Differentialgleichungen - Lösungsmethoden und Lösungen I [I, 10 (Reprint 1983) ed.] 9783663059264, 9783663059257

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DIFFERENTIALGLEICHUNGEN LÖSUNGSMETHODEN UND LÖSUNGEN VON

DR. E. KAMKE EHEMALS O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN

I.

GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

10. AUFLAGE. UNVERÄNDERTER NACHDRUCK DER 8., DURCHGESEHENEN AUFLAGE. MIT 60 FIGUREN

SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Kamke, Erich:

Differentialgleichungen : Lösungsmethoden u. Lösungen / von E. Kamke. - Stuttgart : Teubner 1. --> Kamke, Erich: Gewöhnliche Differentialgleichungen Kamke, Erich:

Gewöhnliche Differentialgleichungen / von E. Kamke. - 10. Aufl., unveränd. Nachdr. d. 8., durchges. Aufl. - Stuttgart : Teubner, 1983. (Differentialgleichungen / von E. Kamke ; 1) ISBN 978-3-663-05926-4

ISBN 978-3-663-05925-7 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-663-05925-7

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervieifa Acta Halle: Nova Acta. Abhandlungen rler Kaiserlich uopoldinischen Dt'lItschen Akademte der Naturforscher. Hallt'. NuOfJO OifT&ento: Il Nuovo Cimento. Bologna. N yt Tidsskrift Mat.: Nyt 'fidsRkrift for Matematik, Afdeling B, Kehenhavll. Oregon Publication: University of Oregon Publication. Eugene (Oregon). Oregon Publication, Matk.: Univt'rRity of Oregon PubliC'ation. Matht'matics Serie~. Eugene (Oregon). Organ d. EisenbaAnweaens: Organ für die Fortschritte des Eisenbahnwt'sells in tt'ehnißcher Beziehung. Berlin und Wiesbaden. Pascal, integrali: E. Pascal, I miei integrafi. NapoJi 1914. Pascal, ReperturiufT&: E. Pascal, Repertorium der höhert'n Mathematik I, 2. Aufl. Leipzig und Berlin 1910-1929. I'nron, Kettenbrücke: O. Perron, Die Lehre von den Kettenbriiclwn. 2. Aufi. Leipzig und Berlin 1929. Petzval, DGlen: J. Petzval, Integration dt'r lilll'aren Differentialgleichungen, 2 Bde. Wien 1853 und 1859. Ph.iloa. Magaz.ine: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophieal Magazine. London. Phii080phical Transactions London: Philosophical Transactions of the Royal So· ('iety of London. London. Pkysica: Physica. 's Gravenhage. Physical Remew: The Physical Review. Lancaster. Phyaikal. Zeitschrift: Physikalische Zeitschrift. I,{"ipzig. Picard, Equ. diJferentiellea: E. Picard, u90ns sur quelques problEmws aux lilllit.ps de la theorie des equations differentielles. Paris 1930. Poiur,are Mecanique dieste: H. Poineare, Les methode!! nouvellt's dt· la mecaniqlle cel..ste. 1-111. Paris 1892, 1893, IS9!!. Poole, DifJ. Equations: E. G. C. Poolt'. IntroduC'tion to the theory of linear differt'ntial equations. Oxford 1936. Prace mat·fiz: Prace matematyczno-fizyczne. Warschau. PToc. Acad. Allakabad: Proceedings of the Academy of Sciences. Allahabad. Pror.. Phys ..matk. Boc. Japan: Pro("{·('(lings of the Physico.mathematical Society of Japan. Tokyo. Pror.eedings Acad. To/eyo: Proceedings of the Imperial Academy. 'fokyo. Procpedings Americ. Acad.: Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. Boston. Proceedinga Amsterdam: Koninklijkc Nederlandsche Akadt'mie van Wetenschappen. Proceedings of thc Section of Sciences. Amsterdam. Proceedings Oambridge: Proceedings of the Cambridgc Philosophical Society, Cambridge. I'roceedings EdinbU1'gh: Proceedings of thc Royal Socit'ty of Edinburgh. Edinburgh. PToce,edings Edinburgh Mltth. Bor.: Proccedings of the Edinburgh Mathcmatical Society. London.

XXIV

Erklärung der Zeichen und Abkürzungen.

Proceedi1tfl8 London Math. Soc.: Proceedings of the London Mathemati(;al Society. London. Proceedings Soc. Japan: Proceedings of the Physico-mathematical Society of Japan. Tokyo. Pmceedings Soc. London: Proceedings of the Royal Society of London, Series A. London. Proceedings TOl'Onto: Proceedings of the international mathematical Congress Toronto 1924. Bd. 1, 2. Toronto 1928. Proceedings USA Academy: Pi"oceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Boston Publications 'I1Wth. Belgrwü: Publications mathematiques de I'Universite de Belgrade. Belgrade. QuarterlyJournal: The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. London. Quarterly JOllT1wl OXfOTd: The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford serit's. Oxford. Recueil math. Moscolt: RRcueil lllathelllatiqut' de la Societe Mathelllatique de Moscou. Rendiconti Cagliari: Rendiconti dei Seminario delle Facolta. di 'Scienze delle R. Universita. di Cagliari. Padova. Rendiconti Istit'll.to Lombardo: Reale Istituto Lombardo di Scit'l1ze e Letten'. Rendi· conti. Milano. Rendiconti mat.: Rendiconti di matematica e delle Bue applicazioni. Regia Universita di Roma e Reale Istituto Nazionale di alta Matematica. Roma. Rendiconti Napoli: Rendiconti dell'Accademia delle Scienze fisiche e matematiche. Napoli Rendiconti Palermo: Rendiconti deI f.:ircoJo Matematico di Palermo. Palermo. Rendiconti Sem. Mat. Milano: Rendiconti dei Seminario Matematico e Fisico di Milano. Milano. Rendiconti Sem. Mat. Padova: RRndiconti deI Seminario Matematico della R. Uni· versita. di Padova. Padova. Rendiconti Sem. Mat. Roma: Rendiconti deI Seminario Matematico della R. Universita. di Roma. Revue Electricite: Revue generale de rElectricite. Organe de l'Union des Syndicats de l'Electricite et du Comite Electrotechnique Franc;ais. Paris. Runge, Graphische Methoden: C. Runge, Graphische Methoden, 2. Auf!. LeipzigBerlin 1919. Runge-König, NumeriacAes Rechnen: C. Runge - H. König, Numerisches RRchnen. 1. Auf!. Berlin 1924. Scarborough, Numerical Analysis: J. B. Scarborough, Numerical mathematical A.nalysis. Ol U alle Glieder In P (x k -- r , ~, x') von gleichem Grad sind 2 ).

I

1) Oder auch eindimensional (JuCGbsthal).

2) Die Methode, die Berührungspunkte mit 4.6 hat, ist auch noch in anderen J 0 oder < 0 ist, lä.ßt. sich die DGl also für Zahlen Cl der obigen Art auf den Fan Cl = 0 zurückführen. In allen andern Fä.llen ist die DGI nicht durch Quadraturen und die elementaren Funktionen in "geschlossener" Form lösbar (J. Liouville). Die DGl ist (vgl. 4'9) auf die lineare DGI zweiter Ordnung y" = ab xll y zurückführbar ; zu dieser s. C 2·14. Die Lösungen dieser DGl lassen sieb nach C 2'162 (10) auch durch die Besselschen Funktionen darstellen.

4·9. Allgemeine Riccatische Differentialgleichungen

y' =

/("') y2 + g("') y + h(~).

Lit.: Kamke, DGlen I, S. 39-43. Watson, Bessel functions, S. 93f.

22

A. § 1. Differentialgleichungen erster Ordnung.

Durch die Transformation

=

y

E(x) u(x)

E(x) = exp

mit

Jg dx

nimmt die DGI die Gestalt

u'

=1 E u 2 + E h

an, d. h. das lineare Glied i8t fortgefallen. Ist 1 cF 0 und sind I, g stetig g/2f eine DGl derselben differenzierbar, so erhält man für u(x) = y Gestalt, nämlich

+

= 1u 2 +

u' y

Für

=

E(x) 1J(~),

erhält man tlit' DGI bei dpr x in

J,

f E2 (1J'

(tX - :~ + h. ~

= -

Jf(x) E(x) dx

+ 1J2) + h =

h, E nun noch durch

~

0, auszudrücken ist.

Ist h - 0, so ist die DGI eine Bernoullische und für u(x) = l/y entsteht die lineare DGI

u'+gu+!=O. Die allgemeine Riccatische DGl steht in enger Beziehung zu den linearen DGlen z)Veiter Ordnung. Sind g, h für a < x < b stetig untl ist 1 differenzierbar, so wird jedes in einem Intervall oc < x < ß (a:;; oc < ß :;; b) existierende Integral y(x) durch u(x) = exp (-

Jfydx)

übergeführt in ein von Null verschiedenes Integral der linearen DGl

f

u" - (/'

+ f g) u' + J2 h u =

0

(für tlie spezielle Riccatische DGl 4.8 lautet die8e: u" = ab x a u), und umgekehrt geht jede Lösung u cF 0 dieser DGI, falls J cF 0 ist, durch y(x) = -

u' uf(x)

in eine Lösung der Riccatischen DGl über. Diese Transformation ist wichtig, weil die lineare DGl in manchen Fällen leichter zu lösen ist als die ursprüngliche Riccatische DGl. Kennt man für a < x < b eine Lösung tp (x) der Riccatischen DGI, so braucht man nur noch eine lineare DGI erster Ordnung zu lösen: y(x) ist für a;;;; IX < X < ß ;;;; b genau dann ein von tp (x) verschiedenes Integral, wenn r]Jx( ) -

1 y(x) - = 3Cl cf>i , so ist

wo u = u(x) durch

bestimmt ist. Ist cf>

Jua _ = 0,

du IX U

+1+

C =

f rund e > 0 gibt es ein b > 0, so daß alle Lösungen (6)

Xl

= rpl (t, T, ;1"

;n)'"

, "

"

Xn =

Cf'n (t,

T, ;1"

'"

~n)

ebenfalb für T:'2 t "S T existieren und außerdem die GnGlen n

(7)

Z

I rp (t,

T,

~l'

' , "

~,,)

,-

Cf" (t,

T,

~~,

' , "

~~) I ~ c

v= 1

für T ;$ t ::::;: T erfüllen, wenn nur n

Z

(8)

v"=

ist,

i ~, - ~? I :S: b

1

Gibt es zu jedem e > 0 ein b > 0, so daß die LÖRllngen (6) sogar für T ~ t < 00 existieren und die UnGlpn (7), erfüllen, wenn (8) erfüllt i~t, so heißt die Lösung (5) sta bil (im Sinne von Liapounojf1)) , Gibt es ein e > 0, zu dem es kein r) der obigen Art gibt, so heißt dü' Lösung (5) insta bit. Für Stabilitätsuntersuchungen bedeutet es offenbar keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn T = ~~ = ' , , = ;~ = 0 gesetzt wird, Ferner kann man durch die Transformation Yv

=

Xv -

!f" (t,

T,

;~,

' , "

~::)

()J

=

1"",

n)

immer zu dCJll Fall übergehen, daß die auf ihre Stabilität zu untersucherHIp Lösung aus den konstanten Funktionen u, ' , , , 0 be~teht. YOIl den aus" ') .Für "Stabilität im Sinne von PoiS80n" s, l'oincl/ri, Mecaniquc ce!"ste IlI, S, 141.

37

6. Lösungsverfahren.

gedehnten Untersuchungen über StabilitäP) und damit zusammenhängende Fragen sei hier folgendes Ergebnis 2 ) angeführt: In dem System (9)

x~

=

a v, I XI

+ ... + a" n x n + 'P. (t, Xl' . . . , X n)

(v

=

1, ... , n)

(die a" , x.' 'P. dürfen komplexe Werte haben) seien die 'P. in einem Bereich t2:;O,lx.l::;:;;a (v=1, ... ,n) definiert und stetig, außerdem sei dort für eine Konstante K, also insbesondere jedes 'Pv (t, 0, ... , 0) = 0 und d.aher xl = 0, ... , x n = 0 eine Lösung des Systems (9); ferner sei

J:)I'Pvl .E x.i

--+

schließlich mögen alle Nullstellen Det negative Realteile haben.

Ei x.l--+ 0,

0 für 8

t ...... 00;

der charakteristischen Determinante

I apo q -

8

ep,

q

I

Dann ist die Lösung

Xl

=

0, ... ,

Xn

=

0 stabil.

6. Lösungsverfahren. 6 l. Erste Orientierung und Methode der Polygonzüge. Ist das System y' (x) =

f

(x, y, z),

z' (x)

= g (x,

y, z)

gegeben, so liegt das Richtllngsfeld im dreidimensionalen Raum und ist daher für eine erste Orientierung über die IKurven nicht geeignet. Man mllß hier für eine erste Orientierung von Anfang an die Methode der Polygonzüge benutzen und dann dabei so vorgehcn: Soll die durch den Punkt ~, 17, ( gehende IKurve gezeichnet werden, so legt man für die x, y-Ebene und die x, z-Ebene getrennte Zeichnungen an und berechnet aus den DGlen p(~) = y'(~) =f(~,'Y},() und g(n = z'(~) = g(~,17,')' In der x, y-Ebene geht man nun vom Punkt ~, 'Y} in der Richtung des Linienelements ~,'Y}, p(~) ein Stück weiter, etwa bis zu dem Punkt ;1' 'Yjl und ebenso in der x, z-Ebene vom Punkt ~" ein Stück in der Richtung des ') Vgl. z. B. Gaursat, Cours d' Analyse IH, S. 28ff. Paincare, Acta Math. 13 (1890) 1- 270, Kap. I; Mecanique celeste. P. Bahl, Journal für Math. 127 (1~J04) ] 79- 276; Bulletin Soc. Math France 38 (1910) 5-138. A. Liapounoff, Annales Toulousc (2) 9 (1907) 203-475 E. Cotton, Bulletin Soc. Math. France 38 (1910) 144-154; Annalt,s Ecole Norm. (3) 28 (1911) 473-521. O. Perron, Math. Zeitschrift 32 (1930) 703-728. F. Lettenrne.lJer, Sitzungsberichte München 1929, S.201-252. Ein Teil dics('r Arbeiten bezieht sich auf die spezielleren "dynamischen Systeme" (vgl. 7' I). z) O. Perron, Math. Zeitschrift 29 (1!:J29) 129-160.

38

A. § 2. Systeme von allgemeinen expliziten Differentialgleichungen.

'1

zu ~, " q (~) gehörigen Linienelements bis zum Punkt ';1 ' '1' Für den Punkt ';1,'f/l' kann man nun die Richtungen P(';I) = Y'(~l), Q(';I) = Z'(';l) berechnen. In diesen Richtungen geht man in den beiden Ebenen von den Puruden ';1,171 und ';1' '1 ein Stück weiter bis zu Punkten ';2,112 und ';2' Für den Punkt ';2,112' '2 kann man wiederum die Richtungen aus der DGI berechnen, usw. Für den weiteren Ausbau des Verfahrens s. 31.1. Das Verfahren läßt sich auch bei mehr als zwei DGIen anwenden.

'2'

6·2. Das Iterationsvenahren vOn Picard-Lindelöf.

In dem Quader

(1)

(a und b dürfen ()() sein) mögen die Iv (x, Yl' ... , Y,.l stetig sein, Lipsehit.zBedingungen 5 (2) erfüllen, und es sei jedes Ifv I ;'S A. Um die durch den Punkt ';,111, ... , 1l n gehende IKurve des Systems 5 (1) zn erha,lten, setze man IPv,o(x) = 1)v(V = 1, ... , n) und definiere weiter die IPv,k(X) (I' = 1, ... , n) für k = 1, 2, ... nacheinander durch x

IPv,k(X)

= 'f/v

+ JIv(x, 1Pl,k-I(X)"", IPn,k-l(X)) dx,
0; p = 1, ... , n -1) ,

P. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1926, S. 287-307.

2) Ince, Ditt. Equations, S. 155f. Für schärfere Aussagen s. O. Perron, :Math.

Zeitschrift 31 (1930) 748-766. P. Lettenmeyer, Sitzullgsbcrichte ;\Iünch...n 1929, S.201-252. H. Schrnidt, ebenda 1931, S. 85-90. M. Pukuhora, JapallPsc Journal of. Math. 8 (1931) 17-29, 143-157.

62

A. § 3. Systeme VDn linearen Differentialgleichungen.

so gibt es ein Hauptsystem von Lösungen (p= 1, .. . ,n),

Yp, 1 (x), ... , Yp,n(X)

so daß Yp, q Yp,p

-)0

0 (q

4= p) und (y~, p -

jp)

Yp, p

ist; sind insbesondere die f p

0 für x

-)0

-)0

00

= ep konstant, so lautet die letzte Beziehung

1!k'J! Yp,'P

-)0

ep 1).

Allgemeiner lassen sich Aussagen ähnlicher Art auch über die Lösungen eines Systems

y;, =; machen, bei dem die

l; f n

f p, q

p , 'I

für x

(p

(x) Yq -)0

00

= 1, .. . ,n)

Grenzwerten zustreben 2).

12. Systeme, die von einem Parameter abhängen. 3) (a) Aus den letzten Zeilen von 5'4 folgt: In dem System n

(r)

Y~ (xl

= I} f p , q (x, e) Yq

(p= 1, .. . ,n)

q-l

sei 00

f p , q (x, e) = I} gp,q, .(x) e

(2)

V

.-0

dabei sollen die gp, q,' (x) im Intervall a zwei positive Konstanten G, r die UnGlen

s

I gp, q" (x) I 1)

ist; es gibt sogar n linear unabhängige Lösungen dieser Art. Gilt statt (3) schärfer

>

RIl(x)

RI2(x)

> ... >

RIn(x) ,

so gibt es ein Hauptsystem von Lösungen

Yk,l (x, e), ... , Y/c, n (x, e) so daß die Yk.

p

die Gestalt

,1ft. p

= wie,

(x) exp

p

(k

=

1, ... , n) ,

e [f IIc (x) dx + "Pie (x, e)]

mit wie k =' 1 haben und dabei (4) mit lPk' w k , p P =t= k statt "P, w p ' P > 1 gilt.

(c) In dem System

+e L 11

y~(x) = (/" II'(x) Yp

(5)

m- 1

1

Yp. q (.c, C) Yq

(p

qd

=

1, ... , n)

seien m eine natürliche Zahl, die g". q (x, c) gleichmäßig für a < x;;S b durch a"ymptotische Entwicklungen

=

(6)

gp,q (x, e) ~ } ; !Pp,q.,,(x) C-' J'~O

für

(l

-'>

00

darstellb,tr, die

Ip

und

!pP. q.

v

beliebig oft differenzierbar.

Ist außerdem (p = 2, ... , n) , 1) Die Funktionen

f p ' gp, q

dürfen komplexe W l'rte ha ben; x und

[J

sind reell.

64

A. § 3. Syllteme von linea.ren Düferentia.lgleichungen.

so gibt es eine Lösung YI (x, e), ... , Y.. (x, e), für die gleichmäßig im Intervall a~x~b Yp(x) --

{exp e }7\,(X) e- p} E(Op,.(x) 'F' m

.-0

p~O

für e ~ 00 ist; dabei sind die rechts stehenden Ausdrücke so zu berechnen, daß sie das System (5) formal erfüllen; die bei der formalen Berechnung der h. und (01',' auftretenden Integrationskonstanten können beliebig gewählt werden, man erhält z. B. ho(x)

J fl(x) dx,

=

(01,0

=!= 0,

W 2,O

= ... = Wn,O =

O.

Gilt statt (7) schärfer Rfl(x}>Rfz(x»

(8)

.•• >Rf.. (x),

so gibt es ein Hauptsystem von Lösungen Yk,l (x, e), •.. , Yk,n (1:, e)

für das gleichmäßig in a ~ x

für

b

e -~ 00 ist, wobei wieder die obigen BemerkungeIi gelten, jetzt jedoch hk,o(x)

ist

~

(k = 1, ... , n),

Jfk(x} dx,

=

(Ou,o =!= 0,

(Ok,p,O = 0 für p =!= k

Ist m = 1, so kann in (7) llas Gleichheitszeichen zugelassen werden, wenn fl(x) =!= f p (x) für p =!= 1 und a ~ x ~ b ist. Ebenso kann in (8) das Gleichheitszeichen zugelassen werden, wenn fp(x) =!= f q (x)

für p=!=q und

a~x~b

ist.

13. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten. 13·1. Homogene Systeme l ). Es handelt sich jetzt um das System

(I)

Y~ =

apo 1

Yl

+ ... + a p ,

n

Yn

(p = 1, ... , n),

wo die apo q gegebene Konstante sind. Ein solches DGlsSystem wird auch d'Alembertsches System genannt. 1) VgL z. B. Karnke, DGIen, S. 179-193, DGIen I, S. 146-·156.

65

13. Lineare Systeme mit konsta.nten Koeffizienten.

Ist noms

80

eine reelle r·fache Nullstelle des charakteristischen Polya1,l- 8

(2)

a1.2 a 2,2 -

a2.1

a n •l

a1,n

8

a 2. n

a n .n - 8

a n,2

so gibt es r linear unabhängige Lösungen des Systems (1) von der Gestalt

(3)

Yl

= P h . 1 (x) e'ox, ... , Yn = P h , n (x) e'ox,

(h

=

1, ... , r)

wobei jedes P it • k ein Polynom höchstens (h - l)-ten Grades istl). Ist 8 0 eine nicht-reelle r-fache Nullstelle, so gilt dasselbe, wenn für die P h , k Polynome mit komplexen Koeffizienten zugelassen werden; die Aufspaltung der Funktionen (3) in Real- und Imaginärteil ergibt dann ein System von 2 r linear unabhängigen reellen Lösungen von (1). Wird in dieser Weise für jede reelle Nullstelle von (2) und bei nicht-reellen Nullstellen jeweils für eine der beiden konjugiert komplexen Nullstellen ein System linear unabhängiger Lösungen aufgestellt, so bilden diese Systeme zusammen ein Hauptsystem von Lösungen. Jede Lösung von (1) läßt sich also aus Lösungen der eingangs beschriebenen Art additiv zusammensetzen. Die Lösungen (3) findet man im allgemeinen am einfachsten, indem man mit dem Ansatz (3) in (1) hineingeht.

13·2. Allgemeinere Systeme.

Es sei das System

n

I} P.,Q(D) Y~(x)

(v

=f.(x)

=

1, ... , n)

Q=l

gegeben, wo D =

d~

ist und die p •. Q (u) Polynome mit konstanten Koeffi-

zienten sind. Nach 14 kann das System, falls in ihm Ableitungen höherer Ordnung vorkommen, in ein System übel'geführt werden, das nur Ableitungen erster Ordnung enthält. Läßt sich dieses weiter auf die Gestalt (1) bringen, wobei jetzt. allerdings auf der rechten Seite auch noeh "Störungsfunktionen" g, (x) auftreten können, so kann man das zugehörige homogene System nach 13'1 und dann weiter das unhomogene System nach 8'3 lösen. 1) Unter den Lösungen hefindet ,ich

al~() (h =

1) stets eine Lösung der Gestalt

uno wenn (2) n verschiedene Kulistellen 81' ... , 8 n hat, gibt es n linear unabhängige Lösungen der Gestalt Y.. ,l ~ C J"

1

eSvX ,

..• ,

Yv,n =

G'V,n

Bd. XVIII: Kam k e, Differentialgleichungen I.

eSIIX

(JI = 1, ... , n).

5

66

A. § 4. Allgemeine Differentialgleichungen n·ter Ordnung.

Einfacher ist jedoch vielfach folgendes Verfahren: Es sei P" p (u) die zu p.,p(u) gehörige Adjunkte in der Determinante L1(u) = Det,!Pv,e(u)l.

Da man mit Differentialausdrücken P(D) wie mit Polynomen P(u) rechnen kann, solange man sich auf Addition und Multiplikation beschränkt, müssen die Lösungen des Systems (4) auch den DGlen n

L1(D) Yv = l)P;., v(D) fJ. (x) "~I

genügen. Das sind DGlen von dem Typus 22·2 (3). Man kann daher nun sagen, von welcher Gestalt die Lösungen des Systems (4) sein müssen, und die Lösungen selbst finden, indern man mit dem entsprechenden Ansatz in das System (4) hineingeht. Dabei ist zu beachten, daß bei dem allgemeinen System (4), wie das Beispiel C 8'26 zeigt, Komplikationen auftreten können. Zur Anwendung der Laplace-Transformation in den Fällen 13.1 und 13.2 ~. Doetsch, Laplace-Transformation, S. 329-334. Vgl. auch 19'3.

§ 4. Allgemeine Differentialgleichungen n-ter OrdnunQ. 14. Die explizite Differentialgleichung y(n) = f(x, y, y', .•.• y(l.-I». Lösung, Integral der DGI (1)

y(n)

=f(x, y, y', ... , y(n-I»)

wird jede n-mal differenzierbare Funktion y = rp (x) genannt, welche die GI erfüllt. Die DGI ist offenbar gleichwertig mit dem aus n DGlen erster Ordnung für die Funktionen Yo(x), Yl (x), ... , y"-l (x) bestehenden DGlsSystem l )

y~ = YI'

y~ = Yz, ... , Y:-~ = Yn-l' Y;. -I = f(x, Yo, ?h, ... , Yn-l)'

Daher ergeben die Existenz- und Eindeutigkeitssätze sowie die Lösungsverfahren von § 2 unmittelbar entsprechende Tatsachen für die DGl (1). Hervorgehoben sei: Ist die Funktion f (x, Yo"'" Yn-l) in dem Gebiet IXn - n für mindestens ein v ist, für das h.(O) =!= 0 gilt. Weiterhin sollen immer nur solche v betrachtet werden, für die diese letzte UnGI gilt. Eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Lösung von der Gestalt

I:

00

y = x'

(23)

•

cA: x-A:

(co

=!= 0)

A:-O

ist, daß IX. - V ~ IXO für mindestens ein v ~ 1 ist. Diese Bedingung ist jedoch keine hinreichende, wie das Beispiel

x 2 y"+ax2 y'+by=0 zeigt, bei dem sich zwar die cA: berechnen la.ssen, aber die Reihe (23) divergiert. Notwendige Bedingungen dafür, daß eine Lösung in der Gestalt einer Thomeschen Normalreihe

y

I: 00

=

eP(X) x'

vorhanden ist, sind 2): IX. ist, IX. ~ IXn für ein 1;;;;; v schätzung •

1+ Mm

(P(x) Polynom vom Grad

Ci; x-A:

i;~0

O 1 1 gilt für den Grad p die Ab-

1X0

>

at.

--;;;;;p~l+ V

p)

IX. -

IX n

Max - - ;

l:;;..-XI o

X"

y(x) dx.

Durch partielle IntegratIOn ergibt sich: Wenn y(x) für x ~ 0 n·mal stetig differenzierbar ist und die note Ableitung y(n) die oben für y statt y(n) aus· gesprochenen Voraussetzungen erfüllt, also eine L·Transformierte hat, so ist die L·Transformierte der n·ten Ableitung 00

fe-xI y(n) (:t) dx

o

=

tn Y (t) -

I: t n-l

1t - / l -

1 y(pl(O) .

p-o

Math. Zeitschrift 8 (1920) 100-114; 21 (1924) 85- 95. VgI. Doetsch, Laplace.Transformation. H_ Droste, Die Lösung angewandter Differentialgleichungen mittels Laplacescher Transformation, Berlin 1939 = Neuere Rechenverfahren der Technik, Heft 1. K. W. Wagner, Operatorenrechnung nebst Anwendungen in Physik und Te 1 und K eine einfache geschlossene Kurve durch a ist, die x und 1 im Innern enthält (Fig. 19); ist x reell, so ist a > x Fig. lf) zu wählen; für die vorkommenden Potenzen sind die Hauptwerte zu nehmen. Ist /I eine natürliche Zahl, BO kann für K ein Kreis mit dem Mittelpunkt x gewählt werden, es muß dabei nur x =F ± 1 sein. Durch die Substitution

terhält man dann für

x = ei'P

Iare x I< ~ n

Vx 2 -

1

die Laplacesche Integraldarstellung.

I) Diese Funktionen p •• Q. sind natürlich andere als die vorher ebenso bezeichneten Funktionen.

99

19. Lösung der linearen Differentialgleichungen durch Integrale.

Die Legendresche

Funktion zweiter Art

Q,(X)l) ergibt sich so: Die t-Ebene wird längs

der reellen Halbachse t:::;; 1 aufgeschnitten, x möge in der aufgeschnittenen Ebene liegen. Fig. 20. Für K wird eine S-förmige Kurve gewählt, welche die Punkte -1 und 1 wie in Fig. 20 umschlingt, aber den Punkt x nicht mitumschlingt. Dann ist

+

Q. (x)

=

2- 1)' dt Kf 2V(1(x_t)V71

1 4:n:sinv:n:

für nicht.ganzzahliges v,

falls der Arcus der Zahlen x und x - t so gewählt wird, daß Iarc x I< n und arc (x - t) ~ arc x für t _ 0 ist; ferner ist

f

+1

Q (x) = _1_ v

2h1

(1 - t2 )' (X-t)Hl

dt für R v> - 1

'

-1

insbesondere also auch für natürliche Zahlen v. Vgl. hierzu Whittaker· Walson, Modern Analysis, S. 306fI., 316.

19·6. Lösung durch Doppelintegrale 2 ). Gibt es zu der DGI (II) einen partiellen DOperator M •. t = A (s, t)

ot + B (s, t) 8s + C (s, t) bt + D (s, t)

82

08

8

sowie zwei Funktionen K (x,

Lx K

8,

C

t) und K* (x, s, t) derart. daß

(x, s, t)

= M"

t

K* (;1',

S,

t)

ist, so ist y(x)

=

a

eine Lösung von (II), wenh (34)

M"t(w)

82

= 8sdt

d

IJ

ff

K* (x, s, t) "P (s, t) ds dt

c

1jJ

(A w) -

eine Lösung der DGI

as8 (B w) -

C

dt

(C w)

+D w = 0

ist, und wenn außerdem b, d

[M* (K*,

"P)J a, C

b

ä

d

b

f [(A K; + C K*) 'Pc: J ds +c f [(A K: + B K*) "PJa dt a.

b,d

-[AK*"PJ =0 a,c

für alle x ist. Das Auffinden der Funktion "P (s, t) wird erleichtert~ wenn (34) eine Lösung der Gestalt 1jJ = u(s) v(t) hat. 1) Siehe Fußnote 1 auf S. 98. 2) VgI. Ince, Dill. Equations, S. 1971f.

7·

100

A. § 5. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

Beispiel: Es sei die spezielle hypergeometrische DGl (vgl. C 2'249) (x 2

gegeben.

K*

1) y"

-

Hier kann =

K

=

gewählt werden.

exp (x

Y=

8t),

MB,t =

(8! + cx) (t ~ + ß) - 82E2

Eine Lösung von M, t(w) 'P

Für R IX> 0 und

+ (cx + ß + 1) X y' + cxß y = 0

= 8',,-1 tfJ - 1 exp (- {82 -

Hß >

J1

0000

o

= 0 ist

0

{t

0 ist daher

(1

8",-1 tfJ "T1

2)

1)

exp x 8 t - - s2 - - t 2 d8 dt 2

2

eine Lösung.

20. Verholten der Lösungen für große

~.

20·1. Polynome als Koeffizienten l ). Für die DGl

2: P n

(1)

v (x) y(v)

=

0

v-o sollen hier die Voraussetzungen von 19'2 gelten und die p. Polynome sein. Wird der Integrationsweg von Fig. 17 (S. 94) gewählt und ist (t - . ) ' =

It -. Ir ei ",

längs der auf. zulaufenden Halbgeraden, so gilt für die Lösung 19 (15) in dem Winkelraum 19 (19) die asymptotische Darstellung (vgl. S. 18, Fußnote 1) (2)

y(x) ~ 2n i eU

2: r(-r-v) c. x- r- v00

1

.-0

indem Sinne, daß nach beliebiger Wahl von N und Wahl eines geeigneten C für alle hinreichend großen Ix! des genannten Winkelraums die Un GI X e I y ()

-TZ

x

"1_;" 2:n:ic. -vi 00 durch Sv asymptotisch dargestellt wird, d. h. _ yv -

g (x);ce ( e v v

c.

v, + . . . + c., + Y.,m(X») + c----;-----;;nm

1

xm

mit lim Y. ",(x)

x--+oo

•

--->

0

isti). Dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden auf komplexe x und auf den Fall, daß das Polynom (3) mehrfache Nullstellen hat 2 ). Der Fall, in dem k = 0 und die

+ a.,l(x) + a.,2x (x) + ...

P _ a (x) ..

2

X

J'

mit periodischen Funktionen av , /J (x) gleicher Periode sind, ist von T. Carleman 3 ) behandelt worden. 20·3. Stetige Funktionen als Koeffizienten. n

y(n)

+ E Iv(x)

y(v)

=

In der DGl 0

v~o

seien die Koeffizienten Iv (x) für x ~ X o stetig, und für x ---> 00 sei Iv (x) ---> a v ; ferner seien el' ... , en die n Nullstellen des charakteristischen Polynoms

en + a n _ en - + ... + a o . Sind rl ' . . . , T. die verschiedenen Realteile der e. und gibt es (in ihrer Viell

fachheit gezählt) ev Zahlen

ep

l

mit übereinstimmendem Realteil R ep

=

T,.,

1) J. Horn, Acta Math. 24 (1901) 289-308. 2) W. Sternberg, Math. Annalen 81 (1920) 119-186. J. Horn, Journal für Math.

133 (1908) 16- 67. C. E. Love, Annals vf Math. (2) 15 (1913-14) 145-156. W. J. Trjitzinsky, Acta Math. 62 (1934) 167-226; Transactions Americ. Math. 80c. 37

(1935) 80-146. 3) Acta ~ath. 43 (1922) 319-336.

102

A. § 5. Lineare Differentialgleichungen n·ter Ordnung.

so hat die DGl ein Hauptsystem von Lösungen Yl' ... , Yn , die so in 8 Klassen zerfallen, daß für die ev linear unabhängigen Lösungen der voten Klasse bei beliebigem e > 0

E n

e-(T.+ und f beschränkt, so hat jede eigentliche Lösung unendlich viele Nullstellen oder strebt gegen 0 für x ~oo.

21. Genäherte Darstellung der Lösungen von Differentialgleichungen, die von einem Parameter abhängen. 21·1.

yen)

+

E f/ 'I-I

-0

('I-v)

I. (~, (!) y(v) =0. 3 )

gesetzt: k ist eine natürliche Zahl,

Über diese DGl wird voraus-

e ein reeller Parameter; die f. sind stetig

1) 0_ Perron, Journal für Math. 143 (1913) 25- 50, insbes. S. 46; 142 (1913) 254-270; insbes. S. 267; Math. Zeitschrift 1 (1918) 27-43. Vgl. auch F. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1929, S. 201- 252. L. Ce8ari, Annali Pisa (2) 9 (1940) fase. III/IV, S. 1-24. 2) W. B. Fite, Transactions Americ. Math. Soc. 19 (1918) 344- 350. Für ähnliche Sätze bei allgemeineren _DGlen s. A. Kne8er, Math. Annalen 42 (1893) 421ft 3) O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1919, 6. Abhandlung, S. 22- 25. Vgl. auch 12 und O. Perron, Sitzungsberichte Heid~lberg 1918, 13. und 15. Abhandlung, S. 26ft bzw. S. 26-30. W. J. Trjitzin87cy, Acta Math. 67 (1936) 1-60.

21.

