Die Hauptsätze der Differenzialrechnung nach einer neuen elementaren Methode dargestellt [Reprint 2018 ed.] 9783111485867, 9783111119199

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Hauptsätze der

Differenzialrechnung nach einer neuen, elementaren Methode dargestellt von

I. W. Scheitert, Oberlehrer am Gymnasium in Elbing.

Berlin, gedruckt und verlegt bei G. Reimer. 1840.

Vorwort.

höhere Analysis ist so sehr im Ruf der Schwie­ rigkeit und Unbegreiflichkeit, daß, so wie sie ist, selbst ihr Name wenig in die Elemente paßt. Allein sie ist wirklich nicht so schwierig. Scheint, sie es leider, so liegt die Schuld nicht an ihr, sondern an ihrem Vortrage. Ihrem wahren Sinn und Wesen nach ist sie eben so leichr und einfach, wie irgend ein Theil der Elemente."

Cr.

In der That ist es fast unerklärlich, daß namhafte Mathematiker, die für ein größeres Publikum schrieben, ihren Scharfsinn aufboten, nicht etwa, um durch einen geeigneten Vortrag die so genannte höhere Analysis ihrer Schwierigkeit und Unbegreiflichkeit zu entheben, ihr mysti­ sches Dunkel, in welches sie anscheinend verhüllt ist, und durch welches sie, wie es scheint, dem nicht tief erleuch­ teten Mathematiker unzugänglich wird, nach Möglichkeit zu erhellen, und so dem größeren, Mathematik bedürfti­ gen Publikum zugänglich und genießbar zu machen; sondern vielmehr, um — wenn auch sehr schwierige — Mittel und Wege aufzufinden, durch welche die mit einer gewissen Scheu betrachtete höhere Analysis um-

gangen oder umschlichen werden könnte. Ja, diese Scheu geht so weit, daß man es sich zum Verdienste anrechnet, bei dem Vortrage gewisser Lehren, in welchen die höhere Analysis die natürlichste und leichteste An­ wendung gefunden hatte, ohne diese gefürchtete Analysis zu den gewünschten Resultaten gelangt zu sein, selbst wenn es auf den langwierigsten und schwierigsten, und darum sehr ermüdenden Umwegen geschehen ist. Oder würde es nicht der Mühe werth sein, die Differenzialund Integralrechnung — die Haupttheile der höhern Analysis — durch die Art und Weise ihrer Darstellung in den leicht verständlichen und für Jedermann betret­ baren Kreis der Elemente gezogen zu haben? Doch daran zweifelt wohl Niemand. Und daher glaube ich für die Wissenschaft, und besonders für deren Anwend­ barkeit aus alle geeigneten Theile der theoretischen und angewandten Mathematik, keine ganz verdienstlose Ar­ beit unternommen zu haben, wenn ich es mir angelegen fein ließ, zunächst die Hauptsätze der Differenzialrechnung nach einer elementaren Methode darzustellen, die ich neu nenne, weil mir wenigstens eine ähnliche Behandlung jener Sätze von nirgends her bekannt ist. Es geht aus dem ganzen Vortrage derselben hervor, daß der Diffe­ renzial-Koeffizient in Wahrheit nichts Anderes ist, als der Exponent eines Verhältnisses, und daß der bisher fast mehr als bloßes Zeichen für den Differenzial-Koef­ fizienten betrachtete Differenzial-Ouotient nichts Anderes ist, als die Verhältnißzahlen, welche jenem VerhältnißExponenten zugehören oder entsprechen. Somit wäre denn die Differenzialrechnung nur eine Verhältnißrech­ nung — und das ist sie in der That auch nur — und da ihre Hauptsätze sich unmittelbar an die Sätze aus der Methode der unbestimmten Koeffizienten anschließen, so gehören sie offenbar auch nur in den Kreis der Ele­ mente und erfordern zu ihrem Verständnisse auch nicht mehr mathematisches Talent, als eben zum Vrrständniffe der mathematischen Elemente erforderlich ist. Anfangs

