Funktionaltransformationen der Informationstechnik [Reprint 2021 ed.] 9783112540169, 9783112540152

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Posthoff

Woschni

Funktionaltransformationen

Funktionaltransformationen der Informationstechnik von Christian Posthoff und Eugen-Georg Woschni

Mit 40 Abbildungen

Akademie-Verlag • Berlin 1984

Verfasser: Prof. Dr. sc. techn.. Dr. rer. nat. Christian Posthoff Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt Prof. Dr.-Ing. habil., Dr.-Ing. E. h. Eugen-Georg Woschni Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt

Dieser Titel wurde vom Originalmanuskript des Autors reproduziert

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR-1086 Berlin. Leipziger Straße 3 — 4 © Akademie-Verlag Berlin 1984 Lizenznummer: 202 • 100/410/84 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Kongreß- und Werbedruck, 9273 Oberlungwitz Lektor: Dipl.-Phys. Gisela Lagowitz Umschlaggestaltung: Rolf Kunze LSV 1094 Bestellnummer: 763 353 4 (6825) 02800

VORWORT Die Anwendung der Mathematik in den Ingenieur- und Teohnikwissenschaften, die Erhöhung ihrer Wirksamkeit, die Auaschöpfung der von ihr gebotenen Möglichkeiten, sind keine neuen Forderungen und lassen sich an vielen Beispielen bis ins Altertum zurückverfolgen, wobei die Technische Mechanik und die Elektrotechnik sicherlich die hervorragendsten Beispiele sind. Im Zusammenhang mit der wissenschaftlich-technischen Revolution, insbesondere auch der Entwicklung der Rechentechnik und der Mikroelektronik, gewinnt dieser Problemkreis ständig noch weiter an Bedeutung. Der fortgeschrittenste Stand im Wechselverhältnis Mathematik Technische Disziplin wird natürlich In der Forschung realisiert und hängt damit stark von den mathematischen Mitteln und Möglichkeiten der an der Lösung der Aufgaben Beteiligten ab. Diese Mittel und Möglichkeiten sind aber in hohem Maße Gegenstand und Ergebnis der Mathematikausbildung der Ingenieure. Es steht damit ständig das Problem, das Niveau der mathematischen Bildung der Ingenieure zu erhöhen und ein anwendungsbereites, handhabbares Wissen zu erzielen. Das läßt sich möglicherweise noch I n geringem Umfang durch Erweiterung des Umfanges der Mathematikausbildung und durch eine Intensivere Beschäftigung mit den mathematischen Grundlagen der jeweiligen Disziplin erreichen, jedoch gibt es hier, wenn Uberhaupt, dann nur noch geringe Reserven in bezug auf die zur Verfügung stehende Zelt. Nach unserer Meinung ist es aber auch möglich und erforderlich, Ingenieurstudenten mit dem Wesen tieferliegender mathematischer Begriffe und Theorien "abstraft" vertraut zu machen, d. h. In gewisser Welse die deduktive Vorgehensweise der Mathematik zur Darstellung der Grundprinzipien zu verwenden, allgemeine Begriffsbildungen zu diskutieren und den "konkreten" Bereich ziemlich spät, dann aber in wenigen Schritten, zu erfassen. Dieses so zu erreichende tiefere Verständnis verringert unseres Erachtens die Gefahr, das prinzipielle Verständnis der jeweiligen Begriffe durch rechnerische

5

Probleme und die Gewöhnung an einen bestimmten Formelapparat zu Uberdecken. In diesem Sinne ist dieses Buch ein Versuch, einen konkreten Beitrag zur Mathematikausbildung von XngenieurBtudenten zu liefern. Als Beispiel wird das Gebiet der Informationstechnik gewählt, das traditionell einen hohen "Mathematisierungsgrad" aufweist. Hier werden den Studenten sehr viele "unterschiedliche" Kenntnisse vermittelt, die aber bei genauerer Betrachtung vom mathematischen Standpunkt aus einheitlich auf dem Begriff des linearen Vektorraums (spez. des Hilbert-Raumes) beruhen und sich durch Konkretisierung von abstrakteren Grundbegriffen ergeben. Es wird der Versuch unternommen, die benötigten Grundbegriffe anschaulich und exakt zu entwickeln, wobei der Darstellung der Ideen und deren Zusammenhänge breiterer Raum eingeräumt wird. In einer Reihe von Schemata werden die sich ergebenden Zuordnungen skizziert. Anwendungen sind in Form von Beispielen eingestreut und dienen "nur" zur Erläuterung der Zusammenhänge und deren physikalisch-anschaulicher Deutung. Trotz einer angestrebten Exaktheit und Klarheit, trotz des Versuches, eine bestimmte LUckenlosigkeit zu erreichen, mußten natürlich zwangsläufig auch wesentliche Dinge weggelassen werden. Die komplexe Funktionentheorie und die Vertrautheit mit der Integrationstheorie müssen vorausgesetzt werden. Vir haben an keiner Stelle Hinweise auf die notwendigen Unterscheidungen beispielsweise von Lebeagu«und Riemann-Integralen gemacht, sondern setzen die Existenz der benötigten Integrale einfach voraus u. a. m. Bei dieser Vorgehensweise besteht die Gefahr natürlich vor allem darin, daß dem Mathematiker "triviale Mathematik" und zuwenig Technik, dem Techniker aber "zu wenig Technik" und "zu viel Mathematik" geboten wird. Wir hoffen, daß uns die Fusion dieser beiden Aspekte so gelungen ist, daß dieses Buch für Studenten mittlerer und höherer Semester wertvoll ist: Mit vernünftigem Aufwand soll einerseits der "mathematische Horizont" erweitert und damit der Anschluß an die mathematische Fachliteratur hergestellt, andererseits die in der Technik angewandte Mathematik 6

verstehbarer, nachschlagbarer und damit leichter und alcherer handhabbar gemacht werden. Die Literatur (sowohl technischer als auch mathematischer Art) ist besonders zu den hier angesprochenen Gebieten außerordentlich umfangreich; das Literaturverzeichnis trägt in gewisser Weise "zufälligen" Charakter, da die BUcher so verwendet wurden, wie sie gerade "zur Hand" waren. Somit ist auch das eventuelle Fehlen von Literaturstellen weder beabsichtigt noch als Wertung anzusehen. Da es sich bei den hier dargestellten Zusammenhängen um mathematisches und um technisches Grundwissen handelt, sind im Text keine Literaturstellen genannt. Die Autoren danken ihren Kollegen Dr. Barthel, Dr. Herold, Dr. Jehmlich und Prof. Dr. Bochmann, deren Diskussionen und Problemstellungen vielen Ideen zugrunde liegen und die ihre reichhaltigen pädagogischen Erfahrungen bereitwillig zur Verfügung stellten. Dank gebührt weiterhin dem Akademie-Verlag Berlin und seiner Lektorin, Frau Dlpl.-Phys. G. Lagowitz, daß sie uns dieses hiermit zur Diskussion gestellte Experiment als einen Beitrag zur Diskussion um die Mathematik-Ausbildung von Ingenieuren und Technikern ermöglicht haben.

Karl-Marx-Stadt, Mai 1983

Christian Posthoff Eugen-Georg Woschni

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8

INHALTSVERZEICHNIS Vorwort

Seite 5

1. 1.1. 1.2.

IvIenti;entheoretische Grundlagen Mengen und Mengenoperationen Abbildungen

11 11 15

1.3. 1.4. 1.5.

Relationen Punktionen Operationen

25 29 34

2. 2.1. 2.2.

Mathematische Strukturen Grundprinzipien Äquivalenz- und Ordnungsrelationen

37 37 39

2.3. 2.4. 2.5.

Gruppen, Ringe, Körper Isomorphismus und Homomorphismus Lineare Vektorräuae

45 51 59

3. 3.1. 3.2.

Der Hilbert-Raum Grundbegriffe und Eigenschaften Lineare Operatoren und Punktionale

66 66 71

4. 4.1. 4.2.

79 79

4.3.

Orthonormalsysteme Trigonometrische Orthonormalsysteme Orthonormale Systeme von Polynomen-Besselfunktionen Diskrete Orthonormalsysteme

104 113

5.

Integraltransformationen

145

5.1. 5.2.

Distributionen Grundbegriffe

145 164

5.3. 5.4. 5.5«

Die (einseitige) Laplace-Transformation Pourier-Transformation Hilbert- und z-Transformation

170 175 184

Literatur Anhang I. Mengen- und Mengenoperationen Anhang II. Fourier-Transformierte für wichtige Funktionen und Distributionen Anhang III. Laplace-Transformierte für wichtige Funktionen und Distributionen Sachwörterverzeichnis

194 196 198 201 204 9

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1, MENGEHTHEORETISCHE GRUNDLAGE!? 1.1. Mengen und Mengenoperationen Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist der auch fUr Nichtmathematiker - Techniker, Ingenieure - durchaus gebräuchliche Begriff der Menge, mit dessen Hilfe sich alle im weiteren notwendigen Sachverhalte bequem und anschaulich, aber auch exakt und sicher darstellen und ausdrucken lassen. Unter einer Menge verstehen wir stets eine Zusammenfassung unterschiedlicher Objekte, der Elemente der Menge, zu einem einheitlichen Ganzen. Man sagt von einem bestimmten Element e, es sei in der Menge M enthalten und bezeichnet diesen Sachverhalt durch e c M (e ist Element von M). Eine Menge M läßt sioh beschreiben a) durch explizite Aufzählung der zu M gehörenden Elemente; b) durch Festlegung einer Eigenschaft. die die Elemente der Menge besitzen müssen; c) durch Angabe einer Vorschrift, nach der die Elemente der Menge erzeugt werden können. Der Fall a) wird benutz^ für endliche, nicht zu große Mengen. Man veranschauliche sich diese Art der Definition einer Menge etwa a n der Menge der SchUler einer bestimmten Klasse, der Menge der Mieter eines bestimmten Hauses und identifiziere Klassenoder Hausbuch mit der Darstellung der Menge. Wir verwenden hier-' für die Schreibweise M

=

£ a 1»

a

2*

a

n-1' a n ^ *

Bei der Angabe einer bestimmten Eigenschaft muß die Formulierung so klar sein, daß für ¡Jedps in Frage kommende Objekt eindeutig entscheidbar ist, ob es diese Eigenschaft besitzt oder nicht.

11.

Die Menge M - {x | x

natürliche Zahl und x teilbar durch 2J

besteht aus den Elementen 0, 2, 4« 6, 8, . w o b e i die Funkte darauf hindeuten, daß diese Folge "beliebig weit" fortzusetzen ist. Die Entscheidung, ob ein bestimmtes Element zu einer derart beschriebenen Menge gehört oder nicht, kann durchaus ein sehr schwieriges oder sogar ungelöstes Problem sein (man denke nur an Lösungen komplizierter Gleichungen o. ä.). Für den Fall o) wählen wir beispielsweise u Q = 1, u1 = 1 und definieren für n 2: %

= "n-1

+

Jedes weitere Element entsteht also durch Addition der beiden Vorgänger; man erhält als Fortsetzving der Folge sofort = 2, Uj • 3, u^ • 5, u^ = 8, Ug = 13 usw. Will man feststellen, ob eine bestimmte Zahl x zur so definierten Menge gehört, so besteht die einfachste Vorgehensweise darin, alle Zahlen der Folge zu erzeugen, bis x erreicht oder Uberschritten wird,und dann konkret zu prüfen, ob x mit erzeugt wurde oder nicht. Fall c) betont in gewisser Weise den algorithmischen Aspekt bei der Erzeugung der Elemente der Menge und wird eigentlich bereits von b) mit Uberdeckt. Alle Elemente einer so beschriebenen Menge besitzen ja gerade die Eigenschaft, daß sie mit Hilfe eines konkreten Verfahrens erzeugt werden können. Soll betont werden, daß ein Element e nicht zur Menge M gehört, so schreiben wir e £ M. Gehören alle Elemente einer Menge M auch zur Menge N, so ist M eine Teilmenge (oder auch Untermenge) von N bzw. N eine Obermenge von M (bezeichnet durch M £ N bzw. H 2 I). Zwei Mengen M und U werden als gleich angesehen (M = N), wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten. Das bedeutet aber

12

auch, daß es bei der Aufzählung der Elemente einer Menge auf deren Reihenfolge nicht ankommt: {1, 2, 3 }

-

{2, 3, 1 ]

=

{3, 1, 2 ]

usw.

