Fragmento del capítulo 2 del libro Kurt Gödel o sobre las paradojas 9789587393262, 9789587393286, 9789587393279

Citation preview

KURT GÖDEL O SOBRE LAS PARADOJAS Andrés Felipe López López

Kurt Gödel o sobre las paradojas

© Universidad El Bosque © Editorial Universidad El Bosque © Andrés Felipe López López Rectora: María Clara Rangel Galvis Vicerrector de Investigaciones: Gustavo Silva Carrero Primera edición: marzo de 2023 isbn:

978-958-739-326-2 (Impreso) 978-958-739-328-6 (Digital e-book) isbn: 978-958-739-327-9 (Digital pdf) isbn:

Editor Universidad El Bosque: Miller Alejandro Gallego Cataño Coordinación editorial: Mónica Roesel Maldonado Corrección de estilo: Editorial Universidad El Bosque Dirección gráfica y diseño: María Camila Prieto Abello Vicerrectoría de Investigaciones Editorial Universidad El Bosque Av. Cra 9 n.° 131A-02, Bloque A, 6.° piso +57 (601) 648 9000, ext. 1352 [email protected] www.investigaciones.unbosque.edu.co/editorial Impresión: Imageprinting Limitada Marzo de 2023 Bogotá d.c., Colombia Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Universidad El Bosque | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como universidad: Resolución 327 del 5 de febrero de 1997, men. Reconocimiento de personería jurídica: Resolución 11153 del 4 de agosto de 1978, men. Reacreditación institucional de alta calidad: Resolución 13172 del 17 de julio de 2020, men.

La Editorial agradece al Centro de Archivos Shelby White y Leon Levy del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por autorizar el uso de las fotografías de Kurt Gödel.

511.3 L66K López López, Andrés Felipe Kurt Gödel o sobre las paradojas / Andrés Felipe López López; edición Miller Alejandro Gallego Cataño, Mónica Roesel Maldonado; dirección gráfica y diseño María Camila Prieto Abello. -- Bogotá (Colombia); Universidad El Bosque, 2023. 170 páginas; ilustraciones, fotografías. Incluye referencias bibliográficas. isbn:

978-958-739-326-2 (Impreso) 978-958-739-328-6 (Digital e-book) isbn: 978-958-739-327-9 (Digital pdf) isbn:

1. Gödel, Kurt, 1906-1978--Crítica e interpretación 2. Filosofía de las matemáticas 3. Paradojas 4. Lógica simbólica y matemática. -- I. López López, Andrés Felipe II. Gallego Cataño, Miller Alejandro III. Roesel Maldonado, Mónica IV. Prieto Abello, María Camila. Fuente. NLM. – Universidad El Bosque. Biblioteca Juan Roa Vásquez (marzo de 2023) - GH

A mis amigos, los búhos, lechuzas o mochuelos ateneos o minervinos: César Augusto Guerra, Rodrigo Varela, John Édgar Congote, Miguel García-Baró, Ezequiel Quintero, Juan Pablo Cardona, Carlos Humberto Monsalve, Sebastián Suárez, José Daniel Hoyos, Carlos Gaviria, Nicolás Duque, Alejandro Molina, Simón Ibarra y Andrés Felipe Palacio. A mis hermanos, Yovani Andrés y Leonardo; a mi madre, Martha Lucía; a mi padre, Helman (†), y a Ana Catalina y Ana Celeste.

Yo escribo para que mis amigos me quieran más. Gabriel García Márquez

[…] voy aprendiendo con las palabras que digo. José Saramago

O las matemáticas son demasiado grandes para la mente humana, o la mente humana es más que una máquina. Kurt Gödel

El lógico matemático Kurt Gödel fue uno de los gigantes intelectuales del siglo xx y, en el supuesto de que la especie se conserve, probablemente será una de las pocas figuras contemporáneas recordadas dentro de mil años […]. No se trata de un caso de autocomplacencia por parte de los matemáticos, a pesar de que en todas las disciplinas sea corriente alentar una cierta miopía profesional. Sencillamente es verdad. John Allen Paulos

Un pensamiento llena la inmensidad. William Blake

Contenido

Prólogo 14 Capítulo 1 Definiciones y reminiscencias 22 § 1 → Pág. 23 § 2 → Pág. 24

Capítulo 2 Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados

30

§ 3 → Pág. 31 § 4 → Pág. 35 § 5 → Pág. 42 § 6 → Pág. 60

Capítulo 3 Mathesis Universalis 80 § 7 → Pág. 81 § 8 → Pág. 89 § 9 → Pág. 95 § 10 → Pág. 97 § 11 → Pág. 108 § 12 → Pág. 124

Fuentes 152

Cap. 2 Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados

§3 «[E]l descubridor de la verdad matemática más significativa del siglo», juicio de una mención hecha por la Universidad de Harvard en 1952 a Kurt Gödel con motivo de su investidura como doctor honorario en Ciencias. Verdad lógico-matemática, hay que precisar, para hacer más exacta la valoración. ¿Evalúo a continuación si esa afirmación es justa? Puede ser. Vacilo en la respuesta y la dejo como posibilidad, porque sería petulante pretender una evaluación completa apenas en un solo ensayo, y no tan largo, como el presente. Los denominados «metateoremas de incompletez» de Kurt Gödel demuestran que en cualquier teoría matemática lo bastante potente pueden formularse afirmaciones que no se logran demostrar ni refutar dentro del sistema, a no ser que dicho sistema sea incoherente. Así los define Alan Turing en Maquinaria computacional e Inteligencia o ¿Puede pensar una máquina?, mismo texto con títulos diferentes según la traducción. Nótese y quede subrayada la expresión condicional «a no ser». Hay que agregar a Turing: lo bastante potente para describir la aritmética de primer orden recursivamente. El primer metateorema afirma: dado cualquier conjunto de axiomas para la aritmética, siempre existirá un enunciado aritmético verdadero que es indemostrable a partir de esos axiomas (o varios enunciados), si solo se admiten los métodos de demostración avalados por el programa de David Hilbert. La demostración de este teorema consiste, básicamente, en obtener un enunciado autorreferente que dice de sí mismo «Yo no soy demostrable». El segundo metateorema asevera: si los axiomas propuestos permiten demostrar una parte significativa de las verdades aritméticas, será imposible probar su consistencia por métodos mecánicos (en este contexto, algorítmico es análogo de me-

| 31

cánico: en un número finito de pasos demostrar si cada fórmula es o no uno de los teoremas). Algunos diálogos de la novela El enigma Turing de David Lagercrantz pueden provocar en el lector un viaje mental de Cambridge a Viena y de Moravia en la República Checa a Princeton. La razón es esta: los que dialogan pasan de ideas que Alan Turing resentía de Ludwig Wittgenstein a Kurt Gödel, que nació en Brünn, Moravia, y trabajó codo a codo con su amigo Albert Einstein en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Es Fredric Krause, profesor de lógica en Cambridge, quien hace las explicaciones; el otro, que escucha atentamente, es Leonard Corell, un joven inspector de policía que investiga el suicidio de Alan Turing en Wilmslow, Inglaterra, el 7 de junio de 1954 –cianuro endulzado con una manzana roja fue la cicuta de este Sócrates matemático. Según algunas versiones, el acto de matarse con una manzana cianurada está inspirado en Blancanieves, un cuento de los hermanos Grimm llevado al cine por Walt Disney en 1937. En una de las escenas más recordadas, la malvada bruja y madrastra de Blancanieves baja a una cámara secreta a la que nadie tiene acceso sino ella y prepara una manzana con un veneno tan poderoso que un solo bocado significa la muerte. Engaña a Blancanieves haciéndose pasar por una campesina y le ofrece la manzana; ella consume del fruto y cae en una muerte dormida. ¿También el acto pudo inspirarse en el fruto del Árbol del conocimiento, del libro del Génesis, prohibido a Adán y Eva? Aunque en el libro bíblico no se habla de manzano, artística y popularmente se ha representado de ese modo; una de las razones es un juego de palabras derivado de la versión Vulgata: «lignus scientiae boni et mali»; mali y malus, «mal» y «manzana», pero malus como adjetivo es «mal» y como sustantivo es «manzano». El profesor dice que Kurt Gödel demostró que un sistema que es completo no puede ser al mismo tiempo consistente. Es una cosa o es otra, pero no las dos a la vez. Aunque, con mayor precisión de la

32 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

que puede haber en las palabras de Fredric Krause, se debe decir: ciertos sistemas matemáticos que satisfacen unas características técnicas no pueden demostrar su consistencia por sus propios medios. También hay que sumar lo siguiente: se sabe que hay teorías completas y consistentes como el cálculo de predicados, el cálculo proposicional o la teoría de modelos finitos, por poner algunos ejemplos. Existen afirmaciones, extiende Krause, que no se pueden demostrar muy a pesar de haber sido formuladas de acuerdo con las reglas del sistema. «¡Este enunciado no se puede probar!» es una afirmación que al ser probada nos hunde en una contradicción porque la proposición se contradice a sí misma; y, por otra parte, si no se puede probar, el sistema o esfera teórica al que pertenece es incompleto porque los principios o axiomas y las reglas del mismo sistema no son suficientes para dar justificación a todas sus definiciones. Otra explicación más intuitiva, en el ámbito de la paradoja del mentiroso o la paradoja de Epiménides, que Douglas Hofstadter llama «Bucle Extraño», en la que se constituyen filosóficamente los metateoremas de Kurt Gödel y que jugó un papel técnico en la demostración; de hecho, Gödel convirtió la paradoja en demostración –también la paradoja de Richard jugó ese papel. Es más, él mismo dice que cualquier antinomia epistemológica sirve para conseguir una prueba semejante de la existencia de sentencias, en sistemas formales, de las que no se puede decidir su verdad o falsedad–. Aplíquese esta paradoja (autorreferencial) del mentiroso a un libro imaginario. Pensemos en un libro en el que se encuentra la frase «Todas las afirmaciones en esta página son falsas», aun se encuentra una que dice «Todas las afirmaciones en este libro son falsas». Si todas las frases en esa página son falsas, si son falsas en todo el libro, también la que hace esa afirmación es falsa, pero aparentemente verdadera dada su sinceridad, su significación expresa y su carácter de sentencia. Sin embargo, es aparentemente verdadera porque está incluida en el mismo dominio,

