Estudios de filosofía y metodología de la ciencia 8420625477

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Patrick Suppes

Estudios de filosofía y metodología de la ciencia Introducción y selección de Jo sé Luis R ollen

Alianza Editorial

© P a irick Iv^ppcs © d e la in tro d u cció n y las n o ta s :. J o s ¿ - L u i s K olleri (Ej A lianza E d ito r ia l, S . A .,'M a d r i d , 1 9 S 8 ; C alle M ilá n , 3 8 , 2 8 0 4 3 M a d rid ; 200 0 0 45 S S D N ; 8 4 -2 0 6 -2 5 4 7 -7 D e p ó sito le g a l: M . 1 8 .7 7 4 -1 9 8 8 F o io co m p o sic ió n : E íc a Im p re s o en L a v cl. L o s L lan o s, nave 6 . H u m an es (M a d r id ) P r in ie d in Sp ain

INDICE

Prefacio

9

In troducción C A P ÍT U L O

1.

15 Filosofía y los fundam entos axiom áticos de la

física

21

CAPÍTULO 2. Algunas consideraciones sobre los problem as y m étodos de la filosofía de la ciencia

29

CAPÍTULO 3.

E l m étodo axiom ático en las ciencias em píricas

39

CAPÍTULO 4.

L a deseabilidad de la form alización en ciencia

59

CAPÍTULO 5.

L a pluralidad de la ciencia

75

CAPÍTULO 6. E l papel de los m étodos form ales en la filosofía de la ciencia

93

CAPÍTULO 7. U n a com paración del significado y los usos de los m odelos en las m atem áticas y lasciencias em píricas

109

CAPÍTULO 8.

La estructura de las teorías y elanálisis de d atos

CAPÍTULO 9.

M odelos de datos

125 147

CAPÍTULO 10 .

M edición: problem as teóricos y de aplicación

CAPÍTULO 11. U n conjunto de axiom as independientes para cantidades extensivas CAPÍTULO 12.

173

E stru ctu ras finitas de m edición de intervalos

iguales CAPÍTULO 13.

161

185 Problem as del análisis causal en las ciencias s o ­

ciales

203

R eferencias

215

Bibliografía de Patrick Suppes

225

PREFACIO*

La publicación en castellano de trece de mis artícu los com pilados por Jo sé Luis R olleri, los cuales cubren un período de más de treinta años, es para mí un evento agradable y digno de n ota. L o s capítulos no han sido ordenados cron ológicam en te sino m ás bien de acuerdo con su contenido conceptual, com en zan do con una serie sob re el mé­ todo axiom ático en las ciencias em píricas. Se puede ap reciar una cla­ ra variación de mis puntos de vista filosóficos en tre los p rim eros ca ­ pítulos sobre el m étodo axiom ático, referidos p articularm ente a la fí­ sica, y el q uinto capítulo, escrito en 1978, sobre la pluralidad de la ciencia. L o s capítulos séptim o, o ctavo y n oveno tratan de! co n ce p to de m odelo en las ciencias em píricas, incluyendo m odelos de datos em ­ píricos, L o s siguientes tres capítulos, esto es, diez, on ce y d o ce, se ocupan de la teoría de la m edición. Mi prim era p ublicación es el ca ­ pítulo once de este volum en, pero mi interés en la teoría de la m edi­ ción continúa hasta hoy sin m engua. E l capítulo trigésim o, el últim o de tod os, presenta de manera general mis ideas acerca del análisis cau­ sal en las ciencias sociales. E sta es una buena ocasión para decir algo inform al acerca de cada uno de los cu atro tópicos cubiertos p o r los trece capítulos. L a biVersión castellana de Adolfo G arcía de la Sierra,

bliografía de mi trabajo, al final de este volum en, incluye más publi­ caciones técnicas que tratan estos tóp icos con m ayor detalle.

1.

F u n d am e n to s a x io m á tico s de las ciencias em p íricas

E l uso de m étodos conjuntistas en la filosofía de la ciencia es qui­ zá uno de los aspectos de mi trabajo p o r los cuales soy más conocido entre los filósofos. Tal punto de vista conjuntista no es más que un p un to de vista axiom ático m od ern o dirigido hacía las ciencias em pí­ ricas. La aplicación del m étodo axiom ático a las ciencias empíricas tie­ ne una larga y clásica historia, com en zan do con la ciencia y la m ate­ mática griegas. L o s objetivos del m étodo axiom ático en las ciencias empíricas son múltiples, pero ciertam ente los objetivos de clarificar y explicitar los fundam entos de una disciplina son razones centrales para desarrollar sus fundam entos en form a axiom ática. L o que el m étodo axiom ático no proporciona es certeza o com pletud de los fundam entos teóricos. E s una m arca característica de la ciencia contem poránea el que una gran variedad de teorías, m odelos y técnicas se encuentren en toda disciplina. La riqueza de la ciencia m oderna es dem asiado vasta e in­ trincada com o para ser abarcada p o r un solo esquem a de análisis axio­ m ático. Enfatizo que esto es verdad no sólo para la ciencia com o una totalidad o para una sola disciplina co m o la física, sino también para todas las subdisciplinas principales. E l núm ero de artículos, m on o­ grafías y tratados sobre cualquier m ateria de im portancia científica es ahora tan grande que cualesquiera esquemas simples de unificación están destinados a ser rebasados p o r la riqueza de las obras que han sido producidas. Pero este es un saludable estado pluralista de cosas. N o significa que no hay lugar para el m étodo axiom ático. L o que sig­ nifica es que el program a de red u ccion ism o, que fue una parte tan im­ portan te de la filosofía de la cien cia desde el tiem po de Frege hasta C arn ap, es visto ahora propiam ente co m o un objetivo ingenuo e ilu­ sorio. P e ro en las partes florecientes de la ciencia en desarrollo teórico activo el m étodo axiom ático continúa teniendo un papel im portante y significativo. Sus aplicaciones se pueden en con trar en la actualidad en toda disciplina de im portancia, desde la teoría del cam po cuántico en física hasta fas definiciones de la p obreza en econom ía.

En los capítulos siete, och o y nueve de este volum en tengo algo que decir acerca del uso de los m odelos en las ciencias em píricas, es­ pecialm ente co n referencia a los datos. Sin em bargo, lo que tengo que decir es ciertam ente incom pleto. E sta incom pletud se aplica no sólo a lo que se publica aquí, sino tam bién a lo que he publicado sobre estas materias en otra parte. E n tre mis variados intereses en la filo­ sofía de la ciencia, es éste en el que me siento más co m p ro m etid o a intentar algo sustancial en el futuro. E n toda disciplina científica desarrollada las relaciones en tre ¡os datos y la teoría son intrincadas, y con frecuencia tan sutiles, que le­ gos tales com o los filósofos de la ciencia encuentran que es un asun­ to difícil desenm arañar su naturaleza. H asta cierto p u n to , este p ro ­ blema se torna confuso debido al estilo m oderno en que los libros de texto están escritos. P o r ejem plo, es m uy difícil e n co n trar un tex­ to in tro d u ctorio a la mecánica cuántica que incluya una presentación seria de los datos que apoyan a la teoría, P ero no es un m ero asunto de presentación de los datos en libros de texto , sino un asunto de análisis filosófico, h acer a las relaciones entre el experim ento, los datos y la teoría más explícitos que lo que ah ora son en cualquier parte de la ciencia. L o más que espero haber logrado en los tres artículos en este volum en es el haber p ro p o rcio ­ nado un sentido de la com plejidad de las relaciones en tre los datos y la teoría.

3.

M edición

L a preocupación central de la teoría de la m ed ición es justificar el tránsito de las operaciones y relaciones cualitativas observables a su representación num érica en form a cuantitativa. D ad o que tal em ­ presa es tan cercana a tantos tem as filosóficos de análisis, no es so r­ prendente el que haya habido un interés con tin u ad o en los funda­ m entos de la medición dentro de la filosofía de la ciencia. Pienso que los tres artículos publicados en este volum en dan una buena idea de los tipos de análisis que han sido realizados para resolver el prob le­ ma centra! de la m edición cuantitativa. A lgunos de los tipos de co n ­ sideraciones técnicas que necesariam ente juegan un papel im portante

en la teoría se pueden ver y a en el artículo de 1951 sobre las can ti­ dades extensivas. Y o enfatizaría, sin em bargo, que el interés filosófi­ co en la m ateria es más con ceptu al que técnico. E s este tránsito de lo cualitativo a lo cuantitativo lo que resulta de prim ordial im portancia. Simplem ente lam ento que los m u ch o más intrincados problem as que surgen al analizar este tránsito cuando las relaciones son probabilís­ ticas más que determ inísticas no puedan ser propiam ente representa­ dos aquí, infortunadam ente debido precisam ente a que la teoría de tales relaciones probabilísticas es inevitablem ente más com plicada.

4.

C au salid ad p rob ab ilístíca

E n varios artículos desde la publicación en 1 9 7 0 de mi m o n o g ra­ fía sob re causalidad probabilístíca he tratado de defender o extender el análisis en varias direcciones. E l últim o capítulo de este volum en da una buena idea acerca de có m o la teoría de la causalidad p ro b a­ bilísima puede ser aplicada en las ciencias sociales. Q uisiera enfatizar que las aplicaciones en la física son tan extensas co m o en las ciencias sociales, especialm ente al continuadam ente co n tro v ertid o problem a de la existencia de variables ocu ltas. E l lenguaje de las variables ocul­ tas desde luego habla acerca de causas subyacentes y encaja m uy bien d entro del m arco form al analizado en el artículo final. C iertam ente la presente teoría de la causalidad probabilístíca no es la últim a palabra, pero es fácil p ro p o rcio n ar ejem plos tom ados de diferentes ciencias para m o stra r que los m étodos son tan to de interés filosófico co m o de v alo r p ráctico . N o es factible p ro n o sticar seria­ m ente cuáles serán las form as im portantes de análisis causal en el si­ glo p ró xim o , pero me sorprendería de todos m odos que los m étodos probabilísticos no continuaran dom inando el análisis causal en m u­ chos dom inios científicos.

R e co n o cim ie n to s Finalm ente, quisiera expresar mi más profundo aprecio a Jo sé Luis R olleri p or organ izar este volum en para su publicación. Q uisiera agradecer también a A d olfo G arcía de la Sienra y a Jesús M osterín

p o r animarme de diversas maneras a dar a co n o cer este volum en ni público de habla castellana. P a t r ic k

suppes

Stanford U nivers ity Stanford, C aliforn ia Ju lio

1986

INTRODUCCION

A principios de los años cincuenta, Suppes, M cK in s e y y colab o­ radores concibieron un program a de fundam entación axiom ática de las teorías em píricas. T arski los estimuló a p ro seg u ir p o r axiom atizaciones de las ramas desarrolladas de la cien cia em pírica, usando com o instrum ento de form alización a la teoría intuitiva de conjun­ tos, a diferencia de las form alizaciones estándar, p rop uestas p o r C a rnap, que pretenden utilizar la lógica de prim er o rd e n . E n 1 9 5 4 , Sup­ pes delineó explícitam ente este p rogram a, bajo et cu al se pretende ob­ tener progresos sustanciales y sólidos en la filosofía de la ciencia (véa­ se capítulo 2 ). E n el transcurso de esa década, Suppes y colegas de la Universidad de Stanford m ostraron que a través de la teoría intuitiva de conjuntos puede alcanzarse el mismo nivel de rig o r form al y cla­ ridad conceptual en la form ulación axiom ática de las teorías em píri­ cas que es estándar en el trabajo m atem ático. En M ckinsey et al (1 9 5 3 ) se publicó el p rim er trab ajo dentro de este p rogram a. E n él, los autores enuncian con ju n tistam en te un sis­ tema axiom ático para ia m ecánica clásica de p artículas en el que la se­ gunda L ey de N ew to n es la única ley física que aparece co m o axio­ ma. E xhibieron además la independencia de las n o cio n es físicas usa­ das com o prim itivas y derivaron la prim era L e y de N e w to n com o

teorem a (el capítulo 1 contiene una exposición relativam ente no téc­ nica de esta axiom atización restringida a sistemas tridim ensionales). O tro s resultados im portantes fueron obtenidos en años posteriores. A dam s axiom atizó conjuntistam ente la m ecánica de) sólido rígido y, posteriorm en te, derivó las leyes de esta teoría de aquellas de la m e­ cánica clásica de partículas (A dam s [1 9 5 4 ] y [1 9 5 9 ], respectivam en­ te). En 1954, Rubin definió conjuntistam ente los sistemas genéticos mendelianos. A su v ez, Suppes ofreció un conjunto de axiom as para la m ecánica relativista de partículas (Suppes [1 9 5 9 ]). O tro s trabajos, más bien m etateóricos, son M cK insey y Suppes (1 9 5 3 ) y Rubin y Suppes (1 9 5 4 ). En esta A n tolog ía, Suppes explica y ejemplifica el m é­ todo de axiom atización conjuntista en los capítulos 1 y 2 , discute el papel del m étodo axiom ático en las ciencias em píricas, analizándolo en particular en la m edición, la física y los lenguajes naturales en el capítulo 3 y presenta una argum entación general a favor de la form a­ lización de la ciencia en el capítulo 4. Suppes no es au to r de volum inosos tratados filosóficos sino más bien de breves estudios detallados y técn icos sobre cuestiones relati­ vam ente particulares de relevancia científica, trabajadas con rigor for­ mal. M etod ológicam en te equipado con las teorías de con ju ntos, de m od elos, de la probabilidad y la estadística m atem ática se enfrenta co n problem as científicam ente im portantes, procediendo más bien co m o un ló g ico : los plantea claram ente en térm inos form ales, p ro ­ p one una solución m atem áticam ente rigurosa y señala aquellos p ro ­ blemas con ectad os que en cuen tra abiertos (m uestra de ello está, p o r ejem plo, en los capítulos 11 y 13). C om p aran do el trabajo realizado en la prim era m itad de siglo veinte en lógica y en filosofía de la cien­ cia, Suppes arguye que en esta últim a no existe un núcleo sólido de resultados similares a los logrados durante el período en lógica. Su p rogram a de fundam entación de la ciencia precisam ente va encam i­ nado a obtener resultados sólidos, aunque parciales, en el cam po de la filosofía de la ciencia. Sin em bargo, Suppes ha m antenido una posición escéptica acerca de los avances que puedan realizarse bajo su program a. E sta se debe, en parte, a que en ciertas ram as de la física m oderna, co m o en la m e­ cánica cuántica, y en ciertas teorías de las ciencias sociales, co m o la psicología, la lingüística y la econ om ía, hay una considerable falta de claridad conceptual y, en p arte, a que en ellas existen problem as su­ m am ente com p lejos, los cuales requieren, previam ente, un tratam ien­ to riguroso probabilístico y estadístico; habrá p rim ero que analizar

inform alm ente los posibles fundam entos conceptuales que cuentan con apoyo em pírico en esas disciplinas para esperar una eventual axiom atización de ellas. E l escepticism o de Suppes es aún más agudo en sus argum entaciones en co n tra de las múltiples búsquedas de certeza y com pletud del conocim iento científico (véase cap ítu lo 5). Aunque ciertam ente no son viables pruebas form ales acerca de la imposibili­ dad de las tesis de la certeza y la com pletud de ram as de la ciencia empírica, co m o la física, Suppes m uestra la implausibilidad de tales tesis en base a la evidencia científica disponible (véase, tam bién, Sup­ pes [1 9 8 4 ]). Si bien Suppes prop one a la teoría de con ju ntos co m o una m eto­ dología form al general para ser aplicada a cualquier problem a con cla­ ridad conceptual en la filosofía de la ciencia, aboga igualm ente a fa­ vor de otros procedim ientos form ales que ofrecen un nivel razonable de rigor, co m o son: la lógica de prim er y segundo ord en (extensional e intensional), el enfoque de procedim ientos de la com p u tación y el enfoque del rigor informal propuesto p o r Kreisel. E n el capítulo 6, Suppes arguye que esta variedad de procedim ientos form ales son apli­ cables a varios y diversos problem as en el cam po de la filosofía de la ciencia. E sta posición pluralista de Suppes es más profunda dentro de la ciencia misma. En el capítulo 5 , Suppes argum enta, con apoyo en análisis con creto s de diferentes teorías científicas, en co n tra de las tesis reduccionistas de la unidad de la ciencia, en el lenguaje, m étodo y objeto de estudio, del em pirism o lógico, defendiendo la necesidad de una diversidad de lenguajes en las distintas ram as y subram as de la ciencia em pírica, así co m o la diferente naturaleza de sus objetos de estudio y de una pluralidad de m étodos aplicables a los diversos cam ­ pos de estudio de la ciencia. Suppes adelantó, p o r prim era vez, la idea de que el m ism o co n ­ cepto lógico de m odelo es aplicable tanto a teorías m atem áticas com o a teorías físicas o , más bien, que el clásico co n ce p to de m odelo de T arski, co m o una realización posible que satisface to d o s los enuncia­ dos válidos de una teoría, es igualmente aplicable a las teorías de la ciencia física e, incluso, a las teorías em píricas en general. En el ca­ pítulo 7 de esta A ntología, Suppes argum enta a fav o r de esta tesis, abogando, además, que es el uso del co n cep to del m od elo, y no su significado, lo que varía en las ciencias em píricas resp ecto de las ma­ tem áticas, m ostran do có m o los usos variantes de la palabra «m ode­ lo» en ciencias co m o la física, la econom ía y la estadística m atem áti­ ca, pueden encajar en el mismo con cepto lógico d e m od elo. Suppes

extiende este enfoque m od elo-teórico su yo no solam ente a teorías de la medición fundam ental (véase, p. ej., capítulo 11) sino incluso a teo­ rías del experim ento. E n el capítulo 9 , Suppes prop one aplicar este enfoque para constuir modelos de datos experim entales, i. e., m ode­ los de teorías de experim entos relevantes para una teoría científica puesta a prueba. Su tratam iento de los datos incluye un estudio de las teorías del e rro r de los procedim ientos experim entales. En el ca ­ pítulo 8 nos presenta una clasificación de las teorías científicas, de­ term inistas y probabilistas, de acuerdo al tipo de datos experim enta­ les que m anejan, corregibles o incorregibles, i. e ., aquellos para los que se cu enta con una teoría del erro r o aquellos para los que no. L a obra de Suppes sobre las teorías de m edición es m uy amplia. El se ha preocupado principalm ente p o r con stru ir teorías realistas de m edición, i. e., teorías que bajo sus interpretaciones factuales p ro ­ puestas cuenten con un correlato operacional realizable de m anera efectiva, form uladas axiom áticam ente. Y a en 1954 (véase el capítu­ lo 2 ), Suppes anunció este enfoque su yo. En el capítulo 11 de esta A n ­ tología se encuentra el trabajo que reabrió la investigación de los fun­ dam entos axiom áticos de la m edición en tiem pos recientes. E ste en­ foque axiom ático a la medición de Suppes abarca no solam ente la enunciación formal de los axiom as de las teorías, y la derivación ló­ gica de sus teorem as, sino también la dem ostración del teorem a de representación, i. e ., p rob ar que cualquier estructura que satisface los axiomas puede mapearse hom om órficam ente en los núm eros reales, y el teorem a de unicidad, i. e., probar en qué m edida la representa­ ción dem ostrada es única m ostrando bajo qué tipo de transform acio­ nes se preserva. Suppes además de ocuparse de estos teorem as en los ejemplos de m edición, tanto fundam ental co m o derivada, de cualida­ des extensivas o intensivas, dados en los capítulos 10, 11 y 12, en el décim o discute los problemas generales que se encuentran en el tra­ tam iento axiom ático de las teorías de la m edición. E n esta A n tología he recogido, capítulo 13, una m uestra del tra­ bajo de Suppes en el cam po de la filosofía de la probabilidad en el que él ha contribuido significativam ente, en particular en el proble­ ma de dar un análisis probabilista adecuado del co n cep to de causali­ dad. A quí el lector encontrará precisam ente una discusión sobre la aplicación de nociones probabilistas a la causalidad en las ciencias so­ ciales. D eseo m anifestar mi agradecim iento al P ro feso r Suppes p o r ha­ ber escrito un prefacio para esta com pilación. Igualm ente agradezco

a los señores editores de Alianza E ditorial su interés en esta publi­ cación y a los señores traductores su co o p eració n . P arte de este tra­ bajo lo realicé durante mi estancia en 1985, en un año sab ático, en el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la U niversidad N acional A u tó n o m a de M éxico; e x p re so también mis agradecim ientos a esa In stitu ció n .

J o s é L u is R o l l e r i Universidad Michoacana

R E F E R E N C IA S (1954): E. W. Adams, Axiomatic Foundations o f R igid Body M echa­ nics, Stanford University, tesis doctoral, 1955.

A dam s

Adams (1959): E. W. Adams, «The Foundations of Rigid Body Mechanics and the derivation of its Laws from those of Particle Mechanics», en The Axiomatic M ethod, L. Henkin et al (eds.), Amsterdam, 1959. MCKINSEY et al (1953): J. C. C . McKinsey, A. C . Sugar y P. Suppes, «Fun­ damentos axiomáticos de la mecánica clásica de partículas», Lecturas Fi­ losóficas, México n.“ 1, 1979. McKlNSEY y SUPPES (1953): J. C . C. McKinsey y P. Suppes, «Transformations of Systems of Classical Particle Mechanics», Jo u rn a l o f Rational Mechanics and Analysis, 2, 1953. R u b ín y Suppes (1954): H , Rubin y P. Suppes, «Transformations of Systems of Relativistic Particle Mechanics», Pacific Jo u rn a l o f Mathematics, 4, 1954. SUPPES (1959): P. Suppes, «Axioms for Relativistic Kinematics with or winhout Parlty», en The Axiom atic M ethod, L. Henkin et al (eds.), Ams­

terdam, 1959. (1984): P. Suppes, Probabilistic Metaphysics, Basil Balckwell, OxfordNueva York, 1984.

SU PPES

Capítulo 1 FILOSOFIA Y LOS FUNDAMENTOS AXIOMATICOS DE LA FISICA*

D urante los dos últimos años, la Facu ltad de Filo so fía de la U n i­ versidad de Stanford ha dedicado algún tiem po a investigaciones so­ bre los fundam entos axiom áticos de varias ramas de ia física. E n la presente com unicación nos proponem os d ar una breve explicación, relativamente no técnica, de la naturaleza de este trabajo y explicar su relevancia con problem as más generales de la filosofía de la cien­ cia1. P o r una axiom atización de una ram a de la ciencia em pírica, o de una ram a de las m atem áticas, aquí querem os decir una definición de un predicado conjuntista; usualm ente, de un predicado que se aplica a un «-tu p ie ordenado (para un n fijo). A sí, en nuestra com prensión del térm ino, la siguiente definición co n stitu y e una axiom atización de la teoría del orden simple.

* Publicado originalm ente en los P roceedings o f th e X lt h . International Congrcss o f Philosophy, V ol. V I, Philosophy an d M etbodology o f the Sciences o f Natttre, Bru­ selas, 1953. (N o rth -H o llan d , A m sterdam , pp. 4 9 -5 4 ). Versión castellana de José Luis Rolleri. 1 Estam os agradecidos con el Profesor D onald H . D avidson p o r algunas sugeren­ cias y críticas útiles.

D efinición l. T es un ord en sim ple si y sólo si hay un conjunto K y una relación binaria R tal que T = {K , R ) (i.c, f es un par o r­ denado cu y o prim er m iem bro es K y cu y o segundo m iem bro es R ) tal que para toda x, y , z : (i) si {x , y ) e R , entonces x € K c y e K ; (¡i) si x € K e y e K , entonces o ( x , y ) e R o {y , x ) e R ; (iii) si (x , y ) € R e (y , z ) e R , entonces (x , z ) e R ; (iv) si ( x , y ) e R e (y , x ) £ R , entonces x — y . Podem os señalar que cuando una disciplina es axiom atizada de esta manera, los teorem as de la disciplina se convierten en teoremas de la teoría de conjuntos. D e esta m anera el siguiente es un teorem a de la teoría de conjuntos considerando el predicado definido «es un orden sim ple»: Si { K , R ) es un orden simple y x e K , entonces { x , x ) e R. Adem ás de los térm inos del cálculo de predicados más bajo («y », «existe», etc.), una axiom atización puede con ten er tan to térm inos pri­ mitivos co m o definidos de la teoría de conju ntos. A sí la D efinición 1 contiene los térm inos prim itivos «conjunto» y « e » de la teoría de conjuntos, así co m o los térm inos «par ord en ado» y «relación bina­ ria», cuyas definiciones dentro de la teoría de conjuntos son bien co ­ nocidas. Similarmente, una axiom atización puede con ten er tales tér­ minos definidos de la teoría de conjuntos co m o «núm ero real», «fun­ ción continua» y «series convergentes». P ero es esencial que una axiom atización no contenga térm inos del lenguaje ordinario que no per­ tenecen ni al cálculo de predicados más bajo ni a la teoría de conjun­ to s; así no consideram os una axiom atización a algo si contiene tér­ minos tales co m o «observación» e «inform ación». A lgunos de los «sistemas de axiom as» que han sido p ro p u esto s2 para ram as de la ciencia empírica violan este can on, incluso de m anera que no es fácil ver cóm o podrían transform arse en axiom atizaciones en nuestro sen­ tido de la palabra. C o m o lo hem os implicado anteriorm ente, significam os p o r una axiom atización de una rama de la ciencia em pírica, exactam ente el mismo tipo de definición conjuntista que tenem os en m ente cuando

2

Véase por ejemplo Bhabha (1 9 4 9 ), pp. 4 5 1 -4 6 2 , donde el «Postulado 2» es el s

guiente: «Existe una función lP , llamada la función onda, cuyos valores están defini­ dos en todos los puntos en una superficie semejante al espacio, tal que provee la can­ tidad máxima posible de inform ación que puede ser obtenida p o r observación acerca del sistema del estado físico». (Subrayado nuestro.)

hablamos de una axiom atización de una rama de las m atem áticas. Para ilustrar este p un to, y para p roveer un ejemplo para algunas conside­ raciones generales que querem os hacer después, dam os ahora una axiom atización de la m ecánica clásica de partículas que ha sido desa­ rrollada p or nosotros en colab oración con el d o c to r A . C . Sugar3. Elegim os este ejem plo particular debido a la familiaridad de su o b ­ jeto y a la simplicidad relativa de la entidad conjuntista que involu­ cra; algunos señalamientos considerando la in terpretación física p ro ­ puesta de los térm inos empleados se encontrarán inm ediatam ente des­ pués de la definición. D efinición 2. T es un sistema d e la m ecánica clásica, d e partículas si y sólo si existen los conjuntos P y T y las funciones m , s y f tales que T ~ (P , T , m , s, f ) y : (i) P es un con ju nto finito no v a cío ; (ii) T es un intervalo de núm eros reales; (iii) m es una función unaria, cu yo dom inio de definición es P, y cu yos valores son núm eros reales positivos; (iv) s es una función binaria cu y o d om inio de definición es el p ro d u cto cartesiano de P y T (i. e., el con ju nto de tod os los pa­ res ordenados ( p , t ) , donde p e P y t e 7"), y cu yos valores son v e c­ tores tridim ensionales; (v )/ es una función ternaria c u y o dom inio de definición es el p rod ucto cartesiano de P, T y el co n ju n to de tod os los enteros positivos, y cu yos valores son vectores tridim ensionales; (vi) para cualquier p en P y £ en T, las series infinitas (de vectores)

X /( p .í > i- I

son absolutam ente convergentes; (vii) para cualquier p en P y t en T, la segunda derivada ((cP/dt2) s {p, í)) de la función s existe y satisface la ecuación

m i p ^ iP /d ^ s ip , t) = ¿ fi p , f. 0 i« 1

3 La axiom atización dada es esencialmente la misma (excepto que aquí nos restrin­ gimos a sistemas iri-dimcnsionales) que la ofrecida en un írtícu lo del D o cto r Sugar y nosotros, M cK in scy ct al (1^53),

En la interpretación física propuesta, un sistem a (P , T, m , s, f ) de la m ecánica clásica de partículas será tal que: (1 ) P es un co n ju n to de partículas (las cuales pueden ordinariam ente ser concebidas o com o pequeños cuerpos o co m o los cen tros de masa de los cu erp o s); (2) T es un intervalo de núm eros reales que mide tiem po transcurri­ do (en térm inos de alguna unidad de tiem po y m edidos desde algún origen tem p o ral); (3 ) para tod a p en P y t en T , s (p, t) es un vector que da la posición de p en el m om ento t; (5 ) para toda p en P y t en T, y para cualquier en tero positivo i, f (p, t, i) es un v e cto r que da las com p on entes (paralelas a ios ejes del sistem a de coordenadas) de la i-ésim a fuerza actuante en p en el m om ento í. (E n las interpreta­ ciones físicas, el orden de las fuerzas aplicadas puede ser arb itrario: así no tiene ningún interés q u e / (p, t, 1) es la prim era y / (p, t, 2) es la segunda fuerza actuante en p en el m om ento t; sóio es im portante q u e / (p, t, 1) y / (p, t, 2) se distingan.) E s bien co n o cid o que la teoría de conjuntos puede ser form aliza­ da dentro del cálculo de predicados más bajo. Sin em bargo, tod os los térm inos que ocu rren en la D efinición 2 o y a son térm inos del cál­ culo de predicados más bajo o so n definibles dentro de la teoría de conjuntos. D e ahí, la D efinición 2 podría o frecer una form alización de la teoría de la m ecán ica clásica de partículas dentro del cálculo de predicados más bajo. Puede ser señalado, sin em bargo, que para algunos p rop ósitos se­ ría deseable p roveer form alizaciones independientes de varias ramas de la física, sin ir a través de la teoría de conjuntos. Tales form aliza­ ciones independientes podrían ser útiles para el tratam ien to de cier­ tos p roblem as; p o r ejem plo, el problem a de establecer m etateorem as que relacionen los enunciados dem ostrables en una ram a form alizada de la física con aquellos dem ostrables en o tra. H a sta el m o m en to , sin em bargo, no nos hem os ocu pad o con tales problem as «m eta-físicos», y hem os en contrad o innecesarias dichas form alizaciones indepen­ dientes. A h o ra v am os a algunas observaciones y consideraciones que se p rop onen indicar la utilidad del m étodo axiom ático para la filosofía de la ciencia en general. E n p rim er lugar, debe notarse que nuestra axiom atización de la m ecánica clásica de partículas nos provee de una ilustración especí­ fica de algunas consideraciones generales que pueden hacer los filó­ sofos acerca de las teorías científicas. P o r ejem plo, la tesis que es p ar­ te de la d octrina del convencionalism o, de que se hacen en ciencia em ­

pírica ciertas suposiciones con propósitos puram ente form ales, es ilustrada p or la condicón (ii) de la Definición 2 : desde el punto de vista de lo que es em píricam ente verificabic, esta con dición podría ser reem plazada p o r ia suposición más débil de que T sea un c o n ­ junto de núm eros reales que contiene todos los núm eros racionales de algún intervalo; pero esta suposición más débil sería m atem ática­ mente inconveniente. E l intento de derivar de la Definición 2 los teorem as esperados acerca de ios sistemas de la m ecánica clásica de partículas hace llam a­ tivamente patente que las form ulaciones usuales de la m ecánica em ­ plean conectivas enunciativas de un género no extensional: así c o ­ m únm ente se dice que el cen tro de masa de un sistema de partículas se mueve como si todas las masas estuvieran concentradas ahí, y que la resultante de todas las fuerzas actuarán ahí; y se dice que una p ar­ tícula está en un cam po conservativo de fuerza si el trabajo realizado en moverla alrededor de cualquier cam ino cerrado posible es cero . El carácter con trovertid o de la amplia literatura en lógica m odal y co n ­ dicionales subjuntivos, p or el o tro lado, hace deseable desarrollar la física teórica dentro de un m arco conceptual de lógica extensional. En los casos que hem os considerado aquí, parece que esas locuciones no extensionales pueden ser evitadas4 considerando familias de siste­ mas del tipo en cuestión, que están relacionadas entre sí de una m a­ nera apropiada. Más aun, no vemos o tra m anera de evitar tales lo cu ­ ciones. L a presentación axiom ática de varias ram as de la ciencia tam bién arroja luz sobre el significado del reduccionism o3, el cual usuaim ente se caracteriza sólo en las siguientes líneas: una ram a de la ciencia em ­ pírica se dice que es reducible a o tra si las leyes de la p rim era rama son consecuencias de aquéllas de la segunda. U n ejem plo clásico es la reducción de la term odinám ica a la m ecánica estadística. C u estio ­ nes acerca de la reducibilidad no pueden ponerse de una form a m uy aguda cuando intentam os basar nuestra discusión sob re las form ula­ ciones de la ciencia corrientem ente recibidas. En las form ulaciones usuales de la term odinám ica, p o r ejem plo, no se hace ninguna dis­ tinción de co rte claro entre hechos experim entales y suposiciones teó­

4 Para un tratam iento extensional del cen tro de m asa, véase M cK in sey et al (1953), T eorem a 3. 5 U na discusión general del significado de la reducción puede encon trarse en el tra­ bajo de Ernest N agel, N agel (1 9 4 9 ),

ricas, e incluso no es manifiesto qué se considera co m o el carácter conjuntista de un sistema de la term odinám ica. P o r el o tro lado, tan p ro n to co m o tenemos un análisis axiom ático de dos ram as de la fí­ sica teórica, la cuestión de si una de ellas es reducible a la otra puede form ularse de una m anera clara, y en algunos casos, contestarse de­ finitivamente. P o r ejem plo, un estudiante n uestro, el Sr. Ernest A dam s, ha m ostrado que la m ecánica clásica del sólido rígido es, en un sentido definido, reducible a la m ecánica clásica d e partículas: usando nuestra axiom atización de la m ecánica clásica de partículas, él ha definido la noción de un sistem a de la m ecánica del sólido seu­ do-rígid o, en donde p o r un sólido seudo-rígido se significa (intuiti­ vam ente) un con ju nto finito de partículas cuyas distancias mutuas perm anecen invariantes a través del tiem p o ; él entonces ha dem os­ trado que para cada sistem a de la m ecánica del sólido rígido6 existe un sistema de la m ecánica del sólido seudo-rígido que es en un sen­ tido apropiado isom órfico a aquél. Sin un análisis axiom ático es im­ posible m ostrar de una m anera p recisa sim ilar que la term odinám ica es reducible a la m ecánica estadística. E strecham ente con ectad a con el p roblem a de la red u cción está la cuestión de cóm o una teoría «clásica» que se ocupa de cierto dom i­ nio de fenómenos está relacionada con una teoría «m oderna» de los m ism os fenómenos. P o r ejem plo, uno obtiene una com prensión pre­ cisa de la relación entre m ecánica clásica de partículas y la m ecánica relativista de partículas (en el sentido de la teoría especial de la rela­ tividad) com parando la axiom atización dada en este artículo con una axiom atización de la m ecánica relativista de partículas dada p o r el Pro feso r H erm án Rubin y uno de los presentes au tores7. E l análisis axiom ático de la física, además de clarificar varios p ro ­ blemas filosóficos estándar, frecuentem ente sugiere nuevos proble­ mas que son interesantes para el filósofo, y que de o tra m anera no serían fácilmente form ulados. P o r ejem plo, en vista de la falta de acuerdo entre varios autores hasta ah ora al considerar su tratam iento de la T ercera L ey de N ew ton , es para uno un enigm a si se incluye esta ley com o una de las condiciones de la D efinición 2 . E l problem a entonces surge de si cada sistema en el sentido de la D efinición 2 es un subsistema de un sistema que satisface la T ercera L e y . La respues­

6 La axiomatización de la m ecánica clásica del sólido rígido usada en conexión a esto se debe conjuntamente al Sr. Adams y al Profesor H erm án Rubin. 7 En Rubin y Suppes (1 9 5 4 ).

ta a esta cuestión resulta ser afirm ativa8; lo cual en una considerable medida justifica la om isión de esta ley de las condiciones de la D efi­ nición 2 . U n segundo ejemplo es el problem a de d eterm in ar el c o n ­ junto S de transform aciones que siempre lleva sistem as de la m ecáni­ ca de partículas a sistemas de la m ecánica de partículas. Puede m o s­ trarse que cada transform ación galileana pertenece a S, al cam biar las unidades de m edición; más aun, cada m iem bro de S que satisface cier­ ta hipótesis más débil es expresable co m o un p ro d u cto de tran sfor­ maciones galileanas y cambios de unidad9. En con clu sión , nos gustaría urgir que, aparte de estos varios ar­ gum entos especiales a favor de la axiom atización de las ciencias, tal p rogram a posee para los filósofos el valor intrínseco de hacerlo ca ­ paz de co n o cer de lo que él está diciendo cuando habla de una u otra ram a de la ciencia. Difícilmente podem os decir, p o r ejem plo, que en­ tendem os lo que decimos p or la m ecánica clásica de partículas hasta que con ocem os cuáles son los térm inos y leyes fundam entales de esta disciplina, y una m anera de saber esto es dar a la ciencia una fundam entación axiom ática.

