Física : teoría, ejemplos y problemas 9786074389159, 6074389152

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Reich

M

García

C

Mendoza

Con este texto los alumnos de ingeniería y ciencias tendrán la oportunidad de adquirir y desarrollar las habilidades necesarias para adaptarse a un entorno de aprendizaje cambiante y competitivo, es decir, se les proporcionan todos los elementos teóricos y sobre todo prácticos para que puedan aplicar lo estudiado a su vida académica y más tarde al ámbito profesional.

PATRIA

"La mayoría de las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas y, por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos." Albert Einstein

SERIE UNIVERSITARIA

FISICA

interactivo en esta edición

Las principales características del libro son las siguientes:

Y

CM

MY

CMY

K

Se detalle cada uno de los pasos para resolver los ejemplos que se plantean. Es un libro flexible, el lector lo puede utilizar según sus propias inquietudes y necesidades. Muchos de los ejemplos y problemas van acompañados de una “Alerta” que le permite al estudiante estar pendiente de ciertos detalles al resolverlos. Cuenta con más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías según sus características; para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la vida diaria del lector. Con el propósito de motivar al alumno a resolver problemas con un grado de dificultad mayor, se incluyen problemas “reto” al final de cada unidad. Además, el texto cuenta con un CD-ROM en el que puede encontrar: animaciones, convertidor de unidades, problemas extras y documentos adicionales.

EMPRESA DEL GRUPO

www.editorialpatria.com.mx

FISIC A

CY

Cuenta con breves pero claras explicaciones de cada uno de los fundamentos de la física.

Victor Antonio Mendoza Ana Elizabeth García David Reich

FÍSICA Teoría, ejemplos y problemas

FÍSICA Teoría, ejemplos y problemas

Víctor Antonio Mendoza Ana Elizabeth García David Reich

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

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editorialpatria.com.mx

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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez Producción: Gerardo Briones González Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Ilustraciones: Adrian Zamorategui Fotografías: Thinkstockphoto Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J. Revisión técnica: Laura Rocío Ortiz Esquivel Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional Física Teoría, ejemplos y problemas © 2014, Víctor Antonio Mendoza Ibañez, Ana Elizabeth García Hernández, David Reich © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN: 978-607-438-915-9 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

Agradecimientos Para la inspiradora de mis más hermosos pensamientos, mi amor Angélica. Víctor

Gracias a Dios por todas sus bendiciones y alegrías de cada momento de mi vida. Ana Elizabeth

Agradezco a Dios por la vida y sus bendiciones, a mi madre Elsa por impulsarme a superarme en todo momento, a mis hijos por ser mi fuente de inspiración y a mi esposa por su apoyo. David

Presentación La física es una de las asignaturas más importantes para el desarrollo profesional de los estudiantes de carreras del área de ingeniería y ciencias, por ello hemos desarrollado un libro donde puedan encontrar diferentes herramientas para comprender y solucionar diversos tipos de problemas de Física clásica que más adelante les serán de utilidad para su vida académica. Es importante resaltar que el aprendizaje sólo se logra si los jóvenes se enfrentan día a día a diferentes situaciones y experiencias que los obliguen a procesar la información y a construir el conocimiento. Con este propósito se incluyeron una gran variedad de ejemplos y problemas relacionados con temas como vectores, leyes de Newton, cuerpos sólidos, etc. En otras palabras, se promueve el razonamiento y análisis en la solución de cualquier tipo de problemas. Con la estructura y metodología del libro lo que se pretende es que los alumnos respondan las siguientes preguntas que les serán de utilidad para resolver cualquier tipo de problema sin importar si se trata de física, química o cualquier otra asignatura: •

¿Qué tengo que hacer si deseo conocer algo?

•

¿Qué debo hacer para lograr comprender algo?

•

¿Qué debo hacer para analizar algo o una situación?

•

¿Qué se hace si deseo sintetizar algo?

•

¿Cómo puedo evaluar algo o una situación?

Si el alumno logra dominar los niveles del pensamiento que se presentan tendrá un gran avance en su vida académica y profesional. La obra se divide en siete unidades, donde las dos primeras son introductorias (en la primera unidad se presentan los fundamentos de las mediciones y estimaciones; en la unidad 2 se dan las bases de los vectores), pero de gran importancia para el desarrollo del resto. En las unidades 3 y 4 se estudia la cinemática y la dinámica. En la unidad 5 se estudia el trabajo y la energía y en la sexta unidad se presen­ta el tema de cantidad de movimiento lineal y colisiones, y para cerrar el texto en la última unidad se presenta el tema de cuerpo rígido. Cada unidad tiene la misma estructura, al inicio se encuentran los objetivos a cubrir y una serie de preguntas que motivan al lector a introducirse en el tema, después se presenta el desarrollo de los temas de forma breve y sencilla y todos ellos van acompañados de una serie de ejemplos resueltos paso a paso. Y al final de cada capítulo se incluye una serie de problemas para resolver y un problema reto que cuenta con un grado de dificultad mayor y con el cual el joven podrá evaluar su desempeño. Además se incluye bibliografía y páginas de internet que pueden ser de utilidad como consulta. Además, el libro va acompañado de un CD-ROM que incluye animaciones, problemas extras, un convertidor de unidades y documentos en PDF como consulta. Por el tipo de material que se incluye será una herramienta de gran utilidad para el lector.

VII

Contenido Unidad 1 Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

1

1.1  Introducción

2

1.2  Unidades físicas

2

1.3  Incertidumbre y error de paralaje

4

1.4  Cifras significativas

5

1.5  Sistema Internacional de Unidades (SI)

7

1.6  Conversión de unidades

8

1.7  Análisis dimensional

10

Problemas reto Referencias bibliográficas Referencias de Internet

14 14 14

Unidad 2 Vectores

15

2.1  Introducción

16

2.2  Vectores y suma de vectores

16

Problema reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet

30 30 30

Unidad 3 Cinemática

31

3.1  Conceptos básicos

32

Problemas reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet

58 58 58 IX

Contenido

Unidad 4 Dinámica

59

4.1  Introducción

60

4.2  Leyes de Newton

63

Problema reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet

83 83 83

Unidad 5 Trabajo y energía 5.1  Introducción

86

5.2  Trabajo de una fuerza constante

86

5.3 Trabajo hecho por una fuerza variable

89

5.4  Energía cinética

90

5.5  Potencia

91

Problemas reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet



85

101 102 102

Unidad 6 Cantidad de movimiento lineal y colisiones

103

6.1  Ímpetu o cantidad de movimiento lineal

104

6.2  Segunda ley de Newton en su forma fuerte

104

6.3  Conservación de la cantidad de movimiento

106

6.4  Colisiones

106

6.5  Coeficiente de restitución

107

6.6  Dinámica de un sistema de partículas

109

6.7  Centro de masa

110

Problema reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet

117 118 118

Grupo Editorial Patria©

Unidad 7 Cuerpo rígido

119

7.1  Introducción

120

7.2  Movimiento de traslación del cuerpo rígido

120

7.3  Equilibrio

120

7.4  Momento de una fuerza

121

7.5  Teorema de Varignon

123

7.6  Equilibrio de rotación

123

7.7  Energía cinética rotacional

124

7.8  Momento de inercia

124

7.9  Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

125

7.10  Trabajo rotacional

128

7.11  Momento angular

129

7.12  Traslación y rotación

131

7.13  Teorema de conservación del momento angular

132

7.14  Fuerza central y conservativa

133

7.15  Leyes de Kepler

133

Problemas reto Referencias Bibliográficas Referencias de Internet

139 139 139

Apéndice 1

140

Apéndice 2

141

Índice analítico

143

XI

UNIDAD

XII

2

Contenido

UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones Objetivos

Reconocer las unidades fundamentales de la Física. Aplicar la incertidumbre porcentual en cualquier medición. Obtener cifras significativas en cualquier situación. Aplicar el método general para hacer conversión de unidades. Hacer un análisis dimensional de un problema de Física.

¿Qué sabes?

¿Sabes cuántos litros contiene un m3? ¿Sabes convertir litros a galones? ¿Cuántas cifras significativas tiene el número 0,000000034? ¿Qué es el error de paralaje? ¿Cuántos litros contiene un galón de agua? ¿Por qué el análisis dimensional puede acercarnos a la solución de un problema?

UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

1.1  Introducción Como nunca antes, la Física es motivo de placer e interrogación para muchos. La habilidad para resol­ ver problemas y llegar a conclusiones cercanas a la realidad observable genera un placer de conoci­ miento y aprendizaje. Las hipótesis, las conjeturas o las teorías que tratan de dar respuesta a millones de interrogantes fundamentan el estudio de esta hermosa ciencia. En la actualidad, se tiene la oportunidad de integrar todas las áreas de la Física. Por ejemplo, hablar de longitud, masa o tiempo no puede desligarse de sus componentes relativistas, cuánticas o astronómicas. El universo y los fenómenos que observamos en él, y aún los que no podemos observar, no están desligados, ni son fortuitos o se producen al azar. Las leyes, principios, teorías o hipótesis conocidas o desconocidas no están inconexas y menos están sucediendo por partes, separados o sin ninguna interacción, aún en n dimensiones o n marcos de referencia. Todo tiene una relación, a veces no muy clara o nula aparentemente, pero sí por descubrir. Lo anterior es una de las razones principales por las que se debe estudiar e investigar en toda la Física, y aprender lo conocido hasta ahora de ésta. Una de las principales formas para aprender es ejercitándose en la aplicación de conceptos fundamentales de la Física general.

1.2  Unidades físicas ❚ Longitud

Es muy importante siempre tener presente la siguiente información:

Longitud

Alerta

La longitud es la distancia recta que une a dos puntos o la distancia entre los extremos de un cuerpo. La longitud no es una magnitud intrínseca de la materia pero sí es fundamental, como se verá más ade­ lante (figura 1.1). 90°

80° 60°

Múltiplos y prefijos de longitud 1 nanómetro 5 1 nm 5 1029 m 1 micrómetro 5 1 mm 5 1026 m 1 milímetro 5 1 mm 5 1023 m 60° W 30° W 1 centímetro 5 1 cm 5 1022 m 1 kilómetro 5 1 km 5 103 m

Alerta El valor de masa del patrón de México, de acuerdo con su última comparación internacional que se llevó a cabo en 1991, es de 1 000 000 068 kg. Para mayor información, puedes visitar la página: http://www.simet.gob.mx/ Patrones%20Nacionales/ cnm-pnm-1.PDF

40° 20° 0° 0° 30° E 60° E 90° E –20° –40° –60° –80° –90° Latitud

❚ Masa En Física, la masa es la medida de la inercia, o sea, qué tan complejo es hacer un cambio físico en un objeto (por ejemplo, qué tan difícil es que un cuerpo pase de reposo a movimiento). La masa convencional de un cuerpo es la masa de un patrón de densidad 8 000 kg/m3, colocada en una balanza de brazos, equilibrando a otro en condiciones normales de: temperatura del aire a 20 °C y den­ sidad del aire a 0,0012 g/cm3, según la Organización Internacional de Metrología Legal (OIML, figura 1.2, patrón de un kilogramo masa).

Alerta A continuación se dan los múltiplos y prefijos: Múltiplos y prefijos de masa 1 microgramo 5 1mg 5 1026 g 1 miligramo 5 1 mg 5 1023 g 1 kilogramo 5 1 kg 5 103 g



Figura 1.1 E n cartografía, la longitud es la distancia angular entre un punto de la superficie terrestre y el meridiano que forma como cero grados, cero minutos, cero segundos (0°, 0´ 0”).

Figura 1.2 Patrón de un kilogramo masa.

Grupo Editorial Patria© Más adelante, en este mismo capítulo, se define la unidad: el kilogramo. La masa es la única que no se define como un fenómeno de la naturaleza, sino como un patrón de medida ubicado físicamente en los suburbios de París, Francia, en la Oficina de Pesos y Medidas.

❚ Tiempo El tiempo es la magnitud que mide la duración de acontecimientos sujetos a cambio. El tiempo se puede definir como un intervalo de cambios desde un estado observable a otro estado observable diferente (figura 1.3). Más adelante se define su unidad.

Alerta A continuación se dan los múltiplos y prefijos: Múltiplos y prefijos de tiempo 1 nanosegundo 5 1 ns 5 1029 s 1 microsegundo 5 1 ms 5 1026 s 1 milisegundo 5 1 ms 5 1023 s

   

   



Figura 1.3



Reloj de arena y reloj atómico de cesio 133.

  

Problema resuelto Calcula el área de una alberca que tiene la siguiente forma (los datos están indicados en la figura):

b 5 2.5 m a 5 47°

Alerta Según la norma oficial mexicana NOM-008, el símbolo decimal debe ser una coma sobre la línea (,). Si la magnitud de un número es menor que la unidad, el signo decimal debe ser precedido por un cero.

a 5 5m Respuesta

Como se trata de un paralelogramo y sólo se conocen a, b y a, se utiliza la siguiente fórmula: A 5 a 3 b 3 sen a El desarrollo es el siguiente: A 5 5 m 3 2,5 m 3 sen 47° A 5 12,5 m2 3 sen 47° A 5 12,5 m2 3 0,73135 A 5 9,141875 m2



UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

1.3  Incertidumbre y error de paralaje Alerta Es importante que recuerdes que el signo decimal debe ser una coma sobre la línea (,).

La incerteza o incertidumbre de una medida es el margen en el que puede variar el valor más pro­ bable al tomar el dato de dicha medida. Al registrar la medida, la incertidumbre estimada se puede considerar como la apreciación del instrumento con que se mide (la precisión del instrumento) o la estimación de la lectura (la forma en que se lee el instrumento de medida).

❚ Incertidumbre porcentual La incertidumbre porcentual es la razón de la incertidumbre al valor medido multiplicada por 100. Por ejemplo, si medimos la base de una mesa con un flexómetro es posible obtener una medición de 102,3 cm a 102,5 cm con una incertidumbre estimada de más o menos 0,1 cm (6 0,1 cm). Entonces, la incertidumbre porcentual sería: incertidumbre estimada Incertidumbre porcentual 5 3 100 valor medio Para los datos obtenidos con el flexómetro: 0,1 3 100 ø 1% 102,4 Así, la incertidumbre porcentual es de 1%. En la figura 1.4 se observa a una persona midiéndose con una cinta métrica, ¿de qué manera con­ siderarías que la incertidumbre estimada es correcta?

Problema resuelto Determina la incertidumbre porcentual de la siguiente medición 8,93 6 0,15 m. Respuesta

0,15 3 100 ø 1,7% 8,93

Figura 1.4 Una persona midiéndose con una cinta métrica y quien no puede observar por sí misma su magnitud simultáneamente.

La incertidumbre porcentual es de 1,7%.

Problema resuelto Los satélites utilizados para enviar señales de televisión se encuentran situados en una órbita geoes­ tacionaria, a una distancia de 35 786 km sobre el ecuador terrestre. Debido a que orbitan la Tierra con la misma dirección y velocidad con que ésta gira, dan la sensación de no estar en movimiento. La colocación en tierra de las antenas de televisión puede variar en la altura promedio. Calcula la incer­ tidumbre porcentual para un cambio de la altura promedio de la antena respecto del piso de 25 m. ¿Consideras que este resultado pudiera afectar considerablemente la recepción de tu televisor? Respuesta

25 m 3 100 ø 0,00006% 35 786 000 m

La incertidumbre porcentual es de 0,00006%. Esta variable (la diferencia de altura de 25 m) se puede despreciar respecto a la recepción de tu televisor.





Figura 1.5



V ista de un satélite artificial y de un receptor de televisión.

Grupo Editorial Patria© ❚ Error de paralaje

B

Los resultados de las mediciones nunca se corresponden con los valores reales de las magni­ tudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos; es decir, están afecta­ dos por un error. Las causas que provocan tales desviaciones pueden deberse al observador, al aparato o incluso a las características propias del proceso de medición.

A

Un error sistemático que se presenta con frecuencia en todas las lecturas que se realizan en la medición de una magnitud física dada es el error de paralaje. Los errores sistemáticos no pueden eliminarse totalmente pero se recomienda reducirlos lo más que se pueda; para reducir el error de paralaje se recomienda observar con cuidado la escala del instrumento de medición de frente, ya que el tomar la medida viendo en forma oblicua la escala puede alterar la lectura, por ejemplo las lecturas del velocímetro de un automóvil visto por el piloto y por el copiloto pueden ser diferentes, ya que lo ven desde diferentes ángulos.

C

Problema resuelto Un error muy común cuando se registran medidas con instrumentos como el vernier, el flexómetro o simplemente con una regla común, es no ubicar la vista en forma perpendicular al instrumento, además de que esto no siempre es posible. A este tipo de error se le llama error de paralaje (figura 1.6). La incertidumbre estimada por error de paralaje en ciertas mediciones es de 0,2. Calcula la incertidumbre porcentual para 20 cm. Respuesta

Figura 1.6 Al medir se debe evitar el error de paralaje y colocar los ojos a la altura de la marca. La posición correcta del ojo es la A.

0,2 3 100 ø 1 20 cm

La incertidumbre porcentual es de 1%.

1.4  Cifras significativas Es el número de dígitos confiables en el resultado de una operación. Por ejemplo, 45 385 tiene cinco cifras significativas y 0,000067 sólo tiene dos cifras significativas. Reglas para cifras significativas: ■

Todos los dígitos son confiables y significativos, excepto los ceros.

■

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

■

Cualquier cero antes de la primera cifra significativa no es significativo.

❍

❍

❍ ■

0,000302 tiene 3 cifras significativas. 0,000009 tiene 1 cifra significativa.

Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos para todos aquellos números ma­ yores que 1. ❍

■

455,67 tiene 5 cifras significativas.

34 000 tiene 5 cifras significativas.

Para números mayores que 1 sin punto decimal se presenta una ambigüedad. Ésta se resuelve usando notación científica como la siguiente: ❍

100 puede tener 1, 2 o más cifras significativas.

❍

1 3 102 tiene 1 cifra significativa.

❍

1,0 3 102 tiene 2 cifras significativas.

❍

1,00 3 102 tiene 3 cifras significativas.

También hay que considerar las siguientes reglas: ■

Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de las cifras significativas en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas de aquella cantidad que tiene el número menor de cifras significativas. 

UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones Por ejemplo, si multiplicamos 4,6 3 5,32 la respuesta correcta es únicamente 24 (en lugar de 24,472, 24,47, 24,5 o 24,0), ya que 4,6 es la cantidad con menor número de cifras significativas: 2, y en ese número de cifras significativas se debe de mantener el resultado. ■

Para la suma o la resta, lo que cuenta es el número de decimales más pequeño de cualquiera de los términos sumados o restados. O sea, el número de decimales en el resultado debe ser el número más pequeño.

Por ejemplo, si sumamos 243 1 4,98 la respuesta será: 248 y no 247,98. Si se suma 3,0005 1 0,0009 el resultado correcto es 3,0014 (aunque la cifra significativa de 0,0009 sea la más pequeña). 0,00321

5

3,21 3 10 23

Alerta Visita la siguiente dirección electrónica para que te ejercites en el manejo de las cifras significativas de una cantidad: http://www.educaplus. org/formularios/ cifrassignificativas.html

3 Cifras significativas

Figura 1.7

Cifras significativas.

Problema resuelto Determina el número de cifras significativas de los siguientes números: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

34 cm 4,677789 km 109 005 m/s 0,0014558 m 1,532880 3 108 7,9234003 3 102 10 700

8. 9. 10. 11. 12. 13.

0,10506 El resultado de sumar 0,001817 1 0,000365 5 0,002182 El resultado de sumar 1,003 1 0,0005 5 1,0035 El resultado de restar 1,004 2 0,996 5 0,008 El resultado de multiplicar 6,3 3 9,8 5 62 El resultado de dividir 2,45 entre 0,8913 5 2,75

8. 9. 10. 11. 12. 13.

5 4 5 1 2 3

Respuesta

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

2 7 6 5 7 8 5

Problema resuelto Es necesario medir el perímetro de un rectángulo, del cual dos de sus lados miden 25,5 cm y los otros dos lados miden 55,34 cm. ¿Cuál es el valor del perímetro? Respuesta

25,5 cm 1 25,5 cm 1 55,34 1 55,34 5 161,7 cm La suma matemática resulta 161,68 cm, pero recuerda que para la suma o la resta lo que cuenta es el número de decimales más pequeño de cualquiera de los términos sumados o restados. Por tanto, la respuesta correcta es 161,7 cm.



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Problema resuelto A partir de los datos del problema anterior, calcula el área con una incertidumbre estimada de 6 0,1 cm, para los lados cortos, y de 6 0,2 cm, para los lados largos. Respuesta

Datos: a 5 (25,5 6 0,1) cm b 5 (55,34 6 0,2) cm Por tanto, Área 5 ab ø (25,5 6 0,10) cm 3 (55,34 6 0,20) cm ø (25,5 3 55,34 6 55,34 3 0,10 6 25,50 3 0,20) cm2 Área ø (1410 6 11) cm2

Problema resuelto Se te pide que midas el área y la circunferencia de un círculo con la incertidumbre para cada uno. El radio mide 35,5 6 0,2 m. Respuesta

Para el área:

A 5 pr2 A ø p(35,5 6 0,2)2 m2 ø p(35,5 6 0,2)(35,5 6 0,2) m2 ø p(35,5 3 35,5 6 35,5 3 0,2 6 35,5 3 0,2) m2 A ø (3 960 6 45) m2

Para el perímetro: P 5 2pr ø 2p(35,5 6 0,2) m ø 2p (35,5) 6 2p (0,2) m P ø (223 6 1,3) m

1.5  Sistema Internacional de Unidades (SI) El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema oficial en México y otros países. En 1890, México se adhirió al Tratado del Metro, donde se adoptó el Sistema Métrico Decimal como sistema oficial para facilitar las actividades tecnológicas, industriales y comerciales. En la actualidad, 52 países participan como miembros de este tratado. Este sistema se fundamenta en siete unidades básicas que corresponden a las magnitudes de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de materia e intensidad luminosa. Dichas unidades son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela.

❚ Definiciones de las unidades básicas o patrones

A. Metro (m). Unidad de longitud. Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.



B. Kilogramo (kg). Unidad de masa. Definición: un kilogramo es una masa igual a la de un cilin­ dro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte ubicada en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres, Francia. 

UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

C. Segundo (s). Unidad de tiempo. Definición: el segundo es la duración de 9 192 631 770 pe­ riodos de la onda electromagnética correspondiente a la transición entre los dos niveles del estado fundamental del átomo de cesio 133.



D. Ampere o amperio (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica. Definición: un amperio es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores para­ lelos rectilíneos de longitud infinita de sección circular despreciable y situados a una distan­cia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2 3 1027 newtons por metro de longitud.



E. Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica. Definición: un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.



F. Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia. Definición: un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono-12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especifica­ dos de tales partículas.



G. Candela (cd). Unidad de intensidad luminosa. Definición: una candela es la intensidad lumi­ nosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una onda electromagnética monocro­ mática de frecuencia 540 3 1012 hercios.

❚ Algunas unidades derivadas

■

Metro cúbico (m3). Resultado de combinar tres veces la longitud, una de las magnitudes bá­ sicas.



■

Densidad (kg/m3). Resultado de una proporción de la masa (magnitud básica) con el volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no tiene nombre especial.



■

Fuerza (N). Magnitud que se define a partir de la segunda ley de Newton (fuerza 5 masa 3 aceleración). Esta unidad derivada tiene un nombre especial: newton (N).



■

Energía (J). Es la capacidad que se tiene para desarrollar trabajo; es decir, fuerza por distan­ cia. Su nombre es el julio (joule en inglés).

1.6  Conversión de unidades En muchas ocasiones deberás hacer conversiones de unidades para poder aplicar correctamente los diferentes modelos matemáticos de cada tema y subtemas de este libro. Un método fácil y sencillo es multiplicar la unidad por la cantidad que se va a convertir. A esta cantidad se le llama factor de conversión. Veamos: En el SI, el patrón de medida para la distancia es el metro. Sin embargo, un metro puede dividirse en 100 cm, que es exactamente lo mismo; así como también, 1 hora son 3 600 segundos. Además, sabemos que podemos multiplicar cualquier cantidad por 1 sin que se altere. Eso es justo lo que vamos a hacer para convertir.

Problema resuelto Alerta Siempre que realices un cálculo se deben incluir todas las unidades de cada una de las magnitudes y conservarlas durante todo el proceso de solución de un problema.

Convertir 40 km a cm. Respuesta

Como 1 km tiene 1 000 m y 1 m tiene 100 cm, entonces 1 km tiene 100 000 cm. Por consiguiente, mul­ tiplicamos por la unidad que son 100 000 cm/km:

1

2

1 00 000 cm 5 4 000 000 cm 5 4 3 106 cm 5 4 Mcm 40 km km El resultado es 4 Mega centímetros (el prefijo M significa 106)



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Problema resuelto Podemos usar cualquiera de estos u otros factores de conversión. Convertir 25,5 s en horas. Respuesta

1

2

1h 25,25 s 5 0,007 h 5 7 3 1023 h 5 7 mh 3 600 s

El resultado es 7 mili horas (el prefijo m significa 1023)

Problema resuelto Convertir 54 km/h a m/s (esta conversión es muy común en cinemática). Respuesta

1

21

2

km 1h 1 000 m m 54      5 15  h 3 600 s 1 km s Para esta conversión, multiplicamos 54 km/h por la unidad en horas y segundos que no altera la canti­ dad original. También multiplicamos por km y metros, haciendo que el factor de conversión se invierta de acuerdo con la necesidad de cancelación de unidades. Así, el resultado es 15 m/s.

Alerta Observa que el factor de conversión se puede invertir de acuerdo con las necesidades de cancelación de unidades.

Problema resuelto 1. Convertir 85 m/s a km/h 2. Convertir 9,81 m/s2 a km/h2 3. Convertir la densidad del oro de g/cm3 a kg/m3 4. Convertir 45° a radianes 5. Convertir ½ rev/s a rad/s 6. Convertir 5 rad/s2 a rev/s2 Respuesta

1 21

21

2

m 3 600 s 1 km km 1. 85      5 306  s 1h 1 000 m h

1 21

21

21

2

m 3 600 s 3 600 s 1 km km 2. 9,81  2       5 127 137,6  2 s 1h 1h 1 000 m h

1 21

21

2

g 1 kg 1 3 106 cm3 kg 3. 19,3 3     5 193 000  3 3 1 m cm 1 000 g m

1

2

2 p rad 4. 45°  5 0,79 rad 360°

1 21

2

1 21

2

1 rev 2 p rad p rad   5   5.   2 s 1 rev 2 s rad 1 rev rev 6. 5  2   5 0,796  2 s 2 p rad s



UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

Problema resuelto Un administrador de fincas tiene que hacer la siguiente operación: en un terreno plano a su cargo se planea plantar árboles de aguacate, dejando un espacio libre de 25 m2 por cada árbol. Si el terreno tiene 2,5 hectáreas (ha), ¿cuántos árboles de aguacate puede sembrar? Respuesta

Una hectárea tiene 10 000 m2.

1

2

10 000 m2 25 000 m2 2,5 ha  5 25 000 m2   [   5 1 000 arbolitos 1 ha 25 m2

Problema resuelto Si el vuelo de un avión es de 10 h a velocidad de crucero (400 nudos). a) ¿Qué distancia en km puede volar antes de requerir cargar combustible? b) ¿Cuántos galones requiere su tanque de combustible si consume 12 L/km? Respuesta

a)  1 nudo son 1,852 km/h:

1

2

1,852 km/h 400 nudos  5 740,8 km/h 1 nudo La distancia recorrida se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo de vuelo: d 5 vt 5 (740,8 km/h)(10 h) 5 7 408 km b)  1 L son 0,264172 galones. Para el recorrido el avión consume:

1

2

1L 5 88 896 L 7 408 km  12  km Por tanto, la capacidad del tanque de combustible es:

1

2

0,264172 galones 5 23 483,83 galones 88 896 L  1L

1.7  Análisis dimensional Para la Física, como para algunas otras ciencias, el análisis dimensional resulta muy enriquecedor, ya que cada magnitud tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente, dimensionalmente hablando. Consideremos que para especificar longitud, masa, tiempo, área y volumen usaremos las letras L, M y T, y que sus unidades para rapidez, aceleración, masa, área, volumen y tiempo se representan en la siguiente tabla:

10

Rapidez o velocidad ( L / T )

Aceleración ( L / T 2 )

Masa ( M )

Área ( L 2 )

Volumen ( L 3 )

Tiempo ( T )

m/s

m/s2

kg

m2

m3

s

Grupo Editorial Patria© Por ejemplo, supongamos que: aav bt cm d (La aceleración es proporcional a la velocidad, el tiempo y la masa.) En sus dimensiones correspondientes:

12

L L 5 T 2 T



b

T cMc



LT 22 5 LbT 2b T cMd



LT 22 5 LbT c 2 b T cMd

De donde se deduce que b 5 1, c 2 b 5 22 (c 5 21) y d 5 0. Por consiguiente, la ecuación está balanceada. Entonces, es claro que: aav 1t 21 Como bien sabemos, la aceleración es la razón entre el cambio de la velocidad y el tiempo em­ pleado en ese cambio. En un análisis dimensional correcto, se eliminan las variables que no intervie­ nen, como es el caso de la masa en el ejemplo anterior.

Problema resuelto Demuestra que la velocidad es igual a la distancia dividida entre el tiempo. Respuesta

Como la velocidad por definición es: L L 5 v 5 T T

Problema resuelto Demuestra que la energía cinética es proporcional a la velocidad y a la masa. Eam av b Respuesta

La unidad de la energía cinética es el Joule (J):

Por tanto,

m2 J 5 Nm 5 kg  2 s





L b ML 2T 22 5 M a b T 





ML 2T 22 5 M a L bT 2 b

De donde se deduce que a 5 1 y b 5 2. Por consiguiente, la ecuación es consistente con la unidad de energía (J).



L 2 ML 2T 22 5 M 1 2 T 





E a mv 2

Nota: La ecuación de energía cinética es E c 5 ½ mv2. Debido a que el factor ½ es adimensional, no hay forma de determinar esto con el análisis dimensional.

11

UNIDAD

1

Problemas para resolver

1.1  Determina la incertidumbre porcentual de 9,78 6 0,2 cm. 1.2  Al realizar experimentos es indispensable tener mu­ cho cuidado al momento de cronometrar. El tiempo de reacción de hombres y mujeres es muy cercano a 0,2 s; es decir, al momento de arrancar y parar el cronómetro siempre hay un atraso de 0,2 s, aproximadamente. Aun­ que esto se compensa con la práctica constante, aún se puede considerar que puede haber una incertidumbre estimada de por lo menos 0,1 s. Con este dato calcula las incertidumbres porcentuales de: a) 5 s

1.6  Determina el número de cifras significativas de los si­ guientes números: a) 8,9300 3 101 b) 0,00157 c) 0,301 d) 0,71423

b) 20 s

e) 86 900

c) 40 s

f) 8 256 090

d) 90 s 1.3  Determina el área y la incertidumbre porcentual de un cuadrado cuyos lados miden 10 cm y cuya incertidumbre estimada es de 0,1; (10 6 0,1) cm. 1.4  En una fábrica de tornillos es muy importante cui­ dar la calidad de cada una de las piezas, por ello el área de calidad desea conocer la incertidumbre porcentual de cada una de las líneas de producción, con ese fin se toman muestras aleatorias de cada línea: Línea A Incertidumbre estimada: 6 0,02

Línea B Incertidumbre estimada: 6 0,02

Núm.

Longitud (cm)

Núm.

Longitud (cm)

1 2 3 4 5

5,01 5,03 5,02 5,00 5,00

1 2 3 4 5

6,00 6,00 5,99 6,01 6,01

6 7 8 9 10

5,01 5,02 5,01 5,01 5,03

6 7 8 9 10

5,98 6,02 6,01 6,01 6,00

Línea C Incertidumbre estimada: 6 0,005

12

1.5  En una fábrica de envases de plástico se elabora una se­ rie de tapas circulares que miden 8,5 cm 6 0,02 de diámetro y tienen un espesor de 0,050 6 0,0005 cm. Calcula el volu­ men medio de las tapas y la incertidumbre del volumen.

Núm.

Longitud (cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,50 0,53 0,50 0,51 0,51 0,52 0,50 0,50 0,52 0,53

Problemas aplicados a la realidad

g) El resultado de sumar 0,187 1 0,035 h) El resultado de restar 4,04 2 0,96 i) El resultado de multiplicar 3,345 3 9,111009 j) El resultado de dividir 24 577 entre 91,3000 1.7  Calcula el volumen de una caja de 15,3 mm de altura; 25,3 cm de ancho y 110,3 cm de largo. 1.8  El resultado de sumar 4,38 3 102, 2,35 3 103 y 5,834 3 102. 1.9  1,984 3 106 km2 es la extensión del territorio mexicano en la cual viven 9,9 3 107 mexicanos. ¿Cuál es la densidad poblacional por km2? 1.10  Calcula el área de una cancha de futbol soccer (120 m 3 90 m). ¿Cuántas cifras significativas tiene el resultado? 1.11  ¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes nú­ meros? a) 1,0063 b) 1,482 3 1029 c) 54,8 6 0,10 d) 17,98003 1.12  Convierte 1 852 m/h a nudos. 1.13  Convierte 0,4 m/s2 a km/h2. 1.14  Convierte la densidad del mercurio de g/cm3 (la densi­ dad del plomo es 13,6 g/cm3) a kg/m3. 1.15  Convierte 65° a radianes. 1.16  El espesor de un billete puede variar de 0,06 a 0,12 mm. Suponiendo que éste es el rango de los billetes de 200 euros y su área es 153 3 82 mm, ¿qué volumen ocuparía 1 000 000 de euros? ¿Cabrían en un portafolio de 7 3 35 3 40 cm? 1.17  La altura promedio de un hombre es de 1,8 m. Si el átomo de carbono tiene un radio atómico de 77 pm (picó­ metros), ¿cuántos átomos cabrían en línea de los pies a la cabeza del hombre? Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 1.18  ¿Cuánto pesa un galón de agua? 1.19  La velocidad de la luz es 299 792 458 m/s, ¿qué dis­ tancia recorrería en un año? (En millas náuticas [M en SI] que equivalen a 1 852 m.) 1.20  ¿Cuál es la masa total de agua en toneladas en la Tie­ rra? (Considera que ¾ partes de la superficie terrestre son agua, que tiene una profundidad promedio de 4 km y una densidad media de 1 027 kg/m3.) 1.21  Calcula la masa total del aire en la atmósfera terrestre en toneladas. (Considera que la altura de la atmósfera es de 100 km y que la densidad media del aire es de 1 240 kg/m3.) 1.22  Calcula la masa total de aire en la atmósfera terrestre en toneladas (considera que 75% del aire está a tan solo 11 km de altura y que la temperatura no cambia con la altura. ALERTA Aplica la ley de las atmósferas.

1.24  Un agricultor necesita una camioneta de trabajo y viaja a un pueblo en la frontera donde puede adquirir una más económica; el vendedor le comenta que el consumo de ga­ solina de la camioneta es de 40 millas por galón en carrete­ ra. La distancia entre su pueblo y el pueblo fronterizo es de 278 km, ¿cuánta gasolina requiere en litros para este viaje? 1.25  La esperanza de vida es la media de años de vida que se espera que una persona viva, ésta varía en cada país, y es diferente para hombres y mujeres. La esperanza de vida en los países occidentales es de alrededor de 75 años para los hombres y de 80 años para las mujeres. ¿Este dato a cuántas horas equivale para hombres y mujeres? 1.26  Una grúa debe mover una carga de 2,65 ton. El fabri­ cante recomienda que el peso límite que puede cargar es de 3 306,93 lb. ¿Puede mover esa carga? Justifica tu res­ puesta. 1.27  Un joven pasa 10 934 s diarios en una red social con sus amigos, ¿cuántas horas a la semana invierte en esta ac­ tividad? 1.28  Se tiene un barril de madera con un volumen de 3,56 m3 y se desea almacenar 785 galones (americanos) de vino tinto. ¿Es suficiente este recipiente? Si no es suficiente, ¿cuántos barriles más se necesitan? 1.29  Un conductor de televisión que da el reporte del tiempo para el territorio mexicano, decidió jugarle una broma a sus televidentes el día de los Santos Inocentes y todos los datos de temperatura los dio en °F, por lo que algunas personas pensaron que sería un día muy caluro­ so, ¿es correcta la apreciación de los televidentes?

Problemas aplicados a la realidad

1.31  La densidad del hierro fundido es de 7 200 kg/m3. Cal­ cula la conversión en libras por pies cúbicos. 1.32  Convierte a grados Celsius las siguientes temperatu­ ras: a) 220 K y b) 498 K. 1.33  En una fundidora es muy importante considerar los siguientes datos del mercurio (Hg): su punto de ebullición se encuentra en 675 oF y solidifica a 238 oF a presión atmosférica. Los datos de la temperatura los requiere el área de control de calidad en grados centí­ grados. Realiza la conversión. 1.34  Expresa la masa atómica de la molécula del oxígeno de 32 g en: a) miligramos, b) en kilogramos y c) en libras. 1.35  ¿Cuántos gramos de sulfuro de cobre hay en 5 lb?

1.23  ¿Qué superficie puedes cubrir con una película del­ gada de 0,5 mm con 3 3 1022 átomos de carbono? (El radio atómico del C es 77 pm.)