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 33

sea la página o el libro entero, en el que se juzga que todas las frases son falsas, y no dice «Todas son falsas menos esta misma»; todavía si este fuera el caso, al ser falsas todas las fórmulas de la página o el libro, la que dijera «Todas son falsas menos esta misma» no tendría en su propio dominio un recurso para la demostración de su verdad y de su validez. Esa página o ese libro sufre de incompletez e inconsistencia. Justamente por esto Hofstadter la define, en Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada, como un «Bucle Extraño», pues al moverse hacia arriba o hacia abajo por los niveles del sistema jerárquico dado, se llega, inopinadamente, de vuelta al punto de partida (¿rizo rizado y vuelto a rizar sin manifiesta solución?). En una página dice «Todas las sentencias de esta página son falsas» y en el libro se señala que «Todas las sentencias de esta obra son falsas», ¿cuál de las dos afirmaciones es verdadera? Si la más general, la que predica sobre todo el libro, expresa falsedad para todas, la que indica falsedad de todas las frases de la página tendría algo de verdad, pero no es verdadera porque está incluida en el libro con proposiciones falsas. Entonces se necesitaría un libro que evalúe y funde a este primer libro, y un tercero que evalúe y fundamente al segundo, y un cuarto que lo haga con el tercero y así hasta el infinito. Pero no se puede admitir este regreso al infinito si nuestra angustia científica es el fundamento, no se puede aceptar «la pululación de abismos», como dice Jorge Luis Borges en «La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga». ¿En dónde se detendría ese regreso para que no sea un absurdo al infinito? Respuesta: en una Biblioteca total, para usar palabras e imágenes del mismo Borges. La página de ese primer libro puede ser pensada como un capítulo en la historia de la matemática, es más, como un capítulo en la historia del conocimiento. Ese primer libro, en analogía, es una teoría. El segundo es una teoría más amplia y potente, el tercero lo es más, y así sucesivamente. Pero necesitamos, como digo evocando al «Merlín» de Borges, una Biblioteca total que

34 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

fundamente, justifique, sustente, solidifique y resuelva los problemas de fundación de todos los libros, de todas las teorías, quiero decir. Una Biblioteca total en la que todo estaría registrado, afirmado todo lo verdadero y negado todo lo falso, y en la que se organizaría el azar y hasta se eliminaría la inteligencia, siguiendo palabras de Borges. Eliminaría la inteligencia porque –le agrego al escritor– ya no habría que tomar decisiones en tanto que incluso lo indecidible, lo inescrutable o lo irresoluto estaría decidido y resuelto. Es una obra imposible, como también enseña el literato argentino, pero si tomamos imposible como impedimento de construirla ahora y para siempre; no imposible, en cambio, si donde pensamos en impedimentos mejor pensamos en posibilidades que vamos realizando paso a paso hasta el fin de los tiempos del hombre. Esa Biblioteca total es la Mathesis Universalis soñada por René Descartes y G. W. Leibniz, incluso más divina y empírea que la soñada por ambos. Estamos ante las –a veces– increíbles consecuencias filosóficas de los descubrimientos metamatemáticos de Kurt Gödel, o mejor, ante las exigencias derivadas de su trabajo, que no fueron sentidas del todo en un principio pero que serían reflexionadas por él mismo en los años siguientes y hasta su muerte en Princeton en 1978, así como por otros nombres relevantes del universo de los matemáticos; las mismas que explicaré más adelante.

§4 De acuerdo con lo explicado, se debe hacer ver lo siguiente: si bien los metateoremas de incompletez demostraron que todo sistema

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 35

axiomático para la aritmética debe ser incompleto e indecidible, y, en parte, arruinaron el programa de fundamentación de las matemáticas formulado por David Hilbert –que supuestamente planteaba lo contrario–, si bien es así, digo, y fue probado en el dominio de la aritmética, los efectos no se acotan a la aritmética. Con mucha naturalidad pueden darse sistemas formales con incompletez e inconsistencia, aunque demostrarlo requiere técnicas muy sofisticadas. Por ejemplo cuando se encuentran enunciados indecidibles, enunciados para los cuales no existe ni demostración ni refutación. Si en estructuras tan ideales como las de las matemáticas, que representan un edén lógico, ocurre esto, cuánto más puede darse en ciencias que no trabajan con esencias ideales, sino con fenómenos temporales, procesos físicos o realidades empíricas, y que, además, reciben de las ciencias formales los diseños para teorías. Paul Bernays, colaborador cercano de Hilbert, creía que la clase de teorías a las que pueden aplicarse los metateoremas puede ampliarse a una clase más grande de teorías, así como, por otro lado, se puede introducir una noción de coherencia más general que la indicada por Kurt Gödel en su artículo de 1931 «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados». No quiero decir que las debilidades de falta de potencia y coherencia en las teorías científicas ideales o materiales derivan de los metateoremas de Kurt Gödel, quiero decir que Gödel, semiinconsciente o conscientemente, demanda resolver una tarea que tiene siglos: la de los fundamentos; en lo que coincide en términos de intenciones, mas no en el proceso, con David Hilbert. Así como demanda o exige evaluar, al calor de la fragua de las justificaciones últimas racionales, todo conocimiento. Sobre la base de mis resultados en Investigación universal. Edmund Husserl y Kurt Gödel, a ese respecto me he pronunciado también en «Memoria, Logos y Filosofía (Mínimo estudio in-

36 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

troductorio)», en el libro de varios autores Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos. La coherencia o consistencia, a la luz de David Hilbert, por ejemplo, se cumple cuando en un sistema axiomático ninguna demostración conduce a una contradicción o, más elementalmente, cuando ninguna contradicción aparece en un sistema. La coherencia de un sistema es equivalente al cumplimiento de esta condición: empleando las reglas del sistema es imposible derivar contradicciones. La completez o completud, incluso completitud, se da cuando todo enunciado con sentido puede ser demostrado o refutado con lo disponible dentro del sistema que conjunta los enunciados o, también, elementalmente, cuando cada proposición que es verdadera se puede demostrar como verdadera mediante las reglas del sistema. Kurt Gödel lo define así en su «Discusión sobre la fundamentación de la matemática» de 1931: un sistema formal se llama «completo» si cada juicio expresable con sus signos es formalmente decidible a partir de los axiomas, o si para tal sentencia existe una secuencia finita de inferencias armónicas con las reglas del cálculo lógico que empieza con algunos axiomas: un sistema S se llama «completo» respecto a cierta clase K de sentencias, si al menos cada juicio de K es decidible a partir de los axiomas. Decidibilidad/indecidibilidad significa que ha de existir un método o procedimiento que determina si una proposición, la que sea, puede resolverse o no. En un sistema incoherente se podría probar cualquier disparate, como que dos más dos es igual a cinco. Lo verdadero y lo falso, de acuerdo con la completez de David Hilbert, se identifican con «tiene demostración» y «no tiene demostración», respectivamente. Hilbert se concentró en un sistema axiomático para la aritmética porque Alfred North Whitehead y Bertrand Russell en los Principia Mathematica de 1910-1913 ya deducían el resto, ya justificaban que las verdades de

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 37

las matemáticas se deducen a partir de principios acordes con algún sistema específico de lógica, como Euclides, que enunciaba esos principios o supuestos y normas lógicas en el modo de un sistema de axiomas explícitos. En Principia Mathematica, título que hace patente un homenaje a Isaac Newton y su obra homónima, Whitehead y Russell consiguieron demostrar, por ejemplo, que 1+1=2. Demostración que les llevó cientos de páginas. Una vez conseguida esta demostración, en forma de progresión van apareciendo más afirmaciones demostradas. Se infiere que puede seguirse el mismo procedimiento, que podemos llamar «euclidiano», para las sentencias matemáticas que se quiera. Como los visionarios y los videntes que presienten el advenimiento de la verdad antes de que se haga manifiesta o la ven manifiesta donde otros no la sentían latir, Kurt Gödel experimentó que algo andaba mal y ya en su tesis de doctorado de 1929, titulada La completud de los axiomas del cálculo funcional lógico, había investigado que un sistema axiomático es completo cuando no son necesarios más axiomas que los descubiertos para deducir aquellos enunciados verdaderos de la teoría, como las teorías lógicas de primer orden que satisfacen el metateorema de completez –el de la tesis de doctorado–, siempre y cuando se elijan los axiomas y las reglas de inferencia apropiados. Sobre esta tesis, su profesor y director Hans Hahn dijo que al demostrar que todas las fórmulas universales del cálculo funcional en sentido estricto son demostrables, se resolvía el importante y difícil problema, planteado por David Hilbert, de si los axiomas del cálculo funcional propiamente dicho forman un sistema completo. Luego, preguntas como estas tuvieron que moler la conciencia de Gödel: ¿en un sistema axiomático para las matemáticas es posible la construcción de un elenco completo de axiomas que determinen de forma unívoca todos los teoremas verdaderos o falsos?, ¿se le puede pedir a un sistema axiomático para la matemática que demuestre su propia coherencia?

38 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Hoy día se sabe que puede responderse «sí» a la primera pregunta si se piensa en algunas teorías matemáticas que son completas, como la teoría de campos algebraicamente cerrados (de característica 0), la geometría euclidiana según una axiomatización hecha por Alfred Tarski, o la teoría matemática de las categorías hasta donde va desarrollada. La teoría de Topos hace parte de la teoría de las categorías, que tiene en Alexander Grothendieck a su demiurgo (tal vez el matemático más importante del siglo xx, junto a un David Hilbert o un John von Neumann, por ejemplo, o junto al mismo Kurt Gödel). En los Seminarios de geometría algebraica, Grothendieck introduce el concepto de universos (de Grothendieck) en el marco de la geometría algebraica para evitar problemas emanados del tratamiento con clases propias que son absolutamente grandes y hasta «monstruosas» o concebidas como esotéricas por muchos matemáticos. Con estos universos se puede derivar la existencia de lo que en teoría de conjuntos recibe el nombre de «grandes cardinales», infinitos tan ingentes que ni siquiera en la matemática usual se trabaja con ellos. En la matemática usual el infinito con el que normalmente se trabaja es un infinito mucho menor, el del continuo de los números reales. Con esos universos de Grothendieck se tiene acceso a los llamados «cardinales inaccesibles». De aquí se deriva, en el ámbito de la teoría de conjuntos, que la existencia de un gran cardinal implica la consistencia de la axiomática de Zermelo-Fraenkel –llamada así por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel– complementada con el axioma de elección para formular la teoría de conjuntos, pues cuenta con un modelo y cuando los problemas interpretados como indecidibles aparecen entonces pueden ser resueltos. En este orden de cosas, al gran David Hilbert también lo acompañaba la razón, pero Gödel no estaba tan convencido, como sí Hilbert, de que fuera posible demostrar que las matemáticas nunca pueden llevar a una contradicción lógica. Al menos no estaba

