Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe [Reprint 2019 ed.] 9783111410241, 9783111046587

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrieb. Iianz Mathematisch - naturwissenschaftliche

Klasse

Abteilung A. =

J a h r g a n g 1924.

6. A b h a n d l u n g .

: =

Die

verschiedenen Arten der Hauptidealringe Von

Wolfgang Krull in Freiburg i. Br.

Eingegangen am 20. Juni 1924 Vorgelegt von A. L o e w y in der Sitzung vom 20. Juni 1924.

Berlin

und

Leipzig

1924

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. GtJschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g R e i m e r I K a r l J. T r ü b n e r I V e i t & Comp.

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe. In der vorliegenden Arbeit verstehen wir gemäß der gebräuchlichen Ausdrucksweise unter einem „Ring" ein System von Elementen, die durch „Addition" und „Multiplikation" nach den bei den ganzen Zahlen üblichen Rechnungsregeln verknüpft werden können, wobei über die Umkehrbarkeit der Multiplikation, also über die Division, keinerlei Voraussetzungen gemacht werden. Im folgenden beschäftigen wir uns nur mit solchen Ringen, die ein Einheitselement der Multiplikation besitzen, und zwar fragen wir insbesondere nach denjenigen Bereichen, in denen man zu zwei beliebigen Elementen stets, ähnlich wie bei den ganzen Zahlen, ein drittes Element als größten gemeinschaftlichen Teiler finden kann. Vom Standpunkt der Idealtheorie aus 1 ) sind diese Ringe dadurch gekennzeichnet, daß in ihnen jedes Ideal ein Hauptideal ist, das heißt aus der Gesamtheit aller durch ein festes Element teilbaren Ringelemente besteht. Wir werden daher in Zukunft von „Hauptidealriugen" sprechen. Einfache Beispiele für Hauptidealringe sind außer dem Ring der ganzen Zahlen etwa der Ring der ganzen algebraischen Zahlen eines endlichen algebraischen Zahlkörpers mit der Klassenzahl 1 oder der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. All den eben genannten Bereichen ist das eine gemeinsam, daß es in ihnen keine Nullteiler gibt, daß also ein Produkt nur dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor verschwindet. Hinsichtlich der multiplikativen Zerlegung ihrer Elemente weisen diese Ringe eine außerordentliche Einfachheit auf. Es läßt sich nämlich jedes Element im wesentlichen eindeutig als Produkt von „Primelementen" darstellen, wobei ein Primelement genau wie die Primzahl im Bereich der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert werden kann, daß es außer dem Einheitselement keinen von sich selber wesentlich verschiedenen echten Teiler besitzt. — Wir wollen unter diesen ') Vergl. zu den in dieser Arbeit vorkommenden idealtheoretischen Sätzen und Begriffen: E. NOETHEB, „Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annal. 83. p. 23—07. Im folgenden wird diese Arbeit mit „ N " zitiert.

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WOLFCANO KRÜLL:

Umständen alle Haupt idealringe der eben gekennzeichneten Art als „Ringe vom Typus der ganzen Zahlen" bezeichnen.1) Neben die Ringe vom Typus der ganzen Zahlen ist noch eine zweite, besonders einfache und wichtige Art von Hauptidealringen zu stellen, als deren klassischer Vertreter das Restklassensystem nach einer ganzen natürlichen Zahl anzusehen ist. Hier treten im Gegensatz zu dem vorher untersuchten Typus Nullteiler auf, aber dafür ist jeder Nichtnullteiler Einheit, d. h. es ist stets die Gleichung r • $ = re durch ein Element x unseres Ringes R lösbar, falls r kein Nullteiler ist, und falls re das oben erwähnte Einheitselement der Multiplikation von R gedeutet. Die allgemeinen Ringe dieser Art sind die von Herrn F R A E N K E L 2 ) untersuchten zerlegbaren Ringe. Sie sind hinsichtlich der Multiplikation im wesentlichen genau so gebaut wie das Restklassensystem nach einer natürlichen Zahl, es läßt sich nämlich die Null, auf deren Produktzerlegung es hier hauptsächlich ankommt, im wesentlichen eindeutig als Produkt von Primteilern darstellen. Das hauptsächlichste Ergebnis der vorliegenden Arbeit besagt nun: J e d e r H a u p t i d e a l r i n g l ä ß t s i c h a l s e i n d e u t i g e S u m m e v o n e n d l i c h v i e l R i n g e n v o m T y p u s der g a n z e n Z a h l e n und v o n e n d l i c h v i e l z e r l e g b a r e n R i n g e n d a r s t e l l e n , es genügt also die Kenntnis dieser beiden Typen zur Beherrschung der allgemeinsten Hauptidealringe. Der Beweis dieses in seiner Einfachheit bemerkenswerten Resultates ist nicht schwierig, man braucht dabei nur einige wenige Grundbegriffe aus der Idealtheorie, die in § 1 eingeführt werden. Mit ihrer Hilfe kann man dann, wie in § 2 und § 3 gezeigt wird, die Theorie der regulären bzw. der Nullteilerideale eines beliebigen Hauptidealrings entwickeln. Dabei ergibt sich eine Zerlegung des gegebenen Ringes in endlich viel „spezielle" Ringe, von denen wir dann in § 4 zeigen, daß sie sämtlich zerlegbare Ringe oder Ringe vom Typus der ganzen Zahlen sind, womit unser Hauptsatz bewiesen ist. § 1. Grundbegriffe der Ideal- und Ringtheorie.3)