" Vcasc M cK insey el al (1953), Teorem a 8. ’‘ Véase M cK insey y Suppes (1953).

Capítulo 2 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LOS PROBLEMAS Y METODOS DE LA FILOSOFIA DE LA CIENCIA"'

¿Q u é clase de disciplina es la filosofía de la cien cia? Sería difícil en contrar cualquier tipo de acuerdo en la respuesta a esta cuestión. H ay un gran núm ero de físicos que han p ro m o v id o la idea de que esta disciplina es un género de periodism o có sm ico : cualquier nuevo descubrim iento m ay o r en física asegura, tom ánd olo co m o venga, un análisis de las fronteras del conocim iento científico basta el últim o mi­ nuto. P o r o tro lado, las sirenas oxonienses del lenguaje ord in ario nos dicen que cualquier escrutinio cuidadoso de cuestiones científicas téc­ nicas no es propiam ente una actividad filosófica. Q u ie ro argüir aquí, que el filósofo de la ciencia no necesita ser ni un p eriodista de la cien­ cia ni m eram ente un hom bre penetrante del sentido co m ú n , eterna­ mente restringido a contem plar el significado general de nociones ta­ les co m o la de la m ente, el libre albedrío, causa y d eterm inism o. D urante el siglo pasado, la disciplina antigua y tradicion al de la lógica ha sido transform ada en una disciplina científica profunda y

:í Publicado originalmente en Philosophy o f Science, V ol. 2 1 , n .n 3 , 1954. Estoy agradecido con el Profesor Donald Davidson y la Sra. Muriel W in et por varias suge­ rencias útiles. Este escrito fue leído en la Reunión de 1953 de la D ivisión Pacífico de la A sociación Filosófica Am ericana. Versión castellana de José Luis Rolleri.

seria. Es verdad que hay, desde luego, una gran variedad de ensayos, que incluyen escritos sobre la lógica así com o trabajos de lógica ma­ tem ática, que abarcan desde exposiciones populares de la semántica a defensas desapasionadas de ta prim acía de la silogística aristotélica. Aun así, me parece que es cierto que cuando la lógica es m encionada en la filosofía contem poránea, un núcleo sólido de estudios y resul­ tados viene a la m ente de cualquier persona p ró xim a al cam p o: los trabajos asociados a R ussel!, W hitehead, G odel, T arski, C hu rch y Q uine, para m encionar sólo unos cuantos lógicos eminentes. N o puede decirse que existe un núcleo sólido de estudios simila­ res en la filosofía de la ciencia. E n este dom inio no existen resultados definitivos de! tipo que existen en la lógica. E s im posible pensar en resultados análogos a los de G ódel sobre la consistencia y la com p le­ tud, la definición de verdad de T arski, o la d em ostración de C hu rch de que no existe un procedim iento de decisión para el cálculo de p re­ dicados restringido. E l p rop ósito de este artículo consiste en delinear un program a p ar­ cial de un tal núcleo de estudios en filosofía de ia ciencia. P o r razo­ nes de espacio, me restringiré a dos áreas generales: las teorías cien­ tíficas y la teoría de la m edición. M i tesis consiste en que bajo estos dos encabezados no es difícil esbozar un p rogram a de investigación serio que parece peculiarm ente adecuado para filósofos con mentali­ dad científica.

1.

T eo rías científicas

D urante las dos o tres décadas pasadas, los filósofos positivistas han escrito co n gran detalle acerca de la estructura de las teorías cien­ tíficas. R ecientem ente, ellos han estado particularm ente interesados en dar una explicación general de la significatividad científica, lo cual está relacionado con su explicación de esta e stru ctu ra 1. Aunque se han hecho en el cu rso de estas investigaciones m uchas distinciones precisas e interesantes, ha habido p ocos intentos, si es que alguno, p or filósofos que trabajan en esta tradición positivista de dar un aná­ lisis detallado de teorías científicas particulares. A lgunos físicos y m atem áticos, trabajando en líneas diferentes, se

1 Para una revisión de la literatura véase H em pel (1950a) y (1950b ).

han interesado en d ar claridad en los fundam entos de varias ramas particulares de la física (p. ej., M ach (1 9 4 2 ), H am e! (1 9 0 8 y 1901), Frank (1 9 4 6 ), Lindsay y M argenau (1 9 3 6 )). C ien tíficos que trabajan en otros dom inios han estado sim ilarm ente interesados respecto de sus disciplinas. H a y , por ejem plo, escritos de biólogos sob re los fun­ dam entos de la biología (p. ej., W o o d g er (1 9 3 7 y 1 9 5 2 )) y escritos de econom istas sobre los fundam entos de la econ om ía (p. ej., A rro w (1 9 5 1 ), F raser (1 9 3 7 ), L ittle (1 9 5 0 ) y R obbins (1 9 3 5 )). Si tom am os com o ejem plo a la literatura en los fundam entos de la física, conclui­ mos más bien p ro n to que los físicos no están m uy co n ten to s con ia tarea de investigación seria en fundam entos. L a dificultad principal consiste en que los científicos practicantes rara vez son sensitivos a cuestiones que parecen ser de carácter puram ente form al o m atem á­ tico. U n excelente ejemplo consiste en las m últiples discusiones en re­ lación a la definición de masa en la m ecánica clásica, M ach (1 9 4 2 ), pp. 2 6 4 -2 7 7 , propuso definir la masa relativa de dos cu erp os com o la razón inversa de sus aceleraciones «m utuam ente inducidas», cuan­ do están aislados de otros cu erp os2. E sta sugerencia de M ach, ord i­ nariam ente es discutida co m o si él hubiera o frecid o una definición en el sentido ord in ario, co m o , por ejem plo, cuando definim os la re­ lación de «m enor que» entre dos núm eros reales x e y co m o la rela­ ción que vale si y sólo si hay un núm ero real p ositivo z tal que x + 2 = y. Sin em bargo, es fácil m ostrar que para cualquier axiom a­ tización más o m enos razonable de la m ecánica clásica, la n oción de masa no puede ser definida en térm inos de otras n o cio n es3. P o r o tro lado, si pensam os las ideas de M ach co m o una sugerencia de «defi­ nición coord in ativa», esto es, un enunciado acerca de có m o aplicar em píricam ente la noción teórica de masa, la co n d ición de aislamiento requerida para los cuerpos, hace inútil su p rop uesta. L a única alter­ nativa razonable parece ser considerar su idea co m o una m anera heu­ rística sugerente de pensar acerca de un co n ce p to em píricam ente elu­ sivo. E l resultado final es que ni la física teórica ni la experim ental han sido seriamente clarificadas p or la discusión de M ach, E n vista de hacer progresos en los fundam entos, uno de los re­ quisitos más im portante es separar claram ente la teoría del experi­ m ento. E n lo que concierne a una reco n stru cció n racional precisa de

2 Una discusión más rccicnie de las ideas de M ach se puede encon trar en Lindsay •y Margenau (1 9 3 6 ). 3 Para una dem ostración de esta aserción véase M cK insey et al (1953).

la p orción experim ental de cualquier ciencia, parece haber algunos problem as extrem adam ente difíciles, acerca de ios cuales se hablará más tarde. P ero en el cam p o de la teoría, el cam ino está intacto y am ­ pliam ente abierto. E l m étodo básico de ataque es la axiom atización en el sentido m atem ático estándar. Pero c o m o H cm pel ha señalado extensam ente (1 9 5 2 , p. 8 1 ), al m om ento « L a con cepción de las te o ­ rías científicas presentadas en form a axiom ática es una idealización hecha con p rop ósitos de clarificación lógica y recon strucción racio ­ nal. L o s intentos reales de axiom atizar teorías de la ciencia em pírica han sido raros hasta ahora.» M i prim era propuesta program ática general consiste en que los fi­ lósofos de la ciencia hagan suya la tarca de axiom atizar las teorías de todas las ramas desarrolladas de ia ciencia em pírica. N o tengo tiem­ po aquí para reseñar las varías consecuencias filosóficas interesantes de tal trabajo axiom ático4, pero a los filósofos que preguntan «¿por qué axiom atizar?», brevem ente Ies digo que la axiom atización es una m anera con stru ctiva de o b ten er el tipo de claridad y precisión inte­ lectuales que los filósofos siem pre persiguen con respecto a los fun­ dam entos de varias ciencias. D esafortunadam ente m uchos buenos fi­ lósofos parecen trabajar bajo la errónea im presión de que para axio ­ m atizar a una disciplina científica, o a una ram a de las m atem áticas, se necesita form alizar a la disciplina en algún lenguaje artificial bien definido. Así, se m antiene que para axiom atizar la m ecánica clásica de partículas debem os em pezar p o r dar una definición recursiva de la noción de ser un enunciado de la m ecánica de partículas. E ste pun­ to de vista lingüístico está, en mi opinión, seriam ente equivocado, y la predom inancia de esta actitud tal vez ha sido una de las principales razones de la falta de resultados substanciales positivos en la filosofía de la ciencia. C u an d o recu rrim os a cualquier ram a de la ciencia que usa las m atem áticas de una m anera seria, claram ente no querem os fo r­ m alizar un lenguaje para esta ram a de la ciencia. L a tontería práctica de tal form alización está constatada p o r el h echo de que las ram as de las m atem áticas necesarias para ia física no han sido form alizadas, y los filósofos de la ciencia que intentan form alizar la m ecánica, por ejem plo, habrían de form alizar p rim ero no sólo el cálculo diferencial e integral, sino tam bién la teoría de las m atrices, la teoría de las ecua­

4 Para consideraciones generales véase M cK in scy y Suppes (1 9 5 3 a ); algunas apli­ caciones especiales a problemas de la teoría del significado se encuentran en M cK inscy y Suppes (1 9 5 5 ).

ciones ordinarias y diferenciales parciales y una buena p orción de la teoría de las funciones de una variable real. A fortunadam ente podem os p rocu rar un p rogram a de axiom atiza­ ción sin con stru ir ningún lenguaje formal. El p u n to de vista p or el que estoy abogando es que los m étodos básicos apropiados para los estudios axiom áticos en las ciencias empíricas no son m etam atem áticos (y así sintácticos y sem ánticos), sino conjuntistas. A xio m atizar la teoría de una ram a particular de la ciencia em pírica en el sentido que estoy defendiendo consiste en dar una definición de una noción co n ­ juntista, tal co m o la de sistema de la m ecánica clásica de partículas (véase M cK insey et al [1 9 5 3 ]), o la de sistema de la m ecánica del só ­ lido rígido (véase Adam s [1 9 5 4 ]), o la de sistema de la genética m endeliana (Rubin (n o publicado)). L os m étodos usados para dar tales definiciones son precisam ente similares a los usados en la m atem ática m oderna para definir nociones tales com o la de retícu lo , anillo alge­ braico o espacio de H iib ert. P odem os, desde luego, visualizar una for­ m alización de la teoría de conjuntos y , con secu entem en te, una for­ m alización dentro de un único lenguaje de la p o rció n teórica de to ­ das las ramas de la ciencia em pírica. Sin em bargo, no existe ai m o ­ m ento ninguna form alización de la teoría de con ju ntos lo suficiente­ mente desarrollada co m o para incluir las diversas ram as de la m ate­ mática ya m encionadas. E n la práctica logram os un grad o suficiente de rigor y claridad usando sin form alización las ram as de la m atem á­ tica necesarias para el desarrollo de las ciencias em píricas. Y nuestro aparato básico conjuntista puede ser manejado de una m anera intui­ tiva5. E l trabajo con ectad o co n la axiom atización en el sentido de dar una definición conjuntista de las nociones fundam entales de una rama dada de la ciencia em pírica puede ser dividido en cu a tro partes. P ri­ mera, es necesario que haya una declaración de cuáles teorías se su­

5 E sto no es negar la gran significación de la teoría axiom ática de conjun tos para los fundamentos de la m atem ática. U sar la teoría intuitiva de conjun tos cuando se es­ tudian los fundamentos de las ciencias empíricas es sim plem ente un recurso. C o n res­ pecto a varias ram as de la m atem ática, la form alización (en el sentido de la construc­ ción de un lenguaje artificial) no es necesaria, pero algunas veces es racionalm ente ne­ cesario reconstruir dentro de la teoría intuitiva de conjuntos cie rto s dom inios m ate­ máticos. U n buen ejem plo es la necesidad de reconstruir la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales para usarla al estudiar los fundamentos de la m ecánica, Esta dis­ ciplina ordinariam ente se presenta de una manera enteram ente insatisfactoria desde el punto de vista de los fundamentos.

ponen. P o r ejem plo, al axiom atizar la m ecánica del sólido rígido, es conveniente suponer no sólo las ramas estándar de la m atem ática, sino también la mecánica clásica de partículas. Segunda, las nociones primitivas de la teoría requieren ser enlistadas y su carácter conjuntista indicado. P o r ejem plo, en la m ecánica de partículas necesitam os nociones primitivas tales co m o el conjunto de partículas, el intervalo de tiem po transcu rrid o, la fu n ció n posición y la fu n ció n masa (para detalles ulteriores véase M cK insey et a l [1 9 5 3 ]). T e rce ra , es necesario que la definición conjuntista sea com pletada enlistando los axiom as que deben satisfacerse. E stam os entonces en posición para investigar las consecuencias deductivas de nuestra definición. U n a de las tarcas principales consiste en recon struir racionalm ente los teorem as están­ dar de la ram a de la ciencia manejada. T am bién, disponible una a xio ­ m atización tal, podem os preguntar la clase de cuestiones caracterís­ ticas de la m atem ática m od ern a; p o r ejem plo, qué tipo de teorem as de representación pueden dem ostrarse. P odem os m encionar que el problem a del reduccionism o, tan discutido en años recientes p o r los filósofos, podría ser estudiado más apropiadam ente buscando teore­ mas de representación. Si puede en contrarse un teorem a de represen­ tación para una ram a de la ciencia en térm inos de una segunda, po­ demos apropiadam ente decir que la prim era ha sido reducida a la se­ gunda6. C uarta y últim a, se requiere dar una interpretación em pírica de la teoría axiom atizada. D e este tópico quiero ahora ocuparm e, in­ dicando sólo la m anera co m o pueden ser útiles los m étodos con ju ntistas y axiom áticos incluso en dom inios ultraem píricos.

2.

T eo rías de la m ed ición

La relación entre teoría científica y exp erim ento es un tema vasto y com plicado, y parece ser que su análisis preciso es un problem a ex­ cesivam ente difícil. H a habido una gran cantidad de discusión de este problem a en la literatura de la filosofía de la ciencia, pero también ha habido una lamentable ausencia de p rogreso sistemático. Las dis­ cusiones de C arnap (1 9 3 6 -3 7 ) sobre los enunciados reductivos es una

6 Hasta donde yo se, la prim era (e incluso la últim a) solución rigurosa de un pro­ blema de reducción significativo es el que se encuentra en Adams (1954). El muestra en un sentido apropiado, que la m ecánica del sólido rígido es reducible a la mecánica de partículas.

de las contribuciones más substanciales, p ero él no intenta un análi­ sis detallado de ninguna rama de la física, y hasta donde yo sé, no existe un análisis tal en la literatura7. C u an d o se da en form a axio ­ m ática una teoría tal co m o la m ecánica clásica de partículas, el p ro ­ blema se reduce a dar una interpretación em pírica de las n ocion es p ri­ mitivas o de ciertas nociones definidas de la teoría. Y a que en cu al­ quier ram a avanzada de la ciencia estam os usualm ente interesados en la interpretación de nociones cuantitativas, p ro n to en con tram os que es necesaria una teoría sistem ática de Ja m edición. L a tarea prim aria de la teoría de la medición parece ser que consiste en tender un puen­ te en la brecha que hay entre las observaciones cualitativas («esta vara es más larga que aquella», «este plato de la balanza está más alto que aquél») y las aseveraciones cuantitativas dem andadas en las teorías científicas desarrolladas («la longitud de esta vara es de 5 ,6 cm s .» , «la masa de esta bola de acero es de 7,2 grs.»). E n otras palabras, la te o ­ ría de la m edición debe m ostrar có m o p odem os pasar legítim am ente de la burda región de las cualidades de las rápidas observaciones del sentido com ún al reino preciso y m étrico de ia ciencia sistem ática. L os m étodos conjuntistas más bien que los lingüísticos o m etam atemáticos parecen ofrecer las mejores técnicas para hacer esta transición. Y a hay en la literatura (H oeld er [1 9 0 1 ], N agel [1 9 3 1 ], von N ew m an y M orgerstern [1 947], pp. 2 4 -2 9 , H em pel [1 9 5 2 ], Suppes [1 9 5 1 ], Sup­ pes y W in et [1955]) varios conjuntos de axiom as de la m edición de diferentes clases. El propósito de esas axiom atizaciones es dar un tipo de álgebra de operaciones y relaciones exp erim entalm ente realizables. A sí, al estudiar la medición de la m asa, un tipo natural de n oción p ri­ mitiva consiste en dar una relación C de coin cid en cia tal que x C y si y sólo si cuando el cuerpo x está en un platillo de una balanza y el cuerpo y en el o tro , el brazo de la balanza p erm an ecerá en equilibrio h orizontal. L a tarea formal consiste en d em o strar que los axiom as da­ dos para las nociones primitivas en verdad garantizan que la m edi­ ción en el sentido apropiado está efectuándose si los axiom as son sa­ tisfechos8. 7 La física experimental es más discutida, desde luego, p o r escritores de los fun­ damentos de la física, pero no con o zco ninguna discusión detallada que proceda con algún grado apreciable de precisión lógica. * Desde un punto de vista m atem ático, ia tarca form al consiste en buscar un teo­ rema de representación en el dominio de los números reales co n la representación úni­ ca de las transform aciones apropiadas (p. cj., transform aciones de similitud para la me­ dición de la m asa, transformaciones lineales para la m edición de la longitud).

M i segunda propuesta program ática general consiste en que los fi­ lósofos de la ciencia hagan suya la carea de desarrollar axiom atizaciones em píricam ente más realistas para varios tipos de m edición’ . P o d e m o s d ar un ejem plo para h acer un p o co más definido lo que q u iero d ecir p o r «axiom atizaciones em píricam ente realistas». T o d o co n ju n to de axiom as para la m edición de la masa supone que la re­ lación de coincidencia m encionada antes es transitiva y, sin em bargó, éste n o es e! caso con ninguna balanza real. U n o podría to m ar la ac­ titud de que este axiom a de transitividad es una idealización inocen­ te, p e ro co m o una cuestión de h echo, esta suposición, junto con una u o tras dos de carácter sim ilar, tienen la em barazosa consecuencia de que debe haber un núm ero infinito de objetos distintos cuyas masas deben ser m edidas, y quizá aún peor, de que debe haber indefinida­ m ente ob jetos pesados. C iertam ente, esta consecuencia es difícilmen­ te com p atible co n los hechos más ob vios concernientes a la práctica em p írica efectiva de m edición de m asa. A pesar de que hay una m ultitud de problem as bien definidos si­ m ilares al ejem plo relativo a la transitividad, sólo hay unos cuantos resultados bien definidos esparcidos en la vasta literatura sobre la teo ­ ría de la m edición. M e parece que hay aquí un extenso cam po de cul­ tivo p ara filósofos con mentalidad científica. D ebe adm itirse, sin em ­ b arg o , que no todos los filósofos que han pensado acerca de la teoría de la m edición están de acuerdo co n la con cepción de que la tarea principal es el desarrollo de axiom atizaciones más realistas. P ero en mi op in ión , tales filósofos piensan equivocadam ente que la axiom a­ tización de los varios tipos de m edición es del m ism o nivel que la axiom atización de las ram as desarrolladas de la ciencia, tales com o la m ecán ica. E n el últim o caso, la idealización es útil en en carecer enor­ m em ente las consecuencias deductivas de la teoría. P e ro la teoría de la m edición no tiene consecuencias deductivas interesantes co rresp o n ­ dientes. Su entera raison d ’étre es dar un análisis m etodológico pre­ ciso de las prácticas empíricas de m edición, y en el grado en que la teoría se desvía toscam ente de lo que es factible em píricam ente, se­ guram ente es deficiente. Si el espacio lo perm itiera, habría dedicado una tercera sección a

9 Las axiom atizaciones que se adecúan a los hechos fácticos m ejor que las ahora disponibles tienen implicaciones interesantes para la epistemología así co m o para la fi­ losofía de la ciencia. (C fr. G oodm an [1 9 5 1 ], cap. X ) , pero esas conexiones no pueden ser desarrolladas aquí.

Ja aplicación de los m étodos conjuntistas a ia teoría de la probabili­ dad y a la inducción. Aunque se han obtenido resultados interesan­ tes en este dom inio p or filósofos usando el enfoque lingüístico (p or ejemplo, C arn ap (1 9 5 0 )), parece haber, al m enos, tanta potencia en el enfoque conjuntista. C iertam ente el últim o puede resultar m ucho más rápido para asir las concepciones que dom inan la estadística m o ­ derna (véase, p o r ejem plo, W ald [1950] y Blackwell y G rischick [1954]).

Capítulo 3 EL METODO AXIOM ATICO EN LAS CIENCIAS EMPIRICAS*

1.

In tro d u cció n

Mi intención origina! era dar una plática prim ariam ente sobre la teoría de los modelos aplicada a la teoría de la m edición en las cien­ cias em píricas. C onversaciones co n Tarski previas al Sim posio cam ­ biaron mi idea. A cord am os que sería deseable h acer un estudio, aun cuando superficial, del lugar que ocupan el m éto d o axio m ático y la teoría de modelos en las ciencias em píricas. Y así mi p ro p ó sito pre­ sente es hacer un intento de tal estudio. R e co n o z co las dificultades que el tema entraña y consecuentem ente pido disculpas p o r adelan­ tado. E l estudio será necesariam ente idiosincrásico, restringido a los tem as sobre los cuales tengo algún con ocim iento. C o m en zaré con la m edición, continuaré con la física y finalizaré co n el lenguaje natu­ ral. E n todo m om ento trataré de enfatizar problem as abiertos. Sin em bargo, antes de co m en zar quiero hacer co n star mi propia

Publicado originalmente en los P roceedings o f tbe Tarski Sym posium . Proco.' dings o f Simposio in P are M athematics 2 5 , editado p o r L . H enkin et al, A m erican M at­ hematical Society, Pcovidence R . I., 1974, pp, 4 6 5 -4 7 9 . Versión castellana do A rtu ro l-cm us M artínez.

deuda intelectual con A ífrcd T arski, tanto directa co m o indirecta. P o co después de llegar a Stanford en 1950, co m en cé a asistir al semi­ nario de T arski en B erkeley. En 1951, J. C . C . M cK insey se in cor­ p o ró a la Facultad de Stanford y en 1952 im partí un cu rso de filoso­ fía de la ciencia en B erkeley, en ei que estaban inscritos co m o estu­ diantes de pregrado Richard M ontague y D ana S co tt. L o s años de es­ tre ch o co n tacto con M cK insey y S cott han sido de un significado per1 m anente para mí y es justo decir que am bos fueron influenciados por Tarski probablem ente más que por cualquier otra persona. C uando M cK in sey y yo pensam os p o r prim era vez en trabajar en los funda­ m en tos axiom áticos de la física en 1951, discutim os nuestros planes y líneas de ataque con Tarski en más de una ocasión, su ap oyo y fa­ vorables consejos fueron im portantes para n o so tro s. E s un placer, en esta ocasión tan apropiada, h acer patente m i deuda con A lfred T ars­ ki así co m o m anifestar el valor que le o to rg o a la amistad que du­ rante tantos años llevamos.

2.

M edición

L a teoría de la m edición p rop orcion a algunos de los ejemplos más simples y claros del m étod o axiom ático en las ciencias empíricas. A d em ás, la tradición axiom ática es m uy vieja en la teoría de la m e­ d ición. Puede considerarse que gran parte de la geom etría griega an­ tigua pertenece propiam ente a la teoría de la m edición y lo que m u­ chos pretenderían que es el prim er tratado de física m atem ática, el tra­ tad o de A rquím edes O n the Equilibriitm o f Planes, es, en el L ib ro 1, prim ariam ente un análisis axiom ático de la m edición conjunta en el caso de pesos en equilibrio con distancias desiguales entre los pesos y el punto de apoyo de la palanca. D esde un punto de vista lógico, la medición es tam bién una área razonablem ente sim ple de aplicaciones axiom áticas, p orq ue cuando el co n ju n to básico de objetos a ser m edidos es finito, entonces en la m ay o ría de los casos uno puede axiom atizar com p letam en te la teoría d entro de la lógica ordinaria de prim er orden. P o r supuesto, una vez que un conjunto infinito es perm itido co m o co n ju n to básico de o b ­ jetos, es necesario en ton ces, para obtener el teorem a estándar de re­ presentación en térm inos de núm eros reales, un axiom a arquim ideano o algún axiom a equivalente, lo cual nos lleva m ás allá de la lógica de prim er orden.

Desde un punto de vista m atem ático hay dos problem as estándar para una teoría de la medición dada. U n o consiste en en co n trar un conjunto de axiom as para los cuales puede encontrarse un teorem a de representación en los núm eros reales que preserve la estructura en el sentido isom órfico u h o m om órfico apropiado. E l o tro consiste en determ inar la unicidad de la representación, unicidad en la m ayoría de los casos para algún grupo de transform aciones, aunque en ciertos casos ei conjunto de transform aciones que preserva la representación no forma un grupo. D ebido a la simplicidad lógica de muchas teorías de la m edición es posible obtener algunos resultados m atem áticos exp lícitos. Un ejemplo de tales resultados fue ofrecido en un artículo que publiqué con S cott (1 9 5 8 ). D em ostram os que la teoría de las diferencias de uti­ lidad preferencia! o intensidad psicológica, por ejem plo de un tono, no es axiom atizable por un enunciado universal. M ás explícitam ente, considerem os un conjunto no vacío A y una relación cu atern aria R sobre dicho conjunto tal que x y R u v si y sólo si la diferencia psico­ lógica subjetiva entre x e y es igual o m enor que la que hay entre u y v, tom ando la debida cuenta del signo algebraico. B u scam os luego para cualquier estructura relacional % = { A , R ) tal, una función / de valores reales definida sobre A tal que xy R u v si y sólo si f ( x ) - fi y ) s / ( « ) - f ( v ) L o que Scott y yo dem ostram os es que un núm ero finito de axiom as universales de prim er orden sobre la relación R n o puede garantizar la existencia de tal representación. C ondiciones necesarias y suficien­ tes, obviamente no finitas ni de prim er orden, pueden en co n trarse en un artículo de Scott (1 9 6 4 ). U n tratam iento más bien exhaustivo de los fundam entos axiom á­ ticos de muchas partes de la medición se ofrece en un tratad o de re­ cién aparición (K ran tz et al [1 9 7 1 ]), pero un buen n ú m ero de p ro ­ blemas fundamentales perm anecen abiertos. D esde un p un to de vísta conceptual, tal vez lo más interesante es el p roblem a de caracterizar satisfactoriam ente de una m anera elemental la teoría de un p roced i­ m iento de m edición y sim ultáneam ente la teoría de sus erro res. La teoría del erro r de la m edición ha ocupado a algunos de los más há­ biles m atem áticos del pasado. M en cion o, p o r ejem plo, a Laplace y a Gauss. Pero el punto de vista axiom ático m od ern o no ha sido aún aplicado con tod o cuidado a la fundam entación co n cep tu al de la tco -

ría. La prim era tarca debería ser la caracterización , probablem ente en térm inos cualitativos, de las varias distribuciones de probabilidad clá­ sicas estrecham ente asociadas con la teoría del erro r. Y o he hecho esto para la distribución geom étrica en un artículo reciente (Suppes [1 9 7 3 a ]), pero es solam ente un prim er paso. El caso más im portante es, desde luego, el de la distribución norm al multivariable, y una in­ vestigación com pleta de sus fundam entos axiom áticos cualitativos, hasta donde tengo con ocim ien to, aún no existe.

3.

F u e rz a s en física clásica

H ace veinte años que M cK insey y yo com enzam os a trabajar so­ bre la fundam entación axiom ática de la física. R ecu erd o bien la dis­ cusión que teníam os con el ed itor del Jo u rn a l o f R ational M echanics, el irreprensible C lifford T ru sdell, quien estaba disgustado con el aná­ lisis de las fuerzas dado en nuestra axiom atización original (M cK in ­ sey et a l [1 9 5 3 ]). Trusdell sentía que nuestra caracterización de las fuerzas co m o triples ordenados de núm eros reales que satisfacen la obvia ley de la adición para tales vectores, no p rop orcion ab a ningu­ na profundidad conceptual que penetrara la naturaleza física de las fuerzas. E n este juicio creo que tenía razón , pero ello no quiere decir que nuestra axiom atización fuera errónea. El p rim er problem a en que inicialmente trabajam os fue el de obtener un con ju nto de axiom as que fueran suficientes p ara c a ra cte riz a rlo que ordinariam ente se co n ­ sidera en física co m o la m ecánica clásica de partículas, y hacerlo de una m anera que fuera lógica y m atem áticam ente aceptable. H ablan­ do a grandes rasgos, esto significa que los axiom as dados eran m ate­ m áticam ente au tocon ten id os, sin ninguna suposición sobre la natu­ raleza m atem ática de los objetos considerados co m o im plícitos, co m o es frecuente en el caso de la clase de axiom as establecidos p o r los fí­ sicos. L o que falta y es necesario en el análisis de las fuerzas es un tipo de análisis explícito en térm inos de prim itivas elem entales. C laram en ­ te, las nociones prim itivas que M cK insey, Sugar y y o usamos eran com plicadas y en los axiom as estaba ya puesto un aparato m atem á­ tico sustancial. L o s axiom as no eran simples en la m anera en que los conceptos y axiom as de la geom etría lo son. L o que se requiere es un análisis del con cepto de fuerza en ei estilo del clásico artículo de T a rs­ ki What >s elem entary g e o m e try ? (Tarski 1959).

U n interesante análisis reciente, principalm ente restringido al caso especial de fuerzas estáticas, ha sido dado p o r K ran tz (en un artículo p or aparecer). Su con cepto central es el de una estru ctu ra en equili­ brio (A , E , ® , * ) , donde A es un conjunto no vacío de configura­ ciones (una configuración determ ina el m ovim iento de un objeto m a­ terial dado), E es el subconjunto de configuraciones que no produ­ cen cam bio en el m om entum , © es una op eración binaria en A que intuitivamente correspon d e a la concatenación de dos con figu racio­ nes y * es una operación binaria de/? + X A a /4 ,d o n d e /? + e se ! conjunto de los núm eros reales positivos. En el caso de una fuerza uniform e, el aparato consiste en una m esa con un timbre pequeño co lo cad o en to r­ no a un poste central, cordones atados al tim bre y poleas fijas con pesos suspendidos de los cord on es orientadas hacia el borde de la m esa; el significado de !a op eración r- es claro : to d o s los pesos son multiplicados por el núm ero real positivo r. E l prim er axiom a de Krantz es que (A , © ) es un sem igrupo con m u tativ o . P ara a, b en A y r, s en R + , él postula co m o segundo axiom a:

(i) (ii) (üi) (iv)

r (s * a) = (rs ) * a ; r * (a © b) = (r * a ) © (r * b ); (r + 5) a = (r * a) © (r * b ); 1 * a =a.

Los dos axiom as restantes son axiom as de superposición y equilibrio. E s claro de los axiom as que he establecido que la form ulación de K rantz es m uy cercana al enfoque de un v e cto r espacial. Su análisis es ciertam ente un perfeccionam iento con ceptu al so b re el an terior ofrecido en M cK insey et a l (1 9 5 3 ). El sobresaliente trabajo de W alter N oli (1 9 5 9 ) debería también mencionarse, pero sus axiom as sobre el co n ce p to de fuerzas actu an ­ do sobre cuerpos requiere un aparato m atem ático altam ente sofisti­ cado y elaborado. N o so tro s estam os todavía con el problem a de dar, aun para situaciones grandem ente simplificadas, una axiom atización elemental para el con cepto de fuerza. P ro p o rc io n a r tal axiom atizacion me parece uno de los problem as más interesantes que perm ane­ cen abiertos en la form ulación axiom ática de la m ecán ica clásica, (E n ­ fatizo que hablo aquí de los fundam entos a xiom áticos; es bien sabido que un gran núm ero de problem as m atem áticos p erm an ecen abiertos

en la física clásica. U n a buena aproxim ación en profundidad matem ática se encuentra en el trabajo sobre la fundam entación de la me­ cánica de A braham (1 9 6 7 )).

4.

