Introduction aux éphémérides et phénomènes astronomiques: Supplément explicatif à la connaissance du temps 9782759826568

Citation preview

INSTITUT DE MÉCANIQUE CÉLESTE ET DE CALCUL DES ÉPHÉMÉRIDES • BUREAU DES LONGITUDES

Introduction

ÉPHÉMÉRIDES et PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES aux

S U P P L É M E N T E X P L I C AT I F

À LA CONNAISSANCE DES TEMPS

P U B L I C A T I O N C O O R D O N N É E P A R JÉRÔME BERTHIER , PA SC AL DE SC AMP S & F R ANÇOIS MIGNARD

c IMCCE et EDP Sciences, Paris, 2021

Illustration de couverture Éclipse totale de Lune, 21 janvier 2019. c J. Normand

ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2414-4 ISBN IMCCE 978-2-910015-86-2

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

À la mémoire de Jean Chapront et Pierre Bretagnon.

Préface C’est un grand plaisir de vous présenter cette nouvelle édition de l’Introduction aux éphémérides et phénomènes astronomiques, réalisée par un collectif de chercheurs et d’ingénieurs de plusieurs observatoires français, coordonnée par l’Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (IMCCE) et publiée sous l’égide du Bureau des longitudes. La version précédente fut à l’initiative, en 1991, de Jean Chapront (1939-2019), alors directeur de l’IMCCE. Publiée en 1998 et épuisée depuis plusieurs années, cette version a nécessité bien plus qu’un dépoussiérage en raison des nombreux changements intervenus depuis cette date dans le domaine des éphémérides, des systèmes de référence, des méthodes de calcul et des constantes astronomiques. C’est donc un ouvrage repensé dans sa globalité et non une simple mise à jour visant à corriger les manques de l’édition de 1998 que vous avez entre les mains. . . ou devant votre écran, selon la version utilisée. Certes, depuis 2005, la première partie de la Connaissance des temps comporte des chapitres explicatifs, mis à jour avec plus ou moins de régularité, et qui ont provisoirement pallié le vieillissement de l’Introduction aux éphémérides. Mais cela est resté limité à quelques chapitres, sans couvrir toutes les questions abordées dans l’ouvrage. Les nouvelles réalisations du repère de référence, les éphémérides numériques, l’exploration du Système solaire, le positionnement par satellites omniprésent dans notre vie quotidienne et l’information astronomique en ligne beaucoup plus accessible que par le passé ont imposé une révision du contenu pour l’adapter à des besoins et des utilisateurs nouveaux. Enfin, tout récemment, l’évolution profonde du Système international d’unités a également incité à une refonte de l’ouvrage. Fort de l’expérience acquise avec l’édition précédente, le comité éditorial a élargi l’objectif de l’ouvrage afin de répondre aux attentes d’un public plus large, sans pour autant délaisser celles des spécialistes. Cette version devrait ainsi combler les utilisateurs de la Connaissance des temps, mais également ceux du Guide des données astronomiques (Annuaire du Bureau des longitudes), moins spécialistes, mais souvent désireux de conduire i

par eux-mêmes des calculs astronomiques avancés, rendus possibles par les moyens informatiques à la disposition de chacun. Les nouveaux chapitres sur les phénomènes astronomiques remplissent parfaitement cet objectif. L’ouvrage ambitionne d’être une publication de référence dans les domaines de l’astronomie fondamentale, de la mécanique céleste et de l’astrométrie : un grand soin a été apporté au respect de la nomenclature, des règles de l’écriture scientifique et de celles de l’emploi des unités. Si certains chapitres, déjà présents dans l’édition précédente, sont par nature et demeurent très techniques, comme la présentation des théories planétaires ou de la rotation de la Terre, d’autres, constituant environ un tiers de l’ouvrage, sont totalement nouveaux et bienvenus. C’est le cas de la présentation des méthodes de calcul de l’astronomie du quotidien (ou presque), de celles des levers et couchers des astres, de l’année et des subtilités du calendrier, des éclipses, des passages de planètes devant le Soleil et des éphémérides physiques de planètes. Ces chapitres comblent (partiellement) le vide dans l’édition française pour un ouvrage d’astronomie fondamentale, accessible à un lycéen de terminale scientifique, comme le fut jadis le célèbre Danjon, aujourd’hui bien dépassé, mais toujours consulté. Le chapitre sur les satellites artificiels est totalement nouveau pour ce type d’ouvrage et fournit tous les éléments pour comprendre les conditions de visibilité et éventuellement écrire son propre programme de calcul. À l’évidence, bien qu’à jour au moment de sa parution, cet ouvrage souffrira inévitablement du temps qui passe. Mais il sera possible d’en faire les mises à jour sur la version numérique, ce qui permettra d’actualiser les sections qui seront progressivement altérées par de nouvelles conventions ou de nouvelles éphémérides, sans toutefois perdre la cohérence de l’ensemble.

François Mignard Président du Bureau des longitudes Jacques Laskar Directeur de l’IMCCE

ii

Coordination de l’ouvrage Jérôme Berthier ingénieur de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Pascal Descamps astronome-adjoint, IMCCE / Observatoire de Paris François Mignard directeur de recherche émérite au CNRS, Université Côte d’Azur / Observatoire de la Côte d’Azur / Bureau des longitudes

Comité éditorial Sylvie Lemaitre ingénieure d’étude, IMCCE / Observatoire de Paris Yohann Gominet technicien, IMCCE / Observatoire de Paris Maïder Bugnon Olano technicienne, IMCCE / Observatoire de Paris

Auteurs

Chapitre

Zuheir Altamimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . directeur de recherche, IGN-IPGP Jean-Eudes Arlot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome émérite, IMCCE / Observatoire de Paris / Bureau des longitudes Jérôme Berthier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ingénieur de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Mirel Birlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . chargé de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Pierre Bretagnon † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, IMCCE / Observatoire de Paris Victor Brumberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, IMCCE / Institute of applied astronomy, St. Petersbourg Christian Bizouard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, SYRTE / Observatoire de Paris Michel Capderou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maitre de conférence, LMD, École Polytechnique Nicole Capitaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome émérite, SYRTE / Observatoire de Paris / Bureau des longitudes

iii

3 6, 10

1, 7, 9, 12, 13 1, 7 5 9 4 8 1, 3, 4

Benoit Carry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, Université Côte d’Azur / Observatoire de la Côte d’Azur Florent Deleflie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, IMCCE / Observatoire de Paris Pascal Descamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, IMCCE / Observatoire de Paris Nikolai Emelyanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, Sternberg Astronomical Institute Agnès Fienga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, Université Côte d’Azur / Observatoire de la Côte d’Azur Valery Lainey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, IMCCE / Observatoire de Paris Sébastien Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, SYRTE / Observatoire de Paris Lucie Maquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome-adjoint, IMCCE / Observatoire de Paris François Mignard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . directeur de recherche émérite au CNRS, Université Côte d’Azur / Observatoire de la Côte d’Azur / Bureau des longitudes Vincent Robert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . enseignant-chercheur, IPSA / IMCCE / Observatoire de Paris Patrick Rocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, IMCCE / Observatoire de Paris Jean-Louis Simon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome, IMCCE / Observatoire de Paris William Thuillot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . astronome émérite, IMCCE / Observatoire de Paris Frédéric Vachier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ingénieur de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Alain Vienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . professeur des universités, IMCCE / Université de Lille

Contributeurs Mickaël Gastineau ingénieur de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Hervé Manche ingénieur d’étude au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris Jonathan Normand ingénieur d’étude, IMCCE / Observatoire de Paris Melaine Saillenfest chargé de recherche au CNRS, IMCCE / Observatoire de Paris

iv

7, 12

8 7, 10, 11, 12, 13 6 5

6 3, 4 7 2, 3, 5, 9, 10, 13

6 13 5, 13 6, 10 7 6

Services et publications en ligne L’IMCCE et le Bureau des longitudes proposent, sur leurs sites web respectifs, des services de calcul d’éphémérides et un choix de publications en rapport avec le contenu de cet ouvrage. Voici une liste de ces ressources et les adresses web pour y accéder.

Services en ligne • Formulaires de calcul d’éphémérides (tout public) permettant d’obtenir des levers et couchers de planètes, de calculer des éphémérides de position ou pour l’observation physique des corps du Système solaire, d’obtenir les prédictions des éclipses de Lune et de Soleil ou des phénomènes de satellites des planètes. https://ssp.imcce.fr/forms

• Web services de calcul d’éphémérides (développeurs et public averti) permettant de développer des applications qui nécessitent d’accéder à des informations sur les corps du Système solaire (SsODNet), de calculer des éphémérides des corps du Système solaire (Miriade), de rechercher ces corps dans des images astronomiques (SkyBoT), ou de manipuler leurs spectres (M4AST). https://ssp.imcce.fr/webservices/

Éphémérides planétaires • INPOP, solution orbitale du Soleil, des planètes, de Pluton et de la Lune. https://www.imcce.fr/inpop

• CALCEPH, librairie de calcul des éphémérides planétaires. https://www.imcce.fr/inpop/calceph/

v

Publications institutionnelles • Connaissance des temps, ouvrage d’éphémérides destiné aux astronomes, enseignants et étudiants. Publication annuelle disponible aux formats papier ou ebook, accompagnée du logiciel eCDT de calcul d’éphémérides. https://www.imcce.fr/publications/publications-institutionnelles/#1

• Guide de données astronomiques (Annuaire du Bureau des longitudes), publié chaque année et répondant aux besoins de l’observateur. https://www.imcce.fr/publications/publications-institutionnelles/#2

Notes scientifiques et techniques • Publications des travaux de l’IMCCE liés aux recherches théoriques de mécanique céleste ou observationnelles en astrométrie, et aux travaux plus techniques appliqués dans l’élaboration des éphémérides. https://www.imcce.fr/publications/publications-recherche/nst

Publications du Bureau des longitudes • Ouvrages scientifiques et Cahiers des sciences de l’Univers succédant aux quatre volumes de l’Encyclopédie scientifique de l’Univers. https://www.bureau-des-longitudes.fr/publications.htm

Ouvrages pour tous • Agenda astronomique, publication annuelle thématique fournissant de nombreuses informations destinées au grand public. https://www.imcce.fr/publications/ouvrages-pour-tous/#1

• Divers ouvrages édités par l’IMCCE destinés à un large public. https://www.imcce.fr/publications/ouvrages-pour-tous/#1

vi

Table des matières

Page Liste des figures

xx

Liste des tables

xxvii

La Connaissance des temps

1

Les origines de la Connaissance des temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

La Connaissance des temps de 1795 à 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

La Connaissance des temps entre 1980 et 2006 . . . . . . . . . . . . . . . .

4

La Connaissance des temps depuis 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

L’Introduction aux éphémérides astronomiques . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1. Unités, constantes et données astronomiques

9

1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Systèmes d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Le Système international d’unités (SI) . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Le Système UAI d’unités astronomiques . . . . . . . . . . . . .

11 11 17

1.3. Le système UAI de constantes astronomiques . . . . . . . . . . . 1.3.1. Caractéristiques du système UAI 2009/2012 . . . . . . . 1.3.2. Origine des temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Valeurs des constantes du système UAI 2009/2012 . . .

21 21 23 23

vii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

TABLE DES MATIÈRES 1.3.4. Notes explicatives relatives à certaines constantes du système . . 1.3.5. Constantes dérivées du système UAI 2009/2012 . . . . . . . . . 1.4. Autres systèmes de constantes . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Standards numériques IERS 2010 . . . . . . . . 1.4.2. Système UAI 2015 des constantes de conversion 1.4.3. Système des masses planétaires . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

27 27 29 29

1.5. Données sur le Système solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Éléments orbitaux des planètes et des satellites découverts avant 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Éléments osculateurs des satellites découverts après 1990 . . . . 1.5.3. Paramètres physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 36 45

1.6. Autres constantes et unités de l’astronomie . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Constantes relatives au système de référence galactique . . 1.6.2. Constantes relatives à la situation du Soleil dans la Galaxie 1.6.3. Valeurs estimées des paramètres du formalisme PPN . . . . 1.6.4. Autres unités utilisées en astronomie . . . . . . . . . . . .

53 53 54 56 57

. . . . .

. . . .

26 27

. . . . .

. . . . .

2. Échelles de temps

59

2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2. Évolution des échelles de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Le Temps des éphémérides (TE ou ET) . . . . . . . . . . . . . .

60 60 62

2.3. Le Temps atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Étalons de fréquence : la seconde SI . . . . 2.3.2. Réalisation du Temps atomique international 2.3.3. Uniformité du TAI . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

64 64 66 67

2.4. Le Temps universel coordonné (UTC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Le futur de l’UTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 71

2.5. Échelles de temps relativistes . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Les échelles TCB et TCG . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Les échelles TT et TDB . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Synthèse des relations entre les échelles de temps

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

76 76 81 82

2.6. Le Temps GNSS . . . . . . . 2.6.1. Le temps GPS . . . . 2.6.2. Le temps Galileo . . . 2.6.3. Le temps GLONASS

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

83 83 84 84

. . . .

. . . .

. . . .

viii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

TABLE DES MATIÈRES 2.6.4. Le temps BeiDou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Jours Juliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Le cycle julien . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Le décompte des jours avec les jours juliens 2.7.4. Époques julienne et bessellienne . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

84

. . . . .

84 84 85 87 88

2.8. La quantité TT-UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 90

3. Systèmes de référence

95

3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Notions de système de référence et de repère de référence . . . . 3.1.2. De la théorie newtonienne à la relativité générale . . . . . . . . . 3.1.3. Définitions cinématique et dynamique des systèmes de référence 3.1.4. Référence terrestre et lien entre les systèmes terrestre et céleste . 3.2. Systèmes de référence relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Historique des résolutions de l’UAI sur la RG . . . . . . . 3.2.4. Définition des systèmes de référence BCRS et GCRS . . . 3.2.5. Transformation de coordonnées entre systèmes de référence barycentrique et géocentrique . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

95 95 96 96 97

. 97 . 97 . 98 . 99 . 102

. . . 105

3.3. Système de référence céleste international . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.1. Une nouvelle conception : le système de référence cinématique . 106 3.3.2. Les recommandations de l’Union astronomique internationale (UAI)108 3.3.3. Définition du Système de référence céleste international (ICRS) . 109 3.3.4. Maintenance du Système de référence céleste international (ICRS) 110 3.3.5. Contribution de l’IERS à la réalisation et à la maintenance de l’ICRS110 3.3.6. Accessibilité au Système de référence céleste international . . . . 111 3.3.7. Le repère de référence céleste international (ICRF) . . . . . . . . 112 3.3.8. La deuxième réalisation de l’ICRF : l’ICRF2 . . . . . . . . . . . 113 3.3.9. La troisième réalisation de l’ICRF : l’ICRF3 . . . . . . . . . . . 114 3.3.10. Réalisations dans le domaine visible . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4. Systèmes de référence dynamiques . . . . . . 3.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Systèmes de référence et éphémérides . ix

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

119 119 120 122

TABLE DES MATIÈRES 3.4.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.5. Système international de référence terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Concepts et définitions des systèmes de référence terrestres . . 3.5.3. Réalisation d’un système de référence terrestre . . . . . . . . . 3.5.4. Le Système international de référence terrestre (ITRS) et sa réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. L’ITRF2014, réalisation actuelle de l’ITRS . . . . . . . . . . . 3.5.6. L’ITRS et les instances internationales . . . . . . . . . . . . . 3.5.7. Système de coordonnées géodésiques GNSS . . . . . . . . . . 3.5.8. Autres formes ou désignations de repères de référence terrestres

. . . .

126 126 128 129

. . . . .

133 137 139 141 142

3.6. Passage du GCRS à l’ITRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Expression générale de la transformation . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Les résolutions 2000 et 2006 de l’UAI relatives à la transformation entre les systèmes de référence terrestre et céleste . . . . . . . . 3.6.4. Les paramètres d’orientation de la Terre . . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Expression de la transformation entre le GCRS et l’ITRS utilisant l’origine non tournante . . . . . . . . . . . . 3.6.6. Expression classique de la transformation entre le GCRS et l’ITRS 4. Rotation de la Terre

143 143 144 145 148 155 161 165

4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2. Phénomènes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Origine des phénomènes et détermination . . . . . . . . . . . 4.2.2. La précession-nutation : description et historique . . . . . . . 4.2.3. Le mouvement du pôle : description et historique . . . . . . . 4.2.4. Les variations de la vitesse de rotation et de la durée du jour : description et historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 170

4.3. Dynamique de la rotation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Les équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Évolution des constantes associées à la précession-nutation

. . . .

. . . .

. . . .

171 172 176 180

4.4. Modèles de précession . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Les différents types de précession . . . . . . . . 4.4.2. Quantités liées à la précession . . . . . . . . . . 4.4.3. Évolution 2000-2003 des modèles de précession 4.4.4. Les modèles UAI de précession . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

182 182 183 185 186

x

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

166 166 167 169

TABLE DES MATIÈRES 4.4.5. Expressions analytiques des quantités de précession . . . . . . . 188 4.4.6. Développements de la précession et comparaison entre modèles . 189 4.4.7. Domaine de validité des modèles de précession . . . . . . . . . . 192 4.5. Modèle de nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Rotation des corps célestes et nutation . . . . . . . . . . . 4.5.2. Caractéristiques du modèle de nutation UAI 1980 . . . . . 4.5.3. Caractéristiques du modèle de nutation UAI 2000 . . . . . 4.5.4. Relations entre précession, nutation et mouvement du pôle . 4.5.5. Équations cinématiques et équations dynamiques . . . . . . 4.5.6. Modèle géophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.7. Réduction des équations du moment cinétique et application du modèle géophysique . . . . . . . . . . . 4.5.8. Estimation des corrections de précession et formules pour les séries de la nutation . . . . . . . . . . 4.5.9. Fréquences des nutations et mouvement du pôle . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

193 193 195 195 196 197 199

. . . 200 . . . 203 . . . 204

4.6. Paramètres d’orientation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. La rotation de la Terre et son orientation dans l’espace . . . . . . 4.6.2. Les paramètres d’orientation et de rotation de la Terre (EOP) . . 4.6.3. Mouvement du pôle ou polhodie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4. Variations du Temps universel UT1 et de la durée du jour . . . . 4.6.5. Pôle céleste et écarts au pôle céleste . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6. Relations du Temps universel avec les échelles de temps atomique TAI et UTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.7. Les techniques d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.8. Coordination mondiale des mesures de la rotation de la Terre . . 4.6.9. Calcul des paramètres d’orientation de la Terre . . . . . . . . . . 5. Mouvement des planètes, de Pluton et de la Lune

205 205 206 207 209 212 213 214 216 217 219

5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.2. Théories du mouvement des planètes et de Pluton . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Éléments de mécanique céleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Forme des théories analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Construction de théories planétaires à variations séculaires . . . . 5.2.5. Théories planétaires utilisées pour les éphémérides de la Connaissance des temps jusqu’en 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6. Théories planétaires récentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.7. Éléments moyens des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.8. Expressions numériques des éléments moyens . . . . . . . . . . xi

220 220 226 231 233 239 243 251 253

TABLE DES MATIÈRES 5.2.9. Éphémérides approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5.3. Le mouvement de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Caractéristiques de l’orbite lunaire . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Les principales perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Les éléments moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Périodes de révolution caractéristiques du mouvement de la Lune 5.3.5. Les éphémérides de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

276 276 280 286 291 291

5.4. L’éphéméride INPOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 5.4.1. Les différentes versions d’INPOP de 2003 à 2015 . . . . . . . . 304 5.4.2. La version INPOP17a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 6. Satellites naturels des planètes 6.1. Introduction . . . 6.1.1. Dynamique 6.1.2. Objectifs . 6.1.3. Plan . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

321 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

321 321 322 324

6.2. Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 6.2.1. La découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 6.2.2. Modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.3. Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 6.4. La réalisation et la réduction des observations 6.4.1. L’instrument méridien . . . . . . . . . 6.4.2. Le micromètre et l’héliomètre . . . . . 6.4.3. L’imagerie . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4. Les phénomènes . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Les rapprochements . . . . . . . . . . 6.4.6. La radioscience . . . . . . . . . . . . 6.4.7. Les observations disponibles . . . . . 6.4.8. Précision et exactitude des observations

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

329 329 331 332 341 342 342 345 345

6.5. La modélisation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Les forces en présence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Les méthodes de résolutions des équations du mouvement 6.5.3. Ajustement des paramètres orbitaux sur les observations .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

348 348 350 359

6.6. Les différents systèmes . . 6.6.1. Satellites de Mars . 6.6.2. Satellites galiléens . 6.6.3. Satellites de Jupiter

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

364 364 374 387

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

xii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

TABLE DES MATIÈRES 6.6.4. 6.6.5. 6.6.6. 6.6.7. 6.6.8.

Satellites de Saturne . . . . . Satellites d’Uranus . . . . . . Satellites de Neptune . . . . Satellites de Pluton . . . . . Satellites lointains irréguliers

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

394 441 451 457 460

6.7. Représentation des éphémérides . . . . . . . . . 6.7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Échelle de temps . . . . . . . . . . . . . 6.7.3. Calcul des coordonnées . . . . . . . . . 6.7.4. Précision et exactitude des éphémérides . 6.7.5. Représentation des éphémérides . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

469 469 470 470 470 482

6.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 7. Petits corps du Système solaire et planètes naines

493

7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 7.2. Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Les comètes, de l’Antiquité à nos jours . . . . . . . . . 7.2.2. Les astéroïdes et autres petits corps, une affaire moderne 7.2.3. Origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Les satellites d’astéroïdes . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

494 494 496 499 499

7.3. Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 7.4. Propriétés des petits corps . . . 7.4.1. Propriétés dynamiques . 7.4.2. Propriétés de surface . . 7.4.3. Propriétés physiques . . 7.4.4. Propriétés des satellites

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

503 503 505 508 511

7.5. Fondamentaux des éphémérides de position . . . . . . . . . . . . . . . . 513 7.6. Détermination des orbites . . . . . . 7.6.1. Méthodologie . . . . . . . . 7.6.2. Sources des données orbitales 7.6.3. Précision des orbites . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

513 513 515 515

7.7. Calcul des éphémérides de position . . . . . . . 7.7.1. Équations du mouvement . . . . . . . . 7.7.2. Forces non gravitationnelles . . . . . . . 7.7.3. Résolution des équations du mouvement 7.7.4. Calcul des conditions initiales . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

518 519 521 525 526

xiii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

TABLE DES MATIÈRES 7.8. Calcul du flux apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 7.8.1. Réflexion du spectre solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 7.8.2. Émission thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 7.9. Satellites d’astéroïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. Détermination des paramètres orbitaux . . . . . . . . . . . . . . 7.9.2. Orbites et éphémérides proposées par l’IMCCE . . . . . . . . . 7.9.3. Caractéristiques dynamiques des systèmes d’astéroïdes multiples 8. Satellites artificiels

531 531 532 533 547

8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 8.2. Considérations dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Les lois de Kepler pour le satellite artificiel . . . . . . . . 8.2.2. Orbites perturbées avec précession et termes périodiques . 8.2.3. Orbites précises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Approches numériques, semi-analytiques, analytiques . . 8.2.5. Différentes définitions de périodes pour l’observation . . 8.2.6. Spécificités des orbites interplanétaires . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

548 548 552 555 556 559 560

8.3. Familles de satellites artificiels . . . . . . . . . . . 8.3.1. Orbites circulaires et quasi circulaires . . . 8.3.2. Orbites excentriques . . . . . . . . . . . . . 8.3.3. Points de Lagrange . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

561 561 564 565

8.4. Considérations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Latitudes géocentrique et géodésique . . . . . . . . 8.4.2. Nadir et trace pour un satellite artificiel . . . . . . . 8.4.3. Projection des trajectoires en repère terrestre . . . . 8.4.4. Variations d’altitude d’un satellite quasi circulaire . 8.4.5. Visibilité des satellites artificiels depuis le sol . . . 8.4.6. Configurations d’éclairement des satellites, éclipses

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

571 571 572 573 578 580 584

8.5. Catalogues de satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 8.5.1. Le catalogue des « Deux Lignes NORAD » (TLE) . . . . . . . . 589 8.5.2. Exemples d’évolution à long terme des paramètres orbitaux . . . 594 9. Corrections pour la réduction

597

9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 9.2. Corrections pour les étoiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 9.2.1. Présentation des effets physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 9.2.2. Formulaire classique pour le calcul des corrections stellaires . . . 605 xiv

TABLE DES MATIÈRES 9.2.3. Formulaire relativiste pour le calcul des corrections stellaires . . 613 9.3. Corrections pour les corps du Système solaire . . . . 9.3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Formulaire classique pour le Système solaire . 9.3.3. Formulaire relativiste pour le Système solaire .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

616 616 618 621

9.4. La réfraction astronomique . 9.4.1. Historique . . . . . . 9.4.2. Effets globaux . . . . 9.4.3. Théorie approchée . . 9.4.4. Atmosphère sphérique

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

623 623 626 628 630

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10. Phénomènes astronomiques

645

10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 10.2. Phases de la Lune . . . . . . . . . 10.2.1. Présentation générale . . . 10.2.2. Durée des phases lunaires 10.2.3. Durée de la lunaison . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

645 645 648 650

10.3. Lever, coucher et passage au méridien 10.3.1. Passages au méridien . . . . . 10.3.2. Temps solaire et jour solaire . 10.3.3. Levers et couchers . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

655 655 657 666

10.4. Durée du jour et crépuscules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 10.4.1. Durée du jour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 10.4.2. Crépuscules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 10.5. Grandes oppositions périhéliques de Mars 10.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . 10.5.2. Retour des oppositions . . . . . . 10.5.3. Parallaxe de Mars . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

686 686 687 691

10.6. Passages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2. Conditions des passages . . . . . . . . . 10.6.3. Succession des passages . . . . . . . . . 10.6.4. Recherche des passages planétocentriques 10.6.5. Passages topocentriques . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

694 694 696 700 707 713

10.7. Phénomènes des satellites de planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 10.7.1. Les éclipses et les occultations par la planète . . . . . . . . . . 719 10.7.2. Les phénomènes mutuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 xv

TABLE DES MATIÈRES 10.8. Occultations stellaires . . . . . . . . 10.8.1. Introduction . . . . . . . . . . 10.8.2. Géométrie des phénomènes . 10.8.3. Recherche systématique . . . 10.8.4. Prédiction géocentrique . . . 10.8.5. Circonstances générales . . . 10.8.6. Facteur de qualité . . . . . . . 10.8.7. Prédiction des rapprochements

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11. Les éclipses de Soleil et de Lune

743 743 743 744 746 747 751 752 753

11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 11.2. Précision du calcul des éclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 11.3. Récurrence des éclipses 11.3.1. Le saros . . . . . 11.3.2. L’exeligmos . . . 11.3.3. Cycles de saros .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

756 756 758 759

11.4. Les éclipses de Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1. Les méthodes de calcul des éclipses de Soleil . . . . . . 11.4.2. Conditions d’existence d’une éclipse de Soleil . . . . . 11.4.3. Théorie générale des éclipses de Soleil . . . . . . . . . 11.4.4. Éléments de Bessel et éléments auxiliaires . . . . . . . . 11.4.5. Circonstances générales d’une éclipse . . . . . . . . . . 11.4.6. Circonstances locales de visibilité d’une éclipse . . . . . 11.4.7. Instant du maximum de l’éclipse . . . . . . . . . . . . . 11.4.8. Instants de début et de fin d’éclipse . . . . . . . . . . . 11.4.9. Forme de l’ombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.10. Largeur de la bande de centralité et taille de l’ombre sur la ligne de centralité . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.11. Durée d’une éclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.12. Grandeur d’une éclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.13. Degré d’obscuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.14. Autre mode de calcul de l’obscuration et de la grandeur d’une éclipse pour un observateur . . . . . . . . . . . . 11.4.15. Angle de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.16. Cartes d’éclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.17. Exemple : éclipse annulaire du 1er septembre 2016 . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

760 764 765 770 778 779 782 786 787 788

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

789 790 790 791

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

794 796 797 804

11.5. Les éclipses de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 11.5.1. Conditions d’une éclipse de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . 807 11.5.2. Calcul d’une éclipse de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815 xvi

TABLE DES MATIÈRES 11.5.3. Phases d’une éclipse de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 11.5.4. Angle de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 11.5.5. Grandeur d’une éclipse de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 11.6. Carte de visibilité d’une éclipse de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 12. Éphémérides physiques

821

12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 12.2. Systèmes de rotation . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2. Cas des planètes et de leurs satellites . 12.2.3. Cas particulier de la Lune . . . . . . 12.2.4. Cas des petits corps . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

822 822 823 824 826

12.3. Paramètres des éphémérides physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 12.4. Systèmes de coordonnées . . . . . . . 12.4.1. Coordonnées planétocentriques 12.4.2. Coordonnées planétographiques 12.4.3. Exceptions . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

827 827 828 828

12.5. Calcul des éphémérides physiques . . . . . . . . . . . . 12.5.1. Points subobservateur (SEP) et subsolaire (SSP) 12.5.2. Angle de position du pôle Nord . . . . . . . . . 12.5.3. Angle de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4. Rayon angulaire apparent . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

829 830 832 832 833

12.6. Rendu visuel des formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1. Équateur d’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.2. Conditions d’illumination et observation . . . . . 12.6.3. Lois de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.4. Orientation et tracé du modèle dans le plan du ciel

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

833 834 835 836 839

12.7. Paramètres de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 12.8. Paramètres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 13. Calendrier et saisons

863

13.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 13.2. Calcul de la durée de l’année tropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864 13.2.1. Année tropique et années des saisons . . . . . . . . . . . . . . 864 13.2.2. Durée de l’année tropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 xvii

TABLE DES MATIÈRES 13.3. Les calendriers perpétuels . . . . . . . . . . . 13.3.1. Les calendriers lunaires perpétuels . . . 13.3.2. Les calendriers solaires perpétuels . . . 13.3.3. Les calendriers luni-solaires perpétuels

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

874 874 876 877

13.4. Le calendrier julien . . . . . . . . . . . . 13.4.1. Genèse . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Réforme julienne . . . . . . . . . 13.4.3. Ère chrétienne et style de l’année 13.4.4. Dérive calendaire . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

878 878 879 880 880

13.5. Le calendrier grégorien . . . . . 13.5.1. La réforme grégorienne 13.5.2. Le cycle de 33 ans . . . 13.5.3. Le cycle de 128 ans . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

881 881 882 883

13.6. Date des saisons . . . . . . . . . . . . . 13.6.1. Dates de l’équinoxe de printemps 13.6.2. Dates du solstice d’été . . . . . . 13.6.3. Dates de l’équinoxe d’automne . 13.6.4. Dates du solstice d’hiver . . . . . 13.6.5. Durées des saisons . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

883 884 885 885 885 885

13.7. Date de Pâques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.1. Les différentes Pâque(s) . . . . . . . . . . . 13.7.2. Date de Pâques dans le comput dionysien . . 13.7.3. La réforme grégorienne et le nouveau comput 13.7.4. Formulaires de la date de Pâques . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

886 888 891 896 907

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Annexe A. Changements de coordonnées

913

A.1. Notions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires/sphériques . . A.1.2. Transformation des coordonnées sous l’effet de rotation des axes A.1.3. Représentation des coordonnées sur la sphère . . . . . . . . . .

913 913 914 915

A.2. Coordonnées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 A.2.1. Coordonnées liées à un système de référence terrestre . . . . . . 916 A.2.2. Coordonnées liées à un système de référence céleste . . . . . . . 917 A.3. Relations entre systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 A.3.1. Relations entre coordonnées équatoriales et coordonnées écliptiques922 A.3.2. Relations entre coordonnées équatoriales et horizontales . . . . 923 xviii

TABLE DES MATIÈRES A.3.3. Relations entre coordonnées ICRS, BCRS, GCRS et ITRS . . . 925 Références bibliographiques

927

Glossaire

981

Index

1015

xix

Liste des figures 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Différence TAI − UTC et TAI − UT1 . . . . . . . . Différence UT1 − UTC en secondes de 1972 à 2021 Différence TT − UT, en secondes, de −1000 à 2000 Différence TT − UT, en secondes, de 1600 à 2020 .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

72 73 93 93

Première réalisation, ICRF1, du repère de référence céleste international Deuxième réalisation, ICRF2, du repère de référence céleste international Troisième réalisation, ICRF3, du repère de référence céleste international Distribution en magnitude G des ∼ 560 000 sources extragalactiques . . Distribution des incertitudes en mas sur la position des quasars du GaiaCRF2 pour l’ensemble des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Distribution des incertitudes en mas sur la position des quasars du GaiaCRF2 pour les sources les plus brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Définition des axes et raccordement des systèmes de référence dynamiques à l’ICRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Angles utilisés pour les raccordements entre systèmes de référence . . . 3.9. Répartition des sites ITRF88 et ITRF2008 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Réalisation ITRF2014 du Système international de référence terrestre . 3.11. Paramètres d’orientation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Convention fréquentielle de définition du CIP . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Définition de l’origine non tournante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Déplacement de l’origine non tournante au cours du temps . . . . . . .

112 114 115 117

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Précession-nutation dans l’espace et mouvement du pôle dans la Terre Angles d’Euler entre le repère terrestre et le repère écliptique moyen . Paramétrisation de la précession-nutation de l’équateur . . . . . . . . . Écliptiques et équateurs moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polhodie 2017-2019 et pôle moyen depuis 1900 . . . . . . . . . . . . Filtrage des écarts à la durée du jour de 1962 à 2020 . . . . . . . . . . Écarts du pôle céleste de 1985 à 2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

118 119 121 124 137 139 149 150 151 152 172 179 180 185 207 212 213

5.1. Vision héliocentrique du mouvement de la Terre et de la Lune . . . . . . 277 5.2. Distance Terre-Lune de 2020 à 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 xx

LISTE DES FIGURES 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Déclinaison géocentrique de la Lune sur une durée de 18.6 ans . . . . . Variations du demi-grand axe de l’orbite lunaire . . . . . . . . . . . . . Variations de l’excentricité de l’orbite lunaire entre 2020 et 2025 . . . . Variations périodiques de la longitude du périgée de l’orbite lunaire de 2020 à 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Longitude du périgée de l’orbite lunaire de 2020 à 2024 . . . . . . . . . 5.8. Variations de l’inclinaison de l’orbite lunaire entre 2020 et 2025 . . . . . 5.9. Variations périodiques de la longitude du nœud de l’orbite lunaire de 2020 à 2025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Longitude du nœud ascendant de l’orbite lunaire de 2020 à 2025 . . . . 5.11. Erreur en ascension droite de l’éphéméride lunaire simplifiée . . . . . . 5.12. Erreur en déclinaison de l’éphéméride lunaire simplifiée . . . . . . . . 5.13. Erreur en distance de l’éphéméride lunaire simplifiée . . . . . . . . . . 5.14. Phases de la Lune au périgée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Distances du périgée lunaire en fonction de la phase au périgée . . . . . 5.16. Distance Terre-Lune et instants des syzygies entre 2020 et 2025 . . . . 5.17. Résidus obtenus après ajustement d’INPOP17a aux observations LLR . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Nombre de satellites naturels connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrument méridien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d’une mesure micrométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Représentation tangentielle d’un champ sphérique . . . . . . . . . . . . Rattachement aux étoiles du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jupiter et les satellites galiléens : réduction astrométrique avec étoiles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Jupiter et les satellites galiléens : réduction astrométrique sans étoiles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Terre, planète et satellites aux moments de l’observation . . . . . . . . . 6.9. Rapprochements des satellites galiléens sur une semaine . . . . . . . . . 6.10. Éléments de Struve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Satellites de Mars : plans de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Résonance de Laplace : configurations possibles des satellites galiléens 6.13. Système des satellites galiléens projeté dans le plan équatorial de Jupiter 6.14. Définition des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Position du plan des anneaux par rapport à l’écliptique et à l’équateur céleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16. Système de référence adopté pour les quatre premiers satellites . . . . . 6.17. Système de référence adopté pour les satellites extérieurs . . . . . . . . 6.18. Schéma des orbites de Janus et Épiméthée dans le repère tournant . . . 6.19. Satellites bergers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.20. Problème restreint circulaire plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.21. Les points d’équilibre de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

280 282 283 284 285 286 287 288 299 299 300 301 302 302 318 329 330 331 333 335 338 338 339 343 366 368 375 378 382 398 399 400 413 414 415 416

LISTE DES FIGURES 6.22. Orbites de Télesto et Calypso dans le repère tournant . . . . . . . . . . 6.23. Termes à longues périodes non pris en compte dans la longitude moyenne de Mimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24. Configuration du plan d’Uranus et d’un de ses satellites . . . . . . . . . 6.25. Système de référence pour Triton et Néréide . . . . . . . . . . . . . . . 6.26. Système de référence pour les six nouveaux satellites de Neptune . . . 6.27. Le système de Pluton observé par le HST . . . . . . . . . . . . . . . . 6.28. Écarts résiduels (O − C) en longitude orbitale sur les intervalles de temps différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.29. Exactitude des éphémérides d’un corps céleste . . . . . . . . . . . . . 6.30. Évaluation de la précision des éphémérides . . . . . . . . . . . . . . . 6.31. Opérations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.32. Évaluation de l’exactitude des éphémérides I . . . . . . . . . . . . . . 6.33. Évaluation de l’exactitude des éphémérides II . . . . . . . . . . . . . . 6.34. Évaluation de l’exactitude des éphémérides III . . . . . . . . . . . . .

417 440 450 453 456 459 473 474 477 478 479 480 481

7.1. Nombre de découvertes annuelles des astéroïdes depuis 1801 . . . . . 7.2. Courbe de lumière de l’astéroide double (90) Antiope . . . . . . . . . 7.3. Nomenclature des petits corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Distribution spectrale d’énergie des petits corps . . . . . . . . . . . . 7.5. Taxonomie des petits corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Diversité des systèmes multiples de petits corps . . . . . . . . . . . . 7.7. Distribution des RMS d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Principales étapes de calcul des éphémérides de position . . . . . . . . 7.9. Modélisation d’une comète en bandes latitudinales . . . . . . . . . . . 7.10. Observation de l’occultation stellaire par le système triple (87) Sylvia

. . . . . . . . . .

498 501 502 506 508 512 519 520 523 532

8.1. Ellipses de demi-grands axes constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Éléments orbitaux dans le plan orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Accélérations des principales perturbations sur les satellites artificiels . 8.4. Position schématique des 5 points de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 8.5. Diverses définitions de la latitude d’un point M à la surface de la Terre. 8.6. Latitudes pour un satellite artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Différence entre les latitude géodésique et géocentrique d’un satellite . 8.8. Éléments orbitaux d’un satellite artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Représentation de la trajectoire du satellite Integral . . . . . . . . . . . 8.10. Représentation de l’altitude pour le satellite MetOp-A . . . . . . . . 8.11. Représentation de l’altitude pour le satellite MetOp-A (détail) . . . . 8.12. Conditions d’observation au sol du satellite Starlette . . . . . . . . . 8.13. Géométrie des conditions d’éclipse d’un satellite artificiel . . . . . . 8.14. Orbite du satellite Aqua et ombre de la Terre . . . . . . . . . . . . . 8.15. Portion de l’orbite du satellite Molniya dans l’ombre de la Terre . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

549 550 557 566 572 573 574 575 576 581 582 583 586 587 588

xxii

LISTE DES FIGURES 8.16. 8.17. 8.18. 8.19.

Orbite du satellite GOCE sans passage dans l’ombre de la Terre Évolution de l’altitude du satellite SPOT-5 . . . . . . . . . . . . Évolution de l’altitude de la station spatiale ISS . . . . . . . . . Évolution de l’orbite du satellite héliosynchrone MetOp-A . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

588 595 595 596

9.1. Effet de la parallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Aberration stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Ellipses de parallaxe et d’aberration annuelles . . . . . . . . . . . . 9.4. Aberration planétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Modèle de la réfraction de J.D. Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Schéma général de la réfraction astronomique . . . . . . . . . . . . 9.7. Réfraction atmosphérique avec des plans parallèles . . . . . . . . . . 9.8. Condition de validité de l’approximation des plans parallèles . . . . 9.9. Notations pour le modèle général de réfraction . . . . . . . . . . . . 9.10. Trajectoire d’un rayon lumineux pour un observateur à l’altitude h0 9.11. Modèle standard de l’atmosphère terrestre . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

602 604 605 619 625 627 628 630 631 638 642

10.1. Présentation schématique du mécanisme des phases lunaires . . . . . . 647 10.2. Durée en jours entre la nouvelle lune et le premier quartier . . . . . . . 649 10.3. Durée en jours de la lunaison entre 2000 et 2040 . . . . . . . . . . . . 651 10.4. Durée en jours de la lunaison en fonction de l’anomalie moyenne . . . 652 10.5. Explication schématique de la variabilité de la durée de la lunaison . . . 653 10.6. Durée en jours de la lunaison entre 1800 et 2200 . . . . . . . . . . . . 654 10.7. Durée en jours de la lunaison en fonction de la longitude du périgée . . 654 10.8. Réduction à l’équateur d’un mouvement uniforme sur l’écliptique . . . 659 10.9. Équation du temps en fonction du jour de l’année . . . . . . . . . . . . 661 10.10. Équation du temps et déclinaison du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . 662 10.11. Durée du jour solaire vrai en fonction du jour de l’année . . . . . . . 664 10.12. Durée du jour solaire italique en fonction du jour de l’année . . . . . . 665 10.13. Horizon optique en fonction de l’altitude . . . . . . . . . . . . . . . . 668 10.14. Durée du lever ou du coucher du Soleil au cours de l’année . . . . . . 674 10.15. Durée du lever ou du coucher du Soleil au cours de l’année . . . . . . 674 10.16. Géométrie lors du lever et coucher du Soleil . . . . . . . . . . . . . . 676 10.17. Géométrie lors du lever et coucher du Soleil avec réfraction . . . . . . 678 10.18. Durée du jour au cours de l’année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 10.19. Courbes d’égale durée du jour en fonction de la date et de la latitude . 680 10.20. Variation de la durée du jour au cours de l’année . . . . . . . . . . . . 681 10.21. Durée du crépuscule civil au cours de l’année . . . . . . . . . . . . . 683 10.22. Durée du crépuscule astronomique au cours de l’année . . . . . . . . 684 10.23. Durée du crépuscule civil pour l’ensemble de la Terre au cours de l’année685 10.24. Oppositions de Mars entre 2018 et 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . 688 10.25. Oppositions de Mars dont la distance à la Terre est inférieure à 0.377 au 690 xxiii

LISTE DES FIGURES 10.26. Oppositions de Mars dont la distance à la Terre est supérieure à 0.6757 au691 10.27. Principe de la méthode de détermination de la parallaxe solaire à l’aide de la mesure de la parallaxe de Mars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 10.28. Passage de Mercure du 9 mai 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 10.29. Géométrie des passages de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 10.30. Géométrie des passages de Vénus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 10.31. Condition en latitude pour les passages des planètes inférieures sur le disque solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 10.32. Condition en longitude pour les passages des planètes inférieures sur le disque solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 10.33. Éléments orbitaux de Mercure et de la Terre . . . . . . . . . . . . . . 702 10.34. Séquences des passages de Mercure sur le Soleil . . . . . . . . . . . . 705 10.35. Conjonctions de Vénus avec un intervalle de 8 et 16 ans . . . . . . . . 707 10.36. Séquence séculaire des passages de Vénus sur le Soleil . . . . . . . . 707 10.37. Notations pour les positions héliocentriques de la planète intérieure et de la planète extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 10.38. Trajectoire d’un planète intérieure sur le disque solaire et contacts . . 710 10.39. Positions topocentriques de l’observateur, du Soleil et de la planète intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 10.40. Différence entre la durée du passage de Vénus topocentrique et géocentrique en 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 10.41. Différence entre la durée du passage de Vénus topocentrique et géocentrique en 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 10.42. En 1799, les observations photométriques des éclipses étaient visuelles 721 10.43. Courbe photométrique d’une éclipse par Jupiter . . . . . . . . . . . . 721 10.44. Définition des débuts et fins des éclipses et occultations . . . . . . . . 722 10.45. Définition des éclipses et occultations mutuelles . . . . . . . . . . . . 726 10.46. Déclinaisons jovicentriques de la Terre (T) et du Soleil (S) . . . . . . 727 10.47. Circonstances géométriques lors des occultations mutuelles . . . . . . 728 10.48. Circonstances géométriques lors des éclipses mutuelles . . . . . . . . 728 10.49. Propagation de la lumière pendant les observations d’une éclipse mutuelle729 10.50. Dépendance du flux lumineux normalisé pendant und occultation mutuelle de satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 10.51. Courbe du flux lumineux normalisé pendant une éclipse de Io . . . . . 732 10.52. Occultation mutuelle des satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 10.53. Occultation totale d’un satellite par un autre . . . . . . . . . . . . . . 736 10.54. Courbe du flux lumineux normalisé mesuré du satellite Io pendant une occultation totale en 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 10.55. Courbe du flux lumineux normalisé mesuré du satellite Io pendant une occultation totale en 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 10.56. Courbe photométrique d’un phénomène mutuel . . . . . . . . . . . . 740 xxiv

LISTE DES FIGURES 10.57. Observation de volcans de Io actifs par photométrie infrarouge d’une occultation de Io par Europe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.58. Titan et l’ombre de Titan sur la surface de Saturne . . . . . . . . . . . 10.59. Recherche systématique des occultations . . . . . . . . . . . . . . . . 10.60. Circonstances générales des occultations . . . . . . . . . . . . . . . .

741 742 745 748

11.1. Familles de saros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Éclipses solaires du saros de 1911 à 2092 . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Géométrie et aspect visuel des différents types d’éclipses en fonction de la position A, B, C, D ou E de l’observateur. . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Cas limites d’éclipses de Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Géométrie générale d’une éclipse de Soleil . . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Critère en latitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7. Critère en longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8. Géométrie générale des cônes d’ombre et de pénombre . . . . . . . . . 11.9. Plan de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.10. Géométrie d’un contact extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11. Géométrie d’un contact intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12. Géométrie du début ou de la fin d’une éclipse centrale . . . . . . . . . 11.13. Figure elliptique de l’ombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.14. Largeur de la bande de centralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.15. Grandeur d’une éclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.16. Degré d’obscuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.17. Calcul géométrique du degré d’obscuration et de la grandeur d’une éclipse de Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.18. Angle de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.19. Première carte d’éclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.20. Positions observateur et cône d’ombre dans le plan fondamental . . . 11.21. Bandes de centralité des éclipses totales et mixtes entre 2017 et 2042 . 11.22. Bandes de centralité des éclipses annulaires entre 2017 et 2042 . . . . 11.23. Carte de visibilité de l’éclipse annulaire de Soleil du 01/09/2016 . . . 11.24. Phases de la centralité de l’éclipse annulaire de Soleil du 01/09/2016 .

795 797 798 799 802 802 805 806

12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6.

822 829 831 836 840 841

Système de rotation d’un corps du Système solaire Latitude planétocentrique et planétographique . . . Aspect du disque apparent d’un corps . . . . . . . Géométrie de calcul de la réflectance . . . . . . . Loi de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientation des modèles physiques . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

759 760 761 763 766 767 771 772 774 781 781 783 788 789 792 793

13.1. Durée de l’année vernale entre 1600 et 2050 . . . . . . . . . . . . . . . 865 13.2. Durées des années équinoxiales et solsticiales entre −2000 et +6000 . . 868 xxv

LISTE DES FIGURES 13.3. Évolution de la date des saisons entre 1500 et 2050 . . . . . . . . . . . 884 13.4. Durées des saisons (hémisphère nord) entre −2000 et +6000 . . . . . . 886 13.5. Distribution statistique des dimanches de Pâques . . . . . . . . . . . . 908 A.1. A.2. A.3. A.4. A.5.

Coordonnées cartésiennes et sphériques. . . . . . . . . . . . La Terre, ellipsoïde de révolution, et la sphère céleste locale . Coordonnées horaires, azimutales et équatoriales . . . . . . Ellipsoïde terrestre et repère topocentrique local . . . . . . . Azimut et distance zénithale en repère topocentrique . . . .

xxvi

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

914 918 919 924 925

Liste des tables 1.1. Unités de base du Système international d’unités (SI) . . . . . . . . . . 1.2. Définition des sept unités de base du SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Unités usuelles en dehors du SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Unités de base du système UAI d’unités astronomiques . . . . . . . . . 1.5. Correspondance entre les unités de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Correspondance entre les unités de distance . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Le système UAI 2009/2012 de constantes astronomiques . . . . . . . . . 1.8. Valeurs de quelques constantes dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Valeurs numériques IERS 2010 de constantes relatives à la Terre . . . . 1.10. Système UAI 2015 des constantes de conversion nominales solaires et planétaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Rapport de la masse du Soleil aux masses des planètes et planètes naines 1.12. Rayons équatoriaux des planètes, de la Lune et du Soleil . . . . . . . . 1.13. Champ de gravitation des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. Champ de gravitation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. Éléments orbitaux des planètes rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe dynamiques J2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16. Périodes de révolution sidérale et de rotation des planètes . . . . . . . . 1.17. Éléments orbitaux des satellites de planètes et planètes naines découverts avant 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18. Éléments orbitaux des satellites découverts après 1990 . . . . . . . . . 1.19. Masses des corps célestes et constantes gravitationnelles correspondantes 1.20. Figures géométriques représentant le Soleil, les planètes et la Lune . . . 1.21. Masses des principaux satellites naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22. Masse, masse volumique, magnitude visuelle à l’opposition et albédo géométrique des principaux satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Brève histoire des échelles de temps modernes . . . . . . . . . . . . . Différence TAI − UTC, en secondes, à partir du 1er janvier 1972 . . . . Amplitudes, fréquences et phases donnant la différence P = TDB − TT Correspondance entre époques, dates juliennes et dates calendaires. . . Différences TT − UT, en secondes, de −1000 à 1550 . . . . . . . . . . Différences TT − UT, en secondes, de 1600 à 2015 . . . . . . . . . . . xxvii

. . . . . .

14 15 17 19 19 20 25 28 28 30 31 31 32 33 34 35 37 40 46 47 49 51 60 71 80 88 92 94

LISTE DES TABLES 3.1. Observations utilisées dans DE405 pour effectuer le lien avec l’ICRF . . 123 3.2. Angles de position de l’écliptique moyen J2000.0 par rapport à un système céleste équatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.3. Termes périodiques les plus importants des coordonnées X(t) et Y(t) du CIP dans le GCRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.1. Expressions des coefficients en t et t2 des quantités de précession . . . . 189 4.2. Coefficients des polynômes de la précession pour les modèles UAI 1976, UAI 2000 et UAI 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.1. Sources et argument des éphémérides planétaires de la Connaissance des temps depuis 1809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Éléments elliptiques et masse de Neptune comparés aux valeurs prévues par Le Verrier et Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Rapport de la masse du Soleil à la masse des systèmes planétaires . . . . 5.4. GM des corps entrant dans la construction de INPOP10a . . . . . . . . . 5.5. Différences maximales sur 1890 – 2000 entre VSOP2013, VSOP2010, TOP2013 et les intégrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Différences maximales sur de longues durées entre VSOP2013, TOP2013 et l’extension de INPOP10a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Termes trigonométriques complémentaires pour les éléments moyens des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Erreurs maximales des éphémérides approchées des planètes . . . . . . 5.9. Principaux termes périodiques du demi-grand axe et de la longitude moyenne de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Principaux termes périodiques dans l’excentricité et la longitude du périgée de l’orbite lunaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Principaux termes périodiques sur l’inclinaison et la longitude du nœud de l’orbite lunaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Composantes d’amplitude > 1000 dans la longitude de la Lune . . . . . 5.13. Composantes d’amplitude > 1000 dans la latitude de la Lune . . . . . . 5.14. Composantes d’amplitude > 20 km dans la distance de la Lune . . . . . 5.15. Variation temporelle des fréquences pour les plus grandes perturbations de l’orbite lunaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. Liste des plus petits périgées lunaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17. Paramètres ajustés pour différentes éphémérides . . . . . . . . . . . . . 5.18. Différences maximales en positions entre les versions d’INPOP . . . . 5.19. Différences maximales pour la Terre entre les versions d’INPOP . . . . 5.20. Valeurs de paramètres fondamentaux pour diverses versions de INPOP 5.21. Données utilisées pour la construction des solutions INPOP . . . . . . 5.22. Intervalles de valeurs pour des paramètres ajustés avec INPOP . . . . . 5.23. Paramètres de forme pour la Terre la Lune ajustés avec INPOP17a . . . xxviii

223 225 239 246 248 250 272 276 282 283 289 295 296 297 298 303 304 308 308 309 312 314 317

LISTE DES TABLES 5.24. Statistiques des résidus obtenus après ajustement d’INPOP17a . . . . . 318 6.1. Ecarts au mouvement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Nombre de satellites naturels connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Observations disponibles des satellites de Jupiter et Saturne . . . . . . . 6.4. Observations disponibles des satellites d’Uranus, Neptune et Pluton) . . 6.5. Nombre de phénomènes observés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Précision astrométrique interne des observations . . . . . . . . . . . . . 6.7. Termes principaux de la longitude moyenne de Io . . . . . . . . . . . . 6.8. Termes principaux de la longitude moyenne de Mimas . . . . . . . . . . 6.9. Valeurs approchées d’éléments des orbites de Phobos et Déimos . . . . . 6.10. Éléments moyens de Struve rapportés à J2000 . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Valeurs des termes périodiques des éléments de Struve . . . . . . . . . 6.12. Éphémérides des satellites galiléens dans la Connaissance des temps . . 6.13. Eléments orbitaux et paramètres physiques des satellites galiléens . . . 6.14. Différentes valeurs des accélérations séculaires des satellites galiléens . 6.15. Rayons des anneaux de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16. Éléments des satellites internes de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17. Déviations des éphémérides JPL et TSU . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.18. Paramètres de l’ellipse précessante pour les satellites Métis et Adrastée 6.19. Paramètres de l’ellipse précessante pour les satellites Amalthée et Thébé 6.20. Liste des satellites de Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.21. Caractéristiques dynamiques des neuf premiers satellites de Saturne . . 6.22. Éléments orbitaux initiaux de Mimas, Encelade, Téthys et Dioné . . . . 6.23. Paramètres associés aux librations affectant les couples Mimas-Téthys et Encelade-Dioné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24. Éléments orbitaux initiaux de Rhéa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.25. Éléments orbitaux initiaux de Titan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.26. Éléments orbitaux initiaux de Japet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.27. Éléments orbitaux initiaux d’Hypérion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.28. Conditions initiales de l’orbite de Phœbé . . . . . . . . . . . . . . . . 6.29. Principales caractéristiques orbitales des satellites proches de Saturne . 6.30. Solution pour la variable p1 (moyen mouvement de Mimas) . . . . . . 6.31. Solution pour la variable λ1 (longitude moyenne de Mimas). . . . . . . 6.32. Solution pour la variable z1 (excentricité et péricentre de Mimas). . . . 6.33. Solution pour la variable ζ1 (inclinaison et nœud de Mimas) . . . . . . 6.34. Solution pour la variable p2 (moyen mouvement d’Encelade) . . . . . . 6.35. Solution pour la variable λ2 (longitude moyenne d’Encelade). . . . . . 6.36. Solution pour la variable z2 (excentricité et péricentre d’Encelade) . . . 6.37. Solution pour la variable ζ2 (inclinaison et nœud d’Encelade) . . . . . . 6.38. Solution pour la variable p3 (moyen mouvement de Téthys) . . . . . . 6.39. Solution pour la variable λ3 (longitude moyenne de Téthys) . . . . . . xxix

324 328 346 347 347 349 356 357 366 372 373 377 378 380 388 388 391 392 393 395 397 401 401 403 404 406 409 410 412 419 420 420 421 421 421 421 422 422 422

LISTE DES TABLES 6.40. 6.41. 6.42. 6.43. 6.44. 6.45. 6.46. 6.47. 6.48. 6.49. 6.50. 6.51. 6.52. 6.53. 6.54. 6.55. 6.56. 6.57. 6.58. 6.59. 6.60. 6.61. 6.62. 6.63. 6.64. 6.65. 6.66. 6.67. 6.68. 6.69. 6.70. 6.71.

Solution pour la variable z3 (excentricité et péricentre de Téthys) . . . . 422 Solution pour la variable ζ3 (inclinaison et nœud de Téthys) . . . . . . 423 Solution pour la variable p4 (moyen mouvement de Dioné) . . . . . . . 423 Solution pour la variable λ4 (longitude moyenne de Dioné) . . . . . . . 423 Solution pour la variable z4 (excentricité et péricentre de Dioné) . . . . 423 Solution pour la variable ζ4 (inclinaison et nœud de Dioné) . . . . . . . 424 Solution pour la variable p5 (moyen mouvement de Rhéa) . . . . . . . 424 Solution pour la variable λ5 (longitude moyenne de Rhéa) . . . . . . . 424 Solution pour la variable z5 (excentricité et péricentre de Rhéa) . . . . . 425 Solution pour la variable ζ5 (inclinaison et nœud de Rhéa) . . . . . . . 425 Solution pour la variable p6 (moyen mouvement de Titan) . . . . . . . 425 Solution pour la variable λ6 (longitude moyenne de Titan) . . . . . . . 426 Solution pour la variable z6 (excentricité et péricentre de Titan) . . . . . 426 Solution pour la variable ζ6 (inclinaison et nœud de Titan) . . . . . . . 426 Solution pour la variable p8 (moyen mouvement de Japet) . . . . . . . 427 Solution pour la variable λ8 (longitude moyenne de Japet) . . . . . . . 427 Solution pour la variable z8 (excentricité et péricentre de Japet) . . . . . 429 Solution pour la variable ζ8 (inclinaison et nœud de Japet) . . . . . . . 430 Arguments fondamentaux de l’interaction Titan-Hypérion . . . . . . . 431 Plus grands termes de la série pour p7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 Plus grands termes de la série pour q7 . . . . . √. . . . . . . . . . . . . 432 Plus grands termes de la série pour z7 = e7 exp −1$√ 7 . . . . . . . . . 434 Plus grands termes de la série pour ζ7 = sin(i7 /2) exp −1Ω7 . . . . . 435 Perturbations solaires et à courte période d’Hypérion . . . . . . . . . . 436 Éléments orbitaux des satellites intérieurs d’Uranus . . . . . . . . . . . 442 Eléments orbitaux des cinq satellites principaux d’Uranus . . . . . . . 443 Masses et fréquences des cinq satellites principaux d’Uranus . . . . . . 447 Paramètres du système de Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Triton . . . . . . . . . 455 Éléments orbitaux barycentriques moyens de Néréide . . . . . . . . . . 455 Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Protée, Larissa et Despina457 Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Galatée, Thalassa et Naïade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 6.72. Caractéristiques et éléments orbitaux des satellites de Pluton . . . . . . 460 6.73. Éléments orbitaux des satellites directs irréguliers de Jupiter . . . . . . 463 6.74. Éléments orbitaux des satellites rétrogrades irréguliers de Jupiter . . . . 463 6.75. Éléments orbitaux des satellites directs irréguliers de Saturne . . . . . . 465 6.76. Éléments orbitaux des satellites rétrogrades irréguliers de Saturne . . . 465 6.77. Éléments orbitaux des satellites irréguliers d’Uranus . . . . . . . . . . 467 6.78. Éléments orbitaux des satellites irréguliers de Neptune . . . . . . . . . 467 6.79. Précision et exactitude des éphémérides des satellites naturels . . . . . 472 xxx

LISTE DES TABLES 7.1. Évolution du calcul du passage au périhélie de la comète de Halley . . . 496 7.2. Définition des sous-catégories des comètes . . . . . . . . . . . . . . . . 503 7.3. Définition des sous-catégories des petits corps autres que les comètes . . 504 7.4. Troncatures des éléments osculateurs dans les bases ASTORB et MPCORB516 7.5. Statistiques sur les écarts des conditions initiales de la base ASTORB . . 517 7.6. Statistique globale des résidus d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . 518 7.7. Caractéristiques dynamiques du système (22) Kalliope . . . . . . . . . . 534 7.8. Caractéristiques dynamiques du système (31) Euphrosyne . . . . . . . . 535 7.9. Caractéristiques dynamiques du système (41) Daphne . . . . . . . . . . 535 7.10. Caractéristiques dynamiques du système (45) Eugenia . . . . . . . . . 536 7.11. Caractéristiques dynamiques du système (87) Sylvia . . . . . . . . . . 537 7.12. Caractéristiques dynamiques du système (93) Minerva . . . . . . . . . 538 7.13. Caractéristiques dynamiques du système (107) Camilla . . . . . . . . . 539 7.14. Caractéristiques dynamiques du système (130) Elektra . . . . . . . . . 540 7.15. Caractéristiques dynamiques du système (283) Emma . . . . . . . . . 540 7.16. Caractéristiques dynamiques du système (379) Huenna . . . . . . . . . 541 7.17. Caractéristiques dynamiques du système (617) Patroclus . . . . . . . . 541 7.18. Caractéristiques dynamiques du système (624) Hektor . . . . . . . . . 542 7.19. Caractéristiques dynamiques du système (702) Alauda . . . . . . . . . 542 7.20. Caractéristiques dynamiques du système (762) Pulcova . . . . . . . . . 543 7.21. Caractéristiques dynamiques du système (50000) Quaoar . . . . . . . . 543 7.22. Caractéristiques dynamiques du système (90482) Orcus . . . . . . . . 544 7.23. Caractéristiques dynamiques du système (136108) Haumea . . . . . . . 545 7.24. Caractéristiques dynamiques du système (174567) Varda . . . . . . . . 546 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Orbites nominales des systèmes GNSS . . . . . . . . . . . . . . Coordonnées des 5 points de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . Distance des deux corps primaires aux points de Lagrange . . . . Sondes envoyées aux points de Lagrange du Système Soleil-Terre Description des « Deux lignes NORAD . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

563 567 568 570 591

9.1. Formules numériques approximatives pour la réfraction . . . . . . . . . 635 9.2. Réfraction normale pour z0 de 80◦ à 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 9.3. Paramètres de définition de l’atmosphère standard . . . . . . . . . . . . 641 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

Moyens mouvements du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . 648 Liste des plus courtes et plus longues lunaisons . . . . . . . . . . . . . 655 Dépression de l’horizon et réfraction dans l’horizon en fonction de l’altitude672 Liste des dix plus favorables oppositions périhéliques de Mars . . . . . 690 Conditions générales pour les passages des planètes inférieures sur le disque solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 xxxi

LISTE DES TABLES 10.6. Variations séculaires des éléments des orbites de Mercure, Vénus et de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Périodes de retour aux nœuds pour les passages de Mercure et de Vénus 10.8. Retours des passages de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9. Retours des passages de Vénus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10. Passages de Mercure sur le disque solaire de 1950 à 2050 . . . . . . . 10.11. Passages de Vénus sur le disque solaire de 1631 à 2255 . . . . . . . . 10.12. Passages sur le Soleil vus de Mars ou de Saturne . . . . . . . . . . . . 10.13. Phénomènes mutuels des satellites galiléens . . . . . . . . . . . . . . 10.14. Liste de phénomènes mutuels des satellites de Saturne et d’Uranus . .

701 704 704 706 709 711 713 741 742

11.1. Valeurs extrêmes et moyennes des paramètres d’une éclipse de Soleil . 769 11.2. Valeurs extrêmes et moyennes des paramètres d’une éclipse de Lune . . 814 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7.

Définition des systèmes de rotation du Soleil et des planètes Définition des systèmes de rotation des satellites . . . . . . Définition des systèmes de rotation des astéroïdes . . . . . . Paramètres de forme des planètes . . . . . . . . . . . . . . Paramètres de forme des satellites . . . . . . . . . . . . . . Paramètres de forme des astéroïdes . . . . . . . . . . . . . Paramètres de forme des comètes . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

842 845 852 855 856 860 861

13.1. Durées des années équinoxiales et solsticiales de 2020 à 2040 . . 13.2. Approximation calendaire de l’année lunaire . . . . . . . . . . . 13.3. Approximation calendaire de l’année tropique moyenne . . . . . 13.4. Dates de début des saisons de 2010 à 2050 . . . . . . . . . . . . 13.5. Calendrier perpétuel lunaire du comput dionysien . . . . . . . . . 13.6. Dates des pleines lunes pascales postérieures ou égales au 21 mars 13.7. Lettres dominicales au voisinage du bissexte . . . . . . . . . . . 13.8. Calendrier limité à la période du 21 mars au 25 avril . . . . . . . 13.9. Correspondance entre le nombre d’or et les épactes juliennes . . . 13.10. Calendrier lunaire perpétuel du comput grégorien . . . . . . . . 13.11. Liste des sauts d’épactes jusqu’en 4500 . . . . . . . . . . . . . 13.12. Épactes grégoriennes de 1582 à 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 13.13. Comparaison nouvelles lunes pascales et nouvelles lunes vraies . 13.14. Calendrier limité à la période du 21 mars au 25 avril . . . . . . . 13.15. Algorithme du calcul de la date de Pâques . . . . . . . . . . . . 13.16. Formulaire pour le calcul de la date de Pâques . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

866 875 876 887 892 893 893 894 897 900 901 903 904 904 906 909

A.1. Coordonnées célestes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

xxxii

La Connaissance des temps Les origines de la Connaissance des temps À la fin du xviie siècle, les progrès considérables qu’a connus l’astronomie, tant sur le plan théorique que sur celui de l’observation, conduisent inévitablement à l’établissement et la publication régulière de tables de positions des astres du Système solaire. Certes, il existe depuis longtemps, sous le nom d’almanach ou d’éphéméride, des recueils de prédictions diverses liées au calendrier. Les positions des planètes et de la Lune y sont calculées à partir de tables fondées en partie sur des données empiriques, en partie sur des théories purement cinématiques, lesquelles permettent de décrire les mouvements au moyen de déférents et d’épicycles, avant que Newton ne propose un meilleur modèle pour le mouvement des astres. C’est le cas, par exemple, des tables alphonsines, utilisées dès le xive siècle, des Tabulæ Prutenicæ (tables prussiennes), parues en 1551, ou des tables rudolphines, publiées par Kepler à Ulm en 1627. L’invention de l’imprimerie a été le point de départ d’une production conséquente d’éphémérides imprimées. Il reste cependant à créer une publication annuelle régulière, simple à utiliser et conçue spécialement pour les utilisateurs les plus intéressés, astronomes et navigateurs, mais aussi pour le public. Il faut également débarrasser ces almanachs des données astrologiques, bien peu scientifiques, et prendre la succession des tables de Heker, publiées à Uraniborg, qui se terminent en 1680. La Connaissance des temps, première éphéméride digne de ce nom, paraît pour l’an 1679. Son titre exact (avec l’orthographe de l’époque) est : La Connoissance des Temps ou calendrier et éphémérides du lever & coucher du Soleil, de la Lune & des autres planètes. Avec les éclipses pour l’année m.dc.lxxix calculées sur Paris & la manière de s’en servir pour les autres élévations. Avec plusieurs autres tables & traités d’astronomie & de physique et des éphémérides de toutes les planètes en figure. 1

LA CONNAISSANCE DES TEMPS Dans la lettre au roi adressée à Louis XIV, il est écrit que l’éphéméride a été « épuré[e] de toutes les choses ridicules dont ces sortes d’ouvrages ont été remplis jusqu’à présent ». Si la Connaissance des temps est de prime abord destinée aux astronomes, le grand public n’en est pour autant pas délaissé, à la lecture de ce qui est écrit dans l’avis qui précède les tables : « Dans la première [partie] est contenu tout ce qu’on a cru être utile et nécessaire à tout le monde et si facile à mettre en usage que les moins intelligents s’en peuvent servir. » Il y est question des différents usages du pendule, de données météorologiques, de mesure de poids, des marées et des livres d’astronomie sortis dans l’année. La lettre au roi n’est signée que de trois étoiles (∗∗∗ ). On a longtemps cru que la personne ainsi désignée était Jean Picard (1620-1682), mais il semble qu’il s’agisse de Joachim Dalencé (1640-1707), dont on sait peu de choses. Il conserve le privilège (autorisation exclusive accordée par le roi d’imprimer un ouvrage dans le but de protéger des contrefaçons) jusqu’en 1685, bien qu’une grande partie des calculs soit probablement réalisée par Jean Picard. Après avoir été confié à Jean Lefebvre (1650-1706), puis à Jacques Lieutaud (1660-1733), le privilège est attribué en 1702 à l’Académie des sciences. Cependant, Jacques Lieutaud effectue les calculs jusqu’en 1726. Parmi les astronomes qui se chargent ensuite de la publication figurent Jérôme de Lalande (1732-1807), de 1760 à 1776, et Pierre-François-André Méchain (1744-1804), de 1788 à 1795. La Connaissance des temps va rapidement évoluer en donnant, outre celles du Soleil et de la Lune, les éphémérides des planètes, en particulier les passages au méridien, donnée nécessaire aux observateurs. Le nombre de pages va passer de moins de 100 au début à près de 400 à la fin du xviiie siècle.

La Connaissance des temps de 1795 à 1979 Le Bureau des longitudes est créé par la loi du 7 messidor an III (25 juin 1795), dont l’article 5 précise : « Le Bureau des longitudes est chargé de rédiger la Connaissance des temps, qui sera imprimée aux frais de la République, de manière que l’on puisse toujours avoir les éditions de plusieurs années à l’avance. » 2

LA CONNAISSANCE DES TEMPS Cet organisme assume cette tâche sans discontinuer depuis cette époque. Un bureau se charge des calculs sous la direction de l’un de ses membres. Depuis 1961, le Service des calculs et de mécanique céleste du Bureau des longitudes, qui est aussi un laboratoire de recherche en astronomie (aujourd’hui devenu Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides, IMCCE), assure la publication annuelle de la Connaissance des temps. Au cours du xixe siècle, la composition de l’ouvrage évolue en fonction de l’amélioration des théories du mouvement des différents astres. Au début du xxe siècle, la Connaissance des temps acquiert peu à peu une forme qu’elle conservera jusqu’en 1979. Sa composition découle principalement des décisions du Congrès international des éphémérides astronomiques (Paris, 23-26 octobre 1911), qui a élaboré un programme de collaboration entre le Bureau des longitudes et les instituts qui remplissent le même office. L’Union astronomique internationale (UAI) assure la liaison entre les services nationaux par l’intermédiaire de sa commission des éphémérides (commission 4). Une certaine répartition des tâches est alors établie. Déjà, à la suite de la conférence internationale de 1899, les coordonnées apparentes des étoiles du catalogue fondamental commun à tous les astronomes publié dans Apparent Places of Fundamental Stars par l’Astronomisches Rechen Institut de Heidelberg sont reprises dans la Connaissance des temps jusqu’en 1979. De même, les éphémérides pour les observations physiques du Soleil, de la Lune et des planètes, ainsi que les éphémérides des satellites V, VI et VII de Jupiter, de l’anneau et des neuf principaux satellites de Saturne, des quatre satellites d’Uranus et de Triton, satellite de Neptune, figurent dans l’Astronomical Ephemeris publié conjointement par Her Majesty’s Nautical Almanac Office et le Nautical Almanac Office of the U.S. Naval Observatory. En revanche, la Connaissance des temps est la seule à publier les positions moyennes en début d’année tropique de toutes les étoiles du catalogue FK4 et de son supplément (FK4 Supp.), ainsi que les éléments des quatre satellites galiléens de Jupiter qui permettent de calculer la position de ces satellites. Les configurations et les phénomènes de ces satellites, calculés par le Bureau des longitudes, sont publiés sous la même forme dans la Connaissance des temps et dans les recueils d’éphémérides étrangers. Un principe, retenu par la conférence de 1911, permet aux différentes éphémérides de conserver le libre choix de leurs sources. La Connaissance des temps publie donc les éphémérides du Soleil et des planètes d’après les théories d’Urbain Le Verrier et de Jean-Baptiste Aimable Gaillot, et celles de la Lune d’après l’algorithme d’Ernest W. Brown décrit dans Wallace (1954). Jusqu’en 1979, les éphémérides du Soleil, de la Lune, des planètes principales, de Cérès, Pallas, Junon et Vesta sont publiées dans la Connaissance des temps sous forme de tableaux de coordonnées pour des valeurs équidistantes du temps. Il faut interpoler ces tableaux afin de calculer les coordonnées pour un instant quelconque. Ce procédé 3

LA CONNAISSANCE DES TEMPS était alors le seul possible du point de vue pratique, dans la mesure où les utilisateurs disposaient de moyens de calcul réduits, mais il entraînait, du fait de la précision atteinte par les théories, la publication d’un nombre élevé de pages. Il était même presque impossible de publier des tables interpolables des coordonnées des corps rapides comme les satellites de Jupiter.

La Connaissance des temps entre 1980 et 2006 Au cours des deux dernières décennies du xxe siècle, la Connaissance des temps a subi plusieurs modifications dans sa composition et sa présentation. En 1980, la publication est l’objet d’une profonde transformation. La présentation des coordonnées sous forme de tables interpolables est remplacée par une représentation par des développements en polynômes de Tchebychev. Cette présentation réduit considérablement le volume des données publiées, tout en conservant leur précision maximale. Elle est particulièrement bien adaptée au développement des calculatrices de poche et de la micro-informatique : les coordonnées à un instant donné sont obtenues, au moyen de calculs simples, à partir d’un tableau de coefficients. En dehors des éphémérides proprement dites, la Connaissance des temps contient de nombreuses explications, des données astronomiques, des formulaires de calculs courants et des exemples. Certaines données publiées jusqu’alors dans la Connaissance des temps n’y figurent plus. On les retrouve, soit dans d’autres publications du Bureau des longitudes, soit dans des publications étrangères. Ainsi, les éclipses, phénomènes et configurations des satellites de Jupiter, de même que les occultations d’étoiles, sont publiés pour l’année en cours dans l’Annuaire du Bureau des longitudes. Les positions moyennes et apparentes des étoiles du FK5 sont disponibles dans l’ouvrage Apparent Places of Fundamental Stars, publié par l’Astronomisches Rechen Institut de Heidelberg. Les tables de la réfraction à l’horizon sont publiées par le Bureau des longitudes dans les Éphémérides nautiques. Enfin, les éphémérides, phénomènes et configurations d’un certain nombre de satellites de Jupiter, de Saturne et d’Uranus font l’objet de plusieurs Suppléments à la Connaissance des temps qui peuvent être obtenus sur demande au Bureau des longitudes. En 1984, les théories utilisées jusqu’alors comme sources des éphémérides du Soleil, de la Lune et des planètes sont remplacées par les théories beaucoup plus précises, établies au sein du Service des calculs et de mécanique céleste du Bureau des longitudes. Parallèlement, la Connaissance des temps introduit le système de constantes astronomiques adopté par l’UAI en 1976. L’époque origine est l’époque J2000.0, correspondant à la date julienne (DJ) 2 451 545.0. L’échelle de temps adoptée est le Temps Terrestre TT (appelé Temps Dynamique Terrestre TDT jusqu’en 1991), identifié à TAI + 32.184 secondes. 4

LA CONNAISSANCE DES TEMPS En 1996, la Connaissance des temps fait de nouveau l’objet d’importantes modifications. Son Supplément relatif au mouvement des satellites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranus est intégré à l’ouvrage. Il contient alors les coefficients de développement en polynômes de Tchebychev des coordonnées du Soleil, de la Lune, des planètes principales, de Pluton, Cérès, Pallas, Junon et Vesta, ainsi que les coefficients des fonctions mixtes des coordonnées tangentielles des satellites de Mars, des satellites galiléens de Jupiter, des huit premiers satellites de Saturne et des cinq principaux satellites d’Uranus. Il contient de plus les prédictions des phénomènes des satellites galiléens de Jupiter. L’ouvrage contient alors principalement des tables numériques : les explications, bilingues (français et anglais), ont été réduites au minimum et permettent simplement de calculer des coordonnées précises. Dans l’édition 2004, une troisième partie est introduite : elle contient des textes fondamentaux sur les données et notions de référence utiles au calcul et à l’utilisation des éphémérides. À partir de l’édition 2005, la Connaissance des temps comprend deux parties. La première reprend la troisième partie introduite dans l’édition 2004 et la seconde contient des données numériques permettant de calculer les éphémérides. D’autres changements ont lieu à partir de l’édition 2006. D’une part, la représentation des coordonnées en développements polynomiaux est remplacée par une représentation tabulée. Elle reste cependant accessible à l’utilisateur à travers un logiciel d’éphémérides électroniques sur un CD-ROM qui accompagne l’ouvrage. D’autre part, les nouvelles résolutions de l’UAI adoptées en 2000 sont appliquées. Elles concernent l’utilisation de la théorie de précession-nutation de la Terre UAI2000 et l’utilisation de l’origine non tournante.

La Connaissance des temps depuis 2007 Depuis 2007, des changements importants concernant les sources des éphémérides ont eu lieu. Mouvement des planètes et de la Lune À partir de l’édition 2007, les éphémérides des planètes et de la Lune sont issues de la théorie INPOP06 (Fienga et al., 2008). Un chapitre est introduit dans la première partie de l’ouvrage pour décrire cette théorie. À partir de l’édition 2012, INPOP06 est remplacée par la nouvelle solution INPOP10a (Fienga et al., 2011b) et entraîne une refonte du chapitre qui décrit la théorie planétaire INPOP. À partir de l’édition 2021, la solution INPOP19a (Fienga et al., 2019) est utilisée. 5

LA CONNAISSANCE DES TEMPS Mouvement de satellites naturels de planètes Les éphémérides des principaux satellites naturels des planètes sont construites à partir des solutions numériques Numerical Orbit and Ephemerides (NOE) développées à l’IMCCE : • • • •

NOE-4-2020 (Lainey et al., 2021) pour les satellites de Mars ; NOE-5-2021 (Lainey et al., 2009) pour les satellites galiléens de Jupiter ; NOE-6-2018 (Lainey et al., 2020) pour les huit principaux satellites de Saturne ; NOE-7-2013 (Lainey, 2008) pour les cinq premiers satellites d’Uranus.

L’Introduction aux éphémérides astronomiques Les changements de concept survenus depuis 1998 La première édition de l’Introduction aux éphémérides astronomiques est parue en 1998. Depuis cette date, la discipline a connu de nombreuses révisions de ses concepts et de ses définitions. Ces révisions découlent des différentes résolutions adoptées à l’occasion des assemblées générales de l’Union astronomique internationale (UAI). Sept assemblées générales se sont tenues depuis 1998. En ce qui concerne les systèmes de référence astronomiques et les éphémérides, les assemblées de 1997, 2000, 2006, 2009 et 2012 ont, en l’espace d’un peu plus d’une décennie, profondément transformé le paysage conceptuel au sein duquel les théories du mouvement des corps célestes et les éphémérides associées doivent maintenant se développer. L’année 1998 est, à ce titre, une année charnière, car elle voit l’entrée en vigueur du nouveau système de référence ICRS et du repère ICRF associé, en lieu et place du système FK5 (résolution B2 de l’assemblée générale de l’UAI de 1997). L’assemblée générale de l’UAI de 2006 a une importance toute particulière dans l’histoire de l’astronomie, avec notamment la redéfinition du concept de planète et l’introduction d’une nouvelle catégorie de corps célestes, les planètes naines, dont Pluton fait maintenant partie. Un nouveau modèle de précession est également adopté, celui de la théorie P03, qui est compatible avec la théorie de la nutation IAU2000A. Lors de l’assemblée générale de l’UAI de 2009, un nouveau système de constantes astronomiques est adopté (résolution B2, UAI 2009). Il est également décidé qu’à compter du 1er janvier 2010, la version astrométrique fondamentale du Système de référence céleste international (ICRS) sera la deuxième version du Repère céleste international de référence (ICRF2). En 2012, une nouvelle définition de l’unité astronomique est adoptée en conformité avec la résolution B2 de l’UAI 2009. 6

LA CONNAISSANCE DES TEMPS

Finalité de l’ouvrage Cet ouvrage poursuit deux objectifs. Il donne, comme l’indique son sous-titre, des explications détaillées sur le contenu actuel de la Connaissance des temps, puisque le texte explicatif de la Connaissance des temps a été réduit au strict minimum. Il indique les sources qu’elle utilise, les formes de présentation des coordonnées qui ont été choisies, ainsi que des exemples d’utilisation. Cependant, cette seconde édition de l’ouvrage dépasse largement le cadre strict de la Connaissance des temps, en accordant notamment une part substantielle aux phénomènes astronomiques les plus communs. C’est pourquoi l’ouvrage s’intitule désormais Introduction aux éphémérides et phénomènes astronomiques. Nous nous sommes aussi donné comme but de faire le point sur un certain nombre de sujets d’astronomie et de mécanique céleste nécessaires à la compréhension et à l’utilisation des éphémérides.

7

Chapitre 1

Unit´es, constantes et donn´ees astronomiques

1.1

Introduction

Établir des éphémérides astronomiques, en particulier pour la position des corps du Système solaire, exige de disposer d’un ensemble cohérent d’unités, mais aussi des valeurs numériques de haute précision pour les constantes astronomiques qui interviennent dans les calculs. En ce qui concerne les unités, les astronomes utilisent, d’une part, le Système international d’unités (SI), commun à toutes les sciences, et, d’autre part, un système dit système d’unités astronomiques, adapté à la représentation des mouvements à grande échelle. Ce système est directement rattaché au SI par l’adoption des valeurs en unités SI pour l’unité astronomique de temps (depuis l’adoption du SI) et pour l’unité astronomique de longueur (depuis 2012). En ce qui concerne les constantes astronomiques, les valeurs numériques à utiliser sont celles du système UAI en vigueur. La cohérence et l’exactitude de ces valeurs sont d’une grande importance pour toute réduction d’observation astronomique et pour tout calcul théorique de position ou de mouvement d’un corps du Système solaire ou d’un astre. C’est au cours de la Conférence internationale des étoiles fondamentales, tenue à Paris du 18 au 21 mai 1896, que fut établi le premier système de constantes astronomiques sur lequel les astronomes étaient invités à fonder leurs calculs. Ce système de constantes, international dès l’origine, est immédiatement entré en application et est resté en vigueur jusqu’à l’adoption du système UAI 1964 (UAI, 1966) lors de la douzième assemblée 9

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES générale de l’Union astronomique internationale (UAI), réunie à Hambourg en 1964. Ce dernier système fut introduit dans les éphémérides astronomiques mondiales à partir de 1968. La seizième assemblée générale de l’UAI, réunie à Grenoble en 1976, le modifia pour donner naissance au système UAI 1976 de constantes astronomiques (UAI, 1977), qui fut introduit dans les éphémérides en 1984 en même temps que le nouveau modèle de nutation (UAI, 1980). Puis, la vingt-septième assemblée générale de l’UAI, réunie à Rio de Janeiro en 2009, adopta le système UAI 2009 de constantes astronomiques (UAI, 2010), qui fut introduit dans les éphémérides à partir de l’année suivante. Ce système est constitué de la liste des valeurs des constantes proposées par le groupe de travail de l’UAI, NSFA, sur les standards numériques en astronomie fondamentale (Luzum et al., 2011). Il fut également recommandé que les valeurs considérées comme étant les « meilleures valeurs numériques disponibles » pour les constantes astronomiques fassent l’objet d’une maintenance permanente sous forme d’un document électronique. Enfin, la vingt-huitième assemblée générale de l’UAI, réunie à Pékin en 2012, adopta la résolution B2 de l’UAI 2012 (Montmerle, 2015), recommandant une redéfinition de l’unité astronomique (par une valeur conventionnelle en mètres) et modifiant ainsi le statut de valeur « estimée par l’observation » qu’avait cette constante dans le système UAI 2009. De plus, la vingt-sixième assemblée générale de l’UAI, réunie à Prague en 2006, a adopté, par sa résolution 5, une définition précise du concept de planète, en classant les corps du Système solaire, suivant leurs propriétés, en trois catégories bien définies : planètes, planètes naines et petits corps du Système solaire. La résolution 6 de l’UAI 2006 a précisé que, suivant la définition adoptée pour chacune de ces catégories, Pluton était une planète naine, reconnue comme étant le prototype d’une nouvelle catégorie d’objets dits transneptuniens. Par ailleurs, en complément du système de constantes astronomiques, l’UAI, réunie à Honolulu en 2015, a adopté, par sa résolution B3, le système UAI 2015 des « constantes de conversion nominales solaire et planétaire » (Pr˘sa et al., 2016 ; Benvenuti, 2019). Les valeurs conventionnelles de ces constantes, choisies pour être les plus proches des « meilleures déterminations disponibles », sont par définition exactes et exprimées en unités SI. Mais ces valeurs n’ont pas pour but de fournir des valeurs précises de ces constantes : elles sont destinées à être utilisées comme facteurs de conversion uniforme en unités SI pour exprimer des propriétés stellaires ou planétaires en unités dérivées de propriétés du Soleil, de la Terre ou de Jupiter. Ce chapitre présente tout d’abord les deux systèmes d’unités utilisés en astronomie, puis le système de constantes astronomiques résultant des résolutions adoptées en 2009 et 2012 par l’UAI, ainsi que les valeurs des constantes relatives à la Terre dans le système IERS2010. Il présente également, dans différentes tables, les meilleures valeurs numériques actuellement disponibles pour un certain nombre de quantités physiques des objets du Système solaire. Ces valeurs proviennent de différentes sources, dont 10

1.2. SYSTÈMES D’UNITÉS celles du groupe de travail de l’UAI sur les coordonnées cartographiques et les éléments rotationnels des planètes, satellites, astéroïdes et comètes (Archinal et al., 2011 ; Conrad et al., 2019). Ce chapitre présente aussi les valeurs nominales UAI 2015 à utiliser comme facteurs de conversion dans certaines études concernant les étoiles ou les exoplanètes. Suivant la résolution 5 de l’UAI 2006, les éléments relatifs à Pluton ne sont plus donnés dans les tables relatives aux planètes, mais dans celles relatives aux planètes naines actuellement reconnues : Cérès, Pluton, Eris, Haumea et Makemake. Dans les tables, nous noterons : • UAI 2009/2012, le système de constantes astronomiques UAI 2009, modifié par la définition IAU 2012 de l’unité astronomique ; • UAI 2009 WG CCRE (Archinal et al., 2011), les données publiées par le groupe de travail de l’UAI sur les coordonnées cartographiques et les éléments rotationnels des planètes, satellites, astéroïdes et comètes ; • IERS 2010, les « standards numériques » publiés dans les Conventions IERS 2010 (incluant une mise à jour 2017), publication présentant les références, les standards et les modèles recommandés par le Service international de rotation de la Terre et des systèmes de référence (IERS, International Earth Rotation and Reference Systems Service) ; • UAI 2015, l’ensemble des valeurs du système des « constantes de conversion nominales solaire et planétaire » (Pr˘sa et al., 2016 ; Benvenuti, 2019), recommandé par la résolution B3 de l’UAI 2015.

1.2 1.2.1 1.2.1.1

Systèmes d’unités Le Système international d’unités (SI) Historique et description générale

Le Système international d’unités, reconnu au niveau international sous l’abréviation SI, constitue aujourd’hui le système légal d’unités dans la quasi-totalité des pays du monde. Il consiste en un ensemble d’unités de base, de préfixes (utilisés pour la désignation des multiples et sous-multiples décimaux des unités) et d’unités dérivées. Ce nom a été officiellement adopté par la Conférence générale des poids et mesures (CGPM), lors de sa onzième réunion (1960), qui a également fixé des règles pour les préfixes, les unités dérivées et les autres indications. Le SI est régulièrement révisé en fonction du besoin des utilisateurs et des progrès de la science et de la technologie, incluant des changements 11

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES de définition de certaines unités. Ces changements sont tels que chacune des définitions successives est compatible avec la précédente, tout en permettant des réalisations plus exactes. Le SI est présenté dans une brochure intitulée le Système international d’unités (SI), publiée conjointement en français et en anglais par le Bureau international des poids et mesures (BIPM). Cette brochure, qui rassemble toutes les décisions et recommandations concernant les unités, est périodiquement mise à jour. Le SI fournit les unités de référence approuvées au niveau international en fonction desquelles toutes les autres unités sont définies. Depuis la quatorzième CGPM (1971), ce système est fondé sur le choix de sept unités de base bien définies, qui, jusqu’à la dernière réforme du SI décrite ci-après, étaient considérées comme indépendantes du point de vue dimensionnel. Elles étaient listées dans l’ordre suivant : le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère, le kelvin, la mole et la candela, ayant respectivement pour symbole m, kg, s, A, K, mol, cd. Cet ordre a été modifié par la révision 2018 du SI (voir table 1.1). Les unités dérivées sont définies comme des produits de puissances des unités de base. Lorsque le facteur numérique de ce produit est égal à 1, elles sont appelées unités dérivées cohérentes. Le terme cohérent signifie que les équations reliant les valeurs numériques des grandeurs prennent exactement la même forme que les équations reliant les grandeurs proprement dites. Dans cette catégorie, notons le radian, symbole rad, et le stéradian, symbole sr. Ces unités, très utiles en astronomie, sont considérées comme des unités dérivées cohérentes du SI, sans dimension. Leurs noms et symboles peuvent être utilisés dans les expressions d’autres unités dérivées SI, suivant les besoins. Le radian est l’unité cohérente d’angle plan. Un radian est un angle plan compris entre deux rayons d’un cercle qui, sur la circonférence du cercle, interceptent un arc de longueur égale à celle du rayon. Le radian est aussi l’angle de phase. Pour les phénomènes périodiques, l’angle de phase augmente de 2π rad à chaque période. Le stéradian est l’unité cohérente pour l’angle solide. Un stéradian est un angle solide d’un cône qui, ayant son sommet au centre d’une sphère, découpe sur la surface de cette sphère une aire égale à celle d’un carré ayant pour côté le rayon de la sphère. D’autres unités dérivées cohérentes du SI ont reçu un nom spécial : • • • • • •

le hertz (Hz), unité de fréquence : Hz = s−1 ; le joule (J), unité d’énergie, de travail ou de quantité de chaleur : J = kg m2 s−2 ; le coulomb (C), unité de charge électrique : C = A s ; le lumen (lm), unité de flux lumineux : lm = cd sr ; le watt (W), unité de puissance ou de flux énergétique : W = kg m2 s −3 ; le pascal (Pa), unité de pression ou de contrainte : Pa = m−1 kg s−2 .

De plus, la CGPM a adopté une série de préfixes (déca, hecto, etc.) qui servent à former des multiples et sous-multiples décimaux des unités SI cohérentes. 12

1.2. SYSTÈMES D’UNITÉS 1.2.1.2

La révision 2018 du Système international d’unités

Une révision historique du SI a été adoptée le 16 novembre 2018, par la vingt-sixième CGPM et est entrée en application le 20 mai 2019. Cette révision est présentée en détail dans la 9e édition (2019) de la brochure du SI. Dans cette révision, toutes les unités du SI sont désormais définies à partir de constantes, parmi lesquelles figurent des constantes fondamentales de la nature, telles que la constante de Planck et la vitesse de la lumière dans le vide. Cela permet d’assurer la stabilité du SI dans le futur et de s’ouvrir à l’utilisation de nouvelles technologies, dont celles de la physique quantique, pour mettre en pratique les définitions. Quatre des sept unités de base du SI, soit le kilogramme, l’ampère, le kelvin et la mole, ont été profondément redéfinies. Ces nouvelles définitions sont établies, respectivement, à partir des valeurs numériques fixées de la constante de Planck (h), de la charge élémentaire (e), de la constante de Boltzmann (k) et de la constante d’Avogadro (NA ). Une attention particulière a permis de garantir la cohérence de ces définitions avec celles en vigueur au moment de la mise en œuvre de la révision du SI. Les définitions des trois autres unités de base, la seconde, le mètre et la candela, n’ont pas été modifiées, mais reformulées, afin que les nouvelles définitions des sept unités de base du SI soient toutes exprimées de façon uniforme, au moyen d’une formulation dite à constante explicite. Les anciennes définitions des unités de base ont été abrogées. C’est le cas, en particulier, de celle du kilogramme, qui était la masse du prototype international du kilogramme en platine iridié conservé au Pavillon de Breteuil. En vigueur depuis 1889 (première CGPM, 1889 et troisième CPGM, 1901), cette définition était la dernière du SI a être rattachée à un objet matériel. Cette réforme du SI permet ainsi de réaliser l’ensemble des unités à un niveau d’exactitude qui n’est limité que par la structure quantique de la nature et les aptitudes techniques de réalisation. Rappelons qu’auparavant, l’exactitude des unités était limitée par les propriétés d’un objet matériel (dans le cas du kilogramme étalon) ou par les définitions elles-mêmes (en particulier pour l’ampère et le kelvin). Les sept constantes qui définissent le SI ont été choisies de sorte que toute unité du SI puisse être exprimée à partir de l’une de ces sept constantes ou à partir de produits ou rapports de ces constantes. La distinction entre unités de base et unités dérivées n’est donc en principe plus nécessaire. Toutefois, ces concepts d’unités de base et d’unités dérivées ont été conservés, car ils sont pratiques et historiquement bien établis. Les unités de base sont désormais listées dans l’ordre suivant : la seconde, le mètre, le kilogramme, l’ampère, le kelvin, la mole et la candela (voir table 1.1), lequel respecte l’ordre de construction du système. 13

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Table 1.1 – Unités de base du Système international d’unités (SI).

Grandeur Temps Longueur Masse Intensité de courant électrique Température thermodynamique Quantité de matière Intensité lumineuse

Unité

Symbole

seconde mètre kilogramme ampère kelvin mole candela

s m kg A K mol cd

En fixant la valeur numérique exacte, l’unité devient définie, car le produit de la valeur numérique par l’unité doit être égal à la valeur de la constante qui, par hypothèse, est invariante. Ce mode de définition est explicité dans la table 1.2. Les définitions des sept unités de base qui découlent de ce mode de définition sont énoncées ainsi dans la brochure du SI, 9e édition (2019) : • Unité de temps : la seconde, symbole s, est l’unité de temps du SI. Elle est définie en prenant la valeur numérique fixée de la fréquence du césium, ∆νCs , la fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé, égale à 9 192 631 770 lorsqu’elle est exprimée en Hz, unité égale à s−1 ; • Unité de longueur : le mètre, symbole m, est l’unité de longueur du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la vitesse de la lumière dans le vide, c, égale à 299 792 458 lorsqu’elle est exprimée en m s−1 , la seconde étant définie en fonction de ∆νCs ; • Unité de masse : le kilogramme, symbole kg, est l’unité de masse du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Planck, h, égale à 6.626 070 15 × 10−34 lorsqu’elle est exprimée en J s, unité égale à kg m2 s−1 , le mètre et la seconde étant définis en fonction de c et ∆νCs ; • Unité de courant électrique : l’ampère, symbole A, est l’unité de courant électrique du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la charge élémentaire, e, égale à 1.602 176 634 × 10−19 lorsqu’elle est exprimée en C, unité égale à A s, la seconde étant définie en fonction de ∆νCs ; • Unité de température thermodynamique : le kelvin, symbole K, est l’unité de température thermodynamique du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Boltzmann, k, égale à 1.380 649 × 10−23 lorsqu’elle est exprimée en J K−1 , unité égale à kg m2 s−2 K−1 , le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction de h, c et ∆νCs ; 14

1.2. SYSTÈMES D’UNITÉS

Table 1.2 – Définition des sept unités de base du SI par les valeurs exactes des sept constantes de définition. Les unités hertz (Hz), joule (J), coulomb (C), lumen (lm) et watt (W) sont reliées aux unités seconde (s), mètre (m), kilogramme (kg), ampère (A), kelvin (K), mole (mol) et candela (cd), par les relations : Hz = s−1 , J = kg m2 s−2 , C = A s, lm = cd m2 m−2 = cd sr, et W = kg m2 s −3 .

Fréquence de la transition hyperfine du césium Symbole : ∆νCs Valeur exacte : 9 192 631 770 Hz Expression de la seconde : 1 s = (9 192 631 770) / ∆νCs Vitesse de la lumière dans le vide Symbole : c Valeur exacte : 299 792 458 m s−1 Expression du mètre : 1 m = (c / 299 792 458) s Constante de Planck Symbole : h Valeur exacte : 6.626 070 15 × 10−34 J s Expression du kilogramme : 1 kg = [h / (6.626 070 15 × 10−34 )] m−2 s Charge élémentaire Symbole : e Valeur exacte : 1.602 176 634 × 10−19 C Expression de l’ampère : 1 A = [e / 1.602 176 634 × 10−19 )] s−1 Constante de Boltzmann Symbole : k Valeur exacte : 1.380 649 × 10−23 J K−1 Expression du kelvin : 1 K = (1.380 649 / k) × 10−23 kg m2 s−2 Constante d’Avogadro Symbole : NA Valeur exacte : 6.022 140 76 × 1023 mol−1 Expression de la mole : 1 mol = (6.022 140 76 × 1023 / NA ) Efficacité lumineuse Symbole : Kcd Valeur exacte : 683 lm W−1 Expression de la candela : 1 cd =(Kcd / 683) kg m2 s −3 sr−1

15

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES • Unité de quantité de matière : la mole, symbole mol, est l’unité de quantité de matière du SI. Une mole contient exactement 6.022 140 76 × 1023 entités élémentaires. Ce nombre, appelé nombre d’Avogadro, correspond à la valeur numérique fixée de la constante d’Avogadro, NA , lorsqu’elle est exprimée en mol−1 . La quantité de matière, symbole n, d’un système est une représentation du nombre d’entités élémentaires spécifiées. Une entité élémentaire peut être un atome, une molécule, un ion, un électron ou toute autre particule ou groupement spécifié de particules ; • Unité d’intensité lumineuse : la candela, symbole cd, est l’unité du SI d’intensité lumineuse dans une direction donnée. Elle est définie en prenant la valeur numérique fixée de l’efficacité lumineuse d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 1012 Hz, Kcd , égale à 683 lorsqu’elle est exprimée en lm W−1 , unité égale à cd sr W−1 , ou cd sr kg−1 m−2 s3 , le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction de h, c et ∆νCs . Il résulte de ces définitions que : • la seconde est égale à la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé ; c’est l’unité de temps propre au sens de la théorie générale de la relativité ; • le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde ; • un ampère est le courant électrique correspondant au flux de 1/(1.602 176 634 × 10−19 ) charges élémentaires par seconde ; • un kelvin est égal au changement de la température thermodynamique résultant d’un changement de l’énergie thermique kT de 1.380 649 × 10−23 J ; • la mole est la quantité de matière d’un système qui contient 6.022 140 76 × 1023 entités élémentaires spécifiées ; • la candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 1012 Hz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est (1/683) W/sr.

1.2.1.3

Autres unités usuelles dont l’usage est accepté avec le SI

Le Comité international des poids et mesures a révisé en 2004 la classification des « unités en dehors du SI dont l’usage est accepté avec le SI ». Parmi celles-ci, on donne dans la table 1.3, extraite du Tableau 8 de la brochure du SI (9e édition, 2019), les unités usuelles de temps, de longueur, d’angle, de volume et de masse qui sont employées quotidiennement, ainsi que l’unité astronomique de longueur qui a été ajoutée à cette catégorie après son rattachement au SI (voir section 1.2.2). 16

1.2. SYSTÈMES D’UNITÉS

Table 1.3 – Unités usuelles en dehors du SI dont l’usage est accepté avec le SI (extrait du Tableau 8 de la brochure du SI, 9e édition, 2019 et des notes correspondantes).

Grandeur

Nom

temps

minute heure jour unité astronomique1 degré minute seconde2 litre tonne

longueur angle plan et de phase volume masse 1 2

Symbole min h d au ◦ 0 00

l, L t

Valeur en unité SI 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s 1 au = 149 597 870 700 m 1◦ = (π/180) rad 10 = (1/60)◦ = (π/10 800) rad 100 = (1/60)0 = (π/648 000) rad 1 L = 1 dm3 = 103 cm3 = 10−3 m3 1 t = 103 kg

Décision de la 28e assemblée générale de l’UAI (résolution B2, 2012). En astronomie, les petits angles sont mesurés en secondes d’arc (c’est-à-dire en secondes d’angle plan), symbole as ou 00 , et en milliarcsecondes, microarcsecondes et picoarcsecondes, de symboles respectifs mas, µas et pas, l’arcseconde étant un autre nom pour la seconde d’angle plan.

Par ailleurs, en ce qui concerne l’angle plan, la brochure du SI précise qu’il est généralement préférable de diviser le degré de manière décimale plutôt qu’en utilisant la minute et la seconde, sauf dans les domaines tels que la navigation, la cartographie, l’astronomie et la mesure d’angles très petits. D’autres constantes et unités utilisées en astronomie sont présentées dans la section 1.6.

1.2.2

1.2.2.1

Le Système UAI d’unités astronomiques

Définitions des unités de base

Comme cela a été mentionné dans l’introduction de ce chapitre, les astronomes utilisent également le système d’unités astronomiques, qui est adapté à la représentation des mouvements à grande échelle. Les trois unités de base de ce système sont les suivantes : • L’unité de temps est le jour, symbole d, égal à 86 400 secondes du SI ; • L’unité de masse est la masse du Soleil, notée généralement M , ou MS ; • L’unité de longueur est l’unité astronomique, symbole au. 17

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Jusqu’en 2012, l’unité astronomique était définie par la valeur de la constante de Gauss, k (à ne pas confondre avec la constante de Boltzmann de même notation introduite dans la section 1.2.1.2), adoptée par l’UAI en 1938 (UAI, 1939, k = 0.017 202 098 95). Le but de cette définition était de donner des valeurs exactes des distances relatives dans le Système solaire, permettant ainsi aux astronomes de produire des théories des mouvements à une époque où il n’était pas possible d’estimer des distances avec une grande exactitude. Pour évaluer les distances absolues ou le paramètre de masse solaire (voir section 1.3.4, note 7), GM , en unités SI, il fallait utiliser la valeur de k, ainsi qu’une valeur de l’unité astronomique déterminée par l’observation. Mais l’amélioration de l’exactitude des mesures modernes de distances dans le Système solaire a progressivement rendu inutile la détermination des distances relatives, et les éphémérides planétaires ont permis une détermination directe de la valeur de GM en unités SI. Cela a rendu caduque cette définition peu pratique de l’unité astronomique (Capitaine et al., 2011). Des changements importants ont été apportés par la résolution B2, adoptée par l’UAI en 2012, qui recommande que : • l’unité astronomique soit redéfinie comme une unité conventionnelle de longueur égale à 149 597 870 700 m exactement, selon la valeur adoptée dans la résolution UAI 2009 B2 ; • cette définition soit utilisée avec toutes les échelles de temps telles que TCB, TDB, TCG et TT, etc. ; • la constante de Gauss k soit supprimée du système de constantes astronomiques ; • la valeur du paramètre de masse solaire, GM (voir section 1.3.4, note 7), soit déterminée en unités SI par l’observation ; • le seul symbole au soit utilisé pour l’unité astronomique. La valeur en unité SI de la masse du Soleil, M , peut être déduite (voir table 1.8) de la valeur en SI du paramètre de masse solaire, GM , et de celle de la valeur de la constante de la gravitation G (voir table 1.7), celle-ci étant connue avec une incertitude relative de 10−4 , c’est-à-dire très largement supérieure à celle de GM (de l’ordre de 8 × 10−11 ). La table 1.4 résume la définition des unités de base du système UAI d’unités astronomiques, avec leurs symboles et leurs valeurs en unités SI quand il s’agit de valeurs exactes par définition (donc sans incertitude).

1.2.2.2

Unités auxiliaires et tables de correspondance

Les astronomes utilisent comme unité auxiliaire de temps l’année julienne, définie comme étant égale à 365.25 jours. Le siècle julien est égal à 100 années juliennes, soit 36 525 jours. 18

1.2. SYSTÈMES D’UNITÉS

Table 1.4 – Unités de base du système UAI d’unités astronomiques.

Grandeur

Unité

Temps Masse Longueur

jour masse du Soleil unité astronomique

Symbole

Valeur en SI

d M (ou MS ) au

86 400 s estimée par l’observation 149 597 870 700 m

Table 1.5 – Correspondance entre les unités de temps (à noter que les valeurs numériques non entières sont des valeurs arrondies à 9 décimales).

Seconde (s) 1 seconde 1 jour 1 année julienne 1 siècle julien

1 seconde 1 jour 1 année julienne 1 siècle julien

Jour (d)

1 86 400 31 557 600 3 155 760 000

1.157 407 407 × 10−5 1 365.25 36 525

Année julienne

Siècle julien

3.168 808 781 × 10−8 2.737 850 787 × 10−3 1 100

3.168 808 781 × 10−10 2.737 850 787 × 10−5 0.01 1

La correspondance entre les valeurs des diverses unités de temps est donnée dans la table 1.5. De même, les astronomes utilisent comme unités auxiliaires de longueur (ou distance) le parsec (pc) et l’année-lumière (al). Le parsec est la distance d’une étoile dont la parallaxe annuelle est égale à une seconde de degré, c’est-à-dire la distance à laquelle une unité astronomique est vue sous un angle d’une seconde de degré (d’où : 1 pc = (648 000/π) au). L’année-lumière est le trajet parcouru par la lumière pendant une année julienne dans un espace-temps vide de matière (d’où : 1 al = (365.25 × 86 400) × c). Ainsi, les distances sont généralement exprimées en au dans le Système solaire, en pc, al ou kpc (103 pc) dans la Galaxie et en Mpc (106 pc) ou Gpc (109 pc) dans l’Univers. La table 1.6 donne la correspondance entre les valeurs des diverses unités de distance dans les systèmes UAI 1976 et UAI 2009/2012.

19

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Table 1.6 – Correspondance entre les unités de distance dans les systèmes UAI 1976 (76) et UAI 2009/2012 (09). Vitesse de la lumière dans le vide : c = 299 792 458 m s−1 (à noter que les valeurs numériques non entières sont des valeurs arrondies).

Mètre

1.2.2.3

Unité astronomique

1m

(76) (09)

1 1

6.684 587 1535 × 10−12 6.684 587 1227 × 10−12

1 au

(76) (09)

149 597 870 000 149 597 870 700

1 1

1 al

(76) (09)

9.460 730 472 5808 × 1015 9.460 730 472 5808 × 1015

63 241.077 38 63 241.077 09

1 pc

(76) (09)

3.085 677 5671 × 1016 3.085 677 5813 × 1016

206 264.806 248 206 264.806 248

Année-lumière

Parsec

1m

(76) (09)

1.057 000 834 02 × 10−16 1.057 000 834 02 × 10−16

3.240 779 3046 × 10−17 3.240 779 2896 × 10−17

1 au

(76) (09)

1.581 250 7336 × 10−5 1.581 250 7409 × 10−5

4.848 136 8111 × 10−6 4.848 136 8111 × 10−6

1 al

(76) (09)

1 1

0.306 601 395 22 0.306 601 393 80

1 pc

(76) (09)

3.261 563 7619 3.261 563 7770

1 1

Unités utilisées en astronomie dans le cadre de la relativité générale

L’UAI a adopté en 2000 un ensemble de résolutions sur les systèmes de référence utilisés en astronomie dans le cadre de la relativité générale (UAI, 2000). Dans ce cadre, les unités sont celles du SI pour un système de référence céleste barycentrique (BCRS : Barycentric Celestial Reference System), dont le temps-coordonnée est le TCB (Temps-coordonnée barycentrique), ainsi que pour un système de référence géocentrique (GCRS : Geocentric Celestial Reference System), dont le temps-coordonnée est le TCG (Temps-coordonnée géocentrique) (voir section 2.5.1). L’emploi du TDB comme temps-coordonnée d’un système barycentrique ou du TT comme temps-coordonnée d’un système géocentrique a entraîné dans certains travaux, 20

1.3. LE SYSTÈME UAI DE CONSTANTES ASTRONOMIQUES tels ceux de Seidelmann et Fukushima (1992), l’introduction de nouvelles unités de temps et de longueur afin de conserver constante la valeur de la vitesse de la lumière. Toutefois, l’autre option qui est actuellement préférée pour assurer une telle conservation est d’éviter d’utiliser des dénominations telles que unités TDB et unités TT à comparer aux unités SI, mais plutôt de conserver les unités SI pour toutes les échelles de temps, en modifiant en conséquence les valeurs numériques qui lui sont associées. Les quantités destinées à être utilisées avec TCG, TCB, TT ou TDB sont appelées respectivement compatibles TCG, compatibles TCB, compatibles TT ou compatibles TDB. La terminologie non redimensionnée peut également être utilisée pour les valeurs compatibles TCB et les valeurs compatibles TCG. Ainsi, une quantité coordonnée, x, ayant la dimension d’une longueur, a des valeurs numériques différentes, selon qu’elle est compatible avec les temps-coordonnées TCG et TDB, ou TCG et TT. Ces valeurs, toutes exprimées en unités SI, sont liées entre elles par les relations : xTCB = xTCG xT DB = xTCB × (1 − LB )

(1.1)

xT T = xTCG × (1 − LG ) Les valeurs de LB et LG sont données dans la table 1.7 des constantes du système UAI 2009/2012 et également dans la section 2.5.3. Cette convention suit la nomenclature recommandée en 2010 par un groupe de travail de la Commission 52 de l’UAI « Relativité en astronomie fondamentale » (RIFA) (Klioner et al., 2010), concernant les unités à utiliser avec les échelles de temps relativistes TCB, TCG, TT et TDB. L’unité astronomique étant un multiple exact du mètre, elle en a le statut. C’est donc une grandeur propre au sens de la relativité générale, à utiliser avec toute forme de la métrique, c’est-à-dire sans modification avec tous les temps-coordonnées, théoriques ou réalisés.

1.3 1.3.1

Le système UAI de constantes astronomiques Caractéristiques du système UAI 2009/2012

Comme cela a été rappelé dans l’introduction, les valeurs numériques des constantes astronomiques à utiliser dans les éphémérides, conformément aux recommandations de l’UAI actuellement en vigueur, sont celles du système UAI 2009/2012. 21

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Ce système résulte : • de l’adoption, par la résolution UAI 2009 B2, de la liste des valeurs des constantes qui ont été rassemblées dans le rapport du groupe de travail NSFA de l’UAI sur « Les standards numériques pour l’astronomie fondamentale » (Luzum et al., 2011), qui avait conservé la définition UAI 1976 de l’unité astronomique (voir section 1.2). • de la redéfinition de l’unité astronomique qui a été adoptée par la résolution 2 de l’UAI 2012. Le système UAI 2009/2012 représente une amélioration très significative par rapport au système UAI 1976 de constantes astronomiques utilisé jusqu’en 2009, tant par une classification plus rigoureuse des constantes suivant leur nature, que par la compatibilité des valeurs numériques de ces constantes avec le cadre de la relativité générale et par la précision de leurs estimations. La structure du nouveau système est telle que les constantes sont réparties en plusieurs catégories qui reflètent au mieux leur nature. Le concept de constantes de définition du système 1976 a été conservé, mais est scindé en constantes naturelles de définition (c.-à-d. compatibles avec les lois naturelles) et constantes auxiliaires de définition (c.-à-d. compatibles avec la représentation conventionnelle adoptée). La dénomination constantes naturelles mesurables a été introduite pour les constantes de la nature qui peuvent être mesurées. Le terme de constantes mesurables dans le Système solaire décrit la catégorie des constantes associées aux corps du Système solaire. La catégorie valeurs initiales à J2000.0 décrit des constantes qui sont les valeurs à la date origine de certaines quantités dépendant du temps adoptées pour une théorie spécifique. Enfin, la catégorie autres constantes contient des valeurs qui n’appartiennent à aucune des autres catégories, mais qui sont conservées pour des raisons historiques. Sauf indication contraire, les constantes astronomiques doivent être considérées comme conformes au Système international d’unités (SI). L’amélioration de la cohérence de ces constantes avec le SI est due à la redéfinition, en 2012, de l’unité astronomique, associée à la détermination en unités SI de la valeur du paramètre de masse solaire (voir section 1.3.4, note 7). En ce qui concerne les valeurs numériques attribuées aux constantes dans le cadre de la relativité générale, le nouveau système a adopté la convention d’écriture exposée dans la section 1.2.2.3. Dans le cas où la différence entre ces valeurs est supérieure à l’incertitude de l’estimation, une même constante a des valeurs numériques différentes, selon qu’elle est compatible avec les temps-coordonnées TCG, TCB, TT ou TDB, toutes ces valeurs étant exprimées en unités SI. Par exemple, l’utilisation de TCB ou de TDB implique de définir des grandeurs différentes du paramètre de masse solaire, GM et GM ∗ . Elles s’expriment en fonction des mêmes unités, la seconde et le mètre du SI, et on utilise la terminologie compatible XXX selon le temps-coordonnée XXX utilisé. 22

1.3. LE SYSTÈME UAI DE CONSTANTES ASTRONOMIQUES

1.3.2

Origine des temps

Certaines constantes sont en réalité des fonctions du temps. Il est donc nécessaire de choisir une origine des temps ou époque standard. L’époque standard a été définie par l’UAI 1976, comme étant le 1er janvier 2000 à 12 heures de l’échelle de temps utilisée (voir chapitre 2). Elle correspond au début du jour julien 2 451 545.0 et est désignée par J2000.0 (UAI, 1977). Elle sera parfois notée J2000 par simplification dans la suite de cet ouvrage. Par définition, le début d’une année julienne est séparé de l’époque standard par un nombre entier d’années juliennes. Ainsi, le début de l’année julienne 2020, désigné par 2020.0, correspond au jour julien : 2 451 545.0 + 20 × 365.25 = 2 458 850.0, soit le 1er janvier 2020 à 12 h et non le 1er janvier 2020 à 0 h.

1.3.3

Valeurs des constantes du système UAI 2009/2012

Les valeurs des constantes astronomiques dans le système UAI 2009/2012 sont données dans la table 1.7. Cette table comprend une partie relative aux constantes de définition, qui n’ont pas d’incertitudes, et une partie relative aux constantes mesurables et autres constantes, avec leurs incertitudes. Elle est suivie de quelques notes explicatives (section 1.3.4) relatives à certaines constantes UAI 2009/2012. La qualité du système UAI 2009/2012 a bénéficié de l’amélioration significative des estimations d’un grand nombre de constantes astronomiques entre 1976 et 2009. D’autre part, de nouvelles valeurs conventionnelles, appelées constantes auxiliaires de définition, qui interviennent dans des résolutions de l’UAI entre 2000 et 2006, sont considérées comme faisant partie intégrante de ce nouveau système de constantes. La résolution UAI 2009 B2, qui a recommandé l’adoption du système UAI 2009/2012, a également recommandé qu’un organe permanent de l’UAI soit chargé de la maintenance des meilleures valeurs numériques disponibles, désignées par CBE (Current Best Estimates), pour les constantes de l’astronomie fondamentale. Jusqu’en 2019, le groupe de travail NFSA de l’UAI a rempli cette fonction. Des améliorations, que l’on trouvera sur le site web de ce groupe (https://iau-a3.gitlab.io/NSFA/NSFA_cbe.html), ont ainsi été adoptées en 2015 pour les rapports de la masse du Soleil à celles de Mercure (Mazarico et al., 2014), d’Uranus (Jacobson, 2014) et de Pluton (Jacobson et al., 2015), ainsi que pour le rapport de la masse de Vesta à celle du Soleil (Konopliv et al., 2014a). Des améliorations ont également été signalées pour le rapport de la masse de Cérès à celle du Soleil (Konopliv et al., 2018), pour la valeur CODATA 2014 de la constante de 23

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES la gravitation de 6.674 08 × 10−11 ± 6.7 × 10−15 m3 kg−1 s−2 , ainsi que pour la valeur AIG 2015 du potentiel du géoïde W0 (voir section 1.4.1). Il est important de noter que la maintenance des meilleures valeurs numériques ne concerne pas les valeurs du système UAI de constantes astronomiques de la table 1.7.

Table 1.7 – Le système UAI 2009/2012 de constantes astronomiques. Constante

Description

Valeur

Incertitude

Unité

Constante naturelle de définition c

m s−1

2.997 924 58 × 108

Vitesse de la lumière

Constantes de définition auxiliaires au

Unité astronomique

149 597 870 700

m −10

LG

1 − d(TT)/d(TCG)

6.969 290 134 × 10

LB

1 − d(TDB)/d(TCB)

1.550 519 768 × 10−8

TDB0

TDB − TCB à T0 (note 5)

−6.55 × 10−5

s

θ0

Angle de rotation de la Terre (ERA) à J2000.0 Taux de variation de l’ERA

0.779 057 273 2640

révolution

1.002 737 811 911 354 48

révolution (jour UT1)−1

dθ/dUT1

Constante naturelle mesurable G

Constante de la gravitation

6.674 28 × 10−11

6.7 × 10−15

m3 kg−1 s−2

Autre constante LC

Valeur moyenne de 1 − d(TCG)/d(TCB)

1.480 826 867 41 × 10−8 2 × 10−17

Constantes mesurables dans le Système solaire GMS

aE J2

Paramètre de masse solaire (note 7) – compatible TCB 1.327 124 420 99 × 1020 1 × 1010 – compatible TDB 1.327 124 400 41 × 1020 1 × 1010

m3 s−2 m3 s−2

Rayon équatorial de la Terre – compatible TT 6.378 1366 × 106

m

Facteur d’ellipticité dynamique de la Terre

1.082 6359 × 10

24

−3

1 × 10−1 1 × 10

−10

1.3. LE SYSTÈME UAI DE CONSTANTES ASTRONOMIQUES Table 1.7 (suite) Constante

Description

Valeur

Incertitude

J˙2

Variation temporelle du J2

GME

Constante géocentrique de la gravitation – compatible TCB 3.986 004 418 × 1014 – compatible TT 3.986 004 415 × 1014 – compatible TDB 3.986 004 356 × 1014

−3.0 × 10−9

6.263 685 34 × 107

6 × 10−10

cy−1

8 × 105 8 × 105 8 × 105

m3 s−2 m3 s−2 m3 s−2

2 × 10−2

m2 s−2

W0

Potentiel du géoïde

ω

Vitesse angulaire moyenne nominale de rotation de la Terre – compatible TT 7.292 115 × 10−5

MM /ME

Rapport de la masse de la Lune à la masse de la Terre

1.230 003 71 × 10−2

Unité

rad s−1

4 × 10−10

Rapport de la masse du Soleil à la masse du corps MS /MMe MS /MVe MS /MMa MS /MJ MS /MSa MS /MU MS /MN MS /MP MS /MEris

Mercure Vénus Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune (134 340) Pluton (136 199) Eris

6.023 657 330 4.085 237 19 3.098 703 59 1.047 348 644 3.497 901 8 2.290 295 1 1.941 226 1.360 5 1.191

× × × × × × × × ×

106 105 106 103 103 104 104 108 108

3 8 2 1.7 1 3 3 2.1 1.4

× × × × × × × × ×

102 10−3 10−2 10−5 10−4 10−2 10−2 105 106

Rapport de la masse du corps à la masse du Soleil MCeres /MS MPallas /MS MVesta /MS

4.72 × 10−10 1.03 × 10−10 1.302 684 6 × 10−10

(1) Ceres (2) Pallas (4) Vesta

3 × 10−12 3 × 10−12 9 × 10−17

Valeur initiale à J2000.0 J2000

1.3.4

Obliquité de l’écliptique

8.438 1406 × 104

1 × 10−3

00

Notes explicatives relatives à certaines constantes du système

1. Les valeurs adoptées pour les constantes naturelles c et G sont celles de CODATA 2006 (Mohr et al., 2008). 2. La constante de Gauss, k, qui définissait l’unité astronomique, au, dans le système UAI 2009, a été supprimée du système de constantes par l’adoption de la nouvelle définition de cette unité. 25

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES 3. Suivant la résolution 2 de l’UAI 2012, l’unité astronomique a une valeur conventionnelle choisie pour être en accord avec la valeur (Pitjeva et Standish, 2009) adoptée par la résolution B2 UAI 2009 ; cette valeur est à utiliser sans modification avec toutes les échelles de temps, TCG, TCB, TT et TDB. 4. La valeur de la constante LG (Petit, 2000b) provient de l’expression donnée par la résolution B1.9 de l’UAI 2006, qui définit TT, par dTT/dTCG = 1 − LG (Petit, 2000a). 5. Les constantes LB et TDB0 proviennent de l’expression donnée par la résolution 3 de l’UAI 2006 qui définit TDB comme une fonction linéaire de TCB : TDB = TCB − LB × (JDTCB −T0 ) × 86400 + TDB0 , où T0 = 2 443 144.500 3725 TCB. 6. Les constantes θ0 et dθ/dUT1 proviennent de l’expression de Capitaine et al. (2000a) donnée par la résolution UAI 2000 B1.8 : θ(UT1) = 2π(0.779 057 273 2640 + 1.002 737 811 911 354 48 × (JDUT1 − 2 451 545.0). 7. Paramètre de masse solaire est la dénomination recommandée par la résolution 2 de l’UAI 2012 pour la constante GMS , appelée précédemment constante héliocentrique de la gravitation. Sa valeur provient de l’estimation de Folkner et al. (2009) à partir des éphémérides DE421 du Jet Propulsion Laboratory (JPL). 8. La valeur de LC est la valeur déterminée par Irwin et Fukushima (1999). 9. Les valeurs de aE et de J2 sont celles données dans le rapport de Groten (2000) de la commission spéciale 3 de l’Association internationale de géodésie. Il s’agit de valeurs de marées zéro (voir IERS Conventions pour l’explication de la terminologie). 10. La valeur de la variation temporelle du J2 est celle qui a été adoptée dans le modèle de précession UAI 2006 (Capitaine et al., 2003b). 11. ω est une valeur nominale et son nombre de chiffres significatifs a été limité à ceux pour lesquels la valeur peut être considérée comme constante. 12. Toutes les valeurs des masses de Mars à Eris sont la somme des masses du corps et de ses satellites. 13.  J2000 est une composante du modèle de précession UAI 2006 (voir section 4.4.4.2), modèle qui inclut des expressions dépendant du temps. 14. La table 1.7 ne contient ni constante de précession, ni constante de nutation, ces constantes n’ayant plus de signification particulière dans les modèles UAI 2006/2000 de précession-nutation. Ces modèles sont présentés au chapitre 4.

1.3.5

Constantes dérivées du système UAI 2009/2012

On peut déduire de la table 1.7 les valeurs de quelques constantes utiles en astronomie, fournies dans la table 1.8. 26

1.4. AUTRES SYSTÈMES DE CONSTANTES

Table 1.8 – Valeurs de quelques constantes dérivées des constantes UAI 2009/2012.

Constante τA = au/c MS = GMS /G ME =GME /G ME /MM =1/µ π = arcsin(aE /au)

1.4 1.4.1

Description

Valeur

Temps de lumière pour l’unité de distance Masse du Soleil Masse de la Terre Rapport de la masse de la Terre à la masse de la Lune Parallaxe solaire

499.004 783 84 s 1.988 4 × 1030 kg 5.972 2 × 1024 kg 81.300 568

Incertitude

2 × 1026 6 × 1020 3 × 10−6

8.794 143 00

Autres systèmes de constantes et de données Standards numériques IERS 2010

Le chapitre 1 des Conventions IERS 2010 (Petit et Luzum, 2010) donne une table des « standards numériques IERS » (IERS Numerical Standards). Cette table suit la même classification de constantes que le système UAI 2009 et y ajoute la catégorie constantes relatives à la Terre. Elle adopte les valeurs UAI 2009 pour les constantes de définition, ainsi que pour l’ensemble des constantes astronomiques. Par contre, la définition de l’unité astronomique n’a pas été mise à jour suivant la définition 2012. La table 1.9 reproduit la partie constantes relatives à la Terre de cette table IERS, mise à jour en 2017.

1.4.2

Système UAI 2015 des constantes de conversion nominales solaires et planétaires

La résolution B3 adoptée en 2015 par l’UAI recommande un ensemble de valeurs nominales de constantes relatives au Soleil, à la Terre et à Jupiter, à utiliser comme facteurs de conversion pour exprimer des propriétés stellaires ou planétaires en fonction de ces constantes. Le but est de garantir une conversion uniforme en unités SI par une utilisation cohérente des valeurs nominales de conversion dans toutes les formules ou les calculs de modèles pertinents. La liste des constantes de conversion nominales solaires et planétaires du système UAI 2015 est donnée dans la table 1.10 (Pr˘sa et al., 2016 ; Benvenuti, 2019). Ces constantes nominales ont été choisies pour être aussi proches que possible des quantités mesurées en raison des incertitudes. Cependant, elles ne doivent pas être considérées comme 27

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Table 1.9 – Valeurs numériques IERS 2010 de constantes relatives à la Terre (extrait de la table 1.1 des Conventions IERS 2010, mise à jour en 2017).

Cste

Valeur

Incertitude 14

3 −2

5

3 −2

GME

3.986 004 418 × 10 m s

8 × 10 m s

aE (1) J2 (1)

6378 136.6 m 1.082 6359 × 10−3

0.1 m 1 × 10−10

1/ f

298.256 42

1 × 10−5

gE W0 R0

9.780 3278 m s−2 626 368 53.4 m2 s−2 636 367 2.6 m

1 × 10−6 m s−2 0.01 m2 s−2 0.1 m

H

327 379 5 × 10−9

1 × 10−9

1

2

Description Constante géocentrique de la gravitation (compatible TCG) Rayon équatorial de la Terre Facteur d’ellipticité dynamique de la Terre Inverse de l’aplatissement de la Terre Gravité équatoriale moyenne Potentiel du géoïde (2) Facteur de forme géopotentielle (GME /W0 ) Aplatissement dynamique

Les valeurs de aE et de J2 sont les mêmes que celles qui ont été adoptées dans le système UAI 2009/2012 (valeurs de marées zéro). La valeur de W0 des Conventions IERS a été mise à jour en 2017 pour correspondre à la valeur adoptée par la résolution 1 de l’AIG (Association internationale de géodésie) 2015, alors que la valeur de cette même constante dans le système UAI correspond à la valeur 2000 de l’AIG.

représentant les véritables propriétés solaires ou planétaires, mais uniquement comme un ensemble de facteurs de conversion. Les constantes de conversion nominales solaires, N N N R N , SN , L , Teff et (GM) sont destinées à être utilisées chaque fois que des propriétés stellaires sont exprimées en unités, respectivement, du rayon solaire, d’irradiance solaire totale, de luminosité solaire, de température effective solaire ou du paramètre de masse N , RN , RN , RN , solaire. De même, les constantes de conversion nominales planétaires, ReE pE eJ pJ N (GM)N E et (GM)J sont destinées à être utilisées pour exprimer des propriétés planétaires en unités, respectivement, du rayon équatorial et polaire de la Terre ou de Jupiter, et en unités du paramètre de masse de la Terre ou de Jupiter.

1.4.3

1.4.3.1

Système des masses planétaires et données à utiliser pour le calcul des éphémérides Masses des planètes et des principaux satellites

La table 1.11 donne les valeurs des rapports de la masse du Soleil aux masses des planètes et planètes naines principales et de leurs satellites du système UAI 2009/2012, ainsi que celles de la solution INPOP19a (?), dont sont issues les éphémérides des planètes et de la Lune de la Connaissance des temps à partir de l’édition 2021. 28

1.4. AUTRES SYSTÈMES DE CONSTANTES

Table 1.10 – Système UAI 2015 des constantes de conversion nominales solaire et planétaire (indices E pour la Terre, J pour Jupiter, e pour équatorial et p pour polaire).

Constantes de conversion nominales solaires 1 R N 1 SN 1 LN N 1 Teff 1 (GM)N

= = = = =

6.957 × 108 m 1361 W m−2 3.828 × 1026 W 5772 K 1.327 1244 × 1020 m3 s−2

Constantes de conversion nominales planétaires N 1 ReE N 1 R pE N 1 ReJ 1 RNpJ 1 (GM)N E 1 (GM)N J

1.4.3.2

= = = = = =

6.3781 × 106 m 6.3568 × 106 m 7.1492 × 107 m 6.6854 × 107 m 3.986 004 × 1014 m3 s−2 1.266 8653 × 1017 m3 s−2

Masses des astéroïdes

Les masses des astéroïdes sont en général très mal déterminées. Seules les masses des trois plus gros astéroïdes (Cérès, Pallas et Vesta) sont données dans le système UAI 2009/2012, exprimées en masse solaire (voir table 1.7).

1.4.3.3

Rayons équatoriaux des planètes, de la Lune et du Soleil

La table 1.12 donne les rayons équatoriaux Re des planètes, de la Lune et du Soleil dans les systèmes UAI 1976 et IAU 2015 (Archinal et al., 2018).

1.4.3.4

Champ de gravitation des planètes et de la Lune

Pour évaluer le potentiel gravitationnel U créé par un corps du Système solaire en un point extérieur à ce corps, on utilise des développements en harmoniques sphériques de coefficients Cnk et S nk , sous la forme : U=

∞   X n  X Gm  re n 1+ (Cnk cos kλ + S nk sin kλ)Pnk (sin ϕ) r r k=0 n=2

29

(1.2)

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Table 1.11 – Rapport de la masse du Soleil aux masses des planètes et planètes naines principales dans les systèmes UAI 2009/2012 et INPOP19a. Les valeurs numériques entre parenthèses fournissent une estimation de l’incertitude.

UAI2009/2012 Mercure Vénus Terre + Lune Terre Mars Jupiter + satellites galiléens Saturne + satellites Uranus + satellites Neptune + satellites (134340) Pluton + satellites (136199) Eris

INPOP19a

6 023 600(300) 408 523.719(8)

6 023 682.156 408 523.719 328 900.560

332 946.048 7(7) 3 098 703.59(2) 1 047.348 644(2) 3 497.9018(1) 22 902.98(3) 19 412.26(3) 136 566 000(28 000) 119 100 000(1 400 000)

3 098 703.590 1 047.3486 3 497.902 22 902.982 19 412.260 136 565 999.993 117 464 634

Table 1.12 – Rayons équatoriaux des planètes, de la Lune et du Soleil, en kilomètres, dans les systèmes UAI 1976 et UAI 2015 (Archinal et al., 2018).

UAI 1976 Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Lune Soleil (1)

2 439 6 052 6 378.140 3 397.2 71 398 60 000 25 400 24 300 1 738 696 000

UAI 2015 2 440.53 6 051.8 6 378.1366 3 396.19 71 492 60 268 25 559 24 764 1 737.4 695 700

± 0.04 ± 1.0 ± 0.0001 ± 0.1 ± 4 (1) ± 4 (1) ± 4 (1) ± 15 (1) ±1

Rayon pour une surface de pression 105 Pa.

où G désigne la constante de la gravitation universelle, m la masse du corps et re son rayon équatorial ; λ, ϕ et r sont les coordonnées sphériques (respectivement, la longitude, la latitude et la distance à l’origine) d’un point courant dans un système de référence lié au corps et défini par son centre de masse, son équateur et son méridien origine. Pnk (u) 30

1.4. AUTRES SYSTÈMES DE CONSTANTES est une fonction de Legendre de seconde espèce égale à : Pnk (u) =

n+k 2 1 (u − 1)n 2 k/2 d (1 − u ) 2n n! dun+k

(1.3)

On distingue les harmoniques zonaux (k = 0) des harmoniques tesséraux (k , 0). On pose Jn = − Cn0 . Pour les corps à symétrie de révolution, les coefficients des harmoniques tesséraux sont nuls. La table 1.13 donne les coefficients des développements en harmoniques sphériques des potentiels des planètes dans le système UAI 1976 et d’après des déterminations plus récentes. Table 1.13 – Champ de gravitation des planètes. Coefficients des harmoniques dans le système UAI 1976 et d’après des déterminations plus récentes : (a) Fukushima (1990), (b) EGM 2008, (c) Konopliv et al. (2006), (d) Jacobson (2001), (e) Campbell et Anderson (1989), (f) Owen et al. (1991a).

Planète

UAI 1976

Valeurs récentes + 0.000 006

(a)

+ 0.001 082 63 − 0.000 002 54 − 0.000 001 61

+ 0.001 082 6355 − 0.000 002 5324 − 0.000 001 6199

(b) (b) (b)

J2 J3 J4 C22 S 22 S 31

+ 0.001 964 + 0.000 036

+ 0.001 956 6 + 0.000 031 5 − 0.000 015 4 − 0.000 054 6 + 0.000 031 6 + 0.000 027 2

(c) (c) (c) (c) (c) (c)

J2 J3 J4 J6

+ 0.014 75

+ 0.014 735 0 + 0.000 000 2 − 0.000 588 8 + 0.000 027 8

(d) (d) (d) (d)

Saturne

J2 J4 J6

+ 0.016 45 − 0.001 0

+ 0.016 290 71 − 0.000 935 83 + 0.000 086 14

(e) (e) (e)

Uranus

J2 J4

+ 0.012

+ 0.003 339 − 0.000 032

(a) (a)

Neptune

J2 J4

+ 0.004

+ 0.003 41 − 0.000 03

(f) (f)

Vénus

J2

Terre

J2 J3 J4

Mars

Jupiter

− 0.000 055 + 0.000 031 + 0.000 026

− 0.000 58

31

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES La table 1.14 donne ces mêmes coefficients pour la Lune, dans les systèmes UAI 1976, IERS 1992 et DE405/LE405. Elle contient également les paramètres de gravitation de la Lune liés aux moments d’inertie, C (moment d’inertie polaire), A (moment d’inertie autour de l’axe dirigé vers la Terre) et B (moment d’inertie autour du troisième axe), ainsi que l’inclinaison moyenne I de l’équateur lunaire sur l’écliptique. M et Re désignent respectivement la masse et le rayon équatorial de la Lune. Table 1.14 – Champ de gravitation de la Lune. Coefficients des harmoniques dans les systèmes UAI 1976, IERS 1992 et DE405/LE405.

C20 C22 C30 C31 S 31 C32 S 32 C33 S 33 C40 C41 S 41 C42 S 42 C43 S 43 C44 S 44 γ = (B − A)/C β = (C − A)/B C/MR2e I

UAI 1976

IERS 1992

DE405/LE405

− 0.000 2027 + 0.000 0223 − 0.000 006 + 0.000 029 + 0.000 004 + 0.000 0048 + 0.000 0017 + 0.000 0018 − 0.000 001

− 0.000 202 151 + 0.000 022 302 − 0.000 008 626 + 0.000 030 71 + 0.000 005 610 7 + 0.000 004 834 8 + 0.000 001 684 + 0.000 001 436 − 0.000 000 334 35 + 0.000 000 15 − 0.000 007 18 + 0.000 002 95 − 0.000 001 440 − 0.000 002 884 − 0.000 000 085 − 0.000 000 789 − 0.000 000 154 9 + 0.000 000 056 4 0.000 228 004 3 0.000 631 676 9 0.390 53 5 55300 .5 = 1◦ 320 3300 .5

− 0.000 204 538 620 + 0.000 022 518 019 − 0.000 008 785 470 + 0.000 030 803 810 + 0.000 004 259 329 + 0.000 004 879 807 + 0.000 001 695 516 + 0.000 001 770 176 − 0.000 000 270 970 + 0.000 000 145 383 − 0.000 007 177 801 + 0.000 002 947 434 − 0.000 001 439 518 − 0.000 002 884 372 − 0.000 000 085 479 − 0.000 000 788 967 − 0.000 000 154 904 + 0.000 000 056 404 0.000 227 8583 0.000 631 6121

0.000 2278 0.000 6313 0.392 5 55200 .7 = 1◦ 320 3200 .7

32

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

1.5 1.5.1

Données concernant les corps du Système solaire Éléments orbitaux des planètes et des satellites découverts avant 1990

La table 1.15 donne les éléments orbitaux des planètes principales pour les variables a (demi-grand axe de l’orbite), λ (longitude moyenne), k (e cos $, où e est l’excentricité de l’orbite et $, la longitude du périhélie), h (e sin $), q (sin i/2 cos Ω, où i est l’inclinaison de l’orbite sur l’écliptique et Ω la longitude du nœud de l’orbite sur l’écliptique) et p (sin i/2 sin Ω). Ces éléments sont rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe dynamiques inertiels J2000 (voir chapitre 3). Ce sont les parties constantes des éléments moyens respectivement issus des théories VSOP2013 et TOP2013 (Simon et al., 2013). Elles peuvent être considérées comme des valeurs moyennes pour les planètes principales sur l’intervalle de temps [−6000, +6000] centré sur J2000. Table 1.15 – Éléments orbitaux des planètes rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe dynamiques J2000. La notation BTL représente le barycentre Terre-Lune.

a (au)

λ (radians)

k

h

q

p

Mercure 0.387 098 31 4.402 608 63

0.044 660 63

0.200 723 31

0.040 615 64 0.045 635 49

Vénus 0.723 329 82 3.176 134 46 −0.004 492 82

0.005 066 85

0.006 824 11 0.028 822 82

0.016 284 49

0

BTL 1.000 001 02 1.753 470 37 −0.003 740 82

0

Mars 1.523 679 34 6.203 500 01

0.085 365 59 −0.037 899 71

0.010 470 43 0.012 284 49

Jupiter 5.202 603 21 0.599 546 11

0.012 003 72 −0.002 065 62 0.011 183 86

0.046 985 85

Saturne 9.554 910 39 0.874 018 51 −0.002 959 91

0.055 429 64 −0.008 717 46 0.019 891 44

Uranus 19.218 438 56 5.481 225 40 −0.045 953 07

0.005 648 34

0.001 859 24 0.006 486 02

Neptune 30.110 415 99 5.311 897 93

0.006 691 81 −0.010 291 48 0.011 516 77

0.005 998 84

33

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES La table 1.16 fournit les périodes de révolution sidérale P des planètes principales, ainsi que leurs périodes de rotation T . Ces dernières sont calculées d’après les expressions définissant la position du méridien origine sur chaque planète (Archinal et al., 2018). Table 1.16 – Périodes de révolution sidérale P et de rotation T des planètes. Notes : (1) en jours, (2) rotation rétrograde, (3) en heures, (4) rotation du champ magnétique (système III), (5) on a également T = 9.841 668 heures, rotation moyenne de l’atmosphère à l’équateur (système I) et T = 9.927 953 heures, rotation moyenne de l’atmosphère aux latitudes élevées (système II).

Planètes

P (jours)

T

Note

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

87.969 255 224.700 798 365.256 360 686.979 846 4 332.589 343 10 759.227 606 30 688.452 829 60 182.390 243

58.646 146 243.018 484 23.934 471 24.622 962 9.924 920 10.656 222 17.240 000 15.966 300

(1) (1,2) (3) (3) (3,4,5) (3,4) (2,3,4) (3,4)

La table 1.17 fournit les paramètres moyens des orbites des satellites de planètes et de ceux de planètes naines découverts avant 1990, ainsi que des éléments relatifs aux anneaux : a (demi-grand axe de l’orbite), e (excentricité de l’orbite), P (période de révolution sidérale) ; i (inclinaison de l’orbite du corps, soit par rapport à l’écliptique J2000 (E), soit par rapport à l’équateur de la planète (e)). Dans cette table figurent les noms des découvreurs des satellites et des anneaux, ainsi que la date de leur découverte : en particulier, les découvertes par Voyager 1 des anneaux de Jupiter (Johnson et al., 1979) et de l’anneau D de Saturne (Smith et al., 1982), et celles par Pioneer 11 des anneaux F et G (Gehrels et al., 1980). Les éléments moyens de la Lune sont issus de Simon et al. (1994). Les éléments moyens des satellites de Mars sont tirés de Lainey et al. (2007). Pour Jupiter, les éléments publiés pour les anneaux sont donnés par Nicholson et Matthews (1991). Les éléments des satellites proches JXVI et JXV sont donnés par Nicholson et Matthews (1991) et ceux de JXIV par Synnott (1984). Les éléments des quatre satellites galiléens proviennent de Lainey et al. (2004b). Les éléments des satellites lointains proviennent de Emelyanov (2005a) et Emelyanov et Kanter (2005). Pour Saturne, les éléments publiés sont tirés de Esposito et al. (1984) pour les anneaux, sauf l’anneau F, dont les éléments sont tirés de Synnott et al. (1983). Les éléments des satellites principaux sont tirés de Vienne et Duriez (1995) et Duriez et Vienne (1997), ceux des satellites internes SXV à SXVIII de Jacobson et al. (2008) et ceux des satellites co-orbitaux SXII à SXIV de Oberti et Vienne (2003). Pour Uranus, les éléments des anneaux sont tirés de French et al. (1988). Les éléments des principaux satellites U1 à U5 sont tirés de Lainey (2008), ceux des éléments des satellites proches sont tirés de Jacobson (1998b). Les éléments des 34

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE satellites sont donnés par rapport à l’équateur d’Uranus. Ils sont progrades par rapport à la rotation de la planète (c’est-à-dire rétrograde par rapport au pôle Nord de la planète). Pour Neptune, les éléments des anneaux sont tirés de Nicholson et al. (1990), ceux des deux principaux satellites de Jacobson (2009) et ceux des satellites proches de Owen et al. (1991a). Enfin, pour Pluton, les éléments moyens de Charon issus de Tholen et al. (2008) sont donnés avec leur incertitude en unités de la dernière décimale exprimée entre parenthèses. Notes relatives à la table 1.17 (e) Équateur de la planète. (1) La première valeur se rapporte au bord intérieur de l’anneau, la seconde au bord extérieur. (2) Analyse d’observations de 1981 de Voyager 2. (3) Équateur céleste J2000. (4) Éléments osculateurs pour l’époque 1er octobre 1980 à 0 h. (5) Écliptique J2000. Éléments osculateurs pour l’époque 14 janvier 1970 à 0 h. (6) Équateur céleste J2000. Éléments moyens sur 50 ans. (7) Valeur médiane sur l’intervalle de temps [1950, 2050]. (8) Valeurs moyennes (a, P) ou extremums (e, I) sur l’intervalle [1900, 2050].

1.5.2

Éléments osculateurs des satellites découverts après 1990

La table 1.18 fournit les éléments osculateurs des satellites des planètes et des planètes naines découverts depuis 1990, lorsqu’ils sont connus. Ces éléments sont : a (demi-grand axe de l’orbite), e (excentricité), I (inclinaison de l’orbite du satellite par rapport à l’écliptique J2000), ω (argument de la latitude du périhélie), Ω (longitude du nœud de l’orbite sur l’écliptique J2000) et P (période de révolution sidérale). La colonne « Année » indique l’année de la découverte du satellite. La colonne « Date » indique la date à 0 h TT pour laquelle ont été calculés les éléments. Enfin, la colonne « Référence » donne le numéro de la circulaire UAI (notée IAUC) ou de la Minor Planet Electronic Circular (notée M) d’où sont extraits ces éléments.

35

Jupiter Anneaux Métis Adrastéia Amalthée Thébé Io Europe Ganymède Callisto Léda Himalia Lysithéa Elara Ananké Pasiphaé Carmé Sinopé

Mars Phobos Déimos

Terre Lune

Nom

XVI XV V XIV I II III IV XIII VI X VII XII VIII XI IX

N◦

122/129 128.0 129.0 181.4 221.9 421.9 671.1 1 070.4 1 882.7 11 147 11 442 11 702 11 716 21 078 23 188 23 280 23 731

9.38 23.46

383.398

a (103 km)

≤ 0.005 ≤ 0.005 0.003 0.018 0.004 0.009 0.002 0.007 0.116/0.210 0.111/0.209 0.079/0.155 0.152/0.272 0.077/0.459 0.127/0.417 0.132/0.414 0.106/0.428

0.0152 0.0002

0.055 546

e

0.06 ≤0.1 0.4 0.8 0.01/0.06 0.40/0.52 0.06/0.33 0.15/0.74 23.9/30.8 24.7/32.7 23.8/31.3 25.5/32.0 141.3/154.9 159.0/169.3 140.6/172.4 149.9/161.3

1.1 0.9/2.7

5.156 69

i (degrés)

0.294 779 0.298 260 0.498 179 0.6745 1.770 6138 3.551 183 7.154 142 16.689 018 240.4 250.1 258.6 259.1 624.9 720.6 726.3 746.0

0.3191 1.2626

27.3217

P (jours)

Voyager 1, 1979 Voyager 1/2, 1979-1980 Voyager 1, 1979-1980 Barnard, 1892 Voyager 1, 1979-1980 Galilée, 1610 Galilée, 1610 Galilée, 1610 Galilée, 1610 Kowal, 1974 Perrine, 1904-1905 Nicholson, 1938 Perrine, 1904-1905 Nicholson, 1951 Melotte, 1908 Nicholson, 1938 Nicholson, 1914

Hall, 1877 Hall, 1877

Découverte

Table 1.17 – Éléments orbitaux des satellites de planètes et planètes naines découverts avant 1990.

(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e,8) (e,8) (e,8) (e,8) (e,8) (e,8) (e,8) (e,8)

(e) (e)

(e)

Note

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

36

N

XVIII XV XVI XVII XI X I II XIV XIII III IV XII V VI VII VIII IX

Nom

Saturne Anneau D Anneau C Anneau B Anneau A Anneau F Anneau G Anneau E Pan Atlas Prométhée Pandore Épiméthée Janus Mimas Encelade Calypso Télesto Téthys Dioné Hélène Rhéa Titan Hypérion Japet Phœbé

◦

67/74 74.6/92.0 92.0/117.6 122.2/136.8 140.2 170/175 181/483 133.584 137.67 139.38 141.71 152.03 152.03 186.018 238.409 294.95 294.98 294.973 377.647 377.84 527.228 1 221.936 1 482.322 3 561.697 12 925

a (103 km)

0.0 0.0012 0.0022 0.0042 0.0099 0.0067 0.016/0.022 0.003/0.006 0.003 0.002 0.001 0.001/0.003 0.006/0.009 0.0003/0.0016 0.0286/0.0290 0.0736/0.1321 0.0270/0.0300 0.14/0.19 18

0.0026

0

e

0.0 0.003 0.007 0.051 0.326 0.148 1.61/1.63 0.008/0.02 0.025 0.025 1.09 0.01/0.03 0.024 0.30/0.38 0.31/0.49 0.36/1.11 14.70/16.19 150.0/152.6

0

i (degrés)

Table 1.17 – (suite)

0.5765 0.6031 0.6144 99 0.6299 0.699 92 0.699 92 0.947 33 1.374 52 1.8914 1.8918 1.891 651 2.740 291 2.7424 4.520 275 15.947 382 21.309 641 79.369 244 548.57

P (jours) Voyager 1, 1981 Bond, 1851 Galilée, 1610 Galilée, 1610 Pioneer 11, 1980 Pioneer 11, 1980 Feibelman, 1967 Showalter, 1990 Voyager 2, 1980 Voyager 2, 1978 Voyager 2, 1980 Fountain/Larson, 1978 Dollfus, 1966 Herschel, 1789 Herschel, 1789 Voyager 2, 1980 Voyager 2, 1980 Cassini, 1684 Cassini, 1684 Lecacheux/Laques, 1980 Cassini, 1672 Huygens, 1655 Bond/Lassel, 1848 Cassini, 1671 Pickering, 1898

Découverte

(1) (e,1) (1) (1) (1) (1) (1) (e,2) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e,9)

Note

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

37

N

VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV V I II III IV

III IV V VI VII VIII I II

I

Nom

Uranus Anneaux Cordélia Ophélie Bianca Cressida Desdémone Juliette Portia Rosalinde Belinda Puck Miranda Ariel Umbriel Titania Obéron

Neptune Anneaux Naïade Thalassa Despina Galatée Larissa Protée Triton Néréide

Pluton Charon

◦

38 19.57045(44)

42/62.9 48.233 50.069 52.531 61.945 73.546 117.646 354.759 5 514.83

42/51 49.752 53.764 59.165 61.767 62.658 64.358 66.097 69.927 75.256 86.004 129.859 190.925 265.971 436.253 583.458

a (103 km)

0.003484(36)

0.000 33 0.000 16 0.000 14 0.000 12 0.001 39 0.000 51 0.000 01 0.751

0.0/0.008 0.0003 0.0099 0.0003 0.0002 0.0003 0.0000 0.0005 0.0006 0.0003 0.0004 0.0013 0.0013 0.0039 0.0019 0.0015

e

96.1680(28)

4.75 0.54 0.52 0.53 0.58 1.02 156.8 28.91

0.06/0.0002 0.08 0.10 0.18 0.04 0.10 0.05 0.03 0.09 0.03 0.32 4.35 0.08 0.13 0.10 0.16

i (degrés)

Table 1.17 – (suite)

6.387 206(7)

0.294 65 0.311 64 0.334 90 0.428 85 0.554 79 1.122 43 5.876 90 360.239

0.335 25 0.376 60 0.434 77 0.463 75 0.473 83 0.493 24 0.513 37 0.558 63 0.623 68 0.761 97 1.413 72 2.520 27 4.143 85 8.704 72 13.463 66

P (jours)

Christy et al., 1978

Hubbard et al., 1986 Voyager 2, 1989 Voyager 2, 1989 Voyager 2, 1989 Voyager 2, 1989 Voyager 2, 1989 Voyager 2, 1981-1989 Lassell, 1846 Kuiper, 1949

Elliot et al., 1977 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1986 Voyager 2, 1985 Kuiper, 1948 Lassell, 1851 Lassell, 1851 Herschel, 1787 Herschel, 1787

Découverte

(6)

(1) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)

(e,1) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e,7) (e,7) (e,7) (e,7) (e,7)

Note

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Thémisto Carpo Euporia Jocaste Thyoné Mnémé Harpalycé Hélicé Euanthé Hermippé Orthosia Praxidicé Thelxinoé Aetna Calé Callichoré Taygèté Chaldéné Calycé Hersé Mégaclyté Callirrhoé Cylléné Arché Pasithée

Jupiter

Nom

XVIII XLVI XXXIV XXIV XXIX XL XXII XLV XXXIII XXX XXXV XXVII XLII XXXI XXXVII XLIV XX XXI XXIII L XIX XVII XLVIII XLIII XXXVIII

N◦

7 398 17 056 19 456 20 424 20 770 20 823 20 836 20 923 20 983 21 048 21 263 21 342 21 317 22 274 22 301 22 335 22 350 22 452 22 623 23 035 23 464 23 498 23 545 23 712 23 780

a (103 km)

0.206 0.295 0.128 0.389 0.283 0.223 0.165 0.157 0.143 0.248 0.240 0.096 0.238 0.311 0.325 0.223 0.184 0.266 0.377 0.199 0.601 0.206 0.412 0.149 0.280

e

45.38 55.15 145.70 150.37 148.29 148.51 147.31 156.12 146.03 149.78 141.95 146.76 150.96 164.34 164.79 163.87 164.21 166.59 165.14 164.16 151.81 143.49 141.01 164.59 165.57

i (degrés)

238.86 83.28 87.45 80.01 86.28 62.18 129.87 285.54 314.60 304.58 223.56 209.67 318.61 129.90 37.55 17.05 241.11 282.54 216.58 355.68 302.27 56.96 208.38 190.35 266.26

ω (degrés)

202.12 45.26 67.56 271.32 244.59 19.66 39.97 100.93 268.85 347.22 222.85 285.15 192.31 21.51 65.33 40.65 313.31 148.71 38.72 329.01 304.61 282.84 258.94 353.53 339.05

Ω (degrés)

130.00 455.07 554.43 596.29 611.52 613.88 614.45 618.28 620.96 623.84 633.44 636.96 635.82 679.15 680.35 681.94 682.59 687.29 695.16 714.23 734.26 767.94 738.07 745.94 749.17

P (jours)

Table 1.18 – Éléments orbitaux des satellites découverts après 1990.

2000 2003 2001 2000 2001 2003 2000 2003 2001 2001 2001 2000 2003 2001 2001 2003 2000 2000 2000 2003 2000 1999 2003 2002 2001

Année

01/04/01 10/06/03 22/11/02 18/10/01 22/11/02 27/12/03 18/10/01 10/06/03 22/11/02 22/11/02 10/06/03 18/10/01 27/12/03 22/11/02 10/06/03 10/06/03 18/10/01 18/10/01 18/10/01 10/06/03 18/10/01 01/04/01 10/06/03 14/07/04 10/06/03

Date (0 h TT)

M2000-Y16 M2003-G67 M2003-C53 M2001-W07 M2002-V06 M2004-B42 M2001-U21 M2003-E29 M2003-A23 M2002-V06 M2003-D36 M2002-A27 M2004-B82 M2002-V18 M2003-E14 M2003-E29 M2001-T59 M2001-T59 M2001-U21 M2009-S76 M2001-T59 M2001-Y16 M2003-G09 M2004-D43 M2003-F59

Référence

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

39

N◦

XXVI XXXII XLI XXV XXXVI XXVIII XXXIX XLVII XLIX LI

Nom

Isonoé Eurydomé Aoidé Erinomé Spondé Autonoé Hégémoné Eukéladé Coré Dia S/2003 J2 S/2003 J3 S/2003 J4 S/2003 J5 S/2003 J9 S/2003 J10 S/2003 J12 S/2003 J15 S/2003 J16 S/2003 J18 S/2003 J19 S/2003 J23 S/2010 J1 S/2010 J2 S/2011 J1 S/2011 J2 S/2016 J1

23 795 23 831 24 010 24 062 24 356 24 413 24 448 24 491 24 974 12 623 28 494 18 291 23 196 24 020 22 382 24 185 18 952 22 012 20 434 20 219 22 746 23 991 23 252 20 253 22 290 23 401 20 595

a (103 km) 0.296 0.326 0.519 0.192 0.483 0.459 0.264 0.345 0.222 0.215 0.380 0.241 0.204 0.210 0.269 0.214 0.376 0.113 0.269 0.104 0.334 0.309 0.320 0.308 0.250 0.332 0.140

e 165.88 150.43 160.66 162.95 155.09 152.06 152.62 163.38 140.89 28.55 151.83 143.73 144.86 165.01 164.46 164.09 145.76 140.85 148.62 146.37 162.90 149.22 163.22 150.36 163.58 148.77 139.84

i (degrés) 145.64 254.92 104.71 355.99 81.02 57.62 235.38 344.76 124.42 178.02 167.11 98.23 193.98 122.05 327.85 185.20 23.36 41.58 82.43 98.15 180.53 268.73 225.37 70.76 111.14 341.94 328.15

ω (degrés) 149.81 306.71 200.60 321.69 128.13 273.23 327.61 218.73 339.81 290.87 4.73 240.36 190.71 198.68 61.47 173.41 62.94 243.05 23.62 215.50 38.84 54.07 322.11 35.04 303.17 105.25 293.76

Ω (degrés)

Table 1.18 – (suite)

749.88 751.57 760.08 762.55 776.52 779.27 780.96 783.03 806.29 289.73 982.61 505.36 721.71 760.51 684.05 768.36 532.99 667.17 596.76 587.38 700.83 759.15 724.34 588.82 679.93 731.32 603.83

P (jours) 2000 2001 2003 2000 2001 2001 2003 2003 2003 2000 2003 2003 2003 2003 2003 2003 2003 2003 2003 2017 2003 2003 2010 2010 2011 2017 2017

Année 18/10/01 22/11/02 27/12/03 18/10/01 10/06/03 22/11/02 10/06/03 10/06/03 10/06/03 01/04/01 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 10/06/03 04/09/17 10/06/03 27/12/03 27/08/11 27/08/11 14/03/12 04/09/17 04/09/17

Date (0 h TT) M2002-A12 M2003-A21 M2004-B43 M2001-W33 M2003-E05 M2002-V03 M2003-E24 M2003-E29 M2003-G10 CBET4075 M2003-E11 M2003-E11 M2003-E11 M2003-E11 M2003-E29 M2003-E29 M2003-E29 M2003-G17 M2003-G18 M2017-L09 M2003-G64 M2004-B81 M2011-L06 M2011-L06 CBET3002 M2017-L10 M2017-L08

Référence

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

40

Daphnis Aegaeon Méthoné Anthé Pallèné Kiviuq Ijiraq Paaliaq Skathi Albiorix Bebhionn Skoll Erriapus Tarqeq Tarvos Hyrrokkin Siarnaq Mundilfari Greip Jarnsaxa Bergelmir Suttungr Narvi Hati

Saturne

S/2017 J1

Nom

XXXV LIII XXXII XLIX XXXIII XXIV XXII XX XXVII XXVI XXXVII XLVII XXVIII LII XXI XLIV XXIX XXV LI L XXXVIII XXIII XXXI XLIII

N

◦

136.5 167.5 194 197.7 211 11 319 11 359 14 985 15 472 16 496 17 154 17 474 17 808 17 910 17 977 18 168 18 201 18 413 18 654 19 013 19 104 19 186 19 244 19 709

23 484

a (103 km)

0.001 0.1 48.39 49.18 45.86 148.71 37.40 40.75 155.62 34.47 49.90 34.90 153.3 48.50 169.80 172.85 163.16 157.39 174.65 136.39 163.13

0.001 0.166 0.359 0.462 0.212 0.452 0.333 0.422 0.609 0.108 0.613 0.360 0.380 0.212 0.317 0.192 0.130 0.145 0.313 0.308

149.20

i (degrés)

0.0002

0.397

e

91.26 70.73 241.98 207.65 59.55 9.71 206.42 290.51 65.59 285.66 268.52 65.94 299.99 138.77 234.70 146.04 73.01 175.00 30.57

79.73

ω (degrés)

351.82 150.97 350.03 285.51 109.01 193.15 296.79 138.09 91.95 93.79 47.34 63.72 79.92 343.63 21.10 215.48 252.94 184.35 323.73

326.77

Ω (degrés)

Table 1.18 – (suite)

0.594 0.80812 1.01 1.0365 1.14 449.60 452.00 684.86 718.51 791.01 820.13 862.37 887.21 894.91 899.91 914.29 916.80 932.80 951.20 978.75 985.95 992.16 996.71 1 033.05

735.21

P (jours)

2005 2008 2004 2007 2004 2000 2000 2000 2000 2000 2004 2006 2000 2007 2000 2006 2000 2000 2006 2006 2004 2000 2003 2004

2017

Année

18/10/01 18/10/01 18/10/01 18/10/01 18/10/01 30/01/05 06/03/06 18/10/01 10/04/07 18/10/01 26/06/06 18/10/01 18/10/01 10/05/07 28/02/07 14/02/06 18/10/01 14/07/04 14/02/06

04/09/17

Date (0 h TT)

IAUC 8524 IAUC 9023 IAUC 8389 IAUC 8857 IAUC 8389 M2001-T07 M2001-T06 M2001-T06 M2001-T23 M2001-T07 M2005-J13 M2006-M48 M2001-T23 M2007-G38 M2001-T06 M2006-M44 M2001-U42 M2001-T07 M2007-G29 M2007-D79 M2006-C55 M2001-T06 M2004-D41 M2006-C74

M2017-L47

Référence

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

41

42

Cupidon Perdita Mab

Uranus

Thrymr Farbauti Aegir Bestla Fenrir Surtur Kari Loge Ymir Fornjot Polydeuces S/2004 S3 S/2004 S4 S/2004 S7 S/2004 S12 S/2004 S13 S/2004 S17 S/2006 S1 S/2006 S3 S/2007 S2 S/2007 S3 S/2009 S1

Nom

XXVII XXV XXVI

XXX XL XXXVI XXXIX XLI XLVIII XLV XLVI XIX XLII XXXIV

N◦

74.8 76.4 97.7

20 577 19 906 18 056 19 099 18 930 21 076 16 523 19 179 117

140.58

19 958 19 985 20 466 20 519 21 931 22 289 22 321 22 984 23 306 24 484

a (103 km)

0.554 0.396 0.261 0.226 0.130 0.471 0.218 0.151

0.565 0.175 0.225 0.745 0.105 0.369 0.340 0.142 0.375 0.166

e

165.60 164.04 167.38 166.88 154.23 150.82 176.68 177.01

174.91 158.36 167.41 147.38 162.83 166.92 148.38 166.54 172.75 167.88

i (degrés)

100.47 96.53 6.32 175.79 138.79 190.86 62.04 284.03

86.56 351.16 264.24 82.19 124.32 329.29 181.70 46.81 42.43 331.86

ω (degrés)

346.26 313.62 221.46 19.99 340.70 220.51 113.11 96.94

246.25 146.07 196.13 290.32 239.48 257.60 290.65 344.12 207.07 271.23

Ω (degrés)

Table 1.18 – (suite)

0.618 0.638 0.923

1 101.99 1 048.54 905.85 985.45 972.41 1 142.37 792.96 991.66

0.621

1 052.63 1 054.78 1 093.12 1 097.35 1 212.53 1 242.36 1 245.06 1 300.95 1 328.35 1 430.37

P (jours)

2003 1999 2003

2000 2004 2004 2004 2004 2006 2006 2006 2000 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2006 2006 2007 2007 2009

Année

30/01/05 30/01/05 30/01/05 30/01/05 26/06/06 26/06/06 10/04/07 10/04/07

18/10/01 13/02/06 10/02/06 10/02/06 13/02/06 06/07/06 06/03/06 06/03/06 18/10/01 14/02/06

Date (0 h TT)

IAUC 8209 IAUC 7171 IAUC 8209

M2001-X20 M2006-C72 M2006-C55 M2006-C55 M2006-C72 M2006-N06 M2006-M48 M2006-M48 M2001-T06 M2006-C74 IAUC 8432 IAUC 8432 IAUC 8401 M2005-J13 M2005-J13 M2005-J13 M2005-J13 M2006-M45 M2006-M45 M2007-J09 M2007-J09 IAUC 9091

Référence

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

43

Dysnomia

Eris

Nix Hydre Kerberos Styx

Pluton

Halimède Sao Laomédie Néso Psamathée S/2004 N1

I

II III IV V

IX XI XII XIII X

XXII XVI XX XXI XVII XXIII XVIII XIX XXIV

Francisco Caliban Stéphano Trinculo Sycorax Marguerite Prospéro Sétébos Ferdinand

Neptune

N

Nom

◦

37.5

48.7 64.7 57.8 42.7

16 560 22 277 22 553 47 153 49 281 105

4 270 7 169 7 942 8 571 12 214 14 649 16 113 18 205 20 598

a (103 km)

< 0.004

0.002 0.011 0.003 0.006

0.260 0.137 0.416 0.605 0.268

0.143 0.082 0.146 0.208 0.509 0.783 0.327 0.494 0.426

e

61.1

0.13 0.24 0.39 0.81

111.77 52.74 39.56 139.31 124.23

147.61 139.68 141.54 166.33 152.67 50.65 146.34 148.83 167.28

i (degrés)

221.6 192.2 187.6 296.1

156.94 63.92 138.05 89.77 126.76

123.19 339.46 29.84 160.60 18.01 77.97 173.57 2.19 164.88

ω (degrés)

139.6

3.7 189.7 225.2 183.4

217.40 61.84 53.57 52.17 319.63

103.06 174.99 189.50 199.06 255.81 18.01 320.15 249.85 225.13

Ω (degrés)

Table 1.18 – (suite)

15.79

24.8 38.2 32.2 20.2

1 874.35 2 924.44 2 978.81 9 005.57 9 622.07 0.95

266.57 579.44 675.71 758.06 1 288.55 1 693.88 1 952.61 2 344.89 2 824.28

P (jours)

2005

2005 2005 2011 2012

2002 2002 2002 2002 2003 2004

2001 1997 1999 2001 1997 2003 1999 1999 2001

Année

01/02/15

01/07/11 01/07/11 01/07/11 01/07/11

10/06/03 27/12/03 27/12/03 27/12/03 10/06/03

27/12/03 06/07/98 13/09/00 22/11/02 06/07/98 27/12/03 13/09/00 13/09/00 27/12/03

Date (0 h TT)

IAUC 8610

IAUC 8625 IAUC 8625 IAUC 9221 IAUC 9253

M2003-R18 M2003-S67 M2003-S106 M2003-S107 M2003-R19 CBET 3586

M2003-T29 IAUC 6870 IAUC 7473 M2002-S64 IAUC 6869 M2003-T58 IAUC 7447 IAUC 7450 M2003-S105

Référence

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

1.5.3

Paramètres physiques

La table 1.19 donne les masses m du Soleil, des planètes et des systèmes formés par les planètes et leurs satellites, ainsi que les quantités Gm, produits du paramètre de masse solaire GMS (voir table 1.7) par le rapport des masses m des planètes ou des systèmes planète-satellites à la masse du Soleil MS (voir table 1.8). Les masses des planètes sont évaluées en enlevant à la masse du système planète-satellites la somme des masses connues des satellites du système. Les masses sont données dans deux systèmes d’unités : le système astronomique (unité = masse solaire) et le système SI (unité = kg). Ces quantités sont calculées à partir des données des paragraphes 1.3.3, 1.4.3 et de la table 1.21. On donne également, pour le Soleil et les planètes principales, une estimation de la masse volumique ρ et, pour les planètes principales, la température superficielle moyenne T , l’albédo de Bond B et l’albédo géométrique G issus de l’Encycopédie scientifique de l’Univers (Bureau des longitudes, 1986). La masse volumique est obtenue à partir de la masse et du rayon équatorial donnés dans la table 1.12 en supposant le corps sphérique. L’albédo de Bond est le rapport du flux total réfléchi par le corps au flux total incident. L’albédo géométrique est le rapport de l’éclat du corps, pour un angle de phase nul, à l’éclat d’un disque parfaitement diffusant ayant la même position et le même diamètre apparent que le corps. La table 1.20 fournit les valeurs des paramètres de diverses figures géométriques à symétrie équatoriale (sphéroïde, ellipsoïde triaxial, sphère) qui représentent au mieux la forme des planètes et de la Lune. Pour le sphéroïde, on donne le rayon polaire R p (Archinal et al., 2018), le rayon équatorial Re étant donné dans la table 1.12. Pour Mars, N S on donne le rayon polaire moyen R M p , le rayon polaire nord R p et le rayon polaire sud R p . Pour l’ellipsoïde, on donne le demi-grand axe équatorial a1 , le facteur d’aplatissement polaire f p , le facteur d’aplatissement équatorial fe et la longitude du grand axe équatorial Le (comptée positivement vers l’est) rapportée au méridien origine du corps (Fukushima, 1990). Pour la sphère, on donne le rayon moyen a s (Archinal et al., 2018). Les paramètres caractérisant la forme et la taille des satellites naturels des planètes sont donnés dans la table 12.5 du chapitre 12. On trouvera également des paramètres de taille et de forme des planètes et de quelques astéroïdes et comètes dans les tables 12.4, 12.6 et 12.7 du chapitre 12. La table 1.20 donne également, pour les planètes et la Lune, le demi-rayon de Scharzschild ar = Gm/c2 , et pour le Soleil, la Lune et les planètes, sauf Mercure, le facteur gravitationnel fg . Pour la Lune et les planètes telluriques (objets non gazeux), fg est calculé par fg = W/c2 où W est le potentiel de gravité à la surface du corps (W est une quantité mesurée). Pour les autres corps, on prend fg = Gm/Re c2 où m est la masse du corps considéré et Re son rayon équatorial. G est la constante de la gravitation universelle et c la vitesse de la lumière (Fukushima, 1990). 44

Soleil Mercure Vénus Syst. Terre-Lune Terre Syst. de Mars Mars Syst. de Jupiter Jupiter Syst. de Saturne Saturne Syst. d’Uranus Uranus Syst. Neptune-Triton Neptune Syst. de Pluton Pluton

Planète

1 1.660 1142 2.447 8383 3.040 4326 3.003 4896 3.227 1560 3.227 1514 9.547 9192 9.545 9430 2.858 8567 2.858 1501 4.366 244 4.365 787 5.151 384 5.150 308 7.322 5 6.524 6 × × 10−6 × 10−6 × 10−6 × 10−7 × 10−7 × 10−4 × 10−4 × 10−4 × 10−4 × 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−9 × 10−9

10−7

m (masse solaire)

correspondantes.

1 988 416 0.330 10 4.8673 6.0456 5.9722 0.641 69 0.641 69 1 898.5 1 898.1 568.46 568.32 86.819 86.810 102.43 102.41 0.014 56 0.012 97

(1024 kg) 1.327 124 40 2.203 178 3.248 585 9 4.035 032 4 3.986 004 4 4.282 837 5 4.282 831 4 1.267 127 7 1.266 865 4 3.794 058 5 3.793 120 7 5.794 549 5.793 943 6.836 527 6.835 099 9.718 8.659

× 1020 × 1013 × 1014 × 1014 × 1014 × 1013 × 1013 × 1017 × 1017 × 1016 × 1016 × 1015 × 1015 × 1015 × 1015 × 1011 × 1011

Gm (m3 s−2 )

45

295 250 250 170 135 80 50

5.5 3.9 3.9 1.2 0.6 1.2 1.6 1.8

620 750

T (K)

1.4 5.4 5.2

ρ (103 kg/m3 )

Table 1.19 – Masses des corps célestes et constantes gravitationnelles

0.82 0.145

0.90

0.75

0.70

0.39 0.16 0.16

0.056 0.72

0.41 0.3

0.51

0.47

0.52

0.367 0.15 0.15

0.11 0.65

Albédo B G

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE

Soleil Mercure Vénus Lune Terre Mars R M p RNp RSp Jupiter Saturne Uranus Neptune

Nom

2 438.26 6 051.8 1 737.4 6 356.7519 3 376.20 3 373.19 3 379.21 66 854 54 364 24 973 24 341

Rp (km)

6 051.476 1 735.554 6 378.171 3 396.510

a1 (km)

1/0.184

1/113.8 1/2.67

fp (10−3 )

1/253.2 1/7.49 1/920 1/2.63

fe (10−3 )

−6.2 0.03 −14.9 75.0

Le (degrés)

69 911 58 232 25 362 24 622

2 439.4 6 051.8 1 737.4 6 371.0084 3 389.5

as (km)

1.409 577 0.422 04 0.064 4663 0.076 05

3.614 54 × 10−3 5.455 098 × 10−5 4.435 03 × 10−3 0.476 529 × 10−3

ar (m)

Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, le rayon R p est défini pour une surface de pression 105 Pa.

Table 1.20 – Figures géométriques représentant le Soleil, les planètes et la Lune. Pour

197.166 70.027 25.223 30.71

5.973 06 0.313 958 6.969 290 1.407 87

21 210

fg ( ×10−10 )

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

46

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE Les masses des satellites et des anneaux des planètes sont données dans les tables 1.21 et 1.22. La table 1.21 donne la masse m en masse solaire, le rapport de m à la masse de la planète centrale et le produit Gm dans le système d’unités astronomiques. La table 1.22 donne m dans le SI. Ces masses sont déduites des valeurs de Gm données par : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Standish (2001) pour la Lune ; Jacobson (2010) pour Phobos et Déimos ; Jacobson (2001) pour les satellites galiléens ; Thomas et al. (1998) pour Métis, Adrastéia et Thébé ; Anderson et al. (2005) pour Amalthée ; Emelyanov (2005b) pour Himalia ; Rettig et Walsh (2002) pour pour les autres satellites de Jupiter ; Iess et al. (2019) pour les anneaux de Saturne ; Cooper et al. (2008) pour Mimas ; Rappaport et al. (2007) pour Encelade ; Jacobson et al. (2006) pour Téthys, Dioné, Hypérion, Japet et Phœbé ; Iess et al. (2007) pour Rhéa ; Iess et al. (2010) pour Titan ; Cooper et al. (2015) pour Janus, Épiméthée, Atlas, Prométhée et Pandore ; Thomas (1989) pour Hélène ; Thomas et al. (1983) pour Télesto et Calypso ; Porco et al. (2005) pour Pan ; Jacobson (2014) pour les 5 satellites principaux d’Uranus ; Rettig et Walsh (2002) pour Caliban et Sycorax ; Karkoschka (2001) pour les autres satellites d’Uranus ; Jacobson (2009) pour Triton ; Thomas et al. (1991) pour Néréide ; Karkoschka (2003) pour les autres satellites de Neptune ; Brozovi´c et al. (2015) pour les satellites de Pluton.

Les deux dernières colonnes de la table 1.22 fournissent la magnitude visuelle mv et l’albédo géométrique. La plus grande partie de ces quantités est tirée de l’Encycopédie scientifique de l’Univers (Bureau des longitudes, 1986) pour la plupart des satellites de Saturne, Uranus et Neptune, ou du Supplément à la Connaissance des temps pour les satellites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranus (Derouazi et al., 1994). Les autres sources utilisées sont : • • • • • •

Pascu et al. (1992) pour Thébé ; Showalter et al. (1990) pour l’albédo et le rayon de Pan ; Buratti et Veverka (1984) pour Mimas, Encelade, Téthys, Dioné et Rhéa ; Tholen et Zellner (1983) pour les albédos de Hypérion et du côté sombre de Japet ; Stone et Miner (1982) pour les albédos des nouveaux satellites de Saturne ; Thomas et al. (1989) pour la magnitude et l’albédo de Titania. 47

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES

Table 1.21 – Masses des principaux satellites naturels des planètes et des anneaux A, B et C de Saturne.

Nom

N◦

m (masse solaire)

(masse planète)

Gm (m3 s−2 )

3.694 3037 × 10−8

1.230 0038 × 10−2

4.902 8006 × 1012

Terre Lune Mars 5.344 7.61

× 10−15 × 10−16

1.656 2.36

× 10−8 × 10−9

7.092 1.01

× 105 × 105

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI

4.490 85 2.413 28 7.450 57 5.409 66 1.05 2.1 4.4 1.5 3.8 3.2 6.6 1.5 5.5 7.5 3.8 6.0

× 10−8 × 10−8 × 10−8 × 10−8 × 10−12 × 10−12 × 10−13 × 10−13 × 10−14 × 10−14 × 10−14 × 10−14 × 10−15 × 10−13 × 10−15 × 10−14

4.704 46 2.528 07 7.804 96 5.666 97 1.10 2.2 4.6 1.6 3.9 3.3 6.9 1.6 5.8 7.9 3.9 6.3

× 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−9 × 10−9 × 10−10 × 10−10 × 10−11 × 10−11 × 10−11 × 10−11 × 10−12 × 10−10 × 10−12 × 10−11

5.959 92 3.202 73 9.887 83 7.179 29 1.39 2.8 5.8 2.0 5.0 4.2 8.8 2.0 7.3 1.0 5.0 8.0

× 1012 × 1012 × 1012 × 1012 × 108 × 108 × 107 × 107 × 106 × 106 × 106 × 106 × 105 × 108 × 107 × 106

I II III IV V VI VII

2.9 × 10−12 4.4 × 10−12 4.5 × 10−13 1.891 × 10−11 5.429 × 10−11 3.105 19 × 10−10 5.509 11 × 10−10 1.159 948 × 10−9 6.765 1076 × 10−8 2.808 × 10−12

Phobos Déimos Jupiter Io Europe Ganymède Callisto Amalthée Himalia Elara Pasiphaé Sinopé Lysithéa Carmé Ananké Léda Thébé Adrastéia Métis Saturne Anneaux A Anneaux B Anneaux C Mimas Encelade Téthys Dioné Rhéa Titan Hypérion

48

1.0 × 10−8 1.5 × 10−8 1.6 × 10−9 6.615 × 10−8 1.899 × 10−7 1.086 43 × 10−6 1.927 51 × 10−6 4.058 381 × 10−6 2.366 9500 × 10−4 9.826 × 10−9

3.8 × 108 5.8 × 108 6.0 × 107 2.509 × 109 7.205 × 109 4.120 97 × 1010 7.311 27 × 1010 1.539 395 × 1011 8.978 1394 × 1012 3.727 × 108

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE Table 1.21 – (suite) Nom

N◦

m (masse solaire)

Japet Phœbé Janus Épiméthée Hélène Télesto Calypso Atlas Prométhée Pandore Pan

(masse planète)

Gm (m3 s−2 )

VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII

9.080 663 4.170 9.532 6 2.645 6 1.3 3.6 1.8 2.89 8.045 2 6.882 2.5

× 10−10 × 10−12 × 10−13 × 10−13 × 10−14 × 10−15 × 10−15 × 10−15 × 10−14 × 10−14 × 10−15

3.177 108 1.459 3.335 2 9.256 2 4.5 1.3 6.3 1.01 2.814 8 2.408 8.7

× 10−6 × 10−8 × 10−9 × 10−10 × 10−11 × 10−11 × 10−12 × 10−11 × 10−10 × 10−10 × 10−12

1.205 117 5.534 1.265 1 3.511 0 1.7 4.8 2.4 3.84 1.067 7 9.133 3.3

× 1011 × 108 × 108 × 107 × 106 × 105 × 105 × 105 × 107 × 106 × 105

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII

6.29 6.41 1.710 1.547 3.2 2.3 2.7 4.7 1.73 8.97 2.80 8.454 1.3 1.79 1.455 3.7 2.71

× 10−10 × 10−10 × 10−9 × 10−9 × 10−11 × 10−14 × 10−14 × 10−14 × 10−13 × 10−14 × 10−13 × 10−13 × 10−13 × 10−13 × 10−12 × 10−13 × 10−12

1.44 1.47 3.916 3.543 7.4 5.2 6.2 1.1 3.95 2.05 6.42 1.937 2.9 4.11 3.333 8.5 6.20

× 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−7 × 10−10 × 10−10 × 10−9 × 10−9 × 10−9 × 10−9 × 10−8 × 10−9 × 10−9 × 10−8 × 10−9 × 10−8

8.35 8.51 2.269 2.053 4.3 3.0 3.6 6.2 2.29 1.19 3.72 1.122 1.7 2.38 1.931 4.9 3.59

× 1010 × 1010 × 1011 × 1011 × 109 × 106 × 106 × 106 × 107 × 107 × 107 × 108 × 107 × 107 × 108 × 107 × 108

3.221 989 1.55 9.8 1.9 1.1 1.9

× 10−9 × 10−11 × 10−14 × 10−13 × 10−12 × 10−12

6.255 915 3.01 1.9 3.7 2.0 3.7

× 10−4 × 10−7 × 10−9 × 10−9 × 10−8 × 10−8

4.27598 2.06 1.3 2.5 1.4 2.5

× 1011 × 109 × 107 × 107 × 108 × 108

Uranus Ariel Umbriel Titania Obéron Miranda Cordélia Ophélie Bianca Cressida Desdémone Juliette Portia Rosalinde Belinda Puck Caliban Sycorax Neptune Triton Néréide Naïade Thalassa Despina Galatée

I II III IV V VI

49

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Table 1.21 – (suite) Nom

N◦

m (masse solaire)

Larissa Protée

Gm (m3 s−2 )

(masse planète)

VII VIII

2.5 2.53

× 10−12 × 10−11

4.8 4.92

× 10−8 × 10−7

3.3 3.36

× 108 × 109

I II III IV V

7.980 2.3 2.4 8.3 7.5

× 10−10 × 10−14 × 10−14 × 10−15 × 10−15

1.090 3.1 3.3 1.1 1.0

× 10−1 × 10−6 × 10−6 × 10−6 × 10−6

1.059 3.0 3.2 1.1 1.0

× 1011 × 106 × 106 × 106 × 106

Pluton Charon Nix Hydra Kerberos Styx

Table 1.22 – Masse, masse volumique ρ, magnitude visuelle à l’opposition mv et albédo géométrique A des principaux satellites. Notes : (1) côté brillant 0.5, côté non brillant 0.07 ; (2) calculée en supposant que le satellite a le même albédo que Puck.

Nom

N◦

Masse (1021 kg)

(103

ρ kg/m3 )

mv

A

Terre 7.3458119 × 101

Lune

3.34

−12.7

0.12

Mars Phobos Déimos

I II

1.063 1.51

× 10−5 × 10−6

1.87 1.51

11.6 12.7

0.06 0.06

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

8.92968 4.79861 1.48148 1.07567 2.08 4.2 8.7 3.0 7.5 6.3 1.3 3.0

× 101 × 101 × 102 × 102 × 10−3 × 10−3 × 10−4 × 10−4 × 10−5 × 10−5 × 10−4 × 10−5

3.53 3.01 1.94 1.83 0.85 1.6 3.2 12.3 6.5 8.7 9.2 7.2

5.02 5.29 4.61 5.65 14.1 14.8 16.8 17.0 18.3 18.4 18.0 18.9

0.61 0.64 0.42 0.20 0.05 0.03 0.03

Jupiter Io Europe Ganymède Callisto Amalthée Himalia Elara Pasiphaé Sinopé Lysithéa Carmé Ananké

50

1.5. DONNÉES SUR LE SYSTÈME SOLAIRE Table 1.22 – (suite) Nom Léda Thébé Adrastéia Métis

N◦

ρ (103 kg/m3 )

Masse (1021 kg) × 10−5 × 10−3 × 10−6 × 10−4

21.0 3.0 3.2 2.9

mv 20 15.7 18.9 17.5

A

XIII XIV XV XVI

1.1 1.5 7.5 1.2

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII

5.7 × 10−3 8.7 × 10−3 9.0 × 10−4 3.759 × 10−2 1.080 × 10−1 6.17440 × 10−1 1.09544 2.30646 1.3451847 × 102 5.584 × 10−3 1.805561 8.292 × 10−3 1.8955 × 10−3 5.2605 × 10−4 2.6 × 10−5 7.2 × 10−6 3.6 × 10−6 5.75 × 10−6 1.5997 × 10−4 1.368 × 10−4 4.9 × 10−6

1.15 1.61 0.98 1.48 1.24 1.88 0.54 1.09 1.64 0.64 0.64 1.1 0.9 1.0 0.4 0.48 0.49 0.4

12.9 11.7 10.3 10.4 9.7 8.3 14.19 10.2/11.9 16.5 14 15 17 18 18.5 18 15 15.5

0.77 1.04 0.8 0.55 0.65 0.21 0.19/0.25 0.5 (1) 0.06 0.4 0.4 0.5 0.6 0.8 0.4 0.6 0.6 0.4 - 0.7

I II III IV V VI VII VIII IX

1.25 1.27 3.400 3.076 6.4 4.5 5.4 9.3 3.43

1.54 1.52 1.65 1.66 1.2 4.9 3.8 2.4 2.75

14.4 15.3 13.9 14.2 16.5 24.2 (2) 23.9 (2) 23.1 (2) 22.3 (2)

0.40 0.19 0.28 0.24 0.34

0.04 0.05 0.05

Saturne Anneau A Anneau B Anneau C Mimas Encelade Téthys Dioné Rhéa Titan Hypérion Japet Phœbé Janus Épiméthée Hélène Télesto Calypso Atlas Prométhée Pandore Pan Uranus Ariel Umbriel Titania Obéron Miranda Cordélia Ophélie Bianca Cressida

× 10−2 × 10−5 × 10−5 × 10−5 × 10−4 51

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Table 1.22 – (suite) Nom Desdémone Juliette Portia Rosalinde Belinda Puck Caliban Sycorax

N◦

ρ (103 kg/m3 )

Masse (1021 kg)

mv

X XI XII XIII XIV XV XVI XVII

1.78 5.57 1.681 2.5 3.57 2.893 7.3 5.38

× 10−4 × 10−4 × 10−3 × 10−4 × 10−4 × 10−3 × 10−4 × 10−3

2.16 1.79 2.55 3.0 2.37 1.51 1.5 1.5

22.5 (2) 21.7 (2) 21.1 (2) 22.5 22.1 20.4

I II III IV V VI VII VIII

6.406653 3.09 1.9 3.7 2.1 3.7 4.9 5.03

× 101 × 10−2 × 10−4 × 10−4 × 10−3 × 10−3 × 10−3 × 10−2

2.06 1.5 1.9 1.4 1.2 1.8 1.3 1.3

13.7 18.7 24.7 23.8 22.6 22.3 22.0 20.3

A

0.07

Neptune Triton Néréide Naïade Thalassa Despina Galatée Larissa Protée

1.6 1.6.1

0.7 0.4

0.06 0.06 0.06 0.06

Autres constantes et unités utilisées en astronomie Constantes relatives au système de référence galactique

L’orientation des axes de coordonnées du système de référence galactique, par rapport à un système de référence (R), est déterminée par les coordonnées dans ce système (R), du pôle galactique et du centre galactique, définis à la suite de l’assemblée générale de l’UAI de 1958 (Blaauw et al., 1960). Dans le système de référence FK5 (J2000), les coordonnées équatoriales héliocentriques du pôle galactique Nord Z (Murray, 1989) sont : αZ = 12 h 51 min 26.2755 s δZ = 27 7 41.704 ◦ 0

52

00

(1.4)

1.6. AUTRES CONSTANTES ET UNITÉS DE L’ASTRONOMIE Les coordonnées équatoriales héliocentriques du centre galactique sont : αX = 17 h 45 min 37.1991 s δX = −28 56 10.221 ◦

0

(1.5)

00

et la longitude galactique du pôle céleste Nord vaut : θ = 122◦ 550 54.90700

(1.6)

Les définitions adoptées dans le catalogue Hipparcos (Perryman et al., 1997 ; Perryman, 1997) pour les coordonnées ICRS du pôle galactique Z et pour la longitude galactique, lΩ , de la première intersection du plan galactique avec l’équateur de l’ICRS sont : P = αZ = 192.859 48◦

(1.7)

Q = δZ = 27.128 25

◦

lΩ = 32.931 92◦ Ces coordonnées, considérées comme des quantités exactes, sont en accord avec les définitions précédentes au niveau de la précision des systèmes de référence optiques avant Hipparcos. La matrice de transformation, M, entre l’ICRS et le repère galactique : M = R3 (−lΩ ) R1 (π/2 − Q) R3 (P + π/2)

(1.8)

s’écrit, sous la forme numérique suivante (Salgado et al., 2017) :   −0.054 875 560 416 2154 −0.873 437 090 234 8850 −0.483 835 015 548 7132   0.746 982 244 497 2189 M =  0.494 109 427 875 5837 −0.444 829 629 960 0112   −0.867 666 149 019 0047 −0.198 076 373 431 2015 0.455 983 776 175 0669 (1.9)

1.6.2

Constantes relatives à la situation du Soleil dans la Galaxie

La situation du Soleil dans la Galaxie est caractérisée par des constantes galactiques, dont les principales sont R0 , la distance du Soleil au centre galactique, θ0 , la vitesse circulaire du Soleil autour du centre galactique, ainsi que les constantes de Oort A et B (Oort, 1927) qui décrivent le champ de vitesse d’étoiles du disque galactique au voisinage solaire. 53

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Après avoir passé en revue diverses déterminations des constantes galactiques, Kerr et Lynden-Bell (1986) ont publié les valeurs : R0 = 8.5 ± 1.1 kpc θ0 = 222 ± 20 km s−1 A = 14.4 ± 1.2 km s−1 kpc−1

(1.10)

B = −12.0 ± 2.8 km s−1 kpc−1 A − B = 26.4 ± 1.9 km s−1 kpc−1 Compte tenu des incertitudes sur la détermination des valeurs de ces paramètres, l’assemblée générale de l’UAI (Swings, 1986) a recommandé l’utilisation des valeurs suivantes pour les constantes R0 et θ0 : R0 = 8.5 kpc θ0 = 220 km s−1

(1.11)

Par contre, il n’y a pas de valeurs recommandées par l’UAI pour les constantes de Oort A et B, mais seulement une remarque concernant la différence A − B (égale à θ0 /R0 dans l’hypothèse d’une galaxie axisymétrique), qui, en utilisant les valeurs adoptées pour R0 et θ0 , a pour valeur : A − B = 25.9 km s−1 kpc−1

(1.12)

Des progrès très significatifs ont été obtenus dans la détermination de ces constantes galactiques en se basant sur les mesures astrométriques effectuées par la mission Gaia. Les valeurs obtenues à partir de la solution astrométrique Gaia-DR1 Tycho (Bovy, 2017) pour les constantes A, B, C et K (les constantes C et K apportant des contraintes aux modèles non axisymétriques du champ de vitesse de la Galaxie au voisinage du Soleil) sont : A = 15.3 ± 0.4 km s−1 kpc−1 B = −11.9 ± 0.4 km s−1 kpc−1 C = −3.2 ± 0.4 km s−1 kpc−1

(1.13)

K = −3.3 ± 0.6 km s−1 kpc−1 De plus, une combinaison de la solution Gaia-DR1 Tycho avec les mesures de vitesses radiales par l’expérience RAVE (The Radial Velocity Experiment) a permis d’obtenir les valeurs suivantes pour R0 et θ0 (Hunt et al., 2016) : R0 = 7.9 ± 0.3 kpc θ0 = 239 ± 9 km s−1 54

(1.14)

1.6. AUTRES CONSTANTES ET UNITÉS DE L’ASTRONOMIE La solution astrométrique Gaia DR2 (Li et al., 2019) pour un échantillon d’étoiles de 500 pc du voisinage solaire a permis d’ajuster les valeurs suivantes : A = 15.1 ± 0.1 km s−1 kpc−1 B = −13.4 ± 0.1 km s−1 kpc−1 C = −2.7 ± 0.1 km s−1 kpc−1 K = −1.7 ± 0.2 km s

−1

1.6.3

(1.15)

−1

kpc

Valeurs estimées des paramètres du formalisme PPN de la relativité

Le formalisme PPN (à paramètres post-newtoniens) est un cadre efficace pour l’évaluation de théories alternatives à celle de la relativité générale. Ce formalisme permet une représentation paramétrique de la métrique, impliquant un ensemble de 10 paramètres, β, γ, ... Il est utilisé pour établir des modèles physiques à comparer aux observations de façon à ajuster les paramètres. La comparaison entre observations et prédictions est exprimée en termes de valeurs des paramètres PPN. La relativité générale d’Einstein est caractérisée par le fait que ces paramètres sont soit nuls, soit égaux à 1. On a, en particulier :    α = 0 (1.16)   β = γ = 1 Bien que le paramètre α ne soit pas formellement l’un des paramètres PPN, il apparaît comme un facteur clé en astrométrie pour exprimer la dilatation du temps et le décalage vers le rouge (3/2 + α). Les paramètres β et γ caractérisent la plupart des effets relativistes en astrométrie ; 1 + γ caractérise le retard dans le temps de vol des photons et la déflexion de la lumière, 2 + 2γ − β caractérise le décalage du péricentre. Les paramètres post-newtoniens (PPN) issus de Will (2006) sont : α = 0.0000 ± 0.0002 γ = 1.000 00 ± 0.000 023 2 + 2γ − β = 1.000 ± 0.001 3

(1.17)

Des valeurs plus précises de ces paramètres ont été récemment obtenues par différentes techniques, telles que le VLBI, la télémétrie laser-Lune (LLR), l’orbiteur martien et les éphémérides planétaires INPOP. 55

CHAPITRE 1. UNITÉS, CONSTANTES ET DONNÉES ASTRONOMIQUES Les valeurs les plus précises actuellement proviennent de vélocimétrie Doppler radio de la sonde Cassini pour le facteur γ (Bertotti et al., 2003) et de mesures LLR pour le facteur β (Merkowitz, 2010), et sont : α = 0.0000 ± 0.0002 β = 1.000 12 ± 0.000 11 γ = 1.000 021 ± 0.000 023 2 + 2γ − β = 1.000 ± 0.001 3

(1.18)

De nouveaux progrès sur la détermination de ces paramètres sont attendus du traitement final des données astrométriques de Gaia, des sondes planétaires en cours de mission et des éphémérides planétaires.

1.6.4

Autres unités utilisées en astronomie

Les définitions suivantes présentent des unités qui ne sont pas des unités de base du Système international d’unités, mais qui sont très utilisées en astronomie. Certaines d’entre elles sont des unités dérivées cohérentes du SI qui ont reçu un nom spécial. D’autres sont des unités en dehors du SI, mais dont l’usage est accepté avec le SI (tableau 8 de la brochure du SI). Électronvolt (eV) Unité d’énergie en usage avec le SI en physique atomique. Sa valeur en unité SI est obtenue expérimentalement. L’électronvolt est l’énergie cinétique acquise par un électron après traversée d’une différence de potentiel de 1V dans le vide. L’électronvolt est souvent combiné aux préfixes du SI. 1 eV = 1.602 176 634 × 10−19 J Angström (Å) Unité utilisée en spectroscopie et en microscopie. 1 Å = 10−10 m = 10−4 µm = 0.1 nm Tesla (T) Unité d’induction magnétique dérivée du SI. 1 T = 1 kg A−1 s−2 56

1.6. AUTRES CONSTANTES ET UNITÉS DE L’ASTRONOMIE Gauss (Gs ou G) Nom donné à l’unité CGS électromagnétique. 1 Gs = 10−4 T Gamma (γ) Unité utilisée pour exprimer l’intensité du champ magnétique. 1 γ = 10−9 T = 1 nT Atmosphère Unité employée pour la pression telle que 1 atmosphère = 101 325 Pa. L’usage de cette unité est fortement déconseillé par le SI. Elle n’est donnée ici qu’à titre d’information. Inch (pouce) Unité anglo-saxonne de longueur utilisée pour les diamètres des objectifs de certains instruments astronomiques. 1 inch = 2.54 cm Pour mémoire, le pouce utilisé en France, ou zoll en Allemagne, n’avait pas tout à fait la même valeur : 2.707 cm. Gal Unité en dehors du SI utilisée en géodésie et géophysique pour exprimer l’accélération due à la pesanteur. 1 Gal = 1 cm s−2 = 10−2 m s−2 Jansky Unité de mesure de l’intensité des radiosources par leur densité de flux S (v). C’est l’énergie reçue de l’ensemble d’une source de dimension finie, par unité de surface réceptrice placée sur Terre perpendiculairement à la direction de la source, par seconde et par hertz de bande. Étant donnée la faible intensité des radiosources, on exprime S (v) en jansky : 1 jansky = 10−26 W m−2 Hz−1

57

Chapitre 2

´ Echelles de temps

2.1

Introduction

Depuis 1967, la définition de la seconde est entre les mains des physiciens, et non plus entre celles des astronomes, comme ce fut le cas pendant de nombreux siècles. Cependant, les éphémérides astronomiques publiées sous l’égide du Bureau des longitudes portent le même nom depuis leur fondation, la Connaissance des temps. Cela suffit à rappeler que, si les astronomes ne sont plus les gardiens de l’unité de temps, ils portent toujours un grand intérêt à la définition et aux réalisations de cette grandeur. À cela, il y a au moins deux raisons : • dans toutes les étapes de son développement jusqu’à la fin du xxe siècle, la mécanique céleste a utilisé le temps uniforme idéal, introduit par Newton, pour argument de ses théories. Ce fait résultait de l’application de la loi fondamentale de la dynamique en référentiel inertiel. Les éphémérides étaient établies en fonction des valeurs de ce paramètre et tout était mis en œuvre pour qu’il y ait un accord entre cette échelle idéale et sa réalisation pratique issue des observations et de conventions sur les unités et l’origine. Les développements les plus récents prennent pour fondement la théorie relativiste de la gravitation, et le choix du système de coordonnées impose celui de la variable indépendante qui décrit le déroulement du temps qui se substitue au temps idéal de Newton. Ce nouvel argument temporel se retrouve à nouveau dans la colonne d’entrée des éphémérides. Pour comparer des observations à des calculs, ou pour préparer des observations, il est nécessaire de définir le plus correctement possible cet argument et de déterminer les relations qu’il entretient avec les échelles de temps usuelles ; 59

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS • la seconde SI définie à partir d’une transition atomique ne date que de 1967 et l’échelle de Temps atomique international n’a été introduite qu’en 1972, même si les premières horloges à césium datent des années 1950. Mais les observations astronomiques parvenues jusqu’à nous sont beaucoup plus anciennes que ces changements, profonds certes, mais relativement récents. On ne peut donc dater directement des événements passés dans ces nouvelles échelles, et le recours aux temps astronomiques s’impose alors. Les observations les plus anciennes sont exprimées en temps solaire, d’où la nécessité de conserver cette échelle et sa liaison avec le Temps des éphémérides qui reste, selon toute vraisemblance, une bonne extrapolation du Temps atomique international dans le passé.

2.2 2.2.1

Évolution des échelles de temps Présentation générale

La complexité de la notion de temps, l’amélioration rapide depuis cinquante ans de la précision avec laquelle on le mesure et les progrès technologiques dans la construction des horloges ont amené les astronomes et les physiciens à définir plusieurs échelles utilisées simultanément. Cette pratique sera justifiée par la suite. Dans un premier temps, voici un aperçu chronologique de l’évolution de la question (voir table 2.1). Table 2.1 – Brève histoire des échelles de temps modernes. Avant 1960 Phénomène physique : rotation de la Terre Échelle de temps : Temps universel (TU ou UT) Seconde : 1/86 400 du jour solaire moyen Exactitude : 10−7 1960-1967 Phénomène physique : mouvement orbital de la Terre Échelle de temps : Temps des éphémérides (TE ou ET) Seconde : 1/31 556 925.9747 de l’année tropique 1900 Exactitude : 10−8 Après 1967 Phénomène physique : transition atomique Échelle de temps : Temps atomique international (TAI) Seconde : 9 192 631 770 périodes d’une transition du césium 133 Exactitude : 10−14

60

2.2. ÉVOLUTION DES ÉCHELLES DE TEMPS L’échelle de temps disponible jusque dans les années 1960 provient de la rotation diurne de la Terre autour de son axe, laquelle semblait suffisamment uniforme. Cette échelle s’est vue traduite par le temps solaire vrai ou moyen pendant plusieurs siècles (voir section 10.3.2), puis sous sa forme la plus élaborée appelée Temps universel, abrégé en TU ou UT (Universal Time). Une autre échelle associée à la rotation de la Terre, le Temps sidéral, est étudiée dans le chapitre consacré à la rotation de la Terre. La mise en évidence de diverses irrégularités dans la rotation de la Terre amènera ensuite les astronomes à introduire, pour le calcul des éphémérides des corps du Système solaire, une nouvelle échelle fondée sur la révolution de la Terre autour du Soleil, appelée Temps des éphémérides, abrégé en TE ou ET (Ephemeris Time). À partir de 1955, les horloges à césium permettent aux physiciens de construire une échelle de temps qui deviendra en 1967 le Temps atomique international, abrégé en TAI. Cette échelle est proche du TE, mais en diffère de 32.184 secondes : cette différence est due au manque de coordination à l’époque entre astronomes et physiciens (la nouvelle échelle a été ajustée sur la valeur du TU au 1er janvier 1958 à 0 h 00 TU au lieu de l’être sur celle du TE). Ce décalage intempestif, qui n’a aucune justification scientifique, mais dont il faut bien s’accommoder pour assurer la continuité métrologique, se retrouve constamment par la suite. En 1976, la précision grandissante des observations de positions des corps du Système solaire, grâce, en particulier, aux mesures de distances par radar, et l’amélioration des théories de mécanique céleste, grâce aux intégrations numériques rapides par ordinateur, ont conduit l’Union astronomique internationale (UAI) à définir des échelles de temps qui tiennent compte des effets relativistes. L’une d’elles est le Temps dynamique barycentrique (TDB), échelle de temps-coordonnée destinée à calculer les éphémérides des corps du Système solaire dans un système d’axes qui a pour origine le barycentre du Système solaire. L’autre est le Temps dynamique terrestre (TDT), très voisine du TE et destinée à établir des éphémérides géocentriques apparentes des corps du Système solaire. Depuis son assemblée générale de Buenos Aires en 1991, l’UAI a précisé à plusieurs reprises les définitions des échelles de temps dans un cadre relativiste. À tout système de masses dans l’Univers peut être associé un système de coordonnées spatio-temporelles centré sur le barycentre des masses considérées, qui ne présente pas de rotation globale par rapport aux galaxies lointaines. La coordonnée temporelle de ce système est le tempscoordonnée correspondant (TC–), où le tiret remplace la lettre qui caractérise le système considéré. Ainsi, pour étudier le mouvement des satellites de Jupiter, on pourrait utiliser le Temps-coordonnée jovicentrique (TCJ), et pour le mouvement des satellites de Saturne, le Temps-coordonnée saturnocentrique (TCS), etc.

61

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS Les principales nouvelles échelles de temps sont désignées par l’UAI comme suit : • le Temps-coordonnée barycentrique (TCB), lié au barycentre du Système solaire et le Temps-coordonnée géocentrique (TCG), lié au centre de masse de la Terre (IAU 2000, résolutions B1.3 et B1.5). Le TCB et le TCG diffèrent par des termes à la fois séculaires et périodiques, dont une liste des plus importants est donnée dans la suite (voir table 2.3). Cette différence dépend également de la position de l’observateur par rapport au géocentre ; • le TDT ne doit plus être employé et est remplacé par le Temps terrestre (TT) qui est très proche (IAU 1991, résolution A4 ; IAU 2000, résolution B1.9). Il est donc de même très proche du TE. Le TT est utilisé pour établir des éphémérides géocentriques apparentes des corps du Système solaire. • En 2006, lors de l’assemblée générale de Prague, l’UAI a précisé les relations entre le TCB et TDB : ce dernier reste lié au TCB par une relation linéaire tout en demeurant très proche du TT, c’est-à-dire sans décalages systématiques entre les deux échelles (IAU 2006, résolution B3). Ces différentes échelles de temps, toutes en usage à l’heure actuelle, et leurs relations mutuelles, sont présentées avec plus de détails dans les sections de ce chapitre.

2.2.2

Le Temps des éphémérides (TE ou ET)

Cette échelle a une grande importance historique en raison des principes théoriques de sa définition et parce qu’elle a marqué la première rupture avec le temps issu de la rotation de la Terre. Cette échelle n’est plus en usage aujourd’hui en tant que telle, mais les échelles utilisées pour les éphémérides du Système solaire y sont rattachées. De plus, pour les phénomènes anciens (éclipses historiques, calculs des événements astronomiques dans le passé), l’échelle de temps employée pour les calculs de mécanique céleste et pour la rotation de la Terre, indispensable pour caractériser les événements notés par un observateur, est par nécessité une échelle très voisine du Temps des éphémérides (voir section 2.8). La loi de Newton et le principe d’inertie supposent l’existence d’un temps absolu, uniforme, préexistant à la matière. Dans cette échelle de temps, le principe d’inertie stipule que le mouvement d’un corps libre de toute contrainte s’effectue en ligne droite et à vitesse constante. Mais l’uniformité d’un mouvement n’a de sens que vis-à-vis d’une échelle de temps particulière. Le même mouvement repéré par rapport à une horloge mécanique dont le mécanisme est déréglé par une friction n’apparaîtra plus uniforme. Ainsi, le mouvement uniforme ne peut être constaté sans une échelle de temps, préalablement elle-même définie hors de toute référence au mouvement. Newton avait bien senti 62

2.2. ÉVOLUTION DES ÉCHELLES DE TEMPS cette difficulté, et cela l’a conduit à introduire ce temps idéal en dehors de toute autre considération. La solution pratique alors pour construire une échelle de temps uniforme au sens de Newton consiste à reconnaître un mouvement uniforme a priori (absence de toute force sur un corps en mouvement) et à mesurer le temps uniforme en découpant le mouvement par des longueurs égales, en mettant en œuvre l’hypothèse fondamentale pour la mesure du temps de la reproduction à l’identique des phénomènes soumis aux mêmes causes. C’est au moyen de ce principe qu’ont été introduits les temps dynamiques : on admet la description temporelle du mouvement calculée à partir d’un modèle de force et de la loi de la dynamique de Newton. À un instant t de l’argument de l’éphéméride correspond des positions des planètes et de la Lune et inversement. La position des corps dans le ciel donne accès à l’échelle de temps par lecture inverse de l’éphéméride. Le Temps des éphémérides est, dans ce cadre, un temps dynamique particulier de la mécanique newtonienne. La théorie mise en œuvre est celle du mouvement orbital de la Terre autour du Soleil avec le modèle de force le plus complet et le plus exact possible. L’observation donne la position angulaire du Soleil dans un système de référence inertiel et permet ainsi la lecture du temps associé à un événement particulier : le Soleil en coïncidence avec une marque de longitude. L’équation de définition est l’expression numérique de la longitude géométrique moyenne du Soleil qui résulte des travaux de Newcomb. En 1952, l’Union astronomique internationale adopte l’expression numérique, exacte par définition : L0 = 279◦ 410 48.0400 + 129 602 768.1300 T + 1.08900 T 2 où T désigne l’échelle du Temps des éphémérides, qui est mesurée en siècles juliens de 36 525 jours des éphémérides depuis l’instant (proche de 1900.0) qui correspond à l’événement : T = 0 soit L0 = 279◦ 410 48.0400 = 279.696 677 77◦ La date des éphémérides associée à T = 0 est : TE = 0.5 janvier 1900 = 2 415 020.0 jour julien des éphémérides Cette définition contient celle de la seconde en raison de la présence d’un moyen mouvement, donc d’une durée en secondes d’un intervalle physique bien identifié. La onzième Conférence des poids et mesures décide en 1960 que : « La seconde est la fraction 1/31 556 925.9747 de l’année tropique pour le 0 janvier 1900 à 12 h du Temps des éphémérides. » 63

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS Cette définition, difficile à réaliser en pratique à une date éloignée de l’origine, et fort délicate à comprendre hors du cercle des astronomes spécialisés, disparaît en 1967 en tant qu’unité du Système international d’unités au profit de la définition fondée sur le césium 133. La constante numérique correspond au nombre de secondes de l’année tropique en 1900, c’est-à-dire que l’année tropique avait une durée de 365.242 1987 . . . jours (des éphémérides) en 1900. Dès 1950, lors des discussions préparatoires dès 1950, l’idée était d’utiliser l’année sidérale 1900 et non l’année tropique. Cette solution avait été recommandée par l’UAI lors de son assemblée générale de 1952. Idéalement, pour réaliser le Temps des éphémérides, il faut observer la longitude du Soleil, effectuer toutes les corrections qui permettent d’en déterminer la longitude géométrique moyenne, puis résoudre l’équation de définition pour l’inconnue T ou comparer à une table précalculée. Mathématiquement, il y a de nombreuses solutions, mais un encadrement préalable au moyen d’un garde-temps permet d’aboutir à une solution unique. Avec une précision typique de 0.500 sur la détermination de la longitude du Soleil, on obtiendrait une incertitude de 12 s sur la lecture de l’horloge céleste. Heureusement, on n’avait recours au Soleil (et en pratique à la Lune dont le mouvement est treize fois plus rapide) que pour des mesures d’intervalles longs. L’échelle TU, insuffisamment uniforme, devant être écartée, le TE est la seule échelle de temps uniforme disponible pour l’analyse des observations des corps du Système solaire faites avant l’introduction du TAI. Les définitions des nouvelles échelles assurent la continuité du TT (anciennement du TDT), avec le TE pour les époques antérieures à 1955, compte tenu de la précision des observations des planètes et des satellites. Elles assurent également la continuité du TE avec le TDB, puisque TDB et TT diffèrent de termes périodiques d’amplitudes inférieures à 1.7 millième de seconde (voir plus loin). En revanche, puisque TCB et TCG ont des variations séculaires par rapport au TT, une différence entre le TE et ces deux échelles existe, qui sera précisée dans les tables données plus loin.

2.3 2.3.1

Temps atomique Étalons de fréquence : la seconde SI

Durant la Seconde Guerre mondiale, le développement des radars améliore considérablement la technologie des circuits à micro-ondes et des cavités à haute fréquence. Ces cavités peuvent être réglées de façon suffisamment précise pour correspondre aux fréquences de transitions atomiques et moléculaires dans le domaine centimétrique. En 64

2.3. LE TEMPS ATOMIQUE 1948, le U.S. Bureau of Standards était en mesure d’utiliser une cavité ajustée sur une fréquence de transition de l’ammoniac. Les mêmes principes sont appliqués à des atomes, en particulier au césium 133. En juin 1955, L. Essen et J.V.L. Parry, du National Physical Laboratory en Grande-Bretagne, réalisent le premier étalon de fréquence au césium digne de ce nom et portent cette précision à quelques 10−10 . De 1955 à 1958, une expérience commune est menée entre le National Physical Laboratory (Louis Essen) et l’U.S. Naval Observatory de Washington (William Markowitz) afin de déterminer la relation entre la fréquence de transition du césium et la seconde du Temps des éphémérides. La valeur trouvée, qui est de 9 192 631 770 ± 20 Hz (en secondes des éphémérides), a une précision limitée par la qualité de la réalisation du Temps des éphémérides et non par la capacité de lecture de la fréquence. La treizième Conférence générale des poids et mesures (CGPM) adopte une nouvelle définition de la seconde qui devient l’unité du Système international en 1967 : « La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133. » Lors de la vingt-sixième réunion de la CGPM en novembre 2018, la formulation est modifiée sans que le contenu en soit altéré : « La fréquence de la transition hyperfine de l’état fondamental de l’atome de césium 133 non perturbé, ∆νCs , est égale à 9 192 631 770 Hz. » La définition de 1967 est formellement abrogée lors de cette même réunion. Des laboratoires spécialisés construisent des étalons de fréquence à césium afin de réaliser au mieux, c’est-à-dire avec la plus grande exactitude, la définition de la seconde. Ces étalons, qualifiés d’étalons primaires, ont une exactitude meilleure que 1 × 10−14 , atteignant même, avec les horloges à fontaine à atomes froids (Allemagne, États-Unis, France), des valeurs de 1 × 10−15 . Ces nouvelles horloges font maintenant partie du réseau mondial d’horloges et contribuent à l’exactitude du Temps atomique international. Les horloges optiques les plus récentes et en phase de développement dans les laboratoires de métrologie atteignent aujourd’hui une stabilité de 1×10−17 , c’est-à-dire qu’elles pourraient idéalement ne pas dévier de plus d’une seconde par rapport à l’échelle théorique sur une durée de l’ordre de l’âge de l’Univers.

65

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

2.3.2

Réalisation du Temps atomique international

L’étalon de fréquence permet, par accumulation des secondes SI, de construire une échelle de temps continue, pour autant que l’horloge ou les horloges qui servent à construire cette échelle aient un fonctionnement continu. Une définition est proposée en 1970 par le Comité consultatif pour la définition de la seconde (CCDS), approuvée la même année par le Comité international des poids et mesures. Finalement, la quatorzième Conférence générale des poids et mesures, en octobre 1971, définit la référence temporelle, le Temps atomique international (TAI) : « Le Temps atomique international est la coordonnée de repérage temporel établie par le Bureau international de l’heure, sur la base des indications d’horloges atomiques fonctionnant dans divers établissements conformément à la définition de la seconde, unité de temps du Système international d’unités. » Lors de la vingt-sixième CGPM en novembre 2018, il est précisé que « le Temps atomique international (TAI) est une échelle de temps continue produite par le BIPM à partir des meilleures réalisations de la seconde du SI. Le TAI est une réalisation du Temps terrestre (TT) ayant la même marche que TT, tel que défini par l’UAI dans sa résolution B1.9 (2000) ». Elle officialise ainsi le rôle du BIPM dans sa réalisation et confirme sa relation avec le TT en accord avec celle de l’UAI. Cette même résolution stipule que le TAI est réalisé à la surface équipotentielle de référence W0 = 62 636 856.0 m2 s−2 du potentiel de pesanteur de la Terre, adoptée de façon conventionnelle, en conformité avec la constante LG qui définit la marche de TT. Cette contrainte assure la condition pratique du lien entre le TAI et le TT. Tout décalage relativiste de fréquence doit se calculer à partir de cette valeur du potentiel gravitationnel. Le Bureau international de l’heure (BIH) a mis en œuvre la définition du TAI jusqu’en 1985, date du transfert de la responsabilité de la réalisation du TAI à la section temps du BIPM. Le TAI est donc une échelle de temps intégrée, contrairement aux échelles dynamiques fondées sur un découpage arbitraire d’une échelle d’écoulement. Au moins deux choix possibles se présentaient pour réaliser l’échelle TAI : • privilégier une horloge particulière, une horloge étalon à césium, en fonctionnement permanent, dont la lecture serait par définition la réalisation du TAI ; • établir l’échelle TAI sur un réseau suffisamment large d’horloges, disséminées dans plusieurs laboratoires qui fournissent leur propre lecture à un centre de coordination. Un algorithme permet alors de calculer le TAI à partir de ces données. 66

2.3. LE TEMPS ATOMIQUE La première solution, qui aurait eu le mérite de la simplicité (TAI attaché à une horloge, en un seul lieu), présentait un danger évident de discontinuité en cas de mauvais fonctionnement, voire de défaillance totale, de l’horloge étalon qui ne présente pas la même garantie d’inaltérabilité que les mouvements célestes. La seconde solution est quasiment exempte de ce risque et permet, de plus, de bénéficier d’une amélioration statistique en raison de la multiplicité des mesures. Le principe de l’algorithme est fondé sur une moyenne pondérée des différentes lectures des horloges participantes. À l’heure actuelle, environ 500 horloges dans 70 laboratoires contribuent au TAI. Ces horloges sont en grande majorité des horloges atomiques au césium, mais il y a également quelques masers à hydrogène et une poignée d’horloges au rubidium. L’origine du TAI a été choisie arbitrairement en coïncidence avec le TU le 1er janvier 1958 à 0 h TU (en fait, la forme plus précise UT1 décrite dans la section 4.6) et non avec le TE, ce qui est à l’origine du décalage de 32.184 s entre le TAI et le TE.

2.3.3

Uniformité du TAI

Dire qu’une échelle est uniforme suppose l’existence d’une échelle de temps idéale, dont la réalisation satisferait l’idée que chacun se fait de l’uniformité. Cette notion même ne peut être rendue claire sans recours à des concepts plus simples. L’élément qui permet de s’entendre est le suivant : deux échelles de temps T1 et T2 ont la même uniformité si elles ne diffèrent que par une dérive linéaire en fonction du temps exprimé par l’une d’entre elles, soit mathématiquement T 1 = a T 2 + b. Les échelles liées par ce type de relation sont dites équivalentes. Le coefficient a traduit un choix d’unités alors que b est lié au choix de l’origine de l’échelle. En restreignant la question de l’uniformité du TAI à cet aspect, il est possible de fournir une réponse basée sur l’observation. Les comparaisons du TAI et du Temps des éphémérides effectuées depuis près de cinquante ans indiquent que l’écart entre les deux échelles est demeuré constant : TE = TAI + 32.184 s = TAI + 0.000 3725 jour et donc que les deux échelles sont équivalentes, à l’incertitude des observations près. Rien ne garantit que la cohérence observée jusqu’à maintenant entre le TAI et le TE persistera encore pendant des siècles. Toutefois, on peut admettre que ce soit le cas. Le Temps des éphémérides est une réalisation du temps newtonien, c’est-à-dire du paramètre t qui figure dans les équations de la mécanique newtonienne. En ce sens, il est proche de la réalisation d’une échelle idéale, définie à partir de concepts théoriques, et satisfait la notion d’uniformité qui y est attachée. L’expérience indique que c’est également le cas pour le TAI, puisqu’il ne présente pas de dérive par rapport au Temps des éphémérides. Il sera alors possible de prendre le TAI pour argument des éphémérides des corps du 67

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS Système solaire, ou une échelle voisine qui lui est rattachée et qui est corrigée des effets locaux prévus par la théorie de la relativité. Cet accord observé entre le Temps des éphémérides et le Temps atomique n’est pas surprenant : le Temps des éphémérides est une réalisation du temps défini par le principe d’inertie, base de la loi fondamentale de la dynamique. De ce fait, tout objet mobile dont le mouvement peut être calculé à l’avance dans le cadre de la mécanique newtonienne, et dont la position est observable avec une grande précision, pourrait théoriquement convenir pour réaliser le Temps des éphémérides. En pratique, comme indiqué à la section 2.2.2, seuls le Soleil et la Lune sont utilisés. Le plus important est de posséder une théorie paramétrable dans le cadre de la mécanique newtonienne et d’une quantité observable associée à cette théorie. Ce n’est pas le cas du comportement des atomes de césium, dont la théorie relève de la mécanique quantique. Les fréquences de transition font apparaître un temps qui n’est pas directement rattaché au temps de la mécanique. En principe, il pourrait être différent, même si, pour le moment, l’expérience en a décidé autrement. En faveur de cette coïncidence, on peut invoquer le principe de correspondance et les équations de Ehrenfest qui régissent l’évolution du centre du paquet d’ondes associé à une particule. Pour les grands nombres quantiques, ces équations se confondent avec les équations classiques de Hamilton-Jacobi, et donc avec la mécanique newtonienne. La discussion n’est cependant pas complète, car en toute rigueur, le mouvement du centre du paquet d’ondes quantiques n’obéit pas aux lois de la mécanique classique, et le temps qui apparaît dans les équations pourrait, au niveau microscopique, ne pas être identique au temps de la dynamique. Finalement, la réalisation du Temps atomique à partir des étalons au césium repose sur l’hypothèse, non démentie par l’expérience, de l’invariabilité dans l’espace et dans le temps de la fréquence associée à la transition entre deux niveaux déterminés d’un atome de césium 133 non perturbé.

2.4 2.4.1

Le Temps universel coordonné (UTC) Définition et propriétés

L’échelle de Temps atomique, constituée comme il est indiqué dans les sections précédentes, présente, dès l’origine, deux défauts pour les utilisateurs : • en premier lieu, son origine arbitraire implique que la datation d’un événement bien identifié dans cette échelle ne coïncide pas avec la datation donnée dans une autre échelle, temps solaire ou Temps des éphémérides. Ce n’est pas un défaut très gênant et il était toujours possible d’y remédier par un choix adapté de l’origine ; 68

2.4. LE TEMPS UNIVERSEL COORDONNÉ (UTC) • en second lieu, l’échelle du Temps atomique étant totalement dissociée des mouvements célestes, la durée du jour solaire moyen ne compte plus exactement 86 400 secondes de TAI. Même en ajustant au mieux la durée de la seconde dans la définition, cet accord à un instant particulier ne peut se maintenir en raison des irrégularités de la rotation de la Terre et de son ralentissement séculaire. C’est d’ailleurs ce phénomène, et surtout le fait qu’il ne puisse être prédit avec suffisamment d’exactitude, qui a conduit à abandonner le mouvement de la Terre comme source du temps uniforme. Cependant, lors du passage du temps astronomique au Temps atomique, il a été jugé utile de ne pas perdre totalement la correspondance entre le temps et l’orientation de la Terre dans l’espace. Les besoins de la navigation autour de 1970 ne relevaient pas encore des techniques spatiales et il fallait que le temps disponible à bord des navires, ou le temps distribué par les techniques radio, soit proche de l’UT1 (voir section 4.6) pour ne pas modifier des pratiques bien établies et éviter des dangers qu’aurait occasionnés une échelle trop différente. Au moment du choix de la seconde SI en 1967, le calage s’est effectué sur la seconde des éphémérides ; la durée du jour solaire moyen à cette époque valait à peu près 86 400.0025 s. Le choix était plutôt en accord avec le jour solaire moyen des années 1820. L’avance quotidienne du TAI sur le temps solaire est donc d’environ 2.5 ms, soit à peu près 1 s par an. Sur le long terme, la rotation de la Terre ralentit (∼ 1.7 ms/siècle pour l’augmentation séculaire de la durée du jour) et cet écart va s’amplifier. Mais à l’heure actuelle, le phénomène dominant est bien l’écart initial entre le jour solaire moyen et la durée de 86 400 secondes SI, auquel se superposent de nombreuses irrégularités avec des échelles de temps de quelques années. Pour cette raison, l’échelle de temps, dite du Temps universel coordonné 1 a été créée. Elle est hybride en ce sens qu’elle possède les qualités d’uniformité du Temps atomique par morceaux, et elle maintient l’accord entre la rotation de la Terre et les horloges des laboratoires grâce à des sauts de seconde appropriés. En somme, l’UTC est une approximation du Temps universel (UT1) lue sur un garde-temps meilleur que la rotation de la Terre (figure 2.1) et dont on corrige parfois l’affichage pour suivre un cycle astronomique. La terminologie officielle UTC a été approuvée par une résolution de l’Union astronomique internationale lors de la treizième assemblée générale en 1967, pour Temps universel coordonné ou Coordinated Universal Time. La rotation de la Terre étant représentée par UT1, on a depuis le 1er janvier 1972 : TAI − UTC = n secondes (n est un entier) 1. Il s’agit bien de l’adjectif coordonné, au masculin singulier, qualifiant l’échelle. Il ne doit pas être confondu avec la qualification coordonnée que l’on trouve pour le TCB et TCG qui sont des tempscoordonnées, c’est-à-dire des coordonnées temporelles des systèmes de référence spatio-temporels relativistes.

69

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS avec : | UT1 − UTC | ≤ 0.9 seconde

(2.1)

Ce système est formellement défini par la Recommandation ITU-R TF.460-5 (avec ITU pour l’Union internationale des télécommunications) qui stipule : « UTC est l’échelle de temps maintenue par le BIPM, avec l’assistance de l’IERS, qui forme la base de la diffusion coordonnée des fréquences et des signaux temporels. Il s’écoule comme le TAI, mais en diffère par un nombre entier de secondes. L’échelle UTC est ajustée par l’ajout ou le retrait de secondes pour maintenir l’accord avec l’UT1. » Là encore, la vingt-sixième réunion de la CGPM de novembre 2018 a précisé le statut de l’UTC et son rôle d’échelle de référence internationale en déclarant dans la résolution 2 : • l’UTC produit par le BIPM, fondé sur le TAI, est l’unique échelle de temps recommandée comme référence internationale et il est à la base du temps civil dans la plupart des pays ; • l’UTC diffère du TAI seulement par un nombre entier de secondes, tel que publié par le BIPM. Les utilisateurs peuvent dériver l’angle de rotation de la Terre en appliquant à l’UTC les valeurs observées ou prédites d’UT1 – UTC, telles que fournies par l’IERS ; • l’UTC fournit un moyen de mesurer les intervalles de temps et de disséminer l’étalon de fréquence pendant les intervalles qui ne comprennent pas de secondes intercalaires. Selon le degré d’urgence, le saut de seconde est placé en priorité à la fin de décembre ou de juin, l’annonce étant faite au moins six mois à l’avance dans le Bulletin C de l’IERS. La relation exacte entre UT1 et UTC ne peut être connue qu’avec retard lorsque les mesures de la rotation de la Terre sont publiées. Ceci n’est plus lié à la métrologie du temps, mais bien à l’étude de l’orientation de la Terre dans l’espace, dont la connaissance est tout à fait essentielle à la préparation et au traitement des observations. Depuis la mise en œuvre de ce système en 1972, il n’y a eu que des secondes intercalaires positives : lors du changement, l’instant UTC 23:59:59 est suivi de 23:59:60 le 31 décembre (ou 30 juin), puis par 00:00:00 du jour suivant. Certaines journées ont donc une durée de 86 401 s, ce qui ne va pas sans poser de problèmes. Ce changement est mondial à cet instant UTC : il se produit au milieu de la nuit en Europe, mais dans la soirée ou la matinée selon que l’on se trouve à Washington ou à Tokyo. Il est donc différent du changement d’année au 31 décembre ou du changement de date chaque jour. La table 2.2 donne la différence TAI − UTC selon l’IERS depuis son introduction en 1972 jusqu’à 2018. La valeur 10 s lors de la mise en œuvre de 1972 a été choisie pour s’accorder avec la valeur TE−UT1 à cette époque. L’écart TAI−UT1 qui était de 10.046 s a conduit à démarrer avec TAI − UTC = 10 s. 70

2.4. LE TEMPS UNIVERSEL COORDONNÉ (UTC)

Table 2.2 – Différence TAI − UTC à partir du 1er janvier 1972. Date début

Date fin

TAI−UTC

Date début

Date fin

TAI−UTC

01/01/1972 01/07/1972 01/01/1973 01/01/1974 01/01/1975 01/01/1976 01/01/1977 01/01/1978 01/01/1979 01/01/1980 01/07/1981 01/07/1982 01/07/1983 01/07/1985

01/07/1972 01/01/1973 01/01/1974 01/01/1975 01/01/1976 01/01/1977 01/01/1978 01/01/1979 01/01/1980 01/07/1981 01/07/1982 01/07/1983 01/07/1985 01/01/1988

10 s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 s 21 s 22 s 23 s

01/01/1988 01/01/1990 01/01/1991 01/07/1992 01/07/1993 01/07/1994 01/01/1996 01/07/1997 01/01/1999 01/01/2006 01/01/2009 01/07/2012 01/07/2015 01/01/2017

01/01/1990 01/01/1991 01/07/1992 01/07/1993 01/07/1994 01/01/1996 01/07/1997 01/01/1999 01/01/2006 01/01/2009 01/07/2012 01/07/2015 01/01/2017 ? (> 2021)

24 s 25 s 26 s 27 s 28 s 29 s 30 s 31 s 32 s 33 s 34 s 35 s 36 s 37 s

2.4.2 2.4.2.1

Le futur de l’UTC Difficultés provenant de la seconde intercalaire

L’avenir d’UTC comme échelle largement diffusée et accessible pour les besoins civils est en discussion au sein des instances internationales qui incluent les communautés astronomique, géodésique et géophysique, ainsi que les organismes de télécommunications et de navigation. Cette échelle a pour principal défaut son absence de continuité, matérialisée par l’introduction d’une seconde intercalaire (ou encore improprement saut de seconde venant de l’anglais leap second) qui impose des mises à jour de tables dans les programmes informatiques. Le calcul précis (meilleur que la seconde) d’une durée qui sépare deux événements datés en UTC ne peut se faire sans appel à une table de sauts de seconde, qui doit être maintenue, et demeure incertain lorsqu’au moins un des événements a lieu dans le futur. Certains systèmes d’information très communs aujourd’hui ne sont pas en mesure d’intégrer ces sauts. Une des normes techniques des systèmes Unix (POSIX) impose des jours de strictement 86 400 s et des dates qui représentent UTC, ce qui exclut la possibilité d’un instant noté 23:59:60, avec une minute de 61 s. Cela conduit, au mieux, à des ambiguïtés de datation (doublement de la seconde 59 au moment du saut de seconde, étalement en biseau de la seconde intercalaire chez Google), et à des arrêts de procédure avec des conséquences éventuellement sérieuses, et de toute façon coûteuses. 71

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS 40

TAI – UT1 TAI – UTC

Écart en secondes

35 30 25 20 15 10 1980

1990

2000

2010

2020

Époque

Figure 2.1 – Différence TAI − UTC (courbe discontinue) et différence observée TAI − UT1 (courbe continue), en secondes, de 1972 à 2021.

Comme on peut le voir dans la section 2.6, hormis le système GLONASS, les systèmes satellitaires de navigation en place fonctionnent avec une échelle de temps continue, la gestion de l’UTC étant laissée aux applications des récepteurs. Le besoin d’interopérabilité de ces systèmes, et de ceux qui vont les compléter dans l’avenir, nécessite l’emploi d’une échelle commune et continue. Au cours des années, différents incidents liés aux sauts de secondes ont été rapportés : interruptions de service dans le domaine des transports, des télécommunications, des échanges commerciaux et financiers. Certains systèmes spatiaux n’ont d’autre choix que d’interrompre leur fonctionnement normal autour d’un saut de seconde pour limiter les risques. Il n’est de fait pas toujours possible de prévoir les conséquences précises d’un problème qui apparaît dans ces circonstances et une solution raisonnable est de le contourner.

2.4.2.2

Solutions envisagées

Cependant, l’idée de remplacer l’UTC actuel par une échelle continue sans relation à long terme avec le temps solaire moyen ne fait pas l’unanimité, bien que la tendance soit à une suppression des sauts de seconde, avec un décalage de plusieurs années entre la décision et sa mise en œuvre. Les débats ont débuté dès 1999. Un premier état de la question est fait par exemple dans Nelson et al. (2001). Travailler sans saut de seconde 72

2.4. LE TEMPS UNIVERSEL COORDONNÉ (UTC)

UT1 – UTC

Écart en secondes

1.0

0.5

0

0.5

1980

1990

2000

2010

2020

Époque

Figure 2.2 – Différence UT1 − UTC en secondes de 1972 à 2021 avec une marque à chaque début d’année. Un saut de seconde est appliqué plus ou moins régulièrement lorsque l’écart approche la limite de l’équation 2.1. L’amplitude des discontinuités est donc toujours égale à une seconde et on voit que le saut de seconde est activé lorsque la différence est voisine de 0.6 s avec un peu de marge par rapport à la contrainte de l’équation 2.1. Le saut étant d’une seconde, cela maintient également en moyenne un écart proche de zéro. On notera le petit accident de 2020 avec une phase unique d’accélération de la rotation de la Terre pendant quelques mois.

est techniquement facile, mais substituer un système en place par un autre n’est pas véritablement aisé dans un contexte international. La raison qui a conduit initialement à l’introduction d’une échelle discontinue était de disposer d’un temps civil (UTC) qui reste proche de l’UT1 pour la navigation astronomique. Cet argument n’a plus lieu d’être aujourd’hui avec la généralisation des systèmes de navigation par satellites pour tous les systèmes de transports commerciaux. La question de fond qui l’a remplacée est de savoir si le temps civil doit conserver un lien organique avec le cycle astronomique de la rotation de la Terre, ou si l’on peut se priver de ce lien et utiliser une échelle continue qui ne sera que l’œuvre des hommes. Sur le plan pratique, la réponse est clairement positive, mais la question plus philosophique de la relation au cosmos n’est pas absente des débats et met en jeu des considérations historiques, sociales, voire patriotiques ; autant d’éléments qui rendent les discussions complexes. Tout ceci n’est pas sans rappeler les discussions de la conférence de Washington en 1884 2 2. Conférence s’étant tenue du 1er octobre au 1er novembre 1884 à Washington et réunissant 25 pays afin de choisir un méridien international de référence. La mise en place du système des fuseaux horaires, fréquemment associée à cette conférence, et bien que discutée marginalement, ne fait pas partie des résolutions adoptées par la conférence.

73

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS sur l’adoption d’un premier méridien, durant laquelle la France avait tenté, en vain, par des arguments fallacieux, d’empêcher l’adoption du méridien de Greenwich, déjà bien en place dans la plupart des marines du monde. Dans la question de l’UTC, ce sont les défenseurs de ce méridien historique qui tentent, avec des arguments de circonstance, de retarder une décision inéluctable que les échanges numériques et l’accessibilité des temps GNSS imposeront. Aucune organisation internationale unique n’a en charge l’ensemble du dossier et le pouvoir de décision. Les différents aspects (unité de temps, TAI, diffusion des signaux de temps et fréquence, définition de l’UTC, mesure de l’UT1 et introduction des sauts de secondes) sont partagés par des organismes intergouvernementaux et des unions internationales aussi divers que : • le BIPM (Bureau international des poids et mesures), qui opère sous l’autorité de la CIPM (Conférence internationale des poids et mesures) et est guidé pour les questions du temps par le CCTF (Comité consultatif du temps et des fréquences). La section temps du BIPM réalise l’UTC ; • l’ITU (Union internationale des télécommunications), anciennement CCIR, et plus particulièrement la branche ITU-R (pour radiocommunication) et le sous-groupe WP-7A (Working Party 7A) responsable des signaux temps et fréquences, qui sont formellement chargés de définir l’UTC. Les discussions en cours envisagent le transfert de cette responsabilité au BIPM à l’horizon 2023 ; • l’UAI (IAU), Union astronomique internationale, qui dispose de commissions en charge du temps, de la rotation de la Terre et de la publication des éphémérides ; • l’IERS (Service international de la rotation de la Terre) qui assure le suivi de la rotation de la Terre par des techniques géodésiques et astronomiques et détermine le moment où des sauts de secondes doivent être insérés dans l’UTC. De ce fait, l’IERS est en charge de la diffusion de l’UT1 ; • enfin, chaque pays souverain qui possède un bureau de métrologie plus ou moins important pour les applications civiles, industrielles et commerciales des mesures, dont le temps, et interviennent dans le débat par l’intermédiaire de leurs délégués. En France, le Bureau des longitudes a émis au printemps 2007 une recommandation en faveur de la suppression de la seconde intercalaire, de la conservation de la terminologie UTC pour l’échelle continue et de sa réalisation par le BIPM. De nombreuses consultations sont en cours et différentes solutions sont examinées au sein de groupes de travail, incluant : • le statu quo (avec une augmentation du nombre de sauts de seconde dans le futur en raison de l’allongement de la durée du jour) ; 74

2.4. LE TEMPS UNIVERSEL COORDONNÉ (UTC) • l’augmentation de la tolérance entre UT1 et UTC, comme le saut d’une minute tous les cinquante ans ; • la suppression des sauts de seconde, ce qui laisserait dériver l’échelle UTC par rapport au TAI, donc un alignement à un décalage près de l’UTC sur le TAI ; • le passage à une autre échelle qui pourrait être le TAI ou une échelle liée au GPS ou à Galileo ; • la possibilité la plus spectaculaire envisagée dans ces discussions (mais qui n’a aucune chance d’aboutir) qui est de modifier la définition de la seconde pour maintenir l’accord approximatif de 86 400 secondes par jour solaire moyen. Au terme de plusieurs années d’intenses discussions, une décision qui vise à l’abolition de la seconde intercalaire était attendue lors de l’assemblée des radiocommunications de l’ITU en janvier 2012. Cette décision semblait possible suite au rapprochement des positions des différents organismes au cours de la phase de consultation allant dans le sens d’une redéfinition de l’UTC en échelle continue et une diffusion de la différence DUT 1 = UTC − UT1 en continu par l’IERS ou les systèmes GNSS. Mais le poids de l’opinion britannique (et, en arrière, plan l’attachement au GMT) et de l’Allemagne a eu raison du consensus en dernière minute. Lors de la Conférence mondiale des télécommunications (WRC-15) en novembre 2015, il a été décidé (résolution 655 de la CMR-15) que des études supplémentaires étaient nécessaires sur l’application et l’impact de la suppression des sauts de secondes dans le Temps universel coordonné. La prochaine étape pour une possible décision est maintenant renvoyée à la Conférence mondiale des télécommunications en 2023 (CMR-23). D’ici là, aucun changement dans l’UTC n’interviendra. Plusieurs textes préparatoires sont en cours d’examen pour une possible décision à la CMR-23. Le sens de l’histoire va clairement vers l’adoption d’une nouvelle échelle continue pour le temps civil. Dans cette hypothèse, l’écart probable entre UTC et UT1 en 2100 ne dépasserait pas la minute 3 , une quantité bien inférieure au changement annuel de l’heure d’été, des effets de longitude dans une zone horaire ou tout simplement de l’écart entre le temps solaire vrai et le temps solaire moyen d’un lieu qui atteint 16 minutes au cours de l’année, sans que cela se remarque. Aux xviiie et xixe siècles, des réticences de même nature ont existé lors de l’adoption du temps solaire moyen local, puis d’un temps solaire moyen de Paris ou de Londres (Greenwich en pratique, mais celui de la capitale britannique dans l’esprit) rendue nécessaire par le développement du chemin de fer. L’abandon d’un temps fondé sur le mouvement apparent du Soleil et proche du méridien local était vécu comme une rupture d’un lien profond avec les cieux qu’il ne revenait pas aux hommes de remettre en cause. 3. La table 2.2 et la figure 2.1 indiquent que, sur près de 50 ans, le décalage cumulé n’a pas atteint 30 s. On peut extrapoler ce fait pendant quelques décennies, mais pas quelques siècles. Le taux doit croître en raison du ralentissement séculaire de la rotation de la Terre.

75

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

2.5 2.5.1

Les échelles de temps relativistes Les échelles TCB et TCG

Depuis 1991, les systèmes de référence d’espace et de temps adoptés par l’UAI sont construits dans le cadre de la théorie de la relativité générale. Depuis cette date, les diverses résolutions de l’UAI ont constamment complété et précisé les définitions et les procédures de transformation entre les systèmes de référence dans le cadre de la relativité générale. La théorie sous-jacente est la forme standard de la relativité générale obtenue en donnant aux paramètres post-newtoniens leur valeur nominale, γ = 1 et β = 1 pour les deux plus importants. Ce cadre général est présenté dans la section 3.2 consacrée aux systèmes de référence relativistes. Dans ce chapitre, seules sont considérées les conséquences sur les échelles de temps, avec l’introduction des deux échelles de temps-coordonnée TCB et TCG, qui seront ensuite reliées à des réalisations, dont le TAI. La théorie de la relativité et la précision atteinte aujourd’hui dans les observations amènent à distinguer les échelles de temps dynamiques selon qu’elles sont considérées comme échelles de temps-coordonnée ou comme échelles de temps propre. On présente ici les calculs qui établissent la relation la plus importante entre ces échelles. Dans le système de coordonnées barycentriques (BCRS), en utilisant la convention de sommation d’Einstein, la métrique de l’espace-temps dans le Système solaire prend la forme suivante : ds2 = gαβ dxα dxβ (2.2) où l’on peut écrire les différentes composantes du tenseur métrique gαβ en fonction des coordonnées barycentriques (t : TCB, x). En considérant les planètes comme des masses ponctuelles, les solutions des équations d’Einstein s’écrivent, à l’ordre 1/c4 (UAI, 2001) 4 : ! 2U 2U 2 ∆(t, x) g00 = − 1 − 2 + 4 + (2.3) c c c4 4Ui g0i = − 3 (2.4) c ! 2U gi j = 1 + 2 δi j (2.5) c 4. L’expression complète dans les résolutions de l’UAI (UAI 2000 B.1.5) considère un ordre supérieur pour prendre en compte les performances ultimes des horloges. Depuis cette résolution, les horloges optiques justifient cette précaution.

76

2.5. ÉCHELLES DE TEMPS RELATIVISTES où δi j est le symbole de Kronecker. Dans les expressions ci-dessus, U est le potentiel newtonien produit au point M(x) par les planètes, de masses m p et de vecteurs positions x p : U=

X G mp |x − x p | p

et c est la vitesse de la lumière (c = 299 792 458 m s−1 ). À l’approximation considérée pour obtenir la relation entre les échelles barycentriques et géocentriques, le potentiel vecteur U i est donné par : X G m p vip Ui = |x − x p | p où v p est la vitesse-coordonnée barycentrique de la planète p (une vitesse-coordonnée est définie comme la dérivée des coordonnées spatiales du vecteur x par rapport au temps-coordonnée, x0 ). Enfin, on a :   2 X G m p  X G mq  (x − x ) · a ((x − x ) · v ) p p p p −2v2 +  + ∆(t, x) = + p   2 |x − x | |x − x | 2 2|x − x | p q p p p q,p où a p est l’accélération-coordonnée barycentrique de la planète p. Des définitions similaires ont été introduites par les résolutions de l’UAI pour le système géocentrique (GCRS) avec les coordonnées (T : TCG, X), dont l’usage est limité à la zone proche de la Terre. Ces systèmes sont équivalents sur le plan théorique, et des relations biunivoques permettent de passer d’un système à l’autre. Sur le plan pratique, les calculs seraient fortement compliqués par l’usage du système géocentrique pour étudier les mouvements dans le Système solaire. Les coordonnées xα n’ont pas de signification particulière. Au départ, il ne s’agit que de quatre quantités permettant d’étiqueter un point de l’espace-temps, et il y a une grande liberté dans leur choix. Cependant, au travers de l’interprétation des mesures et de la comparaison aux modèles paramétrés par ces coordonnées, on finit par leur donner une signification plus physique en termes de distance, instant d’arrivée d’un signal, etc. Par exemple la coordonnée x0 , divisée par la vitesse de la lumière c, est le temps t qui serait indiqué par une horloge au repos par rapport au barycentre du Système solaire et infiniment éloignée des planètes. Ce temps, appelé temps-coordonnée, diffère de celui lu sur une horloge atomique dans un laboratoire terrestre, laquelle fournit le temps propre τ de l’horloge sur sa ligne d’Univers. Cette horloge est en mouvement par rapport au barycentre du Système solaire et est soumise à des champs gravitationnels divers. Le TAI est d’un autre côté construit pour être une coordonnée de repérage temporel, mais ne coïncide pas avec le x0 /c de la métrique ci-dessus. Le raccordement entre les échelles TCB, TCG et le TAI est examiné dans la section suivante. 77

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS On considère à ce stade le TCG comme étant voisin du temps propre d’une horloge idéale placée au géocentre et soustraite à l’influence gravitationnelle de la Terre. À partir de la métrique du BCRS limitée aux termes en 1/c2 , on a : ! ! 2U 2 2 2U  1 2  2 2  3 2  2 ds = − 1 − 2 c dt + 1 + 2 dx + dx + dx c c On obtient l’intervalle de temps propre dτ entre deux événements de l’espace-temps séparés par dt et dxi par : ! ! 2U v2 2 ds2 2U 2 2 dτ = − 2 = 1 − 2 dt − 1 + 2 2 dt c c c c où :

3   X 2 v = x˙i 2

i=1

v étant la vitesse-coordonnée de l’horloge attachée à ces deux événements. À l’ordre O(c−2 ), on obtient sans difficulté la relation importante : dt = "

dτ # U v2 1− 2 − 2 c 2c

qui conduit par intégration à l’équation suivante : # Z t" U v2 t−τ= + 2 dt 2 2c 0 c

(2.6)

(2.7)

Plus généralement, en prenant en compte les développements jusqu’en 1/c4 (et en négligeant les termes provenant de ∆(t, x)), on obtient : # # Z t" Z t" 4 1 v2 1 v 3v2 U U 2 i i t−τ= 2 U+ dt + 4 + − − 4v U dt (2.8) 2 2 2 c 0 c 0 8 Pour intégrer cette équation, il faut tout d’abord particulariser le mouvement de l’horloge par une trajectoire paramétrée au moyen des coordonnées t et xi , puis exprimer le potentiel U(x) provenant du Soleil, des planètes et de la Lune en chaque point. Sans entrer dans le détail, on voit déjà que pour une horloge placée au géocentre, le terme principal sera une dérive séculaire entre les deux échelles puisque la valeur moyenne de la fonction à intégrer n’est pas nulle. En prenant, pour la Terre, une orbite circulaire de rayon a = 1 au, on obtient pour l’action du Soleil, U/c2 ∼ GM /a c2 ∼ 9, 872 × 10−9 et v2 /2c2 ∼ 4, 935 × 10−9 , soit < dτ/dt >∼ 1 − 1, 4807 × 10−8 . 78

2.5. ÉCHELLES DE TEMPS RELATIVISTES Toujours dans le cas simple du mouvement de la Terre non perturbé autour du Soleil avec une ellipse képlérienne de faible excentricité, on a au premier ordre en e, avec M pour l’anomalie moyenne, µ = GM et n pour le moyen mouvement : µ µ U = ≈ (1 + e cos M) (2.9) r a puis : µ µ v2 µ = − ≈ (1 + 2e cos M) (2.10) 2 r 2a 2a et en reportant dans (2.7), on obtient sans difficulté : τ−t ≈−

3 µ 2µ t− e sin M 2 ac2 nac2

(2.11)

qui donne à nouveau le terme constant à ce niveau d’approximation (∼ 1.48 × 10−8 ) et l’amplitude du terme périodique annuel de 0.0016 s, correspondant à la première ligne de la table 2.3. La valeur exacte du terme de dérive dépend de l’éphéméride utilisée pour l’intégration, du temps d’intégration et de la procédure de calcul pour obtenir cette moyenne. Il reste donc une certaine ambiguïté dans sa définition et sa valeur. Selon la durée de l’intervalle, un terme à longue période peut devenir un terme séculaire et donc contribuer à la valeur moyenne. Ceci est particulièrement évident dans le cas où l’on effectue des intégrations numériques des mouvements, car ôter les termes séculaires ne peut se faire qu’en effectuant des moyennes sur des intervalles de temps dont la longueur est arbitrairement choisie. L’estimation la plus récente (Irwin et Fukushima, 1999) donne pour la valeur moyenne : dTCG < > = 1 − LC dTCB et : LC = 1.480 826 867 41 × 10−8 ± 2 × 10−17 L’intégration complète de l’équation aboutit à une éphéméride du TCG en fonction du TCB qui peut être représentée par des séries de polynômes de Tchebychev, ou par un développement analytique en série de Poisson, si les théories planétaires sous-jacentes sont analytiques. Un développement analytique en a été donné par Fairhead et Bretagnon (1990) à partir de la théorie VSOP87 sous la forme :   X X     P= tα  Aαi sin νiα tTDB + ψαi  (2.12) α

TDB

i

où tTDB est le Temps dynamique barycentrique exprimé en siècles juliens de 36 525 jours écoulés depuis l’époque J2000. Les termes les plus importants (A0i > 0.05 µs) pour α = 0 sont donnés dans la table 2.3. Une table complète comprenant plus de 800 composantes se trouve dans la procédure iau_DTDB de la collection de programmes SOFA consacrée à l’astronomie fondamentale (http://www.iausofa.org/). 79

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

Table 2.3 – Amplitudes, fréquences et phases de l’équation 2.12 donnant la différence P = TDB − TT pour les termes > 0.05 µs (Fairhead et Bretagnon, 1990). Les termes 1 et 3 proviennent du Soleil, les termes 2 et 4 de Jupiter, et 5 et 6 de Saturne.