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 39

convencido de esto si los recursos para hacerlo son solo matemáticos, para ello se necesita –llegaría a tocar las puertas de este paraíso– un corpus filosófico mucho más vasto, aunque sea difícil pensar en algo más universal que la matemática. Además de lo que pueda justificarse la matemática en la lógica o junto a ella, se encuentran problemas para los que es necesaria una filosofía científica total de fundamentación que, si se entienden las tentativas de Kurt Gödel, se encuentra en una armonía espectacular, la de los sistemas de Platón, René Descartes, G. W. Leibniz y Edmund Husserl. Una armonía que lleva a la comprensión y la fundamentación de los conceptos y del significado, no solo de las reglas formales de operación, de construcción matemática o, si se quiere, de las reglas formales de juego. Entonces, con la dignidad de libro sagrado en la Biblioteca total o Mathesis Universalis, debe existir también un volumen en el que está descrito el secreto de la razón perfecta arquitecta de esa misma Biblioteca infinita. Razón perfecta en la que hasta las teorías completas y consistentes, como las que he mencionado, encuentran sus últimas justificaciones. Sobre aquellas reglas de juego un ejemplo intuitivo que puede aprenderse de David Hilbert en sus Fundamentos de la Geometría de 1899 es el siguiente: una deducción lógica, afirmó, debe ser válida independientemente de la interpretación que se le imponga. Una interpretación particular de unos axiomas que falle en otras interpretaciones implica un error lógico nuestro, no un error en la estructura lógica. Esta concepción de la axiomática puede ser la más fuerte de las influencias legadas por Hilbert a la historia de la matemática. De hecho, muchas de las abstracciones matemáticas de principios del siglo xx derivaron de su punto de vista. Hilbert, pues, buscó –y contribuyó en– la puesta a punto de las matemáticas sobre una base lógica formal, pero el problema que ve Kurt Gödel es que hay campos de la mate-

40 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

mática para los cuales no se satisface esa llamada al orden sobre una base lógica. La lógica clásica, como él mismo observó en el trabajo doctoral, es completa y consistente, pero no es suficiente para sostener campos teóricos más grandes. Gödel explicita aquel problema en «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados», que es donde propiamente expone los dos metateoremas de incompletez como fundidos en uno solo. El nombre «metateorema» se debe, precisamente como buscaba Hilbert, a una instancia de fundamentación, una teoría sobre teorías. Andado el tiempo, y maduradas sus lecturas filosóficas y sus propias ideas, Kurt Gödel habría de ver con mayor claridad y hubo de sostener que es necesaria, como he sugerido, una base filosófica. Aunque algunos oídos sean malamente sensibles, también se debe decir que se necesita una base metafísica. «Metafísica», a mi entender, de acuerdo con lo que he podido estudiar de Kurt Gödel, significa la relación de nuestra experiencia con las ideas, la relación de nuestra mente con las ideas. Y subrayo «relación», pues si es necesaria la teoría de la relación con las ideas se llega a dos cosas: a la afirmación del ser independiente de las ideas, se llega a un platonismo, aunque no a un platonismo conservador sino a un platonismo refinado, ampliado y purificado, por un lado, y a un sistema filosófico completo de la teoría general del conocimiento, por otro lado, del que Gödel encontró grandes fragmentos ya descubiertos y articulados en aquellos bardos que he mencionado (Platón, Descartes, Leibniz y Husserl; a Spinoza y Kant también los nomina aquí, aunque con menos seguridad). Dicho platonismo refinado es el que posee la capacidad de intuición y de explicitación del significado de conceptos en una idea como esta: la línea es un punto que fluye o, más poéticamente, la línea es un punto que vuela –como recuerda de Platón el genio R. W. Emerson en El poeta.

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 41

§5 Muchas cosas están en juego en este punto: la verdad, nada menos, de si la misma noción de verdad matemática es reconducible a la de demostrabilidad. Logicistas como Rudolf Carnap, intuicionistas como Arend Heyting, formalistas como David Hilbert, el rey en esa posición, o John von Neumann, y seguidores de Ludwig Wittgenstein como Friedrich Waismann, que buscaron la aplicación del principio verificacionista a las matemáticas para formular la regla básica, suscribían esa consigna, y las mayores discrepancias entre ellos eran resultado del debate sobre las condiciones de esa demostrabilidad. No es al albur la referencia a aquellos nombres. Del 5 al 7 de septiembre de 1930 se celebró en Königsberg (hoy Kaliningrado) la conferencia «Epistemología de las ciencias exactas», preparada por la Gessellschaft für empirische Philosophie (Organización de Filosofía Empírica), en la que Carnap, Heyting (representando a L. E. J. Brouwer), Von Neumann, Waismann y el joven Kurt Gödel hubieron de encontrarse (Werner Heisenberg, Otto Neugebauer, Arnold Scholz y Walter Dubislav fueron otros de los participantes). Esta Organización de Filosofía Empírica tenía muchos vectores de conexión con el Círculo de Viena, en donde se hablaba de Wittgenstein como si fuera un auténtico Dios, como dice Fredric Krause, el personaje de la novela citada; así como puntos de coincidencia con la Sociedad de Filosofía Científica, un grupo de debate berlinés liderado por el filósofo de física Hans Reichenbach. Gödel era entonces un recién graduado de doctorado (6 de febrero de 1930), desconocido para muchas de las lumbreras que se dieron cita en ese otoño en Königsberg. Un anuncio de la participación de Kurt Gödel con el tema de la demostración de incompletitud, tema que él introdujo en el debate del último día de la reunión académica, no debió causar ningún

42 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

dramatismo, ni siquiera por razón de su contenido. Casi todos los presentes daban por supuesto que el concepto de verdad matemática es, de un modo u otro, reconducible a la demostrabilidad, y Gödel había participado el segundo día con un resumen de su investigación doctoral según la cual el cálculo de predicados o la lógica de primer orden (o «lógica cuantificacional», como también la llaman) es completa: sus axiomas y reglas de inferencia permiten demostrar todas las proposiciones lógicamente verdaderas, y la verdad sintáctica y la verdad semántica son equivalentes, esto es, las verdades que se siguen de las reglas del sistema (las verdades sintácticas) ofrecen todas las proposiciones lógicamente verdaderas posibles de ser expresadas dentro del sistema. Continuación esta del ideal de generalidad lógica iniciado en la lógica de Aristóteles. El joven lógico matemático, dice Rebecca Goldstein en Gödel. Paradoja y vida, demostró lo que todo el mundo ya daba por descontado, pero que no se había demostrado. Empero, Gödel se traía entre manos para el tercer día del encuentro una investigación ingente, que nadie sospechó o a la que en principio no se le reconoció importancia si alguno estaba informado previamente de ella; tan ingente como las otras grandes investigaciones de los últimos dos siglos, como la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, por ejemplo, o, para poner otros casos, la mencionada teoría de Topos de Alexander Grothendieck, así como su teoría de esquemas, o la fenomenología de Edmund Husserl, que hizo con la filosofía lo que muchos habían soñado sin lograr: convertirla en una ciencia rigurosa y, por tanto, en un campo de investigación científica. Los asistentes debieron ver, pero no fue así, que la demostración de completez en este caso expuesta, la de algo tan básico como la lógica de primer orden y la dificultad del procedimiento –además–, derivaba en muchas consecuencias, como que otros sistemas formales coherentes, por ejemplo los enriquecidos por los axiomas de la aritmética, no fuesen completos, que hubiese proposiciones aritmética-

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 43

mente verdaderas pero imposibles de demostrar dentro de un sistema formal de la aritmética. O que a partir de cierto nivel de complejidad, por ejemplo la frontera de la inducción plena en los números naturales, todo sistema matemático incluye proposiciones indecidibles, una relativa indeterminación en donde pueda representarse el sistema de la aritmética de Peano (esto último, tal como lo explica el maestro Fernando Zalamea en «Signos triádicos. Lógica, literatura, artes. Nueve cruces latinoamericanos»). Justamente en un sistema formal tal, en esa reunión científica de septiembre, Kurt Gödel exhibe una proposición que se ve es verdadera aun cuando se demuestra que es indemostrable; en otras palabras, proposiciones que pueden ser verdaderas pero indemostrables dentro de la teoría formalizada de los números. ¡Nada menos! En ese tercer día del evento, cuando ya estaban avanzados los debates acerca de los artículos presentados los dos días anteriores, Kurt Gödel afirmó que, asumiendo la coherencia formal de las matemáticas clásicas, se pueden dar ejemplos de proposiciones que son real y contextualmente verdaderas, pero indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas –uno se lo puede imaginar haciendo un gesto de congoja hacia sus colegas–. «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados», quizás el ensayo más famoso de la historia entera de la lógica según Jesús Mosterín, se publicó como artículo en 1931 y en 1932 fue presentado como tesis de habilitación, aunque se gestó desde 1929. Gödel tenía veintitrés años. Dicho lo anterior, se entiende mejor por qué el nombre «metateoremas», porque son afirmaciones sobre la esencia y la naturaleza de la matemática, no obligatoriamente sobre los objetos de la matemática. Rebecca Goldstein señala que la transcripción editada de la discusión de aquel tercer día fue publicada en Erkenntnis, principal órgano

