0696 0,0690 0,0684 0,0679 0,0674 0,0669 0,0665 0,0647 0,0634

537

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i - 0,07) η 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50

(1+i)n 1,0700 1,1449 1,2250 1,3108 1,4026 1,5007 1,6058 1,7182 1,8385 1,9672 2,1049 2,2522 2,4098 2,5785 2,7590 2,9522 3,1588 3,3799 3,6165 3,8697 4,1406 4,4304 4,7405 5,0724 5,4274 5,8074 6,2139 6,6488 7,1143 7,6123 8,1451 8,7153 9.3253 9,9781 10,6766 11,4239 12,2236 13,0793 13,9948 14,9745 21,0025 29,4570

(l+i)·" 0,9346 0,8734 0,8163 0,7629 0,7130 0,6663 0,6227 0,5820 0,5439 0,5083 0,4751 0,4440 0,4150 0,3878 0,3624 0,3387 0,3166 0,2959 0,2765 0,2584 0,2415 0,2257 0,2109 0,1971 0,1842 0,1722 0,1609 0,1504 0,1406 0,1314 0,1228 0,1147 0,1072 0,1002 0,0937 0,0875 0,0818 0,0765 0,0715 0,0668 0,0476 0,0339

EWF 1,0000 2,0700 3,2149 4,4399 5,7507 7,1533 8,6540 10,2598 11,9780 13,8164 15,7836 17,8885 20,1406 22,5505 25,1290 27,8881 30,8402 33,9990 37,3790 40,9955 44,8652 49,0057 53,4361 58,1767 63,2490 68,6765 74,4838 80,6977 87,3465 94,4608 102,0730 110,2182 118,9334 128,2588 138,2369 148,9135 160,3374 172,5610 185,6403 199,6351 285,7493 406,5289

BWF 0,9346 1,8080 2,6243 3,3872 4,1002 4,7665 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236 7,4987 7,9427 8,3577 8,7455 9,1079 9,4466 9,7632 10,0591 10,3356 10,5940 10,8355 11,0612 11,2722 11,4693 11,6536 11,8258 11,9867 12,1371 12,2777 12,4090 12,5318 12,6466 12,7538 12,8540 12,9477 13,0352 13,1170 13,1935 13,2649 13,3317 13,6055 13,8007

TF 1,0000 0,4831 0,3111 0,2252 0,1739 0,1398 0,1156 0,0975 0,0835 0,0724 0,0634 0,0559 0,0497 0,0443 0,0398 0,0359 0,0324 0,0294 0,0268 0,0244 0,0223 0,0204 0,0187 0,0172 0,0158 0,0146 0,0134 0,0124 0,0114 0,0106 0,0098 0,0091 0,0084 0,0078 0,0072 0,0067 0,0062 0,0058 0,0054 0,0050 0,0035 0,0025

WGF 1,0700 0,5531 0,3811 0,2952 0,2439 0,2098 0,1856 0,1675 0,1535 0,1424 0,1334 0,1259 0,1197 0,1143 0,1098 0,1059 0,1024 0,0994 0,0968 0,0944 0,0923 0,0904 0,0887 0,0872 0,0858 0,0846 0,0834 0,0824 0,0814 0,0806 0,0798 0,0791 0,0784 0,0778 0,0772 0,0767 0,0762 0,0758 0,0754 0,0750 0,0735 0,0725

538

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,10) η 1 2 3 4

5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 1S 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 36 37 38 39 40 45 50

(1+i)

n

1,1000 1,2100 1,3310 1,4641 1,6105 1,7716 1,9487 2,1436 2,3579 2,5937 2,8531 3,1384 3,4523 3,7975 4,1772 4,5950 5,0545 5,5599 6,1159 6,7275 7,4002 8,1403 8,9543 9,8497 10,8347 11,9182 13,1100 14,4210 15,8631 17,4494 19,1943 21,1138 23,2252 25,5477 28,1024 30,9127 34,0039 37,4043 41,1448 45,2593 72,8905 117,3909