Composante

Ai µs

νi rad/siècle

ψi rad

Période années

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1656.674 564 22.417 471 13.839 792 4.770 086 4.676 740 2.256 707 1.694 205 1.554 905 1.276 839 1.193 379 1.115 322 0.794 185 0.600 309 0.496 817 0.486 306 0.468 597 0.447 061 0.435 206 0.432 392 0.375 510 0.243 085 0.230 685 0.203 747 0.173 435 0.159 080 0.143 935 0.137 927 0.119 979 0.118 971 0.116 120 0.101 868 0.098 358 0.080 164 0.079 645 0.075 019 0.064 397 0.063 814 0.062 617 0.058 844 0.054 139

628.307 5850 575.338 4885 1 256.615 1700 52.969 0965 606.977 6755 21.329 9095 −0.352 3118 7 771.377 1468 786.041 9392 522.369 3920 393.020 9696 1 150.676 9770 157.734 3542 620.829 4251 588.492 6847 624.494 2814 2.629 8320 −39.814 9003 7.478 1599 550.755 3239 −77.552 2611 585.647 7659 1 203.646 0735 1 884.922 7550 1 097.707 8805 −79.629 8007 1 179.062 9089 3.813 3036 548.677 7843 105.938 1930 −557.314 2802 254.431 4420 20.618 5548 469.400 2955 294.246 3423 574.627 1338 576.049 8432 2.077 5395 42.659 8191 1 726.015 4655

6.240 0542 4.296 9774 6.196 9044 0.444 4016 4.021 1951 5.543 1133 5.025 1327 5.198 4666 5.988 8223 3.649 8237 1.422 7451 2.322 3131 2.678 2719 5.696 7018 0.520 0072 5.866 3988 3.615 7965 4.349 3383 2.435 8983 4.103 4768 3.651 8379 4.773 8526 4.333 9878 6.153 7435 1.890 0752 5.957 5178 1.135 9347 4.551 5858 1.914 5472 0.873 5041 5.984 5034 0.092 7939 2.095 3777 2.949 2336 4.980 9318 1.280 3087 4.167 9017 2.654 3948 4.839 6501 3.411 0911

1.00 1.09 0.50 11.86 1.04 29.46 1783.42 0.08 0.80 1.20 1.60 0.55 3.98 1.01 1.07 1.01 238.92 15.78 84.02 1.14 8.10 1.07 0.52 0.33 0.57 7.89 0.53 164.77 1.15 5.93 1.13 2.47 30.47 1.34 2.14 1.09 1.09 302.43 14.73 0.36

80

2.5. ÉCHELLES DE TEMPS RELATIVISTES

2.5.2

Les échelles TT et TDB

L’échelle de Temps terrestre (TT) est l’échelle de temps utilisée pour les éphémérides géocentriques apparentes. Le TCG est une échelle de temps-coordonnée rattachée au géocentre, sans lien théorique ou pratique avec le TAI. Pour pallier ce défaut, la volonté a été de définir une échelle idéale très proche du temps propre sur le géoïde et donc réalisable par des horloges locales. Son unité devait être la seconde SI sur le géoïde et l’échelle devait être en continuité avec le TE. À la date du 1er janvier 1977 à 0 h TAI, TT a pour valeur 1er janvier 1977, 0 h 0 min 32.184 s. L’échelle TT est une échelle de temps idéale réalisée par le TAI. On peut donc écrire : TT = TE = TAI + 32.184 s Entre 1976 et 1991, l’échelle TT a été introduite sous le nom de Temps dynamique terrestre (TDT). Le mot dynamique n’était pas heureux, car cette échelle, tout en étant idéalement identique au Temps des éphémérides, n’est en aucun cas associée à la théorie du mouvement d’un corps du Système solaire. Ce n’est donc pas un temps dynamique. Par ailleurs, on avait tendance à confondre le TDT avec le temps propre au centre de masse de la Terre, alors qu’il est beaucoup plus proche d’un temps propre à la surface de la Terre, puisqu’il partage la marche du TAI. En revanche, le temps-coordonnée TCG peut être considéré comme étant le temps propre d’une horloge idéale placée au centre de masse de la Terre, sans influence du champ gravitationnel de cette dernière. La différence entre les deux échelles est pour l’essentiel due au potentiel terrestre à sa surface (potentiel pris nul au centre de masse de la Terre). On peut écrire : d TT W0 = 1 − LG ≈ 1 − 2 d TCG c où W0 est le potentiel gravitationnel de la Terre à sa surface. Avec LG ∼ W0 /c2 ∼ GM⊕ /R⊕ c2 = 6.95 × 10−10 . Pour exprimer la relation complète entre TT et TCG, il faut prendre également en compte le potentiel du géoïde tournant, ainsi que les potentiels de marées des autres corps du Système solaire. La valeur du potentiel terrestre à sa surface est une quantité qui dépend des modèles de géoïde et est sujette à révision. Pour éviter des changements possibles provenant de nouvelles réalisations du géoïde, l’UAI a introduit en 2000 (UAI 2000, résolution B.1.9) : LG = 6.969 290 134 × 10−10 comme nouvelle constante de définition. L’échelle TT ainsi définie n’a pas de dérive par rapport au TAI qui en est une réalisation pratique. Comme on l’a vu dans la section 2.5.1, le TCB varie par rapport au TCG, et également par rapport au TT puisque les constantes LC et LG ne se compensent pas. On peut donc 81

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS ainsi définir l’échelle TDB, proche du TCB, qui ne diffère du TT que par des termes périodiques, ces termes étant précisément ceux trouvés dans la relation TCB-TCG. C’est l’échelle de temps employée à l’heure actuelle pour les éphémérides du Système solaire de l’IMCCE/Bureau des longitudes (Moisson et Bretagnon, 2001 ; Fienga et Simon, 2004) et en particulier pour INPOP (section 5.4), bien que cette éphéméride soit également accessible avec le TCB comme variable indépendante. Pour les éphémérides numériques du JPL, on se reportera à sa documentation et aux différentes versions qui n’ont pas toujours utilisé strictement la même échelle de temps dynamique. Vis-à-vis du TCB, l’échelle TDB se comporte en moyenne comme TT. On a : dTDB/dTCB = 1 − LB où LB a, depuis la résolution B3 de l’UAI en 2006, le statut de constante de définition (UAI, 2006) : LB = 1.550 519 768 × 10−8 et : TDB = TCB − LB (JDTCB − 2 443 144, 500 3725) × 86 400 + TDB0 où TDB0 = −6.55 × 10−5 s est une nouvelle constante de définition introduite pour maintenir la continuité avec les formules en usage. Cette dernière constante a pour conséquence que le TDB n’est pas exactement synchronisé avec le TT, TCG et TCB au 1er janvier 1977 0 h TAI. Avec cette définition, on conserve : TDB = TT + P où P représente l’ensemble des termes périodiques obtenus à partir de l’intégrale (2.8) dépouillée de ses termes séculaires. On note la relation théorique LB = LC + LG − LC × LG qui a servi pour déterminer la valeur de LB à partir de LG et de la valeur de référence de LC .

2.5.3

Synthèse des relations entre les échelles de temps

Les différentes échelles de temps étudiées ci-dessus sont finalement liées par des relations simples rassemblées dans cette section. Dans la suite, P désigne toujours l’ensemble des termes de moyenne nulle de l’intégrale (2.8). Les deux échelles de temps-coordonnée sont TCB pour le temps barycentrique et TCG pour le système géocentrique. TCB − TCG = LC × (JD − 2 443 144, 5) × 86 400 + P + vE · r/c2 Lc = 1.480 826 867 41 × 10−8 82

2.6. LE TEMPS GNSS où vE est la vitesse barycentrique de la Terre et r la position géocentrique de l’observateur. JD est la date julienne de l’époque considérée. On calcule facilement qu’à la surface de la Terre le terme correctif correspondant dans l’expression de TCB − TCG est de l’ordre de 2 × 10−6 seconde. TCB − T DB = LB × (JD − 2 443 144, 5) × 86 400 − T DB0 TCG − T T = LG × (JD − 2 443 144, 5) × 86 400 T T (T AI) = T AI + 32.184 s T DB = T T + P avec : T DB0 = −6.55 × 10−5 s LB = 1.550 519 768 × 10−8 LG = 6.969 290 134 × 10−10

2.6

Le Temps GNSS

Le positionnement et la navigation globale au moyen des satellites (GNSS : Global Navigation Satellite System) font aujourd’hui partie de la vie quotidienne de chacun, consciemment ou non. La mesure du temps et la synchronisation des horloges embarquées sont au cœur de ces systèmes de navigation, et chaque système a développé une métrologie cohérente qui lui est propre, avec la réalisation de sa propre échelle interne. Comme ce sont des échelles fondamentalement construites à partir d’étalons de fréquence au césium, elles sont par nature très voisines du temps atomique et peuvent être rattachées au TAI, et également à l’UTC. L’utilisateur courant fait en principe confiance à l’application qu’il utilise dans son véhicule, son téléphone, son appareil photo numérique, qui se charge de la conversion en UTC ou même en Temps légal sans intervention de sa part. Les utilisations scientifiques du signal GNSS de haute précision nécessitent éventuellement d’effectuer, au cours des traitements, les conversions entre échelles de temps si on utilise l’échelle interne des systèmes.

2.6.1

Le temps GPS

Il s’agit d’une échelle continue (sans saut de seconde) réalisée par le segment sol du système GPS à partir d’horloges atomiques des stations de suivi et d’horloges embarquées à bord de chaque satellite de la constellation. Il conserve un écart constant avec le TAI. • Époque de référence : JD 244 4244.5, MJD 442 44.0, 6 janvier 1980 0 h UTC. • T GPS − TAI = − 19 s. • T GPS − UTC = n − 19 s (pour n, voir table 2.2). 83

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

2.6.2

Le temps Galileo

Le temps Galileo est dans son principe très semblable au temps GPS, avec une échelle continue synchronisée sur le TAI et un écart initial choisi pour être identique dans sa définition au temps GPS. Ainsi, le décalage à l’époque de référence n’est pas égal à l’écart TAI – UTC à cette époque : l’échelle ne coïncide pas avec l’UTC à son départ. • Époque de référence : JD 245 1412.5, MJD 514 12.0, 22 août 1999 0 h UTC. • T Galileo − TAI = − 19 s. • T Galileo − UTC = n − 19 s (pour n, voir table 2.2).

2.6.3

Le temps GLONASS

Le temps interne du système GLONASS n’est pas une échelle continue et inclut donc les sauts de seconde de l’UTC. Son origine est fixée sur le méridien de Moscou. On a donc : • T GLONASS − UTC = 3 h • T GLONASS − TAI = 3 h − (TAI − UTC) (voir table 2.2)

2.6.4

Le temps BeiDou

L’échelle de temps BeiDou est une échelle continue avec : • Époque de référence : JD 245 3736.5, MJD 537 36.0, 1er janvier 2006 0 h UTC. • T BeiDou − TAI = − 33 s. • T BeiDou − UTC = n − 33 s (pour n, voir table 2.2).

2.7 2.7.1

Les dates et les époques : les comptes longs Énoncé du problème

Il s’agit ici des datations qui se rapportent plus spécialement aux durées longues, comme le calcul du nombre de jours écoulés entre deux époques, séparées de plusieurs dizaines, centaines, voire milliers d’années. Pour ces durées longues, il a été trouvé, depuis longtemps, un moyen de repérer les époques, comme le fait le calendrier dans la vie courante 84

2.7. JOURS JULIENS pour suivre les années. Cependant, ce dernier, bien que défini par un algorithme très précis qui met en rapport une date calendaire avec un jour précis, ne permet pas de trouver rapidement l’intervalle de temps entre deux événements, comme entre le 12 février 1853 à 15 h et le 15 janvier 2007 à 8 h. Pour de nombreuses observations (éclipses, mouvements planétaires, étoiles variables, supernovae, etc.) et pour l’exploitation des archives des siècles précédents, l’astronome a besoin d’un repérage continu du temps qui rende l’évaluation des durées très simple dans le système décimal. Pour les astronomes, la solution est arrivée en deux étapes bien distinctes : • l’introduction du cycle julien en 1583 par Joseph Scaliger (1540-1609), grand érudit du xvie siècle, dans l’Opus de Emendatione Temporum, qui permet de compter les années à partir d’une origine éloignée dans le passé. Ceci ne conduit qu’à des années positives pour l’histoire humaine ; • le décompte continu des jours dans ce cycle, développé par John Herschel en 1849 dans son ouvrage Outline of Astronomy (art. 920-925), comme solution au problème de la chronologie longue.

2.7.2

Le cycle julien

Scaliger considéra trois cycles calendaires, alors en usage, pour construire un cycle d’une durée beaucoup plus longue : • le cycle solaire de 28 ans : il correspond au retour simultané d’une date et d’un jour de la semaine, identiques dans le calendrier julien. Le 1er janvier est un jour quelconque de la semaine et se trouve dans l’une des quatre années du cycle qui contient trois années communes et une année bissextile, soit 28 années différentes possibles dans le calendrier julien ; • le cycle de Méton ou du nombre d’or de 19 ans : il est lié à la date de Pâques et correspond au retour presque parfait des phases de la Lune aux mêmes dates de l’année solaire ; • le cycle de l’indiction romaine de 15 ans : il correspond à un rythme fiscal instauré dans l’Empire romain et, par la suite, à un cycle chronologique qui a perduré. Pour une année donnée, on a les valeurs S , A, I du rang de l’année dans chacun des cycles. Partant du triplet S = A = I = 1, on retrouvera les trois compteurs avec ces mêmes valeurs seulement 28 × 19 × 15 = 7980 ans plus tard, puisque les périodes sont des nombres entiers sans facteur commun. C’est la période julienne de 2 914 695 jours introduite par Scaliger. Il a nommé cette période cycle julien pour son lien avec l’année julienne, comme il le dit explicitement dans son ouvrage, et non en l’honneur de son père Jules Scaliger. 85

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS Joseph Scaliger voulait que l’origine du cycle corresponde au début de chacun des cycles et que ce soit le 1er janvier de l’année correspondante. Quelques équations d’arithmétique permettent de retrouver l’année de départ à partir des valeurs de S , A, I pour une année arbitraire. Pour l’année 2000, dans les trois cycles, on a les valeurs S 0 = 20, A0 = 5, I0 = 7 5 . On a alors, par un calcul direct, les valeurs correspondantes dans chaque cycle pour une année quelconque X dans le futur ou le passé : S ≡ 20 + (X − 2000)

(mod 28)

A ≡ 5 + (X − 2000)

(mod 19)

I ≡ 7 + (X − 2000)

(mod 15)

Pour résoudre le problème inverse, c’est-à-dire trouver l’année correspondant à une valeur donnée dans chacun des trois cycles, on passe par la résolution du système linéaire d’équations modulaires : X ≡S −8

(mod 28)

X≡A

(mod 19)

X ≡ I−2

(mod 15)

En particulier, l’année de début ou de fin d’un cycle julien (S = A = I = 0 avec la convention des congruences) est solution de : X ≡ 20

(mod 28)

X≡0

(mod 19)

X ≡ 13

(mod 15)

dont la solution générale est (théorème des restes chinois) : X = 3268 + 7980k

k = · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·

et pour k = −1, on trouve X = −4712, soit 4713 av. J.-C., pour l’origine du cycle julien actuel. Le cycle commence donc le 1er janvier −4712 à 12 h pour prendre fin le 1er janvier 3268 julien à 12 h, soit le 23 janvier 3268 grégorien. 5. Pour des raisons d’usage dans les équations de congruences, les indices au sein d’un cycle de longueur n, vont de 0 à n − 1 et non de 1 à n dans ce paragraphe.

86

2.7. JOURS JULIENS

2.7.3

Le décompte des jours avec les jours juliens

Le jour julien (JD pour Julian Day) ou date julienne est la durée écoulée depuis le 1er janvier −4712 à 12 h (4713 av. J.-C. à midi.). Il s’agit d’une durée écoulée et non d’un numéro de jour. Le premier jour a donc la valeur zéro. Dans la définition initiale de Scaliger, l’origine du cycle julien s’entendait à 12 h de temps solaire du méridien d’Alexandrie. Pour les jours juliens des astronomes, John Herschel a précisé qu’il prenait le méridien de Greenwich, qui deviendra en 1884 le premier méridien pour les cartes et la navigation. Aujourd’hui, cela signifie que les changements de jours juliens ont lieu pour toute la Terre à 12 h TU, ou à 12 h d’une échelle de temps continue pour des dates en TT par exemple. La date julienne est donc liée à un méridien origine et non au temps local du lieu de l’observateur. Puisque le jour julien est une durée, il peut contenir une partie fractionnaire pour indiquer un moment dans l’intervalle de 24 h. Dans ce système de décompte des jours, on a le 1.5 janvier 2000 = JD 2 451 545, le 1er janvier 2020 à 0 h = JD 2 458 849.5 et le premier jour du calendrier grégorien correspond à JD 2 299 160.5 pour la date du 15 octobre 1582 qui suit le 4 octobre 1582 julien donnant JD 2 299 159.5. Pour des époques récentes, en particulier dans les sciences spatiales, on utilise couramment le jour julien modifié, MJD = JD −2 400 000.5, dont l’origine est le 17 novembre 1858 à 0 h (JD 2 400 000.5). Le jour julien (JD) débute à 12 h alors que le MJD débute à 0 h. On supprime ainsi au moins deux chiffres décimaux dans la représentation jusqu’en 2132, ce qui permet de gagner dans la précision disponible sur la partie fractionnaire. Avec la représentation en double précision des nombres réels sur 64 bits, on dispose de 14-15 décimales, soit une précision pour une date exprimée en jours juliens de l’ordre de 5 ms, alors qu’elle est de 0.05 ms avec les MJD. Le passage d’une date calendaire habituelle à sa date julienne et son inverse se calculent par des algorithmes assez simples, mais délicats à mettre en œuvre, disponibles dans les ouvrages d’astronomie fondamentale et dans les bibliothèques informatiques. Pour étendre leur validité avant la réforme grégorienne, il faut introduire la discontinuité du calendrier pour l’année 1582 et tenir compte du changement dans la définition des années bissextiles. L’extension du calendrier grégorien à une date antérieure à la réforme s’appelle le calendrier grégorien proleptique. En principe, toutes les dates historiques sont données dans le calendrier valable à la date concernée : on doit donc mentionner de façon claire si une date est employée dans le calendrier grégorien proleptique. Enfin, comme la date d’adoption du calendrier grégorien n’a pas été uniforme selon les pays (9/20 décembre 1582 pour la France), il y a quelques incertitudes sur des dates provenant d’Angleterre, des Provinces-Unies ou d’Allemagne jusqu’au xviiie siècle. Les dates sont donc fréquemment données dans les deux styles. 87

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

2.7.4

Époques julienne et bessellienne

Pour les comptes longs, on utilise couramment une notation particulière avec des années juliennes décimales, sans tenir compte des détails du calendrier grégorien. Il s’agit des époques juliennes, notées JE, liées de façon simple à la date julienne par : JE = 2000.0 +

JD − 2 451 545.0 365.25

On note cette date par Jaaaa.aa, où aaaa.aa est l’année décimale de l’époque et non l’année décimale de la date. Par définition, l’époque J2000 est égale à JD 2 451 545.0, soit le 1er janvier 2000 à 12 h TT, ou encore à 11 h 58 min 55.8 s UTC. Ainsi, le 1er janvier 2010 à 0 h, on a JD 2 455 197.5 conduisant à l’époque julienne J2010.0. Mais pour des années impaires, une date ronde à 0 h ou à 12 h ne conduit pas à une époque ronde. Par exemple le 1er janvier 2021 à 0 h, on a JD 2 459 215.5 et l’époque J2021.000684 · · · et à 12 h on obtient J2021.002053 · · · . La transformation inverse donne la date julienne à partir d’une époque avec : JD = 365.25(JE − 2000.0) + 2 451 545.0 qui donne pour J2021.0 la date julienne JD 2 459 215.25 soit le 31 décembre 2020 à 18 h. Il ne faut donc pas conclure hâtivement à une correspondance simple entre une époque julienne ronde et une date ronde au 1er janvier. Table 2.4 – Correspondance entre époques, dates juliennes et dates calendaires. Époque bessélienne

Date julienne

julienne

calendaire

heure

B1850.0 B1875.0 B1900.0 B1950.0 B2000.0

J1850.001926 J1875.001392 J1900.000857 J1949.999789 J1999.998723

2396758.2036 2405889.2586 2415020.3135 2433282.4235 2451544.5334

31/12/1849 31/12/1874 31/12/1899 31/12/1949 01/01/2000

16 h 53 min 11 s 18 h 12 min 23 s 19 h 31 min 26 s 22 h 09 min 50 s 00 h 48 min 06 s

B1991.251091 B1950.000210 B2000.001278 B2050.002345

J1991.25 a J1950.0 J2000.0 J2050.0

2448349.0625 2433282.5 2451545.0 2469807.5

02/04/1991 01/01/1950 01/01/2000 01/01/2050

13 h 30 min 00 s 00 h 12 h TT 00 h TT

a

Catalogue Hipparcos

88

2.8. LA QUANTITÉ TT-UT L’utilisateur sera amené à rencontrer d’autres époques pour des observations ou des catalogues un peu anciens. Les plus fréquentes sont consignées dans la table 2.4 avec une exactitude de ±3 s. L’époque Bxxxx.xx utilise une durée de l’année égale à l’année tropique de 365.242 198 781 jours, qui était en usage dans les constantes astronomiques jusqu’en 1976, en particulier dans la théorie de la précession. L’origine de l’année bessellienne est l’instant où l’ascension droite du soleil moyen fictif est exactement 18 h 40 min, soit 280◦ . C’est aussi la valeur de la longitude du soleil moyen rapportée à l’équinoxe moyen de la date. On peut trouver l’une ou l’autre définition, les ouvrages récents utilisant plutôt la longitude que l’ascension droite. Ce choix a été fait afin que cet instant soit toujours très voisin du début de l’année calendaire grégorienne, d’où l’apparition de l’année tropique dans la définition de l’époque bessellienne. L’usage d’une durée de référence (année tropique) et d’un phénomène astronomique pour marquer le début d’une année peut conduire à des incohérences sur le long terme. L’époque B1875.0 a été utilisée pour le calcul des limites des constellations et B1950.0 constituait l’époque standard de l’astronomie jusqu’en 1976, lorsque l’UAI a introduit l’époque et l’équinoxe J2000 pour une entrée en vigueur au plus tard en 1984. Finalement, avec ces définitions, on a les transformations directes et inverses entre la date julienne et l’époque bessellienne : BE = 1900.0 +

JD − 2 415 020.313 52 365.242 198 781

JD = 365.242 198 781(BE − 1900.0) + 2 415 020.313 52

2.8 2.8.1

Datation des phénomènes astronomiques dans le passé Énoncé du problème

Cette section traite du raccordement historique des échelles de temps astronomiques qui impliquent, d’une part, des objets du Système solaire (position de planètes, phénomènes tels qu’éclipses ou passages de Mercure et Vénus devant le Soleil, occultations d’étoiles par la Lune, instant de l’équinoxe, etc.) et la rotation de la Terre, et, d’autre part, la datation en temps solaire (moyen ou vrai). Les éphémérides modernes sont en mesure de calculer avec précision ces événements passés avec une échelle de temps t semblable au temps newtonien, et aujourd’hui bien représenté par le TT ou le TDB. D’un autre côté, la datation d’une observation ancienne, avant 1900, est toujours une forme de temps solaire, qui lie l’écoulement du temps à la rotation de la Terre repérée par rapport au Soleil. Pour 89

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS exploiter ces observations avec les théories modernes, il faut pouvoir raccorder l’échelle de temps de la théorie à celle des observations. Par définition, il s’écoule 24 h de temps solaire (vrai ou moyen) entre deux passages du Soleil (vrai ou moyen) au méridien d’un lieu, et la seconde est une fraction de cette durée. Il a été établi au début du xxe siècle que, relativement au temps uniforme de la mécanique, la rotation de la Terre n’était pas aussi régulière qu’on l’avait supposée pendant des siècles (à juste titre, si l’on s’en tient aux observations) et que, sur le long terme, la durée du jour (une révolution par rapport au soleil moyen) n’était pas constante. Si tous ces phénomènes étaient prévisibles et représentables dans l’échelle de temps uniforme t, il aurait été possible d’utiliser la Terre comme étalon primaire du temps. Mais cette rotation est sujette à un grand nombre d’irrégularités d’origines interne et atmosphérique, qui aujourd’hui encore ne peuvent être déterminées qu’à partir d’observations régulières. L’objet de cette section est d’établir le lien entre ces deux échelles sur la période historique (quelques milliers d’années), c’est-à-dire de fournir les éléments de calcul d’une éphéméride de la rotation de la Terre (orientation en fonction du temps) dans une échelle de temps uniforme. Muni de cette correspondance, il est alors possible d’exploiter ces observations anciennes, et ainsi d’étudier la rotation de la Terre dans le passé, par exemple lorsqu’une observation d’éclipse est bien localisée et datée. Par la suite, on utilisera t pour désigner le temps uniforme et τ pour une échelle rattachée à la rotation de la Terre. L’écart t − τ est généralement noté ∆T , voire Delta t ou Delta T. On a ici : ∆T = t − τ = TT − UT

(2.13)

et sa valeur est donnée en secondes. La convention de signe dans (2.13) est bien respectée dans toutes les publications. Il n’y a pas de distinction entre UT, UTC et UT1, car on ne peut étendre chacune de ces échelles dans le passé lointain et la précision de ∆T ne le justifie pas. La référence la plus proche est le temps solaire moyen, UT1 pour l’époque moderne. Il en va de même pour l’échelle uniforme notée TT, sans distinction entre les différentes variétés qui incluent les effets relativistes. Il s’agit de l’échelle de temps utilisée pour calculer les éphémérides, et qui a été utilisée pour établir la valeur de ∆T en confrontant des observations datées en temps solaire et calculées avec des éphémérides. L’objectif est donc d’étendre dans le passé (et de prédire autant que possible pour le futur) la table 2.2 ou la courbe de la figure 2.1, en incluant le décalage constant TT − TAI = 32.184 s. Au 1er janvier 2018, on a ∆T = 68.968 s venant de TT − TAI = 32.184 s, puis TAI − UTC = 37.000 s, et UT1 − UTC = 0.216 s.

2.8.2

Les mesures

Obtenir la valeur de ∆T dans le passé nécessite la comparaison d’observations à des calculs. Ces observations peuvent être datées ou décrites de telle façon que même avec 90

2.8. LA QUANTITÉ TT-UT une date approximative, elles contraignent l’orientation de la Terre au moment de cette observation, si le lieu est connu. Une phase d’éclipse bien décrite au moment d’un lever ou d’un coucher du Soleil est une information sans mesure temporelle directe, mais très contraignante. De même, l’existence d’une éclipse solaire totale en un lieu implique que l’observateur était tout au plus à une centaine de kilomètres de la ligne de centralité. Un décalage de ∆θ dans l’orientation de la Terre déplace la position de la ligne de centralité à la surface de la Terre d’une quantité de l’ordre de R⊕ ∆θ, où R⊕ est le rayon de la Terre. Les premiers travaux sur l’exploitation des éclipses anciennes ont été effectués par J.K. Fotheringham dans les années 1920, à partir de quelques éclipses du monde grec. Aujourd’hui, la quasi-totalité de ce que l’on connaît sur l’histoire de la rotation de la Terre dans les temps historiques (à partir de −700) provient des travaux remarquables de F.R. Stephenson et L.V. Morrison. Depuis 1975, ils ont exploité, d’une part, les éclipses babyloniennes, chinoises, arabes et européennes pour la période qui précède les lunettes et télescopes, et, d’autre part, l’énorme masse d’observations d’occultations d’étoiles par la Lune engrangée dans tous les observatoires après 1650. Les valeurs ci-dessous proviennent de leur dernière publication en 2016. On trouve en ligne de nombreuses formules polynomiales applicables à différents intervalles de temps, mais la source primaire de l’information reste les travaux de Stephenson et Morrison en 1995 Stephenson et Morrison (1995), 2004 Morrison et Stephenson (2004) et 2016 Stephenson et al. (2016). L’approximation globale par une parabole sur l’ensemble de la période de −700 à nos jours donne (Stephenson et al., 2016) : !2 t − 1825 ∆T = −320.0 + (32.5 ± 0.6) (2.14) 100 où t est la date en année. Mais la simplicité ne va pas toujours avec la précision et, autour de l’an 1000, des écarts entre la parabole et les éclipses arabes peuvent atteindre 500 s. Pour la période télescopique, la parabole est non seulement erronée d’environ 300 s, mais surtout, elle est insuffisante pour rendre compte des détails permis par la qualité des instants mesurés des occultations. Un ajustement par une fonction spline est aussi fourni dans Stephenson et al. (2016) et permet de calculer une table pour la période récente. L’ensemble des valeurs est reproduit ici sous forme graphique (figure 2.3 et figure 2.4) et sous forme de tables interpolables (table 2.5 et table 2.6) pour la période historique et l’ère moderne. L’incertitude estimée par les résidus sur les observations est donnée par les auteurs dans (Morrison et Stephenson, 2004). Elle est inférieure à 1 s après 1850, de quelques secondes entre 1650 et 1850, de quelques dizaines de secondes après l’an 1000, et croît quadratiquement de 100 à 600 s jusqu’à l’époque −1000. On a alors, avec une bonne approximation : !2 t − 1820 σ∆T ≈ 0.8 s (2.15) 100 91

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS Finalement, avec ces travaux conduits sur plusieurs décennies, on a, pour la période historique, une bonne idée du raccordement des échelles de temps uniforme d’usage courant à l’échelle historique construite sur le mouvement apparent du Soleil et la rotation de la Terre. Rien de précis ne peut être dit pour des durées plus longues que quelques millénaires dans le passé, mais l’incertitude concerne également le futur immédiat. Les circonstances des éclipses ou des passages de planètes devant le Soleil sont calculées avec grande précision en l’an 3000 dans une échelle TDB ou TT, mais leur traduction en termes de zones de visibilité sur Terre n’offre aucune certitude à ce même niveau de précision. Bien que ces phénomènes soient datés en UTC, il s’agit d’une extrapolation jugée raisonnable, mais d’autant plus incertaine que l’on s’éloigne du présent. Toute publication d’une information sur un phénomène astronomique daté avec précision dans le futur en UTC devrait faire apparaître la valeur de ∆T qui a été utilisée. Table 2.5 – Différences TT − UT, en secondes, de −1000 à 1550, calculées à partir des données de Stephenson et al. (2016).

Époque TT − UT s

Époque TT − UT s

−1000.0 −950.0 −900.0 −850.0 −800.0 −750.0 −700.0 −650.0 −600.0 −550.0 −500.0 −450.0 −400.0

−350.0 −300.0 −250.0 −200.0 −150.0 −100.0 −50.0 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0

25437.3 24527.3 23633.5 22756.0 21894.8 21049.8 20174.6 19266.5 18402.4 17579.8 16796.2 16049.2 15336.4

Époque TT − UT s

14655.4 14003.7 13379.0 12778.8 12200.6 11642.1 11100.8 10574.3 10060.2 9556.0 9059.4 8567.9 8079.1

300.0 350.0 400.0 450.0 500.0 550.0 600.0 650.0 700.0 750.0 800.0 850.0 900.0

92

7590.5 7099.7 6604.4 6103.2 5599.7 5098.6 4604.5 4122.1 3656.2 3211.4 2792.3 2403.7 2050.3

Époque TT − UT s 950.0 1000.0 1050.0 1100.0 1150.0 1200.0 1250.0 1300.0 1350.0 1400.0 1450.0 1500.0 1550.0

1736.7 1467.7 1245.9 1066.2 921.5 804.8 708.8 626.6 550.9 474.8 391.1 292.6 180.7

2.8. LA QUANTITÉ TT-UT

30 000 TT – UT (s) 25 000

ΔT (s)

20 000 15 000 10 000 5 000 0 – 5 000 – 1000

– 500

0

500 Époque

1000

1500

2000

Figure 2.3 – Différence TT − UT, en secondes, de −1000 à 2000, établie à partir de Stephenson et al. (2016). Les observations contraignent ∆T jusqu’en −720. La parabole (2.14) est extrapolée et rendue continue à la transition.

100 TT – UT (s) 80

ΔT (s)

60

40

20

0 1600

1650

1700

1750

1800 Époque

1850

1900

1950

2000

Figure 2.4 – Différence TT − UT, en secondes, de 1600 à 2020, établie à partir de Stephenson et al. (2016).

93

CHAPITRE 2. ÉCHELLES DE TEMPS

Table 2.6 – Différences TT − UT, en secondes, de 1600 à 2015, calculées à partir des données de Stephenson et al. (2016).

Époque TT − UT s

Époque TT − UT s

Époque TT − UT s

Époque TT − UT s

1600.0 1605.0 1610.0 1615.0 1620.0 1625.0 1630.0 1635.0 1640.0 1645.0 1650.0 1655.0 1660.0 1665.0 1670.0 1675.0 1680.0 1685.0 1690.0 1695.0 1700.0

1705.0 1710.0 1715.0 1720.0 1725.0 1730.0 1735.0 1740.0 1745.0 1750.0 1755.0 1760.0 1765.0 1770.0 1775.0 1780.0 1785.0 1790.0 1795.0 1800.0 1805.0

1810.0 1815.0 1820.0 1825.0 1830.0 1835.0 1840.0 1845.0 1850.0 1855.0 1860.0 1865.0 1870.0 1875.0 1880.0 1885.0 1890.0 1895.0 1900.0 1905.0 1910.0

1915.0 1920.0 1925.0 1930.0 1935.0 1940.0 1945.0 1950.0 1955.0 1960.0 1965.0 1970.0 1975.0 1980.0 1985.0 1990.0 1995.0 2000.0 2005.0 2010.0 2015.0

89.38 83.01 77.21 71.92 67.06 62.59 58.44 54.54 50.83 47.25 43.74 40.24 36.78 33.39 30.11 26.97 24.00 21.25 18.74 16.50 14.58

13.01 11.82 11.05 10.73 10.88 11.43 12.32 13.46 14.78 16.20 17.63 19.01 20.26 21.29 22.04 22.42 22.35 21.76 20.58 18.71 16.42

94

15.25 16.20 16.68 14.27 10.76 8.48 7.67 8.03 9.32 10.38 9.04 8.26 2.37 −1.13 −3.21 −4.39 −3.88 −5.02 −1.98 4.92 11.14

17.48 21.62 23.79 24.42 24.16 24.43 27.05 28.93 30.41 33.07 35.09 39.93 45.28 50.36 54.39 56.86 60.79 63.83 64.69 66.07 67.64

Chapitre 3

Syst`emes de r´ef´erence

3.1 3.1.1

Introduction Notions de système de référence et de repère de référence

L’étude des mouvements et des positions des astres nécessite la définition et la construction de systèmes de coordonnées spatiales et temporelles. Le mouvement et la position n’étant pas des concepts absolus, ils ne peuvent être décrits que par rapport à une référence. Ces concepts et leur application aux différentes étapes de construction des systèmes de référence terrestres et célestes ont été formalisés par Kovalevsky et Mueller (1981). Les références peuvent être fournies directement par des phénomènes naturels ou bien être une abstraction de la théorie. Une théorie définit son propre système de référence. Par ailleurs, il existe dans la nature de bonnes représentations physiques de ces références implicites par rapport auxquelles on peut observer les phénomènes prévus par la théorie. Ceci introduit deux objets distincts : l’un, abstrait, le système de référence de la théorie, l’autre, concret, la réalisation de ce système auquel on donne le nom de repère de référence. Un système de référence est une triade de directions associée à une coordonnée temporelle, qui doit vérifier une propriété générale donnée, et qui sert à décrire position et mouvement. Il s’agit d’une notion abstraite, car les axes ne sont pas directement accessibles. On accède de façon pratique à un système de référence céleste en attribuant des valeurs aux coordonnées (et leurs variations dans le temps) d’un certain nombre d’objets célestes. L’ensemble de ces objets de référence, les directions axiales définies par leur intermédiaire, ainsi que leur origine, constituent un repère de référence que l’on peut adopter pour représenter le système. Le repère de référence doit représenter aussi bien que possible le système de référence correspondant, ce qui constitue son exactitude. Il doit aussi 95

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE être durable, car les astronomes utilisent des séries d’observations couvrant de très longues périodes. Ces exigences d’exactitude et de pérennité peuvent être contradictoires, mais la difficulté a été très atténuée avec le remplacement des étoiles par des objets extragalactiques pour réaliser le système de référence céleste.

3.1.2

De la théorie newtonienne à la relativité générale

En mécanique newtonienne, la propriété qui est à la base de la définition d’un système de référence idéal est le caractère inertiel. Cependant, l’utilisation de théories dynamiques purement newtoniennes n’est plus compatible avec la précision et l’exactitude des observations effectuées par les techniques modernes d’observation. Il faut donc adopter une théorie relativiste de la gravitation dans laquelle il n’y a plus de véritable séparation entre les coordonnées spatiales et temporelles. Il est nécessaire pour cela d’adopter de nouveaux concepts et de nouvelles formulations. La section 3.2 présente les systèmes de référence spatio-temporels qui ont été adoptés par l’UAI pour exprimer les observations et les mouvements dans le cadre de la relativité générale, ainsi que les relations entre ces différents systèmes.

3.1.3

Définitions cinématique et dynamique des systèmes de référence

Il existe deux approches possibles pour la construction des systèmes de référence. Une approche consiste à trouver des phénomènes naturels qui sont censés être des réalisations des références théoriques. Le système de référence céleste ainsi défini correspond à une définition cinématique. Dans ce cas, un système de référence idéal peut, par exemple, être défini de sorte que les directions d’objets situés aux confins de l’Univers, vues depuis le centre des masses du Système solaire, soient quasiment fixes. Il est alors appelé système de référence céleste non tournant. C’est le cas du Système de référence céleste international, l’ICRS. Les catalogues de coordonnées des radiosources extragalactiques observées avec la technique VLBI matérialisent ce système de référence cinématique. C’est le cas du Repère de référence céleste international, l’ICRF. La section 3.3 présente l’ICRS et ses matérialisations physiques, notamment celles dans le domaine radio par l’ICRF, ainsi que sa réalisation en optique par le Gaia-CRF. Une autre approche consiste à utiliser la dynamique elle-même, c’est-à-dire les équations du mouvement. Le système de référence céleste ainsi défini correspond à une définition dynamique. Les éphémérides des objets du Système solaire sont des matérialisations du système de référence dynamique, conforme à la théorie qui a permis de les établir. La section 3.4 présente l’apport des solutions analytiques et numériques du mouvement de la 96

3.2. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE RELATIVISTES Terre, des planètes de notre système solaire et de la Lune, relatif aux systèmes et repères de référence. Toutefois, les solutions modernes sont rapportées à l’ICRS et ne sont donc plus utilisées pour définir ou réaliser un système de référence. Cette présentation sera donc brève. Les solutions planétaires et lunaires seront par contre développées en détail dans le 5.

3.1.4

Référence terrestre et lien entre les systèmes terrestre et céleste

Dans le cas d’observations géodésiques ou géophysiques, on cherche à modéliser des mouvements de points à la surface de la Terre ou dans son environnement immédiat. Un système de référence terrestre doit alors représenter au mieux la surface de la Terre et être tel que la croûte terrestre ne doit avoir ni rotation ni translation d’ensemble. La section 3.5 explique comment a été défini un tel système, appelé ITRS (International Terrestrial Reference System), et comment sa matérialisation physique, l’ITRF (International Terrestrial Reference Frame), a été mise en place. Enfin, lors d’observations d’objets célestes ou artificiels réalisées depuis le sol, il est nécessaire d’établir des liens entre les coordonnées observées dans le système de référence terrestre et les coordonnées du même objet dans le système de référence céleste. De nouveaux concepts et de nouveaux modèles ont été adoptés par l’UAI et l’UGGI, entre 2000 et 2006, afin d’exprimer cette transformation entre le repère terrestre et le repère céleste géocentrique, avec la précision et l’exactitude requises par les techniques modernes d’observation. La section 3.6 présente les concepts, les procédures et les expressions à utiliser dans ce but.

3.2 3.2.1

Systèmes de référence relativistes Contexte

Le cadre relativiste adopté par l’UAI et l’UGGI pour les références de temps et d’espace, qui est présenté dans les sections suivantes, résulte de travaux successifs. Dans un premier temps, ces travaux ont porté sur l’établissement d’une correction relativiste à un modèle de base newtonien, compte tenu de la faible valeur numérique de cette correction dans des configurations de vitesses faibles et de champs faibles. Par la suite, le degré de précision atteint par les observations a mené au développement d’un modèle relativiste cohérent via l’adoption d’une métrique. Ces travaux ont fait l’objet de nombreuses publications, dès les années 1970 pour les échelles de temps et les méthodes de comparaison d’horloges (voir par exemple Ashby et Allan, 1979), puis dès la fin des années 1980 pour 97

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE la définition relativiste des systèmes célestes barycentriques et géocentriques (voir par exemple Fukushima et al., 1986 ; Soffel, 1989 ; Brumberg et Kopejkin, 1989 ; Damour, 1989). Plusieurs groupes de travail internationaux de l’UAI, l’UGGI et du BIPM ont contribué à l’avancement de ces travaux, dont les résultats ont été synthétisés dans les recommandations internationales adoptées à partir de 1990.

3.2.2

Cadre théorique

Dans les théories de la relativité d’Einstein (1879-1955) (relativité restreinte et relativité générale, élaborées respectivement en 1905 et 1915), de nouveaux principes et de nouvelles lois remplacent les principes de la théorie de Newton, notamment la loi de la gravitation universelle. En relativité restreinte (ou Special Relativity en anglais), à la différence de la mécanique classique ou newtonienne, le temps n’a pas de caractère absolu, mais constitue, comme les coordonnées d’espace, une coordonnée du système de référence choisi. L’espace-temps plat quadridimensionnel dans lequel on repère un point, appelé événement, remplace l’espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel on repère l’ensemble des positions en fonction du temps. On peut encore définir des systèmes de référence dits inertiels, dans lesquels les lois de la physique locale sont les mêmes et la vitesse de la lumière, c, constante. La transformation entre ces systèmes se compose d’une translation uniforme et d’une rotation indépendante du temps, plus une transformation de Lorentz qui assure l’invariance de c. Dans ces systèmes de référence, on peut caractériser l’espace-temps plat par la métrique de Minkowski, qui s’écrit, entre deux points (ou événements), sous la forme (utilisant la convention de sommation d’Einstein) : ds2 = −(dx0 )2 + dxi dxi où x0 = ct est la coordonnée temporelle, xi (i = 1, 2, 3) sont les coordonnées spatiales et dxi (i = 0, 1, 2, 3) les différences de coordonnées (espace-temps) entre les deux points. La théorie de la relativité générale (RG) (General Relativity Theory, GRT en anglais) constitue une extension du principe de relativité restreinte aux systèmes accélérés et une théorie fondamentale du champ de gravitation. Il n’y a pas d’action à distance ; c’est la structure géométrique de l’espace-temps (courbe), dans lequel les corps sont en chute libre, qui rend compte des phénomènes physiques et de la répartition des masses. On peut caractériser cet espace courbe par une métrique, qui s’exprime par un tenseur métrique, de coefficients gi j symétriques (gi j = g ji ). Cette métrique s’écrit entre deux points infiniment voisins, sous la forme : ds2 = g00 (dx0 )2 + g0i dx0 dxi + gi j dxi dx j 98

(3.1)

3.2. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE RELATIVISTES avec les mêmes notations que précédemment pour les xi et dxi (i = 0, 1, 2, 3). La forme des coefficients gi j définit un système de référence particulier. ll n’existe pas de classe privilégiée de systèmes de référence, ni de système de référence universel. Par contre, il existe des systèmes locaux qui sont plus appropriés que d’autres à la modélisation physique d’un problème à étudier. L’utilisation simultanée de plusieurs systèmes de référence (par exemple barycentrique et géocentrique) nécessite d’expliciter la formule de transformation entre ces systèmes. Par ailleurs, les coordonnées d’espace-temps n’ont pas de sens physique ; il est donc essentiel de construire des quantités observables de forme scalaire. Les coefficients de la métrique sont les solutions de l’équation fondamentale de la relativité générale (équation d’Einstein). Cette équation, qui décrit de façon locale la relation entre la courbure de l’espace-temps et la présence de matière-énergie, s’écrit sous la forme : S µν = 8πGT µν

(3.2)

où S µν est le tenseur d’Einstein, dépendant de la métrique, T µν est le tenseur impulsionénergie qui décrit en chaque point l’état énergétique et G est la constante de gravitation universelle. Les équations à considérer se simplifient si l’on se place localement dans le voisinage d’un champ gravitationnel faible. C’est le cas des systèmes de référence centrés dans le Système solaire au sein duquel se situent les phénomènes généralement considérés en astronomie fondamentale, géodésie spatiale et mécanique céleste ; ceux-ci font intervenir des vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière et des champs faibles. On peut alors utiliser des systèmes de référence dont les métriques peuvent s’écrire sous la forme (approximation post-newtonienne) : g00 = −(1 + h00 )

g0i = −h0i

gi j = δi j − hi j

(3.3)

où les h00 , h0i et hi j sont des développements en fonction d’un petit paramètre en 1/c et δi j est le symbole de Kronecker. À l’ordre zéro de ce paramètre, ces métriques se réduisent à la métrique de la relativité restreinte, les systèmes de référence à des systèmes inertiels et les mouvements des corps aux solutions fournies par la mécanique newtonienne.

3.2.3

3.2.3.1

Historique des résolutions de l’Union astronomique internationale (UAI) sur l’application de la relativité générale Résolutions de l’UAI de 1991 à 1997

Les recommandations de l’UAI portant sur la définition des systèmes de référence dans le cadre de la théorie de la relativité générale ont été formulées, pour la première fois, au 99

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE cours d’intenses discussions lors du colloque 127 de l’UAI en 1990. Une recommandation a également porté sur le choix du futur système de référence céleste barycentrique basé sur les positions observées d’objets extragalactiques. Un an plus tard, ces recommandations ont été adoptées sous la forme de la résolution A4 de l’UAI 1991, qui introduit explicitement, par une série de onze recommandations, la théorie de la RG comme théorie fondamentale pour la définition des systèmes de référence spatio-temporels relatifs à différents centres de masses (géocentre, barycentre du Système solaire, etc.). Cette résolution a été adoptée également par l’Union internationale de géodésie et géophysique (UGGI), par l’intermédiaire de la résolution 2 de l’UGGI 1991, qui a, de plus, défini un Système de référence terrestre conventionnel (CTRS, Conventional Terrestrial Reference System) comme étant déduit du système UAI de référence céleste géocentrique non tournant par une rotation spatiale (voir section 3.5). Sur la base de ces deux résolutions et de l’adoption du Système de référence céleste international (ICRS, International Celestial Reference System) par la résolution UAI 1997 B2 et du Système international de référence terrestre (ITRS, International Terrestrial Reference System), d’abord sous le nom CTRS, puis ITRS, par la résolution 2 UGGI 2007, ces deux systèmes de référence peuvent être considérés comme des systèmes de référence relativistes à quatre dimensions, reliés entre eux par une transformation relativiste à quatre dimensions (transformation de Lorentz généralisée), avec une rotation triaxiale complémentaire des axes de coordonnées spatiales. Les échelles de temps associées sont respectivement le Temps-coordonnée barycentrique (TCB) et le Temps-coordonnée géocentrique (TCG) (voir section 2.5.1). Ces systèmes de référence sont réalisés physiquement par les repères de référence ICRF, International Celestial Reference Frame) (adopté par la résolution UAI 1997 B2) et ITRF (International Terrestrial Reference Frame). Ces repères sont maintenus par l’IERS (International Earth rotation and Reference systems Service). L’ICRF est matérialisé par un ensemble de quasars de référence de coordonnées angulaires constantes par rapport au TCB (voir section 3.3). Pour des raisons pratiques, on a choisi pour plan de l’ICRF un plan voisin de celui de l’équateur moyen de J2000.0 (voir section 3.3). L’ITRF est matérialisé par un ensemble de positions et de vitesses de stations terrestres de référence (voir section 3.5). On a choisi le plan principal de ce repère comme plan de l’équateur de la date, déterminé à partir des données expérimentales extraites des paramètres d’orientation de la Terre (EOP, Earth Orientation Parameters). Suivant la résolution UAI 1991 A4, l’ICRS représente mathématiquement un système de coordonnées global dont l’origine est au barycentre du Système solaire (défini dans le cadre de la RG). Ce système englobe un espace dans lequel il est raisonnable de considérer le Système solaire comme un système de masses isolé (en négligeant l’influence du potentiel galactique), dont l’émission de radiation gravitationnelle est négligeable. Dans ce cadre, l’ICRF est équivalent au système inertiel de l’astrométrie newtonienne. Le CTRS (appelé ensuite ITRS) représente un système de coordonnées local tournant avec la Terre. Il englobe une région de l’espace dans le voisinage de la Terre et son origine 100

3.2. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE RELATIVISTES est au géocentre (défini dans le cadre de la RG). Mais, dans la pratique, il faut noter que la résolution UAI 1991 A4 n’a jamais été appliquée sous sa forme complète, l’ICRS et l’ITRS étant, en fait, généralement utilisés comme des systèmes de coordonnées triaxiaux newtoniens, et le TCB et le TCG étant généralement remplacés respectivement par le Temps dynamique barycentrique (TDB) ou son équivalent le T eph , défini par Standish (1998), et le Temps terrestre (TT). Cependant, les transformations relativistes reliant le TDB au TT d’une part, et les coordonnées spatiales barycentriques aux coordonnées géocentriques d’autre part, ont été utilisées dès les années 1980 dans des observations de haute précision, telles que le VLBI et le LLR (Lunar Laser Ranging). Dans la dernière décennie du xxe siècle, les résolutions de l’UAI 1991 ont été complétées à chaque assemblée générale de l’UAI. La résolution UAI 1994 C7, qui a défini l’époque J2000.0 et la durée du siècle julien en TT, a aussi recommandé le développement des nouvelles éphémérides en TCB et TCG. La résolution UAI 1997 B6 a recommandé encore une fois l’usage de systèmes de référence barycentrique et géocentrique en accord avec la résolution UAI 1991 A4, c’est-à-dire sans introduire les facteurs d’échelle de longueur et de masse qu’entraîne l’utilisation du TDB et du TT à la place du TCB et du TCG, respectivement.

3.2.3.2

Résolutions de l’UAI de 2000 à 2009

La 24e assemblée générale de l’UAI a adopté la résolution UAI 2000 B1.3 (2001) qui implique des utilisations plus importantes de certains aspects de la RG dans la théorie des systèmes de référence astronomiques (Petit, 2000b). Cette résolution améliore ainsi la définition des systèmes de coordonnées d’espace-temps pour le Système solaire et pour la Terre, appelés respectivement Système de référence céleste barycentrique (BCRS) et Système de référence céleste géocentrique (GCRS), ainsi que l’expression de la transformation entre ces deux systèmes de référence dans le cadre de la RG. Le but est que la définition des deux systèmes, ainsi que leur cohérence, dans le cadre de la RG, soit en accord avec le niveau de précision et d’exactitude de l’ICRS et de sa réalisation ICRF et, de façon plus générale, des observations astrogéodésiques modernes. Deux autres résolutions ont également été adoptées par l’UAI 2000 dans le domaine de la RG : la résolution UAI 2000 B1.5 précise un niveau supérieur (post-newtonien complet) du cadre relativiste pour les transformations de temps et pour la réalisation des temps-coordonnées dans le Système solaire, afin d’être en accord avec la précision qui sera exigée pour les mesures futures de temps et de fréquence, compte tenu des performances prévues pour les horloges atomiques. La résolution UAI 2000 B1.9, a recommandé une redéfinition du TT par une relation linéaire conventionnelle en fonction de TCG, qui la rend indépendante des modèles de géoïde, comme c’était le cas dans la définition UAI 1991. 101

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE La 26e assemblée générale a complété les définitions du BCRS et du GCRS par la recommandation 2 de la résolution UAI 2006 B2 qui précise l’orientation des axes de coordonnées spatiales (voir section 3.2.4). Cette même assemblée générale a adopté la résolution UAI 2006 B3 qui redéfinit le TDB comme une fonction linéaire conventionnelle de TCB, rendant cette définition indépendante des modèles (voir section 2.5.1). Ces résolutions ont été mises en pratique par les conventions et les procédures de l’IERS. Les résolutions 2000 et 2006 sont entrées en vigueur respectivement le 1er janvier 2003 et le 1er janvier 2009 et ont été approuvées par l’UGGI respectivement en 2003 et 2007. De plus, une résolution spécifique de l’UGGI 2007 a donné une définition de l’ITRS, strictement compatible avec les résolutions UAI 2000, qui remplace la précédente définition du CTS. Enfin, en 2009, l’UAI a officiellement recommandé l’adoption du système UAI 2009 de constantes astronomiques qui, en accord avec la RG, donne différentes valeurs numériques exprimées en unités SI pour certaines constantes, suivant qu’elles sont destinées à être utilisées avec les échelles de temps TCG, TCB, TT ou TDB (voir chapitre 1).

3.2.4

Définition des systèmes de référence barycentrique BCRS et géocentrique GCRS

Le Système de référence céleste barycentrique (BCRS) et le Système de référence céleste géocentrique (GCRS) sont définis par les métriques spécifiées par la résolution UAI 2000 B1.3, qui sont décrites ci-dessous. Les développements recommandés dans cette résolution synthétisent les travaux de Brumberg et Kopejkin (1989) ; Brumberg (1991) ; Damour et al. (1991) ; Klioner et Voinov (1993) ; Kopejkin (1988), des groupes de travail de l’UAI et le comité joint UAI/ BIPM sur la relativité. Pour des explications plus détaillées sur les développements donnés dans cette section, il est utile de se reporter à Soffel et al. (2003), et pour une discussion sur les applications pratiques, à McCarthy et Petit (2004), IERS Conventions 2003, et Petit et Luzum (2010), IERS Conventions 2010, ainsi que la section 2.5.1 et la section 3.3.

Orientation des axes spatiaux des systèmes de référence BCRS et GCRS Formellement, le tenseur métrique laisse l’orientation finale des axes spatiaux indéfinie. Pour pallier ce problème, l’orientation du BCRS a été fixée par la résolution UAI 2006 B2, qui spécifie que pour toutes les applications pratiques, sauf indication contraire, le BCRS est supposé être orienté selon les axes de l’ICRS. La résolution UAI 2006 B2 102

3.2. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE RELATIVISTES précise que l’orientation spatiale du GCRS est dérivée de l’orientation du BCRS selon les axes de l’ICRS. Le GCRS est défini (équation 3.9) de telle manière que la transformation de coordonnées spatiales entre le BCRS et le GCRS ne contient pas de composante de rotation, de sorte que le GCRS est un système géocentrique cinématiquement non tournant par rapport au BCRS. Ainsi, les équations du mouvement, par exemple celles d’un satellite de la Terre, exprimées dans le GCRS contiendront des termes relativistes des forces de Coriolis qui proviennent principalement de la précession géodésique. Ce choix d’un système géocentrique cinématiquement non tournant par rapport au BCRS est plus particulièrement adapté à l’astrométrie, alors qu’un système géocentrique dynamiquement non tournant est préférable pour la mécanique céleste, puisqu’il permet d’exprimer les équations géocentriques du mouvement sans termes induits par la rotation du système.

Métriques des systèmes de référence BCRS et GCRS Les tenseurs métriques définissant le BCRS et le GCRS ont été écrits sous une forme compacte et cohérente. Chacune de ces métriques relève du formalisme post-newtonien. C’est une solution approchée des équations d’Einstein valable dans le régime des champs et vitesses faibles (c’est-à-dire que les quantités v2 /c2 , où v est la vitesse orbitale du système Terre-Lune autour du Soleil et U/c2 , où U est le potentiel gravitationnel du Soleil sont de l’ordre de 10−8 ), pour un ensemble de N corps non sphériques et en rotation. Par ailleurs, comme il a été montré que l’utilisation de la jauge harmonique permet des simplifications dans de nombreux types d’applications, les coordonnées harmoniques 1 ont été choisies à la fois pour les systèmes de référence barycentrique et géocentrique.

Le Système de référence céleste barycentrique (BCRS) Pour la définition du BCRS, les composantes temps-temps et espace-espace de la métrique barycentrique gµν , avec les coordonnées barycentriques (t, x) (t = TCB, Tempscoordonnée barycentrique), ont été écrites en utilisant un seul potentiel scalaire w(t, x) qui généralise le potentiel newtonien et la composante espace-temps en utilisant le potentiel vecteur wi (t, x). On suppose, comme condition aux limites, que ces deux potentiels s’annulent loin du Système solaire.
√ 1. Ces coordonnées sont définies par les conditions ∂x∂β −g gαβ = 0. Dans ces relations, α et β prennent toutes les valeurs entières de 0 à 3 et la convention d’Einstein est utilisée ; g est le déterminant de la matrice d’éléments gαβ et les gαβ sont les éléments de la matrice inverse.

103

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Les coefficients de la métrique du BCRS s’écrivent ainsi sous la forme : g00 = −1 + g0i = −

2w 2w2 − 4 c2 c

4 i w c3

gi j = δi j

(3.4)

! 2 1 + 2w c

avec : σ(t, x0 ) 1 ∂2 + G |x − x0 | 2c2 ∂t2 Z σi (t, x0 ) wi (t, x) = G d3 x0 |x − x0 | w(t, x) = G

Z

Z

d 3 x0

d3 x0 σ(t, x0 )|x − x0 |

(3.5)

les quantités σ et σi étant respectivement la densité de masse gravitationnelle et la densité d’impulsion gravitationnelle. La forme de l’équation 3.4 implique que les coordonnées spatiales barycentriques xi satisfont à la condition de jauge harmonique (Brumberg et Kopejkin, 1989 ; Damour et al., 1991). Il faut également noter que les expressions pour w et wi donnent une expression de g00 correcte jusqu’à O(c−5 ), g0i jusqu’à O(c−5 ), et gi j jusqu’à O(c−4 ). Les densités σ et σi sont déterminées par les composantes du tenseur impulsion-énergie de la matière composant le Système solaire ; elles sont données dans les références citées ci-dessus. Le Système de référence céleste géocentrique (GCRS) Pour la définition du GCRS, le tenseur métrique géocentrique Gab , avec les coordonnées géocentriques (T, X) (T = TCG, Temps-coordonnée géocentrique), s’écrit sous la même forme que pour le cas barycentrique, mais avec les potentiels W(T, X) et W a (T, X). Ces potentiels géocentriques doivent être scindés en deux parties : les potentiels WE et WEa a provenant de l’action gravitationnelle de la Terre et les potentiels extérieurs Wext et Wext dus aux marées et aux effets inertiels. On suppose que les parties externes des potentiels métriques s’annulent au géocentre et admettent un développement en puissances positives de X. Les coefficients de la métrique du GCRS s’écrivent ainsi sous la forme : G00 = −1 + G0a = −

2W 2W 2 − 4 c2 c

4 a W c3

Gab = δab 1 + 104

(3.6) 2 W c2

!

3.2. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE RELATIVISTES les potentiels W et W a étant tels que : W(T, X) = WE (T, X) + Wext (T, X) a W a (T, X) = WEa (T, X) + Wext (T, X)

(3.7)

Les potentiels terrestres WE et WEa sont définis de la même manière que w et wi , mais avec des quantités calculées dans le GCRS avec les intégrales calculées sur l’ensemble de la Terre. Les exactitudes pour Gab en termes de c−n correspondent à celles de gµν .

3.2.5

Transformation de coordonnées entre systèmes de référence barycentrique et géocentrique

La transformation post-newtonienne des coordonnées entre le BCRS et le GCRS, spécifiée par la résolution UAI 2000 B1.3, repose sur différents travaux (Brumberg et Kopejkin, 1989 ; Damour et al., 1991). Elle est déduite de la forme des tenseurs métriques correspondants. Pour le GCRS cinématiquement non tournant, (T = TCG, t = TCB, rEi = xi − xiE (t) et avec la convention implicite de sommation de 1 à 3 sur les indices identiques), elle s’écrit sous la forme : i i 1 h 1 h i i i i ij i j A(t) + v r B(t) + B (t)r + B (t)r r + C(t, x) + O(c−5 ) (3.8) + E E E E E 2 4 c c " !# 1 1 i j j 1 i 2 a i i i j j X = δai rE + 2 vE vE rE + wext (xE )rE + rE aE rE − aE rE + O(c−4 ) 2 c 2 T =t−

où : dA(t) 1 2 = vE + wext (xE ) dt 2 dB(t) 1 3 1 = − v4E − v2E wext (xE ) + 4viE wiext (xE ) + w2ext (xE ) dt 8 2 2 1 2 i i i i B (t) = − vE vE + 4wext (xE ) − 3vE wext (xE ) 2 ∂ ∂ 1 Bi j (t) = −viE δa j Qa + 2 j wiext (xE ) − viE j wext (xE ) + δi j w˙ ext (xE ) 2 ∂x ∂x 1 2 i i C(t, x) = − rE (˙aE rE ) 10

(3.9)

avec xiE , viE et aiE , respectivement, les composantes des vecteurs position, vitesse et accélération barycentriques de la Terre. d/dt est la dérivée totale par rapport à t, et : " # ∂ a i Q = δai wext (xE ) − aE ∂xi 105

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Les potentiels extérieurs, wext et wiext , sont donnés par : X X wext = wA wiext = wiA A,E

A,E

où E se rapporte à la Terre et wA et wiA sont déterminés par les expressions de w et wi , les intégrales étant calculées sur le corps A seulement. Les potentiels extérieurs Wext et W xta peuvent être écrits sous la forme : Wext = Wtidal + Winer a a a Wext = Wtidal + Winer

(3.10)

dans laquelle Wtidal généralise l’expression newtonienne pour le potentiel de marée. Les a potentiels Winer et Winer sont les contributions inertielles linéaires en Xa . Le premier est déterminé essentiellement par le couplage entre la non-sphéricité de la Terre et le potentiel extérieur. Dans le système de référence céleste géocentrique cinématiquement a décrit la force de Coriolis produite essentiellement par la précession non tournant, Winer géodésique. La fonction temporelle A(t) et le vecteur de rotation géodésique sont uniquement définis à partir de leurs dérivées en fonction du temps. Il faut donc déterminer des constantes additionnelles arbitraires par des considérations complémentaires. Pour A(t), il est raisonnable de définir la constante de telle façon que t = T le 1er janvier 1977 à 0 h 0 min 0 s TAI (JD = 244 3144.5 TAI) au géocentre (origine 1977) en accord avec la résolution UAI 1992 A4. Pour les constantes du vecteur de rotation géodésique, Bretagnon et Brumberg (2003) et Brumberg et Simon (2004) ont imposé qu’elles soient nulles à J2000.0 (l’époque est définie au géocentre au 1.5 janvier 2000 TT, soit JD = 245 1545.0 TT). Cela n’affecte pas la relation entre le BCRS et le GCRS, mais est important pour la définition des systèmes géocentriques dynamiquement non tournants. La fonction A(t) est habituellement représentée sous la forme donnée par Fairhead et Bretagnon (1990) (voir section 2.5.1). Des séries pour tous les coefficients nécessaires à l’expression des transformations directe et inverse entre le BCRS et le GCRS ont été calculées avec les éphémérides VSOP par Bretagnon et Brumberg (2003).

3.3

3.3.1

Le Système de référence céleste international et sa réalisation Une nouvelle conception : le système de référence cinématique

Une révision importante de la définition et de la réalisation des systèmes de référence a eu lieu au cours de la période 1990-2018, conséquence de l’application des techniques 106

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL spatiales de haute précision à l’astrométrie et à la géodésie. Ces techniques ont été employées, dès la fin des années quatre-vingt, pour réaliser les systèmes de référence utilisés dans les études de la rotation de la Terre. Parmi elles, l’interférométrie radio à très longue ligne de base (VLBI) permettait de réaliser au mieux un ensemble de directions fixes dans l’Univers et de donner accès à une meilleure réalisation d’un système de référence inertiel. Les observations VLBI ont servi à réaliser des systèmes de référence célestes basés sur une définition cinématique. Un ensemble de points de référence sans mouvement propre n’est affecté d’aucune rotation globale. Cette définition est ainsi plus simple, tant du point de vue conceptuel que du point de vue pratique, que la définition dynamique utilisée auparavant pour la réalisation du système de référence FK5. La distance aux quasars et aux noyaux des galaxies lointaines permet de supposer que leurs mouvements propres seraient inférieurs à 10−500 /an, même si les vitesses transversales étaient égales à leurs vitesses radiales d’éloignement (rappelons que les mouvements propres des étoiles sont de l’ordre de quelques 10−200 /an). Les observations VLBI ont confirmé que les objets extragalactiques représentent un excellent modèle de directions fixes dans l’Univers et, par conséquent, elles permettent de réaliser au mieux (à la précision actuelle des observations) un système de référence inertiel. Le repère primaire de référence est constitué d’objets dont les coordonnées et les mouvements ont été déterminés par rapport aux axes du système de référence. Ainsi, il matérialise le système de référence et le rend accessible. Parfois, le nombre d’objets du repère primaire n’est pas suffisant pour certaines applications. Dans d’autres cas, la magnitude des objets du repère est trop faible pour qu’ils puissent être observés. Il faut donc disposer d’extensions de ce repère. Dans le cadre de la relativité générale, le système de coordonnées est défini par la métrique qui décrit les propriétés de l’espace-temps. Les équations décrivant les mouvements planétaires par rapport à ce système diffèrent des équations classiques par des effets relatifs de l’ordre de 10−8 (voir section 3.2). Ces effets sont mis en évidence par les techniques d’observation les plus précises et doivent être considérés dans les éphémérides modernes. La faible précision des techniques classiques d’observation conduit à supposer qu’au-delà du Système solaire les coordonnées sont représentées dans un système de référence euclidien selon la physique newtonienne. En réalité, le système de directions qui s’étend au-delà de notre système planétaire est dominé par la courbure provoquée par le champ de gravité de la Galaxie, et encore plus loin, par la distribution des masses et de l’énergie dans l’Univers. Les observations avec la technique VLBI ont mis en évidence ces effets. Les repères de référence déterminés par VLBI ont des caractéristiques métrologiques dérivées de la technique d’observation, des objets observés et des méthodes d’analyse et 107

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE de réduction des observations. L’interférométrie à très longue base présente des avantages par rapport aux techniques optiques d’observation, puisque les données obtenues par VLBI sont peu sensibles aux conditions météorologiques. On peut donc organiser des sessions VLBI de 24 h en ascension droite, sans avoir besoin de combiner des observations réalisées dans des sites différents avec des instruments différents. On minimise ainsi les erreurs zonales. L’analyse de longues séries d’observations réalisées avec un réseau de stations VLBI distribuées à la surface de la Terre permet de construire une sphère rigide à partir des directions aux objets extragalactiques fixes. De nouvelles analyses sont menées lors de l’acquisition d’observations, ou à l’occasion de progrès dans la modélisation, l’instrumentation ou dans les méthodes de réduction. C’est grâce à la technique VLBI que des incohérences dans les modèles conventionnels de la précession et de la nutation de l’UAI ont été mises en évidence. Des corrections aux modèles ont été obtenues à partir des observations VLBI qui ont servi à réaliser le repère de référence extragalactique. Dans la conception cinématique des systèmes de référence, les axes du système restent fixes, orientés selon les directions initiales. Le repère est susceptible d’être modifié, mais à condition que les axes implicitement définis par les objets de référence soient orientés selon les directions initiales. C’est ici une différence fondamentale par rapport aux systèmes de référence stellaires de nature dynamique : chaque catalogue de la série de FK (Fundamental Katalog) matérialisait un système de référence dont les axes n’étaient pas alignés avec ceux du précédent, et il fallait donc connaître les paramètres de transformation entre les systèmes FK.

3.3.2

Les recommandations de l’Union astronomique internationale (UAI)

En 1991, lors de la 21e assemblée générale à Buenos Aires, l’UAI a recommandé l’adoption d’un système de référence céleste conventionnel dont l’origine est le barycentre du Système solaire, qui soit matérialisé par les coordonnées des radiosources extragalactiques lointaines observées avec la technique VLBI. Par souci de cohérence, il a été aussi recommandé que les coordonnées temporelles soient obtenues en utilisant une échelle de temps atomique réalisée par des horloges atomiques sur la Terre, les unités de base étant la seconde du Système international d’unités (SI) pour le temps propre et le mètre du SI pour la longueur propre. Le plan principal du nouveau système conventionnel devait être aussi proche que possible de l’équateur moyen J2000, l’origine sur le plan fondamental devant être cohérente avec l’équinoxe dynamique J2000. L’UAI a aussi recommandé la comparaison des repères de référence de tous types, et particulièrement entre le FK5, le repère dynamique planétaire et le repère de référence extragalactique. 108

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL Les 22e et 23e assemblées générales de l’UAI (1994 et 1997) ont recommandé l’adoption du système de référence céleste de l’IERS comme système de référence céleste international, sous l’acronyme ICRS (International Celestial Reference System), et sa matérialisation par la première réalisation du repère de référence céleste international, sous l’acronyme ICRF (International Celestial Reference Frame (Ma et al., 1997, 1998)). La 26e assemblée générale de l’UAI (2010) a résolu d’adopter une nouvelle réalisation du repère de référence céleste international (ICRF2). L’IERS et des groupes de travail de l’IVS (International VLBI Service for Geodesy and Astrometry) et de l’UAI ont été chargés de sa construction (Ma et al., 2009 ; Fey et al., 2015). En 2018, enfin, l’UAI, au cours de sa 30e assemblée, a adopté la troisième réalisation de l’ICRF, ou ICRF3 (Charlot et al., 2019 soumis), fruit d’un groupe de travail de l’UAI.

3.3.3

Définition du Système de référence céleste international (ICRS)

L’adoption d’un système de référence basé sur une définition cinématique implique un changement philosophique dans la conception des systèmes de référence célestes. Dans les définitions précédentes, les axes étaient donnés par la dynamique des mouvements de la Terre dans l’espace, et étaient associés à l’équateur moyen et à l’équinoxe dynamique d’une époque de référence (B1950, J2000). Dans la définition actuelle, les axes du système restent fixes par rapport à des sources lointaines dans l’Univers et, de plus, sont dissociés des plans de l’équateur et de l’écliptique. Pour assurer la continuité, les directions des axes du système dynamique à l’époque J2000 ont été choisies pour la nouvelle définition. Par conséquent, les axes de l’ICRS sont confondus avec ceux du FK5 (Fricke et al., 1988), au niveau des incertitudes de ce dernier. L’origine des axes de l’ICRS est au barycentre du Système solaire. Cette condition est assurée par la modélisation des observations VLBI dans le cadre de la relativité générale. Le plan principal de l’ICRS a été défini par le plan de l’équateur donné par les modèles conventionnels UAI (1976) et UAI (1980) de la précession et de la nutation (Lieske et al., 1977 ; Seidelmann, 1982). Des analyses ont montré que le pôle de l’ICRS est déplacé, par rapport au pôle moyen en J2000, de moins de 20 mas (Souchay et al., 1995 ; Charlot et al., 1995). Ceci indique que l’équateur moyen en J2000 et le plan principal de l’ICRS sont en accord. Afin de suivre les recommandations de l’UAI, la direction du pôle céleste de l’ICRS doit être aussi proche que possible de celle du précédent système de référence céleste de l’UAI, le système FK5. On estime que l’incertitude de la direction du pôle moyen J2000 du FK5 est de ±50 mas (Fricke, 1982 ; Schwan, 1988 ; Fricke et al., 1988). Ceci prouve que le pôle céleste de l’ICRS est confondu avec celui du système FK5 au niveau de l’incertitude de ce dernier. 109

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE L’UAI a recommandé que l’origine des ascensions droites de l’ICRS soit proche de l’équinoxe dynamique J2000. Dans l’analyse VLBI, il n’est pas possible de séparer l’origine des ascensions droites de la longitude de la ligne de base de l’interféromètre, car l’origine des ascensions droites n’est pas fixée. L’axe Ox du système ICRS a été fixé implicitement dans sa première réalisation par l’adoption des ascensions droites des vingttrois radiosources extragalactiques primaires (Arias et al., 1988). Ces coordonnées ont été dérivées d’un ensemble de catalogues VLBI, compilés en adoptant pour l’ascension droite du quasar 3C273B la valeur de Hazard et al. (1971) dans le système FK5 (12 h 29 min 6.6997 s en J2000). La position de l’équinoxe dynamique dans le système ICRS a été déterminée par Folkner et al. (1994) par le rattachement du système dynamique du Jet Propulsion Laboratory à l’ICRS. Ce rattachement a été établi par comparaison des repères terrestres et des paramètres d’orientation de la Terre obtenus grâce à deux techniques d’observation, le VLBI et la télémétrie laser sur la Lune, LLR. La valeur ainsi obtenue pour l’écart entre l’axe Ox de l’ICRS et l’équinoxe moyen de l’époque J2000.0 est de (78 ±10) mas. Tenant compte de l’incertitude sur l’origine des ascensions droites (voir, par exemple, Morrison et al., 1990), on peut affirmer que l’origine des ascensions droites de l’ICRS est confondue avec celle du FK5 dans la limite de l’incertitude de ce dernier.

3.3.4

Maintenance du Système de référence céleste international (ICRS)

La maintenance d’un système de référence peut se concevoir de deux manières : • soit les coordonnées des objets dans le repère sont considérées comme pérennes, et leurs valeurs numériques restent fixes pendant quelques années (c’est la philosophie de la conception du système FK5) ; • soit les axes du système restent fixes dans leurs directions initiales, mais les coordonnées des objets du repère de référence sont recalculées et modifiées si nécessaire, par exemple lors de l’introduction de nouveaux objets (c’est le principe qui est à la base de l’ICRS). Le repère de référence qui matérialise l’ICRS peut être modifié si l’on dispose des meilleures positions des sources radio extragalactiques, à condition d’appliquer une contrainte de non-rotation globale par rapport à la réalisation précédente. Cette procédure assure que les axes sont toujours dans leurs directions initiales, et permet que le repère soit densifié ou qu’il devienne plus précis. Dans le processus de maintenance du repère, le suivi de la stabilité des coordonnées des sources radio sur la base de nouvelles observations et analyses est essentiel. Pour cela, des 110

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL programmes d’observation ont été mis en place par différentes organisations (l’U.S. Naval Observatory, le Goddard Space Flight Center, le National Radio Astronomy Observatory (NRAO) de la NASA aux États-Unis). Des observations dans l’hémisphère sud se font avec le soutien de l’IVS pour contribuer au programme astrométrique et d’imagerie des sources radio.

3.3.5

Contribution de l’IERS à la réalisation et à la maintenance de l’ICRS

Le Service international de la rotation terrestre et des systèmes de référence (IERS) compte parmi ses activités celle de contribuer à la maintenance de l’ICRS et au rattachement de l’ICRF à des catalogues divers. C’est à l’IERS qu’est né le système céleste extragalactique, qui fut ensuite adopté par l’UAI comme le système céleste primaire. Les experts de l’IERS ont fait partie du groupe qui a élaboré l’ICRF et ses deux extensions. La réorganisation de l’IERS en 2000 a donné cette responsabilité à l’ICRS Product Centre (ICRS PC). Deux organisations participent à ce Centre IERS de produits du système céleste : l’Observatoire de Paris et l’Observatoire naval de Washington (U.S. Naval Observatory). Par ailleurs, le Service international VLBI (IVS), centre technique de l’IERS pour le VLBI, participe de manière routinière à la réalisation et à la maintenance de l’ICRS, notamment par la coordination des programmes d’observation des radiosources pour l’ICRF.

3.3.6

Accessibilité au Système de référence céleste international

L’accès direct le plus précis à l’ICRS est donné par les observations VLBI. Cette technique est limitée à des utilisateurs dans le domaine des fréquences radio. Le VLBI est utilisé pour la maintenance du système. L’accès à l’ICRS pour tous types d’utilisateurs doit être assuré grâce au rattachement du repère céleste correspondant, l’ICRF, aux repères de référence majeurs tels que le FK5, les repères de référence des satellites Hipparcos et Gaia, les éphémérides planétaires et le repère de référence terrestre conventionnel. Tel qu’il a été recommandé par l’UAI, le repère de référence Hipparcos est la matérialisation de l’ICRS dans les fréquences optiques (voir section 3.3.10). L’incertitude de l’alignement du catalogue Hipparcos à l’ICRF1 est de 0.6 mas pour l’orientation à l’époque de référence 1991.25, et de 0.25 mas/an pour la rotation (Kovalevsky et al., 1997). Une nouvelle réduction des données Hipparcos a apporté des améliorations notamment sur les parallaxes des étoiles brillantes, mais sans modifier le système des coordonnées (van Leeuwen, 2007). Une amélioration considérable en densité et en précision de l’accès à l’ICRF en optique sera apportée par la solution finale, Gaia-CRF, du catalogue Gaia (voir section 3.3.10). 111

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Une extension du repère fondamental à d’autres longueurs d’onde, dans les domaines micro-onde et infrarouge par exemple, est également nécessaire. Son extension au domaine micro-onde a été effectuée dans la troisième réalisation ICRF3 de l’ICRS (voir section 3.3.9). Le rattachement à l’ICRF du catalogue de positions de sources infrarouges, qui a été réalisé par le programme spatial IRAS (InfraRed Astronomical Satellite), devrait se faire par l’intermédiaire de la réalisation optique de l’ICRF. Les éphémérides planétaires et lunaires sont orientées sur l’ICRS. Des études réalisées par Folkner et al. (2009) et Fienga et al. (2012a) montrent que le raccordement entre l’ICRF et le repère dynamique défini à partir des éphémérides planétaires modernes est connu à mieux que ±1 mas. Les paramètres d’orientation de la Terre calculés par l’IERS permettent d’établir le rattachement entre l’ICRF et le Système de référence terrestre international (ITRS) avec une exactitude de 0.1 mas. Il est utile de se reporter à la section 3.6 pour plus de détails.

3.3.7

Le repère de référence céleste international (ICRF)

La première réalisation du repère de référence céleste international fut adoptée par l’UAI lors de sa 23e assemblée générale (1997), sous l’acronyme ICRF. Il s’agit d’un catalogue fondamental qui, contrairement à ses prédécesseurs, a la caractéristique de ne pas être lié aux plans de l’équateur et de l’écliptique. Des sources radio extragalactiques de différentes qualités astrométriques constituent l’ICRF. Les directions des axes sont définies par un groupe de sources appelées sources de définition. D’autres sources, de moindre qualité, sont incluses pour densifier le repère et permettre son rattachement à d’autres repères de référence, notamment celui du catalogue Hipparcos. La première réalisation de l’ICRF (Ma et al., 1997, 1998), dénommé ICRF1, est le résultat de l’analyse de toutes les observations VLBI disponibles sur la période 1979-1995 (voir figure 3.1). Les observations en dessous de 6◦ de hauteur sont rejetées. Le modèle linéaire de troposphère est complété par l’estimation de gradients. En ce qui concerne la position du pôle céleste, des corrections aux modèles UAI 1976 de la précession et UAI 1980 de la nutation ont été apportées dans l’analyse. Des études préliminaires ont permis de détecter les sources les plus adaptées pour définir l’orientation des axes du repère. Dans un cas idéal, avec un grand nombre de données, ces sources ne doivent pas présenter de changement de position. Pour classer les sources radio de l’ICRF1, des critères ont été définis en fonction de la qualité des données, l’historique 112

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL

Figure 3.1 – La première réalisation, ICRF1, du repère de référence céleste international.

des observations, de la cohérence entre les coordonnées dérivées des différents sousensembles de données et des effets de structure radio des sources. Le nombre total de sources radio extragalactiques dans la première réalisation de l’ICRF1 est 608. 212 sources ont satisfait tous les critères de sélection pour être dans la catégorie sources de définition. 294 sources n’ayant pas satisfait à un ou plusieurs critères sont des sources candidates. 102 sources ont montré d’importants changements dans leurs positions. Elles ont néanmoins été conservées dans le repère comme autres sources, quelques-unes étant nécessaires pour rattacher l’ICRS à d’autres systèmes de référence. La médiane des incertitudes des coordonnées des sources de définition dans l’ICRF1 est de ±0.35 mas en ascension droite et ±0.40 mas en déclinaison. L’analyse VLBI appliquée au calcul des coordonnées des sources de l’ICRF a donné des positions dans un système très proche de l’ICRS. La partie finale de l’établissement du repère conventionnel est son alignement à l’ICRS. Pour effectuer cet alignement, on a utilisé un modèle basé sur celui qui a été développé à l’IERS pour la comparaison des catalogues VLBI (Arias et al., 1988). L’analyse de l’orientation du système, quand on considère des ensembles différents de sources radio, indique que les axes de l’ICRS sont stables au niveau de 0.020 mas. Le processus de maintenance de l’ICRS prévoit des améliorations du repère chaque fois qu’elles sont justifiées par un progrès dans la précision des coordonnées, de même que par une augmentation du nombre de sources dans le repère. Deux extensions de l’ICRF1 ont ainsi été construites. Ces deux extensions ont eu pour objectif de densifier le repère 113

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

Figure 3.2 – La deuxième réalisation, ICRF2, du repère de référence céleste international.

avec l’apport de coordonnées de nouvelles sources. Les sources de définition, de même que leurs coordonnées, restent celles de l’ICRF1. La première extension de l’ICRF1, ICRF-Ext.1, élaborée en 1998, ajoute les coordonnées de 59 nouvelles sources au repère (IERS, 1999). La deuxième extension, ICRF-Ext.2 (Fey et al., 2004) est une révision du repère qui le densifie avec les positions de 109 sources radio.

3.3.8

La deuxième réalisation de l’ICRF : l’ICRF2

La deuxième réalisation du repère de référence céleste international, ou ICRF2 (Ma et al., 2009 ; Fey et al., 2015), a été conclue en 2009 sur la base des positions VLBI de 295 nouvelles sources de définition (voir figure 3.2).

Pour la sélection des sources de définition, le groupe de travail a considéré, hors histoire observationnelle et incertitude des positions, la stabilité des positions étudiées dans des séries temporelles des coordonnées, ainsi que l’absence de structure radio variable. Le nombre total de sources dans l’ICRF2 est de 3414, soit cinq fois plus que dans l’ICRF1. La stabilité des axes représentés par l’ICRF2 est estimée à 10 µas, soit deux fois plus stable que celle obtenue par l’ICRF1. La précision optimale des positions est estimée à 40 µas, soit six fois meilleure que pour l’ICRF1. 114

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL

Figure 3.3 – La troisième réalisation, ICRF3, du repère de référence céleste international.

3.3.9

La troisième réalisation de l’ICRF : l’ICRF3

La troisième version de l’ICRF, ou ICRF3 (Jacobs et al., 2018 ; Charlot et al., 2019 soumis), inclut les positions de 4 536 radiosources à 8 GHz, dont 303 portent les axes du repère. Il donne également les positions de 824 sources à 24 GHz et 678 sources à 32 GHz. Outre l’aspect multifréquence, ce nouveau repère apporte de nombreuses améliorations par rapport à son prédécesseur. Ainsi, plusieurs milliers de sources de l’ICRF2 n’étaient observées que dans une seule session, leur position étant, de ce fait, relativement peu précise (voir figure 3.3). Pendant la période de préparation de l’ICRF3, ces sources ont été réobservées de manière à accroître la précision de leur position. L’erreur médiane de l’ICRF3, environ 200 µas, est ainsi drastiquement diminuée par rapport à l’ICRF2 (environ 750 µas). Par ailleurs, le renforcement du réseau VLBI de l’hémisphère sud et le déploiement partiel du réseau VLBI, appelé VLBI Global Observing System (VGOS), a permis de densifier l’hémisphère austral. Une autre amélioration a été la modélisation de l’aberration galactique (MacMillan et al., 2019). Enfin, pour la première fois, le catalogue VLBI a pu être comparé à un catalogue réalisé par une technique indépendante avec une précision comparable, en l’occurrence celui de Gaia. Les comparaisons indépendantes réalisées par le consortium Gaia (Gaia Collaboration et al., 2018) et le groupe de travail de l’UAI ont permis de lever les incertitudes quant aux déformations zonales de l’ICRF3, et plus généralement des catalogues VLBI récents, ceux-ci apparaissant cohérents avec Gaia au niveau des systématiques à grande échelle. La précision optimale de l’ICRF3 est estimée à 30 µas et la stabilité des axes est audessous de 10 µas. Si l’amélioration de la précision entre l’ICRF2 et l’ICRF3 est moins 115

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE spectaculaire qu’entre l’ICRF1 et l’ICRF2, c’est en raison de la précision du VLBI qui atteint des limites dues à la présence d’erreurs corrélées encore non modélisées, et que d’autres sources d’erreur entrent en jeu, notamment la variabilité de la position des sources qui devront être résolues dans le futur. Il faut néanmoins retenir que les principaux progrès entre l’ICRF2 et L’ICRF3 sont la suppression des déformations à grande échelle (hémisphère sud) et la diminution drastique de l’erreur médiane rendant le catalogue beaucoup plus homogène que son prédécesseur en termes d’erreur sur les positions.

3.3.10

Réalisations dans le domaine visible

La réalisation d’un repère de référence satisfaisant aux principes généraux de l’ICRS (positionnement de sources extragalactiques, système cinématiquement non tournant, voir section 3.3.1) laisse le choix de la technique à employer comme celui du choix des sources. Ces choix sont aussi susceptibles d’évoluer avec le temps et avec l’amélioration de certaines techniques ou l’accessibilité de nouvelles catégories de sources. Les principes ne changent pas, mais rien n’est figé pour les réalisations. Avec la réalisation de l’ICRF dans le domaine radio, la précision a été privilégiée, avec raison, aux dépens de l’accessibilité directe pour l’astronomie classique dans le visible ou le proche infrarouge. La technique VLBI était la seule en mesure de réaliser un système global, couvrant l’ensemble du ciel, avec une qualité astrométrique meilleure que le millième de seconde de degré dès les années 1990. La contrepartie du système dans le visible ne pouvait être qu’une réalisation secondaire, rattachée au mieux à l’ICRF radio, au moyen de quelques sources communes ou par des sources intermédiaires observables avec les deux techniques. Avant l’avènement de l’astrométrie spatiale, aucune astrométrie au sol n’avait la capacité de proposer une solution aussi performante que l’ICRF radio. Dans le domaine optique, les sources extragalactiques sont toutes de magnitude plus élevée que 12.8 (une seule source, le quasar 3C 273, est située à 2.5 milliards d’années-lumière) et, en général, au moins 100 fois plus faibles, autour de la magnitude 19. La mission Hipparcos a produit en 1996 une première solution d’astrométrie globale dans l’espace avec un catalogue contenant environ 100 000 étoiles considérées comme simples, c’est-à-dire sans effet perturbateur venant d’une possible duplicité, en général plus brillantes que la magnitude 10. La solution astrométrique a été rattachée à l’ICRF1 avec une précision de 0.6 mas et une dérive ne dépassant pas 0.25 mas/an, au moyen de quelques sources radio observées par la technique VLBI en préparation de ce rattachement (Kovalevsky et al., 1997). Cette valeur a d’ailleurs été confirmée par la première solution astrométrique de la mission Gaia. La réalisation d’un système de référence céleste avec Hipparcos est proche de l’ICRF en pratique, mais assez différente dans son esprit : elle repose sur des étoiles dont les 116

3.3. SYSTÈME DE RÉFÉRENCE CÉLESTE INTERNATIONAL déplacements ne sont pas parfaitement connus, impliquant une lente dégradation du système. Lors de la 23e assemblée générale de l’UAI en 1997, la résolution B2 a adopté le catalogue Hipparcos comme la réalisation primaire de l’ICRS dans le domaine optique. Cette résolution a été précisée en 2000 (résolution B1.2, UAI 2000, 24e assemblée générale), en lui adjoignant le nom HCRF (Hipparcos Celestial Reference Frame) pour bien la distinguer de l’ICRF. Cependant, le système de référence optique HCRF ne satisfait pas aux principes de l’ICRS en ce sens que cela reste un système stellaire sans source extragalactique et qu’il doit être rattaché d’une manière ou d’une autre à l’ICRF pour assurer son absence de rotation globale par rapport aux quasars. Il s’agit d’un système un peu hybride ou transitoire, bien différent des catalogues fondamentaux qui ont jalonné l’histoire de l’astrométrie, mais pas encore un système optique utilisant les quasars. Pour les astronomes, il donne un accès à l’ICRF avec des sources brillantes et relativement nombreuses par comparaison à la version radio. Avec Gaia, la situation n’est pas la même, puisque cette mission produit des solutions astrométriques qui sont de véritables réalisations d’un repère de référence céleste autonome et totalement en accord avec les principes fondateurs de l’ICRS. Le système est autonome, car l’absence de rotation globale au sens cinématique est assurée par l’observation directe d’un grand nombre de quasars, et que l’on contraint la solution pour que leur système de mouvements propres ne laisse pas de mouvement d’ensemble. Pour des raisons de continuité métrologique, les axes du système sont alignés au mieux sur ceux de l’ICRF3 en utilisant les sources communes. Mais cet alignement est juste une commodité, certes importante pour les utilisateurs, mais sans contenu physique particulier. Chaque remise de nouvelles données de Gaia (les Gaia Data Release ou Gaia DR) correspond à une solution nouvelle des paramètres astrométriques des sources, ajustée sur une période de données de plus en plus importante. À l’écriture de cet ouvrage (début 2020), il s’agit de la Gaia DR2, qui repose sur 22 mois d’observation, couvrant la période de juillet 2014 à mai 2016. Le système de référence associé est le Gaia-CRF2, comprenant près de 560 000 QSOs (Quasi-Stellar Object ou quasars) distribués de façon relativement uniforme sur l’ensemble du ciel, à l’exception d’une zone de quelques degrés de latitude au nord et au sud du plan galactique. En 2022, la Gaia DR3 sera disponible avec le Gaia-CRF3, qui devrait comprendre plus d’un million de sources et une solution construite sur 35 mois de données. La Gaia-DR4 arrivera autour de 2024, après traitement de 66 mois de données. Entre chaque version, l’incertitude de position des sources diminue comme t1/2 , mais la qualité globale du système, ainsi que l’identification des sources extragalactiques et le niveau des effets systématiques résiduels et des distorsions à grande échelle, s’améliorent plus rapidement encore. Concernant le Gaia-CRF2 publié en avril 2018 (Gaia Collaboration et al., 2018), il comprend exactement 556 869 quasars entre les magnitudes 16 à 21 dans la bande G de 117

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

5

Gaia CRF2 - 556869 quasars

% par classe

4 3 2 1 0

16

17

18

19

20

21

Magnitude G

Figure 3.4 – Distribution en magnitude G des ∼ 560 000 sources extragalactiques constituant le Gaia-CRF2 publié en avril 2018.

Gaia, intermédiaire entre les bandes classiques V et R. La figure 3.4 donne la distribution précise en magnitude et montre bien que l’essentiel des sources se trouve autour de G = 19.5 ± 1. Il y a près de 40 000 sources G < 18.2, soit à peu près une par degré carré. Les sources communes avec l’ICRF3 X/L sont au nombre de 2818, et le nombre total avec les trois catalogues ICRF3 est de 3020. Il dépend de certains critères à appliquer pour accepter une identité entre les sources. Il peut y avoir des différences de position de quelques mas, sans que l’on doive nécessairement conclure qu’il s’agit de deux sources distinctes. Il y a encore au moins 500 000 quasars dans le catalogue Gaia DR2 qui ont des qualités astrométriques comparables. Ils n’ont pas été inclus dans le système de référence à la suite de différents filtrages dans les traitements et de la difficulté de les caractériser avec une pleine confiance comme des sources non stellaires. Enfin, les étoiles, 1.3 milliard avec des mouvements propres et bientôt 1.8 milliard, donnent également un accès dense et de grande précision à ce système de référence, au moins pendant quelques années. Mais dès la Gaia DR4 en 2024, et plus tard avec la solution complète de Gaia, l’incertitude sur les mouvements propres des étoiles permettra un accès de grande qualité pendant plusieurs décennies avec les étoiles, et sur des durées encore plus étendues dans le passé et le futur par l’accès au moyen des quasars. La précision astrométrique est évaluée par la valeur de l’incertitude maximale sur la position (demi-grand axe de l’ellipse de dispersion) combinant les incertitudes dans les deux coordonnées angulaires. Ce paramètre a le mérite d’être géométrique et indépendant 118

3.4. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE DYNAMIQUES

G < 20.8 mag - 556869 quasars

5

Précision Médiane = 0.4 mas

% par classe

4 3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

σpos max (mas)

Figure 3.5 – Distribution des incertitudes en mas sur la position des quasars du Gaia-CRF2 publié en avril 2018 pour l’ensemble des ∼ 560 000 sources.

du système de coordonnées employé. Pour l’ensemble des sources, la médiane est de 0.4 mas (voir figure 3.5), avec les plus grandes valeurs ne dépassant pas 2 mas. C’est une caractéristique du système de référence céleste construit avec Gaia d’avoir une distribution des incertitudes relativement compacte, sans valeurs anormales dans des ailes étendues. Inversement, il y a une population de plusieurs dizaines de milliers de sources, les plus brillantes, dont la précision nominale est meilleure que 0.2 mas. Le seul paramètre caractéristique simple affectant la précision est la magnitude des sources dans la bande visible de Gaia, avec respectivement σpos = 0.1, 0.26, 0.6 mas aux magnitudes G = 17, 19, 20. La figure 3.6 donne la distribution des incertitudes pour le sous-ensemble de sources de magnitude G < 18.2, dont la médiane est 0.13 mas. Ce sous-ensemble donne déjà un accès direct à l’ICRF dans le domaine optique, avec une source par degré carré et une précision tout à fait comparable à celle de la réalisation radio. On devrait descendre en dessous des 100 µas avec le Gaia-CRF3.

3.4 3.4.1

Systèmes de référence dynamiques Introduction

Dans cette section, les notions utilisées ont été introduites dans les sections 3.1 et 3.3 pour définir un système et un repère de référence, et pour caractériser le système selon 119

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE 10

G < 18.2 - 39560 quasars Précision Médiane = 0.13 mas

% par classe

8 6 4 2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

σpos max (mas)

Figure 3.6 – Distribution des incertitudes en mas sur la position des quasars du Gaia-CRF2 publié en avril 2018 pour les ∼ 40 000 sources les plus brillantes.

qu’il est construit à partir d’une définition cinématique ou dynamique. On parle alors de système de référence cinématique ou de système de référence dynamique. Un système de référence idéal est défini par l’énoncé d’un principe général que doit vérifier un système d’axes de coordonnées. Un système de référence conventionnel, qui associe au principe de base du système de référence idéal des constantes fondamentales et des modèles nécessaires à sa réalisation, permet la description quantitative des positions et des mouvements de la Terre (système terrestre) ou de corps célestes (incluant la Terre) dans l’espace. La construction d’un tel système conventionnel implique le choix de structures dans lesquelles les mouvements peuvent être décrits par le biais de théories physiques. La définition d’un repère (ensemble de points, d’objets ou de coordonnées reliés entre eux et permettant de repérer un point ou un objet dans l’espace), mais aussi les théories utilisées et les échelles de temps associées pour la définition de ce système de coordonnées (précession, nutation, éphémérides planétaires, etc.), composent la structure d’un système de référence conventionnel. Les choix pour les définitions d’un système de référence idéal et des systèmes conventionnels associés ne sont pas uniques. Cependant, on peut demander à un système de référence qu’il permette l’écriture sans ambiguïté des équations du mouvement des corps dont les coordonnées sont décrites dans le repère associé. Cela implique, dans le cadre de la mécanique newtonienne, que la description des positions et du mouvement d’un objet dans le système de référence n’introduise pas de termes additionnels dans les équations du mouvement. Les systèmes de référence dynamiques sont basés sur l’étude dynamique des corps célestes, c’est-à-dire sur la résolution des équations différentielles de leur mouvement, soit 120

3.4. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE DYNAMIQUES dans le cadre newtonien, soit dans le cadre relativiste. Ainsi, en supposant un certain nombre de corps, leur mouvement peut être décrit dans le cadre de la mécanique newtonienne par la résolution d’un système d’équations différentielles écrites dans un repère triaxial fixe. À partir de ces équations, certains points et directions invariants sont définis. Il est alors possible d’utiliser ces invariants (par exemple le barycentre du Système solaire d’accélération nulle ou l’axe invariant du moment d’inertie) pour construire un système de coordonnées. Une éphéméride planétaire ou lunaire couvrant une période suffisante peut ainsi réaliser un repère de référence appelé repère de référence dynamique. Un système de référence ayant une telle matérialisation dynamique sera appelé système de référence inertiel ou quasi inertiel dans le cadre relativiste. On définira aussi un système de référence dynamique conventionnel comme l’association du repère de référence dynamique à une série de constantes fondamentales (masses planétaires, valeur de l’unité astronomique, etc.) et de modèles (précession-nutation, échelle de temps, etc.) ayant permis la mise en place de ce repère. De plus, à un système de référence cinématique (ici l’ICRS), on peut associer un repère de référence dynamique (représenté par des éphémérides planétaires ou lunaires) lié au repère cinématique. Pôle moyen des éphémérides

Z ICRS

Équateur ICRS J2000 Barycentre du SS

γ

Écliptique moyen J2000

φ

ε

YICRS ο(ICRS)

X ICRS

Figure 3.7 – Définition des axes et raccordement des systèmes de référence dynamiques à l’ICRS.

3.4.2

Définitions

Un repère de référence dynamique est défini à partir de points et de directions invariants par résolution des équations différentielles du mouvement du système dynamique étudié. Ainsi, à partir des équations du mouvement des planètes principales du Système solaire 121

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE autour du Soleil, écrites et résolues dans un système de coordonnées non tournant ou inertiel, on peut définir les plans de référence et les origines suivants. Le plan de l’écliptique moyen inertiel de la date est le plan perpendiculaire au moment cinétique moyen du barycentre Terre-Lune lorsque sa vitesse est calculée dans un système de coordonnées non tournant. C’est le plan naturel des équations du mouvement des planètes (Standish, 1981). Afin de relier le repère dynamique représenté par le plan de l’écliptique moyen inertiel de la date à un repère matérialisant un système de référence, on associe au plan de l’écliptique moyen inertiel de la date l’équinoxe dynamique moyen inertiel de la date qui sera le nœud ascendant, noté γ dans la figure 3.7, du plan de l’écliptique inertiel moyen de la date sur le plan fixe de l’équateur moyen de la date, plan défini à partir de la direction du pôle céleste et des théories de précession-nutation associées au système de référence que l’on cherche à raccorder. De façon plus générale, lorsque l’on choisit le plan de l’écliptique inertiel moyen d’une date de référence comme plan de référence d’un système, on est amené à compléter ce choix par celui d’un axe fixe du plan, passant par le centre du système de référence et coupant la sphère céleste en un point dit origine ou origine des ascensions droites. On prend souvent pour origine l’équinoxe dynamique inertiel. Pour la définition de l’ICRS, il a été choisi, comme origine des ascensions droites, l’ascension droite moyenne de 23 radiosources (voir section 3.3). Ce point est très proche de l’équinoxe dynamique inertiel moyen à J2000 (Arias et al., 1988) et est représenté par o(ICRS) dans la figure 3.7. L’angle ε d’inclinaison entre le plan écliptique moyen J2000 et le plan équatorial de l’ICRS est également indiqué dans cette figure. À l’époque où les moyens d’observation ne permettaient pas la mise en place d’un repère de référence inertiel avec une précision suffisante, il était très difficile de définir observationnellement un système de coordonnées non tournant. Le moment cinétique moyen du barycentre Terre-Lune était estimé dans un système de coordonnées tournant, appelé système de coordonnées rotationnel, défini à partir d’observations méridiennes du Soleil et des planètes. Le plan perpendiculaire à un tel moment cinétique est appelé plan de l’écliptique rotationnel moyen de la date et peut être décrit théoriquement à partir du plan de l’écliptique inertiel moyen de la date et de l’équinoxe dynamique inertiel moyen de la date (Standish, 1981 ; Aoki et Kinoshita, 1983). Au plan de l’écliptique dynamique rotationnel moyen de la date est associée une origine, l’équinoxe rotationnel moyen de la date, définie comme le nœud ascendant du plan de l’écliptique moyen rotationnel de la date sur l’équateur moyen de la date. Enfin, il est aussi possible de définir un système de référence inertiel à partir des axes instantanés de rotation du pôle céleste des éphémérides et de l’équinoxe vrai de la date. Cette définition diffère de celle de l’ICRS par le choix des théories de précession et de nutation utilisées pour construire le système d’axes équatorial. Un tel système est appelé système du pôle céleste moyen des éphémérides (Chapront et al., 1999). 122

3.4. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE DYNAMIQUES On définit un système de référence conventionnel par l’association d’un repère de référence, d’une théorie de la précession et de la nutation et d’un système de constantes fondamentales auquel appartient l’obliquité de l’écliptique à une date de référence.

3.4.3

Systèmes de référence et éphémérides

Il est possible d’associer un système de référence dynamique à une solution quelconque du mouvement du barycentre Terre-Lune. Il peut donc exister une multitude de systèmes dynamiques conventionnels vérifiant la même propriété générale de définition d’un système de référence dynamique, mais faisant appel à des valeurs de constantes fondamentales ou des modèles dynamiques différents. Trois d’entre eux sont présentés ici. Le premier système de référence conventionnel présenté est basé sur les solutions numériques du mouvement des planètes et de la Lune développées au Jet Propulsion Laboratory (JPL) et ajustées aux observations les plus modernes (suivi de sondes spatiales, VLBI, LLR). Le système de référence défini à partir de la solution DE405 (Standish, 1999) a été choisi comme système dynamique de référence associé à l’ICRS (McCarthy et Petit, 2004), c’est-à-dire comme matérialisation dynamique de l’ICRS. La seconde famille de systèmes de référence conventionnels présentée a été construite à partir des solutions semi-analytiques du mouvement de la Lune développées par Chapront et Chapront-Touzé (1996), Chapront et al. (1999), Chapront et al. (2002) et Chapront et Francou (2003) et ajustées aux observations de la distance Terre-Lune par télémétrie laser (LLR). Cette famille présente la particularité de définir un système dynamique associé au repère du pôle céleste moyen des éphémérides tel que recommandé par l’IERS (McCarthy et Petit, 2004). Enfin, le troisième système présenté a été construit à partir des théories analytiques du mouvement des planètes, VSOP. Cette famille de systèmes donne une autre réalisation possible d’un système dynamique inertiel. Dans ces trois cas de figure, les systèmes sont dynamiques inertiels.

3.4.3.1

Éphémérides numériques du JPL

Par le passé, les systèmes de référence des éphémérides planétaires du JPL étaient le FK4 à l’époque de référence B1950.0 (par exemple avec la solution DE118 de Newhall et al., 1983) et, plus tard, l’équateur moyen et l’équinoxe dynamique du FK5 à J2000 (par exemple avec la solution DE200 de Seidelmann, 1982). Depuis la solution DE403 (Standish et al., 1995), les solutions numériques du mouvement des planètes du JPL sont 123

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE reliées à l’ICRF. Ce lien a été établi par l’intermédiaire de l’ajustement des solutions planétaires à des observations donnant la position des planètes dans l’ICRF. Grâce aux observations rapportées à l’ICRF (voir table 3.1), les systèmes de référence dynamiques déduits des intégrations numériques ajustées aux observations spatiales et LLR peuvent être raccordés à l’ICRF avec une précision de quelques millisecondes de degré. Le système de référence conventionnel associé aux intégrations numériques est constitué du repère de référence dynamique défini plus haut et de l’ensemble des constantes fondamentales et des modèles utilisés pour obtenir les solutions planétaires. Table 3.1 – Observations utilisées dans DE405 pour effectuer le lien avec l’ICRF. La deuxième colonne indique le type d’observables : α, δ pour des quantités angulaires et ρ pour des distances.

Observations Phobos VLBI Ulysses VLBI Magellan VLBI Galileo VLBI LLR

3.4.3.2

Dates

Planète

Observables

Précision

Nombres

1989 1992 1990-1994 1995 1969-1996

Mars Jupiter Vénus Jupiter Lune

α, δ α, δ α, δ α, δ ρ

10-100 mas 3-6 mas 3-10 mas 50-200 mas 2-30 cm

2 2 18 2 11218

Éphémérides semi-analytiques de la Lune

Des solutions analytiques et semi-analytiques du mouvement orbital et de la libration de la Lune ont été développées et ajustées aux observations LLR (Chapront et Chapront-Touzé, 1996 ; Chapront et al., 1999, 2002). Afin d’augmenter la précision de la modélisation, des compléments numériques, déterminés par comparaison à la solution numérique du JPL DE245, furent ajoutés à la solution en séries du mouvement de la Lune ELP 200082B (Chapront et Chapront-Touzé, 1996). La solution obtenue, associée à une nouvelle modélisation de la libration (Moons, 1984), a été ajustée aux observations LLR sur un intervalle allant de janvier 1992 à mars 1998 (Chapront et al., 2002). Elle est notée S2001. En suivant la méthode indiquée, et en utilisant les dénominations illustrées dans la figure 3.8, Chapront et al. (2002) ont déterminé des liens entre les différents systèmes de référence dynamiques définis à partir de DE405 et du pôle moyen des éphémérides et l’ICRF par l’intermédiaire du repère moyen écliptique de S2001 ajusté aux observations LLR. La table 3.2 donne les valeurs publiées dans Chapront et al. (2002). Par cette comparaison, l’alignement de DE405 dans l’ICRF est confirmé avec une coïncidence des origines des ascensions droites de DE405 et de l’ICRF à mieux que 1 mas (0.7 mas à l’époque moyenne du raccordement de DE405 à l’ICRF). 124

3.4. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE DYNAMIQUES Écliptique

γMCEP

ψDE405

γICRS

εICRS

γDE405

εMCEP

εDE405

φICRS

οICRS

οMCEP

οDE405

Équateur du pôle moyen des éphémérides MCEP Équateur DE405 Équateur ICRS

Figure 3.8 – Angles utilisés pour les raccordements entre systèmes de référence, d’après Chapront et al. (2002).  est l’inclinaison de l’écliptique moyen inertiel sur l’équateur d’un repère de référence équatorial (ICRF, DE405 ou du pôle moyen des éphémérides), φ est l’arc entre le nœud ascendant de l’écliptique moyen inertiel à J2000 sur l’équateur du repère de référence et l’origine des ascensions droites du repère équatorial de référence, et enfin ψ l’arc entre le nœud ascendant de l’ICRS et celui de l’écliptique moyen inertiel à J2000 de S2001 sur l’équateur du repère de référence autre que l’ICRS.

3.4.3.3

Éphémérides planétaires analytiques

Les solutions VSOP sont des solutions du mouvement des planètes principales de Mercure à Neptune. Elles donnent des éphémérides de grande précision sur des intervalles de temps de l’ordre de plusieurs milliers d’années pour les planètes telluriques, de l’ordre de 1000 ans pour les grosses planètes. Les perturbations ont la forme classique de séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes λ¯ définies par λ¯ = λ0 + Nt, où N est le moyen mouvement moyen. Les principales versions des solutions VSOP sont : VSOP82 (Bretagnon, 1982) ajustées à l’intégration numérique DE200 du JPL (Seidelmann, 1982) et exprimées en variables elliptiques, VSOP87 (Bretagnon et al., 1998) construite à partir de VSOP82 en variables rectangulaires et sphériques et exprimées dans divers systèmes de référence. Les solutions VSOP200x (Moisson, 1999 ; Moisson et Bretagnon, 2001) et VSOP2013 (Simon et al., 2013) ont été construites dans un cadre relativiste. Même si les solutions VSOP200x sont ajustées à DE403, le repère de référence de VSOP ne correspond pas à celui de DE403. D’une part, la modélisation du problème dynamique 125

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

Table 3.2 – Angles de position de l’écliptique inertiel moyen J2000.0 par rapport à un système céleste équatorial donné. Les incertitudes sont des erreurs formelles (Chapront et al., 2002 ; Moisson, 1999 ; Bretagnon et al., 2003).

Repère

Auteurs

 − 8438100

φ

ψ

(00 )

(00 )

(00 )

ICRF

Chapront 2002

0.41100 ± 0.00005 −0.05542 ± 0.00011

MCEP

Chapront 2002

0.40564 ± 0.00009 −0.01460 ± 0.00015 0.0445 ± 0.0003

DE403

Chapront 2002

0.40928 ± 0.00000 −0.05294 ± 0.00001 0.0048 ± 0.0004

DE405

Chapront 2002

0.40960 ± 0.00001 −0.05028 ± 0.00001 0.0064 ± 0.0003

DE403

Moisson 1999

0.40872

−0.05340

DE405

Moisson 1999

0.40893

−0.05101

DE403

Bretagnon 2003

0.408800

−0.053727 −0.05188

INPOP10a Simon et al. 2013 0.41136

n’est pas identique entre les deux éphémérides, et, d’autre part, la réalisation du lien entre l’ICRS et le repère dynamique diffère de celle de DE403. Alors que le lien entre DE403 et l’ICRS est établi via des données observationnelles exprimées dans l’ICRF (ce qui donne le caractère inertiel au raccordement), la définition de l’écliptique de VSOP est purement inertielle. En effet, le repère écliptique de VSOP est tel que les variables en inclinaison du barycentre Terre-Lune sont nulles à une date de référence. On choisit les valeurs d’obliquité et d’équinoxe dynamique à la date de référence à cet effet. Ainsi, le repère dynamique de VSOP2000 (Moisson, 1999 ; Bretagnon et al., 2003) est défini en utilisant les mêmes angles  et φ que dans les figures 3.7 et 3.8. Le cas de VSOP2013 est différent. Contrairement aux théories VSOP200x, son écliptique est l’écliptique moyen inertiel J2000.0 défini par Chapront et al. (2002). La solution VSOP2013 a été ajustée à l’intégration numérique INPOP10a (Fienga et al., 2011a) et son modèle est très proche de celui de cette intégration numérique. Les auteurs ont calculé l’orientation de INPOP10a par rapport à cet écliptique J2000.0 et ils ont obtenu les valeurs de  et φ données dans la table 3.2. INPOP10a est reliée à l’ICRF avec une précision de quelques mas. Ainsi on peut considérer que VSOP2013 est raccordée à l’ICRF de par son ajustement à INPOP10a (Simon et al., 2013).

3.4.4

Conclusion

Les théories planétaires et lunaires permettent de définir un repère dans lequel évoluent les corps du Système solaire à partir de la détermination de l’orbite héliocentrique du 126

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE barycentre Terre-Lune. À cette orbite sont associées des théories de précession-nutation et des constantes fondamentales. Cet ensemble est appelé système de référence dynamique. Le repère de référence dynamique se caractérise par un équinoxe et un écliptique moyens à une époque de référence. Il est possible de définir un nombre varié de systèmes de référence dynamiques. Les différences entre ces systèmes peuvent provenir des théories physiques utilisées (théories de la précession et de la nutation par exemple), mais aussi de la réalisation même du système. Ainsi, VSOP donne une réalisation théorique du système, alors que DE405 en donne une réalisation observationnelle. Toutefois, les éphémérides analytiques et numériques modernes sont rapportées à l’ICRS et ne sont donc plus utilisées pour définir ou réaliser un système de référence. On trouvera plus de détails sur les solutions planétaires dans le chapitre 5.

3.5 3.5.1

Le Système international de référence terrestre (ITRS) Introduction

De même que l’étude des positions et des mouvements des astres nécessite la définition et la construction de systèmes de référence célestes, l’étude de phénomènes géophysiques, tels que la dérive des continents, la variation du niveau moyen de la mer et les déformations de la Terre, nécessite la définition et la construction de systèmes de référence terrestres de grande exactitude. L’accès à un tel système exige d’utiliser une terminologie et une démarche très semblables à celles qui sont utilisées dans le cas du système céleste (voir sections 3.1 et 3.3). Cette démarche doit tenir compte de la difficulté rencontrée pour déterminer la position d’un point à la surface de la Terre qui se déforme en permanence. Il faut également tenir compte du lien entre les repères de référence céleste et terrestre par les paramètres d’orientation et de rotation de la Terre qui sont décrits dans la section 3.6. Cela a amené l’Union astronomique internationale (UAI) et l’Union géodésique et géophysique internationale (UGGI) à adopter des résolutions communes et cohérentes. Cette section décrit la définition et la réalisation du Système international de référence terrestre, l’ITRS (International Terrestrial Reference System), ainsi que les caractéristiques de ses réalisations successives. Pour plus de détails sur ces différents aspects, voir Altamimi et Guinot (2009) ; Boucher et Willis (2017). La géodésie, science de la forme de la Terre, repose sur le positionnement de points sur la surface de la Terre ou dans son environnement immédiat. La détermination des positions des points nécessite en premier lieu des mesures (ou observations) sur ces 127

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE points, utilisant des techniques classiques (terrestres) ou spatiales, faisant appel à des objets célestes, artificiels ou naturels. En second lieu, les mesures sont traitées par des modèles mathématiques et physiques, permettant ainsi la détermination des coordonnées des points. Les coordonnées ainsi obtenues ne sont donc ni des quantités observables ni des quantités absolues, et doivent par conséquent être rapportées à une référence. C’est ainsi qu’on appelle système de référence terrestre (SRT) un objet mathématique satisfaisant une définition idéale, dans lequel les coordonnées des points sont exprimées. Pour réaliser ce système (c’est-à-dire le rendre accessible aux utilisateurs), on fait appel à un repère de référence terrestre (RRT) constituant la matérialisation physique du SRT. La distinction entre « système de référence » et « repère de référence » est donc subtile du fait que le premier est plutôt invariable et inaccessible, alors que le deuxième est, lui, accessible et perfectible. L’utilisation des techniques spatiales depuis une vingtaine d’années a bouleversé le positionnement sur la surface de la Terre. En effet, les incertitudes initialement de l’ordre du décimètre sont maintenant de l’ordre du centimètre, voire de quelques millimètres. Toutefois, chaque technique et chaque stratégie d’analyse définit et réalise son propre système. Cela conduit à des réalisations diverses de systèmes de référence présentant des biais et systématismes les unes par rapport aux autres. Ce constat a conduit les instances internationales, et en particulier l’UAI, l’UGGI et l’Association internationale de géodésie (AIG), à adopter, en 1991, l’ITRS (International Terrestrial Reference System) en tant que système de référence terrestre unique pour toutes les applications relatives à la science de la Terre. La réalisation de l’ITRS, appelée ITRF (International Terrestrial Reference Frame), par les techniques modernes de géodésie spatiale a été confiée au Service international de la rotation de la Terre et des systèmes de référence, l’IERS (International Earth Rotation and Reference Systems Service), créé en 1988. L’IERS est en charge de trois références globales : l’ITRS, l’ICRS et la rotation de la Terre qui lie les deux systèmes. L’idée de base de l’ITRF est de combiner les positions et les vitesses de stations calculées par différents centres d’analyse, en utilisant les observations des techniques spatiales, telles que l’interférométrie à très longue base (VLBI), la télémétrie laser sur satellite (SLR), le Global Positioning System (GPS) et le Doppler Orbitography Radio-Positioning Integrated by Satellite (DORIS).

3.5.2

Concepts et définitions des systèmes de référence terrestres

Un système de référence terrestre est un système de référence spatial tournant avec la Terre dans son mouvement diurne dans l’espace. Dans ce système, les positions de points localisés sur la surface de la Terre solide possèdent des coordonnées sujettes à 128

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE des variations temporelles dues à des effets géophysiques, en particulier tectoniques ou de marées terrestres et océaniques. Afin de suivre la terminologie adoptée depuis une vingtaine d’années par la communauté géodésique et astronomique (Kovalevsky et Mueller, 1981, 1989 ; Boucher, 2000), on distingue trois types de systèmes de référence terrestres : le système de référence idéal, le système de référence conventionnel et le repère de référence conventionnel. Le SRT n’est théoriquement pas accessible et on utilise donc sa réalisation physique, appelée repère de référence terrestre (RRT). Un système de référence terrestre est modélisé par un repère affine (O, E) d’un espace euclidien orthogonal où O, l’origine, est un point quelconque de l’espace et E est une base orthogonale vérifiant : λ = kEi ki=1,2,3

(3.11)

avec Ei .E j = λ2 δi j . λ est l’unité de longueur des vecteurs origine de la base exprimée en mètres (SI) et δi j est le symbole de Kronecker. Dans le cadre des activités géodésiques internationales et en particulier à l’IERS, on considère un système géocentrique où l’origine est le centre des masses de la Terre et où l’orientation est équatoriale (l’axe Oz est orienté selon la direction des pôles). La transformation générale des coordonnées cartésiennes permettant de passer d’un SRT 1 à un SRT 2 est donnée par une similitude tridimensionnelle telle que : X2 = T + λ.R.X1

(3.12)

où T est le vecteur translation, λ l’échelle et R une rotation se décomposant en trois rotations selon les axes Ox, Oy, Oz :   0 0  1   cos R1 sin R1  R x = 0   0 − sin R1 cos R1   cos R2 0 − sin R2    1 0  Ry =  0   sin R2 0 cos R2    cos R3 sin R3 0   Rz =  − sin R3 cos R3 0   0 0 1 L’équation 3.12 permet la linéarisation de la relation standard de transformation entre deux systèmes de référence, ainsi que sa dérivée par rapport au temps. C’est une similitude 129

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE euclidienne à sept paramètres : trois translations, un facteur d’échelle et trois rotations, no˙ R1, ˙ R3. ˙ ˙ R2, tés respectivement T 1, T 2, T 3, D, R1, R2, R3 et leurs dérivées : T˙ 1, T˙ 2, T˙ 3, D, La transformation d’un vecteur coordonnées X1 exprimé dans un système de référence 1 en un vecteur X2 exprimé dans le système de référence 2 est donnée par l’équation 3.13, supposée linéaire pour des jeux de coordonnées issus des techniques de géodésie spatiale (les différences d’origine sont de quelques centaines de mètres et celles d’échelle et d’orientation sont inférieures à 10−8 ) : X2 = X1 + T + DX1 + RX1

(3.13)

avec :   T 1   T = T 2   T3

D=1−λ

R=R−1

  R2  0 −R3   0 −R1 R =  R3   −R2 R1 0

où I est la matrice unité. Les termes du 2e ordre, négligés dans ce modèle, sont, au maximum, de l’ordre de 10−13 , soit 0.0006 mm. En général, X1 , X2 , T , D et R sont fonction du temps. En différenciant l’équation 3.13 par rapport au temps, nous avons donc : ˙ 1 + DX˙ 1 + RX ˙ 1 + RX˙ 1 X˙ 2 = X˙ 1 + T˙ + DX

(3.14)

D et R étant de l’ordre de 10−8 et X˙ de l’ordre de 10 cm par an, on néglige les termes DX˙ 1 et RX˙ 1 qui sont de l’ordre de 0.0001 mm sur 100 ans. L’équation 3.14 peut donc s’écrire : ˙ 1 + RX ˙ 1 X˙ 2 = X˙ 1 + T˙ + DX

(3.15)

Un repère de référence terrestre (RRT) est défini comme la réalisation numérique du SRT, via la réalisation de son origine, son échelle, son orientation et leurs évolutions temporelles. On considère aussi que la réalisation est obtenue par la détermination précise des coordonnées temporelles d’un ensemble de points physiques, exprimées dans un système de coordonnées spécifique.

3.5.3

Réalisation d’un système de référence terrestre

On distingue essentiellement deux grands types de réalisation de systèmes de référence : • la réalisation à partir des mesures d’une ou de plusieurs techniques de géodésie spatiale ; • la réalisation par combinaison de repères de référence terrestres fournis par les techniques spatiales. 130

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE 3.5.3.1

Réalisation à partir des mesures des techniques de géodésie spatiale

D’une manière générale, sept paramètres sont nécessaires pour définir un RRT à une époque donnée, auxquels on ajoute leurs dérivées par rapport au temps pour définir l’évolution temporelle du RRT. La sélection de ces quatorze paramètres permet de définir le RRT en termes d’origine, d’échelle, d’orientation et d’évolution temporelle. Les techniques de géodésie spatiale ne sont pas toutes sensibles à tous les paramètres de définition du RRT. L’origine est théoriquement accessible par les techniques dynamiques (LLR, SLR, GPS, DORIS), mais, dans la pratique, les déterminations reposent principalement sur le SLR. L’échelle dépend de certains paramètres physiques (tels que la constante gravitationnelle GM et la vitesse de la lumière c) et des effets relativistes. En théorie, les techniques qui relient le mieux les mesures au mètre sont le VLBI et le SLR. En principe, une variation temporelle de l’échelle n’a pas de sens physique. Cependant, on constate numériquement des variations en comparant certains RRT entre eux. L’orientation et sa variation temporelle sont arbitrairement ou conventionnellement définies. Il est cependant recommandé de définir l’évolution temporelle de l’orientation par une condition de non-rotation globale par rapport aux mouvements horizontaux sur la surface de la Terre. Les observations des techniques de géodésie spatiale ne contenant pas tous les paramètres nécessaires pour établir un RRT, des informations externes supplémentaires sont donc nécessaires pour compléter la définition du RRT. En termes d’équations normales, habituellement construites à partir des observations, cette situation est reflétée par le fait que la matrice normale, N, est singulière, puisqu’elle a un défaut de rang correspondant au nombre de paramètres du repère non réduits par les observations. La forme générale de l’équation normale singulière construite à partir d’observations de géodésie spatiale peut s’écrire : N(∆X) = K

(3.16)

où ∆X = X − X0 désigne les inconnues linéarisées, X0 le vecteur des paramètres a priori et K le membre de droite de l’équation normale. Afin de pallier ce défaut de rang, les centres d’analyse cumulent des contraintes appliquées sur une partie ou sur l’ensemble des stations du réseau traité : • contraintes détachables : solutions pour lesquelles les positions et les vitesses des stations sont contraintes à des valeurs externes avec une incertitude σ ≈ 10−5 m pour les positions et 10−5 m/an pour les vitesses ; • contraintes lâches : solutions pour lesquelles les incertitudes appliquées aux contraintes sont σ ≥ 1 m pour les positions et ≥ 10 cm/an pour les vitesses ; 131

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE • contraintes minimales qui servent uniquement à définir le RRT avec un minimum d’information. Pour plus de détails sur les concepts et l’utilisation des contraintes minimales, voir par exemple Sillard et Boucher (2001) et Altamimi et al. (2002b, 2003). L’ancienne habitude, qui consiste à appliquer des contraintes très fortes (σ ≤ 10−10 m), n’est plus souhaitable, car ce type de contrainte altère la qualité réelle des paramètres estimés. Dans le cas des contraintes détachables ou lâches, cela revient à écrire l’équation d’observation suivante : X − X0 = 0

(3.17)

où X est le vecteur des paramètres estimés (positions ou vitesses) et X0 est celui des paramètres a priori. Dans le cas des contraintes minimales, l’équation d’observation utilisée s’écrit sous la forme : B(X − X0 ) = 0

(3.18)

où B = (AT A)−1 AT et A est la matrice modèle des dérivées partielles, construite sur les valeurs a priori (X0 ). Dans le cas où seules les positions des stations sont estimées, elle est donnée par :   . . .   . . . .  1 0 0 xi 0 zi0 −yi0  0   i i i x0  (3.19) A = 0 1 0 y0 −z0 0   i i i 0 0 1 z0 y0 −x0 0  . . . . . . . Dans le cas où les positions et les vitesses sont estimées simultanément, elle est donnée par :   . . . . . . . . . . .   . . .   i 0 zi0 −yi0 1 0 0 x0  0 1 0 yi −zi  i 0 x ≈ 0   0 0 0 i i 0 0 1 zi  y −x 0 0 0 0  A =  (3.20) i i i 1 0 0 x0 0 z0 −y0     ≈0 0 1 0 yi0 −zi0 0 x0i     0 0 1 zi0 yi0 −x0i 0    . . . . . . . . . . . . . . La distinction fondamentale entre les deux approches est que dans l’équation 3.17, l’inconnue X est contrainte à être égale à X0 , alors que dans l’équation 3.18, X est exprimée 132

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE dans le même RRT X0 , en utilisant le projecteur B qui contient toute l’information nécessaire pour définir le RRT sous-jacent. Cependant, les deux approches sont sensibles à la configuration et à la qualité des stations (X0 ) utilisées dans ces contraintes. En termes d’équations normales, l’équation 3.18 peut s’écrire sous la forme : (BT Σ−1 θ B)(X − X0 ) = 0

(3.21)

où Σθ est une matrice diagonale contenant de petites variances pour chacun des paramètres de la transformation. L’ajout de l’équation 3.21 à l’équation 3.16 de la matrice normale, N, permet de l’inverser et, dans le même temps, d’exprimer la solution estimée X dans le même RRT que la solution a priori X0 . Les sept colonnes de la matrice A correspondent aux sept paramètres de fixation du RRT (trois translations, un facteur d’échelle et trois rotations). Par conséquent, la matrice B doit être réduite aux seuls paramètres qui doivent être définis lors de la détermination d’un RRT (par exemple, trois rotations dans toutes les techniques et trois translations dans le cas de la technique VLBI). Des équations de contraintes minimales similaires existent pour définir l’évolution temporelle d’un RRT qui comprend les vitesses des stations, également composées d’un maximum de sept pseudo-observations. Pour plus de détails pratiques, voir, par exemple, Altamimi et al. (2002a).

3.5.3.2

Réalisation par combinaison de repères de référence individuels

La combinaison de repères de référence terrestres issus du traitement des observations des techniques de géodésie spatiale est basée sur la relation fondamentale de transformation entre deux RRT des équations 3.13 et 3.15. On suppose que pour chaque solution individuelle s, et chaque point i, nous avons la position X si et la vitesse X˙ si à une époque tis exprimées dans un RRT k. La combinaison consiste en l’estimation : • des positions Xci et des vitesses X˙ci à une époque donnée t0 exprimées dans le RRT combiné c ; • des paramètres de transformation T k à une époque tk et leurs dérivées par rapport au temps T˙k du RRT combiné vers chaque RRT individuel. Un modèle général de combinaison de positions et de vitesses de stations peut s’écrire sous la forme : X si = Xci + (tis − t0 )X˙ ci + T k + Dk Xci + Rk Xci h i + (tis − tk ) T˙ k + D˙ k Xci + R˙ k Xci X˙ si = X˙ ci + T˙ k + D˙ k Xci + R˙ k Xci 133

(3.22)

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

3.5.4

3.5.4.1

Le Système international de référence terrestre (ITRS) et sa réalisation Historique

L’historique de l’ITRS remonte à 1984, quand pour la première fois un RRT combiné, appelé BTS84, a été obtenu en utilisant des coordonnées de stations issues des observations VLBI, LLR, SLR et Doppler/TRANSIT, le prédécesseur de GPS (Boucher et Altamimi, 1985). Le BTS84 a été réalisé dans le cadre des activités du Bureau international de l’heure (BIH) jouant le rôle de centre de coordination pour la campagne internationale MERIT (Monitoring of Earth Rotation and Inter-comparison of Techniques). Trois autres réalisations du BTS ont été successivement établies, la dernière étant le BTS87, quand, en 1988, l’IERS a été créé par l’UGGI et l’UAI. En 2020, treize versions de l’ITRF ont été publiées, commençant par l’ITRF88 et se terminant par l’ITRF2014, chacune d’elles étant une amélioration et un remplacement de la précédente.

3.5.4.2

Terminologie et définitions

Définition du Système de référence terrestre international (ITRS) La définition de l’ITRS doit être cohérente avec les définitions UAI des systèmes de référence spatio-temporels (BCRS, GCRS, TCB, TCG, TDB, TT, voir section 3.2) et des paramètres de rotation de la Terre (voir section 3.6.3). Dans ce but, après avoir adopté les résolutions de l’UAI 2000 et UAI 2006 relatives aux systèmes de référence spatio-temporels, l’UGGI a adopté la résolution 2 de l’UGGI 2007, qui donne une nouvelle définition de l’ITRS suivant le cadre relativiste UAI 2000 et la terminologie recommandée par le groupe NFA de l’UAI sur la nomenclature en astronomie fondamentale (voir section 3.6.3 et https://syrte.obspm.fr/iauWGnfa). La résolution 2 de l’UGGI 2007 définit tout d’abord un Système de référence terrestre géocentrique (GTRS) comme un système de coordonnées spatio-temporelles géocentriques dans le cadre de la relativité générale, co-tournant avec la Terre, et lié au GCRS par une rotation spatiale qui prend en compte les paramètres de rotation de la Terre. Puis, cette résolution définit l’ITRS comme « le GTRS spécifique » pour lequel l’orientation est en continuité avec les références du BIH (BTS), et adopte l’ITRS comme le « GTRS préféré » pour les applications scientifiques et techniques. La condition de co-rotation 134

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE de l’ITRS est définie comme l’absence de rotation résiduelle par rapport à la surface de la Terre. Le géocentre est considéré comme étant le centre de masse de l’ensemble du système Terre (y compris les océans et l’atmosphère). L’échelle de temps associée au GTRS est TCG (Geocentric Coordinate Time). Il en est de même pour l’ITRS, ce qui implique que l’unité de longueur (ou d’échelle) de l’ITRS est le mètre. Ces définitions relativistes du GTRS et de l’ITRS ont été adoptées par l’UAI par la résolution B1 de l’UAI 2018.

Définition du repère de référence terrestre international (ITRF)

Le repère de référence terrestre international (ITRF) est, suivant la définition NFA, une réalisation de l’ITRS par un ensemble de coordonnées (et de vitesses) instantanées de points de référence répartis sur la surface topographique de la Terre (principalement des stations de géodésie spatiale et des marqueurs associés). L’orientation initiale de ce repère est celle du système terrestre BIH à l’époque 1984.0.

Coordonnées géographiques associées à l’ITRF

Notons que les solutions ITRF sont spécifiées en coordonnées cartésiennes équatoriales X, Y et Z, rapportées au RRT (origine, orientation des axes, échelle) d’une réalisation donnée ITRFyy. Ces coordonnées peuvent être transformées en coordonnées géographiques (longitude, latitude et hauteur) référées à un ellipsoïde de référence. Dans ce cas, l’ellipsoïde recommandé est l’ellipsoïde de révolution AIG-GRS80, de demi-grand axe a = 6 378 137.0 m et d’aplatissement f = 1/298.257 222 101.

3.5.4.3

Définition du repère ITRF : de l’ITR88 à ITRF2000

De l’ITRF88 à l’ITRF93, la définition du RRT est résumée comme suit : • l’origine et l’échelle sont définies par une moyenne de certaines solutions SLR ; • l’orientation est définie par des alignements successifs depuis le BTS87, dont l’orientation a été alignée aux séries des paramètres d’orientation de la Terre (EOP) du BIH. Il est à noter que l’orientation du BTS87 et son évolution temporelle ont à nouveau été alignées sur les EOP de l’IERS ; 135

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE • l’évolution temporelle en orientation : pour l’ITRF88 et l’ITRF89, il n’y avait pas de champ de vitesses estimé. Le modèle de mouvement des plaques tectoniques AM02 (Minster et Jordan, 1978) a été utilisé comme référence. À partir de l’ITRF91, et jusqu’à l’ITRF93, des champs de vitesses combinés ont été estimés. L’évolution temporelle en orientation de l’ITRF91 a été alignée au modèle NNR-NUVEL-1 (Argus et Gordon, 1991), celle de l’ITRF92 au modèle NNR-NUVEL-1A et celle de l’ITRF93 aux séries EOP de l’IERS. Depuis l’ITRF94, les matrices de variance complètes des solutions individuelles introduites dans les combinaisons ITRF ont été utilisées. La fixation du RRT ITRF94 a été réalisée de la manière suivante : • l’origine est une moyenne pondérée de certaines solutions SLR et GPS ; • l’échelle est une moyenne pondérée de certaines solutions VLBI, SLR et GPS. Elle a été ensuite corrigée par un facteur d’échelle (1 + 0.7 × 10−9 ) afin d’être en accord avec les résolutions de l’UGGI et de l’UAI, adoptant l’échelle de temps TCG, au lieu de l’échelle de temps TT utilisée par les centres d’analyse (voir chapitre 2) ; • l’orientation est alignée à l’ITRF92 ; • l’évolution temporelle est définie en alignant le champ de vitesses de l’ITRF94 au modèle NNR-NUVEL-1A, sur les sept dérivées des paramètres de transformation. L’ITRF96 a ensuite été aligné à l’ITRF94, et l’ITRF97 à l’ITRF96, sur les quatorze paramètres de transformation. L’ITRF2000 (Boucher et al., 2004) est une solution étendue et améliorée dans le but de servir de référence à la fois pour le géoréférencement et les applications en science de la Terre. En plus des sites primaires VLBI, SLR, GPS et DORIS, l’ITRF2000 comprend une densification par des réseaux GPS régionaux, en Alaska, Antarctique, Asie, Europe, l’Amérique du Nord, l’Amérique du Sud et dans le Pacifique. Les solutions individuelles utilisées dans la combinaison ITRF2000 sont libres de toute contrainte externe. Les contraintes de définition de repère de référence sont détachables, lâches ou minimales. En termes de définition du repère, l’ITRF2000 se caractérise par les propriétés suivantes : • l’origine est déterminée en fixant à zéro les translations et leurs dérivées entre l’ITRF2000 et une moyenne pondérée de cinq solutions SLR ; • l’échelle est déterminée en fixant à zéro l’échelle et sa dérivée entre l’ITRF2000 et une moyenne pondérée des cinq solutions SLR et trois solutions VLBI. Contrairement à l’échelle de l’ITRF97 compatible avec le TCG, l’ITRF2000 est compatible avec le TT ; • l’orientation est déterminée en alignant les angles de rotation à ceux de l’ITRF97 à l’époque 1997.0 et leurs dérivées à celles du modèle NNR-NUVEL-1A (Argus et Gordon, 1991 ; Demets et al., 1990, 1994). 136

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE 3.5.4.4

Définition du repère ITRF : de l’ITR2005 à ITRF2008

Pour la première fois de l’histoire de l’ITRF, l’ITRF2005 a été construit en utilisant des séries temporelles de positions de stations et de paramètres de rotation de la Terre. Une série temporelle par technique a été considérée : journalière dans le cas de la technique VLBI et hebdomadaire dans le cas des techniques satellitaires (SLR, GPS et DORIS). Ces solutions représentent les séries officielles des services internationaux des quatre techniques (IVS, ILRS, IGS et IDS), reconnus par l’IERS sous le nom de centre technique. Il faut noter que ces solutions sont les résultats des combinaisons, au sein de chaque service, des centres d’analyses participant aux activités de chaque service. L’origine de l’ITRF2005 est définie par l’annulation des composantes de translation de la solution SLR. Son échelle est définie en fixant à zéro l’échelle de la solution VLBI et son orientation est définie par alignement à l’ITRF2000. En suivant la même stratégie que pour l’élaboration de l’ITRF2005, l’ITRF2008 est basé sur des solutions recalculées des quatre techniques de géodésie spatiale : VLBI, SLR, GPS et DORIS, couvrant respectivement 29, 26, 12.5 et 16 ans d’observations. L’ITRF2008 est composé de 934 stations réparties sur 580 sites, avec une distribution inhomogène entre l’hémisphère nord (463 sites) et l’hémisphère sud (117 sites). 105 sites étaient colocalisés, parmi lesquels 91 disposaient de rattachements géodésiques locaux. Toutefois, les sites colocalisés de l’ITRF2008 n’étaient pas tous en opération à l’époque de sa réalisation. Par exemple, parmi les six sites disposant de quatre techniques, deux seulement étaient en activité : Hartebeesthoek en Afrique du Sud, et Greenbelt, MD aux États-Unis. L’ITRF2008 est caractérisé par les propriétés suivantes : • l’origine est définie par le fait qu’il n’y a pas de translation entre l’ITRF2008 et la solution SLR ; • l’échelle est définie par une échelle nulle entre l’ITRF2008 et la moyenne des échelles VLBI et SLR ; • l’orientation est définie par alignement sur la solution ITRF2005 en utilisant un ensemble de 179 stations de référence réparties sur 131 sites, incluant 107 GPS, 27 VLBI, 15 SLR et 12 DORIS. En vingt ans, le réseau ITRF s’est progressivement densifié en nombre de sites et en nombre de techniques colocalisées. La figure 3.9 montre le réseau ITRF88 et sa centaine de sites, dont vingt-deux colocalisés, en comparaison du réseau ITRF2008 avec plus de 500 sites, dont 105 colocalisés. 137

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

1

Co-located techniques -->

1

Co-located techniques -->

20

71

2

3

2

2

3

28

6

4

Figure 3.9 – Répartition des sites et des techniques colocalisées : ITRF88 (haut) et ITRF2008 (bas).

3.5.5

L’ITRF2014, réalisation actuelle de l’ITRS

L’ITRF2014, publié en 2016 (Altamimi et al., 2016), représente la version actuelle de l’ITRF à la date de cette publication. 138

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE Suivant la procédure utilisée pour la construction des versions 2005 et 2008, l’ITRF2014 utilise comme données d’entrée des séries temporelles de positions de stations et de paramètres de rotation de la Terre fournis par les centres techniques VLBI, SLR, GNSS et DORIS. Le calcul consiste à cumuler ces séries temporelles pour chacune des quatre techniques individuellement afin d’en déduire un repère à long terme. Les quatre repères obtenus sont ensuite combinés en tenant compte de leurs liens par des rattachements géodésiques locaux de sites colocalisés (par plusieurs techniques). Deux innovations ont été introduites dans le calcul de l’ITRF2014 qui concerne la modélisation des mouvements non linéaires des stations, limitant ainsi leur impact sur les paramètres du repère. Cela comprend des signaux saisonniers (annuels et semestriels) présents dans les séries temporelles des positions des stations, ainsi que des déformations post-sismiques (PSD, Post-Seismic Deformations) de 108 sites, dont les positions présentent des discontinuités liées à des séismes majeurs. Les signaux périodiques (annuels et semestriels) sont dus aux effets des surcharges agissant sur la croûte terrestre ou aux erreurs systématiques des techniques. Ces signaux ont été modélisés à l’aide de fonctions sinusoïdales avec des fréquences annuelles et semiannuelles. Cette modélisation a pour objectif principal de garantir l’estimation la plus robuste possible des vitesses linéaires des sites. Ils ne font donc pas partie des produits ITRF2014. Par contre, les modèles paramétriques de déformations post-sismiques font partie des produits ITRF2014. Leur utilisation permet d’éviter des erreurs de position au niveau décimétrique qui pourraient être introduites pour de nombreuses stations touchées par ces déformations. Ces modèles paramétriques ont été déterminés par ajustement aux séries temporelles de positions journalières de 108 stations IGS localisées sur des sites qui ont été soumis à des séismes majeurs. Les modèles ont ensuite été appliqués aux trois autres techniques sur les sites colocalisés. Ainsi, la solution ITRF2014 fournit des modèles PSD en plus des estimations habituelles des positions des stations à une époque donnée (2010.0), de leurs vitesses et des EOP. L’ITRF2014 est composé de 1 499 stations réparties sur 975 sites. La figure 3.10 montre la nouvelle densification du réseau par rapport à celui de l’ITRF2008 (figure 3.9). L’ITRF2014 est caractérisé par les propriétés suivantes : • l’origine est définie de telle sorte qu’il n’y ait aucun paramètre de translation à l’époque 2010.0 et aucune vitesse de translation par rapport à l’origine moyenne des séries temporelles de positions de stations SLR ; • l’échelle est définie de telle sorte que le facteur d’échelle soit nul à l’époque 2010.0 et que le taux d’échelle soit nul par rapport à la moyenne des solutions à long terme VLBI et SLR obtenues en cumulant leurs séries temporelles respectives ; 139

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

ITRF2014 sites

90˚

90˚

60˚

60˚

30˚

30˚

0˚

0˚

-30˚

-30˚

-60˚

-60˚ -90˚

-90˚

VLBI

SLR

GNSS

DORIS

Altamimi et al. (2016)

Figure 3.10 – La réalisation ITRF 2014 du Système international de référence terrestre.

• l’orientation à l’époque 2010.0 et son taux de variation sont alignés sur l’ITRF2008 en utilisant 127 stations de haute qualité géodésique. Cette dernière réalisation de l’ITRS, dont la qualité s’est encore améliorée par rapport à la précédente, mène à diverses applications géophysiques concernant par exemple le modèle de mouvement des plaques tectoniques (Altamimi et al., 2017) ou les changements de la figure de la Terre sous l’effet de la réponse de la Terre à la fonte des glaces (Metivier et al., 2018). La prochaine mise à jour de l’ITRF sera l’ITRF2020 dont la publication est prévue pour 2021 (Altamimi et al., 2018).

3.5.6

L’ITRS et les instances internationales

Statut officiel de l’ITRS et de sa réalisation ITRF La structure de l’IERS, mise en place en 2001, comprend un centre ITRS et des centres de combinaison ITRS. En plus de l’IGN, deux autres centres de combinaison participent actuellement aux calculs ITRS (DGFI-TUM, Allemagne et JPL, États-Unis). Selon les 140

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE termes de référence de l’IERS, le centre de produit ITRS, opéré par l’IGN, est responsable de la maintenance de l’ITRS/ITRF. À ce titre, le centre ITRS a aussi la responsabilité de fournir aux centres de combinaison ITRS des spécifications et évalue leurs résultats respectifs. Dans ce cadre, jusqu’à présent, le DGFI a produit deux solutions : DTRF2008 et DTRF2014, et le JPL une solution : JTRF2014. À l’initiative du centre ITRS, une note technique IERS dédiée à l’évaluation des solutions DTRF2014 et JTRF2014, comparativement à la solution officielle ITRF2014, a été publiée (Altamimi et Dick, 2020).

L’ITRF, repère de référence terrestre recommandé par l’UGGI

La 27e assemblée générale de l’UGGI, qui s’est tenue à Montréal en juillet 2019, a adopté la résolution 2 qui recommande aux utilisateurs que l’ITRF soit la norme en tant que repère de référence terrestre pour les applications de positionnement, de navigation par satellite et de sciences de la Terre, ainsi que pour la définition et l’alignement des repères de référence nationaux et régionaux.

Résolution de la CGPM sur l’adoption d’un système de référence terrestre commun

La résolution 9 de la 24e CGPM 2011 a recommandé que l’ITRS, tel que défini par l’UGGI et réalisé de manière pratique par l’IERS, soit adopté pour toutes les applications métrologiques, comme le système de référence international unique pour les repères terrestres.

ITRF et Cadre de référence géodésique mondial (GGRF)

L’ITRF a acquis en 2015 une reconnaissance mondiale plus large. En effet, le 26 février 2015, l’Assemblée générale des Nations unies a adopté une résolution reconnaissant l’adoption de l’ITRF par la communauté géodésique mondiale et soutenant le développement et l’usage du Repère de référence géodésique mondial (GGRF pour Global Geodetic Reference Frame) pour le développement durable. De plus, lors de sa 9e session d’août 2019, le comité d’experts de l’ONU sur la gestion de l’information géospatiale à l’échelle mondiale, a apporté son appui à l’accord du sous-comité en géodésie sur l’adoption du Système international de référence (ITRS) et du Repère international de référence terrestre (ITRF) comme normes pour les applications scientifiques, géospatiales et de géodésie opérationnelle. 141

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Norme ISO relative à l’ITRS L’ITRS fait l’objet d’une norme de l’Organisation internationale de normalisation (ISO), qui a été élaborée par le comité technique ISO/TC 211 d’Information géographique/géomatique. Le document fournit des informations de base et des définitions relatives à l’ITRS, à ses différentes réalisations, ainsi qu’aux méthodes d’accès à l’ITRS et aux différents processus requis pour déterminer les positions exprimées dans ce système. Ces normes sont conformes aux conventions adoptées par l’UGGI – en particulier l’Association internationale de géodésie (AIG) – et l’UAI.

3.5.7

Système de coordonnées géodésiques GNSS

Chacun des systèmes globaux de navigation par satellites GNSS a un système de coordonnées géodésiques associé, dont l’orientation est définie par alignement à une réalisation primaire de l’ITRF : il s’agit du WGS84 pour le GPS, du PZ-90 pour GLONASS, du CGS2000 pour Beidou, du JGS pour QZSS et du GTRF pour Galileo.

Le système WGS84 (World Geodetic System 1984) Le système WGS consiste en un ensemble de données utilisées pour la cartographie et la géodésie du ministère américain de la Défense (DOD), dont la réalisation actuelle est le WGS84. Le système de référence terrestre associé au WGS84 est la référence géodésique du système GPS. Il est centré au centre de masse de la Terre, son axe X est situé dans le plan équatorial et est dirigé vers un méridien de référence, et l’axe Z pointe dans la direction de l’axe de rotation de la Terre (position moyenne conventionnelle). L’orientation du repère du WGS a été alignée en 1984 (WGS84) sur le BTS. Les versions récentes du WGS84 coïncident avec l’ITRF au niveau centimétrique.

Le système PZ-90 Le système PZ-90 est le système de référence terrestre associé au système GLONASS. Il est centré au centre de masse de la Terre, son axe X est dirigé vers le point d’intersection du plan équatorial et du méridien zéro défini par le BIH et son axe Z est dirigé vers le pôle de référence conventionnel de l’IERS. Son échelle est conforme au SI et son orientation a été alignée sur l’ITRF2008 avec un taux de rotation nul par rapport à ce repère. 142

3.5. SYSTÈME INTERNATIONAL DE RÉFÉRENCE TERRESTRE Le système CGCS2000 Le système chinois CGCS2000 de coordonnées géodésiques 2000 est réalisé par le repère de référence terrestre chinois 2000 (CTRF2000) et aligné sur l’ITRF97.

Le système JGS2010 Le système géodésique japonais associé au système satellitaire quasi zénithal (QZSS) est aligné sur l’ITRF2008, conformément à son modèle de description (http://www.unoosa. org/pdf/icg/2012/template/QZSSupdated.pdf).

Le système GTRF Le GTRF, dont la réalisation et la maintenance à long terme est confiée au Galileo Geodetic Reference Service Provider (GRSP), est le système de référence terrestre associé au système Galileo. Les repères GTRF sont représentés par des positions de stations et des vitesses linéaires, et sont alignés sur l’ITRF (sur les 14 paramètres de transformation) au niveau de quelques mm et à moins de 1 mm/an.

Densifications régionales et nationales de l’ITRF L’accès à des réalisations de l’ITRS par des versions de l’ITRF en amélioration continue et la généralisation de l’usage des techniques GNSS ont amené à la réalisation de repères de référence qui réalisent des densifications régionales ou nationales de l’ITRF. Par exemple, l’ETRS89 est le système de référence terrestre adapté à l’Europe. Il suit la plaque tectonique Eurasie dans son mouvement et est rigoureusement rattaché à l’ITRS. Sa densification est assurée par le réseau EPN (EUREF Permanent Network) de stations permanentes GNSS. La France, comme de nombreux autres pays, a adopté une référence géodésique nationale de ce type en remplacement du précédent système basé sur la triangulation : le système RGF93 a ainsi remplacé la Nouvelle triangulation de la France (NTF).

3.5.8

Autres formes ou désignations de repères de référence terrestres

L’utilisation du GCRS et de l’ITRS, comme systèmes de référence géocentriques, respectivement céleste et terrestre, est largement adoptée au niveau des communautés scientifiques mondiales en astronomie et en géodésie-géophysique. Toutefois, les référentiels géocentriques listés ci-dessous sont d’usage courant dans certaines applications satellitaires. 143

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Référentiel géocentrique ECI (Earth-Centered Inertial) Ce référentiel est centré au centre de masse de la Terre et est défini par ces trois axes qui ont des directions fixes par rapport aux étoiles. Un ECI couramment utilisé est défini par l’équateur et l’équinoxe moyen de l’époque J2000.0. La bonne connaissance de la position des étoiles permet de déterminer, par l’observation de ces étoiles, l’orientation d’un satellite artificiel dans ce référentiel.

Référentiel terrestre ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed) Ce référentiel est centré au centre de masse de la Terre et ses trois axes sont fixes par rapport à la Terre. L’axe Z est dirigé vers le pôle Nord et l’axe X vers le premier méridien. Il est lié au référentiel géocentrique ECI par une rotation spatiale qui prend en compte les paramètres de rotation de la Terre.

3.6

3.6.1

Passage du système de référence céleste géocentrique au système de référence terrestre Introduction

La réduction de toute observation d’un objet céleste effectuée depuis la Terre exige une transformation qui fait passer des coordonnées de cet objet dans le système de référence céleste, centré au barycentre du Système solaire (dit barycentrique), aux coordonnées de ce même objet dans le système de référence terrestre dans lequel on connaît les coordonnées de la station d’observation. Cette transformation de coordonnées s’effectue en deux étapes. La première étape correspond au passage du système de référence céleste barycentrique, noté BCRS, au système de référence céleste centré au centre de masse de la Terre (dit géocentrique), noté GCRS, dont les axes de coordonnées spatiales sont cinématiquement non tournants par rapport à ceux du BCRS. Cette étape est décrite dans la section 3.2, dans le cadre de la forme générale de la transformation entre systèmes de référence relativistes. Celle-ci prend en compte les effets de parallaxe annuelle et d’aberration annuelle à la date d’observation, ainsi que l’effet de déflexion de la lumière dans le champ gravitationnel des corps du Système solaire (excepté la Terre). Cela permet de passer des coordonnées d’un objet céleste dans le BCRS – données par un catalogue ou une éphéméride – aux coordonnées de ce même objet dans le GCRS, couramment appelées en astronomie coordonnées 144

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS apparentes. La deuxième étape correspond au passage du GCRS au système de référence terrestre international géocentrique, l’ITRS, dont les axes accompagnent la Terre dans sa rotation diurne. Le but est ici de donner l’expression la plus exacte possible de la transformation de coordonnées entre les systèmes de référence GCRS et ITRS. Après avoir décrit la forme générale de la transformation, les nouveaux concepts sont présentés, ainsi que les définitions et les modèles qui ont été adoptés par l’UAI entre 2000 et 2006, afin d’obtenir la précision et l’exactitude requises par les techniques modernes d’observation. Puis sont données les expressions de l’ensemble des quantités intervenant dans cette transformation. Pour plus de détails sur ces différents aspects, voir par exemple, pour les bases théoriques (Capitaine et Kovalevsky, 2017 ; Capitaine et Guinot, 2017), et, pour la mise en pratique, les conventions IERS 2010 (Petit et Luzum, 2010). L’ensemble des procédures UAI 2000/2006, décrites dans cette section, sont disponibles dans la librairie informatique SOFA (IAU Standards of Fundamental Astronomy) de l’UAI, librement téléchargeable à l’adresse http://www.iausofa.org/.

3.6.2

Expression générale de la transformation

La transformation entre le système de référence GCRS, dans lequel les coordonnées de la direction des objets célestes sont déterminées, et l’ITRS prend en compte l’orientation de la Terre dans le GCRS. Cette orientation à une date donnée, t, pourrait être décrite par trois angles d’Euler qui sont fonctions de t. Toutefois, il y a des avantages théoriques et pratiques à passer par l’intermédiaire d’un système de référence intermédiaire (de la date), dont l’axe Gz est proche de la direction de l’axe instantané de rotation (voir section 3.6.3). Ainsi, pour effectuer le passage du GCRS à l’ITRS, on passe d’abord au système de référence intermédiaire en prenant en compte la position du pôle intermédiaire par rapport au GCRS. L’axe Gx de ce système est arbitraire, les ascensions droites d’étoiles ou de quasars étant déterminées de façon relative. Il faut donc faire le choix de cette origine (voir section 3.6.3). Il faut ensuite tenir compte de l’angle de rotation de la Terre autour de l’axe Gz dirigé vers le pôle intermédiaire. Enfin, il faut considérer le déplacement de ce pôle par rapport à la Terre. Si l’on désigne par [CRS ] et [T RS ] les matrices-colonnes des coordonnées rectangulaires d’un vecteur respectivement dans les systèmes de référence céleste et terrestre (supposés directs), on peut écrire : [T RS (t)] = W(t) R(t) C(t) [CRS ]

(3.23)

expression dans laquelle les matrices de transformation W(t), R(t), C(t) tiennent compte des effets suivants (voir section 4.1) : 145

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE • le mouvement du pôle, ou déplacement du pôle intermédiaire par rapport au système de référence terrestre, dans W(t) ; • l’angle de rotation de la Terre dans le système de référence céleste autour de l’axe du pôle, c’est-à-dire le long de l’équateur intermédiaire, dans R(t) ; • la précession-nutation, ou déplacement du pôle intermédiaire par rapport au GCRS, dans C(t). Le paramètre t, utilisé dans l’équation 3.23, représente la date d’observation (ou de calcul), exprimée en siècles juliens de l’échelle de Temps terrestre, TT. Elle est définie par : t = (TT − 2 451 545, 0)/36 525

(3.24)

avec TT en jours. Cette définition est conforme à la résolution C7 de l’UAI 1994 qui recommande que l’époque J2000.0 soit définie au niveau du géocentre et à la date du 1er janvier 2000 12 h TT, soit la date julienne 245 1545.0 TT. La notation 2000, au lieu de J2000.0, est parfois utilisée dans certaines expressions pour désigner cette époque.

3.6.3

Les résolutions 2000 et 2006 de l’UAI relatives à la transformation entre les systèmes de référence terrestre et céleste

Plusieurs résolutions concernant la transformation entre les systèmes de référence céleste et terrestre ont été adoptées par l’UAI en 2000 et 2006 et approuvées par l’UGGI, respectivement en 2003 et 2007. Ces résolutions concernent les concepts, la nomenclature et les modèles qui interviennent dans cette transformation. Le but est d’assurer une exactitude de l’ordre de 1 µas afin d’être compatible avec la précision des réalisations et des observations, actuellement de l’ordre de 10 µas et susceptibles de progrès. Dans ce cadre, les définitions du pôle, de l’origine équatoriale de la date, de l’angle de rotation de la Terre et du Temps universel UT1 sont essentielles. Ceci a fait l’objet des deux résolutions de l’UAI qui sont décrites dans cette section et dont on rappelle tout d’abord le contexte historique.

3.6.3.1

Contexte historique

Le pôle considéré comme pôle céleste de la date a longtemps été le pôle instantané de rotation. Mais il s’agit d’un concept théorique qui met en jeu un déplacement infiniment petit. Les observations n’étant pas instantanées, ce pôle est inobservable et cela d’autant plus qu’il a des mouvements diurnes et subdiurnes qui sont devenus décelables par les observations de haute précision. Ce problème a justifié le choix du Pôle céleste intermédiaire (CIP), proche du pôle instantané de rotation, mais défini par une convention 146

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS très précise, décrite par la suite, qui clarifie la précédente définition et l’étend dans le domaine de fréquences plus élevées. L’adoption du CIP a été recommandée par la résolution B1.7 de l’UAI adoptée en 2000. En ce qui concerne l’origine utilisée pour compter l’angle de rotation de la Terre, deux solutions ont été comparées : l’équinoxe moyen de la date, intersection de l’équateur moyen de la date et de l’écliptique, et l’origine non tournante (NRO, Non-Rotating Origin), définie par Guinot (1979) par une condition cinématique de non-rotation décrite par la suite. L’équinoxe moyen a été utilisé comme origine équatoriale jusqu’à la fin du xxe siècle pour des raisons historiques. En effet, une origine des coordonnées célestes définie à partir de mesures de positions d’étoiles dérive dans le temps du fait de la mauvaise connaissance des mouvements propres. On a donc préféré, dans le passé, déterminer cette origine à partir des mouvements des corps du Système solaire, dont la théorie fait tout naturellement intervenir l’écliptique et donc l’équinoxe. L’équinoxe moyen de la date était également utilisé pour la définition de UT1. Jusqu’au 1er janvier 2003, il était donné par l’expression du Temps sidéral moyen de Greenwich à 0 h UT1 d’Aoki et al. (1982), qui se rapportait au système de référence FK5. Une telle définition était adaptée à la détermination de UT1 à partir d’observations d’étoiles, ce qui n’est plus le cas pour des observations telles que celles obtenues par télémétrie laser ou VLBI. De plus, le système de référence équatorial attaché au pôle de rotation et à l’équinoxe a été abandonné en 1998 par l’adoption de l’ICRS, défini par les directions de radiosources extragalactiques (voir section 3.3). L’axe Ox du système de référence intermédiaire devait donc également être choisi indépendamment de l’équinoxe, dont l’usage n’a plus aucun intérêt particulier lorsqu’on se réfère à des observations ou à des calculs qui ne sont pas directement sensibles à la position de l’écliptique (telles les positions d’étoiles, de quasars, de satellites artificiels, etc.). Le choix de l’axe dirigé vers l’origine non tournante, qui permet de clarifier les concepts qui interviennent dans l’équation 3.23 et d’améliorer l’exactitude de ses différentes composantes, s’est alors imposé. L’utilisation de cette origine a été recommandée par la résolution B1.8 de l’UAI adoptée en 2000. Les coordonnées du pôle et de l’équinoxe dans le GCRS sont maintenant considérées comme des grandeurs à déterminer par l’observation.

3.6.3.2

Résolution UAI 2000 B1.7 : définition du Pôle céleste intermédiaire

Cette résolution recommande l’utilisation, à partir du 1er janvier 2003, du Pôle céleste intermédiaire (CIP, Celestial Intermediate Pole) comme pôle céleste de la date, à la place du Pôle céleste des éphémérides (CEP, Celestial Ephemeris Pole) qui avait été défini par le précédent modèle de nutation (UAI 1980). Le CIP est défini par une convention qui fixe la séparation fréquentielle entre les composantes de son mouvement dans le GCRS et l’ITRS. La résolution B1.7 précise que le mouvement du CIP dans le GCRS est obtenu 147

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE par le modèle de précession-nutation UAI 2000 (à actualiser en UAI 2000/2006) (voir section 4.4), pour des périodes supérieures à deux jours, corrigées des corrections additionnelles dépendant du temps – également appelées écarts au pôle céleste – déterminées par l’IERS à partir d’observations astrogéodésiques. De même, le mouvement du CIP dans l’ITRS est fourni par l’IERS à partir d’observations astrogéodésiques et des modèles incluant des variations à hautes fréquences.

3.6.3.3

Résolution UAI 2000 B1.8 : définition et usage des origines céleste et terrestre intermédiaires, nouvelle définition de UT1

Cette résolution recommande d’utiliser, comme origines sur l’équateur du CIP, les origines non tournantes à la fois par rapport au GCRS et à l’ITRS. Ces origines, appelées initialement Origine céleste des éphémérides (CEO, Celestial Ephemeris Origin) et Origine terrestre des éphémérides (TEO, Terrestrial Ephemeris Origin), ont été renommées par la résolution UAI 2006 B2, Origine céleste intermédiaire (CIO, Celestial Intermediate Origin) et Origine terrestre intermédiaire (TIO, Terrestrial Intermediate Origin), par souci d’homogénéisation avec le terme intermédiaire utilisé pour le pôle (UAI, 2006). On utilisera cette dénomination dans la suite. L’Angle de rotation de la Terre (ERA pour Earth Rotation Angle) est défini par cette résolution comme étant l’angle entre le TIO et le CIO, mesuré positivement dans le sens rétrograde, le long de l’équateur du CIP. La résolution B1.8 recommande également que UT1 soit linéairement proportionnel à l’ERA suivant la relation conventionnelle entre l’ERA et UT1 (Capitaine et al., 2000b) : ERA(T u ) = 2π (0.779 057 273 264 0 + 1.002 737 811 911 354 48 T u )

(3.25)

où T u est la date julienne en UT1−2 451 545.0. La résolution recommande que la transformation entre le GCRS et l’ITRS soit spécifiée par la position du CIP dans le GCRS, la position du CIP dans l’ITRS et l’ERA. Cette résolution est entrée en vigueur le 1er janvier 2003.

3.6.3.4

Terminologie associée à ces résolutions et mise en pratique

L’ensemble des résolutions UAI 2000-2006 relatives aux systèmes de référence repose sur de nouveaux concepts et de nouvelles définitions. Un groupe de travail de l’UAI dénommé Nomenclature pour l’astronomie fondamentale (NFA) a été chargé de proposer une nouvelle terminologie attachée à ces nouvelles notions (Capitaine et al., 2007). 148

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS Cette terminologie est employée dans ce chapitre. Le glossaire produit par ce groupe est disponible sur le site https://syrte.obspm.fr/iauWGnfa. En particulier, au système équatorial attaché au pôle et à l’équinoxe de la date se substitue le Système de référence céleste intermédiaire (CIRS, Celestial Intermediate Reference System) à cette même date. Les diverses grandeurs exprimées dans le CIRS sont qualifiées d’intermédiaires. De façon similaire, on définit le Système de référence terrestre intermédiaire (TIRS, Terrestrial Reference Intermediate System). Les résolutions UAI 2000 et UAI 2006 ont été mises en pratique par les conventions et les procédures de l’IERS qui sont entrées en vigueur respectivement le 1er janvier 2003 (Capitaine et al., 2002 ; McCarthy et Petit, 2004) et le 1er janvier 2009 (Petit et Luzum, 2010). Ces conventions et procédures ont résulté d’une large coopération scientifique internationale au sein de l’IERS et de groupes de l’UAI visant à comparer et à valider les développements semi-analytiques cohérents avec les modèles UAI. Ils ont été publiés par différents auteurs au cours de cette période. En plus de l’IERS et du groupe NFA de l’UAI, cette coopération a impliqué le groupe SOFA de l’UAI, qui a développé les versions 2000 et 2006 des logiciels de référence en astronomie fondamentale. Ces travaux ont permis une introduction rapide des résolutions UAI 2000-2006 dans les logiciels de traitement des observations astrométriques de haute précision et dans les éphémérides astronomiques. Cela a été le cas dans la Connaissance des temps à partir de 2006, ainsi que dans l’Annuaire du Bureau des longitudes, qui donne les valeurs au cours de l’année de l’Angle de rotation de la Terre (ERA), du temps sidéral moyen et de l’équation des origines (voir équation 3.29). C’est le cas également pour les autres tables d’éphémérides mondiales.

3.6.4 3.6.4.1

Les paramètres d’orientation de la Terre Définition des paramètres à utiliser

L’orientation de la Terre dans un système de référence céleste, centré au centre de masse de la Terre, est donnée par trois paramètres. En fait, le mouvement de la Terre autour de son centre de masse comporte une composante non prévisible, constituée du mouvement du pôle dans le système de référence terrestre et des variations de la vitesse angulaire de rotation, et une composante prévisible qui constitue la précession-nutation. Ces diverses composantes sont décrites dans la section 4.6. La représentation de la rotation de la Terre exige la connaissance du mouvement du pôle à la fois dans le système de référence céleste et dans le système de référence terrestre, ainsi que du mouvement de rotation de la Terre autour de l’axe dirigé vers ce pôle. On utilise ainsi, en pratique, cinq paramètres appelés paramètres d’orientation de la Terre (EOP, Earth Orientation Parameters). 149

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE Deux d’entre eux représentent la trajectoire du pôle intermédiaire sur la sphère céleste, deux autres expriment les coordonnées, x p , y p , de ce pôle sur la sphère terrestre et le cinquième, la rotation de la Terre autour de l’axe du pôle intermédiaire. Pour des raisons historiques, c’est le Temps universel UT1, considéré dans le passé comme une forme théorique de temps solaire moyen, et actuellement défini à partir de l’ERA (voir section 3.6.3), qui est utilisé pour ce dernier paramètre. La connaissance de ces cinq paramètres en fonction de la date est indispensable pour calculer l’équation 3.23.

y

xp

CIP

G

Équateur terrestre (associé à RΟ)

γv

x

n idie Mér ich nw ree de G

yp

RΟ

z

σ

J

GST

θ

ϖ

Équateur vrai de la date

ϖΟ

Figure 3.11 – Paramètres d’orientation de la Terre : coordonnées du CIP, x p , y p , dans l’ITRS, GST et ERA, noté θ.

La figure 3.11 illustre la définition des paramètres qui décrivent l’orientation de la Terre à utiliser dans l’équation 3.24. Dans cette figure, G est le centre de masse de la Terre, Gz est l’axe des z de l’ITRS défini dans la section 3.5 qui coupe la sphère terrestre en R0 . $0 et $ sont respectivement l’origine des longitudes (de l’ITRS) et le TIO, intersection du méridien origine avec l’équateur intermédiaire. σ est le CIO, γv est l’équinoxe vrai de la date et J est le nœud de l’équateur de la date sur l’équateur de l’ITRF. ERA est l’angle θ = $σ et GST est l’angle $γv . 150

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS 3.6.4.2

Définition du Pôle céleste intermédiaire (CIP)

Selon la résolution B1.7 de l’UAI (2000), le CIP est un pôle intermédiaire proche du pôle instantané de rotation, séparant, par convention, le mouvement du pôle de l’ITRS dans le GCRS en deux composantes : • le mouvement céleste du CIP (précession-nutation), comprenant tous les termes ayant des périodes plus grandes que deux jours dans le GCRS (c’est-à-dire des fréquences comprises entre −0.5 et +0.5 cycle par jour sidéral (cpsd) ; • le mouvement terrestre du CIP (ou mouvement du pôle), comprenant tous les termes en dehors de la bande rétrograde diurne dans l’ITRS (fréquences plus petites que −1.5 cpsd, ou plus grandes que −0.5 cpsd). Cette définition est résumée par la figure 3.12. --|_________|_________|_________|_________|_________|_________| 3.5 ------

2.5

1.5 0.5 | | | nutation |

+0.5

+1.5 (cpsd) ------

--|_________|_________|_________|_________|_________|_________| 2.5

1.5

0.5

+0.5

+1.5

+2.5

(cpsd)

Figure 3.12 – Convention fréquentielle de définition du CIP par la résolution UAI 2000 B1.7.

La résolution B1.8 de l’UAI (2000) recommande que la transformation entre le GCRS et l’ITRS soit spécifiée par la position du CIP dans le GCRS, la position du CIP dans l’ITRS et l’ERA. Cela amène à utiliser, à la place des quantités classiques de précession-nutation, les cosinus directeurs, notés X et Y, du CIP dans le GCRS qui expriment directement la direction de l’axe du pôle intermédiaire sur la sphère céleste sous une forme très similaire à celle exprimant usuellement la direction de cet axe sur la sphère terrestre. Les expressions théoriques de X et Y en fonction des quantités classiques de précessionnutation ont été données par Capitaine (1990). Ces expressions incluent les contributions de la précession, de la nutation, des termes mixtes (termes croisés entre précession et nutation), ainsi que l’effet des décalages du CIP et de l’origine équatoriale à J2000.0 par rapport aux axes du GCRS (parfois désignés par biais de repère). Cela permet de déduire les développements semi-analytiques de X et Y en fonction du temps (voir les équations 3.41 et 3.42), qui sont compatibles avec le modèle UAI 2006/2000 de précession-nutation. 151

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE 3.6.4.3

Notion d’origine non tournante

La rotation de la Terre autour de son axe par rapport à un système de référence inertiel doit être mesurée sur l’équateur instantané par rapport à une origine instantanée. Or, l’équateur instantané n’étant fixe ni dans le GCRS du fait de la précession-nutation, ni dans l’ITRS du fait du mouvement du pôle, la définition d’une origine instantanée pose problème. Cela a amené au choix de l’origine non tournante (NRO), qui repose sur la notion de non-rotation introduite par Guinot (1979) et qui est rappelée ci-dessous. Soit R0 le système de référence céleste, centré au centre de masse de la Terre, G, représenté dans la figure 3.13 par le pôle céleste moyen P0 et l’équinoxe moyen γ0 de l’époque t0 . On considère, sur la sphère céleste, un point mobile P dont la position à t0 est P0 et dont l’équateur coupe l’équateur de P0 en J. On définit un point σ sur l’équateur de P, de telle sorte que le trièdre (GP, Gσ) n’ait, à aucun moment, de composante de rotation autour de GP par rapport à R0 quand le pôle P se déplace par rapport à P0 . La position de σ sur la sphère céleste est donnée par la quantité s = σJ − γ0 J. De façon

z

PΟ

P Équateur de la date γΟ de référence tΟ γv Équateur vrai

90° + E σ

G

d s 90° + E +

J

ϖ

σ

θ=ϖ

Figure 3.13 – Définition de l’origine non tournante.

équivalente, on peut dire qu’à tout instant, la vitesse de déplacement du point σ au cours du temps est dirigée perpendiculairement à l’équateur de P, ce qui la distingue clairement de l’équinoxe γv , intersection de l’équateur et de l’écliptique (voir figure 3.14). On note 152

Écl ipt iqu e

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS

γ1

ur de t 1 Équate

Équateur de t 2

Équateur de t

3

σ1

γ3

σ2

γ2

σ3

Figure 3.14 – Déplacement de l’origine non tournante σ au cours du temps comparé à celui de l’équinoxe vrai.

d et E les coordonnées sphériques de P dans R0 et X = sin d cos E, Y = sin d sin E, Z = cos d les coordonnées cartésiennes dans R0 du vecteur unitaire dans la direction de P. La condition définissant la NRO implique que la composante le long de GP de la rotation instantanée du trièdre (GP, Gσ) par rapport à R0 , qui s’écrit : rpσ = E˙ cos d − E˙ − s˙, soit nulle. La quantité s est ainsi donnée par : Z t s(t) − s(t0 ) = (cos d − 1)E˙ dt (3.26) 0

ou bien, aux termes en d4 près : s(t) − s(t0 ) = −

1 2

t

Z

˙ dt (X Y˙ − Y X)

(3.27)

0

Origine céleste intermédiaire (CIO) Le calcul précédent s’applique en particulier au mouvement du CIP dans le GCRS. Dans ce cas, l’équation 3.27 définit l’Origine céleste intermédiaire (CIO), comme l’origine non 153

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE tournante par rapport au GCRS, associée au déplacement de précession-nutation du CIP. La quantité s, qui permet de positionner le CIO à tout instant à partir de l’origine fixe sur l’équateur fixe de l’époque t0 , est appelée indicateur du CIO. La présence d’une intégrale montre que la position du CIO à la date t dépend de toute l’histoire du mouvement du CIP dans le GCRS depuis t0 . L’expression de s, donnée par l’équation 3.43, montre qu’après un siècle, la distance du CIO au méridien origine de l’ICRS est seulement de 0.07000 , alors qu’en comparaison l’équinoxe s’est déplacé de près de 1.4 degré.

Origine terrestre intermédiaire (TIO) L’existence du mouvement du pôle dans l’ITRS impose de définir également, dans l’équateur mobile, l’Origine terrestre intermédiaire (TIO), notée $ dans la figure 3.13, comme l’origine non tournante par rapport à l’ITRS. Le déplacement angulaire du TIO sur l’équateur du CIP induit par le mouvement du pôle dans l’ITRS est noté s0 . Cette quantité est appelée indicateur du TIO. Son expression s’obtient en remplaçant X et Y dans l’équation 3.27 par les coordonnées x p et −y p (voir section 3.6.5.1) du CIP dans l’ITRS. On obtient : Z 1 t 0 s = (x p y˙ p − x˙ p y p ) dt (3.28) 2 0 Cette quantité, qui était négligée dans la forme classique de la transformation entre le GCRS et l’ITRS avant le 1er janvier 2003, est nécessaire pour la réalisation exacte du méridien origine instantané. Toutefois, étant donné l’ordre de grandeur de l’écart du CIP par rapport à R0 , on peut écrire, pour les applications qui n’exigent pas une précision meilleure que la milliseconde de degré : $J = $0 J, c’est-à-dire s0 = $J − $0 J = 0 (voir figure 3.11).

3.6.4.4

Angle de rotation de la Terre et définition de UT1

d L’angle ERA, noté θ = $ σ dans la figure 3.13, est l’angle entre le TIO et le CIO, compté positivement dans le sens rétrograde le long de l’équateur du CIP. Suite à la définition cinématique des origines CIO et TIO, ERA est indépendant de la précession-nutation et la dérivée de l’ERA par rapport au temps est égale à la vitesse angulaire instantanée de rotation de la Terre, ω3 , autour de l’axe du CIP. L’ERA est à la base de la nouvelle définition de UT1. Les conditions qui ont été prises en compte pour cette définition sont les suivantes : 154

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS • UT1 doit être proportionnel à la rotation sidérale de la Terre ; • le coefficient de proportionnalité doit être tel que UT1 reste en moyenne en phase avec l’alternance des jours et des nuits ; • la phase de UT1 doit être fixée de telle sorte qu’il soit approximativement 12 h UT1 en moyenne lorsque le Soleil passe par le méridien origine ; • la relation linéaire conventionnelle qui définit UT1 à partir de l’ERA doit permettre d’assurer la continuité en phase et en terme linéaire de UT1 avec la valeur obtenue, en se basant sur la relation conventionnelle entre le temps sidéral du méridien de Greenwich et UT1 qui était utilisée en pratique avant le 1er janvier 2003. La définition conceptuelle de UT1 correspondant à la première condition ci-dessus est celle d’un angle proportionnel à la rotation sidérale de la Terre. Il en résulte que UT1 est explicitement et rigoureusement attaché à la rotation terrestre. Dans l’hypothèse d’une rotation uniforme, UT1 serait un temps uniforme. Dans la réalité, la rotation de la Terre n’étant pas uniforme, la mesure de UT1 permet de mesurer les variations de cette rotation par rapport à la vitesse angulaire moyenne, Ω0 , qui est telle que Ω0 = k × (2π/86 400), k étant le facteur de proportionnalité entre l’ERA et UT1 (voir équation 3.25). Ainsi, les variations relatives m3 = (ω3 − Ω0 )/Ω0 de ω3 par rapport à la vitesse angulaire moyenne de rotation de laRTerre se traduisent par des variations ∆UT 1 du paramètre UT1, telles t que [∆UT 1]t0 = 0 m3 dt (voir section 4.3.2.2,équation 4.9). Ces variations s’obtiennent par la détermination de UT1 − TAI à partir d’observations. Les autres conditions prises en compte dans la définition de UT1 ont été remplies par un choix approprié des valeurs numériques des coefficients. En effet, la « définition conventionnelle de UT1 » donnée par la relation linéaire 3.25 entre ERA et UT1 a été déduite par Capitaine et al. (2000b) de la définition conceptuelle ci-dessus en utilisant des valeurs de k et de ERA0 cohérentes avec la précédente définition conventionnelle d’Aoki et al. (1982) de UT1 en fonction du temps sidéral moyen de Greenwich. La nouvelle définition de UT1 est insensible au niveau de la microseconde de degré au modèle de précession-nutation comme aux écarts observés au pôle céleste.

3.6.4.5

Relation entre le temps sidéral et UT1

Le Temps sidéral de Greenwich (GST) est relié à l’ERA au niveau de la microseconde de degré par la relation suivante (Aoki et Kinoshita, 1983 ; Capitaine et Gontier, 1993) : Z t GST = dT 0 + ERA + (ψ˙ A + ∆ψ˙ 1 ) cos(ωA + ∆1 )dt t0

− χA + ∆ψ cos A − ∆ψ1 cos ωA 155

(3.29)

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE où ψA , ωA et χA sont les quantités de précession de Lieske et al. (1977) définies dans la section 4.4.2, ∆ψ1 et ∆1 sont les angles de nutation en longitude et obliquité rapportés à l’écliptique de l’époque et ∆ψ est la nutation en longitude rapportée à l’écliptique de la date. ∆ψ cos A est l’équation des équinoxes (différence entre GST et GMST). ERA−GST est l’ascension droite de l’équinoxe comptée à partir du CIO, quantité également appelée équation des origines. dT 0 est une constante qui a été ajustée pour assurer la continuité de UT1 à la date du changement (1er janvier 2003). Les autres termes représentent la précession-nutation en ascension droite accumulée de J2000.0 à la date t. Cette expression est à la base de la relation numérique donnée par l’équation 3.46 entre le temps sidéral et UT1 qui a été obtenue par Capitaine et al. (2003c) en imposant : (i) l’équivalence avec la définition conventionnelle de UT1 donnée par l’équation 3.25, (ii) la compatibilité avec le modèle UAI 2000 de la nutation et l’expression correspondante de s, (iii) la continuité de UT1 avec la valeur obtenue au 1er janvier 2003 à 0 h TT par les procédures utilisées avant le 1er janvier 2003.

3.6.5

3.6.5.1

Expression de la transformation entre le GCRS et l’ITRS utilisant l’origine non tournante Expression des matrices de rotation relatives aux origines non tournantes

Toute transformation entre les systèmes de référence GCRS et ITRS centrés au centre de masse de la Terre G s’exprime sous la forme de l’équation 3.23 en fonction de matrices de transformation qui dépendent de l’origine utilisée sur l’équateur du CIP. Notons W 0 , R0 et C 0 les matrices de transformation lorsqu’on utilise les origines non tournantes CIO et TIO, comme le recommande la résolution B1.8 (UAI 2000). Désignons par x p et y p les coordonnées terrestres du CIP défini dans la section 3.6.4.2. Du fait de la proximité de l’axe des z du système de référence terrestre et de l’axe du CIP, ces coordonnées, appelées coordonnées du pôle, sont des coordonnées angulaires différentielles par rapport au pôle terrestre origine. Par convention, elles sont comptées, respectivement, le long du méridien terrestre origine, positivement vers Greenwich pour x p et le long d’un axe perpendiculaire à ce méridien, positivement vers la longitude 90◦ ouest pour y p . La matrice qui permet de tenir compte du mouvement du pôle dans le système de référence terrestre est le produit de deux matrices de rotation (autour de l’axe Gx pour la coordonnée y p et de l’axe Gy pour la coordonnée x p ). L’utilisation du TIO (origine non tournante dans l’ITRS) amène à introduire la quantité s0 définie par l’équation 3.28. Cette rotation autour de l’axe Gz s’ajoute aux deux rotations précédentes 156

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS et l’effet total du déplacement terrestre de l’axe du CIP se traduit par la matrice de rotation : W 0 (t) = R1 (−y p )R2 (−x p )R3 (s0 )

(3.30)

La matrice R0 (t) est une matrice de rotation autour de l’axe du CIP qui permet de tenir compte de l’angle de rotation de la Terre dans le système de référence céleste. La définition de l’ERA permet d’écrire : R0 (t) = R3 (ERA)

(3.31)

ERA = ERA0 + k (UT1 − UT10 )

(3.32)

avec :

où k est le coefficient de proportionnalité entre l’ERA et le Temps universel UT1. L’indice 0 désigne l’époque de référence t0 . L’effet total du déplacement céleste de l’axe du CIP dans le GCRS (incluant les écarts constants) se traduit par la matrice de rotation : C 0 (t) = R3 (−s)R3 (−E)R2 (d)R3 (E) = R3 (−s)M 0 (t)

(3.33)

M 0 (t) = R3 (−E)R2 (d)R3 (E)

(3.34)

avec :

qui dépend des coordonnées sphériques E et d du CIP dans le GCRS. On peut également écrire M 0 (t) sous la forme d’une matrice de transformation faisant intervenir directement les deux paramètres X et Y (voir section 3.6.4.2) :   −X 1 − aX 2 −aXY    −Y M 0 (t) =  −aXY 1 − aY 2 (3.35)   2 2 X Y 1 − a(X + Y ) où a est défini par a = 1/(1 + cos d).

3.6.5.2

Valeurs standard à utiliser pour les paramètres

• Coordonnées du CIP dans l’ITRS : les coordonnées du pôle x p et y p à la date t, à utiliser dans la matrice W 0 (t), sont fournies par l’IERS. Pour se conformer à la définition du CIP, il faut ajouter les composantes additionnelles permettant de prendre en compte les termes provenant (i) des effets des marées océaniques et (ii) des nutations de périodes inférieures à deux jours. Les coordonnées du pôle à utiliser sont données par : (x p , y p ) = (x, y)iers + (∆x, ∆y)tidal + (∆x, ∆y)nutation 157

(3.36)

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE (x, y)iers étant les coordonnées du pôle fournies par l’IERS, (∆x, ∆y)tidal les variations diurnes et subdiurnes du mouvement du pôle dues aux marées océaniques et (∆x, ∆y)nutation les composantes du mouvement du pôle correspondant aux nutations de périodes diurnes et subdiurnes (Brzezinski et Capitaine, 2003 ; Mathews et Bretagnon, 2003). • Indicateur du TIO : la quantité s0 , intervenant dans la matrice W 0 (t), reste inférieure à 0.1 mas pendant un siècle et peut donc généralement être négligée. Pour des calculs exigeant une précision de l’ordre de 100 × 10−4 ou mieux sur les EOP, elle peut être calculée en utilisant les valeurs fournies par l’IERS pour les amplitudes ac et aa du terme de Chandler et du terme annuel du mouvement du pôle à l’époque du calcul. Elle s’écrit alors, en exprimant les amplitudes en secondes de degré et t en siècles : s0 = −0.001500 (a2c /1.2 + a2a ) t

(3.37)

En utilisant les valeurs moyennes actuelles des amplitudes de ces termes, on a (Lambert et Bizouard, 2002) : s0 = −0.000 04700 t

(3.38)

• Angle de rotation de la Terre : la valeur de l’ERA en radians, à la date t, à utiliser dans la matrice R0 (t), s’obtient en utilisant l’équation 3.25 à la date T u (date julienne correspondante à t, exprimée en jours et fraction de jours en UT1 à partir de la date julienne 2 451 545.0 = J2000.0). Afin d’éviter les erreurs d’arrondis dans le calcul de l’ERA, on peut utiliser l’équation 3.25 sous la forme suivante qui lui est équivalente (modulo 2π) : ERA(T u ) = 2π (fraction de jour julien en UT1

(3.39)

+ 0.779 057 273 264 0 + 0.002 737 811 911 354 48 T u ) où UT1 = UTC + (UT1 − UTC), la valeur de UT1 − UTC à la date t étant fournie par l’IERS (notons que, pour 0 h UT1, la fraction de jour julien en UT1 est 0.5). Pour obtenir l’ERA à une date quelconque, on peut aussi faire usage de tables, publiées dans les éphémérides astronomiques, donnant l’ERA à 0 h UT1 de la date et ajouter l’accroissement de l’ERA correspondant au temps en UT1 écoulé depuis 0 h UT1, comme on le fait pour le temps sidéral : ERA(T u ) = ERA(T u )(0 h UT1) + 1.002 737 811 911 354 48 UT1

(3.40)

• Coordonnées du CIP dans le GCRS : bien que les quantités X et Y soient des cosinus directeurs (voir section 3.6.4.2), on les désigne souvent par coordonnées du CIP dans le GCRS et on les présente après multiplication par le facteur de conversion de radian en seconde de degré, 1 296 00000 /π, afin de donner une valeur 158

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS approximative des écarts angulaires en secondes de degré avec la direction du pôle du GCRS. Mais dans les équations, ainsi que dans la matrice M0 (t), ce sont bien les cosinus directeurs qui doivent être employés. Les développements de X et Y correspondant au modèle de précession UAI 2006 et au modèle de nutation UAI 2000A ont été donnés par Capitaine et Wallace (2006) (table 5) et Capitaine et al. (2003a) pour la partie polynomiale, en secondes de degré, sous la forme suivante : X = − 0.016 61700 + 2 004.191 89800 t − 0.429 782 900 t2 − 0.198 618 3400 t3 − 0.000 007 57800 t4 + 0.000 005 928 500 t5 X + [(as,0 )i sin(argument) + (ac,0 )i cos(argument)] +

i X

(3.41)

[(as,1 )i t sin(argument) + (ac,1 )i t cos(argument)]

i

+

X

[(as,2 )i t2 sin(argument) + (ac,2 )i t2 cos(argument)] + · · ·

i

Y = − 0.006 95100 − 0.025 89600 t − 22.407 274 700 t2 + 0.001 900 5900 t3 + 0.001 112 52600 t4 + 0.000 000 135 800 t5 X [(bc,0 )i cos(argument) + (bs,0 )i sin(argument)] + +

i X

(3.42)

[(bc,1 )i t cos(argument) + (bs,1 )i t sin(argument)]

i

+

X

[(bc,2 )i t2 cos(argument) + (bs,2 )i t2 sin(argument)] + · · ·

i

où t est compté en siècles juliens à partir de J2000.0 et (a s, j )i , (ac, j )i , (bc, j )i , (b s, j )i , j = 0, 1, 2, ... représentent les amplitudes des nutations luni-solaires et planétaires du modèle UAI 2000A et argument les arguments de ces nutations. Chaque argument est une combinaison linéaire des arguments fondamentaux de la nutation luni-solaire (arguments de Delaunay l, l0 , F, D, Ω, relatifs à la Lune, au Soleil et au nœud de l’orbite de la Lune), ainsi que des longitudes L Me , LVe , LE , L Ma , L J , LS a , LU , LNe des planètes et de la quantité pA de précession. Dans ces développements, les termes polynomiaux représentent la précession et les effets de biais de repère à J2000.0, tandis que les termes périodiques représentent la nutation (termes en sin et cos) et les termes mixtes (termes en t sin ou t cos). Un extrait des équations 3.41 et 3.42 pour les termes périodiques les plus importants est donné dans la table 3.3. Pour les observations exigeant une précision de l’ordre de 100 × 10−4 sur les EOP, il faut ajouter à ces valeurs, les écarts au pôle céleste, dXiau2000 = dψiau2000 sin ε, dYiau2000 = dεiau2000 , dX = dψ sin ε et dY = dε qui sont diffusés par l’IERS par 159

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE rapport au modèle UAI de précession-nutation. • Indicateur du CIO : la valeur de la quantité s à utiliser dans la matrice C 0 (t) s’obtient à partir du développement de s en fonction du temps obtenu par l’équation 3.26 en utilisant les développements 3.41 et 3.42 pour X et Y. Elle s’écrit sous la forme (Capitaine et al., 2003b ; Capitaine et Wallace, 2006) : s = − XY/2 + 0.000 09400 + 0.003 80900 t − 0.000 12300 t2 − 0.072 57400 t3 + 0.000 02800 t4 + 0.000 01600 t5 − 0.002 64100 sin Ω − 0.000 06400 sin 2Ω

(3.43)

− 0.000 012 sin(2λS + Ω) + 0.000 744 t sin Ω 00

00 2

− 0.000 01100 sin(2λS − Ω) + 0.000 05700 t2 sin 2λS + 0.000 01000 t2 sin 2λL où λS et λL sont les longitudes moyennes du Soleil et de la Lune et Ω est la longitude du nœud de l’orbite de la Lune. Le terme constant de ce développement a été déterminé de façon à assurer la continuité de UT1 au 1er janvier 2003. Cette expression, qui est la somme d’un polynôme du temps et de termes périodiques, contient l’ensemble des termes dus à la précession, à la nutation ainsi qu’aux couplages entre précession, nutation et décalage du pôle à l’origine. Elle est donnée avec une exactitude de 500 × 10−6 pour la période 1975-2025.

160

1 2 3 4 5 ..... i 1307 1308 1309 ..... i 1 2 3 4 5 ..... i 963 964 965 .....

i

(ac,0 )i 1328.67 −544.75 111.23 −27.64 470.05 (ac,1 )i 205833.11 12814.01 2187.91 (bc,0 )i 9205236.26 573033.42 97846.69 −89618.24 22438.42 (bc,1 )i 853.32 −290.91 −51.26

(a s,0 )i

−6844318.44 −523908.04 −90552.22 82168.76 58707.02

(a s,1 )i −3309.73 198.97 41.44

(b s,0 )i 1538.18 −458.66 137.41 −29.05 −17.40

(b s,1 )i 153041.79 11714.49 2024.68

Amplitudes

161 l 0 0 0

l 0 0 0 0 0

l 0 0 0

0 0 0 0 0

l 0 2 2 0 0 F 0 2 2 F 0 2 2 0 2 F 0 2 2

l0 0 0 0 l0 0 0 0 0 1 l0 0 0 0

F

0 0 0 0 1

l

0

D 0 −2 0

D 0 −2 0 0 −2

D 0 −2 0

0 −2 0 0 0

D 0 0 0 0 0 L Me 0 0 0 L Me 0 0 0 0 0 L Me 0 0 0

Ω 1 2 2 Ω 1 2 2 2 2 Ω 1 2 2

L Me

1 2 2 2 0

Ω

LVe 0 0 0

LVe 0 0 0 0 0

LVe 0 0 0

0 0 0 0 0

LVe

LE 0 0 0

LE 0 0 0 0 0

LE 0 0 0

0 0 0 0 0

LE

L Ma 0 0 0

L Ma 0 0 0 0 0

L Ma 0 0 0

0 0 0 0 0

L Ma

ARGUMENT

LJ 0 0 0

LJ 0 0 0 0 0

LJ 0 0 0

0 0 0 0 0

LJ

LS a 0 0 0

LS a 0 0 0 0 0

LS a 0 0 0

0 0 0 0 0

LS a

avec les modèles UAI 2006/2000 des coordonnées X(t) (partie supérieure) et Y(t) (partie inférieure) du CIP dans le GCRS (unité 100 × 10−6 ).

Table 3.3 – Termes périodiques les plus importants des développements compatibles

LU 0 0 0

LU 0 0 0 0 0

LU 0 0 0

0 0 0 0 0

LU

LNe 0 0 0

LNe 0 0 0 0 0

LNe 0 0 0

0 0 0 0 0

LNe

pA 0 0 0

pA 0 0 0 0 0

pA 0 0 0

0 0 0 0 0

pA

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE

3.6.6 3.6.6.1

Expression classique de la transformation entre le GCRS et l’ITRS Expression des matrices de rotation

Notons W 00 , R00 , C 00 les matrices de transformation lorsqu’on utilise la représentation classique pour l’équation 3.23, c’est-à-dire lorsque l’axe Gx du système de référence intermédiaire est dirigé vers l’équinoxe. L’application de la résolution B1.8 (UAI, 2000) impose à la matrice W 00 d’avoir la même expression 3.30 que dans le cas précédent. La matrice R00 (t) s’écrit en fonction de GST : R00 (t) = R3 (GST)

(3.44)

C 00 (t), produit de différentes matrices de rotation, permet de tenir compte du déplacement de l’équateur et de l’équinoxe par suite de la nutation, de la précession, ainsi que du biais de repère à J2000.0. Ces transformations sont prises en compte par un ensemble de trois rotations pour le biais à J2000.0, par un ensemble de quatre rotations pour la précession et par un ensemble de trois rotations pour la nutation : C 00 (t) = R1 (−εA − ∆ε) R3 (−∆ψ) R1 (εA ) | {z } nutation R (χ ) R (−ωA ) R3 (−ψA ) R1 (0 ) |3 A 1 {z } précession

(3.45)

R1 (−η0 ) R2 (ξ0 ) R3 (dα0 ) | {z } biais à J2000.0 où εA , zA , θA et ζA sont des quantités classiques de précession définies dans la section 4.4, ∆ε et ∆ψ sont les nutations en obliquité et en longitude rapportées à l’équateur et à l’équinoxe moyens de la date définies dans la section 4.5.

3.6.6.2

Valeurs standard à utiliser pour les paramètres

Comme précédemment, les coordonnées du pôle x p et y p à la date t, à utiliser dans la matrice W 00 (t), sont obtenues par l’équation 3.36 et l’expression de la quantité s0 par l’équation 3.38. La valeur de la quantité GST, à la date t, à utiliser dans la matrice R00 (t), s’obtient à partir de l’expression du temps sidéral cohérente avec l’expression ERA(UT1), qui a été obtenue par Capitaine et al. (2003c) selon la procédure décrite dans la section 3.6.4.5, 162

3.6. PASSAGE DU GCRS À L’ITRS de façon à assurer la continuité de UT1 au 1er janvier 2003 et l’équivalence entre la transformation classique et la transformation rapportée au CIO : GST = 0.014 50600 + ERA + 4 612.156 53400 t + 1.391 581700 t2 − 0.000 000 4400 t3 − 0.000 029 95600 t4 − 0.000 000 03700 t5 X + ∆ψ cos A − Ck0 sin αk − 0.000 000 8700 t sin Ω

(3.46)

k

Les deux derniers termes de cette équation sont des termes complémentaires à ajouter à l’expression classique ∆ψ cos A de l’équation des équinoxes, de façon à assurer l’équivalence avec la relation entre GST et ERA avec une exactitude de 1 microseconde de degré.

Les valeurs numériques des angles de nutation ∆ψ et ∆ε à la date t sont obtenues à partir des tables de nutation correspondant au modèle UAI 2000 : UAI 2000A de Mathews et al. (2002) pour une précision meilleure que 100 × 10−3 ou UAI 2000B de McCarthy et Luzum (2003) pour une précision de l’ordre de 100 × 10−3 . Pour les observations exigeant une précision de l’ordre de 100 × 10−4 , il faut ajouter à ces valeurs conventionnelles les valeurs IERS (observées ou prédites) des corrections dψiau2000 et dεiau2000 . Les valeurs à utiliser pour les biais de repère à J2000.0 sont les valeurs associées au modèle UAI 2000 pour ξ0 et η0 et la valeur dα0 = −0.014600 obtenue par Chapront et al. (2002) à partir d’observations LLR. Les coefficients des développements en fonction du temps des quantités εA , ψA , ωA et χA sont données dans la table 4.2.

3.6.6.3

Comparaison avec l’expression 1982 de GMST

L’expression de GMST (Greenwich Mean Sidereal Time) compatible avec le modèle UAI 2000/2006 de précession-nutation est donnée en fonction de l’ERA par la partie séculaire de l’équation 3.46. Elle est exprimée en secondes de degré puisque GST et ERA sont des angles. Pour comparer cette expression à celle d’Aoki et al. (1982), on l’exprime en fonction de UT1 en utilisant l’équation 3.25 et on convertit l’expression obtenue en secondes de temps. On obtient ainsi, avec une résolution de 0.1 µs : GMST00(tu , t) = UT1 + 24 110.549 3771 + 8 639 877.31737695 tu + 307.477 1013 t + 0.092 772 110 t2 − 0.000 000 293 t3 4

− 0.000 001 997 t − 0.000 000 0025 t 163

5

(3.47)

CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE où tu et t sont, respectivement, les dates en UT1 et en TT, exprimées en siècles juliens à partir de J2000.0. On peut écrire de façon équivalente : GMST00(tu , t) = UT1 + 24 110.549 3771 + 8 640 184.794 478 25 tu + 307.477 1013 (t − tu ) + 0.092 772 110 t2 − 0.000 000 293 t3 (3.48) − 0.000 001 997 t4 − 0.000 000 0025 t5 pour faciliter la comparaison avec la définition 1982 de UT1 qui utilise l’échelle de temps UT1 à la fois pour l’angle de rotation de la Terre et la précession en ascension droite : GMST82(tu ) = UT1 + 24 110.548 41 + 8 640 184.812 866 tu + 0.093 104 tu2 − 0.000 0062 tu3

164

(3.49)

Chapitre 4

Rotation de la Terre

4.1

Introduction

Jusqu’au milieu du xxe siècle, la rotation de la Terre servait de base, par l’intermédiaire du Temps universel, à la définition de l’échelle de temps légale, ainsi qu’à celle de l’unité de temps de la physique. L’amélioration progressive de la précision des observations astronomiques et de la stabilité des horloges, en particulier avec l’apparition des horloges à quartz, puis des étalons atomiques, a permis la mise en évidence des irrégularités de la rotation de la Terre. L’usage du Temps universel basé sur la rotation de la Terre (UT1) a ainsi été abandonné en 1960 pour la définition de l’unité de temps, puis pour la définition de l’échelle de temps légale ; celle-ci repose officiellement depuis 1978 sur le Temps universel coordonné (UTC, voir section 2.4). Les observations de la rotation de la Terre ont ainsi changé d’objectif : il ne s’agit plus de réaliser une échelle de temps idéale à partir du Temps universel observé, mais de connaître au mieux les inégalités de cette rotation en déterminant, avec une grande précision, la différence entre le Temps universel UT1 et UTC (ou TAI), ainsi que le déplacement de l’axe de rotation dans la Terre et dans l’espace. La détermination et l’analyse, de plus en plus précises, des différentes inégalités de la rotation de la Terre, sont, à l’heure actuelle, une branche de recherche extrêmement active. La connaissance de ces variations est en effet fondamentale pour exploiter toute observation terrestre d’objets célestes, ainsi que pour la navigation spatiale. De plus, l’analyse de ces variations permet de mieux comprendre les phénomènes géophysiques qui perturbent cette rotation et d’en déduire la valeur de paramètres de la dynamique globale de la Terre. Après avoir introduit les bases théoriques, historiques et dynamiques relatives aux différentes composantes de la rotation de la Terre, ce chapitre décrit les modèles UAI de 165

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE précession-nutation et la détermination moderne des différents paramètres de rotation de la Terre. Pour plus de détails sur ces différents aspects de la rotation de la Terre, voir par exemple Souchay et Capitaine (2013) ; Bizouard (2014) ; Dehant et Mathews (2015) ; Capitaine (2017a,b).

4.2 4.2.1

Phénomènes physiques : bases théoriques et historiques Origine des phénomènes et détermination

En l’absence de perturbation et dans le cas d’un corps rigide et sphérique, le mouvement de la Terre autour de son centre de masse serait une rotation uniforme autour d’un axe fixe dans l’espace. Dans la réalité, la Terre a la forme d’un ellipsoïde de révolution renflé à l’équateur. Elle est composée d’un noyau fluide, comportant une graine solide, et d’une enveloppe élastique recouverte en majeure partie par des océans et entourée d’atmosphère. De nombreuses perturbations agissent sur son moment cinétique global. De ce fait, la rotation de la Terre est un mouvement complexe présentant de nombreuses irrégularités, conditionnées par sa forme, sa structure interne et sa rhéologie. La perturbation la plus importante est induite par l’attraction gravitationnelle des corps du Système solaire, ainsi que par ses interactions avec les couches fluides à la surface du globe ou dans la croûte. Cette perturbation produit des déplacements périodiques de l’axe de rotation terrestre par rapport à l’espace, phénomène connu sous le nom de précession-nutation, ainsi qu’une variation séculaire et des variations périodiques de sa rotation. L’orientation de la Terre dans l’espace subit également des variations de moindre amplitude sous l’effet des couches fluides à la surface du globe (charge, courants, marées) et de la rotation du noyau fluide. Par ailleurs, l’écart entre l’axe de rotation et l’axe d’inertie de la Terre est à l’origine d’un déplacement irrégulier et de faible amplitude de l’axe de rotation à l’intérieur de la Terre (c’est-à-dire par rapport à un repère terrestre), connu sous le nom de mouvement du pôle. Les effets résultant de l’attraction gravitationnelle qui s’exerce sur la Terre sont modélisables avec une précision remarquable du fait des mouvements réguliers des corps perturbateurs, qui se déduisent des lois de la mécanique céleste. En revanche, les autres effets, tels ceux de l’atmosphère, des océans ou des redistributions de masse au sein de la Terre, restent difficilement prédictibles. Ceci est dû principalement à notre connaissance seulement partielle des processus climatiques, tels que friction des vents et des courants marins, déformation de la croûte sous la pression de l’atmosphère ou de l’océan, échanges de moment cinétique entre fluides de surface et Terre solide, etc. Mais c’est aussi dû à des 166

4.2. PHÉNOMÈNES PHYSIQUES processus de couplages topographiques et électromagnétiques en profondeur, au niveau des limites entre manteau, noyau liquide et graine solide. L’observation astrométrique des corps célestes (par exemple de la Lune, des étoiles, etc.) depuis le sol s’effectue à partir de stations dont les coordonnées sont mesurées dans un repère de référence terrestre, tandis que les positions et les mouvements des corps observés sont décrits dans un repère de référence céleste. L’observation permet ainsi de déterminer l’orientation relative de ces deux repères au cours du temps, dont la variation principale est due au mouvement diurne. L’axe instantané de rotation n’est pas directement accessible par l’observation, on se rapporte donc à l’axe du pôle céleste intermédiaire (CIP, Celestial Intermediate Pole), qui est voisin de l’axe instantané de rotation et de l’axe principal d’inertie de la Terre. La référence à l’axe du CIP, défini par la résolution B1.7 de l’UAI 2000 (voir section 3.6.4.2), permet une séparation claire entre variations lentes, de périodes comprises entre quelques jours et plusieurs milliers d’années, et variations rapides, de périodes diurnes ou subdiurnes de l’orientation axiale de la Terre dans l’espace. Cet axe intermédiaire n’a pas de signification dynamique et n’intervient donc pas directement dans la représentation dynamique de la rotation de la Terre. Celle-ci fait intervenir l’axe du moment cinétique, l’axe instantané de rotation et l’axe principal d’inertie de la Terre. Il sera donc nécessaire d’établir les relations liant l’axe du CIP à ces différents axes. On utilise souvent le terme d’axe de figure pour désigner l’axe principal d’inertie de la Terre, alors que ce terme désigne, en toute rigueur, l’axe de symétrie d’une Terre homogène sans aucune déformation. La détermination de la direction de l’axe du CIP dans la Terre et dans l’espace, et des variations de la rotation de la Terre, repose actuellement sur des techniques d’observation astrométrique et géodésique : radio interférométrie à très longue base (VLBI, Very Long Baseline Interferometry) sur radiosources extragalactiques, tir laser sur satellites artificiels (SLR, Satellite Laser Ranging) ou sur la Lune (LLR, Lunar Laser Ranging), systèmes de navigation globaux par satellites (GNSS, Global Navigation Satellite System), ou encore détermination d’orbite de satellites par décalage Doppler (DORIS). Ces techniques permettent d’atteindre une précision angulaire de quelques dizaines de microsecondes de degré (µas) sur les paramètres d’orientation de la Terre (voir section 4.6).

4.2.2

La précession-nutation : description et historique

Le mouvement de précession-nutation de l’axe de rotation de la Terre dans un repère céleste résulte de l’effet du couple gravitationnel externe exercé par la Lune, le Soleil – et dans une moindre mesure les planètes – sur le bourrelet équatorial de la Terre, combiné à l’effet gyroscopique associé à sa rotation. La représentation mathématique de ce déplacement s’obtient par la résolution des équations dynamiques de la rotation de la Terre. 167

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE La précession, qui est la variation la plus importante, regroupe, par convention, l’ensemble des termes séculaires, c’est-à-dire des termes dépendant des premières puissances du temps. Ces termes dus à la partie constante et quasi constante du couple peuvent être de véritables termes séculaires, ou provenir du développement de termes périodiques à très longues périodes. En raison de la précession, l’axe de rotation (ainsi que l’axe du CIP) décrit autour de l’axe de l’écliptique, en un peu moins de 26 000 ans, un cône de demi-ouverture , appelé obliquité de l’écliptique, qui est approximativement égale à 23◦ 260 au xxie siècle. Du fait de la précession de l’équateur, l’intersection de l’équateur et de l’écliptique, appelé point vernal (ou équinoxe), se déplace dans le sens rétrograde à une vitesse de l’ordre de 5000 /an (ou 1.4◦ /siècle) le long de l’écliptique. Cette précession, appelée précession des équinoxes, fut découverte, grâce à sa grande amplitude, dès l’Antiquité, par Hipparque (iie siècle av. J.-C.). Il constate une variation de la longitude écliptique des étoiles de l’ordre de 1◦ par siècle en comparant ses valeurs à celles obtenues un siècle et demi auparavant (Neugebauer, 1975). Cette variation fut alors représentée comme une rotation d’ensemble des étoiles fixes autour des pôles de l’écliptique. Au xvie siècle, la précession des équinoxes fut interprétée correctement par Nicolas Copernic (1473-1543) comme étant due à une variation de la direction de l’axe de rotation de la Terre dans l’espace. Mais il fallut attendre la fin du xviie siècle pour qu’Isaac Newton (1642-1727) en donne l’explication physique en démontrant l’origine gravitationnelle du phénomène. La précession des équinoxes comprend également une composante de l’ordre de 1000 /siècle, appelée précession planétaire (ou plus exactement précession de l’écliptique suivant le terme recommandé par la résolution UAI 2006), qui correspond au faible déplacement du plan de l’écliptique au cours du temps. Ce déplacement séculaire de l’écliptique, soupçonné dès le xviiie siècle, fut prédit par Leonhard Euler (1707-1783) dans sa théorie des perturbations planétaires s’exerçant sur l’orbite de la Terre. Il résulte de la combinaison de termes périodiques à très longues périodes, dont les plus importants ont des périodes de l’ordre de 75 000 ans, qui sont traditionnellement développés en puissances du temps. La seconde composante du déplacement de l’axe de la Terre dans l’espace, appelée nutation, regroupe l’ensemble des termes périodiques : termes de Fourier (de la forme sin ωt) et termes de Poisson (de la forme tn sin ωt, n étant un entier et ω un réel). Elle est constituée de plus d’un millier de termes dus aux variations périodiques du couple externe en fonction des angles entre le plan de l’équateur et la direction des corps perturbateurs. Cela se traduit par des oscillations périodiques de l’axe de la Terre autour du cône de précession, avec des périodes comprises entre quelques jours et quelques milliers d’années. La principale, de période 18.6 ans, fait décrire au pôle de rotation une boucle d’environ 1000 d’amplitude. Il résulte de ces oscillations des déplacements périodiques de l’équinoxe le long de l’écliptique, dont le principal est de période 18.6 ans et d’amplitude environ 1700 . 168

4.2. PHÉNOMÈNES PHYSIQUES Les nutations de périodes semi-annuelle et semi-mensuelle furent prévues par Newton, mais le terme principal ne fut découvert qu’en 1748 par James Bradley (1693-1762) grâce à l’interprétation d’une série d’observations de variations de déclinaisons d’étoiles couvrant le cycle complet du phénomène. Bradley attribua ces variations à un déplacement périodique du pôle. Il assimila la période de ce terme à celle de la rétrogradation des nœuds de l’orbite lunaire section 5.3. L’explication dynamique de cette nutation fut donnée par Jean Le Rond d’Alembert (1723-1783) dans son traité intitulé Recherches sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l’axe de la Terre dans le système newtonien. Il donna la première théorie analytique de la précession-nutation pour une Terre rigide (1749), quasiment en même temps qu’Euler (1750). La modification des amplitudes des composantes de la nutation céleste par la non-rigidité de la Terre, en particulier par l’élasticité du manteau et par l’existence d’un noyau fluide à l’intérieur de la Terre, a été découverte et interprétée correctement dès la fin du xixe siècle et le début du xxe siècle. Toutefois, il a fallu attendre 1980 pour que soit adoptée par l’UAI une représentation conventionnelle de la nutation relative à un modèle de Terre non rigide déduit de la sismologie.

4.2.3

Le mouvement du pôle : description et historique

En 1765, Euler montre que si l’axe d’inertie et l’axe de rotation d’un corps ne sont pas confondus, alors l’axe de rotation décrit un cône autour de l’axe d’inertie. Ce mouvement relatif entre l’axe de rotation et l’axe d’inertie est appelé mouvement libre. Euler calcule que, pour la Terre, considérée à cette époque comme un corps indéformable, la période de ce mouvement libre, qui ne dépend que de la répartition interne des masses, est de 305 jours. Or, aucun terme de période 10 mois n’a pu être constaté à cette époque dans les observations de latitude astronomique, rapportée à l’axe de rotation. Des variations de latitude astronomique ont été décelées dès le milieu du xixe siècle grâce à des campagnes systématiques d’observation, en particulier par Karl Küstner (18561936), en 1884-1885 à Berlin. Ces variations n’ont pu être caractérisées et expliquées qu’à la fin du xixe siècle. Ainsi, Seth Chandler (1846-1913) découvre en 1891 et 1892 que ces variations apparemment annuelles se scindent en fait, d’une part, en une oscillation annuelle, dont l’amplitude est d’environ 100 millisecondes de degré (mas), c’est-à-dire environ 3 m à la surface de la Terre, et, d’autre part, en une oscillation de période 427 jours, dont l’amplitude est voisine de 150 mas. Il attribue cette oscillation, dite oscillation de Chandler, à une révolution du pôle d’ouest en est. Simon Newcomb (1835-1909) explique dès 1891 que ce terme pouvait être interprété comme le mouvement libre circulaire, prograde, prédit par Euler à 305 jours, plus d’un siècle auparavant, mais avec une période allongée par la non-rigidité de la Terre. En effet, l’élasticité et les océans allongent la 169

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE période du fait des modifications du moment d’inertie global de la Terre, qui sont induites par les changements de distribution des forces centrifuges, et des déformations résultant du déplacement de l’axe de rotation. Henri Poincaré (1854-1912) montra, en 1910, que cette période était, en outre, raccourcie d’environ 30 jours par l’existence d’un noyau fluide. Si la théorie de la rotation de la Terre a permis de bien rendre compte de la modification de la période observée de la nutation libre chandlerienne par rapport à la valeur de 305 jours du terme d’Euler, la compréhension du mécanisme d’excitation de ce mouvement (qui devrait être amorti en quelques dizaines d’années par friction) a mobilisé la communauté géophysique pendant plus d’un siècle. Des progrès significatifs n’ont été accomplis à ce sujet qu’à la fin du xxe siècle (voir section 4.6.3). D’autres composantes du mouvement du pôle ont progressivement été décelées grâce à l’accumulation des observations au cours du xxe siècle, et à l’amélioration de leur précision. La plus importante est une dérive du pôle de rotation, d’environ 4 mas par an dans la direction du Canada, en majorité imputée à la déformation lente de la croûte terrestre du fait de la fonte des calottes glaciaires polaires après le dernier âge glaciaire (effet qui est appelé rebond postglaciaire). La figure 4.1 illustre le phénomène physique de précession-nutation dans l’espace et du mouvement du pôle dans la Terre, relatif à l’axe de rotation de la Terre.

4.2.4

Les variations de la vitesse de rotation et de la durée du jour : description et historique

La rotation de la Terre autour de son axe par rapport à des directions fixes, qui s’effectue approximativement en 1 jour sidéral (23 h 56 min 04 s), n’est pas uniforme. La vitesse angulaire de rotation de la Terre fluctue, avec des écarts atteignant 10−7 en valeur relative, autour d’une valeur moyenne conventionnelle, également appelée valeur moyenne nominale. À ces fluctuations de la vitesse de rotation correspondent des variations de la durée du jour par rapport à sa valeur nominale de 86 400 s du SI, ainsi que des variations du Temps universel, UT1, par rapport au TAI. La possibilité de variations de la vitesse angulaire de rotation de la Terre avait été soupçonnée dès le xviiie siècle par Emmanel Kant (1724-1804) et Joseph Lalande (17321807), mais les observations de l’époque ne pouvaient permettre de les déceler. La mise en évidence de telles variations ne devint possible qu’au début du xxe siècle, grâce à un important travail de Simon Newcomb, de réduction, comparaison et discussion des observations du Soleil, de la Lune et des planètes accumulées depuis la fin du xviie siècle. 170

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE Ce travail a permis de déceler des inégalités (différences entre les valeurs observées et les tables) dans les longitudes moyennes de la Lune, du Soleil, de Mercure et de Vénus. Ces inégalités, qui avaient la forme d’accélérations séculaires et de fluctuations irrégulières, étaient toutes dans le même sens. De plus, les coefficients des accélérations séculaires relatives au Soleil, à Mercure et à Vénus, étaient dans le rapport de leurs moyens mouvements. Ces inégalités ont été interprétées comme étant des inégalités apparentes dues à des variations de la rotation de la Terre (de Sitter, 1927 ; Spencer Jones, 1939). En effet, les observations de l’époque étant datées en temps moyen, c’est-à-dire en temps de la rotation de la Terre, les variations de cette rotation se traduisaient par des écarts ayant les caractéristiques décrites ci-dessus entre les longitudes observées et celles prévues par la théorie des mouvements célestes exprimée en temps de la dynamique. Les variations de la rotation de la Terre ont alors été attribuées à deux causes principales : la dissipation d’énergie au cours des marées comme cause du ralentissement séculaire de la rotation de la Terre et les changements du moment d’inertie de la Terre (par redistribution de matière à l’intérieur de la Terre) comme cause de variations irrégulières. Le ralentissement séculaire, composante principale des variations à long terme de la rotation de la Terre, se traduit par une augmentation de l’ordre de 2 ms par siècle de la durée du jour. Ce phénomène, dû à l’imparfaite élasticité de la Terre, provient en majeure partie de la dissipation d’énergie au cours des marées du fait de l’avance du bourrelet de déformation par rapport à la direction Terre-Lune. L’attraction lunaire sur ce bourrelet crée ainsi un couple qui ralentit la rotation de la Terre. Des fluctuations irrégulières de type décennal, dont l’amplitude est de l’ordre de 5 ms sur la durée du jour en une cinquantaine d’années, ont également été détectées par les mêmes analyses et généralement attribuées à des effets de couplage entre le noyau et le manteau. D’autres variations de plus faible amplitude ont ensuite progressivement été mises en évidence au cours du xxe siècle avec l’amélioration de la précision des observations. Celles-ci sont principalement attribuées, d’une part, aux marées zonales, du fait des variations périodiques de l’ellipticité de la Terre déformable sous l’influence des couples gravitationnels de la Lune et du Soleil, et, d’autre part, aux déplacements saisonniers des masses atmosphériques.

4.3

Dynamique de la rotation de la Terre : équations et forme des solutions

Cette section présente les équations dynamiques et les paramètres servant de base à la théorie de la rotation de la Terre, ainsi que la forme simplifiée des solutions, dans le but de montrer l’origine physique des variations observées. Le détail des équations et des solutions relatives aux modèles UAI de précession et de nutation sera donné respectivement dans la section 4.4 et la section 4.5. 171

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE

17″ (2)

23°26′ (1)

(2) Nutation 18,6 ans + annuel + …

(3) Mouvement du pôle 433 jours + annuel + …

200 mas (3)

Axe de l’écliptique

(1) Précession 26000 ans

Axe de rotation Axe de �igure ou d’inertie

Figure 4.1 – Précession-nutation dans l’espace et mouvement du pôle dans la Terre.

4.3.1

Les équations de base

4.3.1.1

Méthode de résolution

La dynamique d’un corps en rotation est décrite par l’équation du moment cinétique reliant, dans un repère inertiel, la variation du moment cinétique H de ce corps au moment Γ des forces extérieures qui lui sont appliquées : dH =Γ dt

(4.1)

Cette équation peut être utilisée dans le repère céleste pour résoudre les équations de la rotation de la Terre relatives à un modèle de Terre rigide, soumise à l’attraction gravitationnelle luni-solaire-planétaire, en les exprimant dans le cadre du formalisme lagrangien ou du formalisme hamiltonien (voir le paragraphe « précession-nutation » de la section 4.3.2). Cette résolution fournit la solution analytique de la rotation d’une Terre rigide. 172

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE Certains effets de non-rigidité de la Terre peuvent également être pris en compte dans ces mêmes équations afin d’obtenir la solution pour un modèle de Terre plus complet (voir par exemple la solution de Escapa et al., 2015 pour le cadre hamiltonien). Toutefois, il est difficile de modéliser les effets de non-rigidité de la Terre de façon suffisamment exacte sous forme analytique. De ce fait, la démarche suivie pour obtenir les modèles UAI 1980 et UAI 2000 de nutation a été d’utiliser la solution relative à une Terre rigide comme solution de référence et d’en déduire la solution relative à une Terre non rigide par convolution avec une fonction de transfert prenant en compte les différentes contributions géophysiques (voir Dehant et al., 1998 et section 4.5).

4.3.1.2

Établissement des équations d’Euler-Liouville

Le développement de l’équation 4.1 exprimée dans le repère terrestre permet d’exprimer plus directement le potentiel gravitationnel de la Terre qui intervient dans le calcul du couple extérieur, ainsi que les perturbations dues à la non-rigidité de la Terre. La Terre est animée par rapport au repère inertiel, d’un mouvement de rotation quasi uniforme, légèrement perturbé autour de son axe de rotation, qui est lui-même mobile par rapport à l’axe Oz du repère terrestre. Ici et dans la suite, les indices 1, 2 et 3 correspondent aux composantes x, y et z respectivement. Les composantes ω1 , ω2 et ω3 du vecteur instantané de rotation, ω, dans le repère terrestre s’expriment sous la forme :     ω1   m1      (4.2) ω2  = Ω0  m2      ω3 1 + m3 dans laquelle Ω0 = |Ω0 | est la vitesse angulaire moyenne nominale de rotation de la Terre, dont la valeur Ω0 = 7.292 115 × 10−5 rad/s a été adoptée dans le système UAI 2009 de constantes astronomiques et dans les conventions IERS. Les quantités sans dimension mi=1,3 sont petites devant l’unité : m1 et m2 sont les cosinus directeurs de l’axe instantané de rotation dans le repère terrestre (qui expriment la direction de cet axe dans la Terre), couramment désignées par coordonnées du pôle instantané de rotation et m3 = (ω3 − Ω0 )/Ω0 est la variation relative de ω3 . L’observation montre que l’ordre de grandeur de ces quantités est tel que m1 ' 10−6 , m2 ' 10−6 et m3 ' 10−7 . Cela permet, en particulier, d’assimiler m3 à la variation relative du module Ω(t) du vecteur ω par rapport à Ω0 ([1 + 2m3 + (m1 )2 + (m2 )2 + (m3 )2 ]1/2 étant égal à 1 + m3 à mieux que 0.1 µas). Ainsi, m3 désignera dans la suite les variations relatives de la vitesse angulaire de rotation de la Terre. 173

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Dans cette approche, on considère que la Terre est un corps homogène et déformable. L’ensemble possède un mouvement de rotation rigide, auquel viennent s’ajouter de faibles déplacements relatifs de masse (dans le noyau fluide ou bien dans les couches fluides externes). Le moment cinétique de la Terre entière s’écrit donc comme la somme d’un moment cinétique rigide, donné par le produit de la matrice d’inertie [I] et du vecteur ω, et d’un moment cinétique relatif, h, dont les composantes hi sont telles que hi /CΩ0 ' 10−6 : H = [I] . ω + h

(4.3)

Le tenseur d’inertie [I] de la Terre s’écrit dans le repère terrestre dont les axes sont orientés selon les axes principaux d’inertie moyens de la Terre, sous la forme :      A 0 0   c11 c12 c13      [I] =  0 B 0  +  c12 c22 c23  (4.4)     0 0 C c13 c23 c33 où A, B et C sont les moments d’inertie principaux moyens de la Terre ; les quantités ci j (telles que ci j = c ji ) sont de petits incréments d’inertie, variables dans le temps, produits par les redistributions de masses dans la Terre à la suite de déformations ou d’anomalies de masse. D’après les observations, les quantités ci j /C sont de l’ordre de 10−6 . Les valeurs des moments d’inertie de la Terre données dans The Geodesist’s handbook de l’Association internationale de géodésie (Groten, 2004) sont : A = (8.0101 ± 0.0002) × 1037 kg m2 , B = (8.0103 ± 0.0002) × 1037 kg m2 et C = (8.0365 ± 0.0002) × 1037 kg m2 . L’équation 4.1, exprimée dans le repère terrestre (repère tournant), s’écrit : dH +ω×H=Γ dt

(4.5)

Avant d’exprimer cette équation en fonction des quantités liées à la non-rigidité de la Terre, il est utile de rappeler brièvement le cas d’une Terre rigide pour lequel on considère le moment cinétique est réduit au moment cinétique de rotation (1er terme de l’équation 4.3) et le tenseur d’inertie est réduit à sa partie constante (1er terme de l’équation 4.4). Dans ce cas, l’équation 4.5 s’écrit sous la forme : A ω˙1 + (B − C) ω3 ω2 = Γ1 B ω˙2 + (C − A) ω3 ω1 = Γ2

(4.6)

C ω˙3 + (B − A) ω1 ω2 = Γ3 On retrouve ainsi, pour le cas d’une Terre rigide, les équations d’Euler qui régissent l’évolution temporelle du vecteur rotation d’un solide, de moments d’inertie A, B, C, qui est soumis au couple Γ produit par des forces extérieures. 174

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE La Terre étant au premier ordre un ellipsoïde de révolution ((B − A)/A de l’ordre de 10−5 ), les solutions principales des équations peuvent être obtenues en supposant A = B. Dans le cas d’une Terre non rigide (donc déformable), on peut limiter le développement de l’équation 4.5 au premier ordre des petites quantités mi , ci j et hi (approximation linéaire en de petites quantités). En adoptant les notations complexes, m ˜ ≡ m1 + im2 , c˜ ≡ c13 + ic23 , h˜ ≡ h1 + ih2 et Γ˜ ≡ Γ1 + iΓ2 , l’équation 4.5 s’écrit sous forme des équations de Liouville linéarisées (également appelées équations d’Euler-Liouville, ou plus simplement équations de Liouville) : m ˜ +

i ˙ ic˙˜ − Ω0 c˜ ih˙˜ − Ω0 h˜ iΓ˜ − m ˜ = − eΩ0 AeΩ0 AeΩ02 AeΩ02 Z c33 h3 Γ3 m3 = dt − − + C te CΩ0 C CΩ0

(4.7)

où e = (C − A)/A est l’aplatissement dynamique de la Terre (au sens géophysique ; voir section 4.5). Le membre de droite des équations 4.7 prend le nom de fonction d’excitation, fonction dont la partie indépendante du couple est souvent notée χ˜ = χ1 + iχ2 pour la composante équatoriale et χ3 pour la composante axiale. La solution des équations de Liouville donne le mouvement de l’axe instantané de rotation de la Terre dans le repère terrestre (1re équation) et des variations relatives de la vitesse de rotation de la Terre (2e équation), en fonction d’une excitation qui apparaît sous la forme : • du moment de force extérieure (Γi,i=1,3 ) s’exerçant sur la Terre ; • des incréments d’inertie (ci j ) et de leurs variations, dues à des mouvements de masses ; • du moment cinétique relatif, hi , dû aux déplacements de masse surfacique ou interne. En prenant en compte les phénomènes décrits dans la section 4.2.1, on peut noter que : ˜ provenant de l’attraction gravitationnelle des corps • la composante équatoriale, Γ, du Système solaire, s’exprime principalement comme une somme de fonctions périodiques de fréquences voisines de −1 cycle par jour sidéral (cpsd, cycle per sidereal day), car à longues périodes dans l’espace ; • le terme principal de la composante axiale, Γ3 provient de la dissipation d’énergie au cours des marées ; • les incréments d’inertie, ci j , peuvent être produits par une force externe (gravitation luni-solaire), ou interne (effet de charge océanique, atmosphérique, etc.), ou inertielle (effet centrifuge induit par les variations de la vitesse de rotation). 175

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Lorsque l’on considère un modèle de Terre comportant un noyau fluide interne, il faut ajouter au système différentiel 4.7 qui est relatif à un modèle de Terre déformable une équation différentielle faisant intervenir les moments d’inertie A f et C f et l’aplatissement dynamique e f du noyau fluide. Il faut aussi y ajouter les composantes équatoriale et polaire du couple extérieur exercé sur le noyau et les composantes équatoriale et polaire du couplage exercé par le manteau sur le noyau. L’axe du CIP, qui est l’axe déterminé par l’observation astrométrique (voir section 4.1), est légèrement différent de l’axe instantané de rotation. On note x p et y p les coordonnées (sans dimension) du CIP dans le repère terrestre, auxquelles on associe la notation complexe p˜ = x p − y p (la coordonnée y p étant comptée, par convention, positivement vers l’ouest). On peut montrer (Brzezinski et Capitaine, 1993) que la relation entre les coordonnées du pôle instantané de rotation et les coordonnées du CIP peut s’écrire : m ˜ = p˜ −

i ˙ p˜ Ω0

(4.8)

On déduit ainsi les équations relatives à p˜ des deux premières lignes de l’équation 4.7.

4.3.2 4.3.2.1

Forme des solutions Le mouvement du pôle dans la Terre

La solution des équations de Liouville pour m ˜ ou p˜ permet de comprendre l’origine des termes principaux du mouvement du pôle décrits dans la section 4.2, notamment la nutation libre et le terme forcé annuel dû aux redistributions saisonnières de masse. La solution pour m ˜ comprend, en outre, la nutation diurne, due au couple extérieur exprimé dans le repère terrestre. La définition du CIP implique de considérer ce dernier effet dans la composante céleste du mouvement, sous forme des termes d’Oppolzer exprimant l’écart de précession-nutation entre le CIP et le pôle instantané de rotation. Suivant le modèle de Terre, la nutation libre, solution de l’équation sans second membre, est telle que : ˙˜ − ieΩ0 m ˜ = 0. Sa • pour un modèle de Terre rigide, elle est solution de l’équation : m fréquence est la fréquence d’Euler, σr = eΩ0 , correspondant pour la Terre à une période, P = [A/(C − A)] × [2π/Ω0 ], de 303 jours ; • pour un modèle de Terre déformable (élastique incorporant l’hydrosphère), la fréquence d’Euler est transformée en fréquence de Chandler, σ0 , par la contribution (fonction de m, ˜ ou p) ˜ au terme c˜ de la déformation rotationnelle élastique et de la marée océanique polaire. Cette fréquence s’écrit : σ0 ' σr (1 − k2 /k s ), k2 et k s étant des nombres de Love représentant les facteurs d’élasticité de la Terre à des périodes respectivement semi-diurne et séculaire ; 176

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE • la présence d’un noyau fluide interne à la Terre modifie la fréquence de cette nutation libre par le facteur A/(A − A f ). La fréquence de Chandler s’écrit alors : σ1 ' σr A(1−k2 /k s )/(A−A f ), allongeant ainsi la période de ce mode libre d’environ 120 jours par rapport au cas d’une Terre rigide. De plus, un second mode libre apparaît, la nutation libre du noyau (FCN : Free Core Nutation), de période presque diurne dans la Terre, dont la fréquence est fonction de l’ellipticité dynamique e f du noyau. La définition du CIP implique de considérer la FCN dans la composante céleste du mouvement, d’une période voisine de 430 jours. Cette composante apparaît clairement dans les observations VLBI ; • la prise en compte, dans les modèles, d’une graine solide interne fait apparaître deux nouvelles fréquences de résonance, qui ne sont pas encore décelées par l’observation.

4.3.2.2

Les variations de la vitesse de rotation de la Terre et de la durée du jour

L’équation 4.7 relative à m3 , qui représente les variations relatives de la vitesse angulaire de rotation de la Terre, permet de comprendre l’origine des phénomènes décrits dans la section 4.2. C’est le cas notamment du ralentissement séculaire de la rotation de la Terre produit par le terme dissipatif de la composante axiale du couple extérieur, mais aussi des variations dues aux déformations de marées zonales par les modifications de masses correspondantes et celles dues aux effets des vents et des courants océaniques (sur h3 ) par les déplacements correspondants de masse surfacique ou interne. Les variations de la rotation de la Terre sont souvent représentées par une grandeur, appelée durée du jour et notée LOD (Length Of Day), qui est la durée en secondes (du SI) correspondant à un accroissement de 24 h de UT1. Aux variations m3 correspondent des fluctuations ∆LOD de la LOD par rapport à la valeur conventionnelle D = 86 400 s, ainsi que des variations ∆T de UT1 par rapport au TAI. Ces variations sont liées entre elles par les relations : ∆LOD = −m3 D ∆T (t) = [UT 1 − T AI](t) − [UT 1 − T AI](t0 ) =

Z

(4.9)

t

m3 dt t0

Ainsi, à une augmentation de la vitesse de rotation correspond une diminution de la LOD, tandis qu’à un ralentissement de cette vitesse correspond une augmentation de la LOD. L’écart observé ∆T sur UT1 représente l’effet intégré des variations de la vitesse angulaire sur la période [t0 , t] considérée. 177

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE 4.3.2.3

La précession-nutation

Dans le cas d’une Terre rigide, l’expression du mouvement du CIP dans l’espace peut être déduite de la solution obtenue pour m ˜ par les relations cinématiques d’Euler. Ces relations lient les composantes du vecteur rotation de la Terre, ω, dans le repère d’inertie de la Terre, Gxyz (G étant le centre de masse), aux dérivées des angles d’Euler, Θ, Ψ et Φ (voir figure 4.2) entre le repère Gxyz et le repère écliptique moyen, GXYZ, de l’époque t0 : ˙ + iΨ ˙ sin Θ = −Ω0 m Θ ˜ eiφ (4.10) ˙ +Ψ ˙ cos Θ = Ω0 (1 + m3 ) Φ où Θ et Ψ donnent l’orientation de l’axe du CIP par rapport au repère GXYZ, tandis que Φ représente l’angle de rotation de la Terre autour de cet axe, mesuré positivement dans le sens direct à partir de l’équinoxe moyen, γ xy . Les angles Ψ , Θ et Φ sont reliés aux angles classiques de précession-nutation et au Temps sidéral de Greenwich, noté GST, par les relations : ∆Ψ sin(Θ) = (ψA + ∆ψ) sin(εA + ∆ε) ∆Θ = −(ωA + ∆ω)

(4.11)

Φ = −GST On peut ainsi obtenir à partir des équations 4.7 et 4.10 les équations de précession-nutation pour une Terre rigide sous forme d’un système différentiel qui fait intervenir les dérivées premières et secondes des angles de précession-nutation, ou des angles d’Euler. Ces équations peuvent être résolues, soit pour l’axe du moment cinétique de la Terre (Woolard, 1953 ; Roosbeek et Dehant, 1998), soit pour l’axe d’inertie par la méthode de variation des paramètres, comme cela fut le cas pour le modèle UAI 1964 de la nutation de Woolard (1953) ou le modèle SMART1997 relatif à une Terre rigide de Bretagnon et al. (1998). Une autre méthode consiste à exprimer les équations du mouvement de rotation d’une Terre rigide sous forme hamiltonienne en fonction des variables d’Andoyer (comprenant trois variables angulaires et les trois variables d’action conjuguées), auxquelles on applique une théorie des perturbations basée sur des transformations canoniques, en séparant perturbations séculaires (précession) et périodiques (nutation). Cette méthode est celle qui a été utilisée pour les modèles de nutation relatifs à une Terre rigide de Kinoshita (1977) et de Souchay et al. (1999) (modèle REN2000), qui sont à la base respectivement des modèles UAI 1980 et UAI 2000. Les équations et les solutions relatives à la précession-nutation d’une Terre rigide peuvent également s’exprimer (Capitaine et al., 2006) en fonction des cosinus directeurs, X et Y du CIP dans le repère céleste, appelées couramment coordonnées du CIP dans le 178

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE GCRS, qui sont les paramètres auxquels les observations sont directement sensibles (voir section 3.6). Ces quantités contiennent la précession et la nutation du CIP, le biais entre le repère équatorial J2000.0 et le GCRS, ainsi que les termes croisés entre la précession et la nutation. Dans cette représentation, les quantités X, Y et ERA remplacent respectivement les angles d’Euler, Ψ , Θ et −Φ. Les composantes équatoriales, Γ10 et Γ20 , du couple extérieur dans le repère céleste, qui interviennent dans le second membre des équations de précession-nutation, se déduisent de leurs composantes Γ1 et Γ2 dans le repère terrestre par la rotation d’angle ϕ (cet angle étant, suivant le cas, l’angle de rotation de la Terre, Φ, rapporté à l’équinoxe, ou l’angle de rotation de la Terre, ERA, rapporté à la CIO) : Γ10 = Γ1 cos ϕ − Γ2 sin ϕ

(4.12)

Γ20 = Γ1 sin ϕ + Γ2 cos ϕ

La rotation d’angle ϕ transforme tout terme rétrograde diurne dans la Terre en un terme à longue période dans l’espace. Ces composantes s’expriment en polynômes du temps et séries de fonctions périodiques. La précession est constituée par la partie polynomiale des variations des quantités, tandis que la partie périodique constitue la nutation.

z

Z

Écliptique moyen de l’époque t0 (associé à GZ)

ω

φ

Équateur terrestre (associé à Gz)

x

X

θ

Y

G

γxy

y

ψ

Figure 4.2 – Angles d’Euler entre le repère terrestre (Gxyz) et le repère écliptique moyen à J2000.0 (GXYZ).

179

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE

équi noxe J2000 χA + ΔχA

équinoxe à t : γ

γ1

ψA +Δ

ψA

γ0

ωA + ΔωA

EO

00 20 J ue iq pt i l éc Σ0 Σ

s

90° + E

σ (CIO)

M ERA

ϖ (TIO)

d

P r du CI équateu

équateur du G CRS

Figure 4.3 – Paramétrisation de la précession-nutation de l’équateur basée sur l’équinoxe ou sur la CIO (σ) et le CIP (de coordonnées X = sin d cos E, Y = sin d sin E) ; EO = ERA − GST.

4.3.3

Évolution des constantes associées à la précession-nutation

Toute théorie dynamique de la rotation de la Terre donne une solution générale du mouvement, ainsi que les rapports entre les amplitudes des différents termes. Ces amplitudes s’expriment en fonction de constantes fondamentales, telles que, pour la précessionnutation, l’aplatissement dynamique de la Terre (au sens astronomique ; voir section 4.5), Hd = (C − A)/C, et les rapports de masses de la Lune, de la Terre et du Soleil. Ces quantités étant imparfaitement connues. Seule l’observation peut fournir les valeurs numériques des constantes d’intégration. Dans une formulation simplifiée utilisée jusqu’en 1980, celles-ci étaient réduites à deux constantes, l’une, appelée constante de précession, correspondant à la vitesse de précession générale en longitude qui combine précession de l’équateur, fonction de l’aplatissement dynamique de la Terre et précession de l’écliptique, et l’autre, appelée constante de nutation, correspondant à l’amplitude de la nutation principale (de période 18.6 ans) en obliquité. Les valeurs des constantes de précession et de nutation font partie du premier système de constantes astronomiques fondamentales adopté lors de la Conférence internationale des étoiles fondamentales à Paris en 1896. En 1964, l’UAI adopte le modèle de nutation UAI 1964 de Woolard (1953), conjointement avec le système UAI 1964 de constantes astronomiques fondamentales. Ce système a conservé, par souci d’homogénéité, les valeurs de Newcomb adoptées en 1896 pour les constantes de précession et de nutation pour la date 1900.0 (5 025.6400 /siècle et 9.21000 , respectivement). Toutefois, une dizaine d’années plus tard, la précision améliorée des observations astronomiques a permis de 180

4.3. DYNAMIQUE DE LA ROTATION DE LA TERRE déceler des erreurs atteignant 0.02 00 dans le modèle UAI 1964. La principale cause de ces erreurs provenait de l’inexactitude des constantes de précession (de l’ordre de 100 /siècle) et de nutation (de l’ordre de 0.0100 ). Une autre cause de ces erreurs était due au fait que la non-rigidité de la Terre sur l’amplitude des termes de la nutation n’était prise en compte, dans ce modèle relatif à un modèle de Terre rigide, que par la valeur observée du terme principal de la nutation. Un nouveau modèle de précession-nutation s’imposait donc. Ce modèle, appelé UAI 1976/1980, a été adopté en plusieurs temps. Tout d’abord, en 1976, l’UAI adopte un nouveau système de constantes astronomiques fondamentales associé à la réalisation d’un nouveau système de référence céleste, le FK5. La méthode globale de réduction des observations d’étoiles et la prise en compte de l’effet de la rotation galactique utilisées alors pour la construction du KF5 ont permis d’améliorer à la fois la précession de l’équateur et celle de l’écliptique, et par conséquent, la valeur de la constante de précession dans ce système (p = 5 029.0966 00 /siècle pour J2000.0). Les développements de précession de Lieske et al. (1977), adoptés internationalement, ont été déduits de ce système de constantes UAI 1976. Puis, le système a été complété en 1979 par une liste de coefficients de la nutation (améliorée en 1982), représentant le modèle de nutation UAI 1980. Pour la première fois, le modèle repose, d’une part, sur la solution relative à une Terre rigide (Kinoshita, 1977), basée sur le système de constantes UAI 1976 (pour la constante de précession et le rapport de la masse de la Lune à la masse de la Terre), et, d’autre part, sur la modification des amplitudes de nutation, propre à chaque terme, par la non-rigidité de la Terre. De ce fait, ce modèle de nutation a rendu définitivement caduque la notion de constante de nutation ; celle-ci a donc été supprimée du système de constantes astronomiques. L’utilisation des mesures VLBI de radiosources extragalactiques à partir de 1980 a vite fait apparaître des inexactitudes du modèle de précession-nutation UAI 1976/1980. La plus importante est un terme linéaire, de l’ordre de 0.3 00 /siècle, sur la vitesse de précession en longitude de l’équateur, due à l’inexactitude de la valeur de la constante UAI 1976 de la précession, basée sur des observations optiques. Des corrections aux vitesses UAI 1976 de précession en longitude et en obliquité ont été adoptées par l’UAI en même temps que le modèle de nutation UAI 2000, améliorant ainsi à nouveau la valeur de la constante de la précession. Le développement du modèle de précession UAI 2006, basé sur une théorie dynamique, a amené à distinguer clairement les notions de précession de l’équateur et de précession de l’écliptique, ce qui a conduit à l’abandon de la notion de constante de précession qui agrégeait les deux phénomènes. Ainsi, une conséquence importante des évolutions décrites dans cette section est l’abandon, dans les modèles, comme dans le système de constantes astronomiques, de la constante de précession et de la constante de nutation, qui ont été utilisées pendant plus d’un siècle par les astronomes, mais qui ne figurent plus dans le système UAI 2009. Ces modèles de précession-nutation sont décrits dans les deux sections suivantes. 181

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE

4.4

Modèles de précession

Cette section décrit les caractéristiques des différents types de précession mentionnés dans la section 4.2, ainsi que les quantités qui sont utilisées pour les exprimer et l’évolution récente des modèles. On présente ensuite les caractéristiques du modèle UAI 2006 de précession et les développements correspondants en comparaison avec les précédents modèles.

4.4.1 4.4.1.1

Les différents types de précession Précession de l’équateur et précession de l’écliptique

Le plan de l’équateur céleste est animé d’un mouvement de précession par rapport au Système de référence céleste géocentrique (GCRS), tandis que le plan de l’écliptique est animé d’un mouvement de précession par rapport au Système de référence céleste barycentrique (BCRS). Le terme de précession désigne, dans les deux cas, la composante séculaire (développée en puissances du temps) d’un mouvement qui résulte de la composition de plusieurs termes périodiques à très longues périodes. Mais ces deux types de précession, brièvement décrits dans la section 4.2, ont des origines physiques très différentes. Le premier est dû à l’action du couple extérieur sur le bourrelet équatorial de la Terre, tandis que le second est dû aux perturbations planétaires sur le plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil. Ils doivent donc être considérés séparément en ce qui concerne les équations permettant d’obtenir les solutions, les expressions représentant le mouvement, ainsi que les observations permettant d’estimer les constantes d’intégration. Les équations relatives à la précession de l’équateur nécessitent l’utilisation d’un modèle de précession de l’écliptique. Afin de bien distinguer ces deux phénomènes, la résolution 1 de l’UAI 2006 a recommandé que les expressions précession de l’équateur et précession de l’écliptique remplacent respectivement les expressions précession luni-solaire et précession planétaire, utilisées jusqu’alors, qui n’étaient plus adaptées aux méthodes d’observation modernes, ni à leur précision. La terminologie a également été précisée, d’une part, pour le pôle de l’équateur, par la résolution B1.7 de l’UAI 2000, définissant le Pôle céleste intermédiaire (CIP), et, d’autre part, pour le pôle de l’écliptique, par la résolution 1 de l’UAI 2006, recommandant que « le pôle de l’écliptique soit explicitement défini par le vecteur moment cinétique orbital moyen du barycentre du système Terre-Lune (EMB) dans le BCRS ». Toutefois, cette définition de l’écliptique ne précise pas comment est réalisée la moyenne, la prise en compte de la précession de l’écliptique reste donc conventionnelle. 182

4.4. MODÈLES DE PRÉCESSION 4.4.1.2

Précession générale

Le déplacement séculaire de l’équinoxe le long de l’écliptique mobile est la précession générale en longitude. Cet effet résulte de la précession de l’équateur, ψA , dans le sens rétrograde le long de l’écliptique moyen de l’époque de référence et de la précession de l’écliptique, χA , par rapport à l’écliptique moyen de l’époque de référence (figure 4.4). Le terme P1 en t de cette quantité, notée PA (figure 4.4), définit la constante de la précession.

4.4.1.3

Précession et nutation géodésique

Si l’on se place dans le cadre de la relativité générale, un système de référence géocentrique placé dans le champ gravitationnel du Soleil est soumis à une rotation relativiste par rapport à un système de référence barycentrique. Le terme séculaire principal de cette rotation, d’amplitude 1.9200 /siècle, est appelé précession géodésique ou précession (de) de Sitter (de Sitter, 1927). Cet effet, qui est inclus dans l’amplitude observée de la précession, est pris en compte dans le modèle UAI de précession depuis 1976. Il existe également un ensemble de termes périodiques, dont le plus important est de période annuelle et d’amplitude 1.5300 × 10−4 (Fukushima, 1991), qui constitue la nutation géodésique. Cet effet est inséparable des autres effets de la nutation dans les observations ; il a été pris en compte dans le modèle conventionnel actuel de la nutation (voir section 4.5).

4.4.2

Quantités liées à la précession

La précession de l’équateur est une quantité essentielle à prendre en compte dans la transformation entre repère terrestre et repère céleste. Cette précession intervient directement dans les variations temporelles de coordonnées rapportées à l’équateur de la date, tandis que la précession de l’écliptique intervient dans les variations temporelles de coordonnées rapportées à l’écliptique de la date. Les coordonnées – équatoriales ou écliptiques – comptées par rapport au point γ, nœud ascendant de l’écliptique sur l’équateur, sont, elles, sensibles à la combinaison de ces deux types de précession. De tels effets sont pris en compte par le biais de différentes quantités liées à la précession de l’équateur et de l’écliptique. La figure 4.4 représente, pour une époque de référence F (par exemple J2000.0) et pour une date D, les écliptiques moyens EF et ED et les équateurs moyens AF et AD , ainsi que les quantités classiques de précession. N est l’intersection de EF et ED , J l’intersection de AF et AD , I l’intersection de EF et AD . L’angle ε0 , entre EF et AF , est l’obliquité de 183

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE l’écliptique pour l’époque de référence. Ces quantités ne sont pas toutes indépendantes. En toute rigueur, quatre d’entre elles, les deux coordonnées sphériques polaires du pôle de l’équateur et du pôle de l’écliptique, sont suffisantes pour représenter les déplacements dus à la précession et à la nutation. On peut également utiliser comme référence le plan équatorial du GCRS (de pôle P0 ). La précession de l’équateur est alors représentée par la partie séculaire, XA , YA , sA , des coordonnées du CIP et de la CIO (notée σ) dans le GCRS (voir section 3.6), qui peut s’exprimer en fonction des quantités classiques de précession (Capitaine et al., 2003a ; Hilton et al., 2006). Les observations VLBI permettent d’estimer directement les termes linéaires en X et Y, qui correspondent respectivement aux vitesses de précession en longitude, ψ˙ A ' X˙ A / sin ωA et en obliquité, ω ˙ A ' Y˙ A . Ci-dessous, l’ensemble des quantités de précession généralement utilisées sont listées, en distinguant celles qui représentent la précession de l’écliptique, celles qui représentent la précession de l’équateur et celles mixant les deux effets. On adopte les notations (figure 4.4) de Lieske et al. (1977) pour les quantités classiques de la précession et celles de Capitaine et al. (2003b) pour les quantités rapportées au CIP et à la CIO. La précession de l’écliptique se rapporte à l’écliptique moyen de l’époque F. La précession de l’équateur se rapporte à l’écliptique, ou à l’équateur moyen de l’époque F ou à l’équateur du GCRS. 1. Quantités représentant la précession de l’écliptique : • πA : angle entre EF et ED • ΠA : arc γF N • χA : arc I γD • PA = sin πA sin ΠA • QA = sin πA cos ΠA 2. Quantités représentant la précession de l’équateur : • ψA : arc IγF • ωA : angle entre EF et AD • θA : angle entre AF et AD • ζA : arc (γD J −90◦ ) • XA , YA : coordonnées GCRS de l’arc P0 PD • sA : arc (σD N −Σ0 N ) Relations entre ces quantités • XA = sin ωA sin ψA • YA = − sin 0 cos ωA + cos 0 sin ωA cos ψA • sA = − 12 (XA Y˙A − YA X˙A ) 3. Quantités mixant précession de l’équateur et précession de l’écliptique : • PA : arc (γD N - γF N) • εA : angle entre ED et AD • zA : arc (γD J −90◦ ) 184

4.4. MODÈLES DE PRÉCESSION

4.4.3

Évolution 2000-2003 des modèles de précession

La résolution B1.6 adoptée à la vingt-quatrième assemblée générale de l’UAI (UAI 2001) a recommandé de remplacer, à partir du 1er janvier 2003, le modèle de précession UAI 1976 et la théorie UAI 1980 de la nutation par le modèle de précession-nutation UAI 2000A (section 4.5). Ce modèle ne fournissait pas de nouvelles expressions pour la précession, mais seulement des corrections aux vitesses de précession en longitude et en obliquité. Pour cette raison, la résolution UAI B1.6 a encouragé le développement de nouvelles expressions de la précession compatible avec le modèle UAI 2000A. En 2003, trois nouveaux développements semi-analytiques de la précession ont été proposés : le modèle B03 de Bretagnon et al. (2003), qui est issu de la théorie de la rotation de la Terre SMART97 de Bretagnon et al. (1998), le modèle P03 de Capitaine et al. (2003b), qui est basé sur les équations dynamiques de la précession, et le modèle F03 de Fukushima (2003), qui repose sur la théorie de Shirai et Fukushima (2000), développée

AF AD

ωA

ψ

A

=I γ

F

γF

I

EF

ΠA + ΡA = γD N

Π

A

=γ

F

N

πA

N

εO χ A = IγD

γD

90° – ζA = γF J θA

εA

90° + zA = γD J

J

ED

Figure 4.4 – Écliptiques EF , ED et équateurs moyens AF , AD à l’époque σF et à la date σD .

185

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE pour le calcul de la nutation pour une Terre non rigide. Les deux premiers sont basés sur les solutions VSOP87 de Bretagnon et Francou (1988) pour le mouvement du Soleil et des planètes, et ELP2000-82 de Chapront-Touze et Chapront (1983) pour le mouvement de la Lune. Bien qu’obtenus par des méthodes différentes, ces deux modèles donnent des résultats très voisins, sauf pour le terme séculaire en ωA , qui, dans le modèle P03, est déduit de la valeur estimée par le VLBI. Ces trois modèles ont été étudiés en détail et comparés par le groupe de travail de l’UAI sur la précession, chargé de proposer à l’UAI l’adoption d’un nouveau modèle de précession compatible avec le modèle UAI 2000A. Suivant la proposition de ce groupe (Hilton et al., 2006), la résolution 1 de l’UAI 2006 a recommandé que la partie précession du modèle de précession-nutation UAI 2000A soit remplacée par la théorie de la précession P03 pour la précession de l’équateur et la précession de l’écliptique. La section suivante présente une comparaison de ce modèle avec le précédent modèle UAI.

4.4.4 4.4.4.1

Les modèles UAI de précession Le modèle UAI 2000

Le modèle UAI 2000 de précession-nutation, comprend une table de valeurs de coefficients de nutation déduite de la théorie MHB de Mathews et al. (2002) (section 4.5), à laquelle sont associées des corrections aux vitesses de précession en longitude et en obliquité du modèle de précession UAI 1976, ainsi que le décalage entre la direction du CIP à J2000.0 avec la direction du pôle du GCRS. Leurs valeurs ont été obtenues, conjointement avec celles des valeurs des paramètres de base du modèle MHB, par un ajustement aux observations VLBI : δ(ψA ) = (−0.299 65 ± 0.000 40) 00 /siècle δ(ωA ) = (−0.025 24 ± 0.000 10) 00 /siècle

(4.13)

et le décalage entre la direction du CIP (UAI 2000) à J2000.0 avec la direction du pôle du GCRS est tel que : ξ0 = (−0.016 6170 ± 0.000 0100) 00 (4.14) η0 = (−0.006 8192 ± 0.000 0100) 00 La vitesse de précession en obliquité, dωA /dt, était considérée comme nulle dans la solution de Lieske et al. (1977). Une évaluation théorique des contributions à cette quantité par Williams (1994) a donné la valeur dωA /dt = −0.024400 /siècle, qui est cohérente avec celle de la théorie REN2000 de Souchay et Kinoshita (1997). 186

4.4. MODÈLES DE PRÉCESSION Les valeurs UAI 2000 de dψA /dt et de dωA /dt déduites des valeurs UAI 1976 et des corrections MHB (équation 4.13) à ces valeurs sont : dψA /dt = 5 038.478 75 00 /siècle dωA /dt = −0.025 24 00 /siècle

(4.15)

La valeur de dψA /dt correspond à une valeur de la constante de la précession, P1 = dPA /dt, encore utilisée à l’époque de l’adoption du modèle UAI 2000 et qui valait 5 028.792 26200 /siècle. En attendant le développement d’un modèle dynamique de la précession, l’IERS (International Earth Rotation and Reference systems Service) a recommandé, dans ses conventions 2003 (McCarthy et Petit, 2004), l’utilisation d’un formulaire (Capitaine et al., 2003b) associant les expressions de Lieske et al. (1977) avec des valeurs numériques améliorées des termes proportionnels au temps pour les angles ψA et ωA et la valeur UAI 1976 (conservée dans l’ajustement MHB), de l’obliquité moyenne à J2000.0, ε0 = 84 381.44800 = 23◦ 260 21.44800 . Les valeurs de la table 4.2 sont issues de ce formulaire. Un tel procédé améliorait l’accord entre modèle et observations, mais ne permettait pas de réaliser un modèle dynamique de la précession. Mais, en plus d’une valeur ancienne de l’obliquité, le formulaire de Lieske et al. (1977) utilisait des variations séculaires du pôle de l’écliptique issues de la théorie du Soleil de Newcomb et d’anciennes valeurs des masses des planètes. Ainsi, malgré les améliorations apportées, le modèle UAI 2000 restait insuffisant.