Ciudad de México: 70 °F Monterrey: 83 °F Querétaro: 61 °F

1.30  Calcula la densidad de una esfera de 3,5 cm de diá­ metro que tiene una masa de 420 g y con un volumen de 52 cm3.

1.36  Se da la siguiente expresión matemática para calcular la velocidad de un objeto (v) en un tiempo determinado (t) a una altura (h) dada. Determina las dimensiones de la expre­ b x b1h sión: v5 3 1 (x 3 y) T  y 1.37  En la siguiente tabla aparecen algunas variables que son importantes en mecánica de fluidos, completa la tabla con los datos que se solicitan. Variable

Símbolo

Potencia

Dimensión

P

Flujo volumétrico Densidad del fluido Velocidad angular de un rotor

v

1.38  Comprueba con análisis dimensional los siguientes modelos matemáticos: GMm a) F 5 2 (ley de la gravitación universal) r  b) T 5 2p

W l

! g (periodo de un péndulo)

c) W 5 Fd cos w (trabajo) d ) F 5 ma (segunda ley de Newton) e) V 5 R I (ley de Ohm) f ) P 5 V I (potencia eléctrica) g ) P 5 I 2 R (potencia eléctrica)

Problemas para resolver con tecnología

13

UNIDAD

1

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

Problemas reto El punto central de la física cuántica es el principio de incertidumbre que postula que es im­ posible conocer con exactitud y al mismo tiempo la velocidad y la posición de una partícula, ¿por qué?

1

Se desea construir una clínica de 10 consultorios en una zona rural de Nayarit. Para la cons­ trucción de esta clínica se requieren las siguientes cantidades de material:

2

Cemento: 500 m3 Varilla: 40 toneladas Yeso: 30 toneladas Tabique: 15 millares Cable: 2 000 m Mosaico: 700 m2 Tubería de cobre de 1/2 pulg: 1 000 m Pintura: 320 litros ■

¿Cuántos bultos de cemento se deben adquirir?

■

¿Cuántos bultos de yeso se requieren?

■

¿Cuántas piezas de mosaico se necesitan si una pieza mide 62 3 50 cm?

■

Se requieren 25 yd de tubería. ¿Tiene algún sobrante de la solicitud inicial?

■

¿Cuántos kilos puede transportar un camión de varilla?, ¿cuántos viajes debe dar?

■

■

¿Cuántos galones de pintura se requieren? ¿Cuántos galones son por cubeta de pin­ tura? ¿Cuál es el costo de la clínica? (Investiga los precios en tu comunidad.)

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R. y Walker J. Fundamentos de Física, Vol. 1, 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Gieck K. y Gieck R., Manual de fórmulas técnicas, 31ª edición ampliada. Alfaomega, México, 2007. Young, H. D., Freedman R. Física universitaria Vol. 1, 12ª edición. Pearson, México, 2009.

Referencias de Internet ■

■

14

http://www.cenam.mx/ (Centro Nacional de Metrología) http://www.simet.gob.mx (Sistema de Información Metrológica)

UNIDAD

2

Vectores Objetivos Conocer la expresión de algunas magnitudes vectoriales como: fuerza, aceleración, velocidad o desplazamiento. Conocer la aplicación de los vectores unitarios. Aplicar las operaciones de suma, resta, producto escalar y producto vectorial. Aplicar las diferentes propiedades de los vectores a la resolución analítica de problemas de física. Resolver problemas sencillos de estructuras a través de la aplicación de vectores y sus propiedades.

¿Qué sabes? ¿Sabes cómo resolver problemas de mecánica usando vectores? ¿Sabes cómo se calculan las fuerzas que intervienen en una construcción? ¿Sabes cómo se puede determinar qué estructura metálica comercial se debe adquirir para usarse en una construcción? ¿Sabes cómo calcular el momento angular de las hélices de un helicóptero?

UNIDAD

2

Vectores

2.1  Introducción El helicóptero Sikorsky CH-54, conocido como «la grúa», que data de 1962, podía levantar 21 000 kg de carga útil (figura 2.1). En este ejemplo, si el helicóptero está en vuelo estacionario, el equilibrio de fuerzas es cero. Es decir, la suma de fuerzas (fuerza neta) que actúan en todo el sistema helicópterocarga (avión suspendido), deberá ser igual a cero. Sin embargo, conocer cuáles son las tensiones a las que están sometidos los cables de acero que sostienen la carga es vital para evitar un accidente. Figura 2.1 Helicóptero Sikorsky CH-54.

2.2  Vectores y suma de vectores Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales. Esto es, las magnitudes o cantidades escalares son aquéllas en donde solamente se denota la magnitud. Por ejemplo, la temperatura promedio del cuerpo humano es de 36 °C. Ésta es una cantidad escalar, ya que no tiene mayor información. Otro ejemplo es la rapidez de un tren en donde sólo se informa su magnitud: 80 km/h. Muchos conceptos de física como: distancia, tiempo, temperatura, masa, carga y volumen son cantidades escalares. Sin embargo, una magnitud o cantidad vectorial es aquélla en donde, además de dar la magnitud, se da la dirección, el sentido y el punto de aplicación. Por ejemplo, la velocidad del tren del ejemplo anterior es 80 km/h y su dirección es hacia el norte. Ésta es una cantidad vectorial y se representa gráficamente con una flecha que, a escala, deberá tener magnitud (considerando el largo de la flecha como su magnitud) y la dirección y sentido asociado a un marco de referencia ya convenido con antelación; además, cuenta con dirección que, por lo general, se menciona en grados. Conceptos físicos como desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza y momento son cantidades vectoriales. Se define como vector a todo segmento de recta que está orientado o dirigido en el espacio. Los componentes de un vector son: ■

Alerta La magnitud de un vector siempre es un número positivo. Generalmente, se representa como vector entre barras |v |.

■ ■

■

■

Origen: Es el punto exacto donde nace el vector, también conocido como punto de aplicación. Extremo: Es el segundo punto del vector. Magnitud o módulo: Es la longitud del vector o del segmento de recta. Para conocer esta medida, es necesario medir desde el origen del vector hasta el extremo. Sentido: El sentido del vector se indica con una flecha situada en el extremo del mismo, indicando el lado de la línea de acción hacia donde se dirige el vector. Dirección: Se determina por la orientación en el espacio de la recta del vector.

{ A

Los vectores se pueden representar de diferentes formas: una es sólo con letras mayúsculas en negritas; otra, con una flecha o raya arriba (figura 2.2). (En este libro, representaremos los vectores de todo tipo con letras mayúsculas, en negritas y cursivas.)

Representación gráfica de un vector a escala.

Respecto del tema de los vectores, siempre hay que tener en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que está formado por un origen O y tres ejes perpendiculares x, y y z. A este sistema de referencia se le conoce como sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.

Figura 2.2

❚ Tipos de vectores A continuación se mencionan los diferentes tipos de vectores y se da una breve explicación de cada uno de éstos: ■

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

■

Vectores fijos: están aplicados en un punto en particular.

■

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

■

■

16

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizarse a lo largo de su recta de acción. Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio.

■

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.

■

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

■

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas están situadas en un mismo plano.

Grupo Editorial Patria© ❚ Suma de vectores A continuación se hace una exposición de los diferentes métodos para la suma de vectores.

n

A

n

Solución gráfica: método del paralelogramo

R

Éste es un método en el que mediante una gráfica o un diagrama de cuerpo libre es posin n n ble encontrar el vector resultante de la suma de dos vectores R 5 A 1 B . Éste consiste en deslizar cada vector paralelamente hasta formar un paralelogramo (figura 2.3). n

B

Suma de vectores o método del polígono

Considera que tienes tres o más vectores actuando sobre un mismo plano. En Física es muy conveniente obtener un solo vector que represente a los demás; el resultado es la suma vectorial o vector n n n n n resultante R , que es la suma de A 1 B 1 C 1 ??? 5 R . El procedimiento gráfico es usar el método del polígono y consiste en colocar cada vector uno detrás del otro, sin dejar de apuntar en la misma dirección, como se muestra en la figura 2.4.

n

n n

A

n

1

C

1

B

5

A

Figura 2.3 n

R es el n vectornresultante de sumar A 1 B .

n

B

n

R

n

C



Figura 2.4



Representa tres vectores en un mismo plano y el resultado de la suma de éstos. Nota: El orden de los vectores consiste en estar uno detrás de otro, y su resultante deberá ser la equilibrante. n

El vector resultante R se obtiene uniendo el inicio del primer vector con la parte final del último vector. n

A

Resta de vectores

n

n

n

n

Al igual que lo dicho en el párrafo anterior, la resta vectorial se denota por A 2 B 5 A 1 (2 B ), en donde uno de los vectores tendrá la dirección contraria. Considerando los mismos vectores de la figura 2.4, se obtiene la figura 2.5.

n

n

A2B

n

B

Resolución algebraica: componentes rectangulares de un vector Cualquier vector puede estar contenido dentro de un marco de referencia, el cual puede ser el plano cartesiano “x y”, o en tres dimensiones “x y z”. O bien, en coordenadas polares u otro marco. Pero, en esta sección nos referiremos únicamente al plano cartesiano “x y”. El fundamento principal para la resolución de problemas con vectores es entender que cualquier vector puede ser equivalente a sus componentes rectangulares; es decir, la dirección y magnitud de un vector pueden ser descritas a través de sus componentes en x y y. Supongamos que tenemos el n vector fuerza (F  ) contenido en el plano “x y”, como se muestra en la figura 2.6. Sus componentes rectangulares son Fx y Fy. Es muy importante tener memorizadas las funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente para la fácil solución de problemas con vectores. y

n

Fy

F

n

|Fx| 5 |F | cos u

u n

Fx



n

El vector A 2 B es el resultado de restar el vector n n A del vector B .

|Fy| 5 |F | sen u

n





Figura 2.5

x

Fy sen u 5 Fx

Figura 2.6

17

UNIDAD

2

Vectores Una vez que se han obtenido las fuerzas en “x y y”, se obtiene la fuerza resultante mediante el teorema de Pitágoras: F 2 5 |Fx2 1 Fz2 | Esta misma ecuación se puede extender para vectores en el espacio: F 2 5 |Fx2 1 Fy2 1 Fz2 |

❚ Vectores unitarios Los vectores unitarios están representados por i, j y k, para cada uno de los ejes cartesianos (“x, y y z”, respectivamente), y su magnitud es igual a la unidad (es decir, cada uno vale 1). Por ejemplo, en la figura 2.8 el vector fuerza resultante F se puede escribir como la suma de los vectores fuerza unitarios Fx iˆ 1 Fy jˆ 1 Fz kˆ . Otra manera de expresarlo puede ser a partir de sus ángulos u o sea el producto de un escalar por un vector: F 5 F (cos uxi 1 cosuy j 1 cos uzk ) donde F es un escalar que se puede obtener como: y ^ Fy j (0, 1, 0)

F (1, 1, 1) (1, 0, 0) ^

Fx i (0, 0, 1)

z

Figura 2.7

x

^

Fz k

Problema resuelto Obtén las componentes rectangulares del vector velocidad representado en la figura 2.8.

y

n

v 5 5 m/s

n

vy

u 5 25° n

Figura 2.8



vx

x

Respuesta

Usando las funciones trigonométricas respectivas para obtener las magnitudes de las componentes rectangulares en los ejes “x y y”, respectivamente, Vx:

18



Vx 5 V cos u Vx 5 5 m/s cos (25,0°) Vx 5 4,53 m/s



y Vy:



Vy 5 V senu Vy 5 5 m/s sen(25,0°) Vy 5 2,11 m/s

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto n

dy 5 3 m

Dadas las componentes rectangulares de la figura 2.9, n obtén el vector resultante de desplazamiento D.

n

D5?

u5? n



dx 5 4 m

Figura 2.9

Respuesta

Aplicando el teorema de Pitágoras para dos dimensiones obtendremos: D 5 ! dx2 1 dy2 5 ! (4 m)2 1 (3 m)2 5 5 m Y el ángulo se obtiene con: dy 3m    [   u 5 36,87° tan u 5 5 4m dx

Problema resuelto y

Obtener la resultante de los dos vectores de n fuerza mostrados en la figura 2.10, F 1 5 45 N y n F 2 5 55 N y su ángulo correspondiente u.

55 N 45 N 130° 30°

Figura 2.10  

x

Respuesta

Para resolver este problema es necesario obtener las componentes rectangulares de cada vector, como se muestra en las figuras 2.11 y 2.12: Para el eje de las “x”: Fx 5 45 N (cos 30°) 1 55 N (cos 130°) 5 38,97 2 35,35 5 3,62 N

y 55 N 45 N 130° 30° Figura 2.11  

55 cos 130° 5 235,35

x 45 cos 30° 5 38,97 19

UNIDAD

2

Vectores Para el eje de las “y”: Fy 5 45 N (sen 30°) 1 55 N (sen 130°) 5 22,5 1 42,13 5 64,63 N

y

55 N

55 sen 130° 5 42,13 45 sen 30° 5 22,5

45 N

130° 30°

x

Figura 2.12  

Por consiguiente ([): Fuerza

Multiplicada por eje “x ”

55 N

55 cos 130° 5 235,35 N

55 sen 130° 5 42,13 N

45 N

45 cos 30° 5 38,97 N

45 sen 30° 5 22,50 N

^ Fy 5 3,62 N

^ Fy 5 64,63 N

Alerta Los signos menos (−) y más (+) indican la dirección de las componentes rectangulares en cada uno de los ejes. Hay que tener mucho cuidado de no omitirlos.

Multiplicada por eje “y ”

n

En la figura 2.13 se muestra la resultante F , que es la suma vectorial de F1 5 45 N y F2 5 55 N. La magnitud de F está dada por el teorema de Pitágoras:

F 2 5 ( ^ Fx2 1 ^ Fy2)



F 2 5 (3,62)2 1 (64,63)2



F 5 ! (3,62 )2 1 (64,63 )2 5 64,73 N

y

45 N 130°

tang21u 5 ( ^ Fy / ^ Fx)



tang u 5 (64,63/3,62) 5 86,8°

F

55 N

Y el ángulo correspondiente es:

n

u 30°

x

21



Figura 2.13

En la figura 2.13, F representa la resultante de la suma vectorial de F1 5 45 N y F2 5 55 N y u 5 86,8° es el ángulo del vector resultante F.

Como se dijo anteriormente, los vectores también se pueden representar como la suma de vectores unitarios ^ i , ^ j,^ k . Veamos en el siguiente problema:

Problema resuelto ^

Utilizando vectores unitarios Fx^i 1 Fy ^j 1 Fzk , representa el vector resultante F del problema anterior. Respuesta

20



F 5 Fx^i 1 Fy ^j



F 5 3,62 i^ 1 64,63 j^

[

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Tres fuerzas actúan simultáneamente sobre un mismo objeto en diferentes direcciones. Estas fuerzas ^ ^ ^ son: F1 5 3i^ 1 4  ^j 2 2k , F2 5 23i^ 1 2  ^j 2 5k y F3 5 25i^ 2 3k . a) Determina el vector resultante F. b) Obtén la magnitud de la fuerza F. Respuesta

a) Se suma vectorialmente las tres fuerzas: F1 1 F2 1 F3 5 F

^

F1 5 3i^

1 4  ^j 2 2k

^

1 F2 5 23i^ 1 2  ^j 2 5k





^

F3 5 25i^ 2 3k —————————— ^ ^ ^ F 5 25i 1 6  j 2 10k

^

F 5 25i^ 1 6  ^j 2 10k

b) F 5 ! (25 N )2 1 (6 N)2 1 (210)2 5 12,69 N

Problema resuelto 15 N

a) La solución gráfica o mediante el diagrama de cuerpo libre (método del polígono). b) La solución analítica (método por componentes rectangulares). 25 N c) El vector resultante F mediante vectores unitarios.

20 N 70° 80°

35 N

Figura 2.14   Respuesta

25 N

a)

y

30 N

Cinco fuerzas actúan sobre un mismo punto, las cuales se representan en la figura 2.14. Determina:

30 N

80°

15 N 35 N

45°

Figura 2.15  

20°

20 N

b) Tabla 2.1 Fuerza 20 N 15 N 30 N 25 N 35 N

Componente x (20 N) cos 30° 5 17,32 N (15 N) cos 60° 5 7,50 N (30 N) cos 110° 5 210,26 N (25 N) cos 180° 5 225 N (35 N) cos 260° 5 26,08 N ^ Fx 5 216,52 N

Componente y (20 N) sen 30 5 10 N (15 N) sen 60° 5 12,99 N (30 N) sen 110° 5 28,19 N (25 N) sen 180° 5 0 (35 N) sen 260° 5 234,47 N ^ Fy 5 16,71 N

60° 30°

x

Alerta Aunque todos los ángulos están indicados desde el eje de las x, es conveniente trazarlos siempre en el sentido anti-horario, aun después de 90°, de esa manera se obtiene el signo + o − correcto en la calculadora (o al orden de los cuadrantes de los ejes cartesianos). De otra manera, es necesario estar muy atento a la dirección positiva o negativa de las componentes sobre cada uno de los ejes. Por ejemplo, el (30 N)cos70° es + 10,26 y (30 N)cos 110° es −10,26. Aunque es la misma magnitud, el signo es contrario, lo que indica que también tiene direcciones contrarias.

21

UNIDAD

2

Vectores De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la fuerza resultante F es:

Alerta El signo negativo en el resultado indica que el ángulo está en el 4° cuadrante de los ejes cartesianos. Otra manera de verlo es considerar que el ángulo se está trazando en sentido horario a partir del eje de las “x”.



F 5 !  ( ^ Fx )2 1 ( ^ Fy )2



F 5 ! (216,52 N )2 1 (16,71)2



F 5 23,5 N

Y el ángulo es: tan u 5

 ^ Fy  ^ Fx

16,71 5 216,52

[ u 5 245,33° c) F 5 Fx i 1 Fy j 5 ( ^ Fx )i 1 ( ^ Fy ) j F 5 216,52i 1 16,71 j 

Problema resuelto y

Una fuerza F de 200 N se aplica a una partícula formando un ángulo u con el eje de las “x”. La componente “y” de esta fuerza F es de 50 N. Determina el valor de la componente rectangular “x” y el ángulo u.

n

F 5 200 N

Fy 5 50 u 5 Fx Figura 2.16  

x

Respuesta

cateto opuesto Para determinar el ángulo u, se puede utilizar la función trigonométrica: sen u 5 hipotenusa

1

50 N u 5 sen21  200 N

2 5 14,48°

y con este ángulo se puede obtener la componente horizontal Fx:

Fx 5 (200 N) cos 14,48°



Fx 5 193,65 N

Problema resuelto Un cubo de hielo se desliza sobre una rampa sin fricción con un ángulo u. Realiza un esquema y determina las fuerzas que intervienen. Respuesta

u F sen u F cos u Figura 2.17  

u

F 5 mg

fuerza debida al peso (masa 3 aceleración de la gravedad).

22

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un barco pequeño navega sobre un lago. Sus instrumentos indican una velocidad de 8 nudos (1 nudo es 1 852 m/h) y su giroscopio señala hacia el norte como su dirección. En el lago hay una corriente de 4 nudos de este a oeste. Determina la velocidad real del barco. Respuesta

N 8 nudos 8 nudos

O 4 nudos

Figura 2.18  

S

   



Vreal 5 ! (8 nudos )2 1 (4 nudos)2



Vreal 5 8,94 nudos norte hacia el oeste

1



8 nudos u 5 tan21  4 nudos



u 5 63,43°

E

Vreal

4 nudos

2

Problema resuelto Un velero navega en el Océano Pacífico con las velas desplegadas. Determina la velocidad y la dirección del velero si el viento viene (por barlovento) del norte a 30 nudos, hay una corriente marina del este de 5 nudos y las fuerzas que actúan entre el velamen y la quilla del velero dan como resultado un vector de velocidad V 5 10i^ 1 35 j^ (figura 2.19). Respuesta

Se suman todos los vectores de velocidad.

C ^

^

V 5 10 i 1 35 j

B B Velocidad del viento 30 nudos



C A V 5 7,07 nudos Velocidad de la corriente 5 nudos    A

C

B

A

Por el teorema de Pitágoras: A 5 25i 1 0 B 5 0 2 30j C 5 10i 1 35j ——————— A 1 B 1 C 5 5i 1 5j



C B

V 5 7,07 nudos

Vreal 5 ! 5 n2 1 5 n2 5 7,07 nudos

1

2

5 nudos u 5 tan21  5 45° 5 nudos

A

C

B

A

Figura 2.19

23

UNIDAD

2

Vectores

Proa al viento

Descomposición de fuerzas

Con el viento de través por babor

Con el viento de través por estribor

Viento

Alerta Es importante destacar que en la navegación, tanto aérea como marítima, los grados se miden de 0° a 360° partiendo del norte magnético y en sentido horario.

Fuerza resultante

Ciñendo por la amura de babor

Ciñendo por la amura de estribor

Por la aleta

Por la aleta Popa cerrada

  

Figura 2.20

Problema resuelto Sobre un auto actúan dos fuerzas, una de 1 400 N hacia abajo y otra hacia la derecha de 3 000 N. Determina la fuerza resultante FR. Respuesta

u

3 000 N

1 400 N

1 400 N

Figura 2.21

24



FR 5 ! (3 000 N )2 1 (1 400 N)2



FR 5 33 106,0 N

1

2



21 400 u 5 tan21  5 225,01° 3 000



u 5 335°

3 000 N

FR

Grupo Editorial Patria© ❚ Multiplicación de vectores Producto de un vector por un escalar Un vector cualquiera puede ser modificado en magnitud sólo con multiplicarlo por un número (escalar) mayor o menor a 1. El sentido también puede ser alterado sólo en 180° y esto dependerá del signo positivo o negativo del número escalar por el que se multiplique el vector.

Producto de un vector por otro vector ■

Producto escalar o producto punto

El producto escalar de dos vectores dados es A ? B y se lee “A punto B” y se define como: A ? B 5 (A)(B)(cos u ) En notación de vector unitario: A ? B 5 (axˆi 1 ay ˆj 1 azkˆ  )(bxˆi 1 by ˆj 1 bzkˆ  ) De acuerdo con la ley distributiva: A ? B 5 (axbx 1 ayby 1 azbz) Y el resultado de esta operación siempre dará solamente una magnitud escalar. Cabe destacar que el resultado de “A punto B” es la magnitud de la componente rectangular del vector A sobre el vector B. Es decir, (B cos u ) es la componente del vector B y (A)(B cos u ) está aplicado sobre el vector A. ■

Alerta Es importante recordar que el producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero.

Ángulo entre dos vectores

De A ? B 5 (A)(B cos u ) se puede despejar cos u y se obtiene una ecuación para obtener el ángulo entre dos vectores no paralelos. (A ? B) 5 cos u |A||B| ■

Producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial de dos vectores dados es A 3 B y se lee “A cruz B” y se define como: C 5 (A)(B)(sen u ) Esta ecuación sólo determina la magnitud del vector C. El resultado de esta operación siempre dará un tercer vector C, perpendicular al plano que contiene a los dos vectores A 3 B. Para obtener la dirección sólo es necesario restar al ángulo del plano que contiene a A 3 B (sen 90°).

a3 b

b

|a 3 b|

u



Figura 2.22



Ejemplo de producto vectorial.  

a

De acuerdo con la ley distributiva y la notación de vector unitario, el producto cruz quedaría así: A 3 B 5 (ay bz 2 by az )iˆ 1 (az bx 2 bzax ) jˆ 1 (ax by 2 bx ay )kˆ

Alerta Es importante hacer notar que el área considerada entre los dos vectores es justamente el valor absoluto de A 3 B.

25

UNIDAD

2

Vectores

Problema resuelto Determinar el vector C, que sea el producto vectorial de A 3 B, donde A 5 (2, 1, 3) y B 5 (21, 2, 24). Respuesta

Primer método: Una forma de obtener el producto vectorial es obtener el determinante de la matriz formada por el vector unitario (i, j, k) y los vectores A y B de la siguiente manera:

i

j

A ? B 5

2

1

3

21

2

24



k

Obteniendo el determinante de la anterior matriz A 3 B: 1 3 2 3 2 1 A 3 B 5 1 i 2 j 1 k 2 24 21 24 21 2

Alerta Es importante hacer notar que cuando se utiliza este método hay que intercalar los signos más y menos.

A 3 B 5 1 [(1)(24) 2 (2)(3)]i 2 [(2)(24) 2 (21)(3)] j 1 [(2)(2) 2 (1)(21)]k A 3 B 5 1 [(24) 2 (6)]i 2 [(28) 1 (3)] j 1 [(4) 1 (1)]k El resultado es: A 3 B 5 210i 1 5 j 1 5k C 5 A 3 B 5 (210, 5, 5) Segundo método: En éste se utiliza la ecuación: A 3 B 5 (ay bz 2 by az )i 1 (az bx 2 bzax ) j 1 (ax by 2 bx ay )k Al sustituir los valores de A 5 (2, 1, 3) y B 5 (21, 2, 24): A 3 B 5 [(1)(24) 2 (2)(3)]i 1 [(3)(21) 2 (24)(2)] j 1 [(2)(2) 2 (2 1)(1)]k A 3 B 5 [24 2 6]i 1 [23 1 8] j 1 [4 1 1]k A 3 B 5 210i 1 5 j 1 5k    (Ley distributiva) Este vector corresponde al resultado de A 3 B y es perpendicular al plano que forman los vectores A con B. Podemos comprobar la magnitud de A 3 B si aplicamos la ecuación: C 5 (A)(B)(sen u ) Sabiendo que A 5 (2, 1, 3) y B 5 (21, 2, 24) y que: | A| 5 ! (2)2 1 (1)2 1 (3)2 5 ! 14 | B| 5 ! (21)2 1 (2)2 1 (24)2 5 ! 21 y la ecuación: (A ? B) ax bx 1 ay by 1 az bz |5 5 cos u |A||B| |! A||! B | [(2)(21) 1 (1)(2) 1 (3)(24)] 5 cos u |! 14 ||! 21 | Tenemos: u 5 134,4° Por tanto,

C 5 (! 14

)(! 21 )(sen 134,4°)

C 5 12,25

26

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto En ocasiones, las torres de transmisión de radio están atirantadas por tres cables de acero como se muestra en la figura 2.24. El cable A está anclado al suelo por medio de un perno y la tensión de dicho cable es de 3 400 N. Determina, a partir de las distancias mostradas en la figura. Las fuerzas componentes Fx, Fy y Fz y los ángulos que definen las direcciones de dichas fuerzas (para este problema no hacemos coincidir los pernos de sujeción de los cables con los ejes cartesianos de tal forma que se tenga que pensar necesariamente en un vector unitario resultante, véase la figura 2.24).

y 45 m A 525 m

7m k i

x

z

Figura 2.24  Respuesta

Primero, se obtiene el vector unitario de la distancia resultante. Esto es: D 5 (250i 1 45 j 1 60k) m Y la magnitud de este vector es: ! (250 m)2 1 (45 m)2 1 (60 m)2 5 90,14 m Por otro lado, la fuerza unitaria sobre el cable sería: 3 400 N N 5 37,72 90,14 m m O, en otras palabras, como la fuerza componente de F (que es la que queremos determinar) son Fx, Fy y Fz, puede ser expresado como el producto de un vector y un escalar: N F 5 37,72 m (250i 1 45 j 1 60k) m F 5 (21 886i 1 1 697 j 1 2 263k) N Lo que significa que las componentes de F son: Fx 5 21 886 N, Fy 5 1 697 N, Fz 5 2 263 N Y las direcciones se obtienen a partir de sus cosenos directores:

21 886 cos u x 5 3 400



cos u x 5



cos u x 5

1 697 3 400 2 263 3 400

implica que: . u x 5 123,7°



implica que: . u x 5 60,1°



implica que: . u x 5 48,7°

27

UNIDAD

2

Problemas para resolver

2.1  Una hormiga se mueve 10 cm hacia el este del punto A al punto B; después se mueve 15 cm hacia el norte hacia el punto C y finalmente regresa al punto A. a) Determina el desplazamiento de la hormiga. b) ¿Cuántos centímetros y en qué dirección se movió la hormiga de C a A?

2.10  Dados los siguientes vectores A 5 (2, 2, 23), B 5 (21, 24, 2), C 5 (2, 2, 2), determina: a) A ? (B 3 C), b) A ? (B 1 C) y c) A 3 (B 1 C)(2i 2 11 j 2 6k) 2.11  Calcula el ángulo entre A 5 (2, 2, 23) y B 5 (21, 24, 2). 2.12  El momento angular de un objeto está definido por: l 5 m(r 3 v )

C

15 cm

A

10 cm

B

2.2  Determina algebraicamente la resultante de las siguientes aceleraciones que se aplican a una partícula: 150 m/s2 a 30°, 90 m/s2 a 80°, 40 m/s2 a 138° y 385 m/s2 a 270°.

En donde m es la masa del objeto en kg, r es el vector de posición y v es el vector de velocidad. Determina el momento angular l de una partícula que gira cuya masa es de 3 kg con vectores (3i 24 j)m r 5 (2i 1 3 j )m y v 5 s 2.13  La torca está definida por t 5 r 3 F. Determina la torca de una partícula de masa 2 kg en donde r 5 (2i 1 3 j ) y [(2t )i 2 5t )k] m v5 . s

ALERTA Recuerda que a 5 dv / dt .

2.3  Determina la fuerza que equilibra FE a las siguientes fuerzas: F1 5 (3i 1 4j 2 5k) N, F2 5 (24i 1 5j 2 2k) N y F3 5 (2i 2 2j 1 4k) N. 2.4  A partir del problema 2.3 determina la magnitud de la fuerza equilibrante FE y la fuerza resultante FR. 2.5  Determina el ángulo que forma la resultante de los siguientes vectores de velocidad V1 5 (4i 2 2k) m/s, V2 5 (23i 1 5k) m/s. 2.6  La máquina de un tren que se mueve al norte a 60 km/h echa humo por su chimenea. El humo forma un ángulo de 30° con respecto a la dirección del tren hacia el suroeste. Determina la velocidad del viento que sopla del oeste. 2.7  Un barco A navega hacia el oeste (rumbo 270°) a 15 nudos. Un segundo barco B navega con rumbo 225° aproximándose al primero (véase la figura 2.18). Determina la velocidad del barco B si siempre mantiene un ángulo de 90° del barco A con respecto a B.

2.14  Utilizando la definición anterior de torca, determina la torca en vectores unitarios de una partícula respecto a un origen coordenado xyz donde dicha partícula está definida por el vector de posición r 5 (2, 5, 23) m, y sobre la partícula actúan dos fuerzas, F1 5 (3, 26, 2) y F2 5 (22, 4, 21). n

2.15  Una persona al caminar se desplaza 10 km a y otra n persona camina 6 km b ambos difieren en direcciones nen n 60°. Encuentra a) la magnitud del producto vectorial a 3 b y b) el producto escalar de los dos vectores que se forman. 2.16  Un joven repartidor de pizzas que conduce su motocicleta tiene que entregar un pedido y va a seguir la ruta que se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante en un diagrama a escala.

2.8  Un barco tiene que navegar a 12 nudos de una orilla a otra para atravesar un río caudaloso. El ancho del río es de 235 m y tiene una corriente de 3 nudos (véase la figura 2.19). Determina: a) Hacia dónde tiene que orientar su proa para cruzar (es decir, obtenga el ángulo de hacia dónde tiene que “mirar” la proa del barco para contrarrestar el efecto de la corriente). b) ¿Cuánto tiempo extra le toma al barco lograr llegar a la orilla (es decir, si no hubiera corriente, cuánto tiempo menos tardaría en llegar)? 2.9  Dos vectores A y B con magnitudes de 25 y 50 unidades y ángulos de 75° y 139°, respectivamente, están medidos a partir del eje x positivo y en sentido contra horario. Determine los valores de A ? B y A 3 B. 28

Problemas aplicados a la realidad

3,1 km 4 km 45° N 2,6 Pizza

O

E S

2.17  En la siguiente tabla se dan diferentes magnitudes. Señala si es escalar o vectorial, además escribe la ecuación de dimensión: Problemas para resolver con tecnología

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Magnitud

Escalar/Vectorial

Análisis dimensional

c) B 2 A

Volumen

d) 3A 1 ½B

Fuerza

e) 5B 2 2A

Trabajo Densidad Superficie Presión

2.18  Una persona consulta los mapas virtuales de la ciudad de Morelia y sigue la siguiente ruta: Inicia en los pollos al pastor “Los de Pátzcuaro” sobre la avenida La Huerta y camina 3,25 km al norte, 4,75 km al oeste y 1,50 km al sur. Calcu­la la dirección y magnitud del desplazamiento resultante. ¿Puedes dar la dirección aproximada a la que llegó? 2.19  Una persona junto con su perro camina en un parque a lo largo de una ruta circular con radio de 5 m, alrededor de un medio círculo. a) Encuentra la magnitud del vector desplazamiento. b) ¿Qué tanto caminaron la persona y su perro? c) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si la persona camina alrededor del círculo?

B

A 4.5 u

2.5 u 15° O

2.25  Un jugador de futbol recorre en línea recta horizontal unos 13 m, mientras que otro jugador del equipo contrario recorre una distancia de 19 m con un ángulo de 25°; si ambos jugadores partieron del mismo punto, ¿cuál sería la suma de ambos vectores de despla­ zamiento? 2.26  Se tienen los vectores A 5 1,5 i 1 3 j y B 5 6 i 2 2 j. Determina: a) De forma gráfica la suma de ambos vectores C 5 A 1 B b) La operación anterior de forma analítica. c) La diferencia de los vectores B y A (D 5 B 2 A). 2.27  Dados los vértices de un triángulo A(1, 2, 5), B(23, 4, 5) y C(21, 3, 8), encuentra las coordenadas del baricentro. 2.28  Encontrar las coordenadas del punto P, sabiendo que B(2, 22) es el punto m e d i o d e A P , A ( 2 4 , 1 ) .

2.20  Un topógrafo desea conocer el ancho de un río; para ello se auxilia del siguiente método: permanecer frente a un árbol en la orilla opuesta, él camina 100 m a lo largo de la orilla del río, luego mira hacia el árbol. El ángulo desde su línea hacia el árbol es de 35°. ¿Qué tan ancho es el río? 2.21  Un vector tiene componente en x de 225 mm y otra componente de 40 mm. Encuentra la magnitud y dirección de este vector. 2.22  El minutero de un reloj tiene 3 cm. ¿Cuál será la magnitud del desplazamiento de su punta después de media hora? 2.23  Una partícula atómica experimenta los siguientes desplazamientos consecutivos: 3,50 mm al sur, 8,20 μm al nor­ oeste y 15 mm oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante? 2.24  Se tienen dos vectores A y B como se muestra en la figura. Calcular gráficamente:

2.29  ¿Los siguientes puntos se encuentran alineados? a) A ( 2 2 , 2 3 ) , B ( 1 , 0 ) y C ( 6 , 5 ) b) A(0, 1), B(23, 22) y C(8, 6) 2.30  Resuelve las siguientes operaciones vectoriales en forma gráfica: a) A 1 B b) B 2 A 3

c) A 2 2B

2.31  Determina si los siguientes vectores tienen la misma dirección. On

On

a) A B (25, 8) y C D (2, 0) On

On

a) A 1 B

b) A B (5, 28) y C D (22, 0)

b) A 2 B

c) A B (3, 6) y C D (7, 1)

On

Problemas aplicados a la realidad

5

A

Problemas para resolver con tecnología

On

29

UNIDAD

2

Problemas para resolver

2.32  Calcular el radio de la circunferencia cuyo centro se encuentra en el punto (4, 28) y que pasa por el punto (1, 3). 2.33  Se tienen los puntos A (22, 5) y B (6, 2). Calcular las On coordenadas del punto del segmento A B cuya distancia a A es la mitad de su distancia a B.

n

2.35  Se tienen los vectores a 5 6iˆ 1 3 ˆj 1 4kˆ  , b 5 bxˆi 1 n 5 ˆj 1 bzkˆ   y c 5 22iˆ 1 cy ˆj 1 2kˆ  , determinar sus componentes bx , bz y cy para que los vectores sean mutuamente ortogonales. n

2.36  Los siguientes puntos A 5 (1, 1,5), B(3, 1, 1), C(0, 4, 21) y D(1, 0, 5) delimitan un tetraedro. Calcula: a) La longitud del lado AB

2.34  Un joven que viaja en su bicicleta se mueve 4,5 km al norte y 6,3 km al este.

b) El área del triángulo ABC

¿Cuál es la suma vectorial de estos dos trayectos del chico?

c) El volumen del tetraedro

Problema reto Un barco A navega hacia el oeste (rumbo 270°) a 15 nudos. Un segundo barco B navega con rumbo 225° aproximándose al primero (véase la figura 2.18). Determine la velocidad del barco B si siempre mantiene un ángulo de 70° del barco A con respecto a B (sugerencia de temas de investigación: movimiento relativo en dos dimensiones y cinemática naval).

1

B

70° A

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fundamentos de física. Volumen 1. 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R., Beicher, R. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1. Cengage, México, 2008. Young, H. D., Freedman, R. A. y Ford, L. Física universitaria. Volumen 1. 12ª edición. México, 2009.

Referencias de Internet ■ ■

30

http://www.smf.mx/ http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script5sci_arttext&pid5S1870-35422008000100002&ln g5en&nrm5iso Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD

3

Cinemática OBJETIVOS Definir los términos posición y velocidad de una partícula en función del tiempo. Describir y analizar al movimiento rectilíneo uniforme. Predecir el movimiento de una partícula cuando éste es errático durante cierto tiempo, mediante el uso gráfico que es posible generar de manera experimental. Definir la aceleración de un punto en función del tiempo. Describir y analizar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Describir y analizar un movimiento en caída libre o en tiro vertical como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Describir y analizar un tiro parabólico como la suma de dos movimientos, un rectilíneo uniforme y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Describir y analizar un movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado.

¿QUÉ SABES? ¿Qué entiendes por cinemática? ¿De acuerdo a la física, cómo se clasifican los movimientos? Si voy en un automóvil a 90 km/h, ¿cuál será el tiempo de frenado para detenerme totalmente? Si cae un objeto desde un segundo piso, ¿cuál será la velocidad de impacto en el piso?

UNIDAD

3

Cinemática

3.1  Conceptos básicos La cinemática es la parte de la mecánica que describe los posibles movimientos, sin preocuparse de las causas que los producen. No se puede hablar de movimiento, sin establecer previamente “respecto a qué” se refiere. Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia a partir del cual se describe el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Consideremos el movimiento de una partícula. ■



Partícula. Es la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones y orientación en el espacio se consideran muy pequeñas, por lo que no se toman en cuenta en la descripción de un movimiento.