Die Gleichheit von Mengen läßt sich somit zurückführen auf die Teilmengenbeziehung:

M = N :

n

M £ N

und

N £ M.

Will m a n den Fall der Gleichheit gerade ausschließen, so spricht man von echten Teilmengen und bezeichnet dies durch M e N


M S N

und

M + N.

Die leere Menge (bezeichnet durch 0) ist eine Menge, die überhaupt kein Element enthält; sie ist Teilmenge jeder beliebigen anderen Menge. Beispiel. K sei die Menge aller Schüler einer bestimmten Klasse. Die Menge J aller männlichen Schüler dieser Klasse ist Teilmenge von K. Je nach Zusammensetzung der Klasse kann dabei g e l t e m J = 0

(keine männlichen Schüler vorhanden),

J c K J = K

(auch weibliche Schüler vorhanden), (nur männliche Schüler vorhanden).

Aus einer gegebenen Menge M läßt sich eine neue Menge P(M) bilden durch Zusammenfassung aller Teilmengen zur Potenzmenge von M: ?(M) =

| I C

M] .

Ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so besitzt P(M) 211 Elemente. Nach obigen Erläuterungen gilt stets: 0 €. F(M),

M £ P(M).

Beispiel. M = {a,b,cj ; P(M) =

{&} , £b] , £cj , £a,bj , fa.c} , {b,cj , MJ.

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P(M) ist also eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind. Man beachte auch sorgfältig den Unterschied zwischen dem Element x und der Einermenge £x] : If

{xj .

xfc { x ] ,

ix] €. P({x]).

Aus zwei gegebenen Mengen M und N lassen sich mit Hilfe von Mengenoperationen neue Mengen gewinnen: 1. Durchschnitt: M n N =

{x| x € M

und

x € Nj

2. Vereinigimg: M u N =

[z | x e II oder

x £ Kj

3. Differenz: M \ N =

|x ( x € M

und

x 4 Hj

4» Symmetrische Differenz: M A N = {x | x € (M\N) oder x e.(N\ M)j 5. Komplement der symmetrischen Differenz? M S N =

{x | x ^ (M s. N) und x 4 (N \

M)J

Als Sonderfall der Differenzbildung definieren wir schließlich noch das Komplement einer Menge: Ist M £• E, so heißt E\.M das Komplement von M bzgl. E (bezeichnet durch H

oder einfach durch M, falls E aus

dem Zusammenhang ersichtlich ist). Eine graphische Veranschaulichung dieser Operationen sowie wichtige Rechenregeln sind im Anhang I dargestellt. Im weiteren werden häufig folgende Mengen benötigtt H G

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Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen

£o,1,2,3,...J , {°»±1 »±2»•••J »

R K

Menge der reellen Zahlen, Menge der komplexen Zahlen.

Als Grundregel für die spätere Arbeitsweise muß stets gelten, daß m a n die in einem bestimmten Zusammenhang zu betrachtenden Mengen genau und exakt definiert hat und stets völlige Klarheit darüber herrscht, in welchem Gegenstandsbereich gearbeitet wird. Sehr viele Fehler, Unklarheiten, fruchtlose Bemühungen um die Lösimg eines Problems sind auf unzureichend klare und exakte Beschreibungen bzw. auf unsaubere, im Verlaufe der Arbeit wechselnde Interpretationen zurückzuführen.

1.2. Abbildungen Während für eine Menge nur wesentlich ist, welche Elemente sie enthält, die Reihenfolge der Aufzählung aber keine Rolle spielt, benötigen wir jetzt eine Zusammenfassung von Elementen unter B e rücksichtigung der Reihenfolge. Dies führt uns zum Begriff des geordneten Paares, dessen mengentheoretisohe Definition in folgender Weise vorgenommen werden kannr (a, b) -

fta,

b] , a j .

M a n faßt die Elemente a und b zu einer Menge zusammen, wobei das Element a noch einmal extra hervorgehoben wird. Dadurch soll b e tont werden, daß es das erste Element des Paares ist. Wir wollen uns im weiteren für geordnete Paare stets der Schreibweise mit runden Klammern bedienen und mit dem geordneten Paar folgende inhaltliche Vorstellungen verbinden: 1. Zwei Paare (a 1 , b ^ und (a 2 , b 2 ) sind dann und nur dann gleich, wenn a^ = a 2 und b 1 = b 2 gilt. 2. Im allgemeinen (d. h. für b + a) ist (a, b) + (b, a). 3. (a, a) ist eine sinnvolle Paarbildung (während sonst {&, a ] = {&} gilt).

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R K

Menge der reellen Zahlen, Menge der komplexen Zahlen.

Als Grundregel für die spätere Arbeitsweise muß stets gelten, daß m a n die in einem bestimmten Zusammenhang zu betrachtenden Mengen genau und exakt definiert hat und stets völlige Klarheit darüber herrscht, in welchem Gegenstandsbereich gearbeitet wird. Sehr viele Fehler, Unklarheiten, fruchtlose Bemühungen um die Lösimg eines Problems sind auf unzureichend klare und exakte Beschreibungen bzw. auf unsaubere, im Verlaufe der Arbeit wechselnde Interpretationen zurückzuführen.

1.2. Abbildungen Während für eine Menge nur wesentlich ist, welche Elemente sie enthält, die Reihenfolge der Aufzählung aber keine Rolle spielt, benötigen wir jetzt eine Zusammenfassung von Elementen unter B e rücksichtigung der Reihenfolge. Dies führt uns zum Begriff des geordneten Paares, dessen mengentheoretisohe Definition in folgender Weise vorgenommen werden kannr (a, b) -

fta,

b] , a j .

M a n faßt die Elemente a und b zu einer Menge zusammen, wobei das Element a noch einmal extra hervorgehoben wird. Dadurch soll b e tont werden, daß es das erste Element des Paares ist. Wir wollen uns im weiteren für geordnete Paare stets der Schreibweise mit runden Klammern bedienen und mit dem geordneten Paar folgende inhaltliche Vorstellungen verbinden: 1. Zwei Paare (a 1 , b ^ und (a 2 , b 2 ) sind dann und nur dann gleich, wenn a^ = a 2 und b 1 = b 2 gilt. 2. Im allgemeinen (d. h. für b + a) ist (a, b) + (b, a). 3. (a, a) ist eine sinnvolle Paarbildung (während sonst {&, a ] = {&} gilt).

15

Diese Paarbildung läßt sich sofort anschaulich auf mehr als zwei Elemente verallgemeinern; unter • a 2» •••» a n_1 * a n^ •erstehen wir die geordnete Zusammenfassung der Elemente a 1 , ..., a Q (das n-Tupel (a 1 , ..., a Q )), und (a-j, a 2»

B

n)

= C^i»

gilt genau dann, wenn alle Gleichungen a1 = b

v

a2 - b2

a

n

=

b

n

gleichzeitig erfüllt sind. Vertraute Beispiele sind etwa - die Darstellung von Zahlen in x-y-Koordinatensystemen in der Form (x, y); hier wird x als Abszisse, y als Ordinate bezeichnet; - die Darstellung von Funkten im dreidimensionalen Raum in der Form (x, y, z); - die Darstellung von komplexen Zahlen in der Form (x, y) = x + iy in der Gaußachen Zahlenebene; - die Darstellung von Punkten des n-dimensionalen Raumes durch Vektoren (n-Tupel) der Gestalt (x^, ..., x^) u. a. Damit sind wir in der Lage, eine weitere Verknüpfung von Mengen zu definieren, die außerordentlich vielseitig anwendbar ist, das Kreuzprodukt (häufig auch als kartesisches Produkt bezeichnet) von Mengen; Für zwei Mengen M und N ist M x N = £(m,n) | n (II und n £ nJ das Kreuzprodukt der Mengen M und H. Speziell kann auch M = N sein: M x M = M 2 = £(m,n) ( m € M und n €. M J .

16

Die Verallgemeinerung auf 11 Mengen M 1 , ..., M n unter Zuhilfenahme von n-Tupeln ergibt sich induktiv: M 1 x M 2 x ... x

MJJ

=

,... ,11^) |

6 M^ ,.. . -»n^ €

j

und wiederum als Spezialfall M11 =

£(m.j,... ,11^) | m 1 £ M,

n ^ fe M j .

Bezüglich wichtiger Rechenregeln benutze man wiederum Anhang I. Beispiel. Es sei M = £a,b,c$ , N = { 1 , 2 ^ . Dann erhält m a n MxN=l(a,1), N x M

(a,2), (b,1), (b,2), (c,1), ( c , 2 ) } ,

= {(1,a), (1,b), (1,e), (2,a), (2,b), ( 2 , c ) } ,

M x M = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,a) f (b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c^ > NxN={(1,1),

(1,2), (2,1), (2,2)J

usw.

Die Bezeichnung "kartesisches Produkt" hängt natürlich eng zusammen mit der Verwendung (rechtwinkliger) kartesischer Koordinatensysteme, die wir später vor allem für Abbildungen und Funktionen benutzen wollen. Ein ganz einfaches Beispiel zeigt noch einmal M x N (Abb. 1).

21 -•

(a,2l cb>•2") (e,2) • • (a,i1 (b,1) (c.1) —1 1 1—

a

Abb. 1.

b

c

Das Kreuzprodukt von Mengen

Damit sind alle Voraussetzungen geschaffen, um den für die weiteren Überlegungen grundlegenden Begriff der Abbildung zu formulieren und zu behandeln. Wie man diesen Sachverhalt später auch immer bezeichnen und beschreiben möge - als Transformation^ Permutation. Funktional. Operator und vieles andere mehr - stets

17

bleiben die grundlegenden Vorstellungen, Anschauungen und Begriffe gleich, und nur ihr Verständnis bietet die vollständige Gewähr, sich in diesen Anwendungsbereichen zurechtzufinden. Definition. Eine Abbildung f ist eine Menge geordneter Paare. Diese sehr einfache und weitreichende Festlegung wollen wir noch ergänzen durch einige weitere Begriffe, ehe einfache Beispiele die Vertrautheit und den Umgang mit ihnen erleichtern sollen. Gehört ein Paar (x, y) zur Abbildung f, so ist x

ein Urbild oder Argument von y

y

ein Bild

oder Wert

von x

}

bzgl. f .

Die Bezeichnungen y = f(x) oder x = f~1 (y) sind sicherlich jedem Leser vertraut. Die Menge aller ersten Elemente von Paaren, die zur Abbildung f gehören, bildet den Argument-, Urbild-. Original- oder Definitionsbereioh der Abbildung, während die Menge der zweiten Elemente der gleichen Paare als Werte- oder Bildberei.ch bezeichnet werden sollt D(f) = {x | es gibt ein (x, y) € f ] , W(f) = ^y | es gibt ein (x, y) € f j . Es ist also jede Abbildung f eine Teilmenge von D(f) x W(f); sie kann (allerdings meistens nur prinzipiell) dargestellt werden als Aufzählung geordneter Paare, beispielsweise in Form einer Tabellet X

1 x2

'"

y1 y 2 • • •

*k-1 y]C_-|

x

k

yj£ y^+1

•• •

Diese Tabelle veranschaulicht, daß stets y^ = fix^), also (xk, y k ) € f|gilt.