44 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

de difusión del Círculo de Viena y del grupo berlinés de Reichenbach, a cargo de Rudolf Carnap y Hans Reichenbach, pero no incluye ninguna discusión sobre el comentario de Kurt Gödel; tampoco lo hace el informe de la reunión que escribió Reichenbach. ¿No se entendió la simplicidad de las ideas de Gödel, aunque terriblemente difíciles en lo que toca a la construcción de sus detalles?, ¿en el auditórium habrán pensado algo análogo a lo que los griegos dijeran irónicamente a Pablo de Tarso en el Areópago de Atenas: «¡De la resurrección! De eso te escucharemos después»? Allá como acá, en Atenas como en Königsberg, al parecer no sospecharon que la resurrección de Cristo determinaría el mundo de la vida de los hombres hasta el final de los tiempos, como que lo demostrado por Gödel abriría campos de investigación tan colosales como deben ser amplios los cielos de Dios, y que las matemáticas y todo nuestro saber no serían los mismos jamás. En Pensar. Lógicas no clásicas, Carlos Alberto Maldonado dice, sin que le tiemble la mano, que los metateoremas de incompletez representan el más grande cisma a la concepción de la verdad en la historia de Occidente, particularmente por sus frutos filosóficos. Desde la primera vez que estudié Gödel. Paradoja y vida de Rebecca Goldstein, me llamó la atención su cierta consternación porque Erkenntnis y Hans Reichenbach hayan omitido la observación de Kurt Gödel en el día tercero del evento. Mientras se realizaba la edición del presente ensayo, todavía tuve un poco de tiempo para volver a ese punto, y debo decir, para balancear el asunto, que el artículo de Gödel antes referido, «Discusión sobre la fundamentación de la matemática» (incluyendo en este un «Suplemento»), aparecido en 1931 en Erkenntnis, fue redactado a petición de los encargados de la publicación. En palabras de Gödel: «Los editores de Erkenntnis [Carnap y Reichenbach] me han pedido que resuma los resultados de mi trabajo “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 45

y sistemas afines”, que acaba de aparecer en Monatshefte für Mathematik und Physik, xxxviii, y que todavía no estaba impreso cuando se celebró la reunión de Königsberg». Sobre campos de investigación ya sea abiertos, ya sea impulsados por el trabajo de Kurt Gödel, se pueden mencionar las investigaciones sobre los alcances de los métodos computacionales, así como ramas completas de las matemáticas dedicadas al problema de la decisión. Y cuánto de Gödel puede haber en el desarrollo de las computadoras y de la programación, por ejemplo en lo que haya podido inspirar y fundamentar a Alan Turing en la concepción de la máquina de propósito general. Acerca de esto, es útil destacar que un ejercicio de contrapunto entre el lenguaje matemático de Gödel en su artículo de 1931 y los modernos lenguajes de programación conduce a captar, en dicho artículo, una secuencia de fórmulas muy semejante a un programa de ordenador. Hoy en día se puede ver a los programadores enfrentándose a la escritura de programas en lenguajes especiales; antes de ellos Gödel había hecho algo semejante al descomponer complejas operaciones en los códigos de las cadenas de símbolos correspondientes a axiomas y reglas de inferencia de Principia Mathematica vista desde afuera, y transformarlos en expresiones escritas en el lenguaje simbólico de Principia Mathematica. «El lenguaje especial de Gödel se parece mucho a un lenguaje de programación funcional», dice Martin Davis en La computadora universal. De Leibniz a Turing. El mismo Davis afirma, además, que Leibniz propuso desarrollar un lenguaje artificial muy preciso con el que se pudiera reconducir gran parte del pensamiento humano al cálculo. Gottlob Frege, en Conceptografía, demostró cómo podía abarcarse el razonamiento lógico habitual de los matemáticos. Whitehead y Russell consiguieron desarrollar la matemática real en un lenguaje lógico artificial. David Hilbert exigió el estudio metamatemático de estos lenguajes. «Pero nadie antes de

46 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Gödel había mostrado cómo se podrían insertar estos conceptos metamatemáticos en los lenguajes mismos», palabras de Davis. Rebecca Goldstein, en Gödel. Paradoja y vida, inspira la siguiente escena: alguno, en representación de los presentes, tendría que haber dicho: «Herr Gödel, nos parece haberle oído afirmar que usted ha demostrado la existencia de verdades aritméticas indemostrables. ¡Pero es mejor no creerle todo a los oídos y aquí hay un caso, es imposible que haya dicho algo así! Una afirmación tal, además de poner de cabeza muchas de nuestras ideas sobre la naturaleza de la verdad matemática, es un contrasentido, porque ¿cómo es posible demostrar que existen proposiciones aritméticas que son indemostrables y verdaderas al mismo tiempo?, ¿considerarlas verdaderas no es ya demostración de ellas mismas, contradiciendo así su afirmación según la cual la demostración prueba que son indemostrables? No debemos creer a nuestros oídos todo lo que escuchan; un lógico como usted no puede estar aseverando una contradicción, mucho menos una contradicción tan horrible como esa. Pero hemos oído que algo ha dicho que suena a esas sentencias, entonces ¿qué es lo dicho realmente?». Y añado, Gödel, en una escena tal, respondería: «Recuerden que una paradoja es, en una definición muy sucinta, una operación del razonamiento incorrecta en términos lógicos, que aparenta ser correcta, pero no lo es, o, de modo invertido, un enunciado contradictorio o varios enunciados contradictorios aun basados en formas de razonamiento válido. En este momento crean a sus oídos, porque es justamente lo que he afirmado, mostrado. Se cumple esto, tengo adelantado el trabajo en ello: hay sistemas axiomáticos en las matemáticas que, según las reglas de nuestra intuición y operación convencionales, poseen sentencias que tenemos por verdaderas, pero que no pueden probarse según esas reglas y siguiendo el mismo sistema de principios adoptado; que poseen enunciados concebidos como verdaderos en cuanto a

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 47

su contenido, pero que no son deducibles en el sistema formal de la matemática clásica». Hans Hahn, director de tesis de Kurt Gödel, estuvo presente en esa ágora de Königsberg. Incluso fue él quien presidió el debate del último día. No se sabe a ciencia cierta si Gödel había comentado a su director alguna cosa sobre los metateoremas de incompletez. Lo que sí se sabe es que ya en comentarios introductorios a la tesis de doctorado, que fueron suprimidos después en la versión final, Gödel planteó la posibilidad de que la aritmética fuese incompleta, sin que apareciera aún alguna señal de si lo había demostrado o de cómo hacerlo. Rebecca Goldstein supone que fue Hans Hahn quien recomendara a Gödel quitar esa idea. Hahn pudo no haberlo tomado en serio, o le pareció demasiado arriesgado. Empero, avanzado un poco el tiempo, el primero de diciembre de 1932, en una carta o informe de valoración y de recomendación concerniente a la tesis de habilitación de Gödel, Hahn expresó: si bien la tesis doctoral (La completud de los axiomas del cálculo funcional lógico) tenía ya un altísimo valor científico, pues resolvía el problema planteado por David Hilbert concerniente a si los axiomas del cálculo funcional forman o no un sistema completo, en el trabajo de habilitación («Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados») Gödel consiguió demostrar que en el sistema lógico de los Principia Mathematica de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell cabe plantear problemas indecidibles con los medios del propio sistema, así como que lo mismo se da en todos los sistemas de lógica formal en los que es expresable la aritmética de los números naturales. De este modo, dice Hahn, demostró también que el programa de Hilbert en el que se busca probar que la matemática está exenta de contradicciones era inviable. Estos hechos –según la valoración del escritor del informe que rememoro– ocuparán un lugar destacado en la historia de la matemática y hacen de Gödel la primera autoridad en el campo de

48 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

la lógica simbólica y de la investigación sobre los fundamentos de la matemática. Martin Davis juzga como sorprendente que Rudolf Carnap, el positivista, no haya mencionado a Kurt Gödel en la apertura de la sesión del primer día. Carnap conocía desde días antes el resultado de Gödel. El 26 de agosto de 1930, de acuerdo con apuntes suyos conservados en su Nachlass, Carnap se había reunido con Gödel, Herbert Feigl y Friedrich Waismann en el Café Reichsrat de Viena para hablar del viaje a Königsberg. Solucionados los aspectos prácticos del mismo, el diálogo se orientó hacia «[e]l descubrimiento de Gödel. La incompletitud del sistema de los Principia Mathematica. La dificultad de demostrar la coherencia» (la demostración íntegra del segundo metateorema de incompletez por parte de Gödel fue posterior a la conferencia). Tres días después de esa tertulia, según declaración de Carnap, las mismas cuatro almas se reunieron otra vez en aquel café. Antes de la llegada de Feigl y Waismann, Gödel narró a Carnap sus descubrimientos. Rebecca Goldstein sospecha que Carnap no entendió la naturaleza de la innovación de Gödel. Sin embargo, sí hubo respuesta de un asistente muy en particular en Königsberg, hablo de John von Neumann. Hecho que no puede ser trivializado, pues Von Neumann era un fiel seguidor de David Hilbert, así como el portavoz designado por los formalistas ahí en Königsberg, por esto hablo de él como «un asistente muy en particular». No puede dársele la espalda al hecho sobre todo si la exposición de Gödel ponía en tela de juicio la certeza según la cual la coherencia era el único criterio para determinar la idoneidad de las teorías formales, y sin plantear el problema de la incompletitud. Certeza a la que Carnap seguía aferrado en la mencionada conferencia de septiembre. Aún más puede llamar la atención que Von Neumann no haya sido remiso a las ideas de Gödel si lo que ha sido puesto sobre la mesa del debate mundial acerca de la naturaleza del conocimiento matemático es la idea de que el criterio de verdad

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 49

semántica puede separarse del criterio de demostrabilidad; en otros términos, que la verdad semántica es, o puede ser, independiente de todo sistema formal, sin por esto negar sus relaciones. Idea que debió sonar peligrosamente metafísica. Es sabido que, finalizado el debate, John von Neumann se acercó a Kurt Gödel con el objeto de conocer más detalles, y debieron ser los suficientes porque Von Neumann se lo tomó aún más en serio después de esa charla semiprivada, pues cuando se fue a Princeton, al Instituto de Estudios Avanzados, continuó reflexionando sobre la declaración, tal vez aterradora, que había oído en Königsberg. De hecho, hizo corolarios y extensiones a los metateoremas de incompletez y los pregonó en el Instituto, así como sostuvo amistad y epistolario con Gödel desde ese momento. Von Neumann llegó a referirse a Gödel como el lógico más importante desde la época de Aristóteles. Él y Albert Einstein tuvieron mucho que ver con el traslado definitivo de Gödel al Instituto, aunque fueran Abraham Flexner y Frank Aydelotte, sus arcontes, quienes realizaran con éxito la tarea de obtener las visas y permisos. Las visas para atravesar Rusia se expidieron en Berlín el 12 de enero de 1940, en plena Segunda Guerra Mundial. Hay que agregar, por otra parte, que John von Neumann también se sintió humillado. Dada la relación genialidad-vanidad presente en él, dado que representaba el programa de David Hilbert en el congreso del que he hablado, y dado que él mismo interpretara los hallazgos metateóricos de Gödel como el fin del programa de Hilbert, no debió ser muy grato verse refutado. Durante un tiempo, aproximadamente una década, se hizo al margen de investigaciones lógicas propias, pero tuvo que regresar a ellas en su colaboración para la producción de la computadora digital de propósito general, esto es, la lógica materializada en el hardware, el diseño lógico de una computadora, que hasta nuestros días se conoce como «la arquitectura de Von Neumann». Máquinas de calcular, computadoras, máquinas in-