DiHerentialgleichungen, die von einem Parameter abhängen.

und haben für

103

e ~ 00 die asymptotische Darstellung f. (x, e)

00

-

E a., p(x) e-' , 1'=0 und zwar gleichmäßig für a;:;;; x ~ b, die a.,1'(x) sind beliebig oft diffe-

renzierbar; die 11, Lösungen von wn

+ an_I, o(X) w n - + ... + ao,o(x) = 1

0

sind verschieden, lassen sich also zu 11, Funktionen w 1 (x), ... , w n (x) zusammenfassen, die beliebig oft differenzierbar smd. (a) Ist außetdem bei geeigneter Numerierung der w. Rwn(x)

>

für p=O, 1, ... , 11,-1,

Rwp(x)

so hat die DGl Lösungen y(x), die eine asymptotische Entwicklung y(x) -

{exp

,,~lg,,(X) e,t-,,} l30 97q (x) e-"

haben, unu deren Ableitungen y', ... , y(1I-l) asymptotisch gleich den Ausdrücken sind, die aus dem obigen durch formale Differentiation entstehen. Für jede Lösung, deren Anfangswerte y(a), ... , y(n-l)(a) den betreffenden Reihen asymptotisch gleich sind, gelten die obigen Darstellungen gleichmäßig für a:::;; x ::::; b. (b) 1st sogar so hat die DGl 11, Lösungen y.(x) ('11 = 1, ... , 11,), so daß (r)

y.(x) -

/d

,t-l } {exp/d g.,,,(x)e"-"

00

97.,q(X)e- q

mit geeigneten Funktionen Y"'" 97.,'1 gilt und die Ableitungen y~, ... , y~n-l) wieder den durch formale Differentiation entstehenden Reihen asymptotisch gleich sind. Die Y"" und 97., q sind so zu bestimmen, daß die rechten Seiten von (r) die DGl formal erfüllen.

21·2.

n

E f. (x, Q) y(.) = 0.

Es sei e ein komplexer Parameter und

1)

.-0

f. (x, e)

00

=

E a.," (x) e-'-" ,t-o

konvergent und beschränkt für a< x;:;;;b, lei:;::: R; die a.," (x) seien beliebig oft differenzierbar. Weiter seien an, 0 =f= 0 und die 11, Lösungen von

.

Ea.,o(x)w· .=0

=

0

1) G. D. BirkhoJf, Transactions Americ. Math. Soc. 9 (1908) 219-231.

104

A. § 5. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

voneinander verschieden, so daß sie sich zu n Funktionen W 1 (x), ... , W n (x) zusammenfassen lassen, die beliebig oft differenzierbar sind. Schließlich sei bei geeigneter Numerierung der w.

Re w. (x) < R ew.+ 1 (x) + e

für alle

e eines

1, ... , n-1)

(e~O; l'=

Sektors eo) ~ '{J

IX:::;; arc (e -

S:

der komplexen e-Ebene. Dann gibt es bei gegebenem m ~ 1 für alle großem absolutem Betrage ein Hauptsystem

e aus

S mit hinreichend

Y1 (x, e), ... , y" (x, e)

von Lösungen der DGI, das folgende Eigenscha.ften hat: jedes Y. (x, e) ist nach I! in S beliebig oft differenzierbar, und es ist für p = 0, 1, : .. , n·- 1

=

y~p) (x, e)

(2)

U~P) tx, e)

+

eefJ.(x).

E m~p;

e

dabei bezieht sich die Differentiation auf die Veränderliche x; ferner ist Q. (x) U.

=

x

f w. (t) dt; a

(x, e) eine Funktion der Gestalt U.

(x,

e) =

m-1 egfJ.(X)

E uv ..dx) e- k

k-O

mit beliebig oft differenzierbaren u•. dx) und uv• o 4= 0; E p = EI' (x, e, m) eine Funktion, die für a ~ x 0 sind die Lösungen y = y(x) gerade die Lösungen Y(t) mit t = log x der DGl mit konstanten Koeffizienten n

I: a. D (D -

1) ... (D - v

• =0

+ 1) Y =

f

(e t ) ,

D

= ~.

Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 26lf.

I:" A. (a x + br y(V) = f(x) .

(b)

.=0

Für y(x) =

'YJ (~), ~

=

a x

+ b entsteht

der Typus (a).

22·4 .. Lineare Funktionen als Koeffizienteni). Die Laplacesche DGl

I:" (a. x + b.)

y(')

= c

.=0

ist von dem Typus 19'2. Für die dortige Funktion cp(t) ergibt sich hier cp (t)

=

f

P~t) exp ~ dt

mit n

P(t) =

I: a. t

n

V

,

v=O

Daher ist y

=

Q(t) =

I: b. t' . ,=0

Kf P~tj exp (xt + f~~tl) dt) dt

eine Lösung der DGI, wenn K

f~e

xt

P(t) cp(t) dt = c

Hat K die Endpunkte oe, ß, so lautet diese GI [e X1 P(t) cp(t)]! = c, wobei die Wertänderung der Funktion evtl. auf der zu cp (t) gehörigen Riemannschen Fläche zu verfolgen ist. Für den allein interessanten Fall n ~ 2 ist auch die Methode (E) von 19'2 anwendbar.

ist.

22·5. Polynome als Koeffizienten und als Lösungen 2). (a) In

+ ... + PI (X) y" + (al x + bl ) y' + (aOx + bol y = 0 seien die p. Polynome vom Grad:;;;; '/I, Iao I + Ibo I =l= O. Die DGI hat genau (6)

P"_I(X)

y(n)

dann ein Polynom vom Grad m als Lösung, wenn ao = 0, bo = - rn a 1 , 1) Vgl. Forsyth-Jacobsthul. DGlen, S. 260ff.

2) A. Mambriani, Bolletino Unione Mat. Italiana 17 (1938) 26-32. Vgl. auch

18·6 (b), insbes. für den obigen Teil (b).

22.

109

Einige besondere Typen von linearen Differentialgleichungen.

a l =!= 0 ist. Ein solches Polynom ist

y= mit D

t (- ~)J' a1

.I;~O

=

di:...-, I x' x

=

[x m I x- m - 1 (P n - 1 D n x'+ 1 für v v+ 1

=!= - 1.

+ ... + PI 1)2 + b1 D)t

Xm

Alle andern Polynomlösungen

unterscheiden sich von der obigen nur um konstante Faktoren, insbes. gibt es auch keine Polynomlösungen anderen Grades. Für die Laplacesche DGI 22·4 mit bo =!= 0 folgt hieraus z. B., daß sie nicht zwei linear unabhängige Polynomlösungen haben kann. (b) Sind in [an x n Pn_d x )] y(n) [al x Po(x) J y' ao y = 0

+

+ ... +

+

+

die p. wieder Polynome vom Grad;;;;:; v und ist ao =F 0, so hat die DG! genau dann ein Polynom als Lösung, wenn n

g{m).-

E (':) v!

.-0

a. = 0

für eine ganze Zahl m ~ 0 ist. Ist m die kleinste derartige Zahl, so gibt es eine Polynom lösung des Grades m und keine geringeren Grades.

22·6. Pochhammers DiHerentil1lgleichung 1 ). Diese lautet

E (- 1)' (k + ~ =; - 1) n

p(n-.) y(')

.~O

+ E (- Ir (k! ~--; ~11) n-l

Q(n-.-l) y(')

=

0,

.~O

wo P(x), Q(x) Polynome vom Grad;;;;:; n bzw. ;;;;:; n - 1 sind. Die DGl ist vom Typus r9·5 (27). Naeh dem dortigen Verfahren ist (7)

y

=

K

J {t _xl'n-l Cf (tl dt

mit

(8)

t -- _1_ Cf () - P (t) exp

J

Q (t) P (t) dt

eine Lösung, wenn (g)

ist. Um (9) zu erfüllen, wird man für K entweder eine geschlossene Kurve oder eine solche offene Kurve wählen, daß (ro)

[ .. ] =

(t -

x)k P(t) rp(t)

in den Endpunkten verschwindet. Im allgemeinen ist die erste Waul zweckmäßig, wenn P den Grad n und n verschiedene Nullstellen hat; 1) Vgl. L. Pochhammer, Math. Annalen 35 (1890) 470-626; 37 (1890) 500-543. Ince, Dill. Equations, S. 464-460. Ferner auch 19·5.

110

A. § 5. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

schließt man jede Nullstelle durch eine Kurve Kein, RO wird man gerade n linear unabhängige Lösungen erhalten können. Hat P nicht die genannte Eigenschaft, so sind Kurven der zweiten Art zur Ergänzung heranzuziehen. Im einzelnen ist folgendermaßen zu verfahren: (A) Es seien

Tl' . . . , T II,

(m:;;;; n) die verschiedenen Nullstellen von P(t),

also

2)

e'x;,

{j;

=

(J.

e1 - ' e[(l-Pl'l" X.Ji} ,

wo T(t) in einer gewissen Umgebung von T regulär und =l= 1[.. ] I- 0 oder - 00 für e - 0, je nachdem

'P ist (14)

cos [(1 - h) tp

+ Xh] < °oder > 0

°ist. Bci festem

ist. Für O;;;;;tp < 2n gibt es 2(h-1) Sektoren, in denen (14) abwechselnde Vorzeichen hat; in den Sektoren mit ungerader elf Nummer sei (I4) negativ. Ist nun K eine einfache Kurve, die wie in Fig. 22 in dem Gebiet I 1 Il III verläuft und deren Enden mit Tangenten in T einmünden, die innerhalb der Sektoren 1 bzw. Il !liegen, so ist (9) erfüllt und (7) VI eine Lösung der DGI. Indem man Kinnerhalb anderer Sektoren ungerader Nummer in T einmünden läßt, erhält man weitere Lösungen, jeFig.22. doch höchstens k - 1 linear unabhängige. (D) Hat pet) keinen größeren Grad als Q(t), so ist

+ +

(Il b)

Q(t) =

pet)

1: + .-1 bJ-1 + i:~ .-1 t - -r.

U(t) ,

112

5. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

A. §

wo g;;;; 1, bg =1= 0 und U eine Summe von Gliedern -_c-A mit Ä ~ 2 ist. (t - T.)

Wird

t

b e e''i' --"v =

=

-

.

G e'x.

•

gesetzt, so ist in (10) m

g

;rf eV(t) JJ (t -

(t -

[ .. ] =

0 die Funktionen I (x, y, z, Ä) und F (x, y, z) stetig in dem Bereich (4)

O(~) 1] =

0 mit ct>(~)

=

f

+ f g u4•

(f U')' u 3

Ist u(x) speziell die in (e) eingeführte Funktion r(x), so entsteht die DGI 1]"

+ 1] =

O.

Vgl. G. Ascoli, Atti Accad. Lincei (6) 22 (1935) 234-243. E. Swift, Americ. Journal Math. 50 (1928) 591-612; dort werden vor allem kanonische Formen der DGI für den Fall periodischt'r Koeffizienten untersucht.

25·3. Kettenbrnchentwicklungen für Lösungen. =F 0, so kann die DGI in der Gestalt

h(x)

y

= Qo(x) y' + Pi (x)

Ist in der DGl (r)

y"

geschrieben werden. Sind Qo und Pi beliebig oft differenzierbar, so erhält man durch wiederholte Differentiation

Y'

= Q1 Y"

allgemein y(v) = Qv

y(v+l)

+ P2 "Y ,

+ Pv

+

I

y(v+

.

mIt

2)

mit

+

P~

QV-I

+

Q _ Qo 1-

Qv

1-Q~'

P,

P 2=1_Q~'

P~

1- Q~-l '

falls die auftretenden Nenner =F 0 sind. Aus der ursprünglichen DGI erhält man y

,y"

--Q-->-Py' 0 I 1 y' ,

mit der nächsten GI weitf'r y

Y'

=

Qo

+

P,

Q,

+

y'" , 1'2-;; y

usw.; schließlich den Kettenbruch _ y __ Q

y'

0

+ _1'11 + I Q,

1'2

IQ2

1'31 + IQ-a + ....

Im Einzelfalle bleibt noch zu untersuchen, ob der Kettf'nbrueh kOllyergiert.

124

A. § 6. DifJerentia.igleichungen zweiter Ordnung.

Hat man auf diese Weise!L und damit auch '!{ gefunden, so kann man durch y' y Integration des letzten Ausdrucks eine Lösungy erhalten l ). Speziell für die hypergeometrischen Funktionen (s. C 2.260) besteht die Kettenbruchentwicklung F(a.,ß+l.y+l.x) = F (a.. ß. 1'. x)

J..I + 11

a1xl""+ aaxl I1

I1

+ ...

mit (ß + 1/) (a. - I' - 1/) a 2 v = .,-(1'''-+--'-,,2'-,,'---'-01 )'-(":'-1'-+:-;;:2--:1/) ,

(a. + 1/) (ß - I' - 1/)

= (-:-1''--+-:-';;2:-1/7-) 1'-+-:-';;2:-1/--:+:-':-:1) (Perron, a. a. 0., S. 347), und diese konvergiert in der von + 1 bis + a 2 >+ 1

'!-(

00

aufgeschnittenen komplexen x-Ebene mit Ausschluß der Nullstellen von F (IX, p, y, x) 2).

26·4. Allgemeines über die Nullstellen der Lösungen. Trennungssätze. (a) Da die IKurve durch Anfangswert von Funktion und Ableitung bestimmt ist, gilt: Keine IKurve von (1) außer y 0 berührt die x-Achse oder hat in einem endlichen abgeschlossenen Intervall unendlich viele Nullstellen. (b) Es seien Yl (x), Y2(X) zwei linear unabhängige Lösungen von (1) und Xl < x 2 zwei aufeinander folgende Nullstellen von Yl' Da die Wronskisehe Determinante Yl Y~ - Y~ Y2 =f: 0 ist, ist Y2(X 1 ) =f: 0 und Y2(x 2 ) =1= O. Wäre Y2 =f: 0 für Xl < X < x z ' so wäre nach dem Satz von Rolle an mindestens einer Stelle dieses Intervalls

=

-d -Yl -_ 0 , d -.I; Ya

a Iso YI Y2I -

YlI Y2

-

~

0,

was wegen der linearen Unabhängigkeit von Yl' Y2 nicht der Fall sein kann. Daher hat Y2 mindestens eine Nullstelle im Intervall (Xl' x 2 ). Da Yl und Y2 ihre Rollen tauschen können, ergibt sich der Trennungssatz: Ist Yl(X), Y2(X) ein Hauptsystem von Lösungen der DGI (1), so liegt zwischen je zwei aufeinander folgenden ~ullstellen (wenn es solche gibt) der einen Funktion genau eine Nullstelle der andern Funktion. Weiter gilt für jede eigentliche Lösung Y (x) folgendes: 1st h =F 0 (neben f =F 0), so trennen die NullstelIen von y und y' sich wechselseitig. Ist h =F 0 und ha + 11 g' - g h' =F 0, so gilt dasselbe für die Nullstellen von y' und y" und, wenn g =F 0 und h2 + h g' - g h' =F 0 ist, auch für die Nullstellen von y und y". Vgl. 1) Zu diesem von L. EuTer herrührenden Verfahren und zur Konvergenzfrage s. Perron, Kettenbrüche, § 80. 2) Vgl. hierzu auch E. L. !nce, Proceedings Edinburgh Ma.th. 80c. 34 (1916)

146-154.

125

25. Homogene lineare DilIerentia.lglelChungen zweiter Ordnung.

hierzu E. Kamke, Mathematica ]5 (1939) 201-203 1 ); dort sind auch Trennungssätze für Systeme von zwei linearen DGlen erster Ordnung angegeben. C. O. Oakley behandelt im American Journal Math. 52 (1930) 659-672 die DGI

y" +fd x ) y'

+ !lt(x) y +fz(x) iy' + !lz(x) Iyl =

h(x).

25·5. Nullstellen und Oszillation der Lösungen in einem endlichen IntervalP). Die DGI wird in der selbstadjungierten Fonn (s. 24.1)

+

(r4) (/Y')' gy = 0 betrachtet, wobei 1 stetig differenzierbar und > 0, g stetig sein soll für a< x~b. (a) &urms erster VergleicMsatz: Ist Y. (x) eine eigentliche Lösung der DGl

(I.Y')'

(19)

und ist

+ g. Y,= 0

(v = 1,2)

11 -;;;:;,12 > 0, Yl ~ g2 ' so liegt zwischen je zwei aufeinander folgenden Nullstellen mindestens eine Nullstelle von Y2 oder es Ült Yz = C Yl in in keinem Teilintervall zugleich

von YI x 2 ). Ist

Xl' X 2 (Xl'

11 ==12' und gl = gz, so liegt im Innern von ntialgleichungen zweiter Ordnung.

T. Fort, Bulletin Americ. Math. Soc. 24 (1918) :130- 335, hat Vl'rglt'ichssätze unter allgemeineren Voraussetzungen aufgestellt und die };ullstellt:" Yon Ausdrücken (((x) y.(x) ß(x) y;(x) betrachtet; vgl. hierzu auch H. J. / 0 oder C2 > Cl' lAll + IA 2 1 > 0 an mindestens einer Stelle des Intervalls a ~ x ~ bist.

+

Hieraus folgt als Sonderfall für Systeme (22)

y' = p.(x) Y

+ Q.(x) z, O,

z' = R.(x) Y

+ S.(x) z:

und

R 2 -;;;,Rl

P 2 --S2 =P I - S1 ,

,

weiter y.(x), z.(x) eine eigentliche Lösung von (22) sowie entweder Yl (a) oder

=

0

Yl (a) =+= 0,

Y2(a)

Zl

=l= 0,

(a)

>

Z2

(a)

Yl(a) = Y2(a)'

Dann gilt

Erster Vergleichssatz: Y2(X) hat in a < x ~ b mindestens ebenso viel!' Nullstellen wie YI(X); sind x n ' xn die noten Nullstellen von Yl' Y2' so j:;t x" ~ .Ln; es ist sogar x" < x", wenn an mindestens einer Stelle des Intervalls a::S:: x ~ x n Q2 > Ql lod!' R2 < R I

f

(23)

lind

I Rli

+ I R21> 0

j:;t.

Zweiter J'erg{(·ichssatz: Wenn Yl und Y2 gleichviel Nullstellen im Intervall a < x< b haben, wenn YI (b) =l= 0, Y2(b) =+= 0 ist lind an mindestens einer Stelle des Intervalls a;:;;; x ~ b die Voraussetzung (23) gilt., so i:;t zl(b) ,

=2((,i

Yd b) --> Y2 (b) .

Für p. = S •.

=

0, Qv =

J]~' R v =

- Yv ist hierin der Satz (a.) enthalten.

Da man von den DGlen (14) und (1) noch auf mannigfache Art zu einem System (9) übergehen kann (vgl. 25'2 (c»). können aus den obigen bei den

128

A. § 6. Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Vergleichssätzen für Systeme leicht noch weitere Vergleichssätze für die DGlen (14) oder (1) abgeleitet werden. Z. B. die Sätze von a. Cimmino, Rendiconti Sem. Mat. Roma (4) 1 (1936) 31ft oder auch die folgende Verschärfung von (a):

(d) Ist

y.{x) eine eigentliche Lösung der DGI

(I. y')' + gv y =

(19)

und

11 "?;. 12 >

0

0,

(v

=

1, 2)

gl;? g2

sowie entweder Yl (a) = 0 oder

Yl(a)

fd a ) y:.(a.) ~ fata) y;(a) Ydal Ya(al ' ~n von Y!' '!h in dem Intervall a

=F 0, Y2(a) =F 0

so gilt für die n·ten Nullstellcn x n ' die VnGl ~p;;;; x n ' Hieraus folgt, wenn für (14) die VergleichsDGl

K 1/' -k y

=

< x -::: b

0

gewählt wird: ( .. ) Ist I"?;. K > 0, - g ;;; k > 0 und ist Y (x) eine Lösung von (14) mit. den Anfangswerten y(a) = rJ., y' (a) = ß ([ Cl I IßI> 0), so hat diese Lösung in dem Intervall a < x;;;; b keine Nullstelle, wenn rJ.. = 0 oder rJ. =F 0,

+

!(a)

ß> CL

Vk K

isti).

25·6. Verhalten der Lösungen für ~ -+ (x). Sätze sind zum großen Teil nur für die DGI

y"

(24)

+ !(x) y =

0

(I stetig

Die hierauf bezüglichen

für x"?;. a)

formuliert. Das ist keine erhebliche Beschränkung der Allgemeinheit, da sich die DGl (1) mteh 25'1 (d) stetb in die obige Gestalt bringen läßt, wenn nur das dortige Y/! stetig differenzierbar ist.

(a)

I< (\

Aus 25'5 (b) folgt unmittelbar, daß jede eigentliche Lösung eine Null~t.elle hat, also =F 0 für alle hinreichend großen x ist. Weitere derartige Sätze kann man auf Grund der Bemerkung am Ende v- 00,

v;

x

W. E. Milne, Transactions Americ. Math. 80c. 30 (1928) ?97-802.

(c) f::;;;

> O.

Dann hat jede eigentliche Lösung y(x) nebst ihrer Ableitung unendlich viele Nullstellen, d. h. jede Lösung oszilliert unendlich oft; die Längen der Oszillationsintervalle, d. h. die Abstände aufeinander folgender Nullstellen bleiben beschränktI). Ist fix) -+ (1.2 > 0 für x -+ 00 und nimmt fix) monoton zu oder ist log fix) von beschränkter Schwankung für a ~ x < 00, so streben die (1.2

Längen der Oszillationsintervalle gegen ~.

Sind '7",

r,: die Amplituden

von y, y', d. h. die Maxima von Iy I, Iy' i in den Intervallen zwülChen aufeinanderfolgenden Nullstellen, so existieren 1] = lim 1]n und 1/ = lim 1]~, und es 1/ = (1.1/. Die Lösungen von (24) verhalten sich also für große x ähnlich wie die Lösungen von y" a.2 y = 02 ). Für jede eigentliche Lösung von (24) gilt

+

lim y(x) = 0,

lim

x-co

Z_OO

Iy(xJ.V fix) I > 0 ,

fallt! f' (x) vorhanden und > 0 sowie außerdem entweder fix) und f' (x) monoton abnimmt oder

f(x+_1_ ) (Nx)

j(x)

->- 00

ist

-d

ist und f' (x) monoton zunimmt (Monotonie jedesmal im weiteren Sinne)3). Eine Note von P. Fa/au, C. R. Paris 189 (1929) 967-969, nach der für jede Lösung von (24) y (x) und y' (x) beschränkt ist, wenn cx 2 S f (x) ~ ß' gilt, i~t nicht richtig; vgl. O. Perron, Nachrichten Göttingen 1930. 8. 28f. I) W. F. Osgood, Bulletin Americ. Math. 80c. 25 (1919) 216-221. M. Bier· nach, Prace mat.·fiz. 40 (1933) 163-171. Ist außerdem j differenzierbar und

existieren die folgenden Integrale,

EO

ist, wie man leicht sieht,

J Ijl dX) ~F(x) ~F(O) (J Ijl dX) +~

F(O) exp (-

für F(x) =fyi

+

-00

+~

exp

-00

y'2; R. Cacciopoli, Atti Accad. Lincei (6) 11 (1930) 201-204.

2) A. Kn€ser, ~Iath. Annalen 42(1893) 409-435; Journal f. Math. 116 (1896) 178-212; 117 (1897) 72-103; 120 (1899) 267-275. G . .ciscoli, Atti Accad. Lin· cei (6) 22 (1930) 234-243. Caligo, Bolletino Unione l\lat. Italiana (2) 3 (1941) 286-295.

') M. Biernacki, Prace mat.·fiz. 40 (1933) 163-171. Vgl. auch H. Milloux, ebenda. 41 (1934) 39-54 sowie S). A. Wiman, Acta Math. 66 (1936) 121-140. G. Sansone, Berzolari 8critti, 8. 380-403. Z. Butlewski, Mathemdtica 12 (1936) 36 -48. Vgl. ferner.23·4. Bd. XVIII: Kam k e. Differentialgleichungen I.

9

130

A. § 6. Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

(d) In y"

+ g. y' + h. y =

seien g.(x), h.(x) für alle x gl ;S;

(11 =

1, 2)

stetig, ferner sei

~a

g2

0

h1;S; h2

;S; 0 ,

h2

,

>

0.

Wenn für die DGI mit 11 = 1 jede eigentliche Lösung unendlich oft oszilliert, so gilt dasselbe für jede eigentliche Lösung der DGI mit 11 = 2. 1 ) (e) y" g y' h y = 0;. dabei seien g(x) und h(x) stetig für x ~ a und außerdem g -r rx, h -r ß für x ->- 00. Lösungen der "charakteristischen GI" (i rx e ß = 0 seien Ist R e1 =f= R e2' so existi6rt für jede eigentliche Lösung

+

+

+

. 11m

(25)

x .....

CX)

+

y' (x)

--

y (x)

und hat einen der Werte el' e2' Ist R e1 = R Q2' so braucht der Limes nicht zu existieren, wie y" y = 0 zeigt; auch dann nicht, wenn Ql --~ Q2 ist, wie C 2'106 zeigt. Im Fall Ql = Q2 kann, wie die Transformation y = u(x) exp (!I x zeigt, l!i = Q2 = 0 angenommen werden, d. h. g ..... 0 und h ..... O. Ist überdies g;S; 0 und h;S; 0, so existiert wieder (25) und hat den Wert O.

+

O. Perron, Journal für Math. 142 (1913) 268f.; 8itzungsberiehte Heidelberg 1917, Abhandlung 9, G. Harnel, Math. Zeitschrift 1 (1918) 220- ~28. Vgl. au{"h F. H. 111.urray, Annals of Math. (2) 24 (1923) 69-88.

(I) Sind in (j V')'

(14)

+ gy =

0

! und g stetig differenzierbar, ! > 0, g > 0 und ist! g monoton, so nehmen für jede Lösung von (14) die Amplituden mit wachsendem x monoton ab oder zu, je nachdem! g zu- oder abnimmt. Denn wird für eine Lösung y (x)

+ Lj~)2

Y (x)

=

y2

Y'

_

(j g)'

gesetzt, so ist =

(.i)2 g

= y2 wenn y' = 0 ist. G. P6lya; vgl. G. Szegö, Orthogonal polynomials, S. 11,1. Art 8. auch BierT/acki und Milloux in Fußnote 3 auf 8. 129.

und Y

(g) y" und ist

+ [f(x) + }.] y= O.

Für Sätze dies{'r

Ist !(x) für x::? a stetig differenzierbar

1) W. B. Fite, Transactions Americ. Math. 80c. 19 (1918) 342f. Der Beweis scheint nicht lückenlos zu sein, k'lnn aber leicht vervollständigt werden.

25. Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

für x

->- 00,

131

so liegt

(Pl bedeutet eine beliebige zu Agehörige Lösung der DOl) für alle A~).o > 0 unter einer von A unabhängigen Schranke. Ist f(x) für x ~ a stetig und f(x) = O(x- k ) mit k> 1 für x ->- 00, so läßt sich für }. > 0 jede Lösung p(x) =$= 0 in der Gestalt

p = [>{x) sin [}. x + a(x)], p' = A (>(x) cos [A x + a(x)]

mit stetig differenzierbaren Funktionen (>(x), a(x) darstellen, und für passend gewählte Zahlen (>0 =+= 0 und ao ist (>(x) =

(>0

+0

t,;L) , =: a o + 0 (;t~1) . a

Courant-Hilbert, Methoden math. Physik I, S. 286ff.

25·7. Differentialgleichungen mit singulären Stellen.

f2 (x) y"

+ fl (x) y' + fo(x) y =

Bei der DGI

0

sind jetzt für die Koeffizienten fv (x) meromorphe Funktionen zugelassen. Für die Begriffe reguläre, schwach singuläre und stark singuläre Stelle der DOl s. r8·I. Aus r8 ergibt sich weiter durch Spezialisierung auf die DOl zweiter Ordnung:

(a) Die DGl ist vom Fuchsschen Typus, wenn sie die Gestalt p2 y" + PQ y' + R y = 0 hat, wobei P

=

(x - all (x - a 2 )·

••

(x -

am )

mit lauter verschiedenen a. und Q, R Polynome vom Grad ~ 'In - 1 bzw. ~ 2 (m - 1) sind. Eine solche DGI hat einschließlich des Punktes 00 nur reguläre oder schwach singuläre Stellen.

(b)1)

(x -

~)2 fix)

y"

+ (x -~) g(x) y' + h(x) y =

0,

f,

g, h in einer Umgebung von x = ~ regulär, d. h. in Potenzreihen entwickelbar undf(~) =F O. Die Stelle ~ ist dann regulär oder schwach singulär. Die Gestalt der Lösungen in der Umgebung der Stelle ~ hängt von den Lösungen der charakteristischen Ol oder IndexGI

T (T -

l)f(~)

+ Tg(~) + h(~) =

0

ab. Die Numerierung der Lösungen Tl' T 2 sei dabei so gewählt, daß, wenn Tl - T 2 eine ganze Zahl ist, diese ~ 0 ist. Dann sind die Lösungen der 1) Außer der in 18·2 angegebenen Literatur vgl. auch Forsyth-Jacob8thal. DGlen, S. 162-163, 244-269, 684-597. Whittaker-Wat8on, Modern Analysis.

S. ]97-201.

132

A. § 6. Düferentialgleichungen zweiter Ordnung.

DGI Cl 111

+ O2 Y2'

((X)

und dabei ist Yl von der Gestalt

Yl

;t, E

CXJ

=

(x-

Et,

c. (x -

.~

ferner

;t· E c: (x -

c; = 1,

00

Y2 falls d

=

r1 -

=

(x -

;)",

.-0

r 2 keine ganze Zahl ist; 00

Y2 = yllog (x -~) für d

=

(Pa)

+ (x - u' E d. (x -

.-1

~r

0; Y2

= C yllog (x -~) + (x - H', (1 + J; d, (x -

.-1

.;r) ,

falls d eine ganze Zahl> 0 ist (hierbei kann c = 0 sein). Die Koeffizienten. von ((X) und (PI) bestimmt man, indem man mit dem Ansatz ((X), (Pl) in die DGI hineingeht. Auf die Funktionen (P2) und (Pa) führt der Ansatz y(x) = Yl(X) u(x) sowie die Methode von Frobenius (s. 18'2). Von dem Typus der hier behandelten DGl sind z. B. die Besselsche, Legendresche, hypergeometrische DGl.

X2/(H y" + x g (H y' + h (~) Y = 0,

(c)

I(x), g(x), h(x) sind in einer Umgebung von x = 0 regulär, 1(0)

Dann ist x

=

00

y(x) = 1J(E), ;

=F o.

regulär oder schwach singulär. Durch die Transformation

=

!.. wird

x

dieser Fall auf den Fall (b) zurückgeführt. Vgl.

auch 18'3.

I(x), g(x), h(x) sind in einer Umgebung von x = 0 regulär; 1(0) h(O) 0; g(x) 0 oder g(O) 0; a, b c ganze Zahlen.

+

+

==

+ 0,

UnGlen, in denen b vorkommt, brauchen im folgenden nur erfüllt zu sein, wenn g (0) 0 ist. Ist a;;:;; b 1 und a ~ c 2, so liegt der Typus (c) vor. Weiterhin sei daher a ~ b oder a S c + 1. Dann ist der Punkt 00 eine stark singuläre Stelle (vgl. dazu 18·S). Für das Vorhandensein einer Lösung der Gestalt

+

+

Y = x'

ECk xk-O

+

00

Ic

133

25. Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

ist notwendig, daß g(O) =4= 0, a;S; bund c;S; Min (a - 2, b - 1) ist. Für das Vorhandensein einer LOsung von der Gestalt einer Thomeschen Normalreihe y

=

I: 00

eP(:r) x'

C/c

x-J:

.1:=0

(P ein Polynom vom Grad p) ist notwendig, daß g(O)

oder

= 0,

c-

g(O)=f=O,

2 (p - 1) ;S; a;S; c

a;S;b,

+1

Min(c-b,C~a)::;;p-1;S;b-a

ist.

(e) Auch für den Fall reeller Veränderlicher sind ähnliche DGlen behandelt worden. Sind A, B Konstante, j(x) und g(x) stetig für a und existieren die Integrale b

b

J1jl dx, Ja (x a

< x;S; b

11

a) g dx

so läßt sich die DGl (x -

a)2 y"

+

[A (x -

a)

+ j(x) (x -

a)2] y'

+ [B + (x -

a)2 y(x)) y = 0

nach dem Iterationsverfahren lösen 1 ).

25·8. Näherungslösungen, insbesondere asymptotische Lösungen; reelle Veränderliche. (a)2) Es sei die DGI (26)

gegeben.

:Für den Sonderfall a o =

- 1, bo = b1 = 0 können in

die Koeffizienten c. nach und nach berechnet werden, wenn man mit diesem Amatz in die DGI hineingeht und die Koeffizienten gleichhoher Potenzen von x vergleicht. Die entstehende Reihe (27) divergiert im allgemeinen, liefert aber für die Lösung y(x), die für x ~ 00 gegen Co strebt, eine asymptotische Darstellung

1) M. BocheT, Transactions Americ. Math. 80c. 1 (1900) 40-52. vgl. auch 18'9.

2) Vgl. Ince, Diff. Equations, 8. 169ff.

134

A. § 6. Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

in dem Sinne, daß für jedes feste m und geeignet gewähltes A

I

y(x) -

i;~1 x 2 ' . . . (x. cl - X. = h > 0) eine Folge von Werten Yo' Yj' Y2"'" so daß Y. r:::: rp.(x) ist, indem Illan je nach dem gewünschten Näherungsgrad folgende Formeln benutzt, um nacheinander Yj' Y2' ... zu berechnen: ·Formel erster Ordnung: Y"~I -

Y.

=

hf(x" y.).

k2

=

hf(x.

Formeln zweiter Ordnung: k j = hf(x., Y.), YV+l -

Y.

1

= -:)

"

oder alH:h kj=hf(x.,y.), Y>+l -

(k j

+ h. +k

Y.

+k

j )

,

2)

k2=hf(xv+~h, Yv+~kj)' Y.

=

0· k1

+k

2 •

') Außer der am Anfang l5enannten Literatur ~. auch W. Kutta. Zeitschrift f. Math. Phys. 46 (1901) 435-453. H. Koch. über die praktische Anwendung der Runge-Kuttaschell Methode zur numerischen Integration von Differentialgleichungen; Diss. Göttingen 1909. Levy-Baggott, Numerical studies. S. 96-110. 2) Hier wird also vorausgesetzt, daß f (x, y) pine analytische Funktion ist.

142 A. § 8. Numerischc, graphische und maschinelle Integrationsverfahren. Formeln dritter Ordnung:

k2=hf(x.+~h, y.+~kl)'

k1=hf(x.,y.), ka = hf(x.

+ h,

Y. - k1 + 2 k 2 )

1

2 1 + ak2+ "6ka

Y.'l - Y. =(fk 1

,

oder auph k1 = hf(x., Y.),

k 2 = hf (x. + ~ h, Y.

( + a2h, Y. + 32) k

ka = hf x.

Y., 1 -

Y.

=

+ ~ k1 ) ,

2 '

1

3

4 k1 + 0 . k2 + "4 ka .

Formeln vierter Ordnung:

k2=hf(x.+~h, Y.+~kl)'

k1=hf(x.,y.), ka =

hf(x.+~h, Y.+~k2)' Y.. l

-

Y. =

1

-6 k1 +

k4 =hf(x.+h, y.+ka),

1

1

]

"3 k 2 +"3 ka +"6 k 4

oder auch

k}=hf(x,.,y.), 2 ka=hf ( x.+ah,

]

k 2 =hf ( x.+gh,

1 y.-ak1+k z) '

k4 =hf(x.+h, y.+k1 --k2 +ka),

133 YV+l - Y. = 8" k} 8" k2 8 1':3

+

1·

y'+ak1)'

+

1

+8 k

4 •

Es gibt noch andere derartige Formeln. Eine brauchbare } 0) genähert berechnet werden, so sind als vorbereitender Schritt für eine gewisse Anzahl von Stellen x o' xl' ••. , Xn (z. B. n = 3) hinreichend genaue Näherungswerte Yv für (I' (x.) zu berechnen (das soll möglichS't genau geschehen; über die Durchführung dieses vorbereitenden Schrittes s. 28·4 (a)). Ist dies geschehen, so berechnet man f. = f (x., Y.) für diese jI und stellt wie bei 28·2 das Interpolationspolynom P (x) auf, das für die letzten m (z. B. m = 4) der x. die Werte f. annimmt. Dieses Polynom wird integriert (z. B. zwischen x n und x n • l ) und so der Näherungswert Yntl für rwcndung die~es Verfahrens in dpr Praxis ist nichts bekannt.

29·5. Das Verfahren von Blaess 1). Für die gesuchte Lösung y (x) der DGl y" = 1 (x, y, y') seien die Anfangswerte Yo' y~ der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle X o gegeben. Die Funktionswerte y, = y (x,) mit den A blcitungen y~ = y' \x.), y~' = y" (x,) werden bei fester Schrittlänge h > 0 nacheinander berechnet, und zwar zunächst für v = 1, ... , 5. Aus der DGI erhält man mit den gegebenen Werten y~ =l(xo' Yo, y~). 1) V. Blae88, Zeitschrift VDr 81 (1937) 587-596. Vgl. auch R. Zurrnühl, Zeit· schrift f. angew. Math. Mech. 20 (1940) 104-109.

