Geometria Euclidiana Plana 8585818026

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Copyright© 2006, 2005, 2004 (duas edições), 2002, 2001, 2000, 1999, 1984 by João Lucas Marques Barbosa Direitos reservados, 1984 pela Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 11 O - Ho1to 22460-320, Rio de Janeiro - RJ

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Coleção do Professor de Matemática Capa: Rodolfo Capeta

Distribuição e vendas: Sociedade Brasileira de Matemática e-mail: [email protected] Te!.: (21) 2529-5073, 2529-5095 www.sbm.org.br

ISBN: 85-85818-02-6

GeoITietria Euclidiana Plana João Lucas Marques Barbosa

Nona Edição

Coleção do Professor de Matemática

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SOCIEDADE · BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

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DE MATEMÃTICA

COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA • Logaritmos - KL.Lima • Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios - A.C.Morgado, J.B.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez • Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) E,L.Lima • Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E,L.Lima • Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - KL.Lima com a colaboração de P.C.P.Carvalho • Trigonometria, Números Complexos - M.P.do Carmo, A.C.Morgado, E.Wagner, Notas Históricas de J.B.Pitombeira • Coordenadas no Espaço - E.L.Lima • Progressões e Ivfatemática Financeira - A.C.Morgado, E.Wagner e S.C.Zani • Construções Geométricas - E.Wagner com a colaboração de J.P.Q.Carneiro • Introdução à Geometria Espacial - P.C.P.Carvalho • Geometria Euclidiana Plana - J.L.M.Barbosa Isometrias - E.L.Lima A Matemática do Ensino Médio Vol.1 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado A Matemática do Ensino Médio Vol,2 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado • Matemática e Ensino - E.L.Lima • Temas e Problemas - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado • Episódios da História Antiga da Matemática - A.Aaboe • Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E.L.Lima • Temas e Problemas Elementares- E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E. Wagner e A.C.Morgado

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COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA • Números Irracionais e Transcendentes - D.G.de Figueiredo • Primalidade em Tempo Polinomial- Uma Introdução ao Algoritmo AKS- S.C.Coutinho

COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS • • • • • •

Introdução à Computação Algébrica com o Maple - L.N.de Andrade Elementos de Aritmética - A. Hefez Métodos Matemáticos para a Engenharia - E.C.de Oliveira e M.Tygel Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies - M.P.do Carmo Matemática Discreta - L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi Álgebra Linear - H.P. Bueno

COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA • Introdução à Inferência Estatística - H.Bolfarine e M.Sandoval

COLEÇÃO OLIMPÍADAS • Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9'ª a 16'ª - e.Moreira, E.Motta, E.Tengan, L.Amâncio, N.Saldanha, P.Rodrigues

A A ída Marques Barbosa que me criou incentivando o ideal pelo magistério. A meus filhos Henrique, Lucas e Davi que só me têm dado alegrias.

Introdução Desde sua publicação em 1985 este livro foi revisto apenas na edição ele 1994, para eliminar pequenos erros tipográficos, e, exceto pela inclusão ele um prefácio elo Professor Manfredo P. elo Carmo na edição ele 1999, não sofreu qualquer alteração relevante. Apesar elos inúmeros apelos, sempre me esquivei ele rever o seu texto; como desculpa a falta ele tempo. Foi somente depois que recebi um exemplar contendo a indicação ele um grande número de erros tipográficos e sugestões, que me convenci a fazê-lo. O exemplar me chegou às mãos, pelo correio, sem qualquer outra mensagem que uma nota manuscrita na página de rosto, logo abaixo elo título e do nome do autor, que dizia " ... com anotações de Vanclik Estevam Barbosa ... ". Fiquei encantado com o detalhamento de suas anotações, com as quais concordei na quase totalidade. Foi o incentivo que estava faltando para me fazer colocar mãos à obra, trabalho cio qual resultou a presente edição. Quero, neste momento, agradecer ao Vanclik por sua contribuição. A permanência elo livro entre os mais vendidos ela Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985, o que tem exigido constantes reimpressões, me convenceu ele que o texto não deveria ser modificado, apenas corrigido. Atendendo ao apelo ele grande número ele colegas que utilizam ou utilizaram o livro, inclui novos exercícios em todos os capítulos e criei um novo, no final, apenas com exercícios, pensando naqueles alunos que precisam fazer uma

revisão da Geometria Euclidiana. Neste mister fui auxiliado diretamente por três alunos de iniciação científica do Departamento de Matemática da UFC: a Valdenize Lopes do Nascimento, o Antonio Marcelo Barbosa da Silva e o Gláucio Cordeiro Alencar, que se dispuseram a encontrar, selecionar e resolver uma enorme quantidade de exercícios de geometria. Se por um lado eles me auxiliaram bastante, por outro, aprofundaram seus conhecimentos matemáticos. Agradeço-lhes elo excelente trabalho que fizeram Devo também agradecer a contribuição do meu filho mais novo, Davi, que no presente ano cursa o terceiro científico e se prepara para o vestibular. Os problemas de Matemática, que me trouxe, vez por outra, sem que soubesse, serviram de inspiração para a proposta de novos exercícios. Infelizmente todas as figuras do texto original foram perdidas e tiveram de ser refeitas. Para isto contei com o talento e dedicação do Márcio Pereira da Silva, o qual investiu tempo e esforço para reconstituí-las e para produzir outras, que acompanham os novos exercícios. Agradeço a todos os que direta ou indiretamente, colaboraram com esta edição do livro, particularmente a Professora Suely Driick, atual presidente da Sociedade Brasileira de Matemática e a todos os professores que, ao longo dos anos, me enviaram indicações de erros tipográficos no texto das edições anteriores deste livro.

João Lucas Marques Barbosa Fortaleza, Julho de 2003

ii

Prefácio da 4~ Edição Até a publicação deste livro do Professor João Lucas Barbosa, não existia em português um texto que pudesse ser indicado para um estudante iniciar o seu aprendizado ela Geometria axiomtica. O método ela geometria axiomtica fornece uma demonstração tão convincente da força do pensamento puro que os livros ele Euclides foram usados, através dos séculos, para treinar inteligências em formação, e serviram de modelos ele rigor para trabalhos tais como a Ética ele Espinoza e os Princípios de Newton. A Geometria elementar é o domínio por excelência no qual o método axiomático pode ser aplicado em situaçes que, embora simples, dão resultados altamente não-triviais. Tais métodos devem, portanto, fazer parte ela formação básica de um cidadão. Os livros ele Euclides são, entretanto, difíceis para principiantes (além ele ser incompleta a axiomática ele Euclides) e, em outros países, várias tentativas foram feitas para tornar mais accessível (e mais completo) o método axiomático no ensino da Geometria. No Brasil, há anos atrás, houve um relativo abandono elo ensino da Geometria à maneira ele Euclides. Na prática, o que se passava era que o assunto era relegado para o fim elo curso, e quase sempre não era ensinado. Isto devia-se em parte às dificuldades próprias elo assunto e em parte a uma certa influência ela então chamada, "matemática moclerna"que, embora utilizando a axiomática em outros tópicos, propugnava a eliminação ela Geometria ele Euclides no ensino básico. Foi neste quadro que iii

apareceu o livro cio Professor Lucas Barbosa. Utilizando uma modificação ela axiomática ele Euclides, devida ao matemático russo A.V. Pogorelov, o Professor Lucas produziu um texto em português apresentando os elementos fundamentais ela Geometria Plana ele modo accessível, eficiente e correto. Que o livro foi bem recebido é comprovado pelo fato que ele foi reimpresso diversas vezes e que continua a demanda por novas edições. O livro, como diz o conhecido chavão, preencheu uma lacuna. Ele é uma boa referência em português para aqueles que queiram ir mais adiante no estudo ela Geometria. Por exemplo, o excelente ((Medida e Forma em Geometria"clo Professor Elon Lima cita o livro cio professor Lucas como referência para Geometria Plana. Em verclacle, O livro cio Professor Elon e um curso ele Geometria Hiperbólica dado no XX Colóquio Brasileiro ele Matemática pelo Professor Lucas constituem uma ótima continuação para os estudos aqui iniciados. Com isto, começo a me afastar cio meu tema inicial e creio conveniente concluir aqui este Prefácio. Antes, porém, quero parabenizar o Professor Lucas pelo ótimo trabalho realizado.

Manfreclo Perdigão cio Carmo 19 ele abril ele 1999.

iv

Introdução da 3~ edição Esta é uma edição revista elo livro ele mesmo título que escrevi há cerca ele vinte anos e que foi publicado, em sucessivas impressões, na coleção Fundamentos ele Matemática Elementar ela Sociedade Brasileira ele Matemática. A revisão consistiu essencialmente na alteração cio enunciado ele alguns elos exercícios e problemas propostos, a correção de alguns erros ele datilografia e a possível inclusão ele alguns novos ... Agradeço a todos aqueles que me indicaram erros e enganos no texto original e fizeram sugestões para modificações do mesmo. Foram mais ele uma centena ele cartas, algumas apresentando a contribuição ele turmas inteiras ele cursos ele geometria em que ele. foi adotado. Por ser impossivel aqui registrar todos os seus nomes, quero representa-los na pessoa cio mais ilustre destes leitores, o Professor Manfreclo Perdigão cio Carmo, que me enviou em 1986 uma cópia cio livro com suas observações e sugestões, a qual utilizei como repositório ele todas as que me foram enviadas posteriormente, o que simplificou sobremaneira a preparação desta nova edição. João Lucas Marques Barbosa Fortaleza, julho ele 1994

V

Introdução da 1~ edição Este livro foi escrito para servir de texto a uma disciplina de Geometria para alunos ele cursos de licenciatura em Matemática. Ele contém o material padrão de um curso ele Geometria Euclidiana Plana, excetuando-se os tópicos relativos a movimentos e a construção de figuras com régua e compasso. Este material será incluído numa versão futura deste texto. Os axiomas adotados são aqueles selecionados por A.V. Pogorélov no seu livro "Geometria Elemental". Estes axiomas têm a vantagem de levarem o aluno rapidamente aos teoremas mais importantes da Geometria Plana. Em alguns casos eles estão enunciados ele forma mais ampla do que seria necessário. Por exemplo, um deles afirma que, dada uma reta existem pontos sobre ela e pontos fora dela. De fato seria suficiente postular apenas a existência ele dois pontos sobre a reta e um ponto fora dela. Os axiomas sobre medição ele segmentos e medição de ângulos são extremamente vantajosos elo ponto ele vista metodológico. Primeiramente eles evitam o traba:ho ele estabelecer os conceitos ele medida ele segmentos e ele medida ele ângulos. É sabido que a introdução destes conceitos, quando se faz uso de uma axiomática clássica, constitui-se num problema nada simples e que requer a utilização ele meios inacessíveis ao aluno, por sua profundidade. Segundo, através dos a.xiomas de medição, incorpora-se a aritmética e a álgebra elementar ao arsenal de meios utilizáveis para as demonstrações cios teoremas ela Geometria. vii

A introdução cio quinto postulado, característico ela Geometria Euclidiana, é retardada até o capítulo 6. Assim, os teoremas obtidos até o capítulo 5 são válidos em uma geometria não Euclidiana em que sejam verdadeiros os quatro primeiros axiomas. Neste aspecto este livro poderia ser considerado como um texto preliminar a um curso ele Geometria não Euclidiana ou servir como fonte ele referência para alunos daqueles cursos. O livro está organizado em 10 capítulos. Cada um deles contém, além ela parte ele conteúdo, uma relação ele exercícios, uma ele problemas e um texto denominado "Comentário". A separação elas questões propostas aos alunos, em problemas e exercícios, foi feita, em princípio, considerando-se que os problemas complementam a teoria e têm um caráter mais conceituai, enquanto que os exercícios destinam-se mais à fixação cio conteúdo apresentado. Os comentários constituem-se numa seleção ele pequenos tópicos, que não fazem parte cio conteúdo cio livro, mas que têm sido ele muita utiliclacle na formação cios alunos cios cursos ele Geometria que tenho lecionado. Incentivado por eles fui levado a incluir alguns destes pequenos tópicos neste livro. Ao finalizar esta introdução gostaria de agradecer ao professor José Euny Moreira, que leu criticamente a versão manuscrita deste texto, e a minha esposa Cira que me incentivou a escrevê-lo.

