Experimentelle Systemanalyse [Reprint 2021 ed.] 9783112546321, 9783112546314

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HORST STROBEL

EXPERIMENTELLE SYSTEMANALYSE

ELEKTRONISCHES RECHNEN UND REGELN Herausgegeben von

Prof. Dr. HANS FRÜHAUF Prof. DR. WILHELM KÄMMERER Prof. Dr. KURT SCHRÖDER • Prof. Dr. HELMUT THIELE Prof. Dr. HORST YÖLZ

Band 8

EXPERIMENTELLE SYSTEMANALYSE von

Prof. Dr. sc. techn. HORST STROBEL

AKADEMIE-VERLAG 1975

•

BERLIN

EXPERIMENTELLE SYSTEMANALYSE

von

Prof. Dr. sc. techn. HORST STROBEL Dresden

Mit 184 Abbildungen und 10 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG 19 7 5

BERLIN

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3—4 © Akademie-Verlag, Berlin, 1975 Lizenznummer: 202- 100/410/75 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 761 922 2 (6185) . LSV 1074 Printed in GDR EVP 84, -

VORWORT

In vielen Fällen steht der Naturwissenschaftler oder der Ingenieur vor der Aufgabe, für ein vorgegebenes System eine geeignete Beschreibung zu finden, d. h., er muß ein mathematisches Modell ermitteln, das interessierende Eigenschaften des realen Objektes genügend genau widerspiegelt. Gesucht werden also z. B. die Parameter von Differential- oder Differenzengleichungen und diskrete Werte von Gewichtsfunktionen und Frequenzgängen. Dabei kann es sich bei dem zu analysierenden System sowohl um ein Gerät, eine Maschine oder eine industrielle Anlage als auch um einen betrieblichen Ablauf, einen ökonomischen Prozeß bzw. um ein biologisches Objekt handeln. Mit Problemen der Modellbildung hat es demzufolge nicht nur der Regelungstechniker oder der Nachrichteningenieur, sondern auch der Verkehrsingenieur, der Verfahrenstechniker, der Elektromaschinenbauer, der Fachmann der Ökonometrie und der Spezialist der biomedizinischen Kybernetik zu tun. Seit den grundlegenden Arbeiten von WIENER und ROSENBLUETH (vgl. WIENER, 1948) wird denn auch die

Modellbildung als eiile für die Kybernetik charakteristische Aufgabe angesehen. Sie läßt sich für ausgewählte Systeme, z. B. für lineare elektrische Netzwerke (vgl. WUNSCH, 1969), rationell auf theoretischem Wege unter Verwendung der geltenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten lösen. Bei anderen Systemen, z. B. bei chemischen Anlagen, biologischen Objekten oder Verkehrsprozessen, ist eine theoretische Analyse nicht oder nicht mit ausreichender Genauigkeit durchführbar. Man versucht deshalb, das mathematische Modell mit experimentellen Methoden, d. h. durch Beobachtung bzw. Messung und Auswertung der Einund Ausgangssignale des Systems, zu ermitteln. Zur Lösung der hierbei auftretenden Probleme wurden größere Anstrengungen erst seit Beginn der sechziger Jahre unternommen, nachdem sich gezeigt hatte, daß eine Anwendung des hochentwickelten Instrumentariums der Regelungstheorie in vielen Fällen an unzureichenden Kenntnissen über das Verhalten der zu regelnden Prozesse scheiterte. Das spiegelt sich deutlich in einem raschen Anstieg der Zahl einschlägiger Veröffentlichungen in den Jahren 1962 —1966 wider (vgl. Abb. 10.4-1 im Kapitel 10). Diese Bemühungen führten zum Entstehen eines neuen Fachgebietes, das in der deutschsprachigen Literatur unter dem Namen „KennWertermittlung" bekannt wurde und jetzt allgemein mit den Begriffen „Experimentelle Systemanalyse" oder „Systemidentifikation" gekennzeichnet wird. Seine Bedeutung kommt u. a. darin zum Ausdruck, daß der „Internationale Verband für Regelungstechnik" (IFAC) bereits drei Spezial-

VI

Vorwort

symposien unter der Bezeichnung „ I d e n t i f i c a t i o n " durchgeführt hat und dieser P r o b l e m a t i k auf seinen Weltkongressen und übrigen Symposien einen breiten R a u m zumißt (vgl. /—1/ bis /—II/ im A b s c h n i t t 10.2). T r o t z dieser Bemühungen ist festzustellen, daß das Gebiet der Systemidentifikation gegenwärtig noch gekennzeichnet wird durch eine außerordentlich große Mannigfaltigkeit verschiedenster Methoden, die mehr das B i l d einer zusammenhanglosen Sammlung von Einzelideen und Techniken als einer einheitlichen Methodologie oder Theorie vermittelt. D a s spiegelt sich deutlich in den mehr als 800 Publikationen wider, die in der dieser Arbeit beigefügten Bibliographie zusammengestellt worden sind. Dabei haben die meisten Methoden aus der Sicht spezieller Bewertungskriterien und der sehr unterschiedlichen Anwendungsfälle durchaus ihre Berechtigung und praktische Bedeutung. Andererseits entstehen aber — auf Grund der T a t s a c h e , daß die L i t e r a t u r nicht mehr überschaubar ist — immer wieder sogenannte „neue V e r f a h r e n " , die oft in Wirklichkeit lediglich Modifikationen längst b e k a n n t e r Methoden darstellen. D a m i t steht der Anwender von Identifikationsmethoden vor der schwierigen Aufgabe, aus dem in verwirrender Vielfalt vorliegenden Material eine für seine P r o b l e m a t i k geeignete Auswahl zu treffen. Dies wird ihm noch dadurch erschwert, daß zahlreiche Autoren die Anwendungsgrenzen ihrer Methoden nicht ausreichend genau kennzeichnen und zusammenfassende Darstellungen — vor allem im deutschsprachigen S c h r i f t t u m — nur für Teilgebiete existieren. Der Versuch einer solchen Auswahl endet denn auch nach vorliegenden Erfahrungen in vielen F ä l l e n damit, daß Methoden herangezogen werden, deren U n b r a u c h b a r k e i t an anderer Stelle bereits schlüssig bewiesen wurde, oder daß die wirklich geeigneten Verfahren nicht auffindbar sind, da sie in schwer zugänglichen Periódica veröffentlicht wurden. Dieser unbefriedigende U m s t a n d wirkt sich nicht nur ungünstig auf die Anwendung der Methoden, sondern auch hemmend auf die Forschung und die Gestaltung der Hochschulausbildung aus. E s muß deshalb als eine vorrangige Aufgabe angesehen werden, eine systematisierte Darstellung der wesentlichen Prinzipien für eine Systemidentifikation zu schaffen, die eine leichte Überschaubarkeit des Gesamtgebietes gewährleistet. I n der vorliegenden Arbeit wird aus diesem Grunde — nach K e n n t n i s des Autors im deutschsprachigen Schrifttum erstmalig — der Versuch unternommen, zur Schaffung einer solchen einheitlichen Darstellung des Gebietes der Systemidentifikation und damit von Grundzügen einer allgemeinen „Theorie der S y s t e m i d e n t i f i k a t i o n " beizutragen. Diesem Ziel ist der Teil I „Allgemeine theoretische Grundlagen" ( K a p i t e l 2 bis 4) gewidmet, der sich auch darum bemüht, die Querverbindungen und Verwandtschaften zwischen b e k a n n t e n Verfahren und den neueren, bisher in der Ingenieurpraxis nicht oder nur ungenügend berücksichtigten Methoden, sichtb a r zu machen. D u r c h eine sachbezogene Gliederung des sehr umfangreichen S c h r i f t t u m s im Teil I I I „ B i b l i o g r a p h i e " sollen eine bessere Überschaubarkeit der L i t e r a t u r ermöglicht und günstigere Voraussetzungen für weitergehende

Vorwort

VII

Detailuntersuchungen geschaffen werden. E i n zweites Grundanliegen dieser Arbeit betrifft die Aufbereitung der allgemeinen theoretischen Grundlagen f ü r eine praktische Anwendung. Hierauf wird im Teil I I „Ausgewählte Anwendung e n " eingegangen. Behandelt wird dabei — die E r m i t t l u n g diskreter Frequenzgangwerte mit Hilfe aperiodischer u n d periodischer (optimaler) Test- u n d Antwortsignale (Kapitel 5), — die Bestimmung der P a r a m e t e r von Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n aus gemessenen Sprungantworten (Kapitel 6), — die E r m i t t l u n g diskreter Werte der Gewichtsfunktion mit Hilfe pseudostochastischer Binärsignale (Kapitel 7), — die Bestimmung u n d Strukturvereinfachung von gebrochen rationalen Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n a n h a n d komplexer Frequenzgänge (Kapitel 8) u n d — die rationale Approximation realer F r e q u e n z f u n k t i o n e n (z. B. von gemessenen Leistungsdichtespektren, Kapitel 9). Sollte es mit der vorgelegten Arbeit gelingen, (1) das Gesamtgebiet der Experimentellen Systemanalyse sowohl bezüglich der sogenannten klassischen Methoden (Frequenzgang- u n d Ü b e r g a n g s f u n k tionsanalyse) als auch hinsichtlich der neueren Verfahren (Zustandsbeschreibung, Echtzeitidentifikation) Übersichtlicherund überschaubarer zu machen und (2) einige ausgewählte, f ü r die Ingenieurpraxis bedeutungsvoll erscheinende Methoden leichter u n d effektiver a n w e n d b a r zu gestalten, so h ä t t e sie die ihr zugedachte Aufgabe erfüllt. Einige der im Teil I I dieser Abhandlung angegebenen R e s u l t a t e e n t s t a n d e n in Zusammenarbeit und mit U n t e r s t ü t z u n g des Dresdner Bereiches „Technische K y b e r n e t i k " im „Zentralinstitut f ü r K y b e r n e t i k u n d Informationsprozesse" der Akademie der Wissenschaften der D D R . Der Verfasser b e t r a c h t e t es als eine angenehme Pflicht, sich f ü r diese U n t e r s t ü t z u n g vor allem bei H e r r n D r . sc. techn. H. H. W I L F E R T herzlich zu bedanken. Besonderen D a n k möchte der Autor seinem langjährigen Lehrer, Herrn Prof. Dr. Dr. e. h. H. KINDLEE, sagen, der die Arbeit durch zahlreiche Hinweise gefördert u n d die Herausgabe des Buches u n t e r s t ü t z t h a t . Den Herren Prof. Dr.-Ing. H. T Ö P F E R u n d Prof. Dr.Ing. habil. G . W U N S C H sei f ü r ihr Interesse an der Fertigstellung des Buches u n d f ü r eine Reihe wertvoller Ratschläge ebenfalls sehr herzlich g e d a n k t . D a n k gebührt auch Herrn Dr.-Ing. H. B. K U N T Z E f ü r die sorgfältige Durchsicht der K o r r e k t u r f a h n e n und H e r r n Dipl.-Ing. F E R E N C R O M A N f ü r die D u r c h f ü h r u n g einer Reihe wichtiger Detailuntersuchungen zu den K a p i t e l n 5 u n d 7. Schließlich möchte der Verfasser seine F r e u d e darüber zum Ausdruck bringen, daß der Akademie-Verlag das Manuskript sehr bereitwillig in sein P r o g r a m m aufgenommen u n d durch die Lektorin, F r a u Dipl. P h y s . LAGOWITZ, eine sehr verständnisvolle u n d k o n s t r u k t i v e Zusammenarbeit ermöglicht h a t . Dresden, November 1973