R elatividad

D ad o el núm ero increíblem ente grande de trabajos que han sido escritos sobre los fundam entos axiom áticos de la geom etría euclideana así corno geom etrías p royectivas y afines estrecham ente relaciona­ das, es difícil entender p o r qué una caracterización geom étrica de las fuerzas no ha sido el ce n tro de más estudios. E s aún más difícil en­ tender p or qué ía caracterización geom étrica de la multiplicidad es­ p acio-tem p oral de la relatividad especial, la cual es m uy cercana en carácter a ía geom etría euclidiana, no ha sido objeto de una investi­ gación axiom ática. A u n q ue han sido varías las investigaciones axiom áticas de la mul­ tiplicidad asumida en relatividad general, restringiré mi discusión a la relatividad especial, p orq ue los problem as axiom áticos son más cer­ canos a investigaciones en fundam entación y el co n tacto con la teo­ ría lógica de m odelos es bastante d irecto. E n el caso de la relatividad general, se suponen herram ientas m atem áticas m ucho más ricas y con secu entem en te, tales conexiones son más rem otas e indirectas. A l­ gunos excelentes estudios recientes sobre fundam entos axiom áticos de la relatividad general se encuentran en H udgin (1 9 7 2 ) y L atzer (1 9 7 2 ). L a más amplia y en m u ch os respectos Ja más profunda de las in­ vestigaciones cualitativas de los fundam entos axiom áticos de la rela­ tividad especial es aún la que se encuentra en el trabajo de Alfred A . R o b b . El p ub licó sus prim eros resultados en 1911 y escribió un libro sobre la teoría del tiem po y el espacio en 1914 (una segunda edi­ ción apareció en 1936 [R ob b 1 9 36]). D esde el punto de vista de la fun­ dam entación, el trabajo axiom ático de R o b b es especialm ente intere­ sante, porque usa únicam ente la relación binaria de estar después de entre dos puntos del esp acio-tiem p o. L a adecuación de este único co n cep to prim itivo es sorp ren d ente a la luz de los resultados m ate­ m áticos generales ob ten id os p o r Tarski hace m uchos años, en el sen­ tido de que ninguna relación binaria no trivial puede ser definida en la geom etría euclidiana (1 9 3 4 /1 9 3 5 ). L a idea intuitiva del enfoque de

R obb es simple y natural. U n punto en el espacio-tiem po está des­ pués de otro si el prim ero está delante del con o de lux del segundo. E n otros térm inos, esto quiere decir que los dos puntos están con ec­ tados por una posible tray ecto ria incrcial de una partícula, R obb tra­ bajó en com pleto detalle la geom etría de esta relación de orden par­ cial. P o r supuesto, dos puntos que están espacialm ente con ectad os en la term inología usual de la relatividad especial no pueden estar rela­ cionados por la relación después. R obb desarrolló la teoría com pleta, bajo el espíritu del libro de F o rd e r sobre los fundam entos de la geo­ metría euclidiana (1 9 2 7 ). E sto no quiere decir que esto y sugiriendo que R obb fue necesariam ente influido p o r F o rd e r, pero am bos escri­ bieron bajo el mismo espíritu geom étrico y co m p artiero n los m ismos defectos de exposición y form ulación. El desarrollo de la teoría de R obb es en varios resp ectos insatis­ factorio. Prim ero, los axiom as son de carácter com p lejo. P arece evi­ dente que Robb form uló los axiom as en la medida en que los fue ne­ cesitando en el desarrollo deductivo de la teoría, p ero no intentó des­ pués una simplificación y reducción seria de su n úm ero. Segundo, no se dem uestra ningún teorem a de representación exp lícito , aunque es evidente que esto puede hacerse a partir de los resultados que R obb demuestra y a fortiori, no se dem uestra ningún teorem a sobre la uni­ cidad de la representación. E l teorem a de unicidad fue dem ostrado de m anera independiente y separada m ucho tiem po después p o r Zeem an (1 9 6 4 ) en un h erm o­ so trabajo que muestra que la primitiva de R obb es adecuada para la derivación de las transform aciones de L o re n tz . Si el p ro g ram a del E rlanger K lein hubiera sido llevado a la teoría de la relatividad especial, los resultados de Zeeman hubieran sido d em ostrados esencialm ente al mismo tiempo que los de R obb. Es un reflejo del estado prim itivo de discusiones axiom áticas de la relatividad especial que tal laguna exista entre am bos; de h ech o, los resultados de Z eem an fueron de­ m ostrados, creo , independientem ente del co n o cim ien to de los prim e­ ros trabajos de R obb . U n a buena discusión de ia axiom atización de R o b b puede en con ­ trarse en D o m o to r (1 9 7 2 ) y una aproxim ación altern ativa en térm i­ nos de una relación binaria sim étrica de señalam iento en L atzer (1972). Sin em bargo, aún necesitam os la clase de fundam entos e in­ vestigación m atem ática de la geom etría de la relatividad especial ejem ­ plificada de manera tan acertada en la geom etría euclideana p o r el clá­ sico artículo de T arski. N o tenem os una form u lación en axiom as de

prim er orden para la geom etría de la relatividad especial y parece que no hay todavía resultados m atem áticos de cualquier tipo en la litera­ tura.

5.

M ecán ica cu á n tic a clásica

U n a visión superficial de la m ecánica cuántica, incluso m ecánica cuántica clásica, parece presentar una serie desatinada de problem as, soluciones especiales y técnicas que tiene p ocas esperanzas de ser o r­ denada desde el punto de vista de los fundam entos axiom áticos. D o n ­ de han sido realizados estudios m atem áticos detallados de partes es­ peciales de la m ecánica cuántica, parecería que el aparato funcional m od ern o es lo suficientem ente esencial y p o d ero so co m o para hacer imposible m irar cualquier problem a significativo en m ecánica cu án ­ tica desde un p un to de vista genuinamente fundam entacional, e. g., desde el punto de vista de que las cuestiones m atem áticas de cual­ quier tipo pueden ser contestadas. N o creo que esta sea una imagen verdadera. C re o que es posible abstraer varias piezas de la subestructura de la m ecánica cuántica y preguntar cuestiones axiom áticas, de interés sob re estas su bestructuras. E n realidad, la m ayoría de los lectores pensarán inm ediatam ente en las aplicaciones de las lógicas polivalentes a la m ecánica cuántica y tal vez estarán fam iliarizados co n las prim eras discusiones de R eichenbach (1 9 4 4 ), los trabajos más recientes de K ochen y Specker (1 9 6 5 ) y los trabajos m atem áticam ente m ás orientados de V aradara­ jan (1 9 6 8 ) y (1 9 6 2 ). Tam bién y o he tratado de decir algo acerca de la necesidad de una lógica no clásica para la m ecánica cuántica (1 9 6 6 ). M e gustaría d ar p o r sentado que parece h aber algunos problem as abiertos interesantes que son susceptibles de ser abordados lógica­ m ente y además relacionar algunos resultados cualitativos que se en­ cuentran en K ran tz et al (1971). Para exclu ir distribuciones de p ro ­ babilidad conjunta de observables conjugados, p odem os en el espíri­ tu de las o— álgebras ordinarias caracterizar o — álgebras m ecán icocuánticas bajo la condición de que tal álgebra sea una familia de co n ­ juntos no vacía cerrada bajo el com plem ento y uniones denum erables de pares de conjuntos disjuntos. Para ver la lógica de ia situación debem os considerar solam ente álgebras de conjuntos que son cerradas bajo el com plem ento y la unión (finita) de conjuntos disjuntos. U n a pregunta aún abierta en

este tipo de literatura es la caracterización de la lógicn de enunciados cuyas fórmulas válidas son precisam ente aquellas que son válidas en tales álgebras m ecánico-cuánticas. Podem os también p roced er en una form a más abstracta y consi­ derar órdenes parciales ortocom p lem en tad os. L o s axiom as son in cor­ porados en la siguiente definición. En esta definición se entiende que A es un conjunto no vacío, ¿ es una relación binaria sobre A ; esta relación es el análogo abstracto de la inclusión de con ju ntos. L a ope­ ración uñaría ' es el análogo ab stracto del co m p lem en to de conjun­ tos y 1 es un elem ento de A , donde este elem ento es el análogo abs­ tracto de un espacio de m uestra X en un álgebra de conjuntos m ecá­ nico-cuántica. D efinición. U n a estructura X ~ (A-, —> '> l ) es un álgebra m e ­ cánico-cuántica si y sólo si los siguientes axiom as so n satisfechos para todo a, b, c en A : (1) (2) (3) (4)

a < a; s v a ^ b y b ^ a entonces a = b ; si a -< b y b ^ c entonces a ^ c; si a ^ b entonces b ' :£ a ' \

(5) ( * ' ) '= < * ; (6) Í < 1 ¡ (7) si a £ b y a' ^ b entonces b = 1 ; (8) si a ^ b ' entonces existe una c en A tal que a ^ c, b S c, y para toda d en A si a ^ d y b ^ d en ton ces c :£ d\ (9) si a ^ b entonces hay una c en A tal que c ^ a\ c £ b y para toda ¿ e n i s i á S ¿ y c í d entonces b ^ d. Esta definición puede ser fácilmente extendida a una o — álgebra m e­ cánico-cuántica, y es tam bién fácil d em ostrar que to d a álgebra de co n ­ juntos m ecán ico-cuán tica definida co m o arriba es una álgebra m ecá­ nico-cuántica en el sentido de esta definición. P o r o tro lado, Bjarni jó n sso n me dio el siguiente simple co n trae­ jemplo para m ostrar que no toda álgebra m ecán ico-cu án tica es isomórfica a una álgebra de conjuntos m ecán ico -cu án tica (son co n o ci­ dos ejemplos com plicados en térm inos de subespacios del espacio de H ilbert, pero la virtud de este ejem plo es su carácter elem ental). E l contraejem plo es el siguiente retículo.

a' = b, b' = it, donde c' = d, ii'

o' = i, r = o.

D ad a la diferencia elem ental entre álgebras m ecánico-cuánticas y álgebras de con ju ntos m ecán ico-cuán ticas, sería tam bién interesante ten er una axiom atización de la lógica de enunciados cu yos enuncia­ dos válidos valen en tod a álgebra m ecán ico-cuán tica. Aunque puede decirse más acerca de esos p roblem as, debo ir a algunos problem as estrecham ente co n ectad os. O tro enfoque en la m ism a línea cualitativa es la caracterización de la estructura probabilista im puesta sobre tales álgebras. P o r una razó n , podem os p regu ntar p o r una axiom atización cualitativa de p ro­ babilidad para las álgebras de conjuntos m ecánico-cuánticas corres­ pondiente al p rob lem a clásico de Fin etti para álgebras de conjuntos ordinarias. L a m a y o r parte de la teoría cualitativa clásica está dem os­ trada en K rantz et al (1 9 7 1 ), capítulo 5, p o r lo tan to no repetiré esos detalles aquí p ero esto p ro p o rcio n a una teoría cualitativa ele­ m ental de probabilidad m ecán ico-cuán tica, donde p ro b a b ilid a d m e­ cánico-cuántica significa una m edida probable y no necesariam ente definida para la unión o ía intersección de sucesos arbitrarios en el álgebra de eventos. D esde un p un to de vista m ecán ico -cu án tico, sin em bargo, el de­ sarrollo de la teoría cualitativa de probabilidad es m eram ente un frag­ m ento y son necesarios axiom as cualitativos adicionales para alcan­ zar cualquier cuestión genuinam ente m ecán ico-cuán tica. N o parece carecer de esperanzas p roced er en el m ism o estilo para obtener axio­ mas cualitativos, al m enos para casos simples, y parecería ser un pro­ blema digno de ser estudiado para ver que tan lejos puede ser segui­

do un enfoque cualitativo para la fundam entación de la m ecánicacuántica. Podría estar equivocado, pero pienso que uno puede seguir com pletam ente un cam ino co n casos tan simples co m o los oscilado­ res arm ónicos lineales en una dim ensión. Saber exactam ente hasta donde tai enfoque cualitativo puede ser proseguido, puede p ro p o r­ cionar alguna com prensión interesante d en tro de la estructura de la mecánica-cuántica. Com pletam ente aparte de las subestructuras relativam ente sim­ ples de la mecánica cuántica clásica, allí perm anece el problem a abier­ to de construir en form a conjuntista propia una form ulación axio­ mática com pletam ente adecuada, que puede inicialmente establecerse en términos de nociones m atem áticas com plicadas, pero que debe ser adecuada tanto a ios con ceptos fundam entales corno a las aplicacio­ nes estándares. C reo que hasta ahora ninguna form ulación tal en for­ ma satisfactoria existe. M uchos aspectos parciales de la teoría más compleja, incluyendo caracterizaciones abstractas de ia teoría del es­ pacio de H iibert de observables y op erad ores, han sido intensamente estudiados, pero lo que parecería en la superficie ser una cuestión ele­ mental, el establecer una teoría con stru ctiva para la relación entre ob­ servables particulares y operadores particulares, un paso necesario en cualquier teoría adecuada a las aplicaciones, no parece haber sido in­ vestigada en una m anera axiom ática explícita. El axiom a estándar de que hay una correspondencia uno a uno entre observables y op era­ dores autojuntables de un espacio de H iib ert com p lejo, separable, in­ finitamente dimensional, p o r ejem plo, está lejos de p roveer cualquier cosa parecida a la necesitada form ulación con stru ctiva.

6.

T eo ría de la c o n d u cta estím u lo -re sp u e sta

N o quiero dar la im presión de que la aplicación de m étodos axio­ máticos en las ciencias empíricas está principalm ente restringida a las ciencias físicas. M uchos problem as de interés en el com p ortam ien to y en las ciencias sociales han sido tam bién tratad os desde un punto de vista axiom ático. G ran parte del trabajo co n tem p o rán eo en eco­ nomía m atemática satisface un estándar alto de axiom atización y cuando no está explícitam ente establecido así, puede ser fácilmente puesto dentro de un m arco conjuntista estándar sin dificultad. P o r otro lado, con la excepción de algunos de los prob lem as de m edición mencionados antes, el im pacto de la teoría de m odelos co m o ha sido

desarrollada en lógica y la clase de cuestiones m atem áticas caracte­ rísticas de esta teoría no han sido am pliam ente aplicados en las cien­ cias sociales y ia relación de estas ciencias con cuestiones fundam en­ tales de lógica no han tenido los antecedentes de investigación carac­ terísticos de los problem as de larga estancia en física. L a clase de teoría psicológica que quiero discutir en esta sección representa una área en la que personalm ente trabajé p o r diez años y' m edio. Pido disculpas p o r el énfasis egocén trico, pero creo que hay un p un to útil a ser elaborado para considerar esta teoría particular. Teorías de la conducta de la clase m encionada, son en su form ula­ ción axiom ática com pletam ente incrustables en la teoría de la p rob a­ bilidad. E l uso explícito de la teoría de la probabilidad estándar p ro ­ híbe en ocasiones toda posibilidad de una form ulación natural de pri­ m er orden. A ún pensando en m ecánica cuántica podría ser digno de tener en cuenta intentar una form ulación cualitativa elemental para in­ vestigar los fundam entos más cabalm ente; en el presente estado de de­ sarrollo de la teoría axiom ática de la co n d u cta, no parece ser ya de m érito llevar a cabo tal investigación a causa de los desarrollos teó ­ ricos com parativam ente superficiales hasta aquí obtenidos. En co n ­ traste, la m ecánica cuántica clásica ofrece algo cu y o gran valor es per­ m anente; a pesar del hecho de ser co n o cid o , no es em píricam ente c o ­ rrecto para dom inios significativos de fenóm enos físicos. U n a vez que se supone un aparato probabilista y se postula un p roceso razonablem ente com plejo, los axiom as asumen inevitable­ mente un carácter rem otam ente lejano al de las elegantes form u lacio­ nes características de las teorías de prim er orden que han recibido una investigación considerable p o r parte de los lógicos, y que han ju­ gado un papel central en el desarrollo de la teoría de m odelos. A causa de las com plicadas estructuras m atem áticas involucradas, no es realm ente factible buscar resultados m etam atem áticos sobre es­ tas teorías de la con du cta. Sin em bargo, existe ya una tendencia en la teoría de m odelos dentro de la lógica que puede ser usada para ade­ lantar tam bién en este terreno. P o r algún buen tiem po un esfuerzo definido ha sido realizado p o r Tarski y sus colab orad ores para de­ m ostrar resultados establecidos p or m étodos m etam atem áticos por argum entos puram ente m atem áticos y estudiar con algún cuidado los problemas involucrados para llevar a cabo la transición. E n el caso de teorías axiom áticas de la conducta, hay p o co s problem as de gran profundidad. L o s problem as reales aún están cen trad os en la form u­ lación propia de las teorías mismas. C reo que aquí se puede aprender

una lección de la teoría de m odelos. La gran explicitud y claridad del trabajo con tem p orán eo en la teoría de m odelos puede p ro p o rcio n ar una guía para la form ulación en térm inos m atem áticos explícitos de teorías de la conducta. Podría p arecer que si las teorías fueran a ser usadas principalm en­ te para co m p ro b ar directam ente resultados experim entales claros, no habría necesidad de form ular las teorías en form a axiom ática explí­ cita y , consecuentem ente, no habría ninguna lección real que ap ren ­ der de los m étodos de la teoría de m odelos. Cualquiera que pudie­ ra ser la situación, no es la que se obtiene. E xiste una gran c o n tro ­ versia conceptual acerca del p oder intelectual de varias teorías para explicar diferentes categorías de con du cta. U na aserción estándar en psicolingüística, p or ejem plo, es que las teorías estím ulo-respuesta posiblemente no pueden explicar la complejidad y sutileza del ap ren ­ dizaje y la con du cta del lenguaje. Las dificultades con estas visiones negativas de la teoría estím ulo-respuesta es que ellas tienen más bien el estatus de dogm as negativos que imposibilitan los teorem as. Para convertir estos dogmas negativos en co n ocim ien to teórico genuino sobre el poder o las lim itaciones de poder de las teorías, debem os p ro ­ bar un teorem a de imposibilidad de la clase familiar en m uchos d o ­ minios de las m atem áticas, p ero especialm ente en los fundam entos de las m atem áticas. Particularm ente para teorías de la con du cta y del aprendizaje del lenguaje hay una sutil y más íntima conexión con el trabajo co n te m ­ poráneo en lógica m atem ática debido a la con exión entre varios tipos de lenguaje, regular, libres de co n texto , sensibles al co n te x to , etc. Y varios tipos de máquinas abstractas. En otras palabras, las form ula­ ciones axiom áticas de las teorías de la con du cta pueden ellas mismas reflejarse hacia su propia lógica para dar un nuevo y diferente punto de vista de có m o la lógica y el lenguaje pueden ser aprendidos y có m o tienen lugar la conducta lingüística y el pensam iento m atem ático. Establecido a este nivel de generalidad, veo dem asiado am b icio­ so, y ciertam ente irrealista, para las teorías del co m p o rtam ien to en términos de las presentes realizaciones. M i intención, sin em bargo, es ofrecer una perspectiva sobre lo que debe ser intentado, y no so­ bre lo que ha sido realizado. H e tom ado algunos de mis propios pequeños pasos en esta d irec­ ción, En Suppes (1969b ) form ulé una versión de la teoría estím ulorespuesta y m ostré que dado cualquier autóm ata finito co n ectad o hay un m odelo estím ulo-respuesta que es asintótico, i. e ., co m o el nú­

m ero de triadas de aprendizaje va al infinito, es isom órfico en el sen­ tido apropiado a un au tóm ata finito. Sobre simples suposiciones idea­ lizadas sob re la m em oria hum ana no es difícil extender estos resul­ tados a máquinas abstractas más poderosas. E l problem a conceptual­ m ente m ás interesante con siste en analizar los m ecanism os de refor­ zam iento que p rod uce el aprendizaje requerido para el isom orfism o co m o asin tótico. E l plan de reforzam ien to que usé en el teorem a de­ m ostrad o es dem asiado sim ple y directo co m o para tom arlo en cuen­ ta en m u ch o del aprendizaje hum ano, especialm ente eJ aprendizaje del lenguaje. En la tesis de R o ttm a y e r (1 9 7 0 ) se m uestra que un plan de reforzam ien to considerablem ente más débil es tam bién adecuado para ob ten er esencialm ente el m ism o resultado. U n aspecto intere­ sante del resultado de R o ttm a y e r, que podría ser anticipado, es que ya no vale un isom orfism o del estado interno, debido a la debilidad del esquem a de reforzam ien to, que sim plemente inform a del m eca­ nism o de aprendizaje sea éste co rre cto o no después de cada respues­ ta externalizada. Ei estado interno del m odelo de aprendizaje no re­ sulta asintóticam ente isom órfico al autóm ata dado, pero un isom orfismo con du ctual es alcanzable. P ara aplicaciones experim entales y prácticas esos resultados asintó tico s requieren ser reem plazados p o r análisis m u ch o m ás detalla­ dos de la tasa de aprendizaje. A ctualm ente, sin em bargo, parece de­ masiado difícd co m p u tar la p rueba esperada del últim o e rro r u otra cantidad relacionada. A d em ás, estim aciones burdas de tales cantida­ des indican que el aprendizaje es dem asiado lento, y que se requieren avances ulteriores en la teoría.

7.

S e m á n tica de lenguajes n a tu ra le s

Si observam os el enfoque de las máquinas abstractas del lenguaje y su relación con las definiciones corrientes de los lenguajes form a­ les, p o r ejem plo, lenguajes libres de co n texto o sensibles al co n texto , es paten te que la ausencia más evidente es una seria explicación de la sem ántica de esos lenguajes. E ste es el tóp ico final al cual regresare. A u n q ue este trabajo es sólo un com ienzo, es mí predicción que los n um erosos resultados que son consecuencia de la teoría de m o­ delos, m uchos de los cuales provienen del trabajo de T arski de los años treinta sobre la sem ántica de los lenguajes form alizados, será en

el futuro de igual im portancia en el análisis de los lenguajes natura­ les. Antes de su inesperada m uerte, el antes discípulo de T arski, el último Richard M ontague, había dado ya im portantes pasos en esta dirección (M ontague [1 9 7 0 ]). Me gustaría bosquejar mi propia aproxim ación a estos problem as y ofrecer suficientes detalles de algunos de los ejemplos de m odo tal que esa familiaridad con la teoría de m odelos en lógica se sentirá inmediatamente com o en casa con los co n cep tos usados para el aná­ lisis de los lenguajes naturales. Las definiciones son formales y aplica­ bles a cualquier lenguaje libre de co n te x to ; en verdad son fácilmen­ te generalizables a lenguajes más ricos, y quiero enfatizar que el aparato usado por mis colab orad ores y y o es aplicable al análisis de los lenguajes naturales. En este respecto nuestro uso de la sem ántica es com o el uso de las m atem áticas en física. E stam os aplicándola a datos em píricos y estam os interesados en p on er a prueba ideas teóri­ cas dentro de una m etodología científica estándar para la co m p ro b a­ ción de teorías científicas, incluyendo, cuando 1a ocasión es a p ro ­ piada, un análisis estadístico com p leto de la bondad de la adecua­ ción. Predigo que la sem ántica m odelística, tan asociada al trabajo de Tarski, probará ser una de las herram ientas más im portantes en el estudio científico y em pírico de los lenguajes naturales, una vez que lingüistas y psicólogos alcancen un entendim iento más profundo y una apreciación m ejor de los m étodos de la teoría de modelos. Sin dar un conjunto com pleto de definiciones form ales, trataré de establecer el carácter intuitivo de mis propias ideas y dar algunos ejemplos con cretos. C o m ien zo con la n o ció n de estructura gram ati­ cal de frase desarrollada p o r C h o m sk y y o tro s. D esde un punto de vista form al, una estructura G = ( V, V^¡, P, S ) es una estructura g ra ­ matical de fra se si y sólo si V y P son con ju ntos finitos, no vacíos, V',v es un subconjunto de V, S está en VN y P c VN* X V+ , donde VV- es el conjunto de frecuencias finitas de elem entos de VN, y V+ es el conjunto de tales secuencias de V, exclu yen do al conjunto vacío. Siguiendo la term inología usual, es el co n ju n to del vocabulario no terminal y Vr — V — V N el vocabulario term ina!. E l sím bolo ini­ cial es S o el único axiom a del cual derivam os cadenas o palabras en el lenguaje generado p o r G . E l conjunto P es el con ju nto de reglas de producción o reescripción. Si ( a , P ) e P, escribim os a —>(}, y lee­ m os: de a podem os producir o derivar fi (inm ediatam ente). Más aún, una estructura gramatical de frase G = ( V , V N, P, S ) es libre d e con­

texto y sólo si P c

V h x V'+ , i.e., sí a —>■ (3 está en P , entonces a e

Vwy f 3 e V+ ' . Enseguida necesitam os definir árboles de derivación para gram á­ ticas libres de co n te x to . C ada árbol está ordenado de izquierda a de­ recha de m anera intuitiva, para conseguir una lectura de izquierda a derecha de una cadena term inal, y cada nudo tiene una etiqueta. Las hojas tienen etiquetas terminales y los o tro s nudos tienen etiquetas no term inales. V am os a hacer de esto un á rb o l sem ántico — y aquí es donde entra la sem ántica m odelística— exigiendo tam bién que cada nudo del árbol tenga una denotación. C o m en zam o s requiriendo en el caso simple que cada palabra term inal tenga una denotación y en los casos más com plejos y sutiles que dada una frase terminal que de­ note sin que sus subpartes denoten. C onseguim os la denotación de o tro s nudos del árbol p or recursión. Las reglas de recursión se o b ­ tienen asignando a cada regla de p roducción de la gram ática una fun­ ción conjuntista que nos perm ite com p u tar, p or así decirlo, la deno­ tación del lado izquierdo de una regla de p rod u cción conociendo las denotaciones de los m iem bros del lado d erech o de la regla. P o r ejem­ plo, si tenem os la regla de reescritura F N - > F N + Adj la función conjuntista que asignamos a esta regla en el caso simple es la intersección. Las funciones conjuntistas asignadas a las reglas de p rod ucción juegan el papel de una definición recursiva de verdad en la caracterización de Tarski de la verdad para los lenguajes formales. Finalm ente, para obtener ei m odelo teó rico ord in ario, se requiere que todas las denotaciones yazcan en una jerarquía de conjuntos construida a partir de un dom inio no vacío. P ara los usos del lengua­ je natural una jerarquía suficientemente rica parece ser una que es ce­ rrada bajo unión de conjuntos, la operación de con ju nto potencia y la form ación de subconjuntos. L os detalles técnicos están contenidos en Suppes (1973b ). 1 Para hacer las gram áticas libres de con texto un caso especial de las estructuras gramaticales de frase, taf y com o son definidas aquí, los prim eros m iem bros de P no deben ser m iem bros de VN, sino secuencias de un lugar cuyos térm inos son elementos de Vfj. El m ismo problem a surge en referencia a los elem entos de V:f, pero considéren­ se los elementos de V com o perteneciendo a V *. C onsecuentem ente, para evitar complejidades notacionales, trataré a los elem entos, sus conjun tos unidades y secuen­ cias de un lugar cuyos términos son los elementos com o idénticos.

A h o ra me gustaría ir a algunos ejemplos extraídos del habla in­ fantil para ilustrar cóm o esas ideas se aplican em píricam ente. M e res­ tringiré a un ejemplo simple de la frase nominal dos flo res rojas y sus equivalencias aproxim ativas en francés y chino. Para la sem ántica, uso el concepto de Frege y Russell de núm ero cardinal: dos es precisa­ mente el conjunto de todos los conjuntos pares, y para evitar cual­ quier paradoja, podem os considerar solam ente m iem bros de con ju n ­ tos a una cierta distancia de arriba de la jerarquía de con ju ntos. U so la notación estándar para el con ju nto potencia, así P (A ) es e] con ju n ­ to de todos los subconjuntos de A , Para sím bolos no term inales en el árbol tenem os: F N para frase nom inal, C a r para el nom bre de un número cardinal, FA dj para frase adjetiva, Adj para adjetivo y N para nom bre. Sean también B el con ju nto de las cosas rojas y A el co n ­ junto de las flores. L a denotación de cada nudo se m uestra después de los dos puntos que siguen la etiqueta del nudo. E n to n ces el árbol se asemeja a esto:

L a gram ática parcial exhibida en este árbol puede escribirse en la siguiente form a:

F N —+C ar + F N „ F A d j —* FA d j + A dj,

F N , —» N + F A d j, I" Adj —> Adj.

E s claro a partir del árbol cuál es la función sem ántica para cada regla. P o r ejem plo, para la tercera regla, la función sem ántica es la in­ tersecció n . T anto en el árbol co m o en la gram ática he usado el subs­ crito «1» sobre « F N » p ara im poner una restricción que bloquea la recursión de los nom bres de núm eros cardinales. A ! nivel elemental ciertam en te no querem os frases co m o dos cuatro flo res rojas. L a frase francesa correspon d ien te a dos flo res rojas es d e u x fleiirs rouges, aunque es menos frecuente en el francés om itir el artículo de­ finido que en el español (inglés en el original). El árbol sem ántico es el m ism o que el anterior excep to p o r la reflexión natural izquierdaderecha en la parte del árbol que o cu rre para ajustar la posición su­ perficial de los adjetivos en francés'". F N : 2 fl P (A fl B)

' En el inglés, a diferencia del español y el francés, los adjetivos preceden a los nom bres. D e esta manera, la frase inglesa en cuestión es two retís roses, donde «reds» es el adjetivo y «roses» es el nom bre. Al traducirle liemos invertido ya el orden p o r lo que esta observación del autor no viene al caso.

E l árbol sem ántico chino correspondiente incluye un nom bre cla­ sificador (N C ) y la partícula de (M O D ) y es más com plicado en la superficie que los árboles del inglés o francés, pero la sem ántica sub­ yacente es similar. En mi m odo de ver, la sem ántica simple del n o m ­ bre clasificador consiste en denotar la unión de todos los conjuntos de objetos denotados p o r los nom bres que m odifican, pero, por su­ p uesto, cuando un N C se usa com o un m ecanism o de referencia p ro ­ nom inal tiene que decidirse algo diferente. Sobre la suposición sim­ ple recién establecida acerca de la unión, el árbol sem ántico para Uang3 duo3 h o n g2 de hual (dos rosas rojas) es:

FN : 2 n P (C n fB (A))

liang3: 2

d u o 3: C

h o n g 2: B

d e: /

huai; A

P ara la interpretación sem ántica de la partícula d e, f es una fun­ ción de elección tal que, para cada B , f n(A ) c A y la función sem án­ tica asignada a la regla F N m ostrada en el subárbol de la derecha del árbol sem ántico chino es sim plem ente una función sem ántica de tres argum entos que corresponde a esta función de elección, i.e., ij) ( B, f , A ) = f B (A ). N o estoy sugiriendo que mi aproxim ación a esas frases simples en español, francés y chino es necesariam ente la m ejor, o incluso una que se verá correcta en todos los detalles, pero pienso que este en­ foque básico es co rrecto y m uestra cuán natural es el uso de la se­ m ántica modelística en el análisis de los lenguajes naturales. La de­ term inación precisa de las funciones sem ánticas asociadas con una

gram ática dada de un lenguaje natural, o parce del lenguaje, es un p ro ­ blema em pírico. L os m étodos em píricos apropiados de investigación no están todavía enteram ente desarrollados, pero no veo ningún ob s­ táculo conceptual en el cam ino. Finalm ente, enfatizo que la aplicación de la sem ántica modelística no está en ningún sentido restringida a fragm entos libres de co n texto del lenguaje natural. E s directa y natural la extensión de los m étodos a gram áticas indicadas, que son sensibles al co n te x to , o una variedad de transform aciones. P o r o tro lado, es igualm ente patente que se re­ querirán m ayores extensiones conceptuales de la sem ántica modelís­ tica para dar una explicación científica com pleta de! uso y el apren­ dizaje del lenguaje, pero esto es co m o debe ser y es de esperarse en la evaluación de la adecuación de cualquier teoría que se ocupa de fe­ nóm enos em píricos a un nivel fundamental.

Capítulo 4 LA DESEABILIDAD DE LA FO RM A LIZACION EN CIENCIA*

Sería entretenido considerar la cuestión de si la formalización en ciencia fue deseable para Arquímedes en Sicilia, o unos trescientos años después, para Ptolomeo en Alejandría. Puedo imaginar a A r­ químedes, en un modo de hablar característico, diciendo que ningún hombre de eminencia en filosofía preguntaría cal cuestión. Sería como preguntar si alguien quiso una demostración real en geometría como opuesta a un método sugestivo pero informal. Pienso que aun Pto­ lomeo, aunque mucho más profundamente envuelto en observacio­ nes empíricas y en el complicado problema de conform ar la teoría con los datos, contestaría en la misma vena. En otras palabras, quie­ ro aseverar que las únicas ramas de la ciencia cuantitativa seriamente desarrolladas en la antigüedad fueron consideradas com o extensiones de la geometría y tratadas con el mismo grado de formalidad. Estoy pensando particularmente en el trabajo de Arquímedes sobre estáti­ ca; su tratado sobre el equilibrio de planos es el prim er tratado sis­ temático en física matemática. También estoy pensando en el A lm agesto de Ptolomeo, el cual es incuestionablemente el m ayor trabajo ^ 5 Publicado originalmente en el J o u rn a l o f Philosophy 65 , 1969, pp. 6 5 1 -6 6 4 . Ver­ sión castellana de Jorg e Moj'ica León.

científico de la antigüedad, si entendem os p o r ciencia, com o opuesta a las m atem áticas, el desarrollo de la teoría y la co n fron tación de la teoría co n datos cuantitativos. P ara esta antigua tradición de análisis científico, no había ninguna m anera adecuada de pensar más que en térm inos de los m étodos form ales de la geom etría. E ste p atrón que se origina co n A rquím edes tiene una larga y continua historia a tra­ vés de la tradición árabe y latina de la Edad M edia, llegando sin ruptura hasta los Principia de N ew to n en el siglo XVII. L o s m éto ­ dos geom étricos formales de N e w to n y su cuidadosa consideración de los datos están m uchísim o en el espíritu del A lm agesto de P to lo m eo. Para N ew ton tam bién hay p o co lugar para cuestionar la co n ­ veniencia de la form alización en ciencia. A un el más em pírico de sus trabajos sistem áticos, la O ptica, fue organizado de m anera geom étri­ ca y dem ostrativa. E s posible replicar que la form alización h o y significa m ucho más que el uso explícito del m étod o geom étrico hecho en la antigua A le­ jandría, en la U niversidad de París en el siglo XIII, o en C am bridge en el siglo diecisiete, P ero el punto no es bien to m ad o , p orq ue segu­ ram ente el punto conceptual real es que los estándares de rig o r y fo r­ m alización característicos de los m atem áticos del tiem po tam bién se encuentran en la ciencia sistem ática. E n Los casi tres siglos desde la publicación de los Principia de N e w to n , la divergencia entre el m étodo deductivo usado en m atem á­ tica y en física ha llegado a ser m u y pronunciado. La dirección de las m atem áticas ha sido m overse hacia mejores y bien definidos c ri­ terios de rigor y form alización. E ste no es el caso en física m atem á­ tica, aunque aun aquí ha surgido una distinción en tre física m atem á­ tica y física teórica. L a física m atem ática es un tó p ico hecho crecien ­ tem ente p or m atem áticos, y su interés p o r las cuestiones de rigor y claridad form al de las suposiciones es evidente. L a física teórica, p o r el o tro lado, es hecha de una m anera que está m u y lejos de satisfacer los estándares de la m atem ática m oderna. N ingu n o de los trabajos históricam ente im portantes de ese siglo en la teoría de la relatividad o en m ecánica cuántica fu eron escritos en un estilo m atem áticam ente form alizado, claram ente delineado. (E n referencia a la teoría de la re­ latividad tengo en m ente los prim eros escritos de Einstein y L o re n tz , no el trabajo m atem ático p osterio r de M inkow ski, Veblen, R obb y o tro s.) Incluso el libro de V on N eum an sob re m ecánica cuántica (1 9 3 2 ) no da un desarrollo axiom ático, o lo que podríam os llam ar arquim ediano de la m ecánica cu ántica, sino solam ente del espacio de

H iib ert. Es difícil predecir el fu tu ro de los m étodos axiom áticos y fo r­ malizados en las ciencias em píricas. H ay señales, p o r lo m enos, que la gran brecha que actualm ente separa los m étodos usados en física de los usados en m atem áticas empieza a cerrarse, y no se am pliará en otras disciplinas em píricas, tales com o la econom ía m atem ática y !a psicología m atem ática. P ero no es el propósito de este trabajo inten­ tar dar un argum ento estrecho de la proyección de estos futuros de­ sarrollos. D ejando a un lado el argum ento positivo de la tradición que em ­ pieza con Arquím edes y que incluye a N e w to n , y tam bién el argu­ m ento negativo que señala el bajo nivel de form alización corriente en m ucho de la ciencia con tem p orán ea, es todavía pertinente pregun­ tar cuáles son las razones de relevancia filosófica para la form alización de la ciencia. ¿E s deseable la form alización, o en verdad nece­ saria en algunos casos, para un análisis filosófico adecuado de los con ceptos? U n a m anera de p oner un argum ento filosófico a favor de la form alización es ésta. E l papel de la filosofía en cien cia es clarificar problem as conceptuales y h acer explícitos los supuestos fundam entacionales de cada disciplina científica. La clarificación de problem as conceptuales o la con stru cció n de una fundam entación lógica explícita son tareas que ni son intensam ente empíricas ni de ca rá cte r m atem áti­ co . Pueden considerarse co m o faenas propiam ente filosóficas directa­ m ente relevantes para la ciencia. E n el con texto de tal clarificación y con stru cció n , un m étodo pri­ m ario de análisis filosófico es el form alizar y axio m atizar los con cep ­ tos y teorías de im portancia fundamental en un dom in io dado de la ciencia. A rgüir que tal form alización es un m étodo im p o rtan te de clarifi­ cación no es ningún sentido p retender que es el ú nico m é to d o de aná­ lisis filosófico. Casi todos con cord arían en que la crítica penetrante, aunque informal, de ejem plos de form alización juega un papel cen­ tral en apreciar la correcció n intuitiva de una solución a un problema conceptual o a la con stru cción de una fundam entación explícita. La form alización no responderá todas las cuestiones ni resolverá todos los problem as, aunque se encuentra una lección m uy ilustrativa en la filosofía de las m atem áticas. D urante los últim os cien años, los mé­ tod os de form alización han sido aplicados extensam ente a la fundam entación de las m atem áticas. E s claro decir que d urante esc perío­ do ha habido más progreso perceptible en nuestra com p ren sión de los fundam entos de las m atem áticas y en la profundidad de los p ro ­

blemas que son considerados im portantes que en cualquier otra rama de la filosofía. Este trabajo fundam entacional ha tenido consecuen­ cias de gran alcance en la m atem ática misma. La fundam cntación co n juntista de las m atem áticas que se inició con C a n to r y F rege, y que fue perfeccionada p or Z crm elo , Russell y o tro s, es hoy un m arco c o n ­ ceptual dentro del cual se escribe la m ayoría de la m atem ática pura. E l sentido de la form alización que usaré en la discusión subse­ cuente es precisam ente ese de una form ulación conjuntista estándar. N o quiero decir p o r form alización la con cepción más estricta de una teoría de prim er orden que asume solam ente lógica elem ental. Tal form aiización más estricta es adecuada para el estudio intensivo de m u ­ chos dominios elementales de m atem áticas, pero en casi todas las áreas de las ciencias es necesario un rico aparato m atem ático. P o d e­ m os apelar apropiadam ente a ese aparato dentro de un m arco co n ­ juntista. (N o se hará aquí una defensa más elaborada del sentido exac­ to propuesto de form alización; he defendido el enfoque conjuntista en num erosas ocasiones en eí pasado, y m ucho de lo que digo aquí sobre asuntos más generales no dependerá en ninguna m anera im por­ tante del sentido preciso de form alización que se use.) H a y otras razones p o r las que la form alización de una teoría cien­ tífica es deseable. A lgo puede decirse, aunque sea brevem ente, acerca de ellas.