João Lucas Marques Barbosa Fortaleza, maio ele 1985

viii

Sumário Introdução Prefácio da 4ª Edição

111

Introdução da terceira edição Introdução da primeira edição 1. Axiomas de Incidência e Ordem

V

Vll

1

2. Axiomas sobre Medição de Segmentos

13

3. Axiomas sobre Medição de Ângulos

29

4. Congruência

45

5. O Teorema do Ângulo Externo e suas Conseqüências 61 6. O Axioma das Paralelas

85

7. Semelhança de Triângulos

109

8. O Círculo

127

9. Funções Trigonométricas

157 ix

10. Área

175

11. Revisão e Aprofundament:

195

X

CAPÍTULO 1 AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ÜRDEM

As figuras geométrica elementares, no plano, são os pontos e as retas. O plano é constituído de pontos e as retas são subconjuntos distinguidos ele pontos do plano. Pontos e retas cio plano satisfazem a cinco grupos ele axiomas que serão apresentados ao longo deste e dos próximos capítulos. O primeiro grupo ele axiomas é constituído pelos axiomas de incidência. Axioma 11 Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à reta. Axioma 12 Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.

Quando duas retas têm um ponto em comum diz-se qt1e elas se intersectam ou que elas se cortam naquele ponto. Proposi-;ão 1.1 Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectarr:, em um único ponto. Prova: Sejam rn e n duas retas distintas. A interseção destas duas retas não pode conter dois (ou mais) pontos, cio contrário, pelo

1

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

2

axioma 12 , elas coincidiriam. Logo a interseção de m e n é vazia ou contém apenas um ponto. Imaginamos um plano como a superfície de uma folha de papel que se estende infinitamente em todas as direções. Nela um ponto é representado por uma pequena marca produzida pela ponta de um lápis, quando pressionada sobre o papel. O desenho da parte de uma reta é feito com o auxílio de uma régua.

A

o

Figura 1.1

Ao estudarmos geometria é comum fazer-se uso de desenhos. Nós mesmos faremos uso extensivo de desenhos ao longo destas notas. O leitor, no entanto, deve ser advertido, desde logo, que os desenhos devem ser considerados apenas como um instrumento de ajuda à nossa intuição e linguagem. Utilizaremos letras maiúsculas A, B, C, ... para designar pontos, e letras minúsculas a, b, e, ... para designar retas. Por exemplo, na

Figura 1.2

figura a:cima estão representados três pontos: A, B e C, e duas retas: me n. O ponto A é o ponto de interseção das du~ \~tas.

1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM

3

A figura abaixo apresenta uma reta e três pontos A, B e C desta reta. O ponto C localiza-se entre A e B ou, equivalentemente, os pontos A e B estão separados pelo ponto C. A

e

B

Figura 1.3

A noção de que um ponto localiza-se entre dois outros é uma relação, entre pontos de uma mesma reta, que satisfaz aos axiomas II 1 , II 2 e Ih apresentados a seguir. Estes são referidos como axiomas

de ordem. Axioma II 1 Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois. Definição 1.2 O conjunto constituído por dois pontos A e B e por

todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado segmento AB. Os pontos A e B são denominados extremos ou extremidades do segmento. Muitas figuras planas são construídas usando-se segmentos. A mais simples delas é o triângulo que é formado pôr três pontos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos. Os três pontos são chamados vértices do triângulo e os segmentos, lados do triângulos. B

Figura 1.4

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

4

Definição 1. 3 Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos C tais que B encontra-se entre A e C, é chamado de semi-reta de origem A contendo o ponto B, e é representado por S.4B. O ponto A é então denominado origem da semi-reta S AB

A

B Figura 1.5

Observe que dois pontos A e B determinam duas semi-retas SAB e SnA as quais contêm o segmento AB.

A

B

Figura 1.6

Proposição 1.4 Para as semi-retas determinadas por dois pontos A e B tem-se: a) SAB U SBA é a reta determinada por A e B,

Prova (a) Sejam a reta determinada por A e B. Como SAB e SBA são constituídas ele pontos ela reta m, então SAB U SBA e m. Por outro lado, se C é um ponto ela reta m então, ele acordo com o axioma 11 1 , uma das três possibilidades exclusivas ocorre:

1) C está entre A e B, 2) A está entre B e C,

1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM

5

3) B está entre A e C. No caso (1), C pertence ao segmento AB; no caso (2), C pertence a SBAi e no caso (3), C pertence a SAB· Portanto, em qualquer caso, C pertence a SAB U SBA· A prova ele (b) é deixada como exercício para o leitor.

Axioma Ih Dados dois pontos distintos A e B sempre existem: um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.

Uma conseqüência imediata deste axioma é que, entre quaisquer dois pontos ele uma reta, existe uma infinidade ele pontos. Também é uma conseqüência dele que uma semi-reta S'AB contém uma infinidade ele pontos além daqueles contidos no segmento AB. Considere uma reta m e dois pontos A e B que não pertencem a esta reta. Diremos que A e B estão em um mesmo lado da reta m se o segmento AB não a intercepta.

Definição 1.5 Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence a m. O conjunto constituído pelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é chamado de semi-plano determinado por m contendo A, e será representado por Pm.A·

Axioma Ih Uma reta m determina exatamente dois semi-planos distintos cuja interseção é a reta m.

Figura 1.7

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

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EXERCÍCIOS

1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, da esquerda para a direita. Determine:

a) b)

e) d)

ABUBC AB n BC ACnBD AB nCD

e) SAB n SBc f) SAB n SAn g) ScB n SBc h)

SAB U SBc

2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas do plano? E um conjunto de 4 retas do plano? 3. Prove o item (b) da proposição (1.4). 4. Prove a afirmação feita, no texto, ele que existem infinitos pontos em um segmento. 5. Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio plano e qualquer semi-plano. Mostre que a interseção de dois semi-planos é um convexo. 6. Mostre que a interseção de n semi-planos é ainda um convexo. 7. Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.

1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM

7

8. Diz-que três ou mais pontos são colineares quando eles todos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que eles são não coline;ares. Mostre que três pontos não colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos sendo que quaisquer três deles são não colineares? 9. Repita o exercício anterior para o caso de ô pontos. 10. Seja U um subconjunto do plano. Dizemos que U é estrelado relativamente a um ponto P quando, para todo ponto A EU, o segmento PA esta totalmente contido em U. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer de seus pontos. Dê um exemplo de conjunto estrelado que não é convexo. 11. Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos mostre que ele é convexo. 12. Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano. 13. Chama-se plano de incidência ao par (P, R) onde P é um conjunto de pont?s e 'R é uma coleção de subconjuntos de P, denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas 11 , 12 e à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. Verifique se são planos de incidência os pares (P, R) seguintes: a) P = {A,B} e R = {{A, B}}

b) P = {A, B, C}

e

'R = {{A, B}, {A, C}}

c) P = {A, B, C, D} e R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}} d) P = R2 e R = {{ (x, y) E R2 ; ax + by + e = O}; sendo ab-/= O}

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e) P = {A, B, C, D} e 'R. = {{A, B, C}, {A, D}, {B, D},

{C,D}} 14. Construa exemplos distintos ele planos ele incidência com 5 pontos. 15. Um conjunto ele n cidades é ligado por estradas de modo que existe sempre uma ligando diretamente quaisquer duas delas. Tomando-se as cidades como pontos e as estradas como retas, verifique a validade elos axiomas ele plano de incidência. 16. Denomina-se uma malha tipo 2-3 ao par ('P, 'R-) onde Pé um conjunto de pontos e Ré uma coleção ele subconjuntos de P, denominados retas, satisfazendo aos seguintes axiomas: Ml. Cada reta contém exatamente três pontos. M2. Por cada ponto passam exatamente duas retas. M3. Por dois pontos passa no máximo uma reta. M4. Existe pelo menos um ponto no plano. Construa exemplos de tais malhas com 6 e 9 pontos. 17. São dados quatro pontos A, B, C e D e uma reta m que não contém nenhum deles. Sabe-se que os segmentos AB e CD cortam a reta me que o segmento BC não a corta. Mostre que o segmento AD também não a corta. 18. Dados quatro pontos A, B, C e D no plano, mostre que, se os segmentos AB e CD se intersectam, então os pontos B e D estão em um mesmo semi-plano com relação á reta que passa por A e C.

1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM

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PROBLEMAS

1. Discuta a seguinte questão utilizando apenas os conhecimen-

tos geométricos estabelecidos, até agora, neste livro: "Existem retas que não se interceptam?" 2. Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas. Faça uma conjectura de qual será a resposta no caso de n retas. 3. Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que AB íl CD= {E}. Mostre que a reta que contém AB não pode conter CD. 4. Mostre que não existe um exemplo de um plano de incidência com 6 pontos, em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos. 5. Se C pertence a SAB e C =/- A, mostre que: SAB = SAc, que BC e SAB e que A r, então C é dito estar fora elo círculo. O conjunto elos pontos que estão dentro do círculo é chamado de disco ele raio r e centro A. É também uma conseqüência elo axioma 111 2 que o segmento ele reta ligando um ponto de dentro elo círculo com um ponto fora elo mesmo tem um ponto em comum com o círculo.

2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS

19

EXERCÍCIOS

1. Sejam A, B e C pontos ele uma reta. Faça um desenho repre-

sentando-os, sabendo que AB = 3, AC = 2 e BC = 5. 2. Repita o exercício anterior, sabendo que C está entre A e B e que AB = 7 e AC = 5. 3. Quatro pontos A, D, V e I estão sobre uma reta ele modo que suas coordenadas são número inteiros consecutivos. Sabe-se, além disto, que V está entre I e A e que DA < DV. Faça uma figura indicando as posições relativas destes pontos. 4. Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. Suponha que a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto B seja um. Marque agora pontos cujas coordenadas são 3, 5, 5/2, 1/3, 3/2, 2, -1, -2, -5, -1/3, -5/3. 5. Sejam A 1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada elo ponto médio A3 elo segmento A 1 A 2 . Dê a coordenada elo ponto médio A 4 elo segmento A2 A3 . Dê a coordenada A5 elo ponto médio elo segmento A3 A4 . 6. Dados três pontos colineares A, B e C tais que AB seja o triplo ele BC, calcule as medidas ele AB e BC sabendo que AC mede 32cm. 7. São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M e N os pontos médios ele AB e BC respectivamente. Mostre que MN = (AB + BC)/2.

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

8. São dados três pontos A, B e C com Centre A e B. Sejam M e N os pontos médios de AB e BC respectivamente. Mostre que M N = (AB - BC)/2. 9. Considere três pontos colineares A, B e C, sendo que B fica entre A e C e AB = BC. Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC mostre que M N = AB. 10. São dados pontos A, B, C e D colineares com coordenadas x, y, z e w tais que x < y < z < w. Prove que AC = BD se e só se AB = CD. 11. Prove que, se (a/b) = (c/cl) então

a) b) e)

a

e

a+b a a+b b

b cl

e

cl b

a-b e+ cl e -e a a-b e+ cl e b cl

e a e - cl e e - cl d

12. Se P é ponto de interseção de círculos de raio r e centros em A e B, mostre que PA = PB. 13. Usando régua e compasso, descreva um método para construção de um triângulo com dois lados de mesmo comprimento. (Um tal triângulo é chamado de triângulo isósceles). 14. Descreva um método para construção de um triângulo com os três lados de mesmo comprimento. (Um tal triângulo é chamado de triângulo eqüilátero). 15. Mostre que, se a < b então a< (a+ b)/2 e b > (a+ b)/2. 16. Um segmento ligando dois pontos de um círculo e passando pelo seu centro é chamado de diâmetro. Mostre que todos os diâmetros têm a mesma medida.