(1+i)-" 0,9091 0,8264 0,7513 0,6830 0,6209 0,5645 0,5132 0,4665 0,4241 0,3855 0,3505 0,3186 0,2897 0,2633 0,2394 0,2176 0,1978 0,1799 0,1635 0,1486 0,1351 0,1228 0,1117 0,1015 0,0923 0,0839 0,0763 0,0693 0,0630 0,0573 0,0521 0,0474 0,0431 0,0391 0,0356 0,0323 0,0294 0,0267 0,0243 0,0221 0,0137 0,0085

EWF 1,0000 2,1000 3,3100 4,6410 6,1051 7,7156 9,4872 11,4359 13,5795 15,9374 18,5312 21,3843 24,5227 27,9750 31,7725 35,9497 40,5447 45,5992 51,1591 57,2750 64,0025 71,4027 79,5430 88,4973 98,3471 109,1818 121,0999 134,2099 148,6309 164,4940 181,9434 201,1378 222,2515 245,4767 271,0244 299,1268 330,0395 364,0434 401,4478 442,5926 718,9048 1.163,9085

BWF 0,9091 1,7355 2,4869 3,1699 3,7908 4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446 6,4951 6,8137 7,1034 7,3667 7,6061 7,8237 8,0216 8,2014 8,3649 8,5136 8,6487 8,7715 8,8832 8,9847 9,0770 9,1609 9,2372 9,3066 9,3696 9,4269 9,4790 9,5264 9,5694 9,6086 9,6442 9,6765 9,7059 9,7327 9,7570 9,7791 9,8628 9,9148

TF 1,0000 0,4762 0,3021 0,2155 0,1638 0,1296 0,1054 0,0874 0,0736 0,0627 0,0540 0,0468 0,0408 0,0357 0,0315 0,0278 0,0247 0,0219 0,0195 0,0175 0,0156 0,0140 0,0126 0,0113 0,0102 0,0092 0,0083 0,0075 0,0067 0,0061 0,0055 0,0050 0,0045 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,0025 0,0023 0,0014 0,0009

WGF 1,1000 0,5762 0,4021 0,3155 0,2638 0,2296 0,2054 0,1874 0,1736 0,1627 0,1540 0,1468 0,1408 0,1357 0,1315 0,1278 0,1247 0,1219 0,1195 0,1175 0,1156 0,1140 0,1126 0,1113 0,1102 0,1092 0,1083 0,1075 0,1067 0,1061 0,1055 0,1050 0,1045 0,1041 0,1037 0,1033 0,1030 0,1027 0,1025 0,1023 0,1014 0,1009

539

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,12) η 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 36 37 38 39 40 46 60

(1+i)n 1,1200 1,2544 1,4049 1,5735 1,7623 1,9738 2,2107 2,4760 2,7731 3,1058 3,4785 3,8960 4,3635 4,8871 5,4736 6,1304 6,8660 7,6900 8,6128 9,6463 10,8038 12,1003 13,5523 15,1786 17,0001 19,0401 21,3249 23,8839 26,7499 29,9599 33,5551 37,5817 42,0915 47,1425 52,7996 59,1356 66,2318 74,1797 83,0812 93,0510 163,9876 289,0022

(1+1)·" 0,8929 0,7972 0,7118 0,6355 0,5674 0,5066 0,4523 0,4039 0,3606 0,3220 0,2875 0,2567 0,2292 0,2046 0,1827 0,1631 0,1456 0,1300 0,1161 0,1037 0,0926 0,0826 0,0738 0,0659 0,0588 0,0525 0,0469 0,0419 0,0374 0,0334 0,0298 0,0266 0,0238 0,0212 0,0189 0,0169 0,0151 0,0135 0,0120 0,0107 0,0061 0,0035

EWF 1,0000 2,1200 3,3744 4,7793 6,3528 8,1152 10,0890 12,2997 14,7757 17,5487 20,6546 24,1331 28,0291 32,3926 37,2797 42,7533 48,8837 55,7497 63,4397 72,0524 81,6987 92,5026 104,6029 118,1552 133,3339 150,3339 169,3740 190,6989 214,5828 241,3327 271,2926 304,8477 342,4294 384,5210 431,6635 484,4631 543,5987 609,8305 684,0102 767,0914 1.358,2300 2.400,0182

