Introduccion A La Logica Formal

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Introducción a la lógica formal

Manuales f Filosofia y Pensamiento

Alfredo Deaño

Introducción a la lógica formal

El libro universitario

Alianza Editorial

Primera edición en «Aiian7~ Univers1dad Tcxto:s>~: JC)74 Pl'imera edición en «Manuales>>: 1999

A mis pt1dres y hermano,,, a M~rcedes, a Jauier l.tlu guerza y a Juan A. del Val.

Rcnaoos klolwotonai.S.A..Madrid.l974.1975. 1977. 1'17M.I9l!ll.I981.19S3.19S5.1986. 1988. 19S9. 1990. 1992. 1993. 199-1. 1995. 1996. 199'1 Callc.iuarol¡tn:u:io l.ucaddi rtcaciones más importantes que Alfredo Deaño tenia pensadas 11l• 'htitll lns ejercicios, que aparecen ahora considcmblemente aumentados v •~utddus en el Apéndice final, y al capitulo antes titulado «PerspectivaS>>. 1"' h•mas tratados eo éste debcrian aparecer ampliados y reorganizados • u t'l nu evo Ca pitulo IV, . Por desgracia, su t• ·•"·'l" rcsentar un catálogo, sino que se esforzaba por bailar unos • "t"'"" 1-...r,¡ o rganizar y clarificar esas divergencias y complementos ti 1• lu¡ut.l «normal>>. En cuanto al último apartado -, y aquellos ••IHHC n los que, en un sentido que luego explicaremos, va mos a denominar 1"~""

oomrdiCVJt)C$».

A lo• primeros debemos algunas de las manifestaciones más irritantes ; u lu ve¿ regocijantes acerca de la ciencia que con este li bro empezamos ,, 1'\ill>ncr. Han dado en pensar que la lógica formal es una especie de 1kll't'ho Mercantil del intelecto : asi como éste no seria o tra cosa que la '' ~uli•c• ón juridica de determinados procesos económicos que tienen lugar "' lu soc1cdad capitalista y que desaparecerán con ésta, asi también la l11atH,11

constitu iría la regulación formal de los procesos de pensamiento

'l" r •r dcs:lfrollan en las mentes positivistas. La lógica formal - lógica tl!lfH1 11Mumicnto administrado- ha de ser, como el capitaJismo, superada. h •mposiblc ocuparse aquí en detalles de analizar esta idea, si es que ti• ''"" 1ertenecc: al volumen

1•••• •1·•11.- dr hu t.:áphulot; 1 y lt de h• ohm

1 dC' la

IHI111I

¡,.,..,,.,~~~~ ~~~~~

a lo Mgka ftJrnHII qué

16

Prólogo 17

lntrodvceión ala lógica formal

comportamiento daría perfecta cuenta la lógica formal, y (fase superior en la evolución} cerebros libres, de neurona ágil, cerebros brdvos capaces de desconcertantes conexiones, cerebros, en suma, «dialécticos», entre comillas-; o, po r tosco que parezca, es que lo que se presenta como avanzada de la reflexión filosófica no constituye en muchos casos más que el retorno a formas primitivas de pensamiento. La lógica -en cuanto tal, e independientemente de los usos que de ella se hayan hecho o pretendan hacerse- es solamente una ciencia: ni administra ni prescribe. Se limita a presentar formalizada mente las leyes a las que la mente humana se atiene cuando se aplica a razonar. Por «medievales>> entendemos, no los lógicos de la Edad Media - a muchos de los cuales se deben espléndidas contribuciones al desarrollo de esta ciencia- , sino aquellos para quienes la lógica formal se reduce a la lógica que se imparte en nuestra Ense1ianza Media. Es una 'O u10 una palabra:. ~iJo Humpty Dumpty en un lORO más bien tltlldcftC\CO «ell palabra significa exactamente lo que )'O quiero que signi(¡que. Ni ml\f 111 meo os.~t «L.t cua:tión c:&W. -dijo Al¡cla- eren si usted pu~de hacer que la5 palabms ''trnthquc:n tantas OOPs difereat~ -1 ~ CUc:JUón e.stb -diJO Humpty Oumpty- •eo quién es d que manda. 1 \1 1 C\ hlCJO.•

• Un tratamiento mis cktmklo de esas otras cuestiont:J puede ~ene en A. Onño. lAs e> 9 .

¡,Qué tienen en común las tres alirmaciones que acabamos de hacer'/ 1 lt;Íth• .-;n

Ji~l)'\

en 1.1 revisw Afnut

esp (De Soph. El.. 1 KJ. Jmt.1th11n Swif1 cuenta, en los Viaju de Gulliver, cómo uno de k>s proyectos 1•• ¡u HIC~M.lrí.~ micmbr()S de la ReaJ Academia de Lagado ero «Un platl para abolir H

t•' 111

flt, -nnl¡tlt h, 1.• ~ p;tlabrns.. cualesquiera que fuese n: y se defendía oomo una gran \'Cntaja, I4HI , ••"I'C'\'tc• de l:t ;alud como do la brevedad. Es evidente que cada palabra que hablamos •r··•• '" ~ler to ¡rudo, una dbminución de nuestros pulmo nes por corrosión, y, por lo .tanto. •lhth,•;t tt ac:orturnos In ~·fda: en oonsrtucncia. JC ideó que. sieodo las palabras &tmp&cM w • l thtmb•sil'oanálisis prommcitm lll palabra 'libido' ( del lat/11 l ibido·lll~>, «La transformación de la expresión 'X' • 11 In ex presión 'Y' es correcta», etc. ' Jn cfdculo no es, por lo ta nlo. un lenguaje~ en la medida eo que no t~ll 1111

medio de comunicación,

~ eno

un purt) nrmazón sintáctico. Sus

Prim eros COdemos transforma rla

' ' 1 lll lltl

JO "" •••r.o una fórmula bien formada (una fórmula, a secas) del sistem;.l. ~1

loo

•r•:•. en c.1mbio. por la

"

1"' t(JII RTI ¡xldría rnun'l!l~ 'lhM"rKh' qu~ la o per.u:ión

I!Rlllllll\ d

RF3: una expresión como

·J • tk-ne

la Pf\lpt(d."l

Primeros conceptos 3S

34 lntroducclól! s la lógica formal

Por o tra pa rte, dada una combinación de símbolos como ~:e

que es una expresión bien formada, podemos pasar de eUa a

por la regla RTI a. O también, dada una fórmula como

.é.l0 podemos, por la regla RT2 a, transformarla en o tra fórmula como Etcétera. Hasta aquí lo único que hemos hecho es explicar el manejo de un cillculo; un cálculo. como ya hemos dicho. extraordinariamente s imple y rudimentario. un cillculo de salón. No obstante, esperamos que valga parn hacer ver que operar con un c.11culo no es otra cosa que manipular un conjunto de entidades - manchas de tinta, por ejemplo, o de tiza- según unas reglas esta blecidas explicita mente de antemano. Podemos, sin embargo, como hemos dicho, interpretar el cálculo. Podemos decir, por ejemplo : los triángu los designarán individuos humanos cualesquiera del sexo mascu.lioo. Los círculos designarán individuos humanos cualesquiera del sexo femenino. El símbolo T designará la

operación

'con~racr

ma trimon.io •.

Tendremos, entonces, que una expresión como

1au t~miMit;u. de un lenguaJe como el cu..~ttclltHlO, el bantú o~~ servo-c~oam. Nn •• traw de un lenguaje na tural, sino de un leng11a]e formalozadt>,

un l.,ot~uaje con estrucwra de cálettlo, un lenguaje en el que no. sólo es 111thdal el vocabula rio, sino también -y esto es lo esenctal- la llnt•llw. liemos formalizado - si bien de una forma muy tosca- las 191•• onne~ matrimoniales en un grupo humano donde está admitido el 10 11&v•th l(l u voluntad • A•l pues, aunque en la practica los cálculos se construyen a ~en~~o twn•ondo en sus posibles aplicaciones -o incluso en una ~phcacton '""rt.o , hay que señalar que, desde el punto de VISta. teonco, son ll...•lllt.ontente independientes del lenguaje o lenguajes formabzados que se p11 ololll obtener interpretándolos. 11.1y quienes piensan que la lógica es un conjunto de cálculos, o hien 1111 1.1 h\gica es la teorla de la construcción de cálculo~. . Nu•ntros entenderemos la lógica como un conJunto de lenguaJe' 1 ,,,,,h¡¡odos, es decir, como uo conjunto de cálculos a los que se da uno tntcrprctnción en el campo de investigación que - desde Aristóteles, 1"'' In menos- constituye el o bjeto de la lógica. De entre _todos k" lo uln< 411e podemos construir hay a lgunos que po r su espeaal ~stnoc· tooooo y"' buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplt~d os • 1111 (unbito especifico de pro blemas, el ámbito de los probletnas lógtcos. l • l··~oc.o, que durante mios de veinte siglos ha consistido en una su m:o "'''1 '"~nníz:oda de renexiones acerca de las _reglas formales d el razona "'''""'· ~xprcsadas casi s iempre en el lengua¡e natural, conslltuy~, ~n s u f111 "'" t'uutcmponl nea, la presentación rormaliz.ada de nuestro conocimicntH ttH t • u de

ese determinado

te.m::L

~lO

1 ,, '"''" do• Mgica formal

se interpretan\ como 'el varón Tal contrae matrimonio con la mujer Cual'. El paso de una expresión como

0!8 a una expresión co mo

\1~ 11 nos psicólogos han señalado " que, en el curso de su desaro-l'lho .. tqulrc,, el ni¡,o atraviesa una etapa caracterizada, entre otros ra:-oyu~. 1

" ltt'l\olre!le en q ue en ese ¡.rupo human o es-tá procrita la poli~mi~ entendida e n • 11 11 ¡¡.¡,. h •l'l•l•ml. os cJcc.r, como poligamia «s:incrónica», pueS-to qu e mngun sim~l o d e ''t't' 4 . 11 1,11 ('1h: C\Utr conectado oon más d e un símbolo de tipo 8 o A. Estana adm111d.• ,. • ,1111t,,u, f¡, que podriamot Uaroar «poligamia diac:rónicu. en la medi~. en. ~ue cualq"•e• 11 l+ll•' de esa oomunid11d podtla camblar de cónyuge con la penodJCidad que MI lul•1111 1•d e~(eclh·a te drctara. En la citada comunidad esaaria prohíbid.~ asimis~l el M•~lt u1...n 11l ctHre pet'$0nal del mismo sao. pues ninguna regla de formacaon aulonza l.•

utw 1 lun de c~prc:siones como

autorizado por RT2 b, significará 'la mujer Tal ha pasado de estar casada con el varón Tal a estarlo con el varón Cual'. Ailora ya no estamos manejando un puro cálculo. Al haber interpretado sus símbolos hemos convertido el cálculo en un lcn~u.o¡c No se trata,

8 TA..

A cambio. no existióa e1 Qlbil de inCCSh)

h , tu dtmls. si alnbu)-cramos a.l dmbolo f

t o~t

J el Psnificado 'manteoer rdacio nc:s c::a~tá\:

"' d nutmnonio' obtcndriamos una interpretación del cálculo clisti.nta fk la anterior

Llm•n ,,,rnuhtado la \tf$ió o ofictal de las rd.aciooes preparatorias de.l m."fnmomn .. un• ••-. 1t'1l.ul como la nuestra. por ejemplo. * t~·ilfit la t\Jt(m(tÓO y d&SCUsión de dichas tcorias véase d libro de Juan A. dd Val "'"'' "' , "' 1""''.-.'"'lt'lffO mjamiJ. M adnd

y «fisica judía», o -dando a cada cual lo suyo, según el viejo principio del derecho romano- de «ciencia proletaria>> y «ciencia burguesa»; cuando alguien, en concreto, emite una sarta de sonidos medianamente articulados que podría interpretarse en el sentido de que la lógica es una ciencia contrarre,•olucionaria {!), estamos en presencia de una conducta aoimista de la mejor ley. La lógica no es ni un baluarte de la reacción ni una palanca para la edificación del socialismo. La lógica es una ciencia, y las ciencias son, en principio, entidades políticamente disponibles, instrumentos o medios de Jos que podemos servirnos con diversos fines.

Son muchas las definiciones que podrían darse y se han dado de la lógica. Nosotros hemos elegido la siguiente: la lógica es la ciencia de los principios de w validez formal de la inferencia. Evidentemente, es preciso explicar esta definición t6rmíno a término. Jnfcrenci11. Como es bien sabido, los sinónimos no existen. Pese a ello, nos permitiremos considerar el término ' inferencia' como sinónimo de 'rnzona miento' o 'argumentación'. Todo razonamiento es pensamien to, pero la inversa no es verdadera: no todo acto de pensamiento consiste en razonar. El razonamiento cs. pues, u o tipo de pensamiento junto a otros varios que la psicología distingue. Un tipo de pensamiento cuyo rasgo característico es que en él se produ ce s iempre el paso de una o más a6nnaciooes que tomamos como yunto de partida a una afirmación que se sigue de aquellas. Lo especifico, por tanto, de un razonamiento o inferencia es que consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas. Eso es razonar. Recordar, por ejemplo, o imagina r son también formas de pensamiento, pero no formas de razonamien to. Aho ra bien: es menester distinguir entre el mzonamiento como actividad de un sujeto ~1 acto de razonar- y el razonamiento en cuanto producto o resultado de esa actividad. Del razonamiento en la primera acepción se ocuparía la psicología del pensamiento en uno de sus capítulos. El razonamiento como resultado -como resultado plasmado en el lenguaje, según veremos es el objeto mat~rial ~ decir, compartible con otras ciencias- de la lógica. Validez forma l. Puesto que lo que constituye un razonamiento es la relación que en ¿¡ se da entre unos enunciados que se toman como premisas y otro enunciado que resulta como conclusión, parece razonable dividir los razonamientos según la índole de esa relación Segiln la índole

~' r•u rclución los razonamientos se dividen en razonamientos válidos y

rottmumientos no vAlidos. Y cuando aquí decirnos 'razonamiento válido' decir, en un sentido que explicaremos pronto, 'razonamiento ,..,,..,/metlte vAlido'. 1 n el lenguaje ordinario se emplean a menudo expresiones como nn me parece compatible con lo anterior decir abora que.. .', 'después de hot...r defendido tal cosa, no me sorprende que ahora defienda tal otra·, qu~ trcne de extra~o. a la vista de tales aoóntecimientos, que...1', 'no Cío •~t~••" que...'. y otras muchas por el estilo. Hablamos también a veces de nhrrcnC1a», «consecuencia». «r supuesto también que la lógica, en cuanto ciencia del anális is form11 t ,¡, 1 ,, zona miento, no pretende en modo alguno agotar todos los as pectos oh ~wlc. Hay en el razonamiento - dicho sea cometiendo la vulgarida bap$ caw. l)lu pntm dcri.s d('(:ir- quil t$glc. Nueva York. Thc Macmillan Company, 19H Vrr-.1611 c;ajlellana de N. Míguez: lnrroducci6n a la 16gica, Buenos Aires, Elldeba, l~h2. 11 .' reimpresión, 1971. loiiAHR MORA, J. y L! BLANC. H.: Lógica matemática. Mé:Cn 1n1111izun. Desde el punto de vista de la lógica de enunciados, In '"'"'" ' '" los razona:nientos no es sino el modo -los distintos "'' ' 1111• co mo esos enunciados se relacionan entl"e sí. Y el contenido sun lu• IH\IIlCiados mismos. llnhlcmos, para empezar, del contenido"·

