Ingenieria Termica

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PFD - Ingeniería Térmica

Ingeniería Energética

Ingeniería Térmica

Teoría 21 capítulos con toda la información necesaria para resolver los problemas sobre ingeniería térmica

Problemas Problemas resueltos sobre ingeniería térmica, dependientes de cada capítulo. Es necesario comprender la teoría para poder resolverlos

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Recursos Información tanto teórica como experimental, necesaria para la resolución de problemas, bibliografía, índices

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Teoría de Ingeniería Térmica Capítulo 2 Conducción Unidireccional Estacionaria Introducción, Ecuación Fundamental de Conducción, Cilindros, Aislamiento crítico en Cilindros, Paredes Esféricas sin generación, Conducción Monodimensional con Generación de Energía

Capítulo 3 Conducción Estacionaria en 2 o más Dimensiones Método Analítico, Método Gráfico, Métodos Numéricos, Método de Relajación, Método Matricial y Método de Iteración

Capítulo 4 Condición de Contorno de Convección en Sólidos Infinitos Placa, Cilindro, Esfera, Otros Elementos 2D y 3D, Transitorios con Generación de Calor

Capítulo 5 Condición de Contorno Isotérmica en Sólidos Infinitos Conducción Transitoria en Placa y en Pared Cilíndrica, Transitorios con Generación de Calor

Capítulo 6 Transitorios en Sólidos Semiinfinitos Condición de Contorno Isotérmica, Flujos Térmicos Uniformes en la Superficie, Contactos, Pulsos de Energía, Generación de Calor, Variaciones Periódicas de Temperatura en la Superficie, Resistencia Térmica Despreciable, Paredes

Capítulo 7 Conducción en Sólidos Finitos Transitorios 2D y 3D, Condición de Contorno Isotérmica y de Convección, Transitorios con Generación de Energía

Capítulo 8 Método Gráfico para Transitorios Problemas Monodimensionales, Choque Térmico con Condición de Contorno Isotérmica, Convección Superficial

Capítulo 9 Superficies Adicionales de Sección Constante Campo de Aplicación, Perfil Óptimo, Casos Especiales

Capítulo 10 Superficies Adicionales de Sección Variable Perfil Óptimo de la Aleta Longitudinal de Perfil Triangular, Rendimiento de la Aleta, Coeficiente Global de Transferencia de Calor con Refrigeración por Aire

Capítulo 11 Convección: Capa Límite Térmica e Hidrodinámica Ecuación Diferencial de la transmisión de Calor en un Medio en Movimiento, Capa Límite Laminar en Flujo sobre Placa Plana, Ecuaciónes Integrales del Impulso y de la Energía de la Capa Límite, Capa Límite Turbulenta para Placa Plana, Desprendimiento de la Capa Límite

Capítulo 12 Convección: Flujo en Conductos Conductos no CIrculares, Interior de Tuberías con Régimen Laminar y Flujo de Calor Constante

Capítulo 1 Principios Básicos de Transferencia de Calor Conducción, Conductividad Térmica, Convección, Radiación

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Capítulo 13 Convección: Analogías y Análisis Dimensional Transmisión de Calor y Cantidad de Movimiento (Régimen Turbulento), Reynolds, Prandtl, Von Kàrmàn, Colburn, Métodos de Análisis Dimensional

Capítulo 14 Correlaciones para la Convección Natural Correlaciones Analíticas entre Placas, Tubos, Esferas

Capítulo 15 Correlaciones para la Convección Forzada Placas, Interior y Exterior de Tuberías, Esferas, Combinación de Convección Natural y Forzada, Flujos Cruzados, Superficies Giratorias

Capítulo 16 Condensación y Vaporización Condensación en Película Laminar sobre Placas y Tubos Verticales, inclinados y Horizontales, Condensación en Régimen Turbulento, en el Interior de Tubos Horizontales, en forma de Gotas, Transferencia de Calor por Evaporación de Líquidos en Reposo, Evaporación de Líquidos en Flujo Forzado en el Interior de Tubos

Capítulo 17 Intercambiadores de Calor (LMTD) Tipos Básicos de Intercambiador, Coeficiente de Transferencia Térmica Global, Transmisión de Calor entre Fluidos en Movimiento a Temperaturas Variables a Través de una Pared

Capítulo 18 Intercambiadores de Calor (Eficiencia) Eficacia de los Intercambiadores, Eficiencia Térmica y NTU para algunas configuraciones en Flujo Cruzado, Intercambiadores Compactos

Capítulo 20 Intercambios Radiativos Intercambios entre Superficies Negras, Grises y Refractarias, Técnicas Matriciales

Capítulo 21 Aplicaciones de la Radiación Térmica Radiación a Través de un Medio Transmisor y Absorbente, Propiedades Radiativas de los Gases, Radiación de Nubes de Partículas, Cálculos en Hornos y Hogares

Capítulo 19 Radiación Térmica Física de la Radiación, Transmisión de Calor por Radiación, Factor de Forma, Álgebra de Factores de Forma

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DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Y ENERGETICA UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

INGENIERIA TERMICA Y DE FLUIDOS

Pedro Fernández Díez

I.- PRINCIPIOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

I.1.- INTRODUCCIÓN La Ingeniería Térmica trata de los procesos de transferencia de calor y la metodología para calcular la velocidad conque éstos se producen para así diseñar los componentes y sistemas en los que tiene lugar una transferencia de calor. A título de ejemplo, determinados casos de diseño requieren disminuir las cantidades de calor transferido mediante un aislante térmico; otros implican procesos de transferencia de calor de un fluido a otro mediante intercambiadores de calor; a veces el problema de diseño es controlar térmicamente un proceso manteniendo las temperaturas de funcionamiento de los componentes sensibles al calor dentro de unos márgenes predeterminados, etc. De todo esto se desprende que la transferencia de calor abarca una amplia gama de fenómenos físicos que hay que comprender antes de proceder a desarrollar la metodología que conduzca al diseño térmico de los sistemas correspondientes. Siempre que existe una diferencia de temperatura, la energía se transfiere de la región de mayor temperatura a la de temperatura más baja; de acuerdo con los conceptos termodinámicos la energía que se transfiere como resultado de una diferencia de temperatura, es el calor. Sin embargo, aunque las leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía, sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio; pueden utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para cambiar un sistema de un estado de equilibrio a otro, pero no sirven para predecir la rapidez (tiempo) con que puedan producirse estos cambios. La fenomenología que estudia la transmisión del calor complementa los Principios Primero y Segundo de la Termodinámica clásica, proporcionando unos métodos de análisis que permiten predecir esta velocidad de transferencia térmica. Para ilustrar los diferentes tipos de información que se pueden obtener desde ambos puntos I.-1

de vista, (termodinámico y transferencia de calor) consideraremos, a título de ejemplo, el calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente. Los principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero nada nos dicen respecto a la velocidad de la transferencia térmica, o la temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que hay que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta posición de la barra. Por otra parte, un análisis de la transmisión del calor permite predecir la velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la temperatura del agua en función del tiempo. Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes, conducción, convección y radiación. El diseño y proyecto de los sistemas de intercambio de calor y conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos, así como de sus interacciones; consideraremos, en primer lugar, los principios básicos de la transmisión del calor y algunas aplicaciones simples, que pueden ser de utilidad en capítulos posteriores, en los que serán tratados con detalle cada uno de los mecanismos de esta transferencia térmica. I.2.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN La conducción es el único mecanismo de transmisión del calor posible en los medios sólidos opacos; cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura, el calor se transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, siendo el calor transmitido por conducción Qk, proporcional al gradiente de temperatura dT/dx, y a la superficie A, a través de la cual se transfiere, Fig I.1.a, es decir: Qk ≅ A

dT dx

en donde T es la temperatura y x la dirección del flujo de calor.

Fig I.1- Convenio de signos para la transmisión del calor por conducción

I.-2

El flujo real de calor depende de la conductividad térmica k, que es una propiedad física del cuerpo, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en la forma: Qk = - k A

dT dx

en la que el signo (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinámica, según el cual, el calor debe fluir hacia la zona de temperatura más baja. El gradiente de temperaturas, será negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x; si se considera que el calor transferido en la dirección positiva debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativo. Esta ecuación expresa la ley de conducción del calor de Fourier, y se utiliza para definir la conductividad térmica k; por ejemplo, si la superficie de intercambio térmico se expresa en m2, la temperatura en grados Kelvin, la distancia x en metros y la transmisión del calor en W, las unidades de k serán W/m°K. PARED PLANA..- Una aplicación inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisión del calor a través de una pared plana, Fig I.2. Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas diferentes, el calor fluye sólo en dirección perpendicular a las superficies. Si la conductividad térmica es uniforme, la integración de la ecuación anterior proporciona: Qk = -

kA kA (T2 - T1 ) = (T1 - T2 ) L L

en la que L es el espesor de la pared, T1 es la temperatura de la superficie de la izquierda x = 0, y T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

Fig I.2.- Muro plano

Fig I.3.- Pared compuesta

PAREDES PLANAS EN SERIE..- Si el calor se propaga a través de varias paredes en buen contacto térmico, como por ejemplo, en la construcción de capas múltiples, el análisis del flujo de I.-3

calor en estado estacionario a través de todas las secciones tiene que ser el mismo. Sin embargo, y tal como se indica en la Fig I.3 en un sistema de tres capas, los gradientes de temperatura en éstas son distintos. El calor transmitido se puede expresar para cada sección y como es el mismo para todas las secciones, se puede poner: Qk =

T1 - T2 T - T3 T - T4 T1 - T4 = 2 = 3 = ( L )A ( L )B ( L )C ( L )A + ( L )B + ( L )c kA kA kA kA kA kA

Si se considera un conjunto de n capas en perfecto contacto térmico el flujo de calor es: Qk =

Ti - Ti+1 = ( L )i kA

T1 i=n

Tn+1

∑ ( kLA )i

i=1

en la que T1 es la temperatura superficial de la capa 1 y T n+1 la temperatura superficial de la capa N. ANALOGÍA ELÉCTRICA DE LA CONDUCCIÓN.- La analogía entre el flujo de calor y la electricidad, permite ampliar el problema de la transmisión del calor por conducción a sistemas más complejos, utilizando conceptos desarrollados en la teoría de circuitos eléctricos. Si la transmisión de calor se considera análoga al flujo de electricidad, la expresión L/k A equivale a una resistencia y la diferencia de temperaturas a una diferencia de potencial, por lo que la ecuación anterior se puede escribir en forma semejante a la ley de Ohm:

Qk =

 Potencial térmico, ∆T = T1 - T2 ∆T , siendo,  L Rk  Resistencia térmica, R k = k A

La inversa de la resistencia térmica se denomina conductividad térmica, k/L, W/m2ºK., o conductancia térmica unitaria del flujo de calor por conducción. PAREDES EN PARALELO..- Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar también en la resolución de problemas más complejos, en los que la conducción tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo. La Fig I.4 muestra un bloque formado por dos materiales de áreas A1 y A 2 en paralelo; para su resolución hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a través del bloque, cada capa del conjunto se puede analizar por separado, teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a través de cada una de las dos secciones. Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequeña, el flujo de calor paralelo a las capas dominará sobre cualquier otro flujo normal a éstas, por lo que el problema se puede tratar como unidimensional sin pérdida importante de exactitud. Como el calor fluye a través de los dos materiales según trayectorias separadas, el flujo total I.-4

de calor Qk será la suma de los dos flujos: Q k = Q1 + Q 2 =

T1 - T2 T - T2 T -T 1 1 + 1 =( + )(T1 - T2 ) = R1 R 2 L L R1 R2 1 2 )1 )2 ( ( kA kA R1 + R 2

en la que el área total de transmisión del calor es la suma de las dos áreas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales.

Fig I.4.- Transmisión de calor a través de una pared con dos secciones en paralelo

Una aplicación más compleja del enfoque del circuito térmico es la indicada en la Fig I.5, en la que el calor se transfiere a través de una estructura formada por una resistencia térmica en serie, otra en paralelo y una tercera en serie; para este sistema, el flujo térmico por unidad de superficie es:

Qk =

∆Tglobal i=n

∑ Ri

i=1

=

∆Tglobal RA + R2 + RD

=

1 = 1 + 1 R2 RB RC RB RC R2 = RB + RC

= RA +

∆Tglobal RB RC RB + RC

+ RD

en la que n es el número de capas en serie, Ri es la resistencia térmica de la capa i, y ∆Tglobal es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores.

Fig I.5.- Circuito térmico en serie-paralelo-serie I.-5

El análisis del circuito precedente supone flujo unidimensional. Si las resistencias RB y RC son muy diferentes, los efectos bidimensionales pueden ser importantes. RESISTENCIA DE CONTACTO.- Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto, aparece una resistencia térmica en la interfase de los sólidos, que se conoce como resistencia de contacto, y que se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente, por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido. Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostraría que los sólidos se tocan sólo en picos superficiales, mientras que los huecos estarían ocupados por un fluido, o el vacío. La resistencia de la interfase depende de: - La rugosidad superficial - La presión que mantiene en contacto las dos superficies - Del fluido de la interfase - De su temperatura En la interfase, el mecanismo de la transmisión del calor, y su determinación, es complejo; la conducción del calor tiene lugar a través de los puntos de contacto del sólido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las áreas de contacto a través del fluido de la interfase por convección, y entre las superficies por radiación. Si el calor a través de las superficies sólidas en contacto es Q, la diferencia de temperaturas a través del fluido que separa los dos sólidos es ∆Ti y la resistencia de contacto R i se expresa en función de una conductancia interfacial hi, W/m2ºK, se tiene: Q = h i A ∆Ti =

∆Ti ∆Ti = 1 Ri hi A

Cuando las dos superficies están en contacto térmico perfecto, la diferencia de temperaturas a través de la interfase es nula, por lo que su resistencia térmica es cero; un contacto térmico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interfase. Tabla I.1.- Conductancias interfaciales de algunos materiales a presiones moderadas

Interface Cerámica-cerámica Cerámica-metal Grafito metal Acero inoxidable-acero inoxidable Aluminio-aluminio Acero inoxidable-aluminio Cobre-cobre Hierro-aluminio

hi, W/m 2 ºK 500-3000 1500-8500 3000-6000 1700-3700 2200-12000 3000-4500 10000-25000 4000-40000

La resistencia por contacto depende de la presión conque se mantiene el contacto, y muestra un descenso notable cuando se alcanza el límite elástico de alguno de los materiales. I.-6

En los sólidos mecánicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interfase, a pesar de que siempre está presente. Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interfase y la diferencia de temperaturas resultante a través de la misma; en superficies rugosas y bajas presiones de unión, la caída de temperatura a través de la interfase puede ser importante, incluso dominante, y hay que tenerla en cuenta. La problemática de la resistencia de la interfase es compleja y no existe ninguna teoría, o base de datos empíricos, que la describa exactamente para situaciones de interés industrial. I.3.- CONDUCTIVIDAD TÉRMICA La conductividad térmica k es una propiedad de los materiales que, excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas, no es posible predecir analíticamente; la información disponible está basada en medidas experimentales. En general, la conductividad térmica de un material varía con la temperatura, pero en muchas situaciones prácticas se puede considerar con un valor medio constante, si el sistema tiene una temperatura media, lo que proporciona resultados bastante satisfactorios. En la Tabla I.2 se relacionan los valores típicos de la conductividad térmica de algunos metales, sólidos no metálicos, líquidos y gases, que nos dan una idea del orden de magnitud conque se presenta en la práctica, mientras que en la Fig I.6, se presentan dos gráficas de conductividades térmicas, una entre 0 y 450 W/m°K para metales y aleaciones (buenos conductores térmicos), y otra entre 0 y 0,8 W/m°K para algunos gases y líquidos, observándose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k. Tabla I.2.- Conductividad térmica de algunos materiales

Material Cobre Aluminio Vidrio Plástico Agua Aceite de motores Freón (líquido) Aire

k (W/mºK), a 300ºK 386 204 0,75 0,2-0,3 0,6 0,15 0,07 0,026

El mecanismo de la transmisión de calor por conducción en los materiales conductores está asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres, (metales y aleaciones), al igual que en los conductores eléctricos, por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son también, en general, buenos conductores del calor, (cobre, plata, aluminio, etc). Los buenos aislantes eléctricos, (que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma), son también buenos aislantes térmicos, (vidrio, plásticos, etc). En estos materiales, la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas: a) Conducción a través de la estructura sólida porosa o fibrosa I.-7

b) Conducción y/o convección a través del aire atrapado en los espacios vacíos c) Radiación entre porciones de la estructura sólida, lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vacíos Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogénicas, que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vacíos, que minimizan la conducción y la convección, alcanzándose conductividades térmicas del orden de 0,02 W/m°K. En muchos materiales, el valor de k no es constante, sino que varía con la temperatura y con la composición química de los mismos. Cuando sólo depende de la temperatura, se puede poner el valor de k en la forma: k = k(T) = k 0 (1 + β T) siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia, y β es una constante, (coeficiente de dilatación). En tal caso la integración de la ecuación de Fourier proporciona:

Qk = -

∫

T2

T1

A k 0(1 + β T) dT =

k0 A L

{T1 - T2 +

en la que k m es el valor de k a la temperatura

k A β (T12 - T22 )} = m (T1 - T2 ) 2 L

T1 + T2 2

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA PARA LAS ALEACIONES.- En la Fig I.6.a se muestra el comportamiento con la temperatura de las conductividades térmicas de algunos metales y aleaciones, (cobre, aluminio, acero al carbono, acero inoxidable 18-8. La conductividad térmica de las aleaciones, en general, y de los aceros en particular, se puede determinar mediante la relación: k =

1 + ξ1

k0 + ξ2 + ... + ξn

en la que k0 es la conductividad térmica del metal base, y ξ 1, ξ2,..., ξn, son unos factores de corrección de dicha conductividad, propios de cada metal que la caracterizan. La conductividad térmica del hierro puro viene representada en la Fig I.7, mientras que los factores característicos de los metales adicionales que entran en la composición de un acero aleado, ξ1, ξ2,..., ξn , en la Fig I.8. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE LÍQUIDOS.- En la Fig I.6 se indica la conductividad térmica de algunos líquidos en función de la temperatura, observándose que, excepto en el caso del agua, la conductividad térmica de los líquidos decrece a medida que aumenta su temperatura, pero el cambio es tan pequeño que en la mayor parte de las situaciones prácticas, la conductiviI.-8

dad térmica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura; asimismo, en los líquidos no hay una dependencia apreciable con la presión, debido a que éstos son prácticamente incompresibles.

Fig I.6.a.- Conductividad térmica metales y aleaciones

Fig I.6.b.- Conductividad térmica líquidos, gases y vapores

Fig I.7.- Conductividad térmica del hierro puro

Fig I.8.- Factores de corrección de la conductividad térmica de los aceros aleados

I.-9

Para la determinación de la difusividad térmica en líquidos, se propone la fórmula: α =

k 5 = ρ cp 4

3

ρ M

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del líquido. Como la ecuación no es homogénea, conviene precisar las unidades en que deben expresarse las magnitudes que en ella figuran: k en Kcal/°C.m.hora, ρ en kg/dm3 y c p en Kcal/°Ckg Para definir la variación de la conductividad térmica k en función de la temperatura, Riedel propone la ecuación: k = k K {1 - 6,7 (1 - Tr )2/3 } siendo: k la conductividad a la temperatura T = Tr Tk en ºK kk la conductividad a la temperatura crítica Tk en °K T Tr la temperatura reducida igual a Tk En el caso en que se desconozca la conductividad kk, la ecuación anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida; en estas circunstancias el valor de kK se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca Tk con ayuda de la citada ecuación. Si no se conoce T k se pueden determinar los valores de kk y de Tk efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra; esta ecuación se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 0,9, aproximadamente. Tabla I.3.- Valores de k’/ k

T/Tk k’/k

0,4 38

0,5 33

0,6 27

0,7 19,3

0,75 15,5

0,8 12

0,85 9,3

0,9 4,3

1 1

La conductividad de los líquidos varía con la temperatura; en las proximidades del punto crítico disminuye más rápidamente, ya que la conductividad del vapor es siempre más baja. Si se conocen la conductividad del vapor saturado k y la temperatura crítica del líquido T k en °K, la conductividad del líquido a la temperatura de saturación se puede deducir de la siguiente relación: T k' = f( ) Tk k que precisa de la Tabla I.3.

I.-10

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE GASES Y VAPORES.- En la Fig I.6 y a título de ejemplo, se muestran algunas conductividades térmicas de gases y vapores, observándose su variación con la temperatura. La conductividad térmica de los gases crece con la presión, pero este aumento a presiones normales es tan pequeño que se puede despreciar; sin embargo, en las proximidades del punto crítico, y para presiones o muy bajas, o muy altas, la variación de la conductividad térmica en función de la presión, no se puede despreciar. La conductividad térmica de los gases se incrementa con la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Los gases presentan conductividades térmicas muy bajas, tanto más, cuanto más elevado es su peso molecular. Por analogía con el proceso de la transmisión del calor, y sobre la base de la teoría molecular, se propone la siguiente relación (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinámica de un gas, de la forma: k = ε cv η = ε c v η0

1+ C T0 1+ C T

T T0

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura, y ε un coeficiente numérico que depende del número n de átomos contenidos en la molécula, de la forma (B. Koch): ε = 1+

4,5  ε = 2,50 , para gases monoatómicos ; ε = 1,90 , para gases biatómicos , con,  1+ 2n  ε = 1,64 , para gases triatómicos ; ε = 1,50 , para gases tetratómicos Tabla I.4.- Valores de C y η o de la fórmula de Sutherland

Fluido Aire Oxígeno Hidrógeno Nitrógeno Anhídrido carbónico Monóxido de carbono Vapor de agua

C 114 128 74 110 260 --673

η0 = (Kg seg/m2 ) 0,166 0,18 0,083 0,16 0,137 0,16 0,087

En la Tabla I.4 se indican los valores de C y η0 para diversos gases industriales. I.4. - TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un sólido cuya superficie de contacto está a una temperatura distinta TpF, el proceso de intercambio de energía térmica se denomina transmisión de calor por convección. En este capítulo introductorio no vamos a desarrollar procedimientos analíticos, sino una visión general del fenómeno, planteando las ecuaciones básicas que se utilizan en los cálculos. I.-11

 a) Convección libre o natural Existen dos tipos de convección:   b) Convección forzada En la convección libre, la fuerza motriz procede de la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a unas fuerzas ascensionales; ejemplos típicos de tal convección libre son la transmisión de calor entre la pared o el tejado de una casa en un día sin viento, la convección en un tanque que contiene un líquido en el que se encuentra sumergida una bobina de calefacción, el calor transferido desde la superficie de un colector solar en un día en calma, etc. La convección forzada tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un fluido con una velocidad u F sobre una superficie que se encuentra a una temperatura TpF, mayor o menor que la del fluido TF. Como la velocidad del fluido en la convección forzada uF es mayor que en la convección libre, se transfiere, por lo tanto, una mayor cantidad de calor para una determinada temperatura.

Fig I.10.- Distribución de la temperatura y la velocidad en convección libre sobre una placa plana inclinada

Fig I.9.- Distribución de la temperatura y la velocidad sobre una placa plana en convección forzada I.-12

Independientemente de que la convección sea libre o forzada, la cantidad de calor transmitida Qc, se puede escribir (Ley de Newton): Q c = h cF A (TpF - TF ) en la que: hcF es la conductancia convectiva térmica unitaria o coeficiente de transmisión del calor por convección en la interfase líquido-sólido, en W/m2 °K A es el área superficial en contacto con el fluido, en m2 TpF es la temperatura de la superficie, en °K. TF es la temperatura del fluido no perturbado, en °K. La ecuación anterior sólo sirve como definición del coeficiente de convección hcF; su valor numérico se tiene que determinar analítica o experimentalmente. En la Tabla I.5 se relacionan algunos valores aproximados de los coeficientes de transmisión de calor por convección, incluyendo la vaporización (ebullición) y la condensación, consideradas usualmente como una parte del área de la convección. La relación entre el calor transmitido a un fluido por convección y el flujo del fluido, se puede obtener a partir de la Fig I.9, que muestra una placa plana caliente que se enfría mediante una corriente de aire que fluye sobre aquélla, (convección forzada), y las distribuciones de la velocidad y temperatura. Tabla I.5.- Valores aproximados de coeficientes de transmisión de calor por convección

Tipo de convección y fluido Convección libre, aire Convección libre, agua Convección forzada, aire Convección forzada agua Agua en ebullición Vapor de agua en condensación

hc (W/m2 ºK) 5-25 20-100 10-200 50-10.000 3.000-100.000 5.000-100.000

Se observa que la velocidad u = u(y) decrece en la dirección y hacia la superficie como resultado de la fuerza de rozamiento (viscosidad). Como la velocidad de la capa de fluido adyacente a la pared es u = 0, la transmisión de calor por unidad de área entre la superficie y esta capa de fluido se puede considerar debida exclusivamente a la conducción: Qc A

= - k F(

∂T ) = h C (TpF - TF ) ∂y y=0

Este punto de vista sugiere que el proceso pudiera ser eminentemente conductivo, pero como el gradiente de temperaturas en la superficie viene determinado por la velocidad conque el fluido situado más allá de la pared puede transportar la energía a la corriente principal, (el gradiente de I.-13

temperaturas sobre la pared depende del campo de velocidades del fluido), resulta que a mayor velocidad se produce un mayor gradiente de temperaturas y una transferencia de calor superior, por lo que el proceso es prácticamente convectivo, sin despreciar la conductividad térmica que tiene igualmente un papel importante. La situación es muy similar en la convección libre, como puede verse en la Fig I.10; la diferencia principal consiste en que en la convección forzada la velocidad lejos de la superficie se aproxima al valor de la corriente libre impuesta por una fuerza externa, mientras que en la convección natural la velocidad depende de las propiedades del fluido, que se indican a continuación, En los gases la densidad disminuye y la viscosidad aumenta, cuando la temperatura aumenta. En los líquidos la densidad disminuye y la viscosidad disminuye, cuando la temperatura aumenta. Si el fluido es un líquido, la velocidad crece al principio con la distancia a la placa, debido a que la viscosidad disminuye más rápidamente que la densidad, que lo hace más lentamente, fenómeno que se invierte desde la zona de velocidad máxima hasta el resto del fluido; la fuerza ascensional decrece a medida que la densidad del fluido se aproxima a la del fluido de los alrededores, por lo que la velocidad alcanza, en primer lugar, un máximo y, posteriormente, se aproxima a cero lejos de la superficie caliente.

Fig I.11.- Viscosidad del agua y de algunos líquidos derivados del petróleo

La distribución de temperaturas en la convección libre y forzada tiene una forma similar y, en ambos casos, el mecanismo de la transmisión del calor en la interfase (fluido/sólido) corresponde a la conducción. I.-14

El coeficiente de transmisión de calor por convección depende, en general, de la densidad, de la viscosidad y de la velocidad del fluido, así como de sus propiedades térmicas (conductividad térmica y calor especifico), es decir: h cF = f (ρ, η, u, k, c p ) En la convección forzada la velocidad viene impuesta al sistema por una bomba, ventilador, etc, y se puede medir directamente, uF = Q/Ω En la convección natural, la velocidad es de la forma: uF = f (∆T,β,g), es decir, depende de: - La diferencia de temperaturas ∆T entre la superficie y el fluido - Del coeficiente de dilatación térmica del fluido β que determina el cambio de densidad por unidad de diferencia de temperatura - Del campo de fuerzas exteriores que, en general, es la gravedad El número adimensional característico para la convección natural es el número de Grassof, de la forma: Gr =

gβ ∆T L3 ν2

uF L ν El número adimensional que define al fluido es el nº de Prandtl, clasificándoles, en primera aproEl número adimensional para la convección forzada es el número de Reynolds:

Re =

ximación, en cuatro grandes grupos: Gases: Pr ≅ 1 Líquidos (agua, aceites calientes, etc): Pr > 1 Aceites a bajas temperaturas: Pr > 1000 Metales líquidos: Pr T 2. Sustituyendo en qi resulta: qi= k

T1 - T2 M

Si el número de líneas de flujo térmico es N, la transferencia de calor a través de cada canal entre dos líneas térmicas equipotenciales adyacentes, será la misma para todas ellas, siendo el calor transferido total de la forma: N Q total = N q i = k M (T1 - T2 ) = k F (T1 - T2 ), con, ∆x = ∆y N se denomina Factor de forma de la conducción, y es la relación entre el númeM ro de líneas de flujo y el número de líneas isotermas. El factor F =

Se conocen algunas expresiones que proporcionan una expresión matemática del factor de forma F para diversas geometrías sencillas. Así, por ejemplo, para la conducción en una pared plana: A Q = k L ∆T = k F ∆T III.-59

A el factor de forma para este caso de conducción L Para un cilindro hueco de longitud L el factor de forma de la conducción térmica es:

siendo F =

F=

2πL r ln 0 ri Los factores de forma se pueden obtener para una gran variedad de geometrías, en los que:

Q = k F (T1 - T0 ) viniendo recogidos algunos resultados a continuación. 1) Cilindros circulares excéntricos, de radios r0 y r1, y longitud L

F=

2) Cilindro circular dentro de un cuadrado de lado a y longitud L

2πL r2 + r2 - e2 Arg Ch ( 0 1 ) 2 r0 r1

F=

2πL 0,54 a ln r

3) Caja paralelepipédica, con espesor de pared constante e Area de la superficie interna A 1 ; Area de la superficie externa A2

0,79 A1 A2 , para (a,b,L) < e e 5 A F = e1 + 2,16 (a + b + L) + 1,2 e , para (a,b,L) > e 5 F=

4) Caja paralelepipédica, con bases cuadradas

F=

2πL para a > 1,4 ; L >> a b 0,93 ln a - 0,0502 b

F=

2πL para a < 1,4 ; L >>a b 0,785 ln a b III.-60

6) Viga rectangular enterrada, de longitud L >> a, b, z

5) Placa rectangular delgada enterrada, de longitud L

F(z=0) =

πa ln 4 a L

;

F(z>>a) = 2 π a ln 4 a L

7) Disco horizontal delgado enterrado

F = 2,756 L [ln (1 + za )]-0,59 ( z )-0,078 b 8) Dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito

F = 4 r1 (z=0) F = 8 r1 (z>>2r1 )

F =

2πL a2 - r21 - r20 Arg Ch [ ] 2 r0 r1

9) Cilindro horizontal enterrado de radio r1 , y longitud L, o también esfera enterrada de radio r1 Cilindro: F =

2πL Arg Ch rz

1

para z < 3 r1 ; Cilindro: F = 2 π L ln 2z r

Esfera: Fz>>r1 = 4 π rr1 1- 1 2z

10) Semiesfera enterrada en un medio semiinfinito

para z > 3 r1

1

;

Esfera: Fz→∞ = 4 π r1

11) Cilindro horizontal de longitud L enterrado entre dos planos a T1 12) Cilindro vertical de longitud L en un sólido semiinfinito

F = 2 π r1 F= 2πL ln 4rz

III.-61

F = 2πL ln 2r L 1

13) Arista intersección de dos paredes planas de espesor e y anchura L, con temperatura interior T1 y temperatura exterior T2

F = 0,54 L ; a > e 5

;

14) Esquina intersección de tres paredes planas de espesor e, con temperatura interior T1 y temperatura exterior T2

F = 0,15 e ;

b> e 5

Dimensiones > e 5

15) Región en forma de disco en la superficie de un sólido semiinfinito

F= 4r III.3.- METODOS NUMERICOS Los métodos numéricos se pueden aplicar a problemas de conducción en régimen estacionario y a problemas en que aparezcan condiciones de contorno radiativas o que exista una generación de calor interna E. El método numérico de diferencias finitas divide al modelo sólido en una serie de nudos; haciendo en cada uno de ellos un balance de energía, se obtiene una ecuación para el cálculo de la temperatura de cada nudo; también se obtiene una ecuación separada para cada nudo situado en el contorno o periferia del sólido. El resultado final de la aplicación del método es la obtención de un sistema de n ecuaciones correspondientes a los n nudos del sistema, que sustituyen a las ecuaciones en derivadas parciales y a las condiciones de contorno a aplicar. Si el número n de nudos es pequeño, se pueden utilizar técnicas normales de resolución de ecuaciones; si el número de nudos aumenta, puede ser ventajoso el utilizar soluciones aproximadas por métodos iterativos, y si el número de nudos es muy grande hay que recurrir al ordenador. Para un problema de conducción bidimensional, la técnica de diferencias finitas se aplica como se especifica a continuación: a) Se divide el sólido en un cierto número de cuadrados de igual tamaño b) Se supondrá que las características de cada cuadrado se concentran en el centro del mismo, como la masa, temperatura, etc c) Cada uno de los cuadrados tiene una longitud ∆x en la dirección x, y ∆y en la dirección y d) El nudo al que se ha asignado el subíndice 0 se puede encontrar rodeado por cuatro nudos adyacentes, como se muestra en la Fig III.11, de forma que cada nudo esté conectado a los contiguos mediante una línea conductora a través de la cual se pueda conducir el calor de un cuadrado a otro. III.-62

El balance energético, en régimen estacionario, en el nudo 0, sin generación de energía térmica es: i=4

∑ Qi → 0 =

0

i=1

NUDOS INTERIORES.- Aplicando la ecuación de Fourier al nudo interior 0 correspondiente a un cuadrado de espesor d, se obtiene el siguiente balance energético: T - T ∂T = k (∆y d) 1 0 = k d (T1 - T0 ) ∂x ∆x = k d (T2 - T0 )

Q 1→0 = - k A Q 2→0

Q 3→0 = k d (T3 - T0 ) Q 4→0 = k d (T4 - T0 ) i=4

∑ Q i→0 =

0

;

T1 + T2 + T3 + T4 - 4 T0 = 0

i=1

Fig III.11.- Nudo interior conductivo

Fig III.12.- Nudo periférico

La exactitud que se consigue al sustituir el gradiente de temperaturas, dT/dx, por la diferencia finita de dos temperaturas, T1 - T0, depende del tamaño de cada cuadrado; a menores dimensiones de los cuadrados, mayor exactitud en el gradiente de temperatura. A todos los nudos que se encuentren situados sobre la periferia del sólido, hay que hacerles un balance de energía por separado. NUDOS EN CONTACTO CON UN FLUIDO.- Si el sólido está en contacto con un fluido a T F, Fig III.12, con un coeficiente de transmisión de calor por convección hC, se asigna a cada nudo de este tipo la mitad de la superficie que a cualquier otro nudo interior. El nudo 0 puede intercambiar calor por conducción con tres nudos contiguos, y transferir calor por convección al fluido. El balance de energía en el nudo 0 es: Q 1→0 + Q 2→0 + Q 3→0 + Q F→0 = 0 III.-63

Sustituyendo las aproximaciones de las diferencias finitas para la ley de Fourier correspondiente a los tres primeros términos, y para la ley de Newton en el último, se obtiene, para un espesor unidad: k ∆y

T1 - T0 ∆x T2 - T0 ∆x T3 - T0 + k + k + h C ∆y (TF - T0 ) = 0 2 2 ∆x ∆y ∆y

que para, ∆x = ∆y,se simplifica, quedando en la siguiente forma: T2 + T3 h C ∆x ∆x + T + TF - (2 + h C k ) T0 = 0 1 2 k T2 + T3 + T1 + (Bi) TF - {2 + (Bi)} T0 = 0 2 A título de ejemplo, para la pieza representada en la Fig III.13, en la que la superficie A está en contacto con un fluido a TF, la B está a una temperatura TB, la C es una superficie aislada y la D está a TD se puede indicar, para los diversos nudos que se han considerado, que las temperaturas T1, T2 y T 3 son conocidas e iguales a TB, así como las temperaturas T7, T8 y T 9 son también conocidas e iguales a TD. Sin embargo, T 4, T5 y T 6 son desconocidas y habrá que calcularlas mediante los siguientes balances de energía por unidad de espesor, en las paredes A, B, C, y D.

Fig III.13.- Placa metálica con sus superficies en diversas situaciones térmicas

Q A = Q F→1 + Q F→4 + QF→7 = h C ∆y {

TF - T1 T - T + (TF - T4 ) + F 7 } 2 2

Q B = Q 1→4 + Q 2→5 + Q 3→6 + Q 1→F = k ∆x (

T - T T - T T1 - T4 ∆y + 2 5 + 3 6 ) + hC (T1 - TF ) 2 ∆y ∆y 2 ∆y 2

QC = 0, por estar la superficie C aislada Q D = k ∆x (

T9 - T6 T -T T - T ∆y + 8 5 + 7 4 )+ hC (T7 - TF ) 2 ∆y ∆y 2 ∆y 2 III.-64

Como comprobación global de los resultados obtenidos para las diferentes transferencias térmicas, la transferencia neta de calor en el sólido tiene que ser nula. GENERACION DE ENERGIA..- Si en un nudo 0 concreto, Fig III.11, existe un foco térmico generador de energía E, el balance energético en el nudo citado, en un sistema bidimensional con 4 nudos vecinos es: Q 1→0 + Q 2→0 + Q 3→0 + Q 4→0 + E = 0 y sustituyendo cada término del flujo térmico por la forma en diferencias finitas de la ley de Fourier, se tendrá: k ∆y d

T1 - T0 ∆x

+ k ∆x d

T2 - T0 ∆y

+ k ∆y d

T3 - T0 ∆x

+ k ∆x d

T4 - T0 ∆y

+ E ∆x ∆y d = 0

y si la red es cuadrada ∆x = ∆y, por lo que: T1 + T2 + T3 + T4 - 4 T0 + E

∆x 2 k = 0

III.4.- METODO DE RELAJACION Si se desea incrementar la exactitud de la solución disminuyendo el espaciado de la red, aparecen más nudos con temperaturas desconocidas y, por lo tanto, con ecuaciones adicionales a resolver. El fundamento del método de relajación es el de estimar inicialmente las temperaturas de cada nudo de forma que se satisfagan, aproximadamente, las ecuaciones de balance de energía; así, en vez de intentar hacer que todas las ecuaciones de balance energético sean iguales a cero, como en el caso anterior, lo que se hace es igualarlas a un término llamado residuo. A continuación se varían sistemáticamente las temperaturas hasta que se reduce el residuo a un valor muy pequeño, indicándonos este valor la exactitud conque se han estimado las temperaturas iniciales de todos y de cada uno de los nudos. Si todos los residuos se redujesen a cero, las temperaturas obtenidas a partir de ellos serían las soluciones exactas de las ecuaciones del balance de energía. El método de relajación se puede descomponer para su aplicación en las siguientes etapas: a) Hay que fijar de antemano unos valores de todas las temperaturas incógnitas de los nudos que, por intuición, sean todo lo próximas a las verdaderas como se pueda presuponer. Los límites de estas temperaturas vienen especificados por las condiciones de contorno extremas. b) Se sustituyen las temperaturas iniciales supuestas en cada una de las ecuaciones de los residuos y se procede al cálculo de éstos. c) Para reducir los residuos hay que modificar la temperatura que corresponda al residuo cuyo valor absoluto sea el mayor de todos, hasta que este residuo se reduzca a cero. La convergencia hacia la solución correcta de temperaturas se favorece si la temperatura del nudo afectado se modifica en el sentido de que su residuo no se reduzca exactamente a cero, sino que pase a tener un valor menor y de signo opuesto que el que III.-65

poseía antes de hacer el cambio de temperaturas. d) Finalmente se repite la etapa c hasta que se consiga el grado de exactitud deseado. Siempre que un nodo esté situado en el contorno de un sólido, la ecuación del residuo dependerá del tipo de condición de contorno en la superficie. La ecuación del balance de energía en cada caso concreto, viene referida para el nudo señalado con el subíndice 0.

ECUACIONES PARA LOS RESIDUOS EN EL CASO DE NUDOS EN LOS LIMITES. SISTEMAS BIDIMENSIONALES. REDES CUADRADAS ∆x = ∆y 1) Superficie plana (Frontera isotérmica)

2) Superficie plana (Frontera aislada)

q ∆x + T1 - T0 = R0 k

T2 + T3 + T1 - 2 T0 = R0 2

3) Superficie plana en contacto con un fluido a TF

T2 + T3 + T - [2 + Bi] T + Bi T = R 1 0 F 0 2

4) Esquina exterior (Ambas superficies aisladas)

6)Esquina exterior (Ambas superficies en contacto con un fluido a TF)

T1 + T2 - T = R 0 0 2

T1 + T2 - [1 + Bi] T + Bi T = R 0 F 0 2

III.-66

6) Esquina interior (Ambas superficies aisladas)

T1 + T4 + T + T - 3 T = R 2 3 0 0 2

7) Esquina interior (Ambas superficies en contacto con un fluido a TF)

T1 + T4 + T + T - [3 + Bi] T + Bi T = R 2 3 0 F 0 2

8.- Nodo interior cercano a una superficie curva no isotérmica

T T2 Ta Tb 1 ( 1 + + + ) - T0 = R0 1 + 1 1+a 1+b a (1 + a) b (1 + b) a b III.5.- METODO MATRICIAL El método de relajación no se adapta fácilmente para su utilización mediante técnicas con ordenador, porque exige la selección de la ecuación del nudo que posea el residuo de valor absoluto más grande, y aunque ésto no significa un problema insoluble, existen otros métodos, como el matricial, que lo resuelven basándose en la representación de las ecuaciones del balance de energía para cada nudo en forma de una matriz. Si el sólido se subdivide en n nudos, el conjunto de las ecuaciones correspondientes, a cada nudo, se puede expresar en la forma: a 11 T1 + a 12 T2 + a 13 T3 + ... + a 1n Tn = b 1 a 21 T1 + a 22 T2 + a 23 T3 + ... + a 2n Tn = b 2 a 31 T1 + a 32 T2 + a 33 T3 + ... + a 3n Tn = b 3 ........................................ a n1 T1 + a n2 T2 + a n3 T3 + ... + a nn Tn = b n

      

en las que los coeficientes aij y bi son constantes conocidas, y las magnitudes Ti son las temperaturas incógnitas. III.-67

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la forma: AT=B en la que A es una matriz de n.n coeficientes mientras que T y B son matrices columna, compuestas cada una de ellas por n elementos. Muchos de los elementos de la matriz A son cero, concentrándose los no nulos en las proximidades de la diagonal. Los elementos de la matriz B son las constantes de los segundos miembros, es decir, los residuos. Los elementos de la matriz T son la solución del problema.

A =

a11 a21 a31

a12 a13 ... a1n a22 a23 ... a2n a32 a33 ... a3n ............. an1 an2 an3 ... ann

T =

T1 T2 T3 .. Tn

b1 b2 B = b3 .. bn

Para calcular las temperaturas desconocidas, premultiplicamos por A-1, quedando: A-1 A T = A-1 B ; T = A -1 B hay que determinar A-1 que satisfaga la ecuación: T = A-1 B. Si los elementos de la matriz inversa de A vienen dados por:

C = A-1 =

c11 c21 c31

c12 c13 ... c1n c22 c23 ... c2n c32 c33 ... c3n ............. cn1 cn2 cn3 ... cnn

Las temperaturas incógnitas de los nudos vienen dadas por: c 11 b 1 + c 12 b 2 + c 13 b3 + ... + c 1n b n = T1 c 21 b 1 + c 22 b 2 + c 23 b 3 + ... + c 2n b n = T2 c 31 b 1 + c 32 b 2 + c 33 b 3 + ... + c 3n b n = T3 ........................................ c n1 b1 + c n2 b 2 + c n3 b3 + ... + c nn b n = Tn

      

y como se conocen los valores de todos los coeficientes bi , el problema del cálculo de las temperaturas se reduce a la determinación de la matriz inversa de A. III.6.- METODO DE ITERACION El método de iteración está basado en la resolución explícita de cada ecuación de los nudos, para hallar la temperatura de los mismos. A partir de la ecuación del balance de energía de un nudo interior en un cuerpo bidimensional, se tiene la siguiente ecuación, para el nudo central 0: T1 + T2 + T3 + T4 - 4 T0 = 0

⇒

T0 =

T1 + T2 + T3 + T4 4 III.-68

Para cuando el nudo esté en el contorno, por ejemplo en contacto con un fluido, se tiene: T2 + T3 + T1 + Bi TF 2 T0 = 2 + Bi y así se puede escribir, para cada nudo, una ecuación para su temperatura en función de la temperatura de los nudos vecinos. Las ecuaciones de partida para cada nudo son las desarrolladas para el caso del método matricial. Una vez despejada la temperatura correspondiente al nudo a estudiar, se suponen inicialmente una serie de valores para todas las temperaturas de todos los nudos; seguidamente se calculan nuevos valores para las temperaturas utilizando las ecuaciones de partida de los nudos, de forma que las temperaturas a calcular en cada paso, se basen siempre en los resultados de los nudos más inmediatos. El método se repetirá tantas veces como sea necesario, hasta que la diferencia entre los últimos valores de las temperaturas y los anteriores, estén comprendidos dentro del grado de precisión que se haya fijado de antemano.

III.-69

IV.- CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN EN SÓLIDOS INFINITOS

IV.1.- INTRODUCCIÓN En la mayor parte de los problemas de tipo térmico que se plantean a nivel técnico intervienen variaciones de la temperatura con respecto al tiempo; a continuación consideraremos las técnicas que permitan obtener, en los sistemas en los que aparezcan condiciones no estacionarias, tanto las distribuciones de temperatura, como las transferencias de calor. Un proceso de transferencia térmica es transitorio siempre que la temperatura correspondiente al interior del sistema varíe a lo largo del tiempo; existen muchos ejemplos prácticos en los que intervienen fenómenos de transferencia de calor transitorios, como, los procesos de fabricación en los que el producto que se está manufacturando se tiene que calentar o enfriar para transformarlo en un producto adecuado para ser utilizable, o los hornos industriales que se encienden y apagan de modo cíclico y periódico, en los que se realizan procesos que originan variaciones de temperaturas, tanto en su interior como en sus paredes; los aceros y algunas aleaciones, suelen calentarse y enfriarse para modificar sus propiedades físicas de interés industrial, mediante tratamientos térmicos; los motores térmicos funcionan en régimen transitorio tanto durante el arranque, como en otros momentos, relativamente cortos, etc. Si las variaciones de la temperatura en el sólido a estudiar se consiguen poniéndole en contacto con un medio exterior (líquido o gas), se origina un fenómeno de convección; según sea el valor del coeficiente de convección del fluido y la conductividad térmica del sólido, se pueden dar los tres casos siguientes: a) Condición de contorno de convección.- Este caso general se obtiene cuando las resistencias a la conducción en el sólido y a la convección tienen magnitudes comparables, dando un nº de Bi del orden de la unidad; en esta situación el sólido va modificando paulatinamente su temperatura, IV.-71

al mismo tiempo que su superficie va tomando con más o menos rapidez la temperatura del fluido. b) Condición de resistencia térmica interna despreciable.- Este caso particular se obtiene cuando la temperatura del sistema sujeto a una respuesta térmica transitoria es casi uniforme, por lo que se pueden ignorar las pequeñas diferencias de temperatura dentro del mismo; las variaciones en la energía interna del sistema se pueden expresar en función de las variaciones de la temperatura uniforme, aproximación que se conoce también como modelo de la capacidad térmica global. La suposición de que la temperatura es uniforme se justifica, puesto que la resistencia térmica a la conducción dentro del sólido es pequeña comparada con la resistencia exterior convectiva. Se cumple para un valor de Bi < 0,1 lo que garantiza el que la temperatura en el interior del sólido, (placa, cilindro, esfera), no diferirá de la de la superficie en más de un 5%, lo que equivale a suponer que el fluido debe tener un bajo coeficiente de convección (aire, gases), por lo que el sólido tiende a la temperatura del fluido en un tiempo relativamente grande, permaneciendo uniforme en cada instante la temperatura del sólido, incluida su superficie. c) Condición de contorno isotérmica.- Esta condición de contorno particular, también conocida como de resistencia superficial despreciable, se consigue cuando el sólido (placa, cilindro, esfera), se sumerge rápidamente en un líquido para el cual el coeficiente de transferencia de calor por convección es muy elevado, es decir, en condiciones en que la resistencia a la transferencia de calor por convección es despreciable; se cumple que la relación hC/k es muy grande, (Bi >> 1), lo que indica que el fluido a T F tiene la facultad de eliminar o aplicar calor a la superficie del sólido en forma instantánea, por lo que ésta se pondrá a TF y permanecerá a esta temperatura en todo el proceso. Si el sólido es un buen conductor térmico, el fluido tiene que ser un líquido con un elevado coeficiente de convección, (fluido muy enérgico, como un metal líquido o sales fundidas). Los tiempos de permanencia son relativamente cortos para que en una estrecha zona periférica sea siempre Fo < 1. También se consigue una condición de contorno isotérmica, cuando el sólido a estudiar se pone en contacto con otro sólido a distinta temperatura, y se produce un cambio instantáneo de su temperatura superficial de forma que adquiere la del segundo sólido. En el presente estudio vamos a obtener las soluciones analíticas de la expresión general de la ecuación de la conducción en régimen transitorio, en sistemas en los que se produzcan variaciones de sus temperaturas, tanto espaciales como temporales, para algunas geometrías simples, que suelen encontrarse en determinadas aplicaciones prácticas, como: a) Una placa infinita de espesor L, para la cual T = T(x,t) b) Un cilindro macizo infinitamente largo de radio R, para el que T = T(r,t) c) Una esfera maciza de radio R, para la cual T = T(r,t) Las condiciones de contorno para estas geometrías, comunes a las tres, son: a) La primera condición de contorno especifica que el plano medio de la placa equivale a un aislamiento o plano adiabático, al igual que el eje del cilindro o el centro de la esfera. b) La segunda condición de contorno dice que el calor se transfiere desde la superficie exterior del sólido a un fluido a la temperatura TF, con un coeficiente de transferencia de calor hC. IV.-72

Esta condición de contorno se expresa en la forma: h C (TpF - TF ) = - k (

∂T )x ∂x sup

La condición inicial en los tres casos es la misma; se puede partir de un sólido isotermo, temperatura T0 para t = 0, o no, temperatura f(x) ó f(r) para t = 0, y a partir de este instante se introduce el sólido en el fluido que se encuentra a una temperatura T F, iniciándose el proceso transitorio de transferencia de calor. Las soluciones correspondientes a la distribución de temperaturas y a la transferencia térmica, suelen presentarse en forma analítica o en forma gráfica, viniendo expresadas las variables en forma adimensional. Los problemas de conducción en régimen transitorio en los que intervienen condiciones de contorno de convección, vienen regidos por los números de Biot y Fourier; las temperaturas locales son función de la posición adimensional dentro del sólido, del número de Biot y del número de Fourier. En un problema de convección, cada una de las gráficas que se obtienen, se compone de dos familias de curvas; la primera representa la temperatura adimensional del centro, eje, o plano central, en la forma: ΦC TC - TF Φ Centro = = Φ0 T0 - TF Φ0 Para determinar una temperatura local que se corresponda con una posición distinta de la de simetría mencionada, hay que utilizar la segunda familia de curvas propuestas, que representa la temperatura adimensional local en función de la temperatura de la línea, plano central, o centro, según el caso que, para placa infinita, cilindro, o esfera, es de la forma: T - TF Φ = ΦC TC - TF Para determinar el valor correspondiente a una temperatura local se puede utilizar el producto de las dos ecuaciones anteriores, obteniéndose: T - TF Φ = Φ0 T0 - TF Una vez conocida la distribución de temperaturas Φ, se calcula el calor transferido desde la superficie, utilizando la ecuación de Fourier evaluada en la intercara {sólido-fluido}. Cada valor Q(t) de transferencia térmica, es la cantidad total de calor que se transfiere desde la superficie hacia el fluido, en el intervalo, 0 ÷ t. El valor de Q0 es la energía inicial almacenada que existe en el sólido, en t = 0, siendo TF la temperatura de referencia. La energía almacenada en el sólido en el intervalo de tiempo, 0 ÷ t, es la diferencia, Q0 - Q(t) IV.-73

IV.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN Una situación general que tiene una gran importancia práctica es el enfriamiento o el calentamiento de una placa rodeada por un fluido convector a T F; la placa se introduce instantáneamente en el fluido en condiciones en las que la resistencia a la transferencia de calor es muy pequeña, es decir, Bi es grande; la superficie del sólido va tomando paulatinamente la temperatura del medio exterior, a medida que el efecto térmico se transmite al interior.. Si se considera una placa infinita de espesor, e = 2 L, Fig IV.1, para la que en el tiempo, t = 0, existe una distribución de temperaturas conocida, y en la que no existen efectos de borde, se aplica la ecuación diferencial: α

∂2 T ∂T = , con, T = T(x,t) 2 ∂x ∂t

Haciendo el cambio de variable, Φ = T - TF, con TF ≠ 0, la ecuación diferencial queda en la forma: α

∂ 2Φ ∂Φ = 2 ∂x ∂t

y las condiciones de contorno como: 1) Para, t = 0, -L ≤ x ≤ L ; Φ = f(x) ó T 0  en, x = 0 ; ∂Φ 〉 =0  ∂x x=0 2) Para, t > 0, se cumple que,   en, x = ± L ; - k ( ∂Φ )x= ∂x 

±L

= hC Φ ; (

h ∂Φ )x= ±L = - C Φ = a1 Φ k ∂x

3) Si el fluido a ambos lados de la placa es el mismo, resulta que hC también será el mismo entre ambas semiplacas, por lo que existirá una condición de simetría de temperaturas, de forma que Φ-x = Φ+x. La segunda de estas condiciones se puede interpretar geométricamente, ya que hC = Cte = - a 1 k y la igualdad se cumple para cualquier valor de φ, luego el punto P, en la Fig IV.1, es un punto fijo que una vez determinado, permite calcular el gradiente de temperatura en cualquier punto de la superficie de la placa. Esta construcción se aplicará posteriormente al cálculo gráfico de temperaturas para un sólido con convección en su superficie. La solución general es de la forma: Φ = e-λ

2α t

{B1 sen(λ x) + B 2 cos(λ x)} IV.-74

Fig IV.1.- Interpretación geométrica de la condición de contorno de convección

Teniendo en cuenta la condición de contorno en, x = 0: (

∂Φ 2 ) x=0 = 0 = e - λ α t λ {B 1 cos (λ x) - B 2 sen (λ x)}x=0 ∂x

;

B1 = 0

la solución se reduce a: Φ = B e- λ

2 αt

cos(λ x)

Aplicando la condición de contorno en, x = ± L (

hC ∂Φ )x= ±L = Φ ∂x k

⇒

2α t

B e -λ

λ {- sen (λ x)}x=L = -

hC 2 {B e -λ α t cos (λ x)} x=L k

simplificando: sen (λ L) =

hC cos (λ L) kλ

;

cotg (λ L) =

λL Bi

cuya representación gráfica se indica en la Fig IV.2.

Fig IV.2.- Soluciones gráficas de la condición de contorno de convección en placa infinita

Dicha ecuación se satisface para un número infinito de valores del parámetro λL, por lo que IV.-75

para un valor de L dado, sus soluciones se encuentran para diversos valores de λ, como intersección de las curvas: y = cotg (λ L) ; y =

λL Bi

Existen n valores de, λ n L, que satisfacen la ecuación, Fig IV.2, por lo que la distribución de temperaturas es una serie de la forma: Φ =

∞

∑

B n e -λ nα t cos(λ n x) 2

n=1

en la que λn es la raíz enésima de la ecuación: (λ n L) tg(λ n L) - Bi = 0

;

λn L = cotg (λ n L) Bi

La condición inicial, Φ = f(x), para, t = 0, es: ∞

∑ B n cos(λ n L)

f(x) =

n=1

a partir de la cual se calcula Bn, teniendo en cuenta la Teoría de funciones ortogonales:

∫

L

0

f(x) cos(λ n x) dx = = B1

Bn =

∫

∫

L

0

cos(λ1 x) cos(λ n x) dx + ... + B n

L

f(x) cos(λ n x) dx =

0

∫

L

cos2(λ

n x) dx

0

∫

∫

L

0

cos2(λ n x) dx = B n

∫

L

0

cos 2(λ n x) dx

L

f(x) cos(λ n x) dx

0

sen(λ n L) cos(λ n L) L + 2 2 λn

La expresión de la distribución de temperaturas en la placa infinita, función de la posición y del tiempo, es: Φ = 2

∞

∑

λ n e -λ n α t 2

n=1

cos (λ n x) λ n L + sen (λ n L) cos (λ n L)

∫

L

f(x) cos (λ n x) dx

0

Para el caso particular en que la primera condición de contorno fuese de la forma: Φ = f(x) = Φ0 = Cte la ecuación anterior se transforma en: IV.-76

T-T Φ = T - TF = 2 Φ0 0 F

∞

∑

sen(λ n L) cos(λ n x)

e -λ n α t 2

λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L)

n=1

que viene representada en forma gráfica (Heisler) en la Fig IV.3. La temperatura, ΦC = TC - TF, en el eje de la placa x = 0, de espesor 2 L, es: ΦC T − T = TC − T F = 2 Φ0 0 F

∞

∑

e -λ n α t

sen(λ n L)

2

n=1

λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L)

que viene representada en las Fig IV.4a.b. El calor disipado por la placa desde, t = 0, hasta t = t, es:

Q= 2A

∫

t

∫

q dt = -2 A k

0

t

0

(

∂Φ )x=L dt = -4 k A T0 ∂x

=

∫

∑

0 n=1

∞

4 k A (T0 - TF ) α

t ∞

e -λ n α t sen 2(λ n L) λ n dt = λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L) 2

2 sen 2(λ n L) 1 - e-λ n α t λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L) λn

∑

n=1

La expresión del flujo de calor adimensional Q/Q 0, se conoce como fracción de energía perdida, y es la pérdida real de energía en el tiempo t dividida entre la pérdida total necesaria para alcanzar la temperatura del medio ambiente. Pérdida total de calor necesaria para alcanzar la temperatura del medio ambiente: k Q 0 = 2 L A ρ c p (T0 - TF ) = 2 L A α Φ 0 Q = 2 Q0

∞

∑

n=1

sen 2(λ n L) 1 - e -λ n α t λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L) λn L 2

Considerando que el calor almacenado en la pared en el intervalo, 0 ≤ t ≤ t, viene dado por: ˆfinal ) Q = 2 L A ρ c p(T0 - T ˆ en la que, Φ Final L =

∫

L

Φ dx ⇒

0

ˆ ˆ Φ T - TF 2 Final = Final = Φ0 T0 - TF L

L ∞

∫0 ∑

n=1

1 ˆ Φ Final = L e-λnα t 2

L

∫ Φ dx, por lo que: 0

sen(λ n L) cos(λ n x) dx = λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L)

2 = L

∞

∑

n=1

IV.-77

e-λnα t 2

sen 2(λ n L) λ n {λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L)}

Fig IV.3.- Temperatura local adimensional en el caso de una placa infinita de espesor 2 L, en función de la temperatura del plano medio

Fig IV.4.a.b.- Temperatura adimensional del plano medio de una placa infinita de espesor 2 L

IV.-78

Fig IV.6.- Transferencia térmica adimensional desde la superficie de una placa infinita de espesor 2 L

2A

∫

t

q dt ˆ ˆ ˆ 2 L A ρ c p (T0 - T T -T T - TF Q Final ) 0 Final ± TF = = = 0 = 1 - Final = T0 - TT T0 - TT Q0 2 L A ρ c p (TF - T0 ) 2 L A ρ c p(T0 - TF ) 2 = 1 - L

∞

∑

n=1

e - λ nα t 2

sen 2(λ n L) λ n {λ n L + sen(λ n L) cos(λ n L)}

Haciendo uso de las gráficas de Heisler se determinan la temperatura en el centro de la placa TC, y la temperatura T(x,t) de cualquier punto, en el mismo instante y con el mismo número de Biot. Mediante la gráfica de Gröber, Fig IV.5, se puede hallar el flujo calorífico adimensional. Estas gráficas se pueden utilizar siempre que se mantenga la hipótesis de conducción monodimensional, y se desprecien los efectos de borde en la placa infinita. IV.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN CILINDRO INFINITO CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN Este problema se resuelve análogamente al caso anterior; la ecuación de partida es: ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ + = , con, Φ = T - TF 2 r ∂r α ∂t ∂r Si llamamos R al radio exterior del cilindro que se calienta, (o enfría), y que inicialmente t = 0 en, 0 ≤ r ≤ R, tiene una distribución de temperaturas conocida, de la forma, Φ = f(r) ó T0 - TF, la ecuación diferencial a resolver es idéntica a la del caso de condición de contorno isotérmica; así se tiene que: Φ = B e-λ

2a t

J 0 (λ r)

 1) Para, t = 0 ; 0 ≤ r ≤ R ; Φ = f(r) ó Φ = T0 con las condiciones,  - hC ∂Φ 〉 T 2) Para, t ≥ 0 ; r=R = k  ∂r IV.-79

Teniendo en cuenta la segunda condición de contorno y que:

B e- λ

2α t

{- λ J 1 ( λr )} r=R = -

hC

{ B e -λ

k

2α

t

J 0 ( λr )} r=R

⇒ λR =

∂ J 0(λ r) = - λ J 1(λ r), resulta: ∂r J 0 (λR ) J 1 (λR )

Bi ;

J 0 ( λR ) J 1 ( λR )

=

λR =y Bi

que se satisface para infinitos valores de λ como se observa en la solución gráfica que se muestra en la Fig IV.6, como intersección de las curvas: y =

J0 (λ n R ) λn R ; y= Bi J1 (λ n R )

por lo que las λ n son raíces de la ecuación,

J0 (λ n R) λn R = Bi J1 (λ n R)

Fig IV.6.- Solución gráfica de la segunda condición de contorno de un cilindro infinito

siendo la solución correspondiente a la distribución de temperaturas: Φ =

∞

∑

B n e -λ n α t J 0(λ n r) 2

n=1

La primera condición de contorno, Φ = f(r) , t = 0, implica que: ∞

f(r) =

∑

B n J 0(λ n r) = B 1 J 0(λ 1 r) + B 2 J 0(λ 2r) + ... + B n J 0(λ n r)

n=1

obteniéndose a partir de ella el valor de Bn teniendo en cuenta la Teoría de funciones ortogonales, en la forma:

∫

R

0

r f(r) J 0(λ n r) dr = B 1

∫

R

0

R

r J 0(λ 1 r) J 0(λ n r) dr + B 2 IV.-80

∫ r J (λ 0

0

2 r) J 0(λ n r) dr

+ ...

R

... + B n

∫ r J (λ 0

2 0

n r) dr

+ ...

R

∫ r J (λ r) J (λ r) dr= 0, con, i ≠ j

Por definición de ortogonalidad:

0

i

0

j

0

por lo que todas las integrales del segundo miembro, a excepción de la última, son cero, es decir:

∫

R

0

r f(r) J 0(λ n r) dr = B n

Bn =

∫

∫

R

0

r J 20(λ n r) dr = Bn

∫

R

0

r f(r) J 0(λ n r) dr

∫r

J02(λ n r)

0

R

0 2

=

R

R2 {J 20(λ n R) + J 21(λ n R)} 2

r f(r) J 0 (λ n r) dr

R {J 2(λ R) + J 2(λ R)} 0 n 1 n 2

dr

y la distribución de temperaturas queda como sigue:

∫ r f(r) J (λ r) dr R

2 Φ = R2

∞

∑

e

-λ2n α t

J 0(λ n r)

n=1

0

0

J 20(λ n R)

n

J 12(λ n R)

+

Teniendo en cuenta que:

∫ r J (λ R

0

0

n r) dr

=

R J 1(λ n r) λn

la distribución de temperaturas para una barra cilíndrica calentada inicialmente a una temperatura uniforme, Φ 0 = T0 - TF, es: Φ 2 = R Φ0

∞

2 2 h cF e - λ n α t J 1(λ n R) J 0(λ n r) = 2 2 Rk λn J 0 (λ n R) + J 1(λ n R)

∑

n=1

∞

∑

n=1

e -λ n α t J 0(λ n r) h {λ2n + ( cF )2 } J 0(λ n R) k 2

Para, r = 0, eje del cilindro, la temperatura es ΦC = TC - T0, y J0(0)= 1, por lo que: ΦC 2 = R Φ0

∞

∑

n=1

2 J1(λ n R) 2 h cF e- λn α t = 2 2 Rk λn J 0(λ n R) + J 1(λ n R)

∞

∑

n=1

La disipación de calor adimensional es:

Q Q0 =

- k 2 πR

∫ ( ∂r ) t

0

∂Φ

Φ π R 2k 0 α

r=R

dt

2α = - RT 0

t

∂T

∫ ( ∂r ) 0

r=R

IV.-81

dt =

e -λ n α t h λ2n + ( cF )2 k 2

Fig IV.7.- Temperatura local adimensional para un cilindro infinito de radio R en función de la temperatura del eje

Fig IV.8.a.b.- Temperatura adimensional en el eje de un cilindro infinito de radio R

IV.-82

Fig IV.9.- Transferencia térmica adimensional desde un cilindro infinito de radio R

= -

= -

2α R T0 4α R2

∫

t2

0

∫

∞

Φ0 R

t ∞

∑

∑

2

n=1

e - λ nα t

∞

∑

n=1

J 1(λ n R) {- λ n J1(λ n R)} λ n {J 20(λ n R) + J 21(λ n R)}

J 21(λ n R)

2

0 n=1

4α = 2 R

e -λ nα t

J02(λ n R) + J 21(λ n R)

dt =

dt =

J 21(λ n R) 1 - e- λn α t 4 = 2 2 2 2 J 0(λ n R) + J 1 (λ n R) R λ nα 2

∞

1 - e -λ n α t

n=1

2 λn

∑

2

1 2 J 0(λ n R) J 21(λ n R)

+1

El cálculo de las temperaturas y el flujo térmico, se puede hacer con ayuda de los ábacos de Gröber y Heisler, Fig IV.7, 8 y 9. IV.4.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA ESFERA CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN Para estudiar la distribución de temperaturas en una esfera que se calienta o enfría en un fluido, se parte de la ecuación diferencial: ∂ 2Φ 2 ∂Φ 1 ∂Φ + r = α ∂r 2 ∂r ∂t cuya solución general es: 2α t

Φ = B e -λ

sen (λ r) λr

 1) Para, t = 0 ; Φ = f(r) , ó T0 - TF con las siguientes condiciones de contorno,  hC 2) Para, t > 0 ; ∂Φ 〉 r=R = - k T〉 r=R  ∂r Aplicando la segunda condición se obtiene la relación que define las λ en la forma:

IV.-83

h λ cos (λr) (λr) - λ sen (λr) 2 sen (λr) 〉 r=R = - kC B e - λ n αt 〉 r=R 2 (λr) (λr)

B e - λ n αt 2

(λR) cos ( λR ) - sen (λR) = 1 − Bi λR

cotg (λR ) =

RhC k sen (λR) = - Bi sen (λR)

; y = cotg (λR ) ; y =

1 − Bi λR

La ecuación, y = cotg(λR), es una función trigonométrica La ecuación, y =

1 - Bi , es una hipérbola equilátera; su intersección con la anterior permite λR

obtener los infinitos valores de, λR. La solución general de la distribución de temperaturas es de la forma: Φ =

∞

∑ B n e- λn α t 2

n=1

sen (λ n r) , con, cotg (λ n R) = λ nr

1 - Bi λnR

Para hallar el valor de Bn aplicamos la primera condición de contorno, t = 0, Φ= f(r) ∞

∑ Bn

f(r) =

n=1

sen (λ n r) sen (λ1 r) sen (λ 2r) sen (λ n r) = B1 + B2 + ... + B n λ nr λ 1r λ 2r λn r

por lo que haciendo uso de la teoría de funciones ortogonales:

∫

R

0

sen (λ i r) sen (λ jr) dr = 0 , con , i ≠ j

se obtiene:

∫

R

0

f(r)(λ n r) sen (λ n r) dr = B 1

+ B2

∫

R

0

∫

R

0

λ nr sen (λ 1 r) sen (λ n r) dr + λ 1r

λ nr sen (λ 2r) sen (λ n r) dr + ... + B n λ 2r

∫

R

0

sen 2(λ n r) dr = B n

∫

R

0

sen 2(λ n r) dr

y despejando B n resulta:

Bn =

∫

R

0

f(r)(λ n r) sen (λ n r) dr

∫

R

0

= 2

sen (λ n r) dr

∫

R

0

f(r) (λ n r) sen (λ n r) dr

sen (λ n R) cos (λ n R) R 2 2 λn

Los valores de Bn son distintos para cada superficie equipotencial, o lo que es lo mismo, para IV.-84

cada valor de r. La ecuación general que proporciona la distribución de temperaturas a lo largo del tiempo, y de las superficies isotermas de radio r, es de la forma,

∞

∑e

Φ =

∫

sen (λ n r)

- λ2nα t

f(r)(λ n r) sen (λ n r) dr

0

λ nr

n=1

R

sen (λ n R) cos (λ n R) R 2 2 λn

Para, f(r) = Φ0, resulta: Φ = 2 Φ0

∞

∑e

∫

sen (λ n r) λnr

n=1 ∞

= 2

-λ 2 nα t

R

0

(λ n r) sen (λ n r) dr

sen (λ n R) cos (λ n R) R λn

=

sen (λ n r) sen (λ n r) - (λ n r) cos (λ n r) R [ ] = sen (λ n R) cos (λ n R) 0 λn r } λ n {R λn

∑ e -λ α t 2 n

n=1

∞

= 2

∑ e -λ α t 2 n

n=1

sen (λ n r) sen (λ n R) - (λ n R) cos (λ n R) λn r λ n R - sen (λ n R) cos (λ n R)}

Si se supone que la temperatura en el centro de la esfera, r = 0 es, ΦC = TC - TF, se obtiene: ΦC = 2 Φ0

∞

∑

sen (λ n R) - (λ n R) cos (λ n R) = ... λ n R - sen (λ n R) cos (λ n R)}

e- λnα t 2

n=1

... =

2 hC k

∞

∑

e -λ nα t 2

n=1

{(λ n R)2 + (Bi - 1)2 } sen (λ n r) sen (λ n R) r λ2n {(λ n R)2 + Bi (Bi - 1)}

La disipación de calor adimensional viene determinada por la expresión:

Q = Q0 = -

- k 4 π R2

∫ ( ∂r ) ∂Φ

t

r=R

0

4π 3

R3

6k R ρ cp

∫

t ∞

∑

2

e -λ nα t

0 n=1

∫

=6

n=1

∑

n=1

1 - e- λn α t (λ n R)3 2

∑

0 n=1

∑

3k R ρ c p T0

∫

t

0

(

∂Φ ) dt = ∂r r=R

sen (λ n R) - (λ n R) cos (λ n R) (λ n R) cos (λ n R) - sen (λ n R) dt = λ n R - sen (λ n R) cos (λ n R) λn R 2

t ∞

∞

∞

= -

ρ c p T0

6α =R

= 6

dt

2 e - λ n α t {(λ n R) cos (λ n R) - sen (λ n R)} dt = λ n R - sen (λ n R) cos (λ n R) λ nR 2 2

- λ2 α t

1-e n (λ n R)3

{(λ n R) cos (λ n R) - sen (λ n R)}2 = λ n R - sen (λ n R) cos (λ n R)

{(λ n R) - tg (λ n R)}2 = 6 λnR - tg (λ n R) cos2(λ n R) IV.-85

∞

∑

n=1

1 - e-λ n α t (λ n R)3 2

(λ n R) - tg (λ n R) (λ n R) tg 2(λ n R) 1+ (λ n R) - tg (λ n R)

Fig IV.10.- Temperatura local adimensional en el caso de una esfera de radio R, en función de la temperatura del centro

Fig IV.11a.b.- Temperatura adimensional en el centro de una esfera de radio R

IV.-86

Fig IV.12.- Transferencia térmica adimensional desde una esfera de radio R

Mediante las gráficas de Heisler y Gröber, representadas en las Fig IV.10.11.12. se resuelven los problemas de transitorios en esferas en forma rápida. Como se observa, los resultados analíticos de la conducción no estacionaria tienden a ser complicados y su uso es engorroso, por lo que siempre que sea posible se recurrirá a encontrar soluciones aproximadas de precisión adecuada, en forma gráfica. IV.5.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN a) Tubo infinito con convección en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; R e ≤ r ≤ R i hC  ∂Φ  r = R i ; ∂r 〉 r = R i = a1 Φ = k Φ t> 0 ;   r = R ; ∂Φ 〉 =0 e  ∂r r = Re

Φ(r,t)= M=

∫

π 2

Re

Ri

∞

∑ {λ

n=1

λ 2n {λ n J '0 (λ n R i ) + a 1 J 0 (λ n R i )}2 N 0 (λ n r) n

J '0 (λ n R i ) + a 1 J 0 (λ n R i )}2 - (λ2n + a 12 ) J 02 (λ n R e )

r Φ 0 {J 0 (λ n r) Y'0 (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 ( λ n r)} dr =

∫

Re

Ri

M e- λn

2 αt

r Φ 0 N 0 (λ n r) dr

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r ) Y0' (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 (λ n r) con λ n raices de,

{λ n Y0 (λ n R i ) + a 1Y0 (λ n R i )} J '0 (λ n R e ) =1 {λ n J 0 (λ n R i ) + a 1 J 0 (λ n R i )} Y0' (λ n R e )

b) Tubo infinito con convección en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.

IV.-87

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; R e ≤ r ≤ R i hC  ∂Φ  r = R e ; ∂r 〉 r = Re = a 1 Φ = k Φ t> 0 ;   r = R i ; ∂Φ 〉 r = R = 0 i  ∂r Φ(r,t)=

M=

∫

π2 2

Re

Ri

∞

∑ {λ

n=1

λ 2n {λ n J '0 (λ n R e ) + a1 J 0 ( λ n R e )}2 N 0 (λ n r) ' n J0

(λ n R e ) + a 1 J 0 (λ n R e

)}2

-

( λ2n +

a 12

)

r Φ 0 {J 0 (λ n r) Y'0 (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 ( λ n r)} dr =

∫

Re

Ri

M e- λn

2 αt

J 20 (λ n R e

)

r Φ 0 N 0 (λ n r) dr

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r ) Y0' (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 (λ n r) con λ n raices de,

{λ n Y0 (λ n R i ) + a 1Y0 (λ n R i )} J '0 (λ n R e ) =1 {λ n J 0 (λ n R i ) + a 1 J 0 (λ n R i )} Y0' (λ n R e )

c) Tubo infinito con convección en las superficies lateral exterior e interior. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; R e ≤ r ≤ R i h Ce  ∂Φ  r = R e ; ∂r 〉 r = Re = a 1 Φ = k Φ t> 0 ;  h Ci ∂Φ   r = R i ; ∂r 〉 r = Ri = b 1 Φ = k Φ π2 Φ (r,t)= 2

M=

∫

Re

Ri

∞

λ 2n {λ n J'0 ( λ n R e ) + b1 J 0 (λ n R e )} 2 N 0 (λ n r) M e - λ n α t

n=1

(λ2n + b 12 ) {λ n J '0 (λ n R i ) + b 1 J 0 (λ n R i )}2 - (λ 2n + a12 ) {λ n J 0' (λ n R e ) + a 1 J 0 (λ n R e )} 2

∑

2

r Φ 0 [J 0 (λ n r) {λ n Y0' (λ n R i ) - b 1 Y0 (λ n R i )} - Y0 (λ n r){λ n J '0 ( λ n R i ) - b1 J 0 (λ n R i )}] dr

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r ) {λ n Y0' (λ n R i ) - b1 Y0 (λ n R i )} - Y0 (λ n r ) {λ n J '0 (λ n R i ) - b 1 J 0 (λ n R i ) } con λ n raices de,

{λ n Y0' (λ n R i ) - b 1 Y0 (λ n R i )} {λ n J '0 (λ n R e ) + b 1Y0 (λ n R e )} =1 {λ n Y 0' ( λ n R e ) + a1 Y0 (λ n R e )} {λ n J '0 (λ n R i ) - b 1J 0 (λ n R i )}

IV.6.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO CON GENERACIÓN DE CALOR E. A continuación exponemos la casuística correspondiente a las condiciones de contorno, y distribución de temperaturas, para placa, cilindro y esfera infinitos, con generación de calor. a) Pared plana infinita con generación de calor E; condición de contorno de convección.

