Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Teil 2 Arithmetik mit Einschluß der niederen Analysis, Trigonometrie und Stereometrie [Reprint 2021 ed.] 9783112396025, 9783112396018

Citation preview

Hauptsätze der

El ementar zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. 8. G. Hiebler. gearbeitet von A. StHuIte-Tigges. Direktor des Realgymnasiums zu Rassel.

Ausgabe B. Gberstufe 2. Teil.

Arithmetik mir Einschluß der niederen Analysis, ebene und sphärische Trigonometrie und Stereometrie.

Berlin W. 35

Druck und Verlag von Georg Reimer 1909.

Arithmetik mit Einschluß der niederen Analysis, Trigo­ nometrie und Stereometrie. Für die oberen Rlasien höherer Lehranstalten

bearbeitet von

A. Schulte Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Rassel,

unter Mitwirkung von Professor + k. 360°\ x — ya2 + 6 I cos --------------------- k r sm -5—1---------— I. \ n n )

Da man für x auch \a 4- bi schreiben kann, so erhellt hieraus, daß jede n“ Wurzel aus einer Zahl n verschiedene Werte besitzt.

0. Gleichungen dritten Grades. (Kubische Gleichungen.)

§ 8. Reduktion der allgemeinen kubischen Gleichung. In der Gleichung x* 4- Ax* 4- Bx 4- C = 0 läßt sich das quadratische Glied durch eine geeignete Substitution entfernen. Setzt man x = d 4- y, so ergibt sich (dl 4- 3 d'y -VWA- y‘) + A(d' + 2dy +y') + B(d + y) 4- + (-^-5 V3yg

s. = ‘.p + M-(-j-.'2 i'a)-p + (-j +j Vä)-1

—

3.

§ 10. Diskussion der Cardanischen Formel. Die Cardanische Formel liefert nur dann brauchbare Ergebnisse, wenn die darin enthaltene Quadratwurzel reell ist. Es find daher folgende Fälle zu unterscheiden: 1) a positiv. Die Quadratwurzel ist reell; man erhält für y1 einen reellen, für ya und y3 zwei komplexe und konjugierte Werte.

2) a negativ und, dem absoluten Werte nach, wie vorher.

;

I. Arithmetik.

6

3) a negativ und, dem absoluten Werte

die Quadratwurzel ist gleich 0 und yt — 2 4) a negativ und, dem absoluten Werte nach, 00 > die Quadratwurzel ist imaginär. Dieser Fall bot den älteren Mathematikern solche Schwierigkeiten, daß man ihn den casus irreducibilis nannte.

§ 11.

Trigonometrische Auflösung des irreduziblen

Falles. Da a hier negativ ist, so möge die Gleichung von vornherein y‘ — ay + b = 0 lauten, worin nunmehr a als positiv anzunehmen ist. Nun ist cos 3 a = cos (2 a + a) = cos 2 a. cos a — sin 2 a . sin a — cos’ a — sin* a. cos a — 2 sin* a . cos a = cos’ a — 3 sin’ a . cos a — cos’ a — 3 cos a + 3 cos’ a = 4 cos’ a — 3 cos a oder cos’ a — f cos a — | cos 3 a = 0. Die Ähnlichkeit zwischen dieser und der ursprünglichen Gleichung

kann nicht dahin führen, y gleich cos a zu setzen, da cos a zwischen den Grenzen — 1 und + 1 eingeschlossen ist. Wohl aber läßt sich, wenn X irgend eine absolute Zahl bedeutet und die zweite Gleichung, mit X3 erweitert, die Form annimmt X3 cos’ a — J X3. X cos a — | A’ cos 3a = 0, y=X cos a setzen. Dann muß aber f A’ = a und — l X3 cos 3 a = b sein, woraus sich X = 2]/und cos 3a = —

ergibt.

Aus der letzten Gleichung geht ein Winkel y für 3 a hervor, so daß 3a = so ergibt sich

^n +

+ ^*"-2 + ’• • +

Q=0

und durch Multiplikation mit An~1 x” + Bxn~1 + ACx”-2 + A'Dx"-5 H--------- p A"-?Px + AU~'Q — 0,

worin B, AC, A3D usw. positive oder negative ganze Zahlen sind.

Anmerkung. Die oben angegebene Form heiße die Normal­ form -er numerischen Gleichung n“" Grades.

I. Arithmetik.

12

§ 17. Lehrsatz. Sind die Koeffizienten einer nu­ merischen Gleichung ganze Zahlen (oder Null), so sind ihre rationalen Wurzeln ebenfalls ganze Zahlen und Teiler des letzten Gliedes (der Normalform). Beweis.

Hätte die Gleichung x" + ax xn_1 + aixn~2 + • • •

+ a„-xx + a„ = 0 den eigentlichen Bruch £ als Wurzel, so müßte p ctn a*—1 ctn—2 /y ßi + ®i + a» ß^i +------ h a