Luego No Ooreoen las hortensias,

pueden darnos ocasión para hacer dos observaciones- estrechamente relacionadas, por Jo demás. En primer lugar, habría que insistir en la distinción entre forma y rontenido de un ra.zonamiento. En cada uno de los dos cita dos el rontenido es diferente. Es obvio que en uno y o tro se habla de cosas dispares: de la condición humana, en el primero; en el segundo, de floricultura. Lo cual es tanto romo decir, en segundo lugar, que la forma permanece cous tante, mienlras que el contenido varía. Lo cual. a su vez, es tanto romo volver a decir que hay dos tipos de signos: los signos tc>t!Stall!es, que representan esa fo rma que no varía, y los signos variables, que constituyen el contenido, distinto en cada caso. Ahora bien: puesto que la lógica se fija tan sólo en la forma, parece que Jos dos razonamientos que aca bamos de presentar se reducirían, desde el punto de vista lógico, a lo siguiente :

1 o// 1rorlucw'. Es el producto tlo lit '¡.,,. ill'l d tt~lho por CJCmpto. t.e.ne sentido e~:duyente la partícula ·o· en el con1n1n Jlli ....,,m~ "\n puede enlenden~e en un 8entiulnr de verdad (dado que para que una disyunción -leng" ti ..,.,., de rniem bros que tenga- sea verdadera basta con que lo "''' .,,¡,, de ellos) seria ••.

r v s etc.,

Supon¡amm que la clase A es la clase de todas aquella" personas que han conseguido mnnltncrsc en el poder por medio del terror, y que la clase B es la clase de toda.~ aquellas personas que hnn oonseauido mantenerse en el poder me roed t1 la corrupción. Podemos, a baJe de la clase A y la clase B. construir 1a clase de todas aqueiJa.s pcrson:u que han conseguido mantenerse en el poder bien medjante el terror, bjen mediante la corrupción, bien por ambos pro«dimie:ntos. P-¡~.ra ser miembro de la clase resultante: resultante de esa operncíón. • la que llamaremos 'un í6n' o •sumo· de clases- no ha« raJua -como 11 ocurda, en cnmbio. oon La operación del pcoducco- haber ulilizadu como 1n1tnuncnto de poockr tanto e l terror como la corrupción: basta oon haber utilizlld4• uoo de esos dos recursos. Aunque también. desde luego. formaran parte de esa clase

1 1

• •¡ur l¡ls miembros de la disyunción pueden ser a su vez enunci:tth'' tni'U''"Ins. Asi,

pvq

,..,.

1

o

"•

........

pv(q v ' )

t.a lógica de enunciados 67

88 Introducción s la lógica formal

Podríamos construir expresiones en las que aparecieran a la vez la conju nción y la disyunción. ¿Cuál seria el valor de verdad de una expresión como (p

A

q) v r ?

~

tmlrl de una conjunción, cuyo segundo miembro esLá negado y una disyunción con el primer miembro negado. l'oro averiguar el va lor de verdad de la expresión entera, tendremos t111t h•lhlf, atltes de nada, el valor de verdad de cada uno de sus ...nohw\. Estos son los del primero:

•ru primer miembro es

Se trata de una disyunción, uno de cuyos miembros es a su vez una conjunción. Para hallar su valor de verdad hemos de hallar antes el de sus miembros. El de uno, r, ya lo tenemos. El del otro, (p A q). hemos de averiguarlo. No nos resultará dificil, sabiendo, como sabemos. cuál es la regla para obtener los valores de verdad de una conjunción : q

p

1 1 l

r

pAq

l

1 1

1 o o 1 o o 1 1 1 o o 1 o o

1

o o o o

"

q r

1

o o 1 1 o o 1 o o

1 1 1 1 1 o l o 1

o o o o

o o o o o o

,,

p

r

1 l 1 1 o l o 1 1 o o 1 l o 1· o o o 1

o

o o o

q (p

1\

1 1 1 l

o 1 o 1

q) v r

A

o 1 o

1 l 1

o o o o o o

q)

1 1 1 l

--, ,

1 l

V

o o

1 1

\'• tenemos los valores de verdad del primer miembro. Conozcam•" los del segundo:

o

1 'tu hum los de la expresión entera:

l

o 1 o

fl

1\ --,

••• Utilizando a la vez ~~ treS signos C()DS-tantes de que basca ahora dispooem"' pOdemos coostru•r e.xpresioor:s como áta:

1 con conek:ncia de d.se Dicho tod.:nia de ólrO modo: 1~ hrt nuormbro' de la dase A son miembros de a.. d11~ 8. pero no vtoevnsa. P\IC"\ t114'o n~>•nd•• t.o¡j.,, ''" mtemt.f•,.

arAficamente asi

\ ftil!l operu.dón se le llnmo 'inclusión de c~ses·. Y a l.a claSC' indtrkl.l t i! •'h • 1 Uuna ·~ubdtut' de es.a ottll (0 bitct. si preferimos utilizar la exprcsiún \\11 1)11111+ ,.,,uu11 11ue el conjunto incluido en o tro c:s un wbClmO · - •, 'f'\' y 'v: sirven para oomponc-r s.imbolOS de clast.S )' rorm:U ~t ltrprcsente-mos mediante la variable p el enunciado 'En esta t.11¡o·1 • l •lc problema es. en tu origen. uoa prueba pslc:ológic:a idead:s por P. C. Wlll 'lo4 111 11 t+t '"l(tc:r a c:on1rascaci6n c~rtas implicadoncs de la 1eoria de Piaget sobre el ~· n~Uu, • '41Jitltl, de laJ e~~ructura.s lóa.icas. lo que Wason prc:senta como e~pcriencaa r.u.t .u.. , 1.1 CC~ntprc.nstón de los enuociados ooodicionales por parlt. de lo.~ sujelos lo hcn'l'lul RH'tlldu tk~totros en un ~rcicio para «repasaP Ja tabla de "erdad de tod.•" ,.. tn,., C'$ludiad~ hasta d monxalo. Puede c:onsultarsc al respecto cl articul•1 df ,. 1 \\ OI'ICIU, • Rq_rCSJion U\ Reasonmp. en Brit&SII J(JUmQI oJ P:rycJtology, 60. 4 f!IJ 471 MO. y !UI hbro. en t.:ol.•b•'" '""'~

J.- ,

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" filtro •• ,.., ( 't,11tl'tf

1 t,lndn"'· n.....r.ud, ''72.

76

tntr()(lucdón a 18 lógica formar

1:

-sea .la la 2, la 3. o la 4- hay un triángulo rojo' y por q el enunc1ado En esta taqeta hay un círculo azul'. De las tarjetas podemos ver una sola cara, y ello nos permite conocer el valor de verdad de uno solo de los miembros de la conjunción en cada una de ellas :

Ahora bien: el enunciado a contrastar es una conjunción. Y una conjunción sólo es verdadera cuando lo son sus dos miembros. El enunciado a contrastar es, por otra parte, un enunciado general: «En todas las tarjetas hay un triángulo rojo y un circulo azub>. Este enunciado u.niversal equivale, por tanto, a la siguiente conjunción de enunciados smgulares: . Salta a la vista que ese enunciado no es verdadero. No hace .falr.a dar la vuelta a 11mguna tarjeta para saber que es falso, puesto que pode~os ver ya que no ~e cumple ni en la tarjeta 2 ni en la tarjeta 4. Pod~1~ Ciertamente cumphrse en las tarjetas 1 y 3, pero, aunque así fuera, seguma s1endo falso, en cuanto que se trata de un enunciado general que - por cons1gmente- para ser verdadero habría de ser verdadero en rodas las tarjetas. ¿Cómo resolveríamos el problema si el enunciado a contrastar en lugar de ser un enunciado conjuntivo, fuera uua disyunción: «En t¿das las tarjetas hay uo triángulo rojo o un círculo azul>>? Los datos del problema siguen siendo los mismos:

.

~[QJ[QJ~ ..• ..• .., ·-1

Puesto que para que una disyunción sea verdadera basta coo que lo sea uno de sus m1embros, sabemos ya que el enunciado es verdadero en las tarjetas 1 y 3, independientemente de Jo que haya en cada una d~ ella~ po~ detrás. Así pues, para saber -que es de Jo que se trata- SI el enunc1ado es verdadero en todas, tendríamos que /evamar las tar;etas 2 y 4. El enun~Jado general seria, entonces, verdadero s i por el otro l~do de estas dos tar¡etas hub1era, respectivamente, un triángulo rojo y un cuculo azul. Cuando el enunciado a contrastar tiene la forma de un condicional el problema se hace más dificil. Veamos por qué. ' El enunciado .~n cuestión sería ahora éste: «En todas las tarjetas donde hay un tnangulo roJO hay un circulo "'""' 1 • decir: «Dada

La lógica de enunciados 77

1111u WrJeta cualquiera, si en ella hay un triángulo rojo, entonces en ella

h11y tumbit\n un círculo azul>>. Si adoptamos la primera formulación •• ¡illrque, aun siendo menos explícita, es más natural. ¡,Por qué es más d ifícil contrariar un enunciado como «En todas l•• turjctas donde hay un triángulo rojo hay un circulo azul>>, que un tnunciado como, por ejemplo, >? En ambos casos se trata de enunciados '"'"puestos de dos enunciados simples (de dos enunciados que, ademús. '"" los mismos). En un caso, el enunciado está compuesto con 'y'; '11 c.1 l o tro, con 'si ..., entonces'. Pero ocurre que mientras en Ja con· ltlll\.1ión --o en la disyunción, o, como veremos, en el bicondiciona l rl ,.,¡~,, de los enunciados es irrelevallte (es lo mismo, en efecto, dc.:i1· •l n todas las tarjetas hay un triángu lo rojo y un circulo azul>> que 1lr1 Ir «En todas las tarjetas hay un circu lo azul y un triángulo rojo», ¡our~ lanto monta 'p 1\ q' como 'q " p'), en el caso del condicional " " •llullciudos que lo componen están, por definición, ordenados: el uno ha~o tlr uutcccdeote, y el otro, de consecuente; sus posiciones no son interc:un hl11hks, puesto que el uno enuncia la condición y el otro lo condicion11do, • ¡,, Jll'imera precede siempre lógicamente al segundo. No es lo mismu 1lr1 il' ~> que decir «En todas las tarjctu• 11 111~ que hay un círculo azul hay un triángulo rojo>>.

JIJ problema, por tanto, se hace más dif'ícil cuando el enunciado .> tnlltl'nstar es un condicio nal porque en el caso de éste hay que cnn"li

''"""' además el orden de Jos enunciados que Jo componen. Un ortkoo ''"" no puede ser a lterado so pena de transformar el enunciado en " '" ' o¡111• no le es equivalente 5 8 . Puesto que el antecedente es 'Hay un triilnj1ul"

•••1"'·

resulta necesario, para quien intente reso l ver el problema.

•1"" todas las tarjetas muestran un triángulo, y, por ende, ol••• de las tarjetas - la 2 y la 3- están vueltas, mostrando • uyn color, sin embargo, desconocemos. Oo:sde el momento en que hemos sido capaces 59 de '1"" l11s caras no visibles de estas tarjetas estAo a la vista, "

suptl l ltl l

suponer "'" un trilon¡¡lll• • imagi"''""'" el problonoH

1!1 enunciado 'p - q• no es equivalente al enunciado •q - p•, como lo pruci'M

•l ht'd1o de que sus tablas de verdad arrojan resultados distintos:

1 t 1 o

o t o o

1

o t

t t

o

1

'' V lus dutc>S de la psic:::ológí¡t JXtfCCCII indicar que. no es raciJ poseer • tu>illt.u e,> 63 . O también, puesto que el bicondicional no es, como hemos visto, sino una conju nción de condicionales, así: ••. ¿Qué tarjetas habría que levantar para averiguar el valor de verdad de un enuoci11do corno éste? La respuesta es: todas. En efecto : un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo cuHndo los enunciados que lo componen tienen el mismo valor de verdad, •o Es decir, uqucllas que O!ltenten (o puedan ostentar por -su cara no visible que., en elle CiliO, hnbri&~ que c:on.sidcrn como antecedente) un triángulo rojo. •• Es declr, 1aqucllas en las que aparece dibujado un circulo que oo es azul, sino rojo. n S inclu110 J>O b tarjtca 4- resuh• UTt:levante parad asunto que nos ocupa. •J Esto\ formulaci6n lueot IDCJOr-. aunque es mc:nos litt>ral, mtOO$ cc:aoónica», que esla otl"': .Si y tolamente si en una tarjeta hay un triiogulo rojo. emonc:es hay .ambiéo un drtulo axuLt ... O. mis literalmente: •Si eo una ta.rjeta hay un triin..guJo rojo, entonces hay 1an1blén un drc:ulo azul y SI en una ta.Jjeta hay un d.rtulo azul. c:nl ('~ hay r:tmbttn un tribaulo rojo,.

La lógica de eniJ()(;!ados 70

.. olrolo, cuando ambos son verdaderos a la vez o cuando ambos son llloo•• 11 In vez. Por tanto, sólo podemos determinar el valor de verdad . . 1111 enunciado bicondicional si conocemos los valores de verdad de J,,. enunciados que lo integran. Y en este problema sólo conocernos, 111 '"''" tnrjeta. el valo r de uno de ellos. Es necesario, pues, para conocer "' •••'" caso el otro, dar la vuelta a las cuatro tarjetaS.

"'''"'Ir lógico y ltnguaje cotidiano ·• 1 • rcrlación entre eUos no es de 11n0 a amo, sino de •mo a mm lla u h1c-n, en otras ocasiones, de muchos a ut&O. Veamos cómo y por t¡ut 1>el lenguaje natural, en comparación con el lenguaje lógico, se puc•h•u dfdl dos cosas : que es demasiado rioo, o que es demasiado ¡xlb>r ~ 1111 •e truta de una contradicción, puesto que cada cosa se dice en un ••nlldn distinto. l'n un cierto sentido se puede decir que el lenguaje natural - cua l11"'"" de las lenguas- es superabundante desde el p unto de vis ta ~'1" "••, es decir, que para expresar una misma relación lógica, el lenguaje 11otu1•l •• permite utilizar distintas expresiones. • · M h11 decbo a menudo

u

Louis-Fcrdmand Céline: Yoya~ au botlt d« lt.r 11uit

qu~

cl lenaUije se queda cono ante: ha reahdad. CIUf

• ""'• •lht lorpemc:nte inexpresivo ante las much.u y diversas oosas que querc:mot c:xprn,1u.

' . 111mhW'n

c~tbr¡a 1•rirm:n

c:n lll¡tu'- a.tnlldo que c:l lenguaje es supcrabu hd.1nte,

Ql.l t

La lógica de entJilCiados 83

82 lntroducclón a la lógica formal

Veamos un ejemplo. Sean Jos diez enunciados siguientes: ( 1)

Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficienteme nte triste en q ue pensar.