4.4.4.2

Le modèle UAI 2006

Le modèle de précession adopté par l’UAI en 2006 est le modèle de Capitaine et al. (2003b), désigné par P03, dont les caractéristiques ainsi que les développements de toutes les quantités de la précession ont été présentés dans Hilton et al. (2006). Il est noté UAI 2006. Ce modèle a été développé comme un modèle dynamique cohérent avec la nutation UAI 2000. Les développements en polynômes du temps des quantités liées à la précession de l’écliptique ont été obtenus en utilisant la théorie VSOP87 (Bretagnon et Francou, 1988). Comme cette théorie analytique a été ajustée à l’intégration numérique du JPL DE200 (Standish, 1982) datant de 1982, les termes polynomiaux de l’écliptique ont été corrigés par comparaison avec l’intégration numérique DE406 du JPL, qui est un prolongement sur l’intervalle de temps [– 3000, + 3000] de DE405 (Standish, 1999), intégration numérique ajustée à des observations plus récentes. 187

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Les valeurs utilisées dans le modèle P03 pour l’obliquité moyenne de l’écliptique à J2000.0, ε0 , et pour le décalage, dα0 , de l’équinoxe moyen à J2000.0 par rapport à l’origine du GCRS, sont des valeurs estimées à partir d’observations sensibles à l’écliptique. Ces valeurs ont été dérivées d’un ajustement de la théorie dynamique de la Lune aux observations LLR par Chapront et al. (2002). La valeur ε0 = 84 381.40600 = 23◦ 260 21.40600 a été adoptée par la suite dans le système de constantes astronomiques 2009. La réalisation du GCRS pour l’estimation dα0 = −0.014600 résulte de l’utilisation des paramètres d’orientation de la Terre déterminés par VLBI. Les développements en polynômes du temps des quantités liées à la précession de l’équateur ont été obtenus en utilisant les équations dynamiques de la précession selon la méthode exposée par Lieske et al. (1977) et Williams (1994). Les équations différentielles correspondantes relatives aux quantités ψA et ωA ont été résolues en prenant en compte les expressions de Williams (1994) ; Brumberg et Bretagnon (2000) ; Mathews et al. (2002), pour les diverses contributions (incluant la précession géodésique) aux vitesses de précession de l’équateur, rψ et r , en longitude et obliquité, respectivement, ainsi que la précession de l’écliptique. Les corrections dues à la non-rigidité de la Terre ont été prises en compte en incluant le terme linéaire de la variation du coefficient J2 de la Terre. Les valeurs de dψA /dt et dωA /dt ont été déterminées à partir des valeurs MHB après les avoir corrigées de certains effets perturbateurs dus à la procédure d’estimation, et les avoir rendues compatibles avec la nouvelle valeur de ε0 . Les constantes d’intégration UAI 2006 utilisées pour ce calcul sont ainsi : dψA /dt = 5 038.481 507 00 /siècle dωA /dt = 0.257 54 00 /siècle ε0 = 84 381.406

(4.16)

00

L’ensemble des développements UAI 2006 de la précession est fourni dans la table 4.2.

4.4.5

Expressions analytiques des quantités de précession

Les expressions analytiques des quantités de précession sont nécessaires à la compréhension de chacune des contributions à la précession de l’équateur ou à la précession de l’écliptique, ou au couplage entre ces deux effets. Les expressions des coefficients des développements polynomiaux en fonction du temps t d’une quantité de précession, ∆X, en fonction des coefficients des quantités de base permettent de calculer aisément les corrections à appliquer à cette quantité ∆X du fait d’améliorations éventuelles des coefficients des quantités de base. 188

4.4. MODÈLES DE PRÉCESSION Les quantités de base pour la précession de l’écliptique sont les coordonnées du pôle de l’écliptique dans le repère céleste écliptique de l’époque J2000.0, dont les développements polynomiaux en fonction du temps t s’expriment sous la forme : PA = s1 t + s2 t2 + s3 t3 + s4 t4 + s5 t5 QA = c1 t + c2 t2 + c3 t3 + c4 t4 + c5 t5

(4.17)

Les expressions de base pour la précession de l’équateur sont les coordonnées du pôle de l’équateur dans le repère céleste équatorial de l’époque J2000.0, ou bien, de façon équivalente, les vitesses de précession, rψ en longitude et r en obliquité, dont les développements polynomiaux en fonction du temps t s’expriment sous la forme. rψ = r0 + r1 t + r2 t2 + r3 t3 r = u0 + u1 t + u2 t2 + u3 t3

(4.18)

Les constantes d’intégration des équations de la précession de l’équateur sont les constantes r0 et u0 qui sont estimées en secondes de degré par siècle par les observations. La table 4.1 donne les expressions, extraites de la table 7 publiée par Capitaine et al. (2003b), pour les deux premiers coefficients des cinq principales quantités de précession en fonction des coefficients des quantités de base.

4.4.6

Développements de la précession et comparaison entre modèles

La table 4.2 fournit les valeurs des coefficients des développements en polynômes du temps pour les quinze quantités de précession définies dans la section 4.4.2 et pour les trois modèles successifs, UAI 1976 (Lieske et al., 1977), UAI 2000 (Mathews et al., 2002) et UAI 2006 (Capitaine et al., 2003b ; Hilton et al., 2006). Les coefficients sont exprimés en secondes de degré et le temps est compté en milliers d’années juliennes à partir de J2000.0. Les polynômes du temps vont jusqu’au degré t3 pour les modèles UAI 1976 et UAI 2000 et jusqu’au degré t5 pour le modèle UAI 2006. On note UAI 2000rev les développements des quantités θA , ζA , pA , A et zA qui ont été déduits des développements UAI 2000 en longitude et en obliquité. Pour plus de détails, on se réfèrera à Capitaine et al. 2003b et aux conventions IERS 2003. Les différences entre les modèles UAI 2000 et UAI 1976 se limitent aux corrections, qui sont respectivement de l’ordre de 300 mas/siècle et 25 mas/siècle, et aux vitesses de précession en longitude et en obliquité (voir équation 4.13). Les valeurs des coefficients 189

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE

Table 4.1 – Expressions des coefficients en t et t2 des quantités de précession en fonction des coefficients des vitesses de précession, r0 et u0 de l’équateur et s1 et c1 de l’écliptique (Capitaine et al., 2003b).

Coefficient en t

Coefficient en t2

ψA

r0

1 u0 s1 r1 + r0 c1 cot 0 − 2 sin2 0

ωA

u0

1 (u1 + r0 s1 ) 2

A

c1 + u0

1 c2 + (u1 − s1 r0 + s21 cot 0 ) 2

χA

s1 / sin 0

pA

r0 − s1 cot 0

1 [s2 + r0 c1 − s1 cot 0 (u0 + c1 )] sin 0 ! 1 u0 s1 r1 − r0 c1 cot 0 + − s2 cot 0 + 2 sin2 0   s1 c1 1 + 2 cot2 0 2

Quantité

!

UAI 2000 et UAI 1976 sont donc identiques, à l’exception des quantités ψA et ωA et des quantités XA , YA et sA qui en ont été directement déduites (Capitaine et al., 2003a). Les écarts entre les valeurs des coefficients UAI 2006 et UAI 2000, dus à l’amélioration du modèle, atteignent 4.0 mas/siècle pour QA et 2.8 mas/siècle pour ψA . Le terme linéaire des expressions de XA , YA et sA comprend une contribution due à la nutation. On devrait donc, en toute rigueur, indiquer pour ces termes qu’ils correspondent aux modèles UAI 1976/1980, UAI 2000 et UAI 2006/2000 qui combinent les modèles de précession et de nutation.

Table 4.2 – Coefficients des polynômes de la précession, limités au degré 5, correspondant aux modèles UAI 1976, UAI 2000 et UAI 2006. Les coefficients sont exprimés en secondes de degré et le temps est compté en milliers d’années juliennes à partir de J2000.0.

t0

Modèle 1976 2000

πA

t

t2

t3

470.029 470.029

−3.302 −3.302

0.060 0.060

190

t4

t5

4.4. MODÈLES DE PRÉCESSION Table 4.2 (suite) Modèle

t

0

2006

t

t2

t3

469.98973

−3.34926

−0.12559

0.00113 −0.00022

3.536 3.536 15.7992

−0.5371

−0.4797

105.526 105.526 105.56403

−238.064 −238.064 −238.14292

−1.125 −1.125 −1.21197

1.70663 −0.00560

41.976 41.976 41.99094

19.447 19.447 19.39873

−0.179 −0.179 −0.22466

−468.150 −468.150 −468.11015

5.059 5.059 5.10283

0.344 0.344 0.52413

−0.00646 −0.00172

−1.147 −1.147 −1.14045

1.32851 −0.00951

1976 2000 2006

629 554.982 −8698.089 ΠA 629 554.982 −8698.089 629 546.7936 −8679.5758

1976 2000 2006

χA

1976 2000 2006

PA

1976 2000 2006

QA

1976 2000 2006

ψA

1976 2000 2006

ωA

1976 2000 2006

XA

1976 2000 2006

YA

1976 2000 2006

sA

50387.784 −107.259 50384.78750 −107.259 50384.81507 −107.90069

1976 2000rev pA

−0.00912

t5

0.0072

0.0012

84381.448 84381.448 84381.406

0.0 −0.25240 −0.25754

5.127 5.127 5.12623

−0.016617 −0.016617

20043.109 20041.91743 20041.91898

−42.665 −42.72191 −42.97829

−0.00013 −0.006951 −0.006951

0.0 −0.25382 −0.25896

−2240.992 −2240.72510 −2240.72747

1.836 1.84228 1.90059

−0.139 11.13006 0.099 11.12526 0.01358

0.000094 0.000094

0.0385 0.038254 0.038254

0.000122 0.000121

36.29 36.2870 36.28709

−0.0447 −0.04610

20043.109 20041.91748 20041.91903

−42.665 −42.69353 −42.94934

23062.181 23060.80951 23060.83227

30.188 30.19015 29.88499

17.998 17.9663 18.01828

50290.966 50287.9695

111.113 111.113

−0.006 −0.006

1976 2000rev θA 2006 1976 2000rev ζA 2006

−7.726 −7.726 −7.72503

t4

0.0 2.597618 2.650545

191

−0.00467

0.0337

−198.656 −0.461 −198.6205 −0.460 0.598 −198.61834 +0.07578 0.59285

−0.109 −0.057

−41.883 −41.8251 −0.601 −0.01 −41.82264 −0.07089 −0.01274 −0.327 −0.02 −0.05971 −0.03173

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Table 4.2 (suite) Modèle

t

0

2006

t

t2

t3

t4

t5

50287.96195

110.54348

0.07964

−0.23857 −0.00383

1976 2000rev A 2006

84381.448 84381.448 84381.406

−468.150 −468.4024 −468.36769

−0.059 −0.059 −0.01831

1.813 1.813 2.00340

−0.00576 −0.00434

1976 2000rev zA 2006

0.0 −2.59762 −2.650545

23062.181 23060.80323 23060.77181

109.468 109.47790 109.27348

18.203 18.2273 18.26837

0.470 −0.03 −0.28596 −0.02904

4.4.7

Domaine de validité des modèles de précession

Le modèle de précession UAI 2006, qui, comme les précédents modèles UAI, est exprimé sous forme d’un ensemble d’approximations polynomiales de divers paramètres de précession, est destiné à des applications de haute précision sur une durée limitée. La comparaison avec des intégrations numériques montre que la validité du modèle est limitée à quelques siècles autour de l’époque J2000.0. Des développements de précession adaptés à des périodes plus longues ont été obtenus par Vondrák et al. (2011) en se basant sur la solution UAI 2006 pour la période proche de J2000.0 et sur une solution d’intégration numérique de l’écliptique et la solution La93 de Laskar et al. (1993), avec des constantes améliorées, pour la précession générale et l’obliquité. Ces développements, qui comprennent un polynôme du temps de degré 3, plus une dizaine de termes périodiques, permettent de calculer la précession avec une précision comparable au modèle UAI 2006 autour de l’époque centrale J2000.0, avec quelques secondes de degré tout au long de la période historique et quelques dixièmes de degré à la fin de la période de ± 200 millénaires. Les approximations analytiques compactes, La04 et La10 de Laskar et al. (2004, 2011a) pour la précession et l’obliquité à très long terme, destinées aux études d’insolation de la Terre, donnent une solution précise de ces quantités sur environ 20 millions d’années. Cette limite est principalement due à l’incertitude sur les effets dissipatifs dans le système Terre-Lune (variations de l’ellipticité dynamique de la Terre).

192

4.5. MODÈLE DE NUTATION

4.5

Modèles de nutation

Après une introduction générale sur la rotation des corps célestes et la nutation, cette section rappelle brièvement les caractéristiques des deux derniers modèles UAI de la nutation et les principales améliorations apportées par le modèle MHB2000 de Mathews et al. (2002), base géophysique du modèle UAI 2000 de précession-nutation. La section détaille ensuite les développements théoriques et les concepts géophysiques de ce modèle. Pour une présentation générale plus détaillée des aspects dynamiques et géophysiques de la nutation, voir Dehant et al. (1998) ou Dehant et Mathews (2015). Pour une présentation simplifiée de ces différents développements, on se reportera à la section 4.3.1 de ce chapitre dans laquelle sont établies les équations de base de la rotation de la Terre (voir section 4.3.1.2), ainsi que la forme des solutions (voir section 4.3.2).

4.5.1

Rotation des corps célestes et nutation

Les planètes et les satellites de notre système solaire sont tous animés d’un mouvement de rotation sur eux-mêmes. Si ces corps étaient sphériques, rigides et isolés, leur rotation resterait uniforme au cours du temps. Mais l’interaction gravitationnelle entre les corps célestes proches ou très massifs perturbe cette rotation en créant des variations de la durée d’une rotation (longueur du jour) et en modifiant l’orientation de l’axe de rotation par rapport à la surface de la planète (mouvement du pôle) et dans l’espace (précessionnutation). Dans le cas de la Terre, la définition précise de ces mouvements et de leur séparation fait l’objet d’une convention établie à partir de leurs fréquences (voir la définition du CIP en section 4.2 et section 3.6). À cause de leur élasticité, de leur rotation et de leur dynamique interne, les planètes du Système solaire ne sont pas sphériques. Certaines, dont la Terre, présentent un renflement à l’équateur. De plus, l’axe associé à leur rotation n’est pas toujours perpendiculaire au plan de l’orbite. Par conséquent, l’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil et les autres corps massifs ou proches ne s’exerce pas symétriquement sur le bourrelet équatorial. Ceci crée un couple de forces tendant à aligner l’axe de rotation sur le plan de l’orbite. À cause de ces effets, ces corps réagissent comme un gyroscope : leur axe de rotation décrit un cône d’ouverture constante. Ce mouvement est appelé précession astronomique. Comme les positions relatives des corps du Système solaire varient de façon périodique, le moment du couple de forces qui agit sur le bourrelet équatorial n’est pas constant. Ceci entraîne des oscillations de l’axe de rotation autour du cône de précession : ce sont les nutations astronomiques. Enfin, la présence sur notre planète de couches fluides superficielles (atmosphère, hydrosphère, océan) et d’une couche fluide 193

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE interne (noyau liquide) entraîne des variations additionnelles de la rotation. Le calcul du moment des forces astronomiques et des nutations pour une Terre rigide qui y sont associées s’effectue dans le cadre de la mécanique céleste en utilisant des éphémérides semi-analytiques de position des planètes et de la Lune.

En outre, la Terre ne peut être considérée comme un corps rigide et doit donc être traitée comme un système complexe : sa réponse au couple exercé par les forces de nature astronomique est modifiée par les interactions internes au système Terre. Ce système est constitué de trois couches principales :

• un manteau viscoélastique en convection ; • un noyau liquide, composé principalement de fer liquide, lieu d’intenses mouvements hydromagnétiques associés à la création et à l’entretien du champ magnétique terrestre ; • une graine solide, composée également principalement de fer.

Dans le cadre des nutations, la convection et la viscosité dans le manteau, les interactions fluides-solides (pression et friction essentiellement) entre le noyau et le manteau et entre le noyau et la graine ont un effet observable sur la réaction de la Terre à l’excitation astronomique. Pour tenir compte de ces facteurs, on définit une fonction de transfert, c’est-à-dire une fonction qui donne la réponse de la Terre à une force d’excitation unitaire. Les développements théoriques et les observations nous ont montré que cette fonction est différente pour des fréquences différentes. Elle est donc exprimée en fonction de la fréquence de l’excitation.

Les nutations sont observées avec une grande précision par les techniques ultra-précises de l’astrogéodésie (essentiellement le VLBI). On peut donc calculer une fonction de transfert empirique, comme étant le rapport entre la réponse de la Terre, à chaque fréquence, au couple exercé par les forces de nature astronomique et la réponse qu’aurait une Terre rigide. On peut aussi, à partir des connaissances actuelles de l’intérieur de la Terre, calculer une fonction de transfert théorique par intégration numérique des équations relatives aux déformations. La comparaison entre les deux approches permet d’évaluer et d’améliorer la fonction de transfert théorique.

Ceci a conduit les scientifiques à converger vers un nouveau modèle qui a été adopté par les unions internationales en remplacement du précédent modèle UAI 1980 ; ce fut le cas en 2000 par l’UAI et en 2003 par l’UGGI. 194

4.5. MODÈLE DE NUTATION

4.5.2

Caractéristiques du modèle de nutation UAI 1980

Le modèle UAI 1980 de la nutation (Seidelmann, 1982) a été construit, pour la première fois, en se basant sur un modèle semi-analytique, issu d’une théorie de la nutation pour une Terre rigide – à l’époque celle de Kinoshita (1977) – auquel a été associée une théorie géophysique (Wahr, 1981) permettant la modélisation des modifications des nutations par la non-rigidité de la Terre. La théorie géophysique utilisée était une théorie simplifiée, mais déjà très complexe, qui utilisait les équations du moment cinétique dans un repère lié à la Terre (voir équation 4.5 et équation 4.23). Ces équations consistent à exprimer, d’une part, les variations temporelles du moment cinétique des différentes couches à l’intérieur de la Terre, et, d’autre part, les couples de forces qui agissent sur la Terre et aux différentes interfaces à l’intérieur de la Terre. Le moment cinétique fait intervenir, pour chaque couche, la répartition de masses à l’intérieur de la couche dans des surfaces déformées, ainsi que la rotation propre de cette couche. En utilisant des approximations linéaires en de petites quantités, on obtient les équations de Liouville linéarisées (voir équation 4.7 et équation 4.24), dont la résolution permet d’obtenir la position de l’axe instantané de rotation dans le repère terrestre (d’où l’on peut déduire le mouvement du CIP par des relations simples pour chacune des fréquences en jeu).

4.5.3

Caractéristiques du modèle de nutation UAI 2000

Le modèle UAI 2000 de précession-nutation est un modèle semi-analytique. Il est basé, d’une part, sur une solution très précise de la nutation pour une Terre rigide (Souchay et al., 1999) et, d’autre part, sur une fonction de transfert MHB2000 pour un modèle simple de Terre, dont quelques paramètres physiques sont estimés de manière à minimiser les résidus entre les nutations observées et les nutations modélisées. Ce type de modèle est un bon compromis entre un modèle numérique plus précis basé sur les observations, mais n’apportant aucune information sur la physique sous-jacente, et un modèle purement théorique, qui est une source importante d’informations sur la physique, mais n’est pas encore assez précis pour être utilisé dans la réduction des observations. Le développement de tels modèles théoriques est une étape indispensable pour une meilleure compréhension et une meilleure modélisation des interactions qui se produisent dans le système Terre. La série de nutation UAI 2000 comprend deux versions, notées UAI 2000A et UAI 2000B, à utiliser selon la précision requise. La lettre A, qui sera omise dans la suite, désigne le développement complet assurant une précision de 0.1 mas, par opposition à la lettre B désignant le développement réduit à 80 termes qui assure une précision de 1 mas. Un ensemble d’améliorations a été considéré dans le modèle MHB2000 par rapport au modèle géophysique de Wahr (1981) utilisé dans la nutation UAI 1980 : 195

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE • le modèle intègre : – la présence, dans un champ magnétique, d’une graine inclinée à l’intérieur du noyau liquide (on considère que l’axe principal d’inertie de la graine et celui du noyau peuvent être non alignés) ; – l’ensemble des couplages gravitationnels entre les différentes couches ellipsoïdales à l’intérieur de la Terre, ainsi que les couplages électromagnétiques aux deux interfaces du noyau (noyau-manteau et noyau-graine) ; • les déformations sont traitées par l’intermédiaire des changements dans la matrice d’inertie (représentant la répartition des masses à l’intérieur de la Terre, ou à l’intérieur des différentes couches) et des changements de forme des interfaces et de la surface de la Terre ; • les effets des marées océaniques à la surface de la Terre engendrées par les forces gravitationnelles de la Lune et du Soleil sont également pris en considération ; • les effets diurnes de l’atmosphère ne sont pris en compte que pour la fréquence principale de ce phénomène (correspondant à exactement un jour solaire) et l’amplitude est évaluée à partir des observations. Le modèle contient des résonances créées par la forme ellipsoïdale de la graine et du noyau. Les modes de vibration propre d’un système sont liés à sa forme, sa composition et sa structure. Ces résonances induisent des amplifications dans des fréquences proches de celles de la nutation libre du noyau et de la nutation libre de la graine, qui correspondent respectivement à des périodes dans l’espace d’environ 430 jours et 1 000 jours.

4.5.4

Relations entre précession, nutation et mouvement du pôle

Les théories géophysiques de la nutation pour une Terre non rigide supposent, en première approximation, que la Terre est un ellipsoïde de symétrie axiale. A désigne les moments d’inertie par rapport aux axes équatoriaux et C le moment d’inertie par rapport à l’axe polaire. On a : e = (C − A)/A où e est l’ellipticité dynamique qui vaut environ 1/300 (en astronomie, on désigne par aplatissement dynamique de la Terre la quantité (C − A)/C, qui est souvent notée e, H ou Hd ). Le mouvement de nutation est engendré par le moment des forces agissant sur la Terre autour d’un axe équatorial. Ce moment de force est produit par l’attraction gravitationnelle des objets du Système solaire (principalement la Lune et le Soleil) sur la structure ellipsoïdale de la Terre caractérisée par le paramètre e ; le moment de force est donc proportionnel à e. Dans la suite de cette section, et comme c’est l’usage dans ce type d’étude, on exprimera, par convention, les fréquences en cycles par jour (cpsd, cycle per sidereal day), 1 cpsd étant équivalent à la fréquence angulaire moyenne Ω0 de la rotation de la Terre. La majeure partie de la résolution des équations pour obtenir une solution de la nutation de grande précision porte sur cette partie dynamique dominante, présentant un spectre de basses fréquences avec des fréquences de moins 196

4.5. MODÈLE DE NUTATION de 1/2 cycle par jour sidéral. On présentera ici les principaux aspects de ces modèles. D’autres composantes à basses fréquences de la nutation sont produites par de petites déviations axisymétriques par rapport à une structure strictement ellipsoïdale. De plus, des composantes de la nutation de fréquences supérieures à 1/2 cpsd sont générées par de petites déviations de la distribution de densité de la Terre par rapport à la symétrie axiale. Celles-ci doivent être considérées, d’après la définition du CIP, comme étant des composantes du mouvement du pôle. Des expressions relativement simples suffisent à décrire l’ensemble de ces composantes. La précession et la nutation sont, respectivement, la partie séculaire et la partie oscillatoire (avec un spectre en fréquences complet) des variations par rapport à un repère de référence céleste de l’axe de figure, ou de façon équivalente, du mouvement céleste du pôle de cet axe. Dans la suite, le terme axe de figure se réfère à l’axe de symétrie de la Terre sans aucune déformation. Les nutations de l’axe instantané de rotation et de l’axe du moment d’inertie, qui sont étroitement liées à celles de l’axe de figure, ne seront pas traitées spécifiquement ici. Le mouvement de précession et nutation est lié au mouvement du pôle, c’est-à-dire au mouvement de l’axe instantané de rotation de la Terre par rapport à un repère de référence terrestre. Une rotation autour d’un axe autre qu’un axe de symétrie fait apparaître un mouvement de chancellement.

4.5.5

Équations cinématiques et équations dynamiques

On développe ici les équations qui ont été schématiquement présentées dans la section 4.3, en introduisant les paramètres et les notations du modèle MHB. Le mouvement de précession-nutation dans l’espace est lié au mouvement de l’axe instantané de rotation du manteau dans la Terre (ou mouvement du pôle) par les relations cinématiques d’Euler (section 4.3.2.3) qui rendent possible la détermination de l’un de ces mouvements à partir de l’autre. Ces relations nécessitent que la fréquence du mouvement de l’axe instantané de rotation du manteau dans la Terre, associé à une nutation circulaire de fréquence ν cpsd, soit σ = ν − 1 cpsd, et que son amplitude m(σ) ˜ et l’amplitude η˜ (ν) de la nutation soient liées par la relation : m(σ) ˜ = −(1 + σ) η(ν) ˜ (4.19) et cela, indépendamment du choix de la modélisation rigide ou non rigide de la Terre. La fonction de transfert, définie comme le rapport (sous forme d’une fonction de la fréquence) entre l’amplitude d’un modèle de Terre réaliste (non rigide) et celle obtenue à partir d’un modèle de Terre rigide, est alors la même pour les nutations et les mouvements associés de l’axe instantané de rotation du manteau : η(ν) ˜ m(σ) ˜ = η˜ R (ν) m ˜ R (σ) 197

(4.20)

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE où l’indice R indique que l’amplitude se rapporte à une Terre rigide. Les amplitudes de la nutation sont celles de nutations circulaires progrades et rétrogrades, qui apparaissent par paires avec les fréquences ν p > 0 et νr = −ν p < 0. La contribution de chacune d’entre elles aux nutations en longitude et obliquité, ∆ψ(t) et ∆(t), est : (∆ψ(t) sin 0 + i∆(t))ν = −i η˜ (ν) eiΞν (t)

(4.21)

où Ξν = ±(arg) pour la composante prograde (ν = ν p ), (arg) étant l’argument du terme de nutation considéré ; ± est le signe de d(arg)/dt ou de la période de ce terme de nutation (par exemple, − pour le terme de 18.6 ans et + pour le terme annuel) ; et dΞν /dt = ν p Ω0 . Pour le terme rétrograde, ± doit être remplacé par ∓. L’équation 4.21 conduit aux relations reliant η(ν ˜ p ) et η(ν ˜ r ) aux coefficients de cos(arg) et sin(arg) dans ∆ψ et ∆ (voir, par exemple, Defraigne et al., 1995). Les équations dynamiques de la théorie MHB2000 sont les équations du moment cinétique décrites dans un repère de référence terrestre (voir section 4.3.1.2). On trouvera dans Mathews et al. (1991) une description générale de ces équations, qu’il faut encore compléter par des termes représentant les nouveaux aspects géophysiques du modèle MHB2000. Ces équations décrivent les variations des vecteurs vitesse angulaire Ω, Ω f , Ω s du manteau, du noyau externe fluide et du noyau interne solide, sous la forme : Ω = Ω0 (i3 + m) Ω f = Ω + Ω0 m f

(4.22)

Ω s = Ω + Ωo m s où Ωo i3 ≡ Ω0 est le vecteur vitesse angulaire moyenne du manteau, i3 étant son axe de moment d’inertie maximum, que l’on choisit confondu avec l’axe polaire du repère terrestre de référence (TRF, Terrestrial Reference Frame). Les deux premières composantes (équatoriales) de m sont les variables du mouvement de l’axe instantané de rotation du manteau. Celles de m f et m s représentent les mouvements des axes instantanés de rotation différentielle du noyau externe fluide et de la graine solide par rapport au manteau. Les troisièmes composantes de ces vecteurs décrivent les variations des vitesses de rotation de chacune des couches constituant la Terre. Un autre paramètre à introduire dans la dynamique du problème est la déviation n s de la direction de l’axe de symétrie de la graine par rapport à i3 . Les trois équations du moment cinétique, ainsi que l’équation cinématique reliant n s à m s , constituent un système de quatre équations vectorielles couplées pour les variables dynamiques m, m f , m s , et n s (toutes très faibles en amplitude, typiquement d’environ 10−8 radian). Les propriétés de la Terre qui sont importantes pour la nutation sont prises en considération dans ces équations par l’intermédiaire de paramètres de base du modèle de Terre, appelé 198

4.5. MODÈLE DE NUTATION par la suite Basic Earth Parameters (BEP). Par exemple, les ellipticités dynamiques de la Terre globale e, du noyau fluide e f et de la graine solide e s font partie des BEP, de même que les paramètres représentant les déformations des différentes régions. Dans les équations du moment cinétique, les termes non linéaires par rapport aux variables dynamiques ne contribuent que marginalement aux solutions. Il faut donc, tout d’abord, linéariser les équations, ce qui transforme le système des quatre équations en deux systèmes d’équations indépendants : l’un pour les mouvements de l’axe instantané de rotation, impliquant seulement les deux premières composantes de chacun des quatre vecteurs, et l’autre pour les variations des vitesses de rotation. Les solutions du système homogène des équations des mouvements de l’axe instantané de rotation donnent les fréquences des modes normaux de rotation de la Terre (on considère les moments de force extérieurs nuls). La solution du système non homogène donne les mouvements forcés pour les trois régions en réponse à un potentiel extérieur connu. Une fois les amplitudes des mouvements de l’axe instantané de rotation du manteau calculées pour une Terre non rigide, la fonction de transfert est obtenue directement, puisque l’amplitude de ces mouvements pour une Terre rigide est une fonction très simple de la fréquence. Les amplitudes des nutations pour une Terre non rigide peuvent alors être déterminées en multipliant les amplitudes correspondantes pour une Terre rigide par la fonction de transfert. Plusieurs solutions semi-analytiques relatives à une Terre rigide ont été obtenues avec une précision inférieure à 1 microseconde de degré (µas) sur les amplitudes des nutations par Bretagnon et al. (1998), Roosbeek et Dehant (1998) et Souchay et al. (1999). Après avoir effectué les calculs basés sur l’approximation linéaire, on peut prendre en considération, par des méthodes de perturbation, les corrections dues aux termes non linéaires négligés.

4.5.6

Modèle géophysique

Les résultats obtenus dépendent du modèle géophysique utilisé. La théorie de Wahr (1981), base de la série de nutation UAI 1980 (Seidelmann, 1982), suppose que la Terre est un ellipsoïde à symétrie axiale en rotation, élastique et sans océan ni atmosphère, avec un noyau fluide et un noyau interne solide. La distribution de densité et les propriétés d’élasticité sont celles d’une Terre en équilibre hydrostatique basée sur le modèle de Terre 1066A. Pour obtenir le modèle UAI 1980, la seule modification apportée au modèle de Wahr a été la valeur de l’ellipticité e permettant de retrouver la valeur observée de la constante de la précession (encore appelée ainsi dans les modèles UAI 1980 et UAI 2000, voir section 4.3.3). Par la suite, des corrections aux valeurs de la série UAI 1980 ont été 199

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE calculées par Sasao et Wahr (1981) pour des effets induits par les marées océaniques et par Wahr et Bergen (1986) pour des effets induits par l’inélasticité du manteau. Ces effets entraînent un déphasage entre la réponse de la Terre et le potentiel d’excitation. Des avancées significatives ont été introduites dans la modélisation géophysique de la théorie MHB2000. Elles sont listées ci-dessous avec l’amélioration qu’elles apportent : • la prise en compte de la présence du champ magnétique qui traverse la frontière noyau-manteau et la frontière noyau-graine ; il en résulte un couplage électromagnétique qui modifie les mouvements de l’axe instantané de rotation du noyau fluide par rapport au manteau et à la graine ; • la prise en compte de l’interaction entre les différents types de réponses de la Terre à l’action des marées (mouvement de l’axe instantané de rotation, déformation de la Terre solide, marées océaniques) par une intégration globale des trois phénomènes. La contribution totale de l’inélasticité du manteau (par sa contribution sur les déformations), des marées océaniques et des couplages électromagnétiques, sur les nutations, calculée à partir d’une théorie intégrée globalement donne des différences allant jusqu’à 30 µas par rapport à la somme de chacune des contributions prises individuellement ; ce qui montre l’utilité d’un tel traitement pour l’obtention de solutions de grande précision ; • l’amélioration des paramètres du modèle de Terre qui influencent les nutations par un ajustement par moindres carrés des amplitudes de nutation calculées théoriquement et de la vitesse de précession, sur les valeurs très précises obtenues à partir d’observations. Ceci était une continuation logique de l’ajustement de e par Wahr (1981) et de l’estimation de e f par Gwinn et al. (1986) sur la base des observations disponibles à l’époque.

4.5.7

Réduction des équations du moment cinétique et application du modèle géophysique

Une version simplifiée des équations du moment cinétique suffit à donner une idée concrète de ce qui a été discuté précédemment. Dans un premier temps, la graine est ignorée et l’équation du moment cinétique par rapport à un repère terrestre s’écrit alors : dH +Ω×H=Γ dt

(4.23)

où Γ est le moment des forces agissant sur le corps, ici la Terre dans son ensemble, et H est son moment cinétique, tel que H = [C] · Ω + [C f ] · ω f , où [C] et [C f ] sont respectivement les tenseurs d’inertie de la Terre dans son ensemble et du noyau fluide seul. 200

4.5. MODÈLE DE NUTATION Le second terme est dû au mouvement de l’axe instantané de rotation du noyau par rapport à celui du manteau. Si les deux premières composantes de l’équation vectorielle sont décrites à l’aide des composantes de ω = Ωo m et ω f = Ωo m f et que l’on néglige les termes de second ordre, on retrouve, dans les équations de Liouville ainsi obtenues, les deux premiers éléments diagonaux de [C] (qui sont égaux puisque l’on suppose une symétrie axiale), plus les termes c13 et c23 du tenseur d’inertie (qui sont nuls en l’absence de perturbations extérieures). En multipliant la seconde équation par i et en l’ajoutant à la première, on obtient une ˜ ≡ m1 + im2 et m ˜ f ≡ m f 1 + im f 2 , équation simple pour les quantités complexes m f f f c˜ 3 ≡ c13 + ic23 et c˜ 3 ≡ c13 + ic23 . Pour toutes ces quantités, l’indice ou l’exposant f se rapporte au noyau fluide. iσΩo t , L’équation relative aux mouvements de l’axe instantané de rotation, m ˜ = m(σ)e ˜ iσΩ t o m ˜f = m ˜ f (σ)e , de fréquence σ cpsd, s’écrit finalement, sous la forme :

(σ − e) m(σ) ˜ + (1 + σ)

˜ c˜ 3 (σ) A f Γ(σ) + m ˜ f (σ) = A A i A Ω2o

(4.24)

Pour les termes principaux de nutation décrits précédemment, le moment de force est presque entièrement dû à l’action de la partie tessérale du terme de degré deux (harmo˜ ˜ nique sphérique de degré 2 et d’ordre 1) du potentiel en e : Γ(σ) = −i e A φ(σ). Pour la Terre rigide (pas de déformation, pas de noyau), la solution de 4.24 est immédiate : m ˜ R (σ) =

e ˜ φ(σ) (e − σ)

(4.25)

L’équation du moment cinétique pour le noyau fluide a la forme : f

σ + (1 + e f ) m ˜ f (σ) + σ [m(σ) ˜ − c˜ 3 (σ)] − K CMB m ˜ f (σ) = 0

(4.26)

Le dernier terme représente le couplage électromagnétique entre le noyau et le manteau, K CMB étant la constante complexe de couplage. f

Les déformations du noyau et de la Terre globale sont représentées par c˜ 3 et c˜ 3 , respectif f vement, qui sont tels que : c˜ 3 = c3 (σ)eiσΩo t , c˜ 3 = c3 (σ)eiσΩo t . Ces déformations proviennent : (a) de l’action directe du potentiel de marées φ˜ ; (b) de l’action des potentiels supplémentaires centrifuges produits par les rotations des différentes régions ; (c) de la surcharge des marées océaniques sur la croûte terrestre. 201

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Les deux premiers effets conduisent à l’expression : ˜ +ξm c˜ 3 = A [κ (m ˜ − φ) ˜ f] f

c˜ 3 = A f [˜γ (φ˜ − m) ˜ + βm ˜ f]

(4.27)

où κ, γ, ξ, et β sont les paramètres de réponse de la Terre (appelés compliance dans le modèle MHB). Les deux premiers caractérisent les déformations de la Terre globale et du noyau fluide en réponse à l’action d’un potentiel extérieur ou du mouvement du pôle de rotation d’amplitude m ˜ ; ξ et β caractérisent les déformations en réponse au mouvement différentiel du pôle de rotation du noyau. Si on substitue 4.27 dans 4.24 et 4.26, ces équations dynamiques forment une équation matricielle dont l’inconnue est le vecteur ˜ m ˜ f . Les valeurs propres de la matrice colonne formé des composantes équatoriales m, dynamique sont les fréquences des deux modes d’oscillations libres. En absence d’inélasticité et de marées océaniques, les valeurs des paramètres de réponse de la Terre peuvent être calculées par intégration des équations de déformation pour un modèle de Terre donné, tel PREM de Dziewonski et Anderson (1981) utilisé dans la théorie MHB2000. L’inélasticité du manteau produit des incréments complexes de ces valeurs. L’effet des marées océaniques peut aussi être pris en considération par l’introduction de termes supplémentaires, non seulement complexes, mais aussi dépendant fortement de la fréquence σ du potentiel de marées. Les incréments sont évalués en utilisant un modèle approprié d’inélasticité du manteau et un modèle pour les marées océaniques diurnes prises en compte pour les nutations, comme décrit dans Mathews et al. (2002). L’introduction de la solution des deux équations précédentes dans les représentations des déformations et des marées océaniques permet de prendre en considération les interactions entre les trois phénomènes. L’introduction de la graine donne des termes additionnels dans les deux équations précédentes, qui impliquent maintenant les variables m ˜ s et n˜ s liées à la graine définies dans la section 4.3.2, et deux équations supplémentaires, l’équation du moment cinétique pour la graine et l’équation cinématique reliant n˜ s à m ˜ s . Les principes généraux décrits précédemment peuvent s’appliquer, en gardant à l’esprit que la matrice dynamique utilisée est maintenant une matrice 4×4. Un point important est l’apparition du terme K ICB représentant le couplage (électromagnétique) entre la graine et le noyau fluide dans les équations de moments de force pour les deux régions du noyau. L’impact de ce couplage sur les amplitudes d’un terme de nutation donné est complexe. Comme il a été vu plus haut, les valeurs de e et e f calculées à partir des modèles de Terre en équilibre hydrostatique ont dû être ajustées (d’environ 5% dans les travaux les 202

4.5. MODÈLE DE NUTATION plus récents) pour que les résultats des théories de nutation soient compatibles avec les observations. Or, grâce à l’amélioration de la qualité des observations de la nutation, les paramètres de la Terre, connus avec une précision limitée à partir des anciennes données observationnelles, peuvent être ajustés à des valeurs différentes de celles utilisées dans ces modèles de Terre, comme PREM. D’autre part, aucune estimation des paramètres K CMB et K ICB n’était disponible. En ayant ces remarques à l’esprit, Mathews et al. (2002) ont utilisé un ajustement par moindres carrés des quantités prédites par la théorie de nutation (dans son approximation linéaire) à des données observationnelles de nutation de très haute précision auxquelles ont été retirées les contributions non linéaires par optimisation des valeurs des BEP sélectionnés.

4.5.8

Estimation des corrections de précession et formules pour les séries de la nutation

La valeur estimée de la vitesse de précession générale en longitude du modèle MHB2000 (encore appelée constante de précession dans le modèle MHB, voir section 4.3.3), est obtenue directement à partir de la valeur de l’ellipticité e estimée précédemment. Comme pour les amplitudes de la nutation, on utilise au départ la solution d’un système d’équations mis en place avec des valeurs optimisées pour les paramètres de la Terre, puis on obtient une fonction de transfert en divisant m(σ) ˜ par la solution pour la Terre rigide m ˜ R (σ) donnée par l’équation 4.25. Il faut cependant tenir compte du fait que la valeur de e obtenue pour une Terre non rigide n’est pas égale à la valeur eR utilisée pour une Terre rigide. La différence entre ces valeurs nécessite la multiplication de la fonction de transfert déterminée précédemment par [(eR − σ)/(e + 1)] (e/eR ). On obtient ainsi l’amplitude du terme η(ν) ˜ pour une Terre non rigide en multipliant l’amplitude du terme η˜ R (ν) de nutation de la Terre rigide pour l’ellipticité eR par la fonction de transfert modifiée et calculée pour la fréquence σ (dans l’approximation linéarisée des équations de moments de force). L’estimation de cette amplitude est faite pour chaque fréquence ν des séries de nutation de la Terre rigide. Les amplitudes des nutations circulaires déterminées à partir du modèle de Terre rigide REN2000 de Souchay et al. (1999) ont été utilisées par Mathews et al. (2002) dans le calcul des amplitudes de la Terre non rigide correspondantes. Le résultat final inclut plusieurs petites corrections. Les premières sont celles, mentionnées précédemment, dues aux contributions des termes non linéaires dans les équations. D’autres modélisent un effet relativiste nommé nutation géodésique (voir Fukushima (1991) ; Brumberg (1992) et la section 4.4). D’autres, enfin, estimées empiriquement, se rapportent à l’effet des marées thermiques atmosphériques. Les amplitudes progrades et rétrogrades de la nutation sont enfin converties en coefficients de nutation en longitude et obliquité. Une correction due aux termes non linéaires est aussi appliquée à la constante de la précession (encore appelée ainsi dans le modèle MHB, voir section 4.3.3). 203

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Si tous les paramètres des équations du moment cinétique étaient indépendants de la fréquence, on pourrait calculer les amplitudes pour une Terre non rigide, pour toutes les fréquences, en appliquant les formules de la fonction de transfert aux amplitudes connues pour une Terre rigide et en utilisant les valeurs données par la théorie pour les fréquences des modes de nutation libre et les coefficients correspondants. Mais, puisque les contributions des effets de marées océaniques dans l’estimation des paramètres de la matrice dynamique sont dépendantes des fréquences, on doit se contenter d’une formulation approximative peu satisfaisante associée à des corrections à appliquer à certaines amplitudes de nutation. Ces corrections ont été déterminées à partir de la solution exacte des équations du moment cinétique calculée pour chaque fréquence. La formulation MHB pour la fonction de transfert est :    4 X    eR − σ Q α  (e/eR ) 1 + (1 + σ) Q0 + (4.28)  e+1 σ − s α α=1 où les sα sont les fréquences propres effectives des quatre oscillations libres. On trouvera des valeurs numériques et des résultats détaillés dans Mathews et al. (2002), ainsi que des discussions approfondies concernant les implications géophysiques des valeurs obtenues par ajustement aux observations de nombreux paramètres de la Terre. Les résonances associées à la nutation libre du noyau (FCN, Free Core Nutation et PFCN, Prograde Free Core Nutation) influencent fortement un grand nombre de termes de nutation forcés pour les fréquences proches de leurs fréquences propres (en particulier la nutation annuelle rétrograde et la nutation en 18.6 ans). Grâce à l’impact de ces résonances, il a été possible de déduire de nombreuses propriétés physiques de la Terre jouant un rôle significatif dans la détermination et la caractérisation de ces modes. Une question largement débattue concerne l’effet des variations de la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même sur la nutation de période 18.6 ans (Bretagnon et al., 2000). De cet effet pourraient résulter de petits termes non linéaires négligés dans les relations cinématiques 4.19 et 4.20. Depuis, il a été montré par Lambert et Capitaine (2004) que cet effet pouvait être annulé si l’incrément du vecteur de moment de force induit par la variation de la vitesse de rotation était pris en considération. Par la suite, Lambert et Mathews (2006) ont traité la totalité des termes non linéaires qui complètent les équations de Liouville linéarisées, et calculé leurs effets sur la précession et la nutation. Ces termes non linéaires devront être pris en compte dans le prochain modèle de précession-nutation.

4.5.9

Fréquences des nutations et mouvement du pôle

Afin de compléter cette description des variations de la rotation de la Terre (autres que celles de la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même), nous allons considérer 204

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE brièvement les variations induites par les déviations de la structure terrestre par rapport à un ellipsoïde axisymétrique. De telles structures sont décrites par l’intermédiaire des coefficients du géopotentiel (Cnm , S nm ) où n = 3, 4, · · · . Pour tout m différent de zéro, les nutations générées sont en dehors de la bande des basses fréquences. Ces mouvements peuvent aussi être considérés comme des mouvements du pôle à des fréquences se trouvant en dehors de la bande de fréquences rétrogrades diurnes qui s’étend de −(3/2) cpsd à (−1/2) cpsd. C’est ce dernier point de vue qui est recommandé par l’UAI (2001). Ce mouvement est celui du pôle défini par ces résolutions, ses coordonnées dans le repère de référence terrestre étant notées (x p (t), −y p (t)). Les seules composantes spectrales du mouvement ayant des amplitudes supérieures à 1 µas correspondent soit à des mouvements de basses fréquences induits par un potentiel de marées d’ordre 3 et de degré 0 agissant sur les coefficients du géopotentiel (C3,1 et S 3,1 ), soit à des mouvements du pôle diurnes progrades induits par un potentiel tesséral de degré 2 agissant sur les coefficients de triaxialité S 2,2 et C2,2 (représentant la différence entre les deux principaux moments d’inertie équatoriaux). L’amplitude p(σ) ˜ de la composante circulaire du mouvement du pôle est définie dans le premier cas par ±Θω (t) , avec σ = ±(ω/Ω ), ± désignant les mouvements progrades p˜ ≡ x p − iy p = ∓i p(σ)e ˜ 0 (+) et rétrogrades (−). Θω (t) est l’argument de la composante spectrale du potentiel, ω = dΘω (t)/dt > 0. Pour les mouvements dus à la triaxialité, tous progrades, l’expression précédente avec un signe + est valable. Dans les deux cas, p(σ) ˜ = m(σ)/(1 ˜ + σ). Les amplitudes m(σ) ˜ sont obtenues à partir d’équations de moments de force très simplifiées. Pour de plus amples détails, voir Mathews et Bretagnon (2003) et Brzezinski et Capitaine (2003).

4.6 4.6.1

Détermination des paramètres d’orientation de la Terre La rotation de la Terre et son orientation dans l’espace

La connaissance des variations de la rotation de la Terre permet d’appréhender les phénomènes qui en sont la cause, essentiellement le moment de force luni-solaire, les transports de masse en surface (mouvements atmosphériques, océaniques, glaciaires. . . ) et les processus internes (interaction entre les noyaux solide et fluide de la Terre et le manteau). Elle permet aussi de contraindre les propriétés rhéologiques de la Terre, lesquelles déterminent en partie l’amplitude ou la phase de ces variations. De plus, les activités dans les domaines de la navigation, l’astronomie et la géodésie spatiale exigent la connaissance précise de l’orientation, à toute date, d’un système de référence lié à la Terre par rapport à un système de référence géocentrique non tournant. Le premier est réalisé par le repère de référence terrestre international (ITRF, International Terrestrial 205

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE Reference Frame) (Boucher et Altamimi, 1989 ; Altamimi et al., 2016) et le deuxième est orienté selon les axes du repère de référence céleste international (ICRF, International Celestial Reference Frame) (Ma et al., 1998 ; Charlot et al., 2019 soumis). Pour plus de détails, voir la section 3.6. Ainsi, pour la navigation spatiale, il est essentiel de connaître le plus précisément possible cette orientation et ses variations au cours du temps, car toute erreur dans l’orientation terrestre se propage sur la position calculée du satellite ou de la sonde. Cette orientation s’exprime par un ensemble de paramètres (voir section 3.6), couramment désignés par paramètres d’orientation de la Terre (EOP, Earth Orientation Parameters) ou paramètres de rotation de la Terre quand on s’intéresse plus directement aux variations des différentes composantes de cette orientation.

4.6.2

Les paramètres d’orientation et de rotation de la Terre (EOP)

Les EOP permettent de spécifier dans sa totalité la rotation de l’ITRF par rapport au repère céleste géocentrique. Ils comprennent le mouvement de rotation de la Terre autour de son axe (représenté par le Temps universel UT1), le mouvement de l’axe de rotation par rapport à l’axe de figure (le mouvement du pôle ou polhodie) et les défauts du modèle conventionnel de précession-nutation. Ils recouvrent la partie irrégulière de l’angle de rotation. À ces EOP, on adjoint l’écart à la durée du jour de 86 400 s se déduisant de la dérivée temporelle de UT1. On se reportera à la section 3.6 pour les nouvelles définitions, nomenclatures et procédures issues des résolutions adoptées aux 24e et 26e assemblées générales de l’UAI en 2000 et 2006. Cela concerne en particulier l’adoption du nouveau modèle de nutation UAI 2000, la nouvelle définition du pôle céleste, appelé pôle céleste intermédiaire (CIP), ainsi que l’adoption d’une nouvelle transformation entre les systèmes céleste et terrestre définissant UT1 comme un angle directement proportionnel à l’angle de rotation de la Terre (ERA). Les variations atmosphériques jouent un rôle important dans les variations du mouvement du pôle et de la rotation de la Terre proprement dite. Le moment cinétique atmosphérique calculé à partir d’un modèle de circulation comprenant notamment des données globales de température et pression sur plusieurs niveaux d’altitude est composé d’un terme dit de pression, traduisant les variations du tenseur d’inertie de l’atmosphère, ainsi que d’un terme dit de vent, produit par les mouvements des masses atmosphériques et se formulant par un moment cinétique relatif (Barnes et al., 1983). Les termes de pression affectent plus particulièrement le mouvement du pôle, alors que les termes de vent ont un effet sur la rotation de la Terre proprement dite, comme l’excès de la durée du jour sur la durée du jour moyen (86 400 secondes). Le mouvement du pôle est aussi affecté par la circulation océanique et les transports d’eaux douces continentales incluant neige, glaciers, végétation et humidité des sols. 206

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE

4.6.3

Mouvement du pôle ou polhodie

Les coordonnées du CIP par rapport au pôle international de référence (IRP, International Reference Pole) de l’ITRF sont définies dans un système d’axes Oxy contenu dans le plan tangent au pôle dont l’origine est l’IRP (figure 4.5). Ces axes Ox et Oy sont dirigés respectivement vers le méridien international de référence (IRM, International Reference Meridian), proche du méridien de Greenwich, et perpendiculairement à cet axe vers l’ouest. Le mouvement du CIP diffère de celui du pôle instantané de rotation par des termes quasi diurnes dont l’amplitude est inférieure à 0.0200 , reflétant essentiellement la précession-nutation de l’axe de figure. Le mouvement de l’axe de rotation de la Terre par rapport à la croûte comporte trois composantes majeures : une oscillation libre de période d’environ 433 jours (oscillation de Chandler ou Chandler wobble), une oscillation annuelle forcée par le déplacement saisonnier des masses atmosphériques, océaniques et hydriques continentales, ainsi qu’une dérive séculaire décrite par le pôle moyen.

–4 xPôle vers Greenwich, en mètres

–2

0

2

4

6

8

– 14

– 12

– 10 –8 –6 –4 yPôle vers 90° Est, en mètres

–2

0

Figure 4.5 – Polhodie 2017-2019 et pôle moyen depuis 1900. L’unité est la seconde de degré. L’axe des x est dirigé positivement vers le méridien de Greenwich, l’axe des y est dirigé positivement vers la direction 90◦ ouest.

207

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE 4.6.3.1

Le terme de Chandler

C’est un terme libre de période d’environ 14 mois, constituant une réponse résonnante de la rotation terrestre à l’excitation équatoriale. L’amplitude atteint 0.1500 (4.5 m sur la Terre). L’amortissement de cette résonance peut être représenté empiriquement par un facteur de qualité Q qui traduit les paramètres rhéologiques de la Terre. L’amortissement du terme de Chandler fournit des informations sur la dissipation à long terme dans la Terre.

L’origine de l’excitation du terme de Chandler est restée mal connue pendant très longtemps. On l’a attribuée à divers phénomènes géophysiques comme les excitations atmosphériques, les variations des masses des réserves hydrologiques, les tremblements de terre ou les couplages électromagnétique, topographique ou gravitationnel entre le noyau liquide et le manteau (Eubanks, 1993). On sait maintenant qu’elle est due à une combinaison de phénomènes atmosphériques et océaniques. Gross (2000) a montré en particulier que les variations de pression atmosphérique dans les fonds des océans et la pression atmosphérique sur les continents expliquaient, respectivement, les deux tiers et un tiers de la puissance du mouvement du pôle. Bizouard et al. (2011) ont montré que la variabilité du terme de Chandler en amplitude et en phase s’expliquait par l’excitation combinée de l’atmosphère et des océans.

4.6.3.2

Les variations saisonnières et subsaisonnières

Les variations saisonnières, essentiellement annuelles et semi-annuelles, d’amplitude de l’ordre de 0.100 (3 m sur la Terre), résultent essentiellement des transports de masses atmosphériques (≈ 60 %), océaniques (≈ 30 %) et hydrocontinentales (≈ 10 %). L’introduction de données relatives à l’excitation océanique, disponibles depuis les années 2000, à partir notamment des analyses des données du satellite altimétrique Topex-Poseidon, permet d’améliorer la compréhension des causes de ces variations.

Il existe également, dans le mouvement du pôle, des termes à plus courtes périodes, les oscillations rapides (2 à 100 jours), pour lesquelles la circulation océanique joue un rôle primordial. On trouve aussi des termes diurnes et subdiurnes que l’on attribue principalement aux marées océaniques. 208

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE 4.6.3.3

Mouvement séculaire

Le mouvement du pôle présente une dérive séculaire d’environ 4 mas par an (12 cm par an sur la Terre) dans la direction 70◦ ouest environ (voir figure 4.5). Ce terme n’a pu être déterminé avec précision que grâce à l’accumulation de données sur le mouvement du pôle, notamment depuis l’éclosion de l’astrogéodésie spatiale depuis 1965. Celle-ci a permis une détermination précise des dérives tectoniques des stations d’observation, dont la connaissance est fondamentale pour déterminer la dérive du pôle. Le mouvement séculaire du pôle est généralement attribué aux effets du rebond postglaciaire, réponse lente et viscoélastique de la Terre à la fonte des glaces des calottes polaires depuis le dernier âge glaciaire il y a environ 10 000 ans. Ce phénomène est aussi responsable des variations du terme zonal d’ordre deux, noté J2 , ainsi que de celles d’autres termes du modèle de champ de gravité de la Terre, déterminés notamment par les observations du satellite artificiel LAGEOS par télémétrie laser. Les échelles de temps concernées par le rebond postglaciaire sont si grandes, plusieurs milliers d’années, que le mouvement séculaire du pôle apparaît comme un terme linéaire. L’étude du rebond postglaciaire est de grande importance pour l’analyse de la variation du niveau moyen des mers provenant du réchauffement global. Les mouvements verticaux de l’ordre de quelques millimètres par an sont comparables aux effets provenant de l’expansion thermique et de ceux résultant de la fonte des glaces. Les données récentes du mouvement du pôle sont sensibles aux redistributions de masse et donnent de fortes contraintes sur les modèles de variation du niveau de la mer. Des études récentes montrent que les fontes de glaciers et les bassins hydrologiques ont infléchi la dérive séculaire du pôle de 2000 à 2010 vers l’Europe. Par ailleurs, dans le passé, plusieurs auteurs ont mis en évidence l’existence d’un terme de période d’environ 20 à 30 ans avec une amplitude de l’ordre de 15-20 mas, dite oscillation de Markowitz. L’existence de ce terme, que certains ont attribué à des erreurs systématiques dans la position de stations d’observation, reste controversée.

4.6.4 4.6.4.1

Variations du Temps universel UT1 et de la durée du jour Temps universel UT1 et durée du jour

Le Temps universel UT1 est défini par la résolution UAI 2000 B1.8 comme étant strictement proportionnel à l’angle de rotation de la Terre, ERA (voir section 3.6), angle qui donne accès à la direction du méridien international de référence (IRM) dans le repère céleste géocentrique (section 3.6). Ainsi défini, UT1 est considéré comme un angle. Mais 209

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE UT1 peut également être considéré comme un temps déterminé par la rotation de la Terre, avec une vitesse de rotation, Ω, qui ne dévie que légèrement (∆Ω/Ω0 étant de l’ordre de 10−7 ) d’un état de rotation uniforme, Ω0 . Le paramètreR UT1 − TAI, ou UT1 − UTC, t fourni par l’IERS, décrit sa partie non uniforme : ∆T (t) = t m3 dt (voir équation 4.9). 0

La différence entre la durée du jour observée, LOD (voir section 4.3.2.2), relative à la rotation de la Terre, qui correspond à un accroissement de 24 h de UT1, et D = 86 400 s, durée d’un jour de TAI, est appelée écart à la durée du jour, ∆LOD. Sa relation avec les variations de la vitesse de rotation de la Terre est : ∆LOD ∆Ω 2π =− = −m3 avec Ω0 = k (4.29) D Ω0 D où k = 1.002 737 811 911 354 48 est le facteur de proportionnalité entre l’ERA et UT1 (voir équation 3.25), auquel correspond la valeur numérique Ω0 = 72 921 151.467 07 × 10−12 rad/s pour la vitesse angulaire moyenne de rotation de la Terre. On en déduit la relation numérique entre la valeur de Ω exprimée en picoradians/s et la valeur de ∆LOD exprimée en millisecondes (ms) : Ω = 72 921 151.467 07 − 0.843 994 809 ∆LOD

(4.30)

UT1, et par suite LOD, ou Ω, présentent de nombreuses variations dues à des causes de nature astronomique ou géophysique. Certaines variations peuvent être représentées par des modèles qui sont fournis par les conventions IERS, tels les modèles de variations dues aux marées zonales ou aux marées océaniques. Dans le passé, l’IERS publiait les valeurs UT1R, ∆LODR et ∆ΩR correspondant aux valeurs de UT1, ∆LOD, et ∆Ω corrigées des termes de marées zonales à courtes périodes (inférieures à 35 jours). Les conventions IERS 2010 recommandent l’utilisation de valeurs non corrigées afin d’éviter toute confusion possible concernant l’implémentation exacte des modèles de marées. À noter que les données fournies par l’IERS n’incluent pas les effets des variations semi-diurnes et diurnes données également par un modèle des conventions IERS. 4.6.4.2

Variations de la durée du jour

En l’état actuel de nos connaissances, les variations de la durée du jour peuvent être séparées en plusieurs composantes : 1. Le ralentissement séculaire. L’action gravitationnelle de la Lune et du Soleil produit le phénomène de marée dont le frottement entraîne une dissipation d’énergie qui donne lieu à un ralentissement séculaire de la rotation terrestre. En se basant sur des mesures à la fois anciennes et modernes, on peut estimer que l’accroissement régulier de la durée du jour qui en résulte est de l’ordre de 2 ms par siècle. Si l’on considère que ce ralentissement existe depuis les temps géologiques, on peut estimer que la rotation terrestre se faisait en 22 heures il y a cent millions d’années ;. 210

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE 2. Les variations périodiques dues aux marées zonales. Ces variations, dites zonales, sont dues aux modifications du moment polaire d’inertie de la Terre par suite des déformations produites par les marées luni-solaires zonales. Le modèle IERS comprend 300 termes périodiques avec des périodes comprises entre 5.6 jours et 18.6 ans (conventions IERS 2010). Les principales périodes sont de 18.6 ans, 1 an, 6 mois, 27.56 jours et 13.66 jours, avec une amplitude globale de l’ordre d’une milliseconde dans la durée du jour et de 180 ms sur UT1 (la part correspondant aux termes à courtes périodes étant inférieure à 2.5 ms) ; 3. Des variations irrégulières pluridécennales dont l’amplitude est de l’ordre de 3 ms à 4 ms oscillant sur des périodes comprises entre 10 et 70 ans. Leur origine est généralement attribuée au couplage viscoélectromagnétique entre le noyau et le manteau terrestres. La vitesse de rotation de la Terre est connue avec une précision relative inférieure à 10−10 depuis les années 1970. Auparavant, on disposait de mesures issues des observations d’astrométrie optique classique pour lesquelles la précision était un peu moins bonne. Ce sont les phénomènes d’occultations d’étoiles par la Lune qui fournissent les mesures antérieures. Les éclipses anciennes peuvent également apporter des informations sur la diminution séculaire de la vitesse de rotation. Cependant, la précision obtenue par cette méthode est médiocre et ne permet pas de déterminer des variations historiques à plus courte échelle de temps ; 4. Des variations saisonnières, principalement annuelles, semi-annuelles et interannuelles, dues essentiellement à la circulation atmosphérique et associées aux principales oscillations climatiques (El Niño dans le bassin Pacifique, mousson dans l’océan Indien). Si l’on considère la Terre solide et l’atmosphère comme un tout, l’une des lois fondamentales de la mécanique d’un système isolé postule la conservation du moment cinétique global de ce système. Une variation du moment cinétique de l’atmosphère entraînera donc une variation opposée du moment cinétique de la Terre solide. Un vent d’ouest violent aura pour conséquence un ralentissement de la rotation de la Terre, faible, mais détectable par les techniques actuelles. À ces fluctuations, il faut aussi ajouter la contribution de la circulation océanique et celle du cycle hydrologique sur les continents (pluies, neiges), mais dont la participation au bilan global, quoique mesurable, est inférieure à 5 % ; 5. Des variations irrégulières ayant principalement pour origine des phénomènes rapides atmosphériques et océaniques. Puisque les forces externes appliquées au système climatique dans la haute atmosphère, qui sont principalement dues au vent solaire et aux autres forces électromagnétiques, ont une influence négligeable, l’origine des variations décennales doit être recherchée à l’intérieur de la Terre. La figure 4.6 représente la décomposition sous forme de termes décennaux, saisonniers et irréguliers, des variations temporelles sur 50 ans de l’écart à la durée du jour (partie non séculaire). 211

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE

4

Total

2

0 Variations décennales ms

Variations maréales –2 Variations saisonnières –4 Variations résiduelles –6

1970

1980

1990

2000

2010

2020

Figure 4.6 – Filtrage des écarts, ∆LOD, à la durée du jour de 1962 à 2020 : variations décennales, saisonnières et irrégulières. L’unité est la milliseconde.

4.6.5

Pôle céleste et écarts au pôle céleste

La précession-nutation considérée ici est celle du pôle céleste intermédiaire (CIP), qui ne contient, par définition, que des termes dont la période dans le repère céleste est supérieure à 2 jours (section 3.6). Elle comporte une partie séculaire et des termes périodiques (principalement de période 18.6 ans, 1 an, 0.5 an et 14 jours). Les oscillations résiduelles sont attribuées à la nutation libre du noyau (FCN, voir section 4.5.8). L’IERS ne fournit pas directement les corrections aux coefficients de la précession-nutation, mais les écarts δX et δY par rapport au modèle de référence UAI 2006/2000, selon le nouveau formalisme (section 3.6). Ainsi, les variations observées (voir figure 4.7) reflètent la différence entre le mouvement céleste réel du pôle et celui prédit par les modèles de précession et de nutation conventionnels. Les angles résiduels de précesssion-nutation en longitude et en obliquité, (δ∆ψ2000 , δ∆2000 ), référés au modèle UAI2006/2000, peuvent en être déduits aisément. Ces valeurs de δX et δY sont actuellement inférieures à 1 mas et reflètent principalement les effets de la nutation libre du noyau que l’on peut difficilement modéliser. La contribution de la FCN ne peut donc pas être incorporée au modèle de nutation UAI 2000. 212

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE

1.0

mas

0.5 0.0 – 0.5 – 1.0 1.0

dX Nutation libre 1985

1990

1995

2000

2005

2010

2015

2020

mas

0.5 0.0 – 0.5 – 1.0

dY Nutation libre 1985

1990

1995

2000

2005

2010

2015

2020

Figure 4.7 – Écarts δX et δY du pôle céleste de 1985 à 2020. La courbe en trait continu représente l’effet de la nutation libre du noyau. L’unité est le mas.

4.6.6

Relations du Temps universel avec les échelles de temps atomique TAI et UTC

L’échelle de Temps atomique international (TAI), réalisée par des phénomènes physiques et calculée par le Bureau international des poids et mesures (BIPM) (voir aussi section 2.3 et section 2.4) est dissociée du Temps universel UT1 déterminé par la rotation de la Terre. Son intervalle unitaire est exactement d’une seconde SI rapportée à la surface équipotentielle W0 = 62 636 856.0 m2 s−2 du potentiel de pesanteur de la Terre, qui a ´té adoptée de façon conventionnelle dans la définition du TAI. L’origine du TAI est telle que la différence UT1−TAI est approximativement égale à zéro le 1er janvier 1958. Les instabilités de TAI sont environ 106 fois plus faibles que celles de UT1. Cependant, le TAI et le Temps universel UT1 s’écartent au fil des années à cause du choix de la seconde du TAI, un peu trop courte par rapport à la seconde définie astronomiquement, et aussi à cause des fantaisies de la rotation de la Terre. À l’allongement d’environ 2 millisecondes par siècle dû aux marées s’ajoutent des variations saisonnières et des fluctuations imprévisibles se mesurant aussi en millisecondes. Pour diverses applications, notamment pour la navigation astronomique et la navigation spatiale, on a 213

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE voulu garder une relation entre le temps de la physique et la rotation de la Terre dans le repère céleste. On a donc défini une nouvelle échelle de temps, le Temps universel coordonné (UTC, Universal Time Coordinated), calqué sur le TAI, mais comprenant une correction d’un nombre entier de secondes qui l’astreint à rester proche de UT1 et tel que |UT1 − UTC| < 0.9 s. Lorsque la différence risque de dépasser une seconde, on introduit dans UTC une seconde intercalaire, parfois improprement appelée saut de seconde (leap second). Selon cette dernière condition, la décision, ou la non-décision, d’introduire une seconde intercalaire dans UTC relève de l’IERS et est annoncée dans le bulletin C six mois à l’avance 1 . Selon les recommandations du CCIR, les dates d’application préférentielles sont un 31 décembre ou un 30 juin de l’année. L’application est mise en œuvre par les autorités nationales responsables de la diffusion du temps. L’organisme français concerné est le LNE-SYRTE (Laboratoire national de métrologie et d’essais - Systèmes de référence temps-espace), situé à l’Observatoire de Paris, qui est le représentant de la France auprès du BIPM et d’autres organismes internationaux pour ces questions de métrologie du temps. Cette définition de UTC (voir aussi section 2.4.2) comprenant des secondes intercalaires intermittentes, mise en œuvre en 1972, s’est révélée satisfaisante pendant plus de vingtcinq ans pour toutes les communautés scientifiques, à l’exception de celles travaillant dans des domaines liés aux télécommunications et à la navigation spatiale (notamment par GPS). Celles-ci ont proposé, en 1999, une révision de la définition de UTC afin de disposer d’une échelle de temps continue exempte de sauts de seconde. Depuis 2001, des discussions (dont le détail est donné dans la section 2.4.2) ont lieu au niveau international. Toutefois, en 2021, celles-ci n’ont toujours pas débouché sur un accord. En attendant, les communautés qui ont besoin d’une échelle de temps continue sont incitées à utiliser TAI ou directement un temps lié à l’échelle GPS, voire l’échelle de temps produite par le système Galileo.

4.6.7

Les techniques d’observation

Deux types de méthodes sont actuellement utilisées pour déterminer les EOP : les méthodes géométriques et les méthodes dynamiques.

4.6.7.1

Les méthodes géométriques

On observe les directions d’étoiles par astrométrie optique ou les directions de radiosources extragalactiques par radio-interférométrie à très longue base VLBI. L’astronomie 1. À noter que dans le cas d’accélérations de la rotation de la Terre, il pourrait être nécessaire d’introduire une seconde intercalaire négative.

214

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE optique comporte de sérieuses limitations en raison de la difficulté à modéliser la réfraction atmosphérique. Cette technique observationnelle n’est actuellement plus utilisée pour les études concernant la rotation terrestre et les déterminations de repères de référence. La technique VLBI consiste à observer simultanément en ondes radio une même source extragalactique (quasar ou noyau de galaxie) à l’aide de deux radiotélescopes distants de plusieurs milliers de kilomètres. Les signaux sont généralement enregistrés indépendamment sur des supports magnétiques et datés de manière très précise par des horloges atomiques ou des masers à hydrogène. Ils sont ensuite corrélés dans un centre spécialisé appelé corrélateur. On peut par la suite en déduire très précisément le décalage entre les heures d’arrivée du signal aux deux radiotélescopes. L’analyse de ce retard géométrique après corrections de divers effets atmosphériques (troposphère, ionosphère) donne accès aux coordonnées des radiosources dans un repère céleste, aux positions des radiotélescopes dans un repère terrestre, mais aussi aux paramètres d’orientation de la Terre. Pour déterminer ces paramètres, des programmes d’observation s’étendant sur plusieurs heures sont coordonnés au niveau international par l’IVS.

4.6.7.2

Les méthodes dynamiques

Ces méthodes reposent sur l’observation de la Lune par télémétrie laser (LLR) ou sur celle de satellites artificiels de la Terre par diverses techniques (laser, Doppler, etc.). Le repère de référence céleste est fourni par l’éphéméride du satellite ou de la Lune. À partir des observations, on peut déterminer les paramètres donnant l’orientation de la Terre par rapport au GCRS, ainsi que les positions des stations dans un repère géocentrique tournant lié à la Terre. Le LLR s’est développé depuis 1971. Ces mesures représentent le temps aller-retour d’une impulsion laser réfléchie sur les cataphotes déposés à la surface lunaire par les missions soviétiques et américaines dans les années 1960-1970. La technique étant difficile à mettre en œuvre, il n’y a actuellement que trois stations au monde en fonctionnement opérationnel : celle de l’université du Texas, celle du CERGA de l’observatoire de la Côte d’Azur près de Grasse et la récente station de l’Apache Point Observatory, au Nouveau-Mexique (États-Unis). La télémétrie laser des satellites (SLR) repose sur le même principe général, mais dans ce cas, les cibles sont des satellites conçus spécialement pour cette technique. Elle s’est essentiellement développée après le lancement du satellite français STARLETTE en 1975 et celui du satellite américain LAGEOS en 1976. Ces satellites et leurs successeurs ont des caractéristiques qui leur permettent d’être bien adaptés pour les études liées à la géodynamique. La précision atteinte sur la mesure de distance entre le satellite et la station est actuellement de quelques millimètres. Les stations d’observation sont bien réparties sur le globe avec toutefois un surreprésentation en Europe et en Amérique du Nord. 215

CHAPITRE 4. ROTATION DE LA TERRE La communauté scientifique civile utilise largement les systèmes globaux de navigation par satellites (GNSS, Global Navigation Satellite System) par l’intermédiaire de l’IGS (International GNSS Service), créé en 1994. Les principales productions de l’IGS sont la détermination d’orbites précises pour les besoins de positionnement, le calcul de coordonnées de stations terrestres, les paramètres d’orientation de la Terre et les paramètres liés à l’état de la troposphère et de l’ionosphère. Le GPS, totalement opérationnel depuis 1995, est le système GNSS le plus largement utilisé. Conçu par l’armée américaine pour ses besoins propres de positionnement et de navigation, il a remplacé le système de navigation Transit, reposant sur l’effet Doppler, qui a été opérationnel jusque dans les années 1980. Actuellement, ce système consiste en une constellation de 24 satellites, équipés d’horloges atomiques de grande précision et générant un signal radioélectrique sur deux fréquences. Ces satellites gravitent sur des orbites quasi circulaires à environ 20 200 km, de période de révolution voisine de 12 h, et se trouvent dans six plans d’orbite, inclinés à 55◦ par rapport à l’équateur. Cette configuration permet de recevoir simultanément, à tout instant et quasiment en tout lieu de la surface terrestre, les signaux émis par un minimum de 4 satellites. Basé sur le même principe, le système russe GLONASS est également opérationnel depuis 1995, tandis que d’autres systèmes GNSS, tels le système européen Galileo, sous contrôle civil, et le système chinois BeiDou-2, sont opérationnels depuis 2016. Le système radioélectrique DORIS (Détermination d’Orbite et Radiopositionnement Intégré par Satellite), développé dans les années 1980 par le CNES, est embarqué sur des satellites bas. Il a volé sur les satellites de télédétection SPOT et sur le satellite océanographique TOPEX/Poseidon. Depuis 2001, le système a été intégré à de nombreux autres satellites, comme ENVISAT, les satellites Jason ou encore Pléiades. À la différence des autres systèmes, le récepteur DORIS se trouve embarqué dans le satellite, alors que les balises émettrices sont au sol. Ce réseau de balises est parfaitement distribué sur le globe terrestre, ce qui rend ce système bien adapté à la détermination du système de référence terrestre.

4.6.8

Coordination mondiale des mesures de la rotation de la Terre

Le Service international de la rotation de la Terre et des systèmes de référence (IERS) est un service scientifique international, établi en 1987 par l’UAI et l’Union géodésique et géophysique internationale (UGGI). Depuis 1988, il est chargé de coordonner l’ensemble des mesures effectuées au niveau mondial pour la détermination des paramètres de rotation de la Terre et la réalisation des systèmes de référence terrestre et céleste, et de rendre ces données disponibles, ainsi que les standards et les modèles qui leur sont attachés. L’IERS comprend un bureau central, des centres de produits, des centres des techniques et des centres d’analyse, et est piloté par un comité directeur. Les centres des techniques sont 216

4.6. PARAMÈTRES D’ORIENTATION DE LA TERRE chargés de coordonner les observations et les analyses qui contribuent aux observations : VLBI, SLR, LLR et GNSS. Le centre de produits Paramètres d’orientation de la Terre, situé à l’Observatoire de Paris, calcule la solution IERS de référence, appelée C04, basée en majorité, en 2020, sur la solution GPS pour les coordonnées du pôle dans la Terre, et sur le VLBI pour les coordonnées du pôle dans l’espace et UT1.

4.6.9

Calcul des paramètres d’orientation de la Terre

L’ensemble des EOP permet d’effectuer la transformation entre l’ITRF et le repère de référence céleste qui réalise le GCRS, avec une précision actuelle proche de 0.05 mas. Ces paramètres sont donnés par l’IERS sous forme de séries chronologiques échantillonnées de manière régulière. La série de référence est la combinaison de séries individuelles dérivées des analyses des observations obtenues par les diverses techniques. La procédure de combinaison est fondée sur le traitement statistique de séries chronologiques, l’objectif étant d’obtenir la meilleure série à toutes les échelles de temps. Les processus incluent notamment lissage de données, interpolation, analyse par processus autorégressif ou harmonique, prédiction, et utilisent de nouvelles méthodes comme les réseaux de neurones (Bougeard et al., 2000 ; Gambis, 2002 ; Vondrák et Cepek, 2000 ; Vondrák et Gambis, 2000). L’exactitude actuelle est de l’ordre de 0.1 mas pour les composants du pôle et 20 microsecondes de temps (µs) pour UT1, ce qui correspond à moins d’un centimètre sur la Terre. Cependant, à cause des erreurs de propagation dans la réalisation des deux repères de référence céleste et terrestre, l’exactitude n’égale pas la précision interne des solutions individuelles qui sont respectivement de 0.05 mas et 5 µs. On trouvera plus de détails sur les combinaisons et l’analyse des EOP dans Gambis (2004). Des méthodes rigoureuses, reposant sur une détermination globale simultanée des repères de référence et des paramètres de la rotation de la Terre, ont été développées, par exemple, par Altamimi et al. (2011). Elles permettent une meilleure compréhension de ce problème. Remarque sur les termes précision et exactitude Selon les définitions standard, largement admises par la communauté scientifique, le terme précision a un sens spécifique caractérisant la stabilité, l’uniformité ou la reproductibilité d’une série de données, alors que l’exactitude, qui doit être distinguée, reflète une évaluation externe relative à la vérité que l’on ne peut pas atteindre et qui relate la qualité du résultat. On peut seulement estimer l’incertitude et éventuellement borner les erreurs systématiques.

217

Chapitre 5

Mouvement des plan`etes, de Pluton et de la Lune

5.1

Introduction

En août 2006, l’Union astronomique internationale a adopté une nouvelle définition des planètes et créé une nouvelle catégorie de corps célestes, les planètes naines. Une planète est un corps céleste qui est en orbite autour du Soleil, qui a une masse suffisante pour que sa gravité le maintienne en équilibre hydrostatique, sous une forme presque sphérique, et qui a éliminé tout corps susceptible de se déplacer sur une orbite proche. Une planète naine est un corps céleste qui est en orbite autour du Soleil, qui a une masse suffisante pour que sa gravité le maintienne en équilibre hydrostatique, sous une forme presque sphérique, mais qui n’a pas nettoyé son environnement orbital. Ces définitions ont pour conséquence de modifier le nombre des planètes du Système solaire, qui ne sont plus que huit : Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Pluton est devenue une planète naine. Néanmoins, la construction de solutions précises des mouvements d’Uranus et Neptune nécessite de prendre en compte Pluton dans les équations. Par ailleurs, il est tout à fait possible d’obtenir, par ajustement aux observations, une solution du mouvement de Pluton, de la même façon que pour les planètes. Ce chapitre concerne donc aussi le mouvement de Pluton. Pendant longtemps, les éphémérides planétaires et lunaires ont été issues de théories analytiques. Ainsi, les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps de 1984 à 2006 étaient issues des théories VSOP82 (Bretagnon, 1982) pour le Soleil et les planètes, et ELP 2000 (Chapront-Touze et Chapront, 1983) pour la Lune. À l’heure 219

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE actuelle, les éphémérides planétaires et lunaires sont issues d’intégrations numériques très précises ajustées aux observations les plus récentes : les éphémérides européennes INPOP (Intégration numérique planétaire de l’Observatoire de Paris) (Fienga et al., 2008, 2009, 2011b), les éphémérides américaines DE (Development Ephemeris) (Standish, 1998) et, plus récemment, Folkner et al. (2008) et les éphémérides russes EPM (Ephemerides of Planets and the Moon) (Pitjeva, 2005, 2010). Les intégrations numériques INPOP sont, depuis 2007, les sources des éphémérides publiées dans la Connaissance des temps. La section 5.2 de ce chapitre, intitulée « Théories du mouvement des planètes et de Pluton », présente un historique des théories utilisées pour construire des éphémérides, de la date de la création de la Connaissance des temps jusqu’à l’époque actuelle. Elle donne des éléments de mécanique céleste et précise la forme des théories analytiques. Elle décrit ensuite les théories planétaires analytiques anciennes et récentes. Elle donne enfin les expressions numériques des éléments moyens des planètes, ainsi que des formules pour calculer des éphémérides approchées des planètes. La section 5.3 donne les caractéristiques essentielles de l’orbite de la Lune. Elle explique comment les principales perturbations modifient les paramètres orbitaux sur des échelles de temps variables. Elle introduit également la théorie analytique de la Lune ELP2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988) et en fournit une version fortement tronquée permettant de comprendre le contenu de la théorie complète, mais également de programmer une éphéméride de basse précision. Cette section analyse enfin dans le détail la question des distances extrêmes entre la Terre et la Lune au moyen des premiers termes périodiques des perturbations et leurs relations avec les phases de la Lune. La section 5.4, intitulée « Les éphémérides planétaires et lunaire numériques de l’observatoire de Paris : INPOP », présente les éphémérides numériques INPOP. Elle décrit d’abord les quatre versions d’INPOP construites entre 2003 et 2015, puis présente la dernière version INPOP17a caractérisée, en particulier, par l’implémentation d’une version améliorée du modèle dynamique et de la libration du système Terre-Lune, et par l’utilisation de dix ans de données issues de la navigation de la sonde Cassini dans le système de Saturne.

5.2 5.2.1 5.2.1.1

Théories du mouvement des planètes et de Pluton Historique De la création de la Connaissance des temps à la fin du xviiie siècle

Le premier volume de la Connaissance des temps paraît en 1679. L’abbé Jean Picard (1620-1682) en effectue les calculs et Dalencé en a le privilège. À cette époque, la 220

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Connaissance des temps se contente d’annoncer aux astronomes les principaux phénomènes et de leur fournir les calculs nécessaires aux réductions de leurs observations journalières. On y trouve les levers et couchers du Soleil, de la Lune et des cinq planètes connues, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne, ainsi que leurs passages au méridien de Paris, leurs longitudes, leurs latitudes et leurs déclinaisons. Avant que la Connaissance des temps ne soit confiée au Bureau des longitudes en 1795, Lalande en a la responsabilité de 1760 à 1775. Il effectue ses calculs à partir des meilleures tables de l’époque : les tables de l’abbé Nicolas-Louis de La Caille (1713-1762) pour le Soleil et les tables de Halley pour les planètes. Ces tables sont construites par ajustement à l’observation d’un petit nombre de termes donnés par la théorie. Par exemple, les tables du Soleil de La Caille contiennent des inégalités de la Terre déterminées par Alexis Claude Clairaut (1713-1765). Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande (1732-1807) construit ensuite ses propres tables des planètes qui serviront de base aux éphémérides publiées dans la Connaissance des temps jusqu’en 1834 pour Mercure, Vénus et Mars, et jusqu’en 1791 pour Jupiter et Saturne. Lalande introduit également dans la Connaissance des temps une coordonnée supplémentaire, la distance de l’équinoxe au Soleil, c’est-à-dire le complément à vingt-quatre heures de l’ascension droite du Soleil. Durant cette période, la Connaissance des temps présente les éphémérides des astres mois par mois. Les éphémérides du Soleil sont publiées pour chaque jour, celles des planètes de six jours en six jours. L’argument des éphémérides est le temps solaire vrai de Paris.

5.2.1.2

Les travaux de Laplace

Au cours des années 1770-1825, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) étudie les conséquences de l’application de la loi de la gravitation de Newton sur le mouvement des corps du Système solaire et résout plusieurs problèmes concernant les théories planétaires. Il énonce, le premier, le théorème de l’invariabilité des grands axes, et étudie la stabilité du Système solaire, donne le développement de la fonction perturbatrice (voir section 5.2.4.3) à l’ordre 3, puis 5, des excentricités et inclinaisons, ainsi que des formules permettant de calculer les perturbations planétaires. Il donne aussi, en 1785, une formulation remarquable de la grande inégalité JupiterSaturne. Les astronomes étaient depuis longtemps intrigués par les irrégularités des moyens mouvements de Jupiter et Saturne démontrées par l’observation. S’appuyant sur ses travaux et sur ceux de Lagrange et Poisson sur l’invariabilité des grands axes et des moyens mouvements, Laplace fait l’hypothèse que ces irrégularités sont dues à des termes périodiques de l’ordre de plusieurs centaines d’années. Il déduit des observations la 221

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE quasi-commensurabilité des moyens mouvements des deux planètes dans le rapport 2/5 et montre que les variations de ces moyens mouvements sont dues à des termes périodiques qui ont pour argument 2λ J − 5λS (où λ J et λS désignent les longitudes moyennes de Jupiter et Saturne). Il évalue (Laplace, 1785) à 919 ans la période de cette grande inégalité et à 1 24900 et 2 92400 les amplitudes correspondantes respectivement dans les longitudes de Jupiter et Saturne. Les valeurs données par les théories planétaires modernes sont 935 ans pour la période de la grande inégalité et 1 18300 et 2 91200 pour les amplitudes correspondantes des perturbations sur les longitudes moyennes des deux planètes. 5.2.1.3

Les tables issues des travaux de Laplace

La plupart des tables du Soleil et des planètes utilisées dans la Connaissance des temps durant la première moitié du xixe siècle sont issues des travaux de Laplace, comme le montre la table 5.1 : elle donne les sources et l’argument des éphémérides du Soleil et des planètes publiées dans la Connaissance des temps depuis 1809. C’est le cas des tables du Soleil de Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) (Delambre et Burg, 1806) publiées en 1806, des tables de Mercure, Vénus et Mars de Lindenau et des tables de Jupiter et Saturne de Bouvard publiées en 1808 (Bouvard et Delambre, 1808), puis en 1821 (Bouvard, 1821) après que Laplace eut corrigé une erreur de signe dans les termes du cinquième ordre en excentricité de la grande inégalité. Alexis Bouvard (1767-1843) publie également en 1821 des tables d’Uranus. Pour cela, il disposait d’observations méridiennes régulières sur quarante ans (de 1781, année de la découverte d’Uranus par Herschel, à 1820), et d’une vingtaine d’observations anciennes échelonnées entre 1690 et 1771, effectuées par Flamsteed, Bradley, Mayer et Lemonnier qui avaient pris la planète pour une étoile fixe. Bouvard construisit ses tables en partant des expressions analytiques données par Laplace (1800) pour les perturbations d’Uranus par Jupiter et Saturne. Il ne put représenter par les mêmes formules les anciennes observations et les modernes, et décide de rejeter les observations anciennes et de baser ses tables uniquement sur les observations méridiennes. Malgré cela, ses tables ne tardent pas à montrer un écart croissant avec les observations ultérieures. La représentation du Soleil et des planètes dans la Connaissance des temps subit, lors de la première moitié du xixe siècle, des modifications d’un autre ordre. À partir de 1835, le temps solaire moyen de Paris remplace le temps solaire vrai de Paris comme argument des éphémérides. À partir de 1838, les éphémérides sont publiées corps par corps. Elles sont journalières pour le Soleil, données avec un intervalle de trois jours pour Mercure, de six jours pour Vénus et Mars, de huit jours pour Jupiter, de dix jours pour Saturne et de quinze jours pour Uranus. D’autres coordonnées sont introduites : latitude du Soleil, temps sidéral au midi moyen, rayon vecteur des planètes. En 1863, les éphémérides deviennent journalières pour Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne et de quatre jours en quatre jours pour Uranus et Neptune. 222

223

TVP TMP TMP TMP TMP TMP TMP TMP TMP TMP TMG TMG TULV(1) TT(2) TT TT

Argument des éphémérides

+Mathieu Le Verrier

Delambre

Soleil

(2) Appelé TDT jusqu’en 1991.

Lalande Lindenau

Delambre Bouvard

Saturne

Gaillot

Uranus

Newcomb

Kowalski

Neptune

VSOP82 (Bretagnon)/TOP82 (Simon) INPOP06 (Fienga et al.) INPOP10 (Fienga et al.)

Sources des éphémérides de Vénus Mars Jupiter

VSOP82 (Bretagnon)

Mercure

(1) Assimilé au TU jusqu’en 1961, en réalité proche du TE.

1809 – 1834 1835 – 1862 1863 1864 1865 – 1870 1870 – 1876 1877 – 1878 1879 – 1883 1884 – 1911 1912 – 1915 1916 – 1917 1918 – 1924 1925 – 1983 1984 – 2006 2007 – 2013 2014 –

Intervalle de temps

dans la Connaissance des temps depuis 1809. TVP désigne le temps vrai de Paris, TMP, le temps moyen de Paris, TMG, le temps moyen de Greenwich, TULV, le temps uniforme de Le Verrier. Les tables de Delambre, Mathieu, Lalande, Lindenau et Bouvard sont issues des travaux de Laplace.

Table 5.1 – Sources et argument des éphémérides du Soleil et des planètes publiées

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 5.2.1.4

La découverte de Neptune

En 1845, les écarts entre les positions d’Uranus données par les tables de Bouvard et celles données par l’observation atteignent 20 . À la demande d’Arago, Urbain Le Verrier (1811-1877) se penche sur le problème. Il calcule les perturbations d’Uranus par Jupiter et Saturne au deuxième ordre des masses (voir section 5.2.4.1) et apporte des corrections aux tables de Bouvard de l’ordre de 4000 sur la longitude d’Uranus. Il compare ensuite sa théorie aux observations et améliore les constantes d’intégration. Il ramène ainsi les écarts entre la théorie et les observations méridiennes d’Uranus à 2000 , ce qui reste néanmoins trop important. Le Verrier recherche alors les perturbations qu’apporterait sur Uranus une planète située à peu près dans le plan de l’écliptique et, en première approximation, à une distance moyenne du Soleil double de celle d’Uranus (d’après la loi empirique de Titius-Bode). Il arrive à ramener les résidus en longitude entre théorie et observations à moins de 5.400 pour les observations méridiennes et à moins de 2000 pour les observations anciennes, avec une planète perturbatrice de demi-grand axe 36.1539 au et de masse 0.000 107 masse solaire. Il estime, pour le 1er janvier 1847, la longitude héliocentrique de la planète perturbatrice à 326◦ 320 et le rayon vecteur à 33.06 au. Le 18 septembre 1846, Le Verrier communique la position de la planète à l’astronome allemand Galle, qui l’observe le 23 septembre 1846 à 520 de la position prévue par Le Verrier. On sait que l’astronome anglais John Couch Adams (1819-1892) avait résolu le problème un peu avant Le Verrier, mais ses résultats furent publiés après la découverte de la planète. La position calculée par Adams différait de celle observée par Johann Gottfried Galle (1812-1910) de 2◦ 270 (Tisserand, 1889). Les éléments elliptiques de l’orbite de Neptune ont été déduits au début de l’année 1847 par Sears Cook Walker (1805-1853) de l’USNO (U.S. Naval Observatory), à partir de deux anciennes observations de Michel Lefrançois de Lalande (1766-1839), neveu de Jérôme Lalande (1732-1807), faites les 8 et 10 mai 1795, qui avait consigné ses observations comme celles d’une étoile fixe. Par ailleurs, les observations de son satellite Triton découvert en 1846 par William Lassell (1799-1880) ont permis de calculer la masse de la planète (voir section 6.6.6). Les résultats de ces observations différaient sensiblement des valeurs prévues par Le Verrier et Adams, comme le montre la table 5.2 empruntée à Tisserand (1889). Félix Tisserand (1845-1896) remarque que la période des observations méridiennes correspond à un intervalle de temps où les perturbations mutuelles d’Uranus et Neptune sont sensibles. Il montre que les forces perturbatrices calculées par Le Verrier ont des directions voisines des directions réelles, que les valeurs adoptées pour l’excentricité et le demi-grand axe rendraient leur intensité trop faible, mais que cela est compensé en partie par la valeur trop forte de la masse de Neptune, ce qui a permis à Le Verrier et à Adams de représenter correctement le lieu héliocentrique de Neptune. 224

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

Table 5.2 – Comparaison entre les éléments elliptiques et la masse de Neptune issus des premières observations et les valeurs prévues par Le Verrier et Adams (d’après Tisserand, 1889).

demi-grand axe excentricité longitude du périhélie masse (en masse solaire)

5.2.1.5

Observations 30.0367 0.008 719 47◦ 120 0.000 056

Le Verrier 36.1539 0.107 610 284◦ 60 0.000 107

Adams 37.2474 0.120 615 299◦ 110 0.000 150

Les tables de Le Verrier, Newcomb, Gaillot

Après ce coup de maître, Le Verrier (1856, 1874) reprend complètement le problème du mouvement du Soleil et des planètes principales et construit les théories et les tables de ces corps. Gaillot (1904, 1910, 1913), collaborateur de Le Verrier, améliorera ensuite les théories des quatre grosses planètes Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. À peu près à la même époque, les travaux théoriques de Hansen donnent naissance à la théorie de Neptune de l’astronome russe Kowalski et, surtout, à la théorie globale des planètes de Simon Newcomb (1835-1909). Les théories de Le Verrier, Gaillot et Newcomb sont décrites plus en détail dans la section 5.2.5.2. Les tables de Le Verrier et Gaillot ont été utilisées dans la Connaissance des temps jusqu’en 1984, mais on peut constater, en examinant la table 5.1, que les tables de Kowalski (1855), puis celles de Newcomb (1898b), ont été les sources des éphémérides de Neptune publiées dans la Connaissance des temps de 1863 à 1883. Si les tables du mouvement de Neptune ne sont introduites dans la Connaissance des temps qu’en 1863, c’est pour des raisons. . . budgétaires (réponse donnée par Mathieu, en 1860, à des critiques virulentes de Le Verrier sur la Connaissance des temps, citée par Bigourdan (1932)). Pour Uranus, les tables de Newcomb (1898c) ont été utilisées de 1877 à 1883. À l’époque de Le Verrier et Gaillot, la Connaissance des temps va peu à peu acquérir une forme qu’elle conservera jusqu’en 1979. En 1877, les coordonnées rectangulaires du Soleil sont introduites et les éphémérides d’Uranus et Neptune deviennent journalières. Les éléments moyens (voir section 5.2.7) des huit planètes principales, d’après Le Verrier et Gaillot, et ceux des planètes telluriques, d’après Newcomb, sont introduits en 1914 (Newcomb corrigé par Ross et Newcomb (1917), pour Mars, à partir de 1920). L’argument des éphémérides du Soleil et des planètes devient le temps solaire moyen de Greenwich en 1916, puis le temps universel TU (c’est-à-dire le temps solaire moyen de Greenwich + 12 h, voir section 10.3.2) en 1925. D’une manière plus précise, cet argument est le temps uniforme de Le Verrier tiré de la théorie du Soleil de Le Verrier. Il est, en fait, très proche du temps des éphémérides TE (voir section 2.2.2). 225

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 5.2.1.6

La Connaissance des temps depuis 1980

D’importantes transformations ont été apportées à la Connaissance des temps ces dernières années. De 1980 à 2004, la présentation des éphémérides sous forme de tables interpolables a été remplacée par une représentation en polynômes de Tchebychev (voir section 6.7.5.5) beaucoup plus compacte et bien adaptée au développement de la micro-informatique. Depuis 2005, la Connaissance des temps comprend deux parties. La première partie contient des textes scientifiques qui donnent les bases d’astronomie fondamentale et de mécanique céleste nécessaires à la compréhension et à l’utilisation des éphémérides. La seconde partie contient des données numériques qui permettent de calculer les positions de nombreux objets du Système solaire. La représentation des coordonnées en développements polynomiaux a été abandonnée en 2006 au profit d’une représentation tabulée, mais reste disponible sous forme de fichiers électroniques accessibles à l’utilisateur grâce au logiciel eCDT. De 1984 à 2006, la Connaissance des temps a utilisé les théories analytiques du mouvement du Soleil, de la Lune et des planètes élaborées à l’IMCCE. Pour le Soleil et les planètes, il s’agissait des théories VSOP82 (Bretagnon, 1982) et TOP82 (Simon, 1983) ajustées sur l’intégration numérique du JPL DE200 (Standish et al., 1981). Ces théories sont décrites dans la section 5.2.5.3. Depuis 2007, les sources des éphémérides planétaires et lunaires, ainsi que celles de la planète naine Pluton, sont issues des intégrations numériques INPOP : INPOP06 (Fienga et al., 2008) , élaborée à l’IMCCE/Observatoire de Paris, de 2007 à 2013, et INPOP10 (Fienga et al., 2011b), élaborée à l’IMCCE/Observatoire de Paris/Observatoire de la Côte d’Azur, depuis 2014. Ces intégrations numériques sont décrites dans la section 5.4. Enfin, depuis 1984, l’argument des éphémérides est le temps terrestre TT, appelé Temps dynamique terrestre (TDT) jusqu’en 1991 (voir section 2.3).

5.2.2 5.2.2.1

Éléments de mécanique céleste Remarques générales sur les théories planétaires

Le mouvement des planètes autour du Soleil est un cas particulier du problème des N corps. Tous les corps s’attirent les uns les autres conformément à la loi de la gravitation, mais on considère que les planètes ont une masse faible devant celle du corps central, le Soleil. Dans les solutions approchées du problème qui sont recherchées, valables sur un intervalle de temps limité, les coordonnées sont des fonctions du temps t, des masses des corps en présence et des constantes d’intégration. On obtient ces solutions en construisant des théories analytiques ou en effectuant des intégrations numériques. 226

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Les théories analytiques En mécanique céleste, le mot théorie est traditionnellement utilisé pour désigner une solution analytique des équations du mouvement des planètes. On parle parfois de théorie analytique lorsque les coordonnées sont obtenues sous forme de combinaisons de fonctions algébriques et trigonométriques analytiques du temps t et des paramètres du problème, masses et constantes d’intégration, et de théorie semi-analytique lorsqu’on donne, avant intégration, des valeurs numériques à certains paramètres. Cet ouvrage ne fait pas la distinction et l’expression théorie analytique désigne toute solution où les coordonnées sont des fonctions analytiques du temps.

Les intégrations numériques Les intégrations numériques donnent les valeurs numériques des coordonnées et des vitesses pour des valeurs t0 , t0 + h, t0 + 2h, etc., t0 étant le temps initial et h étant le pas d’intégration. Les méthodes d’intégration numérique sont bien adaptées aux calculs informatiques. Ainsi, les éphémérides planétaires actuelles sont issues d’intégrations numériques très précises ajustées aux observations les plus récentes : les éphémérides européennes INPOP (Fienga et al., 2008, 2009, 2011b), les éphémérides américaines DE (Standish, 1998) et, plus récemment, Folkner et al. (2008) et les éphémérides russes EPM (Pitjeva, 2005, 2010).

5.2.2.2

Le mouvement képlérien

L’orbite képlérienne d’une planète autour du Soleil est une ellipse parfaitement définie par six éléments qui peuvent être choisis de différentes façons. On note : a le demi-grand axe de l’orbite ; a est relié au moyen mouvement de la planète n par la troisième loi de Kepler : n2 a3 = k2 (1 + m) (5.1)

e i ε Ω

où m est la masse réduite de la planète (rapport de la masse de la planète à la masse du Soleil et où k est la constante de Gauss) ; l’excentricité de l’orbite ; l’inclinaison de l’orbite sur l’écliptique ; à la place de i, on utilise généralement dans les équations la variable γ = sin 2i ; la longitude moyenne de l’époque ; la longitude du nœud ascendant de l’orbite sur l’écliptique, comptée à partir de l’équinoxe ; 227

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE $ la longitude du périhélie, comptée à partir de l’équinoxe jusqu’au nœud ascendant sur l’écliptique et ensuite à partir du nœud jusqu’au périhélie, sur l’orbite. $ est relié à l’argument du périhélie ω par $ = ω + Ω ; λ la longitude moyenne ; M l’anomalie moyenne définie par M = n(t − τ), où t désigne le temps et τ le temps de passage au périhélie. Les variables λ et ε sont reliées par : dε dλ =n+ dt dt

(5.2)

et M est reliée à la longitude moyenne λ par : λ= M+$

(5.3)

On distingue souvent parmi ces variables les variables métriques (a, e, i ou γ) et les variables angulaires (Ω, $ ou ω, λ ou M). Les excentricités et les inclinaisons des planètes sont faibles, et on évite de les avoir au dénominateur des équations (voir section 5.2.2.4), en utilisant souvent, à la place des variables e, γ, $, Ω, les variables suivantes : k = e cos $

h = e sin $

q = γ cos Ω

p = γ sin Ω

Pour décrire l’orbite d’une planète autour du Soleil, on utilise le plus souvent, soit les six variables a, λ, e, $, γ, Ω, soit les six variables a, λ, k, h, q, p. On distingue la longitude moyenne λ des autres variables et on note : η l’ensemble des cinq variables elliptiques autres que λ ; ρ l’ensemble des six variables elliptiques utilisées : {ρ} = {η, λ}.

5.2.2.3

Mouvement perturbé

Lorsqu’on considère le problème général de N planètes 1 gravitant autour du Soleil, chaque planète est soumise à des perturbations dues à la présence des autres planètes. Si on considère une planète Pi , S représente le Soleil et P j une planète différente de Pi . On note alors ri le vecteur ri = SPi et on pose ri = |SPi |, r j = |SPj |, ∆i j = |Pi Pj | ; les équations du mouvement pour la planète Pi s’écrivent : d2 ri dt2

= grad (Ui + Ri )

(5.4)

1. On désigne ici par planète le barycentre de la planète et de ses satellites éventuels affecté de la masse totale du système.

228

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON où Ui est le potentiel képlérien dû au Soleil et Ri la fonction perturbatrice : k2 (1 + mi ) ri   X  1  r · r i j − 3  = k2 m j  ∆i j rj j,i

Ui = Ri

(5.5)

la sommation étant étendue à toutes les planètes P j .

5.2.2.4

Équations de Lagrange

L’orbite elliptique képlérienne est une première approximation du mouvement réel d’une planète. On appelle éléments osculateurs les éléments elliptiques que prendrait la planète à un instant t si, à partir de cet instant, toutes les forces perturbatrices disparaissaient. L’orbite réelle est tangente à l’orbite osculatrice à l’instant t et, dans le mouvement perturbé, les éléments osculateurs ne sont plus des constantes, mais des fonctions du temps. Les éléments osculateurs sont très souvent employés pour décrire le mouvement réel. Les équations différentielles utilisant ces variables sont les équations de Lagrange. En variables a, λ, e, $, γ, Ω, ces équations s’écrivent : da dt dλ dt de dt d$ dt dγ dt dΩ dt en posant u1 =

2 ∂R na ∂λ 2 ∂R u1 (1 − u1 ) ∂R γ ∂R =n− + + 2 na ∂a ∂e na e 2na2 u1 ∂γ " # 1 u1 (1 − u1 ) ∂R u1 ∂R = 2 − − e ∂λ e ∂$ na " # γ ∂R 1 u1 ∂R + = 2 na e ∂e 2u1 ∂γ " # 1 γ ∂R γ ∂R 1 ∂R = 2 − − − 2u1 ∂λ 2u1 ∂$ 4γu1 ∂Ω na 1 1 ∂R = 2 na 4γu1 ∂γ =

√ 1 − e2 . 229

(5.6)

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE En variables a, λ, k, h, q, p, et en posant u2 = da dt dλ dt dk dt dh dt dq dt dp dt

1 , ces équations deviennent : 1 + u1

2 ∂R na ∂λ ! ! ∂R ∂R ∂R 2 ∂R u1 u2 ∂R 1 + +k p +q =n− h + na ∂a ∂h ∂k ∂q na2 2na2 u1 ∂p " !# 1 ∂R ∂R h ∂R ∂R = 2 −u1 − ku1 u2 − p +q ∂h ∂λ 2u1 ∂p ∂q na !# " 1 ∂R ∂R k ∂R ∂R = 2 u1 − hu1 u2 + p +q ∂k ∂λ 2u1 ∂p ∂q na " !# 1 ∂R −1 ∂R ∂R ∂R = +q +q k −h 2 ∂λ ∂h ∂k 2na u1 2 ∂p !# " 1 1 ∂R ∂R ∂R ∂R = −p −p k −h ∂λ ∂h ∂k 2na2 u1 2 ∂q =

(5.7)

La variable n, qui figure en particulier dans les équations en dλ des systèmes d’équations dt 5.6 et 5.7, s’obtient à partir du demi-grand axe par l’équation 5.1. Il faut donc faire une double intégration de l’équation donnant le demi-grand axe avant de pouvoir obtenir la longitude moyenne.

Remarque sur la constante de Gauss Jusqu’en 2012, les théories planétaires étaient construites en utilisant la valeur de la constante de Gauss, considérée comme une constante de définition, donnée par : k = 0.017 202 098 95 (UAI1976, 1978). Depuis les recommandations de l’UAI 2012 (Luzum et al., 2012), k n’est plus considérée comme une constante de définition, mais est donnée par : p (5.8) k = GMS où G est la constante de la gravitation et MS la masse du Soleil. GMS est la constante héliocentrique de la gravitation qui est déterminée par ajustement aux observations dans les intégrations numériques les plus récentes. Ainsi, les théories analytiques VSOP2013 et TOP2013, évoquées plus loin, ont été construites en utilisant la valeur numérique de GMS donnée par l’intégration numérique INPOP10a, fournie dans la table 5.4.

230

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

5.2.3

Forme des théories analytiques

Soit N le nombre des planètes Pi (1 ≤ i ≤ N) du système. Le nombre des variables elliptiques et des équations à intégrer est alors de 6N. Conformément aux notations précédentes, on note : ηi l’ensemble des 5N variables du système autres que les longitudes moyennes ; λi les N longitudes moyennes ; η0i et λ0i les constantes d’intégration correspondant aux variables ηi et λi . De plus, on note : λ¯ i , les longitudes moyennes moyennes : λ¯ i = n¯ i t + λ0i où n¯ i , constante d’intégration de ni (voir section 5.2.4.5), est le moyen mouvement moyen de la planète Pi . On distingue deux types de théories planétaires, les théories générales et les théories à variations séculaires.

5.2.3.1

Théories générales

Dans ce type de théories, on trouve 3N fonctions linéaires du temps λ¯ i , ψi et θi telles que les solutions sont des fonctions purement périodiques d’arguments Φ, combinaisons linéaires de 3N composantes : Φ=

N X i=1

ri λ¯ i +

N X i=1

l i ψi +

N X

mi θi

(5.9)

i=1

où les λ¯ i sont les longitudes moyennes moyennes, les ψi et les θi sont des arguments dont les périodes sont de l’ordre de celles des longitudes des périhélies et des longitudes des nœuds, respectivement ; ri , li , mi sont des entiers. Les λ¯ i sont des angles rapides (de période de l’ordre de trois mois pour Mercure jusqu’à 165 ans pour Neptune), tandis que les ψi et les θi sont des angles lents (de période de l’ordre de quelques dizaines de milliers d’années). On appelle partie à courte période PN ¯ de l’argument Φ l’expression i=1 ri λi et partie à longue période de Φ l’expression PN PN l ψ + m θ . De même, on appelle arguments à longue période les arguments 5.9 i=1 i i i=1 i i 231

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE pour lesquels ri = 0 et on les note Φ∗ . En définitive, pour une planète P(η, λ) quelconque du système, les solutions ont la forme de séries de Fourier : ( ) ( ) X cos ∗ X cos η = η0 + AΦ∗ Φ + AΦ Φ (5.10) sin sin ∗ Φ X X Φ ∗ ¯ ∗ λ =λ+ BΦ sin Φ + BΦ sin Φ Φ∗

Φ

Dans les équations 5.10, les coefficients AΦ∗ , AΦ , BΦ∗ , BΦ sont des fonctions analytiques ou semi-analytiques des constantes d’intégration ; les variables η sont des séries de cosinus pour les variables a, e, i, k, q et des séries de sinus pour les variables $, Ω, h, p. On notera qu’il n’existe pas de termes séculaires dans les éléments métriques, ni dans les éléments k, h, q, p, ce qui permet à ces théories de garder un intervalle de validité très grand, de l’ordre de quelques millions d’années.

5.2.3.2

Théories à variations séculaires

Les théories générales donnent des renseignements intéressants sur l’évolution du Système solaire sur un temps très long, mais ne servent pas à construire des éphémérides. Celles-ci s’obtiennent à partir de théories à variations séculaires, dont la forme peut être déduite de celle des théories générales de la manière suivante. Partant des équations 5.10, il est possible de développer les fonctions trigonométriques des arguments à longue période Φ∗ et les parties à longue période des arguments Φ par rapport au temps. On obtient alors les développements des théories à variations séculaires sous la forme de séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes λ¯ i . Pour une planète P(η, λ), ces développements s’écrivent : η = η0 + η1 t + η2 t 2 + · · · + η p t p + S 0 + t S 1 + · · · + t p S p λ = λ + n¯ t + l t + · · · + l t + L + t L + · · · + t L 0

2 2

p p

0

1

p

(5.11)

p

où n¯ est le moyen mouvement moyen de la planète P, η1 , η2 , . . . , η p , l2 , . . . , l p sont des coefficients numériques que l’on appelle termes séculaires d’ordre 1, 2, . . . , p des variables η et λ et où S 0 , . . . , S p , L0 , . . . , L p sont des séries de Fourier dont les arguments Ψ sont des combinaisons linéaires des N longitudes moyennes moyennes λ¯ i : Ψ=

N X

ri λ¯ i

(5.12)

i=1

où les quantités ri sont des entiers. Les termes séculaires sont les développements des perturbations à longue période des théories générales par rapport au temps. 232

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Les solutions sous la forme 5.11 sont beaucoup moins volumineuses que sous la forme 5.10. Elles permettent d’obtenir des théories planétaires gardant une très grande précision sur un intervalle de temps de l’ordre du millier d’années. Cependant, dans la pratique, on n’obtient pas ce type de théorie à partir de théories générales et la section suivante expliquera comment les construire directement. Quand on prend en compte les perturbations de la Lune sur les planètes, les arguments des séries de Poisson (5.11) sont alors des combinaisons linéaires des N longitudes moyennes moyennes λ¯ i et des arguments lunaires de Delaunay D, F et L. On peut aussi construire des théories à variations séculaires d’une forme différente en exprimant les longitudes moyennes λ¯ i en fonction d’un seul argument ν par des relations du type : λ¯ i = qi ν + σi t (5.13) où ν est une fonction linéaire du temps, qi un entier et σi une quantité très petite devant le moyen mouvement moyen n¯ i . Avec un choix convenable de l’argument ν, ce type de solutions permet de représenter les perturbations de Jupiter et Saturne par des développements en puissance du temps beaucoup plus rapidement convergents que les développements classiques 5.11 (Simon et Joutel, 1988).

5.2.4 5.2.4.1

Construction de théories planétaires à variations séculaires Méthodes d’intégration

Les théories planétaires à variations séculaires dont sont issues les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps reposent sur deux types de méthode d’intégration : l’intégration ordre par ordre par rapport aux masses et l’intégration par itération.

Intégration ordre par ordre par rapport aux masses Les systèmes 5.6 ou 5.7 ont la forme : dσi = µF i (σ j ) dt

(5.14)

où µ est un paramètre de l’ordre des masses. F i (σ j ) se calcule à partir de la fonction perturbatrice et de ses dérivées par rapport aux éléments. On cherche à exprimer la solution sous la forme : σi = σ0i + µ ∆1 σi + µ2 ∆2 σi + µ3 ∆3 σi + . . . 233

(5.15)

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE On appelle perturbations d’ordre p par rapport aux masses de la variable σi la quantité ∆ p σi . Les théories modernes qui utilisent cette méthode ont été développées jusqu’au troisième ordre des masses. En substituant 5.15 dans 5.14, en développant suivant la formule de Taylor et en identifiant les deux membres en µ, on obtient : d ∆1 σi dt d ∆2 σi dt

= F i (σ0j ) X ∂F i = (σ0j ) ∆1 σ j ∂σ j j

d ∆3 σi dt

=

X ∂F i X 1 ∂2 F i (σ0j ) ∆2 σ j + (σ0j ) ∆1 σ j ∆1 σk ∂σ 2 ∂σ ∂σ j j k j j,k ...

(5.16) (5.17) (5.18)

L’intégration de l’équation 5.16 donne les perturbations du premier ordre des masses ∆1 σi ; l’intégration de 5.17 donne ensuite les perturbations du deuxième ordre des masses ∆2 σi ; l’intégration de 5.18 donne les perturbations du troisième ordre des masses ∆3 σi , et ainsi de suite.

Intégration par itération Le système à intégrer a la forme 5.14. On note σni la solution de l’itération n. On a pour la première itération : dσ1i = µ F i (σ0j ) (5.19) dt R d’où σ1i = σ0i + µ ∆1 σi avec : µ ∆1 σi = µ F i (σ0j ) dt. Le résultat de la première itération est rigoureusement identique au premier ordre de la méthode précédente. La solution de la deuxième itération est donnée par : dσ2i = µ F i (σ1j ) dt = µ F i (σ0j ) + µ2

X ∂F i X µ3 ∂2 F i (σ0j ) ∆1 σ j + (σ0j ) ∆1 σ j ∆1 σk + . . . (5.20) ∂σ 2 ∂σ ∂σ j j k j j,k

Le résultat de la deuxième itération contient des termes d’ordre trois et plus par rapport aux masses et est donc différent du deuxième ordre de la méthode ordre par ordre par rapport aux masses. La solution de l’itération n est donnée par : dρn = µ F(ρn−1 ) dt 234

(5.21)

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON 5.2.4.2

Méthode utilisée pour construire les théories VSOP et TOP

La méthode itérative n’utilise que le formulaire nécessaire à la construction des perturbations du premier ordre des masses. Elle est donc plus facile à mettre en œuvre que la méthode procédant ordre par ordre par rapport aux masses. Cette dernière, en effet, nécessite l’établissement du formulaire des dérivées premières des équations de Lagrange pour la construction des perturbations au deuxième ordre des masses, celui du formulaire des dérivées secondes pour la construction des perturbations au troisième ordre des masses, etc. Ces formulaires deviennent rapidement complexes et leur calcul sur ordinateur difficile. La construction de théories planétaires en utilisant uniquement une méthode itérative n’est cependant pas possible pour la raison suivante. Comme l’ont montré Simon et Francou (1981), lors du calcul du troisième ordre des masses, pour certains arguments 5.12 de période supérieure à 1000 ans (arguments dits à petit diviseur), les contributions i 2 i provenant de ∂F ∆2 σ j d’une part et de ∂ F ∆1 σ j ∆1 σk d’autre part, peuvent être ∂σ j ∂σ j ∂σk importantes, mais voisines et de signes contraires. Si on utilise uniquement la méthode 2 i itérative, on obtient dès la deuxième itération les termes provenant de ∂ F ∆1 σ j ∆1 σk ∂σ j ∂σk i ∂F 2 mais pas ceux provenant de ∆ σ j et on rencontre alors de sérieuses difficultés de ∂σ j convergence. La bonne méthode consiste à d’abord utiliser la méthode procédant ordre par ordre par rapport aux masses jusqu’à l’obtention des perturbations au troisième ordre des masses, et utiliser ensuite la méthode itérative. C’est comme cela qu’ont été construites les théories VSOP82 (Bretagnon, 1982), TOP82 (Simon, 1983) et VSOP2000 (Moisson et Bretagnon, 2001). Ces théories sont suffisamment précises pour servir de point de départ à la construction de nouvelles théories, en utilisant uniquement la méthode itérative. Les théories suivantes ont ainsi été construites par la méthode itérative : VSOP2010 et TOP2010 à partir de VSOP2000 et TOP82, puis les théories VSOP2013 et TOP2013 à partir de VSOP2010 et TOP2010 (Simon et al., 2013). De la même façon, il suffira d’utiliser la méthode itérative pour construire de nouvelles théories ajustées aux intégrations numériques les plus récentes à partir de VSOP2013 ou TOP2013. 5.2.4.3

Calcul des seconds membres des équations

Les seconds membres des équations de Lagrange se calculent à partir de la fonction perturbatrice et de ses dérivées par rapport aux variables définies dans la section 5.2.2.2. Ce calcul peut s’effectuer de deux façons, analytiquement ou en utilisant un formulaire permettant le calcul sous une forme fermée. 235

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Calcul analytique

Il est possible de développer la fonction perturbatrice de façon analytique par rapport aux variables définies dans la section 5.2.2.2. Il existe de nombreux formulaires de développement de la fonction perturbatrice. On citera, par exemple, les formulaires de Le Verrier (1874), Iszak (1965) et Brumberg (1967). Les théories modernes construites en utilisant cette méthode se sont appuyées sur le formulaire de Brumberg (1967), repris par Chapront (1970). On considère deux planètes P et P0 , et Φ l’argument défini par : Φ = qM + q0 M 0 + sω + s0 ω0 + j(Ω − Ω0 )

(5.22)

où l’indice 0 se rapporte à la planète P0 et où q, q0 ,s ,s0 et j sont des entiers. La fonction perturbatrice se développe sous la forme : X R=µ Aqq0 ss0 j cos Φ (5.23) qq0 ss0 j

où µ est un paramètre de l’ordre des masses et où Aqq0 ss0 j est une fonction analytique de a, a0 , e, e0 , γ,et γ0 . À partir de ce développement analytique de R, on peut ensuite construire un développement analytique des dérivées premières, secondes et troisièmes de la fonction perturbatrice (Simon et Chapront, 1974 ; Simon et Francou, 1981). Pour un couple de planètes, on calcule alors les seconds membres des équations de la manière suivante : on construit une liste aussi complète que possible d’arguments de la forme 5.22 de façon à obtenir un développement de la fonction perturbatrice sous la forme 5.23 et les développements analytiques de ses dérivées. Il est alors possible d’obtenir les seconds membres des équations, ainsi que leurs dérivées premières et secondes.

Formulaire sous forme fermée

On peut aussi calculer les seconds membres des équations de Lagrange de la manière suivante. On considère un couple de planètes P, P0 , de masses m, m0 . S désignant le Soleil, on note r et r0 les vecteurs de position de P(x, y, z) et P0 (x0 , y0 , z0 ) dans un système héliocentrique et on pose : r = |r|

r0 = |r0 |

∆ = |PP0 |

La fonction perturbatrice R définie par (5.5) s’écrit : 1 r.r0 R=k m − ∆ r03 2

0

236

!

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON On note ρi l’une quelconque des variables elliptiques. On calcule les dérivées partielles ∂R/∂ρi à l’aide du produit scalaire : ∂R = ∂R . ∂ρi r ∂ρi où ∂R et ∂ρi r sont les vecteurs de composantes ∂R/∂x, ∂R/∂y, ∂R/∂z et ∂x/∂ρi , ∂y/∂ρi , ∂z/∂ρi . Le calcul des composantes de ∂ρi r est classique (voir, par exemple, Levallois et Kovalevsky (1971)). Les composantes de ∂R se calculent par : ! r0 − r r0 ∂R = k2 m0 − ∆3 r03 On peut ainsi calculer les seconds membres des équations de Lagrange sous forme fermée par rapport aux variables sans qu’il soit nécessaire de développer la fonction perturbatrice (Chapront et al., 1975). Ce mode de calcul est particulièrement bien adapté aux méthodes itératives (Bretagnon, 1981 ; Simon et Francou, 1982). On peut aussi l’appliquer aux méthodes d’intégration ordre par ordre par rapport aux masses en calculant sous forme fermée les dérivées premières et secondes des seconds membres des équations (Bretagnon, 1980, 1982).

5.2.4.4

Compléments à la fonction perturbatrice

Perturbations du barycentre Terre-Lune On note mS , mT , mL les masses du Soleil, de la Terre et de la Lune, rT , rG , rL les distances au Soleil de la Terre, du barycentre Terre-Lune et de la Lune, respectivement. Bretagnon (1980) montre que la fonction perturbatrice R correspondant au mouvement du barycentre Terre-Lune a la forme : R = R∗ + RG où R∗ et RG sont définis par : R∗

= k2 (mS + mT + mL )

1 rG

RG = k2 (mS + mT + mL )[(1 − σ1 )

1 1 1 + σ1 − ] rT rL rG

(5.24)

mL . mT + m L R∗ peut être considérée comme la fonction perturbatrice correspondant au mouvement d’un corps de masse mT + mL et coïncidant avec le barycentre Terre-Lune à l’instant initial ; RG est une fonction perturbatrice complémentaire qu’il faut ajouter dans les équations concernant le mouvement du barycentre Terre-Lune et qui rend compte des perturbations sur ce barycentre dues au système Terre-Lune. où σ1 désigne le rapport

237

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Corrections relativistes Les mouvements des centres d’inertie de N corps peuvent être calculés dans la théorie de la relativité générale à partir d’un lagrangien dont l’expression est très compliquée. Dans la pratique, cependant, outre les termes newtoniens, seuls les termes relativistes dits de Schwarzschild, issus du champ de gravitation du Soleil, ont une importance dans le Système solaire. Les équations des mouvements héliocentriques des planètes (équation 5.4) s’écrivent, en ne tenant compte que des termes newtoniens et de Schwarzschild, de la manière suivante (Brumberg, 1972) : d2 ri dt2

= grad (Ui + Ri ) +

k2 c

[(4 − 2α) 2

k2

ri ri4

(5.25) −

1+α ri3

ri (

dri 2 4 − 2α dri dri dri 2 3α ) + 5 ri (ri · ) + (ri · )] 3 dt dt dt dt ri ri

où c désigne la vitesse de la lumière, et où α est un paramètre uniquement fonction du système de coordonnées choisi parmi les trois cas couverts par les équations 5.25 (α = 0 : coordonnées isotropiques ; α = 1 : coordonnées standard ; α = 2 : coordonnées de Painlevé). À partir de ces équations, on peut calculer les corrections relativistes du premier ordre par rapport au rayon gravitationnel du Soleil, les corrections purement relativistes du deuxième ordre et les corrections dites composites qui traduisent l’influence des corrections relativistes dans l’accélération newtonienne et, inversement, celle des perturbations newtoniennes dans l’accélération relativiste (Lestrade et Bretagnon, 1982).

5.2.4.5

Détermination des constantes d’intégration

Dans les solutions 5.11, les coefficients numériques η1 , η2 , . . . , η p , l2 , . . . , l p ainsi que les coefficients des séries de Fourier S p et L p sont calculés par la théorie. Les constantes d’intégration η0 autres que a0 , les constantes λ0 et les moyens mouvements moyens n¯ des longitudes moyennes λ sont, au contraire, obtenus par ajustement de la théorie avec les observations. On préfère, en général, obtenir les moyens mouvements par ajustement aux observations et en déduire les constantes a0 par la troisième loi de Kepler. Mais on peut aussi choisir de faire l’inverse, c’est-à-dire ajuster aux observations les constantes a0 et en déduire ensuite les moyens mouvements. L’ajustement peut se faire soit directement par comparaison aux observations, soit par comparaison avec un modèle numérique lui-même ajusté aux observations. Par exemple, les constantes des solutions VSOP82 et TOP82 ont été obtenues par comparaison avec l’intégration numérique du JPL DE200 (Standish et al., 1981) ; les constantes des solutions les plus récentes construites à l’IMCCE, VSOP2013 et TOP2013, ont été obtenues par comparaison avec l’intégration numérique INPOP10a (Fienga et al., 2011b). 238

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

Table 5.3 – Rapport de la masse du Soleil à la masse des systèmes planétaires. Notes : (1) Valeurs utilisées par Le Verrier pour sa théorie des planètes telluriques, (2) Valeurs utilisées par Gaillot pour sa théorie des grosses planètes, (3) Valeurs utilisées par Newcomb pour sa théorie des planètes telluriques.

Mercure Vénus Terre + Lune Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

5.2.4.6

Le Verrier (1856)(1)

Gaillot (1913)(2)

Newcomb (1898)(3)

UAI (1976)

DE200 (1982)

IERS (1992)

3 000 000 401 847 354 936 2 680 337 1 050 3 512 24 000 14 400

412 150 324 439 2 812 526 1 047.52 3 499.8 22 453 19 094

6 000 000 408 000 329 390 3 093 500 1 047.35 3 501.6 22 756 19 540

6 000 000 408 523.5 328 900.5 3 098 710 1 047.355 3 498.5 22 869 19 314

6 023 600 408 523.5 328 900.55 3 098 710 1 047.350 3 498.0 22 960 19 314

6 023 600 408 523.71 328 900.56 3 098 708 1 047.3486 3 497.90 22 902.94 19 412.24

Formulaires pour la construction des théories VSOP et TOP

Les formulaires pour les méthodes itératives utilisées dans les constructions des théories VSOP et TOP les plus récentes sont détaillés dans Simon et Francou (2016).

5.2.5

5.2.5.1

Théories planétaires utilisées pour les éphémérides de la Connaissance des temps jusqu’en 2005 Système des masses planétaires

Nous rassemblons dans la table 5.3 les rapports de la masse du Soleil à la masse des planètes principales utilisés dans différentes théories planétaires ou différents systèmes de constantes. Nous donnons les valeurs utilisées par Le Verrier (1856), Newcomb (1898a), Gaillot (1913), DE200 (Standish et al., 1981) et les valeurs données dans les systèmes de constantes UAI1976 (1978) et IERS1992 (1992).

5.2.5.2

Théories anciennes

Les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps jusqu’en 1983 étaient issues des théories de Le Verrier et des théories de Le Verrier et Gaillot. 239

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Les théories de Le Verrier

Le Verrier a construit une théorie de l’ensemble des huit planètes du Système solaire : Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Les résultats de son travail ont été publiés entre 1855 et 1877 dans les Annales de l’Observatoire de Paris. Il construit ses théories en utilisant les éléments elliptiques classiques a, λ, e, $, i, Ω, en intégrant les équations ordre par ordre par rapport aux masses et en développant les solutions jusqu’à l’ordre 2 des masses. Sa théorie est d’abord construite analytiquement par rapport à l’ensemble des variables, puis ensuite développée en séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes sous une forme analogue à l’équation 5.11. Le deuxième ordre des masses est très incomplet pour les planètes telluriques et ne contient que très peu de termes périodiques (deux pour la Terre et Mars, un pour Vénus, aucun pour Mercure), mais est assez complet pour les grosses planètes, en particulier en ce qui concerne les perturbations mutuelles Jupiter-Saturne. Les valeurs des masses données dans la table 5.3 sont celles utilisées par Le Verrier pour construire sa théorie des planètes telluriques, mais il les a améliorées par la suite, trouvant, pour Mercure, m=1/5 310 000 et, pour la Terre, Vénus et Mars, les valeurs Gaillot (1913) de la table 5.3.

Les théories de Le Verrier-Gaillot

Au début du xxe siècle, Gaillot (1904) constate que la théorie de Le Verrier se dégrade par rapport aux observations, principalement pour les grosses planètes dont il reprend la théorie. Gaillot utilise les mêmes variables que Le Verrier et construit directement ses solutions en séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes sous une forme analogue à 5.11. Pour le couple Jupiter-Saturne Gaillot (1904, 1913), il applique une méthode d’interpolation qui est en fait une méthode itérative basée sur une analyse de Fourier. Il utilise comme point de départ la théorie au deuxième ordre des masses de Le Verrier et effectue une itération, obtenant ainsi le troisième ordre des masses et les termes d’ordre supérieur provenant du premier et du deuxième ordre. À partir de ce résultat, il calcule analytiquement un certain nombre de termes du quatrième ordre provenant du troisième ordre de Saturne. Gaillot a ainsi fait progresser les théories de Jupiter et Saturne et son travail a permis, entre autres, une amélioration de la détermination des masses des quatre grosses planètes, en particulier pour Saturne (voir table 5.3). En ce qui concerne Uranus et Neptune, Gaillot (1910) a repris le travail de Le Verrier en utilisant de meilleures valeurs des masses des planètes et des constantes d’intégration. En définitive, Gaillot a construit une excellente théorie au deuxième ordre des masses des quatre grosses planètes, avec un calcul très complet des perturbations mutuelles du couple Jupiter-Saturne d’ordre 3 par rapport aux masses. 240

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Les théories de Newcomb Les perturbations du mouvement des planètes telluriques Mercure, Vénus, la Terre et Mars sont de faible amplitude et les erreurs de la théorie de Le Verrier proviennent essentiellement des grandes incertitudes sur les masses planétaires dans le calcul des variations séculaires des éléments. À la fin du xixe siècle, Newcomb a entrepris un travail comparable à celui de Le Verrier. Dans le calcul des perturbations des planètes telluriques, il a construit une solution au second ordre des masses planétaires. Il a utilisé de meilleures valeurs des masses que celles connues par Le Verrier, ses valeurs étant de dix à cent fois plus précises, comme le montre la table 5.3. Bénéficiant de quarante années d’observations supplémentaires, il a obtenu une très bonne détermination des constantes d’intégration. La théorie du Soleil de Newcomb, publiée en 1898 dans les Astronomical Papers of the American Ephemeris, vol. VI, a été utilisée dans les éphémérides de l’American Ephemeris jusqu’en 1983. Son erreur, pour l’époque actuelle, est de l’ordre de 0.900 , alors que la théorie du Soleil de Le Verrier comporte des différences avec l’observation pouvant atteindre 1.600 . Pour les planètes Mercure, Vénus et Mars, l’amélioration due à Newcomb est encore plus importante et les éphémérides issues de ses théories sont trois à cinq fois plus précises que celles de Le Verrier. En ce qui concerne les grosses planètes, les éphémérides publiées jusqu’en 1959 par l’American Ephemeris sont issues des théories de Hill pour Jupiter et Saturne, et de celles de Newcomb pour Uranus et Neptune. Les erreurs de ces éphémérides sont du même ordre de grandeur que les erreurs des solutions de Le Verrier-Gaillot, y compris pour Neptune. Dans les solutions de Hill et de Newcomb, les erreurs sont de l’ordre de 100 pour Jupiter et Uranus, de 200 pour Saturne et peuvent atteindre 1000 pour Neptune.

5.2.5.3

Théories construites à l’IMCCE entre 1980 et 2000

Entre 1980 et 2000, un certain nombre de théories planétaires ont été construites à l’IMCCE, dont plusieurs ont servi à l’élaboration des éphémérides et des éléments moyens des planètes publiés dans la Connaissance des temps jusqu’en 2005. Ces théories ont des formes très voisines. Ce sont des théories à variations séculaires semi-analytiques par rapport aux longitudes moyennes moyennes de la forme 5.11. Elles utilisent les valeurs des masses UAI 1976 de la table 5.3. Comme nous l’avons indiqué plus haut, elles n’ont pas été comparées directement aux observations et leurs constantes d’intégration ont été obtenues par ajustement à l’intégration numérique du JPL, DE200 (Standish et al., 1981). 241

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE VSOP82 Bretagnon (1982) a construit une théorie de l’ensemble des huit planètes principales, désignée VSOP82 (Variations séculaires des orbites planétaires). Cette théorie utilise les variables a, λ, k, h, q et p. Elle est construite en intégrant d’abord les équations correspondant au mouvement des huit planètes ordre par ordre par rapport aux masses. Les seconds membres et leurs dérivées sont calculés sous forme fermée et les solutions sont développées jusqu’à l’ordre 3 des masses. La théorie est complétée pour les quatre grosses planètes par des termes d’ordre supérieur obtenus par une méthode itérative qui permet d’obtenir les perturbations sous forme de séries de Poisson (5.11) allant jusqu’au degré 5 par rapport au temps. La théorie contient également les perturbations du barycentre Terre-Lune (voir section 5.2.4.4) et les corrections relativistes calculées dans chacun des systèmes de coordonnées isotropique et standard. Les arguments des séries de Poisson sont donc les longitudes moyennes moyennes et les arguments de Delaunay D, F et L. VSOP82 a été la solution de base des éphémérides du Soleil et des planètes publiées dans la Connaissance des temps de 1984 à 2006.

TOP82 Simon (1983) a construit une théorie des quatre grosses planètes TOP82 (Theory of Outer Planets). Cette théorie utilise les variables elliptiques a, λ, e, $, γ, Ω. Elle est obtenue en intégrant ordre par ordre par rapport aux masses les équations correspondant au mouvement des quatre grosses planètes. Les seconds membres des équations et leurs dérivées sont calculés à partir des formulaires de Brumberg (1967) et Chapront (1970). Les solutions sont développées jusqu’à l’ordre 3 des masses. Elles sont complétées pour le couple Jupiter-Saturne par une méthode itérative basée sur une analyse harmonique, inspirée de la méthode d’interpolation de Gaillot, qui permet d’obtenir les perturbations mutuelles du couple Jupiter-Saturne sous forme de séries de Poisson (5.11) allant jusqu’au degré 6 par rapport au temps. Cette théorie contient aussi les perturbations dues aux planètes telluriques issues de VSOP82 et les effets relativistes. À la précision de la publication, les éphémérides issues des théories VSOP82 et TOP82 sont identiques pour Jupiter et Saturne.

JASON84 Partant de TOP82, Simon et Bretagnon (1984) ont construit une théorie de Jupiter et Saturne JASON84 (Jupiter and Saturn Orbits from Neolithic) pour laquelle les perturbations 242

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON mutuelles de Jupiter et Saturne sont calculées, par analyse harmonique, sous forme de séries de Poisson allant jusqu’au degré 20 par rapport au temps. L’intervalle de validité de la théorie est ainsi notablement étendu et les solutions représentent le mouvement de Jupiter et Saturne sur un intervalle de temps de 12 000 ans. Les variables utilisées sont celles de TOP82. Cette théorie n’a pas été utilisée pour construire les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps, mais a permis de donner des expressions très précises des éléments moyens de Jupiter et Saturne.

VSOP87 Les théories précédentes utilisent les variables elliptiques. À partir de VSOP82, Bretagnon et Francou (1988) ont construit les solutions VSOP87 qui sont exprimées en variables rectangulaires X, Y, Z ou en variables sphériques, longitude, latitude et rayon vecteur. Les systèmes de référence utilisés sont l’écliptique et l’équinoxe J2000 ou l’écliptique et l’équinoxe moyens de la date. Les coordonnées sont héliocentriques ou barycentriques. Ces solutions n’ont pas servi à l’élaboration des éphémérides, mais sont utiles pour un certain nombre de problèmes, comme le calcul des perturbations planétaires de la Lune, des expressions analytiques des positions apparentes, des expressions analytiques de la nutation ou de la différence TDB − TT.

VSOP2000 Moisson et Bretagnon (2001) ont construit la solution VSOP2000 qui est une amélioration de VSOP82. La méthode itérative a été développée de façon à obtenir une solution au huitième ordre des masses. Les perturbations dues aux cinq gros astéroïdes Cérès, Palla, Vesta, Iris et Bamberga ont été introduites dans le processus itératif. Les perturbations du second ordre des masses de la Lune sur Mercure, Vénus, le barycentre Terre-Lune ont été calculées. Les perturbations relativistes ont été introduites dans les itérations. Les arguments des séries sont des combinaisons linéaires des longitudes moyennes moyennes des huit planètes et des cinq gros astéroïdes, et des trois angles de Delaunay. VSOP2000 va servir de point de départ pour la construction des solutions VSOP les plus récentes.

5.2.6

Théories planétaires récentes

5.2.6.1

Utilité des théories analytiques

Bien que les éphémérides soient maintenant issues d’intégrations numériques, la construction de théories planétaires analytiques reste utile pour plusieurs raisons : 243

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 1. Même si les théories analytiques ne peuvent concurrencer, en termes de précision, les intégrations numériques pour le calcul d’éphémérides dans le cas de programmes astronautiques, elles restent cependant suffisamment précises pour répondre à la plupart des besoins des astronomes ; 2. Leur précision décroît lentement avec le temps et elles peuvent rester précises sur des intervalles de temps de plusieurs milliers d’années ; 3. Elles permettent une analyse très fine des différentes perturbations ; 4. Leur forme analytique est très utile pour étudier des problèmes tels que celui de la rotation de la Terre ; 5. À partir de ces théories, on peut obtenir des solutions compactes de bonne précision.

5.2.6.2

Les travaux de Bretagnon

Partant de VSOP2000, Pierre Bretagnon (1942-2002) a effectué 15 itérations supplémentaires avec une précision numérique dix fois meilleure que celle de VSOP2000, et avec les améliorations suivantes : • les séries de Poisson sont développées jusqu’en t12 ; • les éléments orbitaux des huit planètes et des cinq gros astéroïdes sont calculés analytiquement à chaque itération ; • les perturbations dues à la Lune, issues de ELP 2000 (Chapront-Touze et Chapront, 1983) sont introduites dans les itérations ; • les perturbations relativistes sont introduites dans les itérations ; • la solution est ajustée à l’intégration numérique du JPL, DE403 (Standish et al., 1995), en utilisant l’écliptique inertiel moyen J2000 défini par Chapront et al. (2002). Partant des coordonnées rectangulaires équatoriales (x, y, z)equ données par DE403, on calcule les coordonnées rectangulaires elliptiques (x, y, z)ecl dans l’écliptique moyen inertiel J2000 par :    x y =   z ecl

    0 0   cos φ sin φ 0  x 1 0 cos  sin   − sin φ cos φ 0 y       0 − sin  cos  0 0 1 z equ

(5.26)

où  et φ sont donnés par Chapront et al. (2002) :  = 23◦ 260 21.40 92800 et φ = − 0.05 29400 244

(5.27)

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON 5.2.6.3

VSOP2013

Bretagnon étant malheureusement décédé prématurément, son travail a été poursuivi à l’IMCCE et a abouti à la construction de la théorie VSOP2013 qui est décrite en détail dans Simon et al. (2013) et Simon et Francou (2016). Les principaux changements ou améliorations introduits sont les suivants : • les constantes d’intégration ont été calculées par ajustement à l’intégration numérique INPOP10a (Fienga et al., 2011b) ; • les perturbations dues au J2 solaire sur Mercure, Vénus, BTL et Mars ont été calculées en utilisant la valeur du J2 solaire d’INPOP10a, 2.4 × 10−7 ; • les perturbations au premier ordre des masses dues aux astéroïdes pris en compte dans INPOP10a ont été calculées et introduites dans la solution. Elles ont la forme de séries de Poisson de l’argument µ utilisé pour la construction de TOP2013 et donné par l’équation 5.29 ; • les perturbations de Pluton sur les quatre grosses planètes calculées sous forme de séries de Poisson de µ ont été introduites dans la solution ; • la précision des solutions du mouvement de Jupiter et Saturne sur de grands intervalles de temps a été améliorée en utilisant les résultats provenant de la solution TOP2013 ; • les arguments des séries de Poisson sont des combinaisons de 17 angles : les 16 angles de VSOP2000 et l’argument µ défini par l’équation 5.29 ; • la solution est ajustée à INPOP10a. On a déterminé l’orientation de INPOP10a par rapport à l’écliptique inertiel moyen J2000 de Chapront et al. (2002) en calculant les angles  et φ correspondant à INPOP10a :  = 23◦ 260 21.41 13600 et φ = − 0.05 18800

(5.28)

• le système des masses planétaires utilisé est celui d’INPOP10a. On note G la constante de la gravitation et M la masse d’un corps céleste. La table 5.4 fournit les valeurs de GM du Soleil, des planètes, de Pluton et des cinq gros astéroïdes utilisés lors de la construction de INPOP10a. La théorie VSOP2010 (Simon et al., 2013), ajustée à l’intégration numérique du JPL, DE405 (Standish, 1998), a également été construite de la même façon que VSOP2013. 5.2.6.4

TOP2013

La théorie TOP2013 n’a pas pour but de concurrencer VSOP2013 sur de courts intervalles de temps, mais de fournir des solutions très précises du mouvement des quatre grosses planètes sur de grands intervalles de temps, ainsi qu’une solution analytique du mouvement de Pluton de bonne précision. La construction de cette théorie est décrite en détail dans Simon et al. (2013). Elle repose sur les principes suivants : 245

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.4 – GM du Soleil, des planètes, de Pluton et des cinq gros astéroïdes utilisés pour la construction de INPOP10a.

Corps céleste Soleil Mercure Vénus BTL Mars Vesta Iris Bamberga Cérès Pallas Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

GM (au−3 d−2 ) 2.959 122 083 684 143 8269 4.912 547 451 450 811 8699 7.243 452 486 162 702 7000 8.997 011 603 631 609 1182 9.549 535 105 779 258 0598 3.939 673 413 269 574 0410 2.299 798 032 187 260 0159 1.388 563 508 297 702 8383 1.408 056 343 979 966 3277 3.296 275 038 741 825 1691 2.825 345 842 083 778 0000 8.459 715 185 680 658 7398 1.292 024 916 781 969 3900 1.524 358 900 784 276 2800 2.188 699 765 425 969 6800

× 10−04 × 10−11 × 10−10 × 10−10 × 10−11 × 10−14 × 10−15 × 10−15 × 10−13 × 10−14 × 10−07 × 10−08 × 10−08 × 10−08 × 10−12

• les solutions sont représentées sous forme de séries de Poisson d’un seul argument µ relié aux moyens mouvements moyens de Jupiter et Saturne n5 et n6 par : µ = (n5 − n6 )t/880

= 0.359 536 23 t

(5.29)

où t est le temps compté en milliers d’années à partir de J2000. Les moyens mouvements moyens des quatre grosses planètes sont reliés à µ par : n5 t = 1473µ + σ5 t = 1473µ + 0.094 095 55 t n6 t = 593µ + σ6 t = 593µ + 0.094 095 55 t

(5.30)

n7 t = 208µ + σ6 t = 208µ − 0.001 873 89 t n8 t = 106µ + σ6 t = 106µ + 0.022 132 13 t Les développements en séries de Poisson de µ convergent beaucoup plus rapidement que les développements classiques en séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes pour Jupiter et Saturne. Ceci est dû au fait que le choix de l’argument µ permet de prendre en compte une partie importante des développements par rapport au temps des arguments à longue période d’une théorie générale du couple Jupiter-Saturne (Simon et al., 1992) ; 246

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON • la solution est construite par une méthode itérative où les seconds membres des équations sont calculés par analyse harmonique (Simon et Joutel, 1988) ; • les perturbations par les planètes telluriques sont obtenues en calculant les différences entre la dernière itération du processus itératif utilisé pour la construction de VSOP2013 et cette dernière itération refaite sans prendre en compte les planètes telluriques ; • les constantes d’intégration ont été calculées par ajustement à INPOP10a ; • les perturbations par les astéroïdes de INPOP10a sont calculées comme pour VSOP2013 ; • les variables héliocentriques sphériques (longitude, latitude, rayon vecteur) et les coordonnées rectangulaires (X, Y, Z) sont calculées par analyse harmonique à partir des éléments elliptiques, sous forme de séries de Poisson de µ, et introduites dans la théorie ; • à partir des formules 5.30, il est possible de revenir à la représentation classique en séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes. Cela a permis de compléter les perturbations correspondant à quelques arguments des solutions VSOP2013 de Jupiter et Saturne pour lesquels la convergence était insuffisante. On a ainsi pu améliorer la précision des solutions VSOP2013 du mouvement de Jupiter et Saturne sur de grands intervalles de temps ; • une théorie du mouvement de Pluton a été construite en appliquant la méthode utilisée pour construire TOP2013 au système d’équations correspondant aux quatre grosses planètes et à Pluton. Les perturbations sont développées en séries de Poisson d’un argument ν relié au moyen mouvement moyen de Neptune par : ν = n8 t/105

= 0.363 171 17 t

(5.31)

où t est le temps compté en milliers d’années à partir de J2000. Cet argument ν, très voisin de µ, permet de développer par rapport au temps les perturbations correspondant à la résonance 2λ¯ 8 −3λ¯ 9 (λ¯ 8 et λ¯ 9 étant respectivement les longitudes moyennes moyennes de Neptune et Pluton). Les résultats sont ensuite convertis en séries de Poisson de µ. La solution du mouvement de Pluton et les perturbations de Pluton sur les grosses planètes sont donc finalement des séries de Poisson de µ. Elles sont introduites dans les solutions TOP2013 et VSOP2013. La théorie TOP2010 (Simon et al., 2013), ajustée à l’intégration numérique du JPL, DE405, a également été construite de la même façon que TOP2013.

5.2.6.5

Précision des théories analytiques

La précision des théories analytiques peut être estimée en calculant leurs différences maximales avec INPOP10a sur différents intervalles de temps. 247

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.5 – Différences maximales sur [1890, 2000] entre VSOP2013, VSOP2010, TOP2013 et les intégrations numériques de référence pour les éléments elliptiques des planètes. Les unités sont : km (a), mas (λ) et 10−10 (k, h, q, p). Les intégrations numériques de référence sont INPOP10a pour VSOP2013 et TOP2013, et DE403 pour VSOP2000. Les valeurs correspondant à VSOP2000 sont issues de Moisson et Bretagnon (2001). La table est issue de Simon et al. (2013).

Planète

Solution

a

λ

Mercure

VSOP2013 VSOP2000

0.003 0.006

Vénus

VSOP2013 VSOP2000

BTL

k

h

q

p

0.03 0.27

1.0 8.0

1.2 4.0

0.1 0.5

0.1 0.8

0.002 0.012

0.02 0.29

0.3 10.0

0.2 3.0

0.1 1.1

1.1 1.5

VSOP2013 VSOP2000

0.003 0.021

0.01 0.35

0.8 3.0

0.5 17.0

0.1 3.4

1.9 4.2

Mars

VSOP2013 VSOP2000

0.078 0.134

0.74 2.88

4.6 12.0

5.4 30.0

0.3 2.6

1.1 7.2

Jupiter

VSOP2013 VSOP2000 TOP2013

0.099 0.910 0.47

0.19 0.47 0.84

2.9 15.0 20.7

3.3 16.0 28.0

0.5 5.0 16.7

0.4 4.3 10.8

Saturne

VSOP2013 VSOP2000 TOP2013

0.173 6.774 1.02

0.09 1.75 1.86

4.8 19.0 31.2

4.3 35.0 41.0

0.9 7.8 18.6

0.9 8.1 15.1

Uranus

VSOP2013 VSOP2000 TOP2013

15.120 23.600 16.55

0.76 1.49 1.70

40.0 66.0 50.9

39.1 57.0 48.5

3.0 38.2 18.5

2.3 11.0 15.3

Neptune

VSOP2013 VSOP2000 TOP2013

3.432 47.032 6.96

0.08 1.86 0.67

9.1 61.0 21.5

3.8 68.0 17.7

1.5 4.1 12.4

1.0 11.3 14.7

TOP2013

124.71

2.85

198.1

185.8

56.9

23.0

Pluton

Précision sur [1890, 2000]

La table 5.5 donne les différences maximales avec INPOP10a, sur l’intervalle de temps [1890, 2000], de VSOP2013 (éléments elliptiques des huit planètes) et de TOP2013 (éléments elliptiques des quatre grosses planètes et de Pluton). Elle donne aussi les différences entre VSOP2000 et DE403 données par Moisson et Bretagnon (2001). 248

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON La précision de VSOP2013 est excellente. La précision des longitudes moyennes est d’environ quelques 0.01 mas pour Mercure, Vénus, BTL, Saturne et Neptune, 0.2 mas pour Jupiter et 0.7 mas pour Mars et Uranus. Par rapport à VSOP2000, le gain en précision va de 2 pour Uranus jusqu’à 24 pour le BTL et Neptune. Les orbites des planètes telluriques n’étant pas intégrées avec les grosses planètes, les solutions TOP ne peuvent pas être aussi précises que les solutions VSOP sur des intervalles de temps courts. La précision de TOP2013 est comparable à celle de VSOP2000. Pour Pluton, la précision sur [1890, 2000] est de l’ordre de 3 mas pour la longitude moyenne, 125 km pour a et 2 × 10−8 pour k et h.

Précision sur de grands intervalles de temps

La table 5.6 se rapporte à la longitude moyenne (λ) et aux coordonnées héliocentriques (L, B, R). Elle donne, pour ces variables, les différences maximales avec une extension de INPOP10a sur [−4000, 8000] (Manche, 2012) de VSOP2013 (les huit planètes) et de TOP2013 (les quatre grosses planètes et Pluton) sur les intervalles de temps [900, 3100] et [−4000, 8000]. On constate que la précision reste bonne pour de grands intervalles de temps. Pour les planètes telluriques, la précision de la longitude héliocentrique est de l’ordre de 0.200 pour Mercure et Vénus, 100 pour le BTL et 1.700 pour Mars. Par rapport à VSOP2000, le gain en précision est environ d’un facteur 5. Pour les grosses planètes, sur [−4000, 8000], la précision des longitudes héliocentriques VSOP2013 est comprise entre 100 et 500 pour Jupiter, Uranus et Neptune et est d’environ 1200 pour Saturne. Par rapport à VSOP2000, le gain en précision est compris entre 5 et 10. TOP2013 reste la solution la plus précise pour de grands intervalles de temps. Sur [−4000, 8000], la précision des longitudes héliocentriques TOP2013 des grosses planètes est comprise entre 0.400 (Jupiter) et 0.900 (Saturne). Par rapport à VSOP2013, le gain en précision est compris entre 10 et 15 pour Jupiter et Saturne, et entre 1.5 et 4 pour Uranus et Neptune. Pour Pluton, la précision reste bonne sur [900, 3100] (environ 0.800 pour la longitude héliocentrique). Pour des intervalles de temps plus longs, la précision se dégrade rapidement, mais l’existence d’une libration de la longitude de Pluton, de période 19 900 ans (Milani et al., 1989), empêche de construire une solution analytique du mouvement de Pluton sur des intervalles de temps supérieurs à quelques milliers d’années. 249

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.6 – Différences maximales sur de grands intervalles de temps entre VSOP2013, TOP2013 et l’extension de INPOP10a sur [−4000, 8000] (Manche, 2012) pour les longitudes moyennes et les coordonnées héliocentriques des planètes et de Pluton. Les unités sont : seconde de degré (λ, L, B et km (R). La table est issue de Simon et al. (2013).

Planète

Intervalle

Théorie

λ

L

B

Mercure

[900, 3100] [-4000, 8000]

VSOP VSOP

0.01 0.12

0.02 0.20

0.002 0.021

0.9 9.2

Vénus

[900, 3100] [-4000, 8000]

VSOP VSOP

0.002 0.15

0.002 0.15

0.001 0.009

0.1 4.1

BTL

[900, 3100] [-4000, 8000]

VSOP VSOP

0.03 0.98

0.03 1.01

0.002 0.015

0.4 19.4

Mars

[900, 3100] [-4000, 8000]

VSOP VSOP

0.70 1.49

0.83 1.74

0.023 0.058

69.5 153.4

[900, 3100]

VSOP TOP VSOP TOP

0.04 0.01 4.80 0.40

0.04 0.01 4.47 0.45

0.001 0.001 0.164 0.051

12 21 3 393 343

VSOP TOP VSOP TOP

0.28 0.03 8.92 0.74

0.30 0.04 11.73 0.89

0.013 0.002 0.524 0.081

122 50 21 911 1 299

VSOP TOP VSOP TOP

0.14 0.01 1.23 0.42

0.14 0.02 2.45 0.70

0.001 0.001 0.069 0.037

136 102 13 007 4 113

VSOP TOP VSOP TOP

0.06 0.01 1.28 0.39

0.07 0.02 1.27 0.78

0.002 0.001 0.044 0.059

143 143 7 761 5 284

TOP

0.36

0.80

0.222

6 593

Jupiter

[-4000, 8000] Saturne

[900, 3100] [-4000, 8000]

Uranus

[900, 3100] [-4000, 8000]

Neptune

[900, 3100] [-4000, 8000]

Pluton

[900, 3100]

250

R

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

5.2.7 5.2.7.1

Éléments moyens des planètes Définition

Nous appelons éléments moyens des variables η et λ, les parties séculaires < η > et < λ > des expressions 5.11 : < η > = η0 + η1 t + η2 t 2 + . . . + η p t p

(5.32)

< λ > = λ + n¯ t + l t + . . . + l t 0

2 2

p p

Cette définition appelle les remarques suivantes : • ces éléments moyens sont aussi les développements par rapport au temps des perturbations à longue période des théories générales (voir section 5.2.3.1) ; • dans les expressions 5.32, les coefficients numériques η1 , η2 , . . . , η p , l2 . . . , l p sont issus de la théorie. Les moyens mouvements moyens n¯ , les constantes d’intégration η0 (par l’intermédiaire des moyens mouvements en ce qui concerne les a0 ) et λ0 sont obtenus par comparaison des solutions sous leur forme complète 5.11 avec les observations. Les éléments moyens sont donc étroitement liés à la théorie dont ils sont issus ; • un élément moyen donné < η > ou < λ > de la forme 5.32 se déduit de la série de Poisson complète 5.11 de la variable correspondante. Notons que la partie séculaire du produit de deux séries de Poisson n’est pas exactement égale au produit des parties séculaires de chacune des séries. Il en résulte que si, par exemple, on veut calculer les éléments moyens des variables e, $, γ, Ω à partir de ceux des variables k, h, q, p, ou inversement, il faut effectuer le changement de variables sur les solutions complètes 5.11. Le changement de variables effectué directement sur les expressions 5.32 donnerait des résultats insuffisamment précis ; • dans les expressions 5.11 et 5.32, le temps t est compté à partir d’une origine fixée t0 et les éléments moyens sont rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe fixes t0 . Pour les théories construites à l’IMCCE, cette origine des temps est J2000 (date julienne 2 451 545). On peut en déduire des éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de la date en utilisant les formules de variations des éléments d’une orbite entre deux époques données dans l’annexe A.

5.2.7.2

Usage

On utilise les éléments moyens principalement pour : 251

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE • déterminer les constantes d’intégration de départ, lorsque l’on construit une théorie planétaire à variations séculaires ; ainsi les théories de l’IMCCE ont utilisé des constantes de départ issues des éléments moyens de Le Verrier, et de Le Verrier et Gaillot ; ces constantes sont ensuite modifiées par comparaison aux observations ; • déterminer les constantes d’intégration des théories planétaires générales ; celles-ci s’obtiennent, en effet, par ajustement aux éléments moyens des parties à longue période des solutions (Laskar, 1988 ; Bretagnon, 1990) ; • améliorer les théories planétaires générales par ajustement des termes à longue période des théories générales aux éléments moyens des théories à variations séculaires (Bretagnon et Simon, 1990) ; • estimer la précision des théories planétaires générales par comparaison de leurs longues périodes aux éléments moyens d’une théorie à variations séculaires (Laskar, 1990). Par contre, les éléments moyens ne servent pas à calculer des éphémérides des planètes, même approchées. Ils définissent, en effet, à chaque instant t une orbite moyenne qui n’est évidemment pas l’orbite osculatrice à cet instant. Toute éphéméride calculée à partir de ces éléments moyens serait de très faible précision, l’erreur commise étant très importante, en particulier sur les grosses planètes. Par exemple, pour la longitude moyenne de Saturne, la perturbation périodique la plus importante et qui n’est pas prise en compte dans un tel calcul est de l’ordre de 0.8◦ . Il reste toutefois possible d’obtenir des éphémérides approchées des planètes de précision satisfaisante à partir d’expressions comprenant les éléments moyens et un petit nombre de termes périodiques (Simon et al., 1994).

5.2.7.3

Termes séculaires des demi-grands axes

L’apparition de termes séculaires dans les perturbations du demi-grand axe dépend étroitement du repère utilisé et de la façon dont sont définies les approximations successives par rapport aux masses. Dans un système rapporté au centre de gravité du Système solaire (Lagrange, 1809), ou si on utilise des éléments elliptiques associés au système de Jacobi (Tisserand, 1876), aucun terme séculaire n’apparaît, dans le demi-grand axe, ni à la première, ni à la deuxième approximation par rapport aux masses. Il en va différemment dans le cas des théories planétaires à variations séculaires (voir section 5.2.3.2) qui sont construites avec des variables elliptiques héliocentriques. Gaillot (1904) avait noté l’existence de termes séculaires de degré 1 par rapport au temps, dans le demi-grand axe, à la troisième approximation par rapport aux masses. En réalité, on sait depuis les résultats numériques de Simon et Bretagnon (1978), et la nouvelle formulation 252

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON du théorème de Poisson en variables héliocentriques donnée par Duriez (1978), que ces termes séculaires apparaissent dans le demi-grand axe dès la deuxième approximation. Ces termes sont numériquement petits, mais donnent, par double intégration, des termes séculaires importants dans les longitudes moyennes, en particulier pour les planètes Jupiter et Saturne : au bout de 1000 ans, le terme en t2 de la longitude moyenne de Jupiter atteint 3000 , celui de Saturne, 7500 . Ces termes séculaires n’existent pas dans les théories anciennes. En ce qui concerne Jupiter et Saturne, ils ont été calculés jusqu’à un degré élevé du temps dans TOP2013.

5.2.8

Expressions numériques des éléments moyens

La Connaissance des temps a publié jusqu’en 1983 les éléments moyens issus des théories de Le Verrier pour les planètes telluriques, des théories de Le Verrier et Gaillot pour les grosses planètes, ainsi que des éléments moyens issus des théories de Newcomb pour les planètes telluriques. De 1984 à 1995, elle a publié les éléments moyens des huit planètes principales issus de VSOP82 et les éléments moyens des quatre grosses planètes issus de TOP82. Les théories VSOP2013 et TOP2013 donnent des valeurs plus récentes des éléments moyens des planètes, rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe moyens dynamiques inertiels (voir section 3.1) J2000 et à l’écliptique et à l’équinoxe moyens dynamiques inertiels de la date. Dans cet ouvrage, on donne les éléments moyens des planètes issus de ces théories rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe J2000 pour les variables a, λ, e, $, i, Ω, k, h, q, p. Les éléments moyens issus de VSOP2013 se rapportent aux huit planètes et ceux issus de TOP2013 aux quatre grosses planètes et à Pluton. Comme indiqué dans la section 5.2.7.1, les éléments moyens dépendent de la théorie dont ils sont issus ; ils sont donc légèrement différents, pour les grosses planètes, suivant la théorie considérée. On donne aussi les éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de la date pour les variables λ, $, i, Ω, k, h, q, p (les éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de la date ne différant pas des éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe J2000 pour les variables a et e). Ces éléments moyens sont issus de VSOP2013 pour les planètes telluriques et de TOP2013 pour les grosses planètes et Pluton. Dans les formules, t est TDB mesuré en milliers d’années juliennes à partir de J2000 et JJ est le jour julien : t = (JJ − 2 451 545.0)/365 250

(5.33)

a est mesuré en au, e, k, h, q, p sont sans dimension, les variables angulaires (λ, $, i, Ω) sont en radians. 253

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 5.2.8.1

Éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe J2000

Éléments moyens issus de VSOP2013

• Éléments moyens de Mercure a = 0.387 098 3099 λ = 4.402 608 6317 + 26 087.903 140 6856 t − 0.865 31 × 10−5 t 2 + 0.1664 × 10−6 t 3 + 0.84 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 e = 0.205 631 7547 + 0.204 0457 × 10−3 t − 0.283 24 × 10−5 t 2 − 0.1796 × 10−6 t 3 + 0.20 × 10−8 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 $ = 1.351 864 1469 + 0.277 285 749 × 10−1 t − 0.234 424 × 10−4 t 2 − 0.1116 × 10−6 t 3 − 0.6 × 10−9 t 4 + 0.1 × 10−9 t 5 i = 0.122 260 0663 − 0.103 880 81 × 10−2 t + 0.140 22 × 10−5 t 2 + 0.7467 × 10−6 t 3 − 0.82 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 Ω = 0.843 533 0084 − 0.218 905 125 × 10−1 t − 0.154 1885 × 10−3 t 2 − 0.349 23 × 10−5 t 3 + 0.605 × 10−7 t 4 − 0.6 × 10−9 t 5 k = 0.044 660 6294 − 0.552 145 51 × 10−2 t − 0.186 018 × 10−4 t 2 + 0.7900 × 10−6 t 3 + 0.58 × 10−8 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 h = 0.200 723 3087 + 0.143 755 08 × 10−2 t − 0.797 484 × 10−4 t 2 − 0.3031 × 10−6 t 3 + 0.78 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 q = 0.040 615 6406 + 0.654 3151 × 10−3 t − 0.107 127 × 10−4 t 2 + 0.2244 × 10−6 t 3 − 0.38 × 10−8 t 4 p = 0.045 635 4933 − 0.127 636 56 × 10−2 t − 0.913 50 × 10−5 t 2 + 0.1894 × 10−6 t 3 − 0.64 × 10−8 t 4 • Éléments moyens de Vénus a = 0.723 329 8199 λ = 3.176 134 4616 + 10 213.285 547 4345 t + 0.282 43 × 10−5 t 2 + 0.636 × 10−7 t 3 − 0.23 × 10−8 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 e = 0.006 771 9196−0.477 6640×10−3 t +0.978 72×10−5 t 2 +0.4647× 10−6 t 3 + 0.124 × 10−7 t 4 − 0.3 × 10−9 t 5 254

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON $ = 2.296 219 3482 + 0.850 3247 × 10−3 t − 0.241 677 13 × 10−2 t 2 − 0.997 258 × 10−4 t 3 − 0.353 44 × 10−5 t 4 + 0.125 × 10−7 t 5 + 0.171 × 10−7 t 6 + 0.14 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 i = 0.059 247 9578 − 0.149 6520 × 10−3 t − 0.566 142 × 10−4 t 2 + 0.1609 × 10−6 t 3 + 0.130 × 10−7 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 Ω = 1.338 316 3669 − 0.485 230 473 × 10−1 t − 0.248 7830 × 10−3 t 2 − 0.285 26 × 10−5 t 3 − 0.2276 × 10−6 t 4 − 0.6 × 10−9 t 5 k = −0.004 492 8210 + 0.312 6002 × 10−3 t + 0.605 77 × 10−5 t 2 − 0.6823 × 10−6 t 3 + 0.48 × 10−8 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 h = 0.005 066 8515 − 0.361 2193 × 10−3 t + 0.184 486 × 10−4 t 2 + 0.348 × 10−7 t 3 − 0.61 × 10−8 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 q = 0.006 824 1139 + 0.138 133 93 × 10−2 t − 0.109 134 × 10−4 t 2 − 0.186 43 × 10−5 t 3 + 0.60 × 10−8 t 4 + 0.7 × 10−9 t 5 p = 0.028 822 8192 − 0.403 9079 × 10−3 t − 0.623 266 × 10−4 t 2 + 0.2470 × 10−6 t 3 + 0.423 × 10−7 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 • Éléments moyens du barycentre Terre-Lune a = 1.000 001 0176 λ = 1.753 470 3694 + 6 283.075 850 3532 t − 0.980 37 × 10−5 t 2 − 0.80 × 10−8 t 3 + 0.92 × 10−8 t 4 + 0.153 × 10−7 t 5 − 0.3 × 10−9 t 6 − 0.9 × 10−9 t 7 e = 0.016 708 6470 − 0.420 3675 × 10−3 t − 0.127 293 × 10−4 t 2 + 0.1469 × 10−6 t 3 − 0.3 × 10−9 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 $ = 1.796 595 5755 + 0.562 990 246 × 10−1 t + 0.256 5114 × 10−3 t 2 − 0.8036×10−6 t 3 +0.5608×10−6 t 4 +0.259×10−7 t 5 +0.2×10−9 t 6 k = −0.003 740 8181 − 0.822 6866 × 10−3 t + 0.276 667 × 10−4 t 2 + 0.117 29 × 10−5 t 3 − 0.273 × 10−7 t 4 − 0.7 × 10−9 t 5 h = 0.016 284 4892 − 0.620 3015 × 10−3 t − 0.338 747 × 10−4 t 2 + 0.8562 × 10−6 t 3 + 0.278 × 10−7 t 4 − 0.6 × 10−9 t 5 q = −0.14 × 10−8 − 0.113 473 13 × 10−2 t + 0.123 674 × 10−4 t 2 + 0.126 54 × 10−5 t 3 − 0.136 × 10−7 t 4 − 0.3 × 10−9 t 5 p = −0.10×10−8 +0.101 7892×10−3 t +0.470 280×10−4 t 2 −0.5422× 255

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 10−6 t 3 − 0.251 × 10−7 t 4 + 0.5 × 10−9 t 5 • Éléments moyens de Mars a = 1.523 679 3402 − 0.57 × 10−8 t − 0.2 × 10−9 t 2 + 0.1 × 10−9 t 3 λ = 6.203 500 0141 + 3340.612 434 1455 t + 0.143 219 × 10−4 t 2 + 0.2143 × 10−6 t 3 + 0.1152 × 10−6 t 4 − 0.240 × 10−7 t 5 − 0.54 × 10−8 t 6 + 0.6 × 10−9 t 7 e = 0.093 400 6298 + 0.904 8363 × 10−3 t − 0.789 28 × 10−5 t 2 − 0.2569 × 10−6 t 3 + 0.118 × 10−7 t 4 − 0.10 × 10−8 t 5 $ = 5.865 357 7523 + 0.774 774 297 × 10−1 t − 0.302 9121 × 10−3 t 2 + 0.913 65×10−5 t 3 −0.2230×10−6 t 4 −0.82×10−8 t 5 +0.6×10−9 t 6 i = 0.032 283 8102 − 0.142 218 98 × 10−2 t − 0.393 535 × 10−4 t 2 − 0.5036 × 10−6 t 3 − 0.76 × 10−8 t 4 + 0.24 × 10−8 t 5 + 0.2 × 10−9 t 6 Ω = 0.864 951 5241−0.514 902 874×10−1 t −0.111 700 52×10−2 t 2 − 0.342 257 × 10−4 t 3 − 0.334 21 × 10−5 t 4 − 0.2803 × 10−6 t 5 − 0.148 × 10−7 t 6 − 0.8 × 10−9 t 7 − 0.1 × 10−9 t 8 k = 0.085 365 5932 + 0.376 336 79 × 10−2 t − 0.246 4616 × 10−3 t 2 − 0.366 43 × 10−5 t 3 + 0.1095 × 10−6 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 h = −0.037 899 7092 + 0.624 674 59 × 10−2 t + 0.155 1692 × 10−3 t 2 − 0.632 96 × 10−5 t 3 − 0.654 × 10−7 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 q = 0.010 470 4280 + 0.171 3209 × 10−3 t − 0.407 852 × 10−4 t 2 − 0.138 88 × 10−5 t 3 + 0.91 × 10−8 t 4 + 0.17 × 10−8 t 5 p = 0.012 284 4865 − 0.108 024 34 × 10−2 t − 0.192 087 × 10−4 t 2 + 0.8714 × 10−6 t 3 + 0.308 × 10−7 t 4 • Éléments moyens de Jupiter a = 5.202 603 2063 + 0.191 25 × 10−5 t − 0.39 × 10−8 t 2 − 0.59 × 10−8 t 3 − 0.10 × 10−8 t 4 + 0.1 × 10−9 t 5 λ = 0.599 546 1070 + 529.690 961 5623 t − 0.148 3393 × 10−3 t 2 + 0.2874 × 10−6 t 3 + 0.2254 × 10−6 t 4 + 0.287 × 10−7 t 5 − 0.16 × 10−8 t 6 − 0.2 × 10−9 t 7 e = 0.048 497 9846 + 0.163 258 25 × 10−2 t − 0.472 196 × 10−4 t 2 − 0.200 68×10−5 t 3 +0.1016×10−6 t 4 −0.21×10−8 t 5 +0.3×10−9 t 6 256

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON $ = 0.250 123 0886+0.376 217 147×10−1 t +0.126 188 96×10−2 t 2 − 0.783 104 × 10−4 t 3 + 0.361 86 × 10−5 t 4 − 0.1019 × 10−6 t 5 + 0.52 × 10−8 t 6 − 0.2 × 10−9 t 7 i = 0.022 746 5375 − 0.346 9896 × 10−3 t + 0.579 686 × 10−4 t 2 + 0.169 26×10−5 t 3 −0.1318×10−6 t 4 −0.61×10−8 t 5 +0.1×10−9 t 6 Ω = 1.753 434 7790+0.308 492 395×10−1 t +0.158 224 36×10−2 t 2 − 0.127 0382 × 10−3 t 3 − 0.102 098 × 10−4 t 4 + 0.2176 × 10−6 t 5 + 0.561 × 10−7 t 6 + 0.4 × 10−9 t 7 − 0.3 × 10−9 t 8 k = 0.046 985 8470 + 0.113 031 38 × 10−2 t − 0.109 3622 × 10−3 t 2 − 0.431 77×10−5 t 3 +0.1966×10−6 t 4 +0.23×10−8 t 5 −0.1×10−9 t 6 h = 0.012 003 7197 + 0.217 184 38 × 10−2 t + 0.986 159 × 10−4 t 2 − 0.517 41×10−5 t 3 −0.997×10−7 t 4 +0.70×10−8 t 5 +0.3×10−9 t 6 q = −0.002 065 6227 − 0.313 5048 × 10−3 t − 0.167 138 × 10−4 t 2 + 0.7983 × 10−6 t 3 + 0.367 × 10−7 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 − 0.1 × 10−9 t 6 p = 0.011 183 8646 − 0.234 3211 × 10−3 t + 0.208 822 × 10−4 t 2 + 0.5275 × 10−6 t 3 − 0.343 × 10−7 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 • Éléments moyens de Saturne a = 9.554 910 3860 − 0.213 648 × 10−4 t + 0.392 × 10−7 t 2 + 0.665 × 10−7 t 3 + 0.109 × 10−7 t 4 − 0.7 × 10−9 t 5 − 0.1 × 10−9 t 6 λ = 0.874 018 5101 + 213.299 086 1085 t + 0.366 1911 × 10−3 t 2 − 0.7584 × 10−6 t 3 − 0.5543 × 10−6 t 4 − 0.703 × 10−7 t 5 + 0.40 × 10−8 t 6 + 0.5 × 10−9 t 7 e = 0.055 548 2699 − 0.346 657 40 × 10−2 t − 0.644 013 × 10−4 t 2 + 0.338 39×10−5 t 3 −0.229×10−7 t 4 −0.4×10−9 t 5 −0.4×10−9 t 6 $ = 1.624 154 3238 + 0.988 806 229 × 10−1 t + 0.920 9113 × 10−3 t 2 + 0.851 301 × 10−4 t 3 + 0.585 22 × 10−5 t 4 + 0.4927 × 10−6 t 5 + 0.346 × 10−7 t 6 + 0.35 × 10−8 t 7 + 0.2 × 10−9 t 8 i = 0.043 439 0470 + 0.445 3195 × 10−3 t − 0.856 433 × 10−4 t 2 + 0.2960×10−6 t 3 +0.1294×10−6 t 4 −0.73×10−8 t 5 −0.6×10−9 t 6 Ω = 1.983 837 5006 − 0.447 954 346 × 10−1 t − 0.321 0599 × 10−3 t 2 + 0.830 30 × 10−5 t 3 + 0.129 81 × 10−5 t 4 + 0.1770 × 10−6 t 5 − 0.120 × 10−7 t 6 − 0.3 × 10−9 t 7 257

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE k = −0.002 959 9134 − 0.529 593 53 × 10−2 t + 0.309 3287 × 10−3 t 2 + 0.129 625 × 10−4 t 3 − 0.6297 × 10−6 t 4 − 0.60 × 10−8 t 5 + 0.8 × 10−9 t 6 h = 0.055 429 6361 − 0.375 607 82 × 10−2 t − 0.319 8819 × 10−3 t 2 + 0.159 879 × 10−4 t 3 + 0.3047 × 10−6 t 4 − 0.228 × 10−7 t 5 − 0.9 × 10−9 t 6 q = −0.008 717 4559 + 0.801 6916 × 10−3 t + 0.414 506 × 10−4 t 2 − 0.199 87×10−5 t 3 −0.897×10−7 t 4 +0.6×10−9 t 5 +0.2×10−9 t 6 p = 0.019 891 4362 + 0.594 3892 × 10−3 t − 0.523 678 × 10−4 t 2 − 0.129 90×10−5 t 3 +0.863×10−7 t 4 −0.16×10−8 t 5 −0.1×10−9 t 6 • Éléments moyens d’Uranus a = 19.218 438 5555 − 0.3595 × 10−6 t + 0.289 × 10−7 t 2 − 0.1 × 10−9 t 3 − 0.1 × 10−9 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 λ = 5.481 225 3957+74.781 659 0308 t −0.851 74×10−5 t 2 +0.6776× 10−6 t 3 − 0.1879 × 10−6 t 4 + 0.134 × 10−7 t 5 + 0.196 × 10−7 t 6 − 0.15 × 10−8 t 7 − 0.3 × 10−9 t 8 e = 0.046 383 9180−0.272 8722×10−3 t +0.788 96×10−5 t 2 +0.2424× 10−6 t 3 − 0.105 × 10−7 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 $ = 3.019 293 0099 + 0.155 683 601 × 10−1 t − 0.165 3479 × 10−3 t 2 + 0.723 52×10−5 t 3 +0.1796×10−6 t 4 −0.74×10−8 t 5 −0.1×10−9 t 6 i = 0.013 494 5901−0.294 2604×10−3 t +0.609 84×10−5 t 2 +0.2800× 10−6 t 3 − 0.72 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 Ω = 1.291 628 6110 + 0.129 411 571 × 10−1 t + 0.707 6634 × 10−3 t 2 + 0.162 16 × 10−5 t 3 − 0.9373 × 10−6 t 4 − 0.332 × 10−7 t 5 + 0.5 × 10−9 t 6 k = −0.045 953 0748 + 0.183 3263 × 10−3 t − 0.8183 × 10−6 t 2 − 0.4501 × 10−6 t 3 + 0.166 × 10−7 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 h = 0.005 648 3402 − 0.748 7546 × 10−3 t + 0.121 007 × 10−4 t 2 − 0.4223 × 10−6 t 3 − 0.120 × 10−7 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 q = 0.001 859 2408−0.124 4782×10−3 t −0.207 51×10−5 t 2 +0.789× 10−7 t 3 + 0.16 × 10−8 t 4

258

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON p = 0.006 486 0185−0.117 3702×10−3 t +0.317 89×10−5 t 2 +0.716× 10−7 t 3 − 0.50 × 10−8 t 4 • Éléments moyens de Neptune a = 30.110 415 9870 − 0.473 52 × 10−5 t + 0.5521 × 10−6 t 2 − 0.387 × 10−7 t 3 + 0.47 × 10−8 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 λ = 5.311 897 9332+38.132 972 2261 t +0.394 12×10−5 t 2 −0.3415× 10−6 t 3 + 0.189 × 10−7 t 4 + 0.101 × 10−7 t 5 − 0.15 × 10−8 t 6 − 0.3 × 10−9 t [7 e = 0.009 457 2076 + 0.604 293 × 10−4 t − 0.565 × 10−7 t 2 − 0.373 × 10−7 t 3 + 0.1 × 10−9 t 4 − 0.7 × 10−9 t 5 $ = 0.839 905 1199 + 0.506 383 05 × 10−2 t + 0.122 8732 × 10−3 t 2 − 0.7486 × 10−6 t 3 − 0.1422 × 10−6 t 4 + 0.790 × 10−7 t 5 + 0.38 × 10−8 t 6 i = 0.030 891 3873 + 0.393 648 × 10−4 t + 0.3956 × 10−6 t 2 − 0.6 × 10−9 t 3 − 0.10 × 10−8 t 4 Ω = 2.300 068 7104 − 0.107 341 13 × 10−2 t − 0.397 48 × 10−5 t 2 − 0.7398 × 10−6 t 3 + 0.71 × 10−8 t 4 k = 0.005 998 8382 + 0.883 09 × 10−5 t − 0.120 04 × 10−5 t 2 − 0.306 × 10−7 t 3 + 0.12 × 10−8 t 4 − 0.11 × 10−8 t 5 h = 0.006 691 8100 + 0.780 314 × 10−4 t + 0.7982 × 10−6 t 2 − 0.338 × 10−7 t 3 − 0.10 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 q = −0.010 291 4751 − 0.7513 × 10−6 t − 0.643 × 10−7 t 2 + 0.90 × 10−8 t 3 + 0.3 × 10−9 t 4 p = 0.011 516 7667 + 0.257 218 × 10−4 t + 0.1958 × 10−6 t 2 + 0.75 × 10−8 t 3 − 0.4 × 10−9 t 4

259

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Éléments moyens issus de TOP2013 • Éléments moyens de Jupiter a= 5.202 603 2025 + 0.191 15 × 10−5 t − 0.39 × 10−8 t 2 − 0.60 × 10−8 t 3 − 0.10 × 10−8 t 4 + 0.1 × 10−9 t 5 λ= 0.599 544 6520 + 529.690 962 2786 t − 0.148 2678 × 10−3 t 2 + 0.2920 × 10−6 t 3 + 0.2277 × 10−6 t 4 + 0.287 × 10−7 t 5 − 0.16 × 10−8 t 6 − 0.3 × 10−9 t 7 e= 0.048 497 9818 + 0.163 258 55 × 10−2 t − 0.472 113 × 10−4 t 2 − 0.200 45×10−5 t 3 +0.1015×10−6 t 4 −0.22×10−8 t 5 +0.1×10−9 t 6 $= 0.250 122 8756+0.376 216 815×10−1 t +0.126 161 47×10−2 t 2 − 0.783 205 × 10−4 t 3 + 0.362 56 × 10−5 t 4 − 0.1018 × 10−6 t 5 − 0.7 × 10−9 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 i= 0.022 746 5374 − 0.346 9898 × 10−3 t + 0.579 657 × 10−4 t 2 + 0.169 28×10−5 t 3 −0.1317×10−6 t 4 −0.60×10−8 t 5 +0.1×10−9 t 6 Ω= 1.753 434 7811+0.308 492 368×10−1 t +0.158 222 63×10−2 t 2 − 0.127 0071 × 10−3 t 3 − 0.102 088 × 10−4 t 4 + 0.2178 × 10−6 t 5 + 0.560 × 10−7 t 6 + 0.5 × 10−9 t 7 − 0.3 × 10−9 t 8 k= 0.046 985 8464 + 0.113 031 74 × 10−2 t − 0.109 3507 × 10−3 t 2 − 0.431 49×10−5 t 3 +0.1964×10−6 t 4 +0.22×10−8 t 5 −0.2×10−9 t 6 h= 0.012 003 7085 + 0.217 184 27 × 10−2 t + 0.986 051 × 10−4 t 2 − 0.517 40×10−5 t 3 −0.993×10−7 t 4 +0.70×10−8 t 5 −0.1×10−9 t 6 q= −0.002 065 6227 − 0.313 5048 × 10−3 t − 0.167 133 × 10−4 t 2 + 0.7980 × 10−6 t 3 + 0.367 × 10−7 t 4 − 0.2 × 10−9 t 5 − 0.1 × 10−9 t 6 p= 0.011 183 8645 − 0.234 3212 × 10−3 t + 0.208 808 × 10−4 t 2 + 0.5275 × 10−6 t 3 − 0.343 × 10−7 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 • Éléments moyens de Saturne a= 9.554 910 4300 − 0.213 588 × 10−4 t + 0.401 × 10−7 t 2 + 0.604 × 10−7 t 3 + 0.108 × 10−7 t 4 − 0.7 × 10−9 t 5 − 0.1 × 10−9 t 6 λ= 0.874 020 9500 + 213.299 081 1942 t + 0.366 1100 × 10−3 t 2 − 0.8251 × 10−6 t 3 − 0.5667 × 10−6 t 4 − 0.681 × 10−7 t 5 + 0.40 × 10−8 t 6 + 0.5 × 10−9 t 7 260

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON e == 0.055 548 2611 − 0.346 658 27 × 10−2 t − 0.643 976 × 10−4 t 2 + 0.338 30×10−5 t 3 −0.230×10−7 t 4 −0.4×10−9 t 5 +0.6×10−9 t 6 $= 1.624 153 4835 + 0.988 808 301 × 10−1 t + 0.921 1126 × 10−3 t 2 + 0.851 195 × 10−4 t 3 + 0.584 66 × 10−5 t 4 + 0.4925 × 10−6 t 5 + 0.336 × 10−7 t 6 + 0.16 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 i= 0.043 439 0469 + 0.445 3194 × 10−3 t − 0.856 429 × 10−4 t 2 + 0.2957×10−6 t 3 +0.1294×10−6 t 4 −0.73×10−8 t 5 −0.6×10−9 t 6 Ω= 1.983 837 5000 − 0.447 954 285 × 10−1 t − 0.321 0549 × 10−3 t 2 + 0.828 68 × 10−5 t 3 + 0.129 78 × 10−5 t 4 + 0.1769 × 10−6 t 5 − 0.120 × 10−7 t 6 − 0.3 × 10−9 t 7 k= −0.002 959 8987 − 0.529 595 40 × 10−2 t + 0.309 3187 × 10−3 t 2 + 0.129 636 × 10−4 t 3 − 0.6293 × 10−6 t 4 − 0.60 × 10−8 t 5 + 0.7 × 10−9 t 6 h= 0.055 429 6608 − 0.375 608 52 × 10−2 t − 0.319 8804 × 10−3 t 2 + 0.159 860 × 10−4 t 3 + 0.3047 × 10−6 t 4 − 0.227 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 q= −0.008 717 4558 + 0.801 6915 × 10−3 t + 0.414 504 × 10−4 t 2 − 0.199 83×10−5 t 3 −0.896×10−7 t 4 +0.6×10−9 t 5 +0.2×10−9 t 6 p= 0.019 891 4362 + 0.594 3891 × 10−3 t − 0.523 676 × 10−4 t 2 − 0.129 90×10−5 t 3 +0.863×10−7 t 4 −0.16×10−8 t 5 −0.1×10−9 t 6 • Éléments moyens d’Uranus a= 19.218 438 2726 − 0.5065 × 10−6 t + 0.314 × 10−7 t 2 − 0.1326 × 10−6 t 3 − 0.8 × 10−9 t 4 + 0.45 × 10−8 t 5 λ= 5.481 221 8694+74.781 661 6318 t −0.808 81×10−5 t 2 +0.2342× 10−6 t 3 + 0.32 × 10−8 t 4 − 0.33 × 10−8 t 5 + 0 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 e= 0.046 384 0321−0.272 8506×10−3 t +0.789 00×10−5 t 2 +0.2424× 10−6 t 3 − 0.106 × 10−7 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5 $= 3.019 291 4048 + 0.155 684 613 × 10−1 t − 0.165 3083 × 10−3 t 2 + 0.723 46 × 10−5 t 3 + 0.1777 × 10−6 t 4 − 0.76 × 10−8 t 5 i= 0.013 494 5884−0.294 2600×10−3 t +0.609 84×10−5 t 2 +0.2800× 10−6 t 3 − 0.72 × 10−8 t 4 − 0.1 × 10−9 t 5

261

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Ω= 1.291 628 6271 + 0.129 411 043 × 10−1 t + 0.707 6597 × 10−3 t 2 + 0.162 26 × 10−5 t 3 − 0.9373 × 10−6 t 4 − 0.332 × 10−7 t 5 + 0.9 × 10−9 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 k= −0.045 953 1057 + 0.183 3060 × 10−3 t − 0.8191 × 10−6 t 2 − 0.4500 × 10−6 t 3 + 0.167 × 10−7 t 4 + 0.2 × 10−9 t 5 h= 0.005 648 4158 − 0.748 7576 × 10−3 t + 0.120 988 × 10−4 t 2 − 0.4223 × 10−6 t 3 − 0.120 × 10−7 t 4 + 0.6 × 10−9 t 5 q= 0.001 859 2404−0.124 4778×10−3 t −0.207 51×10−5 t 2 +0.789× 10−7 t 3 + 0.16 × 10−8 t 4 p= 0.006 486 0177−0.117 3702×10−3 t +0.317 90×10−5 t 2 +0.716× 10−7 t 3 − 0.50 × 10−8 t 4 • Éléments moyens de Neptune a= 30.110 415 8724 − 0.456 75 × 10−5 t + 0.5662 × 10−6 t 2 + 0.341 × 10−7 t 3 − 0.99 × 10−8 t 4 + 0.4 × 10−9 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 λ= 5.311 899 0423+38.132 972 3622 t +0.378 24×10−5 t 2 −0.3505× 10−6 t 3 − 0.128 × 10−7 t 4 + 0.85 × 10−8 t 5 − 0.2 × 10−9 t 6 − 0.2 × 10−9 t 7 e= 0.009 454 3149 + 0.603 481 × 10−4 t − 0.528 × 10−7 t 2 − 0.375 × 10−7 t 3 + 0.6 × 10−9 t 4 $= 0.839 897 6747 + 0.506 211 39 × 10−2 t + 0.123 0736 × 10−3 t 2 − 0.7728×10−6 t 3 −0.1654×10−6 t 4 +0.35×10−8 t 5 +0.13×10−8 t 6 i= 0.030 891 3885 + 0.393 651 × 10−4 t + 0.3956 × 10−6 t 2 − 0.6 × 10−9 t 3 − 0.10 × 10−8 t 4 Ω= 2.300 068 7142 − 0.107 339 37 × 10−2 t − 0.397 34 × 10−5 t 2 − 0.7401 × 10−6 t 3 + 0.70 × 10−8 t 4 + 0.3 × 10−9 t 5 k= 0.005 998 8612 + 0.885 50 × 10−5 t − 0.120 04 × 10−5 t 2 − 0.309 × 10−7 t 3 + 0.17 × 10−8 t 4 h= 0.006 691 7075 + 0.780 363 × 10−4 t + 0.8009 × 10−6 t 2 − 0.343 × 10−7 t 3 − 0.7 × 10−9 t 4 q= −0.010 291 4756 − 0.7516 × 10−6 t − 0.643 × 10−7 t 2 + 0.90 × 10−8 t 3 + 0.3 × 10−9 t 4 262

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON p= 0.011 516 7670 + 0.257 217 × 10−4 t + 0.1958 × 10−6 t 2 + 0.75 × 10−8 t 3 − 0.4 × 10−9 t 4 • Éléments moyens de Pluton a= 39.544 617 14 + 0.378 9000 × 10−1 t − 0.601 991 × 10−2 t 2 − 0.360 99 × 10−3 t 3 + 0.170 60 × 10−3 t 4 − 0.2170 × 10−4 t 5 − 0.410×10−5 t 6 +0.120×10−5 t 7 +0.49×10−6 t 8 −0.2×10−7 t 9 − 0.1 × 10−7 t 10 λ= 4.165 471 12+25.335 660 20 t −0.182 7222×10−1 t 2 +0.194 099× 10−2 t 3 + 0.8610 × 10−4 t 4 − 0.3280 × 10−4 t 5 + 0.342 × 10−5 t 6 + 0.64 × 10−6 t 7 − 0.15 × 10−6 t 8 − 0.2 × 10−7 t 9 e= 0.249 050 26 + 0.484 74 × 10−3 t − 0.8796 × 10−4 t 2 − 0.451 × 10−5 t 3 + 0.261 × 10−5 t 4 − 0.35 × 10−6 t 5 − 0.7 × 10−7 t 6 + 0.2 × 10−7 t 7 + 0.1 × 10−7 t 8 $= 3.911 847 80 − 0.153 103 × 10−2 t − 0.3268 × 10−4 t 2 + 0.366 × 10−5 t 3 + 0.236 × 10−5 t 4 − 0.58 × 10−6 t 5 − 0.4 × 10−7 t 6 + 0.3 × 10−7 t 7 + 0.2 × 10−7 t 8 i= 0.299 185 76 + 0.1347 × 10−4 t + 0.713 × 10−5 t 2 − 0.4 × 10−7 t 3 − 0.36 × 10−6 t 4 + 0.5 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−7 t 6 Ω= 1.925 074 08 − 0.138 774 × 10−2 t + 0.1336 × 10−4 t 2 − 0.219 × 10−5 t 3 − 0.60 × 10−6 t 4 + 0.11 × 10−6 t 5 − 0.1 × 10−7 t 6 k= −0.178 738 96 − 0.613 40 × 10−3 t + 0.5717 × 10−4 t 2 + 0.396 × 10−5 t 3 − 0.146 × 10−5 t 4 + 0.15 × 10−6 t 5 + 0.4 × 10−7 t 6 − 0.1 × 10−7 t 7 h= −0.173 404 72 − 0.6392 × 10−4 t + 0.6783 × 10−4 t 2 + 0.241 × 10−5 t 3 − 0.225 × 10−5 t 4 + 0.35 × 10−6 t 5 + 0.5 × 10−7 t 6 − 0.2 × 10−7 t 7 − 0.1 × 10−7 t 8 q= −0.051 702 31 + 0.191 67 × 10−3 t − 0.303 × 10−5 t 2 + 0.32 × 10−6 t 3 + 0.15 × 10−6 t 4 − 0.2 × 10−7 t 5 p= 0.139 779 93+0.7799×10−4 t +0.249×10−5 t 2 +0.10×10−6 t 3 − 0.14 × 10−6 t 4 + 0.2 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−7 t 6

263

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 5.2.8.2

Éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de la date

• Éléments moyens de Mercure λ= 4.402 608 6317 + 26 088.147 055 6508 t + 0.527 2052 × 10−3 t 2 + 0.4623 × 10−6 t 3 − 0.114 63 × 10−5 t 4 − 0.185 × 10−7 t 5 $= 1.351 864 1469+0.271 643 5401 t +0.512 4158×10−3 t 2 +0.1843× 10−6 t 3 − 0.115 54 × 10−5 t 4 − 0.183 × 10−7 t 5 i= 0.122 260 0663 + 0.317 9215 × 10−3 t − 0.315 883 × 10−4 t 2 + 0.9729 × 10−6 t 3 − 0.14 × 10−8 t 4 − 0.54 × 10−8 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 Ω= 0.843 533 0084+0.207 013 8836 t +0.302 8761×10−3 t 2 +0.383 54× 10−5 t 3 − 0.108 51 × 10−5 t 4 − 0.376 × 10−7 t 5 + 0.8 × 10−9 t 6 k= 0.044 660 6294−0.544 808 740×10−1 t −0.180 533 23×10−2 t 2 + 0.663 2923 × 10−3 t 3 + 0.148 823 × 10−4 t 4 − 0.236 56 × 10−5 t 5 − 0.594 × 10−7 t 6 + 0.36 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 h= 0.200 723 3087+0.123 309 466×10−1 t −0.737 354 97×10−2 t 2 − 0.184 8006 × 10−3 t 3 + 0.445 240 × 10−4 t 4 + 0.100 75 × 10−5 t 5 − 0.1023 × 10−6 t 6 − 0.31 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 q= 0.040 615 6406 − 0.934 169 66 × 10−2 t − 0.919 1253 × 10−3 t 2 + 0.652 192 × 10−4 t 3 + 0.374 03 × 10−5 t 4 − 0.1280 × 10−6 t 5 − 0.62 × 10−8 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 p= 0.045 635 4933 + 0.852 652 28 × 10−2 t − 0.955 4873 × 10−3 t 2 − 0.670 740 × 10−4 t 3 + 0.329 86 × 10−5 t 4 + 0.1686 × 10−6 t 5 − 0.36 × 10−8 t 6 − 0.2 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Vénus λ= 3.176 134 4616 + 10 213.529 417 1848 t + 0.538 0474 × 10−3 t 2 + 0.3652 × 10−6 t 3 − 0.115 81 × 10−5 t 4 − 0.184 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 $= 2.296 219 3482 + 0.244 720 0751 t − 0.188 154 82 × 10−2 t 2 − 0.994 241×10−4 t 3 −0.469 02×10−5 t 4 −0.61×10−8 t 5 +0.171× 10−7 t 6 + 0.14 × 10−8 t 7 i= 0.059 247 9578 + 0.175 1115 × 10−3 t − 0.152 22 × 10−5 t 2 − 0.1194 × 10−6 t 3 − 0.17 × 10−8 t 4 − 0.51 × 10−8 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 264

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Ω= 1.338 316 3669+0.157 258 7805 t +0.705 6426×10−3 t 2 −0.144 13× 10−5 t 3 − 0.121 48 × 10−5 t 4 − 0.134 × 10−7 t 5 − 0.35 × 10−8 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 k= −0.004 492 8210 − 0.923 0516 × 10−3 t + 0.225 0358 × 10−3 t 2 − 0.145 08 × 10−5 t 3 − 0.168 22 × 10−5 t 4 + 0.628 × 10−7 t 5 + 0.50 × 10−8 t 6 − 0.2 × 10−9 t 7 h= 0.005 066 8515 − 0.145 688 25 × 10−2 t − 0.583 914 × 10−4 t 2 + 0.226 183 × 10−4 t 3 − 0.6039 × 10−6 t 4 − 0.1000 × 10−6 t 5 + 0.43 × 10−8 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 q= 0.006 824 1139 − 0.451 247 82 × 10−2 t − 0.118 2878 × 10−3 t 2 + 0.177 598 × 10−4 t 3 + 0.5250 × 10−6 t 4 − 0.170 × 10−7 t 5 − 0.7 × 10−9 t 6 p= 0.028 822 8192 + 0.115 831 48 × 10−2 t − 0.349 1530 × 10−3 t 2 − 0.875 60 × 10−5 t 3 + 0.6495 × 10−6 t 4 + 0.243 × 10−7 t 5 − 0.2 × 10−9 t 6 • Éléments moyens du barycentre Terre-Lune λ= 1.753 470 3694 + 6 283.319 653 2727 t + 0.526 1262 × 10−3 t 2 + 0.3781 × 10−6 t 3 − 0.114 74 × 10−5 t 4 − 0.33 × 10−8 t 5 − 0.3 × 10−9 t 6 − 0.9 × 10−9 t 7 $= 1.796 595 5755+0.300 101 9441 t +0.792 4414×10−3 t 2 −0.4175× 10−6 t 3 − 0.5958 × 10−6 t 4 + 0.74 × 10−8 t 5 + 0.2 × 10−9 t 6 k= −0.003 740 8181 − 0.479 289 26 × 10−2 t + 0.281 3476 × 10−3 t 2 + 0.740 282 × 10−4 t 3 − 0.270 22 × 10−5 t 4 − 0.3815 × 10−6 t 5 + 0.87 × 10−8 t 6 + 0.10 × 10−8 t 7 h= 0.016 284 4892 − 0.153 232 39 × 10−2 t − 0.720 4268 × 10−3 t 2 + 0.325 017 × 10−4 t 3 + 0.586 04 × 10−5 t 4 − 0.1726 × 10−6 t 5 − 0.213 × 10−7 t 6 + 0.3 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Mars λ= 6.203 500 0141 + 3340.856 267 0796 t + 0.548 5157 × 10−3 t 2 + 0.5487 × 10−6 t 3 − 0.104 06 × 10−5 t 4 − 0.426 × 10−7 t 5 − 0.54 × 10−8 t 6 + 0.6 × 10−9 t 7 $= 5.865 357 7523+0.321 310 3638 t +0.231 2816×10−3 t 2 +0.947 10× 10−5 t 3 − 0.137 88 × 10−5 t 4 − 0.267 × 10−7 t 5 + 0.6 × 10−9 t 6 265

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE i= 0.032 283 8102 − 0.104 9777 × 10−3 t + 0.222 763 × 10−4 t 2 − 0.1201 × 10−6 t 3 − 0.862 × 10−7 t 4 − 0.8 × 10−9 t 5 + 0.6 × 10−9 t 6 Ω= 0.864 951 5241+0.134 741 4938 t +0.244 562×10−4 t 2 +0.399 262× 10−4 t 3 − 0.245 59 × 10−5 t 4 − 0.3050 × 10−6 t 5 − 0.9 × 10−9 t 6 + 0.12 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 k= 0.085 365 5932+0.130 045 652×10−1 t −0.428 706 25×10−2 t 2 − 0.259 3896 × 10−3 t 3 + 0.354 057 × 10−4 t 4 + 0.159 94 × 10−5 t 5 − 0.1101 × 10−6 t 6 − 0.50 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 h= −0.037 899 7092+0.270 616 889×10−1 t +0.224 505 82×10−2 t 2 − 0.451 4052 × 10−3 t 3 − 0.226 364 × 10−4 t 4 + 0.219 14 × 10−5 t 5 + 0.957 × 10−7 t 6 − 0.45 × 10−8 t 7 − 0.2 × 10−9 t 8 q= 0.010 470 4280 − 0.168 927 39 × 10−2 t − 0.827 412 × 10−4 t 2 + 0.361 26 × 10−5 t 3 + 0.182 × 10−7 t 4 + 0.144 × 10−7 t 5 + 0.8 × 10−9 t 6 − 0.1 × 10−9 t 7 p= 0.012 284 4865 + 0.137 085 90 × 10−2 t − 0.107 3694 × 10−3 t 2 − 0.260 19 × 10−5 t 3 − 0.276 × 10−7 t 4 − 0.55 × 10−8 t 5 + 0.14 × 10−8 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Jupiter λ= 0.599 544 6520 + 529.934 790 1605 t + 0.386 5954 × 10−3 t 2 + 0.6722 × 10−6 t 3 − 0.9283 × 10−6 t 4 + 0.101 × 10−7 t 5 − 0.16 × 10−8 t 6 − 0.3 × 10−9 t 7 $= 0.250 122 8756 + 0.281 449 5634 t + 0.179 647 78 × 10−2 t 2 − 0.779 403 × 10−4 t 3 + 0.246 96 × 10−5 t 4 − 0.1205 × 10−6 t 5 − 0.7 × 10−9 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 i= 0.022 746 5374−0.959 3721×10−3 t +0.813 30×10−5 t 2 −0.306× 10−7 t 3 − 0.429 × 10−7 t 4 − 0.3 × 10−9 t 5 + 0.3 × 10−9 t 6 Ω= 1.753 434 7811+0.178 181 9491 t +0.699 1644×10−3 t 2 +0.730 74× 10−5 t 3 − 0.299 79 × 10−5 t 4 − 0.1275 × 10−6 t 5 + 0.62 × 10−8 t 6 + 0.9 × 10−9 t 7 k= 0.046 985 8464 − 0.179 652 14 × 10−2 t − 0.204 202 90 × 10−2 t 2 − 0.402 501 × 10−4 t 3 + 0.168 682 × 10−4 t 4 + 0.6017 × 10−6 t 5 − 0.623 × 10−7 t 6 − 0.27 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 h= 0.012 003 7085 + 0.136 283 021 × 10−1 t + 0.425 166 × 10−4 t 2 − 266

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON 0.210 8583 × 10−3 t 3 − 0.619 10 × 10−5 t 4 + 0.111 10 × 10−5 t 5 + 0.444 × 10−7 t 6 − 0.30 × 10−8 t 7 − 0.1 × 10−9 t 8 q= −0.002 065 6227 − 0.190 564 56 × 10−2 t + 0.108 2773 × 10−3 t 2 + 0.895 76 × 10−5 t 3 − 0.3625 × 10−6 t 4 − 0.115 × 10−7 t 5 − 0.3 × 10−9 t 6 p= 0.011 183 8645 − 0.839 7342 × 10−3 t − 0.159 4614 × 10−3 t 2 + 0.794 11 × 10−5 t 3 + 0.3742 × 10−6 t 4 − 0.85 × 10−8 t 5 − 0.1 × 10−9 t 6 − 0.1 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Saturne λ= 0.874 020 9500 + 213.542 927 4921 t + 0.902 2399 × 10−3 t 2 − 0.5297 × 10−6 t 3 − 0.172 29 × 10−5 t 4 − 0.866 × 10−7 t 5 + 0.39 × 10−8 t 6 + 0.5 × 10−9 t 7 $= 1.624 153 4835 + 0.342 727 1280 t + 0.145 724 25 × 10−2 t 2 + 0.854 148 × 10−4 t 3 + 0.469 05 × 10−5 t 4 + 0.4739 × 10−6 t 5 + 0.336 × 10−7 t 6 + 0.16 × 10−8 t 7 + 0.1 × 10−9 t 8 i= 0.043 439 0469 − 0.652 0924 × 10−3 t − 0.265 298 × 10−4 t 2 + 0.151 96 × 10−5 t 3 + 0.1497 × 10−6 t 4 − 0.152 × 10−7 t 5 − 0.11 × 10−8 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 Ω= 1.983 837 5000+0.153 066 3528 t −0.215 7260×10−3 t 2 −0.392 264× 10−4 t 3 + 0.8583 × 10−6 t 4 + 0.3925 × 10−6 t 5 − 0.184 × 10−7 t 6 − 0.17 × 10−8 t 7 k= −0.002 959 8987−0.188 122 717×10−1 t +0.128 350 80×10−2 t 2 + 0.384 7500 × 10−3 t 3 − 0.214 233 × 10−4 t 4 − 0.253 04 × 10−5 t 5 + 0.1148 × 10−6 t 6 + 0.84 × 10−8 t 7 − 0.3 × 10−9 t 8 h= 0.055 429 6608 − 0.447 784 55 × 10−2 t − 0.326 081 81 × 10−2 t 2 + 0.200 1486 × 10−3 t 3 + 0.346 337 × 10−4 t 4 − 0.174 57 × 10−5 t 5 − 0.1561 × 10−6 t 6 + 0.63 × 10−8 t 7 + 0.4 × 10−9 t 8 q= −0.008 717 4558 − 0.291 386 68 × 10−2 t + 0.157 4359 × 10−3 t 2 + 0.123 390 × 10−4 t 3 − 0.7062 × 10−6 t 4 − 0.350 × 10−7 t 5 + 0.43 × 10−8 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 p= 0.019 891 4362 − 0.163 290 60 × 10−2 t − 0.223 2607 × 10−3 t 2 + 0.111 891 × 10−4 t 3 + 0.6142 × 10−6 t 4 − 0.505 × 10−7 t 5 − 0.24 × 10−8 t 6 + 0.4 × 10−9 t 7

267

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE • Éléments moyens d’Uranus λ= 5.481 221 8694 + 75.025 479 6499 t + 0.527 5645 × 10−3 t 2 + 0.5998 × 10−6 t 3 − 0.115 29 × 10−5 t 4 − 0.219 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−9 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 $= 3.019 291 4048+0.259 386 4794 t +0.370 3443×10−3 t 2 +0.760 02× 10−5 t 3 − 0.9785 × 10−6 t 4 − 0.262 × 10−7 t 5 i= 0.013 494 5884 + 0.135 4064 × 10−3 t + 0.654 348 × 10−4 t 2 − 0.160 51 × 10−5 t 3 − 0.1809 × 10−6 t 4 + 0.49 × 10−8 t 5 + 0.9 × 10−9 t 6 − 0.1 × 10−9 t 7 Ω= 1.291 628 6271+0.909 321 006×10−1 t +0.233 694 32×10−2 t 2 + 0.322 9051 × 10−3 t 3 − 0.180 002 × 10−4 t 4 − 0.175 79 × 10−5 t 5 + 0.1264 × 10−6 t 6 + 0.111 × 10−7 t 7 − 0.12 × 10−8 t 8 − 0.1 × 10−9 t 9 k= −0.045 953 1057−0.119 387 96×10−2 t +0.154 460 83×10−2 t 2 + 0.111 971×10−4 t 3 −0.835 43×10−5 t 4 −0.524×10−7 t 5 +0.164× 10−7 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 h= 0.005 648 4158 − 0.119 529 528 × 10−1 t − 0.135 7141 × 10−3 t 2 + 0.131 9872 × 10−3 t 3 + 0.7885 × 10−6 t 4 − 0.4139 × 10−6 t 5 − 0.33 × 10−8 t 6 + 0.5 × 10−9 t 7 q= 0.001 859 2404 − 0.571 1316 × 10−3 t − 0.197 469 × 10−4 t 2 − 0.498 69 × 10−5 t 3 + 0.427 × 10−7 t 4 + 0.279 × 10−7 t 5 + 0.7 × 10−9 t 6 − 0.1 × 10−9 t 7 p= 0.006 486 0177 + 0.234 1455 × 10−3 t + 0.106 761 × 10−4 t 2 − 0.118 81 × 10−5 t 3 − 0.4673 × 10−6 t 4 − 0.31 × 10−8 t 5 + 0.13 × 10−8 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Neptune λ= 5.311 899 0423 + 38.376 799 3263 t + 0.538 5173 × 10−3 t 2 + 0.173 × 10−7 t 3 − 0.100 32 × 10−5 t 4 − 0.136 × 10−7 t 5 − 0.15 × 10−8 t 6 − 0.3 × 10−9 t 7 $= 0.839 897 6747+0.248 889 0780 t +0.657 8085×10−3 t 2 −0.4050× 10−6 t 3 − 0.115 59 × 10−5 t 4 − 0.186 × 10−7 t 5 i= 0.030 891 3885 − 0.162 463 87 × 10−2 t − 0.123 713 × 10−4 t 2 + 0.4892 × 10−6 t 3 − 0.42 × 10−8 t 4 − 0.29 × 10−8 t 5

268

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Ω= 2.300 068 7142+0.192 356 2176 t +0.449 4651×10−3 t 2 −0.104 247× 10−4 t 3 − 0.156 42 × 10−5 t 4 + 0.1050 × 10−6 t 5 + 0.28 × 10−8 t 6 + 0.2 × 10−9 t 7 k= 0.005 998 8612 − 0.162 276 37 × 10−2 t − 0.202 1270 × 10−3 t 2 + 0.148 516 × 10−4 t 3 + 0.122 74 × 10−5 t 4 − 0.326 × 10−7 t 5 − 0.32 × 10−8 t 6 h= 0.006 691 7075 + 0.154 072 04 × 10−2 t − 0.192 7486 × 10−3 t 2 − 0.180 054 × 10−4 t 3 + 0.8183 × 10−6 t 4 + 0.684 × 10−7 t 5 − 0.8 × 10−9 t 6 − 0.1 × 10−9 t 7 q= −0.010 291 4756 − 0.167 411 58 × 10−2 t + 0.305 8440 × 10−3 t 2 + 0.565 58 × 10−5 t 3 − 0.137 23 × 10−5 t 4 − 0.129 × 10−7 t 5 + 0.29 × 10−8 t 6 p= 0.011 516 7670 − 0.258 527 06 × 10−2 t − 0.118 2024 × 10−3 t 2 + 0.237 432 × 10−4 t 3 + 0.2396 × 10−6 t 4 − 0.656 × 10−7 t 5 − 0.8 × 10−9 t 6 + 0.1 × 10−9 t 7 • Éléments moyens de Pluton λ= 4.165 471 12+25.579 773 29 t −0.177 4451×10−1 t 2 +0.194 110× 10−2 t 3 + 0.8495 × 10−4 t 4 − 0.3282 × 10−4 t 5 + 0.342 × 10−5 t 6 + 0.64 × 10−6 t 7 − 0.15 × 10−6 t 8 − 0.2 × 10−7 t 9 $= 3.911 847 80 + 0.242 582 05 t + 0.495 03 × 10−3 t 2 + 0.376 × 10−5 t 3 + 0.121 × 10−5 t 4 − 0.60 × 10−6 t 5 − 0.4 × 10−7 t 6 + 0.3 × 10−7 t 7 + 0.2 × 10−7 t 8 i= 0.299 185 76 − 0.964 77 × 10−3 t − 0.6277 × 10−4 t 2 + 0.141 × 10−5 t 3 − 0.34 × 10−6 t 4 + 0.5 × 10−7 t 5 + 0.1 × 10−7 t 6 Ω= 1.925 074 08 + 0.235 743 32 t + 0.704 04 × 10−3 t 2 + 0.342 × 10−5 t 3 − 0.181 × 10−5 t 4 + 0.9 × 10−7 t 5 − 0.1 × 10−7 t 6 k= −0.178 738 96 + 0.417 1696 × 10−1 t + 0.548 991 × 10−2 t 2 − 0.391 66 × 10−3 t 3 − 0.3321 × 10−4 t 4 + 0.160 × 10−5 t 5 + 0.8 × 10−7 t 6 − 0.3 × 10−7 t 7 h= −0.173 404 72 − 0.436 9643 × 10−1 t + 0.499 047 × 10−2 t 2 + 0.473 62 × 10−3 t 3 − 0.2439 × 10−4 t 4 − 0.178 × 10−5 t 5 + 0.18 × 10−6 t 6 − 0.1 × 10−7 t 7 − 0.1 × 10−7 t 8 q= −0.051 702 31 − 0.327 8670 × 10−1 t + 0.145 450 × 10−2 t 2 + 269

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 0.315 66×10−3 t 3 −0.499×10−5 t 4 −0.96×10−6 t 5 −0.1×10−7 t 6 p= 0.139 779 93−0.126 3585×10−1 t −0.391 064×10−2 t 2 +0.105 26× 10−3 t 3 + 0.1926 × 10−4 t 4 − 0.10 × 10−6 t 5 − 0.4 × 10−7 t 6

5.2.9 5.2.9.1

Éphémérides approchées Construction

Les éphémérides approchées permettent d’obtenir les coordonnées héliocentriques des planètes avec une bonne précision sur l’intervalle de temps [−4000, 8000]. Elles sont obtenues à partir des éléments moyens des variables a, λ, k, h, q, p, rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe J2000. Parmi ces variables, on note ρ les variables autres que le demi-grand axe a et la longitude moyenne λ. Les éphémérides approchées sont calculées en ajoutant à ces éléments moyens quelques termes trigonométriques aux expressions des éléments moyens des variables a et λ. Les expressions ainsi obtenues sont utiles uniquement pour calculer les coordonnées héliocentriques des planètes et ne sont en aucun cas des solutions simplifiées des éléments elliptiques.

5.2.9.2

Les termes trigonométriques ajoutés

Les termes trigonométriques ajoutés sont des séries de Poisson de l’argument µ défini par l’équation 5.29. Cette représentation a été choisie, car les perturbations de Jupiter et Saturne convergent beaucoup plus rapidement sous cette forme que sous la forme classique de séries de Poisson des longitudes moyennes moyennes (voir section 5.2.6.4).

5.2.9.3

Forme des éphémérides approchées

On peut calculer des éphémérides approchées des planètes sur l’intervalle [−4000, 8000] en utilisant des développements des variables ρ, a et λ de la forme : 270

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON

ρ = ρ0 + ρ1 t + ρ2 t 2 + ρ3 t 3 + ρ4 t 4 a = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 +

i=13 X

(5.34)

{Cia cos(pi µ) + S ia sin(pi µ)}

i=1

+

i=16 X

a a t {Cia cos(pi µ) + S ia sin(pi µ)} + t2 {Cl7 cos(q17 µ) + S l7 sin(q17 µ)}

i=14

λ = λ0 + N t + l 2 t 2 + l 3 t 3 +

i=13 X

{Cil cos(qi µ) + S il sin(qi µ)}

i=1

+

i=16 X

t {Cil cos(qi µ) + S ßl sin(qi µ)} +

i=14

i=18 X

t2 {Cil cos(qi µ) + S il sin(qi µ)}

i=17

Dans les expressions 5.34 : ρ représente les variables k, h, q, p ; t est le temps compté en milliers d’années à partir de J2000 ; µ est l’argument défini par (5.29) ; pi et qi sont des entiers ; ρ0 , a0 et λ0 sont les parties constantes des éléments moyens rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe J2000 des variables ρ, a et λ, donnés dans la section 5.2.8.1. Pour les planètes Mercure, Vénus, le barycentre Terre-Lune (BTL) et Mars, on utilise les éléments moyens issus de VSOP2013 et pour Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, ceux issus de TOP2013 ; • ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 sont les coefficients des termes en t, t2 , t3 et t4 des éléments moyens des variables ρ ; a1 , a2 , a3 sont les coefficients des termes en t, t2 et t3 de la variable a et N, l2 , l3 , ceux de la variable λ. Ces coefficients sont issus de VSOP2013 pour Mercure, Vénus, BTL et Mars et de TOP2013 pour Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune ; • les arguments pi µ, qi µ et les valeurs des coefficients Cia , S ia , Cil , S il pour les huit planètes sont donnés dans la table 5.7.

• • • • •

5.2.9.4

Programmes de calcul

Les programmes de calcul qui permettent de calculer les éphémérides approchées des planètes sont disponibles à l’IMCCE. Ils donnent les coordonnées héliocentriques, longitude, latitude et rayon vecteur, ainsi que les coordonnées rectangulaires à partir des éléments elliptiques.

271

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.7 – Termes trigonométriques à ajouter aux éléments moyens des planètes pour calculer les éphémérides approchées à partir des formules (5.29) et (5.34). Les unités sont 10−7 au pour Cia et S ia , 10−7 radian pour Cil et S il .

i

pi µ

C Ia

S ia

qi µ

C Il

S il

Mercure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

69614µ 88306µ 75646µ 71087µ 59899µ 15746µ 44153µ 75218µ 142174µ 3086µ

69614µ

4 12 −15 −6 −10 −8 3 4 −1 5

−29 10 −1 11 7 −6 −8 −7 6 0

3086µ 15746µ 69613µ 75646µ 59899µ 88306µ 1473µ 75218µ 12661µ 2658µ 44153µ

21 −97 −157 −6 40 45 −37 −36 22 30 −32

−344 138 −23 77 60 −55 −35 −19 −31 17 −12

6

1

3086µ 15746µ

19 14

0 10

21863µ 32794µ 10931µ 4387µ 1µ 26934µ 73µ 26250µ 1473µ 2157µ 532µ 43725µ 53867µ 21863µ 1µ 10931µ 1µ 21863µ

−158 −313 −235 −74 121 −76 60 52 −27 34 −38 −28 −39 −63 37 −4 −7 1

517 −149 −35 151 −108 122 117 −56 −71 −62 44 42 18 −19 41 28 6 −4

−321 −317

−137 −104

Vénus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

21863µ 32794µ 26934µ 10931µ 26250µ 43725µ 53867µ 0µ 28939µ 4387µ 54657µ

−159 59 −42 6 19 −20 −10 18 −12 −10 −5

−48 −125 −26 −37 18 −13 −20 0 −1 −5 5

21863µ

6

−19

21863µ

1

0

Barycentre Terre-Lune 1 2

16002µ 21863µ

64 −151

−150 −46

272

16002µ 10µ

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Table 5.7 (suite) i

pi µ

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

32004µ 10932µ 16368µ 14530µ 15319µ 32794µ 0µ 15261µ 43725µ

62 −8 −38 32 17 −10 −15 4 7

68 54 22 14 −24 21 0 10 5

10932µ 21863µ

−20 6

−3 −18

C Ia

S ia

qi µ

C Il

S il

21863µ 10931µ 32005µ 1473µ 4387µ 73µ 16369µ 1107µ 1µ

−79 232 97 −52 50 −41 45 −81 −37

259 35 −88 −116 −104 −80 77 32 −7

10µ 21863µ 4387µ 10µ

7 −32 −17 6

−64 −10 −5 0

10µ 7818µ 6345µ 1µ 15636µ 1107µ 8184µ 7077µ 532µ 1473µ

2572 788 −977 −376 −671 575 345 −32 202 42

846 −944 −205 0 141 −234 −96 −314 −233 −166

−55 0 −77 −98 −52

520 −144 −59 0 −1

7617 −5001 −7690 −5835 −2630 1088 −746

−56994 8023 1030 1431 −3045 −3704 351

Mars 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

7818µ 15636µ 6345µ 8184µ 7077µ 14163µ 0µ 1107µ 4872µ 17109µ 8698µ

619 −144 123 54 191 −54 95 30 17 44 22

516 −690 −618 195 −21 −89 0 76 −65 22 42

1536µ 7818µ 6345µ

−95 34 −21

20 −43 −8

10µ 1µ 532µ 0µ 10µ

Jupiter 1 2 3 4 5 6 7

1760µ 1454µ 1167µ 880µ 287µ 2640µ 19µ

−23410 −2667 6640 5923 −1449 −1814 2619

−14603 −19824 −5895 1812 −4352 −2258 775

273

19µ 1760µ 1454µ 287µ 1167µ 880µ 574µ

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Table 5.7 (suite) i

pi µ

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2047µ 0µ 574µ 2927µ 3233µ 1186µ 1454µ 19µ

C Ia

S ia

−2123 1534 −373 −694 −743 −561 −1473 −173

949 0 −910 −347 −107 447 931 269

qi µ

C Il

S il

2640µ 2047µ 306µ 593µ 12µ 1186µ 19µ 1454µ 287µ 19µ 1454µ

−610 294 193 513 −10 199 6082 360 −306 −448 22

503 661 −655 −166 469 258 3776 575 10 385 −36

19µ 574µ 287µ 306µ 1760µ 12µ 31µ 38µ 1167µ 562µ 593µ 770µ 1473µ 19µ 574µ 287µ 19µ 287µ

−18555 30173 20038 −725 851 16 1231 −346 −662 −1041 −389 −124 541 −14781 −2075 1049 1098 −28

138619 −13542 −4952 1445 −1300 −1473 478 1258 −1066 −31 584 −634 −204 −9185 −1910 −31 −1834 49

4µ 204µ 177µ 8µ 31µ 200µ 1265µ 102µ 12µ 98µ 306µ

−134086 −14507 4218 −4017 −5630 −2896 2535 −306 199 −863 320

70924 −40893 5289 −4911 −1853 62 433 −1747 1167 −165 584

Saturne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

574µ 0µ 880µ 287µ 19µ 1760µ 1167µ 306µ 562µ 593µ 2640µ 770µ 2047µ 574µ 19µ 287µ 574µ

63007 −120769 79424 17806 −24272 12008 8312 −4901 232 −3932 2333 3181 2048 8884 1591 −220 −915

139802 0 24728 51036 −5092 7494 −4081 −1958 −5218 2120 2377 −629 −924 −9477 −2500 2911 −436 Uranus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

204µ 0µ 177µ 1265µ 4µ 385µ 200µ 31µ

386569 −263459 −44615 8353 −22824 −2100 −614 3628

−137123 0 37255 −48866 −41644 −33860 −26650 −9875

274

5.2. THÉORIES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DE PLUTON Table 5.7 (suite) pi µ

i 12 13 14 15 16 17 18

204µ 177µ 1265µ 177µ

C Ia

6545 9790 −4695 200

S ia

18532 5038 −801 −1377

qi µ

C Il

S il

412µ 196µ 4µ 204µ 177µ 177µ 204µ

−167 −456 2866 1966 610 −159 16

476 213 3662 −693 −1133 −26 45

Neptune 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5.2.9.5

0µ 102µ 4µ 98µ 1367µ 487µ 204µ 8µ 94µ 106µ 306µ

−414691 −157348 37741 −9769 −12 −7450 9615 −4805 4183 1896 2145

0 27950 69656 52266 −49573 −26432 −3590 4275 2254 −3405 −1193

4µ 102µ 8µ 98µ 1367µ 487µ 204µ 94µ 12µ 306µ

89946 2067 2695 3678 1648 866 −155 163 −112 −43

−47611 11665 3191 681 0 −244 −417 −301 206 −79

102µ 1367µ 98µ 1367µ

−624 −3567 −2806 6

−3798 4 −611 128

4µ 102µ 98µ 4µ

−1952 −281 −43 −28

−2517 47 197 10

Précision sur les intervalles de temps [0, 4000] et [−4000, 8000]

La précision des éphémérides approchées a été estimée en comparant les variables héliocentriques sphériques (longitude L, latitude B, rayon vecteur R) calculées avec les développements 5.34 et les coefficients de la table 5.7 avec ceux issus de INPOP10a pour 3 654 dates sur l’intervalle de temps [0, 4000] et 11 000 dates sur l’intervalle de temps [−4000, 8000]. Les résultats de cette comparaison sont donnés dans la table 5.8. Pour les longitudes moyennes et sur l’intervalle [0, 4000], les écarts sont inférieurs à 10 secondes de degré pour Mercure, Vénus et le BTL, de l’ordre de quelques dizaines de secondes de degré pour Mars, Jupiter et Neptune et d’une centaine de secondes de degré pour Saturne et Uranus. Sur l’intervalle [−4000, 8000], les écarts sont de 2 à 3 fois plus grands pour 275

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Mercure, Vénus, le BTL, Uranus et Neptune, 5 fois plus grands pour Jupiter et 9 fois plus grands pour Saturne. Les développements 5.34 sont assez proches de ceux donnés dans Simon et al. (1994). Ils contiennent un peu plus de termes et leur précision est, environ, deux fois meilleure sur l’intervalle [0, 4000] et de deux à dix fois meilleure, selon la planète et la variable, sur l’intervalle [−4000, 8000]. Table 5.8 – Erreurs maximales sur les intervalles de temps [0, 4000] et [−4000, 8000] des éphémérides approchées des planètes, calculées à partir des formules 5.34 et de la table 5.7 pour les longitudes héliocentriques (L), les latitudes héliocentriques (B) et les rayons vecteurs R.

[0, 4000]

Mercure Vénus BTL Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

5.3

[−4000, 8000]

L (00 )

B (00 )

R (1 000 km)

L (00 )

B (00 )

R (1 000 km)

5.2 4.4 7.5 28 40 112 114 23

0.8 0.8 0.6 1.2 6 16 8 4.5

0.6 0.8 1.9 7.3 62 163 644 224

11 13 18 70 207 965 260 63

1.5 3.2 2.5 6.2 7.7 42 9.6 5.7

1.1 2.0 5.0 12 187 724 1062 523

Le mouvement de la Lune : introduction

Cette section présente les propriétés du mouvement de la Lune et fournit des éléments sous forme analytique permettant le calcul d’une éphéméride de basse précision autour de l’époque actuelle. Cette forme analytique donnant les plus grosses perturbations permet d’expliquer simplement des phénomènes bien visibles dans le mouvement de la Lune qui sortent du cadre du mouvement képlérien. Les théories plus complètes du mouvement de la Lune qui sont à la base des éphémérides de la Connaissance des temps sont présentées dans la section 5.4.

5.3.1

Caractéristiques de l’orbite lunaire

Un observateur terrestre décrit naturellement le mouvement de la Lune par rapport au centre de la Terre. Il en déduit que la Lune tourne autour de la Terre, pendant que le 276

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

Y (km)

– 1.2 x 108

Terre Lune

– 1.4 x 108

2 x 107

4 x 107

6 x 107

8 x 107

10 x 107

X (km)

Figure 5.1 – Vision héliocentrique du mouvement de la Terre et de la Lune. Les deux orbites sont à l’échelle avec un arc couvrant une lunaison en juillet 2020. Les disques montrent la Terre et la Lune chaque jour. On perçoit le mouvement relatif de la Lune par rapport à la Terre avec la trajectoire de la Lune passant alternativement à l’intérieur et à l’extérieur de l’orbite de la Terre, mais sa courbure est toujours dirigée vers le Soleil.

système Terre-Lune tourne autour du Soleil. C’est bien la perspective adoptée pour les théories du mouvement de la Lune. On imagine donc que la Lune vue du Soleil devrait décrire une courbe festonnée accompagnant la Terre autour du Soleil. La figure 5.1 représente le mouvement héliocentrique de la Terre et de la Lune durant une lunaison en juillet 2020 (le mouvement de la Lune est projeté sur l’écliptique dans ce diagramme à l’échelle). On constate que les deux orbites sont quasiment identiques et, surtout, que la courbure du mouvement héliocentrique de la Lune ne s’inverse jamais. Aucune boucle ou aucun feston n’est visible, car la vitesse globale du mouvement héliocentrique est de ≈ 30 km s−1 , alors que le mouvement relatif de la Lune ne contribue qu’à hauteur de ≈ 1 km s−1 , un changement minime dans le mouvement général. En terme dynamique, la courbure étant liée à l’accélération, cela traduit la prédominance de l’attraction solaire par rapport à la contribution terrestre. En effet, l’accélération gravitationnelle solaire est plus importante que l’attraction terrestre (d’un facteur 2.1) et détermine la nature du mouvement héliocentrique : la Terre et la Lune tournent ensemble autour du Soleil sur une orbite quasi circulaire. Selon ce point de vue, l’attraction terrestre n’est qu’une perturbation, certes importante, et le mouvement héliocentrique lunaire ne s’écarte que légèrement d’un mouvement képlérien. Dans cette approche, le premier niveau du mou277

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE vement perturbé représente le mouvement elliptique de la Lune autour de la Terre et non les écarts à ce mouvement elliptique. La description est différente lorsqu’on envisage le mouvement relatif par rapport à la Terre. Dans ce cas, on se place dans un système de référence qui n’est pas inertiel et l’attraction solaire à considérer est la différence entre sa valeur au centre de la Lune et au centre de la Terre. C’est alors un effet différentiel. Dans ce système, l’attraction directe de la Terre sur la Lune est bien plus importante que la contribution différentielle solaire, d’un facteur 200. Selon ce point de vue, l’attraction solaire devient une perturbation et le mouvement géocentrique lunaire s’écarte d’un mouvement képlérien autour de la Terre ou autour du barycentre du système Terre-Lune. Il s’agit du point de vue adopté pour décrire le mouvement de la Lune depuis Newton et dans ce cas, la première approximation du mouvement perturbé donne les écarts au mouvement elliptique. Ce point de vue est plus naturel que la version héliocentrique, puisque la partie commune entre la Terre et la Lune du mouvement héliocentrique est éliminée d’office. Dans une toute première approximation, la Lune décrit une orbite elliptique autour de la Terre avec une période de l’ordre de 27.3 jours et une excentricité de 0.0555. L’inclinaison sur le plan de l’écliptique est légèrement variable autour de 5.15◦ . Le mouvement sur le ciel n’est pas uniforme et les écarts de plus de ± 6 degrés par rapport au mouvement moyen sont connus depuis l’Antiquité par les astronomes babyloniens et grecs. La distance Terre-Lune, plus difficilement mesurable avec des mesures angulaires, est également estimée depuis l’Antiquité et est aujourd’hui connue avec une très grande précision, grâce aux mesures directes de l’éloignement par télémétrie laser sur les réflecteurs déposés sur la Lune par les missions spatiales américaines et soviétiques. La distance moyenne, c’est-à-dire le demi-grand axe de l’ellipse, est a = 384 000 km. Au cours de ce mouvement moyen, la distance varie entre a(1 + e) ≈ 405 000 km et a(1 − e) ≈ 365 000 km au périgée. Les variations les plus importantes de la distance visibles dans la figure 5.2 ont une amplitude ae ≈ 20 000 km et une période 27.3 jours, et sont dues au mouvement elliptique. Les modulations de l’amplitude sous la forme de battements d’une période d’environ 6 mois proviennent des deux premiers termes des perturbations solaires sur la distance donnés dans la table 5.14. Ces deux effets se cumulent au voisinage du périgée, alors qu’ils se compensent partiellement à l’apogée. Ils sont responsables de l’asymétrie entre les deux extrêmes : la distance Terre-Lune à l’apogée est relativement stable (variations de l’ordre de ± 1 000 km), mais très variable au périgée (± 7 000 km). On ne peut pas rendre compte de ce phénomène simple par le mouvement képlérien (ellipse non perturbée), mais ceci est très bien expliqué par les perturbations solaires et détaillé dans la section 5.3.5.3. Le plan de l’orbite lunaire conserve une inclinaison faiblement variable sur le plan de l’écliptique (5.15◦ ± 0.15◦ ), mais la ligne d’intersection entre les deux plans (ligne 278

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE 4.1 x 105

distance (km)

4.0 x 105 3.9 x 105 3.8 x 105 3.7 x 105 3.6 x 105 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.2 – Distance Terre-Lune de 2020 à 2025 montrant les grandes variations périodiques dues au mouvement elliptique (période mensuelle) et aux deux plus importantes perturbations solaires produisant des modulations semi-annuelles.

des nœuds) tourne régulièrement dans le sens rétrograde avec une période de 18.6 ans. L’inclinaison γ sur l’équateur céleste est alors donnée par : cos γ = cos i cos  − sin i sin  cos Ω où  est l’obliquité de l’écliptique et Ω la longitude du nœud ascendant de la Lune sur l’écliptique. Lors d’une révolution complète du nœud, les valeurs extrêmes de γ sont  ± i, soit 23.44◦ ± 5.15◦ . Cela correspond également aux déclinaisons extrêmes (positives et négatives) atteintes par la Lune au cours de ce cycle de 18.6 ans. Cela détermine sa hauteur dans le ciel d’un lieu lors du passage au méridien et surtout les azimuts les plus au nord ou au sud des levers et couchers. Ces extrêmes de déclinaisons lunaires ont une grande importance en ce qui concerne les constructions mégalithiques historiques pour lesquelles une signification astronomique a été trouvée : des alignements sont clairement liés à ces directions extrêmes. La variation de la déclinaison sur une période de 20 ans est donnée dans la figure 5.3, sous la forme d’un point reporté tous les 0.5 jour. Les enveloppes supérieure et inférieure donnent la variation de la déclinaison maximale (respectivement minimale) durant cette période et couvrent un cycle complet du mouvement du nœud. Sur des durées plus longues, il faut tenir compte de la variation séculaire de l’obliquité de l’écliptique qui, pour les périodes historiques, augmente ces valeurs extrêmes, par exemple autour de ± 29.3◦ à l’époque de l’édification des mégalithes de Stonehenge. 279

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 28.7

30

18.3

déclinaison (°)

20 10 0 – 10 – 20 – 30 2010

2015

2020

2025

2030

années

Figure 5.3 – Déclinaison géocentrique de la Lune sur une durée couvrant une rotation complète du plan orbital sur l’écliptique (18.6 ans) montrant la variation de la déclinaison maximum entre ±(23.5 ± 5.2). Selon le lieu, la valeur topocentrique sera légèrement différente.

5.3.2

Les principales perturbations

L’action du Soleil, et des planètes dans une moindre mesure, est la source de déviations significatives du mouvement de la Lune par rapport à cette description simplifiée d’un mouvement elliptique simplement altéré par une rotation du plan orbital. Plusieurs descriptions sont possibles selon l’objectif visé, allant d’une formulation analytique plus ou moins compacte selon la précision recherchée à une table des positions en fonction du temps calculées avec un maximum de précision. Dans tous les cas, la forme choisie est un compromis entre des exigences venant de la théorie (les coordonnées cartésiennes ne sont pas un bon choix pour résoudre les équations, mais elles conviennent pour une solution numérique) et des calculs restant à l’utilisateur pour son objectif. La réponse n’est pas la même aujourd’hui et à l’époque des tables de logarithmes il y a un siècle. Pour des calculs pratiques, il est plus simple de fournir une liste de termes périodiques sur les coordonnées sphériques, c’est-à-dire la longitude écliptique, la latitude écliptique et le rayon vecteur, plutôt que des développements sur les variables elliptiques, bien adaptés à la théorie, mais plus complexes pour l’utilisateur qui, au final, souhaite parvenir à un vecteur position et éventuellement à un vecteur vitesse. Une liste de ce type est fournie avec les tables 5.12, 5.13, 5.14 permettant le calcul d’une éphéméride de basse précision. Cependant, il est intéressant de rester au plus près d’une description géométrique de 280

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE l’orbite et d’en révéler les changements au moyen des évolutions temporelles des paramètres orbitaux que sont le demi-grand axe, l’excentricité, l’inclinaison sur l’écliptique, la longitude du nœud et celle du périgée. La théorie permet de calculer ces termes à partir des équations de la mécanique et on trouvera la liste des termes les plus importants dans Simon et al. (1994). Les valeurs données ici ont été déterminées par analyse de Fourier des éléments elliptiques calculés à partir de l’éphéméride ELP 2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988). Des tables très détaillées et valables sur plusieurs milliers d’années se trouvent dans l’ouvrage de M. Chapront-Touzé et J. Chapront (Chapront-Touzé et Chapront, 1991). Les variations examinées ci-dessous concernent les éléments osculateurs, c’est-à-dire les paramètres orbitaux d’un mouvement elliptique instantané. Strictement parlant, la Lune ne décrit jamais cette ellipse, mais à l’instant t, sa position et sa vitesse sont déterminées par les six paramètres de l’ellipse ; 8 ou 15 jours plus tard, ces paramètres seront différents, puisqu’ils présentent des termes périodiques mensuels ou semi-mensuels. Ainsi, si à un moment donné t, l’ellipse instantanée a un demi-grand axe a(t) et une excentricité e(t), il ne faut surtout pas conclure que la Lune passera au périgée à une distance a(1 − e). Dans l’intervalle, lorsqu’elle se rapprochera du périgée, les deux grandeurs osculatrices a et e auront changé de valeur. Lorsque les éléments osculateurs ne se modifient que lentement au regard de la période orbitale, alors on peut décrire le mouvement réel comme un mouvement elliptique képlérien dont l’orbite change de forme, de taille ou d’orientation au même rythme. Si, au contraire, les changements ont lieu sur une échelle de temps plus courte ou comparable à la période orbitale, il convient d’être plus prudent. La Lune est un cas intermédiaire, avec des variations à différentes échelles : certaines à long terme (une dizaine d’années) pour les termes séculaires de la longitude du nœud ou du périgée, et d’autres à court terme (l’année ou le mois lunaire) pour les variations périodiques affectant tous les paramètres. Les tables donnent, pour chaque élément osculateur, les termes périodiques les plus importants avec leur amplitude et période, et la composante correspondante au moyen des arguments de Delaunay introduits dans la section 5.3.3.1.

5.3.2.1

Le demi-grand axe

En moyenne, le demi-grand axe de l’orbite lunaire est égal à 383 400.00 km. Les perturbations gravitationnelles ne produisent aucun changement séculaire (croissance ou décroissance systématique) du demi-grand axe. Sur une période de quelques années, les variations périodiques sont bien visibles dans la figure 5.4 avec une période principale d’une demi-lunaison (14.76 jours), dont l’amplitude de 3 400 km est légèrement modulée 281

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

demi-grand axe (km)

388 000

386 000

384 000

382 000

380 000 2020.0

2020.5

2021.0

2021.5

2022.0

années

Figure 5.4 – Variations du demi-grand axe de l’orbite lunaire entre 2020 et 2022. Les variations périodiques principales ont pour période la demi-lunaison (14.76 jours) et 31.8 jours.

par un terme de période 31.8 jours et d’amplitude 635 km. La table 5.9 fournit les 5 composantes dépassant 100 km en amplitude. Les variations de distance de la Lune sont en partie imputables au demi-grand axe, mais ce n’est pas la seule source. Table 5.9 – Principaux termes périodiques du demi-grand axe osculateur et de la longitude moyenne osculatrice de l’orbite lunaire.

cos 2D 2D − l l 2D − l0 2D + l

5.3.2.2

a amplitude période km jours 3400.4 −635.6 −235.6 218.1 181.0

sin

14.77 31.81 27.55 15.39 9.61

2D 2D − l l0 l 2D − l0

λ amplitude période deg jours −0.9258 0.3326 −0.1840 0.1100 −0.0606

14.77 31.81 365.26 27.55 15.39

L’excentricité

La figure 5.5 donne les variations de l’excentricité sur une durée de cinq années et l’on voit une structure périodique très nette comprenant plusieurs composantes. Le facteur le 282

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE plus important a une amplitude 0.014 et une période de 31.8 jours, auquel se superpose un terme d’amplitude 0.0085 et de période 206 jours bien visible dans la figure. L’orbite osculatrice est donc par moment très proche d’un cercle avec une excentricité minimale de 0.026. À d’autres moments, l’orbite osculatrice est nettement plus elliptique avec une excentricité maximale de 0.077. Les termes les plus importants avec leur période sont donnés dans la table 5.10. Les équations de la théorie des perturbations indiquent que les variations en excentricité et en longitude du périgée sont communes.

excentricité

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.5 – Variations de l’excentricité osculatrice de l’orbite lunaire entre 2020 et 2025. Les variations périodiques principales ont pour période 31.8 jours et 206 jours. Les écarts à la valeur moyenne e = 0.0555 sont larges puisque l’excentricité oscille entre 0.026 et 0.077.

Table 5.10 – Principaux termes périodiques de l’excentricité et de la longitude du périgée osculatrices de l’orbite lunaire.

cos 2D − l 2D − 2l l 2D + l 4D − 3l 4D − 2l 2D − l − l0 2D 4d − 4l

e amplitude période – jours 0.01421 0.00855 −0.00138 0.00136 −0.00115 −0.00091 0.00087 −0.00063 −0.00039

sin 2D − l 2D − 2l l 4D − 3l 4D − 2l 2D + l 4D − 4l 2D − l − l0 6D − 4l

31.81 205.89 27.55 9.61 37.63 15.91 34.85 14.77 102.95 283

$ amplitude période deg jours −15.4493 −9.6424 −2.7142 2.6080 2.0862 1.4792 0.9692 −0.9517 −0.7041

31.81 205.89 27.55 37.63 15.91 9.61 102.95 34.85 17.24

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE 5.3.2.3

La longitude du périgée

La longitude du périgée mesurée depuis l’équinoxe moyen de la date comprend un terme séculaire de période 8.85 années et des oscillations périodiques autour de ce mouvement moyen. Ces variations autour du mouvement moyen sont très importantes, comme on peut le voir dans la figure 5.6, montrant des écarts atteignant près de 25◦ . La composante la plus importante a une amplitude de 15.5◦ avec une période de 31.8 jours. Alors que la vitesse angulaire moyenne du périgée est de 0.11◦ par jour, la contribution de cette variation périodique atteint par moment ± 3.1◦ par jour. Le périgée est donc loin de se mouvoir de façon uniforme, même si, sur le long terme, il y a bien un déplacement séculaire. Ceci est bien visible dans la figure 5.7 qui comprend la composante séculaire. La pente instantanée est très variable et provient pour l’essentiel des termes périodiques. Le résultat net est bien un mouvement du périgée alternant les phases directes et rétrogrades. Les termes principaux figurent dans la table 5.10. 40 30

périgée (°)

20 10 0 – 10 – 20 – 30 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.6 – Variations périodiques de la longitude du périgée de l’orbite lunaire entre 2020 et 2025. La composante séculaire régulière n’est pas présente dans ce graphique. Les deux composantes périodiques principales sont très importantes (amplitudes de 15.5◦ et 9.6◦ ) et de périodes 31.8 et 205.9 jours. Le mouvement du périgée lunaire est donc très éloigné d’une rotation uniforme.

5.3.2.4

L’inclinaison

L’inclinaison de l’orbite de la Lune sur l’écliptique est en moyenne de 5.15◦ , mais l’inclinaison instantanée est légèrement variable autour de cette valeur, comme on le 284

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

350

périgée (°)

300 250 200 150 100

2021

2022

2023

2024

années

Figure 5.7 – Longitude du périgée de l’orbite lunaire entre 2020 et 2024. La composante séculaire est fortement modulée par des termes périodiques dont les plus importants figurent dans la table 5.10. La vitesse angulaire instantanée est très variable, positive et négative, et de module bien plus large que la dérive séculaire.

voit dans la figure 5.8. La variation est essentiellement due à une composante périodique unique de période 173.3 jours et d’amplitude 0.13◦ . Les autres termes périodiques sont beaucoup plus faibles et marginalement visibles dans la figure. L’inclinaison osculatrice est toujours comprise entre 4.97◦ et 5.30◦ . Les termes périodiques principaux sont donnés dans la table 5.11.

5.3.2.5

La longitude du nœud

La longitude du nœud mesurée depuis l’équinoxe moyen de la date comprend un terme séculaire de période 18.6 années et des oscillations périodiques autour de ce mouvement moyen. Les variations autour du mouvement moyen sont modérées, comme on le voit dans la figure 5.9, montrant des écarts d’au plus ± 1.7◦ . Ces variations sont dominées par un terme périodique unique de période 173.3 jours, similaire à celui trouvé pour l’inclinaison. La contribution de ce terme à la précession instantanée du nœud est de 0.54◦ par jour, alors que le terme séculaire vaut 0.53◦ , une coïncidence purement fortuite. On voit dans la figure 5.10 que le mouvement est juste stationnaire par moment, sans changer de signe. Les quelques termes périodiques significatifs se trouvent dans la table 5.11.

285

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

inclinaison (°)

5.3

5.2

5.1

5.0 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.8 – Variations de l’inclinaison de l’orbite lunaire sur le plan de l’écliptique entre 2020 et 2025. La variation périodique principale est semi-annuelle avec une période de 173.3 jours. Une variation beaucoup plus faible de période 14.76 jours (demi-lunaison) est également visible. Les écarts à la valeur moyenne i = 5.57◦ sont modérés, l’inclinaison osculatrice restant dans l’intervalle 4.97◦ à 5.30◦ .

5.3.3

Les éléments moyens

Les perturbations sur les éléments elliptiques décrivent les changements des paramètres de l’orbite sur des intervalles de temps relativement courts. Ils permettent de calculer les éléments osculateurs à une date donnée et donc la position et la vitesse de la Lune avec précision, en prenant en compte beaucoup plus de termes périodiques que dans les tables de la section 5.3.2. Les éléments moyens donnés dans cette section concernent au contraire des intervalles de temps longs. Ils permettent d’approcher l’évolution globale de l’orbite et d’avoir une valeur approchée des éléments osculateurs sur plusieurs siècles ou quelques millénaires, mais pas sur des dizaines de milliers d’années. Ils ne peuvent pas suffire pour calculer la position de la Lune avec précision sur ces mêmes durées. Par exemple, le périgée vrai peut s’écarter d’environ 30◦ de sa position moyenne, comme on peut le voir dans la figure 5.6. Les éléments moyens concernent les variations séculaires des longitudes de la Lune, du périgée et du nœud, et les arguments fondamentaux de Delaunay. Les longitudes dépendent du choix d’une origine (équinoxe vrai de la date ou équinoxe à une époque de référence), alors que les arguments de Delaunay, qui sont une différence entre deux longitudes, ne sont pas attachés à une origine. 286

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

nœud ascendant (°)

2

1

0

–1

–2 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.9 – Variations périodiques de la longitude du nœud ascendant de l’orbite lunaire sur le plan de l’écliptique entre 2020 et 2025. La composante séculaire régulière n’est pas présente dans ce graphique. La variation périodique principale de 1.5◦ est semi-annuelle avec une période de 173.3 jours. Elle est complétée par deux oscillations d’amplitude dix fois moindre et de périodes annuelle (365.26 jours) et semi-mensuelle (14.76 jours).

5.3.3.1

Longitudes moyennes de la Lune, du nœud et du périgée rapportées à l’équinoxe J2000

Les éléments moyens et les arguments de Delaunay sont issus de Chapront et al. (2002) en utilisant des degrés décimaux, et des degrés par unité de temps et leurs puissances pour les différents coefficients des polynômes. Le temps T est mesuré en siècles juliens TDB de 365 25 jours depuis J2000.0. Longitude moyenne de la Lune

λ = 218.316 6328◦ + 481 266.484 259 11◦ T − 0.190 833◦ × 10−02 T 2 + 0.183 444◦ × 10−05 T 3 − 0.880 278◦ × 10−08 T 4

(5.35)

Longitude moyenne du nœud ascendant

Ω = 125.044 5351◦ − 1935.533 301 42◦ T + 0.176 647◦ × 10−02 T 2 + 0.211 806◦ × 10−05 T 3 − 0.996 111◦ × 10−08 T 4 287

(5.36)

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

nœud ascendant (°)

100 80 60 40 20 0 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.10 – Longitude du nœud ascendant de l’orbite lunaire entre 2020 et 2025. La composante séculaire est faiblement modulée par des termes périodiques dont les plus importants figurent dans la table 5.11. La vitesse angulaire instantanée demeure négative pratiquement à tout instant.

Longitude moyenne du périgée

$ = 83.353 2366◦ + 4 067.616 758 44◦ T − 0.106 289◦ × 10−01 T 2 − 0.125 131◦ × 10−04 T 3 + 0.591 694◦ × 10−07 T 4

(5.37)

De ces expressions, on en déduit la période moyenne de révolution du périgée, qui est de 8.850 391 ans, et celle de la révolution du nœud ascendant, qui est de 18.599 524 ans. La longitude moyenne de la Lune (5.35) comporte un terme en T 2 de très grande importance pour les éphémérides de la Lune, sans parler de son aspect historique. Exprimé en secondes de degrés, il vaut −6.87000 cy−2 . Cette valeur est la somme de plusieurs contributions : l’une, purement gravitationnelle, provient de la variation à longue période de l’excentricité de l’orbite de la Terre et l’autre, appelée accélération séculaire de la Lune, ne peut être obtenue que par l’observation. Sa cause profonde est la dissipation d’énergie dans les phénomènes de marées entre la Terre et la Lune. La rotation de la Terre est ralentie dans ce processus, et par conservation du moment angulaire, la Lune s’éloigne de la Terre d’environ 3.8 cm par an. En appliquant la troisième loi de Kepler, cela conduit à une variation séculaire du moyen mouvement la Lune de : δn 3 δa =− n 2 a 288

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

Table 5.11 – Principaux termes périodiques de l’inclinaison et de la longitude du nœud osculatrices de l’orbite lunaire.

cos 2D − 2F 2D 2F 2l − 2F 2D − 2F − l0 2D − l

i amplitude période deg jours 0.1351 −0.0111 0.0104 0.0072 0.0056 0.0040

sin 2D − 2F l0 2D 2F 2l − 2F 2D − 2F − l0

173.31 14.77 13.61 1095.2 117.54 31.81

Ω amplitude période deg jours −1.4978 −0.1498 −0.1226 0.1176 −0.0800 −0.0611

173.31 365.26 14.77 13.61 1095.2 117.54

soit n˙ /2 ≈ −12.800 cy−2 pour la contribution des marées au terme en T 2 dans la longitude moyenne. Une simple erreur sur ce terme de 100 cy−2 conduit à une incertitude de 10000 sur la position de la Lune il y a 10 siècles, soit encore environ 3 minutes sur la prédiction des éclipses. Ce terme ne pouvant être déduit de la théorie, sa connaissance repose aujourd’hui entièrement sur les mesures de distances entre la Terre et la Lune par la télémétrie laser et sur les comparaisons des observations astronomiques anciennes aux calculs modernes (voir section 2.8.1). Pour les calculs de la position de la Lune sur plusieurs siècles passés ou à venir, la valeur de l’accélération séculaire venant des marées reste la plus grosse source d’incertitude. Arguments de Delaunay – Élongation de la Lune

D = 297.850 1917◦ + 445 267.111 397 56◦ T − 0.190 272◦ × 10−02 T 2 + 0.183 194◦ × 10−05 T 3 − 0.884 444◦ × 10−08 T 4

(5.38)

– Anomalie moyenne du Soleil

l0 = 357.529 1040◦ + 35 999.050 298 14◦ T − 0.153 583◦ × 10−03 T 2 + 0.408 333◦ × 10−07 T 3 + 0.416 667◦ × 10−10 T 4 289

(5.39)

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE – Anomalie moyenne de la Lune

l = 134.963 3962◦ + 477 198.867 500 67◦ T + 0.872 053◦ × 10−02 T 2 + 0.143 475◦ × 10−04 T 3 − 0.679 722◦ × 10−07 T 4

(5.40)

– Argument de latitude de la Lune

F = 93.2720977◦ + 483 202.017 560 53◦ T − 0.367 481◦ × 10−02 T 2 − 0.283 611◦ × 10−06 T 3 + 0.115 833◦ × 10−08 T 4

5.3.3.2

(5.41)

Longitudes moyennes de la Lune, du nœud et du périgée rapportées à l’équinoxe moyen de la date

Ces longitudes moyennes sont calculées à partir de la section 5.3.3.1 en introduisant la précession UAI 2006 sans inclure le terme en T 5 . Longitude moyenne de la Lune

λ = 218.316 6328◦ + 481 267.881 146 94◦ T − 0.160 127◦ × 10−02 T 2 + 0.185 657◦ × 10−05 T 3 − 0.154 297◦ × 10−07 T 4

(5.42)

Longitude moyenne du nœud ascendant

Ω = 125.044 5351◦ − 1 934.136 413 58◦ T + 0.207 354◦ × 10−02 T 2 + 0.214 018◦ × 10−05 T 3 − 0.165 881◦ × 10−07 T 4

(5.43)

Longitude moyenne du périgée

$ = 83.353 2366◦ + 4 069.013 646 28◦ T − 0.103 218◦ × 10−01 T 2 − 0.124 909◦ × 10−04 T 3 + 0.525 425◦ × 10−07 T 4 290

(5.44)

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

5.3.4

Périodes de révolution caractéristiques du mouvement de la Lune

Des éléments moyens rapportés à l’équinoxe J2000 – à l’exception de la période tropique qui se réfère à une révolution par rapport à l’équinoxe moyen de la date, on déduit les différentes périodes usuelles associées à la révolution de la Lune : Période sidérale Période tropique Période draconitique Période anomalistique Période synodique

= = = = =

27.321 661 553 j 27.321 582 251 j 27.212 220 814 j 27.554 549 885 j 29.530 588 860 j

= = = = =

27 j 07 h 43 min 11.56 s 27 j 07 h 43 min 04.71 s 27 j 05 h 05 min 35.88 s 27 j 13 h 18 min 33.11 s 29 j 12 h 44 min 02.88 s

La période tropique est légèrement plus courte que la période sidérale en raison de la précession de l’équinoxe à la vitesse de −50.300 /an. La période draconitique est l’intervalle moyen de retour au nœud ascendant (période de l’argument F), alors que la période anomalistique concerne le retour au périgée (période de l’argument l). La période synodique (période de l’argument D) est l’intervalle moyen entre deux conjonctions en longitude écliptique avec le Soleil, aussi appelée lunaison ou mois lunaire. Du fait de la présence de terme en T 2 , T 3 , · · · dans les éléments moyens, ces périodes sont lentement variables dans le temps. Les périodes sidérale et tropique croissent d’environ 0.02 s/siècle. Il s’agit ici de périodes moyennes. Par exemple, la durée de la lunaison vraie est comprise entre 29.27 et 29.84 jours et, au moment de la pleine lune, D ∈ [173, 187] degrés et n’est pas strictement égal à 180◦ .

