Introduccion A Las Matematicas

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UNIDAD D ID A C T IC A í

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Fundamentos

Lógica de proposiciones -,-r— — ~

1 ,1 .1

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eBOBSama

Proposiciones

Los hombres expresamos nuestros pensamientos, sentimientos, emociones, etc., mediante palabras. La palabra es uno de los indicadores más evidentes de la racionalidad del hombre. Las ideas simples se expresan con una sola palabra: “árbol”, “luna”; los pensamientos más elaborados se manifiestan me­ diante una serie de palabras que forman oraciones. Por ejemplo, los postulados básicos de una determinada corriente ideológica, las tesis de uri científico, las conclusiones de un investigador, los artículos de una normativa, se expresan mediante frases construidas con oraciones. El lenguaje humano es extraordinariamente rico y variado por lo que la es­ tructura de las oraciones puede ser muy compleja. Su estudio en profundidad corresponde a la Lingüística. La lógica de proposiciones tiene unos objetivos más modestos. Su interés se centra en el análisis de un tipo de oraciones que presentan una estructura muy concreta: enuncian algo sobre lo cual siempre se puede decidir acerca de si es verdadero o es falso. Por ejemplo, todo el mundo en su sano juicio admite que oraciones como “todos los hombres son mortales” o “la suma de uno más uno es igual a dos” se tienen siempre por ver­ daderas; asimismo, oraciones como ‘Quevedo escribió El Quijote” o “Marte es un satélite de la Tierra” se tienen siempre por falsas; por otra parte, oracio­ nes como “hoy está lloviendo en Madrid” o “en la sesión de hoy la Bolsa ha subido” se tienen por verdaderas o falsas, según el día del que estemos hablan­ do, o la sesión de Bolsa que se trate. Es decir, de frases como las anteriores siempre puede juzgarse si son verdaderas o falsas; además éstas, verdadero o falso, son las dos únicas situaciones que pueden darse, sin que pueda admitirse ninguna otra. Las consideraciones anteriores pueden parecer inútiles. Quizás, a prime­ ra vista, podemos pensar que siempre es posible opinar acerca de la verdad o falsedad de cualquier oración. Esta impresión es incorrecta; no parece fácil decidir si oraciones como “bésame mucho”, “¡cuidado con el perro!”, “no me olvides nunca”, “¿estás seguro?”, . .. son verdaderas o falsas. Incluso oracio­ nes que parecen afirmar un hecho opinable como verdadero o falso pueden po­ nemos en un compromiso. Por ejemplo, si queremos decidir si la oración “esta oración es falsa” es verdadera o falsa nos veríamos en un callejón sin salida, porque si pensamos que es verdadera entonces resultaría ser falsa, mientras que si decidimos que es falsa entonces sería verdadera. Tenemos entonces que exigir que la oración tenga cierta estructura lingüísti­ ca para que enuncie algo que pueda ser juzgado como verdadero o falso. Además, para poder decidir si una oración es verdadera o falsa, es preciso que tenga también cierta estructura lógica. Designamos a este tipo de oraciones con un término particular.

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Lógica de proposiciones

P R O PO SIC IÓ N

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; I.) Las Galdones cíe ¡as que siempre se puede asegurar que son verda­ deras o falsas se llaman proposiciones o enunciados. Una proposición sólo puede tomar dos posibilidades lógicas: * Ser verdadera, que denotamos con V. * Ser falsa, que denotamos con F. A la verdad o falsedad de una proposición se le denomina su valor de verdad. Las oraciones “la ciudad de Burgos tiene más de cien mil habitan­ tes”, “la Alcarria es una tierra hermosa” enuncian algo que puede ser juzgado como verdadero o falso; por lo tanto, son proposiciones. Las oraciones “¡ojalá que llueva!”, “ponte el vestido rojo” no enuncian ningún hecho; expresan un deseo o una orden; no son proposiciones. EJEMPLO 1.1

Conviene insistir en que el valor de verdad de un enunciado no tiene, nece­ sariamente, que coincidir con lo que habitualmente se entiende por “verdad”. Desde este punto de vista, el valor de verdad es una valoración, un juicio, que puede atribuirse a determinadas oraciones. El interés de la lógica de proposi­ ciones se centra en que, una vez atribuido ese valor a ciertas proposiciones, el valor de verdad de otras se deduce, de manera obligatoria, merced a ciertas reglas. EJEMPLO 1 .2 Las proposiciones que siguen están perfectamente construidas. El lector juzgará a su antojo sobre su valor de verdad: “la cabeza es la pecera de las ideas”, “el oso blanco está envuelto en su albornoz de baño”, “el agua se suelta el pelo en las cascadas”, “los celos son el picor del amor”. ü