war es meine Absicht, gerade nur die Hauptsätze dem Drucke zu übergeben; indeß hat es mir für die Folge­ zeit nützlich geschienen, den Plan zu erweitern und des Stoffes so viel aufzunehmen, daß das Buch zugleich Leitfaden in höheren Bürgerschulen gebraucht werden könnte. Von dieser Seite betrachtet, wird man es aber dem Buche vielleicht zum Vorwurfe machen, daß es der Erläuterungsbeispiele, so wie überhaupt der Beispiele zu wenige enthält und hie und da nur bei dem Allge­ meinen stehen bleibt, das Besondere aber, wodurch na­ mentlich dem Schüler das Verständniß des Allgemeinen erst recht eröffnet.wird, nicht beachtet wird. Indeß, meiner Ansicht nach, muß ein Leitfaden, der dem münd­ lichen Unterrichte eines Lehrers zum Grunde liegen soll, nur die Hauptumrisse des zu Lehrenden, gewissermaßen nur das Skelet, die Hülle enthalten, in welcher der Lehrer seinen das Ganze durchdringenden und beleben­ den Geist seinen Schülern mittheilt. Nicht aus dem Leitfaden soll der Schüler lernen — der Leitfaden ist kein Buch zum Selbstunterrichte — aus dem Munde seines Lehrers soll er lernen, und. der Leitfaden ihm nur, mittelst gewisser Haltpunkte, die Erinnerung an des gehörten Lehrers tönende, verhallende Rede und Lehre erleichtern und dauernder machen. Hiernach darf also der Leitfaden nur die Hauptpunkte enthalten; und» wo der Leitfaden bei dem Allgemeinen stehen bleibt, da wird und muß dem Lehrer die subjektive Freiheit gelassen werden, durch ein beliebiges Besondere da6 Allgemeine zur Evidenz in der Seele der Schüler zu erheben. Ein Aehnliches gilt von der Anwettdung der Lehrsätze auf spezielle Aufgaben und Beispiele. So höchst nothwendig und schlechterdings unerläßlich diese Anwendung für den Schüler durch den Lehrer ist, und ungeachtet der Lehrer nicht sobald im Besitze einer zu großen Fülle von Aufgaben und Uebungsbeispielen sein kann; so habe ich mich dennoch nicht entschließen kön­ nen, durch eine auch nur einigermaßen ausreichende

Anzahl von Beispielen den Lehrtext des Leitfadens zu unterbrechen. Der in seinem Fache bewanderte Lehrer hat gewiß auch Mittel, sich die erforderlichen Erlauterungsbeispiele zu verschaffen. Ein Anderes ist aber eine methodisch geordnete Sammlung von Beispielen und Aufgaben, die den Schülern mit eingestreuten instruk­ tiven und leitenden Andeutungen zur eigenen Uebung und Vervollkommnung in die Hände zu geben wäre. Eine solche Sammlung wird diesem Buche nachfolgen, sobald das Bedürfniß dazu vorhanden ist. Sie kannte dann zugleich demjenigen Lehrer, der wegen Erläute­ rungsbeispiele zum Texte in Verlegenheit ist, ein Mittel zur Abhülfe sein. Elbing, im Juni 1840.

Der Verfasser.

Jnhalts-Uebersicht. Erster Abschnitt. Den Differenzial-Koeffizienten gegebener Funktionen zu finden. §. 1. §. §. §. §. §. §. §. §.

2. 3. 4. 6. 7. 8. 9. 10.

§.11. §. §. §. §. §. §. §. §. §. §. §. §.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

§. 24. §. 25.

Erklärungen: Veränderung der Funktion, Differenzial-Koeffizient, Differenzial-Quotient, Differenzial. Differenzial-Quotient von Monomien. DeSgl. von Polynomien. Satz, wenn x zur abhängig Veränderlichen gemacht wird. Differenzial einer abhängigen Funktion. Differenzial eines Bruches. Differenzial einer Potenz. Maelaurinfche Reihe; Differenziale höherer Ordnungen. Der Laylorsche Lehrsatz. Maxima und Minima einer Funktion. Werth deß Bruches Z. Exponenzialfunktionen. Erklärung: krumme Linie, kleinste Bogentheile. Differenzial des BogmS. Differenzial der Fläche. Tangenten und Normalen. Differenzial trigonometrischer Linien; Reihen für Sinus u. Cosinus. Differenzial von Kreisbogen; Reihen zur Berechnung von ir. Differenzial eines Sektors. Differenzial der krummen Oberflächen. Differenzial des kubischen Inhalts. Differenzial zweier oder mehrer von einander unabhängig Verän­ derlichen. Höhere Differenziale einer Funktion mehrerer von einander unab­ hängig Veränderlichen. Erweiterung des Taylorschen Lehrsatzes und der Maelaurinschen Reihe; Eulner's Lehrsatz über homogene Funktionen.

§. 26. §♦ 27. §. 28. §: 29. §. 30. §. 31. §. 32. §. 33. §. 34.