H.

STROBEL

INHALTSVEBZEICHNIS

Kapitel

1:

Bedeutung

1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. 1.5. 1.6.

System-, Signal- u n d Prozeßanalyse Die praktische B e d e u t u n g der experimentellen Systemanalyse . . . Modelle biologischer Prozesse Verhaltensmodelle f ü r den Regler „ M e n s c h " Modelle als Hilfsmittel f ü r K o n s t r u k t i o n u n d Qualitätskontrolle . . . Modelle f ü r betriebliche, ökonomische u n d ökologische Prozesse . . . Modelle f ü r den E n t w u r f automatischer Systeme Schlußfolgerungen Signalmodelle N i c h t p a r a m e t r i s c h e Modelle determinierter Signale Nichtparametrische Modelle stochastischer Signale Systemmodelle Ein-Ausgangs-Modelle Zustandsmodelle Prozeß(Signal-System-)Modelle Konzeption f ü r eine einheitliche Darstellung der experimentellen Systemanalyse Theorie u n d P r a x i s der experimentellen Systemanalyse

1.7.

und Gegenstand der experimentellen

Systemanalyse 1 3 4 5 7 7 9 13 14 14 16 19 20 36 42 44 47

Teil I — Allgemeine theoretische Grundlagen Kapitel

2:

Methoden

2.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3.

D a s verallgemeinerte Modell Klassifizierung der I d e n t i f i k a t i o n s m e t h o d e n Deterministische A p p r o x i m a t i o n s m e t h o d e n Interpolation A p p r o x i m a t i o n a b g e t a s t e t e r P u n k t i o n s w e r t e im q u a d r a t i s c h e n Mittel Approximation kontinuierlicher Z e i t f u n k t i o n e n im q u a d r a t i s c h e n Mittel

48 52 54 54 55

2.3.4.

A p p r o x i m a t i o n i m TsCHEBYSCHEFFschen S i n n e

64

2.3.5. 2.3.6. 2.3.7. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3.

Maximal geebnete A p p r o x i m a t i o n Empirische Methoden Zusammenfassende E i n s c h ä t z u n g Statistische P a r a m e t e r s c h ä t z v e r f a h r e n Aufgabenstellung Die Methode der kleinsten Q u a d r a t e (Regressionsanalyse) Die MABKOV-Schätzung

64 65 66 67 67 68 71

62

X

Inhaltsverzeichnis 2.4.4. 2.4.5. 2.4.6. 2.5. 2.5.1. 2.5.2. 2.6. 2.6.1. 2.6.2.

Kapitel

3:

3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.5. 3.6. 3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.8. 3.8.1. 3.8.2. 3.8.3. 3.8.4. Kapitel

4:

4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.2. 4.3. 4.4.

Die Maximum Likelihood Methode Zusammenfassende Einschätzung Analyse ungetasteter Antwortsignale Implizite Methoden f ü r kennwertnichtlineare Modelle Das Verfahren der Kennwertlinearisierung Extremumsuchverfahren Verfahren f ü r eine on-line Identifikation Digitale Methoden f ü r Prozeßrechner Analoge (Modellangleichungs-)Verfahren

72 74 76 78 78 81 84 84 103

Modelle

Aufgabenstellung Statische Modelle Eindimensionale Modelle Mehrdimensionale Modelle Nichtparametrische dynamische Ein-Ausgangs-Modelle Das nichtlineare (VoLTERKA-)Modell Das lineare Zeit(Gewichts-)funktionsmodell Lineare Frequenzgangmodelle Parametrische dynamische Ein-Ausgangs-Modelle Modelle kontinuierlich wirkender Systeme Modelle diskontinuierlich wirkender Systeme Prozeß(Signal-System-)Modelle Zustandsmodelle Die Zahl der zu ermittelnden Parameter E r m i t t l u n g von Zustandsmodellen durch Analyse der Ein- u n d Ausgangsignale Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit, Identifizierbarkeit Dynamische Modelle f ü r die zweite Verarbeitungsebene Ermittlung diskreter Frequenzgang werte aus der Gewichtsfunktion E r m i t t l u n g von Ubertragungsfunktionen aus der Gewichtsfunktion Ermittlung von Übertragungsfunktionen aus diskreten Freuenzgangwerten Zusammenfassung Gütebeurteilung von Modellen Problemstellung Gütebeurteilung a n h a n d der Übergangs- oder der Gewichtsfunktion . Gütebeurteilung anhand des Frequenzganges Gütebeurteilung a n h a n d parametrischer Modelle

109 110 110 111 112 112 113 121 131 132 137 141 142 143 145 149 155 155 156 160 163 164 164 165 173 182

Testsignale

Ausgewählte Grundlagen der optimalen Versuchsplanung 186 Optimierungskriterien 187 Statische und dynamische Versuchsplanung 188 Optimale Testsignale zur E r m i t t l u n g statischer Modelle 189 Klassifizierung von Testsignalen zur Ermittlung dynamischer Modelle 191 Stochastische Testsignale 193

XI

Inhaltsverzeichnis 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.6. 4.6.1. 4.6.2. 4.7. 4.8. 4.8.1. 4.8.2. 4.8.3. 4.8.4. 4.9. 4.9.1. 4.9.2. 4.9.3. 4.9.4.

Pseudostochastische Binärsignale (PBS) 195 Eigenschaften eines P B S 195 E n t w u r f eines P B S 199 Realisierung eines P B S 200 Aperiodische Testsignale 203 Zur Frage des günstigsten aperiodischen Testsignals 204 Allgemeine Grenzen bei der Analyse stochastisch gestörter Antwortfunktionen 206 Monofrequente (periodische) Testsignale 206 Multifrequente Binärsignale (MBS) 207 Verfahren von VAN DEN Bos 209 Numerisches Suchverfahren 212 Ein kombiniertes Verfahren 213 Vergleichende Untersuchung 215 Optimale Kombination multi- und monofrequenter Signale 218 Meßzeiten f ü r multi- und monofrequente Signale 219 Zweckmäßige Anwendungsbereiche 219 E r m i t t l u n g optimaler Testsignalkombinationen 221 Optimale Versuchsplanung 223

Teil II — Ausgewählte Anwendungen II A: Aufgaben der ersten Verarbeitungsebene Kapitel

5:

Ermittlung discher

5.1. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.3. 5.3.1.

Frequenzgangwerte

mit

Hilfe

aperiodischer

und

perio-

5.4.2. 5.4.3. 5.4.4.

Aufgabenstellung Frequenzgangermittlung anhand ungestörter Antwortsignale . . . . Analyse aperiodischer Test- u n d Antwortsignale Analyse periodischer Test- und Antwortsignale Analyse stochastisch gestörter Antwortsignale Fehlerabschätzung bei bekannten statistischen Eigenschaften des Störsignals Fehlerabschätzung bei unbekannten statistischen Eigenschaften des Störsignals Experimentelle Nachprüfung Kombinierte Anwendung aperiodischer und periodischer Testsignale (Optimale Versuchsplanung) Veranschaulichung der Notwendigkeit einer optimalen Versuchsplanung Prinzipieller Ablauf der optimalen Versuchsplanung Experimentelle Erprobung durch digitale Simulation Erprobung an einem industriellen Prozeß

6:

Ermittlung

5.3.2. 5.3.3. 5.4. 5.4.1.

Kapitel

diskreter Testsignale

von

6.1. 6.2.

von Übertragungsfunktionen

durch

226 226 226 241 247 248 255 256 265 265 270 272 276

Auswertung

Sprungantworten

Aufgabenstellung Maximal geebnete Approximation

289 290

Inhaltsverzeichnis

XII

Kapitel

6.2.1. 6.2.2. 6.3. 6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.4. 6.5.

Sukzessive Polkompensation Numerische und graphische Integration Approximation unter Verwendung empirischer Kennwerte Näherungsverfahren nach STBEJÖ Näherungsverfahren nach RADTKE Zeitprozentkennwertmethode nach SCHWARZE Interpolationsmethoden Zusammenfassung

7:

Ermittlung diskreter Gewichtsfunktionswerte pseudostochastischer Binärsignale

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.4.1. 7.4.2. 7.5. 7.6.