50 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

teligentes, y más, son artefactos lógicos. Sus circuitos y funciones son materializaciones de intuiciones lógicas. Son teoría del conocimiento aplicada que podría alcanzar el grado de fenomenología de la razón aplicada. La mente humana posee la potencia de una computadora universal, y esta, a su vez, es una expresión tecnológica y multiplicada de las facultades de la mente humana; a lo que Gödel añadiría: pero la mente humana es superior a la máquina. Sobre las reacciones inmediatas en los asistentes, Oscar M. Esquisabel y Javier Legris, en el escrito «El simposio de Königsberg sobre fundamentos de la matemática en perspectiva», son de la opinión según la cual el resultado de incompletitud sí provocó un enorme alboroto entre los concurrentes, no solo en John von Neumann. Hago explícitas otras consecuencias epistemológicas que resultan de los metateoremas de incompletez y que impactan la fundamentación de la matemática y, por extensión, de todo el conocimiento. A nosotros como espíritus que amamos lo humano por excelencia: las tareas intelectuales; a nosotros que gozamos el placer más complejo: el pensamiento –como define el narrador de «El inmortal» de Jorge Luis Borges–, los metateoremas de Gödel nos enseñan la posibilidad de acercarse al límite de la contradicción cuando, por ejemplo, son hallables proposiciones verdaderas pero hasta el momento indemostrables. Hay que albergar la esperanza de que no nos pase lo que a Ulises cuando se acerca a la Montaña del Purgatorio, naufragar; más bien que nos suceda como a Dante Alighieri y Virgilio: cuando llegan al fondo de la ultratumba universal y avanzan por el mismísimo monstruo mayor, en lugar de ser consumidos y descender más, la realidad da la vuelta y se encuentran subiendo: «Yo levanté los ojos, y creía que veía a Lucifer como yo le había dejado, y lo vi con las piernas hacia arriba […]. Mi guía y yo, por aquel camino oculto, entramos para volver al mundo luminoso, y sin cuidarnos de ningún reposo, subimos, él primero y yo detrás, hasta ver las bellezas del cielo por

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 51

un resquicio de perfil rotundo, por donde salimos para contemplar de nuevo las estrellas», dice el Canto xxxiv del «Infierno». Dante salió sano y salvo del infierno aun habiéndose metido, fosa abismal por fosa abismal, en lo más profundo de la cueva anticelestial. Dante llegó al punto infernal de la contradicción: se liberó del infierno por avanzar hacia el fondo de las tinieblas, pero las iluminó con poesía. «Obscurum per obscurius, Ignotum per ignotius», esto es, «A lo oscuro, por lo más oscuro; a lo desconocido, por lo más desconocido», norma alquímica que Marguerite Yourcenar usa como epígrafe de la segunda parte de su Opus Nigrum.

52 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Gustave Doré. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, líneas 20 y 21 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París.

Gustave Doré. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, líneas 127-129 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París.

Gustave Doré. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, línea 133 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París.

El Dante que avanzó hasta el paraíso, pero atravesando primero el infierno y el purgatorio; un William Blake que descubrió un reino de dioses, ángeles y dáimones, lo justo y lo villano, el ángel y el diablo presentes en la naturaleza en la forma de contrarios, y a los contrarios como oposiciones creativas; una Mary Shelley que, a través de su personaje Adrian en El último hombre, dice «Renunciemos a la “vida”, para poder vivir», justo cuando en el ámbito de su novela transcurre el fin del mundo del hombre y la vida se ha convertido en un «laberinto de mal»; un Gilbert Keith Chesterton que estableció la paradoja como método de investigación; un Thomas Mann que en José y sus hermanos enseñó cómo se lucha por la vida aun cuando la historia está en contra; un Franz Kafka que convirtió la paradoja en estética y el enigma en poder configurativo; un Kurt Gödel que –otros lo han hecho también–, en buena medida tuvo como punto de partida una o varias paradojas o incluso antinomias: ellos y más comprendieron que es necesario remontarse a las últimas tinieblas del infierno de la mente: la contradicción. Gödel, como Dante, ha regresado vivo de ese Hades. Dante (guiado por Virgilio) con la rama de hojas doradas de la poesía, la filosofía y la mística, Gödel con la rama de hojas de oro de la razón, la imaginación, la filosofía y la lógica. Rama áurea: vínculo o puente entre lo visible y lo invisible, entre el ver y lo que no ha sido visto. Inspirado en el Libro vi de la Eneida de Virgilio, Hermann Broch escribió en La muerte de Virgilio: «[…] fácil es el sendero que desciende al Hades, y siempre encontrarás abiertas las puertas de Plutón, pero difícil es el retorno, pues se halla amenazado por oscuras selvas, amenazado por la corriente del Cocito, por sus calas y torbellinos, y solamente lo logran aquellos que coronados de virtud, o de sangre divina, son caros a Júpiter; tú sin embargo, si tu coraje, si tu temeridad te impulsa a intentar este doble viaje sobre la Estigia al horror del Tártaro, escucha lo que has de hacer ante todo: consagrada a la diosa de los Ínferos, en medio de valles crepusculares,

56 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

en medio de la selva más salvaje, en medio de la espesura más cerrada, resplandeciente de oro brota una rama con áureas hojas, y no lograrás el descenso antes de que en honor de Proserpina, de acuerdo con su voluntad, hayas roto el resplandeciente retoño de la dorada fronda del árbol que se renueva eternamente; ese retoño, pues, has de buscar atento, y si el destino te es favorable, arrancarás el ramo en rapidísimo movimiento de tus manos desnudas, pues no hay fuerza, ni aun el duro hierro, que baste para arrancarlo […]». Broch y Gödel compartieron clases y conferencias de filosofía y matemáticas en la Universidad de Viena. Contacto que fue renovado cuando Broch se fue a Princeton, donde vivió entre 1942 y 1949. Así lo atestiguan, por ejemplo, Karl Sigmund, John Dawson y Kurt Mühlberger en Kurt Gödel. Das Album. The Album. El trabajo lógico de Gödel nos enseña que las paradojas pueden o deben ser asimiladas, no despreciadas como si fueran abominaciones o algo que no hace parte del conocimiento. También, en el ensayo «La lógica matemática de Russell», que las paradojas tienen diferentes soluciones, de acuerdo con la comprensión que se hace de los términos. Un señor filósofo como Ludwig Wittgenstein pensó en las paradojas como triviales epifenómenos lingüísticos; discutió con Alan Turing que las paradojas pudiesen ser la causa de enormes e interesantes consecuencias epistemológicas, pero Turing estaba convencido, como Kurt Gödel, de la posición contraria a la de Wittgenstein. Una convicción de Gödel sobre la comprensión metamatemática de sus propios metateoremas de incompletez –hallable también en relación con su trabajo sobre la hipótesis del continuo– consistió en la intuición de que hay aspectos de la realidad matemática que han de escapar a nuestra sistematización formal, pero no a nuestro conocimiento; convicción que Wittgenstein no podía tolerar, habida cuenta de su postura sobre los fundamentos de las matemáticas. Para este, al menos en el contexto del Tractatus, todo conocimiento,

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 57

y con mayor motivo el matemático, debe ser sistematizable; lo que sistemáticamente escapa a nuestros sistemas es lo inefable. Pero Gödel enseñó que el conocimiento expresable, dentro del cual está el matemático, es mayor que nuestros sistemas. De lo que no se puede formalizar o no ha sido formalizado, todavía afirmamos que sabemos. En Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas, Wittgenstein quiso soslayar la demostración de Gödel, pero muchas veces querer no es igual a poder hacer una cosa. Karl Menger, amigo de Gödel desde el Círculo de Viena, califica de evasivas algunas de las alusiones de Wittgenstein al trabajo de Gödel; cuando se propone hacer una disquisición, dice Menger, Wittgenstein no logra una valoración adecuada. Llega al extremo de afirmar que lo único útil de las demostraciones de indecidibilidad es que proporcionan «logishe Kunststücke», esto es, artificios lógicos, truquitos de magia. Sin embargo, aun si Wittgenstein en sus Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas da vueltas en torno a los metateoremas de incompletez, deconstruyéndolos e intentando hacer intuitivo que su significado no se compadece con su propósito, aun así, Wittgenstein tiene un punto de encuentro con Gödel, al menos en el dominio de las investigaciones del llamado primer Wittgenstein. Así como Gödel demostró que nuestros sistemas formales no pueden dar cuenta de toda la realidad matemática, el Wittgenstein del Tractatus sostuvo, sobre el final de la obra, que nuestros sistemas lingüísticos no pueden dar cuenta de toda la realidad no matemática. Kurt Gödel también nos llama al orden con respecto a nuestra relación con el conocimiento: no dice, como se ha querido ver en lo que puede llamarse una lectura «posmoderna», que nuestras facultades y deseos de conocimiento tengan un umbral infranqueable, ni dice que existen problemas absolutamente irresolubles (aunque hay problemas que demandan milenios para solventarlos); lo que sí enseña es que el conocimiento es teleológico, tal como ha demostrado Edmund

58 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Husserl, y que, por esto mismo, problemas irresolubles e indecidibles son imposibles ahora o en próximos esfuerzos, pero no para siempre. En La mente nueva del emperador, Roger Penrose advierte que los metateoremas de Gödel con frecuencia se consideran negativos, porque muestran restricciones del razonamiento matemático formalizado, pero ¿cómo pueden ser negativos si en sí mismos comportan un nuevo descubrimiento de una verdad lógica y matemática? Gilbert Keith Chesterton, en «El loco», afirma que el peligro de la locura radica en la lógica y no en la imaginación, sin que con esto, como él aclara, quiera atacar a la lógica. Mientras que el poeta anhela tocar el cielo con la frente, el lógico desea meterse el cielo en la cabeza, y es por esto, enseña Chesterton, que el lógico termina con la cabeza estallada. A las palabras de Chesterton habría que agregar, con Alan Turing, que paradojas y aplicaciones de estas como las que hace Kurt Gödel podrían hacer estallar máquinas pensantes y robots pues, como Gödel hizo ver, ante muchos problemas epistemológicos hay sistemas lógicos y formales que pasan de ser rígidas estructuras definitivas a naves que viajan por los aires sin alguna determinación, en donde los pensamientos, al parecer, no paran de dar vueltas hasta que se produce un estallido mental, como dice Chesterton, o un cortocircuito en una máquina, como dice Turing. Pero así como qué sería del cielo sin los ojos, ¿qué sería del cielo sin la mente? Y ¿qué sería de la mente sin el cielo?, ¿qué sería de la mente si dentro de sus posibilidades no estuviera la de reventarse?

