Física para la ciencia y la tecnología.1B: Oscilaciones y ondas 8429144226, 9788429144222

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Abreviaturas de unidades A

ampère

H

henry

nm

nanómetro (10
9 m)

Å

ángstrom (10
10 m)

h

hora

pt

pinta

atm

atmósfera

Hz

hertz

qt

quart

Btu

unidad térmica inglesa

in

pulgada

rev

revolución

Bq

becquerel

J

joule

R

roentgen

C

coulomb

K

kelvin

Sv

sievert

°C

grados centígrados

kg

kilogramo

s

segundo

cal

caloría

km

kilómetro

T

tesla

Ci

curie

keV

kilo-electronvolt

u

unidad de masa unificada

cm

centímetro

lb

libra

V

volt

dyn

dina

L

litro

W

watt

eV

electronvolt

m

metro

Wb

weber

°F

grados Fahrenheit

MeV

mega-electronvolt

y

año

fm

femtometro, fermi (10
15 m)

Mm

megametro (106 m)

yd

yarda

ft

pie

mi

milla

micrometro (10
6 m)

Gm

gigametro (109 m)

min

minuto

G

gauss

mm

milímetro

mm ms mC

Gy

gray

ms

milisegundo



ohm

g

gramo

N

newton

microsegundo microcoulomb

Factores de conversión Longitud

Fuerza–presión

1 m  39,37 in  3,281 ft  1,094 yd

1 N  105 dina  0,2248 lb

1 m  10 fm  10 Å  10 nm

1 lb  4,448 N

1 km  0,6214 mi

1 atm  101,3 kPa  1,013 bar  76,00 cmHg  14,70 lb/in2

1 mi  5280 ft  1,609 km

Masa

15

10

9

1 año-luz 1 c # a  9,461  1015 m 1 in  2,540 cm

1 u  [(10
3 mol
1)/NA] kg  1,661  10
27 kg 1 tonelada  103 kg  1 Mg 1 slug  14,59 kg

Volumen 1 L  103 cm3  10
3 m3  1,057 qt

1 kg
2,205 lb Energía–Potencia

Tiempo

1 J  107 erg  0,7376 ft # lb  9,869  10
3 atm · L

1 h  3600 s  3,6 ks

1 kW # h  3,6 MJ

1 a  365,24 d  3,156  10 s 7

Velocidad 1 km/h  0,278 m/s  0,6214 mi/h 1 ft/s  0,3048 m/s  0,6818 mi/h

1 cal  4,184 J  4,129  10
2 atm · L 1 atm · L  101,325 J  24,22 cal 1 eV  1,602  10
19 J 1 Btu  778 ft # lb  252 cal  1054 J 1 caballo de vapor  550 ft # lb/s  746 W

Ángulo y velocidad angular

Conductividad térmica

1 rev  2p rad  360°

1 W/(m # K)  6,938 Btu # in/(h # ft2 # °F)

1 rad  57,30°

Campo magnético

1 rev/min  0,1047 rad/s

1 T  104 G Viscosidad 1 Pa # s  10 poise

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SEXTA EDICIÓN

FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA VOLUMEN 1B Oscilaciones y ondas

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SEXTA EDICIÓN

FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA VOLUMEN 1B Oscilaciones y ondas

Paul A. Tipler Gene Mosca

Barcelona • Bogotá • Buenos Aires • México

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Título de la obra original: Physics for Scientists and Engineers, Sixth Edition.

Edición original en lengua inglesa publicada por W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York and Basingstoke 41 Madison Avenue, New York (NY) --- U.S.A.

Copyright © 2008 by W. H. Freeman and Company. All Rights Reserved Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2010 Edición en papel ISBN: 978-84-291-4422-2 ISBN: 978-84-291-4428-4

Volumen 1B Obra completa

Edición e-book (PDF) ISBN: 978-84-291-9599-6

Versión española: COORDINADOR Y TRADUCTOR Dr. José Casas-Vázquez Catedrático de Física de la Materia Condensada

TRADUCTORES Dr. Albert Bramon Planas Catedrático de Física Teórica Dr. Josep Enric Llebot Rabagliati Catedrático de Física de la Materia Condensada Dr. Fernando M. López Aguilar Catedrático de Física Aplicada Dr. Vicenç Méndez López Profesor Agregado de Física de la Materia Condensada

Departamento de Física

Universidad Autónoma de Barcelona España MAQUETACIÓN: REVERTÉ-AGUILAR CORRECCIÓN DE ESTILO: CARLOS CISTUÉ SOLÁ

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B Tel: (34) 93 419 33 36 08029 Barcelona. ESPAÑA [email protected]

www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

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PT: Para Claudia GM: Para Vivian

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Índice abreviado de la obra completa

VOLUMEN 1 Volumen 1A PARTE I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

MECÁNICA Medida y vectores / 1 El movimiento en una dimensión / 27 Movimiento en dos y tres dimensiones / 63 Leyes de Newton / 93 Aplicaciones adicionales de las leyes de Newton / 127 Trabajo y energía cinética / 173 Conservación de la energía / 201 Conservación del momento lineal / 247 Rotación / 289 Momento angular / 331 Gravedad / 363 Equilibrio estático y elasticidad / 397 Fluidos / 423

Thinkstock/Alamy

Volumen 1B PARTE II OSCILACIONES Y ONDAS 14 15 16

Oscilaciones / 457 Movimiento ondulatorio / 495 Superposición y ondas estacionarias / 533

Volumen 1C PARTE III TERMODINÁMICA 17 18 19 20 R

Temperatura y teoría cinética de los gases / 563 Calor y primer principio de la termodinámica / 591 Segundo principio de la termodinámica / 629 Propiedades y procesos térmicos / 665 Relatividad especial / R.1 vii

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Índice abreviado de la obra completa

VOLUMEN 2 Volumen 2A PARTE IV ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Campo eléctrico I: distribuciones discretas de carga / 693 Campo eléctrico II: distribuciones continuas de carga / 727 Potencial eléctrico / 763 Capacidad / 801 Corriente eléctrica y circuitos de corriente continua / 839 El campo magnético / 887 Fuentes del campo magnético / 917 Inducción magnética / 959 Circuitos de corriente alterna / 995 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas / 1029

Volumen 2B PARTE V LUZ 31 32 33

Propiedades de la luz / 1055 Imágenes ópticas / 1097 Interferencia y difracción / 1141

FÍSICA MODERNA PARTE VI MECÁNICA CUÁNTICA, RELATIVIDAD Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA 34 35 36 37 38 39 40 41

Dualidad onda-partícula y física cuántica / 1173 Aplicaciones de la ecuación de Schrödinger / 1203 Átomos / 1227 Moléculas / 1261 Sólidos / 1281 Relatividad / 1319 Física nuclear / 1357 Las partículas elementales y el origen del universo / 1389

APÉNDICES Y RESPUESTAS Apéndice A Unidades SI y factores de conversión / AP.1 Apéndice B Datos numéricos / AP.3 Apéndice C Tabla periódica de los elementos / AP.6 Apéndice de matemáticas / M.1 Respuestas de los problemas impares del final de los capítulos / A.1

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Índice analítico

Volumen 1B Prefacio Acerca de los autores

xi

15.3

xxii

15.4

Ondas y barreras

513

15.5

Efecto Doppler

518

* Materias opcionales

Ondas en tres dimensiones

509

Temas de actualidad en Física: Ciudades con pies de barro / 524

PARTE II OSCILACIONES Y ONDAS

Resumen

525

Problemas

527

Capítulo 14

OSCILACIONES / 457

Capítulo 16

SUPERPOSICIÓN Y ONDAS ESTACIONARIAS / 533

14.1

Movimiento armónico simple

458

14.2

Energía del movimiento armónico simple

465

14.3

Algunos sistemas oscilantes

468

16.1

Superposición de ondas

534

14.4

Oscilaciones amortiguadas

477

16.2

Ondas estacionarias

542

14.5

Oscilaciones forzadas y resonancia

481

*16.3

Temas adicionales

550

Temas de actualidad en Física:

Temas de actualidad en Física:

Moviéndose al compás: el Puente del Milenio / 486

Ecos del silencio: arquitectura acústica / 554

Resumen Problemas

487 488

Capítulo 15

Resumen

555

Problemas

556

ÍNDICE ALFABÉTICO / I.1

MOVIMIENTO ONDULATORIO / 495 15.1

Movimiento ondulatorio simple

496

15.2

Ondas periódicas

503

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Prefacio

La sexta edición de Física para la ciencia y la tecnología presenta un texto y herramientas online completamente integrados que ayudarán a los estudiantes a aprender de un modo más eficaz y que permitirá a los profesores adaptar sus clases para enseñar de un modo más eficiente. El texto incluye un nuevo enfoque estratégico de resolución de problemas, un apéndice de matemáticas integrado y nuevas herramientas para mejorar la comprensión conceptual. Los nuevos temas de actualidad en física destacan temas innovadores que ayudan a los estudiantes a relacionar lo que aprenden con las tecnologías del mundo real.

CARACTERÍSTICAS CLAVE ! EVO NU

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la sexta edición destaca una nueva estrategia de resolución de problemas en la que los Ejemplos siguen un formato sistemático de Planteamiento, Solución y Comprobación. Este formato conduce a los estudiantes a través de los pasos implicados en el análisis del problema, la resolución del problema y la comprobación de sus respuestas. Los Ejemplos a menudo incluyen útiles secciones de Observación que presentan formas alternativas de resolución de problemas, hechos interesantes, o información adicional relativa a los conceptos presentados. Siempre que se considera necesario, los Ejemplos van seguidos de Problemas Prácticos para que los estudiantes puedan evaluar su dominio de los conceptos. xi

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En esta edición, las etapas de resolución de problemas siguen contando con las ecuaciones necesarias al lado, de manera que a los estudiantes les resulte más fácil seguir el razonamiento.

Después de cada enunciado del problema, los estudiantes van al Planteamiento del problema. Aquí, el problema se analiza tanto conceptualmente como visualmente. En la sección Solución, cada paso de la solución se presenta con un enunciado escrito en la columna de la izquierda y las ecuaciones matemáticas correspondientes en la columna de la derecha.

La Comprobación recuerda a los estudiantes que han de verificar que sus resultados son precisos y razonables. La Observación sugiere una forma distinta de enfocar un ejemplo o da información adicional relevante para el ejemplo. A la solución le sigue normalmente un Problema Práctico, lo que permite a los estudiantes comprobar su comprensión. Al final del capítulo se incluyen las respuestas para facilitar una comprobación inmediata.

En casi todos los capítulos se incluye un recuadro llamado Estrategia de resolución de problemas para reforzar el formato Planteamiento, Solución y Comprobación para solucionar satisfactoriamente los problemas.

! EVO NU

APÉNDICE DE MATEMÁTICAS INTEGRADO

Esta edición ha mejorado el apoyo matemático a los estudiantes que estudian Matemáticas al mismo tiempo que introducción a la Física o a los estudiantes que requieren repasar las Matemáticas. El Apéndice de Matemáticas completo • revisa resultados básicos de álgebra, geometría, trigonometría y cálculo, • relaciona conceptos matemáticos con conceptos físicos del libro, • proporciona Ejemplos y Problemas Prácticos para que los estudiantes puedan comprobar su comprensión de los conceptos matemáticos.

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Además, las notas al margen permiten a los estudiantes ver fácilmente la relación entre los conceptos físicos del texto y los conceptos matemáticos.

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PEDAGOGÍA PARA ASEGURAR LA COMPRENSIÓN CONCEPTUAL

Se han añadido herramientas prácticas para los estudiantes para facilitar un mejor comprensión conceptual de la física. • Se han introducido nuevos Ejemplos conceptuales, para ayudar a los estudiantes a comprender en profundidad conceptos físicos esenciales. Estos ejemplos utilizan la estrategia Planteamiento, Solución y Comprobación, de modo que los estudiantes no sólo obtienen una comprensión conceptual básica sino que tienen que evaluar sus respuestas.

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Prefacio

•

Las nuevas Comprobaciones de conceptos facilitan a los estudiantes comprobar su comprensión conceptual de conceptos físicos mientras leen los capítulos. Las respuestas están situadas al final de cada capítulo para permitir una comprobación inmediata. Las comprobaciones de conceptos se colocan cerca de temas relevantes, de modo que los estudiantes puedan releer inmediatamente cualquier material que no comprendan del todo.

•

Los nuevos avisos de errores frecuentes, identificados mediante signos de exclamación, ayudan a los estudiantes a evitar errores habituales. Estos avisos están situados cerca de los temas que habitualmente causan confusión, de manera que los estudiantes puedan resolver de inmediato cualquier dificultad.

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TEMAS DE ACTUALIDAD EN FÍSICA

Los temas de actualidad en Física, que aparecen al final de ciertos capítulos, tratan de aplicaciones actuales de la Física y relacionan estas aplicaciones con conceptos descritos en los capítulos. Estos temas van desde un parque eólico hasta termómetros moleculares y motores de detonación pulsar.

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MATERIAL COMPLEMENTARIO Y RECURSOS ADICIONALES Esta nueva edición dispone de gran cantidad de recursos y materiales complementarios para alumnos y profesores. Todos estos materiales se encuentran disponibles en su versión original en inglés. Si es usted profesor y piensa utilizar este libro como texto para su asignatura, puede acceder al material complementario registrándose en la siguiente página web, www.reverte.com/microsites/tipler6ed, o contactando con [email protected] También está disponible en soporte físico el siguiente material: Para el alumno

Para el profesor

Student Solutions Manual proporciona la resolución completa de los problemas impares de final de capítulo.

Instructor’s Resource CD-ROM contiene ilustraciones en formato jpg, presentaciones PowerPoint, un completo test bank con más de 4000 problemas tipo test y las herramientas para diseñar presentaciones y páginas web.

Volume 1 (Chapters 1-20, R) 9781429203029 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429203036 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429203012

Volume 1 (Chapters 1-20, R) 9780716784708 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429202688 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429202671

Study Guide destaca las magnitudes físicas y ecuaciones clave y los errores que deben evitarse. Incluye problemas prácticos y cuestiones para mejorar la comprensión de los conceptos físicos, además de test para su comprobación.

Answer Booklet with Solution CD Resource son libros que contienen las respuestas de todos los problemas de final de capítulo e incluyen un CD-ROM con sus resoluciones completas. Estas soluciones también están disponibles en el Instructor’s CD-ROM.

Volume 1 (Chapters 1-20, R) 978071784678 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429204101 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429204118

Volume 1 (Chapters 1-20, R) 9780716784791 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429204576 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429205146

Puede adquirir este material en Los Andes Libros S.L. a través de su página web, www.andeslibros.com, o contactando con [email protected].

FLEXIBILIDAD PARA LOS CURSOS DE FÍSICA Nos damos cuenta de que no todos los cursos de física son iguales. Para facilitar la utilización del libro, Física para la ciencia y la tecnología se halla disponible en las siguientes versiones: Volumen 1

Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica (Capítulos 1–20, R) 978-84-291-4429-1

Volumen 2

Electricidad y magnetismo/Luz (Capítulos 21–33) 978-84-291-4430-7

Volumen 1A

Mecánica (Capítulos 1–13) 978-84-291-4421-5

Volumen 1B

Oscilaciones y ondas (Capítulos 14–16) 978-84-291-4422-2

Volumen 1C

Termodinámica (Capítulos 17–20) 978-84-291-4423-9

Volumen 2A

Electricidad y magnetismo (Capítulos 21–30) 978-84-291-4424-6

Volumen 2B

Luz (Capítulos 31–33) 978-84-291-4425-3

Física moderna

Mecánica cuántica, relatividad y estructura de la materia (Capítulos R, 34–41) 978-84-291-4426-0

Apéndices y respuestas 978-84-291-4427-7

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Agradecimientos

Queremos expresar nuestro agradecimiento a los diversos profesores, estudiantes, colaboradores y amigos que han contribuido a esta edición y a las anteriores. Anthony J. Buffa, profesor emérito en California Polytechnic State University en California, escribió muchos de los nuevos problemas que aparecen al final de los capítulos y editó las secciones de problemas del final de cada capítulo. Laura Runkle escribió los Temas de actualidad en Física. Richard Mickey revisó la Revisión de matemáticas de la quinta edición, que ahora constituye el Apéndice de matemáticas de la sexta edición. David Mills, profesor emérito en el College of the Redwoods en California, revisó a fondo el Manual de Soluciones. Para redactar este libro y para comprobar la precisión y exactitud del texto y los problemas hemos contado con la ayuda inestimable de los siguientes profesores: Thomas Foster

Jerome Licini

Paul Quinn

Southern Illinois University

Lehigh University

Kutztown University

Dan Lucas

Peter Sheldon

University of Wisconsin

Randolph-Macon Woman’s College

Texas A&M University—Corpus Christi

Laura McCullough

Michael G. Strauss

Michael Crivello

University of Wisconsin, Stout

University of Oklahoma

San Diego Mesa College

Jeannette Myers

Brad Trees

Carlos Delgado

Francis Marion University

Ohio Wesleyan University

Marian Peters

George Zober

Appalachian State University

Yough Senior High School

Robin Jordan

Todd K. Pedlar

Patricia Zober

Florida Atlantic University

Luther College

Ringgold High School

Karamjeet Arya San Jose State University

Mirley Bala

Community College of Southern Nevada

David Faust Mt. Hood Community College

Muchos profesores y estudiantes han realizado revisiones exhaustivas y útiles de uno o más capítulos de esta edición. Cada uno de ellos ha contribuido de un modo fundamental a mejorar la calidad de esta revisión, y merecen por ello nuestro agradecimiento. Nos gustaría dar las gracias a los siguientes revisores: Ahmad H. Abdelhadi

J. Robert Anderson

Yildirim Aktas

James Madison University

University of Maryland, College Park

University of North Carolina, Charlotte

Edward Adelson

Toby S. Anderson

Eric Ayars

Ohio State University

Tennessee State University

California State University

Royal Albridge

Wickram Ariyasinghe

James Battat

Vanderbilt University

Baylor University

Harvard University

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Agradecimientos

Eugene W. Beier

Eric Hudson

Halina Opyrchal

University of Pennsylvania

New Jersey Institute of Technology

Peter Beyersdorf

Massachusetts Institute of Technology

San Jose State University

David C. Ingram

Minnesota State University—Mankato

Richard Bone

Ohio University

Todd K. Pedlar

Florida International University

Colin Inglefield

Luther College

Juliet W. Brosing

Weber State University

Pacific University

Daniel Phillips

Nathan Israeloff

Ohio University

Ronald Brown

Northeastern University

Edward Pollack

Donald J. Jacobs

University of Connecticut

California State University, Northridge

Michael Politano

Erik L. Jensen

Marquette University

Chemeketa Community College

Robert L. Pompi

Colin P Jessop

SUNY Binghamton

University of Notre Dame

Damon A. Resnick

Ed Kearns

Montana State University

Boston University

Richard Robinett

Alice K. Kolakowska

Pennsylvania State University

Mississippi State University

John Rollino

Douglas Kurtze

Rutgers University

Clemson University

Saint Joseph’s University

Daniel V. Schroeder

Mark A. Edwards

Eric T. Lane

Weber State University

Hofstra University

University of Tennessee at Chattanooga

Douglas Sherman

James Evans

Christie L. Larochelle

San Jose State University

Broken Arrow Senior High

Franklin & Marshall College

Christopher Sirola

Nicola Fameli

Mary Lu Larsen

Marquette University

University of British Columbia

Towson University

Larry K. Smith

N. G. Fazleev

Clifford L. Laurence

Snow College

University of Texas at Arlington

Colorado Technical University

George Smoot

Thomas Furtak

Bruce W. Liby

Colorado School of Mines

Manhattan College

University of California at Berkeley

Richard Gelderman

Ramon E. Lopez

Zbigniew M. Stadnik

Florida Institute of Technology

University of Ottawa

Ntungwa Maasha

Kenny Stephens

Coastal Georgia Community Collegee and University Center

Hardin-Simmons University

Jane H MacGibbon

Michigan State University

University of North Florida

Jorge Talamantes

A. James Mallmann Milwaukee School of Engineering

California State University, Bakersfield

Rahul Mehta

Charles G. Torre

University of Central Arkansas

Utah State University

R. A. McCorkle

Brad Trees

University of Rhode Island

Ohio Wesleyan University

Linda McDonald

John K. Vassiliou

North Park University

Villanova University

Kenneth McLaughlin

Theodore D. Violett

Olympic College

Loras College

Western State College

Mark Hollabaugh

Eric R. Murray

Hai-Sheng Wu

Normandale Community College

Georgia Institute of Technology

Minnesota State University—Mankato

Daniel Holland

Jeffrey S. Olafsen

Anthony C. Zable

Illinois State University

University of Kansas

Portland Community College

Richard D. Holland II

Richard P. Olenick

Ulrich Zurcher

Southern Illinois University

University of Dallas

Cleveland State University

California Polytechnic State University

Richard L. Cardenas St. Mary’s University

Troy Carter University of California, Los Angeles

Alice D. Churukian Concordia College

N. John DiNardo Drexel University

Jianjun Dong Auburn University

Fivos R Drymiotis

Western Kentucky University

Yuri Gershtein Florida State University

Paolo Gondolo University of Utah

Benjamin Grinstein University of California, San Diego

Parameswar Hari University of Tulsa

Joseph Harrison University of Alabama—Birmingham

Patrick C. Hecking Thiel College

Kristi R. G. Hendrickson University of Puget Sound

Linnea Hess

Russell L. Palma

Daniel Stump

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Agradecimientos

También estamos en deuda con los revisores de ediciones anteriores. Por lo que nos gustaría dar las gracias a los siguientes revisores, quienes nos proporcionaron un apoyo imprescindible mientras realizábamos la cuarta y la quinta ediciones: Edward Adelson

Paul Debevec

Phuoc Ha

The Ohio State University

University of Illinois

Creighton University

Michael Arnett

Ricardo S. Decca

Richard Haracz

Kirkwood Community College

Indiana University-Purdue University

Drexel University

Todd Averett

Robert W. Detenbeck

Clint Harper

The College of William and Mary

University of Vermont

Moorpark College

Yildirim M. Aktas

N. John DiNardo

Michael Harris

University of North Carolina at Charlotte

Drexel University

University of Washington

Karamjeet Arya

Bruce Doak

Randy Harris

San Jose State University

Arizona State University

University of California at Davis

Alison Baski

Michael Dubson

Tina Harriott

Virginia Commonwealth University

University of Colorado at Boulder

Mount Saint Vincent, Canada

William Bassichis

John Elliott

Dieter Hartmann

Texas A&M University

University of Manchester, England

Clemson University

Joel C. Berlinghieri

William Ellis

Theresa Peggy Hartsell

The Citadel

University of Technology — Sydney

Clark College

Gary Stephen Blanpied

Colonel Rolf Enger

Kristi R.G. Hendrickson

University of South Carolina

U.S. Air Force Academy

University of Puget Sound

Frank Blatt

John W. Farley

Michael Hildreth

Michigan State University

University of Nevada at Las Vegas

University of Notre Dame

Ronald Brown

David Faust

Robert Hollebeek

California Polytechnic State University

Mount Hood Community College

University of Pennsylvania

Anthony J. Buffa

Mirela S. Fetea

David Ingram

California Polytechnic State University

University of Richmond

Ohio University

John E. Byrne

David Flammer

Shawn Jackson

Gonzaga University

Colorado School of Mines

The University of Tulsa

Wayne Carr

Philip Fraundorf

Madya Jalil

Stevens Institute of Technology

University of Missouri, Saint Louis

University of Malaya

George Cassidy

Tom Furtak

Monwhea Jeng

University of Utah

Colorado School of Mines

University of California — Santa Barbara

Lay Nam Chang

James Garland

James W. Johnson

Virginia Polytechnic Institute

Retired

Tallahassee Community College

I. V. Chivets

James Garner

Edwin R. Jones

Trinity College, University of Dublin

University of North Florida

University of South Carolina

Harry T. Chu

Ian Gatland

Ilon Joseph

University of Akron

Georgia Institute of Technology

Columbia University

Alan Cresswell

Ron Gautreau

David Kaplan

Shippensburg University

New Jersey Institute of Technology

University of California — Santa Barbara

Robert Coakley

David Gavenda

William C. Kerr

University of Southern Maine

University of Texas at Austin

Wake Forest University

Robert Coleman

Patrick C. Gibbons

John Kidder

Emory University

Washington University

Dartmouth College

Brent A. Corbin

David Gordon Wilson

Roger King

UCLA

Massachusetts Institute of Technology

City College of San Francisco

Andrew Cornelius

Christopher Gould

James J. Kolata

University of Nevada at Las Vegas

University of Southern California

University of Notre Dame

Mark W. Coffey

Newton Greenberg

Boris Korsunsky

Colorado School of Mines

SUNY Binghamton

Northfield Mt. Hermon School

Peter P. Crooker

John B. Gruber

Thomas O. Krause

University of Hawaii

San Jose State University

Towson University

Jeff Culbert

Huidong Guo

Eric Lane

London, Ontario

Columbia University

University of Tennessee, Chattanooga

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Agradecimientos

Andrew Lang (graduate student)

Jack Ord

Marllin L. Simon

University of Missouri

University of Waterloo

Auburn University

David Lange

Jeffry S. Olafsen

Scott Sinawi

University of California — Santa Barbara

University of Kansas

Columbia University

Donald C. Larson

Melvyn Jay Oremland

Dave Smith

Drexel University

Pace University

University of the Virgin Islands

Paul L. Lee

Richard Packard

Wesley H. Smith

California State University, Northridge

University of California

University of Wisconsin

Peter M. Levy

Antonio Pagnamenta

Kevork Spartalian

New York University

University of Illinois at Chicago

University of Vermont

Jerome Licini

George W. Parker

Zbigniew M. Stadnik

Lehigh University

North Carolina State University

University of Ottawa

Isaac Leichter

John Parsons

G. R. Stewart

Jerusalem College of Technology

Columbia University

University of Florida

William Lichten

Dinko Pocanic

Michael G. Strauss

Yale University

University of Virginia

University of Oklahoma

Robert Lieberman

Edward Pollack

Kaare Stegavik

Cornell University

University of Connecticut

University of Trondheim, Norway

Fred Lipschultz

Robert Pompi

Jay D. Strieb

University of Connecticut

Villanova University

Graeme Luke

The State University of New York at Binghamton

Columbia University

Bernard G. Pope

Oberlin College

Dan MacIsaac

Michigan State University

Chun Fu Su

Northern Arizona University

John M. Pratte

Mississippi State University

Edward McCliment

Jeffrey Sundquist

University of Iowa

Clayton College and State University

Robert R. Marchini

Brooke Pridmore

Cyrus Taylor

The University of Memphis

Clayton State College

Case Western Reserve University

Peter E. C. Markowitz

Yong-Zhong Qian

Martin Tiersten

Florida International University

University of Minnesota

City College of New York

Daniel Marlow

David Roberts

Chin-Che Tin

Princeton University

Brandeis University

Auburn University

Fernando Medina

Lyle D. Roelofs

Oscar Vilches

Florida Atlantic University

Haverford College

University of Washington

Howard McAllister

R. J. Rollefson

D. J. Wagner

University of Hawaii

Wesleyan University

John A. McClelland

Larry Rowan

Grove City College Columbia University

University of Richmond

University of North Carolina at Chapel Hill

George Watson

Laura McCullough

Ajit S. Rupaal

University of Delaware

University of Wisconsin at Stout

Western Washington University

Fred Watts

M. Howard Miles

Todd G. Ruskell

College of Charleston

Washington State University

Colorado School of Mines

David Winter

Matthew Moelter

Lewis H. Ryder

John A. Underwood

University of Puget Sound

University of Kent, Canterbury

Austin Community College

Eugene Mosca

Andrew Scherbakov

John Weinstein

U.S. Naval Academy

Georgia Institute of Technology

University of Mississippi

Carl Mungan

Bruce A. Schumm

Stephen Weppner

U.S. Naval Academy

University of California, Santa Cruz

Eckerd College

Taha Mzoughi

Cindy Schwarz

Suzanne E. Willis

Mississippi State University

Vassar College

Northern Illinois University

Charles Niederriter

Mesgun Sebhatu

Frank L. H. Wolfe

Gustavus Adolphus College

Winthrop University

University of Rochester

John W. Norbury

Bernd Schuttler

Frank Wolfs

University of Wisconsin at Milwaukee

University of Georgia

University of Rochester

Aileen O’Donughue

Murray Scureman

Roy C. Wood

St. Lawrence University

Amdahl Corporation

New Mexico State University

Dan Styer

Palm Beach Community College — South

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Agradecimientos Ron Zammit

Dean Zollman

California Polytechnic State University

Kansas State University

Yuriy Zhestkov

Fulin Zuo

Columbia University

University of Miami

Es obvio que nuestro trabajo no termina nunca; por ello, esperamos recibir comentarios y sugerencias de nuestros lectores para poder mejorar el texto y corregir cualquier error. Si usted cree que ha hallado un error, o tiene cualquier otro comentario, sugerencia o pregunta, envíenos una nota a producció[email protected] Incorporaremos las correcciones en el texto en posteriores reimpresiones. Por último, nos gustaría agradecer a nuestros amigos de W. H. Freeman and Company su ayuda y aliento. Susan Brennan, Clancy Marshall, Kharissia Pettus, Georgia Lee Hadler, Susan Wein, Trumbull Rogers, Connie Parks, John Smith, Dena Digilio Betz, Ted Szczepanski y Liz Geller, quienes fueron muy generosos con su creatividad y duro trabajo en cada etapa del proceso. También estamos agradecidos por las contribuciones y ayuda de nuestros colegas Larry Tankersley, John Ertel, Steve Montgomery y Don Treacy.

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Acerca de los autores

Paul Tipler nació en la pequeña ciudad agrícola de Antigo, Wisconsin, en 1933. Realizó sus estudios medios en Oshkosh, Wisconsin, en donde su padre era superintendente de las Escuelas Públicas. Recibió el título de Bachelor of Science en la Universidad de Purdue en 1955 y obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Illinois, en donde estudió la estructura del núcleo. Impartió la enseñanza durante un año en la Wesleyan University de Connecticut mientras redactaba su tesis. Después se trasladó a la Universidad de Oakland en Michigan, donde fue uno de los primeros miembros del Departamento de Física, y desempeñó un papel importante en el desarrollo de los planes de estudio. Durante los siguientes 20 años, enseñó casi todas las disciplinas de la física y escribió la primera y segunda ediciones de sus ampliamente difundidos textos Física Moderna (1969, 1978) y Física (1976, 1982). En 1982, se mudó a Berkeley, California, donde ahora reside y donde escribió Física preuniversitaria (1987) y la tercera edición de Física (1991). Además de la física, sus aficiones incluyen la música, excursionismo y camping. Es un excelente pianista de jazz y un buen jugador de póker.

Gene Mosca

nació en la ciudad de Nueva York y se crió en Shelter Island, en el Estado de Nueva York. Estudió en la Universidad de Villanova, en la Universidad de Michigan y en la Universidad de Vermont, donde obtuvo su Ph.D. en física. Recientemente jubilado, Gene Mosca ha sido profesor en la U.S. Naval Academy, donde fue el impulsor de numerosas mejoras en la enseñanza de la Física, tanto en los laboratorios como en las aulas. Proclamado por Paul Tipler como "el mejor crítico que he tenido", Mosca se ha convertido en coautor del libro a partir de su quinta edición.

xxii

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P A R T E

I I

OSCILACIONES Y ONDAS C A P Í T U L O

14 LOS "MONSTER TRUCKS" PUEDEN PASAR SOBRE CUALQUIER COSA, PERO ¿QUÉ IMPIDE QUE SUS

Oscilaciones

CONDUCTORES SALTEN DESPEDIDOS POR LA VENTANA?

LOS MONSTER TRUCKS TIENEN UNOS

ENORMES AMORTIGUADORES QUE AYUDAN A

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

AMORTIGUAR SUS OSCILACIONES,

Movimiento armónico simple

PROPORCIONANDO UNA CONDUCCIÓN MÁS

Energía del movimiento armónico simple

CÓMODA CUANDO PASAN SOBRE TERRENOS

Algunos sistemas oscilantes

(Jeff Greenberg/Photoedit.)

ANGOSTOS U OTROS CAMIONES.

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas y resonancia

n este capítulo, estudiaremos el movimiento oscilatorio. La cinemática del movimiento con aceleración constante se analizó en los capítulos 2 y 3. En este capítulo, presentamos la cinemática y la dinámica del movimiento con aceleración proporcional al desplazamiento respecto del equilibrio. Las oscilaciones se producen cuando se perturba un sistema y éste pierde su posición de equilibrio estable. Existen muchos ejemplos de oscilaciones presentes en la vida cotidiana: los barcos se balancean arriba y abajo, los péndulos de reloj oscilan a un lado y otro, y las cuerdas y lengüetas de los instrumentos musicales vibran al producir los sonidos. Otros ejemplos, menos conocidos, son las oscilaciones de las moléculas de aire en las ondas sonoras y las oscilaciones de las corrientes eléctricas en los aparatos de radio y televisión.

E

En este capítulo, vamos a estudiar el movimiento armónico simple, la forma más básica de movimiento oscilatorio. También vamos a tratar las oscilaciones amortiguadas y forzadas. 457

?

¿Cómo puede un mecánico determinar qué tipo de amortiguador necesita?

(Véase el ejemplo 14.13.)

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14.1

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Página 458

CAPÍTULO 14

Oscilaciones

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Equilibrio

Un tipo sencillo y muy frecuente en la naturaleza de movimiento oscilatorio es el movimiento armónico simple, como el de un cuerpo unido a un muelle (figura 14.1). En el equilibrio, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Cuando éste se ve desplazado una distancia x de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza
kx, que viene dada por la ley de Hooke:* Fx 
kx

x

m

14.1 F U E R Z A R E C U P E R A DO R A L I N E A L

donde k es la constante del muelle, característica de su rigidez. El signo menos indica que se trata de una fuerza restauradora; es decir, que se opone al sentido del desplazamiento respecto al punto de equilibrio. Combinando la ecuación 14.1 con la segunda ley de Newton (Fx  max), se tiene

Cuerpo unido a un muelle que descansa sobre una mesa sin rozamiento. Se mide el desplazamiento x desde la posición de equilibrio. El desplazamiento es positivo si el muelle se estira y negativo si el muelle se comprime.

FIGURA 14.1


kx  max es decir ax 


k x m

ao

k d2x 
xb 2 m dt

14.2

La aceleración es proporcional al desplazamiento y el signo negativo indica que la aceleración y el desplazamiento tienen sentido contrario. Esta es la característica que define el movimiento armónico simple y puede utilizarse para identificar sistemas que presentan esta clase de movimiento. Siempre que la aceleración de un objeto sea proporcional a su desplazamiento, pero con sentido opuesto, el objeto se moverá con movimiento armónico simple. CONDICIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE EN FUNCIÓN DE LA ACELERACIÓN

El tiempo que emplea el objeto desplazado para realizar una oscilación completa alrededor de su posición de equilibrio se denomina periodo T. El recíproco es la frecuencia f, que es el número de oscilaciones por unidad de tiempo: f

1 T

14.3

La unidad de frecuencia es el ciclo por segundo (ciclo/s), que recibe el nombre de hertz (Hz). Por ejemplo, si el tiempo necesario para una oscilación completa es 0,25 s, la frecuencia es 4 Hz. La figura 14.2 muestra cómo se puede obtener experimentalmente x en función de t para una masa sobre un muelle. La ecuación correspondiente a esta curva es x  A cos(vt  d)

14.4 P O S I C I Ó N E N U N M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

donde A, v y d son constantes. El desplazamiento máximo xmáx respecto a la posición de equilibrio se denomina amplitud A. El argumento de la función coseno,

* La ley de Hooke se ha introducido en el capítulo 4, sección 5.

x

A t

Una plumilla está sujeta a la masa de un muelle y el papel se mueve hacia la izquierda. Cuando el papel se mueve con velocidad constante, la plumilla va dibujando el desplazamiento x en función del tiempo t. (En este caso, hemos considerado x como positivo cuando el muelle se comprime.)

FIGURA 14.2

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Movimiento armónico simple

SECCIÓN 14.1

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459

vt  d, se denomina fase de movimiento y la constante d se denomina constante de fase. Esta constante corresponde a la fase cuando t  0. (Obsérvese que cos(vt  d)  sen(vt  d  p/2); por lo tanto, expresar la ecuación como una función coseno o seno depende simplemente de la fase de la oscilación en el momento que elijamos como t  0.) Si tenemos sólo un sistema oscilante, siempre podemos elegir t  0 de modo que d  0. Si tenemos dos sistemas oscilantes con igual amplitud y frecuencia, pero diferente fase, podemos elegir d  0 para uno de ellos. Las ecuaciones de los dos sistemas son entonces x1  A 1 cos(vt) y x2  A 2 cos(vt  d) Si la diferencia de fase d es 0 ó un número entero de veces 2p, entonces se dice que los sistemas están en fase. Si la diferencia de fase d es p o un número entero impar de veces p, entonces se dice que los sistemas están fuera de fase en 180º. Podemos demostrar que la ecuación 14.4 es una solución de la ecuación 14.2 derivando x dos veces respecto al tiempo. La primera derivada de x es la velocidad vx : vx 

dx 
vA sen(vt  d) dt

14.5

V E L O C I DA D E N E L M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

El balanceo debido a la acción de vientos fuertes en el edificio Citicorp de Nueva York se reduce mediante el amortiguador de la fotografía, instalado en uno de los pisos más altos. El amortiguador consiste en un bloque de 400 toneladas que está acoplado al edificio mediante un muelle cuya constante se elige de forma que la frecuencia natural del sistema muelle-bloque sea la misma que la frecuencia natural de balanceo del edificio. Si el viento hace oscilar el edificio, el oscilador y el edificio oscilan con una diferencia de fase de 180º, con lo cual se reduce la oscilación. (Citibank.)

Derivando la velocidad respecto al tiempo, se obtiene la aceleración: ax 

dvx dt



d 2x 
v2 A cos(vt  d) dt 2

14.6

Sustituyendo x por A cos(vt  d) (véase la ecuación 14.4), se obtiene ax 
v2x

14.7 AC E L E R AC I Ó N E N E L M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

Comparando ax 
v2x (ecuación 14.7) con ax 
(k/m)x (ecuación 14.2), vemos que x  A cos (vt  d) es una solución de la ecuación 14.2 (que puede escribirse de la forma d2x/dt2 
(k/m)x) si v

k Am

14.8

La amplitud A y la constante de fase d pueden determinarse a partir de la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 del sistema. Haciendo t  0 en x  A cos (vt  d), se obtiene x0  A cos d

14.9

De igual modo, haciendo t  0 en vx  dx/dt 
Av sen (vt  d), resulta v0x 
Av sen d

14.10

Estas ecuaciones pueden resolverse para A y d en función de x0, v0 y v. El periodo T es el tiempo mínimo para el que se cumple la relación x(t)  x(t  T) para cualquier t. Teniendo en cuenta esta relación y la ecuación 14.4, se llega a A cos(vt  d)  A cos[v(t  T)  d]  A cos(vt  d  vT)

Véase el Apéndice de matemáticas para más información sobre

Trigonometría

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

La función coseno (y la función seno) repite su valor cuando la fase se incrementa en 2p, de modo que vT  2p

1 o v  2p a b T

La constante v se denomina frecuencia angular. La unidad es el radián por segundo y sus dimensiones son la inversa del tiempo, las mismas que la velocidad angular, que también se designa por v. Sustituyendo 2p/T por v en la ecuación 14.4, se obtiene x  A cosa2p

t  db T

Analizando esta relación se ve que cada vez que t aumenta en T, la fase crece 2p y, por lo tanto, esto indica que se ha completado un ciclo completo del movimiento. La frecuencia es la recíproca del periodo v  2p

1  2pf T

14.11

Como v  2k>m, la frecuencia y el periodo de un objeto ligado a un muelle están relacionados con la constante de fuerza k y la masa m por f

1 1 k  T 2p A m

14.12

La frecuencia crece cuando aumenta k (rigidez del muelle) y disminuye cuando aumenta la masa. La ecuación 14.12 proporciona una forma de medir la masa inercial de un astronauta en condiciones de ingravidez.

PROBLEMA PRÁCTICO 14.1

Un objeto de 0,8 kg está sujeto a un muelle de constante de fuerza k  400 N/m. (a) Determinar la frecuencia y el periodo del movimiento del objeto cuando se desplaza del equilibrio. (b) Repetir el apartado (a) pero con un objeto de 1,6 kg en lugar de uno de 0,8 kg. Ayuda: revisar primero el ejemplo 14.4.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución de problemas de movimiento armónico simple PLANTEAMIENTO Elegir el origen del eje x en la posición de equilibrio. Para un muelle, elegir la dirección x de tal forma que x sea positivo cuando el muelle se alarga. SOLUCIÓN No utilice las ecuaciones de la cinemática del movimiento con aceleración constante. Utilizar las que se han desarrollado para el movimiento armónico simple. COMPROBACIÓN Asegúrese de que su calculadora está en el modo correcto de ángulos (grados o radianes) cuando calcule las funciones trigonométricas y resuelva los problemas.

El astronauta Alan L. Bean midiendo la masa de su cuerpo durante el segundo viaje del Skylab. Lo hace sentándose en un asiento atado a un muelle y oscilando adelante y atrás. La masa total del astronauta más la del aparato está relacionada con su frecuencia de vibración por la ecuación 14.12. (NASA.)

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Movimiento armónico simple

Ejemplo 14.1

SECCIÓN 14.1

Movimiento de un bote sobre las olas

Un bote se balancea arriba y abajo. El desplazamiento vertical del bote y viene dado por y  (1,2 m) cosa

1 2,0 s

t

p 6

b

(a) Determinar la amplitud, frecuencia angular, constante de fase, frecuencia y periodo del movimiento. (b) ¿Dónde se encuentra el bote cuando t  1 s? (c) Determinar la velocidad y la aceleración en cualquier tiempo t. (d) Calcular los valores iniciales de la posición, la velocidad y la aceleración del bote. PLANTEAMIENTO Para determinar las magnitudes solicitadas en (a), comparamos la ecua-

ción del movimiento y  (1,2 m) cosa

1 2,0 s

t

p 6

b

Unos surferos esperando. (David Pu’u/CORBIS.)

con la ecuación estándar del movimiento armónico simple (ecuación 14.4). La velocidad y la aceleración se determinan derivando y(t). SOLUCIÓN

(a) 1. Comparar la ecuación correspondiente al desplazamiento vertical del bote con la ecuación 14.4, y  A cos (vt  d), para obtener A, v y d: 2. La frecuencia y el periodo se deducen a partir de v:

y  (1,2 m) cosa A  1,2 m f

v



1 2,0 s

t

p 6

b

v  0,50 rad>s

d  p>6 rad

0,50 rad>s

 0,0796 Hz  0,080 Hz 2p 2p 1 1 T   12,6 s  13 s f 0,0796 Hz

(b) Hacer t  1 s para determinar la posición del bote:

y  (1,2 m) cosc(0,50 rad>s)(1,0 s) 

(c) La velocidad y la aceleración se obtienen derivando una y dos veces la posición respecto al tiempo:

vy 

dy dt



p 6

d  0,62 m

d [A cos(vt  d)] 
vA sen(vt  d) dt


(0,50 rad>s)(1,2 m) senc(0,50 rad>s)t  
(0,60 m>s) senc(0,50 rad>s)t 

ay 

dvy dt



p 6

p 6

d

d [
vA sen(vt  d)] 
v2 A cos(vt  d) dt


(0,50 rad>s)2(1,2 m) cosc(0,50 rad>s)t  
(0,30 m>s2) cosc(0,50 rad>s)t 

(d) Hacer t  0 para determinar y0, vy0 y ay0:

d

y0  (1,2 m) cos

p 6

p 6

 1,04  1,0 m

v0y 
(0,60 m>s) sen a0y 
(0,30 m>s2) cos

p 6 p 6


0,30 m>s 
0,26 m>s2

COMPROBACIÓN Podemos comprobar si el resultado del apartado (d) es razonable utili-

zando la ecuación 14.7, en t  0 con y  1,04 m y v  0,5 rad/s. Sustituyendo en la ecuación 14.7, se tiene que a0y 
(0,5 rad/s)2 (1,04 m) 
0,26 m/s2 que es el mismo resultado que el obtenido en el apartado (d).

d

p 6

d

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

La figura 14.3 muestra dos masas idénticas sujetas a muelles iguales que descansan sobre una superficie sin rozamiento. Un muelle que se une al objeto 2 se estira 10 cm y el que se une al objeto 1 se estira 5 cm. Si se dejan en libertad al mismo tiempo, ¿cuál de los dos cuerpos alcanza primero la posición de equilibrio? Según la ecuación 14.12, el periodo depende sólo de k y m, pero no de la amplitud. Como k y m tienen el mismo valor en ambos sistemas, los periodos son iguales. Por lo tanto, los objetos alcanzan la posición de equilibrio al mismo tiempo. El segundo objeto tiene que recorrer una distancia doble a la del primero para alcanzar el equilibrio, pero también posee una velocidad media doble. La figura 14.4 muestra un esquema de las funciones de posición de los dos objetos. La gráfica ilustra una propiedad general importante del movimiento armónico simple:

2 1

Equilibrio

10 cm FIGURA 14.3

Dos sistemas masa-muelle idénticos.

x, cm

En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud. El hecho de que la frecuencia del movimiento armónico simple sea independiente de la amplitud tiene importantes consecuencias en muchos campos. En música, por ejemplo, significa que el tono (que corresponde a la frecuencia) de una nota que se toca en un piano no depende de la fuerza con que se toca la nota (es decir, de la intensidad de la misma que corresponde a la amplitud).† Si las variaciones de amplitud tuviesen un gran efecto sobre la frecuencia, los instrumentos musicales no serían armoniosos.

Ejemplo 14.2

5 cm

10

Objeto 2

5

Objeto 1

t, s –5 –10

Posición x en función de t para los sistemas de la figura 14.3. Ambos alcanzan la posición de equilibrio al mismo tiempo.

FIGURA 14.4

Un objeto que oscila

Un objeto oscila con frecuencia angular v  8,0 rad/s. En t  0, el objeto se encuentra en x  4 cm con una velocidad inicial vx 
25 cm/s. (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir x en función del tiempo. PLANTEAMIENTO La posición y velocidad iniciales nos proporcionan dos ecuaciones a partir de las cuales se determinan la amplitud A y la constante de fase d. SOLUCIÓN

(a) 1. La posición inicial y la velocidad están relacionadas con la amplitud y con la constante de fase. La posición viene dada por la ecuación 14.4 y la velocidad se calcula derivando con respecto del tiempo: 2. Cuando t  0, la posición y la velocidad valen: 3. Dividir estas ecuaciones para eliminar A: 4. Reemplazando por los valores numéricos, se obtiene d:

x  A cos(vt  d)

y

dx vx  
vA sen(vt  d) dt x0  A cos d v0x



y v0x 
vA sen d


vA sen d


v tg d A cos d v0x por lo tanto, tg d 
vx0 v0x
25 cm>s b  arctgc
d d  arctg a
vx0 (8,0 rad>s)(4,0 cm) x0

 0,663 rad  0,66 rad †

En muchos instrumentos musicales existe una ligera dependencia de la frecuencia con la amplitud. El tono de la lengüeta de un oboe, por ejemplo, depende de la fuerza con que se sople el instrumento porque la vibración no es exactamente armónica simple. Sin embargo, este efecto puede ser corregido por un músico experto.

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Movimiento armónico simple

5. La amplitud puede determinarse utilizando la ecuación para x0 o v0. Aquí utilizamos la de x0:

A

x0 cos d



4,0 cm cos 0,663

SECCIÓN 14.1

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 5,1 cm

x  (5,1 cm) cos[(8,0 s
1)t  0,66]

(b) Comparando con la ecuación 14.4, se obtiene x:

COMPROBACIÓN Para ver si el resultado del apartado (b) es razonable, tomamos t  0 y

vemos que entonces x  4 cm, lo que coincide con el dato del enunciado.

Cuando la constante de fase es d  0, las ecuaciones 14.4, 14.5 y 14.6 se convierten en x  A cos vt vx 
vA sen vt

14.13a 14.13b

ax 
v2 A cos vt

14.13c

x A

T 4

T 2

3T 4

T

t

y vx ◊A

Estas funciones vienen representadas en la figura 14.5. Gráficos de x, vx y ax en función del tiempo t para d  0. En t  0, el desplazamiento es máximo, la velocidad es cero y la aceleración es negativa e igual a
v2A. La velocidad se hace negativa cuando el objeto se mueve hacia atrás buscando su posición de equilibrio. Después de un cuarto de periodo (t  T/4), el objeto está en equilibrio, x  0, ax  0 y la velocidad alcanza su valor máximo
vA. En t  T/2, el desplazamiento es
A, la velocidad es de nuevo cero y la aceleración
v2A. En t  3T/4, x  0, ax  0 y vx   vA.

t

FIGURA 14.5

Ejemplo 14.3

Objeto ligado a un muelle

-◊ 2A

t

Inténtelo usted mismo

Un objeto de 2 kg se sujeta a un muelle como indica la figura 14.1. La constante de fuerza del muelle es k  196 N/m. El objeto se mantiene a una distancia de 5 cm de la posición de equilibrio y se deja en libertad en el tiempo t  0. (a) Determinar la frecuencia angular v, la frecuencia f y el periodo T. (b) Expresar x en función del tiempo. PLANTEAMIENTO Para resolver el apartado (a) utilice las ecuaciones 14.8 y 14.12. Para el apartado (b) utilice la ecuación 14.4. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos

Respuestas

(a) 1. Calcular v utilizando v  2k>m .

v  9,90 rad>s

2. Utilizar este resultado para determinar f y T.

f  1,58 Hz

T  0,635 s

3. Determinar A y d a partir de las condiciones iniciales.

A  5,00 cm

d  0,00

(b) Expresar x(t) utilizando los resultados de A, v y d.

ax

x  (5,00 cm) cos[(9,90 s
1)t]

COMPROBACIÓN Como el bloque partió del reposo, la velocidad deber ser cero cuando

t  0. Para verificar esto, tomamos la derivada del resultado del apartado (b) y resolvemos para t  0. Efectivamente, hacemos los cálculos y nos da que la velocidad es cero.

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Ejemplo 14.4

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Oscilaciones

CAPÍTULO 14

Velocidad y aceleración de un objeto en un muelle

Considerar un objeto ligado a un muelle cuya posición viene dada por la ecuación x  (5 cm) cos (9,90 s
1 t). (a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? (b) ¿En qué instante se alcanza por vez primera esta velocidad máxima? (c) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto? (d) ¿En qué instante se alcanza por vez primera esta aceleración máxima? PLANTEAMIENTO Como el objeto se deja libre desde el reposo, d  0, y la posición, la ve-

locidad y la aceleración vienen dadas por las ecuaciones 14.13a, b y c. SOLUCIÓN

(a) 1. La posición se obtiene de la ecuación 14.13a, con d  0. La velocidad se obtiene derivando con respecto del tiempo: 2. La velocidad máxima tiene lugar cuando ƒ sen vt ƒ  1:

x  A cos vt por lo tanto,

vx 

dx 
vA sen vt dt

v  vA ƒ sen vt ƒ y entonces, vmáx  vA  (9,90 rad>s)(5,00 cm)  49,5 cm>s

ƒ sen vt ƒ  1 ⇒ vt 

(b) 1. ƒ sen vt ƒ  1 se da por vez primera cuando vt  p/2: 2. Despejar t cuando vt  p/2:

t

p

p

 0,159 s 2v 2(9,90 s
1) dvx 
v2A cos vt ax  dt

(c) 1. Determinar la aceleración derivando la velocidad obtenida en el paso 1 del apartado (a):



p 3p 5p Á , , , 2 2 2

amáx  v2A  (9,90 rad>s)2(5,00 cm)  490 cm>s2
12 g

2. La aceleración máxima corresponde a cos vt 
1: (d) La aceleración máxima tiene lugar cuando ƒ cos vt ƒ  1, lo que ocurre cuando vt  0, p, 2p, …:

t

p p   0,317 s v 9,90 s
1

COMPROBACIÓN Esperamos que ƒ a x ƒ sea máxima cuando, después de t  0, x alcance su

valor máximo y esperamos que x sea mínima después de medio ciclo. Es decir, esperamos que ƒ ax ƒ sea máxima cuando t  12 T, donde T es el periodo. El periodo y la frecuencia angular están relacionados a partir de la ecuación 14.11. Entonces, introduciendo v en función de T se tiene t  p>(2p>T)  12 T, como era de esperar.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y MOVIMIENTO CIRCULAR Existe una relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular con velocidad constante. Consideremos una partícula que se mueve con una velocidad cuyo módulo v es constante sobre una circunferencia de radio A, como se indica en la figura 14.6a. El desplazamiento angular de la partícula respecto al eje x viene dado por u  vt  d

14.14

y

v

y v

θ

◊ = v/A ◊t δ

O

v sen θ θ A

v = ◊A

A θ

t=0 x

◊

θ x

O x = A cos θ

Una partícula se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante. (a) La componente x de la posición describe un movimiento armónico simple, y (b) la componente x de la velocidad describe la velocidad de un movimiento armónico simple.

FIGURA 14.6

(a)

(b)

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Energía del movimiento armónico simple

SECCIÓN 14.2

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465

donde d es el desplazamiento angular en el instante t  0 y v  v/A es la velocidad angular de la partícula. La componente x de la posición de la partícula viene dada por x  A cos u  A cos(vt  d) que coincide con la ecuación 14.4 del movimiento armónico simple. Cuando una partícula se mueve con velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se mueve con un movimiento armónico simple (figura 14.6). La velocidad de una partícula que se mueve sobre una circunferencia es rv, donde r es el radio. En el caso de la partícula de la figura 14.6b, r  A, por lo que su velocidad es Av. La proyección del vector velocidad sobre el eje x da vx 
v sen u. Sustituyendo los valores de v y de u, se obtiene la ecuación vx 
v sen u 
vA sen(vt  d) que coincide con la ecuación 14.5 del movimiento armónico simple. La relación entre el movimiento circular y el movimiento armónico simple se puede ver en la imagen del rastro de burbujas que genera una hélice bajo el agua.

14.2

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Cuando un objeto oscila con movimiento armónico simple, las energías cinética y potencial del sistema varían con el tiempo. Su suma, la energía total E  K  U, es constante. Consideremos un objeto a una distancia x del equilibrio, sobre el que actúa una fuerza de restitución
kx. La energía potencial del sistema es U  12 kx 2 Esta es la ecuación 7.4. Para un movimiento armónico simple, x  A cos (vt  d), y sustituyendo en la ecuación anterior, queda U  12 kA2 cos2(vt  d)

14.15

E N E RG Í A P OT E N C I A L D E L M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

La energía cinética del sistema es K  12 mv2 donde m es la masa del objeto y v su velocidad. En el movimiento armónico simple, vx 
Av sen (vt  d). Sustituyendo, resulta K  12 mv2 A2 sen2(vt  d) Teniendo en cuenta que v2  k/m, resulta K  12 kA2 sen2(vt  d)

14.16

E N E RG Í A C I N É T I C A D E L M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

La energía mecánica total es la suma de las energías potencial y cinética: E  U  K  12 kA2 cos2(vt  d)  12 k A sen2(vt  d)  12 kA2[cos2(vt  d)  sen2(vt  d)]

Las burbujas de la espuma que genera una hélice en movimiento por el agua producen un patrón sinusoidal. (Institute for Marine Dynamics.)

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

Como sen2 (vt  d)  cos2 (vt  d)  1 E  U  K  12 kA2

14.17

E N E RG Í A TOTA L D E L M OV I M I E N TO A R M Ó N I C O S I M P L E

Esta ecuación pone en evidencia una importante propiedad general del movimiento armónico simple: La energía total del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Para un objeto en su desplazamiento máximo, la energía total es toda energía potencial. Cuando el objeto se mueve hacia su posición de equilibrio, la energía cinética del sistema crece y la energía potencial disminuye. Cuando atraviesa la posición de equilibrio, la velocidad del objeto es máxima, la energía potencial del sistema es cero y la energía total es igual a la energía cinética. Cuando el objeto sobrepasa el punto de equilibrio, su energía cinética comienza a decrecer y la energía potencial del sistema crece hasta que el objeto, de nuevo, se detiene momentáneamente en su desplazamiento máximo (ahora en el sentido opuesto). En todo momento, la suma de las energías potencial y cinética es constante. La figura 14.7b y c muestra los gráficos de U y K en función del tiempo. Ambas curvas tienen la misma forma, excepto que cuando una es cero, la otra pasa por un máximo. Sus valores medios en uno o más ciclos son iguales y como U  K  E, estos valores medios vienen dados por

x

A

0

0

t

(a) U

Etotal Um = 21 Etotal

0

t

Um  Km 

U U=

1 kA2 2

K

U 0

A

Km = 0

t

(c) FIGURA 14.7

Gráficos de x, U y K en función de t.

1 kx2 2

Etotal =

–A

Etotal

14.18

En la figura 14.8, se ha representado la energía potencial U en función de x. La energía total Etotal es constante y está representada por una línea horizontal. Esta línea corta a la curva de la energía potencial en x  A y x 
A. Éstos son los puntos en que los objetos, en su oscilación, cambian el sentido de la velocidad y vuelven hacia la posición de equilibrio. Dado que U  E, el movimiento está restringido a
A  x  A.

x

0

(b) K

1 2E

−A

Función de la energía potencial U  12 kx 2 en el caso de un objeto de masa m unido a un muelle de masa despreciable de constante k. La línea horizontal representa la energía mecánica total Etotal para una amplitud A. La energía cinética K está representada por la distancia vertical K  Etotal
U. Como Etotal ≥ U, el movimiento está restringido a
A ≤ x ≤  A. FIGURA 14.8

0

1E 2 total

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Energía del movimiento armónico simple

Ejemplo 14.5

SECCIÓN 14.2

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467

Velocidad y energía de un objeto que oscila

Un objeto de 3 kg ligado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. (a) ¿Cuál es la energía total? (b) ¿Cuál es el módulo máximo de la velocidad del objeto? (c) ¿En qué posición x1 el módulo de velocidad es igual a la mitad de su valor máximo? PLANTEAMIENTO (a) La energía total puede determinarse a partir de la amplitud del movimiento y de la constante de fuerza del muelle; esta constante puede calcularse a partir de la masa del objeto y el periodo. (b) La velocidad máxima tiene lugar cuando la energía cinética es igual a la energía total. (c) Mediante el principio de conservación de la energía podemos relacionar la posición con el módulo de la velocidad. SOLUCIÓN

(a) 1. Expresar la energía total E en función de la constante de fuerza k y de la amplitud A:

E  12 kA2

2. La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la masa:

k  mv2  ma

3. Sustituir los valores proporcionados para determinar la energía total E:

E

2p 2 b T

2p 2 1 1 2 1 2p 2 kA  ma b A2  (3,0 kg) a b (0,040 m)2 2 2 T 2 2,0 s

 2,37  10
2 J  2,4  10
2 J (b) Para determinar vmáx, igualar la energía cinética con la energía total y despejar v:

(c) 1. La conservación de la energía relaciona la posición x con la velocidad v: 2. Sustituir v  12 vmáx y despejar x1. Es conveniente determinar x en función de E, y a partir de E  12 kA2 deducir una expresión de x en función de A:

1 2 2 mvmáx

E

con lo cual vmáx 

2(2,37  10
2 J) 2E   0,126 m>s  0,13 m>s Am B 3,0 kg

E  12 mv2  12 kx 2 E  12 m(12 vmáx)2  12 kx21  14 (12 mv2máx)  12 kx21  14 E  12 kx21 por lo tanto, y

1 2 2 kx 1

 E
14 E  34 E

x1   

3E 3 1 2 23  a kA b   A A 2k A 2k 2 2 23 2

(4,0 cm)  3,5 cm

COMPROBACIÓN Como era de esperar, el resultado del apartado 2(c) tiene dos posibles

soluciones, una correspondiente al muelle alargado y otra al muelle comprimido. Además, el valor positivo es inferior a 4 cm (la amplitud). PROBLEMA PRÁCTICO 14.2 Calcular v para este ejemplo y determinar vmáx a partir de la

expresión vmáx  vA.