Lt ostructura lógica es la misma en todos los casos, aunque esté lfiHCocntada en cada caso por giros lingülsticos distintos. Asl, una expr•olón como Ese lapso, corto q ui7.á si se le mide por el calendario, es intermina blemente lnrgo cua11do. como yo, se ha g.1.lopado a través de~~ ~~.

(2) Si la tarde está oscura, me invadirit el optimismo. (3)

Cuando alguien escribe oomo Borges, puede disculj)ilrsele todo.

(4)

Bien pcns.ado. no hay por q ué ser bienpens.antc.

10

rrducirla, en un análisis lógico, a esto :

tt

tlt•cir:

(S) Como .siga aparentando tanta felicidad. empezaré a pensar que sufre considerablemente.

(6) Se puede. decir que Marx tri\ un hegdiano, con tal de que se adare en qué sentido y hasta q ué punto. (7)

6n no habiendo vino no hay ya amor (Eurlpides),

(8) Tú dedícate al amor libre y vtr.is cómo te sorprende la muerte en pecado mortal.

(9) (JO)

En caso de que sople el viento, podremos n;.tvegar a vela.

De haberlo meditado bien, no me hubiera atrevido a escribir este libro.

Pues bien : estas diez frases, tan distintas por lo demás, se reducen, desde el punto de vista lógico, a ésta:

Todas ellas, e o efecto, puede o tomar esta forma: ( 1) Si se tiene algo suficientemente triste e n que pensar, entQnce.~ es agradable ca· mina r bajó la lluvia.

Si se le mide por el calendario, entonces ese lapso de tiempo es corto, y si se lm j(.llfopado, como yo, a ~ravés de él, entoooes es interminablcnteote largo.

J.J a nálisis lógico es, pues, en este sentido, un aoálisis reductivo :

uro nnldisis que reduce la diversidad lingü istica a una unidad lógic:t . J ••rlos s ignos lingüísticos -'si..., entonces...', 'cuando ..., ento nces...',' ... cou l•l que ...', etc.- se reducen a un solo s igno lógico : · ~ ·. 1ltras veces, sin embargo, ocurre a la inversa : a un solo signo del lortMlllljc natural corresponde más de una constante lógica. En este segundo rrlldo, el análisis lógico no reduee, sino q ue explicita. Veamos a lguno' jooolplos: (1)

(3) Si a,lguien escribe como Borges.

tnrOnCt$

puede discu.lp:i.rselc todo.

(4) Si bie1, se piensa, ttrrroncu no hay por que ser bienpensante. (5) Si sigue aparentando tanta felicidad,

enumc:~s

empezaré a pensar q ue sufre

ooosidera.btementc. (6) Si se acla ra eo qué sentido )' hasta qué punto. emonce:t se puede decir que Marx era un hegeliano. (8) Si te dedicas si amor libre, entonce$lll muerte te sorprenderá en pecado mo rwl. (10)

Si sopla el viento, entonrn en éste explicitas y precisas; la estructura de los razonamiento•. t rn aquél estaba oculta o incluso desfigurada, se hace en éste patentr 1 '"1'" La traducción de un lenguaje a otro no es una traducci,\n IUho~n4tica. Exige, como toda traducción, percepción de matices, imaK' lltl~tn, ntención. en suma, a un contexto ilimitado.

(riunfa.Jes, desnudos,

Cuando en el juc¡o no intervienen el amor y el odio, la mujer nc:na mcd1ocrc (N1ctl$Che).

jueg;~

de ma-

(4) Cm1ndo e mpíccc la guerr.1, quizá nuestros hermanO$ se transformen (Brectn).

Vemos aquí, aún más claramente que en el ejemplo anterior, que todos los enunciados tienen la misma estructura lingüística. Pero no la mis ma estructura lógica. De los cuatro, sólo uno de ellos, el tercero, es un condicional. En 61 la expresión 'cuando' podría ser sustituida por 'si .... entonces .. .' sin que cambiara el sentido del enunciado, cosa que no ocurre en los otros casos. En ellos, el término 'cuando' no está empleado en su acepción condicional, sino con su sentido temporal. Es evidente que el segundo enunciado, por ejemplo, no sería equivalente a este otro : SI n1u.ió Ouonarroh, entonces Mercurio y Venus asccodian. triunfales. desnudo,;. haeio d 1rono de JUpileL

Digamos, con Wittgenstein, que el leuguaje, lejos de constituir una unidad, no es sino repertorio indefinidamente ampliable de juegos dr lenguaje, de sistemas de comunicación distintos entre sí, que engranan con el mundo de diversos modos y se gobiernan por distintos conjuntos de reglas. Cantar es, por ejemplo, un juego de lenguaje. Lo es también relatar historias, dar órdenes, r.eur o insultar. CUando yo digo «el dia había tr:lnscurrido del modo como suelen transcurrir estos diaS» estoy jugando - repitiendo a Herman Hessc- a contar algo. CUando digc> «Perdónanos nuestras deudaS» estoy jugando a suplicar. Cuando digc> ~si no estoy preocupado por ese asunto, entonces es que no soy un

1 , uttJuntO de fas conectivas

llrmos enumer:1do, hasta ahora, cinco conectivas: la negación, 111 njunci6n, la disyunción, el condiciona l y el bicondicional. Es clilh' 11u• lu enumeración no es exhaustiva. Son posib1es, evidentemente. n t lltllll "'"' hnN fom1as de conexión entre enunciados. ¿Cuántas? ""'~N de responder a esta pregunta es necesario poner de rcht·v• h• •llfcrcncia importaote entre la negación, por una parte, y, po1· 1•1111 jllth'. lns o tras cuatro conectivas hasta ahora mencionadas. L11 tlllt 11dn ~N 6sta: mientras que la operación Uamada 'negación' se u ¡lll111 ,¡,, vct a una sola proposición, sea ésta simple, como -, p,

•••n1pucsUL, como -, (p

V

-, [(p

q),

11. q) ~

r],

etc., alo¡lllcfll de las otras conectivas que hemos visto a l = siempre '

1 n afmbok>s: (-. p - -.q)-(q- p)

lflll 1ll' un

r11ronam~to

form31rnc.nte: váhdo. El esquema oorrespC:)Qd"iente se

"''"f~-~

• ""'"'~"- d~ antiJUO, y rcc•he m.)(krnamente.. corno 1a.mbién wc:rcmos. el t\(\tnhtco f,;y ·1 H1t'llf•l'l>l:'t~•bn fc:lel eomhd•m•ll'

La lógiCa d6 enunciados 87

86 lntroduoción a la J6glca form81

a dos enunciados, necesita al menos dos enunciados para poder aplicarse. No podríamos, en efecto, construir expresiones de este tipo :

P" vq p-+

1 • d elementos? Tendrá dieciséis"· Estos: {af {b} {el {ti} {a, b} 111, el {a, di 1b, tlt {b, e~ {e, ti) {a,b,c) {a,b,df {a,c, d) { b,c,d) i

fliH('H '

-

88 lnrrodUcción a la l6gicB lcxmal

En primer lugar, podría tenerse por paradójica la afirmación de que un conjunto es un subconjunto de si m ismo. Pues lo es, y para comprenderlo basta con atenerse esltictllmente a la definición de subcon junto: un conjunto es subconjunto de otro cuando todos los nliernbro' del primero son nlicrnbros del segundo, aunque no necesarianrenre a /u inversa. No es necesario que se dé la inversa, pero nada impide tampOC {a. b, e, d}? Pues porque el conjunto vacío es un subconjunto de rodo conjunto. Y esto, a su vez, ¿por qu~? La tabla de verdad del condicional p

q

1

1

o o 1 o o 1

111\lruido con ese antecedente será, pues, vel'dadero. Y, en consecuencia. lilmpre se podrá decir con verdad que el conjunto vacío está incluido en n conjun to. sea éste el que fuere. El conjunto vacio es, pues. un bo:onjunto de todo conjunto. fenemos ya. pues, los dieciséis subconjuntos. Pero. ¿que es lo que ...., dieciséis conjuntos representan? ¿Qué representa, por ejemplo, el 111hcnnj unto (a) ·¡ Representa el hecho de que de Jos cuatro pare~ de 111nnciados

CP " qJ, (p " ..., q), C• P " q) Y

e-, P "

-, qJ.

"el primero, (p " q). es verdadero. Es decir: que ese subconjunto correstnlcr:'o a una conectiva cuya tabla de verdad ser~ la siguiente : 1, O, O, O. l•ubconjunto {b, d} representarA que son verdaderos los pares segund '""'lo, y falsos los otros dos. Corresponden\, por tanto, a una conectiva 1•' tabla de verdad seria tsta: O, 1, O, 1. Etcétera. Tenemos, asl, dieciséis

1

1

3

4

5

6

7

8

9

lO 11 12 13 14 15

1 o o o 1 1 1 o o o 1 1 1 o o 1 o o 1 o o 1 1 o 1 1 o 1 o o 1 o o 1 o o 1 1 1 o 1 1 o o o 1 o o 1 1 o 1 o l 1 1

1

l)

1 (1

p-+q

2

1 1

o

o ()

o

t)uc podrlnmos represenuor también a si:

1

o

1 1 1 1

,.

{

1

podr ía parafrasearse diciendo que un condicional con consecuente verdadero es ya verdadero independiente de cuál sea el valor de verdad del antcc:edente (casos 1-1 y ()..1); y que un condicional con antcoedentc falso es ya verdadero también (caso 0·1 y 0..()). Es esto último lo que no'

7

2

3

4

5

6

fl "-ot¡ -

-

-

p " q pAo(J

p " q

-

-

o pAq

-

'P "-,q

p

1\ (J

PA -,,,

-

-

-

' P" q

-

ll

-

'P 'P" ' q_.._

interesa. En efecto : decir que la clase A esté incluida en la clase B es tan le> como decir que, dado un obj eto cualq uiera, x, si x es un nliembru del conjunto A, enronces x es también miembro del conjunto B. Esta última expresión es, como bien sabemos, un condicionaL Ahora bien : si suponemos que ese conjunto A es el conjunto vacío, resultar:• que ese condicional tendrá un antecedente falso, puesto que, por definición , no hay ningún x que sea mjembro de la clase A. El condicionul

o¡

,

1()

1/ ,, " 1/

1ft " q

12

13

P"CJ

pAq

p " q

P" •q

p " •q

11

op 1\ q

-op Aq

'''"''' -

-

11' A

"'

,,, 1\ ., ,

14

15

16

-

-

p " q

p" • q

p "-,q

-op " q

-op 1\ (J

-o pl\ -, 'f

- . ,, 1\ ., 1{

-

-

La lógica de enunciados

90 IntroducCión a la lógica formal

E nto nces, la conectiva núm. 10, por ejemplo. oorresponde al suboon junto {c,d}. La núm. 13, al subconjunto {a,c,d} . Etcétera. Como el lector habrá observado. la oonectiva que lleva el núm. 1 es la oonjunción. El bioondicional es el número 7. La disyunción es el número 11. Y la conectiva que lleva el número 13 es el condicional Estas son las únicas que por ahora conocemos. Po r el m ismo proced imiento podemos llegar a establecer las cuatn• conectivas monadicas. Dado un enunciado, dos pueden ser sus valores :

1

91

cmt•c•tit.:ClS como fundonts tle r>erdad

l )o•ponemos ya, por tanto. de veinte signos constantes en total. "'"'"' dicho, un tanto vagamente, que la misión de estos signos de la lógica de enunciados - y de ahl uno de sus no mbres. 11 d• «conectivas>>- era la de servir de enlace entre variables, la de ""'"r proposiciones. Pero, ¿cómo podríamos caracterizarlas oon m!ts p! ¿Cuál es, en r igor, su naturale-m'l So>ll Jimciones. Frmcio11es tle vertlatl. O, al menos, como tales pueden

'"'""'es ""ún''

lfiHICI'Se.

es una fu nción? 1 lnpc'¡ ;m do por el principio, y a la espera de una definición m;i s lh 111 que en su momento daremos, podemos decir q ue una funciú n 1111 tipo especial de relación. De relación, ¿entre qué? l.unemos una expresió n como ¡ 4) 116

Es decir:

x 1 + 7.

b

a

p V-, p

Nos hallamos ahora ante un conj unto que tiene dos miembro)

11s l ulh> Cortázar', estaremos refiriéndonos a Bruselas. Etc. lo>lllemos un tercer ejemplo. Sea la expresió n

p

1

2

3

4

1

1

o

1 1

o o

o

o

1

Todo ello podríamos representarlo también, como antes hemos bcch" así:

-

l

p

-

2

3

4

-

p -, p

-

o p

y es cl doble de x

1 • evidente q ue y está en funció n de x: del valor que demos ·' , )'t'lnlor;\ el valor q ue tome y. Si a x le damos el valor ' 12', y rom:u.> ••lo11 '24'. Si a x le damos, en cambio, el valor '273', y tomar.> ulo~r '546'. Por eso se dice que x es, en este caso, la variable 1'• miornte, la variable a la que le asignamos arbitrariamente un valor 1•l•1111Cra de entre los que constituyen su campo de valo res, mientms t ocría la variable dependiente, aquell a cuyo ''"lor queda automática"" determinado a l asigna rle un valor a la variable independiente"· tlnu función es. por tanto. una relación entre dos campos: el campo lito ¡.,, vulores que se pueden asignar a la variable independiente - u los tiiW " '"" "remos ·.

l ,I'Y de distributividad del COIIdicional por la disyunción.

15. [(p--> q)

A

(q __, r))-+ [(p-+ r)) 106'.

A e (A u 8).

' 1 Conociendo hlll condiciono¡¡ 00 verdad de los e nunciados oonjuntivo.s y d e lo11 enunciados disyu.otivos, la Vlllidcz de citos dos esquemas resulta obvia. En el a..so de 1ft le)' 2. si la premisa, tP " q', es verdadera, lo Kra también la oonclusj6n, 'p', puello que, tdcnd'' la premisa un~ ooqjundón, sólo seri verdadera si Jo son sus dos miembrot., uno de lc1~ cuales constituye la oonc:lusión. De i&ual modo, e.o el caso dt la ley l. y puesto que: para que una disyunción sea verdadera basta oon que lo sea uno de sus micmbroa. '' la premisa. ·p·. es \'C.rdadert., entonces Jo scrj, l1 QOodus•ón formada por la disyunción de·; 0011 cualquier otro eounci1do. JC:a cual fuere el ·""

t

1

LDiógica de enunciad

V

fl -

V

p)

T5

p)-+ p

Al T r. -+, 1, 2

p

'''"'''11111 6. -, p V p. P.ums tración: 1

1

p -+p -.pvp

lliti'lll(l

7, p

V 1

T5 Df. -., 1 p.

l)t,.,,t tt t~•n.•d·•'-

Lll lógica de enunc;acJos 127

126 Introducción a la lógica formal

T eoremo 9.

Pemostración:

Demostración : ).

2.