5.3.5 5.3.5.1

Les éphémérides de la Lune Historique

La Connaissance des temps publie des éphémérides lunaires depuis 1760, en donnant sa position et éventuellement les instants de lever et coucher à Paris. Diverses théories ou jeux de tables ont été utilisés au cours du temps et l’échelle de temps est passée du temps solaire vrai de Paris au temps moyen de Paris, qui restera en usage jusqu’en 1915. Il est ensuite remplacé par le temps solaire moyen de Greenwich ou son équivalent avec UT jusqu’en 1959. Ce dernier, basé sur la rotation de la Terre, a ensuite été remplacé par les temps dynamiques et aujourd’hui par le TT ou le TDB. Dans les premières théories, un tout petit nombre de termes trigonométriques étaient issus de la théorie, mais leurs amplitudes résultaient d’ajustement sur les observations. En effet, les solutions au premier ordre des petits paramètres de la théorie permettent d’identifier les termes, mais les 291

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE amplitudes exactes nécessitent de développer jusqu’à des ordres élevés, ce qui n’a pas été fait avant le début du xxe siècle. Le petit paramètre le plus courant est le rapport entre le moyen mouvement du Soleil et celui de la Lune, soit un facteur de l’ordre de 0.075. Cette valeur n’est pas vraiment négligeable et certaines séries convergent très lentement. La Connaissance des temps a utilisé tout d’abord, comme son équivalent britannique le Nautical Almanac, les tables construites par Tobias Mayer (1723-1762) dans le cadre du prix mis en jeu en 1714 par le Board of Longitudes pour la détermination de la longitude en mer. Construites initialement avec 14 inégalités en longitude ajustées sur les observations, elles avaient une précision meilleure que 1.50 autour de 1760. Des améliorations apportées par Mayer lui-même peu avant sa disparition, puis par Charles Mason (1728-1786), qui a ajouté 8 termes dans la longitude, ont abouti à une précision de l’ordre de 4000 en 1780. Les distances lunaires publiées à la même époque par le Nautical Almanac et la Connaissance des temps 2 étaient basées sur ces tables. Elles permettaient d’avoir une longitude en mer avec 20 miles d’exactitude à l’équateur. Le Viennois Johann Tobias Bürg (1766-1834) prit ensuite part à cette course à la précision en ajustant 28 termes en longitude et 12 en latitude pour arriver à des erreurs tombant à 1500 . Enfin, l’astronome allemand Johann Karl Burckhardt (1773-1825) (naturalisé Français) construisit de nouvelles tables en 1811 avec 32 inégalités pour la longitude ajustées sur 4 000 observations. Ces tables ont servi à la Connaissance des temps de 1817 à 1861. On peut facilement retrouver ces précisions au moyen de la représentation simplifiée du mouvement de la Lune de la section 5.3.5.2 par comparaison à une éphéméride plus complète. Les figures 5.11 et 5.12, prises autour de J2000, en sont une illustration avec 27 termes. C’est à partir de 1862 avec l’introduction des tables de Hansen que les éphémérides de la Connaissance des temps sont basées sur la théorie, avec des ajustements limités aux constantes d’intégration et aux moyens mouvements du nœud et du périgée. La théorie de Delaunay (1816-1872), sous la forme des tables de Radau, sera utilisée de 1915 à 1925 et complétée par des calculs indépendants des perturbations planétaires, effectués par Radau et Hill. La théorie de Brown (1866-1938) devient ensuite la base des éphémérides de la Connaissance des temps, qui reprend jusqu’en 1979 les résultats produits par The Nautical Almanac and Astronomical Ephemeris. En 1960, l’introduction du Temps des Éphémérides s’accompagne d’une révision de la théorie de Brown et de la disparition du terme empirique finalement lié aux irrégularités de la rotation de la Terre et donc à la différence entre l’UT et le temps de la mécanique. À partir de 1984, l’éphéméride de la Lune publiée dans la Connaissance des temps a été calculée à partir de la théorie ELP 2000-82 construite au Bureau des longitudes (Chapront-Touze et Chapront, 1983) et ajustée sur l’intégration numérique DE200/LE200 2. Les distances lunaires de la Connaissance des temps étaient une copie de la version anglaise et non un calcul indépendant.

292

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE du Jet Propulsion Laboratory (JPL). Après 1989, les éléments moyens étaient issus de la théorie ELP 2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988) qui contiennent des puissances 3 et 4 du temps, absentes de ELP 2000-82. Ce sont les théories analytiques les plus complètes et les plus abouties à ce jour. C’est peut-être la version ultime d’une longue lignée débutée avec Ptolémée, mais aujourd’hui en voie d’extinction. Ces développements sont accessibles en ligne avec des programmes informatiques de lecture et de calcul : ftp://cyrano-se.obspm.fr/pub/2_lunar_solutions/2_elpmpp02/

De 2007 à nos jours, l’intégration numérique INPOP (voir section 5.4) est la source des éphémérides de la Lune de la Connaissance des temps. C’est une éphéméride de très haute précision accessible sous forme de fichier de coefficients de Tchebychev, qui peuvent conduire à des volumes de données très importants pour des calculs sur une période historique donnée. Cependant, ces derniers ont une exigence de précision absolue moindre, pour privilégier une stabilité de la solution sur le long terme. Pour cela, les éphémérides analytiques n’ont pas perdu de leur intérêt. Elles possèdent aussi l’avantage d’avoir une précision de calcul paramétrable par l’utilisateur en tronquant les séries à un certain niveau. Enfin, et c’est l’objet de la suite de cette section, une forme réduite de précision très modeste permet de bien comprendre la représentation des perturbations par des termes périodiques et de faire des calculs avec des moyens de programmation très élémentaires.

5.3.5.2

Une procédure élémentaire

Dans cette section est présentée une version fortement tronquée de la théorie analytique ELP 2000-85, permettant de comprendre tout d’abord comment la théorie complète se présente, et également de rapidement mettre en œuvre une procédure informatique autonome de basse précision, de 2000 en angle et 30 km en distance sur ± 500 ans autour de 2000. Les tables 5.12, 5.13 et 5.14 donnent les séries trigonométriques tronquées pour la longitude et la latitude écliptiques et la distance Terre-Lune. Les premiers termes de ces développements permettent en outre de donner des explications simples sur quelques propriétés surprenantes de ce mouvement qui dépendent des perturbations solaires, comme les distances périgées ou les relations entre la durée de la lunaison et la longitude du périgée. Les séries ont la forme exacte : λ = λ0 + Σk Ak sin(i1 D + i2 l0 + i3 l + i4 F) β = Σk Bk sin(i1 D + i2 l0 + i3 l + i4 F) ρ = ρ0 + Σk Ck cos(i1 D + i2 l + i3 l + i4 F) 0

293

(5.45)

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE et la forme approximative : λ = λ0 + Σk Ak sin(νk t + φk ) β = Σk Bk sin(νk t + φk )

(5.46)

ρ = ρ0 + Σk Ck cos(νk t + φk ) Dans le premier cas, les arguments D, l0 , l, F sont évalués au temps : t = (JD − 2 451 545.0)/36525 avec les équations 5.38-5.41, sauf le terme 28 de la longitude provenant d’une perturbation planétaire (Vénus) et qui est exprimé par sa phase et sa fréquence. Ce terme provient d’une combinaison 18V − 16T − l des longitudes moyennes de Vénus, de la Terre et de l’anomalie moyenne de la Lune. Par une coïncidence remarquable, le moyen mouvement 18V˙ − 16E˙ = 13.0686◦ par jour est quasiment égal à l˙ = 13.0650◦ et ce petit diviseur est à l’origine d’un terme à longue période (273 ans) et d’amplitude significative pour un terme planétaire. C’est le plus important des termes planétaires dans le mouvement de la Lune. Il a été découvert par Peter Andreas Hansen (1795-1874) dans sa théorie du mouvement de la Lune de 1838, et incorporé dans ses tables en 1857. C’est également un terme important sur le plan historique, car sa période est identique à un terme empirique introduit autour de 1870 pour rendre compte de résidus inexpliqués dans le mouvement de Lune. Leur origine ne fut comprise qu’au début du xxe siècle : ils proviennent d’une irrégularité de la rotation de la Terre et donc du manque d’uniformité de l’échelle de temps utilisée pour dater les observations (voir section 2.8). Les indices i1 , i2 , i3 , i4 sont indexés avec le rang k du terme, bien que cela ne soit pas indiqué dans les formules pour ne pas alourdir les notations. Dans la méthode approximative, on utilise les fréquences et phases des tables, ce qui correspond à l’usage des arguments de Delaunay sans inclure les puissances du temps supérieures à un. La longitude moyenne λ0 est celle de l’équation 5.35 et ρ0 = 385 000.53 km. Pour assurer la précision au-delà de ≈ 1 siècle de part et d’autre de J2000, il faut ajouter une correction pour les trois premières fréquences de chaque table à prendre dans la table 5.15. Cela revient à considérer le terme en t2 dans les arguments de Delaunay. Bien que noté ν˙ , il s’agit en fait d’un coefficient en t2 , soit la moitié de l’accélération. En effectuant les calculs comme indiqué ci-dessus, on obtient une éphéméride lunaire de qualité modeste, mais constante sur une période d’un millénaire allant de 1500 à 2500. Les figures 5.11, 5.12 et 5.13 donnent l’erreur de cette éphéméride approchée par rapport à la solution complète ELP-2000, respectivement en ascension droite, déclinaison et distance. L’erreur angulaire (σ(∆α cos δ), σ(∆δ)) est de 2000 et l’erreur maximum de l’ordre de 10000 . En distance, les valeurs correspondantes sont 28 km et 135 km. Pour assurer cette qualité sur plusieurs siècles, il est important d’utiliser soit les formes 5.45, soit 5.46 avec les corrections de la table 5.15. Le terme planétaire 28 de la table 5.12 est aussi indispensable pour tenir compte d’un effet périodique de 273 ans de période et de 1400 d’amplitude. 294

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

Table 5.12 – Composantes d’amplitude > 1000 dans la longitude de la Lune issues de la théorie ELP2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988). Le dernier terme de période 273 ans provient des perturbations planétaires et ne s’exprime pas au moyen des composantes de Delaunay.

5.3.5.3

Ak deg

νk deg/cy

φk deg

0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 -2 2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.28877 1.27401 0.65831 0.21362 -0.18512 -0.11433 0.05879 0.05707 0.05332 0.04576 -0.04092 -0.03472 -0.03038 0.01533 -0.01253 0.01098 0.01067 0.01003 0.00855 -0.00789 -0.00677 -0.00516 0.00499 0.00404 0.00399 0.00386 0.00367

477198.86750 413335.35529 890534.22280 954397.73500 35999.05030 966404.03512 -63863.51221 377336.30500 1367733.09030 854535.17250 -441199.81720 445267.11140 513197.91780 -75869.81233 1443602.90262 -489205.16762 1303869.57809 1431596.60250 826670.71059 449334.40559 926533.27309 -31931.75610 481266.16170 1331734.04000 1844931.95780 1781068.44559 -541062.37971

134.9634 100.7370 235.7004 269.9268 357.5291 186.5442 325.7736 103.2079 10.6638 238.1713 222.5657 297.8502 132.4925 49.1562 321.5076 308.4192 336.4374 44.8902 201.4740 98.2661 233.2295 162.8868 295.3793 13.1347 145.6272 111.4008 190.8102

27.5545 31.8119 14.7653 13.7773 365.2596 13.6061 205.8922 34.8469 9.6137 15.3873 29.8028 29.5306 25.6217 173.3100 9.1085 26.8783 10.0846 9.1848 15.9060 29.2633 14.1916 411.7844 27.3217 9.8736 7.1271 7.3826 24.3022

-

0.00396

131.84900

119.7523

99727.7188

k

D l0 l F Composantes i1 i2 i3 i4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

0 0 1 2 0 -1 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 2 0 -2 2 -1 -1 2 0 1 2 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 0 0 1 4 0 -1 0 0 3 4 0 -2 2 1 -1 2 1 0 1 0 -1 1 1 0 2 -1 1 2 0 2 4 0 0 2 0 -3

28

-

-

-

Pk jours

Quelques propriétés de la solution

On utilise ici les premiers termes de la solution analytique pour rendre compte de phénomènes simples qui dépendent des plus grosses perturbations. En ne conservant que les inégalités les plus importantes, la longitude λ, la latitude β et la 295

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.13 – Composantes d’amplitude > 1000 dans la latitude de la Lune issues de la théorie ELP2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988). Les trois premiers termes traduisent la réduction à l’écliptique pour le mouvement elliptique et non des perturbations solaires.

k

D l0 l F Composantes i1 i2 i3 i4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 0 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2

0 0 0 1 0 1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 2 0 1 0 2 -1 0 0 -2 0 1 1 0

1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1

Bk deg

νk deg/cy

φk deg

Pk jours

5.12812 483202.01756 93.2721 27.2122 0.28060 960400.88506 228.2355 13.6912 0.27769 -6003.15006 41.6913 2190.3500 0.17324 407332.20523 142.4283 32.2808 0.05541 896537.37285 194.0091 14.6664 0.04627 -69866.66227 7.4649 188.2013 0.03257 1373736.24036 328.9725 9.5717 0.01720 1437599.75256 3.1989 9.1465 0.00927 884531.07274 277.3917 14.8655 0.00882 471195.71744 176.6547 27.9056 0.00822 371333.15494 144.8992 35.4103 0.00432 -547065.52977 232.5015 24.0355 0.00420 1850935.10786 103.9359 7.1040 -0.00336 443331.25553 139.9574 29.6595

distance Terre-Lune r (km) ont la forme : λ = λ0 + 6.29◦ sin l + 1.27◦ sin(2D − l) + 0.66◦ sin 2D

(5.47)

β = 5.13 sin F + 0.28 sin(F + l) + 0.28 sin(l − F) + 0.17 sin(2D − l)

(5.48)

r = 385 000 − 20 905 cos l − 3 699 cos(2D − l) − 2 956 cos 2D − 570 cos 2l

(5.49)

◦

◦

◦

◦

et correspondent aux effets du mouvement elliptique et aux premiers termes des tables 5.12, 5.13, 5.14. Le terme en l, anomalie moyenne de la Lune est purement elliptique et traduit juste l’écart au mouvement circulaire, sans intervention de perturbations solaires. C’est le terme en 2e sin l de l’équation du centre, avec e = 0.055 radian = 3.15◦ . Le terme en 2D − l d’amplitude 1.27◦ est connu comme seconde inégalité du mouvement lunaire depuis Ptolémée et a été appelé évection au xviie siècle. L’amplitude donnée par Ptolémée était deux fois la valeur donnée ici, car il devait rendre compte en même temps du fait que l’inégalité elliptique venant de Hipparque et provenant des éclipses était diminuée de la valeur de l’évection. Hipparque utilisait la vitesse de la Lune. Lors des éclipses, on a 2D = 0 et l’effet de l’évection diminue la contribution venant du terme elliptique. Il a son origine dans la perturbation en excentricité et en longitude du périgée figurant sur la seconde ligne de la table 5.10 (terme en 2D − 2l) et du terme en 2D − l de la longitude moyenne de la table 5.9. Une perturbation δe et δ$ se propage sur la longitude et sur la 296

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

Table 5.14 – Composantes périodiques d’amplitude > 20 km dans la distance TerreLune issues de la théorie ELP2000-85 (Chapront-Touzé et Chapront, 1988). Les termes en l, 2l, 3l sont purement elliptiques.

k

D l0 l F Composantes i1 i2 i3 i4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 -1 2 0 2 -1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 4 0 2 1 2 1 0 0 4 0

1 -1 0 2 -2 0 1 -1 -1 0 1 1 0 -1 0 -1 3 -2

νk deg/cy

Ck km

0 -20905.35504 477198.86750 0 -3699.11092 413335.35529 0 -2955.96756 890534.22280 0 -569.92512 954397.73500 0 246.15848 -63863.51221 0 -204.58598 854535.17250 0 -170.73308 1367733.09030 0 -152.13771 377336.30500 0 -129.62014 -441199.81720 0 108.74270 445267.11140 0 104.75523 513197.91780 -2 79.66056 -489205.16762 0 48.88830 35999.05030 0 -34.78252 1303869.57809 0 30.82384 926533.27309 0 24.20848 449334.40559 0 -23.21043 1431596.60250 0 -21.63634 826670.71059

φk deg

Pk jours

134.9634 27.5545 100.7370 31.8119 235.7004 14.7653 269.9268 13.7773 325.7736 205.8922 238.1713 15.3873 10.6638 9.6137 103.2079 34.8469 222.5657 29.8028 297.8502 29.5306 132.4925 25.6217 308.4192 26.8783 357.5291 365.2596 336.4374 10.0846 233.2295 14.1916 98.2661 29.2633 44.8902 9.1848 201.4740 15.9060

distance au premier ordre par : δλ = 2δe sin l − 2eδ$ cos l δr/a = −δe cos l − eδ$ sin l Le second terme en longitude est appelé variation et sa découverte est due à Tycho Brahe en 1582. Son amplitude aurait permis sa détection dans l’Antiquité, mais l’usage des éclipses pour fixer la position de la Lune ne le permettait pas. En effet, ce terme en sin 2D est constant (en fait nul, mais c’est la constance qui est importante) lors des pleines et nouvelles lunes, donc lors des éclipses. Il fallait aussi observer aux quadratures pour en voir l’effet. Le premier terme en latitude n’est autre que la traduction directe de l’inclinaison de l’orbite sur l’écliptique avec : sin β = sin i sin F et non un effet perturbatif. Les deux termes suivants sont aussi elliptiques, d’amplitude ≈ e sin i. La première vraie perturbation provient de la première ligne de la table 5.11 297

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.15 – Coefficients de variation temporelle des fréquences pour les trois premiers termes des tables 5.12, 5.13, 5.14. Dans ce cas, on doit remplacer νk par νk + ν˙ k t avec t en siècles juliens depuis J2000, avec t = (JD − 2 451 545.0)/36525.

k

longitude ν˙k deg/cy2

latitude ν˙k deg/cy2

distance ν˙k deg/cy2

1 2 3

0.0087205 -0.0125260 -0.0038054

-0.0036748 0.0050457 0.0123953

0.0087205 -0.0125260 -0.0038054

(terme en 2D − 2F) dont les deux termes se combinent pour donner une amplitude δi + sin iδΩ au terme sin(2D − l), qui rend compte de 80% de l’inégalité. La distance est en elle-même très intéressante, même si historiquement elle n’a que peu d’importance. Le terme elliptique en l a pour amplitude ae et donne la première approximation des distances du périgée et de l’apogée a(1 ± e). Les deux termes suivants se compensent presque à l’apogée lorsque l = π, avec rapogée ≈ 405 300 + 740 cos 2D km. Il y a donc une faible variation de la distance apogée, comme on l’a vu dans la figure 5.2. Au périgée (l = 0), la combinaison est positive et on trouve : rpérigée ≈ 363 500 − 6650 cos 2D (km)

(5.50)

donnant une distance périgée très variable selon la phase de la Lune à ce moment. Cette oscillation est très visible et quantitativement correcte dans la figure 5.2.

5.3.5.4

Distances périgées et syzygies

Ces distances minimales au périgée ont été l’objet ces dernières années d’une attention médiatique injustifiée à propos du phénomène dit de super lune. Ce terme est utilisé lorsqu’il y a une combinaison de deux phénomènes a priori indépendants : la pleine ou la nouvelle lune d’une part – encore appelées syzygies, moments où l’élongation lunaire D (voir équation 5.38) vaut zéro à la nouvelle lune et 180◦ à la pleine lune, et la Lune au périgée d’autre part avec une distance particulièrement faible. Les médias tentent de susciter l’intérêt en vantant la prétendue rareté du phénomène, alors qu’il est banal et se reproduit plusieurs fois par an. Il faut plutôt tenter d’expliquer le contraire de la rareté, c’est-à-dire des occurrences plus fréquentes que ce que l’on est en droit d’attendre à partir d’une analyse rapide avec des éléments moyens. Si l’on prend l’ellipse moyenne de la Lune, avec une excentricité de 0.0555, la distance Terre-Lune atteint la valeur minimale de 362 700 km une fois par période anomalistique, bien au-delà des 358 000 km retenus 298

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE

100

Δα* ('')

50 0 – 50 – 100 1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

années

Figure 5.11 – Erreur en ascension droite entre 1500 et 2500 de l’éphéméride tronquée basée sur les tables 5.12, 5.13, 5.14 et 5.15. L’erreur standard est de 2000 et l’erreur maximum de 10000 sur cet intervalle.

pour qualifier une super lune. Si l’on ajoute la contrainte d’une pleine ou nouvelle lune, cela semble bien improbable. La régularité de ces pseudo-annonces s’oppose donc au caractère exceptionnel qu’elles présentent. Il y a donc une raison liée à la complexité du

100

Δδ ('')

50 0 – 50 – 100 1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

années

Figure 5.12 – Erreur en déclinaison entre 1500 et 2500 de l’éphéméride tronquée basée sur les tables 5.12, 5.13, 5.14 et 5.15. L’erreur standard est de 1900 et l’erreur maximum de 11000 sur cet intervalle.

299

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

100

Δr (km)

50 0 – 50

– 100 – 150 1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

années

Figure 5.13 – Erreur en distance entre 1500 et 2500 de l’éphéméride tronquée basée sur les tables 5.12, 5.13, 5.14 et 5.15. L’erreur standard est de 28 km et l’erreur maximum de 135 km sur cet intervalle.

mouvement perturbé de la Lune. On voit dans l’équation 5.50, que lors d’une syzygie, donc lorsque cos 2D = 1, la distance périgée est également minimale, proche de 357 000 km. Mais alors que la périodicité des retours au périgée est de 27.555 jours et celle de la lunaison de 29.531 jours, il semble que l’arrivée simultanée d’un périgée et d’une pleine (respectivement nouvelle) lune ne doit pas être fréquente. On peut penser que la phase de la Lune au périgée est uniformément distribuée entre toutes les valeurs possibles, et donc qu’il faut approximativement 15 passages au périgée pour avoir la phase de la Lune à ± 1 jour de la pleine lune. Mais ce raisonnement ne tient pas dans le cas du mouvement perturbé de la Lune, car les distances périgées minimales et les phases ne sont pas du tout indépendantes. L’équation 5.50 nous montre que les plus courtes distances Terre-Lune ne peuvent survenir que lors des syzygies. Ce n’est donc pas le fruit d’un hasard particulier, mais le résultat de l’action gravitationnelle du Soleil sur la Lune qui rend ce phénomène nécessaire et non contingent. On peut aller encore un peu plus loin dans cette analyse avec l’équation 5.49 donnant r. Le terme elliptique de 20 900 km est le plus large, donc les distances minimales interviendront toujours au voisinage de l = 0, c’est-à-dire proche du périgée képlérien, en tant que distance minimale, qui surviendra lorsque l’anomalie moyenne osculatrice sera nulle. Le facteur cos l étant lentement variable au voisinage de l = 0, la distance dans ce voisinage est donnée approximativement par l’équation 5.50. Le minimum va donc se produire lorsque cos 2D deviendra maximum, si cela est possible dans ce voisinage. Ainsi, les périgées (distance minimale, mais non pas exactement l = 0) vont favoriser les syzygies, 300

5.3. LE MOUVEMENT DE LA LUNE et il y aura plus fréquemment des pleines et nouvelles lunes lors des périgées que des quartiers. La phase n’est donc pas uniformément distribuée dans ce cas. 3.0

NL

NL

PL

2.5

%

2.0 1.5 1.0 0.5 0

0

50

100

150

200

250

300

350

Phase au périgée (deg)

Figure 5.14 – Distribution de la phase de la Lune au moment du passage au périgée.

On le voit parfaitement dans la figure 5.14, donnant la distribution de la phase de la Lune au moment du passage au périgée, défini par la distance minimale. Il y a une accumulation marquée autour des pleines et nouvelles lunes. Quant aux distances périgées en fonction de la phase, elles sont données dans la figure 5.15 qui montre clairement que les plus faibles périgées ne peuvent se produire en dehors des syzygies. Un examen détaillé des minimums montre que les minimums absolus ne se produisent qu’à la pleine lune. Cette petite asymétrie entre les pleines et nouvelles lunes provient du 10e terme (108 cos D) de la table 5.14, donnant −108 km à la pleine lune et +108 km à la nouvelle lune. La prétendue rareté du phénomène de super lune n’est pas une réalité. Il y a au contraire une combinaison particulière d’inégalités dans le mouvement de la Lune qui contraint les faibles périgées à survenir lors de la pleine lune et ceci se produit au moins deux fois par an.

Les deux cycles de 27.555 et 29.531 jours expliquent également la récurrence du phénomène dans la figure 5.16. Si un périgée minimal se produit lors d’une pleine lune, alors on est également au voisinage du périgée à la lunaison suivante (ou précédente), au plus à deux jours. Ce groupement par doublets/triplets se répète assez régulièrement, puisque 14 lunaisons sont égales à très peu près (0.10 jour) à 15 révolutions anomalistiques, soit 413 jours. Une période beaucoup plus longue assure un retour presque parfait à un périgée minimal après 251 lunaisons et 269 révolutions anomalistiques, soit 20.3 ans, mais la distance minimale peut changer de plusieurs centaines de kilomètres. 301

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Périgée (km)

370 000

365 000

360 000

355 000

PL

NL 0

50

100

150

NL 200

250

300

350

Phase au périgée

Figure 5.15 – Distribution des distances du périgée lunaire en fonction de la phase au moment du périgée. Les faibles périgées ne peuvent avoir lieu que lors des nouvelles ou pleines lunes et les minimums absolus sont toujours lors d’une pleine lune.

420 000 410 000

PL NL

distance (km)

400 000 390 000 380 000 370 000 360 000 350 000 2020

2021

2022

2023

2024

2025

années

Figure 5.16 – Distance Terre-Lune et instants des pleines et nouvelles lunes entre 2020 et 2025. Le cycle de 413 jours est bien visible pour le retour des périgées minimaux, ainsi que le groupement des syzygies autour des plus petites distances.

5.4

Les éphémérides planétaires et lunaire numériques de l’Observatoire de Paris : INPOP

Après une courte récapitulation des différentes versions publiées et distribuées sur le site web de l’IMCCE, la dernière version distribuée à ce jour, INPOP17a (Viswanathan 302

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP

Table 5.16 – Les plus petits périgées dans les intervalles [−3000, +3000], [1900, 2100]. et [2000, 2050]. Il s’agit de la pleine lune dans tous les cas. La dernière colonne donne l’anomalie moyenne moyenne à cet instant.

date UTC

distance km

phase deg

l deg

−2337-11-08 −2682-11-12 −1054-11-13 −2664-11-22 −2355-10-28

356337.00 356349.86 356353.08 356353.95 356356.59

180.2 179.1 180.5 180.3 179.0

0.0 1.4 359.5 0.3 1.2

1912-01-04 1930-01-15 2052-12-06 2098-01-17 2070-12-17 2034-11-25 1948-01-26 2088-12-28

356375.78 356397.10 356421.67 356433.82 356439.37 356445.54 356460.87 356496.16

180.1 181.3 181.0 177.6 182.2 179.7 182.5 183.4

0.0 358.9 358.8 2.6 357.7 359.9 357.8 356.6

2034-11-25 2016-11-14 2036-01-13 2018-01-01 2008-12-12

356445.54 356509.18 356517.29 356564.96 356565.84

179.7 178.5 178.5 177.3 183.0

359.9 1.1 1.6 2.6 356.6

et al., 2017) sera présentée dans le détail, version pour laquelle un travail poussé sur le modèle dynamique du système Terre-Lune a été fait. Les données d’ajustement du modèle dynamique des planètes et de la Lune seront exposées et commentées. En 2003, le projet INPOP (Intégration numérique Planétaire de l’Observatoire de Paris) a été lancé sous la direction de Jacques Laskar et Agnès Fienga. Ce projet est né de deux constatations : d’une part, les éphémérides planétaires analytiques développées à l’IMCCE ne permettaient pas d’atteindre la précision des observations de suivi des sondes en orbite autour des planètes du Système solaire (Fienga et Simon, 2005), et, d’autre part, la stabilité des théories du mouvement des planètes à long terme (plusieurs millions d’années) utilisées dans les modèles de paléoclimats était fortement conditionnée au calcul précis des conditions initiales des planètes du Système solaire (Laskar et Gastineau, 2009 ; Laskar et al., 2011b). L’objectif était donc de mettre en place les premières éphémérides planétaires européennes numériques, ajustées aux observations les plus précises disponibles. 303

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

5.4.1

Les différentes versions d’INPOP de 2003 à 2015

Entre 2003 et 2015, on compte quatre versions d’INPOP accessibles aux utilisateurs, soit sous la forme de polynômes de Tchebychev utilisables avec le code associé (CALCEPH) disponibles sur le site web de l’IMCCE (https://www.imcce.fr/inpop), soit par le biais de formulaires de calcul sur le site https://ssp.imcce.fr, soit par l’intermédiaire des ouvrages du Bureau des longitudes. Chaque version a fait l’objet d’au moins une publication et une documentation détaillée : INPOP06 (Fienga et al., 2008), INPOP08 (Fienga et al., 2009), INPOP10a (Fienga et al., 2010), INPOP10e (Fienga et al., 2011b) spécifiquement développées pour répondre aux besoins de la mission d’astrométrie spatiale Gaia (Fienga et al., 2012b) et INPOP13c (Fienga et al., 2014).

Depuis 2003, des développements successifs ont permis d’améliorer la précision du modèle dynamique et des ajustements aux données. Une attention particulière a été déployée afin de suivre au plus près, voire même en anticipant, les recommandations de l’Union astronomique internationale, en particulier en termes d’échelles de temps et de constantes estimées au cours de l’ajustement aux observations. Table 5.17 – Paramètres ajustés pour différentes éphémérides. La lettre « a » indique que le paramètre n’est pas présent dans la solution planétaire, « x » qu’il est ajusté et « fixe » qu’il est fixé. « MastA » désigne les masses d’astéroïdes ajustées, « MastF » les masses d’astéroïdes fixées, « Mann » la masse de l’anneau, et « Dtax » les densités astronomiques. AU représente la valeur de l’unité astronomique, EMRAT est le rapport de la masse de la Terre à la masse de la Lune. GM désigne le GM du Soleil et le J 2 solaire. Le début de l’intervalle d’ajustement est 1978. La dernière ligne indique les dates de fin de l’intervalle d’ajustement.

Paramètres

INPOP06 INPOP08 INPOP10a INPOP13c INPOP17a DE405 DE430

Planètes MastA MastF Mann Dtax

9 5 0 x x

9 34 5 fixe x

9 145 16 fixe a

9 87 52 0.0 a

9 168 0 0.0 a

9 3 0 x x

8 343 0 x a

AU EMRAT GM J 2

fixe fixe fixe x

x x fixe x

fixe x x x

fixe x x x

fixe x x x

x x fixe fixe

fixe x x fixe

2005.5

2008.5

2010.0

2013.2

2016.4

Fin d’ajustement

304

1998.0 2013.0

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP 5.4.1.1

INPOP06

Plusieurs étapes ont été nécessaires à la construction d’INPOP06 (Fienga et al., 2008). La première d’entre elles consiste en la reconstruction de l’éphéméride référence du JPL DE405 (Standish, 2001). Pour cela, les équations du modèle dynamique décrites dans Standish (2001) ont été reprises et la solution a été ajustée aux observations utilisées à l’époque. Cette éphéméride référence a pu être reproduite avec une grande précision à partir uniquement de la description du modèle et des observations mises à disposition. Cette étape a permis, d’une part, de valider l’algorithme d’intégration et d’ajustement d’INPOP et, d’autre part, de mettre en lumière certaines incohérences dans le modèle dynamique de DE405, notamment concernant le calcul de la position du barycentre du Système solaire. Il est possible de se reporter à Manche (2011) pour plus de détails. La seconde étape de la construction d’INPOP06 a été la mise en place d’un modèle dynamique original associé à un ajustement complet sur l’ensemble des données disponibles en 2006. Un modèle est bâti avec un calcul de la position et la vitesse du barycentre du Système solaire à chaque pas d’intégration cohérent avec la relativité générale. Le modèle de perturbations des astéroïdes de la ceinture principale sur les planètes du Système solaire tient compte des perturbations individuelles de 300 astéroïdes et de la perturbation moyenne d’un anneau placé arbitrairement à 2.8 unités astronomiques (au). L’ajustement suivant un algorithme classique par moindres carrés consiste en l’estimation des conditions initiales des planètes, des masses de 5 astéroïdes jugés les plus perturbateurs sur l’intervalle des observations disponibles [1978-2004.5], de 3 densités taxonomiques permettant une représentation synthétique des perturbations induites par les 295 autres astéroïdes, de la masse de l’anneau représentant d’éventuelles perturbations résiduelles et du taux d’aplatissement du Soleil J2 . L’unité astronomique est fixe et des tests de détermination du paramètre PPN β sont effectués. L’orbite et la libration de la Lune sont très proches de celles de DE405 et sont ajustées sur cette solution. La méthode d’ajustement est une méthode classique des moindres carrés avec un nombre limité de paramètres. Seuls les astéroïdes les plus perturbateurs ont leurs masses ajustées, le reste des perturbations induites par des astéroïdes sélectionnés par Williams (1984) est pris en compte sous la forme de trois groupes de perturbations, dont les amplitudes sont ajustées aux observations par le biais de trois coefficients constants appelés densités taxonomiques. Ces densités sont assez éloignées par définition de celles utilisées en planétologie, ces dernières se basant sur les caractéristiques spectroscopiques des objets. INPOP06 inclut un anneau d’astéroïdes dont la masse est ajustée sur les données. Un premier modèle d’anneau proche de celui de Krasinsky et al. (2002) a été introduit dans INPOP. Puis, du fait de dérives sur les positions du barycentre du Système solaire introduites par ce modèle, une modélisation propre à INPOP a été mise en place à partir 305

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE d’INPOP08. Du fait de fortes corrélations entre la masse de l’anneau et sa distance au Soleil, cette dernière est fixe et seule la masse de l’anneau est ajustée. L’unité astronomique, la masse du Soleil et le rapport de masse entre la Terre et la Lune sont fixes. Leurs valeurs peuvent être retrouvées dans la table 5.20.

5.4.1.2

INPOP08

Pour INPOP08 (Fienga et al., 2009), une approche nouvelle pour l’ajustement des masses d’astéroïdes a été développée, associée à l’utilisation de données inédites : les données de suivi des sondes européennes Mars Express (MEX) et Venus Express (VEX) et des points normaux issus de la mission Cassini. La mission VEX a eu une grande importance puisque depuis 1994, aucune sonde n’avait été mise en orbite autour de Vénus et donc aucune observation précise de la planète n’avait pu être faite. À ces nouvelles données se sont ajoutées les observations de la mission Cassini (Jones et al., 2009) qui ont permis de localiser Saturne par rapport à la Terre avec une précision jamais atteinte, de quelques dizaines de mètres sur 2 ans. L’ensemble des observations utilisées pour la construction d’INPOP08 sont présentées dans la table 5.21. Un effort particulier a été mis en œuvre en ce qui concerne la cohérence entre, d’une part, les métriques relativistes utilisées pour la définition de l’ICRS et les équations du mouvement et, d’autre part, les échelles de temps utilisées pour la datation des observations. INPOP devant être utilisée pour l’exploitation scientifique et la navigation de la mission Gaia, plusieurs points devaient être clarifiés. La définition de l’échelle de temps TDB a été modifiée de façon à suivre les recommandations de l’UAI (Soffel et al., 2003) concernant la cohérence entre la métrique utilisée dans la description du mouvement des planètes (TDB) et les échelles de temps nécessaires à la datation des observations (TT ou TAI). D’autre part, le calcul de la différence entre TDB et TT étant effectué à chaque itération d’INPOP et donc à chaque ajustement, les nouvelles éphémérides planétaires ont une cohérence complète entre l’échelle de temps du mouvement des planètes (TDB) et celle de datation des observations (TT). À ce titre, la relation TDB – TT issue des ajustements d’INPOP est fournie aux utilisateurs sous la forme de coefficients de Tchebychev. Une autre nouveauté d’INPOP08 réside dans l’utilisation de l’algorithme d’ajustement avec pondération des paramètres à ajuster en fonction de la connaissance a priori que l’on peut en avoir. Comme on peut le voir dans la table 5.17, trente-quatre masses d’astéroïdes sont déterminées, ainsi que trois classes taxonomiques. Un nouvel anneau moyennant l’effet d’environ 24 000 astéroïdes est implémenté. À la différence de l’anneau d’INPOP06, cette dernière version n’induit pas de dérive à long terme sur le barycentre du Système solaire. Ses 306

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP caractéristiques physiques (masse et distance au Soleil) ont été estimées indépendamment des éphémérides planétaires dans Kuchynka et al. (2010) et sont fixées dans INPOP08. L’aplatissement du Soleil sous la forme du coefficient J2 ainsi que le rapport des masses de la Terre et de la Lune sont aussi estimés. Leurs valeurs peuvent être retrouvées dans la table 5.20. Des limites de variabilité pour le paramètre PPN β et d’autres tests de gravité ont été effectués à partir d’INPOP08. L’amélioration par rapport à INPOP06 est importante (voir figures 10 et 11 de Fienga et al., 2011b) pour l’orbite de Mars et des planètes intérieures. Sur ces figures sont tracés les résidus obtenus par comparaison des temps aller-retour observés à ceux obtenus avec INPOP06 et INPOP08 pour les données VEX et MEX/MGS. En ce qui concerne les résidus sur les distances Terre-Vénus, l’amélioration est essentiellement due à l’apport des données VEX. Pour les résidus Terre-Mars, l’ajustement de plusieurs dizaines de masses d’astéroïdes supplémentaires explique la diminution des signaux résiduels après ajustement. Cependant, après comparaison avec d’autres solutions planétaires, il apparaît que cette amélioration se limite aux planètes intérieures et que les orbites des planètes extérieures, et notamment celle de Jupiter, présentent des différences importantes (voir figures 4 et 5 de Fienga et al., 2011b). L’orbite de la Lune et la libration ont été ajustées directement aux observations LLR (Manche, 2011).

5.4.1.3

INPOP10a et INPOP10e

INPOP10a (Fienga et al., 2011b) inclut diverses améliorations dont, notamment, l’utilisation dans l’ajustement de données de survol de Jupiter réalisées entre 1975 et 2002. Ces données ont un rôle important, puisqu’elles ont permis de rapprocher significativement les orbites de Jupiter issues des différentes éphémérides planétaires. Les premières données issues du suivi de la mission MESSENGER ont aussi été incluses dans l’ajustement, permettant ainsi une amélioration importante, mais locale (sur la période d’ajustement) de l’orbite de Mercure. Ces données de MESSENGER ont été associées à des données anciennes de Mariner datant des années 1970. Comme on peut le voir dans les tables 5.18 et 5.19, l’ajout de ces données change significativement les éphémérides. Pour Jupiter, les différences entre INPOP10a et INPOP08 sur les distances géocentriques peuvent atteindre 50 kilomètres et 100 millisecondes de degrés (mas) en ascension droite et déclinaison. L’orbite de Saturne est aussi affectée, mais dans une moindre mesure (1.5 km de différence en distances et 5 mas en déclinaison). L’impact des données de MESSENGER est plus limité du fait du caractère très ponctuel de l’échantillon (3 mesures réparties sur un an). 307

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Table 5.18 – Différences maximales entre INPOP17a et INPOP13c, INPOP13c et INPOP10e, INPOP10a et INPOP08 sur l’intervalle 1980-2020 pour α, δ et les distances géocentriques.

INPOP13c - INPOP10e α δ ρ mas mas km Mercure Vénus Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

1.4 0.17 1.19 0.52 0.24 1.64 24.4 800.0

3.8 0.22 0.38 0.23 0.72 0.46 9.65 122.3

0.51 0.023 0.204 0.60 0.25 11.52 1081 37384.1

INPOP17a - INPOP13c α δ ρ mas mas km

INPOP10a - INPOP08 α δ ρ mas mas km

0.39 0.47 0.72 3.5 0.8 75.4 42.3 236.8

−2 −2 3 −100 −2.5 150 150 −500

0.41 0.42 0.73 4.6 0.4 47.3 29.8 42.0

0.052 0.053 0.145 2.068 1.55 348.7 3328.3 2634.9

−1 −5 1 110 −5 100 150 100

0.75 0.25 0.45 50 1.5 −2000 −6500 −8000

Table 5.19 – Différences maximales entre INPOP17a et INPOP13c, INPOP13c et INPOP10e, INPOP10a et INPOP08, sur l’intervalle 1980-2020 pour les coordonnées cartésiennes de la Terre et les vitesses dans le BCRS.

INPOP17a - INPOP13c INPOP13c - INPOP10e INPOP10a - INPOP08

XYZ km

VxVyVz mm.s−1

−0.0263 0.104 0.020

0.0046 0.0177 0.005

Dans INPOP10a, une nouvelle sélection de masses d’astéroïdes ajustées aux observations a été implémentée, ainsi que l’ajustement de la masse du Soleil au lieu de l’unité astronomique. INPOP10a est la première éphéméride planétaire pour laquelle la valeur de l’unité astronomique (au) n’est plus ajustée au cours de la construction de la solution avec une masse du Soleil fixée : cette dernière est ajustée en fixant la valeur de l’au à une valeur de référence. L’impact d’un tel changement de variables dans l’ajustement est très limité et permet une interprétation plus aisée des notions d’échelles dans le Système solaire, en particulier dans le cadre de la relativité générale. Le rapport des masses Terre-Lune et l’aplatissement du Soleil sont aussi ajustés. Leurs valeurs peuvent être retrouvées dans la table 5.20. La méthode d’ajustement des masses d’astéroïdes est basée sur les travaux de Kuchynka et al. (2010), afin de commencer l’implémentation d’une procédure d’ajustement avec contraintes associée à des considérations de corrélations entre masses d’astéroïdes. INPOP10a apporte une amélioration sur le raccordement entre le repère dynamique d’INPOP lié à l’ICRF et l’utilisation de position de planètes (Vénus, Mars, Jupiter) 308

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP

Table 5.20 – Valeurs de paramètres obtenues pour INPOP13c (Fienga et al., 2014), INPOP10e (Fienga et al., 2012b), INPOP08 (Fienga et al., 2009) et INPOP17a (Viswanathan et al., 2017). Les notations pour les paramètres sont celles de la table 5.17. ∆EMRAT = (EMRAT − 81.3000) × 10−4 ; ∆GM = GM − 132712440000 ; ∆AU = AU − 1.49597870700 × 1011 .

INPOP13c ± 1σ

INPOP10e ± 1σ

INPOP08 ± 1σ

INPOP17a ± 1σ

∆EMRAT J2 × 10−7

5.694 ± 0.010 2.30 ± 0.25

5.700 ± 0.020 1.80 ± 0.25

5.6 1.95 ± 0.5

5.719 ± 0.010 2.295 ± 0.010

∆GM km3 s−2

44.487 ± 0.17 0.0

50.16 ± 1.3 0.0

40.944 −0.3738 ± 3

42.693 ± 0.04 0.0

0.0

0.0

−0.3738 ± 3

0.0

∆AU m

obtenues lors d’observations VLBI de sondes spatiales. On cherche ici à caractériser ce raccordement par l’utilisation d’autres observations et, en particulier, celles des pulsars millisecondes. Depuis 2001, des pulsars millisecondes ont été observés régulièrement en VLBA (Chatterjee et al., 2009). Mais de telles données n’ont pas la précision suffisante pour satisfaire aux besoins de raccordements compatibles avec les éphémérides planétaires modernes. Il apparaît donc nécessaire d’entreprendre une densification importante du nombre d’observations VLBI de pulsars millisecondes. Les observations radio de pulsars millisecondes sont un excellent outil de comparaison des modèles dynamiques des planètes du Système solaire, ainsi que du raccordement de ces modèles avec le repère de référence international, l’ICRF. En effet, du fait de la précision dans le chronométrage du temps d’arrivée des pulsations radio de ces objets extragalactiques (environ quelques centaines de nanosecondes), il est possible de positionner ces objets à quelques mas près dans le repère dynamique de l’éphéméride planétaire utilisée lors de la réduction des observations radio du pulsar. On peut alors établir des liens indépendants entre les éphémérides planétaires de l’ordre du mas. D’autre part, l’utilisation combinée pour quelques objets des observations de chronométrage et de positionnement VLBI des pulsars par rapport à une source extragalactique de l’ICRF au mas près a montré la puissance de cette technique pour l’estimation des raccordements effectifs entre les plans de référence des éphémérides planétaires et l’ICRF. Aucune autre technique indépendante ne permet une telle détermination. Les résultats de Fienga et al. (2011b) valident la précision des liens entre repères dynamiques des différentes éphémérides planétaires entre elles et donnent des estimations indépendantes des matrices de rotation entre l’ICRF et ces repères. 309

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE Pour INPOP10e (Fienga et al., 2012b), la possibilité a été développée de calculer les éphémérides directement en Temps-coordonnée barycentrique (TCB) au lieu du Temps dynamique barycentrique (TDB), version simplifiée du TDB habituellement utilisé dans les éphémérides planétaires. Cette version a été spécifiquement mise en place pour répondre au besoin de cohérence dans les modèles relativistes utilisés pour l’analyse des données de la mission Gaia. Avec INPOP10e, il est possible de produire des éphémérides en TCB (Temps-coordonnée barycentrique) selon une procédure décrite dans Klioner (2008). L’aplatissement du Soleil et le rapport de masse Terre-Lune ont aussi été estimés. Ces valeurs sont présentées dans la table 5.20. Par rapport à l’échantillon de données de INPOP10a, des observations d’Uranus ont été ajoutées (Viera Martins et Camargo, 2012), ainsi que des positions de Pluton déduites d’observations HST (Tholen et al., 2008). L’échantillon d’INPOP10e peut se retrouver dans la table 5.21.

5.4.1.4

INPOP13a et INPOP13c

L’apport important de la solution INPOP13a et INPOP13c réside dans l’utilisation des données issues de la mission MESSENGER, en orbite autour de Mercure de 2011 à 2014. La mission MESSENGER est la première mission dédiée à l’étude de Mercure. Grâce à une analyse originale des données de navigation de la mission, des positions de Mercure ont pu être déduites avec une précision de l’ordre de quelques mètres pendant la durée de la mission. Dans Verma et al. (2014), les procédures utilisées sont décrites, ainsi que la nouvelle éphéméride INPOP13a. INPOP13c (Fienga et al., 2014) est une mise à jour d’INPOP13a incluant de nouvelles données LLR, de Mars et Vénus, issues des missions MEX, Mars Odyssey et VEX (Morley, 2012, 2013 ; Marty, 2013). Les modèles dynamiques d’INPOP13c et INPOP13a sont identiques à celui d’INPOP10e. Grâce à l’ajout supplémentaire de données, une meilleure extrapolation de l’orbite des planètes intérieures est obtenue. Les valeurs des paramètres principaux (masse gravitationnelle du Soleil, aplatissement du Soleil, rapport de masses Terre-Lune) sont présentées dans la table 5.20. L’échantillon des données utilisé pour la construction d’INPOP13c est présenté dans la table 5.21. Comme on peut le voir dans les tables 5.18 et 5.19, les différences entre INPOP13c et INPOP10e sont moins importantes que celles entre INPOP10a et INPOP08, indiquant une stabilisation de la qualité des éphémérides à un niveau compatible avec la précision des observations. L’apport des données MESSENGER sur 2 ans induit un déplacement 310

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP de l’orbite de Mercure d’environ 500 mètres sur 40 ans par rapport à la Terre et un déplacement de l’orbite de la Terre d’environ 100 mètres sur 40 ans dans le BCRS. Avec INPOP13a, des évaluations des intervalles acceptables de violation de la relativité générale ont été initiées. En effet, en raison de la corrélation forte entre les paramètres PPN β et γ intervenant dans les équations du mouvement des planètes et dans le calcul des observables (voir Moyer (1971) pour plus de détails), des familles d’éphémérides ont été construites pour une grille de valeurs de β et γ. Les valeurs de β et γ acceptables sont celles pour lesquelles les familles d’éphémérides correspondantes restent compatibles à l’incertitude des observations. Cette approche appliquée à INPOP13a est décrite dans Verma et Margot (2016) et est généralisée dans Fienga et al. (2015). Dans Fienga et al. (2015), les familles d’éphémérides sont générées pour des valeurs aléatoires des paramètres PPN β et γ, mais aussi du paramètre d’aplatissement solaire J2 et du taux de perte de masse gravitationnelle du Soleil µµ˙ . Les intervalles de valeurs de β et γ déduites de cette approche pour INPOP13a et généralisées dans Fienga et al. (2015) sont présentés dans la table 5.22. En particulier, les intervalles de β et γ, ainsi que ceux du paramètre d’aplatissement solaire J2 et µµ˙ , sont les plus précis actuellement pour une solution globale.

311

distance distance α, δ distance distance VLBI distance distance VLBI distance distance distance distance

Mercure Radar direct Mariner MESSENGER survol MESSENGER survol MESSENGER Phase orbitale

Vénus Navigation Radar direct VEX

312

Mars Navigation Mex MGS Odyssey-MRO Pathfinder 1989.13:2013.86 2005.17:2017.37 1999.33:2006.72 2002.14:2014.00 1997.51:1997.73

1990.70:2010.86 1965.96:1990.07 2006.32:2011.45

1971.29:1997.60 1974.24:1976.21 2008.03:2009.74 2008.03:2009.74 2011.39:2014.20

X 2016.37 X X X

X X X

X X X X 2013.2

INPOP17a

X 2013.0 X 2012.0 X

X X 2009.78

X X X X 2013.2

INPOP13c

2007.97 2009.78 X 2010 X

X X 2009.78

X X X X

INPOP10e

nathan et al., 2017), INPOP13c (Fienga et al., 2014), INPOP10e (Fienga et al., 2012b) et INPOP08 (Fienga et al., 2009). Ces données peuvent être des mesures en distance, des mesures en ascension droite et déclinaison ou des mesures VLBI (colonne 2). En colonne 3 sont indiqués les intervalles couverts par ces données disponibles au moment de l’écriture de ce chapitre. Les dates indiquées dans les colonnes 4, 5, 6 et 7 donnent la fin de l’intervalle pris en compte pour chacune des éphémérides. Le X indique que l’ensemble de l’intervalle a été utilisé.

Table 5.21 – Données utilisées pour la construction des solutions INPOP17a (Viswa-

X

X

2007.97

X

X X

INPOP08

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

distance VLBI α, δ α, δ distance α, δ α, δ distance α, δ α, δ distance α, δ α, δ distance α, δ α, δ survol

Viking

Jupiter Navigation Optiques survol survol

Saturne Optiques Cassini VLBI Cassini

Uranus Optiques survol survol

Neptune Optiques survol survol

313

Pluton Optiques Occultation HST

1914.06:2008.49 2005.44:2009.64 1998.19:1998.20

1913.99:2007.88 1989.65:1989.65 1989.65:1989.65

1914.52:2011.74 1986.07:1986.07 1986.07:1986.07

1913.87:2008.34 2004.69:2009.31 2004: 2014.38

1996.54:1997.94 1914.54:2008.49 1974.92:2001.00 1974.92:2001.00

1976.55:1982.87

Table 5.21 (suite)

X X X

X X X

X X X

X X X

X X X X

X

X X X

X X X

X X X

X X 2007

X X X X

X

X X X

X X X

2010 X X

2007

X

X X X X

X

X

X X X

2008 X X

X

X X

X

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP

314

LLR Williams(8) Hoffmann(9)

DE(6) EPM(7)

DE(5)

INPOP08(4)

Éphémérides Planétaires INPOP15a(1) INPOP13a(2) INPOP10a(3)

Méthode

12 ± 11 0.0 3 ± 13

4 ± 24 0.0 0.0 0.0 -2 ± 3 0.0

0.00 ± 6.90 0.2 ± 2.5 -4.1 ± 7.8 -6.2 ± 8.1 0.0 7.5 ± 12.5

β−1 × 105

fixé à 2.1 0.0 fixé à 2.1

fixé à 2.1(10) 18 ± 26 0.0 0.0 4±6 0.0

-1.55 ± 5.01 -0.3 ± 2.5 fixé à 2.1(10) 0.0 4.5 ± 7.5 0.0

γ−1 × 105

0.0 0.0 0.1 ± 1.6 0.0 0.0 -0.63 ± 0.64

-0.43 ± 0.74 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

˙ µ/µ × 1013 yr−1

0.0 -0.7 ± 3.8 0.0

0.0 0.0 1.02 ± 2.21∗ 0.0 0.0 0.29 ± 1.26∗

0.49 ± 1.35 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

˙ G/G × 1013 yr−1

diverses méthodes. (1) Fienga et al. (2015), (2) Verma et al. (2014), (3) Fienga et al. (2011b), (4) Fienga et al. (2009), (5) Konopliv et al. (2011), (6) Folkner et al. (2014), (7) Pitjeva et Pitjev (2013), (8) Williams et al. (2009), (9) Hofmann et al. (2010), (10) Bertotti et al. (2003), (11) Lambert et Le Poncin-Lafitte (2009), (12) Li et al. (2013), (13) Guenther et al. (1998), (14) Bambi et al. (2005). ∗ valeur déduite de la publication.

˙ G/G, ˙ Table 5.22 – Intervalles de valeurs pour les paramètres β, γ, µ/µ, J2 issus de

fixé à 1.8 fixé à 1.8 fixé à 1.8 2.1 ± 0.70 2.0 ± 0.20 2.0 ± 0.20

2.22 ± 0.13 2.40 ± 0.20 2.40 ± 0.25 2.40 ± 0.25 2.40 ± 0.25 1.82 ± 0.47

J 2 × 107

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

Autres Cassini(10) VLBI(11) Planck + Brans-Dicke(12) Pulsars binaires(13) Nucléosynthèse Big Bang(14) 0.0 0.0

2.1 ± 2.3 -8 ± 12

Table 5.22 (suite) 0.0 0.0

0.0 0.0 -1.315± 2.375 40± 50 0±4

NC fixé

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP

315

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

5.4.2

La version INPOP17a

INPOP17a (Viswanathan et al., 2017 ; Viswanathan et al., 2018a) se caractérise par l’implémentation d’une version améliorée du modèle dynamique et de libration du système Terre-Lune et d’une procédure d’ajustement suivant les recommandations de l’IERS 2010. De plus, au niveau planétaire, dix ans de données issues de la navigation de la sonde Cassini dans le système de Saturne ont été ajoutés. INPOP17a a été utilisé pour donner une nouvelle limite au test du principe d’équivalence dans le système Terre-Lune (Viswanathan et al., 2018a).

5.4.2.1

Le système Terre-Lune

Les détails de la modélisation de l’orientation et du modèle de tenseur d’inertie pour la libration de la Lune d’INPOP17a sont donnés dans Viswanathan et al. (2017) et dans Viswanathan et al. (2018a). Par rapport aux versions d’INPOP antérieures, des corrections au niveau du codage du modèle (principalement pour la description de la rotation du noyau fluide) ont été appliquées, permettant un meilleur accord avec les observations. De plus, quarante années de données de télémétrie laser sur la Lune (LLR) ont été utilisées pour la construction d’INPOP17a. En particulier, un nouvel échantillon obtenu en infrarouge (1 064 nm) à la station de Calern (Courde et al., 2017), caractérisé par une densification importante du nombre de points normaux utilisés, a permis de mettre en lumière un effet systématique de période 6 ans et de plusieurs millimètres d’amplitude dans les résidus LLR. Cet effet est absorbé lorsque l’on considère que les coefficients de degré 3 du champ de gravité de la Lune déduit de la mission GRAIL nécessitent un réajustement sur les données LLR. Cette hypothèse, bien que couramment employée, ne semble pas justifiée du fait de la très grande précision des données GRAIL et des champs de gravité déduits (Konopliv et al., 2014b ; Zuber et al., 2013). Des études sont en cours pour comprendre ce phénomène. Si l’on se place dans l’hypothèse d’un réajustement des coefficients du champ de gravité lunaire de degré 3, les résidus post-ajustements sont d’une précision inférieure à deux centimètres, comme on peut le voir dans la table 5.24 pour la période 2015-2017 et plus globalement sur la figure 5.17. Les valeurs des paramètres ajustés en considérant l’ensemble des données disponibles en 2017 à 532 nm et à 1 064 nm sont données dans la table 5.23. Dans Viswanathan et al. (2018a) sont donnés les résultats des tests du principe d’équivalence déduits d’INPOP17a.

316

317

4±2 6±3 8.7 ± 0.3 8.2 ± 0.2 3.9 ± 0.3 1.666 ± 0.006 −2.40 ± 0.04 −35 ± 3 15.3 ± 0.5 42 ± 3 6.8 ± 0.2 5.0 ± 0.2

AU3 /d2 d d

(GMEMB − 8.997011400 × 10−10 ) × 1019 (τR1,E − 7.3 × 10−3 ) × 105 (τR2,E − 2.8 × 10−3 ) × 105 (CT /(m M R2 ) − 0.393140) × 106 (C32 − 4.8404981 × 10−6† ) × 109 (S 32 − 1.6661414 × 10−6† ) × 108 (C33 − 1.7116596 × 10−6† ) × 108 (τ M − 9 × 10−2 ) × 104 ( CkvT − 1.6 × 10−8 ) × 1010 ( fc − 2.1 × 10−4 ) × 106 (h2 − 3.71 × 10−2‡ ) × 103 Q27.212 − 45 (dérivé) d d−1

INPOP17a

Unités

Paramètres −10 6 ± 30 −27 ± 2 2∗ 4.4 1.84 −3.6 58.0 ± 100 4.0 ± 10.0 36 ± 28 11.0 ± 6 0±5

DE430

la construction d’INPOP17a (Viswanathan et al., 2018a). Ces valeurs peuvent être comparées avec celles des éphémérides DE430 (Folkner et al., 2014) et EPM (Pavlov et al., 2016).

Table 5.23 – Paramètres liés aux formes de la Terre et de la Lune ajustés pour

10 ± 5 57 ± 5 5.5 ± 0.4 2∗ 4.4 ± 0.1 1.84 ± 0.02 −4.2 ± 0.2 60 ± 10 3.0 ± 2.0 37 ± 4 6±1 0±1

EPM

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP

CHAPITRE 5. MOUVEMENT DES PLANÈTES, DE PLUTON ET DE LA LUNE

LLR Post-fit residuals obtained with INPOP17a

100

Residuals: 1-way LT [cm]

McDonald / 2.7m McDonald / Saddle McDonald / Mt. Fowlkes

Côte d’Azur Haleakala

Apache Point Matera

50

0

– 50

– 100 1970

1980

1990

Years

2000

2010

Figure 5.17 – Résidus obtenus après ajustement d’INPOP17a aux observations LLR.

Table 5.24 – Statistiques (RMS et WRMS en cm) des résidus obtenus après ajustement d’INPOP17a présentés en fonction du réflecteur observé par les stations APOLLO et Grasse entre 2015 et 2017.

5.4.2.2

Réflecteur

Grasse

APOLLO

A15 A14 A11 L1 L2

1.81 1.77 2.39 1.66 2.15

1.27 1.77 1.69 1.57 1.37

WRMS (cm)

1.89

1.49

Les planètes

Les données de la sonde Cassini obtenues pour une durée (10 ans) et avec une qualité de 35 mètres ont permis de grandement améliorer notre connaissance des orbites des planètes géantes. En effet, non seulement, l’orbite de Saturne est mieux contrainte, mais en raison du lien entre les orbites de Saturne et Jupiter, on en déduit aussi une contrainte forte sur l’orbite de Jupiter. Les différences entre INPOP17a et INPOP13c pour les planètes géantes, que l’on peut voir dans les tables 5.18 et 5.19, sont induites par l’utilisation des données Cassini. Notamment, celles-ci induisent un déplacement plus important pour l’orbite de Jupiter (2 km sur 40 ans) que pour l’orbite de Saturne (1.5 km sur la 318

5.4. L’ÉPHÉMÉRIDE INPOP même période). Cela peut s’expliquer, d’une part, parce qu’une année de données Cassini avait déjà été utilisée dans INPOP13c permettant une première correction de l’orbite de Saturne, mais d’autre part, cela souligne l’incertitude de l’orbite de Jupiter. En effet, seules 5 positions de Jupiter déduites de survols de sonde entre 1975 et 2001 permettent de contraindre directement l’orbite de la planète la plus massive du Système solaire. Les positions de Saturne déduites de 10 ans de navigation de la sonde Cassini apportent ainsi une information importante pour l’orbite de Jupiter. Au niveau des planètes telluriques, les différences par rapport à INPOP13c sont inférieures à la centaine de mètres sauf pour Mars, qui nécessite, du fait des perturbations des astéroïdes, des réajustements réguliers. Le déplacement de 140 mètres visible dans la table 5.18 est dû au prolongement de l’intervalle d’ajustement de 2013 à 2016.4.

319

Chapitre 6

Satellites naturels des plan`etes

6.1 6.1.1

Introduction La dynamique complexe des satellites naturels

Les satellites sont des petits corps du Système solaire qui circulent autour des planètes et se déplacent avec elles autour du Soleil. L’objectif principal de leur étude est la connaissance de leur mouvement et de celui des planètes. Toutefois, depuis la fin du xxe siècle, on sait que les petits corps du Système solaire peuvent également abriter un ou plusieurs satellites naturels. Ces systèmes particuliers sont traités dans la section 7.9 du chapitre 7 consacré aux petits corps. Souvent présentés comme des systèmes planétaires miniatures, les systèmes de satellites naturels en diffèrent pourtant par l’échelle dans laquelle ils évoluent. Ainsi, les forces de marées s’avèrent être un mécanisme majeur de leur évolution à long terme, faisant d’eux un laboratoire privilégié pour mieux comprendre les systèmes exoplanétaires. De même, leur taille (pas toujours modeste) nécessite de prendre en compte non seulement leur masse, mais également leur forme pour caractériser au mieux leur orbite. Enfin, ces systèmes sont très souvent impliqués dans des résonances de moyen mouvement. Ces dernières ont nécessité autrefois le développement de théories analytiques spécifiques à chaque système, pour prendre en compte les diverses résonances orbitales. Aujourd’hui, les méthodes numériques permettent d’étudier l’ensemble de ces systèmes avec un même outil, rendant ainsi possible une approche globale plus efficace et plus rapide. La comparaison des données astrométriques modernes aux éphémérides des satellites montre la très grande complexité dynamique de leur mouvement. Ainsi, les champs gravitationnels des planètes géantes se révèlent désormais avec une grande précision, laissant entrevoir des variations temporelles encore peu comprises. De même, la présence de chaos pour 321

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES certaines lunes proches de leur planète nécessite le développement de techniques adaptées pour pouvoir prédire avec un minimum de confiance les positions futures. Enfin, les effets de marées dans les planètes géantes, considérés comme négligeables il y a encore quelques années, s’avèrent être non seulement très importants, mais également dépendants de la fréquence orbitale de la lune qui lève les bourrelets. Pour traiter ces difficultés, à la frontière de nos connaissances physiques actuelles, le développement d’éphémérides précises des satellites naturels du Système solaire exige de mener en amont un travail de recherche conséquent, bénéficiant d’outils numériques adaptés et d’observations les plus diverses, allant des observations anciennes réalisées dès la fin du xixe siècle à celles obtenues avec les sondes spatiales les plus récentes, telles Cassini et Mars Express.

6.1.2

Objectifs

Une approche générale de l’étude de la dynamique des satellites naturels est la création de modèles de leur mouvement et la production d’éphémérides. Le processus de cette création est fondé sur les lois générales de la nature, sur les paramètres physiques des corps célestes et, surtout, sur les observations. Les méthodes mathématiques modernes et les méthodes de calcul les plus avancées sont utilisées. Les éphémérides sont le résultat final de cette recherche : elles utilisent toutes les connaissances sur la dynamique des corps du Système solaire. En retour, les éphémérides sont nécessaires pour déterminer les propriétés physiques des corps célestes. Avec leur aide, l’origine et l’évolution du Système solaire peuvent être étudiées. Les éphémérides sont aussi nécessaires pour préparer et mener les missions spatiales vers ces corps. Les satellites sont souvent des lieux plus appropriés que les planètes pour l’atterrissage d’engins spatiaux automatiques ou habités. Il est donc important de construire des éphémérides fiables des satellites naturels. Des satellites gravitent autour de la plupart des planètes à l’exception de Mercure et Vénus. La Terre n’a qu’un satellite, la Lune, qui ne sera pas abordé dans le présent chapitre. Les satellites des planètes géantes sont des corps très particuliers du Système solaire et présentent un intérêt certain. Les principaux satellites de Jupiter et de Saturne ont été découverts il y a relativement longtemps et leur dynamique est très bien connue. L’observation de la plupart des satellites des planètes à partir de la Terre est assez facile, car ils sont suffisamment brillants. Parmi les satellites naturels, ceux de la planète naine Pluton ont été conservés dans cette catégorie, bien qu’elle forme en fait, avec Charon, une planète double. 322

6.1. INTRODUCTION Quelle est l’utilité de l’étude dynamique des satellites naturels et de la construction d’éphémérides ? Jusqu’où doit aller la précision de ces éphémérides ? Comme cela a été évoqué précédemment, les systèmes de satellites naturels présentent une dynamique complexe qui, au-delà de leur résolution mathématique, décrit une réalité physique. Il s’agit là d’un moyen de comprendre la formation et l’évolution de tels systèmes que l’on va retrouver dans les systèmes extrasolaires. Chaque système de satellites a sa spécificité propre : rien de commun entre les satellites de Mars et les gros satellites des planètes géantes qui ont, eux-mêmes, une taille similaire à la planète Mars ! Les satellites proches des planètes géantes sont aussi très particuliers du fait de leur interaction avec les anneaux dans le cas de Saturne. Les satellites éloignés des grosses planètes ont des inclinaisons et des excentricités telles qu’ils ont été qualifiés de satellites irréguliers. Tous ces systèmes de satellites vont nécessiter une approche différente qui va permettre une avancée notable de notre connaissance sur la formation du Système solaire. Une bonne connaissance de la dynamique des satellites va en effet permettre de construire des éphémérides précises. Pour cela, un échantillonnage d’observations de qualité, bien réparties dans le temps, est nécessaire. Les types d’observations ont été multipliés non seulement pour augmenter la précision de ces données, mais aussi pour en améliorer l’exactitude. Une réduction de ces observations, qui n’oublie rien des diverses distorsions et autres déformations du signal reçu, est absolument nécessaire. La précision des éphémérides dépend de celle des observations et a tendance à se dégrader hors de l’intervalle de détermination (précision d’extrapolation), c’est-à-dire, hors de l’intervalle de temps de l’échantillonnage d’observations. L’utilisation des éphémérides pour la préparation de missions spatiales et la navigation des sondes nécessite de savoir quelle est la marge d’erreur durant les décennies à venir. Les éphémérides doivent donc être adaptées au besoin des utilisateurs. Enfin, les éphémérides vont permettre de déterminer de nombreux paramètres physiques des satellites, tels que les masses et même les structures internes, de quantifier les forces non gravitationnelles agissant sur ces corps et de détecter des effets nouveaux. Les éphémérides sont un outil qui permet de comparer un modèle aux observations et de détecter ou quantifier certains paramètres encore peu ou mal connus. Avec un échantillonnage toujours plus long d’observations, les effets cumulatifs apparaissent plus clairement, et des effets que l’on croyait séculaires (c’est-à-dire variant linéairement avec le temps) deviennent périodiques. De plus, le mouvement des satellites est sensible à leur structure interne et à la viscosité des matériaux qui les composent. La comparaison des éphémérides aux observations permet d’avoir des contraintes sur les paramètres liés à la structure interne. Ces corps formés en même temps que les planètes sont les témoins de l’évolution du Système solaire. Étudier la dynamique des satellites peut ainsi aider à valider un scénario de sa formation. 323

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.1 – Écart au mouvement uniforme pour chaque type de perturbation.

Écart Problème des N-corps J2 Jupiter Soleil Saturne Marées sur un siècle Précession de Jupiter J2 satellites Effets relativistes

6.1.3

(Europe) (Europe) (Callisto) (Callisto) (Ganymède)

(Io)

en km

en arcsec

en sec

6282 2712 1052 226 300 80 5 2

2 0.9 0.35 0.075 0.10 0.027 0.002 ≤ 0.001

449 194 131 28 27 10 0.6 0.12

Plan du chapitre

Dans le présent chapitre sont traités les différents aspects nécessaires au développement d’éphémérides des satellites naturels. Un historique de leur étude est présenté, principalement celle des satellites galiléens qui présentent l’un des problèmes les plus anciens de la mécanique céleste et les plus complexes, du fait des nombreuses perturbations à prendre en compte (voir table 6.1). Les caractéristiques orbitales des satellites sont ensuite fournies, ainsi que les différentes observations astrométriques utilisées pour construire les éphémérides. Les paramètres orbitaux et dynamiques des satellites naturels donnés dans ce chapitre peuvent différer de ceux fournis dans le chapitre 1. En effet, nous donnons ici les valeurs issues de nos théories qui ne sont pas nécessairement identiques aux valeurs que l’on trouve dans les publications les plus récentes. Leurs autres caractéristiques physiques et dynamiques sont disponibles dans le chapitre 1. Les différentes théories et modèles numériques utilisés pour obtenir les éphémérides actuelles sont présentés, ainsi que la méthode d’utilisation des observations pour ajuster les paramètres physiques et conditions initiales des modèles orbitaux. Les différents systèmes satellitaires sont décrits en détail et la dernière partie indique les outils utilisés pour rendre une éphéméride utilisable concrètement, via différentes représentations possibles, dont les fonctions mixtes et les polynômes de Tchebychev.

6.2 6.2.1

Historique La découverte

Les premiers satellites mis en évidence sont les satellites galiléens de Jupiter, plus anciens corps connus non visibles directement à l’œil nu. C’est Galilée (1564-1642), lorsqu’il 324

6.2. HISTORIQUE braque sa lunette vers le ciel de janvier 1610, qui va découvrir la complexité du monde de Jupiter. L’étoile brillante que l’on nomme Jupiter n’est pas une simple étoile, mais un globe ayant des détails de surface. Surtout, il n’est pas seul, il est accompagné de plusieurs lunes naturelles, que Kepler lui-même appellera par la suite satellites dans son ouvrage Narratio de Observatis Quatuor Jovis Satellibus publié en 1611. Le mot satellite provient du latin satelles, satellitis qui signifie escorte ou gardes du corps dans son équivalent moderne. Cette découverte de Galilée va bouleverser la connaissance du Système solaire en apportant l’exemple d’un mouvement qui n’existe pas autour de la Terre. De plus, la Terre n’est plus une exception, puisque Jupiter a aussi des lunes qui le suivent dans son mouvement autour du Soleil. Ainsi, la Terre pouvait devenir une planète comme les autres tournant autour du Soleil. Cependant, il ne s’agissait là que d’une constatation observationnelle, et non d’une démonstration, les fondements de la dynamique et de la gravitation n’étant pas encore connus (Galilei, 1989). Galilée appelle ces étoiles les astres de Médicis ou astres médicéens (Medicea Sidera) en l’honneur du prince de Médicis (cette appellation est encore en usage en Italie). Il leur donne les noms suivants : Principharus, Victipharus, Cosmipharus et Ferdinandipharus. Io, Europe, Ganymède et Callisto ont été nommés par Simon Marius dans son Mundus Jovialis (1614) : Simon Marius prétendit les avoir observés avant Galilée, dès novembre 1609, ce qui est possible, mais sans qu’il ait compris ce qu’il avait observé. À la suite de cette découverte, comment Galilée identifie-t-il les quatre satellites et détermine-t-il leurs périodes de rotation autour de Jupiter ? Le problème est moins simple qu’il n’y paraît, car il est impossible d’observer en permanence : le jour vient interrompre les observations, quand ce ne sont pas les nuages. . . D’après les écrits de Galilée, celui-ci aurait d’abord identifié le satellite qui s’éloigne le plus de Jupiter et calculé ses positions successives. Il aurait ensuite répété cette méthode pour les satellites restants en partant du plus éloigné jusqu’au plus proche de la planète. Théoriquement, cette méthode fonctionne (il est possible de l’essayer avec les éphémérides des satellites), mais en pratique, les mesures de Galilée n’étaient pas assez précises ni suffisamment nombreuses pour cela, la précision des mesures étant de l’ordre d’une minute de degré. On suppose que Galilée a utilisé la différence d’éclat des quatre satellites pour faciliter leur identification, faite au début de l’année 1610. Il s’en fit immédiatement l’écho dans son ouvrage au titre éloquent, le Sidereus nuncius, que l’on traduit couramment en français par Le Messager céleste, bien que certains le traduisent par Le Message céleste. L’ambiguïté dans la traduction subsiste à ce jour. Les satellites de Saturne sont plus difficiles à observer : seul Titan a la taille d’un satellite galiléen, les autres sont beaucoup plus petits et leur éloignement les rend encore moins brillants. Pire, Saturne est entouré d’un anneau brillant qui éblouit l’observateur. Pourtant, 325

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES en 1655, Huygens découvre Titan qui s’éloigne suffisamment de la planète pour être visible par l’observateur terrestre. Huygens bénéficiait heureusement d’une lunette plus puissante que celle de Galilée. Ce sont ces progrès de l’optique qui vont entraîner les découvertes successives de Téthys, Dioné, Rhéa et Japet par Jean-Dominique Cassini (1625-1712) en 1671 et 1672. Mimas et Encelade suivront en 1789, découverts par William Herschel (1738-1822). En 1848, William et George Bond , et William Lassell (1799-1880) , découvrent Hypérion. Les huit plus gros satellites de Saturne sont alors connus et tous les autres, très proches ou très éloignés de la planète, comme pour Jupiter, ne seront découverts que grâce à la technique photographique à partir de la fin du xixe siècle.

6.2.2

Les premières modélisations du mouvement

Les satellites galiléens vont acquérir une importance stratégique : leur proximité de Jupiter implique qu’ils sont éclipsés par l’ombre de la planète à chaque révolution : ces éclipses sont très facilement observables et vont servir de phénomènes de référence. Observée simultanément en deux lieux éloignés, une éclipse indiquera aux observateurs qu’ils observent au même instant : en comparant leurs temps solaires locaux, ils pourront calculer leurs longitudes, différence entre les deux temps solaires locaux. Les satellites galiléens vont donc servir à cartographier la Terre, et la modélisation de leur mouvement devient un enjeu très important permettant de prévoir les dates des éclipses. Ensuite, en utilisant les éphémérides, les éclipses des satellites serviront aux voyageurs pour déterminer leur position, puisque l’observation d’une éclipse répertoriée dans les éphémérides donnera au voyageur l’heure du méridien d’origine, le méridien de Paris, pour lequel les prédictions du phénomène auront été calculées. À partir de là, les travaux de calcul de prédiction de ces événements et de construction de tables du mouvement de ces corps (éphémérides) vont se succéder avec des précisions toujours améliorées. Galilée, Marius et Hodierna, les premiers observateurs des satellites, vont tenter de publier des prédictions d’éclipses assez imprécises en raison de leur méconnaissance des règles qui régissent les mouvements célestes. Cette modélisation cinématique qui ignore les lois de la mécanique céleste perdurera jusqu’au début du xixe siècle. Cassini publie en 1668 ses tables du mouvement et de calcul des éclipses. Fondées sur un nombre important d’observations d’éclipses, ces tables sont beaucoup plus précises que les précédentes, et seront encore améliorées en 1693, après que Ole Roemer (1644-1710) eut montré que la vitesse de la lumière est finie, grâce aux observations d’éclipses de Io (1676). En effet, la distance Terre-Jupiter varie au cours de l’année de 600 à 900 millions de kilomètres, ce qui fait que la lumière met de 30 à 50 minutes environ pour venir de Jupiter. Les éclipses se produisent très régulièrement autour de Jupiter, et ce décalage de 20 minutes est donc vite remarqué par les observateurs : Roemer en 326

6.3. CLASSIFICATION déduit ainsi que la lumière a une vitesse finie. Viennent ensuite des prédictions fondées sur des théories gravitationnelles, dont les paramètres sont déduits de ce même type d’observations. C’est le début des théories modernes que l’on verra dans les sections 6.5 et 6.6. Ce système de satellites a joué un rôle historique et philosophique important, puisqu’il fut, dès sa découverte, présenté comme une confirmation de l’hypothèse de Copernic par ses défenseurs.

6.3

Classification des satellites naturels

Les satellites des planètes peuvent être divisés en trois groupes. Le premier groupe est celui des satellites principaux. Ces satellites ont une taille importante (similaire à celle de Mars ou Mercure) et des orbites presque circulaires près du plan de l’équateur de leur planète. La proximité de celle-ci engendre une symétrie axiale des satellites, et l’aplatissement des planètes a un effet notable sur le mouvement des satellites. Dans le cas de Jupiter, Saturne et Uranus, les orbites des satellites principaux sont proches les unes des autres et l’attraction mutuelle entre les satellites affecte également de manière significative leur mouvement. Une autre caractéristique intéressante de ces satellites est l’existence d’un grand nombre d’observations relativement précises, accumulées sur des intervalles de temps significatifs du fait des conditions d’observation favorables de ces satellites. La gamme des magnitudes va de 4 à 14. Les planètes, très brillantes, sont suffisamment loin pour ne pas gêner les observations. Ces satellites sont ainsi les plus étudiés. Le deuxième groupe est celui des satellites proches des planètes. Ils sont beaucoup plus petits que les satellites principaux, et se déplacent à l’intérieur des orbites de ceux-ci sur des orbites presque circulaires dans le plan de l’équateur de la planète. Les observations des satellites proches sont très difficiles à réaliser en raison de leur proximité avec la planète et de leur faible brillance. Le corps brillant de la planète avec son halo cache les satellites. Certains d’entre eux ont été découverts par les sondes spatiales. Pour ces raisons, les paramètres orbitaux de ces satellites sont peu précis. La dynamique des satellites proches est très influencée par l’aplatissement et par d’autres caractéristiques, telles que le champ de gravitation complexe de la planète qui a un effet important sur leur mouvement. L’attraction des satellites principaux influe aussi beaucoup sur leur mouvement. Dans la plupart des cas, les modèles de mouvement des satellites proches sont des ellipses précessantes, c’est-à-dire des ellipses dont la ligne des nœuds a un mouvement séculaire linéaire. 327

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.2 – Nombre de satellites naturels recensés au 1er janvier 2021, classés par type et par planète. À noter que Pluton figure également dans ce tableau bien qu’étant maintenant considéré comme une planète naine.

Satellites Planète

Intérieurs

Majeurs

Lointains

Total

Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

4 16 13 7 -

2 4 8 5 1 1

71 58 9 6 4

2 79 82 27 14 5

Le troisième groupe est celui des satellites lointains ou irréguliers. Ce sont aussi des petits corps du Système solaire beaucoup plus petits que les satellites principaux. Les orbites des satellites lointains s’étendent bien au-delà des orbites des satellites principaux. Les inclinaisons et les excentricités des orbites des satellites lointains des planètes sont réparties sur une large gamme. Les excentricités atteignent la valeur de 0.75. Les inclinaisons des orbites par rapport aux plans orbitaux des planètes peuvent être même plus grandes que 90 degrés : ce sont donc des satellites rétrogrades avec un mouvement inverse par rapport au mouvement orbital de la planète. Le facteur de perturbation le plus important pour ces satellites est l’attraction du Soleil. L’influence des satellites principaux et de l’aplatissement de la planète est plus faible.

Le rythme des découvertes des satellites au cours du temps est indiqué par la figure 6.1. Le nombre de satellites des différents types connus à ce jour est indiqué dans la table 6.2. Le décompte total s’élève à 205 satellites naturels de planètes au 1er janvier 2021.

Une particularité dans la classification précédente doit être signalée, celle des satellites de Pluton au nombre de 5. Pluton a des propriétés comparables aux astéroïdes, et est désormais classé comme planète naine. La décision a été prise lors de la 26e assemblée générale de l’Union astronomique internationale en 2006. Cette planète naine est désignée comme (134340) Pluton. Selon les règles appliquées aux petites planètes, les satellites de Pluton doivent désormais être désignés sous la forme S/2011 (134340)1 par exemple pour Kerberos, découvert en 2011. La nécessité d’indiquer l’année de la découverte dans la désignation n’est pas pratique : les notations P1, P2, ... ou bien les noms attribués aux satellites seront privilégiés. 328

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050

N

190 180

190 180

170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70

170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70

60 50 40 30 20 10 0

60 50 40 30 20 10 0

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050

Années

Figure 6.1 – Nombre de satellites naturels connus pour chaque année.

6.4

La réalisation et la réduction des observations

Les premières observations des satellites galiléens furent des observations d’éclipses dont la configuration permet de déterminer une position des satellites sur leur orbite autour de la planète. À partir du xixe siècle, les astronomes ont cherché à observer en dehors des éclipses, ce qui était une contrainte, d’autant que les autres satellites (ceux de Saturne) ne présentaient pas de tels phénomènes. Diverses techniques vont donc apparaître pour mesurer directement les positions des satellites sur la sphère céleste.

6.4.1

L’instrument méridien

L’instrument méridien (figure 6.2) est utilisé depuis les premières observations astrométriques : il permet d’obtenir les coordonnées sphériques, ascension droite et déclinaison, 329

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES en connaissant les coordonnées géographiques du lieu d’observation et le temps sidéral local. Au passage d’un astre au méridien du lieu, sa déclinaison est donnée par la formule : déclinaison = hauteur − 90 degrés + latitude du lieu ascension droite = temps sidéral local (ou angle horaire du point vernal)

Figure 6.2 – L’instrument méridien de l’observatoire d’Abbadia à Hendaye.

L’instrument n’a qu’un degré de liberté selon la hauteur : on mesure donc un temps (le passage au méridien) et une hauteur locale lue sur l’instrument. À l’origine, l’observation était purement visuelle avec enregistrement de l’instant du passage et de la hauteur sur l’horizon. Le système a ensuite été automatisé grâce à l’usage d’un photomètre photoélectrique qui enregistre automatiquement l’instant du passage. Aujourd’hui, l’instrument méridien est toujours utilisé, mais le défilement du ciel est enregistré avant et après le passage de l’astre observé, de façon à obtenir une image en longue bande qui dépend de la durée d’enregistrement d’images successives ensuite recomposées. La position de l’astre cible est alors rattachée aux positions des étoiles de référence qui défilent avant et après. L’inconvénient de ce type d’observation est de ne pouvoir être utilisé qu’au moment du passage au méridien de l’astre observé, ce qui limite le nombre d’observations possibles. Les satellites naturels ont été abondamment observés par ce type d’instrument jusqu’à 330

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS aujourd’hui, comme ceux de Flagstaff (Arizona), Bordeaux (Floirac) et celui des îles Canaries (Carlsberg Meridian Telescope). Nord p S2

Y

S

Est

X

S1

Figure 6.3 – Principe d’une mesure micrométrique : s est la séparation et p l’angle de position.

6.4.2

Le micromètre et l’héliomètre

Afin de pouvoir observer en dehors du passage au méridien avec une lunette ordinaire, il fallait à l’époque pouvoir mesurer une position sur la sphère céleste par rapport à des références proches (étoile ou objet connu du Système solaire). Dans le cas des observations visuelles, la référence ne devait pas être éloignée pour qu’une mesure au micromètre (un réticule mobile sur le fond du ciel) soit précise. La distance angulaire était ensuite mesurée entre l’objet à observer et l’objet de référence, ainsi que l’angle de position du second objet par rapport au premier dans le repère équatorial (voir figure 6.3).

Une grande amélioration a été apportée par l’invention de l’héliomètre. D’abord utilisé pour la mesure du diamètre du Soleil, il a ensuite servi à mesurer de petites distances séparant les satellites de leur planète. Un système astucieux de deux demi-lentilles, accolées et glissant l’une par rapport à l’autre, amenait en coïncidence les images de deux satellites produites par chacune des demi-lentilles. Le déplacement des lentilles correspondait alors à la distance entre les deux objets observés. Les observations réalisées avec cet instrument sont parmi les plus précises. 331

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Dans le cas de l’héliomètre et du micromètre, une observation relative est effectuée d’un satellite par rapport à un autre satellite ou par rapport à la planète. Dans ce cas, un traitement spécifique est nécessaire, détaillé dans la section consacrée à l’ajustement des paramètres orbitaux sur les observations.

6.4.3 6.4.3.1

L’imagerie Mesures par rattachement : photographie ou caméra CCD grand champ

Observations terrestres Il s’agit ici du cas des observations sur plaques photographiques ou caméra CCD (Charge Coupled Device) grand champ, c’est-à-dire les observations dont le champ peut contenir un ou plusieurs objets d’étude (planètes, satellites, astéroïdes, comètes) et un certain nombre d’étoiles qui seront utilisées pour l’étalonnage des grandeurs d’observation. Historiquement, les plaques photographiques répondaient parfaitement à ces critères, avec des champs de plusieurs dizaines de minutes en ascension droite α et déclinaison δ. La sensibilité des émulsions limitait les étoiles observables (mag < 12 typiquement), ce qui était compensé par la taille des champs. D’un autre côté, les premières matrices CCD permettaient d’augmenter la magnitude des observables et la précision de mesure des objets, mais la taille des capteurs en limitait le nombre. Il aura fallu attendre une démocratisation de la technologie pour voir apparaître des caméras CCD précises, sensibles et de taille suffisante pour couvrir un champ utile. Qu’il s’agisse d’une plaque photographique ou d’une matrice CCD, l’utilisation d’un télescope permet d’obtenir l’image d’un champ du ciel à partir duquel on peut déterminer des quantités physiques (angle, flux lumineux) traduisant la configuration géométrique des corps célestes observés. Seulement, les quantités physiques observées ne sont pas de même dimension que les quantités physiques produites au sortir de l’instrument. En effet, le champ est mesuré en angles sur le ciel, tandis que son image, c’est-à-dire sa projection sur un plan, est mesurée en millimètres ou pixels, ce qui requiert les notions de projection sphère/plan et de passage des coordonnées sphériques aux coordonnées tangentielles. La mesure par rattachement ou réduction astrométrique prend alors tout son sens, car elle est définie comme le processus qui permet d’étalonner l’observation, dans le but de transformer les positions mesurées (x, y) sur l’image, en positions tangentielles (X, Y) sur plan, puis en positions angulaires ascension droite et déclinaison (α, δ) sur le ciel. Les coordonnées mesurées (x, y) d’un corps céleste sont les coordonnées directement accessibles depuis l’image du champ observé. Elles sont exprimées en millimètres sur 332

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS plaque photographique ou pixels sur matrice CCD. Elles sont aussi différentes des coordonnées tangentielles (X, Y) du corps, qui sont la projection exacte de ses coordonnées (α, δ) sur un plan perpendiculaire à la direction observateur/astre. L’origine de mesure des coordonnées tangentielles sera le centre optique de l’instrument (α0 , δ0 ) ; les axes X et Y seront respectivement dirigés selon l’équateur de la date et le méridien du lieu (voir figure 6.4). Nord

δ >0

Y

(X,Y)

Est

X

(α0 ,δ0 ) α >0

α – α0

δ – δ0

Ouest

Sud

Figure 6.4 – Représentation tangentielle (plane) d’un champ sphérique.

Dès lors que la position (α0 , δ0 ) du centre optique de l’instrument est connue, ainsi que la position (α, δ) d’un corps céleste, il est possible d’en déduire ses coordonnées (X, Y) relatives au centre du champ considéré, selon la projection gnomonique : X=

cos δ sin(α − α0 ) sin δ sin δ0 + cos δ cos δ0 cos(α − α0 )

sin δ cos δ0 − cos δ sin δ0 cos(α − α0 ) Y= sin δ sin δ0 + cos δ cos δ0 cos(α − α0 )

(6.1)

De manière pratique, les coordonnées mesurées ne pourront être apparentées aux coordonnées tangentielles que sous couvert d’un certain nombre de corrections à apporter. En effet : • le centre optique n’est pas déterminé avec exactitude et donc une approximation est faite sur sa position ; • l’inexactitude de la focale de l’instrument tend à rendre le champ anisotrope ; 333

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES • l’orientation de la plaque/CCD engendre un effet de rotation des axes de référence ; • l’optique de l’instrument n’est pas parfaite, ce qui introduit des déformations de champ ; • l’atmosphère engendre un déplacement des objets. Dès lors, les coordonnées tangentielles ne peuvent pas être utilisées directement pour la mesure, les écarts aux coordonnées mesurées seront déterminés par le rattachement aux étoiles du champ. Depuis la réalisation de catalogues d’étoiles astrométriques denses (Hipparcos, Tycho, UCAC, Gaia), il est désormais possible d’étalonner le champ à partir de ces sources aujourd’hui référencées. Cette méthode offre plusieurs avantages, notamment celui de déterminer avec précision les échelles et rotations des axes de référence pour chaque observation indépendamment, mais aussi celui de fournir des solutions astrométriques équatoriales (α, δ) des positions des corps étudiés. Les résultats sont bien entendu tributaires du nombre de références (étoiles) utilisées, mais aussi de leurs caractéristiques propres, telles les positions et la précision sur les mouvements propres par exemple. Les coordonnées des étoiles sont utilisées pour définir la transformation (x, y) 7→ (X, Y) selon le principe général : X = ax + by + c + dx2 + ey2 + f xy + ζ(x,y) 0 Y = a0 x + b0 y + c0 + d0 x2 + e0 y2 + f 0 xy + ζ(x,y)

(6.2)

où X et Y sont deux fonctions polynomiales à deux variables x et y. Les inconnues sont les constantes a, b, c, d, e, f. . . et a0 , b0 , c0 , d0 , e0 , f0 . . . caractéristiques du champ étudié ; 0 ζ(x,y) et ζ(x,y) représentent les termes d’ordre 3 et supérieurs. Par convention historique qui découle du fait que les premières observations mesurables avec précision ont été réalisées sur plaques photographiques, les inconnues citées sont appelées constantes de plaque, même si ce sont aujourd’hui des capteurs CCD qui sont utilisés. Ces constantes sont différentes pour chaque observation ; leur connaissance permet de traduire l’étalonnage du champ et par conséquent, de remonter aux coordonnées équatoriales d’un corps étudié selon le principe : (x, y) 7→ (X, Y) 7→ (α, δ). Le modèle présenté est dit conventionnel dès lors qu’il s’agit d’un simple développement polynomial, et il n’est pas évident d’interpréter la valeur des constantes ajustées. Il est préférable d’utiliser un modèle dit fonctionnel permettant de mettre en avant les contributions des différents effets que sont, au premier ordre : les facteurs d’échelle ρ x et ρy respectivement sur les axes x et y, les orientations θ x et θy entre les bases (x, y) et (X, Y), et le couple d’offsets (∆x, ∆y), car les centres des bases sont supposés différents, comme le montrent les équations : X = ρ x cos θ x × x − ρy sin θ x × y + ∆ x Y = ρ x sin θy × x + ρy cos θy × y + ∆y

(6.3)

D’une manière générale, les coordonnées équatoriales (α, δ) des étoiles connues sont remplacées dans l’équation 6.1 pour en déterminer les coordonnées tangentielles (X, Y). 334

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS

Étoile 2

Étoile 4 Étoile 3

Étoile 1

Étoile 5 Étoile 11

Étoile 6 Étoile 9 Étoile 10

Étoile 8 Étoile 7

Figure 6.5 – Illustration de la réduction astrométrique par rattachement aux étoiles du champ.

En parallèle, les positions correspondantes (x, y) sont mesurées sur l’image et remplacées dans l’équation 6.2 où les constantes de plaque restent encore inconnues. La méthode des moindres carrés est couramment utilisée pour minimiser les écarts entre coordonnées tangentielles calculées depuis un catalogue et coordonnées tangentielles déduites des mesures : les constantes de plaques sont ajustées et la transformation (x, y) 7→ (X, Y) déterminée. Puisque le nombre d’étoiles est supérieur à la moitié du nombre de constantes à définir (cas optimal), il est nécessaire de calculer un résidu sur les positions de chacune des références. Il est possible de conserver ou éliminer des étoiles selon un critère sur ces résidus et les magnitudes, avant d’itérer le processus. Aussi, d’après ce principe et si le nombre d’étoiles est conséquent, un fort résidu sera synonyme d’une mauvaise référence ; dans le cas contraire, une étude plus précise de chacune des étoiles est nécessaire. Dès lors que les constantes de plaque sont déterminées et que sont connues les coordonnées mesurées d’un objet inconnu (ou d’un corps à étudier), sa position (x, y) est introduite dans l’équation 6.2. Les coordonnées (X, Y) calculées sont remplacées, dans la formulation réciproque de l’équation 6.1, pour finalement produire les solutions astrométriques (α, δ) recherchées. En théorie, et si un grand nombre d’étoiles est disponible relativement au nombre de constantes de plaque à déterminer, les erreurs dues aux mesures, au catalogue utilisé et à 335

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES l’instrument sont compensées : on dit alors que les constantes absorbent ces effets. L’ordre de l’équation 6.2 devra ainsi être choisi en fonction de la taille du champ, du nombre de références utilisables, mais aussi de leur répartition dans le champ. Les 6 constantes du premier ordre (termes en x et y) de l’équation 6.2 peuvent être déterminées à l’aide des positions de 3 étoiles du champ. Pour aller jusqu’au second ordre (termes en x2 , y2 et xy), il est nécessaire de disposer de 6 étoiles (12 constantes à déterminer). Le troisième ordre (20 constantes) nécessitera les mesures de position de 10 étoiles. Si ne sont considérées ici que les bonnes références, l’application théorique est juste optimale : les polynômes sont juste ajustés et les résidus calculés sont nuls. Cela étant, toutes les étoiles ne sont pas parfaitement mesurées (erreurs directes de mesure sur image, erreurs de positionnement angulaire. . . ) et il est préférable d’utiliser le plus de références possible, de sorte que le nombre d’étoiles soit bien supérieur au nombre de constantes à déterminer. D’une manière générale, la réduction par rattachement aux étoiles du champ est utilisée avec un nombre conséquent de références, soit plusieurs dizaines d’étoiles. Dans le cas d’un nombre limité de références, l’information n’est pas suffisante pour que les constantes de plaque déterminées absorbent l’ensemble des effets. Le rattachement simple n’est donc pas optimal et il faut appliquer différentes corrections aux coordonnées des objets avant tout étalonnage, de sorte que l’information disponible soit utilisée pour traduire la physique la plus simple possible à la date d’observation. La méthode de Kaplan et al. (1989) introduit les corrections physiques à appliquer aux étoiles de référence, en assurant la précision de la milliseconde d’arc.

Observations spatiales Peut-on utiliser les images des sondes spatiales pour faire des observations astrométriques classiques par imagerie et rattachement ? La réponse est oui : il suffit d’obtenir une image d’un ou plusieurs satellites sur un fond d’étoiles permettant un rattachement à un système de référence. Sur des images réalisées par la caméra ISS de la sonde Cassini, on voit les deux satellites de Saturne, Dioné et Encelade, avec des étoiles présentes dans le champ. Une réduction par rattachement est alors possible. Un éventuel effet de parallaxe peut être corrigé si besoin. La différence avec une image prise du sol est la résolution complète des satellites. L’astrométrie cherche à déterminer le centre de masse d’un corps, mais n’a accès depuis le sol qu’à un centre de lumière (photocentre) et depuis une sonde qu’au centre de figure. Si le passage du photocentre au centre de figure est possible grâce à un modèle photométrique de surface et d’effet de phase, le passage au centre de masse est très difficile et d’une amplitude très faible.

336

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS 6.4.3.2

Cas des satellites proches des planètes : mesures relatives

L’observation et la réduction des observations des satellites proches d’une planète posent des problèmes particuliers. Il est souvent nécessaire de faire appel à de grands télescopes disposant de longues focales qui fournissent des images à petit champ. Il devient difficile de faire une réduction par rattachement, les étoiles étant absentes de l’image. Il est alors nécessaire d’effectuer des mesures relatives. La figure 6.6 montre une image des satellites galiléens de Jupiter qui contient des étoiles pour le rattachement. La figure 6.7 montre la même image sans étoiles. Il est impossible de se rattacher à un repère global. L’orientation va être donnée par la trainée laissée par un objet brillant après arrêt du guidage du télescope, montrant ainsi l’équateur de la date. L’échelle va être fournie en étalonnant le champ de l’instrument sur un champ proche, riche en étoiles. La référence origine est inconnue, les objets étant mesurés par rapport au centre du champ. La section 6.5.3.4 explique comment utiliser ces observations relatives dans un système de référence absolu. Un autre problème va surgir lors d’une observation de satellites très proches de la planète. Celle-ci est en général très brillante et entourée d’un halo dans lequel sa lumière se diffuse. Même en observant en altitude avec une atmosphère limpide, il est nécessaire de diminuer l’éclat de la planète pour obtenir des images utilisables. La première méthode consiste à utiliser un coronographe ou un masque recouvrant l’image brillante de la planète. La deuxième méthode consiste à utiliser un filtre dans la bande du méthane. L’atmosphère des planètes géantes contient du méthane qui absorbe certaines radiations de la lumière. Si on se place dans une bande d’absorption du méthane, la planète est assombrie, mais pas le satellite. Malheureusement, les autres longueurs d’onde, telle K, ne sont plus captées et il est nécessaire d’utiliser de grands télescopes comme le VLT. Le champ est alors bien trop petit pour capter une image d’étoile qui peut servir de référence astrométrique.

6.4.3.3

Observation simultanée de deux satellites d’une planète

Considérons le cas où sont observés simultanément la planète et ses deux satellites. La théorie analytique ou le modèle numérique du mouvement des satellites permettent de déterminer leurs coordonnées rectangulaires planétocentriques à un moment donné t. Le vecteur d’observation de chaque satellite est topocentrique (époque t0 ) avec le satellite à l’instant où certains photons sont partis pour frapper le photodétecteur à l’époque t0 . On dénote ce vecteur du premier satellite par S(1) T , et le vecteur d’observation du deuxième (2) satellite par ST . Les photons, qui frappent le photodétecteur au moment de l’observation faite à t0 , étaient partis du premier satellite à un moment t1 , et du second satellite à l’époque t2 . 337

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Étoile 2

Étoile 4 Étoile 3

Étoile 1

Étoile 5 Étoile 11

Étoile 6 Étoile 9 Étoile 10

Étoile 8 Étoile 7

Figure 6.6 – Jupiter et les quatre satellites galiléens : réduction astrométrique avec étoiles de référence, utilisées pour déterminer les coordonnées α, δ des satellites.

y

Y

X

θ

ρ

x

Étoile 7

Figure 6.7 – Jupiter et les quatre satellites galiléens : réduction astrométrique sans étoiles de référence. On aperçoit à droite et à gauche du champ les trainées laissées par les astres brillants après arrêt du télescope avant et après la pose. Ces trainées désignent l’équateur vrai de la date.

338

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS On note S(1) p (t1 ) le vecteur planétocentrique du premier satellite à l’heure t1 . Le vecteur barycentrique de la planète à ce moment était P(t1 ). Les vecteurs correspondants pour le deuxième satellite sont S(2) p (t2 ) et P(t2 ). Tous les vecteurs considérés ici sont représentés sur la figure 6.8.

(1)

ST

(1) Sp (t1)

Sp(2) (t2) ST(2) P(t2) P(t1)

T (t0)

B

Figure 6.8 – L’emplacement de la Terre, de la planète et des satellites à certains moments, correspondant au moment de l’observation. Les index 1 et 2 font référence, respectivement, aux satellites 1 et 2. B est le barycentre. (1) Afin de déterminer les vecteurs d’observation S(1) T et ST , on peut utiliser les équations suivantes : (1) S(1) T = Sp (t1 ) + P(t1 ) − T(t0 ) (2) S(2) T = Sp (t2 ) + P(t2 ) − T(t0 )

|S(1) | t0 − t1 = T c |S(2) | t0 − t2 = T c 339

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Ces équations peuvent être résolues par des approximations successives, en supposant au début t1 = t0 , t2 = t0 .

6.4.3.4

Détermination des coordonnées angulaires lors des observations de satellites naturels

Lors de l’ajustement des paramètres orbitaux des satellites sur la base des observations, il faut calculer les valeurs théoriques de ces quantités angulaires pour les dates d’observations. Il est nécessaire de relier les quantités mesurées aux vecteurs calculés de la planète et des satellites. Les coordonnées topocentriques angulaires calculées avec les modèles de mouvement des satellites sont comparées aux valeurs mesurées qui sont exprimées dans le système de coordonnées géoéquatorial associé à l’équateur et l’écliptique d’une certaine époque (J2000 par exemple). Dans cette section, on suppose que les axes des systèmes de coordonnées rectangulaires sont parallèles aux axes de systèmes non rotatifs géoéquatoriaux, comme l’ICRF. On considère seulement les coordonnées astrométriques. Pour tout vecteur topocentrique d’un satellite de composantes x, y, z, l’ascension droite α et la déclinaison δ sont déterminées à partir des relations : tan α =

y x

tan δ = p

z x 2 + y2

L’ascension droite et la déclinaison du corps céleste, qui sont aussi appelées les coordonnées absolues, peuvent être mesurées. À côté des coordonnées absolues, on peut utiliser des coordonnées relatives. Ce sont les différences des coordonnées célestes de deux corps proches : un satellite et une planète, deux satellites. Si l’ascension droite des premier et deuxième corps notée par α1 , α2 , et la déclinaison par δ1 , δ2 , alors les différences : ∆α = α2 − α1

∆δ = δ2 − δ1

sont appelées coordonnées différentielles et sont utilisées en tant que valeurs mesurées. Les plus couramment utilisées sont les valeurs mesurées : Xd = (α2 − α1 ) cos δ1

Yd = δ2 − δ1

L’utilisation des coordonnées différentielles peut amener à des pertes de précision, suite à une série de soustractions, et il est possible de procéder de la manière ci-dessous. 340

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS On note X, Y, Z les composantes du vecteur d’observation du premier satellite, c’est-àdire : {X, Y, Z} = S(1) T Les composantes de la différence des vecteurs d’observation du second et du premier satellite sont désignées par ∆ x , ∆y , ∆z . Ensuite, on a : (1) (2) (1) {∆ x , ∆y , ∆z } = S(2) T − ST = Sp (t2 ) − Sp (t1 ) + P(t2 ) − P(t1 ) (1) Ici la différence S(2) p (t2 ) − Sp (t1 ) elle-même est petite et ne conduit pas à la perte de précision dans le calcul des valeurs ∆ x , ∆y , ∆z .

Si le premier corps n’est pas un satellite, mais la planète elle-même, alors, dans la dernière relation, on a simplement S(1) p (t1 ) = 0. Pour le calcul des coordonnées différentielles ∆α, ∆δ, des formules approximatives simples sont proposées par divers auteurs. Cependant, il est facile de programmer les formules exactes proposées par Emelyanov (1999). Les calculs sont effectués en utilisant la chaîne de formule suivante : R2 = X 2 + Y 2 tan ∆α = (−Y∆ x + X∆y )/(R2 + X∆ x + Y∆y ) A = 2R2 Z∆z − 2Z 2 (X∆ x + Y∆y ) + R2 ∆2z − Z 2 (∆2x + ∆2y ) q B = R (X + ∆ x )2 + (Y + ∆y )2 + Z(Z + ∆z ) q C = R(Z + ∆z ) + Z (X + ∆ x )2 + (Y + ∆y )2

(6.4)

tan ∆δ = A/BC

6.4.4

Les phénomènes

À côté des observations de positions directes mesurées en angles sur la sphère céleste dans un repère et un système de référence connus, l’observation des phénomènes d’éclipses ou d’occultations des satellites par la planète ou par les autres satellites permet de déterminer des positions précises de ces corps. L’observation d’un phénomène est l’observation d’un instant qui correspond à une configuration particulière des corps aisément identifiable. La mesure d’un flux photométrique complète en général l’observation. Une telle observation n’est rattachée qu’à une échelle de temps connue (par exemple UTC) afin de relier les observations entre elles. La mesure d’un temps étant plus précise que celle d’un angle (car dépendant d’une vitesse), les positions obtenues ont quasiment un ordre de grandeur supérieur en précision. Dans tous les cas, ce type d’observation est complètement décorrélé des observations de positions angulaires, ce qui permet de détecter plus facilement les biais observationnels lors de l’ajustement des modèles. Toutes les explications sur la nature des phénomènes observés, ainsi que sur leur réduction, sont disponibles dans la section 10.7. 341

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

6.4.5

Les rapprochements

Les mesures de positionnement réalisées à partir des observations sur plaques photographiques et caméras CCD, ainsi que la photométrie des occultations et éclipses mutuelles, sont les deux principales méthodes utilisées pour l’amélioration et l’ajustement astrométrique des éphémérides satellitaires. Cela est permis par l’analyse des positions mesurées ou des courbes de lumière. La technique des rapprochements est issue d’un travail préliminaire qui vise à confirmer la faisabilité d’une nouvelle méthode d’observation qui n’est autre qu’une fusion des techniques d’observation de positions et d’observation de phénomènes. Le but principal est de proposer une méthode accessible, pratique et adaptée pour contraindre les modèles dynamiques des objets observés, non plus par des positions, mais par des instants (Morgado et al., 2016). Il s’agit d’utiliser dans un premier temps une éphéméride satellitaire pour déterminer les périodes au cours desquelles des distances intersatellites atteindront un extremum. La figure 6.9 propose une visualisation des distances intersatellites des quatre satellites galiléens sur un intervalle de temps donné. Il est ainsi aisé de mettre en évidence des maxima ou minima locaux qui détermineront les instants critiques d’observation. La seconde phase consiste à réaliser des observations visuelles toutes les minutes, en moyenne 2 h autour d’un extremum choisi (1 h avant et 1 h après), afin d’établir des courbes de distances intersatellites en fonction du temps et permettre la mesure d’instants pour lesquels les dérivées des distances sont nulles. Il s’agit ici d’établir des courbes de distances, analogues aux courbes de lumière en photométrie, qui seront ajustées en temps. La disponibilité des phénomènes de rapprochement en distance présente le très gros avantage d’offrir un grand nombre de possibilités d’observation régulière en comparaison avec les phénomènes mutuels. Les ajustements de temps minimums ou maximums locaux depuis les courbes de distances doivent atteindre la même précision que celle des phénomènes mutuels, soit une dispersion inférieure à la seconde de temps en première approche.

6.4.6

La radioscience

En plus des images à but astrométrique réalisées par les sondes spatiales, il est parfois possible de tirer bénéfice des données radio utilisées pour communiquer avec une sonde, afin de contraindre les éphémérides des satellites naturels. Cette méthode reste toutefois secondaire en comparaison de son apport au développement des éphémérides planétaires, et ce pour une raison simple : aucune sonde n’a encore été mise en orbite autour d’un satellite. Cette situation devrait toutefois changer avec la sonde spatiale européenne 342

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS

Figure 6.9 – Exemple des configurations de rapprochements des satellites galiléens sur une semaine.

JUICE (JUpiter ICy moons Explorer) qui devrait être mise en orbite autour de Ganymède en 2032, si le lancement ne prend pas de retard d’ici là. À défaut de mise en orbite, les sondes spatiales réalisent fréquemment des survols des lunes du Système solaire. L’objectif principal est la plupart du temps de réaliser des images de la surface au plus près de ces objets dans diverses longueurs d’onde, ainsi que des mesures d’un champ magnétique, d’un écho radar, le prélèvement de particules environnantes ou autres. Pour la grande majorité des missions spatiales, ces mesures exigent de manœuvrer la sonde vers une géométrie optimale en regard des divers instruments, empêchant généralement l’antenne à haut gain d’être orientée en direction de la Terre lors du survol. Toutefois, un nombre limité de survols est souvent accordé aux expériences de radioscience, permettant ainsi de quantifier précisément le champ gravitationnel du satellite survolé, via le changement observé de l’orbite de la sonde lors de son survol. À titre d’exemple, grâce à différents survols du satellite Titan de Saturne, c’est ainsi que les chercheurs ont pu mettre en évidence la présence d’un océan global sous sa surface. Lors du traitement des données issues de ces survols dédiés aux expériences de radioscience, il est alors fréquent d’ajuster, en plus des paramètres gravitationnels du satellite 343

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES survolé (la masse n’étant que le premier paramètre d’une longue série qui décrit la répartition des masses du satellite dans l’espace), un certain nombre d’autres paramètres, dont une correction sur l’éphéméride du satellite lui-même. C’est ainsi que les données de radioscience peuvent alors contribuer de manière directe à l’amélioration des éphémérides satellitaires. Les sondes spatiales y contribuent toujours de manière indirecte, via l’amélioration du champ gravitationnel des planètes, qui en retour améliore naturellement les éphémérides des satellites.

En pratique, l’apport des données de radioscience à l’élaboration des éphémérides des satellites reste encore assez limité. En premier lieu, l’information sur la position des satellites lors des survols est souvent noyée par d’autres sources de bruit, comme cela est le cas pour les satellites de Mars pour lesquels l’attraction gravitationnelle est très faible. À ce titre, seules les masses de Phobos et Deimos ont pu être estimées précisément par leurs différents survols (y compris après les récents survols de Phobos réalisés par la sonde européenne Mars Express).

Pour Jupiter, plusieurs survols ont eu lieu entre 1995 et 2003 grâce à la sonde américaine Galileo. Malheureusement, l’antenne à haut gain n’ayant pas fonctionné durant la mission, les données de radioscience (comme toutes les autres données scientifiques) ont été renvoyées par une antenne secondaire, dégradant nettement la précision des données attendues.

Pour ce qui est de l’apport des données de radioscience à la réalisation d’éphémérides des satellites naturels, la meilleure mission est, sans conteste, la mission Cassini. En particulier, les cent-vingt-six survols de Titan (dont dix réservés à la radioscience) sont probablement la meilleure source d’information sur le positionnement de ce satellite dans l’espace, et probablement pour plus d’une décennie encore. Ainsi, une contrainte de l’ordre du kilomètre sur la position de Titan dans l’espace a pu être obtenue dans la grande majorité des cas, avec une contrainte de seulement quelques dizaines de mètres sur la position du centre de masse de ce dernier, pour les dix survols dédiés exclusivement à la radioscience.

Si l’introduction directe des données de radioscience durant l’élaboration des éphémérides des satellites naturels du Système solaire reste globalement d’un apport encore assez marginal, il est fort probable que la situation sera amenée à changer dans les décennies à venir avec l’arrivée de nouvelles missions, telles que JUICE et Europa Clipper pour le système jovien. Toutefois, étant donné le très grand nombre de satellites existants, les mesures astrométriques classiques resteront, pour longtemps encore, un apport fondamental à l’élaboration d’éphémérides des satellites naturels. 344

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS

6.4.7

Les observations disponibles

L’existence de nombreuses observations astrométriques précises et bien réparties dans le temps reste la condition essentielle à la réalisation d’éphémérides fiables. Ci-après est établie la liste qui permet de se rendre compte des manques et des besoins. Les observations astrométriques utilisées pour l’ajustement des modèles théoriques et la construction des éphémérides sont de types très divers : • les observations d’éclipses (satellites galiléens, Titan) ; • les observations d’occultations par la planète (satellites galiléens) ; • les observations d’occultations d’étoiles (tous satellites, mais principalement les satellites galiléens et Titan) ; • les observations de phénomènes mutuels (satellites galiléens, satellites principaux de Saturne et Uranus) ; • les observations méridiennes (satellites galiléens et satellites principaux de Saturne et Uranus) ; • les observations astrométriques relatives X, Y (satellites galiléens et satellites principaux de Saturne) ; • les observations astrométriques α et δ (tous satellites, mais principalement les satellites irréguliers). Ces observations se répartissent en trois catégories principales : • positions α, δ (ascensions droites et déclinaisons) en angles sur la sphère céleste ; • positions X, Y relatives (coordonnées tangentielles) entre deux satellites ou entre un satellite et un objet connu ; • observations photométriques de phénomènes en flux de lumière et datation. Les tables 6.3, 6.4 et 6.5 donnent la répartition dans le temps et le nombre d’observations disponibles pour chacun des types d’observation.

6.4.8

Précision et exactitude des observations

Afin d’obtenir des éphémérides par ajustement d’un modèle dynamique sur un échantillonnage d’observation, il est nécessaire de disposer d’un échantillonnage régulier, dépourvu d’erreurs systématiques et constitué d’erreurs aléatoires suffisamment faibles pour qu’il ne soit pas nécessaire d’avoir un trop grand nombre d’observations en vue de diminuer statistiquement cette erreur. Ce n’est pas toujours le cas et il est important de pouvoir estimer ces erreurs pour évaluer la qualité des éphémérides. Les éphémérides produites 345

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.3 – Nombre d’observations disponibles pour la réalisation des éphémérides des satellites naturels de Jupiter et Saturne.

Satellites

Période de temps

Nombre de données

M-1 M-2

1877-2011

4134

J-1 J-2 J-3 J-4 tous J-1-2-3-4

1891-2015 1891-2015 1891-2015 1891-2015 1891-2015

4785 3767 4229 4108 16889

J-5 J-14 J-15 J-16 tous J-5-14-15-16

1954-2015 1981-2015 1988 1988-2000 1954-2015

712 740 48 178 1478

J-6 J-7 J-8 J-9 J-10 J-11 J-12, J-13 J-17 à J-49 et autres tous J-6-7-8-9-10-11-12-13-17

1894-2018 1951-2018 1975-2018 1894-2018

11930 1179 2176 15285

S-1 S-2 S-3 S-4 S-5 S-6 S-7 S-8 tous S-1-2-3-4-5-6-7-8

1874-2012 1874-2012 1874-2012 1874-2012 1874-2012 1874-2012 1874-2012 1874-2012 1891-2012

3087 7963 12508 12855 12750 11103 5311 10648 76225

S-10, S-11 S-12 S-13, S-14 S-16, S-17 tous S-12-13-14-16-17

1966-2000 1980-1996 1981-1996 1994-2002 1966-2002

188 286 90 410 974

S-9 de S-18 à S-52 et autres tous S-9-18-...

1904-2017 2000-2015 1904-2017

6049 1419 7468

346

6.4. LA RÉALISATION ET LA RÉDUCTION DES OBSERVATIONS

Table 6.4 – Nombre d’observations disponibles pour la réalisation des éphémérides des satellites naturels d’Uranus, de Neptune et de Pluton.

Satellites

Période de temps

Nombre de données

U-1 U-2 U-3 U-4 U-5 tous U-1-2-3-4-5

1983-2011 1983-2011 1983-2011 1983-2011 1983-2011 1983-2011

3778 4140 5016 5975 2507 21416

U-6 à U-15 U-16 à U-20

1994-2004 1984-2016

65 900

N-1 N-2 N-1 N-2 N-3 à N-8 N-9 à N-13

1877-2016 1949-2017 1877-2017 1991-2009 1999-2017

4996 1814 6810 159 382

P-1 P-2, P-3 tous P-1-2-3

1992-2006 2002-2011 1992-2011

78 46 124

Table 6.5 – Nombre de phénomènes observés.

Phénomènes

Période de temps

Nombre de données

Satellites galiléens éclipses occultations phénomènes mutuels

1652-1983 1836-1972 1973-2015

16802 4411 2383

Satellites Amalthée et Thébé de Jupiter phénomènes mutuels

2009-2015

8

Satellites de Saturne phénomènes mutuels

1980-2009

113

Satellites d’Uranus phénomènes mutuels

2007-2008

41

Grand total

1652-2015

23750

347

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES ne sont valables que sur l’intervalle de temps des observations. Toute extrapolation est hasardeuse, l’éphéméride s’écartant de la position réelle d’autant plus vite que les observations sont entachées d’erreurs et que le modèle est incomplet. Ce dernier point sera étudié dans la section consacrée à la modélisation dynamique. Pour certains corps, la précision d’extrapolation des éphémérides peut être déterminée (éphémérides MULTISAT des satellites irréguliers des planètes géantes). Comment déterminer la précision des observations et différencier précision et exactitude ? La précision dépend du soin avec lequel les observations ont été effectuées : l’instrumentation et la réduction des données donnent cette précision. En particulier, les positions astrométriques sont étalonnées avec un catalogue d’étoiles dont la précision (ou plutôt l’imprécision !) se répercute sur les mesures effectuées. La précision se mesure donc en calculant l’écart à la moyenne des mesures. Si la donnée réelle à mesurer n’est pas connue, son évolution dans le temps est en général connue grâce au modèle théorique. La différence entre l’observation et le calcul théorique (O − C) ne doit pas varier sur une courte période d’observation. Si cette différence est importante, tout en restant constante pendant une série d’observations, cela représentera un biais dû au modèle théorique ou à l’observation. L’exactitude, qui se mesure par rapport à la réalité, qui n’est évidemment pas connue, intègre ce biais. La réalisation d’observations diverses (méridien ou caméra CCD TDI à balayage, micromètre ou imagerie CCD, phénomènes) comportant des biais différents permet d’éliminer ces biais et d’augmenter l’exactitude. Les éphémérides MULTISAT de l’IMCCE permettent de déterminer les différences entre observations et éphémérides, de calculer l’écart-type et la dispersion des résidus, et d’avoir une idée de la précision et de l’exactitude des observations. La dernière section donne les valeurs de précision des éphémérides proposées dans la Connaissance des temps.

6.5 6.5.1

La modélisation dynamique Les forces en présence

Le modèle dynamique comprend l’ensemble des forces physiques et perturbations diverses qui agissent sur le mouvement du (ou des) satellite(s) à l’étude. La perturbation par la forme physique du corps central est le type de perturbation subie par tout satellite naturel ou artificiel en mouvement sur une orbite basse. La planète n’est pas sphérique, la présence d’un renflement équatorial est source de perturbation. 348

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE

Table 6.6 – Estimations de la précision astrométrique interne des différents types d’observation.

Type d’observation

Précision mas

Micrométriques Photographiques Caméra CCD Speckle-interférometrie Phénomènes mutuels des satellites galiléens de Jupiter Phénomènes mutuels des satellites majeurs de Saturne et d’Uranus

300-3000 80-800 40-400 10-50 5-50 3-6

Lorsqu’elle est connue, il est possible de tenir compte aussi de la perturbation due à la forme des satellites eux-mêmes. La force principale est l’attraction gravitationnelle de la planète. Plus précisément, le corps central n’étant pas parfaitement sphérique, son potentiel gravitationnel est développé sous forme d’harmoniques sphériques :     ∞  n n X  X   R GM    E (p) 1 + U(r, φ, λ) = P (sin φ)[c cos pλ + s sin pλ] (6.5)   np np n    r  r   n=1 p=1 où r, φ, λ désignent respectivement la distance, la latitude et la longitude du satellite rapportées à un repère équatorial centré généralement sur le centre de masse de la planète. De même, M et RE désignent la masse et le rayon équatorial de la planète. On distingue habituellement la famille des satellites proches de celle des satellites dits éloignés, suivant que le premier terme de la somme de l’équation 6.5 a un effet respectivement plus fort ou plus faible que celui induit par l’attraction du Soleil. En particulier, les satellites proches ont le plus souvent leur plan d’orbite proche du plan de l’équateur, à la différence des satellites éloignés. Les perturbations de moindre importance comprennent l’attraction gravitationnelle d’autres satellites et celle d’autres planètes. Des effets supplémentaires sont également nécessaires pour décrire avec précision la dynamique de certains systèmes satellitaires, comme l’introduction de la non-sphéricité des satellites, les effets relativistes et les effets de marées entre les satellites et la planète. Les satellites naturels subissent dans leur mouvement les autres perturbations suivantes : 349

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES • les perturbations par la présence des autres satellites : ce sont les perturbations mutuelles du type N-corps qui ressemblent à celles du problème du mouvement planétaire. Le corps étudié est perturbé simultanément par la présence des autres corps du même système ; • les perturbations par la présence du Soleil : cette perturbation est identique à celle subie par la Lune. Les satellites en orbite autour d’une planète, tout particulièrement ceux qui en sont le plus éloignés, sont perturbés dans leur mouvement par le Soleil considéré comme corps extérieur ; • les perturbations dues aux autres planètes : la perturbation directe n’est généralement pas assez sensible sur le mouvement pour être considérée. Il est cependant nécessaire de tenir compte des perturbations indirectes, ce qui se traduit par la présence de termes périodiques ; • la précession et parfois les nutations du corps central ; • les effets de marées entre la planète et les satellites ; • des corrections relativistes post-newtoniennes pouvant être traitées comme des perturbations. La grandeur des perturbations diffère suivant le système de satellite. Par exemple, les satellites de Mars sont très affectés par la forme de Mars et très peu par les perturbations mutuelles. Inversement, les satellites galiléens de Jupiter sont surtout affectés par les perturbations mutuelles et notamment par des phénomènes de résonances orbitales. Les quatre dernières perturbations citées sont vraiment faibles, mais quelques fois nécessaires pour obtenir toute la précision désirée. La quantification de ces effets est consultable dans la table 6.1.

6.5.2

Les méthodes de résolutions des équations du mouvement

Les systèmes de satellites naturels sont souvent présentés comme des minisystèmes solaires et l’étude de leur dynamique permet de comprendre la formation et l’évolution de ces systèmes. De plus, les plus gros satellites des planètes géantes ont une taille similaire à celle des planètes telluriques : par exemple, les diamètres équatoriaux de Mercure et de Mars sont de 4 879 km et 6 794 km respectivement, tandis que ceux de Ganymède et Titan sont de 5 268 km et 5 150 km respectivement. Io (3 630 km) est plus grand que la Lune (3 475 km). Presque tous les principaux satellites sont des mondes telluriques avec parfois des surfaces entièrement composées de glace (par exemple Europe 3 138 km, Encelade 512 km, Titania 1 578 km). Mais la différence essentielle avec le système de planètes tournant autour du Soleil est l’échelle de temps à laquelle ils évoluent : les satellites évoluent en gros 300 fois plus vite que les planètes (très approximativement, le rapport des périodes de révolution). En conséquence, les forces de marées ont le temps de produire leurs effets. Cela explique aussi que ces systèmes sont très souvent impliqués 350

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE dans des résonances orbitales. Il a fallu développer des théories analytiques spécifiques à chaque système pour prendre en compte les diverses résonances. Maintenant, ces théories sont utilisables en parallèle avec des méthodes numériques.

6.5.2.1

Les théories analytiques

Elles sont issues des méthodes générales de la théorie des perturbations, généralement par l’intégration des équations de Lagrange. Elles sont dites analytiques, car on s’efforce de garder les paramètres de la théorie de manière littérale sans substitution numérique. Avant l’ère des calculateurs électroniques, cette forme analytique était privilégiée. Les coefficients numériques n’étaient introduits que si la complexité du problème l’imposait. Puis, au fur et à mesure de l’augmentation de la puissance des calculateurs, les mécaniciens célestes ont eu de plus en plus recours aux méthodes numériques. Les théories du mouvement étaient qualifiées d’analytiques, de semi-analytiques, de seminumériques. L’utilisation du qualificatif exact pour désigner la théorie avait même une certaine importance. Chapront-Touze (1982) a tenté de définir les différents types de théories. Même si cela apparaît quelque peu subjectif, il est intéressant de donner ses définitions : • analytique : les coefficients de Fourier sont des développements littéraux de tous les paramètres ; • semi-numérique : les coefficients de Fourier sont numériques, une valeur définitive est donnée au début des calculs. Des dérivées partielles premières sont aussi calculées. Certains paramètres (par exemple les excentricités et inclinaisons) apparaissent de manière littérale, alors que d’autres (comme les masses) sont numériques ; • semi-analytique : les coefficients de Fourier sont des développements autour de valeurs fixées ; • numérique : la solution est issue directement d’une intégration numérique. Cette répartition a été faite dans le contexte des théories du mouvement de la Lune, dont Chapront-Touzé est une spécialiste, et les exemples qu’elle donne en sont issus. Ainsi les théories de Delaunay (1861) et de Deprit et al. (1971) sont déclarées analytiques. Peut également être ajoutée dans cette catégorie la « Théorie générale planétaire » de Duriez (1977). Chapront-Touzé fait rentrer dans la deuxième catégorie sa propre théorie de la Lune en 1983 ( Chapront-Touze (1982)). Elle remarque que les théories analytiques sont environ 100 fois moins précises que les théories semi-numériques. Il ne faudrait pas en conclure qu’on ne construit plus de théorie analytique. Par exemple, de Saedeleer (2006) 351

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES a construit une théorie analytique fermée (c’est-à-dire non développée en excentricitéinclinaison) du mouvement d’un satellite artificiel de la Lune. Ce type d’approche est très utile en analyse de missions spatiales. Les deux dernières catégories ne sont pas considérées. D’ailleurs, le qualificatif semianalytique est rarement utilisé dans le sens indiqué ci-dessus. Actuellement, beaucoup de dynamiciens considèrent que le terme analytique (semi ou pas) est à réserver aux solutions qui ont leur origine dans la théorie des perturbations, et que si certains paramètres sont donnés numériquement, alors le mot semi est à ajouter. De ce point de vue, aucune théorie ne peut être considérée comme purement analytique. D’autres dynamiciens ont une vue encore plus large : ils considèrent comme numérique ce qui est issu d’une intégration numérique, autrement la représentation est dite analytique. Plus précisément, l’analycité provient de la présence littérale du paramètre t (le temps) permettant alors de remplacer t, a priori, par n’importe quelle valeur, alors qu’une intégration numérique ne permet de déduire des positions que sur l’intervalle dans lequel a été effectuée l’intégration. Cette dernière distinction est également insatisfaisante, puisque dans ce sens, une théorie analytique issue de la théorie des perturbations n’est valable, elle aussi, que sur un intervalle de temps limité. Quand elles sont encore utilisées, les théories analytiques des différents systèmes sont expliquées plus loin.

6.5.2.2

Les méthodes numériques

La méthode numérique utilisée pour produire des éphémérides de satellites naturels est très similaire à celle utilisée en géodésie spatiale pour les satellites artificiels et sondes spatiales. En premier lieu, il convient de faire un bilan exhaustif (dans la limite de nos connaissances) sur les perturbations dynamiques pouvant perturber le mouvement des lunes pour une précision d’observation donnée. Il est indispensable d’avoir une marge de sécurité de plus d’un ordre de grandeur (idéalement deux) entre la précision des observations et l’influence post-ajustement des perturbations. En effet, la plupart des perturbations n’offrent que des dérives séculaires sur les variables angulaires, qu’il est aisé d’absorber dans une modification minime des conditions initiales. La modélisation diffère quelque peu d’un système à l’autre, mais en règle générale, elle est similaire à celle déjà présentée dans la section 6.5.1. Une fois la modélisation définie, la première étape est de considérer les équations du mouvement de chacun des corps. Si celles-ci sont écrites dans un repère planétocentrique, il conviendra d’ajouter les 352

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE perturbations, dites indirectes, qui correspondent à l’attraction de tous les objets sur la planète. On écrit donc : Fi (..., r j , ..., v j , ..., p) d 2 ri = (6.6) mi dt2 où mi est la masse du satellite i. Les vecteurs r j , v j représentent les positions et vitesses des satellites et p est un ensemble de paramètres physiques associés à la modélisation choisie (masses, coefficients harmoniques sphériques Cnp , S np , paramètres de marées, etc.). L’intégration de ce système de 3N équations différentielles ordinaires d’ordre deux n’est d’ordinaire pas problématique. Les conditions initiales de l’équation 6.6 sont généralement reprises d’une éphéméride antérieure. Lorsque celle-ci n’est pas disponible, un modèle simplifié est utilisé dans une première approche avec éventuellement des contraintes supplémentaires sur les inclinaisons et excentricités. Une fois les observations collectées, il est alors nécessaire de comparer les positions prédites et observées sur la sphère céleste. Les coordonnées cartésiennes issues de l’intégration numérique doivent alors être transformées, pour chaque date d’observation, dans les coordonnées de l’observation. Celles-ci peuvent parfois être fonction, en plus des vecteurs d’état, d’un jeu de paramètres supplémentaires p0 introduit lors du changement de variable. En notant g un type d’observation particulier, et à proximité des valeurs physiques exactes, l’écart entre positions observées et calculées peut être exprimé par les premiers termes d’un développement de Taylor. En particulier, en se limitant au premier ordre, il vient : g(roi , voi , p0o )−g(rci , vci , p0c )

'

0 6N+p+p X

l=1

! ∂g ∂rci ∂g ∂vci ∂g ∂p0c · + · + · ∆cl (6.7) ∂rci ∂cl ∂vci ∂cl ∂p0c ∂cl

où o et c se réfèrent aux quantités observées et calculées, respectivement, et où cl représente l’une quelconque des quantités physiques à ajuster. Il apparaît clairement qu’il y aura à traiter autant d’équations linéaires qu’il y a d’observations. Le système linéaire ainsi obtenu pourra alors être inversé par la méthode des moindres carrés (ou l’une de ses variantes plus ou moins sophistiquée). En particulier, la pondération de chaque observation, le choix des paramètres physiques à ajuster et la façon dont ils seront ajustés (d’un seul coup, ou par étapes successives) dépendront de celui ou celle en charge de la réalisation de ces éphémérides. Dans l’équation précédente, les dérivées partielles des vecteurs d’état en fonction des conditions initiales et paramètres sont supposées connues. Il existe plusieurs méthodes pour les obtenir, mais la plus fréquemment utilisée consiste en l’intégration des équations variationnelles (Peters, 1981 ; Moyer, 2003). Partant de l’équation 6.6 et en supposant cl indépendant du temps, on obtient après dérivation partielle : ! !# N " X d2 ∂ri ∂Fi ∂r j ∂Fi d ∂r j ∂Fi mi 2 = { · + · + } (6.8) ∂r j ∂cl ∂v j dt ∂cl ∂cl dt ∂cl j=1 353

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES où le dernier terme représente la dérivée explicite de la force par rapport à la quantité cl , si celle-ci intervient directement dans l’expression de F. L’intégration numérique des équations variationnelles 6.8 s’avère bien plus compliquée que celle des équations du mouvement et implique fréquemment d’intégrer simultanément des milliers d’équations différentielles ordinaires. En pratique, le système d’équations 6.8 nécessite d’être intégré simultanément avec le système d’équation 6.6. Pour finir, l’utilisation de l’équation 6.7 suppose implicitement que la modélisation est parfaite et que les observations ne contiennent pas d’erreurs de mesure.

6.5.2.3

Les représentations synthétiques

Dans sa thèse de 1959, Jean Kovalevsky (1929-2018) écrivait : « À l’origine, on avait espéré pouvoir donner des expressions littérales aux coefficients des séries de Fourier. Il aurait alors suffi de remplacer les paramètres par leur valeur numérique pour avoir la représentation du mouvement d’un système donné ». Cet idéal est abandonné depuis longtemps. Toutes les théories dynamiques ont, à des degrés divers, même celles que l’on qualifie d’analytiques, une composante numérique. Le qualificatif exact à employer est sans importance. Ce qui importe pour l’utilisateur est l’information (précision, inégalités. . . ) qu’elle contient et son domaine de validité. Pour le dynamicien, il lui importe de savoir en plus comment a été construite cette théorie. Les théories synthétiques ont pour but de retrouver ces informations dans les solutions numériques. Ainsi, elles partent du numérique pour revenir vers une « forme analytique ». Cette forme peut être celle obtenue, ou celle qu’on obtiendrait dans la construction d’une théorie vraiment analytique. On voit ici les limites de l’exercice. Ces théories synthétiques ont des buts variés : réduire la quantité de données issues d’une intégration numérique. Les autres buts sont communs à toute théorie du mouvement : servir de point de départ à un calcul itératif des équations, effectuer des comparaisons, comprendre les perturbations en jeu dans le système, utiliser dans une autre étude théorique. . . Une théorie synthétique est donc une représentation du mouvement construite en trois étapes : • il faut d’abord définir un modèle physique et se donner un jeu de conditions initiales. À ce niveau se pose tout le problème de l’ajustement aux observations, que l’on n’aborde pas ici ; • on obtient ensuite une solution (discrète) par intégration numérique ; • la dernière phase est celle de l’analyse ou synthèse qui permet d’écrire la solution comme si elle était analytique. 354

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE Dans cette dernière phase, on suppose connue (ou on croit connaître) au moins la forme de la solution. Dans le cas des satellites de Jupiter et Saturne, il s’agit d’une forme quasi périodique et donc d’une solution supposée stable et non chaotique. L’idée remonte au moins à Kovalevsky (1959). Il a appliqué une méthode similaire au mouvement du satellite VIII (Pasiphaé) de Jupiter. Son but était de prouver qu’une telle solution pouvait servir de point de départ à un calcul par itérations et donc aussi à une théorie générale (c’est-à-dire non limitée à un intervalle donné). Elle permet aussi d’expliquer les inégalités obtenues. Kovalevsky affirme, à propos de ces séries, que l’on qualifierait aujourd’hui de synthétiques, que « les séries publiées ont toutes les caractéristiques d’une solution analytique ». Un peu plus loin il parle de « représentation analytique » et même de « théorie analytique ». À titre d’exemple, on donne les principaux √ termes de la longitude de Io, de l’excentricité et péricentre de Ganymède (λI et eG exp( −1$G ), (table 6.7), de l’excentricité et péricentre de Téthys et de la longitude moyenne de Mimas (table 6.8). Ces séries trigonométriques donnent, pour chaque terme, les arguments qui sont des combinaisons entières des arguments fondamentaux du système. Dans le système des satellites galiléens, les notations sont Li (les parties linéaires des longitudes moyennes des satellites et du Soleil), $i et Ωi (les modes propres des péricentres et des nœuds), ν et Ψ. ν correspond à la grande inégalité L1 − 2L2 (= L2 − 2L3 + 180◦ ). On rappelle que (λ1 − 2λ2 ) - (λ2 − 2λ3 ) = λ1 − 3λ2 + 2λ3 oscille autour de 180◦ . Cette libration est l’effet principal de la résonance laplacienne. Ψ est l’argument de la libration correspondante. Pour le système de Saturne, les notations sont $, Ω, $0 et Ω0 (les modes propres des péricentres et nœuds de Mimas et Téthys respectivement), σ = (Ω − 3Ω0 )/2 + $0 (période 200 ans) et ω pour la libration de la résonance principale du couple Mimas-Téthys. La figure 6.23 montre les effets de ces termes sur trois siècles.

6.5.2.4

La méthode de développement des coordonnées rectangulaires en séries de Tchebychev

Lors d’une intégration numérique des équations différentielles du mouvement du corps céleste, des coordonnées rectangulaires sont calculées pour un certain nombre d’instants séparés par un pas d’intégration numérique. Le pas est petit. Enregistrer les coordonnées obtenues à chaque pas est difficile et inapproprié. En pratique, on utilise la représentation approximative des résultats de l’intégration numérique avec des séries par les polynômes de Tchebychev T j (τ). L’avantage du développement de la fonction en polynômes de 355

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.7 – Termes principaux de la longitude √ moyenne de Io et de la variable excentricité-péricentre de Ganymède (eG exp( −1$G )). Les amplitudes sont multipliées par le demi-grand axe correspondant et sont exprimées en km.

Longitude moyenne de Io exprimée en sinus amplitude période argument fréquence km ans rad/an 81.3 41.0 37.9 23.3 17.6 15.7

1.27 1.32 5.64 1.33 1.10 11.86

ν + $2 ν + $3 Ψ ν + $4 ν + $1 LS

4.961862 4.760719 1.114249 4.725944 5.687351 0.529648

Excentricité de Ganymède exprimée en exponentiel amplitude période argument fréquence km ans rad/an 1529.9 825.5 634.4

$3 $4 ν

135.2 536.5 1.3

0.046487 0.011711 4.714232

Tchebychev est que, sous une telle forme, l’erreur absolue des calculs est alternée et distribuée plus ou moins uniformément tout au long de l’intervalle [−1, 1] de l’argument des polynômes de Tchebychev. L’intervalle de temps, pour lequel l’intégration numérique est effectuée, est divisé en sous-intervalles égaux d’une certaine longueur ∆t = t2 − t1 , où t1 et t2 sont les instants du début et de la fin d’un tel sous-intervalle. Sur chacun de ces sous-intervalles, une représentation pour chaque coordonnée, par exemple pour la coordonnée x, est construite. Une nouvelle variable τ est introduite et donnée par la formule : τ=

2t − t2 − t1 t2 − t1

(6.9)

qui sera l’argument des polynômes de Tchebychev. Il est clair que pour t = t1 , on a τ = −1, et pour t = t2 , τ = 1. Ainsi sur le sous-intervalle de temps (t1 , t2 ) l’argument τ change à l’intérieur de [−1, 1]. 356

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE

Table 6.8 – Termes principaux√ de la longitude moyenne de Mimas et de l’excentricitépéricentre de Téthys (eT exp( −1$T )). Ces séries sont données pour une valeur de l’excentricité de Téthys égale à 0.001.

Longitude moyenne de Mimas exprimée en sinus amplitude période argument fréquence km ans rad/an 141197.0 2304.0 1218.0 840.0 628.0

ω 3ω σ+ω σ−ω σ

70.6 23.5 109.5 52.1 198.9

0.088951 0.266853 0.057362 0.120536 0.031591

Excentricité de Téthys exprimée en exponentiel amplitude période argument fréquence km ans rad/an 251.0 114.0 114.0

4.97 5.35 4.65

$0 $0 − ω $0 + ω

1.26306 1.17401 1.35210

La fonction x(t) peut être approximée par la formule : x(t) ≈

N−1 X

1 C j T j (τ) − C0 2 j=0

dans laquelle la dépendance temporelle de τ est donnée par l’équation 6.9. Les coefficients C j sont calculés à partir de la relation : N−1 2 X Cj = x(τk )T j (τk ) ( j = 0, 1, 2, ..., N − 1) N k=0

dans laquelle les valeurs de l’argument τk sont déterminées par la formule :    π(k + 21 )   (k = 0, 1, 2, ..., N − 1) τk = cos  N  357

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES À partir des relations ci-dessus, il résulte qu’il est nécessaire de connaître les valeurs des coordonnées pour un certain nombre d’instants définis par la relation : tk =

t2 + t1 + τk (t2 − t1 ) 2

à l’intérieur de l’intervalle (t1 , t2 ). En pratique, le processus de calcul est programmé comme suit. Avant de commencer l’intégration numérique dans l’intervalle (t1 , t2 ), on initialise tous les éléments d’un tableau des coefficients C j ( j = 0, 1, 2, ..., N − 1) à zéro. L’intégration numérique est réalisée jusqu’à chaque instant tk . Quand on atteint tk , on a les valeurs de τk et x(τk ). Ici le cycle est fonction du nombre de coefficients C j . Chaque coefficient C j reçoit un incrément x(τk )T j (τk ). Dans ce cycle, les valeurs T j (τk ) sont calculées en utilisant la relation de récurrence pour les polynômes Tchebychev : T j+1 (τk ) = 2τk T j (τk ) − T j−1 (τk )

(6.10)

Pour les valeurs initiales de l’indice, on a : T 0 (τ) = 1, T 1 (τ) = τ

Les calculs sont effectués simultanément pour les trois coordonnées x, y, z. Pour chaque coordonnée, on a un tableau de coefficients C j . Après la sortie de l’intégration numérique de l’intervalle (t1 , t2 ), les coefficients obtenus pour chaque coordonnée sont stockés dans un fichier. À chaque sous-intervalle suivant pour les coefficients C j , le même tableau de coefficients est utilisé. En conséquence, si l’ensemble de l’intervalle d’intégration a été divisé en K sous-intervalles égaux, le fichier résultant contiendra 3KN nombres. Si le fichier résultant est disponible, le calcul des coordonnées rectangulaires de la planète ou du satellite pour un instant donné t peut être effectué selon la procédure suivante : on trouve le sous-intervalle de temps qui contient l’instant t et on obtient pour chaque coordonnée un tableau de valeurs des coefficients C j ( j = 0, 1, 2, ... N − 1). On calcule les coordonnées par la formule : N−1 X x= C j T j (τ) j=0

Ici l’argument τ est déterminé à partir de l’équation 6.9 et les polynômes de Tchebychev sont calculés en utilisant les relations de récurrence 6.10. 358

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE

6.5.3

6.5.3.1

Les méthodes d’ajustement des paramètres orbitaux sur les observations Théorie et observation

Le mouvement d’un corps dans l’espace dépend a priori de six paramètres orbitaux, mais aussi de paramètres physiques tels que les masses, le J2, etc. Il est possible de construire le modèle dynamique théorique sans une connaissance exacte de ces paramètres, mais ils sont absolument nécessaires pour obtenir une éphéméride. Pour cela, on a besoin d’observations du corps. Dans la mesure où l’on cherche à déterminer six paramètres, il devrait suffire d’avoir six observations indépendantes, par exemple trois positions angulaires (α, δ) ou deux positions cartésiennes (X, Y, Z) ou une position et une vitesse à ˙ Y, ˙ Z). ˙ Les observations étant entachées d’erreur, une telle un instant donné (X, Y, Z, X, méthode conduirait à une éphéméride valable seulement au voisinage de l’instant de l’observation, mais s’écartant ensuite du mouvement réel du fait de la propagation de l’erreur d’observation. Il est donc nécessaire de disposer d’un grand nombre d’observations bien réparties sur un intervalle de temps suffisamment long qui correspondra à l’intervalle de validité des éphémérides. On verra plus en détail comment déterminer la précision de l’éphéméride à partir de la précision des observations dans la section 6.7.4.

6.5.3.2

La méthode générale d’ajustement différentiel

Pour obtenir des valeurs exactes des paramètres orbitaux, il est nécessaire de partir de valeurs approchées extraites d’une modélisation simplifiée ou d’éphémérides existantes, mais dégradées du fait de leur obsolescence. Si on désigne par P(t) la position d’un corps dans l’espace à l’instant t, cette position va dépendre également des paramètres orbitaux et de divers paramètres physiques connus ou inconnus liés aux objets observés. Par exemple, les masses des satellites, très bien déterminées par les sondes spatiales, seront supposées connues et ne seront plus introduites parmi les ci comme cela était le cas avant l’ère spatiale : Pc (t) = Pc (t, ci ) En utilisant des valeurs approchées des ci , on pourra calculer à l’instant t une valeur Pc (t, ci ). L’observation de la position à l’instant t donnera une valeur Po (t) a priori différente de Pc (t, ci ) étant donné que l’éphéméride n’est pas exacte : Po (t) , Pc (t, ci ) 359

(6.11)

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES On attribue cet écart au fait que les paramètres ci sont inexacts : Po (t) = Pc (t, ci + ∆ci )

(6.12)

où ∆ci sont les corrections à apporter aux paramètres ci pour que l’éphéméride devienne exacte. On peut développer Pc (t, ci + ∆ci ) selon la formule de Taylor (les ∆ci étant supposés petits) : Ptc (ci + ∆ci ) = Ptc (ci ) +

X ∂Pt i

∂ci

∆ci +

1 X ∂2 Pt 2 ∆ci + ... 2 i ∂c2i

(6.13)

Dans la mesure où les ∆ci sont suffisamment petits, c’est-à-dire dans la mesure où l’on est au voisinage de la bonne valeur, on se limite au premier ordre : Ptc (ci + ∆ci ) − Ptc (ci ) = Pto − Ptc (ci ) =

X ∂Pt i

∂cl

∆ci

(6.14)

où Pto − Ptc (ci ) est appelé O − C (différence entre observation et calcul). La quantité observée peut être une position sur la sphère céleste, une distance ou une quantité quelconque, mais qui dépend de la position du corps à l’instant de l’observation. On obtient une équation pour chaque observation, appelée équation de condition. Afin d’améliorer la précision de la détermination des paramètres orbitaux, on cherche à avoir un grand nombre d’observations bien réparties sur un intervalle de temps long, pour lequel les éphémérides seront précises. Le nombre d’équations de condition étant bien plus grand que le nombre de paramètres à déterminer, on utilise une méthode telle que celle des moindres carrés pour obtenir les équations normales dont la résolution donnera une estimation des grandeurs inconnues. On verra dans la section « Précision et exactitude des éphémérides, extrapolation » comment la précision des observations influe sur la précision des éphémérides. Il reste à déterminer les dérivées partielles et à construire les équations de condition.

6.5.3.3

Les dérivées partielles

Analytique Quand une théorie est analytique dans le sens où on a gardé ses paramètres de manière littérale sans substitution numérique, la détermination des dérivées partielles nécessaire à 360

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE l’ajustement est aisée. Il suffit de faire le calcul explicite de cette dérivée. Le plus souvent, la dépendance avec le paramètre est linéaire, comme les masses des satellites. Si l’analycité n’est pas complète, les dérivées partielles sont souvent calculées en les faisant varier numériquement. Cela est fait au moment de la construction de la théorie. Elles sont alors intégrées directement dans la représentation finale. Dans le cas où l’analycité provient seulement de la présence littérale du paramètre t (le temps), le calcul des dérivées partielles est alors numérique. Il se fait de la même manière que dans le cas d’une intégration numérique.

Numérique

Dans le cas où on utilise une intégration numérique pour calculer l’éphéméride, les paramètres orbitaux à déterminer sont les positions et vitesses du corps à l’instant initial de l’intégration, et les dérivées partielles doivent être intégrées numériquement comme cela est expliqué dans la section 6.5.2.2.

6.5.3.4

L’ajustement aux observations

Pour appliquer la méthode d’ajustement présentée ci-dessus et l’établissement des équations de condition, il convient d’être très rigoureux, en particulier en ce qui concerne les données d’observations. Celles-ci sont fournies dans un repère particulier et une échelle de temps donnés. Il convient de ne pas introduire de biais à cette étape de la procédure. Toutes les observations doivent se retrouver dans un même repère, un même système de référence et être datées dans une même échelle de temps.

L’échelle de temps

Les éphémérides sont calculées dans l’échelle de Temps terrestre (TT), mais les observations sont datées dans des échelles de temps liées à la rotation de la Terre (UTC, UT1 ou même en temps sidéral local). Il est essentiel de convertir toutes les dates dans la même échelle TT. On se reportera au chapitre 3 sur les échelles de temps pour plus de détails sur ces notions. 361

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Le repère Toutes les observations doivent être dans un même système de référence et le repère doit être déterminé avec soin. Les observations ne sont pas toutes réalisées de la même façon : les observations méridiennes sont faites dans un repère lié à la position de la Terre à la date de l’observation (repère de la date) et doivent être ramenées dans un repère commun en appliquant les transformations de précession et nutation pour toutes les observations. Les observations CCD ou photographiques réduites par rattachement (voir la section consacrée à cette technique) sont en général repérées dans le système de référence du catalogue d’étoiles qui a été utilisé pour la réduction des observations. Tous les catalogues d’étoiles n’utilisent pas un même système de référence, ce qui entraîne des biais importants dans la détermination des paramètres orbitaux. Une nouvelle réduction des observations dans un même catalogue, et en particulier actuellement avec le catalogue Gaia, est souhaitable.

La référence Si les observations doivent être dans le même repère, elles doivent aussi être rapportées à la même référence. Dans le cas des observations astrométriques classiques en ascension droite et en déclinaison (α, δ), la référence est l’équinoxe J2000. Il existe cependant de nombreux cas où la référence est tout autre. Certains satellites sont repérés par rapport à leur planète ou par rapport à un autre satellite. Le champ étroit de certains systèmes planète-satellites et les difficultés d’observation (voir section 6.4.3.2 sur l’observation des satellites proches des planètes) fournissent des images pour lesquelles seuls les satellites sont présents sans étoiles de référence. Dans ce cas, il est inutile de chercher à se repérer par rapport à l’équinoxe, celui-ci n’étant en rien lié au mouvement des satellites, mais il est nécessaire de se rapporter à une même référence (orientation du champ) que les autres observations.

La construction des équations de condition Lorsqu’on observe une quantité telle que l’ascension droite α ou la déclinaison δ, les équations de condition seront : (O − C)t α · cosδ =

X ∂α X ∂δ ∆ci cosδ(O − C)t δ = ∆ci ∂ci ∂ci i i

où (O − C)t est la différence entre la valeur observée et la valeur calculée de la quantité observée à l’instant t. L’équation en ascension droite doit être normalisée par cosδ. 362

6.5. LA MODÉLISATION DYNAMIQUE Lorsqu’on observe une quantité relative (par rapport au centre du champ d’observation), on a : X ∂X (O − C)t X = ∆ci ∂c i i X ∂Y (O − C)t Y = ∆ci ∂ci i où X et Y sont des coordonnées tangentielles mesurées dans le plan tangent à la sphère céleste par rapport au point de tangence. Pour se ramener à l’équinoxe et être dans le même repère que toutes les observations classiques réalisées par ailleurs, on écrit : (O − C)t X + cosδ ∆α =

X ∂X i

(O − C)t Y + ∆δ =

∂ci

∆ci

X ∂Y ∆ci ∂ci i

où ∆α et ∆δ sont les positions du centre de champ (ou de la référence utilisée lors de la réduction de l’observation). Ces quantités sont en général inconnues. En principe, plusieurs satellites sont observés en même temps : (O − C)t Xa + cosδ ∆α =

X ∂Xa i

(O − C)t Xb + cosδ ∆α =

∂ci

X ∂Xb i

∂ci

∆ci ∆ci

dans le cas où on a deux satellites a et b. En soustrayant les deux équations, on obtient une nouvelle équation qui peut être intégrée aux autres : X ∂Xa X ∂Xb (O − C)t Xa − (O − C)t Xb = ∆ci − ∆ci ∂ci ∂ci i i Si on a un satellite et une étoile connus, alors il paraît simple de se rapporter alors à l’équinoxe, mais à condition d’être sûr de la précision de la position de l’étoile, ce qui n’est pas le cas avec un catalogue d’étoiles classique. Si l’un des satellites est beaucoup mieux connu que les autres, on peut l’utiliser comme référence absolue, mais on devient dépendant de la théorie, l’éphéméride du satellite ayant servi à la réduction de l’observation. Ce n’est pas conseillé et la soustraction d’équations est préférable. Le problème paraît résolu, mais que doit-on faire lorsque l’on a plus de deux satellites dans le champ observé ? Avec trois satellites, on obtient trois différences, mais avec quatre satellites on en a six, avec cinq satellites, on en a dix et avec six satellites, quinze. Pour une même observation, on aura un nombre d’équations variable, donnant plus de 363

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES poids aux observations qui contiennent beaucoup d’objets. On doit alors effectuer une pondération pour ramener le nombre d’équations au nombre de satellites (au nombre d’informations). Il y a alors √ une méthode plus élégante pour résoudre le problème : la méthode de l’équation en i ( −1). On considère les équations de conditions (une par satellite observé) dans le cas de n satellites : X ∂X1 (O − C)t X1 + cosδ ∆α = ∆ci ∂c i i X ∂X2 t (O − C) X2 + cosδ ∆α = ∆ci ∂ci i ................................ (O − C)t Xn + cosδ ∆α =

X ∂Xn i

∂ci

∆ci

L’inconnue ∆α peut être éliminée. On construit l’équation somme : n n X X X ∂X j ∆ci (O − C)t X j + n · cosδ ∆α = ∂ci j=1 j=1 i

q on multiplie chaque membre de cette équation par de

− 1n

−1 n ,

ce qui revient à donner un poids

à cette équation.

Cette équation étant une combinaison linéaire des autres, cela ne change en rien la solution du système, mais l’adjonction de cette équation permet l’élimination de ∆α lors de la construction des équations normales.

6.6 6.6.1 6.6.1.1

Application aux différents systèmes de satellites Les satellites de Mars Historique et présentation

Mars possède deux satellites découverts en août 1877 par Asaph Hall (1829-1907) à la lunette de 26 pouces (66 cm) de l’observatoire naval de Washington (la plus grande 364

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES alors en service). Peu après leur découverte, ces satellites ont reçu les noms de Phobos et Déimos, serviteurs d’Arès (Mars) dans l’Illiade. La découverte tardive des satellites de Mars comparée à celle des satellites de Jupiter et Saturne s’explique non seulement par leur faible magnitude, mais surtout par leur proximité avec la planète qui noie les satellites dans son halo. Avant leur découverte, on s’attendait à trouver deux satellites : la Terre avait un satellite, Jupiter quatre et Saturne huit. Mars devait donc en avoir deux si on donnait crédit à la loi de Bode. Dans son ouvrage Les voyages de Gulliver, Jonathan Swift imagine que les astronomes lilliputiens de Laputa ont des connaissances très avancées et qu’ils connaissent deux lunes à Mars, leurs périodes de révolutions étant de 10 h et 21 h 30 min. Swift écrit cela en 1727, 150 ans avant la découverte. En fait, les orbites de Phobos et Déimos autour de Mars (orbites aréocentriques) sont voisines de cercles dont les rayons respectifs valent 2.8 et 6.9 fois le rayon équatorial de Mars. Les plans de ces orbites sont faiblement inclinés sur l’équateur de Mars et les périodes orbitales sont respectivement 7 h 39 min et 30 h 18 min, proches de ce qu’avait imaginé Swift. Ces caractéristiques, ainsi que les faibles magnitudes des satellites, les rendent difficiles à observer depuis la Terre. Il existe néanmoins près de 10 000 observations terrestres pour l’ensemble des deux satellites. Elles ont été réalisées au moment des oppositions de Mars, qui ont lieu tous les deux ans environ, très régulièrement dans les 50 années qui ont suivi la découverte des satellites, plus rarement ensuite, puis à nouveau régulièrement à partir de 1967 (Morley, 1989). Depuis l’avènement de l’ère spatiale, les observations transmises par les sondes Mariner 9 (novembre 1971 – octobre 1972), Viking 1 et Viking 2 (juillet 1976 – juillet 1980), puis Phobos 2 (février et mars 1988) ont permis d’améliorer considérablement notre connaissance du mouvement de Phobos et Déimos. La table 6.9 fournit des valeurs approchées du demi-grand axe, de la période orbitale, de l’excentricité et de l’inclinaison par rapport à l’équateur moyen de la date de Mars. Pour celles de ces quantités dont la variation n’est pas négligeable à la précision considérée, la valeur approchée a été remplacée par un intervalle de variation estimé sur la période [1943, 2000]. L’intervalle de variation le plus grand est celui de l’inclinaison de l’orbite de Déimos sur l’équateur de Mars, qui dépend de la longitude du nœud du satellite, de période 55 ans environ. Lorsque l’intervalle de temps considéré est inférieur à cette période, l’amplitude de la variation diminue. Il se réduit à 0.91◦ /1.80◦ sur la période [1990, 2000]. 6.6.1.2

Les anciennes théories

Le modèle de Struve Le modèle de Struve (1911) a été longtemps utilisé, avec des ajustements successifs sur les observations, comme ceux, par exemple, de Burton (1929) et Shor (1975). 365

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.9 – Valeurs approchées d’éléments des orbites de Phobos et Déimos (inclinaisons rapportées à l’équateur moyen de la date de Mars) et magnitudes.

Demi-grand axe (103 km) Période orbitale (jour) Excentricité Inclinaison (degré) Magnitude

Phobos

Déimos

9.38 0.3189 0.0145/ 0.0158 1.05/1.09 11.3

23.46 1.2624 0.0000/0.0004 0.88/2.70 12.4

Dans ce modèle, les orbites aréocentriques sont rapportées à un plan de Laplace, différent pour chaque satellite, dont la position est repérée par son inclinaison Ja sur l’équateur céleste moyen d’une date de référence et par l’ascension droite Na de son nœud ascendant A sur ce même plan, mesurée à partir de l’équinoxe moyen de la date de référence γ (voir figure 6.10). Les plans de Laplace passent par la ligne des nœuds de l’équateur moyen de la date de Mars sur l’orbite moyenne de la date de Mars. C’est donc un plan intermédiaire entre ces deux plans, passant par le centre de masse et la ligne des nœuds de l’orbite et de l’équateur. Orbite P I

P

�

C

K

Na

Plan de Laplace

Ja A

Équateur céleste moyen d’une date de référence

Figure 6.10 – Éléments de Struve.

L’orbite aréocentrique de chaque satellite est assimilée à une ellipse précessante de la façon suivante. Le demi-grand axe a, l’excentricité e et l’inclinaison I sur le plan de Laplace sont supposés constants. La longitude K du nœud ascendant C sur le plan de Laplace, mesurée à partir de A dans le plan de Laplace, est assimilée à une fonction linéaire du temps : K = K0 + K˙ t La longitude P du périastre P, arc brisé mesuré à partir de γ dans l’équateur céleste (arc γA), puis le long du plan de Laplace (arc AC) et enfin le long de l’orbite (arc CP), 366

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES est assimilée à une fonction linéaire du temps : P = P0 + P˙ t La longitude moyenne L du satellite mesurée à partir de γ est définie par : L= P+l où l est l’anomalie moyenne du satellite. L a été de même assimilé à une fonction linéaire du temps jusqu’à la mise en évidence par Sharpless (1945) d’un terme quadratique. On note donc : L = L0 + νt + qt2

(6.15)

Les différentes quantités qui interviennent dans le modèle de Struve, Na , Ja , a, e, I, K0 , ˙ P0 , P, ˙ L0 , ν, q, sont déterminées par ajustement sur les observations. Pour les deux K, satellites, K˙ est négatif (le nœud ascendant de l’orbite rétrograde sur le plan de Laplace) ˙ et P˙ est positif, très voisin de la valeur absolue de K. L’introduction du plan de Laplace se justifie de la façon théorique suivante (Sinclair, 1972). Les principales perturbations qui agissent sur les satellites de Mars sont dues au Soleil et à la non-sphéricité de Mars, en particulier au terme en J2 de son potentiel. En rapportant le mouvement d’un satellite à un plan quelconque passant par la ligne des nœuds de l’équateur moyen de la date de Mars sur l’orbite moyenne de la date de Mars et d’inclinaison I 0 sur l’orbite moyenne de la date de Mars, on trouve dans la fonction perturbatrice : • des termes qui ne dépendent que des éléments métriques (demi-grand axe, excentricité, inclinaison) qui, par intégration, au premier ordre, donnent des termes séculaires ; • des termes qui contiennent l’anomalie moyenne du satellite, donc à courte période ; • des termes qui contiennent l’anomalie moyenne du Soleil sans contenir celle du satellite, que l’on peut qualifier de termes à moyenne période ; • des termes qui contiennent les longitudes du nœud et du périastre du satellite sans contenir les anomalies moyennes ; ces termes sont à longue période. Pour des coefficients du même ordre en excentricité et en inclinaison, les termes à longue période donnent par intégration des perturbations beaucoup plus fortes que les termes à courte ou moyenne période. Si on ne tient compte, pour le potentiel de Mars, que du terme en J2 , les seuls termes à longue période, parmi les termes du premier ordre en excentricité et en inclinaison de la fonction perturbatrice, sont : 3 3 02 2 3 n a (1 − e02 )− 2 (1 + e2 ) sin I sin 2I 0 cos(K − K 0 ) 8 2 3 2 2 3 − n J2 r0 (1 + e2 ) sin I sin 2 j cos(K − K 0 ) 4 2

367

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES où r0 est le rayon équatorial de Mars, j l’inclinaison de l’équateur moyen de la date de Mars sur le plan de référence, n se déduit de a par la troisième loi de Kepler et les lettres accentuées se rapportent au mouvement aréocentrique du Soleil. En notant Q l’inclinaison de l’équateur moyen de la date de Mars sur l’orbite moyenne de la date de Mars, on a (voir figure 6.11) : I0 = Q − j Orbite du satellite P

Plan de Laplace

I j Q

Équateur moyen de la date de Mars

C

I'

O

Orbite moyenne de la date de Mars

Figure 6.11 – Position des plans de référence.

En choisissant le plan de référence tel que : 2n2 J2

 r0 2 a

3

sin 2 j = n02 (1 − e02 )− 2 sin 2(Q − j)

(6.16)

On élimine les termes à longue période qui apparaîtraient au premier ordre dans l’inclinaison et la longitude du nœud (voir table 6.9). Il subsiste toutefois un terme à longue période dans la longitude moyenne (Born et Duxbury, 1975). Le plan de référence ainsi défini est le plan de Laplace du satellite. Dans le modèle de Struve, tous les termes périodiques sont négligés.

La théorie de Sinclair et ses améliorations À l’approche des années 1970, compte tenu de la précision attendue des premiers projets spatiaux vers Mars, le modèle de Struve, qui néglige toutes les perturbations périodiques, est apparu insuffisant. Élaborée à cette époque, la théorie de Sinclair (1972) tient compte des perturbations dues aux harmoniques zonaux du potentiel de Mars jusqu’au degré 4, des perturbations dues au Soleil, l’orbite aréocentrique de ce dernier étant assimilée à une ellipse précessante, et des perturbations dues à la précession de l’équateur de Mars. Toutefois, les perturbations ne 368

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES sont calculées qu’au premier ordre des petits paramètres que sont J2 , J3 , J4 et le rapport des moyens mouvements du Soleil et du satellite. Pour chaque satellite, le plan de référence est le plan de Laplace défini comme dans le modèle Struve (voir figure 6.10), mais en remplaçant a et n dans l’équation 6.16 par les parties constantes du demi-grand axe et du moyen mouvement osculateur. L’origine des longitudes est le nœud ascendant O du plan de Laplace sur l’orbite moyenne de la date de Mars (voir figure 6.11). Les éléments osculateurs aréocentriques utilisés par Sinclair sont le demi-grand axe a, l’excentricité e, θ = sin I, h la longitude du nœud ascendant C de l’orbite du satellite sur le plan de Laplace (arc OC), $ la longitude du périastre P mesurée le long du plan de Laplace (arc OC), puis le long de l’orbite du satellite (arc CP), λ la longitude moyenne définie par : λ=$+l où l est l’anomalie moyenne du satellite. La théorie de Sinclair est entièrement analytique et ses constantes d’intégration sont déterminées par ajustement sur les observations terrestres effectuées de 1877 à 1969. Dans les années qui ont suivi, la longitude moyenne de la solution de Sinclair a été complétée par un terme à longue période (Born et Duxbury, 1975) et un terme dépendant de l’harmonique tesséral C22 du potentiel de Mars (Hildebrand et al., 1979). Près de vingt années plus tard, le projet soviétique Phobos a suscité à nouveau l’intérêt des astronomes pour le mouvement des satellites de Mars et en particulier de Phobos. La théorie de Sinclair, avec les améliorations citées plus haut et quelques autres, a été ajustée sur un nouvel ensemble d’observations comprenant à la fois des observations terrestres et les observations des sondes Mariner et Viking, par Sinclair (1989) et Jacobson et al. (1989). Parallèlement, de nouvelles théories, plus précises, ont été élaborées et ajustées sur des observations terrestres et spatiales. On peut citer parmi ces nouvelles théories celles de Chapront-Touze (1988, 1990a,b), Emelyanov et Nasonova (1989), Morley (1990), Shor (1988). Par rapport à la théorie de Sinclair, elles tiennent compte d’un modèle plus complet du potentiel de Mars et sont calculées à un ordre plus élevé des petits paramètres. Certaines tiennent compte, en plus, d’autres types de perturbations. 6.6.1.3

Bases de l’éphéméride de la Connaissance des temps

La Connaissance des temps utilise les solutions basées sur NOE (Numerical Orbit and Ephemerides, Lainey et al. (2009)). Sont aussi disponibles les solutions basées sur les théories analytiques ESAPHO (Éphéméride semi-analytique de Phobos) pour Phobos, et ESADE (Éphéméride semi-analytique de Déimos) pour Déimos (Chapront-Touze, 1988, 1990a,b). 369

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES L’éphéméride issue de NOE : Numerical Orbit and Ephemerides

Phobos et Déimos sont des satellites de petite taille, orbitant respectivement à l’intérieur et à l’extérieur de l’orbite synchrone. Ainsi, les bourrelets de marées que lève Phobos sur Mars ont pour action de le faire se rapprocher de celle-ci, tandis que Déimos s’en éloigne. Ainsi se crée une accélération séculaire par effet de marée. En 1945, Bevan Sharpless (1904-1950) mit pour la première fois en évidence celle qui est propre à Phobos (Sharpless, 1945). Ne disposant que d’observations imprécises, il réussit pourtant à contraindre cette accélération avec une erreur de 50% seulement. Depuis les années 1970 et le grand nombre de sondes spatiales ayant visité Mars et ses satellites, cette accélération n’a guère évolué et est aujourd’hui connue avec trois chiffres significatifs (1.270 ± 0.003 degré/an2 ).

À la différence de nombreux systèmes, les satellites de Mars ne sont pas en résonance de moyen mouvement. En effet, leur faible masse n’induit aucune perturbation mutuelle détectable aujourd’hui. Ainsi, les masses de Phobos et Déimos ne sont connues que grâce à leurs rencontres proches avec quelques sondes. L’étude du mouvement de ces deux lunes ne pose donc pas de difficulté particulière pour les méthodes analytiques. C’est pourquoi de nombreuses théories analytiques ont été développées jusque dans les années 1990. Les premières éphémérides purement numériques datent de 2007. En effet, l’apport d’observations de haute précision issues des données de la sonde européenne Mars Express a obligé à intégrer un champ gravitationnel de Mars plus conséquent. De même, les éphémérides planétaires récentes étant toutes numériques, leur intégration dans un code numérique est plus adéquate.

L’effet de la libration (dite physique) en rotation de Phobos a également un impact sur la dynamique de celui-ci. En effet, il a été montré, dans les années 1990, que celle-ci devait induire une dérive supplémentaire sur le périapse de Phobos, probablement détectable par les observations spatiales. Il aura toutefois fallu attendre la sonde Mars Express, et trente années la séparant des premières sondes Mariner 9, Viking 1 et Viking 2, pour pouvoir quantifier cette dérive. En plus d’affiner l’éphéméride de Phobos, cette information sur la rotation de ce satellite permet de mieux contraindre son intérieur en remontant aux moments d’inertie.

Les éphémérides actuelles ajustent donc les conditions initiales des satellites, le facteur de qualité Q associé aux marées levées par Phobos et l’amplitude de libration forcée de celui-ci. L’ensemble des observations, de 1877 à aujourd’hui, est utilisé. 370

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES ESAPHO et ESADE ESAPHO et ESADE sont des solutions ajustées sur un ensemble d’observations terrestres qui couvrent la période [1877, 1988] et sur les observations fournies par les sondes spatiales Mariner, Viking et Phobos. La solution ESAPHO repose sur une théorie semi-analytique qui tient compte des perturbations suivantes : effet des harmoniques zonaux et tesséraux du potentiel de Mars jusqu’au degré 9, action du Soleil dont la trajectoire aréocentrique contient les principales perturbations périodiques, effet du mouvement du plan de référence, action directe des planètes, effet de la nutation de Mars sur les perturbations dues au potentiel de Mars, action de Déimos, effet de la non-sphéricité de Phobos. La solution ESAPHO inclut également des corrections aux moyens mouvements du nœud et du périastre ajustées sur l’observation, les moyens mouvements issus de la théorie étant mal connus par suite de l’imprécision des paramètres du potentiel de Phobos lui-même. La solution ESADE repose sur une théorie semi-analytique moins élaborée qui tient compte uniquement des effets des harmoniques zonaux et tesséraux du potentiel de Mars jusqu’au degré 3, du mouvement du plan de référence et des perturbations dues au Soleil dont la trajectoire aréocentrique est assimilée à une ellipse précessante. Le plan de référence des théories ESAPHO et ESADE est l’équateur moyen de la date de Mars, l’origine des longitudes étant le nœud ascendant O de ce plan sur l’orbite moyenne de la date de Mars (voir figure 6.11). Les théories sont intégrées en variables n, e cos $, e sin $, γ cos h, γ sin h, λ, où n est le moyen mouvement osculateur et γ le sinus de la moitié de l’inclinaison sur le plan de référence. Les autres quantités ont la même définition que dans la théorie de Sinclair (voir ci-dessus), mais en remplaçant le plan de Laplace par l’équateur moyen de la date de Mars. Les six variables se présentent sous forme de séries de Fourier à six arguments littéraux, sauf pour les perturbations planétaires qui contiennent en plus les longitudes des planètes. Les coefficients des séries sont numériques, mais sont accompagnés de leurs dérivées par rapport aux constantes d’intégration, pour permettre l’ajustement de celles-ci sur les observations. λ contient en plus une partie séculaire, sous une forme analogue à l’équation 6.15, dont le coefficient du terme quadratique (accélération séculaire) est ajusté sur les observations. Ces variables sont ensuite transformées en coordonnées rectangulaires. Compte tenu de la précision actuelle des observations, on n’a retenu, pour la solution utilisée dans la Connaissance des temps, que les termes dont les coefficients sont supérieurs à 50 mètres. On peut également transformer n, e cos $, e sin $, γ cos h, γ sin h et λ en éléments osculateurs de Struve a, e, I, K, P, L rapportés au plan de Laplace de chaque satellite 371

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.10 – Éléments moyens de Struve rapportés à J2000 d’après Simon et al. (1994). t est le temps TDB compté en jours à partir de J2000 (2 451 545.0).

Phobos a e I K P L Na Ja j

= = = = = = = = =

9 378.54 km 0.015 149 1.067 65◦ 169.13◦ − 0.436 028◦ t 73.83◦ + 0.435 314◦ t 262.8408◦ + 1 128.844 7538◦ t + 0.9518◦ × 10−8 t2 47.6706◦ − 2.959◦ × 10−6 t 37.108◦ + 1.680◦ × 10−6 t 0.009 38◦ Déimos

a e I K P L Na Ja j

= = = = = = = = =

23 458.94 km 0.000 205 1.789 00◦ 55.27◦ − 0.018 004◦ t 314.73◦ + 0.018 001◦ t 305.9387◦ + 285.161 8691◦ t − 0.377◦ × 10−9 t2 46.6494◦ − 2.869◦ × 10−6 t 36.467◦ + 1.651◦ × 10−6 t 0.895 09◦

(Simon et al., 1994). Le plan de Laplace est défini comme dans la théorie de Sinclair. Les éléments osculateurs de Struve ont une définition analogue aux éléments du modèle de Struve, mais contiennent en plus des termes périodiques. Une telle transformation en éléments osculateurs de Struve est couramment utilisée et permet des comparaisons entre théories. Dans le cas de la solution ESADE, elle permet en plus d’éliminer une perturbation constante de la variable γ cos h, due à l’utilisation de l’équateur de Mars comme plan de référence, et responsable des importantes variations de l’inclinaison de l’orbite du satellite par rapport à ce plan constatées dans la table 6.10. La table 6.10 fournit les éléments moyens de Struve issus des éléments osculateurs de Struve ainsi développés, c’est-à-dire la partie constante pour a, e, I et la partie séculaire pour K, P, L. On donne également l’inclinaison j de l’équateur moyen de la date de Mars sur le plan de Laplace, et les paramètres Na et Ja calculés à partir de cette quantité et des coordonnées du pôle de Mars. La date de référence choisie pour l’équateur céleste et l’équinoxe (voir figure 6.10) est J2000, t est le temps TDB compté en jours à partir de J2000. 372

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES La table 6.11 fournit à titre indicatif, pour chaque élément de Struve, le coefficient du premier terme périodique, lorsque ceux-ci sont rangés dans l’ordre décroissant des coefficients, et le nombre de termes des séries pour un niveau de troncature donné. Ces quantités permettent d’estimer la précision avec laquelle les éléments moyens de la table 6.10 peuvent être utilisés comme approximation des éléments osculateurs. On voit, en particulier, que pour Déimos, en raison de la faible valeur de l’excentricité, la longitude du périastre converge mal. Il sera donc préférable, pour un calcul approché, de considérer l’orbite de Déimos comme circulaire. Par contre, pour le calcul de la longitude moyenne de ce satellite, on aura intérêt à tenir compte du premier terme périodique −0.269 369◦ sin h avec : h = 11.20◦ − 0.018 001◦ t le coefficient de ce terme étant d’un ordre de grandeur dix fois supérieur à celui du terme suivant. Table 6.11 – Valeurs des termes périodiques des éléments de Struve d’après Simon et al. (1994). L’unité est le km pour a et le degré pour I, K, P et L.

Phobos Déimos z }| {z }| { Coeff. du premier Nombre Coeff. du premier Nombre Niveau de terme périodique de termes terme périodique de termes troncature a e I K P L

0.68 0.000 386 0.006 493 -0.3476 1.4609 -0.005 482

7 17 21 23 22 26

-0.81 0.000 058 0.014 919 0.4772 17.5978 -0.269 369

7 27 18 17 2 120 22

0.01 0.000 001 0.000 057 0.0029 0.0029 0.000 057

A , yA , zA , rapOn passe des éléments de Struve aux coordonnées rectangulaires x2000 2000 2000 portées à l’équateur céleste et à l’équinoxe moyens J2000, au moyen de la transformation matricielle :

  A    x2000  cos Na − sin Na cos Ja sin Na sin Ja  yA  =  sin Na cos Na cos Ja − cos Na sin Ja  ×  A2000    0 sin Ja cos Ja z2000    1 − sin2 K(1 − cos I) sin K cos K(1 − cos I) sin K cos K(1 − cos I) 1 − cos2 K(1 − cos I)  ×   − sin K sin I cos K sin I ! r cos(v + P − Na ) r sin(v + P − Na ) 373

(6.17)

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES L’anomalie vraie v et le rayon vecteur r sont calculés à partir de l’anomalie moyenne L − P et de l’excentricité e par les formules du problème des deux corps.

6.6.2 6.6.2.1

Les satellites galiléens de Jupiter Historique

Découverts au début de janvier 1610 par Galilée (d’où leur nom), les quatre satellites de Jupiter les plus massifs sont, dans l’ordre des distances à la planète, Io, Europe, Ganymède et Callisto (voir section 6.2.1 les circonstances de leur découverte). Avec la Lune, le satellite de Saturne Titan et le satellite de Neptune Triton, ils appartiennent à un ensemble de satellites géants, de masses absolues notablement supérieures à celles de tous les autres satellites du Système solaire et de taille comparable aux planètes Mercure ou Mars. À partir de leur découverte, puis lors des étapes importantes de la mécanique céleste, les mouvements de ces satellites ont été l’objet de nombreuses modélisations. Il s’agissait tout d’abord d’extrapolations empiriques des observations réalisées ; les premières tables des satellites galiléens, notamment celles de Galilée, Hodierna et Borelli, proviennent ainsi d’une analyse purement cinématique des mouvements observés. La précision de ces premières tables est évidemment médiocre, un certain progrès apparaissant avec celles de Cassini. Les travaux de Halley, Bradley et surtout Wargentin sont plus élaborés. Toutes ces tables sont issues de l’analyse directe des observations d’éclipses. Viennent ensuite des prédictions fondées sur des théories gravitationnelles dont les paramètres sont déduits de ce même type d’observations. Les premiers travaux théoriques sont ceux de Newton qui a appliqué à Callisto les méthodes qu’il avait développées dans l’étude du mouvement de la Lune. On note ensuite les contributions de Walmesley (1757) et d’Euler qui analysent l’effet de l’aplatissement de la planète, puis de Bailly et Horsley (1773), qui fait usage des travaux de Clairaut à propos de la Lune. Les recherches théoriques de Lagrange relatives au problème planétaire ont conduit à modéliser l’évolution à long terme des orbites par un système différentiel linéaire qui couple les excentricités et les inclinaisons. Ce résultat fondamental, appliqué au système galiléen, a permis à Lagrange d’établir l’existence de quatre équations du centre affectant la longitude de chacun des satellites. Bradley et Wargentin avaient mis en évidence une inégalité périodique de période 437 jours dans les époques des éclipses des trois premiers satellites. Ce sont Bailly et Lagrange qui ont justifié théoriquement ce phénomène lié à des termes quasi résonants. 374

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

J3

J2

J1

J2

J1

J2

J3

J2

J1

J2

J3 (a)

J3

(b)

(c)

Figure 6.12 – Résonance de Laplace : configurations possibles des satellites galiléens quand deux d’entre eux sont alignés avec Jupiter.

Dans son mémoire Théorie des satellites de Jupiter, présenté à l’Académie royale des sciences de Paris, Laplace (1788) propose la première théorie complète de la dynamique du système galiléen. Il établit notamment deux théorèmes qui assurent l’existence de la relation de résonance qui relie les longitudes moyennes l1 , l2 et l3 des trois premiers satellites : l1 − 3l2 + 2l3 = π Laplace vérifie la stabilité de cette relation remarquable, qui démontrera que certaines configurations des satellites ne sont pas possibles. Par exemple, les trois premiers satellites ne peuvent être alignés d’un même côté de Jupiter. La figure 6.12 montre à quel endroit doit être le troisième satellite quand J1 et J2 (a), J2 et J3 (b) et enfin J1 et J3 (c) sont alignés avec Jupiter. En 1791, Delambre construit des tables à partir de la théorie de Laplace et de l’observation de plus de 6 000 éclipses. Ces tables ont été prolongées ensuite par Damoiseau, puis par Adams et Potter. Le xixe siècle fut l’âge d’or de la mécanique céleste et de l’observation astrométrique. Du point de vue théorique, Damoiseau améliore les travaux de Laplace pour publier des éphémérides et des prédictions d’éclipses d’une meilleure précision. Les satellites ont bien évidemment tendance à échapper à cette contrainte, mais ils ne peuvent s’en éloigner de plus d’un degré : la résonance les ramène à leur configuration imposée. Le travail de Laplace a été complété par Souillart (1880), notamment par l’introduction de l’effet des planètes autres que Jupiter et par le calcul de termes quasi résonants d’ordre supérieur. Ces résultats sont présentés en détail dans Tisserand (1894) et dans Ferraz-Mello (1979). 375

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES À la fin du xixe siècle, deux nouvelles directions de recherche ont été explorées pour améliorer les résultats de Laplace : de Sitter (1918) a exploité des suggestions théoriques de Poincaré pour construire une méthode originale qui n’a malheureusement pas été menée jusqu’au bout ; par ailleurs, Sampson (1910, 1911, 1921) a construit une théorie complète qui a abouti à des tables et est restée à la base du calcul des éphémérides jusqu’en 2008. Plus récemment, il convient de citer les travaux de Ferraz-Mello (1966), qui généralisent la méthode de Hill pour le mouvement de la Lune, poursuivis par Vu et Sagnier (1974) et Vu (1977). Dans une autre direction, Marsden (1966) a employé la méthode de von Zeipel. Enfin, Lieske (1977), Lieske (1980) a amélioré la théorie de Sampson, puis Arlot (1982) en a redéterminé tous les paramètres. La publication d’éphémérides de position, de prédictions d’époques de phénomène ou de graphiques qui représentent les configurations du système est une tradition de la Connaissance des temps depuis 1690. L’évolution de la présentation de ces données au cours du temps est décrite dans la table 6.12. Depuis 1915, le Bureau des longitudes a été chargé de la publication des éphémérides des satellites galiléens à partir de la théorie de Sampson par le Congrès international des éphémérides astronomiques (Paris, 23-26 octobre 1911). Par la suite, les éphémérides, toujours basées sur cette théorie, ont été cependant directement calculées à partir des expressions analytiques de la théorie des mouvements. De 1980 à 1983, les prédictions relatives aux satellites galiléens étaient calculées grâce à des éphémérides de ce type nommées SV2 dues à Vu et Sagnier (1974) et Vu (1977). Après 1984, les éphémérides, E-2 de Lieske (1980) et G-5 de Arlot (1982), ont été ajustées sur de nombreuses observations photographiques plus précises que les observations d’éclipses. Les éphémérides actuelles ne reposent plus sur une théorie analytique du type de celle de Sampson, mais sur une intégration numérique NOE de Lainey et al. (2004b,a). Les observations utilisées pour l’ajustement des conditions initiales regroupent des observations de phénomènes (éclipses et phénomènes mutuels), des observations photographiques ou CCD de positions astrométriques, et des observations des sondes spatiales.

6.6.2.2

Généralités sur le système des satellites galiléens

Parmi tous les satellites connus de Jupiter, les satellites galiléens forment un groupe à interactions importantes dont le mouvement théorique peut être étudié en négligeant l’influence des autres satellites de la planète, de masses beaucoup plus faibles. En raison 376

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.12 – Évolution des éphémérides des satellites galiléens publiées dans la Connaissance des temps.

Dates

Positions

Phénomènes

Configurations

Modèle

1679-1689 1690-1693 1694-1697 1698-1729 1730-1733 1734 1735-1762 1763-1765 1766-1807 1808-1840 1841-1880 1881-1890 1891-1914 1915-1960 1961-1979 1980-1984 1985-1995 1996-2005 2006-2007 2008-2018

Néant Néant Néant Néant Néant Néant Néant Élém. journaliers idem idem idem Éléments idem idem idem Polyn. Tchebychev Fonctions mixtes Fonctions mixtes Élongations idem

Néant Éclipses de Io Néant Éclipses de Io Éclipses des 4 sat. Éclipses de Io Éclipses des 4 sat. Éclipses des 4 sat. idem idem idem idem Tous phénomènes idem idem idem idem Coefficients idem idem

Néant Néant Néant Néant Néant Néant Points isolés Points isolés Points isolés idem idem idem idem idem Courbes idem idem idem idem idem

Néant Cassini Néant Cassini Maraldi Maraldi Maraldi Maraldi Wargentin-Lalande Delambre Damoiseau Souillart Souillart Sampson-Schulhof Sampson-Schulhof Sampson-Arlot Sampson-Arlot Sampson-Arlot Sampson-Arlot Lainey

de l’existence de ces perturbations mutuelles très fortes, les théories dont sont issues les éphémérides traitent toujours ce système de satellites dans son ensemble. La table 6.13 fournit des données orbitales et physiques des satellites galiléens. Elles montrent le caractère exceptionnel du système galiléen parmi les autres corps du Système solaire. Les satellites galiléens de Jupiter, Io, Europe, Ganymède et Callisto (également dénommés J1, J2, J3 et J4) ont des tailles comparables à celles de la Lune, de Mars ou de Mercure. Le plus petit, Europe, et le plus gros, Ganymède, ont des masses évaluées respectivement à 0.65 et 2.02 fois celle de la Lune. Dans le champ gravitationnel très fort de Jupiter, ces satellites tournent vite : Io, à la distance de 422 000 km de Jupiter, boucle son orbite en moins de 2 jours. La figure 6.13 montre le système des satellites galiléens projeté sur le plan équatorial de Jupiter et en donne l’échelle. Comme tout corps céleste, chacun des satellites galiléens a deux mouvements : un mouvement de rotation sur lui-même et un mouvement de gravitation sur une orbite autour d’un corps central, ici la planète Jupiter. Comme dans le cas de la Lune, qui fait 377

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.13 – Éléments orbitaux et paramètres physiques des satellites galiléens. Seul Io est aplati avec un rayon polaire de 1815 km. Les paramètres a, e, i, P, R, M représentent, respectivement, le demi-grand axe, l’excentricité, l’inclinaison sur l’équateur de Jupiter, la période de révolution, le rayon équatorial et la magnitude à l’opposition.

Nom

Num.

a (103 km)

e

i (degrés)

P (jours)

R (km)

M

Io Europe Ganymède Callisto

I II III IV

422 671 1 070 1 883

0.004 0.009 0.002 0.007

0.02 à 0.04 0.42 à 0.51 0.06 à 0.30 0.15 à 0.74

1.769 138 3.551 181 7.154 553 16.689 018

1830 1565 2634 2403

5.02 5.29 4.61 5.65

Callisto

26.4 Io

5.9 9.4

15.0

Ganymède

Europe

Figure 6.13 – Système des satellites galiléens projeté dans le plan équatorial de Jupiter. Les distances moyennes des satellites au centre de Jupiter sont données en rayon équatorial de la planète.

une rotation autour de son axe en 27.3 jours et une révolution orbitale autour de la Terre en 27.3 jours également, le mouvement de rotation des satellites galiléens est synchrone : chacun des satellites galiléens a une période de rotation égale à celle de sa révolution moyenne autour de Jupiter. Toutes les orbites du système galiléen ont leur plan très faiblement incliné par rapport au plan de l’équateur de la planète. La plus grande inclinaison, celle du plan de l’orbite de Callisto, ne dépasse pas 0.8◦ . Les excentricités des orbites se composent de deux parties : une excentricité libre qui est faible, et une excentricité forcée due à l’existence des relations de résonance qui entraîne des variations importantes de l’excentricité résultante pour les trois premiers 378

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES satellites. L’excentricité forcée du satellite Io, par exemple, est 100 fois plus grande que son excentricité libre. Depuis la Terre, l’observateur voit ces orbites sous la forme d’ellipses très aplaties, leur plan étant très faiblement incliné sur le plan de l’équateur de Jupiter, car la direction Terre-Jupiter est, elle aussi, très faiblement inclinée sur ce plan. Ces faibles inclinaisons expliquent l’existence de phénomènes d’éclipses, d’occultations, de passages d’ombre et de passages devant la planète, qui sont décrits plus explicitement dans la section 10.7. Les mouvements des satellites galiléens sur ces orbites sont caractérisés par l’existence de plusieurs résonances. La plus célèbre est la relation qui relie les moyens mouvements des trois premiers satellites : n1 − 3n2 + 2n3 = 0. Elle engendre la libration de Laplace qui concerne les longitudes vraies ν1 , ν2 et ν3 des trois premiers satellites et se manifeste par une oscillation de très faible amplitude autour de 180◦ de la quantité ν1 − 3ν2 + 2ν3 . La résonance laplacienne résulte en fait de la combinaison de deux résonances de premier ordre liant les couples Io-Europe et Europe-Ganymède. On peut les exprimer grâce à la relation de commensurabilité n1 − 2n2 = n2 − 2n3 = 0.740◦/jour qui relie les moyens mouvements de ces satellites. Une autre relation de résonance relie les moyens mouvements de Ganymède et de Callisto. Il s’agit de la relation 3n3 − 7n4 = −0.045◦/j mise en évidence par de Haerdtl (1892), et dont les conséquences théoriques ont pour la première fois été introduites par Lieske (1973). D’autres relations de résonance régissent les mouvements des satellites galiléens. On peut citer les librations autour de 0 des quantités ν1 − 2ν2 + π1 et ν2 − 2ν3 + π2 et la libration autour de 180◦ de la quantité ν1 − 2ν2 + π2 , où π1 et π2 désignent les longitudes des périjoves de Io et Europe. Différents auteurs peuvent être consultés pour avoir plus de détails sur ce sujet, par exemple Greenberg et Weidenschilling (1984), Peale (1986) ou Ferraz-Mello (1987). Les orbites des satellites galiléens, telles que décrites ici brièvement, semblent être en très lente évolution. En effet, les premières missions spatiales vers Jupiter, réalisées grâce aux sondes Pioneer et Voyager, ont permis de faire de grands progrès dans notre connaissance de la nature physique des satellites galiléens, et ont également permis de réaliser des progrès dans le domaine de leur dynamique. Morrison (1982) et Burns et Matthews (1986) donnent un aperçu très complet des progrès réalisés grâce à ces missions spatiales vers le système galiléen. Plusieurs études récentes de dynamique ont été motivées par les nombreuses données recueillies au cours de ces missions. Les sujets principaux de ces études sont l’interaction entre Io et Jupiter, et l’origine et l’évolution à très long terme du système des satellites. 379

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.14 – Différentes valeurs des accélérations séculaires des satellites galiléens (en 10−11 an−1 ).

Terme

n˙1 /n1 n˙2 /n2 n˙3 /n3

De Sitter (1928)

Goldstein & Jacobs (1995)

+33 ± 5 +27 ± 7 +15 ± 6

+45.4 ± 9.5 +56.0 ± 57 +28.0 ± 20

Lieske (1987)

Vasundhara et al. (1995)

Aksnes & Franklin (2001)

Lainey et al. (2009)

−0.74 ± 0.87 −0.82 ± 0.97 −0.98 ± 1.53

+22 ± 7 -

+36 ± 10 -

+1.14 ± 1 −4.3 ± 1 −15.7 ± 2.7

Il faut en particulier souligner l’existence de forts effets de marées entre Io et Jupiter, dus à l’action gravitationnelle différentielle sur ce satellite. Ces effets sont à l’origine d’une accélération séculaire de Io. Cette accélération est probablement également présente dans le mouvement des satellites Europe et Ganymède, en raison des résonances orbitales. Elle se manifeste par une lente déformation des orbites. La mise en évidence de ce phénomène est cependant difficile et a fait l’objet de nombreux travaux. La table 6.14 donne les valeurs de ces accélérations trouvées par Goldstein et Jacobs (1986), Lieske (1987), Vasundhara et al. (1996) et Lainey et al. (2009). 6.6.2.3

Les anciennes théories

Le mouvement des satellites galiléens est proche d’un mouvement képlérien sur des ellipses de très faibles excentricités. La théorie des mouvements peut donner des expressions qui permettent de calculer à chaque instant les écarts entre une orbite vraie et une ellipse de référence relative au cas non perturbé. Le but est, alors, soit de construire des éphémérides, soit d’analyser des observations de positions ou de phénomènes. Il ne s’agit donc pas d’étudier le comportement du système galiléen à très long terme (origine, évolution sur plusieurs milliers d’années), mais d’effectuer des calculs de prévisions valables à court ou moyen terme. Une comparaison de la période de révolution sidérale de Io (1.77 jour) à celle de Jupiter (4 333 jours) met en évidence le fait qu’une durée de validité sur 1 000 ans d’une théorie des grosses planètes extérieures correspond à une durée de 5 mois pour une théorie de même type dans le cas des satellites galiléens de Jupiter. Ceci explique la difficulté de modéliser avec précision ces mouvements rapides sur une longue durée de validité (plusieurs centaines d’années). Les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps de 1980 à 2007 sont fondées sur la théorie de Sampson (1921), améliorée par Lieske (1974, 1977, 1978, 1980, 1987), et dont les constantes sont issues d’une analyse d’observations photographiques modernes due à Arlot (1982). C’est une théorie semi-analytique fondée sur la méthode de Hansen. 380

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Les variables et le plan de référence

Dans un mouvement elliptique d’un corps autour d’un corps central plus massif, on prend habituellement le centre du corps central comme origine des coordonnées, et si à un instant t0 , on donne les trois composantes de la position et les trois composantes de la vitesse, le mouvement est parfaitement défini. On peut calculer, à partir de ces données, les six éléments elliptiques de ce mouvement. Dans ce mouvement non perturbé, les éléments de l’orbite sont tous des constantes, à l’exception de la longitude moyenne qui est linéaire en fonction du temps. L’orbite périodique est alors une ellipse fixe. Ce modèle de mouvement à six éléments d’orbite est aussi utilisé dans le cas perturbé. Les éléments sont alors appelés éléments osculateurs. Ils ne sont plus constants, mais comportent des inégalités périodiques ou séculaires qui proviennent des effets des forces perturbatrices. Dans la mise en équation, ces éléments sont des variables dont on étudie les variations en fonction du temps. Le choix des variables des quatre satellites galiléens dans la théorie de Sampson (1921) est particulier, puisqu’il repère la position jovicentrique d’un satellite dans un repère équatorial, non pas par ses éléments elliptiques, mais par ses coordonnées cylindriques ρ, ν − ψ, et z (voir figure 6.14) et leurs dérivées. Les plans fixes, orbite de Jupiter, équateur céleste et écliptique, sont rapportés à une date fixe (1900.0 dans la théorie de Sampson, 1950.0 dans celle de Lieske). Le point d’origine de la variable ν est le point vernal. On a la relation ψ = γA + AN (voir figure 6.14). Le choix de l’équateur jovien comme plan de référence est imposé par l’étude de l’action du potentiel de Jupiter, ellipsoïde aplati : il permet de simplifier le développement de la fonction perturbatrice due à l’aplatissement. Sampson tient compte du fait que ce repère n’est pas inertiel en ajoutant des quantités complémentaires dans la fonction perturbatrice.

Les perturbations principales

Les satellites galiléens subissent dans leur mouvement des perturbations de plusieurs types, dont un aperçu et des estimations sont donnés dans la table 6.1. • Perturbation par la forme physique du corps central : c’est le type de perturbation subie par tout satellite naturel ou artificiel en mouvement sur une orbite basse. Jupiter n’est pas sphérique, la présence de son renflement équatorial est source de perturbation. 381

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

z

Orbite du satellite

J

γ

y

satellite A

x

N

ν–ψ

ρ

Équateur de Jupiter

z

Équateur de la Terre 1950.0

Orbite de Jupiter

Écliptique 1950.0

Figure 6.14 – Définition des variables.

• Perturbation par la présence des autres satellites : cette perturbation, encore appelée interaction, ressemble à celle du problème du mouvement planétaire. Le corps étudié est perturbé simultanément par la présence des autres corps du même système. • Perturbation par la présence du Soleil : cette perturbation est identique à celle subie par la Lune. Les satellites galiléens en orbite autour de Jupiter, en particulier Callisto et Ganymède, sont perturbés dans leur mouvement par le Soleil considéré comme corps extérieur. • Perturbation due à Saturne : la perturbation directe n’est pas assez sensible sur le mouvement des satellites galiléens pour être considérée. Il est cependant nécessaire de tenir compte des perturbations indirectes, ce qui se traduit par la présence de termes périodiques dans le mouvement de Jupiter, restreints aux deux inégalités principales (termes en λ J − 2λS et 2λ J − 5λS où λS et λ J désignent les longitudes moyennes de Saturne et Jupiter). On trouve donc trois types de perturbations réunis dans la théorie des satellites galiléens : celles propres aux satellites, celles de type planétaire et celles de type lunaire. L’action 382

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES de ces différentes perturbations donne de nombreuses inégalités périodiques dans les expressions des coordonnées.

Développement de la fonction perturbatrice La fonction perturbatrice F est une somme de termes respectivement dus à l’action de Jupiter F J , à celle du Soleil FS et à celle des autres satellites F jk (action du satellite k sur le satellite j). Avec deux hypothèses simplificatrices qui concernent une symétrie de révolution autour de l’axe polaire et une symétrie par rapport au plan équatorial, le potentiel de Jupiter peut être mis sous la forme : 1+m U =G + FJ r avec : 1 ae z ae z F J = G [−J2 ( )2 P2 ( ) − J4 ( )4 P4 ( )] r r r r r où G est la constante de la gravitation, m la masse du satellite perturbé, la masse de Jupiter étant prise égale à l’unité, r le module du vecteur position du satellite, ae le rayon équatorial de Jupiter, J2 et J4 les deux premiers harmoniques zonaux du potentiel de Jupiter, P les polynômes de Legendre. Le premier terme correspond au mouvement principal képlérien du satellite, les autres termes correspondent à la perturbation F J due à la forme et à la répartition des masses à l’intérieur de Jupiter. La fonction perturbatrice due à l’action du Soleil est de la forme : ! 1 R.r FS = GM − ∆ R3 où M est la masse du Soleil, ∆ la distance satellite-Soleil, R et r les vecteurs positions du Soleil et du satellite. On en effectue le développement par rapport à la petite quantité Rr et en fonction de l’angle S défini par les vecteurs positions jovicentriques du satellite et du Soleil, suivant l’expression : ∞

1 1 X  r n = ( Pn (cos S ) ∆ R n=0 R Enfin, la fonction perturbatrice du satellite k sur le mouvement du satellite j est de la forme : r j .rk 1 F jk = Gmk ( − 3 ) ∆ jk rk Elle se développe de façon plus complexe du fait que rrkj n’est pas une petite quantité. Son développement se fait au moyen de fonctions appelées coefficients de Laplace. 383

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES 6.6.2.4

Mise en équation et forme de la solution

Sampson, pour ses variables ρ, ν, z relatives à chaque satellite, donne les trois équations du mouvement sous la forme : dν ∂ 1+m d2 ρ − ρ( )2 = [ + F] + Ξ 2 dt ∂ρ ρ dt dρ dν d2 ν 1 ∂F 2 +ρ 2 = +H dt dt ρ ∂ν dt d2 z ∂F = +Z ∂z dt2 où Ξ, H, Z sont les composantes des forces complémentaires dues au mouvement du repère équatorial Jxyz. Sampson pose : ρ = a(1 + ξ) ν=l+υ z = aζ où a est une constante et l la longitude moyenne. Il prend comme nouvelles variables du problème les petites quantités ξ, υ et ζ qui représentent en fait les séries des inégalités des coordonnées cylindriques du satellite perturbé considéré. Après avoir développé les seconds membres des équations, trois types de termes se présentent : les termes périodiques ordinaires qui dépendent du temps et dont l’intégration se fait par quadrature, les termes autonomes (qui ne dépendent pas explicitement du temps) qui apparaissent dans les équations relatives aux rayons vecteurs et dans les équations relatives aux latitudes, et enfin les termes de libration. Les termes de libration ont une pulsation faible et a priori inconnue, ils ne sont pas intégrables directement par rapport au temps. La résolution du problème s’effectue en trois étapes. Dans la première étape, la résolution du système autonome donne les coefficients du temps des longitudes des périjoves et ceux des longitudes des nœuds des orbites. Ce résultat permet de calculer par la suite les arguments des termes périodiques qui contiennent ces longitudes. Dans la deuxième étape, on laisse à l’écart les termes de libration. L’intégration des termes périodiques ordinaires fournit une première solution qui peut être appelée solution hors résonance. Dans la dernière étape, on aborde le traitement des termes de libration omis précédemment. Elle complète la solution par de nouvelles contributions ou corrections qui proviennent de la présence de la libration. 384

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Traitement des résonances La théorie distingue deux types de résonance. La résonance exacte, qui est la libration de Laplace, appartient au domaine de mouvement dit libre et se manifeste concrètement par le fait que l’amplitude et la phase de la libration ne sont pas calculables par la théorie, mais s’obtiennent par l’observation. Le calcul fournit seulement la période et la répartition des effets de la libration parmi les satellites concernés. Les longitudes vraies des trois satellites en libration sont liées par la relation : ν1 − 3ν2 + 2ν3 = 180◦ + λ où λ représente la longitude de la libration. L’extraction des termes de libration des deux membres des équations générales fournit l’équation suivante, appelée équation de la libration : d2 λ = −L1 sin λ + L2 sin 2λ dt2 où L1 et L2 sont des coefficients numériques. λ étant faible, Sampson admet que sin λ = λ , sin 2λ = 2λ et obtient l’équation de la libration sous une forme très simple : d2 λ dt2

= −Lλ

qui fournit la solution : √

λ = L sin(βt + φ)

où la pulsation β est égale à L et où l’amplitude L et la phase φ de la libration sont des constantes d’intégration définies lors de la comparaison à l’observation. Lieske (1980), dans sa version E-2, trouve la valeur 0.0657◦ pour L. Le résultat de Sampson (1921) pour la valeur de la période de la libration est de 2 041 jours. Lieske (1980) donne 2 074 jours. La libration introduit directement un nouveau terme dans l’expression de la longitude de chaque satellite concerné ; pour Europe, par exemple, c’est un terme non négligeable qui a pour amplitude 213 km. Les effets indirects de la libration sont nombreux. Certains sont très faibles comme les modifications des perturbations séculaires des moyens mouvements et celles des demigrands axes. Les changements notables sont les corrections portées sur les termes dont les périodes sont proches de celle de la libration. On peut prendre comme exemple les termes qui ont pour argument l’anomalie moyenne de Jupiter dans les longitudes des trois satellites. Les corrections en amplitude représentent respectivement 14 km, 42 km et 6 km sur les positions. 385

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Les autres résonances du problème sont dues aux variations très lentes des arguments l1 − 2l2 , l2 − 2l3 , 3l3 − 7l4 et correspondent au mouvement forcé. Les deux premières résonances fournissent les inégalités les plus importantes dans les longitudes des satellites concernés. Les amplitudes de ces inégalités représentent approximativement 3 500 km, 12 500 km et 1 300 km sur les positions des satellites Io, Europe et Ganymède. Les termes résonants en 3l3 − 7l4 ont été identifiés et calculés pour la première fois par de Haerdtl (1892) : ce sont des termes de degré 4 des variables. La présence de ces termes est signalée par Sampson (1921), mais ils n’ont été introduits dans la théorie que plus tard par Lieske (1977). La partie principale de l’argument a pour expression 3l3 − 7l4 et varie très lentement en fonction du temps. Les amplitudes de ces termes sont de l’ordre de 15 km et 39 km sur les positions respectives des satellites Ganymède et Callisto.

6.6.2.5

L’éphéméride issue de NOE : Numerical Orbit and Ephemerides

Les méthodes d’intégration numérique permettent désormais de s’affranchir de nombreuses difficultés, mais les forts effets de marées entre Jupiter et ses satellites, à commencer par Io, donnent à ce système une complexité nouvelle. Ainsi, le volcanisme sur Io est induit par les puissantes marées que lève Jupiter sur ce satellite. Bien que la recherche d’accélération séculaire sur le mouvement des satellites galiléens ait commencé au début du siècle dernier, il faudra attendre le début des années 1990 et l’utilisation de modèles purement numériques pour avoir une précision interne des modèles au niveau des effets physiques recherchés. En particulier, malgré tous les efforts consentis au xxe siècle, la précision de résolution des équations (précision interne) était encore de l’ordre de plusieurs centaines de kilomètres pour un siècle de représentation, c’est-à-dire du même ordre de grandeur (voire même un peu plus) que les effets de marées eux-mêmes. De même, les lunes étaient encore modélisées comme des masses ponctuelles, ce qui ajoutait encore un peu à l’erreur globale du modèle (précision externe). Les éphémérides modernes désormais utilisées prennent en compte, en plus des perturbations usuelles N-corps et de l’aplatissement de Jupiter, le champ gravitationnel étendu (via les harmoniques c20 et c22 ), la précession de Jupiter et enfin les effets de marées dans Jupiter et dans le satellite Io. Les observations des satellites utilisées vont de 1891 à 2016. Une solution représentée sous forme analytique, dite synthétique, a été proposée en 2006. Celle-ci reste intéressante dans la mesure où les nouveaux ajustements ne changent pas fondamentalement la dynamique globale. C’est donc une analyse harmonique qui permet de retrouver la forme quasi périodique, et notamment de reconnaître les inégalités à courtes périodes, à longues périodes, le mode propre issu de la résonance laplacienne. . . Toutefois les marées ne sont pas présentes dans cette représentation. 386

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

6.6.3

Les autres satellites de Jupiter

En plus des quatre satellites galiléens, de nombreux satellites (voir table 6.2) ont été observés autour de Jupiter. Ces satellites ont des magnitudes beaucoup plus faibles, ce qui explique qu’ils ont été découverts beaucoup plus tard. L’usage des chiffres romains dans leur dénomination est recommandé par l’UAI. Ces chiffres ont été attribués dans l’ordre de découverte des satellites. On peut classer ces satellites en deux groupes. Le premier groupe contient les quatre satellites les plus proches de la planète. Le second groupe évolue au-delà des satellites galiléens, le long d’orbites parcourues dans le sens direct ou rétrograde. Dans ce dernier cas, la terminaison des noms des satellites est un « é » (Ananké, Carmé, Pasiphaé, Sinopé), la terminaison « a » étant attribuée aux satellites dont les orbites sont directes (Léda, Himalia, Lysithéa, Elara).

6.6.3.1

Les satellites intérieurs de l’orbite de Io (JV, JXIV, JXV, JXVI)

Caractéristiques générales des satellites Les satellites proches de Jupiter orbitent à l’extérieur de l’anneau dit principal et à l’intérieur de l’orbite de Io, le premier satellite galiléen. À cause de la proximité de la planète, ils sont très difficiles à observer et ont donc été très longtemps ignorés. Il est nécessaire de les observer en infrarouge afin de diminuer le contraste entre la planète et ces satellites. Les anneaux de Jupiter ont été découverts en 1979 par la sonde Voyager 1 après ceux de Saturne et d’Uranus. Le premier, dit anneau halo, est épais sous forme de tore. Le second, dit anneau principal, très fin, est relativement brillant. Le troisième et dernier est appelé anneau gossamer. Il est lui-même divisé en 2 parties : la première entre les satellites Métis et Amalthée et la deuxième entre ce dernier et Thébé (voir table 6.15). Le plus gros des satellites intérieurs, Amalthée (JV), découvert en 1892 par E. Barnard, se présente comme un ellipsoïde dont le plus grand des axes mesure 262 km et le plus petit 134 km. Il tourne autour de Jupiter en 11 h 57 min, dans un plan très faiblement incliné sur l’équateur de la planète (0.4◦ ) en décrivant une orbite de très faible excentricité (0.003). Les trois autres satellites ont été découverts à la suite des survols de la planète par les sondes Voyager 1 et Voyager 2, par l’analyse des images enregistrées lors de ces survols. Leurs diamètres sont de quelques dizaines de kilomètres. Métis (JXVI) et Adrastéia (JXV) décrivent des orbites très proches du bord extérieur de l’anneau principal de Jupiter et 387

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.15 – Rayons des anneaux de Jupiter d’après Tiscareno et Murray (2018).

Anneaux (et satellites) Halo Anneau principal Satellite Métis Anneau gossamer interne Satellite Amalthée Anneau gossamer externe Satellite Thébé

Rayon interne km

Rayon externe km

Épaisseur km

100 000 122 400 128 000 129 100 181 000 181 300 221 900

122 400 129 100 128 000 181 300 181 000 221 900 221 900

20 000 30 à 100 ≈ 2 300 ≈ 8 500 -

Table 6.16 – Quelques éléments des satellites internes de Jupiter. Les paramètres a, P, e, i, R représentent, respectivement, le demi-grand axe, la période de révolution, l’excentricité, l’inclinaison sur l’équateur et les dimensions physiques du corps.

a (km) P e i (deg) R (km)

Métis JXVI

Adrastéia JXV

Amalthée JV

Thébé JXIV

127 979 7 h 04 min < 0.005 < 0.1 40

128 980 7 h 09 min < 0.005 < 0.3 26 × 20 × 16

181 200 11 h 57 min 0.003 0.4 262 × 146 × 134

221 895 16 h 11 min 0.015 0.8 55 × 55 × 45

pourraient être responsables du confinement de cet anneau. Thébé (JXIV) se situe entre Amalthée et Io. Ces trois satellites ont des orbites quasi circulaires dans le plan équatorial de Jupiter et leurs périodes de révolution autour de la planète sont de 7 h 04 min pour Métis, 7 h 09 min pour Adrastéia et 16 h 11 min pour Thébé. La période de rotation de Jupiter sur lui-même étant légèrement inférieure à 10 h, les satellites Métis et Adrastéia tournent autour de la planète plus rapidement que celle-ci sur elle-même : un observateur sur Jupiter verrait ces satellites se lever à l’ouest et se coucher à l’est (voir table 6.16).

Ellipses précessantes Pour les satellites proches, la précision des observations est faible, et un modèle de mouvement simple suffit pour avoir un bon accord avec les observations. Le modèle de mouvement approprié est alors l’ellipse précessante. Dans ce modèle, le satellite parcourt une ellipse, dont le plan précesse à une vitesse angulaire constante avec une inclinaison constante sur un plan fixe. La ligne des nœuds 388

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES de cette ellipse tourne dans le plan orbital avec cette vitesse angulaire constante. Le mouvement du satellite sur l’ellipse précessante suit les lois de Kepler, mais le mouvement moyen et le demi-grand axe de l’orbite ne sont pas reliés exactement par un rapport connu avec le paramètre gravitationnel du système planète-satellite. Un tel modèle peut être créé lors de la construction d’une théorie analytique du mouvement en tenant compte des principales perturbations séculaires. En pratique, il est difficile de définir ces perturbations qui sont peu ou mal connues. On procède alors comme suit. On définit un système planétocentrique non tournant de coordonnées rectangulaires x¯, y¯ , z¯. L’évolution des éléments M, ω et Ω est donnée par des fonctions linéaires du temps : M = M0 + n¯ (t − t0 ) ω = ω0 + ω(t ˙ − t0 ) ˙ − t0 ) Ω = Ω0 + Ω(t

(6.18)

˙ sont constants. Les éléments e, i de l’orbite képlérienne du satellite où M0 , n¯ , ω0 , ω, ˙ Ω0 , Ω sont également considérés comme constants. Le demi-grand axe a¯ inclus dans les formules de Kepler est défini indépendamment du paramètre n¯ . Les éléments i, ω, Ω sont comptés dans le système de coordonnées x¯, y¯ , z¯. Il faut calculer l’anomalie moyenne M et les éléments ω, Ω par les équations 6.18. Puis les valeurs de ces paramètres a¯ , e, i vont être substituées dans les formules du mouvement képlérien. ˙ les équations En conséquence, avec neuf paramètres constants a¯ , n¯ , e, i, M0 , ω0 , ω, ˙ Ω0 , Ω, 6.18 et celles du mouvement képlérien décrivent complètement le mouvement dans le système de coordonnées x¯, y¯ , z¯. Le système de coordonnées x¯, y¯ , z¯ est défini par l’ascension droite α0 et la déclinaison δ0 de l’axe z¯. L’axe x¯ est dirigé vers le nœud ascendant du plan ( x¯, y¯ ) sur l’équateur. On choisit le système de coordonnées fixe x¯, y¯ , z¯ de telle sorte que, dans ce système, les changements d’inclinaison obtenus à partir des observations sont minimaux. Ensuite, à partir de toutes les observations du satellite, les 11 paramètres α0 , δ0 , a¯ , n¯ , e, i, ˙ sont déterminés pour obtenir le meilleur ajustement du modèle sur les M0 , ω0 , ω, ˙ Ω0 , Ω observations. 389

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Les paramètres du modèle d’ellipse précéssante ont été déterminés par Emelyanov (2015) avec des éphémérides des satellites basées sur deux modèles différents construits par intégration numérique sur la base d’observations. Les quatre satellites proches de Jupiter tournent autour de la planète presque dans le plan de l’équateur et sur des orbites presque circulaires. On trouve, dans l’ordre croissant des demi-grands axes des orbites, les satellites Métis, Adrastée, Amalthée et Thébé. Parmi les perturbations qui agissent sur les orbites képlériennes des satellites, l’aplatissement de Jupiter a la plus forte influence. Des perturbations beaucoup moins importantes sont exercées par l’attraction de satellites galiléens, et l’attraction du Soleil est très faible. Au Jet Propulsion Laboratory (JPL), Jacobson (2013) propose des éphémérides de satellites galiléens et des satellites proches de Jupiter, élaborées à partir d’une intégration numérique des équations de mouvement et de toutes les observations au sol et spatiales disponibles. Ces éphémérides sont disponibles sur le serveur Solar System Dynamics du JPL et sont décrites par Giorgini et al. (1997). Un modèle du mouvement des quatre satellites proches de Jupiter a aussi été construit par Avdyushev et Ban’shikova (2008) de l’université de Tomsk. Les équations ont été résolues par intégration numérique et les paramètres du mouvement déterminés sur la base de toutes les observations au sol disponibles jusqu’en 2008. Ce travail montre qu’il existe plusieurs solutions du problème qui représentent toutes aussi bien les observations. Sur la base d’une des solutions qui a été sélectionnée, des éphémérides ont été construites pour la période allant de 1954 à 2034. Les éphémérides se présentent sous la forme de développements de coordonnées planétocentriques rectangulaires en séries des polynômes de Tchebychev. À partir des éphémérides de Jacobson (JPL) et de celles d’Avdyushev et Ban’shikova (2008), Emelyanov a construit deux modèles d’ellipses précessantes Emelyanov (2015). En utilisant les coordonnées planétocentriques rectangulaires de quatre satellites proches de Jupiter, sur l’intervalle de temps du 1er août 2014 au 1er janvier 2016 avec un pas de 0.1 jour, les deux modèles ont été comparés. Chacun des deux modèles d’ellipse précéssante a été développé par ajustement différentiel des paramètres sur les tables. Les paramètres à définir concernent aussi les coordonnées géoéquatoriales α0 , δ0 du pôle de Jupiter. Ces coordonnées définissent l’axe autour duquel le plan d’orbite précesse avec une inclinaison constante sur l’équateur de la planète. Pour chacun des quatre satellites α0 , δ0 ont été définis indépendamment. L’équateur céleste était considéré comme fixe pour l’époque J2000. Ces modèles réalisés avec des ellipses précessantes peuvent en fait être considérés comme des modèles analytiques. 390

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.17 – Déviations des éphémérides JPL (Jacobson, 2013) et TSU (Avdyushev et Ban’shikova, 2008) avec une ellipse précessante.

Satellite Métis Adrastéia Amalthée Thébé

a km

JPL km

TSU km

127 978.9 128 979.9 181 365.5 221 888.2

0.49 0.49 2.82 12.98

0.64 1.87 2.89 12.98

La divergence des modèles d’ellipses précessantes avec l’intégration numérique provient des différentes perturbations prises en compte. En définitive, pour quatre satellites, 11 paramètres basés sur chacune des deux sources d’éphémérides (JPL et université de Tomsk) ont été déterminés : neuf paramètres du ˙ et les deux paramètres α0 , δ0 . modèle d’ellipse précessante a¯ , n¯ , e, i , M0 , ω0 , ω, ˙ Ω0 , Ω Un rms σ ¯ a été déterminé à partir des écarts des coordonnées du modèle par rapport aux données calculées à partir d’éphémérides. Les écarts aux éphémérides ont été calculés via la distance entre le modèle et les positions des éphémérides, mesurée en kilomètres. La valeur de σ ¯ indique l’exactitude de la correspondance entre le modèle analytique et un modèle de référence basé sur l’intégration numérique. Les résultats sont donnés dans la table 6.17. Cette table montre également les valeurs du demi-grand axe a obtenues pour le modèle d’ellipse précessante à partir des éphémérides du JPL. Les résultats donnés dans la table 6.17 montrent que le décalage entre les modèles analytiques et les éphémérides est d’autant plus important que le demi-grand axe de l’orbite est le plus grand. Ceci s’explique facilement par le fait qu’avec l’augmentation du demi-grand axe de l’orbite du satellite, on se rapproche des orbites des satellites galiléens dont l’action perturbatrice devient significative, et qui n’a pas été prise en compte dans les modèles analytiques. On remarque que les deux modèles représentent le mouvement des satellites proches de Jupiter avec à peu près la même précision. Afin d’estimer les divergences constatées entre les modèles en coordonnées angulaires géocentriques des satellites, il faut noter qu’une seconde de degré correspond à 3 800 km à une distance moyenne de Jupiter-Terre. Le décalage de 12 km sur l’orbite du satellite correspond à une différence de coordonnées angulaires géocentriques de 0.00300 . Cette 391

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES différence est bien plus faible que la précision actuelle des observations au sol des satellites. Les paramètres des ellipses précessantes définis peuvent être utilisés pour calculer les éphémérides à l’aide de simples formules de mouvements képlériens. Pour cela, on présente les valeurs trouvées dans les tables 6.18 et 6.19. Les paramètres diffèrent selon les modèles et les éphémérides de base, mais chaque jeu de paramètres est cohérent. Table 6.18 – Paramètres de l’ellipse précessante pour les satellites de Jupiter, Métis et Adrastée, dérivés des éphémérides du JPL (Jacobson, 2013) et de l’université de Tomsk (Avdyushev et Ban’shikova, 2008).

Paramètre

JPL

Univ. de Tomsk

Métis a¯ e i M0 ω0 Ω0 n¯ ω ˙ ˙ Ω

(km) (radians) (radians) (radians) (radians) (radians/jour) (radians/jour) (radians/jour)

127 978.860 0.000 504 857 0.000 213 446 3.813 296 566 0.169 346 010 5.753 821 299 21.164 087 429 0.300 596 369 −0.149 768 271

127 978.870 0.001 274 382 0.000 348 744 0.527 952 271 0.312 420 298 2.603 426 115 21.164 083 095 0.300 600 575 −0.149 770 172

Adrastée a¯ e i M0 ω0 Ω0 n¯ ω ˙ ˙ Ω

(km) (radians) (radians) (radians) (radians) (radians/jour) (radians/jour) (radians/jour)

128 979.903 0.000 180 935 0.000 225 599 2.545 515 933 3.034 354 065 5.712 371 588 20.919 404 709 0.292 385 013 −0.145 685 219

128 979.840 0.005 415 531 0.007 701 531 1.724 761 655 2.395 080 996 0.919 577 232 20.919 415 107 0.292 382 363 −0.145 690 358

Les coordonnées du pôle de Jupiter α0 , δ0 , obtenues à partir des éphémérides du JPL, sont presque les mêmes pour les quatre satellites : α0 = 268.057◦ δ0 = 64.497◦ 392

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.19 – Paramètres de l’ellipse précessante pour les satellites de Jupiter Amalthée et Thébé, dérivés des éphémérides du JPL (Jacobson, 2013) et de l’université de Tomsk (Avdyushev et Ban’shikova, 2008).

Paramètre

JPL

TSU

Amalthée a¯ e i M0 ω0 Ω0 n¯ ω ˙ ˙ Ω

(km) (radians) (radians) (radians) (radians) (radians/jour) (radians/jour) (radians/jour)

181 365.552 0.003 426 003 0.006 565 694 3.839 867 712 4.598 920 930 4.630 652 745 12.568 437 183 0.087 582 088 −0.043 716 407

181 365.561 0.004 079 207 0.005 659 253 4.038 848 183 4.476 760 700 4.556 545 020 12.568 436 283 0.087 583 381 −0.043 716 439

Thébé a¯ e i M0 ω0 Ω0 n¯ ω ˙ ˙ Ω

(km) (radians) (radians) (radians) (radians) (radians/jour) (radians/jour) (radians/jour)

221 888.173 0.017 531 954 0.018 706 263 1.526 572 934 4.294 075 517 4.125 853 541 9.293 210 969 0.043 193 094 −0.021 577 028

221 888.157 0.016 117 934 0.019 443 802 1.603 754 238 4.238 345 375 4.115 550 534 9.293 215 547 0.043 188 124 −0.021 574 888

Pour les éphémérides de l’université de Tomsk, les coordonnées du pôle de Jupiter sont : α0 = 268.049◦ δ0 = 64.489◦

6.6.3.2

Les satellites lointains de Jupiter

L’étude des satellites lointains, dits irréguliers, de Jupiter sera faite dans la section 6.6.8 dédiée à tous les satellites lointains des planètes géantes en fin de chapitre. 393

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

6.6.4 6.6.4.1

Les satellites de Saturne Historique

La table 6.20 donne la liste de dix-huit satellites bien identifiés et répertoriés depuis plusieurs décennies. Mais Saturne a 82 satellites (voir table 6.2 dont la découverte est confirmée et dont on trouvera la liste dans la section « Satellites lointains ». Parmi ces 62 satellites, 53 ont une orbite bien déterminée. Les huit premiers (dits satellites principaux) sont facilement observables et ont été découverts à partir du milieu du xxe siècle. Le plus gros, Titan, de magnitude 8.3, a été observé par Huygens dès 1655. L’année suivante, dans le texte qui relate sa découverte de Titan, Huygens annonce, en outre, l’existence d’un anneau autour de Saturne, au moyen d’une anagramme rédigée en latin. Avec la découverte de Titan, Huygens pensait que s’achevait la recherche de nouveaux satellites dans le Système solaire : il pensait en effet que le nombre total de satellites ne saurait excéder celui des planètes. Les découvertes de Téthys, Dioné, Rhéa et Japet par Cassini le feront renoncer à cette hypothèse. Peu après avoir découvert Phœbé en 1898, Pickering (1905) prend une série de clichés photographiques du ciel pour confirmer l’orbite rétrograde de ce nouveau satellite, et pour en chercher d’autres, plus faibles. L’analyse de plusieurs plaques le conduit à suspecter l’existence d’un dixième satellite, Thémis. Mais cet objet ne sera plus jamais retrouvé, et des travaux plus récents et Aksnes et Franklin (1978) montrent que l’on peut considérer avec une quasi-certitude que ce satellite n’existe pas. À partir de 1898, date de la découverte de Phœbé, et pendant plus d’un demi-siècle, aucun autre satellite ne sera découvert. En 1966, Dollfus découvre un nouveau satellite, Janus, en profitant de la configuration particulière des anneaux de Saturne qui, tous les quinze ans, sont vus depuis la Terre par la tranche. La diffusion de la lumière par les anneaux est alors réduite, et cette circonstance facilite l’observation des objets faibles et proches de la planète centrale (voir Dollfus, 1967, 1968). Cependant, la période obtenue par Dollfus est beaucoup plus longue que la période réelle du satellite (0.6945 jour). Fountain et Larson (1978) confirment l’existence de ce satellite et montrent la présence probable d’un nouveau satellite sur une orbite voisine de celle de Janus. Les sondes Voyager qui survolent le système de Saturne en novembre 1980 et avril 1981 confirment l’existence de ce satellite, Épiméthée, sur une orbite extrêmement proche de celle de Janus. En 1979-1980, alors que les anneaux sont à nouveau visibles par la tranche, trois autres satellites faibles, Hélène, Télesto et Calypso, sont découverts par des observations faites au sol. Le satellite Hélène est observé pour la première fois au Pic du Midi, avec une caméra électronique placée derrière le télescope de 1 mètre par Lecacheux et al. (1980). Télesto et Calypso sont observés par plusieurs équipes américaines et françaises avant 394

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES d’être clairement identifiés par Seidelmann et al. (1981), Larson et al. (1981) et Veillet (1981).

Les satellites Atlas, Prométhée et Pandore, les plus proches de Saturne et les plus faibles, ont été découverts à l’occasion du survol du système de Saturne par les sondes Voyager en 1980 et 1981.

Le dernier satellite de Saturne de cette liste, Pan, a été découvert en 1991. Cette découverte est décrite par Showalter (1991). L’analyse des images du système de Saturne envoyées par les sondes Voyager révèle, dès 1985, une structure festonnée des bords de la division d’Encke dans le système des anneaux de la planète. Cuzzi et Scargle (1985) montrent alors que cette structure peut s’expliquer par la présence d’un petit satellite situé à l’intérieur de la division. Une orbite est prédite à partir d’un modèle qui décrit les effets d’un petit satellite sur les particules de l’anneau. Le catalogue des 30 000 images de Voyager est analysé par une procédure automatique, et on découvre le nouveau satellite sur 23 d’entre elles. Les observations de Pan s’étendent sur une durée de 8 jours et correspondent à 15 révolutions du satellite. Table 6.20 – Liste des satellites de Saturne, avec la date et l’auteur de la découverte.

Satellite I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII

Mimas Encelade Téthys Dioné Rhéa Titan Hypérion Japet Phœbé Janus Épiméthée Hélène Télesto Calypso Atlas Prométhée Pandore Pan

Découverte 1789, W. Herschel 1789, W. Herschel 1684, J.D. Cassini 1684, J.D. Cassini 1672, J.D. Cassini 1655, C. Huygens 1848, Bond - Lassel 1671, J.D. Cassini 1898, W. Pickering 1966, A. Dollfus 1978, Fountain et Larson 1980, Laques et Lecacheux 1980, Smith, Reitsema, Larson et Fountain 1980, Pascu, Seidelmann, Baum et Currie 1980, sondes Voyager 1980, sondes Voyager 1980, sondes Voyager 1991, Showalter 395

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES 6.6.4.2

Les satellites principaux : anciennes théories

Il est intéressant de décrire les anciennes théories, car, même si celles-ci ne sont plus utilisées pour produire des éphémérides, elles décrivent, à partir de formules simples, les caractéristiques principales de leur mouvement. Les neuf premiers satellites ont été l’objet d’observations extrêmement nombreuses autour des années 1900, et les caractéristiques essentielles de la dynamique de ces satellites furent très rapidement dégagées. Struve (1931) détermine les orbites des six premiers satellites et de Japet ; Woltjer (1928) développe la théorie d’Hypérion ; Ross (1905) développe une théorie de Phœbé. On dispose ainsi, vers 1935, d’un ensemble de théories suffisantes, compte tenu de la précision des mesures faites à cette époque, de l’ordre de 0.2500 . Par la suite, et jusqu’en 1955, peu d’observations sont faites, et les théories des satellites restent inchangées. Après 1955, un ensemble de travaux est réalisé, dont une caractéristique commune est de prendre comme point de départ les travaux de G. Struve et Woltjer cités plus haut, et d’y ajouter quelques termes jusqu’alors négligés. Par ailleurs, ces travaux exploitent les données qui proviennent des nombreuses observations faites depuis 1960. Par exemple, les théories des huit premiers satellites sont développées par Kozai (1957, 1976), Sinclair (1977), Rapaport (1976, 1978), Taylor et Shen (1988), Dourneau (1993), Harper et Taylor (1993). La théorie de Phœbé a été développée par Bec-Borsenberger et Rocher (1982), et Bykova et Shikhalev (1984).

Caractéristiques dynamiques et physiques

La table 6.21 présente les paramètres orbitaux des neuf premiers satellites de Saturne. D’autres caractéristiques dynamiques et physiques de ces satellites sont fournies dans les tables 1.17, 1.21 et 1.22 (chapitre 1) et dans la table 12.5 (voir chapitre 12). Les inclinaisons sont mesurées par rapport à l’équateur de Saturne, sauf dans le cas de Japet et Phœbé, pour lesquels elles sont mesurées par rapport à l’écliptique. Phœbé a une orbite rétrograde. Les périodes sont des périodes tropiques, et les magnitudes sont les magnitudes moyennes à l’opposition. Ces satellites sont en rotation synchrone, sauf Phœbé, dont la période de rotation propre est de 9h , et Hypérion, qui a un mouvement de rotation chaotique comme expliqué par Wisdom et al. (1984) et Klavetter (1989c,a,b). 396

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.21 – Principales caractéristiques dynamiques des neuf premiers satellites de Saturne. Les paramètres a, i, e désignent, respectivement, le demi-grand axe, l’inclinaison et l’excentricité de l’orbite, P est la période orbitale et Em l’élongation maximale. Les parametres orbitaux de Phœbé sont definis pour l’époque 14 janvier 1970 0h .

I II III IV V VI VII VIII IX

Mimas Encelade Téthys Dioné Rhéa Titan Hypérion Japet Phœbé (2)

a (103 km)

i (◦ )

e

P (jours)

Em (0 00 )

185.54 238.20 294.992 377.654 527.367 1 221.803 1 481.1 3 561.85 12 893.24

1.56 0.03 1.10 0.01 0.35 0.30 0.64 18.5 173.73

0.019 05 0.004 9 0.000 0 0.002 2 0.000 3 0.029 1 0.103 5 0.028 3 0.175 63

0.942 1.370 1.887 2.736 4.517 15.945 21.276 79.330 546.6

30 38 48 1 01 1 25 3 17 3 59 9 34 34 51

Le plan des anneaux

Le plan des anneaux de Saturne est supposé coïncider avec le plan équatorial de la planète. Grâce à l’analyse de la trajectoire des sondes Voyager d’une part, et à l’observation d’occultations d’étoiles par les anneaux dans les domaines radio et ultraviolet d’autre part, la connaissance de l’orientation du plan des anneaux dans l’espace a pu être améliorée durant la dernière décennie. Dans le système défini par l’équateur moyen et l’équinoxe de B1950.0 (DJ 2 433 282.423), les coordonnées du pôle Nord de Saturne pour l’époque 1981.25 sont d’après Simpson et al. (1983) : α0 = 38.409◦ ± 0.016◦ δ0 = 83.324◦ ± 0.002◦ Dans le système défini par l’équateur moyen et l’équinoxe de J2000 (DJ 2 451 545.0), les coordonnées du pôle Nord de Saturne s’écrivent : α = 40.580◦ ± 0.016◦ − 0.036◦ T δ = 83.538◦ ± 0.002◦ − 0.004◦ T où T est exprimé en siècles juliens de 36 525 jours à partir de J2000. 397

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Plan des anneaux

iA

Écliptique

A

ΩA Γ

2

ε

B

π +α 2

π –δ

Équateur

Figure 6.15 – Position du plan des anneaux par rapport à l’écliptique et à l’équateur céleste.

Adoptant l’écliptique comme plan de référence, on définit iA et ΩA l’inclinaison et la longitude du nœud ascendant du plan des anneaux (voir figure 6.15), donnés par : cos iA = cos ε sin δ − cos δ sin α sin ε sin iA cos ΩA = − cos δ sin α cos ε − sin δ sin ε sin iA sin ΩA = cos δ cos α où ε est l’obliquité de l’écliptique. Les valeurs de iA et ΩA dans le système J2000 sont les suivantes : 1950 : iA = 28.0490◦ , ΩA = 169.5360◦ 1960 : iA = 28.0490◦ , ΩA = 169.5348◦ 1970 : iA = 28.0491◦ , ΩA = 169.5336◦ 1980 : iA = 28.0491◦ , ΩA = 169.5324◦ 1990 : iA = 28.0492◦ , ΩA = 169.5312◦ 2000 : iA = 28.0492◦ , ΩA = 169.5300◦ 2010 : iA = 28.0493◦ , ΩA = 169.5288◦ Dans le système B1950.0, les valeurs de iA et ΩA déterminées par Dourneau (1993) et Harper et Taylor (1993) sont, respectivement : iA = 28.0817◦ , ΩA = 168.8112◦ iA = 28.0653◦ , ΩA = 168.8387◦ 398

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Les valeurs adoptées pour TASS (voir section 6.6.4.5) sont (équateur et écliptique J2000) : iA = 28.0512◦ , ΩA = 169.5291◦

Notations D’une manière générale, un élément de l’orbite xi se rapportera au satellite i (1 ≤ i ≤ 8), les satellites étant ordonnés de 1 à 8 par distance croissante à Saturne, dans l’ordre : Mimas, Encelade, Téthys, Dioné, Rhéa, Titan, Hypérion et Japet. La figure 6.16 représente le système de référence utilisé pour les quatre premiers satellites, la figure 6.17 représente le système adopté pour les quatre satellites extérieurs. Sur ces deux figures, C représente le périastre de l’orbite. Orbite du satellite C

B

Γ

ΩA

A

iA

γ

Plan des anneaux

Écliptique

Figure 6.16 – Système de référence adopté pour les quatre premiers satellites.

Notations communes aux huit premiers satellites On note (voir figure 6.16) : • iA , l’inclinaison du plan des anneaux sur l’écliptique ; • ΩA = ΓA, la longitude du nœud du plan des anneaux sur l’écliptique ; • a, le demi-grand axe de l’orbite du satellite ; 399

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Orbite du satellite

C

i

Γ

O

Écliptique

Ω

Figure 6.17 – Système de référence adopté pour les satellites extérieurs.

• e, l’excentricité de l’orbite. Pour l’ensemble des satellites, à l’exception d’Hypérion, on utilise comme époque initiale : t0 = 1930 janvier 24.0 (DJ 2 426 000.5)

(6.19)

Si on considère une date julienne DJ, on note : d = DJ − 2 426 000.5

t = d/365.25

T = d/365 25

(6.20)

Enfin, on note χ = 180/π, le facteur de conversion des radians en degrés.

Notations utilisées pour les quatre premiers satellites

On note (voir figure 6.16) : • • • •

Γ l’inclinaison de l’orbite du satellite sur le plan des anneaux ; N = ΓA + AB, N définit la position du nœud de l’orbite sur le plan des anneaux ; P = N + BC, P définit la position du périastre C ; λ = P + anomalie moyenne, λ définit la longitude moyenne du satellite. 400

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Notations utilisées pour les satellites extérieurs

On note (voir figure 6.17) : • • • •

i, l’inclinaison de l’orbite du satellite sur l’écliptique ; N = ΓO, la longitude du nœud O de l’orbite sur l’écliptique ; $ = N + OC, la longitude du périastre ; λ = $ + anomalie moyenne, λ définit la longitude moyenne.

Sources

Les éléments orbitaux dont les expressions sont données plus loin, sont issus de : • Harper et Taylor (1993) pour Mimas, Téthys, Encelade ; Dioné, Rhéa, Titan et Japet, • Dourneau (1993) pour Hypérion ; • Bec-Borsenberger et Rocher (1982) pour Phœbé.

Les couples Mimas-Téthys et Encelade-Dioné La table 6.22 fournit les éléments orbitaux initiaux a0 , e0 , γ0 , N0 , P0 et λ0 des quatre premiers satellites, qui correspondent à l’époque t0 définie par l’équation 6.19. Elle donne également les moyens mouvements n et les vitesses séculaires des nœuds et des périastres N˙ et P˙ de ces satellites. La table 6.23 donne les paramètres associés aux librations qui affectent les couples Mimas-Téthys et Encelade-Dioné. La dynamique du couple Mimas-Téthys est dominée par : • une précession rapide des nœuds et périastres provoquée par l’action de l’aplatissement de Saturne sur des satellites proches ; • une libration de grande amplitude et de longue période de l’argument θ = 2λ1 − 4λ3 + N1 + N3 due à une commensurabilité approchée 2:1 des moyens mouvements. Cet argument oscille autour de 0 avec une période d’environ 72 ans et une amplitude de 95◦ . Cette résonance se maintient parce que les inclinaisons des orbites sur le plan des anneaux sont assez élevées, supérieures à 1◦ . 401

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.22 – Éléments orbitaux initiaux pour l’époque t0 = 2 426 000.5, et moyens

mouvements n et vitesses séculaires des nœuds et des périastres N˙ et P˙ de Mimas, Encelade, Téthys et Dioné, issus de Harper et Taylor (1993).

Élément

Unité

Mimas

Encelade

Téthys

Dioné

a0 e0 γ0 N0 P0 λ0

au degré degré degré degré

0.001 241 51 0.020 14 1.585 272.85 266.73 230.489

0.001 592 63 0.004 795 0.016 310 307.3348 76.1250

0.001 971 95 0.000 100 1.0895 42.75 56 194.4419

0.002 524 86 0.002 147 0.0126 38 353.0 191.7299

n N˙ P˙

/j /an ◦ /an

381.994 5087 −365.063 365.532

262.731 900 58 −151.43

190.697 911 96 −72.2351 70.03

◦

◦

131.534 931 86 −30.30 30.887

Table 6.23 – Paramètres associés aux librations affectant les couples Mimas-Téthys et Encelade-Dioné (Harper et Taylor, 1993).

Paramètre

Unité

Mimas-Téthys

Paramètre

Unité

Encelade-Dioné

A1 x13 ψ13 τ0

degré

−43.635 0.095 39 5.0866 1 866.261

p2 p4 µ24 ν24

degré degré degré degré/an

0.297 −0.0262 314.3 32.567

degré/an an

Une théorie réduite à un mouvement képlérien, auquel on ajoute la précession des nœuds et des périastres, et une perturbation des longitudes moyennes, conséquence de la résonance, donne une représentation des orbites de Mimas et Téthys, avec une précision de l’ordre de 0.2000 géocentrique. Les éléments orbitaux, à l’époque DJ, des deux satellites s’écrivent : a = a0 e = e0

˙t N = N0 + N P = P0 + P˙ t

γ = γ0

λ = λ0 + nd + δL

(6.21)

Pour Mimas, le terme de libration δL s’écrit : δL1 = A1 sin ψ − 0.72◦ sin 3ψ − 0.021 44◦ sin 5ψ avec : ψ = ψ13 (τ − τ0 ) 402

(6.22)

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES et : τ = 1950.0 + (DJ − 2 433 282.423)/365.2422

(6.23)

Pour Téthys, le terme de libration δL s’écrit : δL3 = −

x13 δL1 2

(6.24)

Le rapport −x13 des librations dépend du rapport des masses m1 , m3 et des demi-grands axes a1 et a3 de Mimas et Téthys : x13 =

a3 m 1 a1 m 3

Les caractéristiques dynamiques du couple Encelade-Dioné sont essentiellement : • une précession rapide des nœuds et des périastres provoquée par l’aplatissement de Saturne ; • une libration de faible amplitude et de période 11 ans de l’argument θ24 = 2λ4 − λ2 − P2 autour de 0, due à une commensurabilité 2:1 des moyens mouvements. On note λ2 et λ4 les parties linéaires des longitudes moyennes d’Encelade et Dioné. Les théories prennent également en compte un terme à longue période d’argument 0 = 2λ − λ − P et de période 3.8 ans. Les amplitudes dans les longitudes moyennes θ24 4 2 4 sont de 12.540 pour Encelade et −1.040 pour Dioné (Harper et Taylor, 1993). Les éléments orbitaux d’Encelade, à l’époque DJ, s’écrivent : a = a0

˙t N = N0 + N

e = e0

P = 2λ4 − λ2

γ = γ0

λ = λ0 + nd + δL

(6.25)

0 . avec δL = p2 sin (ν24 t + µ24 ) + 12.540 sin θ24

Les éléments orbitaux de Dioné, à l’époque DJ, s’écrivent : a = a0 e = e0

˙t N = N0 + N P = P0 + P˙ t(8.6.7)

γ = γ0

λ = λ0 + nd + δL

0 . avec δL = p4 sin (ν24 t + µ24 ) − 1.040 sin θ24

403

(6.26)

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Rhéa, Titan, Japet Les éléments orbitaux initiaux de Rhéa correspondant à l’époque t0 = 2 426 000.5 sont donnés dans la table 6.24. L’orbite de Rhéa est caractérisée par l’existence d’une excentricité forcée par Titan, supérieure à la partie libre. Cela entraîne une oscillation du périastre de Rhéa autour de celui de Titan avec une période de 36 ans. En outre, l’aplatissement de Saturne et l’action perturbatrice du Soleil provoquent une précession du plan de l’orbite avec une inclinaison constante sur le plan laplacien de Rhéa. Les éléments orbitaux de Rhéa, à l’époque DJ, s’écrivent : a = a0 e sin $ = e0 sin ($0 + 10.057◦ t) + 0.001 00 sin $6 e cos $ = e0 cos ($0 + 10.057◦ t) + 0.001 00 cos $6 i = iA − 0.045 50◦ + χ sin γ0 cos N + 0.020 07◦ cos N6

(6.27)

N = ΩA − 0.007 792◦ + [χ sin γ0 sin N + 0.020 07◦ sin N6 ]/ sin iA iA λ = λ0 + nd + χ sin γ0 tan sin N 2 Dans les équations 6.27, l’indice 6 se rapporte à Titan, N = N0 −10.057◦ t, N6 = N06 + N˙ 06 t, $6 = $06 + $ ˙ 6 t ; les valeurs de N06 , N˙ 06 , $06 , $ ˙ 6 se trouvent dans la table 6.25 ; iA et ΩA sont l’inclinaison et la longitude du nœud du plan des anneaux sur l’écliptique, déterminées par Harper et Taylor (1993) et définies dans la section 6.6.4.2 : χ = 180/π. Les éléments orbitaux initiaux de Titan, qui correspondent à l’époque t0 , sont donnés dans la table 6.25. Table 6.24 – Éléments orbitaux initiaux de Rhéa pour l’époque t0 = 2 426 000.5, issus de Harper et Taylor (1993).

Élément

Unité

Rhéa

a0 e0 γ0 N0 $0 λ0 n

au

0.003 525 59 0.000 172 0.3472 294.00 42 338.6372 79.690 046 87

degré degré degré degré degré/jour 404

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.25 – Éléments orbitaux initiaux de Titan pour l’époque t0 = 2 426 000.5, issus de Harper et Taylor (1993).

Élément

Unité

Titan

a0 e0 γ0 N0 $0 λ0 n $ ˙0 N˙ 0

au

0.008 170 06 0.028 905 0.2949 19.56 297.278 138.8328 22.576 976 82 0.512 73 −0.512 73

degré degré degré degré degré/jour degré/an degré/an

L’orbite de Titan subit quelques perturbations solaires périodiques non négligeables. De plus, sous l’action de l’aplatissement de Saturne et des perturbations séculaires du Soleil, le plan orbital de Titan précesse avec une inclinaison constante sur le plan laplacien. L’excentricité relativement élevée (0.029) de Titan est à l’origine de la partie forcée de l’excentricité de Rhéa. Les mouvements de précession du nœud et du péricentre ont une période d’environ 700 ans. Les éléments orbitaux de Titan, à l’époque t0 , s’écrivent selon Sinclair (1977) et Harper et Taylor (1993) sous la forme suivante : a = a0 e = e0 − 0.000 1841 cos 2g + 0.000 0731 cos 2(L s − g) i = iap + 0.000 2320 χ cos (2L s + ψ) N = Ωap + 0.000 5034 χ sin (2L s + ψ) $ = $ap + χ [0.006 3044 sin 2g + 0.000 250 27 sin 2(L s − g)] iA λ = λ0 + nd + χ [sin γ0 tan sin N − 0.000 1757 sin l s 2 − 0.000 2151 sin 2L s + 0.000 0567 sin (2L s + ψ)]

(6.28)

avec χ = 180/π et où iap , Ωap , $ap sont les valeurs approchées de l’inclinaison et des longitudes du nœud et du péricentre. Elles sont données par : iap = iA − 0.6204◦ + χ sin γ0 cos N Ωap = ΩA − 0.1418◦ + χ sin γ0 sin N/ sin iA $ap = $0 + $ ˙0t 405

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES où N = N0 + N˙ 0 t ; iA et ΩA sont l’inclinaison et la longitude du nœud du plan des anneaux sur l’écliptique, déterminées par Harper et Taylor (1993). Les angles auxiliaires pour le calcul des perturbations solaires l s , λ s , i s , Ω s sont donnés par : l s = 175.4762◦ + 1 221.5515◦ T s − 0.0005◦ T s2 λ s = 267.2635◦ + 1 222.1136◦ T s i s = 2.489 139◦ + 0.002 435◦ T s − 0.000 034◦ T s2 Ω s = 113.349 952◦ − 0.259 679◦ T s − 0.000 038◦ T s2 où T s = (DJ − 2 415 020)/365 25. Les autres angles auxiliaires ψ et g qui interviennent sont donnés par : cos Γ = cos i s cos iap + sin i s sin iap cos (Ωap − Ω s ) sin Γ sin ψ = sin i s sin (Ωap − Ω s ) sin Γ cos ψ = cos i s sin iap − sin i s cos iap cos (Ωap − Ω s ) sin Γ sin Θ0 = sin iap sin (Ωap − Ω s ) sin Γ cos Θ0 = − sin i s cos iap + cos i s sin iap cos (Ωap − Ω s ) Θ = Θ0 + Ω s Ls = λs − Θ g = $ap − Ωap − ψ

Les éléments orbitaux initiaux de Japet qui correspondent à l’époque t0 sont donnés dans la table 6.26. La dynamique de Japet est caractérisée par une inclinaison de l’orbite sur le plan des anneaux assez forte (15◦ ) et par l’importance des perturbations périodiques dues au Soleil sur tous les éléments de l’orbite. Il faut également prendre en compte quelques termes perturbateurs périodiques dus à l’action de Titan. L’ensemble des termes périodiques non négligeables peut être trouvé dans Harper et Taylor (1993). La nécessité de tenir compte de nouveaux termes périodiques dans les théories de Japet, Titan, Rhéa, a été mise en évidence par Vienne et Duriez (1991). Omettant les termes périodiques, les éléments orbitaux de Japet, à l’époque t0 , s’expriment 406

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.26 – Éléments orbitaux initiaux de Japet pour l’époque t0 = 2 426 000.5, issus de Harper et Taylor (1993).

Élément

Unité

Japet

a0 e0 i0 N0 $0 λ0 n N˙ $ ˙

au

0.023 811 70 0.028 8367 18.020 66 141.4750 357.824 216.997 43 4.537 951 65 −3.7119 12.285

degré degré degré degré degré/jour degré/siècle degré/siècle

par : a = a0 e = e0 + e˙ T i = i0 + ia T + ib T 2 + ic T 3 ˙ + Ωb T 2 + Ωc T 3 N = N0 + NT $ = $0 + $T ˙ λ0 = λ0 + nd où T et d sont les quantités définies par l’équation 6.20.

Les termes polynomiaux en T présents dans les expressions de l’excentricité, de l’inclinaison, du nœud et du péricentre de l’orbite correspondent à des expressions approchées des termes à longue période, en particulier la précession du nœud et du péricentre dont la période est de 3 000 ans. Les coefficients de T, T 2 , T 3 ont pour valeur (T étant en siècles) : e˙ =

0.001 156

ia = −1.0125◦ ib = −0.0648◦ ic =

0.0054◦

Ωb =

0.127◦

Ωc =

0.008◦ 407

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Hypérion

L’effet perturbateur qui domine la dynamique d’Hypérion est dû à l’action gravitationnelle de Titan. Plusieurs caractéristiques rendent l’étude de ce problème assez difficile :

• l’existence d’une commensurabilité 3:4 entre les moyens mouvements d’Hypérion et de Titan ; • la valeur élevée du rapport des demi-grands axes (a/a0 ∼ 0.825) qui rend difficile le développement de la fonction perturbatrice sous sa forme habituelle ; • l’excentricité non négligeable de Titan (0.029) ; • l’existence de nombreux termes à courte période non négligeables ; • l’existence de perturbations solaires importantes du fait de l’éloignement de la planète.