Aufgabenstellung Analoge Meßwertverarbeitung (Korrelationsanalyse) Digitale Meßwertverarbeitung (Regressionsanalyse) Experimentelle Erprobung Analyse ungestörter Antwortsignale Analyse stochastisch gestörter Antwortsignale Erweiterung auf mehrdimensionale Modelle Zum gegenwärtigen Stand bei der praktischen Anwendung

mit

290 293 296 296 298 301 301 302

Hilfe 304 304 306 307 308 309 310 313

II B: Aufgaben der zweiten Verarbeitungsebene Kapitel

8:

Ermittlung und Vereinfachung nichtparametrischer komplexer

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.4.1. 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4.

Aufgabenstellung Das vorgeschlagene Verfahren Anwendung auf einen industriellen Prozeß Anwendung zur Vereinfachung der Struktur parametrischer Modelle Motivation Das Approximationskriterium Vergleichende Untersuchungen Arbeitsblätter zur ingenieurmäßigen Bestimmung gebrochen rationaler Übertragungsfunktionen Zusammenfassung

8.5. Kapitel

parametrischer Modelle anhand Frequenzfunktionsmodelle

9:

Ermittlung parametrischer Modelle aus reellen Frequenzfunktionsmodellen

9.1. 9.1.1. 9.1.2. 9.2. 9.2.1. 9.2.2. 9.3. 9.4.

Aufgabenstellung Physikalisch realisierbare Approximationsfunktionen Das anzuwendende Identifikationsverfahren Anwendung der Kennwertlinearisierung Das vorgeschlagene Verfahren Experimentelle Erprobung Das Verfahren der direkten Suche Zusammenfassende Einschätzung

313 316 320 321 321 323 324 332 334

nichtparametrischen 335 335 338 338 338 341 348 350

Inhaltsverzeichnis

XIII

Teil III — Schrifttum Kapitel 10:

Bibliographie

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Vorbemerkung Wichtige u n d häufig zitierte Tagungsberichte Nach Sachgebieten geordnete Schrifttumsübersicht Chronologisch geordnete Schrifttumssammlung

Sachwortverzeichnis

402

Anlage: 1. Großformatige Abbildungen 2. Zum Abschnitt 8.4.4. A R B E I T S B L Ä T T E R zur ingenieurmäßigen Approximation der nichtrationalen U b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n W(p) = e x p { — pT),

funktionen.

355 355 356 364

W(p) = exp { — )JpT}

KAPITEL 1

B E D E U T U N G UND G E G E N S T A N D D E R EXPERIMENTELLEN SYSTEMANALYSE

1.1. System-, Signal- und Prozeßanalyse Behandelt wird in dieser Abhandlung die durch Abb. 1.1-1 veranschaulichte Aufgabenstellung: Gegeben sei ein reales Objekt (System), das mit seiner Umwelt über zeitabhängige Größen in Wechselbeziehung steht. Hierbei sollen die unabhängig veränderlichen Größen bzw. die Ursachen „Eingangssignale", die abhängigen Variablen bzw. die Wirkungen „Ausgangssignale" und die nicht beeinflußbaren Einwirkungen „Störsignale" genannt werden. Gesucht werden mathematische Zusammenhänge, die die Abhängigkeiten zwischen diesen „Ein-, Aus- und Störsignalen" genügend genau widerspiegeln, und eine Simulation des realen Objektes — zum Beispiel mit Hilfe von Analog- oder Digitalrechnern — zulassen. Zu ermitteln ist also (1) ein mathematisches oder physikalisches Systemmodell und (oder) (2) ein entsprechendes Signalmodell (Abb. 1.1-1). • Gegeben :

Prozeß'System Z

+ Signale ^Störgrößen \z,(t)-~

x/t) xe(t)

Liti

(-Signale)

>,Z„(t)

fiea/es Objekt x„,(tì (SystemÌ

xlm

(Sì

\

Eingangsgrößen (- Signale Ì

x„(t)

/

Ausgangsgrößen (-Signa/ei

Gesucht :

Prozeßmodell-Systemmodell*Signalmodell

H

\Rauschauette Stör1 signal4 | Formtiter 1 modell

+

\

7+ xa(t)

Abb. 1.1-1. Aufgabenstellung

2

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

Die wissenschaftliche Disziplin, die sich mit der Lösung dieser Aufgabe beschäftigt, wird heute allgemein mit dem Begriff,,Prozeßanalyse" gekennzeichnet, da die Eigenschaften von Signalen und Systemen durch zeitliche „Vorgänge" oder „Verläufe", d. h. durch „Prozesse" (im eigentlichen Sinne dieses Wortes) charakterisiert werdenkönnen (vgl. STROBEL, 1968/52)*. Die Prozeßanalyse gliedert sich demzufolge in die Teilgebiete „Signalanalyse" und „Systemanalyse". Als Aufgabe der Signalanalyse wird dabei die Ermittlung der Eigenschaften von (vor allem stochastischen) Signalen angesehen. Die Aufgabe der Systemanalyse besteht dagegen in der Bestimmung der statischen und dynamischen Zusammenhänge zwischen den Ein- und Ausgangssignalen des Systems und der Darstellung dieser Zusammenhänge in Gestalt eines mathematischen oder physikalischen Modells. Wird die Analyse auf theoretischem Wege, d. h., ausgehend von physikalischen und anderen Gesetzmäßigkeiten (z. B. von den MAXWELLSchen Gleichungen und KiRCHHOFFschen Gesetzen oder von Massen-, Energie- und Impulsbilanzen) durchgeführt, so soll hier von ,,Theoretischer Prozeß- bzw. System- und Signalanalyse" gesprochen werden (Abb. 1.1-2). Erfolgt dagegen die Modellbildung unter Verwendung experimenteller Methoden, d. h. durch Messung und Auswertung der Ein- und Ausgangssignale des Systems, so wird hierfür die Bezeichnung „Experimentelle Prozeß- bzw. System- und Signalanalyse" oder der Begriff „Prozeß- bzw. System- und Signa\identifikation" verwendet (Abb. 1.1-2). Die vorliegende Abhandlung ist der experimentellen Systemanalyse, d. h. den Problemen der Systemidentifikation, gewidmet. Sie untersucht also die folgende Fragestellung: (1) Gemessen werden die Ausgangssignale des Systems für künstlich vorgegebene oder an der Anlage ohnehin vorhandene Eingangssignale, d. h. z. B. für — aperiodische (sprungförmige, rechteckimpulsförmige, trapezförmige), — periodische (sinusförmige, rechteckwellenförmige) oder — stochastische Testsignale. (2) Wie kann aus diesen Meßdaten ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgangssignalen (z. B. in Form eines Frequenzganges einer Übertragungsfunktion oder einer Differentialgleichung), d. h. ein mathematisches Systemmodell, ermittelt werden ? Die bei der Lösung dieser Aufgabenstellung auftretenden Probleme werden maßgeblich durch zwei Faktoren bestimmt: (1) Durch die Form des gesuchten mathematischen Zusammenhanges, d. h. des Modells (z. B. der Gewichtsfunktion oder des Frequenzganges, der Differential- oder der Differenzengleichung) und (2) durch die geforderte Modellgenauigkeit. Dabei hängen beide Faktoren naturgemäß von dem für das Modell vorgesehenen Verwendungszweck ab. Das führt auf die Frage nach den Zielen, die mit der *)

1968/52 bedeutet: Literaturstelle 52 unter 1968.

1.2. Bedeutung der experimentellen Systemanalyse

3

Abb. 1.1-2. Gliederung der Prozeßanalyse

Durchführung einer experimentellen Systemanalyse verfolgt werden. Zur Untersuchung dieser Frage wird im folgenden eine Übersicht über die derzeit erkennbaren Hauptanwendungsgebiete von Verfahren der experimentellen Systemanalyse vorgelegt. Diese Übersicht soll gleichzeitig die praktische Bedeutung des Identifikationsproblems sichtbar machen und die Anwendungsbreite der in dieser Arbeit behandelten theoretischen Grundlagen und praktischen Berechnungsvorschriften veranschaulichen.

1.2. Die praktische Bedeutung der experimentellen Systemanalyse Wie aus der im Teil I I I angegebenen Bibliographie hervorgeht (vgl. 1 0 . 3 . 1 . 2 ) , gibt es heute kaum noch ein Gebiet zwischen der Verfahrensindustrie, der Luftund Raumfahrttechnik und dem „irdischen" Verkehrswesen einerseits und der Biologie, der Medizin und der Ökonometrie andererseits, in dem nicht Verfahren der experimentellen Systemanalyse bereits Eingang gefunden haben oder gegenwärtig Eingang finden (vgl. auch EYKHOFF, 1974, GUSTAVSSON, 1974, RAULT, 2

Systemanalyse

4

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

1973, Y O U N G , 1973, B E K E Y , 1973). F r a g t m a n n a c h dem f ü r d a s Modell vorgesehenen Verwendungszweck, so gelangt m a n zu folgender E i n t e i l u n g : — Modelle als H i l f s m i t t e l f ü r d e n E n t w u r f von Regelungs- u n d S t e u e r u n g s systemen, — Modelle als E n t s c h e i d u n g s h i l f e n f ü r die L e i t u n g u n d K o n t r o l l e betrieblicher, ökonomischer u n d ökologischer Prozesse, — Modelle als H i l f s m i t t e l f ü r E n t w i c k l u n g u n d K o n s t r u k t i o n sowie f ü r die a u t o m a t i s i e r t e Q u a l i t ä t s k o n t r o l l e in Fertigungsprozessen, — Modelle f ü r den Menschen als „ R e g l e r " bzw. O p e r a t e u r in t e c h n i s c h e n Anlagen, — Modelle biologischer (biomedizinischer, biomechanischer) O b j e k t e . 1.2.1. Modelle biologischer (biomedizinischer und biomechanischer) Prozesse D a s Ziel der Modellbildung b e s t e h t hier u. a. d a r i n , ein besseres V e r s t ä n d n i s f ü r den Ablauf von R e g e l u n g s v o r g ä n g e n in biologischen O b j e k t e n zu gewinnen u n d neue Wege f ü r die B e h a n d l u n g pathologischer V e r ä n d e r u n g e n zu suchen. Beispiel