Unter einem „Ring" verstehen wir in üblicher Weise ein System von Elementen, die durch „Addition" und „Multiplikation" verknüpft 1

) Zu den Ringen vom Typus der ganzen Zahlen gehört nach dieser Definition z. B. auch der Ring der Polynome einer Variabein mit rationalen Zahlkoeffizienten (oder allgemeiner: mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper). 2 ) „Über die Teiler der Null und Zerlegung von Ringen" Journal für Math. 45 p. 139—176. Diese Arbeit wird im folgenden mit „F" zitiert. 3 ) Vergl. zu diesem Paragraphen F § 1, N § 1 sowie KRULL : „Algebraische Theorie der Ringe 1". Math. Annal. 88 p. 80—122, § 1 und § 2.

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.

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werden können, wobei diese beiden Operationen folgenden Bedingungen genügen. 1. Die Elemente von ß bilden hinsichtlich der A d d i t i o n eine k o m m u t a t i v e G r u p p e . 2. Die M u l t i p l i k a t i o n ist eindeutig, a s s o z i a t i v , kommutativ. = 3. E s gilt das d i s t r i b u t i v e Gesetz, d.h. es i s t a-(b-\-c) a-b-\-a-c für b e l i e b i g e .Ringelemente a, b, c. 4. E s g i b t in R ein E i n h e i t s e l e m e n t (der Multiplikation) rg , das für b e l i e b i g e s a der Gleichung a • re = a genügt. Die Bedingungen 1—3 definieren den allgemeinsten kommutativen ßing. Aus ihnen ergibt sich die Existenz des Einheitselementes der Addition, der Null, aber nicht die Existenz des Einheitselementes der Multiplikation. Letztere mußte daher in Axiom 4 ausdrücklich gefordert werden. Die Eindeutigkeit des dort definierten Einheitselementes folgt aus der Kommutativität der Multiplikation. E i n System a von ßingelementen heißt I d e a l , wenn in a g l e i c h z e i t i g mit den Elementen a und b s t e t s auch ihre Summe a -(- b, sowie d a s P r o d u k t a-c von a mit einem beliebigen Ringelemente c enthalten ist. Besteht a insbesondere n

aus der Gesamtheit aller Elemente von der Form i=l 2 at a1' wobei die at* beliebige, die a{ feste Ringelemente bedeuten, so nennen wir av a2 ' an eine Basis von a und schreiben a = (a v a g ••• a j . Ein Ideal heißt Hauptideal, wenn es eine eingliedrige Basis, also die Gestalt a = (a) besitzt. Ein Ring R, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, soll als Hauptidealring bezeichnet werden. Ein Element a heißt durch das Ideal a teilbar, und man schreibt a = 0 (a), wenn a unter den Elementen von a enthalten ist. Ebenso nennen wir das Ideal a durch das Ideal 6 teilbar und schreiben a = 0 (6), wenn jedes Element von a durch b teilbar ist. Ist (a) = 0 ((b)), besteht also eine Gleichung a = b-c, so nennen wir a durch das Ringelement b teilbar. Zwei wechselseitig durcheinander teilbare Ringelemente heißen äquivalent. Mit Hilfe des Teilbarkeitsbegriffes können wir das Hauptideal folgendermaßen definieren: Ein Ideal a heißt H a u p t i d e a l , wenn es aus der G e s a m t h e i t aller Ringelemente besteht, die durch ein f e s t e s E l e m e n t a, die B a s i s des I d e a l s , t e i l b a r sind. Unter dem Produkt zweier Ideale a und 6 versteht mau dasjenige Ideal, das durch die Gesamtheit aller endlichen Summen von der Form 2 i a( b. gebildet wird, wobei « i ein beliebiges Element aus a, bi ein