Asymptoten. Berührende Kurven. Krümmungshalbmesser. Konvexität und Konkavität gegen die Abscissenaxe. Punkte der größten und kleinsten Ordinaten. Beuge-, Wende- oder Flexionspunkte. Rückkehrpunkte oder Spitzen. Vielfache Punkte. Konjugirte oder beigeordnete Punkte.

Zweiter Abschnitt. Die ursprüngliche Funktion aus gegebenen DifferenzialKoeffizienten zu finden. §. 35. §. 36. §. 37. tz. 38. §. 39. §. 40. §. 41. §♦ 42.

Erste JntegrationSregel. Zweite JntegrationSregel. Umformung der Differenzial - Koeffizienten Behufs ihrer Integration, Exponentialfunktionen. Kreisfunktionen. Trigonometrische Linien. Integration durch Partialbrüche. Besondere, oft vorkommende Formen von Differenzial-Koeffizienten mit rationalen Nennern, deren Integrale durch Substitution ge­ funden werden. §. 43— 46. Ost vorkommende Formen mit irrationalen Nennern. §. 47. Reduktionsformeln für /xm(a+bxn)p. §. 48. Desgl. für logarithmische Größen. §. 49. Desgl. für Exponentialgrößen. §. 50. Desgl. für /sin.»*x . cos.nx, wenn m und n ganze Zahlen sind. §. 51 u. 52. Desgl. für Kreisfunktionen. §. 53. Integration durch die Maelaurinsche Reihe. §. 54. DeSgl. durch die Bernoullische Reihe. §. 55. Rektifikation der Kurven. §. 56. Quadratur der Kurven. 57. Komplanation krummer Oberflächen. §. 58. Kubatur der Körper mit krummer Oberfläche.

(Erster Abschnitt.

59t

Folglich ist dx in 3) eine Funktion von z/x und als konstant zu betrachten. In der Gleichung 3) heißt B der Differenzial.Koef­ fizient. AuS z/y — B.dx folgt ^ =dB, wofür man ge­ wöhnlich schreibt dv

Man nennt dann ^ den Diferenzial-Quotienten, dy das Differenzial von y, und dx das Differenzial von x. AuS 4) folgt, daß der Differenzial-Quotient immer dem Differenzial-Koeffizienten gleich ist. AuS der Vergleichung von 3) mit 4) ergiebt sich, daß Ay — dy ist, daß man. also statt der Veränderung einer gegebenen Funktion auch deren Differenzial setzen könne.

Den Differenzial - Koeffizienten von y pflegt man auch mit y' oder mit p zu bezeichnen, so daß also ^ = y' = p ist, und folglich dy — y'dx — pdx. Hat man u, v, 2 etc. als gege» bene Funktionen von x, so bezeichnet man deren DifferenzialQuotienten und Differenzial - Koeffizienten in ähnlicher . Weise .

.du

,

=

dv , dz . . $; = *’ 5 = 2 elc» dv

Aus der Entstehungswelse von ^ = B = y' = p erhellet, daß dy immer der Größe von dx proportionirt ist, daß folglich, wie verschieden man auch Ax annehmen möge, die aus dieser Verschiedenheit hervorgehenden dy einer Funktion, durch die be­ züglichen dx dividirt, alle dieselbe Größe B — p geben, und daß demnach der Differenzial-Quotient derselben Funktion immer derselbe ist, wie sich auch x durch Ax ändern möge. Hieraus folgt denn aber auch, daß der Differenzial-Quotient einer gege­ benen Funktion eine konstante Größe ist. Da in dem Werthe des Differenzial-Quotienten der gege­ benen Funktion, das ist in ^

B — B'-f 2C'x+3D'x*+4E'xs-f*...

daS konstante A' der gegebenen Funktion nicht mehr vorkommt, so folgt daraus, daß. das konstante Glied einer Reihe für die Bildutig ihres Differenzial-Quotienten gleich Rull zu achten ist, oder, rote man sich gewöhnlich auszudrücken , pflegt, daß das Dif­ ferenzial einer konstanten Größe gleich Null ist. Da ferner für y = A'+B'x+C,xI+D'x$-j-E'x 90°, so ist der Winkel, welchen die Tangente (aus ihrer linken Seite) mit der Abscissenaxe macht, ---180°—a—ß. Nun ist taug.(180° — «) = — tang.«, folglich tang.ß = —p oder, wenn man diesen Winkel ß auch mit « bezeichnet, tang. a —P3) Aus dem 2. Zus. folgt, daß man für tang.« ein -f p zu nehmen hat, wenn der spitze Winkel der Tangente mit der Abscissenaxe auf der linken Seite der Ordinatenaxe liegt, und — p, wenn derselbe auf der rechten Seite der Ordinatenaxe liegt. 4) Ist p — 0, folglich tang.« = 0, so ist auch «--- 0, d. h. die Tangente schneidet die Abscissenaxe nicht mehr, oder sie läuft mit der Abscissenaxe parallel.