1.2-1:

Modell für die Dynamik

des Pupillenregelkreises

(Abb. 1.2-1)

G e s u c h t wird ein m a t h e m a t i s c h e r Z u s a m m e n h a n g zwischen d e m zeitlichen Verlauf der P u p i l l e n w e i t e (als Ausgangssignal xa(t)) u n d der I n t e n s i t ä t des Lichteinfalls (als E i n g a n g s g r ö ß e xe( 120 km/h) und den Fahrer eines Personenkraftwagens. Die wahrzunehmenden Regelaufgaben betreffen sowohl die Geschwindigkeitsregelung (Lokführer), die Abstandshaltung (Kraftfahrer) und die Kursführung (Kraftfahrer, Pilot) als auch die Stabilisierung der Roll-, Nick- und Gierbewegungen (Pilot). F ü r eine optimale Anpassung des Fahrzeugführers an das Fahrzeug und die Durchführung von Eignungstests ist eine Kenntnis der dynamischen Eigenschaften des Menschen wünschenswert, d. Ii., es muß ein Modell für den Regler „Mensch" gewonnen werden. Hierzu sind umfangreiche experimentelle Untersuchungen seit 1 9 4 7 ( T U S T I N , 1 9 4 7 ) vor allem in der Luft- und Raumfahrttechnik durchgeführt worden. So wurden z. B . von S C H W E I T Z E R , 1 9 7 0 Modelle für den Piloten eines Senkrechtstarters ermittelt, während K R E L L , 1 9 6 6 entsprechende Untersuchungen für einen Hubschrauberpiloten durchgeführt hat. 2*

6

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

Die experimentellen Untersuchungen wurden sowohl im Flug als auch mit Hilfe spezieller Simulatoren durchgeführt (vgl. M A R I E N F E L D , 1 9 7 0 ) . Beispiel

1.2-2:

Experimentelle Analyse der Reglereigenschaften einem Simulator (Abb. 1.2-2)

eines Piloten

in

Zur Ermittlung eines mathematischen Modells für den Piloten haben z. B . und B A L A K R I S H N A N , 1967 eine Versuchsanordnung nach Abb. 1.2-2a verwendet. Der Pilot hat die Aufgabe, die Regelabweichung e*(t), d. h. die Abweichung des geschwärzten Bildschirmteiles von einer vorgegebenen, durch Testsignale verschiebbaren Grenzlinie zu minimieren. Durch Messung und AusTAYLOR

Analog (Simulations-) Rechner

Anzeige - Einrichtung (Display)

Testsignale

w(t! ¥

•

£ (ti

Display

t'Iti

Pilot

u(t!

Flugzeug

7

x(ii I

"

b)

ulti

Abb. 1.2-2. Experimentelle Analyse des Reglers „Mensch"; Versuchsanordmmg (a), Signalflußplan (b), Linearisiertes Modell des Reglers „Mensch" (c): T = Reaktionszeit, T N = Verzögerungszeitkonstante (Muskeln, Nerven), Tj = Verzögerungszeitkonstante (Intellektuelle Ausstattung des Menschen), T L — Vorhaltzeitkonstante (vom Trainingszustand abhängig)

wertung der Regelabweichung s{t) und des von dem Piloten erzeugten Stellsignals u(t) wurden mit sprungförmigen, sinusförmigen und stochastischen Testsignalen verschiedene Modelle (in Form eines Frequenzganges, einer Übertragungsfunktion und der VoLTERRA-Entwicklung — vgl. 1.4.) gewonnen. Eine häufig angegebene Modellübertragungsfunktion zeigt Abb. 1.2-2c. Mit der Ermittlung mathematischer Modelle für den Fahrer eines Personenkraftwagens haben sich F I A L A , 1 9 6 6 , B R A U N S T E I N U. a., 1 9 6 3 , W E I R , 1 9 6 9 und andere beschäftigt. Auf weitere Beiträge wird unter 1 0 . 3 . 1 . 2 . hingewiesen.

1.2. Bedeutung der experimentellen Systemanalyse

7

1.2.3. Modolle als Hilfsmittel für Konstruktion und Qualitätskontrolle Eines der wichtigsten Anwendungsbereiche der experimentellen Systemanalyse ist die Modellermittlung zum Zwecke der Erforschung des Zusammenhanges zwischen den konstruktiven, energetischen und sonstigen Parametern eines Systems und seinem statischen und dynamischen Verhalten. Ziel der Untersuchung ist, aus den experimentellen Daten Hinweise für eine Verbesserung des konstruktiven Aufbaus zu erhalten und damit eine zweckmäßigere (u. a. automatisierungsgerechtere) Gestaltung der Objekte zu ermöglichen. Diese Fragestellung hat für die chemische Verfahrenstechnik ebenso Bedeutung wie für den Bau von Raketen, Flugzeugen und Fahrzeugen (Schiffen, Kraftwagen, Eisenbahnwagen und Triebfahrzeugen) oder die Gestaltung von Wärmeaustauschern, Kernreaktoren, Werkzeugmaschinen und die Konstruktion trägheitsarmer Meßfühler und schneller Antriebe. So wird z. B. von BROERSEN, 1973 ein Differentialgleichungsmodell für die Querschwingungen eines Eisenbahnfahrzeuges in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit und bestimmten konstruktiven Abmessungen der Räder experimentell bestimmt. Aus der Fülle der sehr interessanten Anwendungen sollen a u ß e r d e m d i e A r b e i t e n v o n FIALA, 1966, OSHIMA, 1 9 6 5 u n d W E I R , 1968, 1 9 6 9

über die Untersuchung der Dynamik des Systems „Personenkraftwagen — Straße" genannt werden. Bedeutung gewinnt die experimentelle Systemanalyse außerdem in der Qualitätskontrolle, wenn die interessierenden Parameter einer direkten Messung nicht zugänglich sind und aus den meßbaren Größen berechnet werden müssen. Das trifft z. B. für die Identifikation der Parameter von Glasoberflächen (vgl. RICHALET, 1973) oder die Überwachung von Parametern bei der Herstellung von elektronischen Bauelementen (in integrierter Technik) zu (WERNSTEDT, BERGMANN, 1973, JAHN, U. a . , 1972).

1.2.4. Modelle für betriebliche, ökonomische und ökologische Prozesse F ü r eine optimale Betriebsführung in größeren Bereichen, z. B. der Industrie, des Transportwesens oder des Handels, sind dispositive oder strategische E n t scheidungen unter Berücksichtigung der diesen Systemen innewohnenden Dynamik zu treffen. Man muß also für solche großen Systeme Modelle ermitteln, die zumindest in grober Näherung deren Makroverhalten widerspiegeln und deshalb durch Berechnung oder Simulationsversuche eine Voraussage über die Auswirkungen von Entscheidungen zulassen. Solche Fragen treten u. a. bei der Ermittlung optimaler Lagerhaltungsstrategien, bei der Festlegung einer optimalen Investitionsstrategie oder bei der zentralen Lenkung der Verkehrsströme in größeren Netzen auf. Zur zuletzt genannten Problematik sind Untersuchungen von LIST, 1971 unter Verwendung eines vom Verfasser entwickelten Verfahrens (vgl. 5.2.2.) durchgeführt worden:

8 Beispiel

1. Gegenstand der experimentellen S y s t e m a n a l y s e

1.2-3: Modell für einen betrieblichen portes (Abb. 1.2-3)

Prozeß

des

Eisenbahngütertrans-

Gesucht wurde f ü r ein Teilnetz der D e u t s c h e n R e i c h s b a h n ein m a t h e m a t i s c h e r Z u s a m m e n h a n g zwischen dem B e s t a n d xa a n W e i t e r l e i t u n g s f r a c h t e n , d. h. der Zahl der beladenen Wagen n a c h Zielen a u ß e r h a l b des Teilnetzes, u n d dem Aufk o m m e n xe a n beladenen W a g e n pro Stunde, d a s sich a u s dem E i n g a n g a n beladenen T r a n s i t w a g e n u n d der W a g e n b e l a d u n g f ü r f r e m d e Bezirke u n d Verwalt u n g e n z u s a m m e n s e t z t . Aus stündlichen Aufschreibungen von xe(t) u n d xa(t) über einen Z e i t r a u m von 60 T a g e n k o n n t e — mit einem V e r f a h r e n n a c h K a pitel 5 — ein F r e q u e n z g a n g e r m i t t e l t u n d zur R e c h t f e r t i g u n g der V e r w e n d b a r keit des Grobmodells gemäß Abb. 1.2-3b herangezogen werden. Mit Hilfe dieses Modells ließen sich nützliche Schlußfolgerungen bezüglich einer Vervollk o m m n u n g der operativen Betriebsleitung gewinnen, L I S T , 1 9 7 1 .