E xp licitu d F o rm alizar una familia de con ceptos co n ectad o s es una manera de hacer explícitos sus significados. U n buen ejemplo de lo que pue­ de esperarse en esta dirección es provisto p o r el co n cep to de p rob a­ bilidad. Antes del análisis explícito de la estructura form al de la p ro ­ babilidad por K o lm ogorov (1 9 3 3 ), había m ucha confusión incluso so ­ bre las propiedades m ás elementales de la probabilidad, e.g. el d om i­ nio de definición de una medida de probabilidad. L a corrección in­ tuitiva de la form alización de K olm ogorov iue recon ocid a casi de in­ m ediato, y ahora es universalm ente adoptada. P o r o tro lado, la fo r­ m alización no term inó la discusión y el análisis filosófico del concep­ to de probabilidad. M ás bien, ayudó a elevar la discusión a un nuevo nivel. La dificultad con la caracterización puram ente conjuntista de K olm ogorov es que e! co n cep to de probabilidad no es suficientem en­ te categórico. H ay posibles interpretaciones de los axiom as que no

corresponden a ninguna intuición acerca de la probabilidad. U na m a­ nera de interpretar la vasta literatura reciente sob re los fundam entos de la probabilidad es com o un intento de suplem entar los axiom as de K olm ogorov para proveer un aceptable y al m ism o tiem po más ca ­ tegórico sistema axiom ático, para hacer el significado de la p robabi­ lidad aún más explícito.

E sta n d a riz a ció n U n a de las consecuencias más deseables del uso de un m arco co n juntista para la form alización explícita de teorías científicas es la es­ tandarización de la term inología y los m étodos de análisis co n cep ­ tual que serían llevados a diferentes ramas de la ciencia. E s una cu es­ tión em pírica, y aunque creo que podría ap oyarse en evidencia sis­ tem ática, que los estudiantes quienes saben y pueden usar m étodos conjuntistas, encuentran más fácil ab sorver diferentes ramas de la ciencia, todas las cuales están form alizadas en un lenguaje com ú n . U n amplio p rop ósito de la form alización consiste en h acer más fácil la com unicación entre las disciplinas científicas. L a unidad de la ciencia que ha sido tan hábilmente defendida p o r m u ch os filósofos en este siglo sería m ucho más una realidad, si un lenguaje teórico com ú n fuera usado tan ampliamente co m o fuera posible.

G eneralidad O tra virtud de la form alización es que frecuentem ente provee m e­ dios de ver el bosque a pesar de los árboles. Q u ie ro decir con esto que la form alización elimina rasgos provinciales del m od o en que la teoría científica ha sido pensada. Es fácil d ar varios ejemplos de la virtud de la form alización desde este punto de vista. Q u izá uno de los más lindos es la dem ostración de que las dos versiones clásicas de la mecánica cuántica, m ecánica ondulatoria y m ecánica de m atrices, son idénticas, en el sentido de que hay sólo un espacio de H ilbert, salvo isom orfism o, y ambas son realizaciones de tal espacio. E n un sentido claro, la controversia acerca de si una m ecán ica continua de ondas o m ecánica discreta de representaciones de m atrices debería ser usada para un análisis de fenóm enos m ecánicos cuánticos se volvió irrelevante por la dem ostración del isom orfism o.

O b jetiv id ad La form alización provee un grado de objetividad que es im posi­ ble en teorías que no están establecidas de tal m anera. E n áreas de la ciencia donde existe gran con troversia incluso acerca de los con cep ­ tos m ás elem entales, el valor de tal form alización puede ser substan­ cial. U n ejem plo es la perm anente con troversia en psicología entre las teorías estím ulo-respuesta orientadas con ductistam ente y teorías cognoscitivas. P ara m uchos de los paradigm as experim entales que han sido in­ tensam ente estudiados y para ios cuales existen extensos cuerpos de d atos, es posible m o strar de una m anera rigurosa que son isom órfic o s 1 los m odelos de las versiones exactam ente form uladas de la teo­ ría estím ulo-respuestas y los m odeios de estrategias de selección de las teorías cognoscitivas formuladas exactam ente.

S up osicion es a u to co n te n id a s L a form alización es una m anera de separar del bosque de su p o ­ siciones implícitas y el m atorral circundante de con fu sión , la base que se requiere para la teoría que es considerada. L o s físicos, p or ejem­ p lo , son aficionados a desechar sobre «bases físicas» soluciones para ecuaciones fundam entales que encuentran inaceptables. P e ro , a m e­ n os que las suposiciones requeridas para la elim inación de tales s o ­ luciones sean establecidas de antem ano, la selección de las soluciones se deja a la intuición intutorada. Es una cuestión adecuada preguntar p o r qué es filosóficam ente interesante form ular una teoría en térm i­ nos de un con ju nto de suposiciones au tocontenidas, y no quiero su­ gerir que se puede dar un argum ento definitivo acerca de materias tan com plejas co m o ésta. E n el fondo, sin em b argo, pienso que hay un instinto de artífice de naves que es d uro de resistir una vez que se ha d esarrollado. N o establecer sistem áticam ente todas las suposi­ ciones requeridas para una teoría al com ienzo de su desarrollo es m uy p arecido a con stru ir una casa cuya cim entación es continuam ente m o ­ dificada, a medida que se construyen los pisos superiores, porque el análisis estructural de la resistencia estaba equivocado. Ir p o r supo­ 1 A lgunos resultados detallados se encuentran en P. Suppes y Atkinson (1960a) y en Suppes (1969b ).

siciones que son autocontenidas es también una m anera de* asegurar la objetividad científica. Si pueden agregarse inform alm ente nuevas suposiciones en la medida en que se necesiten, siem pre hay duda de si se ha encontrado una explicación genuina de fenóm enos em píri­ co s. La adición ad hoc de nuevas suposiciones ha sido una práctica especialm ente prevaleciente en ciertas áreas de la psicología y la s o ­ ciología, pero afortunadam ente ha recibido la crítica que justam ente m erece. Insistir sobre un nivel estándar de form alización conjuntista en la enunciación de teorías es una protección contra verbalizaciones a d hoc y post hoc.

Suposiciones m ínim as L a form alización de una teoría hace posible un análisis objetivo de cuáles son los supuestos m ínim os necesarios para la enunciación de la teoría. H ay , pienso, una directa apelación estética en la faena de en con trar un conjunto de supuestos m utuam ente independientes que sean autocontenidos co m o una form ulación de una teoría: es fi­ losóficam ente interesante pregu ntar por qué hacem os esta búsqueda de un conjunto mínim o de suposiciones independientes, pero para los propósitos presentes es más im portante reco n o cer que es casi de acuerdo universal. La signtHcatividad de la cuestión «¿cuáles son las suposiciones mínimas en térm inos de las cuales la teoría puede ser fo r­ mulada?» es más bien una prueba directa de la seriedad de n uestro en­ tendim iento de la teoría y una medida de la profundidad de su de­ sarrollo. Pedir que si una ram a de 1a física clásica sea form ulada en térm inos de un mínimo con ju nto de suposiciones o axiom as es una cuestión significativa, pero la pregunta de cuál es el m ínim o, pero su­ ficiente conjunto de supuestos para el psicoanálisis no tiene ahora una respuesta seria. En la m ayoría de las áreas de la ciencia aún no tene­ mos una clara form alización de la disciplina en térm inos de un co n ­ junto mínimo de supuestos autocontenidos. U n a tarea propia para los filósofos interesados en ios fundam entos de la ciencia es proveer esc análisis. Y o defendería la afirm ación de que ésta es una tarea para la cual ios filósofos form alm ente entrenados son más apropiados en la m ayoría de los casos que los científicos que trabajan en la discipli­ na. El ejemplo de la relatividad m encionado abajo va al p un to en este respecto. Aunque pueden darse o tro s argum entos generales de la deseabi-

[idad de la form alización, me gustaría considerar ahora tres ejem plos un p oco detallados de có m o los m étodos de la form alización pueden contribuir de una m anera útil a la clarificación de problem as co n cep ­ tuales en diferentes dom inios de la ciencia. El prim er análisis se o cu ­ pa de la teoría especial ele la relatividad, el segundo de la m edición de propiedades intensivas y el terreno de la psicolingüística.

R elatividad C ualquier persona con algún entrenam iento lógico que observa la literatura filosófica sobre la relatividad, desde Reichenbaeh a G riin baum , probablem ente experim entará un cierto sentim iento de inquie­ tud. El origen de esta inquietud es la falta de claridad en los supues­ tos básicos de la teoría. Para nuestros propósitos aquí, podem os co n ­ finarnos a la teoría especial de la relatividad. U n a respuesta posible es que la teoría especial de la relatividad es m uchas cosas para m u­ chos físicos, y que los filósofos no deberían pedir que Ses dieran un conjunto claro y fundam ental de supuestos de los cuales se seguirían todos los resultados deseados. N o obstante, no pienso que este pun ­ to de vista sea co rre cto . U n a responsabilidad de los filósofos co m ­ prom etidos en un análisis lógico de la relatividad es proveer suposi­ ciones autocontenidas y claras de las cuales puedan derivarse los re­ sultados básicos y fundamentales de la teoría. P uede haber en verdad algún argum ento sobre exactam ente cuáles resultados han de ser co n ­ siderados fundam entales, pero escasamente puede haber cualquier de­ sacuerdo acerca de la im portancia esencial de m o strar que cualesquie­ ra dos m arcos de referencia inerciales están relacionados p o r una transform ación de L o ren tz. U n conjunto de axiom as o suposiciones form alm ente autocontenidos del cual este resultado puede ser deri­ vado no se encuentra en los escritos de R eichenbach ni de G rünbaum . Verdaderam ente es sorprendente que las referencias relevantes no son ni siquiera dadas ni m encionadas en el amplio libro de G rünbaum so­ bre el espacio y el tiem po2. Desilusionados p o r los textos filosóficos que consultam os, podem os consultar libros de texto estándar o tra­ tados de física. Aquí, sin em bargo, en contram os los mismos proble­ mas. D e hecho, la discusión generalm ente no es tan ciara desde un

’ A. Grünbaum (]9fi>).

punto de vista lógico o m atem ático co m o In que se encuentra, por ejem plo, en G runbaum . Los resultados negativos d e nuestra búsque­ da podrían impulsarnos a pensar que la m ateria es dem asiado co m ­ plicada o m atem áticam ente demasiado difícil co m o para ser com p le­ tam ente resuelta, lista es la ironía de la situación. L a m atem ática es elemental. Varias soluciones autocontenidas existen en la literatura, y pür ¡o menos una {la de R o b b )3 ha existido durante treinta años; aunque pocos físicos y filósofos de la ciencia parecen estar enterados de los resultados. ^ o m ostré hace un buen núm ero de años que la única suposición necesaria para la cinem ática relativista es que tod os los observadores que yacen en m arcos inerciales obtengan m ediciones idénticas de dis­ tancias relativistas a lo largo de trayectorias inerciales cuando sus ins­ trum entos de m edición tienen calibraciones idénticas'*. E s una co n ­ secuencia y no una suposición de este análisis que los observadores en diferentes m arcos de referencia están m oviéndose uno respecto a o tro con velocidad uniform e. Más aun, no se requieren suposiciones de continuidad y íinealidad. La teoría especial de la relatividad puede ser puesta sobre la estrecha base operacional de m ediciones de dis­ tancia relativista a lo largo de trayectorias inerciales. Más aún, los principales resultados pueden obtenerse sob re un cam p o denum erable de núm eros y, en verdad, sobre un cam p o de núm eros que in­ cluso no es arquim edeano. P o r resultado «principal» quiero decir la derivación de que cualquier par de m arcos de referencia están rela­ cionados p o r una transform ación de L o re n tz . D esd e el punto de vis­ ta de la física, es im portante e interesante n o ta r que no se requieren propiedades locales diferenciales y que en un sentido m atem ático es­ tricto, la derivación de las transform aciones de L o re n tz es elem ental. R ecientem ente, E . C . Zeeman ha m ostrado que no se requiere de los resultados de medición, sino que pueden usarse suposiciones de o r ­ den (aunque su dem ostración no vale para dos d im ensiones)5. Debe ser patente cóm o esos análisis explícitos de las suposiciones necesarias para establecer la cinem ática relativista ejem plifican las v ir­ tudes de form alización descritas arriba en térm inos generales. La su ­ posición única usada p o r m í o la usada p o r Z eem an es explícita, está en lenguaje m atem ático estándar, es au tocontendida y es, en un sen3 A. A . R obb (1936). * Suppes (1959a).

lido preciso que puede dem ostrarse, m ínim a. E sto no puede decirse de ia m ayoría de los análisis que se encuentran en libros de texto de física o en escritos de filósofos que se ocupan de la teoría de la rela­ tividad. L a generalidad ganada p or la form alización es particularm en­ te extraída p or la consideración del hecho de que ni siquiera se re­ quiere un cam po arquim edeano de núm eros para la derivación de las transform aciones de L o re n tz , E sto hace m uy claro el carácter ele-mental y también m icroscóp ico de la relatividad especial N o se re­ quiere ninguna propiedad profunda del sistema de los núm eros rea­ les en la form ulación de la teoría cinem ática. D e m ucho m ayor im­ portancia filosófica es el reem plazo de descripciones algo vagas y o ca ­ sionalm ente misteriosas acerca de las suposiciones básicas de la rela­ tividad p or axiom as form ulados exactam ente. A la cuestión «¿cuál es la base conceptual de la teoría especial de la relatividad?» pueden dar­ se cualesquiera de vanas respuestas equivalentes que no tienen resi­ duo de confusión conceptual.

M edición fu n d a m e n ta l de propiedades in ten sivas U n a de las disputas conceptualm ente más interesantes en la teoría y en la p ráctica de la medición en ciencia es la de si es posible tener medición fundam ental de propiedades intensivas. E n prim er lugar, la pretensión de m edición fundamental involucra la pretensión de que puede establecerse una escala cuantitativa sob re la base de observa­ ciones em píricas cualitativas que no asumen m ediciones anteriores. La distinción entre propiedades intensivas y extensivas es tan vieja en ciencia y filosofía que se rem onta al m enos a A ristóteles, y tiene una amplia literatura incluso en la Edad M edia bajo el tópico de in­ tensión y rem isión de form as. Las propiedades extensivas, o m agni­ tudes, son propiedades que pueden su m arse; p o r ejem plo, !a m asa y la longitud son extensivas. Las propiedades intensivas, en cam bio, no pueden sum arse, incluso aunque pueden m edirse. P o r ejem plo, dos volúm enes de gas con la misma tem peratura no se com binan para for­ m ar un gas con el doble de tem peratura. Se ha pretendido repetida­ m e n te p o r a lg u n o s te ó r ic o s de la m e d ic ió n , n o ta b le m e n te N . R . C am pbell, que la medición fundam ental de las propiedades in­ tensivas no es posible. Así en su discusión de la medición de la tem ­ peratura, Cam pbell con clu ye que no es posible la m edición funda­ mental de la tem peratura ya que «no hay ningún proceso físico de

adición para la temperatura»*’. El análisis, lleno de intuiciones pero confuso, de la medición de Cam pbell ha tenido ram ificaciones en mu­ chas otras áreas de la ciencia. Su posición, p o r ejem plo, fue esencial­ m ente adoptada en un influyente artículo acerca de la medición en psicología p o r Bergm ann y Spence7. Aquí está lo que ellos dicen: En dimensiones extensionales, y sólo en dim ensiones extensionales, puede darse un significado factual a la igualdad de dife­ rencias num éricas sin establecer cualquier o tra ley em pírica que los axiom as mism os de la medición, (p. 111). H asta relativam ente tiem pos recientes las con cepcion es expresa­ das p o r Cam pbell, B ergm ann y Spencer, y o tro s, de que las prop ie­ dades intensivas no pueden medirse fundam entalm ente fueron am­ pliam ente esparcidas, y todavía están en circulación en algunas par­ tes. C o n to d o , es elemental y simple dem ostrar que esas con cepcio­ nes, expresadas tan categórica y dogm áticam ente, no descansan so­ bre ningún análisis form al sen o y pueden de hecho refutarse p o r sim­ ples contraejem plos que son p o r ellos m ism os aplicables a la m edi­ ción de propiedades intensivas. U n a de las virtudes más im portantes de la form alización puede extraerse de este co n te x to . D en tro de una disciplina que está form alizada, aserciones co m o aquellas de C am p ­ bell o Bergm ann y Spence, sim plemente no se hacen sin dem ostra­ ción form al. U n o de ios desarrollos form ales más im portantes en la h istoria de las m atem áticas y la lógica ha sido el d esarrollo de técn i­ cas para dem ostrar que ciertas cosas no son posibles. E jem plos clá­ sicos son las dem ostraciones de que ángulos arb itrarios no pueden ser trisectados p o r escuadras y com pás, que la raíz cuadrada de 2 no puede representarse p o r el radio de dos en teros, y que el postulado de las paralelas de Euclides no puede derivarse de los o tro s postula­ dos. E n lógica y m atem áticas, las aserciones generales de im posibili­ dad deben ser sostenidas p o r dem ostraciones p recisam ente definidas para ser tom adas en serio. E xactam en te los m ism os estándar pueden aplicarse en ciencia cu and o está organizada dentro de un m arco fo r­ mal. E n el caso de las propiedades intensivas, p o r ejem plo, es trivial m ostrar que una relación cuaternaria que expresa igualdad de dife— b Campbell (1920). 7 Bergmann y Spenccr (1944).

rendas num éricas es invariante bajo un cam bio de unidad y origen, y así no representa una relación que exprese aditividad, la cual es in­ variante sólo bajo cam bio de unidad. Tales escalas son ahora am plia­ m ente usadas en la m edición de la utilidad y otras características p sico­ lógicas. Tam bién es simple y elemental dar axiom as para tales rela­ ciones cuaternarias en térm inos puram ente cualitativos. Puede cncon trarse un ejemplo en mi texto de lógica^ y una discusión mas extensa en el artículo de Zinnes y míov. A menos que la discusión de la m edición de propiedades intensi­ vas sea puesta dentro de un m arco form al, hay poca esperanza de un esclarecim iento exacto de los tem as. P o r supuesto, el problem a con Cam pbell es que él fue un físico experim ental y realm ente no enten­ día ningún tipo de argum ento m atem ático. E l se habría sorprendido p o r la petición de que diera una dem ostración de su aserción de que sólo las propiedades extensivas pueden medirse fundam entalm ente. Puede hacerse una defensa de que la con cepción de Cam pbell no fue m ucho más lejos en la discusión de las intensiones cualitativas y cu an ­ titativas y la remisión de form as que T h om as B radw ardine de M erton en el siglo ca to rce . C iertam ente Arquím edes o P to io m eo , si c o n ­ frontaran el libro de Cam pbell Physics: T h e Elem ents, encontrarían casi increíble la degradación en el estándar de análisis y claridad co n ­ ceptual que ha tenido lugar sobre un período de dos mi! años.

P sicolingü ística Fuertes vientos de opinión divergente se sienten corrientem ente más en la psicolingüística que casi en cualquier o tro cam po de la cien­ cia. H a sido intenso el conflicto entre lingüistas que usan con cep tos mentalistas y psicólogos que usan un con ju nto restringido de co n ­ ceptos conductistas, p or lo menos desde la publicación de la reseña de C hom sky (1 9 5 9 ) del libro de Skinner V erba l B eh a v ia rlu. E n tre el cúm ulo de aserciones y contraserciones hechas tanto por lingüistas co m o p o r psicólogos, be seleccionado una cuestión para com en tar aquí. L os lingüistas de persuasión chom skiana han afirmado en re­ petidas ocasiones, y en algunas incluso también han tratado de de­

B Suppes (1957).

7 Suppes y Zinnes ( 1963). 10 Clmmskv (1959).

m ostrar, que ninguna teoría estándar del estím ulo-respuesta del co n ­ dicionam iento puede dar cuenta de cualquier aspecto central del c o m ­ p ortam iento lingüístico. P o r ejem plo, K atz y Postal declaran en su libro que «U n a teoría del condicionam iento de la adquisición del len­ guaje debe rechazarse por ser, en principio, incapaz de explicar có m o se aprende ei lenguaje»1'. Aunque han dado algunos argum entos para sostener esta aserción, no dan ninguna d em ostración seria del género discutido arriba, el cual es estándar en aserciones m atem áticas de na­ turaleza negativa. Incluso es dudoso si ellos reco n o cen plenam ente la necesidad de una dem ostración ta! para dar a su aserción acerca de la teoría del condicionam iento un estatus definido. Sobre tod o, ellos no dan una clara interpretación form al de la frase «en prin cip io»; aun­ que tal interpretación es ciertam ente de sum a im portancia en cual­ quier análisis serio de este tipo. P o r ejem plo, ellos no distinguen en­ tre la aserción de que ninguna extensión conservativa de la teoría del condicionam iento puede dar cuenta de aspectos m ayores del apren­ dizaje del lenguaje, y la aserción más fuerte de que aun con la adi­ ción de o tro s conceptos conductistas, la teoría no será suficiente. E n ­ tiendo aquí por una extensión conservativa de la teoría, una tal que emplearía los mismos con ceptos fundam entales que la teoría origi­ nal12. Un intento más am bicioso del m ism o género que el de K atz y P o s­ tal ha sido hecho recientem ente p o r B ever, F o d o r y G a rre t'3. Ellos intentan una dem ostración form al de las lim itaciones del asociativism o, o lo que viene a ser lo m ism o, la teoría del estím ulo-respuesta del condicionam iento. Stn em bargo, su supuesta d em ostración n o es una dem ostración form al en ningún sentido, y lo que tienen que de­ cir acerca del postulado inform alm ente establecido desde el cual tra­ bajan es conceptualm ente con fu so. Su postulado fundam ental es que «L os principios asociativos son reglas definidas sob re el vocabulario terminal de una teoría, i. e., sob re el vocab ulario en el cual la con ­ ducta es descrita» (p. 583). N o m uchas líneas adelante, ellos afirman que «U n co rolario de! postulado term inal es que, puesto que la co n ­ ducta es organizada en el transcurso del tiem p o, cualquier relación asociativa es una relación entre elem entos a la izquierda y la derecha de una secuencia» (loe. cit.). N o se intenta ninguna dem ostración de 11 Kac?. y Postal (1% -t). 13 Para unn discusión más detallada de este punto véase C ro tliers y Suppes (1967). ,J Bever et , e n donde X es un con ju nto no vacío, £T es una familia de subconjuntos de X y la relación ^ es una relación binaria en S\ U san d o co m o objetos subconjuntos de X , eludim os la necesidad de utilizar co m o co n cep to p rim itivo un co n cep to independiente de con caten ación . Se requiere co m o condición estructural general que £T sea un á lg eb ra d e conjuntos para X , lo cual equivale a exigir que £T sea n o-vacío y cerrado en la unión y el com p lem ento de co n ju n to s; es decir, si A y B pertenecen a £T, entonces A U B y ~ A también pertenecen a 3". L a interpretación perseguida de los con ceptos prim itivos es obvia en los tres casos m encionados. En el caso de la m asa, X es un conjunto de objetos físicos, y para los dos subconjuntos A y B se da que A ^ B si y sólo si el con ju nto de ob jetos A se considera p o r lo m enos igual de pesado que el con ju nto B . E n el caso de las varas rígidas, el conjunto X es precisam ente la colección de varas y A 3= B si y sólo si el con ju nto de varas A puesto extrem o co n extrem o en una línea recta se considera igual o m ás largo que el co n ju n to B tam bién extendido. Las distintas variaciones que caben en la m anera exacta de hacer esta com p aración cualitativa de longitud pueden ser fácilm ente suplidas p o r el lecto r. E n el caso de la probabilidad subjetiva, el con ju nto X es el con ju nto de los resultados posibles dei experim ento o situación em pírica considerada. L o s subconjuntos de X en £T son precisam ente

eventos en el sentido ordinario de ios con cep tos de probabilidad y A 5* B si y sólo si A se considera por lo menos tan probable co m o B. En la siguiente definición se dan una serie de axiom as en relación con la medida continua, sujetas a las dos restricciones de finitud e igualdad espacial. E n el axiom a 5, ~ es la relación de equivalencia definida de la m anera en que se acostum bra, en térm inos de a saber, A = B si y sólo si A a B y B a A .

D efinición 2. U n a estructura x ~ { X , 3\ > ) es una estructura continua, finita y espacialm ente igual si y sólo si X es un conjunto finito, ST es un álgebra de conjuntos de A', y para cada A , B y C de ST se satisfacen los siguientes axiom as: 1.

La relación > es una relación ordenadora débil de ST.

2.

S i j 4 f l C = 0 y 5 n C = 0 , entonces A C > B U C; A > 0 ;

3.

5:

B si y sólo si A

U

=* X .

4.

No 0

5.

Si A 2: B , entonces hay un C en ? tal que A » B U C ,

Desde el punto de vista de las ideas com unes acerca de la medida de longitud y masa, sería natural reforzar el axiom a 3 y afirm ar que si A ^ 0 , entonces A > 0 , pero puesto que p or una parte esto n o se requiere para el teorem a de representación y p o r o tra es excesivam en­ te restrictivo en el caso de la probabilidad subjetiva, parece más apropiada la form ulación más débil de dicho axiom a. Para establecer el teorem a de representación y unicidad nos servim os de la noción de medida aditiva, 8, de ¡3" para los núm eros reales, es decir, de una función tal que para to d o A y tod o B de ST. (I) (I I )

(III)

í * ( 0 ) = O.

rtA)*

0.

Si A n B — 0 , entonces

U B)

= f i ( A ) + fJ-(B),

en donde 0 es el con ju nto v acío ; también se requiere para las aplicaciones que aquí se intentan hacer que fi(X ) > 0. E s posible dem ostrar un teorem a de representación en orm em ente firm e con el prop ósito de ver que sólo hay dos tipos no equivalentes de átom os.

T eorem a. Sea % =

( X , 9", 5 :) una estructura extensia finita y

cspacialm cntc igual. E ntonces existe una medida aditiva ju. tal que para todo A y todo B de “J . H (A ) £ ¡x{B) si y sólo si A 2: B y la medida es única hasta una transform ación de sem ejanza positiva. Adem ás, hay en 5" a lo sum o dos clases de equivalencia de eventos ató m ico s; y si hay dos en lugar de una, una de ellas contiene el evento vacío. Para la prueba de este teorem a, ver Suppes (1 9 6 9 a ) Pte. I. L a «delicada» cuestión acerca de esta teoría de la m edida con tin u a, que en su enunciación form al es una de las teorías más sencillas de medida fundam ental, es ésta: ¿Podem os, sin in trod u cir una teoría de errores, aplicar realistam ente esta teoría a la co n stru cció n de escalas fundamentales co m o haríam os en la con stru cción de unidades funda­ mentales de peso o de longitud? Si no podem os, ¿có m o vam os a in trodu cir el difícil y en gorroso problem a del e rro r precisam ente en el m om ento en que estam os haciendo !a transform ación de con ceptos cualitativos a cu antitativos? Y o creo que en la prim era etapa del análisis elemental p odem os dejar de lado tal teoría explícita del erro r. U n análisis de lab oratorio más refinado se realiza en térm inos del procedim iento recursivo de un sistema o conjunto de unidades usadas co m o base para la siguiente etapa. M i interés aquí se limita sólo a la prim era etapa de ia im plantación de tales procedim ientos de medida cuantitativa. E n esta etapa se construyen objetos — p o r ejem plo, un conjunto fundam ental de pesos— que parecen satisfacer con exactitud los axiom as. El siguiente paso, consistente en la estim ación del erro r de medida con ob jeto de indicar la exactitud del conjunto de unida­ des, es un paso más allá de la prim era im plantación de los p ro ced i­ mientos de m edida fundam ental. E ste paso adicional se requiere para cualquier trabajo com p licado, tanto de lab oratorio co m o de cam p o. Sin em bargo, se pueden presentar argum entos convincentes a favor de la idea de que es hasta necesario no exigir dicha teoría iniciaim ente para lograr la transform ación de la form a cualitativa en ía cuantitativa. E n resum en, estoy m anteniendo que muchas de las teorías básicas de medida fundamental se pueden considerar co m o ejemplos de teorías deterministas con datos no corregibles. M i tercer ejem plo, que es uno de los más bellos c im portantes de toda la historia de la ciencia sólo me limitare a bosquejarlo dada su

com plejidad. La ausencia de una teoría explícita dei e rro r es una de las m ayores sorpresas que se presentan en él. El ejem plo en el que estoy pensando es el del desarrollo de !a m atem ática antigua y de la astronom ía observacional que lleva basta la teoría contenida en el A imagesto de P to lo m eo . A pesar de la ap roxim ación del ajuste logrado entre teoría y d atos en la astronom ía ptolom aica y del nivel de análisis que era de naturaleza com pletam ente cuantitativa y m atem áti­ ca, no se usó en el corpus de la astronom ía antigua ninguna teoría explícita del erro r para ajustar las observaciones discrepantes. Parece suponerse, sin que se haga explícito, que todas las observaciones normales deben ajustarse a la teoría con toda exactitu d. A l menos no se introduce ningún co n cep to sistem ático de e rro r en la m edida de las observaciones. E s to es especialm ente sorprendente en ciertos aspec­ tos, debido a ios m étodos de observación relativam ente rudim entarios disponibles. Considerando la situación, la teoría de la paternidad hum ana es un caso excesivam ente simple (aunque sea ap rop iad o) de form ulación determ inista con datos no corregibles. El segundo ejemplo de medida fundamental está en el límite de las dificultades y éstas, desde luego, aparecen una vez que se requiere un análisis más com plejo. La teoría p tolom aica es explícitam ente una teoría determ inista con datos no corregibles, pero la falta de una teoría sistem ática del e rro r es, tal vez, el m ay o r defecto m etod ológico de la astronom ía ptolem aica.

2.

Teorías determ inistas con datos corregibles

E l gran ejem plo de teoría del tipo descrito p o r el encabezam iento de esta sección es la mecánica clásica. C onviene d ecir en seguida que la corregibilidad de los datos no se sigue de la estru ctu ra de la teoría com o tal y que, en este aspecto, todas las teorías determ inistas tienen básicamente la misma estructura. Más bien se sigue de la m etodología de la com p rob ación de la teoría. L o fundam ental en la m ecánica clásica es que se ha desarrollado y aplicado extensam ente en las aplicaciones más im portantes de la teoría una teoría m uy elaborada del error. Para decirlo con otras palabras, en este apartado estoy considerando las teorías determ inistas que no es que incorporen una teoría del e rro r en su estructura, sino que se aplican a datos que se aceptan com o erróneos en parte y que, p o r consiguiente, requieren alguna teoría para abordar la co rrecció n de los m ism os. En m uchos

aspectos el ímpetu dado a la teoría de la probabilidad p o r el profundo análisis que Laplncc hiciera de los errores, especialm ente en las observaciones astro n ó m icas, ha sido uno de los rasgos m etodológicos más im portante de la ciencia m oderna. lis, ante tod o, una caracterís­ tica que distingue ia ciencia m oderna de la ciencia antigua. Si distinguim os la ciencia m oderna cuantitativa de la prem oderna por la presencia o ausencia de una teoría sistem ática de e rro r, entonces N ew to n debe ser con sid erad o co m o prem oderno. L a consideración cuantitativa y sistem ática de ios datos en ios Principia se reduce casi por com pleto al libro te rce ro , y es preciso señalar que en las Reglas para R azo n ar en Filosofía, con las que N ew ton com ienza el L ib ro III, no se m enciona el p roblem a de e rro r o de la rectificación de las observaciones no razonables. E s cierto que a! exp on er tanto los fenóm enos im portantes co m o las proposiciones correspondientes con las que continúa el L ib ro III N ew to n m enciona ocasionalm ente el olvido de ios errores y h ace varias observaciones cualitativas acerca de los errores de ob servación . C onsiderem os, por ejem plo, el Fen óm en o V I, consistente en que el m ovim iento de la luna resp ecto al cen tro de la tierra describe un área p rop orcion al al tiem po de reco rrid o . D e acuerdo con esta d escrip ción , N e w to n afirm ará: «esto es lo que podem os con clu ir a p artir del m ovim iento aparente de la luna co m p a­ rado con su diám etro aparente. C ierto es que el m ovim iento de la luna se ve algo perturbado p o r la acción del Sol, pero al establecer estos fenóm enos prescindo de esos insignificantes y despreciables errores». N ew ton ha destacado tam bién p o r sus contribuciones a la teoría de la interpolación de datos que, en sí misma, constituye un esfuerzo p o r reducir ia m agnitud de los errores. Sin em b argo, hasta el siglo XVIII no apareció ningún tratam iento sistem ático de la teo ría del erro r. L a prim era referencia sobre la aplicación de la teoría de la probabilidad al análisis del erro r m en cio ­ nada p o r T o d h u n ter (1 9 4 9 ) es una o b ra publicada p o r W illiam Simpson en 1757 con el título de MisceUancous Tracts on Som e C urio h s a n d V erry In te r Un g Subjects in M echanics, PhysicalA stronom y, a n d Speculative M athem atics. Y tam bién, según T o d h u n ­ ter, el siguiente tratad o sistem ático sob re el tem a fue publicado p o r L agrange en el quinto volum en de las Miscellanea T aurinensia, que apareció entre los años 1 7 7 0 -1 7 7 3 . Dadas las dificultades analíticas encontradas en to d o tratam iento general de la teoría de los errores, no tiene nada de extraño que ei m ism o problem a tratad o p o r Lagran ge sea descrito p o r T o d h u n ter en

los siguientes térm inos: «E l prim er problem a es el siguiente: se supone que en cada observación hay casos A en los que no se da ningún error, casos B en los que se da un e rro r igua! a 1 y casos D en los que se da un error igual a - 1 ; se pretende hallar la probabilidad de que tom ando el prom edio de n observaciones los resultados sean exactos» (págs. 3 0 1 -3 0 2 ). En problem as posteriores tratados en su m em oria, Lagrange pasa del caso d iscreto al co n tin u o . D e este m od o, halla una expresión para la probabilidad de que el e rro r en el resultado m edio se halie entre los resultados asignados, de acu erd o con hipóte­ sis razonablem ente generales sobre la aparición de errores singulares. E l tema com pleto del análisis de los errores de observación fue m adurando en las subsiguientes m em orias de Laplace y es en realidad en la aplicación que Laplace hiciera del aparato de la teoría de la probabilidad a los errores de la observación astron óm ica donde ei análisis probabilístico de los datos no corregibles adquirió un estado de m adurez y complejidad. C o m o consecuencia de los esfuerzos de Sim pson, Lagrange, L aplace, Gauss y o tros, la física clásica del siglo XIX incluyó una teoría sistem ática de! análisis de errores y al m enos ios resultados elem enta­ les fueron utilizados en temas tan dispares co m o la astronom ía y la teoría electrom agnética. P o r otra parte, sería erróneo exagerar la am plitud con que real­ m ente fue usada la teoría sistem ática de errores en la física clásica del siglo XIX. U n tratado tan fundam ental e im p o rtan te com o el de M axw ell sobre la electricidad y el m agnetism o apenas incluye, en sus dos volúmenes, análisis cuantitativo alguno de los errores de medida. D e h echo, uno de los fallos dei tratado de M axw ell, que a la vez es un indicio de la relativa novedad del tema del m ism o , es la falta de los generalm ente tediosos y com plicados análisis de d atos de la astrono­ m ía, donde se dedicó gran atención a pequeñas discrepancias entre observación y teoría. Tam bién es un fallo el que no se haga en el tratad o resumen alguno de la discrepancia en tre teoría y observación ni se intente atribuir esas discrepancias a la teoría, p o r una p arte, y a los errores de medida, p o r o tra. E ste análisis ha tenido una im portan­ cia fundamental en la larga historia de la astron om ía y ésta es la razón p o r la que el m ejor ejem plo de teoría determ inista co n datos corregi­ bles del siglo XX tal vez sea la teoría de la relatividad. A q u í se ha dedicado una gran atención a la exactitud del ap arato de medida y , a la h o ra de juzgar el éxito de la teoría general de la relatividad, ha sido im portante preguntar si las discrepancias que se mantienen entre

teoría y observación caen dentro de los límites de erro r de la m edida observacional.