2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS

21

17. Considere um círculo de raio r. Mostre que a distância entre quaisquer dois pontos situados dentro do círculo é menor do que 2r. 18. Considere dois círculos de raio r que não se intersectam. Mostre que o comprimento do segmento ligando seus centros é maior do que 2r. ' 19. O círculo de raio r 1 centrado em A intercepta o círculo de raio r 2 centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode afirmar sobre AB? 20. Considere um círculo de raio r e centro A. Sejam B e C pontos deste círculo. O que se pode afirmar sobre o triângulo ABC? 21. Considere um círculo de raio r e centro O. Seja A um ponto deste círculo e seja B um ponto tal que o triângulo OAB é eqüilátero. Qual é a posição do ponto B relativamente ao círculo? 22. Dois círculos de mesmo raio e centros A e B se interceptam em dois pontos C e D. O que pode ser afirmado sobre os triângulos ABC e AC D? 23. Sejam A, B, C e D quatro pontos da reta m tais que Besta entre A e C, e Cesta entre B e D. Sabendo que AB = CD mostre que AC = BD. 24. Decida se existem pontos A, B e C tais que AB = 5, BC = 3 e CA = 1. 25. Seja m uma reta e 'H a união de todos os discos de raio 1 e centro em pontos de m. Seja 'H' o conjunto de todos os pontos A satisfazendo a propriedade de que existe um ponto P(A) E m tal que a distância da A a P(A) e menor do que 1. Mostre que 'H = 'H'.

22

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

26. Decida se o resultado elo exercício anterior é verdadeiro quando substituímos m por um segmento LM. 27. Uma emissora ele rádio transmite com potência suficiente para alcançar qualquer receptor situado a menos de 100 Km de

sua antena. Justifique a veracidade da seguinte afirmação: sabendo-se que é possível viajar da cidade A para a cidade B ouvindo no rádio continuamente a transmissão daquela emissora conclui-se que a distância entre A e B é de, no máximo, de 200 Km. 28. Sejam M, A e B pontos distintos situados sobre uma mesma reta. Se a = 1"\1 A/ M B diz-se que M divide AB na razão a. Dado qualquer número real positivo a mostre que existe um único ponto M E AB tal que M divide AB na razão a. 29. Dado qualquer número real positivo a -=I= 1 mostre que existe um único ponto M na reta determinada por A e B, que não pertence a AB e que divide AB na razão a. Porque o caso a = 1 teve ele ser excluído? 30. Sejam M, N, A e B pontos distintos sobre uma mesma reta, sendo que ME AB e que N está fora de AB. Diz-se que M e N dividem harmonicamente o segmento AB quando

MA MB

NA NB

====a. Quando a > 1, determine as posições relativas dos quatro pontos. Repita o exercício para o caso em que O < a < 1. 31. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento AB. Mostre que 2 AB

1 AM

1 AN

-=-±-

2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS

23

32. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento AB e que O seja o ponto médio ele AB. Mostre que

33. São dados três pontos A, B e C no plano e constata-se que a distância ele A a B é igual a soma elas distâncias ele A a C e ele C a B. O que pode ser afirmado sobre estes pontos? 34. Decida se existem três pontos A, B e C sobre uma reta tais que AB = 5cm, BC= 6cm e AC= 7cm? 35. No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma reta m que não passa por nenhum deles. Sabe~se.que os segmentos AB e CD cortam a reta e que AC não a corta. O que pode ser dito sobre o segmento BD? · 36. Quatro pontos A, B, C e D são colineares. O ponto B está entre A e C, e o ponto C entre B e D. Demonstre que o ponto C se encontra entre A e D. 37. Considere uma reta m. Associe a cada ponto um número real como é garantido pelo Axioma III 2 • Seja A um ponto desta reta que tem coordenada a. Mostre que as duas semi-retas L 1 e L 2 determinadas por A em rn podem ser descritas como: L 1 = {B E m; a coordenada ele B é ~ a} e L 2 = {B E m; a coordenada ele B é ~ a}. 38. Seja X um ponto qualquer da reta m cuja coordenada representaremos por x. Mostre que as soluções da desigualdade x ~ a constitui uma semi-reta. 39. Usando a notação elo exercício anterior, descreva geométricamente as soluções da desigualdade x 2 - 1 ~ O. 40. Repita o exercício anterior para a desigualdade x 2 -5x+6 ~ O.

24

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

41. Repita o exercício anterior para x 3 - x ~ O. 42. É frequentemente dito que «a menor distância entre dois pontos é uma linha reta". Embora seu significado seja muito claro, tal afirmação é incorreta. Porque? Como você modificaria as três últimas palavras da frase para que ela se tornasse correta? 43. Tome uma caixa de cartolina e escolha sobre ela dois pontos quaisquer. Usando um cordão tente achar a menor distância a ser percorrida por uma formiga que deseje ir de um ao outro ponto escolhidos. Relate os resultadoe encontrados. 44. Aproximadamente quantos tijolos serão necessários para construir uma parede de 6m de comprimento por 3m de altura sabendo-se que: ela deve ser construída com ~'iolos e argamassa, cada tijolo mede 19cm de comprimento por 14cm ele altura e sua largura é a largura da parede, e cada tijolo será contornado por uma camada de argamassa de 1cm.

2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS

25

PROBLEMAS

1. Dado um segmento AB mostre que existe, e é único, um ponto

C entre A e B tal que (AC/ BC) = a, onde a é qualquer número real positivo. 2. Prove a seguinte afirmação feita no texto: o segmento de reta ligando um ponto fora ele um círculo com um ponto dentro do mesmo, tem um ponto em comum com o círculo. 3. Dados dois pontos A e B e um número real r maior do que AB, o conjunto dos pontos C satisfazendo a CA + CB =ré chamado de elipse. Estabeleça os conceitos de região interior e de região exterior a uma elipse. 4. Um conjunto M de pontos elo plano ·é limitado se existe um círculo C tal que todos os pontos de M então dentro de C; e é ilimitado quando não é limitado. Prove que qualquer conjunto finito de pontos é limitado. Prove também que segmentos são limitados. Conclua ·o mesmo resultado para triângulos. 5. Prove que a união de uma quantidade finita de conjuntos limitados é ainda um conjunto limitado. 6. Mostre que, dado um ponto P e um conjunto limitado M, existe um disco com centro em P que contém M. 7. Prove que as retas são conjuntos ilimitados. (Sugestão: use o problema 6.)

26

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 8. Discuta a veracidade da seguinte afirmação: o caminho que realiza a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une. 9. Mostre que é possível construir um círculo de qualquer raio contido em um semi-plano.

10. Considere uma semi-reta SAB· Mostre que, para cada ponto C de S AB existe um círculo centrado em C passando pelo ponto A. Para cada C, seja B(C) o disco limitado por C. Mostre que a união dos B(C) é um conjunto convexo. 11. Sejam uma reta e Pum ponto que não pertence a m. Seja 1i a união das semi-retas de origem P que cortam m. a) Mostre que

1{

é um conjunto convexo.

b) Discuta a seguinte afirmação: a fronteira de de duas semi-retas que não interceptam m.

1{

é a união

12. Sejam A, B, C e D quatro pontos situados fora de um círculo de raio r e centro O. Suponha que os segmentos AB, BC, CD e D E estão fora do círculo e que o segmento AC contém o ponto O. Mostre que AB +BC+ CD+ DA> 4r. 13. Descreva um método para desenhar um triângulo eqüilátero. 14. Descreva um método para desenhar um triângulo cujos lados medem 3, 4 e 6. 15. A superfície ela terra é uma esfera ele raio muito grande. Tão grande que, localmente, tem-se a sensação ele que estar vivendo sobre uma superfície plana. De fato, esta sensação é tão forte que a história registra um período em que tal crença era lugar comum. Discuta a seguinte questão: o que são retas sobre uma esfera.

2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS

27

16. Continue a questão anterior discutindo se as retas na esfera satisfazem ou não aos axiomas I, II e III. 17. Dentro da mesma ordem ele idéias, suponha que vivêssemos numa superfície cilíndrica. Repita os exercícios 15 e 16 neste contexto. Observo que um autor de ficção científica concebeu uma nave espacial de dimensões gigantescas na forma ele um cilindro que giraria em torno de seu eixo para gerar gravidade artificial. Tal nave seria a nova morada elo homem ao longo de viagens espaciais que durariam várias gerações. 18. Considere como plano a parte ela planta de uma cidade ocupada pelas ruas e avenidas. Considere como segmento de reta qualquer caminho que possa ser seguido por um ta.xi para ir de um ponto a outro ela cidade. Verifique se cada um dos axiomas que já enunciamos vale ou não nesta "geometria". 19. Tome uma folha de papel. Suponha que o plano seja constituído apenas elos pontos desta folha ele papel. Dados dois pontos neste plano, usando uma régua e um lapis pode-se traçar um segmento ligando os dois pontos. Defina as reta como a extensão ele um segmento até a borda ela folha ele papel. Discuta a validade ou não, nesta "geometria", de todos os a.xiomas já apresentados até aqui. 20. Se a folha ele papel for levemente encurvada, muda alguma coisa na resposta elo item anterior? 21. Analise a possibilidade ele estabelecer um conceito ele "estar entre" para pontos de um círculo.

28

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

COMENTÁRIO

As primeiras noções geométricas surgiram quando o homem viuse compelido a efetuar medidas, isto é, a comparar distâncias e a determinar as dimensões dos corpos que o rodeavam. Egípcios, Assírios e Babilônios já conheciam as principais figuras geométricas e a noções de ângulo que usavam nas medidas ele área e na Astronomia. A maior parte do desenvolvimento da Geometria resultou cios esforços feitos, através de muitos séculos, para construir-se um corpo de doutrina lógica que correlacionasse os dados geométricos obtidos da observação e medida. Pelo tempo de Euclides (cerca de 300 a.C.) a ciência da Geometria tinha alcançado um estágio bem avançado. Do material acumulado Euclides compilou os seus "Elementos", um dos mais notáveis livros já escritos. A Geometria, como apresentada por Euclides, foi o primeiro sistema ele idéias desenvolvido pelo homem, no qual umas poucas afirmações simples são admitidas sem demonstração e então utilizadas para provar outras mais complexas. Um tal sistema é chamado dedutivo. A beleza da Geometria, como um sistema dedutivo, inspirou homens, das mais diversas áreas, a organizarem suas idéias da mesma forma. São exemplos disto o "Principia" de Sir Isaac Newton, no qual ele tenta apresentar a Física como um sistema dedutivo, e a "Ética" do filósofo Spinoza. ·

CAPÍTULO 3 AXIOMAS SOBRE lVIEDIÇÃO DE ÂNGULOS

Definição 3.1 Chamamos de ângulo a figura formada por duas

semi-retas com a mesma origern.

A

Figura 3.1

As semi-retas são chamadas ele lados do ângulo e a origem comum, de vértice cio ângulo. Um ângulo formado por duas semi-retas distintas de uma mesma reta é chamado ele ângulo raso.

A

Figura 3.2

29

30

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Existem várias maneiras distintas de representar um ângulo. Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) pode ser designado por BÂC ou por CÂB. Ao utilizarmos esta notação, a letra indicativa do vértice deve sempre aparecer entre as outras duas, as quais representam pontos das semi-retas que formam o ângulo.

Figura 3.3

Quando nenhum outro ângulo exibido tem o mesmo vértice, pode-se usar apenas a letra designativa elo vértice para representar o ângulo. Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) poderia ser representado simplesmente por Â. Em qualquer dos dois casos considerados a letra designativa do vértice levará sempre um acento circunflexo. Também é comum a utilização de letras gregas para representação ele ângulos. Neste caso é conveniente escrever a letra designativa elo ângulo próximo do seu vértice, como indicado na figura abaixo.

\~ªFigura 3.4

Os ângulos são medidos em graus com o auxílio de um transferidor1. Na figura seguinte, o ângulo BÂC mede 20° (vinte graus).

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

31

Observe que, de maneira análoga ao que ocorre no caso da medição de segmentos, o transferidor pode ser colocado de várias maneiras diferentes, no entanto, o valor ela medida elo ângulo BÂC será sempre 20°.

Figura 3.5

A maneira ele introduzir a medição ele ângulos na geometria é através elos axiomas apresentados a seguir. Observe que eles têm enunciados semelhantes aos dos ax:iomas sobre medição ele segmentos.

Axioma III 4 Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zero. A medida ele um ângulo é zero se e somente se ele é constituído por duas semi-retas coincidentes. Para facilitar o enunciado elo próximo axioma, vamos dar a seguinte definição:

Definição 3.2 Diremos que uma semi-reta divide um semi-plano se ela estiver contida no semi-plano e sua origem f ar um ponto da reta que o determina.