5) Ist p = oc, folglich tang. a = oo, so ist a -- 90°, d. h. die Tangente steht senkrecht auf der Abscissenaxe. 6) Nach dem Taylorschen Lehrsätze kann aus der Gleichung einer Kurve folgende gefunden werden: y + ^y = y+p-^x+ Nun weiß man, daß für p --- 0 und ein positives q, die Funk­ tion y ein Kleinstes und bei p.= 0 und negativem q die Funk­ tion y ein Größtes ist, d. h. es ist im ersten Falle die Ordi­ nate y unter den angrenzenden Ordinaten die kleinste, folglich die Kurven mit ihren konvexen Seiten gegen die Abscissenaxe gerichtet; und im zweiten Falle ist die Ordinate y unter den angrenzenden die größte, folglich die Kurve mit ihrer konkaven Seite gegen die Abscissenaxe gerichtet.

§

18.

Trigonometrische Linien. Fig. 2. Bedeutet

COS.1 (p

„di

cos.1 cp + sin.1 y — 1 ist, ist auch 4) d.tang.y =

dy cos.1 y ’

d. h. das Differenzial der Tangente eines Bogens ist gleich dem Differenzial des Bogens, dividirt durch das Quadrat des Cosinus dieses Bogens.

2tu§' cotg. (p —

solgt (nach der Formel für d.-^-)

d. cotg. (p

_ —d.tang.y —dy lang.2 y cos.1 y. lang.1

wenn man z, y, x der Reihe nach als konstant betrachtet,

drei Bedingungsgleichungen, welche gleichzeitig stattfinden müssen, wenn-du das vollständige Differenzial einer Funktion dreier von einander unabhängig Veränderlichen sein soll, §25. Erweiterung des Waylorschen Lehrsatzes. Ist u — F (x, yX u' sss F (x+z/x, y), u" --- F (x-fz/x, y-f-z/y), so erhält man nach dem Taylorschen Lehrsätze .. , , /du\ . , /d8u\zfx8 , /d8u\z/x8 .

*)u =u+Ks)A+W)—++••••

rrnd wenn man in 1) bloß y als veränderlich betrachtet,

->«"=-'+(§>+(|3f+9-)S+ Nun ist

d*u

\z/x

Gi) = (D+(s*>+Uy/2

+•••

Zd8u'|\_/d8u\ , Vdy8/"“ \dy8/ + *,,‘

Substituirt man diese Werthe und de» von u' in u", so erhält man 3) F (*+A y+Zy) = u + [($)zx+(jjpZy]

+ 27z KaS)

3A’

•Jy

+ (^)3A^+(|?)z,•]+....

1. Zusatz. Das allgemeine Glied der Reihe 3) kann an­ deutungsweise durch ^—- (Jx + Jy)n dargestellt werden, indem nur die einzelnen Glieder dieses allgemeinen Ausdrucks der Reihe nach mit den paartiellen Differenzialen Zd^u\ Z d”u X Zd”uX \dx“/* \dxn_Idy/ ***" \dynZ

zu multipliziren sind. 2. Zusatz. (Erweiterung der Maclaminschen Reihe). Setzt man in 3) x = 0 und y — 0, so erhält man, wenn statt Jx wieder x und statt Jy wieder y gesetzt wird,

wobei zu beachten ist, daß (wie im §. 9) man in u und den verschiedenen Differenzial-Koeffizienten x = 0 und Y = 0 zu setzen habe, und die daraus erhaltenen Werthe in 4) substituirt. 3, Zusatz. (Eulers Lehrsatz über homogene Funktionen). Eine Funktion von mehreren Veränderlichen, z. B. von x, y, z....,, heißt homogen oder gleichartig und vom mten Grade, wenn dadurch, daß man statt x, y, z.... der Reihe nach tx, ty, tz.... setzt, indem t eine neue von X, y, z.... eine un­ abhängig Veränderliche ist, die Funktion F (x,y,z....) übergeht in tmF(x, y, z....). Setzt man in die homogene Funktion u = F (x, y...) vom wten Grade (l + a) statt t, wodurch x in x-f «x, y in y-f «y etc., u in (!>+«)“ u übergeht, so erhält man nach 4)