ü)

A b b . 1.2-3. E x p e r i m e n t e l l e Analyse eines technologischen Prozesses des E i s e n b a h n g ü t e r t r a n s p o r t s y s t e m s (a) u n d zugehöriges Modell (b)

Die E r m i t t l u n g v o n Modellen f ü r verkehrsökonomische Prozesse wird ausführlich von K . J . R I C H T E R , 1 9 7 1 u n t e r s u c h t . D a s P a r a m e t e r - S c h ä t z p r o b l e m der Ökonometrie b e h a n d e l n K O O F M A N S , 1 9 3 7 , M E N G E S , 1 9 6 1 , P A W L O W S K I , 1 9 6 3 , L Ü D E C K E , 1 9 6 4 , B R Ü N E C K E , 1 9 6 5 u n d andere. Dabei gewinnen in letzter Zeit — wie von Y O U N G , N A U G H T O N , N E E T H L I N G , S H E L L S W E L L , 1 9 7 3 gezeigt wird — a u c h dynamische Makro-Modelle in F o r m von Differential- u n d Differenzengleichungen, Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n u n d Zustandsgieichungen (vgl. 1.4.) zur N a c h b i l d u n g u n d Vorhersage des V e r h a l t e n s ökonomischer Prozesse a n B e d e u t u n g . E i n zunehmendes Interesse ist in letzter Zeit a u c h a n der experimentellen B e s t i m m u n g von Modellen f ü r Prozesse der U m w e l t ( L u f t - u n d W a s serverschmutzung, W a s s e r s t ä n d e großer Flüsse usw.) festzustellen. D a s H a u p t ziel dieser B e m ü h u n g e n b e s t e h t darin, eine bessere Vorhersage z u k ü n f t i g e r E n t -

1.2. B e d e u t u n g der experimentellen S y s t e m a n a l y s e

9

Wicklungen, insbesondere das frühzeitige E r k e n n e n gefährlicher Tendenzen, zu ermöglichen (vgl. z. B . B A N D Y O P A D H Y A Y , D A S G U P T A , 1 9 6 9 , W A G N E R , 1 9 7 3 und

10.3.1.2.).

1.2.5. Modelle für den Entwurf automatischer Systeme Als Hauptanwendungsgebiet der Systemidentifikation ist die E r m i t t l u n g von mathematischen Modellen anzusehen, mit deren Hilfe selbsttätig wirkende Regelungs- und Steuerungssysteme entworfen werden können. Von der Notwendigkeit, Modelle f ü r diese Aufgabenstellung zu bestimmen, ist denn auch die schnelle Entwicklung der Methoden im letzten J a h r z e h n t entscheidend beeinflußt worden. Da Modelle zum Entwurf automatischer Regelungs- u n d Steuerungssysteme in der Energiewirtschaft, der chemischen Industrie, der Metallurgie, dem Verkehrswesen u n d vielen anderen Bereichen Anwendung finden, ist es unmöglich, hier eine auch n u r a n n ä h e r n d vollständige Aufzählung anzugeben (vgl. 1 0 . 3 . ) . Eine zweckmäßige Gliederung der Modelle bezüglich ihres Anwendungszweckes u n d der daraus resultierenden Forderungen an die Modellgenauigkeit u n d -form erhält m a n dagegen, wenn vom Charakter des zu entwerfenden a u t o m a t i s c h e n Systems ausgegangen wird. Folgende Einteilung erweist sich als" zweckmäßig (vgl. auch E Y K H O F F , 1 9 7 4 , B A L A K R I S H N A N , P E T E R K A , 1 9 6 9 ) :

1.2.5.1.

(Optimale)

Steuerungssysteme

(offene

Systeme)

Hier k o m m t es darauf an, die Eingangsgrößen xel(t), ..., xer{t) des z u s t e u e r n den Systems so zu bestimmen u n d durch eine entsprechende Einrichtung (z. B. durch einen Steuerungsrechner) zu realisieren, d a ß der Systemzustand von einem gegebenen Anfangszustand in einen geforderten E n d z u s t a n d ü b e r f ü h r t wird (Abb. 1.2-4a). Dabei k a n n gefordert sein, diese Z u s t a n d s ü b e r f ü h r u n g in kürzester Zeit oder mit minimalem Energieaufwand und vorgeschriebener Zeit unter Berücksichtigung von Beschränkungen f ü r die Steuerungen, z. B. in der Form \xej\ < x, ? m a x

für

i =• 1, ..., r ,

durchzuführen. Beispiel 1.2-4: Energieoptimale

Zugsteuerung

(Abb. 1.2-5)

B e t r a c h t e t wird zum Beispiel die folgende durch Abb. Aufgabenstellung (vgl. S T R O B E L , H O R N , 1972): Ein Zug soll von einem S t a r t p u n k t (Bahnhof) A in T = tB — tA so in einen Zielpunkt B befördert werden, von Beschränkungen f ü r die Fahrgeschwindigkeit u n d

1.2-5 veranschaulichte vorgegebener F a h r z e i t d a ß er bei E i n h a l t u n g die Eingangs-(Steuer-)

10

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

(Optimale) Steuerungseinrichtung wto) (z.B. Sieuerwill recimer )

=c>

u(tl

1

Steuervektor

bedingungen

System (Madett)

w(t)+ t(()

b) Folgeregelung (Servo -Systeme )

Modifikation der [ Regi er kenn werte

System (Modell)

Prozeß-

|lu(r)=

slt)

•6-

w(t)=

w0 =konst

c) Festwertregelung stochastisch gestörter Systeme I Entscheidung

Identifikation

_J

t Strecke (Modell)

Regier

.

sieuervektor z(t) ~ Störgrößen vektor x(f) = geschätzter Zustands vektor d) •>'ctimaie Regelung stochastisch gestörter Systeme (ZustandsSchätzung )

A b b . 1.2-4.

z(t)

Strecke (Modell)

Entscheidung

ZustondsSchätiung (fatman- fitter)

rechner

x(t)

Regler

(Optima/er) algorith mas (z.B. Prozeßrec^nerproprom/n)

Uli) Strecke (Modell)

Regier

Vektor der zu steuernden Größen

a) (Optimale) Steuerung ungestörter Systeme

Storsignal "] tnodell

j I Formfilter

e} Adaptives Pegeiangssystem

x(ti

w(t) + •etti

x(t)

/legier

fi SeibstODtimierendes Regelungssystem

Modelle zum Entwurf von Regelungs- und Steuerungssystemen

große „Zug- bzw. Bremskraft" xe die Strecke mit einem minimalen Verbrauch von Antriebsenergie durchfährt. Der Zustand des Systems ,,Zug" wird dabei durch die Fahrgeschwindigkeit x2 und den zurückgelegten Weg x1 gekennzeichnet. Gesucht wird also der optimale Verlauf der Zug- bzw. Bremskraft x = x , d. h. ein optimales Fahrprogramm, durch das der Zug aus dem Anfangszustand x (t ) = x km, x ( t ) = 0 km/h in den Endzustand x^tß) = x ( t ) = 0 bei Einhaltung der genannten Optimierungsforderung überführt wird (vgl. Abb. 1.2-5). Zur Lösung von Optimierungsaufgaben dieses Typs stehen mit dem Maximumprinzip von PONTEJAGIN und der Dynamischen Programmierung nach e

e o v t

1

2

B

A b b . 1.2-5. Energieoptimale Zugsteuerung

A

10

2

A

1.2. Bedeutung der experimentellen Systemanalyse

11

B e l l m a x x leistungsfähige Hilfsmittel zur Verfügung (vgl. u. a. E l g e r d , 1967). F ü r die experimentelle Systemanalyse ist dabei die Erkenntnis wichtig, daß zur Lösung des Optimierungsproblems eine mathematische Beschreibung des zu steuernden Prozesses in Form eines Systems von Differentialgleichungen 1. Ordnung, d. h. durch ein sogenanntes Zustandsmodell (vgl. 1.4.), vorliegen muß.

1.2.5.2.

Folgeregelungssysteme

In diesem Falle handelt es sich um das klassische Problem der Regelungstechnik, einen Folgeregler (Abb. 1.2-4b) so zu entwerfen, daß die Regelgröße x(t) einer Klasse von (im allgemeinen) determinierten Führungsgrößen w(t) möglichst gut folgt. Zur Lösung dieser Aufgaben stehen praktisch bewährte Verfahren (vgl. Wurzelortskurvenverfahren, BoDEdiagramm-Technik usw., E l g e r d , 1967) zur Verfügung. Ihre Anwendung setzt die Kenntnis — der Kurvenverläufe des Amplituden- und Phasenfrequenzganges oder — einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion der Regelstrecke voraus (vgl. 1.4.). Die Ermittlung dieser Funktionen ist eine Aufgabe der experimentellen Systemanalyse.

1.2.5.3.

Regelung

stochastisch

gestörter

Systeme

Die Aufgabe eines solchen Regelungssystems besteht darin, einen vorgegebenen (im allgemeinen festen) Sollwert entgegen den Einwirkungen stochastischer Störsignale konstant zu halten. Hier ergibt sich die Besonderheit, daß außer dem Systemmodell auch ein Modell für das stochastische Störsignal z(t) ermittelt werden muß (vgl. Abschnitte 1.3. und 1.5.). Soll eine solche Regelung für mehrvariable Systeme eingesetzt werden, so wird im allgemeinen ein Zustandsmodell bevorzugt. Zusätzlich kann hier das Problem auftreten, aus den meßbaren (stochastisch gestörten) Ausgangssignalen xal(t) ••• xaq{t) des Systems die Zustandsvariablen x^t) ••• xn(t)zu ermitteln (Abb. 1.2-4d). Diese Aufgabe, die allgemein mit dem Begriff „Zustandsschätzung" (state estimation) bezeichnet wird, hat in den letzten J a h r e n (durch den zunehmenden Einsatz von Prozeßrechnern für Regelungsaufgaben) Bedeutung erlangt. Besonders von K a l man sind hierzu grundlegende Arbeiten veröffentlicht worden (KALMAN-Filter) (vgl. Kalman, 1960, 1961, sowie 10.3.3.4. unter Zustandsschätzung).

1.2.5.4.