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

32

Axioma 111 5 É possível colocar, em correspondência biunívoca, os números reais entre zero e 180 e as semi-retas da mesma origem que dividem um dado semi-plano, de modo que a diferença entre estes números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas correspondentes. 60 125

B

180

A

o

o Figura ~-6

Ao fazer tal correspondência chamamos o número que corresponde a uma dada semi-reta de coordenada da semi-reta. Na figura (3.6) acima, a semi-reta SoA tem coordenada 60, a semi-reta SoB tem coordenada 125. De acordo com o axioma 111 5 a medida do ângulo AÔB é 125-60=65. Este é um fato geral. Se a e b forem coordenadas cios lados cio ângulo AÔB, então ia - bl é a medida deste ângulo. Indicaremos um ângulo e a sua medida pelo mesmo símbolo. Assim escreveremos ele uma maneira geral

AÔB =

la-bl

para significar que la-bl é a medida elo ângulo AÔB. Observe que as semi-retas que formam um ângulo raso serão sempre numeradas por O e 180, sendo assim a medida de tais ângulos sempre 180°.

Definição 3:3 Sejam SoA, SoB e So::: semi-retas de mesma origem. Se o segmento .4.B interceptx· Soe dircr,ws que S 00 divide o ângulo AÔB.

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

33

Axioma III 6 Se uma semi-reta Soe divide um ângulo AÔB, então AÔB

= AÔC + CÔB .

Definição 3.4 Dois ângulos são ditos suplementares se a soma de suas medidas é 1800. O suplemento de um ângulo é o ângulo

adjacente ao ângulo dado obtido pelo prolongamento de um de seus lados

e

Figura 3.7

É claro que um ângulo e seu suplemento são ângulos suplementares. É também evidente que, se dois ângulos têm a mesma medida, então o mesmo ocorre com seus suplementos. Quando duas retas distintas se interceptam, formam-se quatro ângulos, como indicado na figura abaixo. Os ângulos AÔB e DÔC são opostos pelo vértice. Do mesmo modo o são os ângulos AÔ D e BÔC. ~

A

D

B

e Fig.ura 3.8

34

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Proposição 3.5 Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma me-

dida. Prova: De fato, se AÔB e DÔC são ângulos opostos pelo vértice, então eles têm o mesmo suplemento: AÔD. Logo

+ AÔD DÔC + AÔD AÔB

180º 180º

Portanto AÔB = 180° - AÔD = DÔC. Definição 3.6 Um ângulo cuja medida é 9(f. é chamado ângulo reto.

É claro que o suplemento ele um ângulo reto é também um ângulo reto. Quando duas retas se intersectam, se um elos quatro ângulos formados por elas for reto, então todos os outros também o serão. Neste caso diremos que as retas são perpendiculares. Teorema 3. 7 Por qualquer ponto de uma reta passa uma única

perpendicular a esta reta. Prova: (Existência}. Dada uma reta rn e um ponto A sobre ela, as duas semi-retas determinadas por A formam um ângulo raso. Considere um elos semi-planos determinados pela reta m. De acordo com o axioma IIl 5 , entre todas as semi-retas com origem A, que dividem o semi-plano fixado, existe uma cuja coordenada será o número 90. Esta semi-reta forma, com as duas semi-retas determinadas pelo ponto A sobre a reta m, ângulos ele 90°. Portanto ela é perpendicular a reta m.

(Unicidade}. Suponha que existissem duas retas n e n' passando pelo ponto A e perpendiculares a m. Fixe um elos semiplanos determinados por m. As interseções elas retas n e n' com este semi-plano são semi-retas que formam um ângulo a e, como na

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

35

n

n'

y

m

A

Figura 3.9

figura (3.9), formam outros dois ângulos /3 e I com as semi-retas determinadas pelo ponto A na reta m. Como n e n' são perpendiculares a 1n então /3 = 1 = 90º. Por outro lado, devemos ter a + /3 + 1 = 180°. Lego a = 0° e as retas n e n' coincidem.

1 Queremos

observar que os ângulos podem também ser medidos utilizando o grado, o radiano ou qualquer outra unidade de medida de ângulos. Elas correspondem a diferentes maneiras de numerar ao:; semi-retas de mesma origem e sua adoção não interfere com o desenvolvimento da teoria. O leitor vai encontrar no "comentário" deste capítulo uma razão histórica pela qual escolhemos o grau para unidade de medida de ângulos neste texto.

36

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

EXERCÍCIOS

1. Mostre que se um ângulo e seu suplemento têm a mesma

medida então o ângulo é reto. 2. Dois ângulos são suplementares. A diferença entre eles é de 50°. Determine a medida dos dois ângulos. 3. Um ângulo é chamado agudo se mede menos de 90°, e é chamado obtuso se mede mais de 90°. Mostre que o suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso. 4. Quanto mede o ângulo cuja quinta parte do seu suplemento mede 24º? 5. O ângulo formado pelas bissetrizes ele dois ângulos adjacentes mede 40°. Sendo a medida de um deles igual a três quintos da medida elo outro, determine a medida elos dois ângulos. 6. Três semi-retas ele mesma origem são traçadas no plano. Colocando-se o transferidor de forma adequada, a primeira delas tem coordenada O, a· seg_unda 30 e a ultima 120. Qual a medida do ângulo entre a segunda e a terceira? Se o transferidor fosse rodado um pouco de modo que a coordenada da primeira fosse agora 20, qual seriam as coordenadas das outras semiretas? 7. Duas retas se interceptam formando quatro ângulos. Se um deles é reto, mostre que os outros também são retos. Se, ao invés de ser reto, um deles medisse 60°, qual seriam as medidas elos outros.

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

37

8. Use um transferidor e desenhe ângulos de 45º, 60°, 90º, 142°, 15.5° e 33°. 9. Dois ângulos são ditos' complementares se sua soma é um ângulo reto. Dois ângulos são complementares e o suplemento de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo mais 30º. Quanto medem os dois ângulos? 10. Determine a medida do ângulo agudo que tem a mesma medida do seu complemento. 11. Qual é o ângulo agudo que mede o dobro do seu complemento? 12. Porque o complemento de um ângulo é sempre menor do que o seu suplemento? 13. Qual a medida da diferença entre o suplemento de um ângulo e seu complemento? 14. Ao longo de 1/2 hora o ponteiro dos minutos de um relógio descreve um ângulo raso (ou seja, o ângulo entre sua posição inicial e sua posição final é um ângulo raso). Quanto tempo ele leva para descrever um ângulo de 60° graus? 15. Ao mesmo tempo em que o ponteiro dos minutos gira, o das horas também gira, só que em menor velocidade: ele leva 6 horas para descrever um àngulo raso. Quanto tempo ele leva para percorrer um ângulo de 10º. 16. Qual o ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e da~ horas quando são 12 horas e 30 minutos? 17. Exatamente às 12 horas um ponteiro estará sobre o outro. A que horas voltará a ocorrer que os dois ponteiros formem um ângulo de Oº?

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

38

18. Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência ele pontos A1 , A2, ... , An e pelos segmentos A1A2, A2A3, A3A4, ... , An_ 1 A 11 • Os pontos são os vértices ela poligonal e os segmentos são os seus lados. Desenhe a poligonal ABCD sabendo que: AB = BC = CD = 2cm,, ABC = 120º e BÔD = 100º. 19. Um polígono é uma poligonal em que as seguintes 3 condições são satisfeitas: (a) A11 = A 1 , (b) os lados ela poligonal se interceptam somente em suas extremidades, (e) cada vértice é extremidade ele dois lados e (d) dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta. Das 4 figuras, abaixo, apenas duas são polígonos. Determine quais são elas.

A

D

D

E

e

e

A

e

E

B

B B

A

B

A

E

D

\

c~c

E

Um polígono ele vértices A1 , A2, ... , An+l = A1, será representado por A 1 A 2A 3, ... , A 11 • Ele tem n lados, n vértices e n ângulos.

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

39

20. Desenhe um polígono de 4 lados ABC D tal que AB = BC = CD= DA= 2cni, com AÊC = AÍJC = 100º e com BêD = BÂD = 80º. 21. A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada de perímetro do polígono. Desenhe um polígono, meça seus lados e determine seu perímetro. 22. Seja ABCD um polígono tal que AB =BC= CD= DA. Se AB = a seu perímetro será 4a. Determine um ponto E fora da região limitada pelo polígono tal que ABE é um triângulo eqüilátero. Considere agora o polígono AEBCD. Determine seu perímetro. 23. No polígono ABCD da questão anterior, seja M o ponto médio do lado AB. Determine agora dois pontos E 1 e E 2 tais que AE1 M e !11 E 2 B sejam eqüiláteros. Determine agora o perímetro do polígono AE1Jvf E 2 BCD. 24. Generalize a construção do exercício anterior tomando agora pontos médios dos segmentos AM e M B e determine o perímetro do polígono resultante. 25. Mostre que todo polígono é limitado. 26. O segmento ligando vértices não consecutivos de um polígono é chamado uma diagonal do polígono. Faça o desenho de um polígono de seis lados. Em seguida desenhe todas as suas diagonais. Quantas diagonais terá um polígono de 20 lados? E de n lados? 27. Discuta a seguinte afirmação: todo polígono separa o plano em duas partes, uma limitada e outra ilimitada. (A parte limitada é referida como a região limitada pelo polígono, ou o interior do polígono).

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

40

28. Dê exemplo de um polígono que possua uma diagonal que não esteja contida na região por ele limitada. 29. Considere um polígono de quatro lados. Mostre que o comprimento de qualquer uma de suas diagonais é menor do que a metade do seu perímetro. 30. São dados quatro pontos A, B, C e D. É também sabido que AB +BC+ CD+ DA e 2AC são iguais. O que você pode afirmar sobre a posição relativa dos quatro pontos? 31. Um polígono é convexo se está sempre contido em um dos semi-planos determinados pelas retas que contêm os seus lados. Na figura abaixo mostre que o polígono (a) é convexo e o {b) é não convexo.

(a)

(b)

32. Mostre que, em um polígono convexo, as diagonais estão sempre contidas na região limitada pelo polígono. 33. Os ângulos formados pelos lados de um polígono convexo são chamados de ângulos do polígono. Suponha que tenha sido demonstrado que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é um valor constante s. Com esta informação mostre que

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

41

a soma dos ângulos de um polígono convexo de n lados é

(n - 3)a. 34. Suponha agora que tenha sido demonstrado que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre menor do que um número a. Mostre então que a soma dos ângulos de um polígono convexo de n lados é menor do que (n - 3)a. 35. Polígonos convexos recebem designações especiais. São as seguintes as designações dadas a estes polígonos de acordo com seu número de lados, até 10 lados.

nº de lados 3

4 5 6

7 8

9 10

nome do polígono convexo triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octágono nonágono decágono

Dado um polígono convexo mostre que qualquer de suas diagonais sempre o divide em dois conjuntos convexos. 36. Dê exemplo de uma polígono não convexo que possua uma diagonal que o divide em dois polígonos convexos.

42

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

PROBLEMAS

1.

Dado um ângulo AÔ B mostre que existe uma única semi-reta Soe tal que AÔC = ÇÔB. A semi-reta Soe é chamada de bissetriz do ângulo AO B.

2. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares. 3. Dado um ângulo AÔ B e um número real positivo a, O < a < 1, mostre que existe uma única semi-reta Soe, contida neste ângulo, tal que CÔB =a• AÔB. 4. De quantos graus move-se o ponteiro dos minutos enqaanto o ponteiro elas horas percorre um ângulo raso? 5. Descreva um processo pelo qual um desenhista, sem usar um transferidor, possa "copiar" um ângulo, isto é, dado um ângulo desenhado em uma folha de papel, desejamos estabelecer um procedimento pelo qual possamos desenhar um outro ângulo que tenha a mesma medida do primeiro, isto sem fazer uso de um transferidor. 6. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um compasso e de uma régua não numerada, para desenhar um triângulo eqüilátero. 7. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um compasso e de uma régua não numerada, de construção de um quadrilátero com os quatro lados de mesmo comprimento.