IV.-88

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ x ≤ L  E = Cte  x =0 ; t> 0 ;    x =L ;  Φ( x,t ) =

2 E hC k2

∞

∑

n=1

∂Φ 〉 = 0 ∂x x = 0 h ∂Φ 〉 = - C Φ x = L ∂x k

cos ( λ n x) λ 2n {L (λ 2n +

con λ n raices de, tg( λ n L ) =

h C2 k2

)+

(1 - e - λ nα t ) 2

hC } cos (λ n L) k

Bi λnL

b) Cilindro infinito con generación de calor E; condición de contorno de convección t =0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ r ≤R  E = Cte hC ∂Φ t> 0 ;  r =R ; =Φ = - AΦ  k  ∂r 4 E hC ∞ J0 (λ n r) 2 Φ(r,t) = (1 - e - λ n α t ) ∑ 2 2 k h n=1 λ 2n (λ2n + C2 ) J0 (λ n R ) k Φ( r,t) =

4E

hC k

k

∞

∑

n=1

J 0 (λ n r ) λ 2n (λ 2n +

con λ n raices de, λ n J 1 (λ n R ) =

h 2Cx k2

(1 - e - λ nα t ) 2

) J 0 (λ n R)

hC J (λ R) k 0 n

c) Esfera con generación de calor E; condición de contorno de convección. 1 ∂Φ E ∂ 2 Φ 2 ∂Φ + = r ∂r α ∂t k ∂r 2 t =0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ r ≤R  E = Cte h t> 0 ;  ∂Φ r =R ; = - C Φ = - AΦ  k  ∂r 2E Φ( r,t) = kR

∞

∑

n=1

{λ 2n R 2 + (Bi - 1) 2 } sen ( λ n r ) (1 - e - σ {λ2n R 2 + Bi (Bi - 1) 2 } r λ 2n

con λ n raices de, (λ n R) cotg ( λ n R ) = 1 - Bi

IV.-89

2α t

)

[sen (λ n R) + {1 - λ n R cos (λ n R)}]

TABLAS DE FUNCIONES DE BESSEL Raices de la función de Bessel, J n (x) = 0 n=0 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,0711

n=1 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 19,6159

n=2 5,1356 8,4172 11,6198 14,7960 17,9598 21,1170

n=3 6,3802 9,7610 13,0152 16,2235 19,4094 22,5827

n=4 7,5883 11,0647 14,3725 17,6160 20,8269 24,0190

n=5 8,7715 12,3386 15,7002 18,9801 22,2178 25,4303

n=6 9,9361 13,5893 17,0038 20,3208 23,5861 26,8202

Raices de la función de Bessel, Yn (x) = 0 n=0 0,8936 3,9577 7,0861 10,2223 13,3611 16,5009

n=1 2,1971 5,4297 8,596 11,7492 14,8974 18,0434

n=2 3,3842 6,7938 10,0225 13,21 16,379 19,539

n=3 4,527 8,0976 11,3965 14,6231 17,8185 20,9978

n=4 5,6452 9,3616 12,7301 15,9996 19,2244 22,4248

n=5 6,7472 10,5972 14,0338 17,3471 20,6029 23,8265

n=6 7,8377 11,811 15,3136 18,6707 21,9583 25,2062

Raices de la función de Bessel, J 'n (x) = 0 n=0 0 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706

n=1 1,8412 5,3314 8,5363 11,706 14,8636 18,0155

n=2 3,0542 6,7061 9,9695 13,1704 16,3475 19,5129

n=3 4,2012 8,0152 11,3459 14,5859 17,7888 20,9725

n=4 5,3176 9,2824 12,6819 15,9641 19,196 22,4048

n=5 6,4156 10,5199 13,9872 17,3128 20,5755 23,8036

n=6 7,5013 11,7349 15,2682 18,6374 21,9317 25,1839

Raices de la función de Bessel, Y'n (x) = 0 n=0 2,1971 5,4297 8,596 11,7492 14,8974 18,0434

n=1 3,683 6,9415 10,1234 13,2858 16,4401 19,5902

n=2 5,0026 8,3507 11,5742 14,7609 17,9313 21,0929

n=3 6,2536 9,6988 12,9724 16,1905 19,3824 22,5598

Raices de la ecuación, a 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 5 10 20

x1 1 0,953 0,910 0,872 0,837 0,805 0,776 0,677 0,341 0,180 0,092

(a1 ) x2 3,1416 3,1441 3,1509 3,1609 3,174 3,188 3,205 3,282 3,969 4,623 5,011

n=4 7,4649 11,0052 14,3317 17,5844 20,8011 23,997

n=5 8,6495 12,2809 15,6608 18,9497 22,1928 25,4091

n=6 9,8148 13,5328 16,9655 20,2913 23,5619 26,7995

J '0 (x) Y0' (a x) = 1 J '0 (a x) Y0' (x)

(a1 ) x3 6,2832 6,2845 6,2878 6,2928 6,2991 6,3064 6,3146 6,353 6,746 7,37 7,98 IV.-90

(a1 ) x4 9,4248 9,4256 9,4279 9,4312 9,4354 9,4403 9,4457 9,4710 9,7320 10,223 10,908

(a1 ) x5 12,5664 12,5670 12,5687 12,5712 12,5743 12,578 12,582 12,601 12,79

(a1 ) x6 15,7080 15,7085 15,7098 15,7118 15,7143 15,7172 15,7205 15,736 15,89

Raices de la ecuación, Bi

0,00 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 80 100 ∞

λ1L 0,0000 0,1412 0,1995 0,2814 0,3438 0,2960 0,4417 0,5376 0,6170 0,7465 0,8516 0,9408 1,0184 1,0873 1,1490 1,2048 1,2558 1,4569 1,5994 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2,0937 2,1286 2,1566 2,1795 2,2509 2,2880 2,3261 2,3455 2,3572 2,3651 2,3750 2,3809 2,4048

λ2L 3,8317 3,8343 3,8369 3,8421 3,8473 3,8525 3,8577 3,8706 3,8835 3,9091 3,9344 3,9594 3,9841 4,0085 4,0325 4,0562 4,0795 4,1902 4,2910 4,4634 4,6018 4,7131 4,8033 4,8772 4,9384 4,9897 5,0332 5,1773 5,2568 5,3410 5,3846 5,4112 5,4291 5,4516 5,4652 5,5201

λ1L 15,7014 6,2702 3,1230 2,0732 1,5485 1,2339 1,0244

λ2L 31,4126 12,5598 6,2734 4,1773 3,1291 2,5002 2,0809

J 1 (λ n L)

λ3L 7,0156 7,0170 7,0184 7,0213 7,0241 7,0270 7,0298 7,0369 7,0440 7,0582 7,0723 7,0864 7,1004 7,1143 7,1282 7,1421 7,1558 7,2233 7,2884 7,4103 7,5201 7,6177 7,7039 7,7797 7,8464 7,9051 7,9569 8,1422 8,2534 8,3771 8,4432 8,4840 8,5116 8,5466 8,5678 8,6537

Raices de la ecuación, a 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

J 0 (λ n L) λ4L 10,1735 10,1745 10,1754 10,1774 10,1794 10,1813 10,1833 10,1882 10,1931 10,2029 10,2127 10,2225 10,2322 10,2419 10,2516 10,2613 10,2710 10,3188 10,3658 10,4566 10,5423 10,6223 10,6964 10,7646 10,8271 10,8842 10,9363 11,1367 11,2677 11,4221 11,5081 11,5621 11,5990 11,6461 11,6747 11,7915

=

λ nL Bi λ5L 13,3237 13,3244 13,3252 13,3267 13,3282 13,3297 13,3312 13,3349 13,3387 13,3462 13,3537 13,3611 13,3686 13,3761 13,3835 13,3910 13,3984 13,4353 13,4719 13,5434 13,6125 13,6786 13,7414 13,8008 13,8566 13,9090 13,9580 14,1576 14,2983 14,4748 14,5774 14,6433 14,6889 14,7475 14,7834 14,9309

λ6L 16,4706 16,4712 16,4718 16,4731 16,4743 16,4755 16,4767 16,4797 16,4828 16,4888 16,4949 16,5010 16,5070 16,5131 16,5191 16,5251 16,5312 16,5612 16,5910 16,6499 16,7073 16,7630 16,8168 16,8684 16,9179 16,9650 17,0099 17,2008 17,3442 17,5348 17,6508 17,7272 17,7807 17,8502 17,8931 18,0711

J 0 (λ n L) Y0 (a λ n L) = 1 Y0 (λ n L) J 0 (a λ n L) λ3L 47,1217 18,8451 9,4182 6,2754 4,7038 3,7608 3,1322

IV.-91

λ4L 62,8302 25,1294 12,5614 8,3717 6,2767 5,0196 4,1816

λ5L 78,5385 31,4133 15,7040 10,4672 7,8487 6,2716 5,2301

Raices de la ecuación, cotg (λ n L) = Bi

0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 21 31 41 51 101

(λ 1L) 0 0,1224 0,1730 0,2445 0,2991 0,3450 0,3854 0,4217 0,4551 0,4860 0,5150 0,5423 0,7593 0,9208 1,0528 1,1656 1,2644 1,3525 1,4320 1,5044 1,5708 1,8366 2,0288 2,2889 2,4557 2,5704 2,6537 2,7165 2,7654 2,8044 2,8363 2,8628 2,9476 2,9930 3,0406 3,0651 3,0801 3,1105

(λ 2L) 4,4934 4,4945 4,4956 4,4979 4,5001 4,5023 4,5045 4,5068 4,5090 4,5112 4,5134 4,5157 4,5379 4,5601 4,5822 4,6042 4,6261 4,6479 4,6696 4,6911 4,7124 4,8158 4,9132 5,0870 5,2329 5,3540 5,4544 5,5378 5,6078 5,6669 5,7172 5,7606 5,9080 5,9921 6,0831 6,1311 6,1606 6,2211

(λ 3L) 7,7253 7,7259 7,7265 7,7278 7,7291 7,7304 7,7317 7,7330 7,7343 7,7356 7,7369 7,7382 7,7511 7,7641 7,7770 7,7899 7,8028 7,8156 7,8284 7,8412 7,8540 7,9171 7,9787 8,0962 8,2045 8,3029 8,3914 8,4703 8,5406 8,6031 8,6587 8,7083 8,8898 9,0019 9,1294 9,1987 9,2420 9,3317

IV.-92

1 - Bi λnL

(λ 4L) 10,9041 10,9046 10,9050 10,9060 10,9069 10,9078 10,9087 10,9096 10,9105 10,9115 10,9124 10,9133 10,9225 10,9316 10,9408 10,9499 10,9591 10,9682 10,9774 10,9865 10,9956 11,0409 11,0856 11,1727 11,2560 11,3349 11,4086 11,4773 11,5408 11,5994 11,6532 11,7027 11,8959 12,0250 12,1807 12,2688 12,3247 12,4426

(λ 5L) 14,0662 14,0666 14,0669 14,0676 14,0683 14,0690 14,0697 14,0705 14,0712 14,0719 14,0726 14,0733 14,0804 14,0875 14,0946 14,1017 14,1088 14,1159 14,1230 14,1301 14,1372 14,1724 14,2075 14,2764 14,3434 14,4080 14,4699 14,5288 14,5847 14,6374 14,6870 14,7335 14,9251 15,0625 15,2380 15,3417 15,4090 15,5537

Raices de la ecuación, cotg (λ n L) = C

-1,0 -0,995 -0,99 -0,98 -0,97 -0,96 -0,95 -0,94 -0,93 -0,92 -0,91 -0,90 -0,85 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 80 100

(λ 1 L) 0,0000 0,1224 0,1730 0,2445 0,2991 0,3450 0,3854 0,4217 0,4551 0,4860 0,5150 0,5423 0,6609 0,7593 0,9208 1,0528 1,1656 1,2644 1,3525 1,4320 1,5044 1,5708 1,6320 1,6887 1,7414 1,7906 1,8366 1,8798 1,9203 1,9586 1,9947 2,0288 2,1746 2,2889 2,4557 2,5704 2,6537 2,7165 2,7654 2,8044 2,8363 2,8628 2,9476 2,9930 3,0406 3,0651 3,0801 3,0901 3,1028 3,1105

(λ 2 L) 4,4934 4,4945 4,4956 4,4979 4,5001 4,5023 4,5045 4,5068 4,5090 4,5112 4,5134 4,5157 4,5268 4,5379 4,5601 4,5822 4,6042 4,6261 4,6479 4,6696 4,6911 4,7124 4,7335 4,7544 4,7751 4,7956 4,8158 4,8358 4,8566 4,8751 4,8943 4,9132 5,0037 5,0870 5,2329 5,3540 5,4544 5,5378 5,6078 5,6669 5,7172 5,7606 5,9080 5,9921 6,0831 6,1311 6,1606 6,1805 6,2058 6,2211

(λ 3 L) 7,7253 7,7259 7,7265 7,7278 7,7291 7,7304 7,7317 7,7330 7,7343 7,7356 7,7369 7,7382 7,7447 7,7511 7,7641 7,7770 7,7899 7,8028 7,8156 7,8284 7,8412 7,8540 7,8667 7,8794 7,8920 7,9046 7,9171 7,9295 7,9419 7,9542 7,9965 7,9787 8,0385 8,0962 8,2045 8,3029 8,3914 8,4703 8,5406 8,6031 8,6587 8,7083 8,8898 9,0019 9,1294 9,1987 9,2420 9,2715 9,3089 9,3317 IV.-93

(λ 4 L) 10,9041 10,9046 10,9050 10,9060 10,9069 10,9078 10,9087 10,9096 10,9105 10,9115 10,9124 10,9133 10,9179 10,9225 10,9316 10,9408 10,9499 10,9591 10,9682 10,9774 10,9865 10,9956 11,0047 11,0137 11,0228 11,0318 11,0409 11,0498 11,0588 11,0677 11,0767 11,0856 11,1296 11,1727 11,2560 11,3349 11,4086 11,4773 11,5408 11,5994 11,6532 11,7027 11,8959 12,0250 12,1807 12,2688 12,3247 12,3632 12,4124 12,4426

C λn L (λ 5 L) 14,0662 14,0666 14,0669 14,0676 14,0683 14,0690 14,0697 14,0705 14,0712 14,0719 14,0726 14,0733 14,0769 14,0804 14,0875 14,0946 14,1017 14,1088 14,1159 14,1230 14,1301 14,1372 14,1443 14,1513 14,1584 14,1654 14,1724 14,1795 14,1865 14,1935 14,2005 14,2075 14,2421 14,2764 14,3434 14,4080 14,4699 14,5288 14,5847 14,6374 14,6870 14,7335 14,9215 15,0625 15,2380 15,3417 15,4090 15,4559 15,5164 15,5537

(λ 6 L) 17,2208 17,2210 17,2213 17,2219 17,2225 17,2231 17,2237 17,2242 17,2248 17,2254 17,2260 17,2266 17,2295 17,2324 17,2382 17,2440 17,2498 17,2556 17,2614 17,2672 17,2730 17,2788 17,2845 17,2903 17,2961 17,3019 17,3076 17,3134 17,3192 17,3249 17,3306 17,3364 17,3649 17,3932 17,4490 17,5034 17,5562 17,6072 17,6562 17,7032 17,7481 17,7908 17,9742 18,1136 18,3018 18,4180 18,4953 18,5497 18,6202 18,6650

Raices de la ecuación, tg (λ n L) = C

0 0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 80 100

(λ 1 L) 0 0,0316 0,0447 0,0632 0,0774 0,0893 0,0998 0,1410 0,1987 0,2425 0,2791 0,3111 0,4328 0,5218 0,5932 0,6533 0,7051 0,7506 0,7910 0,8274 0,8603 0,9882 1,0769 1,1925 1,2646 1,3138 1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4729 1,4961 1,5202 1,5325 1,5400 1,5451 1,5514 1,5552

(λ 2 L) 3,1416 3,1419 3,1422 3,1429 3,1435 3,1441 3,1448 3,1479 3,1543 3,1606 3,1668 3,1731 3,2039 3,2341 3,2636 3,2923 3,3204 3,3477 3,3744 3,4003 3,4256 3,5422 3,6436 3,8088 3,9352 4,0336 4,1116 4,1746 4,2264 4,2694 4,3058 4,4255 4,4915 4,5615 4,5979 4,6202 4,6353 4,6543 4,6658

(λ 3 L) 6,2832 6,2833 6,1835 6,2838 6,2841 6,2845 6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959 6,2991 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6,4224 6,4373 6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096 6,9924 7,0640 7,1263 7,1806 7,2281 7,3959 7,4954 7,6057 7,6647 7,7012 7,7259 7,7573 7,7764

IV.-94

(λ 4 L) 9,4248 9,4249 9,4250 9,4252 9,4254 9,4256 9,4258 9,4269 9,4290 9,4311 9,4333 9,4354 9,4459 9,4565 9,4670 9,4775 9,4879 9,4983 9,5087 9,5190 9,5293 9,5801 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928 9,9667 10,0339 10,0949 10,1502 10,2003 10,3898 10,5117 10,6543 10,7334 10,7832 10,8172 10,8606 10,8871

C λ nL (λ 5 L) 12,5664 12,5665 12,5665 12,5667 12,5668 12,5670 12,5672 12,5680 12,5696 12,5711 12,5727 12,5743 12,5823 12,5902 12,5981 12,6060 12,6139 12,6218 12,6296 12,6375 12,6453 12,6841 12,7223 12,7966 12,8678 12,9352 12,9988 13,0584 13,1141 13,1660 13,2142 13,4078 13,5420 13,7085 13,8048 13,8666 13,9094 13,9644 13,9981

(λ 6 L) 15,7080 15,7080 15,7081 15,7082 15,7083 15,7085 15,7086 15,7092 15,7105 15,7118 15,7131 15,7143 15,7207 15,7270 15,7334 15,7397 15,7460 15,7524 15,7587 15,7650 15,7713 15,8026 15,8336 15,8945 15,9536 16,0107 16,0654 16,1177 16,1675 16,2147 16,2594 16,4474 16,5864 16,7691 16,8794 17,9519 17,0026 17,0686 17,1093

V.- CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA EN SÓLIDOS INFINITOS

V.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PLACA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA La conducción a través de una placa plana de espesor finito L en la dirección x, y de espesor infinito en las otras dos, por lo que en éstas se desprecian los efectos de borde, la ecuación diferencial de la conducción es: α

∂ 2Φ ∂Φ = , con, Φ = T(x,t) - TF ∂x 2 ∂t

La zona próxima a la periferia es de resistencia superficial despreciable por lo que Fo < 1 y desde ahí hasta el núcleo, Fo > 1. Sí es posible representar la distribución de temperaturas, Φ = T - TF, mediante una expresión de la forma: Φ = X(x) θ (t) = X θ ∂Φ ∂X = θ ∂x ∂x α

;

∂ 2X ∂θ θ= X 2 ∂x ∂t

∂ 2Φ ∂2 X = θ 2 ∂x ∂x 2 ;

;

∂T ∂θ = X ∂t ∂t

1 ∂2 X 1 ∂θ 2 X ∂x2 = α θ ∂t = - λ

El parámetro λ2 se ha introducido por cuanto cada uno

Fig V.1.- Placa plana infinita

de los miembros de dicha igualdad es función de una sola variable; esta separación de variables conduce al siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales:

V.-95

∂θ + α λ2 θ = 0 ∂t ∂ 2X + λ2 X = 0 ∂x 2

;

θ = C1 e −α λ

;

X = C2 sen (λx) + C 3 cos (λx)

2t

La solución general es: Φ = C1 e-

α λ2 t {C

2

sen (λx) + C3 cos (λx)} = e - α λ

2 t

{B1 sen (λx) + B 2 cos (λx)}

La condición inicial es: Para, t = 0 , 0 ≤ x ≤ L ⇒ Φ = Φ(x,0) = f(x) ó Φ 0 = T0 − TF Las condiciones de contorno son:  en, x = 0 ; Φ = 0 = T(0,t) Para, t > 0 , - ∞ ≤ x ≤ +∞ ⇒   en, x = L ; Φ = 0 = T(L,t) La condición de contorno se presenta para el caso límite de considerar un valor muy grande del coeficiente de transferencia térmica por convección, {metales líquidos}, por lo que la resistencia térmica de la capa de convección es despreciable y la temperatura de la superficie del cuerpo en el tiempo t es idéntica a la temperatura del fluido, situación a la que se debe llegar en un tiempo muy pequeño (condición de contorno isotérmica). Aplicando las condiciones de contorno a la ecuación diferencial:  x = 0 , Φ = 0 ⇒ B 2 = 0 Para,   x = L , Φ = 0 ⇒ 0 = e - α λ2 t B1 sen(λL) ⇒

sen(λL)= 0

y considerando que para cualquier valor de t, se satisface por un número infinito de valores del parámetro, λL, se puede poner: sen (λ n L) = 0, con, λ n =

πn L

;

n = 1 , 2, 3,...

Para cada valor de n se obtiene uno de λn , siendo éstos los valores característicos del problema, por lo que la solución para la distribución de temperaturas es un desarrollo en serie de la forma: Φ =

∞

∑ e -α λ n t B n sen (λ n x) 2

n=1

Aplicando la condición inicial, t = 0, Φ = f(x), resulta: Φ = f(x) =

∞

∑ B n sen (λ n x)

n=1

V.-96

En una serie infinita de funciones de la forma: sen(λ1x), sen(λ2x), sen(λ3x),..., sen(λnx), ... éstas son ortogonales, cuando se cumple que: L

∫ sen(λ 0

i x) sen(λ jx) dx

= 0, con, i ≠ j

y tiene un valor determinado en un instante considerado. Si f(x) es una función arbitraria se puede poner en función de una combinación lineal de funciones ortogonales, en la forma: ∞

∑ B n sen(λ n x)

f(x) = B 1 sen(λ 1 x) + B 2 sen(λ 2 x) + ... + B n sen(λ n x) + ... =

n=1

en la que las Bi son constantes a determinar. Si la serie anterior es convergente e integrable, y la multiplicamos por, sen(λnx), se obtiene:

∫

L

0

f(x) sen(λ n x) dx = B1

∫

L

0

L

sen(λ 1 x) sen(λ n x) dx + ... + B n

∫ sen (λ 2

0

n x) dx

Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la correspondiente al coeficiente Bn, por lo que:

∫ f(x) sen (λ x) dx = 2 f(x) sen(λ L ∫ sen (λ x) dx ∫ L

Bn =

L

n

0

L

0

2

n x) dx

n

0

en la que se ha tenido en cuenta que: L

∫ sen (λ 2

0

n x) dx

=

sen (λ n L) cos (λ n L) L = 2 2 λn

λn=

πn L

=

L 2

pudiéndose poner la expresión de la distribución de temperaturas, en la siguiente forma: 2 Φ = L

∞

∑

n=1

e -α λ n t sen(λ n x) 2

L

∫ f(x) sen(λ 0

n x) dx

2 = L

∞

∑e

n=1

= -(

πn 2 ) αt L

sen

π nx L

L

∫ f(x) sen 0

π nx dx L

que es una ecuación función del tiempo y de la distribución de temperaturas inicial f(x), que es conocida. V.-97

Si se considera, f(x) = Φ0, el valor de Bn es: Bn=

∫

2 L

L

0

f(x) sen(λ n x) dx =

2 Φ0 L

∫

L

sen(λ n x) dx =

0

2 Φ0 L

∫

L

sen(

0

2Φ0

=

πn

πn x) dx = L

{1 - (-1)n } =

4 Φ0 πn

y la ecuación de la distribución de temperaturas queda en la forma: ∞

Φ 2 = L Φ0

∑

e

-(

πn 2 ) αt L

sen

n=1

=

2 π

∞

πn x L

∑ e- λn α t 2

n=1

L

∫0

sen

πnx dx = L

{1 − (-1)n } sen (λ n x) 4 = n π

∞

∑

e -λ n α t

n=1,3, ...

2

sen (λ n x) n

Si se pone en función del nº de Fo y de un parámetro adimensional de la posición, ξ =

x , reL

sulta: ∞

Φ 2 = L Φ0

∑ e -(π n)2 Fo

sen (π n ξ)

n=1

L

∫0

sen

∞ sen (π n ξ) 2 πn x 4 e -( π n) Fo dx = ∑ n L π n=1,3,...

Fig V.2.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en una placa plana infinita, en régimen transitorio, con temperatura inicial de la forma, f(x)= at

Si la distribución de temperaturas fuese, por ejemplo, de la forma, f(x) = a x, con, a = Cte, se obtiene:

∫

L

Bn=

2 L

Φ =

2 aL π

0

f(x) sen(λ n x) dx = ∞

2a L

∑ e -(π n)2 Fo sen (π n ξ)

n=1

∫

L

0

x sen(λ n x) dx = ... =

(-1)n+1 n

cuya representación gráfica tridimensional exponemos en la Fig V.2. V.-98

2aL n+1 (-1) πn

El flujo térmico en el instante t se obtiene en la forma: q= -k(

2 Φ0 k ∂Φ )x=0 = π ∂x

∞

∑

e -( π n)

2 Fo

n=1

4 Φ0 k 1 - (-1)n π n = n L L

∞

∑

e -( π n)

2 Fo

=

n=1,3, ..

=

4 Φ0 k L

∞

∑

e- λn α t 2

n=1,3, ..

Estas series convergen muy rápidamente a menos que el nº de Fo sea muy pequeño. Para Fo > 0,2 sólo es necesario conservar el primer término de la serie, cometiéndose un error menor del 2% Para valores muy pequeños del nº de Fo < 0,2, (es decir, poco después de que la placa se haya sumergido en el líquido), la serie converge lentamente y es necesario conservar los suficientes términos del desarrollo para obtener un resultado exacto. Para Fo→ 0, se tiene que: lím q Fo → 0 =

k (T0 - TF ) παt

que coincide con la expresión que se encontrará para el sólido semiinfinito, y que indica que la temperatura sólo cambia en una posición muy delgada cerca de la superficie, comportándose en esta zona como un sólido semiinfinito, mientras que la temperatura en el interior de la placa permanece constante; el proceso de la transmisión de calor se limita a esta delgada región y el espesor de la placa no afecta en absoluto, por cuanto L no aparece en la ecuación. El calor Q que abandona la placa por las dos caras, de superficie de contacto 2 A, en el intervalo de tiempo, 0 ≤ t ≤ t, es:

∫

t

4 (T0 - TF ) k A Q = 2 A q dt = π 0 4 (T0 - TF ) k A = π

∞

∑

n=1

t ∞

∫∑e

{1 - (-1)n } dt =

0 n=1

L2 -( π n)2 Fo (e - 1) {1 - (-1)n } = 2 (π n) α ∞

e -( π n) ∑ 1 - (π n)2 n=1,3,..

8 (T0 - TF ) k A L = α

-(π n)2 Fo

2

Fo

= 8 (T0 - TF ) ρ c p

=

∞

2

1 - e -(π n) AL ∑ (π n)2 n=1,3,..

8 (T0 - TF ) ρ c p A L

∞

Fo

= 2

-λ n ∑ 1 - eλ2 n=1,3, .. n

αt

El calor Q0 almacenado en la placa es: Para, x ≥ 0 , T = TF

;

Q 0 = L A ρ c p Φ 0 = L A ρ c p(T0 - TF )

y el valor de Q/Q0 es la pérdida o ganancia real de energía en el tiempo t, dividida entre la pérdida o ganancia total necesaria para alcanzar la temperatura del medio ambiente: ∞

Q 1 - e- λ n α t = 8 ∑ Q0 (π n)2 n=1,3,.. 2

V.-99

Fig V.3.- Abaco para la determinación gráfica de la temperatura y de Q/Q0 en una placa plana infinita en régimen transitorio, con condición de contorno isotérmica

El calor almacenado en la placa desde t = 0, hasta t = t, se puede poner en la forma: Q = L A ρ cp (Tˆ Final − T0 ) con: ˆ Φ Final =

1 L

∫

L

Φ(x) dx

;

0

La determinación de T y de

ˆ TFinal - TF 8 = 2 π T0 - TF

∞

-λ n α t ∑ e n2 n=1,3, .. 2

Q se puede hacer mediante la gráfica de la Fig V.3. Q0

CASOS PARTICULARES a) Pared plana infinita inicialmente a T0 , que experimenta cambios instantáneos de temperatura en las superficies a T1 y T2 El problema se resuelve mediante la superposición de un problema estacionario y otro transitorio, de forma que: T(x,t) = T1 (x) - T2 (x,t) ó Φ(x,t) = Φ 1 (x) - Φ 2 (x,t)

d2T1 = 0 dx2

;

∂T2 ∂2T2 = α ∂t ∂x2

T = T0 ; 0 < x < L ; t = 0 T = T1 ; x = 0 ; t > 0 T = T2 ; x = L ; t > 0 V.-100

T(x,t) =

2 π

∞

∑

T1 - (-1)n T2 n

n=1

{1 -

2 e-λn α t

2 αt

+

2 T0 e - λ n

} sen (λ n x)

λn

;

λn =

(2 n + 1) π L

b) Pared plana infinita inicialmente a T0 ; una de sus superficies experimenta un aislamiento térmico y la otra intercambia calor con un fluido exterior. T = T0 ; 0 < x < L ; t = 0 ∂T = 0 ; x = 0 ; t >0 ∂x h cF ∂T = - a1 T = - k T ; x= L ; t> 0 ∂x h cF ∂Φ = - a1 Φ = - k Φ ; x= L ; t> 0 ∂x Φ(x,t) = 2 a1 T0 Φ0

∞

∑

n=1

cos(λ n x) e - λ n α t 2 {L (λ n + a 21 ) + a1 } cos(λ n L) 2

;

λn =

(2 n + 1) π L

V.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN PARED CILÍNDRICA INFINITA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA. Se considerará que en el cilindro infinito no existen efectos de borde, debido a que se le supone longitud infinita y, por lo tanto, que la conducción del calor se verifica en la dirección radial. La ecuación diferencial que rige el proceso, en coordenadas cilíndricas, es: 1 ∂ ∂T ∂T α r dr ( r )= ∂r ∂t

; α(

∂ 2T 1 ∂T ∂T ∂ 2Φ 1 ∂Φ ∂Φ + r )= ; α( 2 + r )= 2 dr ∂r ∂t dr ∂r ∂t

con, Φ = T - T F Si representamos Φ en la forma, Φ = R(r) θ(t), resulta: ∂Φ ∂R = θ ; ∂r ∂r α(

∂ 2Φ ∂2 R = θ ; 2 dr dr 2

∂ 2R θ ∂R ∂θ θ+ r )= R ; dr 2 ∂r ∂t

∂Φ ∂θ = R ∂t ∂t

1 ∂ 2R 1 ∂R 1 ∂θ 2 R (dr 2 + r ∂r ) = α θ ∂t = - λ

Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes y sus soluciones son: d2 R 1 dR + r dr = - λ2 R 2 dr

;

R = B 1 J 0 (λr) + B 2 Y0 (λr)

dθ 2 = - λ2 α dt ; θ = B 3 e- λ α t θ V.-101

Como el cilindro no puede admitir en su eje r = 0, una solución infinita, por cuanto Y 0(0)= ∞, resulta que B2 tiene que ser cero, por lo que se obtiene una ecuación de la forma: R = B 1 J 0 (λr) La solución general que proporciona la distribución de temperaturas de la forma: Φ = B3 e - λ

2 αt

B1 J 0 (λr) = B e- λ

2 αt

J 0 (λr)

en la que B y λ son constantes, que habrá que determinar mediante Fig V.4.- Cilindro infinito

las condiciones de contorno; J0(λr) es la función de Bessel de primera especie y orden cero.

La condición inicial es: t = 0 ; 0 ≤ r ≤ R ; Φ = f(r) ó Φ0 La condición de contorno para un cambio brusco de la temperatura en la superficie lateral del cilindro infinito a, Φ = T - TF, es: ; Φ r=R = 0 = B e - λ

t> 0

2α t

J 0(λR)

;

J0 (λR) = 0

;

J 0(λ n R) = 0

que se tiene que cumplir para cualquier valor de t. Los valores de λn se calculan como raíces de la ecuación, J0(λnR)=0, con, n = 1, 2, 3,... obteniéndose una serie de valores que conforman un desarrollo en serie para la distribución de temperaturas, de la forma: Φ =

∞

∑ B n e - λ n α t J 0(λ n r) 2

n=1

Aplicando la condición inicial, t = 0; Φ = f(r), resulta: ∞

f(r) = B 1 J 0(λ 1 r) + B 2 J 0(λ 2 r) + ... +

B n J 0(λ n r) =

∑ B n J 0(λ n r)

n=1

Para que ésto sea así, es necesario que las funciones, J 0(λ1r), J 0(λ2r),...,J 0(λnr), formen un agrupamiento ortogonal en el intervalo, 0 ≤ r ≤ R, respecto a un factor ponderal r, de forma que: R

∫ r J (λ 0

0

i r) J 0(λj r) dr

= 0, con, i ≠ j

Si la serie es convergente e integrable, se tiene que: V.-102

Tabla V.1.- Valores de las funciones de Bessel de primera y segunda especie, órdenes cero y uno

J0 (x) 1,00000 0,99002 0,96039 0,91200 0,84629 0,76520 0,56686 0,45540 0,33999 0,22389 0,11036 0,00251 -0,09680 -0,18503 -0,26005 -0,32019 -0,36430 -0,39177 -0,40256 -0,39715 -0,37656 -0,34226 -0,29614 -0,24042 -0,17760

x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

J1 (x) 0,00000 0,09950 0,19603 0,28670 0,36884 0,44005 0,54195 0,56990 0,58152 0,57672 0,55596 0,52019 0,47082 0,40971 0,33906 0,26134 0,17923 0,09547 0,01282 -0,06604 -0,13864 -0,20278 -0,25655 -0,29850 -0,32760

Y0 (x) -∞ -1,08110 -0,60602 -0,30851 -0,08680 0,08825 0,33790 0,42043 0,47743 0,51038 0,52078 0,51042 0,48133 0,43591 0,37685 0,30705 0,22962 0,14771 0,06450 -0,01694 -0,09375 -0,16333 -0,22345 -0,27230 -0,30851

Y1 (x) -∞ -3,32380 -1,78090 -1,26040 -0,97814 -0,78121 -0,47915 -0,34758 -0,22366 -0,10703 0,00149 0,10049 0,18836 0,26355 0,32467 0,37071 0,40101 0,41539 0,41411 0,39792 0,36801 0,32597 0,27374 0,21357 0,14786

x 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0

J0 (x) -0,11029 -0,04121 0,02697 0,09170 0,15065 0,20175 0,24331 0,27404 0,29310 0,30007 0,29507 0,27859 0,25160 0,25541 0,17165 0,12222 0,06916 0,01462 -0,03923 -0,09033 -0,13675 -0,17677 -0,20898 -0,23227 -0,24594

J1 (x) -0,34322 -0,34534 -0,33433 -0,31103 -0,27668 -0,23292 -0,18164 -0,12498 -0,06252 -0,00468 0,05432 0,10963 0,15921 0,20136 0,23464 0,25800 0,27079 0,27275 0,26407 0,24531 0,21471 0,18163 0,13952 0,09284 0,04347

Y0 (x) -0,33125 -0,34017 -0,33544 -0,31775 -0,28819 -0,24830 -0,19995 -0,14523 -0,08643 -0,02595 0,03385 0,09068 0,14243 0,18722 0,22352 0,25011 0,26622 0,27146 0,26587 0,24994 0,22449 0,19074 0,15018 0,10453 0,05567

Y1 (x) 0,07919 0,01013 -0,05681 -0,11923 -0,17501 -0,22228 -0,25955 -0,28575 -0,30019 -0,30267 -0,29342 -0,27315 -0,24280 -0,20389 -0,15806 -0,10724 -0,05348 -0,00108 0,05436 0,10431 0,14911 0,18714 0,21706 0,23789 0,24902

R

∫ r f(r) J (λ r) dr = = B ∫ r J (λ r) J (λ r) dr + B ∫ r J (λ r) J (λ r) dr + ... + B ∫ r J (λ 0

0

n

R

1

R

0

1

0

n

2

0

R

0

2

0

n

n

0

0

2 0

n r) dr

+ ...

Por definición de ortogonalidad, todas las integrales del segundo miembro a excepción de la última, son cero, es decir: r f(r) J (λ r) dr ∫ = ∫ r J (λ r) dr R

∫

R

0

r f(r) J 0(λ n r) dr = B n

∫

R

0

r

J 20(λ n r) dr

; Bn

0

0

R

0

2 0

n

n

en la que:

∫

R

0

r J 20(λ n r) dr =

∫ r f(r) J (λ

R 2 J 21(λ n R) R2 {J 20(λ n R) + J 12(λ n R)} = , con, J 0(λ n R) = 0 2 2

R

Bn =

0

0

n r) dr

R 2 J 21(λ n R) 2

obteniéndose la siguiente solución final para la distribución de temperaturas: V.-103

∫ r f(r) J (λ R

Φ=

∞

∑

0

0

R2

n=1

n r) dr

e -λ n α t J 0(λ n r) = 2

J 12(λ n R) 2 2

=

R2

∞

∑

e

- λ2n α t

J 0(λ n R) J 21(λ n R)

n=1

R

∫ r f(r) J (λ r) dr 0

0

n

, con, J 0 (λ n r) = 0

en la que J1(λ nR) es la función de Bessel de primera especie y orden uno, cuyos valores vienen especificados en la Tabla V.2.

Si la distribución de la temperatura inicial es uniforme: Φ0 = T0 - TF f(r) = Φ(r,0) = Φ0 = Cte, para, 0 ≤ r ≤ R Teniendo en cuenta que J 0(λnR) = 0, resulta: R

∫ r J (λ 0

0

n r) dr

=

R J (λ R) λn 1 n

y la ecuación anterior toma la forma: T - TF Φ 2 = = R T Φ0 0 - TF

∞

∑

e- λn

2 αt

n=1

J 0 (λ n r) λ n J 1(λ n R)

La temperatura T c en el eje del cilindro r = 0 para Φ c = Tc - TF, es: Φc T - TF 2 = c = R T0 - TF Φ0

∞

∑

n=1

e- λn α t λ n J 1(λ n R) 2

El flujo de calor es: ∂Φ 〉 = ∂r r=R

q= -k

∂ J (λ r) = - λ n J 1(λ n r) ∂r 0 n ∞ -2 Φ 0 - λ n J 1(λ n R) 2 ∂Φ 〉 = 2 Φ0 ∑ e- λn α t = r=R R ∂r λ R J (λ R) n=1 n 1 n

∞

=

∑ e- λn α t n=1

= - k

2

2 Φ0 R

∞

∑

e- λn α t

n=1

El calor que llega a, r = R, en el intervalo, 0 ÷ t, es:

Q= A

∫

t

0

q dt = - 4 π k L Φ 0

∫

t ∞

∑

0 n=1

2 αt

e-λ n

dt = ... = - 4 π k L Φ 0

∞

∑

n=1

El calor Q 0 almacenado inicialmente en el cilindro a Φ 0, es: Q0 π R2 k = π R2 ρ c p Φ0 = Φ0 α L V.-104

1 - e- λn λ2n α

2 αt

2

Q = Q0

∫ ( ∂r ) t

-k2 πR

∂Φ

r=R

dt

0

π

R2

= -

ρ c p Φ0

=

4α R2

∫

2α R Φ0

t ∞

∑

t

∂Φ

∫ ( ∂r )

r=R

dt =

J 0(λ n R) = 0

=

e-λn α t t 〉 = 4 λ2n α 0

∑

0

e - λ n α t dt = 2

0 n=1

4α R2

∞

∑

n=1

2

∞

n=1

1 - e-λ n α t (λ n R)2 2

Fig V.5.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en conducción transitoria, en un cilindro infinito, con temperatura inicial constante

V.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UNA ESFERA CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA. Para estudiar la distribución de temperaturas en una esfera que se calienta, o enfría instantáneamente en su superficie, se parte de: α(

∂ 2Φ 2 ∂Φ ∂Φ + r )= ∂r 2 ∂r ∂t

en la que r es el radio correspondiente a un punto cualquiera de la esfera. La solución general es de la forma: Φ = B e

-λ2 α t

sen(λ r) λr

con las siguientes condiciones de contorno:  t = 0 ; r ≤ R ; Φ (r,0) = Φ = f (r) ó Φ(r,0) = Φ 0 Para,   t > 0 ; Φ r=R = 0 Aplicando la segunda condición se obtiene: Φ = 0 = B e- λ

2 αt

sen (λ R) ⇒ λR

sen (λ R) = 0

que debe cumplirse para cualquier valor de t, por lo que habrá ∞ soluciones, deduciéndose de ella V.-105

la relación que define las λ en la forma: sen (λ n R ) = 0

λn =

;

πn R

La solución general de la distribución de temperaturas es de la forma: Φ =

∞

∑ B n e- λn α t 2

sen(λ n r) λ nr

n=1

Para determinar el valor de la constante Bn aplicamos la primera condición de contorno: t = 0, Φ = f(r) ∞

∑ Bn

f(r) =

sen(λ n r) λ nr

n=1

= B1

sen(λ 1 r) λ 1r

sen(λ 2 r)

+ B2

λ 2r

+ ... + B n

sen(λ n r) λ nr

y haciendo uso de las propiedades de las funciones ortogonales se tiene: R

∫ f(r)(λ r) sen(λ n

0

= B1

∫

R

0

λ nr

n r) dr

=

sen(λ 1r) sen(λn r) dr + ... + B n

λ 1r

∫

R

0

λ nr λ nr

2

sen (λ nr) dr = B n

∫

R

0

2

sen (λ n r) dr

despejando Bn y teniendo en cuenta que, sen(λn R) = 0, resulta:

∫ f(r)(λ r) sen(λ r) dr ∫ sen (λ r) dr R

Bn =

n

0

n

R

=

2

2 R

R

∫ f(r)(λ r) sen(λ n

0

n r) dr

n

0

Los valores de Bn son distintos para cada superficie equipotencial, definida por r. La ecuación general que proporciona la distribución de temperaturas de las superficies isotermas de radio r a lo largo del tiempo, es de la forma: 2 Φ = R

∞

∑

2 αt

e -λ n

n=1

sen(λ n r) λn r

∫

R

0

f(r)(λ n r) sen(λ n r) dr

Para, f(r)= Φ0, se tiene: Φ 2 = R Φ0

∞

∑

e- λn α t 2

n=1

sen(λ n r) - (λ n r) cos(λ n r) + sen(λ n r) R { }0 = λ nr λn

∞

= 2

∑

n=1

- cos(π n) e

- λ 2n α t

sen( π n r ) 2R R = πn r π R V.-106

∞

∑

n=1

n

- (-1) e

- λ2n α t

sen( π n r ) R nr

Si se supone que la temperatura en el centro de la esfera r = 0 es TC, aplicando la regla de L’Hôpital se obtiene: Φc = 2 Φ0

∞

∑

e - λn

2 αt

n=1

- (λ n R) cos(λ n R) = - 2 λn R

∞

∑

e -λ n α t cos(π n) = - 2 2

n=1

∞

∑ e - λ n α t (-1)n 2

n=1

La disipación de calor adimensional es de la forma:

Q = Q0

=

∂Φ

r=R

0

4π 3

R3

6k = π ρ cp =

∫ ( ∂r ) t

- k 4 π R2

6k π ρ cp -6k ρ cp R2

∫

= -

ρ cp Φ0 ∞

t

∑ (-1)n e

0

∫

dt

-λ 2n α t

t

0

∞

∑ (-1)n e

0

n=1

∞

e -λ n

∑

n=1

2

αt

2 λn α

- λ 2n α t

t 〉0 =

(−1)n π n 2 2

n R - 6k ρ c p R2

2

∞

∑

n=1

r=R

dt =

π n (n r) - sen( π n r ) n R R 〉 r=R dt = n 2R 2

cos( π n r ) R

n=1 t

∂Φ

∫ ( ∂r )

3k R ρ cp Φ0

dt =

6k ρ cp R 2

∫

t

0

∞

∑

2

∞

1 - e- λn α t

n=1

n2

∑

- λ2n α t

dt =

n=1

e- λn α t - 1 - 6k = 2 λn α ρ c p R2

6k = 2 π α ρ cp

e ∞

∑

n=1

2

6 = 2 π

e -λ n α t - 1 = π n 2 ( ) α R 2

∞

1 - e- λn α t

n=1

n2

∑

2

V.5.- TRANSMISIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO CON GENERACIÓN DE CALOR E. a) Pared plana infinita con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ x ≤ L  x = 0 ; Φ0 = 0 t> 0  E = Cte Φ( x,t ) =

4 E L2 π3 k

∞

sen (λ n x) 2 πn (1 - e - λ n α t ) , con, n= 1, 3, 5, ... ; λ n = L n3

∑

n=1

b) Cilindro infinito con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. Condiciones de contorno: t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R r = R ; Φ 0 = 0 t> 0   E = Cte

Φ( x,t ) =

4 E Rk

∞

∑

J 0 (λ n r) 2 (1 - e - λ n α t ) , con λ n raices de, J 0 (λ n R) = 0 J1 (λ n R)

3 n=1 λ n

V.-107

c) Esfera con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. Condiciones de contorno, t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R r = R ; Φ 0 = 0 t> 0   E = Cte Φ( r,t) =

2 E k

∞

∑

n=1

sen (λ n r) 2 πn (1 - e - λ n α t ) (-1) n ; λ n = 3 R λn r

V.-108

VI.-CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS

VI.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN SÓLIDO SEMIINFINITO A continuación vamos a desarrollar las ecuaciones correspondientes a sistemas en los que resulte despreciable la variación espacial de las temperaturas, de modo que la ecuación que rija el proceso se reduzca a una ecuación diferencial ordinaria. Un sólido semiinfinito se puede considerar como un cuerpo de gran extensión con una superficie plana, 0 ≤x ≤ ∞, en el que su temperatura resulta ser función de la distancia x y del tiempo t, es decir: T = T(x,t) La ecuación de la conducción simplificada, para conducción transitoria en un sólido semiinfinito, suponiendo que E = 0, es de la forma: 1 ∂T ∂ 2T = α , para, 0 < x < ∞ ∂t ∂x 2 en la que x se considera a partir de la superficie del sólido; antes de resolver la ecuación diferencial, hay que especificar una única condición inicial y dos condiciones de contorno. La condición inicial viene determinada para t = 0, por: T(x,0) = T0 ó T(x,0) = f(x) como caso más general, siendo T(x,0) la temperatura inicial del sólido semiinfinito, que en princiVI.-109

pio no tiene por qué ser uniforme. Una de las condiciones de contorno exige que el material, para cualquier tiempo t, mantenga su temperatura inicial a una distancia grande de la superficie, por lo que: T(∞,t) = f(x)

ó

T(∞,t) = T0

La otra condición de contorno permite obtener soluciones concretas teniendo en cuenta las consideraciones que se hagan sobre las mismas, lo que conduce a los tipos siguientes: a) Condición de contorno isotérmica b) Condición de contorno de convección c) Condición con resistencia térmica interna despreciable CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA EN UN SOLIDO SEMIINFINITO.- Esta condición de contorno, que es muy fácil de obtener físicamente, consiste en cambiar brusca y repentinamente la temperatura de la superficie del sólido, x = 0, hasta un valor Ts ó TF Fig VI.1.

Fig VI.1.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito con condición de contorno isotérmica

La condición se puede conseguir cuando la superficie del sólido semiinfinito se pone en contacto con la de otro sólido a Ts y adquiere esta temperatura; si el sólido semiinfinito es un metal, y se pone en contacto con un líquido muy enérgico, (metal líquido) a TF, que posee un elevado coeficiente de transferencia térmica por convección hCF, también se provoca un cambio instantáneo de la temperatura superficial del sólido que pasa a TF, la cual se mantendrá constante durante todo el proceso. La condición de contorno isotérmica es, Ts = T(0,t) T - T0 dΦ d 2Φ La solución de la ecuación, dt = α , en la que, Φ = T - T , es: 2 dx s 0 dΦ dΦ du = = dt du dt

u=

x 2 αt

dΦ dΦ du dΦ 1 = = dx du dx du 2 α t

=

dΦ -x 1 -x dΦ = du 2 α 2 t t 4 t α t du

;

d2 Φ 1 d2 Φ du 1 d 2Φ = = 2 2 dx 2 α t du dx 4 α t du 2 VI.-110

por lo que: -x dΦ α d 2Φ = 4 t α t du 4 α t du 2 - x t dΦ d2 Φ = = t α du du2

x dΦ 2x dΦ dΦ = = - 2u α t du 2 α t du du

que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden, que requiere dos condiciones de contorno. Llamando dΦ du = m

;

dm du

- 2 um =

2

;

dm = - 2 u du = - du 2 m

2 dΦ m = C 1 e -u = du

ln m = - u2 + ln C 1 ; dΦ = C 1 e -u du

;

Φ = C1

∫e

-u 2 du

+ C2

que sometida a las dos condiciones de contorno se resuelve en la forma: Φ = 1 ; x = 0 ; u = 0 ⇒ 1 = C2   -u 2 du ; 0 = C 1  Φ = 0 ; x → ∞ ; dΦ = C1 e T(x,t) - T0 = 1 Ts - T0

2 π

∫

u

∞

∫0

2 e -u du + 1 = C 1

π + 1 ⇒ C1 = - 2 2 π

2

e - u du = ferc (u), (Función de error complementaria)

0

ó también, sumándola y restándola Ts: T(x,t) - Ts = G(u) = fer (u), (Función de error de Gauss) T0 - Ts que se define en la forma:

G(u) =

2 π

∫

u

e − u du 2

0

y cuyos valores se encuentran en la Tabla VI.1, o en la Fig VI.2. El flujo térmico conducido por el interior del sólido semiinfinito se puede determinar a partir de la ley de Fourier calculada en la superficie, o lo que es lo mismo, tiene que ser igual al flujo térmico que penetra o abandona la pared: q(t) = - k

∂T ∂T ∂u 〉 x=0 = - k ( ) = ∂x ∂u ∂x x=0

∂T ∂G(u) = (T0 - Ts ) ∂u ∂u VI.-111

= - k (T0 - Ts ) (

∂G (u) ∂u ) = ∂u ∂x x=0

Fig VI.2.- Función de error de Gauss, G(u)

Tabla VI.1.- FUNCIÓN DE ERROR DE GAUSS

u 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44

=

G(u) 0,00000 0,02256 0,45110 0,06762 0,09008 0,11246 0,13476 0,15695 0,17901 0,20094 0,22270 0,24430 0,25670 0,28690 0,30788 0,32863 0,34913 0,36936 0,38933 0,40901 0,42839 0,44749 0,46622

u 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90

G(u) 0,48466 0,50275 0,52050 0,53790 0,55494 0,57162 0,58792 0,60386 0,61941 0,63459 0,64938 0,66278 0,67780 0,69143 0,70468 0,71754 0,73001 0,74210 0,75381 0,76514 0,77610 0,78669 0,79691

∂u 1 )x=0 = ∂x 2 αt 2 ∂G(u) )x=0 = e- u 2 )x=0 = ( ∂u π

u 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36

2 π

G(u) 0,80677 0,81627 0,82542 0,83423 0,84270 0,85084 0,85865 0,86614 0,87333 0,88020 0,88079 0,89308 0,89910 0,90484 0,91031 0,91553 0,92050 0,92524 0,92978 0,93401 0,93806 0,94191 0,94556

=

u 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82

G(u) 0,94902 0,95228 0,95538 0,95830 0,96105 0,96365 0,96610 0,96841 0,97059 0,97263 0,97455 0,97635 0,97804 0,97962 0,98110 0,98249 0,98370 0,98500 0,98613 0,98719 0,98817 0,98909 0,98994

u 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,20 3,40 3,60

G(u) 0,99074 0,99147 0,99216 0,99279 0,99338 0,99392 0,99443 0,99489 0,995322 0,997020 0,998137 0,998857 0,999311 0,999593 0,999764 0,999866 0,999925 0,999959 0,999978 0,999994 0,999998 1,000000

- k (T0 - Ts ) παt

La cantidad de calor total conducida por el interior del sólido y que, por lo tanto, ha ingresado durante el intervalo de tiempo comprendido entre, 0 ≤ t ≤ t, es:

Q(t) =

∫

t

q(t) dt = 2 k (Ts - T0 )

t=0

Si se define, B =

t πα =

2 (Ts - T0 ) ρ c p k t π

ρ c p k , como una propiedad física del material, que se conoce como coeficienVI.-112

te de penetración térmica, resulta que: Q(t) =

2 (Ts - T0 ) B π

t

Materiales de elevado calor específico presentan una difusividad térmica α pequeña (gran inercia térmica), mientras que B es grande, por lo que el campo de temperaturas en el material variará muy lentamente; sin embargo, la cantidad de calor que liberan al enfriarse o almacenan al calentarse, es grande; por este motivo se escoge un material con α pequeño y, ρ cp, grande para la pared de un horno (ladrillos refractarios), y con, ρ cp, relativamente pequeño para un cortafuegos, (aire). En definitiva, cuanto mayor sea ρ, más pequeño será el espacio necesario para el campo de temperaturas.

Fig VI.3.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un cuerpo semiinfinito, con temperatura inicial T0 y condición de contorno isotérmica

CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN EN UN SOLIDO SEMIINFINITO.- Si en lugar de cambiar instantáneamente la temperatura superficial del sólido semiinfinito, se pone su superficie en contacto con un fluido que se encuentra a la temperatura TF, el calor transferido al sólido debe pasar en el fluido por convección y hacia el interior del sólido por conducción, en forma más o menos lenta, por lo que la temperatura de la superficie variará hasta alcanzar la del fluido, situación de equilibrio, pero no instantáneamente. La condición de contorno de convección es: h C {TF - T(0,t)} = ± k (

∂T ) ∂x x=0

según sea calentamiento del sólido (-) o enfriamiento del sólido (+). La solución de la ecuación: ∂ 2T 1 ∂T = α ∂x 2 ∂t sometida a la condición inicial, T(x,0) = T0, y a las condiciones de contorno dadas por la ecuación VI.-113

anterior y por T(∞,t) = T0, es de la forma: T(x,t) - T0 = 1 - G(u) - {1 - G(u + η )} e Bi x + η TF - T0 en la que: Fo x =

αt x2

;

Bi x =

hC x k

;

u=

x 2 αt

;

η =

h 2C α t = (Bi)2 Fo k2

caso que se reduce al de condición de contorno isotérmica, cuando la relación hC/k sea muy elevada.

Fig VI.4.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito con condición de contorno de convección

Fig VI.5.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito sometido a convección

En esta situación: G(u + η) = 1, y la función de error complementaria: 1 - G(u + η) = 0. En la gráfica de la Fig VI.5, se presenta la distribución de temperaturas en un sólido semiinVI.-114

finito sometido a convección; la condición de contorno isotérmica viene representada por la curva hs α t

=∞ ⇒

hs

=∞ k k La distribución de temperaturas adimensional en un sólido semiinfinito, con temperatura ini-

superior que se corresponde con,

cial uniforme, y sometido al contacto con un fluido a temperatura TF en el instante, t = 0, es sólo función de los números de Biot y de Fourier. Las ecuaciones del flujo térmico y de la distribución de temperaturas así obtenidas, son válidas para una geometría semiinfinita. Por lo tanto, es muy importante establecer cuándo una placa de gran tamaño y longitud característica L se puede considerar semiinfinita a efectos térmicos; Kreith propone que el número de Fourier sea menor que la unidad Fo < 1, condición necesaria, pero no suficiente, ya que se tiene que cumplir también que a una gran distancia de la superficie la temperatura inicial no se haya modificado, (condición de contorno del sólido semiinfinito).

Fig VI.6.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un cuerpo semiinfinito, con temperatura inicial T0 y condición de contorno de convección

Fig VI.7.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un cuerpo semiinfinito con temperatura inicial 0 sometido a un flujo de calor constante q0 en la superficie

VI.-115

SOLIDO SEMIINFINITO SOMETIDO A UN FLUJO TÉRMICO UNIFORME EN SU SUPERFICIE.Si el sólido semiinfinito está inicialmente a la temperatura T 0 y para t > 0 la superficie x = 0 se somete repentinamente a un flujo de calor q0 constante, (por ejemplo la radiación de una fuente a elevada temperatura), la distribución de temperaturas viene dada por la ecuación: T(x,t) = T0 +

2 q0 k

αt [

2

e- u π

- u{1 - G (u)}] , con, u =

x 2 αt

Si el calor procede de la radiación de una fuente a elevada temperatura Trad, es de la forma: 4 q 0 = α* σ (Trad - T04 )

siendo α* la absortividad de la superficie. CONTACTO ENTRE DOS SOLIDOS SEMIINFINITOS.- Si dos sólidos semiinfinitos a temperaturas distintas TA y TB se ponen en contacto en el instante t= 0, la solución del problema muestra que la temperatura de la superficie de contacto T cont viene dada por: TA − Tcont kB Tcont − TB = k A

αA = αB

(k ρ cp )B (k ρ c p )A

con las distribuciones de temperatura dadas por las funciones de error correspondientes a cada sólido. SOLIDO SEMIINFINITO SOMETIDO A UN PULSO DE ENERGÍA EN SU SUPERFICIE.- Si se descarga una cierta cantidad de energía E por unidad de área sobre la superficie en el instante t = 0 y esta energía se absorbe totalmente por la superficie, la distribución de temperaturas viene dada por la ecuación: T(x,t) = T0 +

E e - u2 ρcp π α t

Fig VI.8.- Respuesta de la temperatura de un sólido semiinfinito sobre cuya superficie se ha descargado instantáneamente una cierta cantidad de energía E

VI.-116

SOLIDO SEMIINFINITO CON GENERACIÓN DE CALOR E Y CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA t = 0 ; T= 0 ; 0 ≤x ≤ ∞ t > 0 ; E = Cte Φ(x,t) =

E [α - 2 {1 - G(u)}] k

;

u=

2

x αt

SOLIDO SEMIINFINITO CON GENERACIÓN DE CALOR E Y CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN t = 0 ; Φ = Φ 0 = T0 - TF ; 0 ≤ x ≤ ∞  E = Cte h t > 0 ;  x = 0 ; ∂Φ 〉 = - AΦ = C Φ x = 0  k ∂x 

Φ(x,t) = Φ0 +

Φ0 Eαt α k + { α ( πt - 2

x 2E ) - αk α π t3

h E 1 1 + {k ( h - h ) - Φ 0 (1 + C )} e k C ( C )2 k k

2

- x αt 4 αt + } e π

hC 2 hC hC x +xα( ) { 1 - G( u + k k k

α t )} +

E 1 (1 + ){ 1 - G ( u )} k hC k

SOLIDO SEMIINFINITO SOMETIDO A UNA VARIACIÓN PERIÓDICA DE SU TEMPERATURA SUPERFICIAL La temperatura superficial varía en la forma: β0 =

Φ0 Ts − Tm Tmáx + Tmín = T = cos w t, siendo la temperatura media, Tm = − T 2 Φ máx máx m

y Ts = Tx = 0 viniendo dada la distribución de temperaturas, Fig VI.9, por la ecuación: β =

Φ

Φ máx

=

T(x,t) - Tm -x Tmáx - Tm = e

w 2α

cos (x

w 1 2 α - w t) = f(Fo, T* )

w π  -x -x 2 α α T*  Función de amortiguación: e = e  que consta de:  w - w t)  Función periódica: cos (x  2 α 2π siendo T* el período de la onda térmica igual a, T*= , y w la frecuencia. w La amplitud de la variación de la temperatura disminuye exponencialmente a medida que VI.-117

penetra en el sólido y se desarrolla con un desfase igual a, x

w . 2α

El espesor de la pared es tan grande que la variación de la relación

temperatura dentro de la tiempo

misma, va a depender solamente de las condiciones impuestas en la superficie x = 0, por lo que se puede tratar como un sólido semiinfinito. Al ser cíclica la variación de la temperatura en la superficie, hay que suponer que su efecto ha proseguido hacia el interior del sólido, durante un cierto tiempo t, llegándose a un estado térmico vibratorio amortiguado.

Fig VI.9.- Pared gruesa sometida a cambios periódicos de temperatura

Como el fenómeno se amortigua con la profundidad de la pared, la ley de variación de β en un punto determinado sigue una ley de tipo cosenoidal, pero desfasada respecto a βs debido a la profundidad; volverá a estar en fase cuando se cumpla que: (x + λ)

π = x α T*

π +2π α T*

;

λ= 2

π α T*

en la que λ es la longitud de onda térmica. La variación de β en dos puntos separados una distancia igual a la longitud de onda λ se produce en fase, aunque la amortiguación sea distinta en los mismos. El valor de λ es característico del material que conforma el sólido, e independiente del tiempo; si llamamos: x* =

x x = λ 2 π α T*

el valor de β queda en la forma: β = e-2

π x*

t cos 2 π (x*- τ) , con, τ = T*

La representación de β en función de x* para distintos valores de τ, viene dada en la Fig VI.-118

VI.10, en la que se han tomado sobre el eje de las x* fracciones de longitud de onda λ y valores de τ iguales a: τ = 0 ,

T* T* 3 T* T* , , , , ... 8 4 8 2

La atenuación se hace n veces menor para: e

-x

π α T*

=

1 n

;

x=

α T* λ ln n = ln n π 2π

Haciendo, por ejemplo, n = 100, resulta: x

1 100

=λ

ln 100 = 0,7329 2π

⇒

x* 1 = 0,7329 100

que indica que la temperatura a partir de una cierta profundidad es Tm.

Fig VI.10.- Representación gráfica de la función β

La cantidad de calor que penetra y sale del muro, lo hace a través de la superficie del mismo que es, a su vez, una superficie equipotencial, Fig VI.11. La entrada de calor es de la forma: q0 = - k (

∂T ) , con , T = T(x,t) ∂x x=0

y la derivada parcial puede tomar valores positivos, negativos y nulos. Si q0 es positivo entrará calor, y cuando q0 sea negativo se disipará calor al medio exterior. T* 5 T* 5 T* T* hasta existirá salida de calor, y desde hasta habrá entrada de ca8 8 8 8 lor, según que la temperatura superficial sea menor o mayor que la de los puntos interiores inmediatos próximos. A partir de

VI.-119

T* 5 T* , ó, t = , no habrá intercambio de calor. 8 8 La expresión del calor intercambiado con el medio exterior es:

Cuando se tenga que, t =

q 0 = - k (Tmáx - Tm ) {- sen (-2 π τ)

π π + cos (2 π τ)()} = α T* α T* = − k (Tmáx - Tm )

π {sen (2 π τ) - cos (2 π τ)} α T*

Saldrá calor del muro cuando se cumpla: T(

8n+ 1 8n+ 5 2n+1 )< t < T( ), pasando por, T ( ) 8 8 2 Entrará calor al muro cuando se cumpla:

T(

8n+ 1 8n+ 5 )< t < T( ), pasando por, (T n) 8 8 No existirá intercambio de calor cuando se cumpla:

t= T(

8n+1 8n+5 ) ó t = T( ) 8 8

En la Fig VI.10 se observa el desfase existente entre la variación de la temperatura en la superficie y la variación de calor intercambiado. T* El calor almacenado en la pared para el semiperíodo, t = , es de la forma: 2 Q T* = 2

∫

T* 8

5 T* 8

q 0 dt = −

= −

∫

T* 8 5 T* 8

∫

T* 8

5 T* 8

π α T* {sen (2 π τ) - cos (2 π τ)} dt =

k (Tmáx - Tm )

k (Tmáx - Tm )

π t t α T* {sen (2 π T* ) - cos (2 π T* )} dt = T*

= − k (Tmáx - Tm )

π T* T* 8 α T* 〈- 2 π cos (2 π τ) - 2 π sen (2 π τ)〉 5 T* =

= − k (Tmáx - Tm )

π ρ c p T* 〈cos (2 π τ) + sen (2 π k T* 2 π

8

=

k ρ cp

T* 4 π Φ máx 2

T* τ)〉 58 T* 8

2=

= 2 k ρ c p T* Φ máx π

y que, en el siguiente semiperíodo, será devuelto. Si lo que varía senoidalmente es la temperatura del medio exterior, en la superficie de la placa aparecerá una variación de temperaturas también senoidal, pero atenuada y desfasada, como si entre el medio exterior y la superficie existiera otro espesor de placa que atenuase el proceso externo, Fig VI.12.

VI.-120

q

βs = cos(2π/T)

T/4 0

T/8

3T/8

T/2

5T/8

3T/4 7T/8

T

Fig VI.12.- Desfase entre la variación de temperatura y el calor intercambiado

Fig VI.11.- Zonas de entrada y salida de calor

Los cálculos anteriores están basados en el supuesto de placas muy gruesas; existen muchas aplicaciones industriales importantes sometidas a variaciones periódicas de la temperatura (como las registradas en las paredes de los cilindros de los motores de combustión interna), en las que las paredes sólidas que intervienen son de espesor finito; sin embargo, las propiedades térmicas de las mismas pueden ser tales que amortigüen la onda de temperatura hasta que, después de haber recorrido ésta una distancia relativamente pequeña desde la superficie hasta un punto situado en el interior de aquel, su amplitud sea tan pequeña que se pueda despreciar. A título de ejemplo se puede comprobar que en un motor de cuatro tiempos, funcionando a 3000 rpm, la onda debida a la variación de la temperatura del cilindro se amortigua hasta un valor del orden del 1% del registrado en la superficie, para una profundidad de 1,75 mm, por lo que en la mayoría de las aplicaciones se puede considerar que la pared del cilindro de un motor es infinitamente gruesa, supuesto válido siempre que la película superficial en el interior del cilindro tenga resistencia térmica despreciable, cosa que no es verdad, aunque los resultados sean del orden de magnitud indicado. VI.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN SOLIDO CON RESISTENCIA TÉRMICA DESPRECIABLE Si se supone un sólido en el que la energía transferida desde el mismo se elimina por convección a un fluido, y si se considera que la temperatura del solido varía de modo uniforme, se puede asegurar que la resistencia a la conducción en el sólido es mucho menor que la resistencia a la convección desde la superficie; esta situación se consigue cuando el fluido exterior tiene un bajo coeficiente de convección, de forma que la relación hC/k sea muy pequeña; dicha condición equivale a suponer que: Bi =

hC L k 0 ,  hC T dT  en, y = 0, y en, y = B, = ± k dy  Se toma el signo (+) en x = 0 y en, y = 0, y el signo (-) en, x = A y en, y = B. Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x,y), es tal que se puede descomponer en forma de producto de otras dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de las variables espaciales independientes, la condición inicial puede sustituirse por: Para, t = 0 , T = f (x,y) = f1 (x) f2 (y) y si ésto es posible, la solución de la ecuación: ∂2T + ∂2T = 1 ∂T α ∂t ∂x2 ∂y2 con las condiciones indicadas, se puede expresar como el producto de dos soluciones transitorias unidimensionales. Si representamos la solución que se busca, T(x,y,t), por el producto: T = Tx (x,t) Ty (y,t) siendo Tx(x,t) función de x y del tiempo t, y Ty(y,t) función de y y de t. Al sustituir la ecuación, T = Tx(x,t) T y(y,t), en la ecuación diferencial de partida se obtiene: ∂Ty ∂ 2 Ty ∂Tx ∂ 2 Tx 1 (T + T ) = ( T + T ) x y x α y ∂t ∂t ∂y 2 ∂x 2 Ty(

∂ 2 Ty ∂ 2 Tx 1 ∂Tx 1 ∂Ty ) + T ( )= 0 x α ∂t ∂x 2 α ∂t ∂x 2

y las condiciones de contorno e inicial, se transforman en: Para, t = 0 ; T = Tx T y = f1(x) f2(y)   en, x = 0, y en, x = A, Ty Para, t > 0   en, y = 0, y en, y = B, Tx 

hC dTx = ± dx dTy hC = ± dy

Tx Ty k Tx Ty k

El examen de las ecuaciones anteriores pone de manifiesto que se satisfacen, si T x(x,t) y Ty(y,t), son las soluciones de los dos problemas unidimensionales siguientes: VII.-126

∂ 2 Tx 1 ∂Tx = 2 α ∂t ∂x Para, t = 0 ; Tx = f1(x) h C Tx dTx   en, x = 0, dx = k Para, t > 0  dTx h C Tx  en, y = A, = dx k  2 ∂ Ty 1 ∂Ty = 2 α ∂t ∂x Para, t = 0 ; Ty = f2(x) dTy h C Ty   en, y = 0, dy = k Para, t > 0  dT h y C Ty  en, y = B, = dy k  Se observa que la solución del problema de conducción transitoria bidimensional se puede obtener como el producto de las soluciones de dos problemas unidimensionales, más sencillos, de las ecuaciones anteriores, siempre que la distribución inicial de la temperatura sea susceptible de expresarse en forma del producto: T = f(x,y) = f1 (x) f2 (y) , para, t = 0 Estas ecuaciones para placa plana finita son idénticas a las que regulan la conducción transitoria de calor en la placa plana infinita. Por tanto, la solución al problema de conducción transitoria del calor en la barra rectangular se obtiene como el producto de las soluciones para dos placas infinitas cuya intersección forma la barra en cuestión. En el caso de la barra rectangular calentada inicialmente a una temperatura uniforme, se pueden utilizar directamente tanto las soluciones analíticas, como los resultados gráficos de Heysler para placa plana, que se encuentre inicialmente a una temperatura uniforme. Los números de Biot y de Fourier para cada una de las dos placas que forman la barra serán distintos, a menos que dicha barra sea de sección transversal cuadrada. El principio de superposición por producto que se acaba de exponer en la conducción transitoria bidimensional en una barra rectangular se puede hacer extensivo a otros tipos de configuraciones. Así, para un paralelepípedo de dimensiones finitas la solución se puede obtener como el producto de las soluciones de tres placas infinitas, y para el cilindro circular como el producto de las soluciones para una placa infinita y para un cilindro circular de longitud infinita. Este principio de superposición es sólo aplicable a aquellos casos en los que la distribución de temperatura inicial se pueda descomponer en producto de varias funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de las variables espaciales independientes. Los ejemplos que hemos abordado pueden aplicarse tanto a procesos con condición de contorno isotérmica, como de convección. El empleo de gráficos para determinar las soluciones de VII.-127

problemas en régimen transitorio monodimensional, se puede ampliar a casos bi y tridimensionales; el método consiste en la utilización de datos obtenidos para casos monodimensionales y combinarlos adecuadamente en forma de productos. Si, por ejemplo, se desea determinar la temperatura en el punto P del cilindro de longitud finita que se muestra en la Fig VII.1, dicho punto vendrá localizado por dos coordenadas (x,r), siendo x una coordenada axial medida desde el centro del cilindro y r su posición radial. La condición inicial y las condiciones de contorno son las mismas que se aplican en el caso de gráficos monodimensionales correspondientes a procesos transitorios.

Fig VII.1.- Cilindro de longitud finita

El cilindro se puede suponer se encuentra inicialmente, t = 0, a una temperatura uniforme T0; en ese instante, toda la superficie se pone en contacto con un fluido, que es el medio exterior, el cual se encuentra a una temperatura ambiental constante TF. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie del cilindro y el fluido hC, se puede suponer de valor constante. Por tratarse de un cilindro de longitud finita, la distribución de temperaturas en régimen bidimensional se puede considerar como el producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a un cilindro infinito y a una placa infinita, siempre que la distribución inicial de temperaturas se pueda descomponer en dos factores, cada uno de los cuales depende de una sola coordenada espacial, es decir: Φ p (r,x,t) T(r,x,t) - TF Φ = = C(r) P(x) = T0 - TF Φ0 Φ0 en la que los símbolos C(r) y P(x) son las temperaturas adimensionales que corresponden, respectivamente, al cilindro infinito y a la placa infinita: C(r) =

Φ(r,t) Φ(x,t) ; P(x) = Φ0 Φ0

La solución para C(r) se obtiene de los gráficos de temperaturas correspondientes al cilindro, mientras que la solución de P(x) se obtiene de los gráficos de temperaturas correspondientes a la placa plana infinita. Mediante un procedimiento análogo al citado para el cilindro finito, se pueden obtener soluVII.-128

ciones para otras geometrías bi o tridimensionales, como el paralelepípedo representado en la Fig VII.2, intersección de tres placas infinitas. En las gráficas que se presentan en las Fig VII.3 y 4, se hace un resumen de las soluciones mediante gráficos, en las que la simbología utilizada representa las soluciones siguientes:

Fig VII.2.- Paralelepípedo finito

S(x) =

Φ(x,t) (sólido semiinfinito) Φ0

P(x) =

Φ(x,t) (placa infinita) Φ0

C(r) =

Φ(r,t) (cilindro infinito) Φ0

La ampliación de los gráficos monodimensionales a problemas con geometrías bi y tridimensionales permite resolver, en consecuencia, una diversidad sorprendentemente grande de problemas de transmisión de calor en régimen transitorio.

SISTEMAS BIDIMENSIONALES a) PLACA SEMIINFINITA

Φp (x1 ,x 2 ) Φ0

= P(x 1 ) S(x2 )

b) BARRA RECTANGULAR INFINITA

Φp (x1 ,x 2 ) Φ0

Φ0

Φp (x1 ,x 2 )

= P(x 1 ) P(x2 )

Φ0 e) CILINDRO FINITO

d) CILINDRO SEMIINFINITO

Φp (x,r)

c) UN CUARTO DE SÓLIDO INFINITO

Φp (x,r)

= S(x) C(r)

Φ0

VII.-129

= P(x) C(r)

= S(x 1 ) S(x2 )

SISTEMAS TRIDIMENSIONALES b) PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

a) BARRA RECTANGULAR SEMIINFINITA

Φp (x1 ,x 2 ,x 3 ) Φ0

Φp (x1 ,x 2 ,x 3 )

= S(x 1 ) P(x2 ) P(x3 )

Φ0

= P(x 1 ) P(x2 ) P(x3 )

c) UN CUARTO DE PLACA INFINITA

d) UN OCTAVO DE PLACA INFINITA

Φp (x1 ,x 2 ,x 3 )

Φp (x1 ,x 2 ,x 3 )

Φ0

= S(x 1 ) S(x2 ) P(x3 )

Φ0

= S(x 1 ) S(x2 ) S(x3 )

Fig VII.3.- Soluciones en forma de productos a los problemas de conducción en régimen transitorio, utilizando la información facilitada por los gráficos

Para hallar el calor total, se puede utilizar una expresión debida a Langston, de la forma: Q = Θ ρ c p V (T0 - TF ) en la que Θ es la fracción de energía disipada, Θ =

Q(t) , que se puede aplicar en la forma: Q0

a) Intersección de placa infinita y cilindro infinito, (cilindro): Θ = Θ placa + Θ cilindro(1 - Θ placa ) = Θ placa + Θ cilindro - Θ placa Θ cilindro b) Intersección de 3 placas infinitas, (prisma): Θ = Θ placa (1) + Θ placa (2)(1 - Θ placa (1) ) + Θ placa (3)(1 - Θ placa (1) )(1 - Θ placa (2) ) Estas soluciones no son válidas cuando la temperatura inicial del cuerpo no sea uniforme, o cuando la temperatura TF del fluido no sea la misma en toda la superficie de contacto del cuerpo.