Entwickelt man (l+«)m und vergleicht die auf beiden Sei­ ten des Gleichheitszeichens zu gleichen Potenzen von « gehörigen Koeffizienten, so erhält man

Da nun das Differenzial von u = F (x, y....) die Form hat S) du — Pdx + Qdy + Rdz +...., indem so hat man 6) nju = Px -f Qy + Ra +.... AuS 5) und 6) folgt: Wenn man in dem Differenzial einer homogenen Funktion des rnten GradeS der Reihe nach x, y, z — statt dx, dy, dz.... fetzt, so entsteht dadurch die mfache ursprüng­ liche Funktion. Zugleich folgt, daß P, Q, R........homogene Funktionen des (m — 1) (Ten GrqdeS sind. § SS.

Asymptoten. -Da die Asymptoten einer Kurve diese erst in unendlicher Entfernung berühren, so kann durch die Differenzialrechnung (mittelst der Tangentengleichung) gefunden werden, ob eine Kurve Asymptoten habe oder nicht. Denn bedeuten x, y die Koordi­ naten des Berührungspunktes einer Tangente, und x', y' die Koordinaten auf den Aren, so gibt für x == oo, wenn man aus der Gleichung der Tangente x' und y' berechnet, x' die Entfer­ nung an, in welcher die Asymptote die Abscissenaxe schneidet, und y' die Entfernung, in welcher sie die Ordinatenaxe schneidet. Stellt man also für x' und y' Formeln auf, welche für alle Kurven gültig sind und in die man für eine bestimmte Kurve nur den aus ihrer Gleichung sich für y ergebenden Werth zu substituiren hat, und setzt dann x =

— 0,

ES mag also M ein zweifacher Punkt der ersten oder der zweiten Art sein, in beiden Fällen muß in Beziehung auf M,

0

0

für x = a, y = b, ( ) = 0 und ( ) --0, und daher 0 >— % sein. Beide Fälle unterscheiden sich jedoch dadurch, daß wenn M ein vielfacher Pünkt der erstem Art (Schneidepunkt) ist, 0 verschiedene, und wenn M ein vielfacher Punkt der an­ dern Art (Berührungspunkt) ist, 0 gleiche Werthe erhält. Dabei ist aber zu bemerken, daß (0) und (0) = 0 und dy ^ ^ = 5 füt X = a, y = b sein können, ohne daß M ein viel­ facher Punkt ist. Um also die vielfachen Punkte einer Kurve zu ermitteln, wird man aus

(D=° “"’(|)=° die ÄZerthe von x und y bestimmen, und von diesen nur dieje­ nigen beibehalten, welche der Kurvengleichung u = 0 Genüge leisten. Dadurch erhält man die Koordinaten aller Punkte, welche möglicher Weise vielfache Punkte sind. Um nun weiter zu er­ mitteln, ob sie wirklich vielfache Punkte sind, muß man den Lauf der Kurve in ihrer Nähe weiter untersuchen, und dabei besonders auf die Anzahl der Werthe von 0 in diesen Punkten achten. Hierbei tritt nun aber der Fall ein, daß 0 nicht aus du = Ö bestimmt werden kann; man muß es deßhalb aus dau = 0 be­ stimmen, indem man wegen (0) — 0 hat (cfr. §. 24) o— Xdx1/

, 9 ( d*u Sdy , /d*u\dy» * Xdx dy/dx ' XdyVdx1'

woraus, da 0 in der zweiten Potenz vorkommt, die beiden Werthe von 0 gefunden werden, wenn M ein doppelter oder zweifacher Punkt ist. Ist M «in dreifacher Punkt, wo also 0 einen drei­ fachen Werth erhält, so muß man die drei Werthe aus d3u = 0 bestimmen u. s. f.