3.

Teorías probabilísticas con datos no-corregibles

H e seleccionado co m o ejemplo de teoría del tipo que vam os a analizar en esta sección la teoría del aprendizaje lineal de la sicología m atem ática. H e elegido este ejem plo, no p o r su profundidad co n cep ­ tual o adecuación em pírica, sino porque se puede form ular de una form a muy sencilla y porque será fácil de entender para quien no esté fam iliarizado co n el cam po general de !a sicología m atem ática. L a exposición explícita de teorías más adecuadas exigiría un espacio y un tiem po m ucho m ayores. Para una form ulación general en térm inos axiom áticos de la teoría del estím ulo-respuesta, ver Suppes (1 9 6 9 ). C o n objeto de sim plificar la presentación de la teoría, vam os a suponer que en cada ensayo el organism o de la situación experim ental puede dar exactam ente una de las dos respuestas A x o A z, y que después de cada respuesta recibe un refuerzo £ , o E 2, de una de las dos posibles respuestas. Un resultado experimental posible en el senti­ do de la teoría es una secuencia infinita de pares ordenados (i , / ) , en donde i, j = 1, 2 , e t representa la respuesta observada y j el refuerzo de un ensayo dado del experim ento. U n a ejem plificación posible de la teoría es un trío ordenado % = ( X , P, 9 ) del siguiente tipo: E l con ju nto X es el con ju nto de todas las secuencias de pares ordenados (i , j } con i, j = 1, 2. L a función P es una medida de probabilidad realizada según el álgebra o más pequeña de las que contienen el álgebra de con juntos-cilindro de X ; y 9, un núm ero real del intervalo 0 < 0 < 1, es el p arám etro del aprendizaje. P ara establecer los axiom as de la teoría necesitam os in tro d u cir alguna notación. Sea A¡ „ el acontecim iento-respuesta A i en el ensayo E j, n el acontecim iento refuerzo E j en el ensayo n , donde i , j = 1 , 2 , y sea x ní para x de X , la clase de equivalencia de todas las secuencias de X que son idénticas a i a l o largo del ensayo n .

D efinición 3 . U n a estructura % = (^ > es una estructura de aprendizaje lineal si y sólo si se satisfacen los dos axiom as siguientes para cada n y para cada í, í’ , j *= 1 , 2 .

A xiom a 1. Si

> 0 , entonces

^ {A í,m+ i I Ej'„Aj',¿cn—¡ ) = ( 1 —0)P (A ¡rV | x ,¡_ ¡) + 0. A xiom a 2 . Si P (E jJ1A i-t„ x „ ^ i) > 0 e i ¥= j , entonces P(A¡,„+i I Ej,nAv,nx n- 1) = (1 -

6 )P {A ¡¡n

El prim er axiom a afirma que cuando se refuerza una respuesta, la probabilidad de dicha respuesta en el siguiente ensayo se ve aum enta­ da según una transform ación lineal simple. E l segundo afirma que cuando se refuerza una respuesta distinta, la probabilidad de la prim era se ve disminuida según una segunda transform ación lineal. Desde un punto de vista sicológico, es evidente que esto es lo que puede llamarse teoría del aprendizaje co m o p uro refuerzo. La teoría ha sido am pliam ente usada para analizar datos experim entales. N o vo y a en trar aquí en sus virtudes y defectos para el análisis de los experim entos, sino que me centraré en el p u n to general de có m o se mantiene tal teoría probabilística con respecto a los datos de to d o s los experim entos a los que se ha aplicado. Para indicar có m o se usan las estructuras del aprendizaje lineal en el análisis de datos experim entales, podem os con sid erar uno de los tipos más simples de experim ento, el experim ento de la probabilidad de aprendizaje con refuerzo no contingente. D en otarem os la p rob ab i­ lidad del refuerzo £ , por n y la del refuerzo E 2 p or 1 - n . El inventario de refuerzos es tal que se da exactam en te un refuerzo en cada ensayo. E l térm ino no-contingente significa que la probabilidad de que se dé un refuerzo co n creto es independiente de la respuesta del sujeto y , p o r tan to, de todo m odelo p revio de respuestas y de refuerzos. En un experim ento típico co n sujetos hum anos, a los sujetos se les pide que respondan varios cientos de veces. L os datos de esos ensayos se analizan luego en térm inos de la com p aración de los m ismos entre las frecuencias relativas observadas de los datos y las probabilidades predichas por la teoría. E l p rim er problem a que hay que afrontar, y que es un problem a típico de todas las teorías de alguna com plejidad, es la estim ación de p arám etros cu y o valor no se puede determ inar de form a independiente. E n la situación actual el parám etro del aprendizaje 6 tiene este status. Su estim ación debe hacerse a partir de los datos y las predicciones sólo se pueden hacer una vez obtenida esta estim ación. D e h ech o , para un análisis com pleto de los datos debe ser tenido en cuenta un p arám etro adicional, a saber, la probabilidad inicial de la respuesta A i, p ero aquí ignorarem os este problema ateniéndonos solam ente a las predicciones asintóticas.

L o s datos experim entales que vam os a considerar para dar co n cre ­ ción a esta exposición se tom an de Suppes y Atkinsori (1 9 6 0 ) C ap, 10. En este experim ento los sujetos fueron sentados ante una mesa en la que se habían colocad o dos llaves con dos luces, una sobre cada llave, en un tablero vertical. E l problem a que había de resolver el sujeto consistía en pred ecir qué luz se encendería en cada ensayo. Los encendidos de ias luces, naturalm ente, representaban los refuerzos E\ y E 2 de las respuestas predictivas A t y A 2. E n el libro al que acabam os de referirnos se dan detalles del p rocedim iento experim ental y de la descripción del aparato que no vam os a repetir aquí. En el experi­ m ento co n cre to que vam os a considerar se som etió a cada sujeto a 2 0 0 ensayos y se realizó el exp erim ento co n 3 0 sujetos. L o s sujetos eran tod os estudiantes de L icen ciatu ra de Stanford. L a probabilidad del refuerzo E t era de C onsiderem os parám etro 9 co m o dad cuasi-m áxim a

Jr = 0 ,6 . en p rim er lugar el problem a de considerar el asin tótico. U sam os un procedim iento de posibili­ basado en las probabilidades condicionales.

lim P [ A |-1 | EjrnAf¿itt)

-í-1 |Ej

k'jj)-

L a derivación de esas probabilidades condicionales co m o función de B y de n se hace en E stes y Suppes (1 9 5 9 ). Para el caso que nos ocupa, los resultados son los siguientes: Peo {-''W.n + l |£|.n-^l.n) = (1 — P a> C^l.II + t [E2,„A l'„) — (1 — Pea (A2,n+l |£ l . «■''I2 .ii) = O ~ Pea {A 2^í ^-1 IE 2trtA 2ífí) (1 —

B)a + 9, 9)a, 9 )b , 6 )b + d.

donde a = [2w (l -

0) + 9} I (2 -

b = [2(1 - n )(l -

0)

9 ) + 0] / (2 -

0).

L a función a m axim izar se define en térm inos de esas probabilidades condicionales y de las frecuencias observadas de transición asintótica. Especialm ente,

L * (0 ) = 748 log [(1 - Q)a + 0] + 298 log [1 - (1 - 8)a + 394 log [(1 - 6)a] + 342 log [(1 - (1 -

ffj 8)a]

+ 462 log [1 - (1 — Q)b] + 306 log [(1 — 8}b ] + 186 log [1 - (1 - 6 )b - 6} + 2 6 4 log [(1 — 8 )b + ¿>] E s relativamente sencillo resolver esta ecuación num éricam ente y m ostrar que el m áxim o para dos decimales se obtiene con 8 * = ,19. C onviene señalar en seguida que esta estim ación de probabilidad cuasi-m áxim a se expone form alm ente para que funcione co m o una estimación de probabilidad m áxim a, pero no tiene las propiedades estadísticas de una estim ación de probabilidad m áxim a. Se usa la estim ación de probabilidad cuasi-m áxim a y no m áxim a debido a ia dificultad de obtener una expresión analítica de la estim ación m ism a de probabilidad m áxim a. N o vamos a en trar aquí en los detalles estadísticos del problem a, pero tal vez convenga señalar que incluso en una teoría de la simplicidad de la de las estructuras de aprendizaje lineal es imposible aplicar algunos de los m étodos estadísticos stan­ dard y de ¡os criterios de bondad de los estim adores y que debem os recu rrir a m étodos m enos satisfactorios. E n este caso co n creto , co m o el estim ador de probabilidad cuasi-m áxim a cam bia al aum entar la condicionalización m ediante la inclusión de nuevas piezas del pasado, la estim ación total de ia probabilidad m áxim a resulta cada vez más aproxim ada. (Pero incluso esta garantía de ap roxim ación a la estim a­ ción de probabilidad m áxim a depende a su vez de que el p ro ceso sea ergód ico.)

TABLA

1,

P(A¡ P(Aj PÍA i PtAi

Com paración de predicciones secuenciales asintóticas d el m odelo lineal con datos observados

1£ , / , ) |E 2A\) |E }A 2) |E 2A2)

O b íc r v a d o i

P rcd ich os

.7 1 5

.7 1 0

.5 3 5

.5 2 0

.6 0 2

.625

.4 1 3

.435

E n la Tabla 1 se expone la com paración entre las frecuencias prcdichas y las frecuencias relativas observadas para el valor estim ado de 0. La prueba y 1 de la bondad del acuerdo entre los valores p rcd ich os y los valores observados nos da un y f de 3 ,4 9 . H a y cu atro grados de libertad, pero la estim ación de un parám etro se ha hecho a p artir de los datos y p o r eso el jf2 ha de interpretarse co n un grado de libertad igual a 3 , y , co m o cabría esperar del exam en de la T abla 1, no hay una diferencia estadísticamente significativa entre los datos predich os y los observados. H a y otras relaciones teóricas en los datos que también son predichas p o r la teoría y en relación con las cuales el acuerdo no es igual de bueno. N o vam os a seguir aquí co n estas cuestiones que se analizan con tod o detalle en la referencia y a citada. E n la tabla 1 hay incluso cierto indicio de discrepancia y es interesante ver có m o se puede pensar acerca de esas discrepancias dentro del m arco de una teoría probabilística. D esde un punto de vista a priori, tal v ez deseáram os decir que algunos de los datos fueron erróneam ente registrados y que en ocasiones no usuales, en las que surgen aspectos de los datos peculia­ res y difíciles de entender, podem os cuestionar la veracidad de los m ism os. Sin em bargo, en tod os los casos norm ales, cuando afirm am os que los datos no son corregibles, querem os d ar a entender que los datos se aceptan sin cuestionarlos y que no hay ningún intento sistem ático de estim ar el e rro r en las medidas o en los registros de los datos. L a razón de esto está del todo clara en este caso co n cre to . T o d o lo que se registra en cada ensayo es la aparición de una respuesta a !a derecha o a la izquierda y la aparición inm ediatam ente p o sterio r de un refuerzo a la derecha y a la izquierda. E n circunstancias ordinarias no se com eterán errores y , en con creto , no se requiere una teoría de los errores observacionales tal com o se halla desarrollada en la física para juzgar los errores en este tipo de observaciones. P o r consiguiente, sería p o co probable atribuir las discrepancias entre los datos y la teoría a errores de observación. Estaríam os tratando los datos co m o no corregibles en tod os los casos norm ales, y ésta es precisam ente la situación en el ejem plo en que estam os. E n otras palabras, en la com p rob ación de teorías probabilísticas, aquellos datos que entrañan clasificación se tratan co m o si fueran no corregibles. H a y o tra razón más profunda para ello; la teoría misma ofrece una cierta resistencia, por así decirlo, a to m ar en consideración las pequeñas discrepancias entre teoría y experim entación y hay una tendencia natural a refugiar­ se en esta resistencia más que a tener en cuenta los supuestos errores

en el registro y análisis de discrepancias que existen. En este caso la explicación natural de las insignificantes discrepancias entre los valo­ res observados y los predichos ha de en contrarse en la teoría estadísti­ ca del m u cstreo. Esta es precisam ente la razón p o r la cual hem os aplicado una prueba y }. L o que la prueba dice es que para el núm ero de observaciones consideradas aquí, las fluctuaciones del m uestreo del orden obtenido no indican una discrepancia significativa entre predicciones teóricas y datos experim entales. C onviene d estacar que el m od o en que se establece esta com p aración en las teorías probabilísticas es m ucho más natural y d irecto que en el caso de las teorías determ inistas. E n este últim o caso, la com p aración no puede hacerse dentro de la misma teoría, sino que debe de trasladarse a la teoría de los errores de medida y observación, para luego em plear las m ejores estim aciones obtenidas p o r aplicación de la teoría de los errores de m edida con vistas a probar las predicciones determ inistas de la misma. P ero incluso en este caso debem os añadir una discusión adicional con objeto de ver si las insignificantes discrepancias aún existentes entre teoría y experim ento han de considerarse significati­ vas, y otra vez esta discusión vuelve a no ser del to d o natural co m o ocu rre en las teorías probabilísticas.

4.

Teorías probabilísticas con datos corregibles

Indudablem ente, el ejem plo científico más significativo de teoría de este tipo es la m ecánica cuántica. E sta teoría es de naturaleza enteram ente probabilística y al m ism o tiem po los d atos son co rre g i­ bles en el sentido usado en este artículo. La teoría standard de erro res se usa en m uchos casos para analizar las observaciones y aparece en un enorm e porcentaje de artículos experim entales. Sin em b argo, incluso en el caso de la m ecánica cuántica, a pesar del h echo de que m uchas de las variables son de naturaleza continua, y , p o r tan to, están de form a natural sujetas a una teoría sistem ática de errores de observación , m uchos de los análisis de la correspondencia entre d ato s y teorías son inadecuados desde un punto de vista estadístico. E s to es de lo más sorprendente tratándose de la m ecánica cuántica, a diferencia de lo que ocu rre con una clase típica de teoría que describiré en seguida, debido a que en la mecánica cuántica ha habido entre los físicos una tendencia a desentenderse de los aspectos probabilísticos de la teoría. Q u iero decir con esto que ellos van a considerar las exp ectativas, por

ejem plo, en térm inos de ejemplos tan amplios que la resistencia introducida p o r las teorías probabilísticas que hem os analizado más arriba resulta com pletam ente eliminada. E n el caso de las teorías que se prueban en térm inos de distribu­ ciones totales de variables de azar y no sim plemente en térm inos de expectativas, en general 110 se aplica la teoría de errores aun cu and o es evidente que se hallan presentes errores de medida. Las razones ya han sido expuestas. E s debido a que la resistencia introducida p o r la form ulación probabilística de la teoría y las suposiciones de m uestreo envueltas en la consideración de la con cord ancia en que un cuerpo finito de datos y una distribución p redicha dan cuenta p o r sí mismas de todas las discrepancias p oco im portantes entre teoría y experim en­ to. Tal vez sea útil exam inar con algún detalle una de estas teorías de naturaleza simple. L a generalización natural de las estructuras del aprendizaje lineal a un con tin u o de respuestas es un caso fácil de considerar. L a exp osición que aquí vam os a hacer sigue a Suppes (1959a). En el caso finito o con tin u o se puede representar un experim ento mediante una secuencia E ^ ,A 2, E 2, A n, E „ , ...) de variables de azar, donde la elección de letras sigue convenciones establecidas: el valor de la variable de azar A n es el núm ero que representa la respuesta en el ensayo n , y el v alo r de E n es el núm ero que representa el evento refo rzad o r o cu rrid o en el ensayo n . T o d a secuencia de valores de esas variables de a z a r representa un resultado experim ental posible. E n el fu tu ro vam os a referirnos únicam ente a secuencias finitas de esas variables de azar, que conviene escribir en el orden inverso (£ ,„ A „, £ „ _ , , A „ - u E u A^). D en tro tan to del m od elo finito co m o del continuo, la teoría se form ula para la probabilidad de una respuesta en el ensayo n + 1, dada tod a la serie an terior de respuestas y refuerzos. P ara referirnos a esta secuencia precedente, vam os a usar ía notación S„. P o r tan to, dicho de una form a más form al, S„ es una secuencia finita de 2 n de longitud de los valores posibles de la secuencia de variables de azar (£ ,„ A „, A „ -¡, E t, / i j ) . L a distribución conjunta (acum ulati­ va) de las prim eras respuestas n y refuerzos n se designa p o r J n , es decir, si S„ = (y „ ,X n,

y i, X\)< entonces

~ Jn(y„, xn> •■■>y 1>*t) = P (E n s y„, A „ < x „ ,

£ i s y u A , == x x),

donde P es la medida del espacio de m uestra subyacente. Para m ayor claridad notacional, usamos las variables x u * 2, ..., x„ ... para los valores de las variables estocásticas de respuesta y y 2, y,¡ ... para ¡as variables estocásticas de refuerzo. E n el caso continuo, tenemos un p arám etro del aprendizaje 6 , que cum ple más o menos la misma función que el parám etro co rresp o n ­ diente del m odelo finito. Sin em bargo, no parece que sea razonable que el efecto total del refuerzo se con centre en un p un to, co m o ocu rre en el caso finito. En consecuencia, añadim os una distribución difusora k (x ;^ ) que esparce el efecto del refuerzo en torno al punto de refuerzo. P ara cada refuerzo y , k (x ; y ) es una distribución sobre las respuestas; es decir, k (a-, y) = 0 y k (b\ y ) = 1, y si x x \ entonces k (x ; y ) ^ k (x 'y ) para cada y de {a, b). L o s dos prim eros axiom as que siguen a continuación están desti­ nados simplemente a hacer suposiciones explícitas de aquellas prop ie­ dades difusoras que parecen altamente justificadas em píricam ente. El tercer axiom a afirma lo m ism o que los o tro s dos, pero para un caso finito. A xiom a Q . La distribución / „ es continua y doblem ente diferenciable p o r partes en ambas variables. A xiom a C 2- La distribución k (x ; y ) es continua y doblem ente diferenciable p or partes en ambas variables. A xiom a C 3. J „ + ](x\y„, x„, = (1 - ü )Jrl(x\sr ¡ ¡ ) + 6 k (x ; y„). E l axiom a C 3 dice que dada la secuencia (y„, x ,„ í „ - t), la distribu­ ción condicional de la variable fortuita de respuesta en el ensayo n + 1 es (1 — 8) p or la distribución condicional de la variable de respuesta en el ensayo n , dada la secuencia más 8 p o r la distribución difusora k ( x ; y u). E l parám etro de la distribución difusora es el punto de refuerzo y„ en la secuencia (y„, x„, í „ - i ) . E n experim entos hechos para co m p ro b ar esta teoría a lo largo de varios años hemos usado un aparato consistente en un am plio disco circular que con fines de medida se dividió de form a uniform e en 4 0 0 arcos de igual longitud. C u an d o un sujeto daba una respuesta o cuando se hacía un refuerzo los datos se registraban en térm inos de uno de estos 400 núm eros. E l p ropio disco circular tenía un diám etro de aproxim adam ente seis pies y, de esta form a, era fácil determ inar con más precisión el p un to exacto de refuerzo o respuesta, si bien desde el punto de vista de la com p rob ación no se necesitaba una

observación más exacta. La con cord ancia entre datos y teoría se hubiera podido co m p ro b ar satisfactoriam ente m ediante histogram as que de hecho no utilizasen la escala 4 0 0 , pero se añadieron observa­ ciones dentro de las divisiones de una escala aún m enos fina con ob jeto de lograr un núm ero de observaciones en cada celda suficiente co m o para satisfacer los requisitos teóricos de pruebas estadísticas standards co m o el '/“■ Las estructuras continuas de aprendizaje lineal ejemplifican una etapa temprana del desarrollo de teorías probabilísticas con datos corregibles. N o hay ningún problem a con la corregibilidad de los d atos. Las observaciones no son exactas y resulta apropiada una teoría sistem ática de errores, pero sim plemente no se necesita. E sto es debido a que ia teoría aún no se halla m uy desarrollada, ya que los fenóm enos objeto de investigación se estudian a un nivel cuantitativo relativamente tosco com p arad o con el tipo de resultados cuantitativos que predom inan en disciplinas antiguas y desarrolladas co m o ¡a astronom ía clásica. P o r otra parte, co m o ya he destacado, una de las características más im portantes de las teorías probabilísticas es que p rop orcion an un aparato para derivar conclusiones cuantitativas m uy exactas a partir de lo que sólo parecen ser débiles suposiciones probabilísticas. U no de los objetos más im portantes a los que se ha aplicado la investiga­ ción en térm inos de la estructura de las teorías probabilísticas es la búsqueda de resultados asintom áticos, o , dicho de fo rm a m ás genera!, de resultados que tienen probabilidad 1, U n a v ez que se aplican resultados que dependen de muestras m uy amplias y que exigen, p o r tan to , alguna de las leyes de los grandes n úm eros, desaparece la vaguedad entre teoría y observación y de nuevo deben en trar a ocu par un lugar los errores de medida. H e ofrecido una cuádruple clasificación de teorías y tal vez pueda pensarse que con ello intento ser exhaustivo y establecer algo definiti­ vo. Sin em bargo, está claro que se trata de una clasificación enorm e­ mente tosca y que, co m o he insinuado al principio, no debe ser considerada más que co m o una taxonom ía prelim inar. La m ecánica cuántica es uno de los mejores ejemplos de có m o la clasificación aquí dada necesita una m a y o r elaboración y un m ay o r desarrollo. Desde un punto de vista filosófico, uno de los temas más im portantes de la mecánica cuántica es la exposición que al final del tratado de von N eum ann se hace del tratam iento mecánico cu ántico de la interacción entre los fenómenos experim entales y el aparato de m edida usado para

observarlos. En este caso, que es im pórtam e en fenóm enos m icro scó ­ picos es preciso añadir algunas cosas más sutiles al hablar de las relaciones entre teoría y datos y aquí no lie em pezado ni a to ca r estos tem as.

5.

Algunas conclusiones filosóficas

E l orden en que se han expuesto aquí los cu atro tipos de teorías representa m uy aproxim adam ente el orden cro n o ló g ico de su desa­ rrollo. L a astronom ía antigua es el ejem plo p aradigm ático de teoría determ inista con datos no corregibles y, co m o he señalado, incluso la obra de N ew ton puede ser incluida en este capítulo. El com plicado desarrollo de una teoría de errores en com b in ación con la m ecánica celeste debido a Laplace es el ejemplo paradigm ático de teoría deter­ minista con datos corregibles. Algunas investigaciones de fenóm enos cualitativos de las ciencias de la co n d u cta, de la biología y de la medicina, representan ejemplos paradigm áticos de teorías probabiltsticas con datos no corregibles. Finalm ente los p rocesos estocásticos con variables continuas de azar, el tipo de teorías que sólo muy recientem ente han hallado en diversos lugares de la ciencia ej suyo prop io, son los ejemplos naturales de teorías probabilísticas con datos corregibles. M e parece que el prim ero y el últim o tipo de teoría representan un m od o ingenuo de pensar sobre el m undo que ciertam en te está m uy presente en m uchas partes de la filosofía. Se tra ta de un m odo de pensar sobre el m undo que exige dos características generales a sus teorías y a sus elem entos de juicio. En p rim er lugar, las teorías deberán ser absolutas; el análisis causal p ro p u esto en las teorías deberá ser definitivo y com p leto. En segundo lu gar, ios datos de los experim entos deberán basarse en última instancia en algo perceptualm ente cierto y sin ningún com ponente de e rro r. E n el trabajo científico real, incluso en tiem pos antiguos, se llegó a la conclusión de que tales objetivos no pueden alcanzarse p o r co m p le to y que se debe dar una interpretación del erro r, si bien la tendencia fundam ental fue acep tar las teorías co m o definitivas. L a F ísica de A ristóteles y su interpretación del m ovim iento de los graves se hallan en gran medida dentro de este esquem a, pero esta creencia en co n ce p to s definitivos y en datos no corregibles ha existido tam bién en tiem pos m odernos. L os Principia de D escartes es uno de los m ejores ejem plos de la

prim era mitad ctel siglo XV1L D escartes reduce todas las causas del m ovim iento al sim ple im pacto y parece m uy seguro de la creencia de que éste es un m od o delinirivo de co n cep tu ar la causa del m ovim ien­ to , o, más exactam ente, el cam bio de m ovim iento. Sus esfuerzos p o r hallar una base firm e ele certeza perceptual son demasiado con ocid os para recordarlos aquí. D escartes tuvo el buen sentido de darse cuenta de que no puede desarrollarse en detalle un program a de absolutis­ m o y certeza para explicar todos los fenóm enos íísícos y , p o r tan to , se vio obligado a in tro d u cir hipótesis que fueron admitidas claram ente co m o hipótesis en la última p arte de los Principia. E s aquí donde utilizó su teoría de los vórtices para dar cuenta de los fenóm enos físicos m ás notables. (L a in corrección de la m a y o r parte de la explica­ ción que dio no es ahora problem a n uestro.) E ste m ism o deseo de absolutism o de con ceptos y de certeza en el con o cim ien to en cuen tra tal vez su expresión m ás elaborada en K ant. N o sólo la C rítica d e la R azón Pura, sino tam bién en buena medida Los F u n d a m en to s Metafísicos de la C iencia N a tu ra l pretenden d em os­ trar que puede darse una explicación realm ente últim a de las causas en la n aturaleza. E s to , que el análisis de ia causalidad en la Crítica se hace a un nivel m u y general, aparece tratado de una form a m ucho más detallada y definida en Los F u n d a m en to s M etafísicos, donde K ant intenta dar una in terpretación sólo en térm inos de fuerzas de a tra c­ ción y repulsión. L o im portante, desde el p u n to de vista filosófico, es que las p ro p osicio n es generales aducidas co m o verdaderas sobre estas causas del m ovim ien to son conocidas a priori y no se basan, bajo ningún asp ecto , en experim entos. N o es necesario hacer n o tar que K ant p retende co n v e rtir la m ecánica clásica en una m etafísica sistem á­ tica, pero lo que sí m e parece im portante al m enos es su brayar que en su deseo de una base últim a del co n ocim ien to se hallaba presente una tradición absolutista tan vieja co m o Platón y de la que ha sido siem pre muy difícil librarse. Incluso un filósofo tan em pirista y cau to com o Jo h n Stuart Mili crey ó que p o r m edio de un proceso de investigación científica estricto podríam os en co n trar leyes definitivas, y leyes definitivas para él eran leyes de ca rá cte r determ inista y no probabilísticas. H e aquí un texto co n o cid o que resum e su punto de vista (M ili [1 9 3 6 ], página 318) : «L as co n sid eracio n es an terio res nos han ¡levad o a d arn os cu en ta de la diferencia e n tre d o s tip o s de leyes o de u niform idad es observadas en la n aturaleza — leyes definitivas y las que pueden llam arse leyes derivadas. Las

leyes derivadas son talos que son dcducibles d e, y pueden, de alguno de los m o d o s que hem os señalado, resolverse en otras distintas y más generales. D efinitivas son las leyes que no pueden, N o estam os seguros de que alguna de las uniform idades con que estam os fam iliarizados sea una ley d efinitiva; pero sabem os que debe h aber leyes definitivas y que cada vez q ue u na ley derivada se resuelve en una ley más general nos lleva más cerca de ellas.»

El intento filosófico general de este artículo debe ser ahora evidente. L o que quiero hacer es esto: considerar las tesis filosóficas clásicas de que se puede dar una interpretación causal absoluta de los fenóm enos, de que se puede obtener de los fenóm enos naturales una ley definitiva de tipo determ inista, y de que es necesario algún fundam ento firme de la certeza perceptual para lograr un con ocim ien ­ to seguro del m undo. Las tres son falsas y definitivam ente anticuadas de acuerdo con los tipos de teorías que en la actualidad han llegado a im ponerse en la ciencia. E n la conversación, al igual que en los asuntos ordinarios, tal certeza y tal absolutism o no son necesarios y son, de hecho, perniciosos para Ea práctica del buen sentido. N o es precisam ente de la experiencia com ún de donde han obtenido su sanción durante tanto tiem po estas erróneas ideas, sino m ás bien de la antigua tradición religiosa y filosófica. H ay en algún sitio una preciosa cita de de Fin etti en la que, defendiendo el uso Bayesiano de una inform ación previa, aunque no sea cierta, para to m ar decisiones, dice que es m ejor cim en tar sobre la arena que sobre el vacío. C reo que podem os parafrasear esta observa­ ción y decir algo pertinente para la filosofía. C u an d o se trata del con ocim iento, los cim ientos reales descansan sobre arena y no sobre roca.

Capítulo 9 MODELOS DE DATOS:;

1.

Introducción

A casi tod os los m iem bros de este C o n g reso la n o ció n de m odelo de una teoría es dem asiado familiar co m o para que sea necesario revisarla aquí en detalle. H ablando a grandes rasgos, un m odelo de una teoría puede definirse com o una realización posible en la cual se satisfacen tod os los enunciados válidos de !a teo ría, y una realización posible de una teoría es una entidad con la estru ctu ra conjuntista apropiada. P o r ejem plo, podem os caracterizar una realización posible de la teoría m atem ática de grupos co m o un p a r ord en ad o cu y o prim er m iem bro es un con ju nto no vacío y cu y o segundo m iem bro es una operación binaria sobre ese conjunto. U n a realización posible de la teoría de grupos es un m odelo de la teoría si los axiom as de la teoría son satisfechos en la realización, ya que en este caso (lo m ism o que en m uchos o tro s), los enunciados válidos de la teo ría son definidos co m o

=' Publicado originalmente en Logic, M cthodology a n d Philosophy o f Science: Proceedings o f the 1960 Internationa! Ctmgrcss, editado por E . N agel, P. Suppes y A. T arski, Stanford U niversity Press, Stanford, C alif., 19 6 2 , pp. 2 5 2 -2 6 1 . Versión castella­ na por M ario A lberto C o rte a Rodríguez.

aquellos enunciados que son consecuencias lógicas de los axiom as. P ara p roveer com pleta flexibilidad m atem ática hablaré de teorías axiom atizadas en una teoría de con ju ntos general m ediante la defini­ ción de un predicado conjuntista apropiado (vgr., «es un gru p o») más bien que de teorías axiom atizadas directam ente en la lógica de prim er orden co m o un lenguaje form al. Para los p rop ósitos de este artículo, esta diferencia no es crítica. E n el caso conjuntista, es conveniente hablar algunas veces de los predicados apropiados a ser satisfechos p o r una realización posible. P ero cualquiera que sea el sentido de form alización que se use, se aplica esencialm ente la misma n oción lógica de m o d e lo 1. E s mi opinión que esta n oción de m odelo es la única fundamental para las ciencias empíricas lo m ism o que para las m atem áticas. A fir­ m ar esto no es negar un lugar a los usos variantes de ia palabra «m od elo» p o r los científicos em píricos co m o , p o r ejem plo, cuando un físico habla acerca de un m odelo físico o un p sicólogo se refiere a una teoría cuantitativa de la con du cta co m o un m odelo m atem ático. En esta ocasión no quiero abogar p o r este carácter fundam ental de la n oción lógica de m odelo, pues ya tra té de d em ostrarlo en detalle en e! C o lo q u io en U tre ch t, en enero pasado, p atrocinad o tam bién p o r la U n ió n In ternacional de H istoria y Filosofía de la C iencia (Suppes [1 9 6 0 ])2. Q u iz á el argum ento más con vin cente que podría escogerse para ser m encionado aquí es que la n oción de m odelo usada en cualquier tratam ien to estadístico serio de una teoría y su relación con el exp erim ento no difiere en ninguna m anera esencial de la noción lógica de m od elo. El ce n tro del presente artículo está estrecham ente con ectad o al análisis estadístico de la adecuación em pírica de las teorías. L o que quiero tratar de m ostrar es que el análisis exacto de la relación entre teorías em píricas y datos relevantes precisa de una jerarquía de m odelos de diferente tipo lógico. H ab lan d o en general, en las m atem áticas puras la com paración de m odelos involucra una com paración de dos m od elos del m ism o tipo ló g ico , co m o en la enunciación de teorem as de representación. U n a situación radicalm ente diferente se obtiene con frecuencia en la com p aración de la teoría y el experim en­ to . E n la teoría se usan nociones teóricas que no tienen un análogo

1 Para una discusión detallada de la axiom atización de las teorías dentro de la teoría de conjun tos, ver Suppes (1957), cap. 12. 2 C apítulo S de esta Antología.

directo observable en los datos experim entales. A dem ás, es com ún que los m odelos de una teoría contengan funciones continuas o secuencias infinitas aunque los datos con firm atorios son de carácter altam ente discretos y finitistns. Q uizá puedo describir adecuadam ente la clase de ideas en las que estoy interesado de la siguiente manera. C o rresp o n d ien d o a realiza­ ciones posibles de la teoría, in trodu zco realizaciones posibles de los datos. L o s m odelos de los datos de un experim ento son definidos entonces en !a form a acostum brada en térm inos de las realizaciones posibles de los datos. C o m o debe ser evidente, desde un punto de vista lógico, las realizaciones posibles de los datos son definidas precisam ente de la misma manera que las realizaciones posibles de la teoría que está siendo som etida a prueba p o r el experim ento del cual surgen los datos. La definición precisa de los m odelos de los datos para cualquier experim ento dado requiere que haya una teoría de los datos en el sentido del procedim iento experim ental, así co m o en el sentido ordinario de la teoría em pírica de los fenóm enos que están siendo estudiados. A ntes de analizar algunas de las consecuencias y problem as de este punto de vista, puede ser útil dar más co n creció n a nuestras ideas considerando un ejem plo.