L’argument 4λ − 3λ0 − $, où λ, λ0 et $ sont, respectivement, les longitudes moyennes d’Hypérion et de Titan et la longitude du péricentre d’Hypérion, oscille autour de 180◦ avec une grande amplitude. Il en résulte une libration en longitude d’amplitude 9◦ et de période 21 mois. L’excentricité de l’orbite de Titan entraîne d’autre part une oscillation forcée de longue période, dont l’argument est égal à la différence des parties linéaires des longitudes des péricentres de Titan et Hypérion. La période de cette oscillation est d’environ 19 ans, son amplitude de 13.7◦ en longitude et de 0.024 sur l’excentricité.

Woltjer (1928) développa une théorie d’Hypérion qui tient compte des termes perturbateurs à longue période qui proviennent de la résonance. Il construisit également des tables qui lui permettent de calculer les perturbations à courtes périodes pour les dates d’observations.

Cependant, lorsqu’à partir de 1967 sont publiées de nouvelles observations d’Hypérion, on se rend compte que les résidus obtenus à partir de la théorie de Woltjer sont supérieurs à ceux relatifs aux autres satellites à l’exception de Japet. Taylor et al. (1987) déterminent, par l’analyse spectrale des résidus obtenus en comparant la théorie de Woltjer avec une intégration numérique, de nouveaux termes à courte période d’amplitude supérieure à 1 000 km dans les éléments orbitaux d’Hypérion. Dourneau (1993) détermine à nouveau les constantes de la théorie en utilisant un siècle d’observations. Enfin, Vienne et Duriez (1991) ont mis en évidence de nouveaux termes à courte période d’amplitude supérieure à 1 000 km dans les éléments orbitaux d’Hypérion. 408

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Pour la date julienne DJ, les éléments orbitaux s’écrivent selon Dourneau (1993) : a = a0 − 0.000 034 22 cos τ − 0.000 000 67 cos(ζ + τ) + 0.000 000 71 cos(ζ − τ) e = e0 − 0.004 099 cos τ − 0.000 167 cos(ζ + τ) + 0.000 235 cos(ζ − τ) + 0.023 03 cos ζ − 0.002 12 cos 2ζ + 0.000 151 cos 3ζ + 0.000 13 cos φ i = (ia − 0.747◦ ) + χ sin γ0 cos(N0 + N˙ t) + 0.315◦ cos(42.02◦ − 0.5118◦ tT ) − 0.018◦ cos(13◦ + 24.44◦ t) + 0.0180◦ cos(184.8◦ − 35.41◦ T ) N = (Ωa − 0.13◦ ) + [χ sin γ0 sin(N0 + N˙ t) + 0.315◦ sin(42.02◦ − 0.5118◦ tT ) − 0.018◦ sin(13◦ + 24.44◦ t) + 0.0168◦ sin(177.3◦ − 35.41◦ T )]/ sin(ia − 0.747◦ ) ia − 0.747◦ ) sin(N0 + N˙ t)) $ = ($0 + $ ˙ t + γ0 tan( 2 − 0.4457◦ sin τ − 0.2657◦ sin(ζ + τ) − 0.3573◦ sin(ζ − τ) − 12.872◦ sin ζ + 1.668◦ sin 2ζ − 0.2419◦ sin 3ζ − 0.07◦ sin φ ia − 0.747◦ λ = λ0 + ntd + γ0 tan( ) sin(N0 + N˙ t) + 9.142◦ sin τ 2 + 0.007◦ sin 2τ − 0.014◦ sin 3τ + 0.2275◦ sin(ζ + τ) + 0.2112◦ sin(ζ − τ) − 0.260◦ sin ζ − 0.0098◦ sin 2ζ − 0.013◦ sin(176◦ + 12.22◦ t) + 0.017◦ sin(8◦ + 24.44◦ t) − 0.0303◦ sin φ où ia et Ωa sont l’inclinaison et la longitude du nœud ascendant du plan des anneaux sur l’écliptique, déterminées par Dourneau (1987) données en début de section et où : td = DJ − 2 415 020 t = td /365.25 T = (DJ − 2 442 000.5)/365.25 tT = (DJ − 2 411 368)/365.25 τ = τ0 + τ˙ ˙ td ζ = ζ0 + ζt ˙ φ = φ0 + φt Les éléments orbitaux qui correspondent à l’époque t0 = 2 415 020 sont donnés dans la table 6.27.

Phœbé Phœbé occupe une place particulière dans le système de Saturne. Dans l’ensemble des satellites connus avant les découvertes récentes des années 1980-1981, il est le plus petit 409

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.27 – Éléments orbitaux initiaux d’Hypérion correspondant à l’époque t0 = 2 415 020, issus de Dourneau (1993). a0 est donné en secondes de degré à la distance de 9.538 937 au.

Élément a0 e0 γ0 λ0 $0 N0 n $ ˙ N˙ τ0 τ˙ ζ0 ζ˙ φ0 φ˙

Unité

Hypérion

degré degré degré degré jour−1 an−1 an−1 degré jour−1 degré an−1 degré an−1

214.079 0.103 458 0.6435 177.047 69.898 94.9 16.919 938 29 −18.670 88 −2.292 92.39◦ 0.562 1071 148.19◦ −19.28 −32.2 −61.7818

et le plus éloigné de Saturne. En outre, son orbite est rétrograde. Son éloignement du corps central a pour conséquence que sa dynamique est essentiellement dominée par l’action du Soleil : l’accélération provoquée par Jupiter est environ égale à 1% de celle due au Soleil, celle provoquée par Titan représentant 0.1%. Le mouvement de Phœbé a été décrit par Ross (1905) à partir d’une série de clichés photographiques pris entre 1899 et 1905. Zadunaisky (1954) a utilisé des observations faites entre 1907 et 1952 pour améliorer l’orbite de Ross. Les travaux les plus récents ont choisi la voie de l’intégration numérique pour améliorer l’orbite de Phœbé (Rose, 1979 ; Bec-Borsenberger et Rocher, 1982 ; Bykova et Shikhalev, 1984). Dans le travail de Bec-Borsenberger et Rocher, les équations du mouvement prennent en compte les effets de Jupiter et de Titan, en plus de celui du Soleil. Leur intégration numérique est ajustée sur un ensemble d’observations faites entre 1904 et 1989. Dans la table 6.28, on donne les conditions initiales, coordonnées et vitesses, issues de cet ajustement, pour l’époque t0 = 14 janvier 1970, 0 h TE (2 440 600.5). Ces conditions initiales sont exprimées dans le repère saturnocentrique défini par l’équateur céleste et l’équinoxe J2000. Phœbé n’est pas le seul satellite lointain de Saturne : c’est le plus gros (et de beaucoup), mais il est accompagné de nombreux autres corps très petits que l’on n’a commencé à découvrir qu’avec les grands télescopes (voir leurs caractéristiques dans les tables 6.75 et 410

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.28 – Conditions initiales de l’orbite de Phœbé pour le 14 janvier 1970 0 h TE (2 440 600.5), issues de Bec-Borsenberger et Rocher (1982).

Coordonnée x0 y0 z0 x˙0 y˙0 z˙0

Unité

Phœbé

au −0.082 224 0966 au 0.035 857 4244 au 0.026 033 3383 au/jour 0.000 285 377 7271 au/jour 0.000 798 461 4277 au/jour 0.000 342 972 0128

6.76). Ils sont dits irréguliers du fait des variations rapides de leurs éléments orbitaux dues aux perturbations des grosses planètes. On trouvera une étude de ces satellites, ainsi que de ceux de Jupiter, dans la section 6.6.8.

6.6.4.3

Les petits satellites proches de la planète

Saturne comprend un grand nombre de petits satellites qui gravitent sous l’orbite de Mimas et d’autres coorbitaux des satellites principaux. Connus depuis les missions Voyager en 1980 et 1981, nombre de ces lunes affichent un mouvement complexe, associé à de fortes interactions dynamiques avec les anneaux de Saturne, quand ce ne sont pas des mouvements chaotiques induits par les perturbations gravitationnelles des lunes entre elles. De plus, un nombre significatif de ces lunes a été découvert après l’arrivée de la mission Cassini au sein du système de Saturne en 2004, dont les lunes Anthe, Méthone, Pallène et Egéon qui orbitent près, voire au-delà, de l’orbite de Mimas.

La présence de chaos pour un grand nombre de ces lunes empêche la réalisation d’éphémérides à partir d’un jeu de conditions initiales unique. Ainsi, il est difficile de fournir une éphéméride des lunes Atlas, Prométhée et Pandore sans avoir à scinder l’ajustement en deux blocs (période Voyager-1990, et post-1990 à Cassini).

De même, bien que n’ayant pas d’interaction chaotique entre elles, les lunes coorbitales en orbite dites en fer à cheval subissent indirectement le mouvement chaotique de Prométhée et Pandore. Comme pour ces dernières, il est difficile d’obtenir une éphéméride exacte sur un intervalle de temps supérieur à 20 ans. 411

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Caractéristiques des petits satellites proches de la planète La table 6.29 présente les paramètres orbitaux des satellites proches de Saturne. D’autres caractéristiques dynamiques et physiques de ces satellites sont fournies dans les tables 1.17, 1.21 et 1.22 (chapitre 1) et dans la table 12.5 (voir chapitre 12). Les périodes orbitales sont des périodes sidérales et les magnitudes sont les magnitudes moyennes à l’opposition. Janus et Épiméthée mis à part, ces satellites sont de faibles dimensions et de magnitude élevée. Ils ont tous des orbites quasi circulaires dans un plan très peu incliné sur le plan des anneaux. Table 6.29 – Principales caractéristiques orbitales des satellites proches de Saturne. Les paramètres a, i, e désignent, respectivement, le demi-grand axe, l’inclinaison et l’excentricité de l’orbite, P est la période orbitale et Em l’élongation maximale.

a (103 km) XVIII XXXV XV XVI XVII XI X LIII I XXXII XLIX XXXIII II XIII XIV III XXXIV XII

Pan Daphnis Atlas Prométhée Pandore Épiméthée Janus Egeon Mimas Methone Anthe Pallène Encelade Télesto Calypso Téthys Pollux Hélène

117.0 133.6 136.50 137.67 139.35 141.70 151.42 151.47 167.50 185.54 194.44 197.70 212.28 238.20 294.66 294.66 294.99 377.20 378.06

i (◦ )

e

0

0

0 0.3 0 0 0.34 0.14 0.001 1.56 0.0072 0.1 0.181 0.03

0 0.002 0.002 0.004 0.009 0.007 0.0002 0.019 0.0001 0.001 0.004 0.0049

1.10 0.1774 0.15

0.000 0.0192 0.005

P (jours)

Em (00 )

0.4715 0.5750 0.5940 0.6019 0.6130 0.6285 0.6943 0.6947 0.8081 0.9420 1.01 1.04 1.14 1.3700 1.8878 1.8878 1.8878 2.738 2.7391

17 21 22 22 23 23 24 24 27 30 31 32 34 38 48 48 48 61 61

Les satellites coorbitaux Janus et Épiméthée Janus et Épiméthée se déplacent sur deux orbites extrêmement voisines. La somme des diamètres des deux satellites est supérieure à la différence des rayons de leurs 412

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES orbites. Lorsque les deux satellites se rapprochent l’un de l’autre, un transfert de moment cinétique du satellite extérieur vers le satellite intérieur conduit à un échange des orbites, la différence entre les demi-grands axes restant presque constante. Ce type d’orbites, dites en fer à cheval , a été l’objet de travaux théoriques par Brown (1911) et Rabe (1961) bien avant leur observation. Ces orbites sont caractérisées par une libration de grande amplitude, et contiennent les points d’équilibre L3 , L4 , L5 . Épiméthée L4

L3

Janus

S

L5

Figure 6.18 – Schéma des orbites de Janus et Épiméthée dans le repère tournant.

La figure 6.18 représente les trajectoires des deux satellites dans un repère tournant avec le moyen mouvement moyen des satellites. Ils ne peuvent pas se rapprocher indéfiniment et entrer en collision (leur distance minimum est de 15 000 km environ). Par ailleurs, l’influence des autres satellites coorbitaux est faible. L’étude dynamique de Janus et Épiméthée a été développée par plusieurs auteurs, dont Yoder et al. (1983), Lissauer et al. (1985), Dermott et Murray (1981a) et Dermott et Murray (1981b).

Les satellites bergers : Atlas, Prométhée, Pandore Les satellites Prométhée et Pandore encadrent l’anneau F découvert par la sonde Pioneer en septembre 1979. Cet anneau est situé à une distance de 140 000 km du centre de Saturne, tandis que les demi-grands axes de Prométhée et Pandore sont respectivement de 139 353 km et 141 700 km (figure 6.19). On pense que l’action gravitationnelle des deux satellites empêche l’anneau de s’étaler, d’où l’appellation de satellites bergers qui leur est parfois donnée (voir Soderblom et 413

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Atlas 137 700 km

Saturne R = 60 628 km

Pandore 141 700 km Prométhée 139 353 km

Anneau A 136 000 km

Anneau F 140 000 km

Figure 6.19 – Les satellites bergers.

Johnson (1982) et Smith et al. (1982)). Ces satellites semblent également être responsables des déformations de l’anneau F. Atlas a été découvert par la sonde Voyager 1, un peu au-delà du bord extérieur de l’anneau A. Il semble que l’action gravitationnelle du satellite sur les particules de l’anneau soit responsable de la netteté du bord de l’anneau. Le satellite Pan Les observations du satellite Pan ont permis la détermination du demi-grand axe a de son orbite et de son moyen mouvement n : a = 133 528.8 km n = 626.044◦ ± 0.006/jour Pan est le premier satellite découvert à l’intérieur des anneaux principaux de Saturne. L’analyse des images n’a pas permis, pour l’instant, d’observer des satellites analogues à l’intérieur de la division de Cassini. Son effet de berger est responsable de la conservation de la structure de la division d’Encke, et il pourrait être à l’origine d’un petit anneau étroit à l’intérieur de la division. 414

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Y M3

r1

r2

M1 G

M2

X

Figure 6.20 – Problème restreint circulaire plan.

6.6.4.4

Les satellites lagrangiens de Téthys et Dioné

Le problème restreint circulaire plan des trois corps L’analyse des observations des satellites Hélène, Télesto et Calypso a permis de montrer que le problème restreint circulaire plan des trois corps représente de façon déjà très satisfaisante les propriétés dynamiques des cinq premiers satellites. Ce problème est illustré sur la figure 6.20. M1 et M2 sont deux corps de masses m1 et m2 qui décrivent des orbites circulaires autour de leur centre de masse G, sous l’effet de leur attraction mutuelle ; n représente le moyen mouvement de M1 et M2 sur leur orbite ; r1 et r2 sont les distances respectives de M3 à M1 et M2 . La masse m3 de M3 est supposée négligeable, ce qui revient à dire que M3 ne perturbe pas les mouvements de M1 et M2 . On écrit les équations du mouvement de M3 perturbé par M1 et M2 , dans le repère GXY tournant avec la vitesse angulaire n. Notant X, Y, Z les coordonnées de M3 dans le repère tournant, les équations du mouvement s’écrivent : d2 X dY ∂Ω − 2n = 2 dt ∂X dt d2 Y dX ∂Ω − 2n = dt ∂Y dt2 2 d Z ∂Ω = ∂Z dt2 415

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Y

L4

G L3

M1

L1

M2

L2

X

L5

Figure 6.21 – Les points d’équilibre de Lagrange.

avec : Ω=

n2 2 k2 m1 k2 m2 (X + Y 2 ) + + 2 r1 r2

Ce système admet l’intégrale première, dite intégrale de Jacobi : J=

1 ˙ 2 ˙ 2 ˙2 (X + Y + Z ) − Ω 2

Lagrange a montré en 1772 que le système différentiel admet comme solutions particulières cinq points d’équilibre : les points de Lagrange L1 , L2 , L3 alignés avec M1 et M2 , L4 et L5 formant avec M1 et M2 deux configurations équilatérales (voir figure 6.21).

La découverte en 1906 des planètes troyennes qui gravitent au voisinage des points équilatéraux L4 et L5 du système Soleil-Jupiter montre la première réalisation physique observée des solutions d’équilibre de Lagrange au voisinage des points équilatéraux. Les premiers nouveaux satellites de Saturne sont des illustrations de ce type d’orbites qui n’ont jamais été observées dans un système de satellites avant les découvertes faites dans le système de Saturne. 416

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES L4

L4

Hélène

60°

60° Dioné

S

S

Téthys 60°

60°

L5

Télesto

Pollux

L5

Calypso

Figure 6.22 – Schéma des orbites de Télesto et Calypso dans le repère tournant. La même configuration se produit avec Hélène et Pollux associés à Dioné.

Les satellites lagrangiens de Téthys et Dioné L’une des particularités du système de Saturne est d’avoir des satellites lagrangiens, c’est-à-dire situés sur des points fixes du problème des trois corps restreint. Les quatre lunes concernées sont sur les points L4 et L5 de Téthys et Dioné. Celles-ci s’appellent Télesto et Calypso pour les satellites coorbitaux de Téthys, et Hélène et Pollux pour Dioné. Ces lunes étant très petites, certaines d’entre elles n’ont été découvertes qu’en 1980 par les missions Voyager, voire même par la mission Cassini en 2004 dans le cas du satellite Pollux. De même, leurs masses ne sont pas connues, et probablement négligeables sur le mouvement des autres lunes. C’est pourquoi leurs éphémérides ont généralement été développées indépendamment de celles des autres lunes, plus massives. Comme le montre la figure 6.22, Hélène gravite sur l’orbite de Dioné et le précède en moyenne de 60◦ sur une orbite qui oscille autour du point de Lagrange L4 du système Saturne-Dioné. Télesto et Calypso gravitent sur l’orbite de Téthys, Télesto oscillant autour de L4 et Calypso autour de L5 . Récemment, les éphémérides de ces satellites ont été intégrées au mouvement des lunes principales afin de quantifier les bourrelets de marées levés par Téthys et Dioné sur Saturne. En effet, les perturbations mutuelles des divers bourrelets de marées levés sur la planète ne sont ici pas négligeables, car la géométrie quasi constante associée aux points de Lagrange provoque un effet dynamique séculaire (l’angle moyen entre chacune des lunes coorbitales et la lune principale de référence devient légèrement inférieur à 60 degrés). À la différence des petites lunes intérieures de Saturne, et tout comme les lunes principales, les satellites lagrangiens sont stables. Il n’y a donc pas de difficulté 417

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES particulière à utiliser des observations et fournir des éphémérides sur un temps long. En comparaison de la précision des observations Cassini, les observations plus anciennes comme Voyager n’apportent guère de contraintes supplémentaires sur le mouvement. On montre que, pour une valeur du rapport m2 /m1 suffisamment petite et satisfaite dans les deux cas étudiés ici, les points de Lagrange L4 et L5 sont stables pour le problème linéarisé. Des théories de trois de ces satellites ont été développées par Oberti et al. (1989) et Oberti (1990b) en prenant en compte les perturbations au problème restreint circulaire plan : l’aplatissement de Saturne, l’excentricité de l’orbite de Dioné, les orbites résonantes de Dioné et Téthys, les perturbations de Titan et du Soleil. Oberti montre que ces perturbations ne modifient pas sensiblement l’allure générale du mouvement et que l’aplatissement de Saturne produit la perturbation la plus forte. Dans Oberti et Vienne (2003), de nouvelles solutions sont ajustées sur près de 20 ans d’observations (1980-1996). Les constantes de ces théories ont été ajustées sur un ensemble d’observations faites pour la plupart par Veillet entre 1980 et 1985. Les théories des trois satellites présentent avec les observations des différences dont l’écart-type est de l’ordre de 0.3500 à 0.5500 (géocentrique) selon les satellites. Dans ces représentations, l’angle de séparation entre Dioné et Hélène vu de Saturne est affecté de deux librations, l’une à courte période de 2.73 jours, l’autre à longue période de 775 jours. Les angles de séparation, vus de Saturne, entre Téthys et Télesto, et Téthys et Calypso, sont affectés de deux librations. Les périodes de libration pour Télesto et Calypso sont de 1.89 jour et 695 jours. Les amplitudes de ces librations sont très différentes, 30◦ pour Hélène, 17◦ pour Calypso et 6◦ pour Télesto.

6.6.4.5

Les éphémérides issues de TASS et de NOE

Théorie Analytique des Satellites de Saturne : TASS Les éphémérides issues de l’ensemble des anciennes théories, faites par différents auteurs, représentent le mouvement des huit premiers satellites avec une précision moins bonne que les éphémérides des satellites d’autres planètes. La précision sur les positions est de l’ordre de 1 400 km, soit 0.2000 géocentrique, pour les satellites de Saturne, alors qu’elle atteint 200 km pour les satellites galiléens de Jupiter et 100 km pour les satellites d’Uranus. Or, aujourd’hui, les observations terrestres peuvent atteindre facilement une précision de 0.0500 géocentrique, voire mieux. De plus, lors de l’exploration spatiale du système de Saturne (mission Cassini), la sonde en orbite autour de la planète a observé 418

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES les satellites avec une précision de quelques kilomètres. Cela a nécessité une progression dans la théorie des mouvements des satellites. Une autre caractéristique des anciens travaux est de traiter les satellites indépendamment ou par couples, essentiellement pour séparer les problèmes posés par les résonances qui affectent plusieurs couples (MimasTéthys, Encelade-Dioné). Cette séparation a entraîné l’usage de repères différents pour les divers satellites et de systèmes de constantes pas toujours cohérents, et rend difficile une amélioration significative des résidus. Il était donc devenu nécessaire de reconsidérer la théorie des premiers satellites de Saturne, en traitant le problème globalement, et non plus couple par couple, et en prenant en compte des perturbations jusqu’alors négligées. Ce travail a été réalisé dans les années 1990 par Duriez et Vienne (1991), Vienne et Duriez (1991, 1992). Ce travail présente une théorie analytique des huit premiers satellites (sauf Hypérion), dans un système de référence unique, contenant un seul jeu de variables et de paramètres. La méthode utilisée est une extension de la théorie générale planétaire développée par Duriez (1979) et Laskar (1985). La partie à longue période de la solution est issue d’une intégration numérique. La forme quasi périodique a été restituée grâce à une analyse en fréquence (théorie synthétique). La séparation entre le système différentiel à courte et à longue période a été faite analytiquement. La partie à courte période ne posant aucun problème a été intégrée analytiquement. Les conditions initiales de chaque satellite, ainsi que les paramètres physiques du système de Saturne (masses des satellites, coefficients J2, J4, J6, associés à l’aplatissement de Saturne), ont ensuite été déterminés à partir de l’ensemble des observations disponibles des satellites. À l’issue de cet ajustement, on dispose d’éphémérides publiées dans Vienne et Duriez (1995) pour les huit premiers satellites, Hypérion ayant été inclus dans la liste. Les tables 6.30 à 6.57 donnent la solution des éléments elliptiques p, λ, z et ζ des huit satellites excepté Hypérion. Table 6.30 – Solution pour la variable p1 (moyen mouvement de Mimas). La série est en cosinus.

n◦

Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence rad/an

1

0.0051969

180.000

0.00000000

Période ans

Identification

Amplitude km

po1

419

644.5

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.31 – Solution pour la variable λ1 (longitude moyenne de Mimas). λ1 = 0.1822485 + 2435.14429644 × t + δλ1 + ∆λ1 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

δλ1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∆λ1

0.7574073 0.0124330 0.0022664 0.0010599 0.0010228 0.0007266 0.0005061 0.0003590 0.0002628 0.0002459 0.0002237 0.0002097 0.0001970 0.0001276 0.0001164

rad 16 0.0001456

39.325 117.974 126.606 267.281 165.931 78.649 259.757 196.624 3.120 178.892 47.956 205.255 255.529 312.080 210.730

0.08904538 0.26713613 10.19765304 10.10860767 10.28669842 0.17809075 0.05765338 0.44522688 0.06492496 0.12043737 10.01956229 10.37574380 0.11316579 5.02184135 5.19993211

degrés rad/an 13.921 2428.76308172

70.56 23.52 0.62 0.62 0.61 35.28 108.98 14.11 96.78 52.17 0.63 0.61 55.52 1.25 1.21

ω1 3ω1 φ1 φ1 - ω1 φ1 + ω1 2ω1 φ3 + 2Φ1 + ω1 5ω1 φ1 + 4Φ1 + ω1 -φ3 - 2Φ1 + ω1 φ1 - 2ω1 φ1 + 2ω1 -φ1 - 4Φ1 + ω1 -2Φ1 - ω1 -2Φ1 + ω1

Amplitude km 140892.1 2312.8 421.6 197.2 190.3 135.2 94.1 66.8 48.9 45.7 41.6 39.0 36.6 23.7 21.7

jours 0.94 λ1 + ρ1 - φ1

km 27.1

Table 6.32 – Solution pour la variable z1 (excentricité et péricentre de Mimas). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

zo1 1 2 3 4 5 6 7 8 ∆z1

0.0159817 0.0073147 0.0071114 0.0015115 0.0014622 0.0003336 0.0003307 0.0001607

rad 9 0.0026027

356.521 137.197 35.846 277.872 75.171 58.547 114.496 229.918

6.38121472 6.29216934 6.47026010 6.20312396 6.55930547 6.11407859 6.64835085 -3.81643833

degrés rad/an 10.442 2435.14429644

420

0.98 1.00 0.97 1.01 0.96 1.03 0.95 1.65

-ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1

jours 0.94 λ1

+ φ1 + φ1 + φ1 + φ1 + φ1 + φ1 + φ1

- ω1 + ω1 - 2ω1 + 2ω1 - 3ω1 + 3ω1

Amplitude km 2972.9 1360.7 1322.9 281.2 272.0 62.1 61.5 29.9 km 484.2

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.33 – Solution pour la variable ζ1 (inclinaison et nœud de Mimas). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

ζo1 1 2 3 4 5 6 7

0.0118896 0.0053177 0.0053017 0.0010922 0.0010741 0.0002328 0.0002224

234.213 14.888 273.538 155.563 312.862 352.187 296.239

-6.37188169 -6.46092707 -6.28283631 -6.54997244 -6.19379094 -6.10474556 -6.63901782

0.99 0.97 1.00 0.96 1.01 1.03 0.95

-ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1

+ Φ1 + Φ1 - ω1 + Φ1 + ω1 + Φ1 - 2ω1 + Φ1 + 2ω1 + Φ1 + 3ω1 + Φ1 - 3ω1

Amplitude km 2211.7 989.2 986.2 203.2 199.8 43.3 41.4

Table 6.34 – Solution pour la variable p2 (moyen mouvement d’Encelade). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

po2 1 0.0031471 180.000 0.00000000

500.2

Table 6.35 – Solution pour la variable λ2 (longitude moyenne d’Encelade). λ2 = 0.7997717 + 1674.86729850 × t + δλ2 + ∆λ2 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

δλ2 1 0.0044964 134.242 0.56590952 2 0.0033546 263.436 1.61701655

11.10 ω2 3.89 -φ4

1072.0 799.8

Table 6.36 – Solution pour la variable z2 (excentricité et péricentre d’Encelade). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

zo2 1 0.0048038 182.741 2 0.0001098 316.982 ∆z2

rad 3 0.0015768

2.15444222 2.72035174

degrés rad/an 45.824 1674.86729850

421

2.92 -ρ2 2.31 -ρ2 + ω2 jours 1.37 λ2

1145.3 26.2 km 375.9

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.37 – Solution pour la variable ζ2 (inclinaison et nœud d’Encelade). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

ζo2 1 0.0001281 113.626 -2.65919659

2.36 -ρ2 + Φ2

30.5

Table 6.38 – Solution pour la variable p3 (moyen mouvement de Téthys). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

po3 1 0.0020480 180.000 0.00000000

402.7

Table 6.39 – Solution pour la variable λ3 (longitude moyenne de Téthys). λ3 = 5.2391094 + 1215.66392906 × t + δλ3 + ∆λ3 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

δλ3 1 0.0359719 219.325 0.08904538 2 0.0005892 297.974 0.26713613 3 0.0001050 306.606 10.19765304

70.56 ω1 23.52 3ω1 0.62 φ1

10610.8 173.8 31.0

Table 6.40 – Solution pour la variable z3 (excentricité et péricentre de Téthys). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

zo3 1 2 3 4 5 ∆z3

0.0001565 0.0000868 0.0000817 0.0000810 0.0000708

261.754 42.429 340.403 183.104 301.078

1.26305641 1.17401103 1.44114716 1.08496566 1.35210179

rad degrés rad/an 6 0.0010264 300.179 1215.66392906

422

4.97 5.35 4.36 5.79 4.65

-ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1 -ρ1

jours 1.89 λ3

+ φ3 + φ3 + φ3 + φ3 + φ3

- ω1 + 2ω1 - 2ω1 + ω1

Amplitude km 46.2 25.6 24.1 23.9 20.9 km 302.8

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.41 – Solution pour la variable ζ3 (inclinaison et nœud de Téthys). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

ζo3 1 2 3 4 5 6 7

0.0079790 0.0035868 0.0035786 0.0007456 0.0007269 0.0001634 0.0001629

225.618 6.293 264.943 146.969 304.268 343.592 287.644

-1.26099496 -1.35004034 -1.17194958 -1.43908571 -1.08290421 -0.99385883 -1.52813109

4.98 4.65 5.36 4.37 5.80 6.32 4.11

-ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1 -ρ1 - Φ1

- ω1 + ω1 - 2ω1 + 2ω1 + 3ω1 - 3ω1

Amplitude km 2353.6 1058.0 1055.6 219.9 214.4 48.2 48.1

Table 6.42 – Solution pour la variable p4 (moyen mouvement de Dioné). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

po4 1 0.0012450 180.000 0.00000000

313.5

Table 6.43 – Solution pour la variable λ4 (longitude moyenne de Dioné). λ4 = 1.9945926 + 838.51087036 × t + δλ4 + ∆λ4 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

δλ4 1 0.0001253 314.242 0.56590952 2 0.0000947 83.436 1.61701655

11.10 ω2 3.89 -φ4

47.3 35.8

Table 6.44 – Solution pour la variable z4 (excentricité et péricentre de Dioné). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

zo4 1 0.0022034 279.304 2 0.0001172 153.666 ∆z4

0.53742567 0.00893386

rad degrés rad/an 3 0.0006246 114.282 838.51087036

423

11.69 -ρ2 + φ4 703.30 φ6 jours 2.74 λ4

832.1 44.3 km 235.9

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.45 – Solution pour la variable ζ4 (inclinaison et nœud de Dioné). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

ζo4 1 0.0000591 184.579 0.00000000 2 0.0001655 89.189 -0.53763153

11.69 -ρ2 + Φ4

22.3 62.5

Table 6.46 – Solution pour la variable p5 (moyen mouvement de Rhéa). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

po5 1 0.0006263 180.000

0.00000000

220.1

∆p5 2 0.0000650 327.198 728.17054577

3.15 2λ5 - 2λ6

22.8

Table 6.47 – Solution pour la variable λ5 (longitude moyenne de Rhéa). λ5 = 6.2213409 + 508.00931975 × t + δλ5 + ∆λ5 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence rad/an

Période Identification Amplitude ans km

δλ5 1 2 3 4 5 ∆λ5

0.0004983 0.0003255 0.0000639 0.0000615 0.0000469

273.022 189.303 164.150 210.089 252.650

0.00192554 3263.07 -Φ8 0.00893124 703.51 -Φ6 0.42659824 14.73 2λ9 0.17546762 35.81 -Φ5 0.21329912 29.46 λ9

rad degrés rad/an 6 0.0000927 327.198 728.17054577 7 0.0000523 253.599 364.08527289

424

jours 3.15 2λ5 - 2λ6 6.30 λ5 - λ6

262.7 171.6 33.7 32.4 24.7 km 48.9 27.6

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.48 – Solution pour la variable z5 (excentricité et péricentre de Rhéa). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

zo5 1 0.0009713 154.007 2 0.0001672 3.070

0.00893386 0.17554922

∆z5 3 0.0003116 356.456 508.00932017 4 0.0001108 209.258 -220.16122560

703.30 φ6 35.79 φ5 4.52 λ5 10.42 -λ5 + 2λ6

512.1 88.1 164.3 58.4

Table 6.49 – Solution pour la variable ζ5 (inclinaison et nœud de Rhéa). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

ζo5 1 0.0004207 184.578 0.00000000 2 0.0029705 150.509 -0.17546762 3 0.0001788 355.495 -0.00893124

35.81 Φ5 703.51 Φ6

221.8 1566.2 94.2

Table 6.50 – Solution pour la variable p6 (moyen mouvement de Titan). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

po6 1 0.0001348 180.000

0.00000000

∆p6 2 0.0000251 253.599 364.08527289

425

109.8 6.30 λ5 - λ6

20.5

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.51 – Solution pour la variable λ6 (longitude moyenne de Titan). λ6 = 4.9367922 + 143.92404785 × t + δλ6 + ∆λ6 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence rad/an

Période Identification ans

Amplitude km

δλ6 1 2 3 4 5 6 7

0.0014892 0.0006278 0.0002065 0.0001840 0.0000321 0.0000291 0.0000278

256.852 9.406 164.777 253.966 138.716 236.833 119.512

0.00192554 3263.07 -Φ8 0.00893124 703.51 -Φ6 0.42659824 14.73 2λ9 0.21329912 29.46 λ9 0.00686799 914.85 19µ/φ6 − φ8 / − Φ6 + Φ8 0.63989736 9.82 3λ9 0.01786773 351.65 2φ6

1819.7 767.1 252.3 224.8 39.2 35.6 34.0

Table 6.52 – Solution pour la variable z6 (excentricité et péricentre de Titan). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence rad/an

Période Identification Amplitude ans km

zo6 1 2 3 4 5 6 ∆z6

0.0289265 0.0001921 0.0000745 0.0000243 0.0000239 0.0000172

153.988 34.663 199.650 257.661 229.451 196.134

0.00893386 703.30 -0.00893386 703.30 0.41766438 15.04 0.00700832 896.53 0.01085941 578.59 0.00197469 3181.86

rad degrés rad/an 7 0.0000669 282.857 143.92404729

φ6 -φ6 -φ6 + 2λ9 φ6 + Φ8 φ6 - Φ8 φ8

35346.6 234.8 91.0 29.7 29.2 21.0

jours 15.95 λ6

km 81.7

Table 6.53 – Solution pour la variable ζ6 (inclinaison et nœud de Titan). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence rad/an

Période Identification Amplitude ans km

ζo6 1 2 3 4 5

0.0056024 0.0027899 0.0001312 0.0001126 0.0000192

184.578 0.00000000 355.503 -0.00893124 703.51 Φ6 289.015 -0.00192554 3263.07 Φ8 348.599 0.42659824 14.73 2λ9 291.921 -0.21329912 29.46 -λ9

426

6845.8 3409.2 160.4 137.6 23.4

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.54 – Solution pour la variable p8 (moyen mouvement de Japet). La série est en cosinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

Amplitude km

po8 1 0.0004932 180.000

0.00000000

1171.1

∆p8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.0014226 0.0000128 0.0000117 0.0001039 0.0000132 0.0000482 0.0000379 0.0000348 0.0000211 0.0000118 0.0000204 0.0000187 0.0000164 0.0000153 0.0000156 0.0000123 0.0000118 0.0000113 0.0000089

93.339 114.99552496 168.918 114.99745050 17.760 114.99359941 206.479 57.43044643 206.473 57.43044643 278.307 86.06897732 222.187 258.91063838 166.938 479.08079784 353.466 28.92654764 215.851 28.91958847 136.858 57.21714732 284.764 809.58234803 178.797 172.85449516 283.216 172.85256962 186.678 229.99104991 9.883 57.85704466 189.889 57.85704466 110.661 1186.73540673 213.013 28.50389879

19.96 19.96 19.96 39.96 39.96 26.66 8.86 4.79 79.34 79.36 40.11 2.83 13.28 13.28 9.98 39.67 39.67 1.93 80.51

λ6 - λ8 λ6 - λ8 - Φ8 λ6 - λ8 + Φ8 2λ8 -2λ9 2λ8 -2λ9 + Ω9 λ6 -2λ8 + φ8 2λ6 - λ8 - φ6 λ5 - λ8 λ8 - φ8 λ8 - φ6 2λ8 -3λ9 + $9 λ4 - λ8 λ6 + λ8 - Φ8 λ6 + λ8 2λ6 -2λ8 2λ8 - Ωd 9 2λ8 -2Ωd 9 λ3 - λ8 λ8 -2λ9 + φ8

3377.9 30.5 27.9 246.7 31.3 114.4 90.0 82.6 50.1 28.0 48.3 44.4 38.9 36.3 37.0 29.2 27.9 26.8 21.1

Table 6.55 – Solution pour la variable λ8 (longitude moyenne de Japet). λ8 = 0.1661250 + 28.92852233 × t + δλ8 + ∆λ8 . La série est en sinus.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

Amplitude km

δλ8 1 2 3 4 5 6 7

0.1928387 0.0011977 0.0011258 0.0007466 0.0003004 0.0002400 0.0001785

75.444 166.491 252.911 195.470 239.655 167.668 223.291

0.00192554 3263.07 -Φ8 0.00385109 1631.54 -2Φ8 0.21329912 29.46 λ9 0.00893124 703.51 -Φ6 0.42852378 14.66 -Φ8 + 2λo9 0.42659824 14.73 2λ9 0.00691978 908.00 19µ/φ6 − φ8 / − Φ6 + Φ8

427

686837.3 4265.9 4009.8 2659.3 1070.0 855.0 635.9

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Table 6.55 (suite) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0.0000739 0.0000528 0.0000408 0.0000403 0.0000381 0.0000362 0.0000359 0.0000349 0.0000238 0.0000215 0.0000202 0.0000160 0.0000131 0.0000099 0.0000075

315.313 356.302 216.372 62.796 312.253 35.395 139.576 238.299 185.596 190.457 306.111 142.421 336.536 26.889 234.190

0.43044933 0.21137358 0.01083538 0.20646793 0.64182290 0.01282203 0.21522466 0.63989736 0.10318689 0.02002818 0.01786773 0.42264886 0.31639186 0.64374845 0.22013031

14.60 29.73 579.88 30.43 9.79 490.03 29.19 9.82 60.89 313.72 351.65 14.87 19.86 9.76 28.54

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.0007283 0.0001227 0.0000144 0.0000073 0.0001170 0.0001078 0.0000888 0.0000808 0.0000729 0.0000727 0.0000353 0.0000302 0.0000233 0.0000219 0.0000167 0.0000148 0.0000140 0.0000118 0.0000088 0.0000085 0.0000062 0.0000060 0.0000264 0.0000240 0.0000222 0.0000218 0.0000204 0.0000177

273.339 206.479 206.473 102.053 166.266 270.966 180.525 25.895 130.724 77.569 282.813 64.357 333.142 114.321 278.826 327.720 242.920 347.311 67.941 172.701 188.530 50.154 268.343 136.858 42.195 346.938 211.225 186.678

114.99552496 57.43044643 57.43044643 57.43237198 0.71654053 0.71461498 0.72048991 0.70958135 0.70765581 0.72241545 0.71856436 0.71846607 0.72434100 0.70370643 0.71150690 0.69674725 0.70262218 0.70069664 0.71851522 0.71658967 0.72942115 0.70573027 143.92207259 57.21714732 258.91063838 479.08079784 28.50389879 229.99104991

19.96 39.96 39.96 39.96 3202.80 3211.43 3185.24 3234.21 3243.01 3176.75 3193.78 3194.21 3168.31 3261.21 3225.45 3293.78 3266.24 3275.22 3193.99 3202.58 3146.24 3251.86 15.95 40.11 8.86 4.79 80.51 9.98

∆λ8

428

-2Φ8 + 2λo9 Φ8 + λo9 inconnu λ9 - 19µ -Φ8 + 3λo9 inconnu -Φ8 + λo9 3λ9 287µ inconnu 2φ6 -2φ8 + 2λ9 880µ -2Φ8 + 3λ9 λ9 + 19µ λ6 - λ8 2λ8 - 2λ9 2λ8 - 2λ9 + Ω9 2λ8 - 2λ9 - Φ8 + Ω9 -λ6 + 5λ8 - 2φ8 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - 2φ8 -λ6 + 5λ8 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - φ6 - φ8 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - φ6 - φ8 -λ6 + 5λ8 - 2Φ8 -λ6 + 5λ8 -λ6 + 5λ8 - 2φ8 - 2Φ8 -λ6 + 5λ8 - 3Φ8 -λ6 + 5λ8 - φ6 - 3φ8 -λ6 + 5λ8 - φ6 - φ8 -2Φ8 -λ6 + 5λ8 - 2φ6 - 2φ8 -λ6 + 5λ8 - 2φ6 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - 2φ6 -λ6 + 5λ8 - φ8 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - φ8 -λ6 + 5λ8 - Φ6 - Φ8 -λ6 + 5λ8 - φ6 - φ8 + Φ8 λ6 - φ8 2λ8 - 3λ9 + $9 2λ6 - λ8 - φ6 λ5 - λ8 λ8 - 2λ9 + φ8 2λ6 - 2λ8

263.3 188.2 145.2 143.5 135.8 128.9 127.7 124.3 84.7 76.5 72.1 57.1 46.8 35.2 26.6 2593.8 437.0 51.4 26.0 416.6 384.1 316.3 287.6 259.5 259.0 125.8 107.5 82.9 77.9 59.6 52.5 49.8 42.0 31.4 30.3 22.1 21.3 93.9 85.6 79.2 77.7 72.6 63.0

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Table 6.55 (suite) 51 52 53 54 55 56 57 58

0.0000138 0.0000134 0.0000068 0.0000118 0.0000103 0.0000095 0.0000073 0.0000060

189.889 57.85704466 9.883 57.85704466 265.464 57.85897020 104.764 809.58234803 178.797 172.85449516 283.216 172.85256962 290.661 1186.73540673 99.874 86.06897732

39.67 39.67 39.66 2.83 13.28 13.28 1.93 26.66

2λ8 - 2Ωd 9 2λ8 - Ωd 9 2λ8 - Φ8 - Ω9 λ4 - λ8 λ6 + λ8 - Φ8 λ6 + λ8 λ3 - λ8 λ6 - 2λ8 + φ8

49.2 47.7 24.1 42.2 36.7 33.8 25.9 21.4

Table 6.56 – Solution pour la variable z8 (excentricité et péricentre de Japet). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification rad/an ans

Amplitude km

zo8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∆z8

0.0010161 0.0293565 0.0009954 0.0007357 0.0006699 0.0004152 0.0003789 0.0001992 0.0001900 0.0001235 0.0001012 0.0000693 0.0000489 0.0000208 0.0000204 0.0000180 0.0000160 0.0000134 0.0000129 0.0000113 0.0000107 0.0000066

292.601 192.436 334.126 345.828 272.328 271.809 157.294 256.999 201.542 49.578 214.593 319.489 230.042 67.258 262.710 13.416 357.207 266.386 302.968 262.106 0.201 66.486

0.00000000 0.00197469 0.00893386 -0.00197469 -0.00390023 0.00390023 0.42462355 0.00700832 -0.00582578 0.01085941 -0.00893386 -0.01085941 0.63792267 -0.01278495 0.21132443 0.41766438 0.21329912 0.21527381 -0.21132443 0.42264886 0.42852378 0.43049847

rad degrés 23 0.0005938 282.857 24 0.0002739 96.179

rad/an 143.92404729 -86.06700263

429

3181.86 703.30 3181.86 1610.98 1610.98 14.80 896.53 1078.51 578.59 703.30 578.59 9.85 491.45 29.73 15.04 29.46 29.19 29.73 14.87 14.66 14.60

φ8 φ6 -φ8 -φ8 + Φ8 φ8 - Φ8 -φ8 + 2λ9 φ6 + Φ8 -φ8 + 2Φ8 φ6 - Φ8 -φ6 -φ6 + Φ8 -φ8 + 3λ9 -φ6 + 2Φ8 -φ8 + λ9 -φ6 + 2λ9 λ9 φ8 + λ9 φ8 - λ9 -2φ8 + 2λ9 -Φ8 + 2λ9 φ8 - Φ8 + 2λ9

jours 15.95 λ6 26.66 -λ6 + 2λ8

3619.0 104559.5 3545.2 2620.4 2386.0 1478.8 1349.6 709.4 676.7 439.8 360.4 246.8 174.2 74.2 72.6 64.1 56.8 47.8 45.9 40.3 37.9 23.5 km 2114.8 975.4

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Table 6.56 (suite) 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

0.0002533 0.0001049 0.0000133 0.0000067 0.0000206 0.0000172 0.0000165 0.0000130 0.0000125 0.0000114 0.0000123 0.0000118 0.0000062 0.0000115 0.0000105 0.0000098 0.0000105 0.0000103 0.0000090 0.0000080 0.0000071 0.0000063 0.0000057

9.518 343.040 343.046 87.465 52.660 51.705 356.456 269.645 175.103 279.526 179.635 359.629 284.055 35.997 10.722 266.302 2.840 102.714 114.282 182.984 326.988 22.580 300.179

28.92852233 79.33 λ8 -28.50192410 80.52 -λ8 + 2λ9 -28.50192410 80.52 -λ8 + 2λ9 - Ω9 -28.50384965 80.51 -λ8 + 2λ9 + Φ8 - Ω9 -28.28862499 81.13 -λ8 + 3λ9 - $9 287.83916071 7.97 2λ6 - φ6 508.00932017 4.52 λ5 -57.14045499 40.16 -λ6 + 3λ8 - φ8 0.71851522 3193.99 -λ6 + 5λ8 - φ8 - Φ8 0.71658967 3202.58 -λ6 + 5λ8 - φ8 -28.92852233 79.33 -λ8 + Ω9 -28.92852233 79.33 -λ8 + 2Ω9 -28.93044787 79.33 -λ8 + Φ8 + Ω9 86.35896876 26.57 3λ8 - 2λ9 -143.92597283 15.95 -λ6 + Φ8 -143.92404729 15.95 -λ6 -201.06252758 11.41 -2λ6 + 3λ8 -114.99355026 19.96 -λ6 + λ8 + φ8 838.51087036 2.74 λ4 57.85506997 39.67 2λ8 - φ8 -229.98211605 9.98 -2λ6 + 2λ8 + φ6 -450.15227551 5.10 -λ5 + 2λ8 1215.66392906 1.89 λ3

902.1 373.7 47.3 23.8 73.3 61.3 58.6 46.1 44.4 40.7 43.7 41.9 22.0 41.1 37.4 34.9 37.3 36.8 32.2 28.6 25.2 22.3 20.2

Table 6.57 – Solution pour la variable ζ8 (inclinaison et nœud de Japet). La série est en exponentielle complexe.

n◦ Amplitude rad

Phase degrés

Fréquence Période Identification Amplitude rad/an ans km

ζo8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1320165 0.0679455 0.0006892 0.0002731 0.0002641 0.0001817 0.0000457 0.0000449 0.0000337 0.0000301

184.580 289.223 80.102 176.129 348.659 64.344 209.876 291.806 61.433 247.712

0.00000000 -0.00192554 3263.07 Φ8 0.00192554 3263.07 -Φ8 -0.00893124 703.51 Φ6 0.42659824 14.73 2λ9 0.42852378 14.66 -Φ8 + 2λ9 -0.00385109 1631.54 2Φ8 -0.21329912 29.46 -λ9 0.63989736 9.82 3λ9 0.21329912 29.46 λ9

430

470205.8 242002.8 2454.9 972.6 940.7 647.1 162.8 160.1 120.2 107.2

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Table 6.57 (suite) 64.768 216.316 182.190 137.055 95.511 355.208 90.131 121.717 173.180 204.432 337.999 128.157

0.00390023 1610.98 φ8 - Φ8 -0.21522466 29.19 Φ8 - λ9 0.21137358 29.73 Φ8 + λ9 0.64182290 9.79 -Φ8 + 3λ9 0.00587493 1069.49 2φ8 - Φ8 -0.00683119 919.78 -9µ -0.01085678 578.73 Φ6 + Φ8 0.01786773 351.65 2φ6 0.21522466 29.19 -Φ8 + λ9 0.00893124 703.51 -Φ6 0.01090856 575.99 φ6 + φ8 -0.00592407 1060.62 -3φ8

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0.0000287 0.0000283 0.0000283 0.0000235 0.0000192 0.0000139 0.0000136 0.0000112 0.0000099 0.0000099 0.0000066 0.0000059

23 24 25 26

0.0000299 91.241 -114.99552496 0.0000160 195.660 -114.99745050 0.0000201 287.796 172.85256962 0.0000108 183.376 172.85449516

∆ζ8 19.96 19.96 13.28 13.28

-λ6 + λ8 -λ6 + λ8 + Φ8 λ6 + λ8 λ6 + λ8 - Φ8

102.3 100.9 100.8 83.7 68.2 49.5 48.5 39.7 35.3 35.1 23.4 21.1 106.4 56.9 71.6 38.5

Table 6.58 – Arguments fondamentaux de l’interaction Titan-Hypérion. Chacun d’entre eux est sous la forme : ω∗k t + ϕ∗k où t = (Date Julienne) − 2 451 545.0. Les colonnes (T k∗ ) et (ϕ∗k ) donnent l’estimation de l’erreur sur chaque période et sur chaque phase, issue de l’ajustement de la théorie aux observations.

k Argument 1 2 3 4 5 6 7

ψ τ $∗7 $∗6 Ω∗7 Ω∗6 Ω0

ω∗k (rad/d) 0.098733765027 0.009810539955 -0.000892481124 0.000024646231 -0.000113616050 -0.000024636367 0.000000000000

ϕ∗k (rad)

(T k∗ ) (j)

(ϕ∗k ) (rad)

1.379026808 63.6377 0.00008 1.803677249 640.4525 0.03454 3.382691058 -7040.1324 3.98970 2.860542690 254934.9313 0.00504 3.864510578 -55301.9163 15.97624 6.141812995 -255037.0101 0.01695 3.221557438

0.00011 0.00100 0.00038 0.00063 0.00537 0.00915 0.00001

431

Période (j)

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.59 – Plus grands termes de la série pour p7 . Chaque terme est sous la forme

α cos(ωt+ϕ) avec t = (Date Julienne)−2 451 545.0. Chaque argument est aussi identifié comme une combinaison entière des sept arguments donnés dans la table 6.58 ; ω et ϕ sont en fait calculés à partir de ces combinaisons. Le demi-grand axe osculateur est alors a7 = A7 (1 + p7 )−2/3 où A7 est calculé à partir de la troisième loi de Kepler : A7 = (k2 (M s + m7 )/N72 )1/3 avec k la constante de Gauss, avec M s = M /3498.790 (Campbell et Anderson, 1989), m7 = 3 10−8 M s (Burns et Matthews, 1986) et avec le moyen mouvement moyen N7 = 0.2953088139 rad/j. Les amplitudes en km représentent −(2/3)A7 p7 avec A7 = 1 482 333.4 km. L’erreur estimée ε(α) sur chaque amplitude provient de l’ajustement de la théorie aux observations.

n◦ 0 1 2 3 4 5 6 ··· 17 ··· 39 40 41 42 43 44 45 46 ··· 80 ··· 104

Amplitude α Phase ϕ (rad) (deg)

Fréquence ω (rad/j)

Période (j)

-0.0015747 0.0052692 -0.0009448 -0.0006016 0.0005148 -0.0001310 0.0001186

0.000 103.343 79.012 335.669 182.356 73.426 133.260

0.0000000000 0.0098105400 0.0987337650 0.0889232251 0.1085443050 0.0107276673 0.0088934126

0.0000101

212.272 0.1076271776

58.38

-0.0000013 0.0009846 0.0005722 0.0003064 0.0002329 0.0001830 0.0001428 0.0001031

219.194 158.025 237.037 316.050 35.062 114.074 193.087 272.099

0.0000154 0.0000055

Argument

Amplitude ε(α) (km) (km) 1556.14 -5207.14 933.67 594.52 -508.75 129.44 -117.21

0.53 5.30 0.26 0.61 0.52 0.23 0.21

ψ+τ+$∗7 -$∗6

-10.01

0.02

57.95 ψ+τ+Ω∗7 -Ω0 31.82 * 2ψ 21.21 * 3ψ 15.91 * 4ψ 12.73 * 5ψ 10.61 * 6ψ 9.09 * 7ψ 7.95 8ψ

1.33 -972.98 -565.48 -302.81 -230.13 -180.87 -141.13 -101.85

0.01 0.20 0.15 0.12 0.07 0.05 0.04 0.04

282.831 1.3724621704

4.58

14ψ-τ

-15.26

0.01

317.893 1.8661309956

3.37

19ψ-τ

-5.47

0.00

0.1084306889 0.1974675301 0.2962012951 0.3949350601 0.4936688251 0.5924025902 0.6911363552 0.7898701202

640.45 * τ 63.64 * ψ 70.66 * ψ-τ 57.89 * ψ+τ 585.70 * τ-$∗7 +$∗6 706.50 * τ+$∗7 -$∗6

Table 6.60 – Plus grands termes de la série pour q7 . Chaque terme est sous la forme

α sin(ωt+ϕ) avec t = (Date Julienne)−2 451 545.0. Chaque argument est aussi identifié comme une combinaison entière des sept arguments donnés dans la table 6.58 ; ω et ϕ sont en fait calculés à partir de ces combinaisons. La longitude moyenne est alors λ7 = (4.3486836 ± 0.0001432) + (0.2953088139 ± 0.0000001286) t + q7 . Les amplitudes en km représentent A7 q7 avec A7 = 1482333.4 km.

n◦ Amplitude α Phase ϕ Fréquence ω

Période

432

Argument

Amplitude

ε(α)

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Table 6.60 (suite)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ··· 47 ··· 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127

(rad)

(deg)

0.1591300 0.0040425 -0.0036745 0.0018763 -0.0015590 0.0015341 0.0011322 -0.0003899 0.0003851 -0.0003603 -0.0003109 -0.0003037 -0.0001967 0.0001585 0.0001444 -0.0001337 0.0001354 -0.0001344 -0.0001248 -0.0000934 0.0000856 0.0000722

103.343 133.260 73.426 79.012 335.669 330.083 182.356 140.182 66.505 323.161 232.326 310.029 192.682 206.686 48.131 285.699 332.863 233.823 158.556 55.212 130.480 43.509

(rad/j)

(j)

(km)

0.0098105400 640.45 * τ 0.0088934126 706.50 * τ+$∗7 -$∗6 0.0107276673 585.70 * τ-$∗7 +$∗6 0.0987337650 63.64 * ψ 0.0889232251 70.66 * ψ-τ 0.0009171274 6850.94 * -$∗7 +$∗6 0.1085443050 57.89 * ψ+τ 0.0096969239 647.96 τ+Ω∗7 -Ω0 0.0099241560 633.12 τ-Ω∗7 +Ω0 0.0001136161 55301.92 -Ω∗7 +Ω0 0.0791126851 79.42 * ψ-2τ 0.0294316199 213.48 * 3τ 0.0000246364 255037.01 -Ω∗6 +Ω0 0.0196210799 320.23 * 2τ 0.0082528098 761.34 τ+ 2$∗7 -2Ω∗7 0.1183548449 53.09 * ψ+ 2τ 0.0097215603 646.31 τ+Ω∗7 -Ω∗6 0.0098995196 634.70 τ-Ω∗7 +Ω∗6 0.0113682701 552.69 τ-2$∗7 + 2Ω∗7 0.0015577301 4033.55 -2$∗7 + 2Ω∗7 0.0000889797 70613.71 -Ω∗7 +Ω∗6 0.0116447947 539.57 τ-2$∗7 + 2$∗6

(km)

235883.78 229.13 5992.32 10.19 -5446.77 9.42 2781.35 1.52 -2311.02 2.38 2274.02 2.53 1678.35 1.72 -577.96 3.88 570.90 3.83 -534.05 3.23 -460.84 0.96 -450.16 1.33 -291.58 2.57 234.91 0.46 214.01 2.70 -198.12 0.41 200.76 2.25 -199.26 2.23 -185.04 2.33 -138.50 1.71 126.87 1.33 107.09 0.25

-0.0000070 188.472 0.0104511427

601.20

τ-$∗7 -$∗6 + 2Ω∗7

-10.35

0.13

-0.0000007 0.0024777 0.0011774 0.0007098 0.0004277 0.0002883 0.0002445 0.0002080 0.0001998 0.0001532 0.0001392 -0.0001347 -0.0001169 0.0001158 -0.0001110 0.0000988 0.0000936

53.04 31.82 * 21.21 * 15.91 * 12.73 * 10.61 * 33.48 * 21.94 * 9.09 * 16.31 * 7.95 * 20.53 * 30.31 * 12.99 * 15.52 * 7.07 * 10.78 *

ψ+ 2τ-Ω∗7 +Ω0 2ψ 3ψ 4ψ 5ψ 6ψ 2ψ-τ 3ψ-τ 7ψ 4ψ-τ 8ψ 3ψ+τ 2ψ+τ 5ψ-τ 4ψ+τ 9ψ 6ψ-τ

-1.02 3672.78 1745.35 1052.09 633.97 427.37 362.46 308.27 296.12 227.10 206.31 -199.68 -173.23 171.71 -164.57 146.40 138.76

0.01 0.85 0.43 0.23 0.17 0.12 0.40 0.35 0.10 0.26 0.08 0.23 0.18 0.19 0.19 0.06 0.15

248.860 158.025 237.037 316.050 35.062 114.074 54.682 133.694 193.087 212.707 272.099 340.380 261.368 291.719 59.393 351.112 10.731

0.1184684610 0.1974675301 0.2962012951 0.3949350601 0.4936688251 0.5924025902 0.1876569901 0.2863907551 0.6911363552 0.3851245202 0.7898701202 0.3060118350 0.2072780700 0.4838582852 0.4047456001 0.8886038852 0.5825920502

433

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Table 6.60 (suite) 128 129 130 131 132 ··· 166 ··· 214

-0.0000879 138.405 0.5034793651 0.0000763 89.744 0.6813258152 -0.0000742 217.418 0.6022131301 0.0000707 70.124 0.9873376503 -0.0000695 187.942 0.1965504027

12.48 * 9.22 10.43 6.36 31.97

5ψ+τ 7ψ-τ 6ψ+τ 10ψ 2ψ+$∗7 -$∗6

-130.26 113.05 -110.04 104.78 -102.98

0.15 0.12 0.12 0.05 0.06

-0.0000106

30.351 0.2765802152

22.72

3ψ-2τ

-15.67

0.03

0.0000035

340.815 0.5835091776

10.77

6ψ-τ-$∗7 +$∗6

5.12

0.01

√

Table 6.61 – Plus grands √ termes de la série pour z7 = e7 exp −1$7 . Chaque terme

est sous la forme α exp −1(ωt + ϕ) avec t = (Date Julienne) − 2 451 545.0. Chaque argument est aussi identifié comme une combinaison entière des sept arguments donnés dans la table 6.58 ; ω et ϕ sont en fait calculés à partir de ces combinaisons. Les amplitudes en km représentent A7 z7 avec A7 = 1482333.4 km.

n◦ Amplitude α Phase ϕ (rad) (deg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ··· 35 ··· 79 80 81 82 83 84 85

Fréquence ω (rad/j)

Période (j)

0.1030661 0.0244818 -0.0025006 -0.0016531 -0.0011220 0.0007518 0.0002580 -0.0001702 -0.0001630 0.0001502 0.0001081 0.0000856 -0.0000764

193.814 163.897 297.157 90.471 272.826 114.802 218.145 11.458 16.169 169.483 267.240 223.731 327.074

0.0000067

248.061 -0.0907328336

-0.0000007 0.0003778 -0.0003775 -0.0003598 -0.0002928 0.0002217 0.0001404

139.566 35.789 351.839 149.864 70.851 316.777 237.764

Amplitude ε(α) (km) (km)

$∗7 $∗6 τ+$∗7 -τ+$∗7 ψ+$∗7 -ψ+$∗7 -ψ+τ+$∗7 -ψ-τ+$∗7 ψ+τ+$∗7 ψ-τ+$∗7 τ+$∗6 2$∗7 -$∗6 τ+ 2$∗7 -$∗6

152778.39 36290.25 -3706.74 -2450.48 -1663.13 1114.43 382.46 -252.33 -241.69 222.66 160.20 126.94 -113.28

46.77 20.63 4.04 2.65 0.38 0.39 0.43 0.28 0.27 0.25 0.25 0.18 0.18

69.25

-ψ+τ+ 2$∗7 -$∗6

9.96

0.02

70.64 31.68 31.96 15.95 21.28 21.15 15.87

ψ-τ+$∗6 -2ψ+$∗7 2ψ+$∗7 4ψ+$∗7 3ψ+$∗7 -3ψ+$∗7 -4ψ+$∗7

-1.02 560.07 -559.65 -533.32 -434.02 328.61 208.10

0.00 0.17 0.16 0.05 0.09 0.10 0.08

-0.0008924811 7040.13 0.0000246462 254934.93 0.0089180588 704.55 -0.0107030211 587.05 0.0978412839 64.22 -0.0996262462 63.07 -0.0898157062 69.96 -0.1094367861 57.41 0.1076518239 58.37 0.0880307439 71.37 0.0098351862 638.85 -0.0018096085 3472.12 0.0080009315 785.31

0.0889478713 -0.1983600112 0.1965750489 0.3940425790 0.2953088140 -0.2970937762 -0.3958275412

Argument

434

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Table 6.61 (suite) 86 0.0001283 139.132 -0.1885494712 87 -0.0000984 292.446 -0.2081705511 88 0.0000930 158.752 -0.4945613063 89 0.0000861 60.120 -0.2872832363 90 -0.0000698 213.434 -0.3069043162 ··· 130 0.0000107 5.438 -0.4749402263 ··· 179 0.0000034 40.934 0.2962259413

33.32 30.18 12.70 21.87 20.47

-2ψ+τ+$∗7 -2ψ-τ+$∗7 -5ψ+$∗7 -3ψ+τ+$∗7 -3ψ-τ+$∗7

190.14 -145.91 137.90 127.61 -103.41

0.21 0.16 0.06 0.13 0.11

13.23

-5ψ+ 2τ+$∗7

15.85

0.03

21.21

3ψ+$∗6

5.04

0.01

√

Table 6.62 – Plus grands termes √ de la série pour ζ7 = sin(i7 /2) exp −1Ω7 . Chaque

terme est sous la forme α exp −1(ωt + ϕ) avec t = (Date Julienne) − 2 451 545.0. Chaque argument est aussi identifié comme une combinaison entière des sept arguments donnés dans la table 6.58 ; ω et ϕ sont en fait calculés à partir de ces combinaisons. Les amplitudes en km représentent 2A7 ζ7 avec A7 = 1482333.4 km.

n◦ Amplitude α Phase ϕ (rad) (deg) 0 1 2 3 4 ··· 15 ··· 47 48 49 50 51

Fréquence ω (rad/j)

Période (j)

Argument

0.0000000000 Ω0 -0.0001136161 55301.92 Ω∗7 -0.0000246364 255037.01 Ω∗6 -0.0016713462 3759.36 2$∗7 -Ω∗7 -0.0007542188 8330.72 $∗7 +$∗6 -Ω∗7

Amplitude (km)

ε(α) (km)

0.0049552 0.0059485 0.0015359 -0.0001497 -0.0000491

184.582 221.420 351.900 166.208 136.291

0.0000036

118.077 -0.0099241560

633.12

-τ+Ω∗7

10.57

0.07

-0.0000004 321.983 0.0008924910 0.0000031 63.395 -0.1975811461 -0.0000022 19.445 0.1973539140 0.0000018 324.233 0.1957961839 0.0000018 344.383 -0.2963149111

7040.05 31.80 31.84 32.09 21.20

-$∗7 +$∗6 +Ω∗6 -2ψ+Ω∗7 2ψ+Ω∗7 2ψ+ 2$∗7 -Ω∗7 -3ψ+Ω∗7

-1.04 9.33 -6.43 5.44 5.28

0.01 0.05 0.04 0.03 0.03

435

14690.65 0.59 17635.36 102.71 4553.41 40.15 -443.91 2.76 -145.62 0.95

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.63 – Perturbations solaires et à courte période d’Hypérion (termes plus grands que 20 km seulement, mais la série complète va jusqu’à 5 km) : elles √ sont exprimées avec α cos(ωt + φ) pour p7 , avec α sin(ωt + φ) pour q7 et avec α exp −1(ωt + φ) pour z7 et ζ7 , avec t = (Date Julienne) − 2 451 545.0. On donne aussi, pour chaque terme, la combinaison des arguments pour laquelle la fréquence et la phase ont été calculées : λ9 , $9 et Ω9 correspondent aux éléments du Soleil dans le repère équatorial saturnicentrique rapporté à l’écliptique moyen J2000, λoi correspond à la partie linéaire de la longitude moyenne du satellite i et les autres arguments aux arguments fondamentaux donnés dans la table 6.58. Les amplitudes en km sont calculées comme dans les tables 6.59 à 6.62.

Amplitude α Phase ϕ (rad) (deg)

Fréquence ω (rad/j)

Période (j)

Argument

Amplitude (km)

p7

-0.0000268

123.098

1.0955449042

5.74

λo5 -λo7

26.45

q7

-0.0002989 -0.0002231 -0.0000409 -0.0000233 0.0000175 -0.0000160 -0.0000137 0.0000146

112.955 317.020 69.976 94.436 155.935 124.398 274.041 55.315

0.0011679623 0.0005839811 0.0017519434 0.0029528601 0.0005839811 0.0020357649 0.0011679623 0.2962012606

5379.61 10759.23 3586.41 2127.83 10759.23 3086.40 5379.61 21.21

2λ9 -2Ω9 λ9 -$9 3λ9 -2Ω9 -$9 2λ9 -2$∗7 λ9 +$9 -2Ω9 2λ9 -$∗7 -$∗6 2λ9 -2$9 λo7 -$∗7

-443.05 -330.68 -60.67 -34.51 26.00 -23.72 -20.28 21.64

z7

0.0001928 0.0000823 0.0000517 0.0000327 -0.0000163 0.0000404

288.280 0.0020604112 3049.48 2λ9 -$∗7 318.242 0.0011433161 5495.58 2λ9 -$∗6 306.799 0.0002755134 22805.37 2λ9 -2Ω9 +$∗7 245.300 0.0026443923 2376.04 3λ9 -$9 -$∗7 150.864 -0.0003084677 -20369.02 λ9 -$9 +$∗7 249.158 0.2953088117 21.28 λo7

285.74 122.02 76.69 48.46 -24.20 59.92

ζ7

-0.0001609 -0.0000247 0.0000247 -0.0000221 0.0000095 -0.0000091

297.539 0.0011679623 5379.61 227.564 -0.0005839811 -10759.23 141.604 0.0005839811 10759.23 254.560 0.0017519434 3586.41 340.519 0.0005839811 10759.23 71.629 -0.0011679623 -5379.61

-477.05 -73.10 73.10 -65.62 28.12 -27.05

2λ9 -Ω9 -λ9 +$9 +Ω9 λ9 -$9 +Ω9 3λ9 -$9 -Ω9 λ9 +$9 -Ω9 -2λ9 +3Ω9

Dans TASS, tous les mouvements se réfèrent à un repère saturnicentrique, dont deux des axes sont dans le plan équatorial de la planète (considéré comme fixe), le premier étant dans la direction du nœud ascendant de ce plan avec l’écliptique moyen J2000. Dans ce repère, on utilise les variables p, q, z, ζ déjà introduites dans le cadre d’une théorie générale planétaire par Duriez (1979) et Laskar (1985). Ces variables représentent les écarts entre le mouvement réel et le mouvement circulaire uniforme, dont le moyen 436

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES mouvement N est celui que l’on observe (on l’appelle alors le moyen mouvement moyen), par rapport auquel on développe le mouvement de chaque satellite. Elles sont définies par : a = RA(1 + p)−2/3 ⇐⇒ √ n = N(1 + p) λ = ndt +  = Nt − −1q √ (6.29) z = e exp −1$ √ ζ = sin 2i exp −1Ω La variable p est réelle, q est imaginaire pure, z et ζ sont complexes et leurs conjugués sont notés z et ζ. A se déduit de N par la troisième loi de Kepler : N 2 A3 = n2 a3 = GM s (1 + m) où G est la constante de la gravitation, M s la masse de Saturne et m la masse relative du satellite. a, e, i, Ω, $ et  sont les éléments elliptiques osculateurs saturnicentriques classiques, et n est le moyen mouvement osculateur. Chaque satellite est repéré par un indice selon son éloignement par rapport à Saturne (de l’indice 1 pour Mimas à 8 pour Japet). Dans les tables 6.30 à 6.57, chaque solution est présentée sous la forme de séries de termes périodiques (en sinus pour λ, en cosinus pour p, et exponentielle complexe pour z et ζ). Seuls les termes dont l’amplitude est supérieure à 20 km sont présentés (les séries complètes incluent les termes jusqu’à 1 km). Les séries sont données avec les termes à longues périodes d’abord, puis viennent ensuite les termes à courtes périodes (par exemple, on a z1 = z01 + ∆z1 avec z01 et ∆z1 étant les termes à longues périodes et courtes périodes respectivement). Le temps t est en années juliennes comptées à partir de J1980 (t = (Date Julienne − 2444240)/365.25). Pour Hypérion (voir tables 6.58 à 6.63), la présentation est quasiment identique. Seuls les termes d’amplitude plus grande que 100 km sont fournis. Afin de donner une idée de la lente décroissance en amplitude, on fournit aussi un terme intermédiaire au niveau de 15 ou 10 km, et le plus petit terme dans la partie à longues périodes et dans celle à courtes périodes. Dans les tables 6.59 et 6.60 pour p7 et q7 sont indiqués avec un astérisque les termes déjà présents dans a7 et λ7 de la théorie de Harper et Taylor (1993) (pour les autres variables, la comparaison n’est pas immédiate, car Taylor utilise e et $, au lieu de z ici, et parce que le système de référence est différent). Dans la plupart des cas, l’argument de chaque terme est identifié comme combinaison entière d’arguments fondamentaux. Les notations utilisées pour ces arguments fondamentaux sont les suivantes : • λoi i = 1, 8 la partie à longue période de λi . On a λoi = Ni × t + λ(0) oi + δλi ; la partie linéaire est donnée dans l’en-tête du tableau correspondant. • ρ1 = λo1 − 2λo3 (résonance Mimas-Téthys) ; • ρ2 = λo2 − 2λo4 (résonance Encelade-Dioné) ; • φ1 , ainsi φ1 − ρ1 est proche du péricentre propre de Mimas ; 437

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES • Φ1 , ainsi Φ1 − ρ1 est proche du nœud propre de Mimas ; • ω2 est l’argument de la libration de la résonance Encelade-Dioné. Cet argument remplace φ2 dépendant du péricentre propre d’Encelade dont la fréquence est nulle ; • Φ2 , ainsi Φ2 − ρ2 est proche du nœud propre d’Encelade ; • φ3 , ainsi φ3 − ρ1 est proche du péricentre propre de Téthys ; • ω1 est l’argument de la libration de la résonance Mimas-Téthys. Cet argument remplace Φ3 proche du nœud propre de Téthys qui est lié à Φ1 par la résonance ; • φ4 , ainsi φ4 − ρ2 est proche du péricentre propre de Dioné ; • Φ4 , ainsi Φ4 − ρ2 est proche du nœud propre de Dioné ; • φi et Φi i = 5, 6 et 8 qui sont proches des péricentres et nœuds propres de Rhéa, Titan et Japet respectivement ; • λ9 , $9 et Ω9 sont respectivement la longitude moyenne saturnicentrique, les longitudes du péricentre et du nœud du Soleil ; • µ l’argument fondamental de TOP2013 (Simon et al., 2013), défini par Simon et al. (1992). Concernant la solution d’Hypérion, les notations sont légèrement différentes : • • • • •

ψ l’argument synodique λ6 − λ7 ; τ l’argument de la libration ; $∗6 et Ω∗6 le péricentre et le nœud propre de Titan (très proches de φ6 et Φ6 ) ; $∗7 et Ω∗7 le péricentre et le nœud propre d’Hypérion ; Φ0 = 184.578◦ le nœud du plan invariable incliné de 0.32◦ sur le plan équatorial (cet argument est déjà présent dans la solution de Titan, voir la table 6.53).

L’argument µ est surtout présent dans la solution de Japet. Il indique la présence de perturbations indirectes de planètes, principalement de Jupiter. Les seuls arguments issus de ces perturbations détectés avec certitude sont la grande inégalité −2λ J + 5λS (ou 19µ), l’inégalité synodique λ J − λS (ou 880µ) et l’inégalité λ J − 2λS (ou 287µ). On note que λS = λ9 + 180 degrés. λS et les autres variables relatives au mouvement de Saturne sont issues de Simon et Bretagnon (1984). Les arguments ρ1 et ρ2 sont redondants avec d’autres arguments. À cause des résonances, ils correspondent à des arguments à longue période. C’est pourquoi on a préféré ne pas les remplacer par la combinaison correspondante des longitudes moyennes afin de ne pas les confondre avec les courtes périodes. Par exemple, le dernier terme dans la longitude de Mimas a pour argument λo1 + ρ1 − φ1 . Cet argument peut aussi être écrit 2λo1 − 2λo3 − φ1 . Cependant, par la propriété de d’Alembert, l’inégalité 2λo1 − 2λo3 a une caractéristique C I = 0, associée à des monômes en z et ζ de caractéristique C M = 0. On en déduit donc que l’argument 2λo1 − 2λo3 − φ1 ne peut pas correspondre à l’inégalité 2λo1 − 2λo3 . Il correspond en fait à l’inégalité λo1 pour laquelle la contribution principale provient du monôme proportionnel à z1 ; c’est pourquoi la meilleure écriture est λo1 + ρ1 − φ1 . 438

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Dans cet exemple, une seule écriture a un sens, mais ce n’est pas toujours le cas. Par exemple, dans la solution z2 , on considère les inégalités λo2 et 2λo4 . La caractéristique de la première est 1, et donc la contribution principale a pour argument λo2 . La seconde a la caractéristique 2, et elle peut être donc associée à la variable z2 ; dans ce cas, en accord avec la table 6.36, le développement de l’inégalité 2λo4 produirait l’argument ρ2 + 2λo4 égal à λo2 . En fait, l’argument de la table 6.36 a été écrit λo2 , car cette inégalité est de loin la plus significative. Cependant, les cas de redondance sont très peu nombreux dans les séries présentées ici, et dans ces cas, il n’y a généralement pas d’ambiguïté. Les arguments fondamentaux présentés ci-dessus sont linéaires par rapport au temps, à l’exception de la partie à longue période des longitudes moyennes λoi (aussi présentes dans ρ1 et ρ2 ). La partie non linéaire de λoi est notée δλi . Pour calculer la position d’un satellite à une date donnée à partir des tableaux de l’annexe, l’amplitude, la phase et la fréquence de chaque terme ne suffisent pas. Il faut aussi prendre en compte la combinaison des δλi . La procédure exacte de calcul est détaillée dans Vienne et Duriez (1995). Cependant, il est préférable d’utiliser les programmes (et les tableaux complets non tronqués) qui sont disponibles sur le serveur web de l’IMCCE.

Un exemple d’application de l’analycité : l’accélération séculaire de Mimas Un exemple, qui illustre comment une représentation analytique peut amener d’importantes questions dynamiques, est donné dans le cas de la résonance Mimas-Téthys. De nouveaux termes apparaissent dans la représentation de Vienne et Duriez (1995) et permettent une meilleure connaissance de l’évolution de ce système (Champenois et Vienne, 1999a,b). Nous avons vu que les descriptions anciennes de la dynamique de Mimas et Téthys étaient limitées à la résonance primaire 2 :4 en moyen mouvement : l’argument ϕ = 2λ − 4λ0 + Ω + Ω0 est en libration, ainsi la ligne de conjonction oscille, en 70 ans, entre − 48◦ et + 48◦ autour du point moyen (Ω + Ω0 )/2 des nœuds. En considérant une orbite non circulaire pour Téthys, de nouveaux termes apparaissent près de la résonance et ont la même fréquence correspondant à σ = (Ω − 3Ω0 )/2 + $0 (avec une période de 200 ans). Cela a complètement changé la vision de la dynamique du couple Mimas-Téthys. Ces termes sont visibles dans la table 6.31 : ce sont les 3 derniers de la longitude de Mimas. À cause des effets de marées dus à la dissipation dans Saturne, les vitesses angulaires moyennes des arguments ϕ et σ sont variables. De cette manière, le système peut entrer dans une ou plusieurs résonances secondaires ou peut avoir un comportement chaotique au moment de la capture dans la résonance actuelle ii0 . Par exemple, 439

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES l’inclinaison de Mimas a pu être très différente. De plus, l’excentricité de Téthys a été plus importante par le passé (jusque 0.008). La probabilité de capture dans la résonance actuelle, extrêmement dépendante de la valeur de e0 , peut être plus grande (jusqu’à 1) que celle trouvée précédemment (4%). Les termes avec la fréquence de σ sont proportionnels à l’excentricité e0 de Téthys, mais la valeur de e0 est mal connue (entre 0 et 0.001). La valeur de l’excentricité est donc plus influente sur la position de Mimas que sur celle de Téthys ! Cela peut être vu dans la table 6.31. La dissipation par effet de marée est très difficile à quantifier. Elle est très petite, mais ces effets sont cumulatifs. Ainsi, ils sont quelques fois détectés comme une accélération dans la longitude des satellites les plus proches. Dans le système de Saturne, Dourneau (1993) et Kozai (1957) ont trouvé une accélération séculaire. Leurs valeurs pour nn˙ sont de 1.99 ± 0.85 et 1.47 ± 0.4 10−9 an−1 respectivement. En fait, ces valeurs ne sont pas fiables, comme on peut le voir facilement sur la figure 6.23. La parabole ajustée sur les termes omis conduit à une accélération du même ordre de grandeur. Il est possible que ces observateurs aient fait une confusion entre une éventuelle accélération dans la longitude de Mimas et les termes d’argument σ = (Ω − 3Ω0 )/2 + $0 ; ils sont proportionnels à l’excentricité qui est encore mal connue. Cet exemple montre l’importance de détecter ces effets et d’en tenir compte. Dans le cas contraire, les éphémérides vont dériver très rapidement dès qu’on extrapole à l’extérieur de l’intervalle où sont concentrées les observations, comme on le verra dans la section 6.7.4. Numerical Orbit and Ephemerides : NOE Plus récemment encore, les mesures de la sonde Cassini ont nécessité de gagner encore en précision en incorporant l’aplatissement des lunes et surtout les effets de marées entre celles-ci et leur planète. Considérés comme négligeables pendant longtemps, ces derniers seraient en réalité extrêmement forts avec des conséquences dynamiques observables sur les données précises recueillies depuis un siècle. Les éphémérides modernes désormais utilisées prennent donc en compte ces effets, en plus des perturbations usuelles N-corps et de l’aplatissement de Saturne (via les harmoniques c20 et c22 ). Ces dernières années ont permis d’acquérir près de 10 000 données astrométriques grâce à la collaboration entre l’IMCCE et la Queen Mary University of London (Tajeddine et al., 2015). Fort de ces nouvelles données, il a donc été possible d’ajuster un nombre bien plus conséquent de paramètres dynamiques au sein du code numérique NOE (Lainey et al., 2017) pour étudier la dynamique des satellites naturels et fournir des éphémérides de haute précision. Ces mêmes données ont permis de quantifier certains effets de marées (voir section 6.6.4.4). 440

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

y

Y

X

θ

ρ

x

Étoile 7

Figure 6.23 – Termes à longues périodes dans la longitude moyenne de Mimas non pris en compte par Kozai (1957) ni par Dourneau (1993) sur trois siècles et une parabole ajustée sur la période du siècle d’observations utilisées pour la construction du modèle.

6.6.5 6.6.5.1

Les principaux satellites d’Uranus Généralités et découvertes

Uranus est accompagné dans son mouvement autour du Soleil par quinze satellites et par des anneaux. La découverte des cinq satellites principaux, dont les magnitudes visuelles vont de 14 à 16, est due à des observations télescopiques. Les satellites sont numérotés de I à V dans l’ordre de leur distance à la planète (I : Ariel, II : Umbriel, III : Titania et IV : Obéron), sauf pour le dernier (V : Miranda) qui gravite sur une orbite intérieure aux quatre premiers. Neuf anneaux ont été découverts en 1977 depuis la Terre, lors de l’observation par plusieurs équipes de l’occultation de l’étoile SAO 158 687 par Uranus. Ils sont tous intérieurs à l’orbite de Miranda et notés dans l’ordre de leur distance à Uranus : 6, 5, 4, α, β, η, γ, δ, ε. Dix petits satellites faibles, dont les magnitudes visuelles vont de 20 à 24, ont été découverts par la sonde Voyager 2 en décembre 1985 et janvier 1986. Ils sont numérotés de VI à XV, dans l’ordre de leurs distances à Uranus (VI : Cordélia, VII : Ophélie, VIII : Bianca, IX : Cressida, X : Desdémone, XI : Juliette, XII : Portia, XIII : Rosalinde, 441

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES XIV : Belinda et XV : Puck). Ils sont tous distribués sur des orbites intérieures à celle de Miranda et extérieurs à l’anneau δ. Cordélia et Ophélie sont de part et d’autre de l’anneau ε, pour lequel ils jouent le rôle de satellites bergers. D’autres anneaux ont également été détectés par la sonde Voyager 2, en particulier l’anneau 1986 U1R, situé entre l’orbite de Cordélia et l’anneau ε.

La table 6.64 présente les paramètres orbitaux des satellites intérieurs d’Uranus. D’autres caractéristiques dynamiques et physiques de ces satellites sont fournies dans les tables 1.17, 1.21 et 1.22 (chapitre 1) et dans la table 12.5 (voir chapitre 12). Table 6.64 – Éléments orbitaux des satellites intérieurs d’Uranus. Les paramètres a, e, i désignent, respectivement, le demi-grand axe, l’excentricité et l’inclinaison de l’orbite, P la période orbitale, D le diamètre, Mv la magnitude et E l’élongation. La colonne nom indique la designation attribuée lors de la découverte.

Satellite Cordelia Ophelia Bianca Cressida Desdemone Juliette Portia Rosalinde Cupid Belinda Perdita Puck Mab

U6 U7 U8 U9 U 10 U 11 U 12 U 13 U 27 U 14 U 25 U 15 U 26

a km

P jours

e

49 752 53 764 59 165 61 767 62 659 64 358 66 097 69 927 74 800 75 255 76 420 86 004 97 734

0.335 0.376 0.435 0.464 0.474 0.439 0.513 0.558 0.616 0.624 0.638 0.762 0.923

0.000 47 0.010 1 0.000 88 0.000 2 0.000 23 0.000 59 0.000 17 0.000 09 0.0 0.000 11 0.0 0.000 05 ?

D km

Mv

◦

i 0.14 0.09 0.16 0.04 0.16 0.06 0.09 0.28 ? 0.03 0.0 0.31 ?

26 30 42 62 54 84 108 54 ? 66 20 154 ?

24.2 23.9 23.1 22.3 22.5 21.7 21.1 22.5 ? 22.1 24.0 20.4 ?

E

Nom

00

4.0 4.3 4.7 4.9 5.0 5.1 5.3 5.6 5.9 6.0 6.1 6.7 7.5

1986 U7 1986 U8 1986 U9 1986 U3 1986 U6 1986 U2 1986 U1 1980 U6 2003 U2 1986 U5 1986 U10 1985 U1 2003 U1

Le système d’Uranus est caractérisé par des objets dont les orbites sont très faiblement excentriques (aucune excentricité n’excède 0.005, sauf celle d’Ophélie qui atteint 0.01) et faiblement inclinées sur l’équateur de la planète (inclinaisons inférieures à 0.3◦ sauf pour Miranda qui possède une inclinaison de 4.3◦ ). Le mouvement des satellites, lorsqu’il est rapporté au plan de l’écliptique, est rétrograde. En effet, les satellites gravitent dans le plan de l’équateur d’Uranus qui est incliné approximativement de 98◦ sur le plan de l’écliptique.

La table 6.65 fournit les éléments relatifs aux cinq satellites principaux. Les excentricités et les inclinaisons ont généralement de grandes variations sur une période de temps de 50 ans autour de 1980. On donne les minimums et maximums sur cet intervalle de temps. 442

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.65 – Éléments orbitaux des cinq satellites principaux d’Uranus. a est le demi-grand axe, e l’excentricité et i l’inclinaison.

Satellite

a km

e

i deg.

0.0010 - 0.0016 0.0003 - 0.0020 0.0032 - 0.0047 0.0000 - 0.0028 0.0000 - 0.0031

4.34 0.01 - 0.07 0.09 - 0.17 0.04 - 0.12 0.02 - 0.12

103 Miranda (V) Ariel (I) Umbriel (II) Titania (III) Obéron (IV) 6.6.5.2

130 191 266 436 584

Historique

W. Herschel observe pour la première fois les deux satellites les plus éloignés, Titania et Obéron, en janvier 1787, soit presque six ans seulement après la découverte de la planète. Si la découverte d’Uranus est le fruit d’un hasard bien interprété, celle des satellites est due à la persévérance et aux qualités d’observateur d’Herschel qui, par analogie avec les systèmes de Jupiter et de Saturne, recherche très vite des objets autour d’Uranus. La découverte de Neptune en 1846 par Adams et Le Verrier, obtenue grâce à l’étude des irrégularités du mouvement d’Uranus, suscite un nouvel intérêt pour une détermination précise de la masse d’Uranus, et par conséquent la curiosité des observateurs pour son système de satellites. Depuis l’Angleterre, Lassel retrouve à nouveau en 1851 les satellites Ariel et Umbriel qu’il avait déjà repérés en novembre 1847 (Veillet, 1983). À partir de 1852, les satellites sont désignés d’après des personnages de Shakespeare pour Titania et Obéron (A Midsummer-Night’s Dream), et Pope pour Ariel et Umbriel (The Rape of the Lock). En 1875, à l’observatoire naval de Washington, Newcomb publie une étude complète du système d’Uranus et développe de longues séries d’observations qui le conduisent à adopter pour la masse d’Uranus 1/22 600 masse solaire, valeur très proche de la détermination actuelle. Depuis cette époque jusqu’en 1928, les satellites d’Uranus sont observés régulièrement, par Holden et Hall à Washington, et aussi par les frères Henry à Paris, Aitken à Lick, H. Struve et son fils G. Struve à Berlin pour ne citer que quelques noms. Il faut attendre 1948 pour que le satellite V soit photographié par Kuiper pour la première fois à l’observatoire de McDonald. Il lui donne le nom de Miranda, personnage de The Tempest de Shakespeare. Enfin, durant la période qui a précédé la rencontre de Voyager 2 avec Uranus, une intense activité s’est développée pour l’observation des satellites avec Greenberg, Whittaker et Mulholand à McDonald, Walker à Flagstaff, Veillet au Pic du Midi, au CFH (Canada France Hawaï) et à l’ESO (European Southern Observatory). L’arrivée des grands télescopes a permis la découverte de satellites lointains autour d’Uranus : on trouvera des informations sur ces corps à la section 6.6.8. 443

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES 6.6.5.3

Théories du mouvement

Au nombre de cinq, les satellites principaux d’Uranus ne présentent pas de résonance en moyen mouvement. Il s’agit là d’une conséquence dynamique qui résulte du faible aplatissement d’Uranus. En effet, ce dernier est le principal responsable de la précession des orbites de lunes. En l’absence d’un aplatissement conséquent, les lunes précessent lentement et les diverses résonances orbitales entre les lunes se superposent alors, rendant improbable une quelconque capture. La grande distance d’Uranus à la Terre rend les observations astrométriques moins précises, lorsque l’on ramène leur précision en kilomètres au sein du système. Il n’est donc pas surprenant que des solutions analytiques n’aient été développées avec succès que très récemment par Laskar et Jacobson (1987) (théorie GUST86 et GUST2000), puis par Lainey (2008). L’utilisation d’un modèle numérique est aujourd’hui toutefois privilégiée depuis les premières campagnes PHEURA (Emelyanov et Nikonchuk, 2013). L’ensemble des cinq satellites principaux d’Uranus forme un petit système planétaire à l’image des quatre satellites galiléens de Jupiter, Io, Europe, Ganymède et Callisto. Il existe en effet beaucoup de ressemblance entre ces deux systèmes : la durée de la révolution sidérale s’étend de 1.4 jour pour Miranda jusqu’à 13.5 jours pour Obéron ; comme signalé plus haut, les excentricités et les inclinaisons sur l’équateur de la planète sont faibles ; enfin, il existe une quasi-commensurabilité (mais sans résonance) entre les moyens mouvements de Miranda, Ariel et Umbriel : N M − 3NA + 2NU = −0.0785◦/jour Contrairement à ce qui se passe dans le cas des satellites galiléens, pour lesquels on observe une libration de l’argument critique autour de 180◦ , pour le système d’Uranus, l’angle qui résulte de la combinaison linéaire des 3 longitudes moyennes : L M −3LA +2LU circule lentement en 12.5 ans. Par analogie avec le système des satellites de Jupiter, cette quasi-résonance est aussi dite laplacienne. Un des objectifs principaux de l’étude des satellites d’Uranus est la détermination précise de la masse de la planète centrale. Des informations complémentaires sur l’aplatissement de la planète et sur les masses des satellites peuvent être tirées de la théorie de leurs mouvements, en particulier des mouvements de précession des lignes des apsides et des nœuds des orbites. Les perturbations qui contribuent aux inégalités du mouvement des satellites ont trois origines : • l’aplatissement de la planète (effet des harmoniques sphériques J2 et J4 du potentiel) ; 444

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES • les interactions mutuelles qui interviennent dans le petit système planétaire composé des cinq satellites réduits à des objets ponctuels ; • le Soleil. La contribution du terme d’aplatissement en J2 est la plus importante : c’est elle qui entraîne les mouvements de précession de la ligne des apsides et de celle des nœuds, signalés par les observations télescopiques. Les perturbations mutuelles sont de trois sortes : les perturbations séculaires qui existent dans tout système planétaire et qui sont obtenues par la résolution du système appelé système de Laplace-Lagrange ; les perturbations à courte période proportionnelles, en première approximation, aux masses des satellites ; enfin, les perturbations mutuelles induites par la quasi-commensurabilité des mouvements des satellites Miranda, Ariel et Umbriel, et qui est un effet du second ordre des masses. Les perturbations solaires ont une amplitude faible. Jusqu’en 1986, les modèles de solutions qui ont été introduits pour représenter le mouvement des satellites et leurs éphémérides étaient des orbites animées d’un mouvement de précession des apsides et des nœuds, éventuellement complétées par les termes de la résonance laplacienne et de ses multiples. La quasi-commensurabilité des moyens mouvements entraîne en effet la présence d’un petit diviseur dans l’intégration des équations différentielles du mouvement, et conduit à un effet amplificateur qui possède une longue période devant les périodes propres des satellites et dont l’amplitude est sensible dans les observations télescopiques. Après Struve (1911), Harris (1949) et Dunham (1971) ont réduit un nombre important d’observations et déterminé la masse d’Uranus ainsi que les éléments d’orbite des satellites (moyens mouvements, positions et mouvements de précession des périastres et des nœuds). Veillet a repris l’ensemble de ces travaux en les enrichissant de nombreuses observations nouvelles (Veillet, 1983). La mesure de l’amplitude de la résonance laplacienne dans le mouvement de Miranda par Lazzaro et al. (1984) a permis une évaluation du produit des masses mA mU , mais les déterminations des masses individuelles des satellites, et en particulier des satellites extérieurs, restaient imparfaites. À partir de 1986, Laskar (1986) construit une théorie plus complète du mouvement des cinq satellites (GUST, General Uranian Satellite Theory) qui prend en compte les perturbations séculaires mutuelles, mais aussi les effets à courte période jusqu’alors négligés. Cette théorie est analytique et même fortement analytique d’après les critères donnés dans la section 6.5.2.1. En effet, elle a été construite avec les programmes de la théorie générale planétaire de Duriez (1977), améliorés à l’ordre 2 des masses pour l’étude des 8 grosses planètes sur un million puis dix millions d’années par Laskar (1988). Pourtant, elle a un caractère numérique assez fort, les valeurs numériques des modes propres du système ont été ajustées sur une intégration numérique. Ces valeurs sont ainsi les plus proches possibles des valeurs réelles. Le résultat final est une représentation de la solution sous une forme quasi périodique : chaque élément d’orbite de chaque 445

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES satellite est une série de Fourier (finie), dont chaque terme est défini par une amplitude réelle et un argument donné comme combinaison entière d’arguments fondamentaux. Ces arguments fondamentaux sont généralement les modes propres du système et sont donnés numériquement. La théorie GUST a pu montrer que les perturbations à courte période (de l’ordre de quelques jours) étaient d’amplitude suffisamment grande (plus de 100 km) pour pouvoir être détectées dans les observations terrestres existantes, et surtout dans les clichés du système des satellites pris par Voyager 2 lors de son approche de la planète. Contrairement aux prévisions initiales de la mission, qui n’avaient pas pris en compte l’existence de ces perturbations, Taylor (1998) a pu effectuer une détermination des masses de l’ensemble des satellites par ajustement d’une intégration numérique aux observations de la sonde. Laskar et Jacobson (1987) ont ajusté la solution analytique GUST à l’ensemble des observations terrestres de 1911 à 1986, ainsi qu’aux données optiques et radio de Voyager 2, en confirmant les valeurs des masses obtenues, et en fournissant une éphéméride entièrement analytique (GUST86) qui rend compte du mouvement de ces satellites sur une durée qui correspond aux 75 années d’observations disponibles. La précision interne de cette théorie, mesurée par comparaison à une intégration numérique de référence effectuée sur 12 ans, est estimée à quelques dizaines de kilomètres, alors que sa précision effective, qui est du même ordre au voisinage de 1986, date de la rencontre entre Voyager et Uranus, est sensiblement moins bonne quand on s’éloigne de cette date. La solution analytique GUST86 sert actuellement de référence pour l’élaboration des éphémérides des satellites d’Uranus. La forme abrégée de la solution GUST reproduite ci-dessous ne conserve que les termes séculaires et périodiques dont l’effet géocentrique global est supérieur à 0.0500 . La forme complète de la solution est donnée dans Laskar et Jacobson (1987).

6.6.5.4

Éléments orbitaux et masses des satellites

Dans les formules simplifiées qui servent au calcul des éléments orbitaux, on adopte les conventions d’écriture suivantes : • n est le moyen mouvement osculateur ; il est lié au demi-grand axe a par la troisième loi de Kepler, soit n2 a3 = GMU (1 + m/MU ) ; n est mesuré en radian/jour ; • L est la longitude moyenne ; elle est comptée en radian ; √ • z est le vecteur excentricité ; c’est un vecteur complexe z = e exp −1$ où e est l’excentricité et $ la longitude du périastre ; √ • ζ est le vecteur polaire de l’orbite : ζ = sin i/2 exp −1Ω où Ω est la longitude du nœud ascendant de l’orbite et i son inclinaison ; 446

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES • z et ζ sont sans dimension.

Le temps, les masses et le système de référence sont définis avec les conventions d’écriture suivantes :

• T est le temps mesuré en jours à partir de la date julienne 2444 239.5 (1er janvier 1980 à 0 h), soit : T = DJ − 2 444 239.5 ; • MU est la masse d’Uranus ; GMU = 5 794 554.5 km3 s−2 ; • m est la masse du satellite ; • les éléments elliptiques du satellite sont rapportés au système de référence uranocentrique, noté UME50∗ et défini comme suit : le plan de référence est l’équateur moyen d’Uranus en 1950, orienté par le moment angulaire de la planète dans la direction du pôle Sud de la planète selon la définition de l’UAI donnée dans la section 12.2.2. L’origine des axes est le nœud ascendant de l’équateur céleste moyen B1950.0 sur ce plan.

Les chiffres arabes de 1 à 5 désignent les satellites dans l’ordre de leurs distances à partir d’Uranus. La table 6.66 fournit les masses et les fréquences des cinq satellites principaux d’après Laskar et Jacobson (1987). Dans cette table : • k est le numéro du satellite et mk sa masse (k =1, 2, .., 5) ; • Nk est le moyen mouvement moyen du satellite ou fréquence propre ; • Ek et Ik sont les fréquences associées aux variables excentricités et inclinaisons du système séculaire de Laplace-Lagrange. On les désigne parfois sous le nom de fréquences libres associées à e et i (ou bien z et ζ). La fréquence de la quasirésonance laplacienne est désignée par le symbole ν = −0.001 370 785 radian/jour. La période associée est de 12.549 ans. Table 6.66 – Masses et fréquences des cinq satellites principaux d’Uranus (Laskar et Jacobson, 1987).

k

Satellite

mk /mU 10−5

Nk radian/jour

Ek radian/jour

Ik radian/jour

1 2 3 4 5

Miranda Ariel Umbriel Titania Obéron

0.075 1.49 1.45 3.97 3.45

4.445 190 550 2.492 952 519 1.516 148 111 0.721 718 509 0.466 692 120

0.000 959 619 0.000 297 058 0.000 136 919 0.000 099 278 0.000 018 449

−0.000 970 433 −0.000 300 492 −0.000 135 505 −0.000 088 051 −0.000 012 387

447

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Éléments orbitaux de Miranda

n = 4.443 522 67 − 0.000 136 65 cos [(2N1 − 2N2 )T + 5.894 177] L = −0.238 051 58 + 4.445 190 55 T + 0.025 472 17 sin[νT + 1.321 800] − 0.003 088 31 sin[2νT + 2.643 601] − 0.000 318 10 sin[3νT + 3.965 401] √ z = 0.001 312 38 exp −1 [E1 T + 0.611 392] √ − 0.000 123 31 exp −1 [(−N1 + 2N2 )T + 0.150 958] √ + 0.000 194 10 exp −1 [N1 T + 6.045 134] √ ζ = 0.037 871 71 exp −1 [I1 T + 5.702 313]

Éléments orbitaux d’Ariel

n = 2.492 542 57 L = 3.098 046 41 + 2.492 952 52 T − 0.001 860 50 sin[νT + 1.321 800] + 0.000 219 99 sin[2νT + 2.643 601] √ z = 0.001 187 63 exp −1 [E2 T + 2.408 974] √ + 0.000 861 59 exp −1 [E3 T + 2.067 774] √ ζ = 0.000 358 25 exp −1 [I2 T + 0.395 757] √ + 0.000 290 08 exp −1 [I3 T + 0.589 326]

448

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Éléments orbitaux d’Umbriel

n = 1.515 954 90 L = 2.285 401 69 + 1.516 148 11 T + 0.000 660 57 sin[νT + 1.321 800] √ z = −0.000 227 95 exp −1[E2 T + 2.408 974] √ + 0.003 904 69 exp −1 [E3 T + 2.067774] √ + 0.000 309 17 exp −1 [E4 T + 0.735 131] √ + 0.000 221 92 exp −1 [E5 T + 0.426 767] √ ζ = 0.001 113 36 exp −1 [I3 T + 0.589 326] √ + 0.000 350 14 exp −1 [I4 T + 1.746 237] Éléments orbitaux de Titania

n = 0.721 663 16 L = 0.856 358 79 + 0.721 718 51 T √ z = 0.000 932 81 exp −1 [E4 T + 0.735 131] √ + 0.001 120 89 exp −1 [E5 T + 0.426 767] √ + 0.000 793 43 exp −1 [(−2N4 + 3N5 )T + 1.823 691] √ ζ = 0.000 685 72 exp −1 [I4 T + 1.746 237] √ + 0.000 378 32 exp −1 [I5 T + 4.206 896] Éléments orbitaux d’Obéron

n = 0.466 580 54 L = −0.915 591 80 + 0.466 692 12 T √ z = −0.000 758 68 exp −1 [E4 T + 0.735 131] √ + 0.001 397 34 exp −1 [E5 T + 0.426 767] √ − 0.000 987 26 exp −1 [(−2N4 + 3N5 )T + 1.823 691] √ ζ = −0.000 596 33 exp −1 [I4 T + 1.746 237] √ + 0.000 451 69 exp −1 [I5 T + 4.206 896] 449

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Éphémérides des cinq satellites principaux La configuration du plan d’Uranus et d’un de ses satellites par rapport à l’écliptique et à l’équateur céleste est illustrée sur la figure 6.24. Équateur d’Uranus 1950 Orbite du satellite i N Orbite d’Uranus Ω

A

γ

ε

Écliptique Équateur 1950

Figure 6.24 – Configuration du plan d’Uranus et d’un de ses satellites.

Le repère UME50∗ évoqué à la section 6.6.5.4 est défini par l’équateur d’Uranus pour 1950. L’origine des axes est fixée en A, nœud ascendant de l’équateur céleste 1950.0 sur l’équateur d’Uranus pour 1950. EME50 est le référentiel défini par l’équateur céleste moyen 1950.0 et l’équinoxe γ pour cette date. Le passage des coordonnées dans le système UME50∗ à celles dans EME50 s’effectue à l’aide de la matrice de rotation R :    sin α cos α sin δ cos α cos δ   R = − cos α sin α sin δ sin α cos δ    0 − cos δ sin δ et la transformation s’écrit : XEME50 = RXU ME50∗ α et δ dans l’expression de R sont les coordonnées équatoriales du pôle Sud d’Uranus dans le repère EME50. Les valeurs adoptées par Laskar et Jacobson (1987) sont : α = 76.6067◦ δ = 15.0322◦ Elles sont issues de French et al. (1986) et diffèrent légèrement des valeurs que l’on obtiendrait à partir des données de la section 12.2.2. 450

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES L’évaluation de l’éphéméride du satellite découle des expressions du paragraphe précédent. À l’aide des formules du problème des deux corps, on construit les coordonnées rectangulaires uranocentriques du satellite (ou coordonnées différentielles par rapport au centre de la planète). La rotation précédente ramène ces coordonnées uranocentriques au repère EME50. En les ajoutant aux coordonnées rectangulaires géocentriques d’Uranus dans le repère EME50, on obtient finalement les coordonnées rectangulaires géocentriques du satellite dans le repère EME50 .

6.6.6 6.6.6.1

Les satellites de Neptune Brève présentation du système de Neptune

On connaît actuellement treize satellites dans le système de Neptune. Les premières observations de Triton (de magnitude 14), en 1846, suivent de près la découverte de la planète, alors que Néréide (de magnitude 19) est observé pour la première fois en 1949. Ces deux satellites présentent des caractéristiques dynamiques intéressantes, car atypiques dans le Système solaire. Triton est un satellite massif qui gravite sur une orbite quasi circulaire, rétrograde et fortement inclinée sur l’équateur de Neptune (inclinaison de l’ordre de 160◦ ), alors que Néréide, bien plus petit (le troisième en taille parmi les satellites de Neptune), gravite sur l’orbite la plus excentrée parmi les satellites connus du Système solaire (excentricité de l’ordre de 0.75). Au-delà de Néréide, les grands télescopes ont permis de découvrir de petits satellites lointains que l’on trouve aussi autour de Jupiter, Saturne et Uranus. Leurs caractéristiques sont indiquées à la fin de cette section. Six autres satellites ont été découverts lors du passage de la sonde Voyager 2, entre juin et août 1989, en même temps que quatre anneaux (Stone et Miner, 1989). Ces 6 satellites sont nommés Larissa, Naïade, Thalassa, Despina, Galatée et Protée. D’autres satellites ont ensuite été découverts en 2004 par Kavelaars et al. (2004) et par Sheppard (2004). L’anneau le plus proche de la planète, 1989N3R, est large et diffus. Il s’étend entre 1.5 et 2 rayons planétaires (r) et présente vers 1.69 r une bande plus concentrée, large d’environ 1 700 km. Vient ensuite, vers 2.15 r, un anneau étroit, 1989N2R, qui délimite la partie diffuse de l’anneau suivant, 1989N4R, large, qui s’étend entre 2.15 r et 2.4 r et qui possède une bande plus concentrée vers l’extérieur. Enfin, 1989N1R, à environ 2.54 r, est un anneau étroit (de l’ordre de 15 km) qui présente trois zones de concentration importante de matière, dont la persistance au cours du temps reste une question ouverte. Quant aux satellites, ils gravitent sur des orbites quasi circulaires, à peu près dans le plan équatorial de Neptune. Deux d’entre eux, Protée (1989N1) et Larissa (1989N2), sont extérieurs au système d’anneaux de la planète. Trois autres, Despina (1989N3), Thalassa 451

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES (1989N5) et Naïade (1989N6), sont intérieurs à l’anneau 1989N2R. Le dernier, Galatée (1989N4), gravite entre les anneaux 1989N1R et 1989N2R. Parmi ces satellites, Protée a la particularité d’être plus gros que Néréide. La proximité de la planète et probablement ses propriétés de surface expliquent la difficulté de son observation depuis le sol et le fait qu’il n’a pu être découvert avant l’exploration spatiale du système de Neptune. En 1991, Colas et Buil (1992) ont cependant montré que sa détection depuis le sol était possible.

6.6.6.2

Triton et Néréide

Observations et modèles Jusqu’en 1988, environ 3 000 observations de Triton et 75 observations de Néréide ont permis de prédire le mouvement de ces deux satellites avec une précision suffisante pour les besoins d’éphémérides utilisées depuis la Terre. Ces prédictions s’avérèrent insuffisantes pour servir à la navigation de la sonde Voyager 2 depuis le Jet Propulsion Laboratory (JPL, Pasadena). Les modèles du mouvement de Triton, développés par Eichelberger et Newton (1926), puis Harris, sont par nature cinématiques, ne dépendant pas de paramètres dynamiques comme la masse de Neptune. Ces auteurs utilisèrent une orbite inclinée, précessant à vitesse constante, légèrement excentrée dans le premier modèle, circulaire dans le second. Dans le cas de Néréide, des modèles furent développés par Rose (1974), utilisant une orbite képlérienne, puis par Mignard (1981), incluant les perturbations solaires à longues périodes, et enfin par Veillet (1982) et Veillet et Bois (1988), ajustant la théorie de Mignard sur de nouvelles observations. Ce dernier modèle n’avait pas la précision requise de 100 km pour être utilisable en navigation optique. C’est donc par intégration numérique, ajustée sur les observations, que les dernières éphémérides ont été déterminées par le JPL (Jacobson, 1990). Le modèle numérique comprenait l’aplatissement de Neptune, ainsi que les perturbations dues aux autres planètes et au Soleil. Ces perturbations furent représentées par un corps fictif, placé au barycentre du Système solaire et ayant pour masse la somme des masses du Soleil et des planètes intérieures à Neptune. Le modèle pour le mouvement du pôle de Neptune, intervenant dans la perturbation due à l’aplatissement de la planète, était une précession uniforme autour du moment angulaire du système Neptune-Triton, ses caractéristiques (positions, dérive. . . ) devant être ajustées aux observations. D’autres paramètres furent aussi laissés libres pour un ajustement aux observations (masse de Triton, masse et harmonique zonal J2 de Neptune. . . ), alors que Néréide était supposé de masse négligeable. L’effet de Triton sur Néréide fut bien entendu pris en compte. Après le passage de Voyager 2, 361 nouvelles observations de Triton et 83 nouvelles observations de Néréide ont permis une redétermination de l’orbite de ces satellites, après reconstruction de la trajectoire de la sonde (Jacobson et al., 1991). Pour ces orbites, 452

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES l’estimation des erreurs, dues principalement à une mauvaise connaissance de la période de révolution, est de l’ordre de 100 km et 1 850 km par an (le long de l’orbite) pour Triton et Néréide respectivement. Un modèle de l’orbite de Néréide incluant les perturbations solaires complètes au deuxième ordre et la perturbation due à Triton fut simultanément développé (Oberti, 1990a), mais n’est pas encore ajusté aux observations.

Éléments orbitaux Paramètres de l’intégration numérique Afin de rendre utilisables les éphémérides numériques, le JPL a ajusté sur ces dernières une orbite précessante pour chaque satellite (Jacobson et al., 1991). Les valeurs arrondies des paramètres utilisés ou déterminés par l’intégration numérique de Jacobson et al. (1991) sont données dans la table 6.67. Les ascensions droites et les déclinaisons qui figurent dans cette table sont rapportées à l’équinoxe moyen B1950. S2 S1 P2 ω2 i2

P1 ω1

Équateur céleste moyen B1950 Γ

Ω1

N2 i1

Ω2

N1

A1

A2

Plan invariable Neptune-Triton Plan invariable Neptune-Néréide

Orbite de Triton Orbite de Néréide

Figure 6.25 – Système de référence pour Triton et Néréide.

Éléments orbitaux moyens Les tables 6.68 et 6.69 donnent les éléments orbitaux moyens de Triton et Néréide, respectivement, issus de Jacobson et al. (1991). Les éléments orbitaux de Triton sont 453

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.67 – Paramètres du système de Neptune. Notes : (1) à la date julienne 2 447 763.5 TE (date de la rencontre avec Voyager) ; (a) constantes adoptées par Voyager ; (b) issu de DE130.

Paramètre GM du système de Neptune GM de Triton GM de Néréide (a) GM du corps fictif (b) J2 de Neptune J4 de Neptune Rayon de Neptune (a) Rayon de Triton (a) Ascension droite du pôle de Neptune (1) Déclinaison du pôle de Neptune (1) Ascension droite de l’axe de précession Déclinaison de l’axe de précession Vitesse de précession de l’orbite Période de rotation de Neptune (a) Rapport des moments d’inertie de Neptune

(a)

Valeur

Unité

6 836 535 ± 15 1 427.9 ± 3.5 0 132 883 680 731 (3 410 ± 9) × 10−6 (−35 ± 10) × 10−6 25 225 1 350 ± 7 298.86 ± 0.15 42.81 ± 0.05 298.95 ± 0.15 43.31 ± 0.10 52.32 ± 0.25 16.11 ± 0.02 0.21 ± 0.01

km3 /s2 km3 /s2 km3 /s2 km3 /s2

km km deg deg deg deg deg/siècle h

planétocentriques et donnés pour la date julienne 2 447 763.5 TE. Ceux de Néréide sont barycentriques (barycentre Neptune-Triton) et donnés pour la date julienne 2 433 680.5 TE. Pour chaque satellite (voir figure 6.25), le plan de référence est son plan invariable, c’està-dire le plan dans lequel la précession de l’orbite est quasiment uniforme). Les longitudes sont mesurées à partir du nœud ascendant A du plan invariable sur l’équateur céleste moyen B1950 ; a est le demi-grand axe et e l’excentricité de l’orbite du satellite, i représente l’inclinaison de l’orbite sur le plan invariable, Ω la longitude du nœud du plan de l’orbite sur le plan invariable, ω l’argument du périastre et M l’anomalie moyenne du satellite. Dans la figure 6.25, N représente la position du nœud ascendant de l’orbite sur le plan de référence, P la position du périastre du satellite et S la position du satellite. Les indices 1 et 2 correspondent respectivement à Triton et Néréide.

6.6.6.3

Les nouveaux satellites

Images et modèles

Les quatre premiers satellites ont été découverts entre le 5 juin et le 6 août 1989 sur des images centrées sur Neptune, les deux autres sur des mosaïques servant à la recherche systématique d’anneaux ou de satellites, alors que la sonde se rapprochait toujours de la 454

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.68 – Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Triton pour la date julienne 2 447 763.5 TE, rapportés au plan invariable Neptune-Triton (Jacobson et al., 1991). αp et δp sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan invariable.

Élément

Valeur

Unité

a e sin(ω − Ω) e cos(ω − Ω) M+ω−Ω cot(i/2) sin Ω cot(i/2) cos Ω ˙ ˙ +ω M ˙ −Ω ˙ ω ˙ −Ω ˙ Ω αp δp e ω−Ω i Ω

354 759.146 0.281 348 542 × 10−5 −0.154 364 851 × 10−4 76.724 3689 0.028 181 3825 −0.203 010 3396 61.257 2637 0.382 463 540 0.523 159 764 298.947 294 43.318 9060 0.000 015 691 169.670 538 156.834 472 172.096 852

km

deg

deg/jour deg/an deg/an deg deg deg deg deg

Table 6.69 – Éléments orbitaux barycentriques moyens de Néréide pour la date julienne 2 433 680.5 TE, rapportés au plan invariable Neptune-Néréide (Jacobson et al., 1991). αp et δp sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan invariable.

Élément

Valeur

Unité

a e sin(ω + Ω) e cos(ω + Ω) M+ω+Ω tan(i/2) sin Ω tan(i/2) cos Ω ˙ ˙ +ω M ˙ +Ω ˙ ω ˙ +Ω ˙ Ω αp δp e ω+Ω i Ω

5 513 413.256 −0.724 953 400 −0.196 840 797 254.150 289 −0.027 725 2165 0.056 792 6008 0.999 624 080 0.706 322 818 −3.916 609 63 270.203 984 69.154 3762 0.751 201 525 254.809 177 7.232 429 19 333.979 128

km

455

deg

deg/jour deg/siècle deg/siècle deg deg deg deg deg

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES planète (Owen et al., 1991b). Sur les 9000 images issues de la rencontre avec Neptune, 387 ont donné 619 observations de ces nouveaux satellites. Les modèles développés pour rendre compte de leur mouvement sont des orbites précessantes dont les éléments sont exprimés par rapport au plan de Laplace de chaque satellite (Owen et al., 1991b). Ce plan est en fait une surface d’équilibre par rapport à laquelle l’inclinaison de l’orbite reste constante. Il doit son existence à la présence du satellite massif Triton sur son orbite rétrograde, et se situe entre l’équateur de Neptune et le plan orbital de Triton. Son inclinaison sur l’équateur de Neptune augmente avec le demi-grand axe du satellite, et sa ligne des nœuds sur ce plan est la même que celle de l’orbite de Triton. Il précesse donc par rapport au plan invariable Neptune-Triton. Cette précession, très lente, est négligée dans les modèles. Pour chaque orbite, le demi-grand axe et le moyen mouvement sont supposés indépendants. Les vitesses de précession sont calculées, et non ajustées, car la période d’observation est trop courte, en prenant en compte les perturbations dues à l’aplatissement de la planète et à la présence de Triton. L’orientation du plan de Laplace est également calculée. S

P ω

Équateur céleste moyen B1950 Γ

A

Ω

i N

Plan de Laplace du satellite Orbite du satellite

Figure 6.26 – Système de référence pour les six nouveaux satellites de Neptune.

Éléments orbitaux La table 6.70 donne les éléments orbitaux des nouveaux satellites Protée (1989 N1), Larissa (1989 N2), Despina (1989 N3), et la table 6.71 ceux des satellites Galatée 456

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES (1989N4), Thalassa (1989 N5) et Naïade (1989 N6), issus de Owen et al. (1991b). Ces éléments sont planétocentriques et donnés pour la date julienne 2 447 757.0 TE. Pour chaque satellite (voir figure 6.26), le plan de référence est son plan de Laplace (plan dans lequel la précession de l’orbite est quasiment uniforme). Les longitudes sont mesurées à partir du nœud ascendant A du plan de Laplace sur l’équateur céleste moyen B1950 ; les éléments a, e, i, Ω, ω et M, ainsi que les positions N, P et S sur la figure 6.26, ont la même signification que pour Triton et Néréide. Table 6.70 – Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Protée, Larissa et Despina pour la date julienne 2 447 757.0 TE rapportés au plan de Laplace (Owen et al., 1991b). iL est l’inclinaison du plan de Laplace sur l’équateur de Neptune, αp et δp sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan de Laplace, αo et δo sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan de l’orbite, N est le nombre d’observations.

Élément

Protée

Larissa

Despina

Unité

iL 0.5475 0.0479 0.0084 deg αp 298.7578 298.8487 298.8559 deg δp 42.2692 42.7643 42.8035 deg a mesuré 117 635.0 ± 16.8 73 545.7 ± 6.9 52 531.3 ± 8.5 km a calculé 117 647.11 ± 0.23 73 548.33 ± 0.14 52 525.95 ± 0.10 km e (×103 ) 0.438 ± 0.107 1.386 ± 0.088 0.139 ± 0.166 ω+Ω 99.48 ± 7.42 149.92 ± 3.82 126 ± 64 deg i 0.0392 ± 0.0083 0.2008 ± 0.0098 0.0655 ± 0.0153 deg Ω 150.00 ± 12.47 10.00 ± 2.54 154.59 ± 11.26 deg M + ω + Ω 213.6694 ± 0.0066 184.8281 ± 0.0093 85.2720 ± 0.0139 deg ˙ 320.7654 ± 0.0009 649.0534 ± 0.0016 1 075.7342 ± 0.0028 deg/jour ˙ +ω M ˙ +Ω ˙ ω ˙ +Ω 0.078 914 0.393 133 1.276 761 deg/jour ˙ Ω −0.077 334 −0.392 209 −1.274 866 deg/jour αo 298.7844 298.8960 298.8943 deg δo 42.3032 42.5665 42.8626 deg N 183 144 109

6.6.7 6.6.7.1

Les satellites de Pluton Présentation du système Pluton-Charon

Bien que Pluton ait été découvert en 1930 par C. Tombaugh, ce n’est qu’en 1978 que Charon fut découvert par Christy et Harrington (1978). Le système Pluton-Charon a fait l’objet de nombreuses études ces dernières années. Il présente en effet un défi observationnel du fait de la très faible élongation maximale de Charon (0.900 ) et de sa faible magnitude (m = 17). Les grands télescopes, tel le VLT, ont permis de détecter quatre satellites outre Charon (voir figure 6.27). On en trouvera les caractéristiques et éléments 457

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.71 – Éléments orbitaux planétocentriques moyens de Galatée, Thalassa et Naïade pour la date julienne 2 447 757.0 TE rapportés au plan de Laplace (Owen et al., 1991b). iL est l’inclinaison du plan de Laplace sur l’équateur de Neptune, αp et δp sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan de Laplace, αo et δo sont l’ascension droite et la déclinaison du pôle du plan de l’orbite, N est le nombre d’observations.

Élément

Galatée

Thalassa

Naïade

Unité

iL 0.0197 0.0066 0.0054 deg αp 298.8539 298.8563 298.8565 deg δp 42.7922 42.8053 42.8064 deg a mesuré 61 945.1 ± 15.2 50 069.2 ± 13.3 48 233.1 ± 16.4 km a calculé 61 952.67 ± 0.13 50 074.55 ± 0.30 48 227.30 ± 0.36 km e (×103 ) 0.120 ± 0.149 0.156 ± 0.250 0.328 ± 0.353 ω+Ω 220 ± 64 46 ± 85 85 ± 42 deg i 0.0544 ± 0.0132 0.2054 ± 0.0217 4.7382 ± 0.0338 deg Ω 112.2 ± 15.8 89.85 ± 7.70 48.66 ± 0.46 deg M + ω + Ω 46.6443 ± 0.0111 239.7371 ± 0.0275 60.2604 ± 0.0418 deg ˙ 839.6598 ± 0.0025 1 155.7556 ± 0.0101 1 222.8441 ± 0.0138 deg/jour ˙ +ω M ˙ +Ω ˙ ω ˙ +Ω 0.715 961 1.509 866 1.699 098 deg/jour ˙ Ω −0.714 836 −1.507 575 −1.714 075 deg/jour αo 298.9226 299.1362 303.4720 deg δo 42.8127 42.8044 39.5813 deg N 107 46 30

orbitaux dans la table 6.72. Le système de Pluton a été visité lors d’un survol (pas de satellisation possible) par la sonde New Horizons qui a fourni des données nouvelles sur ce système et en particulier des photos spectaculaires qu’aucun télescope terrestre ne pourrait obtenir. De nombreux moyens observationnels modernes ont utilisé ce couple d’objets pour tester leur puissance. On a ainsi des observations faites par la méthode d’interférométrie des tavelures (Bonneau et Foy, 1980 ; Beletic et al., 1989) et par celle de l’optique adaptative. Cependant, c’est l’observation des phénomènes mutuels de Charon et de Pluton qui a permis d’obtenir la meilleure précision sur la période orbitale, la longitude moyenne, le nœud ascendant et l’inclinaison de Charon. Ces phénomènes ont par ailleurs permis de déterminer certains paramètres physiques, comme le diamètre et l’albédo de ces corps (Tholen et Buie, 1988). Enfin, des observations astrométriques, aussi bien depuis le sol qu’avec le télescope spatial Hubble, ont permis de préciser l’échelle du système qui était difficilement mesurable avec les phénomènes mutuels ; le demi-grand axe a ainsi été déterminé (Young et al., 1994). Le système Pluton-Charon est supposé être un système dynamiquement évolué ; ce fait provient de la similitude entre la période orbitale de Charon de 6.387 46 jours ± 0.000 02 458

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Figure 6.27 – Le système de Pluton observé par le HST (image traitée).

(Tholen et Tedesco, 1994) et celle de la courbe photométrique de Pluton de 6.387 26 jours ± 0.000 07 (Tholen et Buie, 1988). La rotation de Pluton est synchrone avec la vitesse orbitale de Charon, son axe de rotation est donc très probablement perpendiculaire au plan de l’orbite de Charon. L’excentricité de Charon est très difficile à mesurer et la prendre nulle ne change que peu de choses au niveau de son éphéméride. La mesure de la position du centre de gravité du système et donc des demi-grands axes respectifs de Pluton et Charon a permis de calculer les masses et les densités de ces deux objets (Young et al., 1994). Le rapport des masses étant seulement de 6.4, on peut estimer que ce système est équivalent à une planète double. Le plan de l’orbite de Pluton étant très éloigné de celui de l’écliptique, on peut penser que ce système fait partie de la ceinture de Kuiper. Les paramètres physiques de Triton et de Pluton étant très proches, ces objets ont sans doute la même origine. Triton aurait été capturé par Neptune alors que Pluton est resté en orbite autour du Soleil. Quant à Charon, dont l’orbite est très inclinée sur le plan orbital de Pluton, il pourrait être le résultat d’une capture après le choc d’un astéroïde sur la planète. 459

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES 6.6.7.2

Éléments orbitaux des satellites de Pluton

La table 6.72 fournit les éléments orbitaux et physiques des cinq satellites de Pluton connus actuellement. La modélisation dynamique a été réalisée par plusieurs auteurs : une intégration numérique a été réalisée pour les satellites P1, P2 et P3 (Beauvalet et al., 2013), tandis que d’autres auteurs (Buie et al., 2006 ; Tholen et al., 2008) proposaient des ellipses précessantes. La figure 6.27 montre une image traitée du système de Pluton. Table 6.72 – Caractéristiques et éléments orbitaux des satellites de Pluton d’après les résultats de la sonde New Horizons (Stern et al., 2018). (∗) L’inclinaison est relative à l’équateur de Pluton.

Demi-grand axe (km) Diamètre moyen (km) Magnitude visuelle Période de révolution (jours) Vitesse orbitale (km/s) Inclinaison(∗) (degrés) Excentricité Rotation (jours)

6.6.8

Charon

Styx

Nix

Kerberos

Hydra

17181±4 1212 16.8 6.387227 0.22 0 0.0000 6.387

42656±78 10.5 27 20.16155 0.15 0 0.0 3.24

48694±3 36 23.7 24.85463 0.14 0 0.0030 1.829

57783±19 12 26 32.16756 0.13 0 0 5.31

64738±3 37 23.3 38.20177 0.12 0 0.005 0.4295

Les satellites lointains irréguliers des planètes géantes

Les satellites lointains et irréguliers des planètes géantes forment un groupe particulier de satellites. Leurs particularités viennent de leur découverte, des perturbations qu’ils subissent et des hypothèses sur leur formation. Il y a, en distance, une séparation nette avec les satellites classiques, indice très fort également en faveur d’une origine différente.

6.6.8.1

La découverte des satellites lointains

Les deux premiers satellites lointains de Jupiter ont été découverts en 1904 par Ch.D. Perrine de l’observatoire de Lick (Perrine, 1905). Avant 1997, on ne connaissait que huit satellites lointains de Jupiter, un seul de Saturne, Phœbé, et un pour Neptune, Néréide. À la fin du xxe siècle, de nouveaux télescopes puissants ont été mis en service : 4-m reflector (La Palma), 3.6-m Canada-France-Hawaï Telescope (Mauna Kea), 5-m Hale reflector (Mount Palomar), 6.5-m Clay reflector (Las 460

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES Campanas Observatory), 8-m ESO-VLT (Cerro Paranal), 8.3-m Subaru Telescope et 10-m Keck Telescope (Mauna Kea). Des recherches d’astéroïdes approchant la Terre y ont été entreprises. Parfois, en essayant de construire une orbite héliocentrique d’un astéroïde, il s’est avéré que l’objet était le satellite d’une planète géante. Depuis lors, les découvertes de satellites lointains ont été nombreuses, comme on le voit sur la figure 6.1. Le nombre total de satellites lointains, au premier janvier 2021, est indiqué dans la table 6.2.

6.6.8.2

Magnitudes et dimensions des satellites lointains

Les satellites lointains sont de très petits corps du Système solaire. Le satellite le plus brillant J6 Himalia (de Jupiter) a une magnitude de 14.6. Son rayon est d’environ 70 km. Il est le plus gros après le satellite N2 Néréïde (de Neptune). Les nouveaux satellites découverts après 1997 sont beaucoup plus petits. La plupart d’entre eux ont des magnitudes de 22 à 26. Les rayons de ces nouveaux satellites vont de 1.2 à 40 km.

6.6.8.3

Caractéristiques orbitales

Les satellites lointains se trouvent à grande distance de leur planète. Les demi-grands axes des orbites sont dans la gamme de 4.2 millions de kilomètres (pour U22 Francisco) à 50 millions de kilomètres (pour N13 Neso). Les orbites ont des excentricités et des inclinaisons très diverses et variables du fait des fortes perturbations solaires (moins fortes pour Neptune que pour Jupiter). L’excentricité maximale est égale à environ 0.75 pour le satellite N2 Néréide. Les inclinaisons des orbites sur l’écliptique ont toutes les valeurs de 27 à 176 degrés. Cela signifie que, parmi les satellites lointains, il y en a qui ont une orbite inverse par rapport au mouvement orbital de la planète (rétrograde). Il s’avère que seulement 13,5% des satellites lointains ont un mouvement direct. Parmi les satellites lointains de Jupiter, on distingue deux groupes de satellites : • un groupe avec un mouvement direct à une distance d’environ 12 millions de kilomètres ; • un groupe avec un mouvement rétrograde à une distance d’environ 20 millions de kilomètres. En raison de la forte influence gravitationnelle du Soleil, l’excentricité et l’inclinaison des orbites varient sur des intervalles importants. Ainsi, la valeur moyenne d’un paramètre d’orbite dépend fortement de l’intervalle de temps pendant lequel la valeur est moyennée. Les valeurs moyennes des paramètres orbitaux des satellites lointains de Jupiter et les 461

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES plages de leurs changements sont données dans la publication de Brozovi´c et Jacobson (2017). Pour les satellites lointains de Saturne, on distingue aussi deux groupes de satellites, l’un direct et l’autre rétrograde, mais sans distinction des demi-grands axes. Les satellites directs sont, comme pour Jupiter, moins nombreux que les rétrogrades. Les satellites lointains connus d’Uranus et Neptune sont moins nombreux, parce que plus éloignés de la Terre et donc moins brillants. On trouve des distances similaires avec des satellites à des distances plus faibles de leur planète. Le cas de Néréide est particulier, assez éloigné de Neptune et isolé. Les tables 6.73 et 6.74 fournissent les éléments orbitaux et leurs variations des satellites lointains irréguliers de Jupiter. Les tables 6.75 et 6.76 fournissent les éléments orbitaux et leurs variations des satellites lointains irréguliers de Saturne. La table 6.77 fournit les éléments orbitaux et leurs variations des satellites lointains irréguliers d’Uranus, et la table 6.78 fournit les éléments orbitaux et leurs variations des satellites lointains irréguliers de Neptune.

462

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.73 – Éléments orbitaux des satellites directs irréguliers de Jupiter au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1975-2045. a est le demi-grand axe, P la période orbitale moyenne, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude.

Satellite S/2000 J1 S/1974 J1 S/2018 J1

Themisto Leda Ersa Himalia S/2017 J4 Pandia Lysithea Elara S/2000 J11 Dia S/2003 J20 Carpo S/2016 J2 Valetudo

J 18 J 13 J 71 J6 J 65 J 10 J7 J 53 J 46 J 62

a 106 km

P jours

e

i degrés

7.38 à 7.41 11.1 à 11.2 11.3 à 11.5 11.4 à 11.5 11.4 à 11.6 11.6 à 11.8 11.6 à 11.8 12.1 à 12.5 16.6 à 17.5 18.1 à 19.6

130.0 240.3 248.6 249.9 251.2 258.5 258.9 277.2 454.2 521.7

0.13 à 0.28 0.12 à 0.21 0.08 à 0.15 0.11 à 0.21 0.13 à 0.23 0.08 à 0.15 0.15 à 0.27 0.17 à 0.30 0.21 à 0.66 0.11 à 0.33

D km

M mag

44 à 46 8 21 26 à 29 10 20 29 à 31 3 22.7 28 à 31 170 14.8 26 à 29 3 23 26 à 29 24 18.4 28 à 31 80 16.8 26 à 29 4 22.4 46 à 59 3.4 22.7 31 à 36 2 23.8

Table 6.74 – Éléments orbitaux des satellites rétrogrades irréguliers de Jupiter au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1975-2045. a est le demi-grand axe, P la période orbitale moyenne, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude. Satellite S/2003 J12 S/2001 J10 S/2003 J3 S/2003 J18 S/2003 J21 S/2016 J1 S/2010 J2 S/2001 J7 S/2017 J3 S/2000 J7 S/2003 J16 S/2003 J6 S/2001 J9 S/2000 J5 S/2000 J3 S/2001 J2

Euporie Eupheme Mneme

Euanthe Praxidike

Helike Orthosie Harpalyke Iocaste Thyone Ananke S/2003 J22 Telxinoe S/2017 J7

J 34 J 60 J 55 J 40 J 54 J 52 J 33 J 64 J 27 J 45 J 35 J 22 J 24 J 29 J 12 J 42 J 68

a 106 km

P jours

e

i degrés

17.3 à 18.3 18.8 à 19.7 19.3 à 20.5 19.8 à 21.0 20.0 à 21.6 20.0 à 21.6 20.1 à 20.6 20.1 à 21.6 20.2 à 21.7 20.2 à 21.8 20.2 à 21.7 20.2 à 21.6 20.2 à 21.7 20.2 à 21.6 20.3 à 21.8 20.3 à 21.8 20.3 à 21.8 20.3 à 21.8 20.3 à 21.8

483.2 545.9 576.6 592.0 613.2 612.5 612.0 613.5 618.6 618.3 615.9 617.4 616.8 613.3 624.1 620.3 622.7 620.1 619.6

0.31 à 0.69 0.07 à 0.22 0.10 à 0.40 0.02 à 0.23 0.07 à 0.43 0.06 à 0.48 0.08 à 0.43 0.09 à 0.44 0.08 à 0.43 0.08 à 0.42 0.09 à 0.44 0.06 à 0.28 0.09 à 0.55 0.08 à 0.44 0.07 à 0.41 0.12 à 0.44 0.09 à 0.45 0.10 à 0.40 0.07 à 0.43

139 à 156 144 à 148 144 à 149 142 à 149 142 à 153 139 à 150 143 à 153 142 à 152 144 à 151 143 à 150 142 à 153 153 à 158 139 à 149 145 à 151 145 à 151 143 à 151 143 à 152 146 à 155 143 à 150

463

D M km mag 1.3 2.5 2 2.0 2.5 6 1 2.5 2 6.8 1.5 1.2 2 4.3 5.2 3 20 2 2

23.8 23.0 23.6 23.0 23.1 23.3 23.4 21.2 23.0 23.5 23.1 22.2 21.8 22.1 18.9 22.7 23.5

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Table 6.74 (suite) S/2001 J3 S/2017 J9 S/2003 J15 S/2003 J10 S/2017 J8 S/2000 J4 S/2001 J6 S/2001 J4 S/2000 J10 S/2011 J2 S/2003 J5 S/2000 J6 S/2017 J2 S/2001 J11 S/2001 J8 S/2003 J11 S/2003 J9 S/2003 J1 S/2002 J1 S/2000 J9 S/2011 J1 S/2003 J17 S/2017 J5 S/2017 J6 S/2003 J8 S/2000 J2 S/2003 J23 S/2003 J19 S/2010 J1 S/2001 J5 S/2000 J8 S/2003 J13 S/2003 J4 S/2003 J7 S/1999 J1 S/2017 J1 S/2001 J1 S/2003 J14 S/2003 J2

Hermippe

J 30 20.4 à 21.9 J 70 21.0 à 22.8 Philophrosyne J 58 21.7 à 23.6 21.8 à 24.3 J 69 21.9 à 24.0 Erinome J 25 21.9 à 24.3 Pasithee J 38 21.9 à 24.0 Eurydone J 32 21.9 à 24.1 Chaldene J 21 21.9 à 24.1 J 56 21.9 à 24.2 Eirene J 57 22.0 à 24.4 Isonoe J 26 22.0 à 24.1 J 63 22.0 à 24.1 Aitne J 31 22.1 à 24.2 Kale J 37 22.1 à 24.4 Kallichore J 44 22.1 à 24.3 22.1 à 24.4 Carme J 11 22.1 à 24.3 Eukelade J 47 22.1 à 24.3 Arche J 43 22.1 à 24.3 Taygete J 20 22.1 à 24.4 J 72 22.1 à 24.4 Herse J 50 22.2 à 24.3 J 66 22.2 à 24.4 J 67 22.2 à 24.4 Hegemone J 39 22.2 à 24.7 Kalyke J 23 22.2 à 24.6 22.3 à 24.4 J 61 22.3 à 24.5 J 51 22.3 à 24.2 Sponde J 36 22.4 à 24.9 Pasiphae J 8 22.4 à 24.8 Megaclite J 19 22.5 à 25.4 Cyllene J 48 22.5 à 25.3 22.6 à 25.1 Aoede J 41 22.6 à 25.4 Sinope J 9 22.6 à 25.1 Callirhoe J 17 22.6 à 25.0 J 59 22.7 à 25.0 Autonoe J 28 22.7 à 25.1 Kore J 49 23.0 à 25.7 25.9 à 30.8

464

626.0 655.5 693.5 702.2 704.5 712.9 704.5 707.0 708.7 717.3 714.0 710.3 709.2 714.7 714.0 712.6 718.0 718.2 714.6 715.8 716.6 717.1 718.6 721.4 722.9 727.7 725.5 724.3 724.0 720.0 736.7 733.0 742.0 742.1 745.0 747.4 743.6 748.7 746.3 748.3 768.6 957.7

0.08 à 0.39 0.07 à 0.34 0.05 à 0.41 0.28 à 0.59 0.13 à 0.40 0.13 à 0.42 0.14 à 0.41 0.10 à 0.50 0.14 à 0.39 0.17 à 0.59 0.13 à 0.41 0.12 à 0.38 0.14 à 0.42 0.14 à 42 0.13 à 0.40 0.14 à 0.38 0.14 à 0.41 0.13 à 0.42 0.16 à 0.42 0.14 à 0.41 0.12 à 0.40 0.14 à 0.41 0.13 à 0.40 0.14 à 0.41 0.15 à 0.56 0.18 à 0.57 0.13 à 0.40 0.08 à 0.56 0.14 à 0.41 0.13 à 0.40 0.13 à 0.56 0.18 à 0.67 0.19 à 0.66 0.18 à 0.67 0.15 à 0.63 0.25 à 0.63 0.11 à 0.43 0.08 à 0.59 0.10 à 0.59 0.12 à 0.55 0.07 à 0.66 0.17 à 0.67

147 à 152 152 à 157 141 à 149 159 à 168 162 à 167 160 à 167 160 à 167 142 à 153 161 à 167 144 à 157 161 à 167 162 à 168 161 à 168 161 à 167 162 à 168 162 à 168 160 à 167 162 à 167 161 à 167 161 à 168 161 à 166 161 à 168 161 à 167 161 à 167 143 à 155 145 à 158 162 à 168 137 à 152 162 à 168 161 à 167 143 à 155 140 à 156 141 à 155 137 à 154 140 à 154 146 à 161 152 à 161 138 à 152 139 à 151 144 à 155 134 à 149 145 à 162

4 3 2 1.8 1 3.2 1.8 2.5 3.8 1 4 3.8 2 3 2 1 1.3 30 2.5 3.5 5 2 2.0 2 2 3 5 1.3 1.5 2 2 36 5.4 2.5 2 1.3 28 8 2 4 1.7 2

21.8 22.7 23.3 23.6 23.9 22.4 23.2 22.6 22.3 22.0 22.5 23.4 23.2 22.5 23.4 23.6 18.0 23.1 23.0 21.9 23.7 23.0 23.4 23.5 22.5 21.5 23.6 23.5 23.0 17.0 21.5 23.0 22.7 23.6 18.3 20.5 23.8 22.0 23.3 23.2

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.75 – Éléments orbitaux des satellites directs irréguliers de Saturne au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1975-2045. a est le demi-grand axe, P la période orbitale, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude.

Satellite S/2000 S5 S/2000 S6 S/2000 S2 S/2000 S11 S/2004 S29 S/2004 S11 S/2000 S10 S/2004 S31 S/2007 S1 S/2000 S3 S/2000 S4 S/2004 S24

Kiviuq Ijiraq Paaliaq Albiorix S2428b Bebhionn Erriapo T522499 Tarqeq Siarnaq Tarvos S8881b

S 24 S 22 S 20 S 26 S 37 S 28 S 52 S 29 S 21

a 106 km

P jours

e

i degrés

D M km mag

11.27 à 11.34 11.30 à 11.39 14.85 à 15.15 16.09 à 16.63 16.78 à 17.42 16.80 à 17.34 17.19 à 17.90 17.23 à 17.75 17.51 à 17.98 17.57 à 18.24 17.83 à 18.65 22.64 à 24.11

1.23 1.24 1.88 2.17 2.35 2.25 2.43 2.34 2.45 2.51 2.46 3.61

0.141 à 0.181 0.277 à 0.436 0.283 à 595 0.397 à 0.631 0.332 à 665 0.317 à 0.392 0.388 à 0.621 0.127 à 0.304 0.044 à 0.157 0.293 à 0.531 0.452 à 0.704 0.003 à 0.136

48 à 50 48 à 51 42 à 51 33 à 44 32 à 47 37 à 44 33 à 42 46 à 51 48 à 52 43 à 52 33 à 44 33 à 38

14 10 18 21 4 6 8 4 7 35 12 3

22.1 23.0 21.6 20.3 24.9 24.1 23.2 24.9 23.9 20.0 22.2 25.2

Table 6.76 – Éléments orbitaux des satellites rétrogrades irréguliers de Saturne au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1975-2045. a est le demi-grand axe, P la période orbitale, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude. Satellite

S/2000 S8 S/2004 S37 S/2007 S2 S/2006 S8 S/2004 S13 S/2006 S4 S/2004 S19 S/2000 S9 S/2006 S1 S/2004 S20 S/2006 S6 S/2003 S1 S/2004 S15 S/2004 S17 S/2000 S12 S/2004 S14

Phoebe Skathi S5605a2

a 106 km

S 9 12.87 à 13.00 S 27 15.45 à 15.73 15.78 à 16.13 16.52 à 16.90 Skoll S 47 17.40 à 17.94 17.84 à 18.35 Grep S 51 18.10 à 18.68 Hyrrokkin S 44 18.10 à 18.63 Mundilfari S 25 18.33 à 18.90 18.48 à 18.98 S2423b 18.96 à 19.59 Jarnsaxa S 50 18.99 à 19.63 Narvi S 3 1 18.99 à 19.64 Bergelmir S 38 19.00 à 19.56 19.07 à 19.70 Suttungr S 23 19.10 à 19.70 Hati S 43 19.35 à 20.13

P jours

e

1.496 1.97 2.06 2.19 2.38 2.48 2.48 2.50 2.55 2.66 2.71 2.58 2.71 2.60 2.50 2.72 2.96

0.143 à 0.186 0.193 à 0.330 0.412 à 0.550 0.141 à 0.217 0.365 à 0.525 0.199 à 0.304 0.256 à 0.385 0.331 à 0.484 0.162 à 0.265 0.088 à 0.181 0.141 à 0.253 0.161 à 0.285 0.236 à 0.446 0.103 à 0.201 0.133 à 0.228 0.078 à 0.158 0.283 à 0.443

465

i degrés

D M km mag

173 à 174 220 16.5 147 à 151 6 24.0 158 à 164 4 25.1 176 à 177 6 24.4 152 à 157 6 24.5 167 à 169 6 24.5 172 à 173 6 24.4 150 à 155 8 23,5 168 à 170 5 23.8 153 à 155 6 24.6 162 à 164 4 25.0 161 à 165 6 24.7 136 à 142 4.9 23.9 157 à 160 6 24.2 166 à 169 4 25.2 174 à 175 6 23.8 160 à 165 6 24.4

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Table 6.76 (suite) S/2007 S3 S/2004 S12 S/2004 S27 S/2000 S7 S/2004 S18 S/2004 S9 S/2004 S22 S/2004 S10 S/2004 S30 S/2004 S25 S/2004 S7 S/2004 S32 S/2006 S3 S/2004 S23 S/2004 S28 S/2006 S2 S/2004 S35 S/2004 S38 S/2004 S16 S/2006 S7 S/2000 S1 S/2006 S5 S/2004 S21 S/2004 S39 S/2004 S36 S/2004 S33 S/2004 S34 S/2004 S8 S/2004 S26

S8576a Thrymr Bestla Farbauti S8637a Aegir S5612a2 S8631e

S 30 S 39 S 40 S 36

S64472 S8630a S8386a Kari S5801a2 S8568a Fenrir Surtur Ymir Loge S5602a S64454x S5593a2 T514042 S5613a2 Fornjot S8353a

S 45

S 41 S 48 S 19 S 46

S 42

19.39 à 20.09 19.44 à 20.18 19.52 à 20.22 19.91 à 20.88 19.97 à 20.77 19.97 à 20.72 20.21 à 21.02 20.28 à 21.13 20.34 à 21.09 20.45 à 20.61 20.48 à 21.52 20.72 à 21.67 20.74 à 21.82 20.94 à 22.16 21.39 à 22.38 21.45 à 22.80 21.48 à 22.60 21.64 à 23.05 21.86 à 22.88 22.17 à 23.59 22.36 à 23.72 22.37 à 23.57 22.50 à 23.95 22.64 à 23.81 22.67 à 24.36 22.84 à 24.66 23.46 à 25.04 24.20 à 25.86 25.20 à 27.09

466

3.01 2.87 2.83 2.88 2.88 2.95 2.96 2.81 2.97 3.00 3.02 3.22 3.13 3.19 3.28 3.41 3.21 3.55 3.48 3.37 3.64 3.60 3.74 3.50 3.71 3.73 3.87 3.71 4.45

0.137 à 0.240 0.273 à 0.419 0.105 à 0.203 0.372 à 0.564 0.488 à 0.766 0.153 à 0.287 0.157 à 0.284 0.187 à 0.331 0.060 à 0.145 0.410 à 0.622 0.447 à 0.641 0.177 à 0.352 0.321 à 0.513 0.330 à 0.533 0.100 à 0.222 0.315 à 0.546 0.162 à 0.314 0.381 à 0.662 0.083 à 0.201 0.343 à 0.560 0.242 à 0.437 0.117 à 0.269 0.247 à 0.538 0.050 à 0.165 0.457 à 0.797 0.348 à 0.652 0.180 à 0.379 0.132 à 0.303 0.071 à 0.237

176 à 177 5 24.9 162 à 164 5 24.8 166 à 168 4 24.5 174 à 175 6 23.5 134 à 147 7 23.8 156 à 160 5 24.7 177 à 178 3 25.3 167 à 169 6 24.4 156 à 158 3 25.4 171 à 175 3 25.2 161 à 166 6 24.5 156 à 160 4 25.0 151 à 156 6 24.6 175 à 179 4 24.8 169 à 171 4 24.9 144 à 154 7 23.9 176 à 178 4 24.6 149 à 161 4 25.1 162 à 165 4 25.0 164 à 170 6 24.8 172 à 174 15 22.3 164 à 168 6 24.6 151 à 159 3 25.4 165 à 169 2 25.5 143 à 159 3 25.3 155 à 165 4 25.0 164 à 168 3 25.3 166 à 169 6 24.6 170 à 174 4 25.0

6.6. LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES

Table 6.77 – Éléments orbitaux des satellites irréguliers d’Uranus au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1970-2040. Les satellites dont l’inclinaison dépasse 90◦ sont rétrogrades. Un seul satellite (Margaret) est direct. a est le demi-grand axe, P la période orbitale, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude.

Satellite S/2001 U3 S/1997 U1 S/1999 U2 S/2001 U1 S/1997 U2 S/2003 U3 S/1999 U3 S/1999 U1 S/2001 U2

Francisco Caliban Stephano Trinculo Sycorax Margaret Prospero Setebos Ferdinand

U 22 U 16 U 20 U 21 U 17 U 23 U 18 U 19 U 24

a 106 km

P jours

e

i degrés

4.274 à 4.276 7.162 à 7.170 7.943 à 7.956 8.493 à 8.513 12.145 à 12.151 14.333 à 14.526 16.112 à 16.358 17.325 à 17.774 20.102 à 20.826

266.6 579.6 675.7 759.7 1289.0 1694.8 1948.1 2303.1 2823.4

0.137 à 0.142 0.076 à 0.082 0.143 à 0.157 0.204 à 0.224 0.449 à 0.517 0.749 à 0.868 0.319 à 0.399 0.467 à 0.573 0.316 à 0.454

147.3 à 147.6 139.4 à 140.0 141.3 à 142.0 166.1 à 166.4 152.4 à 154.4 50.0 à 58.1 143.7 à 146.3 145.8 à 150.0 166.9 à 168.8

D M km mag 22 60 32 18 150 20 50 47 21

25.0 22.4 24.1 25.1 20.8 25.2 23.2 23.3 25.1

Table 6.78 – Éléments orbitaux des satellites irréguliers de Neptune au 15 novembre 2019. Les intervalles indiquent leurs variations sur la période 1970-2040. Les satellites dont l’inclinaison dépasse 90◦ sont rétrogrades. Deux satellites (Sao et Laomédéia) sont directs. a est le demi-grand axe, P la période orbitale, e l’excentricité, i l’inclinaison, D le diamètre et M la magnitude.

Satellite

S/2002 N1 S/2002 N2 S/2002 N3 S/2003 N1 S/2002 N4

6.6.8.4

Néréide Halimede Sao Laomedeia Psamathe Neso

N2 N9 N1 N 12 N 10 N 13

a 106 km

P jours

e

i degrés

5.514 16.57 à 16.61 22.16 à 22.33 23.37 à 23.65 45.93 à 49.71 48.74 à 51.81

0.99 5.15 7.98 8.67 24.96 26.66

0.751 0.252 à 0.261 0.120 à 0.144 0.364 à 0.410 0.168 à 0.395 0.617 à 0.775

128.9 à 133.3 111.8 à 113.0 52.5 à 54.3 37.6 à 39.4 118.7 à 124.4 133.0 à 144.3

D M km mag 340 61 40 40 38 60

18.7 24.5 25.4 25.4 25.6 24.6

Caractéristiques dynamiques

La perturbation dominante des satellites lointains des planètes géantes est l’attraction gravitationnelle du Soleil. Ainsi, leur dynamique peut être étudiée sur la base d’un problème restreint de trois corps. Un autre facteur à prendre en compte dans la construction de modèles de mouvement des satellites lointains est l’attraction des principaux satellites. Ils sont assez massifs et ont une influence notable.

467

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES 6.6.8.5

Modèles de mouvement de satellites lointains

Dans le passé, avant l’arrivée des puissants ordinateurs, des théories analytiques du mouvement des satellites lointains ont été développées, par exemple par Orlov et Chepurova (1984). La difficulté de construire une théorie analytique du mouvement d’un satellite lointain réside dans le fait que les petits paramètres nécessaires dans ce cas ne sont pas assez petits. Aussi, la construction de théories analytiques avec la précision des observations modernes n’a pas donné de résultats probants. L’intégration numérique des équations différentielles de mouvement avec la précision requise nécessite un temps de calcul qui est acceptable avec des ordinateurs modernes et, de nos jours, la modélisation des mouvements et la production d’éphémérides pour les satellites lointains sont faites avec des méthodes d’intégration numérique. Les premiers modèles de mouvement et d’éphémérides de satellites lointains sur la base de toutes les observations disponibles à l’aide de l’intégration numérique ont été réalisés par Rocher et Chapront (1996) et par Jacobson (1998a, 2000). Ultérieurement, de tels modèles ont été construits régulièrement au JPL et à l’IMCCE. Emelyanov (2005a) et Emelyanov et Kanter (2005) ont utilisé la méthode d’intégration numérique pour tous les satellites lointains connus de Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, ajustée sur toutes les observations disponibles. La construction d’éphémérides de satellites lointains des planètes géantes a deux caractéristiques exceptionnelles. D’une part, depuis 20 ans, de nouveaux satellites ont été presque constamment découverts : il a été nécessaire de créer des modèles de mouvement et des éphémérides pour ces satellites. D’autre part, pour un certain nombre de satellites lointains de Jupiter et de Saturne, les intervalles de temps des observations se sont révélés très courts. Pour certains satellites, l’intervalle de temps n’était que de 40% de la période de révolution du satellite, ce qui ne recouvrait qu’une petite partie de l’orbite. Ce travail d’ajustement des orbites des satellites lointains doit être constamment refait parce que de nouvelles observations sont régulièrement publiées. Il est nécessaire de mettre à jour les orbites et les éphémérides des satellites, surtout pour les satellites peu observés pour lesquels l’arrivée de nouvelles observations augmente considérablement la couverture d’une orbite. Cette mise à jour améliore beaucoup la précision des éphémérides.

6.6.8.6

Pertes et redécouvertes des satellites lointains de Jupiter

L’exactitude d’extrapolation des éphémérides des satellites lointains a été déterminée (Emelyanov, 2010) et est fournie sur le serveur MULTISAT. Il s’est avéré que pour 468

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES les satellites lointains découverts au début et au milieu du xxe siècle, la précision des éphémérides reste proche de 0.0600 jusqu’en 2020. Pour les autres satellites, la précision des éphémérides diminue fortement du fait de l’intervalle de temps trop court des observations. Il existe des satellites pour lesquels l’intervalle de temps d’observation est de 30 jours, soit 4 à 7% de la période orbitale. Pour certains de ces satellites, la précision des éphémérides est comparable à la dimension de l’orbite, ce qui signifie que ces satellites peuvent être considérés comme perdus. Ils doivent alors être recherchés et redécouverts. Dans le travail de Jacobson et al. (2012), sur la base de toutes les observations disponibles à cette date, les orbites et les éphémérides de tous les satellites lointains de Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, ont été affinées ainsi que les estimations de l’exactitude des éphémérides. Les résultats sont similaires à ceux obtenus par Emelyanov (2010), mais, pour un certain nombre de satellites, les éphémérides se sont avérées plus précises parce que des séries d’observations plus longues ont pu être utilisées. Les auteurs de l’article (Jacobson et al., 2012) ont de plus réalisé de nouvelles observations et une recherche des satellites précédemment perdus. Plusieurs satellites ont été retrouvés, mais 16 satellites lointains de Jupiter et Saturne précédemment découverts restaient encore perdus. Après un nouveau travail (Brozovi´c et Jacobson, 2017) utilisant de nouvelles observations, certains satellites ont été retrouvés, mais 11 satellites lointains de Jupiter restent actuellement perdus.

6.7 6.7.1

La représentation des éphémérides Introduction

Les éphémérides sont le résultat de la construction d’un modèle dynamique du mouvement des corps et de son ajustement sur des observations. Cependant, le résultat se trouve sous forme soit de séries qui dépendent du temps, soit d’une intégration numérique. Dans les deux cas, un calcul assez long est nécessaire pour obtenir une position dans l’espace ou sur la sphère céleste. Il est donc nécessaire de fournir une représentation simple des éphémérides qui, à l’aide d’un calcul court, fournit la position recherchée. Il est facile de comprendre que n’importe quelle fonction peut être approchée par un polynôme de degré suffisant sur un intervalle de temps donné. Ce polynôme dépendant du temps sera simple à utiliser. Cependant, on verra qu’il existe des moyens plus puissants que les simples polynômes du temps pour représenter les éphémérides. La représentation la plus simple d’une éphéméride est la représentation tabulée. Les positions sont données dans une table à intervalles réguliers, de jour en jour ou d’heure en heure, selon la vitesse de déplacement du corps, de façon à ce qu’une interpolation soit 469

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES aisée pour obtenir une position à n’importe quelle date. Dans le cas des satellites naturels, leur mouvement rapide ne se prête pas à la représentation tabulée qui nécessiterait un volume de données trop important pour une manipulation aisée.

Pour les satellites naturels, deux représentations sont utilisées :

• la représentation sous forme de polynômes de Tchebychev, beaucoup plus performants que les polynômes du temps ; • la représentation sous forme de fonctions mixtes qui permettent une limitation des données nécessaires en ajoutant un terme périodique prépondérant dans le mouvement.

6.7.2

Échelle de temps

L’argument temporel utilisé dans les théories et dans les éphémérides est le temps uniforme de la mécanique céleste représenté jusqu’à récemment par le Temps des éphémérides (TE) et que l’on confond désormais avec le Temps terrestre (TT). Il convient d’effectuer la correction qui permet de se ramener au Temps universel coordonné (UTC) qui est le temps des observateurs.

6.7.3

Calcul des coordonnées

Les théories du mouvement des satellites naturels des planètes utilisées fournissent, pour un instant donné, les coordonnées cartésiennes de chaque satellite dans un repère équatorial céleste moyen J2000 lié à l’ICRF, dont le centre est situé au centre de masse de la planète du système. Les coordonnées publiées dans la Connaissance des temps étant des coordonnées géocentriques tangentielles, des changements de repère ont dû être effectués : dans un premier temps, le repère est ramené au repère rapporté au centre de la Terre par l’intermédiaire de l’éphéméride INPOP de la Terre et de la planète concernée. On passe ensuite au repère tangentiel géocentrique centré sur la planète concernée et on obtient deux coordonnées tangentielles X et Y relatives à la planète, directement comparables aux observations. De plus, on a effectué la correction du temps de lumière, et les coordonnées peuvent être considérées comme astrographiques. 470

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES

6.7.4 6.7.4.1

Précision et exactitude des éphémérides, extrapolation Introduction

La précision des éphémérides publiées dans la Connaissance des temps dépend de trois précisions différentes : • la précision interne de la théorie utilisée, qui dépend de l’importance des termes des séries négligés et qui peut être évaluée à l’aide d’une comparaison à une intégration numérique. La précision interne est en général la meilleure des trois ; • la précision externe de la théorie utilisée, qui dépend de la précision des observations utilisées (voir le paragraphe sur la précision des observations) pour l’ajustement des constantes d’intégration de cette théorie, et aussi de la répartition des observations au cours du temps. C’est la précision externe qui limite la précision globale des éphémérides ; • la précision de la représentation que l’on choisit en ajustant le nombre de coefficients et la longueur des intervalles de validité. Pour un satellite donné, l’intervalle de validité de la représentation est constant. La table 6.79 donne une limite supérieure de la précision de la représentation qui n’est atteinte que pour un petit nombre d’intervalles. Cette précision est la seule que l’on puisse choisir et elle ne dégrade pas la précision globale. La précision externe donnée dans la table 6.79 n’est valable que sur l’intervalle de temps où l’on dispose d’observations. Hors de cette zone, l’éphéméride va peu à peu diverger.

6.7.4.2

Précision des observations et précision des éphémérides

La propriété des mouvements orbitaux des corps célestes est telle que la longitude orbitale augmente de façon monotone avec le temps. On prend ses valeurs obtenues à partir des observations, puis on exclut de ses valeurs la fonction de son évolution théorique (éphémérides). Il est possible d’obtenir les écarts résiduels, comme montré dans la figure 6.28 (a). Dans certains cas, on ne trouve rien d’intéressant et il faut augmenter la durée d’observation. La figure 6.28 (b) montre alors le changement quasi quadratique de la longitude dans le temps. Un tel effet peut apparaître du fait de la dissipation non comptabilisée de l’énergie du corps céleste, qui peut être causée par exemple par les forces de marée. Il est clair que l’amélioration des modèles nécessite une extension de l’intervalle de temps d’observation. 471

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Table 6.79 – Précision et exactitude (précision externe) des éphémérides des satellites naturels des planètes publiées dans la Connaissance des temps.

Précisions en millièmes de seconde de degré (mas)

Satellites de Mars Phobos Déimos Satellites de Jupiter Io Europe Ganymède Callisto Satellites de Saturne Mimas Encelade Téthys Dioné Rhéa Titan Hypérion Japet Satellites d’Uranus Miranda Ariel Umbriel Titania Obéron

interne

externe (estimation)

représentation

0.5 3

20 60

7 7

3 3 3 3

90 100 100 130

5 9 4 2

200 27 48 55 60 60 17

180 150 150 150 120 130 200 190

15 9 1 2 3 16 7 8

1 1 3 7 7

130 130 130 130 130

6 6 10 8 8

472

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES 1

1

a

0.8

b

0.8

Écarts résiduels en longitude

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

– 0.2

– 0.2

– 0.4

Écarts résiduels en longitude

– 0.4 0

200

400

600

800

1000

Temps

0

200

400

600

800

1000

Temps

Figure 6.28 – Exemples des écarts résiduels (O − C) en longitude orbitale sur les intervalles de temps différents. En a, il est impossible de détecter les termes quadratiques détectés en b avec plus d’observations.

Quel peut être alors le lien entre l’intervalle de temps des observations et la précision des éphémérides ? La figure 6.29 (a) montre les valeurs de la longitude orbitale d’un corps céleste obtenues à partir d’observations sur l’intervalle de temps (t1 , t2 ). Il y a un bruit et une évolution linéaire. À partir de la théorie et des observations, on peut calculer les valeurs possibles de la longitude pour l’instant voulu, borné par des lignes droites dans la figure 6.29. Si on continue les observations avec la même précision jusqu’à t3 , alors la précision des éphémérides va s’améliorer, comme on le voit sur la figure 6.29 (b). a

b

Longitude orbitale

t1

t2

Longitude orbitale

tf

t

t1

t2

t 3 tf

t

Figure 6.29 – Démonstration de l’exactitude des éphémérides du corps céleste en fonction de l’intervalle de temps des observations.

De toute évidence, on ne peut pas mesurer la longitude orbitale directement sur les observations. On observe seulement la projection du mouvement orbital sur le plan de l’image. Les situations théoriques considérées permettent de tirer des conclusions 473

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES importantes : 1. Pour construire un modèle de mouvement de n’importe quel corps céleste, il faut toujours utiliser l’ensemble des observations qui existent dans le monde depuis la découverte du corps céleste considéré ; 2. Il faut continuer les observations des corps célestes avec la même précision sans interruption et les ajouter à la base de données pour l’ajustement du modèle afin de conserver la précision des éphémérides ; 3. L’utilisation d’observations faites avec une meilleure précision ne conduit pas toujours à un meilleur modèle : les avantages de quelques observations en comparaison avec d’autres sont déterminés non seulement par leur précision, mais également par l’intervalle de temps sur lequel elles sont effectuées ; 4. Lorsqu’il n’est plus possible d’observer un corps avec une méthode d’observation habituelle, il faut rechercher une nouvelle méthode pour éviter une interruption trop longue des observations.

6.7.4.3

Ajustement des paramètres et calcul d’éphéméride

On aborde maintenant le calcul des éphémérides ainsi que la détermination de leur précision. Les relations entre la précision des observations et la précision des éphémérides sont complexes et une analyse plus précise et détaillée est nécessaire. En particulier, une analyse des erreurs des éphémérides est nécessaire lorsque l’intervalle de temps d’observation est petit. Dans tous les cas, pour analyser l’exactitude des éphémérides, il faut connaître les propriétés des erreurs d’observation. En général, on ne sait rien sur ces erreurs et on doit accepter certaines hypothèses, dont la principale est le caractère aléatoire absolu des erreurs d’observation. De plus, certaines propriétés de la distribution de densité de probabilité d’erreur doivent être adoptées. Si on considère le processus à suivre, pour calculer les éphémérides, on a besoin d’un modèle du mouvement du corps céleste et d’observations. Soit ξ la valeur mesurée par l’observation. On suppose que le mouvement du corps céleste repose sur certains paramètres constants. On les note par p1 , p2 , ..., pn . Le modèle de mouvement est donné par la fonction : ξ = ξ(t, p1 , p2 , ..., pn ) (6.30) Cette fonction est obtenue en combinant les autres fonctions suivantes : ξ = ξo (x, y, z, p j+1 , p j+2 , ..., Pn ) 474

(6.31)

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES et : x = x(p1 , p2 , ..., P j ) y = y(p1 , p2 , ..., P j )

(6.32)

z = z(p1 , p2 , ..., P j ) où x, y, z sont les coordonnées rectangulaires du corps céleste. Les fonctions 6.32 sont obtenues dans le processus de résolution des équations différentielles du mouvement. Ces fonctions ne dépendent pas de la façon dont on observe le corps céleste. La fonction 6.31 ne dépend que de la façon dont on observe et de ce qu’on mesure. À partir de l’observation à l’instant ti , on obtient la valeur observée de la quantité mesurable ξi(o) . Cette valeur contient en elle-même l’erreur δ(o) i . La vraie valeur de ξi est obtenue en soustrayant l’erreur : ξi = ξi(o) − δ(o) i

(6.33)

La valeur mesurée à l’instant ti , peut être calculée en utilisant la fonction 6.30. Dans ce cas, le modèle de mouvement contient l’erreur δ(c) i causée par des erreurs d’intégration numérique ou d’inexactitude d’une solution analytique. La vraie valeur de ξi est obtenue en soustrayant l’erreur : ξi = xi (ti , p1 , p2 , ..., pn ) − δ(c) (6.34) i Ainsi, à partir des équations 6.33 et 6.34, on a : ξi(o) = xi (ti , p1 , p2 , ..., pn ) + δi

(6.35)

avec : (c) δi = δ(o) i − δi

En pratique, la solution des équations du mouvement est satisfaite aussi précisément que nécessaire. Ensuite, l’erreur δ(c) i peut être négligée et δi correspondra à l’erreur d’observation. Si on a m observations faites aux instants ti (i = 1, 2, ..., m), alors on a les m équations 6.35 par rapport à n + m inconnues p1 , p2 , ..., pn , δi . Le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations et il est impossible de résoudre ces équations sans information supplémentaire. Dans cette situation, on remplace le système d’équations 6.35 par un autre système pour lequel les erreurs d’observation ont été éliminées : ξi(o) = xi (ti , p1 , p2 , ..., pn ) 475

(6.36)

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES avec les paramètres inconnus p1 , p2 , ..., pn . Ce système ne peut pas non plus être résolu directement, puisque le nombre d’inconnues est inférieur au nombre d’équations. Ces équations 6.36 sont de plus incompatibles, puisque les erreurs d’observation rejetées δi sont supposées indépendantes. Les équations 6.36 aux paramètres inconnus p1 , p2 , ..., pn sont généralement appelées équations de conditions. On doit trouver une estimation des paramètres p1 , p2 , ..., pn qui correspond au mieux à l’équation 6.36. Il existe plusieurs façons de trouver cette estimation. La méthode des moindres carrés est le plus souvent utilisée, mais chaque façon de rechercher des estimations de paramètres est fondée sur une hypothèse qui concerne les propriétés des erreurs δi . Dans la méthode des moindres carrés, on suppose que les erreurs δi sont des variables aléatoires avec les propriétés suivantes : a) la matrice de covariance K des erreurs aléatoires est δi (jusqu’à un facteur indéterminé) ; b) l’espérance mathématique de chaque variable aléatoire δi est nulle. Dans la littérature, on lit souvent que pour l’application de la méthode des moindres carrés, il est nécessaire que la distribution de densité de probabilité des erreurs d’observation δi soient gaussiennes, mais ce n’est pas du tout nécessaire. En termes de théorie des probabilités, les observations faites ne donnent qu’un échantillon d’une série de variables aléatoires δi : on n’en a pas d’autres. Lorsque l’on expérimente une théorie des probabilités en lançant une pièce de monnaie, elle peut être ramassée et relancée pour obtenir un autre échantillon d’une variable aléatoire. Dans le cas de nos observations, on ne peut pas faire de même, et par conséquent, les propriétés des variables aléatoires δi sont inconnues. La matrice de covariance K est également inconnue. Dans ces conditions, on ne peut accepter que des hypothèses, et on suppose généralement que la matrice de covariance satisfait la relation : K = σ2 E où E est la matrice d’identité et σ est une quantité indéfinie. Une autre hypothèse est que l’espérance mathématique de chaque quantité aléatoire δi est égale à zéro. Si toutes les hypothèses acceptées sont correctes, alors la méthode des moindres carrés donne une estimation précise des paramètres. 476

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES Lorsque les paramètres p1 , p2 , ..., pn sont trouvés, on a besoin d’une éphéméride au moment te . L’éphéméride est calculée pour les mêmes quantités qu’on mesure pendant les observations. Autrement dit, c’est ξ à l’instant te . Dans ce qui suit, on appelle la série ti , ξi(o) (i = 1, 2, ..., m) observations. Le processus de recherche d’estimations de paramètres à l’aide des équations 6.36 sera appelé ajustement des paramètres. Le processus d’évaluation des fonctions ξ(te , p1 , ..., pn ) est appelé calcul des éphémérides. 6.7.4.4

Trois méthodes de l’évaluation de la précision des éphémérides

Éphéméride

? ? ?

Précision Erreurs d’observation Erreurs de théorie

t1

tn

te

Observations

Temps

Figure 6.30 – Comment évaluer la précision des éphémérides.

Le problème qui se pose est montré par la figure 6.30. Ici, comme ci-dessus, on suppose que les erreurs des éphémérides proviennent d’erreurs d’observation. Les erreurs dues à la théorie sont négligées. L’idée de base est l’idéal de la théorie des probabilités, qui est de lancer une pièce plusieurs fois. En réalité, les observations sont constituées d’un échantillon unique. La seule possibilité est de créer des simulations des données initiales. Pour une série d’échantillons de données initiales, on obtient une série d’échantillons d’éphémérides. Les caractéristiques statistiques des échantillons d’éphémérides montrent leur précision. Les simulations des données sources peuvent habituellement être effectuées de trois manières différentes. Chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients. Par conséquent, il est utile de les considérer toutes les trois. 477

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Dans tous les cas, les données initiales sont les observations par lesquelles on obtient les éphémérides dont la précision nous intéresse. Pour toute méthode choisie, avant de boucler sur les échantillons, il faut effectuer les préparations suivantes une seule fois à partir des observations réelles, comme montré sur la figure 6.31. Après ces préparations, on a les données suivantes :

1. Observations initiales ; 2. Paramètres de référence ; 3. Matrice de covariance des paramètres ; 4. Observations de référence ; 5. Éphéméride de référence.

Ici, les paramètres de référence sont les paramètres du mouvement du satellite p1 , ..., pn obtenus à partir d’observations réelles. Les observations de référence sont les éphémérides de la valeur de ξ calculées pour les moments d’observations réelles. L’éphéméride de référence est la valeur de ξ calculée à l’instant te à partir des paramètres de référence.

Observations initiales

Ajustement des paramètres

Matrice de covariance des paramètres

Paramètres de référence

Calcul des observations de référence

Calcul des éphémérides

Observations de référence

Éphéméride de référence

Figure 6.31 – Opérations préliminaires avant de démarrer le cycle sur des échantillons.

Pour le cycle d’échantillons, on a besoin d’un générateur de nombres aléatoires. Un tel programme est disponible dans les bibliothèques de compilateurs. Un générateur donne des nombres aléatoires avec certains paramètres statistiques. On a besoin de deux options. Une option consiste à avoir une distribution uniforme de densité de probabilité dans une plage prédéterminée. L’autre aura une distribution gaussienne avec une valeur moyenne de zéro et une variance égale à un. 478

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES 6.7.4.5

Méthode de variation des erreurs d’observation

Pour cette méthode, on doit connaître l’erreur quadratique moyenne de l’observation. Cette information peut être obtenue au stade préliminaire, qui est décrit ci-dessus. La structure des actions pour estimer la précision des éphémérides par variation des erreurs d’observation est montrée par la figure 6.32. Un échantillon d’erreurs d’observation est calculé en utilisant une distribution gaussienne avec une variance normalisée à la variance des erreurs d’observation qui est initialisée au stade préliminaire. Les éléments d’actions marqués du signe R sont exécutés autant de fois que possible afin d’obtenir un indice de précision stable. Dans ce cycle, après avoir obtenu la variation suivante des éphémérides, on revient à l’étape de calcul d’échantillon d’erreurs. Au cours du passage du cycle, on accumule la valeur de la dispersion des éphémérides, c’est-à-dire l’estimation de la précision recherchée. Observations de référence

Échantillon d’erreurs

Ajustement des paramètres

Échantillon d’observations

Éphéméride de référence

Échantillon d’éphéméride

Variations d’éphéméride

Échantillon de paramètres

Calcul des éphémérides

Estimation de la précision des éphémérides

Figure 6.32 – Suite d’actions pour évaluer l’exactitude des éphémérides en faisant varier les erreurs d’observations.

6.7.4.6

Méthode de variation des erreurs de paramètres

Dans ce cas, la structure des actions est montrée par la figure 6.33. Pour cette méthode, on doit connaître la matrice de covariance des paramètres. Cette information est obtenue au stade préliminaire. Avec cette matrice, pour chaque échantillon d’erreurs, on calcule une variation des paramètres et donc l’échantillon de paramètres. Une question importante se pose ici quant à la façon de former une variation aléatoire des paramètres. La méthode justifiée par la théorie des probabilités est la suivante : pour 479

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES

Paramètres de référence

Échantillon d’erreurs

Calcul d’échantillon des paramètres

Matrice de covariance des paramètres

Éphéméride de référence

Échantillon d’éphéméride

Variations d’éphéméride

Échantillon de paramètres

Calcul des éphémérides

Estimation de la précision des éphémérides

Figure 6.33 – Suite d’actions pour évaluer l’exactitude des éphémérides en faisant varier les erreurs de paramètres.

la matrice de covariance des erreurs des paramètres connue D, on définit la matrice de décomposition de Cholesky L sur la base de la relation : LLT = D En utilisant un générateur de nombres aléatoires, on forme un vecteur aléatoire η constitué de n composants. L’ensemble des valeurs aléatoires des paramètres P est ensuite calculé par la formule : P = P0 + Lη où P0 est le vecteur des paramètres de référence. On note que la matrice L s’avère être triangulaire inférieure. Tout comme pour la méthode précédente, les éléments d’actions marqués du signe R sont exécutés autant de fois que possible afin d’obtenir un indice de précision stable. Dans ce cycle, après avoir obtenu la prochaine variation des éphémérides, on revient à l’étape de calcul d’échantillon d’erreurs. Au cours du passage du cycle, on accumule la valeur de la dispersion des éphémérides. L’algorithme considéré a un avantage sur les autres méthodes. Le temps de calcul est réduit significativement parce que l’ajustement des paramètres à partir des observations s’est fait une seule fois. Un autre avantage est que les caractéristiques statistiques des erreurs d’observation sont automatiquement prises en compte grâce à l’utilisation de la matrice de covariance d’erreur de paramètres. 480

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES

Observations initiales

Bootstrap échantillonnage des observations

Ajustement des paramètres

Éphéméride de référence

Échantillon d’éphéméride

Variations d’éphéméride

Échantillon de paramètres

Calcul des éphémérides

Estimation de la précision des éphémérides

Figure 6.34 – Suite d’actions pour évaluer l’exactitude des éphémérides en faisant varier les compositions des observations par la méthode bootstrap.

6.7.4.7

Méthode de variation de séries d’observations avec l’échantillonnage bootstrap

Dans cette méthode, on ne fait pas varier les erreurs d’observation, mais la composition de l’échantillonnage d’observations. Chaque composition est formée comme un échantillon de la série originale d’observations. Si le nombre des observations est égal à m, on tire de la série originale d’observations par hasard une observation après l’autre. Chaque observation a la même probabilité d’être tirée. Après chaque tirage, on restitue l’observation tirée à la série originale. Avant chaque tirage, la série originale contient toujours m observations. On effectue le tirage exactement m fois. En conséquence, on obtient exactement une nouvelle série qui contient m observations tirées. Cette nouvelle série pourra contenir certaines observations plusieurs fois. Certaines observations ne seront pas tirées. Cette nouvelle série d’observations joue le rôle d’un échantillon. L’opération décrite est répétée plusieurs fois dans le processus d’estimation de la précision des éphémérides. L’algorithme de cette approche est montré par la figure 6.34. L’application de la méthode d’échantillonnage bootstrap a un avantage : on n’a pas besoin d’évaluation de l’exactitude des observations. Bien que la méthode ne soit pas justifiée théoriquement, elle donne des résultats corrects. 6.7.4.8

Mise en œuvre pratique des trois méthodes

Comment tester la validité des résultats ? Cela ne peut se faire qu’en comparant les résultats obtenus par les trois méthodes et en les testant sur de vrais exemples, comme cela a 481

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES été fait par Emelyanov (2010). L’exactitude des éphémérides de tous les satellites lointains de planètes géantes a été déterminée pour la première fois sur la base d’observations. Une comparaison d’estimations de l’exactitude des éphémérides par trois méthodes y est faite. Il s’est avéré que pour les satellites lointains, avec un intervalle d’observation suffisamment grand, les trois méthodes donnent des résultats complètement identiques. Cependant, dans le cas de petits intervalles d’observation, la méthode bootstrap donne une évaluation irréaliste. Dans ce cas, la méthode de variation des erreurs d’observation et celle de variation des paramètres conservent un bon accord. L’explication en est très simple : si l’intervalle de temps des observations est petit et que le nombre d’observations est très faible, la méthode bootstrap pourra donner des échantillons d’observations pour un intervalle de temps incomplet. Par exemple, une seule observation peut être choisie m fois et les autres pas une seule fois. Avec une telle série d’observations, l’éphéméride sera irréaliste. Dans ce cas, la méthode bootstrap doit être appliquée d’une autre manière. On doit garder toutes les dates d’observations telles qu’elles sont, et l’échantillonnage bootstrap doit être appliqué uniquement pour des erreurs d’observations.

6.7.5

6.7.5.1

Représentation des éphémérides des satellites naturels des planètes dans la Connaissance des temps Les éphémérides tabulées

Les éphémérides, qui traduisent le mouvement des objets du Système solaire dans les annuaires ou les almanachs, apparaissent généralement sous la forme de tables horaires, mensuelles ou annuelles. L’intervalle tabulaire est fonction de la rapidité de la variation de la quantité ou du phénomène qu’on cherche à représenter. On parle alors d’éphémérides tabulées. Cette technique présente un avantage évident de simplicité. Dans le cas de l’utilisation d’une éphéméride de faible précision, une lecture directe ou une interpolation à vue est généralement suffisante pour repérer un objet dans le ciel ou dater approximativement un phénomène. Par ailleurs, une tabulation autorise un certain systématisme dans la présentation d’un ouvrage, le texte résumant les explications et usages qui nécessitent un discours unique pour l’emploi de l’ensemble des tables. Cette représentation n’est cependant pas sans inconvénient. Lorsqu’on cherche à atteindre une précision élevée dans l’évaluation d’une quantité, l’interpolation linéaire devient insuffisante ; on est alors conduit à utiliser des formules d’interpolation dont le degré de complexité augmente avec la précision requise. Il est nécessaire, par ailleurs, que les tables demeurent interpolables au niveau de quelques unités de la dernière décimale affichée, c’est-à-dire que, suivant la rapidité et le caractère fortement non linéaire du phénomène qu’on représente, il faut diminuer l’intervalle tabulaire, et donc augmenter le nombre des abscisses auxquelles les fonctions sont évaluées. On est alors conduit à publier un volume important de données, et à exiger de l’utilisateur la mise en œuvre d’un calcul d’interpolation non trivial. 482

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES 6.7.5.2

Approximation d’une fonction

Il n’est pas question ici de discuter dans le détail des techniques mathématiques employées dans l’approximation des fonctions du temps qui représentent les éphémérides, mais plutôt de justifier de façon intuitive le choix des séries de Tchebychev introduites pour cette réalisation. Les éphémérides, ou les fonctions du temps f (t) que nous considérons, sont définies sur un intervalle ∆t, à partir de t0 , soit : [t0 , t0 + ∆t]. Dans la suite, on s’intéresse à des fonctions f (x), d’une variable x, sur l’intervalle [−1, +1]. Le passage du temps t à la variable x est élémentaire ; la transformation est opérée à l’aide du changement de variable linéaire : 2(t − t0 ) x = −1 + (6.37) ∆t Afin de se placer à l’intérieur d’un schéma aussi simple que possible, on choisit tout d’abord l’approximation polynomiale, pour des raisons de commodité d’évaluation. On envisage plus loin, avec l’introduction des fonctions mixtes, un autre schéma qui prendra en compte le caractère quasi périodique des fonctions qui apparaissent dans les éphémérides.

6.7.5.3

Application du principe des moindres carrés

Il est clair que les fonctions qui sont approchées sont définies pour toutes les valeurs de x de l’intervalle, et qu’il est souhaitable de tenir compte de toutes ces valeurs plutôt que d’un ensemble arbitraire de valeurs discrètes. Ainsi, au lieu de déterminer une approximation y(x) de f (x), par un polynôme de degré N passant par N + 1 valeurs tabulées a priori, comme c’est le cas de l’approximation lagrangienne, on demandera à y(x) de représenter la meilleure approximation de f (x) sur l’intervalle, dans un sens que l’on va préciser. En suivant le principe des moindres carrés de Legendre, on cherchera à rendre minimale la moyenne quadratique des erreurs (ou résidus R), ces erreurs étant représentées par les différences entre f (x) et son approximation y(x), en chaque point x de l’intervalle de définition I : [−1, +1]. Pour un nombre n de points xi uniformément répartis sur l’intervalle [−1, +1], on devra donc avoir : n

n

1X 2 1X R (xi ) = | f (xi ) − y (xi ) |2 n i=1 n i=1

minimum

Le passage au continu est obtenu sous la forme intégrale : Z 1 +1 | f (x) − y (x) |2 dx minimum 2 −1

(6.38)

(6.39)

Un concept supplémentaire doit être introduit, celui de la fonction de poids w(x), définie et positive, sur l’intervalle I de définition. On peut en effet affecter à chaque erreur un poids, 483

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES c’est-à-dire une valeur w(x) – ou pondération de l’erreur – attachée à chaque abscisse x, en fonction de sa distribution sur l’intervalle. Au lieu de l’équation 6.38, on imposera la nouvelle condition pondérée suivante : n

n

1X 1X w (xi )R2 (xi ) = w (xi ) | f (xi ) − y (xi ) |2 n i=1 n i=1

minimum

(6.40)

Le passage au cas continu est obtenu avec une écriture de la condition de Legendre sous la forme intégrale : Z 1 +1 w (x) | f (x) − y (x) |2 dx minimum (6.41) 2 −1 Soit maintenant {φ0 , φ1 , . . . , φN } un ensemble de N + 1 polynômes choisis de manière appropriée, comme on le verra plus loin. On recherche une approximation y(x) de f (x) sous la forme d’une combinaison linéaire des {φk ; k = 0, . . . , N} : y (x) =

N X

ak φk (x) ≈ f (x)

(6.42)

k=0

Les ak de l’équation 6.42 sont déterminés de telle sorte que la condition des moindres carrés (équation 6.40) soit remplie.

6.7.5.4

Les polynômes orthogonaux

On introduit un nouveau concept, celui de polynôme orthogonal. Sur l’intervalle [−1, +1] on considère les fonctions f (x) de carrés sommables, par rapport à la fonction de poids R +1 w(x). Pour ces fonctions, l’intégrale −1 w (x) f 2 (x) dx existe et a une valeur finie positive. Le produit scalaire de deux de ces fonctions f et g est construit avec : Z +1 ( f | g) = w (x) f (x) g (x) dx −1

et la norme, de même : k f k2 =

Z

+1

w (x) f 2 (x) dx = ( f | f )

(6.43)

−1

On désigne k f k sous le nom de norme quadratique de f . Deux fonctions sont dites orthogonales si ( f | g) = 0. Dans l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à N, on peut construire des sous-ensembles de N + 1 polynômes orthogonaux {φ0 , φ1 , . . . , φN } qui vérifient : (φ p | φq ) = 0 si p , q, où φ p est de degré p et φq de degré q 484

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES Un tel sous-ensemble constitue un système orthogonal. Il est possible d’imposer en outre des conditions sur les normes : k φ p k2 = (φ p | φ p ) On fait le choix dans l’équation 6.42 d’un système orthogonal {φk }, où k prend les valeurs 0, · · · , N. La condition de meilleure approximation au sens des moindres carrés de Legendre, par rapport à la norme (équation 6.43) équivaut à k f (x) − y (x) k minimum. Avec ce choix, le calcul des coefficients est explicite et, dans le développement formel (équation 6.42), ils sont donnés par : R +1 w (x) f (x) φk (x) dx (6.44) ak = −1R +1 2 (x) dx w (x) φ k −1 Il existe une grande variété de choix de types de polynômes suivant la valeur de la fonction de poids w(x). Le choix le plus simple est celui où w(x) = 1 qui conduit aux polynômes de Legendre. Avec le choix de la fonction de poids : 1 w (x) = √ 1 − x2 on est conduit aux polynômes de Tchebychev. Alors que dans le premier cas, avec Legendre, on attribue un poids constant égal sur tout l’intervalle, dans le second cas, avec Tchebychev, le poids est moindre au centre de l’intervalle qu’aux extrémités. 6.7.5.5

Les polynômes de Tchebychev

Pour expliquer le choix des polynômes de Tchebychev, quelques remarques préliminaires s’imposent. En apparence, le choix des polynômes de Legendre associés à la fonction de poids w(x) = 1 semble être le plus simple. Cependant, un examen de l’erreur entraînée par ce choix montre que celle-ci est plus grande aux extrémités de l’intervalle qu’au centre. Dans le cas des polynômes de Tchebychev, elle est régulièrement distribuée sur tout l’intervalle. L’approximation de Tchebychev, parmi les différents types d’approximations polynomiales, réalise la meilleure approximation, dans le sens où elle est celle de plus bas degré dont l’erreur (ou écart à la valeur vraie) ne s’écarte pas au-delà d’une valeur imposée a priori (ou tolérance). Les propriétés fondamentales des polynômes de Tchebychev On désigne par T n (x) le polynôme de Tchebychev de degré n. La relation d’orthogonalité est traduite dans ce cas par : Z +1 T p (x) T q (x) dx = 0 pour p , q √ −1 1 − x2 485

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES On impose de plus les conditions suivantes sur les normes : Z +1 T 02 (x) dx = π √ −1 1 − x2 Z +1 T p2 (x) π dx = pour p , 0 √ 2 2 −1 1−x Il est alors aisé de construire de proche en proche les polynômes T n (x). On donne les quatre premiers, à titre d’illustration : T0 = 1

T1 = x

T 2 = 2x2 − 1

T 3 = 4x3 − 3x

Les polynômes vérifient la relation de récurrence : T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x)

(6.45)

Cette équation, qui est d’une très grande simplicité, est la base de l’évaluation des polynômes de Tchebychev pour une valeur donnée de la variable x, ainsi que de toute combinaison linéaire de ceux-ci. Une variante est offerte par une autre formulation très simple qui apparaît avec le changement de variable : x = cos θ. T n devient alors : T n (x) = cos (n arccos x)

(6.46)

Les coefficients ak de l’approximation y(x) de l’équation 6.42, donnés dans l’équation 6.44, prennent alors la forme explicite : Z 2 +1 f (x)T k (x) dx pour k , 0 (6.47) ak = √ π −1 1 − x2 et : Z 1 +1 f (x)T 0 (x) a0 = dx √ π −1 1 − x2 Dans cette formulation, le développement y(x) limité au degré N devient : y (x) = a0 +

N X

ak T k (x) ≈ f (x)

(6.48)

k=1

L’analogie avec l’approximation de Fourier est évidente. Exprimé dans la variable θ, avec x = cos θ, le calcul du coefficient ak donné ci-dessus dans l’équation 6.47 prend alors la forme suivante : Z 2 π ak = f (cos θ) cos (kθ) dθ pour k , 0 π 0 et : Z 1 π a0 = f (cos θ) dθ π 0 L’approximation y (cos θ) est : y (cos θ) = a0 +

N X k=1

486

ak cos kθ

(6.49)

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES Calcul pratique des approximations de Tchebychev Il résulte de l’équation 6.46 que les zéros du polynôme T n sont : xi = cos π

2i − 1 2n

(i = 1, · · · , n)

Ces zéros sont aussi appelés abscisses de Tchebychev sur l’intervalle [−1, +1]. Les abscisses qui correspondent au polynôme de Tchebychev de degré K peuvent être utilisées pour le calcul approché de l’intégrale d’une fonction g(x) quelconque dite intégrale gaussienne : Z +1 g(x) dx √ −1 1 − x2 On obtient, en effet, par l’intermédiaire du changement de variable x = cos θ : Z

+1 −1

K πX g(x) dx ≈ g (xi ) √ K i=1 1 − x2

(6.50)

avec :

2i − 1 avec (i = 1, · · · , K) 2K La qualité de l’approximation augmente avec K, tant que les erreurs d’arrondi n’entrent pas en jeu. xi = cos π

On revient maintenant à notre éphéméride. C’est une fonction f (t) constituée soit par le résultat d’une intégration numérique, soit par une fonction analytique du temps qui traduit le mouvement d’un corps ou l’évolution temporelle d’un phénomène. Sur un intervalle choisi ∆t du temps, on ramène avec le changement de variable linéaire explicité dans l’équation 6.37 la variable indépendante à x et l’intervalle au support unité. On cherche à construire l’approximation en polynômes de Tchebychev (équation 6.48), limitée au degré N, c’est-à-dire à obtenir les coefficients ak pour k ≤ N. Les intégrales (équation 6.47) sont obtenues à partir de quadratures gaussiennes de fonctions g(x) de la forme f (x)T k (x) (k = 1, · · · , N). On peut montrer que l’approximation (équation 6.50) est utilisable à condition de prendre K ≥ N + 1. On obtient alors : ak =

K 2X f (xi ) T k (xi ) K i=1

a0 =

K 1X f (xi ) K i=1

avec : xi = cos π

2i − 1 2K

où i = 1, · · · , K

487

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES Le survol qui vient d’être fait indique la technique opératoire pour représenter l’éphéméride. La qualité de l’approximation – c’est-à-dire l’estimation des erreurs commises dans les approximations précédentes – est un problème essentiel qui n’est pas abordé en détail ici. En pratique, il se pose en ces termes : quel intervalle ∆t et quelle borne N choisir dans le développement (équation 6.48) pour obtenir une bonne approximation de f (t), c’est-à-dire pour que l’erreur ne dépasse pas, sur l’intervalle, la tolérance fixée a priori ? Le plus souvent, une bonne réponse est le fruit de l’expérience qui prend en compte la nature des fonctions f (t) mises en œuvre. Une propriété fondamentale de l’approximation en polynômes de Tchebychev nous guide dans la mesure approchée de l’erreur. Si le développement limité (équation 6.48) peut être confondu avec le début du développement infini : ∞ X f (x) = a0 + ak T k (x) k=1

alors l’erreur dans l’équation 6.48 se comporte comme aN+1 T N+1 (x), c’est-à-dire qu’elle oscille entre les N + 1 racines de T N+1 , avec une amplitude ne dépassant pas | aN+1 |. C’est un bon indicateur de l’erreur commise dans l’approximation. Dans cette optique, l’approximation de f (x) par des polynômes de Tchebychev de degré inférieur ou égal à N peut être considérée comme une interpolation basée sur les points : x j = cos π 6.7.5.6

2j − 1 2N + 2

où j = 1, · · · , N + 1

Approximation par des fonctions mixtes

Sans chercher à justifier ce propos par une argumentation mathématique rigoureuse, il est clair que si la fonction f (x) comporte sur l’intervalle [−1, +1] un petit nombre d’oscillations, avec des variations d’amplitudes faibles, elle peut être approchée par un développement de Tchebychev de degré N peu élevé. C’est une vision qualitative du comportement des fonctions auxquelles on a affaire dans les éphémérides. On peut, pour s’en convaincre, se reporter à une illustration : la Connaissance des Temps publie la longitude géocentrique de la Lune avec 8 coefficients de Tchebychev (a0 , a1 , · · · , a7 ) sur un intervalle de 4 jours avec une précision de l’ordre de 0.01 s. Les termes de Fourier associés à des périodes élevées et de faible amplitude sont oubliés dans cette représentation. On s’assure seulement que l’intervalle (ici ∆t = 4 jours) est suffisamment petit pour garantir une bonne convergence numérique du développement. De manière plus générale, le caractère quasi périodique des solutions aux mouvements des corps du Système solaire n’est pas pris en compte dans le formalisme en polynômes de Tchebychev. Pour illustrer notre propos, on regarde sur un exemple élémentaire comment tirer parti du caractère quasi périodique d’une fonction. Soit la fonction paire f (x) = cos x + cos 2x. Elle est beaucoup plus simplement représentée, et ici de manière triviale, avec la base de fonctions {1, cos x, cos 2x, cos 3x, · · · } qu’avec la suite de polynômes {1, x2 , x4 , x6 , · · · }, ou toute autre base de polynômes pairs. 488

6.7. REPRÉSENTATION DES ÉPHÉMÉRIDES Les bases des fonctions mixtes En réalité, une éphéméride ne peut pas se ramener à un schéma aussi simpliste. Cependant, on peut chercher, sur un intervalle fini du temps, à l’approcher par un agrégat de fonctions périodiques, dont la période est suggérée par la nature physique du problème que l’on traite (par exemple, la période propre de révolution d’un corps céleste), et par des termes séculaires (ou des polynômes du temps) à cause du caractère non rigoureusement périodique des solutions. On désigne par {φ0 , φ1 , φ2 , · · · , φN } l’agrégat des fonctions qui servent de base à l’approximation. La nature physique du problème va nous guider dans le choix des éléments de cette base. Soit f (t) une fonction définie sur l’intervalle [t0 , t0 + ∆t] que nous rapportons à l’intervalle [−1, +1] à l’aide de la transformation (équation 6.37). Comme précédemment, on note f (x) la fonction transformée. Si f (t) se comporte comme une fonction périodique du temps, de période 2π/ν, f (x) se comporte alors comme une fonction périodique de x de période 4π/ν∆t. La composante paire de f (x) est : 1 P (x) = [ f (x) + f (−x)] 2 et sa composante impaire : 1 I (x) = [ f (x) − f (−x)] 2 On désigne par ω la pulsation de la fonction de la variable x, P(x) ou bien I(x) : ω=ν

∆t 2

on construit une approximation convenable de P(x) sur la base paire avec : {φnP } = {1, cos ωx, cos 2ωx, · · · , cos Nωx}

(6.51)

et de I(x) sur la base impaire avec : {φnI } = {x, sin ωx, sin 2ωx, · · · , sin Nωx}

(6.52)

Dans ce cas, ω est une pulsation proche de la pulsation principale du mouvement. S’il existe une pulsation ω0 différente de ω ou de ses multiples dont la signature dans f (x) est importante, les bases 6.51 et 6.52 peuvent être complétées avec les suites paires et impaires suivantes : 0 0 0 0 {φ0P n } = {cos ω x, cos 2ω x, · · · , cos N ω x}

(6.53)

0 0 0 0 {φ0I n } = {sin ω x, sin 2ω x, · · · , sin N ω x}

(6.54)

Par ailleurs, des termes mixtes de la forme : xk cos pωx et xk sin pωx, où p et k sont des entiers, peuvent être ajoutés à la base formée des suites 6.51 et 6.52 si celle-ci est 489

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES insuffisamment représentée avec des termes périodiques et le terme séculaire principal x. Dans de nombreux cas d’approximations de solutions aux mouvements des satellites naturels des planètes, la base complète donnée ci-dessous s’est avérée suffisante : {φnP } = {1, cos ωx, x sin ωx, x2 cos ωx, cos 2ωx}

(6.55)

{φnI } = {x, sin ωx, x cos ωx, x2 sin ωx, sin 2ωx}

(6.56)

Calcul pratique de l’approximation à l’aide des fonctions mixtes La meilleure approximation y(x) de f (x) avec la séquence des fonctions indépendantes {φk ; 1 ≤ k ≤ n} est : n X y (x) = ak φk (x) k=1

Pour construire les ak , il faut comme auparavant former les produits scalaires : Z +1
f (x) | φi (x) = w (x) f (x) φi (x) dx −1

Ne jouissant plus ici, comme sur une base polynomiale, de l’analogie avec le calcul des coefficients de Fourier (voir section 6.7.5.5), on fait le choix le plus simple de fonction de poids, soit : w(x) = 1. Le calcul des ak est réalisé par la résolution de l’équation matricielle : M (ai ) = (bi ) Les (ai ) et (bi ) sont des vecteurs colonnes. M est la matrice d’éléments mi, j calculés à l’aide des produits scalaires : Z +1 mi, j = φi (x) φ j (x) dx = (φi | φ j ) 1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ j ≤ n −1

Par ailleurs : bi =

Z

+1

f (x) φi (x) dx = ( f | φi )

1≤i≤n

(6.57)

−1

Le schéma qu’on vient de tracer est un résumé de la méthode de construction de l’approximation de f (x) à l’aide d’une base telle que 6.55 pour sa composante paire et 6.56 pour sa composante impaire. Le mode de représentation à l’aide des fonctions mixtes est particulièrement bien adapté à la représentation des mouvements des satellites naturels des planètes, et de manière plus générale aux mouvements des corps qui s’écartent peu, sur quelques périodes, d’un mouvement quasi périodique ou périodique, avec des variations d’amplitude et de 490

6.8. CONCLUSION fréquence lentes par rapport à la période principale du corps et de ses multiples entiers. Dans la Connaissance des temps, on trouve en particulier l’expression des coordonnées différentielles des satellites naturels de planètes sur des intervalles de temps qui couvrent une à quelques révolutions, avec des formules faciles à mettre en œuvre directement par l’utilisateur, et qui se présentent ainsi : f (t) = a0 + a1 t + b0 sin (νt + φ0 ) + b1 t sin (νt + ϕ1 ) + b2 t2 sin (νt + ϕ2 ) + c0 sin (2νt + Ψ0 )

(6.58)

2π/ν est une période proche de la période de révolution du corps ; les a j , b j , c j sont les amplitudes ; les φ j et Ψ j sont les phases ( j = 0, 1, 2). L’équation 6.58 découle du choix de la base donnée 6.55 et 6.56. Les termes mixtes sont symbolisés ici par des combinaisons de la forme : Atk sin (pνt + Ψ) (k et p entiers ; A : amplitude ; Ψ : phase). Sur un intervalle de temps donné, les valeurs maximales de k et p seront ajustées en fonction de la précision recherchée. Si l’intervalle de représentation est élargi, il faudra enrichir la base de termes mixtes en puissance du temps et en multiples de la fréquence de base dans l’équation 6.58.

6.8

Conclusion

Les satellites naturels sont des objets divers, rocheux comme des astéroïdes, disposant de volcans ou d’atmosphère comme une planète ou enfin recouverts de glace. Leurs vitesses orbitales ou apparentes sont très variées avec des révolutions de quelques heures à quelques années. Les satellites naturels peuvent se trouver très proches de leur planète – ce qui rend les observations difficiles – ou bien très loin et ressembler à des astéroïdes (en taille et en vitesse apparente) à l’écart de toute planète. Les satellites dits principaux sont très brillants, faciles à observer, similaires à de petites planètes (Ganymède ou Titan sont de taille similaire à Mercure ou à Mars). Ils présentent des phénomènes d’éclipses spectaculaires, et c’est pour pouvoir prédire les dates de ces phénomènes que l’on a développé des modèles dynamiques de leurs mouvements et calculé des éphémérides précises de ces corps. Aujourd’hui, ils sont les cibles des missions d’exploration spatiale et leurs éphémérides sont essentielles à la préparation et au bon déroulement de ces missions. Les éphémérides publiées dans la Connaissance des temps sont celles que nous considérons comme les meilleures du moment, et comme une référence pour toute comparaison avec des éphémérides en construction ou avec des éphémérides proposées par d’autres laboratoires. Ici, la notion de meilleures éphémérides signifie que les éphémérides sont 491

CHAPITRE 6. SATELLITES NATURELS DES PLANÈTES les meilleures durant toute la période d’observation des satellites concernés. Cette qualité d’éphémérides sur une période longue (les observations utilisées pour l’ajustement des modèles sont étalées sur environ deux siècles) garantit une possibilité d’extrapolation audelà de la période d’observation. Pour une mission spatiale, des éphémérides spécifiques peuvent être construites de façon à être les plus précises possible durant le temps de la mission. Enfin, les éphémérides ont aussi un but de découverte de phénomènes dynamiques ou non gravitationnels nouveaux. Ainsi, les éphémérides seront confrontées aux nouvelles observations récemment réalisées ou bien aux anciennes observations réduites à nouveau avec des catalogues d’étoiles améliorés. On cite le catalogue d’étoiles de référence Gaia, qui permet de réduire des observations vieilles d’un siècle avec une précision d’un millième de seconde de degré, là où les précisions ne dépassaient pas une demi-seconde de degré au mieux. Les comparaisons observations-éphémérides vont alors permettre de détecter des effets systématiques suspectés ou même totalement inconnus jusqu’alors. Les effets de marée, suspectés pendant longtemps, sont maintenant modélisés après avoir été mis en évidence par des observations plus nombreuses, réalisées sur des temps longs avec une précision accrue permettant de détecter de très petits effets, en particulier une accélération. Ce chapitre donne au lecteur tous les éléments qui lui permettent de comprendre ce que sont et comment se font les éphémérides des satellites naturels de planètes, de les utiliser au mieux et aussi d’établir lui-même un nouveau modèle pour réaliser de nouvelles éphémérides.

492

Chapitre 7

Petits corps du Syst`eme solaire et plan`etes naines

7.1

Introduction

La résolution B5 de la 26e assemblée générale de l’UAI (IAU, 2006) range les corps du Système solaire, à l’exception notable des satellites naturels, au sein de trois catégories distinctes : les planètes, les planètes naines et les petits corps du Système solaire. Ce chapitre traite indifféremment des planètes naines et des petits corps dans la mesure où cette séparation des genres n’a de réelle incidence ni sur la dynamique de leur mouvement, ni sur leurs propriétés physiques. Cette approche est également justifiée par la résolution B6 de l’UAI qui reconnaît la planète naine Pluton comme le prototype d’une nouvelle catégorie d’objets transneptuniens. Depuis sa découverte en 1930 par Clyde Tombaugh (1906-1997), et durant 76 ans, Pluton a en effet été considérée comme une planète à part entière et, à ce titre, incluse dans le développement des théories planétaires. C’est pourquoi la théorie de son mouvement et l’expression complète de ses éléments orbitaux moyens pourront être trouvées dans les chapitres 5 et 6. Les comètes sont les premiers petits corps connus. Leur luminosité et leur apparence concourent à les rendre visibles à l’œil nu et à les désigner comme des astres chevelus, , expression à l’origine de leur dénomination actuelle (du grec ancien κoµ´ητης αστ´ηρ, ´ astêr). ´ Quant aux astéroïdes, leur existence a été découverte en 1801. Leur komêtês , désignation a été forgée en 1802 par William Herschel. Elle provient du grec αστ´ηρ ´ qui signifie étoile et ´ιδoς (eïdos) qui signifie aspect extérieur. L’astéroïde est (astêr) donc semblable à une étoile dans le sens où, vu à travers un télescope, son aspect apparent est identique à celui d’une étoile, ponctuel et sans taille apparente. C’est pourquoi ces corps célestes d’un nouveau genre étaient également dénommés planètes télescopiques. 493

CHAPITRE 7. PETITS CORPS DU SYSTÈME SOLAIRE ET PLANÈTES NAINES À partir du xixe siècle et sans interruption jusqu’à nos jours, la grande famille des astéroïdes n’a fait que s’agrandir et se diversifier. Longtemps détestés des astronomes qui les qualifiaient parfois de vermines de l’espace parce qu’ils venaient gâcher les plaques photographiques d’objets du ciel profond par les trainées qu’ils laissaient durant les poses longues, les astéroïdes bénéficient d’un regain d’intérêt depuis près d’un demi-siècle. En 2020, on en dénombre près d’un million pour lesquels plus de 240 millions d’observations de position ont été collectées afin de connaître avec précision leur orbite. La plupart (94%) se concentrent dans la ceinture principale qui se situe entre 2 et 3.5 unités astronomiques du Soleil. Peu à peu, ces petits corps éparpillés dans l’ensemble du Système solaire se sont dévoilés. Bien qu’ils ne représentent qu’une infime partie de la masse totale des planètes, nous avons progressivement pris conscience qu’ils constituent les témoins privilégiés de l’époque primitive de la formation des planètes. Ce sont de véritables traceurs de l’histoire du Système solaire. La connaissance de ces petits corps a connu une nouvelle impulsion au tournant du nouveau millénaire avec la découverte des premiers astéroïdes possédant un ou plusieurs satellites en orbite. Ces nouveaux systèmes intriguent et fascinent. Ils ouvrent de nouvelles interrogations et perspectives sur la structure interne des astéroïdes et sur leur origine.

7.2 7.2.1

Historique Les comètes, de l’Antiquité à nos jours

Les comètes ont depuis toujours frappé l’imagination des peuples par leurs brusques apparitions et leur aspect très étiré. Souvent associées à de néfastes présages (guerres, cataclysmes, épidémies ou encore morts de monarques), on retrouve leurs traces dans de nombreuses chroniques anciennes, telles que le Livre de soie du ive siècle avant notre ère, premier atlas connu des formes cométaires, ou encore la tapisserie de Bayeux de 1066 avec l’une des premières représentations de la comète de Halley. Les comètes ont longtemps été considérées comme des météores atmosphériques. Il faut attendre le xvie siècle et l’étude de la parallaxe diurne de la comète de 1577 par Tycho Brahe pour qu’elles soient considérées comme de véritables corps célestes. Cette comète est d’ailleurs la première à avoir fait l’objet de calculs physiques pour connaître sa position et son mouvement : Tycho Brahe doit alors admettre que son orbite n’est pas circulaire comme celles des planètes, mais un peu plus allongée. La science cométaire progresse encore d’un pas avec l’arrivée de Johannes Hevelius. C’est lui qui, en 494

7.2. HISTORIQUE premier, affirme avec certitude que les orbites des comètes sont courbes autour du Soleil. Il les qualifie même de paraboles. Il détaille toutes ses études des comètes dans son célèbre ouvrage Cometographia publié en 1668. C’est ensuite Edmund Halley qui calcule les éléments orbitaux des comètes connues à partir de la loi de la gravitation et remarque que les comètes de 1531, 1607 et 1682 ont des éléments orbitaux quasiment identiques. Il en conclut qu’elles doivent être une seule et même comète dont il prédit la réapparition pour l’an 1758. Cependant, le problème du calcul des perturbations de l’orbite de cette comète par les planètes Jupiter et Saturne ne sera résolu que très tardivement, par Alexis-Claude Clairaut, Nicole-Reine Lepaute et Joseph-Jérôme Lefrançois de Lalande, et expliqué dans le « Mémoire sur la comète de 1682 » de Clairaut dans le fascicule de janvier 1758 du Journal des Savans. La comète est finalement observée au début de l’année 1759 et passe à son périhélie le 19 mars 1759, soit 33 jours avant la date prédite par le calcul de Clairaut. C’est l’un des premiers triomphes retentissants de la mécanique céleste naissante, apportant ainsi une nouvelle confirmation de la validité de loi de la gravitation universelle de Newton. Entre la fin du xviiie siècle et le milieu du xixe siècle, on calcule ainsi les orbites de trois comètes : 2P/Encke découverte le 17 janvier 1786 par Pierre Méchain depuis Paris, 3D/Biela découverte le 8 mars 1772 par Jacques Laibats-Montaigne depuis Limoges et 4P/Faye découverte le 25 novembre 1843 par Hervé Faye à l’Observatoire de Paris. Johann Franz Encke s’inspire beaucoup du travail de Halley pour étudier la deuxième comète périodique qui plus tard sera nommée 2P/Encke en son honneur. Il détermine sa périodicité et remarque que chaque retour de cette comète est marqué par une avance de son passage au périhélie. À cette époque, trois hypothèses possibles à ces retours de plus en plus précoces sont envisagées. Encke soutient que la comète évolue dans un milieu résistant. Une autre théorie affirme que la comète passe dans une ceinture de particules météoritiques. Ces deux hypothèses impliquent que la comète doit perdre en vitesse, l’entraînant dans un mouvement en spirale autour du Soleil qui réduit sa période orbitale. La dernière hypothèse est émise par Friedrich Wilhelm Bessel qui avance que l’éjection de matière du noyau engendre, par réaction, une accélération de la comète sur son orbite. Les deux premières hypothèses sont abandonnées lorsque l’on remarque que les périodes orbitales de certaines comètes augmentent à chaque passage, excluant de fait que les comètes soient freinées par un milieu résistant. Bien que Bessel n’ait pas identifié le mécanisme physique – la sublimation des glaces – à l’origine de cette augmentation de la période orbitale, son concept de forces non gravitationnelles finira par s’avérer correct. Entre la deuxième moitié du xixe siècle et le début du xxe siècle, de nombreuses études tenteront de résoudre la problématique du mouvement cométaire (Sekanina, 1991). L’explication de cette accélération d’origine non gravitationnelle, qui était évidente dans le mouvement de la comète 2P/Encke et de nombreuses autres comètes périodiques actives, viendra avec l’introduction d’un modèle de conglomérat glacé pour le noyau cométaire par Whipple (1950). 495

CHAPITRE 7. PETITS CORPS DU SYSTÈME SOLAIRE ET PLANÈTES NAINES S’il est assez facile d’estimer la forme de l’orbite d’une comète lors d’un passage, il est beaucoup plus difficile de calculer une éphéméride de redécouverte qui tienne compte des perturbations planétaires et des forces non gravitationnelles. Cela restera un calcul long et laborieux jusqu’à l’utilisation des méthodes d’intégration numérique sur ordinateur. La table 7.1 donne une idée des améliorations de la précision des calculs pour la détermination de l’instant du passage au périhélie de la comète de Halley au cours de ses quatre derniers passages. Table 7.1 – Évolution de la précision du calcul du passage au périhélie de la comète de Halley. Notes : (1) tO − tC = instant du passage observé moins instant du passage calculé ; (2) J, S et U désignent, respectivement, Jupiter, Saturne et Uranus ; (3) plusieurs orbites ont été calculées (Yeomans, 1977). En 1982, la comète de Halley a été retrouvée à 800 de sa position estimée ; (4) FNG désigne les forces non gravitationnelles.

Passage

tO − tC(1)

Auteur(s)

Perturbations (2)

1759

−33 jours

J, S

1835 1910 1986

+3 jours −2 jours qq minutes (3)

A. Clairaut, J. Lalande & N.-R. Lepaute G. de Pontécoulant A. Crommelin D. K. Yeomans

7.2.2

J, S, U J, S, U Toutes planètes & FNG (4)

Les astéroïdes et autres petits corps, une affaire moderne

L’histoire des astéroïdes remonte à un peu plus de deux siècles. Nous sommes à la charnière entre le xviiie et le xixe siècle. La loi de l’attraction universelle de Newton, à peine centenaire, s’est imposée. La connaissance du système des mondes et des mouvements planétaires s’affine. Dans le même temps, le bestiaire du Système solaire s’élargit progressivement avec la découverte par W. Herschel de la planète Uranus (1781), de deux de ses satellites (1787) et de deux nouveaux satellites de Saturne (1789). Le nombre de comètes connues continue de croître. À l’aube du xixe siècle, une découverte se profile, semblable, en retentissement, à celle que Galilée fit en pointant pour la première fois une lunette vers le ciel en 1610. C’est la genèse des astéroïdes. Le 1er janvier 1801, depuis l’observatoire de Palerme, Giuseppe Piazzi (1746-1826, ecclésiastique, astronome et mathématicien italien) observe des étoiles de la constellation du Taureau dans le but de construire un catalogue de mesures précises de leurs positions (Foderà Serio et al., 2002). Parmi les étoiles mesurées cette nuit-là, il en remarque une de magnitude plus faible que les autres qui n’est pas répertoriée dans les catalogues de l’époque. La nuit suivante, lorsqu’il mesure sa position, il remarque que les coordonnées attribuées la veille ne correspondent plus. Croyant à une erreur, il mesure à nouveau sa position le 3 et le 4 janvier et remarque que cet astre s’est déplacé régulièrement sur la 496

7.2. HISTORIQUE sphère céleste. Il est alors convaincu qu’il vient de découvrir un nouvel astre, peut-être une comète, mais, comme aucune nébulosité remarquable n’entoure l’astre, il pense avoir découvert une nouvelle planète. Il publie sa découverte dans la presse le jour même, explique qu’il pourrait s’agir d’une comète, mais ne mentionne pas son hypothèse qu’il pourrait, plus certainement, s’agir d’une planète. Après 14 nouvelles nuits d’observation, il écrit à Johann Elert Bode à Berlin (1747-1826) et Barnaba Oriani à Milan (1752-1832) le 24 janvier 1801 pour leur faire part de sa découverte et demander confirmation. À Oriani, il envoie les coordonnées qu’il a mesurées le 1er et le 23 janvier et mentionne le fait que, le 11 janvier, le mouvement de l’astre a changé de direction. Il ajoute qu’il pense que ce nouvel astre pourrait bien être une nouvelle planète. À Bode, il n’envoie que sa mesure du 1er janvier et indique qu’il pense avoir découvert une comète en précisant qu’aucune nébulosité n’est remarquable autour de l’astre. La démarche de Piazzi et les raisons qui l’ont poussé à ne pas communiquer toutes les informations à Bode s’inscrivent dans l’un des problèmes majeurs de l’époque, celui de la planète manquante. C’est Johannes Kepler qui, le premier, suggère dans son Mysterium Cosmographicum (1596) l’existence d’une planète entre Mars et Jupiter. Dans un ouvrage publié en 1702, David Gregory (1659-1708) établit les rapports de proportionnalité entre les distances planétaires ; Christian Wolff (1679-1754) fait de même dans un ouvrage publié en 1724. Quelques années plus tard, Johann Daniel Titius (1729-1796) découvre ces rapports de proportionnalité lors de la traduction en allemand d’un ouvrage du philosophe C. Bonnet, Contemplation de la Nature, publié en 1764. Il formalise ces valeurs sous la forme d’une suite mathématique qu’il publie, dans une note de bas de page, dans la seconde édition de la traduction de l’ouvrage de C. Bonnet. Dans le même temps, Bode s’approprie cette loi qu’il popularise auprès de la communauté astronomique dans un ouvrage publié en 1768 (Hoskin, 1993). Nous la connaissons aujourd’hui sous le nom de Loi de Titius-Bode : a = 0.4 + 0.3 × 2n−1

(7.1)

où a représente le demi-grand axe de l’orbite de la planète en unités astronomiques (au) et n le numéro de la planète compté à partir de Vénus (n = 0 pour Mercure, 1 pour Vénus, 2 pour la Terre, 3 pour Mars, 5 pour Jupiter, 6 pour Saturne, 7 pour Uranus). C’est l’absence de planète connue dont le demi-grand axe correspond à n = 4 qui incite les astronomes à rechercher des planètes entre Mars et Jupiter, de demi-grands axes voisins de 2.8 au. Nous savons aujourd’hui que cette loi empirique n’a aucune réalité physique, et qu’un petit nombre de corps espacés aléatoirement aurait une grande probabilité de présenter une séquence similaire à la relation de Titius-Bode (Murray et Dermott, 1999). C’est pourquoi la découverte par Piazzi d’une planète dont les paramètres orbitaux correspondent à la planète recherchée (a = 2.768 au) et dont la masse est bien inférieure à 497

CHAPITRE 7. PETITS CORPS DU SYSTÈME SOLAIRE ET PLANÈTES NAINES celle de Mercure attire beaucoup l’attention. Il la nomme Cerere Ferdinandea en hommage à la déesse romaine de l’agriculture, dont le plus ancien temple se trouve en Sicile, et du roi Ferdinand de Sicile. Le nom du roi est ensuite abandonné et la nouvelle planète connue sous le nom de Cérès. Trois nouvelles planètes sont rapidement découvertes : Pallas (a = 2.772 au) par Heinrich Olbers (1758-1840) le 28 mars 1802, Junon (a = 2.671 au) par Karl Ludwig Harding (1765-1834) le 1er septembre 1804 et Vesta (a = 2.362 au) par Olbers le 29 mars 1807. Les découvertes se succédant, il devient usuel de faire référence à ces objets par le numéro qui précède leur nom, d’abord entouré puis entre parenthèses. La planète suivante, (5) Astrée, n’est découverte qu’en 1845 par Karl Ludwig Hencke (1793-1866). Il devient alors clair que ces petits objets doivent être distingués des planètes principales du Système solaire, et le terme d’astéroïde, proposé par W. Herschel en 1802, s’impose. Il faut attendre l’apparition des plaques photographiques (à partir de 1840), qui offrent la possibilité de comparer des clichés des mêmes zones du ciel à des époques distinctes, pour faciliter les découvertes d’astéroïdes. En 1879, on en connaît 211, dont 34 découverts par l’astronome Christian Heinrich Friedrich Peters (1813-1890), et 512 en 1903, dont 101 par Auguste Charlois (1864-1910) de l’observatoire de Nice. L’évolution des méthodes d’observation et l’invention de la caméra électronique par André Lallemand (1904-1978) – présentée pour la première fois à la séance de l’Académie des sciences du 20 juillet 1936 – font rapidement croître le nombre de découvertes. On compte plus de 6 700 astéroïdes numérotés à la fin de l’année 1995. Par la suite, le nombre de découvertes augmente considérablement avec la mise en œuvre de programmes d’observations systématiques dédiés aux petits corps du Système solaire à la fin des années 1990 – début 2000. Au 1er avril 2020, on compte 959 595 astéroïdes connus (figure 7.1). 106 105

104

Découvertes cumulées

Nombre de découvertes

105

104

3

10

103 2

10

102

101

101

100 1800

1850

1900 1950 Année de découverte

2000

Figure 7.1 – Nombre de découvertes annuelles (histogramme) et cumulées (ligne) des astéroïdes depuis 1801.

498

100

7.2. HISTORIQUE

7.2.3

Origine

Les petits corps sont les résidus de la formation planétaire, au début de l’histoire du Système solaire. Les corps les plus gros que nous voyons aujourd’hui sont semblables aux briques qui se sont accrétées pour former les planètes telluriques et les noyaux des planètes géantes. Les corps plus petits (≤ 200 km environ) sont, eux, le résultat de quatre milliards d’années de collisions et de destructions de corps plus larges (Morbidelli et al., 2009).

7.2.4

Les satellites d’astéroïdes

La recherche de satellites qui gravitent autour d’astéroïdes commence dès la découverte du premier astéroïde. Peu après la découverte des premiers exemplaires de cette nouvelle famille de petits corps, Cérès et Pallas, William Herschel (Herschel, 1802) entreprend en 1802 des recherches télescopiques pour tenter de découvrir d’éventuels satellites autour de ces nouveaux objets célestes dont il ne sait encore dire la nature, planète ou comète ? Ses recherches infructueuses le confortent dans l’idée que de tels petits corps célestes ne peuvent être accompagnés de lunes à la façon des planètes, car ils contiennent trop peu de matière. Selon Herschel, « the retention of a satellite in its orbit, it is well known, requires a proper mass of matter in the central body, which it is evident these stars do not contain. » Il témoigne ainsi d’une perception étonnamment limitée de la gravitation qui ne serait pas si universelle que cela. L’objectif premier d’Herschel est la détermination de la nature véritable de ces nouveaux corps. Il dresse ainsi, pour la première fois, une liste de critères qui servent à caractériser une planète et une comète. Le fait que ces nouveaux objets ne peuvent se ranger dans l’une ou l’autre des catégories ainsi formalisées pousse Herschel à créer une nouvelle catégorie qu’il baptise astéroïde et définit ainsi : « Asteroids are celestial bodies, which move in orbits either of little or of considerable excentricity round the sun, the plane of which may be inclined to the ecliptic in any angle whatsoever. Their motion may be direct, or retrograde ; and they may or may not have considerable atmospheres, very small comas, disks, or nuclei. » Suivront près de 200 ans de doutes et d’interrogations sur la possible existence de satellites d’astéroïdes, au cours desquels des découvertes sont parfois annoncées, sans jamais être confirmées (par exemple Dunham et Maley, 1977). Le chapitre qui traite des satellites d’astéroïdes de l’ouvrage décennal de référence Asteroids II est d’ailleurs intitulé « Do asteroids have satellites ? » (Weidenschilling et al., 1989). La confirmation vient inopinément avec la sonde spatiale Galileo qui, le 28 août 499

CHAPITRE 7. PETITS CORPS DU SYSTÈME SOLAIRE ET PLANÈTES NAINES 1993, lors de son survol de l’astéroïde (243) Ida, lui découvre un satellite naturel, Dactyl (Chapman et al., 1995). Cette découverte relance l’intérêt pour la recherche d’autres systèmes astéroïdaux. Le grand intérêt de ces systèmes réside dans l’opportunité qu’ils représentent pour déterminer la masse des composantes et, par extension, l’une des propriétés physiques des petits corps les plus importantes, leur densité (Carry, 2012). La découverte de Dactyl est suivie en 1998 de la première découverte univoque depuis des moyens observationnels au sol, Petit-Prince, autour de (45) Eugenia (Merline et al., 1999), ce qui veut au chapitre correspondant de l’ouvrage Asteroids III de s’intituler, comme en écho, « Asteroids Do have satellites » (Merline et al., 2002). Par la suite, les découvertes s’accumulant, on découvre que certains astéroïdes peuvent s’apparenter à de véritables systèmes solaires miniatures : tout d’abord en 2004, avec la découverte d’un second satellite qui tourne autour de (87) Sylvia (Marchis et al., 2005) déjà identifié comme astéroïde binaire, puis en 2008, avec la découverte de deux satellites en orbite autour de (216) Kleopatra, parfois surnommé « l’os de chien » en raison de sa forme surprenante (Descamps et al., 2011). La terminologie d’astéroïde binaire s’efface alors petit à petit au profit de celle d’astéroïde multiple. La quête révèle également des systèmes encore plus exotiques dont personne n’avait prédit l’existence. Il s’agit des systèmes doubles synchrones qui se distinguent par une structure à deux composantes identiques en taille et en forme, dont les périodes de rotation sont également identiques entre elles et égales à leur période de révolution. Il y a ainsi une double synchronisation qui ne peut résulter que des forts effets de marée en présence. Les premiers exemplaires connus sont le système de l’astéroïde de la ceinture principale (90) Antiope découvert en l’an 2000 (Merline et al., 2000) et celui du troyen (617) Patroclus découvert deux années plus tard (Merline et al., 2001), tous deux par imagerie directe. Cependant, ces systèmes peuvent également être identifiés de façon indirecte lorsque leur plan orbital est proche du plan de visée, donnant ainsi naissance à des phénomènes mutuels d’occultation et d’éclipse, dont la signature photométrique spécifique ne laisse aucun doute sur la nature du corps observé (Descamps et al., 2007, 2009), comme le montre la figure 7.2. Immédiatement, l’origine de ces systèmes intrigue beaucoup (Weidenschilling et al., 2001). L’hypothèse la plus probable est celle de la fission d’un corps parent unique en deux composantes après élongation puis détachement des deux extrémités (Descamps et Marchis, 2008 ; Pravec et al., 2010). En outre, la densité très faible de ces objets – qui peut même être inférieure à 1 g/cm3 comme dans le cas de Patroclus (Marchis et al., 2006 ; Berthier et al., 2020) – a amené, dans un premier temps, à considérer ces corps comme analogues à des masses liquides en équilibre hydrostatique, dont les figures d’équilibre en rotation sont connues depuis le xixe siècle (Leone et al., 1984 ; Descamps et al., 2007, 2020). Par ailleurs, le procédé photométrique de détection de systèmes astéroïdaux pouvant résulter d’un aspect apparent favorable, propice à la naissance de phénomènes mutuels, a également permis de découvrir un grand nombre de 500

7.2. HISTORIQUE

P = 16.505 h 0.0

Magnitude relative

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 Phase nulle à la date du 1er décembre 2008 à1.8264 UTC 0.0

0.2

0.4 0.6 Phase de rotation

0.8

1.0

Figure 7.2 – Courbe de lumière de l’astéroïde double (90) Antiope pour une rotation complète du système à deux composantes de 16.505 h. La courbe modèle en traits pleins a été superposée à l’observation. Les deux profondes chutes en magnitude résultent de l’occultation d’une composante par l’autre. Celles-ci étant très similaires en taille et en forme, les variations en magnitude sont également très sensiblement égales.

systèmes plus classiques, asynchrones, dans lesquels le corps secondaire est plus petit que le corps primaire (Pravec et al., 2006 ; Descamps, 2010 ; Grundy et al., 2012). En 2020, plus de 400 satellites d’astéroïdes ont été découverts, dont quelques systèmes triples, et même un sextuple : Pluton (voir Margot et al., 2015). Ces découvertes et la caractérisation des orbites mutuelles des corps ont été possibles grâce à la conjugaison de développements technologiques importants (HST dans l’espace, optique adaptative sur les grands télescopes au sol, antennes radio géantes permettant l’acquisition d’échos radar, par exemple Ragozzine et Brown, 2009 ; Brozovi´c et al., 2011 ; Pajuelo et al., 2018) et de l’utilisation de télescopes de petite taille dans la détection photométrique.

501

CHAPITRE 7. PETITS CORPS DU SYSTÈME SOLAIRE ET PLANÈTES NAINES

7.3

Nomenclature

Si tous les petits corps et toutes les planètes naines du Système solaire sont des reliquats du Système solaire primitif, leur découverte par étapes successives et leurs différentes caractéristiques orbitales et physiques ont conduit à les classer selon la nomenclature suivante :

Atiras

Atens

i

m

Apollos

0.6

0.0 0.1

eu

1.0

Demi-grand axe (au)

j

k

Centaures

rs

Hildas

0.2

Géocroiseurs (NEA) Ceinture principale (MBA) Ceinture de Kuiper (KBO)

IMB MMB OMB Cybèles

0.4

l

m Co

è

s te

ur co

ér

p te

e iod

Ceinture classique

Objets éparpillés Résonant 8:3

Vulcanoïdes

f

Am or Ar éo s H cro is

Excentricité

0.8

g

Interne 3:2 Principale 2:1 Externe

h

1.0

Troyens

• Comètes : petits corps qui présentent un noyau, une chevelure (ou coma) et des queues lors de leur passage au périhélie ; • Astéroïdes : petits corps inclus jusqu’à l’orbite de Jupiter. Parmi eux on distingue les astéroïdes géocroiseurs (NEAs de l’anglais Near-Earth Asteroids, le premier découvert étant (433) Eros en 1898), dont l’orbite croise celles des planètes telluriques, et les astéroïdes de la ceinture principale, dont le demi-grand axe est compris entre ceux de Mars et Jupiter ; • Troyens : petits corps situés aux points de Lagrange L4 et L5 des planètes du Système solaire. Seul Jupiter possède une population de troyens importante ; • Centaures : petits corps dont le demi-grand axe est compris entre ceux de Jupiter et Neptune. Le premier centaure découvert est (2060) Chiron en 1977, qui présente une activité cométaire. Le nom de centaure est proposé pour cette classe d’objets au croisement entre astéroïdes et comètes ; • Objets de la ceinture de Kuiper : petits corps qui orbitent au-delà de Neptune, aussi appelés objets transneptuniens. Cette classe d’objets est reconnue comme telle après la découverte en 1992 de l’objet 1992 QB1, aujourd’hui dénommé (15760) Albion ; • Planètes naines : corps intermédiaires entre les planètes et les petits corps, qui possèdent une masse suffisante pour que leur gravité l’emporte sur les forces de cohésion du corps solide (IAU, 2006). Début 2020, seuls (1) Ceres, (134340) Pluton, (136199) Eris, (136108) Haumea et (136472) Makemake sont considérés comme des planètes naines.

10

Figure 7.3 – Les différentes classes dynamiques des petits corps du Système solaire. La lettre H désigne les Hungarias. IMB, MMB et OMB désignent les objets de la ceinture interne, moyenne et externe des astéroïdes.

502

Objets Détachés

100

7.4. PROPRIÉTÉS DES PETITS CORPS Ces grandes catégories sont ensuite divisées en plusieurs sous-catégories en fonction, principalement, de la géométrie (demi-grand axe et excentricité) de leurs orbites. La figure 7.3 présente les sous-divisions de la population des petits corps du Système solaire. Les tables 7.2 et 7.3 détaillent les critères qui les définissent. Si l’on devait placer les planètes naines connues dans cette figure, elles apparaîtraient toutes dans le Système solaire externe au-delà de 40 au (ceinture de Kuiper), à l’exception de Ceres qui se situe dans la ceinture principale à ∼ 2.8 au (zone MMB). Cette taxonomie des petits corps du Système solaire est complétée par des classifications qui s’appuient sur la dynamique de leur mouvement – les familles dynamiques (section 7.4.1) – et sur leurs propriétés de surface (section 7.4.2). Table 7.2 – Critères qui définissent les sous-catégories de comètes. LP désigne les comètes à longue période et CP à courte période. P désigne la période orbitale, e l’excentricité et T J le paramètre de Tisserand lié à Jupiter.

Population LP CP CP CP CP CP

7.4

7.4.1

Famille de Jupiter Type Halley Type Encke Type Chiron

Période orbitale (ans) P > 200 P ≤ 200 P ≤ 20 20 ≤ P ≤ 200

Excentricité

eApollo NEA>Amor Mars-Crosser>Deep Mars-Crosser>Shallow Hungaria MB>Inner MB>Middle MB>Outer MB>Cybele MB>Hilda Trojan Centaur KBO>Classical KBO>Detached KBO>SDO KBO>Classical>Inner KBO>Classical>Main KBO>Classical>Outer KBO>Resonnant x :y IOC

Demi-grand axe (au) 0.08 0.21 0.21 1 1 1 1 1 2 2.5 2.82 3.27 3.7 4.6 5.5 30.1 30.1 30.1 30.1 39.4 47.8 30.1 2000

≤a< ≤a< ≤a< 4 320.0 min = 3.00 jours

Période = 4 308.23 min * Révol./j. = 0.33 h_a = 151 118 km ; h_p = 11 534 km ; arg. périgée : + 302.88°

Projection : Orthographique Propriété : (sans) T. : Azimutal - Grille : 10°

Centre Project. : 15.0° N ; 4.0° E Aspect : Oblique {–} [ -90.0/ +75.0/ +86.0] [-] EGM96

[NORAD] 2004 06 23 13:00:00 TUC / R: 90 Nœud asc. : – 33.63° [10:45 TSM]

Integral Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 81 326.1 km

a = 87 704.242 km

Inclinaison = 67.68°

e = 0.795 766

Phasage

Période = 4 308.23 min * Révol./j. = 0.33

= [ 0; +1; 3] 1

2004 06 23 13:00:00 TUC >>> 4 320.0 min = 3.00 jours

Projection : Orthographique Propriété : (sans) T. : Azimutal - Grille : 10°

h_a = 151 118 km ; h_p = 11 534 km ; arg. périgée : + 302.88°

Centre Project. : 15.0° N ; 4.0° E Aspect : Oblique {4.2} [ -90.0/ +75.0/ +86.0] [-] EGM96

[NORAD] 2004 06 23 13:00:00 TUC / R: 90 Nœud asc. : – 33.63° [10:45 TSM] Apogée : – 50.24°

Figure 8.9 – Représentation de la trajectoire du satellite Integral au cours d’une révolution. En haut : représentation en référentiel galiléen ; en bas, représentation de la même trajectoire en référentiel céleste tournant.

576

8.4. CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES

Inclinaison apparente : définition et calcul

On appelle inclinaison apparente l’angle que fait la trace avec l’équateur, en repère céleste tournant. Cet angle, noté i0 , est différent de l’angle i qui représente l’inclinaison du satellite sur l’équateur (puisqu’on est dans un repère tournant ou non, respectivement). Pour calculer i0 , on considère le plan tangent à la Terre en N0 , point qui représente la trace du nœud ascendant, avec les vecteurs unitaires orthogonaux eλ (porté par l’équateur) et eψ (porté par le méridien passant par N0 ). On écrit, dans le référentiel non tournant 0. La variable x est très proche de l’abscisse curviligne le long du rayon, et pour des rayons proches de l’horizon, il faut intégrer sur plusieurs centaines de kilomètres, voire 1 000 km ou 2 000 km pour atteindre h = H ≈ 100 km et la sortie de l’atmosphère à l’altitude H. L’équation 9.50 donne également la condition initiale (dh/dθ)θ=0 pour démarrer l’intégration en prenant ζ = z0 . Lors de l’intégration, il vaut mieux adopter une variable régularisante x˜ = x sin z0 , avec un pas régulier sur la longueur de l’arc, qui peut être approchée par la longueur L du segment de droite joignant le point initial à l’altitude h0 à la sortie de l’atmosphère en h = H avec : h i1/2 L = −(R⊕ + h0 ) cos z0 + (R⊕ + H)2 − (R⊕ + h0 )2 sin2 z0 Cette expression est valable y compris pour z0 > 90◦ ou pour une position initiale en dehors de l’atmosphère, par exemple à bord d’une satellite en orbite terrestre.

Indice de réfraction n(h) Pour mener la quadrature ou l’intégration, il faut connaître la fonction n(h) qui donne l’indice de réfraction de l’air en fonction de l’altitude, ainsi que sa dérivée. Cela dépend d’un modèle d’atmosphère qui donne la température et la pression, d’où l’on déduit la masse volumique ρ(h) de l’air et finalement n(h), connaissant la valeur au niveau du sol, avec la loi de Gladstone : n−1 = cte (9.52) ρ Le modèle standard de l’atmosphère terrestre de la table 9.3, qui comporte des couches isothermes et des couches à gradient thermique constant, est très élaboré. Un modèle plus simple de troposphère à gradient de température γ constant sur une dizaine de kilomètres est souvent suffisant. Dans le cas de la première couche de l’atmosphère standard, on a : T = T 0 + γh avec :

dT = −6.5 K km−1 dh ce qui conduit à la variation de pression avec l’altitude : " #β P T (h) = P0 T0 γ=

avec : β=−

gMair γR⊕

640

(9.53)

9.4. LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE et enfin, la masse volumique de l’air sec pour un gaz parfait, exprimée en kg m−3 : ρ=

PMair RT

avec P exprimée en pascals, T en kelvins et Mair , la masse molaire de l’air sec, en kg mol−1 . Pour les valeurs de référence, on a : Mair = 0.028 963 kg mol−1 R = 8.314 46 J mol−1 K−1 n0 − 1 = 0.000 277 117 ρ0 = 1.224 94 kg m−3 Ce modèle superpose des couches à gradient constant, dont la pression est calculée par l’équation 9.53, et des couches isothermes dans lesquelles la pression P(h) est calculée à partir de la pression P0 au bas de la couche par : " # P Mair gh = exp − (9.54) P0 RT 0 Une fois la superposition des couches définie en fonction du type de variation de la température, les quantités (P(h), T (h), ρ(h)) se calculent sans difficulté à partir de la condition au sol P(h = 0), T (h = 0) et des équations 9.53 et 9.54. Une représentation de la superposition des différentes couches est donnée dans la figure 9.11. Table 9.3 – Paramètres de définition de l’atmosphère standard, avec les valeurs de températures et de pressions pour les conditions normales au sol (t = 15◦ C, P = 1 013.25 Pa.). Les altitudes hg sont géopotentielles, avec hg = h(1 − h/R⊕ ).

couche 0 1 2 3 4 5 6 7

troposphère tropopause stratosphère stratosphère stratopause mésosphère mésosphère mésopause

hg km

h km

0.0 11.000 20.000 32.000 47.000 51.000 71.000 84.852

0.0 11.019 20.063 32.162 47.350 51.413 71.802 86.000

dt/dh K km−1 −6.5 0.0 +1.0 +2.8 0.0 −2.8 −2.0 0.0

t ◦C

+15.0 −56.5 −56.5 −44.5 −2.5 −2.5 −58.5 −86.2

P Pa 101 325 22 632 5 474.9 868.02 110.91 66.939 3.9564 0.3734

De nombreuses expressions donnent l’indice de réfraction de l’air sec en fonction de la longueur d’onde dans les conditions normales et sont beaucoup plus précises que les 641

CHAPITRE 9. CORRECTIONS POUR LA RÉDUCTION besoins pour la réfraction astronomique. La formule suivante de Ciddor (1996) donne (n − 1)λ , en fonction la longueur d’onde en µm et pour les conditions normales : 108 (n(λ) − 1) =

A1 A2 + −2 W1 − λ W2 − λ−2

avec : A1 = 5792105 µm−2 A2 = 167917 µm−2 W1 = 238.0185 µm−2 W1 = 57.362 µm−2 Pour λ = 0.590 µm, on obtient n − 1 = 0.000 277 136. 100

Thermosphère

Altitude (km)

80

60

Mésosphère

40 Stratosphère 20

0 – 100

Troposphère – 80

– 60

– 40

– 20

0

20

Température (°C)

Figure 9.11 – Modèle standard de l’atmosphère terrestre pour les conditions normales en h = 0. Selon les couches, le modèle est soit isotherme, soit à gradient thermique constant.

Remarques importantes sur l’exactitude de R(z0 ) Jusque vers z0 ≈ 80◦ , la réfraction n’est pas trop sensible au détail du modèle, puisqu’elle est dominée par les conditions locales. En revanche, près de l’horizon, il faut 642

9.4. LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE non seulement tenir compte des hautes couches, mais la stratification fine en température de la très basse atmosphère joue un rôle très important (voir Young, 2004). Le modèle standard d’atmosphère est une référence principalement utilisée en aéronautique, comme une atmosphère moyenne, et non comme le meilleur modèle connu de l’atmosphère. Par exemple, aucun effet saisonnier n’est inclus dans le niveau des couches, alors qu’il est bien connu que le niveau de la tropopause fluctue avec les saisons. La réfraction horizontale de la table 9.2, trouvée à 320 56.35100 pour les conditions normales, serait différente de plusieurs secondes de degré pour des changements mineurs du modèle d’atmosphère, au regard de la variabilité spatiale et temporelle des conditions physiques de l’atmosphère. Modifier le gradient de température de sa valeur nominale de −6.5 ◦ C km−1 à −6.0 ◦ C km−1 , entraîne une augmentation de la réfraction horizontale de 1500 . Bien évidemment, l’atmosphère réelle ne se compose pas d’une troposphère avec un gradient uniforme de −6.5 ◦ C km−1 , en tout lieu de la Terre et pour tous les jours de l’année. Modifier l’altitude de la tropopause de 11 km à 10 km augmente la réfraction horizontale de près de 100 . De même, la réfraction horizontale change de près de 1.300 pour une variation de 10 nm de la longueur d’onde, et de plus de 1000 pour 1◦ de température au sol. Il est donc normal, lors de la comparaison des tables publiées par divers organismes, de trouver des résultats qui diffèrent de plusieurs secondes de degrés pour la réfraction voisine de l’horizon. Il ne faut pas s’en émouvoir, même si les conditions aux limites (température, pression, longueur d’onde) sont en principe identiques. Aucune n’est plus exacte qu’une autre, aucune ne représente mieux la réalité qu’une autre : elles sont toutes aussi bonnes ou toutes aussi approximatives. L’atmosphère réelle n’est jamais celle du modèle et les modèles ne sont pas strictement identiques selon les instituts, sans compter les méthodes de calcul pour transformer des équations de physique en une table numérique. La réfraction horizontale, ou subhorizontale (z0 > 90◦ ), ne peut être modélisée avec certitude sur les quelques minutes de degré au-dessus de l’horizon optique (voir en particulier Young, 2004). Les réfractions anormales sont courantes et non exceptionnelles, en particulier lorsque le sol ou la mer et l’atmosphère ont des températures très différentes, induisant des gradients de température locaux beaucoup plus grands que ceux du modèle de l’atmosphère standard. Ils peuvent même être positifs juste au-dessus de l’eau en été ou très fortement négatifs au-dessus d’une route chauffée ou au-dessus de la mer en hiver. Ces conditions extrêmes de hauteur ne concernent pas les mesures astronomiques de précision, mais sont importantes pour les heures de levers et couchers des astres. Des formules spécifiques sont données dans la section 10.3.

643

Chapitre 10

Ph´enom`enes astronomiques

10.1

Introduction

Ce chapitre est consacré à la présentation et au calcul des phénomènes astronomiques bien connus, comme les levers et couchers des astres, les phases de la Lune, ou moins connus, comme le passage de Vénus et de Mercure sur le disque solaire ou encore les occultations d’étoiles par des objets du Système solaire. Le chapitre suivant traite séparément d’une autre grande catégorie de phénomènes astronomiques : les éclipses de Soleil et de Lune. Il est rédigé dans le même esprit pédagogique destiné à présenter avec rigueur l’astronomie élémentaire, mais qui s’avère finalement très technique lorsque la description s’affine et que le niveau de précision recherché augmente. Il ne s’agit pas d’un cours d’astronomie fondamentale, il manque d’ailleurs bien des questions, mais chaque section donne toutes les formules nécessaires au lecteur qui souhaite mener ses propres calculs d’un passage, d’une éclipse ou du lever du Soleil au-dessus de la mer.

10.2

Phases de la Lune

10.2.1

Présentation générale

En astronomie, et dans le langage courant, la phase de la Lune désigne la portion du disque lunaire illuminée par le Soleil et visible de la Terre. Les deux conditions sont importantes et à l’origine des phases. En effet, la distance Terre-Soleil vaut en moyenne 400 fois la distance Terre-Lune, et les rayons solaires qui atteignent tous les points de l’orbite lunaire sont donc quasiment parallèles à la direction Terre-Soleil, comme cela est représenté sur la figure 10.1. L’écart est au plus de 0.14◦ entre le rayon central et un rayon 645

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES extrême. Donc à tout instant, sauf pendant les éclipses de Lune, un hémisphère de la Lune est illuminé par le Soleil alors que l’autre est dans l’obscurité. Mais l’hémisphère visible depuis la Terre est en général différent de celui qui est illuminé, sauf à la pleine lune, et la phase visible est précisément la partie commune entre ces deux hémisphères. La phase est donc un phénomène qui change avec le mouvement de la Lune autour de la Terre. Le cycle complet d’une nouvelle lune à la suivante est appelé lunaison. Sa durée moyenne est de 29.530 jours (section 5.3.4), correspondant à la durée entre deux conjonctions en longitude de la Lune et du Soleil. Le fait de repérer le début de la lunaison à la nouvelle lune est purement conventionnel et fortement lié aux différents calendriers lunaires en usage aujourd’hui ou dans le passé (voir section 13.3.1). La visibilité du premier croissant marque dans ce cas le début d’un nouveau mois lunaire. La durée du mois lunaire, aussi appelé mois synodique (section 5.3.4), résulte de la combinaison de la révolution sidérale de la Lune (27.321 jours) et de l’année tropique (365.2422 jours, voir section 13.2) avec : 1 Psynodique

=

1 Psidérale

−

1 Psolaire

qui conduit au moyen mouvement synodique de 360/29.530 588 ∼ 12.190 749◦ par jour (voir aussi la table 10.1). Il y quatre phases principales et quatre états intermédiaires d’usage moins répandu : • la nouvelle lune, NL : la Lune, au cours de sa révolution synodique, se trouve dans la direction du Soleil. Le plan de l’orbite de la Lune par rapport au Soleil étant légèrement différent à chaque conjonction, la latitude écliptique de la Lune est de quelques degrés au nord ou au sud de l’écliptique. L’alignement quasi rigoureux donne lieu à une éclipse de Soleil. De façon très précise, la nouvelle lune est l’instant de la conjonction de la Lune et du Soleil apparent en longitude écliptique ; • le premier croissant : il apparaît quelques jours après la pleine lune lorsqu’elle redevient visible dans le ciel une à deux heures après le couchant. C’est dans cette phase que l’on peut voir la lumière cendrée sur la partie en principe obscure et qui résulte du renvoi d’une petite fraction de la lumière solaire par la Terre ; • le premier quartier, PQ : il se produit typiquement une semaine après la nouvelle lune. Le disque lunaire est lumineux sur la moitié qui se trouve en direction du Soleil. La Lune se lève vers midi local et se couche autour de minuit local. La Lune est en quadrature avec le Soleil et la différence de longitudes apparentes est de λL − λS = 90◦ ; • la phase gibbeuse croissante : elle se produit quelques jours avant la pleine lune avec une grande fraction du disque illuminée par le Soleil ; 646

10.2. PHASES DE LA LUNE

Figure 10.1 – Présentation schématique du mécanisme des phases lunaires. Le Soleil occupe une direction fixe à droite de la figure et son diamètre apparent est négligé. L’orbite de la Lune est tracée dans le plan de l’écliptique et est vue du pôle Nord de l’écliptique. Un hémisphère de la Lune est toujours illuminé, l’autre dans l’ombre. Ce que voit un observateur terrestre à des latitudes moyennes nord et sud est figuré dans la partie basse du diagramme. Les abréviations désignent la nouvelle lune (NL), le premier quartier (PQ), la pleine lune (PL) et le dernier quartier (DQ).

• la pleine lune, PL : elle marque le milieu du cycle, avec le disque totalement éclairé par la lumière solaire. La Lune se lève grossièrement au coucher du Soleil et traverse le méridien du lieu autour de minuit local. La Lune est opposée au Soleil, donc avec des déclinaisons négatives en été pour l’hémisphère nord (respectivement positives pour le sud) et des lunes basses dans le ciel. L’inverse se produit en hiver, avec des pleines lunes très hautes et un arc nocturne de grande amplitude. L’instant de la pleine lune correspond à l’opposition en longitude apparente de la Lune et du Soleil ; • la phase gibbeuse décroissante : elle se produit quelques jours après la pleine lune ; • le dernier quartier, DQ : il a lieu lorsque la Lune est en quadrature ouest avec le Soleil et la différence de longitudes apparentes est de λL − λS = 270◦ ; • le dernier croissant : la fraction du disque illuminé décroît de jour en jour jusqu’à la disparition de la Lune dans les lueurs de l’aube, juste avant la nouvelle lune. 647

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Pour clore ces définitions, l’expression syzygie se trouve encore fréquemment dans les textes astronomiques, surtout en langue anglaise, pour qualifier les conjonctions ou oppositions de la Lune avec le Soleil, correspondant aux périodes de nouvelle ou de pleine lune (voir également la section 5.3.5.4). Table 10.1 – Moyens mouvements du Soleil et de la Lune, et moyen mouvement synodique en degrés par jour. ◦ d−1

◦ d−1

◦ d−1

Lune

périgée 14.6258

moyen 13.1764

apogée 11.7270

Soleil

périhélie 1.0185

moyen 0.9856

aphélie 0.9527

Lune périgée 13.6731 13.6402 13.6073

moyen 12.2237 12.1908 12.1579

Lune apogée 10.7743 10.7414 10.7085

Synodique (Soleil aphélie) Synodique (Soleil à 1 au) Synodique (Soleil périhélie)

La phase, dans le cas de la Lune, correspond à la fraction du mois lunaire au cours du cycle, et sa valeur est nulle à la nouvelle lune, et de 0.5◦ ou 180◦ à la pleine lune. C’est donc, astronomiquement, l’élongation de la Lune par rapport au Soleil. Cette notion de phase utilisée pour la Lune n’est pas identique à l’acception de ce terme pour les planètes. En effet, la phase astronomique d’un corps du Système solaire est l’angle mesuré du centre de la planète entre la Terre et le Soleil : elle vaut 180◦ à la nouvelle lune et 0◦ à la pleine lune. Le choix de débuter le cycle à la nouvelle lune est responsable de cette différence, qui ne prête pas à confusion en général.

10.2.2

Durée des phases lunaires

La phase étant définie plus haut comme un instant dans le cycle, les intervalles dont il est question sont les durées en jours qui séparent les phases consécutives. On va examiner la durée qui sépare la nouvelle lune du premier quartier (NL-PQ), puis la durée PQ-PL, et ainsi de suite pour les quatre intervalles. Dans les conditions moyennes données dans la table 10.1, le moyen mouvement synodique de la Lune est de 12.191◦ par jour. Donc, pour que l’élongation solaire croisse de 90◦ , il faut en moyenne 7.4 jours, durée typique d’une interphase. La durée réelle de l’interphase est quelque peu différente, comme cela est montré sur la figure 10.2, qui donne la durée NL-PQ sur quelques dizaines d’années. Exactement la 648

10.2. PHASES DE LA LUNE

Jours

8.0

7.5

7.0

6.5 2000

2010

2020 Époque

2030

2040

Figure 10.2 – Durée en jours entre la nouvelle lune (NL) et le premier quartier (PQ) de 2000 à 2040. Les points se rapportent à la date de la nouvelle lune. Les courbes pour les autres interphases sont quasiment identiques.

même distribution est observée pour les trois autres interphases. La date de la lunaison est repérée par un point qui correspond au moment de la nouvelle lune, c’est-à-dire du début de la lunaison. On voit que la durée oscille sensiblement autour de la valeur moyenne de 7.4 jours, avec un minimum autour de 6.6 jours et un maximum de 8.25 jours. L’oscillation est quasi sinusoïdale avec une période d’environ 410 jours. Enfin, l’enveloppe des maximums et des minimums présente également une petite oscillation plus difficile à voir sur 40 ans, et de période d’environ 9 ans, correspondant en fait à la rotation du périgée par rapport à l’orbite solaire (section 5.3.3.1). Ces trois caractéristiques s’expliquent simplement avec le mouvement elliptique de la Lune et la rotation de la ligne des apsides. 1. Une interphase correspond à un déplacement synodique d’exactement 90◦ . Si cet arc est centré sur le périgée, la durée est plus courte, et inversement, si l’arc est à l’apogée, la durée est plus longue que la moyenne. À partir de la table 10.1, au voisinage du périgée, on a 90/13.6402 ∼ 6.6 jours et 90/10.7414 ∼ 8.4 jours pour l’apogée, des durées très proches des valeurs observées. Il faudrait en fait prendre la moyenne du moyen mouvement synodique sur un arc de ±45◦ autour de l’apogée et du périgée pour retrouver ces valeurs. 2. Si, lors d’une lunaison, l’arc NL-PQ est centré sur le périgée, ce même arc reviendra à la prochaine lunaison ∼ 29.53 jours plus tard, et sera décalé d’environ 26◦ par rapport au périgée mobile, qui se déplace d’environ 3.3◦ par lunaison. Le nouveau passage de la Lune au périgée se produit après une période anomalistique de 27.55 jours, soit 2 jours avant le retour de la nouvelle lune. Il faudra attendre environ 649

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES 14 lunaisons ou 15 révolutions anomalistiques pour retrouver une séquence NL-PQ centrée sur le périgée, soit 413 jours. Cette période est la caractéristique principale de la récurrence bien visible sur la figure 10.2. On retrouve cette périodicité dans le phénomène dit de super lune discuté à la section 5.3.5.4. 3. Lorsque le périgée (respectivement l’apogée) se trouve en direction de l’aphélie, le moyen mouvement synodique est légèrement augmenté, et donc la durée de l’interphase diminuée dans les mêmes proportions. Les résultats sont similaires, mais dans la direction inverse pour les arcs à l’apogée et au périhélie. Cette petite fluctuation va donner naissance à une variation des durées extrêmes avec une période égale à la rotation du périgée de la Lune, soit 8.85 années. Cette période est visible sur la figure 10.2 comme une légère variation périodique des valeurs extrêmes.