Figura 3.1 ■



Sistema de referencia. Es un sistema coordenado con el cual se describe el movimiento de uno o varios objetos.

Figura 3.2 ■

Posición. Punto en el espacio con respecto a un sistema de referencia.

A



32

Figura 3.3

B

Grupo Editorial Patria© ■

Vector posición. Vector que une el origen O del sistema de referencia con un punto P del es­ pacio en el cual está la partícula. Para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z, el vector posición se identifica por la terna ordenada (x, y, z).

A



B

Figura 3.4 ■

■

Movimiento. Es un concepto relativo pues depende del sistema de referencia. Se puede defi­ nir como el cambio de posición de la partícula en un intervalo de tiempo, respecto de un punto o sistema de referencia considerado fijo. Trayectoria. Es la curva descrita por la partícula durante su movimiento. Trayectoria

A



B

Figura 3.5

Distancia recorrida Es la longitud del recorrido seguida por la partícula AB. En el Sistema Internacional (SI), la distancia se mide en metros (m). } Distancia AB

A



B

Figura 3.6

33

UNIDAD

3

Cinemática Desplazamiento Es la diferencia entre dos vectores de posición de la partícula. El desplazamiento entre los puntos A n n n y B es, AB 5 r B 2 r A y es independiente del origen O y de la trayectoria, sólo depende del punto de partida y de llegada.

Problema resuelto Juan se traslada en bicicleta de su casa a la bi­ blioteca que se encuentra a 3,00 km al oeste; después, se dirige a la casa de Ana que está a 8,00 km al este de su casa. ¿Qué distancia reco­ rrió Juan? ¿Cuál fue su desplazamiento?



Figura 3.7

Respuesta

Juan recorre una distancia de 3 km 1 11 km 5 14 km El desplazamiento es el vector que va de su punto inicial (casa de Juan) a su punto final (casa de Ana) que es igual a 8iˆ km.

B

A

Figura 3.8

Velocidad media Es el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado al desplazarse. n

n

n

Dr 5 r 2 r0

n

r0 n

r

Figura 3.9   n

– Dr n v5 Dt

Alerta La rapidez es la magnitud del vector velocidad por tanto siempre es positiva y sólo indica el tamaño del vector velocidad.

34

La rapidez es la magnitud de la velocidad; entonces, la rapidez media es: n

v5 m Las unidades de la velocidad en el SI son . s

|Dr | Dt

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un auto recorre 80 km en 45 minutos a lo largo de una autopista recta. ¿Cuál es su velocidad media en metros por segundo? ¿Cuál es su rapidez media? Respuesta

Datos:

n

Dr 5 80 km uˆ  5 80 000 m uˆ Dt 5 45 min 5 (45)(60) s 5 2 700 s

Su velocidad media está dada por: n

–n Dr 80 000 m uˆ   m 5 29,63   uˆ   v 5 5 Dt 2 700 s s

Problema resuelto Durante la planeación de tu viaje, decides realizar tu recorrido en carretera a una velocidad media de 90 km/h; desafortunadamente, tu coche ha sufrido un desperfecto y sólo has podido recorrer la mitad de la trayectoria a una velocidad media de 50 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad media en la segunda mitad del viaje para lograr tu propósito? ¿Es razonable esa velocidad? Respuesta

Datos

–n km v 5 90  h –n km v 1 5 50  h

De esta forma, usamos la definición de la velocidad media: n

Dr l v5 5    uˆ  5 Dt t

0,5 l 1 0,5 l

n

0,5 l 50 

km

1

5 90 

0,5 l

km h

v2

h

Despejamos a v2: 0,5 l 1 0,5 l

1

0,5 lv2 1 0,5 l  50  50 

l 5 90 

km

km h

h 2

km

5 90 

km h

v2

1

0,5 lv2 1 0,5 l  50 

h

50 



km h

km h

2

v2

1 50 2 0,5 150  h 2 90

1 1 2 2 1 2 1

2

90 90 km v2  1 2   (0,5) 5  0,5  50  ⇒ v2 5 50 50 h

km

11 2 1 50 2 (0,5)2 90

km 5 450  h

Esta velocidad es muy alta, lo cual no es razonable.

35

UNIDAD

3

Cinemática Velocidad instantánea Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. n

n

d r Dr n 5   v 5 lim Dt → 0 d t Dt

La rapidez instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea.

Problema resuelto La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es: x(t) 5 3t2 Calcula: a) La velocidad media entre t 5 3 s y t 5 5 s. b) La velocidad instantánea en t 5 4 s. Respuesta

En la siguiente figura se muestra la gráfica de posición contra tiempo.

x (t) 120 100 80 60



t

x ( t )

0

0

1

3

2

12

3

27

40

4

48

20

5

75

0

6

108

7

147

0

1

2

3

4

5

6

7 t   

Figura 3.10 a) Calculemos la velocidad media entre t 5 1 y t 5 5. –n Dr 75 m iˆ  2 3 m iˆ  72 m iˆ   m v 5 5 5 18   iˆ   5 Dt 5s21s 4s s n

b) La velocidad instantánea en t 5 4 s. n

d r d m m n n v5 5 5 (3t 2 iˆ ) 5 6t iˆ  ⇒ v  (4) 5 6(4)   iˆ  5 24   iˆ   d t d t s s

x (t) 120 100

Alerta

80

La velocidad siempre es tangente a la curva que describe la posición contra el tiempo (véase figura 3.11.)

60 40 20 0



36

0

1

Figura 3.11

2

3

4

5

6

7 t

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto En 2008, el etíope Haile Gebrselasie pulverizó el récord mundial de maratón al correr la distancia de 42 km 195 m en Berlín en un tiempo oficial de 2 horas, 3 minutos y 59 segundos. Determina su velocidad media en: a) Kilómetros por hora (km/h). b) Millas por hora (mi/h). c) Pies por segundo (ft/s). Respuesta

Datos: La magnitud del desplazamiento en m: Dr 5 42 km 1 195 m 5 42 000 m 1 195 m 5 42 195 m La magnitud del desplazamiento en km: Dr 5

42 195 m 1 000 m

5 42,195 km

La magnitud del desplazamiento en mi: Dr 5

42 195 m 1 609 m

 mi 5 26,224 mi

La magnitud del desplazamiento en pies: Dr 5

42 195 m 0,3048 m

 ft 5 1,3844 3 105 ft

El intervalo de tiempo en segundos: Dt 5 2 h 1 3 min 1 59 s Dt 5 2(3 600 s) 1 3(60 s) 1 59 s 5 7 439 s El intervalo de tiempo en horas: Dt 5

7 439 s 3 600 s

 h 5 2,07 h

a) La magnitud de velocidad media en kilómetros por hora (km/h): km Dr 5 42,195 km 5 20,38  2,07 h Dt h b) La magnitud de velocidad media en millas por hora (mi/h): mi Dr 5 26,224 mi 5 12,67  2,07 h Dt h c) La magnitud de velocidad media en pies por segundo (ft/s): 5 ft Dr 5 1,3844 3 10 ft 5 18,61  7 439 s Dt s

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) El MRU se caracteriza por: ■

Movimiento que se realiza en una sola dirección.

■

Velocidad constante; es decir, sin cambio en magnitud, dirección y sentido.

■

La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta ace­ leración (aceleración 5 0). 37

UNIDAD

3

Cinemática Expresión matemática del MRU El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) respecto del tiempo. v5 Donde:

x t

;   x 5 vt;   t 5

x v

;

v 5 velocidad x 5distancia o magnitud del desplazamiento t 5 tiempo

Problema resuelto Alerta Para resolver problemas: 1. Identificar el tipo de movimiento, esto nos conduce a emplear las ecuaciones correctas. 2. Identificar en el enunciado los datos y escribirlos todos en el SI. 3. Identificar las incógnitas. 4. Resolver las ecuaciones pertinentes.

Un automóvil inicia un viaje de 495 km de distancia a las nueve de la mañana a una velocidad media de 80 km/h. ¿A qué hora llegará a su destino? Respuesta

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. Datos: x 5 495 km 5 4,95 3 105 m

1

2

km 1 000 m m 5 80  v 5 80 5 22,22 h 3 600 s s Entonces, t5

x v

5

4,95 3 105 m m 22,22 s

5 222,75 s 5 6,19 h

Problema resuelto Dos vehículos cuyas velocidades son 10 km/h y 12 km/h, respectivamente, se cruzan perpendicular­ mente en su camino después de seis horas transcurridas de recorrido, ¿qué distancia los separa? Respuesta

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. Datos: km x1 5 10   (6 h) 5 60 km 5 6,0 3 104 m h km x2 5 12   (6 h) 5 72 km 5 7,2 3 104 m h

x2

d

x1

  

Figura 3.12

La distancia de separación está dada por: d 5 ! (6 3 104 m)2 1 (7,2 3 104 m)2 5 9,3723 3 104 m 5 93,723 km

38

Grupo Editorial Patria© ❚ Movimiento acelerado Aceleración media Es la razón de cambio de la velocidad respecto del tiempo. n

–n Dv a5 Dt

Aceleración instantánea Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. n

n

d v Dv n 5 a 5 lim   Dt → 0 Dt d t m Las unidades de la aceleración en el SI son 2 . s

Problema resuelto Un auto rebasa a otro. Su velocidad en el rebase aumenta de 50 a 100 km/h en 7 s. ¿Cuál es su acele­ ración media? Respuesta

Se trata de un movimiento acelerado. km



v 1 5 50 



v 2 5 100 



Dt 5 7 s

n

h

m  uˆ  5 13,89   uˆ   s

km

n

m  uˆ  5 27,78   uˆ   h s

La aceleración media está dada por: n

–n D v 5 a5 D t

m m 27,78    uˆ  2 13,89   uˆ   s s 7s

m 5 1,98   uˆ   s2

Problema resuelto Se encarga a un ingeniero diseñar una pista para aviones, en donde los aviones puedan despegar a una velocidad de 72 m/s. Los aviones tienen una aceleración promedio de 4 m/s2. Determina: a) ¿Qué tiempo requieren los aviones para tener una velocidad de despegue? b) ¿Qué longitud mínima deberá tener la pista de despegue? Respuesta

Se trata de un movimiento acelerado. Datos:

m

m

s

s

m

v 5 72  ;   v0 5 0  ;   a 5 4  n

s2

39

UNIDAD

3

Cinemática

a) Para determinar el tiempo, usamos la fórmula de la aceleración media. n

–n D v a5 5 D t

m m 72   uˆ  2 0   uˆ   s s t

m m 72   uˆ  2 0   uˆ   s s t

m 5 4  ⇒ t 5 s2

m 5 4   uˆ   s2

m 72    s m 4  s2

5 18 s

b) Para determinar la distancia recorrida, escribimos a la aceleración media como: D v D v D x n n D v a5 5 5v D t D x D t D x

Entonces, la velocidad media es igual a: m 0 1 72 m n v 5 5 36 s s 2



Usamos: n D v D x 5 v   n a

m 72    m s 5 648 m D x 5 36    s m 4  s2

1

2

❚ Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Puesto que el movimiento es rectilíneo, significa que éste es en una sola dirección, por lo que pode­ mos omitir la notación vectorial; por otra parte, ya que es uniformemente acelerado, eso quiere decir que su aceleración es constante, entonces la expresión para la aceleración instantánea es: a5

d v d t

⇒ a d t 5 d v

Ahora, integrando, y considerando que a es constante: t



a e d t 5 t 0

v

e dv ⇒ a(t 2 t  ) 5 v 2 v 0 

Luego en la ecuación 3.1 sustituimos a v por

d x d t x



(3.1)

d x d t

e integramos, considerando que a es constante:

5 v0 1 a(t 2 t 0 ) t

t

e d x 5 e v  d t 1 a e (t 2 t  ) dt 0 

x 0

40

⇒ v 5 v0 1 a(t 2 t 0 )

0

v 0

t 0

0 

t 0



x 2 x 0 5 v 0 (t 2 t 0 ) 1



x 5 x 0 1 v 0 (t 2 t 0 ) 1

a 2

 (t 2 t 0 )2

a 2

 (t 2 t 0 )2

(3.2)

Grupo Editorial Patria© Despejamos (t 2 t0) de 3.1 y lo sustituimos: v 2 v0

(t 2 t 0 ) 5



a



x 5 x 0 1 v0 (t 2 t 0) 1



x 5 x 0 1 v0 



x 5 x 0 1



x 5 x 0 1



v 2 v0 a

v0 v 2 v 02 a

x 5 x 0 1

 (t 2 t 0)2

1

1

a v 2 v0   a 2

1

1v

 2

2

2

2 2vv0 1 v 02 2a

2

2v0v 2 2v 02 1 v 2 2 2vv0 1 v 02 2a v 2v

2  0

 2



a 2

2a

v 2 2 2v 02 5 2a(x 2 x 0 )



(3.3)

Dividiendo la ecuación 3.3 entre la ecuación 3.1, se tiene: v 2 2 2v 02



v 2 v0

2a (x 2 x 0 )

5

v 1 v 0 5

a(t 2 t 0 ) 2(x 2 x 0 ) (t 2 t 0 )

1 v 12 v 2(t 2 t  ) 0

x 5 x 0 1



v 1 v0 Dx Dx 5 2  ⇒ 5 2 Dt Dt

0 

(3.4)



En resumen, estas cuatro ecuaciones constituyen las expresiones matemáticas del MRUA.

v 5 v0 1 a(t 2 t 0 )



x 5 x 0 1 v 0 (t 2 t 0 ) 1



v 2 2 2v 02 5 2a(x 2 x 0 )



x 5 x 0 1

(3.1) a 2

 (t 2 t 0 )2

(3.2) (3.3)

1 v 12 v 2(t 2 t  ) 0

0 

(3.4)

Problema resuelto Un ciclista parte del reposo con aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuál es su aceleración? ¿Qué distancia recorrió en 10 s? Respuesta

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Datos:

1

2

km 1 000 m m 5 36  v 0 5 0;   v 5 36  5 10 ;   t 5 10 s;   t 0 5 0;   x 0 5 0 h 3 600 s s

41

UNIDAD

3

Cinemática Para determinar la aceleración, usamos la fórmula 3.1 del MRUA: m 10  v 2 v 0 s m 5 1  5 a5 t 2 t 0 10 s s2 Y para establecer la distancia recorrida en 10 s, utilizamos la fórmula 3.4 del MRUA.

x5

1 2 m 10  s 2

 (10 s) 5 50 m

Problema resuelto Si la aceleración de una partícula es de 35 m/s2, constante durante todo su movimiento, determina su velocidad y su posición como funciones del tiempo; si se sabe que su posición y su velocidad inicial son iguales a cero. Respuesta

a 20 10

1

2

3

4

{10

5 t

{20 Figura 3.13   a5

d v d t

⇒ d v 5 a d t ⇒

v

t

v 0

t 0

e d v 5 a e d t ⇒ v 5 v

0

1 a(t 2 t 0 )

Sustituyendo valores: m v 5 5   t s2

v 20 10

1

2

3

4

5 t

{10 {20 Figura 3.14   v5

42

d x d t

⇒ d x 5 v d t ⇒

e d x 5 e 15 s x

x 0

t

t 0

m

  2

2

1 21

m t2 t 02  t d t ⇒ x 5 x0 1 5  2   2 s 2 2

2

Grupo Editorial Patria© Sustituyendo valores iniciales:

x

1 2

20

5m x 5 2  t 2 2s

10

1

2

3

4

{10

5 t

{20

Figura 3.15  

Gráficas de movimientos

Problema resuelto Un peatón sale del punto A hacia el punto B, situado a 20 km de distancia, a las 10 horas de la ma­ ñana. Durante su traslado, camina a una velocidad de 5 km/h. Al cabo de haber caminado una hora, descansa 20 minutos. Elabora la gráfica de su movimiento y determina la hora a la que llega al punto de destino. Respuesta

x (t) 20 15 10 5 0 Figura 3.16  

10

11

12

13

14

15 t

Tiro vertical y caída libre Cuando se sueltan objetos en un plano vertical (caída libre, velocidad inicial igual a cero) o se lanzan hacia arriba (tiro vertical), actúa la aceleración gravitacional dirigida hacia abajo; es decir, hacia el m f t centro de la Tierra y que es prácticamente constante, con una magnitud de g 5 9,81 2 5 32,2 2 . s s Entonces, a este tipo de movimientos se les considera MRUA con aceleración 2g. Las cuatro ecuaciones de la caída libre y el tiro vertical:

v 5 v0 2 g(t 2 t 0 )



y 5 y 0 1 v 0 (t 2 t 0 ) 2



v 2 2 v 02 5 22g( y 2 y 0 )



y 5 y 0 1

(3.5) g 2

 (t 2 t 0 )2

(3.6) (3.7)

1 v 12 v 2(t 2 t  ) 0

0 

(3.8)

Alerta Éstas son las mismas cuatro fórmulas del MRUA, sólo con a 5 2g, ya que la aceleración siempre está dirigida hacia abajo; es decir, hacia el centro de la Tierra.

43

UNIDAD

3

Cinemática

Problema resuelto Desde un punto situado a 55 m de altura, se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una velo­ cidad de 30 m/s. Calcula: a) ¿Cuál será su velocidad al caer al suelo? b) ¿Cuál es el tiempo de su recorrido al caer? c) ¿Cuál será su velocidad cuando se encuentra a 10 m del suelo? Respuesta

Es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración 2g. Datos:

Alerta

m m v 0 5 230  ;   t 5 0;   y 5 0;   y 0 5 55 m;   g 5 9,8  2 s s

a) Usamos la fórmula 3.7 de tiro vertical para determinar la velocidad con la que llega al suelo. v 2 5 v 02 2 2g ( y 2 y0 ) ⇒ v 5 2 ! v 02 2 2g ( y 2 y0 ) hemos tomado el signo (2) porque va hacia abajo.

Cuando se calcula la raíz cuadrada, tenemos dos posibilidades: una positiva y una negativa; debemos tomar el signo que sea admisible físicamente hablando. Por ejemplo, en el caso de una velocidad, si se dirige hacia abajo es negativa y si se dirige hacia arriba es positiva.

!1

m v 5 2    230  s

2

2 2 219,8 s 2(0 2 55 m) m

  2

m v 5 244,48  s b) Usamos la fórmula 3.5 de tiro vertical para determinar el tiempo que tarda en caer. v 5 v 0 v 5 v 0 2 g ( t 2 t 0 ) ⇒ t 5 t 0 2 g



3



t52



4

m m 244,48  1 30    s s m 9,8  s2

t 5 1,48 s c) Para este caso, nuevamente usamos la fórmula 3.7 de tiro vertical para determinar la veloci­ dad que tiene cuando está a 10 m del suelo. v 2 5 v 02 2 2g ( y 2 y0 ) ⇒ v 5 2 ! v 02 2 2g ( y 2 y0 ) signo (2) va hacia abajo

!1

m v 5 2    230  s

2

2 2 219,8 s 2(10 m 2 55 m) m

  2

m v 5 242,214  s

Problema resuelto Del techo de un ascensor, el cual tiene una altura de 2 m respecto del piso en su interior, se desprende un tornillo al momento mismo del arranque del ascensor, subiendo con una velocidad constante de 1 m/s. Calcula: a) La distancia a la que estará el tornillo del piso en 0,5 s después de haber iniciado el ascenso. b) El tiempo que tardará el tornillo en caer al piso.

44

Grupo Editorial Patria© Respuesta

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración 2g. Con la ecuación 3.6, de las ecuaciones de tiro vertical y caída libre, calculamos la distancia a la que estará el tornillo después de 0,5 s, respecto del punto de donde se desprendió.

0,5 m y 5 0,76 m

y50 t50

{ 1,5 m

Figura 3.17  

1 2

1

2

m 1 m y 5 1  (0,5 s) 2   9,81  2  (0,5 s)2 5 20,72625 m s 2 s



En ese tiempo el techo del ascensor se encuentra en:

1 2

m y 5 1  (0,5 s) 5 0,5 m s

y el piso del ascensor se encuentra en:

1 2

m y 5 22 m 1 1  (0,5 s) 5 21,5 m s



Entonces, el tornillo se encuentra en: 21,5 m 2(20,72625 m) 5 20,77375 m Es decir, a 77,375 cm del piso del ascensor. Ahora, calculamos el tiempo en el momento cuando se encuentran el piso del ascensor y el tornillo.

11 s 2 t 2 2  19,81 s 2 t  5 22 m 1 11 s 2 t m

1

m

 

  2

m

2

 

Resolvemos la ecuación anterior: t5

!



 

22 m 1

1

m 2   9,81  2 2 s

2

5

!

4  s  5 0,63855 s    9,81

Entonces,

1 2

1

2

m 1 m y 5 1  (0,63855 s) 2   9,81  2  (0,63855 s)2 5 21,361 m s 2 s El piso del ascensor está en:

1 2

m y 5 1  (0,63855 s) 2 2 m 5 21,361 m s

❚ Tiro parabólico Se llama tiro parabólico al movimiento que es consecuencia de la suma de dos movimientos: ■

Un movimiento con velocidad constante en el eje horizontal MRU.

■

Un movimiento con aceleración constante en el eje vertical MRUA. 45

UNIDAD

3

Cinemática Entonces, un proyectil disparado al aire obedecerá las siguientes ecuaciones: Movimiento en el eje x  con velocidad constante:

vx 5 vx 0 5



Dx Dt

5

x 2 x0 t 2 t 0 

Movimiento en el eje y  con velocidad constante g:

(3.9)





vy 5 vy 0 2g( t 2 t 0 )



y 5 y 0 1 vy 0 (t 2 t 0 ) 2



2 5 22g( y 2 y 0 ) v y2 2 v y 0



y 5 y 0 1

(3.10) g 2

 (t 2 t 0 )2 (3.11) (3.12)

1 v 12 v  2(t 2 t  ) y

y0

0 

(3.13)

Si el proyectil se dispara con un ángulo u.

vx 0 5 v 0 cos u,     vy 0 5 v 0 sen u y

5 0,76 m v0 vy0 u x

vx0

Figura 3.18  

En la altura máxima, la velocidad vy 5 0; entonces, usando la ecuación 3.1 del MRUA, obtenemos el tiempo que tarda en subir a la altura máxima: 0 5 vy 0 2 gt ⇒ t 5

ts 5

v0 sen u   g

v y0 v0 sen u 5 g g

Tiempo en alcanzar la altura máxima.

Éste es el mismo tiempo que tarda en bajar; así, el tiempo total de vuelo en su recorrido es: ts 5

2v0 sen u   g

Tiempo total de vuelo.

Ahora, calculemos la altura máxima:

1

2

1

1 v0 sen u v0 sen u 2  g  y máx 5 y 0 1 (v 0 sen u )  g g 2 y máx 5 y 0 1

v 02 sen2 u   2g

2

2

Altura máxima.

Puesto que en el eje de las x, la velocidad es constante: v x 5 v x 0 5 v 0 cos u 5

R 2v 02 cos u sen u v 02 sen 2u 5 ⇒ R 5 v 0 cos u t t 5 t t g g R5

46

v 02 sen 2u   g

Alcance.

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Se lanza una piedra con una velocidad horizontal de 10 m/s desde un punto situado a 20 m de altura. Considerando el sistema de ejes de la figura, calcula: a) b) c) d) e) f)

Las coordenadas x, y; como funciones del tiempo. La coordenadas x, y; que tiene la partícula en el instante t 5 1 s. El tiempo de llegada al suelo. La función componente velocidad vertical de la partícula. La magnitud de la componente velocidad vertical de la partícula cuando llega al suelo. El alcance horizontal del lanzamiento.

Respuesta

Se trata de un tiro parabólico, que es la suma de dos movimientos.

1

2

1

2

1

2

m 1 1 m m a) x 5 x 0 1 v x t 5 10   t, y 5 y0 1 vy 0t 2  g t 2 5 y 0 2   9,8  2  t 2 5 2 4,9   2 t 2 s 2 2 s s

1

2

1

2

m m b) x 5 10  (1 s) 5 10 m, y 5 2 4,9   2  (1 s)2 5 24,9 m s s

1

2

m c) 2 20 m 5 2 4,9  2  t 2 ⇒ t 5 2,0203 s s

1

2

m d) v y 5 vy 0 2 g t 5 2  9,8  2  t s

1

2

m m e) vy 5 2  9,8  2  (2,0203 s) 5 219,799   s s

1

2

m f) x 5 10   (2,0203 s) 5 20,203 m s

Problema resuelto Un joven que se encuentra parado sobre un puente de 20 m de altura, lanza horizontalmente una piedra hacia el río, con una velocidad inicial de 5 m/s, y le pega a una llanta que es arrastrada por la corriente del río. En el momento del lanzamiento de la piedra, la llanta está a 16 m de la vertical que pasa por vc el puente donde se encuentra el joven. Calcula: a) El tiempo en el que la piedra alcanza el agua. b) El alcance horizontal del lanzamiento de la piedra.

20 m

c) La velocidad de corriente del río. Figura 3.19   Respuesta

Se trata de un tiro parabólico. Datos:

y0 5 20 m



vy0 5 0



m vx 0 5 5   s

47

UNIDAD

3

Cinemática

Calculemos el tiempo en el que la piedra alcanza el agua.

1

2

1 1 m y 5 y 0 1 y x 0t 2  g t 2 5 20 m 2   9,8  2  t 2 5 0 ⇒ t 5 2,0203 s 2 2 s Ahora, calculemos el alcance horizontal del lanzamiento de la piedra.

1 2

x m v 5 ⇒ x 5 v t 5 5   (2,0203 s) 5 10,102 m t s En seguida, la velocidad de la corriente del río; puesto que la piedra le pega a la llanta, lo cual significa que la llanta tuvo que recorrer 16 m 2 10,102 m 5 5,898 m en 2,0203 s, entonces la velocidad de la 5,898 m m 5 2,9194 . corriente del río es vc 5 2,0203 s s

❚ Aceleración normal y tangencial La velocidad y la aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal, en el cual el origen del sistema coincide con la partícula, siendo los vectores base eˆ T eˆ N, con eˆ T tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento y eˆ N perpendicular a eˆ T, dirigido hacia el centro de la curvatura. n

d (veˆ T) d v d (veˆ T) 5  eˆ  1 v  d t d t T d t



a5



d (veˆ T) v 5  eˆ N d t r



a5

n

e

ˆ N

d v v 2  eˆ   eˆ T 1 d t r N

e

ˆ T

Figura 3.20  

eˆ T es un vector tangente a la curva y corresponde al cambio de rapidez con respecto al tiempo. eˆ N es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad.

Problema resuelto Una partícula que parte del reposo describe un MRUA con una aceleración de 3 m/s2. Determina, en el instante t 5 3 s, las magnitudes de: a) b) c) d)

La aceleración tangencial. La aceleración centrípeta. La aceleración total. La velocidad.

Respuesta

El movimiento es un MRUA. a) Puesto que es un MRUA, su aceleración es constante; entonces, la aT 5 3 m/s2. b) Puesto que es un MRUA, su aceleración centrípeta es igual a cero. c) Su aceleración total o resultante: a 5  ! a  1 a  5 2 T

2 r

!1 2 m   3 2 s

2

m 1 0 5 3 2 s

d) Puesto que es un MRUA, su velocidad es:

1 2

m m v 5 v0 1 at 5 0 1 3  2  (3 s) 5 9  s s

48

Grupo Editorial Patria© ❚ Movimiento circular uniforme Se define al movimiento circular como aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Los ángulos se miden con respecto al eje x positivo.

Posición angular, u En el instante t, la partícula se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo u, que hace el punto P, el centro de la circunferencia O y el eje de las x. El ángulo u, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, s 5 ur. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y, por tanto, no tiene dimensiones. P9 t9 u9

Pt r S u

x

O

Figura 3.21  

Velocidad angular, v En el instante t’, la partícula se encontrará en la posición P’, dada por el ángulo u’. El móvil se habrá desplazado Du 5 u’ − u en el intervalo de tiempo Dt 5 t’ 2 t, comprendido entre t y t’. La velocidad angular media v es la razón de cambio de la posición angular con respecto al tiempo. v5

Du Dt

La velocidad angular instantánea es el límite cuando Dt → 0 de la velocidad angular media. d u

v5

Dt

v 5 lim   5 lim Dt → 0 Dt → 0

d u Dt

rad . Las unidades de la velocidad angular en el SI son s v5

d u Dt

Como en el movimiento circular el radio es constante: v5

v 5 ⇒ 1 2 5 1r  d s d t r

d s   d t r

v 5 v r   Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular.

En un intervalo de tiempo igual a un periodo T describe una vuelta o 2p rad: v5

2p 2p ⇒ T5   Periodo v T

La frecuencia es uno sobre periodo: f5

1 v ⇒ f5   Frecuencia T 2p

Debido a que el movimiento es circular, la velocidad no cambia en magnitud, pero sí en dirección, entonces existe la aceleración normal, radial o centrípeta dada por:

n

a5

v 2 d v v 2 n  eˆ T 1  eˆ N ⇒ ac 5  eˆ N 5 v2 r eˆ N   Aceleración radial o centrípeta r d t r 49

UNIDAD

3

Cinemática

Problema resuelto Una partícula describe un movimiento circular de 2,5 m de radio, con una velocidad lineal de 15 p m/s. Con un desplazamiento angular inicial de 2 rad, calcula: a) El desplazamiento angular en función del tiempo. b) El periodo y la frecuencia del movimiento. c) La aceleración centrípeta. Respuesta

Movimiento circular uniforme. Datos: m v 5 15 p  s



t 0 5 0 u 0 5 2 rad a) Entonces, la velocidad angular es: v 5 vr ⇒ v 5

v r

m 15p   s

rad 5 6p   2,5 m s

5

Integrando, encontramos el desplazamiento angular en función del tiempo: v5

d u d t

rad ⇒ u 5 u 0 1 v (t 2 t 0 ) 5 2 rad 1 6p    t s

b) Ahora, calculemos el periodo y la frecuencia del movimiento: 2p 5 T5 v

1 5  s ⇒ f 5 3 Hz 3 rad 6p s 2p

c) En seguida, calculemos la aceleración centrípeta:

1

2

2

rad m ac 5 v 2r 5 6p  (2,5 m) 5 90p 2 s s2

Problema resuelto Dos cilindros, 1 y 2, giran unidos con una banda que no se desliza sobre los ejes, como se muestra en la figura 3.22. Los valores de los radios son r1 5 20 cm y r2 5 60 cm. La frecuencia de rotación del cilindro 1 es igual a 150 rpm. Calcula: a) La frecuencia del cilindro 2. b) La velocidad lineal de la banda.

r2

Figura 3.22  

50

r1

Grupo Editorial Patria© Respuesta

Se trata de un movimiento circular uniforme. Datos:

r1 5 0,2 m r2 5 0,6 m



rev 5 5 Hz f1 5 150 rpm 5 150  60 s 2 a) Calculamos la frecuencia del cilindro 2; para eso, como todos los puntos de la banda tienen la misma velocidad lineal, los puntos de la circunferencia de los dos cilindros también tienen la misma velocidad lineal. v 1 5 v 2 ⇒ v 1r1 5 v 2r2 ⇒ 2p f1r1 5 2p f2r2 ⇒ f2 5



2p f1r1 2p r2

b) La frecuencia del cilindro 2 es:

1 2 Hz2 (0,2 m) 5

f1r1 5 f 2 5 r2

0,6 m

5

Alerta

5

En el estudio de ondas, la unidad hercios o hertz (Hz) equivale a ciclos por segundo y en movimiento circular a vueltas o revoluciones por segundo (rps).

Hz

6

c) La velocidad de la banda es: vbanda 5 v1 5 v2 5 v1r1 5 2p f1r1

1 2 Hz2 (0,2 m) 5 p  s

vbanda 5 2p 

5

m

❚ Movimiento circular uniformemente acelerado La aceleración angular es la razón de cambio de la velocidad angular instantánea: a5

d v d t

rad Las unidades de la aceleración angular en el SI son 2 . Puesto que es un movimiento circular, la s relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular está dada por: v 5 v r ⇒

d v d v 5 ar ⇒ aT 5 ar 5 r  d t d t

Como la forma funcional de la velocidad angular y de la aceleración angular son similares a la forma funcional de la velocidad lineal y de la aceleración lineal, si la aceleración angular es constante, el movi­ miento obedece a las cuatro ecuaciones del movimiento circular con aceleración angular constante.

Movimiento circular con aceleración angular constante

v 5 v0 1 a (t 2 t0)

(3.14) a



u 5 u 0 1 v 0 (t 2 t 0 ) 1



v 2 2 v 02 5 2a ( u 2 u 0 )



u 5 u 0 1

2

 (t 2 t 0 ) 2

(3.15) (3.16)

1 v 12 v 2(t 2 t  ) 0

0 

Alerta Las ecuaciones del MCUA tienen la misma forma funcional que las del MRUA, simplemente sustituyendo a por a, v por v y x por u.

(3.17) 51

UNIDAD

3

Cinemática

Problema resuelto Una partícula en movimiento circular uniformemente acelerado parte con una velocidad angular de 10 p rad/s y alcanza una velocidad angular de 15 p rad/s en 5 s. Calcula: a) La aceleración angular. b) El número de vueltas dadas en 5 s. Respuesta

Se trata de un movimiento circular uniformemente acelerado. Datos:

rad v 0 5 10p  s



rad v 5 15p  s



t0 5 0 t55s u0 5 0 a) Usando la ecuación 3.14 de las fórmulas para el movimiento circular uniformemente acelera­ do, encontramos la aceleración angular: rad rad 2 10p  15p  s s rad 5 p  v 5 v 0 1 a (t 2 t 0) ⇒ a 5 5s s2 b) Ahora, al usar la ecuación 3.17 de las fórmulas para el movimiento circular uniformemente acelerado para determinar el desplazamiento angular, tenemos: v 1 v 0 u5  (t 2 t 0) 2

1

u5

1

rad rad 1 10p  15p  s s 2

2

2

 (5 s) 5 196,25 rad.

Y puesto que una vuelta tiene 2 p rad: 196,25 rad 5 31,25 vueltas u5 2 p rad

Problema resuelto El ciclo de secado de una lavadora cambia de 900 rpm a 300 rpm en 50 rev. Calcula la aceleración angular y el tiempo en que alcanza esta aceleración. Respuesta

Se trata de un movimiento circular uniformemente acelerado. Datos:

52

rev rad rad ⇒ v 0 5 2p (900) 5 30p  f1 5 900  min 60 s s rev rad rad f2 5 300  ⇒ v 5 2p (300) 5 10p  min 60 s s u0 5 0 u 5 50 rev 5 50(2p) rad 5 100p rad t0 5 0

Grupo Editorial Patria© Despejamos a de la ecuación 3.16 del MCUA. v2 2 v 02 a5 2(u 2 u0) Sustituimos valores:

1 a5

rad 10p  s

2

2 1

rad 2 30p  s

2

2

2(100p rad 2 0)

rad 5 212,567  s2

Ahora, de la ecuación 3.14 del MCUA despejamos t: v 2 v 0 t5 a Sustituimos valores:

110p  s 2 2 130p  s 2 rad

t5

rad 212,567  s2

rad

5

rad 220p  s rad 212,567  s2

5 4,9997 s

Problemas para resolver 3.1  Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando cambia la luz a verde arranca con aceleración constante de 2 m/s2. En el momento de arrancar es adelantado por un camión que se mueve con velocidad constante de 54 km/h.

3.5  Un observador se halla a 510 m de una pared. A igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo. Al cabo de cuántos segundos percibirá el observador:

Calcula:

a) ¿El sonido directo?

a) ¿A qué distancia del semáforo alcanzará el automóvil al camión?

b) ¿El eco?

b) ¿A qué velocidad circula el automóvil en ese momento? 3.2  Dos trenes se cruzan perpendicularmente y hacen un recorrido durante cuatro horas; la distancia que los separa al cabo de ese tiempo es de 100 km. Si la velocidad de uno de los trenes es de 20 km/h, calcula la velocidad del segundo tren. 3.3  Un deportista sale de su casa en bicicleta a las seis de la mañana. Al llegar a un determinado lugar, se le descom­ pone la bicicleta y regresa caminando. Calcula la distancia recorrida al momento de descomponerse la bicicleta, sa­ biendo que las velocidades de desplazamiento han sido de 30 km/h en bicicleta y de 6 km/h caminando y que llegó a su casa a la una de la tarde. 3.4  Un deportista recorre una distancia de 1 000 km; par­ te en motocicleta y continúa en bicicleta. Sabiendo que las velocidades han sido de 120 km/h en la moto y de 20 km/h en bicicleta, y que el tiempo empleado ha sido de 15 horas, calcula los recorridos hechos en moto y en bicicleta. Problemas aplicados a la realidad

ALERTA La velocidad del sonido es 340 m/s.

3.6  Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que lo ve, sale detrás del mismo tres minutos más tarde a 22 km/h. ¿En qué tiempo alcanzará al ladrón? 3.7 Calcula la longitud de un tren cuya velocidad es de 72 km/h y que ha pasado por un túnel de 720 m de largo, si desde que penetró la máquina hasta que salió el último vagón han pasado 0,75 de minuto. 3.8  Dos automóviles salen a su encuentro, uno de Mo­ relia y otro del Distrito Federal. Sabiendo que la dis­ tancia entre ambas ciudades es de 303 km y que sus velocidades respectivas son 78 km/h y 62 km/h y que el automóvil proveniente de Morelia salió hora y media más tarde, calcula: a) El tiempo que tardan en encontrarse. b) ¿A qué distancia de Morelia se encuentran?

Problemas para resolver con tecnología

53

UNIDAD

3

Problemas para resolver

3.9  Una locomotora necesita 10 s para alcanzar su veloci­ dad normal que es 60 km/h. Suponiendo que su movimien­ to es uniformemente acelerado, ¿qué aceleración se le ha comunicado y qué distancia ha recorrido antes de alcanzar esta velocidad?

el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 km de distan­ cia del punto de partida del B. Calcula:

3.10  Un objeto tiene una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleración de 2 m/s2. ¿Cuál es el tiempo que tardará en adquirir una velocidad de 144 km/h?

c) Sus velocidades en el momento del encuentro.