Al Df. v, 1

(p V p) -+ p (""'1 p-+ p) -+ p

l. (p V q) -> (q V p) 2. (q v r) -+ (r v q) 3. (q -+ r) -+ ((p V q) -+ (p 4.

Teorema 10.

p-+ -,-, p

2. 3.

T7 RS (p/o p), 1

pv1p 1 p V ""'11 p p-+ -,-, p

Df. -.,2

V

T) -+ (r

q)] ->

V

r)) { (p V (q

(q

V

(q

V

(r (q

V

(p

V

q)) -> (r V (p V q)] r)) -> (r V (p V q)] q)] -+ [(p V q) V T]

(q

V

r)]

-+

V V

((p

V

(r (p

RS (pfq, qj r), 1 AS

V

V

V

r)] -+ (p r)) -> [q

A3

6. (p V 7. (p V 8. (p V 9. [ r V 10. (p V

V

q)

V

V

r)] - [p

q)) r)]

A

V

(r

V

q)]}

RS [ qj(q v r), rf(r v q)], 3 RD,2, 4 A4

RS (qfr, rfq), 6 Tr.

-+,

5, 7

RS [ p/ r, qf(p v q)], 1 Tr.-,8,9

V T)

(p _, (q-+ r)]-> [(p

l'l'lirema 15.

(p - q)- (o q-+ -, p)

Teorema 11.

[(q

5. (p

Demostración: l.

(p v (q v r)]-+ [(p v q) v r).

li'Orema 14.

(""'1 p _, p) -+ p

q) _, r]

l>cmostración :

Demostración:: l. (q -> r) -+ [(p -+ q) -> (p -> r)] 2. (q- 00 q)- [(p .... q)-+ (p .... o l q)] 3. (p .... -,-, p) 4. (q - -,-, q) 5. (p - q)-+ (p .... 0 0 q) 6. (p V q)-> (q V p) 7. (o p V o l q) -> (""'11 q V o p)

8. (p .... 00 q) -+ (""'1 q .... o p) 9. (p -+ q) - (o q - o p)

T3 RS (r¡--,-, q), 1

TIO RS (p/q), _3 RD,2,4

A3

RS (pfo p, q¡--,-, q), 6 Df. -+, 7 Tr. -+, 5, 8

T5 RS [p/(p _, (q - r))], 1 Df. - . 2 T15 ((o p v o q) v r] RS (pfo p, q¡-, q). 4

l. p-+ p 2. (p .... (q -+ r)] -+ (p-+ (q -+ r)] 3. (p -+ (q-+ r)] -+ [op v (o q v r)] 4. (p V (q V r))-> ((p V q) V r) 5.

6. 7.

8. 9. 10.

[o p v (o q v r)] -+ [p .... (q- r)]-+ [(o p v o q) v r] Tr. -+, 3, 5 (pvq)->(op ... q) 141 ((o p v o q) v r] -+ [1 (o p v o q) -+ r] RS (pf(o p v o q), qfr], 7 [p-+ (q -+ r)] -+ [""'1 (o p v o q) -+ r] Tr. -, 6,8 [p -+ (q -+ r)]-+ [(p A q)- r] Df. A,9

Teorema 12. p - (p v q)

1'llremtl 16. -, -,p .... p

Demostración: 1. q -+ (p

A2

q) 2. p -+ (q V p) 3. (p V q) -+ (q 4. (q V p) - (p 5. p-> (p V q)

Teorema 13.

V

(p

-+

RS (qfp, pf q), 1 V V

A3

p) q)

o q) - (q

RS (pjq, qjp), 3 Tr. -,2,4 -> -,

p)

V

q) -> (q

2. (o p V o q) 3.

V

p)

(o q V o p) (p- o q) -+ (q - o p) -+

l.

(q -> r)

[(p v q) -> (p v r)]

AS [(p V o p) -> (p V o o ~ p)] RS (qfo p, r/ o o l TIO 3. [1 - o T'1 p 4. o p .... o 0 0 p RS (pjo p), 3 ~. (p V o p)-> (p V ooo p) RD,2,4 ->

2. (o p - ooo p)

o.

Demostración: 1. (p

lll'rnostración:

A3 ll S (p/""'1 ¡1, q/o q), 1 1ll ' • 2

7. X.

V

q) -+ (q

V

p), 1

T7 RD,5,6

J) V 1 1 1 p

(Ji

->

p)

A3

1 1 " SuJ'IOil&'unos demostrada comQ teorenm c!lla c~presión -que no es sino l!l tnu.lué· •• 11t l en~u l•ie del cíllculo de la dcliniciOn ·X v Y 11t ' \' -... Y'.

f 28

/ntr()(}uCC/ón a la lógica formal

9. (p

V --,--,--,

lO. --,--,--, p V ll. --,--, p .... p

p)""' ¡--,--,--, p

V

RS ¡q¡--,--,--, p), 8 RD,7,9

p)

p

llmo 7',

130 lntrodUcdón a la lógica fonnal

historia de la lógica lo normal fue presentar las leyes de la lógica de enunciados aisladas las unas de las otras y formuladas bien simplemente en el lenguaje natural, bien en un lenguaje natural enriquecido con algunos slmbolos. Sólo recientemente - a partir de Boole, y, sobro todo, de Frege- se ha llegado a presentar la lógica de enunciados en la forma de un cá lculo. Lo que nosotros hemos hecho es presentar a la vez el c61culo y su interpretación como cálculo de la lógica de enunciados, .... Ya sabemos que podrlamos no haberlo hecho asl, que podriamos haber presentad el cálculo solo. y que si hemos hecho lo que hemos hecho es porque. como ya indicábamos en el capítulo anter'ior. la lógica es, para nosotro,, eminentemente, investigación de los principios de la validez formal del razonamiento presentada en forma de cálculo, y no simplemente la teorí" de la construcción de cálculos. No simplemente, pero tambítn. Y así, la lógica sería la teoría de la conslrucción de cálculos, y a la vez el resultado de interpretar con nocionc' lógicas algunos de esos cálculos por ella misma construidos. Con Oll''" palabras: sí la lógica se presenta ella misma como un lenguaje formalizadn, la lógica puede emplearse tambien como instrumento para formali7m otros lenguajes. En el ejemplo que hemos estudiado - y por la sencilho razón de que este es un libro de lógica formal- todo quedaba dentru del reino de la pura lógica: las nociones fundamentales del sistema eran nociones lógicas (enunciado, negación. disyunción): de carácter lóg"'' (es decir, lógiatmente verdaderos) eran también los enunciados de partid.• del sistema, los ax iomas; y los teoremas eran tautologías, verdades lógic:tN, formuh\Cíones de esquemas vá lidos de inferencia. Pero muy bien pudiera ocurrir que la teoría a formalizar no fuera """ teorla lógica. Que ni sus nociones fueran nociones lógicas, ni sus enunciadu• - básicos o derivados- leyes lógicas, s ino, por ejemplo, enunciados de l1• mecilnica celeste, o de la gen~tica. o de la teoría del aprendizaje. No •• trataría. en estos casos, de una formalización de la lógica, sino de 1• formalización de una cierta teoría por medio de la lógica. Al desbord.tt el ámbito de la lógica pura y aplicar el cálculo a una materia extraló~t"•' nos encontraremos con que los enunciados de partida del cálculo no """'" ya verdades lúgicas, sino, pa ra decirlo de modo simplista, verdad¡·, materiales de la teoría en cuestión. Verdades materiales serán tamhtt•tt los teoremas. Y la lógica no estaría, por lo tanto, ni en el punlo de pa l'iullt ni en el punto de llegada, sino a lo largo del camino: en la rcgulattóll de los procesos de deducción entre esos enunciados que no le pertcnc.,_, ..,

..... El kaor tal \'U se precunlc por b wcrlc 41UC: h.a ((•r.-.00 la ló,.a de \.1.1 E.n otra parte de este libro volver:. a saber de tll;, y 111hr'~ l•lmb•tn f'l'O' t¡u~ ahur.1 1 estnmoll olvKI:..mlo.

LB lógica de cnunciMJo6 131

S. l.a lógica de enunciados como sistema de reglas de inferencia

11 m z()fltlmiellto uatural La lógica presenta el resultado de sus aoalisis en forma de leyes expresan esquemas válidos de inferencia, moldes correctos de ruzo larnicnto tales que, interpretadas sus variables con enunciados cualesquícl'll, 11 1"' enunciados que bao pasado a contruir las premisas son verdaderc>s, Wuladero serfl también, y necesariamente, el enunciado que aparece como mclusión. A juzgar por lo visto hasta ahora, parece como si el sujeto un Jllljrlo cualquiera, una especie de sujeto razonante ideal, por analogí.t 111 el «hablante-oyente ideal>> con que operan los lingii istas - pwcc -lo111, cada vez que realiza un razona miento, del siguiente modo : eligicnd" c l~ enlre un repertorio de formas vá lidas de razonar que habrlu que IUrcJncralojado en algú n departamento de su cerebro- la forma apropiada lca,o, interpretando luego los lugares vuelos de ésta -indicados por las u.tbles de enunciado- con los colltenidos a que trate de aludu, nponiendo finalmente el razonamiento asl elaborado a un interloeutm 1111 . Mejor seria, entonces, describir el comporta miento raciocinante del sujeto diciendo que ha consistido en pasar de uno o más enunciados -las premisas- a un enunciado al que aquéUas sirven de justificación. Y ese paso sólo puede estar justificado en virt\1d de una regla de inferencia. Y las reglas de la inferencia - deductiva- pertenecen a 1 :~ lógica formal. No así -o no así necesariamente, ni siquiera frecuente mente- las premisas y la conclusión. Lo normal es que las premisas y la conclusión no sean enunciados formalmente verdaderos, sino enunciad''' verdaderos empíricamente. Y eso no siempre, porque pud iera ocurrir que se tratara de simples hipótesis - es decir, de enunciados cuyo valor trvir para rt.flejar. para mostrar ••• la implicación de un enunciado> uqucma de enunciados por otro. Pero, mdependoentemente de . Clot,o "'"bolidad de verterla al lenguaje del cálculo -med~ante un cond1coon:tl ""'"'"nente verdadero--, Jo cieno es que la relaCI?,n de deducob~od:td ,.rtcncce al metalenguaje. No es, en efecto, una relac1on entre expr~•or~c~ .., c.olculo. sino entre los nombres de esas expresiones: de la expresron . lt deducible la expresión ·.. .'Las comillas denuncian el carácter mct.o lk1•11i~tico de lo que no está abarcado por ellas. Y la expresión 'es dedu_ciblc' .., In está. en el párrafo anterior. Simbolizarla medoante un condocoonul. ••'·' traicionar todas las consideraciones que hemos venido hacicndu f11 lo> que va de este apartado. La simbolizaremos, como es costumbre, 111..1o.mtc una raya horizontal que separa las premisas de la conclusióu P.•o tanto, al escribir

q] .... -, p.

Cun lquier enunciado que tenga esta forma será verdadero, formal mente verdadero. Y, puesto que lo que aca bamos de enunciar es una forma válida de inferencia, cualquier inferencia que posea esa estructura serlo una inferencia valida. Pero hemos dicbo que a cada ley corresponde una regla. He aqul la regla que correspondería a esa ley: 'Si lO il\1111105 como prcmÍ!)as un condicional y la negación de su consuuenh , podemos inrcrir fa ocgac-ión de su antCQeiCicote como oooclusión'.

¿Cómo formalizar - pues parecería deseable- el enunciado de csl.o regla? Es evidente que las leyes están escritas en el lenguaje del cálcul" Y es igualmente evidente que las reglas lo estao en el metalenguair En la formalización de esta regla correspondiente al lll()dus tollenol" rollens hemos empleado términos tales como 'premisas', ·condicion.ol 'negación', ·conclusión', ·consecuente', etc., términos todos que per1encc..-cn siempre a un metalenguaje, en la medida en que están destinados, ex oflirm. a mencionar expresiones de un lenguaje -de un lenguaje lógico-fonn.ol concretamente. Para referirnos a ellos hemos de utilizar, pues, variabk metalingúisticas. Metalingüísticas, por lo que acabamos de decir. Variabk porque el enunciado de una regla es un enunciado gcncrdl, aplicabk ,, cualesquoera expresiones que tengan las caractcrí de esa forma. la representaremos entonces así :

o q Nivel 2.

-, (o X " Y)

\

y¡ .... z

139

Premisa Premisa Premisa

154

15 " 154

t !O Por constituir esta ~sJa, como ta.ntreslon>

p ~ 'hay armonía

141

Quiere esto decir que '--, p' se infiere vá lidamente de esas premis"s. vez quiere decir que la expresión q)

1\

[(r

1\

S A 1) +-+ p]

1\

[(r A S

1\

1) - (q A o q)]l - o Ji

una tautologia, una ley. Lo cual quiere a su vez decir que la

X -• y W+-+X w- (Y A -, Y)

Según esto, el razonamiento podría formalizarse así:

-, X,

'(p - q)'

'(r

s

1\

1) +-+ p'

'(r A S

1\

1) - (q A

1\

~ur

'-, p'

Supongamos ahora que disponemos de las tres reglas siguient e
. a ¡¡..,,.,. utilizado esta regla repetidas veces. Se la podría llamar tambtcll hemos hecho nosotros ante-s. «Regla de reducción al abs11nlm•

(RE v)

X v Y

[j_

G_ z Regla de introducción de la conjunción : (R 1 ")

X

X

y

y

o bien

X

A

Y AX

y

y

MI·-,. Esla regla, también llamada de la doble negación, autori,., el de cualquier expresión doblemente negada a s u afirmación . Es lo '1"" riamenle se quiere decir al señalar que dos negaciones afirm:111 definitiva, median te la sucesiva aplicación de esta regla, poden"" 11\lf el número de negaciones que preceden a una expresión a uno eh' dos casos: o una o ninguna. En general, si ese número es p;u , Huccsivas aplicaciones de esta regla, nos quedaremos sin ni np.un.t fl"'dlln. mientras que, si ese número es impar, nos quedaremos con ""·'

Jtl v. Puesto que una disyunción - no excluyente~ como ésla 1rrdadcm con sólo que lo sea uno de sus miembros, es claro que '' un enunciado como premisa podemos inferir como condm.t•'ln

Regla de elimi nncibn de la conjunción :

,1f•yunci6n de ese enunciado con cualquier otro, sea cual fuere el v;¡Jp, ~adud de este. Es decir, que si, por ejemplo, partimos de que ,., '""·"''cr·o el enunciado

(RE A)

XAY

mosonll cscrnll por Stahn

~upone

Ulla J'egrcsión con respccco a [ll-"'"-111 h

o bien y

X

Regla de introducción del condicional:

inferir el enunciado -disyunción del enunciado anterior ..." " '' '" fiknofla escrita por Stahn supone una regresión oon respectO a Desearle-. ''

l;a ncntm por Rosenbcf@ supone d retorno al palc:oHtioo inferior 1" .