Las proposiciones más sencillas que podemos encontrarnos se limitan a enunciar una cualidad de un ser, o una cosa, o poner de manifiesto un hecho. Por ejemplo, la proposición “hoy llueve”. Este tipo de proposiciones pueden denominarse proposiciones simples y es habitual representarlas con una letra como p, q, r , . .. Por otra parte, hay proposiciones que enuncian varias cualidades de un ser, o una cosa, de forma que su verdad o falsedad se desprende del valor de verdad de otros enunciados más sencillos. Por ejemplo, la proposición “hoy hace frío y llueve” afirma dos circunstancias del tiempo que hace el día de hoy: que “hoy hace frío” y que “hoy llueve”. El enunciado combina dos proposiciones sim­ ples, — “hoy hace frío”— y — “hoy llueve”— , mediante la conjunción y, que añade el sentido de afirmar que, simultáneamente, se dan ambas circunstancias. Este tipo de proposiciones pueden denominarse proposiciones com puestas. Los enunciados simples pueden relacionarse entre sí de distintas maneras, modificando el sentido del enunciado. Por lo tanto, el valor de verdad de un enunciado compuesto no solo depende de los valores de verdad de sus compo­ nentes, sino también de la relación que les liga. Por ejemplo, con las mismas

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proposiciones simples, — “hoy hace frío”— y — “hoy llueve”— , sin más que variar la relación que las liga, se pueden formar otros enunciados distintos, co­ mo las proposiciones: “hoy hace frío o llueve”, “hoy hace frío y no llueve”, “hoy no hace frío pero llueve”, “hoy no hace frío ni Hueve”. En cada idioma hay una gran variedad de términos, o unidades, que expresan esas relaciones entre los enunciados simples. Afortunadamente, para la lógica de proposicio­ nes, esas unidades pueden reducirse a unas pocas que se denominan conectores lógicos y se estudiarán en los apartados siguientes. P R O P O SIC IO N E S S IM P L E S Y C O M P U ES T A S

í .2 Una proposición que se limita a enunciar una cualidad de un ser o una cosa se denomina simple. una proposición que se obtiene combinando una o varías proposiciones simples mediante coneciores lógicos se denomina com puesta. EJEMPLO 1.3 La proposición “la lógica es fácil y divertida” es una proposición compuesta que se obtiene al combinar las proposiciones simples “la lógica es fácil”, “la lógica es divertida” mediante el conector lógico “y ”. EJEMPLO 1.4 La proposición “el acusado es inocente del primer cargo y culpable del segundo” es una proposición compuesta que se puede obtener combinando las pro­ posiciones simples “el acusado es inocente del primer cargo”, “el acusado es inocente del segundo cargo” mediante los dos conectores lógicos “y ”, “no”.

Í.Í.2

Conectores lógicos

Como acabamos de ver, las proposiciones simples pueden combinarse me­ diante diferentes conectores lógicos para dar lugar a proposiciones compues­ tas. Es natural, entonces, plantearse las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son los distintos modos de componer proposiciones? 2. ¿Cómo se determina el valor de verdad de una proposición compues­ ta a partir de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la forman? Comenzaremos estudiando los casos más sencillos en que se contemplan enunciados compuestos formados solamente por dos proposiciones simples y un sólo conector. Más adelante aprenderemos a calcular el valor de verdad de enunciados más complicados a partir de dichos casos elementales. En este análisis es útil ayudarse de las llamadas tablas de verdad. T A B LA DE V ER D A D

: ..1.3 La labia de verdad de una proposición compuesta es una represen­ tación de las distintas posibilidades lógicas que pueden tomar las proposi­ ciones simples que la integran incluyendo, para cada una de ellas, el valor de verdad de dicha proposición compuesta.

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Lógica de proposiciones

p

V F

(a)

P

q

V V F F

V F V F

(b)

P

V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(c)

Tabla 1.1: Posibilidades lógicas de una, dos y tres proposiciones.