VII.-130

VII.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA. a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno isotérmica

t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b t>0 ; T=0 ; x=0 ; x=a ; y=0 ; y=b Φ(x,y,t ) 8 = 2 Φ0 π

∞

∞

∑ ∑

e-σ

2αt

n=0 m=0

2

σ2 = λ n + η2m ; λ n =

(2n + 1) π a

sen (λ n x ) sen(η n y ) = 8 (2n+1) (2m+1) ;

ηm =

∞

∞

∑ ∑

e-σ

2 αt

n =0 m=0

sen(λ n x) sen( η n y) (a λ n ) (b η m )

(2m + 1) π b

b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 , y condición de contorno isotérmica t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c t>0 ; T=0 ; x=0 ; x=a ; y=0 ; y=b ; z=0 ; z=c Φ(x,y,z,t) = 64 Φ0 2

σ2 = λ n + η2m + γ2p ; λ n =

∞

∞

∞

∑∑∑

e -σ

2α t

sen( λ n x) sen( η n y) sen(γ p z)

n =1 m=1 p =1

(2m + 1) π (2n + 1) π ; ηm = a b

; γp =

λ n ηm γ p

(2p + 1) π c

c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno isotérmica t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H t>0 ; T=0 ; r=R ; z=0 ; z=H Φ(r ,z,t) 8 = πR Φ0 J0 (λ n R) = 0

∞

∞

n=1

m=1

J 0 (λ n r) sen ( 2 m + 1 π z) e - σ 2 α t H λ n (2 m + 1) J 1 (λ n R)

∑ ∑

2

; σ2 = λ n + {

(2m+1) π 2 } H

VII.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b VII.-131

 x =y =0 ;  ∂Φ t> 0; x =a ; ∂x   y = b ; ∂Φ ∂y  ∞ Φ(x,y,t ) = 4AB∑ Φ0 n=1

con λ n y µ m

∞

∑

m=1

∂Φ = ∂Φ = 0 ∂x ∂y = −A Φ = −B Φ

cos ( λ n x) cos (η m y) e - σ α t {a (λ 2n + A 2 ) + A} {b (η 2m + B2 ) + B} cos (λ n a ) cos (η m b) 2

h Cx   λ n tg( λ n a ) = k = A raices de,  h  µ tg(µ b) = Cy = B  m m k

   ; σ 2 = λ 2n + µ 2m  

b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c  ∂Φ  x = a ; ∂x = −A Φ  ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ t> 0; x= y= z =0 ; = = =0 ; y = b ; = −B Φ ∂x ∂y ∂z ∂y   z = c ; ∂Φ = −C Φ  ∂z  Φ(x,y,z,t) = Φ0 ∞

= 8 ABC

∞

cos (λ nx ) cos ( η m y ) cos (γ pz ) e - σ

∞

2 αt

∑ ∑ ∑ {a (λ 2 + A 2 ) + A} {b ( η 2 + B 2 ) + B} {c ( γ 2 + C 2 ) + C} cos ( λ n

n=1 m=1 p=1

con λ n , µ m

m

p

h Cx   λ n tg( λ n a ) = k = A  h Cy  y γ p raices de,  µ m tg(µ m b) = =B k   γ tg( γ c) = h Cz = C p  p k 

     ;    

na)

cos ( η m b ) cos ( γ p c )

σ 2 = λ 2n + µ 2m + γ 2p

c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H ∂Φ   r = R ; ∂r = −A Φ  ∂Φ t> 0; z = 0 ; =0 ∂z   z = H ; ∂Φ = −B Φ ∂z  Φ(r ,z,t) 4 A B = Φ0 R

∞

∞

n=1

m=1

∑ ∑

J 0 (λ n r ) cos (η m z ) e - σ 2 α t ( λ2n + A 2 ) J 0 (λ n R) {H (η 2m + B 2 ) + B} cos (η m H ) VII.-132

 A J 0 (λ n R ) = λ n J 1 (λ n R)  con λ n y η m raices de,   ; σ 2 = λ 2n + η 2m η tg ( η H ) = B m m   d) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, convección en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; R e ≤ r ≤ R i hC  ∂Φ  r = R i ; ∂r 〉 r = R i = a1 Φ = k Φ t> 0 ;   r = R e ; ∂Φ 〉 r = R = 0 e  ∂r Φ =0 ; z = 0 ; z = L Φ(r,z,t) =2 Φ0

∞

∑ {λ n=1

λ 2n {λ n J '0 (λ n R i ) + a1 J 0 (λ n R i )}2 N 0 ( λ n r) n

J '0 (λ n R i ) + a 1 J 0 (λ n R i )} 2 - (λ 2n + a12 ) J 20 (λ n R e ) ∞

x

∑

m=0

sen ( η z) - σ 2α t e 2m +1

∫

Re

Ri

x

r Φ 0 {J 0 (λ n r) Y0' ( λ n R e ) - J 0' (λ n R e ) Y0 (λ n r)} dr

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r ) Y0' (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 (λ n r) (2 m + 1) π   η = L con λ n y η raices de,  {λ Y (λ R ) + a Y (λ R )} J ' (λ R ) n 0 n i 1 0 n i 0 n e  =1 '  {λ n J 0 (λ n R i ) + a 1J 0 (λ n R i )} Y0 ( λ n R e )}

   ; σ 2 = λ 2n + η2  

e) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, convección en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; R e ≤ r ≤ R i hC  ∂Φ  r = R e ; ∂r 〉 r = Re = a 1 Φ = k Φ t> 0 ;   r = R i ; ∂Φ 〉 r = R = 0 i ∂r  Φ =0 ; z = 0 ; z = L Φ(r ,z,t) = 2π Φ0

∞

λ 2n {λ n J 0' (λ n R e ) + a 1 J 0 (λ n R e )} 2 N 0 (λ n r )

n=1

{λ n J 0' (λ n R e ) + a1 J 0 (λ n R e )} 2 + (λ2n + a 12 ) J 02 ( λ n R e )

∑

∞

x

∑

m=0

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r )

sen ( η z) - σ 2α t e 2m +1

Y0' (λ n R e

∫

Re

Ri

x

r Φ 0 {J 0 (λ n r) Y0' ( λ n R e ) - J 0' (λ n R e ) Y0 (λ n r)} dr

) - J '0 (λ n R e ) Y0 (λ n r)

VII.-133

(2 m + 1) π   η = L con λ n y η raices de,  {λ Y (λ R ) + a Y (λ R )} J ' (λ R ) n 0 n i 1 0 n i 0 n e  =1 '  {λ n J 0 (λ n R i ) + a 1J 0 (λ n R i )} Y0 ( λ n R e )}

   ; σ 2 = λ 2n + η2  

f) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, con convección en la superficie lateral exterior y en la superficie lateral interior. t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; R e ≤ r ≤ R i hC  ∂Φ 〉 e Φ = a Φ =  r = R e ; r = Re 1 ∂r k t> 0 ;  hC  r = R ; ∂Φ 〉 i = b Φ = Φ i 1  k ∂r r = R i Φ =0 ; z = 0 ; z = L Φ( r ,z,t ) =2π Φ0 ∞

x

∑

m=0

∞

∑ ( λ2 n=1

sen ( η z ) - σ 2 α t e 2m+1

λ 2n {λ n J'0 (λ n R e ) + b1 J 0 ( λ n R e )}2 N 0 ( λ n r)

n

∫

+

Re Ri

b12

){λ

' n J0

( λ nR 0 ) + b1 J 0 ( λ n R 0 )} 2 - ( λ2n + a 21 ) {λ n J '0 ( λ nR e ) + a1 J 0 ( λ n Re)}2

x

r Φ 0 [ J 0 (λ n r) {λ n Y0' (λ n R0 ) - b 1 Y0 ( λ n R i )} − Y0 ( λ n r ) {λ n J '0 (λ n R 0 ) - b 1 J 0 ( λ n R i )}] dr

N 0 (λ n r ) = J 0 ( λ n r ) Y0' (λ n R e ) - J '0 (λ n R e ) Y0 (λ n r) ( 2 m + 1) π    η = L  con λ n y η raices de,  {λ Y ' ( λ R ) - b Y ( λ R )} {λ J ' ( λ R ) + a J (λ R )}  ; σ 2 = λ 2n + η 2 n 0 n i 1 0 n i n 0 n e 1 0 n e   = 1   {λ n Y 0' ( λ n R e ) + a 1Y 0 (λ n R e )} {λ n J '0 ( λ n R i ) - b 1J 0 (λ nR i )}

VII.4.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO CON GENERACIÓN DE CALOR E. a) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. t = 0 ; T = 0 ; {0 ≤ x ≤ a} ; {0 ≤ y ≤ b} t>0 ; x=0 , T=0 ; y=0 , T=0 x=a , T=0 ; y=b , T=0 t > 0 ; E = Cte ∞ ∞ sen(λ n x) sen(µm y) 2 T(x,y,t) = 4 E ∑ ∑ {1 - e-σ α t} 2 2 π k n=1 m=1 nmσ

n = 1,3,5,7... ; m = 1,3,5,7... ;

λ n = πan

; µm = π m b

VII.-134

2

; σ2 = λ n + µ2m

b) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. ∂2T + ∂2T + ∂2T ∂x2 ∂y2 ∂z2

= 1 ∂T α ∂t

E k

t = 0 ; T = 0 ; {0 ≤ x ≤ a} ; {0 ≤ y ≤ b} ; {0 ≤ z ≤ c} t>0; x=0,T=0 ; y=0,T=0 ; z=0,T=0 x=a ,T=0 ; y=b,T=0 ; z=c,T=0 t > 0 ; E = Cte ∞ ∞ ∞ sen(λ n x) sen(µm y) sen(γp y) 2 T(x,y,z,t) = 8 E ∑ ∑ ∑ {1 - e-σ α t} 3 2 π k n=1 m=1 p=1 nmpσ

n = m = p = 1,3,5,7... ;

πp λ n = πan ; µm = π m ; γp = a ; b

2

σ2 = λ n + µ2m + γ2p

c) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. ∂2T ∂T + 1 r ∂r ∂r2

+

∂2T ∂z2

∂T = 1 α ∂t t=0 t>0 t>0 t>0 t>0

∞

; ; ; ; ;

E k

T = 0 ; {0 ≤ r ≤ R} ; {0 ≤ z ≤ L} r=R ; T=0 z=0 ; T=0 z=L ; T=0 E = Cte

∞

J0 (λ n r) sen (µm z) 2 T(r,z,t) = 4 E ∑ ∑ {1 - e-σ α t} ; n = 1,3,5,... π R k n=1 m=1 n λ n σ2 con λ n raíces de: J0 (λ n R) = 0 , y µm de: µm = π m L d) Esfera con generación de calor E; condición de contorno isotérmica. Condiciones de contorno, t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R r = R ; Φ 0 = 0 t> 0   E = Cte Φ( r,t) =

2 E k

∞

∑

n=1

sen (λ n r) 2 πn (1 - e - λ n α t ) (-1) n ; λ n = R λ 3n r

VII.-135

e) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno de convección. ∂2 Φ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ E + = α ∂t k ∂x 2 ∂y 2 t =0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤a ; 0 ≤y ≤b  E = Cte  ∂Φ ∂Φ  x = 0 ; y = 0 ; ∂x 〉 x = 0 = 0 ; ∂y 〉 y = 0 = 0 t> 0 ;  h Cy  h Cx ∂Φ 〉 ∂Φ 〉 = Φ ; y = b ; = Φ  x =a ; k k ∂x x = a ∂y y = b 

Φ( x,y,t) =

4E

con λ n y µ m

h Cx h Cy k k k

∞

∞

n=1

m=1

cos (λ n x) cos (µ m y) (1 - e - σ α t ) 2 h Cy h Cy h Cx 2 )+ } {b (µ m + 2 ) + } cos (λ n a ) cos (µ m b) k k k 2

∑ ∑

{a (λ2n +

h Cx   λ n tg( λ n a ) = k raices de,  h  µ tg(µ b) = Cy  m m  k

2 h Cx

k2

   ; σ 2 = λ 2n + µ 2m  

f) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno de convección.

∂2 Φ ∂ 2 Φ ∂2 Φ 1 ∂Φ E + + = 2 2 2 α ∂t k ∂x ∂y ∂z t =0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤a ; 0 ≤y ≤b ; 0 ≤ z≤ c

 E = Cte  x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; ∂Φ 〉 = 0 ; ∂Φ 〉 y = 0 = 0 ; ∂Φ 〉 z = 0 = 0  ∂x x = 0 ∂y ∂z  h Cx  ∂Φ  x = a ; ∂x 〉 x = a = - k Φ = - A Φ t> 0 ;  h Cy  ∂Φ 〉y=b= Φ = -BΦ  y =b ; k ∂y   h  z = c ; ∂Φ 〉 z = c = - Cz Φ = - C Φ ∂z k  Φ(x,y,z,t) = = 8 E0 A B C k

∞

x

∞

∞

∑ ∑ ∑ n=1 m=1 p=1

2

cos(λ n x) cos(µm y) cos(γp z) {1 - e-σ 2

α t}

{a( λ n + A2 ) + A}{b ( µ2m + B2 ) + B}{c ( γ2p + C 2 ) + C} cos(λ n a) cos(µm b) cos(γp z) VII.-136

con λ n , µ m

     ; σ 2 = λ 2n + µ 2m + γ 2p ; n = m = p = 1, 3, 5, ...    

h Cx   λ n tg (λ n a ) = k  h Cy  y γ p raices de,  µ m tg(µ m b) = k   γ tg(γ c) = h Cz p  p k 

g) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno de convección. ∂ 2 Φ 1 ∂Φ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ E + + = r ∂r α ∂t k ∂r 2 ∂z2 t =0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ r ≤R ; 0≤ z ≤L  E = Cte  ∂Φ  r = R ; ∂r =  t > 0 ;  z = 0 ; ∂Φ = 0  ∂r  ∂Φ   z = L ; ∂r = ∞

∞

∑ ∑

4 EA B kR

con λ n y µ m

 J 0 (λ n R ) λ n R λ n  = = Bi A raices de,  J 1 (λ n R)  µ tg (µ L) = B  m m

+

B2 )

h Cz Φ = -BΦ k

J 0 (λ n r) cos (µ m z) 2 (1 - e - λ n α t ) + B} σ 2 (λ2n + A 2 ) J 0 (λ n R) cos (µ m L)

Φ(r,z,t) =

2 n=1 m=1 {L (µ m

hC Φ = - AΦ k

VII.-137

VIII.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA DEL CALOR MÉTODO GRÁFICO

VIII.1.- SOLUCIONES NUMÉRICAS A PROBLEMAS DE CONDUCCIÓN MONODIMENSIONALES EN RÉGIMEN TRANSITORIO El método numérico aplicado a los problemas de conducción en régimen transitorio es semejante al utilizado para el caso de conducción en régimen estacionario. El sólido se divide en un cierto número de celdillas y en el centro de cada una se sitúa un nodo ficticio en el que se supone están concentradas las propiedades térmicas de las mismas. Un balance de energía en cada nodo permite hallar una expresión algebraica para determinar su temperatura, función de las temperaturas de los nodos vecinos, y de las características térmicas y geométricas del nodo en cuestión; asimismo hay que tener en cuenta un factor adicional, que es la energía almacenada en cada nodo de la celdilla, en el tiempo considerado, la cual se puede expresar como la variación de la energía interna del mismo. NODOS INTERIORES.- Vamos a considerar un nodo interno 0, según se muestra en la Fig VIII.1; la ecuación correspondiente a la variación de la energía interna del nodo 0 respecto al tiempo, para un problema monodimensional, viene dada por: 2

∑

Q0 = 0

ó

Q 1→0 + Q 2→0 =

i=1

∂U 0 ∂U 〉 nudo(0) = ∂t ∂t

Los términos de conducción de la ecuación anterior pueden aproximarse mediante la expresión, en diferencias finitas, de la ecuación de Fourier:

Q 1→0 = k A

T1t - T0t ∆x

;

Q 2→0 = k A

T2t - T0t ∆x VIII.-139

en las que los superíndices t indican que las temperaturas han de calcularse en el instante t, es decir, especifican la variación temporal de la temperatura; los subíndices se refieren a la posición de los nodos y especifican la variación espacial a lo largo del eje x. La variación de la energía interna del nodo 0 en el tiempo ∆t, suponiendo constantes la densidad ρ, y el calor específico cp del material, se puede expresar en la forma: T t+∆t - T0t ∆T0 ∂U 0 = m cp = ρ A ∆x c p 0 ∆t ∆t ∂t luego: Q 1→0 + Q 2→0 =

∂U 0 ∂t

⇒

kA

T1t - T0t T t - T0t T t+∆t - T0t + kA 2 = ρ A ∆x c p 0 ∆x ∆x ∆t

Despejando T 0t+∆t se obtiene: T0t+∆t = T0t +

k ∆t (T1t + T2t - 2 T0t ) = ρ c p ∆x 2

Fo=

α ∆t k ∆t = ∆x 2 ρ c p ∆x 2

=

= T0t + Fo (T1t + T2t - 2 T0t ) = Fo (T1t + T2t ) + T0t (1 - 2 Fo)

Fig VIII.1.- nodo interno 0

Fig VIII.2.- Método de Binder-Schmidt

Teniendo en cuenta la construcción geométrica de la Fig VIII.2 en la que: T1t + T2t OB = = T0t+∆t = Fo (T1t + T2t ) + T0t (1 - 2 Fo) 2 se obtiene: T1t + T2t − 2 T0t = Fo (T1t + T2t - 2 T0t ) T0t+∆t 2

1 ⇒ Fo = 2

que dice, que si en esta ecuación seleccionamos el número de Fourier igual a Fo= 0,5, se obtiene una solución gráfica sencilla para los problemas de conducción transitoria, ya que para el caso de un nodo interior 0, la ecuación anterior se simplifica en la forma: T0t+∆t =

T1t + T2t 2 VIII.-140

que establece el que una temperatura futura de un nodo interior sea la media aritmética de la temperatura de los dos nodos vecinos en el momento actual. La construcción gráfica para la determinación de temperaturas que acabamos de exponer, mediante técnicas de métodos numéricos, se denomina método de Binder-Schmidt; tiene el inconveniente de que da el mismo valor para la temperatura de los nodos correspondientes a dos intervalos de tiempos consecutivos, consecuencia de la necesidad de seleccionar el valor del número de Fo = 0,5. El intervalo de tiempos ∆t se fija en la forma: Fo = 0,5 =

α ∆t ∆x 2

;

∆x 2 ∆t = 2 α

Este método tiene limitadas sus aplicaciones a geometrías y procesos térmicos monodimensionales. Su aplicación es sencilla, pero presenta el inconveniente de que el tamaño de los pasos temporales viene limitado por condiciones de estabilidad; para evitar que aparezcan oscilaciones divert gentes en la solución, el coeficiente del término en T0 no debe ser negativo.

La restricción del valor del número de Fourier se denomina límite de estabilidad. t El criterio de estabilidad exige que el coeficiente del término en T0 que aparece en la ecuación:

T1t + T2t − 2 T0t = T0t+∆t = Fo (T1t + T2t ) + T0t (1 − 2 Fo) 2 sea positivo. Si, Fo > 0,5, se dice que la solución correspondiente a las temperaturas es inestable. La temperatura en el nodo 0 en el instante t + ∆t se obtiene dibujando una línea recta entre t t los puntos T1 y T2 .

En la Fig VIII.3 se desarrolla esta construcción en un caso general, observándose que: La isócrona inicial en t es,

T10 , T20 , T30 , T40 , T50 , T60 , T70 , ....

La isócrona inicial en t + ∆t es, T21 , T31 , T41 , T51 , T61 , .... La isócrona inicial en t +2 ∆t es, T32 , T42 , T52 , .... La isócrona inicial en t +3 ∆t es, T43 , .... El número de puntos de la isócrona disminuye por cuanto no se conocen las condiciones en los límites.

Fig VIII.3.- Cálculo de temperaturas por el método de Binder-Schmidt VIII.-141

NODOS PERIFÉRICOS.- Si se sitúa un nodo en el contorno o frontera de un cuerpo, el balance de energía depende de la condición de contorno en la superficie. Una condición muy interesante es la convección desde la superficie a un fluido exterior. Para su estudio consideraremos de nuevo un problema monodimensional en el que el nodo 0 está situado sobre la superficie como se muestra en la Fig VIII.4.-Nodo periférico en contacto con un fluido

Q 1→0 + Q F→0 =

kA

Fig VIII.4; el balance de energía para este nodo 0 es:

∂U 0 ∂U 〉 nudo(0) = ∂t ∂t

T1t - T0t ρ A ∆x c p T0t+∆t - T0t + h C A (TF - T0t ) = 2 ∆x ∆t

ya que el intervalo del nodo en la superficie es ∆x/2 debido a que el nodo 0 tiene sólo la mitad de la anchura que un nodo interior; los nodos interiores tienen una anchura igual a ∆x; los nodos en la frontera tienen una anchura ∆x/2. Despejando la temperatura futura del nodo superficial, se tiene:

t+∆t

T0

t

t = 2 Fo { T1 + Bi TF } + { 1 - 2 Fo - 2 Fo Bi} T0

 Fo = α ∆t  ∆x 2 ;   Bi = h C ∆x  k

Si los nodos están situados bastante próximos, la masa que el nodo 0 superficial representa es pequeña y es posible despreciar la energía almacenada en dicho nodo, es decir, se puede despreciar la capacidad térmica del mismo; en esta situación se cumple que, T0t+∆t = T0t , y la ecuación anterior se reduce a: T0t =

T1t + Bi TF 1 + Bi

siendo suficientes los valores de T1 y T F en el instante actual para determinar el valor, también actual, de la temperatura superficial T0 Si la capacidad térmica del nodo de la superficie no se desprecia y se utiliza la ecuación T0t+∆t = 2 Fo { T1t + Bi TF } + { 1 - 2 Fo - 2 Fo Bi} T0t el conocimiento de las temperaturas en un instante dado en la superficie del cuerpo y la temperatura de otro nodo que no esté en la superficie, determina la temperatura en el nodo superficial en el instante posterior T0t+∆t . Si deseamos encontrar el límite de estabilidad para un nodo de la superficie en el que se trans-

VIII.-142

fiere calor a un fluido por convección, el coeficiente del término en T0t de la ecuación anterior tiene que ser positivo, por lo que: 1 - 2 Fo - 2 Fo Bi ≥ 0

;

Fo ≤

1 2 (1 + Bi)

En el caso de un problema de conducción particular, las ecuaciones de los nodos interiores y del contorno o frontera, deben ser estables. Si por ejemplo se selecciona el valor, Fo = 1/4, para hacer que las temperaturas correspondientes a los nodos interiores sean estables, el requisito de estabilidad para el nodo de la frontera es, Bi < 1. Si se hubiese hecho el número de Fo= 0,5, habría sido imposible ajustar la condición de estabilidad para los nodos del contorno debido a que ahora, Fo(1 + Bi) ≤ 0,5, habría exigido que el número de Biot fuese negativo. El criterio de estabilidad hace que ∆t no pueda ser mayor que ∆x2/2α, y menor, si el nº de Bi de la red no es pequeño, por lo que si se desea aumentar la precisión reduciendo a la mitad el tamaño ∆x de la red, el paso temporal ∆t tiene que dividirse por cuatro. Antes de proceder a resolver un problema de conducción en régimen transitorio mediante técnicas numéricas es necesario el conocimiento de la distribución de temperaturas inicial. Con frecuencia el cuerpo está originalmente a la misma temperatura, es decir, es isotermo, y de este modo basta con hacer que todas las temperaturas de los nodos sean iguales a la temperatura inicial conocida. Se continúa entonces la resolución numérica mediante el cálculo de las temperaturas en el instante t posterior para todos los nodos interiores y para el nodo superficial, si en el contorno se transfiere calor a un fluido a temperatura TF. Conociendo las temperaturas en ∆t se repite el proceso para calcular la distribución de temperaturas completa en el instante 2 ∆t, y así sucesivamente. Un método alternativo al anterior (explícito), es el método implícito que permite evaluar el flujo de calor transferido por conducción por unidad de área en el tiempo (t + ∆t), en lugar del tiempo t.

Q 1→0 + Q 2→0 =

T0t+∆t

∂U 0 ∂t

⇒ k

T1t+∆t - T0t+∆t T2t+∆t - T0t+∆t T0t+∆t - T0t + k = ρ ∆x c p ∆x ∆x ∆t

Fo (T1t+∆t + T2t+∆t ) + T0t = 1 + 2 Fo

en la que hay tres temperaturas desconocidas en cada ecuación nodal. El sistema de ecuaciones algebraicas se puede expresar en forma matricial, observándose que todos los elementos de la matriz son nulos excepto los que están sobre la diagonal principal. El método implícito siempre es estable, y la elección del tamaño del intervalo ∆t obedece a criterios de precisión y no de estabilidad.

VIII.-143

ECUACIONES TÉRMICAS DE LOS NODOS Y CONDICIONES DE ESTABILIDAD La primera ecuación es la explícita, y la segunda es implícita a) Conducción monodimensional; nodo interior. T 0t+∆t = Fo (T1t + T 2t ) + (1 - 2 Fo) T 0t ; Fo ≤ 1 2 T 0t+∆t =

Fo (T 1t+∆t + T2t+∆t ) + T 0t 1 + 2 Fo

b) Conducción bidimensional; nodo interior; celdilla cuadrada T 0t+∆t = Fo (T1t + T 2t + T 3t + T 4t ) + (1 - 4 Fo) T 0t ; Fo ≤ 1 4 T 0t+∆t =

Fo (T 1t+∆t + T2t+∆t + T 3t+∆t + T 4t+∆t ) + T 0t 1 + 4 Fo

c) Conducción tridimensional; nodo interior; celdilla cúbica T 0t+∆t = Fo (T1t + T 2t + T 3t + T 4t + T 5t + T 6t ) + (1 - 6 Fo) T 0t ; Fo ≤ 1 6 T 0t+∆t =

Fo (T 1t+∆t + T2t+∆t + T 3t+∆t + T 4t+∆t + T 5t+∆t + T 6t+∆t ) + T 0t 1 + 6 Fo

d) Conducción monodimensional; nodo en la superficie; convección con un fluido exterior. T 0t+∆t = 2 Fo {T1t + Bi TF } + {1 - 2 Fo - 2 Fo Bi} T0t ; Fo ≤ T 0t+∆t =

1 2 (1 + Bi)

2 Fo (T 1t+∆t + Bi T Ft+∆t ) + T 0t 1 + 2 Fo + 2 Bi Fo

e) Conducción bidimensional; nodo en la superficie; convección con un fluido exterior. T 2t + T 3t 1 + Bi T F } + {1 - 4 Fo - 2 Fo Bi} T0t ; Fo ≤ 2 (2 + Bi) 2 T t+∆t + T 3t+∆t 2 Fo (T 1t+∆t + 2 + Bi T Ft+∆t ) + T 0t 2 T 0t+∆t = 1 + 2 Fo (2 + Bi) T 0t+∆t = 2 Fo {T1t +

f) Conducción bidimensional; nodo en la superficie esquina exterior; convección con un fluido exterior. T 0t+∆t = 2 Fo {T1t + T 2t + 2 Bi T F } + {1 - 4 Fo - 4 Fo Bi} T0t ; Fo ≤ T 0t+∆t =

2 Fo (T 1t+∆t + T 2t+∆t + 2 Bi TFt+∆t ) + T 0t 1 + 4 Fo (1 + Bi) VIII.-144

1 4 (1 + Bi)

g) Conducción bidimensional; nodo en la superficie esquina interior; convección con un fluido exterior.

T t + T 4t 3 T 0t+∆t = 4 Fo { 1 + T 2t + T 3t + Bi T F } + {1 - 4 Fo - 4 Fo Bi} T0t ; Fo ≤ 2 3 3 4 (3 + Bi) T t+∆t + T 4t+∆t 4 Fo ( 1 + T 2t+∆t + T3t+∆t + Bi T Ft+∆t ) + T 0t 2 3 t+∆t T0 = 1 + 4 Fo (1 + Bi ) 3 h) Conducción monomensional; nodo en la superficie; flujo de calor por unidad de superficie conocido q ts ∆x } + {1 - 2 Fo} T0t ; Fo ≤ 1 k 2 t+∆t q s ∆x ) + T 0t 2 Fo (T 1t+∆t + k t+∆t T0 = 1 + 2 Fo T 0t+∆t = 2 Fo {T1t +

Para superficies adiabáticas o planos de simetría se considera qs = 0 i) Conducción bidimensional; nodo en la superficie; flujo de calor por unidad de superficie conocido T 2t + T 3t q t ∆x + s } + {1 - 4 Fo} T0t ; Fo ≤ 1 2 k 4 t+∆t + T t+∆t t+∆t ∆x T q s 3 + ) + T 0t 2 Fo (T 1t+∆t + 2 k 2 t+∆t T0 = 1 + 4 Fo Para superficies adiabáticas o planos de simetría se considera qs = 0 T 0t+∆t = 2 Fo {T1t +

VIII.2.- APLICACIÓN DEL MÉTODO GRÁFICO A PAREDES COMPUESTAS Para el caso en que las paredes sean compuestas, Fig VIII.5, el problema de la construcción gráfica de las isócronas radica en calcular las sucesivas temperaturas que se alcanzan en la interfase de contacto. Así se puede poner:

Q 1→0 + Q 2→0 =

∂U 0 ∂t

en la que cada sumando es de la forma: Q 1→0 = k 1 A

T1t - T0t ∆x 1

;

Q 2→0 = k 2 A

T2t - T0t ∆x 2

T t+∆t - T0t T t+∆t - T0t ∂U 0 = ρ 1 A ∆x 1 c p 1 0 + ρ 2 A ∆x 2 c p 2 0 = 2 ∆t 2 ∆t ∂t = (ρ 1 A ∆x 1 c p 1 + ρ 2 A ∆x 2 c p 2 ) VIII.-145

T0t+∆t - T0t 2 ∆t

Fig VIII.5 a.b.- Aplicación del método de Binder-Schmidt a pared compuesta

por lo que, sustituyendo: k1 A

T1t - T0t T2t - T0t T t+∆t - T0t + k2 A = ( ρ 1 A ∆x 1 c p 1 + ρ 2 A ∆x 2 c p 2 ) 0 ∆x 1 ∆x 2 2 ∆t

k 2 T2t T t+∆t - T0t k 1 T1t k2 k + -( 1 + ) T0t = ( ρ 1 ∆x 1 c p 1 + ρ 2 ∆x 2 c p 2 ) 0 ∆x 1 ∆x 2 ∆x 1 ∆x 2 2 ∆t T0t+∆t

k 2 T2t ρ 1 ∆x 1 c p1 + ρ 2 ∆x 2 c p 2 ρ 1 ∆x1 c p 1 + ρ2 ∆x 2 c p 2 k1 T1t k2 k1 = + -( + ) T0t ∆x 1 ∆x2 ∆x2 2 ∆t 2 ∆t ∆x 1

Como: α 1 ∆t α 2 ∆t k 1 ∆t k 2 ∆t 1 Fo = 2 = = 2 = 2 = 2 ∆x 1 ∆x 2 ∆x 1 ρ 1 c p1 ∆x 22 ρ 2 c p2 ∆x 21 ρ 1 c p1 ∆x 22 ρ 2 c p2 ∆x 21 ∆x 22 ∆t = 2 α = 2 α = = 2 k1 2 k2 1 2 VIII.-146

∆x 1 ρ 1 c p1 2 ∆t

=

k1 ∆x 1

;

∆x 2 ρ 2 c p2 2 ∆t

=

k2 ∆x 2

sustituyendo se obtiene: T0t+∆t (

k1 k2 k1 k2 + )= T1t + Tt ∆x 1 ∆x 2 ∆x 1 ∆x 2 2

(T0t+∆t - T1t )

t t+∆t k1 k2 T t+∆t - T1t 1 T2 - T0 = (T2t - T0t+∆t ) ; 0 = k1 ∆x 1 ∆x 2 ∆x 1 ∆x 2 k2

que permite calcular gráficamente las sucesivas temperaturas de la interfase mediante líneas reck tas, reubicando el nodo 2 a una distancia de la unión, nodo 0, igual a un valor 1 ∆x2 , que será dik2 ferente al ∆x2 inicial, como se indica en la Fig VIII.5. t+∆t

El valor de T0

Tt0 +

∆t

=

es:

k1 Tt ∆x + ∆x Tt 1 2 1 2 k2 k1 ∆x + ∆x 2 1 k2

=

k2 Tt ∆x + ∆x Tt 2 1 2 1 k1 k2 ∆x + ∆x 1 2 k1

=

k1 Tt + k2 Tt 1 2 ∆x1 ∆x2 k1 + k2 ∆x1 ∆x2

VIII.3.- RESOLUCIÓN GRÁFICA CON CHOQUE TÉRMICO, C.C. ISOTÉRMICA. El choque térmico es un cambio repentino de la temperatura en la superficie de la pared del sólido. Teniendo en cuenta la Fig VIII.6, podemos suponer que el eje de abscisas se corresponde con la temperatura inicial constante T0, siendo Ts la temperatura final a la que se lleva bruscamente a la pared.

Fig VIII.6.- Aplicación del método de Bindera un sólido con choque térmico en su superficie y temperatura inicial T s VIII.-147

Ts

5

T1 4

T1 3

T1 2

(Ts +T0)/2

T1

5

T2 4

T2

3

1

T2

T1

5

T3 4

T3

2

T2

5

T4

3

T3 T0

0

T1

0

1

T2 T2

0

5

T5

4

T4 1

2

T3 T3 T3

0

1

2

3

T4 T4 T4 T4

0

1

2

3

4

T5 T5 T5 T5 T5

Fig VIII.7.- Sólido con choque térmico en su superficie con temperatura media inicial, (T 0 +Ts )/2

Si en el primer intervalo de tiempo ∆t la temperatura superficial se toma como (T0 + T s)/2, la isócrona vendrá dada por, Ts, T11, T12, T13, T14...  Para 2 ∆t ⇒ Ts , T12 , T22 , T32 , T42 , T52 , ...  En los intervalos ∆t posteriores, las isócronas son,  Para 3 ∆t ⇒ Ts , T13 , T23 , T33 , T43 , T53 , ...   Para 4 ∆t ⇒ Ts , T14 , T24 , T34 , T44 , T54 , ... Se ha comprobado analíticamente que la construcción con temperatura inicial en la superficie, T0 + Ts proporciona una mejor aproximación que la de considerar Ts en el instante inicial , como 2 se indica en la Fig VIII.7. VIII.4.- RESOLUCIÓN GRÁFICA CON CONVECCIÓN EN LA SUPERFICIE Sabemos que la tangente a la línea de distribución de temperaturas en la superficie del sólido, Fig VIII.1, pasa por el punto M situado a una distancia de la misma igual a k/hC y a una altura TF. La construcción gráfica de temperaturas por el método de Binder-Schmidt se basa en hallar este punto M de referencia y en la colocación de un nodo ficticio 0 en la zona de fluido, de forma que si el intervalo normal entre los nodos 1, 2, 3, ... , del sólido es ∆x, para la zona del sólido comprendida entre el nodo 1 y la superficie será ∆x/2, y para la zona de fluido comprendida entre la superficie y el nodo 0 será también ∆x/2. Se han hecho dos tipos de representación; en una se ha considerado una distribución de temperaturas no uniforme en el instante t = 0, Fig VIII.8, mientras que en la otra, Fig VIII.9, se ha considerado que la temperatura inicial del sólido es constante e igual a T0. En ambos casos, el sólido se introduce en un fluido a menor temperatura TF; se une el punto m correspondiente a la isócrona sobre la superficie del sólido, con el punto M, obteniéndose el punto a VIII.-148

que es el punto de partida correspondiente a la isócrona ∆t, obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas: Para ∆t

⇒ n, T11 , T21 , T31 , T41 , T51 , ...

Uniendo el punto n con el M se obtiene el punto b que es el punto de partida de la isócrona 2 ∆t, y así sucesivamente, obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas: Para 2 ∆t

⇒ r, T12 , T22 , T32 , T42 , T52 , ...

Para 3 ∆t

⇒ s, T13 , T23 , T33 , T43 , T53 , ...

Para 4 ∆t ⇒ u, T14 , T24 , T34 , T44 , T54 , ...

Fig VIII.8.- Aplicación del método de Binder-Schmidt a un sólido con convección en su superficie, y distribución inicial de temperaturas no uniforme

Fig VIII.9.- Aplicación del método de Binder a un sólido con convección en su superficie y temperatura inicial constante

VIII.-149

IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE

IX.1.- INTRODUCCIÓN Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc. Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen con el nombre de aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación (longitud/espesor) es del orden de 5/1 a 50/1, siendo el espesor del orden de 0,5 mm a 10 mm. Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta. Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su disposición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base sea pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución de temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la relación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones. Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, siendo el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con IX.-151

una separación del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o triangular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor. Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección hC a través de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada en mover el fluido.

a) Aletas longitudinales

b) Aletas transversales

c) Tubos aplastados con aletas continuas

Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas

Esta situación conduce a un estudio de métodos y costes de fabricación, mantenimiento y rendimiento de los elementos de las aletas, cuyos valores óptimos pueden no coincidir con los óptimos térmicos, por lo que un análisis de estos últimos es importante desde el punto de vista de la fabricación de modelos normalizados, así como de la elección del modelo más adecuado para el usuario. IX.2.- TRANSFERENCIA DE CALOR EN ALETAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE Los perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso más simple de superficies ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en dirección longitudinal, con hélices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fácil fabricación por extrusión, fundición, colada continua, etc. En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleación de la base. Las aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o presión, no tienen resistencias térmicas de contacto y son adecuadas para temperaturas elevadas dado que la base no se altera por dilataciones térmicas diferenciales siempre que no sufran efectos corrosivos o una excesiva deformación. En régimen estacionario, el calor que se conduce a través de un sistema de aletas se elimina al exterior mediante un proceso de convección, siendo la energía disipada, en la unidad de tiempo, proporcional a su área superficial. En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX.2 hemos representado una de sección transversal rectangular, de altura L, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que toma el número de Biot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y IX.-152

luego se elimina por convección al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es TF, y el coeficiente de transmisión de calor por convección es hC, siendo constantes ambos valores.

Fig IX.2.- Aleta de sección transversal constante

El balance de flujos térmicos en régimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen elemental situado en la posición x, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volumen en x + ∆x, más el calor transferido por convección en dicho tiempo, desde la superficie del volumen elemental, es decir: Q x − (Q x +

∂Q x ∆x) - Q C = 0 ∂x

Qx = - kS (

∂T ) ∂x x

;

;

∂Q x ∆x + Q C = 0 ∂x

∂Q x ∂ 2T = - k S ( 2 )x ∂x ∂x

Q C = h C dA (Tx - TF ) = h C ( p ∆x) (Tx - TF ) siendo p el perímetro y S el área de la sección transversal. La ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es: − kS(

∂ 2T ) ∆x + h C p ∆x (Tx - TF ) = 0 ∂x 2 x

;

(

h p ∂ 2T ) - kC S (Tx - TF ) = 0 ∂x 2 x

Uno de los cambios que se pueden hacer es de la forma: Tx − TF Φ(ξ) = T − T b F   por lo que:   

;

Tx = TF + Φ(ξ)(Tb − TF )

dT = ( T - T ) dΦ(ξ) dξ = ξ = x ; dξ = 1 b F dx dξ dx L dx L 2 Φ(ξ) dξ 2 Φ(ξ) 2 T T d T T d d T F = b = b 2 F dx 2 L dξ 2 dx L dξ 2

h C p L2 d 2 Φ(ξ) Φ(ξ) = 0 kS dξ 2 IX.-153

=

Tb - TF L

dΦ(ξ) dξ

La distribución de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en función del número de Biot; teniendo en cuenta que el perímetro p multiplicado por la longitud L de la aleta, es igual al área total de la superficie lateral A = p L, resulta: p L2 AL = = L* S S que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud característica L* de la aleta; el número de Biot se define en la forma: Bi =

h C p L2 h C L* = kS k

La expresión de la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas en forma adimensional, correspondiente a la aleta, en función del número de Biot, es: d2 Φ - Bi Φ = 0 dξ 2 cuya solución general es: Φ(ξ) = C1 e-

Bi ξ

+ C2 e

Bi ξ

Los valores de las constantes de integración C1 y C2 se determinan una vez se especifiquen las condiciones de contorno. CONDICIONES DE CONTORNO.- La temperatura que se suele conocer inicialmente es la correspondiente a la base de la aleta, x = 0, Tx=0 = Tb, que es la primera condición de contorno, por lo que: Tb - TF x = 0 ; ξ = 0 ; Φ(0) = T - T = 1 ; C 1 + C 2 = 1 b F común a los tipos de aletas de sección transversal constante. La segunda condición de contorno toma diversas formas, según sea:

a) Aleta muy larga.- La temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior del fluido que la rodea: T - T x Tx→∞ = TF ; ξ = L = 1 ; Φ(1) = TF - TF = 0 = C 1 e b F

Bi

+ C2 e

y como L es muy grande y Bi es proporcional en este caso a L2 resulta: 0 + C2 e

Bi

= 0 ; C2 = 0 ; C1 = 1 IX.-154

Bi

Tξ - TF Φ(ξ) = T - T = e b F

Bi ξ

Tξ = TF + ( Tb - TF ) e -

;

Bi ξ

que es la ecuación correspondiente a la distribución de temperaturas. Para determinar la cantidad de calor disipada, hay que tener en cuenta que el calor que se elimina por convección, es igual al que entra a la aleta por conducción por la base, x = 0, por lo que: Q = - kS(

∂Φ(ξ) ∂T kS kS ) x=0 = (Tb - TF ) ( ) = (Tb - TF ) ∂x L ∂ξ ξ=0 L

C1 = 1

Bi (C1 - C 2 ) = =

C2 = 0

=

kS (Tb - TF ) L

Bi

b) Aleta con su extremo libre térmicamente aislado.- Este tipo de aletas no disipa calor por el extremo libre, x = L ó ξ = 1, por lo que:

dT |x=L = 0 dx

Tb - TF dT | x=L = dx L

;

dΦ(ξ) dξ

|ξ=1 = 0

;

dΦ(ξ) dξ

|ξ=1 = 0

Las constantes C1 y C2 se obtienen en la forma: ⇒

dΦ | ξ=1 = 0 dξ

Bi C1 = C2 e − e Bi C1 + C 2 = 1

- Bi C1 e-

  e  ⇒ C2 − e  

Bi

Bi Bi

+

Bi C2 e

Bi

= 0

 e − Bi  C2 = e Bi + e − + C2 = 1 ⇒  e Bi  C = 1 2 Ch Bi 

Bi

=

e− 2 Ch

Bi

Bi

La solución general para la distribución de temperaturas es: Φ(ξ) =

T(ξ) - TF = e Tb - TF

Bi

e- Bi ξ + e- Bi e e Bi + e- Bi

Bi ξ

= e

e- Bi(1-ξ) = Ch{ Bi (1- ξ)} Ch Bi + e- Bi

Bi(1-ξ) +

e

Bi

La temperatura T L en el extremo libre de la aleta, ξ = 1, es: TL - TF Tb - TF

=

1 Ch Bi

;

TL = TF +

Tb - TF Ch Bi

El calor disipado por la aleta en la unidad de tiempo, se puede determinar como en el caso anterior, considerando que la cantidad de calor que se elimina por convección, es la misma que entra por conducción por el entronque de la aleta, x = 0, es decir: dΦ(ξ) Q = - k S (dT )x=0 = - k S (Tb - TF) |ξ=0 = k S (Tb - TF) dx L L dξ IX.-155

Bi (C1 - C2) =

= k S Tb - TF L

Bi - e- Bi Bi e = k S Tb - TF L 2 Ch Bi

Bi Sh Bi = k S Tb - TF L Ch Bi

Bi Th Bi

c) Aleta con convección desde su extremo libre.- La condición de contorno en el extremo libre, ξ = 1, es:  - k dT 〉 x=L = hC (T - TF )x=L = h C Φ(1)(Tb - TF )  dx  Tb - TF dΦ dT  -k 〉 x=L = − k 〉  L dξ ξ=1 dx por lo que: dΦ |ξ=1 = - hC L Φ(1) = - hC L [C1 ek k dξ

Bi

+ C2 e

Bi]

que igualada a: dΦ | = - Bi C eξ=1 1 dξ

Bi

+

Bi

Bi C2 e

permite obtener otra relación entre las constantes C1 y C2: - hC L [C1 ek C1 e-

Bi

Bi

+ C2 e

Bi]

= - Bi C1 e-

[- Bi + hC L ] + C2 e k e

Bi

e-

Bi

C1 = C2

Bi

+

Bi C2 e

Bi

[ Bi + hC L ] = 0 k

Bi

hC L ] k h L] C [ Bi k [ Bi +

y como, C1 + C 2 = 1, se obtiene: h CL ) e Bi k h L + e - Bi ) + C (e k h L ( Bi - C ) e- Bi k h L + e - Bi ) + C (e k ( Bi +

C1 = Bi (e

Bi

C2 = Bi (e

Bi

Bi

- e-

Bi

1 = 2 )

= Bi

- e-

Bi

)

La distribución de temperaturas es: Φ(ξ) =

T(ξ) - TF = C 1 eTb - TF

Bi ξ

+ C2 e

Bi ξ

= IX.-156

1 2

hC L ) e Bi k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k h L ( Bi - C ) e- Bi k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k ( Bi +

= 1 2

e

Bi

[ Bi +

hC L ] ek

Bi ξ

+ e-

Bi

[ Bi -

Bi ξ

=

Bi Ch Bi + hC L Sh Bi k

Bi Ch[(1-ξ) Bi] + hC L Sh[(1-ξ) Bi] k h Bi Ch Bi + C L Sh Bi k

=

hC L ] e k

=

2 Bi = hC p L k S hC L = S Bi k p L

=

Ch[(1 - ξ) Bi] + S

Bi Sh[(1 - ξ) Bi] p L Ch Bi + S Bi Sh Bi p L

= El calor disipado en la unidad de tiempo es: Q= -

kS dΦ kS (Tb - TF ) 〉 = (Tb - TF ) L L dξ ξ=0 kS = 2 L (Tb - TF )

Bi

Bi

hC L h L ) - e − Bi ( Bi - C ) k k = hC L Bi Ch Bi + Sh Bi k

( Bi +

Bi

h L hC L Th Bi + C Ch Bi k k Bi = k S (Tb - TF) Bi = hC L hC L L Bi Ch Bi + Sh Bi 1+ Th Bi k k Bi Bi Sh Bi +

= k S (Tb - TF) Bi L

k S (T b - TF ) = L

e

Bi (C 1 - C 2 ) =

Th Bi +

S Bi pL

h 2 a L2 2 hC L2 h C p L2 = C = = m 2 L2 k ae ke kS 2 hC Bi = m L ; m = ke

Bi =

S Bi 1+ Th Bi pL

=

Th (mL) +

= k S (Tb - TF ) m

1 +

=

hC km

hC Th(mL) km

d) Aleta entre dos paredes a temperaturas distintas, T b y TL.- La condición de contorno en el extremo TL es: x x = L ; T = TL ; ξ = L = 1 TL - TF Φ(1) = T - T = C1 eb F

Bi

+ C2 e

Bi

=

C1 = 1 - C2 = e-

C2 =

Bi

+ C2 ( e

Φ(1) - e- Bi 2 Sh Bi

C1 = 1 -

= ( 1 - C 2 ) e-

Φ (1) - e - Bi e Bi - Φ (1) = 2 Sh Bi 2 Sh Bi IX.-157

Bi

- e-

Bi

Bi

+ C2 e

) = e-

Bi

Bi

=

+ 2 C 2 Sh Bi

en las que Tb, TL y TF son conocidas y Φ(1) es dato. Distribución de temperaturas: Φ(ξ) =

=

e

e Bi - Φ(1) e 2 Sh Bi

Bi (1 - ξ ) -

Φ(1) e-

Bi ξ

+

Φ(1) - e - Bi e 2 Sh Bi

Bi ξ

+ Φ(1) e 2 Sh Bi

Bi ξ

- e−

Bi ξ

=

Bi (1 - ξ)

=

Sh { Bi (1 - ξ)} + Φ(1) Sh ( Bi ξ) Sh

Bi

El calor Q para cualquier valor de ξ es: Q = - kS

dΦ(ξ) dT kS = (Tb - TF ) = dx L dξ = -

kS (Tb - TF ) L

Bi

- Ch{ Bi (1 - ξ )} + Φ(1) Ch ( Bi ξ) Sh Bi

El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a Tb, menos el calor saliente por la pared a T L, es decir: Q = Q ξ=0 - Q ξ=1 = -

kS L (Tb - TF )

Bi

Φ(1) - Ch Bi - Φ (1) Ch Bi + 1 = Sh Bi = -

kS (Tb - TF ) L

Bi

(1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1} Sh Bi

IX.3.- CAMPO DE APLICACIÓN DE LAS ALETAS RECTAS DE PERFIL UNIFORME dQ = 0, aplicada a la ecuación: dL h Th(m L) + C k m Q = k S (Tb - TF ) m hC 1 + Th(m L) km h h h m m {1 + C Th ( m L)} - { Th (m L) + C } C 2 2 k m k m k m Ch (m L) Ch (m L) dQ = k S (T T ) m = 0 b F h dL {1 + C Th ( m L)} 2 km proporciona: La condición

1 +

hC h h Th (m L) = {Th ( m L) + C } C km km k m

; 1= (

hC 2 h C e ) = km 2k

que se cumple para cualquier valor de L, e indica las condiciones técnicas a tener en cuenta para colocar aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen. Esta ecuación indica que si la resistencia térmica por unidad de superficie frontal de la aleta es menor que la resistencia térmica correspondiente a la convección, hay que colocar aletas, mientras que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante. IX.-158

Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexión, que se corresponde con una evacuación de calor del tubo sin aletas. h e a ) Cuando C > 1, resulta que la adición de aletas produce un efecto aislante o refrigerante , por cuan2k to el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, llegando a ser, incluso, un calor negativo que se interpreta como el que las aletas absorben calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una máquina frigorífica) hC e = 1, las aletas no producen ningún efecto, y es equivalente al tubo sin aletas 2k h e c) Cuando C < 1, la adición de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido ambiente, sis2 k b) Cuando

temas de calefacción . En los procesos de calefacción, por razones de tipo económico, es mejor que la superficie primaria carezca de aletas, a menos que se cumpla que, hC e/2 k 5000 W/m2ºC, que proporcionan valores de, hC e/2 k, del orden de la unidad, por lo que el empleo de la aleta sería antieconómico. Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio térmico muy efectivo entre la superficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de película del orden de 50 a 120 W/m2ºC, que permiten valores de, hC e/2 k, lo bastante bajos como para que las aletas ejerzan un efecto conveniente, y de ahí que algunas de sus aplicaciones más interesantes sean, por ejemplo en: IX.-160

- Motores enfriados por aire - Precalentadores de aire y economizadores de calderas - Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire - Radiadores de automóviles - Intercambiadores de calefacción agua-aire, etc. Para aletas con convección en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida LC, despreciando los efectos de convección en dicho extremo, mediante la expresión: LC = L +

e 2

y se tratan como aletas con su extremo libre aislado térmicamente. IX.5.- CASOS ESPECIALES Una de las características fundamentales del análisis de protuberancias de sección constante, consiste en que dado el pequeño espesor de las mismas se puede considerar la conducción como unidireccional y, por lo tanto, que la variación de la temperatura a través de su sección transversal permanece prácticamente constante. Esta suposición se puede aplicar a una serie de situaciones como: a) Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que a lo ancho de las mismas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas varía la temperatura, pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; aunque esta situación no se corresponde físicamente con la de la protuberancia, el proceso térmico que acontece sí, ya que en la protuberancia existe un gradiente de temperaturas a lo largo de ella, pero no transversalmente, por lo que esta casuística se puede aplicar de alguna forma a dicha situación. b) La instalación de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases calientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya temperatura va a medir, existiendo un flujo térmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar que le unen con la pared más fría, que está equilibrado por la convección desde los gases, por lo que la variación de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prácticamente uniforme, existiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar, caliente, y el equipo de registro, frío, similar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del termopar. c) Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la variación de la temperatura a través de ellas es pequeña comparada con la variación de temperaturas en la región que separa la corriente caliente de la corriente fría. d) Los conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la porción del circuito que los separa. Queda claro con estos ejemplos que no es obvio que la situación guarde parecido alguno con el caso geométrico de la protuberancia y, sin embargo, la suposición de que la variación de la temperatura es mínima en la sección transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuación diferencial similar a la deducida para la protuberancia. IX.-161

X.- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL VARIABLE

X.1.- ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE Para aquellos tipos de aleta en los que su perfil no sea constante, podemos considerar un elemento diferencial de anchura dx, tal como se muestra en la Fig X.1, sobre el que se definen los siguientes calores: Q1 es el calor entrante, en x, por conducción Q2 es el calor saliente, en (x + dx), por conducción QC es el calor disipado por convección en el elemento diferencial Haciendo un balance de flujos térmicos similar al efectuado en el caso anterior de aleta de sección constante, se obtiene: ∂T 〉 ∂x x ∂Q 1 ∂ 2 Q 1 dx2 ∂Q 1 Q2 = Q1 + dx + + ... = Q 1 + dx ∂x ∂x 2 2! ∂x Q1 = − k S

Q C = h C dA (Tx - TF ) El balance de flujos térmicos es: Q 1 = Q 2 + Q C = Q1 +

∂Q1 dx + Q C ∂x

⇒

∂Q 1 dx + Q C = 0 ∂x

Llamando, Φ = Tx - T F, a la diferencia entre las temperaturas de la aleta y del fluido en que está inmersa, se tiene: X.-163

Fig X.1.- Aleta de sección variable

∂ dΦ (- k S ) dx + h C Φ dA = 0 dx ∂x

;

-k

dS dΦ d2 Φ dx - k S dx + h C Φ dA = 0 dx dx dx 2

en la que S es la sección transversal variable y dA la superficie lateral del elemento elegido de la aleta expuesta a la convección. Dividiéndola por, k S dx, se obtiene: h C 1 dA d2 Φ 1 dS dΦ + S dx dx - k ( S dx ) Φ = 0 2 dx que es de aplicación general a cualquier tipo de configuración de superficie ampliada en la que la conducción de calor sea monodimensional. Para el caso particular de aleta recta de sección transversal constante, se tiene: S = Cte ⇒ dS = 0 ; A = p x ⇒ dA = p dx obteniéndose la forma ya conocida: h p d2 Φ - kC S Φ = 0 2 dx ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE.- Este tipo de aletas, Fig X.2, se utiliza principalmente en cambiadores de calor líquido-gas, y en cilindros de motores refrigerados por aire; para su estudio supondremos que el espesor de la aleta e es mucho más pequeño que la diferencia entre sus radios, e b

1+

b2 , una constante que depende de las características de la aleta. 4 L2

⇒ f = 1, se satisface la condición monodimensional:

A = 2 (x - x e ) ;

dA dx = 2

Aplicando estos valores a la ecuación diferencial general se obtiene: X.-169

h d2 Φ L b dΦ L +( ) - kC ( 2 f) Φ = 0 2 b x L dx bx dx d2 Φ 1 dΦ n2 + - x Φ = 0 , con, n = 2 x dx dx

2 f hC L = m kb

L

La solución de esta ecuación diferencial es: Φ = B I0 (2 n x ) + C K0 (2 n x ) ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR..- Para calcular las constantes de integración de la aleta triangular B y C, partiremos de las condiciones en los extremos; de acuerdo con la Fig X.5, se tiene: a) Para, x = xe = 0, C = 0, por cuanto la función de Bessel modificada K0 tiende a infinito cuando el argumento tiende a cero; por lo tanto: Φ = B I0 (2 n x ) b) Para, x = L, T = Tb, que se supone constante, luego, Φ = Φb, y por lo tanto, el valor de B es: Φ b = B I0 ( 2 n L )

⇒

Φb I0 (2 n L )

B=

La distribución de temperaturas queda en la forma: Φ=

Φb I0 (2 n x ) ⇒ I0 (2 n L )

I 0 (2 n x ) Φ = Φb I0 (2 n L )

El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal de anchura unidad será igual al que penetra por conducción por su base, por lo que: 2 n I (2 n L ) 1 k b Φ b n I1 (2 n L ) dΦ 2 L Q = - k (S dx ) x=L = - k b Φ b = I0 (2 n L ) L I0 (2 n L ) Las ecuaciones de Φ y de Q se pueden expresar en forma adimensional, haciendo: βt = 2 n L =

8 f h C L2 kb

;

ηt =

x L

obteniéndose para la distribución de temperaturas que: I (β η ) Φ = 0 t t = G 3 (β t η t ) Φb I0 (β t )

X.-170

Fig X.6.- La función G3 para la distribución de la temperatura en la aleta recta de perfil triangular

Fig X.7.- La función G4 para el flujo calorífico en la aleta recta de perfil triangular

y para el flujo de calor : β I (β ) β Q = - Φ b k b 2 tL 1 t = - Φ b k b 2 tL G4 (β t ) I0 (β t ) en las que se han definido las nuevas funciones, G3(β t ηt) y G4(β t), Fig X.6.7, en la forma: G 3 (β t η t ) =

I0 (β t η t ) I0 (β t )

;

G4 (β t ) =

I 1 (β t ) I 0 (β t )

Para cálculos rápidos se utilizan las gráficas de G3(β t ηt) y G4(β t).

X.-171

X.2.- PERFIL OPTIMO DE LA ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR El perfil óptimo de la aleta triangular longitudinal de sección Ω =

bL , se obtiene haciendo 2

dQ/db = 0, con Q en la forma:

Q= -

k b Φ b n I1 (2 n L ) L

I0 (2 n L )

=

n=

2 hC L kb

= - Φ b 2 hC k b

I1 (2 L I 0 (2 L

2 hC ) kb = 2 hC kb ) I1 (4 Ω

= - Φ b 2 h Ck b I0 (4 Ω

2 hC k b3 2 hC k b3

que derivada respecto de b proporciona la siguiente condición de máximo:

4 3

I1 (4 Ω I 0 (4 Ω

2 hC ) k b3 = Ω 2 hC ) k b3

2 hC {1 - ( k b3

I1 (4 Ω I0 (4 Ω

2 hC ) k b3 2 ) } 2 hC ) k b3

⇒

4Ω

2 hC = 2,6168 k b3

 Ω 2h C  Base, b ópt = 1,6718 3 k de la que se deduce,  Ωk 2Ω  Longitud, L = b ópt = 1,196 3 h  C ópt  Teniendo en cuenta las variables de trabajo, hC , L , Q , (Tb - TF), resulta: Q = - Φ b 2 h C k b ópt

I1 (2,6168) = - 0,7754 Φ b 2 h C k b ópt I0 (2,6168)

b ópt =

0,8273 Q 2 k h C ( Tb - TF )

Ω ópt =

0,3483 Q (T - T )3 b F k h 2C

L ópt =

0,8420 Q (T - T ) hC b F

X.3.- RENDIMIENTO DE LA ALETA Se define el rendimiento de una aleta µ, como la relación entre la cantidad de calor transferida realmente por la aleta Q a y el calor transferido a través de una aleta ideal Qi: Q real η = Q ideal

X.-172

) )

La aleta ideal transfiere la máxima cantidad de calor respecto a una aleta cualquiera del mismo tamaño e igual temperatura en la base. La aleta ideal tiene una conductividad térmica infinita y, por consiguiente, toda ella es isotérmica, por lo que estará a la temperatura de la base T b. La transferencia de calor, por unidad de tiempo, desde una aleta ideal es: Q i = h C A a (Tb - TF ) siendo, Aa = p L, la superficie lateral de la aleta expuesta al fluido a temperatura TF. Por lo tanto, la transferencia de calor por unidad de tiempo, procedente de la aleta real, en función del rendimiento, será: Q real = Q = η h C A a (Tb - TF ) Si se tiene en cuenta la sección A t , perteneciente al tubo, el calor Q total disipado por la aleta y el tubo es: Q = Q t + Q a = (h C A t + η A a ) (Tb - TF ) Casos particulares: a) Aleta longitudinal de sección uniforme, de superficie constante y extremo libre aislado:

η=

Bi k S (Tb - TF ) Th Bi Th Bi L = h C p L (Tb - TF ) Bi

;

Bi =

h C p L2 kS

p = 2 (a + e) ≅ 2 a

;

que viene representada en la Fig X.8. b) Aleta longitudinal de perfil triangular: k b Φ b n I1 (2 n L ) L I0 (2 n L ) n η= = 2 hC L 2 hC L Φb kb =

I1 (2 n L ) = L I0 (2 n L )

I1 (2 n L ) = n L I0 (2 n L ) 1

n =

βt = 2 n L I (β ) G 4 (β) = 1 I0 (β)

2 f hC L = m kb

=

L

=

2 G4 (β t ) G 4 (2 n L ) = βt n L

c) Aleta anular de espesor constante:

η=

π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) = h C Φb A

=

A = 2 π (re2 - rb2 ) r α an = rb ; rb = re α an e 2 h C re2 β2an = ; 2 h C re2 = k e β 2an ke

=

π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α anβ an ) = G 2 (α an β an ) h C Φ b 2 π re2 (1 - α 2an ) X.-173

Fig X.8.- Efectividad de las aletas de sección uniforme y de sección triangular

Fig X.9.- Eficiencia de aletas de perfil triangular

X.-174

Fig X.10.- Eficiencia de aletas anulares

Cuando las aletas son muy largas, L >> b, la eficiencia de la aleta se puede poner en función del parámetro:

L

2 hC kb

= L

m

Las Fig X.9 y 10, muestran la variación de la eficiencia de la aleta en función de dicho parámetro para algunas secciones transversales típicas; así, en la Fig X.9 se representa la eficiencia de aletas longitudinales en las que el espesor de la aleta varía con la distancia x medida desde la base de la aleta; en la Fig X.10 se representa la eficiencia de aletas anulares en forma de disco de espesor e constante. Al aumentar el número de aletas en una superficie se aumenta el área de transferencia térmica, pero también aumenta la resistencia térmica de la superficie en donde se fijan las aletas, por lo que se pueden presentar situaciones en las que al aumentar el número de aletas no se incremente la transferencia de calor. X.4.- PERFILES DE ALETAS PARABÓLICOS PERFIL PARABÓLICO CÓNCAVO

Ecuación del perfil: z = b ( x )2 2 L b L Area del perfil: Ω = 3 X.-175

2 2 Distribución de temperaturas: Φ = T - TF = ( x )a ; a = -1 + 1 + 4 m L Tb - TF L 2 Φb

; m=

2 hC kb

4 hC Φb L

Calor evacuado al exterior: Q =

1 + 1 + 4 m2 L2 Eficacia: µ =

2 1 + 1 + 4 m2 L2

Condición para el perfil óptimo, mL=

2 hC L = 2 ; b = 2,08 ópt kb

3

2

Ω hC k

; Lópt = 3 Ω = 1,4423 bópt

3

Ωk hC

PERFIL PARABÓLICO CONVEXO

Ecuación del perfil: z = b 2 Area del perfil: Ω = 2 b L 3

x L

4

I(-1/3) (4 m L x3 ) 4 x 3 Distribución de temperaturas: Φ ; m= L I 4 m L) Φb ( (-1/3) 3 4 I(2/3)( m L) 2 hC Φb 3 Calor evacuado al exterior: Q = m L I(-1/3)( 4 m L) 3 4 I(2/3)( m L) 3 Eficacia: µ = m L I(-1/3)( 4 m L) 3 2 hC 3 Ω = 1,705 Condición para el perfil óptimo: 4 m L = 4 3 3 k 2 b(2/3) = T - TF = Tb - TF

3

bópt = 1,4013

2

hC Ω k

; Lópt = 3 Ω = 1,07 2 bópt

3

2 hC kb

Ωk hC

X.5.- PROTUBERANCIAS PROTUBERANCIA PARALELEPÍPEDO DE SECCIÓN CUADRADA Volumen: V = b2 L ; p = 2 a ; S = a e Superficie de evacuación de calor: A = 4 b L + b2 ≅ 4 b L Th( 2 m L) = Th Bi ; m= 2 mL Bi Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC Eficiencia: µ =

2 hC kb

;

Bi =

Condición para el perfil óptimo: b L(3/2) = 1,4192 ó Bi ópt = 2,01419 Lópt = 0,75 { k V }(2/5) = 0,75 { k b L }(2/5) hC hC X.-176

hC p L2 kS

PROTUBERANCIA CILÍNDRICA Superficie de evacuación de calor: 2 A=π dL+ π d ≅ π dL 4

Volumen: V = π d 4 Th( 2 m L) = Th Bi ; m = 2 mL Bi Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC Eficiencia: µ =

2

2 hC kb

2 L ; p=π d ; S= π d 4 hC p L2 ; Bi = kS

Condición para el perfil óptimo: m L = 0,925 ; Lópt = 0,42 { k V }(2/5) = 0,328 hC

kd hC

PROTUBERANCIA PIRÁMIDE CUADRANGULAR Superficie de evacuación de calor: A =

2

L2 + b 2 b ≅ 2 b L 4

b2 L 3 L I1 (2 m L x) = T - TF x I1 (2 m L) Tb - TF Volumen: V =

Distribución de temperaturas: Φ = Φb 4 I2 (2 m L) 2 hC Eficiencia: µ = ; m= 2 m L I1 (2 m L) kb Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC

Condición para el perfil óptimo: m L = 0,45 ; Lópt = 0,48 { k V }(2/5) = 0,318 hC

kb hC

PROTUBERANCIA CÓNICA Superficie de evacuación de calor: A = π d L 2 2 Volumen: V = π d 4

L 3

L I1 (2 2 m L x) = T - TF Distribución de temperaturas: Φ = x Tb - TF I1 (2 2 m L) Φb 4 I2 (2 2 m L) 2 hC Eficiencia: µ = ; m= kd 2 2 m L I1 (2 2 m L) Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC Condición para el perfil óptimo: 2 2 m L = 1 ; m L = 0,3535 ; Lópt = 0,43 { k V }(2/5) = 0,25 hC PROTUBERANCIA PARABÓLICA CÓNCAVA Superficie de evacuación de calor: A = π d L 3 2 Volumen: V = π d L 20 X.-177

kd hC

2 2 Distribución de temperaturas: T = Tb ( x )a , con: a = - 3 + 9 + 8 m L L 2 2 h 2 C Eficiencia: µ = ; m= kd 2 L2 8 m 1+ 1+ 9 Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC

Condición para el perfil óptimo:

2 m L = 2 ; m L = 1,4142 ; Lópt = 1,44 { k V }(2/5) = hC

kd hC

PROTUBERANCIA PARABÓLICA CONVEXA Superficie de evacuación de calor: A = π d L 3 2 Volumen: V = π d L 8

I0 { 4 2 m (L3x )1/4 } 3 Distribución de temperaturas: T = Tb I0 ( 4 2 m L) 3 4 (1/4) I0 { 2 m (L x3 ) } 2 hC 3 Eficiencia: µ = ; m= 4 kd I0 { 2 m L} 3 Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF) µ A hC Condición para el perfil óptimo: 4 2 m L = 1,05 ; m L = 0,5568 ; Lópt = 0,56 { k V }(2/5) = 0,393 3 hC

kd hC

X.6.- COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR PARA ALETAS REFRIGERADAS POR AIRE En la ecuación básica, Q = U A ∆T, común a cualquier tipo de intercambiador de calor, el valor de Q normalmente se conoce, mientras que la superficie de intercambio térmico A es desconocida. El coeficiente global de transmisión de calor U, es función de la resistencia térmica de la capa límite del fluido que circula por el interior de los tubos, de la conductividad térmica del material del tubo y aletas, y de la resistencia térmica de la capa límite en la parte del tubo más las aletas en contacto con el aire. La primera de estas resistencias se determina mediante las ecuaciones clásicas conocidas, dependiendo de la naturaleza del flujo, mientras que la contribución de la suciedad depende del tipo de fluido que se esté experimentando. El coeficiente de película a través de las aletas se puede determinar mediante la fórmula de Joung de la forma: Nu = 0,134 (Re) 0,681 (Pr) 0,33 (FH) 0,20 ( FT) 0,1134 en la que (FH) y (FT) vienen dadas por las siguientes relaciones: (FH) =

Espaciado entre aletas Longitud de la aleta

;

(FT) =

Espaciado entre aletas Espesor de la aleta X.-178

Tabla XIV.11.- Coeficientes de transferencia de calor típicos para el aire de refrigeración

LÍQUIDOS Aceite 20º API.- Temp.media 100ºC Aceite 20º API.- Temp.media 150ºC Aceite 20º API.- Temp.media 200ºC

U(W/m2 ºC)

Aceite 40º API.- Temp.media 80ºC Aceite 40º API.- Temp.media 100ºC Aceite 40º API.- Temp.media 150ºC Aceite 40º API.- Temp.media 200ºC Gasóleo Queroseno Nafta Hidrocarburos ligeros Agua

140-200 285-345 315-370 340-400 255-315 315-340 330-400 400-450 685-800

55-90 74-125 170-230

VAPORES Vapor (x=1) Vapor (x=0,9) Vapor (x=0,6) Hidrocarburos ligeros Hidrocarburos medios Amoníaco GASES Vapor Hidrocarburos Aire Amoníaco Hidrógeno

U(W/m2 ºC) 810 600 415 425 270 600 Presión 0,7 atm 7 atm 70 155 100 270 50 155 70 185 145 385

35 atm 325 410 270 300 555

El coeficiente de transmisión de calor hC así obtenido se modifica mediante un elemento corrector, en el que están comprendidos el rendimiento de la aleta µ, la superficie exterior del tubo Ατ, la de la aleta Aa, y la total A. ˆ = h C(µ Aa + A t ) El valor medio, h C A El área total disponible, puede ser del orden de 20 a 30 veces la del tubo. Si llamamos T1 y T2 las temperaturas de entrada y salida del fluido que circula por el interior de la tubería, y T F1 y TF2 las temperaturas inicial y final del aire, de las que sólo se conoce TF1, la temperatura TF2 se calcula en la forma general: TF2 = TF1 +

Q Q = TF1 + G aire c p (aire ) G F c pF )

o por la propuesta por Brown, que sugiere un procedimiento para el cálculo de TF2 asumiendo un valor para el coeficiente U basado en la experiencia, en la forma: TF2 = TF1 + 0,0009 U (

T1 + T2 - TF1 ) 2

viniendo U expresada en W/m2ºC.