2.

Ejemplo de la teoría del aprendizaje

H e escogido deliberadam ente un ejem plo de la teoría del aprendi­ zaje porque es conceptualm ente simple, n o es m atem áticam ente trivial y es totalm ente probabilista. Más p articularm en te, consideraré la teoría de la respuesta lineal tal y co m o fue desarrollada p o r Estes y y o m ism o (1 9 5 9 ). P ara simplificar la p resentación de la teoría de una m anera no esencial, supongam os que en cada ensayo el organism o en la situación experim ental puede hacer exactam ente una de las dos respuestas A ¡ o A 2, y que después de cada respuesta recibe un reforzam ien to, o E 2, de una de las dos respuestas posibles. U n resultado experim ental posible en el sentido de la teoría es una secuencia infinita de pares ordenados, donde el n -ésim o térm ino de la secuencia representa la respuesta observada — el p rim er m iem bro del par— y el reforzam iento real — el segundo m iem b ro del par— en el ensayo n del experim ento. U n a realización posible de la teoría es una terna ordenada % = { X ,

I\ 0 ) del siguiente tipo. El con ju nto X es el con ju nto de todas las secuencias de pares ordenados tales que el prim er m iem bro de cada par es un elem ento de algún subconjunto A y el segundo m iem bro es un elem ento de algún subconjunto B , donde A y B tienen cada uno dos elem entos. El conjunto A representa las dos respuestas posibles y el co n ju n to B los dos reforzam ientos posibles. La función P es una m edida de probabilidad sobre el cam po de B orel más pequeño que contiene el cam po de los conjuntos cilindricos de X y 9, un núm ero real en el intervalo 0 < 0 = 1, es el p arám etro de aprendizaje. (C ie rto es que para las teorías cu yos m odelos tengan una estructura más com plicada, la definición de una realización posible es un tanto arbitraria, pero ésta no es una cuestión que afecte en m anera alguna el d esarrollo de las ideas centrales de este artícu lo.) H a y dos respectos obvios bajo los cuales una realización posible de la teoría no puede ser una realización posible de los datos experi­ m entales. E l prim ero es que ningún experim ento real puede incluir un n ú m ero infinito de ensayos discretos. E l segundo es que el p arám etro 8 no es directam ente observable y no es parte de los datos registrados. Para perseguir relaciones ulteriores entre la teoría y el experim en­ to, es necesario establecer ios axiom as de ia teoría, i. e., definir ios m odelos de la teoría. Para este propósito se necesita cierta cantidad de n otación . Sea A it„ el suceso de respuesta A , en el ensayo n , E ¡„ el suceso de reforzam iento E¡ en el ensayo n , donde i, j — 1, 2 y para cada x en X sea x„ la clase de equivalencia de todas las secuencias en X que son idénticas con x a través del ensayo. U n a realización posible de la teoría de respuesta lineal es entonces un m odelo de la teoría si satisface en la realización los siguientes dos axiom as: A x io m a 1. Si P(E¡„A ¡-t„ x „ - i ) > 0 entonces

P(/W,k,A\n*,x-i) = (1 -

8)P(Al¡n\x„...,) + 0.

A xio m a 2. Si P{E¡„A i-t,pc„-\) > 0 y i # / entonces P(A in+ \\E¡„Ai-j,xn_ |) = (1 - 6)P (A 1J x n- l). E l prim er axiom a afirma que cuando una respuesta es reforzada, la probabilidad de producir esta respuesta en el siguiente ensayo es increm entada p o r una transform ación lineal sim ple. El segundo axio ­ ma afirm a que cuando una respuesta diferente es reforzada, la p rob a­ bilidad de producir la respuesta decrece p or una segunda transform a­ ción lineal. Para aquellos que esten interesados en la base psicológica de esta teoría, puede enfatizarse que es derivable de una teoría m ucho

más com plicada que supone procesos de m uestreo de estím ulos y con dicion am ien to. L a teoría de respuesta lineal es el caso límite de la teoría de m uestreo de estímulos cuando el núm ero de estím ulos se aproxim a al infinito. Para lograr una precisión aún m ay o r, será conveniente con sid erar una clase particular de experim entos a la cual ha sido aplicada la teoría de respuesta lineal, a saber, aquellos experim entos con program as de reforzam iento contingente simple. En to d o ensayo, si se obtiene una respuesta A i, la probabilidad de un reforzam ien to E\ es Ji], indepen­ dientem ente del núm ero del ensayo u o tro s sucesos anteriores. Si se obtiene una respuesta A 2, la probabilidad de un reforzam ien to E 2 es n 2. Así, en resum en, para toda n P{E\,n\A\¿,) = JI] =

1 — P {E 2¡„\A\tn),

P{E2,t\A2,n) = Ji2 =

\ ~ P{E\,,\A2,n)‘

E sta caracterización de los program as de reforzam iento con tin ­ gente simple se ha hecho en el lenguaje de la teoría, ya que es necesario para com p u tar predicciones teó ricas. E sto no es posible para los detalles más finos del exp erim en to . Supongam os que el experim entador decide sobre 600 ensayos para cada sujeto. U n a breve descripción del aparato experim ental iría co m o sigue. (C fr. Suppes y A tkinson [1 9 6 0 ], pp. 8 1 -8 3 .)

E l sujeto se sienta en una m esa de altu ra están d ar. F ijad o v erticalm en te enfrente del su jeto está un tablero o p aco . D o s llaves silenciosas (respuestas A¡ y A 2) están m on tad as en la base del tablero sep arad as p o r 20 cm . T re s luces blancas están so b re el tablero. U n a de esas luces, que sirve co m o señal para que el su jeto respon da, se encuentra cen trad a e n tre las llaves a la altu ra de los o jos del su jeto. C ad a una de las otras dos lu ces, los su cesos de rc fo rz a m icn to £ , y E2, se fija d irectam en te sob re una de las llaves. E n to d o s los en sayos la señal de luz perm an ece encendida 3 ,5 s e g ,; el tiem p o en tre exp osicio n es sucesivas de señales es de 10 seg. U na luz de re fo rz a m ie n to llega en 1,5 seg. después de que la señal de luz ha term in ado y p erm an ece encendida p o r 2 seg.

N o es sorprendente que esta descripción del aparato no se in co r­ pora a la teoría en absoluto de ninguna m anera directa. E l punto im portante es tom ar la teoría de respuesta lineal y esta descripción co m o dos extrem os entre los cuales ha sido fijada una jerarquía de teorías y sus m odelos mediante un análisis detallado.

En la elase de experim entos que estam os considerando, el experi­ m en tad or registra solam ente ia respuesta producida y el reforzam ien ­ to dado en cada ensayo. E sto sugiere la definición de las realizaciones posibles de la teoría que es el prim er escalón abajo del nivel ab stracto de la teoría de respuesta lineal misma. Llam aré a esta teoría la teoría d el exp erim en to , térm ino que no debe considerarse co m o refiriéndose a lo que los estadísticos llaman la teoría del diseño experim enta! — un tóp ico que será m encionado más tarde— . U n a realización posible de la teoría del experim ento es un par ordenado £ = { Y, P ) , donde (i) Y es un co n ju n to finito com p u esto de todas las secuencias finitas de longitud 6 0 0 con pares ordenados co m o térm inos de las secuencias, co m o antes, el prim er m iem bro de cada p ar es extraíd o de algún con ju nto de pares A y correspondientem ente para los segundos m iem b ros, y (ii) la función P es una m edida de probabilidad sobre el con ju nto de tod os los subconjuntos de Y. U n a realización posible £ = ( Y , P ) de la teoría del experim ento es un m odelo de la teoría si la medida de probabilidad P satisface la con dición definitoria para un p rogram a de reforzam ien to contingente simple. L o s m odelos de! experim ento así definidos son entidades aún m uy distantes de los datos reales. Las secuencias finitas que son elem entos de Y podrían ciertam ente ser usadas para representar cualquier resultado experim ental posible, p ero en un experim ento co n , digam os, 4 0 sujetos, las 40 secuencias observadas son una parte insignificante de las 4 600 secuencias en Y . C onsecu en tem en te, se necesita un m odelo más cercan o a la situación real para representar las frecuencias condicionales relativas de reforzam iento usadas. La realización apropiada para este p ro p ó sito parece ser una N tupla Z de elem entos de Y , donde N es el núm ero de sujetos en el experim ento. Se elige una TV-tupla más bien que un su bcon jun to de Y p o r dos razones. L a prim era es que si se elige un su bcon jun to no hay m anera directa de indicar que dos sujetos distintos tienen exactam ente la mism a secuencia de respuestas y reforzam ientos — cierto que es un suceso altam ente im probable— . L a segunda, y más im p o rtan te razó n , es que la N -tu p la puede usarse para representar la secuencia de tiem po en Ja cual los sujetos estuvieron en el ensayo, un punto de cierto interés al considerar ciertas cuestiones de detalle del diseño experi­ m ental. Puede observarse que al usar una N -tu p la co m o una realiza­ ción de los datos más bien que una entidad más com plicada que p odría ser usada para expresar los tiem pos reales en los que los sujetos estuvieron en el ensayo del experim ento, hem os dado, aún, o tro paso

de abstracción y sim plificación, lejos de la complejidad d esconcertan ­ te de los fenóm enos experim entales com p letos1. La siguiente cuestión es ¿cuándo una realización posible de los datos es un m odelo de los datos? L a respuesta com pleta, tal co m o la veo , requiere de una teoría estadística detallada de la buena adecua­ ción. H ablando a grandes rasgos, una realización N -tu p la es un m odelo de los datos si las frecuencias condicionales relativas de los reforzam ientos E\ y E 2 se adecúan lo suficiente a la m edida de probabilidad P del m odelo del experim ento. Sería inapropiado exam i­ nar aquí las pruebas estadísticas en detalle para esta bondad de la adecuación, pero será instructivo esbozar algunas de las principales consideraciones de la com plejidad de los asuntos involucrados. L o prim ero que hay que notar es que ninguna prueba única sim ple de la bondad de la adecuación garantizará que una realización posible Z de los datos es un m odelo adecuado de los datos. La clase de problem as que surgen son estos: (i) (H om ogen eid ad) ¿Son las frecuencias co n d i­ cionales relativas (F .C .R .) de reforzam iento aproxim adam ente 57, o 1 — 77/, según puede ser el caso para cada sujeto? Para resp on der esto debem os com p arar m iem bros de la N -tu p la Z . (ii) (Inm ovilidad) ¿Son constantes las F .C .R . de reforzam ien to durante los en sayos? Para responder esto prácticam ente sum am os sobre los sujetos, i. e ., sobre m iem bros de Z , para obtener datos suficientes para una prueba, (¡ii) (O rd en ) ¿Son las F .C .R . de reforzam ien to independientes de refo rza­ m ientos y respuestas anteriores? Para resp on der esto necesitam os m o strar que las F .C .R . definen un p roceso de orden cero — estas correlaciones seriales de todo orden son cero— . N ótese, p o r supuesto, que el orden cero es con respecto a los sucesos condicionales £,- dados A j, para i, j *= 1 , 2 . E stas tres cuestiones no son exhaustivas en m anera alguna; no reflejan consideraciones centrales. P ara indicar su carácter esencialm ente form al, puede ser útil esb ozar su form u lación en una estructura estadística relativam ente clásica. H ablando a grandes ras­ gos, el planteamiento es co m o sigue. Para cada realización posible Z de los datos, definimos una estadística T (Z ) para cada cu estión . E sta estadística es una variable aleatoria con una probabilidad de distribu­ ción — preferentem ente una distribución que es (asintóticam ente) independiente de las F .C .R . reales, bajo la hipótesis nula de que Z es

3 E l carácter exacto de un m odelo £ del experim ento y un m odelo 7. de los datos no está determ inado unívocam ente por el experim ento. Sería posible, p o r ejem plo, definir £ en térm inos de A/-iuplcs.

un m odelo de ios datos. En term inología estadística, «aceptam os» la hipótesis nula si el valor obtenido de la estadística T {7.) tiene una probabilidad igual o más grande que algún nivel significativo a bajo la suposición de que en realidad la hipótesis nula es verdadera. Para las cuestiones de hom ogeneidad, inmovilidad y orden esta­ blecidas arriba, sería apropiado una m áxim a de verosim ilitud o esta­ dísticas /¿-cuadradas. N o hay espacio adecuado para discutir detalles, p ero esas estadísticas son estándar en la literatura. P ara los propósitos de este artículo no es im portante que algunos subjetivistas co m o L . J . Savage podrían criticar el uso liberal de tales pruebas clásicas. U n a advertencia más pertinente es que la satisfacción conjunta de las tres pruebas estadísticas (p or «satisfacción» quiero decir la aceptación de la hipótesis nula con un nivel de significación SO ,0 5 ) correspondien­ tes a las tres cuestiones, intuitivam ente n o parecen ser com pletam ente suficientes para que una realización posible 2 sea un m odelo de los datos4. N o se hizo ninguna afirm ación al enum erar esas tres cuestio­ nes, pero podría tam bién cuestionarse qué posibilidades realistas hay de elaborar una lista finita de pruebas estadísticas que pueden consi­ derarse com o conjuntam ente suficientes para que Z sea un m odelo de los datos. U n experim entador escéptico no form alista podría preten*

U n a definición más explícita de los m odelos de datos, para usarse en este punto

iría algo así. 2 es un m odelo N -dob le de los datos del experim ento £ si y sólo si hay un conjunto Y y una medida de probabilidad P sobre un subconjunto de Y tal que f = { Y, P ) es un m odelo de la teoría del experim ento, Z es un N -tu p ie de elem entos de Y y Z satisface ias pruebas estadísticas de hom ogeneidad, inamovilidad y orden. U n a defini­ ción form al completa detallaría las pruebas estadísticas en térm inos matemáticos exactos. P o r ejemplo, una prueba ;'í-cu idrada de homogeneidad para £ , reforzam ientos siguiendo A x respuestas sería formulada com o sigue. Sea N , el núm ero d e j í , respuestas (excluyendo el últim o ensayo) para el sujeto j, i. e., com o está registrado en Z, — el /-¿sim o m iem bro de la Aí-tupla Z— y sea el núm ero de E , reforzam ientos siguiendo respuestas para el sujeto /. En ton ces:

,

y to -iw -Ti N ?,

H m - v , - n ¿\ N¿1 - n,)

_ v (v, - N,n^7 f r í N,“t0 - "i) y esta j e tiene A' grados de libertad. Si el valor jC n (¿) tiene una probabilidad m ayor que 0 ,0 5 , se acepta la hipótesis nula, i. e., con respecto a h homogeneidad Z es satisfactoria.

der que dado cualquier conjunto utiltzable de pruebas, él podría prod ucir un program a de reforzam iento condicional que satisfaría las pruebas y no obstante ser intuitivam ente insatisfactorio. P or ejem plo supóngase que las pruebas estadísticas para el orden fueran construidas para exam inar efectos de un orden no m ay o r que cu atro , entonces el experim entador escéptico podría co n stru ir una realización posible 2 con un patrón no aleatorio de ord en cin co. En realidad, el p rocedim iento usado en los experim entos bien con stru id os hace tal evasión más bien difícil. L a práctica es ob ten er las F .C .R . de alguna tabla publicada de núm eros aleatorios cuyas propiedades han sido com pletam ente investigadas p o r un am plio grupo de pruebas estadís­ ticas. D esde el punto de vista sistem ático m eto d o ló g ico , no es im p o r­ tante que el experim entador m ism o lleve a cab o las pruebas sob re 2 . P o r o tro lado, en la literatura experim ental relevante para nuestro ejem plo, sucede en realidad que se necesita ten er m u ch o más cuidado para garantizar que una realización posible 2 de los datos es realmente un m odelo de los datos para el experim ento en tre m anos. U n ejemplo típico es la práctica de la aleatoriedad restringida. P ara ilustrar, si / 5( £ i .n|.í4ij„) = 0 ,6 , entonces algunos experim entadores podrían aco r­ dar que en cada bloque de 10 respuestas A ¡ , exactam ente 6 estarían seguidas p o r reforzam ientos £ 1; un resultado que debería ten er una probabilidad de aproxim adam ente cero para un am plio núm ero de pruebas5. L a objeción más im portante del exp erim entador escéptico a la im portancia de los m odelos de los datos no ha sido exam inada aún. La objeción consiste en que el análisis preciso de esos m odelos incluye solam ente una porción pequeña de los m uchos problem as del diseño experim ental. P or ejem plo, p or m uchos cánones del diseño experi­ m ental, la asignación de A ¡ a la izquierda (o a la derecha) de cada sujeto sería un erro r. M ás generalm ente, el uso de un cu arto experi­ m ental en el cual hubiera considerablem ente más luz a la izquierda de los sujetos que a la derecha sería considerado erró n eo . Sin em bargo, hay una diferencia en estos dos ejemplos. L a asignación de A t a la izquierda o a la derecha de cada sujeto es una in form ación que puede 3 Es pcrtinence recordar, para enfatizar que conccp cual m ente no hay nada especial acerca de este ejemplo artificial escogido de la teoría del aprendizaje, que análisis m ucho más elaborados de las fuentes del error experimental son com unes en los experim entos físicos com plicados. En la literatura de la teoría del aprendizaje todavía es insuficiente reportar el tipo de pruebas estadísticas descritas arriba, las cuales juegan un papel análogo al resumen de los físicos de los errores experim entales.

ser fácilm ente in corp orad a en los modelos de los datos — y pueden establecerse requisitos de aleatoriedad— . La inform ación detallada acerca de la distribución de los p arám etros físicos que caracterizan el m edio am biente experim ental no es un asunto simple para ser in co r­ p orad o en los m odelos de los datos y usualmente no es registrada en la literatu ra; hablando a grandes rasgos, algunas condiciones generales ccteris paribtis se supone que se cum plen. Sin em b argo, ia caracterización de los m odelos de datos no está realm ente determ inada p o r la inform ación relevante acerca del diseño experim ental, ia cual puede form alizarse fácilm ente. En un sentido, difícilm ente en contram os algún límite a la inform ación de esta clase; puede ir desde fases de la Lun a a datos del C . I. de los sujetos. P ienso que la idea central que correspon d e perfectam ente a una distinción tosca pero generalm ente clara hecha p o r los experim enta­ dores y los estadísticos, es restringir los m odelos de los datos a aquellos aspectos del experim ento que tengan un análogo param étrico en la teo ría. U n m odelo de los datos está diseñado para in co rp o rar tod a la inform ación acerca del experim ento que pueda ser usada en pruebas estadísticas de la adecuación de la teoría. E l punto que quiero establecer no puede precisarse tan simple o fácilm ente co m o desearía.

TABLA

Teoría

1.

je r a rq u ía d e teorías, m odelos y p ro blem a s

de

los m o d elo s de respu esta lineal

problemas lipicos

estim ación de 6, bon dad de ia ad ecu a­ ción d e los m o d elo s de d atos

los m o d elo s del exp erim en to

núm ero de p ru eb as, elección de p ará­ m etros experim en tales

diseño exp erim en tal

h om ogeneidad ,

inm ovilidad,

ade­

cu ació n de los p arám etro s exp eri­ m entales co n d icio n es ceterií paríbus

ruidos, ilu m inacion es, o lo res, fases de la Luna.

La T abla 1 tiene la intención de indicar una jerarquía posible de teorías, m odelos y problem as que surgen en cada nivel para aco sar al

científico. H e colocado a las condiciones ceteris partbus en el nivel más bajo. Aquí está ubicada toda consideración intuitiva del diseño experim ental que no involucra estadísticas formales. A quí se lleva eí con trol de ruidos fuertes, malos olores, tiempos del día o de la estación. En el siguiente nivel entran problem as formales del diseño experim ental, pero del tipo que excede co n m ucho los límites de la teoría particular que está siendo puesta a prueba. La aleatoriedad de co m o la respuesta izquierda o derecha es un p roblem a de este nivel, así co m o lo es la asignación aleatoria de los sujetos a diferentes grupos experim entales. T odas las consideraciones que entran en este nivel pueden ser form alizadas, y su relación co n los m odelos de datos, que están en el siguiente nivel, puede hacerse explícita — en con traste con el núm ero aparentem ente ilimitado de condiciones ceteris paribu s no establecidas. E n el siguiente nivel entran los modelos del exp erim ento. Ellos sostienen la relación ya resaltada con los modelos de d atos. Fin alm en ­ te, en la cim a de la jerarquía están ios m odeios de respuesta lineal, relativam ente más distantes de la experiencia experim ental co n creta. N ó tese que ios modelos de respuesta lineal están relacionados d irecta­ m ente co n los modelos de datos, sin consideración explícita de los m odelos del experim ento. Tam bién es im portante en fatizar una vez más que el criterio para decidir si una realización posible de los datos es un m odelo de los datos no depende en m anera alguna de su relación con un m odelo de respuesta lineal. E stos criterios son para determ inar si el experim ento estuvo bien manejado y no para decidir si la teoría de respuesta lineal tiene m éritos. L a dependencia es realm ente al revés. D ado un m odelo de los d atos, preguntam os si hay un m odelo de respuesta lineal con el cual sostenga una relación de adecuación satisfactoria. La racionalidad de una probabilidad máxim a estimada de 6 es fácilm ente establecida en este co n te x to : dados los parám etros experim entales 7Tt y tt2, buscam os este m odelo de respuesta lineal, i. e., el m odelo de respuesta lineal con parám etros de aprendizaje, lo que llevará a la m áxim a probabilidad de los datos observados, co m o están dados en el m odelo de d atos. E s necesario dejar en este m om ento la más bien aguda discusión de este ejem plo de la teoría de! aprendizaje, pero hay un p u n to central que no ha sido suficientem ente m encionado. E i análisis de la relación entre teoría y experim ento debe proceder a cada nivel de la jerarquía m ostrad a en la T abla 1. En todas partes se tropieza uno co n dificulta­ des, pero ei nivel más alto refleja debilidades en ei exp erim en to , no en

la teoría fundamental del aprendizaje. D esafortunadam ente no es posible dar aquí citas de la literatura experim ental de experim entos mal concebidos o pobrem ente ejecutados que son aceptados para invalidar la teoría que presumen poner a prueba, p ero de hecho no lo hacen.

3.

L a teo ría de m odelos en las ciencias em p íricas

Em pezaré diciendo que he querido tratar de m o stra r que el análisis exacto de la relación entre teorías em píricas y datos relevantes precisa de una jerarquía de modelos de tipos lógicos diferentes. El examen del ejemplo de la teoría del aprendizaje tenía la intención de exhibir algunos aspectos de esta jerarquía. M e gustaría term inar con algunas consideraciones más generales que son sugeridas parcialm ente p o r este ejemplo. U n punto que ocupó mi atención fue m o strar que al ir del nivel de la teoría al nivel del experim ento, no necesitam os aband on ar métodos formales de análisis. D esde un punto de vista con ceptu al la distinción entre m atem áticas puras y aplicadas es espúrea — am bas tratan con entidades conjuntistas, y lo m ism o es verdadero de la teoría y el experim ento—-. Es una con tribu ción fundamental de la estadística matem ática moderna haber reconocido la necesidad explícita de un m odelo al analizar la significación de los datos experim entales. E s una paradoja del m étodo científico que las ramas de la ciencia em pírica que tienen el m enor de los desarrollos teóricos sustanciales, frecuentem ente tengan los m étodos más sofisticados de evaluar evidencia. E n tales ramas altam ente empíricas de la ciencia, no es necesaria una jerarquía de m odelos, ya que la teoría que está siendo puesta a prueba n o es una teoría con una estructura lógica genuina, sino una colección de ideas heurísticas. L os únicos modelos necesarios son algo así co m o los m odelos del experim ento y los m odelos de d atos discutidos en conexión con el ejem plo de la teoría del aprendizaje. La m etodología estadística actual es menos adecuada cuando una teoría genuina está en juego. La jerarquía de m odelos esbozada en nuestro ejemplo correspon d e de una m anera m uy to sca a los concep­ tos estadísticos de un espacio de m uestra, una p oblación y una m uestra. Mi opinión personal es que el uso explícito y exacto del con cepto lógico de m odelo resultará ser un recurso altam ente útil en

Ja clarificación de la teoría del diseño experim ental, a la que m uchos estadísticos aún consideran com o un «arte» más que co m o una «ciencia». Lim itaciones de espacio me han im pedido elaborar las relaciones formales entre la teoría del diseño experim ental y la teoría de m odelos de datos, tal y co m o las concibo. Sin em bargo, mis am biciones para la teoría de m odelos en las ciencias empíricas no son enteram ente de esta índole p ráctica. U n o de los vicios habituales de los filósofos de la ciencia es sim plificar demasiado la estructura de la ciencia. L o s filósofos que escriben acerca de la representación de las teorías científicas co m o cálculos lógicos pasan después a decir que al p ro v eer interpretaciones o definiciones coordinativas para algunos de los térm inos prim itivos o definidos del cálculo, le es dado significado em pírico a una teoría. L o que yo he intentado argüir es que se establece una jerarquía com pleta de m odelos entre los m odelos de la teoría básica y la experiencia experim ental com pleta. M ás aún, para cada nivel de la jerarquía, hay una teoría p o r propio d erech o. A la teoría de cierto nivel le es dado significado em pírico al hacer conexiones form ales co n la teoría en un nivel más bajo. L a investigación estadística o lógica de las relaciones entre las teorías en esos niveles diferentes puede p ro ced er de una m anera puram ente form al, conjuntista. A m ay o r explicitud en el análisis, m enor lugar hay para consideraciones no form ales. U n a vez. que los datos em píricos son puestos en form a can ón ica (en el nivel de m odelos de datos en la T abla 1), toda discusión de evaluación sistem ática que surja es una cuestión form al. E s im portan te n o tar que las cuestiones a resolver son form ales, pero no m atem áticas — no m atem áticas en el sentido de que sus respuestas no se siguen en general de los axiom as de la teoría de con ju ntos (o algún o tro m arco conceptual estándar de las m atem áticas)— . Precisam ente el problem a fundam ental del m étodo científico consiste en estab lecer los p rin ci­ pios de la m etodología científica que han de ser usados para responder esas cuestiones — cuestiones de m edición, bondad de adecuación, estimación de p arám etros, identificabilidad y cosas p o r el estilo. L os principios necesarios son enteram ente de carácter form al en el sentido de que ellos tienen co m o ob jeto de estudio, m odelos conjuntistas y sus com paraciones. E n realidad, la línea de argu m en to que he tratado de seguir en este artículo conduce a la conclusión de que los únicos resultados sistem áticos posibles en la teoría de la m etodología científi­ ca son puram ente form ales, aunque no puede hacerse aquí una defensa general de esta conclusión.

Capítulo 10 M EDICION: PROBLEMAS TEORICOS Y DE APLICACION *

Perspectiva general C om enzam os co n procedim ientos de m edición que son funda­ mentales en el sentido de que no suponen resultados num éricos previos. En ia m ayoría de los casos podem os representar la situación em pírica por un con ju nto A , que es el con ju nto de objetos o fenóm e­ nos bajo consideración, y una secuencia finita de relaciones finitarias i?, sobre este conjunto. O rdinariam ente se llama a tal o b jeto , X = (A-, /? i, ..., R „ ) , una estructura relacional. H e escogido deliberadam ente relaciones en vez de operaciones para representar los procedim ientos experimentales o de m edición de un carácter fundam ental, porque cuando consideram os procedim ientos reales, las propiedades de clau­ sura tan características de las operaciones m atem áticas ordinarias nos conducen claram ente a idealizaciones infinitistas que no son idealiza­ ciones felices para m uchas aplicaciones de la m ed ición. P o r ejem plo, si im ponem os una condición de clausura sob re nuestra álgebra de

” Publicado originalmente en M athematics in the Social Sciences in Australia, C am b erra: Australian G overnm ent Publishing Service, 1972, pp. 6 1 3 -6 2 2 . Versión castellana de José Luis Rolleri.

operaciones para la m edición de la longitud, nos co m p ro m etem o s casi a la vez a postular la existencia de longitudes de tam año arbitraria­ m ente m ayor. Si usam os las relaciones en lugar de las operaciones, ningún com p rom iso tal se adquiere, y podem os restringir las conside­ raciones a conjuntos finitos y estructuras relaciónales finitas. (P o r una estructura relaciona! finita, quiero decir una estructura relaciona! en !a que el conjunto básico A de objetos es finito.) E n esta perspectiva general, dos problem as form ales deben ser resueltos para cualquier procedim iento fundam ental de m edición o teoría fundamental de medición. D esde un p un to de vista form al o m atem ático, caracterizam os la clase de estructuras relaciónales que satisfacen el procedim iento em pírico o la teoría estableciendo los axiom as que deben satisfacerse p or cada estructura. E l prim er prob le­ ma formal es entonces d em ostrar un teorem a de representación para cualquier estructura que satisface los axiom as. O rdinariam ente, para llamar a una teoría una teoría de m edición, este teorem a de represen­ tación debe m o strar que cualquier estructura que satisface los axiom as puede m apearse hom om órficam ente en los núm eros reales. N o es crítica la restricción a los núm eros reales. Sí lo es m apear en una estructura cercanam ente relacionada a los núm eros reales. P o r ejem ­ plo, en el caso de escalas multidimensionales, lo que es deseable es un mapeo en un espacio euclideano «-d im ensional más bien que en el conjunto de los núm eros reales m ism os. U n a cuestión acerca del teorem a de representación necesita clarificación. C u an d o las estructu ­ ras son finitas no hay problem a en mapearlas en los núm eros reales co n algunas relaciones arbitrarias en los núm eros reales. E l interés del problem a está más bien en p roveer p o r anticipado las relaciones num éricas en térm inos de las cuales deben definirse las estructuras num éricas. E l h om om orfism o entonces debe ser relativo a esas rela­ ciones num éricas dadas. E l segundo problem a form al es el de la unicidad. ¿C ó m o es único el hom om orfism o que mapea una estructura dada en los núm eros reales? En la teoría clásica de medición de la m asa o de la distancia, p o r ejem plo, tenem os la expectativa de que el m apeo sea único salvo una transform ación positiva de similitud. E sta m anera de ver a las teorías de la m edición no es especial en ningún sentido al dom inio de Sos procedim ientos de m edición. En todas las áreas de la m atem ática, es estándar buscar teorem as de representación para estructuras de interés prim ario y tam bién pregun­ tar acerca de la unicidad de las representaciones obtenidas. El p rofesor

Biakers ya ha m encionado el ejem plo clásico fam iliar, a saber, el teorem a de representación para la geom etría plana en térm inos de coordenadas cartesianas y la dem ostración de que esta representación es única hasta el grupo de los m ovim ientos euclideanos. En el con texto de la discusión presente tal vez tenga más valor m encionar que la geom etría sintética clásica puede ser axiom ática de una m anera elemental com o una estructura relaciona!. E l co n ju n to básico A es el con ju nto de los puntos y ¡as dos relaciones que definim os sob re el conjunto A son la relación ternaria de «estar entre» (betw eeness) entre )unios y la relación cuaternaria de equidistancia. L a relación de equidistancia significa que la distancia entre los puntos a- e y es la misma que la distancia entre los puntos u y v . A ún o tro ejem plo dé considerable interés físico se encuentra en 1a relación entre m edición y la teoría especial de la relatividad. E n este caso, tiene m ay o r interés el teorem a de unicidad que el de representa­ ción. Podem os m ostrar, p o r ejem plo, que la preservación de la longitud relativista de segm entos inerciales es la única suposición requerida para dem ostrar que cualesquiera dos m arco s inerciales están relacionados p or transform aciones de L o re n tz (Suppes (1 9 5 9 a )). Más recientem ente, Zeem an (1 9 6 4 ) ha m ostrad o que una suposición ligera­ m ente más fuerte acerca del núm ero de fas dim ensiones (n £ 3 ) es posible postular que el orden parcial tem poral de los puntos es preservado para obtener las transform aciones de L o re n tz . D esde el punto de vista de la teoría de la m edición, es interesante en co n trar que no se requiere ninguna física adicional para derivar las transform acio­ nes de L o ren tz. H e m encionado esos ejemplos de geom etría y relatividad porque ha habido una tendencia reciente en la literatura so b re la teoría de la medición a aislarse de otros dom inios de la ciencia y con sid ero ésto desafortunado en vista de las cercanas con exion es del tipo recién descritos.