Optimale

Regelung

(Lösung

des

Syntheseproblems)

Ein Zustandsmodell, d. h. eine Beschreibung des zu regelnden Objektes durch ein System von Differenzen- und Differentialgleichungen 1. Ordnung (vgl. 1.4.),

12

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

wird auch dann notwendig, wenn eine optimale Steuerstrategie (vgl. Beispiel 1.2-4 unter 1.2.5.1.) durch einen geschlossenen Regelkreis realisiert werden soll. Beispiel

1.2-5:

Zeitoptimale

Kransteuerung

(Abb. 1.2-6)

Eine Laufkatze mit hängender, pendelfähiger Last soll in kürzester Zeit von einem Startpunkt A so in einen Zielpunkt B befördert werden, daß hier eine Pendelung nicht mehr auftritt. Gesucht wird eine Vorschrift, nach der der optimale Verlauf der Stell-(Steuer-)größe „Katzenantriebs- bzw. -bremskraft" unmittelbar aus den zu messenden Zustandsgrößen des Systems ..Pendelwinkel' 1 ,

„Pendelwinkelgeschwindigkeit", „Katzweg" und „Katzgeschwindigkeit" berechnet werden kann, wobei für diese Stellgröße Beschränkungen einzuhalten sind. Voraussetzung für die Lösbarkeit ist die Kenntnis des Zusammenhanges zwischen den 4 Zustandsgrößen und der Stellgröße. (Näheres vgl. S t r o b e l , K u n t z e , 1971 und 1975). 1.2.5.5.

Adaptive

und selbstoptimierende

Regelung

In den vorangegangenen Beispielen war angenommen worden, daß die statischen und dynamischen Eigenschaften des Systems unveränderlich sind, d. h., daß das Modell nur einmal, nämlich vor dem Entwurf der Regelung, ermittelt zu werden braucht. Diese Voraussetzung ist jedoch in zahlreichen Fällen nicht erfüllt, da sich die Kennwerte des Systems auf Grund unbeeinflußbarer Schwankungen der Umweltbedingungen zum Teil erheblich ändern. So verändern sich z. B . die für die Lageregelung eines Flugzeuges wesentlichen Parameter mit der Flughöhe und der Fluggeschwindigkeit. Diese Abhängigkeit von der Geschwindigkeit besteht im übrigen auch bei allen anderen Fahrzeugen (Schiffen, Landfahrzeugen) bezüglich der Kursregelung (vgl. W e b e r , 1971).

1.2. Bedeutung der experimentellen Systemanalyse

13

Hinzu kommt bei Landfahrzeugen (Kraftwagen, Eisenbahnzügen) eine erhebliche, durch die Witterungsverhältnisse bestimmte Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten zwischen R a d und F a h r b a h n , die nennenswerte Auswirkungen auf die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsregelung besitzt (BECKER, 1975). Die R e i h e der Beispiele läßt sich beliebig für andere Bereiche (chemische Verfahrensindustrie, Grundstoffindustrie, Schwermaschinenbau) fortsetzen (WEBER, 1971). I n allen diesen F ä l l e n ist also eine vollständige E r m i t t l u n g des Modells nicht möglich. Man kann lediglich ein Modell für mittlere Betriebsbedingungen im voraus ermitteln und danach eine Voreinstellung der R e g l e r p a r a m e t e r vornehmen. Die Abweichungen von diesem mittleren Modell müssen während des Regelvorganges ermittelt und zu einer Verstellung der Sollwerte (selbst-optimierende Regelung) oder der R e g l e r p a r a m e t e r (adaptive Regelung) verwendet werden (vgl. Abb. 1.2-4 e, f). D a s Problem der Systemidentifikation betrifft hier also die schnelle B e s t i m m u n g der schwankenden P a r a m e t e r während des Regelvorganges, d. h. im E c h t z e i t b e t r i e b .

1.2.6. Schlußfolgerungen Die in den Abschnitten 1.2.1. bis 1.2.5. skizzierte Übersicht macht deutlich, daß (1) die Skala der möglichen Anwendungen für Methoden der experimentellen Systemanalyse außerordentlich weit gespannt ist und (2) diese sehr unterschiedlichen Anwendungen den E i n s a t z verschiedener Modellbeschreibungsformen und Identifikationsmethoden erfordern. E s kann deshalb nicht die oder eine geeignetste Modellbeschreibungsform und Methode geben. Andererseits wäre es sicher unzweckmäßig, jeder speziellen Anwendung spezielle Modelle und Methoden zuordnen zu wollen. Vorgelegt werden soll vielmehr im folgenden eine einheitliche und allgemeine Darstellung der Möglichkeiten zur Beschreibung von Systemen, wobei allerdings eine Beschränkung auf solche Beschreibungsformen erfolgt, die sich auf Grund der hier durchgeführten Analyse der Anwendungsgebiete von Identifikationsmethoden als praktisch wichtig erwiesen haben. Trotz dieser B e s c h r ä n k u n g wird mancher Leser, der sich bisher nur mit Kennwertermittlungsproblemen in bestimmten Gebieten — zum Beispiel im Zusammenhang mit dem E n t w u r f von F e s t w e r t - und Folgeregelungen gemäß Abb. 1.2-4 b, c — befaßt hat, überrascht und vielleicht auch verwirrt über die Vielgestaltigkeit der Systemmodelle sein. Diese Schwierigkeiten sollen dadurch gemindert werden, daß besonderer W e r t darauf gelegt wird, die Bedeutung der verschiedenen Modellformen für die einzelnen Anwendungsgebiete sichtbar zu machen. D a eine Systembeschreibung immer in irgendeiner F o r m mit einer Signalkennzeichnung verbunden ist, soll der Behandlung der Systemmodelle (unter 1.4.) eine B e t r a c h t u n g der Signalmodelle vorangestellt werden.

14

1. Gegenstand der experimentellen S y s t e m a n a l y s e

1.3. Signalmodelle Unter einem Signal versteht man (vgl. Definition in TGL 14591) den zeitlichen Verlauf einer physikalischen Größe, wenn dieser Verlauf einen Parameter besitzt, der die zu signalisierende Größe abbildet. In Abhängigkeit davon, ob der zeitliche Vorgang sich reproduzieren läßt oder nicht, spricht man von determinierten und nichtdeterminierten (stochastischen) Signalen.

1.3.1. ^Nichtparametrische Modelle determinierter Signale Determinierte Signale spielen in der experimentellen Systemanalyse eine wesentliche Rolle als Testsignale (vgl. Abb. 1.1-2) und Antwortsignale ungestörter Systeme. Ein determiniertes Signal x{t) läßt sich kennzeichnen (1) durch seinen zeitlichen Verlauf a; = x{t)

|

in

—oo < t < oo

(1-3-1)

{kontinuierliches Zeitfunktionsmodell), (2) durch d en frequenzabhängigen Verlauf des zugehörigen komplexen Fourierspektru ms • cc X(jco) = J x{t) e->mt dt = cT{x{t)} (1.3-2)

I

in

—oo < (o < oo

{kontinuierliches Frequenzfunktionsmodell), (3) durch die diskreten (abgetasteten) Werte

|

= x{s At)

mit

s = 0, ± 1 , + 2 , + 3 , ...

von x{t) {diskontinuierliches Zeitfunktionsmodell) (4) durch die diskreten Werte |

X{jk Aio) = Ux(k Aio) + jVx{k Am)

mit

(1.3-3)

oder k = 0, ± 1 , ± 2 , ...

(1.3-4)

des Sjjektrums {diskontinuierliches Frequenzfunktionsmodell). Ein nichtperiodisches (aperiodisches) determiniertes Signal wird dabei vollständig nur durch die kontinuierlichen Zeit- und Frequenzfunktionen (1.3-1 und 2) und nicht durch eine begrenzte Zahl von Parametern beschrieben. Diese Gleichungen (1.3-1 und 2) kennzeichnen deshalb ein sogenanntes nichtparametrisches Signalmodell (vgl. Abb. 1.3-la, Anlage). Oft lassen sich jedoch nur die (parametrisierten) diskontinuierlichen Zeit- und Frequenzfunktionsmodelle nach Gin. (1.3-3 und 4) ermitteln. Von Bedeutung ist also die Frage nach den Bedingungen, unter denen sich das zu analysierende (Antwort-)Signal ausreichend genau durch die diskreten Werte der Zeit- und Frequenzfunktionen

1.3. Signalmodelle

15

(1.3-3 und 4) charakterisieren läßt. Diese Frage soll hier kurz unter Verwendung bekannter Resultate der Systemtheorie beantwortet werden (vgl. R. UNBEHAUEN, 1970 und ausführliche Diskussion in STROBEL, 1973).

1.3.1.1. Periodische und zeitbegrenzte aperiodische Signale (Abb. 1.3-1 b, c, s. Anlage) Ein mit der Periodendauer T periodisches Signal x{t) = xp(t) = xp(t + T)

(1.3-5)

wird bekanntlich vollständig durch ein diskretes Spektrum, d. h. durch die diskreten Werte X(jk Aco) nach Gl. (1.3-4) charakterisiert, wobei Aco = 2 n\T zu setzen ist (vgl. Abb. 1.3-1 b). Entsprechendes kann nachgewiesen werden für sogenannte aperiodische Signale, die der Bedingung

(1.3-6) zeitbegrenzte

(1-3-7) x{t) = xzB{t) = 0 für \t\ > TE genügen. Dieser Tatbestand ist für die Praxis der experimentellen Systemanalyse deshalb sehr bedeutungsvoll, da es fast immer gelingt, ein beliebiges aperiodisches Signal in der auf Abb. 1.3-2 gezeigten Vorgehensweise auf ein zeitbegrenztes Signal zurückzuführen. Hieraus resultiert die wichtige Erkenntnis, daß auch aperiodische Signale (zumindest in guter Näherung) durch ein diskontinuierliches Frequenzfunktionsmodell darstellbar sind, sofern dieses Modell für die Frequenzen ojk — k Am = lcnlTE bestimmt wird.

Standardsignal

(1.3-8)

16

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse 1.3.1.2.

liandbegrenzte

Signale

(Abb. 1.3-ld,

s.