U

Parábola que se aproxima a U cerca del punto de equilibrio estable

PROBLEMA PRÁCTICO 14.3 Un objeto de masa 2 kg está sujeto a un muelle de constante de fuerza 40 N/m. El objeto se mueve a 25 cm/s cuando pasa por la posición de equilibrio. (a) ¿Cuál es la energía total del objeto? (b) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?

* MOVIMIENTO GENERAL PRÓXIMO AL EQUILIBRIO En general, el movimiento armónico simple se produce cuando una partícula se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio estático. La figura 14.9 es un gráfico de la energía potencial U en función de x para una fuerza que tiene una posición de equilibrio estable y otra de equilibrio inestable. Como se vio en el capítulo 7, el máximo de energía potencial en x2 de la figura 14.9 corresponde al equilibrio inestable, mientras que el mínimo en x1 corresponde al equilibrio estable. Cualquier curva continua que presente un mínimo como el de la figura 14.9 puede aproximarse cerca del mínimo a una parábola. La curva de trazos de la figura es

x1

x2

Gráfico de U en función de x para una fuerza que tiene una posición de equilibrio estable (x1) y otra de equilibrio inestable (x2). FIGURA 14.9

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

una parábola que encaja, aproximadamente, con la curva de energía potencial cerca del punto de equilibrio estable. La ecuación general de una parábola que tiene un mínimo en el punto x1 puede expresarse en la forma U  A  B(x
x1)2

14.19

donde A y B son constantes. La constante A es el valor de U en la posición de equilibrio x  x1. La fuerza está relacionada con la curva de la energía potencial por Fx 
dU/dx. Por lo tanto, Fx 


U(x)

dU 
2B(x
x1) dx

Si hacemos 2B  k, esta ecuación se reduce a Fx 


dU 
k(x
x1) dx

Parábola ajustada

14.20

De acuerdo con la ecuación 14.20, la fuerza es proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio y está dirigida en sentido opuesto, de modo que el movimiento es armónico simple. En la figura 14.9, se representa la función energía potencial del sistema U(x), que tiene una posición de equilibrio estable en x  x1. La figura 14.10 muestra, en cambio, una función energía potencial que tiene una posición de equilibrio estable en x  0. El sistema que responde a una función como la que se representa en esta figura es una partícula pequeña de masa m que oscila en el fondo de un cuenco con forma esférica.

14.3

Función energía potencial real

x F I G U R A 1 4 . 1 0 Dibujo de U respecto a x para una partícula pequeña que oscila en el fondo de un cuenco con forma esférica.

ALGUNOS SISTEMAS OSCILANTES

OBJETO COLGADO DE UN MUELLE VERTICAL Cuando un objeto cuelga de un muelle vertical, además de la fuerza del muelle hay una fuerza vertical adicional hacia abajo que es el peso mg (figura 14.11). Si se elige la dirección hacia abajo como el sentido positivo del eje y, la fuerza del muelle sobre el objeto es
ky, donde y es el alargamiento del muelle. La fuerza neta sobre el objeto es ©Fy 
ky  mg

14.21

Esta ecuación puede simplificarse definiendo una nueva variable y  y
y0, donde y0  mg/k es la longitud que se alarga el muelle cuando el objeto está en equilibrio. Sustituyendo y por y  y0, da

y0 =

Fs Posición de equilibrio con el muelle sin masa.

©Fy 
k(y  y0)  mg Pero ky0  mg, por lo que

©Fy 
ky

14.22

y0

Fs

m

y

Posición de equilibrio con la masa m. El muelle se estira y0 = mg/k.

y’

que es la ecuación 14.2 con y reemplazando a x. La solución de esta ecuación nos es familiar: y  A cos(vt  d)

m

mg

d 2y

dt 2 Sin embargo, y  y  y0, donde y0  mg/k es constante. Así, d2y/dt2  d2y/dt2; por lo tanto, d 2y
ky  m 2 dt o sea d 2y k 
y m dt 2

donde v  2k>m.

y0

mg

La segunda ley de Newton (©Fy  may) nos lleva a
ky  m

mg k

El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio con un desplazamiento y’= y − y0.

El problema de una masa colgada de un muelle vertical se simplifica si el desplazamiento (y) se mide desde la posición de equilibrio del muelle conectado a la masa.

FIGURA 14.11

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Algunos sistemas oscilantes

SECCIÓN 14.3

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469

Así pues, el efecto de la fuerza gravitatoria mg consiste meramente en desplazar la posición de equilibrio desde y  0 hasta y  0. Cuando el objeto se pasa de su posición de equilibrio una cantidad y, la fuerza neta es
ky. El objeto oscila respecto a la posición de equilibrio con una frecuencia angular v  1k>m, la misma frecuencia con la que se movería un objeto atado a un muelle horizontal. Si una fuerza realiza un trabajo que es independiente del camino, se dice que la fuerza es conservativa. La fuerza de la gravedad y la fuerza ejercida por un muelle son conservativas, y la suma de estas fuerzas (ecuaciones 14.21 y 14.22) también lo es. La energía potencial U asociada con la suma de estas fuerzas es el trabajo realizado, con signo negativo, más una constante de integración arbitraria. Es decir,



U 

kydy  12 ky2  U0 donde la constante de integración U0 es el valor de U en la posición de equilibrio (y  0). Por lo tanto, U  12 ky2  U0

Ejemplo 14.6

14.23

Muelles de papel

Póngalo en su contexto

Confeccionamos adornos para una fiesta con muelles de papel. Hacemos un muelle de papel, y cuando colgamos de él una hoja de papel de color, lo alarga 8 cm. ¿Cuántas hojas de papel de color hay que colgar del muelle para que oscile con la frecuencia de 1 ciclo/s? PLANTEAMIENTO La frecuencia depende del cociente entre la constante del muelle y la masa que cuelga de él (ecuación 14.12), pero no disponemos de ninguno de estos datos. Sin embargo, a partir de la información disponible se puede obtener el valor de este cociente usando la ley de Hooke (ecuación 14.1). SOLUCIÓN

1 k v  2p 2p A M

1. Escribir la frecuencia en función de la constante k y de la masa M (ecuación 14.12), donde M es la masa de N hojas de papel. Tenemos que determinar N:

f

2. Cuando se cuelga una hoja de papel de masa m, el muelle se alarga una distancia y0  8 cm:

ky0  mg

3. La masa de N hojas de papel se calcula multiplicando por N la masa de una hoja m:

M  Nm

4. Se despeja k/M a partir de los resultados de los pasos 2 y 3: 5. Se sustituye el resultado del paso 4 en el resultado del paso 1 y se despeja N:

y entonces

g k  m y0

k 1 g k   M Nm N y0

Muelle hecho con papel. (Rhoda Peacher.)

1 k 1 g 1  f 2p A M 2p A N y0 9,81 m>s2 g por lo tanto, N    3,1 (2pf)2y0 4p2(1,0 Hz)2 (0,080 m) Hay que colgar tres hojas de papel de color.

COMPROBACIÓN Parece razonable que con tres o cuatro hojas de papel se pueda construir

el muelle de papel. OBSERVACIÓN Obsérvese que en este ejemplo no hemos usado el valor de m o de k, ya que

la frecuencia depende del cociente k/m que resulta ser g/y0. Además, se ha despreciado la masa del propio muelle, cosa que no es del todo correcta, pues bien podría ser del orden de la masa de tres o cuatro hojas de papel. El resultado del paso 5 es aproximado. PROBLEMA PRÁCTICO 14.4 ¿Cuánto se alarga el muelle de papel cuando un adorno hecho con tres hojas de papel cuelga del muelle en equilibrio?

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Ejemplo 14.7

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

Una cuenta de collar sobre un bloque

Un bloque descansa sobre un muelle y oscila verticalmente con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 7 cm. Una bolita de collar se sitúa sobre el bloque oscilante justo cuando éste alcanza su punto más bajo. Suponiendo que la masa de la bolita es tan pequeña que no afecta al movimiento del bloque, ¿a qué distancia de la posición de equilibrio del bloque la bolita pierde contacto con éste? 0 PLANTEAMIENTO Las fuerzas que actúan sobre la bola son su peso mg hacia abajo y la

fuerza normal ejercida por el bloque hacia arriba. El módulo de esta fuerza normal cambia con las variaciones de la aceleración. A medida que el bloque se mueve hacia arriba, por encima de la posición de equilibrio, su aceleración y la de la bolita van hacia abajo y aumentan en módulo. Cuando la aceleración alcanza el valor g, la fuerza normal es cero. Si la aceleración hacia abajo a la que está sometido el bloque supera hacia abajo este valor, la bolita pierde contacto con el bloque.

y

SOLUCIÓN

1. Dibujar un esquema del sistema (figura 14.12). Incluir el eje de coordenadas y con el origen situado en la posición de equilibrio y con la dirección positiva dirigida hacia abajo: 2. Buscar el valor de y para el cual la aceleración es g dirigida hacia abajo. Usar la ecuación 14.7:

ay 
v y g 
v2 y

3. Sustituir 2pf por v y despejar y:

g 
(2pf)2y

FIGURA 14.12

2

por lo tanto, y 


g (2pf)2




9,81 m>s2 [2p(4,00 Hz)]2


0,0155 m 
1,55 cm

COMPROBACIÓN La bola se separa del bloque cuando y es negativa, lo cual se produce

cuando la bolita está por encima de la posición de equilibrio, como era de esperar.

EL PÉNDULO SIMPLE Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. Cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo inicial f0 con la vertical, oscila a un lado y a otro con un periodo T. Las unidades de longitud, masa y g son m, kg y m/s2, respectivamente. Si dividimos L por g, los metros se anulan y queda segundos al cuadrado, lo que sugiere la forma 1L>g. Si la fórmula del periodo contuviera la masa, la unidad kg debería cancelarse por alguna otra magnitud. Sin embargo, ninguna combinación de L y g puede anular las unidades de masa. Así pues, el periodo no puede depender de la masa de la lenteja. Como el ángulo f0 es adimensional, no podemos saber por análisis dimensional si es o no un factor del periodo. Más adelante veremos que para valores pequeños de f0, el periodo viene expresado por T  2p1L>g .

✓

COMPROBACIÓN CONCEPTUAL 14.1

Parece lógico suponer que el periodo de un péndulo simple depende de la masa m de la lenteja, la longitud L del péndulo, la aceleración debida a la gravedad g, y el ángulo inicial f0. Determinar una combinación simple de estas magnitudes que ofrezca las dimensiones correctas del periodo.

El péndulo de Foucault de la Universidad de Louisville. En 1985, Leon Foucault suspendió del techo del Panteón de París un péndulo de 67 m. Debido a la rotación de la Tierra, el Panteón rota en torno al péndulo (si el Panteón estuviera en el polo Norte, daría una vuelta completa una vez cada 24 h). La observación del edificio rotando en torno al plano del péndulo causó asombro e ilusionó al mundo. (Gentileza de John Kielkopf/University of Louisville.)

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Algunos sistemas oscilantes S

φ

T

m s mg sen φ

Sustituyendo en la ecuación 14.24 Ld2f/dt2 por d2s/dt2, se obtiene dt2




g L

L

14.24

donde la longitud del arco s está relacionada con el ángulo f mediante s  Lf. Derivando dos veces con respecto del tiempo ambos lados de la expresión s  Lf, se obtiene d 2f d 2s  L dt 2 dt 2

d2f

471

S

Las fuerzas que actúan sobre la lenteja son su peso mg y la tensión T de la cuerda (figura 14.13). Cuando la cuerda forma un ángulo f con la vertical, el peso tiene las componentes mg cos f a lo largo de la cuerda y mg sen f tangencial al arco circular en el sentido de f decreciente. Para la componente tangencial, la segunda ley de Newton (©Ft  mat) nos da d2 s
mg sen f  m 2 dt

|

SECCIÓN 14.3

φ

sen f

14.25

mg cos φ

mg

Obsérvese que la masa m no aparece en la ecuación 14.25, es decir, el movimiento de un péndulo no depende de su masa. Para valores pequeños de f, sen f ≈ f, y g d 2f

f 2 dt L

14.26

fV1

FIGURA 14.13

Fuerzas sobre la lenteja

de un péndulo.

La ecuación 14.26 es de la misma forma que la ecuación 14.2 para un objeto ligado a un muelle. El movimiento de un péndulo es, por lo tanto, aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares. La ecuación 14.26 también puede escribirse en la forma d2f 2

dt


v2f,

donde v2 

g L

14.27

El periodo del movimiento es entonces T

L 2p  2p v Ag

(para pequeñas oscilaciones)

14.28

P E R I O DO D E U N P É N D U L O S I M P L E

La solución de la ecuación 14.27 es f  f0 cos(vt  d) donde f0 es el desplazamiento angular máximo. De acuerdo con la ecuación 14.28, cuanto mayor es la longitud del péndulo, mayor es el periodo, lo cual está de acuerdo con lo observado experimentalmente. Obsérvese también que la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud de la oscilación (para amplitudes pequeñas), siendo esta una característica general del movimiento armónico simple.

PROBLEMA PRÁCTICO 14.5

Determinar el periodo de un péndulo simple de 1 m de longitud que describe oscilaciones pequeñas.

La aceleración debida a la gravedad puede medirse fácilmente utilizando un péndulo simple que describe pequeñas oscilaciones. Únicamente es necesario medir la longitud L y el periodo T. Mediante la ecuación 14.28 se calcula g. (Para determinar T, habitualmente medimos el tiempo necesario para n oscilaciones y dividimos por n, lo cual minimiza el error de la medida.)

!

v es la frecuencia angular del movimiento del péndulo, no la velocidad angular.

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Página 472

Oscilaciones

CAPÍTULO 14

Ejemplo 14.8

Conceptual

Cronometrando la carrera

En una práctica de laboratorio de física general sobre cinética en una dimensión, Liz y Bob se encargan de medir el tiempo que tarda una viga en recorrer varias distancias si se deja caer por un raíl de aire de 2 m de longitud (un raíl de aire es un raíl virtual que no produce rozamiento). Para ello, inclinan el raíl colocando un bloc de notas de 2 cm de grosor debajo de las patas de uno de los dos extremos. A continuación, sueltan la viga desde la mitad del raíl y observan que tarda 4,8 s en llegar al final del raíl. Repiten el experimento, pero ahora lo sueltan desde el extremo más alto y ven que tarda el mismo tiempo (4,8 s) en llegar al final del raíl. ¿Podría dar una explicación a este hecho? PLANTEAMIENTO Si el raíl fuese perfectamente rectilíneo, la aceleración sería la misma en todos los puntos del raíl y el tiempo que tardaría la viga en llegar al final si se suelta en el otro extremo, sería mayor que el que tardaría si se suelta en la mitad del raíl. Sin embargo, si el raíl está ligeramente curvado, la aceleración no es la misma en todos los puntos del raíl, sino que depende del valor de la pendiente en cada punto. SOLUCIÓN

1. Supongamos que el raíl está ligeramente curvado de tal modo que forma un arco circular cuyo centro de curvatura está justo encima del extremo más bajo del carril:

En este caso, la viga se movería como una lenteja de un péndulo simple de longitud L  R, donde R es el radio de curvatura del raíl.

2. El periodo T del un péndulo es independiente de la amplitud para pequeñas oscilaciones:

Los tiempos medidos por Liz y Bob serían iguales a una cuarta parte del periodo T del péndulo dado por la ecuación 14.28. Como el periodo del péndulo es independiente de la amplitud, los tiempos medidos serían iguales.

COMPROBACIÓN ¿La amplitud del péndulo es realmente pequeña cuando la viga parte

del punto más alto del raíl? La respuesta sería afirmativa si R fuese mucho mayor que la longitud del raíl (2 m). Podemos calcular L a partir de la ecuación 14.28. Sustituyendo T  4,8 s se tiene R  L  92 m, lo que confirma la hipótesis de pequeñas amplitudes.

El péndulo en un sistema de referencia acelerado La figura 14.14a muestra un péndulo simple suspendido del techo de un furgón de ferrocarril que se mueve S S con aceleración a0 con respecto al suelo, hacia la derecha, siendo a la aceleración de la lenteja relativa al suelo. Aplicando la segunda ley de Newton a la lenteja, se obtiene S

S

©F  T  mg  ma S

S

14.29

Si la lenteja permanece en reposo con respecto del furgón, a  a0, entonces S

S

Este reloj se mantiene en hora gracias a un oscilador de torsión. (Gentileza de Bill Master/Alibaba. http://yuning.en.alibaba.com.)

©Fx  T sen u0  ma0 ©Fy  T cos u0
mg  0 donde u0 es el ángulo de equilibrio, que según esto viene dado por tg u0  a0/g. Si S S S S la lenteja se mueve con respecto al furgón, entonces a  a
a0, donde a es la

T Ty

–ma 0 T

θ

θ

mg ’ Tx

mg

mg

(a)

(a) Péndulo simple en equilibrio aparente en un furgón con movimiento acelerado. Las fuerzas que se muestran corresponden a un sistema estacionario exterior. (b) Fuerzas que actúan sobre la lenteja observadas en el sistema acelerado. Sumar la pseudofuerza S
ma 0 es equivalente a reemplazar S S g por g . FIGURA 14.14

a0

(b)

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Algunos sistemas oscilantes

SECCIÓN 14.3

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473

S

aceleración de la lenteja relativa al furgón. Sustituyendo a en la ecuación 14.29, se obtiene S S S S S ©F  T  mg  m(a  a0) S

Restando ma0 en los dos términos de la expresión anterior, se llega a S

T  mg   ma S

S

donde g   g
a0 . Reemplazando g por g  y a por a en la ecuación 14.29, se obtiene el movimiento de la lenteja relativa al furgón. En la figura 14.14b, se muestran S S S los vectores T y mg . Si la cuerda se rompe y, por lo tanto, T  0, la ecuación anS S S terior nos conduce a a  g , lo cual significa que g  es la aceleración de caída libre en el sistema de referencia del furgón. Si se desplaza ligeramente la lenteja de su posición de equilibrio, oscilará con un periodo T dado por la ecuación 14.28, donde g ha sido reemplazada por g. S

S

S

S

S

S

S

1,06 PROBLEMA PRÁCTICO 14.6

Un péndulo simple de longitud 1 m se encuentra en un furgón que se mueve horizontalmente con una aceleración a0  3 m/s2. Determinar g y el periodo T.

Oscilaciones de gran amplitud Cuando la amplitud de un péndulo se hace grande, su movimiento continúa siendo periódico, pero deja de ser armónico simple. Para determinar el periodo debe tenerse en cuenta una ligera dependencia con la amplitud. Para una amplitud angular cualquiera f0, se demuestra que el periodo viene dado por la expresión T  T0 c1 

1

1 1 3 2 1 sen2 f0  a b sen4 f0  Á d 2 2 2 2 2 4 2

T/T0

1,04 1,03 1,02 1,01 1

14.30

P E R I O DO PA R A O S C I L AC I O N E S D E G R A N A M P L IT U D

donde T0  2p2L>g es el periodo correspondiente a amplitudes muy pequeñas. La figura 14.15 muestra T/T0 en función de la amplitud f0.

Ejemplo 14.9

1,05

0

0,2

0,4 0,6 Amplitud φ0, rad

Obsérvese que los valores de las ordenadas van de 1 a 1,06. En un rango de f entre 0 y 0,8 rad (46º), el periodo cambia en un 5%, aproximadamente.

FIGURA 14.15

Un reloj de péndulo

Inténtelo usted mismo

Un reloj de péndulo simple se calibra para que funcione con precisión con una amplitud angular de f0  10º. Cuando la amplitud ha disminuido hasta ser muy pequeña, ¿el reloj se adelantará o se atrasará? ¿Cuánto se adelantará o se atrasará en un día si la amplitud sigue siendo muy pequeña? PLANTEAMIENTO Para calcular el periodo cuando la amplitud angular es de 10º, consideramos sólo el primer término corrrector de la ecuación 14.30. Es decir,

T
T0 c1 

0,8

1

1 sen2 f0 d 2 2 2

Esta ecuación nos dará una buena precisión, pues 10º es realmente un ángulo pequeño. La amplitud del péndulo decrece lentamente debido a los efectos del rozamiento con el aire. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos

Respuestas

1. Utilizar la ecuación 14.30 para determinar si T0 es mayor o menor que T.

T disminuye cuando f0 disminuye de modo que

2. Utilizar la ecuación 14.30 para determinar la variación relativa en porcentaje, [(T
T0)/T0]  100%, para f  10º. Considerar sólo el primer término de corrección.

0,190%

3. Determinar el número de minutos de un día.

Hay 1440 minutos en un día.

4. Combinar las pasos 2 y 3 para determinar la variación del número de minutos en un día según el reloj del ejemplo.

Se produce un adelanto de 2,73 minutos por día.

el reloj se adelanta.

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

COMPROBACIÓN El primer término corrector de la ecuación 14.30 es

sen2 (10,0°>2)  1,90  10
3, de forma que T  1,0019 T0 y (T
T0)/T  0,0019. Este valor concuerda con el resultado del paso 2. 1 4

OBSERVACIÓN Para evitar que el reloj se adelante, el mecanismo de un reloj de péndulo

se diseña de tal modo que mantenga la amplitud prácticamente constante. φ

* EL OSCILADOR DE TORSIÓN El oscilador de torsión es un sistema que describe oscilaciones de rotación como una variante de un movimiento armónico simple. En la figura 14.16 se muestra un péndulo de torsión que consiste en un disco sólido suspendido de una varilla de acero. Si el desplazamiento angular del disco respecto a la posición de equilibrio es f, entonces la varilla ejerce un momento (lineal) de fuerza sobre el disco dado por t 
kf

El péndulo de torsión consiste en un disco sólido suspendido de una varilla de acero.

FIGURA 14.16

14.31

donde k es la constante de torsión de la varilla. Sustituyendo el momento de 14.31 en la segunda ley Newton de la dinámica de rotación, se tiene
kf  Ia donde la aceleración angular a  d2a/dt2. Por tanto,
kf  Ia se convierte en d 2f k 
f dt 2 I

14.32

que es idéntica a la ecuación 14.2, excepto con I en lugar de m, k en lugar de k y f en lugar de x. Entonces, la solución de la ecuación 14.32 podrá escribirse de la forma f  f0 cos(vt  d)

14.33

donde v  2k>I es la frecuencia angular, no la velocidad angular, del movimiento. El periodo es, por tanto, T

2p I  2p v Ak

14.34

Todos los relojes mecánicos se mantienen en hora debido a que el periodo de la parte oscilante del mecanismo permanece constante. El periodo de cualquier péndulo cambia con los cambios de amplitud. Sin embargo, los mecanismos motores de un reloj de péndulo mantienen su amplitud constante. (Richard Menga/ Fundamental Photographers.)

P E R I O DO D E U N O S C I L A DO R D E TO RS I Ó N

* EL PÉNDULO FÍSICO

Eje

Un cuerpo rígido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de péndulo físico. Consideremos una figura plana con un eje de rotación situado a una distancia D del centro de masas y desplazada de su posición de equilibrio un ángulo f (figura 14.17). El momento respecto al eje tiene como módulo MgD sen f. Para valores suficientemente pequeños de f, podemos simplificar utilizando la aproximación sen f  f. Por tanto, para pequeños ángulos, el momento es t 
MgDf.

φ

D cm

D sen φ Mg

14.35

Comparando con la ecuación 14.31, se puede ver que para pequeños desplazamientos angulares, el péndulo físico es un oscilador de torsión cuya constante de torsión es k  MgD

FIGURA 14.17

Péndulo físico.

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Algunos sistemas oscilantes

SECCIÓN 14.3

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475

Entonces, el movimiento del péndulo físico es descrito por la ecuación 14.33 con k  MgD. El periodo es, por tanto,

T

2p I  2p v A MgD

14.36 P E R I O DO D E U N P É N D U L O F Í S I C O

Para grandes amplitudes, el periodo viene dado por la ecuación 14.30, con T0 expresado por la ecuación 14.36. Para un péndulo simple de longitud L, el momento de inercia es I  ML2 y D  L. La ecuación 14.36 nos da T  2p2ML2>(MgL)  2p 2L>g , igual que en la ecuación 14.28.

Ejemplo 14.10

!

El periodo de un péndulo físico depende de cómo se distribuye su masa, pero no de su propia masa M. Como el momento de inercia es proporcional a M, el cociente I/M es independiente de M.

A ritmo de paseo

Póngalo en su contexto

Un posible criterio para saber si el ritmo al que una persona camina resulta cómodo (ritmo de paseo), consiste en suponer que en ese caso cada pierna se puede considerar como si fuese un péndulo físico. ¿Es correcto este criterio? PLANTEAMIENTO Un modelo sencillo consiste en suponer que la pierna es como una barra articulada por un extremo. Cada pierna oscila una vez cada dos pasos, de forma que el tiempo requerido para dar 10 pasos es 5T, donde T es el periodo del péndulo. ¿Cuánto tiempo se tardaría en completar 10 pasos? Suponer que la pierna es uniforme y tiene 0,9 m de longitud.

Eje P

L/2 SOLUCIÓN cm

1. Dibujar una barra articulada por un extremo, indicando el centro de masas (figura 14.18): 2. El periodo viene dado por T  2p2I>MgD (ecuación 14.36): 3. El valor de I respecto al extremo se encuentra en la tabla 9.1 y D es la mitad de la longitud de la barra:

I  13 ML2

4. Aplicar los valores de I y D para determinar T:

T  2p

5. La longitud es L  0,9 m y el tiempo para dar los 10 pasos es 5T:

5T  5 # 2p

6.

L/2

I T  2p A MgD

C

y

La distancia entre el eje de rotación y el centro de masas es L>2.

FIGURA 14.18

D  12 L

1 2 3 ML 1 Mg(2 L)

2L A 3g

2L  2p A 3g

 10p

2(0,90 m) B 3(9,81 m>s2)

La pierna es más gruesa en la parte superior que en la inferior y la interpretación de paseo es un tanto relativa, por lo que el modelo es una aproximación de la realidad.

COMPROBACIÓN Los animales con largas patas, como los elefantes y las jirafas, parecen

caminar a un ritmo más lento, casi de paseo, que aquellos que tienen las patas más cortas, como los ratones. Esto concuerda con el modelo descrito en este ejemplo.

 7,8 s

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CAPÍTULO 14

Ejemplo 14.11

Oscilaciones

La barra oscilante

Una barra uniforme de masa M y longitud L puede girar libremente alrededor de un eje horizontal perpendicular a la barra y que pasa por uno de sus extremos. Determinar el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos angulares.

Eje L/2 x P

PLANTEAMIENTO El periodo viene dado por la ecuación 14.36. El centro de masas se en-

cuentra en el centro de la barra, de modo que la distancia del centro de masas al eje de rotación es x (figura 14.19). El momento de inercia de una barra uniforme puede determinarse a partir del teorema de los ejes paralelos I  Icm  MD2 (ecuación 9.13), donde Icm puede encontrarse en la tabla 9.1. SOLUCIÓN

I A MgD

1. El periodo viene dado por la ecuación 14.36:

T  2p

2. D  x, y el momento de inercia viene dado por el teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas se encuentra en la tabla 9.1:

I  Icm  MD2  121 ML2  Mx 2

3. Sustituir estos valores para determinar T:

T  2p

cm L/2

La distancia entre el eje de rotación y el centro de masas es x.

FIGURA 14.19

Dx 3

(121 ML2  Mx 2) I  2p A MgD D Mgx 2

 2p

(121 L2  x 2) D

gx

T, s

COMPROBACIÓN Cuando x S 0, T S , como era de esperar. (Si el eje de rotación de la

1

barra pasa por su centro de masas, la gravedad no ejerce un momento restaurador.) Cuando x  L/2, se obtiene T  2p22L>3g , el mismo resultado que se obtuvo en el paso 4 del ejemplo 14.10. Además, cuando x W L, la expresión del periodo se acerca a T  2p 2x>g , que se corresponde al periodo de un péndulo simple de longitud x (ecuación 14.28).

0 OBSERVACIÓN En la figura 14.20, se muestra el periodo T en función de la distancia x del

0

1 x, m

centro de masas para una barra de longitud 1 m. PROBLEMA PRÁCTICO 14.7 Demostrar que cuando x  L/6, el periodo es el mismo que

cuando x  L/2.

Ejemplo 14.12

Representación gráfica del periodo en función de la distancia al centro de masas. Si x > 0,5 m, el pivote está fuera del extremo de la barra.

FIGURA 14.20

Inténtelo usted mismo

Revisión del ejercicio de la barra que oscila

Determinar el valor de x en el ejemplo 14.11 para que el periodo sea mínimo. PLANTEAMIENTO En el valor de x para el cual T es un mínimo, dT/dx  0. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos

Respuestas

1. El periodo viene dado por el resultado del ejercicio 14.11 en el cual T  2p 1Z>g , donde Z  (121 L2  x 2)>x. Determinar el periodo cuando x se acerca a cero y a infinito.

T  2p

(121 L2  x 2)

C

gx

Z Ag

 2p

donde Z  (121 L2  x 2)>x Cuando x S 0, Z S , y T S . Cuando x S , Z S , y T S .

2

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Oscilaciones amortiguadas 2. El periodo tiende a infinito cuando x se acerca a cero y a infinito. En algún punto del intervalo 0 < x < ∞, el periodo es un mínimo. Para determinar el mínimo, se impone dT/dx  0 y se despeja x.

SECCIÓN 14.4

|

dT dZ p
1>2 dZ dT   Z dx dZ dx dx 2g Z 0 en todo el intervalo 0 x , con lo cual dT dZ 0 ⇒  0. dx dx L dZ  0,289L 0 ⇒ x dx 212

COMPROBACIÓN Lo razonable es que la respuesta esté entre 0 y 0,5L. El resultado obte-

nido en el paso 2 concuerda con lo esperado.

14.4

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Si un muelle o un péndulo oscilan libremente, siempre acaban parándose porque las fuerzas de rozamiento disipan su energía mecánica. Un movimiento con estas características se denomina movimiento amortiguado. Si el amortiguamiento es muy grande, como por ejemplo en el caso de un péndulo que oscila en melaza, el oscilador ni tan siquiera ejecuta una oscilación completa, sino que se mueve hacia la posición de equilibrio con una velocidad que se aproxima a cero cuando el objeto se acerca a dicha posición de equilibrio. Este tipo de movimiento se denomina sobreamortiguado. Si, por el contrario, el amortiguamiento del movimiento es débil, de modo que la amplitud decrece lentamente con el tiempo, como le ocurre a un niño que se divierte en un columpio de un parque cuando su madre deja de empujarle, el movimiento resultante se denomina subamortiguado. Cuando se da el amortiguamiento mínimo para que se produzca un movimiento no oscilatorio, se dice que el sistema está amortiguado críticamente. (Cualquier amortiguamiento inferior produce un movimiento subamortiguado.)

Movimiento subamortiguado La fuerza de amortiguamiento ejercida por un oscilador como el que se muestra en la figura 14.21a puede representarse mediante la expresión empírica S S Fd 
bv donde b es una constante. Un sistema que cumple la ecuación anterior se dice que está amortiguado linealmente. El análisis siguiente corresponde a este tipo de movi(a)

(b) x A0

t m

(a) Oscilador amortiguado. El movimiento del disco se amortigua por el émbolo sumergido en el líquido. (b) Curva de oscilación amortiguada.

FIGURA 14.21

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

miento. La fuerza de amortiguamiento se opone a la dirección del movimiento; por lo tanto, realiza un trabajo negativo y hace que la energía mecánica del sistema disminuya. Esta energía es proporcional al cuadrado de la amplitud (ecuación 14.17) y el cuadrado de la amplitud disminuye exponencialmente a medida que aumenta el tiempo. Por lo tanto, A2  A 20 e
t>t

14.37 D E F I N I C I Ó N : C O N STA N T E D E T I E M P O

donde A es la amplitud, A0 es la amplitud cuando t  0, y  es el tiempo de extinción o constante de tiempo. La constante de tiempo es el tiempo necesario para que la energía disminuya en un factor e
1. El movimiento de un sistema amortiguado puede deducirse de la segunda ley de Newton. Para un objeto de masa m ligado a un muelle de constante de fuerza k, la fuerza neta es
kx
b(dx/dt). Igualando la fuerza neta con el producto de la masa por la aceleración d2x/dt2, se obtiene
kx
b

dx d2x m 2 dt dt

que puede reescribirse como

m

d2x dx  kx  0 b dt 2 dt

14.38

E C UAC I Ó N D I F E R E N C I A L D E U N O S C I L A DO R A M O RT I G UA DO

La solución exacta de esta ecuación puede obtenerse utilizando los métodos conocidos de las ecuaciones diferenciales. La solución para el caso subamortiguado es x  A 0e
(b>2m)t cos(vt  d)

14.39

donde A0 es la amplitud máxima. La frecuencia v viene dada por v  v0

A

1
a

2 b b 2mv0

14.40

donde v0 es la frecuencia cuando no hay amortiguamiento v0  2k>m para una masa ligada a un muelle. Para un amortiguamiento débil, b/(2mv0) 2m)t

14.41

Elevando al cuadrado los dos términos de esta ecuación y comparando el resultado con la ecuación 14.37, tenemos t

m b

14.42

Si la constante de amortiguamiento b crece gradualmente, la frecuencia angular v disminuye hasta hacerse igual a cero en el valor crítico bc  2mv0

14.43

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Oscilaciones amortiguadas

Si b es igual o mayor que bc, el sistema no oscila. Cuando b es mayor que bc, el sistema es sobreamortiguado. Cuanto menor sea b, más rápidamente volverá el objeto al equilibrio. Cuando b  bc, se dice que el sistema está amortiguado críticamente, y vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilar. La figura 14.22 muestra el desplazamiento en función del tiempo correspondiente a un oscilador amortiguado críticamente y a un oscilador sobreamortiguado. En muchas aplicaciones prácticas se usa un amortiguador crítico o casi crítico para evitar las oscilaciones y lograr, no obstante, que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente.

SECCIÓN 14.4

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479

x Amortiguado críticamente Sobreamortiguado

t

Representación gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el caso de un oscilador amortiguado críticamente y otro sobreamortiguado.

FIGURA 14.22

Ejemplo 14.13

Masa suspendida de un turismo

La masa suspendida de un automóvil es la masa que soportan sus ballestas (no incluye la masa de las ruedas, ejes, frenos, etc.). Un turismo tiene una masa suspendida de 1100 kg y una masa no suspendida de 250 kg. Si se quitan los amortiguadores de forma que el coche descansa sobre las ballestas, éste empieza a oscilar con 1 Hz de frecuencia. ¿Cuánto vale la constante de amortiguamiento de cada uno de los cuatro amortiguadores si el coche, con los amortiguadores puestos, debe volver a la situación de reposo tras el mínimo número de oscilaciones? PLANTEAMIENTO Como el coche ha de volver lo antes posible a la situación de reposo, sus amortiguadores deben comportarse como osciladores críticamente amortiguados. Utilizaremos bc  2 mv0 (ecuación 14.43) para hallar la constante de amortiguamiento crítico. SOLUCIÓN

1. La constante de amortiguamiento crítico está relacionada con la frecuencia natural de oscilación v0 mediante bc  2 mv0:

bc  2mv0

2. Como las ruedas tocan con el suelo en todo momento, sólo hay que considerar los efectos inerciales (no gravitatorios) de la masa suspendida:

m  1100 kg

3. La frecuencia natural v0 viene dada en el enunciado:

v0  1,0 Hz

4. Calculamos la constante de amortiguamiento:

b  bc  2(1100 kg)>(1,0 Hz)  2,2  103 kg>s S

COMPROBACIÓN La fuerza de amortiguamiento es F 
bv , así que bv tiene unidades de S

newtons en el SI. El valor de b obtenido en el paso 4 tiene unidades de kg/s, de forma que (kg/s)(m/s)  kg m/s2, que son las unidades de fuerza en el SI. OBSERVACIÓN Los amortiguadores óptimos para los vehículos son aquellos cuya cons-

tante de amortiguamiento es la crítica. Esta constante se calcula a partir de la masa suspendida y de la constante elástica k de los muelles.

Como la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, la energía de un oscilador subamortiguado (valor promediado en un ciclo) también disminuye exponencialmente con el tiempo: E  12 mv2A2  12 mv2(A 0e
(b>2m)t)2  12 mv2A 20 e
(b>m)t  E0e
t>t

14.44

donde E0  12 mv2 A 20 y t  m>b. Un oscilador amortiguado se describe normalmente por su factor Q (o factor de calidad): Q  v0 t

14.45 D E F I N I C I Ó N : FAC TO R Q

En las llantas de las ruedas de los coches se colocan pesos para equilibrarlas. El objetivo de equilibrar las ruedas es evitar las vibraciones que producirían las oscilaciones de la dirección del vehículo. (David Wrobel/ Visuals Unlimited.)

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Oscilaciones

CAPÍTULO 14

El factor Q es adimensional. (Como las dimensiones de v0 son las recíprocas del tiempo, v0t no tiene dimensiones.) Podemos relacionar Q con la pérdida relativa de energía por ciclo. Diferenciando la ecuación 14.44, se obtiene dE dt dE 
(1>t)E0 e
t>t 
(1>t)E o 
t dt E Si la amortiguación es suficientemente débil para que la pérdida de energía por ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por E y dt por el periodo T. Por lo tanto, ƒ ¢E ƒ >E en un ciclo (un periodo) viene dado por a

ƒ ¢E ƒ E

o sea, Q

2p

ƒ ¢E ƒ

( ƒ ¢E ƒ >E)ciclo

E

b

 ciclo

2p 2p T   t v0 t Q

14.46

14.47

V1

I N T E R P R ETAC I Ó N F Í S I C A D E Q PA R A U N A M O RT I G UA M I E N TO L E V E

Así pues, Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo.

Ejemplo 14.14

Componiendo música

Cuando se pulsa la nota do-central en el piano (frecuencia 262 Hz), la mitad de su energía se pierde en 4 segundos. (a) ¿Cuál es el tiempo de extinción t? (b) ¿Cuál es el factor Q de esta cuerda de piano? (c) ¿Cuál es la pérdida de energía relativa por ciclo? PLANTEAMIENTO (a) Utilizamos E  E0 e
t>t haciendo E  12 E0 . (b) El valor Q puede deter-

minarse entonces a partir del tiempo de extinción y de la frecuencia.

SOLUCIÓN

(a) 1. Igualar la energía de la nota pulsada en el tiempo t  4 s con la mitad de su energía original: 2. Despejar el tiempo t tomando logaritmos neperianos de la expresión anterior:

E  E0 e
t>t de modo que 1
(4,00 s>t) 2  e ln

1 2




1 2 E0

 E0e
(4,00 s>t)

4,00 s

por tanto,

t t

4,00 s ln2

 5,771  5,77 s

Q  v0t  2pft

(b) Calcular Q a partir de t y v0:

 2p(262 Hz)(5,771 s)  9,500  103  9,50  103 (c) La pérdida de energía relativa en un periodo viene dada por la ecuación 14.46 y la frecuencia por f  1/T:

a

ƒ ¢E ƒ E

b

 ciclo

2p 1 1 T    t v0t ft (262 Hz)(5,771 s)

 6,614  10
4  6,61  10
4 COMPROBACIÓN El factor Q también puede calcularse a partir de Q  2p/( E/E)ciclo  2p/(6,61  10
4)  9,50  103. Obsérvese que la pérdida de energía relativa después de 4 s no coincide con el producto del número de ciclos (4  262) por la pérdida de energía relativa por ciclo, ya que el decrecimiento de energía relativa no es lineal, sino exponencial.

1,0

OBSERVACIÓN La figura 14.23 muestra la amplitud relativa A/A0 y la energía relativa

0,6

E/E0 en función del tiempo de la oscilación de una cuerda de piano después de pulsar la nota do-central. Al cabo de los 4 s, la amplitud ha disminuido a unas 0,7 veces su valor inicial, y la energía, proporcional al cuadrado de la amplitud, se reduce hasta, aproximadamente, la mitad de su valor inicial.

0,8

Amplitud

Energía

0,4 0,2

Representación de A/A0 y de E/E0 para una cuerda de piano pulsada. FIGURA 14.23

0

0

2

4 t, s

6

8

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Oscilaciones forzadas y resonancia

SECCIÓN 14.5

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Obsérvese que Q es bastante grande. Es fácil estimar t y Q de diversos sistemas oscilantes. Al dar un pequeño golpe a un vaso de cristal, se puede observar el tiempo que tarda el sonido en extinguirse. Un tiempo mayor supone un mayor valor de t y Q y menor amortiguamiento. Los vasos de vidrio del laboratorio suelen tener un Q elevado. Probar con una taza de plástico. ¿Cómo es el amortiguamiento comparado con el vaso del laboratorio? En función de Q, la frecuencia exacta de un oscilador subamortiguado es v  v0

A

1
a

2 b 1 b  v0 1
2mv0 A 4Q2

14.48

Como b es pequeña (Q es grande) para un oscilador débilmente amortiguado (ejemplo 14.14), vemos que v es casi igual a v0. Mediante consideraciones energéticas podemos entender cualitativamente el comportamiento de un oscilador amortiguado. La potencia disipada por la fuerza amortiguadora es igual a la variación instantánea de la energía mecánica total por unidad de tiempo S dE S S S 14.49 P  Fd # v 
bv # v 
bv 2 dt En un oscilador ligeramente amortiguado, la energía mecánica total disminuye poco a poco con el tiempo. La energía cinética media es igual a la mitad de la energía total 1 1 E a mv2 b  E o (v2)m  m 2 2 m Si sustituimos (v2)m  E/m por v2 en la ecuación 14.49, resulta b dE 
bv2

b(v2)m 
E m dt

14.50

Reordenando la ecuación 14.50, nos queda dE b 
dt m E ecuación que integrada tiene la solución E  E0e
(b>m)t  E0 e
t>t que es la ecuación 14.44.

14.5

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

Para mantener en marcha un sistema amortiguado, debemos ir suministrando energía al sistema. Cuando se lleva a cabo esto, se dice que el oscilador es forzado. Cuando usted se sentaba en un columpio y papá o mamá mantenía su oscilación empujándole una vez cada ciclo, ellos estaban forzando un oscilador. Así mismo, se puede forzar el oscilador del columpio mediante el suministro de energía que se realiza moviendo el cuerpo y las piernas hacia delante y hacia atrás. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo cual se aprecia por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se introduce al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo. En este caso, se dice que el oscilador está en estado estacionario. Una manera de suministrar energía a un sistema formado por un objeto que cuelga de un muelle vertim cal es mover el punto de soporte hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armónico simple de frecuencia v (figura 14.24). Al principio, el movimiento es

Dándose impulso en el columpio, la persona de la fotografía transfiere parte de su energía interna a la energía mecánica del oscilador. (Eye Wire/ Getty.)

Se puede ejercer una fuerza externa sobre un objeto sujeto a un muelle desplazando el punto del soporte hacia arriba y hacia abajo.

FIGURA 14.24

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

complicado, pero finalmente alcanza un estado estacionario en el que el sistema oscila con la misma frecuencia que la fuerza externa impulsora y con amplitud constante y, por lo tanto, con energía constante. En el estado estacionario, la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un ciclo es igual a la disipada en el ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud, y, por lo tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, no sólo depende de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Se define la frecuencia natural de un oscilador, v0, como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. (Por ejemplo, la frecuencia angular natural de un muelle es v0  1k>m.) Si la frecuencia impulsora es muy parecida a la frecuencia natural del sistema, éste oscilará con una amplitud relativamente grande. Por ejemplo, si el soporte de la figura 14.24 oscila con la frecuencia natural del sistema masa-muelle, la masa oscilará con una amplitud mucho mayor que si el soporte oscila con frecuencias mayores o menores. Este fenómeno se denomina resonancia. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador, la energía absorbida por éste en cada ciclo es máxima. Por ello, la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de resonancia del sistema. (Matemáticamente es más conveniente utilizar la frecuencia angular v que la frecuencia f  v/(2p). Como v y f son proporcionales, la mayoría de las afirmaciones concernientes a la frecuencia angular también son válidas para la frecuencia. Por ello, a partir de ahora, omitiremos la palabra angular cuando su omisión no provoque confusión.) En la figura 14.25, se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora para dos valores diferentes del amortiguamiento. Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la anchura del pico de la curva de resonancia es, en consecuencia, estrecha y se dice que la resonancia es aguda. Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de resonancia es ancha. La anchura v de cada curva de resonancia, indicada en la figura, es la anchura a la mitad de la altura máxima. Para un amortiguamiento relativamente pequeño, se puede demostrar que el cociente entre la anchura de resonancia y la frecuencia de resonancia es igual al valor inverso del factor Q (véase problema 106): ¢v 1  v0 Q

14.51

A N C H U R A D E R E S O N A N C I A PA R A U N A M O RT I G UA M I E N TO P E Q U E Ñ O

Por lo tanto, el factor Q es una medida directa de la agudeza de la resonancia. Puede hacerse un sencillo experimento que ponga en evidencia la resonancia. Se sostiene una regla por un extremo con dos dedos, de modo que actúe como un péndulo. (También se puede usar cualquier otro objeto similar, como un palo de golf.) Se suelta el otro extremo desde una cierta distancia angular y se observa la frecuencia natural del movimiento. Después, se mueve la mano adelante y atrás horizontalmente para darle impulso con la frecuencia natural de la regla. Aunque la amplitud del movimiento de la mano sea pequeña, la regla oscilará con una amplitud considerable. Si la mano se mueve adelante y atrás a una frecuencia el doble o triple de la frecuencia natural, se observará una disminución de la amplitud de la regla oscilante. Existen muchos ejemplos conocidos de resonancia. Cuando nos sentamos en un columpio aprendemos intuitivamente a mover el cuerpo con la misma frecuencia que la natural del columpio. Muchas máquinas vibran porque tienen piezas en rotación que no están perfectamente equilibradas. (Observar, por ejemplo, una lavadora en el periodo de centrifugado.) Si se sujeta una de estas máquinas a una estructura que pueda vibrar, dicha estructura se convierte en un sistema oscilatorio forzado que puede iniciar su movimiento por la acción de la máquina. Los técnicos han hecho grandes esfuerzos para equilibrar las partes giratorias de estas máquinas u otras semejantes, amortiguando sus vibraciones y aislándolas de los edificios que las soportan. Una copa de cristal con bajo amortiguamiento puede romperse mediante una onda sonora intensa con una frecuencia igual o muy próxima a la frecuencia natural de vibración del cristal. Este efecto se emplea a menudo en demostraciones de física utilizando un oscilador de audio y un amplificador adecuado.

Pm Pmáx

1 2 Pmáx

∆ω

Amortiguamiento grande, Q pequeña

Pmáx 1 2 Pmáx

Amortiguamiento pequeño, Q grande

∆ω

ω0

ω

Resonancia en un oscilador. La anchura v del pico de resonancia para un oscilador que tiene una Q grande (curva naranja) es pequeña comparada con la frecuencia natural v0. El pico de resonancia del oscilador que tiene Q pequeña (curva azul) con la misma frecuencia natural, posee una anchura considerablemente mayor que el oscilador con mayor Q. FIGURA 14.25

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Oscilaciones forzadas y resonancia

SECCIÓN 14.5

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Los objetos grandes tienen más de una frecuencia de resonancia. Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se transmite la energía al cuerpo del instrumento. Las oscilaciones del cuerpo de la guitarra, acopladas a las oscilaciones de la masa del aire que encierra, producen los diagramas de resonancia que se indican en estas figuras. (Royal Swedish Academy of Music.)

* TRATAMIENTO MATEMÁTICO DE LA RESONANCIA Vamos a estudiar matemáticamente el oscilador forzado suponiendo que, además de estar sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza de amortiguamiento, está sujeto a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo: Fext  F0 cos vt

14.52

donde F0 y v son el módulo y la frecuencia angular de la fuerza impulsora. Generalmente, esta frecuencia no está relacionada con la frecuencia angular natural del sistema v0. La segunda ley de Newton aplicada a un objeto de masa m atado a un muelle de constante de fuerza k y sujeto a una fuerza amortiguadora
bvx y a una fuerza externa F0 cos vt, nos da ©Fx  max
kx
bvx  F0 cos vt  m

d 2x dt 2

donde se ha considerado que ax  d2x/dt2. Sustituyendo mv20 por k (ecuación 14.8) y ordenando los términos, se obtiene

m

d 2x dx b  mv20x  F0 cos vt dt 2 dt

14.53

E C UAC I Ó N D I F E R E N C I A L D E U N O S C I L A DO R F O R Z A DO

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

Abordaremos ahora la solución general de la ecuación 14.53 cualitativamente. La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada en la ecuación 14.39. Las constantes de esta solución dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que puede escribirse en la forma x  A cos(vt
d)

14.54 P O S I C I Ó N D E U N O S C I L A DO R F O R Z A DO

donde la frecuencia angular v es la misma que la de la fuerza impulsora. La amplitud A viene dada por A

F0

14.55

2m2(v20
v2)2  b 2 v2

A M P L IT U D D E U N O S C I L A DO R F O R Z A DO

y la constante de fase d viene dada por tg d 

bv m(v20

14.56


v2)

C O N STA N T E D E FAS E D E U N O S C I L A DO R F O R Z A DO

Comparando las ecuaciones 14.52 y 14.54, podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia, pero difieren en fase en d. Cuando la frecuencia impulsora v tiende a cero, d también tiende a cero, como puede verse a partir de la ecuación 14.56. En la resonancia, v  v0 y d  p/2. Cuando v es mucho mayor que v0, d  p. Al comienzo de este capítulo, hemos visto que el desplazamiento de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple viene dado por x  A cos (vt  d) (ecuación 14.4). Esta ecuación es idéntica a la ecuación 14.54 excepto en el signo que precede a la constante d. La fase de un oscilador forzado siempre va retrasada con respecto a la fase de la fuerza impulsora. El signo negativo de la ecuación 14.54 asegura que d siempre es positivo. En el sencillo experimento de la regla impulsada por el movimiento de la mano adelante y atrás (ver la discusión tras la ecuación 14.51), obsérvese que, en la resonancia, la oscilación de la mano no está en fase ni en desfase de 180º con la oscilación de la regla. Si se mueve la mano adelante y atrás con una frecuencia varias veces la frecuencia natural de la regla, el movimiento en el estado estacionario de ésta se habrá desfasado respecto a la mano casi 180º. La velocidad del objeto en estado estacionario se obtiene derivando x respecto a t: vx 

dx 
vA sen(vt
d) dt

En la resonancia, d  p/2, y la velocidad está en fase con la fuerza impulsora: vx 
vA senavt


p 2

b  vA cos vt

Así pues, vemos que en la resonancia, el objeto siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, como era de esperar, para lograr el máximo aporte de energía. La amplitud de velocidad vA es máxima para v  v0.

!

En la resonancia, el objeto siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, como es lógico, para así lograr el máximo aporte de energía.

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Oscilaciones forzadas y resonancia

Ejemplo 14.15

SECCIÓN 14.5

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Inténtelo usted mismo

Un objeto en un muelle

Un objeto de masa 1,5 kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N/m pierde el 3% de su energía en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor máximo de F0  0,5 N. (a) ¿Cuál es el valor de Q para este sistema? (b) ¿Cuál es la frecuencia (angular) de resonancia? (c) Si la frecuencia impulsora varía, ¿cuál es la anchura v de la resonancia? (d) ¿Cuál es la amplitud en la resonancia? (e) ¿Cuál es la amplitud de la frecuencia impulsora si v  19 rad/s? PLANTEAMIENTO La pérdida de energía por ciclo es del 3%, por lo que la amortiguación es débil. El factor Q puede determinarse mediante la expresión Q  2p/( E/E)ciclo (ecuación 14.47) y después utilizar este resultado y ∆v/v0  1/Q (ecuación 14.49) para determinar la anchura de la resonancia v. La frecuencia de resonancia es la frecuencia natural. La amplitud puede determinarse a partir de la ecuación 14.55 tanto en resonancia como fuera de resonancia, con la constante de amortiguamiento calculada a partir de Q utilizando la definición de Q (ecuación 14.45) y t  m/b (ecuación 14.42). SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos

Respuestas

(a) El amortiguamiento es débil. Relacionar Q con la pérdida de energía usando la ecuación 14.47 y despejar Q.

Q


( ƒ ¢E ƒ >E)ciclo

(b) Relacionar la frecuencia de resonancia con la frecuencia natural del sistema.

v0 

k  20 rad>s Am

(c) Relacionar la anchura de la resonancia v con Q utilizando la ecuación 14.51.

¢v 

(d) 1. Escribir una expresión para la amplitud A válida para cualquier frecuencia impulsora v (ecuación 14.55).

A(v) 

2. Aplicar v  v0 para el cálculo de A en la resonancia.

2p

v0 Q

4. Utilizar los resultados de los dos pasos previos para calcular la amplitud en la resonancia.

A(v0) 

(e) Calcular la amplitud para v  19 rad/s. (Podemos omitir las unidades para simplificar la ecuación. Como todas las magnitudes se expresan en unidades del SI, A se expresa en metros.)

 210

 0,096 rad>s

2 2 2 2 2 2 4m (v0
v )  b v

mv0

b

0,030

F0

A(v0) 

3. Utilizar las ecuaciones 14.45 y 14.42 para relacionar la constante de amortiguamiento b con Q.

2p



Q

A(19) 

F0 bv0  0,144 kg>s F0 bv0

 17 cm 0.5

21,5 (20
192)2  0,1442(19)2 2

2

 0,85 m

COMPROBACIÓN Si v se reduce a 1 rad/s, pasando de 20 rad/s a 19 rad/s, la amplitud

disminuye en un factor 20. Esto no es sorprendente, ya que la anchura de la resonancia es sólo de 0,0957 rad/s. 0,18

OBSERVACIÓN Fuera de la resonancia, el término b2v2 es des-

preciable comparado con el otro término del denominador de la expresión de A. Cuando v
v0 es superior en varias veces a la anchura v a mitad de altura, como en este ejemplo, podemos despreciar el término b2v2 y calcular A según la expresión A
F0 >[m(v20
v2)]. La figura 14.26 muestra la amplitud en función de la frecuencia impulsora v. Obsérvese que la escala horizontal corresponde a un rango pequeño de v.

0,12

∆ω

A, m 0,06

0 18

ω0 18,5

FIGURA 14.26

19

19,5 20 ω , rad/s

20,5

21

21,5

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

Temas de actualidad en Física Moviéndose al compás: el Puente del Milenio En junio del año 2000 se inauguró el puente peatonal de Londres conocido como el Puente del Milenio. Entre 80 000 y 100 000 personas cruzaron el puente a lo largo del día de la inauguración. El puente empezó a balancearse al coincidir 2000 personas al mismo tiempo.1 El balanceo lateral fue tan intenso que la gente tuvo que sujetarse a las barandas.2 El “Puente Tembloroso”3 fue cerrado al los tres días de su inauguración y no se volvió a abrir hasta febrero del 2002. El puente fue diseñado para soportar vientos extremadamente fuertes y resistir los golpes de las barcazas. Sin embargo, el movimiento lateral fue toda una sorpresa para sus arquitectos e ingenieros. Tras unos meses de estudio, los investigadores concluyeron que cuando las personas andan sobre el puente se produce una fuerza con una componente lateral, además de la componente vertical, hacia delante y hacia atrás. La típica cadencia que se produce cuando una persona anda es tal que tanto el pie derecho como el izquierdo golpean el suelo a intervalos de un segundo, aproximadamente. La fuerza lateral que se produce es tal que cuando se pisa con el pie derecho se produce una fuerza lateral hacia la derecha y cuando se pisa con el pie iz- Los amortiguadores de masa fueron colocados quierdo se produce otra fuerza hacia la izquierda, en ambos casos de unos 25 N.4 En bajo el puente poco tiempo después de su conclusión, cuando una persona anda, produce fuerzas laterales, hacia la derecha e apertura. Los amortiguadores fueron puestos izquierda, de unos 25 N con una frecuencia de 1 Hz.5 Lamentablemente, las dos fre- para evitar el exceso de balanceo que causa la multitud al caminar. (Alamy.) cuencias naturales más bajas observadas del balanceo para el arco central de 144 m eran de 0,5 Hz y 1 Hz y para el arco sur la frecuencia natural era de 0,8 Hz. En consecuencia, las pisadas de la gente provocaron el movimiento del puente. Cuando el número de personas era pequeño, la resultante de la fuerza de las pisadas no era suficiente como para producir el balanceo, pero cuando había más de 200 personas6 el amortiguamiento natural del puente no era suficiente como para resistir la fuerza combinada de las pisadas de tantas personas. El balanceo aumentó a causa de la reacción humana. Los cálculos mostraron que la aceleración lateral máxima estaba comprendida entre 0,2g y 0,3g,7 lo bastante grande como para hacer perder el equilibrio de las personas. La reacción instintiva en estos casos es caminar dando pasos justamente con la misma frecuencia con la que se balancea el suelo, pero precisamente eso no hace más que aumentar la amplitud de la resonancia producida. Las medidas realizadas condujeron a la colocación de una serie de amortiguadores. Se colocaron ocho amortiguadores de masa y 37 amortiguadores viscosos. Los amortiguadores de masa consisten en bloques de acero de 2,5 toneladas colgados de péndulos que oscilan con un desfase de 180º respecto al puente.8 Los amortiguadores viscosos son muy parecidos a los que se utilizan en los automóviles. Funcionan haciendo mover un pistón arriba y abajo dentro de un líquido viscoso. Además, se colocaron también otros amortiguadores de masa para amortiguar las oscilaciones verticales. Durante los últimos ensayos que se hicieron antes de la reapertura, se comprobó que la aceleración lateral había pasado de 0,25g a 0,006g, es decir, se había reducido en un 97%.10 Después de eso, el puente ya no tuvo más problemas de balanceo. Cualquier11 puente cuya frecuencia natural de vibración lateral sea inferior a 1,3 Hz es susceptible de que los pasos de la multitud produzcan balanceo.12 Muchos otros, algunos en Japón,13 París y Ottawa, han tenido problemas parecidos, e incluso los puentes de las autopistas han mostrado problemas similares.14 A partir de lo sucedido con el Puente del Milenio, los ingenieros perciben el fenómeno de la vibración de una manera diferente. 1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11

12 13 14

Dallard, P., et al., “The London Millennium Footbridge.” The Structural Engineer, Nov. 20, 2001, Vol. 79, No. 22, 17–33. Smith, Michael, “Bouncing Bridge May Be Closed ‘for Weeks.’” The Telegraph, Jun. 13, 2000. http://www.telegraph.co.uk/news/main.jhtml?xml/news/2000/06/13/nsway13.xml as of July 2006. Binney, Magnus, “Throwing a Wobbly.” The Times, Oct. 31, 2000, Features, 16. “Oscillation,” The Millennium Bridge – Challenge. Arup Engineering. http://www.arup.com/MillenniumBridge/challenge/oscillation.html as of July 2006. Fitzpatrick, T., Linking London: The Millennium Bridge. London: The Royal Academy of Engineering, June 2001. Roberts, T. M., “Lateral Pedestrian Excitation of Footbridge.” Journal of Bridge Engineering, Jan./Feb. 2005, Vol. 10, No. 1, 107–112s. Dallard et al., op. cit. “Elegant, Filigran, and Not Moving.” GERB Vibration Control Systems. http://gerb.com/images/both/projektbeispiele/pdf/millenium_bridge_en.pdf as of July 2006. Taylor, D. P., “Damper Retrofit of the London Millenium Footbridge—A Case Study in Biodynamic Design.” Taylor Devices. http://www.taylordevices.com/papers/damper/ damper.pdf as of July 2006. Ibid. Structural Safety 2000-2001: Thirteenth Report of SCOSS—The Standing Committee on Structural Safety. London: Standing Committee on Structural Safety. May 2001, 24–26. http://www.scoss.org.uk/publications/rtf/13Report.pdf as of July 2006. “Designing Footbridges with Eurocodes.” Eurocode News, Mar. 2004, No. 2, 6. Nakamura, S. I., “Model for Lateral Excitation of Footbridges by Synchronous Walking.” Journal of Structural Engineering, Jan. 2004, 32–37. Fitzpatrick, op. cit.