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EJEMPLO 1.5 Si en una proposición compuesta interviene una única proposición simple p la tabla de verdad tendrá dos filas, una por cada una de las posibilidades lógicas que puede tomar p, tabla 1.1 (a); si intervienen dos proposiciones p y q la tabla de verdad tendrá cuatro filas, correspondientes a cada una de las posibilidades lógicas que pueden tomar p y q, tabla 1.1 (b); de forma similar, si intervienen tres pro­ posiciones p, q y r la tabla tendrá ocho filas, tabla 1.1 (c). La tabla puede construirse para un número cualquiera de proposiciones; como se advierte fácilmente, cada pro­ posición adicional duplica el número de filas de la tabla: cuatro proposiciones originan dieciséis filas, cinco, treinta y dos, etc.

La negación C ada observador puede juzgar lo que crea conveniente acerca de la ver­ dad o falsedad de los enunciados “la lógica es divertida” y ‘ ‘la lógica no es divertida”. Pero si se juzga que “la lógica es divertida” es verdadera, parece razonable considerar que “la lógica no es divertida” es falsa y, al revés, si se ju zg a falsa ‘ ‘la lógica es divertida” debe aceptarse com o verdadera “la lógica

no es divertida”. Las dos proposiciones anteriores están relacionadas de form a que si la pri­ m era es verdadera, la segunda es falsa y, si la prim era es falsa, la segunda es verdadera. Se dice entonces que “la lógica no es divertida” es la negación de “la lógica es divertida”. Esta relación es simétrica, tam bién puede decirse que “la lógica es divertida” es la negación de “la lógica no es divertida”. NEGACIÓN

* La negación de una proposición p se representa por-*p y se lee “no p ”. También se suele decir que - p es ¡a proposición contraria de p. *• Valor de verdad: La negación ~ p de una proposición p es verdade­ ra cuando p es falsa, y es falsa cuando p es verdadera. ® Tabla de verdad:

_________ P V F

F V

EJEMPLO 1.6 En todos los idiomas hay otras fórmulas para expresar la negación ce un enunciado que conviene conocer. Por ejemplo, los enunciados “es falso que la lógi­ ca sea divertida” y “no es cierto que la lógica sea divertida” son también negaciones de “la lógica es divertida”. EJEMPLO 1.7 También es frecuente utilizar palabras anlónimas para expresar la negación de una proposición. Por ejemplo, la negación del enunciado “la lógica es fácil” puede expresarse mediante el enunciado “la lógica es difícil”.

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La conjunción Si se consideran dos proposiciones simples como “el mar está en calma” y “sopla una ligera brisa” podemos utilizar la conjunción copulativa “y” para combinar ambos enunciados y formar la proposición compuesta “el mar está en calma y sopla una ligera brisa”. Este enunciado afirma que ambos fenómenos, “el mar está en calma” y “sopla una ligera brisa”, se dan a un tiempo. Por tanto, el enunciado compuesto es verdadero cuando lo son, simultáneamente, cada uno de los enunciados que lo componen y es falso en otro caso, es decir, cuando alguno de los enunciados que lo componen es falso. Si se representa por p el enunciado “el mar está en calma” y por q el enunciado “sopla una ligera brisa”, el enunciado compuesto “el mar está en calma y sopla una ligera brisa” se denomina conjunción de p y q. C O N JU N C IÓ N

1.5 i « La conjunción de las proposiciones p y q se simboliza p o r p f \ q y se lee "p y q”. Valor de verdad: La conjunción p A q de ¡asproposiciones p y q es verdadera cuando lo son, simultáneamente, p y q, y es falsa en otro caso. ® Tabla d e verdad; p

q

P Aq

V V F F

V F V F

V F F F

EJEMPLO 1.3 El conector “y” es el identificador de la conjunción de proposiciones. Hay que saber reconocer su presencia aun cuando, a veces, no aparezca de manera explícita. Por ejemplo, si se hace la conjunción de más de dos enunciados solo se expresa, generalmente, antes del último: “El mucho dormir quita el vigor al cuerpo, embota los sentidos y debilita las facultades intelectuales”. También se omite a veces por asíndeton: “Ella es alegre, altiva, enamorada”. Otras, en cambio, se reitera por polisíndeton: “El es muy ladino, y sabe de todo, y tiene mucha labia”.