3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS

43

8. Seu método se estende para o caso de 5 lados? 9. Uma alternativa para definir ângulo é a de considerar a interseção de semi-planos. Formalize esta ideia. Relacione com nossa definição. 10. Considere dois círculos S1 e S2 centrados no ponto O. As semi-retas tendo O como origem podem ser usadas para associar a cada ponto P do círculo S1 um ponto Q do círculo S2 . Pense nela como uma função f elo círculo S1 no círculo S2. Mostre que: a) Se J(Pi) = J(A) então

A = A- (fé biunívoca.)

b) Se Q for qualquer ponto ele S2 então existe P E S1 tal que J(P) = Q. (fé sobre.) Comente sobre a seguinte afirmação: "Os círculos S1 e S2 têm o mesmo número ele pontos". 11. De exemplo de um quadrilátero (não convexo) com duas diagonais que não se interceptam. 12. Por definição, se P for um polígono convexo, então, para cada um ele seus lados m,, podemos escolher um semi-plano L(m,) determinado por m tal que P e L(m). Logo P e ílm L(m). Mostre que P = ílm L(m). 13. Sejam m e n duas retas. Mostre que: se 1n está contida em um elos semi-planos determinados por n então ou m, = n ou m, e n não se intersectam. 14. Mostre que se uma semi-reta tem origem no vértice A ele um triângulo ABC e passa por algum ponto interior ao triângulo, então ela intercepta o lado BC.

44

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

COMENTÁRIO

No segundo e primeiro milênios antes de Cristo, floresceram na Mesopotâmea (a região entre os rios Eufrates e Tigre, o que hoje é aproximadamente o Iraque) várias civilizações conhecidas, de um modo geral, como civilização babilônica. Entre elas, a civilização Suméria, que teve seu ápice no segundo milênio a.C., e a civilização que se desenvolveu em torno da cidade chamada Babilônia no primeiro milênio a.C. Os babilônios absorveram grande parte da cultura matemática egípcia e a ela acrescentaram suas próprias conquistas. Entre estas, figura o total desenvolvimento da álgebra elementar e a invenção de um sistema de numeração em que os algarismos têm um valor de posição na grafia dos números. Este método de escrever os números, infelizmente não foi absorvido pelas civilizações que se seguiram à civilização babilônica. Em passado mais recente ele foi redescoberto pelos hindus de quem o importamos, através dos árabes. Enquanto a base de numeração hindú era decimal, exatamente como utilizamos hoje, a base de numeração babilônica era sexagesimal. Isto significa que eles utilizavam 60 símbolos (algarismos) distintos para escrever todos os números. Infelizmente o zero era representado por uma lacuna o que tornava a leitura de alguns números confusa. Talvez esta tenha sido a dificuldade essencial, que levou este sistema a não ser absorvido pelas civilizações que sucederam a civilização babilônica. Para este povo, que utilizava um sistema de numeração de base 60, foi muito natural dividir o círculo em 360 partes (grau), e cada uma destas partes em 60 partes (minuto) e repetir o processo para estas sub-partes. Assim o "grau" é uma invenç:ão dos babilônios, que entraram para a história da ciência matemática com uma contribuição importante que utilizamos até hoje.

CAPÍTULO 4 CONGRUÊNCIA

Definição 4.1 Diremos que dois segmentos AB e CD são congruentes quando AB = CD; diremos que dois ângulos  e Ê são congruentes se eles têm a mesma medida.

Observe que, com esta definição, as propriedades ela igualdade ele números passam a valer para a congruência ele segmentos e ele ângulos. Como conseqüência, um segmento é sempre congruente a ele mesmo e dois segmentos, congruentes a um terceiro, são congruentes entre si. O mesmo valendo para ângulos. Para simplificar ao máximo a nossa notação, iremos utilizar o símbolo "="para significar congruente. Assim, AB = CD eleve ser lido como AB é congruente a CD e  = Ê eleve ser lido como ângulo A é congruente ao ângulo B. Em geral não haverá perigo ele confusão com a igualdade ele números ou ele conjuntos. Quando houver, reforçaremos com palavras o significado elo símbolo. Definição 4.2 Dois triângulos são congruentes se for possível es-

tabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vérices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. Se ABC e EFG são dois triângulos congruentes e se 45

46

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

A -

E

B

F

-----.t

C -

G

é a correspondência que define a congruência, então valem, simultaneamente, as seis relações seguintes: AB Â

EF

BC Ê

Ê

FC

p

EG

AC

ê

ê

Se, nos triângulos abaixo, considerarmos a correspondência C - F, B - D e A - E, verificaremos que ê = P, Ê = ÍJ, Â = Ê, CB = FD, BA = DE e AC= EF. Portanto os triângulos CBA e F D E são congruentes. G

e 6

F

30 ,____,__ _ _4 _ _ _.___--"" A

E

Figura 4.1

Escreveremos ABC = EFG para significar que os triângulos ABC e EFG são congruentes e que a congru.ência leva A em E, B em F e Cem G.

Axioma IV Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB AC = EG e  = Ê então ABC = EFG.

= EF,

47

4. CONGRUÊNCIA

Observe que, ele acordo com a definição (4. 2), para verificarmos se dois triângulos são congruentes temos que verificar seis relações: congruência elos três pares de lados e congruência dos três pares de ângulos correspondentes. O axioma acima afirma que é suficiente verificar apenas três delas, ou seja:

AB = EF} AC=EG Â=Ê

==>

{ A-f! = E}F, BC= FC, AC= EG A= E, Ê = F, ê= ê

Este axioma é conhecido como primeiro caso ele congruência ele triângulos. Outros dois casos serão apresentados a seguir. Teorema 4.3 (2° caso de congruência de triângulos) Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, Â = Ê e Ê = F,

então ABC = EFG. Prova: Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB = EF, Â = Ê e Ê = F. Seja D um ponto ela semi-reta SAc tal que

AD= EG. G

A~----------~B E~----------~F

Figura 4.2

Compa~e os !riângulos ABD e EFG. Como AD = EG, AB = EF e A = E, concluímos, pelo axioma IV, que ABD = EFG. Como conseqüência, tem-se que AÊD = F. Mas, por hipótese, F = AÊC. Logo AÊD = AÊC. Consequentemente as semi-retas SBD e S8 c coincidem. Mas então o ponto D coincide com o ponto

48

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

C· e, portanto, coincidem os triângulos ABC e ABD. Como já provamos que ABD = EFG, então ABC= EFG.

Definição 4.4 Um triângulo é dito isósceles se tem dois lados congruentes. Estes lados são chamados de laterais, e o terceiro lado é chamado de base.

Proposição 4.5 Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. Prova Seja ABC um triângulo em que AB = AC. Pretende-se provar que Ê = ê. Para isto compare o triângulo ABC com ele mesmo fazendo corresponder os vértices da seguinte maneira:

A

t--t

A,

B

t-t

C e C

t-t

B. A

Por hipótese, AB = AC e AC = AB. Como  = Â, segue-se (pelo axioma IV) que esta correspondência define uma congruência. Como conseqüência tem-se Ê = ê.

e

B

P.igura 4.3

Caso o leitor tenha alguma dificuldade em seguir o argumento acima, deve desenhar duas cópias elo triângulo ABC e repetir o raciocínio para estes dois triângulos.

Proposição 4.6 Se, em um triângulo ABC, tem-se dois ângulos congruentes, então o triângulo é isósceles.

4. CONGRUÊNCIA

49

Prova Seja ABC um triângulo em que Ê3 = ê. Vamos mostrar que AB = AC. Novamente comparemos o triângulo ABC com ele próprio, fazendo corresponder os vértices como na prova ela proposição anterior, isto é: A - A, B - C e C - B. Como Ê3 = ê e ê = Ê3 por hipótese, e BC= CB, segue-se (pelo teorema (4.3)) que esta correspondência define uma congruência. Como conseqüência AB = BC.

Definição 4. 7 Seja ABC um triângulo e seja D um ponto da reta que contém B e C. O segmento AD chama-se mediana do triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de BC. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo  se a semi-reta SAD divide o ângulo C ÂB em dois ângulos congruentes, isto é, se CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo relativamente ao lado BC, se AD for perpendicular a reta que contém B eC. Na figura (4.4), em (a) AD é mediana, em (b) AD é bissetriz, e em (c) AD é altura.

A

C

I I I

I I I I

BL...---0.___ (a)

_,

A (b)

Figura 4.4

(e)

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

50

Proposição 4.8 Em um triângulo isósceles a mediana relativamente a base é também bissetriz e altura. Prova: Seja ABC um triângulo isósceles cuja base é AB. Seja CD sua mediana relativamente à base. Deve-se provar que AÔD = BÔD e que ADC é um ângulo reto. Para isto considere os triângulos ADC e BDC. Como AD = BD (já que CD é mediana), AC = BC (já que o triângulo é isósceles com base AB) e  = Ê (de acordo com a proposição anterior), então,pelo Axioma IV, tem-se ADC = BCD. Segue- se daí que AÔD = BÔD e CÍJA = BÍJC. A primeira congruência nos diz que CD é bissetriz do ângulo Aê B. Como AD B é um ângulo raso e C ÍJ A + B ÍJC = AD B então CÍJA + BÍJC = 180°. Como já sabemos que CÍJA = BÍJC então concluímos que CÍJA = BÍJC = 90°. Portanto CD é perpendicular a AB. Isto conclui a prova da proposição.

e

A

D

e

Figura 4.5

Teorema 4.9 (3º caso de congruência de triângulos) Se dois triângulos têm três lados correspondentes congruentes então os triângulos são congruentes.

51

4. CONGRUÊNCIA e

A1------,-------➔ B

D

Figura 4.6

Prova Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB BC = FC e AC = EG. Vamos provar que ABC = EFG.

= EF,

Para isto, construa, a partir da semi-reta SAB e no semi-plano oposto ao que contém o ponto C, um ângulo igual ao ângulo Ê. No lado deste ângulo que não contém o ponto B, marque um ponto D tal que AD = EG e ligue D a B. Como AB = E F (por hipótese), AD = EG (por construção) e DÂB = Ê (por construção), então ABD = EFG. Vamos agora mostrar que os triângulos ABD e ABC são congruentes. Para isto trace CD. Como AD = EG = AC e DB = FG = BC, então os triângulos ADC e BDC são isósceles. Segue-se que AÍJC = AêD e C ÍJ B = Dê B e logo que AÍJ B = Aê B. Mas então, pelo primeiro caso de congruência de triângulos, podemos concluir que ABD = ABC. Como já tínhamos provado que ABD = EFG, concluímos que ABC= EFG.

52

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

EXERCÍCIOS

1. Um ângulo raso é dividido por duas semi-retas em três ângulos adjacentes congruentes. Mostre que a bissetriz elo ângulo elo meio é perpendicular aos lados elo ângulo raso.

2. Desenhe um triângulo. Construa agora um outro triângulo congruente ao que você desenhou. Descreva o procedimento. 3. Construa um triângulo ABC sabendo que AB = 7, 5e111,, BC = 8, 2e111, e AÊC = 80°. Meça o comprimento ele AC e os outros ângulos elo triângulo. 4. Na figura abaixo à esquerda os ângulos a e /3 são congruentes. Mostre que AC = BC. D

A

e E

5. Na figura acima à direita tem-se AB = AC e BD = CE. Mostre que: ACD = ABE e BCD = CBE 6. Dois segmentos AB e CD se interceptam em um ponto M o qual é ponto médio elos dois segmentos. Mostre que AC = BD. 7. Em um triângulo ABC a altura elo vértice A é perpendicular ao lado BC e o divide em dois segmentos congruentes. Mostre que AB = AC.

4. CONGRUÊNCIA

53

8. Mostre que os pontos médios dos lados de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles. e

'

9. Na figura ao lado, AC = AD e AB é a bissetriz do ângulo C ÂD. Prove que os triângulos AC B e AD B são congruentes.

A ê. Proposição 5.3 A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor do que 18(!1. Prova: Seja ABC um triângulo. Vamos mostrar que Ê+ê < 180º. Seja 0 o ângulo externo deste triângulo com vértice em C. Pela proposição anterior temos que

Como 0 e

ê

são suplementares, então 0 + ê

Ê+ê < e+ê = 180°.