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Resumen

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Resumen 1. El movimiento armónico simple tiene lugar cuando la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio. Tiene numerosas aplicaciones en el estudio de las oscilaciones, ondas, circuitos eléctricos y de la dinámica molecular. 2. La resonancia es un fenómeno importante en múltiples áreas de la Física. Tiene lugar cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es similar a la frecuencia natural del sistema oscilante.

TEMA 1. Movimiento armónico simple

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES En el movimiento armónico simple, la fuerza neta y la aceleración son proporcionales al desplazamiento, pero tienen sentido contrario a éste.

Función desplazamiento

14.1

x  A cos(vt  d)

14.4

2p T

v  2pf 

Frecuencia angular

14.11

E  K  U  12 kA2

Energía mecánica Movimiento circular

Fx 
kx  max

14.17

Cuando una partícula se mueve sobre una circunferencia con velocidad constante, su proyección sobre un diámetro de esa circunferencia se mueve con movimiento armónico simple.

Movimiento general próximo al equilibrio Si un objeto experimenta un pequeño desplazamiento a partir de cualquier posición de equilibrio estable, oscila alrededor de esta posición con movimiento armónico simple. 2. Frecuencias angulares para diversos sistemas Masa ligada a un muelle

v

Péndulo simple

v

Oscilador de torsión

v

k Am

14.8

g

14.27

AL k AI

14.33

donde I es el momento de inercia y k la constante de torsión. Para pequeñas oscilaciones de un péndulo físico, k  MgD, donde D es la distancia del centro de masas al eje de rotación e I es el momento de inercia respecto a dicho eje. 3. Oscilaciones amortiguadas

En las oscilaciones de los sistemas reales, el movimiento está amortiguado debido a fuerzas disipativas. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila sino que regresa simplemente a su posición de equilibrio si ha sido perturbado. El movimiento de un sistema ligeramente amortiguado es muy semejante al movimiento armónico simple, pero tiene una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo. v  v0

Frecuencia

A  A 0e

Amplitud

t

Tiempo de extinción o constante de tiempo

1 4Q2

14.48 14.44


(1>2)t>t

14.41

m b

14.42

Q  v0 t

Factor Q (definición)

4. Oscilaciones forzadas

1


E  E0 e
t>t

Energía

Factor Q para amortiguamiento débil

A

Q


2p ( ƒ ¢E ƒ >E)ciclo

a

14.45

ƒ ¢E ƒ E

b

V1

14.47

ciclo

Cuando un sistema ligeramente amortiguado (b < bc) se ve forzado a oscilar por la acción de una fuerza externa que varía sinusoidalmente con el tiempo, Fext  F0 cos vt, el sistema oscila con una frecuencia v igual a la del sistema impulsor y con una amplitud A que depende de esta frecuencia.

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

TEMA

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES

Frecuencia de resonancia

v  v0

Anchura de resonancia para amortiguamiento débil

¢v 1  v0 Q

14.51

x  A cos(vt
d)

14.54

*Función desplazamiento A

*Amplitud

14.1

2L>g

Respuestas a los problemas prácticos 14.1

(a) f  3,6 Hz, T  0,28 s, (b) f  2,5 Hz, T  0,40 s

14.2

v  3,1 rad>s, vmáx  0,13 m>s

14.55

2 2 2 2 2 2 4m (v0
v )  b v

tg d 

*Constante de fase

Respuestas a las comprobaciones conceptuales

F0

bv m(v20

14.56


v2)

14.3

(a) E  12 mv2máx  0,0625 J, (b) A  22Etotal >k  5,59 cm

14.4

24 cm

14.5

2,01 s

14.6

g  10,3 m>s2, T  1,96 s

14.7

T

2L para x  L>6 y para x  L>2 A 3g

Problemas •

En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben aportarse algunos datos a partir de conocimientos generales, fuentes externas o estimaciones lógicas.

••

En los datos numéricos sin coma decimal se deben considerar significativos todos los dígitos, incluidos los ceros a la derecha del último diferente de cero.

PROBLEMAS CONCEPTUALES • Verdadero o falso: (a) En el movimiento armónico simple, el periodo es proporcional al cuadrado de la amplitud. (b) En el movimiento armónico simple, la frecuencia no depende de la amplitud. (c) Si la aceleración de una partícula que se mueve en una dimensión es proporcional al desplazamiento, pero de sentido opuesto, el movimiento es armónico simple.

1

• Si la amplitud de un oscilador armónico simple se triplica, ¿en qué factor se modifica la energía? 2

•• Un objeto sujeto a un muelle tiene un movimiento armónico simple de amplitud 4,0 cm. Cuando el objeto se encuentra a 2,0 cm de la posición de equilibrio, ¿qué fracción de su energía total es energía potencial? (a) Un cuarto. (b) Un tercio. (c) La mitad. (d) Dos tercios. (e) Tres cuartos. SSM 3

•• Un objeto sujeto a un muelle tiene un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm. ¿A qué distancia de la posición de equilibrio se encuentra el objeto cuando sus energía cinética y potencial son iguales? (a) 5 cm. (b) 7,07 cm. (c) 9 cm. (d) No se puede saber a partir de estos datos. 4

Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos

•••

Desafiante, para alumnos avanzados

SSM

La solución se encuentra en el Manual de soluciones Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas relacionados.

•• Dos sistemas idénticos están formados por un muelle unido por un extremo a un bloque y con el otro extremo sujeto a la pared. Los muelles son horizontales y los bloques descansan sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Los bloques oscilan en movimientos armónicos simples de forma que la amplitud del movimiento del bloque A es cuatro veces mayor que la del B. ¿Cómo son sus respectivas velocidades? (a) vA máx  vB máx. (b) v A máx  2vB máx. (c) vA máx  4vB máx. (d) No se pueden comparar con los datos aportados. 5

•• Dos sistemas idénticos están formados por un muelle unido a un bloque y el otro extremo sujeto a la pared. Los muelles son horizontales y los bloques descansan sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Los bloques oscilan en movimientos armónicos simples con la misma amplitud, pero la constante elástica del A es cuatro veces la del B. ¿Cómo son sus respectivas velocidades? (a) vA máx  vB máx. (b) vA máx  2vB máx. (c) vA máx  4vB máx. (d) No se pueden comparar con los datos que se aportan. 6

•• Dos sistemas idénticos están formados por un muelle unido a un bloque por un extremo y con el otro extremo sujeto a la pared. Los muelles son horizontales y los bloques descansan sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Los bloques oscilan en movimientos armónicos simples con la misma amplitud, pero la masa del A es cuatro veces la del B. ¿Cómo son sus respectivas velocidades? (a) vA máx  vB máx. (b) vA máx  2vB máx. (c) vA máx  vB máx/2. (d) No se pueden comparar con los datos que se aportan. SSM 7

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Problemas

8

•• Dos sistemas idénticos están formados por un muelle

unido a un bloque y el otro extremo sujeto a la pared. Los muelles son horizontales y los bloques descansan sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Los bloques oscilan en movimientos armónicos simples con la misma amplitud, pero la masa del A es cuatro veces la del B. ¿Cómo son sus respectivas aceleraciones? (a) aA máx  aB máx. (b) aA máx  2aB máx. (c) aA máx  12 aB máx . (d) aA máx  14 aB máx . (e) No se pueden comparar con los datos aportados.

•• En los cursos de física general, la masa del muelle de un movimiento armónico simple se desprecia porque suele ser mucho menor que la masa del objeto al que se une. ¿Cómo se modificarían el periodo, la frecuencia y la energía total si se considerara la masa del muelle? 9

SSM

•• Dos sistemas muelle-masa oscilan con sendos periodos TA y TB. Si TA  2TB y los muelles son idénticos, sus respectivas masas verifican (a) mA  4mB , (b) mA  mB > 12, (c) mA  mB >2, (d) mA  mB >4. 10

11 •• Dos sistemas masa-muelle oscilan con frecuencias fA y fB. Si fA  2fB y las constantes de los dos muelles son iguales, las masas de ambos sistemas cumplen la relación (a) mA  4mB , (b) mA  mB > 12, (c) mA  mB >2, (d) mA  mB >4. 12 •• Dos sistemas masa-muelle A y B oscilan de modo que sus energías son iguales. Si MA  2MB, ¿cuál de las siguientes fórmulas relaciona las amplitudes de oscilación? (a) AA  AB >4. (b) AA  AB > 12. (c) AA  AB. (d) No se da suficiente información para determinar la relación de amplitudes. 13 •• Dos sistemas masa-muelle A y B oscilan de modo que sus energías son iguales. Si kA  2kB, ¿cuál de las siguientes fórmulas relaciona las amplitudes de oscilación? (a) AA  AB >4. (b) AA  AB > 12. (c) AA  AB. (d) No hay suficiente información para determinar la relación de las amplitudes. SSM

•• Cuando sube la temperatura, la cuerda de un péndulo simple se alarga como consecuencia de la dilatación. ¿Cómo afectaría esto al funcionamiento de un reloj que funcionara con un péndulo simple? 14

•• Una lámpara que cuelga del techo del coche restaurante de un tren oscila con periodo T0 cuando el tren está en reposo. El periodo será (emparejar las columnas derecha e izquierda) A. el tren se mueve horizontalmente con 1. mayor que T0 cuando velocidad constante. 2. menor que T0 cuando B. el tren se mueve por una curva de radio R con velocidad v. 3. igual a T0 cuando C. el tren asciende por una colina de inclinación u a velocidad constante. D. el tren pasa por una colina de radio de curvatura R con velocidad constante. 15

•• El péndulo A tiene una lenteja de masa MA y longitud LA; el péndulo B tiene una lenteja de masa MB y longitud LB. Si el periodo de A es doble al de B, entonces (a) LA  2LB y mA  2mB , (b) LA  4LB y mA  mB, (c) LA  4LB, cualquiera que sea la relación mA>mB, (d) LA  12LB , cualquiera que sea la relación mA >mB . 16

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•• Verdadero o falso: (a) La energía mecánica de un oscilador amortiguado (no forzado) decrece exponencialmente con el tiempo. (b) La resonancia de un oscilador amortiguado forzado se produce cuando la frecuencia externa coincide exactamente con la frecuencia natural. (c) Si el factor Q de un oscilador amortiguado es elevado, entonces su curva de resonancia será estrecha. (d) La constante de tiempo t de un oscilador muelle-masa con amortiguamiento lineal es independiente de su masa. (e) El factor Q de un oscilador muelle-masa con amortiguamiento lineal es independiente de su masa.

19

•• Dos osciladores formados por el sistema muelle-masa tienen la misma constante de amortiguamiento y constante elástica. Sin embargo, la masa del sistema A es 4 veces la masa del sistema B. ¿Cómo están relacionadas sus constantes de tiempo? (a) tA  4 tB. (b) tA  2 tB. (c) tA  tB. (d) No se pueden comparar con los datos aportados. 20

•• Dos osciladores formados por el sistema muelle-masa tienen la misma constante de tiempo y constante elástica. Sin embargo, la masa del sistema A es 2 veces la masa del sistema B. ¿Cómo están relacionadas sus constantes de amortiguamiento? (a) bA  4bB. (b) bA  2bB. (c) bA  bB. (d) bA  12 bB. (e) No se pueden comparar con estos datos. 21

•• Dos osciladores forzados formados por el sistema muellemasa tienen la misma fuerza impulsora, constante de amortiguamiento y constante elástica. Sin embargo, la masa del sistema A es 4 veces la masa del sistema B. Si los sistemas están débilmente amortiguados ¿cómo están relacionadas sus frecuencias de resonancia? (a) vA  vB. (b) vA  2vB. (c) vA  12 vB. (d) vA  14 vB. (e) No se pueden comparar con los datos que se dan. 22

•• Dos osciladores forzados formados por el sistema muelle-masa tienen la misma fuerza impulsora, constante de amortiguamiento y masa. Sin embargo, la constante elástica del sistema A es 4 veces la del sistema B. Si los sistemas están débilmente amortiguados, ¿cómo están relacionadas sus frecuencias de resonancia? (a) vA  vB. (b) vA  2 vB. (c) vA  12 vB. (d) vA  14 vB. (e) No se pueden comparar con los datos aportados. SSM 23

•• Dos osciladores forzados formados por el sistema muellemasa tienen la misma fuerza impulsora, constante de amortiguamiento y constante elástica. Sin embargo, la longitud del sistema A es 4 veces la del sistema B. Si los sistemas están débilmente amortiguados ¿cómo están relacionadas sus frecuencias de resonancia? (a) vA  vB. (b) vA  2vB. (c) vA  12 vB. (d) vA  14 vB. (e) No se pueden comparar con los datos que se aportan. 24

APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES • Estimar la anchura de la caja de un antiguo reloj de pendulo con respecto a la anchura de la lenteja del péndulo si el movimiento del péndulo es armónico simple. SSM 25

• Un pequeño saco de boxeo tiene el tamaño y peso de la cabeza de una persona. El saco está colgado de una pequeña cuerda. Estimar la frecuencia natural de oscilación del saco. 26

17

•• Dos péndulos simples tienen longitudes LA y LB y masas

mA y mB. Si la frecuencia del A es un tercio de la del B, (a) LA  3 LB y mA  3 mB, (b) LA  9 LB y mA  mB, (c) LA  9 LB, independientemente del valor de mA/mB, (d) LA  13LB , independientemente del valor de mA/mB. SSM

•• Dos péndulos simples tienen longitudes LA y LB y masas mA y mB. Si la única diferencia entre sus movimientos es que la amplitud del A es el doble de la del B, entonces (a) LA  LB y mA  mB, (b) LA  2 LB y mA  mB, (c) LA  LB, independientemente del valor de mA/mB (d) LA  12 LB, cualquiera que sea el cociente mA/mB.

•• Un niño se está columpiando en un columpio. Si no se le suministra energía mecánica, la amplitud de su oscilación disminuye un factor 1/e cada ocho periodos. Estimar el factor Q para este sistema. 27

18

•• (a) Estimar el periodo natural de oscilación del vaivén de brazos de una persona cuando camina, suponiendo que no lleva ningún peso. (b) Estimar el periodo natural de oscilación si la persona mueve una cartera muy pesada. Obsérvese cómo camina la gente y estímese si estos dos cálculos se ajustan a lo que se percibe en la vida cotidiana. 28

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Nota: a menos que se indique lo contrario, suponer que el movimiento de los objetos de esta sección es armónico simple. • La posición de una partícula viene dada por x  (7 cm) cos 6πt, donde t viene dado en segundos. Determinar (a) la frecuencia, (b) el periodo y (c) la amplitud del movimiento de la partícula. (d) ¿Cuál es el primer instante después de t  0 en el que la partícula está en su posición de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante? 29

• ¿Cuál es la constante de fase d de la ecuación 14.4 si la posi-

30

ción de la partícula oscilante en el instante t  0 es (a) 0, (b)
A, (c) A, (d) A/2?

• Una partícula de masa m parte del reposo en x   25 cm y oscila alrededor de su posición de equilibrio en x  0 con un periodo de 1,5 s. Escribir las ecuaciones para (a) la posición x en función del tiempo t, (b) la velocidad vx en función de t y (c) la aceleración ax en función de t. SSM 31

32

•• Hallar el módulo máximo de (a) la velocidad y (b) la acelera-

ción de la partícula del problema 29. (c) ¿Cuál es la primera vez que la partícula está en x  0 y moviéndose hacia la derecha?

•• Resolver el problema 31 para el caso en que la partícula está inicialmente en x  25 cm y se está moviendo con velocidad v0  50 cm/s.

LA ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE • Un objeto de 2,4 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k  4,5 kN/m. El otro extremo del muelle está quieto. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar su energía total. 41

• Determinar la energía total de un objeto de 3 kg que oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 2,4 Hz. 42

• Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de constante de fuerza k  500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s. (a) ¿Cuál es la energía total? (b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? SSM 43

• Un objeto de 3 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento está unido a un muelle de constante de fuerza 2 kN/m. El sistema tiene una energía total de 0,9 J. (a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? (b) ¿Cuál es su velocidad máxima? 44

33

•• Una partícula oscilante tiene un periodo de 8 s y una amplitud de 12 cm. En el tiempo t  0, se encuentra en la posición de equilibrio. Determinar la distancia recorrida durante el intervalo (a) t  0 a t  2 s, (b) t  2 s a t  4 s, (c) t  0 a t  1 s y (d) t  1 s a t  2 s. 34

35

•• El periodo de una partícula oscilante es 8 s. En t  0, la par-

•• Un objeto de 3 kg descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento y oscila sobre un muelle con una amplitud de 8 cm. Su aceleración máxima es 3,50 m/s2. Determinar la energía total.

•• A PLICACIÓN

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y MUELLES

tícula está en reposo en x  A  10 cm. (a) Hacer un gráfico de x en función de t. (b) Hallar la distancia recorrida en el primer, segundo, tercer y cuarto segundo después de t  0. 36

A LA INGENIERÍA ,

P ÓNGALO

EN SU CON -

En las especificaciones militares es frecuente que exijan que los dispositivos electrónicos sean capaces de resistir aceleraciones de 10g  98,1 m/s2. Para asegurarse de que sus productos cumplen con esta especificación, los fabricantes los someten a ensayos en una mesa vibrante que puede hacer vibrar un equipo a diversas frecuencias y amplitudes especificadas. Si un determinado dispositivo se somete a una vibración de 1,5 cm de amplitud, ¿cuál deberá ser su frecuencia para que cumpla con la especificación militar de los 10g? TEXTO

•• La posición de una partícula viene dada por x  2,5 cos pt, donde x se expresa en metros y t en segundos. (a) Determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima de la partícula. (b) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando x  1,5 m. SSM

37

••• (a) Demostrar que A0 cos (vt  d) puede escribirse también como As sen (vt)  Ac cos (vt), y determinar As y Ac en función de A0 y d. (b) Relacionar As y Ac con la posición y la velocidad iniciales de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple. 38

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y MOVIMIENTO CIRCULAR • Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad constante de 80 cm/s. Hallar (a) la frecuencia y el periodo del movimiento de la componente x de su posición. (b) Escribir una ecuación para la componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante t  0. SSM 40 • Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 cm, dando 1 revolución cada 3 s. (a) ¿Cuál es el módulo de la velocidad de la partícula? (b) ¿Cuál es su velocidad angular v? (c) Escribir una ecuación para la componente x de la posición de la partícula en función de t, suponiendo que está sobre el eje x positivo en el instante t  0. 39

• Un objeto que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento oscila unido a un muelle con una amplitud de 4,5 cm. Su energía mecánica total es 1,4 J. ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? 45

46

• Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k  4,5 kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar (a) la frecuencia del movimiento, (b) el periodo, (c) la amplitud, (d) la velocidad máxima y (e) la aceleración máxima. (f) ¿Cuándo alcanza el objeto por vez primera su posición de equilibrio? ¿Cuál es su aceleración en ese instante? 47

• Responder a las cuestiones del problema 47 para un objeto de 5 kg sujeto a un muelle de constante de fuerza k  700 N/m, teniendo en cuenta que el muelle está inicialmente separado 8 cm de la posición de equilibrio. 48

• Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle horizontal oscila con una amplitud A  10 cm y una frecuencia f  2,4 Hz. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? (b) ¿Cuál es el periodo del movimiento? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? (d) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto? SSM 49

• Al subir una persona de 85 kg a un coche de masa 2400 kg, sus ballestas descienden 2,35 cm. Suponiendo que empieza oscilando verticalmente y que no hay amortiguamiento, ¿con qué frecuencia vibrará el coche y el pasajero sobre las ballestas? 50

• Un objeto de 4,5 kg oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 3,8 cm. Su aceleración máxima es de 26 m/s2. Determinar (a) la constante de fuerza k, (b) la frecuencia y (c) el periodo del movimiento. 51

•• Un objeto de masa m está colgado de un muelle vertical de constante 1800 N/m. Cuando se estira de él hacia abajo separándolo 2,5 cm del equilibrio y se le deja en libertad desde el reposo, el objeto oscila con una frecuencia de 5,5 Hz. (a) Hallar m. (b) Hallar cuánto se estira el muelle a partir de su longitud natural cuando el objeto está en equilibrio. (c) Escribir expresiones para el desplazamiento x, la velocidad vx y la aceleración ax en función de t. 52

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Problemas •• Un objeto de masa desconocida se cuelga verticalmete del extremo de un muelle sin deformación, y se suelta desde el reposo. Cae 3,42 cm antes de que quede en reposo por primera vez. Hallar el periodo del movimiento.

491

53

L

•• Una maleta de 20 kg de masa cuelga de dos cuerdas, tal como se muestra en la figura 14.27. Cada cuerda se alarga 5 cm cuando la maleta está en equilibrio. Si se estira la maleta un poco hacia abajo y se suelta, ¿cuál será la frecuencia de la oscilación? 54

•• Un bloque de 0,12 kg está suspendido de un muelle. Cuando una pequeña piedra de masa 30 g se sitúa sobre el bloque, el muelle se FIGURA 14.27 alarga 5 cm más. Con la piedra sobre Problema 54 el bloque, el muelle oscila con una amplitud de 12 cm. (a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? (b) ¿Cuánto tiempo tardará el bloque en recorrer la distancia entre el punto más bajo y el punto más alto? (c) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la piedra cuando se encuentra en un punto de máximo desplazamiento hacia arriba? 55

•• Determinar en el problema 55 la máxima amplitud de oscilación para la cual la piedra permanece sobre el bloque. 56

•• Un objeto de masa 2,0 kg está sujeto en la parte superior de un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud natural del muelle es de 8,0 cm y la longitud del muelle cuando el objeto está en equilibrio es de 5,0 cm. Cuando el objeto está en reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s. (a) ¿A que máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto? (b) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura la primera vez? (c) ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado? 57

••• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA En un torno, un bloque de 950 kg de masa cuelga del extremo de un cable de 150 GN/m2 de módulo de Young, 1,5 cm2 de área transversal y 2,5 m de longitud. (a) ¿Cuánto se alargará el cable? (b) Suponiendo que el cable se comporta como un muelle simple, ¿cuál es la frecuencia de oscilación del bloque en el extremo del cable?

θ FIGURA 14.28

Problema 65

••• Un péndulo simple de longitud L se libera partiendo del reposo desde un ángulo f0. (a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar su velocidad cuando pasa por la posición f  0 utilizando la aproximación de pequeñas oscilaciones. (b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta velocidad para cualquier ángulo. (c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando f0 es pequeño. (d) Determinar la diferencia entre estos resultados para f0  0,20 rad y L  1 m. (e) Determinar la diferencia entre estos resultados para f0  1,20 rad y L  1 m.

66

* PÉNDULOS FÍSICOS • Un disco uniforme y delgado de 5 kg cuyo radio es de 20 cm, puede girar ligeramente en torno a un eje horizontal fijo perpendicular al disco y que pasa por su borde. El disco se desplaza ligeramente del equilibrio y se suelta. Hallar el periodo del movimiento armónico simple que se produce. SSM 67

58

PÉNDULOS SIMPLES • Determinar la longitud de un péndulo simple si su frecuencia para pequeñas amplitudes es de 0,75 Hz. SSM 59

• Hallar la longitud de un péndulo simple si el periodo del péndulo es 5 s. 60

• ¿Cuál sería el periodo del péndulo del problema 60 en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es un sexto de la correspondiente a la Tierra? 61

• Si el periodo de un péndulo de 70 cm de longitud es 1,68 s, ¿cuál es el valor de g en el sitio donde está situado el péndulo? 62

• Un péndulo colgado en el hueco de una escalera de un edificio de 10 pisos se compone de una masa grande suspendida de un alambre de 34,0 m de longitud. ¿Cuál es su periodo de oscilación? 63

64

•• Demostrar que la energía total de un péndulo simple que se

mueve con oscilaciones de pequeña amplitud f0 es, aproximadamente, E
12 mgLf20. Sugerencia: utilizar la aproximación cos f
1
12 f2 para valores pequeños de f.

••• Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que se desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo u con la horizontal, como muestra la figura 14.28. Determinar el periodo de oscilación del péndulo que está sobre el carro deslizante. SSM

65

• Un aro circular de 50 cm de radio se cuelga de una varilla horizontal delgada, a la que se permite oscilar en el plano del aro. ¿Cuál es el periodo de su oscilación, suponiendo que la amplitud es pequeña? 68

• Se suspende una figura plana de 3 kg de un punto situado a 10 cm de su centro de masas. Cuando está oscilando con amplitud pequeña, el periodo de oscilación es 2,6 s. Hallar el momento de inercia I respecto a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto de oscilación. 69

•• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA , P ÓNGALO EN SU CONTEXTO , C ONCEPTUAL Usted ha diseñando una gatera (puerta para gatos) que

70

consiste en una pieza cuadrada de madera de 2,54 cm de grosor y 15,24 cm de lado con la bisagra en su parte superior. Para asegurarse de que el gato tiene suficiente tiempo de pasar a través de ella y no quedar atrapado, la puerta debería tener, por lo menos, una frecuencia natural de 1 s. ¿Funcionará bien su diseño? En caso de respuesta negativa, indique las modificaciones que se deberían hacer.

•• Tenemos una regla y se nos pide que taladremos un agujero de tal modo que cuando pivotemos la regla sobre él, el periodo del péndulo sea un mínimo. ¿Dónde taladraremos el agujero? 71

•• La figura 14.29 muestra un disco uniforme de radio R  0,8 m y masa 6 kg con un pequeño agujero a la distancia d del centro del disco que puede servir de punto de pivote. (a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el periodo de este péndulo físico sea 2,5 s? (b) ¿Cuál debe ser la distancia d para que este péndulo físico tenga el periodo menor posible? ¿Cuál es este periodo? 72

d 0,80 m 6,00 kg

FIGURA 14.29

Problema 72

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

73 ••• Los puntos P1 y P2 de un objeto plano (figura 14.30) están a una distancia h1 y h2, respectivamente, del centro de masas. El objeto oscila con el mismo periodo T cuando rota libremente que si lo hace en torno a P1 o a P2. Ambos ejes son perpendiculares al plano del cuerpo. Demostrar que h1  h2  gT2>(4p2) , con

h1 h2 .

•• Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas en un oscilador forzado es constante. SSM 78 •• Un oscilador tiene un periodo de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5 por ciento durante cada ciclo. (a) ¿Cuánto disminuye su energía durante cada ciclo? (b) ¿Cuál es la constante de tiempo t? (c) ¿Cuál es el factor Q? 77

h1 h2

cm

•• Un oscilador lineal posee un factor Q igual a 20. (a) ¿En qué fracción disminuye la energía en cada ciclo? (b) Utilizar la ecuación 14.40 para determinar la diferencia en porcentaje entre v y v0. Sugerencia: utilizar la aproximación (1  x)1>2
1  12 x para valores pequeños de x. 79

SSM

••• Se construye un péndulo físico a partir de una lenteja esférica de radio r y masa m colgada de una cuerda (figura 14.31). La distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L. Cuando r es mucho menor que L, este péndulo suele considerarse como un péndulo simple de longitud L. (a) Demostrar que para pequeñas oscilaciones el periodo viene dado por T  T0 11  (2r2>5L2) , 74

donde T0  2p1L>g es el periodo del péndulo simple de longitud L. (b) Demostrar que cuando r es mucho menor que L, el periodo vale, aproximadamente, T
T0(1  r2>5L2). (c) Si L  1 m y r  2 cm, hallar el error cuando se utiliza la aproximación T  T0 para este péndulo. ¿Qué tamaño deberá tener el radio de la lenteja para que el error sea del 1 por ciento?

FIGURA 14.30

Problema 73

•• Un sistema masa-muelle amortiguado lineal oscila con una frecuencia de 200 Hz. La constante de tiempo del sistema es 2,0 s. En el tiempo t  0, la amplitud de oscilación es 6,0 cm y la energía del sistema oscilante es 60 J. (a) ¿Cuál es la amplitud de oscilación para t  2,0 s y para t  4,0 s? (b) ¿Cuánta energía se disipa en el primer intervalo de 2 s? ¿Y en el segundo intervalo de 2 s? 80

•• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Se ha establecido que cuando la Tierra vibra tiene un periodo de resonancia de 54 min y un factor Q de aproximadamente 400, y que después de un gran terremoto, la Tierra “tiembla” (se produce una vibración continua) durante dos meses. (a) Determinar el porcentaje de energía de vibración perdida debido a las fuerzas de amortiguamiento en cada ciclo. (b) Demostrar que después de n periodos, la energía es En  (0,984)n E0, siendo E0 la energía inicial. (c) Si la energía inicial de vibración de un terremoto es E0, ¿cuál es la energía al cabo de 2 días? SSM 81

L r

m

FIGURA 14.31

Problema 74

••• La figura 14.32 muestra el péndulo de un reloj. La barra uniforme de longitud L  2,0 m tiene una masa m  0,8 kg. Sujeto a la barra hay un disco de masa M  1,2 kg y radio 0,15 m. El reloj se ha construido de modo que funcione con total precisión si el periodo del péndulo es exactamente 3,50 s. (a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el periodo del péndulo sea 2,5 s? (b) Supongamos que el reloj de péndulo atrasase 5,0 min por día. ¿A qué distancia y en qué sentido debe desplazarse el disco para conseguir que el reloj marque correctamente el tiempo? 75

••• Un péndulo compacto que se usa en un experimento de física tiene una masa de 15 g y una longitud de 75 cm. Para que el péndulo comience a oscilar, un estudiante de física instala un ventilador, que produce un flujo horizontal de aire de velocidad 7 m/s hacia la lenteja. Con el ventilador en marcha, la lenteja está en equilibro cuando el péndulo está inclinado 5º respecto la dirección vertical. Cuando se para el ventilador, se deja que el péndulo oscile. (a) Si suponemos que la fuerza de resistencia a causa del aire viene dada por
bv, ¿cuál es la constante de tiempo o tiempo de extinción t de las oscilaciones del péndulo? (b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la amplitud de la oscilación sea de 1º? 82

83

••• A PLICACIÓN

A LA INGENIERÍA ,

P ÓNGALO

EN SU CON -

Se trata de medir la viscosidad de ciertos aceites de la siguiente manera: la viscosidad de un fluido puede medirse determinando el tiempo que tardan en decaer las oscilaciones de un oscilador inmerso en ese fluido, cuando se conocen previamente las propiedades del oscilador. Como las velocidades a las que se moverá el oscilador no son grandes, sino más bien pequeñas, no habrá turbulencia y la fuerza de arrastre del fluido sobre una esfera de radio a que se mueve a velocidad v será Fd  6pahv, donde h es la viscosidad del fluido. Supongamos que el oscilador está formado por un muelle de constante elástica 350 N/cm y una esfera de oro de 6 cm de radio que cuelga del muelle. (a) ¿Cuál es la viscosidad del fluido si la constante de tiempo es de 2,8 s? (b) ¿Cuánto vale el factor Q? SSM TEXTO

d L

m M 0.150 m FIGURA 14.32

Problema 75

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA OSCILACIONES AMORTIGUADAS

• Un oscilador amortiguado pierde el 2 por ciento de su energía en cada ciclo. (a) ¿Cuál es su factor Q? (b) Si su frecuencia de resonancia es 300 Hz, ¿cuál es la anchura de la curva de resonancia v cuando el oscilador está forzado? 84

76 • Un objeto de 2 kg ligado a un muelle de constante k  400 N/m oscila con una amplitud inicial de 3 cm. Hallar (a) el periodo y (b) la energía inicial total. (c) Si la energía disminuye en un 1 por ciento por periodo, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q.

• Determinar la frecuencia de resonancia de cada uno de los tres sistemas indicados en la figura 14.33. 85

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Problemas

L k = 400,0 N/m

k = 800,0 N/m

θ V1

θ L = 2,0 m

m = 4,0 kg

(a) FIGURA 14.33

(b)

(c)

Problema 85

•• Un oscilador amortiguado pierde el 3,5 por ciento de su energía durante cada ciclo. (a) ¿Cuántos ciclos han de transcurrir antes de que se disipe la mitad de su energía? (b) ¿Cuál es el factor Q? (c) Si la frecuencia natural es 100 Hz, ¿cuál es la anchura de la curva de resonancia cuando el oscilador se ve forzado exteriormente? 86

•• Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k  400 N/m. La constante de amortiguamiento es b  2,00 kg/s. Está forzado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular v  10 rad/s. (a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? (b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la resonancia? (c) Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia. (d) ¿Cuál es la anchura v de la curva de resonancia? SSM 87

88

•• A PLICACIÓN

A LA INGENIERÍA ,

P ÓNGALO

EN SU CON -

Supongamos que tenemos el mismo oscilador que el del problema 83, pero ahora la constante elástica del muelle es de 35 N/cm. Se ha estudiado la viscosidad del etilenglicol con ese método y se ha determinado que su viscosidad es 19,9 mPa · s. Ahora decidimos forzar el sistema con una fuerza externa. (a) Si el módulo de la fuerza externa es 0,11 N y se alcanza la resonancia, ¿cuál sería el valor de la amplitud de la oscilación resultante? (b) Si el sistema no se forzara, pero se le permite oscilar, ¿qué porcentaje de energía se perdería por ciclo? TEXTO

(a) Deducir una expresión para el periodo de este sistema oscilante para vibraciones de pequeña amplitud. (b) Suponer que M  1 kg y L es tal que en ausencia del muelle el periodo es 2,0 s. ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle k si el periodo del sistema oscilante es 1,0 s?

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493

L

k 93 •• Una masa m1 que se desliza sobre una superficie horizontal M sin rozamiento está sujeta a un muelle de constante de fuerza k y oscila FIGURA 14.34 con amplitud A. Cuando el muelle Problema 92 está con su mayor deformación y la masa está instantáneamente en reposo, se coloca en la parte superior de m1 otra masa m2. (a) ¿Cuál es el menor valor del coeficiente de rozamiento estático me que permite que m2 no se deslice sobre m1? (b) Explicar cómo se modifican la energía total E, la amplitud A, la frecuencia angular v y el periodo T al situar m2 sobre m1, suponiendo que el rozamiento es suficientemente grande para que no haya deslizamiento. SSM

•• Una caja de 100 kg de masa cuelga del techo de una habitación sujeta a un muelle de constante 500 N/m. El muelle tiene una longitud natural de 0,5 m. (a) Determinar la posición de equilibrio de la caja. (b) Un muelle idéntico se cuelga del techo y se sujeta a la misma caja, al lado del anterior. Determinar qué frecuencia tendrán las oscilaciones cuando se libere la caja. (c) ¿Cuál será la nueva posición de equilibrio de la caja cuando acabe parándose? 94

•• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA La aceleración causada por la fuerza de la gravedad g varía con la situación geográfica, debido a la rotación de la Tierra y a que la Tierra no es exactamente esférica. Este hecho fue descubierto por primera vez durante el siglo XVII, cuando se observó que un reloj de péndulo cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en París, se atrasaba alrededor de 90 s/día cerca del ecuador. (a) Demostrar que una pequeña variación en la aceleración de la gravedad g produce un pequeño cambio T en el periodo de un péndulo dado por ¢T>T

12 ¢g>g. (b) ¿Qué variación de g se necesita para justificar un cambio de periodo de 90 s/día? 95

96 •• Un bloque pequeño de masa m1 descansa sobre un pistón que está vibrando verticalmente con movimiento armónico simple dado por y  A sen vt. (a) Demostrar que el bloque se separará del pistón si v2A > g. (b) Si v2A  3g y A  15 cm, ¿en qué instante el bloque se separará del pistón?

•• Demostrar que en los dos casos de la figura 14.35a y b, el objeto oscila con una frecuencia f  (1>2p)1kef >m, donde kef viene dado por (a) kef  k1  k2 y (b) 1/kef  1/ k1  1/ k2. (Sugerencia: hallar la fuerza neta F sobre el objeto para un pequeño desplazamiento x, y escribir F 
kef x. Obsérvese que en (b) los muelles se deforman en cantidades diferentes cuya suma es x.) SSM

97

PROBLEMAS GENERALES 89 • M ÚLTIPLES PASOS El desplazamiento de una partícula viene dado por x  0,4 cos (3t  p/4), donde x se expresa en metros y t en segundos. (a) Hallar la frecuencia f y el periodo T del movimiento. (b) Obtener la expresión para la velocidad en función del tiempo. (c) ¿Cuál es su máxima velocidad? 90 • A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un astronauta llega a un nuevo planeta y lleva consigo un simple dispositivo para medir la aceleración de la gravedad allí. El radio del planeta es de 7550 km y el péndulo de 0,5 m de longitud tiene un periodo de 1 s. ¿Cuál es la masa del planeta? 91

(a)

k2

k1 m

(b)

k2

k1

m

•• Un reloj de péndulo funciona correctamente en la superficie

de la Tierra. ¿En qué situación el error será mayor: si el reloj se baja a una mina de profundidad h o si se eleva a una altura h? Suponer que h V RT.

FIGURA 14.35

•• La figura 14.34 muestra un péndulo de longitud L con una lenteja de masa M. La lenteja está unida a un muelle de constante k, como se indica. Cuando la lenteja está directamente por debajo del soporte del péndulo, el muelle tiene su longitud natural de equilibrio.

98 •• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Durante un terremoto, el suelo horizontal oscila con un movimiento armónico simple. Supongamos que el periodo es de 0,8 s. (a) Tras el terremoto, las imágenes registradas en los vídeos mostraban cómo una caja empezaba a deslizarse sobre el suelo

92

Problema 97

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CAPÍTULO 14

Oscilaciones

cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzaba 10 cm. A partir de esos datos, determinar el coeficiente estático del suelo. (b) Si el coeficiente de rozamiento entre el suelo y la caja fuera de 0,4, ¿cuál sería la amplitud máxima de vibración antes de que la caja empezara a deslizarse? 99 •• Si atamos dos cuerpos de masas m1 y m2 a los dos extremos de un muelle de constante k y los hacemos oscilar, demostrar que la frecuencia de oscilación es v  (k>m)1>2, donde m  m1m2 >(m1  m2) es la masa reducida del sistema. 100

•• Una de las formas de vibración de la molécula de HCl tiene

una frecuencia de 8,969
1013 Hz. Usando la relación deducida en el problema 99, determinar la constante k de la molécula de HCl.

•• Si se reemplaza el átomo de hidrógeno de la molécula de HCl por un átomo de deuterio, ¿cuál será la nueva frecuencia de vibración de la molécula? (El átomo de deuterio está formado por un protón y un neutrón.)

Pm Pmáx

1 2 Pmáx

∆ω

Amortiguamiento grande, Q pequeña

Pmáx 1 2 Pmáx

Amortiguamiento pequeño, Q grande

∆ω

101

102

••• H OJA

DE CÁLCULO

Un bloque de masa m situado m sobre una mesa horizontal está unido a un muelle de constante k, como se muestra en la F I G U R A 1 4 . 3 6 Problema 102 figura 14.36. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la masa es mc. Se estira el muelle una longitud A siendo kA > mcmg, y luego se le deja libre. (a) Aplicar la segunda ley de Newton al bloque para obtener una ecuación para su aceleración d2x/dt2 durante el primer medio ciclo, durante el cual el bloque se está moviendo hacia la izquierda. Demostrar que la ecuación resultante puede escribirse como donde y con d2x>dt2  v2x, v  1k>m x  x  x0, x0  mkmg>k  mk g>v2. (b) Repetir el apartado (a) para el segundo semiciclo, cuando el bloque se mueve hacia la derecha y demostrar que d2x>dt2  v2x, si x  x  x0 y x0 tienen el mismo valor. (c) Utilizar una hoja de cálculo para hacer un gráfico de los primeros 5 semiciclos para A  10x0. Describir el movimiento, si lo hay, después del quinto semiciclo.

••• La figura 14.37 muestra un semicilindro de masa M y radio R que descansa sobre una superficie horizontal. Si un lado del semicilindro se empuja ligeramente y luego se libera, el objeto oscilará alrededor de su posición de equilibrio. Determinar el periodo de esta oscilación. SSM 103

FIGURA 14.37

Problema 103

••• Se perfora un túnel pequeño a través de la Tierra, x Túnel m como se indica en la figura 14.38. Suponer que las paredes F carecen de rozamiento. (a) La r MT fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre una partícula de RT masa m a una distancia r del centro de la misma cuando r  RT es Fr  (GmMT >R3T)r, donde MT y RT son la masa y el radio de la Tierra, respectivamente. (a) Demostrar que la F I G U R A 1 4 . 3 8 Problema 104 fuerza neta sobre una partícula de masa m situada a una distancia x del centro del túnel viene dada por Fx  (GmMT >R3T)x y que el movimiento de la partícula es, por consiguiente, armónico. (b) Demostrar que el periodo del movimiento viene dado por T  2p1RT >g. (c) Hallar su valor en minutos. 104

••• M ÚLTIPLES PASOS En este problema hay que obtener la expresión correspondiente a la potencia media cedida por una fuerza impulsora a un oscilador forzado (figura 14.39).

105

ω0

ω

FIGURA 14.39

Problema 105

(a) Demostrar que la potencia instantánea cedida por la fuerza impulsora es P  Fv  AvF0 cos vt sen(vt  d). (b) Utilizar la identidad trigonométrica sen (u1  u2)  sen u1 cos u2  cos u1 sen u2 para demostrar que esta última expresión puede escribirse P  AvF0 sen d cos2 vt sen  AvF0 cos d cos vt sen vt. (c) Demostrar que el valor medio del segundo término del resultado del apartado (b) calculado en uno o más periodos es cero y que, por lo tanto, Pm  12 AvF0 sen d. (d) A partir de la ecuación 14.54 para tg d, construir un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto al ángulo d sea bv y el adyacente sea m(v20  v2), y utilizar este triángulo para demostrar que bv bvA sen d   SSM F0 2 2 2 2 2 2 4m (v0  v )  b v (e) Utilizar este resultado de (d) para eliminar vA, de forma que la potencia media cedida pueda escribirse 2 bv2 F20 1 F0 1 Pm  d sen2 d  c 2 b 2 m2(v20  v2)2  b2v2 106 ••• M ÚLTIPLES PASOS En este problema debe de utilizarse el resultado del problema 105 para deducir la ecuación 14.51, que relaciona la anchura de la curva de resonancia con el valor de Q cuando la resonancia es aguda. En la resonancia, el denominador de la fracción entre corchetes de la ecuación del problema 105e es b 2 v20 y Pm tiene un valor máximo. En el caso de una resonancia aguda, la variación de v del numerador puede despreciarse. Entonces, la potencia cedida será la mitad de su valor máximo en los valores de v para los cuales el denominador sea 2b2v20 . (a) Demostrar entonces que v satisface m2(v  v0)2(v  v0)2
b2v20. (b) Utilizando la aproximación v  v2
2v0 , demostrar que v  v0
b>2m. (c) Expresar b en función de Q. (d) Combinar los resultados de (b) y (c) para demostrar que existen dos valores de v para los que la potencia cedida es la mitad de la correspondiente a la resonancia y que vienen dados por v0 v0 y v2  v0  v1  v0  2Q 2Q Por consiguiente, v2  v1  ¢v  v0 >Q, que es equivalente a la ecuación 14.51.

••• H OJA DE CÁLCULO El potencial de Morse, que frecuentemente se usa para representar las fuerzas interatómicas, puede escribirse de la forma U(r)  D(1  eb(rr0))2, donde r es la distancia entre los dos núcleos atómicos. (a) Usando una hoja de cálculo o una calculadora gráfica, representar gráficamente el potencial de Morse usando D  5 eV, b  0,2 nm1 y r0  0,75 nm. (b) Determinar a partir del potencial de Morse la separación de equilibrio y la constante k para pequeños desplazamientos del equilibrio. (c) Determinar una fórmula para la frecuencia de oscilación de una molécula diatómica homonuclear (es decir, con los dos átomos iguales) si cada átomo tiene una masa m. 107

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C A P Í T U L O

15 LA GRÚA DE UN BUQUE LA ADMINISTRACIÓN NACIONAL AMERICANA DE LA ATMÓSFERA Y OCÉANOS (NOAA) UTILIZA UNA BOYA DART

Movimiento ondulatorio 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

PARA EL ESTUDIO DE LOS TSUNAMIS EN EL

OCÉANO PACÍFICO NORTE. EN DICIEMBRE DE 2004, EL TSUNAMI PRODUCIDO POR EL TERREMOTO QUE TUVO LUGAR EN EL OCÉANO ÍNDICO (TAMBIÉN CONOCIDO COMO EL TERREMOTO SUMATRAANDAMAN) CAUSÓ CIENTOS DE MILES DE MUERTOS. LOS DISPOSITIVOS DE DETECCIÓN DE TSUNAMIS COMO EL DART (DEEP-OCEAN ASSESSMENT AND REPORTING OF TSUNAMIS)

Movimiento ondulatorio simple Ondas periódicas Ondas en tres dimensiones Ondas y barreras

PUEDEN PREVENIR ESTE TIPO DE CATÁSTROFES

Efecto Doppler

MEDIANTE LA PREDICCIÓN DEL TIEMPO QUE TARDARÁN LAS OLAS GIGANTES EN LLEGAR A TIERRA (Gentileza de NOAA and the Harbor Branch Oceanographic Institution.)

n el capítulo 14, vimos el movimiento oscilatorio y objetos que se mueven periódicamente. En este capítulo, nos ocuparemos de la física de las ondas. Las ondas viajan a través de diferentes medios, tales como el agua, el aire y la tierra, y viajan a través del espacio donde no hay ningún medio sobre el que viajar. Basta pensar en las ondas oceánicas, la música, los terremotos y la luz solar. Las ondas transportan energía y momento, pero no transportan materia. El estudio del movimiento ondulatorio ha dado lugar a muchos y fascinantes inventos. Los radares de la policía y los dispositivos que abren las puertas de los garages utilizan ondas electromagnéticas, pero con fines muy distintos; mientras unas se utilizan para determinar las velocidad de los conductores, las otras abren puertas a varios metros de distancia. Los equipamientos sonográficos que utilizan ondas ultrasónicas permiten obtener imágenes del feto en el útero de la madre. Entender cómo actúan las ondas cuando se encuentran con obstáculos ayuda a los arquitectos a diseñar los espacios con la mejor acústica para los conciertos.

E

En este capítulo, seguimos analizando el movimiento oscilatorio estudiando las ondas periódicas, en especial las ondas armónicas. También estudiaremos cómo se mueven las ondas en tres dimensiones y exploraremos qué sucede cuando las ondas encuentran obstáculos. Finalmente, analizaremos el efecto Doppler y discutiremos su relevancia en el mundo que nos rodea. 495

?

¿Por qué las ondas de un tsunami viajan más rápido que las ondas superficiales oceánicas?

(Véase el ejemplo 15.2.)

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496

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15.1

MOVIMIENTO ONDULATORIO SIMPLE

CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

ONDAS TRANSVERSALES Y LONGITUDINALES Las ondas mecánicas se originan mediante una perturbación de un medio. Cuando se pulsa una cuerda tensa, la perturbación provocada se propaga a lo largo de ella en forma de un pulso ondulatorio. En este caso, la perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio. Su propagación surge de la interacción de cada segmento de cuerda con los segmentos adyacentes. Los segmentos de la cuerda (el medio) se mueven en dirección perpendicular a la cuerda y, por lo tanto, perpendiculares a la dirección del movimiento del pulso. Una onda como esta en la que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal (figura 15.1). Una onda en la que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denomina onda longitudinal (figura 15.2). Las ondas sonoras son ejemplos de ondas longitudinales. Las moléculas de un gas, líquido o sólido a través del cual viaja el sonido, oscilan según la línea de propagación (moviéndose adelante y atrás), comprimiendo y enrareciendo alternativamente el medio. y x

y x

(a) (a) Pulso de una onda transversal en un muelle. La perturbación es perpendicular a la dirección del movimiento de la onda. (b) Tres dibujos sucesivos de una onda transversal que viaja hacia la derecha sobre un muelle. Un elemento de la cuerda (punto negro) se mueve hacia arriba y abajo conforme las crestas y las depresiones viajan hacia la derecha. (Richard Menga/Fundamental Photographs.)

FIGURA 15.1

y x

(b)

Pulso de una onda longitudinal en un muelle. La perturbación se desplaza en la dirección de movimiento de la onda. (Richard Menga/Fundamental Photographs.)

FIGURA 15.2

PULSOS DE ONDA En la figura 15.3a se muestra un pulso en una cuerda en el instante t
0. La forma de la cuerda en este instante puede representarse por una función y
f(x). Un cierto tiempo después (figura 15.3b), el pulso se ha desplazado por la cuerda, de modo que en un nuevo sistema de coordenadas con origen O que se mueve con la velocidad del pulso, éste es estacionario. La cuerda se describe en este nuevo sistema por f(x) en todo instante. Las coordenadas de los dos sistemas de referencia están relacionadas por x
x  vt

y

y = f(x)

onda moviéndose en el sentido positivo de x

15.1

x

O

(a)

y

y, por lo tanto, f(x)
f(x  vt). Así pues, el desplazamiento de la cuerda en el sistema original O puede escribirse y
f(x  vt)

t=0

v

O

x' = x − vt x vt t>0 x

Esta misma línea de razonamiento aplicada al caso de un pulso que se mueve hacia la izquierda conduce a y
f(x  vt)

onda moviéndose en el sentido negativo de x

15.2

y'

x' O'

(b) FIGURA 15.3

v v

y' = f(x') x'

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Movimiento ondulatorio simple

SECCIÓN 15.1

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En estas dos expresiones, v es el módulo de la velocidad de propagación de la onda. (Como v es el módulo de la velocidad, y no el vector velocidad, se trata de una cantidad positiva.) La función y
f (x  vt) se denomina función de onda. En el caso de ondas en una cuerda, la función de onda representa el desplazamiento transversal de la cuerda. Para las ondas sonoras en el aire, la función de onda puede ser el desplazamiento longitudinal de las moléculas gaseosas o la presión del aire. Estas funciones de onda son soluciones de una ecuación diferencial llamada ecuación de onda, que puede deducirse de las leyes de Newton.

VELOCIDAD DE LAS ONDAS Una propiedad general de las ondas es que su velocidad depende de las propiedades del medio siendo independiente del movimiento de la fuente de las ondas. Por ejemplo, la velocidad del sonido de la bocina de un coche depende sólo de las propiedades del aire y no del movimiento del coche. En el caso de los pulsos de onda en una cuerda, es fácil demostrar que cuanto mayor es la tensión, más rápidamente se propagan las ondas. Además, las ondas se propagan más rápidamente en una cuerda ligera que en una cuerda pesada bajo la misma tensión. Veremos posteriormente que si FT (usamos FT para designar la tensión porque reservamos T para el periodo) es la tensión y m la densidad de masa lineal (masa por unidad de longitud), la velocidad de la onda es v


FT

15.3

Bm

V E L O C I DA D D E L AS O N DAS E N U N A C U E R DA

Ejemplo 15.1

El gusano que corre para salvar la vida

Un gusano está a 2,5 cm del extremo de la cuerda de un tendedero cuando la chica que está tendiendo su traje de baño en el otro extremo de la cuerda lo ve. La chica da un golpe a la cuerda de modo que por ésta se propaga un pulso de 3 cm de altura que se dirige hacia el animal. Si el gusano se mueve a 2,54 cm/s, ¿llegará al extremo de la cuerda antes que le alcance el movimiento generado por la chica? La cuerda tiene 25 m de longitud y una masa de 1 kg y se mantiene tensa gracias a un peso de 10 kg que cuelga de ella, tal como se muestra en la figura 15.4. La chica está tendiendo su traje de baño a una distancia de 5 m del extremo de la cuerda opuesto a la posición del gusano.

25 m 2,5 cm

5m

FIGURA 15.4

PLANTEAMIENTO Hay que saber a qué velocidad se mueve la onda. Para ello usamos la fórmula v
2FT >m. Sea ms
1,0 kg la masa de la cuerda y m
10 kg la masa del objeto que cuelga. SOLUCIÓN

FT

1. La velocidad está relacionada con la tensión FT y la densidad de masa lineal m:

v


2. Calcular la densidad de masa lineal y la tensión a partir de la información recibida:

m


3. Aplicar estos valores a la expresión de v para calcular la velocidad:

v


4. A partir de la velocidad determinar el tiempo que tarda en recorrer los 20 m que le separan del otro extremo de la cuerda:

¢t


Bm ms L FT

y


FT
mg mgL

Bm A ms
49,5 m>s




(10 kg)(9,81 m>s2)(25 m)

A

¢x 20 m
0,40 s
v 49,5 m>s

1,0 kg

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

5. Determinar el tiempo que invierte el gusano en moverse los 2,5 cm que le separan del extremo de la cuerda y, por lo tanto, de la salvación:

2,5 cm 1 in ¢x 
0,98 s
v 1 in>s 2,54 cm Como ¢t  ¢t, el gusano no se escapa del pulso. ¢t


COMPROBACIÓN El pulso viaja a 49 m/s y el gusano a 0,025 m/s, es decir, el pulso va casi

2000 veces más rápido que el gusano. PROBLEMA PRÁCTICO 15.1 Demostrar que las unidades de 2FT >m son m/s cuando FT

se expresa en newtons y m en kg/m.

Ejemplo 15.2

!

El pulso del ejemplo 15.1 se mueve hacia la izquierda a 49 m/s; sin embargo, las partículas que forman la cuerda no lo hacen, sino que se mueven arriba y abajo conforme el pulso pasa a través de ellas.

La velocidad de las ondas de gravedad superficiales

Las ondas de la superficie de los océanos son posibles gracias a la gravedad y se denominan ondas de gravedad. Las ondas de gravedad se denominan superficiales si la profundidad del agua es menor que la mitad de su longitud de onda. La velocidad de las ondas de gravedad superficiales depende de la profundidad de forma que v
2gh , donde h es la profundidad. Una onda de gravedad, en un océano de 5 km de profundidad, tiene una longitud de onda de 100 km. (a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? (b) ¿Se trata de una onda superficial? PLANTEAMIENTO Utilizamos v
2gh para calcular la velocidad. Comprobar si la profundidad es menor que la mitad de su longitud de onda. SOLUCIÓN

(a) Utilizando v
2gh, calculamos la velocidad de v
2gh
4(9,81 m>s2)(5000 m)
221 m>s
797 km>h la onda: 5 km 1 h (b) La onda es superficial si la profundidad es

l 100 km 20 menor que la mitad de su longitud de onda: La profundidad es igual a la longitud de onda dividida por 20, por lo que la onda es claramente superficial. COMPROBACIÓN Se sabe que los tsunamis viajan a velocidades de unos 800 km/h en el

océano abierto, por lo que el resultado es lógico. OBSERVACIÓN Supóngase que un tsunami es causado por un terremoto que levanta una

placa del fondo del océano de unos 50 km de ancho a un metro de altura. Ese tsunami tendría una longitud de onda de unos 100 km y la amplitud de la onda sería de un metro, aproximadamente, en océano abierto. Las ondas oceánicas típicas tienen longitudes de onda de 100 m o menos, que son muy inferiores a las profundidades de océanos abiertos. Esas ondas son, por tanto, ondas de gravedad profundas y viajan a velocidades mucho menores de lo que lo hacen las ondas superficiales. En las aguas superficiales, como sucede con el agua cerca de la orilla, hay que tener en cuenta muchos otros factores que afectan al cálculo de la velocidad de las ondas.

En el caso de las ondas sonoras en un fluido como el aire o el agua, la velocidad v viene expresada por B v
15.4 Ar donde r es la densidad del medio (en equilibrio) y B el módulo de compresibilidad* (ecuación 13.6). Comparando las ecuaciones 15.3 y 15.4, puede verse que, en general, la velocidad de las ondas depende de una propiedad elástica del medio (la tensión en el caso de las ondas de las cuerdas y el módulo de compresibilidad de las ondas sonoras) y de una propiedad inercial del mismo (la densidad de masa lineal o la densidad de masa volúmica). * El módulo de compresibilidad es el cociente negativo entre el cambio en la presión y el cambio en el volumen (capítulo 13). B


¢P ¢V>V

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Movimiento ondulatorio simple

SECCIÓN 15.1

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Para las ondas sonoras en un gas, tal como el aire, el módulo de compresibilidad* es proporcional a la presión, la cual a su vez es proporcional a la densidad r y a la temperatura absoluta T del gas. La relación B/r es, por lo tanto, independiente de la densidad y simplemente proporcional a la temperatura absoluta T. En el capítulo 17, demostraremos que, en este caso, la ecuación 15.4 es equivalente a v


gRT B M

15.5 V E L O C I DA D D E L S O N I DO E N U N GAS

En esta ecuación, T es la temperatura absoluta medida en kelvins (K) que está relacionada con la temperatura Celsius, tC por T
tC  273,15

15.6

La constante adimensional g depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas como el O2 y N2, g tiene el valor 7/5, y como el O2 y N2 constituyen el 98% de la atmósfera, éste es el valor que corresponde también al aire. (Para moléculas monoatómicas como el He, g posee el valor 5/3.)† La constante R es la constante universal de los gases, 15.7 R
8,3145 J>(mol # K) y M la masa molar del gas (es decir, la masa de 1 mol del gas), que para el aire es M
29,0  103 kg>mol

Ejemplo 15.3

Inténtelo usted mismo

Velocidad del sonido en el aire

Las carreras de atletismo de la primavera en un colegio del noreste americano empiezan a principios de abril, cuando la temperatura del aire es de unos 13 ºC. A finales de temporada, el aire es mucho más cálido y su temperatura es de unos 33 ºC. Calcular la velocidad del sonido en el aire producido por el pistoletazo de salida a (a) 13 ºC y (b) 33 ºC. Los corredores saldrán de sus puestos en cuanto vean salir el humo de la pistola en vez de esperar a oir el sonido del disparo. PLANTEAMIENTO Las velocidades para las diferentes temperaturas se pueden obtener a partir de la ecuación 15.5 utilizando g
7/5 y M
29,0  103 kg/mol. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos (a) 1. Escribir la ecuación 15.5 (v
2gRT>M). Introducir los valores dados en la ecuación y despejar la velocidad. (Asegurarse de que la temperatura se convierte a kelvins.)