10.2.3

Durée de la lunaison

La lunaison, ou mois lunaire, est la durée du cycle compris entre deux nouvelles lunes consécutives. Sa valeur moyenne est 360/12.1910 ' 29.530 jours, soit également quatre fois la durée moyenne d’une interphase. La distribution des lunaisons vraies visible sur la figure 10.3 montre une structure relativement régulière, déviant de façon notable de la durée moyenne, avec différentes oscillations entre les valeurs les plus courtes à 29.27 jours et les plus longues à 29.84 jours. Les variations de la durée du mois lunaire vrai et des cycles associés ont été peu étudiées depuis le travail déjà ancien de Meeus (1960), effectué bien avant que l’on puisse générer de longues séquences de lunaisons avec un ordinateur. Il y a quelques points communs entre les figures 10.2 et 10.3, en particulier le cycle de 413 jours pour le retour des mois lunaires de durée équivalente. L’oscillation qui enveloppe les valeurs extrêmes est en revanche bien plus prononcée, mais provient également du mouvement du périgée lunaire. On peut rendre compte quantitativement des structures principales avec les seules propriétés du mouvement elliptique et du mouvement du périgée. 1. Au cours d’un mois lunaire, la Lune couvre une orbite complète, plus un complément de l’ordre de 29◦ qui correspond à l’excès angulaire de la révolution synodique par rapport à la révolution sidérale ou anomalistique, soit à peu près deux jours de différence (voir figure 10.5). En effet, lorsque la Lune a effectué une révolution sidérale après une conjonction, le Soleil s’est déplacé d’environ ∼ 27◦ en longitude. Avant de rejoindre la nouvelle conjonction, la Lune doit encore se déplacer d’un arc de 27 × (29.5/27.3) ∼ 29◦ . C’est ce petit arc qui est responsable des variations de durées, puisque les 360 premiers degrés s’écoulent sur une durée peu variable de 27.32 jours, quel que soit le point de départ. En revanche, cet arc complémentaire sera plus rapidement franchi s’il est centré sur le périgée plutôt que 650

10.2. PHASES DE LA LUNE

Jours

29.8

29.6

29.4

29.2 2000

2010

2020 Époque

2030

2040

Figure 10.3 – Durée en jours de la lunaison entre 2000 et 2040. Les points se rapportent aux dates de la nouvelle lune et la durée est associée à la nouvelle lune de la fin de la lunaison.

sur l’apogée. Ainsi, au périgée, cela nécessite une durée de 29/14.63 = 1.98 jour, alors que 29/11.73 = 2.47 jours sont nécessaires à l’apogée pour franchir ce petit arc. Cela conduit à des lunaisons de 27.32 + 1.98 ∼ 29.3 jours dans le premier cas et de 27.32 + 2.47 ∼ 29.8 jours dans le second, en très bon accord avec les valeurs de la figure 10.3. 2. La durée des lunaisons dépend donc du lieu de la conjonction par rapport au périgée lunaire, c’est-à-dire de l’anomalie moyenne de la Lune au moment de la conjonction. Ces lunaisons extrêmes, rapportées à la nouvelle lune qui les conclut, se produisent lorsque cette nouvelle lune est au-delà de l’apogée et du périgée. Cet effet est parfaitement visible sur la figure 10.4, qui donne la durée de la lunaison en fonction de l’anomalie moyenne lors de la nouvelle lune qui termine la lunaison. La courbe moyenne produit des lunaisons courtes au périgée de 29.35 jours et des lunaisons longues à l’apogée de 29.70 jours. La largeur de la dispersion des points pour une anomalie moyenne donnée est de l’ordre de 0.2 jour. Le décalage des valeurs minimales et maximales entre l’origine et 180◦ provient du repérage des lunaisons par la date de la nouvelle lune de fin de lunaison. Les lunaisons les plus longues, par exemple, ont lieu lorsque l’arc complémentaire est centré sur l’apogée, donc lorsque la nouvelle lune qui termine la lunaison se trouve au-delà de l’apogée à une distance angulaire égale à la moitié de l’arc, soit environ 14◦ . Une conclusion similaire s’applique pour le périgée et les lunaisons les plus courtes. En repérant les lunaisons par la date de la pleine lune, au milieu du cycle donc, il n’y aurait aucun décalage. 3. Les successions de lunaisons sur le graphique montrent une alternance relativement 651

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Jours

29.8

29.6

29.4

29.2

0

50

100 150 200 250 Anomalie moyenne de la Lune à la NL (°)

300

350

Figure 10.4 – Durée en jours de la lunaison en fonction de l’anomalie moyenne lors de la nouvelle lune de fin de mois entre 1800 et 2200. On voit que le minimum et le maximum sont proches de 0◦ (périgée) et 180◦ (apogée), mais décalés d’une quinzaine de degrés.

régulière entre les lunaisons longues et courtes avec une récurrence de 14 lunaisons, soit ∼ 413 jours. Cela correspond au déplacement de l’arc complémentaire d’environ 25.8◦ à chaque lunaison par rapport au périgée mobile. Ainsi, il faut 360/25.8 ∼ 14 lunaisons pour que l’arc revienne dans la configuration initiale. C’est également la première bonne approximation rationnelle entre la période anomalistique de 27.555 jours et la lunaison de 29.530 jours, avec 29.530/27.555 ' 15/14. 4. La durée de la lunaison moyenne de 29.530 jours est la valeur que l’on obtiendrait en prenant la moyenne d’un grand nombre de lunaisons au cours de plusieurs années. Mais si, par exemple, on effectue ce même calcul avec toutes les lunaisons de janvier, ou d’un mois particulier, on trouverait une moyenne différente pour chaque mois, avec une signature évidente au cours de l’année. Cette modulation annuelle est bien visible sur la figure 10.6 donnant la durée des lunaisons vraies en fonction de la date de la nouvelle lune dans l’année. Le mouvement synodique fait intervenir le déplacement du Soleil : c’est pourquoi il est plus élevé lorsque le Soleil est à l’aphélie (mouvement du Soleil plus lent que la moyenne) qu’à son périhélie (mouvement rapide du Soleil), comme cela est consigné dans la table 10.1. Globalement, les lunaisons sont plus longues lorsque le Soleil est au voisinage du périhélie (déplacement rapide du Soleil), mais cette variation, qui est de l’ordre de l’excentricité de l’orbite terrestre, est masquée sur la figure 10.3 par des effets plus importants venant de l’orbite lunaire. La lunaison moyenne d’hiver (proche du périhélie) est de 29.63 jours, alors qu’elle est égale à 29.43 jours en été, au voisinage de l’aphélie. 652

10.2. PHASES DE LA LUNE

périgée

Terre

t ≈ 29.53 d

Lune arc complémentaire

t=

0

et ≈2 7

Soleil .35

d

apogée

Figure 10.5 – Explication schématique de la variabilité de la durée de la lunaison. Au cours d’une lunaison, la Lune effectue une révolution orbitale complète, plus un arc complémentaire d’environ 29◦ avant de se retrouver en conjonction avec le Soleil. Le temps nécessaire pour parcourir cet arc dépend de sa position le long de l’orbite lunaire. Ce temps sera plus court au voisinage du périgée que de l’apogée. Il en résulte des lunaisons de longueur variable.

5. La modulation de la durée des lunaisons les plus longues ou les plus courtes est encore plus visible sur la figure 10.3, et cette structure est permanente sur des durées beaucoup plus longues. La durée des lunaisons extrêmes varie selon la position du périgée lunaire par rapport à l’orbite solaire, c’est-à-dire selon la longitude du périgée lunaire. L’effet global en fonction de la longitude du périgée est représenté sur la figure 10.7 avec l’enveloppe haute et basse respectivement pour les lunaisons apogées et périgées. Ainsi, les lunaisons courtes au périgée (contour inférieur sur la figure) le seront d’autant plus que le périgée sera proche de l’aphélie et, inversement, plus longues au périhélie. De manière équivalente, les lunaisons longues à l’apogée seront d’autant plus longues (respectivement plus courtes) que l’apogée (périgée +180◦ ) est proche du périhélie (respectivement de l’aphélie). Le cycle complet est associé à la rotation du périgée avec une période de 8.85 années, qui se retrouve dans la répétition des battements sur la figure 10.3. 6. La table 10.2 donne des listes des lunaisons les plus courtes et les plus longues sur trois périodes : de l’an 1000 à 3000, de 1900 à 2100 et de 2000 à 2050. La date est celle de la pleine lune du milieu du cycle considéré. On voit que les lunaisons 653

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Jours

29.8

29.6

29.4

29.2

0

0.2

0.4 0.6 0.8 Fraction de l’année depuis le 1er janvier

1.0

Figure 10.6 – Durée en jours de la lunaison en fonction de la position au sein de l’année entre 1800 et 2200. Les lunaisons avec le Soleil au périhélie en hiver sont plus longues du fait du déplacement plus rapide du Soleil, et inversement, plus courtes en été lors du passage à l’aphélie.

aphélie

périhélie

Jours

29.8

29.6

29.4

29.2

0

50

100

150 200 250 Longitude du périgée lunaire

300

350

Figure 10.7 – Durée en jours de la lunaison en fonction de la longitude du périgée lunaire entre 1800 et 2200.

les plus courtes sont toujours au voisinage de l’aphélie (juillet) et les plus longues proches du périhélie (janvier). Les valeurs les plus extrêmes sont relativement identiques sur les différentes périodes. 654

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN

Table 10.2 – Les plus courtes et plus longues lunaisons sur les périodes [1000, 3000], [1900, 2100] et [2000, 2050]. La date est celle de la pleine lune du milieu du cycle.

lunaisons courtes date durée jours

lunaisons longues date durée jours

1345-06-15 1000-06-19 1708-07-03 1327-06-05 1363-06-26

29.2707 29.2717 29.2719 29.2721 29.2721

1424-12-06 1265-12-24 1247-12-13 1442-12-17 1079-12-11

29.8327 29.8328 29.8335 29.8335 29.8336

2053-07-01 1903-07-09 2071-07-12 2035-06-20 2089-07-22

29.2744 29.2745 29.2747 29.2768 29.2780

1964-12-19 1982-12-30 1992-01-19 1955-12-29 1974-01-08

29.8255 29.8262 29.8264 29.8291 29.8298

2035-06-20 2044-06-10 2044-07-10 2017-06-09 2026-06-29

29.2768 29.2811 29.2820 29.2821 29.2843

2019-01-21 2010-01-30 2001-01-09 2036-01-13 2018-01-02

29.8162 29.8194 29.8231 29.8238 29.8242

10.3

Lever, coucher et passage au méridien

10.3.1

Passages au méridien

Le méridien du lieu est le plan qui contient la direction des pôles célestes Nord et Sud et qui passe par le zénith du lieu. Au moment où un astre passe au méridien du lieu à la culmination supérieure, on a exactement : H=0

(10.1)

où H désigne l’angle horaire. Il s’agit ici de la culmination supérieure qui correspond dans le mouvement diurne à la plus faible distance zénithale. Le même calcul peut être conduit pour la culmination inférieure avec H = 180◦ , par exemple pour des observations d’étoiles circumpolaires ou le passage du Soleil de minuit. L’équation qui donne l’instant de passage à la culmination supérieure est alors : α(t) = αz (t)

(10.2)

où α est l’ascension droite de l’astre et αz l’ascension droite du zénith du lieu. Cette dernière quantité est identique au temps sidéral, mais la terminologie adoptée ici présente 655

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES l’avantage de bien montrer qu’il s’agit d’un angle, qui de plus est orienté dans le sens direct comme l’ascension droite ou les longitudes. Cette identité résulte du fait que l’angle horaire du point vernal (le temps sidéral local) est identique à l’ascension droite du méridien de l’observateur. Ce sont deux arcs de même grandeur, de directions opposées, mais comptés avec des conventions d’orientation également opposées. La rotation du méridien de l’observateur d’ouest en est implique que son ascension droite, c’est-à-dire αz , est une fonction croissante dans le temps. L’équation 10.2 suppose que les coordonnées de l’astre sont rapportées à l’équateur et l’équinoxe de la date, ce qui est généralement le cas pour les éphémérides des planètes et des satellites, mais pas nécessairement pour les étoiles. Dans ce dernier cas, il convient, si une grande précision est recherchée, de propager en premier lieu la position de l’époque du catalogue à la date d’observation (section 9.2), puis d’appliquer les transformations de la section 3.6 pour passer du système de référence du catalogue d’étoiles au système céleste intermédiaire de la date. En règle générale, les corrections qui proviennent de cette seconde transformation sont beaucoup plus importantes que l’action du mouvement propre dans la première transformation. On peut écrire l’équation 10.2 en introduisant le temps sidéral de Greenwich (c’est-à-dire l’ascension droite du méridien de référence) donné dans les tables : αz (t) = αG (t) + λz

(10.3)

où λz est la longitude du lieu, également comptée positivement vers l’est. L’équation 10.2 possède un grand nombre de solutions, et est généralement résolue par intervalles d’un jour pour les besoins d’une éphéméride organisée sur cette base ou pour préparer une observation. Il n’y a alors qu’une seule solution par intervalle, sauf cas exceptionnels : par exemple, une étoile qui passe au méridien très peu de temps après minuit y repasse à nouveau le même jour civil après un jour sidéral. Dans le cas d’une étoile α(t) ' α, la dépendance en temps de l’ascension droite peut être négligée au cours de la journée. Pour un astre mobile du Système solaire, l’équation est résolue par approximations successives en partant d’une valeur approximative de α(t). Dans le cas du Soleil, en partant d’une valeur approximative du temps de passage au méridien t0 , on affine le calcul par une ou deux itérations de : tn+1 = tn −

αz (tn ) − α (tn ) ω0

(10.4)

avec ω0 = 360◦ d−1 et α désignant l’ascension droite du Soleil. Dans cette équation, il faut bien s’assurer que la différence αz − α ait la bonne détermination entre −180◦ et 180◦ , c’est-à-dire qu’au voisinage de la solution, cette différence soit représentée par un nombre algébrique voisin de 0. On peut aussi utiliser au numérateur une expression comme sin(αz − α ) pour éviter ce problème. 656

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN La hauteur géocentrique hm de l’astre au moment de son passage au méridien est la solution de : sin hm = cos(ϕ − δ) avec −90◦ < h < 90◦ . Pour avoir la hauteur topocentrique h¯ m , il convient de prendre en compte la parallaxe pour la Lune et éventuellement pour le Soleil. Avec l’approximation des petits angles (précision d’environ 10 pour la Lune), on a : h¯ m ∼ hm − $ cos hm où $ est la parallaxe du Soleil ou de la Lune, respectivement de l’ordre de 8.8000 et 1◦ . Une correction de réfraction doit également être appliquée pour avoir la hauteur apparente h¯ app . Comme les tables et les expressions analytiques de la réfraction sont des fonctions de la hauteur apparente et notées R(h¯ app ) par la suite, on doit résoudre, par une méthode de point fixe, l’équation : h¯ app + R(h¯ app ) = h¯ m pour avoir la hauteur apparente h¯ app topocentrique. Pour des hauteurs supérieures à 20◦ , une ou deux itérations sont suffisantes.

10.3.2 10.3.2.1

Temps solaire et jour solaire Le temps solaire

Les passages successifs, c’est-à-dire jour après jour, du Soleil au méridien sont intimement liés à la définition de la durée du jour et au temps solaire (moyen et vrai), base du repérage temporel de l’astronomie et de la vie civile pendant des siècles, jusqu’à une époque relativement récente à l’aune de l’histoire de l’astronomie. Dans cette section, on présente les concepts les plus importants qui ont en partie déterminé notre façon de diviser les jours et caractérisent largement le temps civil. Dans l’article 973 de son Astronomie, Lalande déclare à propos du temps solaire : « Le temps moyen, égal ou uniforme, est proprement celui des astronomes, car le temps vrai ou apparent leur est indifférent et inutile, ils ne l’observent que parce qu’il sert à trouver le temps moyen. » Il résume ainsi toute l’importance de la relation qui lie le temps vrai au temps moyen que nous allons présenter maintenant. 657

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Le temps local, propre à un lieu, associé au mouvement diurne du Soleil est donné par l’angle horaire du Soleil. Entre les quantités possibles comme la hauteur ou l’azimut, l’angle horaire du Soleil est assurément le paramètre dont la variation temporelle apparaît la plus régulière et donc la plus propre à repérer l’écoulement du temps. La variation de l’angle horaire au cours de la journée provient à 99.7% de la rotation de la Terre sur ellemême, les derniers 0.3% revenant au mouvement annuel du Soleil. C’est cependant cette composante mineure qui est la source des irrégularités du temps solaire local. L’angle horaire est un angle dièdre mesuré sur l’équateur, c’est-à-dire que le mouvement du Soleil qui importe ici est son mouvement en ascension droite, lequel est loin d’être uniforme 1 . L’angle horaire du Soleil est donné par : H = αO − α où αO est l’ascension droite du méridien céleste du lieu, équivalent au temps sidéral local, et telle que dαO /dt = ω⊕ . Le mouvement en longitude du Soleil est donné par la mécanique céleste (voir chapitre 5) et dépend de l’ensemble des perturbations planétaires. Cependant, en considérant uniquement la Terre et le Soleil, nous avons la solution analytique simple du problème képlérien : X l(t) = l0 + n(t − t0 ) + Pk (e) sin kM (10.5) k

où M = n(t − t0 ) est l’anomalie moyenne du Soleil et n ≈ 0.9856◦ jour−1 est le moyen mouvement. L’amplitude des termes périodiques est développée sous forme de polynômes de l’excentricité, très rapidement convergents dans le cas du Soleil avec e ≈ 0.0167. L’ascension droite se calcule au moyen de la relation : tan α = cos  tan l =

 2 tan2 2

1 − tan2 1+

tan l

(10.6)

dans laquelle  ≈ 23.44◦ est l’obliquité de l’écliptique et tan2 /2 ≈ 0.04 est une petite quantité. On peut également obtenir un développement de α à partir de l’équation 10.6, avec :  1   α ≈ l − tan2 sin 2l + tan4 sin 4l + O(tan6 ) (10.7) 2 2 2 2 L’ascension droite du Soleil est ainsi affectée d’inégalités dont la période fondamentale est 6 mois et l’amplitude ' 2.3◦ , en complément des inégalités dues au mouvement elliptique. 1. L’irrégularité de la durée du jour solaire en raison du mouvement orbital et de l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre sur l’écliptique apparaît avec une remarquable clarté dans l’Almageste de Ptolémée, Livre III, sect.9. Il n’y a aucune évaluation quantitative, mais la description peut être reprise aujourd’hui sans modification.

658

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN On peut comprendre simplement l’effet de la projection sur l’équateur d’un mouvement uniforme sur l’écliptique au moyen de la figure 10.8. Les deux arcs de même longueur ∆l sur l’écliptique sont parcourus dans le même temps. Par projection sur l’équateur, on obtient les arcs ∆α1 et ∆α2 , respectivement au voisinage de l’équinoxe et du solstice boréal. Si les arcs sont très petits, on a : ∆α1 ' ∆l cos  ∆l ∆α2 ' cos  et donc ∆α1 < ∆α2 , bien que le temps pour les parcourir soit identique. Les vitesses angulaires sont donc différentes et un mouvement uniforme sur l’écliptique se traduit par un mouvement moins régulier en ascension droite. Sur l’arc de 90◦ de l’équinoxe au solstice, les temps de parcours sont égaux : les mouvements moyens sur l’écliptique et sur l’équateur sont donc égaux.

Figure 10.8 – Réduction à l’équateur d’un mouvement uniforme sur l’écliptique.

La combinaison des équations 10.5 et 10.7 donne finalement l’expression de l’ascension droite du Soleil en fonction du temps uniforme t qui figure dans l’expression de la longitude : α (t) = α0 + nt − E (10.8) où E rassemble l’ensemble des termes périodiques. Ce qui donne pour l’angle horaire, et 659

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES donc le temps solaire vrai : H (t) = (ω⊕ − n)t + E

(10.9)

en omettant le terme constant qui fixe l’origine et qui est sans importance. La quantité E est appelée équation du temps, et a été publiée sous forme de table pour la première fois par l’astronome anglais John Flamsteed (1646-1719) en 1672. Cette quantité est un angle, comme l’angle horaire, et comme ce dernier, elle est généralement exprimée en temps. Il n’y a pas de convention de signe établie internationalement pour E. La Connaissance des temps et aujourd’hui l’ensemble des publications de l’IMCCE adoptent le signe tel que : • • • • • •

E = angle horaire du Soleil moyen − angle horaire du Soleil vrai E = α − αSoleil moyen E = temps solaire moyen − temps solaire vrai T U = temps solaire + E − longitude du lieu au midi vrai d’un cadran solaire, il est (12 + E) h de temps moyen E : quantité algébrique donnant l’avance du temps moyen sur le temps vrai

Les éphémérides anglaises et américaines (Nautical Almanach et American Ephemeris), ainsi que les ouvrages d’enseignement anglo-saxons, prennent la convention de signe opposée. En se limitant aux premiers termes des développements, on a, en secondes de temps : E = − 591.76 sin 2($ + M) + 459.56 sin M − 39.55 sin M cos 2($ + M) + 12.73 sin 4($ + M) + 4.80 sin 2M

(10.10)

La figure 10.9 donne la courbe exacte (en minutes) en fonction du jour de l’année. L’écart maximum au temps moyen ne dépasse pas 17 min et le temps moyen coïncide avec le temps vrai quatre fois dans l’année autour du 15 avril, 12 juin, 1er septembre et le 25 décembre. L’équation du temps a été représentée pour l’année 2025, et reste valable pour les périodes historiques récentes. Son allure change graduellement avec les changements à longue période de l’obliquité de l’écliptique, de l’excentricité de l’orbite terrestre et de la circulation de la direction du périhélie de cette orbite. Pour être complet, on donne également la représentation de l’équation du temps sous la forme de l’analemme qui apparaît sur les cadrans solaires ou les méridiennes de temps moyen, pour lire le temps moyen directement à partir du temps vrai. La figure 10.10 donne la combinaison déclinaison du Soleil-équation du temps avec les indications des époques dans l’année. Sur un cadran solaire, cette figure reste qualitativement identique à celle-ci, en forme de huit asymétrique, mais est déformée par le type de projection et dépend du cadran et de la latitude. 660

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN

Figure 10.9 – Équation du temps en minutes en fonction de la date pour l’année 2025. Les deux composantes qui proviennent de l’excentricité de l’orbite de la Terre et de l’obliquité de l’écliptique sont également tracées. La courbe est valable sur une centaine d’années, mais évolue très lentement avec le mouvement séculaire du périhélie. L’équation du temps n’est pas strictement la somme des deux composantes, calculées respectivement avec  = 0 et e = 0, alors que l’expression complète de E comprend au second ordre des termes mixtes en e tan2 /2, comme le terme en sin M cos 2($ + M) dans l’équation 10.10.

Terminologie Selon les époques et les habitudes (astronomes, géodésiens, marins, spécialistes des cadrans solaires), les termes relatifs au temps solaire ne sont pas uniformes et il faut être sur ses gardes. Après le xviie siècle, les astronomes utilisent l’expression temps vrai pour le temps solaire vrai, celui affiché par un cadran solaire, et temps moyen pour le temps solaire moyen, uniformisé en retranchant les termes périodiques du temps vrai. On trouve également à la même époque pour les notions équivalentes les termes temps variable et temps égal dont le sens se comprend naturellement. Dans certains cas, par exemple pour Newton et ses contemporains, on qualifiait de temps vrai le temps solaire moyen, et les astronomes parlaient du temps apparent pour le temps vrai correspondant à l’angle horaire du Soleil. On comprend bien la logique de Newton, pour qui le seul temps qui compte, et qui soit utile aux astronomes, est le temps uniforme et sa réalisation pratique par le temps solaire moyen. L’autre acception est tout aussi logique, en ce sens que le temps vrai est celui qui, attaché au Soleil vrai tel qu’il se trouve dans ciel, est marqué par une ombre sur le tableau d’un cadran solaire. C’est le seul accessible à la mesure, le temps moyen devant faire l’objet d’un calcul, ou bien être lu sur une horloge, elle-même réglée de temps en temps sur le mouvement du Soleil. 661

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.10 – Déclinaison du centre du Soleil en degrés et équation du temps en minutes, avec indication des époques remarquables. Les points sont calculés à 12 h chaque jour avec la convention de signe E = temps solaire moyen − temps solaire vrai. Le point double se trouve proche du décalage nul, mais n’a aucune raison de s’y trouver exactement.

Temps légal

Pendant des siècles, le temps solaire a été la base du temps civil, bien avant que celui-ci ne soit codifié par des décisions de l’autorité administrative. Le temps solaire vrai était donné par l’observation de l’ombre du Soleil, et le passage au méridien donnait le midi vrai. Les horloges monumentales des églises étaient trop imprécises pour distinguer les irrégularités du temps vrai, et dans les faits, elles étaient réglées sur le temps vrai. Avec l’apparition de l’horlogerie de précision à la fin du xviie siècle, l’accès au temps uniforme, au moins pour quelques semaines, est devenu une réalité, et les grandes villes ont adopté le temps moyen pour les horloges publiques (Genève en 1780, Londres en 1790, Berlin en 1820, Paris en 662

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN 1826 2 ). Certains bâtiments étaient ornés d’une méridienne de temps moyen, permettant de lire le temps moyen directement sur le tableau vertical de la méridienne et donc de régler les montres sur le midi moyen. Même avec des garde-temps de bonne qualité, le Soleil demeurait la seule référence métrologique primaire de l’échelle de temps. Si les villes sont passées au temps moyen entre 1800 et 1850, cela demeurait un temps local, et il n’était pas le même à Paris, Besançon et Strasbourg. Ce qui n’était pas une gêne pour la vie quotidienne et les déplacements restreints et lents devint un réel problème pour l’organisation de l’acheminement du courrier et surtout pour les chemins de fer qui poussèrent à l’unification nationale de l’heure dès 1850. L’heure légale en France a été définie par la loi pour la première fois en 1891 (loi du 14 mars 1891), en adoptant le temps moyen de Paris sur l’ensemble du territoire et l’Algérie. Ce décret a été modifié en 1911 avec l’entrée de la France dans le système des fuseaux horaires, et l’adoption de fait du temps moyen de Greenwich, éventuellement décalé d’une heure en été à partir de 1916. L’adoption de l’UTC comme temps légal date de 1978. Pour plus de détails, il est utile de se rapporter à l’ouvrage très complet de Gapaillard (2011). Après l’adoption du méridien de Greenwich comme premier méridien (ou méridien zéro), lors de la conférence de Washington en 1884 consacrée à l’origine des longitudes, le temps solaire moyen de Greenwich est, par la suite, également devenu la référence temporelle, souvent sous l’appellation GMT pour Greenwich Mean Time, bien que l’usage civil ait fait débuter le jour à minuit et non à midi. Aucune décision sur le temps n’a été formellement prise lors de cette conférence, mais le choix de régler l’heure internationale sur ce méridien s’est imposé naturellement. Le système des fuseaux horaires y fait explicitement référence.

10.3.2.2

Durée du jour solaire

L’intervalle de temps qui sépare deux culminations supérieures consécutives du Soleil correspond à la durée du jour solaire vrai, celui que l’on peut mesurer à l’aide d’un cadran solaire, ou bien, à un niveau de précision plus élevée, par les passages relevés avec un instrument méridien dans les observatoires des siècles passés. La durée du jour solaire vrai est par définition voisine de 24 h de temps solaire moyen, donc de 24 h du temps civil, avec des variations autour de cette valeur moyenne de ±30 s au cours de l’année en raison du déplacement irrégulier du Soleil en ascension droite. 2. Décision du préfet de la Seine avec prise d’effet le 24 décembre 1826, sur recommandation du Bureau des longitudes. La date correspondait à une valeur quasiment nulle de l’équation du temps, si bien qu’aucun changement n’était nécessaire sur les horloges, il suffisait ensuite de ne plus les corriger pour les ramener au temps vrai.

663

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.11 – Écart à 24 h, exprimé en secondes, de la durée du jour solaire vrai au cours de l’année. Les écarts sont maximums au voisinage des équinoxes et solstices, mais pas strictement à ces instants. Le jour solaire vrai est égal au jour solaire moyen quatre fois dans l’année (10/02, 13/05, 25/07, 02/11).

La raison en est très simple : au cours d’un jour solaire, la Terre a effectué une rotation sur elle-même, plus un petit arc qui correspond au mouvement en ascension droite du Soleil durant ces 24 h. Comme ce dernier mouvement est irrégulier (équation 10.7), la longueur de cet arc est variable, alors que la vitesse angulaire de la Terre est constante (au degré d’approximation considérée ici). Le temps nécessaire pour combler cet arc sera donc variable. Les variations se calculent par la dérivée de l’équation du temps 10.10 (rigoureusement les différences premières avec un pas de un jour), soit, avec les amplitudes en secondes et pour les termes les plus importants : ∆E = 7.91 s cos M − 20.36 s cos 2($ + M) Ces variations sont visibles sur la figure 10.11, qui donne en secondes les écarts à 24 h en fonction du jour dans l’année. Les extrêmes se produisent à quelques jours des équinoxes et des solstices. Quatre fois dans l’année (autour du 11 février, 14 mai, 26 juillet et 2 novembre), le jour solaire vrai est précisément de 24 h. Avec des écarts pouvant atteindre 30 s, cet effet peut être mesuré sans grande difficulté à condition de repérer le passage du Soleil devant un repère fixe au voisinage du méridien du lieu, sans nécessité que ce soit exactement au méridien. La courbe ne dépend pas de la latitude et s’applique également aux zones polaires lorsque le Soleil ne se lève pas. Un choix autre que le méridien aurait été inapproprié pour définir la durée du jour solaire. 664

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN Remarque Les variations de la durée du jour autour de 24 h dépendent de la convention adoptée pour définir la durée du jour vrai. Pour le jour solaire, le choix des passages successifs au méridien du lieu fournit la durée la plus stable au cours de l’année, avec des variations ne dépassant pas les 30 s, comme on l’a vu sur la figure 10.11. Mais on aurait pu choisir une autre ligne verticale que le méridien, et prendre un azimut quelconque pour repérer la traversée de cette ligne jour après jour (en supposant que le Soleil la traverse tous les jours). Les irrégularités auraient été beaucoup plus importantes et, inconvénient majeur, auraient présenté une forte dépendance avec la latitude, ce qui n’est pas le cas pour le passage au méridien. Il n’y a pas d’exemple où cette option ait été adoptée.

Figure 10.12 – Écart à 24 h de temps moyen, exprimé en secondes, de la durée du jour italique vrai au cours de l’année, c’est-à-dire la durée entre deux couchers de Soleil successifs. Le jour italique vrai est égal au jour solaire moyen deux fois dans l’année autour du 26 juin et du 8 décembre.

En revanche, le système des heures babyloniennes et celui des heures italiques prenaient l’origine du jour respectivement au lever et coucher du Soleil, et la durée du jour vrai était donc le temps qui s’écoule entre deux levers ou deux couchers successifs. Le jour était ensuite divisé en 24 h égales (au moins dans les derniers siècles de leur existence) et la durée moyenne du jour était celle du jour solaire moyen. En Italie, ce système de décompte du temps civil est resté en vigueur jusqu’au milieu du xixe siècle et reste toujours présent sur les cadrans solaires. L’usager rural savait immédiatement avec l’heure italique combien d’heures étaient encore disponibles avant la tombée du jour. En gros, le Soleil se levait entre 9 h et 15 h selon les saisons et passait au méridien entre 16 h 30 et 19 h 30, pour se coucher systématiquement à 24 h. L’horloge de Paolo Uccello à la cathédrale de Florence indique l’heure italique. 665

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES La figure 10.12 montre les variations de la durée du jour italique pour la latitude de Rome. Le cumul jour après jour atteignait rapidement plusieurs dizaines de minutes et imposait une fréquente remise à l’heure des montres et horloges. L’horlogerie a définitivement mis fin à ce système, tout comme elle avait eu raison du temps solaire vrai.

10.3.3

Levers et couchers

La difficulté du calcul des levers ou des couchers des astres est conditionnée par la précision recherchée. Dans la pratique, cette exigence n’est jamais très élevée pour deux raisons : 1. Le phénomène lui-même n’est pas observable avec une précision meilleure qu’environ 10 secondes de temps, dans des conditions exceptionnelles avec une vue parfaite de l’horizon. Cependant, on peut reconstruire cet instant à quelques secondes près par enregistrement d’images très proches du lever-coucher et extrapoler le temps pour le passage exact dans l’horizon ; 2. La réfraction est un phénomène très incertain au voisinage de l’horizon qui dépend des conditions physiques le long du rayon lumineux. Des couches thermiques instables près de l’horizon peuvent faire varier la réfraction de plusieurs minutes de degré par rapport aux conditions moyennes. Sous les latitudes moyennes, une erreur d’une minute sur la réfraction se traduit par une différence de 7 s sur la prédiction de l’instant du lever-coucher. C’est l’ordre de grandeur de ce que l’on peut faire de mieux avec un modèle d’atmosphère standard et une connaissance de la température et de la pression au lieu choisi. Il est d’usage de limiter la publication des instants de lever et coucher à la minute de temps, en raison de l’utilisation de conditions atmosphériques uniformes et standards pour des calculs faits à l’avance, qui ne sont pas celles rencontrées par l’observateur le jour du phénomène. De même, on considère dans les calculs d’éphémérides que l’observateur se trouve au niveau de la mer, et donc qu’à l’instant du lever ou du coucher, la hauteur apparente de l’astre est h = 0. Cependant, pour un formulaire destiné à un calcul en temps réel, on peut avoir les paramètres de température, pression et humidité du jour et connaître la localisation de l’observateur avec une grande précision. Dans ces conditions, il n’est pas illusoire d’avoir une exactitude sur l’instant du phénomène meilleure que la minute de temps. On s’affranchit des contraintes standards dans le formulaire qui suit, de sorte qu’il soit applicable pour une observation faite au sommet d’une falaise ou sur les flancs d’une montagne donnant accès à la ligne d’horizon sur la mer. On appelle l’instant de lever (respectivement de coucher) d’un astre le moment où cet astre apparaît à l’horizon de l’observateur. Dans le cas d’une source ponctuelle comme une étoile, et même un satellite de planète hormis la Lune, cela ne pose pas de problème 666

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN de définition. Pour un astre étendu comme la Lune ou le Soleil, il faut également choisir la partie du disque considérée. Les seules situations observables concernent le bord supérieur ou le bord inférieur, mais il n’est pas rare d’effectuer le calcul pour le centre du disque. On supposera dans la suite que le calculateur a accès à une éphéméride des objets du Système solaire qu’il peut appeler efficacement par un programme informatique, sans avoir besoin de calculer une table d’interpolation.

10.3.3.1

Horizon optique

Soit un observateur placé à l’altitude ζ au-dessus du niveau de la mer. Le plan perpendiculaire à la verticale locale est le plan horizontal de l’observateur, plan de référence des coordonnées horizontales, azimut (A) et hauteur (h). Cette définition est liée à l’existence du champ de pesanteur, car elle fait référence à la verticale du lieu. L’horizon qui intervient ici dans la définition de l’événement est la ligne bien visible en mer qui sépare le ciel de la mer. Cette ligne est définie par la propagation des rayons lumineux et sa position dépend de l’altitude de l’observateur et de la courbure des rayons lumineux, donc de la réfraction atmosphérique, comme le montre la figure 10.13. L’horizon est un concept optico-géométrique qui ne fait pas intervenir la pesanteur, au contraire du plan horizontal. Lors du lever d’un astre, le premier rayon lumineux à atteindre l’observateur passe juste à l’horizon optique. Sa hauteur sous le plan horizontal est la dépression de l’horizon  qui donne la hauteur apparente de l’astre à son lever ou à son coucher. La dépression dépend principalement de l’altitude de l’observateur, et dans une faible mesure des paramètres météorologiques. Avec une approximation suffisante, la dépression de l’horizon est donnée par : s (ζ) ∼

2βζ R⊕

(10.11)

où R⊕ est le rayon terrestre que l’on peut prendre égal à 6 378 km (voir la table 1.10 du chapitre 1). Pour une très grande précision, il convient de prendre le rayon de courbure local de l’ellipsoïde dans la direction considérée. Pour des situations voisines des conditions normales de température et de pression, on peut prendre β = 0.82. Physiquement, on a également : dn β = 1 − R⊕ (10.12) dζ où n(ζ) est l’indice de réfraction de l’air en fonction de l’altitude ζ. Pour une propagation p de la lumière en ligne droite, on a β = 1, et la dépression 2ζ/R⊕ est une simple condition géométrique avec de petits angles. La dépression est plus faible avec des rayons réfractés qu’elle ne l’est avec une propagation rectiligne. Enfin 1 − β est aussi la courbure des rayons lumineux exprimée en courbure terrestre. Le rayon de courbure typique est de l’ordre de R⊕ /(1 − β) ≈ 35 000 km au niveau de la mer. 667

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.13 – Horizon optique et dépression de l’horizon pour un observateur à l’altitude ζ. La direction du rayon lumineux est celle de la tangente au point d’arrivée.

10.3.3.2

Instants des levers et couchers

Au moment du lever-coucher, la hauteur de l’astre (centre ou limbe du Soleil ou de la Lune, direction d’une étoile) pour l’observateur est −(ζ) par définition même de l’événement. Sa hauteur astronomique géocentrique (direction vraie du centre de l’astre, vue du centre de la Terre sans atmosphère) est donnée par : hLC = −(ζ) − R(ζ) ± s + $

(10.13)

avec (ζ) pour la dépression de l’horizon à l’altitude ζ, R(ζ) la valeur de la réfraction à l’horizon pour cette même altitude, s le rayon angulaire de l’astre compté positivement pour un lever-coucher du bord inférieur et négativement pour le bord supérieur, et $ pour la parallaxe horizontale. La réfraction à l’horizon R(ζ) prend en compte la réfraction du rayon lumineux sur toute sa longueur, depuis l’observateur jusqu’à la sortie de l’atmosphère et ne devient identique à la réfraction horizontale que pour ζ = 0. La contribution à la réfraction de la partie du rayon lumineux qui va de l’observateur à l’horizon est d’ailleurs loin d’être négligeable dès que l’altitude dépasse quelques dizaines de mètres. À l’instant du lever-coucher, la hauteur géocentrique vraie de l’astre (étoile, centre du Soleil ou de la Lune, centre d’une planète, etc.) doit être égale à la valeur cible de l’équation 10.13. L’équation fondamentale qui donne cet instant est alors : h(t) − hLC = 0 668

(10.14)

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN qu’il est plus aisé de prendre sous la forme trigonométrique équivalente : sin h(t) − sin hLC = 0

(10.15)

pour ne pas avoir à gérer les discontinuités de 2π dans la représentation des angles. Les deux angles dans l’équation 10.14 peuvent être égaux sans que leurs valeurs numériques soient identiques. Ce problème disparaît en passant par la forme trigonométrique de l’équation 10.15. Calculer l’heure des levers-couchers, c’est rechercher la ou les valeurs de t qui sont racines de l’équation 10.15. La valeur sin h(t) se calcule directement par : sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H

(10.16)

H = αz − α

(10.17)

avec l’angle horaire : équations dans lesquelles les coordonnées α, δ de l’astre sont des fonctions lentement variables du temps, alors que la contribution de la rotation de la Terre au travers de αz est la variable rapide. On rappelle que αz est l’ascension droite du lieu, définie dans la section 10.3.1. L’équation 10.15 est résolue par approximations successives dans un intervalle de temps contenant à chaque fois une seule solution. On calcule tout d’abord une première approximation t0 avec les coordonnées de l’astre prises par exemple à 0 h ou 12 h TU, ou tout autre instant tref dans la journée considérée. À partir de α(tref ), δ(tref ), on obtient l’angle horaire au lever et au coucher avec : cos H0 =

sin hLC − sin ϕ sin δ cos ϕ cos δ

(10.18)

que l’on compare à l’angle horaire à tref : Href = αz (tref ) − α(tref )

(10.19)

ce qui donne la première approximation pour le lever (−H0 ) et le coucher (+H0 ) avec H0 = cos−1 (cos H0 ) dans l’intervalle [0, 180] degrés et Href entre [0, 360] degrés : t0 = tref +

∓H0 − Href ω0

où : ω0 =

dH dt

(10.20)

(10.21)

est proche de la vitesse angulaire de rotation de la Terre, égale à 7.292 115 900 × 10−5 rad s−1 ou 360.985 6495 deg/jour. Cette valeur est correcte pour les étoiles et les planètes en général, mais une valeur plus exacte est 360.0 deg/jour (2π rad/jour) dans le cas 669

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES du Soleil (par définition du jour solaire moyen) et 347.81 deg/jour (6.070 43 rad/jour) dans celui de la Lune pour tenir compte du mouvement en ascension droite. Une valeur approchée de ω0 , même grossière, suffit pour ce calcul d’une première approximation. On calcule ensuite une séquence de meilleures approximations t1 , t2 , . . . , tn avec : tn+1 = tn +

sin hn − sin hLC ω0 cos ϕ cos δn sin Hn

(10.22)

et hn , Hn à partir des équations 10.16-10.17. La convergence est très rapide, et une ou deux itérations sont suffisantes pour atteindre la précision numérique de l’ordre de la seconde à des latitudes moyennes. Cette dernière équation est la traduction de la méthode de Newton-Raphson pour la résolution des équations non linéaires, à partir d’une valeur approximative, trop éloignée de la solution 3 . Le dénominateur de l’équation 10.22 est la dérivée de l’équation 10.16 par rapport au temps. On retrouve ω0 venant de dH dt . De nouveau, la valeur précise de ω0 n’est pas requise et ne joue que sur la vitesse de convergence et non pas sur la valeur de convergence.

10.3.3.3

Quelques remarques

Un programme général de calcul de levers-couchers applicable au Soleil et à la Lune, valable en tout lieu sur la Terre et à toute époque, doit prendre en compte de nombreuses situations possibles, qui sont autant d’exceptions à la règle générale et constituent autant de pièges potentiels. • Dans l’intervalle de temps considéré pour la recherche d’une solution, l’astre peut n’avoir ni lever, ni coucher et être constamment visible ou invisible. Cela signifie que l’équation 10.15 n’a pas de solution dans cet intervalle, et donc que l’astre ne traverse jamais la ligne de hauteur hLC dans l’intervalle de temps de la recherche. En pratique, ce point se teste au moyen de la relation : cos H =

sin hLC − sin ϕ sin δ cos ϕ cos δ

(10.23)

qui peut conduire à un membre de droite en dehors de l’intervalle [−1, +1]. Le programme informatique doit donc gérer ces exceptions tant pour le calcul que pour la sortie utilisateur. On peut aussi utiliser l’équation 10.16 et calculer le membre de droite pour H = 0 et H = 180 degrés et tester sur la valeur de sin h par rapport à la valeur cible sin hLC . 3. La racine de l’équation f (x) = 0 au voisinage d’une valeur approchée x0 s’obtient en remplaçant l’équation par son développement au premier ordre : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + O((x − x0 )2 ). En résolvant cette équation, on obtient une nouvelle approximation, x1 = x0 − f (x0 )/ f 0 (x0 ). Au voisinage de la solution, la convergence est quadratique, et donc très rapide.

670

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN • Dans un intervalle de 24 h, y compris sous les latitudes moyennes, il peut y avoir plus d’un lever ou d’un coucher du Soleil ou de la Lune. Il est donc facile de manquer une racine et donc un événement. Dans le cas de la Lune, on peut ne pas avoir de lever ou de coucher. La bonne méthode est de découper le calcul par tranches de 12 h durant lesquelles il n’y a jamais de double lever ou de double coucher, mais également où il peut ne s’en trouver aucun. • Si l’intervalle de 24 h est défini en UTC, mais que le calcul s’applique à un lieu de longitude très différent du méridien de Greenwich, le coucher du Soleil de ce jour peut précéder le lever du même jour. C’est une situation courante pour la Lune en France, puisque l’échelle de temps légale n’a aucune relation avec la Lune. • En général, la sortie utilisateur est organisée par intervalles de 24 h avec le choix d’une échelle de temps proche du temps solaire local. Lorsqu’il y a trois événements dans l’intervalle de 24 h (deux levers, un coucher par exemple), il faut que la sortie utilisateur puisse s’adapter à cette situation. • On remarque que l’angle horaire dans l’équation 10.17 se calcule à partir de la différence de deux ascensions droites. Par conséquent, cette différence est indépendante du choix de l’origine dans le plan équatorial. La nutation en longitude peut ainsi être ignorée pour autant qu’elle puisse l’être pour l’astre et pour le temps sidéral. L’usage de l’équinoxe moyen pour l’astre implique l’emploi du temps sidéral moyen. En ce qui concerne la réfraction, les instituts d’éphémérides effectuent en général le calcul pour le plan horizontal (observateur au niveau de la mer). Les données publiées par le Bureau des longitudes et l’IMCCE utilisent par tradition la valeur de la réfraction horizontale de Radau R(ζ = 0) = 36.60 , alors que la valeur R(ζ = 0) = 34.00 est prise pour les Éphémérides nautiques et correspond à la réfraction horizontale autour d’une température de 10◦ C et une pression normale. Pour des calculs publiés à l’avance, ce sont des conventions indispensables et les résultats ont également une force légale. Dans ces publications, le lever et le coucher du Soleil et de la Lune sont donnés pour le centre du disque. Toujours dans ces conditions standards de pression (P = 1 013.25 hPa), on peut utiliser les approximations analytiques suivantes pour R(ζ, t) en minutes de degré et ζ en mètres, jusqu’à 1 000 m d’altitude. Il s’agit de la réfraction pour le rayon passant par l’horizon optique d’un observateur à l’altitude ζ, qui croît avec l’altitude, et non la réfraction horizontale pour l’altitude ζ, qui elle décroît avec l’altitude. Ces expressions sont presque des fonctions linéaires de la racine carrée de l’altitude. Des valeurs numériques sont aussi données pour un usage direct dans la table 10.3. Réfraction en fonction de l’altitude exprimée en mètres :

R(ζ, t = 10◦ C) ∼ 33.8980 + 0.37228 ζ 1/2 − 1.2650 × 10−5 ζ − 9.3167 × 10−6 ζ 3/2 671

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES R(ζ, t = 15◦ C) ∼ 32.9180 + 0.35807 ζ 1/2 − 9.0525 × 10−6 ζ − 8.8274 × 10−6 ζ 3/2 R(ζ, t = 20◦ C) ∼ 31.8960 + 0.34479 ζ 1/2 − 9.9289 × 10−6 ζ − 8.3410 × 10−6 ζ 3/2 Dépression de l’horizon optique en fonction de l’altitude exprimée en mètres :

(ζ, t = 10◦ C) ∼ 1.74890 ζ 1/2 + 1.0741 × 10−5 ζ + 6.4749 × 10−6 ζ 3/2 (ζ, t = 15◦ C) ∼ 1.75530 ζ 1/2 + 1.1234 × 10−5 ζ + 6.0939 × 10−6 ζ 3/2 (ζ, t = 20◦ C) ∼ 1.76140 ζ 1/2 + 6.8372 × 10−6 ζ + 5.8370 × 10−6 ζ 3/2 Table 10.3 – Dépression de l’horizon et réfraction dans l’horizon en fonction de l’altitude et de la température au niveau de la mer et sous une pression normale de 1 013.25 hPa.

0◦ C

10◦ C

20◦ C

30◦ C

ζ m



R



R



R



R

0

0

0

0

0

0

0

0

0 5 10 20 30 50 75 100 150 200 300 500 750 1000

0.00 3.88 5.49 7.76 9.50 12.27 15.03 17.36 21.26 24.56 30.09 38.88 47.67 55.11

36.02 36.93 37.31 37.84 38.25 38.90 39.55 40.09 41.00 41.77 43.04 45.03 46.98 48.58

0.00 3.91 5.53 7.82 9.58 12.37 15.15 17.50 21.43 24.75 30.33 39.18 48.04 55.52

33.90 34.73 35.08 35.57 35.94 36.54 37.13 37.62 38.45 39.15 40.31 42.13 43.90 45.35

0.00 3.94 5.57 7.88 9.65 12.46 15.26 17.62 21.58 24.93 30.54 39.46 48.36 55.89

31.99 32.75 33.07 33.52 33.86 34.41 34.95 35.41 36.17 36.81 37.87 39.54 41.16 42.49

0.00 3.96 5.61 7.93 9.71 12.54 15.35 17.73 21.72 25.08 30.73 39.70 48.66 56.23

30.25 30.96 31.26 31.67 31.99 32.49 32.99 33.41 34.11 34.70 35.68 37.21 38.70 39.93

10.3.3.4

Durée du lever ou du coucher du Soleil

Il est relativement aisé lors d’un lever ou coucher de Soleil sur la mer d’estimer le temps qu’il s’écoule entre le passage du bord inférieur et du bord supérieur à l’horizon. 672

10.3. LEVER, COUCHER ET PASSAGE AU MÉRIDIEN Une observation répétée dans le même lieu au cours de l’année met en évidence une variation de cette durée. Il est aussi bien connu que le coucher est plus rapide dans les régions équatoriales que sous les latitudes moyennes, et qu’il peut être très long à haute latitude lors des solstices. Contrairement à la durée du crépuscule qui nécessite un calcul complet, le faible diamètre apparent du Soleil permet de calculer cette durée avec une approximation linéaire du mouvement en hauteur au voisinage de l’horizon. Soit S le diamètre apparent du Soleil, légèrement variable au cours de l’année entre 31.460 et 32.530 et ω0 = 360 deg/jour pour la rotation synodique de la Terre. Au voisinage de l’horizon, la dérivée de l’équation 10.16 donne : dh = ω0 cos ϕ cos δ sin H dt

(10.24)

cos H = −tan ϕ tan δ

(10.25)

et au voisinage de l’horizon :

En éliminant l’angle horaire, on a : dh = ω0 (cos2 ϕ − sin2 δ)1/2 = ω0 (cos2 δ − sin2 ϕ)1/2 dt

(10.26)

et finalement la durée τLC : τLC =

S 1 ω0 (cos2 ϕ − sin2 δ)1/2

(10.27)

Avec ωS0 ' 2.13 min, on voit que cette durée minimale est atteinte à l’équateur au moment des équinoxes (δ = 0). Sous les latitudes moyennes, la durée varie entre 3 et 4 minutes au cours de l’année. Les variations calculées exactement en fonction de la latitude et de la date se trouvent sur la figure 10.14. La variation annuelle résulte pour l’essentiel du changement de déclinaison du Soleil, et dans une faible mesure de celle de la distance, qui se manifeste sur les valeurs extrêmes. L’approximation par l’équation 10.27 est correcte à ∼ 2 s près pour −45◦ < ϕ < 45◦ et à une dizaine de secondes jusqu’à 60◦ . Au degré d’approximation de l’équation 10.27, il y a une parfaite symétrie entre les deux hémisphères. En réalité, il y a une petite différence entre les deux solstices qui provient de la réfraction à l’horizon, comme on le voit sur la figure 10.15 tracée pour les latitudes +60◦ et −60◦ . En revanche, on retrouve la symétrie des saisons entre le nord et le sud, et la petite différence restante aux solstices provient du diamètre apparent du Soleil plus important en décembre (voisinage du périhélie) qu’en juin (voisinage de l’aphélie). 673

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES 20 mars

2.8

21 juin

22 septembre

21 décembre

Φ = 30°

min

2.6 Φ = 15°

2.4 2.2

Φ = 0°

0

50

20 mars

7

150 200 250 Jours depuis le 1er janvier 21 juin

22 septembre

300

350

21 décembre

Φ = 60°

6 min

100

5 4

Φ = 45°

3 0

50

100

150 200 250 er Jours depuis le 1 janvier

300

350

Figure 10.14 – Durée du lever ou du coucher du Soleil au cours de l’année pour les latitudes 0◦ , 15◦ , 30◦ , 45◦ et 60◦ .

20 mars

min

7

21 juin

Φ = – 60°

22 septembre

21 décembre

Φ = 60°

6 5 4

0

50

100

150 200 250 Jours depuis le 1er janvier

300

350

Figure 10.15 – Durée du lever ou du coucher du Soleil au cours de l’année pour les latitudes +60◦ et −60◦ et une réfraction horizontale de 330 .

674

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES 10.3.3.5

Amplitudes ortive et occase

Le lever et le coucher d’un astre se font en un point de l’horizon local repéré par son azimut compté positivement à partir du sud. Il est déterminé à partir de l’équation suivante : cos R(ζ = 0) cos a = sin R(ζ = 0) tan ϕ −

sin δ cos ϕ

(10.28)

où a est l’azimut du coucher et a + π celui du lever. Les amplitudes angulaires des points de lever et coucher par rapport aux directions est et ouest sont données par la connaissance de l’amplitude ortive de l’astre qui se lève par rapport à la direction est, A = a − 270◦ , et de l’amplitude occase de l’astre qui se couche par rapport à la direction ouest, A = a − 90◦ . Si l’on néglige la réfraction horizontale, on les obtient par l’équation : sin A =

sin δ cos ϕ

(10.29)

Le jour où la déclinaison du Soleil est nulle, les amplitudes ortive et occase sont nulles, de sorte que le Soleil se lève exactement dans la direction est et se couche exactement dans la direction ouest, quelle que soit la latitude du lieu (ceci n’est cependant pas rigoureusement vrai si l’on ne néglige pas l’effet de la réfraction à l’horizon). À l’équateur, ϕ = 0◦ , les amplitudes ortive et occase sont donc toujours égales à la déclinaison du Soleil.

10.4

Durée du jour et crépuscules

10.4.1

Durée du jour

En un lieu, la durée du jour dans le contexte de cette section est définie par l’intervalle de temps de moins de 24 h durant lequel le Soleil est levé. Il s’agit donc de la durée qui s’écoule entre son lever et le coucher qui le suit moins de 24 h plus tard, et qui diffère donc de la durée associée à une révolution de la Terre en 24 h, traitée dans la section 10.3.1 au niveau élémentaire et dans le section 4.1 au niveau avancé. Malgré sa simplicité, cette définition appelle quelques remarques afin de la préciser et d’exclure les situations extrêmes. • Comme on peut le voir dans la section 10.3.3.4, ni le lever, ni le coucher ne sont des événements instantanés en raison du diamètre apparent du Soleil. Pour la durée du jour, on utilise les instants associés à l’apparition ou à la disparition du bord supérieur du disque solaire à l’horizon. 675

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES • Ces instants s’entendent pour le Soleil apparent pour lequel la réfraction à l’horizon est prise en compte. • On considère l’horizon idéal d’un observateur au niveau de la mer sans dépression de l’horizon. • Dans le même esprit, on adopte des conditions atmosphériques moyennes et une réfraction unique pour l’ensemble de la Terre et de l’année égale à 340 . • Pour les régions où le Soleil ne se lève pas, ou ne se couche pas, pendant un intervalle d’au moins 24 h, la durée du jour sera respectivement égale à 0 h ou 24 h par convention. Il n’est pas dans l’usage de parler de durée du jour lorsque le Soleil reste au-dessus de l’horizon pendant plusieurs jours ou plusieurs semaines. • Dans cette section essentiellement descriptive, on considère les coordonnées du Soleil fixes pour la journée, et mises à jour de façon discontinue à chaque milieu de journée. Pour les calculs précis des levers-couchers sans ces hypothèses simplificatrices, se reporter à la section 10.3.

Figure 10.16 – Géométrie lors du lever et coucher du Soleil à l’horizon.

La géométrie simplifiée de la situation du Soleil lors des levers et des couchers est représentée sur la figure 10.16. Elle est tracée pour un lieu de l’hémisphère nord et une déclinaison du Soleil positive, entre l’équinoxe de mars et de septembre. Toutes les 676

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES formules étant algébriques, elles sont valables pour toutes les situations. Le zénith du lieu est Z, et le plan de l’horizon délimite un grand cercle sur la sphère céleste passant par les quatre points cardinaux. Au cours de la journée, le mouvement diurne du Soleil au-dessus de l’horizon s’effectue le long d’un petit cercle de déclinaison constante (dans l’approximation adoptée dans cette section), débutant au lever du Soleil, passant par la culmination supérieure pour s’achever avec le coucher du Soleil. Le lever (respectivement le coucher) a lieu lorsque la distance zénithale du centre du Soleil vaut 90◦ , lorsqu’on ne prend pas en compte la réfraction et que l’on réduit le Soleil à un point. L’angle horaire H à cet instant détermine l’amplitude de l’arc semi-diurne et sa valeur est donnée par : cos H = − tan ϕ tan δ

(10.30)

expression dans laquelle ϕ est la latitude du lieu et δ la déclinaison du Soleil. Une solution réelle de l’équation 10.30 n’est possible que lorsque : − 1 ≤ tan ϕ tan δ ≤ 1

(10.31)

Dans ce cas, la durée du jour en heures est alors (avec H en degrés) : τLC = 24

2H 360

(10.32)

sinon, on se trouve dans l’un des cas suivants : |ϕ + δ| > π/2 −→ τLC = 24 h

(10.33)

|ϕ − δ| > π/2 −→ τLC = 0 h

(10.34)

La première condition est remplie aux hautes latitudes (nord ou sud) autour des solstices d’été (juin pour le nord, décembre pour le sud) et la seconde dans les mêmes lieux, mais autour des solstices d’hiver (décembre pour le nord, juin pour le sud). En tenant compte de la réfraction et du diamètre apparent du Soleil, le lever et le coucher se produisent lorsque la hauteur h du centre du Soleil est : hLC = −R − s/2

(10.35)

où R ' 340 est la réfraction horizontale dans des conditions moyennes et s ' 320 est le diamètre apparent du Soleil. Lors de l’apparition ou de la disparition du bord supérieur du Soleil, le centre géométrique du Soleil est donc encore à 500 sous l’horizon. Cette configuration est illustrée qualitativement sur la figure 10.17 avec le cercle de hauteur h = −500 sous l’horizon de l’observateur. Dans ce cas, l’amplitude de l’arc semi-diurne est donnée par : sinhLC − sin ϕ sin δ cos H = (10.36) cos ϕ cos δ 677

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.17 – Géométrie lors du lever et coucher du Soleil avec effet de la réfraction.

et lorsqu’une solution existe, la durée du jour en heures est donnée par l’équation 10.32. Par rapport au cas géométrique, le lever est anticipé et le coucher retardé. Aux équinoxes, la durée du jour est légèrement supérieure à 12 h. La variation de la durée du jour au cours de l’année pour l’ensemble de la Terre est représentée sur les figures 10.18 et 10.19. La première donne cette durée pour un choix de date et de latitude. On voit clairement l’alternance saisonnière à toute latitude, mais avec des contrastes très marqués uniquement aux hautes latitudes (nord ou sud). La ligne de symétrie pour ϕ = 0◦ est un peu au-dessus de 12 h (∼ 12 h 07 min) et légèrement variable au cours de l’année. C’est aussi la durée du jour commune à toutes les latitudes aux équinoxes. La figure est globalement symétrique, mais avec de petits écarts dans le détail : par exemple, le nombre de journées avec le Soleil levé pendant 24 h à la latitude 75◦ est plus grand que le nombre de journées sans Soleil à la latitude −75◦ autour du solstice de juin. La réfraction est responsable de cette légère asymétrie. La deuxième figure donne les lignes de contour d’égale durée du jour. On voit en particulier que globalement sur la Terre, une grande partie de la population se trouve en des lieux 678

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES où la durée du jour est faiblement variable au cours de l’année, typiquement entre 11 et 13 heures. En s’éloignant de l’équateur, les variations saisonnières sont plus marquées pour atteindre des extrêmes près des cercles polaires. Dans ces latitudes extrêmes, on a alors des jours ou des nuits de 24 h selon les saisons. Au voisinage des équinoxes, l’ensemble de la Terre vit sous un rythme d’environ 12 h de jour et 12 h de nuit, mais cet équilibre ne dure que quelques jours aux hautes latitudes, alors que l’évolution est lente dans la zone tropicale. Enfin, les figures 10.20 donnent la variation de la durée du jour, d’un jour à l’autre, en fonction de la saison et de la latitude. Il s’agit des variations d’une journée à la suivante de la période pendant laquelle le Soleil est levé pour un lieu donné, c’est-à-dire la dérivée en fonction du temps de ce qui est porté sur la figure 10.18, donc de la pente des courbes. Sans surprise, on retrouve que les jours sont croissants de l’hiver à l’été, et décroissants pour l’autre période. Mais le taux de croissance (respectivement de décroissance), ce que l’on gagne (respectivement l’on perd) d’une journée à l’autre est maximum aux équinoxes. Bien que les journées soient d’environ 12 h, c’est la période de l’année où la variation de la durée du jour est la plus forte. À l’inverse, aux solstices, moment des durées extrêmes de la durée du jour, les journées sont stationnaires et leur durée ne change presque pas d’un jour à l’autre. À titre d’exemple, à la latitude 50◦ , représentative du nord de la France métropolitaine, on gagne près de 4 min de clarté chaque jour autour du 20 mars et on en perd autant vers le 20 septembre. Il ne faut pas confondre l’allongement de la durée du jour à partir du solstice d’hiver avec l’évolution de l’heure du lever ou du coucher du Soleil : dans l’hémisphère nord (respectivement sud), il se couche (respectivement se lève) de plus en plus tard à partir du 10 décembre et ne se lève (respectivement se couche) de plus en plus tôt qu’à compter du 3 janvier. Ceci résulte de la combinaison du passage par un minimum de la durée du jour au solstice de décembre (pour l’hémisphère nord) et du glissement progressif au-delà de 12 h de l’instant du passage du Soleil au méridien (midi vrai) : le milieu de la journée solaire est décalé par rapport à 12 h de temps solaire moyen.

10.4.2

Crépuscules

10.4.2.1

Définitions

Dans le langage courant, le terme de crépuscule fait référence à la période de temps qui précède le lever du Soleil ou suit son coucher, période durant laquelle une lueur persiste dans le ciel. C’est donc la période intermédiaire entre la pleine clarté du jour et la nuit profonde. En français, le terme s’applique aussi bien le matin que le soir, bien que les termes aube ou aurore s’emploient pour le matin, et que crépuscule soit fréquemment 679

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES 25

Durée du jour (h)

20

15

10

5 Équinoxe

Solstice

Équinoxe

Solstice

0 0

50

100

150 200 250 Jours depuis le 1er janvier

300

350

Figure 10.18 – Durée du jour au cours de l’année pour différentes latitudes sur les deux hémisphères.

0h

80

6h

60

Latitude (deg)

6h

18 h

8h 40

0h

24 h

8h

16 h

10 h 11 h

20

12 h 0

Équinoxe

– 20

12 h

Solstice

13 h 14 h 16 h 18 h

6h

18 h

24 h 0

Équinoxe

8h

16 h

– 80

Solstice

11 h

12 h

10 h

14 h

– 60

13 h

11 h

12 h

13 h – 40

10 h

14 h

0h 50

100

150 200 250 Jours depuis le 1er janvier

24 h 300

350

Figure 10.19 – Courbes d’égale durée du jour en fonction de la date et de la latitude.

680

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES

Figure 10.20 – Variation de la durée du jour (période durant laquelle le Soleil est levé) en fonction de la date dans l’année et de la latitude. Les courbes donnent en minutes le changement de la durée d’ensoleillement d’un jour au suivant.

restreint au couchant (seules acceptions du Littré). La lumière diffusée par l’atmosphère est la cause de cette lueur persistante qui va en s’atténuant lorsque le Soleil s’enfonce sous l’horizon. La durée du crépuscule dépend de façon assez complexe de la latitude et de la saison. Il est toujours très court dans les régions équatoriales, et devient très long aux hautes latitudes au voisinage des solstices. Aux latitudes moyennes, sa longueur est maximale autour des solstices et minimale quelques jours avant l’équinoxe de printemps ou quelques jours après l’équinoxe d’automne. À ce stade, c’est une notion qualitative qui ne permet aucun calcul en astronomie. La définition précise fait intervenir trois types de crépuscules : 681

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES • Le crépuscule civil : période entre le coucher (respectivement le lever) du Soleil et le moment où il se trouve à 6◦ sous l’horizon. La lueur naturelle est encore suffisante pour se déplacer et lire sans éclairage artificiel ; • Le crépuscule nautique :période entre le coucher (respectivement le lever) du Soleil et le moment où il se trouve à 12◦ sous l’horizon. Vénus et les étoiles les plus brillantes sont visibles dans le ciel et les automobilistes doivent allumer leurs phares ; • Le crépuscule astronomique : période entre le coucher (respectivement le lever) du Soleil et le moment où il se trouve à 18◦ sous l’horizon. À ce moment, le ciel est complètement noir (en l’absence de Lune) et les étoiles les plus faibles sont visibles. Historiquement, c’est le premier type de crépuscule étudié par les astronomes pour des raisons évidentes. Selon les calculateurs, des valeurs entre 15◦ et 22◦ ont été utilisées. Ces définitions font intervenir le lever ou le coucher du Soleil, impliquant la réfraction et le bord supérieur du disque pour une des limites, et une hauteur conventionnelle de son centre géométrique, sans faire intervenir de rayon lumineux, pour l’autre limite. On trouve parfois des définitions plus homogènes en remplaçant lever et coucher par l’instant pour lequel la hauteur du centre du Soleil géométrique est 0◦ . On rencontre également, pour la définition du crépuscule nautique, la période qui suit (ou précède) le crépuscule civil avec une hauteur du Soleil entre 6◦ et 12◦ , et de façon similaire pour le crépuscule astronomique. Bien que cette approche soit assez logique (à un moment donné, on se trouve à l’intérieur d’un des crépuscules), dans cet ouvrage, on utilise les trois définitions traditionnelles données plus haut. En français, le crépuscule fait référence à la durée et non à l’instant pour lequel la hauteur du Soleil atteint le seuil. La langue anglaise distingue les instants avec les termes dawn et dusk pour le matin et le soir (civil, nautique ou astronomique) et twilight pour la période qui correspond exactement à notre usage du mot crépuscule.

10.4.2.2

Durées des crépuscules

Soit hc la hauteur sous l’horizon marquant le début (matin) ou la fin (soir) du crépuscule avec hc = 6◦ , 12◦ , 18◦ selon les cas. L’angle horaire Hc du centre du Soleil à cet instant est donné par l’équation 10.36 en substituant hc à hLC . La durée du crépuscule sera donc : τc = 24

Hc − HLC 360

(10.37)

Pour les coordonnées du Soleil, on prendra les valeurs à la mi-journée, ou mieux au lever ou au coucher le plus proche. Il n’est pas possible d’avoir une formule analytique 682

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES 38

20 mars

22 septembre

21 décembre

Φ = – 45°

36 min

21 juin

34 32 Φ = 45°

30 0

50

100

20 mars

150 200 250 er Jours depuis le 1 janvier 21 juin

22 septembre

300

350

21 décembre

100

min

Φ = – 60°

80

60 Φ = 60°

40 0

50

100

150 200 250 er Jours depuis le 1 janvier

300

350

Figure 10.21 – Durée du crépuscule civil pour les latitudes ±45◦ et ±60◦ . Le crépuscule débute (ou s’achève) au coucher (ou au lever) du bord supérieur apparent du Soleil.

simple de cette durée, même en prenant une définition simplifiée qui néglige la réfraction. Cependant, avec ces formules, il n’est pas difficile de dresser des tables ou de tracer des courbes pour chaque jour de l’année et pour différentes latitudes. Les caractéristiques essentielles apparaissent sur les figures 10.21 et 10.22. On note l’allongement notable du crépuscule avec la latitude et sa relative brièveté dans la zone équatoriale (sous les tropiques, la nuit tombe d’un seul coup selon l’adage populaire). La symétrie entre les hémisphères nord et sud et les saisons inversées est très claire. À la latitude 60◦ , il n’y a pas de nuit astronomique en été, car le Soleil ne descend jamais plus bas que ∼ 6◦ sous l’horizon : ce sont les fameuses nuits blanches de Saint-Pétersbourg ou d’Helsinki. La 683

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES latitude à partir de laquelle, en été, la nuit astronomique n’est jamais atteinte, est donnée par l’équation pour la hauteur maximale h sous l’horizon h = (90◦ − ϕ) − δ ≤ 18◦ . En prenant la valeur de la déclinaison du Soleil au solstice d’été δ = 23◦ 260 , on obtient la condition ϕ ≥ 48◦ 340 . Les plus courts crépuscules se produisent au voisinage de l’équinoxe, quelques jours avant ou après (voir ci-dessous section 10.4.2.3), alors que les maximums sont toujours aux solstices (relativement évident pour l’été, mais moins intuitif pour l’hiver). 20 mars

21 juin

22 septembre

21 décembre

250

min

200 Φ = 60°

150 Φ = 45°

100 50

Φ = 30° Φ = 15°

0

50

100

20 mars

150 200 250 Jours depuis le 1er janvier 21 juin

22 septembre

300

350

21 décembre

250 Φ = – 60°

min

200 Φ = – 45°

150

Φ = – 30°

100

Φ = – 15°

50

0

50

100

150

200

250

300

350

Jours depuis le 1er janvier

Figure 10.22 – Durée du crépuscule astronomique pour les latitudes ±15◦ , ±30◦ , ±45◦ et ±60◦ . Le crépuscule débute (ou s’achève) au coucher (ou au lever) du bord supérieur apparent du Soleil. Pour ϕ = ±60◦ , il n’y a pas de crépuscule astronomique pendant l’été.

684

10.4. DURÉE DU JOUR ET CRÉPUSCULES

nuit 24 h

nuit 24 h

jour 24 h

Minutes 70

60

Latitude (°)

50

50 0 40 – 50

30

0

50

jour 24 h

nuit 24 h

jour 24 h 100

150

200

250

300

350

20

Jours depuis le 1er janvier

Figure 10.23 – Durée du crépuscule civil pour l’ensemble de la Terre au cours de l’année.

10.4.2.3

Le problème du crépuscule le plus court

Cette question est restée célèbre dans l’histoire des mathématiques en raison de sa difficulté et de grands noms qui ont contribué à sa solution ou qui ont échoué à en trouver une. Il est posé pour la première fois par l’astronome et mathématicien portugais Pedro Nunes (latinisé en Nonius) (1502-1578) qui en donne une solution géométrique dans son De crepusculis paru en 1542. Les frères Bernoulli, Jean (1667-1748) et Jacques (1655-1705), ont voulu appliquer les méthodes du calcul différentiel sans parvenir à des formules simples. On trouve ensuite des solutions analytiques par D’Alembert, le marquis de l’Hôpital, Euler et bien d’autres. Il semble que Monge s’y soit également essayé un peu plus tard. Bien que la formulation analytique du problème soit aisée à exprimer, les seules solutions élémentaires pour en trouver le minimum sont de nature géométrique sans emploi de dérivées. Les deux résultats importants, qu’il serait trop long d’établir ici, sont les suivants : hc sin δm = − sin ϕ tan (10.38) 2 pour la déclinaison du Soleil pour laquelle la durée du crépuscule est moindre à la latitude donnée ϕ, et : cos hc − sin2 ϕ cos ∆H = (10.39) cos2 ϕ pour la différence d’angle horaire entre le coucher géométrique du Soleil et à la limite du crépuscule lorsque h = hc , le jour du crépuscule le plus court. On en déduit la durée 685

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES avec l’équation 10.37. Ces résultats prennent le coucher géométrique du centre du Soleil pour la limite h = 0 du crépuscule, et le problème ne peut se réduire à des expressions simples si l’on tient compte de la réfraction. Pour une latitude moyenne de 45◦ et le cas du crépuscule civil hc = 6◦ , on trouve δm = −2.1◦ , ce qui correspond aux environs du 13 mars et du 28 septembre. La durée du crépuscule civil est alors de 34 min. Sur les figures 10.22, la valeur est plutôt 29 min en raison de la définition plus exacte du coucher du Soleil qui tient compte de la réfraction et du diamètre du Soleil. Avec l’élévation de la latitude, ces dates s’éloignent des équinoxes, et la profondeur du crépuscule et sa durée augmentent simultanément.

10.5

Grandes oppositions périhéliques de Mars

10.5.1

Introduction

Mars est la planète dont l’orbite est la plus excentrique du Système solaire après Mercure. Cela signifie que sa distance à la Terre varie dans des proportions importantes, en particulier lorsqu’elle se retrouve en opposition. Sa distance est alors comprise entre 55.7 et 101.4 millions de kilomètres, et son diamètre apparent varie entre 13.800 et 25.100 . L’excentricité significative de Mars (e = 0.093) a été mise à profit par les astronomes depuis le xviie siècle. En 1609, elle a ainsi permis à Kepler, dans sa guerre contre Mars, de découvrir les lois du mouvement des corps célestes (voir en particulier section 8.2.1). Elle a ensuite été utilisée jusqu’à la fin du xixe siècle pour mesurer la distance Terre-Soleil (voir la section 10.5.3). À l’occasion de l’opposition du 5 septembre 1877, qui survient seulement seize jours après son passage au périhélie le 21 août, Asaph Hall découvre les deux petites lunes de Mars, Phobos et Deimos, avec sa nouvelle lunette de 66 cm de l’Observatoire naval de Washington (Hall, 1878). C’est également cette année-là que Giovanni Schiaparelli (1835-1910) commence sa cartographie de la planète qui débouchera sur la controverse des supposés canaux de Mars. Les premières photographies de qualité de Mars sont prises lors de l’opposition du 24 septembre 1909 par Edward Barnard (1857-1923) les 24 et 28 septembre sur la grande lunette de 1.02 m de l’observatoire Yerkes, et par George Ellery Hale (1868-1938) les 5 octobre et 3 novembre au télescope de 1.52 m du mont Wilson (Antoniadi E.M., 1911). Cette même année, de la Baume Pluvinel (1860-1929) et Baldet (1885-1962) réalisent les premières photographies de Mars au pic du Midi à l’aide du télescope de Newton de 50 cm. La première date du 27 septembre 1909 (Dollfus, 2010). 686

10.5. GRANDES OPPOSITIONS PÉRIHÉLIQUES DE MARS

10.5.2

Retour des oppositions

10.5.2.1

Révolution synodique

Le calcul du retour des oppositions de Mars nécessite la détermination de la révolution synodique (du latin synodus, emprunté au grec sunodos qui signifie « réunion ») moyenne de Mars qui donnera les dates du retour de Mars à une même position par rapport à la Terre. Ces dates ne pourront être qu’une estimation à quelques jours près du fait même des effets dynamiques liés à l’excentricité de l’orbite. Pendant un intervalle de temps ∆t, la Terre tourne d’un angle nT ∆t, tandis que Mars tourne d’un angle n M ∆t, où nT et n M sont les moyens mouvements de la Terre et de Mars. La Terre, avançant plus vite que Mars le long de son orbite, sera donc en avance sur Mars d’un angle ∆θ = (nT − n M ) ∆t. La révolution synodique S est obtenue par la valeur de l’intervalle de temps ∆t pour lequel l’accroissement angulaire ∆θ est égal à 2π radians. La révolution synodique est donc donnée par la relation : S =

2π = nT − n M

1 T

1 −

1 M

(10.40)

où T et M sont les périodes de révolution sidérale de la Terre et de Mars : T = 365.256 jours et M = 686.980 jours (voir chapitre 1, table 1.16). Par conséquent, S = 779.934 jours, soit 2.135 343 ans. Les oppositions de Mars reviennent donc en moyenne au bout de deux ans et cinquante jours. La figure 10.24 donne les dates, distances en unités astronomiques (au) et longitudes héliocentriques des oppositions comprises entre 2018 et 2035. On peut ainsi noter que l’opposition de 2020 est survenue 809.75 jours après celle de 2018 avec un déplacement de la longitude du lieu de l’opposition de 76◦ , alors que l’opposition de 2029 suit celle de 2027 de 764.50 jours pour un décalage en longitude de 34.15◦ . L’intervalle de temps qui sépare deux oppositions est donc plus petit lorsque celles-ci sont proches de l’aphélie, alors qu’il est au contraire plus grand pour deux oppositions voisines du périhélie. L’écart à la révolution synodique moyenne peut donc aller jusqu’à une vingtaine de jours.

10.5.2.2

Oppositions périhéliques

Les oppositions les plus favorables sont celles qui minimisent la distance entre la Terre et Mars, soit 0.372 au. Elles se produisent au voisinage du périhélie de l’orbite martienne situé à la longitude héliocentrique de 336◦ environ (voir chapitre 5, section 5.2.8.1), qui correspond à la longitude héliocentrique de la Terre le 27 août de chaque année. Ces oppositions sont naturellement dites périhéliques. 687

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES GÉ M

75,78 0°

30°

9 0,41 au

49 au 25.03.2029 0,6

0,381 au

300°

NE

SC

ON PI R O

V

270°

330°

AU

240°

γ

ER SE

276,230°

33 28.06.20

22

18 .20 1° .07 ,89 27 303

Mars

R RICO CAP

N BALA

Terre

86 0,3 au

31 20 ° . 05 08 4. 3,4

Point Vernal

POIS SON S

352,306°

P

au

0,427 au

210°

58 0,5

360°

15.09.203 5

CE

184,540°

ER

020 0.2 ° 13.1 20,793

BÉLI

77 au

A

VIER GE

0,549 au

LI ON

19. 0

2 15 0,3 .202 7 86 ° 0,6

60°

U EA

180°

au 43 0,6

150°

EAUX

UR TA

, 115

5 202 01. 16. 860°

120°

90°

ER

8.12. 2022

C CAN

SAG ITTA IR E

Figure 10.24 – Oppositions de Mars entre 2018 et 2035.

Le retour des oppositions périhéliques survient après un nombre entier n d’oppositions et un nombre entier m de révolutions de la Terre autour du Soleil, de sorte que les oppositions aient lieu si possible à une même date. Il faut donc rechercher les nombres rationnels m/n qui approchent au mieux la valeur de la révolution synodique. Ceci se fait par une décomposition en fractions continues de la période synodique 2.135 342 9158 ans. La fraction peut ainsi s’écrire avec la notation : S = 779.934/365.25 = 2.135 342 9158 = [2; 7, 2, 1, 1, 2, 1] La notation R = [a0 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ] est la réduite d’ordre 6. La méthode de récurrence qui permet la décomposition en fractions continues a été découverte par le mathématicien indien Bhasacara II au début du xiiie siècle, soit 5 siècles avant que le mathématicien anglais John Wallis ne la redécouvre en Europe. 688

10.5. GRANDES OPPOSITIONS PÉRIHÉLIQUES DE MARS Soit : S =

m = a0 + n

1 1

a1 +

1

a2 +

1

a3 +

1

a4 + a5 +

1

a6 + ... Avec cette décomposition, on obtient les approximations successives suivantes avec la séquence des convergents m/n aux différents ordres : S S S S S S

= = = = = =

m/n m/n m/n m/n m/n m/n

= = = = = =

2 + 1/7 2 + 2/15 2 + 3/22 2 + 5/37 2 + 13/96 2 + 18/133

= 15/7 = 32/15 = 47/22 = 79/37 = 205/96 = 284/133

= = = = = =

2.142 857 142 857 143 2.133 333 333 333 333 2.136 363 636 363 636 2.135 135 135 135 135 2.135 416 666 666 667 2.135 338 345 864 662

Les oppositions périhéliques se reproduisent donc avec différentes périodes de récurrence : 15 ans, 32 ans, 47 ans, 79 ans, 205 ans et 284 ans. La période de 15 ans compte 7.0246 révolutions synodiques, de sorte que le retour se fait environ 19 jours plus tard en moyenne. Les périodes de 32 ans et de 47 ans donnent un retour équivalent, une dizaine de jours plus tôt ou plus tard. Les périodes de 79 ans et de 205 ans comptent respectivement de 36.996 et de 96.003 révolutions synodiques ; elles sont donc plus précises que les précédentes avec une différence de seulement 3 jours en avance ou en retard. Il faut attendre la récurrence de 284 ans, soit l’équivalent de 132.9997 révolutions synodiques, pour avoir le retour d’une opposition périhélique à une même date au jour près. La table 10.4 donne les dix oppositions périhéliques les plus favorables entre 0 et +3000. La figure 10.25 montre l’évolution de la distance à l’opposition sur 3000 ans pour des distances inférieures à 0.377 au. On en dénombre 60. Les connexions directes entre les différents points suivent les récurrences de 32, 47 ou 79 ans. Les récurrences de 205 ans et de 284 ans sont également présentes, mais pas par connexion directe, car ce sont des combinaisons des récurrences 32, 47 et 79 ans. Pour celle de 205 ans, on trouve la séquence 1798-2003-2208-2413, et pour celle de 284 ans, la séquence 1719-2003-22872571. On peut remarquer l’augmentation du nombre d’oppositions périhéliques avec le temps, qui s’accompagnent de rapprochements de plus en plus serrés. Ceci découle de la variation séculaire de l’excentricité de l’orbite de Mars. Si l’on se réfère aux éléments moyens 689

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Table 10.4 – Liste des dix plus favorables oppositions périhéliques de Mars entre l’an 0 et 3000.

Date

Distance à l’opposition (au)

4/09/2650 9/09/2729 4/09/2934 29/08/2287 30/08/2571 13/09/2808 3/09/2366 24/08/2208 28/08/2003 23/08/1924 18/08/1845

0.3720 0.3721 0.3722 0.3723 0.3724 0.3725 0.3725 0.3728 0.3728 0.3729 0.3730

Figure 10.25 – Oppositions de Mars dont la distance à la Terre est inférieure à 0.377 au entre l’an 0 et 3000.

des planètes (voir chapitre 5, section 5.2.8), l’excentricité de l’orbite de Mars croît de 0.091 5916 en l’an 0 jusque 0.094 3043 en l’an 3000. Cela se retrouve également dans les distances des oppositions proches de l’aphélie qui sont en augmentation constante (figure 10.26). 690

10.5. GRANDES OPPOSITIONS PÉRIHÉLIQUES DE MARS

Figure 10.26 – Oppositions de Mars dont la distance à la Terre est supérieure à 0.6757 au, entre l’an 0 et 3000.

La variation des éléments de l’orbite de Mars et de l’orbite de la Terre permet également de rechercher la configuration géométrique la plus favorable qui correspond à un alignement entre l’aphélie de la Terre et le périhélie de Mars. Le périhélie de Mars avance plus vite (15.980 8700 /an) que celui de la Terre (11.612 5100 /an). Cette avance de 4.368300 /an du périhélie de Mars sur celui de la Terre montre que la coïncidence recherchée entre périhélie martien et aphélie terrestre est survenue il y a environ 43 710 ans, et qu’elle se reproduira de nouveau au bout de 296 000 ans.

10.5.3

Parallaxe de Mars

La parallaxe d’une planète ou du Soleil est un angle qui est relié à la distance de la Terre ∆ au corps considéré par la relation π = aT /∆, où aT est le rayon équatorial de la Terre. Connaître la parallaxe du Soleil π (voir chapitre 1, table 1.8) revient ainsi à connaître la distance Terre-Soleil, appelée unité astronomique (on se rapportera à la section 1.2.2 pour une définition précise de l’unité astronomique). Or, les travaux de Kepler au début du xviie siècle ont considérablement amélioré la connaissance des rapports de proportions en taille des orbites des planètes. Ainsi, si l’on réussit à déterminer ne serait-ce qu’une seule distance dans le Système solaire, toutes les autres en découleront automatiquement. Mars peut s’approcher de la Terre à une distance environ trois fois plus petite que la distance Terre-Soleil ; il suffit alors de mesurer la 691

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES parallaxe de Mars π lors d’oppositions périhéliques pour en déduire la parallaxe du Soleil π par le rapport des distances respectives à la Terre mesurées en unités astronomiques (figure 10.27) : π = dπ La mesure de la parallaxe de Mars a ainsi constitué l’un des enjeux essentiels de l’astronomie des xviie et xviiie siècles : bien supérieure (de l’ordre de 2400 à l’opposition périhélique) à l’incertitude des instruments de mesure de l’époque (1000 ), elle pouvait être mesurée avec une précision cependant toute relative. Les grandes oppositions périhéliques de Mars du 8 septembre 1672 et du 14 septembre 1751 seront ainsi mises à profit successivement par Jean-Dominique Cassini (1625-1712) et John Flamsteed (1646-1719) , puis par Nicolas-Louis de La Caille (1713-1762). 1,0

d

Figure 10.27 – Principe de la méthode de détermination de la parallaxe solaire à l’aide de la mesure de la parallaxe de Mars.

Il existe deux méthodes de détermination de la parallaxe de Mars lors d’une opposition périhélique. Le principe général des deux méthodes consiste à mesurer tantôt un écart dans l’ascension droite de Mars (appelé parallaxe en ascension droite), tantôt un écart dans sa déclinaison (appelé parallaxe en déclinaison) entre deux mesures faites en deux positions géographiques le plus éloignées possible l’une de l’autre. Depuis chacun de ces deux lieux, Mars est vue dans une direction différente, et c’est cette différence entre les directions qui est constitutive de l’effet de parallaxe que l’on cherche à mesurer.

10.5.3.1

Méthode des ascensions droites

Dans la méthode des ascensions droites, l’observateur, sans quitter son observatoire, est transporté à travers l’espace par la rotation de la Terre. Il va utiliser ce déplacement pour déceler un écart dans la position relative de Mars par rapport à des étoiles de référence lorsque la planète passe d’un côté du méridien à l’autre. La variation en ascension droite se calcule de la façon suivante, avec les notations des sections 9.2.2.3 et 9.3.2, à partir de 692

10.5. GRANDES OPPOSITIONS PÉRIHÉLIQUES DE MARS l’équation 9.23 pour l’ascension droite dans laquelle on a introduit la parallaxe de Mars aT π = A∆ : cos ϕ0 sin H αvt = αv − ρO π cos δv où H = θ − L − αv est l’angle horaire du corps pour le lieu considéré de latitude géocentrique ϕ0 (tenant compte par conséquent de l’aplatissement terrestre), ρO la distance géocentrique de l’observateur exprimée en rayon équatorial terrestre, αvt l’ascension droite topocentrique, rapportée à l’équateur et l’équinoxe vrais de la date, et αv l’ascension droite géocentrique rapportée au même repère. L’observation de la différence des temps de passage de la planète et d’une étoile fixe de référence par un même vertical donne la différence d’ascension droite et par là même la valeur de αvt . Par la répétition de la même mesure de l’autre côté du méridien, la différence δ(αvt ) donne directement accès à la valeur de la parallaxe π.

10.5.3.2

Méthode des déclinaisons

Dans la méthode des déclinaisons, plusieurs observateurs se répartissent si possible le long d’un même méridien, chacun mesurant la différence de déclinaison entre Mars et une étoile de référence lors de leur passage par le méridien du lieu. La parallaxe en déclinaison sur le méridien est alors donnée par l’équation suivante, après avoir posé H = θ − L − αv = 0 dans l’équation 9.23 : δvt = δv + ρO π sin(δv − ϕ0 ) = δv − ρO π sin h où δvt désigne la déclinaison topocentrique, δv la déclinaison géocentrique et h la hauteur méridienne de la planète. Si les mesures ne peuvent être réalisées sur un même méridien, il est alors nécessaire de tenir compte du déplacement de Mars entre les deux méridiens de passage. De la même manière que précédemment, deux mesures de la quantité δvt sont réalisées par comparaison à une même étoile fixe de référence. La différence δ(δvt ) permet alors la mesure de la parallaxe π. La principale différence avec la méthode précédente réside dans le fait qu’elle nécessite au moins deux observateurs. Le dernier usage de cette méthode fut fait en 1832 au Cap par Thomas Henderson (17981844) par comparaison avec des observations correspondantes faites en Europe. Par la suite, Mars fut abandonnée au profit de l’astéroïde (433) Eros, découvert en 1898 par Gustav Witt (1866-1946). Eros présentait deux avantages significatifs sur Mars : d’une part, des oppositions périhéliques plus serrées (0.22 au) liées à une excentricité très forte (0.222), et, d’autre part, son aspect télescopique ponctuel permettant des mesures de positions plus précises. Elle donna lieu à des campagnes d’observation de sa parallaxe en 1901 et en 1931. 693

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

10.6

Passages

10.6.1

Introduction

Le passage d’une planète inférieure 4 devant le Soleil a lieu lorsque la planète Mercure ou Vénus est visible sur le disque solaire au moment d’une conjonction inférieure. Il s’agit d’un phénomène astronomique subjectif, comme l’est une éclipse de Soleil, dans le sens où il dépend de la position de l’observateur. Ce n’est pas le cas d’une éclipse de Lune qui résulte du passage physique de la Lune dans l’ombre de la Terre : le phénomène serait visible pour un observateur placé sur Mars par exemple, tout comme on observe depuis la Terre les éclipses des satellites de Jupiter (à ne pas confondre avec les passages derrière la planète qui sont liés à la position de l’observateur). Cependant, contrairement à une éclipse solaire, et en raison des distances en jeu, lorsqu’un passage se produit, il est visible sur la Terre en tout lieu où le Soleil est levé. Un passage ne peut avoir lieu qu’au voisinage de la conjonction inférieure, et à la condition supplémentaire qu’à ce moment, la latitude écliptique géocentrique de la planète soit inférieure au rayon angulaire du Soleil (figure 10.31). Ces passages ont eu une grande importance dans l’astronomie des xviiie et xixe siècles par leur application à la détermination de la distance Terre-Soleil, un paramètre fondamental de l’astronomie. La première observation d’un passage est celle du passage de Mercure devant le Soleil en 1631 par Pierre Gassendi (1592-1655). Ce phénomène avait été prédit par Johannes Kepler (1571-1630) et annoncé publiquement en 1629 dans un avertissement lancé aux astronomes. À cette époque, Mercure est encore l’une des planètes les moins observées, et par conséquent dont l’orbite est la moins bien connue. Cela tient bien évidemment à sa proximité avec le Soleil, ce qui limite et complique considérablement les possibilités d’observation. L’observation d’un passage de Mercure devant le Soleil permet la détermination précise de la longitude et de la latitude héliocentrique de Mercure à l’instant de la conjonction en longitude avec le Soleil. Le Soleil, Mercure et la Terre sont alors très proches d’un alignement parfait. Elle offre également la possibilité de déterminer les lieux des nœuds ascendant et descendant de l’orbite de Mercure, ainsi que son inclinaison sur le plan de l’écliptique. En outre, l’observation de ces passages qui donnent le temps de la conjonction permet, après plusieurs d’entre eux, de déterminer l’intervalle de temps du retour de Mercure à la conjonction. De toutes les tables existantes, la prédiction issue des Tables rudolphines de Kepler fut la meilleure. L’observation de 1631 joua ainsi un rôle déterminant dans l’établissement de la suprématie des ellipses képlériennes sur les enchevêtrements de cercles. Depuis ce moment, les astronomes en ont 4. Planète dont l’orbite est située à l’intérieur de l’orbite terrestre, donc Vénus et Mercure. Mais l’idée est plus générale et la Terre est une planète inférieure vue de Mars. Le qualificatif inférieur est purement géométrique et sans autre idée qualitative.

694

10.6. PASSAGES

Figure 10.28 – Passage de Mercure du 9 mai 2016 observé à l’Observatoire de Paris. Le petit disque sombre de la planète Mercure présente une taille apparente de 1200 tandis que le Soleil a une taille de 95000 .

calculé les circonstances bien à l’avance et se sont efforcés de les observer. Il y a environ 14 passages de Mercure par siècle, alors que les passages de Vénus sont beaucoup plus rares avec seulement 6 occurrences depuis la première observation de William Crabtree (1610-1644) en 1639. Dès lors, les passages de Mercure devant le disque du Soleil vont être recherchés pour améliorer considérablement la théorie de son mouvement. De grands astronomes vont se confronter à Mercure en publiant des tables de son mouvement. C’est le cas de Halley en 1720, de Cassini II et surtout de Jérôme Lalande dans la seconde moitié du xviiie siècle. Aujourd’hui, ils font partie des phénomènes astronomiques curieux, mais sans retombées scientifiques de premier plan. Ils sont cependant assez rares, relativement aisés à observer et sont l’objet d’un intérêt de la part d’un large public (figure 10.28). Pour des raisons évidentes, seuls les passages de Mercure et de Vénus ont été étudiés dans le détail, mais de nos jours, la disposition des moyens de calcul et les missions spatiales planétaires ont ravivé l’intérêt du calcul des passages plus généraux comme ceux de la Terre vus de Mars, de Mercure vus de Vénus ou de toute planète intérieure vus d’une planète plus extérieure. 695

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Dans cette section, on aborde les conditions générales des passages, les périodes qui président à leur retour, la recherche des passages sur une longue durée et enfin le calcul détaillé des circonstances géocentriques et topocentriques d’un passage.

Terre ~ 9 mai

nœud descendant

Mercure (88 j)

Soleil nœud ascendant

Terre (365 j)

Terre ~ 11 novembre

Figure 10.29 – Géométrie des passages de Mercure aux nœuds ascendant et descendant.

10.6.2

Conditions des passages

Un passage ne peut survenir qu’au voisinage de la conjonction inférieure et au voisinage d’un des nœuds de l’orbite de la planète intérieure sur le plan l’orbite de la planète extérieure. Il doit y avoir un quasi-alignement de la planète extérieure, de la planète intérieure et du Soleil au moment du passage, et donc une condition en longitude (conjonction inférieure) et une condition en latitude (voisinage du nœud). Dans le cas de Vénus et Mercure par rapport à la Terre, le plan orbital de la Terre est l’écliptique, alors que pour le cas plus général, il s’agira du plan orbital de la planète externe. L’étude qualitative qui suit s’applique aux cas classiques de Mercure et Vénus, mais s’étend sans difficulté aux cas généraux des passages dans le Système solaire. La Terre passant aux nœuds de Mercure autour du 11 novembre (nœud ascendant) ou du 9 mai (nœud descendant), les passages de Mercure sur le Soleil ne peuvent survenir qu’au voisinage de ces dates, comme on peut le voir sur la figure 10.29. Pour Vénus, les époques correspondantes sont le 9 décembre et le 8 juin (figure 10.30). Il y a un passage lorsque la plus petite séparation angulaire géocentrique entre le centre du Soleil et la 696

10.6. PASSAGES Terre ~ 8 juin

nœud descendant

Soleil Terre (365 j)

Vénus (225 j) nœud ascendant

Terre ~ 9 décembre

Figure 10.30 – Géométrie des passages de Vénus aux nœuds ascendant et descendant.

planète inférieure est moindre que le rayon angulaire du Soleil. Ceci conduit, avec les notations de la figure 10.31 et l’approximation des petits angles, à la condition en latitude écliptique lors de la conjonction inférieure : b ≤ bmax ≈ s

r − r0 r0

(10.41)

avec s égal au rayon angulaire géocentrique du Soleil au moment du passage. C’est une condition suffisante, mais pas tout à fait nécessaire, car la distance minimale peut survenir un peu avant ou après la conjonction, et la formule 10.41 assimile à l’unité un facteur de l’ordre de cos i, soit pour Mercure une valeur de 0.99 avec i ≈ 7◦ et pour Vénus une valeur de 0.999 avec i ≈ 3.3◦ .

Figure 10.31 – Condition en latitude écliptique héliocentrique (b) pour le passage d’une planète inférieure sur le disque solaire. Figure tracée dans le plan perpendiculaire à l’écliptique au moment de la conjonction inférieure avec s notant le rayon angulaire géocentrique du Soleil.

697

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES La condition en latitude d’un passage sur le disque solaire peut s’exprimer par deux autres conditions équivalentes en longitude. Soit donc λ, λ0 les longitudes orbitales de la Terre et de la planète inférieure rapportées à l’un des nœuds, ainsi que leurs taux de variation ν = dλ/dt et ν0 = dλ0 /dt. Soit l, l0 les longitudes héliocentriques correspondantes également rapportées au nœud. On a pour la Terre l = λ, pour la planète inférieure tan l0 = cos i tan λ0 , et pour l’approximation des petits angles au voisinage des nœuds l0 ≈ λ0 cos i. Le mouvement héliocentrique relatif en longitude et latitude est alors : ! dλ0 dL dl = cos i − = ν0 cos i − ν dt dt dt db dλ0 = ± sin i = ± ν0 sin i dt dt

(10.42)

avec i désignant l’inclinaison de l’orbite de la planète inférieure sur l’écliptique. Le signe est positif au nœud ascendant (la latitude est croissante) et négatif au nœud descendant (la latitude est décroissante). Soit l’origine des temps t = 0 prise à l’instant de passage de la planète inférieure à son nœud ascendant (respectivement descendant), et τconj l’instant de la conjonction en longitude héliocentrique. On a toujours |τconj |  (P, P0 ), où P, P0 désignent les périodes orbitales de la Terre et de la planète inférieure. Les mouvements au voisinage des nœuds sur des durées de l’ordre de τconj sont des fonctions linéaires du temps en première approximation. Pendant cette durée, la latitude peut s’écrire : b=

db τconj = ν0 sin i τconj dt

Pour qu’un passage ait lieu, on doit avoir |b| ≤ bmax , et donc l’instant τconj de la conjonction en longitude héliocentrique doit satisfaire : |b| ≤ bmax =⇒ τconj ≤ τmax =

bmax ν0 sin i

ce qui fournit une condition en temps. Il s’ensuit que la conjonction doit se produire à une distance du nœud mesurée dans le plan de l’écliptique moindre que : 0 ∆lconj =

bmax dl0 τmax = ν0 cos i τmax = dt tan i

(10.43)

Ceci conduit à une condition encore équivalente sur l’élongation de la Terre par rapport au nœud au moment où la planète inférieure passe au nœud : ∆lnode =

dL ν0 cos i − ν τmax = bmax dt ν0 sin i 698

(10.44)

10.6. PASSAGES

Figure 10.32 – Conditions en longitude pour un passage avec la planète inférieure (P) et la Terre (T). À gauche, situation à l’instant du passage au nœud ascendant ; à droite, situation à la conjonction.

Avec l’équation 10.43, la durée maximale qui sépare le passage de la Terre au nœud de la conjonction est alors : 0 ∆lconj ∆tmax = (10.45) v Avec l’équation 10.44, on peut estimer la fréquence des passages à chaque nœud, en prenant une probabilité uniforme pour la longitude de la Terre à un instant donné. On a pour le nombre moyen de passages par siècle (plus généralement pour une durée égale à 100 fois la période orbitale de la planète extérieure) : Npassage = 2∆lnode /360 × (P/P0 ) × 100 Lors d’un passage sur le disque solaire, la vitesse angulaire géocentrique de la planète inférieure rapportée au centre du disque solaire se déduit de l’équation 10.42 avec :  ! !2 1/2 0  dL 2  r db  V =  + dt dt  r − r0

(10.46)

conduisant à la durée maximale de la traversée du disque solaire par le centre de la planète inférieure : 2s D= (10.47) V Les valeurs numériques des différentes quantités relatives aux passages de Mercure et Vénus sont rassemblées dans la table 10.5. 699

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Table 10.5 – Conditions pour les passages de Mercure et de Vénus sur le Soleil. Les trois conditions équivalentes donnent la latitude écliptique héliocentrique maximale, la distance au nœud lors de la conjonction et la distance entre la Terre et la planète lors du passage au nœud.

Mercure Novembre Mai

Vénus Décembre Juin

Soleil-Terre (au) Soleil-planète (au) dλ/dt Terre (◦ /j) dλ0 /dt planète (◦ /j) Rayon solaire (◦ ) bmax (◦ ) τconj (j) 0 Conjonction/nœud (◦ ) : ∆lconj ◦ Terre/planète au nœud ( ) : ∆lnode

0.990 0.314 1.005 6.076 0.271 0.582 0.786 4.739 3.949

1.009 0.452 0.967 2.939 0.266 0.328 0.914 2.667 1.783

0.985 0.721 1.016 1.615 0.272 0.100 1.045 1.684 0.623

1.015 0.726 0.957 1.590 0.264 0.105 1.116 1.771 0.703

∆tmax (j) Vitesse (V) sur le disque solaire (◦ /j) Durée d’un passage central (h)

4.715 2.362 5.502

2.758 1.607 7.935

1.658 1.645 7.944

1.851 1.602 7.913

Passages/siècle

9.100

4.100

0.560

0.630

10.6.3 10.6.3.1

Succession des passages Contexte du problème

Dans le passé, les périodes de retour des passages étaient essentielles à l’établissement de listes couvrant plusieurs siècles, car ni les moyens de calcul ni les théories planétaires ne permettaient de rechercher les passages par calcul direct en examinant la situation à chaque révolution synodique. Aujourd’hui, on peut effectuer ces calculs avec une grande sûreté sur plusieurs millénaires, tout au moins en temps dynamique. Seule demeure la grande incertitude de l’orientation de la Terre à chaque passage, donc la datation dans une échelle de temps voisine du temps solaire moyen. On décrit parfaitement le passage, ses phases et les instants dans l’échelle de temps dynamique, mais on ne peut dire avec sûreté qui pourra (dans le futur) ou a pu (dans le passé) l’observer. Aujourd’hui, l’intérêt d’en étudier les périodes de retour n’est plus nécessaire pour les prévisions et relève plus de la curiosité. Mais l’établissement des conditions de répétitions contribue grandement à la compréhension globale des phénomènes.

700

10.6. PASSAGES 10.6.3.2

Périodes des retours aux nœuds

Le problème se pose comme suit : soit un passage parfaitement central d’une planète inférieure à l’un des deux nœuds. À ce moment, le nœud se projette exactement au centre du Soleil à l’instant de la conjonction inférieure. Si ce passage a lieu à l’instant t0 , on recherche l’instant t1 = t0 +T d’un prochain passage qui se déroulerait dans des conditions quasiment identiques. Pour cela, il faut que la planète inférieure et la Terre reviennent simultanément au nœud à t1 . La période de retour est donc un multiple commun des deux périodes draconitiques 5 , condition normalement impossible à satisfaire exactement. Cependant, on peut satisfaire approximativement cette condition en recherchant des intervalles de temps qui contiennent presque un nombre entier de chacune des périodes. Les passages se répètent alors après chacun de ces intervalles en constituant une séquence longue. Attention : à l’instant t1 , il ne s’agit pas (en général) du prochain passage après t0 , mais du prochain passage après t0 qui le reproduit à peu près exactement. Entre-temps, il peut se produire d’autres passages qui n’appartiennent pas à la même séquence longue. Table 10.6 – Variations séculaires des éléments des orbites de Mercure, Vénus et de la Terre (barycentre du système Terre-Lune) à l’époque J2000 (VSOP2013) rapportées à l’écliptique et l’équinoxe moyen de la date.

Quantité

Mercure deg/jour

Vénus deg/jour

Terre deg/jour

dλ/dt dΩ/dt d$/dt dω/dt n = dM/dt

4.092 377 061 3.247 38 × 10−5 4.261 20 × 10−5 1.013 82 × 10−5 4.092 334 349

1.602 168 732 2.466 88 × 10−5 3.838 86 × 10−5 1.371 98 × 10−5 1.602 130 343

0.985 647 358 − 4.707 62 × 10−5 − 0.985 600 282

de/dt

jour−1 5.5865 × 10−10

jour−1 −1.3078 × 10−9

jour−1 −1.1509 × 10−9

La première approximation peut se construire à partir des mouvements moyens des deux planètes. La deuxième approximation prendra en compte le mouvement elliptique perturbé, ce qui est nécessaire dans le cas de Mercure en raison de la forte excentricité de l’orbite. ˙ M les moyens mouvements en longitude de Mercure et celui du nœud Soit λ˙ M et Ω ascendant de son orbite avec l’écliptique. La période draconitique de Mercure est alors : PM =

2π ' 87.969 131 j ˙M ˙λM − Ω

(10.48)

5. La révolution draconitique d’une planète ou d’un satellite correspond au retour à un nœud de l’orbite avec un plan de référence.

701

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.33 – Éléments orbitaux de Mercure et de la Terre. ΩM est la longitude du

nœud ascendant de Mercure, ωM l’argument du périhélie. Les périhélies de Mercure et de la Terre sont respectivement ΠM et ΠT et les anomalies vraies vM et vT . La longitude du périhélie de la Terre est notée $T .

et de façon équivalente pour la Terre par rapport au nœud de Mercure : PT =

2π ' 365.254 224 j ˙M λ˙ T − Ω

(10.49)

avec les valeurs numériques de la table 10.6. Cette approximation est insuffisante pour établir les règles de succession sur plusieurs siècles, et on doit préciser ce calcul en prenant en compte les évolutions séculaires des orbites. Soit à nouveau un passage central à t0 avec les notations de la figure 10.33, et t1 l’instant du retour au nœud. Pour Mercure, cela correspond aux conditions suivantes pour les nœuds ascendant et descendant : M t0 : ωM 0 + v0 = 0 M t1 : ωM 1 + v1 = 2π

702

(10.50)

10.6. PASSAGES

M t0 : ωM 0 + v0 = π M t1 : ωM 1 + v1 = 3π

(10.51)

et dans la cas de la Terre : T t0 : $T0 − ΩM 0 + v0 = 0 T t10 : $T1 − ΩM 1 + v1 = 2π T t0 : $T0 − ΩM 0 + v0 = π T t10 : $T1 − ΩM 1 + v1 = 3π

(10.52)

(10.53)

On aurait des conditions équivalentes avec le couple Vénus-Terre. Typiquement t1 − t0 ∼ 87.96 jours et, durant cet intervalle, le périhélie de Mercure s’est déplacé, si bien M que vM 1 − v0 , 2π. Avec la loi des aires, on a : (1 + e cos v)2 dv =n dt (1 − e2 )3/2

(10.54)

où n est le moyen mouvement orbital dM/dt, où M est l’anomalie moyenne. Au premier ordre en excentricité, on peut écrire : dv ≈ 2 sin M ≈ 2 sin v + O(e) (10.55) de Cela conduit aux périodes de retour de Mercure aux nœuds de son orbite sur l’écliptique : ! (1 − e2M )3/2 ω ˙ M 2˙eM 2π PM : 1 − + sin ω Nœud ascendant M nM nM nM (1 + eM cos ωM )2 (10.56) ! 2 3/2 ω ˙ 2˙e (1 − eM ) 2π PM 1 − M − M sin ωM Nœud descendant : nM nM nM (1 − eM cos ωM )2 De même, pour le retour de la Terre aux nœuds de l’orbite de Mercure, on a :   ˙   $ ˙ − Ω (1 − e2T )3/2 2˙ e 2π  M T 1 − T  PTNœud ascendant : + sin($ − Ω )  T M  nT  nT nT (1 + eT cos($T − ΩM ))2 PTNœud descendant

  ˙  $ ˙T−Ω 2˙eT (1 − e2T )3/2 2π  M : − sin($T − ΩM ) 1 − nT nT nT (1 − eT cos($T − ΩM ))2 (10.57)

Les termes indépendants de l’excentricité dans les équations 10.56 et 10.57 sont équivalents aux expressions 10.48 et 10.49. Les formules sont semblables pour le couple Vénus-Terre en remplaçant les paramètres relatifs à Mercure par les paramètres équivalents de Vénus. Les résultats numériques sont rassemblés dans la table 10.7. 703

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Table 10.7 – Périodes de retour aux nœuds pour les passages de Mercure et de Vénus sur le Soleil.

Nœud Ascendant Descendant 10.6.3.3

Mercure Mercure Terre 87.969 203 87.969 045

365.254 291 365.254 161

Vénus Vénus

Terre

224.698 892 224.698 897

365.251 558 365.251 103

Périodes de retours des passages

À partir des périodes de retour aux nœuds de la table 10.7, on recherche les intervalles de temps approximatifs qui contiennent presque un nombre entier de périodes pour la Terre et pour la planète inférieure. En cas d’exactitude parfaite après un temps T , les passages dans des conditions identiques se répèteraient avec cette période. Le développement en fractions continues des périodes T, M ou T, V conduit aux meilleures approximations rationnelles, et donc aux périodes de retour des passages dans des conditions voisines. Les résultats se trouvent dans la table 10.8 pour Mercure et la table 10.9 pour Vénus. Les colonnes donnent le décalage en temps ∆T de l’approximation, le glissement en longitude de la conjonction par rapport au nœud de la planète inférieure et enfin le décalage de la trace du passage sur le disque solaire (positif vers le pôle Nord de l’écliptique). Table 10.8 – Retours des passages de Mercure avec le décalage en longitude de la conjonction et le déplacement de la trace sur le disque solaire. Ici, k et k0 sont respectivement le nombre de révolutions de la Terre et de Mercure durant la période considérée qui vaut k années. Les périodes T, M sont issues de la table 10.7.

k 13 33 46 217

k’ 54 137 191 901

Novembre kT − k0 M ∆l ◦ jour −2.0312 1.6108 −0.4204 −0.0708

2.450 −1.943 0.507 −0.085

∆ρ 0

8.310 −6.590 1.720 0.289

kT − k0 M jour −2.0243 1.6281 −0.3962 0.0434

Mai ∆l

∆ρ

◦

0

2.929 −2.355 0.573 −0.063

−17.210 13.842 −3.368 0.370

On trouve alors pour Mercure une bonne période de retour tous les 46 ans, avec un décalage de la trace de seulement 1.70 et 3.40 respectivement au nœud ascendant et descendant. Pour traverser le disque solaire de 310 de diamètre, il faut donc 31/1.7 ≈ 18 périodes (soit 18 ou 19 passages) sur une durée de 828 ans au nœud ascendant. Les valeurs pour le nœud descendant sont de 9 passages en 414 ans. La période de 217 ans est bien meilleure et donne une répétition des passages avec un très faible déplacement de la trace et donc une série très longue. La figure 10.34 fournit une illustration graphique des 704

10.6. PASSAGES

Figure 10.34 – Séquences des passages de Mercure sur le Soleil donnant la distance minimum au centre du Soleil en fonction de la date. Les périodes de répétition sont parfaitement visibles sur ces diagrammes et ne sont pas limitées aux meilleures approximations de la table 10.8. La période de 171 ans, par exemple, n’apporte pas grand-chose par rapport à celle de 46 ans.

propriétés des séquences à chacun des nœuds pour les passages de Mercure. Un passage est repéré par un point dont l’abscisse est la date et l’ordonnée la distance minimale au centre du Soleil lors du passage. On a mis en évidence les séquences longues auxquelles appartiennent les passages de 2016 (nœud descendant) et 2019 (nœud ascendant). 705

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Table 10.9 – Retours des passages de Vénus avec le décalage en longitude de la conjonction et le déplacement de la trace sur le disque solaire. Ici, k et k0 sont respectivement le nombre de révolutions de la Terre et de Vénus durant la période considérée qui vaut k années. Les périodes T, V sont issues de la table 10.7.

k 8 243

k’ 13 395

kT − k0 V jour 0.9269 0.0659

Décembre ∆l

∆ρ

◦

0

−2.5457 −0.1811

−24.683 −1.756

kT − k0 V jour 0.9232 −0.0463

Juin ∆l

∆ρ

◦

0

−2.224 0.111

19.898 −0.997

Dans le cas de Vénus, on retrouve la période de répétition de 8 années avec deux passages rapprochés, avant un intervalle de 243 ans pour le retour d’un passage au même nœud. Le décalage de la trace au cours de la période de 8 ans est supérieur au rayon angulaire du Soleil, donc il ne peut y avoir trois passages consécutifs séparés de 8 années. Mais pour qu’il y en ait deux, il faut aussi que le premier passage ne soit pas trop central, afin que la trace du second passage soit encore sur le disque solaire. C’est la situation qui prévaut depuis plusieurs siècles avec cette répétition à 8 ans d’intervalle en 1631-1639, 1761-1769, 1874-1882, 2004-2012. Le schéma de la figure 10.35 montre clairement qu’il ne peut y avoir une séquence de trois passages consécutifs avec un intervalle de 8 ans. Dans l’exemple choisi, lors de conjonction de 2020, Vénus se trouvait hors du disque solaire. Après 8 ans, le décalage en latitude de Vénus lors du retour à la conjonction est supérieur au rayon angulaire du Soleil (voir table 10.9). On conçoit donc que si le premier passage est trop central, alors, à la conjonction suivante (ou précédente), il ne peut y avoir de passage sur le disque solaire, et ce passage n’appartient pas à une paire à 8 ans d’intervalle. Dans le passé, il n’y a pas toujours eu ces paires de passages. Au nœud ascendant de Vénus, on a une série de 9 passages simples entre −548 et 1396, séparés de 243 ans, puis une série de 5 passages doubles à huit années d’intervalle de 1631 à 2611. Le passage suivant de 2846 est isolé. Pour le nœud descendant, on a 5 passages simples de −669 à 303 et 13 paires de 546 à 3470, dont celle de 2004 et 2012. Depuis plusieurs siècles, et pour plusieurs siècles encore, on est dans ce régime régulier avec des paires de passages tous les 243 ans à chaque nœud, mais cela ne constitue pas la règle générale sur une très longue période de temps. Ce phénomène est illustré sur la figure 10.36 pour une séquence à long terme de passages au nœud ascendant montrant le dernier passage simple de 1396, le passage rasant de 1631, puis les passages doubles jusqu’à la paire 2603-2611, avec un passage rasant, avant le premier passage simple de 2846 débutant une série de passages solitaires séparés de 243 ans. 706

10.6. PASSAGES

Figure 10.35 – Conjonctions successives de Vénus aux temps t, t + 8 ans, t + 16 ans illustrant la possibilité de passages par paires, mais l’impossibilité de triplets. Un passage trop central sera isolé et jamais associé à un autre passage 8 ans plus tôt ou plus tard.

Figure 10.36 – Passages successifs de Vénus sur le disque solaire, pour le nœud ascendant, tous les 243 ans de 1396 à 2846. Les passages doubles à 8 ans d’intervalle suivent ou précèdent des séquences qui ne comportent que des passages simples.

10.6.4

Recherche des passages planétocentriques

Avec les outils modernes de calcul, il est relativement aisé de rechercher tous les passages sur une durée de quelques milliers d’années en explorant systématiquement les conditions géométriques lors d’une conjonction inférieure. Le calcul s’effectue donc avec un pas égal à la période synodique, dès que l’on a trouvé la première conjonction inférieure dans 707

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES l’intervalle choisi. L’algorithme ci-dessous s’applique aussi bien au couple Terre-Vénus qu’à celui de Mars-Terre ou celui de Jupiter-Mars.

Figure 10.37 – Notations pour les positions héliocentriques de la planète intérieure et de la planète extérieure.

Soit la planète extérieure PE et la planète intérieure PI repérées par rapport au Soleil au moyen d’une éphéméride héliocentrique, par les rayons vecteurs rE et rI comme indiqué sur la figure 10.37. L’éphéméride donne également les vecteurs vitesse héliocentriques des deux planètes. On calcule la position apparente du Soleil et de la planète intérieure vus du centre de la planète extérieure aux instants retardés avec : ∆ = |rI − rE |

(10.58)

en prenant pour les temps-lumière : ∆ c |rE | τS = c τI =

(10.59) (10.60)

ce qui conduit aux positions apparentes depuis la planète extérieure : R (t) = −rE (t − τS )

(10.61)

RP (t) = rI (t − τI ) − rE (t − τI )

(10.62)

708

10.6. PASSAGES

Table 10.10 – Passages de Mercure sur le disque solaire de 1950 à 2050. Les instants sont donnés en TU (ou UTC pour les périodes actuelles) pour les contacts géocentriques. Pour les contacts, la date peut être la veille ou le lendemain de la date de l’instant central. Les nœuds sont ascendants (A) ou descendants (D). Pour ∆t voir section 2.8.1.

date milieu

nœud

début h min s

TU/UTC milieu h min s

fin h min s

∆t s

14/11/1953 06/05/1957 07/11/1960 09/05/1970 10/11/1973 13/11/1986 06/11/1993 15/11/1999 07/05/2003 08/11/2006 09/05/2016 11/11/2019 13/11/2032 07/11/2039 07/05/2049

A D A D A A A A D A D A A A D

15 37 00 23 58 50 14 33 49 04 19 20 07 47 22 01 43 02 03 05 51 21 15 00 05 12 57 19 12 04 11 12 18 12 35 27 06 41 00 07 17 57 11 03 20

16 53 47 01 14 14 16 52 53 08 16 10 10 32 14 04 07 02 03 56 31 21 40 53 07 52 25 21 41 04 14 57 25 15 19 48 08 54 05 08 46 44 14 23 54

18 10 34 02 29 37 19 12 01 12 12 52 13 17 11 06 31 05 04 47 12 22 06 46 10 31 48 00 10 09 18 42 25 18 04 14 11 07 13 10 15 32 17 44 21

30.2 31.6 33.3 40.3 44.2 55.2 60.2 64.2 64.2 65.2 68.2 69.2 77.2 80.2 109.9

On a alors les vecteurs unitaires des directions apparentes : R (t) |R (t)| RP (t) UP (t) = |RP (t)|

U (t) =

(10.63) (10.64)

La position relative de la planète intérieure rapportée au centre du disque solaire est donc : ρ(t) = UP (t) − U (t)

(10.65)

qui est un vecteur du plan tangent passant par le centre du Soleil. Ses composantes sont naturellement en radians et peuvent être transformées en toute autre unité angulaire. En posant : dρ W= (10.66) dt le mouvement de la planète dans le voisinage de la conjonction peut être représenté par un mouvement uniforme (figure 10.38) : ρ(t) = ρ(t0 ) + W(t − t0 ) 709

(10.67)

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Sous cette hypothèse (on va voir qu’elle n’est pas critique), l’instant correspondant à la plus petite séparation entre le Soleil et la planète est donné par : tmin = t0 −

ρ0 · W W2

(10.68)

correspondant à la distance minimale d’approche : ρmin = ρ(tmin ) =

ρ20

(ρ · W)2 − 0 2 W

!1/2 (10.69)

Le vecteur W peut se calculer directement à partir des vecteurs vitesse des planètes en effectuant le calcul qui conduit à l’équation 10.65 à deux instants voisins en propageant les positions des planètes au moyen de leur vitesse au lieu de recalculer l’éphéméride complète.

Figure 10.38 – Trajectoire apparente de la planète intérieure sur le disque solaire et définition des contacts.

Il y a un passage devant le Soleil lorsque ρmin est inférieur au rayon solaire (s), augmenté ou diminué du rayon planétaire (p), selon que l’on considère les passages partiels ou complets (avec le disque planétaire totalement sur le disque solaire). Lorsqu’il y a un passage, on calcule alors les instants des quatre contacts par résolution itérative des 710

10.6. PASSAGES

Table 10.11 – Passages de Vénus sur le disque solaire de 1631 à 2255. Les instants sont donnés en TU (ou UTC pour les périodes actuelles) pour les contacts géocentriques. Pour les contacts, la date peut être la veille ou le lendemain de la date de l’instant central. Les nœuds sont ascendants (A) ou descendants (D). Pour ∆t voir section 2.8.1.

date milieu

nœud

début h min s

TU/UTC milieu h min s

fin h min s

∆t s

07/12/1631 04/12/1639

A A

03 51 59 14 57 04

05 19 49 18 25 53

06 47 40 21 54 42

56.9 50.9

06/06/1761 03/06/1769

D D

02 01 51 19 15 19

05 19 09 22 25 14

08 36 28 01 35 09

19.4 21.2

09/12/1874 06/12/1882

A A

01 49 01 13 56 37

04 07 23 17 05 58

06 25 45 20 15 19

−1.2 −4.1

08/06/2004 06/06/2012

D D

05 13 35 22 09 42

08 19 45 01 29 37

11 25 55 04 49 32

64.2 66.2

11/12/2117 08/12/2125

A A

23 58 28 13 15 08

02 48 14 16 01 38

05 39 00 18 48 07

234.5 250.9

11/06/2247 09/06/2255

D D

08 41 48 01 07 55

11 33 15 04 38 00

14 24 42 08 08 05

551.6 574.7

équations : |ρ(t)| = s + p

(10.70)

|ρ(t)| = s − p

(10.71)

autour des instants approximatifs :  t1,2 = tmin −

1/2 (10.72)

W 

t3,4 = tmin +

s2 − ρ2min s2 − ρ2min W

1/2 (10.73)

Dans le cas des passages planétocentriques (géocentriques pour les passages de Mercure et Vénus), on peut aussi se contenter de l’approximation analytique : 1/2  (s + p)2 − ρ2min t1 = tmin − (10.74) W  1/2 (s − p)2 − ρ2min t2 = tmin − (10.75) W 711

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES  t3 = tmin +

1/2 (10.76)

W 

t4 = tmin +

(s − p)2 − ρ2min (s + p)2 − ρ2min

1/2

W

(10.77)

Cette dernière approximation n’est pas valable pour le calcul des contacts topocentriques de Mercure et Vénus, car, en raison de la variation de la parallaxe diurne avec la rotation de la Terre, la traversée du disque solaire par la planète inférieure n’est pas uniforme. Dans ce cas, il faut résoudre les équations 10.70 et 10.71 par itérations, et la convergence est très rapide.

Pour le moment, les instants sont dans l’échelle de temps de l’éphéméride et peuvent être transformés en TU au moyen des tables et formules données dans la section 2.8. Si le passage est partiel, seuls les contacts t1 et t4 doivent être calculés et l’argument de la racine de t2 et t3 sera négatif.

Remarques

Avec des coordonnées angulaires (ascension droite et déclinaison ou longitude et latitude écliptique), les composantes X, Y du vecteur ρ de l’équation 10.65 se calculent directement avec : X =

cos δ p sin(α p − α ) sin δ sin δ p + cos δ cos δ p cos(α p − α )

(10.78)

Y =

sin δ p cos δ − cos δ p sin δ cos(α p − α ) sin δ sin δ p + cos δ cos δ p cos(α p − α )

(10.79)

cos ψ = sin δ sin δ p + cos δ cos δ p cos(α p − α )

(10.80)

ou encore au moyen des coordonnées différentielles : X = ∆α cos δ − sin δ ∆δ∆α + O(∆α3 , ∆δ3 ) Y = ∆δ +

1 sin 2δ ∆α2 + O(∆α3 , ∆δ3 ) 4

712

(10.81) (10.82)

10.6. PASSAGES

Table 10.12 – Passages sur le Soleil vus de Mars ou de Saturne. Les dates et heures sont données pour le milieu du passage à la distance minimale. Les passages de Jupiter marqués d’un astérisque (∗) sont partiels, Jupiter n’étant jamais totalement sur le disque solaire durant ces passages.

10.6.5

Planète supérieure

Planète inférieure

Date TU

Mars

Terre

00

00

00

00

00

00

00

00

08/05/1700 09/11/1800 12/11/1879 08/05/1905 11/05/1984 10/11/2084 15/11/2163 13/11/-939 01/12/-423 16/09/ -85 17/05/1226 28/10/3728

00

00

00

00

Saturne

Jupiter

00

00

00

00

00

00

00

00

Heure h min

Durée h min

19 01 20 20 08 06 03 09 23 16 19 23

09 08 08 08 08 08 07 23 15 21 14 13

34 03 07 13 49 14 20 50 57 39 02 24

24 03 17 48 36 25 42 57 50 10 50 25

∗ ∗ ∗ ∗

Passages topocentriques

Les conditions du passage pour un observateur à la surface de la Terre sont légèrement différentes du phénomène géocentrique, en raison de la différence de distance entre la planète inférieure et le Soleil. C’est précisément l’effet de cette différence entre la parallaxe des deux astres pour différents points de la Terre qui est à l’origine de la proposition d’Edmund Halley (1656-1742) d’utiliser les passages de Mercure et Vénus pour déterminer la parallaxe solaire. En raison de sa plus faible distance à la Terre, Vénus s’est avérée plus adaptée que Mercure, et lors des passages historiques de 1761, 1769, 1874 et 1882, de nombreuses expéditions d’observation ont été mises en œuvre pour aller observer le phénomène dans les lieux les plus appropriés, et pas nécessairement hospitaliers, afin d’obtenir la dimension du Système solaire. On peut aborder le calcul des instants de contacts topocentriques de deux façons : • soit à partir d’un calcul complet, en mettant l’observateur en un point du globe et non au centre, et en tenant compte des changements de parallaxe diurne avec la rotation de la Terre ; • soit en cherchant les corrections à apporter aux instants géocentriques, supposés connus, par des formules simples. 713

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Les deux approches ont leur mérite. La première conduit à un calcul précis, et finalement avec une méthode pas très différente de celle utilisée pour les passages géocentriques. Sa mise en œuvre est possible pour une liste importante de sites avec les moyens de calcul disponibles aujourd’hui, mais serait extrêmement laborieuse par des calculs manuels. La deuxième, bien que moins précise, a le mérite de mettre en évidence les effets de la parallaxe et de fournir des formules propres à sa détermination à partir des instants observés en différents lieux. Les deux méthodes sont décrites dans les paragraphes suivants.

Figure 10.39 – Positions topocentriques de l’observateur, du Soleil et de la planète intérieure.

10.6.5.1

Calcul rigoureux d’un passage topocentrique

Soit l’observateur en un point M à la surface de la Terre, de longitude et latitude λ, φ, avec la longitude comptée positivement vers l’est. Les décalages maximums entre les contacts géocentriques et topocentriques sont inférieurs à une vingtaine de minutes, donc pour un calcul de précision de l’ordre de la seconde de temps, il n’est pas nécessaire de considérer l’altitude du point. En revanche, la forme ellipsoïdale de la Terre ne doit pas être ignorée pour cette précision ultime. Soit le vecteur GM entre le centre de la Terre et le point P et ρ son module. Le calcul du passage suit les mêmes étapes que dans la section 10.6.4, avec des adaptations pour les équations 10.61 et 10.62, dans lesquelles le géocentre doit 714

10.6. PASSAGES être remplacé par le point P (figure 10.39). Les deux équations deviennent : R0 (t) = −rE (t − τS ) − GM(t) R0 P (t) = rI (t − τI ) − rE (t − τI ) − GM(t)

(10.83)

La variation rapide dans le temps est maintenant la position de l’observateur liée à la rotation de la Terre en un jour sidéral. Alors que dans le cas géocentrique, le choix entre les coordonnées écliptiques ou équatoriales ne s’imposait pas, dès qu’intervient la position sur la Terre, il est logique de privilégier des coordonnées équatoriales rapportées à l’équateur et l’équinoxe de la date, afin de simplifier les calculs de la position de l’observateur dans un système de référence céleste. Par conséquent, on utilise une éphéméride de la position de l’observateur plutôt que du centre de la Terre, et les calculs se déroulent comme dans la section 10.6.4. Le seul point délicat se trouve dans la résolution des équations 10.70 et 10.71, puisque la vitesse de transit W n’est pas constante au cours du passage et doit être évaluée pour chaque contact. Au cours du transit de Vénus en 2004, alors que la vitesse de Vénus sur le disque solaire a varié de 0.01% au cours du passage géocentrique, cette variation s’est élevée à 1.6% dans le cas d’un observateur situé à Paris. L’écart au mouvement uniforme est donc significatif. Pour cette itération, il suffit de calculer en plus les quantités : dρ W · ρ vρ = = (10.84) dt ρ et d’appliquer l’itération sur le temps pour chaque contact : tn+1 = tn −

ρn − s ± p vρ

en prenant comme approximation initiale les instants des contacts géocentriques par exemple.

10.6.5.2

Calcul d’un passage topocentrique à partir des données géocentriques

Avec en main un calcul de passage géocentrique, le plus gros du travail est déjà effectué, et il semble logique de rechercher les conditions d’un passage topocentrique comme une correction au passage géocentrique. Ceci évite le recours aux éphémérides planétaires, opération qui peut être lourde et pas nécessairement possible pour tous les calculateurs. C’était d’ailleurs la méthode suivie dans le passé pour calculer les contacts topocentriques en différents lieux. Ceci est faisable avec économie si la précision recherchée ne dépasse par la dizaine de secondes de temps. Pour atteindre la seconde, il faut des développements analytiques conséquents et il est plus simple de suivre la méthode de la section 10.6.5.1. Soit R et RP les vecteurs positions géocentriques du Soleil et de la planète au moment d’un contact géocentrique, et U (t) et UP les vecteurs unitaires correspondants. On note 715

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES également R = GM le vecteur position de l’observateur rapporté au centre de la Terre. Les positions topocentriques du Soleil et de la planète au même instant sont données par : R0 = R − R R0 P = RP − R

(10.85)

et en divisant respectivement par la distance géocentrique au Soleil et à la planète, on a : R0 R = U − R R R R0 P = UP − RP RP

(10.86)

où l’on voit apparaître à droite les termes correctifs proportionnels à la parallaxe solaire et planétaire. Les modules des membres de gauche s’écrivent :  0  2 1/2 R = 1 − 2 U · R + R   R  R R2 (10.87)  0  2 1/2 R P = 1 − 2 UP · R + R   RP  RP R2P On néglige le carré de la parallaxe dans les développements, les équations se simplifient et s’écrivent : 0 R ≈ 1 − U · R R R (10.88) 0 R U P ≈ 1 − P · R RP RP On en déduit les vecteurs unitaires topocentriques du Soleil et de la planète, toujours à l’instant d’un contact géocentrique, en fonction des directions géocentriques : R U · R + U R R R UP · R ' UP − + UP RP RP

U0 ' U − 0

UP

(10.89)

et donc l’écart de la direction de la planète par rapport à celle du Soleil entre la situation topocentrique et géocentrique : " # 1 1 UP · R U · R 0 0 U P − U = UP − U − R − + UP − U (10.90) RP R RP R Avec U = R/R désignant le vecteur unitaire géocentrique en direction de l’observateur et en introduisant la parallaxe solaire π , on peut écrire l’équation 10.90 : " ! # 1 1 UP · U U · U 0 0 U P − U = UP − U − π − U− UP + U (10.91) RP R RP R 716

10.6. PASSAGES qu’il est préférable de mettre sous la forme : U0 P − U0 = UP − U − ! # " (U · U)U − (UP · U)UP 1 1 [U − (U · U)U ] + − (10.92) π RP R RP Lors d’un passage, on a toujours U ' UP . La dernière partie de l’équation est donc négligeable devant le terme principal et on peut se limiter à l’approximation : ! 1 1 0 0 0 [U − (U · U)U ] ρ = U P − U = UP − U − π − (10.93) RP R pour le vecteur topocentrique donnant sur le disque solaire la position de la planète inférieure par rapport au centre du disque solaire. On voit que l’instant d’un contact géocentrique et du contact topocentrique équivalent sont en général différents, et que la correction fait intervenir la position de l’observateur et donc l’effet de la parallaxe diurne. Dans ces dernières expressions, où figure la parallaxe solaire, il est implicitement admis que les distances planétaires sont exprimées en unités astronomiques. Le terme correctif, qui est proportionnel à la différence des parallaxes de la planète et du Soleil, est plus important pour Vénus que pour Mercure. L’équation 10.93 est l’analogue topocentrique de l’équation 10.65. On peut maintenant calculer le décalage en temps qui sépare les contacts équivalents géocentriques et topocentriques à partir du terme correctif de la position de la planète sur le disque solaire. En négligeant des quantités de l’ordre du carré du rayon solaire, on a : ! 0 1 π 1 0 U P − U ' |UP − U | − [U · (UP − U )] (10.94) − |UP − U | R p R Pour transformer ce décalage en distance en décalage en temps, il suffit d’avoir la vitesse radiale du déplacement de la planète inférieure sur le disque solaire calculée aux contacts géocentriques : W · (UP − U ) wr = (10.95) |UP − U | et finalement les instants de contacts topocentriques tk0 , k = 1, . . . , 4 : " tk0

= tk + π

U · (UP − U ) 1 1 − W · (UP − U ) R p R

!# (10.96)

expression dans laquelle les quantités dépendantes du temps doivent être prises aux instants des contacts géocentriques. Dans le cas de Vénus, on a typiquement W ∼ 1.6◦ /jour, π ∼ 8.900 ∼ 0.0025◦ , R ∼ 1 au, RP ∼ 0.72 au, donnant pour le décalage temporel maximum ∼ 0.004 jour ∼ 350 s. Les coordonnées cartésiennes du vecteur U de l’observateur à 717

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES la surface du globe à la latitude φ et longitude λ sont, avec une approximation suffisante : α = cos φ cos λ β = cos φ sin λ γ = sin φ À partir de l’équation 10.96, pour chaque contact, l’écart en temps entre le contact géocentrique et topocentrique peut s’écrire : tk0 − tk = Aα + Bβ + Cγ

(10.97)

où A, B, C ne dépendent que du contact et peuvent être calculés avec les contacts géocentriques. Cet écart peut s’exprimer sous la forme Γ cos ψ, où ψ est l’angle entre la direction de l’observateur U et celle d’un axe parallèle à UP − U passant par le centre de la Terre. L’écart maximum est donc Γ = (A2 + B2 + C 2 )1/2 et est nul pour tous les observateurs qui se trouvent dans un plan perpendiculaire à UP − U . Sous cette forme géométrique, ce résultat a été donné pour la première fois pas Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) en 1766. Pour un calcul pratique des coefficients A, B, C, on établirait les expressions suivantes : " # π 1 1 (X sin H − Y cos H sin δ ) A= − (10.98a) X X˙ + Y Y˙ r p r " # π 1 1 (X cos H + Y sin H sin δ ) B= − X X˙ + Y Y˙ r p r " # 1 π 1 (Y cos δ ) C= − X X˙ + Y Y˙ r p r

(10.98b)

(10.98c)

avec X, Y les coordonnées, dans le système équatorial tangent, du vecteur UP − U , ˙ Y˙ celles de la vitesse position de la planète par rapport au centre du disque solaire et X, W, δ la déclinaison du Soleil et H son angle horaire pour le contact considéré. Les coefficients A, B, C sont homogènes à un temps avec des valeurs typiques de 100 s à 400 s et doivent être calculés pour chaque contact. L’exactitude du formulaire comparé au calcul exact de la section 10.6.5.1 est de l’ordre de 10 s. La durée qui sépare les contacts, quantité importante pour la détermination de la parallaxe solaire, peut se mettre sous la même forme que 10.97, avec les différences des coefficients des contacts considérés. Les coefficients A, B, C sont proportionnels à la parallaxe solaire et sont d’autant plus importants que r p diffère de r . Cette propriété est la traduction mathématique de la possibilité de déterminer la parallaxe solaire à partir de comparaison de la durée du passage en différents lieux et que le procédé est plus efficace avec Vénus qu’avec Mercure. La distribution des valeurs de la différence du temps de passage de Vénus sur le Soleil entre les phénomènes topocentrique et géocentrique est représentée dans les figures 10.40 718

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES et 10.41 pour les passages de 2004 et de 2012. La durée est mesurée entre le second et le troisième contact. Les écarts atteignent ±10-12 min pour les points extrêmes. La mesure de la durée par des observateurs ne dépend pas de la connaissance de leur longitude, alors que la comparaison des instants d’entrée ou de sortie nécessite soit de connaître la longitude, soit d’avoir un garde-temps du méridien origine, ce qui au fond revient au même.

10.7

Phénomènes des satellites de planètes

10.7.1

Les éclipses et les occultations par la planète

10.7.1.1

Introduction

Les satellites galiléens (et dans une moindre mesure les satellites des autres planètes) présentent des phénomènes particuliers dus aux positions que prennent le Soleil, Jupiter et la Terre : • • • •

les éclipses (lorsqu’un satellite passe dans l’ombre de Jupiter) ; les occultations (lorsqu’un satellite passe derrière Jupiter par rapport à la Terre) ; les passages (lorsqu’un satellite passe devant Jupiter par rapport à la Terre) ; les passages d’ombre (lorsque l’ombre d’un satellite passe sur le disque de Jupiter).

Les phénomènes les plus célèbres sont les éclipses, car ils sont les plus faciles à observer et se sont avérés être les plus utiles : il s’agit de l’extinction ou de l’apparition (aussi dénommées immersion ou émersion) d’un satellite isolé. Les autres phénomènes nécessitent l’observation simultanée de Jupiter, ce qui dégrade beaucoup le rapport signal sur bruit. Tous ces phénomènes ont été observés visuellement pendant des dizaines d’années, et le grand nombre d’éclipses observées a constitué la base des premières éphémérides. Dès la fin du xixe siècle, les techniques d’observation des éclipses se sont améliorées et les premières courbes photométriques ont permis d’améliorer la précision de la datation de ces phénomènes, datation qui était difficile, comme on peut le constater en voyant les notes nécessaires à une observation. La figure 10.42 montre une observation telle que celles collectées par Delambre au xviiie siècle : on consultera Arlot et al. (1984) pour plus d’explications sur ces observations. Ensuite, les enregistreurs photoélectriques sont apparus, mais, malgré le progrès qu’ils apportaient, n’ont été que très peu utilisés pour un but astrométrique. La figure 10.43 (Shorthill et al., 1974) montre une telle observation photométrique d’une éclipse de Ganymène (JIII) par Jupiter faite en 1974. Ce type d’observation permettait de mesurer certaines propriétés physiques de l’atmosphère de Jupiter (diffusion Rayleigh, distribution des aérosols, absorption moléculaire, hauteur des nuages d’altitude), aussi bien que le diamètre du satellite. La photographie s’est avérée plus précise que l’observation des éclipses, dont l’incertitude astrométrique provient de l’atmosphère de Jupiter qui déforme son cône d’ombre à l’origine des éclipses. 719

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Figure 10.40 – Différence en minutes entre la durée du passage de Vénus topocentrique et géocentrique de 2004 (du 2e contact au 3e contact), sans prendre en compte la visibilité du phénomène (la Terre est en cristal).

Figure 10.41 – Différence en minutes entre la durée du passage de Vénus topocentrique et géocentrique de 2012 (du 2e contact au 3e contact), sans prendre en compte la visibilité du phénomène (la Terre est en cristal).

720

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

Figure 10.42 – En 1799, les observations photométriques des éclipses étaient visuelles.

Figure 10.43 – Courbe photométrique d’une éclipse de Ganymène (JIII) par Jupiter enregistrée le 13 mai 1972. La fin de l’éclipse n’est pas facile à déterminer en raison des effets photométriques de l’atmosphère de Jupiter (d’après Shorthill et al. (1974)).

721

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES 10.7.1.2

Définitions

Au cours de la révolution d’un satellite galiléen autour de Jupiter, un observateur terrestre peut observer des éclipses, des passages de l’ombre du satellite projetée sur la planète, des occultations par la planète et des passages du satellite devant la planète. Ces quatre types de phénomènes se produisent lors de la traversée par le satellite du cône d’ombre engendré par Jupiter, et lors de celle du cône de visibilité suivant lequel Jupiter occulte une portion de l’espace pour un observateur terrestre (figure 10.44).

fin d’occultation par Jupiter début passage d’ombre sur le disque de Jupiter

fin d’éclipse par l’ombre de Jupiter (3)

(1)

Soleil

(2)

fin fin

Ombre de Jupiter

début d’éclipse par l’ombre de Jupiter

Terre (1) Début de passage sur le disque de Jupiter (2) Début d’occultation non observable, car le satellite est éclipsé par l’ombre de Jupiter (3) Fin d’éclipse non observable, car le satellite est occulté par Jupiter

Figure 10.44 – Définition des débuts et fins des éclipses et occultations d’un satellite par sa planète.

Les prédictions des phénomènes telles qu’elles sont publiées dans la Connaissance des temps et dans la plupart des autres éphémérides utilisent, pour modéliser ces phénomènes, des surfaces coniques fictives qui s’appuient sur un ellipsoïde aplati représentant Jupiter. Dans ces calculs, le cône d’ombre est ainsi la surface engendrée par le faisceau des tangentes à l’ellipsoïde et passant par le centre du Soleil. Le cône de visibilité est, de même, la surface engendrée par le faisceau des tangentes à l’ellipsoïde et passant par le centre de la Terre. Ce modèle, qui n’a pas pour but la réduction d’observations, mais le calcul de prédictions, ne tient pas compte de l’existence d’une zone de pénombre, le Soleil étant en effet réduit à son centre. Il en est d’ailleurs de même pour les satellites et pour la Terre. 722

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES On observe un début (EC.D), puis une fin d’éclipse (EC.F), lorsqu’un satellite pénètre dans le cône d’ombre de Jupiter, du côté opposé au Soleil, puis en sort. On observe un début (OM.D), puis une fin de passage d’ombre (OM.F), lorsque ce satellite pénètre dans ce même cône du côté du Soleil, puis en sort. On observe un début (OC.D), puis une fin d’occultation (OC.F), lorsque le satellite pénètre dans le cône de visibilité du côté opposé à la Terre, puis en sort. Enfin, on observe un début (PA.D), puis une fin de passage devant la planète (PA.F), lorsqu’il pénètre dans ce même cône du côté de la Terre, puis en sort (figure 10.44). La faible inclinaison des orbites des satellites galiléens sur l’écliptique explique l’existence de ces phénomènes pour chaque révolution de Io, Europe et Ganymède autour de la planète. Callisto, en raison de son éloignement plus grand, n’en présente quant à lui que tous les six ans et pendant trois ans. Par ailleurs, la configuration géométrique du système galiléen est telle que les orbites de Io et Europe se situent dans les zones de recouvrement des cônes d’ombre et de visibilité. Ainsi, avant l’opposition de Jupiter, on ne peut pas observer les fins d’éclipse, puisque le satellite est déjà occulté, ni les débuts d’occultation, puisqu’il est encore éclipsé. De même, après l’opposition, on ne peut pas observer les débuts d’éclipse et les fins d’occultation de ces satellites.

10.7.1.3

Méthode de calcul des dates de phénomènes

On considère le repère jovicentrique dont le plan fondamental est équatorial et dans lequel sont connues les positions des satellites grâce à la théorie de leur mouvement. On suppose dans un premier temps que la lumière se propage de façon instantanée. Les phénomènes définis précédemment sont alors calculés par approximations successives en recherchant les dates pour lesquelles les satellites, réduits à leur centre, se situent sur les cônes d’ombre et de visibilité. Si X désigne la colonne des composantes d’un point courant dans ce repère, Xt sa transposée, ae le rayon équatorial de Jupiter, et si ρ est lié à l’aplatissement dynamique f par la relation : 1 ρ= (1 − f )2 alors l’ellipsoïde représentant la planète a pour équation matricielle : Xt MX − ae 2 = 0 723

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES avec :   1 0 0   M = 0 1 0   0 0 ρ On peut montrer alors que, si S désigne la colonne des composantes du centre du Soleil et S t sa transposée, le cône d’ombre de Jupiter a pour équation : (S t MX − ae 2 )2 − (S t MS − ae 2 )(Xt MX − ae 2 ) = 0 Rechercher la date d’une éclipse revient à chercher la date pour laquelle la position X d’un satellite, que l’on choisit située du côté opposé au Soleil par rapport à Jupiter, vérifie cette équation, ce qui peut s’écrire : ∆(S , X; ae , ρ, t) = 0 On suppose la quantité ∆ négative à l’intérieur du cône, alors la date de début d’éclipse correspond à la date t pour laquelle ∆ s’annule en devenant négatif, et la date de fin d’éclipse correspond à la solution pour laquelle cette quantité s’annule en devenant positive. Les dates de début et de fin de passage d’ombre s’obtiennent de même, mais pour des positions de satellite situées du même côté que le Soleil par rapport à Jupiter. Pour les phénomènes liés au cône de visibilité, les passages et les occultations, on procède de la même façon en remplaçant l’équation précédente par : ∆(T, X; ae , ρ, t) = 0 où T désigne la colonne des composantes jovicentriques du centre de la Terre. Le formulaire complet est disponible dans Thuillot (1983).

10.7.1.4

Compléments dus à l’effet de phase et à l’aberration

Un complément du formulaire précédent est nécessaire pour prendre en compte les effets de phase sur Jupiter. L’angle de phase est l’angle que font entre elles les directions jovicentriques de la Terre et du Soleil. Il peut atteindre 12◦ . Son influence sur les dates de certains phénomènes ne peut pas être négligée. Ainsi, avant l’opposition de Jupiter, les dates des débuts de passage d’ombre et celles des fins de passage doivent être corrigées de cet effet, puisqu’on ne peut pas voir l’ombre lorsqu’elle se situe au-delà du limbe, et que le satellite semble finir de passer devant Jupiter dès qu’il franchit le terminateur. Il en est de même après l’opposition pour les débuts de passage devant Jupiter et pour les fins d’ombre. Cette correction se fait dans le formulaire en imposant dans le calcul des dates des passages (ou des ombres) le contact du cône de visibilité (ou de lumière) avec la courbe du terminateur (ou du limbe), au lieu du contact de ce même cône avec 724

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES l’ellipsoïde représentant Jupiter, ce qui se traduit par une modification des équations en ∆ précédentes. D’autre part, les dates exactes de ces phénomènes doivent être calculées en prenant en compte l’effet de la propagation à vitesse finie de la lumière. On distingue essentiellement deux types de corrections. Dans le cas des passages et des occultations, un observateur terrestre voit Jupiter à l’instant t dans la position que la planète occupait à l’instant t corrigé du temps de lumière. C’est ce temps corrigé qui doit être utilisé directement pour la recherche de la position du satellite satisfaisant l’équation du cône de visibilité. Dans le cas des phénomènes liés au Soleil, la correction est plus complexe. Une éclipse peut être considérée comme une occultation du Soleil par Jupiter pour un observateur situé sur le satellite, et les positions jovicentriques du Soleil et du satellite subissent une première correction. L’équation du cône de lumière permet de calculer l’instant t de l’émission du signal. Ce signal est ensuite transmis à la Terre avec le retard dû à la vitesse de la lumière que l’on ajoute à l’instant d’émission calculé. De même, on peut considérer qu’un passage d’ombre résulte d’une occultation du Soleil par un satellite, vue de Jupiter, et y appliquer le même ensemble de corrections.

10.7.2 10.7.2.1

Les phénomènes mutuels Introduction

Peu après la découverte des satellites galiléens et l’observation de leurs phénomènes, les astronomes se sont aperçus que des phénomènes similaires se produisent entre les satellites eux-mêmes. En effet, en raison de la nature quasi coplanaire des orbites des quatre satellites, un satellite peut occulter ou éclipser un autre satellite. Malheureusement, la prédiction de ces phénomènes, qui nécessite une théorie précise et un volume conséquent de calculs, est restée inaccessible jusqu’à l’apparition des calculateurs électroniques. Ce n’est donc qu’à partir de 1973 que ces phénomènes ont pu être prédits et observés de façon régulière (voir par exemple Arlot, 1990).

10.7.2.2

Définitions et circonstances

La figure 10.45 montre comment se produisent les phénomènes mutuels. Les orbites des satellites se trouvant très proches du plan équatorial de Jupiter, les occultations mutuelles se produisent lorsque deux satellites et la Terre sont alignés, c’est-à-dire lorsque la déclinaison jovicentrique de la Terre est proche de zéro. De même, les éclipses mutuelles 725

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

J4 J3 J1

J4 éclipse J3

J2

J2 occulte J1

Soleil Terre

Figure 10.45 – Définition des éclipses et occultations mutuelles.

se produisent lorsque deux satellites et le Soleil sont alignés, c’est-à-dire lorsque la déclinaison jovicentrique du Soleil est proche de zéro. La figure 10.46 montre comment évoluent ces déclinaisons jovicentriques lorsqu’elles s’annulent, entre 2014 et 2033. Les phénomènes mutuels se produisent au voisinage des dates correspondantes pour lesquelles la Terre et le Soleil traversent le plan de l’équateur de Jupiter, soit tous les six ans. L’observabilité des phénomènes mutuels dépend également d’un autre facteur. En effet, la faible inclinaison relative des quatre orbites des satellites est à l’origine de la courte durée de la période durant laquelle se produisent ces phénomènes, de l’ordre de six mois à un an. Il est alors important que l’opposition de Jupiter et du Soleil se superpose avec la période du maximum de phénomènes.

10.7.2.3

Description des phénomènes mutuels

Les satellites galiléens ayant des diamètres proches, mais différents, plusieurs types de phénomènes peuvent se produire. La figure 10.47 montre les trois types d’occultations qui peuvent survenir, de façon similaire aux éclipses de Soleil : occultations partielles, annulaires ou totales. L’effet de parallaxe diurne étant très faible (inférieur à 0.00100 ), ces phénomènes sont calculés pour un observateur géocentrique. Les éclipses mutuelles sont, quant à elles, indépendantes de l’observateur terrestre. Ce sont en fait des occultations du Soleil par le satellite éclipsant, vues du satellite éclipsé, et similaires aux éclipses de Lune. La figure 10.48 montre les différents types d’éclipses mutuelles qui peuvent se produire.

10.7.2.4

Calcul et prédiction des occultations et éclipses mutuelles des satellites

On considère ici un cas particulier de la définition des vecteurs des satellites dans la détermination des coordonnées astrométriques des satellites de la planète, fondé sur l’observation photométrique des satellites au moment de l’éclipse mutuelle. 726

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

1.5

1.5

1

Soleil

0.5

Soleil

Terre

1

Opposition

0.5

Terre 0

0

Terre

– 0.5

– 0.5

Soleil

–1

– 1.5

Opposition

Soleil

–1

M

J

J

A

S

O

N

D

2014

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

– 1.5

2015

1.5

1.5

1

1

Terre A

S

O

N

D

2020

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

2021

N

D

2021

J 2022

Terre Soleil

Opposition

Opposition

0.5

0.5

0

Terre

– 0.5

Soleil

– 0.5

Terre

Opposition

Soleil

–1

– 1.5

Soleil

0

Terre

–1

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

2026

J

F

M

A

M

J

J

A

– 1.5

2027

J

J

A

S

O

N

D

2032

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O N

2033

Figure 10.46 – Déclinaisons jovicentriques de la Terre (T) et du Soleil (S) (l’opposition est la période favorable d’observation).

Les observations photométriques d’éclipses mutuelles de deux satellites permettent de déterminer les positions relatives des satellites avec une grande précision. Le phénomène considéré consiste en ce que l’un des satellites se retrouve partiellement ou totalement dans l’ombre d’un autre satellite. Dans ce cas, sa luminosité pendant les observations faites depuis la Terre diminue et peut être mesurée avec un photomètre ou un CCD. La luminosité du satellite éclipsé dépend principalement de la distance angulaire héliocentrique des deux satellites. Cela dépend aussi de l’angle entre les directions du satellite éclipsé au Soleil et à la Terre, c’est-à-dire de l’angle de la phase solaire du satellite. La distance angulaire héliocentrique des deux satellites détermine les changements de luminosité du satellite pendant le phénomène. Pour le traitement de ces observations photométriques, il est nécessaire de modéliser le processus de propagation de la lumière en tenant particulièrement compte de la finitude de la vitesse de la lumière. On doit d’abord définir les vecteurs relatifs au mouvement des corps célestes en cause. Ces vecteurs peuvent être barycentriques (du barycentre du Système solaire), héliocentriques ou planétocentriques. Soit : • H(t) le vecteur barycentrique du Soleil ; • T(t) le vecteur barycentrique de l’observateur terrestre (topocentre) ; 727

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Occultation partielle

Occultation annulaire

Occultation totale

satellite occultant

satellite occultant

satellite occultant

Figure 10.47 – Circonstances géométriques lors des occultations mutuelles.

satellite éclipsant

éclipse partielle

satellite en cours d’éclipse annulaire

Soleil

éclipse totale

éclipse par la pénombre

Figure 10.48 – Circonstances géométriques lors des éclipses mutuelles.

• P(t) le vecteur barycentrique de la planète ; • S(1) p (t) le vecteur planétocentrique du satellite éclipsant ; (2) • Sp (t) le vecteur planétocentrique du satellite éclipsé. Tous ces vecteurs sont déterminés en fonction du temps t par les théories du mouvement des planètes et des satellites. Le modèle de phénomène est illustré sur la figure 10.49. Les photons émis par le Soleil à l’instant t3 se déplaçant de façon rectiligne ont atteint à l’instant t2 le satellite 2. Le vecteur barycentrique du Soleil à l’instant t3 sera noté par H(t3 ). Une partie des photons émis frappe la surface du satellite 2. Le vecteur barycentrique du satellite 2 à l’instant t2 est noté par S(2) (t2 ). D’après les théories planétaires et des satellites, il peut être calculé à partir de : S(2) (t2 ) = P(t2 ) + S(2) (10.99) p (t2 ) 728

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

Satellite 1 t1 t2 Soleil Barycentre

t3

Satellite 2

Terre

t3

t1 t2

t2

t0

t1

Figure 10.49 – La propagation de la lumière pendant les observations d’une éclipse mutuelle des satellites d’une planète. Séquence des instants : t3 < t2 < t1 < t0 .

Les photons considérés ont atteint le satellite 1 à l’instant t1 . Ils ont été dispersés à sa surface et sont repartis dans la direction de l’observateur terrestre. À l’instant t0 , ces photons ont atteint la Terre et ont formé l’image du satellite éclipsé sur le photodétecteur du télescope. Le vecteur barycentrique du satellite 1 à l’instant temps t1 noté S(1) (t1 ) peut être calculé à partir de : S(1) (t1 ) = P(t1 ) + S(1) (10.100) p (t1 ) Les différences entre les instants t0 , t1 , t2 et t3 sont données par : t2 − t3 =

|S(2) (t2 ) − H(t3 )| c

|S(1) (t1 ) − S(2) (t2 )| (10.101) c |T(t0 ) − S(1) (t1 )| t0 − t1 = c (2) Pour déterminer les vecteurs H(t3 ), S (t2 ) et S(1) (t1 ), il est nécessaire de connaître les instants : t3 , t2 et t1 . Les vecteurs requis et les liens entre ces instants peuvent être trouvés en résolvant par itérations le système d’équations 10.99, 10.100 et 10.101. À l’approximation zéro, on définit t3 = t2 = t1 = t0 . t1 − t2 =

De toute évidence, le degré d’ombre du satellite 1 dépend de l’angle entre les vecteurs (1) S(2) H (t2 ) et SH (t1 ) déterminé par : (2) S(2) H (t2 ) = S (t2 ) − H(t3 )

(1) S(1) H (t1 ) = S (t1 ) − H(t3 )

729

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Cet angle est appelé distance efficace angulaire héliocentrique des deux satellites, notée s∗ . (1) Les composantes des vecteurs S(2) H (t2 ) et SH (t1 ) sont notées :

S(1) H (t1 ) = {ξ, η, ζ}

S(2) H (t2 ) = {ξ + ∆ξ , η + ∆η , ζ + ∆ζ }

Alors s∗ est défini par : tg s∗ =

q (η∆ζ − ζ∆η )2 + (ζ∆ξ − ξ∆ζ )2 + (ξ∆η − η∆ξ )2 ξ2 + η2 + ζ 2 + ξ∆ξ + η∆η + ζ∆ζ

où les petits incréments ∆ξ , ∆η , ∆ζ sont déterminés par : (1) (2) (1) {∆ξ , ∆η , ∆ζ } = S(2) H (t2 ) − SH (t1 ) = P(t2 ) − P(t1 ) + Sp (t2 ) − Sp (t1 )

En utilisant ces formules, il n’y a pas de perte de précision dans le calcul de s∗ en raison de la soustraction de deux valeurs proches.

10.7.2.5

La réduction photométrique des observations des phénomènes mutuels des satellites naturels pour en déduire les données astrométriques

Le flux lumineux qui provient des satellites au cours du phénomène mutuel dépend des coordonnées mesurées X, Y relatives des deux satellites dans le plan du phénomène. Ceci est illustré par la figure 10.50, où l’axe des ordonnées représente une valeur normalisée du flux lumineux S. Le plan du phénomène est le plan passant par le satellite occulté ou éclipsé perpendiculaire au vecteur dirigé à partir du satellite vers l’observateur dans le cas d’une occultation mutuelle, ou du centre du Soleil dans le cas d’une éclipse mutuelle. La direction de l’axe Y est choisie vers le pôle Nord céleste et l’axe X vers l’est. Dans le processus d’observation photométrique, le flux lumineux des satellites est mesuré par une série de points temporels. Le résultat est une courbe de lumière. Un exemple du résultat d’une telle observation est montré par la figure 10.51. Puisque la chute du flux lumineux pendant le phénomène dépend des coordonnées des satellites, il est possible de résoudre le problème inverse, c’est-à-dire d’obtenir des données astrométriques à partir des courbes de lumière observées pendant les occultations et éclipses mutuelles des satellites. La méthode de déduction des données astrométriques à partir de la photométrie des occultations et éclipses mutuelles des satellites de planètes a été proposée dans les années 1970 par Aksnes et Franklin (1976) et Aksnes et al. (1984). Par la suite, d’autres méthodes 730

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

X, Y Flux lumineux normalisé 1

S(X, Y)

0 Temps

Figure 10.50 – Dépendance du flux lumineux normalisé provenant des deux satellites pendant l’occultation mutuelle, de la distance apparente mutuelle des centres des disques.

sont apparues dans les travaux de Descamps et al. (1992), Vasundhara (1994) et Noyelles et al. (2003). Elles utilisent une modélisation de la rediffusion de la lumière solaire par les surfaces des satellites à l’aide de lois de diffusion bidirectionnelle (voir section 12.6.3). Une autre méthode originale récente de traitement des observations photométriques et d’obtention de résultats astrométriques a été développée par Emelyanov (2003), puis Emelyanov et Gilbert (2006). On considère les principes de base de cette méthode. Dans le processus de photométrie des satellites, une certaine valeur mesurée du flux lumineux E est obtenue dans une certaine échelle de valeurs fixée pour chaque phénomène donné. On ne connaît pas cette échelle à l’avance, mais il n’est pas nécessaire de connaître la valeur absolue du flux. Il peut être mesuré par rapport à n’importe quelle référence. On note par S une certaine valeur normalisée du flux lumineux provenant des satellites, telle qu’en dehors du phénomène, c’est-à-dire avant son début et immédiatement après sa fin, cette valeur est égale à un. On suppose que ces deux valeurs coïncident. Dans le processus d’occultation ou d’éclipse mutuelle, le flux lumineux diminue, c’est-à-dire S < 1. Ensuite, on peut établir : E=KS (10.102) 731

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES 1.1

S

1.0

0.9 0.8

Le passage de Io à l’ombre d’Europe le 30 décembre 2002 (Pulkovo)

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 130

140

150

160

Temps, min

Figure 10.51 – Un exemple de la courbe du flux lumineux normalisé mesuré à partir du satellite Io pendant son éclipse par un autre satellite avec la courbe modélisée correspondante une fois que les paramètres du modèle ont été ajustés.

où K est un coefficient indéterminé supposé constant pendant le phénomène. Évidemment, S dépend des coordonnées relatives X, Y dans le système décrit ci-dessus, et on définit la fonction S (X, Y). Les coordonnées X, Y peuvent être calculées à tout instant t avec les éphémérides de la planète et des satellites. On dénote ces valeurs d’éphémérides par Xth (t), Yth (t). Si on les remplace dans la fonction S (X, Y), puis qu’on remplace la fonction dans la relation 10.102, on n’obtient pas la valeur réelle du flux lumineux E, car les éphémérides ont une erreur par rapport à la réalité. On suppose que pendant le phénomène les vraies valeurs des coordonnées diffèrent de celles des éphémérides par certaines constantes D x , Dy , de sorte que le flux de lumière réel est bien déterminé à partir de : E = K S (Xth (t) + D x , Yth (t) + Dy ) On suppose également que des observations photométriques sont déjà effectuées, c’est-àdire qu’aux instants ti (i = 1, 2, ..., m), on obtient les valeurs mesurées de Ei . Ensuite, on peut écrire le système de m équations conditionnelles : Ei = K S (Xth (ti ) + D x , Yth (ti ) + Dy ) (i = 1, 2, ..., m) par rapport aux paramètres inconnus K, D x , Dy . On linéarise la fonction S par rapport à nos arguments et on résout le système d’équations conditionnelles linéaires par la méthode 732

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES des moindres carrés. Une fois la solution trouvée, le résultat astrométrique est exprimé par les coordonnées X(t∗ ) = Xth (t∗ ) + Dx, Y(t∗ ) = Yth (t∗ ) + Dy, où t∗ est n’importe quel instant dans l’intervalle de temps du phénomène. Par définition, on choisit comme t∗ l’instant où la valeur de X 2 + Y 2 atteint un minimum, autrement dit l’instant où la distance apparente entre les satellites est minimale. Il est naturel de supposer que, lorsqu’il n’y a pas de lumière provenant des satellites, la valeur mesurée de E devrait être nulle. Pour ce faire, le traitement photométrique des observations tente d’exclure autant que possible le niveau de fond du ciel ou de tout flux lumineux instrumental. Cependant, dans la pratique, ceci n’est pas entièrement vrai, et un certain niveau de fond P reste dans les mesures. On doit ensuite résoudre les équations conditionnelles sous la forme : Ei = K S (Xth (ti ) + D x , Yth (ti ) + Dy ) + P (i = 1, 2, ..., m) et inclure P dans le nombre de paramètres à déterminer. Cependant, la solution de telles équations étendues n’est pas toujours possible. Pour implémenter la méthode, il faut être capable de calculer S (X, Y) en fonction de ses arguments. Le flux lumineux provient de chaque point du satellite et est additionné dans un photodétecteur. Chaque point de la surface du satellite a ses propres propriétés pour réfléchir et diffuser la lumière. En tout point, la direction de l’incidence de la lumière du Soleil et la direction de la lumière réfléchie vers l’observateur sont différentes par rapport à la surface. Bien sûr, la lumière ne vient pas des points obscurcis du satellite occulté. Le point considéré est obscurci ou non – cela dépend de la position relative des satellites et de l’observateur qui, à son tour, est déterminée à partir du modèle de mouvement. Dans l’éclipse mutuelle des satellites, la lumière qui arrive sur chaque point du satellite éclipsé est formée de la somme des flux de chaque point de la partie du disque du Soleil qui n’est pas cachée par le satellite qui l’éclipse. Dans ce cas, il faut tenir compte du fait qu’il y a un assombrissement du disque du Soleil du centre vers le bord. Si le télescope permettait de distinguer les disques des satellites, alors nous verrions un disque partiellement couvert ou obscurci avec une luminosité différente et même avec un bord non éclairé, car le Soleil éclaire légèrement le satellite par le côté. Dans les observations réelles, les satellites occultant et occultés donnent un point unique sur le photodétecteur. C’est leur flux lumineux total qui est mesuré. Par ailleurs, tout photodétecteur utilisé a une sensibilité différente à la lumière selon les différentes longueurs d’onde. Par conséquent, il est nécessaire de prendre en compte la dépendance de la diffusion de la lumière selon la longueur d’onde et les caractéristiques du filtre utilisé. Dans les calculs pratiques, on divise l’hémisphère du satellite face à la Terre en éléments finis, on calcule le flux entrant de chaque élément séparément et on rassemble tous ces 733

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES flux. À ce stade, une loi de diffusion de la lumière par un point de la surface du satellite peut être utilisée (voir chapitre 12, section 12.6.3). Il est nécessaire de connaître un certain nombre de paramètres qui spécifient des propriétés de réflexion de la lumière de la surface d’un satellite particulier. L’un d’entre eux est l’albédo du satellite à la surface en tenant compte des détails de la surface. Plusieurs paramètres sont pris en compte ici. Au final, tout cela constitue un modèle photométrique du phénomène. L’un des modèles photométriques les plus précis des occultations et éclipses mutuelles des satellites galiléens de Jupiter est décrit dans les travaux d’Emelyanov (2003) et Emelyanov et Gilbert (2006). Des modèles similaires pour les principaux satellites de Saturne et d’Uranus sont donnés dans les travaux d’Arlot et al. (2012) et Arlot et al. (2013), respectivement. Une version simplifiée de ce modèle est présentée ci-dessous.

Version simplifiée du modèle photométrique Pour la plupart des analyses de phénomènes, on peut prendre un modèle photométrique simplifié d’occultation et d’éclipse mutuelle des satellites. On suppose avoir des disques homogènes de satellites vus depuis la Terre, connaître leurs valeurs intégrales d’albédo sur le disque, et que le disque du satellite numéro 1 occulte partiellement ou complètement le disque d’un autre satellite numéro 2. Soit k2 la fraction non couverte du disque du satellite occulté ; k2 dépend de la distance apparente entre les centres des disques d comme cela est montré sur la figure 10.52. On considère maintenant la fonction k2 (d) calculée comme suit :   1  r12 h  k2 = 1 −  2 ϕ1 + ϕ2 − 2  π r2 2r2 avec : h=

q 2d2 (r12 + r22 ) − d4 − (r12 − r22 )2

a1 = d2 − r22 + r12 a2 = d2 − r12 + r22 h tan ϕi = , i = 1, 2 ai Le satellite occultant renvoie un flux lumineux de Rr12 p1 et le satellite occulté de Rr22 p2 k2 , où r1 , r2 sont les rayons des disques, p1 et p2 l’albédo des satellites, R un coefficient 734

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

1– k2 k2

d

Figure 10.52 – Occultation mutuelle des satellites. La partie non couverte du satellite occulté est représentée en gris. La proportion de cette partie du disque entier est caractérisée par k2 .

arbitraire indéfini. Lors d’une occultation mutuelle, les flux lumineux des deux satellites sont toujours mesurés ensemble. Dans ces conditions, le flux normalisé S peut être exprimé par : S =

r12 p1 + r22 p2 k2 (d) r12 p1 + r22 p2

=

1+

r22 p2 k2 (d) r12 p1

1+

r22 p2 r12 p1

En dehors du phénomène, lorsqu’il n’y a pas d’occultation, l’ensemble du satellite occulté est visible, et on a : k2 = 1, S = 1, E = K. Il y a aussi des occultations totales. La figure 10.53 montre la configuration des satellites dans ce cas. Dans l’intervalle de temps (t1 , t2 ), le satellite occulté est complètement invisible et k2 = 0. Durant cette période, on a : S =

1 1+

r22 p2 r12 p1

Par conséquent, le flux lumineux ne dépend pas de la distance mutuelle apparente des satellites d. 735

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Flux

t1

Temps

t2

Figure 10.53 – L’occultation totale d’un satellite par un autre pendant l’intervalle de temps (t1 , t2 ) et la section correspondante sur la courbe du flux normalisé total d’une paire de satellites.

Obstacles pour améliorer la précision des résultats astrométriques

Il y a des problèmes importants non résolus dans le traitement des observations photométriques des phénomènes mutuels des satellites. Il existe deux sources d’erreurs sur les coordonnées astrométriques résultantes des satellites : les erreurs aléatoires de la photométrie et l’imperfection du modèle photométrique lui-même. L’analyse montre que les erreurs dues à l’imperfection du modèle sont 3 à 4 fois plus grandes que celles dues à des erreurs aléatoires en photométrie. Le problème provient du fait que, dans de nombreux cas, la valeur observée du flux pendant l’occultation complète n’est pas égale à la valeur calculée. C’est-à-dire que : Eobservé , K

1 1+

r22 p2 r12 p1

où K est égal au flux en dehors du phénomène. Les figures 10.54 et 10.55 montrent des exemples de telles situations. En bas des figures, on trouve le code-identifiant des observations que l’on peut retrouver dans la base de données http://nsdb.imcce.fr. Les valeurs Eobservé /K obtenues à partir des valeurs mesurées (points) et des variations du 736

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 800

805

810

815

820

825

830

835

840

845

Figure 10.54 – Un exemple de la courbe du flux lumineux normalisé mesuré du satellite Io pendant son occultation totale par un autre satellite et la courbe du modèle correspondante après l’ajustement des paramètres de ce modèle (occultation du 2 novembre 2014). L’abscisse est le temps en minutes depuis le début de la journée. On constate un niveau de fond négatif dans le flux mesuré.

modèle de S y sont indiquées. Les figures montrent que, pendant l’occultation complète, un flux supplémentaire est présent dans les valeurs mesurées et que ce flux est négatif. On peut corriger le modèle de deux manières. La première façon est d’écrire : Eobservé = K

1 1+

r22 p2 r12 p1

+P

où P est un flux de lumière parasite qui provient d’un niveau du fond non comptabilisé. La deuxième façon est d’écrire : Eobservé = K

1 r2 p2

1 + m r22 p

1 1

où m est un multiplicateur supplémentaire qui apparaît, car on ne connaît pas exactement les valeurs de l’albédo des satellites. Le choix entre ces deux possibilités n’est pas simple à faire. 737

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 238

240

242

244

246

248

250

252

254

256

Figure 10.55 – Un exemple de la courbe du flux lumineux normalisé mesuré du satellite Io pendant son occultation totale par un autre satellite et la courbe du modèle correspondant après l’ajustement des paramètres de ce modèle (occultation du 3 mars 2015). L’abscisse est le temps en minutes depuis le début de la journée. On constate un niveau de fond négatif dans le flux mesuré.

Le fait que, dans la plupart des cas, le flux parasite dans les observations soit négatif suggère sa présence réelle plutôt que l’impact de la mauvaise connaissance de l’albédo des satellites. Lors du traitement des phénomènes mutuels partiels des satellites, on ne suspecte pas la présence d’un fond parasite dans les mesures et on ne connaît pas l’inexactitude des valeurs d’albédo adoptées des satellites. Par conséquent, pour faire coïncider le modèle avec les observations, il faut ajouter une fausse correction ∆ à la distance apparente mutuelle entre les satellites, ce qui conduit à des erreurs systématiques dans les résultats astrométriques. Ce fait est illustré par la relation :

Eobservé = K

1+

r22 p2 k2 (d+∆) r12 p1

1+

r22 p2 r12 p1

Ici, pour une meilleure compréhension, on a simplifié le modèle photométrique. Cependant, le problème se retrouve aussi en utilisant le modèle plus complexe décrit dans les 738

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES travaux d’Emelyanov (2003) et Emelyanov et Gilbert (2006), et le même problème se pose dans le traitement des observations d’éclipses mutuelles de satellites. Il faut rechercher les sources des erreurs considérées ci-dessus. La lumière parasite peut atteindre le photodétecteur depuis le fond du ciel. Il peut aussi être dispersé dans le télescope ou par le récepteur. Un fond parasite peut être créé par le photodétecteur luimême. Le calcul du flux lumineux des satellites à partir de leurs images sur les trames CCD est effectué par l’une des méthodes adaptées de traitement photométrique. L’erreur d’une telle méthode peut donner un certain niveau de fond. Seule cette source peut générer un niveau de fond négatif. Par conséquent, c’est dans la méthode de traitement photométrique qu’il faut chercher la source du fond parasite. Comme le montre le modèle simplifié ci-dessus, le modèle photométrique de flux lumineux normalisé provenant des satellites dépend du rapport d’albédo intégral sur la surface. Ces données ne sont pas assez précises et sont une source d’erreur dans le modèle photométrique.

10.7.2.6

Observation des phénomènes mutuels

L’observation des phénomènes mutuels permet d’obtenir une précision sur la position des satellites galiléens bien meilleure que par les autres types d’observation. En effet, il s’agit de mesurer l’instant où le phénomène est à son maximum. Or, pour une vitesse relative des satellites de 10 km/s et une précision temporelle d’une seconde, la précision en longitude orbitale de l’observation pourra atteindre 3 km, ce qui représente 0.00100 géocentrique à l’opposition moyenne de Jupiter. Pour être suffisamment nombreuses, ces observations sont réalisées dans le cadre de campagnes internationales. L’instant du maximum du phénomène observé correspond à celui du maximum de chute de flux lumineux. Cet instant ne correspond pas exactement au minimum de distance apparente entre les satellites tel qu’il est calculé dans les prédictions. Les effets combinés de la phase, des propriétés de surface des satellites et des variations locales d’albédo peuvent engendrer des écarts entre ces deux instants. La modélisation photométrique publiée par Emelyanov (2003) permet de transformer l’observation photométrique en observation astrométrique. Avant 1973, les calculs de prédiction restaient imprécis, et il était alors difficile de réduire et d’utiliser ces observations du fait de l’usage alors restreint des calculateurs électroniques. On ne dispose donc que de quelques observations clairsemées, souvent effectuées par hasard par des observateurs de phénomènes classiques. Au xixe siècle, la photométrie photoélectrique n’existait pas et seules quelques observations visuelles ont 739

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

J2 OCC J4 29 MAY 1985 (BRASOPOLIS)

Δm – 0.1 0 0.1 0.2

h (UTC) 4

4.1

4.2

4.3

Figure 10.56 – Une courbe photométrique d’un phénomène mutuel : la forme asymétrique vient de l’albédo variable de la surface du satellite.

été faites. Certaines d’entre elles sont de simples conjonctions que l’on ne différenciait pas des occultations rasantes. À partir de 1973, des observations ont eu lieu systématiquement et ces données ont servi de base à la construction des éphémérides. Les observations effectuées ont été des observations photométriques (figure 10.56), c’est-à-dire des observations à but astrométrique de la variation de flux de lumière envoyée par les satellites (c’est un peu comme lors d’une éclipse de Soleil : quand la Lune recouvre le Soleil, cela signifie que les positions apparentes de la Lune et du Soleil sont presque identiques). Il est indispensable que toutes les observations réalisées soient rapportées à la même échelle de temps : le Temps universel (TU). Signalons que ces observations particulières peuvent également avoir un intérêt planétologique, comme ce fut le cas lors de l’occultation de Io par Europe le 20 février 1991 (figure 10.57). Observée dans l’infrarouge, la courbe de lumière du phénomène a permis de mettre en évidence l’activité volcanique de deux volcans majeurs de Io, Loki et Pelé, particulièrement actifs dans cette bande de longueurs d’onde. Il a ainsi été possible de déterminer avec précision leur position à la surface de Io, ainsi que leur température (Descamps et al., 1992). Les satellites de Saturne et d’Uranus présentent également des phénomènes mutuels, mais plus rarement (tous les 15 ans pour Saturne et tous les 42 ans pour Uranus). Les tables 10.13 et 10.14 donnent les dates des occurrences favorables aux phénomènes mutuels, ainsi que le nombre d’observations réalisées. La figure 10.58 montre une image 740

10.7. PHÉNOMÈNES DES SATELLITES DE PLANÈTES

Figure 10.57 – Courbe de lumière de l’occultation de Io (JI) par Europe (J2) le 20 février 1991 observée dans l’infrarouge. Les chutes brutales correspondent à la disparition et à la réapparition brutales des volcans Loki et Pelé lors de leur occultation par le disque d’Europe.

de Saturne vue de la Terre lors de son passage dans le plan des anneaux en 1995. On distingue l’ombre de Titan sur le globe de Saturne.

Table 10.13 – Phénomènes mutuels des satellites galiléens : dates et nombre d’observations.

Années

1973

1979

1985

1991

1997

2003

2009

2015

Sites d’observations Observations réalisées Phénomènes observés

26 91 65

11 19 9

28 166 64

56 374 111

42 292 148

42 377 116

74 457 206

75 607 245

741

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

Table 10.14 – Phénomènes mutuels des satellites de Saturne et d’Uranus : dates et nombre d’observations.

Années Système

1980 Saturne

1995 Saturne

2007 Uranus

2009 Saturne

Sites d’observations Observations réalisées

6 14

16 66

19 41

17 33

Figure 10.58 – Titan et l’ombre de Titan sur la surface de Saturne. Image obtenue le 6 août 1995 par la caméra WFPC2 du Hubble Space Telescope. Crédits E. Karkoschka (University of Arizona Lunar and Planetary Lab) and NASA.

742

10.8. OCCULTATIONS STELLAIRES

10.8

Occultations stellaires

10.8.1

Introduction

Une occultation stellaire désigne le phénomène qui se produit lorsqu’un corps du Système solaire occulte la lumière provenant d’une étoile vue par un observateur situé à la surface de la Terre ou en tout autre point du Système solaire. À l’instar des autres phénomènes, l’observation des occultations stellaires permet d’étudier la nature physique des corps du Système solaire. Elle permet d’obtenir une mesure directe de leur dimension, d’étudier le profil de leur limbe, de lever certaines ambiguïtés des données photométriques et de sonder leur environnement proche, en particulier leur atmosphère s’ils en sont pourvus. Le chronométrage précis d’une occultation stellaire permet également de déterminer la position relative du corps et de l’étoile à un instant donné, et fournit ainsi une mesure de la position du corps avec la même incertitude que celle du catalogue stellaire utilisé. Par la suite, on traite le cas des occultations d’étoiles par les astéroïdes observées depuis la Terre. Les développements restent valables pour les phénomènes qui impliquent les autres types de corps du Système solaire, observés depuis la Terre ou de tout autre endroit dans le Système solaire.

10.8.2

Géométrie des phénomènes

L’occultation d’une étoile par un astéroïde est le résultat d’une conjonction entre les deux astres, sur la sphère céleste de l’observateur, qui se produit lors du déplacement apparent de l’astéroïde. Cette conjonction est suffisamment proche pour que, pendant un certain temps, la lumière de l’étoile soit masquée par la dimension physique de l’astéroïde. Ainsi, on peut définir une occultation stellaire par l’égalité, à une certaine époque, des ascensions droites et déclinaisons des deux astres sur la sphère céleste, plus ou moins la dimension de l’astéroïde. Si l’on se place en un point quelconque du Système solaire, une occultation stellaire se produit lorsqu’un astéroïde croise la direction observateur-étoile. Tout se passe comme si le corps en mouvement projetait une zone d’ombre en direction de l’observateur, masquant ainsi la lumière de tout objet qui se trouve en arrière-plan. La position dans le temps de cette zone d’ombre est portée par la direction astéroïde-étoile et dépend du mouvement relatif entre l’astéroïde et l’observateur, le déplacement apparent de l’étoile étant négligeable. Sa dimension est égale à la section du corps dans un plan perpendiculaire à la direction observateur-étoile. De ce point de vue, on peut définir une occultation stellaire par les points d’intersection entre l’observateur et la zone d’ombre 743

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES portée par la direction astéroïde-étoile. Cependant, lorsqu’un observateur terrestre croise cette zone d’ombre, les directions de l’étoile depuis le centre de la Terre et de l’astéroïde sont confondues si l’on néglige la parallaxe topocentrique de l’étoile (environ 0.03 mas pour la plus proche). Ainsi, on peut définir une occultation stellaire par les points d’intersection entre l’observateur et la zone d’ombre portée par la direction Terre-étoile. Face à la difficulté d’exprimer analytiquement le mouvement apparent d’un astéroïde relativement à un observateur, il n’est pas possible de déterminer directement, c’est-à-dire en résolvant un système d’équations, les dates de l’occultation de l’étoile. Il est donc nécessaire de calculer la position du corps par rapport à l’observateur à certaines dates, et de comparer cette position avec les coordonnées célestes des étoiles cataloguées pour trouver les instants où la géométrie observateur-astéroïde-étoile remplit les conditions d’une occultation. Pour cela, on procède en deux étapes : (i) une recherche systématique de tous les phénomènes potentiellement observables par des observateurs terrestres et (ii) une détermination rigoureuse des conditions d’observabilité des phénomènes, appelées circonstances générales.

10.8.3

Recherche systématique

Le nombre et le déplacement apparent des astéroïdes sur la sphère céleste rendent fréquents les phénomènes d’occultation d’étoiles. Cette fréquence dépend de la vitesse apparente des astéroïdes et de la région du ciel traversée. Une solution naturelle pour rechercher tout phénomène observable consiste à comparer les positions des étoiles aux positions successives prises dans le temps par les astéroïdes sur la sphère céleste géocentrique, puis à rechercher toutes les époques pour lesquelles une étoile et un astéroïde sont séparés par une distance angulaire inférieure à la dimension physique de ce dernier. Si on considère les positions A d’un astéroïde et E d’une étoile sur la sphère céleste, données par leurs coordonnées équatoriales géocentriques apparentes de la date, notées (αA , δA ) et (αE , δE ), on définit, dans le plan tangent en A à la sphère céleste, le vecteur position de l’étoile par rapport à l’astéroïde (voir figure 10.59). Comme on recherche les phénomènes potentiellement observables, on se contente d’utiliser l’approximation linéaire de la projection gnomonique centrée sur A. Soit e le vecteur position de l’étoile dans ce système : ! (αE − αA ) cos δA e= (10.103) δE − δA De la même manière, on exprime la direction relative du déplacement de l’astéroïde entre deux époques successives, t et t + ∆t, en assimilant le mouvement du corps dans le 744

10.8. OCCULTATIONS STELLAIRES

Figure 10.59 – Position relative de l’étoile E par rapport à un astéroïde A à l’époque t sur la sphère céleste. P représente la direction du pôle Nord céleste, n désigne le vecteur déplacement de l’astéroïde dans le plan tangent (ξ, η), et e représente le vecteur position de l’étoile dans ce plan.

plan tangent à un déplacement rectilinéaire sur l’intervalle de temps ∆t. Soit n le vecteur position du corps à l’époque t + ∆t par rapport à sa position à l’époque t : ! (αA (t + ∆t) − αA (t)) cos δA (t) n= (10.104) δA (t + ∆t) − δA (t) où ∆t est choisi suffisamment grand pour inclure la position du minimum de distance entre les deux astres (ES 0 ). Il forme avec e un angle χ qui représente l’angle de position de l’étoile par rapport à la direction du mouvement du corps (figure 10.59). Il peut être calculé à l’aide des relations :  ke ∧ nk    sin χ =    kek knk  (10.105)    e·n    cos χ =  kek knk 745

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES La position relative de l’étoile par rapport à l’astéroïde étant ainsi connue, l’étoile est ou sera occultée pendant l’intervalle de temps ∆t si les conditions suivantes sont remplies : • la distance qui sépare l’étoile du vecteur déplacement du corps (ES 0 ) est inférieure au rayon angulaire s de l’astéroïde ; • la distance qui sépare l’étoile et l’astéroïde, projetée sur le vecteur déplacement (At S 0 ), est inférieure à la distance parcourue par le corps pendant ∆t (At At+∆t ). Ces conditions se traduisent par les équations :     kek | sin χ | ≤ s + $    kek | cos χ | ≤ knk qui, compte tenu des équations 10.105, s’écrivent :     ke ∧ nk ≤ knk (s + $)    | e · n | ≤ knk2

(10.106)

où $ représente la parallaxe horizontale équatoriale de l’astéroïde et permet d’inclure la possibilité que les occultations soient observables depuis un point quelconque de la Terre, et non uniquement dans la direction géocentrique, comme l’imposent les coordonnées des vecteurs e et n. Ainsi, en étudiant systématiquement les positions des étoiles relativement aux trajectoires parcourues par les astéroïdes sur la sphère céleste, on détecte toutes les occultations possibles pendant l’intervalle de temps ∆t en trouvant tous les couples étoile/astéroïde dont les coordonnées équatoriales à cette époque satisfont à l’instant t aux conditions 10.106.

10.8.4

Prédiction géocentrique

Le critère défini précédemment fournit un intervalle de temps ∆t durant lequel la distance apparente entre les deux astres doit atteindre un minimum qui correspond à la plus petite distance angulaire entre les astres vue depuis le centre de la Terre. Pour calculer l’instant de ce minimum, on calcule la distance apparente d entre l’étoile et l’astéroïde comme une fonction du temps dans le système des coordonnées relatives : h i1 d = (αA (t) − αE (t))2 cos2 δE (t) + (δA (t) − δE (t))2 2

(10.107)

La fonction d = f (t) peut être assimilée localement à un polynôme du second degré dont un extremum local représente le minimum de distance recherché. Comme les positions des astéroïdes ne sont calculables que pour des dates spécifiques, on recherche numériquement le minimum de la fonction f (t) sur l’intervalle de temps ∆t. De plus, comme on recherche 746

10.8. OCCULTATIONS STELLAIRES l’époque du minimum plutôt que la distance minimum elle-même, on utilise une méthode d’interpolation parabolique, telle que la méthode de Brent (1973). Cette méthode permet de calculer le minimum d’une parabole passant par les trois points f (a), f (b) et f (c) à l’aide de la relation : tmin = b −

1 (b − a)2 [ f (b) − f (c)] − (b − c)2 [ f (b) − f (a)] 2 (b − a)[ f (b) − f (c)] − (b − c)[ f (b) − f (a)]

(10.108)

où a, b, c correspondent aux instants t, t + ∆t 2 et t + ∆t. Excepté le cas où les trois points sont colinéaires (paraboles dégénérées), cette méthode fournit la meilleure abscisse du minimum dans l’intervalle [a, c] tel que : b−a = 2 × tmin × tol 2 où tol est la valeur à partir de laquelle le code de calcul n’évalue plus la différence entre deux nombres (Press et al., 1986, 1992). En d’autres termes, cette méthode calcule l’abscisse du minimum d’une parabole avec une précision de l’ordre de ±tol. Dans la plupart des cas, cette tolérance ne peut pas être inférieure à la racine carrée de la précision machine des nombres utilisés. Ainsi, si l’algorithme est programmé en utilisant des réels flottants avec 15 décimales, on peut estimer la précision du calcul de la date du minimum de distance à environ 0.01 seconde. L’erreur commise sur la distance peut alors être estimée par ρ˙ × tol dans le cas le plus défavorable (cas où l’erreur en distance se produit dans le sens du mouvement), ρ˙ étant la vitesse rectilinéaire de l’astéroïde. Les vitesses apparentes caractéristiques des astéroïdes de la ceinture principale étant de 2000 /h à 20000 /h, on en déduit que cette méthode fournit une précision meilleure que la milliseconde de degrés (mas) sur la valeur prédite du minimum de distance. Pour les vitesses élevées caractéristiques des astéroïdes géocroiseurs, cette précision est de l’ordre de quelques mas et atteint environ 5 mas pour des vitesses apparentes de l’ordre de 200000 /h. Cependant, ces estimations ne prennent pas en compte les incertitudes sur les positions des corps célestes et, en réalité, l’erreur commise est souvent plus grande, dépendant du signe et de la valeur des erreurs de positions.

10.8.5

Circonstances générales

Les circonstances générales d’une occultation stellaire représentent les conditions dans lesquelles elle est observable. Elles sont définies par le calcul des lieux sur Terre d’observabilité du phénomène (désignés aussi par ligne ou bande de centralité), et par la caractérisation du phénomène d’un point de vue temporel (durée du phénomène) et photométrique (chute en magnitude). On a vu précédemment qu’une occultation peut être assimilée à la projection sur Terre d’une zone d’ombre dont la section est égale à la dimension physique du corps dans la direction astéroïde-étoile. Soit a le vecteur 747

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES position géocentrique apparent d’un astéroïdeet e la direction apparente de l’étoile vue depuis le géocentre (figure 10.60). On peut définir l’axe de cette zone d’ombre à l’aide de l’équation paramétrique : p = a + λe (10.109)

Figure 10.60 – Circonstances générales d’une occultation.

Le géoïde terrestre peut être modélisé par un ellipsoïde de révolution de coefficient d’aplatissement f . Les points de la surface du géoïde terrestre sont alors définis par l’équation cartésienne de paramètres α1 = α2 = 1 et α3 = 1/(1 − f )2 : Q(p) =

3 X

αi p2i − R2 = 0

(10.110)

i=1

où R est le rayon équatorial de la Terre et pi représente les coordonnées de p. Les points géocentriques de la ligne de centralité sont alors définis par l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les équations 10.109 et 10.110, soit : ( po = a + λm e (10.111) p(λm ) · a > 0 où λm est l’une des solutions réelles, quand elles existent, du polynôme du second degré : 3 X

αi (ai + λ ei )2 − R2 = 0

i=1

On a : λ1,2 = avec :

−

i=1 αi ai ei ± P3 2 i=1 αi ei

P3

√ D

3 3 3 X X X D = ( αi ai ei )2 − αi e2i ∗ ( αi a2i − R2 ) i=1

i=1

748

i=1

(10.112)

10.8. OCCULTATIONS STELLAIRES Ainsi, pour chaque date t pour laquelle l’équation 10.112 possède des solutions réelles, le point correspondant de la ligne de centralité est défini par son vecteur position géocentrique, po , calculé par l’équation 10.111. L’intervalle de temps pour lequel ces solutions existent est borné par les époques ti et t f pour lesquelles l’axe de la zone d’ombre est tangent au géoïde terrestre. Elles correspondent aux racines doubles de l’équation 10.112 et peuvent être calculées en recherchant les deux solutions réelles de l’équation : D(t) = 0

(10.113)

Cette fonction ne pouvant être évaluée qu’à des époques particulières, les deux solutions ti et t f doivent de nouveau être calculées par une méthode numérique. On utilise, par exemple, la méthode de Ridders (1979) de recherche des racines d’une fonction dans laquelle les deux solutions sont encadrées par les intervalles de temps [tmin − ∆t ; tmin ] et [tmin ; tmin + ∆t], tmin étant la date du minimum de distance angulaire géocentrique (voir section 10.8.4) et ∆t l’intervalle de temps fourni par la recherche systématique du phénomène (voir section 10.8.3). Pour calculer la largeur sur Terre de la bande de visibilité d’une occultation stellaire, il est nécessaire de connaître la forme et l’orientation de l’astéroïde pour en déduire la section correspondante dans une direction donnée, puis, par projection sur la surface de la Terre, d’en calculer les limites inférieures et supérieures. Cependant, il n’existe à ce jour qu’un petit nombre de modèles triaxiaux d’astéroïdes (∼ 0.2%). De plus, comme on recherche seulement les limites supérieures et inférieures de la zone d’ombre, il est suffisant de modéliser les astéroïdes par des formes sphériques. Ainsi, on définit les limites de la zone d’ombre par la projection sur Terre des limites de la section de l’astéroïde dans la direction géocentrique de l’étoile. Soit (i, j) une base orthonormée du plan perpendiculaire à la direction e de l’étoile. Dans ce plan, la section de l’astéroïde est un disque de rayon rA , et la direction du mouvement sur Terre de la zone d’ombre est la projection dans ce plan de la direction du vecteur vitesse apparent v de l’astéroïde. Soit i cette direction, on a: i = v − (v · e) e Les directions des limites supérieures et inférieures dans ce plan sont alors données par js et ji , les images de i par les rotations de + π2 et − π2 autour de l’axe porté par e. En appliquant la formule d’Euler, ces deux directions s’écrivent : js,i = (i · e) e ± e ∧ i Les vecteurs i et e étant perpendiculaires et la zone d’ombre étant bornée par le rayon rA de l’astéroïde, les vecteurs position des limites supérieures et inférieures de la zone d’ombre relativement à l’astéroïde sont : js,i = ± rA e ∧ i 749

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES Les coordonnées géocentriques des points des limites supérieures et inférieures de la zone d’ombre sont alors calculées à partir des équations 10.109 et 10.110 en résolvant les équations : ( Q(ps ) = 0 limites supérieures (10.114) ps = (a + js ) + λ s · e ( Q(pi ) = 0 (10.115) limites inférieures pi = (a + ji ) + λi · e Les coordonnées des points (po , ps , pi ) qui définissent la bande de visibilité sont exprimées dans le système de référence céleste géocentrique (GCRS). Pour exprimer les coordonnées de ces lieux dans un système de référence terrestre (ITRS), on applique l’expression de la transformation de coordonnées décrite dans le chapitre 3, section 3.6. Les coordonnées géodésiques des lieux d’observation sont ensuite calculées à l’aide de l’algorithme de Borkowski (1989). Pour permettre aux observateurs de préparer techniquement l’observation d’une occultation stellaire, il est nécessaire de prédire la durée du phénomène en chaque lieu, ainsi que la chute en magnitude. De manière générale, la durée d’observation d’une occultation stellaire en un lieu est le temps nécessaire au passage de la section du corps dans la ligne de visée de l’observateur. Elle dépend de la forme tridimensionnelle du corps et de son orientation à la date du phénomène, de la direction du mouvement de la zone d’ombre, et est proportionnelle à la vitesse apparente topocentrique de l’astéroïde. Dans la pratique, seule la durée maximum est prédite, pour un observateur situé sur la ligne de centralité du phénomène. Elle est définie par l’intervalle de temps nécessaire au parcours du diamètre de l’astéroïde (2 × rA ) à la vitesse apparente géocentrique v = kvk de ce dernier : durée =

2 rA v

(10.116)

avec rA exprimé en kilomètres et v en kilomètres par seconde. Cette durée est en fait la durée de l’occultation telle qu’elle serait observée par un observateur fictif placé au centre de la Terre. Elle diffère donc légèrement de la durée réelle du phénomène pour un observateur situé à la surface de la Terre. Si l’on considère que les vitesses caractéristiques des astéroïdes sont de l’ordre de 2000/h à 20000/h (soit de 4 km/s à ∼40 km/s), et que la vitesse géocentrique d’un observateur situé à l’équateur est ∼0.5 km/s, alors l’approximation faite conduit à des erreurs de l’ordre de 1% à 13% de la durée géocentrique, ce qui est acceptable pour la prédiction de ce paramètre. Par contre, pour l’analyse de l’observation du phénomène, la durée de l’occultation sera calculée à partir de la vitesse apparente de l’astéroïde dans le repère topocentrique lié à l’observateur. 750

10.8. OCCULTATIONS STELLAIRES L’estimation de la chute en magnitude ∆m d’une occultation stellaire est calculée à partir des magnitudes apparentes visuelles (ou magnitude V) des deux astres (voir chapitre 7, section 7.8 pour les petits corps). Elle est fournie par la différence à l’instant de l’occultation entre la magnitude de l’astéroïde mA et la magnitude combinée des deux astres mA+E : ∆m = mA+E − mA = −2.5 log (100.4 (mA −mE ) + 1) (10.117) où mE est la magnitude visuelle de l’étoile.

10.8.6

Facteur de qualité

La précision requise pour que des prédictions d’occultations stellaires soient fiables, c’est-à-dire pour qu’une occultation prédite soit observable par tout observateur situé sur la bande de centralité, peut être quantifiée par le facteur de qualité, Q, défini par Millis et Elliot (1979) : σρ Q= rA où σ représente l’incertitude sur la position relative entre les deux astres, et où ρ et rA sont respectivement la distance géocentrique et le rayon équivalent de l’astéroïde. Ce facteur de qualité fournit approximativement le rapport entre la largeur de la zone d’incertitude et le rayon du corps occultant. Il permet de calculer la probabilité pour qu’un observateur situé sur la ligne de centralité observe l’occultation prédite : P'

1 1+Q

Ce facteur de qualité représente de manière assez générale les cas classiques d’occultations stellaires, mais il n’est pas représentatif de tous les cas particuliers qui dépendent des configurations entre la Terre, l’astéroïde et l’étoile. Néanmoins, il permet de déduire un ordre de grandeur de l’exactitude requise pour que la prédiction d’une occultation stellaire soit fiable. Pour cela, on estime les incertitudes maximales sur les positions relatives entre les astres pour que la probabilité P soit égale à 90% et plus. L’étude numérique de l’incertitude σ en fonction du rayon des astéroïdes et de leurs distances géocentriques montre que pour satisfaire une telle probabilité d’observation, il est nécessaire de connaître les positions relatives entre les astéroïdes et les étoiles avec une exactitude de l’ordre de quelques millisecondes de degrés. Rapporté à la distance géocentrique des astéroïdes, cela implique de connaître leurs positions avec une exactitude inférieure à quelques kilomètres. Pour atteindre une probabilité de 99%, cette exactitude doit atteindre l’ordre de la milliseconde de degrés, soit l’ordre du kilomètre. 751

CHAPITRE 10. PHÉNOMÈNES ASTRONOMIQUES

10.8.7

Prédiction des rapprochements

Lorsqu’un observateur qui ne se trouve pas dans la bande de visibilité d’une occultation observe le phénomène, il voit l’astéroïde passer à proximité de l’étoile sans l’occulter. On parle alors de rapprochement entre l’étoile et l’astéroïde. De manière générale, un rapprochement représente tout passage apparent sur la sphère céleste d’un astéroïde à proximité d’une étoile. Son observation a pour applications immédiates la mesure astrométrique précise de la position relative des deux astres et la surveillance de l’environnement proche de l’astéroïde, en particulier la détection éventuelle d’un satellite de l’astéroïde qui occulterait l’étoile. C’est pourquoi il peut être intéressant de prédire ce genre de phénomènes pour assurer leur observation systématique. Pour cela, la méthode de recherche systématique des occultations développée précédemment (voir sections 10.8.3 et 10.8.4) peut être appliquée à la recherche des rapprochements en substituant la distance maximale de rapprochement recherchée à la parallaxe horizontale $ de l’astéroïde dans l’équation 10.106. De plus, pour détecter tous les rapprochements observables depuis un lieu terrestre précis et avec une distance angulaire minimale donnée, les coordonnées géocentriques des astéroïdes et des étoiles sont remplacées par leurs coordonnées topocentriques dans l’équation 10.106 et suivantes.

752

Chapitre 11

Les e´ clipses de Soleil et de Lune

11.1

Introduction

Les éclipses de Soleil et de Lune sont sans nul doute les phénomènes célestes les plus spectaculaires à vivre et à observer. Ils ont fait l’objet de toutes les attentions de la part des astronomes qui ont cherché à les prédire aussi loin que remonte la mémoire de l’humanité. Leur prédiction nécessite une connaissance précise du mouvement du Soleil et surtout de celui de la Lune qui est affecté d’un grand nombre d’inégalités. Ces inégalités désignent les écarts obtenus en position et en vitesse relativement à une théorie simple du mouvement d’un corps qui suit une orbite proche du cercle à une vitesse quasi constante. Il faut dire que l’orbite lunaire se pare de toutes les fantaisies possibles et inimaginables (voir section 5.3.2) : évection, variation, inégalité parallactique, équation annuelle... Le cheminement de la Lune est donc loin d’être un long fleuve tranquille, d’autant plus que l’orbite lunaire connaît elle aussi ses propres vicissitudes en se déformant continuellement à un rythme effréné. Depuis la grande éclipse de Soleil du 12 août 1654, qui n’eut de grand que l’effroi et la panique qu’elle suscita à la suite d’un tract la présentant comme le prodrome du Jugement dernier, il devenait important, tant contre les astrologues de tout bord que pour le service de la raison, incarnée par les astronomes mathématiciens, d’améliorer le calcul de prédiction des éclipses de Soleil. La précision de la prédiction d’une éclipse devait être la signature de la raison triomphante. Une erreur de prédiction significative pouvait avoir de fâcheuses conséquences pour celui en charge du calcul. Ainsi, après l’éclipse de Lune du 15 mars 1699, une violente controverse naquit entre Gabriel de La Hire fils et Jean Lefebvre, qui avait succédé à l’abbé Picard en 1682 dans la rédaction de la Connaissance des temps. La Hire lui reprocha de s’être trompé d’une demi-heure dans la prédiction du phénomène. La polémique qui s’ensuivit fut si vive que l’Académie des sciences retira à 753

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE Lefebvre le privilège de la Connaissance des temps et l’exclut de la glorieuse assemblée. Ce ne fut toutefois que le seul exemple pour lequel une telle extrémité fut atteinte aux conséquences aussi désagréables. L’explication des éclipses résulte de l’explication des phases de la Lune (voir section 10.2). Le Soleil ne peut être éclipsé que dans ses conjonctions avec la Lune (phase de nouvelle lune), celle-ci s’interpose alors entre la Terre et le Soleil. La Lune ne peut être éclipsée que dans ses oppositions avec le Soleil (phase de pleine lune), quand la Terre s’interpose entre elle et le Soleil. Bien que la Lune soit incomparablement plus petite que le Soleil, elle est cependant suffisamment proche de la Terre pour que son diamètre apparent soit sensiblement égal à celui du Soleil et que l’on puisse observer des éclipses solaires totales. Si le plan de l’orbite lunaire coïncidait parfaitement avec celui de l’écliptique, nous assisterions chaque mois à une alternance d’éclipses de Soleil et de Lune pour chaque conjonction et chaque opposition de la Lune et du Soleil. Mais du fait de l’inclinaison mutuelle de ces plans, la Lune, dans ses conjonctions et ses oppositions (syzygies), est souvent élevée au-dessus du Soleil ou du cône d’ombre de la Terre, ou abaissée sous le Soleil ou sous le cône d’ombre de la Terre. Elle ne peut recouvrir le Soleil ou passer dans le cône d’ombre de la Terre que si elle se trouve au voisinage de l’un de ses nœuds.

11.2

Précision du calcul des éclipses

Les différents organismes nationaux producteurs d’éphémérides publient dans leurs éphémérides et dans des bulletins spécifiques les circonstances générales et locales des éclipses de Lune et de Soleil. Parmi ces organismes figurent entre autres : • le United States Naval Observatory () qui publie l’Astronomical Almanac. Les éclipses sont cependant calculées par le HM Nautical Almanach Office rattaché depuis 2006 au United Kingdom Hydrographic Office ; • la division astronomie du Département d’hydrographie de Tokyo, qui publie les Japanese Ephemeris ; • le Département de météorologie indienne qui publie les Indian Astronomical Ephemeris ; • l’Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (IMCCE) qui publie la Connaissance des temps et le Guide de données astronomiques. À cette liste, il convient d’ajouter la NASA qui publie et diffuse régulièrement des bulletins spécifiques aux éclipses de Soleil. Si on compare les prédictions de ces différentes publications, on constate des écarts sur les instants des conjonctions en longitude, les limites des bandes de centralité et les 754

11.2. PRÉCISION DU CALCUL DES ÉCLIPSES circonstances locales des éclipses. Ces écarts proviennent essentiellement de valeurs différentes des paramètres utilisés dans les calculs de prédiction. Le calcul d’une prédiction repose en premier lieu sur les éphémérides et les théories utilisées dans le calcul des positions apparentes de la Lune et du Soleil. À l’exception de l’IMCCE, qui utilise l’intégration numérique INPOP19a pour le calcul des éphémérides de la Lune et du Soleil, les organismes cités ci-dessus utilisent les résultats de l’intégration numérique américaine du Jet Propulsion Laboratory. L’intégration numérique INPOP19a et les éphémérides américaines sont suffisamment proches pour ne pas entraîner d’écarts significatifs dans les prédictions. Ces écarts peuvent atteindre quelques secondes dans la détermination des instants caractéristiques (instants des contacts ou instant du maximum de l’éclipse) et quelques minutes de degré dans la détermination des coordonnées géographiques correspondantes. Ces écarts ne sont pas significatifs, car on ne peut espérer mieux prendre en compte la forme exacte du limbe lunaire en utilisant, par exemple, des modèles topographiques lunaires Kaguya et LOLA. Par contre, tous les organismes nationaux, à l’exception de la NASA, effectuent une correction empirique en latitude et en longitude dans le calcul des éphémérides des positions apparentes de la Lune. Cette correction permet le passage des coordonnées du centre de masse de la Lune aux coordonnées du centre optique de la Lune. Elle est de +0.5000 en longitude et de −0.2500 en latitude. L’absence de cette correction dans les bulletins de la NASA explique les écarts constatés sur les instants de conjonction, et une partie des écarts dans la détermination des lignes de centralité (décalage de la ligne de centralité). Un deuxième paramètre important dans l’explication des écarts constatés entre les différentes prédictions est la valeur du paramètre k qui exprime le rapport du rayon moyen de la Lune au rayon équatorial de la Terre. Le rayon de la Lune en jeu lors d’une éclipse est fonction de l’angle de position et de la libration en raison des irrégularités du profil lunaire. Jusqu’en 1982, on utilisait deux valeurs distinctes de k : la plus grande des deux valeurs (k = 0.272 4880) représente une moyenne qui inclut les caractéristiques topographiques lunaires. Elle était utilisée pour le calcul des contacts extérieurs avec la pénombre et aussi dans le cas des éclipses annulaires ; la plus petite valeur (k = 0.272 281) représentait un rayon lunaire minimum moyen réservé au calcul des contacts intérieurs avec le cône d’ombre lors d’éclipses totales. Cependant, le fait d’utiliser deux valeurs différentes pour les éclipses centrales posait des problèmes de discontinuité pour les éclipses hybrides (annulaires-totales). En 1982, l’Union astronomique internationale (UAI) a donc recommandé l’adoption d’une valeur unique pour k (k = 0.272 5076) dans tous les calculs relatifs aux éclipses. C’est une valeur moyenne qui inclut les sommets des montagnes et les vallées le long du limbe lunaire. Cette recommandation a été suivie par tous les organismes, à l’exception de la NASA qui continue à utiliser deux paramètres distincts : la plus grande valeur, k = 0.272 488, est utilisée pour toutes les éclipses partielles et 755

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE la plus petite valeur, k = 0.272 281, est appliquée aux éclipses totales, annulaires et hybrides, évitant ainsi le problème de la discontinuité dans le cas des éclipses hybrides. Avec une telle valeur de k, certaines éclipses très particulières identifiées comme totales avec l’utilisation de la valeur de l’UAI apparaissent comme des éclipses annulaires si l’on tient compte du fait que la découpe du profil topographique du limbe lunaire permet le passage de certains rayons lumineux à travers des vallées profondes. Il n’y a alors aucune obscuration totale du Soleil par la Lune. Cela se traduit dans les bulletins de la NASA par une ligne de centralité plus large dans le cas des éclipses annulaires et moins large dans celui des éclipses totales. De même, les durées des phases centrales peuvent différer entre les prédictions. La valeur de l’aplatissement terrestre entre également dans le calcul des coordonnées géographiques des différentes lignes. Mais les écarts produits par les variations possibles de cette valeur sont négligeables. Par contre, les différences d’estimation de l’écart entre le Temps terrestre et le Temps universel affectent les résultats publiés. Cela modifie l’instant de la conjonction et les valeurs des instants et des longitudes dans les phases de l’éclipse. De nos jours, la précision des prédictions d’éclipse est de l’ordre de 2 à 3 secondes, ce qui est très suffisant pour pouvoir les observer. Cependant, certains travaux de recherche exigent une précision 10 fois supérieure : par exemple ceux qui concernent la détermination très précise du diamètre solaire à partir de l’observation d’éclipses de Soleil dans le cadre d’un suivi temporel des variations de ce diamètre. Il est alors nécessaire de prendre en compte la topographie du relief lunaire, fournie notamment par la sonde japonaise Kaguya à travers ses relevés cartographiques de la surface lunaire effectués en 2009 (Lamy et al., 2015). Les irrégularités du relief du limbe lunaire peuvent déplacer les limites de l’éclipse vers le nord et vers le sud de 1 à 3 km, et modifier la durée de 1 à 3 secondes.

11.3

Récurrence des éclipses

11.3.1

Le saros

Le nœud ascendant de la Lune a un mouvement rétrograde le long de l’écliptique. La vitesse de rétrogradation de la ligne des nœuds est donnée par le coefficient du terme linéaire en T de l’équation 5.36. Elle est de nΩ = −0.052 992◦ par jour. Sachant que le Soleil progresse le long de l’écliptique à une vitesse moyenne de n = 0.985 610◦ par jour, la durée moyenne d’une révolution du Soleil par rapport au nœud ascendant de l’orbite lunaire est donnée par : 756

11.3. RÉCURRENCE DES ÉCLIPSES

E=

360◦ = 346.619 jours n − nΩ

La période E est appelée année des éclipses. La demi-période E/2 = 173.309 jours est dénommée saison des éclipses : c’est l’intervalle de temps entre deux passages consécutifs du Soleil par l’un des deux nœuds de l’orbite lunaire. Cela ne signifie pas pour autant que d’une année sur l’autre les éclipses d’un même type (solaire ou lunaire) avancent d’environ 18 jours. En effet, comme cela est montré dans la section 11.4.2.3, la possibilité d’une éclipse de Soleil près d’une conjonction du Soleil et de la Lune peut survenir dans un intervalle de temps large d’un peu plus de 30 jours autour du passage du Soleil par un nœud. Si on rapporte la période E à la durée de la révolution synodique de la Lune (section 5.3.4), soit L = 29.530 5889 jours, on trouve que 19 révolutions complètes du Soleil par rapport au nœud ascendant de la Lune – ou 19 années draconitiques d’une durée de 346.619 79 jours chacune – sont accomplies en 6 585.776 jours. Cette période de temps diffère de seulement 11 heures de 223 lunaisons qui correspondent à 6 585.321 jours ou 18.03 ans. La période S = 223 lunaisons (6 585.321 jours) est connue sous le nom de saros. L’autre caractéristique du saros, qui fait de cette période une véritable période de récurrence au fort potentiel prédictif, est qu’au bout d’un saros, la position orbitale de la Lune n’a que très peu varié. Cela tient au fait que le saros est très proche d’un multiple de la révolution anomalistique de la Lune, dont la valeur moyenne vaut A = 27.554 5499 jours (section 5.3.4). Ainsi, 239 A = 6 585.537 jours et l’écart avec un saros est de −0.0079 A. Au bout d’un saros, la Lune se retrouve donc à 2.823◦ en amont de sa position orbitale précédente. La distance de la Lune à son périgée est donc sensiblement la même ; le diamètre apparent de la Lune – tout comme celui du Soleil – n’a que très peu changé. La conséquence de cela est que le caractère des éclipses homologues – qui se répondent par des intervalles de temps multiples d’un saros – en regard de leur grandeur et de leur durée varie lentement d’une éclipse à la suivante. De la sorte se trouve ainsi définie une série d’éclipses totales ou annulaires aux caractéristiques générales similaires qui n’évoluent que graduellement avec le temps. Les éclipses d’une même série de saros se produisent toutes en un même nœud de l’orbite lunaire. Ceci aurait pu être différent si, par exemple, la période de révolution de la ligne des apsides lunaires avait été de 12 ans et non de 8.85 ans (section 5.3.3.1) : il y aurait alors alternance entre une éclipse totale (éclipse périgée) et une éclipse annulaire (éclipse apogée) espacées d’un saros. En effet, si l’on suppose une révolution anomalistique de 12 ans, cela implique une vitesse d’avance du périgée n$ = 0.0821 355◦ par jour. La nouvelle période anomalistique est alors A = 360◦ /(n sid − n$ ) = 27.493 042 jours, où n sid est la vitesse sidérale de la Lune avec n sid = 13.176◦ par jour. On vérifie alors que l’on a S = 240A − 0.473A. Dans une 757

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE telle configuration, il y aurait donc changement de l’apside impliqué dans l’éclipse après un saros, soit une alternance entre éclipses totales et éclipses annulaires. Ainsi, après une période de 18 ans et 10, 11 ou 12 jours et 8 heures environ – cela dépend du nombre d’années bissextiles comprises dans l’intervalle (5, 4 ou 3), le Soleil et la Lune se retrouvent à une même position par rapport au nœud ascendant lunaire et au périgée lunaire. Les éclipses se correspondent et reviennent dans le même ordre, définissant ainsi une suite d’éclipses homologues, ce qui donnait un moyen simple de les prédire dans l’Antiquité. Deux éclipses homologues séparées d’un saros ne surviennent pas après un nombre entier de jours. Dans le cas des éclipses de Soleil, cela signifie que la zone de visibilité de l’éclipse sur Terre se sera décalée de 115◦ vers l’ouest (exemple des éclipses solaires totales homologues du 11 août 1999 et du 21 août 2017). C’est la conséquence directe de la partie décimale du saros qui est de 0.321 jour. Le saros comporte 38 saisons d’éclipses. La longitude du Soleil par rapport au nœud varie de (n − nΩ )L = 30.670◦ jusqu’à la conjonction suivante, de sorte qu’une saison d’éclipses revient en moyenne toutes les 5 ou 6 lunaisons. Chaque saison d’éclipses, il y a au moins deux et parfois trois éclipses. En moyenne, un saros comprend 84 éclipses, dont 42 de Soleil et 42 de Lune. Ce nombre d’éclipses par saros est une moyenne. En réalité, il existe des saros riches pouvant atteindre jusqu’à 94 éclipses (47 de chaque) et des saros pauvres comptant 78 éclipses.

11.3.2

L’exeligmos

Après 3 saros – cycle de récurrence de 669 lunaisons, connu sous le nom d’exeligmos, soit 54 ans et 34 jours, l’éclipse reviendra non loin de sa longitude terrestre d’origine et se répètera à peu près au même moment de la journée (car le décalage est égal à 3 fois 8 heures), mais aura cependant glissé en latitude d’environ 1 000 kilomètres vers le nord ou vers le sud. Ceci s’explique par le lent glissement en longitude de la conjonction vis-à-vis du nœud. Si on considère la révolution draconitique de la Lune D = 27.212 2208 jours (section 5.3.4) et qu’on la compare au saros, on a 242D − S = 0.036 jour, ce qui correspond à un déplacement de la Lune en conjonction de 0.48◦ dans le sens rétrograde par rapport au nœud, avec une lente variation de la latitude céleste de la Lune de −0.044◦ compte tenu de l’inclinaison de l’orbite lunaire. Toutefois, les décalages en latitude céleste ne correspondent pas à un même décalage de l’ombre en latitude terrestre, en raison de l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur céleste. En projection à la surface de la Terre, il y a une composante de ce décalage en latitude, mais aussi une en longitude. 758

11.3. RÉCURRENCE DES ÉCLIPSES

11.3.3

Cycles de saros

Il a été noté précédemment que 19 années draconitiques sont plus longues que 223 mois synodiques d’environ 11 heures. Cette petite différence explique l’existence de familles de saros ou de cycles de saros. En effet, après un saros, le Soleil aura encore à avancer durant 11 heures pour retrouver la Lune et occasionner une nouvelle éclipse. Ce faisant, il ne sera plus à la même distance du nœud lunaire que lors de l’éclipse précédente. La distance angulaire supplémentaire parcourue par le Soleil est alors en moyenne de 0.48◦ vers l’ouest relativement au nœud concerné (figure 11.1). Famille d’éclipses par le nœud descendant Zone des éclipses partielles

0.48° vers l’ouest écliptique

7° 52’

18° 58’

7° 52’

Zone des éclipses centrales

t=0

t = 6 585.32 j (1 saros)

Famille d’éclipses par le nœud ascendant 0.48° vers l’ouest

Figure 11.1 – Familles de saros pour chacun des nœuds lunaires. Le nombre moyen d’éclipses est de 16-17 éclipses partielles (7.85◦ /0.48◦ ), suivies de 39-40 éclipses centrales (18.97◦ /0.48◦ ) et de nouveau 16-17 éclipses partielles en fin de cycle. Un cycle complet compte en moyenne 72 éclipses sur une durée de 13 siècles.

En prenant en considération la largeur de la zone de danger de 34.7◦ (section 11.4.2.3) – double de l’amplitude de variation de la distance du Soleil à un nœud lunaire pour qu’une éclipse soit possible, ce léger glissement vers l’ouest de la position du Soleil par rapport à un même nœud lunaire crée des séries de saros qui contiennent en moyenne 72 répétitions de 18.03 ans. Cependant, en raison de l’ellipticité des orbites terrestres et lunaires, la durée exacte et le nombre d’éclipses d’une série complète de saros ne sont pas constants. Une série peut durer entre 12 et 14 siècles et contenir entre 70 et 80 éclipses. Une famille d’éclipses se crée lorsque le Soleil se trouve à environ 18◦ à l’est d’un nœud lunaire. S’il s’agit d’un nœud descendant, la Lune est alors à une latitude d’environ 1.5◦ au sud de l’écliptique (section 11.4.2.3). Le cône de pénombre de la Lune vient raser la 759

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE région proche de l’Antarctique. Après un saros, l’éclipse suivante se produira avec une distance du Soleil au nœud réduite de 0.48◦ , elle sera visible pour des latitudes sud moins élevées. Toutes ces éclipses seront partielles, on en dénombre en moyenne entre 16 et 17. Suite à cela, le cône d’ombre atteindra enfin la Terre, donnant lieu aux éclipses centrales (totales, annulaires ou hybrides), les plus longues et les plus fortes en magnitude, qui viendront balayer la zone équatoriale. On pourra en dénombrer entre 39 et 40 en moyenne. Puis, le déroulement inverse se produira jusqu’à atteindre le pôle Nord. Pour les éclipses par le nœud ascendant, elles commenceront par le pôle Nord pour s’éteindre au pôle Sud. La figure 11.2 montre les bandes de centralité d’une suite d’éclipses par le nœud descendant de 1911 à 2092, appartenant à une série longue de saros commencée le 13 août 1208 et qui s’achèvera le 25 septembre 2470. Cette série contient 7 éclipses totales et 33 éclipses annulaires. On notera à la fois le décalage en longitude et en latitude (vers le nord) après un saros et un exeligmos.

Figure 11.2 – Suite d’éclipses solaires d’un même saros, couvrant la période 19112092 (projection cylindrique équidistante).

Le saros est donc une récurrence particulièrement remarquable qui fut notamment constatée par les Babyloniens. Bien d’autres récurrences existent, on consultera l’étude exhaustive de van den Bergh (1955).

11.4

Les éclipses de Soleil

Les éclipses de Soleil se produisent à la nouvelle lune, lorsque la Terre entre en contact avec le cône d’ombre ou le cône de pénombre de la Lune (voir figure 11.3). Lorsque 760

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Soleil

E

Lune A

Cône d’ombre

A – Éclipse totale

B D

C

Cône de pénombre

B – Éclipse annulaire totale

C – Éclipse annulaire

D – Éclipse partielle

E – Éclipse partielle

Figure 11.3 – Géométrie et aspect visuel des différents types d’éclipses en fonction de la position A, B, C, D ou E de l’observateur.

761

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE la Terre entre uniquement en contact avec la pénombre de la Lune, il se produit une éclipse partielle de Soleil ; lorsque la Terre entre en contact avec l’ombre de la Lune, il se produit une éclipse centrale de Soleil. La distance Terre-Lune n’étant pas constante, le diamètre apparent de la Lune est donc variable : il peut être plus petit ou plus grand que le diamètre apparent du Soleil. Il y a donc deux types d’éclipses centrales : les éclipses totales, lorsque le diamètre apparent de la Lune est plus grand que celui du Soleil (le Soleil est complètement éclipsé), et les éclipses annulaires, lorsque le diamètre apparent de la Lune est plus petit que celui du Soleil. Pour un observateur situé uniquement dans le cône de pénombre, une partie seulement du Soleil est occultée par la Lune. Dans ce cas, l’éclipse est vue par l’observateur sous la forme d’une éclipse partielle. Lorsque l’éclipse est totale, la bande de centralité – ensemble des lieux sur Terre parcourus par le cône d’ombre – est appelée bande de totalité. La ligne parcourue par l’axe du cône d’ombre s’appelle la ligne de centralité, sur laquelle se situe le maximum de l’éclipse. Durant une éclipse, l’ombre et la pénombre se déplacent sur la surface du globe terrestre en raison de la combinaison du mouvement de la Lune et de la rotation de la Terre. L’aire parcourue par l’ombre est très étroite : elle peut mesurer jusqu’à 150 km de large, alors que celle de la pénombre peut mesurer jusqu’à 3 600 km. Un observateur situé dans la bande de centralité voit d’abord une éclipse partielle, puis, pendant un court instant (quelques minutes), une éclipse totale ou annulaire, puis de nouveau une éclipse partielle. Il existe des cas limites (voir figure 11.4). Au cours d’une éclipse, la rotation de la Terre modifie légèrement la distance entre un observateur et la Lune, et par conséquent le diamètre apparent de la Lune. Ainsi, lorsque le diamètre apparent de la Lune est inférieur à celui du Soleil au début de l’éclipse, puis supérieur (autour du maximum), puis de nouveau inférieur, l’éclipse est appelée éclipse hybride, mixte ou annulaire-totale. Soit d la distance entre la projection normale P du centre de la Terre sur l’axe du cône d’ombre et le sommet S o du cône d’ombre. Si d est inférieur au rayon terrestre r, et si P est situé après le sommet du cône d’ombre, alors le premier contact entre la Terre et le cône d’ombre se fait dans le prolongement du cône d’ombre : l’éclipse débute par une éclipse annulaire. L’intersection de la Terre et du cône d’ombre se fait ensuite au sommet du cône d’ombre, puis à l’avant du sommet du cône d’ombre : l’éclipse devient totale. Par la suite, l’intersection entre la Terre et le cône d’ombre se fait au sommet du cône, puis dans le prolongement du cône d’ombre : l’éclipse redevient annulaire. Ce type d’éclipse est également appelée perlée. En effet, le diamètre apparent de la Lune est alors toujours très proche de celui du Soleil, car l’intersection de la Terre et du cône d’ombre reste toujours au voisinage du sommet du cône d’ombre. Comme le limbe lunaire n’est pas un cercle parfait, mais est constitué d’une succession de montagnes et de vallées, la lumière solaire perle par endroits. Cet effet est connu sous le nom de grains de Baily. Il est possible que seule une partie du cône d’ombre rencontre la Terre, sans que l’axe du cône d’ombre la rencontre. Dans ce cas, il s’agit d’une éclipse totale non centrale. 762

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

r

Cône d’ombre d

So

P

Sommet du cône Sens du mouvement du cône

Cône d’ombre

Axe du cône Zone où l’éclipse est annulaire sans être centrale

Figure 11.4 – Cas limites d’éclipses de Soleil : éclipse mixte ou annulaire-totale (haut) ; éclipse annulaire non centrale (bas).

763

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE La bande de centralité est alors rasante à la surface de la Terre, et la ligne de centralité n’existe pas. Le même type de configuration peut également avoir lieu pour les éclipses annulaires non centrales.

11.4.1

Les méthodes de calcul des éclipses de Soleil

Entre 1669 et 1875, deux grandes méthodes ont été utilisées dans les publications de la Connaissance des temps, alternativement ou de façon concomitante. La première est la méthode des projections, la seconde est celle des parallaxes. La première permet le tracé simple des cartes d’éclipse. La seconde donne le calcul rapide des conditions générales d’une éclipse, notamment en un lieu donné. L’idée de la méthode des projections revient à Johannes Kepler (1571-1630) qui, le premier, envisage une éclipse de Soleil comme une éclipse de la Terre par la Lune qui serait vue par un observateur placé sur la Lune. L’hémisphère terrestre tourné vers le Soleil est représenté par un cercle, et la route du centre de l’ombre de la Lune est tracée sur le plan du disque de la Terre illuminé (VIe tome de son Epitome Astronomiae copernicanae). Toutefois, il reviendrait à Jean-Dominique Cassini (1625-1721) d’avoir complètement développé cette méthode à l’occasion de l’éclipse de 1664, qu’il présente dans un ouvrage intitulé Osservazionei del eclipsse solare fatta in Ferrara l’anno 1664 con une figura intagliata in rame che rappresenta un nouovo methodo di trovar l’apparenze varie che fa nel medessimo tempo in tuta la terra, Ferrara 1664. La seconde méthode est exposée dans la Connaissance des temps pour 1817 (p. 237-266), à travers un mémoire de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) intitulé Sur le calcul des éclipses sujettes aux parallaxes. Lagrange y donne un formulaire simplifié qui permet de calculer à tout instant la distance apparente des centres, et de juger ainsi des circonstances de l’éclipse. Comme le rappelle Lagrange, peu importe la détermination précise des circonstances générales d’une éclipse, car « le but principal des observations des éclipses de Soleil [est] de déterminer les différences de longitude des différents lieux de la Terre, et de corriger en même temps les éléments de la théorie lunaire, et les meilleures observations pour cet objet [sont] celles du commencement et de la fin de l’éclipse ». À partir de 1829, on assiste à une véritable révolution méthodologique venue d’Angleterre, d’Allemagne et des États-Unis. En France, le sujet ne semble pas intéresser outre mesure les mathématiciens, et en particulier les responsables de la Connaissance des temps, à l’exception toutefois d’Henri Andoyer (1862-1929) au début du xxe siècle. Cela commence avec Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) en 1829, puis Wesley Stoker Barker Woolhouse (1809-1893) en Angleterre en 1833 et Peter Andreas Hansen (1795-1874), le directeur de l’observatoire de Gotha, en 1854. Le Nautical Almanach and Astronomical Ephemeris adopte la méthode de Woolhouse dès 1836. Aux États-Unis, le tournant 764

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL a lieu de 1853 à 1855 avec le premier bureau d’éphémérides américain créé en 1849 (U.S. Nautical Almanac Office), qui adoptera peu de temps après la méthode, publiée en 1863, de William Chauvenet (1820-1870), professeur de mathématiques à l’université de Washington et vice-président de l’Académie nationale des sciences. Chauvenet a en fait repris, développé et popularisé la méthode de Bessel (Chauvenet, 1889). L’idée de Bessel consiste à décrire le mouvement de l’ombre de la Lune dans un plan de référence judicieusement choisi, appelé plan fondamental. Le plan fondamental passe par le centre de la Terre et demeure constamment perpendiculaire à l’axe de l’ombre lunaire. Quelques paramètres – les éléments de Bessel – suffisent à décrire le mouvement de l’ombre dans ce plan. L’étape suivante consiste à projeter le cône d’ombre, et de pénombre, sur la surface de la Terre afin de délimiter la zone de visibilité de l’éclipse. La méthode de Chauvenet s’imposera peu à peu à tous les bureaux d’éphémérides à travers le monde. Henri Andoyer (1862-1929), après avoir pris la direction de la Connaissance des temps en 1911, s’attachera à développer une nouvelle méthode pour le calcul des éclipses suite à une décision du Congrès international des éphémérides astronomiques, tenu à Paris en 1911 : le calcul des éclipses de Lune et de Soleil est confié de façon concomitante d’une part au Nautical Almanach Office américain à Washington, et d’autre part au Bureau des longitudes. Cette méthode entrera en application en 1915. La méthode d’Andoyer est une adaptation des méthodes de Hansen et de Chauvenet « dont le principal avantage est de prendre le temps comme argument ». Andoyer, dans son mémoire, précise à la fin que « tous ces calculs ne demanderont pas plus de trois semaines, voire un mois, à un calculateur exercé ». En ce qui concerne les méthodes utilisées dans la Connaissance des temps, les méthodes classiques de Cassini ou de Lagrange ont longtemps emporté l’assentiment des calculateurs. Il semble que la révolution méthodologique ait été mise en œuvre à partir des années 1860 avec la méthode de Woolhouse. Dans l’exemplaire pour 1890, il est précisé dans la préface que le calcul des éclipses est alors effectué à partir de la méthode de Hansen. Des tableaux ont été ajoutés à partir de 1890 pour faciliter le calcul des différentes phases en un lieu donné. Quant à la méthode d’Andoyer, elle fut en usage jusqu’au début des années 1980. De nos jours, le calcul des éclipses de Soleil se fait uniquement selon la méthode de Chauvenet adaptée de celle de Bessel.

11.4.2

Conditions d’existence d’une éclipse de Soleil

Avant de développer la méthode de calcul d’une éclipse générale, il convient de rechercher sous quelles conditions une éclipse de Soleil peut survenir. Les rayons du Soleil et de la Lune sont approximativement dans le même rapport que leur distance respective à la Terre – de l’ordre de 400 – de sorte que la Lune est en mesure de recouvrir complètement 765

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE le Soleil lorsqu’elle s’interpose entre celui-ci et la Terre. Cependant, ce n’est pas le cas à chaque éclipse, d’une part parce que la distance Terre-Lune varie de façon assez substantielle – ainsi que la distance Terre-Soleil, mais dans une moindre mesure – et d’autre part parce que l’alignement parfait des trois corps n’est réalisé que sous certaines conditions. En effet, l’orbite de la Lune est légèrement inclinée sur le plan de l’écliptique (inclinaison de 5.17◦ ), occasionnant un alignement possible uniquement au voisinage des deux points d’intersection de l’orbite lunaire avec le plan de l’écliptique appelés nœuds lunaires.

11.4.2.1

Angle sous-tendu au centre de la Terre par les centres du Soleil et de la Lune au commencement d’une éclipse partielle

Soit la tangente commune extérieure EP (figure 11.5) au Soleil S en E, à la Terre T en P et à la Lune L en Q. Soit RS , RL et RT les demi-diamètres du Soleil, de la Lune et de la Terre respectivement. Soit rS et rL les distances Terre-Soleil (T S ) et Terre-Lune (T L) respectivement. Soit θ et x les angles PT L et LT S . E

P

RT θ

Q rL

x

L

T

’ombre cône d u d rd Bo

Bor d du rs côn e de

Rs

S pén om bre

Figure 11.5 – Géométrie générale d’une éclipse de Soleil.

On a les relations suivantes : rS cos (θ + x) + RS = RT rL cos θ = RT + RL On obtient alors l’équation suivante en considérant l’angle θ comme très proche d’un angle droit et l’angle x comme très petit : cos θ − cos(θ + x) ≈ sin x ≈ x = RT /rL + RL /rL − RT /r S + RS /rS 766

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL En introduisant les parallaxes horizontales du Soleil et de la Lune πS = RT /r s et πL = RT /rL et les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune sS et sL , on obtient alors l’angle sous-tendu depuis le centre de la Terre entre les centres de la Lune et du Soleil, qui est égal à la différence entre les parallaxes lunaire et solaire augmentée de la somme de leur diamètre apparent : x = πL − πS + sL + sS

(11.1)

Cette quantité varie avec le temps selon les éphémérides de la Lune et du Soleil. Elle permet de fixer la condition à respecter pour qu’il y ait éclipse de Soleil en imposant que la séparation apparente entre les centres des deux corps soit inférieure à x.

11.4.2.2

Critère en latitude

Pour que la Lune et le Soleil soient proches d’un alignement parfait, il est nécessaire que la conjonction en longitude se produise près de l’un des nœuds de l’orbite lunaire. La latitude écliptique de la Lune est alors suffisamment petite pour que l’on puisse raisonner en géométrie plane et non plus en géométrie sphérique. Dans la figure 11.6, les points S et L sont les centres du Soleil et de la Lune au moment de la conjonction en longitude, l’axe NS représente l’écliptique de sorte que NS est perpendiculaire à LS , N le nœud de l’orbite lunaire, NL l’orbite de la Lune. Les points L0 et S 0 représentent les positions de la Lune et du Soleil à un instant quelconque, postérieur à la conjonction. L[une]

γ L'

βL

O rb ite de la

σ

I S[oleil]

S'

P

Figure 11.6 – Critère en latitude.

On définit les quantités suivantes : 767

Lun

e

Écliptique N[œud]

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE • βL est la latitude de la Lune L à l’instant de la conjonction avec le Soleil S : βL = S L ; • I est l’inclinaison de l’orbite de la Lune sur l’écliptique ; • λ est le quotient du mouvement en longitude de la Lune par celui du Soleil : λ = S 0 P/S S 0 ; • γ est l’angle S LS 0 ; • σ est le minimum de la séparation angulaire entre la Lune et le Soleil à un instant donné σ = S 0 L0 . À partir de la géométrie du problème, on peut écrire les relations suivantes : S S 0 = βL tan γ S P = λβL tan γ

σ2 = S 0 P 2 + L0 P 2 Les quantités S 0 P et L0 P s’expriment facilement par : S 0 P = S P − S S 0 = βL (λ − 1) tan γ L0 P = (S N − S P) tan I = βL − λβL tan γ tan I On en déduit l’angle de séparation σ à partir duquel on peut déterminer la valeur de l’angle γ pour lequel cette séparation sera minimale au voisinage de la conjonction en longitude : h i σ2 = β2L (λ − 1)2 tan2 γ + (1 − λ tan I tan γ)2 (11.2) L’angle γ qui va minimiser la quantité σ sera celui pour lequel la dérivée de σ par rapport à γ sera nulle. Cet angle vaut : tan γ =

λ tan I (λ − 1)2 + λ2 tan2 I

(11.3)

En introduisant la quantité intermédiaire I 0 telle que : tan I 0 =

λ tan I λ−1

(11.4)

la séparation angulaire minimale apparente géocentrique s’obtient par substitution de l’équation 11.3 dans l’équation 11.2 : σ = βL cos I 0

(11.5)

De l’équation 11.5 et de l’équation 11.1, on déduit immédiatement la condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait éclipse partielle : σ < x , qui se traduit donc par : βL
βLMax . De la même manière, le critère sur la latitude donné par l’équation 11.7 permet d’affirmer qu’une éclipse sera centrale si βL < βLMin avec βLMin = 0◦ 520 23.2000 . Le cas est douteux (partielle ou centrale) lorsque βLMin < βL < βLMax où βLMax = 1◦ 020 35.4600 .

11.4.2.3

Critère en longitude

Deux fois par an, la configuration géométrique du système Terre-Lune-Soleil est favorable à l’apparition d’une éclipse, qui nécessite que la ligne des nœuds lunaires ne soit pas très éloignée de la conjonction entre le Soleil et la Lune. En raison du mouvement rétrograde de la ligne des nœuds, la saison des éclipses ne revient pas tous les 182 jours 769

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE exactement (soit une demi-année) comme on pourrait être tenté de le croire – sinon les éclipses auraient lieu chaque année à la même période, voire à la même date, mais tous les 173.309 jours (voir section 11.3). Les critères trouvés précédemment sur la possibilité d’une éclipse peuvent se transcrire en critères sur la longitude écliptique de la conjonction par rapport au nœud de l’orbite lunaire. Il n’est en effet pas nécessaire que le Soleil doive se trouver exactement en un nœud lunaire au moment de la conjonction pour qu’une éclipse ait lieu. À partir de quelle distance du nœud une conjonction Soleil-Lune peut-elle donc donner lieu à une éclipse ? Pour le savoir, il existe une relation simple à l’instant de la conjonction, qui relie la latitude de la Lune à la différence en longitude écliptique entre le nœud de l’orbite lunaire et la Lune. Cette différence est donnée par la distance L = S N telle que : sin L = tan βL cot I (11.8) En adoptant les valeurs maximale et minimale de β trouvées précédemment, il apparaît qu’une éclipse ne peut en aucun cas se produire dès lors que le Soleil, à l’instant de la conjonction Soleil-Lune, se trouve à une distance supérieure à 17◦ 210 , qu’une éclipse peut se produire si cette distance est comprise entre 15◦ 260 et 17◦ 210 , et qu’une éclipse se produira avec certitude si cette distance est inférieure à 15◦ 260 (figure 11.1). Si L est inférieure ou égale à 9◦ 290 , il se produira alors une éclipse centrale (totale, annulaire ou hybride). Ce critère en longitude définit une zone de danger(Littmann et al., 2009) large de 34◦ 420 à l’intérieur de laquelle une éclipse est possible lorsque le Soleil s’y trouve (figure 11.7). Puisque la longitude du Soleil par rapport au nœud n’aura varié que de 30.670◦ (voir section 11.3) à la prochaine conjonction, il y a donc toujours au moins une éclipse de Soleil (et une éclipse de Lune) au voisinage de chaque passage du Soleil par un des nœuds de l’orbite lunaire.

11.4.3 11.4.3.1

Théorie générale des éclipses de Soleil Repère fondamental de Bessel

À chaque instant, un système de coordonnées T xyz est défini dans lequel T est le centre de la Terre. L’axe T x est l’intersection du plan fondamental et du plan équatorial ; il est orienté positivement vers l’est. L’axe T y est normal au précédent et orienté positivement vers le nord. L’axe T z est parallèle à l’axe du cône d’ombre et dirigé positivement vers le Soleil. Le rayon équatorial terrestre est pris comme unité de longueur. On introduit le paramètre k qui définit le rayon de la Lune rapporté au rayon équatorial terrestre, ainsi que les grandeurs suivantes : • x, y, z sont les coordonnées du centre de la Lune ; 770

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL Nœud ascendant

βL L

i= 5°

Terre O rb ite l u

éclipti que

nair e

Nœud descendant

Figure 11.7 – Critère en longitude : les trajectoires relatives du Soleil et de la Lune expliquent la survenue des éclipses lorsque le Soleil se trouve au voisinage d’un nœud lunaire. Tout critère en latitude se traduit automatiquement par un critère en longitude qui résulte en une zone de danger large de 34◦ 420 dans laquelle une éclipse est possible.

• d et µ sont la déclinaison de l’axe Oz et son angle horaire compté à partir du méridien de Greenwich positivement vers l’ouest ; • fe et fi sont les demi-angles au sommet des cônes de pénombre et d’ombre respectivement. Par convention, fe est pris positif et fi négatif ; • ue et ui sont les rayons des sections circulaires des cônes de pénombre et d’ombre respectivement dans le plan fondamental T xyz (figure 11.8). Quant aux rayons le et li des sections circulaires des cônes de pénombre et d’ombre au niveau du plan mené par le lieu d’observation parallèlement au plan fondamental et situé à une distance ζ de celui-ci, ils s’obtiennent par les relations suivantes : le = ue − ζ tan fe

(11.9)

li = ui − ζ tan fi

(11.10)

Les angles fe et fi sont déterminés à partir des triangles S BL et S AL par les relations : RS + R L G RS − RL sin fi = G

sin fe =

(11.11) (11.12)

où G est la distance Lune-Soleil. On introduit g tel que : g=

G rS

771

(11.13)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

Figure 11.8 – Géométrie générale des cônes d’ombre et de pénombre dans le repère de Bessel.

772

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL En adoptant comme rayon unité le rayon équatorial terrestre, et en exprimant la distance au Soleil rS en unités astronomiques par le biais de la parallaxe du Soleil π0 à 1 au, on peut écrire les équations suivantes : rS =

sin π0 sin πS

RS = rS sin sS =

(11.14) sin s s sin πS

(11.15)

Pour la Lune, on pose : RL = k

(11.16)

Soit la taille apparente s0 du Soleil à la distance d’une unité astronomique telle que sS = s0 /rS . Les relations 11.16, 11.14 et 11.15 sont reportées dans les équations 11.11 et 11.12 qui se réduisent à : sin s0 + k sin π0 grS sin s0 − k sin π0 sin fi = grS

sin fe =

(11.17) (11.18)

Dans ces expressions, les numérateurs sont évalués en prenant : s0 = 959.6300 ,

π0 = 8.794 14300 ,

k = 0.272 5076

Le dénominateur ne contient que des quantités qui proviennent de l’éphéméride du Soleil et de la Lune. Les rayons des cônes de pénombre et d’ombre dans le plan fondamental peuvent également s’exprimer en fonction de la distance ce entre le plan fondamental et le sommet du cône de pénombre, et de la distance ci entre le plan fondamental et le sommet du cône d’ombre par les équations suivantes : ue = ce tan fe

(11.19)

ui = ci tan fi

(11.20)

dans lesquelles les distances ce et ci sont calculées à l’aide des équations : k sin fe k ci = z − sin fi

ce = z +

(11.21) (11.22)

De même, dans le plan de l’observateur, on a les relations : li = (ci − ζ) tan fi

(11.23)

le = (ce − ζ) tan fe

(11.24)

773

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE On peut alors noter que dans le cas des éclipses annulaires, pour lesquelles le plan de l’observateur se trouve toujours sous le sommet Ci , la quantité (ci − ζ) est positive. En ce qui concerne les éclipses totales, le plan de l’observateur se trouve au-dessus du sommet du cône d’ombre Ci , de telle sorte que (ci − ζ) est négatif. Comme fi est par convention toujours de signe négatif, cela signifie que li < 0 pour les éclipses annulaires et li > 0 pour les éclipses totales.

11.4.3.2

Position de l’axe de l’ombre et coordonnées de la Lune dans le repère fondamental à un instant quelconque

Axe du cône d’ombre

z

Cône d’ombre

N (pôle Nord) Plan fondamental

y

Observateur

Z

Projection équatoriale de l’axe de l’ombre

M (x, y )

∆

a d

T

P (ξ , η)

π 2

Méridien de Greenwich

μ

γ Point vernal x Équateur terrestre

Figure 11.9 – Plan de Bessel.

L’axe du cône d’ombre traverse la sphère céleste en un point Z de coordonnées x, y, z et de coordonnées équatoriales (a, d) (figure 11.9). G est la distance du centre de la Lune au centre du Soleil. Les coordonnées du Soleil dans un repère centré sur le centre de la Lune 774

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL et parallèle au repère équatorial s’écrivent : G cos d cos a = rS cos δS cos αS − rL cos δL cos αL

(11.25)

G cos d sin a = rS cos δS sin αS − rL cos δL sin αL

(11.26)

G sin d = rS sin δS − rL sin δL

(11.27)

En substituant l’équation 11.13, le système d’équations devient : g cos d cos a = cos δS cos αS − b cos δL cos αL

(11.28)

g cos d sin a = cos δS sin αS − b cos δL sin αL

(11.29)

g sin d = sin δS − b sin δL

(11.30)

avec b = rL /rS = sin πS /sin πL . Selon l’équation 11.14, si rS est exprimé en unités astronomiques, alors b s’écrit de la façon suivante : b=

sin π0 rS sin πL

(11.31)

Le système peut être résolu de façon exacte, mais on peut tirer une solution approchée en notant que αL ≈ αS et δL ≈ δS qui, après simplification algébrique, donne : a = αS − b (αL − αS )

(11.32)

d = δS − b (δL − δS )

(11.33)

g=1−b

(11.34)

Les paramètres g, a, d et b sont ainsi pleinement déterminés à partir de l’éphéméride de la Lune et du Soleil. Quant aux coordonnées x, y et z de la Lune dans le repère fondamental, elles se déduisent après avoir pris comme unité le rayon équatorial de la Terre : 1 cos δL sin (αL − a) sin πL 1 (sin δL cos d − cos δL sin d cos (αL − a)) y= sin πL 1 (sin δL sin d + cos δL cos d cos (αL − a)) z= sin πL

x=

(11.35) (11.36) (11.37)

Il est d’usage de présenter les résultats en remplaçant l’ascension droite a du point Z par l’angle horaire µ compté à partir du méridien de Greenwich donné par : µ = GS T − a où GS T est le temps sidéral apparent de Greenwich. 775

(11.38)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE 11.4.3.3

Coordonnées de l’observateur dans le plan fondamental

Un observateur terrestre a pour coordonnées (ξ, η, ζ) dans le plan fondamental de Bessel. Il a également pour coordonnées sphériques (ρ, λ, ϕ0 ) dans le repère équatorial terrestre, où la longitude λ est comptée positivement vers l’est à partir du méridien de Greenwich. La latitude géocentrique ϕ0 est déduite de la latitude géographique ϕ par la relation (voir chapitre 12, section 12.4.2) :   tan ϕ0 = 1 − e2 tan ϕ (11.39) où e est l’ellipticité du sphéroïde terrestre représenté par un ellipsoïde de demi-grand axe équatorial a et de demi-grand axe polaire b. L’aplatissement terrestre f est défini et relié à l’ellipticité du sphéroïde par : a−b a 2 1 − e = (1 − f )2 f =

(11.40) (11.41)

Quant à la distance ρ entre le centre de la Terre et la position de l’observateur situé à une altitude h sur l’ellipsoïde terrestre, exprimée en unité de rayon équatorial terrestre a, elle est donnée par les formules suivantes :   1 − e2 sin ϕ h ρ sin ϕ0 = q (11.42) + sin ϕ a 2 2 1 − e sin ϕ cos ϕ h ρ cos ϕ0 = q + cos ϕ a 1 − e2 sin2 ϕ

(11.43)

Les valeurs de référence adoptées pour e, f et a sont : e2 = 0.006 694 38 , f = 1/298.257 et a = 6 378.1366 km (voir chapitre 1, table 1.10). Dans le repère orthonormé équatorial géocentrique (x0 , y0 , z0 ), dont l’axe des x0 pointe en direction du méridien de Greenwich et l’axe des z0 vers le pôle Nord, l’observateur a pour   coordonnées cartésiennes ρ cos ϕ0 cos λ, ρ cos ϕ0 sin λ, ρ sin ϕ0 . Pour passer du repère équatorial géocentrique au repère du plan fondamental, il faut effectuer deux rotations, l’une d’angle − (µ − π/2 ) autour de l’axe polaire T z0 , qui va faire coïncider la direction de Greenwich avec l’axe des x du repère fondamental, et l’autre d’angle (π/2 − d) autour de l’axe T x, qui amène l’axe polaire à coïncider avec l’axe z du repère fondamental. On obtient ainsi les coordonnées de l’observateur dans le repère fondamental : ξ = ρ cos ϕ0 sin θ   η = ρ sin ϕ0 cos d − cos ϕ0 sin d cos θ   ζ = ρ sin ϕ0 sin d + cos ϕ0 cos d cos θ 776

(11.44) (11.45) (11.46)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL où : θ =µ+λ

(11.47)

θ est l’angle horaire local compté à partir du méridien de l’observateur. La valeur de la distance ρ est inconnue et ne dépend que de la latitude du lieu. On peut cependant la faire disparaître en adoptant un nouveau système de coordonnées qui intègre dès le départ l’aplatissement de la Terre. On utilise pour cela la latitude paramétrique intermédiaire ϕ1 telle que : cos ϕ cos ϕ1 = q = ρ cos ϕ0 2 1 − e2 sin ϕ q p ρ sin ϕ0 2 sin ϕ1 = f racsin ϕ 1 − e 1 − e2 sin2 ϕ = √ 1 − e2

(11.48)

(11.49)

Les équations 11.44, 11.45 et 11.46 prennent alors la forme suivante : ξ = cos ϕ1 sin θ

(11.50)

p η = sin ϕ1 cos d 1 − e2 − cos ϕ1 sin d cos θ p ζ = sin ϕ1 sin d 1 − e2 + cos ϕ1 cos d cos θ

(11.51) (11.52)

On introduit les quantités ρ1 , d1 , ρ2 , d2 telles que : ρ1 sin d1 = sin d p ρ1 cos d1 = 1 − e2 cos d p ρ2 sin d2 = 1 − e2 sin d

(11.54)

ρ2 cos d2 = cos d

(11.56)

(11.53)

(11.55)

Les facteurs ρ1 et ρ2 demeurent sensiblement constants sur la totalité de la durée de l’éclipse. À l’aide de la nouvelle variable η1 telle que : η1 =

η ρ1

(11.57)

Le système d’équations 11.50-11.52 s’écrit de façon très simplifiée : ξ = cos ϕ1 sin θ

(11.58)

η1 = η/ρ1 = sin ϕ1 cos d1 − cos ϕ1 sin d1 cos θ   ζ = ρ2 sin ϕ1 sin d2 + cos ϕ1 cos d2 cos θ

(11.59) (11.60)

Et on définit enfin la variable ζ1 telle que : ζ12 = 1 − ξ2 − η21 777

(11.61)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE La variable ζ se déduit facilement de ζ1 à l’aide de la relation :   ζ = ρ2 ζ1 cos (d1 − d2 ) − η1 sin (d1 − d2 )

(11.62)

Ainsi, les nouvelles coordonnées de l’observateur (ξ, η1 , ζ1 ) appartiennent rigoureusement à la sphère unité de rayon 1.