3.11  Una partícula lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado, cuya aceleración es igual a 2 cm/s2. Calcula el tiempo que ha tar­ dado en recorrer 2,10 m. 3.12  Un motociclista circula a 72 km/h y apretando el ace­ lerador consigue, al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 km/h. Calcula: a) Su aceleración media. b) La distancia recorrida en ese tiempo. 3.13  En ocho segundos, un automóvil que parte del reposo alcanza una velocidad de 72 m/s. A partir de entonces, ¿qué distancia deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s? 3.14  Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m de longitud. La aceleración del móvil es de 4 m/s2. Calcula: a) El tiempo que tarda el móvil en bajar por el plano incli­ nado. b) La velocidad que tiene el cuerpo al terminar el plano in­ clinado. 3.15  Dos vehículos que parten del reposo se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre sí a 180 km. Si ambos se encuen­ tran a 9 s de salir y las distancias recorridas por los dos auto­ móviles están en relación de 4 a 5. Calcula: a) Las aceleraciones respectivas. 3.16  Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de recorrer 1 000 m de la misma, a una veloci­ dad de 120 km/h. Calcula: a) La aceleración durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si partió del re­ poso. c) La distancia recorrida en tierra en el último segundo. 3.17  Un vehículo se mueve con movimiento acelerado; en los segundos 2 y 3, las distancias recorridas son 90 y 100 m, respectivamente. Calcula la velocidad inicial del vehículo y su aceleración. 3.18  Dos cuerpos A y B, situados a 2 km de distancia, salen simultáneamente uno en persecución del otro, ambos con movimiento acelerado, siendo la aceleración del más lento, 54

Problemas aplicados a la realidad

a) El tiempo que tardan en encontrarse. b) La aceleración de A.

3.19  Un tren que va a 50 km/h debe reducir su velocidad a 25 km/h al pasar por un puente. Si realiza la operación en 4 segundos, ¿qué distancia recorre en ese tiempo? 3.20  ¿Qué velocidad llevaba un automóvil en el momento de frenar si ha recorrido 12 m hasta detenerse (a 5 230 cm/s2)? ¿Cuánto tiempo necesitó para detenerse? 3.21  La velocidad de un vehículo es de 108 km/h y en 5 segundos reduce la velocidad a 72 km/h. Calcula el tiem­ po que tardó en detenerse. 3.22  Un avión recorre 1 200 m a lo largo de la pista antes de detenerse cuando aterriza. Suponiendo que su desacele­ ración es constante y que en el momento de tocar tierra su velocidad fue de 100 km/h. Calcula: a) El tiempo que tardó en detenerse. b) La distancia que recorrió en los diez primeros segundos. 3.23  Se suelta un cuerpo desde su reposo sin velocidad ini­ cial. ¿En qué tiempo su velocidad será de 45 km/h? 3.24  Desde lo alto de una torre (h) se deja caer un cuerpo. ¿Cuál será la distancia del suelo cuando tendrá una veloci­ dad igual a la mitad de la que tiene cuando choca contra el suelo? 3.25  Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 220 cm/s. ¿Cuál será su velocidad cinco se­ gundos después y qué distancia habrá recorrido en ese tiempo? 3.26  Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcula: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad con que choca contra el suelo. 3.27  Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a 300 m del suelo. A los dos segun­ dos pasa por delante de otro que está a 200 m del suelo. Calcula: a) La altura desde la que cae. b) La velocidad con que choca contra el suelo. 3.28  Si queremos que un objeto suba 50 m verticalmente, ¿con qué velocidad se deberá lanzar? ¿Cuánto tiempo tar­ dará en caer de nuevo a tierra? 3.29  Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la veloci­ dad con que se disparó y la altura alcanzada. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 3.30  Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 km/h. Calcula: a) El tiempo que tarda en alcanzar 1 km de altura. b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. c) La altura alcanzada.

3.38  Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s: a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire? b) ¿Cuál es su altura máxima? c) ¿Cuál es su alcance horizontal?

3.31  Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el primero con una veloci­ dad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcula: a) El tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura.

3.39  Una pelota de goma tiene 1 cm de diámetro, rueda desde lo alto de una escalera de 99 escalones, con una velo­ cidad de 2 m/s, como se muestra en la figura. Los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho. Determina cuál es el primer escalón donde pega la bola.

b) La altura a la qué sucederá el encuentro. c) La velocidad de cada proyectil en ese momento. 3.32  Un vehículo que parte del reposo alcanza una veloci­ dad de 100 m/s cuando han transcurrido 25 s. En los prime­ ros 10 s llevaba un movimiento uniformemente acelerado y en los 15 s restantes un movimiento uniforme. Calcula la distancia total recorrida por dicho vehículo. 3.33  Determina el ángulo para realizar un tiro parabólico para que el alcance y la altura máxima sean iguales. 3.34  Un cañón en un plano horizontal dispara una bala con un ángulo de tiro de 30°. La velocidad inicial de la bala es 500 m/s. ¿Cuál es la altura máxima con respecto a la hori­ zontal? 3.35  Se lanza un objeto en forma oblicua, con una veloci­ dad de 50 m/s, con un ángulo de tiro u 5 36,86° con respec­ to de la horizontal. Calcula: a) El instante en el que llega a la altura máxima.

3.40  Con motivo de una inundación, se mandan víveres en un avión que se encuentra a 2 000 m de altura, el cual debe soltar el paquete a una lancha en movimiento. La velocidad del avión es de 432 km/h y la de la lancha es de 10 m/s, ambas constantes y en la misma dirección, pero en sentido contrario. Calcula la distancia x entre el avión y la lancha desde la que se debe soltar el paquete.

b) La altura máxima. c) La velocidad en su máxima altura. d) El alcance horizontal. 3.36  Se patea un balón de futbol con un ángulo de 37° y una velocidad de 20 m/s. Calcula:

2 000 m

a) La altura máxima. b) El tiempo que permanece en el aire.

x

c) La distancia a la que llega al suelo. d) La velocidad en x y y del proyectil después de 1 s de haber sido disparado. 3.37  Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con res­pecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s. Calcula: a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos? b) ¿Cuál es la velocidad en x y y, después de 4 segundos? Problemas aplicados a la realidad

3.41  En la figura se representa la velocidad de un vehículo en movimiento rectilíneo en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t0 5 0, parte del origen x 5 0. a) Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo. b) Calcula el desplazamiento total del vehículo, hasta el ins­ tante t 5 8 s. c) Escribe la expresión de la posición x del vehículo en fun­ ción del tiempo t, en los tramos AB y BC.

Problemas para resolver con tecnología

55

UNIDAD

3

Problemas para resolver C

v(t)

3.47  Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a una altura de 600 km sobre la superficie de la Tierra (radio de la Tierra < 6 400 km, periodo de rotación < 24 h) ¿Cuál es su velocidad lineal?

D

20

3.48  En un instante dado en un tocacintas, una de las po­ leas, con un diámetro de 2,0 cm, gira con una frecuencia de 0,5 Hz y la otra polea tiene un diámetro de 5,0 cm. ¿Cuál es su frecuencia en ese mismo momento?

15 A

10

B

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8 t

ALERTA El área bajo la curva de la velocidad es igual al desplazamiento.

3.42  Una partícula se mueve con una velocidad inicial de 1,0 m/s y describe un MRUA. La magnitud de la aceleración es de 0,5 m/s2. Determina en t 5 2,0 s los valores absolutos de: a) La aceleración tangencial.

3.49  ¿Cuál será la velocidad angular, expresada en radianes por segundo, que ha de tener una centrifugadora, para que en un punto situado a 15 cm de su eje de giro produzca una ace­ leración centrípeta 100 veces mayor que la de la gravedad? 3.50  Una llanta, que parte del reposo, gira 0,5 radianes du­ rante el primer segundo. a) ¿Cuántas vueltas dará la llanta en los 10 primeros segun­ dos, suponiendo que la aceleración angular es constante durante ese tiempo? b) ¿Cuál será en ese momento la velocidad lineal de un pun­ to de la llanta, si el radio de la llanta es de 50 cm? c) ¿Qué valor tendría la aceleración negativa de frenado, si el motor deja de funcionar cuando la llanta gira a razón de 120 vueltas por segundo y ésta tarda 6 minutos en detenerse? 3.51  Un motor gira a 2 000 rpm y disminuye su veloci­ dad pasando a 1 000 rpm en 5 segundos. Calcula:

b) La aceleración centrípeta. c) La aceleración total.

a) La aceleración angular del motor.

d) La velocidad lineal. 3.43  Una partícula que se mueve en un plano parte del ori­ n gen con velocidad v 5 0 y aceleración constante, dada por sus componentes ax 5 3,0 m/s2 y ay 5 4,0 m/s2. a) Calcula el tiempo t para el cual la magnitud de su veloci­ dad es de 40 m/s. b) ¿Cuáles son las coordenadas de la partícula en el tiempo calculado previamente? 3.44  El desplazamiento de una partícula en el plano se de­ fine por las ecuaciones: x 5 3t 1 1, y 5 4t 1 2 donde x y y, se expresan en metros y t en segundos. a) ¿Cual es la magnitud de la velocidad? b) ¿Cuál es la trayectoria? 3.45  La órbita de la Luna es prácticamente circular y tiene un radio de 3,84 3 108 m. La Luna tarda 27,3 días en com­ pletar un ciclo alrededor de la Tierra y tiene una masa de 7,4 3 1022 kg. Calcula:

b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo. c) La aceleración lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20 cm. 3.52  Un automóvil que está parado arranca con una acele­ ración de 12,5 m/s2. En ese mismo instante es adelantado por una camioneta que lleva una velocidad constante de 90 km/h. Determina la posición de encuentro de ambos ve­ hículos. ALERTA Es muy importante que seas cuidadoso con las unidades para poder realizar los cálculos en forma correcta.

3.53  Una esfera describe un movimiento rectilíneo. En la siguiente gráfica se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t 5 0 parte del origen x 5 0. Responde: a) Elabora una gráfica de la aceleración en función del tiempo. b) Calcula el desplazamiento de la esfera en el punto C.

a) La velocidad lineal de la Luna.

c) Determina la aceleración en el punto D.

b) Su aceleración centrípeta.

d) Determina el desplazamiento total de la esfera hasta que t 5 9 s.

3.46  ¿Cuál es la velocidad angular y lineal de un disco LP cuya velocidad es de 33,3 rpm y tiene un diámetro aproxi­ mado de 30 cm? 56

Problemas aplicados a la realidad

e) Escribe la expresión de la posición x de la esfera en fun­ ción del tiempo t en los siguientes tramos AB, CD y EF. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 3.58  Un niño pequeño tiene un sueño con monstruos, en su sueño él se ve parado cuando de repente se le aparece el monstruo y en 3 s recorre una distancia de 8 m. ¿Cuál es su velocidad media durante este recorrido? ¿Cuál es su veloci­ dad final después de los 3 s? ¿Qué aceleración desarrolló? Si continuara corriendo con la misma aceleración, ¿cuál sería la distancia recorrida en un tiempo de 1,5 min?

m/s 40 D

35

E

30 25 20 C

15 10 5 0

A 1

B 2

3

4

5

6

7

8

F 9

t

3.54  Un grupo de niños están jugando con una autopista eléctrica y uno de los carritos se mueve con una rapidez constante y completa una vuelta alrededor de la autopista circular, una distancia de 0,80 metros, en 35 s. Responde las siguientes preguntas:

3.59  En una industria de alimentos se tienen dos silos con granos de maíz conectados con una tubería de 10 m en forma horizontal; a través de la tubería se hace circular una masa de 450 kg en 6 s; si el primer silo tiene 2,5 Ton, ¿en cuánto tiempo pasa todo el contenido por el tubo? 3.60  Un individuo se encuentra a 128 m de una malla, a la misma distancia del otro lado de la malla se encuentra una segunda persona y realiza un disparo, ¿al cabo de cuántos segundos el primer individuo percibirá el sonido directo del disparo? ALERTA Considera el valor de la velocidad del sonido de 1 234,8 km/h.

a) ¿Cual es la rapidez promedio? b) Si la masa del auto es de 1,5 kg, ¿cuál es la magnitud de la aceleración de un carrito? 3.55  En una termoeléctrica se tiene un ventilador de tiro inducido, el cual se encarga de evacuar el humo que se ge­ nera hacia la chimenea de emisiones, el motor del ventilador tiene una rapidez de 910 rev/min, desciende de manera uni­ forme hasta 260 rev/min, efectuando 78 rev. Calcula: a) La aceleración angular. b) El tiempo necesario para alcanzar las 78 rev. 3.56  Una joven que disfruta de viajar en bicicleta los fines de semana en Cancún. Un sábado sale muy temprano a las 6:30 a.m. Al llegar a cierto punto una llanta de la bicicleta se poncha, por lo que la joven se ve forzada a regresar ca­ minando a su casa y llegó a las 13:10. Calcula la distancia donde ocurrió la ponchadura si se conoce que la rapidez de desplazamiento de la bicicleta fue de 32 km/h y la de la joven al caminar fue de 5 km/h. 3.57  En un pozo se tiene una polea para extraer el agua. La polea de 350 mm de diámetro, gira inicialmente a 43,6 rev/s. Determina su rapidez lineal.

Problemas aplicados a la realidad

3.61  Supón que un cuerpo se mueve considerando la si­ guiente ecuación de distancia: x 5 3 t 2

m m 1 4,2 1 1,5 t s2 s

Elabora una gráfica de distancia en función del tiempo, ¿en cuánto tiempo recorre una distancia de 15 m? 3.62  Los delfines nariz de botella generalmente viajan a una velocidad de 11 km/h en línea recta; un grupo de 3 delfines están jugando y forman un círculo de 15 m de diámetro y se siguen uno a otro, si su velocidad se reduce un 9,5% al nadar en forma circular, ¿cuál es la aceleración centrípeta de uno de los delfines? Después de 10 s de juego, ¿cuántas vueltas ha dado? ¿Cuál es la distancia que recorren los delfines? Si uno de los delfines se encuentra una pelota de goma de 3 kg y la lanza al aire una distancia de 2,8 m en línea vertical, ¿cuánto tiempo tardará en bajar la pelota? Otro delfín lanza la misma pelota al aire con una rapidez de 1,7 m/s y forma una parábola que recorre una distancia de 6,3 m, ¿cuál es la aceleración de la pelota? Ahora, si el grupo de delfines decide recorrer una distancia en línea recta durante 4,5 min, ¿cuánta distancia recorrieron?

Problemas para resolver con tecnología

57

UNIDAD

3

Cinemática

Problemas reto Escribe un reporte de los siguientes casos: I. En una carretera entre dos ciudades, investiga: 1



a) Las velocidades máximas indicadas en la carretera.



b) Calcula la aceleración de frenado para detener completamente el automóvil y la distancia mínima requerida para lograr detener el carro antes de un choque. ¿Los vehículos observan esta distancia mínima?

II. Observa cómo funcionan los engranes de tu bicicleta.

2

Se desea construir un campo de béisbol en un terreno con un área de 2,75 hectáreas cua­ dradas, según las medidas oficiales de un campo, ¿es posible hacerlo?, según la velocidad promedio de un batazo, ¿dónde se podrían colocar las gradas?

3

En una planta embotelladora se tiene una banda de 30 cm de ancho donde colocan las bo­ tellas de PET de 600 ml para el llenado del refresco, la banda transporta 17 botellas en 25 s hasta la máquina llenadora. La máquina llena 8 botellas en 24 s. ¿Cuál es la velocidad de la banda si parte del reposo y tiene un largo de 1,25 m hasta la máquina llenadora?, ¿cuántas botellas llenas se tienen en 2 horas?

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fundamentos de física. Volumen 1. 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R., Beicher, R. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1. Cengage, México, 2008. Young, H. D., Freedman, R. A. y Ford, L. Física universitaria. Volumen 1. 12ª edición. México, 2009.

Referencias de Internet

58

■

http://intercentres.cult.gva.es/iesleonardodavinci/fisica/Animaciones.htm

■

http://www.edumedia-sciences.com/es/a479-cinematica

UNIDAD

4

Dinámica OBJETIVOS Identificar, representar y distinguir fuerzas. Componer y descomponer gráficamente fuerzas concurrentes. Calcular la resultante de fuerzas concurrentes de la misma dirección o de direcciones perpendiculares. Aplicar las condiciones de equilibrio a un cuerpo sometido a fuerzas concurrentes. Asociar cada uno de los movimientos estudiados a la causa que lo produce, aplicando las leyes de Newton. Aplicar las leyes de Newton a la solución de problemas de cuerpos sometidos a fuerzas.

¿QUÉ SABES? ¿Qué entiendes por dinámica? ¿Qué es una fuerza? ¿Cuál es la diferencia entre peso y masa?

UNIDAD

4

Dinámica

4.1  Introducción El estudio del movimiento, considerando causas y efectos, es la esencia de la Dinámica. Conceptos primitivos, como fuerza y potencia, se asocian con el movimiento, además de los conceptos ya estudiados en Cinemática. La preocupación del hombre por explicar las causas del movimiento de los cuerpos terrestres y celestes se remonta a por lo menos hace 2000 años. A mediados del siglo xvii, Isaac Newton (1642-1727) presentó una teoría que realmente explicaba las causas del movimiento, las cuales plasmó en su obra Principia, que publicó en 1686 (figura 4.1).

Figura 4.1 Obra de Isaac Newton.

La mecánica newtoniana permaneció sin cambios hasta principios del siglo xx, cuando recién comenzó el estudio de la mecánica cuántica y de la mecánica relativista, necesarias para explicar fenómenos no explicados por la mecánica newtoniana. A partir del surgimiento de la mecánica relativista y de la mecánica cuántica, a la mecánica newtoniana se le dio el nombre de mecánica clásica.

Figura 4.2 Isaac Newton (1642-1727).

Donde dos conceptos son fundamentales: masa y fuerza. La masa, m, que es una magnitud escalar; es decir, una medida de la cantidad de materia contenida en un cuerpo. La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg). n

La fuerza, F , es una magnitud vectorial. La fuerza es una acción capaz de producir una aceleración. La unidad de fuerza en el SI es el Newton: m N 5 kg  . s2 El concepto de fuerza es intuitivo y podemos analizar los efectos que produce: ■

■

Deformación, el cual es un efecto estático que sufre un cuerpo modificando su forma, bajo la acción de una fuerza. Aceleración, que es un efecto dinámico que experimenta un cuerpo al cambiar su vector velocidad (en magnitud, dirección o sentido) debido a la acción de una fuerza.

Las fuerzas se pueden clasificar en: Fuerzas de contacto. Fuerzas que, como lo indica su nombre, actúan sólo durante el contacto entre los cuerpos. Ejemplos: a) La fuerza que aplicamos a un cuerpo cuando se jala o se empuja. b) La fuerza que se ejerce sobre el suelo que caminamos. c) Las fuerza que aplican las ruedas de un automóvil cuando se aplica el freno. d) La fuerza ejercida por una raqueta sobre la pelota. Campo de fuerzas. Son fuerzas que actúan a distancia, evitando el contacto entre los cuerpos. Por ejemplo, la fuerza de atracción o repulsión entre cargas eléctricas o imanes, la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos, entre otras.

❚ Fuerza resultante Un sistema de fuerzas es un conjunto de fuerzas que actúa sobre un cuerpo. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, se pueden sumar las mismas de forma vectorial (como suma de vectores), obteniendo una fuerza resultante, es decir equivalente a todas las demás.

n

n

n

n

R 5 F1 1 F2 1 … 1 Fn 5

n

n

^ Fi

(4.1)

i  51

Si la resultante de fuerzas es igual a cero, el efecto es el mismo que si no hubiera fuerzas aplicadas: el cuerpo se mantiene en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, no modifica su velocidad. 60

Grupo Editorial Patria© ❚ Fuerza equilibrante Se llama fuerza equilibrante a una fuerza con la misma magnitud y dirección que la resultante (en caso de que sea distinta de cero), pero de sentido contrario. Es la fuerza que equilibra el sistema. Sumando vectorialmente todas las fuerzas (es decir, la resultante) con la equilibrante, se obtiene cero, lo que significa que no hay fuerza neta aplicada. n

F2 Resultante

n

E

Equilibrante

n

R

n

F1

Figura 4.3 n

n

n

n

E 5 2R 5 2 ^ Fi



(4.2)

i  51

Problema resuelto Calcula la resultante y la equilibrante del siguiente sistema de fuerzas.

y 5 n

n

F3 5 (6, 4) N

F1 5 (1, 4) N

4 3 2

n

F2 5 (3, 2) N n

1

Figura 4.4   



F4 5 (5, 1) N x

0

1

3

2

4

5

6

Respuesta

Datos: n

n

n

n

F1 5 (1, 4) N    F2 5 (3, 2) N    F3 5 (6, 4) N    F4 5 (5, 1) N Para determinar la resultante, sumamos todas las fuerzas del sistema de fuerzas: n

R 5

n

n

i

1

^F 5 F n

n

n

n

1 F2 1 F3 1 F4



Rx 5

^R

5 (1 1 3 1 6 1 5) N 5 15 N



Ry 5

^R

5 (4 1 2 1 4 1 1) N 5 11 N

i

i

ix

iy

Entonces, la resultante es:

n

R 5 (15 N, 11 N)



Su magnitud y su dirección (es decir, su ángulo con respecto al eje de las x) están dadas por:

R 5 ! (15 N)2 1 (11 N)2 5 ! 346 N 5 18,601



u 5 tan21 

1 1115 NN 2 5 36,25°

5 4

y

Re sul tan te

Las componentes en x y en y de la resultante son:

3 2 1

Figura 4.5  0

1 2 3 4 5 6

x

61

UNIDAD

4

Dinámica Y la equilibrante será: n



n

E 5 2R 5 (215 N, 211 N)

Su magnitud y su dirección serán:

E 5 R 5 18,601



u 5 180° 1 36,25° 5 216,25

Problema resuelto Determina: a) El valor de f si la resultante de las tres fuerzas que se muestran es vertical. b) La magnitud de la resultante. n

F2 5 30 N f

n

F1 5 40 N 160°

n

F3 5 20 N 45°

FRÁGIL Figura 4.6   Respuesta

Datos: Para determinar la resultante, sumamos todas las fuerzas del sistema de fuerzas. n

R 5

n

n

i

1

^F 5 F i

n

n

1 F2 1 F3

Las componentes en x y en y de la resultante son: Rx 5

^R

ix

5 F1x 1 F2x 1 F3x 5 40 N cos 160° 1 30 N cos f 1 20 N cos 45°

Ry 5

^R

iy

5 F1y 1 F2y 1 F3y 5 40 N sen 160° 1 30 N sen f 1 20 N sen 45°

i

i

Puesto que sólo debe tener la componente vertical, la componente en x es igual a cero. 5 38,6° 1 23,446 30 2



Rx 5 30 cos f 2 23,446 5 0 ⇒ f 5 cos21 



Ry 5 30,0 sen f 1 27,823

Entonces, la componente vertical es: Ry 5 30,0 sen (38,6°) 1 27,823 5 46,538 N

62

Grupo Editorial Patria©

4.2  Leyes de Newton La mecánica clásica está basada en tres leyes o principios: ■

Primera ley de Newton (principio de inercia).

■

Segunda ley de Newton (principio fundamental de la dinámica).

■

Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción).

❚ Primera ley de Newton (principio de inercia) Hasta la Edad Media, los hombres creían que un movimiento sólo podría mantenerse si había una fuerza. Era, sin duda, un razonamiento incorrecto, según el cual el estado natural de un cuerpo era en reposo. Pero, el italiano Galileo Galilei (1564-1642) introdujo la idea de que el estado natural de una partícula no sólo era el reposo, sino también el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Afirmó que una partícula, por sí sola, no cambia su vector velocidad, sino que es un agente externo, es decir, una fuerza resultante, la que modifica su estado de reposo o de MRU. Esta idea es conocida como el principio de inercia o primera ley de Newton, que fue retomada por el inglés Isaac Newton. La primera ley de Newton establece que: Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar su estado debido a la acción de fuerzas sobre él. A la tendencia de un cuerpo a conservar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme (es decir, con velocidad constante), se le conoce como la inercia de un cuerpo. De acuerdo con Newton, la inercia es proporcional a la masa de un cuerpo. El principio de la inercia establece que si: n

n

F 5 0 ⇔ v 5 constante ⇒

5

n

n

n

n

v 5 0 ⇒ Reposo (equilibrio estático) v ° 0 ⇒ MRU (equilibrio dinámico)

El equilibrio o el movimiento son conceptos que dependen del marco de referencia adoptado. Un marco de referencia inercial es uno en el que el principio de la inercia es válido; es decir, no está acelerado.

❚ Segunda ley de Newton (principio fundamental de la mecánica) Para cambiar el estado de reposo o de MRU de un cuerpo, se necesita que actúe una fuerza. La segunda ley de Newton es un principio fundamental de la dinámica; tal vez es lanmás importante de las tres leyes de Newton. Esta ley establece la relación entre la fuerza resultante Fr aplicada a un cuerpo y la n correspondiente aceleración a adquirida por ese cuerpo.

Alerta Cuando la fuerza resultante es igual a cero se pueden tener dos casos: 1. No hay fuerzas actuando sobre el cuerpo. 2 Las fuerzas aplicadas se neutralizan entre sí. En cualquiera de los dos casos, se dice que el cuerpo está en equilibrio de traslación; es decir, el cuerpo efectivamente está en reposo, o se mueve con un MRU.

La segunda ley de Newton se enuncia como: Una fuerza externa actuando sobre un cuerpo produce una aceleración, en la misma dirección y sentido que el de la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Simbólicamente se expresa como: n

Fr 5

n

^ Fext 5 man

De la segunda ley de Newton, entre mayor sea la masa del cuerpo, menor será la aceleración adquirida por el cuerpo. Y para un cuerpo dado, entre mayor sea la magnitud de la fuerza resultante mayor será la aceleración. 63

UNIDAD

4

Dinámica

Problema resuelto Un cuerpo de masa m 5 2 kg ejecuta un movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, de acuerdo a la ley de movimiento x 5 2 1 2t 1 2t 2 (m). Bajo estas condiciones, ¿cuál es la magnitud de la fuerza resultante? Respuesta

La posición está dada por: x 5 2 1 2t 1 2t 2 Entonces, por definición, la velocidad está dada por: v5

d x d t

5 2 1 4t

Y la aceleración está dada por: a5

d v

54

d t

Entonces, la magnitud de la fuerza, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es:

1 ms 2 5 8 N

F 5 ma 5 (2 kg)  4 

2

Problema resuelto Sobre un cuerpo de 3 kg actúa una fuerza horizontal de 8 N de magnitud. ¿Cuál es su aceleración? Respuesta

Datos:

m 5 3 kg



F58N n

F

Figura 4.7   Usando la segunda ley de Newton: n

n

n

n

F 5 ma ⇒ a 5

F

m

Puesto que la fuerza es sólo horizontal, tenemos una ecuación escalar: a5

F m

Sustituyendo valores: a5

64

8N 3 kg

8 kg  5

m s2

3 kg

5 2,67

m s2

x

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Sobre un cuerpo de 3 kg actúa una fuerza horizontal de 8 N de magnitud hacia la derecha y una fuerza horizontal de 12 N de magnitud dirigida hacia la izquierda. ¿Cuál es su aceleración? Respuesta

Datos:

m 5 3 kg



n F1 5 8iˆ N



n F2 5 212iˆ N

n

n

F2



F1

x

Figura 4.8

Puesto que ahora hay dos fuerzas, debemos calcular la resultante: n n n Fr 5 F1 1 F2 5 8iˆ N 2 12iˆ N 5 24iˆ N

Ahora, usamos la segunda ley de Newton: n

n

n

Fr 5 ma ⇒ a 5

n

F

m

Puesto que la fuerza es horizontal, tenemos una ecuación escalar: a5

F m

Sustituyendo valores:

a5

4N 3 kg

4 kg  5

m s2

3 kg

5 1,33

m s2

n

, horizontal dirigida hacia la izquierda; es decir, a 5 21,33 iˆ

m s2

.

❚ Peso El peso es una fuerza gravitacional ejercida por la aceleración de la Tierra (u otro planeta). El peso depende de la gravedad, la que depende de la distancia a la que se encuentre el cuerpo respecto de la Tierra. Para distancias cercanas a la Tierra, la gravedad es igual a 9,81 m/s2. El peso es una fuerza y por la segunda ley de Newton se calcula como masa por la aceleración de la gravedad: n

n

n

P 5 mg 5 2mg jˆ

Problema resuelto Sobre un cuerpo de 3 kg actúa una fuerza horizontal de 8 N de magnitud hacia la derecha y una fuerza horizontal de 12 N de magnitud dirigida hacia la izquierda. Ahora, consideremos también su peso: ¿cuál es su aceleración?

65

UNIDAD

4

Dinámica Respuesta

Datos: n

n



m 5 3 kg,    F1 5 8iˆ N,    F2 5 212iˆ N,   



g 5 9,81

m s2

n

P 5?

n

,    a 5 ?

Calculemos el peso del cuerpo:

1

2

n m m n P 5 2mg jˆ 5 2(3 kg)  9,81 2  jˆ 5 229,43 kg 2  jˆ 5 229,43 N jˆ s s

y

n

n

F2

F1

x

n

P

Figura 4.9   n

n

n

Fr 5 F1 1 F2 5 8iˆ N 2 12iˆ N 2 29,43jˆ N 5 24iˆ N 2 29,43 jˆ N Ahora, usamos la segunda ley de Newton: n

n

n

n

Fr 5 ma ⇒ a 5

F

m

Entonces, sustituyendo valores: n

a 5

24iˆ N 2 29,43 jˆ N 3 kg

4 kg 

m

s2 ˆ 5 2   i 2 3 kg

29,43 kg 

m

s2 ˆ m m  j 5 21,33 2  iˆ 29,81 2  jˆ s s 3 kg

Cuya magnitud es: a5

!1

  21,33

2

1 s 2

m 2

1 29,81

2

s 2

m 2

m 5 9,9 2 s

Y en la dirección:

121,332 5 180° 1 82,28° 5 262,28°

u 5 tan21 

29,81

Problema resuelto Un cuerpo con masa de 4 kg, inicialmente en reposo, se encuentra sobre un plano horizontal perfectamente liso. A partir del instante t 5 0, actúa sobre el cuerpo una fuerza constante, horizontal y de 8 N de magnitud. Calcula: a) La aceleración adquirida por el cuerpo. b) La velocidad instantánea del cuerpo al tiempo t 5 5 s. c) La distancia recorrida por el cuerpo en el intervalo del tiempo t 5 0 a t 5 5 s.

66

Grupo Editorial Patria© Respuesta

Datos:

F58N m 5 4 kg t1 5 0 t2 5 5 s

Las fuerzas que n actúan sobre n el cuerpo n son: el peso P , la normal N y la fuerza F .

n

N

n

F

n

P Figura 4.10   Realicemos el diagrama de cuerpo libre para este problema:

y

Alerta

n

N

n

F

x

n

P Figura 4.11   Entonces, usando la segunda ley de Newton: n

n

n

n

^F

n

P , 1 N 1 F 5 ma

i

Escribimos las componentes x y y, de la ecuación anterior, lo que nos conduce a dos ecuaciones escalares, una para el eje x, y la otra para el eje y:



F 5 ma

(eje x)

2P 1 N 5 0 ⇒ N 5 2P

(eje y)

a) Sustituyendo valores en la ecuación para el eje x, determinamos la aceleración adquirida por el cuerpo. F F 5 ma ⇒ a 5 m a5

8N 4 kg

52

m s2

Un diagrama de cuerpo libre es un sistema coordenado sobre el cual se muestran todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la segunda ley de Newton:

 

ext

n

5 ma

En los diagramas de cuerpo libre, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cuerpo libre para cada uno de ellos.

b) Ahora, calculamos la velocidad instantánea del cuerpo al tiempo t 5 5 s.

v 0 5 0,    v 5 ?,    t 0 5 0,    t 5 5 s

1 ms 2(5 s) 5 10 ms  

v 5 v 0 1 a t 5 0 1 2

2

c) La distancia recorrida por el cuerpo en el intervalo del tiempo t 5 0 a t 5 5 s. x 5 x 0 1 v 0 t 1

at2 2

1 ms 2 (52s)

2

5 2

2

5 25 m 

67

UNIDAD

4

Dinámica

Problema resuelto La distancia entre dos postes de teléfono es de 50 m. Un pájaro de 1,5 kg se posa sobre el cable telefónico a la mitad de ambos postes, de tal modo que la línea se pandea 0,2 m. ¿Cuál es la tensión en el cable (no considerar el peso del cable)? Respuesta

El peso del pájaro es: n

1

n

2

m ˆ  j 5 214,715  jˆ N s2

P 5 mg 5 2(1,5 kg)  9,81

El ángulo que hace la cuerda en el punto medio con la horizontal es: 5 tan 1 0,2 25 2

u 5 tan21 

21

(0,008) 5 0,4583°

Sobre el punto medio de la cuerda actúan dos tensiones y el peso:

50 m n

n

T

T

u

0,2 m

u 5 0,4583°

u 25 m n

P

Figura 4.12  

Entonces, el diagrama de cuerpo libre en el punto medio de la cuerda es:

y n

n

T

T

u

u

n

P Figura 4.13   Encontramos las ecuaciones en el eje (x) y en el eje (y).

T cos u 2 T cos u 5 0

(x)



2T sen u 2 P 5 0

(y)

De la ecuación del eje y despejamos la tensión: 2T sen u 2 P 5 0 ⇒ T 5

P 2 sen u

Sustituyendo valores: T5

68

14,715 N 2 sen (0,4583°)

5 919,83 N

x

Grupo Editorial Patria© ❚ Polea móvil El sistema que se muestra en la figura 4.14 representa un bloque A unido a un cable 1, que pasa por dos poleas P1 y P2. El bloque B se une al cable 2, que a su vez está unido al eje de la polea P2. La polea P1 es una polea fija, pero que puede girar respecto de su eje, el cual es fijo. La polea P2 es una po­lea móvil porque, a su vez, puede subir o bajar. Los cables y las poleas son ideales, es decir su masa es despreciable.

Cable 1

Polea móvil

Cable 2

B A Figura 4.14  

En función de los pesos de los bloques A y B, el sistema deja el reposo, y pueden suceder tres situaciones:

1. El sistema permanece en equilibrio, en reposo.



2. El bloque A sube mientras que el bloque B baja.



3. El bloque A baja mientras que el bloque B sube.

A continuación demostraremos que las dos aceleraciones son diferentes. Vamos a suponer que el bloque A sube mientras que el bloque B baja.

Cable 1 A Polea móvil

Cable 2 B

DsA

DsB

A B

Figura 4.15  

Puesto que el cable 1 no se estira, la cantidad de cable que sube al subir el bloque A se divide en dos al pasar por la polea móvil, por tanto: DsA 5 2DsB Ahora, usando cinemática, Ds 5

a t 2  . Entonces: 2 aA t 2  2

aB t 2  5 2  ⇒ aA 5 2aB 2 69

UNIDAD

4

Dinámica

Problema resuelto En el arreglo que se representa en la figura 4.16, los bloques A y B tienen, respectivamente, una masa de 10 kg y de 30 kg. Los cables y las poleas se consideran ideales. Calcula: a) La aceleración adquirida por los bloques. b) La tensión en los cables 1 y 2.

Cable 1

Cable 2

Figura 4.16  

A 10 kg

B 30 kg

Respuesta n

Sobre el cable 1 sólo hay una tensión T . Hacemos los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo: n

T2

B 30 kg

Para el cuerpo B. n

aB

T2 2 PB 5 2mBaB ⇒ T2 5 mB (g 2 aB)

n

PB n

n

T1

T1 Para polea móvil, como la suponemos sin masa: 2T1 2 T2 5 0 ⇒ 2T1 5 T2 n

T2

n

T1

Para el cuerpo A. T1 2 PA 5 mAaA

A 10 kg

n

aA

T1 5 mA (g 1 aA) Y puesto que la polea es móvil:

n

PA

70

aA 5 2aB

Grupo Editorial Patria© Entonces,

T2



T1 5



mA (g 1 2aB) 5



2mAg 1 4mAaB 5 mBg 2 mBaB



4mAaB 1 mBaB 5 mBg 2 2mAg ⇒ aB 5

2 mB (g 2 aB) 2

(mB 2 2mA)g (4mA 1 mB)

Sustituyendo valores:

1

(30 kg 2 20 kg)  9,81

aB 5



aA 5 2aB 5 2  1,4

m s2

2

(40 kg 1 30 kg)

1

m s2

5 1,4

m s2

2 5 2,8 ms 2

Ahora, calculamos las tensiones,

1



T1 5 mA(g 1 2aB) 5 (10 kg)  9,81



T2 5 2T1 5 2(126,1 N) 5 252,2 N

1

m

1 2  1,4

s2

m s2

22 5 126,1 N

❚ Tercera ley de Newton La tercera ley de Newton, o principio de acción y reacción, establece que: Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A una fuerza de igual magnitud e igual dirección, pero en sentido contrario. Estas fuerzas se llaman de acción y reacción.