= 180°.

Portanto,

63

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

Corolário 5.4 Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos. Prova: De fato, se um triângulo possuísse dois ângulos internos não agudos, sua soma seria maior ou igual a 180º, o que não pode ocorrer de acordo com a proposição anterior. Corolário 5.5 Se duas retas distintas rn e n são perpendiculares a uma terceira, então rn e n não se interceptam. m

Prova: Se rn e n se interceptassem formar-se-ia um triângulo com dois ângulos retos, o que é absurdo pelo corolário anterior.

n

Figura 5.3

Definição 5.6 Duas retas que não se interceptam são ditas paralelas. A proposição seguinte fornece um método ele construção de retas perpendiculares. Como conseqüência do Corolário (5.5), este método pode ser utilizado para construção de retas paralelas. Proposição 5. 7 Por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta perpendicular a reta dada. Prova (Existência). Seja rn uma reta e A um ponto fora desta reta. Tome sobre rn dois pontos B e C distintos. Trace AB. Se AB já é perpendicular a m, terminamos a construção. Caso contrário, considere, no semi-plano que não contém A, uma semi-reta com origem B formando com SBc um ângulo congruente a AÊC. Nesta semi-reta tome um ponto A' tal que BA' = BA. O segmento AA' é perpendicular a m. De fato, como BA = BA', o triângulo ABA'

64

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A

m

n', . .

e ' 'A'

Figura 5.4

é isósceles. Como AÊC = CÊA', então BC é bissetriz do ângulo ABA'. Segue-se, então, que BC é perpendicular a AA'. ( Unicidade) Se existissem duas retas distintas passando pelo ponto A e sendo ambas perpendiculares a reta rn, formar-se-ia um triângulo com dois ângulos retos, o que é absurdo de acordo com o corolário (5.4).

A

m

Figura 5.5

O ponto A' obtido a partir de A e rn na construção acima (vide figura (5.4)), é chamado de reflexo do ponto A relativamente à reta rn. O reflexo é caracterizado pelas seguintes condições: a) AA' é perpendicular a rn, e b) rn corta AA' no seu ponto médio.

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

65

A função Fm que associa a cada ponto elo plano, o seu reflexo relativamente a uma reta m fixada, é chamada reflexão e tem as seguintes propriedades: i) Fm(Fm(A)) =Apara todo ponto A,

ii) Fm(A) =Ase e somente se A é ponto ela reta m, iii) Fm(A)Fm(B) = AB, ou seja, Fm preserva a distância entre pontos elo plano, e iv) se A E m, B ângulo BÂB'.

~ ni

e B' = Fm(B) então m é a bissetriz elo

Fica a cargo elo leitor a demonstração ela validade destas propriedades. Dado um ponto A e uma reta ni, a perpendicular a m passando por A interceptam em um ponto P chamado: pé ela perpendicular baixada elo ponto A a reta m. Se Q é qualquer outro ponto ele m, o segmento AQ é dito ser oblíquo relativamente a m.

m Q

p

Figura 5.6

Na figura, o segmento Q P é chamado ele projeção do segmento QA sobre a reta m. É uma conseqüência ela proposição seguinte que QA > QP e que QA > AP. O número AP é chamado de distância elo ponto A à reta m. Dado um triângulo ABC diremos que o lado BC opõe-se ao ângulo  ou, ele maneira equivalente, que o ângulo  é oposto ao lado BC.

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

66

e Figura 5.7

Proposição 5.8 Se dois lados de um triângulo não são congru-

entes então seus ângulos opostos não são congruentes e o maior ângulo é oposto ao maior lado. Prova: A primeira parte da proposição é uma conseqüência imediata das proposições (4.5) e (4.6). Para provar a segunda parte, considere um triângulo ABC em que BC < AC e vamos mostrar que CÂB < CÊA.

e

Figura 5.8

Para isto, marque, sobre a semi-reta ScA, um ponto D tal que CD= BC. Como BC< AC então este ponto D pertence ao segmento AC e, como conseqüência, a semi-reta S 8 v divide o ângulo CÊ A. Portanto tem-se

CÊA > CÊD. Agora observe que

CÊD

= CÍJB > CÂB.

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

67

A igualdade acima é conseqüência de CBD ser um triângulo isósceles, e a desigualdade ocorre porque C ÍJ B é ângulo externo elo triângulo BDA. Portanto CÊA > CÂB como queríamos demonstrar. Proposição 5.9 Se dois ângulos de um triângulo não são congru-

entes então os lados que se opõem a estes ângulos têm medidas distintas e o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Prova: Novamente aqui, a primeira parte ela proposição é uma conseqüência imediata das proposições (4.5) e (4.6). Para provar a segunda parte, considere um triângulo ABC em que CÂB < CÊA e vamos mostrar que BC< AC. Observe que, existem três possibilidades: BC< AC, BC> AC e BC= AC. Se BC > AC então, pela proposição anterior, deveríamos ter CÂB > CÊA, o que é contrário a nossa hipótese. Do mesmo modo, se ocorresse BC= AC, o triângulo seria isósceles e CÂB = CÊA, o que está também em desacordo com nossa hipótese. Logo eleve ocorrer BC< AC, como queríamos demonstrar. Teorema 5.10 Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de

dois lados é maior do que o comprimento do terceiro lado. Prova Dado um triângulo ABC mostraremos que AB+BC > AC. Para isto, marque um ponto D na semi-reta SAB, ele modo que

AD= AB + BC. Segue-se que BD= CB e, portanto, o triângulo BCD é isósceles com base CD. Logo, teremos BÔD = BÍJC. Como B está entre A e D, então BÔD < AÔD. Segue-se que no triângulo ACD tem-se BÍJC < AÔD. Logo, pela proposição anterior, AC< AD. Mas então AC< AB + BC. Teorema 5.11 (DESIGUALDADE TRIANGULAR) Dados três pon-

tos distintos A, B e C do plano, tem-se que AC ::; AB + BC. Igualdade ocorre se e somente se B pertence ao segmento AC.

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

68

e

A~---------~ ------~D 13 Figura 5.9

Prova: Se A, B e C não estão sobre uma mesma reta, então eles determinam um triângulo e a desigualdade é conseqüência do teorema anterior. Se estão sobre uma mesma reta, sejam a, b e e, respectivamente, as suas coordenadas. Neste caso é simples verificar que

la - cl

:'.S

la - bl + lb - cl

e que igualdade ocorre se e somente se b está entre a e e. O resultado é agora uma conseqüência do teorema (2.2). A desigualdade triangular é a única restrição para que se possa construir um triângulo com comprimento dos lados pré-determinados. Por exemplo, de acordo com esta desigualdade é impossível construir-se um triângulo cujos lados sejam 5, 3 e 9. Proposição 5.12 Sejam a, b e e três números positivos. Suponha

que la - bl < e < a+ b. Então pode-se construir ·um t?·iângulo cujos lados medem a, b e e. Prova: Trace uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B tais que AB = e. Com um compasso descreva um círculo ele centro A e raio b, e um círculo ele centro B e raio a. Como la-bl < c < a+b, os dois círculos se interceptam. Chame quaisquer elos pontos ela interseção ele C. O triângulo ABC tem lados medindo a, b e e como desejado.

69

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

B

Figura .5.10

Vamos agora aplicar a desigualdade triangular para resolver o seguinte problema: São dados dois pontos A e B fora de uma reta m,. Determinar um ponto P sobre a reta m tal que AP + P B seja o menor possível. Inicialmente vamos supor que A e B estejam em semi-planos distintos relativamente a reta m,. Neste caso o segmento AB intercepta a reta m, num ponto P. Afirmo que este ponto é a solução elo nosso problema. De fato, se P' é qualquer ponto de m, então, pela desigualdade triangular, teremos: AP' + P' B 2:: AB, ocorrendo igualdade se e somente se P = P'.

m

Figura 5.11

No caso em que A e B estão em um mesmo semi-plano, seja B' o reflexo elo ponto B relativamente a reta m. Se P' é qualquer ponto de m, então P' B = P' B'. Consequentemente, teremos que

AP1 +P1 B = AP' +P1 B 1 •

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

70

Assim, o problema reduz-se ao caso anterior e a solução é o ponto P obtido pela interseção de m com o segmento AB' A

B'

m

... ...

... 1

'B

Figura 5.12

É interessante observar que este problema surge em Física, quando se tenta determinar um ponto P, sobre um espelho, onde deve ocorrer a reflexão de um raio de luz que vai do ponto A ao ponto B, refletindo-se no espelho. Ou quando tenta-se determinar um ponto onde uma bdl.it de bilhar deve chocar-se com a lateral da mesa, para ir do ponto A, tocar na lateral e atingir uma bola que se encontra no ponto B. Vamos agoral 'apHcar os resultados já obtidos para estudar uma classe especial de triângulos.

Definição 5.13 Um triângulo que possui um ângulo reto é chamado triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo rew é chamado hipotenusa, e os outros dois lados são denominados catetos. De acordo com (5.4) os ângulos opostos aos catetos são agudos.

É uma conseqüência de (5.9) que a hipotenusa é maior do que qualquer dos catetos. Por outro lado, pela desigualdade triangular, o comprimento da hipotenusa é menor do que a soma dos comprimentos dos catetos. Se dois triângulos retângulos são congruentes, então, necessariamente, os ângulos retos rlP.vem-se corresponder.

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

71

A

B

e

hipotenusa

Figura 5.13

Por causa disto, além dos três casos de congruência que já conhecemos, existem outros três específicos para triângulos retângulos. Estes são apresentados no teorema seguinte. Teorema 5.14 (CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS) Sejam ABC e A' B'C' dois triângulos retângulos cujos ângulos retos são ê e ê 1 • Se alguma das condições abaixo ocorrer, então os dois triângulos soo congruentes: \l'~:.\·1.

1. BC= B'C'

e

2. AB = kE'

e

BC= B'C', e

= A'B'

e

Â=Â'.

3. AB

Os casos acima podem ser identificados como igualdade entre 1. (c • a)

cateto e ânguio oposto,

2. (h • c)

hipotenusa e cateto, e

3. (h • a)

hipotenuss, e §.:ngulo agudo.

Prova: (Caso 1)

ê = ê'

Nossas hipóteses são, neste caso, as seguintes: (reto),

BC= B'C'

e

 = Â'.

72

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Observe que, apesar ele termos informações sobre dois ângulos e um lado, não podemos aplicar o "2º caso ele congruência". Para provar que ABC e A' B'C' são congruentes marque um ponto D sobre a semi-reta ScA ele sorte que CD = C'A'. Os triângulos CDB e C' A' B' são então congruentes, pelo primeiro caso ele congruência.

Figura 5.14

Como conseq_üência, tem-se que C ÍJ B = Â'. Desde que C ÂB = Â' (por hipó-~s:e), concluímos que

CÍJB = CÂB. Afirmo que os pontos A e D coincidem. De fato, se tal não ocorrer A, D!'l'B formam um triângulo em que os ângulos CÍJB e C ÂB sã~ ângulo externo e interno não adjacente. Portanto a igualdade acima hão pode ocorrer ele acordo com o teorema elo ângulo externo. Então A e D coincidem e logo CAB = CDB. Como CDB = C'A'B' conclui-se que CAB = C'A'B', como queríamos demonstrar. As demonstrações elos outros dois casos são deixadas a cargo elo leitor.

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

7:3

EXERCÍCIOS

1. Prove que, se um triângulo tem dois ângulos externos congru-

entes, então ele é isósceles. 2. A figura ao lado é formada pelos segmentos AC, AE, CF e E B. Determine os ângulos que são:

e

D 8

a) menores elo que o ângulo

7.

7

.t

\

b) maiores elo que o ângulo

5,

e,

s/ B

/

3/ A

c) menores elo que o ângulo

4 \

3. Na figura ao lado os ângulos externos Aê'E e AÊD satisfazem a clesig-_-:.alclacle: Aê E < AÊD. Mostre que AÊD >

ABC. D

B

e

4. Prove que um triângulo retângulo tem dois ângulos externos obtusos. 5. Em um cartório ele registro ele imóveis um escrivão recusou-se a transcrever o registro ele um terreno triangular cujos lados, segundo o seu proprietário, mediam 100m, 60m e 20m. Você pode dar um argumento que justifique a atitude do escrivão?