X.-179

XI.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA

XI.1.- INTRODUCCIÓN Antes de entrar en la metodología que permite determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección h C, examinaremos con cierto detalle el proceso y fenomenología de la convección, así como su relación con el movimiento del fluido. Si a título de ejemplo se supone una placa plana sobre la que fluye una corriente fluida, lo primero que se observa es que la velocidad del fluido disminuye a medida que nos aproximamos hacia la superficie de la misma, como consecuencia de las fuerzas de viscosidad. Como la velocidad de la capa de fluido en contacto con la pared es cero, u pF = 0, la transferencia de calor entre la superficie y esta capa de fluido está originada únicamente por conducción, cumpliéndose que: q C = - kF

dT 〉 y=0 = h C(TpF - TF ) dy

y aunque ésto sugiere que el proceso térmico pudiera considerarse como de conducción, lo cierto es que el gradiente de temperaturas en la superficie: dT 〉 dy y=0 viene determinado por la velocidad a que puede ser transportada la energía por el fluido más alejado de la pared, hacia el interior de la corriente principal, por lo que el gradiente de temperaturas en la superficie del sólido depende del campo de flujo, de forma que las velocidades más elevadas son las que originan mayores gradientes de temperatura y mayores velocidades de transferencia de calor. XI.-181

No obstante, hay que tener presente la conductividad térmica kF del fluido que está interviniendo directamente; para el caso del agua, el valor del coeficiente kF es de un orden de magnitud mayor que el del aire, lo que implica el que el coeficiente de transferencia térmica por convección sea también mayor en el caso del agua, que en el caso del aire. La situación es muy parecida cuando se estudia la convección libre; la diferencia principal radica en que en el caso de la convección forzada, la velocidad tiende hacia el valor de la corriente sin perturbar impuesta por una fuerza exterior, mientras que en la convección libre la velocidad crece al principio, a medida que va aumentando la distancia desde el plano, debido a que el efecto de la viscosidad disminuye más rápidamente que la variación de densidades, que lo hace más lentamente; sin embargo, la fuerza ascensional disminuye cuando la densidad del fluido se acerca al valor de la del fluido que lo rodea; ésta es la causa de que la velocidad alcance un valor máximo y tienda a cero bastante lejos de la superficie caliente. La distribución de temperaturas en la convección forzada y libre tienen formas análogas y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase (fluido/sólido) es la conducción. El coeficiente de transferencia de calor por convección hC depende, en general, de algunas propiedades inherentes al flujo del fluido, como son su densidad, viscosidad y velocidad, y de sus propiedades térmicas (conductividad térmica y calor específico): hC = f (ρ, η, u, kF, cp) Mientras que en la convección forzada la velocidad del fluido viene impuesta normalmente por la acción de una bomba o un ventilador, y puede especificarse directamente, en la convección libre la velocidad depende de una serie de factores como son, a) La diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido, TpF - TF b) El coeficiente de dilatación térmica del fluido β (que determina la variación de su densidad por unidad de diferencia de temperaturas), por cuanto: v = v F {1 + β (T - TF )}

;

ρF = 1 + β (T - TF ) ρ

c) El campo de fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema que, en la mayoría de las situaciones, se reduce únicamente al campo gravitatorio g. Para adquirir una cierta comprensión del significado de los parámetros que intervienen en la convección forzada, se puede examinar con mayor detalle el campo de fuerzas; así, para una placa plana inmersa en una corriente fluida, el flujo a diversas distancias del borde de ataque de la placa se desarrolla en una región en la que las fuerzas de viscosidad frenan al fluido, disminuyendo su velocidad. Las fuerzas de viscosidad dependen de la tensión de corte: τ=η

du dy

La región del flujo próxima a la placa, en donde la velocidad del fluido se ve frenada por las fuerXI.-182

zas de viscosidad, se denomina capa límite, siendo su espesor δ igual a la distancia existente entre la placa y la región del fluido donde éste tiene una velocidad igual al 99% de la correspondiente a la corriente libre; la región de fluido que se encuentra más allá de esta región se denomina régimen de flujo potencial o régimen no perturbado. Inicialmente el flujo de un fluido dentro de la capa límite es completamente laminar; el espesor de la capa límite va creciendo a medida que aumenta la distancia respecto al borde de ataque, llegándose así a que a una cierta distancia xC el efecto de la fuerzas de inercia llega a ser lo suficientemente importante, en comparación con la acción amortiguadora de la viscosidad, que en el flujo empiezan a aparecer y a crecer pequeñas perturbaciones; a esta distancia se la conoce como distancia crítica. Cuando comienzan a amplificarse estas perturbaciones, la regularidad del flujo viscoso se ve alterada y tiene lugar una transición, de forma que el flujo pasa de laminar a turbulento. En la región del flujo turbulento, las partículas de fluido se mueven a través de líneas de corriente que transportan con más o menos violencia tanto la energía térmica, como la cantidad de movimiento. El coeficiente de transferencia de calor por convección h C varía con la posición, respecto al borde de entrada para una placa plana o desde la entrada de un tubo o conducto cerrado. El parámetro que describe la variación espacial es el coeficiente de transferencia de calor local hCx , siendo x la distancia que hay desde el borde de ataque de la placa o entrada del tubo a la sección considerada. Si se desea calcular en el intervalo, 0 ≤ x ≤ L, el coeficiente medio de transferencia térmica por convección h C, hay que conocer el coeficiente de transferencia de calor local hCx , siendo la relación existente entre ellos de la forma: 1 hC = L

∫

x=L

h Cx dx = 2 h Cx 〉 x=L

x=0

en la que L es la longitud de la placa o del tubo considerada. XI.2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR EN UN MEDIO EN MOVIMIENTO Cuando se hace el estudio de la convección forzada hay que tener en cuenta que los fenómenos que influyen en ella son, un transporte de materia y la conductividad térmica. Para su comprensión vamos a considerar un paralelepípedo de fluido elemental, de volumen unidad, Fig XI.1, de dimensiones dx, dy, dz, teniendo en cuenta que en el proceso intervienen tanto la temperatura TF como la velocidad V F = V(u,v,w) del fluido, y que el calor producido por rozamiento interno es despreciable. Mediante un balance de energía se obtiene: Calor que penetra según Ox en la unidad de tiempo debido a la velocidad: Q 1x = m c F T = ( ρ u dy dz) c F T = ρ (u T) c F dy dz

XI.-183

Calor disipado según Ox: Q2x = ρ cF [u T + ∂(u T) dx] dy dz ∂x habiendo reagrupado u y T porque ambas intervienen en el interior del paralelepípedo elemental. El calor que se almacena en el paralelepípedo según Ox, Fig XI.1.- Paralelepípedo elemental de fluido

en la unidad de tiempo, debido a las masas entrantes y salientes es:

Q 1x - Q 2x = - ρ c F

∂(uT) dx dy dz ∂x

Teniendo en cuenta el conjunto de las tres direcciones, se obtiene la expresión del calor total “almacenado” dentro del paralelepípedo elemental, debido a las variaciones de velocidades y temperaturas de las masas de fluido circulante: Q 1 − Q 2 = - ρ c F dx dy dz {

∂(uT) ∂( vT) ∂(wT) + + }= ∂x ∂y ∂z

= - ρ c F dx dy dz {u

∂T ∂T ∂T ∂u ∂v ∂w +v +w +T( + + )} = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z = - ρ c F dx dy dz {u

r ∂T ∂T ∂T +v +w + T div V } ∂x ∂y ∂z

El calor que se almacena en el volumen elemental debido a la conducción en la unidad de tiempo, según el eje Ox, es: Q *1X = - k (dy dz) Q *2X = Q *1X +

∂T ∂x

∂Q *1X ∂ ∂T ∂T ∂ 2T dx = - k (T + dx) dy dz = - k ( + dx ) dy dz ∂x ∂x ∂x ∂x 2 ∂x

luego en la dirección Ox se tiene: Q *1X - Q *2X = k

∂ 2T dx dy dz ∂x 2

Sumando los calores almacenados por conducción en las tres direcciones y en la unidad de tiempo, se obtiene: Q *1 - Q *2 = k (

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + ) dx dy dz = k (∇ 2 T) dx dy dz 2 2 ∂x ∂y ∂z2

Finalmente, el calor total almacenado en el elemento de volumen considerado en el tiempo dt, XI.-184

será el mismo que la suma de los calores almacenados, anteriormente deducidos; por lo tanto, en el tiempo t se tiene: Q t = ρ dx dy dz c F T y en el tiempo, t + dt: Q t+dt = ρ dx dy dz c F (T +

∂T dt) ∂t

por lo que el calor almacenado en dt es: Q t+dt - Q t = ρ dx dy dz c F

∂T dt ∂t

El balance térmico es de la forma: r ∂T ∂T ∂T ∂T + v +w + T div V ) = ρ dx dy dz c F dt ∂x ∂y ∂z ∂t r ∂T ∂T ∂T ∂T α (∇ 2 T) - ( u + v + w + T div V ) = dt ∂x ∂y ∂z ∂t k (∇ 2 T) dx dy dz - ρ c F dx dy dz ( u

r Si se considera fluido incompresible, div V = 0, y si además el régimen es permanente, tanto térmico, como dinámico: ∂T dt = 0 ∂t quedando con estas dos condiciones lo siguiente: α (∇ 2 T) = u

∂T ∂T ∂T + v + w ∂x ∂y ∂z

que es una ecuación diferencial con 4 incógnitas T, u, v, w, por lo que serán necesarias otras 3 ecuaciones, que son las de Navier-Stokes, de la forma: r 1 ∂ ν div V 3 ∂x r 1 ∂ ν div V 3 ∂y r dw 1 ∂ 1 ∂p ρ ∂z = Z - dt + ν ∆w + 3 ν ∂z div V 1 ∂p du = X - dt + ν ∆u + ρ ∂x dv 1 ∂p ρ ∂y = Y - dt + ν ∆v +

completándose así el sistema de ecuaciones que rige el fenómeno termohidrodinámico. En las ecuaciones de Navier-Stokes, las componentes (X,Y,Z) de la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema elemental de fluido quedan reducidas para fluidos pesados a X = 0; Y = 0; Z = g, pudiéndose poner para la tercera ecuación de Navier-Stokes, ρ Z = ρ g, para XI.-185

el caso en que T permanezca constante. A su vez, como el fluido al calentarse o enfriarse modifica su densidad, en el intervalo de temperaturas T0 y T, se tiene: ρ g (ρ 0 - ρ) = ρ g ( ρ0 - 1) siendo ρ 0 la densidad del fluido a la temperatura T0 ; como el volumen específico del fluido es: v = v 0 {1 + β (T - T0 )} ;

ρ0 ρ = 1 + β (T - T0 ) ;

ρ0 ρ - 1 = β (T - T0 )

resulta: ρ ρ g ( ρ0 - 1) = ρ g β (T - T0 ) = ρ g β ∆T y la tercera ecuación de Navier-Stokes queda en la forma: 1 ∂p dw 2 ρ ∂z = g β ∆T - dt + ν ∇ w XI.3.- CAPA LIMITE LAMINAR EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA En el movimiento de fluidos sobre una placa plana, la Hidrodinámica clásica se limita a imponer, como condición de contorno, la tangencia del vector velocidad, mientras que la Mecánica de Fluidos viscosos exige la condición adicional de adherencia al contorno de la placa, que es mucho más restrictiva que la de tangencia. En los fluidos poco viscosos, los esfuerzos tangenciales son, con frecuencia, muy inferiores a los de inercia o a los de gravedad, pero ésto no autoriza a prescindir de los esfuerzos viscosos, que pueden llegar a ejercer una influencia considerable sobre la configuración del movimiento. Prandtl, en 1904, propone que el estudio del movimiento de un fluido de viscosidad pequeña, se podía asimilar al de un fluido perfecto, salvo en una capa próxima al contorno, de espesor δ, en la que concentraba los fenómenos de fricción, y que llamó capa límite; en el exterior de dicha capa, las tensiones tangenciales son despreciables, predominando las fuerzas de inercia sobre las de viscosidad, mientras que en el interior de la capa límite la proximidad del contorno hace que el gradiente de du velocidades sea muy grande y, por lo tanto, que la tensión tangencial τ = η , sea también muy dy grande; en esta situación las fuerzas de fricción son del mismo orden de magnitud que las fuerzas de inercia. El espesor δ de la capa límite puede estar comprendido entre unas pocas moléculas y algunos milímetros, según los casos; fuera de la capa límite se pueden utilizar las ecuaciones de Euler o métodos experimentales basados en las líneas y redes de corriente, que una vez configuradas alrededor del contorno o perfil deseado, permiten obtener el campo de velocidades y la distribución de presioXI.-186

nes correspondiente. En el estudio de la capa límite hay que tener presentes las siguientes consideraciones, a) Aunque la perturbación producida por la fricción se propaga a todo el fluido, se admite que la propagación queda limitada a una zona del mismo de espesor finito δ, en sentido normal al contorno. b) La forma de la curva de distribución de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite, se puede expresar, en general, mediante las siguientes ecuaciones, Fig XI.2: Régimen laminar,

y y y u = C + C 1( ) + C 2( )2 + C 3( )3 ... V0 δ δ δ u = V0

Régimen turbulento,

m

y δ

en la que V0 es la velocidad uniforme del fluido no perturbado; la capa límite en su desarrollo longitudinal, muestra una tendencia progresiva al ensanchamiento, Fig VII 2.b. y ≅V0

δ u

y

V0

x

Fig XI.2.a.b.- Capa límite

POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.- Si la distribución de velocidades es de la forma, y y 2 u V0 = C + C 1( δ ) + C 2( δ )   Para, y = 0,  con las condiciones,  Para, y = δ ,   Para, y = δ , 

u= 0 ; C = 0 u = V0 ⇒ ∂u 〉 = 0 ∂y y=δ

2 C2 y 2 C2 C C 1 ∂u 〉 y=δ = ( 1 + )y=δ = 1 + = 0 2 V0 ∂y δ δ δ δ C1 + C2 = 1   C1 + 2 C2 = 0 

1 = C 1 + C2

;

C1 + 2 C2 = 0

⇒ C1 = 2 ; C2 = − 1

y la forma del perfil de la distribución de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con un XI.-187

polinomio de segundo grado, sería: 2y y u = - ( )2 V0 δ δ POLINOMIO DE TERCER GRADO.- Si el polinomio es de tercer grado: y y 2 y 3 u V0 = C + C 1( δ ) + C 2( δ ) + C 3( δ )   Para, y = 0,  con las condiciones,  Para, y = δ ,   Para, y = δ , 

u= 0 ; C= 0 u = V0 ⇒ ∂u 〉 = 0 ∂y y=δ

1 = C 1 + C2 + C3

2 C2 y 3 C 3y y 2 C1 1 ∂u 〉 ={ + ( )+ ( ) }y=δ = 0 V0 ∂y y=δ δ δ δ δ δ Para, y = 0

;

∂ 2u 〉 y=0 = 0 ∂y 2

  C1 + 2 C2 + 3 C3 = 0    C2 = 0

;

;

C1 + 2 C 2 + 3 C 3 = 0

2 C2 6 C3 y 1 ∂ 2u 〉 y=0 = {0 + + ( )}y=0 = 0 2 2 V0 ∂y δ δ2 δ

;

C2 = 0

C1 + C2 + C3 = 1

3 1 ⇒ C1 = 2 ; C2 = 0 ; C3 = - 2

y la forma del perfil de la distribución de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con un polinomio de tercer grado, sería: 3y u 1 y 2 = V0 2 (δ ) 2δ La experiencia ha permitido comprobar, para placa plana, que el movimiento laminar en la capa límite llega a hacerse inestable cuando se sobrepasa un valor crítico del número de Reynolds: Re c =

V0 x C ν

siendo xC la distancia a partir del borde de ataque de la placa. La capa límite continua su desarrollo, como se muestra en la Fig XI.3; a partir de xC, se origina la capa límite turbulenta, que se divide en dos subcapas, una de las cuales, en las proximidades de la placa, permite definir una delgada subcapa marcadamente laminar. Los valores críticos del número de Reynolds que definen la transición para placa plana, son: Re laminar < 5.10 5

;

Re turbulento > 3.106

XI.-188

Para fluidos que circulan entre dos paredes próximas, el ensanchamiento progresivo de la capa límite de cada contorno determina que éstas se unan, a una cierta distancia de la entrada, desapareciendo la zona en que el movimiento podía ser asimilable a un fluido perfecto, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen turbulento, según el valor del número de Reynolds.

Fig XI.3.- Desarrollo de la capa límite laminar

En tuberías sólo se puede considerar el movimiento como irrotacional, en las proximidades de la embocadura; con flujo totalmente desarrollado, no. ESPESORES Y CAUDALES DE LA CAPA LIMITE.- Mediante el concepto de capa límite es posible concentrar en un espesor δ los fenómenos de fricción; ello implica el que se tengan que cumplir las siguientes condiciones:

r r a) El valor de la velocidad u correspondiente a, y = δ, tiene que estar muy próximo a V0 , pues

entonces el gradiente de velocidades será despreciable; suele tomarse, u = 0,99 V0. b) El esfuerzo de fricción evaluado en la zona de espesor δ, (a lo largo del contorno), mediante la ecuación de la cantidad de movimiento, tiene que coincidir con el obtenido analíticamente para la capa límite laminar, o con el deducido experimentalmente en la capa límite turbulenta. En ambas situaciones la distribución de velocidades viene dada, para el régimen laminar, por polinomios de grado m (parábolas de segundo o tercer grado en general) y para el régimen turbulento por polinomios de grado 1/m.

Espesor de desplazamiento de la capa límite.- El espesor de desplazamiento de la capa límite δ1 está basado en la conservación del caudal a lo largo de la normal al contorno, mediante la equivalencia de las áreas rayadas, como se indica en la Fig XI.4. r Si se admite que la ley de velocidades es asintótica a V0 , se tiene: δ1 =

1 V0

∫

∞

0

(V 0 - u) dy

r y si la ley de distribución de velocidades alcanza el valor V0 para el espesor δ, se tiene: δ1 =

1 V0

∫

δ

0

(V 0 - u) dy =

∫

δ

0

(1 -

u ) dy = δ V0 XI.-189

∫

δ

0

q u dy = δ V0 V0

que se puede interpretar como la diferencia entre el espesor δ y el espesor δ1 de una corriente que r tuviese la misma velocidad V0 que la corriente exterior , y transportase la misma masa de fluido , caudal q, que la capa límite real. Considerando capa límite turbulenta,

u = V0

δ1 = δ -

y , resulta: δ

m

∫

δ

0

y 1 ( )1/m dy = δ - 1/m δ δ

∫

δ

y 1/m dy =

0

δ m+1

Espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite δ2 se define en la forma: Fig XI.4.- Espesor de desplazamiento de la capa límite

1 2 V0

δ2 =

∫

δ

0

u (V0 - u) dy =

∫

δ

0

u u (1 ) dy V0 V0

y se corresponde con el espesor de una corriente fluida que tenga la misma velocidad V 0 que la corriente exterior, y la misma variación de la cantidad de movimiento que la debida a la fuerza de arrastre de la capa límite real. u Considerando, V = 0 δ2 =

∫

δ

0

m

y , resulta: δ

y y 1 ( )1/m {1 - ( )1/m } dy = 2/m δ δ δ

∫

δ

0

m y 1/m (δ 1/m - y 1/m ) dy = δ (m + 1)(m + 2)

La relación entre el espesor de desplazamiento δ 1 y el espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite δ2, se denomina Factor de forma del perfil F; para una placa plana, en función de m se tiene: δ1 F = = δ2 δ

1 (m + 1) m + 2 = m m (m + 1)(m + 2) δ

Un valor elevado del factor de forma del perfil implica que está próximo a producirse el desprendimiento de la capa límite.

Espesor de energía de la capa límite.- El espesor de energía de la capa límite δ3 se define en la forma: δ3 =

1 V03

∫

δ

0

u (V02 - u 2 ) dy =

∫

δ

0

u u2 V0 (1 - V02 ) dy

XI.-190

Considerando, δ3 =

∫

δ m

0

y {1 δ

m(

u = V0

y , resulta: δ

m

y 2 2m ) } dy = δ (m + 1)(m + 2) δ Para hacernos una idea del orden de magnitud y del significado, de los diversos espesores de la capa límite así definidos, indicamos en la Fig XI.5, para el caso particular de una distribución de velocidades triangular, m = 1, el orden de magnitud de los mismos, de la forma: δ1 = δ 2

Fig XI.5.- Espesores de la capa límite en distribución triangular

q=

;

δ2 = δ 6

;

δ3 = δ 4

Caudal de la capa límite..- El caudal q a través de la capa límite se ha definido en la forma:

δ

∫

u dy

0

Teniendo en cuenta el espesor de desplazamiento δ1, resulta: δ1 =

∫

δ

dy -

0

∫

δ

0

∫

u dy =δV0

δ

0

u dy ; V0

δ - δ1 =

∫

δ

0

u dy q = V0 V0

por lo que: m q = V0 (δ - δ 1 ) = V0 δ m + 1

Caudal de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El caudal de la cantidad de movimiento de la capa límite qM se define en la forma: qM = m u = V ρ u = q ρ u =

∫

δ

ρ u 2 dy

0

Teniendo en cuenta la expresión del espesor de la cantidad de movimiento δ2 se obtiene: δ2 =

∫

δ

0

∫

δ

0

u u V0 {1 - V0 } dy =

∫

δ

0

u V0 dy -

∫

δ

0

u2 dy = δ - δ 1 V02

∫

δ

0

u2 dy V02

u 2 dy = (δ - δ 1 - δ 2 ) V02

quedando la expresión del caudal de la cantidad de movimiento en la forma: XI.-191

qM =

∫

δ

0

ρ u 2 dy = ρ (δ - δ 1 - δ 2 ) V02 = ρ δ V02

m m+ 2

función del espesor δ de la capa límite, del espesor de desplazamiento δ1 y del espesor de la cantidad de movimiento δ2. XI.4.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL IMPULSO DE LA CAPA LIMITE CAUDAL DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Como consecuencia de la viscosidad del fluido y de su deformación, aparece un esfuerzo tangencial sobre el contorno de la placa que determina lo que se conoce como Resistencia de Superficie o de Forma. Para calcular este esfuerzo se aplica el Teorema de la Cantidad de movimiento al volumen de fluido comprendido en el interior de la capa límite entre las secciones (AB) y (DC) de la Fig XI.6. Como el movimiento irrotacional exterior a la capa límite es uniforme, no existe gradiente de presiones y, al expresar el equilibrio, la única fuerza actuante es la de arrastre sobre la placa, de la forma, τ0 dx. Para una anchura de placa unidad, el caudal de la cantidad de movimiento se evalúa como sigue: Sobre la cara (AB), el caudal de la cantidad de movimiento entrante es: q M(AB) = m u = V ρ u = q ρ u =

∫

δ

ρ u 2 dy = q M

0

Fig XI.6.- Volumen de fluido en la capa límite

Sobre la cara (CD), el caudal de la cantidad de movimiento saliente es:

q M(CD) = q M +

∂q M ∂ dx = q M + ρ ( ∂x ∂x

∫

δ

u 2 dy) dx

0

por lo que en el volumen de control (ABCD) se tiene una variación del caudal de la cantidad de movimiento, qM(AB) - qM(CD) , en la forma: ∂q M ∂ dx = ρ ( ∂x ∂x

∫

δ

u 2 dy) dx

0

Sobre el contorno (BC) no existe ningún tipo de esfuerzo cortante porque está fuera de la capa du límite, = 0 ; teniendo en cuenta que sobre este contorno la velocidad es V 0 , el caudal de la can dy tidad de movimiento entrante por (BC) se obtiene en la forma: XI.-192

   ∂ 0 (  ⇒ q M(BC) = ρ V0 δ ∂x ∂  dx = q M(B) + ρ V0 ( u dy) dx  ∂x 0 

q M(B) = m V0 = q ρ V0 = ρ V0 q M(C) = q M(B) +

∂q M(B) ∂x

∫

δ

u dy

∫

∫

δ

u dy) dx

0

Sobre el contorno (AD) de contacto con la placa no hay caudal saliente de la cantidad de movimiento. FUERZA DE ARRASTRE..- Igualando el caudal de la cantidad de movimiento con la fuerza de arrastre Fa sobre la placa en dx, y aplicando el Teorema del Impulso se obtiene: τ 0 dx = - ρ

Fa =

∫

τ 0 dx = ρ

∫

δ

∫

δ

(u 2 dy) dx + V0 ρ

0

∂ ∂x

∫

δ

(u dy) dx = ρ

0

u (V0 - u) dy = ρ V02 δ 2 =

0

τ0 = η τ0 =

∂ ∂x

∂u ∂ 〉 y=0 = ρ { ∂y ∂x

∫

δ

u (V 0 - u) dy}

;

∂ { ∂x

∫

δ

u (V0 - u) dy} dx

0

C w x ρ V02 2

ν

0

∂u ∂ 〉 y=0 = { ∂y ∂x

∫

δ

u (V 0 - u) dy}

0

C w ρ V02 2

Cw x , se deduce comparándola con la obtenida por análisis dimensional; los valores 2 de Cw se obtienen mediante formulación, ábacos y tablas. en la que, δ 2 =

a) Para una distribución de velocidades de la capa límite laminar, de la forma: 2y y 2 u V0 = δ - ( δ ) con: τ0 = η

∂u ∂ 〉 =ρ { ∂y y=0 ∂x

∫

δ

0

u (V 0 - u) dy} = ρ V02

∂ { ∂x

∫

δ

0

u u V0 (1 - V0 ) dy}

se obtiene: ν

∂u ∂ 〉 y=0 = V02 { ∂y ∂x

1 ∂u 2 〉 = V0 ∂y y=0 δ 2 V0 ν ∂ = V02 δ ∂x

∫

δ

0

u u (1 ) dy} V0 V0

2 V0 ∂u 〉 y=0 = ∂y δ

;

∫

δ

0

u u 2 ∂ V0 (1 - V0 ) dy} = V0 ∂x {

∫

δ

0

{

2y y 2y y - ( )2 } {1 + ( )2 } dy = δ δ δ δ = V02

XI.-193

∂ 5 1 2 ∂δ (2 - 3 - 5 ) δ = 15 V02 ∂x ∂x

15 ν V0 dx = δ dδ

15 ν δ2 x = 2 +C V0

;

30 x 2 Re x

δ2=

;

;

5,477 δ = x Re x

en la que se ha tenido en cuenta que para, δ = 0 ; x = 0 ⇒ C = 0 Los valores de los coeficientes Cx (local), y Cw (medio), son: τ0 = η

V2 2 V0 ∂u 〉 y=0 = C x ρ 20 = η ∂y δ

0,7303 4ν 4x 4 4 = = = = δ V0 δ Re x δ Re Re x 5,477 Re x x x L 1,4606 1 Cw = C x dx = 2 C x 〉 x=L = L 0 Re L Cx =

∫

b) Para una distribución de velocidades de la capa límite de la forma: 3y 1 y u = - 2 ( )3 V0 2δ δ resulta: τ0 = η

3 V0 ∂u 〉 y=0 = η ∂y 2δ

τ 0 = ρ V02

∂ { ∂x

∫

δ

0

u ∂ u (1 ) dy} = ρ V02 { V0 ∂x V0

∫

δ

0

{

3 y 3y 1 y 3 1 y 3 ( ) } {1 + ( ) } dy = 2δ 2 δ 2δ 2 δ 3 η V0 ∂δ = 0,139 ρ V02 = ∂x 2δ

Igualándolas: δ dδ = 10,79

δ x =

ν dx V0

;

δ2 ν = 10,79 x + Cte = 2 V0

Para,

{ xδ == 00 ⇒ Cte = 0

= 10,79

ν x V0

4,64 Re x

τ0 =

3 η V0 Re x 0,323 η V0 3 η V0 = = 2 x 4,64 x x 2δ

Cx =

0,646 ν Re x 0,646 = x V0 Re x

;

Re x

1 Cw = L

∫

L

= 0,323

η ρ V03 ρ V02 C x = x 2

C x dx = 2 C x 〉 x=L =

0

1,292 Re L

El valor de Cw así obtenido para placa plana, está muy próximo al valor exacto (Blasius), y es de la forma: Cx =

0,664 Re x

;

Cw =

1,328 Re

;

δ x =

5 Re x XI.-194

siendo la fuerza de arrastre Fa sobre cada cara de la placa de longitud L y anchura unidad: Fa =

∫

L

τ 0 dx =

0

∫

L

0,323

0

ρ η V03 dx = 0,646 x

ρ η V03 L

ECUACIONES DE PRANDTL DE LA CAPA LIMITE.- Si se supone un fluido incompresible, en movimiento laminar permanente, en flujo bidimensional sobre una pared cualquiera en la que el radio de curvatura es muy superior al espesor de la capa límite, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican, quedando en la siguiente forma: 1 ∂p = X - du + ν ∆u ρ ∂x dt en la que,

du ∂u ∂u =u + v dt ∂x ∂y

; X = 0, en la dirección del movimiento ∂u ∂v + = 0, y como: ∂x ∂y

La ecuación de continuidad es, v= 0 ;

∂v ∂y

= 0 ⇒

∂u ∂x

2

∂ u

= 0 ;

∂x2

= 0

la ecuación de Navier-Stokes queda en la forma: 2

1 ∂p = - u ∂u - v ∂u + ν ∂ u ρ ∂x ∂x ∂y ∂y2 En el borde de la capa límite se tiene la velocidad V 0 del movimiento irrotacional exterior, por lo que aplicando la ecuación de Bernoulli se puede hallar la variación longitudinal de la presión, resultando: dV20 = - 1 ∂p ρ ∂x dx

1 2

2

⇒

1 2

dV20 + ν ∂ u = u ∂u + v ∂u dx ∂y2 ∂x ∂y

Si se introduce la función línea de corriente ψ, de la forma: u = -

∂ψ ∂y

; v =

∂ψ ∂x

la ecuación de continuidad se satisface automáticamente, y sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene: 2

∂ ψ

∂ψ

∂x ∂y ∂y

2

-

∂ ψ ∂ψ ∂y2

3

∂p ∂ ψ = - 1 ρ ∂x ∂x ∂y3

de aplicación a la obtención de la capa límite laminar sobre un contorno plano. XI.-195

ECUACIÓN CLÁSICA DE KÀRMÀN.- Los caudales de la cantidad de movimiento, en proyección paralela a la pared, manteniendo la anchura de la capa límite igual a la unidad, son los siguientes: Sobre (AB), q M(AB) = q M , (entrante) Sobre (CD), q M(CD) = q M +

∂q M ∂x

dx , (saliente)

∂q dx V0 , (entrante) ∂x

Sobre (BC),

La variación de la cantidad de movimiento es: - q M + (q M +

∂q M ∂q ∂q M ∂q dx) dx V0 = dx dx V0 ∂x ∂x ∂x ∂x

El impulso mecánico: pδ - (p +

∂p ∂p ∂δ dx) (δ + dx) - τ 0 dx = - ( τ 0 + δ) dx ∂x ∂x ∂x

Igualándolas se obtiene: ∂q M ∂q ∂p - V0 = - τ0 δ ∂x ∂x ∂x q M = ( δ - δ 1 - δ 2 ) V02 ρ ; q = ( V0 δ - δ 1 ) ρ ; ∂q M ∂q - V0 = ∂x ∂x

= -

δ - δ 1 = Cte

∂δ 2 2 ∂V0 ∂q M ∂ = {(δ - δ 1 - δ 2 ) V02 ρ } = V0 ρ + ( δ - δ 1 - δ 2 ) 2 V0 ρ = ∂x ∂x ∂x ∂x ∂V0 ∂q = ρ (δ - δ 1 ) ∂x ∂x

∂δ 2 2 ∂V0 ∂V ∂p V0 ρ + ( δ - δ 1 - δ 2 ) 2 V0 ρ - ρ (δ - δ 1 ) V0 0 = - τ 0 δ= ∂x ∂x ∂x ∂x V02 ∂V0 ∂p = p + ρ 2 = Cte ; = - ρ V0 ∂x ∂x

= - τ 0 + ρ V0

∂V0 δ ∂x

que simplificada convenientemente queda en la forma: τ0 =

∂δ 2 2 ∂V0 V0 ρ + V0 ρ (δ 1 + 2 δ 2 ) ∂x ∂x

ecuación que se conoce como ecuación de Kàrmàn, en la que las variables V0, δ 1 y δ2 no dependen más que de x.

XI.-196

XI.5.- ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA DE LA CAPA LÍMITE El Primer Principio de la Termodinámica aplicado a un sistema abierto en régimen estacionario, permite calcular el calor Q puesto en juego en una transformación, en la forma: Q = ∆i + T + ∆Ecinética + ∆Epotencial e indica que la energía se puede considerar en forma de entalpía, calor o energía cinética, con las mismas unidades que el trabajo de cizalladura o de corte. A pequeñas velocidades, los términos asociados a la energía cinética y potencial y al trabajo de cortadura son pequeños en comparación con las demás magnitudes, y se pueden despreciar.

Fig XI.7.- Capa límite térmica

La velocidad a la que la entalpía entra a través de la cara (AB) de la capa límite representada en la Fig XI.7 viene dada por: i(AB) = m c p T = c p ρ

∫

δT

u T dy

0

mientras que la velocidad del flujo de entalpía a través de la cara (CD) es:

i(CD) = i(AB) +

∂i(AB) ∂ dx = i(AB) + c p ρ { ∂x ∂x

∫

δT

u T dy} dx

0

por lo que dentro de la capa límite quedará: ∂ { ∂x

∫

i(AB) - i(CD) = - c p ρ

δT

u T dy} dx

0

La entalpía transportada al interior del volumen de control a través de la superficie (BC), viene dada por: ∆i(BC) = c p ρ TF

∂ { ∂x

∫

δT

u dy} dx

0

A su vez, el calor conducido a través de la capa límite es: q k = - k dx (

∂T )y=0 ∂y XI.-197

Sumando todas las contribuciones energéticas, se obtiene la ecuación integral para la conservación de la energía: c p ρ TF

∂ { ∂x

∫

δT

∂ { ∂x

∫

u dy} dx - c p ρ

0

δT

u T dy} dx - k dx (

0

∂T )y=0 = 0 ∂y

Como fuera de la capa límite térmica la temperatura es T F, sólo se integrará hasta el límite, y= δT, de la misma; por lo tanto: c p ρ TF ∂ ∂x

∫

∂ ∂x

∫

δT

u dy - c p ρ

0

δT

(TF - T) u dy =

0

∂ ∂x

∫

δT

u T dy - k (

0

∂T )y=0 = 0 ∂y

k ∂T ∂T ( ) = α ( )y=0 ρ c p ∂y y=0 ∂y

que es la ecuación integral de la energía de la capa límite laminar para el caso de un flujo de baja velocidad, en la que dx se comporta como un intervalo y es independiente de dy. Si se utiliza un perfil de velocidades de tercer grado, de la forma: 3y u 1 y 3 = V0 2 ( δ) 2δ y una distribución de temperaturas: T − TpF T − TF + TF − TpF T − TF y y 3 1 = = + 1 = 2 - 2 ( )2 TF − TpF TF − TpF TF − TpF δ T (x) δ T (x) en la que se han tenido en cuenta las condiciones:  y =0 ; T =T ∂ 2T = 0 pF ;  ∂y 2 Para,   y = δ T ; T = TF ; ∂T = 0  ∂y se obtiene: α(

∂T d )y=0 = (TpF - TF ) V0 dx ∂y

∫

δT

0

3 y 1 y 3 y 1 y {1 - 2 + 2 ( )3 } { 2 - 2 ( )3 } dy = δT δT δ δ d 3 δ 2T 3 δ 4T = (TF - TpF ) V0 dx ( 20 - 280 3 ) δ δ

Teniendo en cuenta que, (

∂T 3k ) = (TF - TpF ) , resulta: ∂y y=0 2 δT

3α d 3 δ 2T 3 δ 4T = V0 ( ) dx 20 δ 280 δ 3 2 δT Llamando, ξ =

δT , se tiene: δ XI.-198

3α d 3 2 3 = V0 {δ ( ξ ξ 4 )} dx 20 280 2 εδ En la ecuación de Pohlhausen se demuestra que: ξ=

δT = ( Pr) -1/ 3 δ El valor de Pr es del orden de la unidad para la mayor parte de los gases, 0,6 < Pr < 1, mientras

que para la mayor parte de los líquidos varía en un campo muy grande, con valores elevados para los aceites muy viscosos y bajas temperaturas, y valores muy bajos para los metales líquidos; en consecuencia, cuando: δT 0,5

que se conoce como analogía de Reynolds-Colburn que relaciona el coeficiente de arrastre local Cx con el número de Stanton Stx para flujo laminar a lo largo de una placa plana. Como es mucho más fácil hacer medidas de la fuerza de arrastre que de la transferencia de calor, para el caso de valores medios se puede poner: hC Cw = St Pr 2/ 3 = ρ c V Pr 2/ 3 2 p 0 en la que Cw es el coeficiente de arrastre medio y St el número de Stanton medio. Teniendo en cuenta lo anterior, la fuerza de arrastre Fa queda en la forma: Fa =

ρ (L a) C w V02 ρ (L a) h C V02 hC = = ( L a) c V0 2 ρ c p V0 p

XI.6.- CAPA LIMITE TURBULENTA PARA PLACA PLANA No existe una teoría exacta que permita estudiar la capa límite turbulenta; sin embargo sí existen modelos empíricos que han permitido la obtención de soluciones numéricas de las ecuaciones de la capa límite. El reparto de velocidades para la placa plana es aproximadamente logarítmico, habiéndose obtenido al efecto los siguientes resultados experimentales: Para, 10 5 < Re < 10 7 ;

u V0 =

m

y 9 , con, m = 7, F = 7 δ

El valor de τ0 de la forma: τ0 = ρ

∂ { ∂x

∫

δ

0

u (V0 - u) dy}

se puede aplicar también al régimen turbulento, por cuanto en su demostración no se ha fijado la forma de la distribución de velocidades en la capa límite, por lo que la distribución de velocidades u/V0 puede ser, para placa plana, de la forma: XI.-202

u = V0

y δ

m

y para flujo turbulento por el interior de tuberías, (Nikuradse): u = V máx

m

y R

En estas circunstancias Blasius dedujo experimentalmente que: τ 0 = 0,0288 ρ V02

4

ν , con, 5.105 < Re < 10 7 δ ν0

Siguiendo el mismo método que para el cálculo de la capa límite laminar: τ 0 = ρ V02

∂ { ∂x

∫

δ

u u ∂ (1 ) dy} = ρ V02 [ V0 V0 ∂x

0

∫

δ 7

0

y {1 δ

7

y 7 dδ } dy] = ρ V02 72 dx δ

Igualando las expresiones en τ0: 7 ν 2 dδ 24 72 ρ V0 dx = τ 0 = 0,0228 ρ V0 δ V0 4

δ dδ = 0,234

4

ν V0 dx

;

δ 5/4 = 0,292

4

ν V0 x

0,376 δ x = 5 Re x

;

en donde se ha supuesto que la capa límite es turbulenta en el total de la longitud de la placa L de forma que para: x = 0, δ = 0. El esfuerzo cortante τ0 es: τ 0 = 0,0228 ρ V02

4

ν = 0,0228 ρ V02 δ V0

4

ν 2 0,376 x = 0,029 ρ V0 V0 5 Re x

5

ν x V0

La fuerza de arrastre Fa por unidad de anchura de la placa es:

∫

L

ρ V02 L

0,072 P = 1 Re 0 L ρ V02 L 2 ecuaciones válidas en el intervalo en que lo es la ecuación de Blasius. Fa =

τ 0 dx = 0,036

5

Re L

;

Cx =

0,0576 ; 5 Re x

Cw =

5

Para el número de Re crítico, ReC = 5. 105, se tiene: Cw =

x 0,072 0,072 1700 - 0,00334 LC ≅ 5 - Re Re L Re L L

5

Para valores del número de Re comprendidos en el intervalo, 5. 105 < Rex < 109, resulta: XI.-203

C wx =

0,455 (log 10 Re L )2,58

El coeficiente de arrastre, que es exacto para toda la placa, y que incluye las zonas laminar y turbulenta, se determina mediante las expresiones: Cw =

Re 1,328 Re C /5 + 0,074 Re -1 {1 - ( Re C ) 4/ 5 } ; L Re Re C L L

Cw =

Re C 1,328 Re C 0,523 0,523 + ( 2 Re L ) ln 2 (0,06 Re C ) ln (0,06 Re L ) Re C Re L

Re L > 107

;

Re L < 107

XI.7.- DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LIMITE Cuando el gradiente de presiones se mantiene nulo a lo largo de la placa plana, la capa límite se desarrolla a lo largo de la misma, independientemente de su longitud. Pero si el gradiente de presiones es adverso, la presión aumenta en el sentido de la corriente, y el espesor de la capa límite crece rápidamente. Por otro lado, el gradiente de presión adverso junto con el esfuerzo cortante en la pared, hacen que disminuya la cantidad de movimiento dentro de la capa límite y, si ambos actúan a lo largo de una distancia suficiente, el fluido de la capa límite se irá frenando hasta alcanzar el reposo; en este instante, la línea de corriente que coincide con la pared se aleja de la superficie a partir del punto de separación, conociéndose este fenómeno como desprendimiento de la capa límite.

Fig XI.10.- Desprendimiento de la capa límite

El fenómeno se acentúa cuando el perfil es un conducto divergente; el flujo en las proximidades del contorno se va frenando continuamente hasta alcanzar el punto A de la Fig XI.10, en el que la velocidad se hace cero. La forma del contorno puede exigir una disminución mayor de la velocidad, cosa imposible, por lo que el fluido se separará de él, produciéndose al mismo tiempo un contraflujo originado por el gradiente de presiones adverso, es decir, aguas abajo del punto de desprendimiento se origina una zona de bajas presiones, que provocan la aparición de una fuerza depresiva dirigida en el sentido de la corriente, denominada Resistencia de forma, por depender hasta cierto punto de la geometría del perfil.

XI.-204

Tabla XI.2.- Coeficiente de arrastre Cw de algunos perfiles inmersos en una corriente fluida de velocidad V0

Fa =

Cw ρ V20 AFrontal 2

a) Placa plana paralela a la corriente V0

Régimen laminar: Cw = Re < 107 ⇒ Cw =

0,074 5 Re

1,33 Re

; Re > 107 ⇒ Cw =

0,455 {log10 Re}2,58

b) Placa plana perpendicular a la corriente, Re > 103 d V0

L/d Cw

L

c) Disco circular normal a la corriente

1 1,18

5 1,2

10 1,3

20 1,5

30 1,6

∞ 1,95

d) Esfera Re < 1 ⇒ Cw = 24 Re

V0

V0

103 < Re < 3x 105 ⇒ Cw = 0,47 Re > 3x 105 ⇒ Cw = 0,20

Re > 10 ; Cw = 1,17 e) Hemisferio hueco V0

V0

104 < Re < 106 ⇒ Cw = 0,34 f) Cono de 60°

104 < Re < 106 ⇒ Cw = 1,42

g) Semicilindro

V0

V0

Re = 105 ; Cw = 0,50

V0

104 < Re < 106 ; Cw = 0,42

104 < Re < 106 ; Cw = 1,17

h) Cilindro normal a la corriente Re < 0,2 ; C w = L

V0

d

8p Re {2,2 - lg 10 Re}

103 < Re < 105 L/d 1 5 10 20 Cw 0,63 0,8 0,83 0,93

Re > 5 x105 30 1

i) Prisma Re = 3,5 x 104 ; Cw = 2 V0

104 < Re < 105 ; Cw = 1,6 XI.-205

∞ 1,2

L/d 5 ∞ Cw 0,35 1,6

j) Cubo

k) Paracaídas (Baja porosidad), V0

V0 V0

Re = 105 ; Cw = 1,07

Re = 105 ; Cw = 0,81

Re =

105

; Cw = 1,2

l) Cilindros elípticos V0

Relación 1/1

Régimen laminar, Cw = 1,20

Régimen turbulento, Cw = 0,30

V0

Relación 2/1

Régimen laminar, Cw = 0,60

Régimen turbulento, Cw = 0,20

V0

Relación 4/1

Régimen laminar, Cw = 0,35

Régimen turbulento, Cw = 0,15

V0

Relación 8/1 m) Cilindro triangular

Régimen laminar, Cw = 0,25

Régimen turbulento, Cw = 0,10

120° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,72

120° ; Re > 10.000 ; Cw = 2,0

60° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,72

60° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,39

30° ; Re > 100.000 ; Cw = 1,00

30° ; Re > 100.000 ; Cw = 1,80

n) Cilindro de sección lenticular Re > 103 V0

L/d Cw

0,5 1,15

1 0,9

2 0,85

4 0,87

8 0,99

o) Elipsoide

V0

Relación L/d = 0,75 Relación L/d = 1,00 Relación L/d = 2,00 Relación L/d = 4,00 Relación L/d = 8,00

Régimen laminar, Cw = 0,50 Régimen laminar, Cw = 0,47 Régimen laminar, Cw = 0,27 Régimen laminar, Cw = 0,25 Régimen laminar, Cw = 0,20

XI.-206

Régimen turbulento, Cw = 0,20 Régimen turbulento, Cw = 0,20 Régimen turbulento, Cw = 0,13 Régimen turbulento, Cw = 0,1 Régimen turbulento, Cw = 0,08

XII.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN FLUJO EN CONDUCTOS

XII.1.- FLUJO ISOTÉRMICO EN CONDUCTOS CIRCULARES; ECUACIÓN DE POISEUILLE En un flujo laminar la corriente es relativamente lenta y no es perturbada por las posibles protuberancias del contorno, mientras que la viscosidad es relativamente grande, de forma que si por cualquier circunstancia se iniciase un fenómeno de turbulencia, la viscosidad lo destruiría. La formulación que a continuación se desarrolla sirve tanto para tuberías lisas como para tuberías rugosas, suponiendo que las partículas de fluido, en un flujo laminar a lo largo de un tubo, se mueven en capas cilíndricas coaxiales; en el eje del tubo, el desplazamiento se realiza a mayor velocidad, mientras que en las paredes permanece en reposo. La distribución de velocidades en una sección transversal cualquiera del tubo obedece a las fuerzas de rozamiento transmitidas de capa en capa.

Región de entrada.- La fricción y la velocidad de transferencia de calor son, por regla general. mayores en la región cercana a la entrada de un tubo que en una región lejana aguas abajo, donde los perfiles de velocidad y temperatura están totalmente desarrollados. La longitud hidrodinámica de entrada LH se define como la distancia que debe recorrer el fluido para que el coeficiente de rozamiento λ disminuya a menos del 5% de su valor totalmente desarrollado. Si el flujo es laminar y si el fluido penetra en el tubo por una entrada lisa y redondeada, el perfil inicial de la velocidad es uniforme; la longitud requerida para que el perfil de velocidades en flujo laminar sea invariante respecto a la posición axial, es la longitud de entrada hidrodinámica LH que se puede aproximar por la ecuación de Langhaar: L H = 0,056 Red d siendo en la mayor parte de los casos despreciable, comparada con la longitud total. XII.-207

También se puede definir una longitud térmica de entrada LT que se puede definir como la distancia necesaria para que el número de Nusselt decrezca a menos del 5% de su valor totalmente desarrollado. Si en x = 0 el flujo es laminar y está ya totalmente desarrollado hidrodinámicamente, si la temperatura de la pared es uniforme, se tiene que: L T = 0,017 Re d Pr d y el nº de Nu para un tubo de longitud L es: 0,065 d Red Pr L Nu d = 3,66 + d 1 + 0,04 ( Red Pr) 2/ 3 L

;

Re d < 2300

Región de flujo desarrollado hidrodinámicamente.- Si se considera una parte del tubo, Fig XII.2, de diámetro 2 R, y un cilindro de fluido coaxial de diámetro 2 r, y longitud ∆l, las condiciones de contorno implican que en su cara frontal la presión es p, y en la posterior la presión es, p - ∆p, sobre el cilindro actuará una fuerza de empuje de la forma: Femp = π r 2 ∆p La fuerza de rozamiento: du Froz = η S dr = S = 2 π r ∆l

du = 2 π η r ∆l dr

es igual a la de empuje, por lo que: 2 π η r ∆l

du = π r 2 ∆p dr

;

r ∆p du = dr 2 η ∆l

⇒

u =

∆p 2 η ∆l

∫

R

r dr =

r

∆p (R 2 - r 2 ) 4 η ∆l

que es la distribución del campo de velocidades, de tipo parabólico, en un plano longitudinal.

Fig XII.1.- Isotaquias de velocidades en la región de entrada

Fig XII.2.- Región de fluido desarrollado para la ecuación de Poiseuille

XII.-208

La expresión del caudal es: Q =

∫

R

u dΩ =

0

∫

R

u 2 π r dr =

0

∆p 4 η ∆l

∫

R

(R 2 - r 2 ) 2 π r dr =

0

π R 4 ∆p 8ηL

que es directamente proporcional a la variación de presión entre las secciones A y B, tramo de longitud ∆l = L, a la cuarta potencia del radio de la conducción, e inversamente proporcional al tramo de tubería considerada de longitud L y a la viscosidad dinámica η. ˆ F es, Q = Ω u F , por lo que la velocidad media se El caudal en función de la velocidad media u puede poner en la forma: π R 4 ∆p 8ηL Q R 2 ∆p ˆ uF = uF = = = 8η L 2 Ω πR La velocidad máxima se tiene para r = 0, y es de la forma: 2 umáx = R ∆p 4η L

La relación entre la velocidad máxima y la velocidad media es: umáx= 2 uF Despejando de la expresión de la velocidad media el valor de ∆p, se obtiene la ecuación de Poiseuille: ∆p =

8 η L uF 32 η L u F = 2 R d2

La pérdida de carga total ∆p correspondiente a la longitud de tubería L se puede poner en función de la pérdida de carga por unidad de longitud de tubería J, en la forma: ∆p = γ ∆h = γ J L expresión que se puede poner teniendo en cuenta el número de Reynolds, y el coeficiente λ de rozamiento, en la forma:

Fig XII.3.- Distribución del coeficiente de cortadura, y disipación de energía

XII.-209

J=

64 u 2F λ u 2F 1 ∆p 1 32 η u F = = = γ L ρg 2 g d Re 2gd d2

64 Re La ecuación de Poiseuille demuestra que la pérdida de carga en régimen laminar, para tubePara el régimen laminar, λ =

rías lisas o rugosas, es directamente proporcional a la primera potencia de la velocidad. En la Fig XII.3 se muestran las distribuciones correspondientes al coeficiente τ de cortadura, r velocidad u y disipación de energía. XII.2.- FLUJO EN CONDUCTOS NO CIRCULARES FLUJO LAMINAR, INCOMPRESIBLE Y PERMANENTE, ENTRE DOS PLACAS PARALELAS.- En primer lugar se puede suponer que las placas son inclinadas formando un ángulo θ respecto a la r horizontal, teniendo la placa superior una velocidad constante u 0 ; el flujo entre las dos placas fi-

jas es un caso particular, al hacer la velocidad de la placa móvil u0 = 0. La placa superior se mueve paralelamente en la dirección del flujo, existiendo a lo largo del mismo, en la dirección de x, una variación de presión.

Fig XII.4.- Flujo laminar entre placas paralelas

Si se toma un elemento de fluido en forma de lámina, Fig XII.4, de dimensiones (dx,dy), y anchura unidad, para un flujo permanente, la lámina se moverá con velocidad constante u, siendo la ecuación del movimiento: p dy - (p +

∂p ∂τ dx) dy - τ dx + ( τ dy) dx + γ dx dy sen θ = 0 ∂x ∂y

que simplificada se reduce a: ∂p ∂τ = + γ sen θ ∂x ∂y

;

-

∂p ∂τ ∂h + - γ = 0 ; ∂x ∂y ∂x XII.-210

∂τ ∂ = (p + γ h) ∂y ∂x

en las que se ha tenido en cuenta que: sen θ = -

∂h ∂x

Como no existe aceleración en la dirección y el segundo miembro de esta ecuación no será función de y; integrándola se obtiene: τ =y

∂ (p + γ h) + C 1 ∂x

Como, τ = η du , sustituyendo resulta: dy η

du ∂ = y ( p + γ h) + C 1 ; dy ∂x

C du 1 ∂ = y (p + γ h) + η1 dy η ∂x

cuya integral es: C y2 1 ∂ u= η ( p + γ h) 2 + 1 y + C2 η ∂x Para calcular C1 y C2 utilizaremos las condiciones en los límites, de la forma: y = 0 ,u = 0 Para,   y = a , u = u0

⇒

C2 = 0

C 1 ∂ u0 = 2 η (p + γ h) a 2 + 1 a η ∂x

;

u0 C1 a ∂ = a - 2η (p + γ h) η ∂x

u u 1 ∂ a ∂ 1 ∂ u = 2η (p + γ h) y 2 + a0 y - 2 ( p + γ h) y = a0 y − 2 η (p + γ h) (a y - y 2 ) ∂x ∂x ∂x El gasto a través de una sección transversal cualquiera, es: a

Q=

∫ u dy = 0

u0 a 1 ∂ 3 2 - 12 η ∂x ( p + γ h) a

siendo la velocidad media u entre placas: u Q 1 ∂ ˆ u= = 0 - 12 η (p + γ h) a 2 a 2 ∂x y el esfuerzo τ en la pared: u du ∂ ∂ a τ = η dy 〉 y=a (p + γ h) + η a0 (p + γ h) 2}y=a y=0 = { y y=0 = ∂x ∂x u u0 ∂ a ∂ a = {(p + γ h) (y + )} y=a (p + γ h) + η a0 y=0 + η a = 2 2 ∂x ∂x XII.-211

que demuestra que dicho esfuerzo cortante en la pared, es constante. El caso particular en que las dos placas sean fijas se resuelve haciendo: u0 = 0. XII.3.- FLUIDOS QUE CIRCULAN POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS EN CONVECCIÓN FORZADA EN RÉGIMEN LAMINAR, CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE Vamos a considerar un flujo forzado laminar por el interior de un conducto de sección circular de radio R, sometido a un flujo de calor uniforme q desde una pared a TpF, Fig XII.5. Si se toma un volumen de control anular de longitud dx y espesor dr, en la región donde los perfiles de velocidad y temperatura están completamente desarrollados, un balance de energía permite determinar la distribución de temperaturas en la forma:

Fig XII.5.- Flujo forzado laminar con flujo de calor constante

Variación del flujo térmico en la dirección radial: Entrada, q 1 = -2 π r k Salida, q 2 = q 1 +

∂T 〉 dx ∂r r

∂q 1 ∂ ∂T dr = q 1 - 2 π k (r ) dx dr ∂r ∂r r ∂r

Variación del flujo térmico en la dirección axial: Entrada, q *1 = 2 π r dr ρ c p u T Salida, q *2 = q *1 +

∂q *1 ∂T dx = q *1 + 2 π r ρ dr c p u dx ∂x ∂x

Ecuación de la energía: - 2πk

∂ ∂T ∂T (r ) r dx dr + 2 π r ρ dr c p u dx = 0 ∂r ∂r ∂x

r ρ c p u ∂T ∂ ∂T r u ∂T (r )= = α ∂r ∂r k ∂x ∂x Como para la distribución de velocidades de tipo parabólico (Régimen laminar), se tiene:

XII.-212

u

= 1 -

u máx

r2 r2 r2 ; u = u máx (1 - 2 ) = 2 V0 (1 - 2 ) 2 R R R

∂ ∂T 1 ∂T r2 (r )= {2 V0 (1 - 2 ) r} α ∂x ∂r ∂r R ∂T = Cte. ∂x Integrándola se obtiene la distribución de temperaturas:

en la que para un flujo térmicamente desarrollado,

r

C1 ∂T 2 ∂T r2 r4 2 ∂T r r3 = V0 ( 2 ) + C 1 ; dT = { V0 ( ) + r } dr 2 2 α α 2 ∂r ∂x 4R ∂x 4R 1 ∂T r2 r4 V ( ) + C 1 ln r + C2 α ∂x 0 4 16 R 2

T=

Las constantes de integración se calculan teniendo en cuenta las siguientes condiciones:  C1 = 0 a) Para, r = 0 ; T = TC , (Temperatura en el eje de la tubería), u = 2 V0 ;   C 2 = TC V0 ∂T r2 r4 r2 T - TC = α ( 4 ) ; u = 2 V0 (1 - 2 ) 2 ∂x 16 R R b) Para, r = R, se determina el coeficiente de transmisión de calor hc. La temperatura TpF es, TpF = TC +

V0 ∂T 3 r 2 α ∂x 16

∂T El flujo de calor es, q = Cte ; − k ( )r=R = h C (TpF - TF ) ∂x

;

− k ( ∂T )r=R ∂x hC = TpF - TF

que permite determinar el coeficiente de transmisión de calor por convección. Como la temperatura media del fluido TF se puede obtener a partir de la expresión: TF

∫

R

ρ c p u 2 π r dr =

0

T ρ c p u 2 π r dr

0

∫ = ∫

R

TF

∫

R

T u r dr

0

=

R

∫

R

0

2 4 2 V0 ∂T r 2 2 V0(1 - r ){TC + ( - r )} r dr 2 R α ∂x 4 16 R 2

∫

u r dr

0

R

2 V0(1 -

0

r2 ) r dr R2

= TC +

7 V0 R 2 ∂T 48 ∂x α

por lo que la distribución de temperaturas y el coeficiente de convección se pueden poner en la forma: T − TpF 24 3 1 r 4 r 2 TF − TpF = 11 { 4 + 4 ( R ) - ( R ) } k ∂T hC = 〉 = TpF - TF ∂r r=R

(TC +

3 V0 R 2 8 α

k V0 R ∂T α ∂x 2 24 k 48 k = = 2 11 R 11 d V R ∂T 7 0 ∂T ) - (TC + ) 48 α ∂x ∂x XII.-213

Para flujo de calor uniforme: hC=

48 k k = 4,3636 11 d d

;

Nu = 4,3636

Para temperatura de pared constante (p.e. vapor condensando sobre la superficie exterior), a una distancia suficiente del punto en el que empieza el calentamiento corriente abajo, el flujo se vuelve totalmente desarrollado térmicamente, la forma del perfil de temperatura no cambia, y el nº de Nu tiene un valor constante dado por la ecuación: TpF = Cte

⇒ Nud = 3,656

La longitud de entrada hidrodinámica para flujo laminar es: LH = 0,056 Red d La longitud de entrada térmica para flujo laminar es: LT = 0,043 Red Pr d Una formulación analítica de la que se derivan los resultados de la Fig XII.6, fue desarrollada por Hausen en la forma: K 1 d Red Pr x Flujo de calor uniforme, Nu x = Nu d∞ + 1 + K 2 ( d Re d Pr)n x K 1 d Red Pr L Temperatura de pared uniforme, Nu = Nu d∞ + 1 + K 2 ( d Red Pr)n L en la que Nux es el coeficiente de transmisión de calor local, y Nu es el coeficiente medio en el intervalo, 0 < x < L. Para aceites y otros fluidos en que la viscosidad varía con la temperatura, el término K 1 se multiplica η por, ( F ) 0,14 . η pF Para Q/A uniforme y distribución de velocidades parabólica: Nu d∞ = 4,36

;

K 1 = 0,023

K 2 = 0,0012 ;

;

n= 1

Para Q/A uniforme y flujo desarrollado: Nu d∞ = 4,36

;

K 1 = 0,036

K 2 = 0,0011 ;

;

n= 1

;

Pr = 0,7

;

Pr = 0,7

Para TpF = Cte, y distribución de velocidades parabólica: Nu d∞ = 3,66

;

K 1 = 0,0668

;

K 2 = 0,04 ;

n = 0,66

Para TpF = Cte, y flujo desarrollado: Nu d∞ = 3,66

;

K 1 = 0,104

;

K 2 = 0,016 ;

n = 0,8

evaluándose las propiedades del fluido a la temperatura media TF entre la entrada y la salida. XII.-214

Fig XII.6.- Números de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un tubo cilíndrico, térmica e hidrodinámicamente desarrollados

XII.7.- Números de Nu medio y local para flujo laminar entre placas planas paralelas, térmica e hidrodinámicamente desarrollados

XII.8.- Números de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un tubo cilíndrico, con temperatura de pared constante

XII.-215

XII.9.- Números de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un conducto cuadrado, térmica e hidrodinámicamente desarrollados

XII.10.- Números de Nu medio para flujo laminar entre dos placas paralelas con temperatura de pared constante

XII.-216

XIII.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN, ANALOGÍAS Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

XIII.1.- ANALOGÍA ENTRE LA TRANSMISIÓN DE CALOR Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN FLUJO TURBULENTO CAPA LIMITE TÉRMICA SOBRE PLACA PLANA..- En una corriente fluida que circula sobre una placa plana en régimen turbulento, se pueden distinguir dentro de la capa límite según una misma sección transversal, tres subcapas de fluido contenidas en la capa límite térmica, con unos límites de separación no muy bien diferenciados, Fig XIII.1. a) La primera, subcapa viscosa, se encuentra en las proximidades de la pared; en ella prácticamente no existen remolinos y, por lo tanto, la variación de la cantidad de movimiento se debe exclusivamente a la viscosidad. b) La segunda zona, subcapa de transición, se corresponde con un régimen intermedio, y en ella se produce una variación de la cantidad de movimiento debido a la viscosidad y a la turbulencia. c) La tercera zona, subcapa turbulenta, se corresponde con la parte principal de la corriente que ocupa casi toda la sección transversal del tubo; es la zona en la que existen turbulencias de intensidad relativamente pequeña, aunque los remolinos sean grandes; los gradientes de la velocidad respecto a la distancia a la pared son relativamente pequeños, por lo que las variaciones de la cantidad de movimiento predominantes, son debidas a los esfuerzos de Reynolds τturb en régimen turbulento. En lo que sigue se supondrá que tanto los gradientes de temperatura dentro de la capa límite térmica, como los gradientes de velocidades dentro de la capa límite hidrodinámica, están perfectamente desarrollados y superpuestos, cumpliéndose: XIII.-217

δT

τ turb

uF Zona turbulenta uF

Subcapa de transición τvisc Capa límite laminar

Región de transición

Subcapa viscosa Capa límite turbulenta

Fig XIII.1.- Subcapas de la capa límite térmica en régimen turbulento

Como,

δ = δT

3

Pr , cuando, Pr = 1, las dos capas límite coinciden.

Si Pr < 1, la capa límite térmica es más gruesa que la hidrodinámica y cuando Pr > 1, sucede todo lo contrario. Conductividad térmica.- Dentro de la subcapa viscosa el calor fluye principalmente por conducción, aunque también interviene algo la convección, debido a que en esa zona existe algún remolino; a medida que se avanza transversalmente dentro de la capa límite, los efectos de la turbulencia se hacen más notorios, predominando la transmisión de calor por convección. En los fluidos ordinarios con números de Prandtl superiores a 0,6 la conducción térmica es totalmente despreciable en la subcapa turbulenta, y puede llegar a ser considerable en la zona de transición cuando el número de Prandtl se aproxime a la unidad; para números de Prandtl elevados, la conducción térmica es despreciable en esa zona. Cantidad de movimiento.- El esfuerzo cortante en régimen turbulento sigue una regla similar a lo anterior respecto a la viscosidad. Bajo ciertas condiciones ideales, existe una correspondencia exacta entre el flujo de calor y la variación de la cantidad de movimiento; sin embargo, en un caso general, esta correspondencia será sólo aproximada y el considerarla como exacta podría conducir a grandes errores. EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN BÁSICA DE LA ANALOGÍA ENTRE EL CALOR Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Cuando se conoce el coeficiente de rozamiento λ entre el fluido y la pared del conducto por el que circula, se puede determinar el coeficiente de transferencia de calor hC, mediante la analogía entre la transferencia de calor y la cantidad de movimiento. El esfuerzo cortante τ en la capa límite turbulenta se compone de dos términos: du τ = τ visc + τ turb = η dx - ρ u *F v *F en la que τ turb se conoce como esfuerzo de Reynolds, siendo u *F la velocidad de agitación, o fluctuación de la velocidad instantánea ui, alrededor del valor medio uF: XIII.-218

u i = u F ± u *F = u F ± u agit mientras que v *F es la fluctuación transversal de la velocidad instantánea v i , de la forma: v i = v F ± v *F = v F ± v agit Para el flujo turbulento de calor, se puede considerar que el flujo total de calor q* está compuesto por una componente conductiva qcond y por una componente turbulenta qturb , es decir: q * = q cond + q turb = - k

dT + ρ c F v *F TF* dx

 Ti = TF ± TF* , es la temperatura instantánea  en donde,  TF = T∞ , es la temperatura media del fluido  T * , es la temperatura debida a la fluctuación  F El término, u *F v *F , se obtiene a partir del significado físico del número de Prandtl que sugiere que la fluctuación u *F de la velocidad se relaciona con

du a través de la ecuación: dx

du u *F ≈ l m dx en la que l m es la longitud de mezcla del espesor δ2 de la cantidad de movimiento de la capa límite hidrodinámica. Asimismo, la fluctuación transversal v*F se admite es del mismo orden de magnitud que u*F pero de signo opuesto: v *F ≈ - l m

du dx

;

du 2 du u *F v *F = - (l m ) = - ε m dx dx

en la que ε m es la difusividad turbulenta de la cantidad de movimiento,

ε m = l 2m

du dx

Para hallar la relación del término v *F TF* , con el gradiente de temperaturas local medio, se aplica un método similar, en la forma dT TF* ≈ - l c dx

y

v *F = l c

du dx

en la que l c es la longitud de mezcla del espesor de energía δ3 de la capa límite, por lo que se puede poner: du dT dT v *F TF* = - l2c dx dx = - ε c dx siendo ε c la difusividad turbulenta del calor:

ε c = l2c XIII.-219

du dx

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de τ y de q* , se obtiene: du du τ du + ρ εm ; = (ν + ε m ) dx dx ρ dx dT dT dT dT q* = - k + ρ c F v *F TF* = - k - ρ c F ε c dx = - ( k + ρ c F ε c ) dx dx dx q* k dT dT = -( + εc ) = - (α + ε c ) ρ cF ρ cF dx dx τ=η

ecuaciones que divididas entre sí, proporcionan las relaciones básicas para la circulación de fluidos por tuberías: ν + εm τ du = q* c F (α + ε c ) dT en las que tanto ν como α son propiedades del fluido, mientras que εm y εc lo son del flujo. A partir de ellas se deducen las analogías entre la transferencia de calor y la cantidad de movimiento. XIII.2.- ANALOGÍA DE REYNOLDS Esta analogía es de aplicación al flujo de fluidos por tubos rectos de sección circular; se puede estudiar en su forma más general, teniendo en cuenta que la relación entre las difusividades moleculares α y ν, es igual a la relación entre las difusividades εm y εc. Como el número de Prandtl es una relación entre difusividades, se puede poner: εm ν α = ε c = Pr

;

ν = α Pr

;

ε m = ε c Pr

τ0 ν + εm - (α Pr + ε m Pr) du τ du - Pr du = * = = * dT = c F dT q q0 c F (α + ε c ) dT c F (α + ε c )

∫

uF

du = -

0

cF τ0 Pr q *0

∫

TF

dT

TpF

;

uF =

c F τ0 (TpF - TF ) Pr q *0

en la que τ 0 y q *0 se toman en la superficie. Al ser: 4 L τ0 L ρ u 2F = λ d 2d

;

τ0 =

C w λ ρ u 2F C w λ ρ u 2F (TpF - TF ) = 8 Pr h C 8 Pr h C (TpF - TF )

;

hC =

π d L τ0 = P

π d2 4

;

P=

λ ρ u 2F = 8

q *0 = h C (TpF - TF ) resultando finalmente: uF =

XIII.-220

Cw λ ρ uF 8 Pr

λ Cw = 4

=

C w ρ u 2F 2

St =

h Cw Nu λ = c ρC u = = 2 Pr Re Pr 8 Pr pF F

que concuerda bastante bien con la ecuación: Cw = 2 Stx Pr2/3 para números de Pr próximos a la unidad. Si los valores de λ se toman de la ecuación: λ = 0,184

Re -0,2 d ,

 10 4 < Re < 10 5 en el campo,  L  d = 0,623 4 Re d

siendo L la distancia necesaria para que en el flujo turbulento el factor de fricción λ llegue a ser constante, se tiene: Nu = St Re d Pr = 10 4 < Re < 105

0,184 λ 0,8 0,8 Re d Pr = Re d 3 Pr = 0,023 Re d 8 8 Pr L ; 0,5 < Pr < 100 ; d > 60 3

3

Pr

Reynolds propuso que todo el flujo está formado por una región altamente turbulenta, es decir, no considera la presencia de la subcapa viscosa, ni la subcapa de transición, por lo que las difusividades moleculares del momento ν y del calor α son despreciables en comparación con las difusividades turbulentas ν 10 9, el flujo comienza a ser turbulento, y suponiendo un perfil de velocidades m = 7, se encuentra: Nu x = 0,0295 (

Grx Pr 7/6 )2/5 1 + 0,494 Pr 2/3

Nu = 0,021 Ra2/5 L viniendo expresado h C en, Kcal/hora m2 °C, la conductividad térmica k F del fluido en, Kcal/m°C y la velocidad másica G en ,Kg/m2 hora. PLACA ISOTÉRMICA.- Pohlhausen considera que los perfiles de velocidad y temperatura en convección natural presentan propiedades similares, en forma análoga a las observadas por Blasius para la convección forzada, de forma que: η=

y x

4

Grx 4

; Φ=

T - TF y 2 = (1 ) TpF - TF δ

La distribución de temperaturas permite determinar el flujo de calor local, de la forma: Q ∂T k 4 Gr x dΦ 〉 = h cF (TpF - TF ) A = - k ∂y 〉 y=0 = - x (TpF - TF ) 4 dη η=0 obteniéndose el número de Nux local: Nu x = f(Pr) 4

Grx 4

viniendo los valores de f(Pr) en la Tabla XIV.1. El número de Nu medio es: Nu =

GrL 4 f(Pr) 4 3 4

resultado válido para convección forzada en régimen laminar, en el intervalo, 104 < (Gr Pr) < 10 9, con propiedades del fluido constantes, excepto la densidad; las propiedades se evalúan a la temperatura de referencia, de la forma: Tref = TpF + 0,38 (TF - TpF ) Tabla XIV.1

Pr f(Pr)

0,01 0,0812

0,72 0,5046

0,733 0,508

1 0,5671

2 0,7165

10 1,1694

100 2,191

1000 3,966

PLACA CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE.- Las ecuaciones del momento, energía y contiXIV.-236

nuidad anteriores, son válidas para un flujo de calor uniforme,

Q = Cte, a lo largo de la placa; con A

esta condición se tiene: Nu = F(Pr) 4

GrL 4 4 , siendo, 0,95 F(Pr) = 3 f(Pr)

Los valores de F(Pr) vienen dados en la Tabla XIV.2, Tabla XIV.2

Pr

0,01

1

10

100

F(Pr)

0,335

0,811

1,656

3,083

XIV.2.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIÓN NATURAL EN PLACAS Para la determinación de los coeficientes de transmisión de calor por convección natural, con superficie isoterma a Tp, en los casos de: a) Pared vertical de altura L, (no se define la anchura) d b) Tubo vertical con, L >

4

35 GrL

c) Tubo horizontal de diámetro d se utiliza una ecuación general de la forma: Nu L = C (Ra L ) n El nº de Grashoff es, Gr =

gβ ∆T L3 , y el nº de Rayleigh, Ra = Gr Pr ν2

Las propiedades térmicas del fluido se toman a la temperatura media de la película, a excepción del coeficiente de dilatación térmica β que se evalúa a la temperatura del fluido TF. 1 Para el caso de un gas ideal el valor de β se puede aproximar por, β ≅ T , con T F en ºK F ∆T es la diferencia entre la temperatura de la pared y la del fluido L es una longitud característica y los valores de C y n vienen dados en la Tabla XIV.3. Estas ecuaciones se pueden aplicar a la convección libre laminar desde placas verticales isotermas o superficies con flujo térmico uniforme, tomando la temperatura de la superficie en el punto medio de la placa. Para el estudio de la convección libre alrededor de placas planas rectangulares horizontales, se toma como longitud característica la media aritmética de sus dos dimensiones, o bien el 90% de su diámetro en el caso de discos circulares horizontales.

XIV.-237

Tabla XIV.3.- Valores de las constantes de la ecuación de Nusselt para convección natural Planos verticales y cilindros verticales 4

10 60 ε

en la que G es el gasto másico y Cx el coeficiente de arrastre. El criterio para determinar el tipo de régimen del flujo es,

 0 < e*< 5, liso   5 < e*< 60, transición  e*> 60, rugoso 

El número de Stanton local es: St x =

1 2

Cx 0,9 +

Cx {f(ε*,Pr) - 7,65} 2

en la que la función f(ε* ,Pr) depende de la rugosidad, presentando diversas formas, como se indica a continuación:  f (ε *,Pr ) = 4,8 ε *0,2 Pr 0,44 ; 1 < Pr < 6 Granos de arena,  0,28 Pr 0,57 ; 0,7 < Pr < 40  f (ε *,Pr ) = 4,8 ε * General, f(ε*,Pr) = 0,55

ε* ( Pr 2/3 - 1) + 9,5

;

Pr > 0,5

El número de Stanton medio es: St =

1 L

∫

L

St X dx =

0

hC ρ cp u

XV.2.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIÓN FORZADA POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS FLUJO LAMINAR POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS.- Para el flujo de fluidos en tuberías en régimen laminar se cumple Re < 2.100. Flujos desarrollados.- Para flujos completamente desarrollados en un tubo circular, L→∞ , con flujo de calor q/A constante desde la pared es Nu = 4,3636 Para flujos completamente desarrollados en un tubo circular, L→ ∞ , con temperatura de pared constante Nu = 3,656 Flujos no desarrollados.- El efecto de entrada del fluido en tuberías se manifiesta cuando las longitudes turbulentas iniciales sean mucho más cortas que en condiciones de régimen laminar o cuando el intercambio térmico comienza a efectuarse desde la entrada de la tubería y, por lo tanto, XV.-251

la capa límite térmica no está todavía desarrollada. a) Una ecuación que tiene en cuenta las longitudes térmica e hidrodinámica: Sieder y Tate: con temperatura de pared constante es:

Nu = 1,86

3

 Gz> 10 ; ηF d Gz ( η ) 0,14 , con, Gz= ( Re d Pr ) y  L pF  Pr > 0,5

3

Gz ηc > 2

siendo L la longitud del tubo y d el diámetro. Las propiedades del fluido que conducen al cálculo de Re y Pr se calculan a la temperatura TF b) Otra expresión para el flujo a la entrada en un tubo circular en régimen laminar, con temperatura de pared constante (Hausen): Nu = 3,66 +

0,0668 Gz ηc 1 + 0,04 Gz 2/3

y para flujo a la entrada en un tubo circular en régimen laminar, con flujo de calor constante (Hausen): Nu = 4,36 +

0,023 Gz η 1 + 0,0012 Gz c

en la que las propiedades del fluido para calcular Re y Pr se toman a la temperatura TF. c) Si el flujo turbulento está hidrodinámicamente desarrollado. El coeficiente de rozamiento viene dado por: 64 λ = Re d

;

Re d < 2300

y el número de Nusselt por: 0,065 d Re d Pr L Nu d = 3,66 + d Re Pr) 2/ 3 1 + 0,04 ( d L

;

Re d < 2300

FLUJO TURBULENTO DESARROLLADO POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS. a) Los datos experimentales correspondientes a los estudios realizados sobre el movimiento en tubos de un gran número de líquidos, gases y vapores, se pueden expresar por las siguientes ecuaciones: En tubos lisos se aplica la ecuación de Dittus-Boelter:  0,7 < Pr < 160 L Nu = 0,023 Re 0,8 Pr a , para, d > 60 , y   Re > 10.000 en la que se considera a = 0,4 para calentamientos y a = 0,3 para enfriamientos. XV.-252

Tabla XV.1.- Números de Nu y factor de fricción λ para flujos completamente desarrollados, térmica e hidrodinámicamente, en conductos de sección transversal circular y no circular

[(L/dh ) > 100]

NuT

NuH1

NuH2

λ Re

[(L/dh ) > 100]

NuT

NuH1

NuH2

λ Re

b

3,657

4,364

4,364

64

3,34

4,002

3,862

60,22

a

b/a=0,5

3,391

4,125

3,017

62,2

a

b/a=0,25

3,66

5,099

4,35

74,8

b/a=0,125 5,597

6,49

2,904

82,34

b 60°

b

2,47

3,111

1,892

53,33

2,976

3,608

3,091

56,91

a b a

b/a=0

7,541

8,235

8,235

96

Aislamiento

b/a=0,5

4,861

5,385

-----

96

NuT es el número de Nu para paredes con temperatura uniforme; NuH1 es el número de Nu con flujo de calor uniforme en la superficie en la dirección del flujo, mientras que la temperatura permanece uniforme en la periferia; NuH2 es el número de Nu con flujo de calor uniforme en la superficie, en la dirección del flujo y en la periferia Tabla XV.2.- Longitud de entrada térmica Lt, e hidrodinámica Lh, para flujo laminar por el interior de conductos de sección transversal circular y no circular

Lh /dh Re

Lt/dh Pe Temp. de pared constante Flujo térmico constante

d

0,056

0,033

0,043

0,011

0,008

0,012

0,075 0,085 0,09

0,054 0,049 0,041

0,042 0,057 0,066

2b

2a 2b

a/b = 0,25 a/b = 0,50 a/b = 1,00

b) Una correlación que permite una precisión aún mayor que la de Dittus-Boelter, es la de Polley, de la forma: St = exp [-3,796 - 0,205 ln (Re) - 0,505 ln (Pr) - 0,0255 {ln (Pr)} 2 ] estando los valores del número de Prandtl comprendidos en el intervalo, 0,5 < Pr < 3.000 c) Ecuación de Sieder y Tate.- Esta ecuación es de la forma:  Re < 10.000 ; L > 60 ηF d Nu = 0,027 Re 0,8 Pr 1 / 3 ( η )0,14 , con ,  pF  0,7 < Pr < 16.500 recomendándose para aquellos casos de transmisión de calor en los que la viscosidad de los fluidos cambie marcadamente con la temperatura. XV.-253

Para determinar Nu, Re, Pr y ηF hay que conocer las propiedades del fluido a su temperatura media TF, mientras que ηpF se calcula a la temperatura de la pared TpF.