BWF 0,8929 1,6901 2,4018 3,0373 3,6048 4,1114 4,5638 4,9676 5,3282 5,6502 5,9377 6,1944 6,4235 6,6282 6,8109 6,9740 7,1196 7,2497 7,3658 7,4694 7,5620 7,6446 7,7184 7,7843 7,8431 7,8957 7,9426 7,9844 8,0218 8,0552 8,0850 8,1116 8,1354 8,1566 8,1755 8,1924 8,2075 8,2210 8,2330 8,2438 8,2825 8,3045

TF 1,0000 0,4717 0,2963 0,2092 0,1574 0,1232 0,0991 0,0813 0,0677 0,0570 0,0484 0,0414 0,0357 0,0309 0,0268 0,0234 0,0205 0,0179 0,0158 0,0139 0,0122 0,0108 0,0096 0,0085 0,0075 0,0067 0,0059 0,0052 0,0047 0,0041 0,0037 0,0033 0,0029 0,0026 0,0023 0,0021 0,0018 0,0016 0,0015 0,0013 0,0007 0,0004

WGF 1,1200 0,5917 0,4163 0,3292 0,2774 0,2432 0,2191 0,2013 0,1877 0,1770 0,1684 0,1614 0,1557 0,1509 0,1468 0,1434 0,1405 0,1379 0,1358 0,1339 0,1322 0,1308 0,1296 0,1285 0,1275 0,1267 0,1259 0,1252 0,1247 0,1241 0,1237 0,1233 0,1229 0,1226 0,1223 0,1221 0,1218 0,1216 0,1215 0,1213 0,1207 0,1204

540

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,15) η 1 2 3 4

5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50

(1

+i)n

1,1500 1,3225 1,5209 1,7490 2,0114 2,3131 2,6600 3,0590 3,5179 4,0456 4,6524 5,3503 6,1528 7,0757 8,1371 9,3576 10,7613 12,3755 14,2318 16,3665 18,8215 21,6447 24,8915 28,6252 32,9190 37,8568 43,5353 50,0656 57,5755 66,2118 76,1435 87,5651 100,6998 115,8048 133,1755 153,1519 176,1246 202,5433 232,9248 267,8635 538,7693 1.083,6574

(1+iP 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149 0,1869 0,1625 0,1413 0,1229 0,1069 0,0929 0,0808 0,0703 0,0611 0,0531 0,0462 0,0402 0,0349 0,0304 0,0264 0,0230 0,0200 0,0174 0,0151 0,0131 0,0114 0,0099 0,0086 0,0075 0,0065 0,0057 0,0049 0,0043 0,0037 0,0019 0,0009

EWF 1,0000 2,1500 3,4725 4,9934 6,7424 8,7537 11,0668 13,7268 16,7858 20,3037 24,3493 29,0017 34,3519 40,5047 47,5804 55,7175 65,0751 75,8364 88,2118 102,4436 118,8101 137,6316 159,2764 184,1678 212,7930 245,7120 283,5688 327,1041 377,1697 434,7451 500,9569 577,1005 664,6655 765,3654 881,1702 1.014,3457 1.167,4975 1.343,6222 1.546,1655 1.779,0903 3.585,1285 7.217,7163

BWF 0,8696 1,6257 2,2832 2,8550 3,3522 3,7845 4,1604 4,4873 4,7716 5,0188 5,2337 5,4206 5,5831 5,7245 5,8474 5,9542 6,0472 6,1280 6,1982 6,2593 6,3125 6,3587 6,3988 6,4338 6,4641 6,4906 6,5135 6,5335 6,5509 6,5660 6,5791 6,5905 6,6005 6,6091 6,6166 6,6231 6,6288 6,6338 6,6380 6,6418 6,6543 6,6605

TF 1,0000 0,4651 0,2880 0,2003 0,1483 0,1142 0,0904 0,0729 0,0596 0,0493 0,0411 0,0345 0,0291 0,0247 0,0210 0,0179 0,0154 0,0132 0,0113 0,0098 0,0084 0,0073 0,0063 0,0054 0,0047 0,0041 0,0035 0,0031 0,0027 0,0023 0,0020 0,0017 0,0015 0,0013 0,0011 0,0010 0,0009 0,0007 0,0006 0,0006 0,0003 0,0001