(Rl-) l h' hecho. y como en el caso de la regla anterior, la proposicu>n "·' que se mtrodua: en disyunción no se elige arbitrariamelll~ s1nt• "uiUO de ltl\ mteresas de la deriv:1dón. X-)'

156 Introducción a la lógica fonnat

t11 16(1/ca de en()(tCiacJos 157

RE v . Las aplicaciones intuitivas que de esta regla hemos hecho hacen casi que huelgue todo o tro comentario. Presentadas dos allcrna ti vas 186, si afirmamos que de la primera se sigue lo expresado por 1111 determinado enunciado, y otro cierto enunciado se sigue de lo expresad(l por la segunda, podemos inferir la disyunción de esos dos enunciados q ue se siguen respectivamente de los miembros de la alternativa. RI A. Si tenemos en una linea cualquiera de una derivación el enunciado p, y en otra linea el enunciado q, podemos pasar en unn tercera línea a la conjunción de esos dos enunciados. Puesto que esta m'),. dándolos por verdaderos, su conjunción lo será también. Del mismo modo que la implicación de una conclusión por 11 11 conjunto de premisas puede represen tarse, descendiendo desde el meta lenguaje al lenguaje, mediante un condicional -que será, entonces, fCH malmente verdadero- , así también, de modo parecido, la enumeracib11 sucesiva de premisas puede traducirse en una conjunción de éstas. RE A . El comentario en torno a esta regla es s imétrico al suscit"d" por la regla anterior. Tomada como verdadera una conjunción, podemo, pasar a la afirmación aislada de uno cualquiera de sus componente' La aplic.:'lción sucesiva e ininterrumpida de est.a regla de eli núnacio n de la conjunción y de la introducción de esta misma conectiva permitiri11 a los partidarios del pensamiento obsesivo, emprender una deduccil111 infinita, en la que las conclusiones se fueran s ucediendo sin apo' ''" ninguna de ellas gmndcs novedades. Por ejemplo : Esquema de derivacibn l-Iemos de seguir las dircclricc!) del Presidente Mao·Tsc-Tung,

l. p

2. Las dircclrices del Presidenle M:ao-Tse·Tung esui n mal traducidas..

2. q

l.

l

Hemos de seguir las directrices dd Presidente Mao-T.se-Tung y lus directrices del Presiden· te Mno."[!)c-Tung e11im maltroduc-idas.

4. Hemos de seguir las di•>r lo demás, la Rl -+ desempeña un papel decisivo en la lógic;~ . ~recto: en lógica se habla, desde Herbrand, del llamado . lógica de enunciados sigue con nostros. No se trata de abandonarla. de prolongar el análisis lógico. La lógica no es un conjunto de .. lt:uiS desperdigados; tampoco un conjunto de cálculos s.implementc -.pcr¡>ucstcos cada uno de los cuales sea la negación de los inreriorc'\ de algo enteramente nuevo. La lógica, es, más bien, "'"' lc1Jn>ulac:ión organizada de cálculos cada uno de los cuales s upone la IJitc:graciónde los anterio res en un s istema más amplio ' 98• No es, por ta nto, ni pasar a exponer ahora el cálculo de predicados vayamos a dejar un lado para siempre -en razón de las limitaciones de su alcance cé•lculo de enunciados. Lo que haremos será construir a partir de 61 y conservándolo como cá lculo Msico, de fondo- un más poderoso putJ''UJrocnlo de aná lisis lógico.

CtlUIIt

ésta. De este modo, quizá :

Ax (Fx -+-, Px) 2. A x (Ox -+ Px) 3. Fa - • Po 4. Oa-+ Po 5. Po -+o Fa 6. Oa-+-, Fa 7. A ~(Ox--, Fx) l.

p p

RE A, I RE A,2 RCon tr ""'• 3 RTr -+, 4, 5 RI A .6

¿Cómo hemos conseguido dar esta versoon de la validez rormal ''' 1 ra7onamiento propuesto? Analizando los dos enunciados q ue constittoH 11 sus premisas y el enunciado que se presenta como conclusión. Analizando los enunciados, hemos dicho. ¿Qué tipo de análisis es ,. Un a nálisis lógico. En el apartado 1 del Capitulo 11 de esta obra señalábamos '""'" a cada estrato de la lógica corresponde un determinado nivel de an:oh 1 del lenguaje. De análisis lógico del lenguaje, porque ya hemos dicho qm· ' o ese análisis lo único que queda retenido son aquell~>• elementos dcllcn)w·•l que resultan importantes desde un punto de v"''' lnjul'l d:ando de l.ul· aquellos o tros que los lógicos aoostumhr.an ,, IIJutMI, 'on cxprc~•ún tiUI

Asi pues, In lógica de predicados supone una extensión del anúlisi' rormal a trav6s del examen lógico de la estructura de los enunciados. yn : ¿qu~ descubre la lógica dentro de los enunciados"! hny allí que le interese? llay, fundamentalmente, dos cosas. De una parte, expresiones que se a i11dlolduos. De o tra parte, expresiones que designan propil.'dadt•, ondividuos o relacione• entre ellos. Interesa seiíalar que por ' individuo· entendemos sólo, como el uso de la palabra ha llegado s ugerir, oviduos humanos, sino, en general, cualquier ser concreto, determinado, oficable rrente a todo lo demás, único en algún sentido: personas. también montañas, números, ciudades, estrellas, paises, obras de a rte. aquello que tenga o pueda tener lo que la gramática tradicio nal lalltlat~1 un "no mbre propio'. hn~lt~u han pt.~ntulaado. (ll)o ru6n, que esos elementos «k)~. no ton. si bkn K mm., 1an escasos como muchos JóJIOOS piens.;11, p!H tJ(mpl.l, SnlttJ11tit- Tltnwy, d •h vista de la lógica formal- , una reOexión similar a la que en el capiHdn anterior hacíamos acerca de Ja relación entre las conectivas de la lúglt ,, de enunciados y aquellas partículas del lenguaje ordinario que de alr •w modo parecen correspondel'les. Aquí vemos también que lo liugiiis1u·u mente diverso se vuelve, en lógica, uniforme. Hay, en el lenguaje ordin:" '" muy variadas maneras de indicar la universalidad, de mostrar el c;orú, h o general de un enunciado: a veces lo hacemos anteponiendo la pa luh"' 'todos' al sujeto; en otras ocasiones, la palabra no es 'todos', sino 'cad" («cada hombre es un mundo»), o 'quien' («quien mal anda ma l nc;•h·"'l o 'el que' («el que calla, otorga>>), etc.: hay cusos en los que buol ,, con poner la partícula 'siempre' en el luHI" \tportuno («un perro 1'

Algunos vampiros son heooofilicos. Algunas ciudades son inhabitables..

La distinción entre ambos cuantificadores está, pues, aunque oscurnmente, clara. La simbolización ayudará, sin embargo, a que la claridad no sea menor. Fijémonos, para empezar, en los enunciados (1), (2), (3) y (4). ¿Qué IC dice en todos ellos? Se dice que todos los sujetos que poseen cierta cualidad poseen también tal otra. O - acercándonos ya a la letra de la 1imbolización- que, para todo individuo, si ese individuo posee la propiedad designada por un determinado predicado (llamémosle 'P'), rntonces habremos de atribuirle tambi~n la propiedad designada por otro predicado, 'Q'. En slmbolos:

11 x(Px-> Qx)

De este modo, nuestro ejemplo (2) podria glosarse como sigue: Pnra todo x, si x es un libro de T. Toth, entonces x es afrodisiaco.

O, representando los predicados mediante abreviaturas de las exprelioncs correspondientes en el lenguaje ordinario, Ax(Lx .... Ax),

dunde 'L' signir.ca 'ser un libro de T. T.' y 'A', 'ser afrodisiaco'. Lo mismo podríamos hacer, evidente)Dente, con todos los demás •lcmplos: (l.)

(3) (4)

11 x (Ix- Hx) 11 x (Dx ..., Rx) A x (Hx _. Px) 20 '

~0 " Alguien r>odtí:t objetarnos que 'eonstjtuir una dt:sviitción' y 'ser po(tndor' M son (11arado, ni el hablante sensato de su lengua- , P"'" ho desear esa ruptura. Y así, este últi mo, por boca del segundo, iuten l'" 111 quizl• qu(\ el primero recapacitara sobre su propia actuación lingii íSIII • diciéndole: Concedamos que el uso del cuantificador universal 110 ím¡>llo '' afirm3ción alguna de existencia. Pero presupone esa existencia 111 . Al dn 11 1'0, que integraría a todas las de orden superior ni primero. Así, pues, y combinando ambos criterios de división -monádicaj pu liádica, y de primer ordenj de orden superior- tendríamos el siguicnh' cuadro: de primer orden

monádicos 223 {

poliádicos 124

Lógica de predicados

•

monádicos .u s de orden superior { poliádicos HG

1

199

JI) La lbgica de los predicados mouádicos 227 * /,os cuatro modelos básicos de e11unciado De expresiones de tres tipos habremos de ocuparnos bajo este epígrare. [)e expresiones como

Pa, Qa, etc. Hh De expresiones de la rorma A X Px,

1\x (Px ~ Qx),

A X (oQx v Px)

Y de expresiones como V x Px,

*

127

V x(Px

A

Qx),

V x(Px v Qx)

La lógica de clases no es sólo otr a in terpretación posible del cálculo que. en

ti texto principal del c:npítulo H. hemos interp re tado como de enunciados. Es tambii!u, 111 part~ otra manero d e interpt'etM el cáJcuJo q ue d :• tO rma " la lógica de predic:ul o~ munA:dioos. De ahi que vuelvan a hora las notas con asterisco. lnt 'Pa', 'Qa', etc., han sKlo presentadas, e n las páginas pteoedentes, como form se-ntidos, las clases no están dadas a la percepción, sino que sou cJ

113

Ejemplo d e c,:prcsióo d e este c.ilculo; A,'( (Px _, Q:rtdi ~.,~,d>'1 ln c.h11e compJomenco de una clase dada es la clase de todos Jos perccneocn a esa , «Alguno de tllf>s es P» y «Alguno de ellos no es p,,zu_ Ahora bien: hay enunciados unavcrsales afirmativos como «Todos los hombres son inmonales»; enun .ados universales negativos como «Ningún habitante de Neptuno e' lll"'" A e: - D.

11011

2360

\l(ferfklo5,

._, 1\ :e (P.t - Qx)' es equtvalcnte a ' V x( Px ,... t Uh

V x (Px " Qx)

xE B)

Lo C:UAI. " su \'Cl -en virtud de la defmición de la conjunción en rérmin•" ••· disyunción ooo ayud a de fa neg~~.eiún- se puede transformar en 1\ x(xt A v xt B)

A- B

A

xf. B:.

1Rep._\re1e en que la diferen cia d e dases. " semejanza deJ complemento. la unit\n t 1• tnlcrsccción. es una operación que sirve para componer símbolos de clase, y thi, •me) la inclus;on o la i&u•ldad. para formar enunciados acerca de da5CS). f,ues bien e1 esquema V x(Px,..-, Q.x) "t•ll\lldr~-A

a este ocro·

y. puc:Jto que una dayunción COD el pri.mer miembro negado equivale a un c:ond.... u •• l vem rnos a du en

V xfx~A ,.. xt. 8)

a Cabria dcar uim&Smo que dos clases son mu111.. nwn1r ~-. lu~ntf'l!l cuando su miCf'Wt' \ n es la d.;uc Y.tda No ha)' mngun tndt'fKhtn .,.,.. .,.. • 1• ,.,., nu«-mbt(l de I~A• d~it_

=,1. (xlxeA

1~

afirm:aaón de que la tdue) difereftS do primer orden 211

1\

Ox) ... Cx]

Dicho de o tro modo: todos y sólo los fascistas oligofrénicos creen en el car.lctcr revolucionario del fascismo.

Esta interpretación se ve abonada por el hecho de q ue la expresión tiene. entre sus equivalentes, 'Nadie sino los .. .', 'U nica rnente los ...' y 'Sólo los .. .'. Pero también se ve seriamente afectada cuando la constrastamos 'Nadie más que los ... ' -que aparece en el enunciado inicial-

1\ x (•

Gx -> -, Ex),

o, lo que es lo mismo,

con el sentido que parece tener ese enunciado inicial. El enunciado

11 x (Ex

-+

Gx)

Veamos otro ejemplo similar en estructura : Nadie mas que los rasciSias oligofréniros creen en cl carácter re\·oluciooario del fascismo.

Si lo esquematizáramos diciendo 11 x [(Fx

1\

Inicial afirma -en nuestra opinión- que la clase de los que creen que el fascismo es revoluciona rio está formada exclusivamente por fascistas oligofrénicos 24••, pero en modo alguno dice que todos los fascistas oligofrénicos formen parte de esa clase 249 •. Podría haber -es seguro que hay- fascistas tan oligofrénicos que ni siquiera saben qué es el lascísmo. El habla coloquial puede vernir aquí en nuestra ayuda. En efecto: 1lguien podría parafrasear el enunciado original diciendo: nuestro uni vei'SO del discurso. 2.•' Parece que resignHrsc u 1111

ht. «Pill'íldój¡¡ de l lempelot u:rl1t ttunbién una dcnominucióo apropiada. Fue é.l, en t.:fcchl,

ser feliz es la negación de prctendco· scrh li emos, pues, simlll11111il•

411icn la phtnloó: Cfr. C. O. f-lcln('M::I, «!{tudk:ll m thc Logic of Confinnatit•u•), M lwl, --••1. ~4 ( I I).:I,S._ ¡'t!•SS· 1·26 y 97~12 1. Rciul¡m•IIÍÚtt (w11 1111 td1~ t st-.eripl (1964) o,. Cm!fil'mMiot~••) tll ( ', G. llcínpd, A.~,~·.-1~ .,¡ Srí••mlfu• 1 '~t•liiMii••r; N Vtllk-Lond•·cs. "l11c F(c:t P •r•111 t 11lhn Mnt:nnllnn, NM, ll.IP,'i ' 4t•, 41 \ 1

los predicados correspondicn1cs pc;11· 1a naisumlc1 1a, aunque, naHHl lhlll'tlll precediéndola , en uno de lw~ l'a ...ntc dt• In uqMciún. 3.{1 l'l 'hu d•l

220 lntroducc:lón 8 la l6glca formal

Sea el enunciado

antecedente Y su consecuente. lu ecurso sea fmito. Si el universo del discurso es finito )IOll• tuviera el conjunto universo. Y sabemos también que respecto 1ltl cuan tificador particular puede decirse otro tanto, sólo que en. este casn 1• traducción habrla que llevarla a cnbo en términos de dtsymtctón. Supongamos, por ejemplo, un universo del discurso que conste eh dos individuos. A un esquema como 1\x Px - V xPx

podría transformarse, bajo el supueslo de ---, Pb) " (..., Qc- ..., Pe)] Para comprobar si este esquema es verdadero en todos los casos posibles, bastarin con hacer una tabla de verdad que empezara des· plegando las sesenta y cuatro combinaciones posibles de Jos valores de 'ftrdad de los seis enunciados que él intervienen. Nueve enunciados inlervendrían en el esquema

podríamos, entonces, darle esta otra forma: [ Ax(Px- Qx)" 1\ x(Q,< .... Rx )] -

1\ x(Px - Rx)

(P11 " Pb) - (Pa v Pb)

y es evidente que, así presentado, cabe someterlo a un tr~tamkutu con l:tblas de verdad idéntico a l que haríamos de una exprestón •k l11 forma '(p " q) -> (p v q)'. Es decir : Pll 1 1

Pb

Pa " Pb

Pa v Pb

1

1

1 1 1

o o 1 o o

o o o

(Pa " Pb) .... (Pa v 1'1•)

J 1 1 1

o

Tomemos ahora otro esquema :

(11 x (Px .... Qx ) " --, Qa] .... --, Pa Supongamos una vez mils que el universo del discul$0 se conll""' de dos individuos. Siendo así, la expresión anterior eqUivaldría a esta •••• ' : [(Pa .... Qa) " (Pb .... Qb)] " ..., Qal .... --, Pa

Y este esquema es isomórfico de

!((p .... q)

. 1\ (r

-> S)]

A --,

.

q, .... --, P

""'

cuya tubla de verdad sabemos cómo hacer. De igual modo, el esquema

IÍ le atribuyéramos un universo del discurso que constara también de tres individuos. Y puesto que intervienen nueve enunciados, habrá 29 , es decir, 5 12 mbinaciones posibles de sus valores de verdad. Desarrollar una tabla de verdad de quinien tas doce filas es una tare:~ oderadamente larga y escasamente creativa. Y lo peor es que ta mpoco !rece grandes compensaciones. En efe. El no mbre se justificaba por el hecho de q ue en ellas la conclusión --gic:as. ¿Cómo proceder? ¿Cuantificando universalmente la primera y larmente la segunda, ya que se habla de 'una cuestión ontológica"/ obvio que no. En este caso, 'una' equivale a 'cualquier'. Quizá, pues, forma correcta de esquematizar ese enunciado fuera ésta :

A x A y [(Ex Veamos - buscando siempre la heterogeneidadSea la siguiente gregueria de Gómez de la Serna:

A

Cy)-+ --, Zxy]

dos nuevos casos.