Respuestas gRTa va

339 m>s B M

(b) 1. Utilizar el hecho de que v es proporcional a 2T (ecuación 15.5) para relacionar las velocidades a 33 ºC y 13 ºC. 2. Calcular v a 33 ºC. COMPROBACIÓN El resultado del apartado (b) es mayor que el del apartado (a). Esto es

debido a que la velocidad del sonido aumenta con la temperatura. OBSERVACIÓN En este ejemplo vemos que la velocidad del sonido en el aire es aproxima-

damente 343 m/s a 20 ºC (esta temperatura se conoce como temperatura ambiente). PROBLEMA PRÁCTICO 15.2 Para el helio, M
4  103 kg/mol y g
1,67. ¿Cuál es la

velocidad de las ondas sonoras en helio a 20 °C? * El módulo de compresibilidad isotermo, que describe cambios en el volumen que ocurren a temperatura constante, difiere del módulo de compresibilidad adiabático, que describe variaciones del volumen que se dan cuando no se produce transferencia de calor. En las ondas sonoras a las frecuencias audibles, los cambios de la presión se producen tan rápidamente que no hay tiempo para que se den flujos de calor y, por ello, estas ondas se describen mediante el módulo de compresibilidad adiabático. †

Los valores de g para los gases monoatómicos y diatómicos se establecen en la sección 9 del capítulo 18.

vb va




Tb B Ta

vb
351 m>s

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

Deducción de v para ondas en una cuerda La ecuación 15.3

u

Fy u (v
2FT>m) se puede obtener aplicando el teorema del impulsou FT momento al movimiento de una cuerda. Supongamos que la u u∆t m mano sostiene por un extremo una cuerda larga que tiene una tenFT sión FT, mientras que el otro extremo de la cuerda está unido a una v∆t pared. La cuerda, que parte del reposo, se puede considerar uniforme, siendo m la densidad por unidad de longitud. De repente, F I G U R A 1 5 . 5 El punto en el que la cuerda pasa de la se empieza a mover la mano con una velocidad u constante hacia posición inclinada a la horizontal se mueve hacia la derecha arriba. Tras un corto periodo de tiempo, la cuerda se encuentra con velocidad v, conforme el extremo de la cuerda se mueve a cómo se muestra en la figura 15.5, con el punto del segmento invelocidad ascendente y constante u. clinado que está más a la derecha moviéndose hacia la derecha a la velocidad de la onda v y el segmento inclinado ascendiendo a velocidad u. ApliS S cando el teorema del impulso-momento (F m ¢t
¢p) a la cuerda, se obtiene F

Fy ¢t
mu  0

u

15.8

donde Fy es la componente vertical hacia arriba de la fuerza que ejerce la mano sobre la cuerda, m es la masa del segmento inclinado y ¢t es el tiempo durante el cual la mano mueve la cuerda. Como los dos triángulos de la figura son semejantes, Fy u ¢t u
o Fy
FT v FT v ¢t Sustituyendo Fy en la ecuación 15.8, da u F ¢t
(mv ¢t)u v T donde mv ¢t se ha reemplazado por m. Despejando v, se llega a v


FT Bm

que es la expresión para la velocidad de la onda dada en la ecuación 15.3. En el siguiente apartado, mostraremos que este resultado es válido no sólo para pulsos con la forma del de la figura 15.5 sino que también lo es para pulsos con una gran variedad de formas.

* LA ECUACIÓN DE ONDA Podemos aplicar las leyes de Newton a un segmento de cuerda para deducir una ecuación diferencial llamada ecuación de onda, que relaciona las derivadas espaciales de la función y(x, t) con sus derivadas temporales. La figura 15.6 muestra un segmento de una cuerda. Consideraremos sólo ángulos pequeños u1 y u2. En este caso, la longitud del segmento es, aproximadamente, ¢x y su masa m
m ¢x, donde m es la masa de la cuerda por unidad de longitud. Primero, demostraremos que, para desplazamientos verticales pequeños, la fuerza resultante horizontal sobre un segmento es cero y que la tensión es uniforme y constante. Es decir,

∆x

θ2 ∆y

θ1

FT1

x

Segmento de una cuerda tensa utilizado para la deducción de la ecuación de onda. La fuerza vertical neta sobre el segmento es FT2 sen u2  FT1 sen u1, siendo FT la tensión en la cuerda. Se obtiene la ecuación de onda aplicando la segunda ley de Newton al segmento.

FIGURA 15.6

©Fx
FT2 cos u2  FT1 cos u1
0 donde u2 y u1 son los ángulos indicados y FT es la tensión en la cuerda. Como se supone que los ángulos son pequeños, podemos considerar que cos u vale 1. Por lo tanto, la fuerza neta horizontal que actúa sobre el segmento de cuerda puede expresarse en la forma ©Fx
FT2  FT1
0 Con lo cual, FT2
FT1
FT El segmento de cuerda se mueve verticalmente y la fuerza neta en esta dirección es ©Fy
FT sen u2  FT sen u1

FT2

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Movimiento ondulatorio simple

Se supone que los ángulos son pequeños; por lo tanto, se puede sustituir sen u por tg u para cada uno de ellos. En estas condiciones, la fuerza vertical neta sobre el segmento de cuerda se escribe como a Fy
FT(sen u2  sen u1)
FT(tg u2  tg u1) La tangente del ángulo formado por la cuerda con la horizontal es la pendiente de la curva formada por la cuerda. La pendiente S es la primera derivada de y(x, t) respecto a x para t constante. Una derivada de una función de dos variables respecto a una de ellas, manteniendo constante la otra, se conoce como derivada parcial. La derivada parcial de y respecto a x se escribe ∂y/∂x. Así, tenemos y

S
tg u
Por lo tanto,

x

a Fy
FT(S2  S1)
FT ¢S

donde S1 y S2 son las pendientes de ambos extremos del segmento de cuerda y ¢S la variación de la pendiente. Haciendo que esta fuerza neta sea igual a la masa m¢x multiplicada por la aceleración ∂2y/∂t2, se tiene 2y

FT ¢S
m¢x

o

t2

FT

2y ¢S
m 2 ¢x t

15.9

En el límite ¢x S 0, tenemos 2y S  y ¢S


2 ¢x S 0 ¢x x x x x lim

Así pues, la ecuación 15.9 se reduce a 2y




x 2

m 2 y FT t2

15.10a

La ecuación 15.10a es la ecuación de onda para una cuerda tensa. Ahora demostraremos que la ecuación de onda es satisfecha por cualquier función de x  vt. Hagamos a
x  vt, y consideremos cualquier función de onda y
y(x  vt)
y(a) La derivada de y respecto a a la denominaremos y. Entonces, por la regla de derivación en cadena, tenemos y x Dado que




dy a a
y da x x

(x  vt) a

1 x x

se obtiene

y x

y

y

t

y

dy a a
y da t t

(x  vt) a

v t t

y


y




y t


vy

Tomando segundas derivadas, tenemos 2y x

2


y

y

2y t

2


v

y t


v

dy a
v2y da t

Así pues, 2y x

2




1 2y v2 t2

15.10b E C UAC I Ó N D E O N DA

SECCIÓN 15.1

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Página 502

CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

El mismo resultado se obtiene para cualquier función de x  vt. Comparando las ecuaciones 15.10a y 15.10b, vemos que la velocidad de propagación de la onda es v
2FT>m, que es la ecuación 15.3.

Ejemplo 15.4

Función de onda armónica

En el apartado siguiente, veremos que las ondas armónicas se definen mediante la función de ondas y(x, t)
A sen(kx  vt), donde v
v/k. Demostrar, resolviendo las segundas derivadas, que la función de onda satisface la ecuación 15.10b. PLANTEAMIENTO Se puede probar esto resolviendo las derivadas parciales correspondientes y sustituyendo en la ecuación 15.10b. SOLUCIÓN

1. Calcular la primera y segunda derivada de y respecto a x:

y




x

2y x

2

(kx  vt)  [A sen(kx  vt)]
A cos(kx  vt)
kA cos(kx  vt) x x




(kx  vt)   y
kA cos(kx  vt)
kA sen(kx  vt) x x x x


k2A sen(kx  vt) 2. De igual modo, las dos derivadas parciales respecto al tiempo, t, son:

y t 2y t

2

3. Sustituyendo estos resultados en la ecuación 15.9b, se obtiene:




(kx  vt)  [A sen(kx  vt)]
A cos(kx  vt)
vA cos(kx  vt) t t


vA sen(kx  vt)

k2A sen(kx  vt)
o bien

4. Sustituyendo k utilizando k
v/v, se obtiene:

y(kx  vt)

1 v2

t

[v2 A sen(kx  vt)]

A sen(kx  vt)


v2>k2 v2

A sen(kx  vt)

A sen(kx  vt) es una solución de la ecuación de onda (ecuación 15.9b), puesto que (v2>k2)>v2
1. Es decir, debido a que v
v>k.

COMPROBACIÓN Cualquier función de la forma y(x  vt) satisface la ecuación de onda

15.10b. Puesto que v
v/k, la función y(x, t)
A sen(kx  t) es de la forma y(x  vt). Para ver que esta función tiene la forma apropiada, basta con sustituir kv por v y
A sen(kx  vt)
A sen(kx  kvt)
A sen(k[x  vt]) que es de la forma y(x  vt).

PROBLEMA PRÁCTICO 15.3 Demostrar que cualquier función y(kx  vt) satisface la ecua-

ción 15.10b, puesto que v
v/k.

Deducción de v para ondas sonoras La velocidad del sonido viene dada por la ecuación 15.4, v
2B>r, donde B es el módulo de compresibilidad y r es la densidad del medio. Esta ecuación puede obtenerse aplicando nuevamente el teorema del impulso-momento al movimiento de aire en un gran cilindro (figura 15.7) con un pistón en un extremo y con el otro extremo abierto a la atmósfera. De repente, se mueve el pistón hacia la derecha a velocidad constante u. Tras un breve periodo de tiempo ¢t, el pistón se habrá desplazado una distancia u ¢t y todo el aire encerrado en el cilindro imaginario de longitud v¢t desde la posición inicial se moverá Scon velocidad u hacia la derecha. Aplicando el teorema del impulso-moS mento (F m ¢t
¢p ) al aire dentro del cilindro, se obtiene F ¢t
mu  0


v2 A sen(kx  vt)

15.11

donde m es la masa del aire que se mueve con velocidad u y F es la fuerza neta que actúa sobre el aire del interior del cilindro. El aire estaba inicialmente en reposo. La

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Página 503

Ondas periódicas

fuerza neta F está relacionada con el aumento de presión del aire que se mueve cerca del pistón mediante la relación

¢P B
 ¢V>V

¢V Au ¢t u ¢P
B
B
B v V Av ¢t

luego

donde Au¢t es el volumen barrido por el pistón y Av¢t es el volumen inicial de aire que se mueve ahora con velocidad u. Sustituyendo el valor de F de la ecuación 15.11, da u A¢P¢t
mu o AB ¢t
(rAv¢t)u v donde rAv¢t ha sido reemplazado por m. Despejando v, se llega a v


B Ar

|

503

u∆t P + ∆P

F
A ¢P donde A es el área de la sección transversal del cilindro. El módulo de compresibilidad del aire es

SECCIÓN 15.2

u

P

u

u

u

u

u

u

u

u

u

v

m v∆t

El aire que está cerca del pistón se mueve hacia la derecha con velocidad constante u que es la misma con la que se mueve el pistón. El extremo derecho de este pulso de presión se desplaza hacia la derecha a velocidad v. La presión en el pulso es mayor en un P que la presión fuera del cilindro.

FIGURA 15.7

que es justamente la ecuación 15.4. Utilizando las leyes de Newton puede deducirse también una ecuación de onda para las ondas sonoras. En una dimensión, esta ecuación es 1 2s 2s
2 2 2 x v s t donde s es el desplazamiento del medio en la dirección x y vs es la velocidad del sonido en ese medio.

15.2

ONDAS PERIÓDICAS

Si el extremo de una cuerda tensa se mueve de forma periódica hacia arriba y hacia abajo, se genera una onda periódica. Si una onda periódica se mueve a lo largo de una cuerda tensa o en cualquier otro medio, cada punto del medio oscila con el mismo periodo.

ONDAS ARMÓNICAS Las ondas armónicas constituyen la clase más básica de las ondas periódicas. Todas las ondas, tanto si son periódicas como si no lo son, pueden describirse como la suma de ondas armónicas. Por lo tanto, el conocimiento del movimiento de las ondas armónicas es fundamental para poder generalizar y obtener la descripción de cualquier clase de movimiento ondulatorio. Si una onda armónica se mueve por un medio, cada punto del medio oscila siguiendo un movimiento armónico simple. Si un extremo de una cuerda se sujeta a un diapasón que está vibrando con movimiento armónico simple, se produce un tren de ondas sinusoidales que se propaga a lo largo de la cuerda. Este tren de ondas es una onda armónica. La forma de la cuerda es la de una función sinusoidal, como muestra la figura 15.8. La distancia mínima recorrida en el espacio hasta que la función de onda se repite (la distancia entre crestas, por ejemplo) se llama longitud de onda l. Cuando la onda se propaga por la cuerda, cada punto de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo (perpendicularmente a la dirección de propagación) experimentando un movimiento armónico simple cuya frecuencia f es la del diapasón. Durante un periodo T, la onda se mueve una distancia de una longitud de onda, de modo que la velocidad viene dada por v


l
fl T

donde hemos utilizado la relación T
1/f.

15.12

y λ

A x v Onda armónica en un cierto instante de tiempo. A es la amplitud y l es la longitud de onda. En el caso de ondas en una cuerda, se puede obtener esta figura tomando una fotografía de alta velocidad de la misma.

FIGURA 15.8

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

Como esta relación surge de las definiciones de longitud de onda y frecuencia, es válida para todas las ondas armónicas. La función sinusoidal que describe los desplazamientos en la figura 15.8 es y(x)
A sena2p

x  db l

donde A es la amplitud, l la longitud de onda y d una constante de fase que depende de la elección del origen x
0. Esta ecuación se expresa de forma más sencilla como y(x)
A sen(kx  d)

15.13

donde k, el número de onda, viene dado por k


2p l

15.14

Obsérvese que las dimensiones de k son m1. (Como el ángulo debe expresarse en radianes, a veces se escriben las unidades de k en la forma rad/m.) Cuando se trata con una única onda armónica se suele elegir el origen de modo que d
0. Para describir una onda que se mueve en el sentido creciente de x con velocidad v, sustituyamos x en la ecuación 15.13 por x  vt (como hicimos con los “pulsos de onda” de la sección 15.1). Eligiendo d igual a cero, se obtiene y(x,t)
A sen k(x  vt)
A sen(kx  kvt) o y(x,t)
A sen(kx  vt)

15.15 F U N C I Ó N D E O N DA A R M Ó N I C A

donde v
kv

15.16

es la frecuencia angular y el argumento de la función seno, (kx  vt), se denomina fase. La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f y el periodo T mediante v
2pf


2p T

15.17

Sustituyendo v
2pf en la ecuación 15.16 y utilizando k
2p/l, se obtiene 2pf
kv


2p v l

o v
fl, que es la ecuación 15.12. Si una onda armónica que se mueve por una cuerda está descrita por y(x, t)
A sen(kx  vt), en un punto fijo x la velocidad viene dada por

vy


y t




 [A sen(kx  vt)]
vA cos(kx  vt) t

15.18

V E L O C I DA D T R A N SV E RSA L

La aceleración en este punto viene dada por 2y>t2.

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Página 505

Ondas periódicas

Ejemplo 15.5

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SECCIÓN 15.2

505

Una onda armónica en una cuerda

La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es y(x,t)
(0,03 m)  sen [(2,2 m1)x – (3,5 s1)t]. (a) ¿En qué sentido se propaga esta onda y cuál es su velocidad? (b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de esta onda. (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda? (d) ¿Cuál es la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda? PLANTEAMIENTO (a) Para determinar el sentido de la onda, expresar y(x, t) como una

función de (x – vt) o como una función (x  vt) y utilizar las ecuaciones 15.1 y 15.2. Para determinar la velocidad, utilizar v
kv (ecuación 15.16). (b) La longitud de onda, frecuencia y periodo pueden determinarse a partir del número de onda k y de la frecuencia angular v. (c) El desplazamiento máximo de un segmento de cuerda es la amplitud A. (d) La velocidad de cualquier segmento corto de cuerda es ∂y/∂t. SOLUCIÓN

(a) 1. La función de onda es de la forma y(x, t)
A sen(kx – vt). Teniendo en cuenta que v
kv (ecuación 15.16), escribir la función de onda en función de x – vt. Usar las ecuaciones 15.1 y 15.2 para determinar el sentido del movimiento:

y(x,t)
A sen(kx  vt) y v
kv es decir,

y(x,t)
A sen(kx  kvt)
A sen[k(x  vt)]

La onda viaja en el sentido x.

2. Como la forma de la función de onda es y(x, t)
A sen(kx – vt), sabemos cuánto vale A, v y k. Usarlos para calcular la velocidad:

v


(b) La longitud de onda l está relacionada con el número de onda k; y la frecuencia y el periodo están relacionados con v:

l


3,5 s1 l 2p v l
1,59 m>s


T k 2p T 2,2 m1


1,6 m>s 2p 2p

2,86 m
2,9 m k 2,2 m1 2p 2p T

1,80 s
1,8 s
v 3,5 s1 f


1 1
0,557 Hz
0,56 Hz
T 1,80 s

(c) El desplazamiento máximo del segmento de cuerda es la amplitud A:

A
0,030 m

(d) 1. Calcular ∂y/∂t para determinar la velocidad de un punto de la cuerda:

vy


y t


(0,030 m)

[sen(2,2 m1x  3,5 s1 t)] t


(0,030 m)(3,5 s ) cos(2,2 m1x  3,5 s1t) 1


(0,105 m>s) cos(2,2 m1x  3,5 s1t) 2. La velocidad transversal máxima tiene lugar cuando la función coseno tiene el valor de ± 1:

vy, máx
0,105 m>s
0,11 m>s

COMPROBACIÓN Hemos incluido las unidades para destacar cómo se utilizan. Con fre-

cuencia se prescinde de ellas para simplificar.

Transferencia de energía a una cuerda mediante ondas Consideremos una cuerda sujeta a un diapasón. Cuando éste vibra, transfiere energía al segmento de cuerda unido a él. Por ejemplo, cuando el diapasón se desplaza de su posición de equilibrio, estira ligeramente el segmento adyacente aumentando su energía potencial. Además, el diapasón se mueve más lentamente conforme se mueve hacia arriba desde su posición de equilibrio, de forma que esto ralentiza también el movimiento del segmento de la cuerda más cercano. Esto hace disminuir la energía cinética del segmento. Conforme la onda se mueve a lo largo de la cuerda, la energía se transfiere de un segmento al próximo de forma análoga. La potencia es la tasa de transferencia de energía. La potencia se calcula determinando la tasa con que realiza trabajo la fuerza que un segmento de cuerda ejerce sobre un segmento vecino. La figura 15.9 muestra una onda armónica moviéndose hacia la derecha a través de un segmento de cuerda. Es decir, consideramos una función de onda de la forma y(x,t)
A sen(kx  vt) 15.19

y v

θ FT

x

vtr

S

La tensión FT tiene un componente en la dirección de la velocidad S transversal v tr , de forma que en ese instante la fuerza está haciendo trabajo positivo sobre un extremo de la cuerda.

FIGURA 15.9

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

S

La tensión FT que actúa sobre el extremo izquierdo del segmento es tangente a la cuerda. Para calcular la potencia transferida por esta fuerza, usamos la fórmula S S S P
FT # vtr (ecuación 6.16), donde FT es la tensión y vtr , la velocidad transversal, es la velocidad del extremo del segmento. Para obtener una expresión para la potencia, primero expresamos los vectores en función de sus componentes, es decir, S S FT
FTx in  FTy jn y vtr
vy jn, con lo cual, tomando el producto escalar, tenemos que P
FTy vy. A partir de la ecuación 15.18, obtenemos vy y a partir de la figura vemos que FTy
FT sen u
FT tg u, en donde se ha usado la aproximación según la cual, para ángulos pequeños sen
tg u. Como tg u es la pendiente de la cuerda, tenemos tg u
y>x y, por lo tanto, P
FTy vy
FTvy tg u
FT

y y

15.20

t x

Aplicando la ecuación 15.20 a una onda armónica (calculando las derivadas de 15.19), se tiene P
FT[vA cos(kx  vt)][kA cos(kx  vt)]
FTvkA2 cos2(kx  vt) Utilizando v
2FT>m (ecuación 15.3) y v
v>k (ecuación 15.16), sustituimos FT y k, obteniendo P
mvv2A2 cos2(kx  vt)

15.21

donde v es la velocidad de la onda. La potencia media es Pm
12 mvv2A2

15.22

t1

ya que el valor medio de cos (kx  vt), si se calcula el promedio sobre un periodo entero del movimiento manteniendo x constante, es 12 . La energía recorre la cuerda a la velocidad de la onda v, por lo que la energía media (¢E)m que fluye por un punto P1 durante el tiempo ¢t (figuras 15.10a y 15.10b) es

(a) t1 + ∆t

(¢E)m
Pm ¢t
12 mvv2 A2¢t

v∆t

(b)

15.23

Obsérvese que tanto la potencia media como la energía media transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda.

Ejemplo 15.6

La onda ha alcanzado el punto P en el instante t1. Durante el periodo de tiempo t, la onda ha avanzado una distancia v t tras pasar por P.

FIGURA 15.10

Energía total media de una onda en una cuerda

Una onda armónica de longitud de onda 25 cm y amplitud 1,2 cm se mueve a lo largo de un segmento de 15 m de una cuerda de 60 m de longitud y 320 g de masa que está sometida a una tensión de 12 N. (a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de la onda. (b) ¿Cuál es la energía total media de la onda? PLANTEAMIENTO La velocidad de la onda es v
2FT >m, donde FT es conocida y m
m/L.

Determinamos v a partir de v
2pf, donde f
v/l. La energía se obtiene de la ecuación 15.23, (¢E)m
12 mv2 A2 ¢x.

SOLUCIÓN

(a) 1. La velocidad está relacionada con la tensión y la densidad de masa lineal: 2. Calcular la velocidad de la onda:

x

P

Esta energía se distribuye a lo largo de una distancia ¢x
v¢t, de modo que la energía media en ¢x es (¢E)m
12 mv2A2 ¢x

x

P

2

v
v


FT

y

Bm FTL B m




m


m L

(12 N)(60 m) B

(0,32 kg)


47,4 m>s
47 m>s

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Ondas periódicas 3. La frecuencia angular se determina a partir de la frecuencia, y ésta, a partir de la velocidad y de la longitud de onda:

v
2pf

|

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v
fl,

y

luego, v
2p

SECCIÓN 15.2

47,4 m>s v
1190 rad>s
2p l 0,25 m


1200 rad>s (b) La energía total media de las ondas en la cuerda viene dada por la ecuación 15.23, (¢E)m
12 mv2 A2¢x:

(¢E)m



1

mv2 A2 ¢x


2 1 0,32 kg 2 60 m

1m 2 2 v A ¢x 2 L

(1190 s1)2(0,012 m)2(15 m)


8,19 J
8,2 J COMPROBACIÓN Las unidades de la energía media del apartado (b) vienen dadas en

1

kg # s2 m 3 m


1

kg # m 2 s2


1N#m
1J

donde hemos utilizado que 1 N
1 kg # m>s2. Las unidades son las correctas. PROBLEMA PRÁCTICO 15.4 Calcular la energía total media transmitida por unidad de

tiempo a lo largo de la cuerda.

ONDAS SONORAS ARMÓNICAS Las ondas sonoras armónicas pueden generarse mediante un diapasón o un altavoz que vibre con movimiento armónico simple. La fuente vibrante hace que las moléculas de aire próximas oscilen con movimiento armónico simple alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas moléculas chocan con otras moléculas próximas haciéndoles oscilar y, por lo tanto, propagan la onda sonora. La ecuación 15.15 describe una onda sonora armónica si la función de onda y(x,t) se reemplaza por s(x,t), el desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio. Entonces, s(x,t)
s0 sen(kx  vt)

15.24

Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la dirección del movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presión del aire. La figura 15.11 muestra el desplazamiento de las moléculas de aire y los cambios de densidad originados por una onda sonora en un momento determinado. Como la presión del gas es proporcional a su densidad, el cambio de presión es máximo cuando la variación de densidad es máxima. Los gráficos de la figura nos muestran que la onda (a) Desplazamiento respecto al equilibrio de las moléculas de aire en una onda sonora armónica en función de la posición en un cierto instante. Los puntos x1 y x3 son puntos de desplazamiento nulo. (b) Algunas moléculas representativas igualmente espaciadas en sus posiciones de equilibrio 1/4 de ciclo antes. Las flechas indican el sentido de sus velocidades en ese momento. (c) Moléculas próximas a los puntos x1, x2 y x3 después de la llegada de la onda. Justo a la izquierda de x1, el desplazamiento es negativo, indicando que las moléculas del gas se desplazan hacia la izquierda, alejándose del punto x1 en este momento. Justo a la derecha de x1, el desplazamiento es positivo, indicando que las moléculas se desplazan hacia la derecha, o sea, de nuevo alejándose del punto x1. Así, en el punto x1 la densidad es un mínimo, ya que las moléculas de gas en ambos lados se desplazan alejándose de dicho punto. En el punto x3, la densidad es un máximo porque las moléculas a ambos lados de este punto se desplazan hacia x3. En el punto x2, la densidad no se modifica, pues las moléculas a ambos lados de este punto tienen desplazamientos iguales en la misma dirección. (d) Densidad del aire en ese momento. La densidad es máxima en x3 y mínima en x1, puntos ambos en los que el desplazamiento es nulo. La densidad es igual al valor en equilibrio en el punto x2, que es un máximo en el desplazamiento. (e) Cambio de presión, que es proporcional al cambio de densidad, en función de la posición. Los cambios de presión y desplazamiento (cambios de posición) están desfasados en 90º.

s

x1

(a)

x2

x3 x

FIGURA 15.11

(b) (c)

(d) p

(e)

x

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

de presión (o de densidad) está desfasada 90º respecto al desplazamiento de la onda. (En los argumentos de las funciones seno o coseno siempre expresamos los ángulos de fase en radianes. Sin embargo, cuando se describe el fenómeno, decimos normalmente que “dos ondas están desfasadas 90º”, en lugar de “dos ondas están desfasadas p/2 radianes”.) Cuando el desplazamiento es cero, los cambios de presión y densidad son máximos o mínimos. Cuando el desplazamiento es máximo o mínimo, los cambios de presión y densidad son nulos. Una onda de desplazamiento dada por la ecuación 15.24 implica una onda de presión dada por p
p0 senakx  vt 

p 2

b
p0 cos(kx  vt)

15.25

donde p representa el cambio de presión respecto a la presión de equilibrio y p0 es el valor máximo de este cambio. Se puede demostrar que la máxima amplitud de presión p0 está relacionada con la máxima amplitud de desplazamiento s0 por p0
rvvs0

15.26

donde v es la velocidad de propagación y r la densidad de equilibrio del gas. Así, cuando una onda armónica sonora se propaga con el tiempo, el desplazamiento de las moléculas del aire, la presión y la densidad varían todas ellas sinusoidalmente con la frecuencia de la fuente vibrante. PROBLEMA PRÁCTICO 15.5

El hombre puede percibir sonidos de frecuencias comprendidas entre 20 Hz y 20000 Hz (aunque mucha gente tiene limitada la audición por encima de 15000 Hz). Si la velocidad del sonido en el aire es de 343 m/s, ¿cuáles son las longitudes de onda que corresponden a estas frecuencias extremas?

Energía de las ondas sonoras La energía media de una onda sonora armónica en un elemento de volumen ¢V viene dado por la ecuación 15.23, donde A se reemplaza por s0 y el elemento de masa ¢m
m ¢x se sustituye por r ¢V, siendo r la densidad media del medio en que se propaga el sonido. (¢E)m
12 rv2s20 ¢V

15.27

La energía por unidad de volumen es la densidad de energía media hm: hm


¢Em ¢V




1 2

rv2s20

15.28

donde h es la letra griega eta minúscula.

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Las ondas electromagnéticas incluyen la luz, ondas de radio, rayos X, rayos gamma, microondas, etc. Los diversos tipos de ondas electromagnéticas difieren sólo en su longitud de onda y frecuencia. A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no requieren un medio para su propagación. Viajan a través del vacío con velocidad c que es una constante universal, c  3  108 m/s. La función de onda de las ondas electromagnéticas es un campo eléctrico asociado S con la onda, E (x,t) (Los campos eléctricos se tratan en el capítulo 21. Se deducirá una ecuación de onda, similar a la de las ondas en una cuerda o a la de las ondas sonoras, a partir de las leyes de la electricidad y el magnetismo en el capítulo 30.) El campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación, de modo que las ondas electromagnéticas son ondas transversales. Las ondas electromagnéticas se producen cuando las cargas eléctricas libres aceleran o cuando los electrones ligados a los átomos y moléculas realizan transiciones a estados energéticos inferiores. Las ondas de radio, con frecuencias de aproximadamente 1 MHz para AM y 100 MHz para FM, se producen por corrientes eléctricas macroscópicas que oscilan en antenas de radio. La frecuencia de las ondas emitidas es igual a la frecuencia de oscilación de las cargas. Las ondas lu-

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Ondas en tres dimensiones

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SECCIÓN 15.3

509

minosas, con frecuencias del orden de 1014 Hz, se producen generalmente por transiciones de electrones ligados. El espectro de ondas electromagnéticas se trata en el capítulo 31.

15.3

ONDAS EN TRES DIMENSIONES

En la figura 15.12, se ven ondas circulares bidimensionales sobre la superficie del agua de una cubeta de ondas. Estas ondas se generan mediante gotas de agua que chocan con la superficie. Las crestas de las ondas forman círculos concéntricos llamados frentes de onda. En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se emiten en tres dimensiones. Se mueven alejándose del foco en todas direcciones y los frentes de onda son ahora superficies esféricas concéntricas.

(David Sacks/ The Image Bank/ Getty.)

Fuente λ

Frentes de onda

FIGURA 15.12

Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntual en una cubeta de ondas. (PhotoDisc/Getty Images.)

Rayos

El movimiento de los frentes de onda puede representarse mediante rayos que se dibujan perpendiculares a los frentes de onda. En el caso de una fuente puntual, los rayos son rectas radiales que divergen de la dicha fuente.

FIGURA 15.13

El movimiento de un conjunto cualquiera de frentes de onda puede indicarse mediante rayos, que son líneas dirigidas perpendicularmente a los frentes de onda (figura 15.13). En el caso de ondas circulares o esféricas, los rayos son líneas radiales. En un medio homogéneo, como el aire a densidad constante, el frente de onda se mueve en línea recta en la dirección de los rayos, como si se tratara de un haz de partículas. A una distancia grande de un foco puntual, una sección pequeña del frente de onda se puede considerar como una superficie plana, y los rayos son, aproximadamente, líneas paralelas; este tipo de onda se llama onda plana (figura 15.14). El análogo bidimensional de una onda plana es una onda lineal, que puede considerarse como una pequeña parte de un frente de onda circular a una gran distancia de su foco. Estas ondas pueden producirse también en una cubeta de ondas mediante una fuente lineal, como la indicada en la figura 15.15.

Ondas planas. A distancias grandes de un foco puntual, los frentes de onda son, aproximadamente, planos paralelos y los rayos son, aproximadamente, rectas paralelas perpendiculares a los frentes de onda.

FIGURA 15.14

Analogía bidimensional de una onda plana que puede generarse en una cubeta de ondas mediante un listón plano que oscila arriba y abajo dentro del agua para producir frentes de onda que son líneas rectas.

FIGURA 15.15

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Movimiento ondulatorio

CAPÍTULO 15

INTENSIDAD DE ONDA Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energía a una distancia r del mismo estará distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de radio r y superficie 4pr2. Si la potencia media emitida por el foco es Pm, la potencia por unidad de área a una distancia r del foco será Pm/(4pr2). La potencia media por unidad de área que está incidiendo perpendicularmente a la dirección de propagación se denomina intensidad: I


Pm

15.29

A

D E F I N I C I Ó N D E I N T E N S I DA D

Las unidades de la intensidad son watts por metro cuadrado. A una distancia r de un foco puntual, la intensidad vale I


Pm

15.30

4pr2

I N T E N S I DA D D E B I DA A U N F O C O P U N T UA L

La intensidad de una onda tridimensional varía inversamente con el cuadrado de la distancia al foco puntual. Existe una relación sencilla entre la intensidad de una onda y la energía por unidad de volumen del medio por el que se propaga la onda. Consideremos la onda esférica que acaba de alcanzar el radio r1 de la figura 15.16. El volumen interior al radio r1 contiene energía debido a que las partículas en esta región están oscilando con movimiento armónico simple. La región exterior a r1 no contiene energía porque las ondas todavía no han alcanzado dicha región. Después de un intervalo corto de tiempo ¢t, la onda, en su movimiento, sobrepasa r1 en una distancia corta ¢r
v ¢t. La energía total en el medio se ve incrementada en la energía contenida en la corteza esférica de superficie A, espesor v ¢t y volumen ¢V
A ¢r
Av ¢t. La energía media de la corteza esférica es (¢E)m
hm ¢V
hmAv ¢t El incremento de energía por unidad de tiempo es la potencia que entra en la corteza. Así pues, la potencia media incidente es Pm


(¢E)m ¢t

∆V ∆r = v ∆t

A r1

Volumen de la corteza = ∆V = A ∆ r = Av ∆ t FIGURA 15.16


hmAv

y la intensidad de la onda es I


Pm A


hmv

15.31

Por lo tanto, la intensidad es igual al producto de la velocidad de la onda v por la densidad de energía media hm. Sustituyendo hm
12 rv2 s20 de la ecuación 15.28 (densidad de energía media de una onda sonora) en la expresión anterior, resulta I
hmv


1 2

rv2s20 v


2 1 p0 2 rv

15.32

donde se ha tenido en cuenta que s0
p0/(rwv) según la ecuación 15.26. Es decir, la intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de la amplitud, lo que constituye una propiedad general de las ondas armónicas. El oído humano puede acomodarse a un amplio intervalo de intensidad de ondas sonoras, desde 1012 W/m2, aproximadamente (que normalmente se toma como el umbral de audición), hasta 1 W/m2, aproximadamente (que produce una sensación dolorosa en la mayoría de las personas). Las variaciones de presión que corresponden a estas intensidades extremas varían, aproximadamente, desde 3  105 Pa para

Ondas sonoras procedentes de un receptor telefónico propagándose en el aire. Las ondas se han hecho visibles barriendo el espacio delante del receptor con una lámpara que tiene un brillo controlado mediante un micrófono. (From Winston E. Kock, Lasers and Holography, 1978, Dover Publications, New York.)

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Ondas en tres dimensiones

SECCIÓN 15.3

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el umbral de audición hasta 30 Pa para el umbral del dolor. (Recuérdese que el pascal es un newton por metro cuadrado.) Estas pequeñas variaciones de presión se superponen (sumando o restando) a la presión atmosférica normal cuyo valor es, aproximadamente, 101 kPa.

Ejemplo 15.7

Un altavoz

El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 1 kHz y una amplitud de 0,020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen esta misma amplitud de vibración, determinar (a) la amplitud de la presión justo delante del diafragma, (b) la intensidad sonora en esta posición y (c) la potencia acústica irradiada. (d) Si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior, determinar la intensidad a 5 m del altavoz. PLANTEAMIENTO (a) y (b) La amplitud de la presión se calcula directamente de p0
rvvs0

(ecuación 15.26) y la intensidad sonora de I
12 rv2 s 20v (ecuación 15.32). (c) La potencia irradiada es igual al producto de la intensidad por el área del diafragma. (d) El área de una semiesfera de radio r es 2pr2. Podemos utilizar la ecuación 15.29 haciendo A
2pr2. SOLUCIÓN

(a) La ecuación 15.26 relaciona la amplitud de la presión con la amplitud del desplazamiento, la frecuencia, la velocidad de la onda y la densidad del aire:

p0
rvvs0
(1,29 kg>m3)2p(103 Hz)(343 m>s)(2,0  105 m)

(b) La ecuación 15.32 relaciona la intensidad con estas mismas magnitudes conocidas:

I
12 rv2 s20v
12 (1,29 kg>m3)[2p(1,0 kHz)]2(2,0  105 m)2(343 m>s)

(c) La potencia es el producto de la intensidad por el área del diafragma:

Pm
IA
(3,494 W>m2)p(0,15 m)2
0,247 W
0,25 W

(d) Calcular la intensidad a la distancia r
5 m suponiendo una radiación uniforme en la semiesfera anterior:

I



55,6 N>m2
56 Pa


3,494 W>m2
3,5 W>m2

Pm A




0,247 W 2p(5,0 m)2


1,57  103 W>m2
1,6 mW>m2

COMPROBACIÓN El resultado del apartado (d) es menor que el del apartado (b), como era de esperar. Lo lógico es que la intensidad sea mayor cuanto más cerca se está del diafragma del altavoz. OBSERVACIÓN La hipótesis de radiación uniforme en la semiesfera anterior no es muy

buena porque la longitud de onda en este caso [l
v/f
(343 m/s)/(1000 s1)
34,3 cm] no es grande comparada con el diámetro del altavoz. Existe también cierta radiación en la dirección posterior, como puede observarse situándose detrás de un altavoz.

Los altavoces de un concierto de “rock” pueden emitir con una potencia 100 veces mayor que el altavoz del ejemplo.

* Nivel de intensidad y sensación sonora Aunque nuestra percepción de la sonoridad no es proporcional a la intensidad, sí resulta una buena aproximación considerar que esta percepción varía logarítmicamente con la intensidad. Usaremos, por lo tanto, una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad b de una onda sonora, el cual se mide en decibelios (dB) y se define por b
(10 dB) log

I I0

15.33 D E F I N I C I Ó N : N I V E L D E I N T E N S I DA D E N d B

donde log se refiere al logaritmo base 10. El decibelio es una magnitud adimensional, como el radian. Normalmente, escribimos la ecuación 15.33 sin escribir en forma explícita las unidades. Es decir, lo escribimos como b
10 log(I>I0). Aquí

Véase el Apéndice de matemáticas para más información sobre

Potencias y logaritmos

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

I es la intensidad física del sonido e I0 es un nivel de referencia, que tomaremos como umbral de audición: I0
1012 W>m2

15.34 U M B R A L D E AU D I C I Ó N

En esta escala, el umbral de audición (I
10 W/m ) se corresponde con un nivel de intensidad b
10 log (I0/I0)
0 dB y el umbral del dolor (I
1 W/m2) se corresponde con b
10 log (1/1012)
10 log 1012
120 dB. Así pues, el intervalo de intensidades físicas de 1012 W/m2 a 1 W/m2 se corresponde con un intervalo de niveles de sensación sonora de 0 dB a 120 dB. La tabla 15.1 relaciona los niveles de intensidad de algunos sonidos comunes. 12

Tabla 15.1

2

Intensidad física y nivel de intensidad sonora de algunos sonidos comunes (I0
1012 W/m2)

Fuente Respiración normal Rumor de hojas Conversación en voz muy baja (a 5 m) Biblioteca Oficina tranquila Conversación normal (a 1 m) Tráfico denso Oficina ruidosa con máquinas; fábrica de tipo medio Camión pesado (a 15 m); cataratas del Niágara Tren de metro antiguo Ruido de construcción (a 3 m) Concierto de rock con amplificadores (a 2 m); despegue de un reactor (a 60 m) Remachadora neumática; ametralladora Despegue de un reactor (cercano) Motor de cohete grande (cercano)

Ejemplo 15.8

I>I0

dB

Descripción

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Umbral de audición Escasamente audible

1013 1015 1018

130 150 180

Apenas ruidoso Poco ruidoso

La exposición constante daña al oído

Umbral del dolor

Pruebas de sonido

Un material absorbente del sonido atenúa el nivel de sonoridad en 30 dB. ¿En qué factor disminuye la intensidad? PLANTEAMIENTO Analice la tabla 15.1 para comprobar el cambio de intensidad por cada 10 dB de cambio en el nivel de intensidad sonora. ¿Se puede inferir alguna regla? SOLUCIÓN

1. En la tabla 15.1, vemos que por cada 10 dB de disminución del nivel de sensación sonora, la intensidad física disminuye en un factor de 10.

Así, si la sonoridad disminuye en 30 dB, la intensidad física disminuye en un factor 101  101  101
103

COMPROBACIÓN Podemos comparar este resultado con el que se obtendría utilizando di-

rectamente la ecuación 15.33. Es decir, b2  b1
10 log(I2 >I0)  10 log(I1 >I0)
10 log(I2 >I1). Despejando I2 da I2
10(b2 b1)>10 I1. Sustituyendo 30 en lugar de b2  b1 da I2
103 I1, lo que verifica nuestro resultado.

✓

COMPROBACIÓN CONCEPTUAL 15.1

David se compra una radio que produce el doble de potencia acústica que la que se le ha roto. David espera que la nueva radio suene el doble de fuerte. ¿Quedará satisfecho con la compra? Explique la respuesta.

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Ondas y barreras

En realidad, la sonoridad depende de la frecuencia, así como del nivel de intensidad en decibelios. La figura 15.17 representa este nivel de intensidad en dB en función de la frecuencia para sonidos de igual sonoridad en el oído humano. (En esta figura, la frecuencia se representa en escala logarítmica para abarcar el amplio intervalo de frecuencias de 20 Hz a 10 kHz.) Obsérvese en esta figura que el oído es más sensible a ~ 4 kHz para todos los niveles de intensidad sonora en dB.

Ejemplo 15.9

120

Nivel de intensidad, dB

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513

Nivel de intensidad en función de la frecuencia para sonidos de igual sensación sonora. La curva inferior está por debajo del umbral de audición para, aproximadamente, el 99 por ciento de la población. La segunda curva inferior constituye, aproximadamente, el umbral de audición para un 50 por ciento de la población.

FIGURA 15.17

100 80 60 40 20 0 20

SECCIÓN 15.4

100

1000 Frecuencia, Hz

10 000

Ladridos de perros

El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia acústica. (a) Si esta potencia se distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m? (b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos desarrolla una potencia de 1 mW? PLANTEAMIENTO El nivel de intensidad sonora se deduce de la intensidad física y ésta de la expresión I
Pm/(4pr2). Para dos perros, las intensidades físicas se suman. SOLUCIÓN

(a) 1. El nivel de intensidad sonora está relacionado con la intensidad física. Entonces tenemos que calcular primero la intensidad I:

b
10 log P1 m

2. Calcular la intensidad a r
5 m:

I1


3. Utilizar el resultado anterior para determinar el nivel de intensidad sonora a 5 m:

b1
10 log

(b) Si I1 es la intensidad de un perro, la intensidad de dos perros es I2
2 I1:

2

4pr

I I0




b2
10 log

1,0  103 W

I1 I0 I2 I0

4p(5,0 m)2
10 log
10 log


3,18  106 W>m2

3,18  106 1  1012 2I1 I0


65,0 dB


10 alog 2  log

I1 I0

b


10 log 2  b1
3,01  65,0
68,0 dB

COMPROBACIÓN Si el resultado del apartado (b) es correcto, cuando la intensidad se du-

plica, el nivel de intensidad sonora aumenta en unos 3 dB. Para ver si es correcto, dividimos 65 dB entre 3 dB lo que da 21,7. Entonces, multiplicando la intensidad umbral por 21,7 da una intensidad de I1
3  106 W/m2. Por tanto, 221,7 I0 debería ser igual a 3  106 W/m2. Es fácil comprobar que así es.

15.4

v1

ONDAS Y BARRERAS hin

REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y REFRACCIÓN Cuando una onda incide sobre una superficie límite o de separación de dos regiones en las que la velocidad de la onda es diferente, parte de la onda se refleja y parte se transmite. La figura 15.18a muestra un pulso sobre una cuerda ligera unida a una cuerda más pesada. En este caso, el pulso reflejado en la superficie límite se invierte. Si la segunda cuerda es más ligera que la primera (figura 15.18b), el pulso reflejado no se invierte. El pulso transmitido a la segunda cuerda va siempre derecho (derecho

v2 < v1

v2

hr

ht

v1

(a) v1

hin La parte frontal del pulso es más estrecha que la trasera porque el extremo de la cuerda fue levantado más rápido de lo que se bajó. (a) Un pulso de onda se propaga sobre una cuerda ligera unida a otra más pesada en la cual es menor la velocidad de la onda. El pulso reflejado se invierte, mientras que el transmitido no. (b) Un pulso de onda se propaga sobre una cuerda pesada unida a otra más ligera, en la cual la velocidad es mayor. En este caso, el pulso reflejado no se invierte.

FIGURA 15.18

v2 > v1

v2

v1 ht

hr

(b)

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

quiere decir que tiene la misma orientación que el pulso incidente). Un extremo de una cuerda unido a un punto fijo es equivalente a unirlo a una segunda cuerda con una masa por unidad de longitud extremadamente grande, de forma que el pulso incidente se invierte al llegar al punto fijo y reflejarse. Por el contrario, si el extremo de la cuerda se une a otra cuerda de menor masa por unidad de longitud, el pulso reflejado va derecho. Las alturas de los pulsos incidentes, reflejados y transmitidos se muestran en la figura 15.18 y son hin, hr y ht, respectivamente. El coeficiente de reflexión r, es el cociente entre la altura del pulso reflejado y la altura del pulso incidente y el coeficiente de transmisión t es el cociente entre la altura del pulso transmitido y la altura del pulso incidente. Las expresiones para r y t son r


v 2  v1 v2  v1

y

t


2v2

15.35

v2  v1

COEFICIENTES DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

Estas dos expresiones para los coeficientes de reflexión y transmisión se denominan relaciones de Fresnel y se pueden deducir haciendo que la tensión, la altura de la cuerda y la pendiente de la cuerda permanezcan continuas en el punto donde la masa por unidad de longitud es discontinua. (La tercera ley de Newton requiere que la pendiente sea continua.) Obsérvese que t siempre es positivo, lo que significa que el pulso transmitido va siempre derecho. Sin embargo, si r es negativo (v2 < v1), el pulso reflejado se invierte, mientras que si r es positivo (v2 > v1), el pulso reflejado va derecho. Las relaciones de Fresnel son válidas tanto para ondas de luz como sonoras.

Ejemplo 15.10

Dos cables soldados

Dos cables de densidades de masa lineal distintas se sueldan uno a continuación del otro y después se estiran mediante una tensión FT (la tensión es la misma en los dos alambres). La velocidad de una onda en el primer alambre es el doble que en el segundo. Cuando una onda armónica que se transmite por el primer alambre llega a la unión de los alambres, la onda reflejada tiene la mitad de amplitud que la onda transmitida. (a) Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿cuáles son las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida? (b) ¿Cuál es el cociente entre las densidades m2/m1 de masa de los cables? (c) ¿Qué fracción de la potencia incidente se refleja en la unión y qué fracción se transmite? vin = v1

PLANTEAMIENTO Para calcular las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas, utiliza-

mos Ar
rA y At
tA, donde Ar y At son las amplitudes de las ondas transmitidas y reflejadas, respectivamente, y r y t los coeficientes de reflexión y transmisión. Cada una de las potencias se expresa con la ecuación 15.22, Pm
12 mvv2A2 . Las frecuencias angulares de todas las ondas son iguales. Como las ondas reflejada e incidente están en el mismo medio, ambas poseen la misma velocidad v1. Sabemos que la velocidad en el segundo alambre es v2
12 v1 (figura 15.19).

µ1 vr = v1 FIGURA 15.19

SOLUCIÓN

(a) 1. Expresar las amplitudes reflejada y transmitida en términos de la amplitud incidente y de los coeficientes de reflexión y transmisión: 2. Utilizar v1
2 v2 para calcular los coeficientes de reflexión y transmisión:

Ar
rA

r


v 2  v1 v2  v1

t


2v2 v2  v 1

luego,

(b) 1.

Utilizar la ecuación 15.3, v
2FT >m. FT es la misma en cada lado de la unión. Despejar m1 y m2:

v21


At
tA

y





v2  2v2 v2  2v2 2v2 v2  2v2

1 Ar
 A 3

FT m1

por tanto,

y m1


v22
FT v21



y

1 3

2 3 At


2 A 3

FT m2 y

m2


FT v22

vt = v2 = 12 v1

µ2

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Ondas y barreras

2. Dividir m2 entre m1 utilizando v1
2 v2: (c) 1. Escribir las expresiones para las potencias medias incidente, reflejada y transmitida a partir de la ecuación 15.22, Pm
12 mvv2A2 :

m2 m1




v 21 v 22




(2v2)2 v22

SECCIÓN 15.4

|

515


4

Pin m
12 m1 v2 A2 v1 Pr m
12 m1v2A2rv1 Pt m
12 m2v2A2tv2

2. Sustituir el resultado del apartado (a) en las expresiones de las potencias:

2 1 1 Pr m
12 m1 v2 a Ab v1
m1v2A2v1 3 18 2 2 2 Pt m
12 m2 v2 a Ab v2
m2v2A2v2 3 9

3. Calcular los cocientes Pr/Pin y Pt/Pin:

Pr m Pin m Pt m Pin m

4. Simplificar utilizando los resultados del apartado (b) y la relación v1
2 v2:

Pt m Pin m








1 2 2 18 m1 v A v1




1 2 2 2 m1 v A v1 2 2 2 9 m2 v A v2 1 2 2 2 m1 v A v1

4

4

v2

9 2v2







1 9 4 m2 v2 9 m1 v1

8 9

COMPROBACIÓN La suma de las fracciones de potencia reflejada y transmitida da 1. OBSERVACIÓN La onda reflejada se invierte respecto a la onda incidente; por tanto, tienen

un desfase de 180º. Una amplitud negativa corresponde a un desfase de 180º. PROBLEMA PRÁCTICO 15.6 Repetir el ejemplo 15.10 pero con v2
2v1 .

La conservación de la energía proporciona una nueva relación entre los coeficientes de reflexión y transmisión. Esta relación, establecida en el problema 15.70, viene dada por v1 1
r2  t2 15.36 v2 donde r2 representa la fracción de potencia reflejada y (v1/v2)t2 representa la fracción transmitida.

PROBLEMA PRÁCTICO 15.7

Demostrar que los valores de r y t para los cables del ejemplo 15.10 satisfacen la ecuación 15.36.

En tres dimensiones, la frontera entre dos regiones de diferente velocidad de onda es una superficie. La figura 15.20 muestra un rayo incidente sobre una de estas superficies límite. Este ejemplo podría ser una onda sonora en el aire que choca sobre una superficie sólida o líquida. El rayo reflejado forma un ángulo con la normal a la superficie igual al que forma el rayo incidente. El rayo transmitido se desvía acercándose o alejándose de la normal; lo cual depende de si la velocidad de la onda en el segundo medio es menor o mayor que la que posee en el medio inicial. Se denomina refracción al cambio de dirección del rayo transmitido. Cuando la velocidad de la onda en el segundo medio es mayor que en el medio incidente (como ocurre cuando una onda luminosa que se propaga en vidrio o agua se refracta en el aire), el rayo que describe la dirección de propa-

Rayo reflejado

Rayo refractado

Rayo incidente

Onda incidiendo sobre una superficie límite entre dos medios en los cuales la velocidad de onda difiere. Parte de la onda se refleja y parte se transmite. Se denomina refracción al cambio de dirección del rayo transmitido.

FIGURA 15.20

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θ2

1

v1

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CAPÍTULO 15

v >v 2

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θ1

θ2

Movimiento ondulatorio

θ2 θ1

θ1 θc

Reflejado parcialmente

La luz procedente de una fuente en el agua se refracta alejándose de la normal cuando entra en el aire. Para ángulos de incidencia por encima de un valor crítico, no hay rayo transmitido, condición conocida como reflexión interna total.

FIGURA 15.21

Reflejado totalmente

gación se desvía alejándose de la normal, como indica la figura 15.21. Al incrementarse el ángulo de incidencia, crece también el ángulo de refracción, hasta que se alcanza un ángulo crítico de incidencia, para el cual el ángulo de refracción es de 90º. Para ángulos de incidencia superiores al valor crítico, desaparece el rayo refractado, fenómeno que se llama reflexión interna total. La cantidad de energía reflejada por una superficie depende de la clase de superficie. Las paredes rígidas, suelos y techos planos son buenos reflectores de las ondas sonoras; mientras que otros materiales porosos y menos rígidos, como la ropa de los paños y tapizados, absorben gran cantidad de la energía incidente. La reflexión de las ondas sonoras juega un papel importante en el proyecto de una sala de conferencias, de una biblioteca o un auditorio de música. En una sala de conferencias con muchas superficies planas reflectoras, es difícil de entender lo que se dice debido a la multitud de ecos que llegan en instantes diferentes a los oídos del oyente. Para reducir estas reflexiones es corriente colocar sobre las paredes y el techo materiales absorbentes. En una sala de conciertos, se sitúa una placa reflectora detrás de la orquesta y también se cuelgan paneles reflectores del techo para reflejar y dirigir el sonido hacia los oyentes.

Ejemplo 15.11

(Gentileza de Davies Symphony Hall.)

Conceptual

El globo que oye Normales

Una práctica de física muy popular consiste en colocar un globo lleno de dióxido de carbono entre un altavoz y una persona que escucha. La persona escucha un sonido más fuerte cuando se coloca el globo que cuando se quita. ¿Por qué?

Aire

Rayo CO2

PLANTEAMIENTO La masa molar del dióxido de carbono es mayor

que la masa molar del aire. Así, el sonido viaja más rápido a través del aire que a través del globo. Dibujar un diagrama de los rayos de sonido que atraviesan el globo. Los rayos se refractan (se inclinan) cuando el sonido se transmite a través de la superficie que separa los dos medios. SOLUCIÓN

1. Trazar el rayo que sale del altavoz y pasa por la parte superior del globo (figura 15.22a). El rayo se refractará hacia la normal cuando entra en el globo y más allá de la normal cuando sale:

Fuente Globo

(a)

Aire

CO2

2. Repetir el paso 1 para cuatro o cinco rayos más incluyendo alguno que pase por la mitad inferior del globo (figura 15.22b): 3. Utilizar el diagrama para explicar por qué el sonido es más fuerte cuando hay un globo entre el altavoz y la persona:

El sonido es más intenso en la región donde los rayos se cortan.

Globo

(b) FIGURA 15.22

COMPROBACIÓN El globo es al sonido como una lupa es a la luz. La luz viaja a través del

vidrio más lentamente que a través del aire, análogamente a lo que sucede con el sonido, que viaja más lentamente a través del dióxido de carbono que a través del aire.

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Ondas y barreras

SECCIÓN 15.4

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517

DIFRACCIÓN Cuando una onda encuentra un obstáculo tiende a rodearlo. Este comportamiento del frente de onda se denomina difracción. Casi toda la difracción de una onda se produce en aquella parte del frente de onda que está a una distancia de pocas longitudes de onda de los límites del obstáculo. En aquellas zonas de la onda que están más alejadas, el efecto del obstáculo, es decir la difracción, es imperceptible y la onda se propaga en línea recta en la dirección de los rayos incidentes. Cuando una onda se encuentra con una barrera con una pequeña abertura (un agujero) de unas pocas longitudes de onda de diámetro, la parte de la onda que la atraviesa pasa toda ella a una distancia de pocas longitudes de onda de los bordes. Así, los frentes de onda planos se curvan y se propagan adoptando la forma circular o esférica (figura 15.23). Por el contrario, si un haz de partículas incide sobre un obstáculo con una abertura, las partículas que lo atraviesan no cambian su dirección (figura 15.24). La difracción es una de las características fundamentales que distingue las ondas de las partículas. Demostraremos cómo surge la difracción al estudiar la interferencia y difracción de la luz en el capítulo 35.

Fuente

Fuente

Ondas planas en una cubeta de ondas que se encuentran con una barrera que posee una pequeña abertura de unas pocas longitudes de onda de ancho. Más allá de la barrera hay ondas circulares concéntricas respecto a la abertura, como si hubiese un foco puntual en la misma. (Fundamental Photographers.)

FIGURA 15.23

Comparación entre la forma en que pasan partículas y ondas a través de una abertura estrecha en una barrera. En (a) las partículas transmitidas se encuentran confinadas en un ángulo estrecho. En (b) la abertura actúa como un foco puntual de ondas que se propagan en un ángulo mucho más amplio que el correspondiente a las partículas en (a). FIGURA 15.24

(a)

(b)

Aunque las ondas que encuentran un obstáculo o abertura siempre se curvan, o difractan, la magnitud de este fenómeno depende de la relación que existe entre su longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. Si la longitud de onda es más grande o igual que la abertura, como en la figura 15.23, la difracción es importante y las ondas se dispersan al atravesar la abertura como si procediesen de una fuente puntual localizada en la misma abertura. En cambio, si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura, el efecto de difracción es pequeño como indica la figura 15.25. Cerca de los bordes de la abertura los frentes de onda se distorsionan y las ondas se curvan ligeramente. Sin embargo, los frentes de onda no se ven afectados en su mayor parte y las ondas se propagan en líneas rectas, como si se tratara de un haz de partículas. Esta aproximación de propagación de las ondas en líneas rectas en la dirección de los rayos y sin difracción se conoce con el nombre de aproximación de rayos. Los frentes de onda se distorsionan cerca (entendemos por cerca, una distancia de pocas longitudes de onda del borde del obstáculo) de los bordes del obstáculo que bloquea parte del frente de onda. Como las longitudes de onda del sonido audible están dentro de un margen que va desde algunos centímetros hasta varios metros y son, con frecuencia, grandes en comparación con las aberturas o los obstáculos (puertas o ventanas, por ejemplo), la difracción de las ondas sonoras resulta ser un fenómeno común. Por otra parte, las longitudes de onda de la luz visible están dentro del intervalo de 4  107 a 7  107 m, aproximadamente. Como estas longitudes de onda son pequeñas en comparación con el tamaño de los objetos y aberturas ordinarios, la difracción de la luz no es observable fácilmente, de forma que la luz parece viajar en línea recta. Sin embargo, la difracción de la luz es un fenómeno importante que estudiaremos con detalle en el capítulo 35. Los efectos de la difracción imponen una limitación a la capacidad para situar o localizar objetos pequeños o para identificar sus detalles más finos mediante la reflexión de ondas sobre ellos. No se produce ninguna reflexión apreciable de las ondas a no ser que el objeto sea de un tamaño por lo menos del orden de la longitud de onda. Así pues, no puede observarse ningún detalle a una escala menor que

Ondas planas en una cubeta de ondas que se encuentran con una barrera que posee una abertura mucho mayor que l. La onda continúa propagándose hacia adelante; sólo se observa una pequeña desviación en las regiones a ambos lados de la abertura. (Fundamental Photographers.)

FIGURA 15.25

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

la longitud de onda utilizada. Si se utilizan ondas de longitud de onda l para localizar un objeto, su posición podrá conocerse sólo con un margen de ± l. Las ondas sonoras de frecuencias mayores a 20 000 Hz se conocen como ondas ultrasónicas. Debido a sus longitudes de onda muy cortas pueden emitirse y reflejarse en objetos pequeños. Los murciélagos emiten y detectan frecuencias de hasta 120000 Hz, correspondientes a una longitud de onda de 2,8 mm, que utilizan para localizar pequeñas presas como mariposas nocturnas. El sistema de ecolocación, conocido como sónar (acrónimo de sound navigation and ranging, navegación y localización por el sonido), se utiliza para detectar perfiles de objetos sumergidos con ondas sonoras. Las frecuencias utilizadas por los detectores de peces disponibles en el mercado están en un rango de 25 a 200 kHz. Las marsopas hacen chasquidos de localización de este mismo rango de frecuencias. Se hacen pasar ultrasonidos a través del cuerpo humano y la información sobre la frecuencia e intensidad de las ondas transmitidas y reflejadas se procesa para construir una imagen tridimensional llamado sonograma o ecografía.

15.5

(GE Medical Systems/Photo Researchers, Inc.)