E

74

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 6. Sejam ABC e A' B'C' dois triângulos em que AB = A' B', Â = Â' e ê = Ô'. Decida se ABC e A' B'C' são congruentes ou não. (Prove que eles são congruentes ou dê um exemplo para mostrar que as hipóteses podem ocorrer sem que os dois triângulos sejam congruentes). 7. A figura abaixo foi copiada de um livro por uma criança. As medidas dos ângulos indicadas são as medidas corretas do desenho original. Com base nesta informação, responda às seguintes questões relativas ao desenho original. a) Os triângulos ABC e DCB são congruentes? b) Qual o lado do triângulo ABC qu-3 é mais longo?

e

A

c) ·Qual o lado do tr,1,ângulo DC B que é mais curto?

B

e 8. Se, no problema anterior, os ângulos tivessem _sido indicados como na figura ao lado, quais seriam as respostas às perguntas a, b e e acima?

A

B B

9. Na figura ao lado tem-se BD > BC e  > AÊC. Prove que BD> AC.

D

A

e

75

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO F

10. Na figura ao lado H foi escolhido no segmento FG de sorte que EH = EG. Mostre que

1H 2

i > 2. E

11. Se um triângulo ABC é eqüilátero e D é um ponto do segmento BC mostre que AD> DB. m

A

p

12. Na figura ao lado m e n são duas retas perpendiculares. Qual o caminho mais curto para se ir do ponto A ao ponto B tocando-se nas duas retas?

B

a

n

m

13. Na figura ao lado i 2. Mostre que as retas m e n são paralelas.

2

n

14. Mostre que, qualquer triângulo tem pelo menos um ângulo externo obtuso.

76

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA B

15. Na figura ao lado, B, D e A são colineares. Do mesmo modo D, E e C são colineares. Mostre que AÊC > DÊC.

D

E

e

A

16. Prove as propriedades da função "reflexão" , constantes do texto. B

17. Na figura ao lado os triângulos ABC e EDC são congruentes e os pontos A, C e D são colineares. Mostre que AD> AB.

E

A

D

e m

18. Na figura ao lado tem-se i = 2 e i + 2 = 180º. Conclua que as retas m e n são paralelas.

n 2

A

B i

19. Na figura ao lado Ê e ÍJ são ângulos retos e AB = DC. Mostre que AD= BC.

1

D

e

20. No final da demonstração do teorema (5.2), é feita a seguinte afirmação: ".. a semi-reta SAF divide o ângulo BÂD, ... ". Justifique com detalhes porque esta afirmação é verdadeira.

77

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

B A

21. Na figura ao lado AD e BC são segmentos. Mostre que AD +

BC> AB+CD e

22. Duas retas m e n são cortadas por uma transversal formando ângulos a e I como indicado na figura ao lado. Mostre que, se a+ 1 = 180º então 1n e n não se interceptam. 23. Na figura ao lado AD e BC são congruentes e perpendiculares a CD. Mostre que os ângulos  e Ê são congruentes.

D

m

11

(l

~I~I

A

I3

D

C

24. Dado um triângulo ABC, marca-se um ponto D no lado AB. Mostre que CD é menor do que o comprimento de um elos lados AC ou BC.

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

78

PROBLEMAS

1.

No triângulo ABC da figura ao lado tem-se CD perpendicular a AB, BE perpendicular a AC e CD= BE. Mostre que ABC é um triângulo isósceles.

2. Na figura ao lado ABC é um triângulo eqüilátero e AD = BE = CF. Se, além disso, DÂB = EÊC, mostre que EFD é também eqüilátero.

A

e

B

3. Na figura ao lado AD = BC, AÍJC e Bê.D são ângulos retos, e M. E; N são pontos médios dos segmentos AB e DC respectivamente. Mostre que M N é perpendicular a AB e a CD.

e

~l

A

A

A

M

1

D

B

B

]

N

4. Demonstre os casos (2) e (3) da Proposição (5.14). 5. Sejam AHC e A' B'C' dois triângulos não retângulos comê = ê1 , AB = A' B' e BC = B' C'. Dê um exemplo para mostrar

e

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

79

que estas hipóteses não acarretam que os triângulos devam ser congruentes. 6. Mostre que, por um ponto fora de uma reta sempre passa uma outra reta que não intercepta a reta dada.

7. Mostre que, se duas retas têm uma perpendicular comum então elas não se interceptam. 8. Dado um triângulo ABC seja D o ponto médio do lado BC. Considere então o segmento AE passando pelo ponto D tal que AD = D E e trace EC. Mostre que a soma elos ângulos internos do triângulo AEC é igual à soma dos ângulos internos do triângulo ABC. Mostre, além disto, que EÂC + AÊC = B ÂC. Portanto o triângulo AEC possui um ângulo 0 satisfazendo a 0 ~ Â/2. 9. Mostre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor ou igual a 180°. (Ajuda: Suponha que existe um triângulo ABC cuja soma dos ângulos seja maior do que :80º. Utilize o exercício anterior para construir uma seqüência de triângulos AnBnCn todos tendo soma dos ângulos internos i~uais a soma dos ângulos internos de ABC e tais que Ân ~ A/2n. Conclua~ prova mostrado que, para n suficientemente grande chegar,epis_num triângulo em que dois ângulos somam mais do que 180'\.2) 10. Mostre que, se num quadrilátero ABC D tem-se AB = CD e BC = DA então os lados opostos deste quadrilátero estão sobre retas que não se interceptam. 11. Dado u:rr. segmento AB mostre que existe um número a 0 satisfazendo a O < a 0 < 90 tal que, para todo ângulo O < a < a 0 existe "um ponto C fora de AB tal que o triângulo ABC é isósceles com base AB e tal que a medida de C AB é igual 2A

ideia desta )rova é devida a Legendre

80

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

a a. (Ajuda: Não é suficiente construir dois ângulos agudos congruentes a a nas extremidades ele AB, pois as duas retas construídas podem não se encontrar. Proceda ela seguinte forma. Trace a perpendicular 1n que passa pelo ponto médio ele AB. Mostre que, para toda escolha ele C E m o triângulo formado é isósceles. Mostre que os ângulos ela base elos triângulos assim formados tem medida menor elo que um certo número a 0 < 90 e maior elo que zero.) 12. Dois segmentos têm extremidades em um círculo. Mostre que o mais distante elo centro elo círculo têm o menor comprimento. 13. Define-se a distância entre dois círculos como o menor comprimento elos segmentos que têm uma extremidade em um círculo e a outra no outro. Mostre que a distância entre dois círculos concêntricos é o valor absoluto ela diferença entre seus raios.

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

81

COMENTÁRIO

Quando se deseja demonstrar uma proposição, resolver um exercício ou simplesmente entender o enunciado de um teorema, é muito importante que sejamos capazes ele separar as hipóteses do que se deseja provar (tese ou conclusão). Esquematicamente o enunciado ele uma proposição (ou teorema, ou corolário, ou problema, ou exercício etc.) pode ser sempre representado por

P - Q (leia: P implica Q) onde P e Q representam aqui duas afirmações. A afirmação Pé a hipótese e a afirmação Q é a tese. Em muitos casos, a hipótese vem precedida ele um "se" ou de um "quando", e a tese de um "então". Um exemplo disto é a seguinte proposição: "Se duas retas distintas possuem uma perpendicular comum, então elas não se interceptam." Neste enunciado temos Hipótese: Tese:

Duas retas distintas possuem uma perpendicular comum. As duas retas não se interceptam.

Evidentemente, nem todos os enunciados ele proposições estão apresentados no formato "se ... , então .. ". Por exemplo, a mesma proposição poderia ter sido enunciada ela seguinte maneira:

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

"Retas perpendiculares a uma terceira não se encontram". Agora, a hipótese está disfarçada no pedaço de frase "Retas perpendiculares a uma terceira ... ", e a tese, no restante. Pelo menos quatro proposições constantes deste capítulo nos dão exemplos de enunciados deste tipo. Quando encontramos dificuldade em reconhecer a hipótese e a tese de um dado enunciado, é sempre uma boa política tentar reescrevê-lo no formato "se ... , então ... ". Por exemplo, a proposição (4.8) tem o seguinte enunciado: "Em um triângulo isósceles a mediana relativamente à base é também bissetriz e altura." Uma maneira de reescrevê-la no formato "se ... , então ... " é o seguinte: "Se ABC é um triângulo isósceles com base BC e D é o ponto médio de BC, então AD é bissetriz do ângulo BÂC e é perpendicular ao lado BC." Embora estes dois enunciados sejam extremamente diferentes, eles dizem exatamente a mesma coisa. O primeiro é sem dúvida mais elegante, mas o segundo é o enunciado com que realmente trabalhamos quando demonstramos esta proposição. Consideremos agora as duas proposições seguintes: a) "Se um triângulo é isósceles, então ele possui dois ângulos iguais" . b) "Se dois ângulos de um triângulo são iguais, então o triângulo é isósceles" . Observe que a hipótese da primeira é a tese da segunda e que a tese da primeira é a hipótese da segunda. Em termos esquemáticos, se P-+Q

5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

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representa a proposição (a), então Q- p

representa a proposição (b). A segunda proposição é dita ser a inversa da primeira. Cada proposição tem sempre uma inversa a qual pode ser verdadeira ou não. Exemplos: 1.i) Se duas retas possuem uma perpendicular comum então elas são retas paralelas. l.ii) Se duas retas são paralelas, então elas possuem uma perpendicular comum. 2.i) Se um triângulo é retângulo, então ele possui dois ângulos agudos. 2.ii) Se um triângulo possui dois ângulos agudos, então ele é um triângulo retângulo. A proposição (1.i) foi demonstrada neste capítulo. Sua inversa, a proposição (1.ii), é verdadeira, mas sua demonstração neste nível do curso seria muito complicada. A proposição (2.i) também foi demonstrada neste capítulo. Sua inversa, a proposição (2.ii), é obviamente falsa. Quando ocorre que as proposições P - Q e Q - P são simultaneamente verdadeiras, dizemos que P e Q são afirmações equivalentes, e representamos esquematicamente isto por

P-

Q (Pé equivalente a Q)

No enunciado de teoremas estabelecendo que as duas afirmações são equivalentes é comum que se use o formato " ... se e somente se ... ". Por exemplo: "Dois lados de um triângulo são ·congruentes se e somente se dois de seus ângulos são congruentes".

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Outros formatos comuns são "... se e só se ... ", "... é condição necessária e suficiente para ... " e "... é equivalente a ... ". Considere agora as duas seguintes proposições: I) Se dois lados de um triângulo são congruentes então seus ângulos opostos são também congruentes. II) Se dois ângulos ele um triângulo não são congruentes, então os lados que se opõem a estes ângulos também não são congruentes. Se representarmos por _p a negação da afirmação P, então esquematicamente as proposições acima podem ser representadas por

I) p-+ Q II) Ç'J -+1/ Chamamos a segunda proposição ele negativa da primeira. Um fato simples ele lógica, e extremamente útil, é que uma proposição e sua negativa são sempre simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Por isso é equivalente demonstrar-se qualquer uma das duas. Deve-se, no entanto, observar que, o trabalho para demonstração ele uma delas pode ser menos complicado do que o trabalho para se demonstrar diretamente a outra. O leitor eleve observar que a proposição I acima é exatamente a proposiç·ão (4.5) e que II é a primeira parte ela proposição (5.9).

CAPÍTULO 6 Ü AXIOMA DAS PARALELAS

A existência ele retas paralelas é uma conseqüência elos postulados já apresentados. O Corolário (5. 5), além ele garantir tal existência, fornece um método ele, efetivamente, desenhar-se retas paralelas. O axioma que apresentamos a seguir diz, essencialmente, que duas retas paralelas a uma terceira e com um ponto em comum são coincidentes. Axioma V Por um ponto fora ele uma reta m pode-se traçar uma única reta paralela a reta m.