A

n

n

F

F

B

Figura 4.17  

Por ejemplo, cuando un cuerpo se encuentra sobre una mesa, por la tercera ley de Newton, el cuerpo ejerce una fuerza sobre la mesa que es igual a su peso, y a su vez la mesa ejerce una fuerza sobre el cuerpo, que sería la fuerza de reacción y a la fuerza de reacción que ejerce una superficie sobre n un cuerpo se le conoce como fuerza normal N . n

N

n

P Figura 4.18  

71

UNIDAD

4

Dinámica

Problema resuelto Un cuerpo de 10 kg, que inicialmenten está en reposo, se encuentra sobre una mesa lisa. En el instante t 5 0, empieza a actuar una fuerza F de 100 N de magnitud con un ángulo de 53° respecto de la horizontal. Determina: a) La magnitud de la fuerza de reacción o normal. b) La magnitud de la aceleración adquirida por el cuerpo. Respuesta

Datos:

m 5 10 kg



F 5 100 N



u 5 53°

n

N

n

F u

n

P

Figura 4.19   n

n

n

Sobre el cuerpo, actúa el peso P , la fuerza F y la normal N. Entonces, el diagrama de cuerpo libre es:

y

n

F

n

N

n

u

F sen u x

n

F cos u n



P

Figura 4.20  

Encontramos las ecuaciones en el eje x y en el eje y: F cos u 5 ma (x) F sen u 1 N 2 P 5 0 (y) Despejamos la aceleración de la ecuación en el eje de las (x): a5

F cos u 2

Y sustituimos valores: a5

100 N (cos 53°) 10 kg

5 6,018

m s2

De la ecuación del eje de las (y), despejamos a la normal: N 5 P 2 F sen u 5 mg 2 F sen u Sustituyendo valores:

1

N 5 (10 kg)  9,81

72

m s2

2 2 (100 N) (sen 53°) 5 18,23 N

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un cuerpo de masa m se desliza libremente a lo largo de un plano inclinado que forma un ángulo u con la horizontal. Calcula: a) La aceleración del cuerpo durante el movimiento. b) La magnitud de la fuerza normal. Respuesta

n m g 5 29,81 ˆj — s2

u

Figura 4.21  

Sobre el cuerpo actúan la normal y el peso.

n

N

n

n

P 5 mg u

Figura 4.22  

Descomponemos ambas fuerzas respecto de un sistema coordenado paralelo y perpendicular y con respecto al plano inclinado.

y

x n

N

mg cos u u a n

n

P 5 mg

a mg sen u

Figura 4.23  

u

Entonces, con respecto al eje x: 2mg sen u 5 ma ⇒ a 5 2g sen u Y con respecto al eje y: N 2 mg cos u 5 0 ⇒ N 5 mg cos u

73

UNIDAD

4

Dinámica ❚ Fuerzas de fricción Son fuerzas que surgen durante el contacto de dos cuerpos y que se oponen al movimiento relativo entre ellos. A la fuerza de fricción entre dos superficies que no se mueven se le llama fuerza de fricción estática, y cuando se mueven se le llama fuerza de fricción dinámica. La fuerza de fricción está dada por: F 5 mN donde m es el coeficiente de fricción, ya sea estático o dinámico.

Problema resuelto y

Un bloque se lanza con una velocidad inicial de 10 m/s sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de fricción dinámica entre el bloque y la mesa es md 5 0,2, calcula: n

a

a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) La distancia que recorre el bloque antes de parar.

n

N

Movimiento

c) El intervalo de tiempo antes de que el bloque se detenga.

x

n

Ff

n

P

Figura 4.24   Respuesta

a) La única fuerza que actúa sobre el eje de las x es la fuerza de fricción. Entonces, mN 5 ma ⇒ a 5

mN m

En el eje de las y no hay movimiento y las fuerzas que actúan son la normal y el peso. n

n

N 1 P 5 0 ⇒ N 2 P 5 0 ⇒ N 5 P 5 mg Entonces,

1

2

m m mmg 5 2mg 5 2(0,2)  9,81 2 5 21,962 2 a 5 2  s s m

b) Usando la fórmula de cinemática:



v 2 2 v 02 5 2ax ⇒ x 5 Entonces, sustituyendo valores:

1

2  10 x5

m

1

s

2  21,962

2 v 02 2a

2

2

m s2

2

5 25,48 m

c) Para calcular el tiempo, usamos la fórmula de cinemática:



v 2 v 0 5 at ⇒ t 5

2 v 0 a

Entonces, sustituyendo valores:

1

2  10 t5

m s

2

121,962 s 2 m 2

74

5 5,09 s

Grupo Editorial Patria© ❚ Fuerza centrípeta Cuando un cuerpo describe una trayectoria curvilínea tiene una aceleración normal o centrípeta y una aceleración tangencial como consecuencia de su movimiento; por tanto, usando la segunda ley de Newton, también tiene una fuerza normal o centrípeta y una fuerza tangencial.

n

n

F 5 ma 5 m

d v  d t

 eˆ r 1

mv 2 r

ˆN ⇒  e

5

n

Ft 5 m

d v   eˆ r d t

mv 2

n

Fc 5

r

Fuerza tangencial

ˆ N 5 mv2r eˆ N Fuerza centrípeta  e

Problema resuelto Un cuerpo de 1,0 kg está sujeto a un cable no extensible de peso despreciable de 2,0 m de largo que describe una trayectoria circular horizontal, sobre una mesa sin fricción. La velocidad tangencial del cuerpo es de 6 m/s. Determina la fuerza centrípeta y la fuerza tangencial.

Figura 4.25   Respuesta

Se trata de un movimiento circular uniforme, la única fuerza que actúa es la tensión del cable y, por tanto, ésta es igual a la fuerza centrípeta que está dada por: n

n

T 1 Fc 5

mv 2 r

ˆN  e

Sustituyendo valores:

n

2

1 s2

(1 kg)  6

Fc 5

m

2m

ˆ N 5 18 N e ˆN  e

Puesto que la velocidad tangencial permanece constante, la fuerza tangencial es igual a cero. n

F t 5 m 

d v d t

ˆr 5 0  e

Problema resuelto Un automóvil circula a través de una curva plana de radio R. Si el coeficiente de fricción entre las llantas y la carretera es m, ¿cuál es la rapidez máxima con la que se puede tomar la curva sin derrapar?

75

UNIDAD

4

Dinámica Respuesta

y n

Ff

R

n

N

x

n

mg

Figura 4.26   La única fuerza que actúa sobre el eje de las x, es la fuerza de fricción y ésta debe ser igual a la fuerza centrípeta. Por otra parte, en el eje y no hay movimiento, entonces: mv 2



^F

x

5 Ff 5 mac 5



^F

y

5 N 2 mg 5 0

R



(x) (y)

Y puesto que la fuerza de fricción es mN, calculamos la velocidad máxima: mN 5

mv 2 R

⇒ mmg 5

mv 2 R

⇒ v 5 ! mgR

Problema resuelto Cuando no hay fricción, se necesita peraltar la curva para que se pueda tomar una curva con seguridad. Calcula el ángulo de peralte. Respuesta

Sin fricción, las únicas fuerzas que actúan son la normal y el peso. Entonces,

y n

N u

x n

mg u

Figura 4.27  



^F



^F

x

y

5 N sen u 5

mv 2 R



(x)

5 N cos u 2 mg 5 0

(y)

Entonces, N cos u 5 mg mv 2 N sen u 5 R

76

6

mv 2 ⇒

N sen u N cos u

5

R mg

⇒ tan u 5

v 2 Rg

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un automóvil en una carretera recorre una curva de 200 m de radio, con una velocidad constante de 10 m/s. Determina: a) El menor coeficiente de fricción lateral entre las llantas y la carretera para que el automóvil no derrape. b) ¿Qué peralte debe tener la carretera para esa velocidad? Respuesta

En este inciso se supone una curva plana, es decir, sin peralte; entonces el coeficiente de fricción entre las llantas y la carretera está dado por: mmg 5

mv 2 R

⇒m5

v 2 Rg

Entonces, sustituyendo valores:

1

10

m5

1

m s

2

2

(200 m)  9,81

m s2

2

5 0,051

Problemas para resolver 4.1  Un tractor de 1 tonelada empuja una carreta de 90 toneladas usando un cable, con velocidad constante de 36 km/h. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la carreta? n

4.2  Con una fuerza F a 20° con respecto de la horizontal se jala un cuerpo de 4,7 kg sobre una superficie horizontal, con una aceleración de 2,0 m/s2. ¿Cuál es el valor de la magnitud de la fuerza? 4.3  Una fuerza constante actúa sobre un cuerpo de 100 kg y en 5 s cambia su velocidad de 10 m/s a 15 m/s. ¿Cuál es la magnitud de esa fuerza? 4.4  La gráfica que se muestra a continuación se refiere al movimiento de un carro de juguete de 10 kg, que se impulsa con una velocidad inicial de 2 m/s sobre una superficie horizontal. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

Problemas aplicados a la realidad

V(t) m/s

2

1

0

1

2

3

4

5

6

t(s)

ALERTA La pendiente de la recta tangente a la curva velocidad es la aceleración.

Problemas para resolver con tecnología

77

UNIDAD

4

Problemas para resolver

4.5  Se ejerce una fuerza de 12 N de magnitud sobre una partícula de 6 kg. Si la partícula está inicialmente en reposo, ¿cuál será su velocidad después de 5 s de que se ha aplicado la fuerza?

c) T1

4.6  Una fuerza F se aplica a una caja de masa m1 y produce una aceleración de 10 m/s2. Esa misma fuerza se aplica a una segunda caja de masa m2 y se genera una aceleración de 2 m/s2. ¿Cuál es el valor de la relación m1/m2? 4.7  Un cuerpo de masa m 5 3 kg ejecuta un movimiento rectilíneo a lo largo del eje x; de acuerdo con la ley de movimiento, x 5 3 1 5 t 1 8 t2 (m). Bajo estas condiciones, ¿cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

Bolsa de correo F

d)

ALERTA La derivada de la función de posición es la función de velocidad, y la derivada de la función de velocidad es la función de aceleración.

4.8  Un vehículo de 5 kg describe una trayectoria rectilínea que obedece una función dependiente del tiempo dada por s 5 3t2 1 2t 1 1, donde s está en m y t en s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

e)

4.9  La posición de un helicóptero de 2,8 3 105 N está dada por:

25° T2

m m m m r 5 0,02  3  t3  iˆ 1 2,4  2  t2 1 1,2   t  jˆ 2 0,06  2  t2kˆ s s s s n

1

2 1

2 1

2

50° T

T1

Determina la magnitud de la fuerza sobre el helicóptero en t 5 5 s. 4.10  Un cuerpo de 100 N de peso se mueve sobre un plano horizontal bajo la acción de una fuerza de 4 N, paralela al plano. Calcula la aceleración del cuerpo.

f)

4.11  Un astronauta con su traje completo tiene una masa de 120 kg, en la Luna donde la aceleración de la gravedad es 1,6 m/s2. ¿Cuál es su masa y su peso? 4.12  Elabora el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los siguientes casos: a) Fa g) P

m1

b) m2

m3 20° 78

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© h)

m) N T1 m1 T2 F1g

n) m2 F2g

i)

45°

o)

u j)

p)

k)

q) Barco1 u1

Barco2

u2 l)

Barco3 r) T2

15°

m1

Problemas aplicados a la realidad

m2

m1

T1

Problemas para resolver con tecnología

79

UNIDAD

4

Problemas para resolver

4.13  La bala de un rifle con una masa de 12 g viaja a una velocidad de 400 m/s y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Calcula la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que actúa sobre la bala.

una caja de madera; cuando la caja tiene una masa de 20 kg es deslizada por dos personas al área de empaque. Calcula la aceleración como vector unitario (ver diagrama).

F1 5 5 N

4.14  Un jugador de la selección mexicana de futbol patea un balón con una fuerza de 1,5 N y adquiere una aceleración de 3,7 m/s2. ¿Cuál es la masa del balón? 4.15  La fuerza del viento actúa sobre la vela de un velero que es de 390 N en dirección Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 N hacia el Este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 300 kg, ¿calcula la magnitud y la dirección de su aceleración? 4.16  Un avión que lleva ayuda a las personas del estado de Tabasco por las inundaciones tiene un peso de 6 500 kg y aterriza en el aeropuerto de Villahermosa a una velocidad de 500 km/h; por las condiciones del aeropuerto se ve forzado a detenerse después de 10 segundos de recorrer la pista. ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante de rozamiento? 4.17  Un elevador de un importante hotel de categoría gran turismo sube a razón de 0,5 m/s2 y en su interior lleva el equipaje de un importante grupo musical, el cual tiene un peso de 200 N. ¿Qué fuerzas actúan sobre el equipaje? ¿Qué valor tiene cada una de ellas? 4.18  Una persona de 62 kg está parada sobre una báscula en el elevador de un edificio. El elevador parte del reposo y asciende con una velocidad que depende del tiempo, como v(t) 5 (3,5 m/s2)t 1 (0,42 m/s3)t2. ¿Cuánto registra la balanza en t 5 5 s? 4.19  Un niño pequeño lanza una pelota de 1 kg con una aceleración de 2 m/s2 a 20° hacia la dirección positiva del eje x. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el valor de la fuerza componente en x? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza componente en y? c) ¿Cuál es la fuerza neta en notación de vector unitario? 4.20  Se tiene una caja de cartón llena con enseres domésticos, que contiene una masa de 2,5 kg. La caja es empujada por dos personas que no se ponen de acuerdo y se mueve con una aceleración de 10 m/s2. La persona 1 ejerce una fuerza sobre el eje x, que tiene un valor de 20 N, y la segunda persona empuja con un ángulo de 30°, como se muestra en la figura. Encuentra el valor de la fuerza que ejerce la segunda persona a) en notación de vec­tor unitario y b) como magnitud y dirección. y

30°

x

30° 45°

F2 5 15 N 4.22  En una construcción se utiliza una polea para mover material, en un lado de la polea se tiene un costal de yeso de 2 kg y del otro lado se tiene un costal de cemento de 5 kg. Considera que entre la cuerda y la polea la fricción es mínima, por lo que se puede despreciar. Resuelve lo siguiente: a) Elabora el diagrama de cuerpo libre. b) Calcula la aceleración de cada uno de los costales.

Costal yeso

c) Determina el valor de tensión de la cuerda.

Costal cemento

4.23  Se aplica una fuerza para bajar un piano de 150 kg, para que éste baje deslizándose con velocidad constante por una rampa inclinada 20° con la horizontal. No consideres la fricción, calcula la magnitud de la fuerza aplicada si es paralela a la rampa. 4.24  Un bloque de masa m reposa sobre otro de masa 3m, que puede deslizarse sin fricción sobre una superficie perfectamente lisa. Se aplica una fuerza horizontal F al bloque inferior, como se muestra en la figura, tal que el bloque superior no se desliza sobre el inferior. Demuestra que la magnitud de la fuerza de fricción entre los dos bloques que es responsable de la aceleración del bloque superior es F/4. m n

3m

F

4.25  En un plano inclinado se tiene un paquete de libros de 10 kg. Si entre los libros y el plano no hay rozamiento y los libros se encuentran en reposo y bajan desde el punto A, determina: a) Diagrama de cuerpo libre. b) Aceleración del paquete de libros.

4.21  En una planta donde se fabrican tornillos y tuercas, al terminar la pieza de una línea de producción se deja caer en 80

Problemas aplicados a la realidad

c) Tiempo que tarda en llegar el paquete al punto B. d) Velocidad del paquete al llegar al punto B. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 4.31  En una máquina de Atwood, sin fricción, considera que m1 5 100 g y que m2 es igual a 50 g. Calcula la aceleración de los bloques. A

– 3!3 m

4.32  En la figura que se muestra a continuación, para mantener el peso en equilibrio estático utilizando poleas, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer el muchacho?

60° B 4.26  En una banda de producción se coloca una caja con material que tiene una masa de 5 kg, la caja se mueve con una velocidad de 1 m/s, más adelante en esa misma línea de producción se coloca otra caja de 1 kg encima de la primera. ¿Con qué velocidad se mueven ambas cajas? 4.27  Un bloque de masa m 5 2 kg se mantiene en equilibrio sobre unn plano inclinado de 60°, mediante una fuerza horizontal F , ncomo se muestra en la figura. Determina la magnitud de F y la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (no consideres fricción).

n

F

n

P

4.33  Un hombre de 80 kg en un elevador está sobre una balanza calibrada en Newtons, determina la lectura registrada en la balanza, sabiendo que el elevador describe un movimiento uniformemente acelerado con una aceleración de 1 m/s2. a) Si el elevador sube acelerando. b) Si el elevador sube frenando.

n

F

4.34  Un bloque de 25 kg se mantiene inmóvil gracias a una cuerda sobre un plano inclinado sin rozamiento con un ángulo de 27°. ¿Cuál es la magnitud de la tensión de la cuerda? (Elabora un diagrama de cuerpo libre.) u 4.28  Un conjunto de tres bloques de: 10 kg, 5 kg y 3 kg, se deslizan sin fricción sobre un plano horizontal, bajo la acción de una fuerza de 72 N. Usando la tercera ley de Newton, ¿cuál es la fuerza que ejerce el bloque de 10 kg sobre el bloque de 5 kg?

4.35  En la siguiente figura se presenta un cuerpo de 60 kg sobre un plano inclinado a 30° con la horizontal. ¿Cuál es la fuerza necesaria para que... a) el cuerpo suba el plano con una aceleración de 0,8 m/s2? b) el cuerpo se mueva con velocidad constante? n

F

n

F

10 kg 5 kg

30° 3 kg

4.29  El coeficiente de fricción estática es 0,8 entre las suelas de los zapatos de un corredor y la superficie plana de la pista en la que está corriendo. Calcula la aceleración máxima que puede lograr. 4.30  En la figura se presenta una máquina de Atwood, diseñada para el estudio de movimientos. Los cuerpos están unidos por un cable que no se estira y tienen masas m1 y m2. El cable que pasa por la polea se supone no tiene fricción con el eje de la polea, suponiendo que m1 . m2. Calcula la aceleración de los cuerpos.

Problemas aplicados a la realidad

4.36  Un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal, tiene una polea en su parte superior; un bloque de 30 kg sobre el plano está unido por medio de un cable que pasa por la polea con un bloque de 20 kg que cuelga libremente. a) Realiza el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. b) Calcula la distancia que ha recorrido el bloque de 20 kg después de 2 s, a partir del reposo. 4.37  Un niño de 30 kg baja deslizándose por una resbaladilla inclinada 30° con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción dinámica entre la resbaladilla y la ropa es de 0,5. ¿Con qué aceleración desciende el niño?

m1

m2

4.38  Un paracaidista desciende con una velocidad constante de 4,0 m/s. La masa del conjunto es de 80 kg. ¿Cuál es la fuerza de resistencia del aire?

Problemas para resolver con tecnología

81

UNIDAD

4

Problemas para resolver

4.39  Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 30° y se desliza 2 m hacia abajo en 1,5 s. Determina:

la masa máxima que puede tener el bloque B para que el sistema se mantenga en equilibrio. 45°

a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. A

c) ¿Qué fuerza normal ejerce el piso sobre el bloque? d) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. e) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros. 4.40  Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Considera que F 5 68 N, m1 5 12 kg, m2 5 18 kg y que el coeficiente de fricción cinético entre cada bloque y la superficie es 0,1. a) Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) Determina la tensión T y la magnitud de la aceleración del sistema. n

m1

n

T

T

B

4.45  El bloque A de la figura pesa 1,2 N y el B, 2,4 N. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es n 0,2. Determina la magnitud de la fuerza horizontal F , necesaria para arrastrar al bloque B a la izquierda con rapidez constante si A descansa sobre B y se mueve con él. A

n

F

m2

4.41  Una fuerza horizontal jala un cuerpo de 5 kg que se encuentra en reposo, después de 5 s alcanza una velocidad de 15 m/s. El coeficiente de fricción entre el cuerpo y la superficie es de 0,2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza? 4.42  Un cuerpo de 2 kg parte del reposo y recorre 4 m en 2 s sobre un plano horizontal y bajo la acción de una fuerza horizontal de 9 N. Determina la fuerza de fricción entre el cuerpo y el plano. 4.43  Como se muestra en la figura, el bloque A de 2,5 kg descansa sobre una mesa y está conectado con un cable horizontal que pasa por una polea ligera sin fricción a un bloque B de 1,25 kg que cuelga libremente. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y la superficie de la mesa es 0,4. Los bloques se sueltan a partir del reposo. Calcula:

n

F

B

4.46  El bloque A de la figura pesa 1,2 N y el B, 2,4 N. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es n 0,2. Determina la magnitud de la fuerza horizontal F , necesaria para arrastrar al bloque B a la izquierda con rapidez constante si A no se mueve.

A n

F

B

a) La aceleración de los bloques. b) La velocidad de cada bloque después de moverse 10 cm. c) La tensión en la cuerda. A

B

4.44  Un bloque A, que está apoyado sobre una superficie horizontal, tiene una masa de 80 kg, y el coeficiente de fricción estático entre éste y la superficie es 0,25. Determina 82

Problemas aplicados a la realidad

4.47  Un obrero empuja una caja de 20 kg sobre una superficie horizontal con una velocidad de 5 m/s. Si el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0,1. ¿De qué magnitud es la fuerza que debe aplicar el obrero con una cuerda que hace con la horizontal 30°? 4.48  Se ata una piedra de 200 g a una cuerda de 80 cm de largo. La cuerda se rompe si la tensión es mayor de 400 N. La piedra gira en un círculo sobre una mesa horizontal sin fricción. Calcula la rapidez máxima que puede alcanzar la piedra sin romper la cuerda. 4.49  Una bola de 0,5 kg de masa está unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1,5 metros. La bola gira en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 N. ¿Cuál es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes que la cuerda se rompa? Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 4.50  Determina el ángulo de peralte que debe tener una carretera, en una curva de 400 m de radio, para que un automóvil con una velocidad de 40 m/s no derrape, independientemente del coeficiente de fricción. 4.51  Del siguiente sistema de fuerzas calcula la resultante y la equilibrante, así como el ángulo que forma la fuerza resultante. y

n

4.56  Una caja con material de 5 kg se empuja sobre una rampa como se muestra en la figura. Calcula:

n

F4

4.55  Un joven esquiador que está participando en los juegos olímpicos de invierno tiene una masa de 80 kg (incluyendo su masa y la del equipo), el joven desciende sobre una pendiente sin fricción con un ángulo de 13° sobre la horizontal. Considera que la fuerza del aire actúa sobre el joven y viaja a una velocidad constante de 2,5 m/s y recorre una distancia de 15,7 m en 6,28 s. Determina la magnitud de la fuerza del aire.

F1

a) La aceleración con la que sube la rampa si lo hace en 90 s. n

b) La fuerza de fricción que hay entre la caja y la rampa si el coeficiente es de 0,35.

F5

n

F3

c) La magnitud de la fuerza F y de la fuerza sobre la caja que ejerce la rampa.

n

F2

x

y n



n

F3

F2

n

F1

a) La magnitud de la fuerza resultante

x

5 kg

15°

b) Las componentes de la fuerza resultante. c) La magnitud de la fuerza equilibrante.

F

H 5 2,5 m

4.52  Se tiene el siguiente sistema de fuerzas. Determina:

x 5 5,5 m n

4.57  Una fuerza F actúa sobre una caja a 22° respecto a la horizontal. La masa de la caja es de 30,5 kg y se desplaza sobre un piso horizontal una distancia de 3,1 m con una aceleración de 1,8 m/s2. Calcula: a) El valor de la magnitud.

n

F4

b) Las componentes de la fuerza.

4.53  Se tiene un bloque de acero de 5,5 kg sobre el cual actúan las siguientes fuerzas. Determina: a) El peso del bloque. b) La fuerza resultante considerando el peso del bloque. c) El valor del ángulo u. n

F2 5 63 N

n

F1 5 35 N 40°

n

F3 5 75 N u

4.58  Un joven de 78 kg golpea un saco de box con una fuerza de 56 N y el saco adquiere una aceleración de 0,8 m/s2. ¿Cuál es la masa del saco de box? ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción del saco? 4.59  Una joven de 65 kg se está preparando para participar en una carrera de cien metros, el coeficiente de fricción estático entre la suela de sus tenis y el piso de la pista es de 0,750. ¿Cuál es la aceleración máxima que puede alcanzar con ese calzado? 4.60  Dos bloques de piedra rugosa, uno de 3,5 Ton y otro de 1,7 Ton, se encuentran uno encima del otro (el pequeño sobre el mayor); están en una superficie lisa de concreto y entre los bloques y la superficie no hay fuerza de rozamiento, pero si hay fuerza de fricción entre los bloques, el coeficiente de fricción entre ambos bloques es de 0,45. Calcula:

5,5 kg

a) La fuerza máxima F que debe aplicarse al bloque de 3,5 Ton de tal modo que el bloque más pequeño no se deslice. W

b) La aceleración de los bloques.

4.54  Se tiene una caja sobre la cual actúan dos fuerzas de diferente magnitud una de 36 N y la otra de 28 N y la dirección entre ellas difiere en 60°. La aceleración resultante es de 16 m/s2. ¿Cuál es la masa de la caja? Problemas aplicados a la realidad

c) La fuerza de fricción que existe entre los bloques. 4.61  Dos cajas con piezas metálicas se encuentran unidos por una cadena, las cuales un operador las tiene que jalar con una aceleración de 10 m/s2. Determina:

Problemas para resolver con tecnología

83

UNIDAD

4

Problemas para resolver

a) La fuerza de fricción que existe entre los bloque y el piso si el coeficiente de fricción del bloque de 2,8 kg es de 0,33 y el de 0.95 kg es de 0,29. b) La tensión de la cadena.

4.64  Un alpinista de 90 kg baja desde una altura de 15 m, se sostiene de una cuerda que pasa por una polea, y en el extremo de la cuerda se encuentra una piedra de 80 kg. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Con qué velocidad cae el alpinista al suelo?

c) La magnitud de la fuerza F,

b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? 0,26 m

2,8 kg

0,95 kg

ALERTA Considera la masa de la polea y la fuerza de rozamiento como despreciables.

2,34 cm 4.62  Calcula la tensión de cada una de las cuerdas del siguiente sistema:

26°

20° 55 cm

60 cm 75 cm 4 kg

4.63  Se coloca un cajón de fruta de 40 kg sobre el piso de un camión. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el piso es de 0,3. Calcula la máxima aceleración que puede tener el camión para evitar que la caja se deslice hacia atrás.

4.65  Una canica describe una órbita circular de radio 20 cm en torno a un punto fijo con una rapidez constante dando una vuelta completa cada dos segundos. Determina la magnitud de la aceleración. 4.66  Se hace girar una piedra de 4 kg en un círculo vertical de radio 2 m. Cuando pasa por el punto más alto tiene una velocidad de 10 m/s. Calcula la tensión en la cuerda en ese punto. 4.67  Se hace girar una piedra de 2 kg en un plano horizontal con una cuerda de 50 cm, la resistencia a la rotura de la cuerda es de 100 N. ¿Cuál es la máxima velocidad angular a la que se podrá hacer girar la piedra? 4.68  Un piloto de 60 kg de masa quiere hacer un lazo de 20 m de radio con una velocidad de 40 m/s. Determina la reacción mínima sobre el asiento del piloto.

Problema reto Escribe un reporte de los siguientes casos: A. En una carretera que comunique a dos ciudades; investiga las velocidades máximas indicadas en las curvas de la carretera y mide dentro de lo posible el radio de la curva y el ángulo de peralte.

1

B. Evalúa teóricamente si la velocidad máxima indicada es consistente con tu cálculo.

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fundamentos de física. Volumen 1. 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R., Beicher, R. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1. Cengage, México, 2008. Young, H. D., Freedman, R. A. y Ford, L. Física universitaria. Volumen 1. 12ª edición. México, 2009.

Referencias de Internet

84

■

http://scienceshareware.com/dynamics.htm

■

http://www.staff.amu.edu.pl/~romangoc/index.html Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD

5

Trabajo y energía Objetivos Identificar los conceptos de trabajo, energía y potencia, para poder aplicarlos en la solución de problemas prácticos. Comprender la relación entre trabajo y energía. Conocer diferentes tipos de energía a partir de visualizar la transformación de una forma de energía en otra. Aplicar el principio de conservación de la energía en la solución de problemas prácticos.

¿Qué sabes? ¿Cuándo caminas realizas algún tipo de trabajo? ¿Qué entiendes por trabajo, por energía y por potencia? ¿Cuál es la relación entre trabajo y energía?

UNIDAD

5

Trabajo y energía

5.1  Introducción En el lenguaje cotidiano, la palabra “trabajo”, por lo general se asocia con un esfuerzo físico, gasto de energía, etcétera. Mientras que en sentido físico, trabajo es una medida de la cantidad de energía transferida de un cuerpo a otro, o energía transformada, cuando se aplica una fuerza.

5.2  Trabajo de una fuerza constante n

n

El trabajo W de una fuerza constante F en un desplazamiento d es una magnitud escalar que está dada por: n

n

W 5 F ? d 5 Fd cos u

n

B

F

n

d u



Figura 5.1

A

Alerta •  El trabajo es positivo,   W . 0, cuando la fuerza favorece el movimiento; es decir, la fuerza transfiere energía al sistema. •  El trabajo es negativo, W , 0, cuando la fuerza dificulta el movimiento; es decir, la fuerza quita energía al sistema.

Las unidades del trabajo en el SI son: J 5 Joules 5 N ? m, y en el sistema inglés son: 1 slug ft2/s2. Tabla 5.1  Casos particulares. Fuerza y desplazamiento en la misma dirección

u 5 0°  ⇒  cos 0° 5 1  ⇒  W 5 Fd

Fuerza y desplazamiento en la misma dirección, pero en sentido contrario

u 5 180°  ⇒  cos 180° 5 1  ⇒  W 5 2Fd

Fuerza y desplazamiento perpendiculares entre sí

u 5 90°  ⇒  cos 90° 5 0  ⇒  W 5 0

Problema resuelto Una fuerza de 80,0 N actúa sobre un objeto a lo largo de una distancia de 6,0 m. Si la fuerza actúa en la misma dirección y sentido que el desplazamiento, calcula el trabajo realizado por la fuerza. Respuesta

W 5 Fd cos 0° 5 (80,0 N)(6,0 m) 5 480 N ? m 5 480 J

Problema resuelto Un objeto de 10,0 kg de masa se desliza sobre una superficie horizontal, usando una fuerza de 120 N inclinada 30° con respecto a la horizontal. Si el coeficiente de fricción cinético entre las superficies en contacto es 0,250 y el objeto se desliza 10,0 m.

86

Grupo Editorial Patria©

n

T n

N

n

d

n

Ff

n

mg Figura 5.2

 

a) Determina el trabajo hecho por la fuerza de gravedad. b) Determina el trabajo hecho por la fuerza de fricción. c) Calcula el trabajo neto realizado sobre el objeto. Respuesta

Datos:

m 5 10,0 kg T 5 120 N, 30° m 5 0,250 d 5 10,0 m g 5 9,81 m/s2

Realizamos el diagrama de cuerpo libre:

n

N

n

T 30° n

Ff

n

mg

Figura 5.3   



^F



^F

 

x

5 2Ff 1 T cos 30° 5 ma

y

5 N 1 T sen 30° 2 mg 5 0 ⇒ N 5 2T sen 30° 1 mg

 

 

a) El peso es perpendicular al desplazamiento del objeto, entonces no realiza trabajo sobre éste, ya que: n n

W 5 F ? d 5 mgd cos 90° 5 0 b) La fuerza de fricción está dirigida en sentido contrario al vector desplazamiento; entonces, forman un ángulo de 180°, por tanto, el trabajo realizado por la fuerza de fricción es: n n

W 5 Ff ? d 5 Ff d cos 180° 5 mNd(21) 5 2m(mg 2 T sen 30°)d W 5 2mmgd 1 mTd sen 30° Sustituyendo valores:

1

W 5 2(0,25)(10 kg) 9,81

m s2

2(10 m) 1 (0,25)(120 N)(10 m)sen 30°

W 5 2245,25 J 1 150,0 J 5 95,25 J

87

UNIDAD

5

Trabajo y energía

c) Por lo que respecta al trabajo neto realizado, de acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, se observa que sobre el objeto actúan el peso, la fuerza normal y la componente Ty, las cuales no realizan trabajo sobre el objeto, ya que son perpendiculares al desplazamiento. Las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el objeto son la componente Tx (trabajo positivo) y la fricción (trabajo negativo).

Wn 5 Tx d 2 Ff d

El trabajo realizado por la fuerza de fricción se calculó en el inciso b), por lo que se sabe que es igual a: W 5 2Ff d 5 295,25 J Ahora, calculamos el trabajo realizado por la componente x de la fuerza T: WT 5 Txd 5 Td cos 30° 5 (120 N)(10 m) cos 30° 5 1 039,2 J Entonces, el trabajo neto es: Wn 5 1 039,2 J 2 95,25 J 5 943,95 J

Problema resuelto Una persona levanta una caja de 40 kg, 2 m sobre el suelo. Si el objeto se levanta con rapidez constante, calcula el trabajo realizado por la persona. Respuesta

Cuando se levanta un objeto, se realiza trabajo en contra de la fuerza de gravedad. Si el objeto se mueve con rapidez constante, la fuerza ascendente es de igual magnitud que el peso del objeto; por tanto:

h

n

T

n

mg

Figura 5.4 

La fuerza que ejerce la persona al levantar el objeto tiene magnitud T, y puesto que el cuerpo se mueve con rapidez constante, no hay aceleración y, por tanto, la suma de fuerzas en el eje vertical es cero, entonces:

88

T 2 mg 5 0  ⇒  T 5 mg



WT 5 Th cos 0° 5 mgh



WT 5 (40 kg)(9,81 m/s2)(2 m) 5 784,8 J

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Problema resuelto Calcula el trabajo hecho contra la gravedad por una bomba que descarga 600 litros de agua en el tanque que está 5 m arriba de la toma de la bomba. La densidad del agua es 1 000 kg/m3. Respuesta

Datos:

V 5 600 L



r 5 1 000



h55m

kg m3

Calculamos la masa de agua que hay en los 600 litros de agua, ya que ésa es la masa que hay que subir: 1 L 5 0,001 m3

V 5 600 L 5 600 (0,001 m3) 5 0,6 m3







r 5 densidad 5







r5

m V

m V

5

masa volumen

⇒ m 5 rV 5 1 000

kg m3

(0,6 m3) 5 600 kg

El trabajo hecho contra la gravedad es:

W 5 mgh



W 5 (600 kg)(9,81 m/s2)(5 m) 5 29 430 J

5.3  Trabajo hecho por una fuerza   variable fe

Si la fuerza que se aplica para realizar el trabajo varía n conforme cambia de posición, se dice que la fuerza F es variable; entonces, el trabajo realizado por una fuerza varian ble en un desplazamiento infinitesimal d x está dado por: n

DX

n

fe’

d W 5 F  ? d x

Así, el trabajo total realizado en un desplazamiento dado será igual a la suma de todos esos trabajos infinitesimales, que es igual a:  

W5

xf n

n

e  dW 5 e F  ? d x    

5

x i

fd

fd’

DX’

xf n

fe’’

e F cos u dx

x i

Desde el punto de vista matemático, el valor de la integral es numéricamente igual al área bajo la curva de F cos u contra x.

fd’’

DX’’ fe’’’

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza ejercida por un resorte está dada por:

fd’’’

DX’’’

F 5 2k Dx Ésta es negativa porque se opone a la dirección del movimiento; es decir, si el resorte se comprime o estira mediante una fuerza, el resorte regresa a su posición original. Figura 5.5  

fe’’’’

fd’’’’ DX’’’’ 89

UNIDAD

5

Trabajo y energía

Problema resuelto Calcule el trabajo hecho por un resorte, de constante 500 N/m, cuando se comprime 0,05 m a partir de su posición de equilibrio. Respuesta

Supondremos que su posición de equilibrio es x0 5 0.

F 5 2k Dx 5 2k(x 2 x0) 5 2k x



F 5 500

N m

 x

Entonces, el trabajo está dado por: xf



W5

xf

e 2k x dx 5 2k e x dx 5

x i

x i

500

kx 1 * 2 2

kx2

W5

N

xf

2 f

  5

2

x i

kxi2 2

2

(0,05 m)2

m

5 0,625 N ? m 5 0,625 J

2

5.4  Energía cinética Usando la segunda ley de Newton, el trabajo se puede expresar como: W5

x f n

x f

n

x f

d v

x i

dt

e F  ? d x 5 e ma ? d x 5 e m n

x i

n

n

x i

n

 ? d x

Cambiando la variable de integración de la posición a la velocidad: W5

v f

e

v i

n

d x n m   ?  d v 5 dt

v f

mv 2

e mv ? d v 5 n

n

v i

*

v mvf2 mvi2   5 2 2 v  2 2 f

i

mv 2 A la expresión se le llama energía cinética y, como se puede observar de la expresión, de2 pende de su rapidez; por tanto, se conoce como la energía de movimiento, que siempre es positiva porque la rapidez está al cuadrado. mv 2 Ec 5 2 Y el trabajo también se puede expresar como el cambio en la energía cinética; sus unidades son J al igual que las del trabajo. mvf2 mvi2 2 W 5 DEc 5 2 2 Esta última expresión se conoce como el teorema del trabajo y la energía cinética. 90

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Una fuerza de 1,5 N impulsa un carrito de 20 g de masa sobre una mesa horizontal sin fricción; si el carrito partió del reposo, ha recorrido una distancia de 50 cm y la fricción es despreciable, ¿cuál es la rapidez que tiene el carrito? Respuesta

Datos:

F 5 1,5 N d 5 50 cm 5 0,5 m vi 5 0 ya que partió del reposo vf 5 v m 5 20 g

Si usamos el teorema del trabajo y la energía cinética, entonces: W 5 Fd 5

mv2 2

 ⇒ v 5

!

2Fd   m

Sustituyendo valores. v5

!

2(1,5 N)(0,5 m)   5 0,020 kg

!

kY g ? m2 m  75 2 5 8,66 s s  ? kY g

5.5  Potencia La potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo. dW P5 dt Y usando la definición de trabajo, se puede escribir como: n

n

n

F  ? d s n d s n n 5 F  ?  5 F ? v 5 P5 d t dt dt d W

La potencia es una cantidad escalar y su unidad en el SI es el watt: m kg   m J N m m2 s2 5 5 kg  W5 5 s3 s s s Otras unidades comunes de la potencia son las siguientes:

1 Kilowatt (kW) 5 1 000 Watts



1 caballo de potencia (hp) 5 746 watts

Problema resuelto Un automóvil cuya masa es de 1 200 kg acelera desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 70 km/h en 8 s. ¿Qué potencia promedio realiza el motor para lograr esta aceleración? Desprecia la fuerza de fricción.