Anlage)

Durch eine Folge abgetasteter Werte gemäß Gl. (1.3-3) und Abb. 1.3-ld läßt sich ein bandbegrenztes Signal x(t) = xB0(t) mit der Eigenschaft XBG{ju>) = 0

für

|cu| > co„

(1.3-9)

vollständig beschreiben, wenn die Abtastfrequenz a>0 = 2n\At zu co0 = 2n¡At

> 2wg

(1.3-10)

gewählt wird (vgl. Abtasttheorem von SHANNON bzw. Satz von KOTELNIKOW, z. B . in WUNSCH, 1 9 6 9 oder CHURKIN, U. a., 1 9 6 6 ) .

1.3.1.3.

Band-

und zeitbegrenzte

Signale

(Abb.1.3-1

e, s.

Anlage)

Ein bandbegrenztes Signal kann bekanntlich — vgl. WUNSCH, 1969 — niemals zeitbegrenzt sein (und umgekehrt). Hieraus folgt, daß zu einem diskontinuierlichen Zeitfunktionsmodell immer ein kontinuierliches Frequenzfunktionsmodell und zu einem kontinuierlichen Zeitfunktionsmodell immer ein diskontinuierliches Frequenzfunktionsmodell gehört. Eine Signalbeschreibung sowohl durch die diskreten Werte nach Gl. (1.3-3) als auch nach Gl. (1.3-4) ist also nur näherungsweise dann möglich, wenn — ein aperiodisches zeitbegrenztes Signal in Näherung auch als bandbegrenzt betrachtet werden kann oder — wenn ein periodisches Signal abgetastet wird (Abb. 1.3-1 e, f).

1 . 3 . 2 . S i c h t p a r a m e t r i s c h e Modelle stochastischcr Signale

Stochastische Signale besitzen vor allem als Störsignale eine wesentliche Bedeutung für die experimentelle Systemanalyse. Sie können nur durch eine Vielzahl, d. h. ein Ensemble von Zeitfunktionen (Realisierungen) oder — bei ergodischen Vorgängen — durch eine im Intervall — oo < t < oo gegebene Realisierung charakterisiert werden. Anstelle der Zeitfunktion x(t) nach Gl. (1.3-1) wird deshalb (bei stationären und ergodischen Prozessen) ein Zeitmittelwert, nämlich der Erwartungswert des Produktes x(t) x(t + r), d. h. die Autokorrelationsfunktion T

|

Wxx{x) = E{x{t) x(t + R)} = Hm -

1

-

j x ( t ) x(t + T) dt ,

(1.3-11)

-T

verwendet. Diese Funktion ist ein Maß dafür, wie ein Wert x(t) des Zufallprozesses im Mittel von einen um r zeitverschobenen Wert abhängt. Dabei ist

17

1.3. Signalmodelle

«?„(), das gemäß den bekannten WIENER-CHINTCHiNschen Gleichungen I

0xx(ca) = JWXX(r) e~ ,mr dr = ^{Wxx(r)}

(1.3-16)

18

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

und

oo

j

/

=

(1-3-17)

— oo

die FouKiEKtransformierte der Autokorrelationsfunktion darstellt (vgl. WÜNSCH, 1969).

Ein stochastisches Signal läßt sich damit — analog zum deterministischen Fall entsprechend Gin. (1.3-1 bis 4) — kennzeichnen (1) durch den Verlauf der Korrelationsfunktion = Wxx(T)

|

in

- o o < r < oo

(1.3-18)

(kontinuierliches Zeitfunktionsmodell), (2) durch den Verlauf des Leistungsdichtespektrums I

0XX

=

0xx(OJ)

in

CO
2(og

(1.3-26)

g e w ä h l t w i r d (vgl. K u o , 1963, MONBOE, 1962, STROBEL, 1973 u n d A b b . 1 . 3 - 4 c ) . 1.3.2.3.

Abtastung

zeitbegrenzter

Zufallsprozesse

Zu einer Signalcharakterisierung d u r c h diskontinuierliche Modelle n a c h G i n . (1.3-20, 21) gelangt m a n , w e n n eine im b e g r e n z t e n Z e i t i n t e r v a l l gemessene Realisierung des Zufallsprozesses m i t Hilfe eines Digitalrechners a u s g e w e r t e t werden soll u n d deshalb einem A b t a s t p r o z e ß zu u n t e r w e r f e n ist (vgl. A b b . 1.3-4d).

1.4. Systemmodelle F ü r die E r m i t t l u n g der Modelldarstellung eines vorgegebenen O b j e k t e s bestehen g r u n d s ä t z l i c h zwei Z u g ä n g e : 1. Modelldarstellung u n t e r alleiniger B e r ü c k s i c h t i g u n g der a n d e n E i n - u n d A u s g a n g s k l e m m e n des S y s t e m s m e ß b a r e n Signale (Modelle für das Klemmenverhalten, Ein-Ausgangsoder Black-Box-Modelle). 3 Systemanalyse

20

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

2. Modelldarstellung unter Berücksichtigung des inneren Systemzustandes (Zustandsmodelle). Zunächst soll auf eine Systembeschreibung durch Ein-Ausgangs-Modelle eingegangen werden.

1.4.1. Ein-Ausgangs-Modelle Hierbei wird unter einem System ein Gebilde verstanden, das einen Zusammenhang zwischen unabhängigen Variablen (Ursachen, Eingangssignalen) und abhängigen Variablen (Wirkungen, Ausgangssignalen) herstellt. Dieses System gliedert sich im allgemeinen in Teilsysteme. Das einfachste Teilsystem stellt dabei das Übertragungsglied dar, bei dem ein rückwirkungsfreier Zusammenhang zwischen einem Ein- und einem Ausgangssignal besteht. Zu unterscheiden ist deshalb zwischen mehrdimensionalen und eindimensionalen Modellen (Abb. 1.4-1 a, b). Die unterschiedlichen Übertragungseigenschaften der Modelle lassen sich am einfachsten an einem eindimensionalen Modell verdeutlichen. Dazu wird angenommen, daß das Eingangssignal in der auf Abb. 1.4-1 b gezeigten Form durch eine Stufenfunktion ausreichend genau approximiert werden kann. Das Ausgangssignal xaM(t) an der Stelle t = k At hängt dann gemäß xaM(k

At) P* f{xe{k

At), xe{[k -

1] At), ..., xe([k — ri\ At)}

(1.4-1)

von dem zugehörigen Wert von xe(t) an der Stelle t = k At und den weiter zurückliegenden Werten xe([k — 1] At), ..., xe([k — n\ At) ab.

xe(t)

XjM(t)

xe(t)

xJ[k-n]At)

b)

\xaM(kAt)

]xe(kAt) (k-nlAt

kAt

t

kAt

t

Abb. 1.4-1. Mehrdimensionales (a) und eindimensionales (b) Ein-Ausgangsmodell

21

1.4. Systemmodelle

Die Größe n k a n n hierbei als M a ß f ü r das S p e i c h e r v e r m ö g e n des S y s t e m s gelten, wobei — ohne wesentliche E i n s c h r ä n k u n g der Allgemeinheit — a n g e n o m m e n werden k a n n , d a ß d a s S y s t e m n u r eine begrenzte Speicherfähigkeit besitzt, d. h., d a ß d a s Ausgangssignal xaM(t) n i c h t m e h r v o n den g e n ü g e n d weit z u r ü c k liegenden W e r t e n xe(t — r m a x ) m i t r m a x > n At a b h ä n g t . W i r d diese Speicherw i r k u n g als vernachlässigbar klein vorausgesetzt, d. h., gilt der Z u s a m m e n h a n g xaM(k

At) ^ f{xe(k At)} ,

(1.4-2)

so h a n d e l t es sich u m ein statisches Modell. I s t die S p e i c h e r w i r k u n g n i c h t vernachlässigbar, d a n n m u ß ein dynamisches Modell V e r w e n d u n g f i n d e n .

1.4.1.1. Modelle für das statische

Verhalten

1.4.1.1.1. E i n d i m e n s i o n a l e l i n e a r e u n d n i c h t l i n e a r e

Modelle

U m zu einer möglichst allgemeingültigen D a r s t e l l u n g s f o r m zu gelangen, wird die Gl. (1-4-2) in eine TAYLOE-Reihe, z. B. u m xe = 0, e n t w i c k e l t . Mit 1

d/(0)

1!

dxe

1

d*f( 0)

2!

9

da* K

1 d /(0) +

dxf

xne(t)

und bi

=

1

d'/(0)

i!

dxlc

ergibt sich die Beziehung I

xaJi(t)

=b0

+ blXe(t) + b2xl(t) + ». + bnxne(t)

(1.4-3)

u n d f ü r n = 1 der lineare Z u s a m m e n h a n g E

W )

= \ + V-'e(i) •

(1.4-3a)

Gl. (1.4-3) k e n n z e i c h n e t ein nichtlineares u n d Gl. (1.4-3a) ein lineares eindimensionales statisches Systemmodell. Dieses Modell wird d u r c h einen Satz von Parametern b0, ..., bn u n d die Modellordnung n, d. h. die Modellstruktur, gekennzeichn e t . E s h a n d e l t sich d e s h a l b u m ein sogenanntes 'parametrisches Modell. 1.4.1.1.2. M e h r d i m e n s i o n a l e

Modelle

Bei einem m e h r d i m e n s i o n a l e n s t a t i s c h e n Modell n a c h A b b . 1 . 4 - l a ist Gl. (1.4-2) d u r c h die Beziehung XaMiV) = /¡W(0>

...,xer(t)}

mit

zu ersetzen, d a jedes der q Ausgangssignale xaMl(t), gangssignalen xel(t), ..., xer(t) a b h ä n g e n k a n n .