§ 34. Konjugirte Punkte. Unter konjugirten oder beigeordneten Punkten versteht man solche, welche außerhalb der Kurve liegen und doch zugleich in der Kurvengleichung enthalten sind. Wenn nun M ein solcher Punkt ist, so muß y füt x = a in diesem Punkte reell, für x = a +Jx aber imaginär sein. Nach dem Taylorschen Lehrsätze erhält man nun, wenn statt x'gesetzt wird a + ix, y±Jy — y±p^/x + q. —+ + In dieser Reihe der Differenzial-Koeffizienten muß nothwendig einer sein, welcher, um y + 4y zu erhalten, für i = a ima­ ginär wird. Auch findet hier das Umgekehrte statt, so daß, wenn y für x = a reell und zugleich ein,er der DifferenzialKoeffizienten imaginär wird, der Punkt M oder x = a, y = P(a) ein konjugirter Punkt der Kurve ist. Auch muß, für den Punkt M, ^ £ sein, »tim man die Kurvengleichung von ihren Wurzelgrößen befreit, dann auf Null bringt und dar­ aus den Werth von ^ ableitet. , Denn nimmt man in jener UX

1

Jny

Reihe der Differenzial - Koeffizienten als den ersten an, wel­ cher für x --- a imaginär wird, so soll dieser imaginäre Werth aus der Gleichung d^y _ V dxu

)

hervorgehen, welches aber nur dadmch möglich wird, daß, wie im vorigen §., (jjp = 0, folglich auch (^) — 0, und end­ lich daher auch

Zdu\

dy _ _

Xdx/

— K wird.

Um also die beigeordneten Punkte einer Kurve zu ermitteln, muß man aus den Gleichungen — 0 und — 0 die Werthe von x und y bestimmen, und von diesen Werthen die­ jenigen näher untersuchen, welche der Kurvengleichung, in Be­ ziehung auf die den beigeordneten Punkten zukommenden Eigen­ schaften, Genüge leisten.

Zweiter Abschnitt.

Die ursprüngliche Funktion aus gegebenen Differenzial» Koeffizienten zu finden.

8- 25. Erste Integrations-Regel. ^fu5 y = A 4- Bx + Cx1 -f- Dxs -}■•••• erhält man ^ = p=B + 2Cx + 3Dx* + .... Aus der Vergleichung dieses Differenzial-Koeffizienten mit der ursprünglichen Funktion, zu der er gehört, ergibt stch nun leicht folgende Regel: „Man erhält, wenn der Differenzial-Koeffizient eine algebraische „ganze Funktion ist, die Urfunktion dadurch, ba| m

welches eine endliche Reihe wird, wenn m und n ganze Zahlen sind, und wenn zugleich entweder m negativ und größer als n ijl, oder wenn n negativ und größer als m ist. Zusatz. Ist der Differenzial-Koeffizient mehrgliedrig, so wird die Urfunktion oder. das Integral auch erhalten, wenn man jedes Glied für sich integrirt und dann fammitt.

§. 36. Zweite IntegrationS Man erhält (in gewissen Fallen) die Urfunktion auch aus hem Differenzial-Koeffizienten, „wenn man ihn mit der Grundzahl multiplizirt und dann „durch den Exponenten derselben und durch'den Differenzial? Koeffizienten der Grundzahl dividirt."

3-a>+b,,. = Ä'+c.

Diese Regel ergibt fich aus §. 5 durch die Betrachtung von

dy — _ y’z\ dx

Denn dividirt man erst durch z', d. h. durch den Differenzial» Koeffizienten der Basis von y‘, so erhält man y', Aus y' erhält man y (die Ursunktion), wenn man (zufolge der ersten Jntegrationsregel) den Exponenten von y' um X erhöht und dann durch den um 1 erhöhten Exponenten dividirt, d. h. es ist y'.z'.z dx z^m-J-l)’ wo z die in y' enthaltene Basis und (m +1) den um i erhöh­ ten Exponenten von y' bedeutet. Aus der nähern Betrachtung dieses Ausdrucks für ergiebt sich ferner, daß der Nenner die Veränderliche nicht mehr enthält, und daß diese zweite Jntegrationsregel daher auch -nicht bei solchen binomischen oder polynomischen Funktionen brauchbar ist, bei denen durch z' eine Veränderliche in den Nenner kommt. Sie ist also nur dann brauchbar, wenn z' (der DifferenzialKoeffizient der Basis) entweder die Veränderliche gar nicht mehr enthält, oder wenn sich z* gegen den Faktor hebt, den die Po» tenz y' bei sich hat, oder endlich, wenn sich wenigstens die Veränderliche von z' gegen dje gleiche Veränderliche hebt, die die Potenz noch als Faktor bei sich hat. Sie ist demnach nicht an­ wendbar bei den Funktionen (a + bx3)3, x(a + bx3)3 und ähn­ lichen, wohl aber anwendbar bei

J

'^

..