Kurt Gödel y sus metateoremas intuitivamente revisitados | 59

Fuentes

Alighieri, Dante. (1922). La Divina Comedia de Dante Alighieri. Traducción en verso ajustada al original por Bartolomé Mitre. Nueva edición, definitiva, autorizada, dirigida por Nicolás Besio Moreno. Centro Cultural Latium. Alighieri, Dante. (2015). Obras completas de Dante Alighieri. Versión castellana de Nicolás González Ruiz. Sobre la interpretación literal de Giovanni M. Bertini. Colaboraciones de José Luis Gutiérrez García, traductor de «El convite», «La monarquía», «Sobre la lengua vulgar», «Disputa sobre el agua y la tierra», Cartas, Églogas, Rimas. bac. Alonso, Enrique. (2007). Sócrates en Viena: Una biografía intelectual de Kurt Gödel. Ediciones de Intervención Cultural. Aristóteles. (1982). Tratados de lógica. Órganon i. Categorías. Tópicos. Sobre las refutaciones sofísticas. Gredos. Aristóteles. (1994). Metafísica. Introducción, traducción y notas de Tomás Calvo Martínez. Gredos. Aristóteles. (1995). Tratados de lógica. Órganon ii. Sobre la interpretación. Analíticos Primeros. Analíticos Segundos. Gredos. Aristóteles. (2014). Metafísica. Traducción, notas y edición de Hernán Zucchi. Revisión técnica de Joaquín Meabe. Las Cuarenta.  Aristóteles y Euclides. (2000). Aristóteles. Sobre las líneas indivisibles. Mecánica – Euclides. Óptica. Catóptrica. Fenómenos. Introducciones, traducción y notas de Paloma Ortiz García. Gredos. Artin, Michael, Grothendieck, Alexander y Verdier, Jean-Louis. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie. 1963-1964. Théorie des Topos et Cohomologie Étalé des Schémas (sga 4). Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat. Tome i. Théorie des Topos (Exposés i à iv). Springer Verlag. Barbari, Jacopo de’. (1495-1500). Retrato de Luca Pacioli. Museo Nazionale di Capodimonte, Nápoles. Barrio, Eduardo Alejandro. (Ed.). (2014). La lógica de la verdad. Eudeba. Belloc, Hilaire. (1940). On the Place of Gilbert Chesterton in English Letters. Sheed & Ward.

Berti, Eduardo y Monobloque. (2017). Inventario de inventos (inventados): Breve catálogo de invenciones imaginarias. Impedimenta. Beth, Evert W. (1975). Las paradojas de la Lógica. Presentación, versión al castellano y notas por Juan Manuel Lorente. Con una selección de textos y bibliografía realizada por Amador Antón. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia, Universidad de Valencia. Blake, William. (1803-1805). El gran dragón rojo y la mujer vestida de sol. Brooklyn Museum, Nueva York. Blake, William. (1953). Selected Poetry and Prose of William Blake. Edited, with an Introduction, by Northrop Frye. Modern Library College Editions. Blake, William. (1988). The Complete Poetry and Prose of William Blake. Edited by David V. Erdman. Commentary by Harold Bloom. Anchor Books, Doubleday. Blake, William. (2013). El demonio es parco. Traducción de Heriberto Yépez. Interzona. Blake, William. (2013, 2014). Libros proféticos i, ii. Introducción de Patrick Harpur. Traducción, prefacios y glosario de Bernardo Santano. Atalanta. Bloom, Harold. (2019). Relatos y poemas para niños extremadamente inteligentes de todas las edades. Traducción de Damián Alou. Anagrama. Bombal Gordón, Fernando. (2006). Paradojas y rigor: La historia interminable. Discurso leído en el acto de su recepción como Académico de Número. Y contestación del Excmo. Sr. D. Pedro Jiménez Guerra. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Borges, Jorge Luis. (1985). Ficcionario. Una antología de sus textos. Edición, introducción, prólogos y notas por Emir Rodríguez Monegal. Fondo de Cultura Económica. Borges, Jorge Luis. (2009, 2010, 2011). Obras completas i, ii, iii. Edición crítica. Emecé. Broch, Hermann. (1974). Poesía e investigación. Barral. Broch, Hermann. (2019). La muerte de Virgilio. Alianza.

154 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Bulloff, Jack J., Holyoke, Thomas. C. y Hahn, Samuel. W. (Eds.). (1969). Foundations of Mathematics. Symposium Papers Commemorating the Sixtieth Birthday of Kurt Gödel. Springer Verlag. Calvino, Italo. (1994). Por qué leer a los clásicos. Tusquets. Calvino, Italo. (2019). Por qué leer a los clásicos. Siruela. Campbell, Joseph. (2017). El poder del mito. Entrevista con Bill Moyers. Capitán Swing. Camus, Albert. (1996). Obras. Alianza. Cervantes, Miguel de. (2004). Don Quijote de la Mancha. Edición del iv centenario. Real Academia Española, Asociación de Academias de la Lengua Española, Alfaguara. Ciocci, Argante. (2017). Luca Pacioli. La vida y las obras. Traducción de Esteban Hernández-Esteve. Biblioteca del Centro Studi Mario Pancrazi, University Book. Chesterton, Gilbert Keith. (1996). El hombre común y otros ensayos sobre la modernidad. Lohlé Lumen. Chesterton, Gilbert Keith. (1997a). Ensayos. Prólogo de Hilaire Belloc. Porrúa. Chesterton, Gilbert Keith. (1997b). Ortodoxia. Traducción de Alfonso Reyes. Fondo de Cultura Económica. Chesterton, Gilbert Keith. (2004). La balada del suicidio y otros poemas. Selección, traducción y nota de presentación de José Antonio Hernández García. Revista Casa del Tiempo, vi(70), 22-47. Chesterton, Gilbert Keith. (2007). Charles Dickens. Introduction by Toru Sasaki. Wordsworth. Chesterton, Gilbert Keith. (2008). Lo que está mal en el mundo. Traducción de Mónica Rubio. Acantilado. Chesterton, Gilbert Keith. (2010). Los libros y la locura, y otros ensayos. El Buey Mudo. Chesterton, Gilbert Keith. (2012). William Blake y otros temperamentos. Ediciones Universidad Diego Portales.

Fuentes | 155

Chesterton, Gilbert Keith. (2014). El gran mínimo. Antología poética. Selección, traducción y prólogo de Miguel Salas Díaz. Salto de Página. Chesterton, Gilbert Keith. (2015a). Alarmas y digresiones. El acusado. Traducción y notas de Carlos Rafael Domínguez. Vórtice. Chesterton, Gilbert Keith. (2015b). Correr tras el propio sombrero (y otros ensayos). Selección y prólogo de Alberto Manguel. Traducción de Miguel Temprano García. Acantilado. Chesterton, Gilbert Keith. (2017). Ensayos escogidos. Seleccionados por W. H. Auden. Traducción de Miguel Temprano García. Acantilado. Dalí, Salvador. (2009). La metamorfosis de Narciso. Galaxia Gutenberg. Davis, Martin. (2002). La computadora universal. De Leibniz a Turing. Debate. DePauli-Schimanovich, Werner y Weibel, Peter. (1997). Kurt Gödel. Ein mathematischer Mythos. hpt. Descartes, René. (2003). Reglas para la dirección del espíritu. Traducción de J. M. Navarro Cordón. Alianza. Descartes, René. (2011). Reglas para la dirección del espíritu. Investigación de la verdad por la luz natural. Discurso del método. Meditaciones metafísicas seguidas de las objeciones y respuestas. Conversación con Burman. Las pasiones del alma. Correspondencia con Isabel de Bohemia. Tratado del hombre. Estudio introductorio de Cirilo Flórez Miguel. Gredos. Descartes, René. (2014). Meditaciones acerca de la Filosofía Primera, seguidas de las objeciones y respuestas. Traducción de J. A. Díaz. Edición trilingüe. Universidad Nacional de Colombia. Detlefsen, Michael. (1990). On an alleged refutation of Hilbert’s program using Gödel’s first incompleteness theorem. Journal of Philosophical Logic, 19(4), 343-347. Doderer, Heimito von. (1981). Las escaleras de Strudlhof. Destino. Doré, Gustave. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, líneas 20 y 21 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París. Doré, Gustave. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, líneas 127-129 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París.

156 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Doré, Gustave. (1861-1868). Xilografía del Canto xxxiv, línea 133 del «Infierno» de la Divina Comedia. Bibliothèque National de France, París. Duque Naranjo, Nicolás. (2020). Ideas relativas al concepto de ciencia en Roger Bacon. En A. López (Ed.), Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos (pp. 256-280). Bonaventuriana. Durero, Alberto. (2010). Memoirs of Journeys to Venice and the Low Countries. Traducción de Rodolf Tombo. Kessinger Publishing. Einstein, Albert. (1918). Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie. Die Naturwissenschaften, 6, 697-702. Einstein, Albert. (1983). Sobre la teoría de la relatividad y otras aportaciones científicas. sarpe. Einstein, Albert. (2011). Mis ideas y opiniones. Traducción de José M. Álvarez Flórez y Ana Goldar. Antoni Bosch. Einstein, Albert e Infeld, Leopold. (1958). La física. Aventura del pensamiento. El desarrollo de las ideas desde los primeros conceptos hasta la relatividad y los cuantos. Losada. Emerson, Ralph Waldo. (2007). Selected Essays, Lectures and Poems. Edited and with a Foreword by Robert D. Richardson Jr. Penguin Random House. Emerson, Ralph Waldo. (2016a). El poeta y otros ensayos. Traducción de Fernando Vidagañ Murgui. Buenos Aires Poetry. Emerson, Ralph Waldo. (2016b). Naturalezas. Edición y prólogo de Carlos Muñoz Gutiérrez. Traducción de Salvador Sediles y Carlos Muñoz Gutiérrez. La Línea del Horizonte. Emerson, Ralph Waldo. (2020). Naturaleza. Ilustraciones de Eugenia Ábalos. Edición y traducción de Andrés Catalán. Nørdicalibros. Erasmo de Rotterdam. (1970). Elogio de la locura. Traducción del latín y prólogo de A. Rodríguez Bachiller. Orbis. Esquisabel, Oscar M. y Legris, Javier. (2020). El simposio de Königsberg sobre fundamentos de la matemática en perspectiva. Metatheoria. Revista de Filosofía e Historia de la Ciencia, 10(2), 7-15.