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Während wir hier zunächst einmal die Abbildung"f als Menge geordneter Paare angesehen und daraus den Definitions- und den Wertebereich als Menge der ersten und zweiten Elemente gebildet haben, hat man in praxi viel häufiger den Fall vorliegen, daß zwei Mengen A und B gegeben sind und die Abbildung f definiert wird, indem man Elementen von A mittels einer bestimmten Vorschrift Elemente von B zuordnet. Dies widerspricht natUrlioh der obigen Definition in keiner Weise, betont aber mehr den Prozeß des Abbildens, der Erzeugung der geordneten Paare. Beispiel. Es sei etwa A « B = N die Menge der natürlichen Zahlen, dann entsteht durch die Vorschrift y • x 2 , x, y e N, eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl ihr Quadrat (wieder eine natürliche Zahl) zuordnet. Das Ergebnis ist eine Tabelle der Quadrat zahlen: x

0 1 2 3 4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

H

15

16 ...

y

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 ...

Eine Veranschaulichung (einer Abbildung f) in kartesischen Koordinaten geschieht in einfacher Weise wie folgt:

w < n

Das Rechteck ABCD repräsentiert D(f) x W(f), während die schraffierte Fläche die Abbildung f verkörpern soll.

Abb. 2. Die Abbildung f als Teilmenge von D(f) x W(f). Für zwei Mengen A und B und eine Abbildung f wollen wir die folgenden Sprechweisen vereinbaren* f ist eine Abbildung.

19

1. 2. 3. 4. 5.

aus A in B von A in B aus A auf B von A auf B über A

• ^ • f £ A x B; < = » f S A x B und D(f) = A; » >f g A x B und W(f) = B; «==*f £ A x B , und D(f) = A, W(f) = B; «™»D(f) = A. (Siehe Abb. 3)

1. Fall

VTTX NK HS, 3. Rail

Z. Fall

'A\ :A\ nn if. Fall

Abb. 3. Die Abbildung f als Teilmenge von A x B.

20

Im ersten Teil von Abbildung 3 sind A, B und f als Punktmengen (wiederum in einem kartesischen Koordinatensystem) dargestellt; die zweite Form (als gerichteter Graph) werden wir meistens für diskrete Probleme verwenden. Sehr häufig wird man auch die anschauliche Bezeichnung f : A — » B benutzen. Aus dem Zusammenhang wird stets klar sein, ob es sich um eine Abbildung "aus", "von", "in" oder "auf" handelt. Ist eine Abbildung f g A x B gegeben und A^ eine Teilmenge von A, so kann man aus f alle Paare aussondern, deren erste Elemente nicht zu A1 gehören. Die verbleibende Restmenge f^ heißt die auf A^ eingeschränkte Abbildung f, die Menge der noch vorkommenden zweiten Elemente £y | U,y) « f und

x € A^

heißt das Bild von A^ und wird mit f(A^) bezeichnet. Ist B^ £ B, so kann man ganz analog nur diejenigen Paare von f betrachten, bei denen das zweite Element zu B^ gehört. In diesem Fall spricht man von der auf B.) nachbeschränkten Abbildung f (bezeichnet durch f ). Die Menge der noch vorkommenden ersten Elemente {x | (x,y) 6. f und

y « B.,}

heißt das Urbild von B^ und wird mit

(B^) bezeichnet.

Ganz speziell können A^ und B^ aus nur einem Element bestehen: A1 = {a}

, B, = (b]i

f({a]) und f - 1 ({b}) sind dann alle Bild- bzw. Urbildelemente der Elemente a bzw. b (siehe Abb. 4).

Einschränkungen von A auf A^ bzw. von B auf B-j können natürlich auch gleichzeitig auftreten.

21

Abb. 4.

Die Einschränkung einer Abbildung f.

{b}

Abb. 5.

Die Einschränkung einer Abbildung f auf einzelne Elemente.

Sehr häufig wird man auch den umgekehrten Standpunkt einnehmen: man betrachtet Abbildungen mit einem bestimmten Definitions- und Wertebereich (etwa A 1 und B 1 in Abb. 4) und erweitert diese Bereiche (auf A bzw. B) sowie die entsprechende Abbildung so, daß im Bereich A 1 x B^ alles unverändert bleibt und nur darüber hinaus weitere Paare hinzugenommen werden. Beispielsweise werden wir später sehr häufig Funktionen Uber dem Bereich der reellen- Zahlen fortsetzen zu Funktionen komplexer Variabler; das bedeutet eine Erweiterung des Definitionsbereiches von der reellen Achse auf die Gaußsche Zahlenebene. Da diese Erweiterungen bzw. Einschränkungen meistens sehr naheliegend sind und nahezu automatisch und unbewußt vorgenommen werden können, gilt auch hier das Prinzip, daß man für die zu be-

22

trachtenden Abbildungen Definitions- und Wertebereiche genau festlegt und jede Erweiterung bzw. Einschränkung deutlich markiert. Auf Grund der Definition einer Abbildung als Menge von geordneten Paaren bereitet es Uberhaupt keine Schwierigkeit, sich die Gleichheit von Abbildungen zu veranschaulichen. Zwei Mengen sind ja dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Wenn also zwei Abbildungen f und g gleich sein sollen, so müssen sie genau die gleichen Paare enthalten. Insbesondere ist dann auch D(f) « D(g) und W(f) = W(g). Sehr einfach ist es auch, den Begriff der inversen Abbildung (auch reziproke Abbildung. Umkehrabbildung. Rücktransformation u. ä.) zu definieren. Man vertauscht einfach in jedem zur Abbildung f gehörenden geordneten Paar Argument und Wert: f"1 = £(y,x) | U,y) fc f } . Damit vertauscht man auch Definitions- und Wertebereich; die zweifache Durchführung einer Inversion führt wieder zur ursprünglichen Abbildung f zurückt D(f_1) = W(f),

W(f _1 ) = D(f),

Diese Umkehrung von Abbildungen ist am leichtesten durchzuführen in der Tabellen- und in der Graphendarstellung. In der Tabellendarstellung muß man nur die entsprechenden Zeilen oder Spalten miteinander vertauschen, während im Graph lediglich die Pfeilrichtung umzukehren ist (vgl. Abb. 3 und Abb. 6). Schließlich ipt auch die Hintereinanderausführung (das Produkt) von Abbildungen mit Hilfe des Paarbegriffes ganz leicht zu formulieren: Zu zwei Paaren (x,y) und (y,z), für die der Wert des ersten Paares gleich dem Argument des zweiten ist, bilden wir das Paar (x,z).

23

: : v. t \ X

VTT\

0

1

1

3

if 5

0

1

f

9

16 25 36 1-9 &t

6

X

7 8

0

1

i» 9

0

1

2

3 if 5

6

7

8

Abbildung f~ 1

Abbildung f Abb. 6.

16 Ts 36 lf9

Die Darstellung inverser Abbildungen.

Geschieht das für alle Paare (x,y) einer Abbildung f und alle Paare (y,z) einer Abbildung g, so entsteht daraus eine Abbildung h = g . f, das Produkt der Abbildungen g und f: h = g . f =

| es existiert ein y mit (x,y) € f und (y,z) € g j .

2 Beispiel. Es sei f die Abbildung y = x , g die Abbildung z = y + 1. y

0 1 4 9 16 25 36 ...

z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

x

0 1 2 3

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

4

5

f : y = x

6... 2

g : z = y + 1

z

1 2 5 10 17 26 37 ...

x

0 1 2 3

4

h s z = x

5 2

6

...

+ 1

Beispielsweise ist also ( 2 , 4 ) € f , ( 4 , 5 ) £ g , woraus sofort (2,5)€ h = g . f

folgt usw.

Diese Vorgehensweise wird häufig realisiert durch "Einsetzen einer Funktion in eine andere". Auch hierfür gilt - es sei noch einmal wiederholt

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daß nur sorgfältiger Umgang mit den ent-

sprechenden Definitions- und Wertebereichen vor Fehlern schützen kann. Man erkennt sofort, daß D(h) = D(f), und

W(h ) = W(g)

(g . f)~ 1 = f" 1 . g" 1

gelten müssen. Anmerkimg: Will maxi gelegentlich hervorheben, daß der Definitionsbereich einer Abbildung f aus n-Tupeln besteht, so spricht man von n-stelligen Abbildungen.

1.3. Relationen Während man bei Abbildungen häufig zuerst eine Originalmenge und dann die Abbildungsvorschrift und das Finden der Bildelemente ins Auge faßt, geht man bei Relationen im allgemeinen eher von einem Vergleich aus. Man wählt zwei Elemente und prüft (vergleicht) , ob sie in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen (ob sie eine bestimmte Relation erfüllen). Wir könnten genau wie für Abbildungen eine Relation ebenfalls als beliebige Menge geordneter Paare definieren, wollen aber diese Definition im Hinblick auf die späteren Anwendungen gleich auf eine bestimmte Menge A einschränken. Definition. R ist eine (binäre, zweistellige) Relation in der Menge A genau dann, wenn R c A x A ist. Beispiel. Es sei A = {l,2,3»4,6j ; die Relation R 1 bestehe aus den Paaren (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (6,6), während R 2 die Paare (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,3), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6), (4,6) enthalten soll.

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sprechenden Definitions- und Wertebereichen vor Fehlern schützen kann. Man erkennt sofort, daß D(h) = D(f), und

W(h ) = W(g)

(g . f)~ 1 = f" 1 . g" 1

gelten müssen. Anmerkimg: Will maxi gelegentlich hervorheben, daß der Definitionsbereich einer Abbildung f aus n-Tupeln besteht, so spricht man von n-stelligen Abbildungen.

1.3. Relationen Während man bei Abbildungen häufig zuerst eine Originalmenge und dann die Abbildungsvorschrift und das Finden der Bildelemente ins Auge faßt, geht man bei Relationen im allgemeinen eher von einem Vergleich aus. Man wählt zwei Elemente und prüft (vergleicht) , ob sie in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen (ob sie eine bestimmte Relation erfüllen). Wir könnten genau wie für Abbildungen eine Relation ebenfalls als beliebige Menge geordneter Paare definieren, wollen aber diese Definition im Hinblick auf die späteren Anwendungen gleich auf eine bestimmte Menge A einschränken. Definition. R ist eine (binäre, zweistellige) Relation in der Menge A genau dann, wenn R c A x A ist. Beispiel. Es sei A = {l,2,3»4,6j ; die Relation R 1 bestehe aus den Paaren (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (6,6), während R 2 die Paare (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,3), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6), (4,6) enthalten soll.

25

Man erkennt unschwer, daß folgende Eigenschaften erfüllt sind: (a,b) e R1 (a,b) £ R g


g(x) = y.

Der Vollständigkeit halber sei wiederum erwähnt, daß der Definitionsbereich einer Punktion seinerseits aus n-Tupeln bestehen kann; man spricht dann wieder sinngemäß von n-stelligen Funktionen. Eine spezielle Abbildung (Relation, Funktion), die gelegentlich benötigt wird, ist die Identität über einer Menge As {(x,x) | x e A J Schließlich können wir die behandelten Begriffe noch verwenden, u m Permutationen zu erklären:: unter einer Permutation TT verstehen wir eine eineindeutige Abbildung (eine umkehrbare Funktion) einer Menge P auf sich selbst, d. h., es gilt: D ( T ) = W(H-) =. P Für endliche Mengen ist es Üblich, die Elemente der Menge P durchzunumerieren und jedem Element p^ das Element 1T(Pj_) zuzuordnen; die Elemente erscheinen dann allesamt wieder als Bildelemente, nur in anderer Reihenfolge C3&shalb Permutation von lat. permutare = vertauschen). Ist P = £a,b,c} , so hat m a n die folgenden 6 Permutationsmöglichkeitens

Damit existieren fUr jede endliche Menge von n Elementen n! B n(n-1) ... .2.1 Permntationen. Die Verknüpfung von 2 Permutationen liefert stets wieder eine Permutation.