* «/

9)

s

xm-1(a+bxm)P+1 (p4-l)mbk'“»-*

^ X

A

(a4-bxm)P+1 . (prfl)mb'

*

- Äfa+bx)- - A(a+bx)-n'h

_A

1

b f (1 — n) (a-fbx)11”1 ’

Zusatz. . Ob man in denjenigen Fällen, wo es angeht, von der ersten oder zweiten Integrationsregel Gebrauch machen wolle, ist für das Resultat gleichgültig, da beide Kegeln zu demselben Resultate führen, wie aus der Anwendung auf folgendes Beispiel ersehen werden kann. Nach der ersten Regel ist ^xl(a-f bx*)3 = x ^a~^bx — 4-C, »0 füt y « 0, C = 0 ist.

Nun ist x’la+bx»)» __ a$xs 3a*bx* E “ 3 + 6

alsoyx,(a4-bxl)s

3.2ab'x» 3.2.1. b*x‘* 1.2.9 + 1.2.3.12 '

a*xs . a*bx* , ab*x® . bsxlz 2 + T- + ~TL2 '

~T +

Nach der zweiten Regel ist x®(a-s-bx4)4 _(a-j-bx*)4 + Cr 4.3.bx* 4.3. b

roo fut x = 0, C = — Nun ist

ist.

(a-f bxs)4

“fäjr a4 . 4.a*bx* . 4.3,a*b*x* ^ 4.3.2ab3x9 . 4.3.2.1.b4x*t — 4i3ib+lL3.b ' 1.2.4.3.b1 1.2.3.4.3.b + i.2.3.4.4.3.b *

also ^yx2(a+bxs)s a4 . a*x* albx* ab»x» . b»x11 “ 4.3.b+ 3 + 2 ^ 3 + 12

a4 4.3.b ’

welches Resultat dem Werthe nach genau mit dem nach der er­ sten Regel erhaltenen Resultate übereinstimmt. §• 37.

Umformung von Differenzial-Koeffizienten Behufs ihrer Integration. jy

Hat man ^ — x™ , wo x eine Funktion von z ist, z. B. x = a — bz1, und will den gegebenen Differenzial-Koeffizien­ ten xm so umformen, daß er zu einer Funktion von z wird, so muß man nach der Substitution des Werthes tton ,x in xm noch mit dem Differenzial-Koeffizienten der Funktion x multipliziren. Denn substituirt man den für x angenommenen Werth in ^ so erhält man J^Ei^ = (a-bz*)“, das ist

dy —2bz.da — (a—bz1)1”,

und daher A -- —2bz(a— bz2)"1, wo — 2bz der Differenzial - Koeffizient von x --- a — bz2 ist. Durch Anwendung der zweiten Zntegrationsregel ist nun —2bz(a—bz2)m+1 (a—bz*)1^1 xm+1 /*m Z'dy —2bz(m+l) m+1 m-f-1 ~JX ~J dx’ also

J s *^ ---

— 2bz (a — bz1)“.

Eine solche Umformung ist namentlich dann zu machen, wenn es darauf ankommt, einen gegebenen irrationalen DifferenzialKoeffizienten durch Substitution rational zu machen, oder auf eine Form zu bringen, in der er, ohne ihn in eine unendliche Reihe zu verwandeln, integrirt werden kann. Beispiele. Axm und setzt a-fbx = z, so ist (a-fbx)“ z — a dx _ 1 (z—a)m folglich und xm Jjin > b ' dz —"b Axm _ r.’A(z —a)m A(z(a 4- bx)n bm+1.zn “ bm+t.z,*.e

1) Hat man x

J / welches eine endliche Reihe gibt, wenn m eine positive ganze

Zahl ist. 2) Hat man xs (1 — x2)* zum Differenzial - Koeffizienten, so ist leicht zu ersehen, daß derselbe rational wird, wenn man 1 — x2 = z1 setzt, und ihn dann zu einer Funktion von z um­ formt. Es ist dann x — (1 — z2)i, x3 — (1 — z2)f und ^ = —z(l —z2)-i, folglich dz

= -i(l-x2)i + i(l-x2)l,

wenn man für z wieder den aüs 1—x2 = z1 sich ergebenden Werth setzt.