La disyunción A menudo se emplean expresiones como “tiene un lápiz o una pluma”, “viene de Cuenca o de Albacete”, “este verano iré a Málaga o a Gandía”. En ellas aparece la conjunción disyuntiva “o” combinando enunciados simples. Resulta fácil aceptar que esta clase de enunciados son falsos si lo son cada uno de los enunciados simples que lo componen: si “tiene un lápiz” es falso y

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“tiene una plum a” es también falso, entonces se comprende que es falso “tiene un lápiz o una plum a”. Por otra parte, si uno de los enunciados simples es ver­ dadero y el otro falso, el enunciado compuesto se acepta también fácilmente como verdadero: si “tiene un lápiz” es verdadero entonces “tiene un lápiz o una plum a” es verdadero, y también si “tiene una plum a” es verdadero entonces “tiene un lápiz o una plum a” es verdadero. Pero queda una duda, ¿qué ocurre cuando los dos enunciados son verdaderos? Aquí, el uso coloquial confunde puesto que, habitualmente, la conjunción disyuntiva “o” conecta dos enuncia­ dos contrapuestos que no pueden ser ciertos simultáneamente. Así ocurre con la oración: “iremos de vacaciones a la playa o a la montaña” que parece des­ cartar la posibilidad de veranear en ambos lugares. Sin embargo, no siempre es así; la oración: “es trabajador o tiene suerte” debe considerarse cierta cuando las proposiciones “es trabajador” y “tiene suerte” lo son. Si se representa por p la proposición “es trabajador” y por q la proposición “tiene suerte” entonces la proposición “es trabajador o tiene suerte” se denomina disyunción de p y q. D ISY U N C IÓ N

1.6 : » La disyunción de las proposiciones p y q se simboliza por p V q y se ice “p ó q ”. * Valor de verdad; La disyunción p V q es verdadera cuando alguna de fas proposiciones p o q es verdadera, y es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. a Tabla de verdad: p

d

pVq

V V F F

V F V F

V V V F

EJEMPLO 1.9 Hay que insistir en el hecho de que las dos proposiciones que forman una disyunción pueden ser simultáneamente verdaderas; en el lenguaje corriente da­ mos muchas veces cuenta explícita de ello: por ejemplo, ”É1 es muy distraído o muy confiado, (o ambas cosas)”. H

El condicional Otra clase de enunciados compuestos que se emplean con frecuencia en lenguaje ordinario tienen naturaleza condicional; por ejemplo, “si el domingo hace bueno, entonces iremos al cam po”, o también “si el bebé me sonríe, en­ tonces soy feliz”. Estos enunciados compuestos expresan una condición; su formulación tiene la siguiente forma: s i . . . , entonces . . . , donde los puntos suspensivos corresponden a proposiciones simples.

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Bertrand Russell (1872-1970) Se cuenta del gran matemático Bertrand Russell que un día le preguntaron: — ¿Entonces usted cree que si p es falsa p —>q es verdadera? — Sí, — respondió Russell— . — Entonces, — insistió su interlocutor— ¿podría demostrarme que “Si 1 + 2 = 2 en­ tonces yo soy el Papa?”. — Si 1+ 2 = 2, — argumentó Russell— , en­ tonces 2 = 1, el Papa y usted son dos y como 2 = 1, el Papa y usted son uno, luego usted es el Papa.

Si p y q son dos proposiciones, el enunciado condicional “si p, entonces q ” se representa por p -+ q. El sentido habitual del condicional indica que si p y q son verdaderas, entonces p ^ q e s verdadero y que si p es verdadera y q es falsa, entonces p ^ q e s falso. Por ejemplo, si “el domingo hace bueno” es ver­ dadero y también “vamos al campo”, la promesa realizada por el condicional ha resultado cierta; por otra parte, si “el domingo hace bueno” es verdadero pe­ ro “no vamos al campo”, o sea “vamos al campo” es falsa, entonces la promesa ha resultado ser una falsedad. Pero, ¿qué hacer cuando p es falsa? Se acepta que el condicional p —►q es verdadero cuando p es falsa, con independencia del valor de verdad de q. La decisión anterior puede justificarse diciendo que si p es falsa no puede calificarse de falsedad al condicional y se le considera verdadero. Así, si “el domingo hace bueno” no es verdadero entonces “vamos al campo” o “no vamos al campo” sin que la promesa realizada por el condi­ cional resulte falsa en ninguno de los dos casos, es decir, el condicional puede considerarse verdadero. Debe considerarse también que en el lenguaje cotidiano sólo se condicionan los enunciados simples si están relacionados de alguna manera. En el estudio de la lógica, no se exige que las proposiciones guarden entre sí algún tipo de relación. Esta libertad produce algunos resultados chocantes; por ejemplo, la proposición “si 2 x 2 = 5, entonces los elefantes vuelan” resulta verdadera, mientras que “si 1 + 1 = 2 , entonces las sardinas son tiburones” resulta falsa.