33

1.5. Operationen Nunmehr sind wir auch in der Lage, den wichtigen Begriff der Operation einzuführen, indem wir spezielle Punktionen betrachten. Anschaulich hat man ja bei einer Operation die Vorstellung, daß man beispielsweise zwei Zahlen miteinander durch Addition verknüpft und damit eindeutig ein Ergebnis (die Summe) gewinnt. Bs wird also, allgemein gesprochen, einem Faar von Elementen wiederum ein Element der gleichen Art zugeordnet, wobei die Ausführung der Operation, die Gewinnung des Ergebnisses - also gewissermaßen der algorithmische Aspekt - im Mittelpunkt steht. Definition. Eine Operation in der Menge A ist eine Punktion von A z A in A. Damit kommt also die eindeutige Verknüpfung von Elementen von A zu einem Ergebnis, das wieder in A liegt, zum Ausdruck. Schränkt man (wie bei Abbildungen und Punktionen) eine Operation auf eine bestimmte Teilmenge X x A x A ein, so ist wichtig, daß auch das Operationsergebnis wiederum in X liegt, daß also X gegenüber der Operation abgeschlossen ist. Betrachtet man etwa die Addition Uber der Menge R der reellen Zahlen und schränkt sie auf N x N ein, so sind die Ergebnisse alle wiederum in N enthalten (die Summe zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl); auf die Division trifft dies aber nicht zu (nur "sehr wenige" natürliche Zahlen lassen sich ohne Rest durcheinander dividieren). PUr Operationen sind im allgemeinen sehr viele unterschiedliche Bezeichnungen möglich und üblich - man denke etwa an + (Addition) , - (Subtraktion), . (Multiplikation), : (Division), die bereits behandelten Mengenoperationen usw. usf. Wie bei Abbildungen und Funktionen betrachtet man auch Punktionen von A n in A und bezeichnet diese als n-stellige Operationen. Im weiteren wollen wir, ehe wir den direkten Schritt zu uns interessierenden mathematischen Strukturen gehen, einige Eigen-

3i

sohaften von Operationen, die böi bestimmten Gelegenheiten wichtig werden können, allgemein formulieren. Es sei A eine Menge; z, y, z seien Blemente von A; o bezeichne eine Operation in A. Diese Operation heißt 1. assoziativ




00 (x, y)

=

2

^

•

k = 1 Damit sind H und lg isomorph zueinander. Die Elemente z^, z^, des Ortholiormalsystems werden auf die Vektoren mit genau einer Eins abgebildet, die in lg ein vollständiges Orthonormalsystem bilden: z.| — m

(1, 0, 0, ...),

Zg

— •

(0, 1, 0, ...) usw.

Sei A nun ein linearer Operator in H, und es sei y = Ax. x ersetzen wir durch seine Fourier-Reihe, ebenso yt 00 x = S k = 1

74

a k zk,

y =

S k = 1

bk

zk .

Die Anwendung des Operators A führt zu o» y = Ax = 2 a-fc Az k , k =1 und für die Fourier-Koeffizienten b^ gilt damit einerseits bj. = (y, z ± )j andererseits

o» b± = TE a.jj.CAz^, z ± ). k =1

Bezeichnet man das Skalarprodukt (Az^, z^) durch so stellt sich der Operator A, der im Raum H eine Abbildung des Elementes x auf das Element y bewirkte, im Raum lg als unendliche Matrix T = (t ik ), i = 1, 2, k = 1, 2, dar, mit deren Hilfe die Fourier-Koeffizienten von x, die a^, in die Fourier-Koeffizienten von y, die b^, transformiert werden: «0 k =1 Man wählt beispielsweise die folgende Anordnung: t ^ = (Az.,, z1)

t 1 2 = (AZ 2 , Z^ )

t ^ = (Az-j, z^) ...

t 2 1 = (Az.,, z 2 )

t 2 2 = (Az2, z 2 )

t^ 2 = (Az^,

t^-, = (Az.,, z^)

t^ 2 = (Az2, z^)

t ^ = (Az^, Zj) ...

...

Wir sehen an dieser Stelle wiederum sehr schön, wie die verschiedenen Abbildungsvorschriften zusammenspielen:

75

Raum H

Raum Pourier-Entwicklung

Element x

Element y

o-« | Operator A

Element (a^.ag,...) »-o j Operator (Matrix) T

o-«

^-o

Fourier-Entwicklung

Element (b 1 ,b,,...) *

Diese Transformationsmatrix T in lg ermöglicht es, auf einfache Weise den adjungierten Operator A* zu charakterisieren. Ihm entspricht die Matrix T* = (t?.) mit

Man muß also die Matrix T lediglich transponieren und dabei stets zum konjugiert-komplexen Viert übergehen. Für einen selbstadjungierten Operator muß selbstverständlich a

ki

s

a

ik

gelten. Kachdem wir die abstrakten Überlegungen bis zu diesem Punkt geführt haben, wollen wir den Sinn und die Anwendung des Begriffssystems des Hilbert-Raumes an einigen Beispielen demonstrieren. C sei die Menge aller reellen Punktionen, die in dem abgeschlossenen Intervall a £> x & b = £a, b ] stetig sind. Addition und Multiplikation reeller Punktionen sind in der üblichen Weise auszuführen, ebenso die Multiplikation von Punktionen mit reellen Zahlen, womit die Axiome des linearen Vektorraumes erfüllt sind. Man definiert weiterhin: b

1. Skalarprodukt:

(f, g) =

2. Horm:

Rf || =

76

Jf(x) g(x) dx.

-j(f, f)' =

jf(x)

2 dx.

Mit diesen beiden Definitionen lassen sich alle Axiome des Hilbert-Raumes erfüllen. Wir werden später sehen, daß man sehr rasch wichtige Ergebnisse erhält. Für den gleichen Funktionenraum definiert man einen Integraloperator A in'folgender Weise: h(x) = A f(x) =

Jk(x,

t) f(t) dt.

o Dabei soll K(x,t) ebenfalls eine stetige, fest vorgegebene Funktion sein. Aus den Gesetzen der Integralrechnung ergibt sich, daß es sich um einen linearen Operator handelt. Das Skalarprodukt

(Af,g) wird nun zu einem Doppelintegral:

b «» ( c { K ( x , t ) f(t) d t ] « •

(Af.g) =

g(x) dx.

Durch Umkehrung der Integrationsreihenfolge erhält man b

(Af,g) =

b

[ [ \ K(x,t) g(x) d x ]

f(t) dt.

OL

Mit der Definition b A*g =

J K(x,t) g(x) dx A

erkennt man die Gestalt des adjlitigierten Operators und für i symmetrische Punktionen K(s,t) ist A = A . Sehr häufig werden wir auch Punktionen antreffen, die über einem reellen Intervall a 6 t $ b definiert sind, aber komplexe Werte annehmen. Hier definiert man Skalarprodukt und Horm wie folgt:

77

b

(f, g) =

Jf(t) gTET dt, a

ft f U = ^(f, £)'

=

J

Jf(t)|2 dt.

Dabei läßt sich f(t) in üblicher Weise in Real- und Imaginärteil zerlegen: f(t) = f ^ t ) + i f2(t); f(t) ist die konjugiert-komplexe Punktion:

H T T = fn(t) - i f2(t), und für den Betrag der Punktion f(t) gilt (f(t)(2 = [f^t)] 2

+

[f 2 (t)] 2 .

Abschließend soll noch eine wesentliche Eigenschaft linearer Punktionale angegeben werden. Jedes derartige Funktional A legt ja für alle Elemente x des Raumes H eine reelle (oder komplexe) Zahl Ax fest. Dieses Bildelement läßt sich stets mit Hilfe des Skalarproduktes bestimmen, d. h.^ es existiert ein festes Element y^, .so daß x1 = Ax = (x, für alle x £ H gilt.

78

4. ORTHONORMALSYSTEME Bei den Anwendungen vor allem in der Informationstechnik spielen die bereits erwähnten Orthonormalsysteme und damit zusammenhängende Fourier-Transformationen und Entwicklungen eine hervorragende Rolle. Wir wollen uns in diesem Kapitel einer ganzen Reihe von speziellen Konkretisierungen der allgemeinen Begriffe zuwenden. Es wird stets darauf ankommen, die 'betrachteten Räume und Funktionensysteme einzugeben, die Operationen festzulegen und den allgemeinen Formalismus anzuwenden - die prinzipielle Vorgehensweise bleibt immer unverändert.

4.1. Trigonometrische Orthonormalsysteme Wir beginnen unsere Betrachtungen mit dem Raum der reellen Funktionen, die über dem Intervall Q-*ir , iT J

definiert und dort ste-

tig sind. Als Funktionensystem verwenden wir die Funktionen 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ... Als Skalarprodukt benutzen wir - wie bereits erwähnt - die Integration:

r (f, s)

^f(x) g(x) dx. -T

Für (f,f) entsteht damit das Integral

r

-r und als Norm erhält man:

79

das bedeutet, daß die zu betrachtenden Funktionen quadratisch integrierbar sein (d. h. zum Raum Lg gehören) müssen. Die folgenden Integrale weisen die Orthogonalität nach:

r i)

0 für m + n,

^cos mx cos nx dx =, Y für m = n ;

b)

V To für m + n , jsin mx sin nx dx =< •Y ^ T für m = n #

r c)

Jcos mx sin nx dx = 0

für m, n = 1, 2, ... ,

•V

V d)

. sin mx dx = 0

für m = 1, 2, ... ,

. cos nx dx = 0

für n = 1, 2, ...

-T

TT e) -IT Durch die Fallunterscheidung a) - e) wird

gezeigt, daß:

a) alle Funktionen cos mx untereinander orthogonal sind; b) alle Funktionen sin nx untereinander orthogonal sind; c) jede Funktion sin nx orthogonal zu jeder Funktion cos mx ist; d) und e) die konstante Funktion 1 zu allen anderen Funktionen orthogonal ist. Mit Hilfe der Integrale T t 2

(l -t

2

. dx = 2 IT,

7

jsin mx dx = r

(cos2 mx dx = t

- r

ergibt sich die Formierung, so daß man das folgende Orthonormalsystem erhält: 80

-L, I C05X , pk sinx ) ¡=i COS Zx , p ; sin 2x , {¿x v l {K in Vir

•

Villi m a n eine Punktion f(x) des gegebenen Raumes in ihre Fourier-Reihe bzgl. dieses Orthonormalsystems entwickeln, so muß man die entsprechenden Skalarprodukte ( f . ^ w s m x ) ,

Sin

mx)

bilden:

=m a

*1

= (f,

b m = (f, jLf

1t

1

f(x) 4X5

-u

1 cos mx) = j=i

1t f j

sin mx) =

-TC ic j f (x) sin mx dx, m = 1,2,...

f(x) cos mx dx, m

1,2,...

-ic Mit deren Hilfe kann m a n dann die entsprechende Fourier-Reihe sofort aufschreiben: f ( x )

=

a „

°

.

1

= = = -

xizi

+

1

a -

1

.

R===

f r

c o s

x

+

b

1

1

.

1

T = T

s i n

x

+

. . .