29. Numerische Integra.tion: Difierentialgleichungen höherer Ordnung.

153

Mit der Taylorschen Formel erhält man genähert

YI

+ rt Yo + h'2" Yo 1.

Yo

~

,

'I

,

und hiermit ",ieder aus der DGl y'{ . Indem man so fortfährt, erhält man die ersten Zeilen des folgenden Rechenschemas : 1. Y'o

Xo

Yo

Xl

YI = Yo + k'Y'r0 --r' 11,1 "2 Yo"

x2

Y2

xa

Ya = Y2 + k 112 + h; Y'2

=

YI +

k • + 11,1 " YI 2" YI

X..

y.. = Ya+ h?l'!a + 11,8 2Ya'1

x5

Ys =Y..

Korr.

~

kYz '

=Ys Ys

- + k -. Ys = Ys Y5

+ 2 . 2YO 11,1 "

11,2 'I = k YI'+2 . "2'!h h

' k y'_hy'+2' a2 "2 y"2

k?4=kY;+2'~ y'; h·

+ k ,+11,1 'I Y4 "2Y4

x5

X6

kYI ' = kYo '

ky'5 -ky'+2'-Y" 4 2 4

Ys

11,1

'I

11,2

'I

h2

"

"2 Yo

2 YI 11,2 '1 2 Y'" "2 Ya

~y'/ 2 4 11,1 y'/ 2

5

e=h~-hy~

+ 11,2_" 2Y5

"2 Y5

h.' k -. + 2 11,1 -'1 Y6 = Y5 '"2 Y5

h' 11 2 Ys

In

Ys ~ Y4 + h y~

ha -"

k Y5 -.

+

11,2 2

V';

ersetzt man die Funktionswerte und die Ableitungen erster Ordnung mit Hilfe der beiden mittleren Spalten der Tabelle durch die Werte an der Stelle X O ' Man erhält so (8)

Ys

~

' + h 2 (9 Yo" Yo + ()"h YO-jf

-L I

7 Yl"

+ ()- Y2"+ 3 Y3., +

Y4")

und, wenn für die zweiten Ableitungen die Taylorsche Formel h 2 y" = h 2 y"

2'

2!

0

+ 3)1 h3! y."0 +. 6)12 ~4! y(4) + 10 0 3

'1'3

11,5 y(5) 5!

0

(6) -r, 1-[) l'411,6 6! Yo

+ ...

aufgestellt wird und diese Werte in (8) eingetragen werden,

'Vs

~ Yo +

5h

y~ +

25

~2

y;J + 90 :: y;J' + 420 :: Y1l

+

die Punkte Po (a, y(a)) und A o (a h, y(a)) und trägt über x = a h die Ordinatenst·ücke A v-1 A v -- ,h"- yrv )( a ) (v ~ 1)

!I

+

v.

~--~----------~~r

a

a"1z

a.uf Weiter wird Po mit Al verbunden, der Mittelpunkt BI dieser Strecke mit A 2 , der Endpunkt B z des ersten Drittels von BI A 2 mit A a , der Endpunkt B'J des ersten Viertels von B 2 A a mit A 4 , usw. Die Strecken B V _ 1 A geben dann immer genauer die Tangentenrichtung im Punkt a h, y (a h) an. Hat man diesen Punkt und seine Tan- '" gentenrichtung mit hinreichender Genauigkeit gefunden, so wiederholt man das Verfahren mit diesem Punkt als Ausgangspunkt; usw. Auch der Krümmungskreis im Punkt Po \""'---------1 J10 kann leicht gezeichnet werden I). Man a+1z r braucht hierfür nur die Punkte Al' A 2 • a Durch A 2 (Fig. 54) wird die Parallele und Fig. 54. durch Al das Lot zu Po Al gezeichnet, der Schnittpunkt sei C. Dann wird durch Po das Lot zu POA I und durch Al das Lot zu BI C gezeitlhnet. Der Schnittpunkt 111 ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises für den Punkt Po' Fig. 53.

+

+

Für die Anwendung des Verfahrens bei Systemen von zwei DGlen

8.

Blae88 2 ).

31·9. Das Verfahren von E. Braun 3). DiE' unabhängige Veränderliche sei jetzt mit t bezeichnet, und es sei x" (t) =

f

(t, x, x')

die gegebene DGI. Wird x als unahhängige Veränderliche eingeführt und x' (t) ges,etzt, so nimmt die DGl die Gestalt

=

Y (x)

y'(x) = /(t, x, y) = ~ y y

(JO)

an, und für die Bogenlänge 8(1) der Kurve

z

(u)

=

3:(1),

Y = 11

(z(t»)

1) W. Meyer zur Ca pellen , Zeitschrift f. techno Phys. 11 (1930) 259f. 2) Sieh~

Fußnote 3 auf S. 177.

3) Schweizerische Bauzeitung 77 (1921) 117 --lHl.

Ingenieur·Archiv 8 (1937)

198-202. Das Verfahren ist für DGlen der Gestalt x" (I)

+ D(z') + R(x) =

F(t)

und insbesondere für das Wasserschloßproblem entwickelt, ist aber auch auf den obigen allgemeineren Fall anwendbar. Zu dem Verfahren vgl. 31'5.

179

32. Apparate zur Lösung von Differentialgleichungen. crgibt sich 8'(t) =

(12)

Vu 2 + y2.

Sind für eine IKurve die Anfangswerte Xo = x(to), Yo = x' (to) = y(x o) gegeben, so ist (vgl. Fig. 55) U o = f (to, xo ' Yo) die Subnormale Qo No des Punktes Po (xo • Yo) der gesuchten Kurve (1I), und nach (12) ist 8'(10) = Po No·

(13)

Fig. 56.

Fig. 55.

Da U o bekannt ist, wenn x{lo) und x' (t o) gegeben sind, kann die Normale gezeichnet werden, und nach (13) ist für einen hinreichend kleinen Kurvenbogen 118 P N ~At. o

0

Man berechnet nun den Krümmungsradius für die IKurve im Punkt Pu aus der DGI, der Krümmungsmittelpunkt sei Ko. Auf diesem Krümmungskreis geht man bis zu einem Punkt Pt. Für Pt wird die Normale entsprechend den vorangehenden Überlegungen konstruiert und für Pt als Krümmungsradiu8 versuchsweise der Abstand genommen, den der Schnittpunkt der beiden Normalen von PI hat. Dieser Krümmungsradius wird durch das Halbschrittverfahren günstiger (K'."rI in Fig. 56). Nötigenfalls wird der Krümmungsradius für Pt a.uch wieder aus der DGl berechnet. Hi.tt die DGI spc7.iell die in Fußnote 3 auf S. 178 angegebene Gestalt, so kann u leicht aus den KurvpnLildern der Punktionen F(t), R(x), D(x') entnolllmen werden. Für den Fall einer p 0, I'

n - 1 ;;:;; k1 ;;:;; k2

;;:;; ••• ;;:;;

k,. ;;:;; 0,

kV + 2

>

kv

ist (genormte Randbedingungen, normalized conditions). Für g(x) =F 0 wird eine Klasse von diesen Randbedingungen in folgender Weise herausgehoben: Die Lösungen der GI fn(x)w n

+ g(x) =

0

werden zu n stetigen Funktionen Wl (x), ... , W n (x) zusammengefaßt. Die Numerierung der W v kann so gewählt werden, daß für eine ganze Zahl l die UnGlen (JI = 1, ... , n -

1)

I} J. Tamarkine, Rendiconti Palermo 34 (1912) 378; für den Fall, daß j, einfache Nullstelle von LI (A) ist, ist der Beweis auch ausgeführt bei Ince, Diff. Equations, S. 259f. Vgl. auch W. W. Elliott, Amerie. Journal Math. 51 (1929) 397-,UG. 2) G. D. Birkhoff, Transactions Americ. Math. Soc. 9 (1908) 382f. J. Tama1'kine, Rendiconti Palermo 34 (1912) 358f!. Zu der Arbeit von Birkhoff, Transactions Americ. Math. Soc. 9 (1908) 219-231, die einen für die Untersuchung weBentlichen Hilfssatz enthält, vgl. einen Einwand von O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1919, Abhandlung 6, S. 25f. sowie J. Tamarkine, Math. Zeitschrift 27 (1928) 1-54.

2.

Rand· und Eigenwertaufgaben für l:f,(x) y{.)

für alle komplexen Zahlen

e eines

+ A. g(x) y =

f(x).

197

Sektors

ln :-::::;;arcn:-::::;;(l+l)~

n -

n

=0

v·mal stetig differenzierbar.

2.

Rand- und Eigenwertaufgaben für

1:!.(x) y(-) + Ä g(x) y = !(x). 201

Die selbstadjungierte Eigenwertaufgabe (2) soll normal heißen, wenn für jede Eigenfunktion tp(x) von (2)

j

b

g(x) Itp(x)12 dx

a

=F 0

ist 1). Bei jeder normalen selbstadjungierten Eigenwertaufgabe (2) mit reellen Koeffizienten I., g sind alle Eigenwerte reell; es ist Li (A) =1= 0, so daß es höchstens abzählbar unendlich viele Eigenwerte gibt und diese als eine evtl. abbrechende Folge

... ;;;;; L

2~

A_ 1

< )'1 ~ )'2 ~

.••

(A- 1 < 0, Al;;:-~ 0) geschrieben werden können; die Vielfachheit jedes Eigenwerts A* stimmt mit der Vielfachheit überein, die A* als Nullstelle von Li (}.) hat 2 ), die Greensche Resolvente r (x, ~,A) hat höchstens Pole erster Ordnung 3 ). Die selbstadjungierte Eigenwertaufgabe (2) ist sicher normal, wenn eine der folgenden drei Bedingungen erfüllt ist (vgl. hierzu auch 4'3):

(a) g(x) 2': 0 in a~ x -::-::: b (oder ständig g:S 0)4); (b) ), = 0 ist kcin Eigenwert und für jede (reelle) Funktion y(x), die n-mal stetig differenzierbar. ist und die RandbedingllIlgen von (2) erfüllt, ist b

jyL(y)dx?:::.O; a

(c) wird der selbstadjllngierte DAusdruck von (2) in der Gestalt L (y)

=

E [f. (x) 111

(fll' =F 0, n

y(v)],,)

=

2 m)

lI=U

gesehriebt'1l (vgl. hierzu A 17'5), so ist (-l),fv(x)~O

(öder stets

~

für." = 0, 1, .... m

0), jedoch fo(x) $ 0, und außerdem (vgl. A.17·6)

[R(y)]!

=

rn-l

EE

r ,0

p.q~r

(--l)P

(frl y(rfl)(q)

y(P)]~ ~

°

1) Hierzu und zu dem nächsten Abschnitt vgl. 4'3. E. Kamke, Math. Zeitschrift 46 (1940) 231ff. 2) :Für speziellere Voraussetzungen bei J. Tamarkine, Rendiconti Palermo 34 (1912) 379-381. 3) G. A. Bliss, Transactions Americ. Math. Soc. 28 (1926) 572 für Systeme von DGlen. ') Der zweite Fall geht in den ersten übt>r, wenn A, 9 durch - }., 9 ersetzt wird. Selbstverständlich iHt auch noch (s. 2· I) 9 $ 0 vorausgesetzt.

202

B. § 1. Ra.nd- u. Eigenwertaufga.ben bei einer Differentialgl. n-ter Ordnung.

(oder stets ;;S; 0) für jede Funktion y(x), die n-mal stetig differenzierbar ist und die Randbedingungen von (2) erfüllt; (c) ist ein Sonderfall von (b). ht z. B. m

=

1, also

L(y) = (/1 y')' + 10 y , ist R(y) = 11 Y y'. Die Eigenwt'rtaufgabe ist nach (c) also sicher normal und selbstadjungiert, wenn 11> 0, 10;;S; und =1= ist und wenn z. B. die Randbe· dingungen

°

80

°

oder y'(a) = y'(b) ~~ 0 oder oder 11(a) y(a) =fl(b) y(b), y'(a) = y'(b)

y(a) = y(b) = 0 y(a) = y'(b) = 0

gegeben sind.

Ist g(x) ~ 0, so können die Funktionen "P(x) des vollständigen Orthogonalsystems. so normiert werden, daß b

J g(x) lf'p(x) 1pq(x) dx =

ep,q

a

ist. Liegt der Fall (b) oder (c) ver, so ist A = 0 kein Eigenwert, und die Eigenfunktionen "Pp des vollständigen Orthogonalsystems können so normiert werden, daß

J g(x) 1pp(x) "Pq(x) dx = b

a

~

jTpT ep,q

ist. Das System der 'Pp wird dann ein vollständiges normiertes Ortho· gonalsystem (Orthonormalsystem), im zweiten Falle, wenn g sein Vorzeichen wechselt, d. h. nicht der Fall (al vorliegt, auch ein normiertes Polarsystem genannt. Ist }.o ein Eigenwert der Vielfachheit k und "PI (x), ... , V'.\: (x) ein zu diesem Eigenwert gehöriges Orthogonal system von Eigenfunktionen, so ist das Residuum der Greenschen Resolvente (x, ~,I,) an der Stelle 1'0

r

f; .

bVlp(X) 'I'p(;)

I g(x) 'f'~(x) dx

p~l

a

ist g(;r):;;;: 0 und wird das Orthogonal system normiert gewählt, so ist das Residuum k

E Vip (xl V'» (~) . p~l

Die Fourier-Koeffizienten einer integrierbaren Funktion F (x) (\'gl. lauten jetzt b

(r8)

CI'

=

.r g(x) F(or) 'f'p(x) dx

a

-"b------

;" y(x) 'f';(x) dx a

2· S)

Rand- und Eigenwertaufgaben für

2.

1: fv(x)

y(p)

ist das System deI 'ljJp normiert, so ist, falls g(x)

~

= j(x).

203

0 ist,

b

Jg(x)F(x)'ljJp(x)dx

=

Cl'

+ Ä g(x) y

a

und in den Fällen (b) und (c) •

b

I'I,p :P I aJ g(x) F(x) 'ljJp(x) dx.

cp =

Im Falle g ~ 0 besteht dann die leicht zu verifizierende Besselsche Identität ~

J lF(X)

a

E Cp'ljJ),(x) I g(x) dx N

-

~

2

p~l

=

J F2(x) g(x) dx -

a

E c~; N

)

p~l

a.us dieser folgt die Besselsche Ungleichung

E c; ~ JF2(X) g(x) dx N

b

a

p~l

E

für beliebiges N und daher die Konvergenz von c~. In den :Fällen (b) und (c) ergibt sich entsprechend für Funktionen F (x), die n-mal stetig differenzierbar sind und die Randbedingungen von (2) erfüllen, b

J (F + E c

a

p

b

!pp) L(F

+ Ecp'tpp) dx = aJ F L(F) dx - EIAplc;,

also b

E li. I c; ~ aI F L(F) dx, und daher konvergiert in diesem Falle E I I c; . p

AI)

2·7. Einschaltung über Fredholmsche Integralgleichungen. Lit.: Encyklopädie H 3 , S. ]335-1597. Pascal, Repertorium 1 3 , S. 1250 bis 1324. Hilbert, IGlen. Courant-Hilbert, Methoden rnath. Physik I, S. %-138. Frank - v . .'lEises, D· u. I Glell, S. 506 -589. Harnd,IGlen. Kawa/eu·ski. IGlen. G. Wiarda, Integralgleichungen, Lf'ipzig-Berlin 1930.

Die IGlen b

(20)

JK (x,;) y(;) d; == f(x) ,

a

(21)

y(x) =

J K (x,;) y(;) d; + fix) , b

a

in denen y(x) die gesuchte Funktion ist, heißen ]'redholmsche Integralgleichungen erster und zweiter Art [die gesuchte Funktion y(x) tritt einmal bzw_ zweimal auf]; (21) heißt homogen, wenn f= 0 ist. Aus den eingehenden und aufschlußreichen Unt'3rsuchungen über IGlen kann hier nur einiges wenige, unter Beschränkung auf die IGlen zweiter Art, mitgeteilt werden.

204

B. § 1. Rand· u. Eigenwenaufgaben bei einer Düferentialgl. n-ter Ordnung.

(8) Sind der Kern K

(x,~)

und I(x) für a:::;; x,

~~

b stetig und ist

J J K2(x,~)dx~ 0, so läßt sich jede n-mal stetig differenzierbare und den Randbedingungen von (2) genügende Funktion F (x) in eine absolut und gleichmäßig . konvergente Reihe F(::e) = Ecp"Pp(x) p

nach den Eigenfunktionen "Pp eines vollständigen Orthogonalsystems entwIckeln, deren Koeffizienten durch 2·6 (18) gegeben sind. Für die gliedweise Differenzierbarkeit dieser Reihen s. Encyklopädie, S. 1252.

(b) Darf g(x) endlich oft sein Vorzeichen wechseln und ist dafür die Eigt'nwertaufgabe definit, d. h. b

J y L(y) dx > 0

a

für jede stetige Funktion y(x) =1= 0, die n-mal stetig differenzierbar ist und die Randbedingungen von (2) erfüllt, so ist die Aufgabe (2) gleichwertig mit der polaren IGl (s. 2'7 (e»)

+}. J K b

1}(x)

(x,~) V(~) 1}(~) d~ = 0;

a

dabei ist V(x)

= sgng(x),

K(x,$-)

= r(x,~)

yIg(x)g(m,

1}(X) = y(x)~.

Mit der Theorie der polaren I GIen ergibt sich jetztl) die Existenz von unendlich vielen positiven und unendlich vielen negativen Eigenwerten sowie ein Entwicklungssatz ; einfacher und zugleich in etwas größerer Allgemeinheit erhält man diese Tatsachen jedoch durch Ansetzen einer Variationsaufgabe; vgl. dazu 2'13 und 2·15. 1) Vgl. E. Kamke. Math. Zeitschrift 45 (1939) 706-719. Bd. XVIU. K & rn k e, Differentialgleichungen I.

14

210

B. § 1. Rand- u. Eigenwertaufgaben bei einer Differentialgl. n-ter Ordnung.

Mit Hilfe der Theorie der IGIen ergibt sieh aueh ein Satz über die wechselseitige Lage der Eigenwerte von (2) und der Aufgabe (2) mit abgeänderten Randbedingungen; vgL H. T. Davis, Bulletin Amerie. Math. Soc. 28 (1922) 390-394. Für Hermitesche Eigenwertaufgaben B. W. W. Elliott, Amerie. Journal Math. öl (1929) 397-416.

2·10. Einschaltung über Volterrasche Integralgleichungen. Lit.: Encyklopädie lI s, S. 1349f., 1459-1466. S. 1258-1262. Kowalewski, IGlen, S. 49-90.

Pascal, Repertorium 13 ,

Die IGlen

J'" K (x, E) Y(';) ~ = fex) , y(x)

= fex) + J'" K

(x,';) y(';) d';

a

heißen V 01 terrasche Integralgleichungen erster und zweiter Art (die gesuchte Funktion kommt einmal bzw. zweimal vor, und die obere Grenze des Integrals ist veränderlich). Ist der Kern K (x, E) in dem Dreieck a;S E< x< b (b = 00 ist zugelassen) und f(x) für a;S x < b stetig, so hat (28) für a < x < b genau eine stetige Lösung y = y(x). Man kann sie durch ein Iterationsverfahren erhalten: Wählt man irgendeine stetige Funktion Yo(x) und bildet man mit den Rekursionsformeln x

Yt (x)

= fex) + J K a

(x,

E) Y"-l (.;) d';

(k

=

1, 2, ... )

die Folge Yo (x), Yl (x), Y2 (x), ... , so ist die Folge für jedes a in dem Intervall a:::; x ;S c gleichmäßig konvergent. und y(x)

=

0 kann die Variations-

b

11

[L(y)]' dx

= Min

b

J yL(y)dx Nenner > 0

11

ersetzt werden, falls der ist für jede zulässige Funktion y(x) =1= 0 1 ). }'ür eine beliebige zulässige Funktion y(x) ist daher auch der obige Bruch stets eine obere Schranke für den kleinsten Eigenwert. Aber es ist (Collatz, a. a. 0.)

fi b

j y L(y) dx

[L(y)]2 dx

_a- - : b : - - - - -

J y L(y) dx

~ 11 b

J9 y2 dx

a

~

Al ,

a

d. h. das Rayleighsche Prinzip liefert bei demselben y eine genauere obere Schranke. Für die Eigenwertaufgabe am Ende von (a) ergibt sich z. B. mit der zulässigen Funktion X

Y = 12 -

x3

6"

xl

+ 12

die Skala 9,882 > 9,871 > n 2 ; aber es zeigt sich, daß für die Herleitung des ersten, ungenaueren Näherungswertes auch die Rechenarheit geringer ist.

2·15. Entwicklungen nach Eigenfunktionen 2). Unter den Voraussetzungen von 2·13 konvergieren die folgenden Reihen, und es ist

lJ

1pz(x)

I~pl :;;:,r(x,x),

1

b

lJJI;T~[ r(x,x)lg(x)ldx;

dabei ist r (x,~) die zu (34) mit.A = 0 gehörige Greensche Funktion. Für jede zulässige Funktion F (x) mit den Fourier-Koeffizienten cp

ist

b

=

sI'

f F(x) g(x) 'ljJp(x) dx,

a

Ep

=

;."

I;.p;

b

lJ IApl c;:;;:, f F L(F) dx

(Besselsehe Ungleichung),

a

lJ Ep c; = Jg(x) F2(X) dx b

(Parsevalsehe Formel).

a

1) L. Collatz, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 19 (1939) 228. 2) Vgl. E. Kamke, Math. Zeitschrift 45 (1939) 77511.

2.

Rand. und Eigenwertaufgaben für Efr(z)

y 0:

a

ist, folgt aus 2·14 (c), daß jedes

(?Zk-l

=

-4-;:b-----

f YA; L(Yk) dz

4

(?k ~

Al ist.

(c) Hat man den ersten Eigenwert und eine zu ihm gehörige Eigenfunktion "Pi (x) gefunden, so kann man, um zu höheren Eigenfunktionen zu gelangen, das Verfahren mit einer Funktion Yo (x) ansetzen, die zu "PI orthogonal ist. Für eine wirksamere Gestaltung dieses Verfahrens s. Hohenemser, a. a. 0., S. 19 [345]ff. Das Iterationsverfahren führt häufig schon nach wenigen Iterationsschritten zum Ziel und kann bei Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung auch leicht graphisch durchgeführt werden; vgl. A 31'3 (c). 3·5. Genäherte Lösung von Rand- und Eigenwertaufgaben mittels Differenzenrechnung 1). Der Grundgedanke des Verfahrens ist folgender: Es ') Vgl. M. PlanchereI, Bulletin Sc. math. 47 (1923) 153-160, 170-177. L. Collatz, Das Differenzenverfahren mit höherer Approximation für lineare Differentialgleichungen; Diss. Berlin 1935. Schulz, Formelsammlung, S. 12G--132. L. Co/latz, Deutsche Math. 2 (1937) 189-215; Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 1 (1939) 244ff. Bd. XVIII: Kamke. DUferentialgleichungen I.

15

226

B. § 1. Rand- u. Eigenwertaufgaben bei einer Differentialgl. n-ter Ordnung

sei die Randwertaufgabe L(y)=f(x);

UI"(y)=YI"

(fl

= 1, ... , n)

gegeben; dabei gelten die Bezeichnungen und Voraussetzungen von I·!. Um eine Näherungslösung für die als lösbar vorausgesetzte Aufgabe zu erhalten, teilt man das Intervall 0 gleichmäßig und absolut konvergent in a ~ x 0 ist, hat man durch die ltormel 1 12 -- 0 und 1} ein einfacher Eigenwert. Dann ist

~{J V~ =~ (Y + 2 Vr 11 1- y!: =~ ); dabei ist y = I - p' und fJ haben die in (d) angegebene Bedeutung, o IX sein. Die Formel dient zur Verbesserung von 11 , Ist nämlich l] = l~O) eine untere Schranke für ;'}' so erbält man aus der Formel eine neue untere Schranke für A}. Allgemein bekommt mau aus der Formel, wenn man für l} eine untere Schranke Ir) einträgt, die neue untere Schranke

Man erhält so eine Folge von unteren Schranken I~O), l~l). •• und kann so eine anfänglich grobe untere Schranke bis zu einem gewissen Grade verbessern.

(h) Untere Schranken für die höheren Eigenwerte nach Trefftz-Willers2 ). Ist 8} =

IJ"2,."1

oder 8 2 =

IJ 2Ä.1

und hat man für die ersten Eigenwerte obere Schranken L. ~ ),_

(v

= 1, .. . ,k)

z. B. nach dem Verfahren von Ritz-Galerkin berechnet, so ist 1

1

kIll

k

1

r~~+L-IJ~'~~~+L2-IJ~ • • p-l P 1\., • p-l L

p

für v

= ], ... ,

k und außerdem 1

- s 81 Äk +!

Nach

2'15

-

k 1 IJ-, L

p-l

p

1

-2 !

-

k 1 D_· kJ 2 p-l L p

ist z. B. für g> 0 81~

b

f r(x,x)g(x)dx, u

I} ß. A. Newing, Philos. Magazine (7) 24 (1937) 114-127. Etwas anders bei Trefftz" Math. Annalen 108 (1933) 595- 602. 2) Math. Annalen 108 (1933) 595-602. Zeitschrift f. angew. Math. Mech 16 (1936) 336- 344.

234

B. § 1. Rand· u. Eigenwertaufgaben bei einer Diflerentialgl. n·ter Ordnung.

und für 8 2 liefert die Theorie der lGlen eine entsprechende Abschätzung.

3·8. Übersicht über die Wege zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunküonen 1 ). Die Eigenwertaufgabe sei L(y) = A g(x) y; Up(Y) = 0 (ft = 1, ... , n). Für die zusätzlichen Voraussetzungen, die bei den einzelnen Lösungsverfahren zu machen sind, s. die zitierten Abschnitte.

(a) Das LI ().)-Verfahren. Hier sind keine zusätzlichen Voraussetzungen nötig. Kann man für jedes A ein Hauptsystem von Lösungen !PI (x, A), ... , !Pn (x, A)

der DGl berechnen, 80 kann man die GI L1 (A) = 0 (s. 2·1) exakt oder mit numerischen Methoden auflösen. Hat man so einen Eigenwert Ao gefunden, 80 braucht man nur die Konstanten C. so zu bestimmen, daß

y=

n

I: C" !P. (x, )'0) .-1

die Randbedingungen der Eigenwertaufgabe erfüllt; dann ist y eine Eigenfunktion. Wenn die explizite Aufstellung des Funktionensystems (14) Schwierigkeiten macht, aber die Existenz reeller Eigenwerte gesichert ist, kann man immer noch mit Näherungsmethoden für zwei reelle Werte Al< A2 Hauptsysteme (14) berechnen. Haben L1 (Al) und L1 (A2) dann verschiedene Vorzeichen, so liegt zwischen Al und A2 mindestens ein Eigenwert. Durch Verkleinerung des Intervalls (Al' }'2) und Wiederholung des Verfahrens läßt sich der Eigenwert mit beliebiger Genauigkeit berechnen.

(b) Übergang zu einer Integralgleichung. Vgl. 2'9. Für theoretische Erörterungen kann dieser Schritt Eehr vorteilhaft sein. Für die numerische Berechnung von Eigenwerten kann er im allgemeinen jedoch nicht empfohlen werden, da die Berechnung der Greensehen Funktion meistens nicht einfach ist.

(c) Störungsrechnung. Vgl. 3.6. Dieses Verfahren scheint z. Z. mebr von Physikern als von Technikern benutzt zu werden. Für Fehlerabschätzungen kann der Abscbätzungssatz von 2'17 nützlich sein, ebenso 3'7 (a) und (b). (d) Übergang zu einer Differenzengleichung. Vgl. 3'5. Dieses Verfahren liefert in vielen Fällen mit verhältnismäßig geringem Rechen. aufwand eine ungefäbre Übersicht über die ersten Eigenwerte 1) Vgl. auch N. Kryloff, Annales Toulouse (3) 17 (1925) 153-186; 19 (1927) 167-199.

3. Praktische Lösung von Eigen. und Randwertaufgaben.

235

(e) 'Ubergang ZU einer Variationsaufgabe. Vgl. 2,13, 3'1, 3.2. Hier· bei ist besonders B.uf das Raylei~hsche Prinzip, die Näherungsver. fahren von Ritz und Galerkin und Grammel sowie auf die Abschätzungssätze 2'17, 3'7 (a) und (b) hinzuweisen. Alles das sind sehr brauchbare NIittel zur genäherten Berechnung von Eigenwerten. Da die Wirksamkeit des Rayleighschen Prinzips und der beiden andern Näberungsverfahren um so größer ist, je besser die Funktion y bzw. die Funktionen u I , . . . , ut die ersten Eigenfunktionen approximieren, wird man gelegentlich mit Hjlfe des Iterationsverfabrens 3'4 sich "'essere Approximationen der ersten Eigenfunktionen verschaffen; häufig genügt bereits ein Iterationsschritt.

(f) Iterationsverfahren. Vgl. 3'4. Dieses führt in vielen Fällen schon nach wenigen Schritten zu guten Annäherungen. Rechnerisch ist es jedoch nicht immer bequem. Bei Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung läßt es sich jedoch auch graphisch durchführen (s. A 31'3 (c)) und führt dann häufig recht schnell zum Ziel.

(g) Interpolationsverfahren. Erwähnt sei auch noch folgendes Ver. fahren l ): Wie bei dem Näherungsverfahren von Ritz·Galerkin geht man von k zulässigen Funktionen u 1 (x), ... , u k (x) aus, bildet k

Y=

E 0. u.(.r)

1'=1

und bestimmt die a. und A. so, daß die Funktion y an k gegebenen Stellen a;;:;; Xl < X 2 < ... < X k ;;;; b die DGl der Eigenwertaufgabe erfüllt. Die so erhaltene Zahl ). und die Funktion y(x) sind dann Näherungen für einen Eigenwert und eine zugehörige Eigenfunktion. Da s Verfahren ist ziemlich primitiv, es hat jedoch den Vorzug, daß es ein weites Anwen. dungsgebiet hat. (h) Zu den bisher genannten Methoden kommen noch die Abschätzungs. sätze von 3'7. Für Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung s. auch 9'5. Eine'n Einblick in die Wirksamkeit der verschiedenen Methoden wird man durch die durchgerechneten Beispiele bekommen, die man bei L. Collatz, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 19 (1939) 303ff. findet. Für die LÖSWlg von Randwertaufgaben bei DGlen zweiter Ordnung oder Systemen von solchen DGlen mit konstanten Koeffizienten ist auch noch die Methode der endlichen Fourier.Tran!lformation zu nennen: s. H. Kniep, Math. Zeitschrift 44 (1939) 266-292. 1) R. A. FTa~~'r - W. P. Jones - Sylvia W. Skan, Aeronautical Research Com· mittee Reports and Memoranda No. 1799; Air Ministry London 1937. Das Verfahren wird dort "collocation method" genannt. Es ist, wie die obige Beschreibung zeigt, ein Interpolationsverfahren.

236

B. § 1. Rand. u. } 0

(oder stets< 0);

a

(c) ). = 0 ist kein Eigenwert, und für jede reelle zulässige Funktion u(x) ist b

J uG(u) dx ~ 0

(odt>r stets -;:;;, 0) ;

a

(d) für jede reelle zulässige Funktion u (xl ist

J uF(u) dx ~ 0, b

a

und außerdem ist für diejenigen zulässigen Funktionen u (x) =$= 0, für die in (5) etwa das Gleichheitszeichen gilt,

J uG(u) dx =1= ° b

(6)

a

und hat ein festes Vorzeichen für alle diese u. Ist (d) erfüllt, so soll die Aufgabe definit heißen und insbesondere eigentlich definit oder im engeren Sinne definit, wenn (5) für alle zulässigen Funktionen u(x) =$ 0 sogar mit Ausschluß des Gleichheitszeichens gilt. Um zu entscheiden, ob bei einer speziell gegebenen Aufgabe einer der Fälle (b) bis (d) vorliegt, dafür wird man in erster Linie wieder die Dirichletsohe Formel heranziehen (vgl. 2·6 (c)). Auch für die normalen selbstadjungierten Eigenwertaufgaben der jetzt betrachteten allgemeineren Art gelten die auf S. 201 angeführten Tat. sachen.

4. Selbstadjungierte Eigenwertaufgaben bei

EI. ,;..) = .a E g. 11(·).

239

4·4. Definite Eigenwertaulgaben. Die Eigenwertaufgabe (I), (2) sei jetzt selbstadjungiert und im engeren Sinne definitl). (a) Es gibt dann unendlich viele Eigenwerte; sie Jassen sich in einer Folge

< Äl

... < Ä_ 2 ::::; Ä_ 1

;:;;;

Ä2 ::::;

•••

anordnen, bei der Äp > 0 oder < 0 ist, je nachdem p > 0 oder < 0 ist, und bei der jeder Eigenwert in seiner Vielfachheit aufgeführt sei. Die Folge bricht höchstens nach einer Seite ab, und es ist I~p I- 00 für Ip I- 00. (b) Zu der obigen Folge der Eigenwerte gibt es ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem von Eigenfunktionen Vld x ), Vl2(x), ... ,

... , VI-2 (x), VI-I (x),

d. h. ein System von Eigenfunktionen, für das

!

b

VIp G (Vlq) dx

Äp

= iT,;1 ep,q

gilt und das die Eigenschaft hat, daß jede zu einem Eigenwert Ä* gehörige Eigenfunktion sich aus den endlich vielen, zu ).* gehörigen Eigenfunktionen deli obigen Systems durch lineare Komposition gewinnen läßt.

(c) Gibt es einen positiven Eigenwert,

1'10

gibt es zulässige Funktionen

u( x), fiir die b

JuG(u)dx>O

"

ist; ee ist dann ).1

=

6 / u F(u)

dz

Min -"~--..

f u G(u) dx b

/I

wenn hierbei aUe zulässigen Funktionen u betrachtet werden, für die der Nenner positiv ist. Gibt es einen negativen Eigenwert, so gibt es auch zulässige Funktionen u(x), für die b

JuG(u)dx 0

'

betrachtet werden, für die

6

und

"

f uG (VJ.) dx = 0

(v

a

=

1, ... , p - 1)

ist. Ist VJ-l' ••. , VJ- (1'-1) ein zu Ä_ 1,···, Ä_ (1'-1) gehoriges Orthogonal. system vo~ Eigenfunktionen, so gilt entsprechend 6

Ä_ p

=

f u F(u) dx Max -"-:-6- - -

..

J uG(u)dx

"

wenn hierbei solche zulässigen Funktionen betrachtet werden, für die 6

f uG(u) dx < 0

6

f uG (VJ.) dx = 0

und

(v = -

1, ... , -

(p -

1))

"

ist.

(e) Aus (a) ergibt sich die für die numerische Berechnung von Eigen. werten wichtige Tatsache: Ist u(x) eine zulässige Funktion, für die 6

f uG(u)d:r =t= 0

ist, so liegt zwischen 0 und

"

6

I uF(u)dx

"6

JuG(u)dx

a

mindestens ein Eigenwert.

(I) Über die Vorzeichen der Eigenwerte. Ist für jede zulässige Funk· tion u(x) 6

I uG(u)dx~O

(~O)

,

"

so sind alle Eigenwerte positiv (negativ). Gibt es in (a, b) ein Teilintervall

OxP o~1l

. , \>

1) Diese hat, da l = 0 bei eigentlich definiten Aufgaben (I), (2) kein Eigenwert ist, keine eigentliche Lösung; daher existiert die Greensche Funktion. M. XVIII: Xamb, D1fterentlalgleJchulIPn I. 16

242

B. § 1. Rand- u. Eigenwertaufgaben bei einer Difterentialgl. n-ter Ordnung.

(b) Für eine stetige Funktion (x)

~

=

Vfz-dx

a

mit

VI f ~ x

1> (x)

=

m Liouvilles Normalform rJ" benutzt (vgl. A

y(x),

25.2

exp }

dx

a

+ [J. + f{J(~)] 'Yj =

0

(d)); man hat dann die Lösungen der DGl erster Ordnung

{}' = -]- cos 2 {}

+ (J. g + h) sin

2 {}

zu untersuchen. Gelegentlich ist auch die Äquivalenz der Eigenwertaufgabe mit einer Variationsaufgabe (vgl. 2.13) für Beweise benutzt worden; vgl. dazu Mason, Randwertauf· gaben und R. G. D. Richardson, Math. Annalen 68 (1910) 300. 1) s. z. B. H. Prüfer, a. a. 0.; E. Kamke, a. a. 0.; Ince, Diff. Equations, a. a. o. Vgl. auch L. Lichtenstein, Rendiconti Palermo 38 (1914) !l3ff.; G. Tautz, Acta Math. 56 (1931) 23-148 und hierzu J. D. Tamarkin -M. H. Stone, ebenda 459-463. Allgemeinere Entwicklungen werden z. B. betrachtet von J. L. WalBh, Annals of Math. (2) 24 (1923) 109-120; F(x) braucht in dieser Arbeit nur L-integrierbar zu sein. A. Haar, Math. Annalen, 69 (1910) 331-371 und 71 (1912) 38-53; es handelt sich hier um die Entwicklungen nach beliebigen Orthogonalsystemen. 2) Encyklopädie Ha, s. 1256f.; Ince, Dill. Equations, S. 270f.