WGF 1,1500 0,6151 0,4380 0,3503 0,2983 0,2642 0,2404 0,2229 0,2096 0,1993 0,1911 0,1845 0,1791 0,1747 0,1710 0,1679 0,1654 0,1632 0,1613 0,1598 0,1584 0,1573 0,1563 0,1554 0,1547 0,1541 0,1535 0,1531 0,1527 0,1523 0,1520 0,1517 0,1515 0,1513 0,1511 0,1510 0,1509 0,1507 0,1506 0,1506 0,1503 0,1501

Tabellen ausgewählter Zinsfaktoren

541

Tabelle ausgewählter Zinsfaktoren ( i = 0,18) η

(1+i)n

1 2 3 4

1,1800 1,3924 1,6430 1,9388 2,2878 2,6996 3,1855 3,7589 4,4355 5,2338 6,1759 7,2876 8,5994 10,1472 11,9737 14,1290 16,6722 19,6733 23,2144 27,3930 32,3238 38,1421 45,0076 53,1090 62,6686 73,9490 87,2598 102,9666 121,5005 143,3706 169,1774 199,6293 235,5625 277,9638 327,9973 387,0368 456,7034 538,9100 635,9139 750,3783 1.716,6839 3.927,3569

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 36 37 38 39 40 46 60

(1+1)·"

EWF

1,0000 0,8475 2,1800 0,7182 3,5724 0,6086 0,5158 5,2154 0,4371 7,1542 0,3704 9,4420 0,3139 12,1415 15,3270 0,2660 19,0859 0,2255 23,5213 0,1911 28,7551 0,1619 34,9311 0,1372 42,2187 0,1163 50,8180 0,0985 0,0835 60,9653 72,9390 0,0708 87,0680 0,0600 103,7403 0,0508 0,0431 123,4135 146,6280 0,0365 174,0210 0,0309 206,3448 0,0262 0,0222 244,4868 289,4945 0,0188 0,0160 342,6035 0,0135 405,2721 0,0115 479,2211 0,0097 566,4809 669,4475 0,0082 0,0070 790,9480 934,3186 0,0059 0,0050 1.103,4960 1.303,1253 0,0042 1.538,6878 0,0036 1.816,6516 0,0030 2.144,6489 0,0026 2.531,6857 0,0022 0,0019 2.988,3891 3.527,2992 0,0016 0,0013 4.163,2130 0,0006 9.531,5771 0,0003 21.813,0937

BWF 0,8475 1,5656 2,1743 2,6901 3,1272 3,4976 3,8115 4,0776 4,3030 4,4941 4,6560 4,7932 4,9095 5,0081 5,0916 5,1624 5,2223 5,2732 5,3162 5,3527 5,3837 5,4099 5,4321 5,4509 5,4669 5,4804 5,4919 5,5016 5,5098 5,5168 5,5227 5,5277 5,5320 5,5356 5,5386 5,5412 5,5434 5,5452 5,5468 5,5482 5,5523 5,5541

TF 1,0000 0,4587 0,2799 0,1917 0,1398 0,1059 0,0824 0,0652 0,0524 0,0425 0,0348 0,0286 0,0237 0,0197 0,0164 0,0137 0,0115 0,0096 0,0081 0,0068 0,0057 0,0048 0,0041 0,0035 0,0029 0,0025 0,0021 0,0018 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0008 0,0006 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000

WGF 1,1800 0,6387 0,4599 0,3717 0,3198 0,2859 0,2624 0,2452 0,2324 0,2225 0,2148 0,2086 0,2037 0,1997 0,1964 0,1937 0,1915 0,1896 0,1881 0,1868 0,1857 0,1848 0,1841 0,1835 0,1829 0,1825 0,1821 0,1818 0,1815 0,1813 0,1811 0,1809 0,1808 0,1806 0,1806 0,1805 0,1804 0,1803 0,1803 0,1802 0,1801 0,1800

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Stichwortverzeichnis

547

Stichwortverzeichnis

Abschreibungen 23, 134f., 375 Abschreibungsmethode 314ff. Abzinsung 44ff.