3) Hat man x~3(l+xs)-'2

zum Differenx’d+x*)1 zial-Koeffizienten und setzt 1+x1 = x2z, so ist x~2-f-l = z, x = (z — 1)-r, ^ — — i(z—1)-!", x~3 = (z—l)i und (l+x2)-2 = z-2(z—D», folglich yr-3(l+x2)”i sä - hfe—D* - z-2. (z — 1)». (z —1)~5 = -i/(z-l)3z-2 = - ^(z~e1)>z~1 sä — i(z—2z°-fz“1) = -i(l+r-2-21og(l+x-2)+i-lF5). p.

3) Hat man xm(a-f-bxn)i zum Differenzial - Koeffizienten und setzt 1) a+bx” = zi und 2) a+bxn = zi x“, so hat man im ersten Falle

x = Ci~T> x“ =

)n' (»+w --

(rrr

JL_i

dx dz /»

P_

xm(a+bx)i

Q

z>9

/ zP+9~2(zi—a) ”

,

nb " m-i-1

welches rational wird, wenn —^ eine ganze positive- Zahl ist. a Aus 2) a+bx" = zixu hat man x° = ——, X 1 in in p x = an (zi — b)~ “, xm = an (zi—b) ”, (a+bx”)i =s p ^p dx a ** ____ zpaT(zi—b) 1 und -r- =------- -—(zi—b) “

i folglich Jy?" (a+bx ”)+M.(ra+1)

-------- u—

lnach 2)] — log.(log.z) + log. z + i. + i*^r%4r +..... oder, wenn statt z wieder sein Werth xm+i gesetzt wird,

s&i=>«g-c»8-

+'»s- xm+,+i, , (log.X^1)3 .

T*‘

1.2.3

**••••

ess log. ((m+1) log. x) + (m+l) log.x ++-m-1^g°g’X^> , (m+1)* (log.x)* T*1.2.3

oder, wenn man log. (m+1) zur weggelassenen Konstante schlagt, 6) — log- G°g.x)+(m+l)log.x + + —~^7^0g'X)a °g , , (m+l)*(Iog.x)* , +sJ 23 r**“ Setzt man m = —1, so erhält man

vfii^ = ",s(logx)(log.x)" zu bestimmen, setze man log. x = z, Um /

so ist d.log.x — ^ — 62) also ^ — X, e,

folglich

„

Z*(log. x)n

s

Z*zn.x

a”+i

w* y 4^ =y—=ß~=H+i> (Iog.x)n_(log. x)n+* 8)/ n+1

§ 39. Kreisfunktionen. Aus den in §. 19 gefundenen Differenzialen folgt durch AnWendung der ersten Zntegrationsregel .. Z*d ,arc.sm.x V dx

1 ~Js(1—x2jT — arc’sm-x x “ (1—x4;i@

s —1 V/’d.arc.cos.x —h— =7 (i=Fji = arc*cos'x (1—x»)i@

x — (l-t-x--)E .. /’d.are.cotg.x —1

s

.

«>y —a^-s- =yrpzi=■"■««** —x (l + x4)y ..

P

/’d.sin.y

—

,

ZM.cotg. y

4v -if-2

P 1

=y^=‘"S'»

s—1

x

=y^=cots-«’

. °d»

fA.cmtc.jv _ A^cosj, _ ^ dp «/ sm.2p

ob([

COS.to

s/.

-V-7T-— = — cosec. o) sin!2 cp T

_

/’d.ßinv. op

7) y 5y. =ys,n- *=sm'r- * 8)

C°jyY ^ — J'— cos. y — cosinv. y oder cos. y — — cosinv. y. 1. Zusatz.

Setzt man nx statt y, so tji ^ =n, folg­

cos. y = n

lich nach §. 37

A.

9)

JP

COS.

cos. nx ;=£ sin. nx, daher

sin. nx nx =r —-—.

Auf ähnliche Weise findet sich s. cos. nx 10)7—=------- n)J c

12) /_>-=-

s 1 cos.* nx cotg. nx

tang. nx

«/ sm.* nx

2. Zusatz. Aus der 2 sin.« cos. /? = ^2 cos.« cos. ß — 2 sin. « sin. /? =

Goniometrie ist bekannt sin. (« + /?) + sin. («—ß), cos. («-(-/?)-j-cos. («—/?), cos. (a — ß)—cos. («-f ß)~

Setzt man « — mx und ß = nx, so erhält man sin. mx cos. nx — ^ sin. Cm + n) x -j- i sin. (m—n) x, cos. mx cos. nx — £ cos. (m + n) x -f cos. (m — n) x und sin. mx sin. nx = i cos.(m—n) x — ^-cos.(m + n) x, folglich ist nach den Formeln des 1. Bus. x /*.