El quC ba hecho un empalme de dos flexibles ha sido cirujano de la eleetriddad.

Su esquema seria: Ax[VyVz (Fy

A

Fz

A

Exyz)-+ Cx] 288

En la Biblia (concretamente, en el Exodo) Icemos: EJ que en

C$C

241

dja [Ya~-e s,e rertcre al séptimo día, dla de descanso) haga un trabajo cualquiera, serlt castigado con la muene.

['Para todo x y para todo y, si x es un ex· perimento o y una c uestión ontológica, entonces no es el caso que x zanje Y1·

Aunque tal vez fuera mejor esta otra: A x [Cx-+ -, V y(Ey

A

Zyx)]

Un ejemplo algo más complicado seria el siguiente: 2n Es decir: 'Para todo x. y y :, si x es una organitaeión comuoist.a. y un P·''' y: un movimiento revolucionario en contra del orden soci11l y poUtioo exis-tente, enton viendo casos, se presenta con rnayor claridad aún en afirmaciones come> 292 la siguiente (atribuible, en fecha como la de boy al Presiden''' de U. S. A.):

[V

rPara todo x.

hay algún y tal que y está muerto y x ha visto a ,,

A

Sxy)]-+ 11 y(My-+ Sxy))

Obsérvese la importancia que tienen en este caso los paréntesis, corchetes, etc., para indicar el alcance de los cuantificadores. El cuaro tificador universal que afecta a x alcanza a toda la fórmu la. En efecto: la fórmula entera es - o pretende ser- verdadera de todo x: totlo mdividuo que ha visto un muerto los ba visto todos. En cambio, con y es distinto : el consecuente de la fórmula aspira a ser verdadero de todos los y. y el antecedente, de al me/Ws uno. Etc.

Procedimi~ntos

de decisllm en lógica de predicados poliádicos

Dada cualquier expresión bien rormada de la lógica de enunci;odo,. podíamos. por el método de la. tablas de verdad (entre o tros) determinar J•t lnlcrprctcmos la C\f'ff"\tun ~" .nu('ttu· 4-:•un.- 'alaün mumo·. aunque quv.-t fucr111 mc,nr d«gos. en tógK:a de rcbu;ioncs, de las leyes de De MorJ.nl l04 le-y de Coutrapos:ici6o de la inclusión de rcl:aC10D str n:nexiva. He uqul l:l formulación m~!l obvia del llamado ~ Principio de klt uu,t ••1 todtt t lHldid C:t kientK-.a a si misma. l 1• Es decir: ley que enuncia que 1., de identidad es una relación siméllk.• 1" HuC'Ipn comentarios. u • t.. formul~ctón de este principtO se AIOC'Ia normalmente c:on Lt1bmt ~~~~ tml .. • f se enoxnu11 -p de aJ¡_Un modo en u n lC'\tn de AtiSI Oidcs ( T ór H"f'J'J.. 11, 1 l~l .. " 1 1 S 1 dos enttdadcs ton Kiént.ic:u.. es que hencn ,,~, nu'"""'' proptedades. ,.. Pnne1p10 m una:tdo tambten puf 1 t •htlll \e ..~., cntk.bdn ttenen hii!J.h ..tu 1'' ·1 dadcs en comUn, entonces son tdé'nt•...·-1\ ( HW • \'9-'f ''"" t"'hl ley. :~1 lkt~Ar ~ou.uH•f•• ••14 ''' ktm pfcdu,~ ió•n de tp«. Precisamente el hecho de que las exigencias con respecto al pa.r ámetro tan distintas en Rl /1 y en RE V hace que no sea en absoluto 0\n·ccllogeneralizar(aplicar Rl 11) sobre un parámetro obtenido al eliminar cuantificador particular (al aplicar RE V). Así, sería del todo inaceptable derivación como ésta:

Vxtpx

¿Y dcspues? Después habrá que emprender esa subderivación ll cuantificación de predicados. Sea, por ejemplo, la siguiente frase: Hay hombres capaoes de rtpartir su amo r entre mujeres que no tienen c ualidad en común.

u iiiJI,IH!"

La presencia, en esta aserción, de la expresJoo ~ninguna cuniHiiut baceque, para su adecuada esquematización, hayamos de proceder a ulh "'' con cuantificador una letra de predicado. Asl, tal vez 340 : V x{Hx

1\

V y V z[(My 1\ - .

1\

Mz

V P(Pv

1\ 1\

y ,t; z) Pz)]}

1\

(n,

p(,&~ 2 ~3.

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298 Introducción a la lógica fomwf G ..\RRIOO, M .: LOgu.:u simbálü:a. Vol. 1: M.•tlnd. b litonal T ecnos. IV7J . Vo l. 11

Jbidem, 1974. .Edición en un solo \'o lumen: Ibidntl, 1974; t·eimpr. 1977. .HtLBERT, D. y ACKERMANN, W.: Grut~dziigb der tlteorelisclten Logik. Berlín, Springe1 Verlag, 1928; 4.~ cd., 1959. Elemenws de lógica u:órlca. V. cast. de V. Si'l11chc/ de Zavala. Madrid , Editorial Tecnos, 1962. H UNT'ER, G .: Metalogic. An /utroduction ro the /1-fetatheory of Standard F ir:;l Oder ÚJgic. Londres. Macmillan, 1971. KLEBNE, S. C.: Jntroduclion to MetamtttiJemaric-s. Amsterda m. NOI'th·Holla nd, 1952: reimpr. 196?. Introducción a /(l metamatemtil.ica. V. caSI. de M. Garrido con 1/1 colaboración de R. 8eneyto. J. Sa.nmardn y E. Casabán. Madrid, Ediw ri11l Tecnos, 1974. MOSTERIN, J. : Lógiro de primer ordetL Barcelona. Ediciones Ariel, 1970. SACRISTA N., M.: Introducción a lo lógi)? Se dan por descontadas varias cosas: para empezar, se opera sobre él supuesto de que los e nunciados q u e la lógica manej a - los enunciados

que la lógica estudia en cua nto integrados en una estructura argumcn· ;t•) Cfr.• p~)f cjo r dicado la propiedad que significa y la intensión de un enunci;¡dn la proposición que expresa), la lógica clásica opera exclusivamcn l< en términos de la primera. Así, por ejemplo, la lógica de en u" ciados tiene en cuenta únicamente la extensión de éstos, es dccu su valor de verdad: cuando, pongamos por caso, definimos el condicionnl lo hacemos diciendo que es aquella relación entre enunciados que com¡>ll< un enunciado verdadero cuando no es el caso que el antecedente "··• verdadero y el consecuente falso. Es por respecto a estas ca racterísticas de la lógica clásica y alg" """ o tras que iritn surgiendo en el cu rso de nuestra exposición como c11h1 entender la naturaleza de las distintas lógicas no·clásicas y los moll•" que en uno u otro momento impulsaron " su construcción. En lo que sigue no vamos a ofren el valor verdad: entre falsedad e indeterminación, el valor indeterminación Y lo mismo con el condicional: en lógica bivalente el condicional sólo es falso cuando el valor de verdad de su antecedente es «mejor que el de su consecuente. En lógica trivalente ocurre de modo análogv cuando el consecuente tiene un valor m.ís bajo, o «pe o>, que el antecedente el valor del enunciado condicional será el del consecuente,.._ Las mismas consideraciones por analogía valen para el bicoodicion;rl P iénsese, por lo demb. que estas tablas de verdad para las cooecti' ·" -que son, repetimos, las de t.ukasicwicz en un momento dado- h;rn sido puestas como puro ejemplo. Las lógicas polivalentes estan en periodn const ituyente, y ello significa que el campo está abierto a multitud th propuestas en este sentido.

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Tampoco es una tautología el esquema: [(p .... q¡ " (p ... -. q)] .... -. p

Su tabla verdad, en efecto, sería la siguiente: p

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Ni lnmpoco sería una verdad formal, en lógica trivalen te, la siguicuh•

q)

ley de la lógica de dos valo res:

es. según puede comprobarse, una tau tología también en lógica trivalcntr Tomemos, sin embargo, una tautología de las más notorias dt· 1 • lógica bivalente, el nrodus tollendo rollens [(p -+ q) " -. q] -+ -. p. Hag.1m.' su tabla de verdad en lógica trivalente:

(p--. p) .... -.

1'352

Como puede verse, todas estas expresiones que pierden su carúctc1 tautológico al ser evaluadas en Jógic-d trivalente pertenecen al grupo

...

.u a Con una excepci6n : seg6n ..t:ukasicwicz, cuando el antoc:cdente tiene c:l .,..alor t t •1 coMCcucntc el valor O. e:l.condíc:ional Yll!e ~ (y DO 0). Se puede discutir. aunque 1'~~~~'., razonable c:l criterio de.t.utas.iewict. Si el amettdeate valiera l. d t:oodicional \ahtn•h• u d consecuente- nidria O. Si el antcc:edcnte ,.....l~ra 0, d condicional Y;lkln"' 1 H•• atarlamos m el cuo ().()).. PeTo valimdo el an1ecedctlte l. parec::c rn). Zeitscllrifr.for Philosophie lmd tJMio~n¡l/•1 •-.

l. tn In ''"' se 1nchqu.eo por mcdH• de asr«iSO.l pr~n de k\S editores.)

l.t llamada "'· El tema de In vaguedad - no sel'ia una contradicción.

Sobre la lógica de los en u ncittdos vagos puede verse : 1.. ZADEH, «Fuzzy Sets». ltiformatlon and Control. 8 (t965), págs. 33ll y ss. J A. ÜOGUEN, «The logic of lnexact Concepts>>, Synthese, 19 ( t969), págs. 325 y~' ) o «q». didt••ul~t también , «es imposible que q», etc. He aquí algunas referencias a textos sobre lógica modal: Meoning and NeGes.sizy (A Study in Semantics and Mod.:ll 1 11 tfl• 1 Chicago y Londres, Thc University or Chicago Press. 1947; 2.' ed. am~>lm(lu. I•J ,¡, G. E. H UGHJ;s-M . J. CKESSWELL., An Jn rroduclion lo Modal Lf'I(Jif, 1 t~wtt_. Methuen and Co., 1968. V. cast. de E. Guisan : Introducción a la 16aku mo~.l.• l Madrid, Tecnos. 1973. R.

CARNAP.

Ahora bien: las modalidades de que hemos hablado no son 1:" ' " "' • Todavía nos quedan más posibilidades, de las que hacemos uso temente. Decimos, por ejemplo,

C"'"' "'

es o bligatorio que p está permitido que p está prohibido que p

El estudio de la lógica modal a lética se remon ta, como es bien sabido, a Aristóteles. Sin embargo, desde hace aproximadamente veinticinco ailos -desde los trabajos de Von Wright de 1951-, la denominación se emplea también, como deciamos al .comienzo de esta sección, en una acepción más amplia. Además de las modalidades a lética~. existirían modalidades episrémicas - verificado, no decidido y falsado u refutad()-, existenciales - universal, existente, vaci()- y modalidades deonticas -como las mencionadas en el párrafo anterior- . De especial interés son estas últimas, cuyo estudio es objeto de la lógica tlel1111im. La lógica deóntica -a la que es razonable considerar como una rama o desarrollo peculiar de la lógica modal- , se ocuparía de las relaciones de inferencia entre normas, es decir, entre proposiciones prc, criptivas. Cierto que las normas no tienen, a Jo que parece, valores do verdad. Ello no impide, si.n embargo, que entre ellas puedan en tablur;c relaciones lógicas. As~ por ejemplo, de que algo sea obligato r io pucdt• seguirse que alguna o tra cosa está prohibida. Entre las obras sobre lógica deóntica hacemos referencia en prinw• lugar al espléndido trabajo de M . SANC I•I J;Z

MAZAS, Cálculo de las Normas. Baroelono, Ariel. 1970.