Fig XV.1.- Flujo forzado por una tubería con Red = 50.000; en la sección inicial el flujo es laminar debido a la entrada en forma de bocina, pero se vuelve turbulento aguas abajo

d) Ecuación de Notter y Sleicher.- Esta ecuación es de la forma:

Nu = 5 + 0,016

Re a

Pr b ,

 a = 0,88 - 0,24 ; b = 0,33 + 0,5 e -0,6 Pr  4 + Pr con,  L  > 25 ; 104 < Re < 106 ; 0,1 < Pr < 104  d

que concuerda muy bien con los mejores datos experimentales para el aire y en un 10% con los mejores datos para números de Prandtl del orden de 103. e) En tubos rugosos se puede utilizar la analogía de Kàrmàn del capítulo anterior de la forma: λ St = 8

1 1 + 5

λ 5 Pr + 1 {(Pr - 1) + ln } 8 6

;

Pr < 30

f) En tubos rugosos también se puede utilizar la ecuación de Petukhov de la forma:

Nu d =

Re d Pr λ η F n X 8 ( η pF )

;

X = 1,07 + 12,7 (Pr 2 / 3 − 1)

 4 6  10 < Re < 5.10  cuyo campo de validez es,  104 < Re < 5.106  ηF  0 < < 40 η pF 

λ 8

; 0,5 < Pr < 200

;

; 0,5 < Pr < 2000 ;

error < 5 ÷ 6% error ≈ 10%

n = 0,11 para calentamiento con TpF uniforme n = 0,20 para enfriamiento con TpF uniforme n = 0 para flujo de calor uniforme o gases El valor del coeficiente de rozamiento viene dado para Pr > 0,5 por: λ = ( 0,79 ln Re d - 1,64) -2 λ = 0,184 Re d−0,2

; 104 < Re d < 5.106

; 2.10 4 < Re d < 3.10 5 , menos precisa que la anterior

tomándose las propiedades del fluido a la temperatura media TF excepto ηpF que lo es a la tempeXV.-254

ratura de la pared TpF. El parámetro ηc se utiliza para expresar el efecto de la diferencia de temperaturas del fluido TF y de la pared TpF sobre las propiedades del fluido. Se aplica en aquellos casos en que la viscosidad del fluido cambie marcadamente con la temperatura, η= η(T); en muchos casos ηc se considera la unidad, siendo de interés en los fluidos muy viscosos. g) Otra ecuación para tubos rugosos es la de Gnielinski para flujo turbulento, térmica e hidrodinámicamente desarrollado, siendo el número de Nusselt: λ ( Re - 1000) Pr d 8 Nu = , con, 1 + 12,7 λ (Pr 2/ 3 - 1) 8

 3000 < Re d < 106   Pr > 0,5

y el coeficiente de rozamiento: λ = ( 0,79 ln Re d - 1,64) -2

; 104 < Re d < 5.106

h) Para una tubería muy rugosa se puede definir un tamaño adimensional ε* del grano de arena, al igual que para placa plana, en función de la rugosidad absoluta ε en la forma: Gε ρ ε* = ν

λ 2

en la que G es el gasto másico y λ el coeficiente de rozamiento que se obtiene del diagrama de Moody o de la ecuación: λ =

1 ε ε 5,02 13 R R -2 lg { 7,4 - Re lg ( 7,4 + Re )} d d

El criterio para determinar el tipo de régimen del flujo es,

 0 < ε * < 5, liso   5 < ε * < 60, transición  ε * > 60, rugoso 

El número de Stanton local es: λ St = 8 0,9 +

1 λ {f(ε * , Pr) − 7,65} 8

en la que la función f(ε* ,Pr) depende de la rugosidad, presentando diversas formas, como se indica a continuación: XV.-255

Granos de arena, f(ε *,Pr) = 4,8 ε * 0,2 Pr 0,44 ; 1 < Pr < 6 Granos de arena, f(ε *,Pr) = 4,8 ε * 0,28 Pr 0,57 ; 0,7 < Pr < 40 General, f(ε * ,Pr) = 0,55

ε * (Pr 2/3 - 1) + 9,5 ; Pr > 0,5

El número de Stanton medio es, St =

1 L

∫

L

0

h St x dx = ρ cC u p

FLUJO TURBULENTO NO DESARROLLADO POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS Longitud de entrada hidrodinámica, LH = 0,056 Red d Longitud térmica de entrada, LT = 0,017 Red Pr d Nusselt estudió datos experimentales en el campo: 10 < proporcional a (

L < 100 y predijo que h d

C

tenía que ser

d 1/ 8 ) y, por lo tanto, para tener en cuenta el efecto de entrada en el tubo propuso L

la siguiente ecuación: d Nu = 0,036 Re 0,8 Pr 1 / 3 ( L ) 0,055 en la que L es la longitud del tubo medida desde la entrada, viniendo determinadas las propiedades del fluido respecto a TF. Otras ecuaciones válidas en este campo son:

Nu = 0,024 Re 0,786 Pr 0,42

Nu = 0,036 Re 0,8 Pr 0,333

 2300 < Re < 10 6  d 0,66 {1 + ( ) } η C , para:  0,7 < Pr < 10 L  L/d < 40 

 2300 < Re < 106  d 1/18 ( ) , para:  0,7 < Pr < 10 L   10 < L/d < 400

en las que L es la longitud del tubo medida desde la entrada, correspondiente a la zona que se está estudiando, calculándose las propiedades físicas del fluido a la temperatura media de éste TF. Si el flujo a la entrada está desarrollado hidrodinámicamente, pero no térmicamente, con temperatura de pared uniforme, se puede utilizar: 0,065 d Red Pr L Nud = 3,66 + 1 + 0,04 ( d Red Pr)2/3 L

;

Red < 2300

XV.-256

FLUJO TURBULENTO DE METALES LÍQUIDOS POR EL INTERIOR DE TUBERÍAS Flujo completamente desarrollado con flujo de calor uniforme desde la pared  10 2 < Pe < 10 4 Nu = 0,625 Pe 0,4 , con,  L  d > 60 5

 10 2 < Pe < 10 4 ; 3,6.103 < Re < 9.10  Nu = 4,82 + 0,0185 Pe 0,827 , con,  L  d > 60 Nu d = 6,3 + 0,0167 Re 0,85 Pr 0,93 , con, 10 4 < Re d < 106 d Flujo completamente desarrollado con temperatura de pared uniforme Nu = 5 + 0,025

Pe0,8 ,

Nu = 4,8 + 0,015

 Pe > 100 con,  L  d > 60

Pe 0,91

Pr 0,3 ,

 Pr < 0,05 con,  L  d > 60

 Pr < 0,1 ; Pe > 15.000 Nu = 5 + 0,05 Pe 0,77 Pr 0,25 , con,  L  d > 60 Nu = 4,8 + 0,0156

Pe 0,85 Pr 0,08 ,

 0,004 < Pr < 0,1 ; Re < 500.000 con,  L  d > 60

Flujo no desarrollado Para flujo de calor uniforme: Nu = 6,3 + 0,0167 Pe0,85 Pr0,08 Para temperatura de pared uniforme: Nu = 4,8 + 0,0156 Pe0,85 Pr0,08 FLUJO TURBULENTO POR UN SERPENTÍN TUBULAR..- La presión que se ejerce sobre la sección transversal de paso de un serpentín tubular no es constante debido a la acción de las fuerzas de inercia, que en las zonas periféricas son, relativamente, poco importantes pues el medio que desliza se adhiere más o menos a la pared del tubo. Las partículas en movimiento en esta zona están sometidas a las fuerzas del campo de presión en la sección perpendicular a la dirección del flujo principal, que origina la formación de un desplazamiento secundario, en el serpentín. Como consecuencia de este movimiento secundario, la transmisión de calor en un serpentín tubular mejora, siendo el coeficiente de transmisión de calor por convección de la forma: hc(serpentin) = hC (1 + 3,54 d ) D XV.-257

en la que hC es el coeficiente de transmisión de calor por convección para tubería recta de las mismas características. El régimen empieza a hacerse turbulento para valores de Re más elevados que en los tubos rectos XV.3.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIÓN FORZADA POR EL EXTERIOR DE TUBERÍAS FLUJO TURBULENTO PARALELO POR EL EXTERIOR DE UN TUBO.- Un gran número de estudios y experiencias en gases, vapores y líquidos moviéndose por el exterior de un tubo simple, paralelamente, vienen correlacionados por la expresión: Nu = 0,26 Re0,6 Pr 0,3 η c ; 103 < Re < 10 5 Nu = 0,86 Re 0,43 Pr 0,3 ηc ; 0,2 < Re < 200 y sólo para líquidos normales FLUJO TURBULENTO PARALELO POR EL EXTERIOR DE TUBOS EN BATERÍA.- La transferencia de calor en la circulación de un fluido sobre una batería de tubos, es muy importante por su aplicación al diseño y proyecto de algunos tipos de intercambiadores de calor en contracorriente y en equicorriente. Se pueden considerar dos situaciones: a) Si se obliga al fluido a circular paralelo y pegado a la pared de las tuberías mediante pantallas, se considera como flujo por el exterior de tubos, y se utilizan para determinar el número de Nu las ecuaciones para un tubo único. b) Si no existen pantallas y los tubos están contenidos en una carcasa, se considera como flujo por el interior de un tubo, (la carcasa), introduciendo el concepto de diámetro equivalente en el número de Re de la formulación correspondiente que interviene en el cálculo del número de Nu. En esta segunda situación, los números de Reynolds y Nusselt se calculan en función del diámetro hidráulico, en la forma: Re =

uF dh ν

;

Nu =

h CF d h kF

Fig XV.2.- Disposiciones de dos tubos concéntricos (a) y tipo intercambiador (b)

XV.-258

Diámetro hidráulico, d h = 4

Sección transersal mojada Perímetro mojado

Para una conducción formada por dos tubos concéntricos, Fig XV.2.a: π

dh = 4

d 22 - d 21

(d 2 + d 1 ) (d 2 - d 1 ) 4 = = d 2 - d1 π (d 2 + d 1 ) d 2 + d1

Para un conducto tipo intercambiador, formada por varios tubos rodeados por una carcasa exterior, Fig XV.2.b: D2 - n d2 D2 - n d 2 4 dh = 4 = π (D + n d) D + nd π

Para conductos anulares (dos tubos concéntricos) se puede obtener una mayor precisión si se multiplica el nº de Nu obtenido por cualquiera de las ecuaciones correspondientes a flujo por el interior de tuberías, por un factor de corrección. Si la pared exterior está aislada térmicamente y la transferencia de calor se realiza únicamente a través de la pared del tubo interior, el factor de corrección del nº de Nu es: d 0,86 ( interior )-0,16 dexterior Si la pared interior está aislada térmicamente y la transferencia de calor se realiza únicamente a través de la pared del tubo exterior, el factor de corrección del nº de Nu es: d 1 - 0,14 ( interior )0,6 dexterior en las que el área de transferencia térmica a considerar es únicamente el de la pared calentada. XV.4.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIÓN FORZADA EN ESFERAS a) Para el flujo de fluidos sobre esferas con superficie isotérmica, se pueden utilizar los siguientes coeficientes de arrastre: Cd = 24 Red

;

Red < 0,5

Re2/3 d ) ; Cd = 24 (1 + Red 6 Cd = 0,44

;

2 < Red < 500

500 < Red < 2 x 105

Whitaker propone una correlación general para el nº de Nusselt de la forma:

XV.-259

Nu d = 2 + (0,4

Re d + 0,06

3

η Re 2d ) Pr 0,4 4 η F pF

;

 3,5 < Re d < 8.10 4  ηF  < 3,2  1< η pF   0,7 < Pr < 380

calculándose las propiedades a la temperatura del fluido T F excepto ηpF que se evalúa a la temperatura de la pared; para gases, el factor de corrección de la viscosidad es despreciable. En la ecuación anterior se puede observar la existencia de un límite inferior de Nud = 2 que corresponde a la conducción de calor de una esfera a un medio exterior infinito estacionario. El flujo de calor a través de una superficie esférica es: Q=

4 π k (T1 - T2 ) = 1 + 1 r1 r2

Si, d = 2 r1 y r2 → ∞ =

2k π d 2 (T1 - T2 ) = h cF A (T1 - T2 ) d

por lo que el coeficiente de transferencia de calor es, h cF =

2k , y Nu d = 2 d

b) Para el caso particular del flujo de gases sobre una esfera, Mc Adams recomienda la correlación: Nu = 0,37 Re0,6

;

17 < Re < 70.000

en donde las propiedades del fluido se calculan a la temperatura media de la película. c) Para el caso particular del flujo de líquidos sobre una esfera, se recomienda la correlación: 0,54

Nu d = (1,2 + 0,53 Re d

) Pr 0,3

4

ηF η pF

;

1 < Re d < 200.000

en donde las propiedades del fluido se calculan a la temperatura media de la película. d) Para el flujo de un metal líquido sobre una esfera, el coeficiente de transmisión de calor viene dado por: Nu d = 2 + 0,386

Re Pr ;

3.104 < Re d < 1,5.10 5

en donde las propiedades del fluido se calculan a la temperatura media de la película. XV.5.- CONVECCIÓN NATURAL Y FORZADA COMBINADAS En algunos casos reales pueden coexistir la convección natural y la forzada; para sistemas en los que el flujo forzado tiene velocidades bajas, menores de 0,3 m/seg, ambas formas de convección pueden tener una importancia semejante. Sin embargo, y ante la duda de qué tipo de fenómeno prevalece, un criterio normalmente aplicado es que predomina la convección natural cuando se cumpla que: Gr > 1,0 Re2 XV.-260

Fig XV.3.- Convección libre, forzada y mixta, por tubos horizontales

Para convección combinada en tubos horizontales se pueden utilizar las siguientes expresiones:  Re < 500 ; 10 -2 < Pr d < 1  L Nu = 1,75 η C Gz + 0,0083 (Gr Pr) 3 , para,  d  Gz = Re Pr  L  Re > 500 d Nu = 4,69 Re 0,27 Pr 0,21 Gr 0,07 ( L ) 0,36 , para,  d -2  10 < Pr L < 1 3

4

Para la convección laminar combinada, libre y forzada, del agua que circula por un tubo horizontal, con temperatura de pared constante, sus resultados están correlacionados a través de la expresión: Nu d = 1,75

3

Gz + 0,012

3

(Gz Grd0,33 )4 (

η F 0,14 ) η pF

Todas las propiedades del fluido se calculan a la temperatura media TF del fluido; esta ecuación da buenos resultados, siempre con un error menor del 8%. En la Fig XV.3 se han representado los regímenes de convección libre, forzada y mixta en el caso de flujo por tubos horizontales. Hausen propone, para convección forzada y flujo no desarrollado: Nu = 0,116 (Re 2 /3 - 125) Pr 1 /3 {1 + (

 0,6 < Pr < 500 ; η d 2/ 3 ) } ( F ) 0,14 , para,  L η pF  2100 < Re < 106

L < 60 d

XV.6.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIÓN EN FLUJOS CRUZADOS FLUJO CRUZADO EN TUBO ÚNICO LISO.- Cuando se trata de un tubo único para circulación de gases y líquidos ordinarios, el coeficiente de transferencia térmica medio correspondiente al flujo cruzado, se puede calcular mediante las relaciones siguientes: XV.-261

Nu = C Re n Pr 1/ 3 en la que los valores de n y C se obtienen de la Tabla XV.3. Las propiedades del fluido se calculan a una temperatura media, entre la del fluido TF y la de la pared exterior TpF. Para geometrías no circulares se hará uso de la Tabla XV.4. Tabla XV.3.- Valores de n y C para tuberías cilíndricas en función del número de Reynolds

Reynolds (Para el diámetro d) 0,4 a 4 4 a 40 40 a 4.000 4.000 a 40.000 40.000 a 400.000

C 0,989 0,911 0,683 0,193 0,0266

n 0,330 0,385 0,466 0,618 0,805

a) Whitaker propone una correlación parecida a la del flujo sobre esferas, en la forma:

Nu = ( 0,4

Re + 0,06 Re 2 /3 ) Pr 0,4

4

ηF , para, η pF

 0,67 < Pr < 300  ηF  < 5,2  0,25 < η pF   40 < Re < 10 5 

en la que las propiedades del fluido se toman a TF; para los gases, el factor de corrección de la viscosidad es despreciable. Tabla XV.4- Valores de n y C, función de la geometría del conducto

Configuración

Re (d)

C

n

2.500 a 7.500

0,261

0,624

5.000 a 100.000 2.500 a 8.000 5.000 a 100.000

0,222 0,16 0,092

0,588 0,699 0,675

5.000 a 19.500

0,144

0,638

19.500 a 100.000

0,035

0,782

5.000 a 100.000

0,138

0,638

4.000 a 15.000

0,205

0,731

3.000 a 15.000

0,085

0,804

2.500 a 15.000

0,224

0,612

b) Unas correlaciones muy elaboradas, debidas a Churchill y Bernstein para Pr > 0,5 son: Coeficiente de arrastre, C d = 1 +

10 3 Re 2/ d

; 1 < Re d < 10

XV.-262

4

Nu d = 0,3 +

Nu d = 0,3 +

0,4 2/ 3 41 + ( ) Pr Re d Pr 1 / 3

0,62 41

Nu d = 0,3 +

Re d Pr 1 / 3

0,62

+ (

0,62

0,4 2/ 3 ) Pr

Re d Pr 1 / 3

0,4 2/ 3 41 + ( ) Pr

; Re d < 104

{1 +

{1 + (

Re d 282.000

Re d 282.000

} ; 2.10 4 < Re d < 4.10 5

) 5 /8 } 4/ 5 ;

4.105 < Re d < 5.106

en la que las propiedades se evalúan a la temperatura del fluido TF. c) Para valores muy bajos del nº de Reynolds se recomienda: Nu d =

1 0,8237 - ln Re d Pr

;

Re d Pr < 0,2

en la que las propiedades se evalúan a la temperatura del fluido TF. FLUJO CRUZADO EN TUBOS EN BATERÍA.- La transferencia de calor en la circulación de un fluido sobre una batería de tubos, en flujo cruzado, es muy importante por su aplicación al diseño y proyecto de la inmensa mayoría de los intercambiadores de calor. En la Fig XV.4 se representan las líneas de corriente de un flujo laminar forzado alrededor de un cilindro, y en la Fig XV.5, el flujo forzado a través de un haz de tubos en batería. PRIMER MÉTODO.- Se utiliza una ecuación parecida a la de un solo tubo, en la que los valores de C y n dependen de la distancia entre tubos adyacentes y de la distancia de filas de tubos en la dirección del flujo. Estos parámetros varían si los tubos están alineados (disposición regular), o están al tresbolillo o en quincunce, ambas disposiciones triangulares, Fig XV.6. Para el caso de un flujo turbulento sobre baterías de tubos de 10 ó más filas en la dirección del flujo, se utiliza la ecuación:

Nu d = C R nmáx Pr 1/ 3

;

 2.000 < Re máx < 40.000   Pr > 0,7

viniendo dados en la Tabla XV.5 los valores de las constantes C y n. En el caso en que el número de filas sea menor de 10, en la Tabla XV.6 se indica un factor de corrección, que es el cociente entre el valor de hC para N filas en la dirección del flujo, respecto al valor de hC para 10 filas obtenido a partir de los datos tomados de la Tabla XV.5, es decir: h C(N) = ψ h C (1

tubo )

XV.-263

Fig XV.4.- Flujo laminar forzado alrededor de un cilindro, Re d = 25

Fig XV.5.- Flujo forzado a través de un haz de tubos

Fig XV.6- Flujos cruzados en baterías de tubos en línea y al tresbolillo

El valor de Remáx se corresponde con la velocidad máxima, y ésta con la sección mínima de paso; de acuerdo con la Fig XV.7, para disposición regular se tiene: u F ex Disposición regular, Paso mínimo = ( e x - d) ; u máx = e - d x ex - d   2 Disposición triangular: Se toma el menor de los pasos,   ( e x )2 + e 2y 2 

    

;

u F ex 2 u máx = Paso mínimo

SEGUNDO MÉTODO.- Cuando el número N de hileras de tubos sea superior a 20, se recomienda utilizar la ecuación de Zukauskas, más moderna que la anterior, de la forma: PrT Para gases, Nu d = C* Re mmáx Pr 0,36 Pr F TpF

Para líquidos, Nu d = C* Re mmáx Pr 0,36

4

PrTF PrTpF

;

 0,7 < Pr < 500   10 < Re med < 106   C* y m están tabulados,Tabla XIV.7

Para líquidos, las propiedades se toman a TF, excepto los números de Pr de la raíz, que lo son a las temperaturas respectivas. XV.-264

Tabla XV.5.- Valores de C y n para baterías de 10 ó más tubos

EN LINEA

ex /d = 1,25

ex /d = 1,50

ey /d

C n 1,25 0,386 0,592 1,5 0,407 0,586 2 0,464 0,570 3 0,322 0,601 AL TRESBOLILLO

ey /d 0,6 0,9 1 1,125 1,25 1,5 2 3

ex /d = 1,25 n --------0,556 0,568 0,572 0,592

C --------0,575 0,501 0,448 0,344

C 0,303 0,278 0,332 0,396

n 0,608 0,620 0,602 0,584

ex /d = 3,00

ex /d = 2,00 C 0,111 0,112 0,254 0,415

n 0,704 0,702 0,632 0,581

C 0,0703 0,0753 0,220 0,317

n 0,752 0,744 0,648 0,608

Base triángulo ex ; altura triánguloey

ex/d = 1,50 C ----0,552 --0,561 0,511 0,462 0,395

n ----0,558 --0,554 0,562 0,568 0,580

ex /d = 3,00

ex /d = 2,00 n --0,571 --0,565 0,556 0,568 0,556 0,562

C --0,495 --0,531 0,576 0,502 0,535 0,488

C 0,236 0,445 --0,575 0,579 0,542 0,498 0,467

n 0,636 0,581 --0,560 0,562 0,568 0,570 0,574

Tabla XV.6.- Factor de corrección ψ del valor de hC para N filas dividido por el valor correspondiente a 10 filas

N Tubos al tresbolillo Tubos alineados

1 0,68 0,64

2 0,75 0,80

3 0,83 0,87

4 0,89 0,90

5 0,92 0,92

6 0,95 0,94

7 0,97 0,96

8 0,98 0,98

9 0,99 0,99

10 1 1

Para gases, las propiedades se toman a la temperatura de película; el término de la raíz que relaciona los números de Pr es aproximadamente la unidad. Para haces con menos de 20 filas de tubos, N < 20, el número de Nud obtenido con la ecuación de Zukauskas se corrige mediante un factor de corrección x que se determina a partir de la Fig XV.7 en la forma: Nu ( N ) = x Nu N >20 La velocidad que interviene en el cálculo del número de Re es la velocidad correspondiente a la sección entre los tubos, que depende de la geometría de la batería, y de la disposición espacial de los mismos. TERCER MÉTODO.- Como en un haz de tubos el coeficiente de transferencia de calor aumenta desde la primera fila hasta casi la quinta; el nº de Nud(N) promedio en un haz de tubos de 10 o más filas se puede calcular también a partir de la expresión: Nu d ( N ) = Φ Nu d(1ª Fila ) en la que Nu d (1ª Fila) es el número de Nusselt de la primera fila y Φ un factor de corrección, que se puede hallar mediante las ecuaciones siguientes o mediante las Fig XV.8 y 9:

XV.-265

Tabla XV.7.- Valores de C* y m para baterías de 20 ó más tubos, ecuación de Zukauskas

Geometría

Re

C*

EN LINEA

10 a 100

0,8

100 a 1.000

AL TRESBOLILLO

m

Se considera como tubo simple

1.000 a 200.000

0,27

0,63

200.000 a 1.000.000

0,21

0,84

10 a 100

0,9

0,4

100 a 1.000 1.000 a 200.000

Observaciones

20% más que para tubo simple 0,35 (ex /ey )0,2 0,6

1.000 a 200.000

0,4

0,6

200.000 a 1.000.000

0,022

0,84

(ex /ey ) < 2 (ex /ey ) > 2

Fig XV.7.- Factor de corrección x de la ecuación de Zukauskas

Fig XV.8.- Factor de corrección Φ para un haz

Fig XV.9.- Factor de corrección Φ para un haz de

de tubos en batería en disposición regular

tubos en batería en disposición al tresbolillo

Fig XV.10.- Factor de fricción λ para hallar la pérdida de carga en tubos en batería en disposición regular XV.-266

Fig XV.11.- Factor de fricción λ para hallar la pérdida de carga en tubos en batería en disposición al tresbolillo

Φ dispos. regular

ex - 0,3 ey 0,7 = 1 + 1,5 e , con θ igual a, θ ( x + 0,7) 2 ey

εy πd   si, d ≥ 1 ⇒ θ = 1 + 4 ε y  2 ε  si, y < 1 ⇒ θ = 1 - π d d 4 εxεy 

2d Φ dispos. al tresbolillo = 1 + 3 ε x 1 + ( N - 1) Φ Nu d (1 ª fila ) N En los gases, las propiedades se evalúan a la temperatura media de película. Si el haz tiene menos de 10 filas se aplica la ecuación, Nu d ( N 2,4.10 5 0,585 Re r  Nu r = 0,6 , para, 0,95  Cualquier valor de Pr + 3 Pr Pr En la región turbulenta, el número de Nusselt local es: 0,8 1 /3 Nu r = 0,021 Re r Pr

;

Re r > 2,4.10 5

CILINDROS.- Para un cilindro horizontal que gira en un fluido en reposo el nº de Nusselt local es complicado. El número de Nusselt medio viene dado por:

Nu d = 0,133

1/ 3 Re 2/3 d Pr

;

 Re d < 4,3.105 w d2 ; Re d =  ν  0,7 < Pr < 670

El límite inferior para Red debido a efectos de convección natural, es decir, para cuando los efectos para la convección natural y forzada combinadas comiencen a ser significativos es: Grd3 0,137 Re d < 4,7 ( Pr ) XV.-270

ESFERAS.- Para una esfera que gira en un fluido en reposo el nº de Nusselt local es complicado. El número de Nusselt medio, viene dado por: Nu d = 0,43

Re d Pr 0,4

Nu d = 0,066

0,4 Re 2/3 d Pr

;

 10 2 < Re d < 5.105   Pr > 0,7

;

 5.105 < Re d < 7.106   Pr > 0,7

XV.-271

XVI.- CONDENSACIÓN Y VAPORIZACIÓN

XVI.1.- TRANSFERENCIA DEL CALOR POR CONDENSACIÓN La condensación se produce cuando un vapor saturado que se pone en contacto con una superficie a menor temperatura, se enfría hasta que la temperatura se hace inferior a su temperatura de saturación. Si el vapor es puro, la temperatura de saturación corresponde a la presión total; si se trata de una mezcla de vapor y gas no condensable, la temperatura de saturación corresponderá a la presión parcial del vapor. CONDENSACIÓN EN FORMA DE PELÍCULA .- Si el condensado se forma sobre una pared vertical y la humedece, en condiciones normales se forma sobre la superficie un flujo continuo de fluido fluyendo el condensado hacia abajo por la acción de la gravedad, aumentando el espesor de la película de modo continuo de arriba hacia abajo. Salvo que la velocidad del vapor sea muy alta o que la película de líquido sea muy gruesa, el movimiento del condensado es laminar, y se transfiere la entalpía de condensación desde la intercara (vapor/líquido) hacia la superficie simplemente por conducción. La velocidad del flujo de calor depende principalmente del espesor de la película del condensado, la cual a su vez depende de la velocidad a la que condensa el vapor y de la velocidad conque se elimina el condensado. Cuando la placa es inclinada respecto a la posición vertical, disminuye la velocidad del condensado y la película de líquido se hace más gruesa, lo que origina una disminución de la velocidad de transferencia de calor. Los coeficientes de transmisión de calor por convección para la condensación de vapores puros en forma de película, sobre tubos y placas, fueron obtenidos por primera vez por Nusselt en 1916. Proceso dinámico.- Para placa vertical, a una distancia x de la parte superior de la placa de anchura unidad, el espesor de la película es δ; si el flujo de líquido es laminar y está producido sólo por la acción de la gravedad, se puede estimar la velocidad del líquido mediante un balance de fuerXVI.-273

zas sobre el elemento de volumen dx, Fig XVI.1. La fuerza Fl que actúa sobre el líquido contenido en el volumen de espesor dx, a una distancia de la superficie entre y y δ es: Fl = ( δ - y) dx ρ l g Suponiendo que el vapor que está fuera de la capa del condensado se encuentra en equilibrio hidrostático, se tiene que: dp dp dx = γ = ρ g v v

;

dp dx = ρ v g

Fig XVI.1.- Condensación en forma de película sobre una superficie vertical

Como consecuencia de este gradiente de presiones, se puede interpretar que el elemento de condensado (δ - y) se encuentra en una atmósfera de vapor saturado, por lo que aparecerá sobre el mismo una fuerza sustentadora Fv (prácticamente despreciable), igual al peso del volumen de vapor desalojado de la forma: Fv = (δ - y) dx ρ v g Las fuerzas viscosas frenan el movimiento hacia abajo (rozamiento); por lo que respecta al vapor, a menos que fluya a una velocidad muy elevada, las tensiones de cortadura en la superficie libre son muy pequeñas, por lo que el rozamiento debido al vapor se puede despreciar; la fuerza de rozamiento generada Fr será debida únicamente a la viscosidad del líquido, y se opone al deslizamiento del condensado de la forma: Fr = ηl du dx dy En condiciones estacionarias las fuerzas hacia arriba y hacia abajo son iguales, por lo que: du (δ − y) (ρ l - ρ v ) g = ηl dy XVI.-274

siendo: δ el espesor de la capa de condensado ρ l la densidad del líquido; ρ v la densidad del vapor; ηl la viscosidad del líquido u = u(y) la velocidad a la distancia x La distribución de velocidades u en la película de condensado se obtiene integrando la anterior: u(y) =

(ρ l - ρ v ) g y2 (δ y ηl 2 )

La velocidad alcanza un valor máximo sobre la superficie de la película, y se obtiene haciendo y = δ, en la forma: u máx =

(ρ l - ρ v ) g δ 2 2 ηl

El flujo másico de condensado por unidad de anchura de la placa es: G=

∫

δ

ρ l u dy =

0

∫

δ

0

ρ l (ρ l − ρ v ) g ρ l (ρ l − ρ v ) δ 3 g (ρ l − ρ v ) δ 3 g y2 (δ y ) dy = = ηl 2 3 ηl 3 νl

Proceso térmico.- Como la velocidad del flujo másico del condensado G (Kg/seg) sobre la placa depende de la velocidad a la que condensa el vapor, si se supone que el flujo de película es de tipo laminar y paralelo a la superficie, y que el gradiente de temperatura es lineal de la forma: Ts - TpF dT dy = δ(x) y dado que el calor se transfiere a través de la capa de condensado, únicamente por conducción, se tiene: Ts - T pF dT dq = k l dx dy = k l dx = dG rl-v δ (x) en la que dG es la cantidad de vapor condensado en el elemento, (δ - y) dx: dG = k l dx

Ts - TpF δ(x)

1 rl-v

Espesor de la capa de condensado.- Para hallar el espesor de la capa de condensado se parte de: Ts - TpF k dG = rl dx δ(x) l-v ηl

=

g ρ l (ρ l - ρ v ) d (δ 3 ) g ρ l (ρ l - ρ v ) δ 2 dδ = 3 ηl dx ηl dx

Ts - TpF k1 dx = δ 3 dδ ; rl-v g ρ l(ρ l − ρ v )

ηl

Ts - TpF k1 rl-v g ρ l(ρ l − ρ v ) XVI.-275

∫

x

0

dx =

∫

δ

0

δ 3 dδ

Ts - TpF k1 δ4 ηl r x = 4 l-v g ρ l (ρ l − ρ v )

δ =

;

4

4 k l η l(Ts - TpF ) x rl-v g ρ l (ρ l - ρ v )

que dice que el espesor de la película de condensado aumenta en función de la raíz cuarta de la distancia recorrida x a lo largo de la superficie. Coeficiente de transferencia de calor.- El calor evacuado en la condensación por conducción, en el elemento de volumen de espesor dx a la distancia x, es el mismo que el evacuado por convección de la forma: dq = h Cx dx (Ts − TpF ) = k l dx

Ts − TpF dT = k l dx dy dy

por lo que el coeficiente de transferencia de calor local por unidad de anchura hCx , es: h Cx = k1

Ts - TpF k 1 = 1 = T T δ δ s pF

4

rl-v g ρ l(ρ l - ρ v ) k 3l 4 η l(Ts - T pF ) x

El número de Nusselt local adimensional en x vale: Nu x =

h Cx x k1 =

4

rl-v g ρ l(ρ l - ρ v ) x 3 4 ηl k 1(Ts - TpF )

El coeficiente de convección local es: h Cx =

4

rl-v g ρ l(ρ l - ρ v ) k 31 4 ηl (Ts - TpF ) x

El aumento del espesor de la película de condensado es semejante al crecimiento de la capa límite sobre una placa plana en la convección; un aumento de la diferencia de temperaturas, Ts - TpF, produce una disminución de la conductancia superficial; ésto está originado por el aumento del espesor de la película, como resultado del incremento de la velocidad de condensación. El valor medio del coeficiente de convección h C correspondiente a una placa vertical de anchura unidad y altura L es: 1 hC = L

∫

L

h Cx dx = 0,943

0

4

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 31 4 = 3 h CL η l (Ts - TpF ) L

y el número de Nu:

Nu = 0,943

4

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) L3 η l (Ts - TpF ) k l

Aunque el análisis anterior está hecho específicamente para una placa vertical, el desarrollo es válido para las superficies interior y exterior de tubos verticales, si éstos tienen diámetros grandes XVI.-276

en comparación con el espesor de la película; estos resultados se pueden extender también a placas inclinadas un ángulo θ, respecto al plano horizontal, sustituyendo g por g sen θ. Tabla XVI.1.- Valores aproximados del coeficiente de transmisión de calor por convección en el caso de la condensación de vapores puros, en W/m2 ° C

Fluido Agua Agua Etanol Benceno Etanol Amoniaco

Materiales Tubos horizontales de diámetro exterior (25-75) mm Superficie vertical de altura 3 m Superficie vertical de altura 0,15 m Tubo horizontal de diámetro exterior 25 mm Tubo horizontal de diámetro exterior 50 mm Anillo horizontal de 50 a 75 mm

Ts - T p F 3-20 3-20 10-55 15-45 5-20 1-4

W/m2 ºC 11.000-23.000 5.700-11.000 1.100-1.900 1400-2.000 1.700-2.600 1.400-2.600

XVI.2.- CONDENSACIÓN EN PELÍCULA LAMINAR SOBRE PLACAS Y TUBOS VERTICALES Determinación del tipo de régimen del flujo en la película.- Se pueden considerar 3 regímenes de flujo en película, laminar, ondulatorio y turbulento. Para números de Reynolds bajos el flujo es laminar y la superficie de la película presenta un aspecto liso; a medida que aumenta el nº de Reynolds se forman ondas en la superficie de la película; al seguir aumentando aún más el nº de Reynolds estas ondas toman una forma compleja ondulatoria en tres dimensiones. Las ondas hacen que el líquido se mezcle ligeramente, pero el flujo en la base sigue siendo laminar, hasta que a velocidades relativamente altas, el flujo se vuelve turbulento por toda la película debido a la inestabilidad originada por los esfuerzos cortantes. El número de Reynolds de una película descendente se puede definir en función de la velocidad uF y del diámetro hidráulico dh de la película: u ρ d Re = F l h = ηl

u F ρl 4 ηl

A p

=

4G 4G = p ηl π d ηl

siendo el gasto másico: h C A (Ts - TpF ) Q G= r = = u F A ρl rl-v l-v G G Para tubos verticales, A = π d L ; p = π d ; G * = p = π d G G Para tubos horizontales, A = π d L ; p = L ; G * = p = L

4G 4G ; Re = p η = π d η l l 4G 4G ; Re = p η = L η l l

G G Para placas inclinadas de anchura W, A = W L ; p = W ; G * = p = W

4G 4G ; Re = p η = W η l l

con L la longitud del tubo. En la condensación, las propiedades del líquido condensado se evalúan a la temperatura media XVI.-277

entre la temperatura de saturación Ts y la de la pared TpF, las propiedades del vapor se evalúan a la temperatura de saturación T s y el calor latente de condensación rl-v a la temperatura del vapor saturado Ts. a.1) Condensación sobre placa vertical y tubos verticales, en régimen laminar.- La expresión para placa vertical se puede extender tanto a las superficies interiores como a las exteriores de tubos verticales, siempre que su diámetro sea muy grande en comparación con el espesor de la película.

El tubo se puede considerar como una placa vertical de área, π d L, y perímetro, π d. La solución analítica es:

h C(vertical ) = 0,943

4

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l ≅ 0,943 η l (Ts - TpF ) L

4

rl-v g ρ 2l k 3l η l (Ts - TpF ) L

Resultados experimentales han demostrado que esta ecuación es conservadora, de forma que los resultados obtenidos con ella están un 20% por debajo de los valores medidos, por lo que se propone la siguiente ecuación experimental:

h C(vertical ) = 1,13

4

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l ≅ 1,13 η l (Ts - TpF ) L

4

rl-v g ρ 2l k 3l η l (Ts - TpF ) L

El número de Reynolds del condensado en la parte inferior del tubo vertical es: 4 h C L (Ts - TpF ) Re = = 4,52 ηl rl-v

4

g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l (Ts - TpF )3 L3

< 1800

3 η 5l rl-v

a.2) Otra formulación para la condensación sobre placa vertical y tubos verticales, en régimen laminar Para el caso particular del agua sobre tubos verticales, el flujo se vuelve: - Laminar ondulatorio para ReL ≈ 30 - La transición a flujo turbulento en la región exterior de la película se da para ReL ≈ 1000 - La turbulencia se completa para ReL ≈ 1800. Para ReL < 30, la película es laminar, siendo: Re L =

4 3

4(

4 L Ja l 3 g ) 2 Prl v1

c pl (Tsat - TpF )

; Ja l = Nº de Jakob =

rl-v

El número de Nu local para el agua es, Nu laminar =

4 El número de Nu medio es, Nu = 3

4

Prl 1 4 Ja l L

3

XVI.-278

3

v 21 g

3 Re 4

;

0 < Re < 30

a.3) Condensación sobre placa vertical o tubos verticales, en película laminar ondulatoria Si el n´º de Reynolds es, 30 < ReL < Retrans, la película es laminar ondulatoria. El número de Nu local para el caso particular del agua es: Nulaminar

ondulatorio

= 0,822 Re-0,22 ; 30 < Re < Retrans

donde la transición a la turbulencia sucede, para el agua, cuando: Re tr = 5800 Prl-1,06 4 Ja l Para el caso general, Re L = ( Pr l

L 3

v 21 g

) 0,82

3

Pr El número de Nu medio es, Nu = { 4 Jal l

v 21 g 0,18 L }

Efecto del subenfriamiento del líquido.- En el caso de líquidos con calores latentes de cambio de estado relativamente bajos, como muchos refrigerantes, es necesario hacer una corrección para tener en cuenta el efecto del subenfriamiento; la correlación propuesta por Rohsenow tiene en cuenta esta variación de la entalpía media del vapor al condensar y enfriarse posteriormente a la temperatura media de la capa de condensado, para lo cual sustituye el calor latente rl-v a Ts por otro de la forma:

* = rl−v

rl-v

* = r rl−v l-v

 Pr > 0,5 + 0,68 c pl (Ts - TpF ) , para,  Ja = c Ts - TpF < 1 (Rohsenov) l pl *  rl−v 0,228 0,228 + ( 0,683 − Pr ) c pl (Ts - TpF ) = rl-v {1 + ( 0,683 − Pr ) Ja l } l l

El coeficiente de convección es: h C = 0,943

4

* rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l η l (Ts - TpF ) L

Efecto del sobrecalentamiento del vapor en la condensación.- Para hallar la influencia del sobrecalentamiento del vapor en la condensación sobre el coeficiente de transferencia de calor h C, se puede utilizar la misma expresión obtenida para un tubo horizontal que es de la forma:

h C = 0,725

4

* rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l ηl (Ts - TpF ) d

* = r ; rl-v l-v + c pl (Tsobrec - Ts ) + 0,35 c pl (Ts - TpF )

El efecto del sobrecalentamiento del vapor aumenta el coeficiente de convección y, por lo tanto, la transferencia de calor, pero disminuye la cantidad del condensado.

XVI.-279

XVI.3.- CONDENSACIÓN EN PELÍCULA LAMINAR SOBRE PLACAS Y TUBOS INCLINADOS En la condensación sobre placas inclinadas un ángulo θ respecto a la horizontal se utilizan expresiones para hC y Re similares a la anterior de la forma

4

h C sup.inclinada = 1,13

Re = 4,52

4

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l sen θ ηl (Ts - TpF ) L

g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l (Ts - TpF )3 L3 sen θ 3 η 5l rl-v

< 1800

XVI.4.- CONDENSACIÓN EN PELÍCULA LAMINAR SOBRE UN TUBO HORIZONTAL a) El coeficiente de convección medio de un vapor puro saturado que está condensando sobre el exterior de un tubo horizontal, de forma que el espesor de película sea nulo en la parte superior del tubo, es: 4 h C dx (Ts - TpF ) Re = = 9,11 η l rl-v

h C horiz = 0,725

4

4

g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l (Ts - TpF )3 d 3 3 η5l rl-v

rl-v g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l = 0,725 η l (Ts - TpF ) d

4

< 3600

rl-v g ρ 2l k 3l η l (Ts - TpF ) d

r2 r1 1 + + 2 πkL 2 π r2 L h C horiz ln

1 1 = UA 2 π r1 L h CF1

b) Condensación sobre una batería de N tubos horizontales, en régimen laminar.- Si la condensación se produce sobre N tubos horizontales dispuestos de tal modo que el condensado de un tubo cae directamente sobre el tubo que tiene debajo, que es lo que sucede en la mayoría de los condensadores, se puede estimar la conductancia superficial para el conjunto mediante la expresión anterior, sustituyendo el diámetro d por, N d; este método proporciona resultados conservativos, porque es inevitable una cierta turbulencia; para régimen laminar, Re < 3600:

h C(N

tubos)=

0,725

4

rl-v g ρ 2l k 3l h C(1 tubo) η l (Ts - TpF ) d N = N 1/4

Una expresión que tiene en cuenta que todo el calor del subenfriamiento se utiliza para una condensación adicional de la capa límite entre N tubos horizontales, colocados unos encima de otros, es de la forma: h C(N

4 tubos)= 0,728 {1 + 0,2 Ja 1(N - 1)}

rl-v g ρ 2l k 3l η l(Ts - TpF ) d N

que concuerda bastante bien con los resultados experimentales siempre que, (N - 1) Ja 1 < 2 XVI.-280

RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES DE CONVECCIÓN h C horizontal y h C vertical .- Para una diferencia de temperaturas determinada, el coeficiente de convección es mayor cuando se coloca el tubo en posición horizontal, que cuando se coloca vertical, ya que el camino recorrido por el condensado es menor, resultando la película más delgada, por lo que: h C horiz 0,725 h C vertical = 0,943

4

L = 0,77 d

4

L d

que implica el que para una diferencia de temperaturas dada, Ts - TpF, resulte: h C horiz h C vertical = 1, para, L = 2,86 d h C horiz = 2,43 h C vertical , para, L = 100 d por lo que ante estas consideraciones, la disposición de tubos condensadores horizontales se prefiere a la vertical. 4G Re = η L N = 9,11 l

4

g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l (Ts - TpF )3 N 3 d 3 3 η5l rl-v

< 3600

XVI.5.- CONDENSACIÓN EN RÉGIMEN TURBULENTO a) El régimen se considera turbulento cuando, Re > 1800. Es difícil que se llegue a alcanzar el flujo turbulento en un tubo horizontal durante la condensación, pero sí es posible se pueda conseguir en la parte más baja de un tubo vertical. Cuando ésto sucede, el coeficiente de transferencia térmica h C crece al aumentar la longitud L de la superficie condensada, debido a que también aumenta el grado de turbulencia. El número de Reynolds para superficies verticales isotérmicas en régimen turbulento es:

Re = 0,00296 {

g ρ l (ρ l - ρ v ) k 3l (Ts - TpF )3 L3 3 η5l rl-v

}5/9 > 1800

Cuando por el exterior de la pared el vapor está en reposo, o cuando por el interior del tubo la velocidad del vapor es muy pequeña, el coeficiente de convección local correspondiente al flujo turbulento del condensado en placa vertical se determina mediante la relación: 4u h Cx = 0,056 ( η )0,2 l

3

g ρ 2l k 3l η 2l

Prl

siendo u la velocidad en la base del orden de, Re base =

4u ηl

Si el vapor no está en reposo, y el movimiento del mismo no perturba la formación de la película, se mantiene la formulación anterior. XVI.-281

Las propiedades del condensado se evalúan a la temperatura, T =

Ts + TpF 2

b) El número de Nu local para el caso particular del agua es: Nu turb = 3,8.10 -3 Re 0,4 Prl0,65 L

Caso general, 3

v 2l g

=

x trans v 2l g

3

3

Nº de Nusselt medio, Nu =

siendo, x trans =

3

Re transv < Re

;

Prl0,35 6 0,6 + (Re0, L - Re trans ) 2,4 (3,8.10-3 ) Ja l

v 2l g L

Prl 9,12.10 -3 Ja l (L - x trans ) 6 10/6 { + Re 0, trans } 4 Ja l 2 vl 0,35 3 g Prl

v 2l Prl 1,22 g 4 Ja l Re trans

;

Ja l =

c pl (Tsat - Tpared ) rl-v

EFECTO DE LA VELOCIDAD DEL VAPOR EN PLACAS Y TUBOS VERTICALES a) Si la velocidad del vapor no condensado es considerable frente a la del líquido condensado, se puede utilizar la siguiente ecuación: hC c pl G m

Prl = 0,046

λ ρl ρv

siendo λ el coeficiente de rozamiento correspondiente a la velocidad media del vapor, viniendo dado el gasto másico del vapor en la forma:

Gm =

2 G 2inf + G inf G sup + G sup 3

en la que G inf es el gasto másico del vapor en la parte inferior del tubo y G sup es el gasto másico del vapor en la parte superior del tubo. Las propiedades del líquido se calculan a la temperatura de referencia: T = 0,25 Ts + 0,75 T pF b) Una expresión que se aplica a un vapor saturado seco a la presión de 1 atm, que desciende por un tubo vertical a una velocidad comprendida entre 40 y 80 m/seg, es: h C = 3400 + 100 u Fv

3

1,21 L

siendo L la longitud del tubo en metros y uFv la velocidad del vapor en m/seg. XVI.-282

c) Otra expresión en función de los números de Reynolds Rel y Rev es:

hC d k l = 0,026

3

Prl (Re l + Re v

ρ l 0,8 ρv )

;

 Re = 4 G 1 l  π d ηl   Re v = 4 G v π d ηv 

; Re l > 5.000 ; Re v > 20.000

d) Otra expresión en función del número de Jakob, que tiene en cuenta el efecto del arrastre del vapor a una distancia x del borde superior del tubo vertical, a la velocidad uv es: k 2l u v 8 ν l x (1 +

hC =

1 +

16 Prl g x ) Ja l u 2v

* ρ l ν l rl-v Prl = Ja l k l (Tsat − TpF )

En ausencia de arrastre de vapor, el valor de hC es:

hC =

4

* rl−v g ρ l k 3l 4 x (Tsat - TpF ) ν l

* = r rl−v l-v + (0,683 -

0,228 0,228 ) c pl (Ts − TpF ) = rl-v + { 1 + ( 0,683 ) Ja l } Prl Prl

observándose que el efecto de arrastre del vapor consiste en aumentar el coeficiente de transferencia de calor. XVI.6.- CONDENSACIÓN EN RÉGIMEN TURBULENTO EN EL INTERIOR DE TUBOS HORIZONTALES En aplicaciones prácticas de condensadores en refrigeración y en sistemas de aire acondicionado, se observa que el vapor condensa en el interior de los tubos con una cierta velocidad; el fenómeno de la condensación y su posible tratamiento analítico, en forma simple, es complicado. El valor del coeficiente de transmisión de calor para la condensación de refrigerantes en el interior de tubos horizontales, si se considera que el vapor tiene una velocidad despreciable, es:

h C = 0,555

4

* rl-v g ρ 2l k 3l η l(Ts - TpF ) d

3 * con, rl-v = rl-v + 8 c pl (Ts - TpF ) ;

Re vapor =

ρ v uv d < 35.000 ηv

XVI.7.- CONDENSACIÓN EN FORMA DE GOTAS Cuando una superficie sobre la que va a condensar un vapor está contaminada con una susXVI.-283

tancia que impide que el condensado moje la superficie, el vapor condensará en forma de gotas, en lugar de hacerlo como una película continua, fenómeno que se conoce como condensación en forma de gotas. En estas condiciones una gran parte de la superficie no se ve cubierta con una película aislante y los coeficientes de transferencia de calor pueden ser de cuatro a ocho veces más elevados que en la condensación en forma de película. Hasta ahora, la condensación en forma de gotas sólo se ha obtenido de modo fiable, con vapor de agua. Para calcular el coeficiente de transmisión de calor por convección, se recomienda suponer una condensación en forma de película porque, incluso en el caso del vapor de agua, sólo se puede esperar que se obtenga la condensación en forma de gotas bajo condiciones cuidadosamente controladas, que no pueden mantenerse siempre en la práctica. XVI.8.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR EVAPORACIÓN DE LÍQUIDOS EN REPOSO EVAPORACIÓN EN PELÍCULA DESCENDENTE SOBRE UNA PARED VERTICAL.- La transferencia de calor a través de una evaporación en película descendente es casi idéntica a la condensación en película descendente, salvo que se lleva en dirección contraria, es decir, la película siempre tiene un espesor finito al comienzo disminuyendo el número de Re al descender por la pared a medida que va progresando la evaporación; en determinadas situaciones la velocidad de evaporación es pequeña comparada con la velocidad del flujo de la película y la variación del número de Re podría ser pequeña. Como la temperatura TpF > Ts el líquido que se encuentra más cerca de la pared estará sobrecalentado, y comienzan a formarse burbujas por nucleación sobre la pared iniciándose la ebullición, o también, las burbujas contenidas en el líquido pueden crecer de forma explosiva (cavitación). Sea cual fuere el mecanismo, lo cierto es que el proceso de transmisión de calor se complica. Una película evaporativa puede ser, en principio, laminar ondulatoria o turbulenta. Si el arrastre de vapor es mínimo, se pueden utilizar los siguientes números de Nu locales: Nu laminar = Nulaminar

3

4 3 Re

ondulatorio

;

0 < Re < 30

= 0,822 Re-0,22 ; 30 < Re < Retrans

Nu turbulento = 3,8.10 -3 Re0,4 Prl0,65

Re transv < Re

;

siendo, Re transv = 5800 Prl-1,06 El número de Reynolds se obtiene a partir de: L 3

v 2l g

Prl = - 4 Ja l

Re 1,22 = Re 1,22 L 0

∫

ReL

Re0

4 Ja l L Prl

Prl dRe = Nu 4 Ja l

3

∫

Re L

Re0

Prl dRe 1,22 1,22 = - 4 Ja (Re L - Re 0 ) -0,22 0,822 Re l

g v 2l XVI.-284

en la que el número de Reynolds inicial de la película es,

4G Re 0 = π d ρ 0 ν l l

siendo G0 la cantidad de líquido inicial disponible para la evaporación en película descendente. 3

Prl El número de Nu medio es, Nu = 4 Ja l

v 2l g (Re 0 - Re L ) L

EVAPORACIÓN NUCLEADA EN RECIPIENTES CON UN LIQUIDO EN REPOSO.- Estudiar el proceso de la evaporación nucleada en un líquido en reposo es extremadamente difícil, ya que en la actualidad no se pueden explicar muy bien ni el mecanismo exacto de la formación de burbujas, ni el movimiento de las mismas, totalmente aleatorio; por lo tanto no existe un análisis satisfactorio de la transferencia de calor en este tipo de evaporación; el mecanismo principal de la transferencia de calor es la convección natural en régimen turbulento, causada por la agitación producida por las burbujas. Para su estudio se puede dividir el fenómeno en las siguientes partes: Convección libre (Régimen I, Fig XVI.2) La ecuación general es,

q k = C L (Gr Pr) n (Ts - TpF ) A

en la que n y C son constantes que se toman de las Tablas XIV.3. Evaporación nucleada (Régimen II y III, Fig XVI.2).- A medida que la temperatura TpF de la pared bañada por el fluido va aumentando, aparecen pequeñas burbujas de vapor que ascienden, de forma que unas condensan en el propio líquido y otras llegan a la superficie libre, en donde revientan y sueltan el vapor; la tensión superficial del líquido ofrece una gran resistencia a la formación de burbujas dentro del propio líquido, por lo que inicialmente éstas se forman a partir de puntos de nucleación sobre la superficie de la pared, en la que existen pequeñas imperfecciones en su acabado, o en bolsas de gas, en las que los efectos de tensión superficial se hallan minimizados. A medida que el metal de la pared se calienta aún más, las burbujas se forman libremente y la evaporación es intensa, con gran turbulencia y altos valores del coeficiente hC de transferencia de calor. La formulación que se propone se puede aplicar a la evaporación de líquidos de un solo componente, sobre superficies limpias. Estudiando el significado de algunos parámetros relacionados con la convección forzada, Rohsenow propuso la siguiente relación empírica, mediante la cual se puede estudiar el flujo de calor en el régimen de evaporación nucleada, Q A = η l rl-v

g (ρ l - r v ) c pl (TpF - Ts ) 3 { } 1,7 σ* rl-v Prl C

en la que: cpl es el calor específico del líquido a la temperatura de saturación, y viene dado en kW.seg/kg°C XVI.-285

Fig XVI.2.- Vaporización de agua a la presión atmosférica y temperatura T s calentada por un hilo de platino

Tabla XVI.2 Valores del coeficiente C para distintas superficies-líquidos

Alcohol n-butílico-cobre

0,0030

Alcohol isopropílico-cobre

0,0025

Alcohol etílico-cromo

0,0027

Agua-acero inoxidable

0,0133

Agua-acero inoxidable, pulido mecánicamente

0,0132

Agua-acero inoxidable, esmerilado y pulido

0,0080

Agua-acero inoxidable, picado y recubierto con teflón0,0058 Agua-acero inoxidable esmerilado y pulido

0,0080

Agua-cobre

0,0130

Agua-cobre pulido con esmeril y tratado con parafina0,0147 Agua-cobre pulido esmeril

0,0128

Agua-cobre grabado

0,0068

Agua-platino

0,0130

Benceno-cromo

0,0100

n-Pentano-níquel pulido con esmeril

0,0127

n-Pentano-cobre amolado

0,0049

n-Pentano-cobre esmerilado

0,0074

n-Pentano-cobre pulido esmeril

0,0154

Tetracloruro de carbono-cobre pulido esmeril

0,0070

Tetracloruro de carbono-cobre

0,0130

Tabla XVI.3.- Valores de la tensión superficial líquido-vapor para varios líquidos

Líquido

Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Agua Sodio Potasio Mercurio Benceno Freón 11

Temp.saturación Tensión superficial ºC 0 15,56 20,00 37,78 40,00 60,00 80,00 93,34 100,00 150,00 160,00 200,00 226,70 250,00 293,30 300,00 350,00 360,00 374,11 881,10 760,00 357,20 80,00 44,40

(1000 σ * )

N m

75,6 73,2 72,6 69,7 69,4 66,0 62,5 60,1 58,8 48,2 46,1 37,6 31,9 26,4 16,2 14,7 3,7 1,5 0,0 11,2 62,7 39,4 27,7 8,5

C es una constante que se determina de acuerdo con datos experimentales, que depende del conjunto superficie calefactora-fluido a vaporizar, como se indica en la Tabla XVI.2. q/A es el flujo de calor en W/m2 rl-v es el calor latente de vaporización en kW.seg/kg Prl es el número de Prandtl correspondiente a la fase líquida, a la temperatura de saturación ∆T = TpF - Ts es la diferencia de temperaturas entre las correspondientes a la pared y al fluido, en condiXVI.-286

ciones de saturación ηl es la viscosidad dinámica del líquido, a la temperatura de saturación, en kg/m.seg ρ l y ρ v son las densidades correspondientes a la fase líquida y de vapor saturado seco σ* es la tensión superficial correspondiente a la superficie de separación líquido-vapor en N/m, Tabla XVI.3. Se ha encontrado, para superficies sucias o contaminadas, que el exponente del número de Prandtl varía entre 0,8 y 2 en vez de ser 1,7 como aparece en la citada ecuación. El coeficiente C es el único parámetro de la ecuación que permite ajustarla teniendo en cuenta la influencia que ejercen sobre el fenómeno, tanto el líquido a vaporizar, como la superficie calefactora; sus valores para algunas combinaciones (pared-fluido) vienen resumidos en la Tabla XVI.2. PICO DE CALOR.- Al final de la etapa de evaporación nucleada, en el fondo del recipiente se ha alcanzado el momento de la máxima transferencia de calor por cuanto hasta aquí el líquido mojaba la superficie del recipiente, y lo refrigeraba, pero a partir de este instante, la refrigeración comienza a hacerse a través de la película de vapor y esta nueva situación implica un cambio brusco en el coeficiente de convección, por cuanto el del vapor es mucho menor que el del líquido y, por lo tanto, esta variación se traduce en un aumento brusco de la temperatura de la pared calentada, por cuanto se sigue aplicando calor; este aumento de temperatura de la pared se conoce como pico de calor, cuya importancia y riesgo radican en que existe la posibilidad de que el flujo de calor aplicado sobrepase un cierto valor, (al pasar del régimen nucleado al de evaporación en película inestable, comienza a formarse la película de vapor, (inestable), que separa el líquido de la pared, aparece el pico de calor, y como la superficie calefactora está mal refrigerada por el vapor, puede llegar a quemarse). Para estudiar este fenómeno se han desarrollado ecuaciones, como la de Zuber, que determina el pico de calor qmáx en la evaporación nucleada, mediante la expresión: Q máx π A = 24 ρ v rl-v

4

σ* g (ρ l - ρ v ) ρ 2v

ρl + ρ v ρl

según la cual, si el pico de flujo de calor fuese alto, sería de desear que los valores de rl-v , ρ v, g y σ* fuesen también altos; el valor de rl-v para el caso particular del agua es elevado y, en consecuencia, el pico de calor que se obtiene en la evaporación del agua también es elevado. Esta ecuación indica también la influencia que ejerce la gravedad en la vaporización y en el pico de flujo térmico, por lo que un campo gravitacional reducido tiende a disminuir el pico de flujo térmico. Evaporación en película (Régimen IV, Fig XVI.2).- Cuando se alcanza el pico de flujo de calor, termina la región de evaporación nucleada, y empieza la región de evaporación en película inestable. No existe ningún análisis que permita calcular el flujo de calor en función de la diferencia de temperaturas, TpF - Ts, en la región inestable, ya que la pared está refrigerada alternativamente por vapor y por líquido, sin ningún orden, hasta que se alcanza el punto mínimo de la curva de evaporaXVI.-287

ción, en donde comienza la región de evaporación en película estable, y la refrigeración de la pared, se sabe, se realiza únicamente por el vapor. En las regiones IV y V que se muestran en la Fig XVI.2, de evaporación en película inestable y en película estable, la superficie de calefacción está separada del líquido por una capa de vapor a través de la cual se tiene que transmitir el calor, necesitándose para ello grandes gradientes de temperatura, puesto que la conductividad térmica del vapor es baja; por lo tanto, al no estar la pared suficientemente refrigerada por el vapor, y continuar el aporte de energía calorífica a la misma, hace que el gradiente de temperatura para el vapor aumente mucho, por lo que, cuando intervienen temperaturas elevadas, se procura evitar la transferencia de calor en esta región, ya que por encima de un determinado gradiente de temperaturas entre el líquido y la superficie calefactora, éste es incapaz de humedecerla, y es entonces cuando se presenta una considerable reducción en el valor del coeficiente h C de transmisión de calor, por cuanto sólo existe vapor en contacto con la pared. Si en ese momento no se interrumpe el aporte de energía a la superficie metálica, la temperatura de la pared aumentará para así acomodarse a la menor capacidad de la superficie para transferir calor, hasta que la radiación emitida por la misma, más la transferencia de calor por evaporación pelicular, sea igual a la energía incidente. A partir de aquí, y por obtenerse temperaturas muy elevadas en la pared calefactora, se puede producir la inutilización de la misma. Para placa horizontal, y vaporización del pentano, tetracloruro de carbono, benceno, alcohol etílico, etc., se puede considerar la siguiente ecuación (Berenson):

h C = 0,425

4

0,4 c p(sat) ∆T k 3v ρ v(ρ l - ρ v ) g rl-v (1 + ) rl-v σ* η v ∆T g (ρ l - ρ v )

Flujo de calor mínimo (Régimen V, Fig XVI.2).- Zuber y Tribus proponen la siguiente ecuación para el flujo de calor en la zona inestable, correspondiente al mínimo de la curva de vaporización: Q A 〉 mín = 0,09 ρ v rl-v

(ρ l - ρ v ) g ρl + ρ v

4

σ* g (ρ l - ρ v )

EVAPORACIÓN EN LA SUPERFICIE EXTERIOR DE UN HILO HORIZONTAL CALIENTE O EN UN TUBO HORIZONTAL, POR CUYO INTERIOR CIRCULA UN FLUIDO CALEFACTOR SUMERGIDO EN UN LIQUIDO. Cuando un líquido en reposo se calienta mediante un hilo por el que pasa una corriente eléctrica, o mediante un tubo por cuyo interior circula un fluido calefactor, se puede llegar a un proceso de vaporización similar al descrito anteriormente, con la diferencia de que el hilo o el tubo (pared calefactora), se encuentra rodeado completamente por el líquido, estando así refrigerado por éste. Si se llega a la temperatura de saturación del líquido, éste comienza a vaporizar en etapas idénticas a las ya vistas en recipientes con líquidos en reposo, con la diferencia de que la evaporación XVI.-288

en película inestable y en película estable se realiza a través de una corona de vapor; cuando se empieza a formar esta corona cambia bruscamente el coeficiente de convección y como ya se ha alcanzado el máximo hC cuando refrigeraba el líquido, resulta que la temperatura del hilo aumenta bruscamente por una deficiente refrigeración, a través de la película de vapor, hecho que puede detectarse porque la energía comunicada al hilo experimenta una alteración. El coeficiente de transmisión de calor hC para este tipo de evaporación en película estable sobre la superficie exterior de un cilindro horizontal en ausencia de radiación, viene dado por la ecuación de Bromley de la forma:

h C = 0,62

4

k 3v ρ v (ρ l - ρ v ) g rl-v η v d e ∆T

(1 +

0,4 c p(sat) ∆T ) rl-v

ecuación que es válida para cuando la transferencia de calor a través de la película de vapor se realiza por conducción pura, no interviniendo para nada la radiación; cuando la temperatura de la pared sea suficientemente alta, los efectos de la radiación son importantes, y el coeficiente promedio de transferencia de calor se calcula teniendo en cuenta los fenómenos de radiación y de convección. Para ello se define un nuevo coeficiente de transmisión de calor por convección de la forma: h *C = h C

3

hC + hr h *C

;

hr =

4 - T4 ) σ (TpF s 1 1 ( + - 1) (T pF - Ts ) ε α

siendo ε la emisividad del tubo, α la absortividad del líquido y σ la constante de Stefan-Boltzman. Cuando se cumpla que, hr 1400°C La expresión: h *C = h C

3

hC + hr h *C

es difícil de utilizar, ya que h C* está en forma implícita, por lo que se puede hacer uso de las siguientes ecuaciones: 3 1 h h *C = h C + h r { 4 + 4 h r ( C h *C = h C +

3 hr 4 , con,

1

h )} , con, 2,62 + r hC

h 0 < h r < 10 ; ± 0,3% de error C

hr h C < 1 ; ± 5% de error XVI.-289

Para la convección forzada de un líquido que fluye normalmente sobre un tubo horizontal, se pueden utilizar las siguientes expresiones:

h C = 0,62 h *C = h C

3

4

0,4 c p(sat) ∆T k 3v ρ v (ρ l - ρ v ) g rl-v (1 + ) rl-v η v d e ∆T

hC + hr ; h *C

válidas para, u F < Si, u F > 2

hr =

σ (T4pF - Ts4 ) 1 - 1)(T - T ) (1 + pF F α ε

gd

g d , se utiliza, h C = 2,7

0,4 c p(sat) ∆T k v ρ v u F rl-v (1 + ) rl-v d e ∆T

ecuación que ha sido comprobada, en régimen laminar, para el benceno, tetracloruro de carbono, etanol, etc., con diámetros comprendidos entre 10 y 16 cm y velocidades entre 0 y 4,5 m/seg. En la Fig XVI.2 relativa a la evaporación pelicular en líquido en reposo, se han tenido en cuenta las siguientes consideraciones: - Región I, de convección natural, en la que el calor se transmite al líquido a calentar, el cual se va elevando hasta la superficie de separación líquido-vapor - Región II, de evaporación nucleada, en la que las burbujas condensan en el líquido caliente - Región III, también de evaporación nucleada, en la que las burbujas ascienden hasta la superficie de separación líquido-vapor - Región IV, en la que se tiene una evaporación nucleada parcial y evaporación en película nucleada inestable, comienza en el máximo de la curva y acaba en el mínimo) - Región V, de evaporación en película estable, que se corresponde con el comienzo de la zona de vapor recalentado - Región VI, en la que empieza a intervenir la radiación, junto con la convección, siendo ambas significativas. XVI.9- EVAPORACIÓN DE LÍQUIDOS EN FLUJO FORZADO EN EL INTERIOR DE TUBOS FENOMENOLOGÍA DE LA EVAPORACIÓN EN TUBOS HORIZONTALES.- En la Fig XVI.3 se muestran los modelos de flujos posibles en un flujo horizontal o inclinado con paredes isotermas.

Flujo en burbujas

Flujo ondulatorio

Flujo taponado

Flujo estratificado

Flujo en bala o resalte

Flujo anular

Fig XVI.3.- Modelos de flujo horizontal de dos fases XVI.-290

Fig XVI.4.- Diagrama de flujo adiabático de dos fases para flujo horizontal

- El flujo en burbujas consiste en que la fase de vapor está en forma de burbujas aisladas inmersas en la fase líquida, pudiendo ser pequeñas y esféricas, o grandes en forma de casquete esférico. - En el flujo taponado las burbujas tienen un diámetro apreciable y tienden a fluir por la parte superior de la tubería. - El flujo estratificado se presenta cuando la velocidad del líquido es pequeña, de forma que éste circula por la parte inferior del tubo siendo su superficie relativamente uniforme. - Si la velocidad del vapor aumenta se forman ondas de superficie líquida, que pueden llegar a ser lo suficientemente grandes como para formar grandes masas de líquido que humedecen la parte superior de la tubería, dando lugar al flujo en bala o en resalte. - Si la velocidad del vapor es aún mayor, se provoca un flujo anular o un flujo en el que el líquido se dispersa en forma de gotitas arrastradas por el flujo de vapor. En la Fig XVI.4 se presenta un diagrama de flujo adiabático de dos fases para flujo horizontal, (Taitel y Dukler), en el que se muestran las condiciones para una serie de regímenes de flujo. Si se añade calor, los regímenes pueden desplazarse apreciablemente, por lo que dejarían de ser fiables. FENOMENOLOGÍA DE LA EVAPORACIÓN EN TUBOS VERTICALES.- Cuando la evaporación acontece en el interior de un tubo vertical caliente, a través del cual el fluido fluye, el proceso se realiza por convección forzada. El mecanismo, y la hidrodinámica de la evaporación, en este caso, son mucho más complejos que los de evaporación en recipientes con líquidos en reposo, como los vistos anteriormente, por cuanto la velocidad del fluido dentro del tubo afecta al crecimiento de las burbujas y a su separación de la superficie. Todavía no existe una teoría fundamentada que permita calcular el coeficiente de transferencia de calor para este caso; mediante técnicas fotográficas se han podido seguir las complejas trayectorias del flujo en los diferentes regímenes de la evaporación y, mediante ellas, se ha demostrado que el comportamiento del flujo en la evaporación por convección forzada es apreciablemente diferente del comportamiento de la evaporación en recipientes, a medida que aumenta la velocidad del fluido y el título del vapor. En la Fig XVI.5 se muestran las diferentes características del flujo y en la Fig XVI.6 su efecto sobre el coeficiente de transmisión de calor, cuando el tubo se calienta uniforXVI.-291

memente; a medida que el líquido avanza se va calentando, luego ebulle y, finalmente, el vapor producido se recalienta.

Fig XVI.5.- Modelos de flujo vertical de dos fases

En la región de entrada se transfiere al líquido subenfriado calor por convección forzada, y este régimen permanece así hasta que empieza la evaporación, que viene acompañada por un aumento repentino del coeficiente de transferencia de calor; en la región de evaporación aparecen burbujas sobre la superficie caliente, que crecen y son arrastradas hacia la corriente principal, prevaleciendo entonces en un cierto tramo del tubo un régimen de flujo con burbujas en el que la fase de vapor está en forma de burbujas aisladas inmersas en la fase líquida, pudiendo ser pequeñas y esféricas, o grandes en forma de casquete esférico.

Fig XVI.6.- Características del flujo durante la vaporización en tubo vertical cuando el tubo se calienta uniformemente

XVI.-292

A medida que las burbujas individuales van ascendiendo se agrupan para formar otras más grandes, y aparecen en el flujo unas bolsas de vapor o tapones de diámetro algo menor que el del tubo, que frenan el ascenso del líquido, dando lugar al llamado flujo taponado; esta situación prevalece hasta valores del título de vapor igual a, x = 0,5. A medida que la fracción del volumen de vapor aumenta por encima del valor anterior, la naturaleza del fluido cambia notoriamente; el vapor empieza a fluir a través del centro del tubo como una corriente continua, en tanto que el líquido se adhiere a la pared y se desplaza formando una película anular; este tipo de flujo recibe el nombre de régimen de película anular, en el que la película de fluido es cada vez más delgada a lo largo del tubo, pasando el título del vapor desde un valor x = 0,5 hasta x = 0,9 pudiéndose descomponer en otros dos: a) Flujo semianular, en el que el flujo es altamente irregular, a veces inestable, y consiste en un núcleo de burbujas de gran tamaño que se unen y separan continuamente; el flujo de líquido tiende a estar cerca de la pared. b) Flojo anular con niebla, en el que una película de líquido relativamente gruesa, que puede contener pequeñas burbujas, fluye a lo largo de la pared; el núcleo de vapor contiene pequeñas gotitas de líquido que forman nubes irregulares; al final, x = 0,8, las fases están casi completamente separadas en un núcleo de vapor y una película líquida sobre la pared, existiendo en el núcleo de vapor algunas gotas que provienen de las crestas de las ondas que se forman en la superficie de la película. El coeficiente de transferencia de calor sigue siendo alto siempre que la película de fluido líquido humedezca la pared calefactora del tubo; después, dependiendo de las condiciones de la superficie del tubo, de la presión, y de la velocidad másica, aparecen en la pared del mismo unas zonas secas, en las que se produce una brusca disminución del coeficiente de transmisión de calor; esta es la región de transición del flujo anular en neblina, al flujo en neblina. Las zonas secas continúan creciendo hasta que el líquido restante quede en forma de finísimas gotas de agua; el flujo en neblina persistirá hasta que el

Fig XVI.7 Diagrama de flujo vertical adiabático de dos fases

título del vapor alcance la unidad, siendo el flujo a partir de este momento totalmente de vapor, comenzando el recalentamiento. Es a partir de la transición flujo anular en neblinaflujo en neblina, cuando se modifica el tipo de refrigeración de la pared, (ya que mientras estaba mojada por el líquido el coeficiente de convección aumentaba hasta un máximo), pasando a otra refrigeración por vapor con un coeficiente de convección mucho menor, que es el que provoca una mala transferencia térmica fluido-pared del tubo, lo que implica un aumento de la temperatura de la pared, que es lo que ya hemos definido como pico de calor.