Deve-se observar que este axioma prescreve a 'Unicidade, já que a existência ele reta paralela a m, passando por um ponto dado, já era garantida por (5.5). Como conseqüência imediata deste axioma tem-se: Proposição 6.1 Se a reta rn é paralela às retas n 1 e n 2 , então n 1 e n2 são paralelas ou coincidentes. Prova: Suponha que n 1 e n 2 não coincidem e são paralelas a reta ni. Se n 1 e n 2 não fossem paralelas entre si, elas teriam um ponto ele interseção, digamos, P. Mas então n 1 e n 2 seriam distintas paralelas à reta m, passando por P. Isto contradiz o axioma V. Logo n 1 e n 2 são paralelas.

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Corolário 6.2 Se uma reta corta uma de duas paralelas, então

corta também a outra. Prova: Sejam n 1 e n 2 retas paralelas. Se uma reta m cortasse n 1

e não cortasse n 2 , então m e n 2 seriam paralelas. Assim n 2 seria paralela a m e a n 1 . Como m e n 1 não são paralelas entre si nem coincidentes, temos uma contradição com a proposição anterior. Logo m corta também n 2 . A nossa definição de retas paralelas não é tão simples de usar como aparenta. Desde que retas são infinitas em comprimento, como poderemos provar que duas retas não se intersectam? Por exemplo, as retas m e n da figura abaixo parecem ser paralelas. Como decidir se elas não se encontram em algum ponto do plano muito distante de A e B-? m

n

Figura 6.1

Uma maneira muito simples de responder a esta pergunta é através da comparação dos ângulos i e 2, indicados na figura, formados pelas duas paralelas com a reta que passa por A e B

i e 2 como na figura (6.1} Sei= então as retas m e n são paralelas.

Proposição 6.3 Sejamm, n,

2,

Prova: De fato, se m interceptasse n em algum ponto P, como

representado na figura seguinte, formar-se.:.ia um triângulo ABP.

6. O AXIOMA DAS PARALELAS

87

Neste triângulo i é ângulo externo e 2 é um ângulo interno não adjacente ao ângulo i, ou vice-versa. Assim, pelo teorem~ do ângulo externo teríamos i-/- 2 o que contradiz nossa hipótese. Portanto m e n não se intersectam.

Figura 6.2

Quando duas retas são cortadas por uma transversal formamse oito ângulos como indicado na figura abaixo. Quatro deles são correspondentes aos outros quatro, a saber

i 3

.5

7

---

2 4 6 8

Figura 6.3

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Observe que i = 7, 2 = 8, 3 = 5 e 4 = 6 por serem opostos pelo vértice. Como conseqüência, se i = 2 então todos os outros pares de ângulos correspondentes serão congruentes. Além disso, teremos que 3 + 2 = 180°. Inversamente, se 3 + 2 = 180° então i = 2. Estas observações permitem reescrever a proposição (6.3) de duas maneiras distintas.

Se, ao c01tarmos duas retas com uma transversal, obtivermos 3 + 2 = 180º então as retas são paralelas.

Proposição 6.3.A

Se, ao cortarmos duas retas com uma transversal, os ângulos correspondentes forem congruentes, então as retas são paralelas.

Proposição 6.3.B

O axioma V permite-nos mostrar que a inversa desta proposição é também verdadeira. Proposição 6.4 Se duas retas paralelas são cortadas por uma trans-

versal, então os ângulos correspondentes são congruentes. m"

m

m'

Figura 6.4

Prova: Sejam m e m' duas retas paralelas e seja n uma reta que corta m e m' nos pontos A e B, respectivamente. Considere uma reta m" passando pelo ponto A e formando com a transversal qua-

tro ângulos congruentes aos ângulos correspondentes formados pela reta m' com a mesma transversal. De acordo com a proposição anterior m' em" são paralelas. De acordo com a proposição (6.1) e

6. O AXIOMA DAS PARALELAS

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o Axioma V, m, e m" são coincidentes. Portanto 1n forma ângulos com a reta n congruentes aos correspondentes formados por m' com a reta n. Vamos agora apresentar duas conseqüências importantes elo axioma V. Teorema 6.5 A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Prova: Seja ABC um triângulo. Pelo vértice C trace uma reta paralela ao lado AB. Numere os ângulos formados com vértice C, como indicado na figura seguinte.

e

Figura 6.5

180º. Como AC é transversal às duas Tem-se i + 2 + 3 paralelas, é uma conseqüência direta ela proposição anterior que i = Â. Como BC é também transversal às duas paralelas, então 3 = Ê. Portanto

Â+Ê+AêB =

1+3+2 = 180°.

A proposição seguinte relaciona uma série ele corolários imediatos deste teorema. Corolário 6.6

a) A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90º. b) Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60º.

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e) A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes. d} A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. A pr~va deste corolário é deixada a cargo do leitor.

O teorema seguinte nos diz que retas paralelas são eqüidistantes. Teorema 6. 7 Se m e n são retas paralelas, então todos os pontos

de m estão à mesma distância da reta n. Prova: Sejam m e n retas paralelas. Sobre m tome dois pontos A e A', e deles baixe perpendiculares à reta n. Sejam B e B'

respectivamente os pés destas perpendiculares. Devemos provar que AB = A' B'. Para isto trace A' B como indicado na figura seguinte.

Figura 6.6

Observe que AÂ' B = A' ÊB' e que A' ÂB = 90º. isto é uma decorrência de que m e n são paralelas e da aplicação da proposição (6.4) ao considerar-se A' B e AB como transversais. Portanto os triângulos AA' B e B' B A' são triângulos retângulos com um ângulo agudo e hipotenusa (comum) congruentes. Segue-se do teorema (5.14) que eles são congruentes. A congruência é a que leva A em B', A' em B e B em A'. Logo AB = A' B', como queríamos demonstrar. A inversa deste teorema é também verdadeira e sua demonstração é proposta como um exercício deste capítulo.

6. O AXIOMA DAS PARALELAS

91

Definição 6.8 Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados

opostos são paralelos. A

B

e Figura 6.7

Proposição 6.9 Em um paralelogramo lados e ângulos opostos são

congruentes. Prova: Seja ABCD um paralelogramo. Trace a diagonal AC. Como AB e DC são paralelos, então BÂC = AêD. Como AD e BC são paralelos, então CÂD = AêB. Como, além disso, AC é comum aos triângulos ABC e CDA, então estes triângulos são congruentes. Logo Ê = iJ,· AB = CD e BC= DA. É agora fácil ver que  = ê. Proposição 6.10 As diagonais de um paralelogramo se intersec-

tam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais. A prova desta proposição é simples e é deixada a cargo do leitor. As duas proposições seguintes dão condições suficientes para que um quadrilátero seja um paralelogramo. Proposição 6.11 Se os lados opostos de um quadrilátero são con-

gruentes então o quadrilátero é um paralelogramo.

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Prova: Seja ABCD um quadrilátero em que AB = CD e BC= AD. Trace a diagonal BD elo quadrilátero. Os triângulos ABD e CD B são congruentes ele acordo com o terceiro caso ele congruência ele triângulos. Logo CÊD = BDA e CDB = DÊA. A primeira igualdade garante que BC e AD são paralelos, a segunda garante que CD e BA também são paralelos. Logo ABCD é um paralelogramo. B

A

e Figura 6.8

Proposição 6.12 Se dois lados opostos de um quadrilátero são

congruentes e paralelos, então o quadrilátero é ·um paralelogramo. A prova desta proposição é deixada a cargo elo leitor. Outras proposições sobre paralelogramos são propostas como exercícios ou problemas. Teorema 6.13 O segmento ligando os pontos médios de dois lados

de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade de seu comprimento. Prova: Seja ABC um triângulo. Designe por D o ponto médio ele AB e por E o ponto médio ele AC. Devemos provar que D E é paralelo a BC e que DE= ½BC. Para isto, marque na semi-reta SEv um ponto F tal que FD = DE. Como AD = DB (já que D é ponto médio de AB) AÍJE = F ÍJB por serem opostos pelo

6. O AXIOMA DAS PARALELAS

93 A

e

B

Figura 6.9

vértice, então os triângulos AD E e F D B são congruentes. Como conseqüência tem-se que DFB = AÊD e FB = AE. Logo FB e EC são paralelos e têm o mesmo comprimento. Segue-se então ela proposição (6.12) que o quadrilátero FBCE é um paralelogramo. Portanto F E é paralelo a BC e têm o mesmo comprimento. Como D é ponto médio ele FE então DE= ½BC, como queríamos demonstrar.

Proposição 6.14 Suponha que três retas paralelas, a, b e e, corta:m as retas m e n nos pontos A, B e C e nos pontos A', B' e C', respectivamente. Se o ponto B encontra-se entre A e C, então o ponto B' também encontra-se entre A' e C'. Se AB = BC, entâo também tem-se A' B' = B' C'.

Prova: Sejam a, b e e retas paralelas em e n retas que intersectam estas paralelas nos pontos A, B e C e A', B' e C' como indicado na figura seguinte. Se B está entre A e C, então A e Cestão em semiplanos distintos relativamente à reta b. Observe que A e A' estão em um mesmo semi-plano determinado por b, já que a e b são retas paralelas e A e A' pertencem à reta a. Do mesmo modo C e C' estão em um mesmo semi-plano determinado por b. Podemos portanto concluir que A' e C' estão em semi-planos distintos relativamente à reta b.

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n Logo b intercepta o sega D mento A' C' em um único A' ponto. Como B' é o ponto de interseção da reta n com b a reta b, e A' e C' pertencem a n concluímos que o e ponto de interseção de A'C' e E com b é exatamente o ponto B'. Logo B' pertence ao segFigura 6.10 mento A' C' e logo B' está entre A' e C'. Isto demonstra a primeira parte ela proposição. Para demonstrar a segunda parte, trace pelo ponto B' uma reta paralela à reta m. Esta corta as retas a e e em pontos D e E, respectivamente. Afirmo que os triângulos B' D A' e B' EC' são congruentes. De fato, como DB'BA e B'ECB são paralelogramos, então DB' = AB e B' E = BC. Como AB = BC por hipótese, então concluímos que D B' = B' E. Observe que os ângulos DÊ' A' e E B' C' são congruentes por serem opostos pelo vértice e B' b A' e B' ÊC 1 são também congruentes por serem ângulos correspondentes determinados por uma transversal cortada pelas paralelas a e e. Isto prova a nossa afirmação. Da congruência dos triângulos B' D A' e B' EC' decorre imediatamente que A' B' = B'C'. Esta proposição pode ser generalizada de maneira quase imediata para o caso em que as duas transversais cortam um número qualquer (maior ou igual a três) ele retas paralelas.

Corolário 6 .15 Suponha que k retas paralelas a 1 , a2, ... , ak cortam duas retas m e n nos pontos A 1 , A 2, ... , Ak e nos pontos A~, A;, ... , A~, respectivamente. Se A1A2 = A2A3 = ... = Ak-1Ak então A~A; = A;A; ~ ... = A~_ 1A~ .

A prova deste corolário é deixada a cargo do leitor. O teorema que iremos enunciar a seguir constitui-se numa etapa essencial para o estabelecimento ela teoria das figuras semelhantes que será desenvolvida no próximo capítulo. Na sua demostração iremos utilizar,

6. O AXIOMA DAS PARALELAS

95

de maneira essencial, o fato de que o corpo dos números reais é completo. Teorema 6.16 Se uma reta, paralela a um dos lados de um tri-

ângulo, corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma razão. Prova: Seja ABC um triângulo. Considere uma reta paralela ao lado BC. que corta os lados AB e AC, respectivamente, nos pontos D e E, como representado na figura (6.11). Deveremos provar que: (AD/AB)

= (AE/AC).

Para isto, tome um pequeno segmento APi na semi-reta SAB de modo que as razões AB/AP 1 e AD/AP 1 não sejam números inteiros. Consideremos na semi-reta SAB os pontos A, Pa, ... , A, ... tais que para todo k 2: 2. Existem então dois números inteiros m e n tais que: D B

está entre está entre

e e

A

E

B~-------------~c Figura 6.11

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Tem-se portanto:

AP 1 < AD < (m + 1) · AP 1 n · AP 1 < AB < (n + 1) · AP 1 .

ni ·

e

É então simples concluir destas desigualdades que

m AD m+ l --