6

WOLFGANG

KRULL:

solches aus 6 bedeutet. Ist a = (a), 6 = ( b ), so ist a • 6 = (a • b). Ein Ideal p heißt Primideal, wenn ein Produkt zweier Elemente oder allgemeiner zweier Ideale nur dann durch p teilbar ist, wenn das gleiche von mindestens einem Faktor gilt. Ist p = (p), so nennen wir p Primelement. Unter dem größten gemeinschaftlichen Teiler (a i ; a 2 ---) der endlich oder unendlich vielen Ideale öj, a 2 • • • versteht man dasjenige Ideal, das von der Gesamtheit aller endlichen Summen, von der Form ai gebildet wird, wobei ein beliebiges Element aus a ¿ bedeutet. Die Ideale a x , a 2 • • • a» heißen teilerfremd, wenn das Ideal (a 1 , fl2 ••• a n ) gleich dem aus allen Ringelementen bestehenden Einheitsideal (re) == o wird, n wenn also eine Gleichung 2 at = r^ gilt, wobei ai durch a { teilbar ist. Aus der Definition der Teilerfremdheit erkennt man leicht mit Hilfe von auch in der elementaren Zahlentheorie gebräuchlichen Schlüssen: 1 ) I s t a A zu b t e i l e r f r e m d und i s t a x • a 2 d u r c h 6 t e i l b a r , so i s t a 2 d u r c h B t e i l b a r . S i n d d i e I d e a l e a4 und bj. (i=l,2----v,k= V

1,2 • • • u) s t e t s t e i l e r f r e m d , so s i n d a u c h die I d e a l e II a und wobei i und Je unabhängig voneinander die Werte 1, 2 ••• a durchlaufen. Nun ist aber q (i) -q w für % \ k durch J)?* • q(i) teilbar und folglich gleich dem Nullideal, während für i— k wir die Gleichung q ( i ) 2 = ~ / ^ k k = 9(i> haben. E s ist mithin o' 2 = (q(1>, q(2), • • • q() = o'. Ein reguläres Ideal, das der Gleichung o' 2 = o' genügt, ist aber nach den Ergebnissen von § 2 mit dem Einheitsideal identisch. E s ist also, wie behauptet, o' = 0. Aus der Teilerfremdheit der Nullteilerprimideale ergibt sich unmittelbar der folgende Satz, der übrigens auch ohne Benutzung dieser Eigenschaft bewiesen werden könnte. S a t z 8.

I s t (0) = p{>

p^f, w o b e i d i e

Nullteilerprimideale

p 2 ' " p a s ä m t l i c h v e r s c h i e d e n s i n d , so s i n d d i e F a k t o r e n pSi, •• -pSf e i n d e u t i g b e s t i m m t . D i e E x p o n e n t e n s i n d n u r dann e i n d e u t i g , wenn w i r s i e so k l e i n w ä h l e n , daß $ ausfällt. Mit dem Beweis von Satz 8, der sich leicht aus den beim Eindeutigkeitsbeweis von Satz 2 angewandten Schlüssen, sowie aus den oben über die Nullteilerprimidealpotenzen gemachten Bemerkungen ergibt, halten wir uns ebensowenig auf wie mit dem Beweise von Satz 5. Wir wenden uns vielmehr der oben bewiesenen Gleichung o=(q (1) , q ( a ) - q(?* und q(') folgt daraus aber, daß a ( i ) — 6 auch durch das Produkt q (i) • p?* = (0) teilbar und folglich gleich 0 sein muß. 1 ) Wir wollen das eindeutig ') Ist nämlich g(*) eine Basis von qW, so haben wir a(*) — W») = q(i) • a' und hier muß o' wegen ((g(*)), p?1) = o durch p?® teilbar sein. — Zu der Tatsache, daß in beliebigen Ringen aus den Beziehungen a—o (a») (i — 1, 2); (ai, cu) = o stets die Kongruenz a = o ( a i . a«) folgt, vergl. N § 8 p. 53.

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.

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bestimmte Element «(i) als „i- •• R