91

UNIDAD

5

Trabajo y energía Respuesta

Datos:

m 5 1 200 kg v 5 70 km/h 5 19,44 m/s t58s

Para calcular el trabajo que desarrolló el motor en ese tiempo, usamos el teorema del trabajo y la energía cinética. Puesto que parte del reposo, la energía cinética inicial es cero. Y calculamos la energía cinética final:

Eci 5 0



1 1 m Ecf 5  mv 2 5  (1 200 kg) 19,44 2 2 s

1

2

2 5 2,2684 3 10 kg  s 5

m2 2

5 2,2684 3 105 J

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo es igual al cambio en la energía cinética. W 5 Ecf 2 Eci 5 2,2684 3 105 J El tiempo que le toma realizar este trabajo es de 8 s, entonces la potencia promedio es: P5

W t

5

2,2684 3 103 J 8s

5 28 355 W

❚ Conservación de la energía mecánica Si un objeto se encuentra a cierta altura sobre un nivel de referencia, tiene energía potencial gravitacional. Conforme cae pierde altura, pierde energía potencial gravitacional y aumenta su velocidad, por lo que aumenta su energía cinética. La energía mecánica Em del sistema es constante, Em 5

Ep 123

1

Energía potencial

Ec 123

5 constante

Energía cinética

Fuerzas conservativas Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de una función, que sólo depende de las coordenadas. A dicha función se le llama energía potencial. W5

B n

e F  ? d r

n

A

Alerta Un sistema es conservativo si sólo actúan fuerzas conservativas sobre éste y es un sistema tal que se conserva la energía mecánica.

5 2EpB 1 EpA 5 DEp

Características de las fuerzas conservativas: ■

■

El trabajo de una fuerza conservativa no depende de la trayectoria seguida para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero: W5

  n

e F  ? d r    

92

n

50

Grupo Editorial Patria© Fuerzas no conservativas Cuando se considera la fricción, que es una fuerza disipativa, la energía mecánica no se conserva. El trabajo realizado contra la fricción se pierde en energía calorífica. Sin embargo, la energía total del sistema sí se conserva. Entonces:

Eti 5 Emi 5 Etf 5 Emf 1 fr d 123

trabajo hecho contra la fuerza de fricción

Problema resuelto Un objeto de 3 kg de masa se deja caer desde la azotea de un edificio de 10 m de altura. Determina la velocidad del objeto justo antes de llegar al suelo.

Alerta Un sistema disipativo es un sistema en el que actúan fuerzas disipativas y un sistema no conservativo; en éste la energía mecánica no permanece constante, pero la total sí.

Respuesta

Primero, determinamos la energía mecánica del objeto justo en el momento en que se deja caer. En ese punto, al que se llama punto 1, la energía mecánica, está dada por:

1 1 Em1 5 Ec1 1 Ep1 5  mv2 1 mgh 5  m(0)2 1 mgh 5 mgh 2 2



Em1 5 (3 kg)(9,81 m/s2)(10 m) 5 294,3 J

1

2 Figura 5.6   Ahora, consideramos la energía mecánica en el punto 2, que es justo el punto antes de que el objeto pegue en el piso. 1 1 Em2 5 Ec2 1 Ep2 5  mv 2 1 mgh 5  mv 2 1 mg(0) 5 mv 2 2 2 La energía mecánica se conserva:

Em1 5 Em2



2(294,3 J) 1 m 5 214,007 294,3 J 5  (3 kg) v22  ⇒  v2 5 6    (3 kg) 2 s

!

También consideramos el signo negativo, ya que el objeto va hacia abajo.

Problema resuelto El péndulo de la figura 5.7 de 1,0 m de longitud tiene un objeto de 500 g de masa suspendido de su extremo, cuando el péndulo forma un ángulo de 20° con la vertical y se suelta para que oscile, determina la velocidad del objeto en el punto más bajo de su trayectoria.

Figura 5.7 

20°

2

1

93

UNIDAD

5

Trabajo y energía Respuesta

Consideramos como posición 1 del objeto al punto donde se suelta y empieza a oscilar, y como posición 2 al punto más bajo de la trayectoria del objeto. Em2 5 Em1 1 1 mv 2 1 mgh 5 mv 2 1 mgh 2 2 1 1 2 2 La velocidad del objeto en la posición 1 es cero y si tomamos al punto 2 como nivel de referencia para la energía potencial gravitacional, entonces h2 5 0; por tanto, mgh2 5 0. Entonces: 1 mv 2 5 mgh 2 1 2 Luego, despejando a v2: 2mgh1 5 2gh1 ⇒ v2 5 ! 2gh1 v22 5 m Ahora, se determina a h1. Utilizando la siguiente figura.

L

20° L 2 h1

h1 Figura 5.8 

h1

1

2

L 2 h1   ⇒  h1 5 L 2 L cos 20° 5 L (1 2 cos 20°) cos 20° 5 L Entonces: h1 5 (1,0 m)(1 2 cos 20°) 5 0,06 m Así pues, la velocidad del objeto en el punto 2: v2 5 ! 2gh1 5 ! 2(9,81 m/s2)(0,06 m/s) 5 1,09 m/s

Problema resuelto Un objeto de 3 kg, que se encuentra inicialmente en reposo, se desliza hacia abajo por un plano inclinado de 10 m de longitud y ángulo de inclinación de 30°. Si el coeficiente de fricción cinético es 0,15, determina la velocidad del objeto en el punto más bajo del plano.

(1)

h1

Figura 5.9  

94

h1 sen 30° 5 –––– 10 m h1 5 10 m(sen 30°) 5 5 m

10 m 30°

(2)

Grupo Editorial Patria© Respuesta

Emi 5 Emf 1 fk d 1 1  mv 2 1 mgh 5  mv 2 1 mgh 1 m  N 1 1 2 2 k 2 2 Puesto que, v1 5 0 y h2 5 0, entonces: 1 mgh1 5  mv22 1 mk N 2 Usamos el diagrama de cuerpo libre: n

n

fr

N

u n

mg

u (x) mg sen u 2 fr 5 ma (y) N 2 mg cos u 5 0 ⇒ N 5 mg cos u

Figura 5.10 

1 mgh1 5  mv22 1 mk mg cos u 2 Despejamos a v2: v22 5 2gh1 2 2(mk g cos u ) d  ⇒  v2 5 ! 2gh1 2 (mk g cos u ) d Sustituyendo g 5 9,81 m/s2, h1 5 5 m, u 5 30°, d 5 10 m y mk 5 0,15, entonces: v2 5 ! 2(9,81 m/s2)(5 m) 2 [2(0,15)(9,81 m/s2) cos 30°](10 m) 5 8,5213 m/s

Problemas para resolver 5.1  Un costal de cemento de 15 kg cae accidentalmente desde un edificio que tiene una altura de 10 m. Calcula el trabajo realizado por el peso del costal.

P

5.2  Un libro de física se encuentra sobre una mesa de madera. Con los datos que aparecen en el esquema, determina la energía potencial del libro.

P 5 1 kg ? f

h5 1m

ALERTA Un kilogramo-fuerza es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg por la gravedad estándar en la superficie terrestre, que es 9,81 m/s2; entonces, 1 kg ? f 5 1 kg 3 9,81 m/s²)5 9,81 kg m/s2 5 9,81 N. Figura 5.11

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

95

5

UNIDAD

Problemas para resolver

5.3  ¿Qué trabajo realiza una persona al levantar una caja de 70 kg ? f a una altura de 2,5 m? Da el resultado en joules. 5.4  Una caja se desliza horizontalmente 25 m por la acción de una fuerza de 80,0 N, en un ángulo de inclinación de 30°, respecto de la horizontal. Calcula el trabajo realizado por la fuerza. 5.5  Un objeto de 150 g de masa se desliza 90 cm sobre una mesa. Calcula el trabajo hecho por la fuerza de fricción, si el coeficiente de fricción cinética es de 0,15.

5.11  Una pelota cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿cuál fue la altura de la caída?, ¿qué trabajo deberá efectuarse para levantarla hasta el lugar desde donde cayó? 5.12  Sobre una caja de herramientas de 10 kg de masa actúa una fuerza de 100 N, que forma un ángulo de 30° con la horizontal que hace que se desplace 5 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,2, calcula el trabajo realizado por la normal, el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza aplicada sobre el cuerpo.

5.6  Calcula el trabajo realizado contra la gravedad cuando se vuela un piano de 300 kg, dos pisos, es decir, 6 m.

N

5.7  Una partícula se somete a una fuerza F que varía con la posición, como se observa en la gráfica. Determina el valor del trabajo realizado por la fuerza F sobre la partícula cuando se mueve para cada uno de los siguientes casos:

Fy F

a) Desde x 5 0 hasta x 5 5 m.

Fx

Fr

b) Desde x 5 5 m hasta x 5 10 m. c) Desde x 5 10 m hasta x 5 15 m. d) Calcula el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de una distancia desde x 5 0 hasta x 5 15 m.

mg

Figura 5.13

Fx (N) 5.13  Un carrito de una feria de un pequeño pueblito que se encuentra a una altura de 1 m, tiene una masa de 20 kg y lleva una velocidad de 5 m/s sobre la vía (se desprecia la fricción). Calcula su energía mecánica. ALERTA La energía mecánica del carrito en el punto A es el resultado de la suma de las energías cinética y potencial.

5

10

15

20

x (m)

Figura 5.12 n

5.8  Una fuerza F 5 (4 iˆ 1 3 jˆ ) N actúa sobre una partícula, conforme ésta se mueve en la dirección del eje x desde el origen hasta x 5 50 m. Encuentra el trabajo realizado sobre la partícula. n

5.9  Calcula el trabajo realizado por la fuerza F 5 (2x iˆ 1 2y jˆ ) N desde el origen de coordenadas al punto Q(1, 1), cuando la trayectoria que ha seguido el punto de aplicación ha sido la recta y 5 x. n

5.10  Sobre una partícula de masa 1 kg actúa la fuerza F 5 (x2 iˆ 1 3xy jˆ ) N. Calcula el trabajo realizado por la fuerza al desplazar la partícula desde el punto A1 (0, 0) al A2 (2, 4): a) Si la trayectoria es la línea recta que une ambos puntos. b) Si la trayectoria es la parábola y 5 x2. c) Indica si esta fuerza es conservativa o no. 96

Problemas aplicados a la realidad

5.14  ¿Qué energía cinética tendrá un cuerpo cuya masa es de 2 700 g cuando toque tierra, si cae libremente desde 15 m de altura? 5.15  Una bomba eléctrica que se encuentra en las instalaciones de una presa es capaz de elevar 530 kg de agua a una altura de 20 metros en 50 segundos. Calcula: a) La potencia útil de la bomba. b) El rendimiento de la bomba, si su potencia teórica es de 2 800 W. 5.16  Un proyectil que pesa 70 kg ? f es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 93,5 m/s. Determina: a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 8 s? b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima? 5.17  Calcula la energía cinética de un automóvil de carreras de 500 kg de masa, que se mueve a una velocidad de 100 km/h. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 5.18  Un niño pequeño de 21 kg de masa, quien se mueve a una velocidad de 2 m/s, se somete a una aceleración de 2 m/s2 durante 7 s. Determina: a) La velocidad final después de los 7 s. b) El trabajo efectuado por el pequeño. ALERTA Es importante tener presente que el trabajo efectuado sobre un cuerpo es igual a la variación que experimenta su energía cinética.

5.25  Un bote es impulsado por su motor a través del agua a una velocidad de 12 mi/h. El agua se opone al movimiento hacia adelante del bote con una fuerza de 9 lb ? f. ¿Cuál es la potencia de la hélice? 5.26  Una máquina de Atwood soporta dos masas, una de ellas de 200 g y la otra de 300 g. Las masas se encuentran en reposo una al lado de la otra y después se sueltan. ¿Cuál es la velocidad de cada masa en el instante en que ambas se movieron 0,4 m? (La fricción es nula.)

5.19  El conductor de un auto de 650 kg que circula en una autopista a una velocidad de 90 km/h, frena al ver un accidente y reduce su velocidad a 50 km/h. Calcula: a) La energía cinética inicial. b) La energía cinética final. c) El trabajo efectuado por los frenos. 5.20  ¿Cuál es la energía potencial de una persona de 76 kg de masa que se encuentra a una altura de 65 m? 5.21  Una mujer cuya masa es de 58 kg corre todas las mañanas en un parque a 7 m/s. ¿A qué altura sobre el suelo su energía cinética es igual a su energía potencial? 5.22  Si una mujer saca una cubeta de agua de un pozo de 18 kg de masa y realiza un trabajo de 5,6 kJ, ¿cuál es la profundidad del pozo? Considera en todo momento una velocidad constante. 5.23  En una prueba de balística se dispara una bala de 10 g de masa con una velocidad de 500 m/s, que atraviesa un muro de 10 cm de espesor. Si la resistencia del muro al avance de la bala es de 3 000 N, calcula la velocidad de la bala después de atravesar el muro. 5.24  Calcula el trabajo que se realiza sobre la caja de juguetes para cada uno de los casos que se muestran en la figura 5.14 y su velocidad final. 2 kg

F0 5 10 N

0m

200 m

2 kg F0 5 12,5 N

1 kg

200 m

v1 5 100 m/s F1 5 10 N F2 5 10 N

0m Figura 5.14

Problemas aplicados a la realidad



m2

Figura 5.15

5.27  Una pieza metálica de 2 kg de masa (ver figura 5.16 en la página siguiente) se deja caer en el punto A (observa el esquema). Calcula la velocidad en el punto B, considerando los siguientes casos: a) Suponiendo que no hay fricción. b) Suponiendo que hay fuerza de fricción entre la pieza y la superficie y que la pieza pierde 40% de su energía inicial. c) Suponiendo que en la parte horizontal actúa una fuerza de fricción de 8 N. 5.28  Un automóvil de una tonelada de masa incrementa su velocidad de 0 a 100 km/h en un tiempo mínimo de 8 s. Calcula el trabajo y la potencia del motor del automóvil en watts y en caballos de vapor. ALERTA 1 CV 5 735 W.

5.29  Calcula la energía potencial gravitatoria en joules de una esfera de 30 kg de masa que se encuentra a una altura de 20 m.

v1 5 50 m/s 0m

m1

5.30  La constante elástica de un resorte es de 100 N/m. Determina la energía potencial elástica del mismo si se ha comprimido una longitud de 10 cm. 5.31  Se deja caer un cuerpo de 5 kg desde una altura de 10 m. Calcula su velocidad al llegar al suelo.

400 m

5.32  Una caja de víveres, cuya masa es de 2,5 kg, es empujada 2,2 m con una fuerza Fe de 16 N y con un ángulo de 25° sobre la horizontal a lo largo de una superficie lisa sin Problemas para resolver con tecnología

97

UNIDAD

5

Problemas para resolver

A 100 m

B 0m

200 m

fricción, para subirla a una rampa. Calcula el trabajo efectuado por:

reposo. Calcula la velocidad de la caja cuando abandona el plano inclinado suponiendo:

a) La fuerza aplicada Fe.

a) Qué no existe fricción.

b) La fuerza normal ejercida por la superficie.

b) Qué existe fricción y el trabajo realizado por esta fuerza es de 15 J.

Figura 5.16

c) La fuerza de gravedad. Explica tu resultado. d) La fuerza neta (FT) sobre el bloque. Fe

2 kg

25°

2,5 kg

h5 5m

Figura 5.17

5.33  Se lanza un cuerpo en forma vertical hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determina la altura máxima que alcanzará. 5.34  En una noche lluviosa, una gota de lluvia que tiene una masa de 3,35 3 1025 kg cae verticalmente a una velocidad constante por la influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Después que la gota ha descendido 100 m desde su origen, ¿cuál es el trabajo realizado por la gravedad y la energía disipada por la resistencia del aire?

Figura 5.19

5.37  Un grupo de porristas escolares de futbol realiza una maniobra en la cual una de las jóvenes tiene que levantar a su compañera, quien tiene una masa de 50 kg, hacia arriba en línea recta una altura de 0,6 m antes de soltarla. Si hace esta maniobra 20 veces en una rutina, ¿cuánto trabajo ha realizado la porrista? 5.38  ¿Qué energía cinética tiene un auto de 450 kg de masa que circula en la autopista Saltillo-Monterrey a 100 km/h?

100 m

Figura 5.18

5.35  En una prueba de calidad se deja caer sobre un resorte sin deformar un cuerpo de 2 kg de masa desde una altura de 5 m. Calcula en centímetros cuánto se comprime el resorte si su constante elástica es 3 000 N/m. 5.36  Desde una altura de 5 m se desliza por un plano inclinado una caja de madera de 2 kg de masa que parte del 98



Problemas aplicados a la realidad

5.39  En un taller mecánico una grúa levanta una carga de 350 kg, ¿cuál es la altura que debe subir el operador para que adquiera una energía potencial de 200 000 J? 5.40  Un halcón vuela a una altura de 80 m a una velocidad de 32,4 km/h; en ese momento el ave tiene una energía mecánica de 3 298 J, ¿cuál es su masa? 5.41  Una pelota de 1 kg de masa es lanzada verticalmente desde el suelo, a una velocidad inicial de 100 m/s. Calcula: a) La energía mecánica de la pelota. b) La altura máxima alcanzada. c) El trabajo realizado por el peso en la subida y en la bajada. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 5.42  Un grupo de seis perros arrastra un trineo de 100 kg a lo largo de un tramo de 2 000 m sobre una superficie horizontal de nieve a una velocidad constante. Si el coeficiente de fricción entre la nieve y el trineo es de 0,15, determina: a) El trabajo que efectuó el grupo de los seis perros. b) La energía que se perdió por la fricción. 5.43  Por instrucciones de su supervisor, un empleado empuja una caja de 4 000 g de masa a una velocidad constante de 1,40 m/s a lo largo del piso, donde el coeficiente de fricción es de 0,25, ¿con qué potencia empuja el empleado la caja? 5.44  Durante la construcción de un complejo de departamentos, se jala, por medio de una cuerda, una carretilla con ladrillos, cuya masa total es de 18 kg, a una velocidad constante. La cuerda está inclinada 20° sobre la horizontal y la carretilla se mueve 20 m sobre una superficie horizontal con un coeficiente de fricción de 0,5. Determina: a) El valor de la tensión de la cuerda. b) El valor del trabajo que efectúa la cuerda sobre la carretilla. c) ¿Cuánta energía se perdió debido a la fricción? 5.45  Como atracción de una feria, en un juego mecánico, se deja caer desde una altura de 20 m, a partir del punto A, una vagoneta con cuatro personas, cuya masa total es de 400 kg. Si la espiral C tiene un diámetro de 7 m y suponemos que no hay rozamiento, calcula:

5.47  Un caballo camina por la orilla del río Papaloapan, mientras tira de una balsa llena de personas con una fuerza de 400 N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 37° con la dirección del río. Determina el trabajo que realiza el caballo al recorrer 200 m. 5.48  En una prueba de tiro con arco, durante la realización de los juegos olímpicos, un arquero jala la cuerda de su arco una distancia D, ejerciendo una fuerza que aumenta de manera uniforme desde 0 hasta F. Resuelve los siguientes puntos: a) ¿Cuál es la constante de resorte equivalente del arco? b) ¿Cuánto trabajo efectúa el arquero al jalar la cuerda del arco? 5.49  En un parque de diversiones se encuentra una montaña rusa. En la cima de la montaña se encuentra un carrito a una altura de 40 m sobre el suelo y avanza a 5 m/s. Calcula la energía cinética del vehículo cuando está en una segunda cima del juego situada a 20 m sobre el suelo, si se desprecia la fuerza de fricción. La masa del vehículo con sus ocupantes es de 1 ton. 5.50  Una pelota de goma de 0,150 kg está atada al extremo de una cuerda con una longitud de 35 cm, que está fija en el punto O como se observa en la figura 5.21. Calcula la tensión de la cuerda en el instante en que la energía cinética ha alcanzado la mitad de su valor máximo.

a) La energía mecánica de la vagoneta en el punto A. b) La energía cinética de la vagoneta en el punto B. c) La velocidad de la vagoneta en el punto C. d) La fuerza que tiene que realizar el mecanismo de frenado de la atracción si la vagoneta se tiene que detener en 10 m. A

m

O

C g B 10 m

Figura 5.20



5.46  En una industria metalmecánica existe una superficie donde se reciben las piezas, las cuales tienen una masa promedio de 0,4 kg; éstas se deslizan sobre la superficie hasta impactarse con un resorte y comprimirlo. Cuando la pieza se impacta es detenida momentáneamente por el resorte y éste se comprime 1,2 cm. ¿Cuál es la velocidad con la que se desliza la pieza si el valor de la constante del resorte es de 750 N/m? (Se considera la fricción nula.) Problemas aplicados a la realidad

Figura 5.21

5.51  Una persona empuja un bloque de mármol de 50 kg con una fuerza horizontal (F1) de 600 N por un plano inclinado y recorre una distancia de 2 m; además la fuerza de fricción es de 100 N. Calcula: a) El trabajo que realiza la fuerza F1. b) El trabajo que realiza la fuerza de fricción. c) El trabajo que realiza el peso del bloque.

Problemas para resolver con tecnología

99

5

UNIDAD

Problemas para resolver

d) El bloque es empujado con una velocidad inicial de 0,6 m/s, ¿cuál es su velocidad final al recorrer los 2 m? e) La energía cinética inicial y la energía cinética final.

5.55  Una caja metálica de 8 kg (ver figuras 5.25a y b) lleva en su interior un péndulo en posición vertical de longitud 0,25 m. La caja se empuja en un piso horizontal a una rapidez de 2 m/s. La persona que lleva la caja se ve forzado a frenar la caja de forma brusca. Determina: a) La energía inicial de la caja. b) La amplitud máxima de las oscilaciones angulares que adquiere el péndulo. c) La energía potencial inicial del péndulo (antes del frenado).

F1

ALERTA Considera la fuerza de fricción nula para la resolución del problema.

37° Figura 5.22

5.52  En un laboratorio de investigación de física se tiene el sistema que se observa en la figura 5.23. Cuando el resorte se comprime 10 cm, la pelota cae 0,45 m delante de la caja. ¿Cuánto hay que comprimir el resorte para que la pelota caiga en la caja?

M 5 10 g

M 5 10 g

1,5 m

Figura 5.25a

3,5 m

Figura 5.23

5.53  Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una rapidez de 11,5 m/s. Debido a la pérdida de energía la pelota alcanza una altura de 4,5 m de altura. A la bajada la pelota pierde la misma fracción de la energía que a la subida. Considera que la masa de la pelota es de 0,5 kg. Determina: a) La energía potencial inicial y final. b) La energía cinética inicial y final. c) La rapidez con que la pelota llega al suelo. 5.54  En los juegos olímpicos de invierno de Vancouver un esquiador de 75 kg se desliza pendiente abajo con una rapidez constante de 15 m/s, el ángulo que forma la pendiente con la horizontal es de 39°. Por la fuerza de fricción entre el esquí y la nieve. El esquiador se detiene en cierto punto del plano horizontal. Determina la distancia que alcanza a re­correr el esquiador antes de detenerse.

M 5 10 g

M 5 10 g

Figura 5.25b

5.56  David y Jonathan están entrenando para correr en un maratón. Ambos corren todos los días por la mañana, la energía cinética de David es la mitad de la de Jonathan y la masa de David es el doble de la de Jonathan. En un punto David aumenta su velocidad en 1 m/s, en ese momento se igualan las energías cinéticas. Calcula: a) La velocidad inicial de David. b) La velocidad inicial de Jonathan. 5.57  Un niño se encuentra jugando en la parte superior de un montículo de nieve hemisférico. Por un error el niño comienza a resbalarse hacia abajo. ¿En qué punto el pequeño deja de tener contacto con el hielo?

Niño

Esquiador R 39°

u

Figura 5.24

100

Figura 5.26

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 5.58  En una empresa de distribución se tiene el siguiente sistema (figura 5.27), por ejemplo una caja de documentos de 2 kg está sujeta al resorte (k 5 100 N/m) con ayuda de la polea. Cuando el resorte no está alargado se suelta la caja. El coeficiente de fricción entre la caja y la superficie es de 0,40. Determina el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento al recorrer 0,55 m.

m

fn k

n

g h

k

2 kg 35°

h5 0

Figura 5.27

5.59  En una fábrica de pan de caja, en una de las bandas horizontales se deja resbalar un empaque de pan de 0,5 kg con una rapidez inicial de 3 m/s y se detiene después de haber recorrido 0,6 m. Calcula el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. 5.60  Se tiene el siguiente sistema mecánico (ver figura 5.28). Una de las rondanas del sistema de masa 0,8 kg se desliza sin roce por una varilla metálica vertical fija que tiene una longitud de 0,5 m. La rondana está sujeta por un resorte (k 5 156,96 N/m) de longitud 0,3 m. Determina la velocidad de la rondana cuando pasa por la distancia h 5 0,4 m. Observa la figura.

1 2h



Figura 5.28

Problemas reto

1

En una empresa de juguetes se tiene una banda transportadora y por ella se transportan las cajas de los juegos de mesa una distancia de 75 cm después de que se les coloca el celofán para ser empacadas en una caja de cartón. Cada caja de juego tiene una masa promedio de 500 g. Por la banda pasan 5 cajas cada 35 segundos y un empacador las recibe al final de la banda para acomodarlas en la caja. Hay una persona encargada del área de control de calidad que revisa el empaque de celofán y para ello selecciona al azar una caja cada determinado tiempo. Con la idea de que no se maltrate ninguna de las cajas al momento de ser empacada, la rapidez de la banda no debe ser mayor a 5 m/s. En la banda transportadora sobre cada caja se ejercen tres fuerzas: la magnitud de la fuerza F1 5 5,5 N, de la F2 5 1,0 N y la F3 5 3,5 N que forma un ángulo hacia abajo de b 5 55°. Cada caja al caer de la banda de empaque de celofán lleva una energía cinética de 0,45 J. Determina los siguientes puntos: a) Con los datos que se tienen, ¿cuál es la rapidez final del desplazamiento? Considera la fricción nula. b) Con los datos que se tienen, ¿se cumple que la rapidez no debe ser mayor a 5 m/s?

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

101

UNIDAD

5

Trabajo y energía c) Si no se cumple la condición de la velocidad, ¿qué ajustes hay que hacer? d) ¿Cuál es el trabajo del motor de la banda si se tiene una potencia de 65 hP?

F2

F1 b

F3 d A un grupo de ingenieros mecánicos se les solicitó participar en la instalación de un elevador con una capacidad de carga de 1 000 kg en un importante centro comercial. El elevador tiene la capacidad de hacer un recorrido de 10 metros en 1,65 minutos. El elevador tiene los siguientes mecanismos de seguridad: aros de seguridad anticizallamiento, mecanismo de bloqueo de puertas, sistema de frenado mecánico de emergencia tipo paracaídas. La masa de la cabina del elevador es de 1 500 kg. Al momento de hacer las pruebas el cable de la cabina se revienta cuando éste se encuentra en reposo a una altura de 3,5 m con tres personas de 65 kg, 80 kg y 73 kg; en el fondo del pozo se encuentra un resorte (constante de elasticidad k 5 0,17 MN/m). Los dispositivos de seguridad frenan la cabina del elevador al tratar de inmovilizarla contra los rieles guía y una fuerza de fricción de 5,3 N se opone al movimiento.

2

a) ¿Cuál es la rapidez de la cabina justo antes de llegar al resorte? b) Encuentra la distancia máxima que se comprime el resorte. c) Encuentra la distancia que la cabina rebotará hacia arriba del pozo. d) ¿Cuál es la potencia que se recomienda para el motor del elevador? e) ¿Cuál es la energía cinética de la cabina al momento de la caída? f) ¿Cuál es la energía potencial de la cabina antes de caer?

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R. y Walker J. Fundamentos de física, Vol. 1, 8a edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R. y John W. Jewet. Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1, 7a edición. Cengage, México, 2009.

Referencias de Internet ■ ■

102

http://www.walter-fendt.de/ph14s/ http://iesgabrielgalanp.juntaextremadura.net/index.php?option5com_content&view5article& id5206:enlaces-a-paginas-de-fisica-y-quimica-interesantes&catid538&Itemid5700493

UNIDAD

6

Cantidad de movimiento lineal y colisiones Objetivos Identificar los conceptos de cantidad de movimiento e ímpetu, para poder aplicarlos en la solución de problemas prácticos. Determinar el coeficiente de restitución en colisiones. Aplicar la segunda ley de Newton en la resolución de problemas de movimiento lineal y colisiones.

¿Qué sabes? ¿Por qué es importante estudiar la cantidad de movimiento? ¿Tú sabías que para el diseño de algunos juegos mecánicos es importante conocer el impulso y cantidad de movimiento? ¿Cuál es la diferencia entre una colisión elástica y una inelástica? ¿Se pierde energía al momento de un choque entre dos autos? ¿Un choque entre la Luna y la Tierra puede provocar que desaparezca nuestro planeta?

6

UNIDAD

Cantidad de movimiento lineal y colisiones

6.1  Ímpetu o cantidad de movimiento lineal Se sabe que un camión con carga demora más tiempo en adquirir una velocidad constante, respecto de otro vehículo más ligero, y que, asimismo, también tarda más al frenar. En física, estas diferencias se pueden medir con una magnitud vectorial llamada ímpetu o momento lineal o cantidad de movimiento lineal. Esta magnitud depende del cuerpo, a través de su masa m, y de su movimiento, a n través de su velocidad v . La cantidad de movimiento se define como una magnitud vectorial, que es igual al producto de la masa del cuerpo por su velocidad en un instante dado.

Alerta

n

n

n

p 5 m v

n

Momento lineal p 5 m v Misma dirección y sentido n que v .

Sus unidades en el SI son kg m/s.

Problema resuelto Un vehículo de 0,30 kg de masa parte del reposo con aceleración constante, 10 s después está a 20 metros de la posición inicial. ¿Qué cantidad de movimiento tiene en este momento? Respuesta

Este movimiento es uniformemente acelerado. Datos:

m 5 0,30 kg t 5 10 s x 5 40 m

Calculemos la velocidad que tiene en ese instante. v 2 2 v 02 v 2 v0

5

2ax at

  ⇒  v 1 v0 5 2

x t

  ⇒  v 5 v0 1 2

x t

1 10 s 2 = 8 s

v52

40 m

m

Entonces, la magnitud del momento lineal es:

1 s 2 5 2,4

p 5 (0,30 kg) 8

m

kg ? m s

6.2  Segunda ley de Newton en su forma fuerte La segunda ley de Newton, en su forma fuerte (que se explica más adelante), relaciona a las fuerzas que actúan con la razón de cambio de la cantidad de movimiento o momento lineal. En su forma fuerte, la segunda ley de Newton se enuncia como: La variación de la cantidad de movimiento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas. Esta ley se expresa simbólicamente como: n

d p F5 dt n

104

Grupo Editorial Patria© Si la masa es constante, se obtiene la expresión que ya conocemos para la segunda ley de Newton: n n d (m v ) d v n n 5 ma 5 m  F5 dt dt La segunda ley de Newton, en su forma fuerte, es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista, no obstante que la definición de la cantidad de movimiento lineal es diferente en las dos teorías.

❚ Impulso Una persona que empuja un automóvil o un jugador de futbol que patea una pelota son ejemplos de fuerzas que se aplican durante un intervalo de tiempo corto. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo recibe un impulso. La magnitud física que cuantifica estos hechos se llama impulso y es una magnitud vectorial que es igual a la integral de la fuerza aplicada en el intervalo de tiempo en que se aplicó la fuerza; es decir: n    n    d p n n I 5 e F dt 5 e dt 5 Dp dt         

 

 

 

usando la forma fuerte de la segunda ley

Entonces, el impulso recibido por una partícula también se define como el cambio del momento en un intervalo dado: n

n

n

n

I 5 D p 5 p f 2 p i n

Si la fuerza F es constante:

n

n

n

I 5 F Dt 5 D p m m Su unidad en el SI es N ? s 5 kg Ys 5 kg sY2 s

Problema resuelto Una ametralladora dispara balas de masa m 5 20 g con una velocidad de 500 m/s. El tiempo de dura­ ción del disparo entre cada bala es igual a 0,01 s. Calcula cada uno de los siguientes puntos: a) La aceleración media que adquiere la bala durante un disparo. b) El impulso medio que adquiere la bala durante un disparo. Respuesta

Datos:

vi 5 0



vf 5 500

m s

Dt 5 0,01 s m 5 20 g 5 0,02 kg



a) Usamos la definición de impulso y, puesto que la fuerza es constante, tenemos:

n

n

n

I 5 F Dt 5 D p n

n





n

a 5

n

n

n

D p

n

ma Dt 5 Dp   ⇒  a 5

m Dt

5

m Dt

n

5

n

m Y (v f 2 v i ) m Y Dt

n

v f 2 v i  Dt

. Aceleración media

Sustituyendo valores:

n

pf 2 pi

n

a 5

n

Dt

5

m

 uˆ m s 5 50 000 2  uˆ 0,01 s s

500

n

v f 2 v i 

105

UNIDAD

6

Cantidad de movimiento lineal y colisiones b) Ahora, calculamos el impulso: n



n

n

n

n

n

I 5 D p 5 p f 2 p i 5 m (v f 2 v i )

Sustituyendo valores: n

n

1

n

I 5 m(v f 2 v i ) 5 (0,020 kg) 500



m s

2 5 10 N ? s

Problema resuelto Si una bala de 25 g de masa, que tiene una velocidad de 90 km/h, penetra en un bloque de madera que cuelga de una cuerda. a) ¿Qué impulso le da la bala al bloque? b) ¿Qué velocidad adquirirá el bloque si su masa es de 5 kg? Respuesta

Datos:

vbloquei 5 0 km

5 25

m



vbalai 5 90



mbala 5 25 g 5 0,025 kg



h

s

mbloque 5 5 kg a) Si consideramos al sistema como bala 1 bloque, el momento inicial será:

1

n

p i 5 mbloquevbloquei 1 mbalavbalai 5 (5 kg)(0) 1 (0,025 kg) 25

m s

2(uˆ ) 5 0,625 kg ms uˆ

El momento final del sistema bala 1 bloque, porque la bala ya se ha incrustado en el bloque, es: n

n

n

p f 5 (mbloque 1 mbala)v 5 (5 1 0,025)v kg 5 (5,025 v ) kg n

b) Igualamos las cantidades de movimiento y despejamos v : n

5,025 kg v 5 0,625 kg 

m s

n

 uˆ   ⇒  v 5

0,625 kY g 

m

m s  uˆ 5 0,1243  uˆ 5,025 kY g s

6.3  Conservación de la cantidad de movimiento El momento lineal sigue una ley de conservación; cuando no existe una fuerza total que actúe sobre  

el sistema (es decir, tiempo:

n

^  Fi 5 0), la cantidad de movimiento no cambia y permanece constante en el i

n

d p 5 0  ⇒  pn 5 constante dt

6.4  Colisiones En física, un choque o colisión es una repentina aceleración o desaceleración causada, por ejemplo, por un impacto, una explosión o cualquier tipo de contacto directo; generalmente, el tiempo de inte­ racción es muy corto y es cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre los cuerpos. 106

Grupo Editorial Patria© En una colisión intervienen dos objetos que ejercen fuerzas entre sí. Cuando los objetos se en­ cuentran cerca, interaccionan fuertemente durante un intervalo breve de tiempo. Las fuerzas de este tipo reciben el nombre de fuerzas impulsivas y se caracterizan por su acción muy intensa y breve. Las fuerzas que se ejercen mutuamente son iguales y de sentido contrario, y la cantidad de movimiento o momento lineal se conserva; es decir, la cantidad de movimiento lineal, antes de la colisión, será igual al momento lineal después del choque.  

n

n

p i 5 p f  ⇒ 

 

^  p i 5 ^  p f n

i

n

j

i

j

Una colisión elástica entre dos o más cuerpos es una colisión en la que éstos no sufren deforma­ ciones permanentes durante el impacto. Por tanto, su energía cinética se conserva. Eci 5 Ecf En una colisión elástica, se conservan tanto la cantidad de movimiento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, los cuales se separan después del choque. En las colisiones en las que la energía cinética no se conserva, se producen deformaciones perma­ nentes en los cuerpos; éstas se conocen como inelásticas.

6.5  Coeficiente de restitución El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas. Supongamos que dos cuerpos A y B chocan frontalmente; en esta colisión, se define al coeficiente de restitución “e”, como la magnitud del cociente entre la velocidad del cuerpo B respecto al cuerpo A después del choque, entre la velocidad de A respecto a B antes del choque:

)

n

n

)

vf 2 vf e 5   n B n A   v iA 2 v iB

El coeficiente de restitución “e” tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es en una colisión perfectamente elástica y el valor de cero es en una perfectamente inelástica.

Problema resuelto Un objeto de 3 kg de masa se mueve con una velocidad de 4 m/s y experimenta un choque elástico contra otro objeto en reposo de masa 2 kg. Utilizando el principio de conservación de la cantidad de movimiento y el hecho de que la velocidad relativa de separación es igual a la velocidad relativa de aproximación, calcula la velocidad de cada objeto después de la colisión. Comprueba la respuesta calculando las energías cinéticas inicial y final de cada cuerpo. Respuesta

Datos: m1 5 3 kg, v1i 5 4 m/s, v2i 5 0, m2 5 2 kg, e 5 1. En un choque elástico (se conserva la energía cinética) y el coeficiente: v1i 2 v2i 5 v2f 2 v1f  ⇒  v2f 5 v1i 1 v1f Y por conservación de la cantidad de movimiento:

pi 5 pf

n

n



(x)

m1v1i 1 m2 Y v2i 5 m1v1f 1 m2v2f



(y)



m1v1i 1 m2vY 2i 5 m1v1f 1 m2(v1i 1 v2f ) (m1 2 m2) 5 (m1 1 m2)v1f  ⇒  v1f 5

(m1 2 m2)v1i m1 1 m2

107

UNIDAD

6

Cantidad de movimiento lineal y colisiones Sustituyendo valores: v1f 5

(3 kg 2 2 kg)(4 m/s)

5 0,8

(2 kg 1 3 kg)

Entonces:

m s

m

v2f 5 v1i 1 v1f 5 4,8

s

Comprobación por energías cinéticas:

Eci 5



Ecf 5

1 2 1 2

1

 m1v 12i 1

2 1

 m1v 12f 1

2

1

 m2v 22i 5

2 1

 m2v 22f 5

2

2

1 ms 2 1 0 5 24 J

 (3 kg) 4

1

 (3 kg) 0,8

2

2

v1

v2 5 0

m1

m2

1 m 1  (2 kg)14,8 2 5 24 J s2 2 s

m

Problema resuelto Una pelota que se desplaza con una velocidad de 10 m/s experimenta un choque elástico no frontal con otra pelota de igual masa, inicialmente en reposo. La pelota incidente es desviada 30º de su dirección original de movimiento. Calcula la velocidad de cada pelota después del choque. En este tipo de choques es válido suponer que los objetos rebotan 90º relativo uno del otro.