1=1,

...,q

(1.4-4)

..., xa\it ()

(1.4-20a) ß^ijm)

•• GJr{jw)_

(joj)

30

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

Abb. 1.4-4c Mehrdimensionales lineares dynamisches Modell in Form einer P-kanonische Struktur

und der Zusammenhang Xa.w(joj)

= i Gu(jaj) Xei(joj) ¡=1

(1.4-20b)

mit l = 1, 2, ..., q (vgl. Abb. 1.4-4c). Das Ziel der Systemanalyse besteht also hier in der Ermittlung von q X r Frequenzgängen Gu(joj) (vgl. Abb. 1.4-4e). 1.4.1.3. Parametrischc Modelle für das dynamische Verhalten Ein parametrisches Modell wird gekennzeichnet durch — eine Struktur, die Angaben über die Form der Modellgleichung und die Zahl der Parameter umfaßt und — einen Satz von Kennwerten, deren Zahl wesentlich kleiner als bei einem nichtparametrischen Zeit- oder Frequenzfunktionsmodell nach 1.4.1.2. ist. Zur Ermittlung derartiger Modelle bestehen zwei Zugänge: 1. Approximation eines nichtparametrischen Modells nach 1.4.1.2., d. h. zum Beispiel der Gewichtsfunktion g(t) nach Gl. (1.4-10), oder des Frequenzganges G(jco) nach Gl. (1.4-17) durch ein parametrisches Modell. 2. Anstelle der allgemeinen expliziten Beziehung (1.4-1) zwischen dem diskreten Wert At) des Ausgangssignals und den diskreten Werten xe(k At), ..., xe{\k — ri\ At) des Eingangssignals wird die Gültigkeit der impliziten Beziehung }{xe(k

At), ..., xe([k -

n] At); xa{k At), ..., xa{[k -

n\ At)} = 0

(1.4-21)

1.4. Systemmodelle (im Falle diskontinuierlich f{xe(t),

31

wirkender Systeme) bzw. des Zusammenhanges

xe(t), ..., a f >(«); ® . j f ( 0 . ¿ . « ( 0 , •••> 4t(t)}

( f ü r kontinuierlich

wirkende

= 0

(1.4-22)

Systeme)

vorausgesetzt. Auf diese Beziehungen wird — wie unter 1.4.1.1. und 1.4.1.2. — die TAYLOB-Reihen-Entwicklung angewendet. Beide Möglichkeiten sollen zunächst für Modelle kontinuierlich

wirkender

Systeme untersucht werden. 1.4.1.3.1. L i n e a r e M o d e l l e k o n t i n u i e r l i c h w i r k e n d e r 1.4.1.3.1.1. A p p r o x i m a t i o n n i c h t p a r a m e t r i s c h e r durch parametrische Modelle

Systeme

Modelle

Ersetzt man in Gl. (1.4-10) die Gewichtsfunktion durch den empirisch gewählten Ansatz

I

g(t) = E Ciffi(t)

(1.4-23)

t = 0

mit den unbekannten K e n n w e r t e n c, und den gegebenen Zeitfunktionen g,:(t), so ergibt sich mit °° ( n xum{1)

1

— / \ E CiffiM f Xe{t — r) 0 li = 0 ) n £

(

oo

cAf

t = 0

dr 1

Qi(t)

xe{t

— r)

dr[

|o

J

der Zusammenhang i(t) D i e gi(t) lassen sich dabei wegen

= Z ciUi(t) i =0

.

(1.4-24)

oo

Ui{t) = / 9i{r) Xe{t - r) dr (1.4-25) o als Gewichtsfunktionen linearer Übertragungsglieder auffassen, was in A b b . 1.4-5 veranschaulicht wird. D i e Übertragungsfunktion des Modells f o l g t durch Anwendung der LAPLACETransformation von Gl. (1.4-23) zu

I D a die gt(t) bzw. G,(p)

G(p) = i

(1.4-26)

CiGi{p).

¿=o als vorgegeben betrachtet werden (vgl. hierzu K a p i t e l 3),

besteht die A u f g a b e der Systemanalyse lediglich in der E r m i t t l u n g der P a r a m e t e r c0, ..., cn und der Modellordnung n. 1.4.1.3.1.2. D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n u n d

Übertragungsfunktionen

Entwickelt man die Gl. (1.4-22) in eine TAYLORreihe um den P u n k t Xe =

Xe =,...,=

t =

Xanf =

%aM ~y •••>

=

x\iM =

0 >

32

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse r*

i

I

Abb. 1.4-5. Parametrisches dynamisches Modell so erhält man mit der ohne Einschränkung der Allgemeinheit zutreffenden Annahme /(0) = /(0, 0, . . . , 0 ; 0 , . . . , 0 ) = 0 den Zusammenhang aM>

rW) aMf

-' i Ä . I dxe

—

5/(0) . —^— x, 4dxe ^ ,

+

dx a

XaM

dflfl) _ x(m) dxim) 3/(0)

9/(0) . lu3I

(1.4-27)

+ {(nichtlineare) Glieder höherer Ordnung} = 0 . Mit 5/(0) 5/(0) und = -5 (j) da£> folgt hieraus bei Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung die gewöhnliche Differentialgleichung

I

gämW + « r W ) H

lineare

h anX%{t)

= b0xe(t) + b.x^t) + ... + bmx^\t) , die durch Anwendung der LAPLACE-Transformation die gebrochen Übertragungsfunktion

(1.4-28) rationale

|

(1.4-29)

G(p)

=

«M(P) Xe(p)

X

2{xe(t)}

b0 + blP + ... + a0 + alP + - +

bmf anpn

liefert. Eine Systembeschreibung durch diese beiden Gleichungen (1.4-28, 29) besitzt hervorragende Bedeutung, besonders im Zusammenhang mit dem Entwurf von konventionellen Folge- und Festwertregelungen und darüber hinaus ganz allgemein für die Simulation dynamischer Modelle — z. B . für biologische, ökonomische und betriebliche Prozesse (vgl. 1.2.) — a u f Analogrechnern. In Abb. 1.4-6 (s. Anlage) ist der Signalflußplan für eine solche Simulationsschaltung angegeben, zu der man unmittelbar durch Programmierung der Differentialgleichung (1.4-28)

1.4. Systemmodelle

33

mit Hilfe von Integratoren gelangt. Für verschiedene regelungstechnische Anwendungen kann es dabei vorteilhaft sein, anstelle der gebrochen rationalen Übertragungsfunktion (1.4-29) — die faktorisierte

Darstellung

I

n,

0(p)

.

=

~ (P - Pm) ••• iP - Pom) —. (P - Pi) - iP - Pn)

gekennzeichnet durch die Pole {pt} und Nullstellen) — das

I

Zeitkonstantenmodell

— die

Partialbruchentwicklung

6

und Nullstellen {pDi}

.

n

on

(1.4-29 a)

K—

.

bzw. (für reelle Pole

(1 + pTm) - )1 + pTDm) W = ° i r ^ ^ l T ^ r f

(1.4.29b)

mit den Vorhaltzeitkonstanten Tni = — l/p^und den Verzögerungszeitkonstanten T t = — 1 lp t oder aber auch

I

G(P) = — P -

bzw.

— die

+ Pl

-

+ — P-

( 1 Pn

.

4

-

2

9

c)

Kettenbruchentwicklung G(p) = A+BilP + A2

+ -

(1.4-29d) 1 Bnlp

und die zugehörigen Simulationsschaltungen nach Abb. 1.4-6 zu verwenden. Die Aufgabe der experimentellen Systemanalyse besteht also in diesen Fällen in der pDi, pit TDi, Ti, ct oder At, 2?;. Ermittlung der Kennwerte aiy 1.4.1.3.2. L i n e a r e M o d e l l e d i s k o n t i n u i e r l i c h wirkender Systeme Die Verwendung eines diskontinuierlichen

Modells macht sich notwendig,

wenn

— das zu untersuchende Objekt mit Meßgeräten ausgerüstet ist, die nur zu diskreten Zeitpunkten Meßwerte liefern können (z. B . Analysemeßgeräte), — verschiedene Meßstellen zeitgeteilt abgefragt werden, — ein Prozeßrechner zur Analyse oder Fuhrung der Prozesse eingesetzt wird oder — der Prozeß von vornherein eine diskontinuierliche Arbeitsweise besitzt (z. B . V e r k e h r s p r o z e s s e ; GOODNUFF, 1 9 6 7 ) .

34

1. Gegenstand der experimentellen Systemanalyse

Die Ein- und Ausgangssignale eines derartigen Systems liegen also in Form diskreter Wertefolgen, z. B . der Gestalt «,(1), xe(2), xe(3), x e (4) : ...

(1.4-30a)

xa(l), xa(2), xa(3), xa(4), ...

(1.4-30b)

und mit xe(k) = xe(kAt) und xa(k) = xa(kAt) vor. Eine Modelldarstellung läßt sich damit entweder 1. durch die implizite Beziehung (1.4-21) oder 2. den expliziten Zusammenhang (1.4-1) gewinnen. Dabei führt der explizite Zusammenhang (1.4-1) — wie bereits unter 1.4.1.2. gezeigt wurde — auf nichtparametrische Modelle, die in dem hier interessierenden Fall diskontinuierlich wirkender Systeme ebenfalls anwendbar sind. Dagegen ergeben sich bei Verwendung der impliziten Beziehung (1.4-21) Modellgleichungen, die wesentliche Besonderheiten aufweisen. Entwickelt man Gl. (1.4-21) in eine TAYLOR-Reihe um den Punkt xe(k) = , ..., xe(k — n) = xaM{k) = , ..., xaM{k — n) = 0 , so erhält man mit /(0) = /{0, 0, ..., 0 ; 0, 0, ..., 0} = 0 den Zusammenhang f{xe{k), ..., xe(k — n)\ xaM(Jc), ..., xaM{k — n)} = 3/( 0)

x [k)

°

3/(0) + dxe(k - i)

" D + - +

dxAU

8/(0) _ b) *•