Hay q ue señalar el importante s ignificado que para la lógica encicl'ra t•l nacimiento y presente acelerado desarrollo de esta disciplina entre {llllll!l Durante siglos - y con sólo algunas excepciones aisladas-, la ló((IC:O "'' habla ocupado exclusivamente de lo que desde Aristóteles se "" " '" l>, de ••a.!l¡(h:sa>>, "Vl'1•'"'1

de'''""''"'' h'"'" '''1"'

36 1 Es decir. (p...gq)-9(P- q), VétlSC: A. R. Anderwn y N. De: lkhlllf', h , •· 1 h• 1 11 Cakulus or Ent 11itmeno•. 'fl1r Jmmwl u y de la ex istencia (es decir, del cuantificador existencial). Asi pues, en resumidas cuentas, la lógica intu icionista es una restricción de la lóg~.>"0 . Y dice, finalmcnl• ((Para evitar lo que hasta ahora ha sido una tergiversación contuun•

quizá merezca la pena reiterar que una gramática generativa no es un m"tlelo del hablante o del oyente, sino que intenta caracteriZAr en In términos más neutrales posibles el conocimtento de la lengua por un hablante-oyente» 3" . ¿Acaso no resulta peñectamente natural intentnt •mplantar nociones paralelas a ~tasen la lógica? lntentémoslo. Y al intentarlo, lo primero con lo que nos encontramos es con que e • unplantacióo no tendría propiamente su lugar en la lógica formal, en l• teoría lógica como tal, sino mAs bien en el terreno de la 371 . ¿No sería, entonces, incurrir en psicologismo decir que la lógica pretende \cr una descripción de la competencia intrínseca del sujeto razonan!< •de-.11 3 "? ¿No sería mejor decir que esa tarea corresponderla a una ,... Op. cit... p3a- 6. ,,. Op. dl.. pá¡. 8. n• Op. cit_ pág. 10. .tu J. Haerro. LA t~orfu 4< l~n rJ.,...,, ,,,.,,... ,.,. ( "~'"""' lbrtelona. Labor, 1976. pla. )l ,,. H emos parafrasado un• !'(nnllliun •1 l t"'"'' .. Y en np. cu.. PJ&- 6

o•pccic de lógica aplicada, > del lenguaje cotidiano. Una cosa es el lenguaje formalizado ole la lógica, gobernado por reglas explícitas y precisas, y otra muy cll\tinta el «lenguaje de la vida>>. En eso, en esa contraposición, todos los lógicos formales estarían t mplctamentc de acuerdo : no sabemos de oingm10 que baya defendido iu idea de que la lógica sea o pueda llegar a ser una reproducción lod. punto por punto, del lenguaje ordinario (a lo más, alguno ha querido ver en ella la esencia de éste). En lo que ya pocos lógicos estarían de ,,.·ncrdo es en las oonsecuencias que algunos filósofos del lenguaje ord inario lwn querido extruer de esa contraposición entre la nitidez y exactitud del knguaje lógico y lo proceloso del lenguaje ordinario. Strawson, por ejemplo, cree que la idea fundamental que hay que ~t·tener, al cabo del examen comparati"o de la lógica formal y la lógica old lenguaje ordinario que constituye el nudo de su lntroductwn to l.n(¡ical Theory. es la de que cdas simples relaciones deductivas uo son rl único tipo de relaciones que hemos de tomar en consideración si •tucremos entender las funciones lógicas del lenguaje». Las funciones del lenguaje que interesan a la lógic-a fo rmal son tan sólo un grupo muy 1cc:lucido de las incontables que aquel puede desempeñar. Por o tra parte, '"" instrumentos de análisis del lenguaje que la lógica formal nos proporciona no son ni mucho menos los únicos aperos ana liticos de que olisr>onemos. En los resultados de nuestro estud io del lenguaje ordinario ..., encontraremos ciertamente «ese carácter de elega ncia y sistema que '" tcnta.n las construcciones de la lógica formal. Ta mbién es cierto que la lc•&ica del lenguaje ordinario aporta un campo de estudio intelectual no ' " l>erado en riqueza, complejidad y poder de atracción>> 176• Ahora bien, la tesis de Slrawson podría entenderse y así se ha C'l>tcndido, como consecuencia de ciertas lecturas apresuradas- como si "¡milicara el defmitivo divorcio, el divorcio por principio entre la lógica lnrmal y el anáhsis lógico cabal del lenguaje ordinario, como si la primera ""pudiera ni debiera intentar la reconstrucción cada vez más liel y detallada > >19 • No hay que d,or al lenguaje natural por impos ible para la lógica fo rmal; o, visto por el u1ro lado, no hay que pensar que el lenguaje natural puede escapar a la lugica. Más bien hay que \'Cr en el lenguaje natural - y los lingüistas, es ,lccir, los estudiosos profesionales de ese lenguaje, nos dan ejemplo- una lucntc de estímulos y de exigencias para la lógica: de exigencias de construcción de cálculos más adaplados a las complejidades del lenguaje, y de ,.,.limulos e indicaciones para dicha conslrucción. Lejos quedan -o deberoan quedar- los tiempos en que podía con1raponerse el «COoslructhroblema de la relación entre lógica, lenguaje y filosofia. Las ideas fundamentales acerca de la leoría de la lingüística genera¡,vo-transformatoria bao sido expueslas en:

mcnlc, la proliferación de las lógicas llamadas . V. casi. en T. M. Simpson (ed.~ Semántica filoJáfica. Buenos Aires, Siglo XX~ páp. 57-86. WARNOCK. G. J.: «Mctapby>ics in LogJOO. En E=ys in Conaptual Analysis (A. Flew, ed.~ Londres, MacMiiJan, 19S6, págs. 75 y ss.

ln Cfr.. como lonu C'la.s.sk'IIM. cHcd¡c:s· A Scud)' in Meanina: Cn1ena and lhc Lc,,W or Fuzzy Coocepcs», ea erHre otros luJln~ O IICK'dne:r '' aL (tds.\, Co"tC'mpc1roJtp RtS-t,~rd• m Pldlcnoplucal Logk uNJ ''"flllhtlf' .\,.,..,uiiiN Oordrcc:ht. Uolland, O. ReMict Publl$hin¡ Company, JCJ7S, ~p 221 y" , . Op rit , p;\g.. 221.

, , Op. cu.. P'}¡s. 231, 2:W u• Cfr~ como IC"\h'' , ,1,114.v•. P 1 SID-.on. •Camap's Vk-tt.--s on Constructed Systems \'Ct'SUS Natural t...n¡ua.n "' An~th IK_.I Ptutu.ph)•• en P. A. Schllpp (ed..) T M Plrilosoplty tf Ru4ólf Canwp. 1• \,dlt~ 111 t •1• u t uuu l'ubhsh•na Company, 1963, p;p. 503 y $$. V R Call\llp. . r 1· \tr•"'~'" ••n IIIIJUI''" ~"~ ·•luuh•m~t, lbul pi p. 9)} y s:s

CIIOMSKY, N.: Synractic Structur... La Haya, Mouto n, 1957. V. casr. de C. P. Orero: Estructuras sintáctic= México, Siglo XX l. 1974. CuoMSKY, N. : Asp«ts of the Theory of S¡•nrax. Cambridge, MlT Press, 1965. V. cast. de C. P. Otero: Aspecto..v dt ''' teorfa de In slncnxfs. Madrid. Agui-

Jar, 1970.

La obra de P. F. Strawson cilada en el 1cx1o es: S i.ltAWSON, P. F . : lntrodllctloll ro toglcal Tl~eory. Londres, Mclhuen, 1952. (La

presunta versjón castellana de cstu obra no merece ser reseñudn aquf.)

Entre los texlos que ejemplifican la tesis de S1rawson a la que se alude en este apartado podemos cil:tr: el c:•pitulo VIII del libro de: KYLE, G.: Diltmm> de no ser porque la razón es esencialmente

trónica. 3.• Que tampoco va mos a referimos y no precisamente porque la despreciemos- a lo que algunos han llamado . Quizás haya quien piense que. al constituir esta lo que históricamente ha venido llamándose «>, o, en algú n caso, «gnoseologia>> -o incluso, en algún caso eminente, «teología>• , sería mejor reservarle alguno de esos nombres (o quizás el nombre, bellamente clásico, de «d ialéctica», a secas). Pero nadie menos inclinado que yo a poner barreras al uso del lenguaje. y nadie mús dispuesto que quien os habla a recordar constantemente que 'lot¡os' es una palabra simplemente inmensa. Así pues, llámesele a eso 'lógica' si se quiere. Pero no se olvide que, como dijo alguien, «No es nuestro oficio establecer prohibiciones, s ino llegar a convenciones>>. Dicho de otro modo - y a busando de Carnap-: en filosona está prohibido prohibir, pero es obligatorio dis tinguir. Convengamos, pues, al menos mien tras dure esta disertación, en llamar 'lógica' sólo a la lógica forma l tal y como hoy nos llega; despidamos, no sin nosta lgia, a la dialéctica, que tendrá en este ciclo de conferencias defensores más entusiastas que yo; y ded iquemos un recuerdo compasivo a quienes confunden una cosa con otra.

El otro término de esa relación cuyo esquema nos disponemos ha pergeñar es la fllosofla . Innecesario es advertir q ue no voy a responder fron talmente a la pregunta 11¿Qué es rílosofia '/)>. He leído demasiada filosofía como para tener el descaro de caracterizarla en una pocas frases. Me limitaré -fia sea algo condenado a desaparecer :mtcs de que tl~·'·'l'lt" 11 1 ti ¡:l'ntrtl humnno. Aunque, como es bien

340 llllroducci&l a In 16{¡/Co formnl

:-..t hidn, lu cslupidez humana C1-1rcce de límilcs, opino que de momcnlu habdn que conceder la pa lma en este sentido a la rrase que re;w «1 11 filosofía ha muerto>>. Aunque, bien mirado, señalar la estupidez de "'" rrasc ha pasado a convertirse ya en un rasgo de vulgaridad. No creo que la filosofía se reduzca o pueda reducirse a algún o tru producto cultural que no tenga históricamente ese nombre. La lilosoll• lli fue oj es ni será una ciencia, ni un art~ ni un culto a nada "' u nadie, ni una rorma determinada de acción politica, ni un juego algun día disculpable. Es llamativo el tono vergonzante con que muchos de los que figur•n en los censos de la filosofía española ejercen ->. l'ero no es este plano -el plano del anMisis de la argumentocoo•ll r.los6r.c:1 como ejercicio de lógica- el más interesante aquí. En efcxh• la función de este' análisis lógico es, prácticamente siempre, r~ttlrlo" (dicho sea en el mal sentido que el uso común ha dado a este voc:ablt•l Retórica, si, por cuanto, ¿cuál sería la efectividad r.Josór.ca del resultudu de ese a nálisis? Si el análisis revela que la argumentación es lógicamcnlf v!a lida, los seguidores de la filosofia en cuestión hallarán en ello 11114 t:unfirrnación adicionnJ, pero no sustancia], de sus concepciones, en lu nln que los enemigos se refugiarán en el expediente de impugnar la verdnal de las premisas. Si, por el contrario, el veredicto de la lógica es d~• favorable, los partidarios de esa filosor.a aducirá n acaso que el análl~lo fol'lna l no lo es todo, y, por su parte, los detractores habrian de conli •o onarse con haber ganado una batalla - mostrando la escasa pulcritud :trgumenta tiva del au tor de que se trate, y fustigándolo con su desdén ,;, por ello haber ganado la guerra -sin por ello haber demostraal" "ontundememente que no hay un grano de verdad en lo que el tal autur llooc. Pero al lado de este análisis lógico en sentido estricto, fuerte, escohu habría un análisis lógico en sentido débil, en sentido amplio. Hcmor poner un segundo ejemplo-, hay casos en los que la infercnc•• '"' un enunciado a partir de otro sólo es posible en virtud de h10 tMrllcularidades de la estructura interna de dichos enunciados. Paren• rMonable e•igir que la lógica dé cuenta de esa estructura interna en ...¡ucllos aspectos - identificación de nombres, de descripciones, de predi . (,(,.87, pp. NO.. l.

lfi¡litw,

V

t.'a~~¡l

d" 1

Ahhuu.a

t'l 411., Méjic.~1.

'''"'"amiento y, por descontado, el estudio de todo aquello que, desde mismo punto de vista formal, venga presupuesto por dicho análisis. Y estamos empleando el término 'presuposición' en su sentido clásico ,·,tricto. Que el enunciado E' presupone el enunciado E quiere decir como ya sabía Frege- que el enunciado E' no es ni verdadero ni l.ol"> - no tiene sentido en 16gica clásica, por tanto-- a menos que E sea •crdadero. Un ejemplo: antes hemos hablado del análisis a que Carnap -..•mete la inferencia 'cogito, ergo somo'. Pues bien : no es sólo que la inferencia . Hoy, cua renta y cinco años después de la publicación del articulo de Cnrnap, oo se podría ser tan tajante como este aunque 'úlo sea por la existencia de lUla lógica no-clásica llamada «lógica libre>>-, pero el ejemplo que hemos puesto mantieneenteramente su valor ilustrativo. El anhlisis lógico presupone un anhlisis - lógico- del lenguaje. Y puesto que el lenguaje es esencialmente un marco conceptua~ un ·•i>Mato de aprehensión del mundo, el análisis lógico eo este sentido ,unplio será, sobre todo, uo análisis de aparatos conceptuales. No es lo mismo esquematizar, como ejercicio en un curso de Lógica, las argumen· 1.1ciones de Platón en el Parménides que perseguir los sentidos con que !'latón utiliza el verbo 'ser' en El Sofista; no es lo mismo ejercitarse en la lé>, o en la presencia del sur.jo '·lógico' o '·logia' eo palabras como , «paraxeologla>>, etc. Se trJtarla de un uso 4ue pudiéramos llamar «conceptual» del análisis lógico; un uso que, llevado al extremo, explicaría por qué algtoien como Kant ha hablado de l thvcrsos ejemplos posibles 7 elegiremos uno bastante reciente. Desde hnt• c•ncc ailos, Lofti Zadch viene elaborando lo que él llama ccfu::y "' rlwory>>, o «teoría de los conjuntos borrosos» 1 , sobre la que retoma nol Mttling, Cltfcauo 1 Jm1111'ftlc Suciely. Chicag,\ J()72, 1~r UU-228. Reimpr. coo modificaciones en O. Hockney, W. 1f¡•rpcr y ll. Frc1.1d (c,l~ ), ( ·mlll'lllttm.,,.)' R •··~'tlrth In Philo.tapllical l.Agic ond Ungttlsrlc ,\',•mmttit'.-.. Ool'drechl, D. Mtlltlt~l l'ui•U,.Iun.,. ('(\lllp ltn)'. t rmulación de conjeturas contrastables, no recop1lac1ón de reglas hngutsll '·"· ni revestimiento verbal de experiencias quasi-inefables. sino expresión '"' l:os condiciones formales de todo discur.so posible sobre el mundo, ""'figuración del ámbito dentro del cual - y sólo dentro del cual , "'"' el pensamiento. La lógica es una ciencia previa, la ciencia de loa '"'l"i~itos más remotos - no, desde luego, en sentido temporal- dr tml.1 actividad teórica: una ciencia que viene conslituida por el regre'" "'tcmálico a aquellos esquemas son los que es imposible la inteligjbilidJd de cualquier discurso. La lógica es, muy en general, la teoría de 1• 1/m·üill. Ese es precisamente el mo tivo de que la lógica, aunque en OIH• ,enlodo y por o tros motivos pueda resultar abstrusa ~s decir, abstract.o (donde '¡¡' es una letra esqueon/uica que puede sustitumc por cualquier enunciado), se sintiera casi como - y lo de 'casi' lo digo• purque sin duda se sentirá mlts t1·iste que- el lector de las lt~srr·uccw· "''-' ¡mo·a subir uow escalera. admiruble rela to de Julio Cortázar. El efe~tll cslctico de este texto proviene de que en él se solemntza lo ob,•1o, de que en él se instruye ul lectOI' en la realización de algo que el lector sabe realizar perfectamente sin necesidad de un método. El homb1·c aprende a subir escaleras a una edad a /a que no lee manuales, y, " partir de ese momento, cuando asciende por una escalera lo hace para llegar a un lugar donde hacer cosus más interesantes. La grac1a del escrito de Cortázar consiste en que. en él, el acto de subir escaleras se 4.. \mvierte en un fm en sí mismo, en algo que, siendo de suyo irreflexívt),

upurece como objeto de meticulosa rcOexión. • Así también a veces con la lógica, cuyas verdades, como ha señalado Quine, son «potencialmente obvias,, evidentes en principio. Parece, en _erec· to - y ello produce en quienes la estudian (y, por supuesto, en qu1ene' la enseñan) un sentimiento de impaciencia- como si en lógica se estuvter~ enseñando a hacer con andadores y sesudamente algo que sabemos hacer y sin pararnos a pensar; como si la lógica nos obligara a conta r con algo que dábamos ya por descontado. Y cO se del>tudln dt• h" c"¡:enc1as formales de m1cligibilidad de todo discun,o. lu' \''quc·nt.t·¡ '" •l.u:1un que se dan por

' "puestos en todo ejercicio de la conciencia, y entre ellos hay algunos hastante elemeolaJes.