30° 60°

Antes del choque

Después del choque

Figura 6.1 Respuesta

Datos: m1 5 m2, v1i 5 10 m/s Por conservación de la cantidad de movimiento:

n

n

pi 5 pf



(x)



(y)

m1v1ix 1 m2vY 2ix 5 m1v1f cos 30° 1 m2v2f cos 60°

m1 v1iy 1 m2vY 2iy 5 m1v1f sen 30° 2 m2v2f sen 60°

Sustituyendo valores: m

1 vY2ix 5 v1f cos 30° 1 v2f cos 60°  ⇒  v2f 5 20



(x)

10



(y)

0 5 v1f sen 30° 2 v2f sen 60°

s

1

2

2 1,732 v1f sen 60°

v1f sen 30° 5 20



v1f (sen 30° 1 1,732 sen 60°) 5 20 sen 60° m 20 sen 60° m s 5 8,6604 v1f 5 s (sen 30° 1 1,732 sen 60°)



1

Por tanto:

108

m



v2f 5 20

m s

s

2

1

2 1,732 8,6604

m s

2 5 5 ms

m s

2 1,732 v1f

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Una bala de 30 gramos de masa es disparada contra un bloque de madera de 150 gramos, inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Después del impacto, el bloque se desliza 7,5 metros, hasta que se detiene. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es 0,65, calcula la velocidad de la bala inmediatamente antes del impacto. Respuesta

Datos: m1 5 30 g, m 5 150 g, d 5 7,5 m/s, m 5 0,65. La colisión es completamente inelástica, la cantidad de movimiento se conserva. m1v1 5 (m1 1 m2)v2  ⇒  v1 5

1 m m1 m 2v 1

2

2

1

Después del impacto, el cambio en la energía cinética es igual a la energía perdida por fricción. 1



2 1



2

 (m1 1 m2)v22 5 mNd  (m1 1 m2)v22 5 m(m1 1 m2)d  ⇒ 

1 2

 v22 5 md  ⇒  v2 5 ! 2md

Sustituyendo valores:

v2 5 ! 2(0,65)(9,81)(7,5) 5 9,78 m/s



v1 5

kg m m 9,78 2 5 58,68 1 0,180 0,030 kg 21 s s

7,5 m Figura 6.2

6.6  Dinámica de un sistema de partículas En un sistema de partículas, sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. n

Supongamos unnsistema de partículas: sobre la partícula 1 actúanla fuerza exterior F 1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F 12; sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F 2 y la fuerza que ejerce la partícula n n n 1, F 21, donde, por la tercera ley de Newton, F 21 5 2F 12, y así sucesivamente. Para cada una de las partículas se cumple la razón de cambio con respecto al tiempo de la canti­ dad de movimiento lineal, es decir, es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada: n d p 1 n F1 5 dt n



d p 2 n F2 5 dt A n d p n n Fn 5 dt 109

UNIDAD

6

Cantidad de movimiento lineal y colisiones Sumando cada miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y consi­ n n derando la tercera ley de Newton, F i j 5 2F j i, tenemos que:  

n

F ext 5

n

d

 

dt

i

n

d p t

^  Fi 5 ^  p i 5 i

n

dt

n

n

Donde p t es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas.

6.7  Centro de masa El centro de masa de un sistema de partículas es el punto donde se puede considerar concentrada toda la masa de un sistema u objeto. Al mismo tiempo, es el punto en donde, si se aplica una fuerza, se produce una traslación pura, es decir, el objeto no gira. El vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas está dado por:  

^  mi r i

 

n

r cm 5 n

i

 

^  mi

^  mi r i n

5

i

M

i

n

La velocidad del centro de masas v cm, se obtiene derivando con respecto del tiempo: n

d r cm 1 n 5 v cm 5 dt M

n

d r i

 

^  mi i

1 5 dt M

 

1

 

M

i

^  mi v i 5 ^  p i n

i

n

 

Donde

^  p i es la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas pt. Entonces: n

n

i

n



n

Mv cm 5 p t

Esta ecuación indica que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM. Por tanto, el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por su centro de masa. Si el sistema de partículas está aislado, su cantidad de movimiento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masa también lo será. Derivando la expresión para la velocidad del centro de masa, se encuentra la aceleración del centro de masa: n

d v cm 1 n 5 a cm 5 dt M

 

i

n

d p i

^

1 d 5 dt M dt

n

 

1 d p t 1 n n n 5 Fext  ⇒  Fext 5 Ma cm M dt M

^  p i 5 n

i

Esta ecuación expresa que la aceleración del centro de masa de un sistema de partículas es de­ bida, únicamente, a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Problema resuelto El centro de masa del sistema Tierra-Luna está a 379 440 km de la Luna. Sabiendo que la distancia Tierra-Luna es 384 000 km, calcula la relación entre las masas de la Tierra y la Luna. Respuesta

La posición del centro de masa está dada por: xcm 5

110

mL xL 1 mT xT mL 1 mT

Grupo Editorial Patria© Tomando el origen de coordenadas en la Tierra, tenemos:

xL 5 0 y xT 5 384 000 km



379 440 km 5 mL



mT

mT (384 000 km) mL 1 mT

5 1,012 2 1 5 0,012  o 

mL 1 mT

  ⇒  mL mT

mT

5

384 000 km 379 440 km

5 1,012

5 83,333

Problema resuelto Un niño de 40 kg de masa, parado sobre un lago helado, arroja una piedra, de 0,5 kg de masa, hacia el este con rapidez de 5 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, calcula la velocidad de retroceso del hielo. Respuesta n

Las únicas fuerzas que actúan son internas; entonces, la v cm del centro de masa es constante y, en un n principio, la v cm es igual a 0, entonces permanece igual a 0.



n

v cm 5

mpvp 1 mnvn mp 1 mn

1 s 2 5 0  ⇒  v 5 2 

(40 kg)vp 1 (0,5 kg) 5

m

1 ms 2 5 0,0625 m

(0,5 kg) 5

p

40 kg

s

Problemas para resolver 6.1  Un automóvil de 1,2 toneladas de masa viaja en una carretera recta con velocidad de 90 km/h. Calcula el mo­ mento lineal del automóvil. 6.2  Si se tiene un caballo cuya masa es de 750 kg, calcula la velocidad a la que tiene que cabalgar el animal para ad­ quirir un momento lineal igual al del automóvil del problema anterior. 6.3.  En un partido de béisbol, una pelota de 5 onzas es lan­ zada a 38 m/s y es golpeada por un jugador que invierte su dirección, adquiriendo una velocidad de 65 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el jugador sobre la pelota si estuvo en con­ tacto con ésta 6 ms? ALERTA Ten cuidado con las unidades de cada una de las magnitudes, toma en cuenta que una onza es igual a 28,35 g.

Problemas aplicados a la realidad

6.4  Cuando a una bola de billar, fabricada de marfil de 200 g de masa, y que se mueve con una velocidad de 1 m/s, se le aplica una fuerza de 0,8 N durante 0,5 s en el mismo sentido que el desplazamiento. Calcula la aceleración y la variación del momento lineal. 6.5  En un torneo de billar, un jugador golpea con su taco una bola, ejerciendo una fuerza promedio de 47 N durante un tiempo de 0,008 s. Si la bola tiene una masa de 0,156 kg, ¿qué velocidad adquirió ésta después del impacto? 6.6  En un torneo de billar, un competidor golpea con su taco una bola, ejerciendo una fuerza promedio de 55 N durante un tiempo de 0,013 s. Si la bola tiene una masa de 0,25 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del im­ pacto?

Problemas para resolver con tecnología

111

UNIDAD

6

Problemas para resolver

6.7  Un grupo de jóvenes juega baloncesto callejero; durante el transcurso del partido, uno de los muchachos lanza un balón de 0,6 kg de masa; el balón llega al sue­ lo con una velocidad vertical de 4,5 m/s y comienza a subir con una velocidad, también vertical, de 4 m/s. Re­ suelve los siguientes puntos: a) La cantidad de movimiento antes del bote. b) La cantidad de movimiento después del bote. c) La variación de la cantidad de movimiento de la pelota al botar en el suelo. 6.8  Un camión cisterna, cuya masa es de 10 toneladas, que avanza a una velocidad de 70 km/h, choca contra un automó­ vil de 1,8 toneladas de masa que está estacionado. Después del choque, por el peso y la fuerza, el camión arrastra al auto en la misma dirección de su movimiento. ¿Con qué veloci­ dad se mueven los dos vehículos después del choque? 6.9  Una pelota de goma de 100 g de masa choca perpen­ dicularmente contra una pared de frontón cuando su veloci­ dad es de 30 m/s, rebotando con la misma velocidad en un tiempo de 0,02 s. Calcula:

c) El valor de la velocidad de la esfera B después del im­ pacto. d) La altura máxima que alcanzó la esfera B después del choque. ALERTA La masa del hilo es despreciable y la velocidad inicial de la esfera A se considera como cero.

6.12  Suecia es conocido como el país de los mil lagos. En un lago helado sueco se encuentra de pie un hombre de 60 kg, quien tiene en su mano una piedra de 1 000 g de masa, la cual arroja aplicándole una fuerza de 10 N durante 0,5 s. Calcula: a) La velocidad con que sale la piedra. b) La velocidad con que retrocede el hombre. 6.13  Un bloque de 2 kg de masa se mueve con una veloci­ dad de 6 m/s y choca de frente con un bloque, cuya masa es de 4 kg, inicialmente en reposo. Después del choque, el bloque de 2 kg retrocede con velocidad de 1 m/s. Calcula: a) La velocidad del bloque de 4 kg después del choque. b) La energía perdida en el choque.

a) La variación de la cantidad de movimiento.

c) ¿Cuál es el coeficiente de restitución e para este bloque?

b) La fuerza media de la pelota contra el frontón.

6.14  Un cuerpo de 2 kg se mueve a la velocidad de 3 m/s hacia la derecha y choca contra un cuerpo de 3 kg, que se mueve a 2 m/s hacia la izquierda. El coeficiente de restitu­ ción es 0,4. Determina la velocidad de cada cuerpo después de la colisión.

6.10  Dos esferas de acero, de igual radio y masas de 700 y 300 g, respectivamente, se mueven en línea recta sobre un plano horizontal con velocidades de 6 y 4 m/s, respectiva­ mente. ¿Qué velocidad tendrán después del choque si se movían en el mismo sentido? ¿Qué velocidad alcanzarán si se movían en sentidos contrarios? 6.11  Se tienen dos esferas suspendidas de hilos (ver figura 6.3); la esfera A tiene una masa de 0,030 kg y la esfera B tiene una masa de 75 g. La esfera A se desplaza lateralmente hacia la izquierda hasta alcanzar una altura de 8 cm y se suelta desde esa altura. La esfera A llega a su posición original y choca elásticamente con la esfera B. Calcula los siguientes aspectos: a) La velocidad inicial de la esfera A antes del choque. b) La velocidad final de la esfera A después del choque.

m

ha

m

mB

ha

a) La velocidad inicial del bloque A antes de la colisión. b) El cambio en la energía cinética total del sistema que ocurre durante la colisión. 6.16  Se lanza una pelota con una velocidad de 14 m/s y se lleva a cabo un choque elástico, no frontal, con otra pelota v1 5 14 m/s

v2 5 0

m1

m2

25° 65°

mB

Figura 6.3

112

6.15  Sobre una superficie horizontal sin fricción, el bloque A, de masa 3 kg, se mueve hacia el bloque B, de masa 5 kg, el cual está inicialmente en reposo. Después de la colisión, el bloque A tiene una velocidad de 1,2 m/s hacia la izquierda y el bloque B tiene una velocidad de 6,5 m/s hacia la derecha. Calcula:

Figura 6.4

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Antes del choque

Después del choque

Grupo Editorial Patria© de igual masa, inicialmente en reposo (ver figura 6.4). La pe­ lota incidente es desviada 25º de su dirección original de movimiento. Calcula la velocidad de cada pelota después del choque. En este tipo de choques es válido suponer que los objetos rebotan 90º relativo uno del otro. 6.17  Considera una pista sin fricción ABC, como la que se muestra en la figura 6.5. Un bloque de masa m1 5 5,001 kg se suelta desde A, el cual choca en forma totalmente inelástica con un bloque de masa m2 5 10 kg en B, inicialmente en reposo. Calcula la altura máxima a la cual m1 se eleva después del choque.

A

m1

5m

6.19  Un carrito de 342 gramos de masa se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción con una velocidad de 1,24 m/s, en su recorrido choca con otro carrito de masa desconocida que está en reposo. La colisión entre los carri­ tos es elástica. Después del choque, el primer carrito conti­ núa en su dirección original a 0,636 m/s. a) ¿Cuál es la masa del segundo carrito? b) ¿Cuál es la velocidad final del segundo carrito? 6.20  Un proyectil de 5 gramos es disparado horizontalmen­ te sobre un bloque de madera de 3 kg que se encuentra en reposo; el coeficiente de rozamiento cinético entre el blo­ que y la superficie es 0,2. El proyectil permanece empotrado en el bloque y se observa que éste se desliza 25 cm sobre la superficie. ¿Cuál es la velocidad inicial del proyectil?

m2

m1

m2

d C

B

Figura 6.7

Figura 6.5

6.18  Se dispara una bala de 5 g de masa sobre un péndulo balístico de 1 kg, la cual queda dentro de éste (ver figu­ ra 6.6). Si el péndulo sube una distancia vertical de 5 cm, calcula la rapidez inicial del proyectil y la energía se pierde durante la colisión.

6.21  Una bola, con una masa de 0,540 kg, que se mueve hacia el este (dirección 1X) con una rapidez de 3,90 m/s, choca frontalmente con otra bola, cuya masa es de 0,320 kg, que se encuentra en reposo. Si la colisión es perfectamente elástica, ¿cuál será la rapidez y dirección de cada bola des­ pués de la colisión? 6.22  Una bola de billar golpea a otra que se encuentra en reposo sobre la mesa; después del choque, ambas bolas se mueven como se muestra en el diagrama. Las dos bolas tie­ nen la misma masa, pero la bola m1 reduce su velocidad a la mitad. Calcula el ángulo u que se muestra en la figura:

0,05 m m1

1 kg 1 m1

m2

a 5 37° u5? m2

0,05 m 1 kg 1

Figura 6.6

Problemas aplicados a la realidad

Figura 6.8

Problemas para resolver con tecnología

113

UNIDAD

6

Problemas para resolver 6.28  La pelota reglamentaria de frontón largo tiene una masa de 130 g. Durante un juego, un jugador golpea la pelota con su pala y ésta adquiere una velocidad de 51 m/s, durante su trayectoria golpea la pared y per­ manece en contacto con ella por 0,025 s, rebota en la misma dirección y varía su velocidad a 48 m/s.

6.23  Una granada, con una masa de 5 kg en reposo, ex­ plota en dos partes. Una de estas partes tiene una masa de 2 kg, la cual sale disparada con una velocidad de 15 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la otra parte? 6.24  Durante las inundaciones en Tabasco, el tronco de un árbol de 50 kg de masa se encuentra flotando en el agua y se desplaza a 10 m/s. Como no hay áreas secas, un ave de 10 kg intenta descender en el tronco mientras vuela a 10 m/s en sentido contrario a la corriente. Por la humedad del tronco, el ave se resbala y sale por el otro extremo del tronco a una velocidad de 4 m/s. Deter­ mina la velocidad con la que se mueve el tronco en el instante en que el ave lo abandona.

a) Calcula el impulso que ejerce la pared sobre la pelota. b) La fuerza media que opone la pared.

6.25  Dos carritos metálicos chocan en el mismo sentido y quedan unidos después del impacto. Observa el esquema para calcular:

130 g

a) La velocidad con que se mueven los carritos después del choque. b) La cantidad de energía que se perdió.

10 m/s

5 kg

4 m/s

1 kg

Figura 6.9

6.26  Dos bolas de nieve de diferentes masas chocan en sentido contrario y quedan pegadas. Observa la figura 6.10. Calcula: a) ¿Con qué velocidad se desplazan ambas bolas después del impacto y en qué dirección lo hacen? b) La energía perdida en el choque. c) ¿Qué porcentaje de la energía se perdió durante la coli­ sión?



Figura 6.11

6.29  Dos pelotas de goma (ambas de diferente masa) se impactan de frente y quedan unidas después del choque. Calcula (ver figura 6.12): a) La cantidad de movimiento inicial de las pelotas. b) La cantidad de movimiento final de las pelotas. c) La velocidad final de las pelotas después del impacto.

10 kg

v1 5 1 m/s v2 5 5 m/s

5 kg

4,5 kg

v1 5 10 m/s

v2 5 7,5 m/s

3 kg

Figura 6.10

6.27  Un neutrón de 1,67 3 10224 g de masa, que se mueve con una determinada velocidad, choca frontal­ mente con un núcleo de boro, cuya masa es de 17 3 10224 g, que se encuentra inicialmente en reposo. Si el choque es completamente inelástico, ¿cuál es la rela­ ción entre las energías cinéticas final e inicial del sistema formado por estas dos partículas? 114

Problemas aplicados a la realidad

Figura 6.12

6.30  En un centro de investigación de balística, una bala de 42 g de masa es disparada horizontalmente hacia un blo­ que de madera con masa de 6 kg, que está suspendido de una cuerda larga. La bala se incrusta en el bloque. Calcula la velocidad de la bala debido al impacto, si el bloque se Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© balancea y sube 17 cm por arriba de su nivel normal y la cantidad de movimiento final del bloque y la bala (véase figura 6.13).

respectivamente. Ambas partículas están en un plano ho­ rizontal. Se desea colocar una tercera partícula de 0,5 kg, ¿dónde se debe colocar para que el centro de masa tenga las siguientes coordenadas: (0,45 cm, 20,7 cm)? 6.38  Se tiene el siguiente sistema de partículas. Calcula su centro de masa. x

m2 5 7,2 kg m1 5 3 kg

6 kg



x2 5 4,6 m

6.31  Un grupo de jóvenes juega con una pelota de 250 g de masa; durante el juego, uno de ellos patea la bola y ésta adquiere una velocidad de 10 m/s, después otro jugador la recibe y la golpea (el tiempo de contacto es de 0,01 s), y sale disparada en la misma dirección, pero en sentido contrario, a una velocidad de 15 m/s. Calcula la fuerza media que ejer­ ció el segundo jugador sobre la pelota. 6.32  En un entrenamiento militar, un cañón de masa de 990 kg dispara una bala de 10 kg de masa a una velocidad de 500 m/s. Calcula la velocidad de retroceso del cañón. 6.33  Tres masas, de 2,0, 3,0 y 6,0 kg, están localizadas en posiciones (0, 3,0), (0, 6,0) y (0, 4,0), respectivamente, de­ terminadas en metros a partir del origen. Calcula cuál es la posición del centro de masa de este sistema con respecto al origen. 6.34  Una pesa tiene una barra de 1 m de conexión de masa despreciable. Calcula la posición del centro de masa con respecto a la masa m1: a) Si m1 y m2 tienen, cada una, 5,0 kg. b) Si m1 es de 7,5 kg y m2 es de 10,0 kg. 6.35  Una masa de 4 kg está en x 5 0,20 m, y 5 z 5 0 m, y una segunda masa de 6 kg está en x 5 0,80 m, y 5 z 5 0 m. Ubica el centro de masa. 6.36  Una granada de 2 kg de masa que se encuentra en reposo, se desintegra en tres fragmentos. Dos de ellos tienen masas idénticas de 0,5 kg, cada uno, y el tercero tie­ ne una masa de 1 kg. Las velocidades de los fragmentos de 0,50 kg forman un ángulo de 60º entre sí y la magnitud de dichas velocidades es de 100 m/s. ¿Cuál es la velocidad del fragmento de 1,00 kg? 6.37  Se tiene un sistema de dos partículas; la partícula 1 tiene una masa de 0,25 kg y sus coordenadas x, y son (1,10 cm, 22,1 cm), respectivamente; la segunda, tiene una masa de 0,35 kg con coordenadas x, y (3 cm, 1,3 cm), Problemas aplicados a la realidad

y

x1 5 2

Figura 6.13 Figura 6.14

6.39  Se tienen dos autos, como se muestra en la figu­ ra 6.15, uno de masa de 1 000 kg y otro de una masa de 850 kg; ambos corren sobre una pista de carreras horizontal. Calcula el momento lineal de cada auto, el centro de masa y la velocidad del centro de masa. v1 5 120 km/h

m1 5 850

v2 5 150 km/h

m2 5 1 000

x1 5 10 x2 5 25 km Figura 6.15

6.40  Calcula la velocidad del centro de masa si los autos de la figura 6.15 sufren un choque y ambos salen unidos dispa­ rados en la misma dirección. 6.41  Ana, de 53 kg, y Rocío, de 60 kg de masa, están pa­ radas sobre una superficie resbalosa, con una separación entre ellas de 5 m, y las dos jalan una cuerda, cada una de un extremo. Si Ana se mueve 1 m hacia Rocío, ¿cuánto se acercó Rocío? 6.42  En el problema anterior Rocío jala la cuerda para adquirir una rapidez de 0,5 m/s. Entonces, ¿qué rapidez tiene Ana? 6.43  Cuando se desintegra un neutrón produce un protón y un electrón. La energía que se libera en este decaimiento se manifiesta en energía cinética del protón y del electrón. La masa del protón es 1,672 3 10227 kg y la del electrón es 9,11 3 10231 kg. ¿Cuánto vale el cociente de energía cinética del protón entre la energía cinética del electrón?

Problemas para resolver con tecnología

115

UNIDAD

6

Problemas para resolver

6.44  Encuentra el centro de masa de cuatro masas iguales que se encuentran en (1, 1)m, (1, 21)m, (21, 21)m, (21, 1)m con respecto al origen.

6.48  Calcula la posición del centro de masa para el cuarto de círculo de radio 3 cm, que se muestra en la figura 6.18.

6.45  Para distribuciones continuas de masa, el centro de masa está dado por:    

n

r cm 5

e r dm    

y

n

M

   1    5  (iˆ e xdm 1 jˆ e ydm) M        

 

 

 

x

Si la distribución de masa es uniforme, el centro de masa se encuentra en el centro geométrico. Demuestra esta ase­ veración utilizando la definición para un círculo de 3 cm de radio. ALERTA Si dm 5 rdA 5 rdxdx, tal que r 5 M/A es la densidad de masa superficial, puesto que la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral.

6.46  Calcula la posición del centro de masa para el semi­ círculo de radio 3 cm que se muestra en la figura 6.16.



Figura 6.18

6.49  Calcula la posición del centro de masa para cuatro ma­ sas iguales en las posiciones (1,2732, 21,2732)cm, (21,2732, 21,2732)cm, (21,2732, 1,2732)cm y (1,2732, 1,2732)cm. 6.50  Calcula la posición del centro de masa para el cuadra­ do de 2 cm de lado que se muestra en la figura 6.19.

y

y

x



Figura 6.16

6.47  Calcula la posición del centro de masa para el cuarto de círculo de radio 3 cm, que se muestra en la figura 6.17. y

x



116

x



Figura 6.19

6.51  Una empresa fabricante de automóviles está reali­ zando diferentes pruebas con su nuevo modelo de auto compacto, una de ellas es hacer chocar dos autos del mismo modelo con una masa de 850 kg en un crucero. El auto 1 viaja con una rapidez de 18 m/s hacia el este, el segundo auto viaja al norte con una velocidad Vi2. Ambos autos al llegar al crucero se impactan y se que­ dan pegados. Los autos dejan marcas en el pavimento y las marcas forman un ángulo de 43°. ¿Cuál es la veloci­ dad inicial del segundo auto en millas/hora? 6.52  Se tiene un péndulo que está formado por una pelota con una masa de 100 g y un hilo con una longitud de 25 cm. Suponga que el hilo del péndulo en un inicio se encuentra en posición horizontal. Cuando se suelta la pelotita del pén­ dulo y ésta llega al punto inferior, choca con una caja de car­ tón con una masa de 250 g que se mueve a una velocidad

Figura 6.17

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© de 2 m/s. La pelota del péndulo rebota hacia atrás llegando a tener como amplitud máxima nuevamente la horizontal.

c) ¿Cuál es la velocidad de la masa m2 con la que llega al suelo?

a) Calcula la rapidez inicial de la pelota poco antes del cho­ que. b) ¿Cuál es la velocidad de la caja después del choque? 25 cm

m1 5 9 kg

m3 5 0,8 kg

h/2

v5 m2 5 9 kg Figura 6.20

h 5 1,5 m

6.53  Las masas en el tiempo t 5 0 están en reposo. La masa m1 después de avanzar la distancia de h/2 choca con la masa m3 y se quedan unidas. Observa el siguiente sistema y re­ suelve cada una de las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es la velocidad de la masa m1 justo antes del im­ pacto? b) ¿Cuál es la velocidad de la masa m2 justo después de la colisión?

Figura 6.21

6.54  En una investigación de balística se desea determinar la rapidez con la que es disparada una bala de 12 g contra un bloque de madera de 630 g. La bala se queda incrustada en el bloque de madera y lleva una velocidad de 0,75 m/s.

Problema reto 1

Existe una teoría de que si Venus choca contra la Tierra a 50 m/s puede ocasionar que nues­ tro planeta desaparezca del universo. Si se llegará a dar esta colisión: a) Determina la velocidad final de los planetas si se quedan unidos después de la colisión, si la colisión dura 0,65 s, ¿cuál es el valor de la cantidad de movimiento? b) Calcula la fuerza promedio que ejerce Venus sobre la Tierra durante la colisión. c) Determina la magnitud del impulso. d) Si en lugar de que fuera Venus, un meteorito con una masa de 0.333 veces la masa de Venus chocara con nuestro planeta, ¿qué fuerza promedio ejercería el meteorito sobre la Tierra durante la colisión? Realiza las hipótesis necesarias, e investiga los datos que faltan. Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

117

UNIDAD

6

Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R. y Walker J. Fundamentos de física, Vol. 1, 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R. y John W. Jewet. Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1, 7ª edición. Cengage, México, 2009.

Referencias de Internet ■ ■

118

http://www.walter-fendt.de/ph14s/ http://iesgabrielgalanp.juntaextremadura.net/index.php?option=com_content&view=article&i d=206:enlaces-a-paginas-de-fisica-y-quimica-interesantes&catid=38&Itemid=700493

■

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/choques2/choques2.htm

■

http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/riel/Riel.htm

UNIDAD

7

Cuerpo rígido Objetivos Identificar los conceptos de momento de rotación, momento angular y su conservación, para poder aplicarlos en la solución de problemas prácticos. Determinar fuerzas de reacción en apoyos. Aplicar las condiciones de equilibrio de traslación y de rotación en la resolución de problemas.

¿Qué sabes? ¿Por qué es importante estudiar el momento de rotación, el momento angular y su conservación? ¿Tú sabías que para el diseño de edificios se tienen que calcular las fuerzas de reacción en los apoyos, así como las condiciones de equilibrio? ¿Qué la segunda ley de Kepler es consecuencia de la conservación del momento angular?

UNIDAD

7

Cuerpo rígido

7.1  Introducción En este capítulo estudiaremos la estática, que es una parte de la mecánica en la que se estudia las condiciones de equilibrio de una partícula y de un cuerpo rígido. La estática es de suma importancia además de su utilidad en la ingeniería civil entre otras ingenierías, y de la vida cotidiana, ya quetodos los días, al abrir una puerta, usar pinzas, cambiar un neumático del auto, se utilizan conceptos y aplicaciones de la estática.

❚ ¿Qué es un cuerpo rígido? Cuando las dimensiones de un cuerpo interfieren en el estudio de un fenómeno dado, no podemos considerar a dicho cuerpo como un punto material o partícula, en este caso el cuerpo se llama cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es y consiste en un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas permanecen constantes. Cuando las distancias entre las partículas que constituyen un cuerpo varían, a dicho cuerpo se le denomina cuerpo deformable.

7.2  Movimiento de traslación del cuerpo rígido Para analizar el movimiento de un cuerpo rígido se utiliza la segunda ley de Newton aplicada al centro de masas del cuerpo; es decir, el centro de masas del cuerpo se mueve como una partícula cuya masa es igual a la masa total del sistema. n

n

F ext 5 Ma cm Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a un sistema de partículas podemos describir el movimiento de traslación del centro de masas de un cuerpo rígido.

7.3  Equilibrio El objetivo de la estática es determinar bajo qué condiciones un sistema se encuentra en reposo. La estática por ejemplo se aplica en el cálculo de estructuras, donde se emplea para obtener las fuerzas soportadas por un puente, un edificio, una viga o un rascacielos, entre otros. Para que un cuerpo esté en equilibrio estático deben cumplirse simultáneamente dos condiciones: ■

Que el cuerpo rígido no se traslade: la aceleración de su centro de masas debe ser cero.

■

Que el cuerpo rígido no gire: la aceleración angular del sólido debe ser también nula.

❚ 7.3.1 Equilibrio de traslación La primera condición de equilibrio se impone respectivamente en la ecuación del movimiento de traslación del centro de masas. Para que la aceleración del centro de masas sea igual, la suma de fuerzas vectorial (o fuerza externa) sobre el sistema debe ser igual a cero. n

n

F ext 5 Ma cm 5 0

Problema resuelto Un cuerpo cuyo peso es de 100 N se encuentra en equilibrio sujeto a una fuerza F de 100 N a 30° con respecto al plano horizontal (eje x), sobre una superficie sin rozamiento y está unido a una pared como se muestra en la figura. Calcula: a) La tensión en la cuerda. b) La fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Figura 7.1 

120

n

F a

Grupo Editorial Patria© Respuesta

Las fuerzas “x” “y” que actúan sobre el cuerpo en equilibrio, considerado como una partícula, se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre. La suma de fuerzas en el eje de las “x”: 2T 1 F cos a 5 0 ⇒ T 5 F cos a

n

n

N

F

Sustituyendo valores. T 5 (100 N)cos 30° 5 86.6 N

a

n

T

La suma de fuerzas en el eje de las “y”: 2mg 1 F sen a 1 N 5 0 ⇒ N 5 mg 2 F sen a Ahora sustituyendo valores se tiene:

n

mg

N 5 (100 N) 2 (100 N) sen 30°5 50 N

Figura 7.2

7.4  Momento de una fuerza Cuando un cuerpo rígido está sujeto a un sistema de fuerzas, puede adquirir movimiento de traslación y de rotación. Se denomina momento de una fuerza, momento de rotación o torque, a la magnitud vectorial que es una medida de la capacidad de rotación que dicha fuerza es capaz de producir a un cuerpo, cuando éste puede rotar alrededor de un punto o eje que se considera fijo. Por ejemplo, consideremos el caso de una persona que intenta aflojar una tuerca de una llanta de un camión.

r O n

Entre mayor distancia exista entre la fuerza perpendicular aplicada al eje de rotación, mayor será la rotación.

F Figura 7.3

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza. n

n

n

t 5r 3F

La analogía de la llave y el tornillo nos ayuda a entender el significado físico del momento de fuerza, y a determinar correctamente la magnitud, la dirección y el sentido del momento de una fuerza: ■

La magnitud es el producto de la fuerza por su brazo de palanca (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). t 5 Fd.

■

■

La dirección es perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje de giro del tornillo. El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

En notación vectorial el momento de una fuerza se define como: n

n

n

t 5r 3F

121

UNIDAD

7

Cuerpo rígido n

La magnitud de t es r F sen u.

n

n

La dirección es perpendicular al brazo r como a F . El sentido lo indica la regla de la mano derecha, se colocan los dedos de la mano derecha sobre el primer vector y se cierran hacia el segundo vector, el sentido lo da el pulgar extendido. Otra forma de desarrollar el momento de rotación es a través del determinante: jˆ

ˆk

t 5 r 3 F 5 rx

ry

rz

Fx

Fy

Fz

n

n

iˆ

n

Desarrollando el determinante se obtiene: iˆ

jˆ

ˆk

rx

ry

rz 5 iˆ

F x

Fy

Fz

ry

rz

Fy

Fx

2 ijˆ

rx

rz

Fx

Fz

1 iˆk

rx

ry

Fx

Fy

iˆ

jˆ

ˆk

rx

ry

rz 5 iˆ (ry Fz 2 rz Fy) 2 ijˆ (ry Fz 2 rz Fx) 1 iˆk (rx Fy 2 ry Fx)

Fx

Fy

Fz

Problema resuelto Un mecánico aplica una fuerza de 10 N sobre una llave fija de tres modos diferentes, como se muestra en la figura. Determina el momento de la fuerza con respecto a su eje de rotación, que coincide con el centro de la tuerca, en las situaciones que se muestran.

n

F 30 cm



30 cm

15 cm

n

F

a)

b)

n

F

c)

Figura 7.4 Respuesta

a) El momento en esta situación está dado por: N 5 6 Fd sen 90°5 2(10 N)(0,3 m)(1) 5 23 Nm (sentido de las manecillas del reloj) b) El momento en esta situación está dado por: N 5 6 Fd sen 90° 5 1(10 N)(0,15 m) 5 1,5 Nm (sentido contrario a las manecillas del reloj) c) El momento en este caso es: N 5 6 Fd sen 0° 5 1(10 N)(0,15 m)(0) 5 0

122

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto el vector momento de torsión de un vector de posición r 5 24,5 miˆ 1 1,5 mijˆ y una fuerza n

n

F 5 25 Niˆ  1 15 N ijˆ  Respuesta

n

n

n

iˆ

jˆ

ˆk

t 5 r 3 F 5 24,5 m 1,5 m 25 N

15 N

ˆ 5 260 N mkˆ 0 5 ((24,5 m)(15 N) 2 (1,5 m)(25 N))k

0

7.5  Teorema de Varignon El momento de rotación respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O. n

t ext 5

^ tni i 

7.6  Equilibrio de rotación Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero: n

t ext 5

^ tni 5 0 i 

Problema resuelto Una barra homogénea de 100 N de peso se coloca sobre los apoyos A y B, como se muestra en la figura 7.5. El peso de C es de 200 N. Calcule las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.

A

C

30 cm

20 cm

B

50 cm 20 cm



10 cm

Figura 7.5

Respuesta

Se realiza un esquema de las fuerzas aplicadas en la barra. n

n

NA

NB

30 cm

C

A n

mg 20 cm

50 cm

B

200 N 20 cm

10 cm

Figura 7.6

123

UNIDAD

7

Cuerpo rígido Suponemos una barra homogénea por lo que el peso actúa en el centro de la barra. Tomamos el punto A como el centro de rotación y calculamos la suma de los momentos de rotación: n



t 5 2(0,3 m)(100 N) 2 (0,5 m)(200 N) 1 (0,7)NB



t 5 230 Nm 2 100 Nm 1 (0,7)NB



t 5 2130 Nm 1 (0,7)NB

n

n

n

Por la segunda condición de equilibrio t 5 0, entonces. 2130 Nm 1 (0,7)NB 5 0 ⇒ NB 5

130 0,7

Nm 5 185,71 Nm

Aplicamos la primera condición de equilibrio: n

F ext 5 NA 2(100 N) 2 (200 N) 1 NB 5 0 ⇒ NA 5 2300 N 1 185,71 N 5 2114,29 N

7.7  Energía cinética rotacional Una partícula con masa m que se mueve en un círculo de radio r tiene una velocidad tangencial v 5 vr, y su energía cinética es: Ec 5

1 2

 mv 2 5

1 2

 mv2r 2

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación 0. La energía cinética total será la sumatoria de las energías cinéticas de cada una de las partículas: 1 1 Ec 5 ^i Eci 5 ^i   mi vi 2 5 ^i   mi v2ri 2 5 2 2

1^  2  m r 2v 5 Iv 1

i

2 i  i 

2

2

La energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación y la de traslación del centro de masas. Ec 5

1 2

 Mv 2cm 1

1 2

Iv2

7.8  Momento de inercia 1 Hemos definido a la cantidad, I 5 ^i   mi ri 2, como el momento de inercia. 2

Alerta Las unidades del momento de inercia en el SI son kg m2.