En la Fig XVI.7 se presenta un diagrama de flujo adiabático de dos fases para flujo vertical, (Taitel y Dukler), en el que se muestran las condiciones para una serie de regímenes de flujo. Si se añade calor, los regímenes pueden desplazarse apreciablemente, por lo que dejarían de ser fiables. XVI.-293

GRADIENTE DE PRESIÓN EN EL INTERIOR DE TUBOS VERTICALES.- La caída de presión del flujo en dos fases dentro de los tubos es un proceso complicado dada la gran variedad de formas de flujos existentes. a) El gradiente de presión en el flujo de dos fases se puede calcular como sigue: Número de Reynolds: G d Re = ηA , en la que, ref

siendo

Kg   G viene dada en seg ;   1 = x + 1 -x ηv ηl  η ref

A=

π d2 4

1 la inversa de la viscosidad dinámica de referencia que compensa las fluctuaciones del η ref

factor de fricción λ en el tubo, que es demasiado bajo si x < 0,7 y demasiado alto si x > 0,7 La densidad se define en la forma,

ρ = x ρ v + (1 - x) ρ l

λ = (0,79 ln Re d − 1,64) -2 λ ( 4 G2 ) 2 dp πd El gradiente de presión debido a la fricción en la pared es, ( ) = dz pared 2ρd El coeficiente de rozamiento en flujo turbulento es,

El gradiente de presión debido a la gravedad es,

(

dp ) = - ρ g sen θ dz grav

El gradiente de presión debido a la variación de la cantidad de movimiento es: 4G 4G 2 dp dp π d π d 2 ) 2 ρ dx ( )∆mov = ( ρ ) 2 = - ( ρ l dz dz dz dx es el gradiente del título de vapor, que se calcula en la forma: dz Q dx Q W L ; con L dado en m dz = 4 G r π d 2 l-v

en la que

El gradiente de presión es: dp = (dp ) dp ) dp ) pared + ( gravedad + ( ∆mov dz dz dz dz b) Otra formulación debida a Wallis, válida para el flujo con burbujas x ≤ 0,5, relaciona bastante bien los datos experimentales de la caída de presión en dos fases, mediante la expresión: ρ G ∆p Tubo = 1 + 3 ρl G v ∆p líq v l

3

10 -6 G

en la que ∆pTubo es la caída de presión en el tubo, cuando coexisten las dos fases y ∆p líq es la caída de presión en el tubo correspondiente a la fase líquida. XVI.-294

FORMULACIÓN PARA LA EVAPORACIÓN EN EL INTERIOR DE TUBOS VERTICALES.- Los coeficientes de transmisión de calor para líquidos que se calientan, hasta que comienza la evaporación, y para el vapor recalentado se pueden determinar mediante las correlaciones que definen la convección forzada dentro de tubos. Sin embargo, no existe en la actualidad una formulación general con la exactitud necesaria, que permita determinar el coeficiente de transmisión de calor de todos los regímenes de evaporación que pueden darse en el interior del tubo. a) David y David han propuesto una relación empírica que permite determinar el coeficiente de

transmisión de calor promedio h C para un flujo de dos fases en el interior de un tubo, siempre que el líquido humedezca la superficie interior del mismo, es decir, cuando se esté en el régimen de película anular, x ≤ 0,9, en la forma: h Cd i ρ l 0,28 d i G* 0,87 Prl0,4 = 0, 06 ( kl ρ v ) ( η )x en la que x es el título del vapor y, G*= 3600 ρ x u x , en

kg hm2

Los datos relativos a las propiedades del fluido hay que tomarlos de las tablas y diagramas coTpF + Ts rrespondientes a la temperatura media de la capa de condensado, T = 2 b) V. Klimenko propone una formulación válida sólo cuando las paredes del tubo estén mojadas, por lo que lo primero que hay que realizar es comprobar esta situación, es decir, si domina la evaporación nucleada (pared húmeda) o la evaporación en película, (pared seca) ; para ello se evalúa un parámetro Φ que define el tipo de evaporación de la forma: 4G r l-v ρl ρl 3 π d2 Φ= {1 + x ( 1)} ( q ρv ρv ) y en la que q es el flujo de calor por unidad de superficie de la pared interior del tubo de la forma: Q L q= πd Si, Φ < 1,6.10 4 , ebullición nucleada Nu = 7,4.10 -3 q * 0,6 p * 0,5 Prl-1 / 3 (

k pared 0,15 h C( 2 fases ) ) = LC kl kl

siendo Lc la longitud característica para Nu y q*, en la forma: LC =

σ g (ρ l - ρ v )

;

qL q* = r ρ C α l-v v l

;

p* =

Si, Φ > 1,6.104, ebullición en película: XVI.-295

p LC p = σ σ g (ρ l - ρ v )

k pared 0,09 h C( 2 fases ) ρ Nu = 0,087 Re 0,6 Prl1/6 ( ρ v ) 0,2 ( k ) = LC kl l l Re =

v * LC νl

;

v* =

ρ G {1 + x ( ρ l - 1)} ρl v

evaluándose las propiedades a Tsat Finalmente hay que calcular un coeficiente de transmisión de calor por convección de una sola fase hC(1 fase) basado en un número de Reynolds de líquido puro: G d Re = Aη l Puede suceder que: hC(1 hC = hC(2

fase) 10000), se hubiese obtenido Nu = 51,44, que es perfectamente válido por cuanto esta ecuación se aplica a un flujo turbulento, como así lo indica el nº de Re. 52,75 x 0,539 Kcal h.m.ºC Nu k hcF = = = 2843,2 Kcal di 0,01 m h.m2 .ºC Ue =

1 1 = = 980 Kcal 0,007 0,007 0,007 0,0004924 + 0,000007137 + 0,0005208 h.m2 .ºC 1 + ln + 0,005 x 2843,2 330 0,005 1920

d) Longitud del intercambiador q = U A F (LMTD) = U A F

∆T2 - ∆T1 ln ∆T2 ∆T1

∆T2 = TC1 - TF2 = 90 - 50 = 40ºC ∆T1 = TC2 - TF1 = 70 - 20 = 50ºC ∆T = F (LMTD) = F ∆T2 - ∆T1 = F 40 - 50 = 44,81 F ln 40 ln ∆T2 50 ∆T1 Cálculo de F P = TF1 - TF2 = 20 - 50 = 0,4285 TF1 - TC1 20 - 90 GF cpF Z = = 5 = 0,666 GC cpC 7,5

⇒

F = 0,95

3 Kg x 0,997 Kcal x (50 - 20)ºC = 148.578 Kcal = U e Ae F (LMTD) q = 5 m x 993,5 hora Kg ºC hora m3 x Ae m2 x 0,95 x 44,81ºC = 41718,8 Ae ; Ae = 3,5615 m2 148.580 Kcal = 980 Kcal hora h.m2 .ºC

que es la superficie exterior de intercambio térmico en los tubos. Ae = 3,5615 m2 = π de n L 2 = π x 0,014 x 36 x L x 2

(El 2 aparece por tener 2 pasos de tubos)

L = 1,125 m ***************************************************************************************** VI.9.- Para condensar vapor de agua a la temperatura de saturación Tsat = 349°K se utiliza un tubo de 1,5 m de longitud y 0,013 m de diámetro exterior. Calcular los valores de hC para, a) Tubo horizontal b) Tubo vertical en el supuesto de que la temperatura media de la pared del tubo sea de 325°K ¿Cuál será el valor del n° de Reynolds máximo en este proceso?¿Y la cantidad de condensado _________________________________________________________________________________________ Intercambiadores.VI.-150

RESOLUCION a) Condensación en tubo horizontal Temperatura media del condensado: T = 349 + 325 = 337ºK = 64ºC 2 Propiedades del agua a 64ºC Kg kl = 0,661 W ; ρ l = 980,9 ; rl-v = 2,318 x 10 J ; ηl = 4,48 3 mºK Kg m 4

hc = 0,725

ρ 2l g rl-v k3l = 0,725 ηl d (Ts - TpF )

4

980,9 2 4,48

x

x

9,8

10-4 x

2,318 x 106

x

0,013

N.seg ; cpl = 4184 J 2 KgºK m

10-4

x

x

0,661 3

= 10.568

(349 - 325)

x

W m2 ºK

b) Condensación en tubo vertical Puede considerarse como una placa vertical de sección (π d L) 4

hc = 1,13

ρ 2l g rl-v k3l = 1,13 ηl L (Ts - TpF )

4

980,9 2 4,48

x

9,8

x

x 10-4 x

106

0,661 3

2,318

x

1,5

(349 - 325)

x

x

= 5.025

W m2 ºK

De otra forma, Condensación en tubo vertical hc = 1,5 g1/3

Tubos horizontales: α 1 = ( L )1/3 ; Re = 4 G 4G ηl L ρ 2 k3 1/3 α 1 f6 (T) , con: f6 (T) = ( ) ; η Tubos verticales: α 1 = ( π d )1/3 ; Re = 4 G 4G ηl π d

El nº de Re en la parte inferior del tubo vertical es, 4 kl L (Ts - TpF ) g1/3 ρ 2/3 4 l Re = 4 ( )3/4 = 4 ( 5/3 3 3 ηl rl-v

x

0,661

x

(4,48

1,5

x

24

5/3 x 10-4 ) x

x

9,8 1/3 2,318

x

980,9 2/3

)3/4 =

x 106

= 576,4 < 1800 (laminar) Para tubos verticales se tiene, Re =

4G ⇒ π d ηl

G =

π d ηl Re π = 4

x

0,013

x

4,48 x 10-4 4

x

576,4

= 2,64

x

10-3

N.seg = 2,64 m

x

10-3

Kg seg

f6 (T) ≅ 830 hc = 1,5 g1/3 α 1 f6(T) = 1,5 g1/3 (π d )1/3 f6 (T) = 1,5 4G

Como:

x

9,8 1/3 x (

π

0,013 1/3 ) 4 2,64 x 10-3 x

x

x

830 = 4.180

W m2 ºK

hc (horizontal) = 0,77 ( L )1/4 hc (vertical) d

1,5 1/4 x hc (horizontal) = 0,77 ( L )1/4 hc (vertical) = 0,77 ( ) 4180 = 10586 W d 0,013 m2 ºK ***************************************************************************************** VI.10.- Se quieren recalentar 10 Tm/hora de vapor de agua saturado a la presión de 20 atm hasta los 400ºC. Para ello se utilizan los humos procedentes de un hogar, con una velocidad de entrada de 9,5 m/seg, que llegan al recalentador a 700ºC y salen del mismo a 500ºC. El recalentador está formado por un haz de tubos horizontales dispuestos en alineación rectangular, con corriente de humos perpendicular a las generatrices de los mismos. Las características de los tubos son, diámetro interior, 50 mm; diámetro exterior, 60 mm ; longitud de cada tubo, L = 20 m; conductividad térmica, k = 50 Kcal/h.m.ºC El recuperador tiene 5 hileras de tubos El coeficiente de película humos-tubos es, hC(humos) = 40 Kcal/h.m2 .ºC El coeficiente de película vapor de agua-tubos es, hC(vapor de agua) = 1.000 Kcal/h.m2 .ºC Determinar Intercambiadores.VI.-151

a) El nº de tubos que conforman el recalentador b) La temperatura media de la superficie exterior de la pared de los tubos c) La velocidad del vapor de agua en m/seg _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION Punto (B): iB = 3248 kJ = 776 Kcal Kg Kg Punto (A): iA = 2798,9 kJ = 668,6 Kcal Kg Kg kJ Kcal rl-v = 1890,4 = 451,6 Kg Kg

a) Nº de tubos que conforman el recalentador Kg(vapor) Kcal x (775,5 - 668,5) Q = Gvapor (iB - iA) = 10.000 = 1.070.000 Kcal hora Kg(vapor) hora 1 1 Ue = = = 38 Kcal re r r 1 0,03 0,03 e e 0,03 h.m2 .ºC + ln + + ln + 1 ri ri hC(vapor) k hC(humos) 0,025 x 1000 50 0,025 40 ∆T2 = 700 - 400 = 300 300 - 287,63 (LMTD) = ∆T2 - ∆T1 = = = 293,77ºC ∆T2 ln 300 ∆T = 500 212,37 = 287,63 1 ln 287,63 ∆T1 Cálculo del factor F de corrección de la (LMTD), Flujos cruzados con mezcla de ambos fluidos 212,37 P = TF1 - TF2 = TF1 - TC1 212,37 TC1 - TC2 Z = = 700 TF2 - TF1 400 -

- 400 = 0,38475 - 700

⇒ F = 0,95 - 500 = 1,066 212,37 Q 1.070.000 Superficie de intercambio térmico: Ae = = = 100,89 m2 U F (LMTD) 38 x 293,77 x 0,95 100,89 Número de tubos = Ae = = 26,7 tubos (25 por las hileras) π de L π x 0,06 x 20 Kcal Calor por tubo: qtubo = 1.070.000 = 42.800 25 hora(tubo) b) Temperatura media de la superficie exterior de la pared de los tubos qtubo = hCe Ae (Te - Tpe ) Tpe = Te -

qtubo = hCe Ae

Te = 700 + 500 = 600ºC 2 hCe = 40 Kcal h.m2 .ºC = 600 -

Intercambiadores.VI.-152

40

= 600 -

x

40

42.800 π x 0,06

x

42.800 = x π de L

20

= 316,17ºC

De otra forma, T - T T - Ti Tpe - Ti qtubo = pe r pi = pi = r 1 ln re ln re i hCi Ai i 1 + 2 π k L 2 π k L hCi Ai

Tpe = Ti + qtubo {

ln rre

Ti =

1 i }= hCi Ai 2 π k L

212,37 + 400 = 306,18ºC 2 Ai = π di L

=

0,06 0,05 } = 320,5ºC x 20 2 π 50 x 20 ln

= 306,18 + 42800 {

1000

x

π

1 x

0,05

x

c) Velocidad del vapor de agua en m/seg 10000 Kg π x 0,05 2 Kg 3600 seg = u ; uvapor = 56,59 vapor 25 tubos 4 seg.m2 3 Para el vapor recalentado a 20 Atm y 306,18ºC, el volumen específico: v = 0,1271 m Kg Kg 3 x 0,1271 m = 7,2 m Velocidad del vapor: uvapor = 56,59 seg 2 Kg seg.m

***************************************************************************************** VI.11.- Se dispone de los siguientes datos a partir de un ensayo de rendimiento de un intercambiador de calor formado por una carcasa y doble paso de tubos. Por el interior de los tubos circula aceite de cpC =2100 Joules/kg°K, que penetra en los mismos a 340°K y velocidad másica G de 1 kg/seg, y sale a 310°K. Por la carcasa circula agua, de forma que cuando entra en la misma, la temperatura correspondiente es de 290°K y sale a 300°K. Una variación en las condiciones de servicio exige el enfriamiento de un aceite semejante desde una temperatura inicial de 370°K, pero con una velocidad de flujo igual a los tres cuartos de la velocidad utilizada en el ensayo previo. Con estos datos determinar la temperatura de salida del aceite, suponiendo que el agua no modifica sus características. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION ∆T2 = TC1 - TF2 = 340 - 300 = 40ºC ∆T1 = TC2 - TF1 = 310 - 290 = 20ºC La nueva temperatura de salida del aceite es de la forma, ε Cmín T*C2 = TC1 - (TC1 - TF1 ) CC Datos del intercambiador Z = CF = TC1 - TC2 = 340 - 310 = 3 CC TF2 - TF1 300 - 290 T T F2 = 290 - 300 = 0,2 P = F1 TF1 - TC1 290 - 340 ∆T = F (LMTD) = F ∆T2 - ∆T1 = 0,94 ln ∆T2 ∆T1

⇒

x

F = 0,94

40 - 20 = 27,12ºC ln 40 20

Intercambiadores.VI.-153

1,0

Z

TC1

0,9

F TF2

0,8 4

3

2

1

1,5

0,8 0,6

0,4

TF1

0,2

0,7 TC2 0,6 0,5 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

P

Factor de corrección para la LMTD en contracorriente, para un intercambiador 1-2

Capacidad calorífica del aceite: CC = 1

Kg seg

Capacidad calorífica del agua: CF = CC q = U A ∆T = mC cpC (TC1 - TC2 ) Kg 1 seg mC cpC (TC1 - TC2 ) UA = = ∆T NTU = U A = 2323 = 1,106 Cmín 2100

x

2100

J = 2100 W Kg.ºK ºK

Kg TC1 - TC2 = (1 seg TF2 - TF1

x

2100

J Kg.ºK 27,2

x

x

2100

J ) Kg.ºK

x

340 - 310 = 6300 W 300 - 290 ºK

(340 - 310)ºK = 2.323 W ºC

La variación en el servicio exige un enfriamiento del aceite desde una temperatura inicial TC1* = 370ºK, pero con una velocidad de flujo igual a los 3/4 de la velocidad utilizada en el ensayo previo, uaceite* = (3/4) uaceite Esto va a afectar al valor del coeficiente de película del aceite hci, y por lo tanto al de (UA)e , Ue Ae =

1 1 = r 1 1 1 + e 1 ln + + Cte ri Ai hci 2 π k L Ae hce Ai hci

También va a afectar al valor del nº de Nu correspondiente, por cuanto hay una variación de la velocidad del aceite que afecta al nº de Re, Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,3 El nuevo valor de Re* será proporcional a 3 Re , es decir: Re* = 3 Re 4 4 3 0,8 * El nuevo valor de Nu será proporcional a ( ) , y por lo tanto al hc (aceite) , es decir: 4 h d hc (aceite) d Nu(aceite) = c (aceite) Nu(aceite) h Nu(aceite) k k ⇒ = = c (aceite) = = 1 * * * * 3 0,8 Nu(aceite) hc (aceite) d hc (aceite) d hc (aceite) ( ) Nu(aceite) (3 )0,8 4 4 Nu*(aceite) = k k h*c (aceite) = (3 )0,8 hc (aceite) 4 A su vez, en primera aproximación se puede aceptar que, 1 1 1 Ue Ae = ; Cte = 1 Ue Ae Ai hc (aceite) + Cte Ai hc (aceite)

Intercambiadores.VI.-154

1

U*e Ae =

;

1

Cte =

+ Cte

Ai h*c (aceite)

1 1 1 1 = U*e Ae Ai h*c (aceite) U*e Ae Ai (0,75) 0,8 hc (aceite)

Si se considera que la Cte es muy pequeña, se tiene, 1 1 Ue Ae Ai hc (aceite) 1 1 0= * 0,8 Ue Ae Ai (0,75) hc (aceite) 0 =

U*e Ae = (0,75)0,8 Ue Ae = (0,75)0,8 100

C mín/C máx

x

2323 = 1845,4 W ºK

0 0,25

80

Eficacia %

Ai (0,75) 0,8 hc (aceite) U*e Ae = = (0,75)0,8 Ue Ae Ai hc (aceite)

⇒

0,50 0,75 1,0

60

40

20

0

0

1

2

3

4

5

Números de unidades de transferencia de calor NTUmáx

=

AU Cmín

Eficiencia para un intercambiador 1-2

(NTU)*

U* Ae = = Cmín C*mín Cmáx

1845,4 W ºK = 1,1717 Kg J x x (0,75 1 seg ) 2100 KgºK

⇒

Kg (0,75 x 1 ) x 2100 J seg KgºK = = 0,25 6300

T*C2 = TC1 - (TC1 - TF1 )

ε* C*mín = 370 - {(370 - 290) CC

x

0,61

x

Eficiencia: ε* = 0,61

0,25} = 357,8ºK = 84,8ºC

***************************************************************************************** VI.12.- Se dispone de dos tuberías de acero, concéntricas, de diámetros interiores 50 mm y 100 mm y espesor 5 mm. Por la tubería interior circula amoníaco líquido, que penetra a la temperatura de 20°C y velocidad 3 m/seg, mientras que por el extremo opuesto del espacio anular penetra agua a 80°C y velocidad 1,5 m/seg. La longitud de las tuberías es de 100 metros y la conductividad térmica del acero de 40 W/m°C. Se supondrá no existen pérdidas térmicas. Kg m 2 ; Pr = 2 Datos NH3 : ρ = 580 ; cp = 5 kJ ; k = 0,50 W ; ν = 0,34 x 10-6 seg 3 Kg°C m°K m Kg m 2 ; Pr = 3 Datos H2 O: ρ = 985 ; cp = 4,186 kJ ; k = 0,66 W ; ν = 0,48 x 10-6 seg Kg°C m°K m3 Con estos datos determinar, a) Los coeficientes de convección correspondientes b) El coeficiente global de transmisión de calor referido a la sección exterior del tubo interior c) La temperatura de salida de los dos fluidos d) El calor intercambiado Intercambiadores.VI.-155

_________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Coeficientes de convección Coeficiente de convección del NH3 , Tubo de diámetro d1 (calentamiento) 2 Masa del NH3 = mamon = V ρ = π d uF ρ = 4

=

π

x

0,05 2 3 m m x 3 seg 4

x

580

Kg Kg Kg = 3,4165 seg = 12.300 3 hora m

3 x 0,05 Reamon = uamon d1 = = 441.176 νamon 0,34 x 10-6 hc (amon) d1 kamon

Nuamoníaco = 0,023 Re 0,8 Pr0,4 = 0,023 (441.176)0,8 (2)0,4 = 995 = 995 x 0,5 = 9950 W 0,05 m2 ºK Coeficiente de convección del Agua, Tubería anular (enfriamiento) π (d2 - d2 ) 3 2 dH(agua) = 4 = d3 - d2 = 100 - 60 = 10 mm π (d3 + d2 ) 4 4 hc (amon) =

Reagua =

uagua 4 dH(agua) 1,5 x (4 x 0,01) = = 125.000 νagua 0,48 x 10-6

0,3 = 0,023 (125.000)0,8 (3)0,4 = 382,29 = Nuagua = 0,023 Re 0,8 de Pr

hc (agua) (4 dH (agua)) kagua

Nuagua kagua 382,29 x 0,66 = = 6307,75 W 4 dH (agua) 4 x 0,01 m2 ºC b) Coeficiente global de transmisión de calor referido a la sección exterior (2) del tubo interior 1 1 U2 = = = r2 r r 1 2 2 0,03 30 30 1 + ln + r1 ri hc(NH3) k hc(H2O) 25 x 9950 + 40 ln 25 + 6307,75 1 = = 2400 W 0,0001206 + 0,00013674 + 0,0001585 m2 ºK hc (agua) =

c)Temperatura de salida de los dos fluidos Cmín - 1)} Cmáx C exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( Hay que conocer la eficacia del intercambiador: ε = 1CNH3 = (m cp )NH3 = 12300

Kg hora

x

5

Cmín Cmáx

kJ = 61.500 kJ = 17,08 kJ Kg ºC h ºC seg ºC

CH2O = (m cp )H2O = = m = Vρ =

π (d23 - d22 ) π (0,1 2 - 0,062 ) m2 uF ρ = 4 4

= 26.736

x

Kg hora

m 1,5 seg x

4,186

kJ (amoníaco) = CF seg ºC = 31,088 kJ (agua) = CC seg ºC

Cmín = 17,08 luego: Cmáx

x

Intercambiadores.VI.-156

985

Kg Kg Kg = 7,4267 seg = 26.736 3 hora m

=

kJ = 111.918 kJ = 31,088 kJ KgºC hºC segºC

Superficie de intercambio térmico: A2 = 2 π r2 L = 2 π 18,85 m2 x 2400 W m2 ºC NTU = A2 U2 = = 2,6486 ; Cmín 17,08 kJ seg ºC

x

0,03

x

100 = 18,85 m2

Cmín 17,03 = = 0,5494 Cmáx 31,088

Cmín - 1)} Cmáx 1 - exp {(2,6486) (0,5494 - 1)} = = 0,8361 C 1 - 0,5494 x exp (2,6486) (0,5494 - 1) exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( ε = 1-

Cmín Cmáx

TC2 = TC1 - (TC1 - TF1 )

ε Cmín = CC

TF2 = TF1 + (TC1 - TF1)

Cmín = 0,5494 = CC = 80 - (80 - 20) x (0,5494

x

0,8361) = 52,5ºC (Salida del agua)

ε Cmín = 20 + (80 - 20) ε = 70,17ºC (Salida del amoníaco) CF

d) Calor intercambiado Q = U A ∆T2 - ∆T1 = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = ln ∆T2 ∆T1

∆T2 = 80 - 71,17 = 9,83

=

∆T1 = 52,5 - 20 = 32,5 = 2400

W m2 ºK

x

18,85 m2 x

9,83 - 32,5 = 857,66 kW 9,83 ln 32,5

ó también, Q = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = 0,8361 x 17,08 x (80 - 20) = 856,8 kW ***************************************************************************************** VI.13.- A través del espacio anular formado por dos tuberías de 108 y 159 mm de diámetros exteriores y espesores respectivos 3,5 y 4,5 mm, se inyecta vapor recalentado a 13,6 atm., 280°C y velocidad 1,5 m/seg. Por la tubería interior circula una mezcla de sodio y potasio en proporción de 56% y 44% respectivamente, a la temperatura de 150°C y velocidad 3 m/seg. Determinar, a) El calor transmitido a la mezcla por metro lineal de tubería si ésta es de acero inoxidable 18-8, y se mantienen constantes las temperaturas de los fluidos b) Si las temperaturas de los fluidos son variables, hallar las temperaturas de salida y el calor intercambiado Datos, Vapor de agua, ρ=5,647 kg/m3 ; η=6,859 x 10-2 kg/h.m.; k=3,438 x 10 -2 Kcal/h.m°C; cp =0,539 Kcal/kg.°C; Pr=1,072 Datos mezcla de 56% de sodio y 44% de potasio, ρ*=874,24 kg/m3 ; η*=1,666 kg/h.m. ; k*=22,457 Kcal/h.m°C; cp *=0,2654 Kcal/kg°C ; Pr*=0,0203 Acero inoxidable 18-8, k=14 Kcal/h.m°C _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION r1 = 108 - 7 = 50,5 mm ; r2 = 108 = 54 mm ; r3 = 159 - 9 = 75 mm 2 2 2 a) Coeficiente de convección hc1 correspondiente al metal líquido El metal líquido se calienta en el tubo de radio r1 . El flujo de calor desde la pared interior es uniforme: Intercambiadores.VI.-157

L/d > 60 Nu = 4,82 + 0,185

Pe0,827

;

10 < Pe 1800 (turbulento) ηLl N.seg -6 x 2m 278 x 10 m2 106

h cF(1 tubo) = 0,0077 Re 0,4 g1/3 f 5(T) = f 5(100) = 14017 = 0,0077

hc =

hcF(1 tubo) 4

=

N

x

40000,4

x

9,8 1/3

x

14017 = 6373,4

W m2 .ºC

6373,4 = 3584 W 4 m2 .ºC 10

De otra forma, hc(1 tubo) = 0,077 kl ( hc(1 tubo) = 0,077

x

ρ 2l g η 2l

0,682

x

)0,33 Re0,4 , para: Re > 1800 (

958,4 2 x 9,8 0,33 ) (278 x 10-6 )2

x

40000,4 = 6352

W m2 .ºC

De otra forma, hcF(1 tubo) = 0,0077 g1/3 α 2 f7 (T) =

f7 (100) = 368040 4 x 0,556 0,4 α 2 = (4 G )0,4 = ( ) = 1,043337 L 2 = 0,0077

x

9,8 1/3 x 1,043

x

=

368040 = 6321

W m2 .ºC

***************************************************************************************** VI.16.- Se colocan concéntricamente dos tuberías de acero de diámetros interiores 48 y 80 mm, y espesor 8 mm. Por la tubería interior penetra agua fría a 0°C y 10 Km por hora y por el extremo opuesto del espacio anular penetra agua caliente a 40°C y 5 Km/hora. Determinar las temperaturas finales de ambas corrientes teniendo en cuenta que, - No hay pérdidas de calor al exterior - El coeficiente de película exterior es de 4.100 Kcal/h.m2 °C - Longitud de las tuberías L=112 metros - Conductividad térmica de la tubería, 37 Kcal/h.m°C Datos, Calor específico del agua, 1,002 Kcal/kg°C ; Densidad del agua, 999,2 kg/m3 Viscosidad dinámica del agua, 4,72 kg/h.m; Conductividad térmica del agua, 0,504 Kcal/h.m°C Número de Prandtl del agua, 9,41 _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION - Coeficiente de película interior, 10.000 m x 0,048 m u d 1 1 hora Re1 = = = 101.613,5 ν Kg 4,72 h.m Kg 999,2 m3 Nu = 0,023 (Re)0,8 (Pr)0,4 = 0,023 x (101,613,5)0,8 x (9,41) 0,4 = 571,1 Intercambiadores.VI.-162

0,504 x 571,11 hcF = k Nu = = 5996,7 Kcal d1 0,048 h.m2 .ºC - Para conocer las temperaturas finales de ambas corrientes es necesario conocer e C 1 - exp {(NTU) ( mín - 1)} Cmáx ε = Cmín C 1exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx Cmáx CF = (m cp )F = = mF = (ΩF uF ρ F) =

π d2F π uF ρ F = 4

x

0,048 2 2 m 4

10000

m hora

x

999,2

Kg Kg = 18081,1 3 hora m

= 18081,1

Kg hora

x

1,002

Kcal = 18177,25 Kcal Kg.ºC h.ºC

x

=

CC = (m cp )C = = mC = V ρ = ΩC u C ρC =

π (d23 - d 22) π (0,08 2 - 0,004 2) m2 u C ρC = 4 4

= 9040,5

5000 m hora

x

Kg hora

x

1,002

x

999,2

Kg Kg = 9040,5 3 hora m

=

Kcal = 9058 Kcal = C mín Kg.ºC h.ºC

Cálculo de U2 , U2 =

r1 = 24 mm 1 1 = = = r2 + r2 ln r2 + 1 0,032 0,032 32 + 1 r = 48 + 16 = 32 mm + ln r1 r1 hcF k hcC 2 0,024 x 5996,7 37 24 4100 = 1398,75 Kcal h.m2 .ºC

Superficie de intercambio térmico: A2 = 2 π r2 L = 2 π x 0,032 22,52 m2 x 1398,75 Kcal h.m 2 ºC A U NTU = 2 2 = = 3,477 Cmín 9058,6 Kcal h ºC Cmín 9058,6 = = 0,5 Cmáx 18117,25

x

112 = 22,52 m2

Cmín - 1)} Cmáx 1 - exp {(3,477) (0,5 - 1)} = = 0,9036 Cmín 1 - 0,5 x exp (3,477) (0,5 - 1) exp (NTU) ( - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( ε = 1-

Cmín Cmáx

TC2 = TC1 - (TC1 - TF1)

ε C mín = CC

TF2 = TF1 + (TC1 - TF1)

Cmín = CC = TC1 - (TC1 - TF1) ε = 40 - (40 - 0) x 0,9036 = 3,85ºC

ε Cmín = 0 + (40 - 0) x 0,5 x 0,9036 = 18,07ºC CF

**************************************************************************************** VI.17.- Por una tubería de refrigeración de diámetro interior di = 4 cm. y espesor e= 3 mm, circula agua a la velocidad de 1,5 m/seg, entrando a la temperatura Tc1= 50°C y saliendo a Tc2= 15°C. El agua a calentar circula en contracorriente, a razón de 0,5 m/seg, entrando a 10°C y saliendo a 35°C. Sabiendo que el coeficiente de conductividad térmica del acero es k= 40 W/m°C, determinar, a) El caudal de agua que se calienta y la longitud del tubo. b) Su longitud si se sustituye el intercambiador por otro 2/4 Intercambiadores.VI.-163

_________________________________________________________________________________________ RESOLUCION

Fluido que circula por la tubería interior (se enfría), Kg TC = 50 + 15 = 32,5ºC ; c pC = 4,1776 kJ ; ρ C = 994,45 2 Kg.ºC m3 kC = 0,6195 W ; PrC = 6,28 mºC π d2i π uC = 4

x

0,04 2 m2 4

; vC = 0,7885

x

m2 10-6 seg

m3 = 6,7858 m3 = 10-3 seg hora 3 Kg Kg = 6,7858 m x 994,45 = 6752,12 3 hora hora m Kg x q = mC cpC (TC1 - TC2 ) = mC cpC (TC1 - TC2 ) = 6752,12 4,1776 kJ x (50 - 15)ºC = hora Kg.ºC = 986.685 kJ = 274,079 kW = 235.710 Kcal hora hora m x 1,5 0,04 m seg Nu = 0,023 Re0,8 Pr 0,3 = Re = = 76.093,4 = 0,023 x 76093,40,8 x 6,28 0,3 = 320,77 2 0,7885 x 10-6 m seg 320,77 x 0,6195 W mºC hcC = = 4968 W 0,04 m m2 ºC Fluido que circula por el exterior de la tubería (se calienta), Kg m2 TF = 10 + 35 = 22,5ºC ; c pF = 4,1811 kJ ; ρ F = 997,45 ; vF = 0,9625 x 10-6 seg 3 2 Kg.ºC m W kF = 0,6015 ; PrF = 6,6875 mºC mC = S i uC =

x

m = 1,885 1,5 seg

x

a) Caudal de agua que se calienta Q = mF cpF (TF2 - TF1 ) ; mF =

Q cpF (TF2 - TF1 )

=

986.685 kJ Kg hora = 9.440 kJ hora x 25ºC 4,1811 Kg.ºK

Nu = 0,26 Re0,6 Pr0,3 ηc ; (103 < ReF < 105 ) F F 0,5 m x 0,046 m seg ReF = = 23.896 m2 0,9625 x 10-6 seg Nu = 0,26 Re0,6 Pr0,3 ηc = = F F ηc = 1 (por ser muy próximas las temperaturas) = 0,26 194,78 hcF =

x

23.896 0,8

x

6,6875 0,3 = 194,78

0,6015 W mºC = 2547 W 0,046 m m2 ºC x

Longitud del tubo, 1 1 Ue = = = 1419,5 W re + re ln re + 1 0,023 0,023 0,023 m2 ºC 1 + ln + ri ri hcF k hcC 0,02 x 4968 40 0,02 2547 Intercambiadores.VI.-164

Q = Ue Ae

∆T2 - ∆T1 ln ∆T2 ∆T1

Ae = π de L = 0,046 π L ∆T2 = 50 - 35 = 15ºC

=

= 1419,5

∆T1 = 15 - 10 = 5ºC

W m2 ºC

x

(0,046 π L) m2

= 274079 W ;

x

15 - 5 ºC = ln 15 5

L = 146,78 m

b) ¿Cuál sería su longitud si se sustituye el intercambiador por otro 2/4? Cálculo de F :

P = TF1 - TF2 = 10 - 35 = 0,625 TF1 - TC1 10 - 50 TC1 - TC2 Z = = 50 - 15 = 1,4 TF2 - TF1 35 - 10

⇒ F = No se encuentra ningún valor

Por lo tanto, NO HAY SOLUCION en estas condiciones. 1,0

TF2

Z

F

TF1

0,9 0,8

TC1 4

3

2

0,7

1,5

1

0,8

0,6

TC2

0,4 0,2

0,6 0,5 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

P

Factor de corrección para la LMTD en el caso de un intercambiador en contracorriente 2/4

***************************************************************************************** VI.18.- Para calentar 4600 kg/hora de aire desde una temperatura de 14,5ºC hasta 30ºC, se utiliza vapor de agua a 100ºC, en un intercambiador de flujos cruzados, en el que se impulsa aire por el exterior de un haz de tubos de diámetros 10/13 mm, circulando el aire perpendicular a los mismos. Cada tubo tiene una longitud de 61 cm y están dispuestos según una malla cuadrada, con una separación entre centros de los tubos de 19 mm y formando todo ello un conjunto de 19 tubos en la misma vertical. Determinar a) El coeficiente global de transmisión de calor b) El número de hileras de tubos, necesarias para alcanzar en el aire las temperaturas prefijadas. Datos de los tubos, hC interior tubos = 5000 Kcal/h m2 ºC ; k tubos = 90 Kcal/h.m.ºC Datos del aire, ρ = 1,195 kg/m3 ; η = 65,79 x 10 -3 kg/h.m ; k = 22,29 x 10 -3 Kcal/h.m.ºC ; cp = 0,24045 Kcal/kgºC; Pr = 0,71 Datos del vapor, rl-v = 540 Kcal/kg _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Coeficiente global de transmisión de calor Cálculo del coeficiente de película exterior hce Hay que calcular la velocidad máxima a través del haz de tubos: G G G umáx = uF ex = uF = 19 = = = ex - d 19 ρ L ex 19 ρ L (ex - d) ρΩ

Intercambiadores.VI.-165

=

1,195

( kg/m 3

4600 kg/hora m m = 55.355 = 15,37 ) x 0,61 m x 19 x (0,019 - 0,013) m hora seg

55.355 m x 0,013 m umáx d hora Nº de Reynolds: Re = = = 13.071 ν Kg 0,006579 h.m. Kg 1,195 m3 0,3 = 0,33 Nu = 0,33 (Re)0,6 máx Pr

87,84 hce = U=

x

22,29 x 10-3

x

Kcal h.m.ºC

0,013 m

(13.071) 0,6 = 150,6

x

(0,71) 0,3 = 87,84

Kcal h.m2 .ºC

1 1 = 0,013 0,013 x 10 -4) + (1,895 x 10-5 ) + (6,64 1 13 (2,6 + ln + 10 x 5000 2 x 90 0,01 150,6

x

10-3 )

= 144,53

Kcal h.m2 .ºC

Cálculo de la (LMTD) ∆T1 = 100 - 14,5 = 85,5ºC

⇒

∆T2 = 100 - 30 = 70ºC

(LMTD) =

85,5 - 70 = 77,5ºC 85,5 ln 70

Cálculo de la temperatura superficial exterior, 14,5 + 30 = 22,25ºC = A hCe (TpF - 22,5) 2 77,5 = 150,6 x (TpF - 22,5) ; TpF = 96,63ºC

q = U A (LMTD) = A hCe (TpF - TF) = TF = U ∆Tm = hCe (TpF - TF) ; 144,53

x

Superficie A de intercambio térmico, q = U A (LMTD) = mF cpF (TF2 - TF1 ) 144,3 x A x 77,5 = 4600

Kg hora

x

0,24045 Kcal KgºC

Atubos = nhileras N π de L = nhileras

x

19 π

x

x

(30 - 14,5)ºC ⇒

0,013

x

A = 1,5305 m2

0,61 = 1,5305 m2

; nhileras = 3,23 ⇒ 4

Hay que hacer una corrección del coeficiente de película para 4 hileras, Para 4 hileras → Tubos alineados → ψ = 0,90 ;

h*Ce = 0,90 x 150,6 = 135,54

Kcal h.m2 .ºC

1 = 130,6 Kcal 0,013 0,013 h.m2 .ºC 13 1 + ln + x x 10 5000 2 90 0,01 135,54 4600 x 0,24045 x 15,5 Superficie A* de intercambio térmico: A* = = 1,6938 m2 130,6 x 77,5 1,6938 Número de hileras: n*hileras = = 3,5784 , luego se considerarán 4 hileras 19 π de L ***************************************************************************************** U* =

VI.19.- Una chimenea de fundición k = 50 W/mºK tiene 10 m de altura, un diámetro interior de 0,6 m y un espesor de 1 cm. Por su interior circula un flujo de gases de combustión procedentes de un horno, 1 kg/seg, que penetran por la base de la chimenea a 500ºC; las propiedades medias de los gases de combustión en las condiciones del problema son, ρ = 0,5183 kg/m3 ; Pr= 0,7 ; ν =6,184 x 10-5 m2 /seg ; cp = 1,063 kJ/kgºC ; k = 4,87 x 10 -2 W/mºC. Por el exterior circula un viento a 14 m/seg y 20ºC, perpendicular a la chimenea; sus propiedades medias respecto a la temperatura media de la pared de la chimenea son, Intercambiadores.VI.-166

ρ = 0,911 kg/m3 ; Pr= 0,7 ; ν = 2,4 x 10-5 m2 /seg ; cp = 1,007 kJ/kgºC ; k = 3,2 x 10-2 W/mºC Determinar, a) Los coeficientes de convección interior y exterior, justificando si los flujos están o no completamente desarrollados b) El coeficiente global de transmisión de calor respecto a la sección exterior de la chimenea c) Las pérdidas térmicas al exterior d) La temperatura de salida de los gases y la temperatura media superficial de la chimenea _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION Se puede considerar a la chimenea como un intercambiador de calor compuesto por 1 tubo (chimenea) y el medio exterior a T = Cte. a) Coeficientes de convección interior y exterior, justificando si los flujos están o no completamente desarrollados FLUJO CRUZADO (POR EL EXTERIOR DE LA CHIMENEA)

dext = 14 x 0,62 = 361.666 Rede = u ν 2,4 x 10-5 C = 0,0266 Nude = C Rende Pr1/3 = = 0, 0266 n = 0,805

x

3616660,805

x

0,7 1/3 = 704,2

704,2 x 3,2 x 10-2 hc exterior = Nude k = = 36,34 W d 0,62 m2 ºC FLUJO POR EL INTERIOR DE LA CHIMENEA

ugases

Ggases = = ρ gases Ai

1

Kg seg

= di = 0,6 m = 6,82 m/seg Kg π d2i 0,5183 m3 4 6,82 x 0,6 Redi = u νdint = = 66.207 6,184 x 10-5 Relación L = 10 = 16,6 < 60 (el flujo de gases está condicionado a la entrada) di 0,6 1/3 ( d )1/18 = Nudi = 0,036 Re0,8 di Pr L

Válida para: = 0,036

x

662070,8

10 < L < 100 d

x

0,7 1/3

x

( 1 )1/18 = 196,84 16,6

196,84 x 4,87 x 10-2 hc interior = Nudi k = = 15,97 W di 0,6 m2 ºC b) Coeficiente global de transmisión de calor respecto a la sección exterior de la chimenea 1 1 U = = = re re A ln ln e Ae + ri + 1 ri + 1 ) re ( 1 + hci Ai 2 π k L hce hci ri k hce re 1

= 0,31 x

0,31 ln 0,3 1 1 ( + + ) 15,97 x 0,3 50 36,34 x 0,31

=

1 = 10,53 W 0,31 x (0,2175 + 0,000656 + 0,088) m2 ºC

c) Pérdidas térmicas al exterior Cmáx = Cexterior

Intercambiadores.VI.-167

Kg Cmín = G cpi = 1 seg

x

1,063

kJ = 1063 W KgºC ºC

10,53 x 19,47 NTU = Ue Ae = Ae = π de L = π x 0,62 x 10 = 19,47 m2 = = 0,1929 Cmín 1063 ε = 1 - e-NTU = 1 - e-0,1929 = 0,1754 q = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = 0,1754

x

1063 W ºC

x

(500 - 20)ºC = 89.533 W

d) Temperatura de salida de los gases TC1 - TC2 = ε Cmín = ε TC1 - TF1 Ce

500 - TC2 = 0,1754 ; 500 - 20

⇒

T C2 = 415,8ºC

ó también q = G gases cp gases (TC1 - TC2)

⇒

TC2 =

-q + T C1 = Ggases cp gases

- 89,533 kW + 500ºC = 415,8ºC Kg 1 seg x 1,063 kJ KgºC

Temperatura media superficial de la chimenea q 89,533 q = hc Ae (TpFext - Text ) ⇒ TpFext = + Text = + 20ºC = 146,5ºC hc Ae 36,34 x 19,47 q = 2π k L

Tp int - Text = 2 π r ln re i

x

50

x

10

x

Tp int - 146,5 = 89533 W 0,31 ln 0,3

;

Tp int = 147,4ºC

*****************************************************************************************

60°

5 cm

Aire (20°C)

Aire (34°C)

2,5 cm

VI.20.- En un recuperador de flujo normal, se desea calcular los coeficientes de película exterior e interior de los tubos. Por el exterior de los tubos circula aire a una velocidad de 5 m/seg, entrando a 20°C y saliendo a 34°C, mientras que por el interior de los tubos fluye un caudal de agua a una velocidad de 1 m/seg, que penetra a 50°C y sale a 40°C. Los tubos tienen un diámetro interior de 2,1 cm y un diámetro exterior de 2,5 cm.

Dicho recuperador tiene 5 hileras al tresbolillo, viniendo los datos sobre la figura. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION AIRE POR EL EXTERIOR DE LOS TUBOS

En el exterior de los tubos circula aire en convección forzada sobre 5 hileras de tubos al tresbolillo Nud = 0,33 α (Red)0,6 Pr0,33 ψ Tubos al tresbolillo, α = 1 ψ (5 hileras al tresbolillo) = 0,92 ν = 16,84 Propiedades del aire a 34 + 20 = 27ºC : 2

x

m2 10-6 seg

Pr = 0,708 k = 0,02624 W mºK

Intercambiadores.VI.-168

Ω1 = 2 x 5 sen 60 = 8,66 cm2 Ecuación de continuidad: uF Ω1 = umáx Ω2

m Ecuación de continuidad: 5 seg m 8,66 seg umáx x de Rede = = ν 16,84 x

Ω3 = 2 x 5 sen 60 - de = 6,16 cm2 5 x 8,66 m x 8,66 cm2 = umáx x 5 cm2 ; umáx = = 8,66 seg 5 x 0,025 m = 12.856 m2 10-6 seg

Nud = 0,33 α (Red)0,6 Pr0,33 ψ = 0,33 hC aire =

Ω2 = 2 x (5 - 2,5) = 5 cm2

;

x

1

x

(12856)0,6

x

0,708 0,33

x

0,92 = 79,119

79,119 x 0,02624 = 83,04 W 0,025 m2 ºC

De otra forma, εx = 5

Nu = C (Re)n (Pr)1/3 ψ =

2 sen 60 = 8,66 ;

x

εy = 5 Nu = 0,52

x

(12850)0,569

x

(0,708) 1/3

x

x

cos 60 = 2,5 ;

0,92 = 92,84

;

εx = 3,46 de εy = 1 de

⇒

hCaire = 97,44

W m2 ºC

C = 0,52 n = 0,569

AGUA POR EL INTERIOR DE LOS TUBOS.- No se conoce la temperatura interior de la pared, que estará a más de 34ºC, pero las propiedades del agua no van a diferir mucho si se toman a TF 2 10-6 m seg Pr = 4,125 k = 0,63925 W mºK

ν = 0,613 Propiedades del agua a TF = 50 + 40 = 45ºC : 2

x Reagua = u di = ν

m 1 seg

x

0,021 m

0,613

x

m2 10-6 seg

x

= 34.257

Nuagua = 0,023 (Re)0,8 Pr0,3 (se enfría) = 0,023 (34257)0,8 (4,125) 0,3 = 149,33 149,33 x 0,63925 hC agua = = 4545,7 W 0,021 m2 ºC De otra forma 0,8 hC agua = 0,023 ( u ) f1 (T) = d0,2 i

f1 (T) = (5,77 x 104 ) + 1067,8 T - 2,162 T2 = 97373

= 4850 W m2 ºC

***************************************************************************************** VI.21.- Un intercambiador de calor (agua-agua), está formado por 98 tubos paralelos, dispuestos al tresbolillo, en 9 filas, alojados en una carcasa de 15 cm de diámetro. Los tubos están fabricados con una aleación de Cu cuyo k=300 W/m.°C Los tubos tienen un diámetro exterior de 9,5 mm y un espesor de 1,2 mm La carcasa lleva 11 pantallas perpendiculares a los tubos, mediante las cuales se dirige la corriente de agua que circula por el exterior de las tuberías, separadas 11 cm; la sección mínima de paso entre tubos es de 42 cm2 . Se han realizado una serie de ensayos en el intercambiador, y se han encontrado los siguientes valores, Agua que circula por la carcasa, 11000 kg/hora Temperatura de entrada=52°C; temperatura de salida=38°C Agua que circula por el interior de los tubos, 7000 kg/hora Intercambiadores.VI.-169

Temperatura de entrada=17°C; temperatura de salida=33°C Supuesto flujo en contracorriente determinar, a) Los coeficientes de convección en ambos líquidos b) El coeficiente global de transmisión de calor U referido a la superficie exterior c) La eficiencia del intercambiador y pérdidas térmicas d) La superficie de intercambio externa de los tubos y longitud de cada tubo _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Coeficientes de convección en ambos líquidos Fluido que circula por el interior de los tubos.Las propiedades térmicas del agua que circula por el interior de los tubos (se calienta), se calculan a la temperatura media, (33 + 17)/2 = 25ºC Kg m2 ; Pr = 6,375 ρ = 996,7 ; cp = 4,18025 kJ ; k = 0,606 W ; ν = 0,919 x 10-6 seg Kg.ºK m.ºK m3 di = 9,5 - (1,2 Re =

x

2) = 7,1 mm

Kg 3 Kg x 1 m 7000 7000 ρ Q hora Kg 1 hora = hora u = = = 2 3600 seg Ω π d2i π d i x 98 m2 x 98 m2 4 4 Kg 1 m3 x 7000 hora 996,7 Kg 1 hora = = 0,5028 m seg 3600 seg π x 0,0071 2 x 98 m2 4

u di ν =

=

Polley: St = exp{(- 3,796 - 0,205 ln Re - 0,505 ln Pr - 0,0225 ln P r2 } = 1,49

x

0,5028 x 0,0071 = 3885 0,919 x 10 -6

10-3 =

Nu = hcF r cp u Re Pr

W m2 ºC Re d Pr λ η Petukhov, Nu = ( ) ( F )n = 8 X η pF

Nu = 36,89

;

hcF = 3150

17 + 33 = 25ºC 2 Re < 2.10 4 ; λ = 0,316 Re -0 ,25 = 0,316 = n = 0,11 ; ( η F ) 0 ,11 ≅ 1 η pF Propiedades a T F =

X = 1,07 + 12,7 (Pr 2 / 3 - 1)

x

3885-0 ,25 = 0,040025

λ = 1,07 + 12,7 (6,375 r 2 / 3 - 1) 8

= 0,04 = 3,223 8

38,43 x 0,606 3885 x 6,375 0,04 W x x 1 = 38,43 ⇒ h cF = = 3280 2 8 0,0071 m ºC 3,2223 observándose que los valores obtenidos con diferente formulación son muy aproximados, pudiendo tomar como valor de hcF la media entre los dos. =

hcF = 3150 + 3280 = 3215 W 2 m2 ºC Fluido que circula por el exterior de los tubos

Intercambiadores.VI.-170

Tubo

Pantalla

de = 9,5 mm umáx =

Remáx =

11000

Q

=

Ωmín

Kg x 1 m3 hora 989,95 Kg 1 hora m = 0,7348 seg seg -4 2 3600 x 42 10 m

umáx de 0,7348 x 0,0095 = = 11390 νe 0,613 x 10-6

Nu = 0,26 Re0,6 Pr0,3 η C = η η C = (η F )0,14 ≅ 1 pF

válida para 103 < Re < 105

hce =

108

= 0,26

x

113900,6

x

4,125 0,3 = 108

x 0,63925 = 7267 W 0,0095 m2 ºC

b) El coeficiente global de transmisión de calor U referido a la superficie exterior 1 1 Ue = = = 1790,8 W re + re ln re + 1 0,00475 0,00475 0,00475 m2 ºC 1 + ln + ri hci ri hci k 0,00355 x 3215 300 0,00355 7267 c) Eficiencia del intercambiador ε =

q (Calor absorbido por el líquido que se calienta) Cmín (TC1 - TF1 )

Kg kJ x (33 - 17)ºC = 468.188 kJ x 4,18025 hora Kg ºC hora Kg kJ = 29261,7 kJ x 4,18025 CF = 7000 .... Cmín hora Kg ºC h ºC Kg kJ = 45941,5 kJ x 4,1765 CC = 11000 .... Cmáx hora Kg ºC h ºC 468.188 ε = = 0,4571 = 45,71% 29261,7 x (52 - 17) q = 7000

ó también, CC (TC1 - TC2 ) ε = = CC = Cmín = 33 - 17 = 0,4571 = 45,71% Cmín (TC1 - TF1 ) 52 - 17 Pérdidas térmicas = qC - qF qC = 11000 x 4,1765 x (52 - 38) = 643.181 kJ hora = 643.181 - 468.188 = 174.993 kJ qC - q F = hora qF = 468.188 kJ hora d) Superficie de intercambio externa de los tubos y longitud de cada tubo ∆T2 = 52 - 33 = 19ºC ∆T2 - ∆T1 = = 19 - 21 = 19,98 ºC ∆T2 ∆T1 = 38 - 17 = 21ºC ln 19 ln 21 ∆T1 q 130.052 W Ae = = = 3,6347 m2 U (LMTD) 1790,8 W x 19,98ºC m2 ºC (LMTD) =

Longitud de cada tubo: L =

3,6347 m2 = π de N π

x

3,6347 m2 = 1,242 m 0,0095 m x 92

Intercambiadores.VI.-171

***************************************************************************************** VI.22.- Determinar el calor intercambiado en el intercambiador de calor que se presenta, compuesto por 6 tubos y una carcasa rectangular, tal como se indica en la figura. Por los tubos de acero (de diámetro interior 22 mm y diámetro exterior 25 mm circula amoníaco líquido, que penetra a la temperatura de 20°C y velocidad 3 m/seg, mientras que por la carcasa circula en contracorriente agua caliente que penetra a 80°C y velocidad 1,5 m/seg. La longitud del intercambiador es de 5 metros. La conductividad térmica del acero es de 40 W/m°C. Se supondrá no existen pérdidas térmicas.

Datos de los fluidos, Kg m2 ; Pr = 2 ; cp = 5 kJ ; k = 0,50 W ; ν = 0,34 x 10-6 seg 3 Kg°C m°K m Kg m2 ; Pr = 3 Datos H2 O: ρ = 985 ; cp = 4,186 kJ ; k = 0,66 W ; ν = 0,48 x 10-6 seg Kg°C m°K m3 _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION - El NH3 se calienta en el interior de los tubos Para 1 tubo se tiene: Datos NH3 : ρ = 580

G = V ρ =

π d2i π uF ρ = 4

x

0,022 2 m2 4

m 3 seg

x

580

x

Kg Kg Kg = 0,6614 seg = 2381 hora m3

Coeficiente de película interior del NH3 , m x 0,022 m 3 seg uF di ReNH3 = = = 194.117 2 ν 0,34 x 10-6 m seg NuNH3 = 0,023 (Re) 0,8 (Pr)0,4 = 0,023 x (194.117) 0,8 0,5 x 515,93 hNH3 = kNH3 Nu = = 11.725 W di 0,022 m2 .ºC

(2)0,4 = 515,93

x

- El H2 O se enfría en la carcasa (exterior de los tubos) G = V ρ = Ω uagua ρ agua = {(0,35

x

0,1) - 6

x

π

x

0,025 2 2 x m }m 1,5 seg 4

x

985

Kg Kg Kg = 47,36 seg = 170.500 hora m3

Coeficiente de película del H2 O, ReH2O

u d = agua equiv = dequiv = 4 dH = 4 ν agua

x

{2

x

π

0,025 2 ) 1,5 x 0,0935 4 = 0,0935 = = 292.200 (0,35 + 0,1)} + (6 π x 0,025) 0,48 x 10-6

(0,35

x

0,1) - (6

NuH2O = 0,023 (Re) 0,8 (Pr)0,3 = 0,023 x (292.800) 0,8 0,66 x 754,07 hH2O = kH2O NuH2O = = 5.323 W de 0,0935 m2 .ºC

x

x

x

(3)0,3 = 754,07

Coeficiente global de transmisión de calor,

Intercambiadores.VI.-172

Ue =

1 1 = = 3080 W re 0,025 0,0125 0,025 m2 ºC 1 + re ln re + 1 + ln + ri ri hNH3 k hH2O 0,022 x 11725 40 0,022 5323

- Para conocer las temperaturas finales de ambas corrientes es necesario conocer ε C 1 - exp {(NTU) ( mín - 1)} Cmáx ε = C C 1 - mín exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx Cmáx CNH3 = 6 x (G cp )NH3 = 6

x

2381

Kg hora

Kg hora

x

CH2O = (G cp )H2O = 170.500

x

kJ kJ = Cmín = 71.430 kJ = 19,84 Kg.ºC h.ºC seg.ºC

5

4,186

kJ kJ = Cmáx = 713.713 kJ = 198,25 Kg.ºC h.ºC seg.ºC

Superficie de intercambio térmico: Ae = 6 π de L = 6 π 2,356 m2 x 3080 W m2 ºC NTU = Ae Ue = = 0,36575 Cmín 19.840 J seg ºC Cmín 19,84 = = 0,10007 Cmáx 198,25

x

0,025

x

5 = 2,356 m2

Cmín - 1)} Cmáx 1 - exp {(0,365) (0,1 - 1)} = = 0,3017 C 1 - 0,1 x exp (0,365) (0,1 - 1) exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( ε = 1-

Cmín Cmáx

ε Cmín = Cmín = CNH3 = 80 - (80 - 20) CC ε Cmín TF2(amon) = TF1 + (TC1 - TF1 ) = 20 + (80 - 20) x 0,3017 = 38,1ºC CF TC2(agua) = TC1 - (TC1 - TF1 )

x

0,3017 x 19,84 = 78,2ºC 198,25

Calor intercambiado, Q = U A

∆T2 - ∆T1 ln

∆T2

=

∆T2 = 80 - 38,1 = 41,9

= 3.080

∆T1 = 78,2 - 20 = 58,2

W m2 ºC

x

2,356 m 2

∆T1

Q = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = 0,3017

x

19,84

kJ segºC

x

x

41,9 - 58,2 ºC = 360 kW 41,9 ln 58,2

(80 - 20)ºC = 360 kW

**************************************************************************************** VI.23.- Se presenta el intercambiador de la figura, compuesto por 12 tubos y una carcasa rectangular. Por los tubos de acero (de diámetro interior 20 mm y diámetro exterior 25 mm circula agua líquida, que penetra a la temperatura de 10°C y velocidad 1 m/seg, mientras que por la carcasa circula en contracorriente sodio líquido que penetra a 100°C y velocidad 0,15 m/seg. La longitud del intercambiador es de 3 metros.

Intercambiadores.VI.-173

La conductividad térmica del acero es de 40 W/m°C. Se supondrá no existen pérdidas térmicas. Determinar, a)El calor intercambiado entre los dos fluidos b) La temperatura de salida de los dos fluidos Datos de los fluidos, Kg m2 Datos Na: ρ = 925 ; cp = 1,37 kJ ; k = 86 W ; ν = 7,25 x 10-7 seg 3 Kg°C m°K m Kg m2 Datos H2 O: ρ = 985 ; cp = 4,186 kJ ; k = 0,66 W ; ν = 0,48 x 10-6 seg 3 Kg°C m°K m _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION - El agua se calienta en el interior de los tubos . Para 1 tubo se tiene, m x 0,02 m 1 seg uagua di Reagua = = = 41.667 2 νagua -6 m x 0,48 10 seg Pragua = (

η cp ρ ν cp 985 )agua = ( )agua = k k

Nuagua = 0,023 (Re) 0,8 (Pr)0,4 = 0,023 hC(agua) =

x

0,48 x 10-6 0,66

(41667)0,8

x

x

x

4186

= 3

(3)0,4 = 177,18

kagua Nuagua 0,66 x 177,18 = = 5847 W di 0,02 m2 .ºC

- El Na se enfría en la carcasa (exterior de los tubos) GNa = VNa ρ Na = Ω uNa ρ Na = {(0,35

ReNa

u d = Na equiv = dequiv = 4 dH = 4 νNa

ρ ν cp 925 )Na = k = (Re Pr)Na = 13067

PrNa = ( PeNa

NuNa = 4,82 + 0,0185

x

x x

x

0,1) - 12

{2

x

π

x

0,025 2 2 m }m x 0,15 seg 4

Kg = m3 Kg Kg = 4,037 seg = 14.535,4 hora

π

x

925

0,025 2 ) 4 = 0,0631 = (0,35 + 0,1)} + (12 π x 0,025) 0,15 x 0,0631 = = 13.067 7,25 x 10-7

(0,35 x

x

x

0,1) - (12

x

x

10-7 x 1370 = 0,01068 86 0,01068 = 139,6

7,25

x

102 < Pe < 10 4

(Pe)0,827 , válida en el campo: 3,6

NuNa = 4,82 + 0,0185 x (Pe)0,827 = 4,82 + 0,0185 86 x 5,92 hC(Na) = kNa NuNa = = 8.059,4 W de 0,06316 m2 .ºC

x

x

103 < Re < 9,05

x

105

(139,6) 0,827 = 5,92

Coeficiente global de transmisión de calor, 1 1 Ue = = = re r r e e 1 0,025 0,0125 0,025 1 + ln + + ln + ri ri hC(agua) k hC(Na) 0,02 x 5847 40 0,02 8059,4 = Intercambiadores.VI.-174

104 = 2.184 W 2,138 + 0,697 + 1,24 m2 ºC

- Para conocer las temperaturas finales de ambas corrientes es necesario conocer ε Cmín - 1)} Cmáx C exp (NTU) ( mín - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( ε = 1-

Cmín Cmáx

π d2i uF ρ = 4 Kg Kg Kg 985 = 0,3094 = 1.114 seg 3 hora m

Gagua = Ω uF ρ = Cagua = 12 x (G cp )agua =

π 0,02 2 m2 = 4

x

1 m seg

x

= 12 Kg CNa = (G cp )Na = 4,037 seg

x

1.370

x

0,3094

x

=

4.186 = 15.541 W = Cmáx ºC

J = 5.530,7 W = Cmín Kg.ºC ºC

Superficie de intercambio térmico: Ae = 12 π de L = 12 π 2,827 m2 x 2184 W m2 ºC A U e e NTU = = = 1,1163 Cmín 5530,7 J seg ºC Cmín 5530,7 = = 0,356 Cmáx 15541

x

0,025

x

3 = 2,827 m2

Cmín - 1)} Cmáx 1 - exp {(1,116) (0,356 - 1)} = = 0,62 Cmín 1 - 0,356 x exp (1,116) (0,356 - 1) exp (NTU) ( - 1) Cmáx

1 - exp {(NTU) ( ε = 1-

Cmín Cmáx

ε Cmín = 10 + (100 - 10) x 0,62 x 0,356 = 29,86ºC CF ε Cmín - TF1 ) = Cmín = CNa = 100 - (100 - 10) x 0,62 = 44,2ºC CC

TF2(agua) = TF1 + (TC1 - TF1 ) TC2(Na) = TC1 - (TC1 Calor intercambiado,

Q = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = 0,62

x

5.530,7 W ºC

x

(100 - 10)ºC = 308,6 kW

**************************************************************************************** VI.24.- Por un tubo de acero de 0,1 m de diámetro interior y 10 mm de espesor, circula vapor de agua recalentado, a la presión de 10 atm abs, y se desea incrementar su temperatura desde 200ºC hasta 400ºC. En este intervalo de temperaturas tiene una velocidad media de 10 m/seg. Para proceder al recalentamiento se hace uso del calor cedido por los humos procedentes de un hogar, a la temperatura de entrada de 1000ºC, siendo la temperatura de evacuación a la chimenea de 500ºC. La velocidad media de los humos es de 5 m/seg, y el gasto de humos de 10 kg/seg. La composición química media de los tubos de acero es la siguiente, C = 0,50 ; Si = 0,45 ; Mn = 0,45 ; Ni = 10 ; Cr = 5 ; Co = 1,25 Determinar la longitud del tubo necesaria para este recalentamiento y el nº de kg de vapor de agua recalentados por kg de humos. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION La formulación que se propone para los humos sólo sirve para el aire y chapas planas. Equiparando los humos a aire caliente, y los tubos a chapas se tiene, Intercambiadores.VI.-175

-0,6 u(humos) = 6,122 hC(humos) (Schack) = 6,122 u0,775 humos + 4,41 e

hC(vapor recalentado)(Schack) = {3,62 + 0,30

u0,75 0

t } 100 d0,25

50,775 + 4,41

x

x e-0,6

x

264 p = 273 + t = m = 10 x 264 x 10 = 46,07 seg 273 + 300

5

= 21,53

Kcal h m2 ºC

u0 = uvapor

= {3,62 + 0,30

x

=

0,75 300 } x 46,07 = 142,14 Kcal 100 m2 .h.ºC 0,1 0,25

Como flujos cruzados se tendría, Propiedades de los humos a 750ºC ( Se equipararán al aire a 750ºC) Kg m2 ; Pr = 0,7 ρ = 0,3524 ; cp = 1,1417 kJ ; k = 0,06752 W ; ν = 117,8 x 10-6 seg 3 Kg°C m°K m 5 x 0,12 Re = u d = = 5093,4 ν 117,8 x 10-6 n 1/3 Nu = C (Re) (Pr) = = 0,193 x 5093,4 0,618 x 0,7 1/3 = 33,48 C = 0,193 ; n = 0,618 (Nu) khumos 33,48 x 0,06772 hC(humos) = = = 18,84 kJ = 16,2 Kcal de 0,12 m2 .ºC h.m2 .ºC Para el vapor de agua recalentado se puede hacer uso del ábaco correspondiente, del cual se obtiene un coeficiente de convección del orden de 140 Kcal/h.m2 .ºC. k 50 (W/m°C) 40

30

20

100

0

200

300

500

400

600

700

800

900

1000 T(°C)

Conductividad térmica del hierro puro 3 Silicio

Carbono

Manganeso

ξ Níquel 2 Cromo

1

Cobalto Wolframio

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18 %

Factores de corrección de la conductividad térmica de los aceros aleados

Cálculo de la conductividad térmica de los tubos, ktubos , kFe = - 0,03125 T + 50 , ktubos =

kFe 1 + ξ1 + ξ2 + ...

(con T en ºC = 300ºC) - 0,03125 T(ºC) + 50 = 1 + 0,32 + 0,2 + 0,16 + 0,2 + 0,84 + 1,62

Cálculo del coeficiente global de transmisión de calor U (Schack), Intercambiadores.VI.-176

= 9,36 Kcal m.h.ºC

Ue = re hC(humos)

1 re ln re ri + 1 + ri kFe hC(vapor)

Flujos cruzados, 1 Ue = re ln re re ri + 1 + hC(humos) ri kFe hC(vapor)

=

=

1 0,06 0,06 ln 0,06 0,05 + + 1 0,05 x 142,14 9,36 21,53 1

= 14

0,06 0,06 ln 0,06 0,05 + + 1 0,05 x 140 9,36 16,2

= 17,83

Kcal m2 .h.ºC

Kcal m2 .h.ºC

por lo que se podría tomar el valor medio, Ue = (17,83 + 14)/2 = 15,91 Kcal/h.m2 .ºC = 18,5 kW/m2 .ºC Qhumos = 10

Ae =

Kg seg

x

1,1417

Q ln ∆T2 ∆T1 Ue (∆T2 - ∆T1 )

Longitud del tubo:

=

kJ Kg.ºC

x

(1000 - 500)ºC = 5708 kW = U e Ae ∆T2 - ∆T1 ln ∆T2 ∆T1 5708 kW

∆T2 = 1000 - 400 = 600ºC

=

∆T1 = 500 - 200 = 300ºC

18,5 kW m2 .ºC

x

x

ln 600 300 = 0,7128 m2 (600 - 300)

0,7128 m2 0,7128 m2 = = 1,89 m de π 0,12 x π

Número de kg de agua, Para p = 10 atm ⇒

ifinal (400ºC) = 3052 kJ/Kg iinicial (200ºC) = 2829 kJ/Kg

⇒ ∆i = 3052 - 2829 = 435

kW , luego: Número de kW por 1 Kg de humos:5708 = 570,8 10 Kg(humos) kW 570,8 490,8 Kcal Kg(humos) Kg(humos) Kg (agua) G(Kg vapor de agua) = = = 4,72 kJ Kcal Kg (humo) 435 103,9 Kg(agua) Kg(agua)

Intercambiadores.VI.-177

kJ Kg(agua)

*****************************************************************************************

Intercambiadores.VI.-178

VI.1.- Una lámina de área dA =2 m 2 está colocada sobre una cavidad esférica que se encuentra a 800°K. Determinar: a) La energía radiativa que atraviesa la lámina b) La energía radiativa por unidad de ángulo sólido en la dirección que forma un ángulo de 60° con la normal a la superficie. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Energía radiativa que atraviesa la lámina La radiación se puede aproximar a la emitida por un cuerpo negro a 800ºK W Q = σ dA T14 = 5,67.10 -8 2.10 -4 m2 800 4 ºK 4 = 4,64 W m2 ºK 4 b) Energía radiativa por unidad de ángulo sólido en la dirección que forma un ángulo de 60° con la normal a la superficie. 4 Q = Ib (T) dA cos θ = Eb = σ T4 = π Ib (T) = σ T dA cos θ = π (5,67 x 10-8 W ) x 8004 ºK 4 m2 .ºK 4 x 2.10 -4 m2 x cos 60º = 0,74 W = π ***************************************************************************************** VI.2.- Si se supone que el Sol se comporta como un cuerpo negro a 6000ºK ¿Cuál será la longitud de onda en que se da el máximo de potencia emisiva monocromática? ¿Cuál será la energía de esta fuente a 6000ºK que se corresponde con el espectro visible 0,38 µm < λ < 0,76 µm? _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION Longitud de onda en que se da el máximo de potencia emisiva monocromática El valor de (λT) en que se da la máxima potencia emisiva monocromática es (Ley de Wien, 2897,6 µmºK), luego la longitud de onda deseada es: 2897,6 µm.ºK λ = = 0,483 µm 6000 ºK Energía de esta fuente a 6000ºK que se corresponde con el espectro visible 0,38 µm < λ < 0,76 µm De la Tabla de funciones de radiación se obtiene: Fracción de energía entre 0 y (λT) = 0,76 x 6000 = 4560 µm.ºK ⇒

Fracción de energía entre 0 y (λT) = 0,38 x 6000 = 2280 µm.ºK ⇒

4400

→

0,548830

4600

→

0,579316

4560

→

0,571600

2200

→

0,100897

2400

→

0,140268 = 11,66%

2280

→

0,116645

= 57,16%

La fracción de energía en el espectro visible será la diferencia: 57,16 - 11,66 = 45,5% ***************************************************************************************** VI.3.- La emisión de la radiación desde una superficie se puede aproximar por la radiación de un cuerpo negro a T=1000°K Determinar: a) La fracción de la energía total emitida por debajo de λ= 5 µm Radiación.VI.-171

b) ¿Cuál es la longitud de onda si la emisión de energía por debajo de ella es un 10,5% de la emisión total a 1000°K? c) ¿Cuál es la longitud de onda para la que se produce la emisión espectral máxima a 1000°K? _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Fracción de la energía total emitida por debajo de λ=5 µm De la Tabla de Funciones de radiación para: λ T = 5 x 1000 = 5000, se obtiene: Eb (0 → λ 1 T)

f(0 → λT) =

σ T4

= 0,6337 ⇒ que el 63,37% de la emisión total sucede por debajo de (λ = 5 µm)

Eb (0 → λ 1 T) = 0,6337 σ T4 = 0,6337

x

5,67 x 10-8

W ºK 4

m2

x

(1000)4 ºK 4 = 35.935 W m2

b) Longitud de onda si la emisión de energía por debajo de ella es un 10,5% de la emisión total a 1000°K Para: f(0 → λT) =

Eb (0 → λ 1 T) - Eb (0 → λ 2 T) σ T4

= 0,105

Eb (0 → λ 2 T) Eb (0 → λ 2 T) = 0,105 ; = 0,5287 ⇒ λ T (m.ºK.103 ) = 4,2777 4 σT σ T4 4,2777 λ= = 4,27 x 10-6 m = 4,27 µm 3 x 1000 10 c) Longitud de onda para la que se produce la emisión espectral máxima a 1000°K 0,6337 -

Teniendo en cuenta la Ley de Desplazamiento de Wien: λ máx T = 2,8976

x

10-3 m.ºK

2,8976 x 10-3 m.ºK = 2,898 1000 ºK

x

10-6 m = 2,89 µm

luego para: T = 1000ºK, se tiene: λ máx =

***************************************************************************************** VI.4.- Una pequeña superficie de área A=5 cm 2 está sometida a una radiación de intensidad constante, I=1,8 x 104 W/m2 .st sobre el ángulo sólido subtendido por 0 < ϕ < 2π y 0 < Φ < π/6. Calcular la radiación incidente sobre la superficie. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION La radiación incidente sobre la superficie a través del ángulo sólido (dw = sen Φ dΦ dϕ), viene dada por: qi = A I cos Φ sen Φ dΦ dϕ La energía total incidente Qi sobre la superficie viene determinada por integración entre los ángulos Φ y ϕ: Qi = A I

∫

π/6

cos Φ sen Φ dΦ

0

∫

2π

dϕ = ... = 0

π π A I = (5.10 -4 ) (1,8.10 4 ) = 7,07 W 4 4

***************************************************************************************** VI.5.- Una superficie es irradiada uniformemente en todas direcciones en el espacio hemisférico; la distribución espectral de la intensidad de la radiación incidente es: i (0 < λ ≤ 1) µm → Iλ = 0 (1 < λ ≤ 2) µm → Iiλ = 2000

W m2 .µm

(2 < λ ≤ 4) µm → Iλ = 8000

W m2 .µm

(4 < λ ≤ 8) µm → Iiλ = 4000

W m2 .µm

i

Radiación.VI.-172

(λ ≥ 8) µm → Iiλ = 0 Calcular el flujo de radiación incidente sobre la superficie _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION Puesto que la intensidad de la radiación incidente es independiente de la dirección, el flujo qi de la radiación incidente se calcula en la forma: qi = π

∫

∞

λ=0

I iλ dλ (

W )= π( m2

∫

2

2000 dλ +

1

∫

4

2

8000 dλ +

∫

8

4000 dλ ) =

4

= π [2000 x (2 - 1) + 8000 x (4 - 2) + 4000 x (8 - 4)] = 34 π ( W ) m2 ***************************************************************************************** V.6.-Una superficie de A=2 cm2 emite radiación como un cuerpo negro a T = 1000°K. a) Calcular la radiación emitida dentro del ángulo sólido subtendido por 0< ϕ A1 , por lo que A 1 se comporta como un cuerpo negro. De otra forma: q1(neta) = σ A1 ε1 F12 T41 - σ A2 ε2 F21 T42 = σ [A1 ε1 F12 T41 - A2 ε2 F21 T42 ] = = 5,67

x

10-8 [( 1,59

x

10-3

x

ε1

x

1

x

12734 ) - ( 0,02356

x

0,8

x

0,05125

x

2934 )] = 80 W

ε1 = 0,34 c) Radiosidades de las superficies A 1 y A2 en el supuesto (a) Eb1 = σ T41 = 148900 W E J E J m2 b1 1 b1 1 q1(neta) = = (A1 ε1 ) = ρ1 ρ1 Eb2 = σ T42 = 417,88 W m2 A1 ε1 80 W =

(1,59

10-3 ) x 0,3387 1 - 0,3387

x

x

(148900 - J1 )

⇒

=

J1 = 50662,75 W = 80,55 W m2

ε2 = 1 ; J2 = 417,88 W m2 d) Radiosidades de las superficies A1 y A2 en el supuesto (b) J2 = Eb2 (cuerpo negro) ⇒

q1(neta) = Eb1 - J1 = J1 - J2 = J2 - Eb2 ρ1 1 ρ2 A F 1 12 A1 ε1 A2 ε2 148900 - J1 80 W = Eb1 - J1 = ρ1 1 - 0,34 A1 ε1 1,59 x 10-3 x 0,34 80 W =

J2 - Eb2 ρ2 A2 ε2

=

J2 - 417,88 0,2 0,02356 x 0,8

⇒

⇒

J1 = 51230,75 W = 81,45 W m2

J2 = 1266,75 W = 29,84 W m2

e) Refrigeración de la cámara: q2(neta) = J2 - EB2 = 80 W ρ2 A2 ε2 ***************************************************************************************** VI.35.- En el horno que se muestra en la figura, el fuego del hogar se encuentra a 1350°C y se comporta como un cuerpo gris convexo de emisividad e1 =0,7, mientras que la solera donde se encuentra el acero se Radiación.VI.-199

halla a 800°C, comportándose como un cuerpo gris plano de ε2 =0,8. El hogar (fuego) y la solera (acero), se hallan separados por una pared, de forma que no se ven entre sí, mientras que el resto de las superficies se comportan como paredes rerradiantes no conductoras. Determinar: a) El intercambio térmico entre el fuego y el acero, por unidad de anchura del horno b) La temperatura de la bóveda del horno _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION Eb1 = σ T41 = σ 16234 = 393420 W ; Eb2 = σ T42 = σ 107334 = 75160 W m2 m2 F11 = 0

; F12 = 0 ;

F22 = 0

;

F*12 = F12 +

F11 + F12 + F1R = 1

⇒

F1R = 1 ⇒

A1 F12 = A2 F21 = 0 ; F21 = 0 ; F21 + F22 + F2R = 1 A2 F1R F2R A1 F1R + A2 F2R

= 0+

F2R = 1

4,5 A2 = = 0,652 A1 + A2 2,4 + 4,5

a) Intercambio térmico entre el fuego y el acero, por unidad de anchura del horno q1neta = q12 =

Eb1 - Eb2 393420 - 75160 = = 364,485 kW m ρ1 ρ 0,3 0,2 2 1 1 + + + + 0,7 x 2,4 2,4 x 0,652 0,8 x 4,5 ε1 A1 ε2 A2 A1 F*12

b) Temperatura de la bóveda del horno Cálculo de las radiosidades 364485 W = Eb1 - J1 m ρ1 ε1 A1

⇒

J1 = Eb1 - 364485

ρ1 ε1 A1

0,3 1 = 328334 W J1 = 393420 W - 364485 W x 2 x 2,4 m2 0,7 m m2 J2 - Eb2 ⇒ J = E + 364485 ρ 2 364485 W = 2 b2 m ρ2 ε2 A2 ε2 A2 0,2 1 = 95408,3 W J2 = 393420 W + 364485 W x 0,8 x 4,5 m2 m2 m2 4

TR =

J 1 A1 F1R + J2 A2 F2R = σ ( A1 F1R + J2 F2R)

4

(328334

x

2,4

x 1) + (95408,3 σ (2,4 + 4,5)

x

4,5

x

1)

= 1328ºK = 1055ºC

***************************************************************************************** VI.36.- Se tienen dos planos paralelos de dimensiones (7 x 5 ) m, separados una distancia de 4 metros por un medio gaseoso que a efectos térmicos no participa en el proceso. El plano superior A está a una temperatura TA = 400ºC y tiene una emisividad εA = 0,8 El plano inferior B está a una temperatura TB = 20ºC y tiene una emisividad εB = 0,4 Determinar a) El calor extraído del plano B para mantener constante su temperatura b) Si se coloca un plano C de las mismas dimensiones que los planos A y B, de εC = 0,7, entre los dos Radiación.VI.-200

planos citados, a una distancia equidistante de 2 m, se desea saber el calor extraído en B para mantener constante la temperatura TB. c) Temperatura del plano C. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION h = 5 = 1,25 D 4 Factor de forma FAB ⇒ ⇒ FAB = 0,3 L = 7 = 1,75 D 4 W EbA = 11.631,7 ; EbB = 417,9 W ; AA = AB = A = 35 m2 m2 m2 a) Calor extraído del plano B para mantener constante su temperatura qA(neta) =

A (EbA - EbB ) = ρA ρ + 1 + B εA εB FAB

EbA - EbB

ρA ρB 1 + + εA AA εB AB AA FAB

35 m2 =

(11.631,7 - 417,9) W m2 = 77.209 W 0,2 + 1 + 0,6 0,8 0,3 0,4 x

b) Se coloca un plano C de las mismas dimensiones que los planos A y B, de εC = 0,7, entre los dos planos citados, a una distancia equidistante de 2 m; se desea saber el calor extraído en B para mantener constante la temperatura TB. h = 5 = 2,5 D 2 Factor de forma FAC ⇒ ⇒ FAC = 0,54 L = 7 = 3,5 D 2

2 placas paralelas infinitas de igual área y pantalla de radiación

qA(neta) =

ρA εA

(11.631,7 - 417,9) W EbA - EbB m2 A = x 2 ρ ρ 0,2 2 0,3 0,6 C B + 2 + + + 2 + + 0,8 0,54 0,7 0,4 FAC F CA εB

x

35 m2 = 62.230 W = - q B neta

c) Temperatura del plano C. qA(neta)

A (EbA - EbC ) = = ρA ρ + 1 + C εA εC FAC

(11.631,7 - EbC ) W m2 = (11.631,7 - EbC ) W = 62.230 W 0,2 + 1 + 0,3 2,53 0,8 0,54 0,7

35 m2

x

Despejando EbC , resulta: EbC = 7133,36 W = σ T4C ⇒

4

TC =

7133,36 5,67 x 10 -8

= 595,5ºK = 322,5ºC

***************************************************************************************** VI.37.- Se dispone de dos discos paralelos, con sus centros sobre el mismo eje, separados una distancia de 75 mm. El disco (1) tiene un diámetro de 75 mm y está a 200°C, y el disco (2) tiene un diámetro de 50 mm y se encuentra a una temperatura de 90°C. Determinar, A) El intercambio térmico entre las superficies Radiación.VI.-201

B) La energía a aplicar a cada superficie para mantener su temperatura C) La temperatura del medio exterior en los siguientes supuestos: a) Los dos discos se comportan como superficies negras (el medio que los separa es transparente a la radiación) b) Los dos discos se comportan como superficies negras (el medio que los separa es rerradiante) c) Los dos discos se comportan como cuerpos grises de: ε1 = ε2 = 0,7, y están introducidos en un medio rerradiante. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION X = a = 25 = 0,33 ; Y = c = 75 = 2 ; Z = 1 + (1 + X 2 ) Y2 = 1 + (1 + 0,33 2 ) 22 = 5,44 C 75 b 37,5 2 2 2 Z2 - 4 X2 Y2 = 5,44 - 5,44 - (4 x 0,33 x 2 ) = 0,0812 2 2 Aa) Intercambio térmico entre los dos discos si se comportan como superficies negras (el medio que los separa es transparente a la radiación) π x 0,075 2 x 0,08 x 5,67 x 10-8 x [(200 + 273)4 - (90 + 273)4 ] = q12 = A1 F12 (EB1 - EB2 ) = 4 q12 = 0,655 W = - q21