EFECTO DOPPLER

Cuando un foco productor de ondas y un receptor se están moviendo uno respecto al otro, la frecuencia recibida por el receptor no es la misma que la emitida por el foco. Cuando se están acercando entre sí, la frecuencia observada es mayor que la del foco, mientras que resulta menor si se están alejando. Este fenómeno se denomina efecto Doppler. Un ejemplo cotidiano es el cambio de tono de la bocina de un coche cuando éste se acerca o se aleja de nosotros. En el análisis que sigue, todos los movimientos se consideran relativos al medio. Consideremos que el foco se mueve con una velocidad uf, tal como se muestra en las figuras 15.26a y b, y un receptor estacionario. El foco tiene una frecuencia ff (y un periodo Tf
1/ff). La frecuencia del receptor fr, el número de ondas que pasan por el receptor por unidad de tiempo, es fr l
v

(receptor parado)

15.37

Sea t1 el instante en que una cresta de onda sale del foco (figura 15.26c) y t2 el instante en el que la siguiente cresta sale del foco. El tiempo entre estos dos eventos es Tf
t2  t1 y durante este tiempo el foco y la cresta que sale en el instante t1 recorren una distancia ufTf y vTf, respectivamente. En consecuencia, en el instante t2 la distancia entre el foco y la cresta que sale en el instante t1 es l, la longitud de onda. Por detrás del foco l
ld
(v  uf)Tf , mientras que por delante del foco l
ld
(v  uf)Tf, suponiendo uf v. (Si uf v, no hay ningún frente de onda por delante del foco.) Estas dos relaciones pueden expresarse como v  uf 15.38 l
(v  uf)Tf
ff donde se ha sustituido 1/ff por Tf. Delante del foco, la longitud de onda es más pequeña, por lo que se aplica en 15.38 el signo menos. Detrás del foco se aplica el signo más. Sustituyendo l en la ecuación 15.37, obtenemos v v fr

15.39 f (receptor parado) l v  uf f

(a) Ondas en una cubeta producidas por un foco puntual que se mueve hacia la derecha. Los frentes de onda se encuentran más próximos delante del foco y más separados detrás de él. (b) Frentes de onda sucesivos emitidos por un foco puntual que se mueve hacia la derecha con velocidad uf. Cada uno de los frentes numerados fue emitido cuando el foco estaba en la posición a la que corresponde el mismo número. (c) Durante el tiempo Tf la fuente se mueve una distancia ufTf y el 5.º frente se mueve una distancia vTf. Delante de la fuente, la longitud de onda es lf
(v  uf)Tf, y detrás de ésta, lb
(v  uf)Tf . (Educational Development Center.) FIGURA 15.26

1 5

2 3 Fuente en 4 movimiento

Fuente en movimiento 5

6 4 1 2 3 56

Receptor estacionario

vTs

uf

5

6 ufTf

λb λ b = (v + uf) Tf

(a)

(b)

(c)

vTf uf λf λf = (v − uf) Tf

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Efecto Doppler

Cuando el receptor se mueve relativo al medio, la frecuencia que detecta difiere de la frecuencia emitida porque el movimiento del receptor afecta al número de ondas que detecta en un determinado intervalo de tiempo. Sea un receptor que se mueve con velocidad ur y sea Tr el tiempo que transcurre entre que llegan dos crestas consecutivas. Durante el tiempo entre la llegada de las dos crestas, el receptor se mueve urTr, mientras que las crestas se habrán desplazado vTr. Si el receptor se mueve en la dirección opuesta a la de la onda (figura 15.27), durante el tiempo Tr la longitud de onda l es la distancia que se mueve cada cresta más la que se mueve el receptor, es decir, l
vTr  urTr, o bien, Tr
l/((v  ur). [Si el receptor se mueve en la misma dirección que la onda, vTr  l
urTr, o bien Tr
l/((v  ur)]. Dado que fr
l/Tr, tenemos v  ur 1 fr

15.40 Tr l donde si el receptor se mueve en el mismo sentido que la onda, la frecuencia recibida es menor y aplicamos el signo negativo. Si, en cambio, el receptor se mueve en sentido opuesto al de la onda, la frecuencia es mayor y elegimos el signo positivo. Sustituyendo l de la ecuación 15.38, se obtiene v  ur 15.41a fr
f v  uf f

SECCIÓN 15.5

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Receptor móvil

v ur λ vTr

u rTr

El tiempo transcurrido entre las llegadas de las crestas al receptor es Tr. Las líneas naranjas representan la primera cresta que sale de la fuente y las grises representan la siguiente cresta. Durante el tiempo Tr el receptor viaja una distancia urTr, mientras que la cresta recorre una distancia vTr.

FIGURA 15.27

La elección correcta del signo se determina recordando que la frecuencia tiende a aumentar cuando el foco se mueve hacia el receptor o cuando éste se mueve hacia el foco. Por ejemplo, si el receptor se mueve hacia el foco, en el numerador se selecciona el signo positivo, lo cual tiende a incrementar la frecuencia recibida, y si el foco se aleja del receptor, se aplica al denominador el signo positivo, lo cual induce que la frecuencia recibida sea menor. La ecuación 15.41a adquiere un aspecto más simétrico si se expresa de la forma fr v  ur




ff v  uf

15.41b

Se puede demostrar (véase el problema 83) que si tanto uf como ur son mucho menores que la velocidad de propagación de la onda v, el desplazamiento de la frecuencia ¢f
fr  ff viene dado, aproximadamente, por ¢f ff




u v

(u V v)

15.42

donde u
uf ± ur es la velocidad del foco con respecto al receptor. En un sistema de referencia donde el medio se mueve (por ejemplo, un sistema de referencia fijo en la superficie terrestre donde el medio sea el aire y éste se mueva, es decir, sople el viento), la velocidad de propagación de la onda v se sustituye por v
v ± uv, donde uv es la velocidad del viento relativo a la superficie terrestre.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución de problemas de efecto Doppler PLANTEAMIENTO La resolución de problemas de efecto Doppler requiere la aplicación de la ecuación 15.41a, v  ur fr
f v  uf f SOLUCIÓN 1. Determinar la velocidad del emisor uf y del receptor ur en el sistema de referencia del medio en que se propaga. 2. Determinar las direcciones del movimiento del emisor y del receptor en el mismo sistema de referencia. 3. Sustituir los valores en la ecuación 15.41a. Tanto si el emisor se mueve hacia el receptor como si es el receptor el que se mueve hacia el emisor, aumenta la frecuencia recibida. Si el emisor se mueve hacia el receptor,

!

Las ecuaciones que van de la 15.37 a la 15.42 sólo son válidas en el sistema de referencia del medio.

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

tomaremos el signo menos en el denominador, mientras que si el receptor se mueve hacia el emisor, tomaremos el signo más en el numerador. 4. Si la onda rebota sobre un reflector antes de que llegue al receptor, tratar el reflector primero como un receptor y aplicar la ecuación 15.41a con el signo correspondiente; luego, tratarlo como un emisor y aplicar la ecuación 15.41a con el signo correspondiente. COMPROBACIÓN Si la distancia entre el emisor y el receptor decrece, la frecuencia recibida es mayor que la emitida. Si la distancia entre ambos aumenta, la frecuencia recibida en menor que la emitida.

Ejemplo 15.12

Tocando la bocina

La frecuencia de la bocina de un coche parado es 400 Hz. Determinar (a) la longitud de onda del sonido y (b) la frecuencia observada si el coche se mueve con una velocidad uf
34 m/s (aproximadamente 122 km/h) a través del aire en reposo hacia un receptor estacionario. Tomar como velocidad del sonido en el aire el valor 343 m/s. (c) Determinar la frecuencia observada si el coche está parado y un receptor se mueve con velocidad ur
34 m/s hacia el coche. PLANTEAMIENTO (a) Las ondas de delante de la fuente se comprimen y, por lo tanto, se uti-

liza el signo menos en la ecuación 15.38. (b) Calcular la frecuencia a partir de la ecuación 15.41a. (c) Para un receptor móvil, se usan las mismas ecuaciones que en los apartados (a) y (b). SOLUCIÓN

(a) Usando la ecuación 15.38, calcular la longitud de onda delante del coche. Delante del foco, la longitud de onda es más pequeña; por lo tanto, elegimos el signo correspondiente:

l


(b) Utilizando la ecuación 15.41a, despejar la frecuencia recibida:

fr


(c) 1. Usando la ecuación 15.38, calcular la longitud de onda en la proximidad del receptor:

l


2. La frecuencia recibida viene dada por la ecuación 15.41a. El foco se aproxima al receptor; por lo tanto, la frecuencia es mayor. Elegir el signo adecuado:

fr


v  uf ff v  ur v  uf v  uf ff v  ur v  uf




343 m>s  34 m>s 400 Hz

ff





v 343 f
a b(400 Hz)
444 Hz
440 Hz v  uf f 343  34

343 m>s 400 Hz

ff



0,773 m
0,77 m


0,858 m
0,86 m

v  ur v

ff
a1 

ur v

bff
a1 

34 b(400 Hz)
440 Hz 343

COMPROBACIÓN El receptor se mueve a una velocidad de un 10% de la velocidad del so-

nido y la frecuencia recibida es un 10% mayor que la de la fuente, lo cual es lógico cuando la fuente está en reposo. OBSERVACIÓN La frecuencia fr también puede obtenerse a partir de la ecuación 15.40. PROBLEMA PRÁCTICO 15.8 Cuando un tren que se mueve a 90 km/h se aproxima a un

observador estacionario, hace sonar su bocina con una frecuencia de 630 Hz. No hay viento. (a) ¿Cuál es la longitud de onda del sonido delante del tren? (b) ¿Cuál es la frecuencia percibida por el observador? (Usar 343 m/s para la velocidad del sonido.)

Ejemplo 15.13

Velocidad de una onda

Usted trabaja para una compañía de seguros. Un asteroide que cae sobre el océano genera un tsunami que produce olas de 10 m de altura que llegan a tierra produciendo grandes destrozos. Su jefe desea saber a qué velocidad se desplazaban las olas y le encarga el trabajo a usted. La única información de la que dispone es la grabación de audio de un radiocasete que se encontró en lo alto de un árbol tras el tsunami. En la grabación se aprecia el sonido de fondo de una sirena; también se aprecia entre las ráfagas de la alarma local un eco débil de la sirena.

Póngalo en su contexto

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Efecto Doppler

SECCIÓN 15.5

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Usted mide las frecuencias del sonido producido por la sirena y su eco, obteniendo 4000 Hz y 4080 Hz, respectivamente. ¿A qué velocidad se acercaban las olas? PLANTEAMIENTO El servicio meteorológico le confirma que no había viento cuando se produjo el tsunami. Además, la temperatura era de 20 ºC, por lo que la velocidad del sonido era de 343 m/s. Primero, utilizamos la ecuación 15.41a del efecto Doppler para calcular la frecuencia del sonido recibida por una ola en función de la velocidad u con la que avanza la ola. Luego se aplica de nuevo la ecuación, considerando esta vez la ola como emisora del eco de la sirena y el radiocasete como receptor. Suponer que el radiocasete no se movía. SOLUCIÓN

1. Aplicar la ecuación del efecto Doppler con uf
0 a fin de relacionar la frecuencia fr recibida por la ola con su velocidad:

fr


2. Aplicar la ecuación del efecto Doppler con ur
0 a fin de relacionar la frecuencia fr recibida por el radiocasete y la velocidad de la ola. Utilizar el resultado del paso 1 para despejar fr:

frœ


3. Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Sustituimos el resultado del paso 1 en el del paso 2:

frœ


4. Despejamos u:

u


v  ur v  uf v  ur v  uf

ff


vu ff v

fr


vu ff v

ffœ


v f vu r

frœ


v f vu r

v v vu f
ff vu r vu v frœ  ff frœ  ff

v


frœ


vu f vu f

4400 Hz  4000 Hz 343 m>s
16,3 m>s 4400 Hz  4000 Hz

COMPROBACIÓN Dieciséis metros por segundo es casi el doble de la velocidad a la que una

persona puede esprintar en condiciones ideales. El resultado parece lógico después de ver las imágenes de los tsunamis cuando llegan a la orilla.

Otro ejemplo cotidiano de efecto Doppler es el radar usado por la policía para medir la velocidad de un vehículo. Las ondas electromagnéticas emitidas por el transmisor del radar chocan con el vehículo en movimiento. Cuando las ondas se reflejan en el coche, este actúa a la vez como receptor y como foco emisor en movimiento. La ecuación 15.41a no es válida para ondas electromagnéticas, pues requieren del uso de la fórmula de efecto Doppler relativista que veremos en el ejemplo 15.14. Si u s, y

u
50,0 m>s.

El desplazamiento Doppler y la relatividad En el ejemplo 15.12 (y en las ecuaciones 15.39, 15.40 y 15.41) hemos visto que la magnitud del desplazamiento Doppler de la frecuencia depende de si es la fuente o el receptor lo que se mueve respecto al medio. En el caso del sonido, estas situaciones son físicamente diferentes. Por ejemplo, si una persona se mueve respecto al aire en reposo, parece notar que el aire se desplaza en sentido contrario. En su propio sistema de referencia existe un viento. En el caso de las ondas sonoras en el aire, podemos decir si la fuente o el receptor se mueven especificando si existe viento en el sistema de referencia de uno o del otro. Sin embargo, la luz y otras ondas electromagnéticas se propagan a través del espacio vacío, en el cual no hay medio alguno. Es decir, no existe “un viento” que nos diga si es la fuente o el receptor el que se mueve. De acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, el movimiento absoluto no puede detectarse y todos los observadores miden la misma velocidad c para la luz, independientemente de su movimiento respecto al foco. Así, la ecuación 15.41 no es válida para el desplazamiento Doppler aplicado a la luz. Al calcular el efecto Doppler relativista debemos introducir dos modificaciones. En primer lugar, la velocidad de las ondas que se cruzan con un receptor es siempre c, independientemente del estado de movimiento del receptor. En segundo lugar, el intervalo de tiempo entre la emisión de dos ondas sucesivas, que es Tf
1/ff en el sistema de referencia de la fuente, es distinto en el sistema de referencia del receptor cuando éstos se encuentran en movimiento relativo, debido a la dilatación relativista del tiempo y la contracción relativista de la longitud (ecuaciones R.9 y R.3). (En el capítulo 39, abordaremos el efecto Doppler relativista.) El resultado es que la frecuencia percibida depende sólo de la velocidad relativa de aproximación o alejamiento u, y está relacionada con la frecuencia emitida por fr


cu f Ac  u f

(a)

15.43

Los signos se eligen de modo que dan un desplazamiento hacia una frecuencia mayor cuando el foco y el receptor se aproximan, y viceversa. Análogamente, cuando u V c, ¢f>ff
u>c, tal como se da en la ecuación 15.42.

ONDAS DE CHOQUE En nuestra deducción de las expresiones para el desplazamiento Doppler, hemos supuesto que la velocidad u del foco o del receptor es menor que la velocidad de la onda v. Si un foco se mueve con una velocidad mayor que la velocidad de propagación de la onda, no habrá ondas delante del foco. En realidad, entonces, las ondas se concentran detrás del foco y forman lo que se denomina una onda de choque. En el caso de las ondas sonoras, por ejemplo, cuando la onda de choque llega al receptor se percibe como un estampido. La figura 15.28 muestra un foco situado originalmente en el punto P1, que se mueve hacia la derecha con velocidad u. Después de un tiempo t, la onda emitida desde el punto P1 habrá recorrido una distancia vt. El foco habrá recorrido a su vez

(b) (a) Ondas de choque producidas por un avión supersónico. (Sandia National Laboratory.) (b) Ondas de choque producidas por una bala que atraviesa un globo de helio. (Estate of Harold E. Edgerton/Palm Press Inc.)

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Efecto Doppler

SECCIÓN 15.5

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θ vt P1

ut

(a) Fuente que se mueve con una velocidad u que es mayor que la velocidad de onda v. La envolvente de los frentes de onda forma un cono con el foco en su vértice. (b) Ondas en una cubeta experimental producidas por un foco que se mueve con una velocidad u > v. (Educational Development Center.)

FIGURA 15.28

P2

(a)

(b)

una distancia ut y estará en el punto P2. La recta tangente desde esta nueva posición del foco al frente de onda emitido cuando estaba en P1 forma un ángulo u, llamado ángulo de Mach, con el trayecto del foco, dado por v vt 15.44
u ut Así, la onda de choque está confinada en un cono que se estrecha cuando u crece. El cociente entre la velocidad del foco u y la velocidad de la onda v se denomina número de Mach: u Número de Mach
15.45 v sen u


La ecuación 15.44 se puede aplicar también a la radiación electromagnética llamada radiación Cerenkov, emitida cuando una partícula cargada se mueve en un medio con una velocidad u que es mayor que la velocidad v de la luz en dicho medio. (De acuerdo con la teoría especial de la relatividad es imposible que una partícula se mueva con mayor rapidez que c, la velocidad de la luz en el vacío. Sin embargo, en un medio como el vidrio, los electrones y otras partículas pueden moverse con una velocidad mayor que la de la luz en dicho medio.) El resplandor azul que rodea los elementos combustibles utilizados en los reactores nucleares es un ejemplo de radiación Cerenkov.

Ejemplo 15.15

Inténtelo usted mismo

El estampido sónico

Un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 15 km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a 22 km al este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del avión supersónico? PLANTEAMIENTO La velocidad del avión está relacionada con el seno del ángulo de Mach (ecuación 15.2). Dibujar un esquema que ayude a determinar el seno del ángulo de Mach.

u∆t

θ

SOLUCIÓN

15 km

v∆t

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos

Respuestas

1. Hacer un esquema de la posición del avión (figura 15.29) tanto en la posición donde se generó el sonido como en la posición que ocupa cuando el estampido se oye en el punto P. Señalar, en el esquema, la distancia que se desplaza la onda sonora v ¢t y la distancia que se mueve el avión u ¢t. 2. A partir del esquema anterior y de la ecuación 15.44, calcular u.

P

El sonido se desplaza una distancia v t durante el tiempo t en que el avión se desplaza una distancia u t.

FIGURA 15.29

tg u


15 km 22 km

sen u


v ¢t v
u ¢t u

es decir,

u
34,3°

y despejando,

COMPROBACIÓN La velocidad del sonido es de 343 m/s; por tanto, 610 m/s resulta razo-

nable para una velocidad supersónica.

22 km

u


v
609 m>s
610 m>s sen u

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

Temas de actualidad en Física Ciudades con pies de barro El 18 de abril de 1906 la ciudad de San Francisco sufrió el efecto devastador de un potente terremoto. Todos los edificios de la parte más baja de la ciudad se desmoronaron. Esos edificios se habían construido sobre una base de sedimentos no consolidados (gravilla, arena y arcilla). En algunos casos, varias plantas se hundieron bajo tierra conforme se agitaban esos sedimentos anegados debido al terremoto. Los edificios construidos sobre terrenos rocosos como Nob Hill y Russian Hill se salvaron de la catástrofe. Las ciudades localizadas sobre sedimentos no consolidados y cerca de grandes fallas son más vulnerables a los daños que ocasionan los terremotos. Si además están parcialmente rodeadas de montañas o colinas rocosas, el peligro aumenta. Ejemplos de ciudades vulnerables son Seattle,1,2 Estambul,3 Roma,4 Los Ángeles,5 San Francisco6 y Taipei.7 Los sedimentos no consolidados suponen un riesgo mayor que los rocosos, a causa de la vibración que producen los terremotos. Cuando se pro- Los daños sufridos por los edificios construidos sobre duce un terremoto, parte de la energía del terremoto se emite en forma de sedimentos arenosos o anegados de agua son mucho ondas sísmicas. Esas ondas hacen vibrar el terreno a lo largo de un amplio mayores que los sufridos por los edificios construidos sobre rango de frecuencias. En rocas sólidas, sin embargo, las ondas vibran pero rocas. (Roger Ressmeyer/CORBIS.) tienen una amplitud mucho menor.8 Cuanto más suelto es el sedimento menor será la velocidad de la onda sísmica, pero mayor será su amplitud. Las ondas vibran más lentamente en la gravilla, pero tienen mayor amplitud. En sedimentos con gran contenido de agua, las ondas todavía se mueven más lentamente, pero sus amplitudes son mucho mayores. Si se le da un golpe agudo a una taza de gelatina, se puede oír el sonido del golpe. Si la taza es de metal o vidrio, el sonido tendrá una frecuencia de cientos de hertzs. Sin embargo, la gelatina atenúa y dispersa las altas frecuencias, y su frecuencia de resonancia es baja. El mismo principio se aplica a la vulnerabilidad de las ciudades a los terremotos.9 Desafortunadamente, las frecuencias de resonancia de la mayoría de los edificios son muy parecidas a las frecuencias de resonancia de las ondas sísmicas en sedimentos arenosos.10 Por tanto, las ondas sísmicas no sólo vibran con mayor amplitud en sedimentos arenosos sino que además la amplitud de las vibraciones aumentará también debido a la resonancia con las frecuencias de los edificios. Este problema fue abordado en profundidad en el informe del estudio que se hizo del terremoto de San Francisco de 1906.11 Los edificios que estaban construidos sobre sedimentos arenosos sufrieron muchos más daños que los que lo estaban sobre sedimentos más firmes. Esta situación es incluso peor si los sedimentos sobre los que descansan las ciudades están rodeados de zonas de rocas duras. Allí, los terremotos entran en resonancia con las cuencas de los sedimentos aumentando enormemente su amplitud. Eso es lo que ocurrió en 1906 con la ciudad de Santa Rosa que estaba bastante más alejada del epicentro y sufrió más daños que otras ciudades que estaban más cerca del epicentro. Santa Rosa está construida sobre una cuenca de sedimentos rodeada de rocas.12 Los sedimentos de esta cuenca vibran con grandes amplitudes debido a la resonancia de la cuenca y causan grandes daños. Normalmente, estos daños se producen a causa de la aceleración horizontal generada por las ondas sísmicas. Antes de la normativa de seguridad sobre terremotos de 1970, los edificios no se construían para que soportasen fuerzas horizontales. En la mayoría de las ciudades, más de la mitad de los edificios no cumplen la normativa de seguridad de terremotos. Los geofísicos utilizan modelos de estas cuencas y de sus sedimentos para predecir áreas susceptibles de sufrir daños importantes producidos por terremotos.13 Esas predicciones se utilizan para mejorar las normativas de seguridad de construcción de puentes,14 rompeolas15 y edificios.16 La próxima vez que agite una taza de gelatina, acuérdese de las cuencas de sedimentos y de los daños producidos por los terremotos. 1

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4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Chang, S., et al., “Expected Ground Failure.” Paper presented at the Seattle Fault Earthquake Scenario Conference, 2005. Seattle: Earthquake Engineering Research Institute. http://seattlescenario.eeri.org/presentations/Ch%202%20Ground%20Failure%20-%20Chang.pdf Pierepiekarz, M. et al., “Buildings.” Paper presented at the Seattle Fault Earthquake Scenario Conference, 2005. Seattle: Earthquake Engineering Research Institute. http://seattlescenario.eeri.org/presentations/Ch%205%20Buildings%20-%20Pierepiekarz.pdf Erdik, M. Earthquake Vulnerability of Buildings and a Mitigation Strategy: Case of Istanbul. World Bank. http://info.worldbank.org/etools/docs/library/114715/istanbul03/docs/istanbul03/06erdik3-n%5B1%5D.pdf as of June 2006. Perkins, S. “Rome at Risk: Seismic Shaking Could Be Long and Destructive.” Science News, Feb. 25, 2006, 115. Perkins, S., “Portrait of Destruction.” Science News, May 21, 2005, 325. Zoback, M. L., “The 1906 Earthquake—Lessons Learned, Lessons Forgotten, and Future Directions.” Paper presented at the American Geophysical Union Meeting, San Francisco, Dec. 5–9, 2005. http://www.ucmp.berkeley.edu/museum/events/shortcourse2006/zoback/ Altenburger, E., “Earthquake Hazards in Taiwan—The September 1999 Chichi Earthquake.” FOCUS on Geography, Winter 2004, 1–8. O’Connell, D. R.H., “Replications of Apparent Nonlinear Seismic Response with Linear Wave Propagation Models.” Science, Mar. 26, 1999, Vol. 283, No. 5410, p. 2045-2050. Page, R. A., Blume, J. A., and Joyner, W. B., “Earthquake Shaking and Damage to Buildings.” Science, Aug. 22, 1975, Vol. 189., No. 4203, p. 601-608. Seed, H. B., et al., “Soil Conditions and Building Damage in 1967 Caracas Earthquake.” Journal of Soil Mechanics Division of American Society of Civil Engineers, 1972, Vol. 98, No. 8, 787–806. Lawson, A., et al., Report of the State Earthquake Investigation Commission. 1908. Washington, DC: Carnegie Institution. Sloan, D., “Portrait of a Tectonic Landscape.” Bay Nature, Spring 2006, Vol. 6, No. 2, 24–27. United States Geological Survey, “1906 Ground Motion Simulations.” Earthquake Hazards Program. http://earthquake.usgs.gov/regional/nca/1906/simulations/, as of June 2006. Treyger, S., Jones, M., and Orsolini, G., “Suspending the Big One.” Roads and Bridges, May 2004, 22–25. Banijamali, B., “Rubble Mounds Feel the Rumble.” Dredging and Port Construction, June 2005, 35–41. Gonchar, J., “One Project, but Many Seismic Solutions.” Architectural Record, May 2006, 167–174.

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Resumen

525

Resumen 1. En el movimiento ondulatorio, la energía y el momento lineal se desplazan de un punto a otro del espacio sin transportar materia. 2. La relación v
fl es válida para todas las ondas armónicas.

TEMA

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES

1. Ondas transversales y longitudinales

En las ondas transversales, como las ondas en una cuerda, la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación. En las ondas longitudinales, como las sonoras, la perturbación tiene la dirección de la propagación.

2. Velocidad de las ondas

La velocidad de una onda v depende de la densidad y de las propiedades elásticas del medio. Es independiente del movimiento de la fuente de las ondas.

Ondas sobre una cuerda

v
2FT >m

15.3

Ondas sonoras

v
2B>r

15.4

Ondas sonoras en un gas

v
2gRT>M

15.5

donde T es la temperatura absoluta, T
tC  273.15

15.6

R es la constante universal de los gases, R
8,314 J>(mol # K)

15.7

M es la masa molar del gas, que para el aire es 29  10 kg/mol, y g es una constante que depende del tipo de gas. Para un gas diatómico como el aire, g
1,4. Para un gas monoatómico como el helio, g
1,67. 3

Ondas electromagnéticas

La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío es una constante universal. c
3,00  108 m>s

* 3. Ecuación de ondas

2y x 2




1 2y v 2 t2

15.10b

4. Ondas armónicas Función de onda

y(x,t)
A sen(kx  vt)

15.15

donde A es la amplitud, k el número de onda y v la frecuencia angular. Se usa el signo  cuando la onda se mueve en la dirección positiva de x, y el signo  cuando la onda se mueve en la dirección negativa de x. 2p l

Número de onda

k


Frecuencia angular

v
2pf


Velocidad

v
fl
v>k

Energía Potencia de las ondas sobre una cuerda 5. Ondas armónicas sonoras

Amplitudes

15.14 2p T

15.17 15.12, 15.16

La energía de una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud. Pm
12 mvv2A2

15.22

Las ondas sonoras pueden considerarse, o bien ondas de desplazamiento, o bien ondas de presión. En una onda sonora armónica, la amplitud de presión y el desplazamiento están desfasados 90º. El oído humano es sensible a ondas sonoras de frecuencia comprendida en el intervalo de 20 Hz a 20 kHz, aproximadamente. La amplitud de presión está relacionada con la amplitud de desplazamiento por p0
rvvs0

15.26

donde r es la densidad del medio. Densidad de energía

hm


(¢E)m ¢V




1 2

rv2s20

15.28

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

TEMA 6. Intensidad

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES La intensidad de una onda es la potencia media por unidad de área. Pm

I
I
hmv


Intensidad de energía media I de una onda sonora *Nivel de intensidad (sonoridad), b en dB

1 2

15.29

A

rv2s20v


2 1 p0 2 rv

15.32

Los niveles de intensidad de los sonidos se miden en una escala logarítmica. b
(10 dB) log

I I0

15.33

donde I0
1012 W/m2 es, aproximadamente, el umbral de audición. 7. Reflexión y refracción

Cuando una onda incide sobre una superficie límite que separa dos regiones de diferente velocidad de onda, una parte de la onda se refleja y otra parte se transmite. Los coeficientes de reflexión y transmisión son r


8. Difracción Aproximación de rayos

9. Efecto Doppler

v 2  v1

t


y

v2  v1

2v2 v2  v1

15.35

Si un frente de onda se ve parcialmente obstruido por un obstáculo, en la región posterior del obstáculo la parte no obstruida del frente se difracta (se curva). Si un frente de onda se ve parcialmente obstruido por un obstáculo, casi toda la difracción se da en aquella zona del frente de onda que pasa a una distancia de pocas longitudes de onda del borde. En aquellas zonas del frente que pasan más lejos del borde, la difracción es despreciable y la onda se propaga en líneas rectas en la dirección de los rayos incidentes. Cuando un foco y un receptor del sonido están en movimiento relativo, la frecuencia recibida fr es mayor que la frecuencia del foco ff si su separación disminuye y menor si su separación aumenta.

Foco móvil

l


Receptor móvil

fr


Foco y/o receptor móvil

fr


v  uf

15.38[4]

ff v  ur

15.40[3]

l v  ur v  uf

o

ff

fr v  ur




ff v  uf

15.41[3]

Elegir los signos que conducen a un aumento del desplazamiento de la frecuencia si se aproxima el foco o el receptor, y viceversa. ¢f Pequeñas velocidades de foco o receptor Desplazamiento Doppler relativista

ff




fr


u v

(u V v),

cu f Ac  u f

donde

uf
uf  ur

15.42[3] 15.43

Elegir los signos que conducen a un aumento del desplazamiento de la frecuencia si se aproxima el foco o el receptor, y viceversa. 10. Ondas de choque

Cuando la velocidad del foco es mayor que la velocidad de la onda, las ondas de detrás del foco están confinadas en un cono de ángulo u dado por v u

Ángulo de Mach

sen u


Número de Mach

Número de Mach


15.44 u v

15.45

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Problemas

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Respuestas a las comprobaciones conceptuales 15.1

David se sentirá frustrado. El doble de potencia acústica producirá el doble de intensidad a una determinada distancia de la radio, pero no el doble de nivel de intensidad.

Respuestas a los problemas prácticos 15.1

kg # m>s2 kg # m2>s2 N


3m2>s2
m>s C kg>m C kg B kg>m

15.2

1,01 km>s

15.3

15.4

2y

d2y

2y


k2

2

db

y

2


v2

15.6

d 2y

, donde b
kx  vt. t d 2b v2 Entonces, k 2
2 ⇒ v
kv v x

2

l
17 m cuando 20 Hz, 17 mm cuando 20 000 Hz m2 1 (a) A r
 13 A y A r
43 A, (b)
, m1 4 (c) Pr >Pin
1>9 y Pr >Pin
8>9

15.5

26 W

15.8

1 2 4 2 2 1 1
a b  2a b
 2
1 3 3 9 9 (a) l
0,5 m, (b) fr
680 Hz

15.9

¢f
500 Hz

15.7

Problemas •

En los datos numéricos sin coma decimal se deben considerar significativos todos los dígitos, incluidos los ceros a la derecha del último diferente de cero. Suponer que la velocidad del sonido es en aire es de 343 m/s cuando no se indique lo contrario. El nivel de intensidad sonora para el umbral de audición se toma como 1012 W/m2 por convenio.

PROBLEMAS CONCEPTUALES • Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen más rápidamente, más lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta. SSM 1

• A lo largo de una cuerda tensa viaja un pulso hacia la derecha. Si la densidad de masa por unidad de longitud de la cuerda disminuye hacia la derecha, ¿qué le sucede a la velocidad del pulso conforme viaja hacia la derecha? (a) Va disminuyendo. (b) Aumenta. (c) Su velocidad se mantiene constante. (d) No se puede saber con tan pocos datos. 2

• Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es 0,2 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (a) La longitud de onda es 5 m. (b) La frecuencia es 5 Hz. (c) La velocidad de propagación es 5 m/s. (d) La longitud de onda es 0,2 m. (e) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores. 3

• Dos ondas armónicas sobre idénticas cuerdas difieren sólo en amplitud. La amplitud de la onda A es el doble que la amplitud de la onda B. ¿Cómo están relacionadas sus energías? (a) EA
EB. (b) EA
2EB. (c) EA
4EB. (d) No se puede saber con tan pocos datos. 4

5

• Verdadero o falso: el ritmo al que se transporta la energía de

una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda.

• Los instrumentos musicales producen sonidos de muy variadas frecuencias. ¿Qué ondas sonoras tienen las longitudes de onda más grandes? (a) Las que tienen frecuencias más bajas. (b) Las que tienen frecuencias más altas. (c) Todas la frecuencias tienen la misma longitud de onda. (d) No se puede saber con tan pocos datos. 6

••

Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos

•••

Desafiante, para alumnos avanzados

SSM

La solución se encuentra en el Manual de soluciones Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas relacionados.

• En problema 6, ¿qué ondas sonoras se propagan a mayor velocidad? (a) Las que tienen frecuencias más bajas. (b) Las que tienen frecuencias más altas. (c) Todas la frecuencias tienen la misma longitud de onda. (d) No se puede saber con tan pocos datos. 7

• El sonido se propaga a 343 m/s en el aire y a 1500 m/s en el agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua, pero el sonido se escucha mientras se camina alrededor de la piscina. En el aire, la frecuencia será (a) la misma, pero la longitud de onda será más corta, (b) más elevada, pero la longitud de onda del sonido será la misma, (c) más baja, pero la longitud de onda del sonido será más larga, (d) más baja, y la longitud de onda del sonido será más corta, (e) la misma, y la longitud de onda del sonido también será la misma. 8

• Durante una patrulla, el acorazado Rodger Young choca con una mina, empieza a arder y acaba explotando. El marinero Abel salta al agua por la borda y comienza a nadar intentando escapar del barco mientras que el marinero Baker consigue subir a una balsa salvavidas. Cuando, pasado el episodio, Abel y Baker comparan sus experiencias, Abel dice “Yo nadaba bajo el agua y oí una gran explosión procedente del navío. Cuando salí a la superficie oí una segunda explosión. ¿Qué crees que pudo ser?”. Baker responde, “Yo creo que fue tu imaginación, ya que yo oí únicamente una explosión”. Explicar por qué Baker oyó sólo una explosión mientras que Abel oyó dos. 9

• Verdadero o falso: un sonido de 60 dB tiene una intensidad doble a la de un sonido de 30 dB. 10

• En un punto dado, dos ondas sonoras armónicas tienen la misma amplitud, pero la frecuencia de la onda A es el doble de la frecuencia de la onda B. ¿Cómo están relacionadas sus densidades de energías medias? (a) La densidad de energía media de la onda A es el doble de la densidad de energía media de la onda B. (b) La den11

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio y

sidad de energía media de la onda A es 4 veces la densidad de energía media de la onda B. (c) La densidad de energía media de la onda A es 16 veces la densidad de energía media de la onda B. (d) No se puede saber con tan pocos datos. SSM

• En un punto dado, dos ondas sonoras armónicas tienen la misma frecuencia, pero la amplitud de la onda A es el doble de la amplitud de la onda B. ¿Cómo están relacionadas sus densidades de energías medias? (a) La densidad de energía media de la onda A es el doble de la densidad de energía media de la onda B. (b) La densidad de energía media de la onda A es 4 veces la densidad de energía media de la onda B. (c) La densidad de energía media de la onda A es 16 veces la densidad de energía media de la onda B. (d) No se puede saber con tan pocos datos.

v = 2 cm/s

1

12

• ¿Cuál es el cociente entre la intensidad de una conversación normal y la intensidad de un susurro suave (a una distancia de 5 m)? (a) 103. (b) 2. (c) 103. (d) 1/2. (Ayuda: ver tabla 15.1.) 13

• ¿Cuál es el cociente entre los niveles de intensidad de una conversación normal y de un susurro suave (a una distancia de 5 m)? (a) 103. (b) 2. (c) 103. (d) 1/2. (Ayuda: ver tabla 15.1.)

2

FIGURA 15.30

3

4

5

6

7

8

9

10 x, cm

Problemas 22 y 23

•• Hacer un esquema de la velocidad de cada segmento de cuerda en función de la posición en el caso del pulso indicado en la figura 15.30. 23

24 •• Un objeto de masa m cuelga de una cuerda fina unida al techo. Se hace vibrar la cuerda de forma que se genera un pulso de onda que viaja hacia el techo y vuelve. Comparar el tiempo que tardaría el pulso en ir y volver con el tiempo que tardaría el pulso si la masa que cuelga es 9m. Suponer que el resto de condiciones se mantienen igual en los dos casos y que la cuerda no se alarga.

14

• Para aumentar el nivel de intensidad del sonido en 20 dB se requiere que la intensidad aumente en un factor (a) 10, (b) 100, (c) 1000, (d) 2. 15

• La distancia que debe haber entre dos posiciones, para que disminuya el nivel de intensidad emitida por una fuente sonora en 20 dB, es tal que ha de aumentar en un factor (a) 10, (b) 100, (c) 1000, (d) no se puede saber con tan pocos datos. 16

•• La velocidad del sonido en el agua es mayor que en el aire. Un helicóptero que vuela tal como se muestra en la figura 15.31 registra la explosión de una carga de profundidad bajo la superficie del agua. ¿Por cuál de los tres caminos del esquema, A, B, o C, el sonido llegará en menos tiempo? 25

Helicóptero

• El extremo de un hilo delgado pero resistente se une al extremo de una cuerda más gruesa. El otro extremo del hilo está sujeto a un poste macizo y una persona tira del otro extremo de la cuerda a fin de tensarla. Se envía un pulso desde el extremo de la cuerda densa. Verdadero o falso: (a) El pulso que se refleja en la unión entre el hilo y la cuerda queda invertido. (b) El pulso que se transmite a través de la unión entre el hilo y la cuerda permanece en el mismo sentido. (c) El pulso que se transmite a través de la unión entre el hilo y la cuerda y tiene una amplitud menor que la del pulso reflejado. 17

• La luz que viaja por el aire impacta sobre la superficie de un vidrio inclinada 45º con respecto a la dirección incidente. Verdadero o falso: (a) El ángulo que forman los rayos incidente y reflejado es de 90º. (b) El ángulo que forman los rayos incidente y refractado es inferior a 90º.

B C

A Carga de profundidad

18

• Las ondas sonoras que se propagan a través del aire inciden sobre la puerta de un aula de 1 m de anchura. Debido a los efectos de la difracción, ¿de qué frecuencia deberá ser el sonido para que sea difícilmente audible por todos los estudiantes que llenan el aula? (a) 600 Hz. (b) 300 Hz. (c) 100 Hz. (d) Todos los sonidos son igualmente audibles dentro del aula. (e) La difracción depende de la longitud de onda, no de la frecuencia, de forma que no se puede saber con lo datos aportados. SSM

FIGURA 15.31

Problema 25

19

• La radiación de microondas de un horno microondas moderno tiene una longitud de onda del orden de centímetros. ¿Se esperaría una difracción significativa si esta radiación saliera por una puerta de 1 m de ancho? 20

•• Frecuentemente, las estrellas se observan en pares que giran alrededor de su centro de masas común. Si una de las estrellas es un agujero negro, es invisible. Explicar cómo la existencia de este agujero negro puede deducirse de la luz observada de la otra estrella visible. SSM 21

22 •• El pulso de onda en la cuerda, para un tiempo t
0, indicado en la figura 15.30, se mueve hacia la derecha. (a) En este instante particular, ¿qué segmentos de la cuerda se están moviendo hacia arriba? (b) ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? (c) ¿Existe algún segmento de la cuerda que está en el pulso que esté instantáneamente en reposo? Responder a estas cuestiones haciendo un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y ligeramente anterior para ver cómo se mueven los segmentos de la cuerda.

•• La velocidad de un Mach 2 a una altitud de 18 000 m ¿es la misma que un Mach 2 a nivel del mar? Explicarlo con detalle. 26

ESTIMACIONES Y APROXIMACIONES •• Hace muchos años, las carreras de 100 m empezaban con el sonido del pistoletazo de salida, con la persona que da la salida situada a varios metros respecto a los corredores justo en el borde interno de la pista. Estimar la ventaja de tiempo que consigue el corredor que está situado en el carril más interno respecto del octavo corredor que está en el carril más externo suponiendo que todos los corredores salen justo en el momento que oyen el disparo. 27

FIGURA 15.32 28

•• Estimar la velocidad

de la bala cuando pasa por el globo de helio de la figura 15.32.

Problema 28

(Estate of Harold E. Edgerton ⁄ Palm Press Inc.)

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Problemas •• Los edificios de una residencia de estudiantes están distribuidos en forma semicircular. Para calcular la velocidad del sonido, un avezado estudiante de física se sitúa en el centro del semicírculo, a 30 pasos dobles de los edificios y aplaude rítmicamente de modo que la frecuencia, de 2,5 aplausos por segundo, es tal que el eco de un aplauso llega a la vez que el estudiante produce el siguiente. Suponiendo que la distancia de un paso doble es la misma que su altura (180 cm), estimar la velocidad del sonido en el aire. ¿Cuánto difiere el resultado obtenido del valor conocido? 29

VELOCIDAD DE ONDAS • (a) El módulo de compresibilidad del agua es 2,0  109 N/m2. Utilizar este valor para hallar la velocidad del sonido en el agua. (b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio (r
13,6  103 kg/m3)? 30

• Calcular la velocidad de las ondas sonoras en el gas hidrógeno a T
300 K. (Tomar M
2 g/mol y g
1,4.) 31

32

• Un hilo de acero de 7 m de largo tiene una masa de 100 g. Si

está sometido a una tensión de 900 N, ¿cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este hilo?

•• (a) Calcular la derivada de la velocidad de una onda en una cuerda con respecto a la tensión dv/dFT y demostrar que las diferenciales dv y dFT obedecen a la expresión dv>v
12 dFT>FT. (b) Una onda se mueve con una velocidad de 300 m/s en un alambre que está sometido a una tensión de 500 N. Utilizando dFT para aproximar la variación de tensión, hallar en qué cantidad debe variarse la tensión para aumentar la velocidad a 312 m/s. (c) Calcular ¢FT de forma exacta y compararla con la aproximación del resultado del apartado (b). Suponer que la cuerda no se alarga cuando se aplica la tensión. SSM 33

•• (a) Calcular la derivada de la velocidad del sonido respecto a la temperatura absoluta y demostrar que las diferenciales dv y dT obedecen a la expresión dv>v
12 dT>T. (b) Utilizar esta expresión para calcular la variación porcentual de la velocidad del sonido cuando la temperatura se modifica de 0 a 27 ºC. (c) Si la velocidad del sonido es 331 m/s a 0 ºC, ¿cuál es (aproximadamente) a 27 ºC? ¿Cómo es el resultado obtenido mediante esta aproximación comparado con el que se obtiene mediante un cálculo exacto? (d) Comparar este resultado con el resultado del cálculo exacto.

34

••• En este problema se ha de obtener una fórmula práctica para determinar la velocidad del sonido en el aire a una temperatura t en grados Celsius. Comenzamos escribiendo la temperatura como T
T0  ¢T, donde T0
273 K corresponde a 0 ºC y ¢T
t, a la temperatura Celsius. La velocidad del sonido es una función de T, v(T). Con una aproximación de primer orden, podemos escribir v(T)
v(T0)  (dv>dT)T ¢T, donde (dv>dT)T es la derivada calculada 0 0 para T
T0. Calcular esta derivada y demostrar que su resultado lleva a 35

v
(331 m>s)(1  (t>2T0))
(331  0,606t) m>s.

LA ECUACIÓN DE ONDA • Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: (a) y(x, t)
k(x  vt)3, (b) y(x, t)
Aeik(xvt), donde A y k son constantes e i
11, y (c) y(x, t)
ln[k(x  vt)]. 36

37

529

• Una onda armónica en una cuerda con una densidad de masa de 0,05 kg/m y una tensión de 80 N tiene una amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda se mueve con movimiento armónico simple a una frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia propagada a lo largo de la cuerda. SSM 39

• Una cuerda de 2 m de largo tiene una masa de 0,1 kg. La tensión es 60 N. Una fuente de potencia en uno de sus extremos envía por la cuerda una onda armónica con una amplitud de 1 cm. La onda sale por el otro extremo sin ninguna reflexión. ¿Cuál es la frecuencia de la fuente de potencia si la potencia transmitida es 100 W? 40

•• La función de onda para una onda armónica en una cuerda es y(x, t)
(0,001 m) sen (62,8 m1x  314 s1 t). (a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad? (b) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la misma. (c) ¿Cuál es la velocidad máxima de un segmento cualquiera de la cuerda? 41

•• Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud de 0,025 m se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. (a) Escribir una expresión que sea adecuada para su función de onda. (b) Determinar la velocidad máxima de un punto de la cuerda. (c) Determinar la aceleración máxima de un punto de la cuerda. 42

•• A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,12 kg y una tensión de 50 N se mueven ondas de frecuencia 200 Hz y amplitud 1,2 cm. (a) ¿Cuál es la energía total media de las ondas en la cuerda? (b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda. 43

•• En una cuerda real, una onda pierde cierta energía cuando se propaga a lo largo de ella. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud A(x) depende de x: y
A(x) sen(kx  vt), donde A(x)
A0ebx. ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x, donde x > 0? 44

•• Se ha transmitido una determinada potencia a lo largo de un alambre tenso mediante ondas armónicas transversales. La velocidad de la onda es de 10 m/s y la densidad lineal de masa del alambre es 0,01 kg/m. La fuente de potencia oscila con una amplitud de 0,50 mm. (a) ¿Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de 400 Hz? (b) La potencia transmitida puede aumentarse incrementando la tensión en el alambre, la frecuencia de la fuente o la amplitud de las ondas. Si sólo se varía una de estas magnitudes, ¿cómo habría de modificarse cada una de ellas con objeto de producir un aumento de potencia en un factor de 100? SSM 45

••• Dos cuerdas largas están unidas en el punto x
0. En la región x < 0, la velocidad de propagación de la onda es v1, mientras que en la región x > 0, la velocidad es v2. Desde la izquierda (x < 0) incide una onda sinusoidal, de tal forma que parte de la onda se refleja y parte se transmite. Si x < 0, el desplazamiento de la onda se describe mediante y(x, t)
A sen(k1x  vt)  B sen(k1x  vt), y si x > 0, y(x, t)
C sen(k2x vt), donde v/k1
v1 y v/k2
v2. (a) Si suponemos que tanto la función de onda y como su primera derivada espacial y/x han de ser continuas en x
0, demostrar que C/A
2/(1  v1/v2), y que B/A
(1  v1/v2)/(1  v1/v2). (b) Probar que B2  (v1/v2)C2
A2. 46

ONDAS SONORAS ARMÓNICAS

• Demostrar que la función y
A sen (kx) cos (vt) satisface la

ecuación de onda.

ONDAS ARMÓNICAS EN UNA CUERDA 38

|

• Uno de los extremos de una cuerda de 6 m de largo se mueve

hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Hallar la longitud de onda de las ondas en la cuerda.

• Una onda sonora en aire produce una variación de presión dada por p(x, t)
0,75 cos C p2 (x  343t) D , donde p se expresa en pascales, x en metros y t en segundos. ¿Cuál es (a) la amplitud de la presión, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia y (d) la velocidad de la onda? 47

48 • (a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? (b) La frecuencia de la nota Do sostenido, una octava por encima del Do central, es el doble que la de esta última. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire?

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio • ¿Qué fracción de la potencia acústica de un ruido deberá eliminarse para disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB?

• La densidad del aire es de 1,29 kg/m3. (a) ¿Cuál es la am-

60

plitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 100 Hz y amplitud de presión 104 atm? (b) La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz es 107 m. ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda? SSM

61

49

50

• La densidad del aire es de 1,29 kg/m3 (a) Determinar la

amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de presión corresponde al umbral del dolor de 29 Pa. (b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma amplitud de presión pero con una frecuencia de 1 kHz.

•• Una fuente esférica irradia sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel acústico es de 80 dB. (a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB? (b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente? •• Marta y Hugo están sentados en lados opuestos de la grada de un circo cuando un elefante emite un sonido fuerte. Si Marta detecta un nivel de intensidad de 65 dB y Hugo sólo 55 dB, deducir el cociente de las distancias entre Hugo y el elefante y Marta y el elefante. 62

•• Tres fuentes sonoras producen unos niveles de intensidad de 70, 73 y 80 dB cuando actúan separadamente. Cuando actúan juntas, las intensidades de las fuentes se suman. La intensidad resultante es la suma de las intensidades individuales. (a) Hallar el nivel de intensidad sonora en decibelios cuando las tres fuentes actúan simultáneamente. (b) Estudiar la utilidad de eliminar las dos fuentes menos intensas con objeto de reducir el nivel de intensidad del ruido. 63

51

• Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia de

1 kHz tiene una amplitud de presión de 104 atm, aproximadamente. (a) Cuando t
0, la presión es máxima en un cierto punto x1. ¿Cuál es el desplazamiento en dicho punto en t
0? (b) ¿Cuál es el valor máximo del desplazamiento en un instante y posición cualquiera?

• Una octava representa un cambio en la frecuencia en un factor dos. ¿Cuántas octavas puede oír una persona normal? 52

53 •• A PLICACIÓN BIOLÓGICA La ballenas se comunican mediante la emisión de sonidos que transmiten a través del agua. Una ballena emite un sonido de 50 Hz. La velocidad del sonido en el agua es de 1500 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el sonido en recorrer 1,2 km? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de este sonido en el agua? (c) Si la ballena está cerca de la superficie, parte de la energía sonora se refracta al aire. ¿Cuál sería la frecuencia y la longitud de onda del sonido en el aire?

•• Demostrar que si dos personas están a diferente distancia de una fuente sonora, la diferencia entre los niveles de intensidad que llegan a las personas es siempre la misma, independientemente de la potencia de la fuente emisora. 64

••• Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez. 65

••• Cuando un violinista mueve su arco sobre una cuerda, la fuerza que ejerce es pequeña, del orden de 0,6 N. Supongamos que el arco se mueve a través de la cuerda “la”, que vibra con una frecuencia de 440 Hz a 0,5 m/s. Un oyente a 35 m del músico oye un sonido de intensidad 60 dB. ¿Cuál es el rendimiento de la transformación de la energía mecánica de la pulsación en energía sonora? (Suponer que el sonido se irradia uniformemente en todas las direcciones.) 66

ONDAS EN TRES DIMENSIONES: INTENSIDAD • Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es de 104 W/m2. (a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es de 106 W/m2? (b) ¿Qué potencia está radiando dicho foco? 54

• A PLICACIÓN

Un altavoz de un concierto de rock genera 102 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que el altavoz extiende su energía uniformemente en tres dimensiones, (a) ¿cuál es la potencia total acústica emitida por el altavoz? (b) ¿A qué distancia la intensidad del sonido se encontrará en el umbral del dolor de 1 W/m2? (c) ¿Cuál es la intensidad a 30 m? SSM 55

A LA INGENIERÍA

•• Cuando se lanza un alfiler de 0,1 g de masa desde una altura de 1 m, el 0,05 por ciento de su energía se convierte en un pulso sonoro de duración 0,1 s. (a) Estimar el intervalo en el que puede oirse la caída del alfiler si la intensidad mínima que puede llegar a oirse es de 1011 W/m2. (b) En la práctica, el resultado obtenido en (a) es mucho mayor debido al ruido de fondo. Si en lugar de la suposición anterior se considera que para llegar a oirse el ruido el nivel de intensidad debe ser de al menos 108 W/m2, estimar el intervalo en el que puede llegar a oirse la caída del alfiler. (Suponer en ambos casos que la intensidad es P/4pr2.) 56

* NIVEL DE INTENSIDAD • ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibelios correspondiente a una onda sonora de intensidad (a) 1010 W/m2 y (b) 102 W/m2? SSM 57

58 • Hallar la intensidad de una onda sonora si (a) b
10 dB y (b) b
3 dB.

• El nivel acústico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de rock es 10 000 veces superior a la del ladrido de un perro. ¿Cuál es el nivel acústico del concierto de rock? 59

••• El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB. Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. (No tener en cuenta los carraspeos ocasionales.) Suponiendo que la contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula. SSM 67

ONDAS EN CUERDAS CON CAMBIOS DE VELOCIDAD • Un trozo de cuerda de 25 g de masa y 3 m de longitud se ata a un cordel de 4 m y 75 g. La combinación se somete a una tensión de 100 N. Si un pulso transversal parte de la cuerda menos densa, determinar los coeficientes de reflexión y transmisión en el punto de unión. 68

• Considerar una cuerda tensa cuya masa por unidad de longitud es m1 y que transporta pulsos que inciden sobre el punto de unión con una segunda cuerda de densidad lineal de masa m2. (a) Demostrar que si m2
m1, el coeficiente de reflexión es 0 y el de transmisión es 1. (b) Demostrar que si m2 W m1 , entonces r tiende a 1 y t tiende a 0. (c) Demostrar que si m2 V m1, r tiende a 1 y t tiende a 2. SSM 69

•• Verificar la validez de la ecuación 15.36, 1
r2  (v1>v2)t2, sustituyendo las expresiones de los coeficientes. 70

••• Considerar una cuerda tensa cuya masa por unidad de longitud es m y que transporta pulsos de la forma y
f(x  v1t) que inciden sobre el punto P donde la cuerda se conecta a una segunda cuerda de densidad lineal de masa m2. Deducir la ecuación 15.36 igualando la potencia incidente en el punto P con la suma de potencia reflejada más la transmitida en el punto P. 71

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Problemas

EFECTO DOPPLER

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•• Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3  1010 Hz. La velocidad de estas ondas en el aire es 3  108 m/s. Supóngase que un coche se aleja de esta unidad de radar a una velocidad de 140 km/h. (a) ¿Cuál es la diferencia de frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida del coche? (b) Suponer que el coche de la policía se mueve a 60 km/h en la misma dirección que el otro coche. ¿Cuál es la diferencia de frecuencias entre las señales emitidas y detectadas? 81

En los problemas 72 al 75 considerar que la fuente emite un sonido de 200 Hz que se mueve por el aire en reposo con una velocidad de 343 m/s • La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia un observador estacionario. (a) Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el observador. (b) Hallar la frecuencia oída por este último. 72

• Considerar el caso del problema 72 a partir del sistema de referencia en que la fuente está en reposo. En este sistema, el observador y el aire se mueven hacia la fuente (en reposo) con una velocidad de 80 m/s. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador en este sistema? (b) Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el observador. (c) Hallar la frecuencia percibida por el observador. 73

• La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s alejándose del observador estacionario. (a) Hallar la longitud de onda de las ondas sonoras en la zona entre la fuente y el observador. (b) Hallar la frecuencia oída por este último. 74

• El observador se aleja a una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia la fuente estacionaria. ¿Cuál es la frecuencia oída por el observador?

82 •• A PLICACIÓN BIOLÓGICA , P ÓNGALO EN SU CONTEXTO En la medicina moderna, el efecto Doppler se emplea rutinariamente para medir la velocidad y dirección del flujo sanguíneo en las arterias y venas. Supongamos que se emplea un sonido de 50 Hz para determinar la dirección del flujo sanguíneo de una zona donde puede haber un obstáculo que invierta el sentido de la circulación sanguínea. Si el aparato emite ultrasonidos en la dirección teóricamente correcta del movimiento de la sangre y detecta un sonido de frecuencia inferior a 50 Hz, (a) ¿la sangre retrocede o sigue en la dirección correcta? (b) Estimar la precisión en la medida de la diferencia de frecuencias (emitida menos detectada) que permita medir velocidades inferiores a 1 mm/s. Suponer que la velocidad de propagación del sonido en la sangre es la misma que en el agua.

75

•• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Usted ha ido a ver el aterrizaje de una lanzadera espacial. Poco antes del aterrizaje, la lanzadera se mueve a un Mach 2,5 a una altitud de 5000 m. (a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria de la lanzadera? (b) ¿A qué distancia se encuentra usted de la lanzadera en el instante en que oye la onda de choque suponiendo que la dirección del movimiento pasa sobre su cabeza manteniendo constante su altitud a 5000 m?

76

•• A PLICACIÓN

El detector de neutrinos japonés SuperKamiokande es un tanque de agua del tamaño de un edificio de 14 pisos. Cuando los neutrinos colisionan con los electrones en el agua, la mayor parte de la energía de los neutrinos se transfiere a los electrones. Como consecuencia, los electrones se mueven por el tanque a velocidades próximas a c. El neutrino es detectado debido a la onda de choque que se produce, llamada radiación Cerenkov, cuando los electrones se mueven a velocidades superiores a la de la luz en el agua. Si el ángulo máximo del cono de la onda de choque de Cerenkov es de 48,75º, ¿cuánto vale la velocidad de la luz en el agua? 77

78

•• A PLICACIÓN

A LA INGENIERÍA

A LA INGENIERÍA ,

P ÓNGALO

EN SU CON -

TEXTO Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 2,00 GHz. Cuando las ondas se reflejan en un coche que se aleja frontalmente del emisor, se detecta una diferencia de frecuencia de 293 Hz. Determinar la velocidad del coche.

•• Un foco sonoro de frecuencia f0 se mueve con velocidad uf respecto al aire en reposo hacia un receptor que se mueve con velocidad ur respecto al aire en reposo alejándose del foco. (a) Escribir una expresión para la frecuencia recibida f. (b) Utilizar la expresión aproximada (1  x)1
1  x para demostrar que si tanto uf como ur son pequeñas en comparación con v, la frecuencia recibida es, aproximadamente, 83

frœ
a1 

urel v

b ff

donde urel
uf  ur es la velocidad relativa entre la fuente y el receptor. SSM

•• Para estudiar el efecto Doppler, usted toma un dispositivo generador de sonido de 262 Hz sujetándolo con el brazo extendido (1 m de longitud) y sus oídos detectan un sonido de 80 dB. Después, decide dejar caer el dispositivo dentro de un pozo muy profundo. Mientras va cayendo oye el sonido que va emitiendo. Tras 5,5 s de caída, ¿qué frecuencia oirá? 84

•• Un globo arrastrado por un viento de 36 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un gran edificio. (a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado en una ventana de este edificio? (b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo? 85

•• Un coche se aproxima a una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de frecuencia 745 Hz procedente de la bocina del coche y un sonido de frecuencia 863 Hz procedente de la pared. (a) ¿Cuál es la velocidad del coche? (b) ¿Cuál es la frecuencia de la bocina? (c) ¿Cuál es la frecuencia escuchada por el conductor del coche, procedente de la reflexión del sonido en la pared? 86

79

•• A PLICACIÓN

A LA INGENIERÍA ,

P ÓNGALO

EN SU CON -

TEXTO De forma rutinaria se utiliza el efecto Doppler para medir la velocidad del viento en una tormenta. Una estación meteorológica utiliza un radar de 625 MHz de frecuencia. Las ondas producidas por el instrumento se reflejan en las gotas de lluvia de una tormenta situada a 50 km de la estación y cuando llegan de nuevo a la estación meteorológica su frecuencia es 325 Hz mayor. Suponiendo que el viento se dirige hacia la antena del radar y que el instrumento únicamente mide el componente radial de la velocidad, ¿a qué velocidad sopla el viento? Ayuda: el radar sólo puede medir la componente de la velocidad del viento que va en la dirección radial. SSM 80 •• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un destructor que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. El buque recibe pulsos reflejados por un submarino que se encuentra directamente debajo con un retraso de tiempo de 80 ms y una frecuencia de 39,958 MHz. Si la velocidad del sonido en el agua del mar es de 1,54 km/s, (a) ¿a qué profundidad se encuentra el submarino? (b) ¿Cuál es su velocidad vertical?