262

R. § 3. Rand- und Eigenwertaufgaben der niedrigeren Ordnungen.

über: dabei ist

b+.!. (1.)' (b.)2 ~' _b. ~" g 2 Ja g ~ g ~ ,

IPW =

und auf der rechten Seite ist noch x durch; auszudrücken. Man beachte, daß durch diese Transformation im allgemeinen auch die Randbedingungen und das Intervall (a, b) geändert werden. Sturmsche Randbedingungen gehen jedoch wieder in Sturmsche Randbedingungen über. Eigenwerte und Eigenfunktionen für große nl). sei in Liouvilles Normalform

(8)

Y"

+ [A + h(x)] y =

Die DGl

0

gegeben, wobei jetzt h(x) in (a, b) stetig difIerenzierbar sein soll; die Randbedingungen sind wieder die am Anfang von (al) angegebenen Sturmschen Randbedingungen. Nach 2'12 ist die Eigenwertaufgabe gleichwertig mit der Volterraschen IGI y(x)

= - Pcos k(x- a) + 1- sin k(x - a) -

if a

hW

y(~) sink(x-;)d;,

wobei A = k2 gesetzt ist und k so bestimmt werdec soll, daß y(x) auch noch die zweite der Randbedingungen erfüllt. Mit dem Iterationsverfahren (s. 2·10 und 2'12, Beispiel 2) kann man hieraus näherungsweise die Eigenwerte ;... = k! und die Eigenfunktionen IP" (x) berechnen. Wird H (u, v)

= 2" Jh(;) d~ 1

gesetzt, so findet man für

k..

=

nn b_ a-

A nn

+ 0 (1) nl

..

v

.

mIt

A = H (a, b)

1 [ ") IP.. = cos nn(z-a) b-a +nn (x-a) ( H(x,b)--;r

- (b - x) (H (a, x) +

P =t= 0, k

Vi..

=

= 0, i' = = (2n+l)n

«5 ..

C08

2(b-a)

1:

(2n+l)n(x-a) 2 (b _ a)

-

2B

(2n + 1) n

(

. nnb(z_ - aa) + 0 ( nl1 ) ; 7iot)] sm

+ 0 (1). n' mit

+ (2 n +2 1) n [( x _

(b - x) H.(a, x)

rx y + 1-7)'

a

B

)H(

= x,

H (a, b)

ot + 7f'

b)

. (2 n +2 (b1) _n (za) + 7fot)] sm

a)

+0

(1).

nl '

1) Encyklopädie Ha. S. 1257. J. Liout'ille, Journal de Math. (1) 2 (1837) 24, lnce, DifI. Equations, S. 270fI. Courant-Hilbert, Methoden math. Physik I, S. 290 bis 293. Vgl. auch E. Jfakai, Compos. math. 6 (1939) 368-374; Annali Pisa (2) 10 (1941) 123-126.

263

9. Lineare Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung.

p=

lJ

0,

=F 0, a. = 1 :

= 2"1 H (a,

k" wie oben, jedoch mit B _

• (2 n

tp" - sm

+ 1) 11 (2: -

a) _

2 (b - a)

-

P = lJ =

0,

k" tp"

.

= sm

(n

=

a. = y

+ 1)b _

11

=

1) 11

[(z _ a) (H

(n

+ 1)

b_ a -

b) _

(x '

z) H (a, z)] cos (2 n ~ t~: ~

(b -

11

-

(n

(n

+11)

_ (b (~)

2

+

1:

(:I: - a) a

(2 n

i'

b) - Ir '

1

+ 1) 11

[(

H (a, b)

11

z-

a

)

L) ß

-

a)

+0

(~I);

a)

+0

(~I)'

+ 0 (1) nl '

H ( b) z,

x) H (a, x)] cos (n

+ 1~: ~

-

Allgemeine selbstadjUDgierte Randbedingungen. Diese lassen sich

durch passende lineare Kombination in die Gestalt y(b)

=

oe y(a)

+ ß y'(a) ,

y'(b)

=

y y(a)

+ lJ y'(a)

mit !(a)

a.lJ - ßy= !(b) bringen!). Zu dieser Eigenwertaufgabe gibt es unendlich viele Eigenwerte. Alle Eigenwerte sind reell. Der Oszillationssatz lautet jetzt2): Die Gesamtheit der Eigenwerte läßt sich in zwei, gegen gierenden Folgen

Al

< A2 < A3 < . ..

und

(~o

+ 00 konver.

0 auf; es ist

A" ::::: ~

ß
0 sein, für k > 1 soll F 1/' 1/' ;;;; 0 sein und nur für y = y' = 0 den Wert 0 haben. Dann läßt sich die Sturmsche Eigenwerttheorie von 9.2 (al) weit. gehend auf die obige Eigenwertaufgabe übertragen 1).

(b)2)

y"

+;. yf(x, y, y') =

0

mit den Randbedingungen

(3)

y(O)

=

y(l)

=

O.

Es seien folgende Voraussetzungen erfüllt: Für

o~ x::;; 1,

-

00


0) [fex) y']" + Ä hex) y = 0 [fex) y']" + Ä [(g(x) y)' + h (x) y] = 0

(I)

y'"

(2) (3)

gegeben ist. Für (I) gibt es unendlich viele Eigenwerte. Ist bei (2) f> 0, zweimal stetig differenzierbar, 16:$ 0 und stetig und ändert (x - b) hex) nicht das Vorzeichen, so gibt es Eigenwerte; ebenso bei (3), wenn dort außerdem noch (x - b) g(x) hex) ~ 0 ist. Für weitere Sätze, insbesondere über die Existenz unendlich vieler Eigenwerte und einen Oszillationssatz s. Sansone, a. a. O. Für die Untersuchung der Aufgabe wird die Greensehe Funktion aufgestellt, die zu der DGl und den Randbedingungen y(a) = y(c) gehört, hiermit die Fredholmsche IGl gewonnen und nun noch y(b) =-D berücksichtigt. 11·2. Lineare Eigenwertaufgaben vierter Ordnung. Für Bezeichnungen und allgemeine Lösungsmetboden s. § 1. Die am häufigsten behandelten Eigenwertaufgaben beziehen sich auf die selbstadjungierte DGl

(a)

(/2 y")"

+ (/1 y')' + 10 y = Ä g y

mit selbstadjungierten Randbedingungen; dabei sind die I. = I.(x) in dem Grundintervall a:::; x:::;; b v-mal stetig differenzierbar, ferner ist 1) Rendiconti Istituto Lombardo (2) 62 (1929) 683-692;

Rendiconti Sem.

Mat~ Padova 1 (1930) 164-183; 3 (1932) 128-140. Bolletino Unione Mat. Italiana

10 (1931) 277-282.

284

B. § 3. Rand- und Eigenwertaufgaben der niedrigeren Ordnungen.

12 =1= 0, g = g (x) stetig und

*

0_ Speziell ist vor allem der Fall Sturmseher Randbedingungen behandelt worden: 1X1 Ya + ßl Y: + Yll2a y~ + ~l [(12 y"): + 11 a Y:J = 0, ~ Ya + ß2 Y: + Ydza y~ + ~2 [(fz y"): + 11a Y:J = 0, 1X3 Yb + ß3 y~ + Y312b y~' + ~3 [(fz y")~ + Il b Y~J = 0,

IX, Yb

+ ß, y~ + y,12

b

y~'

+ ~4l(lz y")~ + I lb Y~J =

0;

dabei ist

I:21 15~ll2

IßIß2 YI!,

=

Y2

und der Index a bzw_ b bedeutet, daß x = a bzw. x

=

b einzusetzen ist.

Sind die Randbedingungen y(a)

=

y'(a)

=

y(b)

=

y'(b)

= 0,

so können höchstens doppelte Eigenwerte vorkommen, da es, WIe leicht zu sehen ist, nicht mehr als zwei linear unabhängige Lösungen von (a.) geben kann, für die y(a) = y'(a) = 0 istl). Oszillationssätze von der Art, wie sie für die Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung (vgl. 9'2) angeführt sind, sind bei Eigenwertaufgaben vierter Ordn1mg aufgestellt von O. Haupt 2 ) für die am häufigsten vorkommenden Randbedingungen und von S. A. Janczewsky 3) für die Sturmsehen Randbedingungen und in der zweiten Arbeit für die allgemeinen selbstadjungierten Randbedingungen 4 ). Die allgemeine Formulierung ist hier wegen der größeren Typenzahl der Randbedingungen komplizierter als bei den Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung. Für verschiedenartige Untersuchungsmethoden sind neben den schon erwähnten Abhandlungen noch zu nennen die Arbeiten von A. Davidoglou, Annales Ecole Norm. (3) 17 (1900) 359- 444; (3) 22 (1905) 539- 565 (Iterationaverfahren). E. Bounitzky, Journal dc lI1ath. (6) 5 (1909) 65-125 (Greensche Funktion und IGlen). H. Boerner, Math. Zeitschrift 34 (1932) 293-319 (unendlich viele Veränderliche). H. T. DalJi8, .-\meric. Journ. Math. 47 (1925) 101-120 hat untersucht, wann zwei Sturmsche EigenwertaufgabeIl dieselben Eigenwerte haben und wann die Eigenwerte der einen Aufgabp durch die Eigenwerte der andern Aufgabe getrennt werden; weiter werden mit Sätzen von Birkhoff auch asymptotische Ausdrücke für die Eigenwerte hergeleitet. EiBe Eigenwertaufgabe, die sich auf eine speziellere DGI

+

+

+

+ )./

(f y")" g y" (a x b) f y' y = 0 bezieht, hat E. Sören8en im Ingenieur-Archiv 8 (1937) 381-396 behandelt. 1) G. Cimrnino, Math. Zeitschrift 32 (1930) 30. :!) O. Haupt, Diss.

3) Armals of Math. (2) 29 (1928) 521-542; (2) 31 (1930) 663-680. 4) Vgl. hierzu auch W. M. Whyburn, Amerie. Journ. Math. 52 (1930) 171-196.

285

Rand- und Eigenwertaufgaben dritter bis achter Ordnung.

11.

(b) Allgemeinere Typen von Eigenwertaufgaben. Von G. Oimmino l ) und H. Boerner 2 ) ist nach verschiedenen Methoden die Eigenwertaufgabe (J2 y")"

+ [(JI + ). gl) y'J' + (Jo + ). goi y =

y(a)

=

y'(a)

=

0,

y(b) = y'(b) = 0

behandelt worden, in die also der Parameter I. in allgemeinerer Weise eingeht. Für dieselbe DGI mit beliebigen selbstadjungierten Randbedingungen s. 4. Hierbei sind die Randbedingungen vom Parameter ). noch unabhängig. Fälle, in denen das nicht mehr zutrifft, finden sich bei

W. Sternberg, Math. Zeitschrift 3 (1919) 191-208: y(4)

+ (f y')' + (g -

).) y = 0 ,

y(O) = y' (0) = y' (1) = y'" (1)

+ (oc + ). ß) y(l) =

0,

wo IX;;;; 0 und ß gegebene Zahlen sind; Existenz der Eigenwerte, Abschätzung der Eigenwerte und Eigenfunktionen, Entwicklungssatz.

H. Boerner, a. a. 0.: (f y")" -

10 y + I. [(gI

+ go y] =

y')'

0

mit den Randbedingungen y(a)

=

y(b)

= 0, [J y" + ). oc

Y]x~a

= 0, [f y"

- i. ß ylr-b

oder y'(a)

=

y'(b)

= 0, [(f y")' - ). oc Y]x-a =

0,

[(f y")'

= 0

+ i. ß Y]x-b =

0;

Existenz der Eigenwerte, Entwicklungssatz.

(c) Über Randwertaufgaben, bei denen sich die Nebenbedingungell auf mehr als zwei Punkte beziehen, sei folgendes Ergebnis erwähnt 3) : Es seien ao' ... , aa reelle Zahlen, laol lull+ la 2 1> 0, Xl< X2 < X a< x4 . Dann hat die Eigenwertaufgabe

+

y(4)

+ aa y'" + ). (a Y (Xl)

=

y (x 2 )

2

y"

=

+ a y' + ao y) = l

y (xa )

=

y (X4 )

= 0

°,

unendlich viele Eigenwerte.

11·3. Lineare Eigenwertaufgaben für Systeme von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung 4). Es sei das selbstadjungierte System y"(x)

+). (A I • l y + A l • 2 z) =

0,

ZIl(X)

+). (A 2• 1 y + A Z• 2 z) =

°

1) Math. Zeitschrift 32 (1930) 4-58.

2) Math. Zeitschrift 34 (1932) 293-319. 3) G. Sansone, Rendiconti Istituto Lombard" (2) 64 (1931) 724-736.

') Vgl. hierzu auch 6 sowie W. M. Whyburrt, Amerie. Journ. Math. 52 (1930) 171-196.

286

B. § 3. Rand- und Eigenwertaufgäben der niedrigeren Ordnungen.

mit den Randbedingungen y(a) = y(b) = z(a)

gegeben; dabei sollen die Ap,g sein und die Bedingungen

=

= A p, g (x)

z(b) = 0

im Intervall a::; x

~

b stetig

A I,2=A 2,1' Al,l>O, Al,lA2,2>Ai,2

erfüllen. Es gibt dann unendlich viele Eigenwerte, und man kann sie nach Ma8on l ) auf folgende Weise erhalten: Wird I (u, v)

=

b

f

a

(U'2

+ V'2) dx ,

b

K (u, v) =

L (y, z,

'11"

v)

=

f (AI,l + 2 A I,2 '11,2

'11, V

a

+ A2,2 v2) dx,

b

f (Al. 1 yu + Al,2 y v + A 2,1 Z + A a '11,

gesetzt, so ist 1

Mi

_

2 ,2 Z

v) dx

[(u,v) K(u,v)

n--

1\, -

der kleinste Eigenwert, wenn hierbei solche zweimal stetig differenzierbaren Funktionen u(x), v(x) betrachtet werden, welche die Randbedingungen erfüllen. Sind die ersten Eigenwerte Al' ... , Ap _ l und sind ('/I = 1, ... , p -

y.(x), z,(x)

1)

Paare von Eigenfunktionen, die zu den obigen Eigenwerten gehören und die Orthogonalitätsbeziehungen L (YJ. 0

(a

oder




0) ist die Greensche

V~ log": log ~l/log a + 1 a

a+

a

für x::; ~; für x:2: ~ erhält man sie durch Vertauschung von x und G. U sai, Giornale Mat_ 63 (1925) 86.

~.

2- 1 5

A. C. Banerji - P. L. Bhatnagar, Proc. Acad. Allahabad 8 (1938) 85-87. Die hier angegebene Lösung und Methode ist fehlerhaft.

2'16

Z'17

y" +aebxy=O s. auch 2·162 (23). Für y(x) =

f7(~)' ~ =

2-r8

exp b x entsteht die DGI 2'104

b2 ~ 'YJ"

+ b2 1/' + a '} =

0. 26*

404

2'19

y"

C.

=(40 b 2

2

2.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

x 2 e2bx' -1) y

A. O. Banerji - P. L. B/wdnagar Pro{'. Acad. Allahabad 8 (1938) 87-91. Die hier angegebene Lösung und Methode ist fehlerhaft.

2'20

y" + (0 eh + b e'" + c) Y =

n

Die DGl ist eine HilIsehe DG] 2'30 mit imaginärer Periode 2n i; für y(x) = 1)(~), ~ = i x ergibt sich 2'30 mit reeller Periode 2n. Für

Y='Y}(;)e- ix , ~=e:r ellt8teht die DGI2'IS4

~2 'Y}" + (a ~2 + b ~ + c + -~ ) 'Y}

=

0.

Vgl. auch 2'273 (14).

2'21

Y"+(oQ:of2x+b)y=O Für y(x) und 2'348.

2·22

= 'Y} (~),

~ = i x

y" + (0 eos2 x +b) y=O; Zylinders.

entsteht der Typus 2·22.

Vgl. auch 2'268

Mathieusehe DGI oder DGl des elliptischen

Lit.: Humbert, Fonctions de urne. Whittaker· Watson, Modern Analysis, Kap.ln. Strut/. Lameache Funktionen. Jahnke-Emde, Funktionentafeln, 3. Aufl., S. 283ft Vgl. auch A 18'7. Zur Konstruktion eines mechanischen Modells (Schwingers), mit dessen Hilfe man die IKurven homogener und unhomogener Mathieuscher DGlcn aufzeichnen kann, s. H. Neusinger, Akustische Zeitschrift 5 (1940) 11-26. An neuerer Literatur sei noch genannt: Nielsen, Physical Review ~2) 40 (1932) 445 bis 456. Teller· Weigert, Nachrichten Göttinlp,q mit gemeinsamer Periode s. A

y"

IO·2.

= j'(x) y

2'3 1

Für y' = y.u(x) entsteht die Riccatische DGI A 4.8 u'

(I)

+ u~ =f(x).

Ist u (x) eine Lösung dieser DGI, so sind die Lösungen der ursprünglichen DGI gerade die Lösungen dcr linearen DGlen erster Ordnung y'- u(x) Y

mit beliebigem C. Sind =\= 0 und

rpl

(P2

(3)

Cexp (-

Lösungen der DGI y" = [f(x)

(2)

für a

=

=

al

,

a 2 , so ist u(x)

+ a] y

=rpd::r

I udx)

412

C.

2.

Lineare DifferentirJgleichungen zweiter Otdnung.

eine Lösung der DGI

1

dI 1 u " = [ fPJ--+az-~ u dzl q.>1

=[2 (:~)Z - j(x) + a z-

2a1 ] u.

Läßt man fPz in (3) alle Lösungen von (2) mit a = aa durchlaufen, so er· hält man durch (3) alle Lösungen von (4). Diese Tatsache kann manchmal dazu dienen, die Lösungen komplizierterer DGlen aus den Lösungen einfacherer DGlen zu finden. Darbouz, Theorie des surfaces II, S. 196ft.

2·32

(")Z + (14'-

1 '" 3 ~I y" + [ 27-4'

VZ)

')Z +

(~

11 y=O,

glZJ

g

=

g(x);

s. 2·162 (14).

Die DGI wird durch die Transformation y(x) = 7J(;)' ; facht. Man erhält die DGI 2-9 'I"

Wird

E= -

+ a Ti =

= e-X·verein·

0_

z als unabhä.ngige Verä.nderliche eingeführt, so entsteht

2·33-

2·35 y" +ay' +b y=O; homogene SchwingungsGl.

'!I

(b) All = 4 b - a l y

-a+}.

= 0 1 exp - - 2 - Z + 0lexp

>

-a-}.

2

z;

0:

= e-1u (01 cos~A z + Oz sin~A z) = A e-1u sin {A (z- B);

(c) 4 b

=

aZ :

y

= e- iu (01 z +

°

1 )_

1-90.

y"

=I(Z);

+ a y' + b Y

+ ....

a y"

413

unhomogene SchwingungsGl.

Werden dieselben Fallunterscheidungen wie in 2'35 gemacht, so ist (a)

y=

~

J'"

.~. (x -

J

i

!(t) eta(I-"'j Si"

c (b) y

=~

x

!(t) eta (1-"') sin

c

(c) y

=

r!(t) (x x

C

t) dt;

(x - t) dt;

t) e1a(I-.rj dt.

Additiv hinzuzufügen sind noch die in 2· 35 angegebenen Lösungen. Ist !(x) periodisch und liegt der Fall (b) vor, so hat die homogene DOl, falls a =F 0 ist, nach 2'35 offenbar keine periodische Lösung. Daher hat die unhomogene DGl nach B 1·2 genau eine periodische Lösung, und zwar mit derselben Periode wie !(x). Vgl. M. Bocher, Annals of Math. (2) 10 (1908-09) 1-8. R.Iglisch, ZeitBchrift f. angew. Math. Mech. 17 (1937) 249-258. Für die formelmäßige Darstellung der Lösung 8. auch Radakovic, Akad. Wien 114 (1905) 877.

Ist im Fall (b) insbesondere! = c sin w x, w =t= 0, b =i= w 2 oder a =t= 0, so ist eine Lösung y = c (X sin w (x - y) mit dem "Verzerrungsfaktor" (X-2

=

(x,

der durch

(b -

W 2 )2

+ a2 w 2

bestimmt ist, und der "Phasenverschiebung" y

aw

1

= w- Arc tg b-w - -•.

Kult/ke, DGlen I, S. 195. Coumnl, D· u. IRechnung I, S. 397ff. Für/(x) = csgn y' mit Dämpfung oder Aufsehaukelung bei sog. trockener Reibung) s. K. ßijgel, [·l~eIlieur.Arl'hiv 12 (1941) 247-254.

(S~h\\'in~uIlg

y" + a y' - (b 2 Z2 + c) Y y"

=U

s. 2'273

(II).

+ 2 a y' + f(x) y = 0 Es sei a> 0; !(x) stetig und periodisch mit der Periode p, ferner

m 2 ~!(x) ~ M2. Ist a 2 ~M2, so ergibt sich leicht durch Ahschätzungssätze, daß jede Lösung für x --> 00 gegen 0 streht. Ist a 2 < M2, S(' ergibt sich mit Floquets Theorie, daß die Lösungen dieselbe Eigenschaft haben, wenn

J!(x) dx < p

4 a (Ug a p

R. Einuudi. Atti Vcneto 9511 (1936) 425-444.

ist.

414

2'39

y"

C·

+~y'

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

2.

+y=O

= e- 1

y

(CI FOTsytlo.Jacobsthal, DGlen, S. 760.

2'40

%'

11" +:l:Y'-y=O Y = CI

X

l

+ C2

exp (-

+ C2 Jetx' dx) .

f

~ x2) + X

exp ( - { x 2 )

dX] .

Julia, ExercicI's d'Analyse In, S. 13Sf.

2'41

11" +:1: y' + (n + 1) y = 0,

11.

eine natürliche Zahl.

Die DGl geht aus 2-39 durch n-maliges DifIerenzieren hervor, wenn die note Ableitung wieder mit y bezeichnet wird. Da.her ist

y

d R e-·lz> (CI = d;eR

+ C2 Jt. e dx). %

FOTsyth-JacobBthal, DGlen, S_ 760_

.e·42 y" + ~ y' Für y(x)

11

Y= 0

= '1(~),

i x entsteht die DGl 2-44 (I) mit ;,1] statt x, y_

~=

2'43 y"-;,:y' +2y=0;

Sonderfall von 2-44·

y = (x 2 -1) 2'44

y"-~y'-ay=O; Y

(Cl + C2

J

(;eI

~ 1)1 e~x' dX).

Webersehe DGl.

(1 + P a (a + 2) ... (a + 2 v l::t

=C

(2v)!

2)

:1..)

x

(a + 2 v-I) + C'2 ( X..t:.J + PI (a + 1) (a +(23)v ••. + 1)! v-

Für y

= u (x) exp "4I x 2

_-20+1)

x-.

entsteht

4 u" = (x 2

+ 4a -

2) u ,

V2

d. h. die Webersche DGl in der Gestalt 2·87; für y = I'} (.;), x = ~ entsteht 2'46 mit .;, 'fJ, - 2a sta.tt X, y, a; für y = lJm, x = i ~ entsteht 2"41 mit ~, 1/, a statt X, y, 11. 1. Der Fall, in dem -a eine natürliche Zahl 11. ist, kann a.uf 2'41 zurückgeführt werden. Die DGl

-+

(I) geht nä.mlich durch y

y" -

=

X

y'

+ 11. Y =

0

u(x) exp ~ x 2 in 2'41 mit u statt y über.

FOf'lJyth-Jacobsthal. DGicn, S. 20i, i41; 760. Für g{·.'lchlos8ene Lösungen bei natürlichen Zahlen ((. vgl. Zbornik, Akad. Wien 166 (19m) 42 ff.

1-90. a

y"

+ ....

415

y"-z y' + (z-l) y=O y=Ole'" +O.e'" fexp(~x2_2x)dX. For8yth.Jarob8thal, DGlen. S. 107, 695.

y" - 2 z y' + a y Für y

=0

= u(x) exp ~ x 2 entsteht die Normalform

+ (a + 1 -

u"

und für y(x)

=

x2) U = 0

e= x y2 die

1J(e) exp{e2 ,

Webersche DGI 2·87

41J" = a - 1) 1) • 2 n und n eine na.türliche Zahl, so sind die Lösungen (e 2 -

Ist a

=

d" e-.c' (0 1 Y = eI ' dx"

+ °J eJ"dx)' 2

'

dabei heißen die hierin enthaltenen Lösu.lgen

y

( = H n () X = -

1)" x' d" e dz" e

x'

\'I ( 1)' ( n ) (2 v)! (2 ),,-2. =.:..t" 2" V! x ; 0:;;;.:;; "2

Hermitesche Polynome; sie ergeben sich auch als Koeffizienten bei der Entwicklung

-t'+2tx=~H()~ .:..tO ,,-

e und für n;;;; 1 ist

H~ (x)

=

"x n."

2 n H"_l (x) .

Bei den Randbedingungen "y(x) wird für 1x 1-+ 00 nur wie eine Potenz von x unendlich" hat

y"-2xy'+).y=O die Eigenwerte }.

= 2n

(n

= 0, 1, 2, ... ) und die Eigenfunktionen H n •

Frank·t'. Mises, Du. IGlen I, 1. Aufi., S. 343. Go'Urant.Hilbert, Methoden math. Physik I, S. 77 f., 283, 440f. Appell.Kampe de Feritt, Fonetions hypergeometriques, S. 331- 362. J. Zbornik, Akad. Wien 166 (1957) 35 ff. Für allgemeine asymptotische Entwicklungen der Hermitesehen Polynome (a und x dürfen komplex sein) s. N. Schwid, Transaetions Amerie. MaHl. Soe. 37 (1935) 339-362.

y" + 4 z y' + (4 Z2 + 2) y

=0 Y

=

(Cl

+ O2 x) e- zS •

y"-4zy' + (3z2 +2 n-l) y=O Für y

=

e"" u(x) entsteht

2·12 mit a

=-

2 n - 1 und u statt y.

416 2'49

C.

2.

Lineare Difterentialgleichungen zweiter Ordnung.

y"-4J:y'+(4J:2 -I)y:e" Die homogene DGl ist vom Typus 2'55.

u"

+u =

1,

'U - .

1

+ Cl

Für u(x)

COS X

+C

2

=

ye-x' entsteht

sin x .

Morri8-BrQwn, Dift. Equations, S. 169, 373.

2'50

y"-4zy' + (4z2 -2) y=O y = (Cl

2'51

y" - 4 J: y' + (4 J:2 - 3) y y

+ C2 x) e

=e"'

= eZ '

(Cl eZ

X'

+ C2 e- z -

1).

Forayth·Jacobsthal, DGIen, 8. 109, 696.

2'52

y" +aJ:Y' +by=O

Vgl. 2'273 (10).

Lautet die DGI insbesondere

y" +axy'-nay (n eine natürliche Zahl), so geht sie für y =

=

0

7J(~), ~ =

ix

Vf

über in die

DGl 2'46 mit ;, 7J statt x, y und mit a = 2 n; ihre Lösungen lassen sich also durch Hermitesche Polynome ausdrücken (briefliche Mitteilung von H. Gärtler). Vgl. auch 2'303 sowie AbM Laine, Enseignenent math. 23 (1923) 166. Für asymptotische Ausdrücke der Lösungen im Fall a = - 2 s. N. Schwid, Tran8actions Amerie. Math. 80c. 37 (1936) 339- 362. Für die Lösung durch Integrale im allgemeinen Fall 8. J. H. Graf, Math. Annalen 66 (1903) 442ff.

2'53

y" + 2 a J: y' + a 2 J:2 y

Il~ x'

e2

y

=

{

=0

Cl 0, a< O.

Porsyth.Jacobsthal, DGIen, S. 109, 696.

2'54 y" + (aJ: +b) y' + (ex +d) y=O

=7J(~) exp (- ~ x), ~ = VT~T (x + ab ~ 2C) entsteht r/' ± ~ 1)' ± a- 3 (c 2 - abc + a 2 d) 17 = 0, wobei das obere oder untere Vorzeichen gilt, je nachdem a > 0 oder a < Für y(x)

ist.. Zu der neuen DGl s. 2"40-44 und 2'52.

0

1-90·

Q

1/"

+ ....

417

y" + (G~ +b) y' + (a~ +(l~ +y) y=O Für 1/ = 11 (x) exp erfüllt, die DGl 2'54

8

x2 entsteht, wenn

2'5S 8

die GI 4 r

+ 2 a 8 + a. = 0

'U/' + [Ca + 48) X + b] u' + [(P + 2 b 8) X +" + 2 8] U = O. Ist die gegebene DGI von der spezielleren Gestalt

11' - 2 (a x 80

+ b) 11' + [(a x + b)1 -

ist 11

=

C1 1/1 + 0.1/. mit 1/1

= exp

a] 1/

=

(i x2 + b x)

0,

und 1/.

= 1h'

Zu dieser Art von DGlen, bei denen eine Lösung die Ableitung einer Lösung ist. vgl. TA. Oraig, Amerie. Journal Math. 8 (1886) 88. y"_~2y' +~y=O

1/

=

01

X

&nde~n

xf x exp ~ tlx) .

+ Ca (exp ~ -

ForaytA.Jacobat.Aal, DGlen, S. 107. y"_~2y'_ (~+ l)ly=O

11 = exp 1J"_~2 (~+1)

(~

y'

11 y" + z' y' - z3 Y

+ x) [Cl + C"

xl

+~ (~-2)

1/

j

Für q

=

~ xl -

2

x) ax]. 2'58

f

exp

(~ - ~) tlx] .

Sonderfa.ll von 2·60.

= Cl X + C. x

y" + a z9- 1 y' + b z9- 2 Y

exp (-

y=O

= exp ~ [Cl + C"

=0

f

2'57

=0

f

2'59

X-I exp (-

~) ax. 2·60

0 liegt eine Euiersche DGI A 22'3 vor. Für 2 b = a (q -1) ist

die DGl ein Sonderfa.ll von 2'162 (16), sie geht durch u(x) über in 4 u"

= a2 x2 ,-'1. Uj

vgl. 2,14, 2·162 (10).

a (q - 1) sind x, x exp (- a :), exp (-

11 : )

= 1/ exp a2:

Für b =

-

a, a q,

Lösungen (H. Görtler), die

übrigen erhält man nach A 24'2. Geschlossene Lösungen erhält ma.n a.uch noch für b = amq oder b = a (mq - 1), m ganz; J.Zbornik, Akad. Wien 166 (1957) 43ff. Bel. XVIU: Kamke, DlllereatJalgleichalllJea I.

27

418

C.

2·61 y" + y'

2.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

V; + (. -};

Für u(x)

=

+

y exp

i- 9) y =a: exp (- i a:t )

(~xi) entsteht.

",," - 9 u

=

x; u

= 0 1 e3s + 0 ... e

Morria·Broten, Diff. Equations, 8. 162,

11 s

-9:r:

a~4.

2·62 y" -...!. y' +_t_ (a: + f;-8) y=O Va: 4z1 y

=

1

(0 xZ

+ ~I) exp y-;.

Forsyth.JacoostAal, DGlen, 8. 108f.

2·63 y"- (2 er + 1) y' + eh y = eh

ee entsteht die DGl 2'36 27]' + 7] =;; 'YJ =; +. 2 + eE (Cl + C2 ;) •

Für y(x) = 7]W, ; = 7]" -

Morria·Brown, Dit!. Equations, 8. 161, 373.

2·64

y" + a y' t:g a: +b y=O Für y(x)

= f/W, E = Sin x (EZ

Für a

=

entsteht die DGI 2'2g8

+ 1) 7]" + (a + 1) ; 7]' + b 1] =

O.

2 kann die DGI in der Gestalt

(y([or x)"

+ (b -

1)·

y 0,

für

a< O.

424

C.

2.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

2'99 zy"-y' +z3 (e zl _v2) y= 0 Für y(x)

E,1] statt

X,

= 1] (E), E= exp ~ Xl

entsteht die Besselsche DGl 2'162 mit

y.

Foraytk-Jacobathal. DGlen, S. 149, 718.

2'100

zy" +2y'_zy=ez 11

=~

eZ

+ ~ (GI e + Ga eZ

Z

) •

Morria-Brown, Diff. Equations S. 149, 372.

2'101

Z

y"

+ 2 y' + 0 z Y

Für u(x) =

X

=0

11 entsteht die leicht lösbare DGl u"

+ au =

O.

For8ytk-Jacob8dw.l, DGlen, S. 88, 686.

2.102

Z

y"

+ 2 y' + 0

Für u(x)

=

Z2 Y

=0;

Sonderfall von 2·162 (1).

x 11 entsteht u"

+ a x u = 0,

d. i. 2'14.

FOT8yth.Jacob8thal, DGlen, S. 155, 725.

=0;

2· 103

z y" - 2 y' + 0 Y

2'104

zy" +vy' +oy=O, a =1= 0;

Sonderfall von 2·106.

Sonderfall von 2·162 (1).

Ist 2 v = 2 n + 1 (n eine natürliche Zahl), so folgt die DGl durch n-maJige Differentiation aus 2·130 mit 2a statt a, wenn die note Ableitung wieder mit 11 bezeichnet wird. Daher sind die Lösungen

_ 11 -

d"

1/-

J GI dx" O.

G2 dx" sin 2 y a x

FOTsyth.Jaeob8thal, DGlen, S. 204.

Ist." sungen

=-

2 n (n eine natürliche Zahl) und a

11 = ( 0 ist F (a, b, x)

=

r(b) 2:(~

f(:) - Je- (1b) }{

b

x

t)b-a-I

;t dt ,

wobei K eine Kurve ist, die von 00 kommt, die Strecke 0 < t < 1 von der unteren in die obere komplexe t-Halbebene durchsetzt und wieder zu 00 geht; z. B. kann man also geradlinig von c - i 00 bis c i 00 bei 0 < c < 1 integrieren. Für eine andere Integraldarstellung s. H. Bateman. Transaetions Amerie. Math. Soc. 33 (1931) 817--831.

+

O. Perron, Journal für Math. 151 (1921) 61S-78. Dort wird auch das &symptotische Verhalten von F (a, b + n, z), F (a + n, b + n, x), }' (a + n, b, x) für n ~ 00 untersucht. 1)

Für Tafeln der Laguerreschen Polynome

B. 2·

137.

91-145. (a z

+ b) y" + ...

Für die Eigenwertaufgabe x y"

+ (111. -

x) y'

429

+ ). y = 0

(m eine natürliche Zahl) mit den Randbedingungen "y (x) beschränkt

für x ~ 0 und nicht größer als eine Potenz von x für x ~ 00" sind die Eigenwerte). = n - 111. + 1 (n = 111. -1,111., ••• ) und die Eigenfunktionen L~m-) (x).

zy"-2 (z-l) y'-y=O; Für

'f}

(e> =

xe-x y,

e=

Sonderfall von 2·273 (5).

2 x entsteht die DGl 2· 134 4

e'f}" = (e -

2) 1] •

zy"-(3z-2)y'+(2z-3)y=0; Sonderfall von 2·162 (17)·

2·II5

zy"+ (a.l:+b +n)y' +nay=O

2·II6

'Für natürliches n ist y

= U (n-1),

xu'

+ (ax+ b) u= 0

ist; für natürliches b ist Y = e ......x

xv'

ist (Zbornik).

wobei u eine helie bige Lösung von

V (b-1) ,

wo v eine beliebige Lösung von

+ (n- ax) v= 0

zy"-(a+b)(z+l)y'+abzy=O, a 0 (x < 0) ist. In den andern Fällen sind geeignet geführte Schleifenintegrale in der komplexen z-Ebene zu wählen. For8ytk-Jacob8thal, DGlen, S. 265, 774. Dort muß jedoch ma.nches gena.uer gefa.ßt werden.