11.4.3.4

Procédure de détermination des coordonnées géographiques d’un lieu à partir de ses coordonnées données dans le plan fondamental

La détermination des lieux géographiques à la surface de la Terre satisfaisant à une condition donnée consiste à résoudre le système suivant qui découle des équations 11.5011.52, dans lequel la position du lieu dans le repère fondamental (ξ, η1 , ζ1 ) et d1 sont connus, et où il s’agit de déterminer (ϕ1 , θ) : cos ϕ1 sin θ = ξ

(11.63)

cos ϕ1 cos θ = −η1 sin d1 + ζ1 cos d1

(11.64)

sin ϕ1 = +η1 cos d1 + ζ1 sin d1

(11.65)

La latitude ϕ et la longitude λ du lieu sont alors obtenues à l’aide des équations 11.47, 11.48 et 11.49 : tan ϕ1 tan ϕ = √ (11.66) 1 − e2 λ=θ−µ (11.67)

11.4.4

Éléments de Bessel et éléments auxiliaires

Les quantités x, y, sin d, cos d, µ, ue , ui , tan fe , tan fi sont conventionnellement désignées comme constituant les éléments de Bessel . Les quantités ρ1 , ρ2 , sin d1 , sin d2 , sin (d1 − d2 ), cos (d1 − d2 ) sont les éléments auxiliaires. Ils sont introduits pour tenir compte de l’aplatissement de la Terre. Chaque élément de Bessel est représenté sur un intervalle de temps [t0 , t1 ] par des coefficients de développements en polynôme du temps. Le développement polynomial est obtenu par ajustement sur un ensemble de valeurs des éléments, calculées avec un pas de 10 minutes à partir des éphémérides de la Lune et du Soleil. Un élément de Bessel quelconque que l’on désigne par B se calcule ainsi à un instant quelconque t par la formule : B = B0 + B1 T + B2 T 2 + B3 T 3 (11.68) avec T = t − t0 exprimé en heures qui représente le temps écoulé depuis l’instant origine t0 . Dans le calcul des variations horaires des éléments de Bessel, les coefficients B2 , B3 sont très petits devant B1 de sorte que B˙ = B1 . 778

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL 11.4.4.1

Vitesse de l’observateur dans le plan fondamental

Les coordonnées de l’observateur (ξ, η, ζ) dans le plan fondamental sont variables dans le temps. Il est donc nécessaire de déterminer leur variation horaire par différenciation des équations 11.44, 11.45 et 11.46 par rapport au temps :

11.4.5 11.4.5.1

ξ˙ = µ˙ (−η sin d + ζ cos d) ˙ η˙ = µ˙ ξ sin d − dζ

(11.69)

˙ ζ˙ = −µ˙ ξ cos d + dη

(11.71)

(11.70)

Circonstances générales d’une éclipse Instants des premier et dernier contacts extérieurs

Lorsque la surface du cône d’ombre et de pénombre entre en contact avec celle du sphéroïde terrestre, cela marque le commencement de l’éclipse en un point particulier de la Terre. De même, la fin de l’éclipse est déterminée par le dernier point de contact sur Terre entre ces deux surfaces. Ces deux phases de l’éclipse se produisent à deux instants particuliers en deux lieux particuliers de la surface terrestre pour lesquels le Soleil se trouve à l’horizon à son lever ou à son coucher. Mathématiquement, cela se traduit par l’appartenance de ces deux lieux au plan fondamental donnée par la condition ζ1 = 0. On a par conséquent la relation : ξ2 + η21 = 1 (11.72) La détermination des instants et des lieux associés aux premier et dernier contacts extérieurs est un cas particulier du problème plus général du calcul des limites de visibilité de l’éclipse au lever et au coucher du Soleil qui est traité dans la section 11.4.16.1. Il y est montré que le problème est équivalent à celui d’une Terre sphérique de rayon 1 obtenue en utilisant le changement de coordonnées (ξ, η1 ) qui permet ainsi de prendre en compte l’aplatissement de la Terre de façon simple. La condition pour la détermination des instants de contact est alors donnée par λ = 0 (figure 11.20). Elle détermine les deux points de la surface terrestre, délimitée par sa projection circulaire dans le plan fondamental transformé par le changement de coordonnées, qui seront en contact extérieur avec les cônes d’ombre et de pénombre (figure 11.10). Dans cette transformation, le cône d’ombre (respectivement de pénombre) voit son rayon modifié en u0 i (respectivement u0 e ). Les rayons modifiés des cônes d’ombre et de pénombre sont déterminés de la façon suivante. La condition pour la détermination des contacts extérieurs (instants et positions (x, y) à la surface de la Terre) s’écrit dans le repère fondamental : x2 + y2 = (u + ρ)2 779

(11.73)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE où u vaut alternativement ui pour l’ombre et ue pour la pénombre. De la même manière que la distance ρ du centre du repère fondamental (figure 11.20) à l’observateur devient égale à l’unité dans la transformation de coordonnées faisant passer un point M(x, y) à un point M1 (x, y1 ) = y/ρ1 , la distance m (m = x2 + y2 ) à l’axe du cône d’ombre devient égale à m1 (m1 2 = x2 + (y/ρ1 )2 ). La transformation des distances est alors la suivante : m ρ = 1 m1

(11.74)

L’équation 11.73 s’écrit alors : s   x 2 + y2 x2 + y2 = u + x2 + (y/ρ1 )2 En multipliant chaque membre de l’égalité par la quantité simplification : y x2 + ρ1

!2

2   

(11.75)

x2 + (y/ρ1 )2 , on obtient après x2 + y2

s   x2 + (y/ρ1 )2 = 1 + u x 2 + y2

2   

(11.76)

Le rayon modifié des cônes q d’ombre ou de pénombre dans le plan fondamental transformé 1) est alors égal à u0 = u x +(y/ρ . Il en découle la condition immédiate suivante qui x2 +y2 doit être respectée pour les premier et dernier contacts du cône de pénombre et du cône d’ombre respectivement. Elle définit les quatre instants pour lesquels la position M1 (x, y1 = y/ρ1 ) du centre du cône de pénombre et celle du centre du cône d’ombre doivent satisfaire à la condition de tangentialité des cercles (figure 11.10) : 2

2

y x + ρ1

!2

y ρ1

!2

= 1 + u0 e

2

x2 +


2

(11.77)


2

(11.78)

= 1 + |u0 i |

Par interpolation inverse, il suffit alors de rechercher les deux instants pour lesquels ces conditions seront satisfaites. Pour ces instants, on a la position des lieux correspondants sur Terre où l’éclipse débutera et finira, à l’aide des équations suivantes en utilisant la procédure décrite dans la section 11.4.3.4 : q ξ = x/ x2 + y21 (11.79) q (11.80) η1 = y1 / x2 + y21 ζ1 = 0

(11.81)

780

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Figure 11.10 – Géométrie d’un contact extérieur avec le cône de pénombre dans le plan fondamental après transformation des coordonnées prenant en compte l’aplatissement de la Terre.

Figure 11.11 – Géométrie d’un contact intérieur avec le cône de pénombre dans le plan fondamental après transformation des coordonnées prenant en compte l’aplatissement de la Terre.

781

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE 11.4.5.2

Instants des premiers et derniers contacts intérieurs

Pour les contacts intérieurs des cônes d’ombre et de pénombre (figure 11.11), le raisonnement est le même que précédemment et les critères s’écrivent respectivement : !2
y 2 x + = 1 − u0 e 2 (11.82) ρ1 !2
y (11.83) = 1 − |u0 i | 2 x2 + ρ1 Les lieux géographiques correspondants aux instants des contacts sont obtenus par le système d’équations 11.80.

11.4.5.3

Instants de début et de fin d’une éclipse centrale

Le début et la fin d’une éclipse centrale correspondent aux instants pour lesquels l’axe du cône d’ombre est tangentiel à la surface terrestre. Les projections dans le plan fondamental transformé du centre du cône d’ombre M1 et du lieu de commencement de l’éclipse centrale sur Terre P1 sont alors confondues (figure 11.12). La condition s’écrit T 1 M1 = 1 soit : !2 y 2 x + =1 (11.84) ρ1

11.4.6

ξ=x

(11.85)

η1 = y1

(11.86)

ζ1 = 0

(11.87)

Circonstances locales de visibilité d’une éclipse

En général, les données les plus importantes que l’on cherche à connaître à propos d’une éclipse sont les circonstances de sa visibilité en un lieu donné. L’éclipse sera-t-elle visible ou non ? À quelle heure surviendra-t-elle ? Combien de temps durera-t-elle ? Sera-t-elle partielle, annulaire ou totale ? Quel sera le niveau d’obscuration engendré ? En quel endroit de sa surface le Soleil commencera-t-il à être grignoté par le disque lunaire ? L’équation fondamentale de la théorie des éclipses à satisfaire pour déterminer le commencement et la fin d’une éclipse en un lieu donné est la suivante : ∆=l 782

(11.88)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Figure 11.12 – Géométrie du début ou de la fin d’une éclipse centrale dans le plan fondamental après transformation des coordonnées prenant en compte l’aplatissement de la Terre.

où ∆ est la séparation entre l’observateur et l’axe du cône d’ombre (figure 11.20). On pose : ∆ sin Q = x − ξ

(11.89)

∆ cos Q = y − η

(11.90)

où Q est l’angle de position (voir section 11.4.15) compté à partir de la direction nord dans le plan fondamental. L’équation fondamentale 11.148 s’écrit selon 11.9 : (x − ξ)2 + (y − η)2 = (u − ζ tan f )2

(11.91)

Dans ces expressions, les quantités l, u, f valent aussi bien pour le cône de pénombre (indice e) que pour le cône d’ombre (indice i). Pour savoir si une éclipse commence ou se termine, il convient d’examiner le signe de la ˙ l˙ est négative, l’éclipse commence au lieu dérivée de la quantité ∆−l. Si la dérivée P = ∆− 783

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE considéré. Si la dérivée est positive, l’éclipse se termine. Le maximum du phénomène pour le lieu considéré est atteint lorsque la dérivée s’annule. La séparation entre l’observateur et le centre du cône d’ombre sera donc minimale et l’obscuration maximale. Il convient donc également de rechercher l’expression de P.

11.4.6.1

Dérivée de l’équation fondamentale de la théorie des éclipses

Si l’on différencie les équations 11.89 et 11.90 : ∆˙ sin Q − ∆ cos QQ˙ = x˙ − ξ˙ ∆˙ cos Q + ∆ sin QQ˙ = y˙ − η˙

(11.92)

  ∆˙ = x˙ − ξ˙ sin Q + (˙y − η) ˙ cos Q

(11.94)

(11.93)

on obtient :

D’après les équations 11.9 et 11.10, la dérivée P = ∆˙ − l˙ s’écrit : h   i P = l x˙ − ξ˙ sin Q + (˙y − η) ˙ cos Q − u˙ − tan f ζ˙ = lP0

(11.95)

h   i P = l x˙ − ξ˙ sin Q + (˙y − η) ˙ cos Q − u˙ − tan f ζ˙ = lP0 En y substituant les expressions 11.69-11.71 de la variation horaire des coordonnées d’un observateur dans le plan fondamental, le terme entre crochets s’écrit :   P0 = a˙ − b˙ cos Q + c˙ sin Q − ζ µ˙ cos d sin Q − d˙ cos Q

(11.96)

a˙ = −˙u − µx ˙ cos d tan f + yd˙ tan f b˙ = −˙y + µx ˙ sin d + ud˙ tan f

(11.97)

c˙ = x˙ + µy ˙ sin d + uµ˙ tan f cos d

(11.99)

avec :

(11.98)

˙ c˙ sont également des éléments auxiliaires de l’éclipse. On en déduit la Les quantités a˙ , b, condition sur l’angle de position Q pour le maximum du phénomène au lieu considéré en imposant P0 = 0 : 2f −a ˙ b˙ − dζsec ˙ sec Q tan Q = (11.100) 2 c˙ − µζsec ˙ f cos d 784

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL 11.4.6.2

Phase d’une éclipse à un instant quelconque

Soit un observateur ayant pour coordonnées dans le plan fondamental (ξ0 , η0 ) à un instant t0 . Au même instant, l’axe du cône d’ombre coupe le plan fondamental en un point (x0 , y0 ). À un instant t0 + τ, l’observateur sera à la position (ξ, η), tandis que l’axe de l’ombre sera en (x, y) tel que :   ˙ + ... x − ξ = (x0 + x˙τ + ...) − ξ0 + ξτ (11.101) y − µ = (y0 + y˙ τ + ...) − (η0 + ητ ˙ + ...)

(11.102)

La distance entre le centre du cône d’ombre et l’observateur est donnée par ∆ tel que : ∆2 = (x − ξ)2 + (y − η)2

(11.103)

= (x0 − ξ0 ) + (y0 − η0 ) h   i + 2 (x0 − ξ0 ) x˙ − ξ˙ + (y0 − η0 ) (˙y − η) ˙ τ   2 + x˙ − ξ˙ + (˙y − η) ˙ 2 τ2 + ... 2

2

(11.104)

On pose : U = x−ξ

(11.105)

V =y−η

(11.106) (11.107)

tel que ∆2 = U 2 + V 2 . L’équation 11.104 s’écrit sous la forme suivante :    2  2 ∆2 = ∆20 + 2 U0 U˙ + V0 V˙ τ + U˙ + V˙ τ2 + ...

(11.108)

Les quantités U˙ et V˙ sont évaluées à partir des équations 11.69-11.71 U˙ = x˙ − ξ˙ = x˙ + µy ˙ sin d − µξ ˙ cos d ˙ V˙ = y˙ − η˙ = y˙ − µξ ˙ sin d + dζ

(11.109) (11.110)

q 2 2 On désigne par n la vitesse relative de l’ombre par rapport à l’observateur : n = U˙ + V˙ , ˙ L’équation 11.108 s’écrit à présent : et par D la quantité D = U0 U˙ + V0 V. ∆2 = ∆0 2 + 2Dτ + n2 τ2 C’est une équation du second degré en τ qui admet deux solutions : r    D  n2  2 τ = − 2 1 ± 1 − 2 ∆0 − ∆2  n D 785

(11.111)

(11.112)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE après réarrangement du second terme :  !2  12 D ∆  1 U0 V˙ − V0 U˙  τ = − 2 ± 1 − 2  n n n ∆

(11.113)

  En posant sin ψ = U0 V˙ − V0 U˙ /n∆ , l’expression s’écrit sous sa forme classique : τ=−

D ∆ ± cos ψ n2 n

(11.114)

Si l’on différencie l’équation 11.108, on obtient la solution sous une forme différente : τ=−

∆ D + 2 ∆˙ 2 n n

(11.115)

Ainsi, on peut déterminer de façon très précise l’instant qui correspond à une phase donnée de l’éclipse en un lieu donné d’observation. Il suffit pour cela de se donner une estimation initiale t0 de l’instant de cette phase, qui est ensuite corrigée d’un incrément τ. Cette nouvelle valeur t0 + τ fournit une nouvelle estimation de l’instant recherché qui est à son tour utilisée pour être elle-même corrigée d’un nouvel incrément. La résolution du problème se fait donc itérativement. Quelques itérations sont suffisantes pour obtenir une solution précise. Il reste à comprendre comment les équations 11.115, 11.112 et 11.108 peuvent être utilisées pour déterminer les principales phases d’une éclipse.

11.4.7

Instant du maximum de l’éclipse

L’instant du maximum d’une éclipse est celui pour lequel l’obscuration sera maximale, et la distance ∆ entre le cône d’ombre et l’observateur minimale. La vitesse de variation de la séparation est alors nulle. La condition s’écrit donc : x x˙ + y˙y = 0

(11.116)

On montre facilement que cette équation est identique à l’équation suivante en raison de l’appartenance du lieu du maximum de l’éclipse à la ligne de centralité (voir section 11.4.16.3) : U U˙ + V V˙ = 0 (11.117) Puisque les vitesses de variation de la taille des cônes d’ombre et de pénombre l˙e , l˙i ˙ = 0. En sont négligeables, le problème se réduit à rechercher l’instant pour lequel ∆ différenciant l’équation 11.111 ou en injectant la condition ∆˙ = 0 dans l’équation 11.114, 786

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL l’instant tm = t0 + τmini du minimum de séparation s’obtient par la correction τmini qu’il est nécessaire d’apporter à l’estimation initiale t0 qui est donnée par :

τmini = −

U0 U˙ + V0 V˙ D =− 2 n U˙ 2 + V˙ 2

(11.118)

En pratique, on part d’une valeur de départ t0 qui correspond à l’époque de la conjonction en ascension droite. On réitère ensuite le calcul en prenant comme nouvelle valeur de départ la valeur de tm . La convergence est assurée une fois vérifié que τmini = 0 en vertu de l’équation 11.117. En général, une ou deux itérations suffisent. Si l’on veut une estimation plus précise, il est nécessaire de conserver les variations horaires l˙e ≈ l˙i = l˙ (les vitesses de variations de la largeur de l’ombre et de largeur de la pénombre sont sensiblement équivalentes) dans la différenciation de la grandeur de l’éclipse (équation 11.132). On obtient alors : ! D 2∆ − li − le ˙ τ=− 2 + l (11.119) le − li n Une fois l’instant trouvé, la position sur Terre correspondante est déterminée selon la même procédure que celle décrite dans la section 11.4.3.4. En ce lieu et pour cet instant sont en général données deux caractéristiques générales d’une éclipse, sa grandeur et son degré d’obscuration. Toutefois, ce sont des quantités locales qui varient à tout instant (voir section 11.4.12 et section 11.4.13).

11.4.8

Instants de début et de fin d’éclipse

Les instants de contact de l’observateur avec le cône de pénombre (1er et 4e contacts ou 1er et 2e contacts extérieurs) et avec le cône d’ombre (2e et 3e contact ou 1er et 2e contacts intérieurs) – lorsqu’ils existent – sont déterminés en imposant ∆ = le , puis ∆ = |li | dans l’équation 11.112, qui s’écrit alors : τ=−

D l ± cos ψ n2 n

(11.120)

où l vaut indifféremment le ou li . Le signe positif sera pour le dernier des deux contacts extérieur ou intérieur, tandis que le signe négatif sera pour le premier. Il est aussi possible de trouver les instants de début et de fin à partir d’une tabulation en fonction du temps de la quantité ∆2 − l2 . Les valeurs recherchées des instants seront celles pour lesquelles cette quantité s’annule. La durée du phénomène est alors immédiatement obtenue par la différence des deux instants. 787

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

11.4.9

Forme de l’ombre

Dans la bande de centralité, l’ombre de la Lune présente une forme elliptique dont les valeurs du demi-grand axe α et du demi-petit axe β peuvent être approximées par les équations suivantes où l’angle b est la hauteur du Soleil qui est donnée en première approximation en négigleant l’aplatissement de la Terre (figure 11.13) : |li | |li | = sin b ζ β = |li |

α=

Figure 11.13 – Figure elliptique de l’ombre.

788

(11.121) (11.122)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

11.4.10

Largeur de la bande de centralité et taille de l’ombre sur la ligne de centralité

La largeur L de la bande de centralité est reliée à α1 (figure 11.14), la demi-longueur de l’ombre le long de la ligne de centralité, par la relation suivante : 1 L = HG = CG sin(HCG) 2

(11.123)

Or, si l’on désigne les longueurs des deux rayons conjugués CF et CG par α1 et β1 , alors selon une propriété bien connue de l’ellipse : α1 β1 sin(HCG) = αβ

(11.124)

1 αβ L= 2 α1

(11.125)

d’où il suit que :

La demi-longueur de l’ombre α1 est obtenue par Michailov (1931) :

Figure 11.14 – largeur de la bande de centralité.

|li | α1 = ζ

q

ζ 2 + (ξ sin N + η cos N)2

(11.126)

où l’angle N donne l’orientation dans le plan de l’observateur du vecteur vitesse relative de l’ombre par rapport à l’observateur (équations 11.105 et 11.106), il est obtenu au 789

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE moyen des équations suivantes : n sin N = x˙ − ξ˙

(11.127)

n cos N = y˙ − η˙

(11.128)

p ˙ 2 + (˙y − η) n = ( x˙ − ξ) ˙ 2 est la vitesse relative de l’ombre par rapport à l’observateur dans le plan de l’observateur. On déduit des équations 11.121, 11.122 et 11.125 l’expression de la largeur de la bande de centralité : 2li L= q ζ 2 + (ξ sin N + η cos N)2

11.4.11

(11.129)

Durée d’une éclipse

La durée des phases de pénombre et d’ombre d’une éclipse en un lieu donné se déduit immédiatement de l’équation 11.120 par la différence entre les instants de contact, pour la pénombre et pour l’ombre (s’ils existent). Elle vaut pour l valant successivement li et le : l s = 2 cos ψ n

(11.130)

Toutefois, pour un observateur situé sur la ligne de centralité, on a ∆0 = 0, U0 = V0 = 0 et cos ψ = 1. La durée des phases d’ombre et de pénombre est alors donnée par : s=2

11.4.12

l n

(11.131)

Grandeur d’une éclipse

La grandeur d’une éclipse est définie comme étant la fraction du diamètre solaire apparent qui est couverte par le disque lunaire apparent à l’instant de la phase maximale de l’éclipse. Il est bien évidemment possible de calculer la grandeur d’une éclipse en un lieu quelconque qui ne correspond pas nécessairement à la phase maximale de l’éclipse. Si l’on considère la figure 11.15, un observateur placé en un point B (tel que OB = ∆) situé dans la zone de pénombre d’une éclipse annulaire ou totale ne voit pas la partie S 0 B0 du diamètre solaire S S 0 . Pour un observateur situé dans l’ombre de la Lune en un point E, il verra la totalité du disque lunaire qui recouvre un segment DD0 du disque solaire S S 0 dans le cas d’une éclipse annulaire. Dans le cas d’une éclipse totale, la totalité du disque solaire sera masquée, de sorte que la grandeur sera alors plus grande que 1. 790

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL Par conséquent, pour les éclipses centrales, la grandeur de l’éclipse est équivalente au diamètre apparent lunaire exprimé en unités de diamètre apparent solaire. Pour une éclipse centrale, deux cas peuvent se présenter selon que l’observateur se trouve à l’intérieur du cône d’ombre (Mi ) ou à l’extérieur (Me ), tout en restant dans le cône de pénombre. En tenant compte de la convention de signe adoptée en section 11.4.3.1, au point B, situé dans la zone de pénombre, la grandeur est égale à : Me =

PB PO − OB le − ∆ S 0 B0 = = = 0 0 0 SS PA PO + OA le − li

(11.132)

où ∆ est la séparation entre l’observateur et l’axe du cône d’ombre. Au point E, intérieur au cône d’ombre : Mi =

PE AE PA le + li DD0 S 0 D − S 0 D0 = = − 0 0 = = 0 0 0 0 SS SS PA PA PA le − li

(11.133)

Dans le cas d’une éclipse totale, les points A et A0 sont inversés, mais le formulaire reste le même, car dans ce cas, li > 0. Dans le cas d’une éclipse partielle non centrale pour laquelle la quantité li n’est pas définie, une solution approchée de la grandeur est donnée par : Me =

11.4.13

le − ∆ 2le − 0.54595

(11.134)

Degré d’obscuration

Le degré d’obscuration d’une éclipse exprime la fraction de surface du disque solaire masquée par la Lune (figure 11.16). On utilise les formules données pour le calcul de la grandeur d’une éclipse. À partir des notations de la figure 11.15 , en adoptant pour le rayon solaire une valeur unitaire et pour le rayon lunaire une valeur égale à s, les grandeurs Mi et Me s’expriment facilement à partir des relations S S 0 = 2, DD0 = 2s et S 0 B0 = DF : le + li le − li DF le − ∆ Me = = 2 le − li Mi = s =

791

(11.135) (11.136)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

D'

S'

B'

D

S

L

Éclipse totale

Plan de l’observateur A

A'

B

C

c

li

le

Plan de l'observateur P'

A'

OE

Plan fondamental

Éclipse annulaire A

∆

B

P

Figure 11.15 – Grandeur d’une éclipse. La grandeur est la fraction du diamètre linéaire du Soleil couvert par la Lune.

On en déduit immédiatement les longueurs DF et AB : DF = 2

le − ∆ le − li

(11.137)

AB = AF + FB = s + DB − DF = s + 1 − 2Me = 1 +

le + li le − ∆ 2∆ −2 = le − li le − li le − li (11.138)

La surface solaire couverte par la Lune est donnée par : _

_

s2 A B S = 2( − triangleACE + − triangleBCE) 2 2 792

(11.139)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL _

_

où A et B sont les angles en A et B exprimés en radians. L’aire des triangles ACE et BCE est donnée par : _

_

_

_

s cos A.s sin A s2 sin A cos A AE.CE = = triangleACE = 2 2 2

(11.140)

EB.CE cos B. sin B triangleBCE = = 2 2

(11.141)

_

_

Lune

C C

s

1 B

A

D

A

Soleil

E

F B

Figure 11.16 – Degré d’obscuration.

L’expression 11.139 devient : _

_

_

_

_

_

S = s2 A + B − s2 sin A cos A − cos B. sin B _

_

_

_

_

(11.142) _

À l’aide de l’angle C tel que A + B + C = π, et sachant que s sin A = sin B, l’expression précédente s’écrit sous la forme suivante : _

_

_

S = s2 A + B − s sin C

(11.143)

Rapportée à l’aire totale du disque solaire de rayon 1, soit π , l’expression de l’obscuration S 0 s’écrit :   _ _ _  _ _ _ _ _ 2 2 s π − B − C + B − s sin C s B + C − B + s sin C S S0 = = = s2 − (11.144) π π π 793

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE _

_

Les angles B et C se calculent à partir des relations trigonométriques suivantes obtenues dans le triangle ABC : _

AB2 = 1 + s2 − 2s cos C

(11.145) _

s2 = 1 + AB2 − 2AB cos B

(11.146)

La distance AB est donnée par l’équation 11.138 et le rayon de la Lune s par l’équation 11.135, d’où : _ le 2 + li 2 − 2∆2 ,0 ≤ C ≤ π 2 2 le − li _ _ li le + ∆2 cos B = ,0 ≤ B ≤ π ∆ (le − li ) _

cos C =

(11.147) (11.148) _

_

Durant la phase de centralité, il n’y a plus de points d’intersection, les angles B et C ne sont dès lors plus définis. Dans ce cas, lors d’une éclipse annulaire S 0 = s2 et lors d’une éclipse totale S 0 = 1.

11.4.14

Autre mode de calcul de l’obscuration et de la grandeur d’une éclipse pour un observateur

À un instant donné, les rayons apparents du Soleil et de la Lune, ainsi que leur séparation angulaire, étant connus, le degré d’obscuration et la grandeur d’une éclipse peuvent se calculer de façon purement géométrique. Dans la figure 11.17, on définit les secteurs angulaires sur les disques du Soleil de centre S et de la Lune de centre C par les angles αS et αL , déterminés de façon univoque dès lors que les quantités xL et xS – telles que d = xS + xL où d est la séparation angulaire – sont connues par les relations suivantes écrites dans les triangles S AB et LAB ayant en commun le côté AB de longueur y, et dans lesquelles RS et RL sont les rayons angulaires apparents du Soleil et de la Lune vus depuis un observateur terrestre : y RS xS cos αS = RS y sin αL = RL xL cos αL = RL sin αS =

794

(11.149) (11.150) (11.151) (11.152)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL Les quantités xL et xS s’expriment en fonction des données du problème :   R2S − R2L  1  xS = d +  2 d   R2S − R2L  1   xL = d − 2 d

(11.153) (11.154)

Dans la figure 11.17, la surface hachurée, qui correspond à la surface du Soleil masquée par la Lune, est calculée par la somme de l’aire des deux lunules A1 et A2 telles que : A1 = αL R2L − yxL

(11.155)

αS R2S

(11.156)

A2 =

− yxS

Figure 11.17 – Calcul géométrique du degré d’obscuration et de la grandeur d’une éclipse de Soleil.

Le degré d’obscuration S 0 correspond alors à la surface hachurée rapportée à la surface du disque solaire : A1 + A2 αL R2L + αS R2S − yd 0 S = = (11.157) πR2S πR2S 795

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE L’expression est générale et s’applique le plus souvent à l’instant du maximum du phénomène (ou du minimum de séparation). Pour une éclipse annulaire au maximum sur la ligne de centralité (d = 0, αL = π et αS = 0), on a : RL S = RS

!2

0

(11.158)

Pour une éclipse totale, on a S 0 = 1. La grandeur d’une éclipse g est calculée de façon immédiate dans le cas d’une éclipse partielle : 1 (RS + RL − d) g= (11.159) 2RS La condition d’existence d’une éclipse depuis un lieu donné d ≤ RS + RL garantit que la grandeur est toujours une quantité positive. Dans le cas d’une éclipse annulaire ou totale, on a g = RL /RS .

11.4.15

Angle de position

L’angle de position d’un contact est l’angle au pôle Q de la direction du pôle Nord céleste avec l’arc du grand cercle horaire joignant les centres S et L du Soleil et de la Lune, compté positivement vers l’est, dans le sens nord-est-sud-ouest (figure 11.18). D’après les équations 11.89 et 11.90, il est donné par : tan Q =

x−ξ y−η

(11.160)

Pour les contacts intérieurs, l’angle de position est donné par Q + 180◦ . L’angle au zénith Z d’un contact a une définition analogue à celle de Q, mais il s’agit cette fois de l’angle avec le vertical du centre du Soleil. Il est donné par : Z = Q−Γ

(11.161)

où Γ est l’angle parallactique donné par : tan Γ = 796

ξ η

(11.162)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Figure 11.18 – Angle de position.

11.4.16

Cartes d’éclipse

Le premier tracé connu d’une carte d’éclipse remonte au xviie siècle avec l’éclipse du 12 août 1654. Les calculs se basaient alors sur les Tables rudolphines de Johannes Kepler. Au début du siècle suivant, Edmund Halley (1656-1742) fut le premier à appliquer la nouvelle théorie de Newton au calcul de l’éclipse du 22 avril 1715. Par la suite, toutes sortes de raffinements ont peu à peu donné aux cartes d’éclipses l’aspect qu’on leur connaît actuellement, avec abondance d’informations sur les limites de visibilité de l’éclipse à la surface de la Terre, les contours de l’ombre de la Lune ou encore la visibilité au lever et au coucher du Soleil. Ainsi, la visibilité d’une éclipse peut-elle être appréhendée d’un seul regard. La première carte d’éclipse apparaît dans la Connaissance des temps pour 1802 (figure 11.19). Par la suite, elles sont présentées de façon sporadique : cela dépend principalement si l’éclipse touche la France ou non. La publication systématique de cartes d’éclipses ira de pair avec la montée progressive à partir des années 1830 des mouvements de vulgarisation scientifique. En 1835, François Arago (1786-1853), l’une des autorités scientifiques suprêmes en France, puisqu’il est tout à la fois secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences et directeur du Bureau des longitudes, décide de créer les Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences et de rendre ainsi publics les débats de l’Académie. Les cartes d’éclipses deviennent régulières dans la Connaissance des temps à partir de 1863 sous l’impulsion de Paul Laugier (1812-1872), qui a travaillé 797

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE aux côtés d’Arago, notamment lors de l’éclipse totale de Soleil du 8 juillet 1842, l’une des premières observations d’éclipse de Soleil à but scientifique. Pour l’occasion, la carte de l’éclipse fut publiée dans la Connaissance des temps. Cette observation permettra de mieux appréhender la couronne solaire avec l’étude de sa polarisation et d’obtenir le premier daguerréotype du Soleil.

Figure 11.19 – Première carte d’éclipse publiée dans la Connaissance des temps pour 1802 : éclipse annulaire du 28 août 1802.

11.4.16.1

Limites au lever et au coucher du Soleil

Les courbes limites au lever et au coucher du Soleil sont les courbes qui regroupent tous les points de la Terre à partir desquels l’éclipse peut être vue commençant ou finissant avec le Soleil à l’horizon. Par conséquent, la seule condition à respecter pour l’observateur est de se trouver dans le plan fondamental, ce qui se traduit par ζ1 = 0 et d’avoir ∆ = le . D’après l’équation11.61, cela impose donc d’avoir : ξ2 + η21 = 1

798

(11.163)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Figure 11.20 – Positions de l’observateur et du centre du cône d’ombre dans le plan fondamental.

Pour trouver le lieu sur Terre où cette condition est respectée à un instant donné, on introduit les quantités suivantes telles que (figure 11.20) : m sin M = x

(11.164)

m cos M = y

(11.165)

ρ sin γ = ξ

(11.166)

ρ cos γ = η

(11.167)

et :

Ces équations sont introduites dans le système 11.89,11.90 qui devient : le sin Q = m sin M − ρ sin γ

(11.168)

le cos Q = m cos M − ρ cos γ

(11.169)

Après élévation au carré et sommation, on en déduit alors l’équation suivante qui permet de déterminer l’angle γ : l2 − (m − ρ)2 1 2sin2 (γ − M) = 1 − cos (γ − M) = e 2 2mρ 799

(11.170)

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE Si on pose λ = M − γ, on a le système suivant : s (le + m − ρ) (le − m + ρ) λ sin = ± 2 4mρ γ = M±λ

(11.171) (11.172)

Dans ces relations, seule la variable ρ est inconnue. On pose alors ξ = sin γ0 de telle sorte que η1 = cos γ0 compte tenu de la condition déterminante 11.163 qui relie ξ et η1 . Puisque η = ρ1 η1 , selon 11.166 et 11.167, on en déduit les équations suivantes : sin γ0 cos γ0 = ρ = ρ1 sin γ cos γ

(11.173)

et : tan γ0 = ρ1 tan γ Dans la pratique, la résolution du problème se fait itérativement. Il suffit à la première itération de considérer que l’on a ρ = 1, ce qui permet d’en déduire une première solution pour γ puis pour γ0 . À partir de ces solutions, on obtient une seconde approximation de ρ à l’aide de l’équation 11.173 avec laquelle on réitère le processus jusqu’à convergence. Une fois la convergence atteinte, les coordonnées du lieu correspondant sont données par les relations ξ = sin γ0 , η1 = cos γ0 et ζ1 = 0. Il suffit ensuite d’appliquer la procédure de la section 11.4.3.4 pour obtenir les coordonnées en longitude et latitude sur Terre. Pour déterminer ensuite si les solutions trouvées correspondent au début ou à la fin de l’éclipse, il suffit d’avoir recours au signe de la quantité P0 donné par l’équation 11.96. Le cas particulier de la détermination des instants des premier et dernier contacts s’obtient à l’aide de la condition λ = 0 qui stipule que le cône d’ombre (respectivement de pénombre) vient tangenter la surface du sphéroïde terrestre (voir section 11.4.5.1).

11.4.16.2

Courbes du maximum d’éclipse à l’horizon

Il convient de reprendre la condition générale qui caractérise le maximum d’une éclipse pour un instant donné et qui est donné par la condition P0 = 0 où P0 est donné par l’équation 11.96. À cela, il nous faut imposer comme condition supplémentaire que le Soleil se trouve à l’horizon, en d’autres termes ζ1 = 0. On peut également admettre avec une bonne approximation que ζ = 0. D’après l’équation 11.61, le système à résoudre est donc le suivant : a˙ − b˙ cos Q + c˙ sin Q = 0 ξ + 2

800

η21

=1

(11.174) (11.175)

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL En reprenant les notations des équations 11.164-11.165 et 11.166-11.167, le système d’équations 11.89-11.90 s’écrit dès lors : ∆ sin Q = x − ξ = m sin M − ρ sin γ

(11.176)

∆ cos Q = y − η = m cos M − ρ cos γ

(11.177)

qu’on réécrit sous la forme : 0 = m sin (M − Q) − ρ sin (γ − Q)

(11.178)

∆ = m cos (M − Q) − ρ cos (γ − Q)

(11.179)

On pose ψ = γ − Q et on a : m sin (M − Q) ρ ∆ = m cos (M − Q) − ρ cos ψ

sin ψ =

(11.180) (11.181)

La résolution de l’équation 11.174 donne deux solutions pour Q. Pour chacune de ces solutions, le système 11.180-11.181 permet de déduire deux solutions pour ψ et donc pour γ. Les conditions sin ψ ≤ 1 et ∆ ≤ le permettent d’écarter l’une de ces deux solutions. Comme précédemment (section 11.4.6.2), du fait de la condition 11.175, la résolution se fait itérativement en posant ρ = 1 à la première itération et en répétant la procédure jusqu’à convergence sur les angles γ et γ0 .

11.4.16.3

Courbe de centralité

Par définition, la courbe de centralité contient l’ensemble des points sur Terre par lesquels passe l’axe du cône d’ombre. Par conséquent, en chacun de ces lieux, les conditions suivantes doivent être respectées : ξ=x

(11.182)

η=y

(11.183)

La figure 11.21 donne la distribution des bandes de centralité de l’ensemble des éclipses totales et mixtes (annulaires et totales alternativement) entre 2017 et 2042. La figure 11.22 donne la distribution des bandes de centralité de l’ensemble des éclipses annulaires entre 2017 et 2042. 801

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

Figure 11.21 – Bandes de centralité des éclipses totales et mixtes entre 2017 et 2042 (projection de Hammer).

Figure 11.22 – Bandes de centralité des éclipses annulaires entre 2017 et 2042 (projection de Hammer).

802

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL 11.4.16.4

Contour de l’ombre de la Lune sur Terre

Le contour de l’ombre est donné par l’intersection du cône d’ombre avec la surface terrestre. En un lieu quelconque de ce contour sur Terre, le système d’équations suivant doit être vérifié d’après l’équation 11.12 : (ui − ζ tan fi ) sin Q = x − ξ

(11.184)

(ui − ζ tan fi ) cos Q = y − η

(11.185)

À l’aide des notations introduites dans la section 11.4.3.3 pour tenir compte de l’aplatissement terrestre, et en assimilant ζ à ζ1 , on obtient le système suivant à résoudre en (ξ, η1 , ζ1 ), entièrement déterminé à tout instant pour chaque valeur de l’angle de position Q que l’on fait varier entre 0◦ et 360◦ pour décrire l’ensemble du contour lunaire : (ui − ζ1 tan fi ) sin Q = x − ξ

(11.186)

(ui − ζ1 tan fi ) cos Q = y − ρ1 η1

(11.187)

ξ + 2

11.4.16.5

η21

+

ζ12

=1

(11.188)

Limites septentrionale et australe

Les courbes de limite nord et sud des cônes d’ombre et de pénombre peuvent être définies comme celles n’ayant qu’un seul point de contact entre les disques solaire et lunaire. Cela peut être formulé autrement en reconnaissant que, dans ce cas, le point de contact est aussi le point de maximum de l’éclipse. Par conséquent, selon la condition générale qui caractérise le maximum d’une éclipse pour un instant donné, on a : P0 = 0

(11.189)

où P0 est donné par l’équation 11.96. Le problème se ramène donc à résoudre l’équation suivante :   a˙ − b˙ cos Q + c˙ sin Q − ζ µ˙ cos d sin Q − d˙ cos Q = 0 (11.190) Les inconnues sont l’angle de position Q et la coordonnée ζ. La procédure de résolution est itérative. Une valeur initiale de Q est déterminée à partir de la relation 11.100 en faisant l’approximation a˙ = 0 et en supposant ζ = 0 comme valeur initiale. L’angle Q est ensuite incrémenté d’un degré jusqu’à ce que l’équation 11.190 change de signe par deux fois. À chaque changement de signe, la valeur précise de Q est déterminée par interpolation inverse. Pour chacune des valeurs trouvées, on itère alors sur ζ en utilisant 803

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE les éléments de Bessel pour les cônes d’ombre (indice i pour les quantités l, u, f ) et de pénombre (indice e) : l = u − ζ tan f

(11.191)

ξ = x − l sin Q (y − l cos Q) η1 = ρ1 2 2 ζ1 = 1 − ξ − η21

(11.192) (11.193) (11.194)

On obtient alors une nouvelle valeur de ζ1 ≥ 0, puis de ζ, d’après l’équation 11.62. Celle-ci est ensuite injectée dans l’équation 11.190. Le processus est répété jusqu’à convergence. Si l cos Q < 0, alors le lieu trouvé appartient à la limite septentrionale. Si l cos Q > 0, alors le lieu trouvé appartient à la limite australe.

11.4.17

Exemple : éclipse annulaire du 1er septembre 2016

À titre d’application, voici la carte de visibilité de l’éclipse annulaire du 1er septembre 2016 (figure 11.23), suivie des éléments de Bessel du phénomène.

Éléments de Bessel calculés pour le 1er septembre 2016 à 9 h TT (t = 0)

x = −0.16139604 +0.50383670 t + 0.00006834 t2 −0.00000628 t3 y = −0.29965294 −0.14778479 t − 0.00005134 t2 +0.00000178 t3 sin d = +0.14026708 −0.00025546 t − 0.00000004 t2 −0.00000000 t3 cos d = +0.99011370 +0.00003651 t − 0.00000003 t2 −0.00000000 t3 µ = +315.0326657 +15.0045384 t + 0.00000035 t2 +0.00000002 t3 ue = +0.55794727 +0.00021142 t − 0.00001051 t2 +0.00000000 t3 ui = −0.01150413 −0.00021037 t + 0.00001046 t2 −0.00000000 t3 tan fe = 0.0046339457 tan fi = −0.0046108585 804

11.4. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL

Figure 11.23 – Carte de visibilité de l’éclipse annulaire de Soleil du 1er septembre 2016.

Instant de la conjonction géocentrique en ascension droite

Date : 1er septembre 2016 à 9 h 19 min 12.740 s TT Ascension droite du Soleil : 10 h 43 min 45.029 s TT Déclinaison du Soleil : 8◦ 30 27.79600 Ascension droite de la Lune : 10 h 43 min 45.029 s TT Déclinaison de la Lune : 7◦ 440 8.68000 Parallaxe équatoriale du Soleil : 8.714 6300 Parallaxe équatoriale de la Lune : 0◦ 550 48.3200 Demi-diamètre vrai du Soleil : 150 51.4300 Demi-diamètre vrai de la Lune : 150 12.0400 Instant du maximum du phénomène : 1er septembre 2016 à 9 h 08 min 3.014 s TT Grandeur : 0.974 42

805

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE La figure 11.24 présente les photographies des phases principales de la centralité de l’éclipse annulaire du 1er septembre 2016. Au début et à la fin de la centralité, un phénomène très particulier survient, uniquement visible dans le cas des éclipses annulaires, celui des grains de Baily, du nom de l’astronome anglais Francis Baily (1774-1844), qui les a observés la première fois lors de l’éclipse annulaire du 15 mai 1836. Ce phénomène résulte des irrégularités du profil lunaire, qui laisse passer la lumière solaire dans le cas de plaines, la bloquant dans le cas des montagnes. Ces grains de lumière sont très difficiles à observer à l’œil nu et leur visibilité ne dure que de 5 à 10 secondes. Ce phénomène explique pourquoi il est impossible de prédire les phases d’une éclipse de Soleil à mieux que 2 ou 3 secondes si l’on ne prend pas en compte le profil lunaire et que l’on considère la Lune comme un disque parfaitement lisse et circulaire. Le service en ligne de calcul des éclipses de Soleil est disponible sur le portail des formulaires de calcul de l’IMCCE (https://ssp.imcce.fr/forms/solar-eclipses).

Figure 11.24 – Phases de l’éclipse annulaire de Soleil du 1er septembre 2016 observée depuis Saint-Louis sur l’île de La Réunion. Les instants sont donnés en Temps universel coordonné. La grandeur était de 0.971 et l’obscuration de 94.22%.

11.5

Les éclipses de Lune

Une éclipse de Lune survient lorsque la Lune passe dans l’ombre de la Terre. Les éclipses de Lune ne peuvent se produire que lorsque la Lune est en opposition au Soleil vis-à-vis de la Terre, c’est-à-dire en phase de pleine lune. La Terre s’interpose alors entre le Soleil et la Lune, bloquant tout ou partie du rayonnement solaire qui vient éclairer la Lune. Si la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, ne sortait pas du plan de l’écliptique, il y aurait une éclipse de Lune à chaque opposition. En raison de l’inclinaison de l’orbite lunaire sur le plan de l’écliptique, il ne peut y avoir d’éclipse de Lune qu’à la condition 806

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE supplémentaire que la latitude écliptique géocentrique de la Lune soit plus faible que le rayon angulaire de l’ombre (toujours < 1◦ ), donc à condition qu’elle se trouve proche de l’un de ses nœuds. On distingue les éclipses partielles des éclipses totales. Il se produit une éclipse partielle lorsque la Lune se trouve en partie plongée dans le cône d’ombre, et une éclipse totale par l’ombre lorsque le disque lunaire pénètre entièrement dans l’ombre. La totalité commence et finit lorsque le disque est tangent intérieurement au contour de l’ombre. Il se produit une éclipse totale par la pénombre lorsque le disque lunaire se retrouve complètement immergé dans la zone de pénombre sans jamais entrer dans l’ombre.

11.5.1 11.5.1.1

Conditions d’une éclipse de Lune De la possibilité des éclipses de Lune

Dans le cône d’ombre géométrique de sommet A, formé par les rayons du Soleil tombant tangentiellement à la Terre, on peut exprimer en rayons terrestres la distance moyenne du sommet A au centre de la Terre T (figure 11.25). Pour cela, on considère les triangles semblables APT et AES . Soit RS et RT les rayons du Soleil et de la Terre respectivement et r s la distance Terre-Soleil (T S ) : AT PT RT = = AS ES RS

(11.195)

On en déduit la distance AT : AT RT AT = = TS rS RS − RT AT =

RT 1−

RT RS

rS RT ≈ RS sin s s

(11.196)

En prenant RS = 109.12RT , où RT est le rayon de la Terre et s s = 0.266 5638◦ , le rayon apparent du Soleil, on a alors AT = 215RT . Contrairement aux éclipses de Soleil où l’ombre et la pénombre sont occasionnées par un astre sans atmosphère (la Lune), dans le cas des éclipses de Lune, on doit tenir compte des effets de l’atmosphère terrestre dans le calcul des limites des cônes géométriques d’ombre et de pénombre projetés par la Terre et représentés sur la figure 11.25. Ces effets liés à l’atmosphère proviennent de la réfraction qui provoque une déviation des rayons solaires vers l’intérieur du cône d’ombre. Il s’agit alors de déterminer à partir de quelle altitude minimale les effets de réfraction deviennent insensibles. La déviation des rayons lumineux est maximale pour des rayons rasant le sol. 807

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE B or dd uc ône

E

de pén om bre

P

RL Lσ A

Q

u cône B ord dπ

πL ρ

e d’ombr

Rs

S

RT

ss rs

T

S

Figure 11.25 – Géométrie générale d’une éclipse de Lune.

Figure 11.26 – Cône d’ombre complète et limites de la zone de lumière solaire réfractée.

Connaissant la valeur de la réfraction à l’horizon (valeur de 36.60 utilisée par l’IMCCE), on peut calculer la distance du sommet du cône de lumière réfractée. Sachant que la déviation totale des rayons solaires lors de la traversée de l’atmosphère terrestre est égale au double de la réfraction horizontale, il suffit alors de considérer une taille apparente du Soleil augmentée de 700 dans la formule 11.196. On en déduit la distance au sommet du 808

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE cône de lumière réfractée qui est de 40 rayons terrestres. Comme la distance Terre-Lune varie entre 56 et 63.8 rayons terrestres, la Lune éclipsée ne se trouvera donc jamais dans le cône d’ombre complète (zone située à l’intérieur de 40 rayons terrestres). Par conséquent, elle ne sera jamais complètement obscure, mais prendra une teinte plus ou moins cuivrée (figure 11.26). La couleur rubiconde de la Lune en éclipse totale résulte d’un second phénomène atmosphérique : la diffusion de la lumière solaire dans toutes les directions par les molécules et les aérosols présents dans l’atmosphère. Cette diffusion est très marquée pour les radiations bleues, beaucoup moins pour les radiations rouges qui ont tendance à poursuivre leur chemin en ligne droite. En phase d’éclipse totale, les rayons les plus réfractés sont ceux qui traversent les couches basses de l’atmosphère, ce sont aussi les plus diffusés, car ils traversent une couche plus épaisse d’atmosphère. C’est pourquoi ces rayons solaires directs sont essentiellement rouges en sortie d’atmosphère, donnant au centre du cône d’ombre une teinte rouge cuivrée. La figure 11.27 montre le changement de coloration de la Lune pour différentes phases de l’éclipse totale de Lune du 21 janvier 2019. La lumière diffusée ne contribue plus à l’éclairage direct et le flux lumineux reçu par les régions lunaires est fortement affaibli près du centre de l’ombre. La figure 11.28 représente la variation de l’éclairement exprimée en magnitude. Une chute en magnitude de 10 équivaut à une réduction de l’éclairement d’un facteur 10 000. Dans la section suivante, on verra comment prendre en compte cet effet dans le calcul de la taille des cônes d’ombre et de pénombre.

11.5.1.2

Taille apparente des cônes d’ombre et de pénombre

Soit la tangente commune extérieure EP au Soleil S en E, à la Terre T en P et à la Lune L en Q (figure 11.25). Soit ρ et σ les demi-diamètres apparents géocentriques de l’ombre et de la pénombre à la distance de la Lune. Soit les parallaxes horizontales du Soleil et de la Lune π s = RT /r s et πL = RT /rL et les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune s s et sL . Soit βL l’angle LT A qui est la latitude de la Lune au moment du contact avec le cône d’ombre βL = ρ + sL . On considère les triangles AET et LAT du cône d’ombre, dans lesquels on écrit que la somme des angles intérieurs est égale à 180◦ , autrement dit que la somme de deux angles intérieurs est égale au troisième angle extérieur : PAT + πS = sS

(11.197)

ρ + PAT = πL

(11.198)

On obtient alors directement le demi-diamètre apparent du cône d’ombre à la distance de la Lune. ρ = πL + πS − s s (11.199) 809

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

Figure 11.27 – Principales phases de l’éclipse totale de Lune du 21 janvier 2019 observée depuis l’Observatoire de Paris. La trace des cônes d’ombre et de pénombre à la distance de la Lune est également représentée. La coloration jaunâtre de la Lune en sortie d’éclipse résulte de la faible hauteur de la Lune au-dessus de l’horizon et d’un effet de réfraction classique de l’atmosphère terrestre.

Un raisonnement analogue permet d’obtenir le demi-diamètre apparent du cône de pénombre à la distance de la Lune. σ = π L + πS + s s

(11.200)

Comme expliqué précédemment, le trajet géométrique des rayons lumineux est soumis à la réfraction atmosphérique. L’atmosphère terrestre n’a pas de limite déterminée, c’est pourquoi une limite supérieure est adoptée à laquelle la réfraction atmosphérique n’a plus d’effets sensibles. Notre connaissance actuelle des répartitions des densités dans l’atmosphère suivant la verticale, ainsi que des mesures effectives de l’ombre de la Terre durant des éclipses de Lune, conduisent à prendre 75 km pour valeur limite. Cela se traduit 810

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE

6

8

10

0

2

1

O4 : Sortie de l’ombre : 6:50:39.2 UTC

4

O3 : Fin de la totalité : 5:43:16.3 UTC

2

O1 : Entrée dans l’ombre : 3:33:53.3 UTC

Chute en magnitude

0

Maximum de l’éclipse : 5:12:16.2 UTC

O2 : Début de la totalité : 4:41:16.1 UTC

–2

3

4

Temps écoulé depuis le 21 janvier 2019 à 3:16:39 UTC (en heures)

Figure 11.28 – Courbe de lumière de l’éclipse totale de Lune du 21 janvier 2019.

dans les calculs par une augmentation du rayon équatorial terrestre de 1/85 en valeur relative. D’autre part, la parallaxe de la Lune qui est utilisée dans le calcul des cônes d’ombre et de pénombre n’est pas la parallaxe horizontale lunaire, mais une parallaxe moyenne qui prend en compte la forme non sphérique de la Terre. Celle-ci est représentée sous la forme d’un sphéroïde aplati aux pôles. Si RE désigne le rayon équatorial et RP le rayon polaire, l’aplatissement f et l’excentricité du sphéroïde terrestre e sont définis de la façon suivante : RP = 1/298.257 RE R2P 2 e = 1 − 2 = 0.006 694 38 RE f =1−

RE = 6 378.1370 km Le rayon terrestre en un lieu quelconque de latitude ϕ est donné par : s ! 1 − 2e2 sin2 ϕ + e4 sin2 ϕ e2 R(ϕ) = RE = RE 1 − sin2 ϕ + O(e4 ) 2 2 2 1 − e sin ϕ

(11.201) (11.202) (11.203)

(11.204)

La parallaxe moyenne de la Lune est calculée à partir du rayon moyen de la Terre correspondant à un point de latitude 45◦ . En portant ϕ = 45◦ dans l’équation 11.204 et en utilisant la relation 1 − e2 = (1 − f )2 , le rayon moyen de la Terre est alors sensiblement égal à RE (1 − 2f ), ce qui entraîne une diminution en valeur relative du rayon équatorial de la Terre d’une quantité égale à f /2 soit 1/594. La combinaison de ces deux corrections 811

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE appliquées au rayon équatorial moyen de la Terre est équivalente à une augmentation de la parallaxe lunaire d’un facteur 1 + 1/85 − 1/594 = 1.0101 selon la méthode d’André Danjon (1890-1967) (Danjon, 1980). Cela entraîne une augmentation du demi-diamètre géocentrique apparent de l’ombre ρ de 1/73 et une augmentation du demi-diamètre géocentrique apparent de la pénombre σ de 1/128.

11.5.1.3

Critère en latitude

Le critère en latitude d’existence d’une éclipse de Lune se détermine à partir de l’étude du mouvement synodique de la Lune, qui est le mouvement de la Lune rapporté à celui du centre de l’ombre de la Terre. Il fait appel à la notion d’orbite relative de la Lune qui est légèrement différente de l’orbite lunaire vraie. L’orbite relative est cependant peu éloignée de l’orbite vraie en raison d’un déplacement de l’ombre beaucoup plus lent que celui de la Lune. Pour le comprendre, on considère la figure 11.29 dans laquelle l’orbite lunaire est tracée par rapport à l’écliptique au voisinage de l’un de ses nœuds. Le point Q représente la position du centre de l’ombre pure au moment de sa conjonction en longitude avec la Lune figurée par le point L. La latitude écliptique de la Lune est à ce moment égale à βL . Une heure après, la Lune est venue en L0 et le centre du cône d’ombre est venu en Q0 . Les mouvements horaires en longitude sont donnés par la quantité QD = M pour la Lune et par la quantité QQ0 = m pour le Soleil. Le mouvement horaire relatif de la Lune en longitude est donc donné par Q0 D = M − m. Relativement au centre du cône d’ombre, la Lune est passée à une position L1 obtenue géométriquement par l’intersection de la parallèle à L0 Q0 menée à partir du centre du cône d’ombre Q avec la parallèle à l’écliptique menée à partir de la position L0 de la Lune. La quantité La = l représente le mouvement horaire en latitude de la Lune relativement au centre de l’ombre. La ligne N 0 LL1 donne l’orbite relative de la Lune dans son mouvement synodique par rapport au centre de l’ombre pure. L’inclinaison de cette orbite relative est notée I 0 . Elle se déduit de l’inclinaison I de l’orbite lunaire à partir de l’équation 11.4 déjà obtenue dans le cas des éclipses de Soleil. Au voisinage de la nouvelle lune et de la pleine lune, l’inclinaison est maximale, il convient donc de prendre I = 5◦ 170 . L’inclinaison relative I 0 est également donnée par la relation : l tan I 0 = (11.205) M−m

Soit dm le minimum de la séparation angulaire entre la Lune et le centre du cône d’ombre, la séparation angulaire minimale apparente géocentrique s’écrit alors : dm = βL cos I 0 812

(11.206)

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE

Orb ite rel e la ed

v ati ne Lu

L'

L1 M − m a l

L Orb ite d

βL

e la

dm

D

M− m

Q'

Lun

e

I

I'

N'

Q

Écliptique N[œud]

Centre du cône d’ombre

Figure 11.29 – Orbite relative de la Lune par rapport au centre du cône d’ombre.

La condition pour qu’une éclipse de Lune par l’ombre puisse se produire est : dm < ρ∗ + sL βL cos I 0 < (1 +

(11.207) 1 )(πL + πS − s s ) + sL 73

(11.208)

où il a été tenu compte des effets de la réfraction atmosphérique décrits précédemment en remplaçant ρ par ρ∗ = (1 + 1/73)ρ. La table 11.2 donne les valeurs extrêmes des différents paramètres qui interviennent dans les critères précédents. Les valeurs données dans une même colonne n’ont donc pas de lien entre elles. Elle reprend pour l’essentiel les valeurs de la table 11.1. L’angle I 0 est calculé à partir de l’inclinaison I au moyen de l’équation 11.4. Quant à la quantité λ, déjà introduite dans la section 11.4.2.2, elle représente le mouvement en longitude de la Lune rapporté à celui du Soleil. λ est maximum lorsque la Lune est à son périgée et minimum à son apogée.

À partir des valeurs des paramètres donnés dans la table 11.2, on peut en déduire les valeurs extrêmes de la latitude de la Lune issues du critère donné par l’équation 11.208. La valeur maximale correspond à une Lune périgée avec le Soleil à l’aphélie, soit βLMax 813

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

Table 11.2 – Valeurs extrêmes et moyennes des paramètres d’une éclipse de Lune.

Paramètre

Maximum

Minimum

Moyenne

λ I0 1/cos I 0 πL πs sL ss ρ∗ σ∗

16.19 5◦ 480 1.00517 1◦ 10 2700 8.9600 160 4500 160 1800 460 2700 1◦ 180 3000

10.89 5◦ 370 1.00484 530 5300 8.6500 140 4100 150 4600 380 1500 1◦ 100 2000

13.5 5◦ 420 1.00497 570 2.700 8.8000 150 32.5800 150 59.6300 410 45.7300 1◦ 130 4500

= 1◦ 030 30.6900 . La valeur minimale correspond à une Lune apogée avec le Soleil au périhélie βLMin = 530 12.3900 . On peut alors conclure qu’une éclipse par l’ombre sera certaine si |βL | < βLMin ; elle sera possible (éclipse par l’ombre ou par la pénombre) si βLMin < |βL | < βLMax . En aucun cas, il ne peut y avoir éclipse par l’ombre si |βL | > βLMax .

Pour qu’il se produise une éclipse totale de Lune, la condition s’écrit : dm < ρ∗ − sL βL cos I 0 < (1 +

(11.209) 1 )(πL + πS − s s ) − sL 73

(11.210)

De même, on en déduit le critère sur la latitude de la Lune au moment de la conjonction pour avoir une éclipse totale de Lune avec βLMax = 290 50.9500 et βLMin = 230 41.2800 . La condition pour qu’une éclipse de Lune par la pénombre puisse se produire est : dm < σ∗ + sL βL cos I 0 < (1 +

(11.211) 1 )(πL + πS + s s ) + sL 128

(11.212)

où il a été tenu compte des effets de la réfraction atmosphérique en remplaçant σ par σ∗ = (1 + 1/128)σ. Les valeurs extrêmes de la latitude de la Lune sont βLMax = 1◦ 350 10.4500 et βLMin = 1◦ 260 0.4700 . Si l’on rapproche les conditions de possibilité d’une éclipse de Lune de celles obtenues pour une éclipse de Soleil (voir section 11.4.2.2), on remarque que la condition en latitude d’une éclipse de Lune par la pénombre est très sensiblement équivalente à celle d’une 814

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE éclipse partielle de Soleil. Cependant, les éclipses de Lune par la pénombre sont très difficilement observables, aussi seules les éclipses de Lune par l’ombre retiennent-elles l’attention. Dans ce cas, la condition trouvée est à rapprocher de celle obtenue pour une éclipse de Soleil centrale. Il y a donc en moyenne autant d’éclipses de Soleil centrales que d’éclipses de Lune par l’ombre (totale ou partielle).

11.5.2

Calcul d’une éclipse de Lune

Au lieu d’employer les coordonnées écliptiques pour la détermination des circonstances d’une éclipse de Lune, on peut faire usage des coordonnées équatoriales. Puisque la Terre se déplace autour du Soleil, l’ombre de la Terre a un mouvement de translation. Ce mouvement est dans le même sens que celui du Soleil ; ainsi, les mouvements en longitude et en ascension droite de l’intersection de l’axe du cône d’ombre avec la voûte céleste du côté opposé au Soleil sont les mêmes, en grandeur et en signe, que ceux du Soleil. Cependant, si le Soleil a une déclinaison sud, le point d’intersection aura une déclinaison nord, et son mouvement en déclinaison sera sud si celui du Soleil est nord. On considère l’orbite relative de la Lune dans un système centré sur le cône d’ombre et dont les axes Q x et Qy représentent respectivement un parallèle à l’équateur céleste et un cercle horaire. De la même façon que pour les éclipses de Soleil, on peut définir l’orbite relative de la Lune par rapport au centre de l’ombre pure. En reprenant les mêmes notations, soit M = ∆αL et m = ∆αS les mouvements horaires en ascension droite de la Lune et du Soleil, et δ la déclinaison du centre du cône d’ombre au moment de l’opposition en ascension droite, déclinaison égale à celle du Soleil en valeur absolue, mais de signe contraire. Le mouvement horaire relatif de la Lune sur le parallèle s’écrit (M − m) cos δ (figure 11.30). On introduit également le mouvement horaire relatif de la Lune en déclinaison par rapport à celui du centre du cône d’ombre noté l = ∆δL + ∆δS . On désigne par yO la quantité LQ qui est la différence de déclinaison entre les centres du cône d’ombre et de la Lune au moment de l’opposition en ascension droite de la Lune et du Soleil (ou de la conjonction entre la Lune et l’ombre) t0 (x = 0 , y = yO ) ; par θ l’inclinaison de l’orbite relative de la Lune sur le parallèle. Enfin, dm est le minimum de la séparation angulaire entre la Lune et le centre du cône d’ombre. On peut écrire la relation : l tan θ = (11.213) (M − m) cos δ Dans une première approximation, les mouvements horaires sont supposés constants pour toute la durée du phénomène. Le milieu de l’éclipse aura lieu à tm quand la Lune sera en E, sur la perpendiculaire QE à l’orbite relative. La distance QE est donc le minimum de séparation angulaire dm entre la Lune et le centre du cône d’ombre : dm = yO cos θ. 815

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

Figure 11.30 – Phases d’une éclipse de Lune.

Soit tm − tO le temps écoulé entre l’instant du milieu de l’éclipse tm et l’instant de l’opposition tO . Il s’obtient au moyen de la distance LE parcourue pendant l’intervalle de temps tO − tm , exprimé en heures, à la vitesse synodique (M − m) cos δ/cos θ : (M − m) cos δ (tO − tm ) cos θ yO sin θ cos θ tO − tm = (M − m) cos δ

LE = yO sin θ =

(11.214) (11.215)

L’usage de ces formulaires nécessite au préalable le calcul précis de la conjonction en ascension droite (yO et tO ) et des vitesses relatives en déclinaison et ascension droite l, m et M. Pour cela, il faut disposer des coordonnées équatoriales de la Lune et du Soleil autour de la date de l’opposition. On n’oubliera pas que l’ascension droite du centre de l’ombre varie comme celle du Soleil dont elle diffère de 12 h, mais que la déclinaison de l’ombre et sa variation sont opposées à celles du Soleil. On peut alors calculer par une interpolation polynomiale numérique les quantités désirées. L’approximation du mouvement uniforme sur la durée de l’éclipse ne produit pas d’erreurs de plus de deux secondes sur les instants 816

11.5. LES ÉCLIPSES DE LUNE des différents contacts. Il en va de même pour le calcul de l’instant tm et de la séparation dm par la recherche numérique du minimum de la séparation angulaire autour de l’opposition en ascension droite.

11.5.3

Phases d’une éclipse de Lune

Pour le calcul des différentes phases d’une éclipse de Lune, il est plus aisé et plus précis de considérer numériquement le problème. Il suffit pour cela de calculer pour chaque instant la valeur de la séparation angulaire entre le centre de la Lune et celui du cône d’ombre, ainsi que les tailles des cônes d’ombre et de pénombre. Cette valeur est ensuite comparée aux quantités suivantes afin de déterminer les instants de début et de fin d’éclipse par la pénombre, ainsi que les instants de début et fin d’éclipse par l’ombre quand ceux-ci existent. La détermination des instants des différentes phases d’une éclipse de Lune passe par la comparaison de la séparation d = QL, entre le centre du cône d’ombre et celui de la Lune, à la somme ou la différence – selon la phase considérée – des demi-diamètres géocentriques apparents des cônes d’ombre (ρ∗ ) et de pénombre (σ∗ ) et du demi-diamètre apparent de la Lune (sL ). Cela donne un ensemble de quatre équations à résoudre ; les phases P1, P2, O1 et O2 sont représentées graphiquement sur la figure 11.30 : • instants des premier (P1) et dernier (P2) contacts extérieurs avec le cône de pénombre : d = σ∗ + sL ; • instants des premier (O1) et dernier (O2) contacts extérieurs avec le cône d’ombre : d = ρ∗ + s L ; • instants des premier (P3) et dernier (P4) contacts intérieurs avec le cône de pénombre : d = σ∗ − sL ; • instants des premier (T 1) et dernier (T 2) contacts intérieurs avec le cône d’ombre : d = ρ∗ − s L .

11.5.4

Angle de position

Si on désigne par ω l’angle MQE (voir figure 11.30), on a d cos ω = dm . Ainsi, la connaissance de la séparation d pour chaque phase de l’éclipse permet de déterminer l’angle de position P des différents contacts sur le limbe lunaire : • • • •

pour le premier contact extérieur : P = −θ + ω ; pour le dernier contact extérieur : P = −θ − ω ; pour le premier contact intérieur : P = 180◦ − θ + ω ; pour le dernier contact intérieur : P = 180◦ − θ − ω. 817

CHAPITRE 11. LES ÉCLIPSES DE SOLEIL ET DE LUNE

11.5.5

Grandeur d’une éclipse de Lune

On cherche à déterminer la quantité du diamètre lunaire qui sera éclipsée. Cette quantité, rapportée au diamètre apparent de la Lune, est appelée grandeur de l’éclipse. Elle se détermine comme suit. À l’instant du minimum de séparation, la séparation entre le centre de la Lune et celui du cône d’ombre est donnée par dm (équation 11.206). La quantité de diamètre lunaire éclipsée dans le cas d’une éclipse par l’ombre est donnée par :
sL − dm − ρ∗ = sL + (1 + 1/73)ρ − dm La grandeur d’une éclipse par l’ombre est donc égale à g tel que : g=

sL + (1 + 1/73)ρ − dm 2sL

(11.216)

Dans le cas d’une éclipse par la pénombre, on a : g=

sL + (1 + 1/128)σ − dm 2sL

(11.217)

Plus la Lune passera près du centre du cône d’ombre, plus la grandeur sera importante. Les éclipses totales par l’ombre ou les éclipses par la pénombre ont une grandeur supérieure à 1 et les éclipses partielles ont une grandeur inférieure à 1.

11.6

Carte de visibilité d’une éclipse de Lune

La carte de visibilité définit l’ensemble des lieux sur Terre pour lesquels les différentes phases d’une éclipse de Lune seront visibles. Pour qu’une éclipse de Lune soit visible en un lieu donné, il suffit que la Lune soit levée en ce lieu durant l’éclipse. La durée totale d’une éclipse ne pouvant excéder quelques heures, il y a nécessairement des portions du globe terrestre qui ne verront qu’une partie de l’éclipse. La carte de la figure 11.31 est centrée sur la zone de visibilité. De part et d’autre se trouvent deux zones d’invisibilité. Elle donne la zone de visibilité de l’éclipse totale de Lune du 20 décembre 2029, visible en totalité depuis la France métropolitaine. Elle provient du service en ligne de calcul des éclipses de Lune disponible sur le portail des formulaires de calcul de l’IMCCE : https://ssp.imcce.fr/forms/lunar-eclipses. • Les courbes P1, O1, T1, T2, O2 et P2 représentent la limite de la zone où l’on observe la phase correspondante ; 818

11.6. CARTE DE VISIBILITÉ D’UNE ÉCLIPSE DE LUNE -150°

-120°

-90°

-60°

-30°

+0°

+30°

+60°

+90°

+120°

+150°

-180°

+60°

+60°

+30°

+30°

+0°

+0°

éclipse invisible P2

O2

T2

T1

O1

éclipse visible

P1

P2

O2

T2

T1

O1

P1

éclipse invisible

-30°

-30°

-60°

-60°

-150°

-120°

-90°

-60°

-30°

+0°

+30°

+60°

+90°

+120°

+150°

-180°

Figure 11.31 – Carte de visibilité de l’éclipse totale de Lune du 20 décembre 2029.

• La ligne verticale au centre de la carte matérialise l’ensemble des lieux qui ont la Lune au méridien au maximum de l’éclipse ; • La zone non opaque indique la portion du globe où l’éclipse est visible ; • La zone opaque indique la portion du globe où l’éclipse n’est pas visible. Les courbes correspondent aux lieux où la Lune est à l’horizon à l’instant des différentes phases de l’éclipse. La portion de courbe en rouge correspond aux lieux où la Lune se lève, alors que celle en bleu correspond aux lieux où la Lune se couche. Pour chaque phase, les lieux situés à l’ouest d’une portion rouge ne voient pas la phase, car la Lune n’est pas encore levée, alors que ceux à l’est la voient, car la Lune est déjà levée. De même, les lieux situés à l’est d’une portion bleue ne voient pas la phase, car la Lune est déjà couchée, alors que ceux situés à l’ouest la voient, car la Lune n’est pas encore couchée.

819

Chapitre 12

´ em´erides pour l’observation Eph´ physique des corps du Syst`eme solaire

12.1

Introduction

Pour observer des points situés à la surface d’un corps du Système solaire depuis un lieu quelconque de la Terre ou de l’espace, à un instant donné, il est nécessaire de définir les paramètres qui caractérisent sa rotation, établir leurs valeurs numériques, et définir les systèmes de coordonnées par rapport auxquels ces points sont repérés sur l’astre. On peut alors calculer les quantités qui permettent de connaître les points de l’astre visibles depuis l’observateur à l’instant considéré, les quantités liées à l’éclairement de sa surface et, plus généralement, à son aspect apparent. L’ensemble de ces calculs représente les éphémérides pour l’observation physique des corps du Système solaire. Les définitions fournies dans les paragraphes qui suivent ont été entérinées par l’Union astronomique internationale (UAI) qui suit les recommandations de l’IAU/IAG/COSPAR Working Group on cartographic coordinates and rotational elements of the planets and satellites (WGCCRE). Depuis 1980, ce groupe de travail publie régulièrement la liste remise à jour des valeurs numériques des paramètres nécessaires aux calculs des éphémérides physiques (Davies et al., 1980, 1983, 1986, 1989, 1992, 1996 ; Seidelmann et al., 2002, 2005, 2007 ; Archinal et al., 2011). Sauf mention contraire, les définitions et les données numériques qui figurent dans ce chapitre sont issues de Archinal et al. (2018) rapportant le travail de l’assemblée générale de l’UAI de 2015. 821

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

12.2

Systèmes de rotation

12.2.1

Définitions

Les paramètres de rotation qui permettent de décrire l’orientation dans le temps et l’espace des corps du Système solaire sont exprimés dans les systèmes de rotation standards (Archinal et al., 2018). Les axes de rotation des corps sont connus à chaque instant par la donnée en fonction du temps des coordonnées du pôle Nord, ascension droite α0 et déclinaison δ0 (voir figure 12.1), exprimées dans le repère ICRF (voir chapitre 3).

Figure 12.1 – Système de rotation d’un corps du Système solaire : position du pôle Nord et méridien origine dans le repère équatorial terrestre.

Le mouvement de rotation des corps est défini à chaque instant par la donnée en fonction c compté le long de l’équateur du corps. Il est calculé par du temps de l’angle W = NB l’expression : W = W0 + W1 t + w(t) (12.1) 822

12.2. SYSTÈMES DE ROTATION où W0 est l’angle entre un méridien origine et le demi-grand cercle passant par le pôle Nord du corps et le point N d’intersection entre l’équateur du corps et l’équateur céleste à l’époque de référence (J2000).

W1 représente la vitesse angulaire de rotation du corps, et son signe informe du sens de la rotation : positif, il indique un mouvement de rotation prograde ; négatif, il indique un mouvement de rotation rétrograde. L’intervalle de temps t est exprimé en jours entre une époque de référence (celle à laquelle W0 est défini) et l’époque considérée. Pour certains corps, un polynôme trigonométrique w(t) est ajouté afin de représenter plus précisément le mouvement de rotation du corps. C’est le cas des planètes Mercure, Mars et Neptune, ainsi que de nombreux satellites naturels. Les tables 12.1 et 12.2 de la section 12.7 fournissent les définitions des quantités α0 , δ0 et W pour les planètes et leurs satellites. En l’absence d’autres informations, on suppose que l’axe de rotation est perpendiculaire au plan orbital moyen (c’est le cas de la plupart des satellites). La table 12.3 fournit quant à elle les définitions de ces quantités pour certains petits corps.

12.2.2

Cas des planètes et de leurs satellites

Système de rotation

Pour les planètes telluriques, le mouvement de rotation est défini comme étant la rotation de l’écorce du corps. Pour les planètes géantes, il existe plusieurs systèmes de mesures de longitude, chacun correspondant à différentes vitesses angulaires de rotation du corps. Ainsi, sur Jupiter, on distingue trois systèmes usuellement dénommés systèmes I, II et III. Le premier est défini à partir de la rotation moyenne de l’atmosphère équatoriale de la planète. Le système II est défini à partir de la rotation moyenne des atmosphères nord (composante sud de la bande équatoriale nord) et sud (composante nord de la bande équatoriale sud) de Jupiter. Enfin, le système III est défini à partir de la rotation du champ magnétique de la planète. Sur Saturne, seuls les systèmes I et III sont définis. Cependant, le système I étant trop mal déterminé, il n’est pas recommandé par l’UAI et n’est pas pris pour référence lors des calculs. De la même manière, pour Uranus et Neptune, seuls les calculs qui se rapportent, respectivement, aux systèmes II et III sont à envisager. 823

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES Pôle Nord Pour les planètes et leurs satellites, on appelle pôle Nord celui des deux pôles de l’axe de rotation qui se trouve au nord du plan invariant du Système solaire. Il est défini comme le plan contenant le barycentre du Système solaire, et perpendiculaire à son vecteur moment cinétique total. Il est proche du plan orbital de Jupiter et ses coordonnées équatoriales J2000 approchées sont : ( α p = 273.85◦ (12.2) δ p = +66.99◦ L’axe de rotation des planètes et de leurs satellites est connu à chaque instant par la donnée de la direction du pôle Nord du corps, décrit par les coordonnées α0 , δ0 , qui peuvent être des fonctions du temps si l’axe de rotation du corps subit un mouvement de précession. Méridien d’origine Si la surface du corps est telle qu’on peut y voir des formations caractéristiques (cratères, montagnes, volcans. . . ), on choisit le méridien origine en donnant sa position par rapport à l’une de ces formations. Cette définition du méridien d’origine est conservée autant que possible, même dans le cas de nouvelles données plus précises, comme après la visite d’une sonde spatiale. Si au contraire la surface de l’astre ne présente aucun repère caractéristique, le choix du méridien d’origine est arbitraire.

12.2.3

Cas particulier de la Lune

Pour la Lune, les coordonnées sélénocentriques (ou planétocentriques) et sélénographiques (ou planétographiques, voir section 12.4) de la Terre doivent prendre en compte les oscillations périodiques (librations) de la surface lunaire vue depuis la Terre. Ces oscillations sont composées de : • la libration physique : oscillations de la vitesse angulaire instantanée de rotation de la Lune par rapport à sa vitesse moyenne de rotation ; • la libration optique, composée de : – la libration en longitude due aux variations de la vitesse orbitale de la Lune, – la libration en latitude due à l’inclinaison de l’équateur de la Lune sur le plan de son orbite, – la libration diurne due au déplacement de l’observateur terrestre qui proviennent de la rotation de la Terre elle-même. 824

12.2. SYSTÈMES DE ROTATION La combinaison de ces deux librations permet de voir jusqu’à 59% de la surface lunaire depuis la Terre. La libration optique est la composante la plus importante. Elle procure un décalage des points de la surface lunaire par rapport au centre du disque apparent qui peut atteindre 7◦ 570 en longitude et 6◦ 510 en latitude. La libration physique est beaucoup plus faible, puisqu’elle procure un décalage maximum de 0.04◦ en longitude et latitude. Lorsque la libration en longitude sélénocentrique (ou sélénographique) de la Terre est positive, le centre moyen du disque lunaire est décalé vers l’est sur la sphère céleste, exposant à notre vue des régions du limbe ouest. Lorsque la libration en latitude sélénocentrique (ou sélénographique) de la Terre est positive, le centre moyen du disque est décalé vers le sud, exposant à notre vue les régions du limbe nord. Une étude plus détaillée de la libration de la Lune et le calcul de ses différentes composantes peuvent être obtenus en consultant Rambaux et Williams (2011) et Kopal (1966). Pour des observations précises du disque lunaire, les valeurs géocentriques de la libration et de l’angle de position du pôle Nord de la Lune doivent être corrigées pour former la libration topocentrique (Atkinson, 1951). Cet effet, qui peut atteindre 1◦ , est calculé par corrections différentielles à l’aide des relations : ∆λl =

−π0 sin (q − PAn ) cos βl

∆βl = +π0 cos (q − PAn ) ∆PAn = ∆λl sin (βl + ∆βl ) − π0 sin q tan δ où λl et βl sont la longitude et la latitude sélénographiques, PAn l’angle de position de l’axe de rotation (voir section 12.5.2) et δ la déclinaison géocentrique apparente de la Lune. L’angle parallactique géocentrique q de la Lune et sa parallaxe diurne π0 (parallaxe entre le point d’observation à la surface de la Terre et le géocentre) sont définis par : tan q =

cos Φ sin H cos δ sin Φ − sin δ cos Φ cos H

cos z = sin δ sin Φ + cos δ cos Φ cos H sin π0 =

sin z sin π 1 − sin z sin π

où z est l’angle au zénith géocentrique de la Lune, π sa parallaxe horizontale géocentrique, H son angle horaire local et Φ la latitude géocentrique de l’observateur (voir section 12.4.2). La position sélénocentrique (ou sélénographique) du Soleil est quant à elle représentée par sa colongitude et sa latitude. La colongitude est obtenue en augmentant la longitude sélénocentrique (sélénographique) du Soleil de 90◦ . Ainsi, les valeurs 270◦ , 0◦ , 90◦ et 360◦ de la colongitude du Soleil correspondent approximativement à la nouvelle lune, au premier quartier, à la pleine lune et au dernier quartier. 825

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

12.2.4

Cas des petits corps

Pôle et sens de rotation Une forte précession de l’axe de rotation ayant été observée pour certains petits corps, la définition d’un pôle Nord par rapport au plan invariant du Système solaire a peu de sens : la précession peut amener le pôle qui se situe au nord du plan invariant du côté sud en quelques décennies. Depuis 2006, la définition du pôle des petits corps, et des planètes naines, est donc différente de celle des planètes. On appelle pôle positif celui des deux pôles autour duquel la rotation s’effectue en sens direct, indépendamment de sa position par rapport au plan invariant du Système solaire. Ce pôle est parfois appelé pôle Nord pour des besoins cartographiques. Méridien d’origine Le choix du méridien origine s’effectue, comme pour les planètes et les satellites, à l’aide d’une formation caractéristique à la surface. Si aucune n’est visible, il est d’usage de choisir comme méridien origine l’un des axes majeurs du corps. À tout instant, la position du méridien d’origine des petits corps se calcule avec l’équation 12.1 et les éléments listés dans la table 12.3.

12.3

Paramètres des éphémérides physiques

Afin de calculer à tout instant l’orientation d’un corps dans l’espace, il est nécessaire de connaître sa période de rotation sidérale, l’orientation de son axe de rotation et de définir un méridien de référence à sa surface. Le calcul des conditions d’illumination requiert en outre la connaissance de la topographie du corps. De manière générale, ces paramètres sont déterminés pour toutes les planètes, la majorité de leurs satellites réguliers, et une petite fraction des petits corps. Période de rotation sidérale L’analyse des courbes de lumière et des images du disque résolu permet de déterminer précisément (de l’ordre de quelques secondes de temps) la rotation sidérale d’un corps. La période est souvent rapportée en heures ou en jours terrestres (soit en multiples de 24 h). 826

12.4. SYSTÈMES DE COORDONNÉES Orientation de l’axe de rotation L’analyse d’images à haute résolution des planètes, de leurs satellites et de quelques petits corps, obtenues lors des missions spatiales, permet de déterminer avec précision l’axe de rotation des corps. Il en est de même avec l’analyse de multiples courbes de lumière de petits corps réalisées de façon routinière depuis la surface de la Terre. La plupart des planètes et des petits corps du Système solaire étant en rotation simple autour de leur axe de plus grand moment d’inertie, il est d’usage de rapporter l’orientation de l’axe de rotation par ses coordonnées équatoriales J2000 (recommandation de l’UAI depuis 1979) ou écliptiques J2000 (en usage pour les petits corps). De nombreux satellites et certains petits corps présentent toutefois de fortes précessions de leur axe de rotation. Les coordonnées de leur pôle de rotation sont alors décrites comme des fonctions du temps. Topographie L’analyse d’images à haute résolution des planètes, de leurs satellites et de quelques petits corps, obtenues par des missions spatiales, permet également de modéliser la surface des corps avec beaucoup de détails. La topographie de plusieurs centaines d’astéroïdes est également connue grâce à l’analyse de leurs courbes de lumière, d’occultations stellaires, d’échos radar ou d’images de leur disque apparent. La topographie d’un corps est décrite soit par une grille d’élévations en fonction de la longitude et de la latitude par rapport à une surface de référence (ellipsoïde), soit par des rayons issus du centre ou d’un ensemble de points en coordonnées cartésiennes qui définissent leur forme 3D complète (c’est-à-dire sans définir de surface de référence).

12.4

Systèmes de coordonnées

On définit deux systèmes de coordonnées différents pour repérer un point à la surface d’une planète ou d’un satellite : les systèmes planétographique et planétocentrique. Ce dernier sert également à définir un système de coordonnées pour les petits corps et les planètes naines.

12.4.1

Coordonnées planétocentriques

La latitude planétocentrique d’un point de la surface d’un corps céleste est l’angle que fait le vecteur joignant le centre du corps à ce point avec le plan équatorial, lui-même décrit comme le plan perpendiculaire à l’axe de rotation passant par le centre de masse 827

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES du corps (voir figure 12.2). Elle est comptée à partir de l’équateur du corps de 0◦ à +90◦ vers le pôle Nord et de 0◦ à −90◦ vers le pôle Sud. La longitude planétocentrique est l’angle dièdre entre le méridien du point considéré et un méridien choisi comme origine. Elle est comptée à partir du méridien origine de 0◦ à 360◦ dans le sens direct, c’est-à-dire positivement vers l’est sur le corps céleste, que sa rotation soit directe ou rétrograde. Le système de coordonnées planétocentriques est celui qui est généralement utilisé dans le calcul des éphémérides physiques.

12.4.2

Coordonnées planétographiques

La latitude planétographique d’un point de la surface d’un corps céleste est l’angle que fait la normale à la surface en ce point avec le plan équatorial (voir figure 12.2). Elle est comptée comme la latitude planétocentrique de 0◦ à +90◦ vers le pôle Nord et de 0◦ à −90◦ vers le pôle Sud. Si on assimile le corps à un ellipsoïde de rayon équatorial a et de rayon polaire b, tel que b < a, les latitudes planétocentrique φ et planétographique φ0 d’un point de l’ellipsoïde sont reliées par la relation : tan φ0 =

tan φ (1 − f )2

(12.3)

où f est l’aplatissement géométrique de l’ellipsoïde de révolution défini par f = (a− b)/a. Les paramètres de taille et de forme des planètes, satellites et de quelques petits corps sont fournis, respectivement, dans les tables 12.4, 12.5, 12.6 et 12.7. La longitude planétographique est définie de façon analogue à la longitude planétocentrique. Elle est comptée à partir du méridien origine de 0◦ à 360◦ , mais dans le sens opposé à la rotation, c’est-à-dire positivement vers l’ouest sur l’astre si la rotation est directe et positivement vers l’est si la rotation est rétrograde. Il résulte de ceci que, pour un observateur lointain, la longitude planétographique du centre du disque apparent augmente toujours avec le temps, quel que soit le sens de rotation de l’astre. Le système des coordonnées planétographiques est en général utilisé pour cartographier la surface des planètes et des satellites.

12.4.3

Exceptions

Afin de respecter une tradition historique et de pouvoir continuer à utiliser des cartes encore très répandues, on admet en général des exceptions à la règle précédente quand il 828

12.5. CALCUL DES ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

Figure 12.2 – Latitude planétocentrique φ et latitude planétographique φ0 .

s’agit de la Terre, du Soleil et de la Lune, dont les rotations sont directes. Pour ces trois corps, on compte les longitudes planétographiques de 0◦ à 180◦ dans les deux sens en spécifiant selon les cas longitude est ou longitude ouest. Pour la Terre, il arrive, comme c’est l’usage en France par exemple, que l’on compte les longitudes planétographiques positivement vers l’ouest et négativement vers l’est, ce qui correspond à la règle générale énoncée ci-dessus.

12.5

Calcul des éphémérides physiques

Le calcul des éphémérides physiques, et donc de l’orientation des corps dans l’espace, passe par l’expression de quantités fondamentales, comme celles des coordonnées des points subobservateur (SEP) et subsolaire (SSP) (section 12.5.1). Dans le cas d’un corps sphérique, elles correspondent, respectivement, aux points de la surface du corps pour lesquels l’observateur et le Soleil sont au zénith. Dans le cas d’un corps de forme complexe, elles correspondent aux points d’intersection entre la surface du corps et la ligne reliant le centre de masse du corps à l’observateur ou au Soleil. Ces points SEP et SSP permettent d’identifier la partie visible par l’observateur de la surface du corps, 829

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES ainsi que les conditions de son éclairement par le Soleil. L’angle de position du pôle Nord (section 12.5.2) sert ensuite à orienter l’objet dans le plan du ciel de l’observateur. Finalement, l’angle de phase (section 12.5.3), le diamètre apparent (section 12.5.4) et l’équateur d’intensité (section 12.6.1) sont à la base du calcul de l’illumination locale de chaque partie du corps, nécessaire pour obtenir une description détaillée de la photométrie (voir par exemple Hapke, 2012) ou une représentation visuelle (section 12.6). Les différentes quantités des éphémérides physiques sont schématisées dans la figure 12.3. Elles permettent de fournir une représentation de l’aspect apparent d’un corps du Système solaire tel qu’il est vu par un observateur terrestre ou situé en un point quelconque de l’espace à un instant donné. Ainsi, il convient d’exprimer les différentes coordonnées célestes utilisées dans les équations qui suivent dans un repère rapporté à l’équateur et à l’équinoxe vrais de la date. On se référera au chapitre 9, en particulier la section 9.3, pour calculer les coordonnées apparentes du pôle de rotation du corps et la position de son centre de masse par rapport à l’observateur et au Soleil.

12.5.1

Points subobservateur (SEP) et subsolaire (SSP)

On appelle point subobservateur (traditionnellement noté SEP, de l’anglais sub-Earth point) le point à la surface du corps par lequel passe la ligne reliant le centre de masse du corps et l’observateur. Suivant les conventions sur les systèmes de coordonnées (section 12.4), on repère ce point par ses coordonnées planétocentriques calculées comme suit : • la longitude est l’angle dièdre entre le méridien contenant la direction de l’observateur et le méridien d’origine ; • la latitude est l’angle entre la direction planétocentrique de l’observateur et le plan équatorial du corps. Si (αd , δd ) sont les coordonnées équatoriales apparentes du pôle Nord (ou positif) du corps et (α p , δ p ) les coordonnées équatoriales apparentes de son centre de masse exprimées dans un repère centré sur l’observateur, alors les coordonnées planétocentriques du point subterrestre (λsep , βsep ) sont données par les relations : sin βsep = − sin δd sin δ p − cos δd cos δ p cos(α p − αd ) cos(W − λsep ) cos βsep = − cos δ p sin(α p − αd ) sin(W − λsep ) cos βsep = − cos δd sin δ p + sin δd cos δ p cos(α p − αd )

(12.4)

où W représente le mouvement de rotation du corps calculé à partir de l’équation 12.1. 830

12.5. CALCUL DES ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

Figure 12.3 – Aspect du disque apparent d’un corps du Système solaire vu par un observateur terrestre.

De manière similaire, on définit le point subsolaire (SSP, de l’anglais subsolar point), de coordonnées planétocentriques (λssp , βssp ), à partir des coordonnées équatoriales apparentes du pôle Nord (αd , δd ) et des coordonnées équatoriales apparentes héliocentriques du centre de masse corps (αh , δh ) par les relations : sin βssp = − sin δd sin δh − cos δd cos δh cos(αh − αd ) cos(W − λssp ) cos βssp = − cos δh sin(αh − αd ) sin(W − λssp ) cos βssp = − cos δd sin δh + sin(δd ) cos(δh ) cos(αh − αd )

(12.5)

où W est donné par l’équation 12.1. Les coordonnées planétographiques des points SEP et SSP sont ensuite obtenues en corrigeant la latitude planétocentrique du facteur d’aplatissement du corps à l’aide de l’équation 12.3. 831

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

12.5.2

Angle de position du pôle Nord

L’angle de position du pôle Nord d’un corps, PAn , décrit l’orientation du corps sur le plan du ciel vu depuis l’observateur. Il est défini comme l’angle entre la direction du pôle céleste Nord de la date et la direction du pôle Nord de l’astre dans le plan tangent à la sphère céleste centré sur l’astre. Il est mesuré de 0◦ à 360◦ à partir du pôle Nord céleste, positivement vers l’est sur la sphère céleste (voir figure 12.3). Il est complété par la distance angulaire d p entre le centre apparent de la figure géométrique du corps (le point SEP) et la position de son pôle Nord (ou Sud) dans le plan tangent. Ces deux paramètres constituent les coordonnées polaires du pôle Nord (ou Sud) de l’astre dans le plan tangent à la sphère céleste centré sur l’astre. Ils sont calculés par les équations : sin PAn cos δ p = − cos δd sin(α p − αd ) cos PAn cos δ p = sin δd cos δ p − cos δd sin δ p cos(α p − αd )

(12.6)

pour l’angle de position du pôle et : ! b d p = arctan cos δd Dobs

(12.7)

pour la distance angulaire séparant le point subobservateur au pôle Nord (ou sud). b est le rayon polaire du corps, (αd , δd ) sont les coordonnées équatoriales apparentes de son pôle Nord, et Dobs est la distance entre le corps et l’observateur exprimée dans la même unité que le rayon polaire.

12.5.3

Angle de phase

L’angle de phase d’un corps du Système solaire est l’angle entre les directions du Soleil et de l’observateur vues depuis le centre du corps. Si s et t représentent ces deux directions, l’angle de phase α peut être calculé par la relation : tan α =

ks∧tk s·t

(12.8)

La phase k est définie comme le rapport de la fraction illuminée du disque visible à la surface totale du disque vue depuis l’observateur. Considérant que le disque apparent du corps est circulaire, elle peut être calculée par l’expression : k=

1 + cos α 2

(12.9)

On se reportera à la section 10.2 pour une description détaillée des phases lunaires. 832

12.6. RENDU VISUEL DES FORMES

12.5.4

Rayon angulaire apparent

Le rayon angulaire apparent d’un corps du Système solaire vu par un observateur est caractérisé par son rayon équatorial apparent re et éventuellement par son rayon polaire apparent r p . Si a et b représentent les rayons équatorial et polaire de l’ellipsoïde de révolution matérialisant le corps, alors :   re = arctan Daobs    (12.10) r p = a 1 − f 1 − sin2 (βsep ) où a est le rayon équatorial du corps, Dobs la distance entre le corps et l’observateur, f l’aplatissement géométrique de l’ellipsoïde de révolution ( f = 1 − b/a) et βsep la latitude planétocentrique du point subobservateur. Lorsque la distance entre l’observateur et le corps est très grande par rapport à la taille du corps, le rayon angulaire apparent, exprimé en secondes de degrés, peut s’écrire : re = 206 264.8062

a Dobs

L’erreur commise sur le rayon angulaire est alors inférieure à 1% dès lors que la distance du corps est supérieure à 6 fois son rayon.

12.6

Rendu visuel des formes

La connaissance des coordonnées du point subobservateur et de l’angle de position du pôle est suffisante pour décrire l’orientation d’un corps pour un observateur donné. Elle permet de représenter graphiquement sa forme sur le plan du ciel, par exemple pour identifier des marques à sa surface sur des images à haute résolution angulaire, ou pour étudier la forme de son limbe lors d’une occultation stellaire. La construction de courbes de lumière synthétiques passe également par la modélisation de l’aspect apparent du corps, le flux total de lumière reçu par l’observateur étant égal à la somme des flux de chaque portion de la surface visible. Pour toute représentation du corps, il est également nécessaire de connaître la topographie du corps (même si elle se réduit à une simple sphère), ainsi que les coordonnées du point subsolaire qui définissent l’illumination de sa surface. La quantité de lumière réfléchie par chaque point de la surface d’un corps dépend des propriétés des matériaux qui la composent ainsi que des angles sous lesquels elle est à la fois éclairée et vue. On appelle lois de diffusion les modèles qui relient l’intensité de lumière en un point avec les grandeurs telles que l’albédo (la capacité de la surface à 833

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES réfléchir la lumière) et les conditions d’illumination. Historiquement, plusieurs modèles ont été proposés. Il est courant d’utiliser l’expression simple de Lommel-Seeliger pour décrire la photométrie des corps non ou faiblement résolus, et celle de Hapke dans le cas de données à haute résolution angulaire, telles que celles obtenues au cours des missions spatiales in situ. Tout calcul de la lumière réfléchie par un corps suit le même processus : 1. Calcul des conditions d’illumination et d’observation de chaque facette composant la surface ; 2. Calcul de la réflectance r (i, e, α) à l’aide d’une loi de diffusion ; 3. Calcul de l’orientation du corps dans le plan du ciel de l’observateur ; 4. Tracé des facettes dans une image où le niveau d’intensité correspond à l’intensité lumineuse I, produit de sa réflectance r et du flux solaire incident J : I = Jr ; 5. Sommation de l’image pour obtenir le flux total.

12.6.1

Équateur d’intensité

Toute loi de diffusion de la lumière par une surface quelconque fait intervenir la géométrie générale du problème sous la forme de deux angles : l’angle d’incidence i et l’angle d’émission e. L’angle d’incidence est l’angle formé entre le rayon collimaté incident et la normale à la surface. Les surfaces considérées étant des surfaces planétaires, l’angle d’incidence est la distance zénithale du Soleil au point de la surface considéré. Après avoir été diffusés par la surface, certains rayons émergent de celle-ci pour s’en échapper. L’angle que forment avec la normale à la surface les rayons émergeant en direction d’un observateur terrestre est appelé angle d’émission. Dans les différents modèles de réflectance bidirectionnelle existants, ces angles interviennent à travers leur cosinus dont la notation usuelle est µi = cos i et µe = cos e. En photométrie planétaire, un système de coordonnées rectangulaires est utilisé, dont deux des axes se situent dans l’équateur d’intensité (encore dénommé équateur photométrique) qui sert de plan de référence. L’équateur d’intensité est défini par le grand cercle passant par les points subobservateur et subsolaire (voir figure 12.3). Tout point de la surface est repéré sur l’équateur d’intensité par sa longitude photométrique λ et par sa latitude photométrique ϕ le long du grand cercle perpendiculaire à l’équateur d’intensité. Le limbe est caractérisé par une longitude photométrique égale à π/2. Le terminateur géométrique a une longitude photométrique de π/2 − α, où α est l’angle de phase. Les longitudes et latitudes photométriques (λ, ϕ) de ces points, ainsi que l’azimut ψ (angle formé entre 834

12.6. RENDU VISUEL DES FORMES les plans d’incidence et d’émergence) sont reliés à l’angle de phase α et aux angles d’incidence i et d’émission e de la lumière solaire à l’aide des équations : µe = cos ϕ cos λ µi = cos ϕ cos (λ − α) cos α = cos i cos e + sin i sin e cos ψ En pratique, l’équateur d’intensité peut être défini par son angle de position par rapport à la direction du pôle céleste Nord, PAq , et par la donnée de la longueur Q du segment de droite sur l’équateur d’intensité qui n’est pas illuminée (voir figure 12.3). Ces deux paramètres sont calculés par les équations : ( PAs + π si PAs < π PAq = PAs − π h si PAs ≥ π (12.11)  i r Q = 2 re (1 − k) 1 − 1 − apo sin2 PAs − PAn + π2 où PAs et PAn sont, respectivement, les angles de position de la direction du point subsolaire et de la direction du pôle Nord de l’astre (voir section 12.5.2). L’angle PAs est calculé de la même manière que PAn en remplaçant les coordonnées du pôle Nord du corps par celles de la direction du Soleil vue depuis le corps dans les équations 12.6.

12.6.2

Conditions d’illumination et observation

La topographie d’un corps peut être décrite par un modèle de forme M composé de N points de coordonnées cartésiennes {x, y, z}i ∈ [1,N] dans un repère centré au centre de masse de l’objet. L’axe +z de ce repère est confondu avec l’axe de rotation et son axe +x pointe vers le méridien origine. Dans ce repère, on décrit les vecteurs unitaires en direction du Soleil et de l’observateur par leurs coordonnées (voir section 12.5.1) :   v = cos(λssp ), sin(λssp ), sin(βssp )   vobs = cos(λsep ), sin(λsep ), sin(βsep ) Pour chaque partie de la surface ou facette, c’est-à-dire pour chaque élément plan décrivant la surface, de vecteur unitaire u, on calcule les cosinus des angles d’incidence (µi ) de la lumière solaire et d’émission (µe ) en direction de l’observateur via les produits scalaires suivants (figure 12.4) : µi = v · u µe = vobs · u L’ensemble des facettes satisfaisant µi ≥ 0 définit la partie illuminée du corps : le Soleil se situe au-dessus de leur horizon. De même, l’ensemble des facettes satisfaisant µe ≥ 0 sont 835

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES vues par l’observateur. Cependant, dans le domaine des longueurs d’onde de la lumière visible, où la quasi-totalité de la lumière perçue par l’observateur provient de la réflexion de la lumière solaire, seules les facettes qui remplissent les deux critères sont réellement vues par l’observateur. Ce n’est pas le cas dans l’infrarouge où l’émission de corps noir domine (voir section 7.8).

Figure 12.4 – Géométrie de calcul de la réflectance pour un élément de surface.

12.6.3

Lois de diffusion

Dans le domaine des longueurs d’onde de la lumière visible, on décrit l’intensité lumineuse I perçue par un détecteur (une caméra électronique ou l’œil humain) qui observe un corps du Système solaire comme le produit du flux solaire incident J par la réflectance r de la surface, soit : I = Jr avec J = S /D2 où S = 1360.8 W · m−2 est la constante solaire à une unité astronomique et D est la distance au Soleil (voir section 7.8). À cela s’ajoute l’intensité lumineuse du corps noir de la surface, généralement négligeable dans le spectre visible, mais dominant dans l’infrarouge (voir figure 7.4). La réflectance des surfaces planétaires est généralement décrite par quatre fonctions empiriques : Lambert (rl ), Minnaert (rm ), Lommel-Seeliger (rls ) et Hapke (rh ), décrites ci-après. 836

12.6. RENDU VISUEL DES FORMES Loi de Lambert Elle fournit une description simple de la réflectance, et est adaptée aux surfaces de fort albédo (surfaces claires). Cette loi ne dépend que de l’albédo de la surface (Al , dit albédo de Lambert) et de l’angle d’incidence des rayons : rl (i, e, α) =

Al µi π

Loi de Minnaert D’après la loi de Lambert, l’intensité émise par un milieu par unité de surface et par angle solide s’écrit Y = Jrl µe = J Al µi µe /π. Ainsi, l’intensité par unité de surface semble proportionnelle à (µi µe ), ce que Minnaert (1941) a généralisé sous la forme d’une loi qui porte son nom : rm (i, e, α) = Am µνi µν−1 e où ν et Am sont l’index et l’albédo de Minnaert, qui dépendent de l’angle de phase α et de l’azimut Ψ (Veverka et al., 1989). Cette loi décrit de manière satisfaisante un grand nombre de surfaces, bien qu’elle dégénère au limbe, l’intensité devenant soit infinie (ν < 1), soit nulle (ν > 1). L’index de Minnaert ne peut recevoir d’interprétation simple quant aux propriétés physiques du milieu traversé, à l’inverse des paramètres de la loi de Hapke. Cependant, on peut considérer qu’il représente le degré d’assombrissement de limbe, c’est-à-dire la variation plus ou moins forte de la brillance de la surface au fur et à mesure que l’on se déplace depuis le centre jusqu’au bord du corps. Ainsi, une surface dont l’index de Minnaert est de 0.5 ne présente pas d’assombrissement de limbe. C’est le cas de la pleine lune qui présente un aspect plat. Lorsque k = 1, la loi de Minnaert se ramène à celle de Lambert. L’assombrissement de limbe est alors maximal. C’est le cas des corps brillants, tels que les planètes gazeuses dont la rotondité est alors perceptible par cet effet d’assombrissement de limbe. Loi de Lommel-Seeliger Les lois de Lambert et Minnaert prédisent un assombrissement centre-bord qui n’est pas observé aux grands angles de phase sur la Lune (aux quartiers par exemple). La loi de Lommel-Seeliger fut donc établie pour décrire la réflectance des objets qui présentent un disque apparent relativement uniforme. Elle s’applique aux corps de faible albédo (surfaces sombres) : Als µi φhg1 g2 (α) rls (i, e, α) = 4π µi + µe φls (α) 837

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES où Als est l’albédo de Lommel-Seeliger, φls (α) la fonction de phase de Lommel-Seeliger définie par (Hapke, 2012) : φls (α) = 1 − sin

α 2

tan

α

  α  ln cot 2 4

et où φhg1 g2 (α) est la fonction de phase qui donne la répartition du flux émergeant en fonction de l’angle de phase (voir section 7.4.3). Cette fonction est valide pour les petits corps sans atmosphère, mais ne l’est pas pour les planètes. Ces deux lois de phase empiriques s’appliquant dans des cas différents, certains auteurs (par exemple Buratti et Veverka, 1985) ont proposé de les combiner sous la forme : rlls (i, e, α) = Klls

µi φhg1 g2 (α) + (1 − Klls ) µi µi + µe φls (α)

Cette formulation est communément utilisée dans la modélisation tridimensionnelle des astéroïdes à partir des courbes de lumière, avec KLLS généralement fixé à 0.1 (voir Kaasalainen et Torppa, 2001).

Loi de Hapke

Les deux lois précédentes fournissent des descriptions simples, mais peu précises, de l’intensité lumineuse en provenance des surfaces planétaires. Certains effets comme l’effet d’opposition, où les surfaces sont bien plus brillantes à faible angle de phase, ne sont pas pris en compte. Une loi plus complexe a été proposée par Bruce Hapke, et développée dans de nombreuses publications (Hapke, 1981, 1984, 1986, 2002, 2008 ; Hapke et Wells, 1981) : rh (i, e, α) =

 Ah µi  [1 + B(α)] p(α) − 1 + H(µi )H(µe ) S (i, e, ψ) 4π µi + µe

Ah est ici l’albédo dit de diffusion simple (single scattering albedo en anglais), B(α) décrit l’effet d’opposition, p(α) est la fonction de phase des particules, H(µ) est la fonction de diffusion multiple de Ambartsumian-Chandrasekhar (Chandrasekhar, 1950), et S (i, e, ψ) est un coefficient de correction pour prendre en compte l’effet des ombres portées et de la 838

12.6. RENDU VISUEL DES FORMES rugosité de surface (voir figure 12.4 et figure 12.5) : B(α) =

B0   1 + tan α2 h−1 1 − g2

p(α) =


3 1 + 2g cos(α) + g2 2 Z 1 Ah H(x) H(µ) = 1 + µH(µ) ∂x 2 µ +x 0 " " !##−1 1 − 2r0 x 1+x ≈ 1 − Ah x r0 + ln 2 x 1 + 2µ ≈ √ 1 + 2 (1 − AH )µ avec B0 et h l’amplitude et la largeur de l’effet d’opposition, g le facteur d’asymétrie déterminé par ajustement de données photométriques et r0 la réflectance de diffusion qui vaut : √ 1 − 1 − Ah r0 = √ 1 + 1 − Ah La fonction S (i, e, ψ) s’écrit : S (i, e, ψ) = avec :

¯ χ(θ) µe µi ¯ ie ηe (e) ηi (i) 1 − f (ψ) + f (ψ)χ(θ)R    µi /ηi (i) Rie =   µe /ηe (e)

i≤e e≤i

et les fonctions : ¯ = χ(θ) ηe (e) = ηi (i) = E1 (x) = E2 (x) = f (ψ) =

 i− 1 1 + π tan2 θ¯ 2 " # E2 (e) ¯ ¯ χ(θ) µe + sin(e) tan(θ) 2 − E1 (e) " # ¯ µi + sin(i) tan(θ) ¯ E2 (i) χ(θ) 2 − E1 (i) ! 2 ¯ cot(x) exp − cot(θ) π ! 1 2 ¯ 2 exp − cot (θ) cot (x) π   ψ  exp −2 tan 2 h

où θ¯ est la pente moyenne des facettes non résolues, qui s’interprète comme la rugosité de la surface : de lisse à rugueuse. 839

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

Figure 12.5 – Vue en coupe d’une surface planétaire dans le plan de sa normale et de l’observateur. La surface effective vue par l’observateur (At ) est différente de la surface nominale A. Elle peut être perçue comme une nouvelle surface avec un angle d’émission (et ) différent de l’angle e nominal. Le même raisonnement s’applique à la lumière incidente qui crée des ombres portées.

12.6.4

Orientation et tracé du modèle dans le plan du ciel

Le modèle M décrit par {x, y, z}i ∈ [1,N] peut être projeté en un modèle P dans le plan du ciel de l’observateur par trois rotations directes autour des axes x, y et z. Dans un repère équatorial, si {y, z} définit le plan du ciel tel que z pointe dans la direction du nord céleste et −y pointe vers l’est, et si l’observateur se trouve le long de l’axe +x (voir figure 12.6), alors cette projection s’écrit : P = Rz (PAn ) R x (βsep ) Ry (−λsep ) M

(12.12)

où PAn est l’angle de position du pôle Nord (ou positif) du corps et λsep , βsep sont les coordonnées planétocentriques du point subobservateur (voir section 12.5). Les coordonnées {y, z}i des points décrivent directement le corps dans le plan du ciel. Ces coordonnées sont dans la dimension originale du modèle M (généralement une longueur exprimée en kilomètres) et peuvent être aisément converties en distances angulaires sur le plan du ciel connaissant la distance dobs entre le corps et l’observateur (exprimée dans la même unité) : ! {y, z}i 0 0 {y , z }i = atan (12.13) dobs L’ensemble des facettes illuminées (µi ≥ 0) et visibles (µe ≥ 0) peut alors être tracé. Pour chaque facette de cet ensemble, les coordonnées {y0 , z0 }i de ses sommets délimitent sa projection sur le plan du ciel. Son intensité est simplement I = Jr. Pour une représentation du flux thermique, c’est l’ensemble des facettes visibles (µe ≥ 0) qui doit être tracé, leur intensité étant calculée par l’équation du corps noir (équation 7.27). 840

12.6. RENDU VISUEL DES FORMES Il est parfois pratique de déterminer la position du terminateur géométrique (limite entre le jour et la nuit sur le corps) et du limbe (bord apparent). Le terminateur est composé de l’ensemble des points communs aux facettes satisfaisant µi ≥ 0 et µi ≤ 0. En revanche, seule la partie qui correspond à l’ensemble des points communs aux facettes satisfaisant µe ≥ 0 et µi ≥ 0 et aux facettes satisfaisant µi ≤ 0 est visible par l’observateur. De manière similaire, le limbe est composé de l’ensemble des points communs aux facettes satisfaisant µe ≥ 0 et µi ≥ 0 et aux facettes satisfaisant µe ≤ 0.

Figure 12.6 – Les trois rotations à appliquer (équation 12.12) pour passer d’un repère lié à l’objet au plan du ciel, décrit ici par le plan (y,z).

841

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

12.7

Paramètres de rotation

Les tables 12.1, 12.2 et 12.3 fournissent les paramètres de rotation – direction du pôle Nord/positif de rotation (α0 , δ0 ) et mouvement de rotation du corps (W) – du Soleil, des planètes, des satellites et de certains petits corps (Archinal et al., 2018). Table 12.1 – Valeurs recommandées (Archinal et al., 2018) pour la direction du pôle Nord de rotation et pour le méridien origine du Soleil et des planètes. L’unité est le degré. L’époque origine est le 1.5 janvier 2000, soit la date julienne 2 451 545.0 TDB. T est l’époque exprimée en siècles juliens de 36 525 jours à partir de l’époque origine. d est l’époque exprimée en jours à partir de l’époque origine.

Soleil

Mercure

avec

Vénus

Terre

Mars

α0 = 286.13 δ0 = 63.87 W = 84.176 + 14.1844000 d

(a)

α0 = 281.0103 − 0.0328 T δ0 = 61.4155 − 0.0049 T W = 329.5988 ± 0.0037 + 6.1385108 d + 0.01067257 sin M1 − 0.00112309 sin M2 − 0.00011040 sin M3 − 0.00002539 sin M4 − 0.00000571 sin M5 M1 M2 M3 M4 M5

= 174.7910857 + 4.092335 d = 349.5821714 + 8.184670 d = 164.3732571 + 12.277005 d = 339.1643429 + 16.369340 d = 153.9554286 + 20.461675 d

α0 = 272.76 δ0 = 67.16 W = 160.20 − 1.4813688 d

(b)

(c)

α0 = 0.0 − 0.641T δ0 = 90.0 − 0.557T W = 190.147 + 360.9856235 d

(d)

α0 = 317.269202 − 0.10927547 T + 0.000068 sin (198.991226 + 19139.4819985 T ) + 0.000238 sin (226.292679 + 38280.8511281 T ) + 0.000052 sin (249.663391 + 57420.7251593 T ) + 0.000009 sin (266.183510 + 76560.6367950 T ) 842

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION Table 12.1 (suite) + 0.419057 sin (79.398797 + 0.5042615 T ) δ0 = 54.432516 − 0.05827105 T + 0.000051 cos (122.433576 + 19139.9407476 T ) + 0.000141 cos (43.058401 + 38280.8753272 T ) + 0.000031 cos (57.663379 + 57420.7517205 T ) + 0.000005 cos (79.476401 + 76560.6495004 T ) + 1.591274 cos (166.325722 + 0.5042615 T ) W = 176.049863 + 350.891982443297 d + 0.000145 sin (129.071773 + 19140.0328244 T ) + 0.000157 sin (36.352167 + 38281.0473591 T ) + 0.000040 sin (56.668646 + 57420.9295360 T ) + 0.000001 sin (67.364003 + 76560.2552215 T ) + 0.000001 sin (104.792680 + 95700.4387578 T ) + 0.584542 sin (95.391654 + 0.5042615 T ) (e) Jupiter

avec

Saturne

Uranus

Neptune

α0 = 268.056595 − 0.006499 T + 0.000117 sin Ja + 0.000938 sin Jb + 0.001432 sin Jc + 0.000030 sin Jd + 0.002150 sin Je δ0 = 64.495303 + 0.002413 T + 0.000050 cos Ja + 0.000404 cos Jb + 0.000617 cos Jc − 0.000013 cos Jd + 0.000926 cos Je W = 284.95 + 870.5360000 d (f) Ja = 99.360714 + 4850.4046 T Jb = 175.895369 + 1191.9605 T Jc = 300.323162 + 262.5475 T Jd = 114.012305 + 6070.2476 T Je = 49.511251 + 64.3000 T α0 = 40.589 − 0.036 T δ0 = 83.537 − 0.004 T W = 38.90 + 810.7939024 d

(f)

α0 = 257.311 δ0 = −15.175 W = 203.81 − 501.1600928 d

(f)

α0 = 299.36 + 0.70 sin N δ0 = 43.46 − 0.51 cos N W = 249.978 + 541.1397757d − 0.48 sin N

843

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES Table 12.1 (suite) avec

N = 357.85 + 52.316 T

(g)

(a) La valeur de W0 pour le Soleil est maintenant corrigée du temps de lumière (Seidelmann et al., 2007). (b) Le méridien de longitude 20◦ est défini par le cratère Hun Kal. (c) Le méridien de longitude 0◦ est défini par le pic central du cratère Ariadne. (d) Les paramètres approximatifs de l’orientation de la Terre sont donnés à titre indicatif et ne doivent pas être utilisés tels quels. Pour calculer précisément l’orientation de la Terre, il faut utiliser les séries EOP fournies par l’IERS (https://www.iers.org/). (e) La longitude du site d’atterrissage de Viking 1 est définie comme 47.95137◦ ouest (Kuchynka et al., 2014), de sorte que la longitude 0◦ passe par le cratère Airy-0. (f) Les équations qui donnent W pour Jupiter, Saturne et Uranus se rapportent à la rotation de leurs champs magnétiques (système III). Sur Jupiter, WI = 67.1◦ + 877.900◦ d dans le système I qui se rapporte à la rotation moyenne équatoriale de l’atmosphère, et WII = 43.3◦ + 870.270◦ d dans le système II qui se rapporte à la rotation moyenne nord de l’atmosphère au niveau de la composante sud de la ceinture équatoriale nord, et la rotation moyenne sud au niveau de la composante nord de la ceinture équatoriale sud. (g) Les équations pour Neptune se rapportent à la rotation des repères caractéristiques dans l’atmosphère de Neptune observés dans les longueurs d’onde optique (système II), tout en utilisant les expressions citées pour la position du pôle et la précession.

844

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION

Table 12.2 – Valeurs recommandées (Archinal et al., 2018) pour la direction du pôle Nord de rotation et pour le méridien origine des satellites. L’unité est le degré. Les notations sont décrites dans la table 12.1.

Terre Lune

α0 = 317.67071657 − 0.10844326 T − 1.78428399 sin M1 + 0.02212824 sin M2 − 0.01028251 sin M3 − 0.00475595 sin M4 δ0 = 52.88627266 − 0.06134706 T − 1.07516537 cos M1 + 0.00668626 cos M2 − 0.00648740 cos M3 + 0.00281576 cos M4 W = 34.9964842535 + 1128.84475928 d + 12.72192797 T 2 + 1.42421769 sin M1 − 0.02273783 sin M2 + 0.00410711 sin M3 + 0.00631964 sin M4 + 1.143 sin M5 Mars

Phobos

α0 = 317.67071657 − 0.10844326 T − 1.78428399 sin M1 + 0.02212824 sin M2 − 0.01028251 sin M3 − 0.00475595 sin M4 δ0 = 52.88627266 − 0.06134706 T − 1.07516537 cos M1 + 0.00668626 cos M2 − 0.00648740 cos M3 + 0.00281576 cos M4 W = 35.1874440 + 1128.84475928 d + 12.72192797 T 2 + 1.42421769 sin M1 − 0.02273783 sin M2 + 0.00410711 sin M3 + 0.00631964 sin M4 − 1.143 sin M5

Deimos

α0 = 316.65705808 − 0.10518014 T + 3.09217726 sin M6 + 0.22980637 sin M7 + 0.06418655 sin M8 + 0.02533537 sin M9 + 0.00778695 sin M10 δ0 = 53.50992033 − 0.05979094 T + 1.83936004 cos M6 + 0.14325320 cos M7 + 0.01911409 cos M8 − 0.01482590 cos M9 + 0.00192430 cos M10 W = 79.39932954 + 285.16188899 d − 2.73954829 sin M6 − 0.39968606 sin M7 − 0.06563259 sin M8 − 0.02912940 sin M9 + 0.01699160 sin M10

845

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES Table 12.2 (suite) avec

M1 = 190.72646643 + 15917.10818695 T M2 = 21.46892470 + 31834.27934054 T M3 = 332.86082793 + 19139.89694742 T M4 = 394.93256437 + 38280.79631835 T M5 = 189.63271560 + 41215158.18420050 T + 12.71192322 T 2 M6 = 121.46893664 + 660.22803474 T M7 = 231.05028581 + 660.99123540 T M8 = 251.37314025 + 1320.50145245 T M9 = 217.98635955 + 38279.96125550 T M10 = 196.19729402 + 19139.83628608 T Jupiter

XVI Metis

XV Adrastea

V Amalthea

XIV Thebe

I Io

II Europa

III Ganymede

α0 = 268.05 − 0.009 T δ0 = 64.49 + 0.003 T W = 346.09 + 1221.2547301 d α0 = 268.05 − 0.009 T δ0 = 64.49 + 0.003 T W = 33.29 + 1206.9986602 d α0 = 268.05 − 0.009 T − 0.84 sin J1 + 0.01 sin 2J1 δ0 = 64.49 + 0.003 T − 0.36 cos J1 W = 231.67 + 722.6314560 d + 0.76 sin J1 − 0.01 sin 2J1 α0 = 268.05 − 0.00 9T − 2.11 sin J2 + 0.04 sin 2J2 δ0 = 64.49 + 0.003 T − 0.91 cos J2 + 0.01 cos 2J2 W = 8.56 + 533.7004100 d + 1.91 sin J2 − 0.04 sin 2J2 α0 = 268.05 − 0.009 T + 0.094 sin J3 + 0.024 sin J4 δ0 = 64.50 + 0.003 T + 0.040 cos J3 + 0.011 cos J4 W = 200.39 + 203.4889538 d − 0.085 sin J3 − 0.022 sin J4 α0 = 268.08 − 0.009 T + 1.086 sin J4 + 0.060 sin J5 + 0.015 sin J6 + 0.009 sin J7 δ0 = 64.51 + 0.003 T + 0.468 cos J4 + 0.026 cos J5 + 0.007 cos J6 + 0.002 cos J7 W = 36.022 + 101.3747235 d − 0.980 sin J4 − 0.054 sin J5 − 0.014 sin J6 − 0.008 sin J7 (b) α0 = 268.20 − 0.009 T − 0.037 sin J4 + 0.431 sin J5 + 0.091 sin J6 δ0 = 64.57 + 0.003 T − 0.016 cos J4 + 0.186 cos J5 + 0.039 cos J6

846

(a)

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION Table 12.2 (suite) W = 44.064 + 50.3176081 d + 0.033 sin J4 − 0.389 sin J5 − 0.082 sin J6 (c) IV Callisto

avec

α0 = 268.72 − 0.009 T − 0.068 sin J5 + 0.590 sin J6 + 0.010 sin J8 δ0 = 64.83 + 0.003 T − 0.029 cos J5 + 0.254 cos J6 − 0.004 cos J8 W = 259.51 + 21.5710715 d + 0.061 sin J5 − 0.533 sin J6 − 0.009 sin J8 (d) J1 J3 J5 J7

= 73.32 + 91472.9 T, J2 = 24.62 + 45137.2 T = 283.90 + 4850.7 T, J4 = 355.80 + 1191.3 T = 119.90 + 262.1 T, J6 = 229.80 + 64.3 T = 352.25 + 2382.6 T, J8 = 113.35 + 6070.0 T Saturne

XVIII Pan

XV Atlas

XVI Prometheus

α0 = 40.6 − 0.036 T δ0 = 83.5 − 0.004 T W = 48.8 + 626.0440000 d α0 = 40.58 − 0.036 T δ0 = 83.53 − 0.004 T W = 137.88 + 598.3060000 d α0 = 40.58 − 0.036 T δ0 = 83.53 − 0.004 T W = 296.14 + 587.289000 d

XVII Pandora

α0 = 40.58 − 0.036 T δ0 = 83.53 − 0.004 T W = 162.92 + 572.7891000 d

XI Epimetheus

α0 = 40.58 − 0.036T − 3.153 sin S 1 + 0.086 sin 2S 1 δ0 = 83.52 − 0.004T − 0.356 cos S 1 + 0.005 cos 2S 1 W = 293.87 + 518.4907239 d + 3.133 sin S 1 − 0.086 sin 2S 1

X Janus

I Mimas

II Encelade

α0 = 40.58 − 0.036T − 1.623 sin S 2 + 0.023 sin 2S 2 δ0 = 83.52 − 0.004T − 0.183 cos S 2 + 0.001 cos 2S 2 W = 58.83 + 518.2359876 d + 1.613 sin S 2 − 0.023 sin 2S 2 α0 = 40.66 − 0.036 T + 13.56 sin S 3 δ0 = 83.52 − 0.004 T − 1.53 cos S 3 W = 333.46 + 381.9945550 d − 13.48 sin S 3 − 44.85 sin S 5 α0 = 40.66 − 0.036 T 847

(e)

(e)

(f)

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES Table 12.2 (suite) δ0 = 83.52 − 0.004 T W = 6.32 + 262.7318996 d III Tethys

XIII Telesto

XIV Calypso

IV Dione

XII Helene

V Rhea

VI Titan

VIII Iapetus

IX Phœbe

avec

α0 = 40.66 − 0.036 T + 9.66 sin S 4 δ0 = 83.52 − 0.004 T − 1.09 cos S 4 W = 8.95 + 190.6979085 d − 9.60 sin S 4 + 2.23 sin S 5 α0 = 50.51 − 0.036 T δ0 = 84.06 − 0.004 T W = 56.88 + 190.6979332 d

(e)

α0 = 36.41 − 0.036 T δ0 = 85.04 − 0.004 T W = 153.51 + 190.6742373 d α0 = 40.66 − 0.036 T δ0 = 83.52 − 0.004 T W = 357.6 + 131.5349316 d

(e)

(i)

α0 = 40.85 − 0.036 T δ0 = 83.34 − 0.004 T W = 245.12 + 131.6174056 d α0 = 40.38 − 0.036 T + 3.10 sin S 6 δ0 = 83.55 − 0.004 T − 0.35 cos S 6 W = 235.16 + 79.6900478 d − 3.08 sin S 6

(j)

α0 = 39.4827 δ0 = 83.4279 W = 186.5855 + 22.5769768 d α0 = 318.16 − 3.949 T δ0 = 75.03 − 1.143 T W = 355.2 + 4.5379572 d

(k)

α0 = 356.90 δ0 = 77.80 W = 178.58 + 931.639 d S 1 = 353.32 + 75706.7 T, S 3 = 177.40 − 36505.5 T, S 5 = 316.45 + 506.2 T, Uranus

VI Cordelia

(g)

α0 = 257.31 − 0.15 sin U1 δ0 = −15.18 + 0.14 cos U1 848

S 2 = 28.72 + 75706.7 T S 4 = 300.00 − 7225.9 T S 6 = 345.20 − 1016.3 T

(h)

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION Table 12.2 (suite) W = 127.69 − 1074.5205730 d − 0.04 sin U1 VII Ophelia

α0 = 257.31 − 0.09 sin U2 δ0 = −15.18 + 0.09 cos U2 W = 130.35 − 956.4068150 d − 0.03 sin U2

VIII Bianca

α0 = 257.31 − 0.16 sin U3 δ0 = −15.18 + 0.16 cos U3 W = 105.46 − 828.3914760 d − 0.04 sin U3

IX Cressida

α0 = 257.31 − 0.04 sin U4 δ0 = −15.18 + 0.04 cos U4 W = 59.16 − 776.5816320 d − 0.01 sin U4

X Desdemona

α0 = 257.31 − 0.17 sin U5 δ0 = −15.18 + 0.16 cos U5 W = 95.08 − 760.0531690 d − 0.04 sin U5

XI Juliet

XII Portia

α0 = 257.31 − 0.06 sin U6 δ0 = −15.18 + 0.06 cos U6 W = 302.56 − 730.1253660 d − 0.02 sin U6 α0 = 257.31 − 0.09 sin U7 δ0 = −15.18 + 0.09 cos U7 W = 25.03 − 701.4865870 d − 0.02 sin U7

XIII Rosalind

α0 = 257.31 − 0.29 sin U8 δ0 = −15.18 + 0.28 cos U8 W = 314.90 − 644.6311260 d − 0.08 sin U8

XIV Belinda

α0 = 257.31 − 0.03 sin U9 δ0 = −15.18 + 0.03 cos U9 W = 297.46 − 577.3628170 d − 0.01 sin U9

XV Puck

α0 = 257.31 − 0.33 sin U10 δ0 = −15.18 + 0.31 cos U10 W = 91.24 − 472.5450690 d − 0.09 sin U10

V Miranda

α0 = 257.43 + 4.41 sin U11 − 0.04 sin 2U11 δ0 = −15.08 + 4.25 cos U11 − 0.02 cos 2U11 W = 30.70 − 254.6906892 d − 1.27 sin U12 + 0.15 sin 2U12 + 1.15 sin U11 − 0.09 sin 2U11

I Ariel

α0 = 257.43 + 0.29 sin U13 δ0 = −15.10 + 0.28 cos U13 W = 156.22 − 142.8356681 d + 0.05 sin U12 + 0.08 sin U13

849

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES Table 12.2 (suite) II Umbriel

α0 = 257.43 + 0.21 sin U14 δ0 = −15.10 + 0.20 cos U14 W = 108.05 − 86.8688923 d − 0.09 sin U12 + 0.06 sin U14

III Titania

α0 = 257.43 + 0.29 sin U15 δ0 = −15.10 + 0.28 cos U15 W = 77.74 − 41.3514316 d + 0.08 sin U15

IV Oberon

α0 = 257.43 + 0.16 sin U16 δ0 = −15.10 + 0.16 cos U16 W = 6.77 − 26.7394932 d + 0.04 sin U16

avec

U1 = 115.75 + 54991.87 T, U2 = 141.69 + 41887.66 T, U3 = 135.03 + 29927.35 T, U4 = 61.77 + 25733.59 T, U5 = 249.32 + 24471.46 T, U6 = 43.86 + 22278.41 T, U7 = 77.66 + 20289.42 T, U8 = 157.36 + 16652.76 T, U9 = 101.81 + 12872.63 T, U10 = 138.64 + 8061.81 T, U11 = 102.23 − 2024.22 T, U12 = 316.41 + 2863.96 T, U13 = 304.01 − 51.94 T, U14 = 308.71 − 93.17 T, U15 = 340.82 − 75.32 T, U16 = 259.14 − 504.81 T Neptune

III Naiad

α0 = 299.36 + 0.70 sin N − 6.49 sin N1 + 0.25 sin 2N1 δ0 = 43.36 − 0.51 cos N − 4.75 cos N1 + 0.09 cos 2N1 W = 254.06 + 1222.8441209d − 0.48 sin N + 4.40 sin N1 − 0.27 sin 2N1

IV Thalassa

α0 = 299.36 + 0.70 sin N − 0.28 sin N2 δ0 = 43.45 − 0.51 cos N − 0.21 cos N2 W = 102.06 + 1155.7555612d − 0.48 sin N + 0.19 sin N2

V Despina

α0 = 299.36 + 0.70 sin N − 0.09 sin N3 δ0 = 43.45 − 0.51 cos N − 0.07 cos N3 W = 306.51 + 1075.7341562d − 0.49 sin N + 0.06 sin N3

VI Galatea

α0 = 299.36 + 0.70 sin N − 0.07 sin N4 δ0 = 43.43 − 0.51 cos N − 0.05 cos N4 W = 258.09 + 839.6597686d − 0.48 sin N + 0.05 sin N4

VII Larissa

α0 = 299.36 + 0.70 sin N − 0.27 sin N5 δ0 = 43.41 − 0.51 cos N − 0.20 cos N5 W = 179.41 + 649.0534470d − 0.48 sin N + 0.19 sin N5

VIII Proteus

α0 = 299.27 + 0.70 sin N − 0.05 sin N6 δ0 = 42.91 − 0.51 cos N − 0.04 cos N6 850

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION Table 12.2 (suite) W = 93.38 + 320.7654228d − 0.48 sin N + 0.04 sin N6 I Triton

avec

α0 = 299.36 − 32.35 sin N7 − 6.28 sin 2N7 − 2.08 sin 3N7 − 0.74 sin 4N7 − 0.28 sin 5N7 − 0.11 sin 6N7 − 0.07 sin 7N7 − 0.02 sin 8N7 − 0.01 sin 9N7 δ0 = 41.17 + 22.55 cos N7 + 2.10 cos 2N7 + 0.55 cos 3N7 + 0.16 cos 4N7 + 0.05 cos 5N7 + 0.02 cos 6N7 + 0.01 cos 7N7 W = 296.53 − 61.2572637d + 22.25 sin N7 + 6.73 sin 2N7 + 2.05 sin 3N7 + 0.74 sin 4N7 + 0.28 sin 5N7 + 0.11 sin 6N7 + 0.05 sin 7N7 + 0.02 sin 8N7 + 0.01 sin 9N7 N = 357.85 + 52.316 T, N1 = 323.92 + 62606.6 T, N2 = 220.51 + 55064.2 T, N3 = 354.27 + 46564.5 T, N4 = 75.31 + 26109.4 T, N5 = 35.36 + 14325.4 T, N6 = 142.61 + 2824.6 T, N7 = 177.85 + 52.316 T

(a) Le méridien de longitude 0◦ de Io est défini par la direction moyenne du point subjovien, dans la mesure où les détails de surface ne sont pas suffisamment pérennes pour servir de référence à long terme. (b) Le méridien de longitude 182◦ d’Europe est défini par le cratère Cilix. (c) Le méridien de longitude 128◦ de Ganymede est défini par le cratère Anat. (d) Le méridien de longitude 326◦ de Callisto est défini par le cratère Saga. (e) Ces équations sont correctes pour Janus, Epimetheus, Telesto et Calypso pour l’époque des rencontres avec Voyager. Du fait de la précession, elles peuvent ne pas l’être à d’autres époques. De plus, les échanges orbitaux entre Janus et Epimetheus induisent des changements dans leurs vitesses moyennes de rotation et sont sujets à des forces de libration. (f) Le méridien de longitude 162◦ de Mimas est défini par le cratère Palomides. (g) Le méridien de longitude 5◦ d’Encelade est défini par le cratère Salih. (h) Le méridien de longitude 299◦ de Tethys est défini par le cratère Arete. (i) Le méridien de longitude 63◦ de Dione est défini par le cratère Palinurus. (j) Le méridien de longitude 340◦ de Rhea est défini par le cratère Tore. (k) Le méridien de longitude 276◦ de Iapetus est défini par le cratère Almeric.

851

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

Table 12.3 – Valeurs recommandées pour la direction du pôle Nord de rotation et pour le méridien origine des astéroïdes (Archinal et al., 2018). L’unité est le degré. Les notations sont décrites dans la table 12.1.

(1) Ceres

(2) Pallas

(4) Vesta

(21) Lutetia

(52) Europa

(243) Ida

(433) Eros

(511) Davida

(951) Gaspra

(2867) Steins

(25143) Itokawa

α0 = 291.418 ± 0.03 δ0 = 66.764 ± 0.03 W = 170.650 + (952.1532 ± 0.00003) d α0 = 33.0 ± 5 δ0 = −3.0 ± 5 W = (38 ± 2) + 1105.8036 d

(b)

α0 = 309.031 ± 0.01 δ0 = 42.235 ± 0.01 W = 285.39 + 1617.3329428 d α0 = 51.8 ± 0.4 δ0 = 10.8 ± 0.4 W = 94.0 + 1057.7515 d

(c)

(d)

α0 = 257.0 δ0 = 12.0 W = 55.0 + 1534.6472187 d

(e)

α0 = 168.76 δ0 = −87.12 W = 274.05 + 1864.6280070 d

(f)

α0 = 11.35 ± 0.02 δ0 = 17.22 ± 0.02 W = 326.07 + 1639.38864745 d α0 = 297.0 δ0 = 5.0 W = 268.1 + 1684.4193549 d α0 = 9.47 δ0 = 26.70 W = 83.67 + 1226.9114850 d α0 = 91.0 ± 5.0 δ0 = −62.0 ± 5.0 W = 321.76 + 1428.099174 d α0 = 90.53 δ0 = −66.30

852

(h)

(i)

(j)

(g)

(a)

12.7. PARAMÈTRES DE ROTATION Table 12.3 (suite) W = 0.0 + 712.143 d (134340) Pluton

(134340) Pluton : I Charon

(k)

α0 = 132.993 δ0 = −6.163 W = 302.695 + 56.3625225 d α0 = 132.993 δ0 = −6.163 W = 122.695 + 56.3625225 d

(l)

(m)

(a) Le méridien de longitude 0◦ de Ceres est défini par le cratère Kait (Raymond et Roatsch, 2015). (b) Le méridien de longitude 0◦ de Pallas est défini par la direction (x positif) du grand axe du modèle de forme de Carry et al. (Carry et al., 2010). (c) Le méridien de longitude 146◦ de Vesta est défini par le cratère Claudia. Cette définition est en accord avec l’emplacement d’un détail de surface non officiellement nommé, mais désigné sous le nom de Olbers Regio par Thomas et al. (Thomas et al., 1997). (d) Les coordonnées du pôle de rotation sont issues des travaux de Sierks et al. (2011). Le méridien de longitude 0◦ de Lutetia a été arbitrairement défini à partir des courbes de lumière. (e) Le méridien de longitude 0◦ d’Europa est défini par la direction du grand axe dirigé vers la Terre le 28 mai 2007 à 8.3125 h UTC corrigé du temps de lumière (Merline et al., 2013). (f) Le méridien de longitude 0◦ de Ida est défini par le cratère Afon. (g) Le méridien de longitude 0◦ d’Eros est défini par un cratère sans nom. (h) Le méridien de longitude 0◦ de Davida est défini par la direction du grand axe dirigé vers la Terre le 27 décembre 2002 à 7.83 h UTC (Conrad et al., 2007). (i) Le méridien de longitude 0◦ de Gaspra est défini par le cratère Charax. (j) Le méridien de longitude 0◦ de Steins est défini par un cratère initialement dénommé Spinel (Jorda et al., 2012), officiellement dénommé par la suite Topaz (Besse et al., 2012). (k) Vu que seule la vitesse de rotation est définie, le méridien de longitude 0◦ de Itokawa est arbitrairement défini tel que W0 = 0◦ . (l) Le méridien de longitude 0◦ de Pluton est défini par la direction moyenne du méridien faisant face à Charon. (m) Le méridien de longitude 0◦ de Charon est défini par la direction moyenne du méridien faisant face à Pluton.

853

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

12.8

Paramètres de forme

Les tables 12.4, 12.5, 12.6 et 12.7 fournissent les valeurs de taille et de forme, respectivement, des planètes, de leurs satellites et de quelques astéroïdes et comètes (Archinal et al., 2018). Ces valeurs de taille et de forme sont fournies à titre de comparaison. Elles ont été obtenues par différentes techniques de mesure, comme les occultations stellaires, la modélisation du limbe ou les mesures d’altimétrie obtenues par les sondes spatiales. En outre, elles ont été calculées par différents auteurs utilisant des méthodes de calcul différentes. Ainsi, le rayon moyen peut ne pas être consistant avec le modèle de forme triaxial. Il en est de même pour les incertitudes qui peuvent avoir des significations différentes en fonction de la méthode de calcul. Pour connaître les tailles et les formes précises des corps du Système solaire, on se référera à la littérature et aux articles cités dans les notes en fin de table. Définitions des paramètres fournis dans les tables. • Rayon moyen : rayon du corps correspondant à la moyenne des axes équatorial et polaire, ou au rayon de la sphère de volume équivalent. • Sphéroïde : ellipsoïde à symétrie axiale (ou ellipsoïde de révolution) modélisant approximativement la forme du corps. Pour les planètes telluriques (à l’exception de la Terre) et la plupart des satellites, le sphéroïde représente la hauteur de la surface moyenne topographique du corps à l’exclusion de toute atmosphère. Pour la Terre, le sphéroïde correspond au niveau moyen des mers. Pour les planètes gazeuses, le sphéroïde représente une surface isobare où la pression est égale à 1 bar. Pour les petits satellites, les astéroïdes et les comètes de forme irrégulière ou non convexe, le sphéroïde ne modélise pas la forme du√corps, mais représente 3 la sphère de volume équivalent dont le rayon est Req = abc, où a, b, c sont les rayons de l’ellipsoïde triaxial modélisant le corps quand il existe. • Rayons équatoriaux subplanète et le long de l’orbite : rayons d’un satellite dans le plan de son équateur, respectivement, dans la direction de la planète et dans la direction de son mouvement (c’est-à-dire perpendiculaire au rayon subplanète). Ces deux rayons permettent de donner une idée des forces de marée qui agissent sur les satellites de forme allongée, généralement en orbite synchrone autour de la planète. Combinées au rayon polaire, ces trois valeurs fournissent la meilleure approximation de l’ellipsoïde représentant la forme du corps. • Écart à l’ellipsoïde, sommet le plus élevé et fosse la plus profonde : ces trois colonnes fournissent une indication de la variation de la hauteur de la surface par rapport à l’ellipsoïde du fait de la topographie du corps.

854

855

(d)

(d)

(d)

(d,e)

(c)

(b)

(a)

69911 ± 6 58232 ± 6 25362 ± 7 24622 ± 19

2439.4 ± 0.1 6051.8 ± 1.0 6371.0084 ± 0.0001 3389.50 ± 0.2

Rayon moyen

71492 (c) ± 4 60268 ± 4 25559 ± 4 24764 ± 15

695700 2440.53 ± 0.04 idem 6378.1366 ± 0.0001 3396.19 ± 0.1

Rayon équatorial

2438.26 ± 0.04 idem 6356.7519 ± 0.0001 M 3376.20 ± 0.1 N 3373.19 ± 0.1 S 3379.21 ± 0.1 66854 ± 10 54364 ± 10 24973 ± 20 24341 ± 30

Rayon polaire

62.1 102.9 16.8 8

1 1 3.57 3.0

Écart type au sphéroïde

31 8 28 14

4.6 11 8.85 22.64 ± 0.1

Sommet le plus élevé

102 205 0 0

2.5 2 11.52 7.55 ± 0.1

Fosse la plus profonde

(a) Les valeurs des rayons de Mercure sont fournies à des fins de comparaison, pour un usage cartographique ou une référence d’altitude. Voir Perry et al. (2015) pour des dimensions précises des axes du modèle triaxial de Mercure. (b) Les valeurs des rayons de la Terre sont fournies à des fins de comparaison. La résolution UAI 2015 B3 (UAI2016, 2016) fixe les valeurs des rayons équatorial et polaire utilisés comme facteur de conversion à, respectivement, 6 378.1 km et 6 356.8 km. (c) Les valeurs M, N et S correspondent aux rayons polaires moyen, nord et sud. (d) Le rayon correspond à une surface où la pression est égale à 1 bar. (e) Les valeurs des rayons équatorial et polaire de Jupiter utilisés comme facteur de conversion ont été adoptées par la résolution UAI 2015 B3 (UAI2016, 2016).

Jupiter Saturne Uranus Neptune

Soleil Mercure Vénus Terre Mars

Planète

2018). L’unité est le kilomètre.

Table 12.4 – Paramètres caractérisant la taille et la forme des planètes (Archinal et al.,

12.8. PARAMÈTRES DE FORME

Phobos Deimos

Lune

XVI Metis XV Adrastea V Amalthea XIV Thebe I Io II Europa III Ganymede IV Callisto XIII Leda VI Himalia X Lysithea VII Elara XII Ananke XI Carme VIII Pasiphae

Jupiter

Mars

Terre

Satellite

21.5 ± 4 8.2 ± 4 83.5 ± 3 49.3 ± 4 1821.49 1560.8 ± 0.3 2631.2 ± 1.7 2410.3 ± 1.5 5 85 ± 10 12 40 ± 10 10 15 18

11.08 ± 0.04 6.2 ± 0.25

1737.4 (a)

Rayon moyen

30 10 125 58 1829.4 1562.6 idem idem

13.0 7.8

idem

Rayon équatorial subplanète

20 8 73 49 1819.4 1560.3 idem idem

11.4 6.0

idem

Rayon équatorial le long l’orbite

et al., 2018). L’unité est le kilomètre.

17 7 64 42 1815.7 1559.5 idem idem

9.1 5.1

idem

Rayon polaire

856

0.6

0.32

3.2

0.5 0.2

2.5

Écart type à l’ellipsoïde

Table 12.5 – Paramètres caractérisant la taille et la forme des satellites (Archinal

13

7.5

Sommet le plus élevé

3

5.6

Fosse la plus profonde

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

XVIII Pan XXXV Daphnis XV Atlas XVI Prometheus XVII Pandora XI Epimetheus X Janus I Mimas LIII Aegaeon XXXII Methone XLIX Anthe XXXIII Pallene II Encelade III Tethys XIII Telesto XIV Calypso IV Dione XII Helene XXXIV Polydeuces V Rhea VI Titan VII Hyperion VIII Iapetus

Saturne

IX Sinope

Satellite

14.0 ± 1.2 3.8 ± 0.8 15.1 ± 0.8 43.1 ± 1.2 40.6 ± 1.5 58.2 ± 1.2 89.2 ± 0.8 198.2 ± 0.4 0.33 ± 0.06 1.45 ± 0.03 0.5 2.23 ± 0.07 252.1 ± 0.2 531.0 ± 0.6 12.4 ± 0.4 9.6 ± 0.6 561.4 ± 0.4 18.0 ± 0.4 1.3 ± 0.4 763.5 ± 0.6 2575.0 (b) 135 ± 4 734.3 ± 2.8

14

Rayon moyen

15.4 ± 1.2 4.5 ± 0.9 17.8 ± 0.7 41.6 ± 1.8 40.8 ± 2.0 57.3 ± 2.5 93.0 ± 0.7 196.7 ± 0.5 0.25 ± 0.06 1.29 ± 0.04 2.08 ± 0.07 251.4 ± 0.2 528.3 ± 1.1 11.8 ± 0.3 9.3 ± 2.2 561.3 ± 0.5 19.6 ± 0.3 1.2 ± 0.4 763.1 ± 0.6 2574.78 ± 0.06 133.0 ± 4.5 745.7 ± 2.9

2.88 ± 0.07 256.6 ± 0.6 538.4 ± 0.3 16.3 ± 0.5 15.3 ± 0.3 563.4 ± 0.6 22.5 ± 0.5 1.5 ± 0.6 765.0 ± 0.7 2575.15 ± 0.02 180.1 ± 2.0 745.7 ± 2.9

Rayon équatorial le long l’orbite

17.2 ± 1.7 4.6 ± 0.7 20.5 ± 0.9 68.2 ± 0.8 52.2 ± 1.8 64.9 ± 1.3 101.7 ± 1.6 207.8 ± 0.5 0.7 ± 0.05 1.94 ± 0.02

Rayon équatorial subplanète

Rayon polaire

857 1.8 ± 0.07 248.3 ± 0.2 526.3 ± 0.6 9.8 ± 0.3 6.3 ± 0.6 559.6 ± 0.4 13.3 ± 0.2 1.0 ± 0.2 762.4 ± 0.6 2574.47 ± 0.06 102.7 ± 4.5 712.1 ± 1.6

10.4 ± 0.9 2.8 ± 0.8 9.4 ± 0.8 28.2 ± 0.8 31.5 ± 0.9 53.0 ± 0.5 76.3 ± 0.4 190.6 ± 0.3 0.2 ± 0.08 1.21 ± 0.02

Table 12.5 (suite)

0.26

0.5

0.4

Écart type à l’ellipsoïde

Sommet le plus élevé

Fosse la plus profonde

12.8. PARAMÈTRES DE FORME

858

III Naiad IV Thalassa V Despina VI Galatea VII Larissa VIII Proteus

Neptune

29 ± 6 40 ± 8 74 ± 10 79 ± 12 96 ± 7 (c) 208 ± 8

13 ± 2 15 ± 2 21 ± 3 31 ± 4 27 ± 3 42 ± 5 54 ± 6 27 ± 4 33 ± 4 77 ± 51.9 235.8 ± 0.7 578.9 ± 0.6 584.7 ± 2.8 788.9 ± 1.8 761.4 ± 2.6

106.5 ± 0.7

IX Phœbe

VI Cordelia VII Ophelia VIII Bianca IX Cressida X Desdemona XI Juliet XII Portia XIII Rosalind XIV Belinda XV Puck V Miranda I Ariel II Umbriel III Titania IV Oberon

Uranus

Rayon moyen

Satellite

104 218

240.4 ± 0.6 581.1 ± 0.9 idem idem idem

109.4 ± 1.4

Rayon équatorial subplanète

208

234.2 ± 0.9 577.9 ± 0.6 idem idem idem

108.5 ± 0.6

Rayon équatorial le long l’orbite

Rayon polaire

89 201

232.9 ± 1.2 577.7 ± 1.0 idem idem idem

101.8 ± 0.3

Table 12.5 (suite)

2.9 7.9

1.6 0.9 2.6 1.3 1.5

Écart type à l’ellipsoïde

6 18

4 12

5 4

Sommet le plus élevé

5 13

2

8 4 6

Fosse la plus profonde

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

1352.6 ± 2.4 170 ± 25

I Triton II Nereid

Rayon équatorial subplanète

Rayon équatorial le long l’orbite

Rayon polaire

Écart type à l’ellipsoïde

Sommet le plus élevé

Fosse la plus profonde

(a) Le rayon moyen de la Lune est fourni à des fins de comparaison, pour un usage cartographique ou une référence d’altitude. (b) Le rayon moyen de Titan est fourni à des fins de comparaison, pour un usage cartographique ou une référence d’altitude. La valeur la plus précise à ce jour de l’ajustement du rayon de Titan est 2 574.73 ± 0.09 km (Zebker et al., 2009). (c) Les dimensions de Larissa ont été déterminées à partir d’une seule image, fournissant un demi-grand axe de 104 km et un demi-petit axe de 89 km (Thomas et Veverka, 1991).

Rayon moyen

Satellite

Table 12.5 (suite)

12.8. PARAMÈTRES DE FORME

859

CHAPITRE 12. ÉPHÉMÉRIDES PHYSIQUES

Table 12.6 – Paramètres caractérisant la taille et la forme des astéroïdes et de leurs satellites (Archinal et al., 2018). L’unité est le kilomètre.

Objet (1) Cérès (2) Pallas (4) Vesta (16) Psyche (21) Lutetia (52) Europa (243) Ida (253) Mathilde (433) Eros (511) Davida (951) Gaspra (2867) Steins (4179) Toutatis (25143) Itokawa (134340) Pluton Pluton : I Charon

Rayon moyen 469.7 ± 0.2 256 ± 3 262.7 ± 0.1 113 ± 23 39.7 ± 1.1 157.5 ± 7 15.65 ± 0.6 26.5 ± 1.3 8.45 ± 0.02 150 6.1 ± 0.4 2.70 ± 0.05

1188.3 ± 0.8 606.0 ± 0.5

Rayons mesurés le long des axes principaux 483.1 ± 0.2 275 ± 4 286.3 ± 0.1 139.5 ± 13.9 60.5 ± 0.5 189.5 ± 16 26.8 33 17.0 180 9.1 3.25 ± 0.05 2.13 0.268 idem idem

481.0 ± 0.2 258 ± 3 278.6 ± 0.1 116 ± 11.6 50.5 ± 0.5 165 ± 8 12.0 24 5.5 147 5.2 2.75 ± 0.05 1.015 0.147 idem idem

445.9 ± 0.2 238 ± 3 223.2 ± 0.1 94.5 ± 9.4 37.5 ± 6.5 124.5 ± 10 7.6 23 5.5 127 4.4 2.05 ± 0.05 0.85 0.104 idem idem

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g)

(h) (h)

(a) Valeurs déterminées par la mission NASA Dawn (Russell et al., 2016). (b) Axes principaux de Pallas associés à la solution de pôle de la table 12.3 (Carry et al., 2010). (c) Valeurs déterminées par la mission NASA Dawn (Russell et al., 2012). (d) Ces axes principaux de Psyche ont été utilisés pour définir le système de longitude par Shepard et al. (2017). D’autres modèles de forme et d’orientation de Psyche sont également proposés par Drummond et al. (2018) et Viikinkoski et al. (2018). (e) Valeurs déterminées par la mission ESA Rosetta Sierks et al. (2011). (f) Valeurs de Conrad et al. (2007) corrigées par les mêmes auteurs. (g) Valeurs déterminées par la mission ESA Rosetta (Jorda et al., 2012). (h) Valeurs déterminées par la mission NASA New Horizons (Nimmo et al., 2017).

860

12.8. PARAMÈTRES DE FORME

Table 12.7 – Paramètres caractérisant la taille et la forme des comètes (Archinal et al., 2018). L’unité est le kilomètre.

Objet 1P/Halley 9P/Tempel 1 19P/Borelly 67P/Churyumov–Gerasimenko 81P/Wild 2 103P/Hartley 2

Rayon moyen 3.0 ± 0.1 4.22 ± 0.05 1.65 1.975 0.58

Rayons mesurés le long des axes principaux 8.0 ± 0.5 3.7 3.5 ± 0.2 2.40 2.7 0.34

4.0 ± 0.25 2.5 – 1.55 1.9 1.16

4.0 ± 0.25 – 1.20 1.5 ∼ 1.16

(a) La forme de la comète Tempel 1 ne s’apparentant pas à celle d’un ellipsoïde, les valeurs des rayons maximum et minimum ne correspondent pas aux dimensions des axes principaux, mais aux demi-diamètres maximum et minimum du noyau. (b) Les valeurs des deuxième et troisième axes de la comète Borrelly ne sont pas fournies, car une seule face de la comète a été imagée en stéréo, ne permettant qu’une détermination probable de la dimension maximale. (c) La cartographie de l’hémisphère sud de Churyumov-Gerasimenko n’étant que partielle, la dimension du troisième axe a été calculée par rapport au volume du noyau (Preusker et al., 2015). (d) Thomas et al. (2013)

861

(a) (b) (c) (d)

Chapitre 13

Calendrier et saisons

13.1

Introduction

Le mot calendrier vient du latin kalendae (calendes, en français) qui désignait le premier jour du mois dans le calendrier romain. C’était un moment important de la vie de la cité : ce jour-là, à Rome, un pontife réunissait le peuple pour lui annoncer les dates importantes, c’est-à-dire les différentes fêtes et cérémonies à venir. C’était aussi le jour où l’on payait les intérêts des emprunts. Ainsi, le calendarium romain, qui était un registre de dettes, est devenu notre calendrier où se consignent les rendez-vous importants de notre vie. Un calendrier est en définitive un système pratique et aussi sophistiqué que possible pour recenser les jours, et ainsi mesurer les grands intervalles de temps, bien au-delà de la durée d’une vie humaine. On en dénombre plus de 100 depuis que l’homme s’est mis à compter les jours. Un calendrier peut être réglé de trois façons différentes : au moyen du Soleil seul, au moyen de la Lune seule ou au moyen de la Lune et du Soleil ensemble. On parle alors, respectivement, de calendrier solaire, lunaire et luni-solaire. Ces trois types de calendriers ont été utilisés à différentes époques, dans différentes civilisations. Ce sont des rythmes naturels qui s’imposent à tous les hommes : succession des jours et des nuits, retour des phases de la Lune, retour du Soleil d’un équinoxe au suivant. Ces trois types de calendriers sont encore utilisés de nos jours. L’un des calendriers lunaires les plus connus est le calendrier musulman en usage dans le monde entier pour la pratique religieuse. Les plus importants calendriers luni-solaires encore en usage sont le calendrier juif et le calendrier traditionnel chinois. Quant au calendrier maya, il fait intervenir des cycles sans lien avec les mouvements célestes. 863

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS Cependant, le calendrier le plus familier est le calendrier grégorien : il s’est répandu quasiment parmi toutes les nations du monde contemporain, rythmant la vie sociale, économique et politique. C’est un calendrier solaire institué il y a près de 450 ans, mais dont les racines puisent au plus profond des temps, au cœur du monde romain, quand Jules César promulgua le calendrier julien en 45 AEC. Un calendrier solaire est un calendrier dont la durée moyenne de l’année est la plus proche possible de l’année tropique qui est déterminée par la révolution apparente du Soleil par rapport à l’équinoxe moyen. Ainsi, un calendrier solaire permet un retour des saisons au voisinage des mêmes dates. Il est à noter qu’il est impossible de trouver un système calendaire qui assure une date fixe pour chaque saison. En effet, la durée de chaque saison n’est pas constante en raison de la loi des aires, du mouvement de la ligne des apsides de l’orbite terrestre (ligne joignant le périhélie et l’aphélie de l’orbite terrestre) et des variations de l’excentricité de l’orbite terrestre. Tout au plus est-on capable d’éviter une dérive de la date des saisons dans le calendrier. Pour cela, un calendrier solaire vise à construire une année calendaire moyenne proche de l’année tropique moyenne, cette année tropique moyenne n’étant pas elle-même constante dans le temps.

13.2

Calcul de la durée de l’année tropique

13.2.1

Année tropique et années des saisons

L’année tropique est le temps nécessaire pour que la longitude moyenne du barycentre Terre-Lune (noté BTL) croisse de 360◦ . C’est donc aussi le temps d’une révolution du BTL autour du Soleil dans un repère tournant lié à la ligne des équinoxes. Cette période est indépendante du point de départ choisi dans ce repère tournant pour repérer les 360◦ (de 0◦ à 360◦ ou de x◦ à x + 360◦ ). Cette période est différente du temps moyen que met le barycentre Terre-Lune pour aller d’un équinoxe de printemps à l’autre. En effet, la vitesse du barycentre Terre-Lune sur son orbite n’est pas uniforme. Elle obéit, en première approximation, à la seconde loi de Kepler. Le temps moyen mis pour aller d’un équinoxe de printemps à l’autre n’est donc pas égal au temps moyen qui sépare deux équinoxes d’automne. Il en est de même pour les solstices d’hiver et d’été. En outre, si l’on prend l’année vernale, ainsi appelée pour marquer le retour d’un équinoxe de printemps au suivant, sa durée subit des fluctuations qui peuvent aller jusqu’à 7 minutes ou plus en raison des perturbations de l’axe de rotation de la Terre, telle que la nutation par exemple, des perturbations planétaires les plus importantes venant de Vénus et Jupiter, 864

Durée de l’année vernale (jours)

13.2. CALCUL DE LA DURÉE DE L’ANNÉE TROPIQUE

Année

Figure 13.1 – Durée de l’année vernale entre 1600 et 2050.

et enfin du mouvement mensuel de la Terre autour du barycentre du système Terre-Lune. Ces quelques facteurs ont tous à peu près la même incidence sur l’inégalité de l’année vernale. Les périodes de ces termes sont sans rapport simple avec l’année, et d’un début de l’année vernale à l’autre, leur phase est quelconque, avançant ou retardant de quelques minutes l’instant précis où la longitude apparente du Soleil atteint 360◦ . Pour les années courantes, on trouve les valeurs dans la table 13.1 de 2020 à 2040, avec la moyenne des valeurs en bas de tableau. Les variations d’une année à la suivante sont de l’ordre de 0.005 jour, soit ∼ 7 min. La figure 13.1 montre l’évolution de la durée de l’année vernale entre 1600 et 2050 autour d’une valeur moyenne de 365.242 38 jours, très légèrement différente (≈ 15 s) de l’année tropique. Pourtant, il n’est pas rare de trouver encore de nos jours cette ancienne définition de l’année tropique comme durée écoulée entre deux équinoxes de printemps successifs, sans doute parce que c’était cette définition qui s’appliquait à l’époque de la réforme du calendrier par le pape Grégoire XIII en 1582. Sur une durée beaucoup plus longue, la figure 13.2 donne un résultat similaire pour les années équinoxiales et solsticiales (temps de retour aux équinoxes et solstices) avec leur valeur moyenne et la durée de l’année tropique donnée par l’équation (13.11). Les courbes pour les différentes années sont fortement lissées afin de faire apparaître uniquement la tendance à long terme et d’avoir la comparaison à l’année tropique. Les fluctuations 865

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Table 13.1 – Durées des années équinoxiales et solsticiales de 2020 à 2040.

Année

Équinoxe

Solstice

Équinoxe

Solstice

Mars

Juin

Septembre

Décembre

2020-2021

365.241 567

365.242 002

365.243 359

365.247 891

2021-2022

365.247 180

365.237 282

365.237 925

365.242 300

2022-2023

365.243 768

365.238 873

365.240 478

365.235 519

2023-2024

365.237 473

365.245 256

365.245 602

365.245 281

2024-2025

365.246 583

365.243 934

365.233 112

365.237 858

2025-2026

365.239 219

365.237 670

365.240 193

365.241 077

2026-2027

365.235 230

365.240 506

365.247 569

365.244 391

2027-2028

365.244 756

365.243 868

365.238 602

365.234 378

2028-2029

365.239 472

365.240 479

365.245 276

365.246 139

2029-2030

365.243 138

365.238 209

365.241 933

365.246 894

2030-2031

365.242 278

365.240 157

365.241 955

365.240 229

2031-2032

365.236 752

365.244 189

365.246 933

365.250 268

2032-2033

365.250 578

365.244 704

365.236 664

365.243 096

2033-2034

365.246 373

365.238 237

365.241 597

365.241 671

2034-2035

365.239 748

365.242 318

365.249 559

365.247 831

2035-2036

365.250 075

365.249 377

365.239 160

365.237 505

2036-2037

365.241 271

365.243 207

365.242 897

365.246 436

2037-2038

365.243 317

365.240 942

365.242 497

365.246 244

2038-2039

365.244 035

365.241 690

365.241 208

365.234 911

2039-2040

365.235 876

365.242 343

365.246 745

365.244 622

2040-2041

365.246 612

365.242 696

365.237 255

365.239 929

Moyenne

365.242 63

365.241 81

365.241 93

365.242 59

866

13.2. CALCUL DE LA DURÉE DE L’ANNÉE TROPIQUE annuelles qui dominent dans la figure 13.1 ont donc disparu avec ce filtrage des hautes fréquences venant des perturbations planétaires. Ce filtrage simule une élimination des corps perturbateurs, et les courbes restantes sont celles que l’on obtiendrait avec un mouvement képlérien du BTL autour du Soleil, et les mouvements séculaires du périhélie et du point vernal. La moyenne des années équinoxiales et solsticiales est tout à fait similaire à l’année tropique, et même remarquablement similaire. L’exactitude serait parfaite si, au lieu d’avoir pris quatre longitudes de référence (0◦ , 90◦ , 180◦ et 70◦ ), nous avions considéré une densité plus élevée, par exemple tous les degrés. La quasi-exactitude de la moyenne et de l’année tropique avec seulement quatre cas est une circonstance heureuse, et provient de la distribution régulière sur les quatre quadrants. L’écart aurait pu être plus important sans matière à s’en inquiéter. Une fois ce point éclairci, la figure 13.2 suscite au moins deux questions : • Pourquoi ces années sont-elles différentes entre elles et différentes de l’année tropique ? • Pour quelle raison leur durée change-t-elle sur quelques milliers d’années ? La durée la plus constante est la période de révolution sidérale de la Terre autour du Soleil, repérée par rapport aux étoiles fixes ou plus rigoureusement par rapport aux quasars, à l’extérieur de la Galaxie. L’année tropique diffère de l’année sidérale en raison du mouvement de l’équinoxe dans un référentiel inertiel, au rythme actuel de −50.2500 par an. Ce mouvement étant rétrograde, la durée de l’année tropique est inférieure à celle de l’année sidérale de 20.4 minutes. On considère l’année équinoxiale, mesurée par rapport à l’équinoxe de mars, c’est-à-dire le retour à la longitude tropique 0◦ . Le raisonnement serait semblable pour les autres points. Après une révolution sidérale, le Soleil apparent a dépassé le point de référence du début de l’année équinoxiale et sa longitude tropique est légèrement positive, très proche de ∆λP ≈ 50.2500 . Ceci serait également vrai si on avait considéré l’autre équinoxe ou les solstices pour lesquels la longitude initiale serait dépassée de ∆λP . D’une manière équivalente, on peut également dire qu’au cours d’une année équinoxiale, le mouvement sidéral du Soleil n’a été que de 359◦ 590 1000 et qu’il manque ≈ 5000 pour boucler une orbite complète. Mais le temps nécessaire ∆τ pour franchir cet intervalle ∆λP dépend de la vitesse angulaire apparente du Soleil, donc de sa position par rapport au périhélie, autrement dit de son anomalie moyenne. La vitesse n’étant pas la même en tout point de l’orbite, il en va de même de ∆τ, qui dépend de l’équinoxe ou du solstice considéré. 867

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Figure 13.2 – Durées des années équinoxiales et solsticiales entre −2000 et +6000, leur moyenne à chaque époque, et la valeur de l’année tropique donnée par l’équation 13.11.

Cette position varie très lentement au cours du temps, et en ce moment, le Soleil apparent passe au périhélie (ou périgée dans cette description géocentrique) à la longitude ≈ 283◦ , soit tout au début du mois de janvier. Au printemps, environ 77 jours plus tard, l’anomalie moyenne vaut environ 75◦ et la vitesse angulaire en longitude est très légèrement supérieure à la moyenne. Au solstice boréal, proche de l’aphélie, elle est proche de sa valeur minimale, largement inférieure à la moyenne et au contraire largement supérieure au solstice austral à la fin de décembre. L’année mesurée par rapport à l’équinoxe de mars sera donc légèrement plus longue que l’année tropique, et légèrement inférieure pour l’équinoxe de septembre. Les décalages seront en revanche plus importants pour les solstices avec des anomalies moyennes voisines de 0◦ et 180◦ . Ceci conduit à une année courte pour le solstice de juin, et longue pour le solstice de décembre (dans ce cas, par exemple, il faut peu de temps pour franchir l’arc ∆λP et atteindre l’année sidérale). On comprend alors, au moins qualitativement, la situation relative des courbes de la figure 13.2 par rapport à l’année tropique à notre époque. La réponse à la deuxième question est tout simplement liée à la variation dans le temps des anomalies moyennes lors des équinoxes et des solstices. La direction du périhélie dans le ciel se déplace en raison des perturbations planétaires, et la position de l’équinoxe, origine des longitudes tropiques, se déplace sur l’écliptique avec la précession. La longitude du périhélie, rapportée à l’équinoxe mobile, croît à la vitesse de 61.900 par an (voir dans la section 5.2.8.2 les Éléments moyens du barycentre Terre-Lune), dont 80% proviennent en 868

13.2. CALCUL DE LA DURÉE DE L’ANNÉE TROPIQUE fait de la précession de l’origine. Au cours du temps, l’anomalie moyenne qui correspond aux équinoxes et aux solstices va décroître à la même vitesse. Si elle est aujourd’hui d’environ 75◦ pour l’équinoxe de mars, elle valait ≈ 92◦ il y a 1 000 ans et ≈ 109◦ il y a 2 000 ans. L’année équinoxiale de mars était donc quasiment égale à l’année tropique il y a 1 000 ans et d’une durée légèrement inférieure il y a 2 000 ans. Le même raisonnement s’étend aux trois autres points et permet de comprendre l’allure générale des courbes de la figure 13.2. Finalement, la cause principale des variations régulières dans la durée des années équinoxiales et solsticiales est le mouvement séculaire tropique de la longitude du périhélie de la Terre combiné avec les irrégularités de vitesse angulaire dans le mouvement képlérien. La belle symétrie autour de l’an 1000 provient juste du fait qu’à cette époque, la position des équinoxes et solstices sur l’orbite se situait à peu près sur la ligne des apsides (solstices) et à 90◦ et 270◦ (équinoxes). Ceci n’est qu’un calcul grossier basé sur des éléments moyens : la réalité peut s’écarter de quelques degrés, donc de 100 à 200 ans.

13.2.2

Durée de l’année tropique

Les théories analytiques du mouvement de la Terre (en fait du barycentre du système Terre-Lune) donnent la longitude moyenne du BTL sous la forme d’un polynôme du temps. Ceci permet d’obtenir, pour chaque théorie, la valeur de l’année tropique en fonction du temps, sur la période de validité de ces développements, soit quelques milliers d’années de part et d’autre de l’époque de référence des théories. Mais en restant dans la logique des théories analytiques, on peut aussi en obtenir une expression algébrique de la façon suivante.

13.2.2.1

Réversion des séries

Soit l’expression de longitude moyenne du BTL par rapport à l’écliptique de la date sous la forme donnée dans la section 5.2.8 : l = l0 + l1 t + l2 t2 + l3 t3 + l4 t4 + l5 t5 + l6 t6 + l7 t7

(13.1)

avec, dans cet ouvrage, t compté en milliers d’années à partir de J2000. La dérivée temporelle est alors : dl = l1 + 2l2 t + 3l3 t2 + 4l4 t3 + 5l5 t4 + 6l6 t5 + 7l7 t6 dt 869

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS On pose : l3 l4 l5 l6 l7 l2 B = 2 t + 3 t2 + 4 t3 + 5 t4 + 6 t5 + 7 t6 l1 l1 l1 l1 l1 l1 L’inverse de la dérivée vaut : dt 1 1 = (1 + B)−1 = (1 − B + B2 − B3 + B4 − B5 + B6 ) dl l1 l1

(13.2)

(13.3)

La durée de l’année tropique ∆t correspond à une variation de l égale à 2π, soit : ∆t =

2π 2π (1 + B)−1 = (1 − B + B2 − B3 + B4 − B5 + B6 ) l1 l1

que l’on peut calculer sous la forme : ∆t = A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 + A4 t4 + A5 t5 + A6 t6 Pour cela, il faut calculer le deuxième membre de l’équation 13.3 à l’ordre de t6 . L’équation 13.2 peut s’écrire sous la forme : B=a+b+c avec : l3 l2 a = 2 t + 3 t2 l1 l1 l4 l5 b = 4 t3 + 5 t4 l1 l1 l6 l7 c = 6 t5 + 7 t6 l1 l1 On en déduit : B2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 et : l32 4 l2 l3 3 a = 4 2 t + 12 2 t + 9 2 t l1 l1 l1 2

ab = 8

l22

2

l2 l4 4 12l3 l4 + 10l2 l5 5 l3 l5 t + t + 15 2 t6 2 2 l1 l1 l1

l2 b2 = 16 42 t6 l1 ac = 12

l2 l6 6 t l12

bc = c2 = 0

(développement limité en t6 ) 870

(13.4)

13.2. CALCUL DE LA DURÉE DE L’ANNÉE TROPIQUE D’où finalement : 9l2 + 16l2 l4 4 l2 l2 l3 t B2 = 4 22 t2 + 12 2 t3 + 3 2 l1 l1 l1 24l3 l4 + 20l2 l5 5 30l3 l5 + 16l42 + 24l2 l6 6 + t + t l12 l12

(13.5)

Limité en t6 , on a : B3 = (a + b)3 = a3 + 3a2 b et : l3 l3 l2 l2 l2 l3 a3 = 8 23 t3 + 36 23 t4 + 54 33 t5 + 27 33 t6 l1 l1 l1 l1 a2 b = 16

l22 l4 l13

t5 +

48l2 l3 l4 + 20l22 l5 l13

D’où finalement : 54l2 l32 + 48l22 l4 5 l3 l 2 l3 t B3 = 8 23 t3 + 36 23 t4 + l1 l1 l13 +

27l33 + 144l2 l3 l4 + 60l22 l5 l13

(13.6)

t6

Limité en t6 , on a : B4 = a4 + 4a3 b et : l 3 l3 l2 l2 l4 a4 = 16 24 t4 + 96 24 t5 + 216 243 t6 l1 l1 l1 a3 b = 32

l23 l4 l14

t6

D’où finalement : l24

l23 l3

B = 16 4 t + 96 4 t + l1 l1 4

4

5

871

216l22 l32 + 128l23 l4 l14

t6

(13.7)

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS Limité en t6 , on a : B5 = a5 D’où finalement :

l5 l 4 l3 B5 = 32 25 t5 + 240 25 t6 l1 l1

(13.8)

Limité en t6 , on a : B6 = a6 D’où finalement :

l6 B6 = 64 26 t6 l1

(13.9)

Les coefficients A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 et A6 de l’équation 13.4 se déduisent des équations 13.2, 13.5, 13.6, 13.7, 13.8 et 13.9 : A0 =

2π l1

A1 = −2A0 A2 = A3 = A4 = A5 = A6 =

l2 l1

  l3 A0 −3 l1   l4 A0 −4 l1   l5 A0 −5 l1   l6 A0 −6 l1   l7 A0 −7 l1 +

 l22  + 4 2  l1  l23  l2 l3 + 12 2 − 8 3  l1 l1 +

9l32 + 16l2 l4 l12

− 36

l22 l3 l13

 l24  + 16 4  l1

(13.10)

 l25  l23 l3 24l3 l4 + 20l2 l5 54l2 l32 + 48l22 l4 + − + 96 4 − 32 5  l12 l1 l13 l1 +

30l3 l5 + 16l42 + 24l2 l6 l12

216l22 l32 + 128l23 l4 l14

− 240

l24 l3 l15

−

27l33 + 144l2 l3 l4 + 60l22 l5 l13

 l26  + 64 6  l1

Pour obtenir les coefficients A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 et A6 en jours et jours par millier d’années, il faut multiplier les valeurs données par les équations 13.10 par 365 250. 872

13.2. CALCUL DE LA DURÉE DE L’ANNÉE TROPIQUE 13.2.2.2

Résultats

La précision du calcul de la durée de l’année tropique est 10−10 jour pour t = ± 6 000 ans autour de J2000. Durée de l’année tropique issue de VSOP82

dt = 365.242 189 6714 − 0.616 1869 10−4 t − 0.643 73 10−7 t2 Durée de l’année tropique issue de VSOP87

dt = 365.242 189 6226 − 0.615 2227 10−4 t − 0.609 46 10−7 t2 + 0.265 2629 10−6 t3 + 0.255 177 10−8 t4 Durée de l’année tropique issue de Simon et al. (1994)

dt = 365.242 190 4021 − 0.615 2513 10−4 t − 0.609 21 10−7 t2 + 0.265 2459 10−6 t3 + 0.253 626 10−8 t4 − 0.338 181 10−9 t5 Durée de l’année tropique issue de VSOP2013

dt = 365.242 190 4482 − 0.611 6623 10−4 t − 0.659 22 10−7 t2 + 0.266 7909 10−6 t3 + 0.947 396 10−9 t4

(13.11)

+ 0.106 233 10−9 t5 + 0.371 993 10−9 t6 Le terme linéaire pris en temps, la variation de la durée de l’année tropique au voisinage de J2000 est de −0.611 6623 10−4 jour par millier d’années, soit −0.53 s par siècle. L’année tropique décroît donc très lentement au cours du temps. La cause principale n’est pas le mouvement de la Terre, dont la vitesse angulaire moyenne est très stable, mais l’accélération de la précession, c’est-à-dire la présence d’un terme en t2 (et plus) dans l’expression de la précession générale. C’est donc le repérage dans un référentiel tournant, en rotation non uniforme, qui est la source de cette variation. Il faut donc bien distinguer l’année sidérale de l’année tropique : non seulement leurs durées ne sont pas identiques, mais la variation de la durée ci-dessus est propre à l’année tropique. 873

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

13.3

Les calendriers perpétuels

Les calendriers perpétuels sont basés sur les périodes moyennes de la lunaison ou de l’année tropique. Tout calendrier perpétuel a pour objectif de proposer des règles de calcul (comput) évitant qu’il ne dérive trop vite avec le temps, tout en essayant de rester relativement simple.

13.3.1

Les calendriers lunaires perpétuels

La lunaison moyenne (Lm = 29.530 588 860 jours – voir section 5.3.4) donne une année lunaire moyenne de AL = 12Lm = 354.367 0662 jours. Les années lunaires se composent soit de 354 jours (années communes), soit de 355 jours (années abondantes). Par la décomposition de l’année lunaire en fractions continues (voir section 10.5.2.2), plusieurs solutions possibles se dégagent pour l’intercalation d’années abondantes au milieu des années communes, de façon à obtenir la meilleure approximation possible de l’année lunaire moyenne sur un cycle donné. La décomposition sous la forme de la réduite R = [a0 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ], avec a0 = 354 jours, donne une suite de convergents du type : A L = a0 +

p p (q − p)a0 + p(a0 + 1) = a0 + (a0 + 1 − a0 ) = q q q

L’interprétation de cette décomposition est la suivante : durant un cycle de q années, on dénombre q − p années communes de a0 jours et p années abondantes de a0 + 1 jours. La décomposition de l’année lunaire moyenne AL donne la réduite d’ordre 5 : R = [354; 2, 1, 2, 1, 1] On obtient ainsi les approximations successives suivantes de l’année lunaire moyenne : AL = 354 + AL = 354 + AL = 354 + AL = 354 + AL = 354 +

1 2 1 3 3 8 4 11 7 19

= 354.500 0000 = 354.333 3435 = 354.375 0000 = 354.363 6363 = 354.368 4210

874

(13.12)

13.3. LES CALENDRIERS PERPÉTUELS La première approximation donne une année abondante sur deux, la seconde une année abondante sur trois et ainsi de suite. La table 13.2 donne l’écart entre le mois lunaire (Lm ) et le mois calendaire moyen (M), ainsi que le décalage entre la lunaison moyenne et le calendrier en fin de cycle. La première ligne indique le nombre d’années abondantes par nombre d’années du cycle. Table 13.2 – Approximation calendaire de l’année lunaire.

Nombre d’années abondantes par cycle 1 1 3 4 7 11 29

sur sur sur sur sur sur sur

2 3 8 11 19 30 79

Écart Lm − M −15 min 57.12 s 4 min 2.88 s −57.12 s 24.69 s −9.76 s 2.88 s −0.16 s

Écart en fin de cycle −6 h 22 min 50.96 s 2 h 25 min 43.56 s −1 h 31 min 23.84 s 54 min 19.68 s −37 min 4.20 s 17 min 15.50 s −2 min 32.89 s

Parmi les calendriers lunaires utilisés par le passé, les plus connus sont le calendrier romain primitif, le calendrier gaulois (calendrier de Coligny) et l’ancien calendrier turc (3 années abondantes sur 8). La solution qui correspond à onze années abondantes sur un cycle de trente ans est utilisée dans le calendrier hégirien, ou calendrier musulman. Il est le seul calendrier lunaire encore en usage de nos jours. Dans le calendrier hégirien, les années abondantes sont les années dont le rang dans le cycle est 2, 5, 7, 10, 13, 16, 18, 21, 24, 26 et 29. Le jour commence le soir au coucher du Soleil. Les douze mois ont alternativement 30 et 29 jours, le dernier mois ayant 30 jours les années abondantes. Dans la pratique, les musulmans utilisent la visibilité du premier croissant de lune pour déterminer le début d’un nouveau mois, en particulier le mois de Ramadan. Par cette pratique, le calendrier redevient un calendrier d’observation. Toutes les dates antérieures au 9 avril 631 EC n’ont pas d’existence réelle dans le calendrier musulman. Cette date a été choisie par Omar 1er, auteur du calendrier musulman actuel, pour faire coïncider l’ancien calendrier musulman (utilisé jusqu’en 632) et le nouveau. Remontant ensuite vers le passé, Omar calcule que le nouveau calendrier doit débuter le 16 juillet 622 (ère de l’Hégire – hidjra), qui désigne le départ des compagnons de Mahomet de La Mecque vers l’oasis de Yathrib (ancien nom de Médine), bien que l’exil du prophète à Médine se situe vers le 22-23 septembre 622 EC. Le calendrier musulman n’est donc pas un calendrier proleptique, les dates antérieures au 9 avril 631 n’ont pas de notation propre.

875

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

13.3.2

Les calendriers solaires perpétuels

Les calendriers solaires sont construits à partir de l’année tropique moyenne. La valeur de celle-ci pour l’époque J2000 est Am = 365.242 190 4482 jours (équation 13.11). Deux types d’années existent : les années de 365 jours (années communes) et les années de 366 jours appelées années bissextiles pour des raisons historiques que nous verrons par la suite (section 13.4). De la même façon que précédemment, la décomposition en fractions continues de l’année tropique moyenne Am donne la réduite d’ordre 5 : R = [365; 4, 7, 1, 3, 20]. Nous avons ainsi les représentations suivantes en fractions entières : 1 AS = 365 + = 365.250 000 0 4 7 AS = 365 + = 365.241 379 3 29 8 (13.13) = 365.242 424 2 AS = 365 + 33 31 AS = 365 + = 365.242 187 5 128 628 AS = 365 + = 365.242 190 5 2593 La première approximation correspond à une année bissextile sur un cycle de quatre ans qui sera la base du calendrier julien (section 13.4). La table 13.3 donne les écarts entre l’année tropique moyenne J2000 (Am ) et la moyenne des années calendaires (M), ainsi que l’écart en fin de cycle. Plus on avance dans les approximations, plus la représentation est bonne, mais plus le comput devient complexe.

Table 13.3 – Approximation calendaire de l’année tropique moyenne.

Nombre d’années abondantes par cycle 1 7 8 31 628

sur sur sur sur sur

4 29 33 128 2593

Écart Lm − M −11 min 14.74 s 1 min 10.09 s −20.20 s 0.26 s −0.0055 s

876

Écart en fin de cycle −44 min 58.96 s 33 min 52.52 s −11 min 6.45 s 32.60 s −14.49 s

13.3. LES CALENDRIERS PERPÉTUELS

13.3.3

Les calendriers luni-solaires perpétuels

Douze mois lunaires comportent 354 ou 355 jours. L’année solaire contient 365 ou 366 jours. Les calendriers lunaires se décalent donc en moyenne de 11 jours par rapport à un calendrier solaire. Pour rattraper ce décalage et donner un aspect solaire (pour rester en phase avec les saisons) à un calendrier lunaire, il suffit d’intercaler des années de 13 mois lunaires (appelées embolismiques par les Grecs). Le comput consistera donc à approcher au mieux l’année solaire avec la moyenne des années lunaires, tout en approchant au mieux la lunaison avec la moyenne des mois lunaires. Un calendrier luni-solaire est donc avant tout un calendrier lunaire particulier. Ces calendriers combinent l’année tropique moyenne (Am = 365.242 190 4482 jours) et la lunaison moyenne (Lm = 29.530 588 860 jours – voir section 5.3.4). On calcule, dans un premier temps, le nombre de lunaisons moyennes contenues dans une année tropique moyenne : Am /Lm = 12.368 266 415, que l’on représente sous la forme de la réduite d’ordre 8 : R = [12; 2, 1, 2, 1, 1, 17, 2, 1]. On obtient ainsi les approximations suivantes sous la forme 12 + p/q, qui donnent le nombre p d’intercalations d’années lunaires de 13 mois dans un cycle de q années : Am Lm Am Lm Am Lm Am Lm Am Lm Am Lm

= 12 + = 12 + = 12 + = 12 + = 12 + = 12 +

1 2 1 3 3 8 4 11 7 19 123 334

= 12.500 000 000 = 12.333 333 333 = 12.375 000 000 (13.14) = 12.363 636 363 = 12.368 421 052 = 12.368 263 473

À partir de ces approximations, on peut soit privilégier le caractère solaire du calendrier, soit privilégier son aspect lunaire. Dans le premier cas, le nombre de jours du cycle total est égal au produit (arrondi au jour) de l’année tropique moyenne par le nombre d’années lunaires du cycle q. Dans le second cas, le nombre de jours total du cycle est égal au produit (arrondi au jour) de la lunaison moyenne par 12 q + p. Historiquement, c’est la seconde solution qui a été utilisée, le calendrier devant être lunaire avant tout. Ces cycles 877

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS ont été utilisés dans l’Antiquité, notamment par les Grecs. La solution 7/19 est attribuée à Méton en 433 AEC. Le calendrier juif est un calendrier luni-solaire perpétuel qui utilise le cycle de Méton. Sur une période de 19 ans, les années dont le rang est 3, 6, 8, 11, 14, 17 et 19 sont embolismiques. En outre, la durée de certains mois n’est pas fixe. Les deuxième et troisième mois peuvent avoir 29 jours (mois défectif) ou 30 jours (mois abondant). Une année commune peut donc avoir 353 jours (année défective), 354 jours (année régulière) ou 355 jours (année abondante). Les années embolismiques peuvent aussi être défectives, régulières ou abondantes si elles comportent 383, 384 ou 385 jours. À noter, tout comme pour le calendrier musulman, qu’il n’existe pas de calendrier juif proleptique, l’ère juive étant supposée être l’instant de la création du monde. Ce calendrier est en réalité un calendrier civil qui commence par le mois de Tisseri déterminé à partir du moled, instant de la nouvelle lune moyenne la plus proche de l’équinoxe d’automne. Le calendrier religieux est décalé de six à sept mois et commence au mois de Nissan.

13.4

Le calendrier julien

13.4.1

Genèse

Le calendrier julien tire son nom de celui qui l’a institué, Jules César, en l’an 708 de la fondation de Rome, soit l’année que nous appelons maintenant 45 AEC. Il décide que le nouveau calendrier romain ne suivrait plus le cycle lunaire (lunaison de 29.53 jours), dont le mouvement servait alors de référence à presque tous les calendriers (égyptien, grec...). La durée du mois de février est d’ailleurs un vestige de cette époque où le calendrier romain était un calendrier lunaire. Ce calendrier comptait douze mois, organisés de façon à se tenir aussi proche que possible de l’année lunaire de 354.3672 jours constituée de 12 mois lunaires de 29.530 588 85 jours). Dix de ces mois avaient une durée soit de 31 jours, soit de 29 jours. Quant aux deux derniers mois, janvier et février, ils avaient une durée égale de 28 jours. Ainsi, la durée de l’année civile était de 355 jours. Par superstition, les mois contenant un nombre pair de jours étaient considérés comme maléfiques : c’est pourquoi aucun d’eux ne comptait 30 jours. Par ailleurs, le mois de janvier fut rapidement porté à une longueur de 29 jours. Les mois de janvier et février étaient les derniers mois de l’année qui débutait alors en mars. Ils ont été ajoutés par la suite à l’année primitive dite de Romulus, qui existait à Rome avant le viie siècle AEC, et qui contenait dix mois. Si l’on admet que l’année commence en mars, on retrouve la trace de cette succession dans le nom des derniers mois 878

13.4. LE CALENDRIER JULIEN de l’année qui semblent alors décalés : sept-embre, oct-obre, nov-embre et déc-embre pour les 7e, 8e, 9e et 10e mois de l’année. La longueur de l’année était de 355 jours, plus courte d’une dizaine de jours que l’année tropique, année de référence pour garder une relation fixe avec les dates des saisons. Pour corriger cela, un mois intercalaire (Mercedonius) de 22 ou 23 jours était inséré tous les deux ans, curieusement entre le 23 et le 24 février. Le choix de cette date s’explique par le fait que le 23 février (ou le 7e jour avant les calendes de mars selon la manière inclusive de compter les jours à l’époque romaine – ante diem septimum Kalendas Martius) était le jour des fêtes de fin d’année, Terminalia.

13.4.2

Réforme julienne

Dans la réforme julienne, dont les détails techniques ont été mis au point par Sosigène, un astronome grec d’Alexandrie, le commencement de l’année (style de l’année) est fixé au 1er janvier et la longueur moyenne de l’année (année julienne) est ramenée à 365.25 jours. Le mois Mercedonius disparaît complètement et la nouvelle distribution des jours donne naissance aux mois inégaux encore en vigueur de nos jours. L’année devait comprendre 365 jours, dix de plus que dans l’ancien calendrier. Pour cela, les dix jours supplémentaires furent distribués entre les anciens mois de 29 jours. Les mois de 31 jours restèrent inchangés, ainsi que le mois de février (28 jours). L’année julienne comptait alors 365 jours avec insertion d’un jour intercalaire tous les 4 ans afin de lui donner une longueur moyenne de 365.25 jours. Pour se conformer à l’ancien usage, le jour intercalaire fut placé en février en doublant le 24e jour qui, dans la nomenclature romaine, se nommait le 6e jour avant les calendes de Mars (ante diem sexto Kalendas Martius). De ce fait, ce jour supplémentaire se nomma ante diem bissexto Kalendas Martius, qui est devenu le terme consacré d’année bissextile pour caractériser une année de 366 jours. Le calendrier ainsi fondé sera en usage dans la plupart des nations d’Europe jusqu’au xvie siècle. Cette année 708 de l’ère de Rome fut appelée année de confusion, car il fallut lui donner une longueur de 445 jours afin de rattraper le retard accumulé au cours des corrections antérieures. En effet, les intercalations du mois de Mercedonius étaient confiées aux pontifes, mais, par négligence, incompétence ou corruption (c’était un puissant moyen de fraude pour tout ce qui concerne les avances et retards d’échéances, les prolongations de magistrature. . . ), des intercalations requises n’avaient pas été faites, de sorte qu’à l’époque de la réforme, le calendrier présentait un retard d’un peu plus de deux mois par rapport aux saisons.

879

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

13.4.3

Ère chrétienne et style de l’année

La réforme julienne ne touche pas à la façon de compter les années, qui était couramment spécifiée par le nom des consuls pour cette année ou, par la suite, par le nombre d’années écoulées depuis le commencement du règne d’un empereur. Une nouvelle ère, l’ère chrétienne, est proposée par le moine Denys le Petit (Dionysus Exiguus) en l’an 532. Elle commence par l’année 1, qui selon Denys était l’année de naissance du Christ. Il avait également admis que le Christ était né un 25 décembre. Cependant, les chronologistes ont par la suite repoussé le début de l’ère chrétienne au 1er janvier, de sorte que le Christ est né un 25 décembre de l’an I AEC. La proposition est cependant adoptée par l’Église et son usage se généralise à partir du viiie siècle pour figurer dans les premiers documents officiels en l’an 1000. En 731, Bède le Vénérable, né vers 672 dans le Northumberland, étend le système de Denys aux années qui précèdent l’ère chrétienne. N’ayant pas de zéro à sa disposition, Bède institue les années dites avant J.-C., remplacée depuis par avant l’ère commune (AEC), faisant passer directement de l’année 1 AEC à l’année 1 de l’ère commune (EC). C’est le système que les historiens utilisent encore pour dater les événements. Ce système était à la convenance de tout le monde, mais bien peu commode pour faire de l’arithmétique : les années divisibles par 4 sont des années bissextiles, mais il n’en va pas de même pour les années avant l’ère commune. En 1740, l’astronome Jacques Cassini crée un autre système constitué des signes + et − qui utilise pour la première fois la valeur zéro. L’année 1 AEC devient l’année zéro, l’année 2 AEC est l’année −1, et ainsi de suite. Dans ce système, l’an zéro est une année bissextile, de même que l’an −4. Le style définit la date de commencement de l’année. Les Romains avaient adopté le 1er mars comme date de début de l’année avant la réforme de Jules César. Le style du 1er janvier, aujourd’hui en vigueur dans le monde entier, fut adopté en France, sous le règne de Charles IV, après l’adoption de l’ordonnance du Roussillon en 1563.

13.4.4

Dérive calendaire

Comparée à la valeur de l’année tropique (section 13.2), l’année calendaire moyenne de 365.25 jours est plus longue de 11 min 14 s environ (table 13.3), déplaçant ainsi la date de l’équinoxe vers le début de l’année. En seulement 128 ans, l’équinoxe prenait un jour d’avance sur la date attendue. Le calendrier julien pouvait suffire pour une vie humaine, mais ne satisfaisait pas aux règles de perpétuité. Au bout de quatre siècles, il retardait de 4 jours. Cet écart sera constaté pour la première fois par les Pères de l’Église lors du concile de Nicée en 325 au cours duquel devait être fixée la date de Pâques (section 13.7). La date de l’équinoxe de printemps, fixée par Sosigène au 25 mars, survenait le 21 mars en 325. Cette date fut définitivement retenue et fixée par les Pères de l’Église pour marquer le jour de l’équinoxe de printemps, dans l’ignorance de l’imprécision originelle du calendrier. 880

13.5. LE CALENDRIER GRÉGORIEN

13.5

Le calendrier grégorien

13.5.1

La réforme grégorienne

En raison de la lente dérive propre au calendrier julien, la date de l’équinoxe de printemps avait été avancée au 11 mars au cours du xvie siècle. Cette fois, c’est le pape Grégoire XIII, et non plus un pontifex maximus, qui se saisit de la question et promulgue le 24 février 1582 la bulle pontificale Inter gravissimas qui concrétisait les recommandations du concile de Trente. Dans le calendrier julien, toute année dont le millésime est divisible par 4 est bissextile. Il en va de même des années dites séculaires : 1600, 1700, 1800, 1900 et 2000. La réforme grégorienne modifie cette règle pour les seules années séculaires : celles-ci sont bissextiles si le nombre de siècles qu’elles comportent est divisible par 4. Ainsi, 1600 contient 16 siècles et est donc bissextile, il en va de même pour l’an 2000. Dans ce nouveau système, non seulement trois années communes sont suivies d’une année bissextile, mais aussi trois années séculaires sont suivies d’une année séculaire bissextile. Pour une période de 400 ans, 97 années sont bissextiles, alors que dans le calendrier julien, on en dénombre 100. La longueur moyenne de la nouvelle année est donc de ((400 − 97) × 365 + 97 × 366)/400 = 365.2425 jours. L’écart avec l’année tropique est alors ramené à quelque 27 secondes en excès par année. Les artisans de cette réforme sont deux mathématiciens astronomes, Aloysius Lilius (∼ 1510-1575) et Christophorus Clavius (1538-1612). La durée de l’année obtenue est très proche de la durée pour revenir à un même équinoxe. À cette époque, il existait plusieurs estimations de cette durée : celle des tables alphonsines de 1252 (365.242 546 jours), celle du De Revolutionibus de Copernic de 1543 (365.242 519 jours), et celle des tables pruténiques de 1551 (365.242 5435 jours). L’année grégorienne ne différait donc de ces déterminations que de quelques secondes. En réalité, en 1582, la longueur de l’année tropique, et non de l’année équinoxiale, était de 365.242 21 jours, soit un écart de 26 s. Le calendrier réformé gagnerait donc un jour sur le Soleil en un peu plus de 3000 ans. En outre, comme on l’a vu section 13.2, l’année tropique décroît lentement avec le temps, de sorte qu’il est impossible de concevoir un système calendaire à usage éternel. Tout système ne vise qu’à retarder aussi longtemps que possible le moment où le décalage atteindra un jour entier. Cette réforme fut presque exclusivement voulue pour des raisons religieuses, le calcul de la date de Pâques (section 13.7), plutôt que pour des raisons astronomiques. L’église avait un équinoxe ecclésiastique différent de l’équinoxe astronomique. L’équinoxe ecclésiastique avait été fixé une fois pour toutes à la date du 21 mars lors du concile de Nicée en 325. L’équinoxe de printemps s’étant avancé au 11 mars, dix jours furent supprimés en cette 881

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS année 1582. La bulle pontificale annonçait que le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 du calendrier julien serait le vendredi 15 octobre 1582 du nouveau calendrier 1 . La décision de suppression de ces dix jours n’avait donc pas d’autres justifications que de ramener la date de l’équinoxe de printemps à celle du 21 mars fixée par l’église. Adopter le 11 mars comme date de l’équinoxe aurait été possible. Mais la date de Pâques gouverne beaucoup d’autres dates de fêtes religieuses, appelées pour cette raison fêtes mobiles, qui auraient toutes été avancées vers le début de l’année. Pour la France, le changement de calendrier se produisit en décembre 1582 : le lendemain du 9 décembre fut le 20 décembre. La réforme mit du temps à se propager au sein des états protestants en raison du rôle joué par le pape dans le massacre de la Saint-Barthélemy (14 août 1572). Les voyageurs s’étaient habitués à passer d’un état catholique à un état protestant en perdant dix jours. Cependant, à l’approche de 1700, la question reprit une nouvelle actualité, car l’année séculaire 1700 était une année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien. Ceci fit que bon nombre d’états protestants franchirent le pas, comme le Danemark et la Norvège. Pour la Grande-Bretagne, il fallut attendre 1752, tout comme la Suède et la Finlande par le biais des alliances. L’Union soviétique s’y rangea finalement en 1917 : l’équipe impériale russe était arrivée à Londres pour les Jeux olympiques de 1908 avec 12 jours de retard ! Le calendrier grégorien peut être utilisé pour spécifier des dates antérieures à sa création Dans ce cas, ces dates sont appelées dates proleptiques.

13.5.2

Le cycle de 33 ans

Conformément à la table 13.3, une autre solution aurait pu être adoptée, qui aurait permis de maintenir l’équinoxe exactement à la même date et donc de permettre la parfaite adéquation entre la date de l’équinoxe ecclésiastique, fixé conventionnellement au 21 mars, et celle de l’équinoxe astronomique. Pour cela, il aurait suffit d’adopter un cycle de 33 ans contenant 8 années bissextiles. Ce cycle donne une longueur moyenne de l’année de 365.2424 jours (obtenue en comptant 8 années de 366 jours et 25 années de 365 jours sur une durée totale de 33 ans). La différence avec l’année équinoxiale de 365.242 374 jours n’est alors plus que de 4 secondes. Ce cycle avait été proposé en 1074 par le savant et poète persan Omar Khayyam (1048-1131) pour la réforme du calendrier Jalali. Un jour intercalaire était introduit tous les 4 ans pendant les 7 premières périodes, et la dernière comprenait 5 années. Il est vrai qu’il est d’un usage assez peu pratique. Par exemple, dans le système actuel, le repérage des années bissextiles est plus simple, puisqu’à peu près une année divisible 1. Dans les biographies de Thérèse d’Avila, il est souvent indiqué qu’elle est décédée (en Espagne) « dans la nuit du jeudi 4 au vendredi 15 octobre 1582 ».

882

13.6. DATE DES SAISONS par 4 est une année bissextile. Cette identification simple et rapide d’une année bissextile n’est pas possible avec le cycle de 33 ans. Ce cycle était bien entendu connu des membres de la commission qui ont travaillé à la réforme du calendrier en 1582. L’un d’eux, Nemet Allah, patriarche d’Antioche, proposa ce cycle de 33 ans, qui avait aussi l’avantage de correspondre au nombre d’années de la vie du Christ. Cependant, c’est la proposition du jésuite Christophorus Clavius qui eut les faveurs de la commission, peut-être en raison de la simplicité de la règle d’intercalation du jour supplémentaire.

13.5.3

Le cycle de 128 ans

Pour compléter cette présentation, il faut aussi mentionner le cycle de 128 ans, remarquable par son niveau d’approximation (table 13.3) : en effet, avec un cycle de 128 ans qui comporte 97 années communes et 31 années bissextiles, on obtient une durée totale de 46 751 jours, soit une année calendaire moyenne de 46 751/128 = 365.242 1875 jours, à moins d’une seconde de l’année tropique (voir table 13.3). Mathématiquement, il n’y a pas de meilleure approximation avec des fractions de plus petit dénominateur. Si ce cycle n’a jamais été mis en œuvre dans un calendrier, il n’en a pas moins été proposé en 1864 au tsar Nicolas II par l’astronome allemand Johann Heinrich von Mädler, directeur de l’observatoire de Dorpat (aujourd’hui Tartu, en Estonie). Par rapport aux intercalations juliennes, il s’agissait simplement de supprimer une année bissextile par cycle de 128 années ; c’est la dernière année du cycle qui devait être retenue et devenait ainsi commune. Cette proposition non sollicitée n’a jamais été suivie d’effet, ni par le tsar ni par le clergé orthodoxe, et la Russie adoptera le calendrier grégorien au moment de la révolution d’Octobre.

13.6

Date des saisons

Par définition, les dates des équinoxes et des solstices, et donc le début des saisons astronomiques, sont les instants pour lesquels la longitude apparente du Soleil (incluant les effets de l’aberration et de la nutation) est un multiple entier de 90◦ . La latitude du Soleil n’étant pas rigoureusement nulle à ces époques, la déclinaison du centre du disque solaire n’est pas exactement égale à zéro. La durée d’une année tropique est de 365.242 19 jours, soit 365 jours 5 heures et 49 minutes. Par conséquent, après une année calendaire de 365 jours, les saisons commencent en moyenne 5 heures 49 minutes plus tard d’une année sur l’autre. Au bout de 4 ans, le glissement atteint 23 heures et 16 minutes, presque une journée entière. L’ajout d’un jour au mois de février lors d’une année bissextile permet de rattraper ce retard d’un jour, afin de maintenir à peu près fixe la date de l’équinoxe de printemps au mois de mars. 883

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS La figure 13.3 montre le glissement des dates de l’équinoxe de printemps et du solstice d’été entre 1500 et 2050. Alors qu’au xxe siècle, les équinoxes de printemps se répartissaient uniquement entre le 20 mars (43) et le 21 mars (57), au xxie siècle, ils se répartiront majoritairement entre le 19 mars (20) et le 20 mars (78), et on ne comptera que deux années pour lesquelles l’équinoxe tombera un 21 mars. En ce qui concerne les solstices d’été, au xxe siècle, on en dénombrait 64 tombant un 21 juin et 36 un 22 juin. Au xxie siècle, on pourra en compter 46 se produisant un 20 juin et 54 un 21 juin, et aucun un 22 juin. Ceci provient du fait que l’année 2000 est considérée comme bissextile dans le calendrier grégorien. La prochaine occurrence de l’équinoxe de printemps un 19 mars se produira en 2044, et le solstice d’été tombera pour la première fois depuis la création du calendrier grégorien un 19 juin en 2488 et un 18 juin en 3688.

Équinoxe de printemps (mars)

Équinoxe d’automne (septembre)

La table 13.4 donne les dates des saisons entre 2010 et 2050.

Année

Solstice d’été (juin)

Solstice d’hiver (décembre)

Année

Année

Année

Figure 13.3 – Èvolution de la date des saisons entre 1500 et 2050.

13.6.1

Dates de l’équinoxe de printemps

Aux xixe et xxe siècles, l’équinoxe de printemps tombe toujours le 20 ou le 21 mars. Dans le passé, il est tombé le 19 mars en 1652, 1656, 1660, 1664, 1668, 1672, 1676, 1680, 1684, 1685, 1688, 1689, 1692, 1693, 1696, 1697, 1780, 1784, 1788, 1792 et 1796. Il tombera de nouveau le 19 mars en 2044. 884

13.6. DATE DES SAISONS

13.6.2

Dates du solstice d’été

Dans le calendrier grégorien, le solstice d’été peut tomber les 19, 20, 21 ou 22 juin. En général, il tombe le 21 juin. Il est tombé un 20 juin en 1896 et tombera de nouveau à cette date en 2024, 2032, 2036, 2040 et 2041. Il est tombé un 22 juin en 1975 et tombera de nouveau à cette date en 2203, 2207, 2211, 2215 et 2302. Le solstice d’été tombera un 19 juin en 2488 – ce sera la première fois depuis la création du calendrier grégorien, puis en 2492 et 2496.

13.6.3

Dates de l’équinoxe d’automne

Dans le calendrier grégorien, l’équinoxe d’automne peut tomber le 21, 22, 23 ou 24 septembre. Il tombe en général le 22 ou le 23 septembre. Il tombera le 21 septembre en 2092 et ce sera la première fois depuis la création du calendrier grégorien. Cela se reproduira en 2096, puis en 2464, 2468, 2472, 2476, 2480, 2484, 2488, 2492, 2493, 2496 et 2497. Il est tombé un 24 septembre en 1803, 1807, 1903, 1907, 1911, 1915, 1919, 1923, 1927 et 1931, il tombera de nouveau à cette date en 2303.

13.6.4

Dates du solstice d’hiver

Dans le calendrier grégorien, le solstice d’hiver peut tomber le 20, 21, 22 ou 23 décembre. Il tombe en général le 21 ou le 22 décembre. Il est tombé un 23 décembre en 1903 et tombera de nouveau à cette date en 2303, 2307, 2311 et 2315. Il est tombé un 20 décembre en 1664, 1668, 1672, 1676, 1680, 1684, 1688, 1692, 1696 et 1697 et tombera de nouveau à cette date en 2080, 2084, 2088, 2092, 2096, 2488, 2492 et 2496.

13.6.5

Durées des saisons

La durée des saisons astronomiques est peu variable d’une année sur l’autre à court terme, avec pour l’époque actuelle des durées de 92.7, 93.7, 89.9 et 89.0 jours respectivement pour le printemps, l’été, l’automne et l’hiver de l’hémisphère nord (convention adoptée dans la suite de ce paragraphe pour ne pas alourdir l’écriture). Au cours des siècles, ces durées évoluent en raison de la combinaison de la précession des équinoxes et du mouvement du périhélie de l’orbite de la Terre. La figure 13.4 donne les durées des quatre saisons sur 8 000 ans. On voit que dans le passé le printemps était la saison la plus longue. Le mouvement moyen du périhélie du barycentre Terre-Lune rapporté à 885

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Figure 13.4 – Durées des saisons (hémisphère nord) entre −2000 et +6000.

celui de l’équinoxe de la date – mouvement séculaire tropique – est de 61.900 par jour (section 5.2.8.2). En d’autres termes, l’instant de passage au périhélie recule en moyenne chaque année de 25 minutes. La période de ce mouvement, appelé précession climatique, est de 21 000 ans. En remontant dans le passé, solstice austral et périhélie coïncidaient vers 1250. C’est la raison pour laquelle, à cette époque, les durées des saisons se conjuguaient par paires ; l’automne et l’hiver avaient une durée identique, il en était de même pour le printemps et l’été.

13.7

Date de Pâques

La date de Pâques dans le calendrier grégorien a été une question centrale dans la réforme de 1582 et son calcul sur de longues périodes a attiré l’attention de mathématiciens, d’astronomes et de nombreux amateurs qui ont développé des formulaires avec plus ou moins de réussite. Dans cette section, on aborde son histoire en matière calendaire et son usage pour le calcul sur de longues durées. Alors que la réforme du calendrier touchait marginalement à son organisation pour le choix des années bissextiles dans un calendrier purement solaire, on verra que le choix d’associer Pâques à la Lune et au cycle des semaines au sein d’un calendrier solaire a été une réelle source de complications.

886

13.7. DATE DE PÂQUES

Table 13.4 – Dates de début des saisons de 2010 à 2050. L’instant UTC dans le futur est calculé avec une extrapolation de ∆T (voir la section 2.8.1) et pourrait différer de la réalité de quelques secondes.

Année Jour Mars

UTC

Jour Juin

UTC

Jour Sept.

UTC

Jour Déc.

UTC

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

17:32:11 23:20:42 05:14:25 11:01:54 16:57:05 22:45:08 04:30:10 10:28:37 16:15:26 21:58:25

21 21 20 21 21 21 20 21 21 21

11:28:23 17:16:29 23:08:48 05:03:56 10:51:13 16:37:55 22:34:10 04:24:08 10:07:17 15:54:14

23 23 22 22 23 23 22 22 23 23

03:09:01 09:04:37 14:48:58 20:44:07 02:29:04 08:20:33 14:21:07 20:01:47 01:54:05 07:50:10

21 22 21 21 21 22 21 21 21 22

23:38:26 05:30:02 11:11:37 17:10:59 23:03:01 04:47:57 10:44:10 16:27:56 22:22:43 04:19:25

2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

03:49:36 09:37:28 15:33:24 21:24:25 03:06:21 09:01:25 14:45:52 20:24:35 02:17:01 08:01:51

20 21 21 21 20 21 21 21 20 21

21:43:40 03:32:09 09:13:50 14:57:48 20:50:57 02:42:12 08:24:25 14:10:44 20:01:53 01:48:10

22 22 23 23 22 22 23 23 22 22

13:30:38 19:21:05 01:03:41 06:49:58 12:43:37 18:19:16 00:05:08 06:01:37 11:45:11 17:38:22

21 21 21 22 21 21 21 22 21 21

10:02:19 15:59:17 21:48:12 03:27:20 09:20:31 15:03:01 20:50:09 02:42:04 08:19:33 14:13:58

2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

13:51:58 19:40:51 01:21:46 07:22:35 13:17:21 19:02:36 01:02:41 06:50:06 12:40:29 18:31:52

21 21 20 21 21 21 20 21 21 21

07:31:11 13:17:00 19:08:38 01:01:00 06:44:03 12:33:00 18:32:05 00:22:17 06:09:14 11:57:15

22 23 22 22 22 23 22 22 22 23

23:26:45 05:15:10 11:10:45 16:51:32 22:39:26 04:38:48 10:23:10 16:12:56 22:02:07 03:49:27

21 22 21 21 21 22 21 21 21 22

20:09:30 01:55:26 07:55:49 13:45:51 19:33:52 01:30:44 07:12:44 13:07:35 19:02:10 00:40:26

2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049

20 20 20 20 19 20 20 20 19 20

00:11:32 06:06:22 11:52:51 17:27:19 23:20:04 05:07:07 10:57:21 16:52:08 22:33:18 04:28:04

20 20 21 21 20 20 21 21 20 20

17:46:14 23:35:26 05:15:23 10:57:54 16:50:39 22:33:25 04:14:09 10:02:58 15:53:24 21:46:47

22 22 22 23 22 22 22 23 22 22

09:44:45 15:26:07 21:11:06 03:06:28 08:47:23 14:32:26 20:21:14 02:07:34 08:00:07 13:42:05

21 21 21 22 21 21 21 21 21 21

06:32:41 12:17:54 18:03:37 00:00:47 05:43:07 11:34:37 17:27:59 23:06:43 05:01:44 10:51:38

2050

20

10:19:02

21

03:32:29

22

19:27:59

21

16:38:10

887

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS Notations spécifiques • On note la division entière de x par y par la notation devenue classique aujourd’hui bx/yc dans le texte, ou dans une équation sous la forme : $ % x y • Le reste de la division entière d’un entier a par un entier b est noté a mod b. • Une équation modulaire est notée par x ≡ y (mod k). • Dans le cours de cette section, on note le millésime d’une année a. Ce millésime peut également se développer de la manière suivante 100s + m pour séparer les siècles et les années dans le siècle. Avec ces notations, on a : s = ba/100c et m = a mod 100.

13.7.1

Les différentes Pâque(s)

On distingue deux Pâques : la Pâque israélite (sans s) et les Pâques chrétiennes (avec un s). Ces deux fêtes sont des fêtes religieuses. En ancien français et en moyen français, les fêtes juive et chrétienne étaient désignées indifféremment par Pasque ou Pasques : c’est seulement après le xve siècle que la distinction sémantique a été marquée par la graphie, Pasque désignant la fête juive et Pasques la fête chrétienne.

13.7.1.1

La Pâque israélite

La Pâque israélite Pessa’h, qui signifie passage, commémore la sortie d’Égypte. Elle a lieu à date fixe dans le calendrier hébraïque (le 15 du mois de nissan – milieu du mois lunaire) et dure 8 jours (7 jours en Israël). À cette occasion, les Israélites mangent du pain azyme (sans levain) en souvenir de la précipitation qui caractérisa l’évasion du peuple juif, qui n’avait pas eu le temps de faire lever la pâte ; d’où son nom de fête des Azymes. Cette fête a également un aspect agricole : lorsque les Hébreux s’installèrent en Eretz, ils apportèrent le deuxième jour de Pessa’h une offrande d’orge hivernale, qui, à cette période, était généralement mûre. Cette offrande, l’Omer (l’omer est une mesure d’orge torréfiée), était apportée devant le peuple qui pouvait manger le grain nouveau. C’est en souvenir de cela que les Israélites comptent maintenant l’Omer durant 49 jours, à partir du second soir de Pessa’h, jusqu’à Shavouoth (Pentecôte ou fête des Semaines). Comme on le voit, ces fêtes sont intimement liées à la fois à la lunaison et au cycle naturel des saisons, d’où la nature luni-solaire du calendrier hébraïque. La détermination 888

13.7. DATE DE PÂQUES de la fête de Pessa’h ne demande aucun calcul. Cette fête, comme toutes les autres fêtes hébraïques, est fixe dans le calendrier. Il suffit de pouvoir calculer à l’avance le calendrier hébraïque. Ce calcul n’est possible que depuis le milieu du ive siècle chrétien, en 359, date à laquelle le patriarche Hillel II décide d’introduire un calendrier fixe basé uniquement sur le calcul astronomique (lunaison moyenne et année tropique moyenne) et de ne plus avoir recours à l’observation. Ce calendrier est toujours en usage de nos jours.

13.7.1.2

La date de Pâques chrétienne

Selon les Évangiles (Matthieu, Marc et Luc), le Christ et les apôtres se réunirent le soir du 14 nissan (jeudi). Le Christ fut condamné par Ponce Pilate et crucifié le lendemain (vendredi), et ressuscita le surlendemain (dimanche). Depuis le iie siècle, les premiers chrétiens commémorèrent différemment ces événements. Certains célébrèrent la Passion du Christ le 14 nissan et furent qualifiés de Quartodécimans, d’autres célébrèrent la résurrection du Christ, soit trois jours après Pessa’h, soit le dimanche après Pessa’h et d’autres (premières églises des Gaules) célébrèrent cette résurrection à date fixe : le jour de l’équinoxe de printemps des Romains (le 25 mars). On eut donc plusieurs dates différentes pour célébrer Pâques, et ces dates (à l’exception du 25 mars) étaient liées à la date de la Pâque juive. Cette pratique changea à la suite du premier concile œcuménique qui se tint à Nicée (aujourd’hui Iznik, en Turquie). Ce concile avait été réuni en 325 par l’empereur Constantin Ier pour éviter un risque de schisme au sein de l’église chrétienne suite à l’apparition de l’arianisme dans l’église d’Alexandrie. C’est au cours de ce concile que les prélats auraient décidé de fixer la date de Pâques « au premier dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet âge à l’équinoxe de printemps ou immédiatement après », l’équinoxe de printemps étant fixé au XII des Calendes d’avril (21 mars). En réalité, aucun texte conservé de ce concile ne donne cette définition. Les seules sources qui nous soient parvenues de ce concile sont : le symbole de la foi, les 20 canons du concile, une liste vraisemblablement incomplète des membres du concile et une lettre synodale (lettre circulaire épiscopale) adressée à l’Église d’Alexandrie. Dans cette lettre, il est écrit : « Nous vous annonçons la bonne nouvelle de l’accord réalisé sur la sainte Pâque, parce que grâce à vos prières, cette question aussi a été réglée : tous les frères de l’Orient, qui auparavant célébraient avec les Juifs, seront fidèles à célébrer désormais la Pâque en accord avec les Romains, avec vous et avec nous tous qui le faisions depuis le début avec vous ». Il existe également une lettre encyclique de Constantin aux Églises qui mentionne la solution retenue pour la date de Pâques : « La Pâques Chrétienne doit être célébrée le même jour par tous ; et pour le calcul de la date, il ne faut faire aucune référence aux Juifs. Ce serait humiliant et de plus il est possible pour eux d’avoir deux Pâques en une même année. En conséquence, les Églises doivent se conformer aux pratiques suivies par Rome, l’Afrique, l’Italie, l’Égypte, l’Espagne, les Gaules, la Brittonie, la Lybie, la Grèce, l’Asie, 889

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS le Pont et la Cilicie ». À ces documents, il convient d’ajouter deux passages des écrits de saint Athanase, témoin oculaire. Supprimant le recours direct au calendrier hébraïque, la date de Pâques chrétienne n’en reste pas moins tributaire du cycle lunaire (si l’on prend comme âge de la Lune le quantième du mois lunaire, l’âge de la nouvelle lune est 1 ; à l’époque, on estimait que la pleine lune était le 15e jour de la Lune, le 14e jour de la Lune était donc la veille de la pleine lune), du cycle solaire (pour l’équinoxe de printemps) et d’un cycle hebdomadaire avec le jour de la semaine (dimanche). Les chrétiens vont devoir établir un calendrier luni-solaire qui servira qu’à la détermination de la date de Pâques. Le calcul de la date de Pâques est un problème de concordance entre ce calendrier luni-solaire et le calendrier julien. Ce problème se résout en trois temps : trouver les débuts des mois lunaires proches de l’équinoxe de printemps, regarder si le 14e jour de ce mois tombe le 21 mars ou après, et trouver le premier dimanche qui lui succède. Les prélats quittèrent le concile avec une définition commune de la date de Pâques, mais sans une méthode unique pour la calculer. Chaque église utilisa une solution particulière, les différences provenant de l’élaboration des tables lunaires pour construire le calendrier luni-solaire. Les Alexandrins utilisèrent le cycle de Méton (19 ans ou 235 lunaisons) dans les tables de l’évêque d’Alexandrie Théophile (370-444) (tables allant de 380 à 480), puis dans les tables de son successeur Cyrille d’Alexandrie (376-444) (tables allant de 436 à 531). À Rome, après avoir utilisé au iiie siècle une table pascale élaborée par saint Hippolyte (217-229) (basée sur un cycle de 16 ans), on utilisa un cycle de 84 ans (4 cycles de Méton de 19 ans plus un cycle octaéride de 8 ans) connu sous le nom de cycle d’Augustalis. Les dates entre lesquelles la date de Pâques pouvait tomber étaient fixées pour la Lune entre le XIV et le XX du mois lunaire et pour le Soleil entre le 25 mars et le 21 avril. En 312 et 343, ce système subit quelques modifications (on modifia le terme lunaire – XVI et XXII – du mois lunaire et le terme solaire – 22 mars et 21 avril). En 343, on fit reculer le début du cycle pascal à l’an 29. À partir de 457, Victorius d’Aquitaine adopta une nouvelle méthode basée sur le cycle alexandrin de 19 ans et sur le cycle dominical (28 ans), créant ainsi le Computus pascalis de 532 ans. L’ensemble des computs fut unifié en 525 par le moine scythe Denys le Petit qui prolongea, à la demande du pape Jean 1er, les tables de Cyrille et créa un nouveau comput (Libellus de ratione Paschae), basé sur le cycle de Méton et le cycle dominical. Dans ses tables, Denys le Petit utilisa comme origine des dates la naissance du Christ qu’il fixa au 25 décembre de l’an 753 de la fondation de Rome. Il instaura ainsi l’usage de l’ère chrétienne (Anno Domini). Toutefois, le comput dionysien n’a pas fait l’unanimité : nombre de régions et pays tardèrent à l’adopter. Ce fut le cas notamment en Gaule ou dans les pays celtiques 890

13.7. DATE DE PÂQUES (Bretons et Irlandais) qui firent de l’obstruction jusqu’au synode de Whitby (664). Le monastère de Iona (au large de l’Écosse) garda un comput celtique jusqu’en 716. On peut estimer que la computation dionysienne ne sera totalement acceptée par l’ensemble de la chrétienté qu’à la fin du viiie siècle, où le comput pascal et l’usage de l’ère chrétienne furent popularisés par les écrits du moine anglo-saxon Bède le Vénérable (De temporum ratione ou Chronica majora, vers 725).

13.7.2

L’élaboration de la date de Pâques à partir du comput dionysien

Le comput dionysien porte également le nom de comput julien. Ce comput est basé sur deux cycles : un cycle luni-solaire, le cycle de Méton, qui traduit que 235 lunaisons moyennes correspondent à environ 19 années tropiques moyennes, et un cycle dominical (également appelé cycle solaire) qui traduit la période à laquelle les dimanches tombent les mêmes jours dans l’année. Ce cycle est égal à 28 : produit du nombre de jours de la semaine (7) par le cycle des années bissextiles du calendrier julien (4 ans). Le cycle de 19 ans et le cycle de 28 ans donnent un cycle de 532 ans, au bout duquel la date de Pâques retombe le même jour dans l’année. Le comput est donc un calendrier perpétuel luni-solaire. La Lune du comput n’est donc pas la vraie Lune, mais une Lune fictive qui porte le nom de Lune ecclésiastique ou de Lune pascale. Les dates limites de Pâques sont le 22 mars et le 25 avril, bornes incluses.

13.7.2.1

Le cycle de Méton du comput dionysien

Le cycle de Méton du comput contient 235 lunaisons consécutives réparties en 115 lunaisons de 29 jours, et 120 lunaisons de 30 jours si l’on ne compte pas les bissextes. La table 13.5 donne la répartition de ces lunaisons et constitue le calendrier perpétuel lunaire du comput. Pour chaque année du cycle de Méton, on donne dans la table 13.5 le début de chaque lunaison. Puisque les mois solaires du calendrier julien peuvent avoir 30 et 31 jours, il peut arriver qu’il y ait deux débuts de lunaison dans le même mois calendaire. Les années bissextiles, le mois de février comporte un jour supplémentaire (le bissexte). Dans ce cas, le chiffre du jour entre parenthèses indique le numéro du jour du début de mois lunaire si le bissexte est placé le 29 février, alors que le premier chiffre correspond au numéro du jour avec doublement du 24 février, comme cela était l’usage à l’époque. Les numéros colorés correspondent aux débuts des mois lunaires de 30 jours. On remarque que les 3e, 5e, 8e, 11e, 13e, 16e et 19e années du cycle sont embolismiques (13 mois lunaires), ce qui est conforme au cycle de Méton. On constate que la répartition des mois caves (29 jours) 891

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Table 13.5 – Calendrier perpétuel lunaire du comput dionysien. Entrées colorées pour les mois lunaires de 30 jours au lieu de 29.

N

Jan

Fév

Mar

Avr

Mai

Juin

Juil

Août

Sept

Oct

Nov

Déc

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

23 12 1,31 20 9 28 17 6 25 14 3 22 11 30 19 8 27 16 5

21 10

23 12 1,31 20 9 28 17 6 25 14 3 22 11 30 19 8 27 16 5

21 10 29 18 7 26 15 5 23 12 2 20 9 28 17 6 25 14 4

21 10 29 18 7 26 15 4 23 12 1,31 20 9 28 17 6 25 14 3

19 8 27 16 5 24 13 3 21 10 29 18 7 26 15 4 23 12 2

19 8 27 16 5 24 13 2 21 10 29 18 7 26 15 4 23 12 1,30

17 6 25 14 3 22 11 1,30 19 8 27 16 5 24 13 2 21 10 28

16 5 24 13 2 21 10 29 18 7 26 15 4 23 12 1 20 9 27

15 4 23 12 2,31 20 9 28 17 6 25 14 3 22 11 1,30 19 8 26

14 3 22 11 30 19 8 27 16 5 24 13 2 21 10 29 18 7 25

13 2 21 10 29 18 7 26 15 4 23 12 1,31 20 9 28 17 6 24

18 7 26(27) 15 4 23 12 2 20 9 28(29) 17 6 25(26) 14 3

et des mois pleins (30 jours) est loin d’être uniforme. De plus, lors d’une année bissextile, la lunaison qui comporte le bissexte a un jour de plus, et l’on peut voir apparaître des lunaisons de 31 jours ou quatre lunaisons consécutives de 30 jours (la 11e année du cycle). Ce calendrier perpétuel suit donc mal la lunaison vraie, mais cela n’a pas de conséquence, car on n’utilise que les débuts de lunaison de mars et d’avril. Le numéro de l’année dans le cycle de 19 ans porte le nom de nombre d’or (première colonne de la table 13.5). On remarque également qu’on passe d’une ligne à l’autre en décalant les débuts de lunaison de 11 jours (mod 30), et que les lunaisons de mars sont des mois pleins (30 jours) lorsque le jour de la nouvelle lune est antérieur au 7 mars, c’est-à-dire lorsque le 14e jour de la Lune est antérieur au 21 mars. Dans ce cas, le début de la lunaison d’avril de l’année n’est pas décrémenté de 11 jours. À l’aide de ce calendrier perpétuel, il est facile de déterminer quel est le 14e jour de la Lune qui tombe le 21 mars ou après. Il suffit d’ajouter 13 aux débuts des mois lunaires qui commencent en mars ou éventuellement en avril, et de regarder si on tombe avant ou après le 21 mars. Cela conduit à la table 13.6. 892

13.7. DATE DE PÂQUES

Table 13.6 – Dates des pleines lunes pascales postérieures ou égales au 21 mars. Nombre d’or Date

1

13.7.2.2

3

4

5

6

7

8

9

10

05/04 25/03 13/04 02/04 22/03 10/04 30/03 18/04 07/04 27/03

Nombre d’or Date

2

11

12

13

14

15

16

17

18

19

15/04 04/04 24/03 12/04 01/04 21/03 09/04 29/03 17/04

La lettre dominicale

Le système des lettres dominicales est identique au système des lettres nondinales utilisées par les Romains, à l’exception de la longueur du cycle. Les Romains utilisaient un cycle de huit jours et on utilise le cycle de sept jours liés à la semaine. Le principe est d’attribuer une lettre unique à chaque jour du calendrier. Pour cela, on attribue une lettre à chaque jour de l’année avec un cycle de sept lettres (A,B,C,D,E,F,G) en commençant avec la lettre A pour le premier janvier. Les 365 jours d’une année commune contiennent 52 cycles de 7 lettres plus une lettre, donc le premier janvier et le 31 décembre ont la même lettre : A. Cela pose un problème pour les années bissextiles : si l’on désire que les jours qui suivent le bissexte conservent la même lettre que dans les années communes, on doit donner au jour du bissexte la même lettre que le jour précédent. Dans la table 13.7, la première ligne donne la correspondance entre le quantième du jour et la lettre dominicale pour une année commune. La seconde ligne donne la correspondance pour une année bissextile avec le bissexte au 24bis et la dernière ligne donne la correspondance pour une année bissextile avec le bissexte au 29 février. Table 13.7 – Lettres dominicales au voisinage du bissexte.

Mois

Février

Mars

Année commune

24 F

25 G

26 A

27 B

28 C

Année bissextile bissexte 24bis

24 F

24bis F

25 G

26 A

27 B

28 C

1 D

Année bissextile bissexte 29

24 F

25 G

26 A

27 B

28 C

29 C

1 D

893

1 D

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS Pour une année donnée, la lettre dominicale est la lettre qui correspond au dimanche. Si l’année est commune, on voit qu’une seule lettre est nécessaire, tous les dimanches de l’année correspondent à cette même lettre. Pour les années bissextiles, on doit utiliser deux lettres, une première lettre pour désigner les dimanches entre le 1er janvier et la veille du bissexte, puis une seconde lettre pour désigner les dimanches sur la période qui s’étend du jour du bissexte à la fin de l’année. Si on respecte cette définition, l’emploi du bissexte au 24bis ou au 29 février ne pose aucun problème. Pour la détermination du dimanche de Pâques, on a seulement besoin de connaître la seconde lettre dominicale pour les années bissextiles, la date de Pâques étant postérieure au bissexte. Comment utiliser ce système ? Les calendriers, dès l’époque carolingienne, comportaient les lettres dominicales et les nombres d’or. La table 13.8 représente un calendrier liturgique restreint à la période allant du 21 mars au 25 avril. On a fait figurer les nombres d’or associés aux veilles des jours de pleine lune et les lettres dominicales. Table 13.8 – Calendrier limité à la période du 21 mars au 25 avril. Jour

LJ

n

Jour

LJ

n

Jour

LJ

21 mars

C

16

2 avril

A

4

14 avril

F

22 mars

D

5

3 avril

B

15 avril

G

23 mars

E

4 avril

C

12

16 avril

A

24 mars

F

13

5 avril

D

1

17 avril

B

19

25 mars

G

2

6 avril

E

18 avril

C

8

26 mars

A

7 avril

F

19 avril

D

27 mars

B

8 avril

G

20 avril

E

28 mars

C

9 avril

A

17

21 avril

F

29 mars

D

18

10 avril

B

6

22 avril

G

30 mars

E

7

11 avril

C

11

23 avril

A

31 mars

F

12 avril

D

14

24 avril

B

1er avril

G

13 avril

E

3

25 avril

C

10

15

9

n

À l’aide du calendrier de la table 13.8, il est très facile de déterminer le dimanche de Pâques en connaissant le nombre d’or (colonnes n) et la lettre dominicale de l’année (colonnes LJ ). Par exemple, en 1401, le nombre d’or est 15 et la lettre dominicale est B, alors le 14e jour de la pleine lune est le 1er avril et le jour suivant qui possède la lettre B est le 3 avril. Pâques tombe donc le 3 avril en 1401. Attention, on doit toujours prendre le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune. Ainsi, si ce jour tombe un dimanche, ce n’est pas ce jour qui est le dimanche de Pâques, mais le dimanche suivant. Par exemple, si le nombre d’or est 8 et si la lettre dominicale est C, le 14e jour de la Lune est le 18 avril, c’est 894

13.7. DATE DE PÂQUES un dimanche (lettre dominicale C), mais le dimanche de Pâques est le suivant : 25 avril. Il ne reste plus qu’à trouver une méthode pour calculer le nombre d’or et la lettre dominicale d’une année quelconque. C’est une chose très simple si l’on connaît l’origine des deux cycles. Denys le Petit a fait débuter son cycle en l’an 532 de l’ère chrétienne. Le nombre d’or est le reste de la division euclidienne du millésime de l’année a moins 532 par 19 (a − 532 mod 19) auquel on ajoute un. Comme 532 est un multiple de 19, c’est aussi le reste de la division euclidienne du millésime a par 19, plus un : n = (a mod 19) + 1 La lettre dominicale s’obtient également facilement, en remarquant que cette lettre régresse d’une unité par année commune et de deux unités par année bissextile (365 ≡ 1 (mod 7) et 366 ≡ 2 (mod 7)). Si on associe la suite (0,1,2,3,4,5,6) à la suite (A,B,C,D,E,F,G), le chiffre qui correspond à la lettre dominicale d’une année a (ou la seconde lettre d’une année bissextile) s’obtient par la formule : LJ = (2 − b5a/4c) mod 7 (13.15) Remarque Le comput ecclésiastique comportait d’autres éléments qui ne servaient pas au calcul de la date de Pâques. Ces éléments sont le cycle solaire, l’indiction romaine, les concurrents, les réguliers (réguliers solaires, réguliers annuels et réguliers lunaires), la lettre du martyrologe et l’épacte (l’âge de la Lune au 22 mars). De nos jours, cette épacte est nommée épacte ancienne pour ne pas être confondue avec l’épacte julienne ou l’épacte grégorienne.

13.7.2.3

Imperfections du comput dionysien

Sa première imperfection est celle du calendrier julien. La valeur moyenne de l’année calendaire julienne est de 365.25 jours alors que l’année tropique moyenne était de 365.242 0684 jours (en l’an I). L’écart moyen entre les équinoxes de printemps était de 365.242 138 jours (en l’an I). L’équinoxe de printemps dérive dans ce calendrier d’environ un jour en 128 années (juliennes), chose que les computistes auraient pu remarquer. En effet, l’équinoxe de printemps était passé du 25 mars au 21 mars entre l’époque de l’élaboration du calendrier julien par Jules César et la date du concile de Nicée. La seconde imperfection provient du cycle de Méton. Le cycle de Méton du comput comporte 235 lunaisons, ce qui correspond à 6 939.688 38 jours (si on prend une lunaison 895

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS moyenne de 29.530 588 853 jours). Comme 19 années juliennes font 6 939.75 jours, l’écart est de 0.061 62 jour moyen (1 h 28 min), soit une dérive de la lunaison par rapport au calendrier julien d’un jour en 308 ans environ. La première dérive n’est observable que par les astronomes qui mesurent l’équinoxe de printemps. La seconde n’est visible que si l’on compare le calendrier lunaire du comput avec la lunaison moyenne. Au bout de dix siècles, l’écart devient énorme (trois jours). Cela se répercute sur la date de Pâques qui parfois se trouve décalée d’un mois sur la réalité astronomique lorsque la nouvelle lune pascale avoisine le 21 mars. Ces imperfections seront signalées par de nombreux computistes au fil des années. Mais il faudra attendre la fin du xvie siècle pour voir apparaître une réforme du comput de la date de Pâques lors de la réforme grégorienne.

13.7.3

La réforme grégorienne et le nouveau comput

La réforme grégorienne de 1582 est avant tout une réforme du comput pascal. Elle aboutit à une modification du calendrier solaire avec l’abandon du calendrier julien. Elle adopte le calendrier grégorien qui conduit à une suppression de 10 jours au cours de l’année 1582. Cette nouveauté a beaucoup plus marqué le public que la réforme pascale elle-même, et cela reste vrai de nos jours. Le problème du calendrier solaire a été réglé simplement : les dix jours de décalage constatés entre l’équinoxe de 1582 et le 21 mars ont été supprimés afin de ramener l’équinoxe à la date fixée lors du concile de Nicée, et non pas à l’équinoxe du début de l’ère chrétienne (pour cela, il aurait fallu supprimer 12 jours). Le calendrier julien a été corrigé en supprimant 3 années bissextiles sur une période de quatre siècles, en gardant la règle de divisibilité par quatre du millésime, mais en rendant communes les années dont le millésime est un multiple de 100 sans l’être de 400. Le problème luni-solaire fut beaucoup plus complexe à traiter. Il fallait construire une Lune ecclésiastique nouvelle qui dérivait moins et qui tenait compte du nouveau calendrier solaire. Pour cela, un nouvel élément qui s’est substitué au nombre d’or a été introduit : l’épacte.

13.7.3.1

L’épacte julienne

Pour faciliter les calculs calendaires, les Grecs appelaient épacte (ou jours additionnels) le nombre de jours qu’il convenait d’ajouter à une année lunaire pour atteindre le début de l’année solaire. Cette notion sera reprise par les computistes. Si l’on définit l’âge de 896

13.7. DATE DE PÂQUES la Lune comme le quantième du mois lunaire, il varie donc de 1 à 30. L’épacte julienne d’une année est l’âge de la Lune du comput au 31 décembre de l’année précédente (c’est aussi l’âge de la Lune au premier janvier moins un). Pour avoir la valeur de l’épacte julienne EJ en fonction du nombre d’or n, il suffit donc de prendre la date du début de la lunaison de décembre de l’année n − 1 et de la soustraire à 32 (table 13.9). Table 13.9 – Correspondance entre le nombre d’or et les épactes juliennes.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

NL déc.

13

2

21

10

29

18

7

26

15

4

EJ

8

19

0

11

22

3

14

25

6

17

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

NL déc.

23

12

31

20

9

28

17

6

24

EJ

28

9

20

1

12

23

4

15

26

On s’aperçoit que ces nombres sont en progression arithmétique de raison 11 mod 30 : chaque épacte se déduit de la précédente en ajoutant 11 et en soustrayant 30 lorsque le résultat est supérieur ou égal à 30, à une exception près entre la dernière et la première épacte du cycle où il faut ajouter 12. Ce chiffre 11 est normal : c’est le nombre de jours (10.88 j) qui sépare 12 lunaisons (354.367 jours) et 365.25 jours. Comme on le voit, le système de l’épacte julienne est en tout point semblable au système du nombre d’or. On passe du nombre d’or n à l’épacte julienne EJ par la formule suivante : EJ = (11n − 3) mod 30 EJ = (11(a mod 19) + 11 − 3) mod 30

(13.16)

EJ = (11(a mod 19) + 8) mod 30 On remarque également que l’épacte julienne ne peut prendre que 19 valeurs. Or, en réalité, la pleine lune peut tomber n’importe quel jour. Cette limitation traduit bien l’imperfection du calendrier lunaire du comput dionysien. Il faut donc modifier ce calendrier lunaire et permettre à la nouvelle lune, donc à l’épacte, d’avoir 30 valeurs différentes. C’est ce que va proposer Aloysius Lilius aux membres de la commission réunie par le pape Grégoire XIII pour réaliser la réforme du comput.

13.7.3.2

L’épacte grégorienne

Dans le comput grégorien, la notion d’épacte va donc légèrement changer : le cycle de 19 ans est conservé, mais il va y avoir des sauts d’épactes. Pour tenir compte de la 897

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS suppression des années bissextiles du calendrier grégorien par rapport au calendrier julien, on introduit un saut négatif d’épacte appelé métemptose (ou équation solaire ES ). Ce saut a lieu chaque fois que l’on supprime une année bissextile, c’est-à-dire tous les millésimes multiples de 100 sans l’être de 400 : par exemple 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, etc. Le nombre de sauts d’épactes dus à l’équation solaire depuis l’adoption du comput grégorien s’obtient avec la formule suivante : ES = b(3s − 45)/4c

(13.17)

Pour compenser la dérive lunaire, on va ajouter 8 jours sur une période de 25 siècles : un jour tous les trois siècles durant 21 siècles, puis un jour quatre siècles plus tard pour terminer la période et atteindre 25 siècles. Ce saut positif porte le nom de proemptose (ou équation lunaire EL ). Le cycle lunaire commençant en 1800, les premières proemptoses ont lieu en 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600, 3900 et le suivant en 4300. Le nombre de sauts d’épactes dus à l’équation lunaire depuis l’adoption du comput grégorien est donné par : EL = b(8s − 112)/25c (13.18) Pour tenir compte de ces sauts, l’épacte grégorienne prend une nouvelle définition : c’est l’âge de la Lune le premier janvier moins un. Mais en raison des sauts d’épactes, ce n’est plus forcément l’âge de la Lune au 31 décembre.

13.7.3.3

Le calendrier lunaire perpétuel grégorien

Le nouveau calendrier perpétuel va corriger la dérive lunaire. Il va reprendre l’idée du cycle de Méton de 19 ans. On a donc toujours un nombre d’or qui indique le numéro de l’année dans ce cycle de 19 ans auquel va correspondre un cycle d’épacte. Ce cycle d’épacte ne sera plus constant il variera pour compenser la dérive lunaire et la suppression des trois années bissextiles en quatre siècles du nouveau calendrier solaire. Il y a deux façons de présenter ce calendrier : tabuler chaque jour de l’année et indiquer quels débuts de mois (épactes) tombent chaque jour de l’année (méthode utilisée par les computistes), ou bien tabuler la liste des épactes et lui associer les dates des débuts de lunaisons, comme nous l’avons fait pour le calendrier lunaire dionysien. C’est cette seconde option qui est adoptée ici. Ainsi, on fait disparaître une épacte numéro 19 dans le calendrier original de Lilius publié par Clavius en 1577. Cette épacte qui n’apparaît qu’au 31 décembre n’a pas d’incidence sur le calcul de la date de Pâques, mais doit être prise en compte dans l’étude du calendrier lunaire perpétuel. La colonne des épactes, à l’exception de l’épacte XXV, est construite de la manière suivante : on commence à l’épacte 8 et on passe d’une ligne à l’autre en ajoutant 11 avec l’addition modulaire : Ek+1 = (Ek + 11) mod 30. 898

13.7. DATE DE PÂQUES Chaque ligne de la table 13.10 est obtenue en ajoutant 29 ou 30 à la date de la nouvelle lune en fonction de la longueur du mois lunaire, avec les débuts des mois de 30 jours écrits en couleur. On constate de nouveau la possibilité de quatre mois consécutifs de 30 jours (épacte 26) et des mois lunaires de 31 jours en février (les années bissextiles). De nouveau, ce calendrier n’est donc pas un très bon calendrier lunaire, et il faut limiter son usage au calcul de la date de Pâques. On remarquera que les colonnes de janvier et de mars sont identiques, l’épacte attribuée au 1er janvier et l’épacte attribuée au 1er mars étant les mêmes dans le calendrier lunaire de Clavius. Quelles sont les nouveautés de ce calendrier ? Dans un premier temps, comme pour le calendrier solaire, il faut corriger le décalage lunaire accumulé depuis le concile de Nicée. Ce décalage est de 4 jours ((1582 – 325)/400), mais la correction de Clavius ne sera que de trois jours afin de replacer la nouvelle lune de mars de l’épacte 8 (correspond au nombre d’or 1 du comput dionysien) au 23 mars. C’est la date qu’elle avait à chaque début de cycle de Méton à l’époque du concile de Nicée. En l’an 1582, le nombre d’or est de 6, l’épacte julienne est égale à 3. On doit donc lui ajouter 3 unités pour la corriger de cette erreur, puis lui retrancher les 10 jours supprimés à l’année 1582 pour replacer l’équinoxe de printemps au 21 mars. L’épacte grégorienne pour 1582 est donc égale à 3 + 3 − 10 = −4 mod 30 = 26. Les règles des sauts d’épactes sont les suivantes : en plus des métemptoses et des proemptoses à la fin des cycles du nombre d’or, on a un saut d’épacte de +1 comme dans le cycle dionysien. La différence entre l’épacte du nombre d’or 19 et l’épacte du nombre d’or 1 est de 12. Comme le cycle de 19 épactes évolue, chaque épacte peut devenir, à une époque donnée, la dernière du cycle. C’est pourquoi dans le calendrier perpétuel, le dernier mois lunaire de décembre n’a que 29 jours (valeurs indiquées entre crochets dans le calendrier) lorsque cette épacte est la 19e du cycle des nombres d’or. De plus, pour régulariser la répartition des nouvelles lunes, on a introduit une épacte 25 bis, notée XXV et qui doit être utilisée à la place de l’épacte 25 lorsque le nombre d’or de l’année correspondante est supérieur à 11. La table 13.11 donne la succession des sauts d’épactes jusqu’en 4500. La table 13.12 donne les épactes qui correspondent au nombre d’or pour chaque période comprise entre deux sauts d’épactes. On passe d’une ligne à l’autre en ajoutant ou en retranchant 1 aux épactes en fonction de la valeur du saut d’épacte. Sur une même ligne, on passe d’une colonne à la suivante en ajoutant 11 (mod 30) et on passe de la dernière colonne à la première en ajoutant 12 (mod 30). À partir des formules précédentes, on peut également construire une formule qui donne l’épacte grégorienne en fonction de l’épacte julienne : EG = (EJ − 10 + 3 − ES + EL ) mod 30 EG = (EJ − 7 − ES + EL ) mod 30 899

(13.19)

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Table 13.10 – Calendrier lunaire perpétuel du comput grégorien. Entrées colorées pour les mois lunaires de 30 jours au lieu de 29.

EG

Jan

8 23 19 12 0 1, 31 11 20 22 9 3 28 14 17 25 6 XXV 6 6 25 17 14 28 3 9 22 20 11 1 30 12 19 23 8 4 27 15 16 26 5 7 24 18 13 29 2 10 21 21 10 2 29 13 18 24 7 5 26 16 15 27 4

Fév

Mar

21 10

23 21 21 19 19 17 16 15 14 13 [13] 12 10 10 8 8 6 5 4 3 2 [2, 31] 1, 31 29 29 27 27 25 24 23 22 21 [21] 20 18 18 16 16 14 13 12 11 10 [10] 9 7 7 5 5 3 2 1, 31 29 29 [29] 28 26 26 24 24 22 21 20 19 18 [18] 17 15 15 13 13 11 10 9 8 7 [7] 6 5 4 3 2 1, 30 29 28 27 26 [26] 6 4 4 2 2, 31 30 28 28 26 26 [26] 25 23 23 21 21 19 18 17 16 15 [15] 14 12 12 10 10 8 7 6 5 4 [4] 3 2 1, 31 29 29 27 26 25 24 23 [23] 22 20 20 18 18 16 15 14 13 12 [12] 11 9 9 7 7 5 4 3 2 1, 31 [1,31] 30 28 28 26 26 24 23 22 21 20 [20] 19 17 17 15 15 13 12 11 10 9 [9] 8 6 6 4 4 2 1, 30 30 28 28 [28] 27 25 25 23 23 21 20 19 18 17 [17] 16 14 14 12 12 10 9 8 7 6 [6] 5 4 3 2 1,31 29 28 27 26 25 [25] 24 22 22 20 20 18 17 16 15 14 [14] 13 11 11 9 9 7 6 5 4 3 [3] 2 1, 30 30 28 28 26 25 24 23 22 [22] 21 19 19 17 17 15 14 13 12 11 [11] 10 8 8 6 6 4 3 2 1,30 30 [30] 29 27 27 25 25 23 22 21 20 19 [19] 18 16 16 14 14 12 11 10 9 8 [8] 7 5 5 3 3 1, 31 29 29 27 27 [27] 26 24 24 22 22 20 19 18 17 16 [16] 15 13 13 11 11 9 8 7 6 5 [5] 4 3 2 1,30 30 28 27 26 25 24 [24]

18 7 26(27) 15 5 4 23 12 2 20 9 28(29) 17 6 25(26) 14 4 22 11 1 19 8 27(28) 16 5 24(25) 13 3

Avr

Mai Juin

900

Juil

Août Sept

Oct

Nov

Déc

13.7. DATE DE PÂQUES

Table 13.11 – Liste des sauts d’épactes jusqu’en 4500. Années

Métempose

Proemptose

Saut

1700

−1

0

−1

1800

−1

+1

0

1900

−1

0

−1

2000

0

0

0

2100

−1

+1

0

2200

−1

0

−1

2300

−1

0

−1

2400

0

+1

+1

2500

−1

0

−1

2600

−1

0

−1

2700

−1

+1

0

2800

0

0

0

2900

−1

0

−1

3000

−1

+1

0

3100

−1

0

−1

3200

0

0

0

3300

−1

+1

0

3400

−1

0

−1

3500

−1

0

−1

3600

0

+1

+1

3700

−1

0

−1

3800

−1

0

−1

3900

−1

+1

0

4000

0

0

0

4100

−1

0

−1

4200

−1

0

−1

4300

−1

+1

0

4400

0

0

0

4500

−1

0

−1

901

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS et avec : EJ = (11(a mod 19) + 8) mod 30

(13.20)

on obtient : EG = (1 + 11(a mod 19) − b(3s − 45)/4c + b(8s − 112)/25c) mod 30

(13.21)

Il ne reste plus qu’à construire une table identique à la table 13.8 en remplaçant le nombre d’or n par l’épacte EG . Le résultat apparaît dans la table 13.14. À chaque jour compris entre le 21 mars et le 25 avril, on associe la ou les épactes qui amènent au 14e jour de la Lune. Comme pour le calendrier lunaire dionysien, il suffit d’ajouter 13 au jour de la nouvelle lune de mars (ou d’avril) et de garder les dates postérieures ou égales au 21 mars. On constate que les épactes se succèdent régulièrement du 21 mars au 18 avril en décrémentant de 1 d’une épacte à la suivante. On comprend ainsi comment le calendrier a été construit. Normalement, l’épacte 24 devrait tomber le 19 avril, mais cela pourrait amener le jour de Pâques au 26 avril, donc à l’extérieur de l’intervalle de définition. C’est pourquoi les computistes ont déplacé l’épacte d’un jour. Mais il y a alors deux épactes le 18 avril, ce qui crée une plus grande proportion de 14e jour de la Lune ce jour. Cette plus grande proportion est pondérée en ajoutant une épacte 25 bis (XXV), dont le 14e jour de la Lune tombe le 17 avril (lorsque le nombre d’or est supérieur à 11).

13.7.3.4

La lettre dominicale grégorienne

L’indice LG de la lettre dominicale grégorienne doit tenir compte des suppressions des bissextes du calendrier grégorien. La formule est donc un peu plus complexe. À l’indice de la lettre dominicale julienne, il convient d’ajouter l’écart en jours (mod 7) entre les deux calendriers. Cet écart r peut s’écrire : r = Es + 10 = b(3s − 45)/4c + 10 = b(3s − 5)/4c et : LG = (2 − b5a/4c + b(3s − 5)/4c) mod 7 LG = (b(3s + 3)/4c − b5a/4c) mod 7 et en introduisant a = 100s + m : LG = (b(7s + 3)/4c − b5m/4c) mod 7 On utilise ces tables d’une manière identique au comput dionysien. Par exemple, en 2021, le nombre d’or est de 8 et LG = 2, donc la lettre dominicale est C. Dans la table 13.12, 902

13.7. DATE DE PÂQUES

Table 13.12 – Épactes grégoriennes de 1582 à 4499. Validité / n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

13 14

15

16

17

18 19

1582 à 1699 1 12 23 4 15 26 7 18 29 10 21

2

13 24

5

16

27

8 19

1700 à 1899 0 11 22 3 14 25 6 17 28 9 20

1

12 23

4

15

26

7 18

1900 à 2199 29 10 21 2 13 24 5 16 27 8 19

0

11 22

3

14 XXV 6 17

2200 à 2299 28 9 20 1 12 23 4 15 26 7 18

29

10 21

2

13

24

5 16

2300 à 2399 27 8 19 0 11 22 3 14 25 6 17

28

9 20

1

12

23

4 15

2400 à 2499 28 9 20 1 12 23 4 15 26 7 18

29

10 21

2

13

24

5 16

2500 à 2599 27 8 19 0 11 22 3 14 25 6 17

28

9 20

1

12

23

4 15

2600 à 2899 26 7 18 29 10 21 2 13 24 5 16

27

8 19

0

11

22

3 14

2900 à 3099 25 6 17 28 9 20 1 12 23 4 15

26

7 18

29

10

21

2 13

3100 à 3399 24 5 16 27 8 19 0 11 22 3 14 XXV 6 17

28

9

20

1 12

3400 à 3499 23 4 15 26 7 18 29 10 21 2 13

24

5 16

27

8

19

0 11

3500 à 3599 22 3 14 25 6 17 28 9 20 1 12

23

4 15

26

7

18

29 10

3600 à 3699 23 4 15 26 7 18 29 10 21 2 13

24

5 16

27

8

19

0 11

3700 à 3799 22 3 14 25 6 17 28 9 20 1 12

23

4 15

26

7

18

29 10

3800 à 4099 21 2 13 24 5 16 27 8 19 0 11

22

3 14 XXV 6

17

28 9

4100 à 4199 20 1 12 23 4 15 26 7 18 29 10

21

2 13

24

5

16

27 8

4200 à 4499 19 0 11 22 3 14 25 6 17 28 9

20

1 12

23

4

15

26 7

au nombre d’or 8 correspond l’épacte 16 pour la période 1900 à 2199. En utilisant la table 13.14, on trouve que la veille de la pleine lune pascale correspondante tombe le 28 mars et que le jour suivant ayant la lettre dominicale C est le 4 avril. Pâques tombe donc le 4 avril en 2021. Si on compare avec la Lune vraie, on constate que la pleine lune est le 28 mars 2021 (et non le 29). Si on compare les dates des nouvelles lunes vraies de l’année 2021 avec les dates des nouvelles lunes pascales correspondant à l’épacte 16, on constate une mauvaise correspondance, avec des écarts de un ou deux jours ! Il faut donc éviter d’utiliser la Lune du comput grégorien pour calculer les lunaisons vraies.