>nr

Da unser Funktionensystem auch die Eigenschaft der Vollständigkeit besitzt, kann man jedes Element des gegebenen Raumes auf diese Art und Weise darstellen, oder, anders gesagt, man kann jede Funktion f(x) des Raumes eineindeutig auf eine Zahlenfolge (a Q , a 1 , b 1 t a 2 , bg, ...) abbilden, die ihrerseits die Funktion f(x) eindeutig bestimmt. Man kann also wichtige Überlegungen in diesen Folgenraum verlagern, bei dem es sich natürlich wieder u m den 1 2 handelt. Somit ist für einen Anwender, einen Techniker oder Ingenieur, das Problem klar: Wenn er für seine Probleme das genannte Orthonormalsystem auswählt, so weiß er, daß er die Entwicklung in die Fourier-Reihe stets realisieren kann, sofern "seine Funktionen" 81

dem genannten Raum angehören, und. daß er sich um die Lösung bzw. die numerische Berechnung bestimmter Integrale kümmern muß. Hierfür kann er neben seinen eigenen Kenntnissen zielgerichtet Nachschlagewerke verwenden, nach numerischen Verfahren suchen, Mathematiker als Partner ansprechen usw. Keinesfalls muß er aber alle einschlägigen Integrationsformeln im Kopf haben. Beispiel 1. Wir wollen die Funktion f(x) = x im Intervall C-T, f j entsprechend dem gegebenen Orthonormalsystem entwickeln. Wir erhalten der Reihe nach: a„ = • *

\x dx = 0;

r am = m

^

1 x cos mx dx

0;

V b„ m =

_-——, I x sin mx dx = FT') m

(-1)m+1

Also entsteht die folgende Reihe: f(x) = x = 2(sin x

sin 2x

+

sin 3x

sin 4x

+ . '..)

Auf Grund spezieller Randbedingungen gilt diese Entwicklung für alle inneren Punkte des Intervalls, also für -V «. x entwickeln sie einmal in eine Sinus-, zum zweiten in eine Cosinus-Reihe und erhalten: x = , 2 (.sin x_ — sin ^ 2x +. sin j *3x - sin j T4x +.

x

bzw *•ä - jp 4. icos x_ +. cos 3x +. oosy 5x +. . v ?-v 3 5

XB

Beide Reihen konvergieren in jedem inneren Punkt des Intervalls Q • für 0 < x * T , gegen f(x) » x. Unterschiede treten nur auf, wenn man dieses Intervall "Überschreitet" - der Leser kann sich jetzt sehr wohl selbst veranschaulichen, inwieweit dies berechtigt ist. Dazu betrachten wir Abb. 21. Geht man vom Intervall f O.Tr] zum Intervall [-Y, o j über, so besitzt y = cos x für jedes x den gleichen Wert wie für -x, während y « sin x das Vorzeichen wechselt; also wechselt auch "die Summe der ersten Reihe" das Torzeichen, während die Summe der zweiten Reihe ungeändert bleibt. Damit ist die Sinus-Reihe im ganzen Intervall C-f, die Entwicklung der Funktion y • x, während die Cosinus -Reihe im Intervall £-1",t] die Entwicklung der Funktion y » |x\ darstellt. Das gleiche Ergebnis würden wir natürlich erhalten, wenn nach d«p Orthonormalsystem wir y " | X| im Intervall Q-T,t] entwickelt hätten, das für dieses Intervall bereits betrachtet wurde. In den Randpunkten des Intervalls Co,1r3 konvergiert 93

die Sinus-Reihe stets gegen Null, während die Cosinus -Reihe gegen den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert konvergiert.

Abb. 21.

Die Fortsetzung von Sinus- und Cosinus-Entwicklungen.

Eine Entwicklung einer Funktion f (x), die in einem Intervall Qä, b ] definiert ist, in eine reine Sinus- oder Cosinus-Reihe kann wiederum auf das Intervall £0,irj zurückgeführt werden und bereitet dem Leser sicherlich keine Schwierigkeiten. Beispiel 5. Ale praktisch wichtiges Beispiel aus der Informationstechnik sei die Einwep- bzw. Doppelweg-Gleichrichtung genannt. Nach Abb. 22 liegt im Ergebnis einer Doppelweggleichrichtung eine gerade Funktion vor. Deshalb können wir zur Bestimmung der entsprechenden Fourier-Reihe die Funktion f(x) = a . sin x im Intervall 0 x ¿Tf in eine Cosinus-Reihe entwickeln und flu™ über dieses Intervall hinaus fortsetzen. x(m

Abb. 22.

94

Doppelweggleichrichtung.

Es gilt also: Y 0

'l

- = • \ sin x dx = ff j

, r

r

a1

•F '

a

sin x 008

\ • J 0

x dx = 0,

r sin x cos xix dx, n > 1. 1

0

Zur Berechnung von a Q verwenden wir die Beziehung

i

„.

„

.

cos(u+v)x

sin ux cos vx dx - -

cos (u-v)x

'

¿(¿-v)

„, für

und erhalten a

n

a

H T r cos(n+1)T -1

- * | T

L

n + 1

a J T i ( - D n + 1 -1 M r L n + 1

cos(n-1)ir -1 "I "

.

n -1

( - D n + 1 -ll n - 1 i

0

fUr n ungerade,

- 2*a J n -1

für n gerade .

Nimmt man den Nomierungsfaktor so erhält man a' = — , a' » n ° Y r

. -1— n^-1

J

-

bzw. j —

zu a Q mit hinzu,

für n = 2, 4, 6, ...

95

Damit entsteht die gesuchte Fourier-Reihe f C f ( i )

2a T

4 a f cos 2x . cos 4x . cos 6ac . 1 + + v i ^ — 3 T ~ + •••J •

Die in der Informationstechnik übliche Darstellung als Zeitfunktion erhält man durch Abbildung des Intervalls 0 feiif auf m das Intervall O i t , indem man -r = —»f2T . * t Ott setzt und die Kreisfrequenz

=

verwendet.

Damit entsteht schließlich f (t)

2 *

T

n-1

cos(2n c f r ^

#

4 n -1

Das Amplitudenspektrum ist in Abb. 23 dargestellt (a » 1 V). 0,11 V . Oj6 /Oo o» 0* 1 OiB Qn 0,1 — * — i — * — i — ujq Zcu0 30^,4(^50)0 6cdo

— * —

0

CO Abb. 23.

Amplitudenspektrum der Doppelweg-Gleichrlohtung.

Da der Effektivwert der Sinusschwingung gleich a/ ist, erhält man für das Verhältnis des Gleichanteils a zum Effektivo wert der Wechselspannung einen Wert

96

Für die Einweg-Gleichrichtung kann man die Funktion f(x)

'0

für

x < 0,

a . sin x

für 0 £ x 6 V

zugrundelegen und die Fourier-Reihe bzgl. des "kompletten" Sinus-Co sinus-Orthonormalsyst ems bereohnen. Dann ergibt sich

1

sin x dx = .2a

,

a1i «• 0,

0

r D=

fP

sin x cos nx dx

2a

o

für n > 1, n ungerade für n > 1, n gerade

1

#

•r 1

f F

sin2x dx = a

, bE

für n > 1.

Naoh Einführung von t und -

n e J n X " c 0+ c 1 «J x + c. 1 e-J x + e 2 .J 2x *c_ 2 .-J 2n * ...

Die Reihe

2

isi' r

konvergiert gegen

^(f(x)|2 dx. -T

Die Integrale fUr den Real- und den Imaginärteil von c n sind uns bereits bekannt durch das Orthonormalsystem 1

-—

1

,-—

iïr {r

1

1

1

cos x, -—; sin x, •==• cos 2x, -== f?

-{7

ir

Dort galt: «r

— W

\

f? ÀJ

f(x) cos mx dx, m = 1, 2, ... ,

1r ^

100

f(x) sin mx dx, m = 1, 2

sin 2x, ...

Also g i l t : c

=

o a

oI i ?

n

-

i F

für n > 0

D

!„ = - = , an + "flT "fP

für n < 0 .

K o e f f i z i e n t e n mit dem g l e i c h e n n (bezeichnet durch c Q und c _ n ) sind zueinander konjugiert-komplex, und es g i l t : —— ^ (c Q

+ c - n ') = a n .'

und h i e r a u s e n t s t e h t durch Zusammenfassung der G l i e d e r mit g l e i chem n d i e b e r e i t s bekannte D a r s t e l l u n g . A (L 4 * i f ( x ) = - — • + -—^ / ^ ( a n cos nx + b Q . s i n n x ) . Zur Veranschaulichung wenden w i r uns noch einmal der Einwegbzw. Doppelweggleichrichtung zu. Zur Bestimmung der komplexen F o u r i e r - K o e f f i z i e n t e n sind d i e Skalarprodukte r -¿nx A j a sinx-e

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

V 5 (x)

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

W 6 (x) W?(x)

Diese Anordnung der Walsh-Funktionen (auch als Paley-System bezeichnet) bietet die Möglichkeit, sich iterativ für wachsendes m die entsprechenden Funktionensysteme zu verschaffen. Man beginnt mit +1

+1

+1

-1

Zur Erzeugung von Wg wird jede Zeile von W^ verdoppelt und danach die Zeile einmal ungeändert und einmal mit umgekehrten Vorzeichen angefügt. +1

+1

+1

+1\

+1

+1

+1

+1

1+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

i+1

-1/

U1

Die entstandene Matrix Wg enthält die Walsh-Funktionen für m = 2. Verfährt man mit Wg in gleicher Weise, so entsteht W usw.

125

Eine andere Anordnung der Vialsh-Funktionen ergibt sich, wenn man das Kronecker-Produkt von Hadamard-Matrizen verwendet. Man beginnt wiederum mit der Matrix T^ und erklärt das KroneckerProdukt W 1 (x) W 1 in folgender Weises

W

W

2-

W

0

11

'

W

1

w

12

'

W

1

1

Man multipliziert also jedes Element w ^ von W1 mit der Matrix W.j und fügt alle so entstandenen Matrizen zu einer neuen Matrix Y«j X

' H21W

=2: Zerlegung in 4 Intervalle der Länge 2;

o

1

l

s

I*

S

6

7

8 x

-1

Zusammenfassung zu 2 Intervallpaaren, die zu H 2 1 ( X ) und H 2 2 ( X ) führen.

+1 - H22(X1 6

7

B X

(X) < Hai

1=3: Zerlegung in 8 Intervalle der Länge 1;

1

i s t

5 6 7

4 x

Zusammenfassung zu 4 Intervallpaaren, die zu H^-j (x), ..., Hj 4 (x) führen.

132

H33M 1 2

3

5

6

7

8 X

7

8 y

•

4-1 0

1

2

ä

14.

5

6

-1

Abb. 33.

Die Konstruktion der Haar-Punktionen für m = 3.

Das System der Haar-Punktionen bildet ebenfalls ein vollständiges Orthonormalsystem für das Intervall 2™2 . Bei der Normierung muß man beachten, daß hier nicht für alle Punktionen der gleiche Paktor auftritt. Für H QO (x) ist er gleich 2~m, für die Funktionen der 1-ten Stufe, 1 - 1 , ..., m, ist er gleich Die entsprechende Fourier-Reihe besitzt folgende Gestalt: 21"1 f(x)

= a oo H oo ( x ) +

2 2 1=1 i=1

a

n

. Hu(i) .

Die auftretenden Fourier-Koeffizienten gewinnt man wie immer mit Hilfe des Skalarproduktes: 2®-1

* 0 0 " 2 " m < f . Hoo> " 2 " m 2

x=0

f(x).H 0 0 (x),

133

2m-1 a

} 2l-(m+1)(fj H li " ^ — "Ii'

=

2 l-(m+1)

^

f(x) . H 1 ± ( x ) . x = 0

Kehren wir noch einmal zu Abb. 30 zurück und berechnen das zugehörige Haar-Spektrum. Man erhält: a

oo =

a

11 =

a a

21 22

2-3 . 16 , 2-3 . 2

2

a31

,

=

2-

=

2 " 2 . (-3),

»32

. (-1),

a

= 2~ 1 =

33 =

2

~

2_1

. (-2) , • •

a 3 4 = 2~ 1

1 0

> »

. (-1) .