FA1 →A2 = Z -

Ba) Energía a aplicar a cada superficie para mantener su temperatura, si los dos discos se comportan como superficies negras (el medio que las separa es transparente a la radiación) π x 0,075 2 x 5,67 x 10-8 x [(473)4 - (0,08 x 3634 )] = 12,19 W q1(neta) = A1 σ (T41 - F12 T42 ) = 4 2 q2(neta) = A2 σ (T42 - F21 T41 ) = F21 = A1 F12 = 75 x 0,08 = 0,18 = A2 502 π x 0,05 2 x 5,67 x 10-8 x [(363)4 - (0,18 x 4734 )] = 0,93 W = 4 Ca) Temperatura del medio exterior si los dos discos se comportan como superficies negras (el medio que las separa es transparente a la radiación) Text = 0ºK Ab) Intercambio térmico entre los dos discos si se comportan como superficies negras (el medio que los separa es rerradiante) F*12 = A2 - A2 F212 = q*12 = A1 F*12 (EB1 - EB2) = = (1,963 x 10-3 ) - (4,418 x 10-3 x 0,08 2 ) = = 0,341 (4,418 x 10-3 ) + (1,963 x 10-3 ) - (2 x 4,418 x 10-3 x 0,08) = 4,418

x

10-3

x

0,341

x

σ (4734 - 3634 ) = 2,79 W

Bb) Energía a aplicar a cada superficie para mantener su temperatura, si los dos discos se comportan como superficies negras, (el medio que las separa es rerradiante) q*1(neta) = q*12 Cb) Temperatura del medio exterior si los dos discos se comportan como superficies negras (el medio que las separa es rerradiante) 4 F11 + F12 + F1R = 1 ; F1R = 0,92 T41 A1 F1R + T42 A2 F2R Tmedio exterior = = = A1 F1R + A2 F2R F21 + F22 + F2R = 1 ; F2R = 0,82 4

=

(4734

x

4,418 (4,418

x x

10-3 10-3

x x

0,921) + (3634 x 1,963 0,921) + (1,963 x 10-3 Radiación.VI.-202

x x

10-3 x 0,82) = 449,4ºK = 176,4ºC 0,82)

Ac) Intercambio térmico entre los dos discos si se comportan como cuerpos grises de, ε1 = ε2 = 0,7, y están introducidos en un medio rerradiante. q12 = q1(neta) = - q2(neta) q1(neta) =

σ (T41 - T42)

ρ1 ρ2 1 + + * ε 1 A1 ε A2 2 A1 F12

σ (4734 - 3634 )

= 0,7

x

0,3 4,418

x

10-3

+

4,418

x

1 10-3

x

0,341

+

0,7

x

0,3 1,963

= 1,893 W x

10-3

Bc) Energía a aplicar a cada superficie para mantener su temperatura, si los dos discos se comportan como superficies grises ε1 = ε2 = 0,7 (el medio que las separa es rerradiante) q12 = q1(neta) = - q2(neta) q12 =

σ (T41 - T42)

ρ1 ρ2 1 + + * ε1 A1 ε 2 A2 A1 F12

= 0,7

x

0,3 4,418

x

10 -3

σ (4734 - 363 4 ) 1 + + 4,418 x 10-3 x 0,341 0,7

x

0,3 1,963

= 1,893 W x

10-3

Cc) Temperatura del medio exterior si los dos discos se comportan como superficies grises ε1 = ε2 = 0,7 (el medio que las separa es rerradiante) 4

J1 A1 F1R + J 2 A2 F2R σ (A1 F1R + A2 F2R ) ρ1 - 1,893 x 0,3 = Eb1 - J1 ; J1 = - q1(neta) + Eb1 = + (σ x 4734 ) = 2654,5 W ρ1 ε1 A1 0,7 x 4,418 x 10-3 ε1 A1 ρ2 1,893 x 0,3 J - Eb2 = 2 ; J2 = q2(neta) + Eb2 = + (σ x 3634 ) = 1397,7 W ρ2 ε2 A2 0,7 x 1,963 x 10-3 ε2 A2

Tmedio exterior = q1(neta)

q2(neta)

4

Tmedio ext =

(2654,5

x

4,418

σ [(4,418

x

10-3

x

x 10-3 x

0,92) + (1397,7 0,92) + (1,963

x

1,963

x 10-3 x

x

10-3

0,82) ]

x

0,82)

= 448,68ºK =

175,68ºC

***************************************************************************************** VI.38.- En la configuración de tres superficies grises que se presenta en forma de tronco de pirámide, {bases (1) y (2) y superficies laterales (3)}, las emisividades correspondientes son: Base inferior: ε1 = 0,6 Base superior: ε2 = 0,4 Determinar a) El factor de forma FA1-A2 b) La temperatura de las superficies A1 y A3 si el flujo neto de calor de la superficie A1 es de 2500 Kcal/h.m2 , las superficies laterales A3 están perfectamente aisladas y la superficie A2 se encuentra a 300°C. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Factor de forma FA1-A2

Radiación.VI.-203

A1 F12 = S FS-A 2 + 4 M FM-A 2 + 4 N FN-A2

B1 FB1-B2 = = M FM-A 2 + 2 N FN-A2 + S FS-A 2 + (se repite otras 3 veces) = = 4 M FM-A 2 + 8 N FN-A2 + 4 S FS-A 2 4 M FM-A 2 = B1 FB1-B2 - 8 N FN-A2 - 4 S FS-A 2

C1 FC1-C2 = 2 N FN-A2 + 2 S FS-A 2 2 N FN-A2 = C1 FC1-C2 - 2 S FS-A 2

A1 F12

= S FS-A 2 + 4 M FM-A 2 + 4 N FN-A2 = = S FS-A 2 + B1 FB1-B2 - 8 N FN-A2 - 4 S FS-A 2 + 4 M FN-A2 = = - 3 S FS-A 2 + B1 FB1-B2 - 4 N FN-A2 = - 3 S FS-A 2 + B1 FB1-B2 - 2 C1 FC1-C2 + 4 S FS-A 2 = =

FS-A 2 = 0,2

FB1-B2 = 0,43

S FS-A 2 + B1 FB1-B2 - 2 C1 FC1-C2

FC1-C2 = 0,32

S FS-A 2 + B1 FB1-B2 - 2 C1 FC1-C2 (4 x 0,2) + (16 x 0,43) - (2 = A1 36 Otros factores de forma: F11 = 0 F11 + F12 + F13 = 1 ; F12 = 0,071 F13 = 1 - 0,071 = 0,929 F22 = 0 A 1 F21 + F22 + F23 = 1 ; F21 = F = 36 x 0,071 = 0,639 A2 12 4 F23 = 1 - 0,639 = 0,361 FA1-A2 =

Radiación.VI.-204

x

8

x

0,33)

= 0,0711

F31 + F32 + F33 = 1 ; F33

F31 = A1 F13 = 36 x 0,929 = 0,739 A3 32 2 A 2 F32 = F23 = 4 x 0,361 = 0,032 A3 32 2 = 1 - F31 - F32 = 1 - 0,739 - 0,032 = 0,229 1 0 0,639 0,739

1 2 3

2 0,071 0 0,032

3 0,929 0,361 0,229

b) Temperatura de las superficies A 1 y A 3 si el flujo neto de calor de la superficie A1 es de 2500 Kcal/h.m2 , las superficies laterales A3 están perfectamente aisladas y la superficie A2 se encuentra a 300°C. q1(neta) J1 (1 - F11 ) -F12 -F13 A1 -F21

(1 - F22 +

-F31

-F32

ε2 ) ρ2

q1(neta) = 2500 Kcal = 2500 Kcal A1 3600 seg.m2 h.m2 ε2 Eb2 = 0,4 ρ2 0,6

x

5,67 x 10-8

-F23

J2

(1 - F33 )

J3

x

427

Kgm Kcal

x

ε2 Eb2 ρ2

=

0

1 kW = 2,907 kW = 2907 W 102 Kgm seg

W (300 + 273)4 ºK 4 = 4075 W m2 m2 .ºK 4

q3(neta) = 0 1 - 0,639 - 0,739

- 0,929

J1

- 0,361

J2

(1 - 0,229 )

J3

- 0,071 (1 +

0,4 ) 0,6

- 0,032

E 2907 = Eb1 - J1 = b1 ρ1 ε1 4 73563,7 T1 = = 5,67 x 10-8

- 71625,7 0,4 0,6 1067,25ºK =

=

2907 W m2 4075 W m2 0

⇒

J1 = 71625,6 W m2 J2 = 45091.6 W m2 J3 = 70524,3 W m2

; σ T41 = 73563,7

794,25ºC

Superficie A3 (refractaria): J3 = Eb3 = 70524,3 W/m2 4 70524,3 T3 = = 1056,06ºK = 783,06ºC 5,67 x 10-8 ***************************************************************************************** VI.39.- Dos placas grises anchas, opacas, paralelas e iguales tienen las siguientes características: ε1 = 0,2, T1 = 400ºK, ε2 = 0,6, T2 = 800ºK y están separados por un gas gris εg = 0,1. Determinar: a) La energía que hay que aplicar a la superficie (1) para mantener constante su temperatura b) La energía intercambiada entre las dos superficies opacas cuando el gas está presente. c) La temperatura del gas Radiación.VI.-205

d) La energía que habría que aplicar a la superficie (1) para mantener constante su temperatura, si el gas gris se reemplaza por otro transparente a la radiación _________________________________________________________________________________________ RESOLUCION a) Energía a aplicar a la superficie (1) para mantener constante su temperatura q1(neto)

q12

J1

Eb1

J2

1

2

q1g

Eb2

q2g

g

q1(neta) Eb 1 - Eb 2 = A1 1 + 1 - 2 τg ε1 ε2 1 + τg

q2(neto)

Eb1 = 5,67

x

10-8

Eb2 = 5,67

x

10-8

=

Ebg = Jg

W (400 + 273)4 ºK 4 = 11631,7 W m2 m2 .ºK 4 W (800 + 273)4 ºK 4 = 75159,16 W m2 m2 .ºK 4 =

11631,7 - 75159,16 1 + 1 - 2 x 0,9 0,2 0,6 1 + 0,9

=

= - 11107 W m2

que dice que la superficie (1) tiene que enfriarse para mantener su temperatura a 400ºC. b) La energía intercambiada entre las dos superficies opacas cuando el gas está presente. E -J J -E q1(neta) = - q2(neta) = b 1 1 = 2 b 2 ρ1 ρ2 ε1 ε2 E -J 11631,7 - J1 - 11107 W = b 1 1 = ⇒ J1 = 56059,7 W 2 ρ1 0,8 m m2 0,2 ε1 J -E J - 75159,16 - 11107 W = 2 b 2 = 2 ⇒ J2 = 67755 W 2 0,4 ρ m 2 m2 0,6 ε2 56059,7 - 67755 q12 = J1 - J2 = = - 10525 W 1 1 m2 τgas 0,9 c) La temperatura del gas J -E q1(neta) = q12 + 1 b(gas) 1 εgas - 11107 = - 10525 +

56059,7 - 5,67 x 10-8 T4gas 1 0,1

⇒

Tgas = 1022ºK = 749ºC

d) La energía que habría que aplicar a la superficie (1) para mantener constante su temperatura, si el gas gris se reemplaza por otro transparente a la radiación Radiación.VI.-206

11631,7 - 75159,16 Eb1 - Eb2 = = - 11210,7 W ρ1 ρ2 0,4 m2 1 + 0,2 + 1 + + 0,6 ε1 ε2 ***************************************************************************************** q1(neta) = q12 =

Radiación.VI.-207

Ingeniería Térmica

Ingeniería Energética

Recursos de Ingeniería Térmica

Índice El índice completo del libro sobre ingeniería térmica

Tablas Conjunto de tablas necesarias para la resolución de los problemas y que sirven como complemento al libro

Principal - Ingeniería Térmica - Recursos

http://personales.ya.com/universal/TermoWeb/IngenieriaTermica/Tablas/index.html [24/07/2003 0:44:58]

Bibliografía Otros libros donde puede encontrarse información adicional

INDICE

I- PRINCIPIOS BASICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Introducción

1

Transmisión de calor por conducción

2

Pared plana

3

Paredes planas en serie

4

Analogía eléctrica de la conducción

4

Paredes en paralelo

5

Resistencia de contacto

6

Conductividad térmica

7

Coeficientes de conductividad térmica para las aleaciones

8

Conductividad térmica en líquidos

9

Conductividad térmica de gases y vapores

10

Transmisión de calor por convección

11

Transmisión de calor por radiación

16

Mecanismos combinados de transmisión de calor

18

II- CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO (I) Introducción

21

Ecuación fundamental de la transmisión de calor por conducción

22

Conducción en un cilindro sin generación de energía

24

Espesor de aislamiento crítico para un cilindro; número de Biot

26

Pared esférica sin generación de energía

28

Conducción monodimensional en régimen estacionario con generación de energía

30

Pared plana

30

Placa plana rodeada por un fluido convector

32

Pared cilíndrica

33

Pared cilíndrica rodeada con una vaina

34

III- CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO (II) Conducción de calor en función de dos o más variables independientes.- Método analítico

39

Conducción en régimen permanente en placas rectangulares

39

Placa rectangular con una distribución de temperatura dada en una arista y nula en las demás

41

Placa con un borde a temperatura uniforme

44

Placa rectangular con distribución de la temperatura en dos bordes opuestos

45

Distribución de temperaturas en más de una superficie de contorno

46

Condición de contorno de convección

47

Conducción en un cilindro circular de longitud finita Tablas de Funciones de Bessel

48 51

Distribución de temperaturas en secciones rectangulares

53

Distribución de temperaturas en paralelepípedos

56

Distribución de temperaturas en cilindros

57

Distribución de temperaturas en tubos

59

Método gráfico

61

Factor de forma para la conducción para diferentes geometrías

62

Métodos numéricos

64

Método de relajación

67

Ecuaciones para los residuos en el caso de nudos en los límites

68

Método matricial

69

Técnicas de iteración

71

IV- CONDICION DE CONTORNO DE CONVECCION EN SOLIDOS INFINITOS Introducción Conducción transitoria en placa infinita Conducción transitoria en un cilindro Conducción transitoria en una esfera Conducción transitoria en 2 y 3 dimensiones Transmisión de calor por conducción en régimen transitorio con generación de calor E

73 76 81 85 89 90

V- CONDICION DE CONTORNO ISOTERMICA EN SOLIDOS INFINITOS Conducción transitoria en placa infinita con condición de contorno isotérmica Conducción transitoria en pared cilíndrica infinita con condición de contorno isotérmica Conducción transitoria en una esfera con condición de contorno isotérmica Transmisión de calor por conducción en régimen transitorio con generación de calor E

97 103 107 109

VI- CONDUCCION DE CALOR TRANSITORIA EN SOLIDOS SEMIINFINITOS Conducción transitoria en un sólido semiinfinito

111

Condición de contorno isotérmica en sólido semiinfinito

112

Condición de contorno de convección en sólido semiinfinito Sólido semiinfinito sometido a un flujo térmico uniforme en su superficie Sólido semiinfinito sometido a un pulso de energía en su superficie Contacto entre sólidos semiinfinitos Sólido semiinfinito sometido a una variación periódica de su temperatura superficial

115 117 118 118 119

Conducción transitoria en un sólido con resistencia térmica despreciable

123

Pared que se calienta por una cara y se mantiene en contacto con un fluido por la otra

125

VII.- CONDUCCION TRANSITORIA DEL CALOR EN SOLIDOS FINITOS Conducción transitoria bidimensional y tridimensional Sistemas bidimensionales Sistemas tridimensionales Calor disipado Conducción transitoria en 2 y 3 dimensiones (c.c. isotérmica) Conducción transitoria en 2 y 3 dimensiones (c.c. convección) Transmisión de calor por conducción en régimen transitorio con generación de calor E

127 131 132 132 133 133 136

VIII- CONDUCCION TRANSITORIA DEL CALOR EN SOLIDOS FINITOS. METODO GRAFICO Soluciones numéricas a problemas de conducción monodimensionales en régimen transitorio

141

Nudos interiores

141

Nudos periféricos

144

Ecuaciones térmicas de los nudos y condiciones de estabilidad

146

Aplicación del método gráfico a paredes compuestas

147

Resolución gráfica con choque térmico

149

Resolución gráfica con convección en la superficie

150

IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCION TRANSVERSAL CONSTANTE Introducción

153

Transferencia de calor mediante aletas de sección transversal constante

154

Aleta muy larga

156

Aleta con su extremo libre aislado térmicamente

157

Aleta con convección desde su extremo libre

158

Aleta entre dos paredes a temperaturas diferentes

159

Campo de aplicación de las aletas rectas de sección uniforme

160

Perfil óptimo

161

X- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCION TRANSVERSAL VARIABLE Aletas de sección variable

165

Aleta anular de espesor constante

166

Aleta longitudinal de perfil trapecial

172

Aleta longitudinal de perfil triangular

173

Perfil óptimo de la aleta longitudinal de perfil triangular

174

Rendimiento de la aleta; casos particulares

174

Aletas longitudinales de perfil parabólico

174

Protuberancias

178

Coeficiente global de transmisión de calor con aletas, para el aire

180

XI.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION. CAPA LIMITE TERMICA E HIDRODINÁMICA Introducción

183

Ecuación diferencial de la transmisión de calor en un medio en movimiento

185

Capa limite laminar en flujo sobre placa plana: polinomios de grado 2 y 3

188

Espesores y caudales de la capa límite

191

Espesor de desplazamiento de la capa límite

191

Espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite

192

Espesor de energía de la capa límite

193

Caudal de la capa límite

193

Caudal de la cantidad de movimiento de la capa límite

193

Ecuación integral del impulso de la capa límite laminar

194

Caudal de la cantidad de movimiento

194

Fuerza de arrastre.- Casos particulares con perfiles de segundo y tercer grado

195

Ecuaciones de Prandtl de la capa límite

197

Ecuación clásica de Kàrmàn

198

Ecuación integral de la energía de la capa límite.- Casos particulares

199

Relación entre el coeficiente de arrastre y el de convección en flujo laminar sobre placa plana

204

Capa límite turbulenta para placa plana

205

Desprendimiento de la capa límite

207

Tabla de coeficientes de arrastre de algunos cuerpos y perfiles inmersos en una corriente fluida

207

XII.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION EN CONDUCTOS Flujo en conductos circulares; flujo isotérmico; Ec. de Poiseuille Flujo en conductos no circulares circulares

211 214

Fluidos que circulan por tuberías en convección forzada en régimen laminar con flujo de calor constante

216

XIII.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION. ANALOGÍAS Y ANALISIS DIMENSIONAL Analogía entre la transmisión de calor y la cantidad de movimiento en flujo turbulento

217

Capa límite térmica sobre placa plana. Conductividad térmica. Cantidad de movimiento

217

Expresión general de la relación básica de la analogía entre el calor y la cantidad de movimiento

219

Analogía de Reynolds

220

Analogía de Prandtl

222

Analogía de Von Karman

224

Diagrama de Moody

225

Analogía de Colburn

226

Análisis dimensional. Teorema de Buckinghan Ecuación general de resistencia

227 229

Ecuación general de la pérdida de carga en una conducción cilíndrica

230

El método básico de análisis dimensional

230

XIV.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCION NATURAL Correlaciones analíticas para la convección natural en placa plana vertical Solución integral en pared isotérmica Placa con flujo de calor constante Correlaciones para la convección natural en placas Convección natural, sobre placa vertical Convección natural sobre placa vertical a temperatura uniforme Convección natural sobre placa vertical con flujo de calor constante Convección natural sobre placa inclinada Convección natural en placa horizontal Convección natural entre placas horizontales Convección natural entre placas verticales Convección natural entre placas inclinadas Correlaciones para la convección natural en tubos Convección natural sobre un tubo o un cilindro horizontal Convección natural entre cilindros concéntricos

237 239 241 241 242 242 244 245 245 246 247 248 249 249 250

XV.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCION FORZADA Correlaciones para la convección forzada en placas Flujo laminar sobre placa plana horizontal Flujo laminar totalmente desarrollado entre placas planas paralelas Flujo turbulento sobre placa plana horizontal Correlaciones para la convección forzada en el interior de tuberías Flujo laminar por el interior de tuberías Flujo turbulento desarrollado por el interior de tuberías Flujo turbulento no desarrollado por el interior de tuberías

253 253 253 254 255 255 256 260

Flujo turbulento de metales líquidos por el interior de tuberías

261

Flujo turbulento por un serpentín tubular

261

Correlaciones para la convección forzada por el exterior de tuberías

262

Flujo paralelo turbulento por el exterior de un tubo Flujo paralelo turbulento por el exterior de tubos en batería

262 262

Correlaciones para la convección en esferas

263

Convección natural y forzada combinadas

264

Correlaciones para la convección en flujos cruzados

265

Flujo cruzado en tubo único liso

265

Flujo cruzado en tubos en batería Correlaciones para la convección a través de un lecho compacto Correlaciones para la convección en superficies giratorias

267 273 274

XVI.- CONDENSACION Y VAPORIZACION Transferencia de calor por condensación

277

Condensación en forma de película

277

Condensación en película laminar sobre placas y tubos verticales Condensación en película laminar sobre placas y tubos inclinados Condensación en película laminar sobre un tubo horizontal Condensación en régimen turbulento

281 284 284 285

Efecto de la velocidad del vapor en placas y tubos verticales

286

Condensación en régimen turbulento en el interior de tubos horizontales Condensación en forma de gotas

287 288

Transferencia de calor por ebullición de líquidos en reposo Evaporación en película descendente sobre una pared vertical

288 288

Ebullición nucleada en recipientes con un líquido en reposo

289

Ebullición en la superficie exterior de un hilo horizontal caliente sumergido en un líquido

292

Ebullición de líquidos en flujo forzado en el interior de tubos horizontales

294

Ebullición de líquidos en flujo forzado en el interior de tubos verticales

295

Gradiente de presión en el interior de tubos verticales

298

Formulación para la evaporación en tubos verticales

299

XVII.- INTERCAMBIADORES DE CALOR: METODO DE LA (LMTD) Introducción

303

Tipos básicos de intercambiadores de calor

303

Intercambiadores de paso simple 1-1

304

Intercambiador de corrientes paralelas en contracorriente 1-2

307

Intercambiador 2-4

309

Intercambiador de flujos cruzados

310

Coeficiente U de transferencia térmica global

311

Factor de suciedad

312

Transmisión de calor entre fluidos en movimiento, a temperaturas variables, a través de una pared

314

Temperatura media logarítmica (LMTD)

316

Factores de corrección de la (LMTD)

316

Factores de corrección de la (LMTD), para diversas configuraciones de intercambiadores

319

XVIII- INTERCAMBIADORES DE CALOR: METODO DE LA EFICIENCIA Eficacia de los intercambiadores de calor

323

Flujos paralelos en equicorriente

325

Flujos paralelos en contracorriente

327

Valores de la eficiencia térmica para diversas configuraciones de intercambiadores

330

Intercambiadores de calor compactos

332

XIX- RADIACION TERMICA: FUNDAMENTOS Introducción

343

Física de la radiación

344

Concepto de cuerpo negro

344

Ley de Planck

344

Ley del desplazamiento de Wien

345

Ley de Stefan-Boltzman

346

Funciones de radiación

346

Transmisión de calor por radiación

348

Factor de forma de la radiación

349

Factor de forma para dos superficies infinitesimales

349

Factor de forma para una superficie finita y otra infinitesimal

351

Factor de forma para dos superficies finitas

352

Propiedades de los factores de forma

352

Álgebra de factores de forma.- Casos particulares

354

Eliminación de superficies cóncavas

356

Factores de visión para superficies convexas generadas a lo largo de una recta

357

Método de las cuerdas cruzadas

359

Gráficas para la determinación de factores de forma

360

XX- RADIACION TERMICA: INTERCAMBIOS RADIATIVOS Intercambio radiativo entre superficies negras

367

Intercambio radiativo entre dos superficies negras y una refractaria

370

Superficies refractarias

370

Cálculo de la temperatura de la superficie refractaria

371

Factor de forma general.- Casos particulares

371

Intercambio radiativo entre superficies grises

373

Superficies refractarias

375

Recinto formado por dos superficies grises.- Casos particulares

376

Recinto formado por dos superficies grises y una o varias pantallas de radiación

377

Recinto formado por tres superficies grises, dos opacas y una refractaria

381

Técnicas matriciales

382

Superficies con temperaturas conocidas

382

Superficies con flujo neto de calor conocido

385

XXI- RADIACION TERMICA EN GASES Radiación a través de un medio transmisor y absorbente

389

Superficies infinitas

389

Superficies finitas

392

Propiedades radiativas de los gases

394

Determinación práctica de la emisividad de algunos gases y vapores

400

Radiación de nubes de partículas

402

Llamas luminosas

404

Llamas de carbón pulverizado

405

Cálculos en hornos y hogares

406

Medida de temperaturas

408

TABLAS de propiedades térmicas de sólidos, líquidos, gases y vapores

411

BIBLIOGRAFÍA

441

INDICE

443

1.- GRUPOS ADIMENSIONALES UTILIZADOS EN LA TRANSFERENCIA DE CALOR _____________________________________________________________________________________________

1) Nº de BIOT: Bi = hc L k Es el cociente entre la resistencia térmica del sólido y la resistencia térmica del fluido. _____________________________________________________________________________________________

2) Nº de FOURIER: Fo = α t L2 Es el cociente entre la conducción del calor y el calor almacenado Se utiliza en problemas de transferencia de calor transitorios _____________________________________________________________________________________________

3) Nº de GRAETZ: Gz = Re Pr (d ) = L

ρ u d2 cp kL

Se utiliza en problemas de convección forzada. _____________________________________________________________________________________________

4) Nº de GRASHOF: Gr =

g β ∆T L3 ν2

Es el cociente entre las fuerzas de flotación y las fuerzas de viscosidad. _____________________________________________________________________________________________

5) Nº de LEWIS: Le = α ε

Es el cociente entre la difusividad térmica y la difusividad molecular Se utiliza en problemas de transferencia de masa. _____________________________________________________________________________________________

6) Nº de NUSSELT: Nu = hc L k Es el coeficiente básico de la transferencia de calor por convección. _____________________________________________________________________________________________

7) Nº de PECLET: Pe = Re Pr =

ρ u L cp k

Es el cociente entre la transferencia de calor por convección y por conducción Se utiliza en problemas de convección forzada. _____________________________________________________________________________________________

η cp 8) Nº de PRANDTL: Pr = ν = α k

Es el cociente entre el impulso y la difusividad térmica. _____________________________________________________________________________________________

9) Nº de RAYLEIGH: Ra = Gr Pr =

g β ∆T L3 να

Se utiliza en problemas de convección libre _____________________________________________________________________________________________

10) Nº de REYNOLDS: Re = u L ν Es el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad. _____________________________________________________________________________________________

11) Nº de SCHMIDT: Sc = ν ε

Es el cociente entre el impulso y la difusión de masa. _____________________________________________________________________________________________

12) Nº de SHERWOOD: Sh = k L ε Es el cociente entre la difusividad de masa y la difusividad molecular. _____________________________________________________________________________________________

13) Nº de STANTON: St = Nu = hc Re Pr ρ cp u Es el cociente entre el calor transferido en la superficie y el transportado por el fluido. _____________________________________________________________________________________________

14) Nº de JAKOB: Ja l =

c pl (Tsat - T pared ) rl-v

Es el cociente entre el calor sensible del líquido sobrecalentado y el calor latente del cambio de estado Tablas.-403

2.- EMISIVIDADES NORMALES METALES

Estado superficie Temperatura (°C)

Emisividad

NO METALES

Estado superficie Temperatura (°C)

Emisividad

Aluminio

placa pulida

25

0,040

Amianto

en cartón

37

0,960

Aluminio

placa pulida

200-600

0,038-0,06

Amianto

en papel

Aluminio

oxidado

100-500

0,20-0,33

Ladrillo

magnesita refractario

Aluminio

placa mate

25

0,070

Ladrillo

rojo, rugoso

Antimonio

pulido

37-260

0,28-0,31

Ladrillo

gris, satinado

Latón

oxidado

200-500

0,600

Ladrillo

sílice

540

0,800

Latón

pulido

20-300

0,05-0,032

Carbón,

filamento

1050-1400

0,526

Latón

placa usada

50-350

0,220

Carbón,

carbonilla bujías

95-270

0,953

Latón

mate

50

0,202

Carbón,

negro de humo

20

0,930

Cromo

pulido

37-1100

0,058

Cerámica

alfarería, satinado

20

0,900

Cobre

negro oxidado

37

0,780

Cerámica

porcelana

22

0,920

Cobre

ligeramente mate

Cerámica

refractaria, negra

93

0,940

Cobre

pulido

Arcilla

caldeada

70

91

Cobre Oro Oro

pulido

Hierro Hierro Hierro

pulido

425-1025

Hierro

pulido electrolítico

175-225

Hierro

todo oxidado

Hierro

laminado

Fundición

mecanizada

Fundición Plomo

37

0,930

1000

0,380

20

0,930

1100

0,750

25

0,037

37-260

0,04-0,05

pulido electrolítico

80

0,018

Hormigón

rugoso

37

0,94

no pulido

20

0,470

Vidrio

liso

22

0,940

37-260

0,020

Vidrio

Pyrex, plomo, sosa

260-530

0,95-0,85

oxidado

100

0,740

Hielo

liso

0

0,966

esmerilado

20

0,240

Hielo

rugoso

0

0,985

Mármol

grano fino pulido

22

0,93

37

0,75

0,14-0,38

0,052-0,064 Mica

20

0,69

Mampostería

emplastecida

0

0,930

925-1100 22

0,87-0,95

Papel

ordinario

20

0,8-0,9

0,44

Papel

amianto

20

0,950

oxidada a 600ºC oxidado a 200ºC

200-600

0,64-0,78

Papel

alquitranado

20

0,910

200

0,63

Papel

ordinario

95

0,920

Plomo

oxidado gris

23

0,280

Yeso blanco

rugosa

20

0,930

Plomo Magnesio

pulido

130-260

0,08-0,056

Porcelana

vidriada

20

0,930

pulido

37-260

0,07-0,13

Cuarzo fundido

rugoso

20

0,930

Magnesio

oxidado

275-825

0,55-0,2

Molibdeno

para filamentos

700-2600

0,10-0,20

Goma blanda

gris

25

0,860

Goma dura

negra rugosa

25

0,950

Molibdeno Monel Níquel Níquel Níquel Platino Platino Platino Platino Plata Plata Acero Estaño Estaño Tungsteno Tungsteno Cinc Cinc

pulido pulido oxidado a 600ºC pulido electrolítico electrolítico placa pulida oxidado a 600ºC filamento pulida, pura pulida pulido brillante pulido para filamentos filamento envejecido oxidado pulido

150-480 37 260-540 100-260 37-260 260-540 260-540 260-540 26-1225 225-625 37-370 23 225-265 37-370 3300 25-3300 20 225-325

0,02-0,05 0,170 0,37-0,48 0,045-0,07 0,04-0,06 0,06-0,1 0,06-0,1 0,07-0,11 0,04-0,19 0,02-0,03 0,02-0,03 0,160 0,02-0,03 0,070 0,390 0,03-0,35 0,250 0,05-0,06

Madera de haya Madera de encina Tierra PINTURAS Aluminio Aluminio Aluminio pintado Aluminio Aluminio Laca Laca Aceite Aceite pintura Baquelita Esmalte Esmalte Pintura al aceite Imprimación minio

láminas láminas

25 25 37

0,935 0,885 0,950

100 20 150-300 100 100 100 80 20 100 80 20 25 1-200 20-1100

0,300 0,390 0,350 0,520 0,300 0,925 0,970 0,89-0,97 0,92-0,96 0,935 0,900 0,876 0,885 0,930

Tablas.-404

bronce de esmaltado rugoso calentado a 325ºC Al 10%, laca 22% Al 26%, laca 27% blanca negra mate pintura todos los colores esmaltada blanco rugoso negro brillante

3.- ABSORTIVIDAD SOLAR DE SUPERFICIES METALES

METALES

Estado superficial

Absortividad

Estado superficial

Absortividad

Aluminio

pulido

0,10

Magnesio

pulido

0,19

Aluminio

anodizado

0,14

Magnesio

oxidado

0,55-0,2

Aluminio

en placas

0,15

Níquel

muy pulido

0,15

Bronce

pulido

0,3-0,5

Níquel

pulido

0,36

Bronce

mate

0,4-0,65

Níquel

oxidado

0,79

Cromo

electroplateado

0,41

Platino

brillante

0,31

Cobre

muy pulido

0,18

Plata

muy pulida

0,07

Cobre

decapado

0,25

Plata

pulida

0,13

Cobre

decolorada por exposición

0,64

Acero inoxidable

pulido

0,33

0,21

Acero inoxidable

decapado

0,52

Oro Hierro

galvanizado pulido

0,34

Tungsteno

muy pulido

0,37

Hierro

galvanizado nuevo

0,64

Cinc

muy pulido

0,34

Hierro

mate, oxidado

0,96

Cinc

pulido

0,55

NO METALES

NO METALES

Asfalto pavimento

0,85

Hormigón

descolorido

0,65

Asfalto pavimento

libre de polvo

0,93

Hormigón

marrón

0,85

Asfalto pavimento

nuevo

0,93

Hormigón

sucio, oscuro

0,71

Ladrillo

barnizado blanco

0,26

Granito

Ladrillo

arcilla, barnizado crema

0,36

Grasa

0,75-0,80

Ladrillo

rojo

0,70

Grava

0,29

Ladrillo rojo

satinado oscuro

0,77

Oxido de magnesio

Mármol

sin pulir

0,47

Pintura aceite

plomo blanco

Mármol

blanco

0,44

Pintura aceite

crema clara

0,30

Mármol

con fisuras

0,60

Pintura aceite

verde claro

0,50

Papel aglomerado

0,25

Pintura aluminio

Papel blanco

0,28

Pintura aceite

Arena

0,76

Pintura aceite negra sobre hierro galvanizado

Serrín de madera

0,45

0,15 0,24-0,26

0,55 gris claro

0,75

0,75 Pizarra

gris plateado

0,79

Pizarra

gris azulado

0,85

Hollín, carbón

0,95 Pizarra

gris verdoso

0,88

Oxido de cinc

0,15 Pizarra

gris oscuro

0,90

Nieve

limpia

0,2-0,35

Tablas.-405

4.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS ELEMENTOS METALICOS Conductividad térmica "k" (W/mºK), a la temperatura de: ρ Kg/m3

Propiedades a 20ºC α x 106 T.fusión k 2 kJ/KgºC W/m.ºK m /seg °K cp

ELEMENTO

200°K

273°K

400°K

600°K

800°K 1000°K 1200°K

Aluminio

237,0

236,0

240,0

232,0

220,0

2702

896

236,0

97,5

933

Antimonio

30,2

25,5

21,2

18,2

16,8

6684

208

24,6

17,7

904

Berilio

301,0

218,0

161,0

126,0

107,0

1850

1750

205,0

63,3

1550

Bismuto

9,7

8,2

9780

124

7,9

6,5

545

Boro

52,5

31,7

18,7

2500

1047

28,6

10,9

2573

Cadmio

99,3

97,5

94,7

8650

231

97,0

48,5

594

Cesio

36,8

36,1

1873

230

36,0

83,6

302

Cromo

111,0

94,8

87,3

7160

440

91,4

29,0

2118

Cobalto

122,0

104,0

84,8

8862

389

100,0

29,0

1765

Cobre

413,0

401,0

392,0

383,0

371,0

357,0

342,0

8933

383

399,0

116,6

1356

Germanio

96,8

66,7

43,2

27,3

19,8

17,4

17,4

5360

61,6

Oro

327,0

318,0

312,0

304,0

292,0

278,0

262,0

19300

129

Hafnio

24,4

23,3

22,3

21,3

20,8

20,7

20,9

13280

23,1

2495

Indio

89,7

83,7

74,5

7300

82,2

430

Iridio

153,0

148,0

144,0

138,0

132,0

126,0

120,0

22500

134

147,0

48,8

2716

Hierro

94,0

83,5

69,4

54,7

43,3

32,6

28,2

7870

452

81,1

22,8

1810

Plomo

36,6

35,5

33,8

31,2

11340

129

35,3

24,1

601

11,3

80,5

8,1

71,3

89,0 6,3

65,3

73,0 5,2

62,4

1211 316,0

126,9

1336

Litio

88,1

79,2

72,1

Magnesio

159,0

157,0

153,0

Manganeso

7,2

7,7

Mercurio

28,9

Molibdeno

143,0

139,0

134,0

126,0

118,0

112,0

105,0

10240

251

138,0

53,7

2883

Níquel

106,0

94,0

80,1

65,5

67,4

71,8

76,1

8900

446

91,0

22,9

1726

Niobio

52,6

53,3

55,2

58,2

61,3

64,4

67,5

8570

270

53,6

23,2

2741

Paladio

75,5

75,5

75,5

75,5

75,5

75,5

12020

247

75,5

25,4

1825

Platino

72,4

71,5

71,6

73,0

75,5

78,6

21450

133

71,4

25,0

2042

Potasio

104,0

104,0

52,0

860

741

103,0

161,6

337

149,0

146,0

534

3391

77,4

42,7

454

1740

1017

156,0

88,2

923

7290

486

7,8

2,2

1517

13546

82,6

234

Renio

51,0

48,6

46,1

44,2

44,1

44,6

45,7

21100

137

48,1

16,6

3453

Rodio

154,0

151,0

146,0

136,0

127,0

121,0

115,0

12450

248

150,0

48,6

2233

Rubidio

58,9

58,3

1530

348

58,2

109,3

312

Silicio

264,0

168,0

98,9

61,9

42,2

31,2

25,7

2330

703

153,0

93,4

1685

Plata

403,0

428,0

420,0

405,0

389,0

374,0

358,0

10500

234

427,0

173,8

1234

Sodio

138,0

135,0

971

1206

133,0

113,6

371

Tántalo

57,5

57,4

57,8

58,6

59,4

60,2

61,0

16600

138

57,5

25,1

3269

Estaño

73,3

68,2

62,2

5750

227

67,0

51,3

505

Titanio

24,5

22,4

20,4

19,4

19,7

20,7

22,0

4500

611

22,0

8,0

1953

Tungsteno

197,0

182,0

162,0

139,0

128,0

121,0

115,0

19300

134

179,0

69,2

3653

Uranio

25,1

27,0

29,6

34,0

38,8

43,9

49,0

19070

113

27,4

12,7

1407

Vanadio

31,5

31,3

32,1

34,2

36,3

38,6

41,2

6100

502

31,4

10,3

2192

Cinc

123,0

122,0

116,0

105,0

7140

385

121,0

44,0

693

Circonio

25,2

23,2

21,6

20,7

21,6

23,7

25,7

6570

272

22,8

12,8

2125

Tablas.-406

5.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNAS ALEACIONES Densidad Calor Conduct. Difusividad Conductividad térmica en (W/mºC) α x 105 ρ especif k a la temperatura en ºC: 2 3 m /seg Kg/m Aleaciones Composición J/kgºK W/mºK -100 0ºC 100 200 300 400 600 800 1000 Duraluminio 94-96% Al; 3-5% Cu 2787 833 164 6,680 126 159 182 194 Siluminio 87% Al; 1,33% Si 2659 871 164 7,100 119 137 144 152 161 Alusil 80% Al; 20% Si 2627 854 161 7,172 144 157 168 175 178 Al-Mg-Si 97% Al; 1% Mg; 1% Si 2707 8922 177 7,311 175 189 204 Bronce de aluminio95% Cu; 5% Al 8666 410 83 2,330 Bronce 75% Cu; 25% Sn 8666 343 26 0,860 Latón rojo 85% Cu; 9% Sn; 6% Zn 8714 385 61 1,804 59 71 Latón 70% Cu; 30% Zn 8522 385 111 3,412 88 128 144 147 147 Plata alemana 62% Cu; 15% Ni; 22% Zn 8618 394 24,9 0,733 19,2 31 40 45 48 Constantán 60% Cu; 40% Ni 8922 410 22,7 0,612 21 22 26 Fundición 4% C 7272 420 52 1,702 Acero al carbono 0,5% C 7833 465 54 1,474 55 52 48 45 42 35 31 29 1% C 7801 473 43 1,172 43 43 42 40 36 33 29 28 1,5% C 7753 486 36 0,970 36 36 36 35 33 31 28 28 Acero al cromo 1% Cr 7865 460 61 1,665 62 55 52 47 42 36 33 33 5% Cr 7833 460 40 1,110 40 38 36 36 33 29 29 29 20% Cr 7689 460 40 1,11 22 22 22 22 24 24 26 29 Acero al níquel 10% Ni 7945 460 26 0,720 20% Ni 7993 460 19 0,526 40% Ni 8169 460 10 0,279 60% Ni 8378 460 19 0,493 80% Ni 8618 0,46 35 0,872 Invar 36% Ni 8,137 460 10,7 0,286 Acero al Cr-Ni 15% Cr; 10% Ni 7865 460 19 0,526 15% Cr; 40% Ni 8073 460 11,6 0,305 18% Cr; 8% Ni 7817 460 16,3 0,444 16 17 17 19 19 22 27 31 20% Cr; 15% Ni 7833 460 15,1 0,415 25% Cr; 20% Ni 7865 460 12,8 0,361 80% Cr; 15% Ni 8522 460 17 0,444 Acero al manganeso 1% Mn 7865 460 50 1,388 5% Mn 7849 460 22 0,637 Acero al silicio 1% Si 7769 460 42 1,164 5% Si 7417 460 19 0,555 Acero al tungsteno 1% W 7913 448 66 1,858 5% W 8073 435 54 1,525 10% W 8314 419 48 1,391 Ni-Cr 90% Ni; 10% Cr 8666 444 17 0,444 17 19 21 23 25 80% Ni; 20% Cr 8314 444 12,6 0,343 12 14 16 17 18 23 Mg-Al; electrol. Mg; 7 % Al; 1,5% Zn; 1810 1000 66 3,605 52 62 74 83

Propiedades a 20ºC

6.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS MATERIALES Tablas.-407

6.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS MATERIALES DE CONSTRUCCION Y AISLANTES

MATERIAL Amianto Asfalto Baquelita Ladrillo común Ladrillo de carborundum (50% SiC) Ladrillo de carborundum Ladrillo de magnesita (50% MgO)

Ladrillo de mampostería Ladrillo de sílice (95% SiO2) Ladrillo de circonio (62% ZrO2) Ladrillo al cromo

Arcilla refractaria, cocida a 1330ºC

Arcilla refractaria, cocida a 1450ºC

Cartón Cemento (duro) Arcilla (48,7% humedad) Carbón, (antracita) Hormigón (seco) Corcho (tableros) Corcho (expandido) Tierra de diatomeas Tierra arcillosa (28% humedad) Tierra arenosa (8% humedad) Fibra de vidrio Vidrio, (ventanas) Vidrio, (lana de) Granito Hielo (0°C) Linóleo Mica Corteza de pino Yeso Plexiglás Madera (chapa) Poliestireno Goma dura (ebonita) Goma esponjosa Arena seca Arena húmeda Serrín Madera de roble Madera (Pino, abeto, abeto rojo) Láminas de fibra de madera

Temperatura

Densidad ρ

Calor específico Cond. térmica cp k

ºC

kg m3

Joules kgºK 816

W mºK

α x 10 5 m2 seg

0,113

0,036

20

383

20-55

2120

0,74-0,76

20 20 20 600 1400 20 200 650 1200 20 20 20 200 550 900 500 800 1100 500 800 1100 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

1270 1800 2200

0,233 0,38-0,52 5,820 18,5 11,1 2,680 3,81 2,77 1,9 0,658 1,070 2,440 2,32 2,47 1,99 1,04 1,07 1,09 1,28 1,37 1,4 0,14-0,35 1,047 1,260 0,238 0,128 0,042 0,036 0,126 1,510 1,050 0,035 0,810 0,036 0,040 3,000 2,220 0,081 0,523 0,080 0,814 0,195 0,109 0,157 0,163 0,055 0,582 1,130 0,071 0,17-0,21 0,150 0,047

840

2000 1,13

1700 1900 3600 3000

837

0,84

2000

0,96

2300

0,96

1545 1370 500 120 120 466 1500 1500 220 2800 100 200 2750 913 535 2900 342 1800 1180 590 1050 1150 224 1640 215 609-801 416-421 200 Tablas.-408

880 1260 837 1880 879

800 670 1830

2009

2390 2720

Difusiv. térmica

0,028-0,034

0,046

0,092 0,098 0,079 0,054

0,04

0,101 0,013-0,015 0,049 0,015-0,044 0,031

0,034 0,028 0,124

0,006

0,011-0,012 0,012

7.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS ACEITES Y GLICERINAS

ACEITE DE MOTOR SIN USAR Temperatura ºC 0 20 40 60 80 100 120 140 160

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 10 (m2/seg)

Visc. dinám. η.10 3 (N.seg/m 2)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

899,1 888,2 876,1 864 852 840 829 816,9 805,9

1796 1880 1964 2047 2131 2219 2307 2395 2483

0,147 0,145 0,144 0,14 0,138 0,137 0,135 0,133 0,132

911 872 834 800 769 738 710 686 663

3848 799 210 72,5 32 17,1 10,3 6,54 4,51

4280 900 240 83,9 37,5 20,3 12,4 8 5,6

Nº de Prandtl Pr

(

gβ

47100 10400 2870 1050 490 276 175 116 84

ν2

10 -10)

8475

ACEITE DE TRANSFORMADORES Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 10 (m2/seg)

Visc. dinám. η.10 3 (N.seg/m 2)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

922 916 910 904 898 891 885 879 873 867

1,7 1,68 1,65 1,62 1,6 1,62 1,65 1,71 1,78 1,83

0,116 0,116 0,115 0,114 0,113 0,112 0,111 0,111 0,11 0,109

742 750 764 778 788 778 763 736 707 688

29320 3866 1183 365,6 108,1 55,24 33,45 21,1 13,44 9,364

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

31800 4220 1300 404 120 67,5 37,8 24 15,4 10,8

428600 56300 17000 5200 1530 867 495 326 218 157

Nº de Prandtl Pr

β (ºK)

GLICERINA C3H5(OH)3 Temperatura ºC

0 10 20 30 40 50

Densidad ρ (Kg/m3)

1276 1270 1264 1258 1252 1245

Calor Visc. cinemát. específico cp ν.10 4 J/KgºC (m2/seg)

2261 2319 2386 2445 2512 2583

83,1 30 11,8 5 2,2 1,5

Conductividad Dif. térmica térmica "k" α.10 7 (m2/seg) W/mºC

0,282 0,284 0,286 0,286 0,286 0,287

0,983 0,965 0,947 0,929 0,914 0,893

84700 31000 12500 5380 2450 1630

0,0005

ETILENO GLICOL C2H4(OH2) Temperatura ºC

0 20 40 60 80 100

Densidad ρ (Kg/m3)

1130,75 1116,65 1101,43 1087,66 1077,56 1058,5

Calor Visc. cinemát. específico cp ν.10 6 J/KgºC (m2/seg)

2294 2382 2474 2562 2650 2742

57,53 19,18 8,69 4,75 2,98 2,03

Conductividad Dif. térmica térmica "k" α.10 7 (m2/seg) W/mºC

0,242 0,249 0,256 0,26 0,261 0,263

Tablas.-409

0,934 0,939 0,939 0,932 0,921 0,908

Nº de Prandtl Pr

615 204 93 51 32,4 22,4

β (ºK)

0,00065

8.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS METALES LIQUIDOS

MERCURIO.- Punto de fusión: -38,9ºC; Punto de ebullición: 357ºC

Temper. ºC 0 20 50 100 150 200 250 315,7

Densidad ρ (Kg/m3)

13628 13579 13506 13385 13264 13145 13026 12847

Coeficiente Calor Conductiv. dilatac. térm. específico cp térmica "k" J/KgºC W/mºC β . 1 03

Dif. térmica α.10 7 (m2/seg)

140,3 139,4 138,6 137,3 136,5 157 135,7 134

42,99 46,06 50,22 57,16 63,54 69,08 74,06 81,5

18,2

8,2 8,69 9,4 10,51 11,49 12,34 13,07 14,02

Visc. dinám. Visc. cinem. η.10 4 ν.10 6 (m2/seg) (N.seg/m 2)

16,9 15,48 14,05 12,42 11,31 10,54 9,96 8,65

0,124 0,114 0,104 0,0928 0,0853 0,0802 0,0765 0,0673

(

gβ ν2

Nº Prandtl 0,0288 0,0249 0,0207 0,0162 0,0134 0,0116 0,0103 0,0083

10 -10)

13,73

SODIO.- Punto de fusión: 97,8ºC; Punto de ebullición: 883ºC

T(ºC) 94,0 205,0 315,6 371,0 426,7 538,0 650,0 705,0 760,0

Densidad ρ (Kg/m3)

929 902 878,5 860 852,8 820,0 790 778 767,5

Coeficiente Calor Conductiv. dilatac. térm. específico cp térmica "k" 3 β .1 0 J/KgºC W/mºC

0,27 0,36

1382 1340 1304 1298 1277 1264 1261 1256 1270

86,30 80,30 75,78 72,40 69,39 64,37 60,56 59,70 56,58

Dif. térmica α.10 5 (m2/seg)

Visc. dinám. Visc. cinem. η.10 4 ν.10 7 2/seg) 2 (m (N.seg/m )

6,71 6,71 6,65 6,45 6,41 6,21 6,11 6,19 5,83

6,99 4,32 3,29 2,83 2,52 2,31 1,96 1,79 1,72

7,31 4,60 3,77 3,16 2,97 2,82 2,50 2,26 2,25

(

gβ

Pr 0,0110 0,0072 0,0057 0,0051 0,0046 0,0040 0,0041 0,0038 0,0385

ν2

10 -9)

4,96 16,7

BISMUTO.- Punto de fusión: 271ºC; Punto de ebullición: 1477ºC

T(ºC) 316 427 811 922 1033

Densidad ρ (Kg/m3)

10011 9867 9739 9611 9467

Coeficiente Calor Conductiv. dilatac. térm. específico cp térmica "k" 3 β .1 0 J/KgºC W/mºC

0,117 0,122 0,126

144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

16,44 15,58 15,58 15,58 15,58

Dif. térmica α.10 5 (m2/seg)

1,14 1,06 1,03 1,01 1,01

Visc. dinám. Visc. cinem. η.10 4 ν.10 7 2/seg) 2 (m (N.seg/m )

1,622 1,339 1,101 0,923 0,789

1,57 1,35 1,08 0,903 0,813

(

Pr 0,014 0,013 0,011 0,009 0,008

gβ ν2

46,5 65,6 106

PLOMO.- Punto de fusión: 327ºC; Punto de ebullición: 1737ºC Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

371 425 525 625 704

10540 10470 10350 10230 10140

159 156 155 155 155

Visc. dinámica Visc. cinemát. η.10 4 ν.10 6 2/seg) 2 (m (N.seg/m )

2,4 2,11 1,72 1,49 1,37

0,0230 0,0202 0,0166 0,0146 0,0140

Tablas.-410

Conductividad Difus. térmica térmica "k" α.10 6 W/mºC (m2/seg)

16,1 17,5 19,0 20,4 21,9

9,61

9,48

Nº de Prandtl Pr

0,024 0,019 0,014 0,011 0,009

10 -9)

LITIO.- Punto de fusión: 179ºC; Punto de ebullición: 1317ºC Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

204,4 315,6 426,7 537,8

509,2 498,8 489,1 476,3

4365 4270 4211 4171

Visc. dinámica Visc. cinemát. η.10 4 ν.10 6 (m2/seg) (N.seg/m 2)

5,416 4,465 3,927 3,473

1,1098 0,8982 0,8053 0,7304

Conductividad Difus. térmica térmica "k" α.10 6 W/mºC (m2/seg)

46,37 43,08 38,24 30,45

20,96 20,32 18,65 15,4

Nº de Prandtl Pr

0,051 0,043 0,0432 0,0476

POTASIO.- Punto de fusión: 63,9ºC; Punto de ebullición: 760ºC Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

426,7 537,8 648,9 760

741,7 714,4 690,3 667,7

766 762 766 783

Visc. dinámica Visc. cinemát. η.10 4 ν.10 6 (m2/seg) (N.seg/m 2)

2,108 1,711 1,463 1,331

0,2839 0,24 0,2116 0,1987

Conductividad Difus. térmica térmica "k" α.10 6 W/mºC (m2/seg)

39,45 36,51 33,74 31,15

69,74 67,39 64,1 59,86

Nº de Prandtl Pr

0,0041 0,0036 0,0033 0,0033

Na-K, 56% Na, 44% K.- Punto de fusión: -11ºC; Punto de ebullición: 784ºC Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

93,3 204,4 315,6 426,7 537,8 648,9

889,8 865,6 838,3 814,2 788,4 759,5

1130 1089 1068 1051 1047 1051

Visc. dinámica Visc. cinemát. Conductividad Difus. térmica térmica "k" η.10 4 ν.10 6 α.10 6 (m2/seg) W/mºC (m2/seg) (N.seg/m 2)

5,622 3,803 2,935 2,15 2,026 1,695

0,6347 0,4414 0,3515 0,2652 0,2581 0,224

Tablas.-411

25,78 26,47 27,17 27,68 27,68 27,68

27,76 28,23 30,5 32,52 33,71 34,86

Nº de Prandtl Pr

0,0246 0,0155 0,0115 0,0081 0,0076 0,0064

9.- PROPIEDADES TERMICAS DE LIQUIDOS SATURADOS FREON 12 Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 6 (m2/seg)

Visc. dinám. η.10 6 N.seg/m 2

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

1547 1519 1490 1461 1429 1397 1364 1330 1295 1257 1216

875 884,7 895,6 907,3 920,3 934,5 949,6 965,9 983,5 1001,9 1021,6

0,067 0,069 0,069 0,071 0,073 0,073 0,073 0,073 0,071 0,069 0,067

5,01 5,14 5,26 5,39 5,50 5,57 5,60 5,60 5,60 5,55 5,45

4,796 4,238 3,770 3,433 3,158 2,990 2,769 2,633 2,512 2,401 2,310

0,310 0,279 0,253 0,235 0,221 0,214 0,203 0,198 0,194 0,191 0,190

6,2 5,4 4,8 4,4 4,0 3,8 3,6 3,5 3,5 3,5 3,5

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 6 (m2/seg)

Visc. dinám. η.10 6 N.seg/m 2

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

703,7 691,7 679,3 666,7 653,6 640,1 626,2 611,8 596,4 581,0 564,3

4463 4467 4476 4509 4564 4635 4714 4798 4890 4999 5116

0,547 0,547 0,549 0,547 0,543 0,540 0,531 0,521 0,507 0,493 0,476

17,42 17,75 18,01 18,19 18,25 18,19 18,01 17,75 17,42 17,01 16,54

3,061 2,808 2,629 2,540 2,471 2,388 2,304 2,195 2,081 1,975 1,862

0,435 0,406 0,387 0,381 0,378 0,373 0,368 0,359 0,349 0,340 0,330

2,60 2,28 2,15 2,09 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 1,99

gβ ν2

. 1 0 -10

26,84

AMONIACO Temperatura ºC

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

gβ ν2

. 1 0 -10

18,64

AGUA Temperatura ºC

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 6 (m2/seg)

Visc. dinám. η.10 6 N.seg/m 2

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

999,9 998,2 992,3 983,2 971,8 958,4 943,1 926,1 907,6 887,0 864,8 840,5 812,2 784,0 750,8 712,5

4226 4182 4178 4181 4194 4211 4245 4279 4338 4413 4501 4606 4752 4944 5204 6594

0,558 0,597 0,633 0,658 0,673 0,682 0,685 0,687 0,682 0,678 0,665 0,656 0,639 0,614 0,583 0,543

0,131 0,143 0,151 0,155 0,165 0,169 0,171 0,172 0,173 0,172 0,170 0,168 0,164 0,157 0,150 0,132

1794 1004 653,0 470,0 353,7 281,0 233,0 198,2 171,5 153,5 129,0 126,0 116,0 107,5 101,4 94,1

1,789 1,006 0,658 0,478 0,364 0,294 0,247 0,214 0,189 0,173 0,160 0,150 0,143 0,137 0,135 0,132

13,7 7,02 4,34 3,02 2,22 1,75 1,45 1,24 1,10 1,00 0,94 0,89 0,87 0,87 0,92 1,02

Tablas.-412

gβ ν2

. 1 0 -9

2,035 8,833 22,75 46,68 85,09

517,2

1766

DIOXIDO DE CARBONO CO2 Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

1156,3 1117,8 1076,8 1032,4 983,4 927,0 860,0 772,6 597,8

Calor Visc. cinemát. específico cp ν.10 6 J/KgºC (m2/seg)

1840 1880 1970 2050 2180 2470 3140 5000 36400

0,119 0,118 0,117 0,115 0,13 0,108 0,101 0,091 0,08

Conductividad Dif. térmica térmica "k" α.10 7 W/mºC (m2/seg)

0,085 0,1011 0,1116 0,1151 0,1099 0,1045 0,0971 0,0872 0,0703

0,4021 0,481 0,5272 0,5445 0,5133 0,4578 0,3608 0,2219 0,0279

Nº de Prandtl Pr

2,96 2,46 2,22 2,12 2,2 2,38 2,8 4,1 28,7

β (ºK)

0,014

DIOXIDO DE AZUFRE SO2 Temperatura ºC

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Densidad ρ (Kg/m3)

1560,8 1536,8 1520,64 1488,6 1463,6 1438,46 1412,5 1386,4 1359,33 1329,22 1299,1

Visc. cinemát. Calor específico cp ν.10 6 J/KgºC (m2/seg)

1359,5 1360,7 1361,6 1362,4 1362,8 1363,6 1364,5 1365,3 1366,2 1367,4 1368,3

0,484 0,424 0,371 0,324 0,288 0,257 0,232 0,21 0,19 0,173 0,162

Conductividad Dif. térmica térmica "k" α.10 7 (m2/seg) W/mºC

0,242 0,235 0,23 0,225 0,218 0,211 0,204 0,199 0,192 0,185 0,177

1,141 1,13 1,117 1,107 1,097 1,081 1,066 1,05 1,035 1,019 0,999

Nº de Prandtl Pr

4,24 3,74 3,31 2,93 2,62 2,38 2,18 2 1,83 1,7 1,61

β (ºK)

0,00194

SOLUCION EUTECTICA CLORURO CALCICO Cl2Ca 29,9% Temperatura ºC

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp J/KgºC

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

1319,8 1314,9 1310,2 1305,5 1300,7 1296,1 1291,4 1286,6 1281,9 1277,2 1272,5

2608 2635,6 2661,1 2688 2713 2738 2763 2788 2814 2839 2868

Visc. cinemát. Conductividad Dif. térmica térmica "k" α.10 7 ν.10 6 (m2/seg) (m2/seg) W/mºC

36,35 24,97 17,18 11,04 6,96 4,39 3,35 2,72 2,27 1,92 1,65

0,402 0,415 0,429 0,445 0,459 0,472 0,485 0,498 0,511 0,525 0,535

Tablas.-413

1,166 1,200 1,234 1,267 1,300 1,332 1,363 1,394 1,419 1,445 1,468

Nº de Prandtl Pr

312 208 139 87,1 53,6 33 24,6 19,6 16 13,3 11,3

β (ºK)

10.- PROPIEDADES TERMICAS DE ALGUNOS GASES Y VAPORES VAPOR DE AGUA RECALENTADO Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

380 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

0,5863 0,5542 0,4902 0,4405 0,4005 0,3652 0,3380 0,3140 0,2931 0,2739 0,2579

2,0600 2,0140 1,9800 1,9850 1,9970 2,0260 2,0560 2,0850 2,1190 2,1520 2,1860

12,71 13,44 15,25 17,04 18,84 20,67 22,47 24,26 26,04 27,86 29,69

21,6 24,2 31,1 38,6 47,0 56,6 64,4 77,2 88,8 102,0 115,2

0,0246 0,0261 0,0299 0,0339 0,0379 0,0422 0,0464 0,0505 0,0549 0,0592 0,0637

0,204 0,234 0,307 0,387 0,475 0,573 0,666 0,772 0,883 1,001 1,130

1,060 1,040 1,010 0,996 0,991 0,986 0,995 1,000 1,005 1,010 1,019

Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 7 (Kg/m.seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

3 33 144 200 255 366 477 589 700 800 900

1,4657 3,3799 0,2435 0,1906 0,1328 0,10204 0,08282 0,07032 0,06023 0,05286

5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2 5,2

8,4 50,2 125,5 156,6 181,7 230,5 275,0 311,3 347,5 381,7 413,6

0,0353 0,0928 0,1177 0,1357 0,1691 0,197 0,225 0,251 0,275 0,298

0,04625 0,5275 0,9288 1,3675 2,449 3,716 5,215 6,661 8,774 10,834

0,74 0,7 0,694 0,7 0,71 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72

HELIO Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

0,0106 3,42 37,11 64,38 95,5 173,6 269,3 375,8 494,2 634,1 781,3

NITROGENO Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

3,4808 1,7108 1,1421 0,8538 0,6824 0,5687 0,4934 0,4277 0,3796 0,3412 0,3108 0,2851

Calor específico cp kJ/KgºC

1,0722 1,0429 1,0408 1,0459 1,0555 1,0756 1,0969 1,1225 1,1464 1,1677 1,1857 1,2037

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

6,86 12,95 17,84 21,98 25,70 29,11 32,13 34,84 37,49 40,00 42,28 44,50

1,97 7,57 15,63 25,74 37,66 51,19 65,13 81,46 91,06 117,20 136,00 156,10

0,00945 0,01824 0,02620 0,03335 0,03984 0,04580 0,05123 0,05609 0,06070 0,06475 0,06850 0,07184

0,0253 0,1022 0,2204 0,3734 0,5530 0,7486 0,9466 1,1685 1,3946 1,6250 1,8591 2,0932

0,786 0,747 0,713 0,691 0,684 0,686 0,691 0,700 0,711 0,724 0,736 0,748

Tablas.-414

AMONIACO Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

220 273 323 373 423 473

0,9304 0,7929 0,6487 0,5590 0,4934 0,4405

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

2,1980 2,1770 2,1770 2,2360 2,3150 2,3950

7,25 9,35 11,04 12,89 14,67 16,49

7,60 11,80 17,00 23,00 29,70 37,40

0,01710 0,02200 0,02700 0,03270 0,03910 0,04670

0,2054 0,1308 0,1920 0,2619 0,3432 0,4421

0,930 0,900 0,880 0,870 0,870 0,840

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

1,92 4,34 7,49 10,53 16,84 20,76 25,90 31,71 37,90 44,34 51,34 58,51 66,25 73,91 82,29 90,75 99,30 108,20 117,80 138,60 159,10 182,10 205,50 229,10 254,50 280,50 308,10 338,50 369,00 399,60 432,60 464,00 504,00 543,50

0,0092 0,0137 0,0181 0,0223 0,0262 0,0300 0,0336 0,0371 0,0404 0,0436 0,0466 0,0495 0,0523 0,0551 0,0578 0,0603 0,0628 0,0653 0,0675 0,0732 0,0782 0,0837 0,0891 0,0946 0,1000 0,1050 0,1110 0,1170 0,1240 0,1310 0,1390 0,1490 0,1610 0,1750

0,0250 0,0575 0,1017 0,1316 0,2216 0,2983 0,3760 0,4222 0,5564 0,6532 0,7512 0,8578 0,9672 1,0774 1,1981 1,3097 1,4271 1,5510 1,6779 1,9690 2,2510 2,5830 2,9200 3,2620 3,6090 3,9770 4,3790 4,8110 5,2600 5,7150 6,1200 6,5400 7,0200 7,4410

0,770 0,753 0,739 0,722 0,708 0,697 0,689 0,683 0,680 0,680 0,680 0,682 0,684 0,686 0,689 0,692 0,696 0,699 0,702 0,704 0,707 0,705 0,705 0,705 0,705 0,705 0,704 0,704 0,702 0,700 0,707 0,710 0,718 0,730

Calor específico cp kJ/KgºC

AIRE Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 5 (Kg/m.seg)

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500

3,6010 2,3675 1,7684 1,4128 1,1774 0,9980 0,8826 0,7833 0,7048 0,6423 0,5879 0,5430 0,5030 0,4709 0,4405 0,4149 0,3925 0,3716 0,3524 0,3204 0,2947 0,2707 0,2515 0,2355 0,2211 0,2082 0,1970 0,1858 0,1762 0,1682 0,1602 0,1538 0,1458 0,1394

1,027 1,010 1,006 1,005 1,006 1,009 1,014 1,021 1,030 1,039 1,055 1,063 1,075 1,086 1,098 1,109 1,121 1,132 1,142 1,160 1,179 1,197 1,214 1,230 1,248 1,267 1,287 1,309 1,338 1,372 1,419 1,482 1,574 1,688

0,692 1,028 1,329 1,488 1,983 2,075 2,286 2,484 2,671 2,848 3,018 3,177 3,332 3,481 3,625 3,765 3,899 4,023 4,152 4,440 4,690 4,930 5,170 5,400 5,630 5,850 6,070 6,290 6,500 6,720 6,930 7,140 7,350 7,570

MONOXIDO DE CARBONO Tablas.-415

MONOXIDO DE CARBONO Temperatura ºK 220 250 300 350 400 450 500 550 600

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

1,5536 1,3649 1,1388 0,9742 0,8536 0,7585 0,6822 0,6202 0,5685

1,0429 1,0425 1,0421 1,0434 1,0484 1,0551 1,0635 1,0756 1,0877

13,83 15,40 17,84 20,09 22,19 24,18 26,06 27,89 29,60

8,90 11,28 15,67 20,62 25,99 31,88 38,19 44,97 52,06

0,01900 0,02144 0,02525 0,02883 0,03226 0,04360 0,03863 0,04162 0,04446

0,1176 0,1506 0,2128 0,2836 0,3605 0,4439 0,5324 0,6240 0,7190

0,758 0,750 0,737 0,728 0,722 0,718 0,718 0,721 0,724

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

0,0228 0,0362 0,0665 0,0981 0,1282 0,1561 0,182 0,206 0,228 0,251 0,272 0,292 0,315 0,351 0,384 0,412 0,440 0,464 0,488 0,512 0,519

0,0249 0,0676 0,2408 0,475 0,772 1,13 1,554 2,031 2,568 1,164 3,817 4,516 5,306 6,903 8,563 10,217 11,997 13,726 15,484 17,394 18,013

0,759 0,721 0,712 0,718 0,719 0,713 0,706 0,697 0,69 0,682 0,675 0,668 0,664 0,659 0,664 0,676 0,686 0,703 0,715 0,733 0,736

HIDROGENO Temperatura ºK 30 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1333

Densidad ρ (Kg/m3)

0,84722 0,50955 0,24572 0,16371 0,12270 0,09819 0,08185 0,07016 0,06135 0,05462 0,04918 0,04469 0,04085 0,03492 0,03060 0,02723 0,02451 0,02227 0,02050 0,01890 0,01842

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

10,84 10,501 11,229 12,602 13,54 14,059 14,314 14,436 14,491 14,499 14,507 14,532 14,537 14,574 14,675 14,821 14,968 15,165 15,366 15,575 15,638

1,606 2,516 4,212 5,595 6,813 7,919 8,963 9,954 10,864 11,779 12,636 13,475 14,285 15,89 17,40 18,78 20,16 21,46 22,75 24,08 24,44

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

1,895 4,88 17,14 34,18 55,53 80,64 109,5 141,9 177,1 215,6 257,0 301,6 349,7 455,1 569 690 822 965 1107 1273 1328

Conductiv. térmica "k" W/mºC

OXIGENO Temperatura ºK

Densidad ρ (Kg/m3)

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

3,9918 2,6190 1,9559 1,5618 1,3007 1,1133 0,9755 0,8652 0,7801 0,7096 0,6504

Calor específico cp kJ/KgºC

0,9479 0,9178 0,9131 0,9157 0,9203 0,9291 0,9420 0,9567 0,9722 0,9881 1,0044

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 4 (m2/seg)

Nº de Prandtl Pr

7,77 11,49 14,85 17,87 20,63 23,16 25,54 27,77 29,91 31,97 33,92

1,95 4,39 7,59 11,45 15,86 20,80 26,18 31,99 38,34 45,05 52,15

0,00903 0,01367 0,01824 0,02259 0,02676 0,03070 0,03461 0,03828 0,04173 0,04517 0,04832

0,0239 0,0569 0,1021 0,1579 0,2235 0,2968 0,3768 0,4609 0,5502 0,6441 0,7399

0,815 0,773 0,745 0,725 0,709 0,702 0,695 0,694 0,697 0,700 0,704

Tablas.-416

DIOXIDO DE CARBONO, CO2

Temp. ºK 220 250 300 350 400 450 500 550 600

Densidad ρ (Kg/m3)

Calor específico cp kJ/KgºC

Visc. dinám. η.10 6 (Kg/m.seg)

Visc. cinem. ν.10 6 (m2/seg)

Conductiv. térmica "k" W/mºC

Dif. térmica α.10 5 (m2/seg)

2,4733 2,1657 1,7973 1,5362 1,3424 1,1918 1,0732 0,9739 0,8938

0,783 0,804 0,871 0,900 0,942 0,980 1,013 1,047 1,076

11,105 12,59 14,958 17,205 19,32 21,34 23,26 25,08 26,83

4,49 5,81 8,32 11,19 14,39 17,90 21,67 25,74 30,02

0,010805 0,012884 0,016572 0,02047 0,02461 0,02897 0,03352 0,03821 0,04311

0,0592 0,07401 0,10588 0,14808 0,19463 0,24813 0,3084 0,375 0,4483

Nº de Prandtl 0,818 0,793 0,770 0,755 0,738 0,721 0,702 0,685 0,668

VAPOR DE AGUA HUMEDO Temperatura ºC 0 5 10 15 20 25 30 40 60 80 100 125 150 200 250 300

Densidad Kg/m3 Líquido 1000 1000 1000 999 998 997 996 992 983 972 958 939 917 865 799 712

Vapor 0,0049 0,0068 0,0094 0,0128 0,0173 0,0230 0,0304 0,0512 0,130 0,293 0,598 1,30 2,55 7,86 19,98 46,19

Calor específico kJ/Kg.ºC Líquido 4,21 4,20 4,19 4,19 4,18 4,18 4,18 4,18 4,19 4,20 4,22 4,26 4,32 4,51 4,87 5,65

Vapor 1,86 1,86 1,86 1,87 1,87 1,88 1,88 1,89 1,91 1,95 2,01 2,12 2,29 2,91 3,94 6,18

Conductividad térmica Viscosidad dinámica η.10 3 (Kg/m.seg) W/m.ºC Líquido 0,569 0,578 0,587 0,595 0,603 0,611 0,618 0,632 0,653 0,670 0,681 0,687 0,687 0,665 0,616 0,541

Tablas.-417

Vapor 0,0163 0,0167 0,0171 0,0175 0,0179 0,0183 0,0187 0,0195 0,0212 0,0229 0,0248 0,0273 0,0300 0,0375 0,0495 0,0720

Líquido 1,75 1,50 1,30 1,14 1,00 0,89 0,80 0,59 0,46 0,351 0,279 0,220 0,181 0,134 0,107 0,085

Vapor 0,0085 0,0087 0,0088 0,0090 0,0092 0,0094 0,0095 0,0100 0,0106 0,0113 0,1120 0,0130 0,0139 0,0157 0,0175 0,0198

Número de Prandtl Pr Líquido 13,00 10,90 9,29 7,99 6,95 6,09 5,39 3,89 2,97 2,20 1,73 1,36 1,14 0,91 0,85 0,89

Vapor 0,97 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 0,95 0,96 0,97 1,01 1,07 1,22 1,39 1,70

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL CO2 HUMEDO Temperatura Presión ºC Atmósferas Bars -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

6,97 8,49 10,25 12,26 14,55 17,14 20,06 23,34 26,99 30,51 35,54 40,50 45,95 51,93 58,46 65,59 73,34 74,96

6,83 8,32 10,05 12,02 14,27 16,81 19,67 22,79 26,47 30,45 34,85 39,71 45,06 50,92 57,33 64,32 71,92 73,51

v' dm3 /Kg

Líquido i' Kcal/Kg

s' Kcal/Kg.ºC

v" dm3 /Kg

0,867 0,881 0,897 0,913 0,931 0,950 0,971 0,994 1,019 1,048 1,081 1,120 1,166 1,223 1,297 1,409 1,680 2,156

75,00 77,30 79,59 81,80 84,19 86,53 88,93 91,44 94,09 96,91 100,00 103,10 106,50 110,10 114,00 118,80 125,90 133,50

0,9020 0,9120 0,9218 0,9314 0,9408 0,9501 0,9594 0,9690 0,9787 0,9890 1,0000 1,0103 1,0218 1,0340 1,0468 1,0628 1,0854 1,1098

55,407 45,809 38,164 32,008 27,001 22,885 19,466 16,609 14,194 12,141 10,383 8,850 7,519 6,323 5,269 4,232 2,979 2,156

Vapor saturado seco r i" Kcal/Kg Kcal/Kg 80,56 78,59 76,58 74,51 72,37 70,14 67,79 65,26 62,51 59,5 56,13 52,35 48,09 43,07 37,1 28,53 15,05 0

155,57 155,89 156,17 156,39 156,56 156,67 156,78 156,70 156,60 156,41 156,13 155,45 154,59 153,17 151,10 147,33 140,95 133,50

s" Kcal/Kg.ºC 1,2631 1,2563 1,2503 1,2443 1,2385 1,2328 1,2272 1,2218 1,2163 1,2109 1,2055 1,1985 1,1917 1,1836 1,1734 1,1585 1,1351 1,1098

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL SO2 HUMEDO Temp. (ºC) -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Presión Atmósferas Bars 14,55 17,14 20,06 23,34 26,99 30,51 35,54 40,50 45,95 51,93 58,46 65,59 73,34 74,96 6,427 7,447 8,583 9,848 11,25

14,27 16,81 19,67 22,79 26,47 30,45 34,85 39,71 45,06 50,92 57,33 64,32 71,92 73,51 6,303 7,303 8,417 9,657 11,030

v' dm3 /Kg

Líquido i' Kcal/Kg

s' Kcal/Kg.ºC

v" dm3 /Kg

0,931 0,950 0,971 0,994 1,019 1,048 1,081 1,120 1,166 1,223 1,297 1,409 1,680 2,156 0,7536 0,7622 0,7712 0,7808 0,7909

84,19 86,53 88,93 91,44 94,09 96,91 100,00 103,10 106,50 110,10 114,00 118,80 125,90 133,50 112,83 114,41 116,01 117,64 119,23

0,9408 0,9501 0,9594 0,9690 0,9787 0,9890 1,0000 1,0103 1,0218 1,0340 1,0468 1,0628 1,0854 1,1098 1,0434 1,0486 1,0534 1,0584 1,0631

27,001 22,885 19,466 16,609 14,194 12,141 10,383 8,850 7,519 6,323 5,269 4,232 2,979 2,156 58,8 51,1 44,6 39,1 34,4

Tablas.-418

Vapor saturado seco r i" Kcal/Kg Kcal/Kg 72,37 70,14 67,79 65,26 62,51 59,5 56,13 52,35 48,09 43,07 37,1 28,53 15,05 0 82,09 80,91 79,71 78,45 77,21

156,56 156,67 156,78 156,70 156,60 156,41 156,13 155,45 154,59 153,17 151,10 147,33 140,95 133,50 194,92 195,32 195,72 196,09 196,44

s" Kcal/Kg.ºC 1,2385 1,2328 1,2272 1,2218 1,2163 1,2109 1,2055 1,1985 1,1917 1,1835 1,1734 1,1585 1,1351 1,1098 1,3057 1,3029 1,3001 1,2974 1,2949