430 2·II8

C.

Lineare DiBerentialg1eichungen zweiter Ordnung.

2.

zy"+[(a+b)z+m+ß]y'+(ab:r:+aß+bm),=O;

n natür-

m,

liche Zahlen, a =F b oder m =F n. Für u (z)

=

+ [(6 -

a) x

+ m + n] v' + m (6 -

zu"

+ [(a -

6) z

+ n + m] u' + " (a -

Daraus folgt

11 = C

1

=

= 11 exp 6 zentsteht

zu"

und

Für a

11 exp a z und v (z)

tr'-1 ,,-u rJZ.-l __

X-li ,,(a-6) %

+C

I

d"-1 rJz"-l

,,-h _ _

a) v

6) u

2·n6

=

=

0

0.

z-. ,,(6-_) %

•

0 und für 6 = 0 gibt es unter den Lösungen also auch Polynome.

For,yth-Jacobllhal, DGlen, S. 212, 759f.

2·II9

:r:1I"-2 (az +b) 11' + (all:r: +2 ab) 11=0 11

= "U (Cl + C. r b+1 ) •

For,yth-Jaoob,tAaI, DOlen, S. 148, 717.

2·120

alY" + (a:r: + b)" + \C:r: +d) 11=0 s. die vorangehenden DGlen, 2.138& und 2·273 (9)·

2·121

:r:1I"- (:r:I-:r:) 11' + (:r:-1) 11=0

2·122

:r: 11" - (:r:I - :r:-2) 11' -:r: (:r: + 3) 11

.-!.z'

Für 11 =,,2 x u" - u' 2.124

+ (b -

=0

u(x) entsteht die DGl 2·162 (1 a) a.2)

ru =

0; für b

:r: 11" - 2 (zl- a) y' + 2 n:r: 11 =0

=

8.

a lll ist u = Cl 2·210.

+ C2 x 2

(Zbornik).

91- 145. (a z

+ b) 11" + ....

431

=4 zr.

z 1/" + (4 :x:I-l) 1/' - 4:x:1 y

Für 1/(x) =7J(EJ, E=:r;2 entsteht die DGl2'36

wo

+

1/ =

durch (X fJ = - 2, (X fJ = - 1 bestimmt sind. M0rri8·Brovm, Dift. EquatioDB, S. 151. (x,

fJ

7J"+27J'-7J=E; Cl ec ... + CI eil'" - :r;2 - 2 ,

z 1/" + (20 :x:I-I) y' +

(Ol:x:l

+ 0) Zl Y

=0

2'126

+ CI xl) exp (- ia xa) .

1/ = (Cl

Ph. Oraig, Amerie. JourJUi.1 Math. 8 (1886) 89.

z 1/" + (a:lf + 2) y' + c:lf- l y= 0 Für c = a, a (b

2·126&

+ 1), ab sind x-I, exp (_ a; ) ,

x-I exp (_ a;) Lö·

sungen (H. Görtler); die übrigen Lösungen erhä.lt man nach A 24.2. Für c

= am b oder c = a (mb + 1) s. J. Zbomik. Akad. Wien 166 (1957) 42ff.

zJ" + (2 az logz + I) y' + 1/

=

Cl 1/1

+

(fiZZ

loglz +fllogz +fI)

.

C'I. 1/2 mit

1/]

.=0

2'127

= (ez )... ,1/1 = Yt .

Ph. Oraig, Amerie. Journal Math. 8 (1886) 89.

ZJ" + [z/(z) +2) 11' + I(z) y=O

+ J

Z 1/ = Cl C'I. exp [For,,,,.,JacoIJ8tAal, DGlen, S. 144, 710.

2'128

f J(x) dx] dx .

(z-3) y"- (4z-9) 11' + (3z-6) y=O

+ f

1/ = e'" [Cl CI eh (x For,yth..JacoblllA4l, DGlen, S. 148, 717.

2zy" +y' +ay=O,

CI

*'

O.

Sonderfall von 2'162 (1). unmittelbar {

Cl COS

3)8 dz] .

2'13°

Mit '1(E)

= 1/(x),

V2 tU + CI sin y2 a x +

1/ = Cl ~ofY 12 a x I Ca Sin ForllY'h.Ja.c0b8t1tal, DGlen, S. 204.

~

2x

= ±EZ

erhält man

für2az>O, für 2ax


0,

Sonderfall von 2·162 (1).

2'149

;r2 y" + (;r2 - 2) y = 0

2'15°

Y = Cl sin (x

+ C2 ) + Sz cos (x + C2 )·

FOTsylh-Jacobsthal, DGlen, S. 144, 711.

;r2 y"

= (a;r2 + 2) y; Y = Cl

Sonderfall von 2'153.

(Y-; -

;r2 y" + (a 2 ;r2-6) y=O;

Y

=

2'15 1

(y-; + ~) e-

~) e va + C2 X

x

Va .

Sonderfall von 2'153.

Cl [a3x cos (a x

+ C2) + (1 -

2.15 2

xl) sin (a x + Cz) 1·

al3

FOTSyth-Jacobsthal, DGlen, S. 205, 738.

;rZy"+[a;rZ-v(v-l)]y=O s. 2·162 (7). v

=

2·153

Für u(x) = x-' Y entsteht die DGl2'I05 mit u, 211, a statt y, a, b. Ist n eine natürliche Zahl, so .ist daher

y = xn Ist - v

=

HDf

Dr

n eine ganze Zahl y =x,,+l (~

(Cl e"'Y ....

~

0, so ist

+ O2 e-s}Ca) 11 (11 -

l (Cl ezy-::a

1)

=

.

n (n

+ 1),

also

+ C2 e-"'Y -a) .

FOTsyth-Jacobsthal, DGien. S. 204.

;rz y" + (a;r2 + b;r + c) y = 0 Siehe 2'273 (6) und für den Fall b =

$ = log x entsteht die DGI 2·20 'TJ"

°auch 2·153. Für

+ (a e2 < + b ee + c -

2·154 y(x) = 'TJm

Y-;'

{) 17 = 0

Für eine genä.herte Lösung dieser in der Physik als "radiale WellenGl" auftretenden DGls. F. L. ArMe, Proceedings Cambridge 32 Wl36\ 161-178. Für geschlossene Lösungen s. Zbornik, Akad. Wien 166 (1957) 6lf. 28*

436

C.

Für a

Lineare Difterentialgleichungen zweiter Ordnung.

2.

=-

{J2, b =

-

2 «{J, c =

y =;t;'" e{J:J (Cl

0( -

0(2

ist (H. Görtier)

+ C 2 f x- h

e- 2 /l

ax).

2'155 a:2 y"+[aaf -b(b-l)]y=O Sonderfall von 2·162 (I). F.ür y DGl 2'14 (1- 2b)2'Y1" + aE''YI = 0 ././ und für 11

= X l - b 1] (E), E= X 2b - 1 2 b)21]"

(1 -

Ist r = 0 oder zienten.

8

= 0,

=

E=

:l1](E), mit r

X I - 2b

entsteht die

=

_k __ 2 1- 2b

=

2 b. _ 1 -

die DGl 2· 14

+ a~' 1] =

0

mit 8

k

2.

so erhält man also eine DGl mit konstanten Koeffi-

a:2 y" + log~ ...l!....-=a:e'" (2 +a:loga:) Y = e'" log x

+ Cl log x + C2 log X

FOTsyth.Jawbsthal, DGlen, S. 148, 716.

f

dz

I-zog z

2·157 a:2 y" +ay'-:ry=O Zur Lösung dt>r DG] durch bestimmte Integrale s. J. H. Graf, Math. Annalen 56 (1903) 432ff. 2.15 8

;x:2

Y"+ay'-(b2 :r2 +ab)y=O y

=

eh [Cl + C 2

f

exp

(~-

2b

x) dX].

2.159 a:2 y" + a: y' - y = a a: 2

2.r60

;x:2

y" +:ry' +ay=O; Eulers DGl A 22'3.

f Cl lxiv + C2 Ixl-" Y =\ Cl sin (v log Ix]) + C2 cos (v log lxi) Cl + C2 10g lxi

für a = - v2 < 0 , für a = },2 > 0 , für a = o.

Für die Behandlung von Eigenwertaufgaben (vgl. hierzu auch 2'164) wird gewöhnlich die selbstadjungierte Form der DGl mit a = - 1,2 gewählt: 11 2

(x y')' - - y = O. z

146- 221.

zI 1/" + ....

437

Für Grundlösung und Greensche Funktion im FaJIe " v > 0, so ist eine Grundlösung

Für die Ra.ndbedingungen y(z) beschränkt für z - 0, ist die Greensche Funktion

ct

y(l)

=

0 s. 2'93. Ist

+ ß y' (1) =

0

fürz~~,

für x E;;;. ~ •

Vgl. hierzu auch Weat/all, Diss. S. 62f., wo anscheinend ein Fehler vorliegt. ~2y"+~Y'_(~+a)y=O

~2

y"

+ ~ y' + (Z2 - vi) Y

s. 2·162 (3).

=0;

Bea8elsche DG!.

Lit.: Encyklopädie lI t , S. 742-767. PatJcal, Repertorium I a, S. 1420-1448. Courant-Hilbert, Methoden math. Physik I, S. 406-433. Frank - tJ. Miau, Du. !GIen I, 1. Aufl., S. 322-340, 2. Aufl., S.· 403 Cf., 440 Cf. JaAnlce-Emde, Funktionentafeln. Kampe de Firiel., Fonotion hypergeometrique. McLaeAlan, Beseel funotions. NielBe'n, CylinderCunktionen. WatBon, Bessel, funotions; dort auf S. 789f. eine Zusa.mmenstellung der verschiedenen Bezeichnungen, die in Gebrauch Bind. Weyrich, Zylinderfunktionen. Whittaker- Watson, Modern Analysis, Kap. 17. W. MagntuF. OberMUinger, Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematiBchen Physik, Berlin 1943. Für die numerischen Werte der BeBSelschen Funktionen und graphische Darstellungen s. Encyklopädie, S. 767. Watson. JaAnke-Emde. HaYatJhi, Funktionentafeln. F. Tölke, Besselsche und HankeIsche Zylinderfunktionen nullter bis dritter Ordnung vom Argument r Stuttgart 1936 (92 S.). BesseI functions, Part I (Functions bf Orders Zero and Unity, XX + 288 S.), Published for the British AS!lOciation at Cambridge PreBS [enthält nach dem Referat im Phil08. Magazine (7) 26 (1938) 1121: J o und J t auf 10 Stellen, Yo und Y t auf 8 Stellen, die ersten 160 Nullstellen von J o und J t sowie weitere Angaben].

Vi.

Die Besselsche DGl gehört zu dem Typus der konftuenten hypergeometrischen DGl 2'273 (vgl. auch 2'403). In selbstadjungierter Form lautet sie

(z y')'.+ (z -~) y = 0 .

Ihre Invariante (vgl. A 25'1) ist 1 -1 -

+1-

411·

4%1'

2'161

438 2.162

C.

2.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Durch die Transformation y(x) = f/(e), e = - x geht die DGI in sich über. Bei Beschränkung aufreeHe x genügt es daher, sich mit dem Bereich x > 0 zu beschäftigen. Ist" keine ganze Zahl und beschränkt man sich nicht auf x > 0, so ist im folgenden x' als eindeutige analytische Funktion in der von x = 0 aus aufgeschnittenen komplexen x-Ebene festgelegt ~u denken. Entsprechendes gilt für logarithmische Glieder. Lösungen der DGI sind die Besselschen Funlctirmen erster Art

Po 00

=

J,.(x)

(-

1)k(it2k

k! r(v

+ k + 1)

(" keine negative ganze Zahl, die Reihe konvergiert für alle x) und die

BesselBchen Funktirmen zweiter Art Y. x

= J.(x)OOS1I:n:-J_.(x)

Yn(x)

= ...lim Y.lX)

( )

(11 keine ganze Zahl),

sin 1I:n:

(n ~ 0 eine ganze Zahl)

·~n

= '!...J :n:

log:' ~ ~ 2

n

_.!.

E(-

:n: k _ O

Ist

11

:t

51 (11 n-l

k-O

kl x)n

T

2k

1) \2 k!(n+k)!

k - 1)1 (~)n-2k k! x

[T'(n+k+ 1) (n+k)!

+ T' (k+ 1)1

k!'

keine ganze Zahl, so sind Cl J,.

+ C2 J_.

alle Lösungen; in jedem Fall sind (es kann die Zylirukrfunlctirmen

,,~

0 angenommen werden)

(Cl' C2 beliebige Konstanten)

genau die sämtlichen Lösungen. Diese sind transzendente Funktionen und nur, wenn 211 eine ungerade ganze Zahl ist, in geschlossener Form durch die sog. elementaren transzendenten Funktionen darstellbar. Vgl. hierzu 2·14 und Watson, S. 38ft., 117, 120. Für nicht-ganzzahliges " ist die Wronskische Determinante W (J J v'

-.

) = _ 2 sin 1I:n: nx.

Die Besselschen Funlctirmen dritter Art oder Hankel&;hen Funlctirmen sind d.1)(x)

=

J.(x)

+ i Y.(x) ,

H~2)(X)

=

J.(x) - i Y.(x) .

ir+l H~l) (i x) und i-(v+l) H~2) (- i x) sind reell, wenn für die Potenzen stets die Hauptwerte genommen werden. Die Bedeutung der Hankeischen

146-221. Zl

y",+ ....

439

Funktionen liegt darin, daß sie die einzigen Lösungen der DGIsind, welche die Randbediilgung lim H~I)(r ei6 ) = 0, lim H~2)(r e- i6 ) = 0 r--+ 00

, ..... 00

(e ::::;; {) ~ ~ - e, e > 0) erfüllen; vgl. CO'Urant.Hilbert, S. 408f. Die Besselschen Funktionen sind eingehend untersucht. Von ihren Eigenschaften seien hier nur folgende angeftihrt: Für ganze Zahlen n sind die J", wenn J _" = (-1)" J" gesetzt wird, die Koeffizienten in der Entwicklung

J -t(x) =

ef(l-f) = E J,,(x) t". " (n2z)t cos x, Jt(x) = (:z)t sin x,

und für natürliche Zahlen k: J 1

"2 x J.

k+t

(x) _ (- 1)" (2 z)k+t d" ~ d(Z2)"

= (v

+ 1) J.+1 -

(v

(Bin Z) 1). X

'

+ 3) J + (v + 5) .1.+5 - + ... 0+3

(die Reihe der absofuten Beträge konvergiert gleichmäßig in jedem be· d!' Y ( ) schränkten Intervall); y (x) = ( - 2x)"-~, "

i

Y o (x)

d (z2)"

i c) - 2 &1 (-:)1: J u

= J o (x) (log +

(x), C

= Euler·Konstante,

d

ddz x' Z. (x) = x' Z._1 (x) ,

2 v Z. (x)

=

X

= 0,577 ...

dz x-V Z. (x) = -

[Z._1 (x)

x-· ZH1 (x) ,

+ Zo+t- }

und n = 0, 1, 2, ... die Polynome, die entstehen, wenn

man die Potenzen 1, x, x 2 ,

•••

so orthogonalisiert, daß

f e-X'!xl'la Pm(x) Pn(x) dx = 00

für rn i= n

()

-00

ist. Szegö, Orthogonal polynomials, 8. 371, Aufg. 25.

2'2II

;r2

y" + 4 ;r3 y' + Für u(x)

+ 2 ;r2 + 1) y

rl

[Cl

COS (Il

+ (a Z2 + b) ~ y' + f

log x)

(~)

tionen !(x) auch 2·215. 2.2 1 3

z2y" +

(;r3

;r2

y

+u =

+ C2 sin (Il log x)]

=0;

8.

2.125

=

mit x = ;

Jf3.

a und für spezielle Funk-

TI(~),

:1; = x 3 entsteht die DGI

;2 Tj" + (; + 3) ;

2·195

I]' -- 1/ = 0 .

y" + [_;r4 + (2 n + 2 a + 1) ;r2 + (- 1)" a - a 2] y Für y

O. also i;;t

+ I);r y'-y=O

Für y(x) ""

2. 21 4

=0

exl y entsteht die DGI 2.187 x 2 u"

Vx e-

y= 2'21.2 ~2 y"

=

(4:;r4

u(x)XU exp (-

~ x 2) entsteht die DGl

Szegö, Orthogonal polynomials, S. 371, Aufg. 25.

=0

2·210

mit u statt y.

146-

y" + (a zn + b) z y' Za.hl zu sein.

ZZ

Für y(x)

y"

221. ;c!

+ ....

451

+ (a Z2n + (:J zr! + y) Y =0, n bra.ucht keine ga.nze E=

= ~t7J(~),

n J kZ

x n entsteht, wenn ,1,; der

+ (b -

1) k n

+y =

2

215

GI

0

genügt, die DGf n Z Ert'

+ [n a ~ +

2 k n Z + n (n - 1

+ b)) 7J' +(ot E + k na + /1) 7J =

O.

FOTsyth..Jacobsthal, DGlcn, S. 280, 790.

Diese DGI ist von dem Typus 2·120 und in besonderen Fä.llen, nämlich wenn 4ot=i=a 2 und 2/1=a(b+n-l) ist, von dem Typus 2'162 (17); in besonderen Fällen ist a.uch die ursprüngliche DGI von dem Typus 2·162 (16). x 2 y"

+ (axb + 2e) x y' + [a (b +- c + d Y = x d - c exp (-

;..2.'1"

~f) IC I + Cz

+ (a x b + 2 e) x y' + [a (e .1J

= x d-
0 und Qt3 = - 00, P3 = -

P2 = + 1, ferner 1 fül' X < 0 .

Qt3

= 1,

P3 = + 00

FOTllyth-Jacobathal, DGlen, S. 012.

;,: y''' - (;e + 21-') y" - (.r - 2 v-I) y' + (a: - l) y = 0; Sonderfall von 3.83Y = Cl e + X"+l [02 J"- 1 (i x) + 03 Y..- l (i :c)] , J

3'3 2

'

wo ./. und Y •. die Besselschen Funktionen sind. ~

yl/' +

(~2_3)

y" +4 ~ y' +2 y= j(.r)

3'33

Die DGl ist eine exakte. Durch Int.egrat,ion erhält man eine DGl zweiter Ordnung, die wieder eine exakte ist und sich auf die linearen DGlen x y'

+ (x2 -

5) y

=

zurückführen Iä.ßt.

.r dx Jj(x) dx

FOTllyth-Jacobsthal, DGlen, S. 103, 693. Bd. XVIlT: K. m ke. DitferentialglelchuDlLen 1.

33

c.

614

3. Lineare Differentialgleichungen drittt'T Ordnung.

3·34 2xy'''+3y''+axy=b, a=t=O. Mit A 22'4 erhält man

E c. f

«..

~

=

y

.-1

V?

JZ

e3

.- Z

o

dz;

+a

dabt'i sind (X.l, IX:!, (X.3 die drei Lösungen der Gi 2 (X.3 + a oder -l- 00, je nachdem x > 0 oder x < 0 ist; ferner

+ ... + ( 4 ) + b =

V~ (Cl

~=

0, (X.4 = -

00

0;

die Integrationswege sind gerade Linien. FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 79lf.

3' 35

2 x y'" - 4 (x + r - 1) y" + (2 x + 6 Sonderfall von 3.83. y

=

Cle"

+ x' etX IC

2

J.

5) y' + (1 - 2 r) y = 0 :

l' -

(~iX) + C3 Y.(~ix)\.

wo J. und Y. die Besselschen Funktionen sind.

3.36 2xy''' +3 (2a.r + k) y" +6 (bx +ak) y' + (2cx + 3bk) y=O, k> O. Mit A 22'4 erhält man 4

Z c. f erz [P(z))t

Y=

:1)..

dabei ist

P (z) =

Z3

k

1

dz;

0

.~l

+ 3 a Z2 + 3 b z -t- c ,

(X.l' ()(2' ()(3 sind die drei als verschieden vorausgesetzten Nullstellen dieses Polynoms, (X.4 = =F 00 für x ~ 0, Cl + ... + C4 = O. FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 282.

3'37

(x-2)xy"'-(x-2)xy"-2y'+2y=O Für u(x) = y' - y entsteht die DGI zweiter Ordnung x (x - 2) u" - 2 u = 0 .

Unter den Lösungen dieser DGI ist nach dem zweiten Teil von 2'303 eine quadratische Funktioll, und zwar u = x (x - 2); eine zweite Lösung ist nach A 24.2 somit u = x (x - 2) log I x ~

y= C1 X 2

+ C e + C e I e2

X

3

X

X

[

21-

2 (x - 1). Damit erhält man

x(x- 2) log

MOTTis-BTown, Diff. Equations, S. 149, 373.

Ix':21- 2(x -l)J dx.

515

3. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung.

(2 x-I) y''' -8zy' + 8 y=O Lösungen sind offenbar x und e2 z. Damit läßt sich die DGl nach A 17.2 auf eine lineare DGl erster Ordnung zurückführen. (2 :r -1) ym + (a: + 4) y" + 2 y' = 0;

exakte DG!.

3'39

Die Lösungen erhält man aus der DGl erster Ordnung (2 x-I) Y'

+ x Y = GI + Go . X

ltforria-Brown, Diff. Equations, S. 12!J.

a:2 !I'" - 6 y' + a a:2 y Für y(x)

=

=0

x 2 u(x) entsteht die DGl 3·66 mit u statt y.

For6yth-Ja.cobathal, DGlen, S. 207, 742.

z~

y''' + (.r + 1) y" - Y = 0 Es gibt eine Lösung der Gestalt

Y=

Ea":,,. 00

"

,,=0

die für alle x konvergiert; man wähl!' nämlich ao' a)

80,

daß ao gleich al

dem unendlichen Kettenbruch ao _

~

1

11

11

11

+ 12 + j32 + '12 + ...

- T

1

ist und setzt· (n

=

0, 1, 2, ... ) .

O. Perron, Math. Annalen 66 (1909) 448.

a:2 y'"

-.1:

y" +

(.lJ2

+ 1) y' = 0

G + XZd X ) , wo Zl die Zylinderfunktion erster Ordnung ist. y

=

ItfcLachla;fI,. ßessel fUllctions, 8. 27.

y'" + 3:I: y" + (4 a2 z2a + 1- 4 v2 a2 ) y' + 4 a3 z2a-l y fall von 3.66.

".'.!.

y = GI

J; (x a )

+ Gt, J,. (x a )

Y ,. (xa )

= 0;

+ Ga Y; (.1.'''). 33

Sonder-

3'43

c.

516

3. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung.

3'44 z2 y "'_3 (z-m,a: y" + [2;1;2 +4 (n-m) z +m (2m-l)Jy' - 2 n (2 z- 2m + 1) y 0, Sonderfall von 3.26.

=

Y = Cl u 2 wo

U,

+ C2 U V + C3 v2 ,

v die Lösungen von 2-II3 (1) sind.

G. Palamd, Annali di Mat. (4) 18 (1939) 320.

3-45

y'" + 4 z y" +

Z2

(Z2

+ 2) y' + 3 ;E y

=f (z)

Nach Multiplikation mit x ist die DGl eine exakte. Sie wird dadurch zurückgeführt auf

x3 Y"

+ x 2 Y' + x3 Y =

J xlix) dx + C .

FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 103, 693.

3"46 ;r y'"

+ I) z y" + 4 y'

= log

Y = Cl

exakte DGl.

;E;

+ -Cx + C3 -logx x + -4x (log x 2

2) .

MOI'Tis-Broum, Diff. Equations, S. 136. 369.

3'47

y'" + 6 z y" + 6 y'

Z2

=0 Y = Cl

3'48

+ C2 X-I + C3 x-2 •

y'" +6zy" +6y' +a;E2 y =O

Z2

Für u(x) = x 2 Y entsteht wo

(Xl'

~, CXa

'U'"

die Lösungen von

+ a 'U = (X3

+a

O.

= 0

Damit erhält man sind.

FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 742.

3'49 ;r y''' - 3 (p + q) x y" + 3 p (3 q + 1) y' -;r y,

n

p-l

Y=

1'-0

wo 6

=

q-l

(6 - 3 P - 1)

[J .-0

p, q natürliche Zahlen. 3

(6 - 3 v -

2)

EC

k

eWk

'

1 DGI führt auf neue. sog. Painlevesche transzendente Funktionen. Inee, Diff. Equations, S. 345 ff.

y" = a 1f LÖlSungen sind z. B. Y=

1fT ra x _1 c

(C beliebig).

Nach A 23-1 läßt sich die DGl reduzieren a.uf .11'2

also eine DGl, die nach

1-71

= Ta !I + (' . 1

durch elliptische Funktionen lösbar ist.

544

6·8

C. 6. Nichtlineare Dillerentialgleichungen zweiter Ordnung.

y" - 2 a 2 y3 + 2 a b z y - b = 0 Jede Lösung der Riccatischen DGI y'+ ay 2-bx=O erfüllt a.uch die obige DGl. Vgl. weiter B. Gambie'T, Acta Math. 33 (1910) 32f.

6'9

y"+ay3+bxy+cy+d=O Für a = 0 oder b = 0 liegen einfachere Sonderfälle vor. und b =F 0, so Iä.ßt sich die DGI durch eine Transformation

Ist a =F 0

y=)."l(~)' ~=p.(bx+c)

in die von Painleve betrachtete Normalform "l" = 2 ",3 + ; TI + IX überführen. Diese DGl führt auf neue, sog. Painlevesche transzendente Funktionen. P. Painlev6, Acta Math. 25 (1902) 13l1. lnce. Diff. Equations; S. 346ft.

6· 10 y" + a ya + b y2 + C Y + d Mit A

23.1

y'2

6'11

ergibt sich die DGl

1'71

+ '2 a y4 + "3 b 11 + C y2 + 1

2

2d y

+C

= 0.

y" +az'y"=O Eine Lösung ist

_

Y - IX

xfJ

Für 7J(;) = y(x),

't

mJ

ß _ 2 + 11 -

=-

1 _ n' IX

>I-I _ _ (11

-

+ 2) (11 + n + 1) a (. __ 1)1

.

~ =..!..x ergibt sich die DGl 6'74 ; 7J"

" a F ur

6'12

=0

+ 2 Ti' + a ~-.-3 "," =

1 ,v = 1 - n s. 6 ·102; f"ur a = - 1,

II

0. 1 -n = - 2"'

=

"23 s. 6. 100.

y" + (n + 1) a 2n y2"+I- y =0 Wird y als unabhängige Verä.nderliche gewählt und p(y) = y' (x) gesetzt, so erhä.lt man wegen y" = pp' (y) eine DGl erster Ordnung, die zu der DGl mit getrennten Varia beln

y' (;r:)

--=-.".---

= ± y Va2

>1

führt. FOTsyth.Jacob8thal, DGlen, S. 145, 715.

y2n - 1

+G

1-72.

a y" = F (Z, y, y').

545

y" = (a y2 + b ~ Y + C ~2 + a y + ~ ~ + y) -I, a =F O. Man setze 2 a u(x) = 2 a y

6·13

+ b x + rx

lind beRtimme weiter A, B, C durch 4a A = 4 a c -

b2 ) 2 a B

=

2 a fJ

-

b rx, 4 a C

=

Dann entsteht die DGl 6·101 (A x 2 + B x + C)I u"

= (AZI+Bz+C au3 +

4 a y - rx2 •

1)-1 •

y"= e ll

6·14

Mit A 23.1 ergibt sich x

=

f (2 exp y + C )-t dy + C 1

2;

das Integral Iä.ßt sich auswerten, indem man

t ah:l

=

(2exp Y

+ Cl)!

neue Integrationsveränderliche einführt. Fick, DGlen, S. 42, 137; man achte auf Druckfehler.

y"+ae'·y ~=O S.6·242.

6·15

y" + e 9iny=O

6·16

X

Die (nicht nachgeprüfte) Lösung mit den Anfangswerten y(U) = 0, y'(O) = 1 ist x"

Y = x -3! -

x'

. x6

2 4!- 3 5! -

,x6

2 G!

x7

x6

_

x'

+ 17 7! + 128 8 ! +a49 9T + ....

M. CMni, Giornale di Mat. 58 (1920) 35-53.

y" + a sin y = 0; PendelG!.

G· 17

AIR Pendel GI wird die DGI gewöhnlich in der Form (1)

fP" (t)

+ f sin fP (t) =

0

geschrie ben. Lit.: Scklesinger, Einführung in die DGlen, S. 23-25. Duffing, Erzwungene Schwingungen, S. 125-130. K. Lackmann, Jahresbericht DMV 48 (1938) 28f. Bd. XVIII: Kamke, Differentialgleichungen I. 35

546

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Für die Lösung y(x) mit den Anfangswerten y(x o) = ergibt A 23.1

t:J.,

y'(x o)

=fJ

y'=± V2acosY+ß2 -2acost:J., also x -

Xo =

und, wenn

.J[2 a cos y + ß2 p

gesetzt wird

f"

2a

COH

t:J.r t dy

du Y(l -

1.1.1 )

(1 - k2 u 2 )

..!:.8ID~ "

Das ist em elliptisches Integral. sin

2

Für

(X

i y = k sn Va

=

0, Ik I< 1 erhält man

(x -

x o) ,

wobei die Jacobische Funktion sn zu dem Modul k gehören soll.

6· 18

=tJ sin a:; sin y =ß j(a:);

y" + a 2 sin y

6'19 y" + a 2

spezielle Duffingsche DGI. verallgem6inerte Duffingsehe DG!.

Lit.: Duffing, Erzwungene Schwingungen. H. G. Block, Arkiv för .l\1at. 14 (1920) No. 3. G. Hamel, Math. Annalen 86 (1922) 1-13. K. Lachmann, Math. Annalen 99 (1928) 479-492. A. Hammerstein, Jahresbericht DMV 39 (1930) 59-64. 19lisch. Monatshefte f. Math. 37 (1930) 325-342; 39 (1932) 173-220; 42 (1935) 7-36; Jahresbericht DMV 45 (1935) 131-132 kursiv; Math. Annalen 111 (1935) 568- 581; 112 (1936) 221-246.

Die DGlen treten bei Untersuchungen von Schwingungen, insbesondere von Pendelschwingungen auf. Duffing selbst hat die erste DGl untersucht, indem er sin y näherungsweise durch die ersten Glieder der Potenzreihe für sin y ersetzte. Für fJ = 0 s. 6.17· Hier sei weiterhin fJ =F O. Hamel gibt mehrere Ansätze zur Behandlung der ersten DGI, wenn die Randbedingungen der Periodizität (1)

y(O)

=

y (2 n), y' (0)

=

y' (2 n)

gegeben sind. Ist (X2 < 1, so hat diese Randwertaufga,be für jedes fJ genau eine Lösung; für t:J.2 > 1 kann es mehrere Lösungen gehen. Genähert kann man eine Lösung durch den Ansatz y ~ A sin x erhalten; A ist durch die GI A2 - 2 (X2 JdA) + ß = 0 (Jt Besselsche Funktion) bestimmt. Lachmann hat dieses Verfahren weiter ausgebaut.

547

1-72. a y" = F (2:, y, y').

Die DGlen mit den Randbedingungen (2)

y(O)

=

yen)

=

0

sind von Hamrn.er8tein und Igli8ck mehrfach und eingehend behandelt worden. Nach B 10·1 gibt es bei beliebigem (x, {J stets mindestens eine Lösung der Randwertaufgabe und bei (X2< 1 auch nur eine Lösung. Dasselbe gilt bei festem IX für alle hinreichend großen I(J I, falls bei der allgemeinen DGl 6·19 die FunktionJ(x) so beschaffen ist, daß die Lösung der Randwertaufgabe

= J(x),

u"

= u(n)

u(O)

nur endlich viele Stellen mit u' = 0 hat. Bei festem (J wächst die Anzahl der Lösungen von 6·19 mit (2) für IX -+ 00 über alle Grenzen. Wichtig sind ferner die Verzweigungslösungen, d. h. solche Lösungen y(x), für welche die Randwertaufgabe q/'(x)

+ (X2 cos y(x)· q;(x) =

eine Lösung q>(x) =1= 0 hat.

y" =

0,

q>(0)

=

q>(n) = 0

Näheres hierüber s. bei Igli8ck.

ad I (y :1:- 1)

Für u(x)

=

6·20

y x-i entsteht d d2: (u'

also (u'

und hieraus

f

[Cl +

X)2

iu

2

X)2

1

= 2" u u' + 2J(u) u',

= Cl + ~ u 2 + 2 JJ(u) du,

+2

f

J(u) dx

Forsyth-Jacob8thal, DGIen, S. 515.

r

t du = C2

+ log Ix I·

y" -.3 y'_y2_2 y=O s. 6·73.

6·21

y"-7y'+12y- y i=O s. 6·100 (I).

6·22

y" + I) a y' - 6 y2 + 6 a 2 y y

=

=0

a2 C't e-~ar f' (Cl e- ax

6·23

+ C2 ,

0, - 1)

A. Painleve, Acta. Ma.th. 25 (1902) 53, GI. (6). 35*

548 6'24

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

y" + 3 a y' - 2 ya + 2 a 2 y

=-

Y

=0

•

i a Cl e-a.c snk'~_l (Cl e- a .r

+ ( 2 )·

P. Painleve. Acta Math. 2.') (1902) 53, GI (6).

6'25

an

+4

., (n

y" - - - n - y' - -

.

+ 1)

~2

a' -1

y" + a y' + b yn + - 4 - Y

(n

+ 0) -

(-2!:.-

Y yn41_1

) =0

s. 6'102 (2).

=0

?1=~xl/(~), ~=e.r, oc=~(l-a)

Für rnt~tpht

die DGI 6'74 ~'I7"

=

+

()·zR

y" + a y' + beY

6'29

y"+ay' +tp(;r,) siny=O,

2 ,,'

+ b~u-.-J 1(

= o.

s. 6'7 6 (3).

2a

rp(J) periodisch.

Vgl. A. Erdelyi, Zt>itschrift f. angew. Math. Mech. 14 (1934) 235-247. F. Tri· comi, C. R. Paris 193 (1931) 635f.; Annali Pisa (2) 2 (1!l33) 1-20; Atti Accad. Lincei (6) 18 (1933) 26-28.

6'30

y"+yy'_y3=O

~.

6'32 lind 6'33.

6'3 1 y" +yy'_y3 +ay=O, a =F 0; 1

Y=7)_

Vi

-3

Sonderfall von 6'35.

tl' (u, 12, L\) ')' p (u, L, ( 1 ) -- 1

,

P. J'aillieve, Acta Math. 25 (1902) 54. GI (8); nicht rHlchgeprüft.

b'3 z

y" + (y + 3 a) y' - y3 + a y2 + 2 a 2 y 1

-

Y-

C e- ax p'(u, 0.1) 1 P (11,0,1)

=0 =F 0, für a = o.

für

a

P. Painleve, Acta 2\1ath. 2ö (1902) ö4. GI (7); nicht nachgeprüft.

549

ay"=F(x,y,y').

1-72.

=0,

y" + (y + 3 f) y' - y3 + y2 [ + y (I' + 2 [2)

I = I (x) .

(a) Für y (x) =';' (x) 1] (.;), wo .; (x) der DGl ';" steht die DGl rJ" 17 r/ - 1]3 = 0 ,

=

I.;'

-

6'33 genügt, ent-

+

d. h. die ursprüngliche DGl für den Sonderfall.f = 0; zu der neuen DGI s. 6'32. u(x)

(b) Mit

=

I dx),

exp (- J

v(x)

läßt sich die DGI in der Gestalt d ( v"

!Ix

schreiben.

1/,2

Hieraus folgt 'V'I

u2 v2 -

u' v'

u3

V2

=

V')

u'

v2 -

u3 v2

a

2" Cl' d.

.

1.