•• La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar brevemente la bocina. Exactamente un segundo después, ella escucha el eco y observa que su frecuencia es de 840 Hz. ¿A qué distancia del acantilado se encontraba el coche cuando la conductora hizo sonar la bocina y cuál es la frecuencia del sonido emitido? 87

•• Una persona en un vuelo transatlántico viaja hacia el oeste a 800 km/h. Un Concorde que vuela con velocidad Mach 1,6 se encuentra a 3 km al norte del primer avión y su rumbo es también este-oeste. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones cuando desde el vuelo transatlántico se oye el estampido sónico producido por el Concorde? 88

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CAPÍTULO 15

Movimiento ondulatorio

89 ••• Se ha usado el telescopio espacial Hubble para determinar la existencia de planetas de estrellas lejanas. Cuando un planeta está en órbita alrededor de una estrella, ésta experimenta un movimiento con el mismo periodo que la órbita del planeta. Por esta causa, la luz procedente de la estrella presenta un desplazamiento Doppler también periódico. Estimar la longitud de onda máxima y mínima que tiene la luz de 500 nm de frecuencia nominal emitida por el Sol como consecuencia del desplazamiento Doppler producido por el movimiento del Sol debido a Júpiter.

PROBLEMAS GENERALES • En el instante t
0, la forma de un pulso de onda en una cuerda viene dada por la función y(x, 0)
0,120 m3>((2,00 m)2  x2), en donde x está en metros. (a) Dibujar y(x, 0) en función de x. (b) Expresar la función de onda y(x, t) en un instante t cualquiera si el pulso se está moviendo en el sentido positivo de las x con una velocidad de 10 m/s y (c) si se está moviendo en el sentido negativo de las x con una velocidad del mismo valor. 91 • Un silbato de 500 Hz de frecuencia se mueve en una circunferencia de 1 m de radio a 3 rev/s. ¿Cuáles son las frecuencias máxima y mínima oídas por un observador estacionario situado en el plano del círculo y alejado 5 m de su centro? SSM 92 • Las olas del mar se mueven hacia la playa con una velocidad de 8,9 m/s y con una separación entre crestas de 15,0 m. Nos encontramos en un pequeño bote anclado junto a la costa. (a) ¿Cuál es la frecuencia de las olas del mar? (b) Se eleva el ancla y nos movemos hacia el mar con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué frecuencia de olas se observará entonces? 93 •• Un alambre de 12,0 m y masa 85 g se estira bajo una tensión de 180 N. En el extremo izquierdo del alambre se genera un pulso y 25 milisegundos más tarde se genera un segundo pulso en el extremo derecho del alambre. ¿Dónde se encontrarán los dos pulsos? 94 •• Determinar la velocidad de un coche cuya bocina, al pasar al lado de un receptor parado, disminuye su frecuencia un 10 por ciento. Es decir, si la caída de frecuencia entre el acercamiento y el alejamiento es del 10% 90

•• Un altavoz con un diafragma de 20 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 800 Hz y una amplitud de 0,025 mm. Suponiendo que las moléculas de aire de las proximidades poseen la misma amplitud de vibración, calcular (a) la amplitud de la presión justo delante del diafragma del altavoz, (b) la intensidad del sonido y (c) la potencia acústica que se está radiando por la superficie frontal del diafragma. SSM 95

•• Una onda acústica, plana y armónica que oscila en el aire con una amplitud de 1 mm tiene una intensidad de 10 mW/m2. ¿Cuál es la frecuencia de la onda? 96

toria de la bala. El micrófono dispara el flash y la máquina. Si la bala se mueve a 1,25 veces la velocidad del sonido y la distancia vertical entre la guía y la bala es de 0,35 m, ¿a qué distancia por detrás de la pompa de jabón hay que colocar el micrófono para que accione el disparador de la máquina? (Supóngase que el flash y la máquina se accionan inmediatamente después de que el micrófono detecte la onda de choque.)

•• Una tropa bien entrenada mantiene el paso escuchando la banda de música que está situada a la cabeza de la columna. La música se lleva a un ritmo que corresponde a 100 pasos por minuto. Una cámara de televisión muestra que sólo la tropa que está en la cabeza de la columna y la que está en su parte posterior lleva realmente el paso. Los soldados de la sección intermedia se encuentran adelantando el pie izquierdo cuando los que componen los otros dos grupos mencionados están adelantando el pie derecho. La tropa está tan bien entrenada que, a pesar de esto, están seguros de que llevan el paso de acuerdo con la música. Explicar el origen del problema y calcular la longitud de la columna. 99

•• A PLICACIÓN BIOLÓGICA Un murciélago que vuela hacia un obstáculo a 12 m/s emite pulsos sonoros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de 80 Hz. ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los pulsos de eco oídos por el murciélago?

100

•• De forma rutinaria, se envían rayos de luz láser hacia la Luna para determinar la distancia Tierra-Luna. Sin embargo, para determinar la distancia con la máxima exactitud, debe tenerse en cuenta que la velocidad de la luz en la atmósfera terrestre es el 99,997 por ciento de la velocidad de la luz en el vacío. Suponiendo que la atmósfera de la Tierra tiene un espesor de 8 km, estimar qué cambio en la distancia supone la corrección. 101

•• Un diapasón unido a un alambre tenso genera ondas transversales. La vibración del diapasón es perpendicular al alambre. Su frecuencia es de 400 Hz y su amplitud de oscilación es de 0,50 mm. El alambre tiene una densidad de masa lineal de 0,01 kg/m y está sometido a una tensión de 1 kN. Se supone que no hay ondas reflejadas en el extremo de la cuerda. (a) Hallar el periodo y frecuencia de las ondas en el alambre. (b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas? (c) ¿Cuál es la longitud de onda y el número de ondas? (d) Escribir una función de onda adecuada para las ondas sobre el alambre. (e) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto del alambre. (f) ¿A qué potencia media debe suministrarse energía al diapasón para mantenerlo oscilando con amplitud constante? 102

••• Una cuerda larga con una masa por unidad de longitud de 0,1 kg/m está bajo una tensión constante de 10 N. Un motor en el punto x
0 impone a este extremo de la cuerda un movimiento armónico a 5 oscilaciones por segundo y una amplitud de 4 cm. (a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? (b) ¿Cuál es la longitud de onda? (c) ¿Cuál es el momento lineal transversal máximo de un segmento de 1 mm de la cuerda? (d) ¿Cuál es la fuerza máxima neta ejercida sobre un segmento de 1 mm de la cuerda? 103

••• En este problema hay que deducir una expresión para la energía potencial de un segmento de una cuerda por el que se propaga un tren de ondas (figura 15.34). La energía potencial de un segmento es igual al trabajo realizado por la tensión al estirar la cuerda, de valor ¢U
FT(¢  ¢x), donde FT es la tensión, ∆ la longitud del segmento estirado e ∆x su longitud original. Utilizar el desarrollo del binomio para demostrar que ¢  ¢x
12 (¢y>¢x)2 ¢x, y por lo tanto ¢U
12 FT(¢y>¢x)2 ¢x. (b) Calcular y/x a partir de la función y(x, t)
A sen(kx  vt) (ecuación 15.15) y demostrar que ¢U
12 FTk2 A2 cos2(kx  vt) ¢x. 104

97

•• Por un tubo de radio 5 cm fluye agua a la velocidad de 7 m/s.

Una placa de área igual a la sección transversal del tubo se inserta súbitamente en éste para detener el flujo. Determinar la fuerza ejercida sobre la placa. Tomar el valor de 1,4 km/s para la velocidad del sonido en el agua. (Ayuda: cuando se inserta la placa, una onda de presión se propaga a través del agua a la velocidad del sonido, vs. La masa de agua detenida en el tiempo ∆t es la contenida en una longitud del tubo igual a vs ¢t.)

•• En la figura 15.33, se representa el esquema de la realización de una fotografía de alta velocidad que mediante un flash y una máquina captura la imagen de una bala rompiendo una burbuja de jabón. La onda de choque producida por la Micrófono bala se detecta mediante un micrófono, colocado en una guía paralela a la trayec- F I G U R A 1 5 . 3 3 Problema 98

¢
4(¢x)2  (¢y)2
¢x[1  (¢y>¢x)2]1>2

98

∆
∆y

0,350 m

∆x

FIGURA 15.34

Problema 104

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C A P Í T U L O

16 ESTE ÓRGANO ESTÁ COMPUESTO POR 6134 TUBOS DE TAMAÑOS MUY VARIADOS Y ES CAPAZ DE

Superposición y ondas estacionarias

DAR NOTAS QUE VAN DESDE UN DO QUE ESTÁ POR DEBAJO DEL DO MÁS BAJO DE UN PIANO CON UNA FRECUENCIA DE SÓLO

16 HZ HASTA UNA NOTA

QUE ES UNA OCTAVA Y UN TERCIO DE OCTAVA MAYOR QUE LA NOTA MÁS ALTA DE UN PIANO Y QUE TIENE UNA FRECUENCIA DE

16.1 16.2 * 16.3

10 548 HZ.

(Ted Soqui/Corbis.)

Superposición de ondas Ondas estacionarias Temas adicionales

?

n el capítulo 15, estudiamos el movimiento de una secuencia de perturbaciones que se propagan a través de un medio a fin de tener una idea clara del movimiento ondulatorio. Sin embargo, si uno ha estado en el océano, habrá observado qué sucede cuando esas perturbaciones colisionan o se cruzan unas con otras. Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio, las perturbaciones individuales se superponen, sumándose algebraicamente, para dar lugar a una nueva onda resultante. Para el caso de ondas armónicas, cuando se encuentran ondas de la misma frecuencia se producen ondas estacionarias en el espacio. La sala de conciertos de Walt Disney, en Los Ángeles, cuyo órgano, mostrado en la imagen, fue diseñado por Fran Gehry, constituye una maravillosa obra de ingeniería acústica. Ingenieros civiles y de estructuras trabajaron conjuntamente para mantener su integridad a fin de protegerlo de posibles terremotos. Los ingenieros acústicos diseñaron modelos para comprobar la acústica de la sala. Uno de los modelos, realizado a escala 1:10, incluía incluso figuras que representaban la audiencia. En las pruebas se utilizaron sonidos de hasta 10 veces la frecuencia normal. Nuestro estudio sobre las ondas, sin embargo, no finaliza en este capítulo. Continuaremos en el capítulo 34, donde veremos que la naturaleza ondulatoria de los electrones y de otros cuerpos resulta clave para la comprensión de la física cuántica.

E

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¿Cuál es la longitud del tubo de un órgano que produce una nota de 16 Hz? (Véase el ejemplo 16.9.)

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

En este capítulo, comenzaremos por estudiar la superposición de pulsos de onda en una cuerda y, después, consideraremos la superposición e interferencia de ondas armónicas. Analizaremos el fenómeno de las pulsaciones, que resultan de la interferencia de dos ondas de frecuencias ligeramente distintas y estudiaremos las ondas estacionarias, que resultan cuando las ondas armónicas están confinadas en el espacio. Finalmente, abordaremos el análisis de tonos musicales complejos.

16.1

SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

La figura 16.1a muestra pulsos de onda de amplitud pequeña y diferentes duraciones que se mueven en direcciones opuestas en una cuerda. La forma de la cuerda resultante del encuentro de estos pulsos puede determinarse sumando los desplazamientos que produciría cada pulso separadamente. El principio de superposición es una propiedad del movimiento ondulatorio que expresa lo siguiente: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Es decir, cuando hay dos pulsos que viajan sobre la misma cuerda, la función de onda total es la suma algebraica de las funciones de onda individuales. Aunque el principio de superposición es válido para muchos tipos de ondas, no lo es para todas. Por ejemplo, el principio de superposición no es válido si la suma de dos desplazamientos supera el límite proporcional del medio*. En los análisis que vamos a realizar, supondremos que el principio de superposición es válido. En el caso especial de dos pulsos que son idénticos, excepto que uno está invertido respecto al otro, como en la figura 16.1b, hay un instante en que los pulsos se solapan exactamente y su suma es igual a cero. En ese instante, la cuerda es horizontal. Tras un breve periodo de tiempo, emergen los pulsos individuales y cada uno continúa con sus direcciones originales. Es decir, salen de la región de solapamiento con la misma forma con la que entraron.

!

Tras la “colisión” de dos pulsos de onda que viajan en direcciones opuestas, cada uno continúa moviéndose a la misma velocidad, con el mismo tamaño y forma que tenían antes de la “colisión”.

2

1

2 1

2 1

2 1

2

1

(a)

(b)

Pulsos de onda que se mueven en direcciones opuestas sobre una cuerda. La forma de la cuerda cuando se encuentran los pulsos se obtiene sumando los desplazamientos de cada pulso por separado. (a) Superposición de pulsos con desplazamientos en el mismo sentido (hacia arriba). La figura muestra la forma de la cuerda en diferentes intervalos de tiempo de la misma duración
t. (b) Superposición de pulsos con desplazamientos iguales pero con signos opuestos. En este caso, la suma algebraica de los desplazamientos equivale a la sustracción de las magnitudes. FIGURA 16.1

* El límite proporcional de un medio elástico (medio capaz de transmitir ondas) es la máxima tensión para la cual es válida la dependencia lineal entre la tensión y la deformación. Tensión y deformación son dos conceptos estudiados en la sección 8 del capítulo 12.

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Superposición de ondas

Ejemplo 16.1

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Conceptual

Colisión entre pulsos

Un pulso derecho viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda tensa mientras que un pulso invertido del mismo tamaño y forma viaja hacia la izquierda. Cuando ambos pulsos coinciden, hay un instante en que la cuerda está completamente plana y no se observan pulsos. Este hecho está en completo acuerdo con el principio de superposición. La cuestión es la siguiente, ¿por qué los pulsos reaparecen y continúan moviéndose tras la colisión?

SECCIÓN 16.1

y Parte frontal

x

PLANTEAMIENTO El desplazamiento de cada punto de la

cuerda es cero en el instante en que la cuerda está plana, pero ¿la velocidad de cada punto es cero en ese instante? En un pulso derecho, la cuerda en la parte frontal del pulso se desplaza hacia arriba mientras que la cuerda en la parte trasera del pulso se mueve hacia abajo. En un pulso invertido, ocurre lo contrario.

vy

x

SOLUCIÓN

1. Dibujar la posición y la velocidad de la cuerda en función de la posición a lo largo de la cuerda antes de que los pulsos coincidan (figura 16.2). En un pulso derecho, la cuerda en la parte frontal del pulso se desplaza hacia arriba mientras que la cuerda en la parte trasera del pulso se mueve hacia abajo:

FIGURA 16.2

y

2. Ahora dibujar la posición y la velocidad de la cuerda en función de la posición a lo largo de la cuerda en el instante en que la cuerda es plana (figura 16.3):

3. ¿La velocidad es cero en todos los puntos de la cuerda en el instante en que es plana?

En el paso 1, los perfiles de la velocidad son idénticos para ambos pulsos, así que cuando los dos pulsos se superponen los desplazamientos suman cero, pero las velocidades no. Los pulsos se vuelven a formar tras la superposición, pues la cuerda se mueve y posee inercia.

x

vy

x

FIGURA 16.3

* LA SUPERPOSICIÓN Y LA ECUACIÓN DE ONDA El principio de superposición resulta de la linealidad de la ecuación de onda (ecuación 15.10b) para pequeños desplazamientos transversales. Es decir, la función y(x, t) y sus derivadas se presentan sólo en primera potencia. La propiedad que define las ecuaciones lineales es que si y1 e y2 son dos soluciones de la ecuación de onda, entonces, la combinación lineal y3  C1 y1  C2 y2

16.1

donde C1 y C2 son constantes cualesquiera, es también una solución. Esto se demuestra fácilmente sustituyendo directamente y3 en la ecuación de onda. El resultado es la expresión matemática del principio de superposición. Si dos ondas cualesquiera satisfacen la ecuación de onda, su suma también satisface la misma ecuación de onda.

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Ejemplo 16.2

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Superposición y ondas estacionarias

CAPÍTULO 16

La superposición y la ecuación de onda

Demostrar que si las funciones y1 e y2 satisfacen la ecuación de onda 2 y x2



1 2 y v2 t2

(ecuación 15.10b)

la función y3 de la ecuación 16.1 también la satisface. PLANTEAMIENTO Se sustituye y3 en la ecuación de onda, teniendo en cuenta que y1 e y2

también son funciones de onda, es decir, que satisfacen la ecuación de onda. Finalmente, se demuestra que la combinación lineal C1y1  C2y2 es una función de onda. SOLUCIÓN

1. Sustituir la expresión de y3 de la ecuación 16.1 en el miembro de la izquierda de la ecuación de onda y separar los términos en función de y1 e y2:

2y3 x 2 2y1

2. Escribir la ecuación de onda para y1 e y2:

x

2

 y3



2 y1 2 y2 2 (C y  C y )  C  C 2 2 1 2 x 2 1 1 x 2 x 2



2 1  y1 2 v t2

2

3. Sustituir el resultado del paso 2 en el paso 1 y sacar factor común:

x 2

4. Introducir las constantes dentro de las derivadas y expresar la suma de las derivadas como la derivada de la suma:

2y3 x 2

2 y2 x

2



2 1  y2 2 v t2

2 2y1 2y2 1  y1 1  y2 1  C  aC  C b 2 2 2 v 2 t2 v t2 v 2 1 t2 t2 2

 C1 

2 2C2 y2 1  C1 y1 1 2 a  b  2 2 (C1 y1  C2 y2) v2 t2 t2 v t

2y3

5. El argumento de la derivada del paso 4 es y3:

y

‹

x

2



2 1  y3 2 v t2

COMPROBACIÓN El resultado del paso 5 es dimensionalmente correcto. El término de la

izquierda tiene dimensiones de inversa de longitud y el término de la derecha también.

INTERFERENCIA DE ONDAS ARMÓNICAS El resultado de la superposición de ondas armónicas de la misma frecuencia depende de la diferencia de fase d entre las ondas. Sea y1(x, t) la función de onda de una onda armónica que se propaga hacia la derecha con amplitud A, frecuencia angular v y número de onda k: y1  A sen(kx  vt)

y

δ

A

y2 = A sen(kx + δ )

16.2

Para esta función de onda, hemos escogido la fase igual a cero.* Si tenemos también en movimiento una segunda onda armónica hacia la derecha con la misma amplitud, frecuencia y número de ondas, la ecuación general para esta función de onda puede escribirse y2  A sen(kx  vt  d)

y 1 = A sen kx

16.3

kx

Desplazamiento en función de la posición (en un instante dado) de dos ondas armónicas que tienen la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero que difieren en fase en d.

FIGURA 16.4

donde d es la constante de fase. Las dos ondas descritas por las ecuaciones 16.2 y 16.4 difieren en fase en d. La figura 16.4 muestra una representación de las dos funciones de onda para un tiempo fijo en función de la posición. La onda resultante es la suma 16.4 y1  y2  A sen(kx  vt)  A sen(kx  vt  d) La ecuación 16.4 puede simplificarse utilizando la identidad trigonométrica sen u1  sen u2  2 cos 12 (u1  u2) sen 12 (u1  u2)

16.5

* Esta selección es conveniente, pero no es obligatoria. Si, por ejemplo, escogemos t  0 cuando el desplazamiento sea máximo en x  0, deberíamos escribir y1  A cos(kx  vt)  A sen(kx  vt  12 p).

Véase el Apéndice de matemáticas para más información sobre

Trigonometría

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Superposición de ondas

SECCIÓN 16.1

En este caso, u1  kx  vt y u2  kx  vt  d, de modo que 1 2 (u1

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Onda resultante Onda 2

 u2)   12 d

y 1 2 (u1

 u2)  kx  vt  12 d

Onda 1

Así, la ecuación 16.4 toma la forma y1  y2  [2A cos 12 d] sen(kx  vt  12 d)

16.6

SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS DE IGUAL AMPLITUD Y FRECUENCIA

donde hemos utilizado cos( 12 d)  cos 12 d. Vemos que el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia y número de ondas es otra onda armónica que tiene la misma frecuencia y el mismo número de onda. La onda resultante tiene una amplitud igual a 2A cos 12 d y una fase igual a la mitad de la diferencia entre las fases de las ondas originales. La superposición de dos o más ondas de frecuencia igual o muy parecida que da un patrón de intensidad observable se denomina interferencia. En este caso, la intensidad, que es proporcional al cuadrado de la amplitud, es uniforme. Si las dos ondas están en fase, la diferencia de fase es d  0, cos 0  1 y la amplitud de la onda resultante es 2A. La interferencia de dos ondas en fase se llama interferencia constructiva (figura 16.5). Si, por el contrario, están desfasadas 180º, entonces d  p, cos112 d2  0, y la amplitud de la onda resultante es nula. La interferencia de dos ondas desfasadas 180º se llama interferencia destructiva (figura 16.6). PROBLEMA PRÁCTICO 16.1

Interferencia constructiva. Si dos ondas armónicas de la misma frecuencia están en fase, la amplitud de la onda resultante es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. Las ondas 1 y 2 son idénticas, de forma que aparecen en la figura como una sola onda armónica. La onda 1 se ha dibujado con un trazo rojo discontinuo mientras que la onda 2 con un trazo negro discontinuo.

FIGURA 16.5

Onda 2

Onda resultante

Onda 1

Dos ondas con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud se están moviendo en la misma dirección. (a) Si difieren en fase en p/2 y cada una de ellas tiene una amplitud de 4,0 cm, ¿cuál es la amplitud de la onda resultante? (b) ¿Para qué diferencia de fase d la amplitud resultante sería igual a 4 cm?

Pulsaciones (o batidos) La interferencia de dos ondas sonoras de frecuencias ligeramente distintas produce el interesante fenómeno de las pulsaciones o batidos. Consideremos dos ondas sonoras con frecuencias angulares v1 y v2 que poseen la misma amplitud de la presión p0. ¿Qué es lo que oímos? En un punto fijo, la dependencia espacial de la onda queda reducida a una nueva constante de fase, de modo que podremos despreciarla. La presión en el oído debida a una de las ondas, será una función armónica simple de la forma p1  p0 sen v1 t y p2  p0 sen v2 t donde hemos escogido funciones seno por conveniencia y hemos supuesto que las dos ondas están en fase en el instante t  0. Usando la siguiente identidad trigonométrica para la suma de dos funciones seno, sen u1  sen u2  2 cos 12 (u1  u2) sen 12 (u1  u2) se obtiene la onda resultante p  p0 sen v1 t  p0 sen v2 t  2p0 cos 12 (v1  v2)t sen 12 (v1  v2)t Dado que vm  (v1  v2)>2 es la frecuencia angular media y ¢v  v1  v2 se corresponde a la diferencia de las frecuencias angulares, la función de onda resultante toma la forma p  2p0 cos(12 ¢ v t) sen vm t  2p0 cos(2p 12 ¢ f t) sen 2pfm t

donde ¢f  ¢v>(2p) y fm  vm >(2p).

16.7

Interferencia destructiva. Si dos ondas armónicas de la misma frecuencia tienen una diferencia de fase de p, la amplitud de la onda resultante es la diferencia de las amplitudes de las ondas individuales. Si las ondas originales tienen amplitudes iguales, se anulan completamente.

FIGURA 16.6

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

La figura 16.7 muestra una representación gráfica de la variación de presión en función del tiempo. Las ondas están inicialmente en fase y se suman constructivamente en el instante t  0. Como sus frecuencias no son iguales, las ondas van desfasándose gradualmente y en el instante t1 ya tienen un desfase de 180º e interfieren destructivamente.* Al cabo de un intervalo de tiempo igual (tiempo t2 en la figura), las dos ondas estarán de nuevo en fase e interferirán constructivamente. Cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias de ambas ondas, más pronto quedarán desfasadas y volverán a ponerse en fase de nuevo. Cuando dos diapasones vibran con la misma amplitud y con frecuencias casi iguales, f1 y f2, el tono que percibe el oído tiene la frecuencia media fm  (f1  f2)>2 con una amplitud de 2p0 cos(2p 12 ¢f t). (Para algunos valores de t la amplitud es negativa. Dado que cos u  cos (u  p), un cambio de signo de la amplitud equivale a un cambio de fase de 180º.) La amplitud oscila con frecuencia 12 ¢f. Puesto que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, el sonido será fuerte siempre que la amplitud sea máxima o mínima. Por consiguiente, la frecuencia de esta variación de intensidad, llamada frecuencia de batido es igual al doble de 12 ¢f: fbatido  ¢f

16.8 F R E C U E N C I A D E BAT I DO

p p0

(a)

t t1

p 2p0

(b)

t2

t3

t2

t3

Amplitud

t1

F I G U R A 1 6 . 7 Batidos o pulsaciones. (a) Dos ondas armónicas de frecuencias diferentes, pero próximas, que están en fase en t0  0 están desfasadas en 180° un cierto instante después t1. En otro instante posterior t2, vuelven a estar en fase. (b) Resultante de las ondas indicadas en (a). La frecuencia de la onda resultante es casi la misma que la de las dos ondas originales, pero la amplitud se encuentra modulada como indica la curva a trazos. La amplitud es máxima en los instantes t0 y t2, y nula en los instantes t1 y t3.

La frecuencia de batido es igual a la diferencia de las frecuencias individuales de las dos ondas. Por ejemplo, si golpeamos simultáneamente dos diapasones que tienen frecuencias de 241 Hz y 243 Hz, se oirá un tono pulsante con la frecuencia media de 242 Hz que tendrá una intensidad máxima dos veces por segundo; es decir, la frecuencia de batido será 2 Hz. El oído puede detectar hasta 15 o 20 batidos por segundo. Por encima de estas frecuencias, las fluctuaciones de la intensidad son demasiado rápidas para ser oídas. El fenómeno descrito se utiliza a menudo para comparar una frecuencia no conocida con otra conocida, como cuando se utiliza un diapasón para afinar la cuerda de un piano. Los pianos se afinan haciendo sonar al mismo tiempo el diapasón y la nota del piano, mientras se actúa sobre la cuerda del instrumento hasta que las pulsaciones desaparecen (o son mínimas), lo que indica que la diferencia en frecuencia de los dos generadores de sonido es muy pequeña.

Ejemplo 16.3

Afinando una guitarra

Cuando se golpea un diapasón de 440 Hz (nota la) al mismo tiempo que se pulsa la cuerda ligeramente desafinada de una guitarra que debe dar la nota la, se escuchan 3 pulsaciones por segundo. Tras tensar un poco más la cuerda de la guitara para aumentar su frecuencia, las pulsaciones aumentan a 6 por segundo. ¿Cuál era la frecuencia de la cuerda de guitarra antes de tensar la cuerda? PLANTEAMIENTO Inicialmente se oyen 3 pulsaciones por segundo; por lo tanto, la frecuencia original de la cuerda de la guitarra es o bien 443 Hz o bien 437 Hz. Cuanto mayor es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia del diapasón, mayor será la frecuencia de la pulsación. La frecuencia de la cuerda aumenta al aumentar su tensión. SOLUCIÓN

1. La frecuencia de la pulsación aumenta si aumenta la tensión de la cuerda de 3 a 6 pulsaciones por segundo, lo cual indica que la frecuencia es 443 Hz:

f  fA  fbatido  440 Hz  3,00 Hz  443 Hz

COMPROBACIÓN La respuesta tiene el número correcto de cifras significativas. * La anulación completa sólo se produce cuando son iguales las amplitudes de presión de ambas ondas.

Se golpea el diapasón y se puntea la cuerda. El chico tensa o destensa la cuerda mientras escucha las pulsaciones. La tensión de la cuerda ha de ajustarse de tal forma que la frecuencia de la pulsación es nula. En ese momento, las frecuencias de la cuerda y del diapasón serán iguales. (Ray Malace Photography.)

t

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Superposición de ondas

Diferencia de fase debida a la diferencia de trayectos Una causa corriente de la diferencia de fase entre dos ondas es la diferencia de longitud de los trayectos que deben recorrer las ondas desde su fuente o foco hasta el punto donde se produce la interferencia. Supóngase que tenemos dos focos que están emitiendo ondas armónicas de la misma frecuencia y longitud de onda y que están oscilando en fase; es decir, cuando sale de un foco una cresta positiva, sale también al mismo tiempo una cresta positiva del otro foco. Si la diferencia entre los trayectos hasta un punto determinado es una longitud de onda, como en el caso de la figura 16.8a, o es un número entero de longitudes de onda, la interferencia es constructiva. Si la diferencia de trayectos es una semilongitud de onda o un número impar de semilongitudes de onda, como en el caso de la figura 16.8b, el máximo de una onda coincidirá con el mínimo de la otra y la interferencia es destructiva. Las funciones de onda para las ondas de dos fuentes que oscilan en fase pueden escribirse en la forma

SECCIÓN 16.1

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S1 P1

S2

(a)

S1 P2

p1  p0 sen(kx1  vt) y p2  p0 sen(kx2  vt) La diferencia de fase para estas dos funciones de onda es d  (kx2  vt)  (kx1  vt)  k(x2  x1)  k ¢x

S2

(b)

Utilizando k  2p>l, se tiene Dos ondas en fase procedentes de dos focos S1 y S2. (a) Cuando la diferencia de trayectos es de una longitud de onda l, las ondas están en fase en P1 e interfieren constructivamente. (b) Cuando la diferencia de trayectos es 12 l, las ondas en P2 están desfasadas 180° y, por lo tanto, interfieren destructivamente. Si las ondas son de la misma amplitud en P2, ambas se anularán totalmente en este punto. FIGURA 16.8

d  k ¢x  2p

¢x l

16.9

D I F E R E N C I A D E FAS E D E B I DA A L A D I F E R E N C I A D E T R AY E C TO S

Ejemplo 16.4

Una onda sonora resultante

Dos focos sonoros oscilan en fase. En un punto a 5,00 m de un foco y a 5,17 m del otro, la amplitud del sonido procedente de cada foco por separado es p0. Hallar la amplitud de la onda resultante si la frecuencia de las ondas sonoras es (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz y (c) 500 Hz. (Utilizar 340 m/s como velocidad del sonido.) PLANTEAMIENTO La amplitud de la onda resultante debida a la superposición de dos ondas cuya diferencia de fase es d viene dada por A  2p0 cos 12 d (ecuación 16.6), donde p0 es la amplitud de una cualquiera de las ondas y d  2p ∆x/l es la diferencia de fase. Como ya conocemos la diferencia de trayectos, ∆x  5,17 m  5 m  0,17 m, sólo necesitamos determinar la longitud de onda l. SOLUCIÓN

(a) 1. La longitud de onda es igual a la velocidad dividida por la frecuencia. Calcular l para f  1000 Hz: 2. Para l  0,34 m, la diferencia de trayectos (∆x  0,17 m) es 1 2 l, de modo que se producirá interferencia destructiva. Usar este valor de l para calcular la diferencia de fase d, y luego utilizar d para determinar la amplitud A: (b) 1. Calcular l para f  2000 Hz: 2. Para l  0,17 m, la diferencia de trayectos es igual a l, y la interferencia es constructiva. Calcular la diferencia de fase y la amplitud:

l

340 m>s v   0,340 m f 1000 Hz

d  2p

0,17 m ¢x  2p p l 0,340 m

por lo tanto, l

1 p A  2p0 cos d  2p0 cos  0,0 m 2 2

v 340 m>s  0,170 m  f 2000 Hz

d  2p

¢x 0,170 m  2p  2p l 0,17 m

por lo tanto,

A  2p0 cos 12 d  2p0 cos p  2p0

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

340 m>s v  0,680 m  f 500 Hz 0,17 m p ¢x   2p d  2p l 0,680 m 2

(c) 1. Calcular l para f  500 Hz:

l

2. Calcular la diferencia de fase y la amplitud:

por tanto,

1 p A  2p0 cos d  2p0 cos  12 p0 2 4

COMPROBACIÓN Cada una de las tres respuestas está entre 2p0 y 2p0, como era de es-

perar.

OBSERVACIÓN En el apartado (b), A sale negativa. La ecuación 16.6 se puede escribir como

d d y1  y2  A senakx  vt  b, o también como y1  y2  A senakx  vt   pb. Un des2 2 fase de p  180° es equivalente a multiplicar por 1.

Ejemplo 16.5

Intensidad sonora de dos altavoces

Dos altavoces enfrentados entre sí a una distancia de 180 cm están accionados por un oscilador común de audio a 686 Hz. Localizar los puntos entre los altavoces a lo largo de la línea que los une, para los cuales la intensidad del sonido es (a) máxima y (b) mínima. (Despreciar la variación de intensidad de cada altavoz con la distancia y usar 340 m/s para la velocidad del sonido.) PLANTEAMIENTO Elegimos como origen el punto medio entre los altavoces (figura 16.9). Como este punto equidista de los altavoces, será un punto de intensidad máxima. Si nos movemos una distancia x hacia uno de los altavoces, la diferencia de trayectos es 2x. La intensidad será máxima cuando 2x  0, l, 2l, 3l, … y mínima cuando 2x  12 l, 32 l, 52 l, Á .

x

–90 cm

0

+90 cm

Los dos altavoces están sobre el eje x con el punto x  0 situado en medio.

FIGURA 16.9

SOLUCIÓN

(a) 1. La intensidad será máxima cuando 2x sea igual a un número entero de longitudes de onda:

2x  0, l, 2l, 3l, Á v 343 m>s  0,500 m  50,0 cm  f 686 Hz

2. Calcular la longitud de onda:

l

3. Despejar x utilizando la longitud de onda calculada:

x  0,  12 l, l,  32 l, Á  0, 25,0 cm, 50,0 cm, 75,0 cm

(b) 1. La intensidad será mínima cuando 2x sea igual a un número impar de semilongitudes de onda: 2. Despejar x utilizando la longitud de onda calculada:

2x   12 l,  32 l,  52 l, Á x   14 l,  34 l,  54 l, Á  12,5 cm, 37,5 cm, 62,5 cm, 87,5 cm

COMPROBACIÓN Las respuestas de los apartados (a) y (b) se complementan entre sí, de

forma que la intensidad mínima se localiza a medio camino entre dos máximos de intensidad. OBSERVACIÓN Los máximos y mínimos serán máximos y mínimos relativos, ya que la am-

plitud del altavoz más próximo será ligeramente mayor que la correspondiente al altavoz más alejado. Solo se han utilizado siete valores de x para la intensidad máxima y ocho valores para la intensidad mínima, ya que valores adicionales no estarían entre los dos altavoces.

La figura 16.10a muestra el conjunto de las ondas producidas por dos focos puntuales en una cubeta experimental que están oscilando en fase, produciendo cada uno de ellos ondas circulares. Los frentes de onda que se observan tienen todos la misma fase (todos son crestas) y están separados por una longitud de onda. Podemos construir un esquema semejante con un compás dibujando arcos circulares que representen las crestas de las ondas de cada foco en un instante de tiempo determinado (figura 16.10b). En los puntos en donde se cortan o solapan las crestas procedentes de cada foco, las ondas interfieren constructivamente. En estos puntos, los trayectos correspondientes a las ondas procedentes de ambos focos son iguales o difieren en un número entero de longitudes de onda. Las líneas de trazos indican los

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Superposición de ondas

puntos que son equidistantes de los focos o cuyas diferencias de trayectos son una, dos o tres longitudes de onda. En cada punto de cualquiera de estas líneas la interferencia es constructiva, de modo que éstas son líneas de interferencia máxima. Entre las líneas de interferencia máxima hay líneas de interferencia mínima. En una línea de interferencia mínima, la longitud desde cualquier punto que esté en ella hasta cada uno de los dos focos difiere en un número impar de semilongitudes de onda. En la región donde las dos ondas se superponen, la amplitud de la onda resultante viene dada por A  2p0 cos 12 d, siendo p0 la amplitud de cada onda por separado y estando d relacionada con la diferencia de trayectos ∆r mediante d  2p ∆r/l (ecuación 16.9). La figura 16.11 muestra la intensidad de la onda resultante a partir de dos focos, en función de la diferencia de trayectos ∆x. En los puntos en que la interferencia es constructiva, la intensidad es 4I0, siendo I0 la intensidad debida a una cualquiera de las fuentes, ya que la amplitud de la resultante es el doble de la amplitud de una de las ondas cualesquiera. En los puntos de interferencia destructiva, la intensidad es cero. La intensidad media, indicada por la línea de trazos de la figura, es el doble de la intensidad correspondiente a la de un solo foco, tal como exige el principio de conservación de la energía. Entonces, como consecuencia de la interferencia de las ondas procedentes de dos focos, la energía se redistribuye en el espacio. La interferencia entre dos ondas sonoras se pone de manifiesto alimentando dos altavoces separados conectados al mismo amplificador (de modo que estén siempre en fase) que recibe una señal de audiofrecuencia. Moviéndose por la habitación es posible detectar por el oído las posiciones de interferencia constructiva y destructiva.* Esta demostración ha de realizarse en una cámara insonorizada, donde se minimizan las reflexiones (los ecos) de las paredes del recinto.

SECCIÓN 16.1

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(a)

∆r = 2 λ

∆r = λ

∆r = 0

∆r = λ

∆r = 3 λ

∆r = 2 λ ∆r = 3 λ

λ

S1

S2

(b) (a) Ondas de agua producidas por dos focos puntuales que oscilan en fase en una cubeta de ondas. (b) Construcción geométrica del patrón de interferencia de (a). Las líneas de trazos indican los puntos para los cuales las longitudes de los trayectos difieren en un número entero de longitudes de onda. (Apartado (a) Berenice Abbott, 8J 1328/Photo Researchers.)

FIGURA 16.10

Coherencia No es necesario que dos focos estén en fase

para que produzcan un patrón de interferencia. Considérense dos focos que están desfasados en 180º. (Dos focos sonoros que están en fase pueden convertirse en dos focos desfasados en 180º, intercambiando simplemente las conexiones de uno de los altavoces.) El patrón de intensidades es el mismo que el de la figura 16.11 excepto que los máximos I y mínimos están intercambiados. En los puntos en que la diferencia de trayectos es un número entero de longitudes de 4I0 onda, la interferencia será destructiva pues las ondas están desfasadas 180º. En los puntos en que la diferencia de trayectos sea un número impar de semilongitudes de onda, las ondas están en fase porque la diferencia de fase de 180º se ve 2I 0 contrarrestada por la diferencia de fase de 180º originada por la diferencia entre los trayectos. Se producirán patrones de interferencia semejantes, mediante dos focos cuya diferencia de fase sea constante a lo largo del tiempo. Dos focos que están en fase o tienen una 1 3 5 λ 0 λ λ ∆x 2λ 2λ diferencia de fase constante se dice que son focos o fuentes 2 2 coherentes. Es fácil conseguir fuentes coherentes de ondas en el agua de una cubeta de ondas si se accionan ambas fuentes con el mismo F I G U R A 1 6 . 1 1 Intensidad en función motor. Se obtienen focos sonoros coherentes accionando dos altavoces con la de la diferencia de trayectos para dos fuentes misma fuente de señal y el mismo amplificador. que están en fase. I0 es la intensidad de cada fuente medida individualmente. Las fuentes de ondas cuya diferencia de fase no es constante a lo largo del tiempo, sino que varía aleatoriamente, se denominan fuentes incoherentes. Existen muchos ejemplos de fuentes incoherentes, como dos altavoces alimentados por * En esta demostración, la intensidad sonora no será totalmente nula en los puntos de interferencia destructiva de las ondas sonoras que proceden directamente de los altavoces, debido a las reflexiones del sonido en las paredes y otros objetos presentes en la habitación.

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

amplificadores diferentes o dos violines tocados por dos violinistas diferentes. En el caso de fuentes incoherentes, la interferencia en un punto concreto varía rápidamente pasando de constructiva a destructiva, y viceversa, y no se observa ningún patrón de interferencia. La intensidad resultante de las ondas originadas por dos o más fuentes incoherentes es simplemente la suma de las intensidades debidas a las fuentes aisladas.

A

(a)

(b)

Primer armónico fundamental A A N

N

A

N

N

ONDAS ESTACIONARIAS

Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como las ondas de una cuerda de piano, las ondas sonoras de un tubo de órgano o las ondas luminosas de un láser, se producen reflexiones en ambos extremos y, por tanto, existen ondas que se mueven en los dos sentidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposición. Para una cuerda o tubo determinados, existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición da un patrón de vibración estacionario denominado onda estacionaria. Este tipo de ondas tiene aplicaciones importantes en instrumentos musicales y en teoría cuántica.

N

A

A

A

fn v 1 2L

2

2L 2

2

v 2L

3

2L 3

3

v 2L

4

2L 4

4 v 2L

5

2L 5

5 v 2L

1

Tercer armónico A A N

N

N

N

A

N

N

(d)

N

A

N

A

Cuarto armónico A A N N

(e)

N

A

N

Quinto armónico L Ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos extremos. Los puntos marcados con A son vientres o antinodos y los señalados con N son nodos. En general, el armónico enésimo tiene n antinodos, donde n  1, 2, 3, …

FIGURA 16.12

ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS Cuerda fija por ambos extremos Si fijamos los dos extremos de una cuerda y movemos una parte de la misma hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple de pequeña amplitud, resulta que, a ciertas frecuencias, se obtienen unos patrones de ondas estacionarias semejantes a los indicados en la figura 16.12. Las frecuencias que producen estos patrones se denominan frecuencias de resonancia del sistema de la cuerda. Cada una de estas frecuencias y la función de onda que la acompaña se llama modo de vibración. La frecuencia de resonancia más baja se denomina frecuencia fundamental f1 y produce el patrón de ondas estacionarias indicado en la figura 16.12a que recibe el nombre de modo fundamental de vibración o primer armónico. La segunda frecuencia más baja f2 produce el patrón indicado en la figura 16.12b. Este modo de vibración tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia fundamental y se denomina segundo armónico. La tercera frecuencia más baja f3 es tres veces la fundamental y produce el patrón del tercer armónico indicado en la figura 16.12c. El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia. Muchos sistemas tienen un espectro de frecuencias de resonancia en donde las frecuencias resonantes no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental (la de menor frecuencia). Se denomina primer sobretono a la primera frecuencia después de la fundamental, el segundo sobretono a la segunda y así sucesivamente. Esta denominación tiene su origen en la terminología usada en la teoría musical, donde los armónicos son los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

Ondas estacionarias sobre una cuerda que se hace oscilar mediante un vibrador situado en el extremo izquierdo de la cuerda. Esas ondas estacionarias tienen lugar a frecuencias muy concretas. (Richard Megna/Fundamental Photographs, New York.)

N

λn 2L 1

n

Segundo armónico

(c)

16.2

N

N

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Ondas estacionarias

Obsérvese en la figura 16.12 que para cada armónico existen ciertos puntos sobre la cuerda que no se mueven. Por ejemplo, el punto medio en la figura 16.12b no se mueve. Estos puntos se denominan nodos. En el punto intermedio entre cada par de nodos existe un punto de amplitud de vibración máxima denominado vientre o antinodo. Como es natural, los dos extremos fijos de la cuerda son nodos. (Si se sujeta uno de los extremos a un diapasón u otro vibrador en lugar de estar fijo, seguirá siendo todavía, aproximadamente, un nodo porque la amplitud de vibración en dicho extremo será mucho menor que la amplitud en los antinodos.) Obsérvese que el modo fundamental o primer armónico tiene un antinodo, el segundo armónico tiene dos antinodos y así sucesivamente. Podemos relacionar las frecuencias de resonancia con la velocidad de onda en la cuerda y con su longitud. La distancia entre un nodo y el antinodo más próximo es un cuarto de longitud de onda. Por lo tanto, la longitud de la cuerda L es igual a la mitad de la longitud de onda del primer armónico (figura 16.13) y, como revela la figura 16.12, L es igual a dos medias longitudes de onda para el segundo armónico, tres medias longitudes de onda para el tercer armónico, etc. En general, si ln es la longitud de onda del armónico n se cumple Ln

ln 2

n  1, 2, 3, Á

SECCIÓN 16.2

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!

No todas las frecuencias de resonancia reciben la denominación de armónicos, sino únicamente aquellas del espectro de frecuencias resonantes que son un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.

L λ /2

λ Para el primer armónico de una cuerda tensa sujeta por los dos extremos, se cumple que l  2L.

FIGURA 16.13

16.10

C O N D I C I Ó N D E O N DA E STAC I O N A R I A C O N A M B O S E X T R E M O S F I JO S

Este resultado se conoce como condición de onda estacionaria. Podemos hallar la frecuencia del enésimo armónico sabiendo que la velocidad de la onda v es igual a la frecuencia fn multiplicada por la longitud de onda. Así fn  o bien fn  n

v  nf1 2L

v v  ln 2L>n

n  1, 2, 3, Á

n  1, 2, 3, Á

16.11

F R E C U E N C I AS D E R E S O N A N C I A , A M B O S E X T R E M O S F I JO S

donde f1  v/2L es la frecuencia fundamental. Barra de soporte L Polea Podemos entender la producción de ondas estacionaAlambre o cuerda rias en función de la resonancia. Consideremos una Dispositivo cuerda de longitud L que está sujeta por un extremo a un mecánico Generador dispositivo mecánico que produce vibración (figura de funciones 16.14), mientras que tiene fijo el otro extremo. La primera onda producida por el dispositivo mecánico recorre la cuerda hasta que a una distancia L se encuentra con el extremo fijo, en donde se refleja e invierte. Entonces regresa hacia el dispositivo mecánico, y se refleja de nuevo en Abrazaéste. El tiempo total para recorrer la distancia 2L es 2L/v. dera Ondas en una cuerda o alambre Si este tiempo es igual al periodo del dispositivo mecánico, la onda reflejada dos veces se solapa exactamente a Masa la segunda onda producida por el dispositivo mecánico y las dos ondas interferirán constructivamente, lo que significa que se sumarán para producir una onda que tendrá F I G U R A 1 6 . 1 4 El dispositivo mecánico envía ondas a la cuerda. Las ondas se reflejan al llegar a la polea. una amplitud doble que la de una de ellas. La onda combinada recorrerá la cuerda hasta el extremo fijo y retornará sumándose a la tercera onda producida por el dispositivo mecánico y así sucesivamente. Así, el dispositivo mecánico entra en resonancia con la cuerda. La longitud de onda es igual a 2L y la frecuencia es v/(2L). La resonancia también se da en otras frecuencias. El dispositivo mecánico entra en resonancia con la cuerda si el tiempo que le cuesta a la primera onda moverse una distancia 2L es igual al producto nTn, donde n es un número entero y Tn es el periodo del dispositivo mecánico. Es decir, si 2L/v  nTn, siendo 2L/v el tiempo de ida y vuelta de una onda. Así, fn 

v 1 n Tn 2L

n  1, 2, 3, Á

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

es la condición de resonancia. Este resultado es el mismo que obtenemos ajustando un número entero de semilongitudes de onda en la distancia L. Diversos efectos amortiguadores, tales como la pérdida de energía durante la reflexión, el rozamiento de la cuerda con el aire y la flexibilidad imperfecta de la cuerda, limitan la amplitud máxima que puede alcanzarse. Las frecuencias de resonancia dadas por la ecuación 16.11 se denominan también frecuencias naturales de la cuerda. Cuando la frecuencia del dispositivo mecánico no coincide con ninguna de las frecuencias naturales de la cuerda vibrante, no se producen ondas estacionarias. Después de que la primera onda haya recorrido la distancia 2L y se haya reflejado en el dispositivo mecánico, su fase será diferente de la que posee la onda que en ese momento esté generando el dispositivo mecánico (figura 16.15). Cuando esta onda resultante haya recorrido la distancia 2L y se refleje de nuevo en el dispositivo mecánico, tendrá una fase que será, en general, diferente de la que posee la siguiente onda generada en el dispositivo mecánico. En algunos casos, la nueva onda resultante tendrá una amplitud mayor que la primera, mientras que en otros casos la nueva amplitud será menor. En promedio, sin embargo, la amplitud no aumentará sino que permanecerá en el orden de magnitud de la amplitud de la primera onda generada, que es la amplitud del dispositivo mecánico y es muy pequeña en comparación con las amplitudes que se obtienen a las frecuencias de resonancia. La resonancia de las ondas estacionarias es análoga a la resonancia de un oscilador armónico simple con una fuerza impulsora armónica. Sin embargo, mientras un oscilador posee sólo una frecuencia natural, una cuerda vibrante posee una secuencia de frecuencias naturales que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Esta secuencia se denomina serie armónica.

Ondas en una cuerda producidas por un dispositivo mecánico cuya frecuencia no está en resonancia con las frecuencias naturales de la cuerda. La onda que abandona el dispositivo mecánico por primera vez (línea de trazos roja) no está en fase con las ondas que se han reflejado dos o más veces (líneas grises), y éstas no están en fase entre ellas, por lo que no existe crecimiento de amplitud. La onda resultante (línea negra) tiene, aproximadamente, la misma amplitud que las ondas individuales, que coincide, aproximadamente, con la amplitud del dispositivo.

FIGURA 16.15

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución de problemas mediante la condición de onda estacionaria PLANTEAMIENTO Un modo sencillo de recordar las frecuencias de resonancia dadas por la ecuación 16.11 es hacer el esquema de la figura 16.12 para reconstruir uno mismo la condición de onda estacionaria ln  2L/n y luego utilizar v  fnln. SOLUCIÓN 1. Dibujar la figura 16.12 para los primeros armónicos (sólo los dibujos de las cuerdas). En cada extremo de la cuerda hay un nodo y la distancia entre un nodo y el siguiente antinodo es siempre 14 l. 2. Relacionar la velocidad de la onda con la frecuencia utilizando v  fl.

3. Relacionar la velocidad de la onda con la tensión utilizando v  2FT >m.

COMPROBACIÓN Verificar que los resultados son dimensionalmente correctos.

El viento que iba a 72,4 km/h produjo ondas estacionarias en el puente colgante de Tacoma Narrows, dando lugar a su derrumbamiento el 7 de noviembre de 1940, sólo cuatro meses después de haber sido abierto al tráfico. (University of Washington.)

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Ondas estacionarias

Ejemplo 16.6

SECCIÓN 16.2

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Dame el la

Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0,70 m entre sí y se ajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es la nota la de 440 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda? PLANTEAMIENTO La velocidad de la onda es igual al producto de la frecuencia por la longitud de onda. Si la cuerda está fija en los dos extremos, en el modo fundamental hay un único antinodo en el centro de la cuerda. Así, la longitud de la cuerda coincide con la mitad de la longitud de onda. SOLUCIÓN

1. La velocidad de la onda está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda: 2. La longitud de onda del modo fundamental es el doble de la longitud de la cuerda:

v  f1 l1

3. Utilizar esta longitud de onda y la frecuencia conocida para determinar la velocidad:

v  f1 l1  f1 2L  2f1 L  2(440 Hz)(0,700 m)  616 m>s

l1  2L

COMPROBACIÓN Comprobemos las unidades del resultado. Las unidades de la frecuencia

son Hz, que equivalen a s1. Al multiplicarlo por metros (distancia) nos da m/s que son unidades de velocidad. PROBLEMA PRÁCTICO 16.2 La velocidad de las ondas transversales en una cuerda tensa es

de 200 m/s. Si la cuerda tiene 5 m de largo, hallar las frecuencias del armónico fundamental y del segundo y tercer armónicos.

Ejemplo 16.7

Póngalo en su contexto

Probando cuerdas de piano

Durante el verano, un estudiante encuentra un trabajo en una tienda de música, donde colabora en la construcción de instrumentos musicales. Uno de los trabajos que tiene encomendado es probar en pianos la idoneidad del uso de cuerdas de un nuevo material. A un fragmento de esta cuerda de 3 m de longitud cuya densidad de masa lineal es 0,0025 kg/m se le han medido dos frecuencias resonantes consecutivas a 252 Hz y a 336 Hz. Hay que determinar la frecuencia fundamental de la cuerda y comprobar si una cuerda de este nuevo material es adecuada, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma sobrepasa los 700 N hay problemas de seguridad. PLANTEAMIENTO La tensión FT se calcula a partir de la expresión v  2FT >m, donde la velocidad v se calcula a partir de v  fl usando cualquier armónico. La longitud de onda de la onda fundamental es el doble de la longitud de la cuerda. Para calcular la frecuencia fundamental, supongamos que el armónico n corresponde a una frecuencia de 252 Hz. Entonces, fn  nf1 y fn1  (n  1)f1, donde fn1  366 Hz. De estas dos ecuaciones se despeja f1. SOLUCIÓN

1. La tensión está relacionada con la velocidad de propagación de la onda: 2. La velocidad de la onda está relacionada con la longitud de onda y la frecuencia: 3. Utilizar la figura 16.12 para relacionar la longitud de onda fundamental con la longitud de la cuerda: 4. Utilizar los resultados de los pasos 2 y 3 para relacionar v con la frecuencia fundamental f1:

v  2FT >m

o

FT  mv 2

v  fl l1  2L v  f1 l1  f1  2L  2f1 L

5. Sustituir en el resultado del paso 1 para hallar la tensión:

FT  mv 2  4mf 21 L2

6. Los armónicos consecutivos fn y fn1 están relacionados con la frecuencia fundamental f1: 7. Dividir las dos ecuaciones anteriores permite eliminar f1 y calcular n: 8. Despejar f1:

nf1  252 Hz

9. Se usa el resultado del paso 5 para calcular FT: 10. ¿La tensión es segura?

Los técnicos utilizan micrómetros para medir el diámetro de las cuerdas del piano. (Gentileza de Buck Rogers/Craftsmen Piano Rebuilders North Attleboro, MA.)

(n  1)f1  336 Hz

n 252 Hz   0,750 ⇒ n  3 n1 336 Hz fn f3 252 Hz fn  nf1 por lo tanto, f1   84,0 Hz   3 n 3 FT  4mf 21 L2  4(0,00250 kg>m)(84,0 Hz)2(3,00 m)2  635 N La tensión es inferior a 700 N, con lo que la cuerda es segura.

COMPROBACIÓN El resultado es plausible, ya que la tensión de la cuerda del piano es del

mismo orden de magnitud que el valor del límite máximo de seguridad.

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

Cuerda fija por un extremo y libre por el otro La figura 16.16 muestra una cuerda que tiene un extremo fijo y el otro atado a un anillo sin masa que puede moverse con toda libertad hacia arriba y hacia abajo por una varilla vertical. El movimiento vertical del anillo se produce por la componente vertical de la tensión (despreciamos los efectos de la gravedad). Para simplificar, suponemos que la masa del anillo es cero. Entonces, dado que el movimiento vertical del extremo de la cuerda que está unido al anillo no está ligado, se dice que es un extremo libre. Cualquier fuerza vertical finita que actuara sobre el anillo sin masa, le daría una aceleración infinita. Sin embargo, su aceleración es finita en tanto en cuanto la tangente a la cuerda en el punto en el que se une al anillo permanece paralela a la posición de equilibrio de la cuerda. Se deduce entonces que hay un antinodo en el extremo de la cuerda unido al anillo. En el modo fundamental de vibración de una cuerda sujeta únicamente por un extremo, hay un nodo en un extremo y un antinodo en el otro; por lo tanto, L  14 l (figura 16.17). (La distancia de un nodo al siguiente antinodo es l/4.) En cada modo de vibración mostrado en la figura 16.18, hay un número impar de cuartos de longitud de onda en la cuerda de longitud L, es decir, L  n 14 ln , donde n  1, 3, 5, … La condición de onda estacionaria se escribe como Ln

ln 4

n  1, 3, 5, Á

Se pueden reproducir las condiciones en que una cuerda está fija por un extremo y libre por el otro atando un anillo que se mueve con toda libertad por una varilla vertical al extremo libre de la cuerda. El otro extremo se ata a un dispositivo mecánico que oscila con una amplitud muy pequeña, con lo cual puede suponerse que el extremo está fijo.

FIGURA 16.16

L λ/4

16.12

λ

C O N D I C I Ó N D E O N DA E STAC I O N A R I A , U N E X T R E M O L I B R E Para el primer armónico de una cuerda tensa fija en un extremo y libre en el otro extremo, se cumple que l  4L.

FIGURA 16.17

con lo cual ln  4L/n. En estas condiciones, las frecuencias de resonancia vienen dadas por

A

fn 

v v  nf1 n ln 4L

n  1, 3, 5, Á

N

λn 4L 1

fn v 1 4L

3

4L 3

3

v 4L

5

4L 5

5

v 4L

7

4L 7

7 v 4L

9

4L 9

9

n 1

16.13 Primer armónico fundamental

FRECUENCIAS DE RESONANCIA, UN EXTREMO LIBRE

N Tercer armónico A N

donde v f1  4L

16.14

es la frecuencia fundamental. Las frecuencias naturales de este sistema se presentan en las razones 1:3:5:7:…, lo que significa que se han perdido los armónicos pares.

Funciones de onda para ondas estacionarias Cuando una cuerda vibra en su modo n, cada punto de la cuerda se mueve con movimiento armónico simple. Su desplazamiento yn(x, t) viene dado por yn(x, t)  A n(x) cos(vn t  dn)

A

A N

A

N

N

N

A

A

N

N

Quinto armónico A A N Séptimo armónico A A N N

A

N

A

N

A

Noveno armónico L Ondas estacionarias en una cuerda fija sólo por un extremo. El extremo libre es un vientre o antinodo.

FIGURA 16.18

donde vn es la frecuencia angular, dn la constante de fase, que depende de las condiciones iniciales, y An(x) es la amplitud, que depende de la localización del segmento. La función An(x) es la forma de la cuerda cuando cos(vnt  dn)  1 (el instante en que la vibración tiene su amplitud máxima). La amplitud de una cuerda vibrando en su armónico n es An(x)  An sen kn x

A

N

16.15

v 4L

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Ondas estacionarias

SECCIÓN 16.2

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donde kn  2p/ln es el número de ondas. Por lo tanto, la función de onda para una onda estacionaria en el armónico n puede escribirse en la forma yn(x, t)  An sen(kn x) cos(vn t  dn)

16.16

En este punto, conviene recordar las dos condiciones necesarias para que se den ondas estacionarias: 1. Cada punto de la cuerda o bien permanece en reposo o bien oscila con movimiento armónico simple. (Los puntos en reposo son los nodos.) 2. El movimiento oscilante de dos puntos cualesquiera de la cuerda que no sean nodos se produce en fase o con un desfase de 180º. CONDICIONES NECESARIAS PARA EL MOVIMIENTO DE UNA ONDA ESTACIONARIA EN UNA CUERDA

Ejemplo 16.8

Ondas estacionarias

Inténtelo usted mismo

(a) Las funciones de onda para dos ondas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero que se propagan en sentidos opuestos, vienen dadas por y1  y0 sen (kx  vt) e y2  y0 sen (kx  vt). Demostrar que la suma de estas dos ondas es una onda estacionaria. (b) Una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos viene dada por y(x, t)  (0,024 m) sen (52,3 m1 x) cos (480 s1 t). Determinar la velocidad de las ondas sobre la cuerda y la distancia entre los nodos para las ondas estacionarias. PLANTEAMIENTO Para demostrar que la superposición de dos ondas es una onda estacionaria, hay que demostrar que la suma algebraica de y1 e y2 puede escribirse de una forma semejante a la ecuación 16.16. Para determinar la velocidad de propagación de la onda y la longitud de onda, se compara la función de onda dada con la ecuación 16.16 y se identifican el número de onda, y la frecuencia angular, y a partir de estos datos se calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos (a) 1. Escribir la ecuación 16.16. Si la suma de y1 e y2 puede escribirse de esta forma, la superposición de las dos ondas es una onda estacionaria. 2. Sumar las dos funciones de onda y usar la identidad trigonométrica sen u1  sen u2  2 sen 12 (u1  u2) cos 12 (u1  u2).