C ond iciones gen erales y suficientes Si em prendem os form ular una teoría fundam ental de m edición, recon ocerem os que es im portante e interesante establecer axiom as que son no sólo suficientes, sino tam bién n ecesarios. Tales axiom as nos dan un sentido m ejor para com p ren d er la n aturaleza de la teoría. H a y también más razones prácticas de aplicación para buscar con d i-

d o n es necesarias y suficientes. A l considerar colecciones de objetos de un tipo sim ilar cuyas propiedades han de ser medidas, no quere­ mos restringir las colecciones de ob jetos debido a suposiciones existenciales extrañas. N aturalm en te p reguntam os, ¿cuáles son las con di­ ciones m ínim as que podem os asum ir p ara garantizar la existencia de una m edición? C ond iciones existenciales, p o r ejem plo, que son sufi­ cientes p ero no necesarias, que indebidam ente restringen el rango de estructuras que caen dentro de la teoría. B uscar condiciones necesa­ rias y suficientes es buscar una caracterización esquelética desnuda de todas las estructuras que intuitivam ente deben ser llevadas dentro del m arco con cep tu al de la teoría. E n este punto puede ser útil v e r un ejem plo simple. C onsidere estructuras binarias, es decir, estructuras que consisten de un conjun­ to A y una relación binaria R sob re este con ju nto. E s natural p reguntar cuáles condiciones necesarias y suficientes existen para h acer a una estru ctu ra binaria h om o m ó rfica a una estructura num érica X ~ { N , < ) , donde N es el con ju nto de los núm eros reales y < es la relación num érica usual m en or que restringida a N . Si el conjunto A es finito, la respuesta es sim ple. L a relación R debe ser precisam ente asim étrica, transitiva y co n exa sob re A . E s to es, los tres siguientes axiom as deben satisfacerse en la estructura. Para toda x , y y z en A : A xio m a 1. Si x R y entonces no es el caso que y R x . A xio m a 2 . Si x R y y y R z , entonces x R z . A xio m a 3. Si x ¥= y entonces x R y o y R x . E n el caso finito, la dem ostración de la necesidad y la suficiencia es obvia y no requiere de discusión adicional. Si relajam os la restricción de que el con ju nto A sea finito, entonces los tres axiom as ya no son suficientes, sino sólo necesarios. Para ver que los axiom as no son suficientes, observam os que tienen m odelos de cardinalidad arbitrariam ente alta. C u an d o una relación R satisface esos tres axiom as, sin em b argo, cualquier hom om drfism o debe ser tam bién un isom orfism o, pero no puede haber una función uno a uno que incruste (im b e d d in g ) m odelos de cardinalidad infinita arbitraria­ m ente larga en los núm eros reales. P ara incrustar un orden tal en los núm eros reales, debem os agregar una con dición adicional. E n el caso presente, una respuesta relativam ente sim ple está a la m ano. U n orden que satisface los tres axiom as anteriores debe tener tam bién un subconjunto ordenado denso contable, en caso de que el conjunto A sea infinito. Sin em bargo, esta con dición para el caso infinito no es

realmente interesante, desde el punto de vista de la teoría de la m edición. Debido a que las condiciones necesarias y suficientes son tan obvias y simples para órdenes finitos, inicialmente podríam os esperar que la situación fuera la misma o casi la m ism a para estructuras relaciónales ligeramente más complejas que los órdenes. La siguiente clase simple a considerar es la de los órdenes sob re diferencias así co m o órdenes sobre los objetos m ism os. P o r ejem plo, en un experi­ m ento psicológico, podríam os pedir a fos sujetos que juzguen si el tono x es más cercano en grado a y de lo que el ton o u es a v . En otras palabras, pedim os al sujeto que haga juicios tan to acerca de las diferencias co m o del orden. C on más generalidad, podem os pensar en pedir juicios de similitud relativa, es decir, eí ju icio de que x es al m enos tan similar a y com o ti lo es a v . E l m apeo / valuado en los reales que querem os para tal relación cuaternaria D es este: x y D u v si y sólo si f { x ) - f( y ) rS f(tt) — f ( v )

(1)

Teniendo esta representación en m ente, llam arem os a una estructura relacional que consiste en un conjunto A y una relación cuaternaria D que satisface esta condición una estructura d e d iferen cia . El problem a consiste en en con trar las condiciones necesarias y suficientes elem en­ tales que una estructura de diferencia debe satisfacer para garantizar la existencia de una función de medición / tal. C o m o en el caso de los órdenes, restringámonos a conjuntos finitos y preguntem os qué género de condiciones necesarias y suficientes queríam os en con trar. L o simple acerca de los axiom as de orden es que podem os co m p rob ar una estructura binaria viendo si satisface los axiom as observando no más que triplos de objetos. P ara co m p ro b ar la asim etría y la conexidad, sólo se necesita exam inar pares de objetos. Para com p rob ar la transitividad, se requiere inspeccionar triplos de objetos para determ inar si hay triadas intransitivas. P odem os esperar que la situación sea algo más com pleja para las estructuras de diferencia, pero aún será de valor co m o un prim er paso, buscar generalizaciones de ia transitividad. P o r ejem plo, la transitivi­ dad de diferencias, la cual requeriría seis variables para expresarse, demandaría una revisión de séxtuplas de objetos en eí con ju nto A para ver si las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una medición podrían ser establecidas de una m anera relativam ente sim ­ ple, especialm ente de una m anera que podría ser com p rob ad a o a

m ano o con un program a simple de com p u tad ora. Sería deseable tener una co ta superior sobre el tam año de la «-tu p ia requerida de revisión en la existencia de una m edición. U n a co ta superior independiente de la cardinaiidad de A muestra que las estructuras para las que existe una medición no se convierten esencialm ente más com plicadas en tanto que la cardinaiidad del con ju nto A se increm enta. Si elim inam os de los axiom as aserciones existenciales entonces, co m o D ana Scott y yo m ostram os hace algunos años (1 9 5 8 ), para enunciados abiertos o enunciados universales, es decir, enunciados que usan sólo cuantificadores universales al frente, no es posible dar una lista finita de condiciones necesarias y suficientes que cualquier estructura finita debe satisfacer para ser una estructura de diferencia. E n un artículo subsecuente, Scott (1 9 6 4 ) dio condiciones necesarias y suficientes en térm inos de un esquem a infinito que se increm enta en su com plejidad en tanto que el núm ero de objetos en A se increm enta y que en térm inos de enunciados abiertos elementales es equivalente a un infinito contable de tales enunciados. L o que es especialm ente im por­ tante acerca de esta condición es que requiere co m p rob ación sobre « -tu p ies arbitrariam ente largos de los núm eros de objetos cuando el conjunto A se increm enta. P ara quienes estén interesados en escalas m ultidim ensionales, tiene caso recordar que los resultados que S co tt y y o hem os obtenido, han sido generalizados recientem ente a «-dim ensiones p o r Titiev (1 9 6 9 ). El m ostró que si intentam os representar juicios de sim ilitud en espacios «-dim ensionales con una m étrica euclideana, entonces de nuevo no pueden darse condiciones necesarias y suficientes en térm i­ nos de una lista finita de enunciados abiertos. Titiev tam bién estable­ ció un resultado sim ilar para m ediciones aditivas conjuntas en n dimensiones. Tal vez las mejores condiciones necesarias y suficientes que se encuentran todavía en un único artículo están en S co tt (1 9 6 4 ), p ero su exam en de otros casos, incluyendo m ediciones de probabilidades subjetivas o m ediciones de masa o distancia, muestra que una lista finita simple de condiciones necesarias y suficientes no puede encon­ trarse en cualquiera de los casos estándar. D e h ech o, es un problem a interesante preguntar para qué casos, o tro s que el del orden simple, pueden encontrarse condiciones necesarias y suficientes para dom i­ nios finitos. E n la siguiente sección se da un ejemplo cercanam ente relacionado, pero debo confesar que no puedo pensar en ningún otro ejemplo de genuino interés.

U n a dirección para investigaciones posteriores en la literatura consiste en apretar los requisitos sobre las condiciones necesarias y suficientes. P o r ejem plo, para requerir que la medición que se asigna a una estructura finita sea única salvo algún grupo clásico de transfor­ maciones co m o el grupo de transform aciones lineales o de similitud, podríam os aum entar los requisitos para las condiciones necesarias y suficientes y de esta m anera encontrar soluciones simples en algunos casos. Sin em bargo, no puedo, en este m om ento rep ortar ningún resultado positivo no trivial en esta d irección.

Teoría algebraica del erro r El lugar más fácil para com en zar a ver el problem a del e rro r es un orden simple. P odem os preguntar cóm o puede introducirse el prob le­ ma del erro r sin ir a consideraciones probabilísticas. E n otras pala­ bras, ¿qué podem os decir a un nivel algebraico acerca de la teoría del error com binada con la teoría del orden? Es grato rep o rtar que en este caso una solución simple está a la m ano. Sorprendentem ente, la idea no fue introducida de una m anera explícita m ucho antes en la literatura. El con cepto de sem iorden, que com bina las ideas de erro r y orden, fue introducido por vez prim era por L u ce (1 9 5 6 ), y los axiomas fueron simplificados más tarde p o r Scott y Suppes (1 9 5 8 ). Se establecen axiom as para estructuras binarias x = ?)■> donde la interpretación propuesta de la relación P es la de precedencia estricta o preferencia estricta. L o s axiom as son precisam ente los siguientes tres, para toda x , y , u y v en A : A xiom a 1. N o x P x . A xiom a 2. Si xP y y u P v entonces o x P v o uPy. A xiom a 3. Si xP y y yP u entonces o xP w o w P u. La idea intuitiva de los axiom as en la representación esque los objetos que no están en la relación de precedencia estricta caen más allá de un umbral de discrim inación. E l teorem a que puede d em os­ trarse es que en el caso finito la relación P puede representarse co m o sigue: xP y si y sólo si f{ x ) > f{y ) + £, con e > 0 .

(2)

En referencia a nuestra discusión anterior, es tam bién grato rep ortar

que esos tres axiom as son necesarios y suficientes para el tipo de representación recién m ostrada cu an d o el conjunto A es finito. U n a parte natural de la teoría algebraica del e rro r consiste en negligir consideraciones de orden y considerar sólo la relación entre objetos no discrim inables, es d ecir, objetos que están dentro del um bral de discrim inación. Sea / u na relación de indiscriminabilidad tal. Es patente que la relación I debe ser reflexiva y sim étrica; los dos siguientes axiom as se satisfacen para cualesquiera dos objetos x e y e n el co n ju n to básico de la estructura: A xio m a 1. x l x . A xiom a 2 . Si x l y entonces y l x . Tam bién es claro cuál es nuestra representación propuesta para el con ju nto 1. Q u erem o s en con trar una representación del siguiente tipo: x ly si y sólo si \f(x) — f ( y ) |^ e, co n e > 0 .

(3)

U n o podría esperar que se en cu en tren condiciones necesarias y suficientes sim ilarm ente simples p a ra la relación / co m o en el caso de la relación de precedencia estricta dada antes. U n a vez m ás, sin em bargo, la respuesta es negativa. E s t o fue recientem ente dem ostrado p o r F red R oberts en su disertación d e Stanford. E l resultado es similar al an teriorm ente obtenido para estru ctu ras de diferencia. N ingún con ju nto finito de enunciados ab ierto s elementales puede caracterizar las condiciones necesarias y suficientes para obtener la representación requerida p o r (3). En el caso de la relación de indiscriminabilidad el co ra z ó n de la dem ostración yace e n el hecho de que los ciclos de indiscriminabilidad de tam año siem pre m a y o r deben excluirse. Sea que un segm ento de línea de co n e x ió n indique que los objetos son indiscrim inables. D ebem os excluir ciclo s de tam año arbitrario com o se m uestra en la Figu ra 1.

F i g u r a 1.

Ciclos de indiscriminabilidad.

E xclu ir tales ciclos significa que al exam inar datos específicos de indiscriminabilidad, no podem os co m p ro b a r la existencia de una función de representación sólo viendo, co m o nos gustaría, a pares o triples o cuádruples de objetos. D ebem os revisar «-tu p ies de tam año arbitrario para asegurar que existe una representación. D e nuevo, co m o los resultados de S co tt (1 9 6 4 ) para las estructuras de diferencia, R oberts (1 9 6 8 ) ofrece un con ju nto infinito de co n d icio ­ nes necesarias y suficientes para la representatibilidad de relaciones de indiscriminabilidad sobre conjuntos finitos. E l esquem a de axiom a más im portante es el que excluye la lista contable de ciclos del tipo descrito antes. L a situación axiom ática con respecto a la teoría algebraica del erro r para estructuras de m edición más com plicadas no es todavía enteram ente satisfactoria. Algunas condiciones necesarias y suficien­ tes relativamente com plicadas para la m edición de la probabilidad subjetiva con un sem iorden reem plazando el orden simple ordinario fueron dadas p or Z oltan D o m o to r ( 1969) en su disertación de Stan­ ford. T rabajos no axiom áticos anteriores sob re sem iórdenes en m edi­ ción extensiva pueden encontrarse en K ran tz (1 9 6 7 ). Esas dificultades de encontrar una form ulación trabajable arrojan dudas, me parece, sobre la practicabilidad de aplicar teorías algebrai­ cas del erro r a datos reales. D e hecho, no co n o z co ningún lugar en la literatura experim ental donde las ideas recién descritas se usen de una m anera sistemática. L os m étodos probabilísticos o algún o tro enfo­ que, p or ejem plo, la clase de cosas que uno puede o b ten er del uso de las técnicas de program ación lineal, han sido usados en todos ios estudios que co n o z co . M e parece que un p roblem a im portante para la teo ría de la m edición con siste en d eterm in ar a un nivel más profundo si hay posibilidades serias de aplicación efectiva de la teoría algebraica del erro r a datos experim entales reales.

Teoría no algebraica del erro r C onstantem ente aparte de las teorías fundam entales del e rro r está una teoría aplicada m uy substancial acerca del análisis del e rro r en m edición. N o es posible aquí, en el co rto espacio que resta, revisar esta literatura, pero ciertas partes de ella son tan cercanas a los problem as de m edición en las ciencias sociales que sería negligente no m encionar sus conexiones a los tóp icos en los que ya he hecho

hincapié. D e la familia norm al de los m étodos generales, ninguno es más com ún que el de regresión, y las consideraciones breves que haré aquí pueden restringirse a los m odelos de regresión sin ninguna pérdida. L a prim era cuestión a n otar acerca de tales m odelos es la ausencia de una base axiom ática de! tema del fenóm eno a ser m edido. C o m o el P ro feso r W illiam s correctam en te enfatizó en su ponencia en el Seminario, el uso apropiado de los m odelos de regresión está en la exploración de un área y en la identificación de variables relevantes. El m arco conceptual de regresión en sí m ism o no provee de un escenario natural en el cual investigar las propiedades de las estructuras genéri­ cas del dom inio. C o m o él tam bién enfatizó, querem os pasar de los m odelos de regresión a m odelos de estructuras que postulan más acerca de las relaciones m utuas que valen en el dom inio dado. E l uso extendido de m odelos de regresión en cada área de las ciencias sociales atestigua dos cosas: prim ero, de la superficialidad de m ucho de nuestro teorizar, y segundo, de la absoluta necesidad de tom ar cuenta de los errores en las relaciones que estudiam os. E s típico el caso en un análisis de regresión que el térm ino del erro r no refiera realm ente a los errores en la medición de las variables sino m ás bien a la inhabilidad de las interrelaciones entre las variables independientes de dar cuenta de las variaciones en la variable dependiente. A ún otra m anera de establecer la cuestión es esta. P odem os esperar en contrar m odelos de estructura subyacentes que justificarán, al menos co m o una prim era aproxim axión, los m odelos de regresión que son tan fácilm ente aplicables al estudio del fenóm eno en casi tod o dom inio. Q uisiera acentuar lo sutil de la relación que puede existir entre modelos de estructura y m odelos de regresión m encionando m uy brevem ente algo de mi p ro p io trabajo. R ecientem ente em peza­ m os a aplicar m odelos probabilísticos de autóm atas en el análisis de la realización de tareas aritm éticas de niños chicos. E so s autóm atas probabilísticos constituyen m odelos estructurales, cre o , en casi cu al­ quier sentido del térm ino. Intentam os dar una explicación progresiva­ mente detallada de los pasos que los estudiantes ejecutan aplicando un algoritm o para en contrar una respuesta num érica. L o s aspectos p ro ­ babilísticos del autóm ata son ajustados a los datos para adecuar los errores hechos p o r los estudiantes. Desde luego, si los estudiantes no com eten errores en ningún lugar, el estudio experim ental sería trivializad o , y podríam os representar su com p ortam ien to p o r un autóm ata determ inístico simple finito. Bajo un conjunto natural de suposicio­ nes acerca de las fuentes de erro r, podem os pasar del m odelo del

autóm ata a un análisis real de los datos en térm inos de un m odelo de regresión simple tom and o el logaritm o de la probabilidad co m o una respuesta correcta. En una situación co m o ésta, el m odelo de regresión no se usa ya simplemente para exp lorar variables relevantes; es una im portante herram ienta estadística para co m p ro b ar un m odelo estructural subya­ cente más bien elaborado. La teoría del erro r con stru id a sobre el m odelo de regresión es entonces directam ente útil en ia adecuación del m odelo del au tóm ata a los datos experim entales. Me doy cuenta que he dicho sólo las cosas más superficiales acerca de la teoría no algebraica del erro r, pero es necesario llevar la discusión a un fin en este m om ento. H ay una cosa final que me gustaría decir co m o expresión de mis sentim ientos acerca de la m edición. En tanto que exp lorem os una nueva área de la ciencia, o desarrollem os nuevas intuiciones en un área familiar, o m ejorem os nuestra técnica de m edición, debem os usar aquellas técnicas para identificar variables im portantes y m overnos de la identificación a suposiciones que van más allá de la teoría de la m edición misma. O tra m anera de poner el asunto es esta. Pienso que todos nosotros que estem os interesados en la teoría de la medición debemos m antener un ojo abierto en todo m om ento al m arco co n cep ­ tual más general dentro del que trabajam os y tratar de usar los resultados de la m edición para profundizar nuestra com prensión de ese m arco con ceptu al, e incluso en ocasión, recon struirlo totalm ente. Especialm ente en las ciencias sociales, un uso co rre cto de la teoría de la medición puede con trib u ir tanto a cuestiones de la teoría general de la con stru cción co m o el m ejoram iento de nuestros m étodos de inves­ tigación y análisis de datos.

C a p ítu lo 11 U N C O N J U N T O D E A X IO M A S IN D E P E N D IE N T E S P A R A C A N T ID A D E S E X T E N S IV A S " '

1.

In trod u cción 1

E l punto de vista m od ern o sobre cantidades se rem o n ta, al m enos, hasta la U niversal A rith m etick de N e w to n . N ew ton afirm a que la relación entre cualesquiera dos cantidades de la m ism a clase puede expresarse p o r un núm ero real p ositivo2. E n 1901, O . H ó ld e r dio un conjunto de «A xiom e der Q u an titaet», los cuales son suficientes para establecer un isom orfism o entre cualquier realización de sus axiom as y el semigrupo aditivo de tod os los núm eros reales positivos. E s indicativo del interés general en el tem a de las cantidades en ab stracto, p o r parte de los m atem áticos de ese p erío d o , el trabajo relacionado de H ilb ert, Varonese y o tro s. D u ran te los últimos trein ta años, desde o tra dirección, algunos filósofos de la ciencia se han interesado en el análisis lógico de procedim ientos em píricos de m edición3. L os intere­ 11

Publicado originalm ente en Pom tgaliae M atbcmaúca 10, 1951, pp. 163-172.

V ersió n castellana por A rtu ro Lem us M artín ez. 1 E s to y agradecido con J , C . C . M cK in sey p or un buen n úm ero de útiles sugeren­ cias relacionadas c o n este escrito . 2 N e w t o n ( 1 7 6 9 ) , p. 2 .

3 El trabajo dirección.

3e N orm an R . C am pbell en (1 9 2 0 ) y (1928) han sido en focad os en esta

ses de estos dos grupos coinciden en cuanto los filósofos han estado ocupados en establecer las condiciones formales que deben ser satisfe­ chas por operaciones em píricas que miden alguna característica de objetos físicos (u otras entidades). Los filósofos han dividido las cantidades (esto es, entidades u objetos considerados en relación a una característica dada, tal co m o la m asa, la longitud o la dureza) en dos clases. Las cantidades intensivas son aquellas que pueden m eram ente ser dispuestas en un orden serial; las cantidades extensivas son aquellas para las cuales puede tam bién especificarse una operación «natural» de adición o com binación. O tra form a, más exacta, de hacer una distinción de este orden es diciendo que las cantidades intensivas son cantidades a las cuales les pueden ser asignados núm eros única­ mente hasta una transform ación m on óton a, y las cantidades extensi­ vas son cantidades a las cuales les pueden ser asignados núm eros únicam ente hasta una transform ación de similitud (esto es, m ultiplica­ ción p o r una constante positiva)4. Puede decirse que esta última condición es el criterio de adecuación form al para un sistema de cantidades extensivas. El sistema de H ó ld e r satisface este criterio de adecuación para cantidades extensivas y su sistema ha sido de h echo usado p o r algunos filósofos (ver, p o r ejem plo, Nagel [1 9 3 1 ]) en estudios m etodológicos de la m edición. P ero desde el p un to de vista m eto d o ló g ico , hay al menos dos serios defectos en el sistema de H ó ld er. E l prim ero consiste en que él no axiom atiza la relación designada p o r « = » , sino en su lugar la trata co m o la relación lógica de identidad. Sin em bargo, com únm ente se adm ite que dos segm entos de línea distintos pueden tener la misma longitud num érica o dos objetos distintos la misma m asa; y consecuentem ente, « = » debería designar una relación de equivalencia que no es la de identidad lógica5. E l segundo defecto del sistem a de H ó ld er es que es dem asiado fuerte para una caracterización general de cantidades extensivas. Su sistema es catogorial en el sentido

4 Se podrá o bservar que esta clasificación tradicional n o es m uy satisfactoria, ya que tam bién hay cantidades a las cuales se les pueden asignar núm eros unívocam ente hasta una variedad de o tro s grupos de transform ación. Sin em b arg o , este punto es aquí irreievante, puesto que estam os interesados solam ente en cantidades extensivas en el sen tid o recién definido y no nos conciern e el problem a de precisam ente cuántos géneros form alm ente distintos es útil distinguir. 5 Esta crítica parecería tam bién aplicarse a los axiom as para la m edición de la utilidad dados p or J . von N cum an n y O . M orgenstern (1 9 4 7 ): « = » debe designar la relación de indiferencia más bien que la de identidad.

de que cualesquiera dos realizaciones de él son isom órficas y, además, isom órficas al sem igrupo aditivo de todos los núm eros reales positi­ vos. Pero estos requisitos son ciertam ente dem asiado exigentes, p o r­ que es intuitivam ente obvio que un con ju nto de cantidades extensivas no necesita tener ni siquiera Ja propiedad de densidad de los núm eros racionales. Las masas de los objetos en un co n ju n to dado, por ejemplo, podría determ inarse con seguridad, aun cuando relativam en­ te a alguna unidad, la m asa de cada ob jeto en el con ju nto fuera un entero positivo. E l propósito del presente trabajo es p resen tar un sistema de axiomas form alm ente adecuado para cantidades extensivas, en el cual estos dos defectos son eliminados. Adem ás se dan las dem ostraciones de independencia de los axiom as y de las prim itivas del sistema,

2.

A xio m as

C onsiderem os un sistema que consiste en un co n ju n to no vacío K de elementos arbitrarios x , y , z , ..., una relación binaria Q definida sobre K y una función binaria * definida sob re K . T al sistem a puede ser considerado co m o el triple ordenado { K , Q , * ) . Las variables «m », « « » , etc., tom an co m o valores los núm eros n aturales; la n ota­ ción «n x » es definida en la form a recursiva usual: I * = x y n x = (n — \ ) x * x. D efinición. U n sistema { K , Q , * ) , es un sistema d e cantidades extensivas si satisface los siguientes siete axio m as: AI A II A llí A IV AV AV I A V II

Si x , y , 2 están en K , y si x Q y e y Q z entonces x Q z ; Si x e y están en K entonces x '■ y está en K ; Si x , y , z están en K entonces (x * y ) * z Q x * {y * z)\ Si x , y , z están en K y x Q y entonces x * z Q z * y , Si x e y están en K y no es el caso que x Q y entonces hay una z en K tal que x Q y * z e y * z Q x ; Si x e y están en K entonces no es el caso que x * Si x e y están en K y x Q y entonces hay un núm ero n tal que yQ nx.

Si * se interpreta co m o + y Q com o = , se puede fácilm ente ver que estos axiom as se satisfacen p o r cualquier sem igru po aditivo de

núm eros positivos cerrad o bajo la substracción de núm eros m enores a m ayores. La adecuación form al de estos axiom as, en el sentido definido en la sección 1, se establece en la sección 5 ; que son m utuam ente independientes es establecido en la sección 6 .

3.

T e o re m a s elem entales

P o r brevedad, en la enunciación y la dem ostración de los teorem as que se siguen de los siete axiom as recién dados se om ite la enunciación de la condición de que los elem entos esten en K . T odas las dem ostra­ ciones son de carácter elem ental y p o r lo tanto están considerable­ m ente abreviadas. T eo rem a í. x Q x . D em ostración. Supongam os que no es el caso que x Q x . E ntonces p o r A V , hay un z tal que x * z Q x , p ero esto contradice el A V I. T eorem a 2. x * y Q y x. D em ostración. U se el teorem a 1 y A IV . T eo rem a 3 . Si x Q y y u Q v entonces x * u Q y * v . D em ostración, x * h Q u y y u * yQy * v p o r A IV y la hipótesis. Luego úsese el A I. T eo rem a 4. x * (y * z )Q {x * j») * z. D em ostración. U san d o el teorem a 2 obtenem os x * (y * z )Q (y * z) * x. Luego utilizando el teorem a 3 , el teorem a 2 y los axiom as A I y A H I, obtenem os x * (y * z )Q z * (y * x ). U sando el teorem a 2 , el teorem a 3 y el A I ob ten em os el teorem a. T eorem a 5. x Q y o y Q x . D em ostración. Supongam os que ni x Q y ni y Q x . E n to n ces y '• z j Q x y x * z 2Q y p or A V . D e esto, p o r los teorem as 1 y 3 , obtenem os (y * Zj) * z 2Q x * z 2, luego p or el A I {y * z t) z 2Q y ■D e esto usando el teorem a 4 y A I, o b te n e m o s^ s' ( z t * z 2)Q y , que con trad ice A V I. T eo rem a 6. Si x u Q y * u entonces x Q y . D em ostración. Supongam os que no es el caso que x Q y . E ntonces p o r A V , hay un z tal que^< * z Q x . U san d o el teorem a 3 , la hipótesis, el teorem a 4 y el A I, ob ten em os y * (z * n )Q y * u. D e aquí, p o r el

teorem a 3 y los axiom a A H I y A I, obtenem os (y * u) !1, z Q y * « , que contradice A V I. T eo rem a 7. Si y * z Q h y x Q y entonces x * z Q u . D em ostración, x zQ y z, por eí teorem a 1 , la hipótesis y el teorem a 3. L uego, x * z Q « p or la hipótesis y A I.

Teorema 8. Sí uQx '■ z y x Qy entonces itQy D em ostración. Similar a la del teorem a 7. T eorem a 9. m x

z.

n x Q (m + n )x.

Dem ostración. U sam os inducción m atem ática sob re n . Para n = 1 , la dem ostración es inmediata. Para n + 1 , co m en zam o s con m x * (n + 1)x Q m x * (n x * x ). U sando principalm ente el teorem a 1, y los teorem as 3 y 6 y la hipótesis de que el teorem a vale para n , obtenem os m x * (n 4- l)xQ (ín + n + l)x .

Teorema 10. [rri - f n)xQmx * nx. D em ostración. Similar a la del teorem a 9.

Teorema 11. n(mx)Q(nm}x. D em ostración. U sam os inducción m atem ática sobre n . Para n — 1, ia dem ostración es inmediata. Para n 4- 1 , co m en zam o s con (n + 1 ) (m x )Q n (m x ) * m x. U sando principalm ente el teorem a 10, la hipótesis de que el teorem a vale para n y el teorem a 9 , o b ten em o s (» + 1) (m x )Q ((« + l)»z)x. Teorema 12. (mn)xQn(tnx). D em ostración. Similar a ía del teorem a 1 1 . T eorem a 13. n (x

y )Q n x * ny.

D em ostración. N uevam ente utilizam os inducción m atem ática so ­ bre n. La dem ostración es obvia para n =* 1 . Para n + 1, com enzam os con (n + l) (x * y )Q n (x * y ) * (x * y ), que se sigue del teorem a 1 0 . U san d o la hipótesis de que el teorem a vale para n, los teorem as 1 y 3 y los axiom as A H I y A I, obtenem os (n + 1 ) (x :i y )Q n x * (ny * (x * y ) ) . Partiendo ahora del teorem a 6 , usando luego el teorem a 2 , el teorem a 1, el teorem a 3, el Al l í , el AI , el teorem a 1 y el teorem a 3 nuevam ente, obtenem os nx * (ny * (x * y ))Q n x * (x * (ny * y )). C om b in and o esto con el resultado anterior, usando el A I, el teorem a 4 y la definición de «n x», obtenem os el teorem a. T eorem a 14. n x n y Q n (x y ). D em ostración. Similar a la del teorem a 13.

T eo rem a 15. S i x Q y entonces n x Q n y . D e m o s t r a c ió n . U sam os inducción matemática sobre n . Para n = 1 la dem ostración es inm ediata. D e la hipótesis de que el teorem a vale para n obtenem os inm ediatam ente n x Q n y . Y haciendo uso después del teorem a 3 y de x Q y , obtenem os n x * x Q n y * y , de donde obtenem os inm ediatam ente el teorem a. T eorem a 16. Si n x Q n y entonces x Q y . D em ostración. Supongam os que no es el caso que x Q y . Entonces p o r el A V , hay un z tal que y * z Q x ; y de aquí p o r el teorem a 15, el teorem a 14 y A I obtenem os ny * n z Q n x . U san d o la hipótesis y el A I, esto arroja ny * n z Q n y , que con trad ice al A V I. T eo rem a 17. Si m = n entonces m x Q n x . D em ostración. Si m = n entonces el teorem a se sigue inm ediata­ m ente p or el teorem a 1. E ! otro caso es cuando m < n . A sí, n = m + k. Supongam os ahora que no es el caso que m x Q n x . E n to n ces p o r el teorem a 5 , n x Q m x , es d ecir ([m + k )x Q m x . D e esto p o r e! teorem a 9 y A I, obtenem os m x * k x Q m x , que contradice a A V I. T eorem a 18. H a y un núm ero n tal que x Q n y . D em ostración. P o r el teorem a 5, x Q y o y Q x . C a so 1, x Q y . Sea n = 1 . C aso 2 , y Q x . E l teorem a se sigue inm ediatam ente del A V II.

4.

S istem a de m agn itu d es

Si las magnitudes son definidas co m o ciertas clases de equivalencia de cantidades, se puede desarrollar un sistem a de cantidades extensi­ vas, el cual es útil para dem ostrar la adecuación form al de nuestros axiom as para cantidades extensivas. Concebido de esta m anera parece­ ría haber un lugar propio para las m agnitudes así co m o para las cantidades, y no sería necesario un debate interm inable sobre el m érito relativo de cada una6. L a relación definida p or el p rod ucto lógico de Q y su conversa es obviam ente reflexiva, sim étrica y transitiva, esto es, es una relación de equivalencia, que n osotros podem os designar p o r * C x C y = df (x Q y y y Q z ). 6 (1931).

Para algunos aspectos de este debate, ver R u ssd l (1 9 0 3 ), capítulos 19 y 2 0 y N ag

Así, C define una partición de K , es decir, un con ju nto de subconjuntos no vacíos de K , disjuntos p o r pares, y cu ya unión es igual a K . D esignam os a la clase de equivalencia C de la que x es un m iem bro (es decir, el cociente x /C ) p o r « [x ]» , y a la p artición de A”por « K /C » . L a relación C tiene la propiedad de substitución relativam ente a Q y * , o sea, (i) si x C y y y Q z entonces x Q z y si x C y y z Q y entonces z Q x , y (ii) si x C y y u C v entonces x u C y * v , (i) es trivial y (ii) se sigue inm ediatam ente del teorem a 3 y la definición de « C » . A sí podem os definir una relación = y una o p eración + en K / C : (i) (ii)

[x] S [ j ] s¡ y só l0 s¡ x Q y t [x] + [y] es la clase de equivalencia C en K / C que consiste en los elem entos de K que están en la relación C co n el elemento x y . T am bién, «n[xj» está definida recursivam ente, exacta­ mente co m o «nx» fue definida previam ente: l [ x ] — [x] n [x] = (« - l) [x ] + [x], En resum en, donde x = ( K Q , * ) es un sistema de cantidades extensivas, j / C = { K / C , + ) es un sistema de clases de equivalencia (o cocien tes) de x bajo la relación C , y llam arem os a / / C un sistem a de magnitudes extensivas.

Sobre la base de los axiom as y los teorem as y a dados es fácil dem ostrar los siguientes teorem as para m agnitudes extensivas, los cuales enum erarem os com enzando con el 2 1 . L o s teorem as están ordenados para exhibir claram ente la estru ctu ra algebraica de un sistema de magnitudes extensivas. P o r brevedad, escribirem os [x] < [y] en lugar de [y] ^ [x]. T . 2 1 . Si [x] y Qy] están en K / C entonces [x] + [y] está en K /C . T . 2 2 . Si [x], [y] y [2 ] están en K / C entonces ([x ] + [7 ]) 4- [z] = [x ] + ([y] + [z]). T . 23. Si [x] y [y] están en K / C entonces [x] + [y] = [y] 4- [x], T . 2 4 . Si [x ], ¡y] y [z] están en K / C y [x] + [2 ] = [y] + [2 ] entonces [x] = [y], T . 2 5 . Si [x] y [7 ] están en K / C y [x] g [y] y [y] ^ [x] entonces [x] = [>']T . 26. Si [x], [y] y [2 ] están en K / C y [x ] ^ [y] y [y] s [ z ] entonces [X ]

^

[2 ],

T . 27. Si [x] y [y] están en K / C entonces o [x] S [y] o [y] £¡ [x]. T . 28. Si [x] y [y] están en K / C y [y] < [x] entonces hay un [ 2 ] en K / C tal que [x ] = [y] + [zj.

T . 2 9 . Si [x ] y [y] están en K / C entonces [jc] < [jc] + \y\. T . 3 0 . Si [x] y [y] están en K / C y [x] = {y] entonces hay un núm ero n tal que Jjy] = w[x]. E s patente que pueden d em ostrarse fácilm ente los análogos obvios de tod os los teorem as en la Sección III. D e los teorem as establecidos aquí, vem os que la estructura algebraica de un sistema de magnitudes es la de un sem igrupo abeliano arquim ediano, de orden sim ple, que no tiene un elem ento cero y que es cerrad o bajo la substracción de elem entos «m ás pequeños» a elem entos «más grandes».

5.

A d e cu a ció n de los axiom as

La adecuación form al de nuestros axiom as está dem ostrada p o r el uso esencial de los teorem as sob re m agnitudes extensivas que se hace. La razón de esto es que un sistem a de cantidades extensivas es en general m eram ente h o m om ó rfico a un sem igrupo aditivo de núm eros reales positivos, lo que es de esperarse, ya que en la m edición de objetos relativa a una característica, el m ism o núm ero es frecuente­ m ente asignado a objetos distintos. E n particular, un núm ero dado es asignado a una clase de equivalencia C de objetos, que con du ce al siguiente m etateorem a. M E T A T E O R E M A A . Si x — { K , Q , * ) es un sistema de cantida­ des extensivas entonces el sistema de magnitudes extensivas ^ / C es isom órfico a un sem igrupo aditivo de núm eros reales positivos, cerrad o bajo su bstracción de n úm eros m enores a núm eros m ayores7. D em ostración. L a dem ostración de este m etateorem a sigue las líneas estándar dadas, p or ejem plo, p o r H ó ld er ( 1901) o B irkhoff (1 9 4 8 ), p. 2 2 6 . (L a d em ostración de B irk h off para grupos arquim edianos de orden sim ple requiere m odificarse sólo ligeram ente. B irkhoff tam bién da referencias detalladas de la literatura.) P o r lo tan to será suficiente describir brevem ente la co n stru cció n de una f u n c ió n /c o n las propiedades deseadas. D efinim os el con ju nto £(xX«] donde [x] y [e] están en K / C , co m o el conjunto de todas las fracciones racionales m /n tal que n[x\ ^ m[e\. E s fácil d em o strar que S[x]fr] tiene una m áxim a

7 A h o ra llamaría al m etateorem a A el «teorem a de representación» para cantidades extensivas y al m etateorem a B el «teorem a de unicidad». (Nota agregada por e l autor

para una reedición en 1969.)

cota inferior, que definimos co m o el núm ero asignado a [x ], esto es, la f u n c i ó n / e s definida co m o sigue: / ¡ £.]([x]) es la máxim a co ta inferior de S[*][ y)IV. Sea K el conjunto de todos los núm eros racionales positivos; sea x Q y si y sólo si je ^ y ; y x * y se define co m o x + 10y. V . Sea K el conjunto de todos los enteros positivos con la excepción del núm ero u no; sea x Q y sí y sólo si x ^ y ; y * se define co m o la adición ordinaria. V I. Sea K el conjunto que consiste del núm ero u n o ; sea x Q j si y sólo si x = y ; y * se define com o la m ultiplicación ordinaria. V IL Sea K el conjunto cuyos elem entos son (i) tod os los pares ordenados cuyos prim eros m iem bros son enteros positivos y cuyos segundos m iem bros son enteros, junto con (ii) todos los pares orde­ nados cuyos prim eros m iem bros es el cero y cuyos segundos miem­ bros son enteros positivos; donde x — {a , b ) y y = { c, d ) , s e z x Q y si y sólo si a < c, o a = c y b ^ d ; se define { a , b ) * (c , d ) co m o {a + c, b + d ).

7.