I y dx

0

=

d dx

exp

=

'0'2

~

f

U2 - .3 Cl v

2

I

v,

also die DGl mit getrennten Variabeln V'2 =

[nef,

u 2 (Cl' 1

+

C2 )

•

Diff. Equatiolls, S. 331f. (Druckfehll'r!).

y" + Y y'_y3_

(7 +/) (3 y' + y2) + (a f2 +3 I' +3~: _I;') y + b j3= 0,

6'34

1= I(x).

y(x) =';'1](';),

(a) :Für entsteht

1/'

+ 1] 1]' -

'YJ3

.; = exp

+ (a -

d. h. die obige DGl für den Sonderfall (b) .Für a

=

2)

I

=

Ild.!:

~ + :3

=

0.

~.

x

14, b = 24 hat die DGl die Lösungen

eu' + 2

y(x) =f ~2u-l ' wo ;

= exp J f dx und u (.;) eine beliebige Lösung von u" =

lnce,

y" +

Ö u2

ist.

Diff. Equatiolls, S. 332.; dort jedoch nicht fl'hlerfrei.

(Y- ~~) y' _y3_!~ y2 + (I + ~: -t;) y=Q,

(a) Für

y

= ';' (x) 1] (.;),

a.;'2

I =f(x).

= I(x)

entsteht die DGl 6'3I mit .;, 'YJ statt x, y. (b) Wird u(x)=l+expJydx

und

V(X)=2U"-u'j -(u2 -1)f

6'35

550

C. 6. Nichtlineart' Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

gesetzt, so wird aus der gegebenen DGl 2 v'

/'

v'

=0' v -, -u-1 und daher u' u" 2-,-

u'2

also v

rI' = [0 (u -

und hieraus erhält man die DGl U'2

= f(x) [01 (u -

1)3

=0

1)2

+ (u -

1)2 f

(u -

+ u2 1)2

,

1] u' ,

+ O2] ,

die nach A 4.1 gelöst werden kann und (vgl. 1'71) auf elliptische Funk. tionen führt. P.

6'36

Painle~,

Acta Math. 26 (1902) 33, GI (10). lflee, Diff. Equations, S. 332.

y"+2yy'+/(z)y'+I'(z)y=0 Für u(x)

= y + ~j

entsteht die Riccatische DGl

u'

+ u2 = !f' + ~J2 + 0 .

lnee, Diff. Equations, S. 331.

Für u(x) = y'

+ y2

entsteht u'

+ f(x) u =

g(x) .

Damit ist die ursprüngliche DGl auf eine spezielle Riccatische und eine lineare DGl erster Ordnung zurückgeführt. P. Painleve, Acta Math. 25 (1902) 31, GI (2). lnel', Diff. Equations, S. 331.

Für u' (x)

=

y u erhält man die lineare DGI u'"

6'39

+ j(x) u' -

g(x) u = O.

y" + [3 y + I(z)] y' + ya + I(z) y2 =0 ~'ür

die Lösungen u(x) der DGl u'

=

y u entsteht

u'" =f(x)u". [nee, Diff. Equations, S. 331.

a y" = F

1-72.

y"- [3y +/(z)] y'

=y" - 2 a y y' = a Für y(x)

(~,

551

y, y').

+11 +/(z) y2=O

u(x) entsteht

6'39 mit u, - / statt y,J.

s. I·40 (2).

y" +ayy' +b1l=O

6'43

Die DGl ist von dem Typus A I5'3 (al. Für p(y) die DGI

= y'(x)

erhält man

pp'+ayp+byB=O,

und aus dieser wird für p(y)=y2 U (t), die DGl u u'

also

t=logy

+ 2 u· + a u + b =

t= -

f

2..,1

0,

ud..,

+ au + b + Cl .

Das Integral läßt sich auswerten; für die entstehende Funktion hat man dann noch die DGI 11' (x) = y2 u (log y) zu lösen und erhält

.x = J' 11'

dy u (log y)

+ C2 •

Das Verfahren liefert die Integrale nur so weit, als y'(x) =t= 0 ist.

Für a = - 4, b = 2 genaue Diskussion der Lösungen bei H. 8t.iJer', Jahresbericht DMV 62 (1942) 76-79.

y" + / (z, y) y' + 9 (z, y) = 0 Ist

g,,-/x=/X-X2_X', wo X eine }4'unktion von x allein sein soll, so sind die Lösungen der DGl in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet der x, y-Ebene die Lösungen der DGI erster Ordnung p(x) y' + tp (x, y) = C, wo p, V' durch p=exp(Xdx, V',,=grp, V'1I=(f-X)rp bestimmt sind. . Julia, Exercices d'Analysc HI, S. !l3-98.

y" +ay'2 +by=O Die DGI tritt bei der Untersuchung von kleinen Schwingungen mit Dämpfung auf, wenn diese proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit ist; vgl. auch 6'46 und 6'48.

552

C. 6. Nicntlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

=

Für v(y)

y'2 geht die DGl in die lineare DGl v'+2av+2by=O

über; hieraus folgt

(I)

y'2

=

C e- 2a l/

+ :2 ~2 (1 -

2 a y),

also

= Cl +

x

dy J, vY '

wo Y die rechte Seite der DGl (1) ist.

6'46

y"+ay'ly'l+by'+cy=O,

a>O, b~O, c>O.

DGl kleiner Schwingungen mit quadratischer Dämpfung (für beliebiges Widerstandsgesetz s. 6'72). Für y(x) =

'~(!), ~ =x V~

geht die DGl über in die Normalform 1]"+.!.1]'I1]'I+B1]'+1]=O

(1)

2

mit

.

B=3-.

VC

Man kann die Lösungen dieser DGl aus den Lösungen der bei den DGlen (2)

1]"

±

1

21]'2

+ B 1]' + 1) =

0

zusammenbauen; die Lösungen 1] der DGl mit dem oberen Vorzeichen sind offenbar die Funktionen - 'ij, wenn 'ij die Lösungen der DGl mit dem unteren Vorzeichen durchläuft. Für B = ist die DGl (auch bei komplexer Veränderlicher~) näher untersucht von Milne (s. unten). In diesem Fall kann man die Lösungen von

°

(3)

1]"

1 + 21]' 11]' 1 + 1] =

in folgender Weise aus den Lösungen 1] = S

0

(~, a)

der DGI •

mit den Anfangswerten 1](O)=a,

1]'(0)=0

aufbauen: Existiert die aufzubauende Lösung für ~o < ~ < (Xl \111ft hat sie die an den Stellen ~l < ~2 < ... angenommenen Amplituden a 1 , a2 , . . . • wobei etwa 1) (~l) < 0, also 1) (~l) = - a 1 sei, so ist zu setzen S (~- ~l' - all für ~o < ~ ~ ~l' -- S (~- ;1' a1 ) = - S (~- ~2' - a2 ) für ~1 ~ ~ ~ ~2'

1]=

1 S(~-.;2:a2.)~ .

.S.(~~~3'~~3). f~r ~2~~S:.~3:

w. E. Milne, Oregon Publication 22 (1923); Oregon Publication Math. 11 (1929). Dort sind umfangreiche Zahlentabellen zur Herstellung der Lösungen von (1) und

553

1-72. a y" = F (x, y, Y'J.

(3) abgedr ckt. Für die graphische Lösung der gegebenen DGl im Fall b = 0 s. A 31'4, 31.6 und 7 sowie 31'9; für Näherungslösungen s. W. Müller, Ingenieur. Archiv 0 (1934) 306-315. M. Hampl, ebenda 6 (1935) 213-216.

y"

+ a. y'2 + b y' + C Y = 0 Für v(y)

6-47

= y' (x) entsteht die AbeIsche DGl A 4·II vv'+av2 +bv+cy=O.

In den Anwendungen kommt (vgl. 6'46 und 6'49) auch der .Fall vor, daß mit y' das Vorzeichen ändert (Wasserschloßproblem). Für Xäherungslö~ungen W. Müller, Ingenieur.Archiv 6 (1935) 270-282.

y" + a y'2 + b sin u =

11 8.

Ü

Die DGl tritt bei Pendelschwingllngen mit Dämpfung auf, wenn diese proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit ist. Für v(y) = y'2 entsteht die lineare DGI v' + 2 a '/, + '3 b sin y = 0 . Hieraus erhält mall die DGI mit getrennten Variabeln [Y'(X)]2

=

C e- 2ay

+ -!a; ~ 1 (cos y -

2 a sin y).

Vgl. Fr. A. Willers, Zeitschrift f. Instrumentenkunde 53 (1933) 504-501l. H. Ziegle1", Ingenieur-Archiv 9 (1938) 50-76,163-178. Für den Fall, daß es sich um kleine Schwingungen handelt, also sin y durch y ersetzt werden kann, s. 6'45'

y"

+ a y' Iy' I + b sin y = 0 Man kann die Lösungen der DGI so finden, daß man die DGlen

+ a y'2 + b sin y =

0

für y'

>

0

y,,-ayn+bsiny=O

für y'




Y(~l -

~2)2

+ (1}1 -1]2}2

und y ge·

geben, so ist H = 2~ (~2 - ~l) ,

wo

(!

die eindeutig bestimmte Lösung der GI Si" e =

e

VLI -

(712 - 711)2

~2 -

~1

ist.; die gesuchte J..ösung der DGI ist

H

)I

Y = y 0, b 2: 0, .c > 0 Konstante und ist

+

R(v)

=

[b

+ I(v)] v

eine für - 0 0 < v< 00 stetige gerade Funktion und ist weiter 1(0) = 0, I' (v) für v ~ 0 vorhanden, stetig, ?: 0 und für v > 0 sogar> 0, so gilt für die Lösungen der DGl folgendes (v = y'): Jede Lösung existiert in einem Intervall X < x < 00, dort nimmt a v2 C y2 mit wachsendem x monoton ab, ferner ist a v2 C y2 -..... 0 für x -> 00 und -> 00 für x -> X. Ist 4 a c - b2 ~ 0, so hat jede Lösung höchstens eine Nullstelle, es findet also keine Oszillation statt. Weiterhin sei 4 a c - b2 > O. Dann hat jede Lösung unendlich viele Nullstellen, die Amplituden jeder Lösung nehmen monoton zu Null ab. Ist außerdem

+

+

lim I(v)

1>-+00

>

+c-

a

b,

so hat jede Lösung eine kleinste Nullstelle und eine erste Amplitude, der Abstand je zweier NullstelIen und je zweier ExtremstelIen ist>

yr,

und

es gibt eine kritische Lösung y = rJ (x), deren Amplituden 1X1 , 1X2 , .•• zu den Amplituden a 1 , a 2 , . .• jeder Lösung in der Beziehung a l ~ 1X1 > a2 ::::-: 1X2 > ... stehen. W. E. Milne, Oregon Publication 21 (1923). Vgl. auch 6'46 sowie für die DUl mit R (y, y') statt R(y'): H. Pipseh, Elektr. Nachr.-Techn. 14 (1937) 145-155.

73-103. J'(.r)y"=F(x,y,y').

xy" +2y'-;ry"=O

6'73

Das ist ein Gegenstück zu Emdens DGl 6'74. Man kann die dort angegebenen Transformationen auf diese DGI anwenden und erhält z. B. als Analogon zu der dortigen Gl (3) u"

=

;r l -

n

u"';

zu dieser DGI :,;.6'100 und 6'102. Für eine unmittelbare Diskussion der obigen DGls. auch E. A. M ilne, Proceedings Cambridge 23 (1927) 794-799. Im Falle n = 2 ist Y = 2 x- 2 eine Lösung, und die DGl geht durch y(x)=x- 2 1Jm,

über in

~=logx

560

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter OnlllIlJl~.

und hieraus wird für

1/ (~) =

p(r,)

p' (1)) = 3 +

:2) •

1} (1} -

P

Für die letzten DOlen findet man numerische Lösungen bei D. R. Hartree. Memoir8 Manchester 81 (1937) 1-9, und zwar solche Lösungen, für die y ~ 2 x- 2 für x ---+ 00 ist. 6'74

a: y" + 2 y' + a a: yn V

=0 ,

a

>

O.

Lit.: Emden, G.l.skugeln. R. H. Fowler, Quarterly Journal 45 (HJ14) 289- aflO: Quarterly Journal OxfOl'd 2 (1931) 259- 288. E. A. Milne, Monthly Notices 91 (1931) 4- 55. R. H. Fowler, ebenda, S. 63- 91. E. Hopf, ebenda, S. 653- 663. N. Fairclough, ebenda, S. 55- 63 und 92 (1932) 644-651. G. San8one, Rendiconti mat. (5) 1 (1940) 163;-176. Ferner weitere Arbeiten in der astronomischen Literatur, insbesondere no eh in Monthly Notices 91.

Für a = - 1 s. 6-73. Hier ist a> 0 vorausgesetzt. Für n = 1 ist die DOl von dem Typus 2'162 (1). Für n =f= 1 geht die DGI dureh

y

=

a

-y

in

+ 2 y' +

x y"

(1)

y"

XV

=

0

über, wobei wieder y statt y. geschrieben ist. Für J! == 1 ist das Emdens DGI (y')=02 mit q>(u)

°

=exp(f~~:du).

Julia, Exercices d'Analyse 111, S. 86f.

6'137 2yy" +y'2 +1 =0;

Sonderfall von 6'165 unu 6'54-

YY °1 ouer in Parameterdarstellung die Zykloiden G\ are tg ~

;r =

6.138 2 y y" - y'2

y

Y

Cl (t - sin t)

+ C2

-

(Cl -

+ C2 ,

Y = Cl (1 - eos t) .

y) = x

+ a = 0; Sonderfall von 6'165 und 6'224.

Di" Lösungen erhält man aus y'2_ a =Oy. /"ce, Diff. Equations, S. 339.

6'139 2YY"_!J'2+j(J:)y2+ a =0.

a>O.

Sonderfall von 6· 165. Sind u, 4 Y" welche die Bedingung ('U v' Lösung der gegebenen DGl.

17

zwei

+ !(x) Y = U' V)2

=

I~ötiungen

der linearen DGI

0, a erfüllen. so ist y = u v eine

Julia, Exercices d' Analyse IH, S. 193-198; dort. wird auch gezeigt, wie man dann alle Lösungen erhalten kann.

6· 140 2 Y y" - y'2 - 8 y 3= 0;

Sonderfall von 6· 165 und 6'224.

Die Lösungen erhält man aus der mit elliptischen Funktionen lös. baren DGl y'2=4y3+0y. blce, Diff. EquatiollS, S. 337.

6'141

2yy"_y'2_8y3-4 y 2=0;

Sonderfall von 6'165 und 6'224.

Die Lösungen erhält man aus der mit elliptischen Funktionen lösbaren DGl y'2 = 4 y3 + 4 y2 + C Y . lnce, Diff. Equations, S. 337.

577

104- 187. fix) y y" = F (x, y. y').

2 Y y" - y'2 - 8 '!f - 4 ;e y2 Für y =

± u2

=0

6'142

entsteht die DGl 6'9 bzw. 6·6

u" =F 2 u 3 2 Y y" - y'2 Für y

=

X U

= 0.

+ a y3 + b y2 = 0; Sonderfall von 6· 165 und 6'224. u 2 erhält man 4 u"

+ a u3 + b u

6·143

= 0,

und hieraus für p(u) = u'(x) die DGl 2 (p2)' + a u 3 + b u = 0 . B. Gambier. Acta Math. 33 (1910) 27.

2 !J y" - y'2 + a y3 + 2

;e

y2 + 1 = 0 , a =l= U.

6· 144

Für eine Lösung y(x) =l= 0 sei u(x) durch y'=2uy-l definiert.

Da lln folgt aus der DGl

ay= -

(1)

4 u2 _-- 2 x

4 u' -

und (2)

U

1 U - '" u3- x u - - (/+ ~ 4 -2= .

I,

umgekehrt u eine Lösung von (2), so erhält man aus (1) eine Lö· sung der ursprünglichen DGl. Damit ist die ursprüngliche DGl auf (2), J. h. auf den Typus 6·6 zurückgeführt.. l~t

B. Gambiu, Acta Matn. 33 (1910) 31, (;1 (::l).

Ince, Diff. Equations, S. ::HO.

2 y y" - y/2 + a y3 + b X y2 = 0 Für y

=

u 2 entsteht die DGl 6'9 4 u."

+ a u 3 + b xu

= 0

P. Pa'inleve, Acta Math. 25 (nJ02) 35. GI (4) (Druckf(>hler

2 Y y" - y'2 - 3 y4

= 0;

f:oionderfall

VOll

6· 165 und 6· 224-

0'14 6

Die Lösungen erhält man auI'l der durch eJliptische Funktionen lösbaren DGI y'2 = y4 + C y. Ince, Diff. Equatioru;, S. 339. Bd. XVIII: Kamke, DIfferentialgleichungen I.

37

578

C. 6. NichtlinearE' DifferentialglE'ichungen zweiter Ordnung.

1m allgemeinen nicht durch die klassischen Funktionen in geschlossener Form lösbar; die Lösungen sind sog. Painlevesche transzendente Funktionen. B. Gambier, Acta Math. 33 (1910) 31, GI (3). lnce, Dill. Equations, S. 345.

6'148

2 yy"_y'2

+ 3 fyy'-8 y3 + 2 (I' + j2) y2=O,

1 = I(x).

Die DGI läßt sich auf die DGI erster Ordnung

(y'

+ ly)2 =

4 Y {y2

+ C exp (- 2 f 1 dx)}

zurückführen. P. Painleve, Acta Math. 25 (1902) 35, GI (3).

6'149 2 yy"_y'2 +4 y2y' + y" + j(z) y2 + 1 =0 Für y

=~ entsteht u

2 u' u'" - U"2

+ 1 U'2 + u 2 =

0

und hieraus durch Differenzieren die lineare DGI U(4)

+ 1u" + 21 I' u' + u =

O.

11lC€, Ditt. Equations, S. 338f.

6· 150 2 Y y" - 3 y'2

=0 ;

Sonderfall von 6· 224.

Dividiert man die GI durch y y', so kann man sie integrieren.

y = Cl (x

+

C2 )-2

und

y

=

C.

lnce, Dit!. Equations, S. 15, GI (2).

6'15 1 2yy"_3y'2_-1 y2=O: Typus 6.224Wählt man y als unabhängige Veränderliche, so erhält man für = y' (x) die homogene DGl

p(y)

2 Y P p' -

3 p2 -

4 y2

=

0.

und hieraus ycoS 2 For8yth.Jacob.~thal.

6'152

(X-rC1)=C 2 ·

DGlen. S. 144 710.

2yy"-3y'2+j(X)y2=O Für u(x)

= Iy 1- 1 entsteht die lineare DGI 4 'u" = f(x) u.

104- 187.

f

(x) y y"

=}'

579

(x, y. y').

2yy"-6y'2 +ay5 +y2=O; Typus 6'224. Für p(y)

=

6'153

y' erhä.lt man die Bernoullische DGI

p' _ 3~ y

+ ay4p+ y =

4 p2 = 4 a y5

+

y2

+

0

,

°

y6.

2yy"-y'2Ül2+1)=0; Typus A1S'3 (a). Indem lIlan p(y)

=

6'I54

y'(x) einführt, erhält ma.n die DGI y'2 y=20~, y

die von dem Typus A 4.17 (a) ist. Daher wird x

oder für t

t

~

= 201 t2 + 1 + 2°1 arc tg t + 0.. y = 2°1 t2 + 1

= tg ~ u x = 01 u+ 01 sin u

+ °2 ,

Y = 01 (1 - oos U)

,

also die Zykloiden, die mit ihrem Scheitelpunkt die x-Achse berühren. luce, Diff.

2 (y-a) Y"

Equa~ions.

S. 61; dort anders behandelt.

+11 2 +1=0

6'155

Die DGI ist vom Typutl A I5'3 (a) und 6'224 thode erhält man 2 x = 01

± V(y -

a

+ 02) (a -

y)

=t= 0. &rc tg

Mit der ersten Me-

V11 ~ : ! O

2

•

F01'syth·Jacob8thal, DGlen, S. 97.

3 Y Y" - 2 y'2

=a a:

2

+ b a: + c

Durch dreimaliges Differenzieren erhä.lt ma.n für die Lösungen die DGI &.y y(f,)

+ 5 y' y({) =

0

und hieraus y({)

=

C

Iyl-i;

weiter durch Elimination der höheren Ableitungen aus den erhaltenen GIen: (2 R y' - 3 R' y)2

=

9 (b 2 - 4 a c) y2 -

2 Ra

+

° I li R y

mit 37*

580

C. 6. Nichtlineare Ditferentialgleichungen zweiter Ordnung.

Wird u(x) durch u3 y2

J

=

u- 1 [9 (bi -

Ra eingeführt, so ist u durch

4 a c)

+ Cl U -

2 uar 1 du

J

± :~ =

C2

bestimmt, soweit die auftretenden Nenner =f= 0 sind. !.ague"e, Oeuvres I. S. 402 - 400. Forsytlt.-Jacobstlt.aZ. DGlen, S. 330ft.

6'157 3. Y y"- 0 (2

=0;

Typus

6'224.

y2

6·158 4yy"-3y'z +4y=O; Für y =

± ",2

= (Cl

+ C2)-3.

X

Sonderfall von 6'238.

entsteht die DGI 6'13 8 2 u u" - u'2

±

für y' (x) = yu (y) die lineare DGI

1= 0, 2 yu' -

3u

+ 4y =

O.

Ince. Dift. Equa.tions, S. 337, ZbOf'1l,ik.

6. 159 4 Y y" - 3. y'! -12 y3 = 0; Sonderfall von 6· 224, Mit den Transformationen von 6'158 erhält man 2uu" -

U'2

=t= 3u· =

o. (6-143)' 2yu' -

3u -

12y3

=

O.

17J.Ce, Dift. Equa.iions, S. 337; Zbomik.

Die DGI kann wie 6· 158 beha.ndelt werden.

6'161 4 Y Y '-3 V 2 + g

(6y2_2~ Y) Y' + y'- 2~y3 + gy2 + fy =0, /

= g(x). 4Y

wo u

= ~'v

-7 + :r\

ist und v Lösung der linea.ren DGl

VIII =

ist.

= -/(2U' + u 2

=/(x),

31' v" 2/

+ (['/ - /,1 r _

!.)4 v' + .:.8 (t/ g -

B. Gambier. Acta Math 33 (1910) 28, Gl (2). XXV). Nicht ua.ohgeprüft.

/ _

u') v

17J.Ce, Dill. Equatiol16, S. 338

1°4-187. I (x) '/I '/I" = F (z, '/I, y').

+ (I 11

4 y y" - I) y'. Für a

=-

=0;

Sonderfall von 6'224·

4 (X2 sind Lösungen z. B. y = (oc x

12 y y" - 16 y'2 + 8 y3

581

=0;

y [(x

+ 0)-2.

Sonderfall von 6'224.

+ 01)2 + 02]2 =

6 O2

•

nyy"-(n-l)y'2=0; Sonderfall von 6'224. y = (01 X + 02)" . [nce, DifI. EqnRtions, S. 337.

ay y" + b y'2 + c. Y" + ... + Cl Y + co=O; Typus 6'224·

6·r65

Die DGl läßt sich auf die leicht lösbare lineare DGI

~ a 'Y u' + b u + c4 y4 + ... + Co = 0 zurückführen; dabei ist y'(x) = p(y), =

r

für u = u(y) Falle a = 1, b = -

u gesetzt. 1 ergibt sich aus dieser linearen DGl

y'" + c, y4 + 2 Cs 11 und im Falle a = 2, b = y'2

1

1

+ 3' c4 y4 + 2

+ 2 CI yl log Iy I Cs

2 Cl Y -

Co

=

1:

'!I + C2

y2

+ Cl Y log Iy I -

Im.

° °

Co =

y2, ,2, y.

Wenn die logarithmischen Glieder fehlen, lassen sich die Lösungen dieser DGlen durch elliptische Funktionen darstellen. Ist a = - 2 b und Cl = 0, so kann man auch so vorgehen: Man differenziere die ursprüngliche DGl nach x und dividiere dann durch y; man erhä.lt a y'" + 4 c. y2 y' + 3 Cs Y y' + 2 c2 y' = 0 , also 4 c. •fI.3 a y " +"3

+ 2"3 Cs y 2 +

+ v"

2 ca y

=

0,

und durch Kombination dieser DGl mit der ursprünglich gegebenen b Y'2

_ 1 -"3 c. •y.4

+

1 S 2 Cs Y

+

c2 y 2

+Cy

-

Co .

B. Gambier, Acta Math. 33 (1910) 27.

ayy" +by'2_ Für y'

=

yy'

1x

2

+ cl

=0; Sonderfall von6·r66a (s.

y u(x) entsteht die Bernoullische DGl

u' -

a

~ + Z&+cB

(1 + ~)a u = O. 2

~achtrag

S.660). 6'166

582

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zwt>iter Ordnung.

Man kann auch so vorgehen: Dividiert man die gegebene DGl dureh y y', so entsteht

:x {a log Iy'l + b log Iy I -

log

(x + Vx2 + c2 )} =

0;

hieraus folgt b

1

yl+-,;:

= Cl + C2 (x + Vx2 + c2)-';: (V x2 + c2 - a x) .

Forsyth,.Jacobsth,al, DGIen, S. 101, 693.

6· I 67

.1

I) yn + (" + 2) f y2 y' + j2 !I + a f' y3

Y y" - (a Für

y

entstt'ht

V

v(x)

= J fvdx

a - 1 '2 v" =-a-v ,

also v

=() , f = f (x) .

=

(C} x

+ Cut ..

B. Gambier, Acta Math. 33 (1910) 28, GI (1).

+ b) y'

Nltch Division durch (a y erhält

läßt sich die DGI integrieren. Man a

für a für a 6'169

+ c*,O, + c = o.

;r y y" +:r y'2 - Y y' = 0 Die DGI kanll in der Gestalt X(y2)" =, (y2)' geschrieben werden. Hieraus folgt y2 = Cl x 2 + C2 . A. Guldberg. Journal f. Math. 118 (1897) 161.

6.170

.1'

Y y" +:r y'2 + a y y' + f(:r) Für u(x)

=

y2 entsteht die lineare DGl

x u" und hieraus

=0

+ a u' + 2f(x)

= 0,

f

104- 18 7.

(~)

y y" = F

(~.

:r y y" - J : y'2 + yy' +a J: y4 +b Y'~ + cy +

y. y').

583

d~=O

Die DGl ist im allgemeinen nicht durch die klassischen Funktionen geschlossener Form integrierbar.

11

lnce. Dill. Equations, S. 335 (XIII).

+ayy'

~yy"_xy'2

+b~y3=O

Das ist d2 X d~2 log Y

cl

+ a d~ log y + b x y =

0.

= log y entsteht also die DGl 6.76 mit u statt y. Wird b = ± ß2 gesetzt, so geht die DGl durch y(x) = y(~),

Für u(x)

~

= ßx

über in

(I)

x y y" - X y'2

+ a y y' ± x y3 =

0,

wobei die eigentlich zu schreibenden Querstriche wieder fortgelassen sind. Eine Lösung von (I) ist y = ± (2 a - 2) x- 2 • Durch y

=

x-~ 'fJ (~), ~

11 'fJ" - 'fJ''l.

(2)

und weiter für (3)

'fJ'(~)

'fJ pp' -

= log

:c geht (I) über in

+ (a -

=

1) 'fJ "1'

± 'fJ3 + (2 -

2 a).,,2 = 0,

p('fJ) in

p2

+ (a -

1) 1} P ±

.,,3

+ (2 -

2 a)

1}2 =

0.

Für weitere Angaben s. 6.76. J: Y

y" + 2 J: y'2 + a y y'

=0;

Sonderfall von 6· SI.

Für u(x) = y3 entsteht die DGl xu" y3

~y

y" - 2 ~ y'2 + (y + 1) y'

= Cl

+

+ au' =

6.173

O. Hieraus erhält man

C2 x 1 - a .

=0

6·174

Gleichgradige DGl A IS·2. Für y(x) = ."W, ~ der Typus A 15·3 (a). Man erhält die Lösungen

=

log

lxi

entsteht

y = C, Y = "2 log Ix I' 2 C y = tg (C log Ix\), 2 C y = (Hg (C log Ix\). 1

J:

Y y" - 2 ~ y'2 + a y y'

=0;

Sonderfall von 6·SI.

Für u(x) = ~ entsteht x u" y

+ a u' = o.

2..= {Cl + C2 x l - a Y

Cl

+C

2

log x

Hieraus erhä.lt man

für a =1= 1, für a = 1 .

6- 1 75

584

6· 176

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweitRr Ordnung.

=0

;,; y V' - 4 re y'2 + 4 y y'

Bei Division durch x y entsteht der Typus 6·51 y-~ = 0 1 + O2 x- s . FOTsyth.Jacobsthal, DGlen, S. 724.

6·177 reyy"

+( Yb Ga:

l _;,;2

y'2_ yy'=0

;,;)

Für y' = y u(x) ergibt sich eine Bernoullische DGl für u. erhält man die Lösungen y = 0 und

a

1,--:-::---y = 0 1 exp { Vb2 - x 2

C + a: log \C2 -

a

Damit

--))

Vb2 -

x2

J.

Fo/"syth.Jacobsthal, DGlen, S. 101, 693.

Gleichgradige DGl.

Man setze u(x)

=

u' y + x, v = - . u

Man erhält

dann wieder eine gleichgradige DGI; deren Auflösung führt zu

+

°

Cl x 2 + 2 • Schneller kommt man zum Ziel, wenn man u(x) erhält dann die DGl x u" - u' = O. (y

=

X)2

=

(y + x)2 setzt; man

Forsyth.Jacobsthal, DGlen, S. 144, 711.

6·179 2J:yy"-J:y'2 +yy'=O; Typus 6·51. y = Cl 6·180

J:'t

(v-r;r + O2)2 .

(y-l) y"-2 re2 y'2_2 J: (y-l) y'-2 Y (y_1)2= 0

:h~ür

y

= 1

+ 'U~Z)

entsteht die DGI A 22·3 x 2 u" - 2

mit den Lösungen

u= - 1

X

u'

+2u = -

+ Cl + 02 x X

2 2.

FOTSyth. Diff. Equations III, S. 190f.

u' u

Man setze y+x=xu(x), v=-. EsentstehtdieDGlxv'+2v=O. Hieraus erhält man y

= -

x

+ X Cl exp c2x

585

104- 187. j(x) Y y" = F (x, y, y').

x'l (y - X) .11"

Für y-x

= a (X y' =

y)2

x u(x) entsteht

x u u" - a x

U'2

+ 2 u u' =

0

und hieraus für v(x) = ~ die Bernoullische DGl u

x v'

Für

1V (x)

=~ geht v

+ (1 -

a) x v2

+ 2v =

O.

diese über in die lineare DGI ')

w'_'::w = l-a x

=

mit den Lösungen w

(a -

1) x

+C x

u=± ICo

2•

Hiermit erhält man für a =l= 1

C Il-a +2 x,

Forsyth, Diff. Equations IlI, S. 205f.

2 x 2Y y" - x 2 (y'2 + I) + y2 y

x (Cl

=

=0:

Sonderfall von 6'139.

+ Y4 Cl C2 -

1 log Ix I+ C2 10g2

IX I) .

.Iulia, Exercices d'Analyse III, S. 194--199.

a x 2 y y" + b x 2 y'2 +

Ist a Ist a

+b=

+ b =l= 0,

C

X Y y' + d y2

0, so setze man y' ';0

=0

= y y, (x); es entsteht die lineare

DGI

ax2 +cxu+d=O. setze man y=u a , U=1t(X),

es entsteht die Eulersche DGl a .1:

(1.

x2 U"

+ c 'X. X U' + du =

0.

(x + 1)2 yy"-x (x +1)2 y '2 +2 (x + 1)2 y y'-a (x +2) y2=O Für y' = u(x) y erhält man eine lineare DGI für u, und aus diesel' Y

=

Cl !x

+ l!a exp Cx•.

8 (X 3- t) Y y" - 4 (x 3- I) y'2 + 12 x 2 y y' - 3 X y2 Für Y

=

r;2 (~),

~ =

=0

x3 entsteht die hypergeometrische DGI 2'260

~ (~- 1) r;" + (~ ~ -~) 1J' -

:8 r; = O.

Vgl. auch Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 516f., wo einzelne Lösungen in komplexer Form angegeben sind.

6'186

586

C. 6. NichtIineare Difterentialgleichungen zweiter Ordnung.

6.r87 1(;,:) y y" + 9 (;,:) y'2 + h(;,:) Y y' + k(;,:) y2 = 0 Für u(x)

I,

ist .g = -

=

t.y

entsteht die Ricca.tische DGI

1u' + (I + g) u 2 + h u + k = 0;

so ist diese sogar linear.

P. AppeU, Journal de Math. (4) 5 (1889) 392ft.

188-220. 1 (;,:, y) 11" = F (;,:, y, y'). 6· r88

y2 y"

= a;

DGl des freien Falls.

+

Man erhält 1/ 1/2 2 a = 01/. Diese DGl ist leicht lösbar, wenn man 1/ als unabhängige Veränderliche einführt, d. h. die DGI 1/ = (01/- 2a)

(~r

betrachtet. Fry, Diff. EquatiOlls, S. Illf. Kamke, DGlen I, S. 163.

6 r89 y2 y" + Y y'2 + a ;,: = 0 Für

~y =

u' tx) entsteht

- u' u'" + 3 U'12 + a x U,5 = 0

und hieraus, wenn u als unabhängip:e Verä.nderliche gewählt wird, die lineare DGl x'''(u) a x(u) = O.

+

Euler II, S. 134-138. Vgl. auch 6·190.

6.r90

y2 y" +.y y'2 = a a: + b Für u(x)

= y2 entsteht die DGl

tu = 2 a x + 2 b . Diese ist nach Multiplikation mit Yu - 4 (a x + b) exakt. u"

'I

tegration erhält man dann

u'3 - 12 u' d. i.

Durch In-

V-;- (a x + b) + 8 a lfu3 + ~a (a x + b)3 = 0,

y3 y,3 _ 3 y2 11' (a x Eule)' H, S. 143. Für b

=0

+ b) + a y3 + -a1 (a x + b)3 = vgl. auch 6.189.

C.

188- 225.

(y2 + J) y" - (2 y -1) y,2

J (x, y) y" = F (x, y, y').

587

=0

Mit A 15'3 (a) erhält man

= tg log (G\ x

y

+ C2 ) •

Man kann auch benutzen, daß die DGI nach Division durch y2 exakt ist.

+1

P. Painleve, Ada !l1ath. 25 (1902) 5. Ince, Diff. Equations, S. 317.

(y2 + 1) y" - 3 Y y'2

=0;

Typus 6'224.

(y2 + x) y" + 2 (y2 _ x) y'3 + 4 Y y'2 + y'

=0

6'193

Wird y statt x als unabhängige Veränderliche eingeführt, so erhält man für x = x(y)

+ x) x" - 2 (y2 - x) - 4 Y x' - x'2 = 0 , v(y) = y2 + x die DGI v v" = V'2, und hieraus y2 + x = Cl exp C2 y sowie y = C.

(y2 und weiter für

(y~

+ ;r2) y" - (y'2 + 1) (x y' - y) ,,~s

=0

6'I94

folgt are tg y' - are tg !!... = Ci X

oder

y' -

1LX =

(1

+

y' 1L) Cl X

Durch Einführung von Polarkoordinaten :r

= r cos cp , y = r sin cp

erhält man weiter r = C2 eC,q;. Julia, Exefcices d'Analyse, S. 38fI.

(y2 + x 2) y" _ 2 (y'2 + 1) (x y' - y)

=0

Die Lösungen sind die oberen und unteren Hälften der Kreise durch den Nullpunkt x 2 + y2 + Cl X + C 2 Y = 0 sowie die Geraden y

=

C x.

SerTet.8eheJfers. Differential- und Integralrechnung BI, S. 345.

6'I95

588

C. 6. Nichtlinearc Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

6 196 2 y (y - 1) y" - (2 y - 1) y'2 + I (z) y (y - 1) y' = 0 Die Lösungen erhält man aus y'2 = 0 Y (y - 1) exp (-

.r f dx) .

P. Painleve, Acta Math. 25 (1902) 40, GI (3).

6'197 2 Y (y-l) y"- (3 y-1) y'2 + f(y) =0 Die DGl ist von dem Typus 6·224. Ist

y

=

-

tg 2 (0 1

X

+ O2 )

y

und

f

= 0, so sind die Lösungen ([g (01

=

X

+ 02) .

Ince, Diff. Equations, S. 340.

6'198 2 y (y - 1) y" - (3 y - 1) y'2 + 4 y y' (f y + y) +4 y 2(y-l) (g2-f2_ g '_f') =0, f=f(x}, g=g(x). Die Lösungen erhält man aus [y' -

2 (j

+ g) y]2 =

y (y -

1)2 u 2

mitu = 0 exp

I (g -

j) dx.