Damit gilt*. f(x) = i j (16 H 0 0 + 2

- 2 H21 - 6 H22 - 8 H31

+

+ 4 H 3 2 - 4 H34), wobei zur Vereinfachung der Darstellung der Faktor 2

ausge-

klammert wurde. A.uf die Möglichkeit einer schnellen Fourier-Transformation bzgl. der Haar-Punktion sei hier nur hingewiesen. Weiterhin wollen wir noch anmerken, daß die betrachteten Punktionensysteme der Rademacher-, Walsh- und Haar-Punktionen nicht nur über dem Intervall £ o , 2 m - l 3

betrachtet werden, sondern über

beliebigen Intervallen £ o , tJ, wobei auch T = 1 häufig verwendet wird. Die Vorgehensweise besteht in diesem Falle "einfach" darin, daß m a n das entsprechende Grundintervall in gleichgroße Teilintervalle zerlegt und die Funktionen ganz entsprechend verwendet. Eine Vielzahl von Möglichkeiten für diskrete Fourier-Transformationen erhält man, w e n n eine direkte Verallgemeinerung der WalshPunktionen vorgenommen wird.

134

Für die Rademaoher-Punktion R^(x) hatten wir die Definition mit Iiilfe von komplexen Exponentialfunktionen angegeben: OflW R i (x) = exp(j . • p - . x i _ 1 ) . Hieraus folgte: W k (x) = R ^ x ) * ® - 1 R 2 ( x ) k m " 2 . . . . R m ( x ) k ° Ersetzt man die R^(x) durch ihre Definition, so entsteht der folgende Ausdruck: W k (x) = exp(j . |3C- £x Q • k m _i + x ^ g

+ ... +

>•

Hierbei werden die Variablen x und die Parameter k als m-stellige Dualzahlen (also mit der Basis 2) angesehen (dargestellt) und nehmen demzufolge die Werte von 0 bis ^ - l an. Der Winkel wird in zwei Teile linterteilt, es treten nur die beiden Funktionswerte e3

.

. 0 = coe 0 + j sin 0 = +1

j .

. 1 = c o s T + i s i n T = -1

und e

auf, die in der komplexen Ebene auf dem Einheitskreis um den Hullpiyikt diametral zueinander auf der reellen Achse liegen. Der wesentliche Parameter in dieser gesamten Vorgehensweise ist die Zahlenbasis 2. Wählen wir eine natürliche Zahl p > 2 als Basis, so können wir damit ein p-adisches Zahlensystem aufbauen. Ein Vektor (x Q , x^, ..., ^„-j) kann als p-ad±sche Zahl interpretiert werden, wenn die Variablen x^ nur die Werte von 0 bis p-1 annehmen, i = 1, ..., m-1. Ihm entspricht dann die Zahl x = xQp

m_1

+ xlP

m-2

o + ... + x m _ 1 p .

135

Umgekehrt kann man aber auch jede natürliche Zahl eindeutig in ihre p-adische Darstellung überführen. A m vertrautesten ist natürlich das Dezimalsystem für p = 10. In der Rechentechnik weit verbreitet sind aber auch das Oktalsystem (p = 8) und das Hexadezimalsystem (p » 16), während für die SignalVerarbeitung häufig der Fall von Interesse ist, daß p > 2 und eine Primzahl ist. Zur Konstruktion der diskreten Exponentialfunktionen, häufig auch als ehrestenson-Wilenkin-Punktionen bezeichnet, legen wir also eine Basis p und eine StelDenzahl m fest und stellen alle x von 0 bis p m -1 und die Indizes k der Punktionen als p-adische Zahlen dar: x = xQp

m-1

m-2 + x.,p ' + . . . +

o x Jn _ 1 p ,

k = k p m - 1 + k l P m - 1 + ... + k 1 P ° . o 1 m-r Weiterhin wollen wir zur Vereinfachung das immer wiederkehrende Oft' exp(j p") durch E abkürzen. Eine verallgemeinerte Rademacher-Punktion erhält man, wenn die p-adische Darstellung von k nur eine von Hüll verschiedene Komponente enthält: Bri(x) = E r

x

i .

Dabei läuft r von 1 bis p-1 und i von 0 bis m-1. Die Chrestenson-Funktionen erhält man, genau wie die WalshPunktionen, als Produkte von Rademacher-Punktionen. Wir können sie aber auch gleich auf direktem Wege definieren: m-1 2 C k (x) = E 1 "

136

k 0

m-1-i •

x

i

Die festgewählte Basis p soll dabei nicht durch Indizes mit vermerkt werden - sie versteht sich, wenn sie einmal fixiert ist, von selbst. Die Funktionswerte der Chrestenson-Funktionen sind also komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis um den Nullpunkt der Gestalt E q , q « 0, 1, ... p-1. Die verallgemeinerten Rademacher-Funktionen sind natürlich unter den Chrestenson-Funktionen wieder mit enthalten, wobei speziell B

oo(x) ' °o(x)

gesetzt wird; für die anderen Funktionen gilt: B

r i ( x ) " °r.pi (x) -

Als Beispiel wählen wir p = 3, m » 2, d. h.,wir verwenden zweistellige Ternärzahlen als Ausgangspunkt. k und x laufen von 0 bis 8, es sind also 9 Funktionen für die Werte von 0 bis 8 zu konstruieren. In der nachstehenden Tabelle sind zunächst die Summen berechnet, die im Exponenten von E auftauchen: m-1 k

i»0

k 0 1 2

3 4 5 6 7 8

KI 0

0 0 1

k

1

0 1

0 0 0 0

1

0 0 0 0 0 0 0

2

0

2 0

1

1

1

2 0

2 2 2

m-1 -i . X1 - k 1

1 2 0 0 1

2

0

0

0 0 1 1

0 0 2 2 2

2 2 2

4 4 4

1

.? 4

•

?

1 1 1 0 1 2 0 0 0 1 1 1 2 0

2

2

1 2 1 2 3 2 3 4

0 1

2

3

2

4

4 5 6

x

o + kIo • X 1

8

X x

0

X

0 2

2 2 0 2

1

4 1

4 2

3

4 6

6 2

7 2

0

1

0 2 4 0 2 4 0 2 4

5 2 4 6

4 6 8

137

Diese Werte werden multipliziert mit j . + j sin «f periodisch mit der Periode 2 Y

. Da e ^

= cos (f +

ist, können alle auf-

tretenden Werte modulo 3 vereinfacht werden, so daß folgende Funktionswerte auftreten:

i . Zf3

eQ = e

e

j . '

D e2 s = e

. 0

2 V

J

= e° = 1,

. 1 '

= cos Z f - + j sin Q f - = - \ +

2

'

=

c o s

4 f

j sin

+

,

J^f?.

Damit ergeben sich schließlich für diesen Fall die folgenden Funktionen: k

0

1

?

2

0

1

1

1

1

1

1

1

1

e

2

1

1

1

e

3

1

e

1

e

1

4

1

e

1

e

2 2

e

2

e

1

2

e e

1

5

1

e

1

e

1

e

2

e

1

7

1

e

e

1

e

8

1

2

1

e

2

e

1

e

2

2

6

5

1 e

6

1

4

1

1

1

1

i

e

i

e

2

e

2

e

2

e

1

1

e

2 1

e

2 1

e

e

e

1

e

2

1 e

x

8

7

2

1

1

1

2

e

1 1

e e

e

1

e

2 e

1

1 e e

2 1

1

2 2 .

Bn(x)

e

2

e

1

B2Q(X) B10(x)

.

Bn(x)

1

B20(X)

.

Bn(r)

e

B21(X)

e1

2

1

e

Boo(x)

B10(x)

1

1

B10(x) . B21(X)

e

B20(x)

2

. B21(X)

Will man das Produkt von Chresterison-Funktionen, speziell von verallgemeinerten Rademacher-Funktionen, bilden, so muß man sich daran erinnern, daß gilt:

e

i

F

.

e

i

F

-(3

=

e

i

F

> > t p _-J _

für

Dieser Einzelimpuls liefert als Spektrum für p = 3, m =» 2 (siehe die Beispielfunktionen)s a

o

= a

1 • •'•

= a

8 " i '

2. f(x) = 1 für alle x. Es ergibt sich a.Q = 1, a 1 = ... = a 8 = o. 3. Rechteckimpulse. C1

für x = 0, 1, 2, 3i x - 4, 5, 6, 7 .

f(x) =

für

Das Walsh-Spektrum dieser Funktion besitzt folgende Gestalt: a « £1 , a » •j, a = ... = a^ = 0. Q

1

2

"Verlängert" man diesen Impuls, so muß mau die Funktion \ 1 f(x) = -^o

für x n 0, ..., 4 , für x = 5, ..., 7

betrachten. Hier besitzt das Walsh-Spektrum ebenfalls zwei "Anfangswerte" a

o " i »

a

1 " i

und wird dann periodisch: a

2

=

1

a

1 3 " " 5'

a

4

1

m

S»

a

1 1 5 " " ü» a 6 H S»

a

1 7 " " S •

Abschließend wollen wir darauf hinweisen, daß auch die HaarFunktionen auf den Fall p > 2 verallgemeinert werden können und damit weitere Orthonormalsysteme zur Verfügung stehen. Bis hierher haben wir nur eine einzige Variable x betrachtet die Vielfalt bei mehreren Variablen x, y, z, ... ist kaum überschaubar und soll nur anhand einiger "hübscher Muster" verdeutlicht werden, die bei der Konstruktion zweidimensionaler WalshFunktionen entstehen.

143

Man bildet dazu die Produkte eindimensionaler Walsh-PunktIonen und erhält Punktionen, die über Quadraten mit der Seitenlange gm -1 definiert sind. Abb. 34 zeigt die Konstruktion für m = 2 und soll auch die Behandlung der diskreten Orthonormalsysteme abschließen. Wzoix.tf W3ofx,v) Woo

1 2 3» X Wn(x,v)

o 1

0

1231

y VYZi(x,y) f

Z 3 "f x

W12(M)

m

m

0 1 i 3 If x

0 12 3 Wo$(x,y)

W13(M">

0 12 5 1 >T

0lZ3ifx

Abb. 34.