Fuentes | 157

Euclides. (1991, 1994, 1996). Elementos, tomos i, ii y iii. Traducción y notas de María Luisa Puertas Castaño. Gredos. Feferman, S. (2006a). The impact of Gödel’s incompleteness theorems on mathematics. Notices American Mathematical Society, 53(4), 434-439. Feferman, S. (2006b). The nature and significance of Gödel’s incompleteness theorems. Lecture for the Princeton Institute for Advanced Study Gödel Centenary Program. http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godel-IAS.pdf Fernández Buey, Francisco. (2005). Albert Einstein. Ciencia y conciencia. Ediciones de Intervención Cultural, El Viejo Topo. Francesca, Piero della (1974). De prospectiva pingendi. Sansoni. Franzén, Torkel. (2005). Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. A. K. Peters. García-Baró, Miguel. (1997). Husserl (1859-1938). Ediciones del Orto. García-Baró, Miguel. (2003). Categorías, intencionalidad y números. Introducción a la filosofía primera y a los orígenes del pensamiento fenomenológico. Tecnos. García-Baró, Miguel. (2004). De Homero a Sócrates. Invitación a la filosofía. Sígueme. García-Baró, Miguel. (2008). Teoría fenomenológica de la verdad. Comentario continuo a la primera edición de “Investigaciones lógicas” de Edmund Husserl (con traducción de los pasajes no incluidos en las siguientes ediciones). Universidad Pontificia Comillas. García-Baró, Miguel. (2009). Sócrates y herederos. Introducción a la historia de la filosofía occidental. Sígueme. García-Baró, Miguel. (2014). Descartes y herederos. Introducción a la historia de la filosofía occidental. Sígueme. García Márquez, Gabriel. (2010). Yo no vengo a decir un discurso. Random House Mondadori. Gibran, Kahlil. (2017). Collected Poetical Works. Delphi Classics. Gödel, Kurt. (1986). Collected Works. Volume i. Publications 1929-1936. Oxford University Press.

158 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Gödel, Kurt. (1990). Collected Works. Volume ii. Publications 1938-1974. Oxford University Press. Gödel, Kurt. (1995a). Collected Works. Volume iii. Unpublished Essays and Lectures. Oxford University Press. Gödel, Kurt. (1995b). Unpublished Philosophical Essays. Edited by Francisco A. Rodríguez-Consuegra. With a historic-philosophical introduction by the Editor. Springer. Gödel, Kurt. (2003a). Collected Works. Volume iv. Correspondence A-G. Clarendon Press. Gödel, Kurt. (2003b). Collected Works. Volume v. Correspondence H–Z. Clarendon Press. Gödel, Kurt. (2006). Obras completas. Introducción y traducción de Jesús Mosterín. Alianza. Goethe, Johann Wolfgang von. (1887-1919). Goethes Werke. Sophien-Ausgabe. Goethe, Johan Wolfgang von. (2016). Poesía y verdad. Traducción, introducción y notas de Rosa Sala. Alba. Goldstein, Rebecca. (2006). Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W. W. Norton & Company. Goldstein, Rebecca. (2007). Gödel. Paradoja y vida. Antoni Bosch. Goles, Eric. (2018). La conspiración de Babel. Lom. Gómez Jattin, Raúl. (2015). Amanecer en el Valle del Sinú. Antología poética. Selección y prólogo de Carlos Monsiváis. Fondo de Cultura Económica. Grimm, Jakob y Wilhelm. (1985). Cuentos de niños y del hogar i, ii, iii. Introducción de Herman Grimm. Traducción y apéndice de María Antonia Seijo Castroviejo. Anaya. Grothendieck, Alexander. (s. f.). La llave de los Sueños o Diálogo con el buen Dios. Traducción de Juan A. Navarro y reedición de Mateo Carmona. http://matematicas.unex.es/~navarro/res/llavedls.pdf Guerra Villa, César Augusto. (2020). Gottlob Frege y la lógica moderna. En A. López (Ed.), Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos (pp. 81-111). Bonaventuriana.

Fuentes | 159

Guerra Villa, César Augusto. (2022). Lógica: Entre los límites del lenguaje y el alcance del método. En A. López y C. Guerra (Eds.), Mathesis y Logoi. Contribuciones a la filosofía de la lógica y la filosofía de la matemática (pp. 57-89). Bonaventuriana. Guillermo de Ockham. (1974). Opera Philosophica. Volume i: Summa Logicae. A critical edition by Ph. Boehner, G. Gal and S. Brown. St. Bonaventure University. Harpur, Patrick. (2010). La tradición oculta del alma. Traducción de Isabel Margelí. Atalanta. Harpur, Patrick. (2020). El fuego secreto de los filósofos. Una historia de la imaginación. Traducción de Fernando Almansa Salomó. Atalanta. Hartimo, Mirja. (Ed.). (2010). Phenomenology and Mathematics. Springer Dordrecht. Hawking, Stephen. (Ed.). (2019). Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia. Edición comentada por Stephen Hawking. Crítica. Hegel, Georg Wilhelm Friedrich. (1968). Filosofía del Derecho. Introducción de Carlos Marx. Claridad. Herder, Johann Gottfried. (1982). Obra selecta. Diario de mi viaje del año 1769. Ensayo sobre el origen del lenguaje. Shakespeare. Otra filosofía de la historia. Metacrítica. Otros escritos. Prólogo, traducción y notas de Pedro Ribas. Alfaguara. Hilbert, David. (1996). Fundamentos de la Geometría. Introducción de José Manuel Sánchez Ron. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Hofstadter, Douglas. (1982). Gödel, Escher, Bach: Una eterna trenza dorada. Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Hoyos Giraldo, José Daniel. (2020). Una visión científica de la Ley de Leibniz. En A. López (Ed.), Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos (pp. 137-164). Bonaventuriana. Husserl, Edmund. Todos los volúmenes de las series Husserliana, Husserliana Dokumente, Husserliana Materialien y Husserliana Studienausgabe.

160 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Kafka, Franz. (2012). La metamorfosis y otros relatos de animales. Austral. Kesner, Edward y Newman, James. (1994). Matemáticas e imaginación, tomos i y ii. Salvat. Labastida, Jaime. (2007). El edificio de la razón. El sujeto científico. Siglo xxi, Universidad Nacional Autónoma de México. Lagercrantz, David. (2016). El enigma Turing. Traducción de Martin Lexell y Mónica Corral Frías. Planeta. Laue, Max von. (1912). Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung. Physikalische Zeitschrift, 13, 118-120. Leibniz, Gottfried Wilhelm. (1923 y sgts., 1938 y sgts., 1950 y sgts.). Leibniz, G. W. Sämtliche Schriften und Briefe. Herausgegeben von der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Lewis, Charlton T. y Short, Charles. (1879). Latin Dictionary Founded on Andrews’ Edition of Freund’s Latin Dictionary. Revised, enlarged, and in great part rewritten by Charlton T. Lewis, Ph.D. and Charles Short, LL.D. Clarendon Press. Lezama Lima, José. (1981). El reino de la imagen. Edición de Julio Ortega. Biblioteca Ayacucho. Lezama Lima, José y Díaz Martínez, Manuel. (1966). Órbita de Lezama Lima. Unión Nacional de Escritores y Artistas de Cuba. Liddell, Henry George y Scott, Robert. (1940). A Greek-English Lexicon. Revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. With the assistance of Roderick McKenzie. Clarendon Press. Llull, Ramón. (1663). Árbol de la Ciencia de el iluminado maestro Raymundo Lulio. Nuevamente traducido y explicado por el Teniente Maestro de Campo General Don Alonso de Zepeda y Adrada, Governador de el Thol-huys, &c. Francisco Foppens. López López, Andrés Felipe. (2020a). Investigación universal. Edmund Husserl y Kurt Gödel. Aula de Humanidades. López López, Andrés Felipe. (Ed.). (2020b). Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos. Bonaventuriana.

Fuentes | 161

López López, Andrés Felipe y Guerra Villa, César Augusto. (Eds.) (2021). Mathesis y Logoi. Contribuciones a la filosofía de la lógica y la filosofía de la matemática. Bonaventuriana. Mackinnon, Nick. (1993). The portrait of Luca Pacioli. The Mathematical Gazette, 77(479), 130-219. Maldonado, Carlos Alberto. (2020). Pensar. Lógicas no clásicas. Universidad El Bosque. Mancosu, Paolo. (2004). Book Review. Kurt Gödel. Collected Works, Volume iv, Correspondence A-G, edited by Solomon Feferman et al., Clarendon Press, Oxford, 2003, ISBN 0 19 850073 4, pp. xxii+662. / Kurt Gödel. Collected Works, Volume v, Correspondence H-Z, edited by Solomon Feferman et al., Clarendon Press, Oxford, 2003, ISBN 0 19 850075 0, pp. xxvi+664. Notre Dame Journal of Formal Logic, 45(2), 109-125. Mann, Thomas. (2000). José y sus hermanos. Las historias de Jaacob. Ediciones B. Mann, Thomas. (2003). José y sus hermanos. El joven José. Ediciones B. Mann, Thomas. (2008). José y sus hermanos. José en Egipto. Ediciones B. Mann, Thomas. (2011). José y sus hermanos. José el proveedor. Ediciones B. Martínez, G. y Piñeiro, G. (2010). Gödel (para todos). El teorema matemático que ha fascinado más allá de las ciencias exactas. Destino. Melville, Herman. (2019). Moby Dick. Penguin Random House. Menger, Karl. (1994). Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium. Ed. by Louise Golland, Brian McGuiness and Abe Sklar. Kluwer. Mosterín, Jesús. (2000). Los lógicos. Espasa. Murawski, Roman. (Ed.). (1999). Recursive Functions and Metamathematics. Problems of Completeness and Decidability, Gödel’s Theorems. Springer Dordrecht. Nagel, Ernst y Newman, James R. (2017). El teorema de Gödel. Tecnos. Neruda, Pablo. (2010). Antología general. Real Academia Española, Asociación de Academias de la Lengua Española.