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL NH3 HUMEDO Temperat. Presión ºC Atm.abs. -52 0,3697 -50 0,4168 -48 0,4686 -46 0,5256 -44 0,5552 -42 0,6568 -40 0,7318 -38 0,5137 -36 0,9028 -34 0,9999 -32 1,1052 -30 1,219 -28 1,342 -26 1,475 -24 1,619 -22 1,774 -20 1,940 -18 2,117 -16 2,309 -14 2,514 -12 2,732 -10 2,966 -8 3,216 -6 3,481 -4 3,761 -2 4,060 0 4,379 2 4,716 4 5,073 6 5,450 8 5,849 10 6,271 12 6,715 14 7,183 16 7,677 18 8,196 20 8,741 22 9,314 24 9,915 26 10,544 28 11,204 30 11,895 32 12,617 34 13,374 36 14,165 38 14,990 40 15,850 42 16,747 44 17,682 46 18,658 48 19,673 50 20,727

v' (dm 3/Kg)

0,001420 0,001425 0,001429 0,001434 0,001439 0,001444 0,001449 0,001455 0,001460 0,001465 0,001470 0,001476 0,001481 0,001487 0,001492 0,001498 0,001504 0,001510 0,001516 0,001522 0,001528 0,001534 0,001540 0,001546 0,001553 0,001555 0,001566 0,001573 0,001580 0,001587 0,001594 0,001601 0,001608 0,001616 0,001623 0,001631 0,001639 0,001647 0,001655 0,001663 0,001671 0,001680 0,001689 0,001698 0,001707 0,001716 0,001726 0,001735 0,001745 0,001756 0,001766 0,001777

v" (m3/Kg)

2,933 2,623 2,351 2,112 1,901 1,715 1,550 1,404 1,274 1,159 1,055 0,963 0,8799 0,5056 0,7386 0,6782 0,6235 0,5742 0,5295 0,4889 0,4520 0,4185 0,3873 0,3599 0,3344 0,3110 0,2897 0,2700 0,2553 0,2353 0,2200 0,2058 0,1927 0,1806 0,1694 0,1591 0,1494 0,1405 0,1322 0,1245 0,1174 0,1107 0,1045 0,0986 0,0932 0,0881 0,0833 0,0788 0,0746 0,0707 0,0670 0,0635

γ'

γ"

i'

i"

r

(Kg/m 3)

(Kg/m 3)

(Kcal/Kg)

(Kcal/Kg)

(Kcal/Kg)

704,4 702,0 699,6 697,2 694,8 692,4 690,0 687,5 685,1 682,6 680,1 671,7 675,2 672,6 670,1 667,6 665,0 662,4 659,8 657,2 654,6 652,0 649,3 646,7 644,0 641,3 638,6 635,8 633,1 630,3 677,5 624,7 621,8 619,0 616,1 613,2 610,3 607,3 604,3 601,3 598,3 595,2 592,1 589,0 585,9 582,7 579,5 576,2 572,9 569,6 566,3 552,9

0,3409 0,3812 0,425 0,473 0,526 0,583 0,045 0,712 0,765 0,663 0,948 1,038 1,136 1,242 1,354 1,474 1,604 1,742 1,889 2,046 2,213 2,390 2,579 2,779 2,991 3,216 3,452 3,703 3,969 4,250 4,546 4,859 5,189 5,537 5,904 6,289 6,694 7,119 7,564 8,031 8,521 9,034 9,573 10,138 10,731 11,353 12,005 12,689 13,404 14,153 14,936 15,756

44,2 46,2 48,4 50,4 52,5 54,6 56,8 58,9 61,0 63,1 65,3 67,4 69,6 71,7 73,9 76,0 78,2 80,3 82,5 84,7 86,9 89,0 91,2 93,4 95,6 97,8 100,0 102,2 104,4 106,6 108,9 111,1 113,4 115,6 117,9 120,1 122,4 124,7 126,9 129,2 131,5 133,8 136,2 138,5 140,8 143,1 145,5 147,9 150,3 152,6 155,0 157,4

383,3 384,1 384,9 385,7 386,5 387,3 388,1 388,9 389,6 390,4 391,2 391,9 392,7 393,4 394,1 394,8 395,5 396,1 396,8 397,4 398,1 398,7 399,3 399,9 400,4 401,0 401,5 402,0 402,5 403,0 403,5 403,9 404,4 404,8 405,2 405,6 405,9 406,3 406,6 406,9 407,2 407,4 407,7 407,9 408,0 408,2 408,4 408,5 408,6 408,6 408,7 408,7

339,1 337,9 336,5 335,3 334,0 332,7 331,3 330,0 328,6 327,3 325,9 324,5 323,1 321,7 320,2 318,8 317,3 315,8 314,3 312,7 311,2 309,7 308,1 306,5 304,8 303,2 301,5 299,8 298,1 296,4 294,6 292,8 291,0 289,2 287,3 285,5 283,5 281,6 279,7 277,7 275,7 273,6 271,5 269,4 267,2 265,1 262,9 260,6 258,3 256,0 253,7 251,3

Tablas.-419

s'

s"

(Kcal/KgºC) (Kcal/KgºC)

0,7741 0,7832 0,7931 0,8021 0,8112 0,8203 0,8295 0,8385 0,8475 0,8565 0,8654 0,8742 0,8830 0,8917 0,9003 0,9089 0,5174 0,9259 0,9343 0,9427 0,9511 0,9553 0,9675 0,9757 0,9839 0,9920 1,0000 1,0080 1,0160 1,0240 1,0319 1,0397 1,0475 1,0553 1,0631 1,0709 1,0785 1,0862 1,0938 1,1014 1,1050 1,1165 1,1241 1,1315 1,1390 1,1464 1,1538 1,1612 1,1686 1,1759 1,1832 1,1904

2,3078 2,2978 2,2880 2,2692 2,2692 2,2600 2,2510 2,2421 2,2336 2,2252 2,2170 2,2090 2,2011 2,1934 2,1858 2,1784 2,1710 2,1638 2,1567 2,1498 2,1430 2,1362 2,1296 2,1231 2,1167 2,1103 2,1041 2,0979 2,0919 2,0859 2,0799 2,0741 2,0683 2,0626 2,0570 2,0514 2,0459 2,0405 2,0351 2,0297 2,0243 2,0191 2,0139 2,0087 2,0035 1,9981 1,9933 1,9882 1,9832 1,9781 1,9731 1,9681

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE MERCURIO p Atm 0,0010 0,0015 0,002 0,003 0,004 0,006 0,008 0,010 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 8,0 9,0 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50

T °C 119,5 128,0 134,6 144,1 151,2 161,5 168,9 175,0 186,6 195,0 207,6 216,9 224,5 230,9 241,0 249,6 256,7 262,7 268,0 272,9 277,3 286,7 294,4 301,7 308,0 318,8 328,0 335,9 342,7 349,7 355,0 365,3 374,0 381,9 389,3 395,8 401,7 407,4 412,5 417,5 422,4 432,8 442,4 451,0 458,9 466,3 472,8 479,1 485,1 496,3 506,3 515,5 532,3 546,7 559,8 571,4 582,4 606,5 627,1 645,5 661,8 677,0 690,9

v´ m /Kg 0,0000752 0,0000753 0,0000754 0,0000755 0,0000756 0,0000758 0,0000759 0,0000760 0,0000761 0,0000762 0,0000764 0,0000765 0,0000766 0,0000767 0,0000769 0,0000770 0,0000771 0,0000772 0,0000772 0,0000773 0,0000774 0,0000775 0,0000776 0,0000777 0,0000778 0,0000780 0,0000781 0,0000782 0,0000783 0,0000784 0,0000785 0,0000787 0,0000788 0,0000789 0,0000790 0,0000791 0,0000792 0,0000793 0,0000794 0,0000794 0,0000795 0,0000797 0,0000798 0,0000799 0,0000801 0,0000802 0,0000803 0,0000804 0,0000805 0,0000806 0,0000808 0,0000809 0,0000812 0,0000814 0,0000816 0,0000818 0,0000819 0,0000823 0,0000827 0,0000830 0,0000832 0,0000835 0,0000837 3

v” m /Kg 165,9 113 56,16 58,78 44,84 30,62 23,35 18,94 12,95 9,893 6,772 5,178 4,206 3,550 2,716 2,209 1,866 1,618 1,430 1,282 1,163 0,9464 0,7995 0,6941 0,6140 0,5003 0,4234 0,3677 0,3253 0,2922 0,2655 0,2245 0,1553 0,1730 0,1555 0,1414 0,1296 0,1196 0,1114 0,1043 0,09798 0,08524 0,07555 0,06801 0,06187 0,05682 0,05254 0,04891 0,04578 0,04065 0,03660 0,03333 0,02837 0,02475 0,02200 0,01983 0,01808 0,01487 0,01268 0,01109 0,00988 0,00892 0,00815 3

γ´ Kg/m3 13298 13250 13263 13245 13228 13193 13175 13158 13141 13123 13089 13072 13055 13038 13004 12987 12970 12953 12953 12937 12920 12903 12887 12870 12853 12821 12804 12768 12771 12755 12739 12706 12690 12674 12658 12642 12626 12610 12594 12584 12579 12547 12531 12516 12484 12469 12453 12433 12422 12407 12376 12361 12315 12285 12255 12225 12210 12151 12092 12048 12019 11976 11947

γ ´´ i’ i” r s´ s” 3 Kg/m Kcal/Kg Kcal/Kg Kcal/Kg Kcal/Kg°C Kcal/Kg°C 0,006028 3,96 76,22 72,26 0,0119 0,1959 0,00555 4,23 76,94 72,21 0,0126 0,1926 0,01161 4,45 76,61 72,16 0,0132 0,1902 0,01701 4,76 76,86 72,10 0,0139 0,1867 0,02230 4,98 77,03 72,05 0,0145 0,1843 0,03266 5,34 77,32 71,98 0,0152 0,1808 0,04253 5,58 77,52 71,94 0,0158 0,1785 0,05250 5,79 77,69 72,90 0,0163 0,1767 0,07722 6,16 77,98 71,82 0,0171 0,1733 0,1011 6,44 78,20 71,76 0,0178 0,1711 0,1477 6,55 75,53 71,68 0,0186 0,1677 0,1931 7,16 78,78 71,62 0,0193 0,1654 0,2378 7,41 78,98 71,57 0,0198 0,1636 0,2817 7,63 79,16 71,53 0,0202 0,1621 0,3682 7,98 79,44 71,46 0,0208 0,1598 0,4527 8,25 79,66 71,41 0,0213 0,1580 0,5359 8,48 79,84 71,36 0,0218 0,1565 0,6181 8,68 80,00 71,32 0,0222 0,1553 0,6993 8,86 80,14 71,28 0,0225 0,1542 0,7800 9,02 80,27 71,25 0,0228 0,1533 0,8599 9,16 80,38 71,22 0,0231 0,1525 1,057 9,46 80,62 71,16 0,0236 0,1507 1,251 9,73 80,84 71,11 0,0241 0,1494 1,441 9,96 81,02 71,06 0,0245 0,1481 1,629 10,18 81,19 71,01 0,0249 0,1471 1,999 10,55 81,49 70,94 0,0255 0,1453 2,362 10,86 81,74 70,68 0,0260 0,1439 2,720 11,12 81,94 70,82 0,0265 0,1428 3,074 11,34 82,01 70,77 0,0269 0,1418 3,422 11,56 82,29 70,73 0,0272 0,1408 3,767 11,76 82,45 70,69 0,0275 0,1400 4,446 12,11 82,63 70,62 0,0280 0,1386 5,120 12,38 82,94 70,56 0,0285 0,1375 5,780 12,64 83,14 70,50 0,0290 0,1366 6,431 12,90 83,35 70,45 0,0294 0,1357 7,072 13,11 83,51 70,40 0,0297 0,1349 7,716 13,32 83,68 70,36 0,0300 0,1342 8,347 13,54 83,86 70,32 0,0303 0,1335 8,977 13,70 83,98 70,28 0,0305 0,1329 9,588 13,87 84,11 70,24 0,0307 0,1324 10,21 14,04 84,25 70,21 0,0309 0,1320 11,73 14,40 84,53 70,13 0,0315 0,1308 13,23 14,74 84,80 70,06 0,0319 0,1298 14,70 15,03 85,02 69,99 0,0323 0,1289 16,16 15,30 85,23 69,93 0,0327 0,1282 17,56 15,56 85,43 69,87 0,0331 0,1760 19,03 15,78 85,59 69,81 0,0334 0,1270 20,45 15,99 85,75 69,76 0,0337 0,1260 21,84 16,20 85,91 69,71 0,0339 0,1258 24,60 16,59 86,20 69,61 0,0344 0,1249 27,32 16,94 86,47 69,53 0,0349 0,1241 30,00 17,25 86,70 69,45 0,0353 0,1234 35,25 17,85 87,15 69,30 0,0360 0,1220 40,40 18,35 87,51 69,16 0,0366 0,1210 45,46 18,81 87,84 69,03 0,0372 0,1201 50,43 19,23 88,14 68,91 0,0377 0,1193 55,31 19,62 88,42 68,80 0,0381 0,1185 67,25 20,46 89,00 68,54 0,0391 0,1170 78,86 21,18 89,48 68,30 0,0399 0,1158 90,17 21,83 89,91 68,08 0,0406 0,1147 101,2 22,41 90,28 67,87 0,0412 0,1138 112,1 22,95 90,62 67,67 0,0418 0,1130 122,7 23,44 90,91 67,47 0,0423 0,1123

Tablas.-420

11.- CALOR ESPECIFICO MEDIO DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO Temperatura de recalentamiento en ºC p

Ts

0,5

80,9

0,470 0,470 0,469 0,469 0,469 0,469 0,470 0,470 0,471 0,472 0,473 0,475 0,476

1

99,1

0,478 0,476 0,475 0,475 0,474 0,474 0,474 0,474 0,475 0,476 0,477 0,478 0,480

2

119,6 0,491 0,488 0,486 0,485 0,484 0,483 0,482 0,482 0,482 0,482 0,483 0,483 0,484

4

142,9 0,521 0,515 0,509 0,505 0,501 0,499 0,497 0,496 0,495 0,494 0,494 0,494 0,494 0,494

6

158,1

0,544 0,534 0,526 0,519 0,514 0,510 0,508 0,505 0,504 0,504 0,503 0,503 0,503 0,503

8

169,4

0,576 0,561 0,548 0,538 0,530 0,525 0,521 0,517 0,515 0,514 0,512 0,511 0,511 0,511

10

179,0

0,590 0,572 0,558 0,548 0,540 0,534 0,530 0,520 0,524 0,522 0,521 0,521 0,521

12

187,1

0,623 0,599 0,580 0,567 0,556 0,548 0,543 0,538 0,535 0,533 0,531 0,531 0,529

14

194,1

0,660 0,629 0,605 0,588 0,575 0,565 0,558 0,553 0,548 0,545 0,542 0,540 0,536

16

200,4

0,661 0,631 0,610 0,594 0,582 0,572 0,565 0,560 0,556 0,552 0,548 0,543

18

206,1

0,697 0,660 0,634 0,615 0,600 0,589 0,580 0,574 0,568 0,562 0,556 0,552

20

211,4

0,738 0,694 0,660 0,637 0,619 0,606 0,596 0,587 0,580 0,573 0,565 0,559

22

216,2

0,810 0,722 0,684 0,658 0,637 0,621 0,608 0,597 0,587 0,579 0,572 0,567

24

220,8

0,746 0,705 0,676 0,653 0,634 0,619 0,607 0,597 0,588 0,580 0,574

26

225,0

0,752 0,722 0,692 0,667 0,647 0,631 0,618 0,606 0,596 0,588 0,581

28

229,0

0,772 0,742 0,712 0,685 0,663 0,644 0,630 0,617 0,606 0,597 0,589

30

232,8

0,760 0,730 0,702 0,678 0,657 0,641 0,627 0,616 0,607 0,599 0,594 0,590 0,586 0,582 0,579 0,578

35

241,4

0,797 0,767 0,737 0,709 0,686 0,667 0,651 0,637 0,625 0,616 0,610 0,605 0,600 0,596 0,592 0,590

40

249,2

0,838 0,807 0,776 0,745 0,718 0,695 0,676 0,660 0,647 0,635 0,628 0,622 0,616 0,611 0,606 0,603

45

256,3

0,878 0,846 0,814 0,782 0,752 0,725 0,703 0,684 0,668 0,655 0,646 0,638 0,631 0,625 0,620 0,617

50

262,7

0,886 0,853 0,820 0,787 0,756 0,731 0,709 0,690 0,675 0,665 0,655 0,647 0,640 0,634 0,631

60

274,3

0,961 0,926 0,891 0,856 0,820 0,788 0,760 0,737 0,717 0,702 0,690 0,679 0,670 0,662 0,658

70

284,5

0,988 0,958 0,928 0,887 0,849 0,814 0,785 0,760 0,741 0,726 0,712 0,701 0,690 0,686

80

293,6

1,086 1,044 1,002 0,960 0,913 0,872 0,838 0,806 0,783 0,764 0,748 0,733 0,720 0,7l4

90

301,9

1,138 1,088 1,038 0,988 0,939 0,895 0,859 0,828 0,805 0,785 0,768 0,753 0,746

100 309,5

1,131 1,117 1,061 1,004 0,954 0,9l2 0,875 0,848 0,824 0,803 0,786 0,778

120 323,1

1,295 1,281 1,230 1,157 1,094 1,029 0,980 0,942 0,909 0,881 0,857 0,846

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

520

540

550

335,l

1,425 1,425 1,337 1,248 1,174 1,102 1,048 I,005 0,968 0,937 0,923

160 345,7

1,667 1,667 1,563 1,446 1,341 1,250 1,179 1,120 1,072 1,031 1,012

200 364,1

2,747 2,350 2,070 1,861 1,687 1,551 l,444

Tablas.-421

l,358 1,286 1,255

12.- CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA HUMEDO Presión sat. Temp. sat. bars

ºC

0,0061 0,0061 0,0070 0,0081 0,0094 0,0100 0,0107 0,0123 0,0140 0,0160 0,0182 0,0206 0,0234 0,0250 0,0264 0,0298 0,0336 0,0378 0,0424 0,0475 0,0500 0,0532 0,0594 0,0662 0,0737 0,0750 0,0819 0,0910 0,1000 0,1008 0,1116 0,1233 0,1361 0,1500 0,1651 0,1815 0,1992 0,2000 0,2184 0,2391 0,2500 0,2615 0,2856 0,3000 0,3116 0,3396 0,3500 0,3696 0,4000 0,4019 0,4365 0,4736 0,5000 0,5133 0,5573 0,6000

0,00 1,00 2,00 4,00 6,00 7,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 21,00 22,00 24,00 26,00 28,00 30,00 32,00 33,00 34,00 36,00 38,00 40,00 40,32 42,00 44,00 45,83 46,00 48,00 50,00 52,00 54,00 56,00 58,00 60,00 60,09 62,00 64,00 65,00 66,00 68,00 69,13 70,00 72,00 72,71 74,00 75,89 76,00 78,00 80,00 81,35 82,00 84,00 85,95

Volumen

Entalpía

Entalpía

v' (dm3/Kg) v" (dm3/Kg)

Volumen

i'(kJ/Kg)

i''(kJ/Kg)

0,0 0,0 8,4 16,8 25,2 29,3 33,6 42,0 50,4 58,8 67,1 75,5 53,4 88,4 92,2 100,6 109,0 117,3 125,7 134,0 137,8 142,4 150,7 159,1 167,4 168,8 175,8 184,2 191,8 192,5 200,9 209,3 217,6 226,0 234,3 242,7 251,1 251,5 259,5 267,8 272,0 276,2 284,6 289,3 293,0 301,4 304,3 309,7 317,6 318,1 326,5 334,9 340,6 343,3 351,7 359,9

2500,8 2500,8 2496,0 2508,1 2511,8 2513,6 2515,5 2519,2 2522,9 2526,5 2530,3 2533,9 2537,6 2539,5 2541,2 2544,8 2548,5 2552,1 2555,7 2559,3 2560,9 2562,9 2566,5 2570,1 2573,7 2574,2 2577,2 2580,8 2584,1 2584,3 2587,9 2591,4 2595,0 2598,5 2602,0 2605,5 2609,0 2609,1 2612,5 2615,9 2617,6 2619,4 2622,8 2624,8 2626,3 2629,7 2630,9 2633,1 2636,3 2636,5 2639,8 2643,2 2645,4 2646,5 2649,9 2653,1

1,0002 1,0002 1,0001 1,0001 1,0001 1,0001 1,0002 1,0003 1,0006 1,0008 1,0011 1,0014 1,0018 1,0021 1,0023 1,0028 1,0033 1,0038 1,0044 1,0050 1,0053 1,0057 1,0064 1,0071 1,0079 1,0080 1,0087 1,0095 1,0103 1,0103 1,0112 1,0121 1,0130 1,0140 1,0150 1,0160 1,0170 1,0171 1,0182 1,0193 1,0199 1,0205 1,0216 1,0223 1,0228 1,0240 1,0244 1,0252 1,0264 1,0264 1,0277 1,0290 1,0299 1,0303 1,0317 1,0331

206288,00 206146,00 179907,00 157258,00 137768,00 129205,00 120956,00 106422,00 93829,00 82894,00 73380,00 65084,00 57836,00 54260,00 51491,00 45925,00 41034,00 36727,00 32929,00 29573,00 28196,00 26601,00 23967,00 21628,00 19546,00 19239,00 17691,00 16035,00 14673,00 14556,00 13232,00 12045,00 10979,00 10021,00 9157,80 8379,90 7677,60 7648,40 7042,80 6468,20 6203,20 5947,30 5474,70 5228,10 5045,30 4654,70 4524,60 4299,10 3992,40 3974,80 3678,80 3408,30 3239,40 3160,90 2934,30 2731,20

Tablas.-422

Entalpía

Entropía

Entropía

Entropía

r{l-v} (kJ/Kg) s' (kJ/Kg.ºK) s''(kJ/Kg.ºK) ∆s(kJ/Kg.ºK)

2500,8 2500,8 2487,6 2491,3 2486,6 2484,3 2481,9 2477,2 2472,5 2467,8 2463,1 2458,4 2453,7 2451,1 2449,0 2444,2 2439,5 2434,8 2430,0 2425,3 2423,1 2420,5 2415,8 2411,0 2406,2 2405,5 2401,4 2396,6 2392,2 2391,8 2387,0 2382,2 2377,3 2372,5 2367,7 2362,8 2357,9 2357,7 2353,0 2318,1 2345,7 2343,2 2338,2 2335,4 2333,3 2328,3 2326,5 2323,3 2318,6 2318,3 2313,3 2308,3 2304,9 2303,2 2298,1 2293,2

0,000 0,000 0,031 0,061 0,091 0,106 0,121 0,151 0,180 0,210 0,239 0,268 0,296 0,312 0,325 0,353 0,381 0,409 0,436 0,164 0,476 0,491 0,518 0,545 0,572 0,576 0,599 0,625 0,649 0,651 0,678 0,704 0,729 0,755 0,780 0,806 0,831 0,832 0,856 0,881 0,893 0,906 0,930 0,944 0,955 0,979 0,988 1,003 1,026 1,027 1,051 1,075 1,091 1,099 1,123 1,145

9,155 9,155 9,102 9,050 8,999 8,974 8,949 8,900 8,851 8,804 8,757 8,711 8,666 8,642 8,622 8,579 8,536 8,494 8,452 8,412 8,394 8,372 8,333 8,294 8,256 8,250 8,219 8,182 8,149 8,146 8,110 8,075 8,041 8,007 7,974 7,941 7,909 7,907 7,877 7,845 7,830 7,815 7,784 7,767 7,754 7,725 7,715 7,696 7,669 7,667 7,639 7,611 7,593 7,584 7,557 7,531

9,155 9,155 9,071 8,989 8,908 8,868 8,828 8,749 8,671 8,594 8,518 8,444 8,370 8,330 8,297 8,226 8,155 8,085 8,016 7,948 7,918 7,881 7,814 7,749 7,684 7,674 7,620 7,557 7,499 7,494 7,433 7,372 7,312 7,252 7,193 7,135 7,078 7,075 7,021 6,965 6,937 6,909 6,854 6,823 6,800 6,746 6,727 6,693 6,643 6,640 6,588 6,536 6,502 6,485 6,435 6,386

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA HUMEDO (Continuación) Presión sat. Temp. sat.

Volumen

Volumen

Entalpía

Entalpía

bars

ºC

v' (dm3/Kg)

v" (dm3/Kg)

i'(kJ/Kg)

i''(kJ/Kg)

0,6011 0,6495 0,7000 0,7011 0,7561 0,8000 0,8146 0,8769 0,9000 0,9430 1,0000 1,0132 1,2000 1,2080 1,4000 1,4326 1,6000 1,6905 1,8000 1,9853 2,0000 2,2000 2,3209 2,4000 2,6000 2,7012 2,8000 3,0000 3,1305 3,5000 3,6136 4,0000 4,1549 4,5000 4,7597 5,0000 5,4331 5,5000 6,0000 6,1805 6,5000 7,0000 7,0076 7,5000 7,9203 8,0000 8,5000 8,9247 9,0000 9,5000 10,0271 10,5000

86,00 88,00 89,96 90,00 92,00 93,51 94,00 96,00 96,71 98,00 99,63 100,00 104,81 105,00 109,32 110,00 113,32 115,00 116,93 120,00 120,23 123,27 125,00 126,09 128,73 130,00 131,21 133,54 135,00 138,88 140,00 143,63 145,00 147,92 150,00 151,85 155,00 155,47 158,84 160,00 161,99 164,96 165,00 167,76 170,00 170,41 172,94 175,00 175,36 177,67 180,00 182,01

1,0331 1,0345 1,0359 1,0359 1,0374 1,0385 1,0388 1,0404 1,0409 1,0419 1,0432 1,0435 1,0472 1,0474 1,0509 1,0515 1,0543 1,0558 1,0575 1,0603 1,0605 1,0633 1,0649 1,0659 1,0685 1,0697 1,0709 1,0732 1,0747 1,0786 1,0798 1,0836 1,0851 1,0883 1,0906 1,0926 1,0962 1,0967 1,1007 1,1021 1,1045 1,1080 1,1081 1,1115 1,1144 1,1149 1,1181 1,1208 1,1213 1,1243 1,1275 1,1302

2726,60 2536,00 2364,30 2360,90 2199,90 2086,80 2051,80 1915,20 1869,10 1789,30 1693,70 1673,00 1428,20 1419,40 1236,50 1210,10 1091,30 1036,50 977,39 891,71 885,59 809,99 770,43 746,60 692,66 668,32 646,19 605,72 582,00 524,14 508,66 462,35 446,12 413,86 392,57 374,77 346,65 342,57 315,56 306,85 292,57 272,76 272,48 255,50 242,62 240,32 226,88 216,60 214,87 204,09 193,85 185,51

360,1 368,5 376,8 376,9 385,4 391,7 393,8 402,2 405,2 410,6 417,5 419,1 439,4 440,2 458,4 461,3 475,4 482,5 490,7 503,7 504,7 517,6 525,0 529,6 540,9 546,3 551,5 561,4 567,7 584,3 589,1 604,7 610,6 623,2 632,2 640,1 653,8 655,8 670,4 675,5 684,1 697,1 697,3 709,3 719,1 720,9 732,0 741,1 742,6 752,8 763,1 772,0

2653,2 2656,5 2659,7 2659,7 2663,0 2665,4 2666,2 2669,4 2670,6 2672,6 2675,2 2675,8 2683,3 2683,6 2690,3 2691,3 2696,4 2698,9 2701,8 2706,3 2706,6 2711,0 2713,5 2715,0 2718,7 2720,5 2722,2 2725,4 2727,3 2732,5 2733,9 2738,6 2740,4 2744,0 2746,5 2748,7 2752,5 2735,0 2756,8 2758,1 2760,3 2763,5 2763,5 2766,4 2768,7 2769,1 2771,5 2773,5 2773,8 2776,0 2778,0 2779,8

Tablas.-423

Entalpía Entropía Entropía Entropía r{l-v} (kJ/Kg) s' (kJ/Kg.ºK) s''(kJ/Kg.ºK) ∆s(kJ/Kg.ºK)

2293,0 2287,9 2282,9 2282,8 2277,6 2273,7 2272,4 2267,2 2265,4 2262,0 2257,7 2256,7 2244,0 2243,5 2231,9 2230,0 2221,0 2216,4 2211,1 2202,5 2201,9 2193,4 2188,5 2185,4 7177,8 2174,2 2170,7 2163,9 2159,7 2148,2 2144,8 2133,9 2129,8 2120,8 2114,4 2108,6 2098,7 2097,2 2086,4 2082,7 2076,2 2066,4 2066,3 2057,1 2049,6 2048,2 2039,5 2032,4 2031,2 2023,2 2014,9 2007,8

1,146 1,169 1,192 1,192 1,216 1,233 1,239 1,262 1,270 1,284 1,303 1,308 1,361 1,363 1,411 1,419 1,455 1,473 1,494 1,528 1,530 1,563 1,581 1,593 1,621 1,634 1,647 1,672 1,687 1,727 1,739 1,776 1,791 1,820 1,842 1,860 1,892 1,897 1,931 1,942 1,962 1,992 1,992 2,020 2,042 2,046 2,070 2,091 2,094 2,117 2,139 2,159

7,531 7,504 7,478 7,478 7,453 7,434 7,428 7,403 7,394 7,379 7,359 7,355 7,298 7,296 7,246 7,239 7,202 7,183 7,163 7,130 7,127 7,096 7,078 7,067 7,040 7,027 7,015 6,992 6,978 6,941 6,930 6,897 6,884 6,857 6,838 6,822 6,794 6,790 6,761 6,751 6,734 6,709 6,708 6,685 6,667 6,663 6,643 6,626 6,623 6,604 6,586 6,570

6,385 6,335 6,287 6,286 6,237 6,201 6,189 6,142 6,125 6,095 6,056 6,048 5,937 5,933 5,835 5,820 5,747 5,710 5,668 5,602 5,597 5,533 5,497 5,474 5,419 5,393 5,368 5,321 5,291 5,214 5,191 5,120 5,093 5,037 4,997 4,962 4,902 4,893 4,830 4,808 4,772 4,717 4,716 4,665 4,625 4,617 4,573 4,535 4,529 4,487 4,446 4,411

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA HUMEDO (Continuación) Presión sat. Temp. sat.

Entalpía

Entalpía

ºC

Volumen v' (dm3/Kg)

Volumen

bars

v" (dm3/Kg)

i'(kJ/Kg)

i''(kJ/Kg)

11,0000 11,5000 12,0000 12,5000 13,0000 13,5000 14,0000 14,5000 15,0000 15,5510 16,0000 17,0000 17,2450 18,0000 19,0000 19,0800 20,0000 21,0000 21,0630 22,0000 23,0000 23,2010 24,0000 25,0000 25,5040 27,5000 27,9790 30,0000 30,6350 32,5000 33,4800 35,0000 36,5240 37,5000 39,7760 40,0000 42,5000 43,2450 45,0000 46,9400 47,5000 50,0000 50,8720 55,0000 55,0510 59,4870 60,0000 64,1920 65,0000 69,1750 70,0000 74,4490 75,0000 80,0000 85,0000 85,9170

184,06 186,04 187,96 189,81 191,60 193,34 195,04 196,68 198,28 200,00 201,37 204,30 205,00 207,10 209,79 210,00 212,37 214,85 215,00 217,24 219,55 220,00 221,78 223,94 225,00 229,06 230,00 233,84 235,00 238,32 240,00 242,54 245,00 246,54 250,00 250,33 253,95 255,00 257,41 260,00 260,73 263,92 265,00 269,94 270,00 275,00 275,56 280,00 280,83 285,00 285,80 290,00 290,51 294,98 299,24 300,00

1,1331 1,1359 1,1386 1,1412 1,1438 1,1464 1,1400 1,1514 1,1539 1,1565 1,1586 1,1633 1,1644 1,1678 1,1722 1,1726 1,1766 1,1809 1,1812 1,1851 1,1892 1,1900 1,1932 1,1972 1,1992 1,2069 1,2087 1,2163 1,2187 1,2256 1,2291 1,2345 1,2399 1,2433 1,2512 1,2520 1,2606 1,2631 1,2690 1,2755 1,2774 1,2857 1,2886 1,3021 1,3023 1,3168 1,3185 1,3321 1,3347 1,3483 1,3510 1,3655 1,3673 1,3838 1,4005 1,4036

177,44 170,05 163,25 156,98 151,17 145,79 140,77 136,08 131,70 127,29 123,73 116,66 115,05 110,36 104,69 104,27 99,57 94,93 94,65 90,69 86,80 86,06 83,23 19,94 78,31 72,71 71,47 66,65 65,27 61,49 59,67 57,05 54,62 53,17 50,06 49,77 46,75 45,91 44,05 42,15 41,63 39,44 38,72 35,60 35,63 32,74 32,44 30,13 29,72 27,74 27,37 25,54 25,32 23,52 21,92 21,64

781,1 789,9 798,4 806,7 814,7 822,2 830,0 837,4 844,6 852,4 858,5 871,8 875,0 884,5 896,8 897,7 908,6 919,9 920,6 930,9 941,6 943,7 951,9 961,9 966,9 985,9 990,3 1008,3 1013,8 1029,6 1037,6 1049,8 1061,6 1069,0 1085,8 1087,4 1105,1 1110,2 1122,1 1134,9 1138,9 1154,5 1159,9 1184,9 1185,2 1210,8 1213,7 1236,8 1241,1 1263,1 1267,4 1289,9 1292,6 1317,0 1340,6 1344,9

2781,5 2783,1 2784,6 2786,0 2787,3 2788,5 2789,7 2790,8 2791,8 2792,8 2793,6 2795,2 2795,6 2796,6 2797,8 2797,9 2798,9 2799,8 2799,8 2800,6 2801,3 2801,4 2801,9 2802,3 2802,5 2803,1 2803,2 2803,4 2803,4 2803,2 2803,1 2802,7 2802,2 2801,9 2800,9 2800,8 2799,4 2799,0 2797,8 2796,4 2796,0 2794,0 2793,3 2789,5 2789,4 2784,9 2784,3 2779,6 2788,6 2773,4 2772,3 2766,3 2765,6 2758,3 2750,7 2749,2

Tablas.-424

Entalpía Entropía Entropía Entropía r{l-v} (kJ/Kg) s' (kJ/Kg.ºK) s''(kJ/Kg.ºK) ∆s(kJ/Kg.ºK)

2000,4 1993,2 1986,2 1979,3 1972,6 1966,0 1959,6 1953,4 1917,1 1940,4 1935,1 1923,4 1920,6 1912,1 1901,1 1900,2 1890,4 1879,9 1879,3 1869,7 1859,7 1857,8 1850,0 1840,4 1835,6 1817,2 1812,9 1795,0 1789,5 1773,7 1765,5 1753,0 1740,7 1732,9 1715,1 1713,4 1694,3 1688,7 1675,7 1661,5 1657,4 1639,5 1633,3 1604,6 1604,2 1574,0 1570,6 1542,5 1537,5 1510,3 1540,9 1476,4 1472,9 1441,3 1410,1 1404,3

2,179 2,198 2,216 2,234 2,251 2,268 2,284 2,299 2,314 2,331 2,344 2,371 2,378 2,398 2,423 2,425 2,447 2,470 2,471 2,492 2,514 2,518 2,534 2,554 2,564 2,602 2,610 2,645 2,656 2,687 2,702 2,725 2,748 2,762 2,793 2,797 2,830 2,839 2,861 2,885 2,892 2,921 2,931 2,976 2,976 3,022 3,027 3,068 3,076 3,114 3,122 3,161 3,166 3,207 3,248 3,255

6,554 6,538 6,523 6,508 6,495 6,482 6,469 6,457 6,445 6,431 6,422 6,400 6,394 6,379 6,359 6,358 6,340 6,322 6,321 6,305 6,288 6,285 6,272 6,257 6,249 6,220 6,213 6,186 6,178 6,154 6,142 6,125 6,107 6,096 6,072 6,070 6,044 6,032 6,020 6,001 5,996 5,973 5,966 5,930 5,930 5,894 5,890 5,857 5,851 5,820 5,814 5,783 5,779 5,744 5,711 5,105

4,375 4,340 4,307 4,274 4,244 4,214 4,186 4,158 4,130 4,101 4,078 4,028 4,017 3,981 3,936 3,933 3,893 3,852 3,850 3,813 3,775 3,767 3,738 3,702 3,685 3,618 3,603 3,541 3,522 3,468 3,440 3,399 3,359 3,335 3,278 3,273 3,214 3,197 3,158 3,116 3,104 3,053 3,035 2,955 2,954 2,872 2,862 2,789 2,775 2,706 2,692 2,622 2,613 2,537 2,463 2,450

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA HUMEDO (Continuación) Presión sat. Temp. sat.

Entalpía

ºC

v' (dm3/Kg)

Volumen v" (dm3/Kg)

Entalpía

bars

Volumen

i'(kJ/Kg)

i''(kJ/Kg)

Entalpía r{l-v} (kJ/Kg)

90,0000 92,1400 95,0000 98,7000 100,0000 105,6100 110,0000 112,9000 120,0000 120,5700 128,6500 130,0000 137,1400 140,0000 146,0000 150,0000 155,4800 160,0000 165,3700 170,0000 175,7700 180,0000 186,7400 190,0000 198,3000 200,0000 210,0000 220,0000

303,31 305,00 307,22 310,00 310,96 315,00 318,04 320,00 324,64 325,00 330,00 330,81 335,00 336,63 340,00 342,12 345,00 347,32 350,00 352,26 355,00 356,96 360,00 361,44 365,00 365,71 369,79 373,71

1,4174 1,4247 1,4346 1,4475 1,4521 1,4722 1,4883 1,4992 1,5266 1,5289 1,5620 1,5678 1,5990 1,6115 1,6390 1,6580 1,6860 1,7100 1,7410 1,7690 1,8070 1,8380 1,8940 1,9230 2,0160 2,0390 2,2130 2,6900

20,48 19,92 19,19 18,32 18,02 16,83 15,98 15,45 14,26 14,17 12,97 12,78 11,84 11,49 10,78 10,35 9,77 9,32 8,81 8,38 7,87 7,51 6,94 6,67 5,99 5,85 4,98 3,68

1363,5 1373,2 1385,9 1402,1 1407,7 1431,7 1450,1 1462,2 1491,2 1493,5 1526,0 1531,4 1559,7 1571,0 1594,8 1610,1 1631,8 1649,7 1671,2 1690,0 1713,9 1731,8 1761,5 1776,5 1817,5 1826,6 1888,5 2007,9

2742,5 2738,9 2733,9 2727,2 2724,8 2714,1 2705,5 2699,6 2684,7 2683,5 2665,5 2662,3 2645,2 2638,0 2622,0 2611,3 2595,4 2581,6 2564,2 2548,3 2527,0 2510,4 2481,1 2465,7 2420,9 2410,5 2335,6 2178,0

1379,0 1365,8 1348,0 1325,2 1317,1 1282,4 1255,4 1237,5 1193,5 1190,0 1139,5 1131,0 1085,5 1067,0 1027,2 1001,1 963,6 931,9 893,0 858,4 813,1 778,6 719,6 689,2 603,4 583,9 447,1 170,1

Tablas.-425

Entropía

Entropía

Entropía

s' (kJ/Kg.ºK) s''(kJ/Kg.ºK) ∆s(kJ/Kg.ºK)

3,286 3,302 3,324 3,351 3,360 3,400 3,430 3,449 3,496 3,500 3,552 3,561 3,605 3,623 3,661 3,685 3,718 3,746 3,779 3,808 3,844 3,872 3,916 3,941 4,001 4,014 4,108 4,289

5,679 5,665 5,647 5,623 5,615 5,580 5,553 5,535 5,493 5,489 5,441 5,433 5,390 5,373 5,366 5,312 5,277 5,248 5,212 5,181 5,138 5,108 5,053 5,027 4,946 4,928 4,803 4,552

2,392 2,362 2,323 2,272 2,255 2,180 2,123 2,086 1,997 1,989 1,889 1,873 1,785 1,750 1,675 1,627 1,559 1,502 1,433 1,372 1,294 1,236 1,136 1,086 0,945 0,914 0,695 0,263

13.- CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO v = volumen específico en (dm3/Kg) i = entalpía específica en (kJ/Kg) s = entropía específica en (kJ/KgºK) T(ºC) 0 50 100 p(bar)=0,01 ; Ts= 6,98°C v) 1,0002 149097 172192 i) 0 2595 2689 s) 0 9,241 9,512 p(bar)=0,1 ; Ts= 45,83°C v) 1,0002 14870 17198 i) 0 2592 2688 s) 0 8,173 8,447 p(bar)=0,5 ; Ts= 81,35°C v) 1,0002 1,0121 3420 i) 0 209,3 2683 s) 0 0,703 7,694 p(bar)=1 ; Ts= 99,63°C v) 1,0001 1,0121 1696 i) 0,1 209,3 2676 s) 0 0,703 7,36 p(bar)=1,5 ; Ts= 114,4°C v) 1,0001 1,012 1,0434 i) 0,1 209,4 419,2 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=2,0 ; Ts= 120,23°C v) 1,0001 1,012 1,0434 i) 0,2 209,4 419,3 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=2,5 ; Ts= 127,40°C v) 1,0001 1,012 1,0433 i) 0,2 209,5 419,3 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=3,0 ; Ts= 133,54°C v) 1 1,012 1,0433 i) 0,3 209,5 419,4 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=4,0 ; Ts= 143,63°C v) 1 1,0119 1,0433 i) 0,4 209,6 419,4 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=5,0 ; Ts= 151,85°C v) 0,9999 1,0119 1,0432 i) 0,5 209,7 419,4 s) 0 0,703 1,307 p(bar)=6,0 ; Ts= 158,84°C v) 0,9999 1,0118 1,0432 i) 0,6 209,8 419,4 s) 0 0,703 1,306 p(bar)=7,0 ; Ts= 164,96°C v) 0,999 1,0118 1,0431 i) 0,7 209,9 419,5 s) 0 0,703 1,306 p(bar)=8,0 ; Ts= 170,41°C v) 0,9998 1,0118 1,0431 i) 0,8 209,9 419,6 s) 0 0,703 1,306

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

195277

218357

241436

264514

287591

310661

333737

356813

379889

402965

426041

449117

2784 9,751

2880 9,966

2978 3077 3178 10,163 10,344 10,512

3280 10,67

3384 10,819

3489 10,96

3597 3706 3816 3929 11,094 11,223 11,346 11,465

19514 2783 8,688

21826 2880 8,903

24136 2977 9,1

26446 3077 9,281

28755 3177 9,449

31063 3280 9,607

33371 3384 9,756

35679 3489 9,897

37988 40296 3597 3706 10,032 10,16

42603 44911 3816 3929 10,284 10,402

3890 2780 7,94

4356 2878 8,158

4821 2976 8,355

5284 3076 8,537

5747 3177 8,705

6209 3279 8,864

6672 3383 9,013

7134 3489 9,154

7596 3596 9,289

8058 3705 9,417

8519 3816 9,541

8981 3929 9,659

1937 2777 7,614

2173 2876 7,834

2406 2975 8,033

2639 3075 8,215

2871 3176 8,384

3103 3278 8,543

3334 3382 8,692

3565 3488 8,834

3797 3596 8,968

4028 3705 9,097

4259 3816 9,22

4490 3928 9,339

1286 2773 7,42

1445 2873 7,643

1601 2973 7,843

1757 3073 8,027

1912 3175 8,196

2067 3277 8,355

2222 3382 8,504

2376 3488 8,646

2530 3595 8,781

2685 3704 8,909

2839 3815 9,033

2993 3928 9,152

960,2 2770 7,28

1081 2871 7,507

1199 2971 7,708

1316 3072 7,892

1433 3174 8,062

1549 3277 8,221

1665 3381 8,371

1781 3487 8,513

1897 3595 8,648

2013 3704 8,776

2129 3815 8,9

2244 3928 9,019

764,7 2766 7,17

862,3 2869 7,4

957,5 2970 7,603

1052 3071 7,788

1145 3173 7,958

1239 3276 8,117

1332 3380 8,267

1424 3487 8,409

1517 3594 8,544

1610 3704 8,673

1703 3815 8,797

1795 3927 8,916

634,2 2762 7,078

716,6 2806 7,312

796,5 2968 7,517

875,4 3070 7,702

953,4 3172 7,873

1031 3275 8,032

1109 3380 8,182

1187 3486 8,324

1264 3594 8,46

1341 3703 8,589

1419 3814 8,712

1496 3927 8,831

471 2753 6,929

534,5 2862 7,172

595,3 2965 7,379

654,9 3067 7,566

713,9 3170 7,738

772,5 3274 7,898

831,1 3378 8,048

889,3 3485 8,326

947,4 3593 8,326

1005 3703 8,455

1063 3814 8,579

1121 3927 8,698

1,0905 632,2 1,842

425,2 2857 7,06

474,5 2962 7,271

522,6 3065 7,46

570,1 3168 7,633

617,2 3272 7,793

664,1 3377 7,944

710,8 3484 8,087

757,5 3592 8,222

804 3702 8,351

850,4 3813 8,475

896,9 3926 8,595

1,0905 632,2 1,841

352,2 2851 6,968

394 2958 7,182

434,4 3062 7,373

474,3 3166 7,546

513,6 3270 7,707

552,8 3376 7,858

591,9 3483 8,001

630,8 3591 8,131

669,7 3701 8,267

708,4 3812 8,391

747,1 3925 8,51

1,0904 632,3 1,841

300,1 2846 6,888

336,4 2955 7,106

371,4 3060 7,298

405,8 3164 7,473

439,7 3269 7,634

473,4 3374 7,786

503,9 3482 7,929

540,4 3590 8,065

573,7 3700 8,195

607 3812 8,319

640,7 3925 8,438

1,0903 632,3 1,841

261 2840 6,817

293,3 2951 7,04

324,2 3057 7,233

354,4 3162 7,409

384,2 3267 7,571

413,8 3373 7,723

443,2 3481 7,866

472,5 3589 8,003

501,8 3699 8,132

530,9 381l 8,257

560 3924 8,376

Tablas.-426

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO Continuación T(ºC) 0 50 100 p(bar)=9,0 ; Ts= 175,36°C v) 0,9997 1,0117 1,043 i) 0,9 210 419,7 s) 0 0,703 1,306 p(bar)=10 ; Ts= 179,9°C v) 0,9997 1,0117 1,043 i) 1 210,1 419,7 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 11,0 ; Ts= 184,06 ºC v) 0,9996 1,0116 1,0429 i) 1,1 210,2 419,8 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 12,0 ; Ts= 187,96 ºC v) 0,9996 1,0116 1,0429 i) 1,2 210,3 419,9 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 13,0 ; Ts= 191,60 ºC v) 0,9995 1,0115 1,0428 i) 1,3 210,4 420 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 14,0 ; Ts= 195,04 ºC v) 0,9995 1,0115 1,0428 i) 1,4 210,5 420 s) 0 0,7031 1,3061 p(bar) = 15,0 ; Ts= 198,28 ºC v) 0,9994 1,0114 1,0427 i) 1,5 210,5 420,1 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 16,0 ; Ts= 201,37 ºC v) 0,9994 1,0114 1,0426 i) 1,6 210,6 420,2 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 17,0 ; Ts= 204,30 ºC v) 0,9993 1,0114 1,0114 i) 1,7 210,7 420,3 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 18,0 ; Ts= 207,10 ºC v) 0,9993 1,0113 1,0425 i) 1,8 210,8 420,3 s) 0 0,703 1,306 p(bar) = 19,0 ; Ts= 209,79 ºC v) 0,9992 1,0113 1,0425 i) 1,9 210,9 420,4 s) 0 0,703 1,305 p(bar) = 20,0 ; Ts= 212,37 ºC v) 0,9992 1,0112 1,0424 i) 2 211 420,5 s) 0 0,703 1,305 p(bar) = 22,0 ; Ts= 217,24 ºC v) 0,9991 1,0111 1,0423 i) 2,2 211,1 420,6 s) 0 0,703 1,305 p(bar) = 24,0 ; Ts= 221,78 ºC v) 0,999 1,011 1,0422 i) 2,4 211,3 420,8 s) 0 0,703 l,305

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

1,0903 632,4 1,841

230,5 2835 6,753

259,7 2948 6,98

287,4 3055 7,176

314,4 3160 7,352

341 3266 7,515

367,4 3372 7,667

393,7 3480 7,811

419,8 3588 7,948

445,8 3699 8,077

471,7 3810 8,202

497,6 3924 8,321

1,0902 632,5 1,841

206,1 2829 6,695

232,8 2944 6,926

258 3052 7,124

282,5 3158 7,301

306,5 3264 7,464

330,3 3370 7,617

354 3478 7,761

377,6 3587 7,898

401 3698 8,028

424,4 3810 8,153

447,7 3923 8,272

1,0901 632,5 1,841

186,1 2823 6,64

210,8 2940 6,877

233,9 3050 7,076

256,3 3156 7,255

278,2 3262 7,419

300 3369 7,572

321,6 3477 7,716

343 3587 7,853

364,4 3697 7,983

385,7 3809 8,108

406,9 3922 8,228

1,0901 632,6 1,841

169,4 2817 6,59

192,4 2937 6,831

213,9 3047 7,033

234,5 3154 7,212

254,7 3261 7,377

274,7 3368 7,53

294,5 3476 7,675

314,2 3586 7,812

333,8 3696 7,943

353,4 3808 8,067

372,9 3922 8,187

1,09 632,7 1,841

155,2 2810 6,542

176,9 2933 6,788

196,9 3044 5,992

216,1 3152 7,173

234,8 3259 7,338

253,3 3366 7,492

271,7 3475 7,637

289,9 3585 7,774

308,8 3695 7,905

326,1 3808 8,03

344,1 3921 8,15

1,0899 632,7 1,841

143 2803 6,496

163,6 2929 6,749

182,3 3042 6,955

200,3 3150 7,137

217,7 3257 7,302

235,1 3365 7,456

252,1 3474 7,602

269 3584 7,739

285,9 3695 7,87

302,7 3807 7,995

319,4 3921 8,115

1,0899 632,8 1,84

132,4 2796 6,452

152 2925 6,711

169,7 3039 6,919

186,5 3148 7,102

202,9 3256 7,268

219,1 3364 7,423

235,1 3473 7,569

250,9 3583 7,707

266,7 3694 7,838

282,4 3806 7,963

298 3920 8,03

1,0898 1,1565 632,8 852,4 1,84 2,331

141,9 2921 6,675

158,6 3036 6,886

174,6 3546 7,07

190 3254 7,237

205,2 3362 7,392

220,2 3472 7,538

235,1 3582 7,676

249,9 3693 7,807

264,6 3805 7,932

279,3 3919 8,053

1,0898 1,0426 632,9 852,4 1,84 2,33

133 2917 6,641

148,9 3033 6,854

164 3144 7,04

178,5 3252 7,207

192,9 3361 7,362

207,1 3471 7,509

221,1 3581 7,647

235,1 3692 7,778

249 3805 7,904

262,8 3919 8,024

1,087 633 1,00

1,1563 852,5 0,84

125 2913 2,33

140,2 3031 6,609

154,6 3142 6,824

168,4 3251 7,011

182 3360 7,179

195,4 3470 7,335

208,7 3580 7,000

221,9 3691 482

235 3804 7,62

248,1 3918 7,751

1,0896 1,1562 633 852,8 1,84 2,33

117,9 2909 6,578

132,5 3028 6,795

146,1 3140 6,983

159,3 3249 7,152

172,2 3358 7,308

185 3468 7,456

197,6 3579 7,594

210,1 3691 7,726

222,6 3803 7,851

235 3918 7,972

1,0896 1,1561 633,1 852,6 1,84 2,33

111,5 2904 6,547

125,5 3025 6,768

138,6 3138 6,957

151,1 3248 7,126

163,4 3357 7,283

175,6 3467 7,431

187,6 3578 7,57

199,S 3690 7,701

211,4 3803 7,827

223,2 3917 7,948

1,0894 1,1559 633,2 852,6 l,840 2,33

100,4 2896 6,49

113,4 3019 6,716

125,5 3134 6,908

137 3244 7,079

148,3 3354 7,236

159,4 3465 7,385

170,3 3576 7,524

181,2 3688 7,656

192 3801 7,782

202,8 3916 7,903

1,0893 1,1557 635,3 852,7 1,84 2,329

91,13 2887 6437

103,3 3014 6,669

114,5 3130 6,863

125,2 3241 7,035

135,6 3352 7,194

145,8 3463 7,342

155,9 3574 7,482

165,9 3687 7,615

175,9 3800 7,741

185,7 3915 7,862

Tablas.-427

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO Continuación T ºC 0 50 100 p(bar) = 26,0 ; Ts= 226,00 ºC v) 0,9988 l,0110 1,0421 i) 2,6 211,5 420,9 s) 0 0,702 l,305 p(bar) = 28,0 ; Ts= 230,00 ºC v) 0,9987 1,0109 1,042 i) 2,8 211,7 421,1 s) 0 0,702 1,305 p(bar) = 30,0 ; Ts= 233,84 ºC v) 0,9986 1,0108 1,0419 i) 3 211,8 421,2 s) 0 0,702 1,305 p(bar)= 32 ; Ts= 237,4ºC v) 0,9985 1,0107 1,0418 i) 3,2 212 421,4 s) 0 0,702 1,305 p(bar)= 34 ; Ts= 240,9ºC v) 0,9984 1,0106 1,0417 i) 3,4 212,2 421,5 s) 0 0,702 1,304 p(bar)= 36 ; Ts= 244,2ºC v) 0,9983 l,0105 1,0416 i) 3,6 212,3 421,7 s) 0 0,702 1,304 p(bar)= 38 ; Ts= 247,3ºC v) 0,9982 1,0104 1,0415 i) 3,8 212,5 421,8 s) 0 0,702 1,304 p(bar)= 40 ; Ts= 250,33ºC v) 0,9981 1,0103 1,0414 i) 4 212,7 422 s) 0 0,702 1,304 p(bar)= 44 ; Ts= 256,0ºC v) 0,9979 1,0102 1,0412 i) 4,4 213 422,3 s) 0 0,702 1,304 p(bar)= 48 ; Ts= 261,4ºC v) 0,9977 1,01 1,041 i) 4,8 213,4 422,6 s) 0 0,701 1,303 p(bar)= 52 ; Ts= 266,4ºC v) 0,9975 1,0098 1,0408 i) 5,2 213,7 422,9 s) 0 0,701 1,303 p(bar)= 56 ; Ts= 271,1ºC v) 0,9973 1,0096 1,0406 i) 5,6 214,1 423,2 s) 0 0,701 1,303 p(bar)= 60 ; Ts= 275,56ºC v) 0,9971 1,0095 1,0404 i) 6 214,4 423,5 s) 0 0,701 1,302 p(bar)= 64 ; Ts= 279,8ºC v) 0,9969 1,0093 1,0402 i) 6,5 214,8 423,8 s) 0 0,701 1,302

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

l,0892 1,1555 633,5 852,8 1,839 2,329

33,26 2877 5,385

94,82 3008 6,624

105,3 3125 6,821

115,2 3238 6,994

124,9 3349 7,154

134,4 3461 7,303

143,8 3573 7,443

153 3685 7,576

162,2 3799 7,703

171,3 3913 7,824

1,0891 1,1553 633,6 852,9 1,839 2,329

76,49 2868 6,336

87,5 3002 6,581

97,38 3121 6,781

106,7 3234 6,956

115,7 3346 7,117

124,6 3458 7,267

133,3 3571 7,408

142 3683 7,541

150,5 3797 7,667

159 3912 7,689

1,0889 1,1551 633,7 852,9 1,839 2,328

70,61 2858 6,289

81,15 2995 6,541

90,51 3117 6,744

99,28 3231 6,921

107,8 3343 7,082

116,1 3456 7,233

124,3 3569 7,374

132,4 3682 7,507

140,4 3796 7,634

148,3 3911 7,756

1,0888 1,1549 633,8 853 1,839 2,328

75,43 2847 5,243

78,59 2989 6,503

84,49 3112 6,709

92,8 3227 6,887

100,8 3341 7,05

108,7 3454 7,201

116,41 3567 7,343

124 3680 7,476

131,5 3794 7,603

139 3910 7,725

1,0887 1,1547 634 853,1 1,838 2,328

60,84 2836 6,198

70,67 2983 6,466

79,18 3108 6,675

87,08 3224 6,855

94,69 3328 7,019

102,1 3451 7,171

109,4 3565 7,313

116,6 3679 7,447

123,7 3793 7,574

130,7 3909 7,696

1,0885 1,1545 634,1 853,2 1,838 2,327

56,73 2825 6,154

66,3 2976 6,431

74,46 3103 6,644

81,99 3221 6,825

89,23 3335 6,99

96,27 3449 7,142

103,2 3563 7,285

110,1 3677 7,419

116,7 3792 7,547

123,4 3907 7,669

1,0884 1,1543 634,2 853,3 1,838 2,327

53,03 2813 6,11

62,37 2970 6,397

70,23 3099 6,613

77,44 3217 6,796

81,35 3332 6,962

91,05 3447 7,115

97,61 3561 7,258

104,1 3675 7,393

110,5 3790 7,521

116,8 3906 7,643

1,0883 1,1541 1,2511 634,3 853,4 1085,8 1,838 2,327 2,793

58,84 2963 6,364

66,42 3094 6,584

73,34 3214 6,769

79,95 3330 6,935

86,35 3445 7,089

92,61 3559 7,233

98,77 3674 7,368

104,9 3789 7,496

110,9 3905 7,618

1,0881 1,1537 1,2503 634,6 853,6 1085,8 1,837 2,326 2,792

52,71 2949 6,301

59,84 3085 6,528

66,26 3207 6,717

72,35 3324 6,886

78,24 3440 7,04

83,98 3555 7,185

89,61 3671 7,321

95,18 3786 7,449

100,7 3902 7,572

1,0878 1,1533 1,2496 634,8 853,7 1085,7 1,837 2,326 2,791

47,58 2935 6,241

54,34 3075 6,476

60,36 3199 6,669

66,02 3319 6,84

71,47 3435 6,996

76,78 3552 7,141

81,98 3667 7,278

87,11 3783 7,407

92,18 3900 7,53

1,0876 1,1529 1,2489 635,1 853,9 1085,7 1,836 2,325 2,79

43,22 2919 6,183

49,68 3065 6,427

55,35 3192 6,624

60,66 3313 6,797

65,75 3431 6,954

70,69 3548 7,101

75,52 3664 7,238

80,28 3780 7,368

84,98 3898 7,491

1,0873 1,1525 1,2481 635,3 854,1 1085,7 1,836 2,324 2,789

39,45 2904 6,126

45,68 3055 6,38

51,06 3185 6,581

56,07 3307 6,757

60,84 3426 6,916

65,47 3544 7,063

69,98 3661 7,201

74,43 3778 7,331

78,81 3895 7,455

1,0871 1,1522 1,2474 635,6 854,2 1085,7 1,836 2,124 2,788

36,16 2887 6,071

42,2 3045 6,336

47,34 3177 6,541

52,08 3301 6,719

56,59 3421 6,879

60,94 3540 7,028

65,19 3657 7,166

69,35 3775 7,297

73,47 3893 7,421

1,0869 1,1518 1,2467 635,8 854,4 1085,7 1,835 2,323 2,788

33,25 2869 6,016

39,16 3034 6,293

44,08 3170 6,502

48,6 3296 6,683

52,87 3417 6,845

56,98 3536 6,995

60,99 3654 7,134

64,92 3772 7,265

68,79 3890 7,39

Tablas.-428

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO Continuación TºC 0 50 100 p(bar)= 68 ; Ts= 283,8ºC v) 0,9967 1,0091 1,04 i) 6,9 215,1 424,1 s) 0 0,7 1,302 p(bar)= 72 ; Ts= 287,7ºC v) 0,9965 1,0089 1,0398 i) 7,3 215,4 424,4 s) 0 0,7 1,301 p(bar)= 76 ; Ts= 291,4ºC v) 0,9963 1,0088 1,0396 i) 7,7 215,8 424,7 s) 0 0,7 1,301 p(bar)= 80 ; Ts= 295,0ºC v) 0,9961 1,0056 1,0394 i) 8,1 216,1 425 s) 0 0,7 1,301 p(bar)= 84 ; Ts= 298,4ºC v) 0,9959 1,0084 1,0392 i) 8,5 216,5 425,3 s) 0 0,7 1,301 p(bar)= 88 ; Ts= 301,7ºC v) 0,9958 1,0082 1,039 i) 8,9 216,8 425,6 s) 0 0,7 1,3 p(bar)= 92; Ts= 304,9ºC v) 0,9956 1,0081 1,0388 i) 9,3 217,2 425,9 s) 0 0,699 1,3 p(bar)= 96; Ts= 308,0ºC v) 0,9954 1,0079 1,0385 i) 9,7 217,5 426,2 s) 0 0,699 1,3 p(bar)= 100; Ts= 310,96ºC v) 0,9952 1,0077 1,0383 i) 10,1 217,8 426,5 s) 0 0,699 1,299 p(bar)= 110; Ts= 318,04ºC v) 0,9947 1,0073 1,0378 i) 11,1 218,7 427,3 s) 0 0,699 1,299 p(bar)= 120; Ts= 324,65ºC v) 0,9942 1,0069 1,0373 i) 12,1 219,6 428 s) 0 0,698 1,298 p(bar)= 130; Ts= 330,81ºC v) 0,9937 1,0064 1,0368 i) 13,1 220,4 428,8 s) 0,001 0,698 1,297 p(bar)= 140; Ts= 336,63ºC v) 0,9932 1,006 1,0363 i) 14,1 221,3 429,6 s) 0,001 0,697 1,296 p(bar)= 150; Ts= 342,12ºC v) 0,9928 1,0056 1,0358 i) 15,1 222,1 430,3 s) 0,001 0,697 1,296

150

200

300

350

400

450

500

550

600

650

700

1,0866 1,1514 1,246 636,1 854,6 1085,7 1,835 2,323 2,787

30,65 2851 5,961

36,46 3024 6,251

41,21 3162 6,466

45,52 3290 6,649

49,58 3412 6,812

53,49 3532 6,963

57,28 3651 7,103

61 3769 7,235

64,66 3888 7,36

1,0864 636,3 1,834

1,2453 1085,7 2,786

28,31 2831 5,906

34,05 3013 6,211

38,64 3154 6,431

42,78 3284 6,616

46,66 3407 6,781

50,38 3528 6,933

53,99 3648 7,074

57,22 3766 7,206

60,99 3885 7,331

1,0861 1,1506 1,2446 636,6 854,9 1085,7 1,834 2,321 2,785

26,18 2810 5,85

31,89 3001 6,171

36,35 3147 6,397

40,33 3278 6,585

44,05 3402 6,751

47,6 3524 6,904

51,04 3644 7,046

54,41 3764 7,179

57,71 3833 7,305

1,0859 1,1502 1,2439 636,8 855,1 1085,7 1,833 2,321 2,784

24,23 2787 5,793

29,94 2990 6,133

34,29 3139 6,364

38,12 3272 6,555

41,7 3398 6,723

45,1 3520 6,877

48,39 3641 7,019

51,6 3761 7,153

54,76 3881 7,279

1,0856 1,1498 1,2432 637,1 855,3 1085,7 1,833 2,32 2,783

22,43 2763 5,734

28,16 2977 6,095

32,41 3131 6,332

36,12 3266 6,526

39,57 3393 6,696

42,84 3516 6,851

45,99 3638 6,994

49,07 3758 7,128

52,08 3878 7,254

1,0854 1,1495 1,2426 637,3 855,4 1085,7 1,832 2,32 2,782

1,403 1345 3,254

26,54 2965 6,058

30,7 3122 6,301

34,31 3260 6,498

37,63 3388 6,669

40,78 3513 6,826

43,81 3634 6,969

46,76 3755 7,104

49,66 3876 7,231

1,0851 1,1492 1,2419 637,6 855,6 1085,7 1,832 2,319 2,781

1,401 1344 3,252

25,05 2952 6,021

29,14 3114 6,271

32,65 3253 6,471

35,86 3383 6,644

38,9 3509 6,802

41,82 3631 6,946

44,66 3752 7,081

47,44 3873 7,209

1,0849 1,1487 1,2412 637,8 855,8 1085,8 1,832 2,318 2,78

1,399 1344 3,25

23,68 2939 5,984

27,71 3106 6,243

31,12 3247 6,445

34,24 3378 6,62

37,18 3504 6,778

39,99 3628 6,923

42,73 3749 7,059

45,4 3871 7,187

1,0846 1,1483 1,2405 638,1 856 1085,8 1,831 2,318 2,779

1,397 1343 3,248

22,41 2926 5,947

26,39 3097 6,213

29,72 3241 6,419

32,75 3373 6,596

35,59 3500 6,756

38,31 3624 6,902

40,95 3746 7,038

43,23 3868 7,166

1,084 638,7 1,83

1,1474 1,2389 856,4 1085,8 2,316 2,777

1,393 1342 2,244

19,6 2889 5,856

23,5 3075 6,143

26,66 3225 6,358

29,49 3360 6,539

32,13 3490 6,702

34,65 3616 6,85

37,08 3739 6,988

39,45 3862 7,117

1,0833 1,1464 1,2372 639,3 856,8 1085,9 1,829 2,315 2,775

1,389 1341 3,24

17,19 2849 5,762

21,07 3052 6,076

24,1 3209 6,301

26,77 3348 6,487

29,25 3480 6,653

31,59 3607 6,802

33,85 3732 6,941

36,05 3856 7,072

1,0827 1,1455 1,2356 639,9 857,3 1085,9 1,828 2,313 2,772

1,385 1340 2,326

15,09 2804 5,664

19,01 3028 6,011

21,93 3192 6,246

24,47 3335 6,437

26,81 3470 6,606

29,01 3599 6,758

31,12 3725 6,898

33,18 3850 7,03

1,082 640,6 1,827

1,1446 1,2341 857,7 1086 2,312 2,77

1,381 1339 3,231

13,21 2753 5,559

17,22 3003 5,946

20,06 3175 6,193

22,5 3322 6,39

24,71 3459 6,562

26,79 3590 6,716

28,78 3717 6,858

30,71 3843 6,991

1,0814 1,1436 1,2325 641,2 858,2 1086,1 1,826 2,31 2,768

1,377 1338 3,228

11,46 2693 5,443

15,66 2977 5,883

18,44 3157 6,142

20,78 3309 6,345

22,9 3449 6,52

24,87 3581 6,677

26,76 3710 6,82

28,57 3837 6,954

1,151 854,7 2,322

250

Tablas.-429

CONSTANTES TERMODINAMICAS DEL VAPOR DE AGUA RECALENTADO Continuación T(ºC) 0 50 100 p(bar)= 160; Ts= 347,32ºC v) 0,9923 1,0051 1,0353 i) 16,1 223 431,1 s) 0,001 0,696 1,295 p(bar)= 170; Ts= 352,26ºC v) 0,9918 1,0047 1,0349 i) 17,1 223,8 431,8 s) 0,001 0,696 1,294 p(bar)= 180; Ts= 356,96ºC v) 0,9914 1,0043 1,0344 i) 18,1 224,7 432,6 s) 0,001 0,695 1,293 p(bar)= 190; Ts= 361,44ºC v) 0,9909 1,0039 1,0539 i) 19,1 225,6 433,3 s) 0,001 0,695 1,293 p(bar)= 200; Ts= 365,7ºC v) 0,9904 1,0034 1,0334 i) 20,1 2264 434,1 s) 0,001 0,694 1,292 p(bar)= 210; Ts= 369,8ºC v) 0,9899 1,003 1,0329 i) 21,1 227,3 434,9 s) 0,001 0,694 1,291 p(bar)= 220; Ts= 373,7ºC v) 0,9895 1,0026 1,325 i) 22,1 228,1 435,6 s) 0,001 0,693 1,29

150

200

300

350

400

450

500

550

600

650

700

1,0807 1,1427 1,2309 641,8 858,6 1086,2 1,825 2,509 2,766

1,373 1338 3,224

9,764 2617 5,304

14,27 2949 5,82

17,02 3139 6,093

19,28 3295 6,301

21,31 3438 6,481

23,19 3573 6,639

24,98 3703 6,784

26,7 3831 6,919

1,0801 1,1418 1,2294 642,5 859,1 1086,3 1,824 2,307 2,764

1,37 1337 3,22

1,729 1667 3,771

13,03 2920 5,765

15,76 3121 6,044

17,96 3281 6,26

19,91 3427 6,442

21,71 3564 6,603

23,42 3695 6,75

25,06 3825 886

1,0795 1,1409 1,2279 643,1 859,6 1086,4 1,823 2,306 2,761

1,366 1336 3,216

1,704 1659 3,755

11,91 2888 5,691

14,63 3102 5,997

16,78 3268 6,219

18,66 3417 6,406

20,39 3555 6,569

22,03 3688 6,717

23,59 3818 6,855

1,0788 643,7 1,822

1,2264 1086,6 2,759

1,363 1335 3,213

1,683 1653 3,742

10,89 2855 5,625

13,62 3082 5,95

15,72 3254 6,18

17,54 3406 6,371

19,21 3546 6,536

20,78 3680 6,686

22,28 3812 6,825

1,0782 1,1391 1,2249 644,4 860,5 1086,7 1,821 2,303 2,757

1,36 1335 3,209

1,665 1647 3,73

9,95 2819 5,556

12,7 3062 5,904

14,77 3239 6,142

16,54 3395 6,337

18,15 3537 6,505

19,66 3673 6,656

21,1 3806 6,788

1,0776 1,1382 1,2235 645 860,9 1086,9 1,819 2,302 2,755

1,356 1334 3,206

1,649 1642 3,719

9,076 2781 5,484

11,87 3041 5,858

13,9 3225 6,105

15,63 3383 6,303

17,19 3528 6,474

18,65 3665 6,627

20,03 3799 6,768

1,077 645,6 1,818

1,353 1333 3,203

1,635 1637 3,709

8,254 2738 5,409

11,11 3020 5,813

13,12 3210 6,068

14,8 3372 6,271

16,32 3519 6,444

17,73 3658 6,599

19,06 3793 6,742

1,14 860 2,305

250

1,1374 1,2221 861,4 1087 2,3 2,753

Tablas.-430

TABLAS DE CONVERSION DE UNIDADES LONGITUD

metro m 1 0,001 0,0254 0,3048 0,9144

milímetro mm 1000 1 25,4 304,8 914,4

pulgada in (¨) 39,3700787 0,0393701 1 12 36

pie ft 3,2808399 0,0032808 0,08333 1 3

yarda yd 1,0936133 0,0010936 0,02777 0,333 1

milla (statute) mi 0,00062137 0,00000062137 0,000015782 0,00018939 0,00056818

hectárea ha 0,0001 1 0,00000006451 0,000009290351 0,000083613 0,4046856

pulgada cuadrada in2 1550,0031 15500031 1 144 1296 6272640

pie cuadrado ft2

yarda cuadrada yd2

acre

10,76391 107639,1 0,006944 1 9 43560

1,19599 0,0001196 0,0007716 0,111 1 4840

0,00024711 2,4710538 0,00000015942 0,000022957 0,00020661 1

litro dm3 1000 1 28,3168466 3,7854118 4,5460904 158987295

pie cúbico ft3 35,3146667 0,0353147 1 0,1336806 0,1635437 56145833

galón (USA) gal 264,17205 0,2641721 7,4805195 1 1,20095 42'

galón imperial (GB) gal 219,96923 0,2199692 6,2288349 0,8326741 1 34,9723128

barril de petróleo bbl (oil) 6,2898108 0,0062898 0,1781076 0,0238095 0,028594 1

metros de c. agua (4ºC) m H2O 0,1019745 1000028 0,0135955 1 0,7030893 10,1974477

libras por pulgada2 lib/in 2 psi 0,1450377 14,2233433 193367 1,4222945 1 14,5037738

bar 100000 Pa bar (hpz) 0,01 0,980665 0,0013332 0,0980638 0,0689476 1

SUPERFICIE

metro cuadrado m2 1 10000 0,0006,4516 0,09290304 0,8361274 4046,856

VOLUMEN

metro cúbico m3 1 0,001 0,0283168 0,0037854 0,0045461 1589873 1 gal (USA) =3,78541dm3 1 ft 3 =0,0283 m 3

UNIDADES DE PRESION

kilopascal atmósfera técnica milímetro de c. Hg 2 Kgf/cm2 (0ºC) kN /m kPa atm mm Hg 1 0,0101972 7,5006278 98,0665 1 735,560217 0,1333222 0,0013595 1 9,8063754 0,0999972 73,5539622 6,8947573 0,070307 51,7150013 100 1,0197162 750,062679 1 in H 2 O (60ºF = 15,55ºC) = 0,248843 kPa in H2O (60ºF=20ºC)=0,248641 kPa 1 atmósfera física (Atm)= 101,325 kPa=760 mm Hg in Hg (60ºF=20ºC)=3,37685 kPa 1 Torr= (101,325/760) kPa

Tablas.-431

ENERGIA (Calor y Trabajo)

Kilojulio

kW/hora

Hourse power/hora USA 550 ft.lbf/seg hp. h 0,000372506 1,3410221 1 0,9863201 0,00155961 0,00039301

Caballo/hora 75 m.Kgf/seg CV.h 0,000377673 1,3596216 1,0138697 1 0,00158124 0,000398466

Kilocaloría (IT) Kcal(IT) Kcal (IT) 0,2388459 859,84523 641,18648 632,41509 1 0,2519958

British Thermal Unit Btu (IT) 0,9478171 3412,1416 2544,4336 2509,6259 3,9683207 1

Ton. equivalente de petróleo Tep 23,8845897 85,9845228 100 0,7 1 48,2

Barril de petróleo día-año bd 0,4955309 1,7839113 2,0746888 0,0145228 0,0207469 1

Caballo vapor métrico CV 1,3596216 0,0015812 0,00039847 1,0138697 1 4,7815173

Tonelada de refrigeración

kJ kW h 1 0,0002777 3600 1 2684,5195 0,7456999 2647,7955 0,7354988 4,1868 0,001163 1,0550559 0,000293071 1 termia = 1000 Kcal 1 therm = 100.000 Btu 1 But (IT) = 1055,0558 J 1 kilogramo fuerza.metro (m.Kgf) = 0,00980665 kJ IT se refiere a las unidades definidas en International Steam Table

MACROUNIDADES ENERGETICAS

Terajulio

Gigavatio hora

Teracaloría (IT)

TJ 1 3,6 4,1868 0,0293076 0,041868 2,0180376

GW h 0,2727 1 1,163 0,008141 0,01163 0,560568

Tcal (IT) 0,2388459 0,8598452 1 0,007 0,01 0,482

Ton. equivalente de carbón Tec 34,1208424 122,8350326 142,8571429 1 1,4285714 68,8571429

Kilocaloría/hora

Btu (IT)/hora

Horse power (USA)

POTENCIA

Kilowatio

kW Kcal (IT)/h Btu (IT)/h 1 859,84523 3412,1416 0,001163 1 3,9683207 0,00029307 0,2519958 1 0,7456999 641,18648 2544,4336 0,7354988 632,41509 2509,6259 3,5168 3023,9037 11999,82 1 caballo vapor (métrico> = 75 m kgf/seg = 735,499 W 1 Horse power (USA) mecánico = 550 ft Ibf/seg

hp 1,3410221 0,0015596 0,00039301 1 0,9863201 4,7161065

0,2843494 0,0003307 0,000083335 0,2120393 0,2091386 1

TEMPERATURA

Temperatura en ºC = (ºF -32)/1,8 Temperatura en ºF = 1,8 ºC + 32 Temperatura en ºK = ºC + 273,14

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Prefijo exa peta tera giga mega Símbolo E P T G M Factor 1e +18 1e +15 1e +12 1e +9 1e +6

kilo k 1000

hecto h 100

deca da 10

deci d 0,1

Tablas.-432

centi c 0,01

mili micro m m 0,001 1e-6

nano pico femto atto n p f a 1e-9 1e -12 1e -15 1e -18

BIBLIOGRAFIA

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