Respuestas y(x, t)  A sen kx cos vt

y  y0 sen(kx  vt)  y0 sen(kx  vt)  2y0 sen kx cos vt Esta expresión coincide con la forma dada por la ecuación 16.16 con A  2y0; por lo tanto, la superposición es una onda estacionaria.

(b) 1. Identificar el número de onda y la frecuencia angular. 2. Calcular la velocidad a partir de v  v/k. 3. Determinar la longitud de onda l  2p/k, y usar esta magnitud para calcular la distancia entre nodos.

k  52,3 m1 , v  9,18 m>s l  6,01 cm 2

COMPROBACIÓN Alguien podría pensar que la superposición de dos ondas viajeras idén-

ticas, una que se mueve hacia la derecha y otra hacia la izquierda, no daría lugar a una onda estacionaria. Pero, si fuera así, ¿en qué dirección debería viajar la onda resultante? Por tanto, no nos debería sorprender que el resultado de la superposición de dos ondas viajeras sea una onda estacionaria.

v  480 s1

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

ONDAS SONORAS ESTACIONARIAS Un tubo de órgano es un ejemplo conocido del empleo de ondas estacionarias en columnas de aire. En estos tubos de tipo lengüeta, se dirige un chorro de aire contra el borde afilado de una abertura (punto A en la figura 16.19). El movimiento turbulento complicado del aire cerca de dicho borde crea vibraciones en la columna de aire. Las frecuencias de resonancia del tubo dependen de su longitud y de que su extremo esté abierto o cerrado. En un tubo de órgano abierto, la presión en ambos extremos es igual a la presión atmosférica y no varía. Por lo tanto, existe un nodo de presión en los dos extremos del tubo. (Este resultado está basado en la hipótesis de que la onda sonora en el tubo es una onda unidimensional, lo cual es aproximadamente cierto si el diámetro del tubo es mucho menor que la longitud de onda; entonces, el nodo de presión está extremadamente cerca del extremo abierto del tubo. En la práctica, los nodos de presión están ligeramente más allá de los extremos del tubo. La longitud efectiva del tubo es Lef  L  ∆L, donde ∆L es la corrección de los extremos, una distancia que es algo menor que el diámetro del tubo.) La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que para una cuerda fija por ambos extremos. Una vez que se reemplaza L por Lef (la longitud efectiva del tubo), pueden aplicarse las mismas ecuaciones de la cuerda. En un tubo de órgano cerrado (abierto por un extremo y cerrado por el otro) hay un nodo de presión próximo a la abertura (punto A de la figura 16.19) y un antinodo de presión en el extremo cerrado. La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que la de una cuerda con un extremo fijo y el otro libre. La longitud efectiva del tubo debe ser igual a un número impar de veces l/4. Es decir, la longitud de onda del modo fundamental es 4 veces la longitud efectiva del tubo y sólo están presentes los armónicos impares. Como vimos en el capítulo 15, una onda sonora puede considerarse como una onda de presión o como una onda de desplazamiento. Las variaciones de presión y desplazamiento en una onda sonora están desfasadas 90º. Así, en una onda sonora estacionaria, los nodos de presión son antinodos de desplazamiento y viceversa. Cerca del extremo abierto de un tubo de órgano hay un nodo de presión y un antinodo de desplazamiento, mientras que en el extremo cerrado hay un antinodo de presión y un nodo de desplazamiento.

Ejemplo 16.9

F I G U R A 1 6 . 1 9 Tubo de órgano de lengüeta. Se sopla una corriente de aire contra el borde originando un movimiento turbulento del aire cerca de A que excita ondas estacionarias en el tubo. Existe un nodo de presión cerca del punto A, que está abierto a la atmósfera.

Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire: I

Inténtelo usted mismo

Un tubo de órgano con ambos extremos abiertos tiene una longitud de 1 m. (a) Si la velocidad del sonido es 343 m/s, ¿cuáles son las frecuencias y las longitudes de onda permitidas en el caso de las ondas estacionarias en este tubo? (b) Si la velocidad del sonido en el helio es 975 m/s, ¿cuáles son las frecuencias permitidas en el caso de las ondas estacionarias en este tubo si está lleno de helio? PLANTEAMIENTO En cada extremo hay un antinodo para el desplazamiento (y un nodo para la presión). Por consiguiente, la longitud efectiva del tubo es un número entero de semilongitudes de onda. SOLUCIÓN

Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo. Pasos (a) 1. Calcular la longitud de onda fundamental a partir de l1  2Lef. 2. Utilizar v  fl para calcular la frecuencia fundamental f1. 3. Escribir expresiones para las frecuencias fn y longitudes de onda ln de los restantes armónicos en función de n.

(b) 1. Repetir el apartado (a) para calcular el espectro de frecuencias de resonancias del tubo lleno de helio.

Respuestas l1  2Lef  2,00 m v f1   172 Hz l1 fn  nf1  n(172 Hz) n  1, 2, 3, Á 2L  (2,00 m)>n n  1, 2, 3, Á n 975 m>s v v fn  nf1  n  n n l1 2L 2,00 m

ln 

 n(488 Hz)

n  1, 2, 3, Á

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Ondas estacionarias

✓

COMPROBACIÓN El producto de los resultados del paso 3 del apartado (a) no depende

de n. Esto es lógico pues el resultado del producto es la velocidad de la onda, que sólo depende de las propiedades físicas del medio.

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COMPROBACIÓN CONCEPTUAL 16.1

¿Por qué la frecuencia de la voz cambia tanto cuando se habla tras inhalar el contenido de un globo lleno de helio?

PROBLEMA PRÁCTICO 16.3 En el tubo de órgano más grande que existe, la frecuencia

fundamental es de 16 Hz, la frecuencia más baja audible por los humanos. Calcular la longitud del tubo si está abierto por ambos extremos.

Ejemplo 16.10

SECCIÓN 16.2

Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire: II

Cuando encima del tubo parcialmente lleno de agua de la figura 16.20 se coloca un diapasón de 500 Hz de frecuencia, aparecen resonancias cuando el nivel del agua está a las distancias L  16,0, 50,5, 85,0 y 119,5 cm de la parte superior del tubo. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? (b) ¿A qué distancia del extremo del tubo está el antinodo de desplazamiento? PLANTEAMIENTO Ajustando el nivel del agua, en la columna de aire de longitud ajustable L se producen ondas sonoras de 500 Hz. La columna de aire está cerrada por un extremo y abierta por el otro. Así, cuando hay resonancia, en el tubo hay un número impar de cuartos de longitudes de onda (véase la figura 16.21). Hay un nodo de desplazamiento en la superficie del agua y un antinodo de desplazamiento un poco por encima del extremo abierto del tubo. Ya que la frecuencia está determinada por el diapasón, también lo está la longitud de onda. La velocidad de propagación se calcula entonces a partir de v  fl, donde f es 500 Hz.

SOLUCIÓN

∆L L1 L2 La longitud de la columna de aire dentro del cilindro de la izquierda se regula moviendo el contenedor de la derecha hacia arriba o hacia abajo. Ambos cilindros están conectados mediante una manguera flexible.

FIGURA 16.20

L3 L4

Existe un nodo de desplazamiento en la superficie del agua y un antinodo de desplazamiento a una distancia
L de la cima del cilindro.

FIGURA 16.21

(a) 1. La velocidad del sonido en el aire está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda: 2. La resonancia aparece cada vez que el nivel de agua se halla en la localización de un nodo de desplazamiento (ver figura 16.21). Es decir, cuando L cambia en una mitad de la longitud de onda:

v  fl Ln1  Ln 

l 2

n  1, 2, 3, 4

Ln1  Ln  L4  L3  119,5 cm  85,0 cm  34,5 cm

3. La distancia entre dos niveles sucesivos de agua se determina a partir de los datos del problema:

por tanto,

4. Para calcular v, se sustituyen los valores de f y de l:

v  fl  (500 Hz)(0,690 m)  345 m>s

(b) Hay un antinodo a una distancia l/4 por encima del nodo en la superficie del agua. Así, la distancia entre el nivel del agua más alto que da lugar a resonancia y el antinodo situado por encima del tubo es l/4:

1 4l

l  2(34,5 cm)  69,0 cm  0,690 m

 L1  ¢L

por tanto, ¢L  14 l  L1  14 (69,0 cm)  (16,0 cm)

COMPROBACIÓN Como era de esperar, la velocidad de la onda del paso 4 es, aproxima-

damente, igual a la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente.

La mayoría de los instrumentos musicales son mucho más complicados que un simple tubo cilíndrico. El tubo cónico, que es la base del oboe, el fagot, el corno inglés y el saxofón tienen series armónicas completas con su longitud de onda fundamental igual al doble de la longitud del cono. Los instrumentos de viento son

 1,25 cm

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

combinaciones de conos y cilindros. El análisis de estos instrumentos resulta extremadamente complejo. El hecho de que tengan series casi armónicas es un triunfo del método de ensayo error más que la consecuencia de cálculos matemáticos.

523 Hz

1569 Hz

2532 Hz

2819 Hz

3104 Hz

3866 Hz

3957 Hz

4709 Hz

5323 Hz

5435 Hz

6137 Hz

6263 Hz

6571 Hz

6892 Hz

7962 Hz

8002 Hz

8639 Hz

* 16.3

Interferogramas holográficos que muestran las ondas estacionarias de una campanilla. Los “ojos de buey” corresponden a las posiciones de los vientres o antinodos. (Professor Thomas D. Rossing, Northern Illinois University, DeKalb.)

TEMAS ADICIONALES

SUPERPOSICIÓN DE ONDAS ESTACIONARIAS Como hemos visto, existen una serie de frecuencias de resonancia naturales que producen ondas estacionarias sonoras en columnas de aire o cuerdas vibrantes que están sujetas por uno o ambos extremos. Por ejemplo, para una cuerda fija en ambos extremos, la frecuencia del modo fundamental de vibración es f1  v/2L, siendo L la longitud de la cuerda y v la velocidad de la onda. La función de onda correspondiente es la ecuación 16.16: y1(x, t)  A1 sen (k1 x) cos(v1 t  d1) En general, un sistema vibrante no vibra con un modo armónico aislado. Por el contrario, el movimiento se compone de una mezcla de los armónicos permitidos. La función de onda es una combinación lineal de funciones de onda armónicas: y(x, t)  a An sen(kn x) cos(vn t  dn)

16.17

L

n

donde kn  2p/ln, vn  2pfn y An y dn son constantes. Las constantes An y dn dependen de la posición y velocidad iniciales de la cuerda. Si, por ejemplo, una cuerda de arpa se pulsa en el centro y se deja en libertad, como muestra la figura 16.22, la forma inicial de la cuerda es simétrica alrededor del punto x  12 L y la velocidad

Cuerda pulsada por el centro. Cuando se deja libre, su vibración es una superposición lineal de ondas estacionarias.

FIGURA 16.22

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Temas adicionales x=0

n=1

x= L 2

x=L

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Los cuatro primeros armónicos correspondientes a una cuerda fija por ambos extremos. Los armónicos impares son simétricos respecto al centro de la cuerda, cosa que no ocurre con los armónicos pares. Cuando una cuerda se pulsa por el centro, vibra únicamente con los armónicos impares.

FIGURA 16.23

Simétrico L respecto a 2

n=2

SECCIÓN 16.3

Antisimétrico L respecto a

y

Cuerda 1+3+5

2

1 n=3

Simétrico L respecto a

b

2

n=4

3

5

L

Antisimétrico L respecto a 2

x

Forma aproximada de la cuerda pulsada por el centro, de la forma indicada en la figura 16.22, utilizando armónicos. La línea verde es la aproximación a la forma original de la cuerda basada en los tres primeros armónicos impares. La mayor parte de la energía está asociada con el modo fundamental, pero los armónicos tercero, quinto y demás impares poseen también cierta energía.

FIGURA 16.24

inicial es cero a lo largo de toda la cuerda. El movimiento de la cuerda permanecerá simétrico alrededor de dicho punto una vez suelta. Sólo se excitarán los armónicos impares, que son también simétricos respecto al punto central y no se excitarán los pares, que son antisimétricos respecto a x  12 L. Es decir, la constante An es cero para todo valor par de n. En la figura 16.23, se indican las formas de los cuatro primeros armónicos. La mayor parte de la energía de la cuerda pulsada está asociada con el armónico fundamental, pero existen también pequeñas cantidades de energía asociadas con los modos armónicos tercero, quinto e impares superiores. La figura 16.24 muestra una aproximación de la forma inicial de la cuerda utilizando las superposiciones únicamente de los tres primeros armónicos impares. (Corbis.)

ANÁLISIS Y SÍNTESIS ARMÓNICOS Cuando un oboe y un clarinete tocan la misma nota, por ejemplo la nota la, suenan de forma muy diferente. Ambas notas tienen el mismo tono, que es una sensación fisiológica de la altura de la nota que está fuertemente correlacionada con su frecuencia. Sin embargo, las notas difieren en lo que se denomina cualidad del tono o timbre. La razón principal para la diferencia del timbre es que, aunque tanto el clarinete como el oboe están produciendo vibraciones con la misma frecuencia fundamental, cada uno de ellos está también produciendo armónicos cuyas intensidades relativas dependen del instrumento y de la forma en que se toque. Si cada instrumento produjese sólo la frecuencia fundamental, el sonido sería el mismo para los dos. En la figura 16.25, se muestran algunos gráficos de las variaciones de presión en función del tiempo para un diapasón, un clarinete y un oboe, que tocan todos la misma nota. Estas curvas reciben el nombre de formas de onda. La forma de onda correspondiente a un diapasón es prácticamente una onda sinusoidal pura, lo cual evidentemente no ocurre en el caso del clarinete y el oboe. Las formas de onda pueden analizarse descomponiéndolas en los armónicos que las constituyen. Dicho análisis recibe el nombre de análisis armónico. (El análisis armónico también se llama a veces análisis de Fourier, ya que fue este

Diapasón

(a)

Clarinete

(b)

Oboe

(c)

F I G U R A 1 6 . 2 5 Formas de onda de (a) un diapasón, (b) un clarinete y (c) un oboe, todos con una frecuencia fundamental de 440 Hz y la misma intensidad aproximada.

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CAPÍTULO 16

100

Superposición y ondas estacionarias 100

100

Oboe

Clarinete

Amplitud relativa

Amplitud relativa

Amplitud relativa

Diapasón

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicos

FIGURA 16.26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicos

Intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda indicadas en la figura 16.25 para (a) el diapasón, (b) el clarinete y (c) el oboe.

científico francés quien desarrolló el método matemático para analizar funciones periódicas.) La figura 16.26 muestra una representación de las intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda de la figura 16.25. La forma de onda del diapasón contiene sólo la frecuencia fundamental. La del clarinete contiene el armónico fundamental, grandes cantidades del tercero, quinto y séptimo armónicos y cantidades menores del segundo, cuarto y sexto armónicos. En el caso del oboe, el segundo y cuarto armónicos tienen más energía que el fundamental. p

p

1

Onda cuadrada 1+3+5

3 5

t

t

(a) (a) Onda cuadrada y los tres primeros armónicos impares (ondas sinusoidales simples) utilizados para sintetizarla. (b) La forma aproximada de una onda cuadrada se obtiene sumando los tres primeros armónicos impares.

(b)

FIGURA 16.27

An

La inversa del análisis armónico es la síntesis armónica, que es la construcción de una onda periódica a partir de sus componentes armónicos. La figura 16.27a muestra los tres primeros armónicos impares utilizados para sintetizar una onda cuadrada y la 16.27b muestra la onda cuadrada que resulta de la suma de los tres armónicos. Cuantos más armónicos se empleen en una síntesis, más se aproxima el resultado obtenido a la forma de onda real (la línea gris oscura de la figura). Las amplitudes relativas de los armónicos necesarios para sintetizar la onda cuadrada se indican en la figura 16.28.

PAQUETES DE ONDA Y DISPERSIÓN Las formas de onda estudiadas son periódicas en el tiempo. Los pulsos, que no son periódicos, pueden representarse mediante un grupo de funciones de onda armónicas de distintas frecuencias. Sin embargo, para sintetizar un pulso resulta necesario contar con una distribución continua de frecuencias en lugar de un conjunto discreto como en la figura 16.28. Dicho grupo de ondas se denomina paquete de ondas. La propiedad característica de un pulso de onda, que lo distingue de una onda perió-

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 n

Amplitudes relativas An de los diez primeros armónicos necesarios para sintetizar una onda cuadrada. Cuantos más armónicos se utilicen, más nos aproximaremos a la onda cuadrada. FIGURA 16.28

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Temas adicionales

SECCIÓN 16.3

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dica de una sola frecuencia, es que el pulso tiene un principio y un final, mientras que una onda armónica se repite una y otra vez. Si la duración del pulso ∆t es muy corta, el intervalo de frecuencias ∆v que se necesita para describir el pulso es muy grande. La relación general existente entre ∆t y ∆v es ¢v ¢t
1

16.18

donde el símbolo ~ significa “del orden de”. El valor exacto de este producto depende de cómo se definen las magnitudes ∆v y ∆t. En todas las definiciones razonables, ∆v es del orden de 1/ ∆t. Un pulso de onda producido por una fuente de corta duración ∆t, como un golpe de bate sobre una pelota, tiene una anchura corta en el espacio ∆x  v ∆t, siendo v la velocidad de la onda. Toda onda armónica de frecuencia v tiene un número de onda k  v/v. Un intervalo de frecuencias ∆v implica un intervalo de números de onda ∆k  ∆v/v. Sustituyendo ∆v por v ∆k en la ecuación 16.18, se tiene v ∆k ∆t ~ 1, o bien ¢k ¢x
1

Ejemplo 16.11

16.19

Estimando
 y
k

En el ejemplo 15.1, un pulso de onda se mueve sobre la cuerda de un tendedero a 100 m/s. (a) Si la anchura del pulso es 1 m, ¿cuál es la duración del pulso? Es decir, ¿cuánto tiempo tarda el pulso en pasar por un punto del tendedero? (b) El pulso se puede considerar como una superposición de ondas armónicas. ¿Cuál es el rango de frecuencias de esas ondas armónicas? (c) ¿Cuál es el rango de números de onda? PLANTEAMIENTO Para determinar la duración del pulso, utilizamos que la distancia es velocidad por tiempo. Para obtener el rango de frecuencias y el rango de números de onda, utilizamos las ecuaciones 16.18 y 16.19, respectivamente. SOLUCIÓN

1,00 m L  0,0100 s  v 100 m>s

(a) La duración del pulso es el tiempo que tarda en pasar completamente sobre un punto fijo del tendedero:

L  v ¢t

(b) Para determinar el rango de frecuencias, utilizamos la ecuación 16.18:

¢v ¢t
1

por tanto,

¢v


¢t

(c) Para hallar el rango de números de onda, usamos la ecuación 16.19:

¢k ¢x
1

por tanto,

¢k


¢x

por tanto,

COMPROBACIÓN Sabemos que k  v/v, de forma que un rango de frecuencias
v implica

un rango de números de onda
k 
v/v. Dividiendo el resultado del apartado (b) por la velocidad v  100 m/s, se llega al resultado del apartado (c).

Si un paquete de ondas ha de mantener su forma cuando se desplaza, todas las ondas armónicas que componen el paquete deben moverse a la misma velocidad. Sucede así si la velocidad de las ondas armónicas en un medio dado no depende de la longitud de onda ni de la frecuencia. Un medio de estas características se denomina medio no dispersivo. El aire, en excelente aproximación, es un medio no dispersivo para las ondas sonoras, pero los líquidos y los sólidos generalmente no lo son. (Probablemente, el ejemplo más conocido de la dispersión es el arco iris, el cual surge porque la velocidad de la luz en el agua depende ligeramente de su frecuencia y longitud de onda, de modo que los diferentes colores, correspondientes a las distintas longitudes de onda, poseen ángulos de refracción ligeramente distintos.) Cuando la velocidad de la onda en un medio dispersivo depende sólo ligeramente de la frecuencia y de la longitud de onda, un paquete de ondas cambia muy lentamente de forma en su propagación y recorre una distancia considerable como una entidad reconocible. Sin embargo, la velocidad de este paquete, denominada velocidad de grupo, no es la misma que la velocidad (media) de las ondas armónicas componentes individuales, llamada velocidad de fase. (La velocidad de una onda armónica individual es la velocidad de sus frentes de onda. Por lo tanto, se denomina velocidad de fase de la onda a la velocidad de los frentes de onda, ya que éstos son las líneas o superficies de fase constante.)

¢t 

1 1

 

1 0,0100 s 1 1,00 m

 100 s1

 1,00 m1

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

Temas de actualidad en Física Ecos del silencio: arquitectura acústica La arquitectura acústica estudia las formas en las que la energía sonora se refleja, reverbera y absorbe en el interior de salas. La modelización computacional ha permitido a los ingenieros acústicos diseñar espacios flexibles1,2 a la vez que tienen en cuenta las diferentes necesidades para escuchar conferencias, obras de teatro o diferentes tipos de música. En general, la intención es hacer que el sonido sea uniforme, audible e inteligible en cada posición donde se coloque un asiento. En el recinto no debería haber ninguna onda estacionaria.3 Las ondas estacionarias hacen que determinadas frecuencias sean difíciles de oír por aquellas personas sentadas cerca de los nodos y que otras frecuencias se oigan con demasiada intensidad por las personas que están cerca de los antinodos. Para evitar esto, las salas se diseñan de forma que las paredes no sean paralelas unas con otras y que los techos y los suelos tampoco lo sean. Los paneles que cuelgan del techo y los que están pegados a las paredes Los oyentes están sentados a unos 15 m, en promedio, sobre la entrada están para absorber el sonido. Sus superficies están de la fuente principal de sonido, por lo que cerca del 1% fabricadas con materiales como el fieltro. (Gentileza de Perdue Acoustics.) del sonido llegará de forma directa a sus oídos4 mientras que el resto lo hace tras reflejarse. Las reflexiones deben ser limpias y lo suficientemente energéticas como para que llegue un volumen de sonido razonable a los oyentes. También es importante cronometrar la duración de las reflexiones. Si una reflexión de hasta 15 dB por debajo del nivel de la fuente llega a los oyentes más de 60 ms después de la emisión del sonido por parte de la fuente, se percibirá como un eco.5,6 Si las reflexiones más intensas que el nivel de la fuente llegan al oyente durante los primeros 30 ms tras su emisión, también se percibirán como un eco. Los ecos dificultan la inteligibilidad de la locución y hacen que la música sea muy confusa. Las reflexiones que lleguen tras 50 ms o más de ser emitidas deben evitarse. Los reflectores deberían estar a menos de 15 m de cada oyente. Este es un problema de salas que están en espacios abiertos y rodeadas de edificios altos.7 Muchas salas antiguas tienen acabados en yeso y eso produce reflexiones que tardan demasiado poco tiempo en llegar a los oyentes. Las salas más modernas utilizan numerosos altavoces instalados en las paredes y el techo. Los paneles suspendidos de los altos techos también ayudan a reflejar el sonido. Las bóvedas y los techos con muchos detalles dispersan el sonido en pequeñas reflexiones con demasiado poca energía. Los absorbentes acústicos se utilizan para disminuir la energía de ambientes ruidosos en el interior de las habitaciones. Los materiales que se utilizan tanto para estructuras absorbentes como para estructuras reflectoras se seleccionan con cuidado según las necesidades de la sala, pues la mayor parte de los materiales tienen diferentes coeficientes de absorción a diferentes frecuencias.8 El coeficiente de absorción es una medida de la fracción de energía sonora que se absorbe. Los cristales de las ventanas tienen coeficientes de absorción de 0,35 a 125 Hz y de 0,04 a 4 kHz. En cambio, las moquetas tienen un coeficiente de absorción de 0,01 a 125 Hz y de 0,65 a 4 kHz. En la práctica, se utilizan combinaciones de materiales absorbentes y reflectores para dar una respuesta de amplio espectro en cada asiento de la sala. Demasiada absorción da lugar a recintos demasiado silenciosos y produce claustrofobia.9 Los recintos con reverberación o con energía sonora caótica tienen más calidez. El tiempo de reverberación, la medida de lo rápido que disipa el ruido caótico, se utiliza como una medida de lo alegre que suena una habitación. Los tiempos de reverberación de las salas varían en función del propósito al que están destinadas. 1 2 3 4 5 6 7

8 9

Orfali, and Ahnert, op. cit. “Gallagher Bluedorn Performing Arts Center”, Acoustic Dimensions, http://www.acousticdimensions.com/profiles/gb_uni.htm Everest, F. Alton, Master Handbook of Acoustics, 4th ed., New York: McGraw-Hill, 2001, 320 Noxon, A., “Auditorium Acoustics 101”, Church & Worship Technology, April 2002, 22. Everest, op. cit., 356. Noxon, A., “Auditorium Acoustics 102”, Church & Worship Technology, May 2002, 24. Orfali, W., and Ahnert, W., “Measurments (sic) and Verification in Two Mosques in Saudi Arabia and Jordan”, paper presented at the 151st Meeting of the Acoustical Society of America, Providence, RI, June 1–5, 2006, http://scitation.aip.org/confst/ASA/data/5/1aAA9.pdf Everest, op. cit., 585–587. Freiheit, R., “Historic Recording Gives Choir ‘Alien’ Feeling: In Anechoic Space, No One Can Hear You Sing”, paper presented at the ASA/Noise Conference 2005 Minneapolis, http://www.acoustics.org/press/150th/Freiheit.html

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Resumen

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Resumen 1. El principio de superposición, válido para todas las ondas electromagnéticas en el vacío, para las ondas en una cuerda flexible tensa en la aproximación de ángulos pequeños y para las ondas sonoras de pequeña amplitud, resulta de la linealidad de las correspondientes ecuaciones de ondas. 2. La interferencia es un fenómeno ondulatorio importante que se da en todas las ondas que se superponen coherentemente. Resulta del principio de superposición. La difracción y la interferencia diferencian el movimiento ondulatorio del movimiento de partículas. 3. Las condiciones de onda estacionaria pueden recordarse esquematizando una cuerda o un tubo con nodos en un extremo fijo o cerrado y antinodos en un extremo libre o abierto.

TEMA

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES

1. Superposición e interferencia

La superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud, número de onda y frecuencia, pero de fase distinta d, da lugar a una onda armónica con el mismo número de onda y frecuencia pero distinta en fase y amplitud respecto a cada una de las ondas. y  y1  y2  y0 sen(kx  vt)  y0 sen(k  vt  d) 16.6  [2y0 cos 12 d] sen(kx  vt  12 d)

Interferencia constructiva

Si las ondas están en fase o difieren sus fases en un múltiplo entero de 2p, las amplitudes de las ondas se suman y la interferencia es constructiva.

Interferencia destructiva

Si las ondas difieren en fase en p o en un múltiplo impar de p, las amplitudes se restan y la interferencia es destructiva.

Pulsaciones (o batidos)

Las pulsaciones resultan de la interferencia de dos ondas de frecuencias ligeramente distintas. La frecuencia de batido es igual a la diferencia entre las frecuencias de las dos ondas: 16.8 fbatido  ¢f

Diferencia de fase d debida a la diferencia de trayectos ∆x 2. Ondas estacionarias

d  k ¢x  2p

¢x l

16.9

Cuando las ondas están confinadas en el espacio, se producen ondas estacionarias a ciertas frecuencias y longitudes de onda. Sólo se dan ondas estacionarias cuando cada punto del sistema oscila en un movimiento armónico simple y dos puntos en movimiento cualesquiera oscilan en fase o con un desfase de 180º.

Longitud de onda

La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es un cuarto de longitud de onda.

Cuerda fija por ambos extremos

En una cuerda fija por sus dos extremos, se forma un nodo en cada uno de ellos. El resultado es que debe ajustarse un número entero de semilongitudes de onda en la longitud completa de la cuerda. En este caso, la condición de onda estacionaria es ln 16.10 Ln n  1, 2, 3, Á 2

Onda estacionaria en una cuerda fija por los dos extremos

Las ondas permitidas forman una serie armónica, en que las frecuencias vienen dadas por v v v 16.18 n n n  1, 2, 3, Á  nf1 fn  ln l1 2L donde f1  v/2L es la frecuencia más baja, llamada fundamental.

Tubo de órgano abierto por ambos extremos Las ondas sonoras estacionarias en el aire de un tubo abierto por ambos extremos dan lugar a un nodo de presión (y un antinodo de desplazamiento) cerca de cada extremo. La condición de onda estacionaria es la misma que la de una cuerda fija por los dos extremos. Cuerda fija por un extremo y libre por el otro

Si una cuerda tiene un extremo fijo y el otro libre, existe un nodo en el primero y un vientre en el segundo, de modo que el número de cuartos de longitudes de onda debe ajustarse en la longitud de la cuerda. La condición de onda estacionaria en este caso es ln 16.12 Ln n  1, 3, 5, Á 4 Solamente están presentes los armónicos impares. Sus frecuencias vienen dadas por v v v 16.13 fn  n n n  1, 3, 5, Á  nf1 ln l1 4L donde f1  v>4L.

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

TEMA

OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES

Tubo de órgano abierto por un un extremo y cerrado por el otro

Las ondas sonoras estacionarias en un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro, tienen un antinodo de desplazamiento en el extremo abierto y un nodo de desplazamiento en el cerrado. La condición de onda estacionaria es la misma que la de una cuerda fija por un extremo. yn(x, t)  An sen(kn x) cos(vn t  dn)

Funciones de onda estacionaria

16.16

donde kn  2p>ln y vn  2pfn . Las condiciones necesarias para que haya ondas estacionarias en una cuerda son: 1. Cada punto de la cuerda o bien permanece en reposo o bien oscila con movimiento armónico simple. (Los puntos en reposo son los nodos.) 2. El movimiento de dos puntos cualesquiera de la cuerda que no sean nodos se produce en fase o con un desfase de 180º. *3. Superposición de ondas estacionarias

En general, un sistema vibrante no vibra en un solo modo armónico, sino según una superposición de armónicos permitidos.

*4. Análisis y síntesis armónicos

Los sonidos de diferente cualidad de tono contienen diferentes mezclas de armónicos. El análisis de un tono particular en función de su contenido armónico se llama análisis armónico. La síntesis armónica es la construcción de un tono por suma de armónicos.

*5. Paquetes de ondas

Un pulso de onda puede representarse por una distribución continua de ondas armónicas llamada paquete de ondas. El intervalo de frecuencias ∆v está relacionado con la anchura del tiempo ∆t, y el intervalo de números de onda ∆k con la anchura del espacio ∆x.

Intervalos de frecuencia y tiempo

¢v ¢t
1

16.18

Intervalos de número de ondas y espacio

¢k ¢x
1

16.19

*6. Dispersión

En un medio no dispersivo, la velocidad de fase no depende de la frecuencia, y el pulso (paquete de ondas) se propaga sin cambio de forma. En un medio dispersivo, la velocidad de fase sí depende de la frecuencia, y el pulso cambia de forma durante su movimiento. El pulso se mueve con una velocidad denominada velocidad de grupo del paquete.

Respuestas a las comprobaciones conceptuales 16.1

Su voz cambia porque la frecuencia fundamental de sus cuerdas vocales y cavidad bucal ha aumentado, de la misma manera que cambia la frecuencia de resonancia del tubo de órgano del ejemplo 16.9 cuando está lleno de helio.

Respuestas a los problemas prácticos 16.1

(a) 5,66 cm, (b) 120° o 240°

16.2

f1  20 Hz , f2  40 Hz , f3  60 Hz

16.3

Aproximadamente 10,7 m  35 ft

Problemas En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben aportarse algunos datos a partir de conocimientos generales, fuentes externas o estimaciones lógicas. En los datos numéricos sin coma decimal se deben considerar significativos todos los dígitos, incluidos los ceros a la derecha del último diferente de cero.

• ••

Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos

•••

Desafiante, para alumnos avanzados

SSM

La solución se encuentra en el Manual de soluciones Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas relacionados.

Utilizar 343 m/s como la velocidad de propagación del sonido en el aire, a menos que se indique lo contrario.

PROBLEMAS CONCEPTUALES • Dos pulsos de onda rectangulares se mueven en sentidos opuestos a lo largo de una cuerda. En t  0, los dos pulsos están situados tal y como indica la figura 16.29. Dibujar las funciones de onda para t  1 s, 2 s y 3 s. SSM

10 cm/s

10 cm/s

1

15 cm FIGURA 16.29

30 cm

Problemas 1, 2

5 cm

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Problemas • Repetir el problema 1 para el caso en que el pulso de la derecha de la figura 16.29 esté invertido. 2

• Las pulsaciones se producen por la superposición de dos ondas armónicas si (a) sus amplitudes y frecuencias son iguales, (b) sus amplitudes son iguales, pero sus frecuencias difieren ligeramente, (c) sus frecuencias son iguales, pero sus amplitudes difieren ligeramente. 3

• Se golpean dos diapasones a la vez. Si las frecuencias de cada uno son 256 Hz y 258 Hz, la frecuencia del “zumbido” es (a) 2 Hz, (b) 256 Hz, (c) 258 Hz, (d) 257 Hz.

|

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13 •• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Explicar cómo se podrían utilizar las frecuencias de resonancia de un tubo de órgano para estimar la temperatura del aire del interior del tubo. SSM

•• En la onda estacionaria fundamental de un tubo de órgano tapado por un extremo, ¿qué le sucede a la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad del sonido si el aire del interior del tubo se enfría de forma significativa? Razonar la respuesta. 14

4

• En el problema 4, la frecuencia de batido es (a) 2 Hz, (b) 256 Hz, (c) 258 Hz, (d) 257 Hz.

5

6 • P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Para hacer una demostración en clase de la interferencia de las ondas sonoras, se toman dos altavoces cuyos sonidos son coherentes, están en fase y tienen la misma frecuencia. Los altavoces se colocan sobre la mesa del profesor y están orientados hacia los alumnos. Una alumna que está en la fila de delante dice que oye un volumen menor de sonido cuando emiten los dos altavoces que cuando emite uno solo. Si cada altavoz emite un sonido de 2,4 m de longitud de onda, ¿cuál podría ser la diferencia de distancias entre la alumna y cada uno de los dos altavoces? (a) 1,2 m. (b) 2,4 m. (c) 4,8 m. (d) No se puede saber con los datos que se aportan.

•• (a) Cuando una cuerda de guitarra vibra en su modo fundamental, ¿son iguales las longitudes de onda del sonido que produce y propaga por el aire y la longitud de onda de la onda estacionaria de la cuerda? Explicar la respuesta. (b) Cuando un tubo de órgano está en cualquiera de los modos de onda estacionaria, ¿son iguales las longitudes de onda del sonido que produce y propaga por el aire y la longitud de onda de la onda estacionaria de la cuerda? SSM 15

•• La figura 16.30 corresponde a una fotografía de dos telas de seda, muy finas, colocadas una encima de otra. En los puntos donde las telas se superponen, se pueden ver una serie de líneas oscuras y claras que corresponden a una figura de moiré, figura que aparece también cuando se utiliza un escáner para copiar fotos de un libro o de un periódico. ¿Cuál es la causa de la aparición de la figura de moiré y en qué se parece a una interferencia? 16

• Determinar la longitud de onda más larga del sonido para la cual la alumna del problema 6 oirá un sonido “extra-fuerte” a causa de la interferencia constructiva. Considerar que la alumna está situada de tal forma que la diferencia de las distancias entre ella y cada uno de los altavoces es de 3 m. 7

• Considerar ondas estacionarias en un tubo de órgano. Verdadero o falso: (a) En un tubo abierto por los dos extremos, la frecuencia del tercer armónico es tres veces la del primer armónico. (b) En un tubo abierto por los dos extremos, la frecuencia del quinto armónico es cinco veces la del fundamental. (c) En un tubo abierto por un extremo y tapado por el otro, los armónicos pares no están excitados. 8

Razonar las respuestas.

• Las ondas estacionarias se producen por la superposición de dos ondas de (a) la misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación, (b) la misma amplitud y frecuencia y sentidos opuestos de propagación, (c) la misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y el mismo sentido de propagación, (d) la misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y sentidos opuestos de propagación. 9

FIGURA 16.30 10

• Si se sopla aire sobre el extremo de una pajita se puede oír la

frecuencia fundamental que produce la onda estacionaria que se forma en el interior. Averiguar qué le sucede a la frecuencia fundamental (a) si mientras se sopla, se tapa con el dedo el extremo inferior de la pajita, (b) si mientras se sopla, se corta la pajita por la mitad con unas tijeras, (c) Explicar las respuestas.

• Un tubo de órgano abierto por ambos extremos tiene una frecuencia fundamental de 400 Hz. Si ahora se cierra un extremo de este tubo, la frecuencia fundamental será (a) 200 Hz, (b) 400 Hz, (c) 546 Hz, (d) 800 Hz. SSM 11

•• Una cuerda fija por ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 180 Hz. ¿Cuál de las acciones siguientes reducirá la frecuencia fundamental a 90 Hz? (a) Duplicar la tensión y duplicar la longitud. (b) Reducir a la mitad la tensión y mantener fija la longitud y la masa por unidad de longitud. (c) Mantener fija la tensión y la masa por unidad de longitud y duplicar la longitud. (d) Mantener fija la tensión y la masa por unidad de longitud y reducir la longitud a la mitad. 12

Problema 16 (Gentileza de Chuck Adler.)

•• Un instrumento musical consta de varios vasos de cristal parcialmente llenos de agua a diferentes alturas. Al golpearlos con un pequeño martillo, cada uno de los vasos produce sonidos de frecuencias diferentes. Explicar cómo funciona este instrumento. 17

•• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Durante un recital de órgano, el compresor de aire que alimenta los tubos se avería súbitamente. Un estudiante de física emprendedor, que forma parte del público, aconseja conectar un tanque de gas nitrógeno puro de alta presión a la salida del compresor. ¿Qué efecto, si lo hay, tendrá el gas nitrógeno sobre la frecuencia de salida del tubo del órgano? ¿Y si el tanque fuera de helio?

18

•• La constante g del helio (como la de todos los gases monoatómicos) es 1,67. Si un hombre inhala helio y después comienza a hablar, sus sonidos son más agudos, parecidos a los de una película infantil de dibujos animados. ¿Por qué? 19

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

ESTIMACIONES Y APROXIMACIONES • Una soprano puede conseguir dar una nota con tanta intensidad y de tan alta frecuencia que es capaz de romper una copa de cava vacía haciendo que el aire de su interior entre en resonancia con la frecuencia de su voz. Estimar la frecuencia necesaria para obtener una onda estacionaria en un vaso de 8 cm de alto. (Los 8 cm no incluyen la altura del pie de la copa). ¿A cuántas octavas aproximadamente por encima de un do (262 Hz) se situaría este sonido? Ayuda: subir una octava significa duplicar la frecuencia. 20

• Estimar cómo se tiene que afinar la cuerda de un piano con un diapasón de frecuencia conocida utilizando sólo los oídos, el diapasón y una llave inglesa. 21

•• Los tubos más cortos utilizados en los órganos tienen aproximadamente 7,5 cm de largo. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de un tubo con esta longitud que está abierto por ambos extremos? (b) ¿Cuál es el armónico más alto para un tubo de este tipo que está dentro del intervalo audible? (El intervalo de audición normal está entre 20 y 20 000 Hz.) 22

23 •• A PLICACIÓN BIOLÓGICA Estimar las frecuencias de resonancia del oído humano para el rango de frecuencias audibles. Considerar el canal auditivo como un tubo de aire de una pulgada, abierto por un extremo y tapado por el otro. ¿Cuántas frecuencias de resonancia caben dentro del rango audible? Experimentalmente, se ha observado que el oído humano es más sensible a las frecuencias de 3, 9 y 15 kHz. ¿Coincide el dato experimental con los resultados obtenidos?

SUPERPOSICIÓN E INTERFERENCIA • Dos ondas armónicas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0,02 m. Determinar la amplitud de la onda resultante si las dos ondas difieren en fase (a) en p/6 y (b) en p/3. 24

• Dos ondas armónicas que tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se están moviendo en la misma dirección y sentido. Si difieren en fase en p/2 y cada una de ellas tiene una amplitud de 0,05 m, hallar la amplitud de la onda resultante. SSM 25

• Dos fuentes sonoras oscilan en fase con la misma amplitud A. Están separadas en el espacio por una distancia de l/3. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante de las dos fuentes en un punto situado en la línea que une las fuentes, admitiendo que el punto no está entre las fuentes? 26

• Dos fuentes sonoras oscilan en fase con una frecuencia de 100 Hz. En un punto situado a 5,00 m de una de ellas y a 5,85 m de la otra, la amplitud del sonido procedente de cada fuente separadamente es A. (a) ¿Cuál es la diferencia de fase de las ondas sonoras procedentes de ambas fuentes en dicho punto? (b) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante en dicho punto en función de A? 27

• Con ayuda de un programa informático de dibujo o de un compás, dibujar sendas series de arcos circulares de 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm concéntricos respecto a los dos puntos P1 y P2 separados por una distancia d  3 cm. Unir mediante curvas suaves las intersecciones de los arcos correspondientes a puntos N centímetros más lejanos de P1 que de P2 para N  0, ± 1, ±2, y etiquetar cada curva con el valor de N correspondiente. Además, hay dos curvas adicionales que también pueden dibujarse, para N  3 y 3. Si las fuentes son coherentes, están en fase y tienen longitudes de onda de 1 cm y se colocan en los puntos P1 y P2, las ondas interferirían constructivamente a lo largo de cada una de las curvas dibujadas. 28

• Dos altavoces separados por una cierta distancia emiten sonidos de una misma frecuencia. En un punto determinado P, la intensidad debida a cada altavoz por separado es I0. La distancia desde P a uno de los altavoces es 12 l mayor que la de P al otro. Determinar la intensidad de P si los altavoces (a) son coherentes y están en fase, (b) son incoherentes, y (c) son coherentes, pero tienen una diferencia de fase de p rad. SSM 29

• Dos altavoces separados por una determinada distancia emiten ondas sonoras de la misma frecuencia. En P la intensidad de cada altavoz por separado es I0 . La distancia desde P a uno de los altavoces es una longitud de onda mayor que desde P al otro altavoz. ¿Cuál es la intensidad en P si (a) los altavoces son coherentes y están en fase, (b) los altavoces son incoherentes y (c) los altavoces son coherentes pero están desfasados? 30

•• Una onda transversal de frecuencia 40 Hz se propaga por una cuerda. Dos puntos separados entre sí 5 cm están desfasados en p/6. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda? (b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos en un punto determinado para instantes separados 5 ms entre sí? (c) ¿Cuál es la velocidad de la onda? 31

•• A PLICACIÓN BIOLÓGICA Se supone que el cerebro puede discernir la dirección de una fuente de sonido porque es capaz de apreciar la diferencia de fase entre las ondas sonoras que chocan contra los tímpanos auditivos. Una fuente sonora distante emite un sonido de frecuencia 680 Hz. Si nuestro rostro está frontalmente dirigido hacia la fuente sonora, no apreciamos diferencia de fase. Estimar la diferencia de fase entre los sonidos recibidos por cada oído si ahora giramos 90º respecto a la posición frontal.

32

•• Una fuente sonora A está localizada en x  0, y  0, y otra B en x  0, y  2,4 m. Las dos fuentes emiten coherentemente en fase. Una estudiante en x  15 m, y  0 observa que cuando camina en dirección y positiva o negativa alejándose de y  0, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cuál es la frecuencia más baja y más alta de las fuentes que puede explicar dicha observación? SSM

33

•• Suponer que la estudiante del problema 33 localiza un punto de intensidad mínima en x  15 m, y  0. ¿Cuál es entonces la frecuencia más alta y más baja congruente con esta observación? 34

35 ••• H OJA DE CÁLCULO Se superponen dos ondas armónicas en agua que tienen igual amplitud pero distinta frecuencia, número de onda y velocidad. Las ondas se propagan en la misma dirección. La perturbación total viene dada por y(x, t)  A[cos(k1x  v1t)  cos(k2x  v2t)], donde v1/k1  v1 (la velocidad de la primera onda) y v2/k2  v2 (la velocidad de la segunda onda). (a) Demostrar que y(x, t) puede escribirse de la forma y(x, t)  Y(x, t) cos(kmx  vmt), donde vm  (v1  v2)/2, km  (k1  k2)/2, Y(x, t)  2A cos[(
k/2)x (
v/2)t],
v  v1  v2 y
k  k1  k2. El factor 2A cos[(
k/2)x – (
v/2)t] es lo que se denomina la envolvente de la onda. (b) Usando una hoja de cálculo o una calculadora gráfica, representar y(x, t) si A  1 cm, v1  1 rad/s, k1  1 m1, v2  0,9 rad/s y k2  0,8 m1 cuando t  0 s, t  0,5 s y t  1 s y si, además, x está entre 0 y 5 m. (c) Hacer gráficos de Y(x, t) en función de x para 5 m < x < 5 m sobre el mismo gráfico. Hacer un gráfico para t  0 s, otro para t  5 s y otro para t  10 s. A partir de los tres gráficos, estimar la velocidad a la que se desplaza la envolvente y comparar el resultado con el que obtiene de ve 
v/
k. SSM

••• Dos focos puntuales que están en fase se encuentran separados una distancia d. Se detecta un patrón de interferencia a lo largo de una recta paralela a la que une los focos y situada a una distancia grande D, como se indica en la figura 16.31. (a) Demostrar que la diferencia de trayectos desde los dos focos al mismo punto de la línea situado a un ángulo u viene dada, aproximadamente, por ∆s  d sen u. (Sugerencia: suponer que D >> d, es decir, las líneas procedentes de las fuentes hacia P son, aproximadamente, paralelas.) (Figura 16.31b.) (b) Demostrar que las ondas interfieren constructivamente en P si
s  ml, donde m  0, 1, 2, … (Es decir, demostrar que hay un máximo de interferencia de P si
s  ml, donde m  0, 1, 2, …) (c) Demostrar que la distanica ym desde el máximo central (en y  0) al m-ésimo máximo de interferencia en P viene dada por ym  D tg um, donde d sen um  ml. 36

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Problemas

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P

d

Frentes de onda

y

S1

λ

θ

∆s

S2

D

(a) θ θ

θ

d

Ajustador de fase

d

Amplificador

θ

FIGURA 16.32

Problema 41

PULSACIONES

∆s

FIGURA 16.31

(b)

Problema 36

•• Dos focos sonoros que emiten en fase con una frecuencia de 480 Hz interfieren de tal modo que los máximos se oyen para ángulos de 0º y 23º medidos a partir de una línea perpendicular a la que une los dos focos. El oyente está a una distancia muy grande de la línea que pasa por los focos y no se oyen máximos adicionales para ángulos comprendidos entre 0º y 23º. Determinar la separación entre ambos focos, así como cualquier otro ángulo para el cual se percibe una intensidad máxima. (Utilizar los resultados del problema 36.) 37

•• Se accionan en fase dos altavoces con un amplificador de audiofrecuencia de 600 Hz. Ambos están sobre el eje y, uno en y   1,00 m y el otro en y  1,00 m. Un observador empieza a andar desde (x, y)  (D, 0), siendo D >> 2 m, en la dirección y a lo largo de la recta x  D. (Ver problema 36.) (a) ¿Para qué ángulo u escuchará por primera vez un mínimo de intensidad sonora? (u es el ángulo entre el eje positivo de las x y la recta que va del origen al oyente.) (b) ¿Para qué ángulo escuchará el primer máximo (después de u  0)? (c) ¿Cuántos máximos podrá escuchar posiblemente si se mantiene andando en la misma dirección? 38

••• Dos focos sonoros, accionados en fase por el mismo amplificador, están sobre el eje y separados una distancia de 2 m, uno en y   1 m y el otro en y  1 m. En un punto situado a una distancia muy grande del eje y, se oyen interferencias constructivas en direcciones cuyos ángulos respecto al eje x son u0  0 rad, u1  0,140 rad, y u2  0,283 rad. (Ver figura 16.31.) (a) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras procedentes de los focos? (b) ¿Cuál es la frecuencia de los focos? (c) ¿A qué otros ángulos se escuchará interferencia constructiva? (d) ¿Cuál es el ángulo menor para el cual se anularán completamente las ondas sonoras? SSM

• Se golpean simultáneamente dos diapasones y se oyen 4 batidos por segundo. La frecuencia de uno de los diapasones es 500 Hz. (a) ¿Cuáles son los valores posibles de la frecuencia del otro diapasón? (b) Se coloca un trocito de cera en el diapasón de 500 Hz para disminuir ligeramente su frecuencia. Explicar cómo puede utilizarse la medida de la nueva frecuencia de batido para determinar cuál de las respuestas al apartado (a) es la frecuencia correcta del segundo diapasón. 42

43 ••• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un radar de policía estacionario emite microondas a 5 GHz. Cuando el radar se orienta hacia un coche, las ondas transmitida y reflejada se superponen. Como las frecuencias de ambas ondas son diferentes, se generan pulsaciones, de forma que la velocidad del coche es proporcional a la frecuencia de batido. La velocidad del coche que aparece en el display es de 134 km/h. Suponiendo que el coche se desplaza en línea recta con la dirección de propagación de las ondas del radar, (a) demostrar que, para una frecuencia de emisión del radar, la frecuencia de batido es proporcional a la del coche. Ayuda: la velocidad del coche es ridícula en comparación con la velocidad de la luz. (b) ¿Cuál es la frecuencia de batido en este caso? (c) ¿Cuál es la frecuencia de calibración del radar? Es decir, ¿cuál es la frecuencia de batido generada por km/h de velocidad? SSM

39

••• Los dos focos sonoros del problema 39 funcionan ahora con un desfase de 90º, pero con la misma frecuencia del problema anterior. ¿A qué ángulos se oyen las interferencias constructiva y destructiva? 40

41 •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un radiotelescopio se compone de dos antenas separadas una distancia de 200 m. Las dos antenas se sintonizan a una frecuencia de 20 MHz. Las señales procedentes de cada antena pasan a un amplificador común, pero una de las señales pasa primero por un ajustador de fase, que retrasa la fase en una cantidad concreta, de modo que el telescopio pueda “mirar” en diferentes direcciones (figura 16.32). Con un retraso de fase cero, las ondas de radio planas que inciden verticalmente se suman constructivamente en el amplificador. ¿Cuál deberá ser el retraso de fase para que las señales que llegan formando un ángulo de u  10º con la vertical (en el plano formado por la vertical y la línea que une las antenas) se sumen constructivamente en el amplificador? Ayuda: las ondas de radio viaja a 300 000 km/s.

ONDAS ESTACIONARIAS • Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo armónico a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en ella? 44

• Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos está vibrando en su tercer armónico. El desplazamiento máximo de los puntos de la cuerda es 4 mm. La velocidad de las ondas transversales en ella es 50 m/s. (a) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda? (b) Escribir la función de onda correspondiente a este caso. 45

• Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de órgano de 10 m de longitud que está (a) abierto por sus dos extremos y (b) cerrado por un extremo. 46

• Un hilo de acero de 5 g de masa y 1,4 m de longitud está fijo por ambos extremos y soporta una tensión de 968 N. (a) Hallar la velocidad de las ondas transversales en él. (b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia fundamental. (c) Determinar las frecuencias del segundo y tercer armónicos. SSM 47

• Una cuerda de 4 m de longitud se fija por un extremo y se liga por el otro a una cuerda ligera de modo que puede moverse libremente en dicho extremo. La velocidad de las ondas en la cuerda es 20 m/s. (a) Hallar la frecuencia del armónico fundamental, (b) del segundo armónico y (c) del tercer armónico. 48

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

• Una cuerda de piano tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz. Cuando se le enrolla un hilo, su densidad de masa lineal se duplica. ¿Cuál es la nueva frecuencia fundamental, suponiendo que no se varía la tensión? 49

• El intervalo normal de audición humana está comprendido entre 20 y 20 000 Hz. ¿Cuál es la mayor longitud de un tubo de órgano cuya nota fundamental se encuentre dentro de este intervalo si (a) está cerrado por un extremo y (b) está abierto por los dos extremos? 50

•• La función de onda y(x, t) correspondiente a una onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos viene dada por y(x, t)  4,2 sen (0,20x) cos (300t), con y y x en centímetros y t en segundos. (a) ¿Qué longitud de onda y frecuencia tienen las dos ondas viajeras que dan lugar a esta onda? (b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas en esta cuerda? (c) Si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico, ¿cuál es su longitud? SSM

51

•• La función de onda y(x, t) para una onda estacionaria sobre una cuerda que está fija por ambos extremos es y(x, t)  (0,05 m) sen (2,5 m1x) cos (500 s1t). (a) Hallar la velocidad y la amplitud de las dos ondas móviles que originan esta onda estacionaria. (b) ¿Cuál es la distancia entre nodos sucesivos de la cuerda? (c) ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cuerda?

52

•• Un tubo tapado por un solo extremo tiene una longitud de 120 cm. Cerca del extremo abierto existe un altavoz accionado por un oscilador de audio cuya frecuencia puede variarse de 10 a 5000 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia más baja del oscilador que resonará dentro del tubo? (b) ¿Cuál es la frecuencia mayor con la que resonará? (c) ¿Cuántas frecuencias diferentes del oscilador producirán resonancia? (Despreciar la corrección de los extremos.) 53

•• Un diapasón de 460 Hz produce resonancia en el tubo de la figura 16.33 cuando la columna de aire L situada sobre el agua es de 18,3 cm o de 55,8 cm. (a) Hallar la velocidad del sonido en el aire. (b) ¿Cuál es la corrección del extremo para ajustar el hecho de que el vientre o antinodo no se presente exactamente en el extremo del tubo abierto? 54

•• A 16 ºC la frecuencia fundamental de un tubo de órgano es 440,0 Hz. ¿Cuál será la frecuencia fundamental del tubo si la temperatura aumenta a 32 ºC? ¿Sería preferible construir el tubo con un material que se dilatara sustancialmente cuando aumente la temperatura o con un material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales? SSM

•• La cuerda sol de un violín tiene 30 cm de longitud. Cuando se toca sin pulsar, vibra con una frecuencia de 196 Hz. Las notas próximas más altas en la escala son: la (220 Hz), si (247 Hz), do (262 Hz) y re (294 Hz). ¿A qué distancia del extremo de la cuerda debe colocarse un dedo para generar estas notas? 58

•• Una cuerda con una densidad de masa 4  103 kg/m está sometida a una tensión de 360 N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz. La frecuencia de resonancia más alta siguiente es 450 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? (b) ¿Qué armónicos son los que se dan? (c) ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

59

•• Una cuerda sujeta por ambos extremos tiene resonancias sucesivas con longitudes de onda de 0,54 m para el armónico n y de 0,48 m para el armónico (n  1). (a) ¿Qué armónicos son? (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? 60

•• Las cuerdas de un violín están afinadas con los tonos sol, re, la y mi, que están separados entre sí por un quinto. Es decir, f(re)  1,5 f(sol), f(la)  1,5 f(re)  440 Hz y f (mi)  1,5 f(la). La distancia entre los dos puntos fijos de las cuerdas es de 30 cm. La tensión de la cuerda mi es 90 N. (a) ¿Cuál es la masa por metro de longitud de dicha cuerda? (b) Para evitar distorsiones del instrumento con el tiempo, es importante que la tensión en todas las cuerdas sea la misma. Determinar las masas por metro de longitud de las restantes cuerdas. SSM 61

•• En un violoncello, como en la inmensa mayoría de los instrumentos, la posición de los dedos del músico determina la frecuencia fundamental de las cuerdas. Suponer que una de las cuerdas de un violoncello se afina para tocar un do (262 Hz) cuando se toca con su longitud completa. ¿Cuál debe ser la fracción de acortamiento de la cuerda que debe hacerse con el dedo para tocar un mi (330 Hz)? ¿Y para un sol (392 Hz)? 62

•• Para afinar un violín, el violinista primero afina la cuerda la con el tono correcto de 440 Hz y después toca simultáneamente con el arco dos cuerdas contiguas y escucha las pulsaciones producidas. Cuando toca con el arco las cuerdas la y mi, detecta una frecuencia de batido de 3 Hz y observa que esta frecuencia crece cuando la tensión de la cuerda mi aumenta (la cuerda mi se afina a 660 Hz). (a) ¿Por qué se produce el batido cuando estas cuerdas se tocan simultáneamente? (b) ¿Cuál es la frecuencia de la cuerda mi en vibración si la frecuencia de batido es de 3 Hz? 63

55

•• Se fija una cuerda de 2 m por un extremo mientras que el otro extremo es libre y se la hace vibrar en su tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de vibración de 100 Hz. (a) Escribir la función de onda correspondiente a esta vibración. (b) Obtener una expresión para la energía cinética de un segmento de la cuerda de longitud dx en el punto x y en cierto tiempo t. ¿En qué instante es máxima esta energía cinética? ¿Cuál es la forma de la cuerda en dicho momento? (c) Hallar la energía cinética máxima de la cuerda integrando la expresión del apartado (b) en la longitud total de la cuerda. 64

FIGURA 16.33

Problema 54

•• La corrección del extremo
L para un tubo circular es, aproximadamente,
L  0,3186D, donde D es el diámetro del tubo (véase el ejemplo 16.9). Determinar la longitud de un tubo abierto por ambos extremos que produzca un do (256 Hz) como armónico fundamental si D  1 cm, 10 cm y 30 cm. 56

•• Una cuerda de violín de 40 cm de longitud y 1,2 g de masa tiene una frecuencia de 500 Hz cuando está vibrando en su modo fundamental.* (a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria en la cuerda? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (c) ¿Dónde se debería colocar el dedo para incrementar la frecuencia a 650 Hz? 57

* Una cuerda de un instrumento no vibra en un solo modo. Por tanto, las condiciones descritas en este enunciado son imaginarias.

•• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO En la figura 16.34, se muestra la disposición de un experimento de física muy habitual que sirve para estudiar las ondas transversales en una cuerda. Se cuelga un peso del extremo de una cuerda (que no se deforma) que pasa por una polea, y en el otro extremo un oscilador mecánico mueve la cuerda hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia f que permanece fija durante toda la demostración. La longitud L entre el oscilador y la polea se mantiene constante y las ondas que se producen en la cuerda resuenan para determinados valores del peso. (a) Explicar por qué solamente ciertos valores discretos de la tensión dan lugar a ondas estacionarias en la cuerda. (b) Para producir una onda estacionaria con un antinodo extra, ¿hay que aumentar o disminuir la tensión? (c) Demostrar el razonamiento del apartado (b) comprobando que los valores de la tensión FTn 65

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Problemas L

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•• P ÓNGALO

EN SU CONTEXTO ,

A PLICACIÓN

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A LA INGENIE -

Para medir la longitud del túnel de una mina se emplea un emisor de sonido con frecuencia variable. Se determina que las frecuencias de resonancias consecutivas se producen a las frecuencias de 63,58 Hz y 89,25 Hz. Estimar la longitud del túnel. RÍA

Cuerda Oscilador

•• Una cuerda de 5 m de largo que está fija sólo por un extremo está vibrando en su quinto armónico con una frecuencia de 400 Hz. El desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda es 3 cm. (a) ¿Cuál es su longitud de onda? (b) ¿Cuál es el número de onda k? (c) ¿Cuál es la frecuencia angular? (d) Escribir la función de onda correspondiente a esta onda estacionaria. 70

•• Una onda estacionaria en una cuerda está representada por la siguiente función de onda: y(x, t)  (0,020) sen(4px) cos(60pt), donde x e y se expresan en metros y t en segundos. Determinar el desplazamiento máximo y la velocidad máxima de un punto de la cuerda situado en (a) x  0,10 m, (b) x  0,25 m, (c) x  0,30 m y (d) x  0,50 m. SSM 71

Peso FIGURA 16.34

Problema 65

•• Un alambre de longitud 2,5 m y masa 0,10 kg está fijo por ambos extremos bajo una tensión de 30 N. Al excitar el armónico n, se forma un nodo a 0,5 m de un extremo. (a) ¿Cuánto vale n? (b) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres modos permitidos de vibración? 72

para el n-ésimo modo de la onda vienen dados por FTn  4L2 f2 m>n2, y, por tanto, FTn es inversamente proporcional a n2. (d) Si L  1 m, f  80 Hz, y la masa por unidad de longitud de la cuerda es m  0,75 g/m, ¿qué pesos habrá que colgar del extremo de la cuerda para que se produzcan los tres primeros modos resonantes? SSM

* ANÁLISIS ARMÓNICO • A una cuerda de guitarra se le da un punteo justo en su punto medio. Mediante un micrófono conectado a un ordenador, se observa que la mayor parte del sonido emitido produce un tono de 100 Hz mientras que una pequeña parte corresponde a un tono de 300 Hz. ¿Cuáles son los modos de onda estacionaria dominantes en la cuerda? 66

* PAQUETES DE ONDAS •• Un diapasón de frecuencia f0 empieza a vibrar en el instante t  0 y se detiene después de un intervalo de tiempo ∆t. En la figura 16.35, se muestra la forma de la onda sonora un cierto tiempo después como una función de x. Sea N el número (aproximado) de ciclos de esta forma de onda. (a) Si ∆x es la longitud en el espacio de este paquete de ondas, ¿cuál es el rango de números de onda ∆k del paquete? (b) ¿Cuál es la longitud de onda media en función de ∆x y N? (c) ¿Cuál es el número de ondas k en función de N y ∆x? (d) Si ∆t es el tiempo que tarda el paquete en pasar por un punto del espacio, ¿cuál es el rango de frecuencias angulares ∆v del paquete? (e) Expresar f0 en función de N y ∆t. (f) El número de ciclos N posee una incertidumbre de ± 1 ciclo, aproximadamente. Explicar por qué, usando la figura 16.35. (g) Demostrar que la incertidumbre del número de onda debida a la incertidumbre en N es 2p/∆x. SSM

67

y

•• Un tubo de órgano es tal que bajo condiciones normales su frecuencia fundamental es 220 Hz. Se coloca en una atmósfera de hexafluoruro de azufre (SF6) a la misma temperatura y presión. La masa molar del aire es 29 g/mol y la del SF6 es 146 g/mol. ¿Cuál es la frecuencia fundamental del tubo en la atmósfera de SF6? 73

•• En una demostración en una clase de ondas estacionarias, se sujeta una cuerda a un diapasón que vibra a 60 Hz que origina la formación de ondas transversales de esta frecuencia en la cuerda. El otro extremo de la cuerda se pasa por una polea, variándose la tensión con pesos en este extremo. La cuerda tiene nodos aproximadamente en el diapasón y en la polea. (a) Si la cuerda tiene una densidad de masa lineal de 8 g/m y tiene una longitud de 2,5 m (desde el diapasón hasta la polea), ¿cuál debe ser la tensión para que la cuerda vibre en su modo fundamental? (b) Hallar las tensiones necesarias para que la cuerda vibre en sus armónicos segundo, tercero y cuarto. 74

•• Tres frecuencias de resonancia sucesivas de un tubo de órgano son 1310, 1834 y 2358 Hz. (a) ¿Está el tubo cerrado por un extremo o abierto en ambos extremos? (b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? (c) ¿Cuál es la longitud del tubo? SSM 75

•• Durante un experimento que estudia la velocidad del sonido en el aire se observa que la frecuencia de resonancia de un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro, tiene sus nodos separados 6,94 cm. Al aumentar la frecuencia externa se observa que aparece una nueva frecuencia de resonancia tal que sus nodos distan 5,4 cm. (a) ¿Cuáles son estas dos frecuencias de resonancia? (b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? (c) ¿A qué armónicos corresponden? La velocidad del sonido es 343 m/s. 76

•• Una onda estacionaria sobre una cuerda viene descrita por la siguiente función de onda: y(x, t)  (0,020) sen(12 px) cos(40pt), en donde x e y están en metros y t en segundos. (a) Escribir funciones de onda para dos trenes de ondas que al superponerse produzcan este patrón de ondas estacionarias. (b) ¿Cuál es la distancia entre los nodos de la onda estacionaria? (c) ¿Cuál es la velocidad de un segmento de cuerda en x  1 m? (d) ¿Cuál es la aceleración del mismo segmento de cuerda? 77

∆x x FIGURA 16.35

Problema 67

PROBLEMAS GENERALES 68

•• Una cuerda de 35 m tiene una densidad de masa lineal de

0,0085 kg/m y soporta una tensión de 18 N. Determinar las frecuencias de los cuatro primeros armónicos si (a) la cuerda está fija por ambos extremos, y (b) la cuerda está fija por un extremo y atada a un hilo largo y delgado, de masa despreciable, en el otro extremo.

78 •• H OJA DE CÁLCULO Dos pulsos de onda que se mueven sobre una cuerda están representados por las funciones de onda

y1(x, t) 

0,020 2,0  (x  2,0t)2

y

y2(x, t) 

0,020 2,0  (x  2,0t)2

donde x está en metros y t en segundos. (a) Dibujar por separado cada onda en función de x para t  0, y para t  1 s, utilizando para ello una hoja de cálculo o una calculadora gráfica, y describir el comporta-

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CAPÍTULO 16

Superposición y ondas estacionarias

miento de ambas ondas al aumentar el tiempo. Para cada gráfico tomar 5 m < x < 5 m. (b) Hallar la función de onda resultante para t  0, t  1 s y t  1 s 79

••• Tres ondas con la misma frecuencia, longitud de onda y am-

plitud, se mueven en la misma dirección y sentido. Las tres ondas vienen dadas por y1(x, t)  (5,00 cm) sen(kx  vt  13 p), y2(x, t)  (5,00 cm) sen(kx  vt) y y3(x, t)  (5,00 cm) sen(kx  vt  13 p), donde x y t se dan en metros y segundos, respectivamente. La onda resultante tiene la forma y(x, t)  A sen (kx  vt  ). Hallar A y .

••• Una onda plana tiene la forma p(x, y, t)  A cos(kxx  kyy – vt). Demostrar que la dirección en que se mueve la onda forma un ángulo u  arctg(ky/kx) con la dirección positiva del eje x y que la velocidad de propagación de la onda es v  v1k2x  k2y .

nética por unidad de longitud del alambre? (d) ¿Para que valor de x tiene su máximo valor la energía potencial por unidad de longitud?

••• H OJA DE CÁLCULO En principio, una onda de forma arbitraria puede expresarse como la suma de ondas armónicas de diferentes frecuencias. (a) Considere una función definida por

85

f(x) 

cos 3x cos 5x 4 cos x    Áb a p 1 3 5 

80

•• La velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta T (ecuación 15.5). (a) Demostrar que si la temperatura varía en una pequeña cantidad ∆T, la frecuencia fundamental de un tubo de órgano varía aproximadamente en ∆f, siendo ¢f>f  12 ¢T>T. (b) Suponer un tubo de órgano cerrado por un extremo y que tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz cuando la temperatura es de 20 ºC. ¿Cuál será su frecuencia fundamental cuando la temperatura sea de 30 ºC? (c) Comparar el resultado del apartado (b) con el que se obtendría efectuando los cálculos exactos. (Ignorar cualquier variación de longitud del tubo debida a la dilatación térmica.) SSM 81

•• El tubo de la figura 16.36 se mantiene lleno de gas natural (principalmente metano). Se han practicado una serie de perforaciones a lo largo del tubo de 2,2 m, separados una distancia de 1 cm. Uno de los extremos está cerrado por un altavoz y en el otro hay una tapa metálica. ¿Cuál es la frecuencia del sonido del altavoz según la imagen de la figura 16.36? La velocidad del sonido en el metano es de 460 m/s.

cos[(2n  1)x] 4 q (1)n a p n0 2n  1

Escribir un programa en una hoja de cálculo que calcule esta serie utilizando un número finito de términos, y hacer tres representaciones gráficas de la función en el intervalo de x comprendido entre 0 y 4p. En la primera representación gráfica, aproximar la suma desde n  0 hasta n  ∞ con el primer término de la suma. En la segunda y tercera representación gráfica, usar sólo los cinco y los diez primeros términos, respectivamente. Esta función se suele denominar la onda cuadrada. (b) Hallar la relación entre esta función y la serie de Leibnitz para p,

p 1 1 1 1    Á 4 3 5 7

SSM

••• H OJA DE CÁLCULO Escribir un programa en una hoja de cálculo para calcular y representar gráficamente la función

86

y(x) 

82

sen 5x 4 sen 3x   Áb a sen x  p 9 25 

(1)n sen(2n  1)x 4 pa n (2n  1)2

para 0 < x < 4 p. Utilizar sólo los 25 primeros términos de la suma para cada punto del gráfico. ¿Qué clase de onda es ésta?

••• H OJA DE CÁLCULO Si se dan palmadas en el extremo de un tubo cilíndrico largo, el eco no suena igual que las palmadas sino que se oyen sonidos como los procedentes de un silbato, inicialmente con una frecuencia muy alta que rápidamente desciende hasta hacerse imperceptible. Este efecto puede explicarse si se piensa que el sonido de la palmada es una compresión que sale de las manos y que se propaga. Los diferentes ecos que llegan al oído, tal como se muestra en la figura 16.37, recorren trayectorias distintas por el tubo. El primer eco resulta de una única reflexión en el fondo del tubo, mientras que el segundo también se refleja en el centro de las paredes del tubo, una vez al ir y otra al volver; el tercer eco se refleja dos veces en puntos situados a distancias 1/4 y 3/4, etc. El tono del sonido que llega al oído es consecuencia de la frecuencia a la que estos sonidos reflejados llegan al oído. (a) Demostrar que el retraso del tiempo entre el eco n y el eco n  1 viene dado por

87

FIGURA 16.36

Problema 82 (University of Michigan Demonstra-

¢tn 

tion Laboratory.)

83 •• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Suponer que un clarinete está lleno de helio y que, antes de comenzar a tocar, el músico llena sus pulmones de helio. El músico coloca los dedos con la intención de tocar un si de 277 Hz. La frecuencia de 277 Hz es la frecuencia natural de resonancia del clarinete cuando suena con aire con todos los dedos colocados sobre los agujeros. ¿Qué frecuencia se oye en realidad?

••• Un alambre de 2 m fijo por ambos extremos está vibrando en su modo fundamental. La tensión es 40 N y la masa del alambre es 0,1 kg. El punto medio del alambre tiene una amplitud de 2 cm. (a) Hallar la energía cinética máxima del alambre. (b) En el instante en que el desplazamiento transversal viene dado por y  (0,02 m) sen (px/2), donde x e y se dan en metros y 0 m < x < 2 m, ¿cuál es la energía cinética del alambre? (c) ¿En qué posición del alambre tiene su mayor valor la energía ci84

2 A (2n)2r2  L2  4[2(n  1)]2r2  L2 B v 4

donde v es la velocidad del sonido, L la longitud del tubo y r su radio. (b) Usando una hoja de cálculo o una calculadora gráfica, representar gráficamente
tn frente a n si L  90 m, r  1 m. (Estas son las dimensiones de un tubo del Exploratorium de San Francisco.) Represente como mínimo hasta n  100. (c) A partir del gráfico, explique por qué la frecuencia disminuye con el tiempo. ¿Cuáles son las frecuencias máxima y mínima que se oirán?

Palmadas 2 1 3

FIGURA 16.37

Problema 87

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Índice alfabético La n que sigue a algunos números indica que la entrada está en una nota a pie de página.

Accidente, reconstrucción de un, 158 Aceite, coeficiente de viscosidad, 446 Aceite para motores, coeficiente de viscosidad, 446 Aceleración, 14, 27, 35–47, 309. Véase también Aceleración angular caída libre, 369, 370, 391 centrípeta, 80, 141, 292 como función del tiempo, 36–37 condición de no deslizamiento y, 310, 312–314 constante, 37–47 de ultracentrifugadoras, 316 debida a la gravedad, 71 definición, 35 del centro de masas, 154 del movimiento circular uniforme, 79–80 diagramas de movimiento y, 37 dimensiones de, 8, 35 fuerzas de arrastre y, 139–140 instantánea, 35 media, 35 método de Euler, 147–149 segunda ley de Newton y, 97 tangencial, 81, 111, 292, 305 unidades en el SI, 35 Aceleración angular, 290–291, 305, 309 constante, 291 del cuerpo rígido, 303 pares de fuerza, 405 valor medio, 290–291 Aceleración centrípeta, 80, 141, 292 Aceleración constante, 37–47 caída libre, 43–44 como función del tiempo, 38–39 de dos cuerpos, 45–47 de un cuerpo, 40–43 velocidad media con, 39–40 Aceleración instantánea, 35 Aceleración media, 35 Aceleración tangencial, 81, 111, 292, 305 Aceleradores circulares, 51 Aceleradores lineales, 51 Acelerómetro, 124 Acero, módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad, 426 resistencia, 410 Adams, John (astrónomo), 394 Aerodinámica automotriz, 448 Afelio, 364, 365

Agencia Especial para la Atmósfera del Centro de Fluidos Geofísicos Globales, 353 Agua. Véase también Hielo, coeficiente de viscosidad, 446 densidad, 424 módulo de compresibilidad, 426 pesada (óxido de deuterio), 229 Agua marina, densidad, 424 Agua pesada (óxido de deuterio), 229 Agujero negro supermasivo, 395 Agujeros negros, 394 supermasivos, 395 Aire, 353 coeficiente de viscosidad, 446 Alcance horizontal de un proyectil, 72, 75–77 Alcohol, densidad, 424 Alfabeto griego, contracubierta delantera Altitud, presión y, 430–431 Aluminio, densidad, 424 módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad, 426 resistencia, 410 Ampere (A), 4 Andrómeda (galaxia), diámetro, 12 Ángulo de desviación, 270 Ángulo de peralte, 144 Ángulo de reposo, 132 Anillo, centro de masas de un anillo semicircular, 153–154 momento de inercia, 296 Anillo de Einstein, 386 Anillo semicircular, centro de masas, 153–154 Aniquilación electrón-positrón, 228 Antiderivada, 48, 49 Año-luz, 26 Años bisiestos, 21 Aproximación, velocidad relativa de, 267 Área, 7, 8 Aristóteles, 2 Arquímedes, 432–433 principio de, 432–438 Arte, 1 Asperezas, 128 Atlas (lunar), 390 Atmósfera (atm), 426 Atmósfera(s), 375 ley de la, 431, 456 presión de la, 426

Atomizador, 442 Atracción electromagnética, 128 Atto, prefijo, 5 Atwood, máquina de, 124, 239, 338–339 Automoción, aerodinámica, 448 Avogadro, número de, 11 Balanza de torsión, 370, 411 gravitatoria, 370, 411 Bar, 430 Barómetro de mercurio, 430 Barra, uniforme, campo gravitatorio generado por, 380 centro de masas, 153 Becquerel, Antoine, 2 Benceno, 12 Bernoulli, ecuación de, 440–445 deducción a partir de la segunda ley de Newton, 440 efecto Venturi, 442–443 ley de Torricelli, 441–442 para el flujo a lo largo de una línea de corriente horizontal, 440 para el flujo a lo largo de una línea de corriente no horizontal, 441 para fluido en reposo, 441 Bisiesto por un segundo, 21 Bosones, 95, 352 W, 95 Z, 95 Bova, Ben, 89 Brahe, Tycho, 364, 367 Brazo de palanca, 302 Caballo de vapor (hp), 187 Cable de popa, 415 Caída libre, 43–44, 71, 100 aceleración, 43–44, 369, 370, 391 Cálculo, 381 teorema fundamental, 48 Calor, 220 Campo, punto de, 378 Campo(s) eléctrico(s), 96 Campo gravitatorio, 96, 378–385 cálculo, 379 centro de gravedad, 302–303 de dos partículas puntuales, 379 de la Tierra, 100, 378 de una barra uniforme, 380 de una corteza esférica, 381, 384–385 de una esfera sólida, 381

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Índice alfabético

Campo gravitatorio (continuación) definición, 378 dentro de una esfera sólida, 381–382 Cáncer, tratamiento por radiación, 51 Candela (cd), 4 Carga(s) puntual(es), campo eléctrico debido a una única carga, 74 Carnot, Sadi, 2 Catódicos, tubo de rayos, (TCR), 51 Caudal, 439 Cavendish, Henry, 367, 368, 369 Cemento, densidad, 424 Centi, prefijo, 5 Centímetro, 5 Centro de gravedad, 302–303, 398–399 Centro de masas, 149–157 aceleración, 154 cálculo por integración, 153–154 de cuerpos continuos, 150–152 de sistema de partículas, 149–150, 154–155 de un anillo semicircular, 153–154 de una barra uniforme, 153 definición, 149, 150 movimiento, 154–157 posición del, 150–152 rodadura y, 312–313 velocidad del, 154 Centro de percusión, 323 Centro de simetría, 150 Centro geométrico, 150 Cesio, 4 reloj de, 21 Checketts, Stan, 114 Ciencia, 1 Cifras significativas, 8–11 notación científica y, 9–11 Cilindro uniforme, momento de inercia, 296 Cinemática, 27. Véase también Movimiento en una dimensión partículas en, 28 Cobre, coeficiente de cizalladura, 411 densidad de, 424 módulo de compresibilidad de, 426 resistencia de, 410 Coche híbrido, 298 Coches de Fórmula 1, 448 Coches NASCAR, 448 Coeficiente(s), de restitución, 267 de rozamiento, 129, 130, 131, 132 de viscosidad, 446 Cohete(s), empuje, 275 principio del, 253 relación empuje-peso, 286 Colisión frontal, 269–271 Colisión protón–protón, 271 Colisiones, 255–273 de dos discos, 342–343 elásticas. Véase Colisiones elásticas en el sistema de referencia del centro de masas, 271–273 fuerza media, 255–260 impulso, 255–260 inelásticas. Véase Colisiones inelásticas

perfectamente inelásticas. Véase Colisiones perfectamente inelásticas teorema impulso–momento lineal, 256 velocidades relativas de aproximación y separación, 265 Colisiones elásticas, 255, 272–273 de un neutrón y un núcleo, 266 en dos y tres dimensiones, 269–271 en una dimensión, 264–267, 272–273 velocidades relativas, 265 Colisiones en dos y tres dimensiones, 267–271 elástica, 269–271 inelástica, 268–269 no frontal, 269–271 Colisiones en una dimensión, 260–267 coeficiente de restitución, 267 elástico, 264–267, 272–273 frontal, 264–267, 271 perfectamente inelástica, 260–264 Colisiones frontales, 264–267, 271 pérdida de energía, 266 Colisiones inelásticas, 255, 271, 342. Véase también Colisiones perfectamente inelásticas en dos y tres dimensiones, 268–269 en una dimensión, 260–264 Colisiones perfectamente inelásticas, 255, 271, 342 en una dimensión, 260–264 Combustión, tipos de, 277 Componentes de un vector, 17–19 Compresibilidad, 426 Condiciones iniciales, 48 Conservación de la energía, 3, 201, 219–227 calor y, 220 energía química y, 226–227 ley de, 219–220 masa y, 228–231 rozamiento cinético y, 221–225 teorema trabajo-energía cinética, 220–221, 222 Conservación de la energía mecánica, 209–219, 314 aplicaciones, 210–216 definición, 209 ley de, 249 Conservación del momento angular, 331, 341–350 enunciado, 341 ley de áreas iguales y, 365 péndulo balístico, 347 segunda ley de Newton y, 348–349 Conservación del momento lineal, 249–253 componentes del momento lineal, 249 en colisiones. Véase Colisiones, en la propulsión de cohetes, 273–277 hallar velocidades utilizando, 249 ley de, 249 Constante, de fuerza (k), 102 de la gravitación universal, 367, 368 medida, 369–370 Contacto, área microscópica de, 128 Cornell, potencial de, 243n Corriente eléctrica, unidades en el SI, 4 Corteza esférica, campo gravitacional generado por, 381 cálculo por integración, 384–385

Cráter del meteorito Barringer, 284 Cuantización, de la energía, 231–232 del momento angular, 350–352 Cuanto, 201, 232 Cuerdas, 103–104 Cuerpo elástico, 409 Cuerpo estándar, 4 Cuerpo libre, diagrama, 104–109 Cuerpos uniformes, momento de inercia de, 295–296 Cúmulo globular, 394 Curie, Marie, 3 Curie, Pierre, 3 Curvas peraltadas, movimiento a lo largo de, 144–146 Daytona International, autopista, 127 Deca, prefijo, 5 Deformación, 409–411 Desaceleración, 35, 36 Deci, prefijo, 5 Deflagración, 277 Deformación por cizalladura, 411 Deformaciones, fuerzas no conservativas en, 219 Densidad, cálculo, 425 de fluidos, 424–425 definición, 424 dimensiones de, 8 fuerza ascensional y, 432–433 media, 424 Densidad media, 424 Descomposición de un vector en sus componentes, 18 Desintegración radiactiva, 253 Deslizamiento, 101–102 con rodamiento, 314–315 Desplazamiento, 14, 17, 27, 28–29, 309 angular, 291, 309 distancia recorrida frente a, 28–29 Desplazamiento angular, 291, 309 Desviación, ángulo de, 270 Detonación, 277 Deuterón, 229 energía en reposo del, 228 Diagrama de niveles energéticos, 232 Diagramas de cuerpo libre, 104–109 fuerza centrípeta y, 142 Diagramas de movimiento, 37 Diamante, módulo de compresibilidad, 426 Dimensiones, de aceleración, 8, 35 de magnitudes físicas, 7–8 Dina, 5 Dinámica, 27 Dinámica computacional de fluidos (CFD), 448 Dirección centrípeta, 79 Dirección tangencial, 79 Discos, colisión de dos, 342–343 momento de inercia de un disco uniforme, 296 Discos de Euler, 362 Disponibilidad selectiva, 82 Distancia, condición de no deslizamiento, 310 desplazamiento frente a, 28–29

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Índice alfabético Distancia de frenado, 40–41 División, cifras significativas de, 9 Ecolocalización, 57 Ecuación de continuidad, 439, 443 Ecuación del cohete, 275 Ecuaciones cinemáticas para aceleración constante, 37–47 deducción de, 49 Ecuaciones con aceleración angular constante, 309 Ecuaciones con aceleración constante, 309 Eddington, Arthur, 386 Edge, R. D., 320 Efecto Doppler, 390 Efecto honda, 287 Efecto Venturi, 442–445 Einstein, Albert, 3, 228, 232n, 386 Eje, semieje mayor, 364, 365 semieje menor, 364 Eje de simetría, 335 Eje z (eje de rotación), 335 Ejes de coordenadas, unidos a sistemas de referencia, 66 Elatérido, 59 Electromagnetismo, 2 Electrón(es), 51, 95, 352, 362 energía en reposo del, 228 espín, 352, 362 movimiento del, 42 Electronvolt (eV), 174–175, 177 Elipse, 364 Empuje, de un cohete, 275 Energía. Véase también Energía cinética; Energía potencial; Energía relativista clasificación de órbitas, 375–378 conservación de. Véase Conservación de la energía cuanto de, 201 de un satélite, 377–378 de un sistema, total, 209 de una molécula diatómica, 232 definición, 176 dimensión de la, 8 disipada por rozamiento, 222 electromagnética, 233 en reposo, 228 enlace, 229, 230, 376 estado fundamental, 232 interna (reposo), 228, 231 masa y, 228–231 potencia y, 186–188 química, 201, 219, 226–227 radiación, 219 rotacional, 232n térmica, 176, 201, 219, 221, 226 Energía cinética, 201 conversión a energía electromagnética, 233 de traslación, 190–192 de un neutrón, 287–288 definición, 176 del sistema, 254–255, 297–298 potencia y, 187–188 rotacional, 292–293, 309, 310–311, 351 y velocidad, 177

Energía cinética de rotación, 292–293, 309 cuantización de, 351 total, 310–311 Energía cinética de traslación, 190–192 Energía de enlace, 229, 230, 376 Energía de rotación, 232n, 351–352 Energía electromagnética, 233 Energía en reposo, 228, 231 Energía interna (en reposo), 231 de sistemas ligados, 231–232 de sistemas ligados, 231–232 de un sistema, 228 del sistema, 228 Energía mecánica, conservación de. Véase Conservación de la energía mecánica de un sistema, 254 fuerzas no conservativas y, 219 rozamiento cinético y, 221–225 teorema trabajo-energía para sistemas, 209 total, 209 Energía potencial, 176, 201, 202–208 de un muelle elástico, 202–203, 207–208 definición, 202, 374 elástica (muelle), 202, 207–208 equilibrio y, 216–219 fuerza conservativa, 203–204 fuerza no conservativa, 203–204 negativa, 374 Energía potencial gravitatoria, 202, 205–207, 374–378 clasificación de órbitas, 375–378 velocidad de escape, 374–375 Energía química, 201, 219, 226–227 Energía térmica, 176, 201, 219, 221, 226 Enlace(s), en líquidos, 424 Equilibrio. Véase también Equilibrio estático energía potencial y, 216–219 Equilibrio de rotación estable, 407 Equilibrio de rotación indiferente, 407–408 Equilibrio de rotación inestable, 407 Equilibrio de sedimentación, 316 Equilibrio estable, 102, 217, 218 Equilibrio estático, 102, 397–422 centro de gravedad y, 398–399 condiciones para, 398 en nanotubos de carbono, 412 en un sistema de referencia acelerado, 406–407 estabilidad de equilibrio rotacional, 407–408 fuerza neta y, 398 momento neto y, 398 pares de fuerza, 405–406 problemas intermedios, 408–409 tensión y deformación, 409–411 Equilibrio inestable, 217 Equilibrio neutro, 217 Equilibrio rotacional, estabilidad de, 407–408 Equinoccios, precesión, 362 Equivalencia, principio de, 391 Erg, 5 Erosión, 132 Errores de redondeo, 149 Escalares, definición, 14 Esfera, campo gravitacional generado por una, 381–382

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Espacio, curvatura del, 386 Espín, de un electrón, 352, 362 Estación espacial internacional (ISS), 372–373 Estado fundamental, 231–232, 359 energía del, 232 Estratosfera, 353 Estrellas binarias, 389, 394 Estrellas de neutrones, 88, 293, 356, 394 Etanol, densidad, 424 Eustaquio, trompas de, 452 Exa, prefijo, 5 Excitados, estados, 359 Experimentación, 2 Exponente, 10 Factores de conversión, 6–7 Femto, prefijo, 5 Fermi, Enrico, 12 Fermi National Accelerator Laboratory, 51 Fermiones, 352 Fibras de carbono, 412 Filosofía natural, 2 Física, naturaleza de la, 2–3 Física clásica, 2 Física moderna, 3 Física nuclear, fisión, 229 fusión, 229, 230 Fisión, 229 Fluidos, 423–456 densidad de, 424–425 ecuación de Bernoulli, 440–445 efecto Venturi, 442–445 en movimiento, 438–447 flujo estacionario, 439 flujo laminar, 446–447 fuerza ascensional, 432–438 ideal, 440 ley de Torricelli, 441–442 presión en, 425–431 principio de Arquímedes, 432–438 Flujo. Véase también Bernoulli, ecuación de; Fluidos estado estacionario, 439 laminar, 446–447 línea de corriente, 440 resistencia al, 445–447 sanguíneo, 439, 445–446, 447 turbulento, 438–439, 447 viscoso, 445–447 Flujo de corriente, 440 Flujo de masa, 439 Flujo estacionario, 439 Flujo laminar, 446–447 Flujo sanguíneo, 439, 447 resistencia al, 445–446 Flujo turbulento, 438–439, 447 Flujo viscoso, 445–447 Focos de la elipse, 364 Forma fuerte de la tercera ley de Newton, 358 Fotones, 232, 352, 359 intercambio de, 95 Frecuencia(s), 232 Frenado antibloqueo (ABS), 138–139 Frenos, antibloqueo, 138–139

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Fuerza(s), 14, 309 acción a distancia, 95, 96 ascensional, 432–438 densidad y, 432–433 neutra, 453 central, 371 centrípeta, 142 combinación, 96 conservativa, 203–204, 209, 469 de acción a distancia, 95, 96 de arrastre, 139–141, 438, 448 de atracción molecular, 102 de cizalladura, 411 de contacto, 101–104 cuerdas, 103–104 definición, 95 ley de Hooke, 102 muelles, 102–103 sólidos, 101–102 de rozamiento, 102 definición, 95 dimensión, 8 eléctrica, 95 electromagnética, 95, 96 externa, 155 función energía potencial, 217–218 gravitatoria (peso), 95, 96, 99–101 impulsiva, 255–260 interacción débil, 95, 96 interacción nuclear fuerte (fuerza hadrónica), 95, 96 interna, 154–155 leyes de Newton del movimiento y, 95–96 línea de acción, 302 magnética, 95 media, 255–260 estimación, 256–257 impulso y, 256 medidas y, 158 momento lineal y, 248 neta, resultante, 96 no conservativa, 203–204, 219 normal, 101, 102 pares de, 405–406 posición y, 179 tensora, 409 unidad SI de, 96 unidades fundamentales, 5–6 viscosa, 445–447 Funciones energía potencial, 204–208 asociadas con fuerzas elásticas, 207–208 asociadas con fuerzas gravitatorias, 205–207 definición, 204–205 fuerza y, 217–218 Fusión nuclear, 229, 230 Galaxias, cúmulo de, 386 Galileo Galilei, 2, 3, 86, 92, 93, 94, 370 Galle, John, 394 Gas(es), compresibilidad de, 426 relación presión-altura, 430–431 Gasolina, densidad, 424 Geometría, y fórmulas de trigonometría, contracubierta trasera Georgia Tech Research Institute, 448

Giga, prefijo, 5 Giróscopo, 339–340 Glicerina, coeficiente de viscosidad de, 446 Gluones, 95 Goddard, Robert, 279 Goebel, Timothy, 356–357 Golf, bola, colisión, 247, 259–260 Golpe de kárate, 257 Grafito, 412 Gramo, 5 Granjas eólicas, 233 Grasa, corporal, 435–436 Gravedad, 43, 363–396 aceleración debida a, 71 centro de, 302–303, 398–399 específica, 424–425 leyes de Kepler y, 364–366, 370–373 momento debido a la, 302–303 variación de, 363 Gravedad específica, 424–425 Gravitación universal, constante, 367, 368 Gravitones, 95 Grecia antigua, 2 Grúas, 397 Grúas de construcción, 397 Guía de ondas, 51 Hadrones, 95 Hadrónica, fuerza (interacción nuclear fuerte), 95, 96 Heathrow International Airport, 193 Hecto, prefijo, 5 Heinlein, Robert, 392 Hemisferio oeste, mapa de gravedad, 363 Herschel, William, 394 Hidrógeno pesado (deuterio), 229 Hielo. Véase también Agua, densidad del, 424 Hieron II, rey, 432 Hierro, densidad del, 424 módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad del, 426 resistencia, 410 Hooke, ley de, 102, 409 para fuerzas de contacto, 102 para tensiones de torsión, 411 trabajo realizado por un muelle que obdece la ley de, 180–182 Hoover Dam, 237 Hormigón, resistencia, 410 Hubble, ley de, 57 Hubble, telescopio espacial de, 250, 331, 344–345 Huecos de Kirkwood, 390 Hueso, densidad del, 424 tensión del, 410 Hypersonic XLC, 114 Icarus (asteroide), 390 Igualdad, vectorial, 20 Impulso, 247, 248 de una colisión, 255–260 y fuerza media, 256 Impulso específico, 286 Incertidumbre experimental, 8

Inercia, 94 ley de, 94–95 momento de. Véase Momento de inercia y masa, 96 Ingenieurbuero Stengel GmbH, 193 Ingravidez, 100, 369 Integración, 47–50 cálculo de la velocidad a partir de la aceleración, 47–48 cálculo del centro de masas, 153–154 problemas de condiciones iniciales, 48 Integración numérica, 147–149 Integral, definición, 48 indefinida, 49 tabla de, contracubierta trasera Intensidad luminosa, unidades en el SI, 4 Interacción electrodébil, 95 Interacción nuclear fuerte (fuerza hadrónica), 95, 96 Interacción o fuerza nuclear débil, 95, 96 Io (luna), 273 Iota Draconis, 390 Jefferts, Steve, 4 Joule (J), 174, 177 Joule, James, 2 Kelvin (K), 4 Kepler, Johannes, 93, 364–366, 367, 390 Kilo, prefijo, 5 Kilogramo (kg), 4, 96 Kilowatt-hora (kW·h), 187 Kirkwood, huecos de, 390 Korsunsky, Boris, 161 Ladrillo, densidad, 424 Lámina, 446 Láseres, 196 Latón, módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad, 426 tensión del, 410 Lentes gravitacionales, 386 Leptones, 51, 95 LeVerrier, Urbain, 394 Ley de la gravitación de Newton, 363, 367–373 definición, 367 masa gravitatoria e inercial, 370 naturaleza del inverso del cuadrado, 367–368, 371 leyes de Kepler y, 364, 371–372 medida de G, 369–370 Ley de las áreas iguales, 365, 371 Ley de Torricelli, 441–442 Leyes de Kepler, 364–366 deducción de, 370–373 segunda, 361 tercera, 25 Leyes del movimiento de Newton, 93–172 a lo largo de un un trayectoria curva, 141–146 aplicaciones a problemas con dos o más cuerpos, 111–114 centro de masas, 149–157 diagramas de cuerpo libre, 104–109

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Índice alfabético Leyes del movimiento de Newton (continuación) fuerza, 95–96 fuerzas de arrastre, 139–141 fuerzas de contacto, 101–104 masa, 5–6, 96–98, 309 primera ley (ley de inercia), 94–95 principio de Arquímedes, 432 rozamiento, 94, 128–139 segunda, 96, 97–99, 104–109, 155, 231, 248, 273, 301–309, 336–337, 339, 348–349 sistemas de referencia inerciales, 94–95 tercera, 109–111, 341, 358 Libra (lb), 97 Libra-fuerza, 5 Límite elástico, 409–410 Límite lineal de un medio, 409 Línea de acción de una fuerza, 302 Líneas de corriente, 438, 440, 442–445 perfil aerodinámico y, 443–444 presión a lo largo de, 444–445 Líquidos, compresibilidad de, 426 Litro (L), 11, 424 Longitud, como dimensión, 7 del día (LOD), 353 unidades en el SI, 4 Luna, atmósfera, 375 distancia a la, 6 velocidad de escape, 375 Luz, cuantización de, 3 curvada, 386 velocidad, 4, 56 Macdonald Observatory, 6 Madera, densidad, 424 Magnitud, cantidades con, 14. Véase también Vector(es) orden de, 12–13 Magnitudes físicas, 3. Véase también Medidas dimensiones de, 7–8 Manómetro, tubo abierto, 429 Mapa de la gravedad, 363 terrestre, 380–381 Máquina(s), potencia máxima, 198 Máquina de Atwood, 124, 239, 338–339 Máquinas simples, 197 Mareas, 95 Masa(s), 5–6, 96–98, 309 centro de. Véase Centro de masas, comparación, 98 de partículas atómicas, 228 de un objeto astronómico, 373 descripción cuantitativa de, 98 dimensiones, 7 energía y, 228–231 gravitatoria, 370 inercial, 370 en “ingravidez”, 460 peso frente a, 100 segunda ley de Newton y, 97 sistemas de masa variable, 273–276 unidades en el SI, 4, 96

Matemáticas, fórmulas, contracubierta trasera Materia oscura, 386 Maxwell, James Clerk, 2 Mecánica, definición, 27 Mecánica cuántica, 3 Mecánica newtoniana (no relativista), 231 Mecánica ondulatoria, 3 Medida del tiempo, 21 Medidas, 3–14 cifras significativas, 8–11 dimensiones de magnitudes físicas, 7–8 fuerzas y, 158 incertidumbre en, 8 notación científica y, 9–11 orden de magnitud, 12–13 unidades de, 3–7 Medidor de presión, 429 Medio, límite proporcional de, 409 Meekhof, Dawn, 4 Mega, prefijo, 5 Megabyte (MB), 24 Mercurio (elemento), densidad del, 424 módulo de compresibilidad del, 426 Método de Euler, 147–149 Método del paralelogramo, 16 Métodos de transporte de equipaje, 193 Metro (m), 4 Micro, prefijo, 5 Microlentes, 386 Microondas, tecnología, 51 Microscopio de barrido por efecto túnel (STM), 24 Mili, prefijo, 5 Milibar, 430 Mimas (luna), 390 Misión Grace, 363 Módulo de cizalladura (módulo de torsión), 411 Módulo de compresibilidad, 426 Módulo de la velocidad, angular, 290, 340 condición de no deslizamiento, 310 de acercamiento, 265, 267 de escape, 374–375 de la luz, 4, 56 de recesión, 267 de separación, 265 dimensiones, 7, 8 energía cinética y, 177 instantánea, 32–35 media, 29–32 terminal, 56, 140–141 Módulo de la velocidad angular, 290 Módulo de la velocidad instantánea, 32–35 Módulo de torsión (módulo tangencial), 411 Módulo de Young, 409–410 para nanotubos, 412 Módulo elástico, 410 Mol, 4 Molécula de metano, 322 Moléculas, análisis con ultracentrifugadoras analíticas, 316 colisiones elásticas entre, 264 digrama de niveles de energía, 351

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emisión de cuantos de luz, 359 en líquidos, 424 estados energéticos, 359–360 velocidad de escape de, 375 Moléculas diatómicas, 231–232 Molino de viento, 233 Momento, 309. Véase también Momento angular; Momento lineal Momento angular, 248, 309, 331–362 atmosférico, 353 conservación. Véase Conservación del momento angular cuantización, 350–352 de espín, 337, 349–350 de una partícula, 352 de sistemas ligados, 350 de un sistema de partículas, 335–338, 349–350 de una partícula, 334–335, 337–338, 348, 351 definición, 334–335 del giroscopio, 339–340 ecuación impulso angular–momento angular, 337 momento y, 334–340 orbital, 337, 349–350, 351–352 respecto a un eje, 337–338, 350 respecto del origen, 336 segunda ley de Newton, 336–337, 348–349 unidad fundamental, 351 Momento de fuerza, 301–303 cálculo, 302 como producto vectorial, 332 de un giroscopio, 339–340 de un par de fuerzas, 405 debido a la gravedad, 302–303 dirección de, 332 expresiones equivalentees de, 302 momento angular y, 334–340 potencia, 308 respecto a un eje, 337, 350 respecto a un punto, 337 tercera ley de Newton y, 341 trabajo realizado por, 307–308 Momento de inercia, 293–300, 309 cálculo, 294–300 de cuerpos homogéneos con diferentes formas, 295–296 de un sistema discreto de partículas, 293–294 definición, 293 estimación, 294 para cuerpos continuos, 294–296 teorema de los ejes paralelos, 297–300 Momento lineal, 198, 247–288. Véase también Colisiones como magnitud vectorial, 248 conservación de. Véase Conservación del momento lineal de un sistema, 248–249, 271, 288 definición, 248 fuerza y, 248 unidades en el SI, 248 Montacargas, 198 Montañas rusas, 114, 193 Motores de detonación por pulsos, 277 Motores de inducción lineal (LIMs), 193

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Movimiento. Véase también Leyes del movimiento de Newton; Rotación de un electrón, 42 del centro de masas, 154–157 fluidos en, 438–447 leyes de, 2 lineal, 308–309 planetario, 364–366 rectilíneo, 179–182 Movimiento a lo largo de una trayectoria curva, 141–146 curvas peraltadas y no peraltadas, 144–146 fuerza centrípeta, 142 teorema trabajo-energía cinética para, 188–189 Movimiento circular, 78–81 periodo, 80 tangencial, 81 Movimiento circular uniforme, 79–81 Movimiento de proyectiles, 71–78 alcance horizontal, 72, 75–77 altura, 376 en forma vectorial, 77–78 independencia de las componentes vertical y horizontal del, 71–72 módulo de la velocidad, 377 Movimiento en dos y tres dimensiones, 63–92 movimiento circular. Véase Movimiento circular movimiento de proyectiles. Véase Movimiento de proyectiles vectores aceleración, 68–71 vectores posición y desplazamiento, 64 vectores velocidad, 64–66 velocidad relativa, 66–67 Movimiento en una dimensión, 27–62 aceleración, 35–47 desplazamiento, 14, 17, 27, 28–29, 291, 309 integración para obtener las ecuaciones del, 47–50 posición, 28–29 velocidad instantánea y módulo de la velocidad instantánea, 32–35 velocidad media y módulo de la velocidad media, 29–32, 39–40, 50, 64 Movimiento en zigzag, 63 Movimiento lineal, movimiento de rotación y, 308–309 Muelle (elástico) energía potencial, 202–203, 207–208 Muelle (fuerza) constante elástica o recuperadora (k), 102 Muelle(s), 102–103 trabajo hecho por, 180–182 Multiplicación, cifras significativas de, 9 vectores, escalar, 17, 20 Muones, 95 Nano, prefijo, 5 Nanotubos de carbono, 412 National Institute of Standards y Technology (NIST), 4 National Physical Laboratory, 21 Neptuno, 394–395

Neutrinos, 51 Neutrones, 51, 95, 352 colisiones elásticas con núcleos y, 266 energía cinética de, 287–288 energía en reposo, 228 Newton (N), 96 Newton, Isaac, 2, 3, 93, 94, 96, 162, 248, 367, 370 Niveles de energía, rotacional, 351–352 Notación científica, 9–11 Nuclear fuerte, interacción (hadrónica), 95, 96 Núcleo (s), colisión elástica con un neutrón y, 266 Número cuántico, 232 Número de Avogadro, 11 Número de Reynolds, 447 Nutación, 340 O’Neill, Gerard, 171 Objetos macizos de halo compacto, 386 Oficina Internacional de Pesos y Medidas, 4, 21 Ojo de Londres, 289 Orbital, momento angular, 337, 349–350 Órbitas, clasificación por energía, 375–378 planetaria, 364–366 Orden de magnitud, 12–13 Oro, densidad del, 424 Oscilaciones, 232 Osmio, densidad del, 424 Óxido de deuterio (agua pesada), 229 Palanca, 415 Par 3LN, 110 Paradoja hidrostática, 429 Parámetro de impacto, 269 Pares de fuerzas, 405–406 Parsec, 26 Partícula(s), 190 de espín un medio, 352 definición, 28 detectores de, 51 fuerza de atracción entre, 367–368 ligada, 350 momento angular de, 334–335, 337–338, 348, 351 posición en función del tiempo, 33–34 puntos fuente, 378 teorema impulso-momento lineal, 256 Partícula inducida en emisión de Rayos X (PIEX), 51 Partículas alfa, 352 energía en reposo, 228 Partículas atómicas, masas de, 228 Partículas de espín un medio, 352 Pascal (Pa), 426 Pascal, Blaise, 428, 453 Patrón climático El Niño, 353 Pendiente, 30 velocidad y, 33 Péndulo balístico, 262, 347 Peralte, ángulo de, 144 Percusión, centro de, 323 Perfil aerodinámico, 443–444, 448 Perihelio, 364, 365

Periodo, 80, 232 de un planeta, 364, 365 Peso, 95, 96, 99–101 aparente, 100, 432, 433 masa frente a, 100 Peta, prefijo, 5 Pico, prefijo, 5 Pico de potencia, 198 Pie, 5 Pie-libra, 174, 177, 187 Pie-libra por segundo, 187 Pioneer 10, 116 Planck, constante de, 232, 351 Planck, Max, 232n Planeta(s), atmósfera de, 375 fuera del sistema solar, 390 leyes del movimiento de Kepler para, 364–366 radio orbital y periodos orbitales, 364 velocidad de escape de, 375 Planetario, 364 Plomo, densidad del, 424 módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad del, 426 resistencia, 410 Poise, 446 Poiseuille, Jean, 446 Polipasto, 420 Posición, centro de masas, 150–152 fuerza y, 179 método de aproximación de Euler, 147–149 Positrón, 51, 228 energía en reposo, 228 Potencia, 307–309 de un momento de fuerza, 308 definición, 186 dimensiones, 8 trabajo y, 186–188 unidades en el SI, 186 Precesión, 340 de los equinoccios, 362 Prefijos, contracubierta delantera, 5 Prensa hidráulica, 428–429 Presión(es), a lo largo de líneas de corriente, 444–445 altitud (o profundidad) y, 430–431 atmosférica, 430 definición, 425 del aire, 443–445 dimensiones de la, 8 en fluidos, 425–431 flujo viscoso y, 445 medida de, 429–430 paradoja hidrostática, 429 profundidad y, 426–428 sanguínea, 430 unidades de, 426 Principia (Newton), 248 Principio de Arquímedes, 432–438 Principio de equivalencia, 391 Principio de Pascal, 428 Problema de condiciones iniciales, 48 Problemas de Fermi, 12

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Índice alfabético Producto escalar, 182–188 definición, 182 derivada, 186 notación, 184–186 producto vectorial y, 334 propiedades de, 182 Producto vectorial, 332–334 definición, 332 producto escalar y, 334 Profundidad, presión y, 430–431 Propiedad asociativa de la suma de vectores, 16 Propiedad conmutativa para la suma de vectores, 16 Propulsión de cohetes, 273–277 con motores de detonación por pulsos, 277 impulso específico, 286 Protón(es), 51, 95, 352 energía en reposo del, 228 Protuberancia de marea oceánica, 395–396 Próxima Centauro, 56 Proyectil, alcance horizontal, 72, 75–77 Pulgadas de mercurio (inHg), 430 Púlsar, 88, 356 Púlsar del Cangrejo, 88, 293 Puntos fuente, 378 Quarks, 51, 95 Quasar, 386 Radiación, 219 tratamiento del cáncer, 51 Radiación de fondo de 2, 7 K Radiación electromagnética/ondas, 228, 232n Radiactividad, desintegración beta, 228 Radio de Schwarzschild, 394 Radio orbital medio, 365 Radioisótopos, 51 Ragone, Carlos, 56 Rayos X, 2 Reacciones nucleares, 229 Reacciones químicas, 219 Recesión, velocidad de, 267 Reconstrucción de un accidente, 158 Regla de Galileo de los números extraños, 59 Regla de la mano derecha para determinar la dirección, 332 Relación trabajo del centro de masas–energía cinética de traslación, 190 Relatividad, mecánica no relativista (Newtoniana) y, 231 Relatividad especial, 3, 228 Relatividad general, 386 Religión, 1 Relojes, de agua, 3 de cesio, 4, 21 Rendimiento, de una turbina de viento, 233 Resistencia(s), 445–447 Resistencia a la compresión, 410 Resistencia a la tracción, 410, 412 Resonancia orbital, 390 Resta, cifras significativas de, 9 de vectores, 15–17, 20 Resultante (suma vectorial), 15

Retroceso, ángulo de, 270 Ritmo metabólico, 237 Rodadura, 310–315 centro de masas y, 312–313 con deslizamiento, 314–315 sin deslizamiento, 310–314 Röntgen, Wilhelm, 2 Rotación, 289–362 con aceleración angular constante, 291 de un sistema de partículas, 293 energía cinética de, 292–293, 309, 310–311 momento de inercia, 293–300, 309 movimiento lineal y, 308–309 naturaleza vectorial de, 332–334 rodadura, 310–315 segunda ley de Newton para, 301–309, 312, 339 ultracentrifugadoras, 316 velocidad angular y aceleración, 290–291 Rozamiento, 94, 128–139 coches, frenos antibloqueo, 138–139 coeficiente de, 129, 130, 131, 132 de rodadura, 130, 131 teorema energía-trabajo con, 222 Rozamiento cinético, 129–130, 131, 138, 219, 221–225 coeficiente de, 129 energía disipada por, 222 Rozamiento dinámico, 130, 131 coeficiente de, 130 Rozamiento estático, 129, 131, 138 coeficiente de, 129, 131 Rueda de Falkirk, 423 Rutherford, Ernest, 352 Sangre, coeficiente de viscosidad de, 446 ley de Poiseuille y, 447 Satélites, energía de, 377–378 geosíncronos, 392 Schwartzkopf, Anton, 114 Sedimentación, 316 equilibrio, 316 Segundo, 4, 5 Semieje mayor, 364, 365 Semieje menor, 364 Servicio Internacional de Sistemas de referencia y de la Rotación de la Tierra, 21 Sifón, 455 Símbolos matemáticos, contracubierta delantera Simetría, centro de, 150 Sistema(s), centro de masas de, 149–150, 154–155 de masa variable, 273–276 energía cinética de, 254–255, 297–298 energía en reposo de un, 228 energía mecánica de un, 254 energía total de un, 209 estabilidad de, 408 ligado, 229, 231–232, 350, 376 microscópico, 232 momento angular de un, 335–338, 349–350 momento de inercia de un, 293–294 momento lineal de un, 248–249, 271, 288

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no ligado, 376 rotación de un, 293 segunda ley de Newton, 155, 273 teorema impulso–momento lineal, 256 teorema trabajo-energía para un, 209 trabajo realizado sobre un, 175, 202, 209 Sistema(s) de referencia, 66 acelerado, 406–407 centro de masas, 190, 271–273 inercial, 94–95 laboratorio, 271 segunda ley de Newton para la rotación, 312 Sistema CGS, 5 Sistema de coordenadas, 15 dextrógiro, 333 Sistema de coordenadas de la mano derecha, 333 Sistema de Posicionamento Global (GPS), 21, 82 Sistema de referencia acelerado, 406–407 Sistema de referencia del centro de masas, 190, 271–273 Sistema de referencia del laboratorio, 271 Sistema de referencia inercial, leyes del movimiento de Newton, 94–95 Sistema de unidades de los USA, 5–6, 100 de energía, 187 de fuerza, 187 de potencia, 187 de presión, 426 de trabajo, 174 Sistema DORIS, 353 Sistema Internacional de unidades. Véase Sistema SI; Unidades en el SI Sistema no ligado, 376 Sistema SI, 3–5 prefijos en, 5 Sistema solar, 364–366 formación del, 390 fuera de los planetas, 390 Sistemas ligados, 229, 350, 376 cuantización de la energía en, 232 energía interna de, 231–232 Sol, atracción de la Tierra al, 96 Sólido(s), compresibilidad de, 426 fuerza de contacto entre, 101–102 Sonar, 57 Spoilers, 448 Steinert, Darryl, 320 Stevin, Simon, 370 Suma, de vectores, 15–17, 20 dígitos significativos en la, 9 Supernova, 356 Superposición, principio de, 96 Superposición, principio de, Sustancia, unidades en el SI, 4 Sustentación, 448 Svedberg, Theodor, 316 Temperatura, densidad y, 424 unidades en el SI, 4

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Índice alfabético

Tensión, 104, 111–112 de cizalladura, 411 por compresión, 410 por tracción, 409–410 Teorema de los ejes paralelos, 297–300 aplicación, 297 demostración, 297–298 Teorema fundamental del cálculo, 48 Teorema impulso–momento lineal, 248, 256 Teorema trabajo-energía, 220–221 con rozamiento, 222–225 para sistemas, 209 Teorema trabajo-energía cinética, 176–179, 202, 220 fuerza neta y, 177 para trayectorias curvas, 182, 188–189 Tera, prefijo, 5 Término cruzado, 183 Termodinámica, 2. Véase también Calor Tiempo, 5 como dimensión, 7 unidades en el SI, 4 Tiempo universal (UT1), 21 Tiempo Universal Coordinado (TUC), 21 Tierra, atracción por el Sol, 96 campo gravitatorio, 100, 378 densidad de, 424 fuerza gravitatoria ejercida, 374 mapa gravitatorio, 380–381 velocidad de rotación, 4 Tolerancia, 25 Torr, 430 Torricelli, Evangelista, 430 Trabajo, 173–200 de un momento de fuerza, 307–308 de un muelle que obedece la ley de Hooke, 180–182 de una fuerza constante, 174–179 definición, 174, 184 del centro de masas, 190–192 realizado por una fuerza, 190 en un montaña rusa, 193 incremental, 184 potencia y, 186–188 producto escalar, 182–188 realizado por una fuerza variable, 179–182 sobre sistemas, 175, 202, 209 sobre una partícula, 202 total, 175, 176–177, 209 unidades en el SI, 174 Transferencia de calor, radiación, 219, 228, 232n Transferencia orbital de Hohmann, 390 Trigonometría, y fórmulas geométricas, contracubierta trasera Trineo de arrastre, 158 Tritón, 228, 229

Troposfera, 353 Tubo de Pitot, 454 Túnel de viento, 448 Tungsteno (Wolframio), módulo de cizalladura, 411 módulo de compresibilidad, 426 Turbinas eólicas, 233 Ultracentrifugadora, 316 Ultracentrifugadora analítica, 316 Umbral antibloqueo, 138 Umbral de bloqueo, 138 Unidad(es) en el SI, de aceleración, 35 de aceleración angular, 291 de fuerza, 96 de impulso, 255 de masa, 96 de momento lineal, 248 de potencia, 186 de presión, 426 de trabajo, 174 de velocidad, 30 de velocidad angular, 290 de viscosidad, 446 factores de conversión, contracubierta delantera Unidad Astronómica (UA), 26, 364 Unidad de masa atómica (u), 96 Unidad fundamental del momento angular, 351 Unidades de medidas, 3–7 conversión de, 6–7 otros sistemas, 5–6 sistema internacional (SI), 3–5 Universo, por órdenes de magnitud, 12 radiación de cuerpo negro de 2, 7-K Uranio–236, 229 Urano, 394–395 Valores exactos, 9 Vector(s), 14–21 aceleración, 37, 68–71 componentes tangencial y centrípeta de, 79 para el movimiento en dos y tres dimensiones, 68–71 aceleración instantánea, 68 aceleración media, 68 antiparalelos, 15 componentes de, 17–19 constante, 69 de viento, 353 definiciones básicas, 14–15 desplazamiento, 14–15, 64 para el movimiento en dos y tres dimensiones, 64

en navegadores GPS, 82 igualdad, 20 iguales, 15 multiplicado por un escalar, 17, 20 negativo de, 20 paralelos, 15 posición, 64 propiedad asociativa de la suma, 16 propiedades de, 20 suma y resta de, 15–17, 20 unitario, 20 velocidad, 14, 64–66 para el movimiento en dos y tres dimensiones, 64–66 velocidad instantánea, 64–65 velocidad media, 64 velocidad relativa, 67 segunda ley de la termodinámica y, 634–637 Vejiga natatoria, 456 Velocidad, 3, 27, 309 a partir de una aceleración dada, 47–48 angular, 290–291, 309, 332 módulo, 290 angular, 290–291, 309, 332 como función del tiempo, 36–37 conservación del momento lineal, 249 cuadrática media, 576 de aproximación, 265 de escape, 374–375 de sedimentación, 316 de separación, 265 definición, 30 del centro de masas, 154 dimensiones de, 30 en colisiones elásticas, 265 instantánea, 32–35 límite, 56, 140–141 más probable, 582 media, 29–32, 39–40, 50, 64 definición, 30 definición alternativa de, 50 interpretación geométrica, 30 método aproximado de Euler, 147–149 relativa, 66–67 representación esquemática, 635 tangencial, 292, 305 unidades en el SI, 30 Ventaja mecánica, 197, 415 Venturímetro, 443 Vidrio, densidad del, 424 Viscosidad, 440 unidades en el SI, 446 Volt (V), electronvolt (eV), 174–175, 177 Volumen, dimensiones del, 8 Watt, 186

Contraportadas

31/5/10

18:58

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Constantes físicas* Constante de masa atómica

mu  121 m(12C)

1 u  1,66053886(28)  1027 kg

Número de Avogadro

NA

6,0221415(10)  1023 partículas/mol

Constante de Boltzmann

k  R>NA

1,3806505(24)  1023 J/K 8,617343(15)  105 eV/K

Magnetón de Bohr

mB  eU/(2me)

9,27400949(80)  1024 J/T  5,788381804(39)  105 eV/T

Constante de Coulomb

k  1/(4pP0)

8,987551788 . . .  109 N # m2/C2

Longitud de onda Compton

lC  h/(mec)

2,426310238(16)  1012 m

Carga fundamental

e

1,60217653(14)  1019 C

Constante de los gases

R

8,314472(15) J/(mol # K)  1,9872065(36) cal/(mol # K)  8,205746(15)  102 atm · L/(mol # K)

Constante de la gravitación

G

6,6742(10)  1011 N # m2/kg2

Masa del electrón

me

9,1093826(16)  1031 kg  0,510998918(44) MeV/c 2

Masa del protón

mp

1,67262171(29)  1027 kg  938,272029(80) MeV/c 2

Masa del neutrón

mn

1,67492728(29)  1027 kg  939,565360(81) MeV/c 2

Constante magnética (permitividad del espacio libre) m 0

4p  107 N/A2

Constante eléctrica (permeabilidad del espacio libre) P0

 1/(m0 c 2)  8,854187817 . . .  1012 C2/(N # m2)

Constante de Planck

6,6260693(11)  1034 J # s  4,13566743(35)  1015 eV # s 1,05457168(18)  1034 J # s  6,58211915(56)  1016 eV # s

h U  h/(2p)

Velocidad de la luz

c

2,99792458  108 m/s

Constante de Stefan-Boltzmann

s

5,670400(40)  108 W/(m2 # K4)

* Los valores de estas y otras constantes pueden obtenerse en el Apéndice B y en la dirección de Internet http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html. Los números entre paréntesis representan los errores en las dos últimas cifras. (Por ejemplo, 2,04443(13) significa 2,04443  0,00013.) Los valores sin números entre paréntesis son exactos incluyendo aquellos con puntos suspensivos (como el valor de p que es exactamente 3,1415…).

Derivadas e integrales definidas d sen ax  a cos ax dx






d cos ax  a sen ax dx











eax dx 

0 2

eax dx 

0

d ax e  ae ax dx

2

1 a

0













2

x2 eax dx 

0

1 p 2 Aa

xeax dx 


2 a

2

x3 eax dx 

0

0

2

x4eax dx 

1 p 4 A a3

En las seis integrales la a es una constante positiva.

4 a2 3 p 8 A a5

Productos vectoriales S

S

A # B  AB cos u

S

S

A  B  AB sen u nˆ (nˆ obtenida usando la regla de la mano derecha)

Física para la Ciencia y la Tecnología, dada su impecable claridad y precisión, se ha constituido en una referencia obligada de los cursos universitarios de Física de casi todo el mundo. Para realizar esta 6ª edición, Paul A. Tipler y Gene Mosca hicieron una revisión exhaustiva y escrupulosa de todos los contenidos de la edición con el objeto de lograr un manual aún más didáctico y de incorporar los nuevos conceptos de la Física en que se sustentan los recientes avances de la tecnología. Para facilitar la comprensión de los conceptos físicos descritos, esta edición incorpora una gran variedad de herramientas y recursos pedagógicos nuevos. Entre ellos cabe destacar la novedosa estrategia en la resolución de problemas; los temas de actualidad en física que ayudan a los estudiantes a relacionar lo que aprenden con las tecnologías del mundo real; la inclusión a lo largo de todo el texto de nuevos ejemplos conceptuales; y la mejora del apéndice de matemáticas, ahora mucho más completo e integrado con el texto. Esta nueva edición incorpora una serie de materiales de apoyo, dirigidos tanto a los alumnos como a los profesores que basen sus cursos de física general en este manual.