Boulding' sehe Näherungslösung 161ff. cut-off-rate 444

Abzinsungsfaktor 44ff., 516 Amortisationsdauer 173 ff.

Dean-Modell 444ff.

Annuität 122ff., 128, 138f.

Deckungskriterium 158

Annuitäten-Methode 122ff.

Differenzinvestition 452, 454ff.

-, approximative 13 Off.

Diskontierung 45

-, exakte 12Iff.

Diskontierungsfaktor 47

Anrechnungsverfahren 299ff. Anschaffungsauszahlung, optimale 368ff. Aufzinsung 44ff. Aufzinsungsfaktor 44ff., 515 Auszahlung 11 Auszahlungs-Annuität 123, 125f., 130, 136ff.

Eindeutigkeitskriterium 158 Einzahlung 11 Einzahlungs-Annuität 123ff. Endvermögen 282 Endwert 286 Endwertfaktor 54f., 516ff. Entscheidungsbaum 485 Ergänzungsinvestition 192

Baldwin-Zinssatz 244, 25 Iff.

Ersatzzeitpunkt 404

Barwert 44ff. -, optimaler 404ff. - der Steuerersparnis 300 - einer einzelnen Zahlung 44ff.

Ertragsteuern 293f., 296 Erwartungswert 490ff.

- einer Zahlungsreihe 47ff. Barwert-Faktor 50ff., 518ff.

Finanzplan 281, 285

548

Stichwortverzeichnis

Fisher-Separation 500ff.

Kapitalnachfragekurve/-funktion 406f„ 419

Gewinnvergleichsrechnung 27ff.

Kapitalrationierung 272f.

Grenzauszahlung 381

Kapitalwert 79ff.

Grenzeinzahlung 381

Kapitalwert-Annuität 122ff.

Grenzkalkül 393

Kapitalwertfunktion 157, 160

Grenzkosten des Kapitaleinsat-

Kapitalwertrate 256ff.

zes 382 Grenzrendite 374, 383 Halbeinkünfteverfahren 296f., 299ff. Imponderabilien 5 Interner Zinsfuß 147ff.

Komplementärinvestition 192, 195f„ 198ff. Kostenvergleichsrechnung 21fF. Kritische Werte 113 Momentanverzinsung 379, 523ff.

Interpolation, lineare 469ff.

Normalinvestition 72, 159

Investitionsarten 12

Nutzungsdauer 375

Investitionskette 383ff.

-, optimale 378ff.

Investitionsprogrammplanung

-, technische 376

429ff.

-, wirtschaftliche 377f.

Kalkulationszinssatz, kritischer 208, 213f. Kapitalangebotskurve/-funktion 443,4445 Kapitaldienst 128, 130ff„ 139 Kapitalmarkt, unvollkommener 272f. -, vollkommener 272f.

Pay-off-Kriterium 173ff. Pay-off-Periode 173fF. Planung 14, 48 Iff. flexible 48 Iff., 490, 493f. -, simultane 475 starre 489ff, 491f„ 494

Stichwortverzeichnis

Rentabilitätsvergleichsrechnung 3 Off. Rente 50 ewige 93 Rentenbarwertfaktor 5 Off., 518ff.

549

Verlustausgleich 301 sofortiger 301, 303ff. Verlustrücktrag 301, 309 Verlustvortrag 301, 307, 309, 311f.

Rentenendwertfaktor 54f., 516ff.

Wiederanlage-Prämisse 167fF.

Restbuchwert 298

Wiedergewinnungsfaktor 57ff., 494f.

Restverkaufserlös 79ff, 298 Sofortabschreibung 314ff. Steuern 292ff.

Zahlungsreihe 48, 99, 106, 193 Zahlungssupplement 194 Zeitsupplement 193

gewinnabhängige (siehe Ertragsteuern) gewinnunabhängige 292f.

Zeitzentrum 70f. Zulage 344ff.

Steuerparadoxon 313

Zuschuß 347ff.

Supplementinvestition 192, 195f., 198ff.

Zustandsbaum 484

Tilgungsfaktor 65ff„ 52Iff.