La lógica es ciencia constitutivamente renexiva. La lógica es ciencia ,le si misma. Si tiene por objeto todo discurso, objeto suyo será también y eminentemente. el propio discurso de la lógica formal. De ninguna otra disciplina -salvo. precisamente, de lo jilo.!o{ra- puede decirse algo semetante. La lógica, sin duda por eso. es ciencia autocrítica: es una ciencia que, además de saber romper constantemente sus límites histórioos - ahi está la proliferación de lógicas no-clásicas- . ha sabido reconocer sus límites de principio. Aunque sólo fuera por eso, la lógica sería ya una ciencia irónica, una ciencia que. como las mejores filosofias 11 es capaz, e11 su interior. de mostrar implacablemente las limitaciones del pro¡ecto que la constituye. En otro lugar hemos dicho que la lógica es a la ''cz «capacidad de análisis y posibilidad de ironhiJI. Y eso no es exacta mente cierto. Cuando está en m•ooos de alguien parn quien hacer filosofia constituye una forma de vida, la lógica es necesidad de ironia. Y ello precisamente en el sentido a ludido: en el sentido de que hacer lógica con consciencia de lo que se está haciendo presupone la comprensión de que no se esta haciendo todo, ni tampooo todo lo importante. Saber lógica formal es saber que hay que pensar, a travt\s de ella, mf1s aiiA de ella. Hasta más a llá de ella, si. Pero a tr:ovés de ella. Porque es que alguien. en efecto, podria decir que para ese viaje no hacen ralla alforjas, y que para a lcanza r la consciencia de que la lógica fo rmal no basta es innecesario sumergirse en ella. A esos «Su peradores» -> «Claro que tiene que estar - -. Pero, puesto que Allen está, no veo que es lo que impide que Carr no esté». «Mi querido pero sumamente ilógico hermano - cuenta de que estás dividiendo equh•ocadamente la prótasis y la apódosis de esa proposición hipotética? Su prótasis es simplemente 'Carr no está', y su apódosis es una especie de proposición sub· hipotética, 'Si Allen no está, Brown está'. Apódosis absurda. puesto q ue es fatalmente incompatible con esa Otra proposición hipotética de la que sabemos que es siempre verdadera. ' Si Allen no estA, Brown no está'. la causa de este absurdo es simplemente la hipótesis deque'Carr no está'. De modo que sólo hay una conclusión posible: ¡Carr está b> Igno ro cuánto tiempo hubiera podido durar esta discusión. Croo que cualquiera de ellos era capaz de argumentar durante seis hor-~s de un tirón. Pero justo en este momento llcgabamos a la barbería, y al entrar nos encontramos ...

E.IEK('ICIO 3l.

{ [•r .... o(p" q)) "(s ... p)l .... [(s "q) -+ r]

'·' w1a ley lógiro. E JERCICIO 32.

Demostrar la oolidez del siguieme esquema de inferencia: p .... (q " 1 " u)

'P

r- -. q

IT-+l 1 11 -+

r

r

V S

EJERCICIO 33. Demostrar la validez del sfgultnte esquema de inferencia :

p-q q-r S-+1 S V

p

r v 1 EJERCICIO 34. Demostrar la Mlidez de la expresión a nterior por reduc-

ción al absurdo. E JERCICIO 35. Demostrar que la expresión

[(p

-+

r) " (q .... s)] .... [(p " q) .... (r " s)]

es una ley lógica. EJERCICIO 36.

Demostrar la VlJIIdez del siguienu esquema de inferencin:

(p v q)-+ r

EJERCICIO 28. Demostrar, por el método de retluccúln al absurdo. la ,. \¡Jresión '(p .... (q .... r)] - [(p " q) - · r ]'. EJERCICIO 29.

Demo..rrw· r¡ue la expresión

(p .... r) v (q

-+

Demostrar la validez del slguieme esqutma de inferencin EJERCICIO 37.

Demostrar la oolidt: dtl siguiente esquema de inferetu:ia:

p - ((q - r) - s] pvq

(q - r) - (p - s)

-,¡-,p- •) •p-q

EJERCICIO 30.

r)

Demostrar la

tfe r~d11crián al ab.\rtrtlo.

•~•luir:

tlrl r

/)C'mostracitm: l.

-

Ejercicios de dedvccl6n 375

p-+ (q -+ r)

p

Glosario

p

2. q

n:

q-+r r

R E -+,1,3 RE -+,4,2

6.

p ~ r

Rl

p

-+, 3-5

p = 'hay un mundo' q • 'hay una lógica'

Esquemat izaciáu .., (• p ..... .., e¡)

Al ejercicio 8.

(p ... .., q)

Deri!}(ICilm (directa)

l.

p- (q v r)

2. p-+ S 3. q 4. (q v r) ... p 5. (q

V

6. q v 7.

r) -+S r

S

p p p RD -,1 RTr -+, 4, 2 Rl v,3

RE -+,5, 6

Deriración

l. .., (• p .... .., q) 2. .., (p .... .., q) 3. .., p A lj 4. p A q 5. .., p

p ROf. -+,1 RDf. -,2

6. p

RE A,3 RE A,4

7.

RI A,5,6

p A-, p

Deri!}(lción (por reducción al absurdo)

p p

8. --,..,(p ....... 1/) 9. (p ....... q)

Rl •.2-7 RE -., 8

378 Introducción 11 llt lógiCit lurmttl Ejercicios c1e deducción

Al ejcrddu 10. Y la derivación sería sencillamente ésta:

Oeriwtció11 (d irecta) l.

4. 5.

p p

(pAq)-+r

2. < (p V r) 3. p -+q

S

p RDf V. J

p

-, S

pv r 6. p 7. q 8. p 9. r

MT,2,4 RE - .3,6 RJ A,6,7 RE-, 1,8

q

A

IO. r _ 11. r

Í

RRII -. 10

12. r

RE

13. --, s- r

R1 -. 4-1 2

V.

5, 6-9, 10-11

1\1 ejercicio 12.

Demostración : l. 2

S +-+/

1 V p 3. S - - , W 4. w 5. w~ -, s

6. o S 7. -,¡ 8. p

p p p p RContr. - . 3 RE -+,4,5 RE 4 +-+, 1,6 RIA ., 2, 7

Ot•rivación por reducción al absurdo l.

(p

p p

q) -+ r V r)-+ S p-+ q A

2. < (p

3. -4. --. (--. S

5. -, s 6.

...,

1\ - ,

p

r)

r

RDf - ,4 RE "· 5 RE A,5

--, S

7. -, r

8. -, (p 9. 10. JI. 12. 13. 14.

A

t¡)

MT,I,7 MT, 2,6

o q

RDfA , 8 Rdf v, IO RJA 2 , 7, 9

p V r

< p

V

p --, q p

o p p

1\ --,

p

15. --. --.(os-+ r) 16. (os-+ r)

Al ejercicio 13. Demostración:

l. 2. 3.

p

So-o /

1 V

p

s~-.

w 5. -, 6. 1

w

4.

p p p

p

RIA,, 2, 5

RE3 +-+, 1,6

S

IT,3,11 Rl A, 12, 13

7. 8. 9. JO.

S A -,S

RE -, 4,8 RI "· 7,9

Rlo , 4-14 RE --. ,15

11.

..,o

RI o , 5-10

12. p

\\1

__. -,S

--,S

p

RContr. -+, 3

RE--.,11

Al ejercido 11. Si. La inferencia que hemos fingido tendría -suponiendo que ·p· s ignifica 'es un awr' y 'q', 'es un genio'- el siguiente esquema: p v q

Al ejercicio 14.

Demostración: l. (p

2.

1\

q)-

(r " .\)

• 1

p p

3n

Ejercicios de deducCión

378 lntroducc;()n a la /Ogica fotnml

3.

p AqAS

4.

p q

5.

6. p !' q 7. r 8. S 9. T A S 10.

111. l.

RE A,3 RE A,3 RI A, 4, 5 RE -+,1,6

RE A,3

2.

RE--+,2,9

9

p

p

p RI A,2,3 MT,l,4

V. p p MT,I,2

q--+u

....,.,

2. 3. •q

p

2. q

VI.

p

1.

q-+ r 5. r 4.

6. p--+r

p p

r

5. •q

Demollración :

e·

1

l. q -+ (s' A t') 2. 1' 3. ..., s' 4. ..., s' At'

l.

-

...., ,.

IV.

RJ A.7,8

Al ejercicio IS.

p .... (q --+ r)

q-+

3.

RJ .... 3- 10

l.

379

p p RE-+, 1, 2 20

•m~p

2. •m 3. fl Rl ... , 3-5

Al ejercicio 17. 7.

q--+ (p-+ r)

Rl --+, 2-6

Demostración : Al ejercicio 16.

l.

La argumentación del docto r Asquith no es una argumentadllll Son. por lo menos, seis argumentaciones. Las presentaremos succm• men te extrayendo en cada caso la conclusión que, para mayor emo~;u'tn el doctor Asquith se abstiene de formular:

r_, ...,,. 3.

4.

l. p V q 2. p--+r 3.

p p

4. ' P 5. q

MT,2.3 RIA" 1, 4

l.

p ... (s A 1)

p

2. 3.

S ...., 1

.., ,

11.

4. .SAit 5. ' P

RE ", 2 MT, I,3

..., (p " q)

Df. A,4 RE "• 2 RIA 1 ,5,6

5. • p v • q - -,rl -, q -+J r r- q

t

20. -,-, [(p " r) .... q] 21. (p " r) .... q

RE -+ , 4, 10 RContr. -+, 13 RE-+, 14, 5 MT,3, 15 ROr. "• 16 RIA 2, 17,2 Rl " • 9, 18 Rl >, 6-19 RE > . 20

Al ejercicio 48. Glosarlo

E • exjstir G • engaftarse a

- yo

&quematización

A x(• Ex-+ -, Gx) Ga Ea D~rlvaclón

(d irecta) ·1

l. !\ x (> Ex -+ -, Gx) 2. Ga 3. -,Ea-+ -, Ga 4. Ga -+ Ea S. Ea

Al ejerck1o 47. Demostración : l. (p " ' q " r)-s

2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

(

(s " 1) .... u p -+(u .... -, w)

w -, [(p " r) -+ q]

P"'" ' q P/\ -, (/ 1\T

9. S 10. p 11. -,q 12. r

p p p p p RDr. - ,6 IT, 7 RB .... , l,ft RB ", 8 RE ", 8 RE " , 8

)>

p

RE A , 1 RContr .... , 3 RE -.2, 4

Derivación por reducckln al absurdo l.

2. 3.

5. 6.

Ax (..., Ex .... -, Gx) Ga • Ea-+ o Ga -, Ea -. Ga Ga A-, Ga

7. -,-, &

8. Ea

p p RE A, 1 RE .... . 2, 4 RIA , 2,5 R1 > , 4-6 RE -,, 7

404

lr1110dueei6tlll ID l6gfca formol

4. l'a .... .., Qa

RE 1\, 1 RE 1\,2

5. Qa-Ra 6. Qa

7. Qa .... .., Pa 8 . .., Pa 9. Ra 10. Ra 1\-, Pa 11. V x(Rx 1\-, P. Ma &. Ca-. MtJ 9. M a -+..., Tn 10. Ca-+ ..., Ta 11. 1\ .< (Cx .... ..., Tx)

Dt mostracwn :

p p p RE 1\, 1 RE 1\ . 2 RE 1\ , 3 RContr ~. 6 RTr -+ ,4, 7 RContr ... ,5 RTr ->,K, 9 Rl A, lO

l.

2. 3. 4.

5.

6. 7. 8.

9. 10. 11 .

1\ x (Tx-+ Bx) A x (Px-+ -, Sx) 1\ x (Bx- Sx) Ta -. Ba Pa -+-, Sa Ba ... Sa -, Sa -. ..., Ba Pa ... ..., &t -, Ba ... ..., Ta Pa ... -, T a Ax (Px • ..., 7"")

p p p RE 1\, l RE A,2 RE 1\, 3 RCootr. -., 6 RTr -., S. 7 RContr.... ,4 RTr -., 8, 9 Rl A, !O

Ej 423

422 lntr0tlucc/6n a In lógica fomu~

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

l'b .... Pb Pa - LA Pb .... Lb Fa..., La Fb-Lb -, Fb 1\x[(x =a).-.h] (b = a)-+ Fb (b #e a)

RE A, 1 RE A,2 RE A,2 RTr .-., 5, 7 RTr .-.,6,8 MT,4, lO Rl =,3 RE 1\, 12 MT,I3, 11

Al ejercicio 85. Resolución en términos de predicados monódicos Glosario N = ser un escritor que oomprcndc la naiUralcza humana 1 • ser un escritor inteligente P ser un verdadero poeta M ~ ser un escritor capaz de movet' los corazones de los hombres S ~ ser Shakespeare H a haber escrito Hamlet

=

A 1 ejercicio 84. &qu~malización

1\x{Nx .-.Jx) 1\ x {o Mx .-.o Px) 1\ x {Sx _. Hx)H 1\ x(• Nx-• Mx) 1\ x (Hx .-. Px)"

Glosario

a= Vivaldi h = LA Tempesla di M are e = JI Gardellino N = ser veneciano 1 = ser autor de

1\ x (Sx .-. /x) 36 Derivaci!m

l ~'.w¡uematizaci6n

l. N (1x Axb) 1x Axc =a 1x Axb = IX Axc

2.

3. 4.

5. 6. 7. 8.

Na l)erivllCÍÓn

l.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

N (Lx Axb) L' Axc =a IX Axb = IX Axc IX Axb ~a 1\ y [(y =IX Axb)..., N y] (a = IX Axb) ..., Na a= Axb Na

L'

p p p RTr =.3.2" Rl =, 1 RE 1\, 5 l)

RE -+,6, 7

u AplicaOlO$ aqui. trans(ormindola en resJa. la ley de u·anJittvidad de la idenudad que hemos ckrnc.nuado en ti ejercicto 82. u Damos por dern'll•if i /.V- • (/1 11 ., _,) ..... ., l' ..., ,.,.,. , l+•lkfflfl• l;t/lou

ofl•~ll"+'iof¡t

., .,. ·"'•· .......... r.,. . , .......,:, 11

..,fSrt; /1-tA AX 1 0~1A'I'I (.'0

V'( , • • '•

RTI 1, 1.11 .,. rJ -p l . •t • (p V q l l . IJ• '1 tii- (Q V''

1. (¡rV 14 \1 rJJ- (4V lP 'V 1)1 1. 1ill-(Jdtf• ''~''''"" (p(kfot•

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