13.7.3.5

Le calcul de la Pâques grégorienne

Il est facile de trouver une formule qui donne le jour de Pâques à partir de l’épacte et de l’indice de la lettre dominicale de l’année. La table 13.14 met en évidence deux exceptions : l’épacte XXV se comporte comme l’épacte 26 et l’épacte 24 se comporte 903

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Table 13.13 – Comparaison des nouvelles lunes pascales et des nouvelles lunes vraies en 2021 (UTC).

EG

Jan Fév Mar Avr Mai Juin Juil Août Sept Oct Nov Déc

16

15

13

15

13

13

11

11

9

8

7

6

5[5]

NL vraies 13

11

13

12

11

10

10

8

7

6

4

4

Table 13.14 – Calendrier limité à la période du 21 mars au 25 avril. Jour

LG

n

Jour

LG

n

Jour

LG

n

21 mars

C

23

2 avril

A

11

14 avril

F

29

22 mars

D

22

3 avril

B

10

15 avril

G

28

23 mars

E

21

4 avril

C

9

16 avril

A

27

24 mars

F

20

5 avril

D

8

17 avril

B

26,XXV

25 mars

G

19

6 avril

E

7

18 avril

C

25,24

26 mars

A

18

7 avril

F

6

19 avril

D

27 mars

B

17

8 avril

G

5

20 avril

E

28 mars

C

16

9 avril

A

4

21 avril

F

29 mars

D

15

10 avril

B

3

22 avril

G

30 mars

E

14

11 avril

C

2

23 avril

A

31 mars

F

13

12 avril

D

1

24 avril

B

1 avril

G

12

13 avril

E

0

25 avril

C

comme l’épacte 25. On numérote autrement les épactes pour avoir une série continue du 18 avril au 21 mars : il suffit de numéroter négativement les épactes postérieures au ∗ = E si E < 24 et E ∗ = E − 30 si E ≥ 24. On numérote les 13 avril en posant EG G G G G G jours en quantième Q de mars. En utilisant cette notation le lendemain du 14e jour de ∗ . Il reste à ajouter le la pleine lune pascale d’épacte EG a pour quantième QP = 45 − EG décalage constant (mod 7) x entre le cycle des épactes et le cycle des indices de la lettre dominicale. On suppose que le dimanche est le lendemain du 14e jour de la Lune pascale, alors le décalage x doit vérifier l’équation suivante : ∗ (EG + LG + x) ≡ 1

(mod 7)

Il suffit de résoudre cette équation pour une épacte quelconque. Par exemple, pour EG = EG * = 23, la lettre dominicale du lendemain est D ; donc LG = 4, et on a alors l’équation 904

13.7. DATE DE PÂQUES modulaire : (23 + 4 + x) ≡ 1

(mod 7)

dont la solution est : x≡2

(mod 7)

Le quantième QP de mars du dimanche de Pâques est donc donné par : ∗ QP = Q + (EG + LG + 2) mod 7 ∗ ∗ QP = 45 − EG + (EG + LG + 2) mod 7

avec :    26     ∗ EG =  25     EG

si EG = XXV soit EG = 25 et n > 11 si EG = 24 autrement

(13.22)

∗ ∗ ∗ EG = EG − 30 si EG > 23

Les deux premières conditions permettent de gérer les deux exceptions. Si QP est inférieur ou égal à 31, alors Pâques tombe le QP mars, et si QP est supérieur à 31, alors Pâques tombe le QP − 31 avril. Pour le calcul de la date de Pâques, il faut se reporter au détail de l’algorithme dans la table 13.15. Une grande partie des formules qui donnent la date de Pâques peut se déduire de ces formules. Si l’indice de la lettre dominicale est compté de 1 à 7 à la place de 0 à 6, la formule qui donne la lettre dominicale doit être augmentée de 1 et celle qui donne le décalage entre le 14e jour de la Lune et le dimanche doit être diminuée de 1 (x = 1). De même, la définition de l’épacte change aussi si l’on prend comme âge de la Lune la partie entière du temps écoulé depuis la nouvelle lune. Le jour de la nouvelle lune a alors pour âge 0 et non pas 1.

13.7.3.6

Le calcul de la Pâques julienne

Les églises orthodoxes ont conservé l’usage du comput dionysien. Il est donc utile de fournir également une formule qui donne le jour de la Pâques orthodoxe. Le formulaire est identique au formulaire du comput grégorien, sauf les deux exceptions liées à l’épacte 26 et XXV qui ne se présentent jamais. On remplace donc l’épacte grégorienne par l’épacte julienne et la lettre dominicale grégorienne par la lettre dominicale julienne, le résultat est donné dans le calendrier julien. Pour avoir la date dans le calendrier grégorien, il suffit 905

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Table 13.15 – Calcul de la date de Pâques avec N + 1 le nombre d’or, LJ et LG les indices des lettres dominicales julienne et grégorienne, EJ et EG les épactes respectives, r l’écart entre le calendrier grégorien et le calendrier julien, et ES et EL les équations solaire et lunaire.

Diviser

Par

Quotient

Reste

L’année a

100

s

m

L’année a

19

5a

4

2−g

7

3s − 5

4

LJ + r

7

LG

11N + 8

30

EJ

3s − 45

4

ES

8s − 112

25

EL

EJ + 23 − ES + EL

30

EG

7

y

N g LJ r

Conditions (13.22) ∗ +L +2 EG G

D = 45 −

∗ EG

+y

Pâques D mars ou (D − 31) avril

d’ajouter la quantité r = b(3s − 5)/4c (r = 13 pour la période actuelle de 1901 à 2099 inclus). Cependant, il ne faut pas utiliser la lettre dominicale grégorienne pour avoir la date grégorienne de la Pâques julienne.

E ∗J

   E J − 30 =  E J

si E J > 23 autrement

  QP = 45 − E ∗J + (E ∗J + L J + 2) mod 7    si QP ≤ 31 QP mars julien DPâques =   (QP − 31) avril julien autrement 906

(13.23)

13.7. DATE DE PÂQUES

13.7.4

Formulaires directs du calcul de la date de Pâques

De nombreux computistes, mathématiciens ou astronomes, ont cherché la ou les formules qui permettent de calculer directement la date du jour de Pâques en connaissant uniquement le millésime de l’année. L’un des premiers fut Gauss, qui publia la première méthode purement algébrique en 1800. Cette solution était erronée pour les dates postérieures à 4199 (erreur dans les métemptoses), il la corrigea quelques années plus tard. De même, Delambre publia une solution erronée (il oublia l’épacte XXV) dans le tome III de son Astronomie théorique et pratique (Delambre, 1814), qu’il corrigea par la suite dans les additions à la Connaissance des temps pour 1817 et dans son Histoire de l’astronomie moderne (Delambre, 1821). Hélas, comme le signale avec juste raison J.-M. Oudin (1946) (Oudin, 1940), son Astronomie théorique et pratique eut une forte diffusion, de sorte que son erreur fut reproduite dans de nombreux ouvrages, notamment le Grand Larousse du xixe siècle. La figure 13.5 donne la distribution des dimanches de Pâques pour trois périodes : le cycle de 532 ans du comput dionysien (comput julien), le cycle de 5.7 millions d’années du comput grégorien 2 et enfin pour une durée de 1 000 ans allant de 1600 à 2600. On retrouve bien les dates extrêmes des 22 mars et 25 avril, et on constate une distribution relativement régulière et symétrique à l’intérieur de cet intervalle pour les cycles complets, et bien plus irrégulière sur 1 000 ans. Dans le calendrier grégorien, le dimanche 19 avril a une fréquence d’apparition légèrement plus élevée que la moyenne des autres dates, ce qui n’est pas le cas dans le millénaire en cours. De nombreux autres auteurs s’intéressèrent au problème et une recherche bibliographique sur le thème du calcul de la date de Pâques donne jusqu’à 272 références. Un des formulaires les plus employés est celui proposé en avril 1876 à la revue Nature par un correspondant anonyme de New York. Ce formulaire, donné dans la table 13.16, sera repris par la suite dans le Butcher’s Ecclesiastical Calendar (1877) de Samuel Butcher (évêque de Meath), dans la seconde édition de Practical Astronomy with your Calculator de Peter Duffett-Smith, dans le General Astronomy de Spencer Jones (1922), dans The Journal of the British Astronomical Association (décembre 1977), et enfin dans l’Astronomical Algorithms (1991) de Jean Meeus (Meeus, 1998). Ce formulaire est issu des formules de Delambre, il est certes pratique et rapide, et remplit son office, mais les formules des sections précédentes ont le mérite d’utiliser et de faire apparaître les éléments du comput. L’ouvrage de Richards (1998) contient plusieurs algorithmes directs pour les computs juliens et grégoriens, tous de programmation aisée. Un algorithme de quelques lignes et exact sur tout le cycle grégorien se trouve dans la présentation actuelle la plus complète des calculs calendaires de Reingold et Dershowitz (2001). 2. Le calcul exploite simplement l’algorithme du comput et n’a que peu de rapport avec les mouvements vrais de la Lune et de la Terre sur cette durée.

907

CHAPITRE 13. CALENDRIER ET SAISONS

Figure 13.5 – Distribution de la date du dimanche de Pâques entre le 22 mars et le 25 avril. De haut en bas : comput julien sur les 532 années du cycle, comput grégorien sur les 5.7 millions d’années du cycle, comput grégorien de l’année 1600 à 2600.

908

13.7. DATE DE PÂQUES

Table 13.16 – Formulaire publié dans la revue Nature pour le calcul de la date de Pâques. Avec n le numéro du mois (3 : mars, 4 : avril) et p + 1 le quantième du jour.

Diviser

Par

Quotient

L’année x

19

L’année x

100

b

c

b

4

d

e

b+8

25

f

b− f +1

3

g

19a + b − d − g + 15

30

c

4

32 + 2e + 2i − h − k

7

a

h i

k l

a + 11h + 22l

451

m

h + l − 7m + 114

31

n

909

Reste

p

Annexe

Annexe A

Changements de coordonn´ees

Cette annexe fournit les formules de transformation entre les principaux types de coordonnées utilisées pour l’observation astronomique. On considère ici que les axes de référence des repères forment un trièdre rigide. Le lecteur intéressé par les formules de transformation de coordonnées entre les repères céleste et terrestre (précession-nutation, rotation diurne, mouvement du pôle) pourra consulter le chapitre 4, et en particulier les sections 4.4 (précession), 4.5 (nutation), et 4.6 (paramètres d’orientation de la Terre). Le chapitre 3 mentionne par ailleurs les différents centres de sphère céleste et les coordonnées ICRS, BCRS, GCRS et ITRS. Une application rigoureuse des changements de repère et de coordonnées pourra être mise en œuvre à l’aide de logiciels et de librairies informatiques. En particulier, un groupe de travail de l’UAI met à disposition la librairie SOFA (http://www.iausofa.org/).

A.1

Notions générales

Un point M de l’espace est repéré de manière équivalente par ses coordonnées cartésiennes x, y, z dans un système d’axes (Ox, Oy, Oz) orthonormé direct, ou par ses coordonnées polaires λ, ψ, r dans le même système d’axes (figure A.1).

A.1.1

Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires/sphériques

Par définition : λ = (Ox, Om)

ψ = (Om, OM) 913

r = OM

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES z

Méridien origine M

R0

O

ψ y

λ

G

x Figure A.1 – Coordonnées cartésiennes et sphériques.

où m est la projection de M sur le plan (Ox, Oy). Sauf mention particulière, le sens positif pour λ est le sens direct défini par l’axe Oz. L’angle ψ est compté positivement dans la direction Oz. Les deux groupes de coordonnées sont liés par les relations : x = r cos ψ cos λ y = r cos ψ sin λ z = r sin ψ Pour r = 1, les coordonnées x, y, z sont appelées les cosinus directeurs de la direction OM. Les coordonnées λ et ψ sont appelées les coordonnées polaires de la direction OM.

A.1.2

Transformation des coordonnées sous l’effet de rotation des axes

Toutes les transformations qui font passer d’un système d’axes à un autre, sans changement du centre O, se ramènent aux produits des trois rotations élémentaires R1 (θ1 ), R2 (θ2 ) 914

A.1. NOTIONS GÉNÉRALES et R3 (θ3 ), respectivement autour des axes Ox, Oy, Oz, où θ1 , θ2 , θ3 désignent les angles des rotations. Sous l’effet d’une rotation élémentaire Ri (θi ), le système d’axes (Ox, Oy, Oz) est transformé en (Ox0 , Oy0 , Oz0 ). Les coordonnées x0 , y0 , z0 d’un point M dans ce système d’axes s’expriment en fonction de ses coordonnées x, y, z dans le système d’axes (Ox, Oy, Oz) par la relation matricielle :  0     x   x   0     y  = Ri (θi )  y  z0 z Pour i = 1, rotation autour de l’axe Ox, les axes forment entre eux les angles : (Ox, Ox0 ) = 0 et (Oy, Oy0 ) = (Oz, Oz0 ) = θ1 et :  0 0  1  cos θ1 sin θ1 R1 (θ1 ) =  0  0 − sin θ1 cos θ1

   

Pour i = 2, rotation autour de l’axe Oy, les axes forment entre eux les angles (Oy, Oy0 ) = 0 et (Ox, Ox0 ) = (Oz, Oz0 ) = θ2 et :

  cos θ2 0 − sin θ2  1 0 R2 (θ2 ) =  0  sin θ2 0 cos θ2

   

Pour i = 3, rotation autour de l’axe Oz, les axes forment entre eux les angles (Oz, Oz0 ) = 0 et (Ox, Ox0 ) = (Oy, Oy0 ) = θ3 et :

A.1.3

   cos θ3 sin θ3 0    R3 (θ3 ) =  − sin θ3 cos θ3 0    0 0 1

Représentation des coordonnées sur la sphère

On adopte la représentation familière des coordonnées sur la sphère : la sphère céleste est une sphère de rayon arbitraire dont le centre est celui du système de référence considéré (barycentre du Système solaire, centre de masse de la Terre, lieu d’observation, etc.). On considère sur la sphère céleste de grands cercles particuliers (équateur, écliptique, méridien, vertical, etc.). À toute direction (D), on associe le point d’intersection de la sphère céleste et de la demi-droite dont l’origine est le centre O de la sphère et dont la direction et le sens sont ceux de (D). 915

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES

A.2

Coordonnées usuelles

A.2.1

Coordonnées liées à un système de référence terrestre

Un repère de référence terrestre est défini par le choix d’un plan équatorial (celui de l’équateur vrai par défaut), associé au pôle terrestre, et par une origine que l’on peut définir, par exemple, comme l’intersection du méridien terrestre origine et de l’équateur terrestre vrai. En assimilant la Terre à une sphère, un lieu terrestre S est rattaché à un repère céleste géocentrique par sa longitude λ et sa latitude ψ. Ce sont les coordonnées polaires de la direction OZ, parallèle à la verticale du lieu, rapportées à l’équateur vrai de la date du repère céleste et à une origine G sur ce grand cercle. Cette origine G est l’intersection de l’équateur vrai de la date et du méridien céleste de Greenwich. Un lieu d’observation est alors déterminé par le triplet (r, ψ, λ), où r désigne la distance au centre de la Terre. Les latitudes sont comptées de 0◦ à l’équateur à ±90◦ aux pôles. Elles sont négatives dans l’hémisphère sud et positives dans l’hémisphère nord. Traditionnellement, en accord avec les conventions d’orientation rappelées ci-dessus, les longitudes sont comptées de −180◦ à 180◦ d’ouest en est. Par définition, la longitude du méridien origine est nulle. Les longitudes ouest sont négatives et les longitudes est sont positives. Afin de définir correctement la notion de zénith, qui permet de caractériser la verticale d’un lieu donné, il est nécessaire de considérer la Terre comme un ellipsoïde de révolution (de rayon équatorial R0 et de rayon polaire RP ) et non pas comme une sphère. Cela amène à distinguer les notions de latitude géodésique, notée ϕ, et de latitude géocentrique, notée ψ, d’un site d’observation, présentées dans le chapitre 8 et représentées dans la figure A.2. Un lieu d’observation est alors déterminé par le triplet de coordonnées (h, ψ, λ), où h désigne la hauteur au-dessus de l’ellipsoïde ou altitude. La différence entre ces deux latitudes est maximale pour la latitude ϕ = 45◦. Au niveau du sol, cette différence correspond à 69200 . Par extension, on définit une latitude géodésique et une latitude géocentrique pour chacun des points observés dans le ciel. La latitude géodésique est définie à partir de la direction du nadir, le point à la surface de l’ellipsoïde qui rend minimale la distance à l’astre observé, et la latitude géocentrique est définie à partir de la direction du géocentre. La différence entre ces deux types de latitude diminue avec l’altitude du point visé : elle est de l’ordre de 45000 pour les orbites les plus basses en région MEO (6 000 km d’altitude environ), de 22000 à l’altitude des constellations de radionavigation et de 10500 916

A.2. COORDONNÉES USUELLES pour les orbites géosynchrones. Pour la Lune, cette différence maximale est de 11.700. À une distance infinie, elle est nulle. Dans le cadre de cet ouvrage, la distinction entre ces deux types de latitude n’est utile que pour l’observation des météores, des satellites artificiels, de la Lune et des astéroïdes géocroiseurs. Dans la suite de cette annexe, pour ne pas perdre en généralité, on utilise les notations ψ pour les références géocentriques et ϕ pour les références géodésiques. Dans la plupart des cas, les latitudes des sites d’observation sont fournies par les services ad hoc (comme l’IGN en France) sous la forme de latitudes géodésiques ϕ. Il est bien sûr possible de calculer son équivalent géocentrique ψ. En pratique, c’est bien la latitude géodésique ϕ qui permet de représenter la sphère céleste locale, comme le montre la figure A.2. Précisons que les normales à l’ellipsoïde de référence diffèrent de la verticale par suite des irrégularités du géoïde : la différence est de quelques secondes de degré dans les régions peu perturbées, mais dans certains cas, elles peuvent dépasser une minute d’arc (c’est la définition de la latitude géographique ou astronomique). Ainsi définies, les coordonnées d’un lieu sur Terre subissent des variations faibles au cours du temps dues aux mouvements de l’écorce terrestre. Les périodes de ces variations vont de quelques heures (marées terrestres et effets hydroatmosphériques) à des échelles de temps géologiques (déplacements tectoniques). Les amplitudes de ces variations peuvent atteindre, au plus, quelques dizaines de centimètres de manière périodique (en raison des effets périodiques des marées terrestres), et quelques dizaines de centimètres par an pour les déplacements tectoniques (hors séismes).

A.2.2

Coordonnées liées à un système de référence céleste

Les coordonnées rattachées à un repère de référence céleste sont rapportées à des plans de référence (équateur ou écliptique) et à une origine (l’équinoxe). Ils se déduisent uniquement par des transformations de précession et de nutation, et éventuellement par une rotation autour de l’axe des équinoxes du repère. L’angle de cette rotation est soit l’obliquité de l’écliptique associée au repère (si le plan de référence du repère est le plan de l’équateur), soit son opposé (si le plan de référence du repère est le plan de l’écliptique). Le méridien céleste a une définition analogue au méridien terrestre en remplaçant le pôle terrestre par le pôle céleste : le méridien (céleste) d’un lieu est le demi-grand cercle de la sphère céleste géocentrique défini par la direction OP du pôle céleste, la direction opposée OP0 et la direction parallèle à la verticale du lieu. 917

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES

P Z π/2 −

φ

h S RP

ψ

φ

O R0

Figure A.2 – La Terre, ellipsoïde de révolution, et la sphère céleste locale (situation dans l’hémisphère nord). Le zénith Z est donné par la verticale locale, formant un angle π/2 − ϕ avec la direction du pôle de rotation de la Terre.

Coordonnées équatoriales et écliptiques

Les coordonnées (de direction) sur la sphère céleste, ascension droite et déclinaison peuvent être vues, respectivement, comme les analogues de la longitude et de la latitude géocentrique. L’ascension droite, notée α, est comptée à partir de la direction origine du point vernal γ et varie entre 0◦ et 360◦ dans le sens direct. La déclinaison, notée δ, est positive entre 0◦ à l’équateur (céleste) et +90◦ dans l’hémisphère nord céleste, et négative entre 0◦ et −90◦ dans l’hémisphère sud céleste. Cependant, les approches modernes font désormais distinguer l’ascension droite, α, rapportée traditionnellement à l’équinoxe, et l’ascension droite, dite intermédiaire, rapportée au CIO (désignée par σ), et notées αi . 918

A.2. COORDONNÉES USUELLES Coordonnées horaires et horizontales On définit deux autres types de coordonnées célestes rapportées à la fois à un repère céleste et à un lieu terrestre (figure A.3).

Z P M δ

E

H

h N

O

S

α γ

a

W

P΄ Z΄ Figure A.3 – Coordonnées horaires (H, δ), azimutales (a, h) et équatoriales (α, δ).

Les coordonnées horaires d’une direction OM pour un lieu donné, composée de l’angle horaire H et de la déclinaison δ, sont les coordonnées polaires de cette direction rapportées au plan équatorial et à la direction origine Oζ, intersection de ce plan et du méridien du lieu. L’angle horaire est compté positivement dans le sens rétrograde. La déclinaison ne dépend pas du lieu. On passe de l’angle horaire H d’une direction OM pour un lieu Z à son angle horaire H 0 pour un lieu Z 0 par : H 0 − H = λ0 − λ où les longitudes λ et λ0 des deux lieux sont comptées positivement vers l’est. Pour un lieu de longitude λ, l’angle horaire H d’une direction est lié à son ascension droite α par la relation : H = GS T + λ − α 919

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES où GS T désigne le temps sidéral du méridien origine, équivalent à l’ascension droite de ce méridien au même instant. Depuis les résolutions IAU 2000 1 , il est préférable d’utiliser l’Angle de rotation de la Terre (Earth Rotation Angle, ERA, lié à UT1 par équation 3.25) et la définition associée du Pôle céleste intermédiaire (CIP, voir section 3.6.3.2) pour relier les systèmes de référence céleste et terrestre. L’ERA est l’angle entre le TIO et le CIO (nouveaux points origines sur l’équateur, voir la section 3.6.4.3), mesuré positivement dans le sens rétrograde, le long de l’équateur du CIP. L’usage de ERA doit être associé à celui de l’ascension droite intermédiaire, αi , rapportée au CIO, à la place de l’ascension droite traditionnelle, αγ , rapportée en général à l’équinoxe. Les deux approches sont conceptuellement différentes, mais lors du traitement astrométrique des observations astronomiques, elles donnent des résultats équivalents. Néanmoins, il faut demeurer cohérent pour l’ensemble des transformations entre le référentiel terrestre et le référentiel céleste, et ne pas mélanger des transformations des deux méthodes, car les origines des angles dans l’équateur de la date sont différentes et divergent dans le temps : l’origine CIO est décalée de l’équinoxe vrai d’une quantité E0 appelée équation des origines : E0 = ERA − GS T qui conduit à l’angle horaire par : H = GS T + λ − αγ = ERA + λ − ασ où les ascensions droites mesurées dans l’équateur céleste de la date sont différentes selon que l’origine est l’équinoxe de la date γv ou l’origine non tournante σ. Les coordonnées horizontales sont l’azimut a et la hauteur h d’une direction OM pour un lieu donné. Plusieurs conventions pour la direction origine dans le plan horizontal coexistent. Pendant longtemps, les astronomes ont utilisé la direction sud comme direction de référence. L’origine placée dans la direction nord est de plus en plus utilisée en astronomie, car elle est en usage dans plusieurs autres communautés (dont la communauté de l’astronautique et des marins). En pratique, il est donc indispensable de préciser, en plus des coordonnées, quelle est l’origine utilisée. L’azimut est compté positivement dans le sens rétrograde. Les différents systèmes de coordonnées qui correspondent à un repère de référence céleste donné sont récapitulés dans la table A.1.

1. Voir par exemple la note technique no 29 de l’IERS (https://www.iers.org/IERS/EN/ Publications/TechnicalNotes/tn29.html)

920

A.2. COORDONNÉES USUELLES

Table A.1 – Les coordonnées célestes usuelles. Coordonnées

Plan de référence

Origine

Direction Oz

Coordonnées polaires

écliptiques moyennes à une date de référence (ex. J2000)

écliptique moyen de la date de référence

équinoxe moyen de la date de référence

pôle Nord de l’écliptique

longitude λ, latitude β

écliptiques moyennes de la date

écliptique moyen de la date

équinoxe moyen de la date

pôle Nord de l’écliptique

longitude λ, latitude β

écliptiques vraies

écliptique moyen de la date

équinoxe vrai de la date

pôle Nord de l’écliptique

longitude λ, latitude β

équatoriales moyennes à une date de référence (ex. J2000)

équateur céleste moyen de la date de référence

équinoxe moyen de la date de référence

pôle Nord céleste

ascension droite α et déclinaison δ

équatoriales moyennes de la date

équateur céleste moyen de la date

équinoxe moyen de la date

pôle Nord céleste

ascension droite α et déclinaison δ

équatoriales vraies

équateur céleste vrai de la date

équinoxe vrai de la date

pôle Nord céleste

ascension droite α et déclinaison δ

équatoriales intermédiaires

équateur du CIP

origine céleste intermédiaire, CIO

CIP

ascension droite αi et déclinaison δi = δ

horaires du lieu

équateur céleste vrai de la date

méridien du lieu

pôle Nord céleste

angle horaire H et déclinaison δ

horizontales du lieu

plan horizontal du lieu

direction sud (astronomes), nord (marins)

zénith du lieu

azimut a et hauteur h

921

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES

A.3

Relations entre systèmes de coordonnées

A.3.1

Relations entre coordonnées équatoriales et coordonnées écliptiques

On désigne par xA , yA , zA les coordonnées cartésiennes équatoriales d’un point M et par xE , yE , zE ses coordonnées cartésiennes écliptiques. En désignant par ε l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur, on passe des axes équatoriaux aux axes écliptiques par une rotation R1 (ε) :  E  x  E  y zE

  0 0   1   cos ε sin ε  =  0 0 − sin ε cos ε

 A    x    A    y  zA

et :  A   0 0  x   1  A   y 0 cos ε − sin ε =    A z 0 sin ε cos ε

 E   x   E   y zE

   

En coordonnées polaires, on a : xA = r cos α cos δ yA = r sin α cos δ zA = r sin δ

xE = r cos λE cos βE yE = r sin λE cos βE zE = r sin βE

d’où : cos λE cos βE =

cos α cos δ

sin λE cos βE =

sin α cos δ cos ε + sin δ sin ε

sin βE = − sin α cos δ sin ε + sin δ cos ε et : cos α cos δ = cos λE cos βE sin α cos δ = sin λE cos βE cos ε − sin βE sin ε sin δ = sin λE cos βE sin ε + sin βE cos ε 922

A.3. RELATIONS ENTRE SYSTÈMES DE COORDONNÉES

A.3.2

Relations entre coordonnées équatoriales et horizontales pour un même lieu

On désigne par xH , yH , zH les coordonnées cartésiennes dans un système d’axes horaire direct. L’axe Ox de ce système se confond avec Oζ et l’axe Oz avec OP. On désigne par xh , yh , zh les coordonnées cartésiennes dans un système d’axes horizontal direct (au sens des astronomes). L’axe Oz de ce système se confond avec OZ. Suivant les conventions de sens utilisées pour l’angle horaire et l’azimut, on a : xH = r cos H cos δ yH = −r sin H cos δ zH = r sin δ

xh = r cos a cos h yh = −r sin a cos h zh = r sin h

On passe du système d’axes horaire au système d’axes horizontal par la rotation R2 (90◦ − ϕ), où ϕ est la latitude géodésique du lieu, soit :  h      x   sin ϕ 0 − cos ϕ   xH   h     H  1 0  y  =  0   y  h z cos ϕ 0 sin ϕ zH et :  H  x  H  y zH

       = 

sin ϕ 0 cos ϕ 0 1 0 − cos ϕ 0 sin ϕ

 h    x    h    y  zh

On a alors : cos a cos h = sin ϕ cos H cos δ − cos ϕ sin δ sin a cos h = sin H cos δ sin h = cos ϕ cos H cos δ + sin ϕ sin δ et : cos H cos δ =

sin ϕ cos a cos h + cos ϕ sin h

sin H cos δ =

sin a cos h

sin δ = − cos ϕ cos a cos h + sin ϕ sin h Il est fondamental de particulariser le cas où l’objet céleste A est proche de la Terre : ses coordonnées sur la sphère céleste (azimut et hauteur, puis, par voie de conséquence, ascension droite et déclinaison) dépendent alors du lieu sur Terre depuis lequel il est observé. Le plus simple pour déterminer ces coordonnées consiste alors à projeter dans un repère local (Nord, Est, Zénith) centré sur la station d’observation S les coordonnées de 923

ANNEXE A. CHANGEMENTS DE COORDONNÉES l’objet céleste A (figure A.4). On suppose évidemment que les coordonnées de ces deux points sont exprimées dans un même système (à travers des coordonnées cartésiennes ou leurs équivalents sphériques). Les coordonnées cartésiennes de l’objet céleste dans ce repère local (avec l’indice l) sont alors données par : SA = (Xl , Yl , Zl ) et la distance de l’astre à la station d’observation est donnée par : q dA = Xl2 + Yl2 + Zl2

P N

O

Z

E

A

φS

G λS

Figure A.4 – Ellipsoïde terrestre et repère topocentrique local. L’indice S se réfère aux coordonnées de la station d’observation. Le repère topocentrique est orienté par la direction de la verticale Z (Zénith), et la direction du nord N dans le plan tangent à l’ellipsoïde et passant par la station d’observation. La direction de l’est E permet de compléter le trièdre direct (E, N, Z).

Dans le repère local, la direction de l’astre A est alors caractérisée par la distance zénithale z et par l’azimut a (figure A.5). Les coordonnées locales sont données par les relations suivantes, sachant que les vecteurs SE, SN et SZ sont de norme unité : SZ.SA = Zl = dA cos z SE.SA0 = Xl = dA sin z sin a SN.SA0 = Yl = dA sin z cos a L’objet A est visible si la distance zénithale est plus petite que 90◦ . L’azimut est défini pour z , 0. 924

A.3. RELATIONS ENTRE SYSTÈMES DE COORDONNÉES

Xl A Yl Zl

Z

z S

N

a

A' E

Figure A.5 – Azimut et distance zénithale en repère topocentrique. la distance zénithale est référencée par rapport à la direction du zénith, et, spécifiquement ici, l’azimut est référencé par rapport à la direction du nord (et non pas du sud). Le point A0 est la projection de A sur le plan tangent à l’ellipsoïde passant par S .

A.3.3

Relations entre coordonnées ICRS, BCRS, GCRS et ITRS

La transformation spatiotemporelle entre coordonnées BCRS et GCRS est présentée dans la section 3.2 et celle entre coordonnées GCRS et ITRS est présentée dans la section 3.6. Cette transformation prend en compte l’orientation de la Terre à la date t dans le GCRS, c’est-à-dire la précession, la nutation, l’angle de rotation de la Terre et le mouvement du pôle.

925

Bibliographie K. Aksnes, F. Franklin, R. Millis, P. Birch, C. Blanco, S. Catalano et J. Piironen : Mutual phenomena of the Galilean and Saturnian satellites in 1973 and 1979/1980. AJ, 89:280–288, fév. 1984. K. Aksnes et F. A. Franklin : Mutual phenomena of the Galilean satellites in 1973. III. Final results from 91 light curves. Astrophysical Journal, 81:464–481, juin 1976. K. Aksnes et F. A. Franklin : The evidence for faint satellites of Saturn reexamined. Icarus, 36:107–118, oct. 1978. Z. Altamimi et W. Dick : Description and evaluation of DTRF2014, JTRF2014 and ITRF2014. In IERS Technical Note, 40, vol. 40, p. 1–167. Mar 2020. ISBN 978-386482-137-0. Z. Altamimi et B. Guinot : Le Système international de référence terrestre (ITRS) et ses réalisations. In Annuaire du Bureau des longitudes. EDP Sciences, 2009. Z. Altamimi, P. Rebischung, X. Collilieux, L. Metivier et K. Chanard : Roadmap toward ITRF2020. In AGU Fall Meeting Abstracts, vol. 2018, p. G42A–08, déc. 2018. Z. Altamimi, P. Sillard et C. Boucher : The impact of a No-Net-Rotation Condition on ITRF2000. Geophys. Res. Lett., 30(2):2002, jan. 2003. Z. Altamimi, C. Boucher et P. Sillard : New trends for the realization of the international terrestrial reference system. Advances in Space Research, 30(2):175–184, juil. 2002a. Z. Altamimi, X. Collilieux et L. M´etivier : ITRF2008 : an improved solution of the international terrestrial reference frame. Journal of Geodesy, 85(8):457–473, août 2011. Z. Altamimi, L. M´etivier, P. Rebischung, H. Rouby et X. Collilieux : ITRF2014 plate motion model. Geophysical Journal International, 209(3):1906–1912, juin 2017. 927

BIBLIOGRAPHIE Z. Altamimi, P. Rebischung, L. M´etivier et X. Collilieux : ITRF2014 : A new release of the International Terrestrial Reference Frame modeling nonlinear station motions. Journal of Geophysical Research (Solid Earth), 121(8):6109–6131, Aug 2016. Z. Altamimi, P. Sillard et C. Boucher : ITRF2000 : A new release of the International Terrestrial Reference Frame for earth science applications. Journal of Geophysical Research (Solid Earth), 107(B10):2214, oct. 2002b. J. D. Anderson, T. V. Johnson, G. Schubert, S. Asmar, R. A. Jacobson, D. Johnston, E. L. Lau, G. Lewis, W. B. Moore, A. Taylor, P. C. Thomas et G. Weinwurm : Amalthea’s Density Is Less Than That of Water. Science, 308(5726):1291–1293, mai 2005. A. Antoniadi E.M. : Mars, Photographs of, Drawings from Prof. Barnard’s photographs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 71:714, 1911. S. Aoki et H. Kinoshita : Note on the Relation Between the Equinox and Guinot’s Non-Rotating Origin. Celestial Mechanics, 29(4):335–360, avr. 1983. S. Aoki, H. Kinoshita, B. Guinot, G. H. Kaplan, D. D. McCarthy et P. K. Seidelmann : The new definition of universal time. A&A, 105(2):359–361, jan. 1982. B. A. Archinal, C. H. Acton, M. F. A’Hearn, A. Conrad, G. J. Consolmagno, T. Duxbury, D. Hestroffer, J. L. Hilton, R. L. Kirk, S. A. Klioner, D. McCarthy, K. Meech, J. Oberst, J. Ping, P. K. Seidelmann, D. J. Tholen, P. C. Thomas et I. P. Williams : Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements : 2015. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 130:22, mars 2018. B. A. Archinal, M. F. A’Hearn, E. Bowell, A. Conrad, G. J. Consolmagno, R. Courtin, T. Fukushima, D. Hestroffer, J. L. Hilton, G. A. Krasinsky, G. Neumann, J. Oberst, P. K. Seidelmann, P. Stooke, D. J. Tholen, P. C. Thomas et I. P. Williams : Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements : 2009. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 109:101–135, fév. 2011. D. F. Argus et R. G. Gordon : No-net-rotation model of current plate velocities incorporating plate motion model NUVEL-1. Geophys. Res. Lett., 18(11):2039–2042, nov. 1991. E. F. Arias, M. Feissel et J. F. Lestrade : Comparison of VLBI celestial reference frames. A&A, 199:357–363, Jun 1988. J. E. Arlot : New constants for Sampson-Lieske theory of the Galilean Satellites of Jupiter. A&A, 107:305–310, mars 1982. J. E. Arlot : The mutual phenomena of the Galilean satellites of Jupiter - Predictions for the 1991 occurrence. A&A, 237:259–266, Oct 1990. 928

BIBLIOGRAPHIE J. E. Arlot, N. V. Emelyanov, Z. Aslan, M. Assafin, J. Bel, B. C. Bhatt, F. Braga-Ribas, J. I. B. Camargo, R. Casas, F. Colas, J. F. Coliac, C. Dumas, C. K. Ellington, E. Forn´e, E. Frappa, I. Khamitov, C. Miller, R. J. Modic, D. Sahu, B. Sicardy, P. Tanga, P. Valdes Sada, R. Vasundhara et R. Vieira-Martins : Astrometric results of observations of mutual occultations and eclipses of the Uranian satellites in 2007. A&A, 557:A4, sept. 2013. J. E. Arlot, N. V. Emelyanov, V. Lainey, M. Andreev, M. Assafin, F. Braga-Ribas, J. I. B. Camargo, R. Casas, A. Christou, F. Colas, D. N. Da Silva Neto, O. Dechambre, A. Dias-Oliveira, G. Dourneau, A. Farmakopoulos, D. Gault, T. George, D. L. Gorshanov, D. Herald, V. Kozlov, A. Kurenya, J. F. Le Campion, J. Lecacheux, B. Loader, A. Massall´e, M. Mc Brien, A. Murphy, N. Parakhin, A. Roman- Lopes, C. Schnabel, A. Sergeev, V. Tsamis, P. Vald´es Sada, R. Vieira-Martins et X. Zhang : Astrometric results of observations of mutual occultations and eclipses of the Saturnian satellites in 2009. A&A, 544:A29, août 2012. J. E. Arlot, B. Morando et W. Thuillot : An analysis of recently rediscovered eclipse observations of the first satellite of Jupiter made between 1775 and 1802, and collected by Delambre. A&A, 136:142–152, juil. 1984. N. Ashby et D. W. Allan : Practical implications of relativity for a global coordinate time scale. Radio Science, 14:649–669, août 1979. R. Atkinson : The computation of topocentric librations. MNRAS, 111:448, Jan 1951. L. H. Auer et E. M. Standish : Astronomical Refraction : Computational Method for All Zenith Angles. AJ, 119(5):2472–2474, mai 2000. V. A. Avdyushev et M. A. Ban’shikova : Determination of the orbits of inner Jupiter satellites. Solar System Research, 42:296–318, Aug 2008. M. Bailly et S. Horsley : A Letter to the Rev. Nevil Maskelyne, F. R. S. Astronomer Royal, from Mr. Bailly, of the Royal Academy of Sciences at Paris : Containing a Proposal of Some New Methods of Improving the Theory of Jupiter’s Satellites. Translated from the French, with the Original Underneath. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series I, 63:185–216, jan. 1773. C. Bambi, M. Giannotti et F. L. Villante : Response of primordial abundances to a general modification of gn and/or of the early universe expansion rate. Phys. Rev. D, 71:123524, 2005. R. T. H. Barnes, R. Hide, A. A. White et C. A. Wilson : Atmospheric Angular Momentum Fluctuations, Length-of-Day Changes and Polar Motion. Proceedings of the Royal Society of London Series A, 387(1792):31–73, May 1983. 929

BIBLIOGRAPHIE L. Beauvalet, V. Robert, V. Lainey, J. E. Arlot et F. Colas : ODIN : a new model and ephemeris for the Pluto system. A&A, 553:A14, mai 2013. A. Bec-Borsenberger et P. Rocher : Comparaison aux observations et éphémérides de Phœbé. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 50:423–449, déc. 1982. J. W. Beletic, R. M. Goody et D. J. Tholen : Orbital elements of Charon from speckle interferometry. Icarus, 79:38–46, mai 1989. P. Benvenuti : Proceedings of the Twenty-Ninth General Assembly, Honolulu, 2015. Transactions of the International Astronomical Union, Series B, 29(T29), Jan 2019. J. Berthier, P. Descamps, F. Vachier, J. Normand, L. Maquet, F. Deleflie, F. Colas, A. Klotz, J. P. Teng-Chuen-Yu, A. Peyrot, F. Braga-Ribas, F. Marchis, A. Leroy, S. Bouley, G. Dubos, J. Pollock, T. Pauwels, P. Vingerhoets, J. A. Farrell, P. V. Sada, V. Reddy, K. Archer et H. H. Hamanowa : Physical characterization of double asteroid (617) Patroclus from 2007/2012 mutual events observations. Icarus, 352:113990, déc. 2020. J. Berthier, F. Vachier, F. Marchis, J. Durech et B. Carry : Physical and dynamical properties of the main belt triple Asteroid (87) Sylvia. Icarus, 239:118–130, sept. 2014. B. Bertotti, L. Iess et P. Tortora : A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft. Nature, 425:374–376, sept. 2003. S. Besse, P. Lamy, L. Jorda, S. Marchi et C. Barbieri : Identification and physical properties of craters on asteroid (2867) steins. Icarus, 221(2):1119 – 1129, 2012. ISSN 0019-1035. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0019103512003272. G. Beutler : Methods of Celestial Mechanics. 2005. G. Bigourdan : Le Bureau des longitudes V e partie. In Annuaire du Bureau des longitudes pour 1932. Gauthier-Villars, Paris, 1932. C. Bizouard : Le mouvement du pôle de l’heure au siècle. 05 2014. ISBN 9783841627926. C. Bizouard, S. Lambert, F. Remus, L. Seoane et D. Gambis : The source of the variable Chandler wobble. In N. Capitaine, éd. : Journées 2010 Systèmes de référence spatiotemporels, p. 196–197, Oct 2011. A. Blaauw, C. S. Gum, J. L. Pawsey et G. Westerhout : The new I. A. U. system of galactic coordinates (1958 revision). MNRAS, 121:123, 1960. D. Bonneau et R. Foy : Speckle interferometry with the 3.60 M CFH telescope. I Resolution of the Pluto-Charon system. A&A, 92:L1–L4, déc. 1980. 930

BIBLIOGRAPHIE K. Borkowski : Accurate algorithms to transform geocentric to geodetic coordinates. Bull. Géodésique 63, 50, 1989. G. H. Born et T. C. Duxbury : The Motions of Phobos and Deimos from Mariner 9 TV Data. Celestial Mechanics, 12:77–88, août 1975. W. F. Bottke, Jr., D. Vokrouhlick´y, D. P. Rubincam et M. Broz : The Effect of Yarkovsky Thermal Forces on the Dynamical Evolution of Asteroids and Meteoroids, p. 395–408. Bottke, Jr., W. F. and Cellino, A. and Paolicchi, P. and Binzel, R. P., mars 2002. C. Boucher : Terrestrial Coordinate Systems and Frames. In P. Murdin, éd. : Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics, p. 1906. Institute of Physics Publishing, 2000. C. Boucher et Z. Altamimi : Towards an Improved Realization of the BIH Terrestrial Frame. In I. I. Mueller, éd. : Earth Rotation and the Terrestrial Reference Frame, vol. 2, p. 551. jan. 1985. C. Boucher et Z. Altamimi : The initial IERS Terrestrial Reference Frame. IERS Technical Note, 1:1, Jun 1989. C. Boucher, Z. Altamimi, P. Sillard et M. Feissel-Vernier : The ITRF2000. IERS Technical Note, 31:1, Jan 2004. C. Boucher et P. Willis : Référence terrestre. In C. Boucher, éd. : Les références de temps et d’espace. Un panorama encyclopédique : histoire, présent et perspectives, chap. 13. Hermann, 2017. M. L. Bougeard, D. Gambis et R. Ray : Algorithms for Box Constrained M-Estimation : Fitting Large Data Sets with Application to Geodynamics. Physics and Chemistry of the Earth A, 25:679–685, jan. 2000. A. Bouvard : Tables astronomiques publiées par le Bureau des longitudes de France. Paris : Bachelier, 1821. A. Bouvard et J. B. J. Delambre : Tables astronomiques publiées par le Bureau des longitudes de France. Paris : Courcier, 1808. J. Bovy : Galactic rotation in Gaia DR1. MNRAS, 468:L63–L67, juin 2017. E. Bowell, B. Hapke, D. Domingue, K. Lumme, J. Peltoniemi et A. W. Harris : Application of photometric models to asteroids. Asteroids II, p. 524–556, 1989. E. Bowell, K. O. Muinonen et L. H. Wasserman : A Public-Domain Asteroid Orbit File. In Asteroids, Comets, Meteors 1993, vol. 810 de LPI Contributions, p. 44, 1993. E. Bowell, J. Virtanen, K. Muinonen et A. Boattini : Asteroid Orbit Computation, p. 27–43. 2002. 931

BIBLIOGRAPHIE R. Brent : Algorithms for Minimization without Derivatives. Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, 1973. P. Bretagnon : Second order theory of the inner planets. A&A, 84:329–341, avr. 1980. P. Bretagnon : Construction of a theory of the outer planets through an iterative method. A&A, 101:342–349, sept. 1981. P. Bretagnon : Theory for the motion of all the planets - The VSOP82 solution. A&A, 114:278–288, oct. 1982. P. Bretagnon : An iterative method for the construction of a general planetary theory. A&A, 231:561–570, mai 1990. P. Bretagnon et V. A. Brumberg : On transformation between international celestial and terrestrial reference systems. A&A, 408:387–400, Sep 2003. P. Bretagnon, A. Fienga et J. L. Simon : Expressions for precession consistent with the IAU 2000A model. Considerations about the ecliptic and the Earth Orientation Parameters. A&A, 400:785–790, Mar 2003. P. Bretagnon et G. Francou : Planetary theories in rectangular and spherical variables VSOP 87 solutions. A&A, 202:309–315, août 1988. P. Bretagnon, G. Francou, P. Rocher et J. L. Simon : SMART97 : a new solution for the rotation of the rigid Earth. A&A, 329:329–338, Jan 1998. P. Bretagnon, P. M. Mathews et J. L. Simon : Non-rigid Earth rotation. In Journées 1999 Systèmes de référence spatio-temporels & ; IX. Lohrmann-Kolloquium. Motion of celestial bodies, astrometry and astronomical reference frames, p. 73–76, Jan 2000. P. Bretagnon et J.-L. Simon : General theory of the Jupiter-Saturn pair using an iterative method. A&A, 239:387–398, nov. 1990. D. Brouwer et G. M. Clemence : Methods of celestial mechanics. 1961. E. W. Brown : Orbits, Periodic, On a new family of periodic orbits in the problem of three bodies. MNRAS, 71:438–454, mars 1911. M. Brozovi´c, L. A. M. Benner, P. A. Taylor, M. C. Nolan, E. S. Howell, C. Magri, D. J. Scheeres, J. D. Giorgini, J. T. Pollock, P. Pravec, A. Gal´ad, J. Fang, J.-L. Margot, M. W. Busch, M. K. Shepard, D. E. Reichart, K. M. Ivarsen, J. B. Haislip, A. P. Lacluyze, J. Jao, M. A. Slade, K. J. Lawrence et M. D. Hicks : Radar and optical observations and physical modeling of triple near-Earth Asteroid (136617) 1994 CC. Icarus, 216:241–256, nov. 2011. 932

BIBLIOGRAPHIE M. Brozovi´c et R. A. Jacobson : The Orbits of Jupiter’s Irregular Satellites. Astrophysical Journal, 153:147, avr. 2017. M. Brozovi´c, M. R. Showalter, R. A. Jacobson et M. W. Buie : The orbits and masses of satellites of Pluto. Icarus, 246:317–329, jan. 2015. C. Bruhns : Die Astronomische Strahlenbrechung in ihrer historischen Entwickelung. MNRAS, 22:303, juin 1862. V. Brumberg et P. Bretagnon : Kinematical Relativistic Corrections for Earth’s Rotation Parameters. In K. J. Johnston, D. D. McCarthy, B. J. Luzum et G. H. Kaplan, éds : IAU Colloq. 180 : Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry, p. 293, jan 2000. V. Brumberg et J. L. Simon : Relativistic indirect third-body perturbation in the SMART Earth’srotation theory. In N. Capitaine, éd. : Proceedings of the Journées 2003 “Systèmes de référence spatio-temporels” : Astrometry, p. 302–313, sept. 2004. V. A. Brumberg : Développement de la fonction perturbatrice dans les problèmes de satellites. Bull. Inst. astron. theor. de Leningrad, 11:125, 1967. V. A. Brumberg : Relativistic celestial mechanics. 1972. V. A. Brumberg : Essential relativistic celestial mechanics. 1991. V. A. Brumberg : Relativistic aspects of reference systems and time scales. Highlights of Astronomy, 9:133, Jan 1992. V. A. Brumberg et S. M. Kopejkin : Relativistic reference systems and motion of test bodies in the vicinity of the Earth. Nuovo Cimento B Serie, 103(1):63–98, jan. 1989. A. Brzezinski et N. Capitaine : Lunisolar perturbations in Earth rotation due to the triaxial figure of the Earth : geophysical aspects. In Journées 2001 Systèmes de référence spatio-temporels. Influence of geophysics, time and space reference frames on Earth rotation studies, vol. 13, p. 51–58, Jan 2003. A. Brzezinski et N. Capitaine : The use of the precise observations of the celestial ephemeris pole in the analysis of geophysical excitation of earth rotation. J. Geophys. Res., 98(B4):6667–6676, Apr 1993. M. W. Buie, W. M. Grundy, E. F. Young, L. A. Young et S. A. Stern : Orbits and Photometry of Pluto’s Satellites : Charon, S/2005 P1, and S/2005 P2. Astrophysical Journal, 132:290–298, juil. 2006. B. Buratti et J. Veverka : Voyager photometry of Rhea, Dione, Tethys, Enceladus and Mimas. Icarus, 58:254–264, mai 1984. 933

BIBLIOGRAPHIE B. J. Buratti et J. Veverka : Photometry of rough planetary surfaces : The role of multiple scattering. Icarus, 64(2):320–328, Nov 1985. Bureau des longitudes : Encyclopédie scientifique de l’Univers : les étoiles - le Système solaire. 1986. J. A. Burns et M. S. Matthews : Satellites. 1986. H. E. Burton : Elements of the orbits of the satellites of Mars. Astrophysical Journal, 39:155–164, sept. 1929. S. J. Bus et R. P. Binzel : Phase II of the Small Main-Belt Asteroid Spectroscopic Survey : A Feature-Based Taxonomy. Icarus, 158:146–177, July 2002. L. E. Bykova et V. V. Shikhalev : New Orbital Elements of Phoebe - the IX Satellite of Saturn. Celestial Mechanics, 32:185–192, mars 1984. J. K. Campbell et J. D. Anderson : Gravity field of the Saturnian system from Pioneer and Voyager tracking data. AJ, 97:1485–1495, mai 1989. M. Capderou : Satellites - de Kepler au GPS. Springer, Berlin, Paris, 2011. M. Capderou : Handbook of Satellite Orbits : From Kepler to GPS. Springer, New York, 2014. M. Capderou et K. Ramage : Ixion en ligne, 2021. URL https://climserv.ipsl. polytechnique.fr/ixion/. N. Capitaine : The Celestial Pole Coordinates. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 48(2):127–143, Jun 1990. N. Capitaine : Histoire de la connaissance de la rotation de la Terre de l’Antiquité à l’an 2000. In C. Boucher, éd. : Les références de temps et d’espace. Un panorama encyclopédique : histoire, présent et perspectives, chap. 6. Hermann, 2017a. N. Capitaine : La rotation de la Terre. In C. Boucher, éd. : Les références de temps et d’espace. Un panorama encyclopédique : histoire, présent et perspectives, chap. 20. Hermann, 2017b. N. Capitaine, J. Chapront, S. Lambert et P. T. Wallace : Expressions for the Celestial Intermediate Pole and Celestial Ephemeris Origin consistent with the IAU 2000A precession-nutation model. A&A, 400:1145–1154, Mar 2003a. N. Capitaine, M. Folgueira et J. Souchay : Earth rotation based on the celestial coordinates of the celestial intermediate pole. I. The dynamical equations. A&A, 445(1):347–360, Jan 2006. 934

BIBLIOGRAPHIE N. Capitaine et A. M. Gontier : Accurate procedure for deriving UTI at a submilliarcsecond accuracy from Greenwich Sidereal Time or from the stellar angle. A&A, 275:645, Aug 1993. N. Capitaine et B. Guinot : Transformation entre système de référence terrestre et céleste : rotation et orientation de la Terre. In C. Boucher, éd. : Les références de temps et d’espace. Un panorama encyclopédique : histoire, présent et perspectives, chap. 14. Hermann, 2017. N. Capitaine, B. Guinot et S. Klioner : Proposal for the re-definition of the astronomical unit of length through a fixed relation to the SI metre. In N. Capitaine, éd. : Journées Systèmes de référence spatio-temporels 2010, p. 20–23, oct. 2011. N. Capitaine, B. Guinot et D. D. McCarthy : Definition of the Celestial Ephemeris Origin and of UT1 in the International Celestial Reference Frame. A&A, 355:398–405, mars 2000a. N. Capitaine, B. Guinot et D. D. McCarthy : VizieR Online Data Catalog : Celestial Ephemeris Origin definition (Capitaine+, 2000). VizieR Online Data Catalog, p. J/A+A/355/398, Mar 2000b. N. Capitaine et J. Kovalevsky : La réalisation du repère terrestre. In C. Boucher, éd. : Les références de temps et d’espace. Un panorama encyclopédique : histoire, présent et perspectives, chap. 12. Hermann, 2017. N. Capitaine et P. T. Wallace : High precision methods for locating the celestial intermediate pole and origin. A&A, 450(2):855–872, May 2006. N. Capitaine, P. T. Wallace et J. Chapront : Expressions for IAU 2000 precession quantities. A&A, 412:567–586, déc. 2003b. N. Capitaine, P. T. Wallace et D. D. McCarthy : Expressions to implement the IAU 2000 definition of UT1. A&A, 406:1135–1149, Aug 2003c. N. Capitaine, A. H. Andrei, M. Calabretta, V. Dehant, T. Fukushima, B. Guinot, C. Hohenkerk, G. Kaplan, S. Klioner, J. Kovalevsky, I. Kumkova, C. Ma, D. D. McCarthy, P. K. Seidelmann et P. T. Wallace : Division I Working Group on ‘Nomenclature for Fundamental Astronomy’ (NFA). Transactions of the International Astronomical Union, Series A, 26A:59–62, Mar 2007. N. Capitaine, D. Gambis, D. D. McCarthy, G. Petit, J. Ray, B. Richter, M. Rothacher, E. M. Standish et J. Vondrak : Implementation of the new IAU resolutions. IERS Technical Note, 29, jan. 2002. B. Carry : Density of asteroids. Planet. Space Sci., 73:98–118, déc. 2012. 935

BIBLIOGRAPHIE B. Carry, E. Solano, S. Eggl et F. DeMeo : Spectral properties of near-Earth and Mars-crossing asteroids using Sloan photometry. Icarus, 268:340–354, avr. 2016. B. Carry, C. Dumas, M. Kaasalainen, J. Berthier, W. J. Merline, S. Erard, A. Conrad, J. D. Drummond, D. Hestroffer, M. Fulchignoni et T. Fusco : Physical properties of (2) pallas. Icarus, 205(2):460 – 472, 2010. ISSN 0019-1035. URL http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0019103509003467. S. Champenois et A. Vienne : Chaos and secondary resonances in the Mimas-Tethys system. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 74:111–146, Jan 1999a. S. Champenois et A. Vienne : The Role of Secondary Resonances in the Evolution of the Mimas-Tethys System. Icarus, 140:106–121, Jul 1999b. S. Chandrasekhar : Radiative transfer. 1950. C. R. Chapman, D. Morrison et B. H. Zellner : Surface properties of asteroids - A synthesis of polarimetry, radiometry, and spectrophotometry. Icarus, 25:104–130, may 1975. C. R. Chapman, J. Veverka, P. C. Thomas, K. Klaasen, M. J. S. Belton, A. Harch, A. McEwen, T. V. Johnson, P. Helfenstein, M. E. Davies, W. J. Merline et T. Denk : Discovery and physical properties of Dactyl, a satellite of asteroid 243 Ida. Nature, 374:783–785, avr. 1995. J. Chapront : Construction of a planetary theory to the second order of the masses. A&A, 7:175, août 1970. J. Chapront, P. Bretagnon et M. Mehl : A formula for calculating higher-order perturbations in planetary problems. Celestial Mechanics, 11:379–399, mai 1975. J. Chapront, M. Chapront-Touz´e et G. Francou : Determination of the lunar orbital and rotational parameters and of the ecliptic reference system orientation from LLR measurements and IERS data. A&A, 343:624–633, mars 1999. J. Chapront, M. Chapront-Touz´e et G. Francou : A new determination of lunar orbital parameters, precession constant and tidal acceleration from LLR measurements. A&A, 387:700–709, mai 2002. J. Chapront et G. Francou : The lunar theory ELP revisited. Introduction of new planetary perturbations. A&A, 404:735–742, juin 2003. J. Chapront et M. Chapront-Touz´e : Lunar Motion : Theory and Observations. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 66(1):31–38, mars 1996. M. Chapront-Touze : Progress in the Analytical Theories for the Orbital Motion of the Moon. Celestial Mechanics, 26:53–62, jan. 1982. 936

BIBLIOGRAPHIE M. Chapront-Touze : ESAPHO - A semi-analytical theory for the orbital motion of PHOBOS. A&A, 200:255–268, juil. 1988. M. Chapront-Touze : Orbits of the Martian satellites from ESAPHO and ESADE theories. A&A, 240:159–172, déc. 1990a. M. Chapront-Touze : Phobos’ physical libration and complements to the ESAPHO theory for the orbital motion of PHOBOS. A&A, 235:447–458, août 1990b. M. Chapront-Touze et J. Chapront : The lunar ephemeris ELP 2000. A&A, 124:50, Aug 1983. M. Chapront-Touz´e et J. Chapront : ELP 2000-85 - A semi-analytical lunar ephemeris adequate for historical times. A&A, 190:342–352, jan. 1988. M. Chapront-Touz´e et J. Chapront : Lunar tables and programs from 4000 B.C. to A.D. 8000. 1991. P. Charlot, C. S. Jacobs, D. Gordon, S. B. Lambert, J. Boehm, A. de Witt, A. Fey, R. Heinkelmann, E. Skurikhina, O. Titov, E. F. Arias, S. Bolotin, G. Bourda, C. Ma, Z. Malkin, A. Nothnagel, R. A. Gaume, D. Mayer et D. S. MacMillan : The third realization of the International Celestial Reference Frame by very long baseline interferometry. A&A, 2019 soumis. P. Charlot, O. J. Sovers, J. G. Williams et X. X. Newhall : Precession and Nutation From Joint Analysis of Radio Interferometric and Luner Laser Ranging Observations. AJ, 109:418, Jan 1995. S. Chatterjee, W. F. Brisken, W. H. T. Vlemmings, W. M. Goss, T. J. W. Lazio, J. M. Cordes, S. E. Thorsett, E. B. Fomalont, A. G. Lyne et M. Kramer : Precision Astrometry with the Very Long Baseline Array : Parallaxes and Proper Motions for 14 Pulsars. ApJ, 698:250–265, juin 2009. W. Chauvenet : Manual of spherical and practical astronomy, Vol. I. J.B. Lippincott Company, Philadelphia, 1889. J. W. Christy et R. S. Harrington : The satellite of Pluto. AJ, 83:1005, août 1978. P. E. Ciddor : Refractive index of air : new equations for the visible and near infrared. Appl. Opt., 35(9):1566, mars 1996. F. Colas et C. Buil : First Earth-based observations of Neptune’s satellite Proteus. A&A, 262:L13, août 1992. A. Conrad, B. A. Archinal, WG on Cartographic Coord. et I. A. U. Rotational Elements : Update for 2019 from the IAU Working Group on Cartographic Coordinates 937

BIBLIOGRAPHIE and Rotational Elements. In Lunar and Planetary Science Conference, Lunar and Planetary Science Conference, p. 2110, Mar 2019. A. R. Conrad, C. Dumas, W. J. Merline, J. D. Drummond, R. D. Campbell, R. W. Goodrich, D. Le Mignant, F. H. Chaffee, T. Fusco et S. H. Kwok : Direct measurement of the size, shape, and pole of 511 Davida with Keck AO in a single night. Icarus, 191 (2):616–627, Nov 2007. N. J. Cooper, C. D. Murray, M. W. Evans, K. Beurle, R. A. Jacobson et C. C. Porco : Astrometry and dynamics of Anthe (S/2007 S 4), a new satellite of Saturn. Icarus, 195 (2):765–777, juin 2008. N. J. Cooper, S. Renner, C. D. Murray et M. W. Evans : Saturn’s Inner Satellites : Orbits, Masses, and the Chaotic Motion of Atlas from New Cassini Imaging Observations. AJ, 149(1):27, jan. 2015. C. Courde, J. M. Torre, E. Samain, G. Martinot-Lagarde, M. Aimar, D. Albanese, P. Exertier, A. Fienga, H. Mariey, G. Metris, H. Viot et V. Viswanathan : Lunar laser ranging in infrared at the Grasse laser station. A&A, 602:A90, juin 2017. J. N. Cuzzi et J. D. Scargle : Wavy edges suggest moonlet in Encke’s gap. ApJ, 292:276–290, mai 1985. T. Damour : Sur les systèmes de référence et leurs raccordements en relativité générale. In N. Capitaine, éd. : Journées 1989 Systèmes de référence spatio-temporels, p. 5–8, jan. 1989. T. Damour, M. Soffel et C. Xu : General-relativistic celestial mechanics. I. Method and definition of reference systems. Phys. Rev. D, 43(10):3273–3307, mai 1991. A. Danjon : Astronomie générale. Astronomie sphérique et éléments de mécanique céleste. Librairie scientifique et technique, Albert Blanchard, 1980. M. E. Davies, V. K. Abalakin, A. Brahic, M. Bursa, B. H. Chovitz, J. H. Lieske, P. K. Seidelmann, A. T. Sinclair et I. S. Tiuflin : Report of the IAU/IAG/COSPAR Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites : 1991. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 53:377–397, déc. 1992. M. E. Davies, V. K. Abalakin, M. Bursa, G. E. Hunt, J. H. Lieske, B. Morando, R. H. Rapp, P. K. Seidelmann, A. T. Sinclair et Y. S. Tjuflin : Report of the Iau/iag/cospar Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites - 1988. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 46:187–204, juin 1989. 938

BIBLIOGRAPHIE M. E. Davies, V. K. Abalakin, M. Bursa, T. Lederle, J. H. Lieske, R. H. Rapp, P. K. Seidelman, A. T. Sinclair, V. G. Teifel et Y. S. Tjuflin : Report of the Iau/iag COSPAR Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites - 1985. Celestial Mechanics, 39:103–113, mai 1986. M. E. Davies, V. K. Abalakin, M. Bursa, J. H. Lieske, B. Morando, D. Morrison, P. K. Seidelmann, A. T. Sinclair, B. Yallop et Y. S. Tjuflin : Report of the IAU/IAG/COSPAR Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites : 1994. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 63:127–148, jan. 1996. M. E. Davies, V. K. Abalakin, C. A. Cross, R. L. Duncombe, H. Masursky, B. Morando, T. C. Owen, P. K. Seidelmann, A. T. Sinclair, G. A. Wilkins et Y. S. Tjuflin : Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites. Celestial Mechanics, 22:205–230, oct. 1980. M. E. Davies, V. K. Abalakin, J. H. Lieske, P. K. Seidelmann, A. T. Sinclair, A. M. Sinzi, B. A. Smith et Y. S. Tjuflin : Report of the I.A.U. Working-Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites - 1982. Celestial Mechanics, 29:309–321, avr. 1983. E. de Haerdtl : Mémoires et observations. Sur une inégalité du quatrième ordre provenant de l’action mutuelle des deux derniers satellites de Jupiter. Bulletin astronomique, Serie I, 9:212–216, jan. 1892. B. de Saedeleer : Analytical theory of a lunar artificial satellite with third body perturbations. Celest. Mech & Dyn. Astron., 95:407–423, 2006. ISSN 0923-2958. W. de Sitter : Outlines of a new theory of Jupiter’s satellites. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences, 20:1289–1308, jan. 1918. W. de Sitter : On the secular accelerations and the fluctuations of the longitudes of the Moon, the Sun, Mercury and Venus (Errata : 4 70). Bull. Astron. Inst. Netherlands, 4:21, Jun 1927. P. Defraigne, V. Dehant et P. Pˆaquet : Link between the Retrograde-Prograde Nutations and Nutations in Obliquity and Longitude. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 62(4):363–376, Dec 1995. V. Dehant, F. Arias, C. Bizouard, P. Bretagnon, A. Brzezinski, B. Buffett, N. Capitaine, P. Defraigne, O. de Viron, M. Feissel, H. Fliegel, A. Forte, D. Gambis, J. Getino, R. Gross, T. Herring, H. Kinoshita, S. Klioner, P. M. Mathews, D. McCarthy, X. Moisson, S. Petrov, R. M. Ponte, F. Roosbeek, D. Salstein, H. Schuh, K. Seidelmann, M. Soffel, J. Souchay, J. Vondrak, J. M. Wahr, P. Wallace, R. Weber, 939

BIBLIOGRAPHIE J. Williams, Y. Yatskiv, V. Zharov et S. Y. Zhu : Considerations concerning the non-rigid Earth nutation theory. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 72 (4):245–309, Jan 1998. V. Dehant et P. Mathews : Precession, Nutation and Wobble of the Earth. Cambridge University Press, 2015. J.-B. J. Delambre et J. T. Burg : Tables astronomiques... ; Tables du Soleil. Paris : Courcier, 1806. J. B. J. Delambre : Astronomie théorique et pratique. 1814. J. B. J. Delambre : Histoire de l’astronomie ancienne. 1817. J. B. J. Delambre : Histoire de l’astronomie moderne. 1821. M. Delaunay : Théorie du Mouvement de la Lune. MNRAS, 21:80, jan. 1861. M. Delbo, M. Mueller, J. P. Emery, B. Rozitis et M. T. Capria : Asteroid Thermophysical Modeling, p. 107–128. 2015. F. DeMeo, B. Carry, F. Marchis, M. Birlan, R. P. Binzel, S. J. Bus, P. Descamps, A. Nedelcu, M. Busch et H. Bouy : A spectral comparison of (379) Huenna and its satellite. Icarus, 212:677–681, avr. 2011. F. E. DeMeo, R. P. Binzel, S. M. Slivan et S. J. Bus : An extension of the Bus asteroid taxonomy into the near-infrared. Icarus, 202:160–180, jul 2009. C. Demets, R. G. Gordon, D. F. Argus et S. Stein : Current plate motions. Geophysical Journal International, 101:425–478, mai 1990. C. Demets, R. G. Gordon, D. F. Argus et S. Stein : Effect of recent revisions to the geomagnetic reversal time scale on estimates of current plate motions. Geophys. Res. Lett., 21(20):2191–2194, jan. 1994. A. Deprit, J. Henrard et A. Rom : Analytical Lunar Ephemeris. I. Definition of the Main Problem. A&A, 10:257, jan. 1971. S. F. Dermott et C. D. Murray : The dynamics of tadpole and horseshoe orbits I. Theory. Icarus, 48:1–11, oct. 1981a. S. F. Dermott et C. D. Murray : The dynamics of tadpole and horseshoe orbits II. The coorbital satellites of Saturn. Icarus, 48:12–22, oct. 1981b. T. Derouazi, C. Ruatti, W. Thuillot et D. Vu : Éphémérides des satellites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranus pour 1995. Research report, Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (IMCCE), oct. 1994. URL https://hal-lara. archives-ouvertes.fr/hal-01464893. 940

BIBLIOGRAPHIE P. Descamps : Equilibrium figures of inhomogeneous synchronous binary asteroids. Icarus, 207(2):758–768, juin 2010. P. Descamps, J. E. Arlot, W. Thuillot, F. Colas, D. T. Vu, P. Bouchet et O. Hainaut : Observations of the volcanoes of Io, Loki and Pele, made in 1991 at the ESO during an occultation by Europa. Icarus, 100(1):235–244, nov. 1992. P. Descamps et F. Marchis : Angular momentum of binary asteroids : Implications for their possible origin. Icarus, 193(1):74–84, jan. 2008. P. Descamps, F. Marchis, J. Berthier, J. P. Emery, G. Duchˆene, I. de Pater, M. H. Wong, L. Lim, H. B. Hammel, F. Vachier, P. Wiggins, J. P. Teng-Chuen-Yu, A. Peyrot, J. Pollock, M. Assafin, R. Vieira-Martins, J. I. B. Camargo, F. Braga-Ribas et B. Macomber : Triplicity and physical characteristics of Asteroid (216) Kleopatra. Icarus, 211(2):1022–1033, fév. 2011. P. Descamps, F. Marchis, T. Michalowski, J. Berthier, J. Pollock, P. Wiggins, M. Birlan, F. Colas, F. Vachier, S. Fauvaud, M. Fauvaud, J. P. Sareyan, F. Pilcher et D. A. Klinglesmith : A giant crater on 90 Antiope ? Icarus, 203(1):102–111, sept. 2009. P. Descamps, F. Marchis, T. Michalowski, F. Vachier, F. Colas, J. Berthier, M. Assafin, P. B. Dunckel, M. Polinska, W. Pych, D. Hestroffer, K. P. M. Miller, R. VieiraMartins, M. Birlan, J. P. Teng-Chuen-Yu, A. Peyrot, B. Payet, J. Dorseuil, Y. L´eonie et T. Dijoux : Figure of the double Asteroid 90 Antiope from adaptive optics and lightcurve observations. Icarus, 187(2):482–499, avr. 2007. P. Descamps, F. Vachier, J. Berthier, J. Normand, P. Wiggins, H. de Groot, J. Coudert, V. Chojnacki, O. Labrevoir, S. Joly, J. P. Marcon, S. Olimpiade, B. Dargoui-Pister, C. Delhaume, T. Duval, Y. El Farissi, M. Giraud, V. Grieco, S. Kaderi, A. Laidi, T. Lauze, H. Mary, M. Medour, F. Negre, K. Passabet, A. Perret, M. Peyron, N. Ramos et M. Soridi : Physical characterization of double asteroid (3905) Doppler. Icarus, 345:113726, juil. 2020. P. Descamps : Orbit of an Astrometric Binary System. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 92(4):381–402, août 2005. A. Dollfus : Un nouveau satellite de Saturne.Un nouveau satellite de Saturne.A new satellite of Saturn . Comptes rendus de l’Académie des sciences – Série B sciences physiques, 264:822–824, jan. 1967. A. Dollfus : La découverte du 10e satellite de Saturne. L’Astronomie, 82:253, juil. 1968. A. Dollfus : The first Pic du Midi photographs of Mars, 1909. Journal of the British Astronomical Association, 120:240–242, août 2010. 941

BIBLIOGRAPHIE G. Dourneau : Observations et étude du mouvement des huit premiers satellites de Saturne. Thèse de doctorat, 1987. URL http://www.theses.fr/1987BOR10549. Thèse de doctorat dirigée par Rapaport, Michel Sciences Bordeaux 1 1987. G. Dourneau : Orbital elements of the eight major satellites of Saturn determined from a fit of their theories of motion to observations from the 1886 to 1985. A&A, 267:292–299, jan. 1993. J. D. Drummond, W. J. Merline, B. Carry, A. Conrad, V. Reddy, P. Tamblyn, C. R. Chapman, B. L. Enke, I. d. Pater et K. d. Kleer : The triaxial ellipsoid size, density, and rotational pole of asteroid (16) Psyche from Keck and Gemini AO observations 2004-2015. Icarus, 305:174–185, May 2018. A. D. Dubyago : The Determination of Orbits. New York, 1961. D. W. Dunham et P. D. Maley : Possible Observation of a Satellite of a Minor Planet. Minor Planet Bulletin, 5:16–17, déc. 1977. URL https://ui.adsabs.harvard. edu/abs/1977MPBu....5...16D. D. W. Dunham : The Motions of the Satellites of Uranus. Thèse de doctorat, Yale University., Jan 1971. F. Duquenne, S. Botton, F. Peyret, D. B´etaille et P. Willis : GPS - localisation et navigation par satellites. Hermès - Lavoisier, Paris, 2005. D. D. Durda, W. F. Bottke, B. L. Enke, W. J. Merline, E. Asphaug, D. C. Richardson et Z. M. Leinhardt : The formation of asteroid satellites in large impacts : results from numerical simulations. Icarus, 170:243–257, juil. 2004. J. Durech, B. Carry, M. Delbo, M. Kaasalainen et M. Viikinkoski : Asteroid Models from Multiple Data Sources, p. 183–202. Univ. Arizona Press, 2015. J. Durech, V. Sidorin et M. Kaasalainen : DAMIT : a database of asteroid models. A&A, 513:A46, Apr 2010. L. Duriez : General planetary theory in elliptic variables. I. Expansion of the equations. A&A, 54:93–112, jan. 1977. L. Duriez : Poisson’s theorem in heliocentric variables - Conditions for the application of this theorem concerning the invariability of the major axes of planetary orbits to second order in the masses. A&A, 68:199–216, août 1978. L. Duriez : A general planetary theory in elliptical heliocentric variables. Thèse de doctorat, -, jan. 1979. L. Duriez : Cours de mécanique céleste, 2002. URL http://lal.univ-lille1.fr/ mecacel_duriez/CoursMCecr_Duriez.pdf. 942

BIBLIOGRAPHIE L. Duriez et A. Vienne : A general theory of motion for the eight major satellites of Saturn. I - Equations and method of resolution. A&A, 243:263–275, mars 1991. L. Duriez et A. Vienne : Theory of motion and ephemerides of Hyperion. A&A, 324:366–380, août 1997. A. M. Dziewonski et D. L. Anderson : Preliminary reference Earth model. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 25(4):297–356, Jun 1981. W. S. Eichelberger et A. Newton : The orbit of Neptune’s satellite and the pole of Neptune’s equator. MNRAS, 86:276, mars 1926. N. V. Emelyanov : Relationship between Astrometric and Theoretical Coordinates of Planetary Satellites. Solar System Research, 33:133, Jan 1999. N. V. Emelyanov : A Method for Reducing Photometric Observations of Mutual Occultations and Eclipses of Planetary Satellites. Solar System Research, 37:314–325, juil. 2003. N. V. Emelyanov : Ephemerides of the outer Jovian satellites. A&A, 435:1173–1179, juin 2005a. N. V. Emelyanov : The mass of Himalia from the perturbations on other satellites. A&A, 438(3):L33–L36, août 2005b. N. V. Emelyanov : Precision of the ephemerides of outer planetary satellites. Planetary and Space Science, 58:411–420, fév. 2010. N. V. Emelyanov : Perturbed motion at small eccentricities. Solar System Research, 49:346–359, Sep 2015. N. V. Emelyanov et R. Gilbert : Astrometric results of observations of mutual occultations and eclipses of the Galilean satellites of Jupiter in 2003. A&A, 453:1141–1149, juil. 2006. N. V. Emelyanov et A. A. Kanter : Orbits of new outer planetary satellites based on observations. Solar System Research, 39:112–123, mars 2005. N. V. Emelyanov et L. P. Nasonova : An analytical theory of the motion of PHOBOS and perturbation analysis. AZh, 66:850–858, août 1989. N. V. Emelyanov et D. V. Nikonchuk : Ephemerides of the main Uranian satellites. MNRAS, 436:3668–3679, Dec 2013. A. Escapa, J. Getino, J. M. Ferr´andiz, J. F. Navarro et T. Baenas : Recent developments in the theory of the Earth’s precession and nutation. In IAU General Assembly, vol. 29, p. 2257712, Aug 2015. 943

BIBLIOGRAPHIE L. W. Esposito, J. N. Cuzzi, J. B. Holberg, E. A. Marouf, G. L. Tyler et C. C. Porco : Saturn’s rings - Structure, dynamics, and particle properties, p. 463–545. 1984. T. M. Eubanks : Interactions between the atmosphere, oceans and crust : Possible oceanic signals in Earth rotation. Advances in Space Research, 13(11):291–300, Nov 1993. L. Fairhead et P. Bretagnon : An analytical formula for the time transformation TB-TT. A&A, 229:240–247, mars 1990. J. Fang, J.-L. Margot et P. Rojo : Orbits, Masses, and Evolution of Main Belt Triple (87) Sylvia. AJ, 144:70, août 2012. P. Farinella, D. Vokrouhlick´y et W. K. Hartmann : Meteorite Delivery via Yarkovsky Orbital Drift. Icarus, 132(2):378–387, avr. 1998. S. Ferraz-Mello : Sur la méthode de von Zeipel. Memorie della Societa Astronomica Italiana, 37:221, Jan 1966. S. Ferraz-Mello : Dynamics of the Galilean satellites - an introductory treatise. 1979. S. Ferraz-Mello : On resonance. Celestial Mechanics, 43:69–89, mars 1987. A. L. Fey, D. Gordon, C. S. Jacobs, C. Ma, R. A. Gaume, E. F. Arias, G. Bianco, D. A. Boboltz, S. B¨ockmann, S. Bolotin, P. Charlot, A. Collioud, G. Engelhardt, J. Gipson, A. M. Gontier, R. Heinkelmann, S. Kurdubov, S. Lambert, S. Lytvyn, D. S. MacMillan, Z. Malkin, A. Nothnagel, R. Ojha, E. Skurikhina, J. Sokolova, J. Souchay, O. J. Sovers, V. Tesmer, O. Titov, G. Wang et V. Zharov : The Second Realization of the International Celestial Reference Frame by Very Long Baseline Interferometry. AJ, 150(2):58, Aug 2015. A. L. Fey, C. Ma, E. F. Arias, P. Charlot, M. Feissel-Vernier, A. M. Gontier, C. S. Jacobs, J. Li et D. S. MacMillan : The Second Extension of the International Celestial Reference Frame : ICRF-EXT.1. AJ, 127(6):3587–3608, Jun 2004. A. Fienga, P. Deram, V. Viswanathan, A. Di Ruscio, L. Bernus, D. Durante, M. Gastineau et J. Laskar : INPOP19a planetary ephemerides. Notes Scientifiques et Techniques de l’Institut de mécanique céleste, 109, déc. 2019. A. Fienga, J. Laskar, P. Exertier, H. Manche et M. Gastineau : Numerical estimation of the sensitivity of INPOP planetary ephemerides to general relativity parameters. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 123(3):325–349, 2015. ISSN 15729478. A. Fienga, J. Laskar, P. Kuchynka, H. Manche, G. Desvignes, M. Gastineau, I. Cognard et G. Theureau : The INPOP10a planetary ephemeris and its applications in fundamental physics. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 111:363–385, nov. 2011a. 944

BIBLIOGRAPHIE A. Fienga, J. Laskar, H. Manche, M. Gastineau et A. Verma : INPOP new release : INPOP13c. https://www.imcce.fr/recherche/equipes/asd/inpop/ download13c, 2014. A. Fienga, J. Laskar, H. Manche, P. Kuchynka, G. Desvignes, M. Gastineau, I. Cognard et G. Thereau : The planetary ephemerides INPOP10a and its applications in fundamental physics. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 111:363–+, 2011b. A. Fienga, J. Laskar, T. Morley, H. Manche, P. Kuchynka, C. Le Poncin-Lafitte, F. Budnik, M. Gastineau et L. Somenzi : Inpop08, a 4-d planetary ephemeris : from asteroid and time-scale computations to esa mars express and venus express contributions. A&A, 507:1675–1686, déc. 2009. A. Fienga, J. Laskar, A. Verma, H. Manche et M. Gastineau : INPOP : Evolution, applications, and perspective. In S. Boissier, P. de Laverny, N. Nardetto, R. Samadi, D. Valls-Gabaud et H. Wozniak, éds : SF2A-2012 : Proceedings of the Annual meeting of the French Society of Astronomy and Astrophysics, p. 25–33, Dec 2012a. A. Fienga, H. Manche, P. Kuchynka, J. Laskar et M. Gastineau : Planetary and Lunar ephemerides, INPOP10A. In Journées Systèmes de référence spatio-temporels 2010. Journees Systemes de references, nov. 2010. A. Fienga, H. Manche, J. Laskar et M. Gastineau : INPOP06 : a new numerical planetary ephemeris. A&A, 477:315–327, 2008. A. Fienga, H. Manche, J. Laskar, M. Gastineau et A. Verma : DPAC INPOP final release : INPOP10e. ArXiv e-prints , 2012b. A. Fienga, H. Manche, J. Laskar, M. Gastineau et A. Verma : INPOP new release : INPOP13b. ArXiv e-prints, 423, 2014. A. Fienga et J. L. Simon : IMCCE planetary solution : overview and prospects. In Proceedings of the Journées 2003 “Systèmes de référence spatio-temporels” : Astrometry, p. 259–262, sept. 2004. A. Fienga et J.-L. Simon : Analytical and numerical studies of asteroid perturbations on solar system planet dynamics. A&A, 429:361–367, 2005. H. Fischer : Farbmessungen an Kleinen Planeten. Astronomische Nachrichten, 272:127, 1941. G. Foder`a Serio, A. Manara et P. Sicoli : Giuseppe Piazzi and the Discovery of Ceres. Asteroids III, p. 17–24, 2002. 945

BIBLIOGRAPHIE W. M. Folkner, P. Charlot, M. H. Finger, J. G. Williams, O. J. Sovers, X. Newhall et E. M. Standish, Jr. : Determination of the extragalactic-planetary frame tie from joint analysis of radio interferometric and lunar laser ranging measurements. A&A, 287:279–289, juil. 1994. W. M. Folkner, J. G. Williams et D. H. Boggs : Jpl planetary and lunar ephemerides de421. JPL Interoffice Memorandum IOM 343R-08-003, 2008. W. M. Folkner, J. G. Williams et D. H. Boggs : The Planetary and Lunar Ephemeris DE 421. Interplanetary Network Progress Report, 42-178:1–34, Aug 2009. W. M. Folkner, J. G. Williams, D. H. Boggs, R. S. Park et P. Kuchynka : The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431. 2014. ISBN 2013072201. W. M. Folkner, J. G. Williams, D. H. Boggs, R. S. Park et P. Kuchynka : The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431. Interplanetary Network Progress Report, 196:1–81, fév. 2014. J. W. Fountain et S. M. Larson : Saturn’s ring and nearby faint satellites. Icarus, 36:92–106, oct. 1978. W. C. Fraser, M. T. Bannister, R. E. Pike, M. Marsset, M. E. Schwamb, J. J. Kavelaars, P. Lacerda, D. Nesvorn´y, K. Volk, A. Delsanti, S. Benecchi, M. J. Lehner, K. Noll, B. Gladman, J.-M. Petit, S. Gwyn, Y.-T. Chen, S.-Y. Wang, M. Alexandersen, T. Burdullis, S. Sheppard et C. Trujillo : All planetesimals born near the kuiper belt formed as binaries. Nature Astronomy, 1:0088, avr. 2017. R. G. French, J. L. Elliot, L. M. French, J. A. Kangas, K. J. Meech, M. E. Ressler, M. W. Buie, J. A. Frogel, J. B. Holberg, J. J. Fuensalida et M. Joy : Uranian ring orbits from earth-based and Voyager occultation observations. Icarus, 73:349–378, fév. 1988. R. G. French, J. L. Elliot et S. E. Levine : Structure of the Uranian Rings II. Ring orbits and widths. Icarus, 67:134–163, Jul 1986. W. Fricke : Determination of positions and the reference system. In M. A. C. Perryman, T. D. Guyenne, E. Høg, C. Jaschek et P. Lacroute, éds : The Scientific Aspects of the Hipparcos Space Astrometry Mission, vol. 177 de ESA Special Publication, p. 43–47, May 1982. W. Fricke, H. Schwan, T. Lederle, U. Bastian, R. Bien, G. Burkhardt, B. Du Mont, R. Hering, R. J¨ahrling, H. Jahreiss, S. R¨oser, H. M. Schwerdtfeger et H. G. Walter : Fifth Fundamental Catalogue (FK5). Part 1. The Basic Fundamental Stars. Veroeffentlichungen des Astronomischen Rechen-Instituts Heidelberg, 32:1–106, Jan 1988. 946

BIBLIOGRAPHIE T. Fukushima : Activity report of the Subgroup on Astronomical Constants of the IAU Working Group on Reference Systems. In Earth Rotation, Astrometry, and Geodesy, 1990. T. Fukushima : Geodesic nutation. A&A, 244(1):L11, Apr 1991. T. Fukushima, M. K. Fujimoto, H. Kinoshita et S. Aoki : A System of Astronomical Constants in the Relativistic Framework. Celestial Mechanics, 38(3):215–230, mars 1986. T. Fukushima : A New Precession Formula. AJ, 126(1):494–534, Jul 2003. M. Fulchignoni, I. Belskaya, M. A. Barucci, M. C. De Sanctis et A. Doressoundiram : Transneptunian Object Taxonomy. The Solar System Beyond Neptune, p. 181–192, 2008. Gaia Collaboration, F. Mignard, S. A. Klioner, L. Lindegren, J. Hern´andez, U. Bastian, A. Bombrun, D. Hobbs, U. Lammers, D. Michalik et et al. : Gaia Data Release 2. The celestial reference frame (Gaia-CRF2). A&A, 616:A14, août 2018. A. Gaillot : Addition à la théorie du mouvement de Saturne de Le Verrier : application intégrale de la méthode d’interpolation, recherches complémentaires, tables rectifiées du mouvement de Saturne. Annales de l’Observatoire de Paris, 24, 1904. A. Gaillot : Théorie du mouvement des planètes Uranus et Neptune, par Le Verrier : calcul à nouveau des perturbations, après rectification des valeurs primitivement adoptées pour les masses des deux planètes et pour les éléments de leurs orbites : tables nouvelles d’Uranus et de Neptune. Annales de l’Observatoire de Paris, 28, 1910. A. Gaillot : Addition à la théorie du mouvement de Jupiter de Le Verrier : tables rectifiées du mouvement de Jupiter. Annales de l’Observatoire de Paris, 31, 1913. G. Galilei : Sidereus nuncius, or, The Sidereal messenger. 1989. D. Gambis : Monitoring Earth orientation using space-geodetic techniques : state-of-theart and prospective. Journal of Geodesy, 78(4-5):295–303, nov. 2004. D. Gambis : Allan Variance in earth rotation time series analysis. Advances in Space Research, 30(2):207–212, juil. 2002. J. Gapaillard : Histoire de l’heure en France. 2011. C. F. Gauss : Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Friedrich Perthes et I.H. Besser, Hamburg, 1809. 947

BIBLIOGRAPHIE T. Gehrels, L. R. Baker, E. Beshore, C. Blenman, J. J. Burke, N. D. Castillo, B. Dacosta, J. Degewij, L. R. Doose, J. W. Fountain, J. Gotobed, C. E. Kenknight, R. Kingston, G. McLaughlin, R. McMillan, R. Murphy, P. H. Smith, C. P. Stoll, R. N. Strickland, M. G. Tomasko, M. P. Wijesinghe, D. L. Coffeen et L. W. Esposito : Imaging photopolarimeter on Pioneer Saturn. Science, 207:434–439, jan. 1980. J. D. Giorgini, D. K. Yeomans, A. B. Chamberlin, P. W. Chodas, R. A. Jacobson, M. S. Keesey, J. H. Lieske, S. J. Ostro, E. M. Standish et R. N. Wimberly : JPL’s On-Line Solar System Ephemeris and Data Service. In Bulletin of the American Astronomical Society, vol. 28, p. 1099, Sep 1997. B. Gladman, B. G. Marsden et C. Vanlaerhoven : Nomenclature in the Outer Solar System, p. 43–57. Univ. Arizona Press, 2008. J. Goldstein, S. J. et K. C. Jacobs : The contraction of Io’s orbit. Astrophysical Journal, 92:199–202, juil. 1986. F. Gourgeot, B. Carry, C. Dumas, F. Vachier, F. Merlin, P. Lacerda, M. A. Barucci et J. Berthier : Near-infrared spatially resolved spectroscopy of (136108) Haumea’s multiple system. A&A, 593:A19, août 2016. R. Grant : History of Physical Astronomy from the earliest ages to the middle of the 19th century. 1852. A. H. Greenberg, J.-L. Margot, A. K. Verma, P. A. Taylor et S. E. Hodge : Yarkovsky Drift Detections for 159 Near-Earth Asteroids. ArXiv e-prints, août 2017. R. Greenberg et S. J. Weidenschilling : How fast do Galilean satellites spin ? Icarus, 58:186–196, mai 1984. R. S. Gross : The excitation of the Chandler wobble. Geophys. Res. Lett., 27(15):2329– 2332, Aug 2000. E. Groten : Report of Special Commission 3 of IAG. In K. J. Johnston, D. D. McCarthy, B. J. Luzum et G. H. Kaplan, éds : IAU Colloq. 180 : Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry, p. 337, Jan 2000. E. Groten : Fundamental parameters and current (2004) best estimates of the parameters of common relevance to astronomy, geodesy, and geodynamics. Journal of Geodesy, 77:724–797, April 2004. W. M. Grundy, S. D. Benecchi, D. L. Rabinowitz, S. B. Porter, L. H. Wasserman, B. A. Skiff, K. S. Noll, A. J. Verbiscer, M. W. Buie, S. W. Tourtellotte, D. C. Stephens et H. F. Levison : Mutual events in the cold classical transneptunian binary system sila and nunam. Icarus, 220:74–83, juil. 2012. 948

BIBLIOGRAPHIE W. M. Grundy, K. S. Noll, M. W. Buie, S. D. Benecchi, D. C. Stephens et H. F. Levison : Mutual orbits and masses of six transneptunian binaries. Icarus, 200:627–635, avr. 2009. D. B. Guenther, L. M. Krauss et P. Demarque : Testing the constancy of the gravitational constant using helioseismology. Astrophys. J., 498:871–876, 1998. C. A. Gueymard : The sun’s total and spectral irradiance for solar energy applications and solar radiation models. Solar Energy, 76:423–453, avr. 2004. B. Guinot : Basic Problems in the Kinematics of the Rotation of the Earth (invited Paper). In D. D. McCarthy et J. D. H. Pilkington, éds : Time and the Earth’s Rotation, vol. 82 de IAU Symposium, p. 7, jan. 1979. C. R. Gwinn, T. A. Herring et I. I. Shapiro : Geodesy by radio interferometry : studies of the forced nutations of the earth 2. Interpretation. J. Geophys. Res., 91(B5):4755–4766, Apr 1986. A. Hall : Discovery of satellites of Mars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 38:205–209, 1878. B. Hapke : Bidirectional reflectance spectroscopy. I - Theory. J. Geophys. Res., 86:3039– 3054, Apr 1981. B. Hapke : Bidirectional reflectance spectroscopy 3. Correction for macroscopic roughness. Icarus, 59(1):41–59, Jul 1984. B. Hapke : Bidirectional reflectance spectroscopy 4. The extinction coefficient and the opposition effect. Icarus, 67(2):264–280, Aug 1986. B. Hapke : Theory of reflectance and emittance spectroscopy. Cambridge University Press, 2012. B. Hapke et E. Wells : Bidirectional reflectance spectroscopy. 2. Experiments and observations. J. Geophys. Res., 86:3055–3060, Apr 1981. B. Hapke : Bidirectional Reflectance Spectroscopy. 5. The Coherent Backscatter Opposition Effect and Anisotropic Scattering. Icarus, 157(2):523–534, Jun 2002. B. Hapke : Bidirectional reflectance spectroscopy. 6. Effects of porosity. Icarus, 195 (2):918–926, Jun 2008. D. Harper et D. B. Taylor : The orbits of the major satellites of Saturn. A&A, 268:326– 349, fév. 1993. A. W. Harris : A Thermal Model for Near-Earth Asteroids. Icarus, 131:291–301, Feb 1998. 949

BIBLIOGRAPHIE A. W. Harris, B. D. Warner et P. Pravec : Asteroid Lightcurve Derived Data V17.0. NASA Planetary Data System, 2017. D. L. Harris : The Satellite System of Uranus. Thèse de doctorat, -, Jan 1949. C. Hazard, J. Sutton, A. N. Argue, C. M. Kenworthy, L. V. Morrison et C. A. Murray : Accurate Radio and Optical Positions of 3G273B. Nature Physical Science, 233 (40):89–91, Oct 1971. W. Herschel : Observations on the Two Lately Discovered Celestial Bodies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series I, 92:213–232, jan. 1802. D. Hestroffer, F. Vachier et B. Balat : Orbit Determination of Binary Asteroids. Earth Moon and Planets, 97(3-4):245–260, déc. 2005. C. E. Hildebrand, D. H. Christensen, D. H. Boggs, G. H. Born, B. G. Williams et Z. Shippony : Satellite orbit determination. In Viking Navigation, p. 109–152, Nov 1979. J. L. Hilton, N. Capitaine, J. Chapront, J. M. Ferrand iz, A. Fienga, T. Fukushima, J. Getino, P. Mathews, J. L. Simon, M. Soffel, J. Vondrak, P. Wallace et J. Williams : Report of the International Astronomical Union Division I Working Group on Precession and the Ecliptic. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 94(3):351–367, Mar 2006. F. Hofmann, J. M¨uller et L. Biskupek : Lunar laser ranging test of the Nordtvedt parameter and a possible variation in the gravitational constant. A&A, 522:L5, nov. 2010. C. Y. Hohenkerk et A. T. Sinclair : The Computation of Angular Atmospheric Refraction at Large Zenith Angles. NAO TECHNICAL NOTE, 63:1–12, avr. 1985. F. R. Hoots et R. L. Roehrich : Spacetrack report no. 3, models for propagation of norad element sets, 1988. URL https://celestrak.com/NORAD/documentation/ spacetrk.pdf. M. Hoskin : Bode’s Law and the Discovery of Ceres, vol. 183 de Astrophysics and Space Science Library, p. 35. 1993. J. A. S. Hunt, J. Bovy et R. G. Carlberg : Detection of a Dearth of Stars with Zero Angular Momentum in the Solar Neighborhood. ApJ, 832:L25, déc. 2016. IAU : Resolution B5 Definition of a planet in the Solar System, Aug. 2006. URL https://www.iau.org/static/resolutions/Resolution_GA26-5-6.pdf. IERS1992 : IERS standards (1992). In IERS Technical note 13. D.D. McCarthy, observatoire de Paris, 1992. 950

BIBLIOGRAPHIE L. Iess, B. Militzer, Y. Kaspi, P. Nicholson, D. Durante, P. Racioppa, A. Anabtawi, E. Galanti, W. Hubbard, M. J. Mariani, P. Tortora, S. Wahl et M. Zannoni : Measurement and implications of Saturn’s gravity field and ring mass. Science, 364(6445):aat2965, juin 2019. L. Iess, N. J. Rappaport, R. A. Jacobson, P. Racioppa, D. J. Stevenson, P. Tortora, J. W. Armstrong et S. W. Asmar : Gravity Field, Shape, and Moment of Inertia of Titan. Science, 327(5971):1367, mars 2010. L. Iess, N. J. Rappaport, P. Tortora, J. Lunine, J. W. Armstrong, S. W. Asmar, L. Somenzi et F. Zingoni : Gravity field and interior of Rhea from Cassini data analysis. Icarus, 190(2):585–593, oct. 2007. A. W. Irwin et T. Fukushima : A numerical time ephemeris of the Earth. A&A, 348:642– 652, Aug 1999. I. Iszak : Analytical development of the planetary disturbing function on a digital computer. Smithsonian Astrophys. Observ. Special Report, 164, 1965. J. Ivory : On the Astronomical Refractions. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series I, 113:409–495, jan. 1823. C. Jacobs, P. Charlot, E. F. Arias, J. Bowhm, S. Bolotin, G. Bourda, A. de Witt, A. L. Fey, R. Gaume, D. Gordon, R. Henikelmann, S. Lambert, C. Ma, Z. Malkin, A. Nothnagel, E. Skurikhina et O. Titov : ICRF-3 : An overview of the proposed next generation Multi-wavelength ICRF. In 42nd COSPAR Scientific Assembly, vol. 42, p. B2.1–31–18, juil. 2018. R. Jacobson, M. Brozovi´c, B. Gladman, M. Alexandersen, P. D. Nicholson et C. Veillet : Irregular Satellites of the Outer Planets : Orbital Uncertainties and Astrometric Recoveries in 2009-2011. Astrophysical Journal, 144:132, nov. 2012. R. A. Jacobson : The orbits of the satellites of Neptune. A&A, 231:241–250, mai 1990. R. A. Jacobson : The orbit of Phoebe from Earthbased and Voyager observations. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 128:7–17, fév. 1998a. R. A. Jacobson : The Orbits of the Inner Uranian Satellites from Hubble Space Telescope and Voyager 2 Observations. AJ, 115(3):1195–1199, Mar 1998b. R. A. Jacobson : The Orbits of the Outer Jovian Satellites. Astrophysical Journal, 120:2679–2686, nov. 2000. R. A. Jacobson : The Gravity Field of the Jovian System and the Orbits of the Regular Jovian Satellites. In AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts #33, vol. 33 de Bulletin of the American Astronomical Society, p. 1039, nov. 2001. 951

BIBLIOGRAPHIE R. A. Jacobson : The Orbits of the Neptunian Satellites and the Orientation of the Pole of Neptune. Astrophysical Journal, 137:4322–4329, mai 2009. R. A. Jacobson : The Orbits and Masses of the Martian Satellites and the Libration of Phobos. AJ, 139(2):668–679, fév. 2010. R. A. Jacobson : The Orbits of the Uranian Satellites and Rings, the Gravity Field of the Uranian System, and the Orientation of the Pole of Uranus. AJ, 148(5):76, Nov 2014. R. A. Jacobson, P. G. Antreasian, K. E. Bordi, J. J.and Criddle, R. Ionasescu, J. B. Jones, R. A. Mackenzie, M. C. Meek, D. Parcher, F. J. Pelletier, W. M. Owen, Jr., D. C. Roth, I. M. Roundhill et J. R. Stauch : The Gravity Field of the Saturnian System from Satellite Observations and Spacecraft Tracking Data. Astrophysical Journal, 132:2520–2526, déc. 2006. R. A. Jacobson, J. E. Riedel et A. H. Taylor : The orbits of Triton and Nereid from spacecraft and earthbased observations. A&A, 247:565–575, juil. 1991. R. A. Jacobson, J. Spitale, C. C. Porco, K. Beurle, N. J. Cooper, M. W. Evans et C. D. Murray : Revised Orbits of Saturn’s Small Inner Satellites. AJ, 135:261–263, jan. 2008. R. A. Jacobson, S. P. Synnott et J. K. Campbell : The orbits of the satellites of Mars from spacecraft and earthbased observations. A&A, 225:548–554, nov. 1989. R. A. Jacobson : The Orbits of the Regular Jovian Satellites, Their Masses, and the Gravity Field of Jupiter. In AAS/Division of Dynamical Astronomy Meeting #44, AAS/Division of Dynamical Astronomy Meeting, p. 402.04, May 2013. R. A. Jacobson, M. Brozovic, M. Buie, S. Porter, M. Showalter, J. Spencer, S. A. Stern, H. Weaver, L. Young, K. Ennico et C. Olkin : The Orbits and Masses of Pluto’s Satellites after New Horizons. In AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts #47, AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts, p. 102.08, Nov 2015. A. Johansen et P. Lacerda : Prograde rotation of protoplanets by accretion of pebbles in a gaseous environment. MNRAS, 404:475–485, May 2010. T. Johnson, Voyager Team, E. E. Becklin, C. G. Wynn-Williams, C. B. Pucher et J. S. Morgan : Jupiter. IAU Circ., 3338, mars 1979. D. L. Jones, E. Fomalont, V. Dhawan, J. Romney, G. Lanyi, J. Border, B. Folkner et B. Jacobson : Improving the Planetary Ephemeris with Astrometric Observations of Cassini. In American Astronomical Society Meeting Abstracts #214, vol. 214 de American Astronomical Society Meeting Abstracts, p. 239.03, mai 2009. 952

BIBLIOGRAPHIE L. Jorda, P. Lamy, R. Gaskell, M. Kaasalainen, O. Groussin, S. Besse et G. Faury : Asteroid (2867) steins : Shape, topography and global physical properties from osiris observations. Icarus, 221(2):1089 – 1100, 2012. ISSN 0019-1035. URL http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0019103512003223. M. Kaasalainen et J. Torppa : Optimization Methods for Asteroid Lightcurve Inversion I. Shape Determination. Icarus, 153:24–36, sept. 2001. G. H. Kaplan, J. A. Hughes, P. K. Seidelmann, C. A. Smith et B. D. Yallop : Mean and Apparent Place Computations in the New IAU System. III. Apparent, Topocentric, and Astrometric Places of Planets and Stars. AJ, 97:1197, Apr 1989. E. Karkoschka : Voyager’s Eleventh Discovery of a Satellite of Uranus and Photometry and the First Size Measurements of Nine Satellites. Icarus, 151(1):69–77, mai 2001. E. Karkoschka : Sizes, shapes, and albedos of the inner satellites of Neptune. Icarus, 162(2):400–407, avr. 2003. W. M. Kaula : Theory of satellite geodesy. Applications of satellites to geodesy. 1966. J. J. Kavelaars, M. J. Holman, T. Grav, D. Milisavljevic, W. Fraser, B. J. Gladman, J. M. Petit, P. Rousselot, O. Mousis et P. D. Nicholson : The discovery of faint irregular satellites of Uranus. Icarus, 169:474–481, Jun 2004. J. Kepler : Epitome of Copernican astronomy ; translated by Charles Glenn Wallis. The St. John’s bookstore, Annapolis, 1939. F. J. Kerr et D. Lynden-Bell : Review of galactic constants. MNRAS, 221:1023–1038, août 1986. H. Kinoshita : Theory of the Rotation of the Rigid Earth. Celestial Mechanics, 15 (3):277–326, Apr 1977. J. J. Klavetter : Rotation of Hyperion. I. Observations. Astrophysical Journal, 97:570, fév. 1989a. J. J. Klavetter : Rotation of Hyperion. II. Dynamics. Astrophysical Journal, 98:1855, nov. 1989b. J. J. Klavetter : The Observed Chaotic Rotation of Hyperion. Thèse de doctorat, MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY., jan. 1989c. S. A. Klioner : Relativistic scaling of astronomical quantities and the system of astronomical units. A&A, 478:951–958, fév. 2008. 953

BIBLIOGRAPHIE S. A. Klioner, N. Capitaine, W. M. Folkner, B. Guinot, T.-Y. Huang, S. M. Kopeikin, E. V. Pitjeva, P. K. Seidelmann et M. H. Soffel : Units of relativistic time scales and associated quantities. In S. A. Klioner, P. K. Seidelmann et M. H. Soffel, éds : Relativity in Fundamental Astronomy : Dynamics, Reference Frames, and Data Analysis, vol. 261 de IAU Symposium, p. 79–84, jan. 2010. S. A. Klioner et A. V. Voinov : Relativistic theory of astronomical reference systems in closed form. Phys. Rev. D, 48(4):1451–1461, août 1993. A. S. Konopliv, S. W. Asmar, W. M. Folkner, Ö. Karatekin, D. C. Nunes, S. E. Smrekar, C. F. Yoder et M. T. Zuber : Mars high resolution gravity fields from MRO, Mars seasonal gravity, and other dynamical parameters. Icarus, 211:401–428, jan. 2011. A. S. Konopliv, S. W. Asmar, R. S. Park, B. G. Bills, F. Centinello, A. B. Chamberlin, A. Ermakov, R. W. Gaskell, N. Rambaux, C. A. Raymond, C. T. Russell, D. E. Smith, P. Tricarico et M. T. Zuber : The Vesta gravity field, spin pole and rotation period, landmark positions, and ephemeris from the Dawn tracking and optical data. Icarus, 240:103–117, Sep 2014a. A. S. Konopliv, R. S. Park, A. T. Vaughan, B. G. Bills, S. W. Asmar, A. I. Ermakov, N. Rambaux, C. A. Raymond, J. C. Castillo-Rogez, C. T. Russell, D. E. Smith et M. T. Zuber : The Ceres gravity field, spin pole, rotation period and orbit from the Dawn radiometric tracking and optical data. Icarus, 299:411–429, Jan 2018. A. S. Konopliv, R. S. Park, D.-N. Yuan, S. W. Asmar, M. M. Watkins, J. G. Williams, E. Fahnestock, G. Kruizinga, M. Paik, D. Strekalov, N. Harvey, D. E. Smith et M. T. Zuber : High-resolution lunar gravity fields from the GRAIL Primary and Extended Missions. Geophys. Res. Lett., 41:1452–1458, mars 2014b. A. S. Konopliv, C. F. Yoder, E. M. Standish, D.-N. Yuan et W. L. Sjogren : A global solution for the Mars static and seasonal gravity, Mars orientation, Phobos and Deimos masses, and Mars ephemeris. Icarus, 182:23–50, mai 2006. J. Koornneef, R. Bohlin, R. Buser, K. Horne et D. Turnshek : Synthetic photometry and the calibration of the Hubble Space Telescope. Highlights of Astronomy, 7:833–843, 1986. Z. Kopal : An introduction to the study of the moon. Astrophysics and Space Science Library, Dordrecht : Reidel, 1966. S. M. Kopejkin : Celestial coordinate reference systems in curved space-time. Celestial Mechanics, 44(1-2):87–115, mars 1988. I. D. Kovalenko, R. S. Stoica et N. V. Emelyanov : Maximum a posteriori estimation through simulated annealing for binary asteroid orbit determination. MNRAS, 471 (4):4637–4647, nov. 2017. 954

BIBLIOGRAPHIE J. Kovalevsky, L. Lindegren, M. A. C. Perryman, P. D. Hemenway, K. J. Johnston, V. S. Kislyuk, J. F. Lestrade, L. V. Morrison, I. Platais, S. R¨oser, E. Schilbach, H.-J. Tucholke, C. de Vegt, J. Vondrak, F. Arias, A. M. Gontier, F. Arenou, P. Brosche, D. R. Florkowski, S. T. Garrington, V. Kozhurina-Platais, R. A. Preston, C. Ron, S. P. Rybka, R.-D. Scholz et N. Zacharias : The HIPPARCOS catalogue as a realisation of the extragalactic reference system. A&A, 323, juil. 1997. J. Kovalevsky et I. I. Mueller : Comments on Conventional Terrestrial and Quasi-Intertial Reference Systems. In E. M. Gaposchkin et B. Kolaczek, éds : Reference Coordinate Systems for Earth Dynamics, Proceedings of IAU Colloq. 56, vol. 86 de Astrophysics and Space Science Library, p. 375. D. Reidel Publishing, 1981. J. Kovalevsky et I. I. Mueller : Introduction. In J. Kovalevsky, I. I. Mueller et B. Kolaczek, éds : Reference Frames : In Astronomy and Geophysics, vol. 154, p. 1. Kluwer Academic publisher, 1989. J. Kovalevsky : Méthode numérique de calcul de perturbations générales, application au VIIIe satellite de Jupiter. Bulletin astronomique, 23:1–89, Jan 1959. M. A. Kowalski : Recherches sur les mouvements de Neptune, suivies des tables de cette planète. Kasan, Imprimerie de l’Université, 1855. Y. Kozai : On the Effect of the Saturnian Ring upon the Motion of the Satellites. Publications of the Astronomical Society of Japan, 9:1, jan. 1957. Y. Kozai : Masses of satellites and oblateness parameters of Saturn. Publications of the Astronomical Society of Japan, 28:675–691, jan. 1976. G. A. Krasinsky, E. V. Pitjeva, M. V. Vasilyev et E. I. Yagudina : Hidden Mass in the Asteroid Belt. Icarus, 158:98–105, juil. 2002. P. Kuchynka, J. Laskar, A. Fienga et H. Manche : A ring as a model of the main belt in planetary ephemerides. A&A, 514:A96+, mai 2010. P. Kuchynka, W. M. Folkner, A. S. Konopliv, T. J. Parker, R. S. Park, S. L. Maistre et V. Dehant : New constraints on mars rotation determined from radiometric tracking of the opportunity mars exploration rover. Icarus, 229:340 – 347, 2014. ISSN 0019-1035. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0019103513004879. J.-L. Lagrange : Mémoire sur la théorie des variations des ‘éléments des planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites. In Mémoires de l’Institut de France, vol. IX. 1809. V. Lainey : A new dynamical model for the Uranian satellites. Planet. Space Sci., 56 (14):1766–1772, nov. 2008. 955

BIBLIOGRAPHIE V. Lainey, J. E. Arlot et A. Vienne : New accurate ephemerides for the Galilean satellites of Jupiter. II. Fitting the observations. A&A, 427:371–376, nov. 2004a. V. Lainey, V. Dehant et M. P¨atzold : First numerical ephemerides of the Martian moons. A&A, 465:1075–1084, avr. 2007. V. Lainey, L. Duriez et A. Vienne : New accurate ephemerides for the Galilean satellites of Jupiter. I. Numerical integration of elaborated equations of motion. A&A, 420:1171– 1183, juin 2004b. V. Lainey, A. Pasewaldt, V. Robert, P. Rosenblatt, R. Jaumann, J. Oberst, T. Roatsch, K. Willner, R. Ziese et W. Thuillot : Mars moon ephemerides after 14 years of Mars Express data. Astronomy and Astrophysics, p. in press, jan. 2021. V. Lainey, J.-E. Arlot, Ö. Karatekin et T. van Hoolst : Strong tidal dissipation in Io and Jupiter from astrometric observations. Nature, 459(7249):957–959, juin 2009. V. Lainey, L. G. Casajus, J. Fuller, M. Zannoni, P. Tortora, N. Cooper, C. Murray, D. Modenini, R. S. Park, V. Robert et Q. Zhang : Resonance locking in giant planets indicated by the rapid orbital expansion of Titan. Nature Astronomy, 4:1053–1058, juin 2020. V. Lainey, R. A. Jacobson, R. Tajeddine, N. J. Cooper, C. Murray, V. Robert, G. Tobie, T. Guillot, S. Mathis, F. Remus, J. Desmars, J.-E. Arlot, J.-P. De Cuyper, V. Dehant, D. Pascu, W. Thuillot, C. Le Poncin-Lafitte et J.-P. Zahn : New constraints on Saturn’s interior from Cassini astrometric data. Icarus, 281:286–296, Jan 2017. S. Lambert et C. Bizouard : Positioning the Terrestrial Ephemeris Origin in the International Terrestrial Reference Frame. A&A, 394:317–321, oct. 2002. S. Lambert et N. Capitaine : Effects of zonal deformations and the Earth’s rotation rate variations on precession-nutation. A&A, 428:255–260, Dec 2004. S. B. Lambert et C. Le Poncin-Lafitte : Determining the relativistic parameter γ using very long baseline interferometry. A&A, 499:331–335, mai 2009. S. B. Lambert et P. M. Mathews : Second-order torque on the tidal redistribution and the Earth’s rotation. A&A, 453(1):363–369, Jul 2006. P. Lamy, J.-Y. Prado, O. Floyd, P. Rocher, G. Faury et S. Koutchmy : A novel technique for measuring the solar radius from eclipse light curves - Results for 2010, 2012, 2013, and 2015. Solar Physics, 290:2617–2648, oct. 2015. P.-S. Laplace : Théorie de Jupiter et Saturne. In Mém. Acad. Sci. Gauthier-Villars, Paris, 1785. réédité en 1898. 956

BIBLIOGRAPHIE P.-S. Laplace : Traité de mécanique céleste, vol. 3. Gauthier-Villars, Paris, 1800. réédité en 1873. P. S. Laplace : Théorie des satellites de Jupiter. 1788. S. M. Larson, J. W. Fountain, B. A. Smith et H. J. Reitsema : Observations of the Saturn E ring and a new satellite. Icarus, 47:288–290, Aug 1981. J. Laskar : Accurate methods in general planetary theory. A&A, 144:133–146, mars 1985. J. Laskar : A general theory for the Uranian satellites. A&A, 166:349–358, sept. 1986. J. Laskar : Secular evolution of the solar system over 10 million years. A&A, 198:341– 362, juin 1988. J. Laskar : The chaotic motion of the solar system - A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus, 88:266–291, déc. 1990. J. Laskar, A. Fienga, M. Gastineau et H. Manche : La2010 : a new orbital solution for the long-term motion of the Earth. A&A, 532:A89, Aug 2011a. J. Laskar, A. Fienga, M. Gastineau et H. Manche : La2010 : A new orbital solution for the long-term motion of the Earth. ArXiv e-prints, mars 2011b. J. Laskar et M. Gastineau : Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth. Nature, 459:817–819, juin 2009. J. Laskar et R. A. Jacobson : GUST86 - an analytical ephemeris of the Uranian satellites. A&A, 188:212–224, déc. 1987. J. Laskar, F. Joutel et F. Boudin : Orbital, precessional, and insolation quantities for the earth from -20 Myr to +10 Myr. A&A, 270:522–533, Mar 1993. J. Laskar, P. Robutel, F. Joutel, M. Gastineau, A. C. M. Correia et B. Levrard : A longterm numerical solution for the insolation quantities of the Earth. A&A, 428:261–285, Dec 2004. D. Lazzaro, S. Ferraz-Mello et C. Veillet : The Laplacian resonance amongst Uranian inner satellites. A&A, 140:33–38, nov. 1984. U. J. Le Verrier : Recherches astronomiques : (suite). Annales de l’Observatoire de Paris, 2, 1856. U.-J. Le Verrier : Détermination des actions mutuelles de Jupiter et de Saturne, pour servir de bases aux théories des deux planètes. Annales de l’observatoire de Paris, 10, 1874. 957

BIBLIOGRAPHIE L. A. Lebofsky et J. R. Spencer : Radiometry and thermal modeling of asteroids. In R. P. Binzel, T. Gehrels et M. S. Matthews, éds : Asteroids II, p. 128–147, jan. 1989. J. Lecacheux, P. Laques, L. Vapillon, A. Auge et R. Despiau : A new satellite of Saturn : Dione B. Icarus, 43:111–115, juil. 1980. W. H. Lehn et S. Van der Werf : Atmospheric refraction : a history. Appl. Opt., 44 (27):5624–5636, sept. 2005. G. Leone, P. Paolicchi, P. Farinella et V. Zappala : Equilibrium models of binary asteroids. A&A, 140(2):265–272, nov. 1984. J.-F. Lestrade et P. Bretagnon : Relativistic perturbations for all the planets. A&A, 105:42–52, jan. 1982. J. J. Levallois : Geodesie generale ... 1969. J.-J. Levallois et J. Kovalevsky : Géodésie générale., vol. 4. Eyrolles, Paris, 1971. C. Li, G. Zhao et C. Yang : Galactic Rotation and the Oort Constants in the Solar Vicinity. ApJ, 872:205, fév. 2019. Y.-C. Li, F.-Q. Wu et X. Chen : Constraints on the Brans-Dicke gravity theory with the Planck data. Phys. Rev. D, 88(8):084053, oct. 2013. J. H. Lieske : On the 3-7 Commensurability between Jupiter’s outer Two Galilean Satellites. A&A, 27:59, août 1973. J. H. Lieske : A Method of Revitalizing Sampson’s Theory of the Galilean Satellites. A&A, 31:137, mars 1974. J. H. Lieske : Theory of motion of Jupiter’s Galilean satellites. A&A, 56:333–352, avr. 1977. J. H. Lieske : Galilean satellites : analysis of photometric eclipses. A&A, 65:83–92, avr. 1978. J. H. Lieske : Improved ephemerides of the Galilean satellites. A&A, 82:340–348, fév. 1980. J. H. Lieske : Galilean satellite evolution - Observational evidence for secular changes in mean motions. A&A, 176:146–158, avr. 1987. J. H. Lieske, T. Lederle, W. Fricke et B. Morando : Expressions for the Precession Quantities Based upon the IAU (1976) System of Astronomical Constants. A&A, 58:1–16, Jun 1977. 958

BIBLIOGRAPHIE J. J. Lissauer, P. Goldreich et S. Tremaine : Evolution of the Janus-Epimetheus coorbital resonance due to torques from Saturn’s ring. Icarus, 64:425–434, déc. 1985. M. Littmann, F. Espenak et K. Willcox : Totality - Eclipses of the Sun. Oxford University Press, 2009. B. Luzum, N. Capitaine, A. Fienga, W. Folkner, T. Fukushima, J. Hilton, C. Hohenkerk, G. Krasinsky, G. Petit, E. Pitjeva, M. Soffel et P. Wallace : The IAU 2009 system of astronomical constants : the report of the IAU working group on numerical standards for Fundamental Astronomy. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 110:293– 304, août 2011. B. Luzum, N. Capitaine, A. Fienga, W. Folkner, T. Fukushima, J. Hilton, C. Hohenkerk, G. Petit, E. Pitjeva, M. Soffel et P. Wallace : Division i / Working Group : Numerical Standards of Fundamental Astronomy. Transactions of the International Astronomical Union, Series A, 28:50–51, avr. 2012. C. Ma, E. F. Arias, G. Bianco, D. A. Boboltz, S. L. Bolotin, P. Charlot, G. Engelhardt, A. L. Fey, R. A. Gaume, A. M. Gontier, R. Heinkelmann, C. S. Jacobs, S. Kurdubov, S. B. Lambert, Z. M. Malkin, A. Nothnagel, L. Petrov, E. Skurikhina, J. R. Sokolova, J. Souchay, O. J. Sovers, V. Tesmer, O. A. Titov, G. Wang, V. E. Zharov, C. Barache, S. Boeckmann, A. Collioud, J. M. Gipson, D. Gordon, S. O. Lytvyn, D. S. MacMillan et R. Ojha : The Second Realization of the International Celestial Reference Frame by Very Long Baseline Interferometry. IERS Technical Note, 35:1, Jan 2009. C. Ma, E. F. Arias, T. M. Eubanks, A. L. Fey, A. M. Gontier, C. S. Jacobs, O. J. Sovers, B. A. Archinal et P. Charlot : The International Celestial Reference Frame Realized by VLBI. IERS Technical Note, 23:II–3, Jun 1997. C. Ma, E. F. Arias, T. M. Eubanks, A. L. Fey, A. M. Gontier, C. S. Jacobs, O. J. Sovers, B. A. Archinal et P. Charlot : The International Celestial Reference Frame as Realized by Very Long Baseline Interferometry. AJ, 116(1):516–546, Jul 1998. D. S. MacMillan, A. Fey, J. M. Gipson, D. Gordon, C. S. Jacobs, H. Kr´asn´a, S. B. Lambert, Z. Malkin, O. Titov, G. Wang et M. H. Xu : Galactocentric acceleration in VLBI analysis. Findings of IVS WG8. A&A, 630:A93, Oct 2019. A. I. Mahan : Astronomical refraction–Some history and theories. Appl. Opt., 1(4):497– 511, juil. 1962. H. Manche : Private Communication, déc. 2012. H. Manche : Construction of the INPOP ephemeris : dynamical model and adjustments to Lunar Laser Ranging data. Theses, Observatoire de Paris, 2011. URL https: //tel.archives-ouvertes.fr/tel-00689852. 959

BIBLIOGRAPHIE L. Maquet, F. Colas, L. Jorda et J. Crovisier : CONGO, model of cometary nongravitational forces combining astrometric and production rate data. Application to comet 19P/Borrelly. A&A, 548:A81, déc. 2012. F. Marchis, P. Descamps, M. Baek, A. W. Harris, M. Kaasalainen, J. Berthier, D. Hestroffer et F. Vachier : Main belt binary asteroidal systems with circular mutual orbits. Icarus, 196(1):97–118, juil. 2008. F. Marchis, P. Descamps, D. Hestroffer et J. Berthier : Discovery of the triple asteroidal system 87 Sylvia. Nature, 436(7052):822–824, août 2005. F. Marchis, D. Hestroffer, P. Descamps, J. Berthier, A. H. Bouchez, R. a. D. Campbell, J. C. Y. Chin, M. A. van Dam, S. K. Hartman, E. M. Johansson, R. E. Lafon, D. Le Mignant, I. de Pater, P. J. Stomski, D. M. Summers, F. Vachier, P. L. Wizinovich et M. H. Wong : A low density of 0.8gcm−3 for the Trojan binary asteroid 617Patroclus. Nature, 439(7076):565–567, fév. 2006. J.-L. Margot, P. Pravec, P. Taylor, B. Carry et S. Jacobson : Asteroid Systems : Binaries, Triples, and Pairs, p. 355–374. Univ. Arizona Press, 2015. B. G. Marsden : Comets and Nongravitational Forces. II. The Astronomical Journal, 74:720, juin 1969. B. G. Marsden : Nongravitational forces on comets., vol. 393, p. 465–488. 1976. B. G. Marsden : Initial orbit determination - The pragmatist’s point of view. The Astronomical Journal, 90:1541–1547, août 1985. B. G. Marsden : The Motions of the Galilean Satellites of Jupiter. Thèse de doctorat, Yale University., jan. 1966. J.-C. Marty : Mars odyssey data release. Rap. tech., 2013. Private communication. P. M. Mathews et P. Bretagnon : Polar motions equivalent to high frequency nutations for a nonrigid Earth with anelastic mantle. A&A, 400:1113–1128, Mar 2003. P. M. Mathews, B. A. Buffett, T. A. Herring et I. I. Shapiro : Forced nutations of the earth : Influence of inner core dynamics, 1. Theory. J. Geophys. Res., 96(B5):8219– 8242, May 1991. P. M. Mathews, T. A. Herring et B. A. Buffett : Modeling of nutation and precession : New nutation series for nonrigid Earth and insights into the Earth’s interior. Journal of Geophysical Research (Solid Earth), 107(B4):2068, Apr 2002. E. Mazarico, A. Genova, S. Goossens, F. G. Lemoine, G. A. Neumann, M. T. Zuber, D. E. Smith et S. C. Solomon : The gravity field, orientation, and ephemeris of Mercury 960

BIBLIOGRAPHIE from MESSENGER observations after three years in orbit. Journal of Geophysical Research (Planets), 119(12):2417–2436, Dec 2014. D. D. McCarthy et B. J. Luzum : An Abridged Model of the Precession-Nutation of the Celestial Pole. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 85(1):37–49, jan. 2003. D. D. McCarthy et G. Petit : IERS Conventions (2003). IERS Technical Note, 32:1, Jan 2004. J. Meeus : La durée de la lunaison. Ciel et Terre, 76:21, 1960. J. Meeus : Astronomical algorithms. 1998. S. M. Merkowitz : Tests of Gravity Using Lunar Laser Ranging. Living Reviews in Relativity, 13:7–+, nov. 2010. F. Merlin, T. Hromakina, D. Perna, M. J. Hong et A. Alvarez-Candal : Taxonomy of trans-Neptunian objects and Centaurs as seen from spectroscopy. A&A, 604:A86, août 2017. W. J. Merline, L. M. Close, C. Dumas, C. R. Chapman, F. Roddier, F. M´enard, D. C. Slater, G. Duvert, C. Shelton et T. Morgan : Discovery of a moon orbiting the asteroid 45 Eugenia. Nature, 401:565–568, oct. 1999. W. J. Merline, L. M. Close, C. Dumas, J. C. Shelton, F. Menard, C. R. Chapman et D. C. Slater : Discovery of Companions to Asteroids 762 Pulcova and 90 Antiope by Direct Imaging. In AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts #32, vol. 32 de AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts, p. 13.06, oct. 2000. W. J. Merline, L. M. Close, N. Siegler, D. Potter, C. R. Chapman, C. Dumas, F. Menard, D. C. Slater, A. C. Baker, M. G. Edmunds, G. Mathlin, O. Guyon et K. Roth : S/2001 (617) 1. IAU Circ., 7741:2, oct. 2001. W. J. Merline, J. D. Drummond, B. Carry, A. Conrad, P. M. Tamblyn, C. Dumas, M. Kaasalainen, A. Erikson, S. Mottola, J. Durech, G. Rousseau, R. Behrend, G. B. Casalnuovo, B. Chinaglia, J. C. Christou, C. R. Chapman et C. Neyman : The Resolved Asteroid Program - Size, shape, and pole of (52) Europa. Icarus, 225:794–805, juil. 2013. W. J. Merline, S. J. Weidenschilling, D. D. Durda, J.-L. Margot, P. Pravec et A. D. Storrs : Asteroids Do Have Satellites. Asteroids III, p. 289–312, 2002. L. Metivier, H. Rouby, P. Rebischung et Z. altamimi : ITRF2014 and Earth figure changes : evidence of global viscous relaxation in recent ice melting Earth’s response ? In EGU General Assembly Conference Abstracts, EGU General Assembly Conference Abstracts, p. 7567, avr. 2018. 961

BIBLIOGRAPHIE A. Michailov : Über die Berechnung der Breite der Totalitätszone bei Sonnenfinsternissen. Astronomische Nachrichten, 243(4):49, août 1931. F. Mignard : The mean elements of Nereid. Astrophysical Journal, 86:1728, nov. 1981. A. Milani, A. M. Nobili et M. Carpino : Dynamics of Pluto. Icarus, 82:200–217, nov. 1989. R. Millis et J. Elliot : Direct determination of asteroid diameters from occultation observations, vol. CAS-26, p. 98–118. University of Arizona Press, Tucson, 1979. M. Minnaert : The reciprocity principle in lunar photometry. ApJ, 93:403–410, May 1941. J. B. Minster et T. H. Jordan : Present-day plate motions. J. Geophys. Res., 83 (B11):5331–5354, nov. 1978. P. J. Mohr, B. N. Taylor et D. B. Newell : CODATA recommended values of the fundamental physical constants : 2006a). Journal of Physical and Chemical Reference Data, 37(3):1187–1284, Sep 2008. X. Moisson : Solar system planetary motion to third order of the masses. A&A, 341:318– 327, jan. 1999. X. Moisson et P. Bretagnon : Analytical Planetary solution VSOP2000. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 80:205–213, juil. 2001. O. Montenbruck et E. Gill : Satellite orbits : models, methods, and applications. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000. T. Montmerle : Proceedings of the Twenty-Eighth General Assembly Beijing 2012. In IAU General Assembly, Sep 2015. M. Moons : Planetary Perturbations on the Libration of the Moon. Celestial Mechanics, 34(1-4):263–273, déc. 1984. B. Morando : Mouvement d’un satellite artificiel de la terre. 1974. A. Morbidelli, W. F. Bottke, D. Nesvorn´y et H. F. Levison : Asteroids were born big. Icarus, 204:558–573, déc. 2009. B. Morgado, M. Assafin, R. Vieira-Martins, J. I. B. Camargo, A. Dias-Oliveira et A. R. Gomes-J´unior : Astrometry of mutual approximations between natural satellites. Application to the Galilean moons. MNRAS, 460:4086–4097, Aug 2016. T. Morley : MEX and VEX data release, 2012. Private communication. T. Morley : MEX and VEX data release, 2013. Private communication. 962

BIBLIOGRAPHIE T. A. Morley : A catalogue of ground-based astrometric observations of the Martian satellites, 1877-1982. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 77:209–226, fév. 1989. T. A. Morley : An improved analytical model for the orbital motion of the Martian satellites. A&A, 228:260–274, fév. 1990. D. Morrison : The satellites of Jupiter and Saturn. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 20:469–495, jan. 1982. L. V. Morrison, R. W. Argyle, Y. Requieme, L. Helmer, C. Fabricius, O. H. Einicke, M. E. Buotempo, J. L. Muinos et M. Rapaport : Comparison of FK5 with Bordeaux and Carlsberg meridian circle observations. A&A, 240:173, Dec 1990. L. V. Morrison et F. R. Stephenson : Historical values of the Earth’s clock error ∆T and the calculation of eclipses. Journal for the History of Astronomy, 35:327–336, août 2004. F. R. Moulton : An introduction to celestial mechanics. 1970. T. Moyer : Dpodp manual. IOM 3215-37, JPL, 1971. T. D. Moyer : Formulation for Observed and Computed Values of Deep Space Network Data Types for Navigation, vol. 2. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, USA, jan 2003. ISBN 9780471728474. URL http://doi.wiley.com/10.1002/ 0471728470. K. Muinonen, I. N. Belskaya, A. Cellino, M. Delb`o, A.-C. Levasseur-Regourd, A. Penttil¨a et E. F. Tedesco : A three-parameter magnitude phase function for asteroids. Icarus, 209:542–555, oct. 2010. C. A. Murray : The transformation of coordinates between the systems of B1950.0 and J2000.0, and the principal galactic axes referred to J2000.0. A&A, 218:325–329, juil. 1989. C. D. Murray et S. F. Dermott : Solar system dynamics. 1999. R. A. Nelson, D. D. McCarthy, S. Malys, J. Levine, B. Guinot, H. F. Fliegel, R. L. Beard et T. R. Bartholomew : The leap second : its history and possible future. Metrologia, 38:509–529, déc. 2001. D. Nesvorn´y, D. Vokrouhlick´y, W. F. Bottke et H. F. Levison : Evidence for very early migration of the Solar System planets from the Patroclus-Menoetius binary Jupiter Trojan. Nature Astronomy, 2:878–882, sept. 2018. O. Neugebauer : A history of ancient mathematical astronomy. Part 1 ; Part 2 ; Part 3. 1975. 963

BIBLIOGRAPHIE S. Newcomb : Tables of the four inner planets. 2d ed. Astronomical papers prepared for the use of the American ephemeris and nautical almanac, v.6, Washington : Bureau of Equipment, Navy Dept., 1898., iii, 586 p. : 29 cm., 6, 1898a. S. Newcomb : Tables of the heliocentric motion of Neptune. [United States. Nautical Almanac Office. Astronomical paper ; v.7, pt. 4 (1898)], [Washington : U.S. Nautical Almanac Office, 1898], 7, 1898b. S. Newcomb : Tables of the heliocentric motion of Uranus. [United States. Nautical Almanac Office. Astronomical paper ; v.7, pt. 3 (1898)], [Washington : U.S. Nautical Almanac Office, 1898], 7, 1898c. X. X. Newhall, E. M. Standish et J. G. Williams : DE 102 - A numerically integrated ephemeris of the moon and planets spanning forty-four centuries. A&A, 125:150–167, août 1983. P. D. Nicholson, M. L. Cooke, K. Matthews, J. H. Elias et G. Gilmore : Five stellar occultations by Neptune - Further observations of ring arcs. Icarus, 87:1–39, sept. 1990. P. D. Nicholson et K. Matthews : Near-infrared observations of the Jovian ring and small satellites. Icarus, 93:331–346, oct. 1991. F. Nimmo, O. Umurhan, C. M. Lisse, C. J. Bierson, T. R. Lauer, M. W. Buie, H. B. Throop, J. A. Kammer, J. H. Roberts et W. B. McKinnon : Mean radius and shape of Pluto and Charon from New Horizons images. Icarus, 287:12–29, May 2017. B. Noyelles, A. Vienne et P. Descamps : Astrometric reduction of lightcurves observed during the PHESAT95 campaign of Saturnian satellites. A&A, 401:1159–1175, avr. 2003. C. R. Nugent, A. Mainzer, J. Masiero, T. Grav et J. Bauer : The yarkovsky drift’s influence on neas : Trends and predictions with neowise measurements. The Astronomical Journal, 144(3):75, 2012a. URL http://stacks.iop.org/1538-3881/ 144/i=3/a=75. C. R. Nugent, J. L. Margot, S. R. Chesley et D. Vokrouhlick´y : Detection of semimajor axis drifts in 54 near-earth asteroids : New measurements of the yarkovsky effect. The Astronomical Journal, 144(2):60, 2012b. URL http://stacks.iop. org/1538-3881/144/i=2/a=60. P. Oberti : An accurate solution for Nereid’s motion. I - Analytic modeling. A&A, 239:381–386, nov. 1990a. P. Oberti : Lagrangian satellites of Tethys and Dione. II - Theory of motion. A&A, 228:275–283, fév. 1990b. 964

BIBLIOGRAPHIE P. Oberti, C. Veillet et V. Catullo : Lagrangian satellites of Tethys and Dione. I Reduction of observations. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 80:289– 297, nov. 1989. P. Oberti et A. Vienne : An upgraded theory for Helene, Telesto, and Calypso. A&A, 397:353–359, jan. 2003. J. H. Oort : Observational evidence confirming Lindblad’s hypothesis of a rotation of the galactic system. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 3:275, avr. 1927. A. A. Orlov et V. M. Chepurova : On short-periodic solar perturbations in the motion of the 8th Jupiter satellite. Komety i Meteory, 35:8–10, Jan 1984. B. A. Orlov : Determination of the preliminary orbit of a minor planet by two observations. Pulkovo Obs. Circ., 26:55–63, 1939. J. M. Oudin : Étude sur la date de Pâques. Bulletin astronomique, 12:391–410, jan. 1940. W. M. Owen, R. M. Vaughan et S. P. Synnott : Orbits of the six new satellites of Neptune. AJ, 101:1511–1515, avr. 1991a. W. M. Owen, R. M. Vaughan et S. P. Synnott : Orbits of the Six New Satellites of Neptune. Astrophysical Journal, 101:1511, avr. 1991b. M. Pajuelo, B. Carry, F. Vachier, M. Marsset, J. Berthier, P. Descamps, W. J. Merline, P. M. Tamblyn, J. Grice, A. Conrad, A. Storrs, B. Timerson, D. Dunham, S. Preston, A. Vigan, B. Yang, P. Vernazza, S. Fauvaud, L. Bernasconi, D. Romeuf, R. Behrend, C. Dumas, J. D. Drummond, J. L. Margot, P. Kervella, F. Marchis et J. H. Girard : Physical, spectral, and dynamical properties of asteroid (107) Camilla and its satellites. Icarus, 309:134–161, juil. 2018. D. Pascu, S. P. Panossian, R. E. Schmidt, P. K. Seidelmann et J. L. Hershey : B, V photometry of Thebe (JXIV). Icarus, 98:38–42, juil. 1992. D. A. Pavlov, J. G. Williams et V. V. Suvorkin : Determining parameters of Moon’s orbital and rotational motion from LLR observations using GRAIL and IERS-recommended models. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 126(1-3):61–88, 2016. ISSN 0923-2958. URL http://link.springer.com/10.1007/s10569-016-9712-1. S. J. Peale : Orbital resonances, unusual configurations and exotic rotation states among planetary satellites, p. 159–223. Burns, Joseph A. and Matthews, Mildred Shapley, 1986. C. D. Perrine : Orbits of the sixth and seventh satellites of Jupiter. Astronomische Nachrichten, 169:43, juil. 1905. 965

BIBLIOGRAPHIE M. E. Perry, G. A. Neumann, R. J. Phillips, O. S. Barnouin, C. M. Ernst, D. S. Kahan, S. C. Solomon, M. T. Zuber, D. E. Smith, S. A. Hauck, S. J. Peale, J.-L. Margot, E. Mazarico, C. L. Johnson, R. W. Gaskell, J. H. Roberts, R. L. McNutt et J. Oberst : The low-degree shape of Mercury. Geophysical Research Letters, 42:6951–6958, sept. 2015. M. A. C. Perryman : The HIPPARCOS Catalogue Contents. In R. M. Bonnet, E. Høg, P. L. Bernacca, L. Emiliani, A. Blaauw, C. Turon, J. Kovalevsky, L. Lindegren, H. Hassan, M. Bouffard, B. Strim, D. Heger, M. A. C. Perryman et L. Woltjer, éds : Hipparcos - Venice ’97, vol. 402 de ESA Special Publication, p. 1–4, Aug 1997. M. A. C. Perryman, L. Lindegren, J. Kovalevsky, E. Hoeg, U. Bastian, P. L. Bernacca, M. Cr´ez´e, F. Donati, M. Grenon, M. Grewing, F. van Leeuwen, H. Van der Marel, F. Mignard, C. A. Murray, R. S. Le Poole, H. Schrijver, C. Turon, F. Arenou, M. Froeschl´e et C. S. Petersen : The HIPPARCOS Catalogue. A&A, 323:L49–L52, juil. 1997. C. F. Peters : Numerical integration of the satellites of the outer planets. A&A, 104:37–41, Dec 1981. G. Petit : BIPM/IAU Joint Committee on relativity for space-time reference systems and metrology. In IAU Joint Discussion, vol. 24, p. 3, Jan 2000a. G. Petit : Report of the BIPM/IAU Joint Committee on Relativity for Space-Time Reference Systems and Metrology. In K. J. Johnston, D. D. McCarthy, B. J. Luzum et G. H. Kaplan, éds : IAU Colloq. 180 : Towards Models and Constants for SubMicroarcsecond Astrometry, p. 275, jan. 2000b. G. Petit et B. Luzum : IERS Conventions (2010). IERS Technical Note, 36:1, Jan 2010. E. C. Pickering : Positions of Phoebe in May, 1905. Astronomische Nachrichten, 169:77, juil. 1905. E. V. Pitjeva : High-Precision Ephemerides of Planets—EPM and Determination of Some Astronomical Constants. Solar System Research, 39:176–186, mai 2005. E. V. Pitjeva : EPM ephemerides and relativity. In S. A. Klioner, P. K. Seidelmann et M. H. Soffel, éds : IAU Symposium, vol. 261, p. 170–178. IAU Symposium, jan. 2010. E. V. Pitjeva et N. P. Pitjev : Relativistic effects and dark matter in the Solar system from observations of planets and spacecraft. MNRAS, 432:3431–3437, juil. 2013. E. V. Pitjeva et E. M. Standish : Proposals for the masses of the three largest asteroids, the Moon-Earth mass ratio and the Astronomical Unit. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 103(4):365–372, Apr 2009. 966

BIBLIOGRAPHIE C. C. Porco, E. Baker, J. Barbara, K. Beurle, A. Brahic, J. A. Burns, S. Charnoz, N. Cooper, D. D. Dawson, A. D. Del Genio, T. Denk, L. Dones, U. Dyudina, M. W. Evans, B. Giese, K. Grazier, P. Helfenstein, A. P. Ingersoll, R. A. Jacobson, T. V. Johnson, A. McEwen, C. D. Murray, G. Neukum, W. M. Owen, J. Perry, T. Roatsch, J. Spitale, S. Squyres, P. Thomas, M. Tiscareno, E. Turtle, A. R. Vasavada, J. Veverka, R. Wagner et R. West : Cassini Imaging Science : Initial Results on Saturn’s Rings and Small Satellites. Science, 307(5713):1226–1236, fév. 2005. P. Pravec, P. Scheirich, P. Ku snir´ak, L. Sarounov´a, S. Mottola, G. Hahn, P. G. Brown, G. A. Esquerdo, N. Kaiser, Z. Krzeminski, D. P. Pray, B. D. Warner, A. W. Harris, M. C. Nolan, E. S. Howell, L. A. M. Benner, J.-L. Margot, A. Gal´ad, W. Holliday, M. D. Hicks, Y. N. Krugly, D. J. Tholen, R. J. Whiteley, F. Marchis, D. R. Degraff, A. Grauer, S. Larson, F. P. Velichko, W. R. Cooney, R. Stephens, J. Zhu, K. Kirsch, R. Dyvig, L. Snyder, V. Reddy, S. Moore, S. Gajdo s, J. Vil´agi, G. Masi, D. Higgins, G. Funkhouser, B. Knight, S. M. Slivan, R. Behrend, M. Grenon, G. Burki, R. Roy, C. Demeautis, D. Matter, N. Waelchli, Y. Revaz, A. Klotz, M. Rieugn´e, P. Thierry, V. Cotrez, L. Brunetto et G. Kober : Photometric survey of binary near-Earth asteroids. Icarus, 181:63–93, mars 2006. P. Pravec, P. Scheirich, J. Durech, J. Pollock, P. Ku snir´ak, K. Hornoch, A. Gal´ad, D. Vokrouhlick´y, A. W. Harris, E. Jehin, J. Manfroid, C. Opitom, M. Gillon, F. Colas, J. Oey, J. Vra stil, D. Reichart, K. Ivarsen, J. Haislip et A. LaCluyze : The tumbling spin state of (99942) Apophis. Icarus, 233:48–60, mai 2014. P. Pravec, D. Vokrouhlick´y, D. Polishook, D. J. Scheeres, A. W. Harris, A. Gal´ad, O. Vaduvescu, F. Pozo, A. Barr, P. Longa, F. Vachier, F. Colas, D. P. Pray, J. Pollock, D. Reichart, K. Ivarsen, J. Haislip, A. Lacluyze, P. Ku snir´ak, T. Henych, F. Marchis, B. Macomber, S. A. Jacobson, Y. N. Krugly, A. V. Sergeev et A. Leroy : Formation of asteroid pairs by rotational fission. Nature, 466:1085–1088, août 2010. W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling et B. Flannery : Numerical Recipes in Fortran. Cambridge University Press, 1986, 1992. second edition. F. Preusker, F. Scholten, K. D. Matz, T. Roatsch, K. Willner, S. F. Hviid, J. Knollenberg, L. Jorda, P. J. Guti´errez, E. K¨uhrt, S. Mottola, M. F. A’Hearn, N. Thomas, H. Sierks, C. Barbieri, P. Lamy, R. Rodrigo, D. Koschny, H. Rickman, H. U. Keller, J. Agarwal, M. A. Barucci, J. L. Bertaux, I. Bertini, G. Cremonese, V. Da Deppo, B. Davidsson, S. Debei, M. De Cecco, S. Fornasier, M. Fulle, O. Groussin, C. G¨uttler, W. H. Ip, J. R. Kramm, M. K¨uppers, L. M. Lara, M. Lazzarin, J. J. Lopez Moreno, F. Marzari, H. Michalik, G. Naletto, N. Oklay, C. Tubiana et J. B. Vincent : Shape model, reference system definition, and cartographic mapping standards for comet 67P/Churyumov-Gerasimenko - Stereo- photogrammetric analysis of Rosetta/OSIRIS image data. A&A, 583:A33, nov. 2015. 967

BIBLIOGRAPHIE A. Pr˘sa, P. Harmanec, G. Torres, E. Mamajek, M. Asplund, N. Capitaine, J. ChristensenDalsgaard, É. Depagne, M. Haberreiter, S. Hekker, J. Hilton, G. Kopp, V. Kostov, D. W. Kurtz, J. Laskar, B. D. Mason, E. F. Milone, M. Montgomery, M. Richards, W. Schmutz, J. Schou et S. G. Stewart : Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities : IAU 2015 Resolution B3. AJ, 152:41, août 2016. E. Rabe : Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies. Astrophysical Journal, 66:500, nov. 1961. D. Ragozzine et M. E. Brown : Orbits and Masses of the Satellites of the Dwarf Planet Haumea (2003 EL61). AJ, 137:4766–4776, juin 2009. N. Rambaux et J. G. Williams : The Moon’s physical librations and determination of their free modes. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 109(1):85–100, Jan 2011. M. Rapaport : Observations of Saturn’s satellites. Comparison with various theories. A&A, 51:51–56, Aug 1976. M. Rapaport : On the theory of the motion of Iapetus. A&A, 62:235–238, Jan 1978. N. J. Rappaport, L. Iess, P. Tortora, A. Anabtawi, S. W. Asmar, L. Somenzi et F. Zingoni : Mass and interior of Enceladus from Cassini data analysis. Icarus, 190:175–178, sept. 2007. C. Raymond et T. Roatsch : Ceres coordinate system description, 2015. URL https: //sbn.psi.edu/pds/resource/ceres_coord_sys_151014.pdf. E. M. Reingold et N. Dershowitz : Calendrical Calculations : The millennium edition. 2001. T. W. Rettig et K. Walsh : BVR Color Survey of the Jovian Irregular Satellites. In AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts #34, vol. 34 de AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts, p. 14.14, sept. 2002. E. G. Richards : Mapping time : the calendar and its history. 1998. C. Ridders : vol. CAS-26, p. 979–980. 1979. P. Rocher et J. Chapront : Observations and ephemerides of the faint satellites of Jupiter. A&A, 311:710–714, juil. 1996. C. Rodrigo, E. Solano, A. Bayo et C. Rodrigo : SVO Filter Profile Service Version 1.0. Rap. tech., oct. 2012. F. Roosbeek et V. Dehant : RDAN97 : An Analytical Development of Rigid Earth Nutation Series Using the Torque Approach. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 70(4):215–253, Apr 1998. 968

BIBLIOGRAPHIE L. E. Rose : Motion of Phoebe (Saturn IX) 1904 - 1969 and a determination of Saturn’s mass. Astrophysical Journal, 84:1067–1071, juil. 1979. L. E. Rose : Orbit of Nereid and the mass of Neptune. Astrophysical Journal, 79:489, avr. 1974. F. E. Ross : Elements and ephemeris of Jupiter’s sixth satellite. Astronomische Nachrichten, 169:157, août 1905. F. E. Ross et S. Newcomb : New elements of Mars and tables for correcting the heliocentric positions derived from Astronomical papers. Vol. IX, pt. II. [United States. Nautical Almanac Office. Astronomical paper ; v.9, pt. 2 (1917)], [Washington : U.S. Nautical Almanac Office, 1917], p. 251-274 incl. tables. 31 x 25 cm., 9:251–274, 1917. C. T. Russell, C. A. Raymond, E. Ammannito, D. L. Buczkowski, M. C. De Sanctis, H. Hiesinger, R. Jaumann, A. S. Konopliv, H. Y. McSween, A. Nathues, R. S. Park, C. M. Pieters, T. H. Prettyman, T. B. McCord, L. A. McFadden, S. Mottola, M. T. Zuber, S. P. Joy, C. Polanskey, M. D. Rayman, J. C. Castillo-Rogez, P. J. Chi, J. P. Combe, A. Ermakov, R. R. Fu, M. Hoffmann, Y. D. Jia, S. D. King, D. J. Lawrence, J.-Y. Li, S. Marchi, F. Preusker, T. Roatsch, O. Ruesch, P. Schenk, M. N. Villarreal et N. Yamashita : Dawn arrives at Ceres : Exploration of a small, volatile-rich world. Science, 353(6303):1008–1010, 2016. ISSN 0036-8075. URL http://science. sciencemag.org/content/353/6303/1008. C. T. Russell, C. A. Raymond, A. Coradini, H. Y. McSween, M. T. Zuber, A. Nathues, M. C. De Sanctis, R. Jaumann, A. S. Konopliv, F. Preusker, S. W. Asmar, R. S. Park, R. Gaskell, H. U. Keller, S. Mottola, T. Roatsch, J. E. C. Scully, D. E. Smith, P. Tricarico, M. J. Toplis, U. R. Christensen, W. C. Feldman, D. J. Lawrence, T. J. McCoy, T. H. Prettyman, R. C. Reedy, M. E. Sykes et T. N. Titus : Dawn at Vesta : Testing the Protoplanetary Paradigm. Science, 336:684–686, mai 2012. J. Salgado, J. Gonz´alez-N´un˜ ez, R. Guti´errez-S´anchez, J. Segovia, J. Dur´an, J. Hern´andez et C. Arviset : The esa gaia archive : Data release 1. Astronomy and Computing, 21:22 – 26, 2017. ISSN 2213-1337. URL http://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S2213133717300355. R. A. Sampson : Jupiter, Satellites I. , II. , III. , IV. , tables of, preliminary comparison with observations. MNRAS, 71:76, nov. 1910. R. A. Sampson : The tables of Jupiter’s satellites. The Observatory, 34:54–56, jan. 1911. R. A. Sampson : Theory of the Four Great Satellites of Jupiter. Memoirs of the Royal Astronomical Society, 63:1, jan. 1921. T. Sasao et J. M. Wahr : An excitation mechanism for the free “core nutation”. Geophysical Journal, 64:729–746, Mar 1981. 969

BIBLIOGRAPHIE P. Scheirich, J. Durech, P. Pravec, M. Kozubal, R. Dantowitz, M. Kaasalainen, A. S. Betzler, P. Beltrame, G. Muler, P. Birtwhistle et F. Kugel : The shape and rotation of asteroid 2008 TC3 . Meteoritics and Planetary Science, 45:1804–1811, oct. 2010. H. Schwan : Precession and Galactic Rotation in the System of the FK5. A&A, 198 (1-2):116–124, Jun 1988. P. K. Seidelmann : 1980 I.A.U. Theory of Nutation - the Final Report of the I.A.U. Working Group on Nutation. Celestial Mechanics, 27(1):79–106, May 1982. P. K. Seidelmann, V. K. Abalakin, M. Bursa, M. E. Davies, C. de Bergh, J. H. Lieske, J. Oberst, J. L. Simon, E. M. Standish, P. Stooke et P. C. Thomas : Report of the IAU/IAG Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites : 2000. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 82:83–111, jan. 2002. P. K. Seidelmann, B. A. Archinal, M. F. A’Hearn, D. P. Cruikshank, J. L. Hilton, H. U. Keller, J. Oberst, J. L. Simon, P. Stooke, D. J. Tholen et P. C. Thomas : Report of the IAU/IAG Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements : 2003. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 91:203–215, mars 2005. P. K. Seidelmann et T. Fukushima : Why new time scales ? A&A, 265:833–838, nov. 1992. P. K. Seidelmann, R. S. Harrington, D. Pascu, W. A. Baum, D. G. Currie, J. A. Westphal et G. E. Danielson : Saturn satellite observations and orbits from the 1980 ring plane crossing. Icarus, 47:282–287, août 1981. P. K. Seidelmann, B. A. Archinal, M. F. A’Hearn, A. Conrad, G. J. Consolmagno, D. Hestroffer, J. L. Hilton, G. A. Krasinsky, G. Neumann, J. Oberst, P. Stooke, E. F. Tedesco, D. J. Tholen, P. C. Thomas et I. P. Williams : Report of the IAU/IAG Working Group on cartographic coordinates and rotational elements : 2006. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 98:155–180, juil. 2007. Z. Sekanina : Effects of Discrete-Source Outgassing on Motions of Periodic Comets and Discontinuous Orbit Anomalies. AJ, 105:702, Feb 1993. Z. Sekanina : Encke, the comet. JRASC, 85:324–376, déc. 1991. B. P. Sharpless : Secular accelerations in the longitudes of the satellites of Mars. AJ, 51:185–186, nov. 1945. M. K. Shepard, J. Richardson, P. A. Taylor, L. A. Rodriguez-Ford, A. Conrad, I. de Pater, M. Adamkovics, K. de Kleer, J. R. Males et K. M. Morzinski : Radar observations and shape model of asteroid 16 Psyche. Icarus, 281:388–403, Jan 2017. 970

BIBLIOGRAPHIE S. S. Sheppard : Small bodies in the outer solar system : From Kuiper Belt objects to Centaurs to satellites. Thèse de doctorat, UNIVERSITY OF HAWAI’I, Jan 2004. T. Shirai et T. Fukushima : Numerical Convolution in the Time Domain and Its Application to the Nonrigid-Earth Nutation Theory. AJ, 119(5):2475–2480, May 2000. V. A. Shor : The Motion of The Martian Satellites. Celestial Mechanics, 12:61–75, août 1975. V. A. Shor : Refinement of the orbits of PHOBOS and Deimos using ground- and spacebased observations. Pisma v Astronomicheskii Zhurnal, 14:1123–1130, déc. 1988. R. W. Shorthill, T. F. Greene et D. W. Smith : Atmospheric properties of Jupiter determined from Galilean satellite eclipse light curves. In A. Woszczyk et C. Iwaniszewska, éds : Exploration of the Planetary System, vol. 65, p. 401–405, jan. 1974. M. R. Showalter, F. Colas, J. Lecacheux, P. Laques et R. Despiau : Saturn. IAU Circ., 5052:2, juil. 1990. M. R. Showalter : Visual detection of 1981S13, Saturn’s eighteenth satellite, and its role in the Encke gap. Nature, 351:709–713, juin 1991. H. Sierks, P. Lamy, C. Barbieri, D. Koschny, H. Rickman, R. Rodrigo, M. F. A’Hearn, F. Angrilli, M. A. Barucci et J. L. Bertaux : Images of Asteroid 21 Lutetia : A Remnant Planetesimal from the Early Solar System. Science, 334(6055):487, Oct 2011. P. Sillard et C. Boucher : A review of algebraic constraints in terrestrial reference frame datum definition. Journal of Geodesy, 75(2):63–73, mai 2001. J.-L. Simon : Theory for the motion of the four giant planets - The TOP82 solution. A&A, 120:197–202, avr. 1983. J.-L. Simon et P. Bretagnon : Perturbations at the Second Order of the Four Large Planets. Secular Variations of the Semi-Major Axes. A&A, 69, oct. 1978. J.-L. Simon et P. Bretagnon : A motion theory for Jupiter and Saturn over a 6000 yr span - Solution JASON84. A&A, 138:169–178, sept. 1984. J. L. Simon, P. Bretagnon, J. Chapront, M. Chapront-Touze, G. Francou et J. Laskar : Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets. A&A, 282:663, fév. 1994. J.-L. Simon et J. Chapront : Second Order Perturbations for Jupiter and Saturn. Comparison with Le Verrier. A&A, 32:51, avr. 1974. 971

BIBLIOGRAPHIE J.-L. Simon et G. Francou : A third order theory of the masses of four large planets. A&A, 103:223–243, nov. 1981. J.-L. Simon et G. Francou : Improvement of the theories of Jupiter and Saturn by harmonic analysis. A&A, 114:125–130, oct. 1982. J.-L. Simon et G. Francou : Construction des théories planétaires analytiques de l’IMCCE. Notes Scientifiques et Techniques de l’Institut de Mecanique Celeste, 103, déc. 2016. J.-L. Simon, G. Francou, A. Fienga et H. Manche : New analytical planetary theories VSOP2013 and TOP2013. A&A, 557:A49, sept. 2013. J.-L. Simon et F. Joutel : Calculation of the mutual perturbations of Jupiter and Saturn in terms of a single angular variable. A&A, 205:328–334, oct. 1988. J.-L. Simon, F. Joutel et P. Bretagnon : Mutual perturbations of the four outer planets in terms of only one angular variable. A&A, 265:308–323, nov. 1992. R. A. Simpson, G. L. Tyler et J. B. Holberg : Saturn’s pole : geometric correction based on Voyager UVS and radio occultations. Astrophysical Journal, 88:1531–1536, oct. 1983. A. T. Sinclair : The motions of the satellites of Mars. MNRAS, 155:249, jan. 1972. A. T. Sinclair : The orbits of Tethys, Dione, Rhea, Titan and Iapetus. MNRAS, 180:447– 459, Aug 1977. A. T. Sinclair : The orbits of the satellites of Mars determined from earth-based and spacecraft observations. A&A, 220:321–328, août 1989. B. A. Smith, L. Soderblom, R. M. Batson, P. M. Bridges, J. L. Inge, H. Masursky, E. Shoemaker, R. F. Beebe, J. Boyce, G. Briggs, A. Bunker, S. A. Collins, C. Hansen, T. V. Johnson, J. L. Mitchell, R. J. Terrile, A. F. Cook, J. N. Cuzzi, J. B. Pollack, G. E. Danielson, A. P. Ingersoll, M. E. Davies, G. E. Hunt, D. Morrison, T. Owen, C. Sagan, J. Veverka, R. Strom et V. E. Suomi : A new look at the Saturn system - The Voyager 2 images. Science, 215:504–537, jan. 1982. L. A. Soderblom et T. V. Johnson : The Moons of Saturn. Scientific American, 246:100– 115, jan. 1982. M. Soffel, S. A. Klioner, G. Petit, P. Wolf, S. M. Kopeikin, P. Bretagnon, V. A. Brumberg, N. Capitaine, T. Damour, T. Fukushima, B. Guinot, T. Y. Huang, L. Lindegren, C. Ma, K. Nordtvedt, J. C. Ries, P. K. Seidelmann, D. Vokrouhlick´y, C. M. Will et C. Xu : The IAU 2000 Resolutions for Astrometry, Celestial Mechanics, and Metrology in the Relativistic Framework : Explanatory Supplement. AJ, 126(6):2687–2706, Dec 2003. 972

BIBLIOGRAPHIE M. H. Soffel : Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and Geodesy. 1989. J. Souchay, M. Feissel, C. Bizouard, N. Capitaine et M. Bougeard : Precession and nutation for a non-rigid Earth : comparison between theory and VLBI observations. A&A, 299:277, Jul 1995. J. Souchay et H. Kinoshita : Corrections and new developments in rigid-Earth nutation theory. II. Influence of second-order geopotential and direct planetary effect. A&A, 318:639–652, Feb 1997. J. Souchay, B. Loysel, H. Kinoshita et M. Folgueira : Corrections and new developments in rigid earth nutation theory. III. Final tables “REN-2000” including crossed-nutation and spin-orbit coupling effects. A&AS, 135:111–131, Feb 1999. J. Souchay et N. Capitaine : Precession and Nutation of the Earth, vol. 861, p. 115. 2013. M. Souillart : Théorie analytique des mouvements des Satellites de Jupiter. Memoirs of the Royal Astronomical Society, 45:1, jan. 1880. H. Spencer Jones : The rotation of the earth, and the secular accelerations of the sun, moon and planets. MNRAS, 99:541, May 1939. F. Spoto, A. Milani et Z. Kne zevi´c : Asteroid family ages. Icarus, 257:275–289, sept. 2015. E. M. Standish : Two Differing Definitions of the Dynamical Equinox and the Mean Obliquity. A&A, 101:L17, sept. 1981. E. M. Standish : Orientation of the JPL Ephemerides, DE 200/LE 200, to the dynamical equinox of J 2000. A&A, 114:297–302, oct. 1982. E. M. Standish : Jpl planetary and lunar ephemerides de405. JPL Interoffice Memorandum IOM 312.F-98-048, 1998. E. M. Standish : The jpl de405 planetary and lunar ephemerides. 2001. E. M. Standish, X. Newhall, J. Williams et W. Folkner : Planetary and lunar ephemerides de403/le403. Rap. tech. 314.10-127, JPL, 1995. E. M. Standish, J. Williams et X. Newhall : Numerical Integration DE200/LE200. Bande magnétique, 1981. E. M. Standish : Modern Planetary Ephemerides. In A. D. Fiala et S. J. Dick, éds : Proceedings : Nautical Almanac Office, p. 325, Jan 1999. A. J. Steffl, N. J. Cunningham, A. B. Shinn, D. D. Durda et S. A. Stern : A search for Vulcanoids with the STEREO Heliospheric Imager. Icarus, 223:48–56, mars 2013. 973

BIBLIOGRAPHIE F. R. Stephenson et L. V. Morrison : Long-Term Fluctuations in the Earth’s Rotation : 700 BC to AD 1990. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A, 351:165–202, avr. 1995. F. R. Stephenson, L. V. Morrison et C. Y. Hohenkerk : Measurement of the Earth’s rotation : 720 BC to AD 2015. Proceedings of the Royal Society of London Series A, 472:20160404, déc. 2016. S. A. Stern, W. M. Grundy, W. B. McKinnon, H. A. Weaver et L. A. Young : The Pluto System After New Horizons. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 56:357–392, Sep 2018. J. Stoer et R. Bulirsch : Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag New York Inc., 1980. E. C. Stone et E. D. Miner : Voyager 2 encounter with the Saturnian system. Science, 215:499–504, jan. 1982. E. C. Stone et E. D. Miner : The Voyager 2 Encounter with the Neptunian System. Science, 246:1417–1421, Dec 1989. G. Struve : Problems in the Investigation of the System of Saturn. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 43:377, Dec 1931. H. Struve : Beobachtungen des Halleyschen Kometen auf der Kgl. Sternwarte zu Berlin. Astronomische Nachrichten, 188:5, avr. 1911. J. P. Swings : Transactions of the International Astronomical Union, Volume XIXB : Proceedings of the Nineteenth General Assembly, Delhi 1985. Transactions of the International Astronomical Union, Series B, 19, Jan 1986. S. P. Synnott : Orbits of the small inner satellites of Jupiter. Icarus, 58:178–181, mai 1984. S. P. Synnott, R. J. Terrile, R. A. Jacobson et B. A. Smith : Orbits of Saturn’s F ring and its shepherding satellites. Icarus, 53:156–158, jan. 1983. R. Tajeddine, V. Lainey, N. J. Cooper et C. D. Murray : Cassini ISS astrometry of the Saturnian satellites : Tethys, Dione, Rhea, Iapetus, and Phoebe 2004-2012. A&A, 575:A73, mars 2015. D. B. Taylor : Ephemerides of the five major Uranian satellites by numerical integration. A&A, 330:362–374, Feb 1998. D. B. Taylor et K. X. Shen : Analysis of astrometric observations from 1967 to 1983 of the major satellites of Saturn. A&A, 200:269–278, Jul 1988. 974

BIBLIOGRAPHIE D. B. Taylor, A. T. Sinclair et P. J. Message : Corrections to the theory of the orbit of Saturn’s satellite Hyperion. A&A, 181:383–390, juil. 1987. E. F. Tedesco, J. G. Williams, D. L. Matson, G. J. Veeder, J. C. Gradie et L. A. Lebofsky : Three-parameter asteroid taxonomy classifications. Asteroids II, p. 1151–1161, 1989. D. J. Tholen, M. W. Buie, W. M. Grundy et G. T. Elliott : Masses of Nix and Hydra. Astrophysical Journal, 135:777–784, mars 2008. D. J. Tholen et B. Zellner : Eight-color photometry of Hyperion, Iapetus, and Phoebe. Icarus, 53:341–347, fév. 1983. D. J. Tholen et M. W. Buie : Circumstances for Pluto-Charon Mutual Events in 1989. Astrophysical Journal, 96:1977, déc. 1988. D. J. Tholen et E. F. Tedesco : Pluto’s Lightcurve : Results from Four Oppositions. Icarus, 108:200–208, avr. 1994. P. Thomas, J. Veverka, D. Morrison, M. Davies et T. V. Johnson : Saturn’s Small Satellites : Voyager Imaging Results. J. Geophys. Res., 88(A11):8743–8754, nov. 1983. P. Thomas, C. Weitz et J. Veverka : Small satellites of Uranus - Disk-integrated photometry and estimated radii. Icarus, 81:92–101, sept. 1989. P. C. Thomas : The shapes of small satellites. Icarus, 77(2):248–274, fév. 1989. P. C. Thomas, M. F. A’Hearn, J. Veverka, M. J. S. Belton, J. Kissel, K. P. Klaasen, L. A. McFadden, H. J. Melosh, P. H. Schultz, S. Besse, B. T. Carcich, T. L. Farnham, O. Groussin, B. Hermalyn, J.-Y. Li, D. J. Lindler, C. M. Lisse, K. Meech et J. E. Richardson : Shape, density, and geology of the nucleus of Comet 103P/Hartley 2. Icarus, 222:550–558, fév. 2013. P. C. Thomas, J. A. Burns, L. Rossier, D. Simonelli, J. Veverka, C. R. Chapman, K. Klaasen, T. V. Johnson, M. J. S. Belton et Galileo Solid State Imaging Team : The Small Inner Satellites of Jupiter. Icarus, 135(1):360–371, sept. 1998. P. Thomas et J. Veverka : Neptune’s small inner satellites. Journal of Geophysical Research, 96:19261–19268, oct. 1991. P. Thomas, J. Veverka et P. Helfenstein : Voyager observations of Nereid. J. Geophys. Res., 96:19253–19259, oct. 1991. P. C. Thomas, R. P. Binzel, M. J. Gaffey, B. H. Zellner, A. D. Storrs et E. Wells : Vesta : Spin pole, size, and shape from hst images. Icarus, 128(1):88 – 94, 1997. ISSN 0019-1035. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0019103597957365. 975

BIBLIOGRAPHIE W. Thuillot : Theory of the phenomena of Jupiter’s Galilean satellites - A Cheyshevpolynomial representation. A&A, 127(1):63–67, Oct 1983. M. S. Tiscareno et C. D. Murray : Planetary Ring Systems. Properties, Structure, and Evolution. 2018. F. Tisserand : Note sur l’invariabilité des orbites des planètes. In Compt. Rend. Acad. sci, vol. 82, 1876. F. Tisserand : Perturbations des planètes d’après la méthode de la variation des constantes arbitraires. In Traité de mécanique céleste, vol. 1. Gauthier-Villars, Paris, 1889. F. Tisserand : Mémoires et observations. Sur les déplacements séculaires de l’équateur d’une planète et du plan de l’orbite de son satellite. Bulletin astronomique, Serie I, 11:337–343, jan. 1894. UAI1976 : Proceedings of the 16th General Assembly, Grenoble 1976. In Trans. IAU XVIB. Reidel, Dordrecht, 58, 1978. UAI2016 : Résolutions de la XXIXe assemblée générale, 2016. URL https://www. iau.org/static/resolutions/IAU2015_French.pdf. F. Vachier, J. Berthier et F. Marchis : Determination of binary asteroid orbits with a genetic-based algorithm. A&A, 543:A68, juil. 2012. Y. V¨ais¨al¨a : Eine einfache Methode der Bahnbestimmung. Mitteil. Sternw. Univ. Turku, 1, 1939. D. A. Vallado : Fundamentals of Astrodynamics and Applications. 2007. G. van den Bergh : Periodicity and variation of solar (and lunar) eclipses. Tjeenk Willink, Haarlem, Netherlands, 1955. F. van Leeuwen : Hipparcos, the New Reduction of the Raw Data, vol. 350. Springer Science, Business Media B.V., 2007, 2007. R. Vasundhara : Mutual phenomena of the Galilean satellites : an analysis of the 1991 observations from VBO. A&A, 281:565–575, jan. 1994. R. Vasundhara, J. E. Arlot et P. Descamps : New constants for SampsonLieske theory of the Galilean satellites of Jupiter from mutual occultation data. In Dynamics, Ephemerides, and Astrometry of the Solar System, vol. 172 de IAU Symposium, p. 145. Ferraz-Mello, Sylvio and Morando, Bruno and Arlot, Jean-Eudes, jan. 1996. C. Veillet : Location of faint objects in the orbits of Thetys and Dione. A&A, 102:L5–L7, sept. 1981. 976

BIBLIOGRAPHIE C. Veillet : Orbital elements of Nereid from new observations. A&A, 112:277–280, août 1982. C. Veillet : 1980-81 observations of Miranda - New orbit and mass of Ariel and Umbriel. A&A, 118:211–216, fév. 1983. C. Veillet et E. Bois : 1982-1984 observations of Neried - New orbital determination. A&A, 189:303–305, jan. 1988. G. Veis : The Use of Artificial Satellites for Geodesy. Proceedings of the First International Symposium on the Use of Artificial Satellites for Geodesy. Washington, D.C., 1962. 1963. A. K. Verma, A. Fienga, J. Laskar, H. Manche et M. Gastineau : Use of MESSENGER radioscience data to improve planetary ephemeris and to test general relativity. A&A, 561:A115, jan. 2014. A. K. Verma et J.-L. Margot : Mercury’s gravity, tides, and spin from MESSENGER radio science data. Journal of Geophysical Research : Planets, (August), 2016. ISSN 21699097. URL http://arxiv.org/abs/1608.01360{%}5Cnhttp: //doi.wiley.com/10.1002/2016JE005037. J. Veverka, P. Helfenstein, A. Skypeck et P. Thomas : Minnaert photometric parameters for the satellites of Uranus. Icarus, 78:14–26, mars 1989. A. Vienne et L. Duriez : A general theory of motion for the eight major satellites of Saturn. II - Short-period perturbations. A&A, 246:619–633, juin 1991. A. Vienne et L. Duriez : A general theory of motion for the eight major satellites of Saturn. III - Long-period perturbations. A&A, 257:331–352, avr. 1992. A. Vienne et L. Duriez : TASS1.6 : Ephemerides of the major Saturnian satellites. A&A, 297:588, mai 1995. R. Viera Martins et J. I. B. Camargo, 2012 : Private communication. M. Viikinkoski, P. Vernazza, J. Hanu s, H. Le Coroller, K. Tazhenova, B. Carry, M. Marsset, A. Drouard, F. Marchis, R. Fetick, T. Fusco, J. Durech, M. Birlan, J. Berthier, P. Bartczak, C. Dumas, J. Castillo-Rogez, F. Cipriani, F. Colas, M. Ferrais, J. Grice, E. Jehin, L. Jorda, M. Kaasalainen, A. Kryszczynska, P. Lamy, A. Marciniak, T. Michalowski, P. Michel, M. Pajuelo, E. Podlewska-Gaca, T. Santana-Ros, P. Tanga, F. Vachier, A. Vigan, B. Warner, O. Witasse et B. Yang : (16) Psyche : A mesosiderite-like asteroid ? A&A, 619:L3, nov. 2018. J. Virtanen, K. Muinonen et E. Bowell : Statistical Ranging of Asteroid Orbits. Icarus, 154:412–431, déc. 2001. 977

BIBLIOGRAPHIE V. Viswanathan, A. Fienga, O. Minazzoli, L. Bernus, J. Laskar et M. Gastineau : The new lunar ephemeris INPOP17a and its application to fundamental physics. MNRAS, 476:1877–1888, mai 2018a. V. Viswanathan, A. Fienga, O. Minazzoli, L. Bernus, J. Laskar et M. Gastineau : The new lunar ephemeris INPOP17a and its application to fundamental physics. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, jan. 2018b. V. Viswanathan, A. G. Fienga, M. Gastineau et J. Laskar : Inpop new release : Inpop17a. Notes scientifiques et techniques S108, Institut de mécanique céleste, 2017. D. Vokrouhlick´y, W. F. Bottke, S. R. Chesley, D. J. Scheeres et T. S. Statler : The Yarkovsky and YORP Effects, p. 509–531. 2015. J. Vondr´ak, N. Capitaine et P. Wallace : New precession expressions, valid for long time intervals. A&A, 534:A22, Oct 2011. J. Vondr´ak et D. Gambis : Accuracy of Earth orientation parameters series obtained by different techniques in different frequency windows. In Journées 1999 - Systèmes de référence spatio-temporels ; IX. Lohrmann-Kolloquium. Motion of celestial bodies, astrometry and astronomical reference frames, p. 206–213, jan. 2000. J. Vondr´ak et A. Cepek : Combined smoothing method and its use in combining Earth orientation parameters measured by space techniques. A&AS, 147:347–359, déc. 2000. D. T. Vu : A new presentation of the ephemeris of Jupiter’s Galilean satellites. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 30:361–367, déc. 1977. D. T. Vu et J. L. Sagnier : Mouvement des satellites galiléens de Jupiter : mise sur ordinateur de la théorie de Sampson. Bull. Groupe Rech. Géod. Spat, 11, jan. 1974. J. M. Wahr : The forced nutations of an elliptical, rotating, elastic and oceanless earth. Geophysical Journal, 64:705–727, Mar 1981. J. Wahr et Z. Bergen : The effects of mantle anelasticity on nutations, earth tides, and tidal variations in rotation rate. Geophysical Journal, 87:633–668, Nov 1986. J. E. Wallace : Improved lunar ephemeris, 1952-1959 : a joint supplement to the American ephemeris and the (British) Nautical almanac. U.S. Govt. Print. Off., Washington, 1954. xiii, 422 p. C. Walmesley : Of the Irregularities in the Motion of a Satellite Arising from the Spheroidical Figure of Its Primary Planet : In a Letter to the Rev. James Bradley D. D. Astronomer Royal, F. R. S. and Member of the Royal Academy of Sciences at Paris ; By Mr. Charles Walmesley, F. R. S. and Member of the Royal Academy of Sciences at Berlin, and of the Institute of Bologna. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series I, 50:809–835, Jan 1757. 978

BIBLIOGRAPHIE K. J. Walsh, D. C. Richardson et P. Michel : Rotational breakup as the origin of small binary asteroids. Nature, 454:188–191, juil. 2008. S. J. Weidenschilling, F. Marzari, D. R. Davis et C. Neese : Origin of the Double Asteroid 90 Antiope : A Continuing Puzzle. In Lunar and Planetary Science Conference, Lunar and Planetary Science Conference, p. 1890, mars 2001. S. J. Weidenschilling, P. Paolicchi et V. Zappala : Do asteroids have satellites ? Asteroids II, p. 643–658, 1989. F. L. Whipple : A comet model. I. The acceleration of Comet Encke. Astrophysical Journal, 111:375–394, mars 1950. C. M. Will : The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Reviews in Relativity, 9:3, mars 2006. C. M. Will et K. Nordtvedt, Jr. : Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism. Astrophysical Journal, 177:757, nov. 1972. G. V. Williams et T. B. Spahr : Minor Planet Center, p. 719–730. 2015. J. G. Williams : Determining asteroid masses from perturbations on Mars. Icarus, 57:1–13, jan. 1984. J. G. Williams, S. G. Turyshev et D. H. Boggs : Lunar Laser Ranging Tests of the Equivalence Principle with the Earth and Moon. International Journal of Modern Physics D, 18:1129–1175, 2009. J. G. Williams : Contribution to the Earth’s Obliquity Rate, Precession, and Nutation. AJ, 108:711, Aug 1994. K. P. Williams : The calculation of the orbits of asteroids and comets. The Principia Press, Inc., Bloomington, Indiana, 1934. J. Wisdom, S. J. Peale et F. Mignard : The chaotic rotation of Hyperion. Icarus, 58:137– 152, mai 1984. J. Woltjer, J. : The motion of Hyperion. Annalen van de Sterrewacht te Leiden, 16:C1– C140, jan. 1928. E. W. Woolard : Theory of the rotation of the earth around its center of mass. Astronomical papers prepared for the use of the American ephemeris and nautical almanac, 15:1, Jan 1953. D. K. Yeomans : Comet Halley - The orbital motion. The Astronomical Journal, 82:435– 440, juin 1977. 979

BIBLIOGRAPHIE D. K. Yeomans, P. W. Chodas, G. Sitarski, S. Szutowicz et M. Kr´olikowska : Cometary orbit determination and nongravitational forces, p. 137. 2004. C. F. Yoder, G. Colombo, S. P. Synnott et K. A. Yoder : Theory of motion of Saturn’s coorbiting satellites. Icarus, 53:431–443, mars 1983. A. T. Young : Understanding astronomical refraction. The Observatory, 126:82–115, avr. 2006. A. T. Young : Sunset Science. IV. Low-Altitude Refraction. AJ, 127(6):3622–3637, juin 2004. L. A. Young, C. B. Olkin, J. L. Elliot, D. J. Tholen et M. W. Buie : The Charon-Pluto Mass Ratio from MKO Astrometry. Icarus, 108:186–199, avr. 1994. P. E. Zadunaisky : A determination of new elements of the orbit of Phoebe, ninth satellite of Saturn. AJ, 59:1, Jan 1954. H. A. Zebker, B. Stiles, S. Hensley, R. Lorenz, R. L. Kirk et J. Lunine : Size and Shape of Saturn’s Moon Titan. Science, 324:921, mai 2009. M. T. Zuber, D. E. Smith, M. M. Watkins, S. W. Asmar, A. S. Konopliv, F. G. Lemoine, H. J. Melosh, G. A. Neumann, R. J. Phillips, S. C. Solomon, M. A. Wieczorek, J. G. Williams, S. J. Goossens, G. Kruizinga, E. Mazarico, R. S. Park et D.-N. Yuan : Gravity Field of the Moon from the Gravity Recovery and Interior Laboratory (GRAIL) Mission. Science, 339:668–671, fév. 2013.

980

Glossaire Ce glossaire donne une liste de définitions, rangées par ordre alphabétique, et d’explications qui correspondent à une nomenclature astronomique. Les mots en couleur à l’intérieur des explications renvoient à des entrées du glossaire pour la version imprimée ou à un lien direct vers cette entrée pour la version numérique.

Aberration En astrométrie, déplacement apparent de la position observée d’un corps céleste, dû à la fois au caractère fini de la vitesse de la lumière et aux mouvements de l’observateur par rapport au système de référence du catalogue.

Aberration annuelle Composante de l’aberration stellaire due au mouvement du centre de gravité de la Terre par rapport au barycentre du Système solaire.

Aberration des fixes Voir Aberration stellaire.

Aberration diurne Composante de l’aberration due au mouvement de l’observateur placé sur la Terre par rapport au centre de gravité de la Terre. 981

GLOSSAIRE Aberration elliptique Partie de l’aberration annuelle qui dépend de l’excentricité et de la longitude du périhélie de l’orbite terrestre. Dans les catalogues d’étoiles antérieurs à 1984, on incluait dans les positions des étoiles l’aberration elliptique calculée pour la date de référence du catalogue.

Aberration instrumentale En optique, ensemble des phénomènes dus à l’imperfection des instruments et qui altèrent la qualité des images données par un système optique. Aberration planétaire Déplacement apparent de la position observée d’un corps du Système solaire par rapport à sa position géométrique dû, à la fois, au caractère fini de la vitesse de la lumière et au mouvement du centre de gravité de la Terre et du corps observé par rapport au barycentre du Système solaire. Aberration stellaire Déplacement apparent de la position observée d’une étoile par rapport à la position fournie par un catalogue dû, à la fois, au caractère fini de la vitesse de la lumière et au mouvement de l’observateur dans le système de référence du catalogue. L’aberration stellaire se décompose en aberration annuelle et aberration diurne. AEC Abréviation de la locution « avant l’ère commune ». Analemme Courbe en forme générale de huit qui représente l’équation du temps sous une forme paramétrique avec la valeur de l’équation du temps en abscisse et une fonction monotone de la déclinaison solaire en ordonnée (déclinaison δ, sin δ ou une fonction plus compliquée qui prend en compte la projection d’un cadran solaire). Sur un cadran solaire ou sur une méridienne de temps moyen, elle permet de lire directement le temps solaire moyen à partir du temps solaire vrai indiqué par l’ombre portée. 982

GLOSSAIRE Angle horaire Une des coordonnées horaires. Angle dièdre du cercle horaire d’une direction et du méridien du lieu pris comme origine. L’angle horaire est compté positivement dans le sens rétrograde (voir Coordonnées horaires). Angle de phase Angle que fait la direction centre de l’astre-Soleil avec la direction centre de l’astre-Terre. C’est une donnée fondamentale pour l’observation de la surface d’un astre depuis la Terre.

Année commune Toute année qui n’est pas une année bissextile. Année embolismique Toute année qui contient un mois intercalaire. Année julienne Unité auxiliaire de temps définie comme étant exactement égale à 365.25 jours. Année des éclipses Période de 346.619 jours qui donne la durée moyenne d’une révolution du Soleil par rapport au nœud ascendant de l’orbite lunaire. Année sidérale Intervalle de temps nécessaire pour que la Terre effectue une révolution complète autour du Soleil par rapport aux étoiles fixes, ou mieux par rapport aux quasars du système de référence céleste. C’est donc aussi le temps nécessaire pour que le Soleil revienne à la même position par rapport à ces sources pour un observateur situé au barycentre du système Terre-Lune. Sa durée est de 365.256 363 jours pour la période actuelle. Sa durée est plus longue que celle de l’année tropique de 20.4 minutes en raison de la précession des équinoxes. 983

GLOSSAIRE Année tropique Intervalle de temps nécessaire pour que la longitude moyenne tropique (donc rapportée à l’équinoxe moyen de la date) du Soleil croisse de 360◦ , c’est-à-dire de 0◦ à 360◦ ou n’importe quelle étendue de 360◦ (x, x + 360◦ ). Cette durée est différente, mais voisine, du temps qui sépare deux passages consécutifs du Soleil à l’équinoxe moyen. Elle est plus courte que l’année sidérale d’une vingtaine de minutes en raison du mouvement rétrograde du point vernal par rapport aux étoiles. L’année tropique vaut, actuellement, 365.242 19 jours et diminue de 0.53 s par siècle. Le calendrier grégorien est construit pour suivre au mieux l’année tropique. Par extension, les révolutions des corps, orbitales ou sur eux-mêmes, rapportées à l’équinoxe sont qualifiées de révolutions tropiques et leurs durées de périodes tropiques. Anomalie excentrique Dans le mouvement elliptique képlérien, angle (OP,OM 0 ), où O désigne le centre de l’ellipse, P le périastre, et où M 0 est le point du cercle de rayon OP qui se projette sur OP au même point que le point M qui représente la position du corps à l’instant t. Anomalie moyenne Dans le mouvement elliptique képlérien, produit du moyen mouvement du corps par le temps écoulé depuis le passage du corps au périastre. Anomalie vraie Dans le mouvement elliptique képlérien, angle (FP,F M), où F désigne le foyer de l’ellipse occupé par le corps central, P le périastre et M la position du corps à l’instant t. Aphélie Voir Apoastre. Aplatissement Paramètre qui rend compte de la façon dont un corps céleste, considéré comme un b ellipsoïde de révolution, diffère d’une sphère : c’est le rapport f = a − a , où a est le rayon équatorial de l’ellipsoïde et b le rayon polaire (b < a). 984

GLOSSAIRE Apoastre Sur une orbite elliptique, point le plus éloigné du foyer de l’ellipse occupé par le corps central. L’apoastre est appelé apogée lorsque le corps central est la Terre, aphélie lorsque le corps central est le Soleil. Apogée Voir Apoastre. Ascension droite Une des coordonnées équatoriales sphériques. Angle dièdre du cercle horaire d’une direction et de celle de l’équinoxe pris comme origine. L’ascension droite est comptée positivement dans le sens direct, parfois en degrés, de 0◦ à 360◦ , plus généralement en heures de 0 h à 24 h (1 h = 15◦ ) (voir Coordonnées équatoriales). Azimut Une des coordonnées horizontales. Angle dièdre du vertical contenant la direction et du vertical contenant le pôle céleste Sud (pour les astronomes) ou Nord (pour les marins) pris comme origine. L’azimut est compté positivement dans le sens rétrograde (voir Coordonnées horizontales). Barycentrique Qui se rapporte à un système de référence centré au barycentre du Système solaire. Calendrier grégorien Calendrier introduit par le pape Grégoire XIII en 1582, en remplacement du calendrier julien. Le calendrier grégorien ne diffère du calendrier julien que par la répartition des années bissextiles et par un décalage de dix jours à l’origine, le vendredi 15 octobre 1582 (grégorien) ayant succédé au jeudi 4 octobre 1582 (julien). Les années bissextiles sont les mêmes que dans le calendrier julien, sauf pour les années dont le millésime est multiple de 100 sans l’être de 400. Ainsi 1700, 1800 et 1900 sont communes alors que, comme dans le calendrier julien, 1600 et 2000 sont bissextiles. La durée moyenne de l’année grégorienne (365.2425 jours) est une meilleure approximation de l’année tropique que les 365.25 jours du calendrier julien. Ce calendrier est actuellement en usage dans la plupart des pays. 985

GLOSSAIRE Calendrier julien Calendrier introduit par Jules César, en −45, en remplacement du calendrier romain. Il comprend trois années communes de 365 jours, suivies d’une année bissextile de 366 jours, dans laquelle le mois de février est de 29 jours. La durée moyenne de l’année julienne (365.25 jours) est une approximation médiocre de l’année tropique, ce qui a conduit au remplacement du calendrier julien par le calendrier grégorien. Le calendrier julien est utilisé, par les historiens et les astronomes, pour des dates antérieures à sa création : il s’agit alors d’un calendrier fictif ayant les mêmes règles de construction. Les historiens notent 1 avant J.-C. l’année qui précède l’an 1 de l’ère chrétienne, et elle est bissextile. Les astronomes notent 0 l’an 1 avant J.-C. (bissextile), −1 l’an 2 avant J.-C. (commune), etc. C’est la notation des astronomes qui est utilisée dans cet ouvrage. Calendrier proleptique Se dit d’un calendrier extrapolé avant la date de sa création. Cercle horaire Demi-grand cercle de la sphère céleste contenant les pôles célestes et le point de la sphère céleste associé à la direction. Le cercle horaire est donc perpendiculaire à l’équateur céleste. Conjonction Phénomène dans lequel deux ou plusieurs corps célestes ont des longitudes célestes géocentriques ou des ascensions droites égales. Conjonction d’une planète supérieure avec le Soleil : les longitudes célestes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales. Conjonction de Mercure ou Vénus avec le Soleil : les longitudes célestes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales, et la conjonction est dite supérieure ou inférieure, suivant que le Soleil est entre la Terre et la planète ou que la planète est entre la Terre et le Soleil. Conjonction de deux planètes entre elles, d’une planète avec la Lune ou avec une étoile : les ascensions droites des deux astres considérés sont égales. La conjonction ne concerne que l’une des deux coordonnées sphériques et ne correspond pas à un alignement réel dans l’espace. L’instant de la conjonction dépend du choix du système de coordonnées sphériques utilisé, et deux corps en conjonction en longitude, ne le sont (généralement) pas en ascension droite à cet instant. Par défaut et en l’absence de précision, l’emploi du mot conjonction pour des planètes signifie conjonction en longitude. 986

GLOSSAIRE Constante de Gauss Dans le système d’unités astronomiques en vigueur jusqu’en 2012, constante qui définit l’unité de longueur (unité astronomique) à partir de l’unité de temps (jour) et de l’unité de masse (masse du Soleil) par l’intermédiaire de la troisième loi de Kepler. k2 a les dimensions L3 M −1 T −2 de la constante de la gravitation. Notée traditionnellement k avec k = 0.017 202 098 95 exactement. Constante de la précession Coefficient du temps dans la représentation mathématique de la précession générale en longitude. Cette constante est déduite de l’observation. Coordonnées apparentes Coordonnées donnant la direction du corps telle qu’elle serait vue par un observateur placé au centre de la Terre à l’instant t. Les coordonnées apparentes sont rapportées à l’équinoxe et à l’équateur vrais de la date ou à l’équinoxe vrai et à l’écliptique moyen de la date. Coordonnées astrométriques Ascension droite et déclinaison de la direction astrométrique d’un corps du Système solaire à l’instant t, rapportées à l’équateur et à l’équinoxe moyen d’une date de référence (J2000, pour les éphémérides actuelles). Coordonnées astronomiques d’un lieu Coordonnées polaires de la verticale du lieu rapportées à l’équateur vrai de la date et à la direction origine, intersection de ce plan et du méridien terrestre origine. Coordonnées écliptiques Coordonnées d’une direction rapportées à l’écliptique moyen et à la direction origine de ce plan définie par l’équinoxe. Ces coordonnées sont dites vraies lorsqu’elles sont rapportées à l’écliptique moyen et à l’équinoxe vrai de la date, moyennes de la date lorsqu’elles sont rapportées à l’écliptique et à l’équinoxe moyens de la date et moyennes d’une date de référence lorsqu’elles sont rapportées à l’écliptique et à l’équinoxe moyens de cette date de référence. On utilise deux sortes de coordonnées écliptiques : les coordonnées écliptiques cartésiennes et les coordonnées écliptiques polaires longitude et latitude célestes. 987

GLOSSAIRE Coordonnées équatoriales Coordonnées d’une direction rapportées à l’équateur céleste et à la direction origine de ce plan définie par l’équinoxe. Ces coordonnées sont dites vraies lorsqu’elles sont rapportées à l’équateur et à l’équinoxe vrais de la date, moyennes de la date lorsqu’elles sont rapportées à l’équateur et à l’équinoxe moyens de la date et moyennes d’une date de référence lorsqu’elles sont rapportées à l’équateur et à l’équinoxe moyens de cette date de référence. On utilise deux sortes de coordonnées équatoriales : les coordonnées équatoriales cartésiennes et les coordonnées équatoriales polaires ascension droite et déclinaison.

Coordonnées géométriques Coordonnées représentant la position géométrique d’un corps à l’instant t (voir Coordonnées apparentes).

Coordonnées horaires Coordonnées sphériques d’une direction rapportées à l’équateur vrai de la date et à la direction origine, intersection de ce plan et du méridien céleste du lieu. Les coordonnées horaires sont données par l’angle horaire et la déclinaison.

Coordonnées horizontales Coordonnées polaires d’une direction rapportées au plan horizontal du lieu et à la direction origine, intersection de ce plan et du vertical contenant la direction du pôle céleste Sud (pour les astronomes) ou Nord (pour les marins). Les deux coordonnées horizontales sont l’azimut et la hauteur.

Coordonnées moyennes Coordonnées rapportées à l’équinoxe et à l’équateur ou l’écliptique moyens de la date (coordonnées moyennes de la date) ou d’une date de référence (coordonnées moyennes d’une date de référence). (Voir Coordonnées écliptiques, Coordonnées équatoriales). 988

GLOSSAIRE Coordonnées planétocentriques Coordonnées utilisées pour repérer un point à la surface d’une planète ou d’un satellite lors d’études dynamiques ou astrométriques. La longitude planétocentrique d’un point de la surface est l’angle dièdre entre le méridien du point considéré et un méridien origine conventionnel. Elle est comptée, à partir du méridien origine, de 0◦ à 360◦ dans le sens direct. La latitude planétocentrique d’un point de la surface est l’angle que fait le vecteur joignant le centre de l’astre à ce point avec le plan équatorial de l’astre. Elle est comptée à partir de l’équateur de l’astre de 0◦ à +90◦ vers le pôle Nord et de 0◦ à −90◦ vers le pôle Sud.

Coordonnées planétographiques Coordonnées utilisées pour cartographier la surface d’une planète ou d’un satellite. La longitude planétographique d’un point de la surface est l’angle dièdre entre le méridien du point considéré et un méridien origine conventionnel. Elle est comptée à partir du méridien origine de 0◦ à 360◦ dans le sens opposé à la rotation de l’astre. La latitude planétographique d’un point de la surface est l’angle que fait la normale à la surface en ce point avec le plan équatorial de l’astre. Elle est comptée à partir de l’équateur de l’astre de 0◦ à +90◦ vers le pôle Nord et de 0◦ à −90◦ vers le pôle Sud.

Coordonnées vraies Coordonnées rapportées à l’équinoxe et à l’équateur vrais de la date ou à l’équinoxe vrai et à l’écliptique moyen de la date. (Voir Coordonnées écliptiques, Coordonnées équatoriales).

Crépuscule Désigne en général la durée, après le coucher ou avant le lever du Soleil (voir Instants du lever et du coucher du Soleil), lorsque le centre du Soleil est à moins de 6◦ (crépuscule civil), entre 6◦ et 12◦ (crépuscule nautique) ou entre 12◦ et 18◦ (crépuscule astronomique) sous l’horizon du lieu. Le mot peut également désigner l’instant de transition entre ces périodes. Dans cet ouvrage, la durée du crépuscule prend en compte toute la période depuis le coucher du Soleil (respectivement avant son lever) jusqu’à (respectivement depuis) la hauteur limite de chacun des crépuscules. La réfraction n’est pas incluse, sauf pour l’instant du coucher du Soleil. 989

GLOSSAIRE Culmination Passage d’un corps céleste par le méridien céleste de l’observateur. Elle est supérieure ou inférieure selon que le passage correspond à une hauteur maximale ou minimale. Par défaut, sans précision, la culmination se rapporte à la culmination supérieure. Cycle de Méton Cycle calendaire de 19 années qui traduit le retour des phases lunaires aux mêmes dates du calendrier solaire. Du point de vue astronomique, cela provient du fait que 235 lunaisons moyennes correspondent à environ 19 années tropiques moyennes, soit 6 939.6 jours. C’est aussi le cycle de 19 ans dans lequel 7 mois lunaires sont intercalés pour réconcilier partiellement les années lunaires et solaires. Date julienne (DJ) Durée écoulée depuis le 1er janvier – 4712 à 12 h, origine de la période julienne. On l’exprime en jour et fraction de jour. Pour un usage rigoureux, on doit préciser l’échelle de temps utilisée (TU, TT, TE, etc.). Déclinaison Une des coordonnées équatoriales polaires et une des coordonnées horaires. Angle d’une direction avec l’équateur céleste. La déclinaison est comptée en degrés, de −90◦ à +90◦ . (Voir Coordonnées équatoriales, Coordonnées horaires). Demi-grand axe Paramètre représentant la moitié du grand axe d’une ellipse. Le demi-grand axe est l’un des éléments elliptiques usuels. Dépression de l’horizon Angle que fait la direction de l’horizon optique de l’observateur sous son plan horizontal. C’est une notion géométrique, impliquant l’altitude de l’observateur au-dessus du géoïde, et optique, car la dépression de l’horizon fait intervenir la propagation des rayons lumineux et la réfraction. 990

GLOSSAIRE Direction astrométrique Direction joignant la position de la Terre à l’instant t à la position d’un corps du Système solaire à l’instant t − ∆t, ∆t étant le temps de lumière. Elle est de même nature que la direction d’une étoile fournie par un catalogue, après les corrections de mouvement propre et de parallaxe annuelle. Distance zénithale Angle que fait une direction en un lieu donné avec la direction du zénith de ce lieu. La distance zénithale est le complément de la hauteur. EC Abréviation de la locution « ère commune ». Éclipse Obscurcissement d’un astre produit par l’interposition d’un autre corps céleste entre cet astre et la source lumineuse. Éclipse de Lune Éclipse au cours de laquelle la Terre s’interpose entre la Lune et le Soleil. L’éclipse de Lune est dite totale quand la Lune disparaît entièrement dans l’ombre de la Terre, partielle quand la Lune pénètre dans l’ombre de la Terre sans y être totalement immergée, par la pénombre quand la Lune entre dans la pénombre de la Terre sans entrer dans l’ombre. Éclipse de Soleil Passage du Soleil derrière la Lune qui le cache à la vue d’un observateur terrestre. C’est donc, plus exactement, l’occultation du Soleil par la Lune et non une éclipse. L’éclipse de Soleil est dite totale quand la Lune masque complètement le Soleil, annulaire quand le disque lunaire se projette sur le Soleil en laissant apparaître un anneau de lumière concentrique, partielle quand la Lune masque en partie le Soleil sans que l’on se retrouve dans les conditions d’éclipse totale ou annulaire. 991

GLOSSAIRE Écliptique moyen de la date Plan perpendiculaire au moment cinétique moyen du barycentre Terre-Lune dans son mouvement héliocentrique. L’écliptique est dit inertiel lorsque la vitesse est calculée dans un système de référence non tournant, et rotationnel lorsque la vitesse est calculée dans un système de référence tournant. Le moment cinétique moyen est obtenu en enlevant aux composantes du moment cinétique vrai issu d’une théorie à variations séculaires les termes qui dépendent des longitudes moyennes des planètes et des arguments de la Lune. Éléments de Bessel Ensemble de quantités tabulées, éventuellement comme polynômes du temps, pour le calcul des prédictions précises des conditions générales et locales de visibilité des éclipses.

Éléments elliptiques Dans le mouvement elliptique képlérien, désignent les paramètres qui permettent de définir la position d’un corps sur son orbite. Cinq paramètres sont suffisants pour définir l’orbite elle-même, par exemple le demi-grand axe et l’excentricité de l’ellipse, l’inclinaison de l’ellipse sur un plan de référence, la longitude du nœud ascendant de l’ellipse sur un plan de référence, la longitude du périastre. Un sixième paramètre est nécessaire pour avoir la position du corps sur l’orbite, par exemple l’anomalie moyenne, l’anomalie vraie ou encore la longitude moyenne. Les cinq premiers paramètres sont des constantes et le sixième est une fonction du temps (linéaire dans le cas de l’anomalie moyenne ou de la longitude moyenne). Dans le mouvement elliptique perturbé, on définit six éléments elliptiques osculateurs fonctions du temps (voir théories à variations séculaires, théories générales). Éléments moyens Termes séculaires de la représentation mathématique des éléments elliptiques d’un corps céleste obtenus dans une théorie à variations séculaires du mouvement du corps. Ces éléments peuvent être rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe dynamique moyens d’une date de référence (par exemple J2000) ou à l’écliptique et à l’équinoxe dynamique moyens de la date. Ces éléments représentent le développement par rapport au temps des termes à longue période des théories générales. Ils sont utilisés pour obtenir les constantes d’intégration des théories à variations séculaires et des théories générales, et améliorer les termes à longue période des théories générales. 992

GLOSSAIRE Éléments osculateurs Éléments elliptiques de l’orbite d’un corps céleste à un instant t si, à partir de cet instant, toutes les forces perturbatrices disparaissaient. L’orbite réelle est tangente à l’orbite osculatrice à l’instant t. Ellipse képlérienne Orbite d’un corps dans un mouvement elliptique képlérien. Le terme fait référence simultanément à la forme géométrique de l’orbite et à sa description temporelle. Élongation Angle géocentrique entre la direction du Soleil et celle de la planète ou de la Lune. L’élongation n’est pas égale à la différence des longitudes célestes, sauf dans le cas où les trois corps sont parfaitement alignés. Époque standard Voir Origine des temps. Équateur d’un astre Grand cercle de la surface d’un astre, considéré comme un ellipsoïde de révolution, perpendiculaire à son axe de rotation et dont le plan passe par centre du corps (voir équateur céleste). Équateur céleste Grand cercle de la sphère céleste perpendiculaire à un axe voisin de l’axe de rotation de la Terre. Par extension, plan de ce grand cercle. Équateur céleste vrai Grand cercle de la sphère céleste perpendiculaire à la direction du pôle céleste des éphémérides (CEP). 993

GLOSSAIRE Équateur moyen de la date Se déduit de l’équateur vrai de la date au moyen d’une transformation fournie par la théorie de la nutation. On passe de l’équateur moyen d’une date à l’équateur moyen d’une autre date par une transformation fournie par la théorie de la précession. Équateur vrai de la date Voir équateur céleste vrai. Équation des équinoxes Différence temps sidéral vrai – temps sidéral moyen. Équation du centre Partie de l’équation du temps de période un an, due à l’excentricité de l’orbite terrestre. Dans le mouvement elliptique de la Terre autour du Soleil, elle représente la différence anomalie vraie – anomalie moyenne. Équation du temps Différence temps solaire moyen – temps solaire vrai, pour la convention de signe adoptée dans cet ouvrage. Équinoxe Lieux d’intersection sur la sphère céleste de l’écliptique et de l’équateur céleste. Instants auxquels le Soleil passe par ces points d’intersection pour lesquels la longitude écliptique géocentrique apparente du Soleil est égale à 0◦ (équinoxe de printemps pour l’hémisphère nord) ou à 180◦ (équinoxe d’automne pour l’hémisphère nord). Le mot équinoxe est un substantif masculin en français. Équinoxe d’un catalogue Origine des ascensions droites fournies par le catalogue. Cet équinoxe est proche de l’équinoxe dynamique moyen de la date de référence du catalogue, mais non nécessairement confondu avec lui. Dans le cas de l’ICRF, c’est une origine conventionnelle.

994

GLOSSAIRE Équinoxe dynamique de la date Nœud ascendant de l’écliptique moyen de la date sur l’équateur moyen de la date (équinoxe dynamique moyen) ou sur l’équateur vrai de la date (équinoxe dynamique vrai). Il existe deux équinoxes dynamiques, l’un inertiel, l’autre rotationnel selon l’écliptique moyen, inertiel ou rotationnel utilisé. On passe de l’équinoxe dynamique moyen d’une date à l’équinoxe dynamique moyen d’une autre date au moyen d’une transformation fournie par la théorie de la précession. Excentricité Paramètre qui caractérise la forme d’une conique. Dans une ellipse, rapport de la distance centre-foyer au demi-grand axe. L’excentricité est l’un des éléments elliptiques usuels. Géocentrique Qui se rapporte à un système de référence dont l’origine est située au centre de la Terre. Géoïde Surface qui coïncide avec la surface moyenne d’équilibre des mers et la prolonge sous les continents en restant partout perpendiculaire à la direction du champ de pesanteur. Hauteur Une des coordonnées horizontales. Angle d’une direction avec le plan horizontal du lieu (voir Coordonnées horizontales). Héliocentrique Qui se rapporte à un système de référence dont l’origine est située au centre du Soleil. Horizon optique Ligne qui sépare le ciel et la Terre, telle que les rayons lumineux d’un astre qui franchissent l’horizon optique soient tangents à la surface terrestre. L’horizon optique correspond à la notion usuelle de ligne d’horizon. Alors que le plan horizontal est une notion liée au champ de pesanteur, l’horizon optique d’un observateur est un concept qui fait intervenir la propagation de la lumière et l’altitude de l’observateur. L’instant de lever ou de coucher d’un astre correspond au franchissement de cette ligne par le centre ou le bord de l’astre. 995

GLOSSAIRE Inclinaison Angle entre le plan de l’orbite d’un corps et un plan de référence. C’est aussi l’angle entre les normales à ces plans. L’inclinaison est l’un des éléments elliptiques usuels. Instants du lever et du coucher d’un astre Instants en un lieu donné où la distance zénithale de l’astre z en dehors de l’atmosphère est z = 90◦ + R(90◦ ), où R(90◦ ) est la valeur de la réfraction pour une distance zénithale apparente de 90◦ (réfraction à l’horizon). La valeur de la réfraction à l’horizon étant mal connue, les instants du lever et du coucher des astres ne peuvent être calculés à l’avance à une précision meilleure que la minute. Avec les informations météorologiques du lieu à la date recherchée, cette précision peut atteindre une dizaine de secondes en l’absence de réfractions anormales. Instants du lever et du coucher de la Lune Ces instants se rapportent soit au bord supérieur de la Lune, soit à son centre, et sont calculés en tenant compte de la parallaxe et de la réfraction. Les instants du lever et du coucher du bord supérieur de la Lune sont les instants où la distance zénithale z du centre de la Lune en dehors de l’atmosphère est z = 90◦ + R(90◦ ) + s − π, où R(90◦ ) est la réfraction à l’horizon, s le rayon apparent de la Lune et π la parallaxe (voir Instants du lever et du coucher d’un astre). Instants du lever et du coucher du Soleil Ces instants se rapportent soit au bord supérieur du Soleil, soit à son centre. Les instants du lever et du coucher du bord supérieur du Soleil, sont donc les instants où la distance zénithale z du centre du Soleil en dehors de l’atmosphère est z = 90◦ + R(90◦ ) + s, où R(90◦ ) est la réfraction à l’horizon et où s est le rayon apparent du Soleil (voir Instants du lever et du coucher d’un astre). On prend généralement 340 comme valeur de la réfraction à l’horizon et 160 comme valeur du rayon apparent du Soleil. Jour Unité de temps du système UAI d’unités astronomiques. Le jour est égal à 86 400 secondes SI et n’a pas de définition astronomique (voir longueur du jour pour des jours plus directement astronomiques). 996

GLOSSAIRE Jour julien Partie entière de la date julienne. Latitude astronomique Une des coordonnées astronomiques d’un lieu. Angle de la verticale du lieu avec l’équateur vrai de la date. La latitude astronomique est comptée en degrés, de −90◦ à +90◦ . (Voir Coordonnées astronomiques). Latitude céleste Une des coordonnées écliptiques sphériques. Angle d’une direction avec l’écliptique moyen. La latitude céleste est comptée en degrés, de −90◦ à +90◦ . (Voir Coordonnées écliptiques). Latitude planétocentrique Voir Coordonnées planétocentriques. Latitude planétographique Voir Coordonnées planétographiques. Libration de la Lune Balancements apparents de la Lune qui permettent d’observer un peu plus de la moitié de sa surface. On distingue la libration optique, due aux variations de la vitesse orbitale de la Lune (libration en longitude), à l’inclinaison de l’équateur de la Lune sur le plan de son orbite (libration en latitude) et au déplacement de l’observateur terrestre dû à la rotation de la Terre sur elle-même (libration diurne), de la libration physique – beaucoup plus petite – due aux variations de la rotation de la Lune autour de son axe. Limbe Bord lumineux du disque apparent d’un corps céleste. 997

GLOSSAIRE Longitude astronomique Une des coordonnées astronomiques d’un lieu. Angle dièdre du méridien céleste du lieu et du méridien céleste passant par l’intersection du méridien terrestre origine et de l’équateur vrai de la date. La longitude astronomique est comptée généralement en degrés, soit de −180◦ à +180◦ positivement vers l’ouest comme c’est l’usage en France, soit de 0◦ à 180◦ est ou ouest comme le recommande l’UAI. (Voir Coordonnées astronomiques).

Longitude céleste Une des coordonnées écliptiques sphériques. Angle dièdre des deux demi-grands cercles de la sphère céleste passant par les pôles de l’écliptique et contenant, respectivement, le point représentant la direction considérée et l’équinoxe (demi-grand cercle pris comme origine). La longitude céleste est comptée, en degrés, positivement dans le sens direct de 0◦ à 360◦ (voir Coordonnées écliptiques).

Longitude moyenne Dans le mouvement elliptique képlérien, paramètre λ défini par λ = M + $, où M représente l’anomalie moyenne et $ la longitude du périastre.

Longitude moyenne moyenne d’une planète Fonction linéaire du temps t définie par λ¯ = nt + λ0 , où n est le moyen mouvement de la planète et λ0 la constante d’intégration de la longitude moyenne de la planète. Les longitudes moyennes moyennes sont des arguments usuels des théories à variations séculaires et des théories générales.

Longitude planétocentrique Voir Coordonnées planétocentriques.

Longitude planétographique Voir Coordonnées planétographiques. 998

GLOSSAIRE Longueur du jour Cela peut faire référence à la longueur de la journée, période pendant laquelle le Soleil est levé pour un lieu donné, ou à la durée qui sépare deux passages successifs du Soleil au méridien du lien (jour solaire vrai). Dans l’étude de la rotation de la Terre, il s’agit d’une notion encore plus précise qui traduit directement la période de rotation de la Terre sur elle-même, très proche du jour solaire moyen ; on emploie dans ce cas plutôt l’expression de durée du jour.

Lune : perturbations planétaires directes Dans la théorie du mouvement de la Lune, perturbations gravitationnelles dues à l’attraction newtonienne des planètes sur le vecteur Terre-Lune.

Lune : perturbations planétaires indirectes Dans la théorie du mouvement de la Lune, perturbations de son mouvement dues aux écarts entre le mouvement héliocentrique réel du barycentre Terre-Lune et un mouvement képlérien, provenant de l’attraction des planètes.

Lune : problème principal Étude du mouvement de la Lune dans l’hypothèse simplificatrice où le seul astre perturbateur est le Soleil, le barycentre Terre-Lune se déplaçant sur une ellipse képlérienne.

Méridien Désigne toujours le demi-cercle d’une sphère passant par les deux pôles. Il peut s’agir d’une ligne sur la sphère céleste, sur la Terre ou bien sur une planète ou un satellite.

Méridien céleste Pour un lieu donné, demi-grand cercle de la sphère céleste contenant les pôles célestes vrais et le zénith du lieu. Par extension, demi-plan contenant ce demi-grand cercle. 999

GLOSSAIRE Méridien de Greenwich Méridien terrestre passant par l’observatoire de Greenwich. Il a été choisi comme méridien origine ou premier méridien en 1884, lors de la conférence de Washington. Le méridien de Greenwich est maintenant remplacé, en tant que méridien origine, par le méridien terrestre origine.

Méridien des éphémérides Méridien fictif qui occupe à chaque instant la position qu’aurait eue le méridien terrestre origine si la Terre avait tourné avec une vitesse angulaire constante. Sa longitude par rapport au méridien terrestre origine est égale à −1.002 7379 ∆T, où ∆T = TT − UT1. Tous les calculs astronomiques effectués en utilisant TT et se rapportant au méridien des éphémérides sont identiques, formellement, à ceux effectués en utilisant UT1 et se rapportant au méridien terrestre origine.

Méridien d’un astre Demi-grand cercle de la sphère céleste contenant les pôles de l’astre.

Méridien terrestre d’un lieu Demi-grand cercle de la sphère céleste géocentrique contenant les pôles terrestres et dont le demi-plan passe par le lieu considéré.

Méridien terrestre origine Méridien terrestre, proche du méridien de Greenwich, défini conventionnellement par les coordonnées d’un ensemble de points de la surface terrestre.

Mouvement elliptique képlérien Mouvement képlérien dans lequel l’orbite du corps est une ellipse. C’est, par exemple, le mouvement que décrirait autour du Soleil une planète soumise à la seule attraction du Soleil (le Soleil et la planète étant considérés comme des masses ponctuelles). 1000

GLOSSAIRE Mouvement elliptique perturbé Mouvement voisin du mouvement elliptique képlérien dans lequel le corps est soumis non seulement à l’attraction du corps central, mais aussi à l’attraction d’autres corps perturbateurs de masses faibles devant celle du corps central, ou à grande distance. C’est, par exemple, le mouvement décrit par les planètes autour du Soleil (le Soleil et les planètes étant considérés comme des masses ponctuelles). Mouvement képlérien Mouvement relatif d’un corps ponctuel M autour d’un corps ponctuel central O, la masse de M étant faible devant celle de O, les seules forces en présence étant les attractions newtoniennes entre M et O. Dans un mouvement képlérien, l’orbite de M est une conique de foyer O. Mouvement propre Dans le cas d’une étoile, mouvement en ascension droite et en déclinaison dont est animée une étoile et qui fait varier sa position avec le temps dans un système de référence fixe. Bien qu’il soit qualifié de mouvement propre de l’étoile, il s’agit en fait d’un mouvement relatif au Soleil, et donc de la combinaison du mouvement de l’étoile et du Soleil dans la Galaxie. Le qualificatif propre est employé par opposition aux variations des coordonnées qui proviennent du système de référence ou du déplacement de l’observateur (voir Précession, Aberration, Parallaxe annuelle). Moyen mouvement Dans le mouvement elliptique képlérien, vitesse angulaire moyenne d’un corps qui effectue une révolution complète sur une orbite de demi-grand axe donné. Le moyen mouvement n est relié au demi-grand axe a par la troisième loi de Kepler n2 a3 = constante.

Nadir Voir Verticale d’un lieu. Nœud Un des deux points de la sphère céleste associés à l’intersection du plan de l’orbite avec un plan de référence. La position du nœud est l’un des éléments elliptiques usuels. 1001

GLOSSAIRE Nutation Voir Précession-nutation. Nutation luni-solaire Voir Précession-nutation luni-solaire. Obliquité de l’écliptique Inclinaison de l’écliptique moyen sur l’équateur moyen à une date donnée. Occultation Passage d’un astre derrière un autre qui le cache à la vue d’un observateur terrestre. Ombre Dans l’acception astronomique, région de l’espace dans laquelle un corps (Terre, Lune, planète, satellite naturel) cache entièrement le Soleil. Opposition Opposition d’une planète supérieure avec le Soleil : phénomène dans lequel les longitudes célestes géocentriques de la planète et du Soleil diffèrent de 180◦ . Orbite Trajectoire décrite dans l’espace par un corps céleste. Origine des temps (ou époque standard). En 1984, l’origine des temps a été fixée au 1er janvier 2000 à 12 h de l’échelle de temps considérée. Elle correspond au début du jour julien 2 451 545.0 et est désignée par J2000.0, noté J2000 dans cet ouvrage. Par définition, le début d’une année julienne est séparé de l’époque standard par un nombre entier d’années juliennes. 1002

GLOSSAIRE Parallaxe Différence entre les directions apparentes d’un corps céleste lorsque l’observateur passe d’un point de l’espace à un autre. C’est aussi l’angle sous lequel est vu, du corps céleste, un segment de droite joignant ces deux points (voir Parallaxe annuelle, Parallaxe diurne). Parallaxe annuelle Différence entre les directions apparentes d’un corps céleste vu par un observateur placé au barycentre du Système solaire et vu par un observateur placé au centre de la Terre. Pour une étoile, angle sous lequel est vu, depuis l’étoile, le demi-grand axe de l’orbite terrestre. Parallaxe diurne Différence entre les directions apparentes d’un corps céleste vu par un observateur placé au centre de la Terre et vu par un observateur placé sur la Terre. Pour une étoile, la parallaxe diurne est négligeable. Pénombre Dans l’acception astronomique, région de l’espace dans laquelle le corps considéré (Terre, Lune, planète, satellite naturel) cache en partie le Soleil. Périastre Sur une orbite elliptique, point le plus proche du corps central, foyer de l’ellipse. La position du périastre est l’un des éléments elliptiques usuels. Le périastre est appelé périgée lorsque le corps central est la Terre, périhélie lorsque le corps central est le Soleil. Périgée Voir Périastre. Périhélie Voir Périastre. 1003

GLOSSAIRE Période julienne Système chronologique qui numérote, sans discontinuer, les jours depuis le 1er janvier −4712 à 12 h. Petit corps du Système solaire Corps céleste en orbite autour du Soleil qui n’est ni une planète ni une planète naine. Phases de la Lune Configurations successives de la Lune qui se produisent lorsque les longitudes célestes géocentriques de la Lune et du Soleil sont égales (nouvelle lune), diffèrent de 90◦ (premier quartier), de 180◦ (pleine lune) ou de 270◦ (dernier quartier). Photométrie Étude de l’intensité lumineuse des corps célestes dans une bande spectrale donnée et de sa variation dans le temps. Plan horizontal Pour un lieu donné, plan passant par le centre de la sphère céleste et perpendiculaire à la verticale du lieu. Planète Corps céleste qui (a) est en orbite autour du Soleil, (b) a une masse suffisante pour que sa gravité l’emporte sur les forces de cohésion du corps solide et le maintienne en équilibre hydrostatique sous une forme presque sphérique, (c) a éliminé tout corps susceptible de se déplacer sur une orbite proche. Planète naine Corps céleste qui (a) est en orbite autour du Soleil, (b) a une masse suffisante pour que sa gravité l’emporte sur les forces de cohésion du corps solide et le maintienne en équilibre hydrostatique sous une forme presque sphérique, (c) n’a pas éliminé tout corps susceptible de se déplacer sur une orbite proche, (d) n’est pas un satellite. 1004

GLOSSAIRE Planétocentrique Qui se rapporte à un système de référence dont l’origine est le centre de masse d’une planète, d’une planète naine ou d’un petit corps du Système solaire. Plus grande élongation Pour une planète inférieure, configuration géométrique et instant où la différence des longitudes célestes géocentriques de la planète et du Soleil est maximale. Point subsolaire Point de la surface d’un corps céleste qui se trouve à l’intersection de la demi-droite joignant le centre de l’astre au centre du Soleil. Point subterrestre Point de la surface d’un corps céleste qui se trouve à l’intersection de la demi-droite joignant le centre de l’astre au centre de la Terre. Pôle céleste des éphémérides (CEP) Pôle (Nord) de référence pour le mouvement du pôle et la nutation. Sa direction, voisine de l’axe de rotation de la Terre, est définie de façon à ne présenter aucun mouvement diurne ou quasi diurne ni dans la Terre ni dans l’espace. Pôles célestes Points d’intersection (pôle céleste Nord et pôle céleste Sud) de la sphère céleste avec un diamètre dont la direction est voisine de celle de l’axe de rotation de la Terre. Pôles d’un astre Points d’intersection de la surface de l’astre (pôle Nord et pôle Sud) avec l’axe de rotation de l’astre. 1005

GLOSSAIRE Position géométrique d’un corps Position effectivement occupée par le corps à l’instant t, sans tenir compte du trajet de la lumière et de la vitesse finie de propagation. Précession Voir Précession-nutation. Précession générale Mouvement de précession qui inclut la précession luni-solaire et la précession planétaire. Précession générale en longitude Déplacement séculaire de l’équinoxe le long de l’écliptique mobile. Cet effet résulte de la précession luni-solaire dans le sens rétrograde le long de l’écliptique de l’époque de référence et de la précession planétaire dans le sens direct sur l’équateur mobile, due au déplacement de l’écliptique. Précession luni-solaire Voir Précession-nutation luni-solaire. Précession-nutation Déplacement au cours du temps du plan de l’équateur et du plan de l’écliptique, par rapport à un système de référence inertiel, dû aux actions gravitationnelles de la Lune, du Soleil et des planètes. La représentation mathématique de ce déplacement comporte des termes séculaires, des séries périodiques et des séries de Poisson. Conventionnellement, on appelle précession l’ensemble des termes séculaires et nutation l’ensemble des séries périodiques et des séries de Poisson. Précession-nutation luni-solaire Déplacement du plan de l’équateur sous l’action, essentiellement, de la Lune et du Soleil. L’action des planètes n’est cependant pas négligeable et est prise en compte dans les théories modernes (cette action est différente de la précession planétaire). Comme la précession-nutation, la précession-nutation luni-solaire se décompose conventionnellement en précession luni-solaire et nutation luni-solaire. 1006

GLOSSAIRE Précession planétaire Lent déplacement du plan de l’écliptique, dû à l’action gravitationnelle des planètes sur la Terre. Quadrature Pour une planète supérieure, phénomène et instant pour lesquels les longitudes célestes géocentriques de la planète et du Soleil diffèrent de 90◦ . Réduction à l’équateur Partie de l’équation du temps de période six mois, due à l’obliquité de l’écliptique. Réfraction Dans le contexte de cet ouvrage, cela concerne toujours la réfraction astronomique. Réfraction astronomique Changement de la direction des rayons lumineux qui proviennent d’un astre, dû à leur traversée de l’atmosphère terrestre (ou plus généralement d’une atmosphère planétaire). La réfraction a pour effet que la distance zénithale observée de l’astre est inférieure à la distance zénithale qu’il aurait s’il n’y avait pas d’atmosphère. Son amplitude dépend de la distance zénithale de l’astre, des conditions atmosphériques et de la longueur d’onde de la lumière. Révolution anomalistique Intervalle de temps moyen de 27.554 549 jours entre deux passages successifs de la Lune par le périgée (ou l’apogée) de son orbite (mois anomalistique). C’est aussi l’intervalle de temps moyen de 365.259 64 jours entre deux passages successifs de la Terre par le périhélie (ou l’aphélie) de son orbite (année anomalistique). Révolution draconitique de la Lune Intervalle de temps moyen de 27.212 220 jours entre deux passages successifs de la Lune par le nœud ascendant (ou descendant) de son orbite. L’expression se généralise pour le passage des planètes au nœud ascendant de leur orbite avec l’écliptique. 1007

GLOSSAIRE Révolution sidérale Temps nécessaire à une planète dans sa course autour du Soleil pour revenir à une même position par rapport aux étoiles, ou période de rotation d’un corps sur lui-même par rapport aux étoiles (voir année tropique). Révolution synodique Intervalle de temps moyen entre deux retours successifs d’une planète à un même aspect vu depuis la Terre. C’est par exemple l’intervalle de temps moyen qui sépare deux oppositions successives d’une planète. C’est aussi la période de rotation d’un corps mesurée par rapport à une direction mobile (par exemple la rotation du Soleil mesurée depuis la Terre en orbite, celle de Lune par rapport au Soleil, c’est-à-dire la lunaison). Saros Période de 6 585.321 jours qui s’écoule avant qu’une séquence particulière d’éclipses solaires et lunaires puisse se reproduire dans le même ordre. Au bout de cette durée, la Terre, la Lune, le Soleil, les nœuds de l’orbite lunaire et la ligne des apsides de la Lune reviennent approximativement à une même position relative. Cette période est égale à 223 révolutions synodiques de la Lune, presque égale à 19 années des éclipses et 239 révolutions anomalistiques de la Lune. Saison des éclipses C’est l’intervalle de temps de 173.309 jours entre deux passages consécutifs du Soleil par l’un des deux nœuds de l’orbite lunaire où il y a nécessairement au moins une éclipse de Soleil et une éclipse de Lune. Seconde intercalaire Ajustement occasionnel du Temps universel coordonné par ajout ou retrait d’une seconde afin de maintenir sa proximité (< 0.9 s en écart absolu) avec le Temps universel (UT1), et donc le Temps solaire moyen. La seconde intercalaire, parfois qualifiée de saut de seconde ou de seconde additionnelle, est introduite selon les besoins (il n’y a eu que des ajouts depuis la mise en place du système en 1972) le 31 décembre ou le 30 juin à 23 h 59 min 59 s en doublant la dernière seconde de cette heure, ou en fin d’un autre mois si cela s’avérait nécessaire. 1008

GLOSSAIRE Seconde SI Unité de temps du Système international d’unités depuis 1967. La seconde SI est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133. Sélénocentrique Qui se rapporte à un système de référence dont l’origine est le centre de masse de la Lune.

Séries de Poisson À l’ordre p, développements en puissance du temps t de la forme : S 0 + tS 1 + t2 S 2 + · · · + t p S p , où les fonctions S i sont des séries de Fourier. Solstice Points de l’écliptique pour lesquels la longitude géocentrique apparente du Soleil est égale à 90◦ (solstice boréal ou solstice d’été pour l’hémisphère nord) ou à 270◦ (solstice austral ou solstice d’hiver pour l’hémisphère nord). Par extension, instants de ces phénomènes. Sphère céleste Sphère de centre et de rayon quelconques dont les points servent à représenter les directions de l’espace : à toute direction D, on associe le point d’intersection de la sphère céleste et de la demi-droite parallèle à D dont l’origine est le centre de la sphère. Sur la sphère céleste, points et directions sont des entités équivalentes. Système de référence inertiel (ou galiléen) Système de référence spatial privilégié en mécanique newtonienne, associé à une échelle de temps uniforme. Deux systèmes de référence inertiels se déduisent l’un de l’autre par un mouvement de translation de vitesse constante. C’est dans ces systèmes de référence que sont valables les lois fondamentales de la mécanique générale. 1009

GLOSSAIRE Système de référence spatiotemporel Système de référence utilisé en mécanique relativiste et dans lequel il n’y a plus de véritable séparation entre coordonnées spatiales et coordonnée temporelle (voir Tempscoordonnée). Dans le cadre de la relativité générale, il n’y a plus de système de référence universel, mais des systèmes locaux. À l’intérieur du Système solaire, on peut ainsi établir la hiérarchie des systèmes de référence suivante : système barycentrique centré au barycentre du Système solaire, héliocentrique centré au Soleil, local Terre-Lune centré au barycentre du système Terre-Lune, géocentrique centré au centre des masses de la Terre et topocentrique dont l’origine est un point de la surface terrestre.

Syzygie Terme qui désigne en principe le quasi-alignement de trois corps du Système solaire, lors d’une conjonction ou d’une opposition. En pratique, l’usage actuel est limité aux situations de pleine lune et de nouvelle lune, et donc des alignements Soleil-Terre-Lune ou Soleil-Lune-Terre.

Temps atomique international (TAI) Coordonnée de repérage temporel établie par la section temps du Bureau international des poids et mesures sur la base des indications d’horloges atomiques qui fonctionnent dans divers établissements et dont l’unité est la seconde SI.

Temps-coordonnée barycentrique (TCB) Échelle de temps-coordonnée liée au système de référence spatiotemporel barycentrique qui a remplacé le Temps dynamique barycentrique TDB dans le système recommandé par l’UAI en 1991. Le TCB diffère du Temps terrestre TT par des termes périodiques, des termes séculaires et des termes de Poisson.

Temps-coordonnée En mécanique relativiste, la première coordonnée de l’espace-temps divisée par la vitesse de la lumière. Dans un système de référence spatiotemporel barycentrique, le tempscoordonnée peut être interprété comme le temps qui serait indiqué par une horloge au repos par rapport au barycentre du Système solaire et infiniment éloignée des planètes. 1010

GLOSSAIRE Temps-coordonnée géocentrique (TCG) Échelle de temps-coordonnée liée au système de référence spatiotemporel géocentrique. Le TCG ne diffère du Temps terrestre TT que par un terme séculaire. Temps de lumière Temps nécessaire à la lumière émise ou réfléchie par un corps céleste pour atteindre l’observateur placé sur la Terre. Ce temps peut être considéré comme constant pour une étoile donnée, mais pas pour un objet du Système solaire. Temps des éphémérides (TE ou ET) Échelle de temps utilisée de 1952 à 1976 pour les théories dynamiques, et jusqu’en 1984 pour les éphémérides des corps du Système solaire. Elle est définie à partir de la théorie du mouvement de la Terre autour du Soleil de Newcomb. Cette échelle de temps est maintenant remplacée par les échelles TT, TCB, TCG et TDB. Temps dynamique barycentrique (TDB) Échelle de temps-coordonnée recommandée par l’UAI en 1976 pour les éphémérides et les théories dynamiques rapportées au barycentre du Système solaire. Le TDB diffère du Temps terrestre TT par des termes périodiques et des termes de Poisson. En 1991, l’UAI a recommandé de remplacer le TDB par le Temps-coordonnée barycentrique TCB. Temps propre En mécanique relativiste, temps lu sur une horloge dans le référentiel de l’observateur, de la sonde spatiale ou du laboratoire. Il est différent du temps-coordonnée. Temps sidéral Angle horaire de l’équinoxe pour un lieu donné et un instant donné. On parle du temps sidéral vrai lorsqu’il s’agit de l’équinoxe vrai et du temps sidéral moyen lorsqu’il s’agit de l’équinoxe moyen de la date. En un lieu donné, à un instant donné, la somme de l’ascension droite vraie d’un astre et de son angle horaire est égale au temps sidéral vrai. Au moment du passage supérieur d’un astre au méridien, son ascension droite vraie est donc égale au temps sidéral vrai. 1011

GLOSSAIRE Temps solaire moyen Temps solaire vrai corrigé des inégalités de l’ascension droite du Soleil : c’est donc la partie linéaire, par rapport au temps, du temps solaire vrai. Temps solaire vrai Angle horaire du centre du Soleil en un lieu donné à un instant donné. Temps terrestre (TT) Échelle de temps utilisée pour les éphémérides géocentriques apparentes dont l’unité de temps est la seconde SI. Au 1er janvier 1977 0 h TAI, TT a pour valeur 1 janvier 1977, 0 h 0 min 32.184 s. C’est une échelle de temps idéale dont la réalisation pratique est liée au Temps atomique international TAI, par TT = TAI + 32.184 s. Temps universel (TU ou UT) Échelle de temps étroitement liée à la rotation diurne de la Terre, qui a longtemps été à la base des temps légaux. TU est défini par une relation mathématique qui donne l’expression du temps sidéral en fonction du Temps universel. On peut donc déterminer TU à partir d’observations d’étoiles (passage d’étoiles au méridien, par exemple). Le Temps universel ainsi obtenu est rapporté à un pôle fixe sur la Terre et est noté UT0. Le Temps universel rapporté au CEP s’obtient en s’affranchissant du mouvement du pôle et est noté UT1. Depuis 1984, l’échelle de temps légale n’est plus basée sur le Temps universel, mais sur le Temps universel coordonné UTC. Temps universel coordonné (UTC) Échelle de temps diffusée par les signaux horaires et utilisée comme base des temps légaux. C’est, en fait, le Temps atomique international TAI décalé d’un nombre entier de secondes. Ce nombre est régulièrement modifié par des secondes intercalaires, de telle sorte que la différence entre UTC et le Temps universel UT1 n’excède pas 0.9 s en valeur absolue. Termes séculaires Polynômes du temps que l’on rencontre dans la représentation mathématique de différents phénomènes astronomiques, comme les théories du mouvement des corps célestes ou la théorie de la précession-nutation. 1012

GLOSSAIRE Terminateur Courbe le long de laquelle le cône circonscrit au Soleil et à un astre est tangent à l’astre. Cette courbe sépare la région éclairée de l’astre de celle qui est dans l’ombre. Théorie générale Représentation mathématique du mouvement elliptique perturbé d’une planète, où les coordonnées sont représentées sous forme de séries de Fourier. Les arguments de ces séries sont des combinaisons de fonctions linéaires du temps. Ces fonctions du temps peuvent être des arguments de période de l’ordre de celles de la révolution des planètes, comme les longitudes moyennes moyennes (arguments à courte période) ou des arguments de période de l’ordre de celles des longitudes des nœuds et des périhélies (arguments à longue période). Ces théories ont un intervalle de validité très grand (de l’ordre du million, voire de la dizaine de millions d’années), mais, en général, ont une précision insuffisante pour construire des éphémérides. Elles sont utilisées pour étudier l’évolution du Système solaire. Théorie à variations séculaires Représentation mathématique du mouvement elliptique perturbé d’une planète, où les coordonnées sont représentées sous forme de termes séculaires et de séries de Poisson. Les arguments de ces séries sont des combinaisons de fonctions linéaires du temps. Ces fonctions du temps sont uniquement des arguments de période de l’ordre de celles de la révolution des planètes, comme les longitudes moyennes moyennes. Ces théories ont un intervalle de validité de l’ordre de quelques milliers d’années, leur précision est suffisamment bonne pour construire des éphémérides. Topocentrique Qui se rapporte à un système de référence dont l’origine est un point de la surface de la Terre. Unité astronomique Unité de longueur (symbole au) du système de constantes astronomiques. Depuis 2012, c’est une valeur fixe en unités SI et égale à 149 597 870 700 m. Antérieurement, elle était définie comme le demi-grand axe d’une orbite que décrirait autour du Soleil une planète de masse négligeable, non perturbée, dont le moyen mouvement serait égal à k radians par jour, k étant la constante de Gauss. 1013

GLOSSAIRE Vertical Demi-grand cercle de la sphère céleste contenant la verticale d’un lieu et le point de la sphère céleste associé à une direction. Par extension, demi-plan contenant ce demi-grand cercle. Verticale d’un lieu Direction opposée au champ de pesanteur en ce lieu. Le point de la sphère céleste associé à cette direction est le zénith du lieu, le point diamétralement opposé est le nadir. Vitesse radiale Vitesse d’un corps céleste le long de la ligne de visée. Elle est exprimée en général en km s−1 , voire en au d−1 , et est positive vers l’extérieur (vr = dr/dt), la ligne de visée, mais aussi la vitesse, dépendant de l’observateur. Les vitesses radiales publiées pour les étoiles sont normalisées et ramenées au barycentre du Système solaire, en négligeant la parallaxe de l’étoile (étoile infiniment éloignée en comparaison de la distance Terre-Soleil). VLBI De l’anglais Very Long Base Interferometry, interférométrie à très longue base. Méthode de radioastronomie qui consiste à enregistrer un signal et un chronométrage extrêmement précis en deux lieux séparés par des distances qui peuvent être intercontinentales. Ces enregistrements sont ensuite envoyés en un même endroit et interfèrent dans un corrélateur. Cette méthode donne accès à des précisions astrométriques de l’ordre de quelques dizaines de microsecondes de degré. Zénith Voir Verticale d’un lieu.

1014

Index Aberration aberration diurne, 612 aberration elliptique, 611 aberration planétaire, 619 calcul classique, 602 calcul relativiste, 615 ellipse d’aberration, 604 formulaire classique, 609 historique, 598 Albédo géométrique, 506 Analemme, 660 Angle de phase, 832 Angle de position, 832, 835 Angle de rotation de la Terre (ERA), 148, 150, 154 Année abondante, 874 Année bissextile, 879 Année commune, 874 Année des éclipses, 757 Année draconitique, 757 Année embolismique, 877, 878 Année julienne, 879 Année tropique, 646, 864 Année vernale, 864 Astronomes Adams J.-C., 224 Andoyer H., 765 Arago F., 224, 797 Baily F., 806 Barnard E., 686

Bessel F.-W., 495, 552, 599, 626, 764 Biot J.-B., 626, 637 Bode J.-E., 497 Bond G., 326 Bouvard A., 222 Bradley J., 169, 598, 603 Brahé T., 494 Brahe T., 624 Bretagnon P., 244, 245 Brown E.-W., 292 Burckhardt J.-K., 292 Bürg J.-T., 292 Cassini J., 552, 599, 625, 880 Cassini J.-D., 326, 625, 692, 764 Cauchy L.-A., 552 Chandler S.-C., 169 Chapront J., 281 Charlois A., 498 Chauvenet W., 765 Clairaut A.-C., 221, 495 Clavius C., 898 Copernic N., 168, 327 Crabtree W., 695 d’Alembert J., 169 Dalencé J., 2 Danjon A., 812 Delambre J.-B., 222, 552, 907 Delaunay C., 292, 351 Deprit A., 351 1015

INDEX Le Verrier U., 224, 240 Lieutaud J., 2 Lilius A., 898 Littrow J.-J., 552 Mädler J.-H., 883 Manfredi E., 599 Marius S., 325 Mason C., 292 Mayer T., 292, 599 Méchain P.-F.-A., 2, 495 Meeus J., 907 Newcomb S., 169, 170, 180, 225, 241 Newton I., 168, 552 Olbers H.-W., 498, 514 Omar Khayyam, 882 Oriani B., 497, 633 Peters C., 498, 598 Piazzi G., 496 Picard J., 2, 220, 598 Poincaré H., 170, 556 Ptolémée C., 296, 658 Richer J., 599 Roemer O., 326, 617 Scaliger J., 85 Scheiner J., 600 Schiaparelli G., 686 Sharpless B.P., 370 Simpson T., 552 Spencer Jones H., 907 Struve F.-G.-W., 599 Struve H., 365 Tisserand F., 224, 561 Titius J.-D., 497 Tombaugh C., 493 Vogel H., 600 Walker S.-C., 224 Witt G., 693 Wolff C., 497 Woolhouse W., 764

Encke J.-F., 495, 552 Euler L., 168, 169, 552 Faye H., 495 Flamsteed J., 598, 660, 692 Galilée G., 325, 374 Galle J.-G., 224 Gassendi P., 694 Gauss K.-F., 514, 552, 907 Gregory D., 497 Hale G.-E., 686 Hall A., 364, 686 Halley E., 495, 599, 713, 797 Hansen P.-A., 225, 294, 380, 764 Hapke B., 838 Harding K.-L., 498 Hencke K.-L., 498 Henderson T., 693 Herschel J., 87 Herschel W., 326, 493, 496, 499 Hevelius J., 494 Hipparque, 168, 296 Hodierna G.-B., 326 Huggins W., 600 Huygens C., 326 Ivory J., 626 Kant E., 170 Kepler J., 497, 552, 686, 764, 797 Kovalevsky J., 354 Lacaille N.-L., 221, 692 Lagrange J.-L., 514, 552, 718, 764 Laibats-Montaigne J., 495 Lalande J., 2, 170, 221, 224, 495, 552, 657 Lalande M.-L., 224 Lallemand A., 498 Lambert J.-H., 633 Laplace P.-S., 221, 514, 552, 626, 633 Lassel W., 224, 326 Laugier P., 797 Lefebvre J., 2 Lepaute N.-R., 495

Barycentric Celestial Reference System, 1016

INDEX Corps noir, 530 Couchers des astres, 655 CPO, voir Écarts au pôle céleste Crépuscule le plus court, 685 crépuscule astronomique, 682 crépuscule civil, 682 crépuscule nautique, 682 durée, 682, 685 Culmination supérieure, 655 Cycle de Méton, 878, 890, 891

voir Système de référence céleste barycentrique BCRS, voir Système de référence céleste barycentrique Biais de repère, 151, 158 Bureau international de l’heure (BIH), 66 Bureau international des poids et mesures (BIPM), 12 Calendes, 863 Calendrier perpétuel, 874 Calendrier proleptique, 875 Celestial Ephemeris Pole, voir Pôle céleste des éphémérides Celestial Intermediate Origin, voir Origine céleste intermédiaire Celestial Intermediate Pole, voir Pôle céleste intermédiaire Celestial pole offsets, voir Écarts au pôle céleste CEP, voir Pôle céleste des éphémérides CIO, voir Origine céleste intermédiaire CIP, voir Pôle céleste intermédiaire Comput, 890 Conférence générale des poids et mesures (CGPM), 11 Conférence internationale des étoiles fondamentales, 9 Constante de Gauss, 230 Constantes astronomiques, 9 Constantes de conversion solaire et planétaire, 27 Conventions IERS, 149 Coordonnées coordonnées apparentes, 615, 622 coordonnées astrométriques, 620 coordonnées planétocentriques, 827 coordonnées planétographiques, 828 coordonnées sélénocentriques, 824 Coordonnées du pôle, 156

Datations historiques, voir Delta T Dates proleptiques, 882 Déflexion des rayons lumineux, 613, 622 Delaunay → arguments, 233, 281, 289 Delta T, 89, 92 Dépression de l’horizon, 667, 672 Déviation de la Lumière, voir Déflexion des rayons lumineux Différence UT1-TAI, 177 Durée du jour, 675 Earth Orientation Parameters, voir Paramètres d’orientation de la Terre Écarts au pôle céleste, 148 Échelles de temps Delta T, 89 seconde des éphémérides, 63 seconde SI, 65 TDB-TT, 79 Temps atomique international (TAI), 61, 66, 67, 165, 213 temps BeiDou, 84 Temps coordonnée barycentrique (TCB), 62, 69, 76 Temps coordonnée géocentrique (TCG), 62, 69, 76 Temps des éphémérides (TE/ET), 61, 62 1017

INDEX Équinoxe, 147 ERA, voir Angle de rotation de la Terre Étoiles coordonnées apparentes, 615 coordonnées topocentriques, 616 déflexion des rayons lumineux, 613 Évection, voir Lune - évection Exeligmos, 758

Temps dynamique barycentrique (TDB), 61, 79, 81 Temps dynamique terrestre (TDT), 61 temps Galileo, 84 temps GLONASS, 84 temps GPS, 83 Temps terrestre (TT), 81 Temps universel coordonné (UTC), 68, 71 Temps universel UT1, 69 UT1, 155 UT1-TAI, 155 Éclipse angle de position, 796, 817 carte d’éclipse, 797 degré d’obscuration, 791 éléments de Bessel, 770, 778 grandeur, 790, 818 ombre, 760, 773, 809, 812 pénombre, 760, 809, 812 repère de Bessel, 770 Effet Yarkovsky, 505, 513, 524 Effet YORP, 512, 524 Éléments de Bessel, voir Éclipse Éléments osculateurs, 229 ELP, 219, 293 EOP, voir Paramètres d’orientation de la Terre Épacte grégorienne, 897 Épacte julienne, 896 Époque bessellienne, 88 Époque J2000.0, 146 Équateur d’intensité, 834 Équateur photométrique, voir Équateur d’intensité Équation du temps, 661 Équation des équinoxes, 155, 163 Équation des origines, 155 Équations d’Euler, 174 Équations de Lagrange, 229, 235, 236 Équations de Liouville, 173, 175

FCN, voir Terre - nutation libre du noyau Fonctions mixtes, 470, 488 Forces non gravitationnelles, 521 Free Core Nutation, voir Terre nutation libre du noyau Gaia, 600 GCRS, voir Système de référence céleste géocentrique Geocentric Celestial Reference System, voir Système de référence céleste géocentrique GMST, voir Temps sidéral moyen de Greenwich Greenwich Mean Sidereal Time, voir Temps sidéral moyen de Greenwich Greenwich Sidereal Time, voir Temps sidéral de Greenwich GST, voir Temps sidéral de Greenwich Hipparcos, 600 Horizon, 667 Horizon optique, 667 ICRF, voir Repère de référence céleste international ICRS, voir Système de référence céleste international Imagerie astrométrique, 332 INPOP, 220, 226, 230, 302 Instrument héliomètre, 331 1018

INDEX Libration, 565 Loi de Titius-Bode, 224, 497 Lois de diffusion, 836 loi de Hapke, 838 loi de Lambert, 837 loi de Lommel-Seeliger, 837 loi de Minnaert, 837 Lois de Kepler loi des ellipses, 549 loi des aires, 548 loi harmonique, 551 Lunaison, 277, 291, 645, 650, 654, 877 Lune accélération séculaire, 288 arguments de Delaunay, 233, 281, 289 déclinaison, 279 demi-grand axe, 281 distance périgée, 278 distances minimales, 301 durée des phases, 648 durée lunaison, 650 éléments moyens, 286 éphémérides, 291 évection, 296 excentricité, 282 inclinaison orbitale, 284 libration, 824 longitudes moyennes, 290 lumière cendrée, 646 lunaison, 277, 291, 645, 650, 877 lunaisons les plus courtes, 654 lunaisons les plus longues, 654 mécanisme des phases, 646 mois synodique, 646 mouvement introduction, 276 moyen mouvement, 648 nœuds de l’orbite, 285 orbite, 276 périgée, 284 période anomalistique, 291 période draconitique, 291

instrument méridien, 329 Interférométrie à très longue base (VLBI), 214 International Celestial Reference Frame (ICRF), voir Repère de référence céleste international International Celestial Reference System (ICRS), voir Système de référence céleste international International Terrestrial Reference Frame, voir Repère de référence terrestre international (ITRF) International Terrestrial Reference System, voir Système de référence terrestre international ITRF, voir Repère de référence terrestre international (ITRF) ITRF2014, 138 ITRS, voir Système de référence terrestre international JASON, 242 Jour crépuscules, 679 durée, 663 durée du crépuscule, 682 durée du jour, 675 jour italique, 665 jour solaire, 663 levers, 668 Julien cycle julien, 85 date Julienne, 84 époque julienne, 88 jour julien, 87 Le système WGS84, 142 Lettre dominicale, 893 Levers des astres, 655 Levers-couchers du Soleil, 668 1019

INDEX période sidérale, 291 période synodique, 291, 646 période tropique, 291 phases, 645 super lune, 298 syzygies, 298, 648 variation, 297

formulaire, 608 martienne, 691 modèle géométrique, 601 solaire, 27, 713, 716 Paramètres d’orientation de la Terre (EOP), 149 Passage calcul géocentrique, 708 calcul topocentrique, 713 condition en latitude, 698 condition en longitude, 698 conditions générales, 696 conditions Mercure, Vénus, 700 contacts, 710 Mars/Terre, Saturne/Jupiter, 712 Mercure 1950-2050, 708 répétitions, 704 retours, 700 séquences, 700 Vénus 1631-2255, 711 Passage au méridien, 655 Passages de Mercure et Vénus, 694 Pénombre, voir Éclipse Période anomalistique, 559 draconitique, 559 képlerienne, 559 Petits corps axe de rotation, 509 classes spectrales, 507 diamètre, 510 émission thermique, 507 flux apparent, 527 magnitude absolue, 528 magnitude apparente, 527 période de rotation, 508 réflectance, 506 Plan de Laplace, 366, 367, 369 Plan horizontal, 667 Planète naine, 328 Planètes aberration planétaire, 619

Méton, voir Cycle de Méton Magnitude absolue, 510 Mean Greenwich sidereal time, voir Temps sidéral moyen de Greenwich Méridien origine, 824, 826 Mois synodique, 646 Mouvement du pôle, 145 Mouvement képlérien, 227 Mouvement propre définition, 601 formules de propagation, 605 historique, 599 Non-rotating origin, voir Origine non tournante NRO, voir Origine non tournante Nutation, 145, 168, 180, 193 Obliquité de l’écliptique, 123, 162 Obliquité de l’écliptique, 156, 168, 188, 189, 212 Occase, 675 Ombre, voir Éclipse Oppositions de Mars, 686 Origine céleste intermédiaire (CIO), 148, 153 Origine non tournante (NRO), 147 Origine non tournante NRO, 152 Origine terrestre intermédiaire (TIO), 148, 154 Ortive, 675 Parallaxe annuelle, 600 1020

INDEX Premier Méridien, 663 Problème des deux corps, 548 des trois corps restreint, 565 Projection gnomonique, 333 Proleptique, 875, 878, 882

coordonnées apparentes, 622 coordonnées astrométriques, 620 coordonnées topocentriques, 622 définition, 219 déflexion des rayons lumineux, 622 éléments moyens d’Uranus, 258, 261, 268 éléments moyens de Jupiter, 256, 260, 266 éléments moyens de Mars, 256, 265 éléments moyens de Mercure, 254, 264 éléments moyens de Neptune, 259, 262 éléments moyens de Pluton, 263, 269 éléments moyens de Saturne, 257, 260, 267 éléments moyens de Vénus, 254, 264 éléments moyens du barycentre Terre-Lune, 255, 265 éléments moyens de Neptune, 268 parallaxe diurne, 618 temps lumière classique, 619 temps lumière relativiste, 621 Point subobservateur, 829 Point subsolaire, 829 Point vernal, 168 Points de Lagrange, 565, 568, 569 Pôle céleste des éphémérides (CEP), 147 Pôle céleste intermédiaire (CIP), 167, 176 Pôle céleste intermédiaire (CIP), 147, 151 Pôle instantané de rotation, 146 Polynômes de Tchebychev, 470, 485, 487 Polynômes orthogonaux, 484 Précession, 145, 167, 180, 182 Précision et exactitude, 345, 471

Réduction à l’équateur, 659 Réfraction description, 626 historique, 623 horizontale, 643, 671 plans parallèles, 628 symétrie sphérique, 630 Repère de référence, 95 Repère de référence céleste international ICRF1, 112 ICRF2, 114 ICRF3, 115 Repère de référence céleste international (ICRF), 96, 100, 112, 340 Repère de référence terrestre (RRT), 127 Repère de référence terrestre international (ITRF), 97, 128 Résonance laplacienne, 375, 379 Révolution synodique, 687 Saison des éclipses, 757 Saisons, 883 Saros, 757 Satellites ajustement différentiel, 359 dérivées partielles, 360 équations de condition, 362 observations astrométriques, 345 observations micrométriques, 331 réduction des observations, 329 satellites d’Uranus, 441, 491 satellites de Mars, 364, 491 satellites de Neptune, 451 satellites de Pluton, 457 satellites de Saturne, 394, 491 1021

INDEX astronomiques, 21 Syzygie, 754

satellites galiléens, 325, 374, 376, 491 satellites intérieurs, 387, 411 satellites irréguliers, 460 satellites lointains, 460 satellites naturels, 321 Seconde intercalaire, 70, 71, 214 Service international de la rotation terrestre et des systèmes de référence (IERS), 111 Soleil Durée du lever-coucher, 672 levers-couchers, 668 moyen mouvement, 648 Style, 879 Système géocentrique non tournant, 102 Système de référence, 95 Système de référence céleste barycentrique (BCRS), 101 Système de référence céleste géocentrique (GCRS), 101 Système de référence céleste géocentrique (GCRS), 144, 156 Système de référence céleste international (ICRS), 96, 106, 156 Système de référence céleste international (ICRS), 100 Système de référence terrestre (SRT), 127 Système de référence terrestre intermédiaire (TIRS), 149 Système de référence terrestre international (ITRS), 127, 144, 156 Système international d’unités (SI), 11 Système international de référence terrestre (ITRS), 97, 100, 134 Système UAI d’unités astronomiques, 17 Système UAI de constantes

Tchebychev, 355 Temps coordonnée barycentrique, 20 Temps coordonnée géocentrique, 20 Temps légal, 662 Temps lumière classique, 619 Temps lumière relativiste, 621 Temps sidéral de Greenwich (GST), 149, 155, 775 Temps sidéral moyen de Greenwich (GMST), 155, 163, 656 Temps solaire, 657 Temps universel (TU/UT), 61 Temps universel (UT1), 147, 154 Temps universel coordonné (UTC), 165, 213 Temps universel UT1, 209 Terminateur, 841 Terre aplatissement dynamique, 175, 196 axe de figure, 167 axe principal d’inertie, 167 durée du jour, 170, 177, 209 ellipticité dynamique, 196 fréquence de Chandler, 176 mouvement du pôle, 176 noyau fluide, 176 nutation diurne, 176 nutation libre, 176 nutation libre du noyau (FCN), 177, 204 oscillation de Chandler, 169 pôle instantané de rotation, 167 polhodie, 207 rebond postglaciaire, 170 Terrestrial Intermediate Origin, voir Origine terrestre intermédiaire TIO, voir Origine terrestre intermédiaire TIRS, voir Système de référence terrestre intermédiaire 1022

INDEX VLBI, voir Interférométrie à très longue base VSOP, 125, 219, 226, 230, 242, 243, 245

TOP, 226, 230, 242, 245 Transit, voir Passage Unité astronomique, 18 Unité dérivée, 12 Unité dérivée cohérente, 12 Unités de base, 12

WGS84, voir Le système WGS84 World Geodetic System 1984, voir Le système WGS84

Valeur de Routh, 567 Vitesse radiale historique, 600

Yarkovsky, voir effet Yarkovsky

1023