Independencia de primitivas

U sando el principio de Padoa9, podem os establecer la indepen­ dencia mutua de las tres prim itivas K , Q y * de nuestros axiom as p ara cantidades extensivas. L a aplicación del principio de P adoa requiere que encontrem os para cada prim itiva dos realizaciones diferentes de nuestros axiom as tales que a las otras dos prim itivas íes sea dada la m ism a interpretación en ambas realizaciones. I. Independencia de K . Para la prim era realización sea K ' el conjunto de enteros positivos; sea x Q 'y si y sólo si x á y ; y * ' se define com o la adición ordinaria. Y para la segunda realización, sea K" el con ju nto de enteros pares positivos; Q " = Q ' y II. Independencia de Q . Para la prim era realización, sea K ‘ el con ju nto de todos los pares ordenados de enteros p ositivos; donde x = (a , b ) y y = {c , d ) , s e a x Q 'y si y sólo si a ^ c ; y (a , b ) * ' (c , d ) — (a + c, b + d ) . Para la segunda realización, K ' = K "; *" = dondex — (a , b ) y y = { c, d ) , sea x Q "y si y sólo si b ^ d . A sí tenem os, p o r ejem plo, ( l , 2 ) Q ' ( 2 , l ) y no { l , 2 ) Q " { 2, l ) . III. Independencia de í!\ P ara la prim era realización, sea K ’ el co n ­ junto de núm eros enteros p ositivos; sea x Q 'y y si y sólo si x á y\ se define com o la adición o rdinaria. P ara la segunda realización, K" = K'\ Q " = Q '; y x y = V x 2 + y 2 . A sí tenem os, p o r ejem plo, 1 2 = 3 y 1 5;j' 2 3. ’

8.

Realizaciones empíricas

N u estro sistema de axiom as para cantidades extensivas fue diseña­ do para eliminar dos defectos del sistem a de H ó ld e r, que fueron m encionados en la Sección 1. E n esta sección conclusiva quiero señalar, desde el punto de vista del análisis m eto d o ló g ico de la m edición, dos de los más fundam entales defectos com u n es a am bos sistemas. D ada cualquier realización de nuestros axiom as, p arece, en prim er lugar, que el conjunto K debe con ten er un n ú m ero infinito de elem entos. E sto viola flagrantem ente los requisitos finitistas obvios de

Padoa (1 9 0 Í ); una clara enunciación de este prin cipio tarnbién se encuentra en M cK in scy (1935).

la m edición em pírica. Y , parece, en segundo lugar, que la realización de Q debe ser una relación perfectam ente transitiva, lo cual involucra que el instrum ento de m edición usado para determ inar si dos objetos están en la relación Q o no, debe poseer una sensitividad perfecta. Sin em b argo, la carencia de una sensitividad perfecta tal parece ser la característica más afin a todos los instrum entos de m edición. Una balanza de brazos iguales, por ejem plo, sólo puede diferenciar objetos que tienen una diferencia de masa m a y o r que alguna cantidad finita. L a teoría axiom ática estándar de cantidades debe ser modificada más profundam ente para d ar cu enta de esos dos problem as. Al menos desde un p un to de vista m etod o ló g ico , sería de interés un sistema form al m odificado que reflejara más acertadam ente los h echos de la m edición im perfecta real.

C a p ítu lo 12 E S T R U C T U R A S F IN IT A S D E M E D IC IO N D E IN T E R V A L O S IG U A L E S *

1.

Introducción

E n este artículo considero algunos de los ejemplos no triviales más simples de estructuras de medición. L o s conjuntos básicos de objetos o estímulos serán finitos en todos los casos, y la adecuación de los axiom as elementales para varias estructuras depende fuertem ente de esta finitud. A unado a su finitud, la característica distintiva de las estructuras consideradas es que los objetos están igualm ente espaciados, en un sentido apropiado, a lo largo del con tin u o, p o r así d ecirlo, de la propiedad que se mide. Las restricciones de finitud y espaciam icnto equitativo simplifican enorm em ente las m atem áticas de m edición, pero afortunadam ente no es el caso de que la sim plificación esté acom pañada p or una total separación de aplicaciones em píricas realis­ tas. La finitud y el espaciam icnto equitativo son propiedades caracte­ rísticas de m uchas escalas estándar, p or ejem plo, la regla ordinaria, el conjunto de pesas convencionales empleadas en una balanza de b razos * P ublicado originalm ente en Thcoria 1 -2 : 1972. V ersión castellana de Ju a n B o sco G arcía C an tú .

¡guales en el laboratorio o co m e rcio , o cualquiera de los calibradores para m edir presión, tem peratura o volum en. N o s ocupam os de cu atro tipos de tales estructuras, y cada una de ellas corresponde a un conjunto más general de estructuras analizadas en el amplio tratam iento de K ran tz et a l (1 9 7 1 ). L o s cu atro tipos de estructuras son para medición extensiva, de diferencia, de bisección y conjunta.

2.

Medición extensiva

La distinción entre propiedades o m agnitudes extensivas e intensi­ vas es m uy vieja en la historia de la ciencia y la filosofía. Las magnitudes extensivas son aquellas que pueden sum arse; e. g., masa y longitud son m agnitudes o cantidades extensivas, en con traste, las magnitudes intensivas no pueden sum arse, aunque pueden medirse. D o s volúmenes de gas, e. g., con la misma tem peratura no se com binan para form ar un gas con el doble de tem peratura. Algunos teóricos han afirm ado, e. g. C am pbell (1 9 2 0 ) y (1 9 2 8 ), que la medición fundamental de magnitudes intensivas no es posible. Sin em bargo, no encuentro del tod o persuasivos los argum entos negati­ vos de Campbell y o tros, y m uchos ejemplos de estructuras de medición proveen una refutación co n creta de las tesis de Cam pbell. En esta sección desarrollo los axiom as de m edición extensiva con tres interpretaciones específicas en m ente. U n a es para la m edición de masa sobre una balanza de b razos iguales, o tra es para la medición de longitud de varas rígidas y o tra es para la m edición de probabilidades subjetivas. C iertam ente, son posibles otras interpretaciones, pero restringiré las observaciones detalladas a estas tres. Desde un punto de vista form al, las estructuras básicas son ternas ( X , F, § ) , donde X es un con ju nto no vacío, F es una familia de subconjuntos de X y la relación S es una relación binaria sobre F . U sando subconjuntos de X co m o objetos, eliminamos la necesidad de un concepto prim itivo separado de con caten ación . C o m o una condi­ ción estructural general, se requerirá que F sea una álgebra de conjuntos sobre X , lo que es sim plemente requerir que F sea no vacío y sea cerrado bajo la unión y la com plem entación de con ju ntos, i.e., si A y B están en F entonces A U B y —A también están en F. Las interpretaciones propuestas de los con ceptos prim itivos para los tres casos m encionados es razonablem ente obvia. E n el caso de la

m asa, X es un conjunto de objetos físicos, y para dos subconjuntos A y B, A S B si y sólo si el conjunto A de objetos es juzgado p o r lo m enos tan pesado co m o el con ju nto B. Probablem ente es útil enfati­ zar que hay diferentes usos de la balanza de brazos iguales que son apropiados para alcanzar un juicio de com p aración. P o r ejem plo, si A — í* ’ ? } y B = z \ n 0 será literalm ente posible p oner a A sob re un platillo y simultáneamente a B sobre el o tr o , ya que el o b jeto x es m iem b ro de ambos conjuntos, pero podem os hacer la com p aración de dos maneras diferentes. U n a es sim plemente co m p arar las partes no empalm adas de los dos subconjuntos, que en el presente caso viene a ser sencillamente la com paración de ' { y } y { z } . U n procedim iento em pírico más bien diferente, que incluso elimina la necesidad de que la balanza sea de brazos iguales, consiste en prim ero balancear A con arena en el otro platillo (o posiblem ente agua; pero en cualquier caso, arena o agua en pequeños recipientes), y luego co m p arar B co n la cantidad fija de arena. D ad o los significados típicos de las operaciones conjuntistas de intersección, unión y com p lem entación , no se requie­ re ninguna interpretación adicional de estas op eracion es, incluso de la unión de conjuntos que sirve co m o operación de co n caten ació n . E n el caso de las varas rígidas, el con ju nto X es sim plem ente la colección de varas, y A ^ B si y sólo si el con ju nto A de varas, cuando yacen punta a punta en línea recta, se juzga más largo que el conjunto B de varas puesto de la misma m anera. Fácilm en te pueden suplem entarse las variaciones de exactam ente cóm o ha de hacerse esta co m p ara­ ción cualitativa de longitud. E n el caso de probabilidades subjetivas, el co n ju n to X es el con ju n to de posibles resultados del experim ento o situación em pírica en consideración. Los subconjuntos d e X en i 7 son ju stam ente eventos en el sentido ordinario de los con ceptos de probabilidad y A ^ B si y sólo si A se juzga por lo menos tan probable co m o B . L o s axiom as para la m edición extensiva, sujetos a las dos re stric­ ciones de finitud y espaciam iento equitativo, están d ados en la siguiente definición. En la definición y subsiguientem ente u sam os las definiciones estándar de equivalencia ~ en térm in os de o rd en débil y tam bién de orden estricto. Las definiciones son sencillam ente estas: A ~ B si y sólo si A ^ B y Bz^A; A > B si y sólo si A ^ B y no B = A . D efinición 1. U n a estructura x = = ) es una estructura extensiva finita, igualm ente espaciada, si y só lo si X es un conjunto

finito, F es una álgebra de con ju ntos sobre X y se satisfacen los siguientes axiom as para cada A , B y C en F :

2.

la relación S es un ordenam iento débil de F ; si /I fl C = ipy B fl C = (p entonces A B si y sólo si A U C S £ U C ;

3. 4. 5.

A^ y — : ab ab

> cd si y sólo si ab S cd y no cd ^ a b , ~ cd si y sólo si a b ^ cd y cd ^ ab.

Tam bién es conveniente tener a la m ano algunas definiciones de la relación binaria de precedencia estricta o preferencia y la relación ~ de indiferencia o indistinguibilidad. E stas definiciones son las siguien­ tes: D efinición 2. D efinición 3 .

a > b si y sólo si a b > aa. a ~ b si y sólo si a b ~ ba.

A fin de expresar la parte de espaciam ientos equitativos de nues­ tros supuestos, necesitam os una definición ad icional; a saber, la definición que requiere que los objetos adyacentes en el ordenam iento estén equitativamente espaciados. P ara este propósito in trodu cim os la definición de la relación binaria J . L a relación binaria J es precisam en­ te la relación de predecesor inm ediato. El axiom a 4 dado abajo

relaciona y a la relación cuaternaria L a idea intuitiva del axiom a 4 es sencillamente que si ct mantiene la relación J con b y c mantiene la relación J con d, entonces la diferencia entre a y b es juzgada co m o la misma que hay entre c y d , habiéndose to m ad o la debida cuenta del signo algebraico. D efinición 4. a jb si y sólo si a > b y para toda c en A si a > c, o bien b ~ c o bien b > c. R egreso ahora a la definición de sistemas de diferencias equitativas finitos. Los axiom as siguen a los dados p o r Suppes y Zinnes (1 9 6 3 ). D efinición 5. U n a estructura cuaternaria £ = { A , = ) es una estructura finita d e diferencia igua lm en te esp a d a d a si y sólo si se satisfacen los siguientes axiom as para cada a, b , c y d en A : í. 2. 3.

4.

L a relación ^ es un ordenam iento débil de A . Si ab = cd entonces ac = b d . Si a b £ cd entonces d e = ba. Si a jb y c jd entonces ab ~ cd.

Teniendo en m ente las interpretaciones em píricas ya m encionadas, es fácil alcanzar la interpretación intuitiva de cada axiom a. E l prim er axiom a sólo requiere que la relación cuaternario ^ sea un ordenam ien­ to débil en térm inos de la diferencia cualitativa entre objetos o estím ulos. E l axiom a 2 es el más poderoso y fundam ental en m uchos sentidos, expresa una propiedad necesaria sim ple de la interpretación propuesta de la relación = . E l axiom a 3 expresa solam ente un hecho algebraico necesario acerca de las diferencias. N ó te se que los axiom as 1-3 son axiomas necesarios. Solam ente el axiom a 4 es suficiente pero no necesario; expresa el supuesto del espacíam iento equitativo ya discutido. A partir de estos cu atro axiom as p odem os p ro b ar el siguiente teorem a de representación y unicidad. T eo rem a 2 . Sea £ = (-4 , = ) una estructura finita de diferencia igualmente espaciada, entonces existe una función t¡) de valores reales sobre A tal que para cada a, b, c y d en A i//(a) — ip(b) £ ip(c) — ip(d) si y sólo si a b = cd M ás aún, si i/>' es cualquier otra función de valores reales que tenga la misma propiedad, entonces xf) y i[>' están relacionadas p o r una trans­

form ación lineal (positiva), i. e., existen núm eros ex y (3, con a > 0, tal que para cada a en A

rp'(a) = aty (a) + j3 L a prueba de este teorem a se da ai final del artícu lo. A dicionalm ente, el núm ero de propiedades elementales están organizadas en una serie de lemas elementales que conducen a la prueba del teorem a. P o r una inspección casual podría haberse pensado que los p rim e­ ros tres axiom as de la Definición 5 caracterizarían tod as las estru ctu ­ ras finitas de diferencia. Sin em bargo, Scott y Suppes (1 9 5 8 ) m o stra­ ron que la teoría de todas las estructuras finitas de diferencia representables no se caracteriza por estos tres axiom as y no puede ser caracterizada p o r cualquier simple enlistado finito de axiom as. Podría haberse pensado que con la adición del innecesario axiom a 4 , sería difícil satisfacer los axiom as, porque una co le cció n arbitraria de estímulos u objetos no lo haría. Sin em b argo, si los estímulos estudiados yacen sobre un con tin u o, entonces será posible seleccionar una secuencia que satisfará los axiom as, justam ente co m o se ha hecho en el caso de seleccionar un conjunto estándar de pesos, para el em pleo de una balanza de brazos iguales.

4. Medición de bisección Las estructuras relaciónales cercanam ente relacionadas con las estructuras finitas de diferencia son los sistemas de bisección £ = ( A , B ) , donde B es una relación ternaria sobre el co n ju n to finito A co n la interpretación de que B(a, b, c) si y sólo si b es el p u n to m edio del intervalo entre a y c. E l m étodo de bisección tiene una larga historia en la psicofísica, pero es im portante enfatizar que la satisfacción de los axiom as dados abajo no requiere ninguna suposición de alguna m edi­ ción física subyacente. T o d o lo que necesitam os es la idea intuitiva de un continuo cualitativo, y aun eso no se necesita para propósitos form ales. E s, p o r supuesto, interesante, después de que la m edición psicológica fundam ental en térm inos del m étodo de b isección se haya hecho, con stru ir una función psicofísica que relacion e mediciones físicas de la misma m agnitud que las mediciones p sicológicas. L o s axiom as dados abajo para el m étodo de b isección im plican un núm ero de verificaciones que deberían ser satisfechas antes de que se

aseverara que existe una función num érica de representación, pero estas verificaciones se han ignorado frecuentem ente en la literatura experim ental que rep orta el uso del m étodo de bisección. Para el con ju nto más simple de axiom as y definiciones, tom am os tan to a la relación de bisección B co m o a la relación de ^ com o prim itivas, pero es fácil elim inar ^ por definición. U sam o s la relación binaria ] co m o está definida en la sección anterior (D efinición 4). D efinició n 6. U n a estru ctu ra £ = { A , B ) es una estructura de bisección si y sólo si los siguientes axiom as son satisfechos para todo a , a ', b, c, c' en A : 1.

L a relación ^ es un ordenam iento débil de A .

2. 3. 4. 5. 6.

Si Si Si Si Si

B (a b c) y B {a b c') entonces c ~ c '. B {a b c) y B (a 'b c ) entonces a ~ a '. B (a b c) entonces a > b y b > c. a jb y b jc entonces B {abc). B (a b c) y a J a y eje' entonces B (a 'b c ’).

L a in terpretación intuitiva de los axiom as es relativam ente trans­ parente. E l prim er axiom a ya es familiar. L o s axiom as 2 y 3 requieren unicidad de los extrem os hasta la equivalencia, lo que claram ente separa a la bisección de la relación de estar entre. E l axiom a 4 relaciona la relación de bisección ternaria y la relación binaria de orden de una m anera n atural, aunque im pone una restricción formal sobre Ja relación de bisección que frecuentem ente sena om itida. La inclusión de esta propiedad de orden co m o parte de la relación B simplifica los axiom as. E l axiom a 5 es un supuesto fuerte del espaciam iento equitativo, y el axiom a 6 expresa un rasgo adicional de este espaciam iento equitati­ vo. E n vista de los axiom as dados anteriorm ente para las estructuras de diferencia, es un p o co sorprendente que el axiom a 6 pueda m ostrarse independientem ente del axiom a 5, pero es fácil dar un m odelo de los axiom as 1 -5 para m ostrar que este es el caso . Puesto que podem os tom ar un m odelo con

B (a b c) si y sólo si a jb y b jc y satisfacer tod o s los prim eros cinco axiom as. L os teorem as de representación y unicidad asumen la siguiente form a:

T eo rem a 3 . Sea £ = { A y B ) una estructura (finita) de bisec­ ción . Entonces existe una función de valores reales ip definida sobre A tal que para toda a, b y c en A : (i)

i¡i (a) §: i/; (¿ ) si y sólo si a § b

(ii)

2\p(b) = 7p(a) + y>(b) y rjt(a) > B (abc).

ij>(b) > i¡>(c) si y sólo si

M ás aún, cualquier o tra función 1p’ de valores reales que satisfaga (i) y (ii) está relacionada con ip p o r una transform ación lineal (positi­ va), i. e., existen núm eros reales a y |0 con a > 0 tales que para toda a en A Tp'(a) = aip(a) + (3 La dem ostración de este teorem a se da en la sección final.

5.

M edición co n ju n ta

E n m uchos tipos de medios experim entales u observacionales sucede que la medición de una sola magnitud o propiedad no es factible o teóricam ente interesante. L o que sí interesa es la m edición conjunta de varias propiedades sim ultáneam ente. C on sid eram os en esta sección axiom as para mediciones conjuntas aditivas. L a represen­ tación pretendida aquí es en la que se considera pares de objetos o estímulos. L o s prim eros m iem bros de los pares son tom ad os de un conjunto y, consecuentem ente, representan un tipo de propiedad o m agnitud, y los segundos m iem bros de los pares son ob jetos tom ados de un segundo conjunto representando una m agnitud o propiedad diferente. D ada la estructura de par ord en ado, requerim os solam ente juicios sobre si un par tiene juntam ente m ás del atrib uto «con ju nta­ do» que el segundo par o no. E s fácil dar ejem plos de interpretaciones para las que es natural ver los pares ordenados. Supóngase que se nos pide ju zgar las capacidades de los individuos para asum ir una posición de liderazgo en una organización. L o que se nos da acerca de estos individuos son puntuaciones de inteligencia sobre una escala ordinal y una m edición de carisma sobre una escala ordinal. E n to n ces para cada individuo podem os decir cóm o se com para cada escala co n cualquier o tro individuo. E l problem a está en hacer juicios entre los individuos en

térm inos de sus capacidades. El axiom a dado abajo indica el cipo de condiciones que son suficientes para garan tizar una medición conjun­ ta, finita e igualmente espaciada, donde en este caso el espaciamicnto equitativo es a lo largo de cada dim ensión. C o m o un segundo ejem plo, un par (a, p ) puede representar un tono con intensidad a y frecuencia p, y el problema es juzgar cuál de los dos tonos suena más fuerte. Entonces el sujeto juzga (a, p) ^ (b , p ) si y sólo si el tono (a, p) parece tan fuerte c o m o (b , p ). O tro s ejemplos en disciplinas tan ampliamente distantes co m o la econom ía y la física se dan fácilmente y se discuten m uy detalladam ente en K ran tz et al (1 9 7 1 ), cap. 6 . , H a de enfatizarse que !a representación aditiva que se busca en esta sección es un caso especial. Las generalizaciones sobre aditividad se discuten en la referencia arriba citada. Es de hacerse notar también que la restricción en esta sección para pares ordenados en vez de »-ad as no es esencial. A ntes de entrar a ios axiom as de m edición conjunta (aditiva), necesitam os vanas definiciones elem entales que nos perm itan definir relaciones de orden sobre com ponentes individuales. Sobre la base de los axiom as acerca de la relación de ord en en tre pares, deberem os estar capacitados para p rob ar que estas relaciones de orden sobre los com ponentes son tam bién ordenam ientos débiles. E n las siguientes definiciones elementales A\ es el con ju nto de com ponentes prim eras y A 2 el conjunto de com ponentes segundas. E n to n ces, cuando se haga la referencia a un par ordenado (a , p ), se entenderá que a está en i4, y que p está en A 2D efinición 7. a g b si y sólo si para to d o p en A z (a, p ) ^ ( b , p ) . En térm inos de esta relación definimos a > b y a ~ b c n ía m anera usual. Tam bién, se necesita una definición sim ilar para el segundo com p o ­ nente. D efinición 8. p g q si y sólo si para toda a en A i (a, p ) ¡S (a, q ). Tam bién usamos la notación ya introducida para la relación ^ sobre A i x A 2, a saber (a, p ) > ( ¿ , q ) si y sólo si no (b , q ) ^ {a , p ), y (a, p ) ~ \b, q ) si y sólo si (a, p ) ^ (b , q ) y (b , q ) ^ (a , p ). N u estros axiom as para la medición con ju nta aditiva, en el caso finito igualmente espaciado, se implementan en la siguiente definición.

D efinición 9. U n a estructura < /!,, A 2, & ) es una estructura finita conjunta aditiva igualm ente espaciada si y sólo si los siguientes axiom as se satisfacen para cada a y b en A t y cada p y q cn A : A xiom a 1. La relación i? es un ordenam iento débil sobre A , X A 2A xiom a 2 . Si (a, p ) § (b , p) entonces (¿i, g ) £ (b , q ). A xiom a 3. Si [a, p ) ^ (a, q ) entonces { b , £>) & (¿ , b , entonces q > p , también necesita asum irse co m o un axiom a, pero com o m ostram os en la prueba del teorem a de representación en la sección final, no es necesaria esta suposición adicional: puede dem os­ trarse a partir de los cuatro prim eros axiom as solos. La aseveración del teorem a de representación y el de unicidad, al que retornam os ahora, asume exactam ente la form a esperada. La única cosa a tom ar en cuenta es que las dos funciones de valores reales sobre cada com p on ente están fundidas co n ju ntam en te p o r la misma unidad, com o se refleja p o r el cam bio com ú n de la unidad a en el teorem a, aunque sea perm itido un origen diferente.

T eo rem a 4. Sea { A ,, A 2, 1S ) una estructura fin ita conjunta aditiva igualm ente espaciada. E ntonces existen funciones de valores reales y 7jj2 sobre A t y A 2 respectivam ente, de tal m anera que para a y b e n A\ y P Y q en a 2

(a, q) § (b , p) si y sólo si r¡>\(a) + ip2(q ) = i¡>\{b) + 'l>2(p)-

M ás aún, si '¡/■'i >' V'z son oirás dos funciones con la misma propiedad, entonces x¡>\ = aiji + /3 y ip'2 = a 'ip 2 + 1 y si A\ y A 2 tienen al menos dos elem entos no equivalentes en orden entonces a = a' E s útil to m ar en cuenta que la parte de unicidad del teorem a 4 tiene una interpretación geom étrica natural. Si pensam os que las funciones ipi y i¡>2 co m o pares de m apeos en el plano cartesiano, entonces el teorem a de unicidad dice, en sentido g eo m étrico estándar, que cualquier cam bio de escala debe ser uniform e en cada dirección, pero el origen puede trasladarse p o r una distancia diferente a lo largo de los diferentes ejes.

6.

P ru eb as

A unque los siguientes lemas elementales no son necesarios para dar una prueba del teorem a 2 , se necesitan en la discusión com pletam ente explícita, y su inclusión tal vez será útil para organ izar el pensam iento del lecto r acerca de las estructuras de diferencia, que no son tan familiares co m o las estructuras extensivas. Las indicaciones de las pruebas de los lemas elementales se dan solam ente en p o co s casos. T o d o s los lemas se refieren a una estructura cu aternaria fija £ = { A y = ) y a las relaciones binarias > , ~ y J , definidas en la sección 3. L em a 1. L e m a 2. L em a 3. L em a 4.

L a relación > es asim étrica y transitiva sobre A . L a relación ~ es reflexiva, sim étrica y transitiva sobre A. E xactam en te una de las siguientes afirm aciones se cum ­ ple para cualquier a y b en A : a > b , b > a , a ~ b. Si a jnb entonces a > b . (L as pruebas de este y m uchos de los Jemas siguientes requieren del uso de la induc­ ción sobre n . ) 1

1 En este y subsecuentes lemas, así com o en la prueba del teorem a 2 y teoremas

U m a *' fy „ ¿ >

b e'UOnCeS hay Un ” (entero P ° s¡tivo) tal que

L em a 6.

Si

a j'lb

y aj"c entonces b ~ c.

L em a 7. L em a 8.

Si a j’"b Si a j’nb

y b f ' c entonces a jm+r‘c. y a f " ' ”c entonces b f ’c.

L em a 9.

Si a j'n 1 ub entonces hay una c en A tal que a jmc.

L em a 10. Si a b ~ cd entonces o bien hay algún n tal que a f b y c ]nd o bien hay algún n tal que b f 'a y d j nc o bien a ~ b y c ~ d. R egresem os ahora a un esbozo de la prueba del teorem a 2 . Sea c* j P n m er elem ento de A con respecto del ordenam iento > . Defínase la función num érica y, sobre A co m o sigue, para cada a en A : 1 si a ~ c*

xp{a)

- n + 1 si c ’J ’,a. Entonces em pleando los lemas elementales podem os d em ostrar: (0

(ii)

a > b si y só lo si \¡){a) > ip(b); ab £ d e si y sólo si tp(a) ~ ip{b) £ y (d ) -

y,(e ).

Para probar que la función cp es única hasta una transform ación lineal, definimos para cada a en A dos funciones A, y b 2:

h ¿ a ) = - » « (« ) ~ »> (*») 1¡>x{a) - iprfc**) h 2(a) =

V iic') -

donde v»i y p son dos funciones que satisfacen la co n stru cció n de representación y r es el prim er elem ento de A bajo el ordenam iento - y c ■ el segundo elem ento. Podem os fácilm ente d em o strar que A, es una transform ación lineal de ^ y b 2 es una transform ación lineal

posteriores, se usa repetidam ente el concep to de n-ésim a potencia de la relación binaria J . hste concepto es definido rccursivam cnte as/: a j lb si y sólo si a jb a j" b si y sólo si existe una c tal que a jn~ 'c y cjb.

de x¡>2 y también que es idéntica a h 2. E n to n ces es fácil probar que i//, es una transform ación lineal de i/'2 >es decir, que hay núm eios a , (i con a > 0 tales que para cada a en A % {a ) = cnfo(a) + P P ru eb a del teo rem a 3 Em pezam os con la prueba de dos lemas. El prim ero corresponde al Sema 10 de la prueba del teorem a 2 y el segundo al lema 11. D ebe notarse que los lemas del teorem a 2 que son justam ente acerca de las relaciones > y J se aplican aquí tam bién. L em a 1. Si aj"b y b ]“c entonces B [a b c). Prueba. P rocedem os p or inducción. P ara n — 1, tenem os el axiom a 5. Supóngase ahora que nuestra hipótesis inductiva se cumple y que tenem os: a jn + íb y b ] ” + 1c.

(1)

E ntonces sabemos de inm ediato p o r las propiedades de J que hay elem entos a' y c’ en A tales que: a ja ' y a 'Jnb

(2)

b j" c' y c'Jc.

P)

D e donde, por hipótesis inductiva de (2 ) y (3 ), B {a ‘b c ')

(4)

y entonces de ( 2 ) y ( 3 ) o t r a vez, así co m o de ( 4 ) y el axiom a 6 ,

inferimos 5 (¡j¿ c ). C o m o se esperaba. Lem a 2. Si B (abc) entonces hay un n tal que a j’!b y b j nc. Prueba. D e la hipótesis del teorem a y el axiom a 4, ten em os: a > b y b > c, de donde, por propiedades familiares de J , existen m y n tales que

a j'nb y b f ‘c. Supóngase ahora que m =£ n ; para ser más co n creto s y sin pérdida de generalidad podem os suponer que m > n. E n to n ces hay un d tal que b j md , de donde, por el lema 1, B {a b d ), pero p o r hipótesis B (ab c), de donde p or el axiom a 2, c ~ d. P ero entonces tenem os: b ]’"c y b j" c, lo cual es im posible, p o r lo que con clu im os m = « , co m o se deseaba. D ados ios lemas 1 y 2 , la prueba de la existencia de una función tal que: (i) (ii)

ip{a) > ip(b) si y sólo si a > b y i¡>(b) = \ (i/'(íí) + y>(c)) y ip{a) > i¡)(b) > i}>(c) si y sólo si B (a b c)

es sem ejante a la prueba de la parce correspon d ien te ai teorem a 2 y no necesita desarrollarse aquí en detalle. Para la dem ostración de la unicidad de y> para una transform ación lineal, co m o en el caso de la prueba del teorem a 2 , asum im os ten er dos funciones ip¡ y , con c* com o el prim er elem ento. A h o ra por definición h x( c ') = ¿ 2 ( 0 — 0 . Supóngase ahora que para a„, co n m < n , h\(am) — b 2(a,n). H em o s dem ostrado que b\(a,)+ ^) = b 2{a,1+2). A h o ra sabem os de inmediato que a.,¡+-Ja„ y a j a + 1, de donde en virtud del axiom a 5, B (an-.u a„, a„ + \), y p o r lo tan to p o r hipótesis

de donde V’lK .+ l) = 2 V>Áa r.) - V ,(a n+ i), para i » 1 ,2 . A h o ra, ya que h¡ es una transform ación lineal de i¡)¡, se sigue que también tenemos +

2/?/(íi„)

h t(í2n... i).

pero p o r hipótesis inductiva el lado derecho de esta última ecuación es la misma para

y h 2, y así con clu im os b\{!ín+ ]) "

P rueba d el teorem a 4 A ntes que nada, so b re la base de los axiom as 1 -3 de la definición 9, los siguientes lemas acerca del orden inducido sobre los dos co m p o ­ nentes A t y A 2, pueden dem ostrarse fácilm ente. L em a 1. L a relación ~ sobre j4¿, para i = 1, 2 , es una relación de equivalencia, i.e., es reflexiva, sim étrica y transitiva. L em a 2. L a relación > sobre A h para ¿ ~ í , 2, es asim étrica y transitiva. L em a 3 . Para a y b en A ¡, exactam ente una de las siguientes: a ~ b, a > b , b > a. Para p y q en A 2, exactam ente una de las siguientes: p ~ q, p > q , q > p . A continuación dem ostram os los dos lemas m encionados ante­ riorm ente en la discusión de los axiom as de la definición 9. L em a 4. Si (a, p ) ~ (b , q) y a > b entonces q > p . P rueba. Supóngase que no sucede que q > p. E ntonces p o r el lema 3 o b ien p ~ q o p > q . S i p ~ q entonces ( a ,p ) ~ (a, q ), de donde p o r transitividad y p or la hipótesis del lem a, (b , q) ~ (a, q ) y así b ~ a, lo que contradice al lema 3 y a la hipótesis a > b. P o r el o tro lado, tam bién se obtiene una con trad icción de la suposición alternativa, i.e., p > q . D ado que tenem os (a, p ) > (a , q ), de donde p o r propiedades familiares del orden débil y p o r la hipótesis del lema, (b , q ) > (a , q) y entonces b > a , lo que nuevam ente con trad ice el lema 3 y la hipótesis de que a > b . A sí concluim os que de la hipótesis del lema se sigue q > p , co m o se deseaba. Lem a 5. Si (a, p ) ~ ib, q ) y p > q entonces b > a. Prueba. Idéntica en estructura a la del lema 4 . Regresam os a continuación a la prueba del teorem a 4 . La prueba se asemeja bastante a la del teorem a 2. Sea c* el prim er elem ento de A i con respecto al ordenam iento § sobre A t y sea r * el prim er elem ento de A 2 con respecto al ordenam iento & sobre A 2- D efinim os, entonces, las funciones num éricas 1/), y t/*2 sobre A , y A 2 co m o sigue (para a en Ay y p en A 2):

1 si a ~ c'r —n + 1 si c !] na

rpiip) =

1 s¡ pír~n + 1 si r :) ”p

C o m o en el caso de la prueba del teorem a 2 , es fácil m ostrar que a > b si y sólo si 1p {(a) > i¡>x(b) p > q si y sólo si y>2(p) > if>2{q). Más aún, ¡os lemas 1-9 que se p rob aron para la d em ostración del teorem a 2 también se cumplen en el presente arreglo, ya que sólo dependen de las relaciones binarias sob re los com ponentes. Desde luego, para cada uno de esos lemas, hay, hablando estrictam ente, ahora un par de lem as, uno para el ordenam iento sobre cada co m p o ­ nente. D e acuerdo al lema 10 de la lista an terior, podem os p rob ar p o r el m ism o argum ento inductivo, usando el axiom a 4 de la definición 9 : (i)

Si a ]nb y p f ' q entonces (¿a, q) ~ (b , p ). Segundo, podem os prob ar el hecho elemental de que:

(ii)

Si (a, q ) ~ (¿>, p ) entonces o (a) hay algún n tal que a j ’‘b y p ] nq o (b) hay algún n tal que b j na y q ] np o (c) a ~ b y p ~ q.

D e (i) y (ii) p robam os entonces el resultado fundam ental de que (a, q) ~ (b , q ) si y sólo si V'i(«) + tyiiq) = V 'i(¿) + tyiip), ¡o que com pleta la prim era parte del teorem a 4 . Para probar la unicidad de los resultados sob re ipi y ip2 podem os p roced er com o en el caso del teorem a 2 . D efinim os cu atro funciones: =

v 'iW - V'ifc*) - Vi (< **)'

y ‘(a) =

^ ( fl) ~

Vi(«*) - V l(c**)' -

Vz(P) ~ Vzfr») V iir * ) - y>t(r**y

b '(p ) =

^ ( ¿ 0 ~ V zfr*) V z (r') ~ V á O ^ )'

donde c::' es el prim er elem ento de A , bajo el orden S sobre A ¡ , C es el segundo elem ento, r* es el prim er elem ento dc A z, y r™ el segundo. E s, co m o antes, obvio que g es una transform ación lineal de i/>,, g ' una transform ación lineal de i/'í, b una transform ación lineal de i¡h y b ' una transform ación lineal de i}A. E n segundo lugar, podem os m ostrar q ue g = g y b = h* p o r u n a r g u m e n t o i n d u c t i v o s i m i l a r al e m p l e a d o en la prueba del teorem a 3. A sí, llegamos a que hay núm eros a , a , (i y y con a , a ‘ > 0 tal que para cada a en /4¡ y cada p en A 2i (iii)

= ai¡>\(á) + ¡3 y ip'2(p) = « 't h ( p ) + 7-

Q ueda p o r m ostrar que a = a ' cuando tan to A ¡ co m o A 2 tienen a lo menos dos elem entos no equivalentes en cu anto a ord en . Sin pérdida de generalidad podem os tom ar a, > b y p > q- E ntonces tenem os de (a, q ) ~ (b , p ), -

ip[(b) = ipiip) -

v M ,

y entonces p o r (iii)

atpi(a) — aty\{b) _

a'ipíip) - a'tyiiq) y asi

, - - = 1 , pero p o r hipotests

a r{i¡>2(p ) ~ ’M