144

0 1 2 3 lf x

Zweidimensionale Walsh-Punktionen für m

X

5. IHTEGRALTRAUSFORMATIONEN 5.1. Distributionen Bevor wir uns den in der Elektrotechnik und Elektronik weitverbreiteten Integraltransformationen zuwenden, wollen wir den Begriff der Distribution einführen und erklären, da er für Prägen der Signaltheorie bedeutsam und nur auf diese Art und Weise eine exakte Behandlung der Probleme möglich ist. Ein ganz wesentlicher Grund für die Einführung von Distributionen bestand vor allem darin, daß sehr viele in der Systemtheorie betrachteten Zusammenhänge auf "Punktionen" führten, die unstetig oder nur mit Einschränkungen differenzierbar und somit schwer mit den vorhandenen Mitteln behandelbar waren. Die Erweiterung des klassischen Funktionenbegriffs sollte so vorgenommen werden, daß diese ungünstigen Eigenschaften umgangen werden und eine gut handhabbare Begriffswelt entsteht. Ausgangspunkt ist der Begriff der Funktionenfolge; durch f (x), n = 0, 1, 2, ... bezeichnen wir die Tatsache, daß zu jedem n g. N eine Funktion f(x) existiert, die stets Uber dem gleichen Intervall a £ x. i b definiert ist. Eine Folge fn(x) konvergiert gegen f(x) im Intervall a £ x & b genau dann, wenn für jedes x des Intervalls lim fQ(x) » f(x) n —fc ee gilt. Das bedeutet, daß zu beliebigem für alle n > no

t > 0 ein n Q existiert, so daß

|fn(x) - f(x)l

g^x) Differentiation

Grenzwertbildung Integration

g(x)

f(x) Differentiation

Die Folgen f n (x) und g n (x) werden durch Integration bzw. Differentiation aufeinander abgebildet. Jeder der beiden Polgen wird ihre Grenzfunktion f(x) bzw. g(x) zugeordnet, und zwischen diesen wird nun "eine Art" formaler Integration bzw. Differentiation erklärt (definiert), die natürlich nur für den Fall Bedeutung gewinnt, in dem f(x) und g(x) nicht durch die bekannte Differentiation bzw. Integration ineinander überführt werden können. Anderenfalls muß die "formale Erweiterung" mit bereits vorhandenen Operationen übereinstimmen. Diese Vorstellung wollen wir bei Distributionen dann immer (wenigstens prinzipiell) im Sinn haben gewisse Manipulationen mit der Funktionenfolge (Differentiation, Integration, Transformationen) werden auf die Grenzfunktionen übertragen. Hun zur Verfeinerung der Grundidee. Dazu wird noch der Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz benötigt : Eine Folge f n (x) ist im Intervall a < x < b fast gleichmäßig konvergent genau dann, wenn sie in jedem Intervall [ a Q , b Q ] mit a < a Q £ x 6 b Q < b gleichmäßig konvergent ist. Wichtig ist dabei vor allem der Fall, daß a = — oo , b = + oo gilt (ihn wollen wir im weiteren im wesentlichen immer voraussetzen) s Die Folge f n (x) konvergiert dann fast gleichmäßig gegen die Funktion f(x), wenn sie in jedem endlichen Intervall gleichmäßig gegen f(x) konvergiert. 149

Ist f (x) eine Folge von Punktionen, die über dem Intervall a < x « b definiert und dort stetig sind, so handelt es sich um eine Fundamentalfolge. wenn es eine Punktionenfolge F n (x) gibt derart, daß: 1.

d

Y * ) dz

=

f n (x),

k * 0,

2. die Folge F n (x) fast gleichmäßig in a < x < b gegen F(x) konvergiert . Eine Fundamentalfolge geht also durch k-fache Differentiation aus einer fast gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge hervor. Speziell ist hierbei auch k = 0 zugelassen, d. h.,,jede fast gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen ist eine Fundamentalfolge . Beispielsweise ist die Folge F n (x) = | + , | arc tan nx - ^ ^

log (1 + n 2 x 2 )

eine Fundamentalfolge mit der Grenzfunktion

F(x) =

f 0

für x < 0,

Ii

für x & 0.

Durch Differentiation erhält man hieraus weitere Fundamentalfolgen: F^(x) = ^ arc tari nx +

(Heavisidesche Sprungfunktion),

}

n "/ 1 F n (x) = - -5-5 2 2 T n x + 1

p"(x) n

n

150

*

T

(n x

(n x

(Diracsche ? + 1) 2

+1)3

(S'(x))} '

.

'

( 0 .

16. Hilbert-Transformation oo

s = 8 ' + je»,

0.

Für alle Integraltransformationen kann man als erstes die Eigenschaft der Linearität nachweisen:

j K(s, x)[«if 1 (x) + (lf2(x)^ dx

=

ÒO

oo ¿Jk(S, X) f-j (x) dx +

168

OO (s|k(S, x) f 2 (x) dx,

bzw. unter Verwendung des Symbols

für eine beliebige Trans-

formation:

T O v * ) + (Sf2{3°]

*' ^[ f i (x) ]

+

P«T[i 2 (x) ] •

Die Integraltransformationen sind also sämtlich lineare Operatoren. Entsprechend den früher erworbenen Erkenntnissen erhebt sich d a mit für die betrachteten Operatoren (Transformationen) die Prag» nach dem inversen Operator (nach der inversen Transformation). Es ist also eine Vorschrift zu finden, die für eine gegebene (Bild-)Punktion P(s) die (Original-)Punktion f(x) bestimmts f(x) -

T " 1 |>(s)] .

Zu diesem Zweck muß man in den Integralgleichungen

oo F(s) =

^ K(s, x) f(x) dx

bei gegebenen P(s) und K(s, x) die Funktion f(x) (eindeutig) bestimmen. Wir wollen in den beiden nächsten Abschnitten wichtige Eigenschaften der Laplace- und der Fourier-Transformation angeben und beenden diesen Abschnitt damit, einige andere Transformationen auf die Laplace-Transformation zurückzuführen. Es gilt beispielsweise: (analog für C

(analog für f

*

_

und J ),

und ? e ) t

169

Atf(*)] - X"[f(ex), -s]/ H [f(x)] = i 2[2[f(-x);s'}; s] - ^[X[f(x);s'];-8] . Also nimmt die Laplace-Transformation eine gewisse Schlüsselstellung ein, und deshalb wollen wir ihre Eigenschaften als nächstes untersuchen.

5.3« Die (einseitige) Laplace-Transformation Mach den bisherigen Überlegungen ist die Laplace-Transformation durch

°r F(s) «= J e " » f(x) dx 0 definiert. Für die Existenz der Bildfunktion F(s) ist dabei notwendig, daß das Laplace-Integral konvergiert. Zu diesem Zweck muß man das Integral b f|f(x)l e "

r x

dx

untersuchen. Existiert für ein bestimmtes C Q der doppelte Grenzwert des Integrals für a —» 0 und b —» o* , so existiert die Bildfunktion F(s) für alle s » 6 % je» mit C>«i. Durch die Gerade Re(s) • 6* wird die komplexe Ebene also in zwei Teile zerlegt, und für 6"> r a ist F(s) eine eindeutige analytische Funktion. Im allgemeinen läßt sich F(s) mit Ausnahme einiger weniger Punkte auf die ganze s-Ebene analytisch fortsetzen. Betrachten wir zunächst einige einfache Fälle: 1. f(x) = e

K

,

f -sx ax , Je a 0 170

1

Atf(*)] - X"[f(ex), -s]/ H [f(x)] = i 2[2[f(-x);s'}; s] - ^[X[f(x);s'];-8] . Also nimmt die Laplace-Transformation eine gewisse Schlüsselstellung ein, und deshalb wollen wir ihre Eigenschaften als nächstes untersuchen.

5.3« Die (einseitige) Laplace-Transformation Mach den bisherigen Überlegungen ist die Laplace-Transformation durch

°r F(s) «= J e " » f(x) dx 0 definiert. Für die Existenz der Bildfunktion F(s) ist dabei notwendig, daß das Laplace-Integral konvergiert. Zu diesem Zweck muß man das Integral b f|f(x)l e "

r x

dx

untersuchen. Existiert für ein bestimmtes C Q der doppelte Grenzwert des Integrals für a —» 0 und b —» o* , so existiert die Bildfunktion F(s) für alle s » 6 % je» mit C>«i. Durch die Gerade Re(s) • 6* wird die komplexe Ebene also in zwei Teile zerlegt, und für 6"> r a ist F(s) eine eindeutige analytische Funktion. Im allgemeinen läßt sich F(s) mit Ausnahme einiger weniger Punkte auf die ganze s-Ebene analytisch fortsetzen. Betrachten wir zunächst einige einfache Fälle: 1. f(x) = e

K

,

f -sx ax , Je a 0 170

1

Für a = 0 ist f(x) = 1, woraus % [1] = ^ folgt. Dieses Integral existiert für Re(s) > Re(a), für a = 0 also, falls Re(s) > 0 ist. 2. f(x) = oos Ct x Es ist

bzw. f(x) = sin 03x .

cos cy x *

+ ^

e ~D

sin ÜTx =

kz ] = ( - D n

ds

.

Man beachte hier, daß sich die Differentiation im Bildbereich ebenfalls durch Multiplikation (jetzt aber im Originalbereich) realisieren läßt (vgl. 1.). 8. Integration im Bildbereich oo [f(s) ds.

173

9. Produktbildung; im Originalbereich Ist

[f(x)] = F-^s),

5ß[f2(x)] = P2(s), so gilt:

X+jw

se [ f l w .

-I

v »

.TS?

wobei P.,(s) für 6">«, sind.

) F2(z) F1(s-z) Vi-

und F2(s) für G " » ^

a a

für

dz

für

definiert

Wir hatten die Laplace-Carson-Transformation bereits durch Multiplikation mit s auf die Laplace-Transforraation zurückgeführt. Damit ist klar, daß alle für die Laplace-Transformation gültigen Beziehungen sofort zu über/tragen sind. Also gilt beispielsweisei

« H - i * [ H

%

—

=

- sb

Sinti* = - S - L J s + e i

« H

».

- s5s •

^{sintarxl = f's . usw. -"s+ci"

In Anhang II sind für wichtige Punktionen und Distributionen die Original- und Bildfunktionen gegenübergestellt.

174

5»4» Fourier-Transformation Es wäre ohne weiteres möglich, die Untersuchlang der FourierTransformation direkt mit der Betrachtung der Definition durch

f e 3 * * IM

r*[f(x)] =

¿x

zu beginnen. Wir wollen jedoch zuvor einige "Analogien" aufzeigen, die zur Fourier-Reihenentwicklung bestehen. Im Abschnitt 4.1.

hatten wir gezeigt, daß eine Punktion f (x) (unter bestimm-

ten Bedingungen) als Pourier-Reihe darstellbar ist und hatten hierfür zwei Formen angegeben:

f(x) = •j2 +

(ak

2

cos

kt

+

b

k

sin

kt

^

bzw. t(x) =

2 °k e3kt . U«-««

wobei die Koeffizienten a^, b^ und c^ durch folgende Integrale berechnet werden können: TT a

k = - r f

i

V f ( r

5 008

k r

d T

'

-r

b

k

=

T

\

f ( x )

sin

k

*

d

*

'

1r

" hr j

C k = -hz I

*

o die zu den beiden anderen Torschriften äquivalent ist. Da f(x) längs der x-Achse absolut integriert werden kann, existiert die Fourier-Transformierte von f (x)s

oo ^

[f (x)] = F(car) =

j

f(x) e ^ 4 * * dx .

A

f(s) kann ebenfalls fourier-transformiert werdenr o—

* ? [ f ( s ) ] = F(cr) =

^

f(s) e " ^

3

ds.

Nach dem Einsetzen der Definition von f(s) und der Berechnung der Integrale erhält man hieraus: Y C f ( s ) ] = -i s i g n c Ä f f ( x ) ]

.

185

Der Leser verdeutliche sich dio Beziehungen an folgendem Schema:

Hilbert-Transf(x)

f(s)

formation

FourierTransformation

FourierTransformation

Multiplikation Fit»)

F(o»)

mit -j signe»

Zerlegt m a n F(c») in Real- und Imaginarteil: F(tf) = R(c9) + i I(«»), so ergibt die Fourier-Rücktransformation «o

h \ F(C»)

f(x)

e i < ä j c dx ,

was mit Hilfe von R(-o-) = R(cy),

K-o)

= -i(cy)

(f(x) ist reell!) zu oo

vM

f(x) = z;

\

R(t>) o o a O x dei

\

0

'

0

i(o-) sin eTx dx

führt. Geht man mit dieaer Darstellung voa f(x) noch einmal den umgekehrten Weg, so entsteht 0O f (s) o 1

^ l(e» ) cos o» s Clcj- + ,jj> j 0

186

M

o

R(e» ) sin O s d o

nicht schneller als exponen-

tiell, so ist X(s) = X( tr + je») für hinreichend große 6" lytisch und bzgl. CSr periodisch mit der Periode

ana-

2V. 187

Man prüft leicht nach, daß folgende Transformationen gültig sind: jß d [(1,0,0,0,...)]

- 1,

s «e - 1.

„d r t* _a _2a m R, so ist -z

das Bild von k . f(k) mit dem gleichen Kon-

vergenzradius . Wir gehen noch einmal zurück zu f(k) = 1. Durch Multiplikation mit k entsteht f(k) = k mit der Bildfunktion Z(z) =

z(1 - 1 , 2

für

|z| >

1.