C O N D IC IO N AL

» Si p y q son proposiciones, los enunciados de la forma “si p, entonces q”, se llaman proposiciones condicionales y se simbolizan por p —• q. A ¡a proposición p se 1c suele llamar antecedente y ala proposición o consecuente. * Valor de verdad; E l condicional p —+ q es falso cuando p es verda­ dero y q falso; en los demás casos p q es verdadero. « TaMa de verdad:

.................. p

q

V V F F

V F V F

.___ _ p

q V F V V

EJEMPLO 1.10 Por cuestiones de estilo, en todos los idiomas se utilizan diversas fórmulas para expresar un condicional. En la tabla 1.2 se señalan algunos enunciados frecuentes en el lenguaje coloquial y su traducción a la expresión condicional.

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Forma condicional

Expresión coloquial • Si llueve llevaré el paraguas. • Mi perro mueve la cola cuando está contento. • Para tener éxito es necesario ser disciplinado. • Siempre que sopla el viento del sur, me invade la desesperanza. • Cuando sonríes soy feliz.

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• Si llueve, entonces llevaré el para­ guas. • Si mi perro está contento, entonces mueve la cola. • Si tiene éxito, entonces es discipli­ nado. • Si sopla el viento del sur, entonces me invade la desesperanza. • Si sonríes, entonces soy feliz.

Tabla 1.2: Formas comunes de expresar proposiciones condicionales.

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Cáicuio de valores de verdad

A partir de proposiciones simples, y mediante el empleo repetido de los conectores estudiados, pueden formarse proposiciones mucho más complejas. Sin embargo, su sentido podría resultar confuso sin unas normas de prioridad en el cálculo o el empleo de paréntesis. Por ejemplo, cabe la duda de pensar si la expresión ~' p/ \ q niega la conjunción p A q o bien es la conjunción de la ne­ gación ->p y de q. Aunque podrían darse unas normas de preferencia de unos signos frente a otros, para no recargar la memoria innecesariamente es más cómodo recurrir a la utilización de paréntesis, que permiten definir con preci­ sión la proposición compuesta de que se trate. Así, se escribirá ~^(pAq) para indicar la negación de la conjunción p A q, mientras que ( - 7 ?) A q indicará la conjunción de la negación de p y q. Sentado este principio, nos planteamos ahora cómo calcular los valores de verdad de proposiciones compuestas en las que intervienen varias proposicio­ nes simples, combinadas con diversos conectores lógicos. La solución es sen­ cilla: consiste en aplicar repetidamente los criterios conocidos para combinar dos proposiciones simples, siguiendo el orden marcado por los paréntesis que aparezcan en la expresión compuesta. Por ejemplo, supongamos que la proposición simple p es falsa y la propo­ sición simple q es verdadera. Si queremos calcular el valor de verdad de la proposición ((~>p) Aq ) V p podemos razonar del modo siguiente: dado que p es falsa, su negación -ip es verdadera y, por tanto, la conjunción ((~ ip) A q) es verdadera, por ser verdaderas las dos proposiciones que la forman; finalmente, la disyunción ( ( - 7 ?) A q ) V p es verdadera, por ser verdadera una de las dos proposiciones que forman la disyunción. Algunos ejemplos adicionales nos harán más familiar el método. EJEMPLO 1.11 Supongamos que p es falsa y q es verdadera; si queremos hallar el valor de verdad de la proposición (/?V ((- 7 ?) Aq)) Aq podemos razonar del mo­ do siguiente: puesto que p es falsa resulta que - 7 ? es verdadera; como q también es verdadera, la proposición ( - 7 ?) Aq es verdadera y, por tanto, su disyunción con p,

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p V ( ( - 1/?) A q ) es verdadera; además, como q es verdadera, resulta que la proposición (pV {(-ip) A #)) Aq es verdadera, por ser conjunción de dos proposiciones verdade ras. M EJEMPLO 1.12 Supongamos que p es falsa, q verdadera y que queremos calcular el valor de verdad de la proposición {p V A ((~ip) V q). Conviene escribir los cálculos parciales de manera ordenada. Si p es falsa y q verdadera, se tiene -ip es verdadera -* 7 es falsa { ^ p ) V q es verdadera p V (-ig) es falsa luego (pV ( - ’