P. Painleve, Acta Math. 25 (1902) 3B UI (1).

6· 199 2 Y (y - ]) y" - (3 y -1) y'2 - -1 (f y + g) y y' - (y - 1)3 (1f2 y2 - .,,2) -4 y2 (y-l) ([2- g2_ f' - g') 0; j, g, q:, tp gegebene Funktionen VOll .c, und (I" = 2 j rp, tp' = -- 2 g tp .

=

Die DGI ist gleichwertig mit eiern System I) u

+ Y (y -

( y - 1) u 2 -

2y u g

y' = _. 2 (y -

Y u,

=

--

1) (P -

2!1 (j

+ y -- 1 tp 2 .

+ g) ,

~4-

Elimination VOll y führt zu einer DG! für u (x), die gleichwertig mit der Riccatischf'11 DGI

u' ist, wo v'

O~

+ u 2 + (2 g -

rp) u

=

1

4 tp2

2 (j - g) v ist.

Gambier, Acta Math. 33 (1910) 35f., GI. (4). iXL). B('i bpidell AlltofPn (·in FehlpT.

6'200

+v

3 y (y -1) y" - 2 (2 y-l) y'2 + f(y)

Inee, Diff. Equatiolls, S. 3H

=0

Die DGl ist vom Typus A 15'3 (a) sowie 6'224. Man erhält dann

mall die DGI nach y"/y' auf.

y'3 = 0 y2 (y _ 1)2; für die weitere Behandlung dieser DGl s. 1'519.

Ist j _ 0, so löse

589

188- 215. I(z, y) y" = F (z, y. y').

(!I-I) y"-3 (2 y-I) y'2 + I(Y) =0

6'201

Die DGl ist von dem Typus 6'224. Ihre Lösunger.. erhält man aus den DGlen erster Ordnung

I y (y -

1)

I-I y'2 ± If(y)! y (y -

1)

I-i dy =

C.

In manchen Fällen ist die Transformation 1

u 2 (x) = 1 - y

vorteilhaft. Ist 1 = 0, so ist es einfacher, die ursprüngliche DGl nach y" Jy' aufzulösen. Man erhält dann y'4=C y3(y_1)3. Für Sonderfälle vgl. auch Ince, Diff. Equatiolls. S. 342.

ay (y-I) y" + (by + c) y'2 + I(Y) =0

6'202

Multipliziert man die DGl mit y-' (y - l)-ß,

wo

IX

~1

+ ~, ß= a

1- ~

+c

a

ist, so erhält sie die Gestalt 6'224.

a y (y - 1) y" - (a - 1) (2 y - 1) !J'2 + I (;r) y (y - 1) y' = 0

6'2°3

Die Lösungen erhält man aus

~exp(-;fld.!:).

y'==C'/-;(y_l)l

P. Painleve, Acta Math. 25 (1!J02) 4l.

a b Y (y - 1) y" - [(2 ab - a - b) Y + (l - (t) I)] y'2 6· 20-j. + /(:1:).tJ (!I-I) y'=O Die I . . ösungen erhält man aus 1 y' = C Y1 -li1 (y --1) l - ~/. exp ( -'flb.

P. Painleve. Acta Math. 25

~

y2 y"

=

(l\IO~)

I' Id:r).,

41.

6'2°5

(l

Die DGlläßt sich auf die Gestalt 6'I01 mit a = 1, b = c = 0,1(8) = a 8-~ bringen. Für y ,= x u(x) erhält man die DGl mit getrenntlm Varia beln

x4 U'2

=

-

2a 'U

+C.

c. 6. Nichtlineare Differential![le1chungen zweiter Ordnung.

590 6'206

(:r2 _ a2) (y2 _ a2) y" _ (:r2 - a2) y y 2 +:r (y2 _ a2) y' Für u(x) = Ig 2 - a 2 1- i y' ergibt. sich (xl - a 2 ) u 2 mit getrennten Variabeln (x 2 _ a 2) y'2 = C (y2 _ a 2) .

=

=0 C, d. h. die DG!

FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. ö15.

6'207

2 :r 2 y (y-1) y" _:r2 (3 y-1) y'2 + 2:r y (y-l) y' + (a y. + b) (y - 1)3 + c :r y2 (y - 1) + d:r2 y2 (y + 1)

=0

Nach Ince, Diff. Equations, S. 341 (XXXIX) nicht durch die klassischen transzendenten Funktionen in geschlossener Form lösbar. 6'208 :r3 y2y" + (:r y' _y)3 (y +:r) =0; Für y(x) = X1/(,), ,

= log x entsteht

'Y/21]"

und hieraus für p('Y/)

=

Typus 6'59.

+ (1] + 1) 'YJ'3 + 'YJ2 'Y/' = 0

1]' (,)

1]2 p'

die Riccatische DGl

+ (1] + 1) p2 + 1]2 =

O.

A. Ohiellini, Bolletino Unione Mat. Italiamt 12 (1933) 14

6'209

y3 y"

= a;

Typus A 15'3 (a).

(Cl x - C2 )2

+

Cl y2

+a =

0 und

y2

=

2x

f"- a + C .

Man kann auch benutzen, daß die DGl nach Multiplikation mit 2 y exakt ist.

y'

Serrpt-Scheffel'8, Differential- und Inte"ralrf'chnung BI, S. 383f. 6'210

(y3+y)y"_(3 y 2_1)y'2=O:

Typus .-\.15'3 (a).

Vgl. auch K. Hiemenz, Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Dias. Göttingen 1911 Dinglers Polytechnisches Journal 326 (1911); dort ist eine Lösung numerisch berechnet.

=

y

6'2II

= C und (Cl x

+ Co) (y2 + 1) =

1.

2 y3 y" + y'- a2 :r y2= 1 Offenbar hat keine IKurve einen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. Da mit Y(X) auch - y eine Lösung ist, kann man sich auf die Halbebene y > 0 beschränken. Jede IKurve läßt sich nach heiden Seiten beliebig weit fortsetzsn. Aus der DGl folgt leicht, daß keine IKurve für x -+ 00

188- 225.

f

(:I:, 1/) 1/"

= F (:1:,1/. 1/').

591

monoton abnehmen kann. Es gibt genau eine IKurve, die für alle hinreichend großen x nach unten konkav ist (Ausnahme-Integral); für dieses gibt es eine asymptotische Entwicklung

y '"

Vx(ao+ ~ + ~ + ... ) .

.Jede andere IKurve besitzt unendlich viele Wendepunkte und ha.t die

Eigenschaft, daß y(x) - a V-; unendlich viele Maxima und Minima hat, die für x ~ 00 abnehmen und deren Abszissen gegen 00 streben; für diese Integrale gilt bei geeigneten Konstanten

y=a

Y-;; +C1 sin (x +l~llog x- Cl) +0 (:x) .

G. Ascoli, Rendiconti Lombardo (2) 69 (1936) 167-197 .

.2 !I y" + y2 y'2

=a ~2 + b ~ + c

6'212

Wird für die Lösung y(x) =l= 0

;=

J1/~:)

als unabhängige Veränderliche gewählt und ",W die DGI 2 '" "," - TJ'2 = a x 2 b x

+

= y(x) gesetzt, so entsteht

+c.

Hieraus folgt durch zweimalige Differentiation nach x (1)

2 ",'" = 2 a x

+ b,

",(4)

= a '" .

Man erhält also für", (;) eine lineare DGl 4'3. Ist 17 Weine Lösung dieser DG1, so erhält man aus der ersten Gl (1) x als Funktion; und damit auch ~ als Funktion von x, also schließlich y(x) = ",(;(x»). Unter den so erhaltenen Funktionen müssen sich die Lösungen der ursprünglichen DGl befinden. Euler H. S. 138-H3, dort findet sich auch noch eine Reduktion der DGl a.uf eine DGl erster Ordnung.

2 (y-a) (y-b) (y- c) y" - Hy - a) (y - b) + (y - a) (y - c) + (y - b) (y - c)] y'2

+ [(y-a) (y-b) (y- cW{A + (y~a)2 +

(Y~b)2 + (y~C)2} = 0

Sonderfall von 6'224' Nach lnce, Diff. Equations, S. 343f., ist die Lösung durch elliptische Funktionen darstellbar. Vgl. auch B. Gambier, Acta Math. 33 (1910) 48.

6. 21 3

592

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

6' 21 4 (4y3-gay-ga) y"- (6y2_~ g2) y'2=O, Y2' ga

Konstante.

+

y = P (Cl X Co' gs' Y3) . P. PainletJe, Acta. Math. 25 (1902) 25, GI (1).

6'215

(4:y3-g2y-ga) [y" + j(z) y']

= (6y2_~ g2) y'2

Die Lösungen erhä.lt man aus y'

=C

Y4 11 -

g2 Y - gil exp (-

I j dx) .

P. PainletJe, Acta Math. 25 (1902), 42, GI (1).

6'216 2z(z-l)y(y-l) (y-z)y"-z(z-l) (3 y2_2zy-2y+z)y'2

+ 2 y (y-l) (2 z y- '!I- Z2) y'- y2 (y_I)2

- j(z) [y (y-I) (y-z)]~=O Ist fP (u, x) die durch u

=

".

ds

J s(s-ms _xl o

definierte elliptische Funktion mit den (von x abhängenden) Perioden 2 Wl (x), 2 W2(X), so sind die Lösungen der DGI (I) Y = fP (u + Cl W l + C2 W2' x) , wo u(x) eine Lösung der linearen DGl

Ist j

ist.

=

4 x (x - 1) u"

+ 4 (2 x -

I) u'

+ u = j(x)

0, so kann in (I) u = 0 gesetzt werden.

Ince, Diff. Equations, S. 354 (11), 344 (L).

6'217

2 Z2 (.x-I)2 y (y -1) (y -.T) y" _.x 2 (.x _1)2 (3 y2_ 2 x y-2 y +.r) y'2 + 2.x (.x-I) y (y-I) (2.x y- y_ Z 2) y' + ay2 (y_I)2 (y_.x)2 + b.x (y_I)2 (y_:r)2+ c (.x-I) y2 (y_.x)2 + d.x (x-I) y2 (y_l)2

= ()

Die DGl ist im allgemeinen nicht durch die klassischen transzendenten Funktionen integrierbar; Ince, Diff. Equations, S. 344 (L). Für den ~'all a = b = c = 0, d = - 1 s. 6'216.

6,218

(k 2 y2 -1) (y2 -1) y"

a, k

* 0;

+ [(k 2 + 1-2 k 2 y2) Y + a Sonderfall von 6'54. y = sn

l~

y(k2 y2_1) (y2_t) Iy'2= 0,

log (Cl x,+ Co),

kl·

P. PainletJe, Acta Math. 25 (1902) 5. Ince, Diff. Equations, S. 344tf.

593

188-225. J (x, y) y" = F (x, y, y').

=0

(y2 + a .1:2 + 2 b x + C)2 y" + d Y

6' 21 9

Nach Division durch den Koeffizienten von y" und MUltiplikation mit a x (x y' - y) b (2 x y' - y) c y' ist die DGl exakt. Durch Integration erhält man dann

+

(a x 2

+

+ 2 b x + c) y,2 -

2 (a x

,dt

+ b) y y' + a y2 +,y +ax

2b

z+c

=

C.

Man kann die DGI auch mittels der Transformation y = u(x) Va x 2 Lautet die DGl insbesondere

+ 2b x + c

reduzieren.

+ X 2 )2 y" + a y = 0 , Multiplikation mit 2 x (y2 + X 2 )-2 (x y' (y2

so wird sie durch Durch Integration erhält man dann die hpmogene DGl (x y , - y )2 -

y) exakt.

a xl _ C y' .

Zl+

E'uler H, S. 127-129. FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S_ 105, 694.

y"

VY =a;

6,220

Typus A 23-I.

:Für p(y) = y'(x) entsteht pp' = y-1, also y'(x)

=

p

=

2

Ya VY+ C.

Euler 11. S. 19[,

Vy2 + x2 y" = a (y'2 + 1) ~ ,

Gleichgradige DGl.

-a

-- C cos t _ C sin t x -- 1 sin s -=a' Y 1 sin s Euler H, S. 54ff.

y (I-log y) y"

't ml

t- C -

2-

f

6'221

sins da sin 8 - a .

Forsyth-Jacob8thal, DGlen, S. 19, 692.

+ (1 + log y) y'2 =0

6'222

Für u (x) = log y erhält man eine leicht lösbare DGl, und aus dieser x + Cl y= C und Iogy=x+C z '

Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 98, 692.

(a sin 2 y + b) y" + a y'2 sin y cosy + A (a sin2 y + c) y=O

6·223

Wählt man y als unabhängige Veränderliche, 80 erhält man für = y,2 die lineare DGl 1'200 mit u, y, 2 A statt u, x, A.

u(y)

Intermhliaire math. (2) 3 (1924) 19, Nr. 5264. Bd. XVIII: Kamke. J>lfferentlalgleichungen I.

38

594. 6'224

C. 6. Niohtlineare Difierentialgleiohungen zweiter Ordnung.

I(Y) y" + a I' (y) y'2 + g (y)

=0

Die DGl ist, wenn man durch f(y) dividiert, vom Typus 6'54. Das dortige Verfahren führt die DGl auf eine Bernoullische DGl zurück. Eine 24 -1 y' (das zweite Methode: Nach Multiplika.tion der DGl mit ± obere oder untere Vorzeichen gilt, je nachdem I> 0 oder< 0 ist) ist die Summe der beiden ersten Glieder die Ableitung von Ifl 2a y'2, also die DGl gleichwertig mit

21/1

1/1 2 a y'2 ± 2 J If1 2a - 1 g dy

6.225

= C.

I(Y) y"-I'(Y) y'2=/2 (y) «P (:.:, Ir~») Für u(x)

= fr~)

entsteht u'

=

C/>(x, u).

L. E. Dick8on, Annals of Math. (2) 25 (1924) 349.

226-249. Restliche Differentialgleichungen. 6'226

y' y" -

;,:2 Y

y' _ ;,: y2 = 0

Die DGl ist eine exakte. Man erhält also y''l. _ x2 y2 = C . FOI·l'yth.Jacob8thal, DGlt'n, S. 105,

6.227

6~4.

(:.:y'-y) y" +4y'2=0 Für u(x) = y' ergibt sich eine gleichgradige DGl. Für I}(E) y

=

x u(x),

E = log Ix Ientsteht aus dieser weiter die DGl mit getrennten Veränderlichen (1 -- 11) 1J' = T} (T)

+

1)2.

Setzt man noch so erhält man (2 t - 1) t' = t -

1

und damit die Lösungen in der Parameterdarstellung x = Cl (t - 1) e21 , . y = C2 t e- 21 • FOT8yth-Jacob8thal, DOlen, S. 144, 710.

595

226- 249. Restliche Diftel'E'nbalgleichungen. ~x

y' _ y) y"

=(y'2 + 1)2

DGl der Evolventen aller Krt'ise mit deJll Nullpunkt als Kreismittel· punkt. Serret.SeheffeTS, Differential· und Integralrt'chnung IB, S. 347.

ax3 y'y" +b y 2=0 Für u(x)

=Jiy

6·229

entsteht a x 3 u (u'

+ u2) + b = 0 .

Dit'se DGl ist wieder gJeichgradig.

a'1J (ri' -

1)

}'ür x u =

+ rl) + b =

'YJ (~), ~ =

log Ix I entsteht

0.

Berichte Leipzig 54 (1902) 136-138. Serret·Seheffers, Differential· und Integralrechnung IB, S. 400. J.

Tho'1ltu~.

1111' y" + 1'2 !I Y" + 13y'2 + I,y y' + 15 y 2 =0,

I. =I,.(x), 11 =F O.

6'23°

Die DGI geht, wenn 11 und 12 stetig differenzierbar sind, durch

'fl(~)

=

y(x)expl ~dX, ;!=exp l2f2f~f3dx

in eine DGI der Gestalt Tl 1]"

über. Ist hierin h (~) =

+ g(~) 'YJ 1]' + h(~) 'rJ2 =

{fi (~), so sind ihre Lösungen offenbar die LÖlsungen

der DGlen Durchu(x)

= iy

0

1/ 2

+ g 1/2 =

C.

geht die ursprüngliche DGl in die Abelsche DGI

des Typus A 4·II über. Sind die I. Konstante,

iO

hat die DGl

Lösun~en

der Gestalt C eax.

P. Appell, .Journal de Math. (4) 5 (1889) ·UO.

(2

y2

y' + x 2 ) y" + 2 Y y'3 + 3 Ol: y' + Y = 0

Die DGl ist exakt.

6'23 1

Ihre Lösungen erhält man daher aus y2 y'2+ x 2 y'+xy=C.

(!I'2 + y2) y" + y3 = 0 Gleichgradige DGI. U

0'23 2 Für y

= e" erhält man

= Cl + {log Isin (x V'3 + C2)1 ± l[1 +

i ctg (x VB + C'l,)]t dx . 2

FOTsyth.Jacobstllal, DGlen, S. 144, 710.

38*

596 6'233

C. 6. Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

[y'2 + a (z y'- y)] y"

=b

Man differenziere die Gl nach x und entferne dann x y' - y mit Hilfe der gegebenen GI. Man erhält für p(x) = y'(x)

b pli

+ (2 P + a x) p'3 = 0

oder, wenn p als unabhängige Veränderliche gewählt wird, die leicht lösbare lineare DGI für x = x(p) "a 2 x -r;x=r;p. Forsyth, Diff. Equations III, S. 201 f.

Mit A 15'3 (b) erhält man die Parameterdarstellung x =

~ + Cl, Y = Cl t v

a _ Cl log (t

v

+ v) + C2

mit v =

Vt 2 + 1 .

Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 97, 69lf.

6'235

=0

1(P/) y" + g(y) y' + h(z) Hieraus folgt If(y')dy'

+I

g(y)dy

+I

h(x)dx = C,

d. h. die DGl zweiter Ordnung kann in DGlen erster Ordnung übergeführt

werden. A. Chiellini, Bolletino Unione Mat. Italiana 12 (1933) 13.

6'236

y"2

=a y + b Für p(y) = y' (x) entsteht (p p')2

= ay

+ b,

und hieraus die It.. jeht

lösbare DGI erster Ordnung (ay Y'2 = ~ 3a

6.237

G2yl/2-2azy"+y'=O,

+ b)! + C.

d.i. (ay"-x)2=x 2 _y'.

Für y' =u(x) erhält man eine DGl erster Ordnung. FOTs1lth.Jacobsthal, DGlen, S. 98, 691 f.

597

226- 249. Restliche Difierentia.Igleichungen.

2

(Z2

+ 1) yll2_ z (4N' +z) y" +2 (y' +z) y'-2 N=O

Durch Differentiation ergibt sich [4 (x 2

+ 1) y'~ -

4

X

y' - x 2 ] y'"

= 0,

und hieraus

16y = (X

+ C)2 + 2 x(X + C) VXl + 1- 3 x 2

mit X

= log (x+ Vx l + 1),

sowie

Y = Cl x 2 + C2 X + 4 Gi + Ci . Die Kurven der ersten Schar sind die Einhüllenden für die Kurven der zweiten Schar. Serret.Scheffer8, Differential- und Integra.lrechnung 111, S. 369- 371.

3 Z2 y"2 - 2 (3 z y'

+ N) y" + 4: y'2 Y = C~ x 2

und die Lösungen

=0

6'239

+ Cl C2 X + C;

.

1±---

y=Cx der linearen DGl

V3

3x2 y"-3xy'-y=O.

P. Appell, Journal de Math. (4) 5 (1889) 410f.

(9 ;r3 - 2 Z2) y"2 - 6 z (6 z - 1) y' N" - 6 y y" + 36:.: y'2 y

=

ci

x3

+

Cl C2

X

+

=0

C~

lind die Lösungen

Y = CE x

C V4 x - I V4 x-I, EX

mit E

=

2 -2X exp j2 Y49X Xl _ X dx

der linearen DGI (9 x3 -

2 x 2 ) y" -

3 x (6 x-I) y' -

3y

=

O.

P. Allpell, .Journal de }{ath. (4) 5 (1889) -111 .

.,

I: f.,.q (z) y O.

x

=

Für

82

Cl a eRt

= a bist

+ C2 a e·,t ,

iI

sind Kreise

= Cl 8 e't -

°

2 8

e· st •

18 Systeme von zwei Gleichungen 1. Ordnung mit konMt. Koeffizienten.

607

Werden diese Lösungen als Parameterdarstellungen einer Kurve in der x, y-Ebene aufgefaßt, so sind die IKurven die Hyperbeln bx2 - a y2

=C

(C ~ 0)

nebst deren Asymptoten = a y2 unter Auslassung des Nullpunkts, für a = b also gleichseitige Hyperbeln. Der Nullpunkt ist Sattelpunkt . b .'t2

(b) ab< O.

Für

82

x = C, a ros 8 t

= -

ab ist

+ C2 a sin 8 t,

Y = C2 8

COS 8

t -

Cl

8

sin

8

t.

Das ist eine Parameterdarstellung der Ellipsen

Ibl x 2 + Jal y2 =

C2;

für b = - a erhält lllall also Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Der Nullpunkt ist Wirbelpunkt.

x'(t) =ax-y,

y'(t) =x +ay;

x = e"'t (Cl sin t

Sonderfall von 8'5.

+ C2 COH t),

y = eul (C 2 sin t - Cl

COS

t) .

Hieraus folgt

x 2 + y2 = (Ci + C~) e2u1 • Für a = 0 sind die IKurven Kreise, der Nullpunkt ist ihr Mittelpunkt. Für a =1= 0 winden sich die Kurven spiralig um den Nullpunkt: dieser i,.;t Strudelpunkt.

,x'(t)=ax+by, y'(t)={'x+dy Lit.: FOTsyth·Jacobsthnl. DGlru. S. 32lf.

Kamke. DGlrll, S. 200- 20-1. Vgl.

auch A 7'']. und A 13'1.

(A) a d - bc =1= O. Der Nullpunkt .1' = Y = 0 ist einziger stationärer Punkt des Systems im Sinne von A 7'2; er ist

Knotenpunkt für (n für (a Sattelpunkt für (a Strudelpunkt für (a Wirbelpunkt für (a -

d)2 + 4 b c = 0 und d)2 + 4 b c > 0, Il d - b f > 0: d)2 + 4 b c > 0, a d - bc < 0: d)2 + 4 b c < O. a + d =1= 0: d)2 -I- 4 b c < 0, a T d = O.

Beispiele hierzu findet man in den vorangehenden Nummern. Die charakteristische GI (vgl. A 13' I) ist 82 -.

+ 4bc >

(a

+ d) 8 + a d -

bc = 0 .

O. Dann hat die charakteristische GI zwei ver· schiedene reelle Lösungen 8 1 .82 , Werden die Zahlen A •• B. als Lösungen der Gien (a} (a -

d)t

608

C. 8. Systeme

+ b B,. =

A. (a - s.)

VOll

O.

lineart'n Difft'l"t'ntialgleichungen.

A. c

+ (d -

s,,) B,.

= 0

(p

= 1, 2)

bestimmt, so bilden die Funktionen

A. e,.t,

=

X,.

Y.

= B,.

es,.t

(v

= 1, 2)

ein Hauptsystem von Lösungen für das D Gls System. (b) (a - d)2 + 4 b c < O. Dann hat die charakteristische GI zwei konjugiert-komplexe Lösungen 8 = a ± i T (T =1= 0). Die Lösungen des DGlsSystems sind eO t {b Cl sin T t + b C2 COS eot ([ta -- a) Cl - r C2 ] sin (c) (a- d)2 + 4bc = 0, a =t= d:

= y = X

T

T

t} , t + [T Cl + (a -

x

= [ 2 b Cl + (2 b t + a~ d) Ca]

Y

=

(d)" a = d

=t=

(e) a = d

=t= 0,

[(d - a) Cl

0, b

x

=

+ ((d -

a)

0:

= Cl e"',

y = (c Cl t

=

+ 1) Ca]

t} .

~ dt ,

exp a -; d t .

+ C 2 ) eilt.

c = 0:

x=(bC1 t+C2 )eat ,

(B) a d - bc

t

exp a

a) C2 ] cos T

+ b2 > 0. a x + b Y = U besteht

y=Cle"t.

0, a2

Die ganze Gerade DGlsSystem ist von der Gestalt x'

=

a x

+ b y,

y'

=

aus singulären Punkten.

,1. (a x

Das

+ b y) .

+ A. b =t= 0: x = b Cl + C2 exp (a + ,1. b) t, Y = - a Cl + A. C2 exp (a + ,1. b) t, und für a + ,1. b = 0: x = Cl (b i. t - 1) + b C2 t, Y = ;,2 b Cl t + (b ,1.2 t + 1) C2 •

Die Lösungen sind für a

a;r'(t) +by'(t) =a;r +ßy, b;r'(t)-ay'(t) =ß;r-ay Sonderfall von 8'5; man kann nämlich die DGlen so umformen, daß die eine GI nur die Ableitung x' und die andere nur y' enthält. Man erhält die Lösungen x = e·t! (C] cos B t + C2 sin B t), y = e·t! (C2 cos B t - Cl sin B t); dabei sind A, B durch (a 2 +b2 )A=alX+bß, (a2 +b2 )B=aß-blX bestimmt, und es muß aß - b IX =t= 0 sein. Ist aß - b IX = 0, aber al + Ib I > 0, so gibt eR eine Zahl )" so daß IX = A. a, ß = A. b ist. Dann sind die Lösungen x = Cl eH + C2 ' 0, Y = Cl . 0 + C2 eÄl •

18. Systeme von zwei Gleichungen 1. Ordnung mit konst. Koeffizienten.

I -

;e' (t)

x

=- y,

=

=2 z + 2 y;

11 (t)

e' [Cl sin t

+ Ca cos t],

r'(t) +3z +4y=O,

Y

609

Sonderfall von 8'5.

=

e' [(C 2

-

8'7

+ Cl) cos t] .

Cl) sin t - (C2

y'(t) +2z +oy=O; Sonderfall von 8'5.

x = 2 Cl e- t

+ C2 e- 7t , y = -

Cl e- I

8·8

+ C2 e- 7t •

FO'fsyth.Jaoobsthal, DGlen, S. 328, 802.

;,1"

(t)

=- I) oe -

2 y,

y' (t)

=z-7 y;

8'9

Sonderfall von 8'5.

x = [2 Cl cos t + 2 C2 sin t] e- 61 , Y = [(Cl - C2 ) cos t + (Cl + C2 ) sin t] e- 61 • i'orsyth.Jaoobsthal, DGIen, S. 323, 801.

z' (t) = a l

11 (t) = a 2 Z + b2 Y + c 2

+ b) Y + Cu

Z

8'10

Die Lösungen des zugehörigen homogenen Systems sind nach 8'5 bekannt. Nach A 8·1 genügt es daher, eine Lösung des obigen Systems a.nzugeben. (A) a l b2

a2 bl

-

=t= 0: x = A, y = B, wobei A, B die Lösungen von

alA+blB+cl=O, aaA+b2B+~=O sind. (B) ~ b2 - a2 bl = 0, a~ + bi > O. In diesem Fall sind die DGlen von der Gestalt

+ b y + Cl'

x' = a x

Ist

T

= a

x

Ist a

+ bA. =t= 0,

y' = A. (a x

+ b y) + C2 .

so ist eine Lösung

= .~T (Cl A - ~) t - T~ (a er + b-1:2 ) , y =

+ bA= x

;. x

+ (C2 -

Ä. Cl)

t.

0, so ist eine Lösung 1

= 2" b (c 2 -

Cl

A) t2

+ Cl t,

Y = A x -+-

(C2 -

Cl

Ä) t .

S'lI

.r.'(t) +2y=3 t, y'(t)-2z=4 Das homogene System kann nach 8'5 gelöst werden. Eine Lösung des unhomogenen Systems findet man dann nach A 8'3 (dasselbe gilt für 8'12,13,15-18). Damit erhält man als Gesamtheit der Lösungen x

= .- {

+ GI

:~[orn8·Brown,

COS

2 t - C2 sin 2 t, Y

={

t

+ Cl sin 2 t + C2

Diff. Equ&tions, S. 142, 369.

ßd. XVIII: Kam k e. DifferentialgleIchungen I.

39

COS

2 t.

610

C. 8. Systeme von linearen DiJferentialgleichungen.

x = 3 t2 - t - 1

+ Cl COS t + C2 sin t,

Y = t2 + 2

+ Cl sin t -

C2 COS t .

Morria·Brown, Dit!. Equatiol18, S. 153, 374.

8.13 w(t) +3:r-y=e2"'t, y'(t) +:r +oy=et 900 x 900 y

= 36 el + 175 e21 + (Cl + CI + CI t) e- 4t , = 144 el - 25 e-21 - (Cl + C2 t) e-~t.

FOTsyth.Jacobsthal, DGlen, S. 323, 801.

Hier kann nicht so verfahren werden wie bei den vorangehenden y' nicht trennen lassen. Durch Subtraktion der Systemen, da sich x' zweiten DGl von der ersten findet man

+

3x - 2Y

(I)

=

e2t

-

e- t

+t +1.

Man kann diese Gl nach yauflösen und den gefundenen Wert in die erste DGl eintragen. Man erhält eine lineare DGl für .1': allein, und aus dieser x

=

Ce - kt + 157 e2t

+ ~. t - ~ .

Durch Eintragen dieses Ergebnisses in (I) erhält man y. Morris-Brown, Dit!. Equations, S. 153, 37-1.

8.15 .x'(t) +Y'(t)_y=et , 2w(t) +y'(t) +2y=cost X

= et

+ 17 sm t I)

•

3 f7

2 e 1 1slllt . y=-g - 17

C08

t

+ C1 +. 3 C2 e

4/

+ 17cos 4 t

_ 4 C2

,

e41.

MorTia-Brown. Diff. Equations, S. 142, 369.

8'16 4w(t) +9y'(t) +2:r+31y=e1, 3:1:'(t) +7'J'(t) +.x+24y=3 Man löse das System nach x' und y' auf und verfahre dann wie bei 8· II. Man erhält 31

X

=

y

=-

1

26 e -

:3 et

+ (CI COS t + CI Sill. t) e , + 167 + [(Cl - C2 ) sin t - (Cl + C2 ) cos t] e- 4t •

93 17

FOTSyth-Jacobsthal. DGlen, S. 323, 801.

-4/

19-- 25.

Systeme VOll zwei Gleichungen 1. Ordnung mit beliebigen Koeffizienten.

611

Nach dem Muster von 8· 16 erhält man , + (01 t + 0)-41 2 e 19 (0 0 0)-41 + 36 e 1t + 1 + 2 e .

31 1 49 21 x=2[je- 36 e

Y

11 1 = - 2g e

2/

FOf'ayth-Jar,oosthal, DGlen, S. 323, 801.

4~(t) +9y'(t) +44:r+49y=t, 3~(t) +7y'(t) +34:r+38y=e'

8'18

Nach dem Muster von 8'16 erhält man

+ 0 Je-6/ + 0 2 e , 17 t 55 + 24 + 4 0 -61 0 -1 Y = - 3 '9 7 eIe 2e . 19 t 29 I e x=3 - !56f - 7

-I

t

I

Forsyth-Jucobsthal, DGlen, S. 323, 801 (Druckfehler).

19-25. Systeme von zwei DiHerentialgleichungen erster Ordnnng, deren Koeffizienten nicht konstant sind. ~'(t)=:rJ'(t)

+yg(t),

x = ((\ cos G

mit

+ O2 sin G) F,

F

.lf (t) +

y'(t)=-~g(t)

y

= exp f I(t) dt

I

+Y/(t)

8'19

= (- Cl sin G + 02 cos G) F G =

f g (t) dt .

«(I:r + b y) I(t) = g (t), y' (t) + (c:r + d y) I(t) = h(t)

8·20

(a) a d - b c =1= O. Man multipliziere die erste DGl mit oc, die zweite mit fJ und addiere dann beide. Man erhält (1)

(1.

X'

+ fJ y' + [(oc a + fJ c) x + ((1. b + fJ d) y] 1 (t)

= oc g

+ fJ h .

Man wähle nun oe, fJ so, daß für eine passend zu wählende Zahl oca +fJc =8(1. ist.

Dafür muß

8

(2)

oeb +fJd =8fJ

eine Lösung der charakteristischen Gl 82 -

sein.

und

8

Dann wird aus (I)

+ d) 8 + a d - b c = 0 für z (t) = oc x + fJ y die lineare

(a

DGl

z'(t) +8z/(t) =ocg(t) +fJh(t) ,

die man ohne weiteres lösen kann. Hat die charakteristische GI lowei ver'lchiedene Lösungen 8 1 , 82 , so kann man dieses Verfahren für beide 39*

612

C. 8. Systeme von linearen Differentialgleichungen.

Zahlen 8 1 , 8 2 durchführen und erhält zwei DGlen (2) mit rr.,., ß. für Funk. tionen Z, (1' c= 1, 2). Hat man diese beiden DGlen gelöst, so erhält man aus x + PI Y = Zl' ~ x + ß2 Y die Lösungen des gegebenen DGlsSystems. rr.l

(b) a d - bc = 0, der Gestalt x'

la! + Ib I > O.

+ (a x + b y) j

z?

=

Dann ist dH.S gegebene System von

(t) = g (t),

+ ;. (a x + b y) f (t)

y'

=

h (t) .

Die Lösungen erhält man aus der für sich lösbaren DGJ x'

+ (a + bA) xj(t)

und aus der Gl y

+ bj(t).r (). g.- h) dt

~~ g (t)

= Ax +

J (h -

2 g) dt .

Forsyth·Jl.lcubsthal, Dmen, S. 32!J.

8'21

z'(t)=zcost, y'(t)=ze- sillt X

Y = Cl t

=,C1 exp sin t,

+ C2 .

Sernt.Scheffers, Differential· una Integrairechnung III, S. 80f.

8'22

Iz'(t) +y=O, ty'(t) +z=O x = C t 1

+ Ot

2

'

o

YI=-Ct+ 1 t2 .

Morris·Brown, Diff. Equations, S. 18.

8'23 tz'(t) +2z=t, ty'(t)-(t+2)z-ty=-t X

=

t 3

+ Cl t -2 ,

Y

+ C2 e

=- x

t

.

Forsyth.Jacobsthal, DGIen, S. 327, 802.

8'24 tz'(t) +2 (x-y) =t, ty'(t) ... z +oy=t2 x =

3t

t ' ·3

10 + 15

+ 2 Cl C + C2 C!,

t

Y = -- 20 + 15 - Cl t-·,·- C2 [ 4 . 2 i"

Forsyth.Jacobsthal, DGIen, S. 329, 802.

8.25

=

t (1- 2 sin t) z + t 2 y, t 2 (1- sin t) y'(t) = (t cos t - sin t) x + t (1- t t'os t) Y

t 2 (1- sin t) x' (t)

•

26--43· Systeme

VOll

zwei Gleichungen von höherer als enlter Ordnung.

613

26-43. Systeme von zwei Differentialgleichungen von höherer als erster Ordnung. ;r'(t) +y'(t) +y=j(t), .e"(t) +!I'(t) +y'(t) +a: +y=g(t)

8'26

Die einzige Lösung i,;t

x=g+g'-f-f'-f", y=f+f"-g'· Auf den ersten Blick ma.g es so aussehen, als ob das im Widerspruch zu dem Existenzsatz von A 5'2 steht. Aber dieser Satz bezieht sich nur auf solche Systeme, die in der Form geschrieben werden können, daß links allein die Ableitungen der gesuchten Funktionen stehen, und zwar immer nur die Ableitung einer Funktion, rechts dagegen die Ableitungen nicht vorkommen. Diese Schreibweise ist für das obige System nicht möglich. Forsytk.Jacobsthal, DGlen. S. 318; das obige Beispiel wird dort Okrystal zu· /Zeschriel>f'n. Vgl. auch 8'14'

2x'(t) +y'(t.)-3.r=0, x

=

y

=-

:

mit

IX

.r"(t) +y'(t)-'2y=e21

+ Cl e' + [4 C eos IX t + 4 Ca sin IX t] e§!, ~ e + Cl e + [(- 7C Ca (23) COS IX t + (C

e21

8.27

2

21

l

2 -

2

V23- 7 Ca) sin

IXt]

et

=-} 123.