)z| >

1.

f(k) o k 2 besitzt die Bildfunktion (1

+

X(z) =

für z(1 - 1)3

f(k) . ¿ f ü r k

wird auf X(z) = -log (1 - 1) für |z| > 1 1

und f (k) =

für k

1 wird auf X(z) =» e z

für |z| >

0

abgebildet. 7. Zeitliche Verschiebungen und Multiplikationen der Punktionswerte mit Konstanten lassen sich durch die folgenden Korrespondenzen erledigen (£ bezeichne die z-Transformation)t £ [f(k+1>] = z (X(z) - f(0)); Ä[f(k-Hn)] = zm(X(z) - £ i(i)®"1)! i'O 2 [f(k-m)] = z"® I(z); 2(^Af(k)] = (z-1) X(z) - z f(0)

für Af(k) = f(k+1) f(k);

192

£ [ A ' f ( k ) ] = (1 - 1) X(z)

für

A'f(k) = f ( k ) - f (k-1) ;

-

£ [ a k f(k)] = X(§).

193

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195

Aahang I.

I. MnN

Mengen und Mengenoperatlonen

M n N

MuN

M A N

M S N

NoM

MoN - Null (M«N)«0 » Mtf(NvO) MWM - M

(KoinmutativitBt)

Mw(N/»0)»(MvN)«CM«0) Mu(MoN) = M

Mo(NuO)=(M«H)o(M«0) Mn(MoN) - 1!

(Distributivitat)

Mo 0 a 0

Ml»0 e M

M

MuOtNwO

a

(MnN)oO = Mo(NnO)

Mr»0 £ N o O ,

II. M\H « (MwN)sN = M\(MrtN) MvN = (M\N) v (MnN) w (N\U) » Mw(ïMI) MoN = M\(M\N) (M\N) n o n (MoO) \ (NoO) « (IfoO)v N (M\N)u 0 - (MuO) s(N\0) (MxN) \ 0 . fM\0) \ (IKO) o M\(ITvO)

196

M^ N

(Assoziatlvit&t) (Idempotenz)

(Absorption)

(Monotonie) (diajunkte Zerlegung von M»H)

(M«/N)\0 » (MnN)xO » Mv 0 » It, MSN ^ ^

(MxO)w (N\0) (MvO)n (N\0) MvM » 0, 0\ M . 0 M\0£Nv0, OxMaOvN

= (MtfN)x (MnN) MoN = M A N A (MnN) MnS c (MuN)\ (MAN) M N N » (MilOn M MaN = Ha M

(Monotonie)

I I I . M AN

(MAN)AO

O MA(NAO)

M O ( N A 0)

-

(MNN)A(MNO)

M AM

C

0,

M A N

=

(MNÏÏ) U

MA

0 l

J-

1.

2. e 3.

-alxl siqn x e 1

1 5. (x 2 +rfXx 2 +b 2 )

Fijoirt-j e 0 & > > t f(x)dx r—, Jit /JV1*1

Rea>0,Re1a>0

a2+coz

a>o

a

-3 z +co

f-1 -fürxcO a > 0 siqnxJottrx-o 1,1 ftrx>0

2

je. -alcol a e ic ab(b2-rf)1

a>0 -qM

"ae

'

a>0,b>0,a+b

6-

(* 2 +a 2 ) r

2aT(ltalco0e" alCül

a>0

7

coshax

a

a>0

h f ü r l x l < x0 8

-

9.

1 0 für Ixl > *o il -für -Zxr)0

a > 0

n natürliche Zahl

198

12.

13.

stqnx i ^ r

"Djlcol siqncü

1i».

sind*"IT

f lt für Icoka 1 0 für lQ>l>a

15.

sinax .,, , y

arc tan ^

16. 1

17.

a

a>o

2u d(c»)

x' ICöoX

a>0

n natürliche Zahl

2x 0

23. 1(x>

IT cf(cu^ + 3ö5

18. e

2M-. sign Cx")

25. x " 1 M

J_

ir]ndW(u)H^mT

n natürliche Zahl

199

26. x" siqn(xì 27.

e

W

2n\

n natürliche Zahl

(]Cu1m1

l M

Cuq reelle Zahl G>o>0

28. cosa*>xlM 29. ainoyjxKxi

^[cftco-CtìoVdicotctìBÌ]- ^ z

Cjüo>0

äo. cfixi XQ reelle Zahl

31. cf(x-Xo) 52. c f ( n i M ».

200

rf^Cx-Xoi

(jc»i n

n natürliche Zahl n natürliche Zahl xq reelle Zahl

Anhang III.

Laplace-Transformieite für wichtige Punktionen und Distributionen F ( S > j e ** f(x)dx o

1.

1

2.

x

"p

3

x"

"pbi

J¥

-£ „

£

5-

6.

n natürliche "Zähl

1 2

e

•ax

_i_ s+a

1

¿(1-e°*)

8-

-a,x - a ,x e -e az-a,

9-

xne"a*

10. p ( e "

7

a+0

s (s+aO(s+a2)

Oi*aZ n natürliche 2bhl

a

Wi)

11. (i-a*le" a x

12. ( x - y a x z ) e ~ a y

¿teä) 5

s

(s+a|

201

13.

n-e*)"

s(sti)fstz). . .(stn')

fc.

sin ax

15.

cos a x

16.

e a*sinbx

;— b -, 2 , i (star+b

17.

-ax , e cos bx

sta Csval z +b'2

18.

¿(1-cosa^

19.

1 2?(sinax-axcosaxì

1 (sz+az)z

. 20.

X sin a x

2as (sW)2

21.

* cos ax

„ 22.

2 s.n £ a x

2a2 s ( s W )

23.

2 cos ¿ ax

s 2 » 2a 2 s(sW)

2t-

sin ax y

arc t a n f -

25.

S¡(axi

f a r e ton f

n naturliche Zahl

l i ^ r

^ ¡ f ^

V^ai

S | ( a x >

o 26. d ( * >

202

1

p^I

d 1

27.

rf'(x)

26

sinh ax

29. cosh ax

30. e" ax sinhbx -ax

sta? s

b

SK* (s+af-

31.

e

coshbx

32.

sin ax sinhax

33. sin ax cosh ax

cos ax sinh ax

35.

bz

2azS sSita 1 » a(s z »2a*) s W a(s z -2a 2 ) s^a1» s»

cos ax cosh ax

2C3

Abbildung " , homomorphe " t inveree " , isomorphe Abelaohe Gruppe Abstandenaß Amplitudengang Amplitudenspektrum Axiom Iquivalensklasse iquivalenzrelation Baals eines Baumes Bessel-Tunktlonen Besselsohe Ungleiohung Bildbereioh Bildfunktion Soolesohe Algebra Chrestenso-WllenklnfTunktlonen Differentiation von Distributionen Dlraosohe Deltafunktion Diskrete Orthonormalsysteme Distribution Distributionenreihe Doppelweg-Gleiohriolrtung Eigenwert Einweg-ffleiohriolrtung Bnergle Snergle spektrum Irequenzgang Fourier-Bessel-lransformation Fourier-Kbeffieienten " " , komplex»

204

15 54 23 54 46 63 182 86, 96 37 40 39 61 110, 113 68 18 170 43 136 157 147 118 145 156 94 71 94 140 141 182 168 89 101

ff

ff ff

ff

Pourier-Beihe 68, 73, 133 " " , komplexe 102 Fourier-Transformation 134, 166, 175 f f » " , einseitige 165 " " , endliohe 166 " " , Sgtze 178 f f Pundament alfolg« 150 Auktion 29 Punktional 70 f f Geordnetes Paar 15 Grandfunktionen 162 Gruppe 45 f f Haar-Punktionen 131 Halbordmmgerelatlon 43 Benkel-Transformation 167 Hermltesohe Polynome 108 Hilbert-Baum 64 f f Hilbert-Transformation 168 , 184 f f Homomorphismus 51 f f Impulsfolge 158 Informationsteotanlk 78, 82, 94 f f Integraltransformationen 145, 164 f f Integration von Distributionen 159 Isomorphismus 51 f f Kern einer Transformation 164 Konvergenz von Sistrlbutlonenfolgen 156 Körper 45 f f Xörrelatlonsfunktlon 180 Xbslnuv-Pourler-Xransf ormation 166 Kreuzprodukt von Mengen 16 Kroneoker-Produkt 126 Laguerresohe Polynome 107 Laplaoe-Carson-Kransformatlon 167 » " • , einseitige 167 " " " , endliohe 167

205

Laplaoe-Carson-Tranerformatlon, zweiseitige Laplaoe—Transformation " " , einseitige « " , endliche " " , Sätee " " , zweiseitige Legendresohe Polynome Leistungsdichte, spektrale Lineare Vektorräuae linksdlutributivitat Mellln-Transformatlon. Menge Mengenoperationen Metrik n-Inpel Operation Operator " , lnrerser " , linearer Operatorenreohnung Ordnongarelation Orthonormale Polynomsysteme Orthonormal system Paley-Sy steine Parsevaleohe Olelohung Permutation Ehasengsng Phasenmodulation Potenzmenge Eademaoher-Punkt Ionen Baum, metrisoher Beohteokwelle BeohtsdistributivitBt Belatlon Belatlonengraph

206

167 165, 170 f f 165, 170 f f 165 172 f f 165 106 180 58 f f 35 167 11 f f 14 f f 63 16 34 70 f f 169 71 164 39, 45 104 f f 67, 73, 78 125 68, 180 33 183 112 13 121 62 158 35 25 26

Belatloneiraenge Bing BUoktranoformation Säge»ahn-Funktion Sohnelle Pourler-Transformatlon Signal theorle Sinus-Fourier-Traneformatlon Spektralbereioh Sprangfunktion StieltJee-Transformation Struktur, mathematische Systemtheorie Teilmenge Tsohebysoheff-Polynome Urblid Übertragungsfunktion eines Systems Walsh-Punktlonen " ' t zweidimensionale Wal sh-Spektrum Wlener-Chinohlne-Theorem Zeigerbilder bei Phasenmodulation Zeltbereloh Z-Transformatlon

26 45 f f 23 158 128 140 166 141 147* 155 168 37 180 f f 12 109 21 182 123 143 128 180 115 141 184 f f

207

JÜRGEN LÄUTER Programmiersprache DIST Dateneingabe, Datenstrukturierung 1981. VIII. 168 Seiten — 26 Abbildungen — 8 ° — 24 — M Bestell-Nr. 762 862 0 (6594)

Bei der Anwendung statistischer Verfahren in der Medizin. Biologie, Landwirtschaft. Ökonomie, auch bei Verwaltungsaufgaben, erweist sich die Nahtstelle zwischen Meßwertgewinnung und Rechenprogramm immer wieder als kritischer Punkt. Die Meßwertgewinnung hängt vom Ablauf der durchgeführten Experimente und von den jeweiligen Bedingungen der statistischen Erhebungen ab. Die Sprache DIST (Daten-Interpretation-StrukturierungTransformation) dient der Beschreibung der Gestalt der Daten und gibt die Möglichkeit, alle Schritte der Datenbehandlung zu notieren. Dieses Buch gibt bei der Anwendung von DIST Hilfestellung und dient zur Rationalisierung und Erleichterung der Datenverarbeitung.

Bestellungen durch eine Buchhandlung erbeten

AKADEMIE-VERLAG DDR-1080 Berlin, Leipziger Str. 3 — 4

Die Autoren • vermitteln einen allgemeinen funktionalanalytischen Zugang zum Gebiet der Funktionaltransformationen • behandeln Fourier-, Laplace-, Hilbert-, Bessel- sowie diskrete Transformationen • erläutern diese Transformationen anhand von physikalisch-technischen Beispielen • bereiten damit dem Ingenieur und Techniker die Mathematik für dieses Teilgebiet als Werkzeug auf