162 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Newton, Isaac. (2018). Principios matemáticos de la filosofía natural. Traducción de A. Escohotado. Tecnos. Oé, Kenzaburo. (2005). ¡Despertad, oh jóvenes de la nueva era! Traducción de Ricardo Ogata. Seix Barral. Oliveras, Elena. (2000). Estética. La cuestión del arte. Ariel. Ortega y Gasset, José. (1966). Obras completas, tomo iii (1917-1928). Revista de Occidente. Pacioli, Luca. (1494). Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. Paganino Paganini. Pacioli, Luca. (1991). La divina proporción. Traducción de Juan Calatrava Escobar. Akal. Pascal, Blaise. (2014). Pensamientos. rialp. Paulos, John Allen. (1991). Beyond Numeracy. Ruminations of a Numbers Man. Alfred A. Knopf. Paz, Octavio. (2014). Lo mejor de Octavio Paz. El fuego de cada día. Selección, prólogo y comentarios del autor. Seix Barral. Penrose, Roger. (1996). La mente nueva del emperador. En torno a la cibernética, la mente y las leyes de la física. Fondo de Cultura Económica. Piñeiro, Gustavo (2017). Gödel. Dos teoremas que revolucionaron las matemáticas. rba. Pizarnik, Alejandra. (2000). Poesía completa. Edición a cargo de Ana Becciu. Lumen. Platón. (1985). Diálogos i. Apología, Critón, Eutifrón, Ion, Lisis, Cármides, Hipias Menor, Hipias Mayor, Laques, Protágoras. Gredos. Platón. (1987). Diálogos ii. Gorgias, Menéxeno, Eutidemo, Menón, Crátilo. Gredos. Platón. (1988a). Diálogos iii. Fedón, Banquete, Fedro. Gredos. Platón. (1988b). Diálogos iv. República. Gredos. Platón. (1988c). Diálogos v. Parménides, Teeteto, Sofista, Político. Gredos. Platón. (1992a). Diálogos vi. Filebo, Timeo, Critias. Gredos. Platón. (1992b). Diálogos vii. Dudosos, Apócrifos, Cartas. Gredos. Platón. (1999a). Diálogos viii. Leyes (Libros i-vi). Gredos.

Fuentes | 163

Platón. (1999b). Diálogos ix. Leyes (Libros vii-xii). Gredos. Poe, Edgar Allan. (2015). Cuentos. Imprenta Nacional. Quintero Gallego, Ezequiel. (2020). Roger Bacon y Cristóbal Colón: El destino del nuevo mundo en las manos del intelecto y la imaginación. En A. López (Ed.), Logos y Filosofía. Temas y debates contemporáneos (pp. 219-227). Bonaventuriana. Raattkainen, Panu. (2005). On the philosophical relevance of Gödel’s incompleteness theorems. Revue Internationale de Philosophie, 234, 513-534. Rodríguez Consuegra, Francisco. (Ed.). (1995). Kurt Gödel. Ensayos inéditos. Mondadori. Rubens, Pedro Pablo. (1606-1608). Lucha de san Jorge y el dragón. Museo del Prado, Madrid. Russell, Bertrand. (1908). Mathematical logic as based on the theory of types. American Journal of Mathematics, 30, 222-262. Russell, Bertrand. (1948). Human Knowledge. Its Scope and Limits. George Allen and Unwin. Santos Calderón, Enrique. (2020). Alternativa. Lo mejor de la revista que marcó una generación. Prólogo, selección y comentarios de Enrique Santos Calderón. Debate. Scheler, Max. (1957). Esencia y formas de la simpatía. Losada. Scheler, Max. (2001). Ética. Nuevo ensayo de fundamentación de un personalismo ético. Traducción de Hilario Rodríguez Sanz. Introducción de Juan Miguel Palacios. Caparrós. Shelley, Mary. (2007). El último hombre. Traducción de Juanjo Estrella. ElCobre. Sigmund, Karl, Dawson, John y Mühlberger, Kurt. (2006). Kurt Gödel. Das Album. The Album. Vieweg & Sohn Verlag. Sturluson, Snorri. (1982). Textos mitológicos de las Eddas. Edición preparada por Enrique Bernárdez. Editora Nacional. Tesla, Nikola y Smith, John. (2015). Todo es la luz. Entrevista a Nikola Tesla. Opalina Cartonera.

164 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Tieszen, Richard. (1998). Gödel’s path from the incompleteness theorems (1931) to phenomenology (1961). Bulletin of Symbolic Logic, 4(2), 181-203. Tieszen, Richard. (2011). After Gödel: Platonism and Rationalism in Mathematics and Logic. Oxford University Press. Tolkien, J. R. R. (1984). The Monsters and the Critics and Other Essays. Edited by Christopher Tolkien. Houghton Mifflin. Tolkien, J. R. R. (2009). The Lord of the Rings. Harper Collins Publishers. Tolkien, J. R. R. (2012). El Señor de los Anillos. Minotauro. Turing, Alan. (2010). Maquinaria computacional e Inteligencia. Traducción de Cristóbal Fuentes Barassi. Universidad de Chile. Turing, Alan. (2012). ¿Puede pensar una máquina? Introducción de Manuel Garrido. Traducción de Amador Antón y Manuel Garrido. krk. Van Atten, Mark. (Ed.). (2015). Essays on Gödel’s Reception of Leibniz, Husserl, and Brouwer. Springer International Publishing. Van Heijenoort, J. (Ed.). (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press. Van Hemessen, Jan Sanders. (1550-1555). El cirujano o La extracción de la piedra de la locura. Museo del Prado, Madrid. Unamuno, Miguel. (1950-1954). De esto y aquello. Sudamericana. Verne, Julio. (1970). Veinte mil leguas de viaje submarino. Bruguera. Verne, Julio. (2001). De la Tierra a la Luna. Rueda. Verne, Julio. (2019). De la Tierra a la Luna. Ilustraciones de Agustín Comotto. Traducción de Mauro Armiño. Nørdicalibros. Virgilio y Aurelio Espinosa Pólit. (1960). Virgilio. En verso castellano. Bucólicas. Geórgicas. Eneida. Jus. Wang, Hao. (1974). From Mathematics to Philosophy. Humanities Press. Wang, Hao. (1987). Reflections on Kurt Gödel. mit Press. Wang, Hao. (1991). Reflexiones sobre Kurt Gödel. Alianza. Wang, Hao. (1996). A Logical Journey: From Gödel to Philosophy. mit Press. Whitehead, Alfred North y Russell, Bertrand. (1925-1927). Principia Mathematica, volumes i, ii, iii. Cambridge University Press.

Fuentes | 165

Wittgenstein, Ludwig. (1987). Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Edición de G. Henrik von Wright, R. Rhees y G. E. M. Anscombe. Versión española de Isidoro Reguera. Alianza. Wittgenstein, Ludwig. (2009). Tractatus logico-philosophicus. Investigaciones filosóficas. Sobre la certeza. Estudio introductorio por Isidoro Reguera. Gredos. Wordsworth, William, Coleridge, Samuel Taylor, Shelley, Percy Bysshe y Keats, John. (1978). Antología bilingüe. Wordsworth. Coleridge. Shelley. Keats. Selección, traducción y notas de Ramón López Ortega, Román Álvarez Rodríguez, Antonio López Santos y Jayne Marie Stoelting. Versión poética de Francisco Fernández Colinas. Universidad de Sevilla. Yourcenar, Marguerite. (2018). Opus Nigrum. Penguin Random House. Yourgrau, Palle. (2007). Un mundo sin tiempo. El legado olvidado de Gödel y Einstein. Tusquets. Zalamea, Fernando. (1996). Kurt Gödel: Análisis filosófico y lógica matemática. Mathesis, 12(4), 347-374. Zalamea, Fernando. (2006). Signos triádicos. Lógica, literatura, artes. Nueve cruces latinoamericanos. Mathesis, 1(1), 1-164. Zalamea, Fernando. (2019). Grothendieck. Una guía a la obra matemática y filosófica. Universidad Nacional de Colombia. Zuleta, Estanislao. (2010a). Arte y Filosofía. Hombre Nuevo. Zuleta, Estanislao. (2010b). Tres culturas, tres familias y otros ensayos. Hombre Nuevo.

166 | Kurt Gödel o sobre las paradojas

Lista de figuras

Xilografía del Canto xxxiv, líneas 20 y 21 del «Infierno» de la Divina Comedia. [Gustave Doré]. → 53 Xilografía del Canto xxxiv, líneas 127-129 del «Infierno» de la Divina Comedia. [Gustave Doré]. → 54 Xilografía del Canto xxxiv, línea 133 del «Infierno» de la Divina Comedia. [Gustave Doré]. → 55 El cirujano o La extracción de la piedra de la locura. [Jan Sanders van Hemessen]. → 61 Albert Einstein, Kurt Gödel, Julian Schwinger y Lewis Strauss, 1950. → 75 Albert Einstein, Kurt Gödel y Julian Schwinger, 1950. → 76 Kurt Gödel con Adele, su esposa, s. f. → 77 Oskar Morgenstern y Kurt Gödel, 1949. → 78 Retrato de Luca Pacioli. [Jacopo de’ Barbari]. → 81 Albert Einstein y Kurt Gödel en Princeton, Nueva Jersey, c. 1948. → 113 Albert Einstein y Kurt Gödel en Princeton, Nueva Jersey, c. 1950. → 114 El gran dragón rojo y la mujer vestida de sol. [William Blake]. → 120 Lucha de san Jorge y el dragón. [Pedro Pablo Rubens]. → 121

Fue editado y publicado por la Editorial Universidad El Bosque Marzo de 2023 Bogotá, d. c., Colombia Para esta edición se usó la familia tipográfica Crimson Text Pro de 10 a 35 puntos. El formato de este ejemplar es 14,5 x 21,5 centímetros. La cubierta está impresa en Propalcote de 300 gramos de baja densidad, y las páginas interiores, en papel Bond Bahía de 90 gramos.

En los contrarios y la tensión entre ellos, constituyentes del ser humano, William Blake descubrió fuerzas poéticas o creativas; el hombre es la unidad en la que se integran el paraíso y el infierno, los dioses y todos los mundos. Gilbert Keith Chesterton hizo de las paradojas un método de investigación. Franz Kafka convirtió la paradoja en estética y el enigma en poder configurativo. Kurt Gödel transmutó paradojas lógicas en puntos de partida y en componentes del método de demostración de sus metateoremas de incompletez, que tienen efectos más allá de la lógica matemática: se extienden a la filosofía, la teoría del conocimiento, la idea de la ciencia, y más. En una mención hecha por la Universidad de Harvard en 1952 con motivo de la investidura de Gödel como doctor honorario en Ciencias, aquello fue elevado a la dignidad del descubrimiento matemático más significativo del siglo XX. Resultado lógico-matemático, agrego, para hacer más exacta la valoración. Ya Kurt Gödel llevaba dentro de sí, desde la infancia y la juventud, una de las mayores paradojas: la coexistencia de la genialidad y la locura. Unión que no es necesaria y universal, pues un intelecto creativo no es por definición una mente afectada, aunque en algunos casos, como el suyo, una cosa sirvió de energía a la otra, y esto correlativamente. Además de radicar en la novela de su vida, la locura de Gödel fue el sueño de la razón pura. A. F. L.