Problema resuelto Calcula el momento de inercia para la pesa que se muestra en la figura 7.7. Se desprecia el peso de la barra que une las masas; el sistema gira con una velocidad angular de 4 rad/s. Calcula: a) su momento de inercia, b) su energía cinética rotacional. Figura 7.7 

124

4 rad/s 1 kg

1 kg 0,5 m

Grupo Editorial Patria© Respuesta

a) El momento de inercia está dado por: 1 1 1 I 5 ^i   mi ri2 5  (1 kg)(0,25 m)2 1  (1 kg)(0,25 m)2 5 0,0625 kg m2 2 2 2 b) La energía cinética rotacional está dada por: 1

1

1

rad E 5  i v 5  (0,0625 kg m )  4  2 2 s 2    

2

2

2 5 0,5 kg m

2

Para cuerpos que son distribuciones continuas de masa, el momento de inercia se calcula con: I 5 er 2 dm

Problema resuelto Calcula el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L, con respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

dx

x L/2

2L x L

Figura 7.8

Respuesta

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x 1 dx es. d m d x

5

m

⇒ dm 5

L

m L

 dx

Entonces:

I 5 er 2 dm



I5

L/2

e

 x2 

2L/2



I5



I5

)

m L

 dx 5

m L

1

L/2

 

e

 x2 dx

2L/2

2

1 2

m x3 L/2 m L3 L3 m 2L3     1 5   5   L 3 2L/2 L 24 L 24 24 mL2 12

7.9  Teorema de Steiner o de los ejes paralelos El teorema de Steiner establece que el momento de inercia I’ con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masas, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa Ic m de un cuerpo, más el producto de la masa M, por el cuadrado de la distancia h2, entre los dos ejes: I9 5 Ic m 1 Mh2 125

UNIDAD

7

Cuerpo rígido

Problema resuelto Calcula el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos. Respuesta

Aplicando el teorema de Steiner se tiene:

dx

x L/2

2L

L/2

x L



Figura 7.9



I9 5 Ic m 1 Mh2 5



I9 5

ML2 12

2

1 2 2 5 ML12

1 M 

L

2

1

ML2 4

ML2 3

Problema resuelto Determina el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco circular con respecto de su centro. Respuesta

Consideramos una parte de masa dm a una distancia r del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio r y anchura dr. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2pr y anchura dr, cuya masa es M S

5

dm

⇒ dm 5

dS

M S

dS 5

M pR

2

 2prdr 5

2M R2

 rdr

Entonces, el momento de inercia del disco es:

I 5 er 2 dm



I5

R

2M

e  r    R 2

2

0



I5

 rdr 5

2M R

2

R

e  r  dr 5 3

0

)

2M r 4 R 2M R 4     5 2   2 R 4 0 R 4

MR 2 2

La inercia rotacional de un cuerpo en algunos casos se expresa en términos de su radio de giro k. Esta cantidad se define como la distancia radial del centro de rotación a la circunferencia en la cual se puede considerar concentrada la masa total del cuerpo sin cambiar su momento de inercia. De acuerdo con esta definición, el momento de inercia se calcula a partir de la fórmula: I5

Mk2 2

Donde M es la masa total del cuerpo que gira y k es su radio de giro. 126

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Una masa de 4 kg y otra de 8 kg están unidas por una barra ligera de 40 cm. El sistema gira en la horizontal a 350 rpm en torno a un eje localizado en el centro de masas. ¿Cuál es la energía rotacional? Respuesta

I 5 ^ mR 2 5 (4 kg)(0,2 m)2 1 (8 kg)(0,2 m)2 5 0,048 kg m2 La velocidad angular es: v 5 350 rpm 5

rad 350(2p) rad   5 36,652 s s 60

La energía rotacional es: E5

1 2

 Iv2 5

1 2

1

 (0,048 kg m2)  36,652

rad 2 s

2

5 32,24 J

Problema resuelto Un disco metálico de masa M y radio R rueda sin resbalar sobre un plano inclinado de altura h y largo d; el disco parte del reposo. Calcula: a) La expresión del trabajo hecho por la fuerza de fricción. b) La expresión de la fuerza de fricción. Respuesta

a) En la parte superior del plano inclinado, la energía total es igual a: E 0 5 Mgh Conforme va bajando, la energía es: E 1 5 MgH 1

1 2

 Mv 2cm 1

1 2

 Iv 2

Puesto que hay rozamiento, la diferencia entre las energías es igual al trabajo realizado por la fuerza de fricción: W f f 5 E 0 2 E 1 5 Mg(h 2 H ) 2

1 2

 Mv 2cm 2

1 2

 Iv 2

b) La fuerza de rozamiento entre el disco y el plano. W f f 5 F fd cos 180° 5 2Ff d 5 Mg(h 2 H ) 2

Ff  5 2 

Mg d

 (h 2 H ) 1

1 2d

 Mv 2cm 2

1 2

 Mv 2cm 2

1 2d

1 2

 Iv 2

 Iv 2

127

7

UNIDAD

Cuerpo rígido

7.10  Trabajo rotacional

n

v Z

Durante un intervalo dt, cada punto del cuerpo gira un ángulo df, un punto dado de un cuerpo rígido se mueve una distancia ds a lo largo del arco de un círculo de radio R (véase figura 7.10).

n

Ri

vi

ds

n

La fuerza F realiza un trabajo infinitesimal:

i

df n

ri

n

n



dW 5 F ? ds 5 (F cos u )ds 5 F'Rdf



dW 5 t df

Derivando con respecto al tiempo, se obtiene la potencia. P5

O

d W  d t

5t

d f d t

5 tv

Figura 7.10

Problema resuelto Una masa de 7,5 kg y una de 5 kg están suspendidas en forma vertical por una polea que tiene un radio de 5 cm y una masa de 1,5 kg (véase figura 7.11). La cuerda tiene una masa despreciable y hace que la polea gire sin deslizarse. La polea gira sin fricción. Las masas inician su movimiento a partir del reposo cuando están separadas por una distancia de 1,5 m. Considere a la polea como un disco uniforme y determine la rapidez de las dos masas cuando pasan una frente a la otra. Respuesta

7,5 kg 1,5 m Figura 7.11

Datos:

5 kg



m1 5 7,5 kg



m2 5 5 kg



mp 5 1,5 kg



h 5 1,5 m



R 5 0,05 m

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética: W 5 DK gh 1 1 5  (m1 1 m2)v 2 1  Iv 2 (m1 2 m2)  2 2 2 Puesto que la polea es un disco.

1

2

gh 1 1 1 v 2 5  (m1 1 m2)v 2 1  mpR 2 2 (m1 2 m2)  2 2 2 2 R Entonces.

v5

!

gh (m1 2 m2)  2 1 1  (m1 1 m2) 1  mp 2 4

Sustituyendo valores. m 9,8  2 (1,5 m) 1 s (7,5 kg 2 5 kg)  2

v5

128

!

1 2

 (7,5 kg 1 1,5 kg) 1

2 1 4

5 1,9415   (1,5 kg)

m s

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un motor de 2 hp impulsa una polea con una velocidad angular de 25 rad/s. ¿Qué momento de torsión se obtiene?

Alerta

Respuesta

1 hp 5 746 Watts

La potencia está dada por: P 5 tv ⇒ t 5

P v

Se sustituyen los valores: t5

P v

5

2(746) W 5 59,68 Nm rad 25  s

7.11  Momento angular El momento angular de un sistema de partículas se define como la suma vectorial del momento angular de cada una de ellas: n

n

n

n

n

Li 5 ri 3 pi 5 ri 3 mvi

Cada partícula del cuerpo rígido describe un movimiento circular con velocidad angular ω y su momento angular calculado con respecto al origen O viene dado por: n

n

n

Li 5 ri 3 pi Consideremos un cuerpo rígido de forma arbitraria que gira con velocidad angular ω con respecto al eje Z que, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial, como se muestra en la siguiente figura: n

v

Z

Z n

v

n

Ri

vi

Ri

i

n

vi i

n

ri n

90 2 ai

ai n

n

Li

O

Li

90 2 ai

Liz O

Figura 7.12

El cuerpo rígido puede considerarse como un conjunto de masas individuales que giran con la misma velocidad angular v. El momento angular del cuerpo rígido con respecto a O es simplemente el momento angular de un sistema de partículas, es decir, la suma de los momentos angulares de todas las partículas del sistema. 129

UNIDAD

7

Cuerpo rígido n

El momento angular L de un sistema con respecto a un origen O se puede descomponer en dos términos: n

n

n

L 5 L int 1 L o El primer término es el momento angular interno y se calcula sumando el momento angular de todas las partículas pero tomando como origen el centro de masas del sistema. Esta magnitud es por tanto independiente del sistema de referencia y sólo depende del movimiento de las partículas con respecto al centro de masas. n

L int 5

n

^ Li 5 ^ rni 3 mvni i

i

El segundo término se llama momento angular orbital y coincide con el momento angular que tendría una partícula de masa con la masa total del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masas del mismo, medida con respecto a O. n

n

n

L orb 5 r CM 3 MvCM Ahora, calculando la proyección del momento angular de la partícula sobre el eje de giro, se obtiene: Liz 5 Li cos(90 2 ai) 5 Li sen ai 5 rimivi sen ai De las figuras anteriores se deduce que el radio de giro, Ri, de la i-ésima partícula del sólido y la velocidad lineal de dicha partícula son respectivamente: Ri 5 ri sen ai   y   vi 5 vRi Sustituyendo en la ecuación anterior, la proyección del momento angular de la i-ésima partícula sobre el eje de giro queda: Liz 5 mivRi (ri sen ai ) 5 miRi2v Finalmente, la proyección del vector momento angular del sólido es: Lz 5

n

v

Z

n

v

Z

Z9

n

Li

n

Lz

n

f

L9 O9

^ Liz 5 ^ miRi2v 5 Iv i

i

En la figura 7.13a se ha representado el momento angular total de un sólido con respecto a un eje de giro Z. La dirección del momento angular no coincide con la del eje. En lanfigura 7.13b se ha representado una situación hipotética en la que el vector L estaría alineado con el eje de giro Z 9. Para cualquier cuerpo rígido existen al menos tres ejes principales de inercia tales que, si el cuerpo rígido rota con respecto a alguno de ellos, el vector n momento angular es paralelo al eje, por tanto la proyección de L sobre el eje coincide con su magnitud. Cuando el cuerpo tiene algún eje de simetría, los ejes principales de inercia coinciden con los ejes de simetría. Cuando un cuerpo rígido rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia, el vector momento angular del cuerpo es: n

O Figura 7.13

Derivando esta ecuación: n

d L   d t

n

5

d(Iv) d t

Ésta es la ecuación de movimiento rotacional. 130

n

L 5 Iv

n

5 I 

dv d t

n

5 Ia

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Una varilla uniforme de 50 cm de largo tiene una masa de 2 kg. Si la varilla gira con respecto de un eje que pasa por su centro de masa, con una velocidad angular de 8 rad/s, calcula su momento angular. Respuesta

Su momento angular es: L 5 Iv El momento de inercia de una varilla delgada con respecto a su centro de masa es: I5

mL2 12

5

(2 kg)(0,5 m)2 12

5 0,04167 kg m2

Entonces su momento angular es:

1

2

rad kg m2 5 0,333 L 5 Iv 5 (0,04167 kg m2) 8  s s

Problema resuelto Un volante tiene un momento de inercia de 40 kg m2. ¿Cuál es el momento de torsión que se requiere para acelerar el volante a partir del reposo hasta una velocidad angular de 200 rpm en 10 s? Respuesta



I 5 40 kg m2 rad rad 5 20,944   1 2p 2 s 60 s

v 5 200 rpm 5 200  Calculamos su aceleración angular: a5

v 2 v0 t

5

20,944 rad 10

s2

5 2,09

rad s2

Entonces su momento de torsión es:

1

t 5 Ia 5 (40 kg m2)  2,09

rad s2

2 5 836 Nm

7.12  Traslación y rotación Consideremos un cuerpo que rueda sobre una superficie sin deslizamiento. La velocidad y aceleración del centro de masa son: vc m 5

ac m 5

d s  d t

5

d(Rv) d t

d(Ru) d t

du 5 R  5 Rv d t

u

dv 5 R  5 Ra d t

Entonces su energía cinética es: K5

1 2

s

R

 Mv 2c m 1

1 2

 Iv 2 5

1 2

 Mv 2c m 1

Figura 7.14

1 I 1 I  v 2c m    v 2c m 5   M 1 2 R 2 R

1

2

131

UNIDAD

7

Cuerpo rígido

7.13  Teorema de conservación del momento angular Cuando en un sistema no se aplican fuerzas, el momento angular se conserva. n

d L   d t

n

5

^ i

d L i d t

5

^ i

n

ri 3

n

d pi

5

d t

n

n

n

n

^ rni 3 F i 5 ^ N i 5 N 5 0 ⇒ L 5 constante i

i

Si el momento total es igual a cero, el momento angular se conserva.

Problema resuelto Dos niños de 30 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 3 m de diámetro cuya masa es de 10 kg. El disco gira a razón de 5 rpm con respecto a un eje perpendicular que pasa por el centro del disco. a) Si cada niño se desplaza 50 cm hacia el centro del disco, ¿cuál será la velocidad angular del sistema? b) Calcula la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía. Respuesta

Calculamos el momento de inercia del sistema: niños 1 disco: I 5 mnr 2 1 mnr 2 1

1 2

 mdR 2

Sustituyendo valores. I 5 2(30 kg)(1,5 m)2 1

1 2

 (10 kg)(1,5 m)2 5 146,25 kg m2

La velocidad angular inicial del sistema es: v 5 5 

rev

5 5 

min

2p rad 60 s

5 0,5236

rad s

El momento angular inicial del sistema es:

1

L 5 Iv 5 (146,25 kg m2)  0,5236

kg m 5 76,58 s 2 s

rad

2

Ahora al desplazarse los niños cambia su momento de inercia: I 5 2(30 kg)(1 m)2 1

1 2

 (10 kg)(1,5 m)2 5 71,25 kg m2

Como el momento angular se conserva:

L 5 Iv ⇒ v 5

L I

76,58 5

kg m2

rad s 5 1,075 71,25 kg m2 s

Variación de la energía cinética:



DE 5

If v 2f 2

2

Ii v 2i 2

1

rad (71,25 kg m2)  1,075  s DE 5 2

1

rad (146,25 kg m2)  0,5236  s 2 2

DE 5 41,17 J 2 20,05 J 5 21,12 J

Entonces la energía cinética se incrementa.

132

2

2

2

2

Grupo Editorial Patria©

7.14  Fuerza central y conservativa La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es n central y conservativa. Una fuerza es central cuando n el vector posición r es paralelo al vector fuerza F . Entonces el momento de la fuerza es: n

n

n

t 5r 3F 50 Entonces, por conservación del momento angular, se concluye que con fuerzas conservativas el momento angular es constante. La fuerza de atracción de la gravitación es una fuerza conservativa y está dada por: n

F 5

Gm1m2   rˆ r 2

Donde la constante gravitacional tiene un valor de: Nm2 G 5 6,67 3 10211  kg2

7.15  Leyes de Kepler El astrónomo alemán Johannes Kepler describió el movimiento planetario utilizando tres expresiones matemáticas, conocidas como las leyes de movimiento planetario de Kepler.

❚ Primera ley de Kepler Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

P

a

b

r

c a R1



u Foco R2

Figura 7.15

❚ Segunda ley de Kepler Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que: las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va desde el foco de la elipse hasta la posición del planeta en cada instante. La ley de las áreas se deduce a partir de la conservación del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). 133

UNIDAD

7

Cuerpo rígido ❚ Tercera ley de Kepler Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de la distancia promedio al Sol. T 2 5 ka3 Es decir, el cuadrado del periodo del planeta es proporcional al cubo de la distancia promedio de la órbita del planeta. Una vez que se conoce su periodo, usando la tercera ley puede calcularse la distancia de cualquier planeta al Sol.

Problema resuelto Sabiendo que la masa aproximada de la Luna es 7,34 3 1022 kg y su radio 1,74 3 106 m. Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo en un segundo si se deja caer con una velocidad inicial de cero en un punto próximo a la superficie de la Luna. Respuesta

Por la ley de la atracción gravitacional: n

F 5

GmLm r 

2

 rˆ 5 mgL rˆ ⇒ gL 5

GmL r 2

Calculamos la aceleración gravitacional en la Luna:  

1

2

Nm2 6,67 3 10211  2 (7,34 3 1022 kg) GmL m kg 5 1,617 2 gL 5 2 5 s  r  (1,74 3 106 m)2 Usando las fórmulas del MRUA: y 5 (0)(1 s) 2

1 2

1

  1,617

m s2

2 (1 s) 5 20,81 m 2

Problemas para resolver 7.1  Un cuerpo cuyo peso es de 80 N está suspendido por medio de los alambres AC y BC que están sujetos a una superficie horizontal. La distancia de A a C es de 4 m y de B a C es de 3 m.Calcula las tensiones en los alambres. A

7.2  En la figura que se muestra a continuación los cables son ideales y el cuerpo C tiene un peso de 100 N. Determine las fuerzas en los cables 1, 2 y 3, dado que u 5 36°. u

B

Cab

le 1

Cable 2 C

Cable 3 C



134

Figura 7.16



Problemas aplicados a la realidad

Figura 7.17

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 7.3  Calcula el momento de torsión de la siguiente barra, respecto al punto A, si se le aplica una fuerza de 50 N y el brazo de palanca es de 5 metros. A

7.9  El ayudante de un carpintero tiene que extraer un clavo de una tabla horizontal de un closet con un martillo de uña; el joven ejerce una fuerza de 125 N, su mano se encuentra a una altura de 25 cm y el clavo forma un ángulo de 35°. Determina lo siguiente: a) La fuerza que se ejerce sobre la superficie en el punto de contacto con la cabeza del martillo.

5m

b) La fuerza que ejerce la uña del martillo sobre el clavo.

F

50 N Figura 7.18

7.4  Una joven que pesa 700 N decide en la mañana dar un paseo en bicicleta. Los pedales se mueven en un círculo que tiene 40 cm de radio. Si todo el peso actúa sobre cada movimiento descendente del pedal, ¿cuál es el momento de torsión máximo?

25 cm

4,5 cm

1 000 N

Punto de contacto único

35°

7.5  Calcule el momento de torsión en el punto A de la siguiente viga, si se le aplica una fuerza de 1 000 N en el punto A.

Figura 7.21 ALERTA Para resolver este problema considera que la fuerza que ejerce el martillo sobre el clavo es paralela al clavo.

4m

A

7.10  Una niña que pesa 200 N y un niño que pesa 300 N están parados sobre una viga uniforme que tiene un peso de 100 N apoyada sobre dos soportes. ¿Qué fuerzas ejercen los soportes sobre la viga?

Figura 7.19

7.6  Pepe quiere reparar su bicicleta usando una llave de perico aplicándole una fuerza de 800 N a un ángulo de 60° para hacer girar la tuerca. Calcula el momento de la fuerza si la llave mide 30 cm de largo y se aplica en el sentido contrario a las manecillas del reloj. 7.7  Determina el vector momento de torsión de un n vector n de posición r 5 2 miˆ 1 1 m jˆ 1 5 mkˆ y una fuerza F 5 100 Niˆ 1 74 N jˆ 1 150 Nkˆ .

8m

10 m Figura 7.22

10 N

A

2m

15 N

3m

By

B u Bx Ay

a



Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

W

Ax

100 cm

20 N

Figura 7.20

A

2,10 m

7.11  Una puerta de madera de 2,10 m de alto por 100 cm de ancho, con una masa de 25 kg, tiene dos bisagras de metal ubicadas a 25 cm de los extremos. Cada bisagra sostiene el mismo peso. Determina las reaccio­ nes de cada una de las bisagras.

7.8  ¿Cuál es el momento de torsión resultante respecto al punto A de la figura siguiente? No considere el peso de la barra.

4m

3m

Figura 7.23

135

7

UNIDAD

Problemas para resolver

7.12  Una regla de madera de 1,5 m de longitud de 65 g tiene a 15 cm de un extremo una cajita de 11 g. Calcula la distancia que se debe colocar el apoyo para mantener el equilibrio sobre el filo de una navaja. x a

L2x x2a

x/2

7.15  Un disco de 20 N gira a 200 rpm. ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 200 J? 7.16  Una masa de 3 kg en el extremo de una varilla se balancea describiendo un círculo de 1 m de radio. ¿Qué momento de torsión se requiere para darle a dicha masa una aceleración angular de 4 rad/s2? 7.17  Calcula el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

b

(L 2 x)/2

a

Figura 7.24

7.13  Una barra metálica de 15 cm de largo y de 3 kg de masa tiene un extremo fijo y gira en un plano “x y” respecto a ese extremo de manera que el ángulo que la barra forma con el neje “y” en el plano del movimiento es de 45°. ¿Qué fuerza F se debe aplicar de manera que se obtenga equilibrio rotacional?

Figura 7.27 

7.18  Calcula el momento de inercia del sistema de partículas respecto al eje x e y considerando que las varillas que mantienen la estructura tienen masa despreciable. Todas las masas son iguales a 0,80 kg.

y n

F

y (0, 1) m

u

(2, 0) m x

x

Figura 7.25

(0, 21) m

7.14  Un grupo de ingenieros mecatrónicos está diseñando un mecanismo y para ello es importante que determine la magnitud de la reacción en la articulación y la magnitud de la reacción en el soporte. Observa la figura. F1 5 11 N

F2 5 8 N 0,5 m

0,80 m

0,70 m



Figura 7.28

7.19  Calcula el momento de inercia de un cilindro macizo de masa 0,25 kg respecto a los ejes x e y sabiendo que tiene un radio de R 5 30 cm y una longitud L 5 100 cm.

y R

L/2 Soporte

x L/2

Figura 7.26

¿Qué pasaría si la distancia que hay entre el soporte y las fuerzas se iguala a 0,7 m? 136

Problemas aplicados a la realidad

Figura 7.29 

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 7.20  En una oficina se tiene un ventilador y sus aspas están girando a 85 rad/s. Cuando el ventilador se apaga la rapidez se reduce a 20 rad/s en 10 s, y se detiene completamente después de 18 s más. Determine: a) La desaceleración angular después de los 10 s. b) El número de revoluciones dadas por el ventilador para poder detenerse. 7.21  Si un objeto de masa M y momento de inercia I rueda sobre una pendiente de altura h, ¿con qué velocidad de centro de masa llega al final de la pendiente?, suponiendo que no hay fricción. 7.22  ¿Qué altura debe tener un plano inclinado para que un disco ruede a partir del reposo, para que llegue a la posición más baja con una velocidad de 10 m/s?, suponga que no hay fricción. 1 ALERTA El momento de inercia del disco es I 5 –  MR 2. 2

7.30  Una esfera homogénea de masa 0,5 kg y radio de 15 cm rueda sin deslizar por un plano inclinado de 2,5 m de largo, con un ángulo de 30° de inclinación. Aplique la condición de rodadura. Calcule: a) La aceleración del centro de masas. b) La aceleración angular con respecto al centro de masas. c) La fuerza de rozamiento. d) Si inicialmente se encontraba en reposo, calcule la velocidad del centro de masa y la velocidad angular cuando ha rodado por el plano una longitud L. 7.31  ¿Cuánto trabajo se necesita para detener un aro de 15 cm y de 2 kg que gira con una velocidad angular de 30 rad/s. 7.32  Determina la velocidad del centro de masa de una esfera de 3 kg con 20 J de energía cinética.

7.23  Resuelva el problema 7.22 pero en lugar de que ruede un disco que ruede un aro. ALERTA El momento de inercia del disco es I 5 MR  . 2

7.24  Demuestre que el momento de inercia de una esfera de radio R con respecto de un eje que pasa por su centro 2 es I 5  MR 2. 5 7.25  Resuelva el problema 7.22 pero en lugar de que ruede un disco que ruede una esfera. 7.26  Se aplica un momento de torsión constante de 30 N m a una rueda de molino cuyo momento de inercia es 0,200 kgm2. Usando el teorema del trabajo y energía cinética, calcula la velocidad angular cuando la rueda ha realizado 20 revoluciones, despreciando la fricción. 7.27  Una polea formada por un disco de 10 cm de radio y de 3 kg de masa tiene enrollada una cuerda que sostiene una pesa de 5 kg. ¿Con qué aceleración lineal cae la pesa? 7.28  A un ingeniero mecánico se le indica que determine la magnitud de la torca del cigüeñal de un motor de prueba de una lancha. El cigüeñal transfiere energía del motor al eje a razón de 76,5 kW cuando gira a una rapidez de 2 100 r.p.m. 7.29  Se gira una rueda de la fortuna con un motor eléctrico, la rueda tiene un momento de inercia I 5 10 000 kg m2 se gira a partir del reposo hasta 5 rev/min en 6 s. Cuando se apaga el motor, la fricción ocasiona que la rueda se frene de 5 a 3 rev/min en 5 s. Determina: a) El momento de torsión de fricción. b) El momento de torsión generado por el motor durante los primeros 6 s. Problemas aplicados a la realidad

c) La potencia necesaria para mantener esta rapidez rotacional.

7.33  Calcula la velocidad del centro de masa de un disco de 3 kg con 20 J de energía cinética. 7.34  Si el radio en el disco del problema 7.33 es de 3 m, calcula su velocidad angular. 7.35  Un disco de 0,6 m de radio y 50 kg de masa, gira con una velocidad angular inicial de 100 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento 24t N m. Determina a) El momento de inercia. b) La aceleración angular en función del tiempo. c) La velocidad angular en función del tiempo. d) La velocidad angular en el instante t 5 18 s. e) El ángulo girado en función del tiempo. f ) El momento angular inicial. g) El momento angular en el instante t 5 18 s. 7.36  Un aro, un disco y una esfera ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus velocidades en el fondo si la altura inicial es 25 m? Considere que no hay fricción. 7.37  Demuestre que el momento angular L de una varilla de masa M y longitud l si gira con respecto a un eje que pasa por su centro de masa con una velocidad angular v es 1 L5  ml 2v. 12 7.38  Determina el momento angular de una varilla de 6 kg y 4 m de longitud si gira con respecto a su centro de masa con una rapidez de 500 rpm. 7.39  Demuestra que en general para cualquier cuerpo de masa M y momento de inercia con respecto al centro de ma­ sa Icm, que baja rodando por un plano inclinado de altura h, la velocidad al llegar al fondo es vC M 5

Problemas para resolver con tecnología

. ! 1 1 2gh I /MR   

CM 

2

137

UNIDAD

7

Problemas para resolver

7.40  Demuestra que el momento de una esfera hueca con respecto a un eje que pasa por su centro de masa es 2 ICM 5  MR 2. 3

7.47  Un satélite de 300 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio terrestre. Calcula:

7.41  Una rueda de turbina pesa 100 kg y tiene un radio de giro de 0,5 m. ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda?

b) Su periodo de revolución.

7.42  Una rueda de radio 45 cm tiene una masa de 4 kg y gira a 600 rev/min. ¿Qué fuerza tangencial se debe aplicar para detener su movimiento de rotación en 10 s? 7.43  Suponga que la Luna describe una trayectoria circular de 4 3 108 m, la masa de la Luna es aproximadamente 7 3 1022 kg y la de la Tierra es aproximadamente de 5,98 3 1024 kg. Calcula la velocidad tangencial de la Luna. 7.44  De acuerdo con los datos del problema anterior, calcula el periodo de la Luna. 7.45  La masa de Venus es 0,815 MT y el radio medio es 0,948 RT. Calcule la aceleración gravitacional de Venus con respecto a la de la Tierra. 7.46  En un centro de investigación de astronomía se hizo el siguiente modelo de dos planetas de masas iguales y de una estrella que tiene una masa mayor. Uno de los planetas es llamado Alpha, el segundo planeta es llamado Beta y la estrella se lleva el nombre de Roja. Alpha describe una órbita circular de radio 108 km con un periodo de rotación de 2 años, mientras que Beta describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es de 108 km y la más lejana es de 1,8 3 108 km (véase la figura 7.30) Con los datos anteriores los investigadores deben determinar el periodo de rotación del planeta Beta.

Alpha A

Roja

a) La rapidez orbital del satélite.

c) La fuerza gravitacional sobre el satélite. 7.48  Calcula la masa del Sol a partir del hecho de que el periodo de traslación de la Tierra en torno al Sol es un año y la distancia de la Tierra al Sol es 1,496 3 1011 m. 7.49  Dos objetos se atraen entre sí con una fuerza gravitacional de magnitud 1 3 1028 N cuando están separados 20 cm. Si la masa de uno de los objetos es de 6 kg, ¿cuál es la masa del otro? 7.50  Compara la masa y el peso de un astronauta de 75 kg en la Tierra, con su peso cuando está en una nave espacial en una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altura de 10 5 km. ALERTA La masa de la Tierra es de 5,98 3 1024 kg y el radio de la Tierra es de 6,37 3 106 m.

7.51  La velocidad de escape es la menor velocidad con que un cuerpo se debe lanzar desde la superficie de un planeta para escapar de su campo gravitacional. Demuestra usando conservación de la energía que la velocidad de escape es vescape 5

!

 2G

M , donde M es la masa y R el radio del planeR

ta respectivamente.

ALERTA La energía potencial gravitacional en la superficie del planeta GMm para una masa m es 2 ––––  . R

B

Beta

Figura 7.30

138

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria©

Problemas reto En un edificio donde todas las puertas son de vidrio templado de 12 mm se deben colocar las perillas y dos bisagras. La medida promedio de las puertas grandes es de 1,5 m de ancho y de 2,5 m de alto y de las puertas medianas es de 2,0 m de alto y de 0,95 m de ancho, la densidad del vidrio templado es de 2 500 kg/m3. Determina:

1

a)  Donde se deben colocar las bisagras y las perillas de las puertas para que se puedan abrir las puertas con facilidad. b) Si el vidrio templado es de 19 mm tiene alguna variación la colocación de las bisagras y de las perillas.

Referencias Bibliográficas Halliday, D., Resnick, R. y Walker J. Fundamentos de física, Vol. 1, 8ª edición. Grupo Editorial Patria, México, 2009. Serway, R. y John W. Jewet. Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1, 7ª edición. Cengage. México. 2009.

Referencias de Internet ■

http://www.iestiemposmodernos.com/700appletsFQ/index.htm

139

APÉNDICE

1

❚ Apéndice de constantes físicas

Constante

Símbolo

Valor

Unidades

Velocidad de la luz en el vacío

c

299 792 458

m/s

Constante de la gravitación

G

6,673 10211

m3 / (kg s2)

Constante de Plank

h

6,62606876 10234

Js

Carga elemental

e

1,602176462 10219

C

(mu)B

9,27400899 10224

J/T

Radio de Bohr

a0

5,291772083 10211

m

Masa del electrón

me

9,10938188 10231

kg

Radio clásico del electrón

re

2,817940285 10212

m

Masa del protón

mp

1,67262158 10227

kg

(mu)p

1,410606633 10226

J/T

1,674927 10227

kg

Magnetón de Bohr

Momento magnético del protón Masa del neutrón

mn

Masa de la partícula alfa

m(alfa)

6,64465598 10227

kg

Constante de Avogadro

NA

6,02214199 1023

mol21

Constante de los gases

R

8,314472

Constante de Boltzmann

k

1,3806503 10223

J/K

(sigma)

5,6704004 1028

W / (m2 K4)

Constante de Stefan-Boltzmann

J m / mol

APÉNDICE

❚ Apéndice matemático Geometría A 5 pr 2

Área del círculo

A 5 a2

Área del cuadrado

A 5 ah 5 absena a2 — A 5  ! 3 4

Área del paralelogramo Área del triángulo equilátero

Álgebra x5 

2b 6 ! b2 2 4ac 2a

Funciones trigonométrica sen u 5

tan u 5

sec u 5

y a y x a x



cos u 5



cot u 5



csc u 5

y a x y a y

y

a

u x

2

UNIDAD

142

2

Clasificación periódica

Índice analítico A

D

Aceleración, 8, 10-11, 15-16, 31, 37, 40-42, 45, 53-56, 60, 63-67, 70, 72-73, 75, 77-78, 80-82, 88, 91, 99, 101, 110, 120, 131, 137 angular, 51-52, 56, 120, 131, 136-137 centrípeta, 48-50, 56, 75 de la gravedad (gravitacional), 22, 43, 45, 134, 138 instantánea, 39-40 lineal, 51, 56, 137 media, 39-40, 105 normal, 48-49 tangencial, 48, 51, 56, 75 Ampere, 8 Análisis dimensional, 1, 10-11, 13

Deformación, 60 Densidad, 8 Desaceleración, 106, 137 Desplazamiento, 16, 19, 28-29, 34, 37-38, 53, 55-56, 86-89, 101, 111 angular, 50 vector de, 34 Dinámica, 59-84 Dirección, 4, 8, 16-17, 20, 23, 25, 28-29 negativa, 21 positiva, 21 Distancia recorrida, 33

C Caída libre, 31, 43, 45, 54 aceleración en, 43 Candela, 8 Cantidad de movimiento lineal, 103-118 escalar, 16 vectorial, 16 Centro de masa, 110-111, 115-116, 120, 124-125, 127, 130, 131, 137 Choque (véase Colisión) elástico, 107-108, 112 Cifra significativa, 1, 5-6, 12 Cinemática, 31-57, 60 Colisión(es), 103-118 elástica, 103, 107, 109, 113 inelástica, 103, 107 Componentes de vectores, 16 Cuerpo(s) libres, diagramas de, 67-68, 70, 72, 78, 80-82, 87, 88, 95, 121 rígido, 119-139 sólido, 120, 124, 130

E Energía, 8, 85-103, 106, 109, 112-115, 127, 137-138 calorífica, 93 cinética, 11, 90-92, 96-100, 102, 107-109, 112, 115, 124, 128, 131, 132, 136-137 conservación de, 85, 92 mecánica, 92-93, 96, 98-99 potencial, 92, 94, 95-98, 100, 102, 138 Equilibrio, 15-16, 59, 63, 69, 81-82, 90, 119-121, 124, 136 condiciones, 120 dinámico, 63 estático, 31, 63, 120 rotación, 119, 123, 136 traslación, 119-120 Error de paralaje, 5 Estática, 120 Estimación, 1-14

Frecuencia, 49-50 Fricción, 22, 75-76, 80-82, 87-88, 91, 93, 96-102, 109, 111-113, 127-128, 137 coeficiente de, 74-75, 77, 81-83, 86, 96, 99, 109 dinámica, 74, 81 estática, 74, 81 Fuerza, 8, 15 campo de, 60 central, 133 centrípeta, 75-76 concurrente, 59 conservativa, 92, 133 de contacto, 60 de equilibrio, 28, 59, 61-62 de reacción, 119 definición, 8, 15, 60 neta, 16, 61 no conservativa, 93 normal, 71-73, 75-76, 81-82, 88, 98 resultante, 18, 22, 24, 28, 60, 62-64, 77-78, 80, 98 sistema de, 60-62 tangencial, 75, 138 unidad de, 8, 60 G Gravitación ley de Newton de, 65 I Ímpetu (véase Momento lineal) Impulso, 105 Incertidumbre, 4, 7, 14 estimada, 4, 7, 12 porcentual, 4, 12

F Factor de conversión, 8 Física, 1-14

J Joule, 8

Índice analítico K

O

Kelvin, 8 Kilogramo patrón, 7

Origen, 16 P

L Ley(es) de gravitación de Newton, 13, 65 de Kepler, 119, 133 de Newton, 59, 63 Longitud definición de, 2 unidades, 2 M Magnitud, 16-56 básica, 8 de aceleración, 72 de velocidad, 37 derivada, 8 Masa, 2, 7, 10-11, 13, 16, 22, 28, 56, 59-60, 63-66, 70, 73, 78, 80-82, 86, 89, 91, 93, 95-102, 104-117, 120, 124-128, 131-132, 134-138 convencional, 2 definición de, unidades, 2 Mecánica, 32, 60 Módulo (véase Magnitud) Mol, 8 Momento, 16, 106, 121-123, 133, 135, 137-138 angular, 15, 28, 119, 129-133, 137 conservación de, 120, 132-133 de inercia, 124-126, 131-132, 136-138 de rotación, 119, 121-123, 129, 131, 135-137 de un cuerpo rígido, 129 de una fuerza, 121 lineal, 104, 107, 110-111, 115 teorema de conservación del, 132 Movimiento, 32, 33, 38, 42 acelerado, 39 circular uniforme, 31, 49, 50 conservación de, 106-108 de proyectiles (véase tiro parabólico) gráficas de, 43 lineal, 104 rectilíneo uniforme, 31, 37-38 uniformemente acelerado, 31, 40, 43-45, 48, 51-52 N Notación científica, 5 144

Partícula, 32, 42 Periodo, 49 Peso, 12, 22, 59, 65-69, 71-76, 78, 80-81, 87-88, 95-96, 98-99, 112, 120, 123, 124, 134-135, 138 Polea(s), 69 Posición, 32, 42 angular, 49 Potencia, 91 unidades de, 91 Presión, 29 atmosférica, 13, Primera ley de Newton, 63 Producto cruz, 25 escalar, 25 punto, 25 vectorial, 25 Proyectil(es), 46 R Rapidez, 10, 16, 34, 37, 48, 75, 82, 88, 90-91, 100, 111, 113, 115-117, 128, 137-138 instantánea, 36 media, 35 Rotación, 131 S Segunda ley de Newton, 8, 13, 63-67, 75, 90, 104-105, 120 Sentido, 16 Sistema conservativo, 92 de referencia, 32 disipativo, 93 Suma vectorial, 129 T Temperatura, 7, 8, 13, 16 Tensión, 70 Teorema, de conservación del momento angular, 132 de Pitágoras, 18-20, 22-23



de Steiner, 125-126 de Varienon, 123 del trabajo y la energía cinética, 90-92, 128, 137 Tercer ley de Newton, 63, 71, 81, 109, 110 Tiempo definición de, 3 unidades de, 3 Tiro parabólico, 45 vertical, 31, 43-45, 54-55 Torca (véase momento de rotación), 28, 123, 137 Torsión momento de (véase momento de rotación) Trabajo, 8, 29, 85-102, 127-128, 137 rotacional, 128 Traslación, 131 Trayectoria, 33 U Unidad(es) conversión, 8 del SI, 7, 8 derivadas, 8 longitud, 2, 7 masa, 7 tiempo, 3, 7 V Vectores, 15-30 colineal, 16 concurrente, 16 coplanarios, 16 definición, 16 deslizante, 16 fijo, 16 libre, 16 magnitud (véase cantidad vectorial) multiplicación de, 25 normal, 48 opuesto, 16 posición de, 28, 33 producto cruz, 25 producto escalar, 15, 25, producto punto, 25 producto vectorial, 15, 25 resta de, 15, 17 resultante, 17, 19, 21 suma de, 15, 17, 20-21 tangente, 48 unitario, 15-16, 18, 20-21, 25-28, 80 velocidad, 18, 23, 28, 34, 48, 60, 63

Grupo Editorial Patria© Velocidad, 4, 10-11, 13-16, 23, 28, 30-31, 34, 37-39, 41-48, 53-56, 58, 60, 63-64, 74, 76-78, 80-94, 96-102, 104-115, 130-131, 134, 137-138 angular, 13, 49, 51-52, 56, 124, 127, 129, 131-132, 137 instantánea, 36, 66-67 lineal, 49-51, 56, 130 media, 34-38, 40 relativa, 107 tangencial, 75, 124, 138 Volumen, 8, 10, 12-13, 16, 29

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UNIDAD

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2

Clasificación periódica

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UNIDAD

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