.1·'(t)-y'(t) +.1:=2t, x"(t) +y'(t)-9.r+3y=siu2t ' .r = (C'1

+ (''2 t) e + ".) Ca e

y = [2C 1

!

-;lI

36. 2 eos 2 t 325 sm 2 t - 325

-

8'28

+.}:;, t +'...

+ C2 (2t-1)]e t + 2Ca e- 3t + 31265 cos 2t-;275sin 2t + 6 t + 10.

Morris·BrowlI. Diff. Equations, S. 138-141.

.r' ( t) -.r + 2 IJ = 0 , .r" ( t) - 2 y' (t)

= 2t-

CQS

'2 t

8'29

)fan kann y eliminieren und erhält x

=

2 Cl

Y

=

C

1

+4C

2

I

e2 _ t2 _ 4 t

I

+ sin 2 t i44

C08

'2 t ,

+ Cze _!:.2 _ t + 2 + 9 sin 2 t.± 2 eos 2 t 68 2

MOTris-Brown, Diff. Equations, S. 154, 374.

614

8'30

C. 8. Systeme von linearen Differentialgleichungen.

t:r'(t)-ty'(t)-2y=O, tJf'(t) +2:r'(t) +Lr=O _ C

0

X-I'

Y

=StS

+ C2 -cos[ -t + C3sintt'

+C (cost_2sint) +C (Sint t

2

tl

t

3

+ 21 O.

Gestalt

Y1,2

t

+ C2)

E, Y

= Cl E .

Das DGIsSystem ist. dann von der y"

= ),

(a x

+ b y) .

26-43. Systeme von zwei Gleichungen von höherer als erster Ordnung.

615

(0.) a+bÄ=t=O:

(t Y-a-+-b---:-;') + C2 exp (- t Va + b;') + C3 b t + C4 b, y = Cll. exp (t Ya + b;') + C2 ;' exp (- t Ya +~) - Ca at - C, a. x

=

Cl exp

(b)a+bA=O: x

= Cl b t3 + C2 b t 2 + C3 t + C4 , Y = ;. x

+ 6 Cl t + 2 C2 •

FOTsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 323, 801 (unvollständig).

Das zugehörige homogene System kann nach 8.32 gelöst werden. Daher genügt es, eine Lösung des unhomogenen Systems anzugeben. ba - aa bl =F 0: x = A, y = B, wo A, B die Lösungen von a l A + b1 B + Cl = 0, az A + b2 B + Cz = 0 sind. (B) al b2 - az bl = 0, ai + b~ > o. Die DGlen sind in diesem Fall von der Gestalt

(A)

~

a x + b y + Cl' y" =;. (a x a + b;' =F 0, so ist eine Lösung x"

Ist r

=

x = :

Ist a

T

=

(Ä. Cl - Ca) t 2

:2 (a CI

-

+ b C~),

+ b y) + C2 .

Y = ;. x

+ b;' =

0, so iRt eine Lösung t' t2 x=b(c2 -}..CÜ 4 ! +C l -2 '

x" (t) +;x; + y

=- 0,

+i

(C 2 -

I. Cl) t 2 •

1 y=).x+2"(Ca -ACl )t2.

y" (t) - 4;l) - 3 y

=- 3;

Sonderfall

VOll

1)·33·

+ (t - 1) CJ e' - [t C3 -1- (t + 1) CJ e- t , y = - 23 + [(2 t + 2) Cl + 2 t CJ e + [(2 t - 2) Ca + 2 t CJ e-

8·34

x= 18 - [t Cl

l

= [3 cos (at +b)-l] y" (t) = [3 sin (a t + b) - 1] c

z"(t)

C2 ;l)

2

2

2

3

+2c2ysin2 (at +b),

y + ~ c2;l) sin 2 (a t + b)

+ b) sin T = 2 c2 (x COS T

Aus den GIen folgt (T = at

x"

+ y"

COS T

x" sin T

-

y"

COS T =

c2 (y COS T

-

+ Y sin T), x sin T)

und weiter, wenn u (t)

=

x

C08 T

+ y sin T,

v (t)

= x sin T -

Y cos T

I•

8·35

616

C. 8. Sjsteme von linearen Ditferentia4rleichungen.

gelietzt wird,

u"

+ 2 a v' -

+ a2 ) u =

(2 c2

0, v" -

2 a u'

+ (c 2 -

a2 ) v

= o.

Damit ist das System auf ein System mit konstanten Koeffizienten zurück. geführt. J. LicJ1wille . •Journal de Math. (2) 1 (1856) 257. Fo/"syth.Jacob8thal. DGlen. S. 346. 8tH.

8'30 .r"(t) +6x+ly=O, y"(t) +3.r+2y=2t x

=

Y=

Cl

-

C'

+C

2

+ 7 ('3 COS 3 t + 7 C sin 3 t + e- t + 3 C COS 3 t + 3 C sin 3 t -

e-'I

Cl el - C2

4

3

1:

4

t,

~.

Morris-Bro!lm. Difl. Equations. S. 154. 375.

8'37 x"(t)-ay'(t) +b.r=O. y"(t) +u.x·,(t) +by=O DGlen dieser Art treten auf bei der Untersuchung der Horizontal. bewegung eines Pendels bei Berücksichtigung der Rotation der Erde.

r

Cl cosat

=

+ C2 sinat + C3 cosß ( + C4 sinßt.

+ C2 cosoct -

Cl sinoct

y = -

für a2

+ 4 b > 0;

Boole, Difl. Equations, S. :l06.

8· 38

"1

x" + b l x' +

Cl

2 a,

+ C,cosß t 2 ß = a ± Va2 + 4 b . C3 sinß t

Forsyth-Jarobsthal. DGlen, S. 321.

.r - A. y' = B e i '" I,

"2

y" + b 2 y' +

C2 Y

+ .:1 x' = 0

DOlen für die Schwingungen von Schiff und Schiffskreisel. Das homogene System kann nach A I3'I gelöst werden. Um eine Lösung des uno homogenell Systems zu erhalten, geht man mit dem Ansatz .e = A e;Iul, y = B eiwt in das System hinein. Genaue Disku8lo;on der Resunallzfunktionen nebst zahlenmäßigen Untersuchungen für einige Schiffe bei E. Hahnkamm, Ingenieur-Archiv 5 (1934) 169-178.

8'39 z" +" (x' - y') + b1.z:

=

Cl

eiwt ,

y" .. " (y' - X") .. b 2 Y

DGlen eines reibungsgekoppelten Schwingungssystems. sungsmethode gilt dasselbe wie bei 8'38.

=

C2

eiwl

Für die Lö-

Genaue Diskussion der Lösungen im Hinblick auf RellOnanzerscheinungen und Anwendung auf den Kreiselkompaß von AnacMitz und den FIiegerhorizont der Askania-Werke bei E. Hahn.kamm, Zeitschrift f. angcw. Math. Mech. 13 (1933) 18.!!-202.

617

44- 57· Systeme von mehr als zwei Gleichungen.

+ b ll Z' + Cu z + a 12 y" + b 12 y' + C 12 Y = 0 "21 z" + b 21 Z' + C 21 :.r. + a22 y" + b 22 y' + C 22 Y = 0 f1u Z"

Das System kann nach der allgemeinen Methode von A 13 gelöst werden. VgI. auch W. Quade, Über die Schwingungsvorgänge in gekoppelten Systemen, ingenieur-Archiv 6 (1935) 15-34. Dort wird u. a. die Einteilung solcher Systeme nach den Kopplungsarten der zugehörigen mechanischen Syst.eme kritisch untersucht. ~1I-2:.r.'-y'

+y=O, y"'_y" +2z'-z=t x = - t- 2 Y

= --

+ 2 Cl e- t -

2 - 3 Cl e- t

(2 C2 t

+ C3 ) e

l ,

+ (C2 t2 + C3 t + C4 ) el .

.1.'"(t) +y"(t) +y'(t)=EHn2t, 2z"(t) +y"(t)=2t 21 C C C' + IT1 - 161 e2t - -2t+1_ 8- e + 1 + 2 t + 3 e 2 2t + 1 -21 e - 2C3 e-21+C4' ?_/ -t2 -1}+ S1e21+ --4-

.~

.

tS

3

="4

-21

,

Diff. Equations, S. 142. 370.

M()rri.~-Brown.

x"(t)-.r'(t) +y'(t)=O, .r"(t) +y"(t)-:.r.=O ;r

mit, 2 oc

=

Cl el

= 1+

+ C2 0ce xt + Caße

V5,

2 ß= 1 -

fJI ,

y

=

8'43

C4 - C2 e' l - Ca eilt

(5 .

Morris-Browrl. Diff. Equations. S. H2. 370.

44 -57. Systeme von mehr als zwei Differentialgleichungen .

.r'(t) =2.1'. y'(t)=3.r-2y, z'(t):=2y+3z

8'44

Die DGlen können nacheinander gelöst werden'. x=4Cl e21 , y=3Cle21+5C2e-21, z=-6Cle21-2C2e-2t+Caeal. Morris-Brown, Diff. Equations, S. 146f.

z'(t)=4.r, y'(t)=.:r-2y, z'(t)=:.r.-4y+z Die DGlen können nacheinander gelöst werden. x

=

18 Cl e41

y = 3 Cl e41

+ 3 Cz e-

2t ,

z

Morris-Browrl. Diff. Equations, S. 153, 374.

=

2 Cl e40t

8'45

+ -1 C

2

e- 21

+ Ca e

l •

618

8'46

x'(t)=y-z, y'(t)=z+y, z'(t}=z+z x

8'47

C. 8. Systeme von linearen Düferentialgleichungen.

=

Cl

+ C2 e',

Y=

-

Cl

+ (C2 t + Ca) el ,

z

=-

Cl

+ (C 2 t -

C2

+ Ca) e t.

x(t)-y+z=O, y'(t)-z-y=t, z'(t)-z-z=t Aus den GIen folgt y' - z' = y - z, also y - z = Cl et. Nun kann man die erste und dann eine der beiden übrigen DGIen leicht lösen. Man erhält so x=Cl el +C2 , y=(C1 t+Ca)e!-t-l-C2 , z=y-C1el .

8'48 ax'(t)

=bc (y-z),

b y'(t)

=c a (z-z) ,

c z'(t)

=a b (x- y)

+ rCl cosrt + bca (C 2 - Ca) sinrt, y = Co + r C2 cos r t + cba (Ca - Cl) sin r t , z = Co + r Ca cos r t + ab (Cl - C2 ) sin r t c 2 2 2 2 2 r = a + b + c , a Cl + b2 C2 + c2 C3 = 0 . x

mit

= Co

Aus den DGIen findet man auch unmittelbar

= 0, also a2 x + b2 Y + c2 Z = C . d. h. die IKurven x = x (t), Y = Y (t), z = z (t) sind ebene Kurven. a2 x'

8'49

x'(t)

+ b2 y' + c2 z'

=c y-b z,

y'(t)

=a z- cz,

z'(t)

=b x-a y

+ r Cl cos r t + (c C2 - b Ca) sin r t . + r C2 cos r t + (a Ca - c Cl) sin r t . = + r Ca cos r t + (b Cl - a C2 ) sin r t. 2 2 r = a + b2 + c2 , a Cl + b C 2 + c Ca = 0 . x

= a Co

Y z

=

b Co c Co

mit Aus den DGIen findet man auch unmittelbar

ax'+by'+cz'=O, d. h. die IKurven x = x (t), Y

also

ax+by+cz=C,

= Y (t), z = z (t) sind ebene Kurven.

Ferner ist xx' + yy' + zz' = 0, also x 2 + y2 + Z2 = C*, d.h. die Kurven liegen auch auf diesen Kugeln und sind somit Kreise. Vgl. auch ForsytJ..Jacobsthal, DGlen, S. 329. 803.

8'50 z'(t)=hy-gz, y'(t)=jz-hJ:, z'(t)=gx-jy, 1=I(t), g = g(t), h = h(t).

Zunächst ergibt sich

619

44- 57· Systeme von mehr als zwei Gleichungen.

Aus den Lösungen mit C = 1 erhält man alle übrigen durch Multiplikation mit einer beliebigen Konstanten. Es genügt also, den Fall = 1 zu behandeln. Führt man für 0=1 neue Funktionen ~(t), 1](t}ldurch

°

•

1:

x+~y=~

ein, so erhält man für

~

~'

7J

die Ricca.tische DGl = 9~

und dieselbe Gl für 1] statt Darbo'U~,

(1 ) X-lY=--. z-l -z,

s! ~ _ i h ~ + 9 ~sf

~.

Theorie des lIurfaces I, 2. Auß. Paris 1914, S. 27-31.

.l!'(t)=a:+y-z, y'(t)=y+z-a:, z'(t)=z+a:-y x e- t = 00

+ 01 Y3 COS t Va + (02 -

03) sin t

ye- t

= 00 + oaV3 cos t Y3 + (Oa -

01) sint

z e- t

= 00

0,) sin t

mit

+ 03 V3 cos t V3 + (01 -

8.5 1

l'3, ys,

Va

a:'(t) =-3a: +48y-28z, y'(t) =-4z +40y-22 z, z' (t) 6 z + 57 y - 31 z x

=

301 et +

=-

4° e + 2° 2 2t

z = 3 01 e'

3 eSI ,

+

+

y = 2°1 et 02 e21 31 3 03 e •

O2 e21

+

+ 2°3 eSI ,

MOrrS8-Brown, Diff. Equations, S. 147, 370.

a:' (t)

= 6;.r: -

72 Y + 44 z, y' (t)

z'(t) x = 2 01

=4z-

=6z-63 y +38 z

43 y + 26 z,

8·53

+ 3 02 e21 + 4°3 e- I , y = 2 01 + 2 02 e2 t + 03 e- t , Z = 3 01 + 3 O2 e21 + 03 e- I •

Morria-Brown, Diff. Equations, S. 147, 370.

a:' (t) = a a: + y y + ,j z y' (t) y z + b Y + a z z'(t) [lz +ay + cz

8·54

= =

Die charakteristische GI ist (8- a) (8- b) (8"- c) - «'I. (8- a) - {Ja (8 - b) _)'2 (8 - c) - 2 «{Jy

Ist

a -P"I - = h -ot"l ot P

ot/J =c- -=(!

"I

'

= o.

620 80

C 8. Systeme von linearen Differentialgleichungen.

hat das System die Lösungen C --- C e2t + - e"t y - C X

-

../1

Cl'

C..l

wo

IX

-

+ CI + ?2 = ß

ist.

y

2

0,

e pt

(J

I

,

= 0 ~

C fJ- e'"' ,

z

=

C3 ePI

..L U e,,1 I,

i'

J

+ tJaoy + y~ + ao] ß ;,

POl'sytk-Jacobstkal. DGlen, S. 518.

8'55

tor' (t) =2 x-t, tay' (t)

=- x + t 2 Y + t, t 1 z' (t) =-x-t2 Y + tSz + t

Man kann zunächs.t die erste DGI lösen, danach die zweite und dann die dritte. x = t + Cl t2 , Y = Cl + C2 t, z = Cl t- l + C2 + C3 t. Serret.8ckeffera, Differential- und Integralrechnung IB, S. 2821.

8'56

atx'(t)=bc(y-z), bty'(t)=ca(z-x), ctz'(t)=ab(re-y) Die Lösungen sind die LöslIngf'n von 8'48, wenn in die~en t durch log It I ersetzt wird. Por8'!Jtk-Jacobstkal. DGlt'll. Ho

8'57

(t) x; (t) ;r~ (t) x~

= =- a =- b

32~.

80U.

+ a X2

+ b .Fa COS {~ t + b X 4 sin c t + b .r~ sin (' t - b ;':4 eos c f

Xl Xl

COS ~ t - b J: 2 sill C t + b x 2 COS c t-"

.r~ (t) =-b ;1\ sin (' f

+ a

J: 4

J':!

Aus den DGlen folgt, daß die Lösungen df'1ll :-lystem .l:~'

+

C

x~

+ ·m Xl

= 0,

X~

-

C

X~

+m

X2

= 0,

~owie einem ebensolchen System mit xa ' x 4 statt Xl' X 2 genügen; dabei ist m = a2 + b 2 + a c. Jedes dieser beiden Systeme ist von dem Typus 8· 37. Ist c2 + 4 m > 0, so hat man in den Lösungen von 8'37 nur nocl:. die Konstanten so zu bestimmen, daß die LÖlmngen das obige System erfüllen. Man findet so

Clcos:xt +C2 sinlXt +Cacosßt +C4 sinßt, Cl sin IX t - C 2 COS IX t + Ca sin ß t - C4 COS ß t , .ca = Y Cl sin ß t + Y C2 COB ß t + Ö Ca sin IX t + b C4 COS IX t , x 4 = - Y Cl COS ß t + Y C 2 sin ß t ~ b C 3 eos IX t + b C 4 sin IX t x1

=

:1:2

=

mit IX,

ß = ~ c ± ~ Y(2 a + C)2 + 4 b2 ,

Porsytk.Jacobstkal, DGlen, S. 346, 813f.

by

==

a

+

IX,

b0

:=

a

+ ß.

9. Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen. 1-17. Systeme von zwei DiHerentialgleichungen. ;r'(t)=-x(x+y), y'(t)=y(x+y) Aus den DGleIl folgt y x' + x y' = 0, also x y = C. Hiermit reduziert si rh das System auf die eine DGl mit getrennten V0).

C 2 X=C'3Y

Senet-Sehe/jeTS. Differential- und Integralrechnung HI, S. :!83f.

.X,'2

+ t x' + a y' -

.1:

=0,

x' y' + t y' - y

=0

Dureh Differenzieren und Eliminieren von y erhält man die zerfallende DGl [3 x'2 + 4 x' t + t2 - x] X" = fI . x" = 0 führt zu den Lösungen x

= Cl t

+ C2 ,

aY =

(C2 -

Ci) (t

+ Cl) .

Bei Nullsetzen des ersten Faktors hat man die DGI 1'402 und gelaugt so zu x = -

~ t2

+ 2 C t + 12 C2,

l'orsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 518.

a y = C (t

+ 4 C)2.

9'12

624

9'14

C. 'J. Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen.

x=tx' +/(x',y'), y=ty' +g (r,y');

Clairautsches DGlsSystem.

Lösungen sind die Geraden x

=

ta

+j

=

y

(a, b),

tb

+ g (a, b)

mit beliebigem a, b; außerdem noch etwa vorhandene Einhüllende deI Geraden und stetig differenzierbare Kurven, die sich aus den beiden Arten zusammensetz(n laBsen. S~rrel.Schefler8,

9.15

Differential· lind Integralrechnung BI. S. 334-· 331i.

r' (t) =a e~x _ e- + e- 22" eos2 y. I

y" (t)

= e· 2 x sin y «:oS y _ sin.,lL 3 008

y

Einzelne lKurven sind angegeben bei C. Störmer, Zeitschrift f. Astrophysik 1 (1930) 237-274 sowie bei G. &hulz, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 14 (1934) 2iti.

DGlen der Bewegung eines Massenpunktes m der .c, y-Ebene, unter dem Einfluß einer Gravitationskraft. Das System kann nach dem Muster von 9'26 behandelt werden, oder auch so: Durch Übergang zu Polarkoordinaten mit x

= r cos q,

!I

=

r sm rp

Cf = (I'(t)

r= r(t),

t'rgibt sich lind weiter, wenn Cl =t= 0 ist, also die Bewegung nicht in emer Geraden durch den Nullpunkt erfolgt, also

dr d .rp

= ± C'::" (02 r 2

-

2 kr - Ci)i,

"1

r [C eos (cp -- '1'0) -

k) =

Ci,

('2 =

C2

Ci + k 2 .

Datl ist die GI eines Kegelschnitts. V gl. auch .Maulton. Diff. Equations, S. !J2tf.

DGlen für die Koordinaten x, y eines fliegenden Geschosses: dabei ist g die Schwerebeschleunigung, C (y) j(v) das für die Höhe y bei der dort

1-17.

625

Syst('me von zwei Gleichungen

herrl:!chenden Luftdichte geltende Widerstandsgesetz. Ist {} der Neigungswinkel der Bahntangente, d. h. ist

x' 80

= v cos

y' =

{j,

l'

sin {),

können die DGlen auch in der Gestalt

#t (v co" {j) = -

i

(v sin {j)

=-

C (y) j(v)

COI:!

ff,

C(y)j(v) sin {} -

g

geschrieben werden, Aus diesen DGlen folgt y' ({})

(1)

t,2

= - g tg

d

(2)

{} ,

G(y)

für v

d& (v cos {}) = -g- vj(v)

=

'v(ff).

Dito zweite DGl heiilt Hauptyleichung der äußeren Ballistik. Kann mit au:;reichender Genauigkeit angenommen werden, daß C (y) nicht von y abhängt, so kann (2) für sich gelöst werden. Dureh die Transformation l )

(j)

v({})=eU\r i ,

r=logtg(~+

J)

geht (2) über in

u' ('r)

(2a)

=

[g T

+ -Gy f(e

U );

in dieser Form kann dieDGl bei beliebigem Luftwiderstandsgesetz f(v) mit au;!reiehender Genauigkeit graphisch integriert werden. Ist daR Wider. i'tandsgesetz speziell f(v) = a v" b

+

(Euler für n = Hehe DGl für

b = 0; allgemein bei d'Alernbert), so ist (2) eine Bernoulli· I' ({}); il:!t (d'AlErnbert) ~,

j(v) = a log v

+ b,

so geht (2) für u ('I'f) = log v in eine lineare DGl für u über. In diesen beiden Fällen karill also (2) in geschlossener Form integriert werden. Darf C (y) nicht als konstant angenommen werden, so erhält man auS (I), wenn neben (3) noch y({}) = z(.) gesetzt wird,

(Ia)

Z'(T)

=-

1 9

e2u [g r ,

Das System (1 a), (2a), wobei in (2 a) C (y) durch C (z) zu ersetzen ist, kann nun ebenfalls graphiBeh integriert werden. Für Geräte zur Lösung der OGlen 8. A 32. I) R. Rothe, Sitzungsberichte Berlin. Math. Ges. 16 (1917) 92- 97. C. Gran:R. Rotlte, Artill. Monatsh. 19171, S. 197-239. Bd. XVIII: Kam k e. Differentialgleichungen I.

40

9.17

c.

626

9. Systeme von nichtliuearen Differentialgleichungen.

Lit.: Granz, Ballistik. Moulton, Exterior Ballistic~. P. Gharbonnier, Traite dl' balistique exterieure, Paris, I 1921, 11 1927. D. Jac1cson, The method of numerical integration in exterior ballisticsj War Department Washington, Document No. 984. 1921. G. Granz - W. Sckmundt, Berechnung einer Geschoß-Steilbahn unter ße· rücksichtigung des Kreiseleffekts und des Magnuseffekts, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 4 (1924) 449- 463. Ömer Lutfi Balik, Prüfung der wichtigsten Met.hoden der äußeren Ballistik zur Ermittlung der Geschoßbahnen hinsichtlich Ge· nauigkeit und Zeitaufwand; Wehrtechn. Monatsh., 1. Sonderheit 1930. L. Hänert, Geschütz und Schuß, Berlin 1940. K. Bwnge, Das Problem der Flugbahnberechnung, Berlin 1940. K. Athen, Ballistik. Leipzig 1941.

18-29. Systeme von mehr als zwei Differentialgleichungen. 9. 18 .x'(t)=y-z, y'(t)=;x:2 +!I, z'(t)=.r2 +z Aus den DGlen folgt x' - y' man dieses ein, so findet man

9.19

x = Cl

+ C2 el ,

az'(t)

=

y

=-

(b-f') !jZ.

Ci

+ z' =

0, also x - ,Y

+ (2 Cl C2 t + Ca) el + C~ e~l,

by'(t)=«·-a)zx.

Aus den DGien folgt leicht a x2

+ b y2 + C z2 =

G\,

a2 .c2

+z =

C.

z = y -.r

Trägt

+ G\.

('z'(t)=(fI-b)x!/

+ b2 y2 + c 2 Z2 =

C2 .

Durch .\uflösen dieser GIen nach y, z und Eintragen des ErgebnilSselS in d.ie erste DGl erhält man eine DGl erster Ordnung, die auf elliptische Funktionen führt. Oder man lSetze b c 'u = (a - b) (a - c) x 2, ac v = (b - a) (b - c) y2, ab 10 = (c - a) (c - b) z2, -:3 C = u v w .

+ +

Dann ist

: + 'u = e1 ' (+ v = e2 , ~ + U' = ea mit el + e2 + ea = 0, und das System wird auf die durch ellipti,;che Funktionen lösbare DGI zurückgeführt. l'oTsyth.Jawbsthal, .oGlen, i:i. 346, 81:!f.

()'Zo

.r'(t) =x (y-z),

y'(t) =y (z- ..c).

z'(t) =z (x-y)

Die Integralkurven sind die Schnittkurven der Flächen

+ +

:1' y z = Cl' For8yth-Jacobsthal, DGlpu, S. 333f.

X

Yz

= C2 •

627

18- 29. Systeme von mehr als zwei Gleichungen.

.x'(t)+y'(t)=;xg. y'(t) +z'(t)=yz. x'(t)

+z'(t)=~z

Vgl. HlIlphen, Fonctions elliptiques I, S. 330.

Vgl. Halphen, Fonctions elliptiques I, S. 331.

x' (t)

=;x;

(y2 - Z2), y' (t)

=Y (Z2 -

;X2), z' (t)

= z (:1:

2_

y2)

Die I Kurven sind die Schnittkurven der Flächen );2

+ y2 + = Cl'

X

z2

Yz

= C2 •

Die IKurven sind die Schnittkurven der .Flächen x2

.r'

=-

-t

x y:! +.1; + y, y'

y2

=

+ z2 =

;X2

Y-

Cl'

;x -

YZ

z'

y,

=

X

C2

=y2 _

•

;X2

Die IKurven sind die Schnittkurven der Flächen x2

jj.f' .r"(t)=jjx'

+ y2 + log

jjE' y"(l)=jjy'

Z2

= G\, z (x y - 1)

=

C2 .

llF z"(t)=jjz'

9. 26

wo F = P(r) eine .Funktion von r = Vr-X-'2-+-'--b-2-+-Z-2 ist; DGlen der Bewegung eines Mas~enpunkt.e,., unter dem Einfluß einer Zentralkraft.. Lit.: POTsyth-Jacobsthal. DGIen, S. 340-343.

Die DGlen können vektoriell in der Gestalt .[. =

grad P

oder

,.

r ,

F' (r)

= -I'

l"

(~ -= Vektor mit den Komponenten x, y, z) geschriebl'n werden. .Es ergibt sich leicht 2 = 2 (p +.C I ) ( Energiesatz), (Flächensatz), ~ X = c .r. c = 0,

t t

40*

c.

628

9. Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen.

d. h. jede Bahnkurve liegt in einer Ebene, die durch den Nullpunkt geht. Den Vektor ! (t) selber kann man so erhalten: Durch

rC~dr

t=frt +C2 , rp=f mit Ca

Icl,

=

R2

= 2,2 (F

+ Cl) -

sind, und (durch Vermittlung von, auch) Cf! als finiert. Die Lösungen der DGlen sind dann ~ = ,

wo

=

a2

b2

(a cos rp

C; ~'unktionen

von t de-

+ b sin rp) ,

= 1, ab = 0 sein muß.

9.27 (;E-Y) (;E-Z);E'=j(t),

(Y-;E) (y-z)!/=j(t). (Z-;E) (z-y)z'=j(t)

Die x

Lö~!Ungen

+ y +Z =

erhält man aus Cl'

X

+Y z +z x = C

Y

2,

X

YZ

=

+If

Ca

(t) dt.

Serret-Scheffers, l)ifferl'nt.ial- und Integralrechnun!! III, S. 2831'

9'28

sin J:a +;E5 COS ;E3' ;E~ (t) =;E4 COS .T3 - :lls sin ;Ea, ;Eat) +;E{ (t) COS.T2 = a, J~; (t) - (1-).) a;.(;5 = - m sill J:z COS;Ea • .r~ (t) + (1 - j.) (;.;};4 = m sill J:2 sin J:3 ;E{ (t) Sin;E2 =;E4

Die DGlen treten in der Kreiseltheorie auf; vgl. z. B. Jloulton, Dift. Equations, S. 156. Dort steht "P, {}, Cf!, w1 ' w~ statt ;C 1 ' ... , x s . diesp veränderte Bezeichnung wird auch hier weiterhin benutzt. Aus den heiden letzten DGlen des obigen Systems erhält man dann

+ W~ -

W~

(1)

2 m cos 0

=

G\

und hieraus mit Hilfe der bei den ersten GIen (la)

"P'Z sin2

{)

+ 0'2 -

2 rn

COH /)

= (\ .

In ähnlicher Weise ergibt sich (2)

(W 1 sin rp

+ w 2 cos cp) sill 0 + a A, COH {j =

oder "P' sin2 0

(za)

Aus (la) und (2a) folgt {)/2

sin2

{}

+ a A, cos 19 =

Ct

C2 .

+ a2 A,2 cos + 2 (m + a A, C2) cos {) + (\ -

=-

2 1n cos3 {j - (G\

=F

(cos {})

2

{j)

C~

629

18-29. Systeme von mehr als zwei Gleichungen.

und hieraus für u(t) = cos f} u'2 = - 2 m(u - u1 ) (u-~) (u- Us)

mit reellen u1 ' ~, Us. Damit ist das ursprüngliche System auf eine durch elliptische Funktionen lösbare DGl 1'71 zurückgeführt. Für die weitere Diskussion R. z. B. Moulton, &. &. O.

oe" (t) •

= "z. ~F

(11

= 1, 2, ... , n), wo F

= F (r),

r2

= xi + ...

+ x!

ist.

Lit.: M. Binet, Journal de Math. (1) 2 (1837) 457-468.

Wird der Vektor ~ = (Xl' ... , xn) eingeführt, so erhält man die Lö· ;IUngen wörtlich wie in 9'26 bis auf' den Flächensatz, der hier lautet.

x'x-xx'=O IJ" p." /J,"

9.2 9

10. Funktional-Differentialgleichungen. 10·1

Y'(X)=Y(X-g), ;~O. Lit.: F. Schüre!", Berichte Leipzig 64 (191~) 167-236; G5 (1~13) :239-246 (Verbesserungen zur ersten Arbeit), 247-263. G. Barba, Atti Accad. Lincei (6) 11 (1930) 655-658, 735-740. Vgl. auch IQ'II und IQ·6 sbwie E. C. TitchrTWlrch, .Journal London Math. 80c. 14 (1939) 118-124.

Gesucht sind Lösungen, die für alle x existieren. Diese Lösungen sind notwendig beliebig oft differenzierbar. Man erhält sie folgendermaßen: Es sei f(x) eine .Funktion, die in dem Intervall mit den Endpunkten 0 und ~ beliebig oft differenzierbar ist und die GIen

j

1.

y'(.1:) y(z) =y(y(.1:» Für

also

cp(x)

=

10·8

f'" y~:)

a

,

wird cp (x)

cp(x)

=

1 y(x)

+ c = cp (y(xl).

=

y' (x) y (y(x» ,

634

C.

10.

Funktional-Differentialgleichungen.

1st 'I' = q;-1 die inverse Funktion zu rp, so folgt hierau~ 1

_

'p'(x) -

_

d. h. ~"(rp)

Oamit ist die gegebene DGI auf

+ C) ,

(

Y -1p rp

=

1p (rp

+ C) .

zurückgeführt.

IQ.!

G. Barba, Atti Accact. T,in('ci (ö) 11 (1930) 655-6511,

7~i)-

740

(O'9 Einige Gleichungen zweiter Ordnung mit leicht erkennbaren Lösungen.

(a)

yl/(x) = y(x -;t)

y

(b) y" = - y

(~

-

y(x) =

( c) 2 yl/

+ y ( x) -

=

Cl sin :1:

+C

2

co~.

X .

x)

y (;r -~ ;t) = 0 !I =

C\ + Cl eos x + C2 sill J' .

Die beiden Lösungen 1 und cos x stimmen an der erstell Ableitungen überein '

(d) 2 yl/(x)

.

C\ cos (x- ~~) + C2 Sin (:r- &~)

+ 5 y(x) + 3 y(:;r; -

x)

=

~tell{' .r

= 0

lleb~t

ihren

O.

Aueh diese GI hat zwei Lösungen y(x) = co~ x und eos;2.1:. die lleLtit ihren ersten Ableitungen an der Stelle x = 0 übereinstimmen. W. B. File. Transactions Americ. Math. Soc. 22 (1921) 313.

10·lU

!/" (x

+ 1) + J'!/" (x) = a y' (x + 1) + b y' (x) + (" Y (x) + /(J')

Oie GI tritt. bei der Untersuchung übel' das Verhalten von }{,eglem. insbes. über den Zeitverzug auf, der zwischen der Anderung der kontrollierten Größe und dem Einsetzen der \Virkung des Reglers eintritt. Ist fix) = 0, so führt der An:;atz y = C l'Xp e x auf die GI IJ (e- a) e~

+

(JI Q - b) (! - c = 0 .

Für f =1= 0 sind der Heaviside-Kalkül sowie numerische und mechanische Methoden (Bush-Analyzer) zur Lösung der DGI herangezogen worden. A. Callender - D. R. HartTee - A. Porter, Time Lag in a Control System. Philosophical Transactions London A 235 (1936) 415- 444.

I

"

Q.

I

y(n) (x) + Ea,. y(") (X- g,.) v=o

11.

635

Fun kHonal· Differentialgleichungen.

= g (X),

!(HI

> 1, a,. reelle oder komplexe Konstante, ;,. reelle Konstante.

Lit.: E. Schmidt, Math. Annalen 70 (1911) 499- 5~4. F. SchürfT, Bericht" Leipzig (ir) (1913) 139-143. L. Bruw'ier, Congres BC. Bruxelles 1930, S. B1- - 97; Mathesis 47 (1933) 96-105. O. Perron, Math. Zeitschrift 45 (1939) 127 H I.

Die Lösnngsverhältnisse der GI hängen von der Anzahl rn der Null. stellen (jedp mit· ihrer Vielfachheit gezählt) der ganzen tranRzendentell Funktion

=

jI' (;.)

+ E a,. (i Ä)' e -i U, n-l

(i ;.)'"

ab. Werden nur solche Lösungen betrachtet, die mit ihren n - I er:;tell Ableitungen für Ixl-+ 00 höchstens ",ie eine Potenz von lxi waehsen, so hat die GI für 1ft == 0 genau eine Lösung dieser Art; für m > 0 la~8ell sich 1ft linear unabhängige Lösungen (Pl'(X) , ... , q'm(;r) so angeben, daU die Gesamtheit. der Lösungen gerade (C,. beliebige

KOlltitu,llte)

ist. Für g 0 erhält lllan die (P,., indem lIlan für j('(le NnllHt.elIe I, die Funktionell

VOll

F

bildet, wobei .s die Vielfaehheit der betrachteten Nullste1lt' j:st. Nadl dH.H auch noch für einen allgemeineren Typ von DGlen.

E. Schmidt gilt

Für die l-;peziellere GI y(u)(x)

+ a 1 y("-ll (x

+ .. , +

+~)

(t"

Y Cr

+ n~) =

0

hat H/'llwier Lösungen der Gestalt ( I)

Y

(Xl =

,

DA

L-!"

(X+I';)V ll!

1'=0

unterRucht., wo die A" den GIen

A k +"

+ a, A

k + n _,

+ ... + a

ll

Ak

=

0

(k

=

0, 1, 2, ... )

genügen. Die unendliche Reihe (1) konvergiert in der ganzen komplexen x.Ebene, wenn k

k~~ V:Akl < e t~ I ist: vgl. hierzu au cl! Perron. a. a. O. Bei R. Radis, Bulletin math. Soc. Roumaine 30 (1927) 10ö -109 findet man Bemerkungen über Ranclwertaufgaben und deren Beziehung zu Intf'gralgleichungen.

636 ,n.

10·12

P

~

C. n

,,=0 q-O

FUllkt.iollal.Difterentialgleichungen.

p., y(P)(a:+S)=g(;l~)

Pa

~

10.

9

Vgl. die l.iteratur zu lO·II und E. Hilb, Math. Annalen 78 (1918) 137 bis 170.

E Op u-l

10·13

yl") (.r) +

y(/I)

(a: + Sp) +

)1=1

m

E Aq

y

(a: + %,) = 1 0, b < 0 die Hyperbelevolventen x

=±

Va ( 1.

(G)

=b Y

y(x)='YJ(~),

a(x-xo)=logv

~

-

1_~2

(O