Derivator, integraler och sånt... 9789144014913

Citation preview

Andrejs Dunkels Håkan Ekblom Anders Grennberg Torbjörn Hedberg Eilif Hensvold Henry Kallioniemi Reinhold Näslund

Derivator, integraler och sånt. ..

~ Studentlitteratur

®

Kopieringsflirbud

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 3226 ISBN 978-91-44-01491-3 Upplaga 2:4 © Författarna och Studentlitteratur 1992, 2000

www.studentlitteratur.se Studentlitteratur, Lund Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2009

Innehåll Förord

9

Ytterligare läsning

10

1 Grunder

11

1.1

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Logik ................................................... 12

1.3

Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

Reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5

Triangelolikheten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6

Mängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I .7

Kvantorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8

Summa- och produkttecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9

Aritmetiska och geometriska summor ......................... 27

I . I 0 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11 Pennutationer och kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.12 Binomialsatsen ........................................... 37 1.13 Numeriska beräkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.14 Funktioner ............................................... 47 1.15 Invers funktion ........................................... 51 1.16 Sammansatta funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.17 Elementära funktioner ...................................... 60 1.18 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 87

2 Gränsvärden och kontinuitet 2.1

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2

Gränsvärde av en funktion då x --. oo eller -oo, gränsvärde av en talföljd ............................................ 87

2.3

Gränsvärde av en funktion då x --. x 0

2.4

Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I08

2.5

Gränsvärden av sammansatta funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

97

3

2.6

Gränsvärden av monotona talföljder .......................... 116

2. 7

Standardgränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.8

Egenskaper hos kontinuerliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.9

Sammanfattning av vissa definitioner och satser, samt standardgränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. 10 Några bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.11

Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 Derivator

150

3.1

Inledning ............................................... 150

3.2

Definition av derivata ..................................... 152

3.3

Deriveringsregler ......................................... 161

3.4

Derivering av inversa funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.5

Derivering av sammansatta funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.6

Logaritmisk derivering .................................... 176

3.7

Differentialer ............................................ 178

3.8

Felfortplantning .......................................... 180

3.9

Högre derivator .......................................... 183

3.10 Partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.11

Övningar ............................................... 188

4 Hur man kan använda derivata

198

4.1

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.2

Lokala maxima och minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.3

Medelvärdessatsen ....................................... 201

4.4

TIiiräckiiga villkor för lokal extrempunkt ...................... 206

4.5

Största och minsta värde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.6

Funktionskurvor ......................................... 218

4.7

Ekvationer: En inledande orientering ......................... 229

4.8

Grovbestämning av rötter .................................. 233

4.9

Fixpunktsiteration ........................................ 237

4.10 Några speciella iterationsmetoder ............................ 241 4.11

4

Avslutande synpunkter på ekvationslösning ................... 246

4.12 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

S Approximation med polynom. Taylors formel

258

5.1

Inledning ............................................... 258

5.2

Taylorpolynom .......................................... 259

5.3

Taylorutvecklingar ....................................... 262

5.4

Andra uttryck för resttermen i Taylors formel .................. 263

5.5

Standardutvecklingar ..................................... 265

5.6

TIilämpningar av Taylors formel ............................. 269

5.7

Numeriska beräkningar .................................... 271

5.8

Interpolation ............................................ 275

5.9

Andra möjligheter vid polynomapproximation ................. 281

5. IO Övningar ............................................... 286

6 Integration i en dimension

293

6.1

Area och integral, problemställning .......................... 293

6.2

Definition av integral ..................................... 294

6.3

Generalisering och enkla räkneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

6.4

Samband mellan integral och primitiv funktion ................. 299

6.5

Primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.6

Räkneregler för primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

6.7

Partiell integration ........................................ 305

6.8

Baklängesderivering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

6.9

Variabelbyte ............................................ 309

6.10 Uppskattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6.11 Rationella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6.12 Mer om rationella funktioner, partialbråksuppdelning ............ 320 6.13 Trigonometriska formler, trigonometrisk substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 6.14 Användning av formelsamling (tabell) ........................ 328 6.15 Integralkalkylens medelvärdessats, samband integral - primitiv funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 6.16 Generaliserade integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 6.17 Absolut och betingad konvergens av generaliserade integraler . . . . . 342

5

6.18 Formelsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 6.19 Övningar ............................................... 345

7 Tillämpningar av integraler och derivator

355

7.1

Inledning ............................................... 355

7.2

Beräkning av volymer ..................................... 356

7.3

Kurvor i parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.4

Båglängd ............................................... 368

7.5

Krökning och krökningsradie ............................... 374

7.6

Polära koordinater ........................................ 380

7.7

Arbete och kurvintegraler .................................. 385

7.8

Medelvärde av en funktion ................................. 391

7.9

Masscentrum ............................................ 393

7.10 Kinetisk energi, tröghetsmoment ............................ 397 7.11 Blandade exempel ........................................ 399 7.12 Övningar ............................................... 403

8 Numerisk derivering och kvadratur 8.1

Numerisk derivering och Richardsonextrapolation .............. 421

8.2

Inledning till numerisk kvadratur ............................ 428

8.3

Rektangelregeln och Trapetsregeln ........................... 428

8.4

Rombergs metod ......................................... 434

8.5

Andra metoder .......................................... 436

8.6

Övningar ............................................... 441

9 Komplexa tal

6

421

446

9.1

Inledning ............................................... 446

9.2

Definition och räknelagar .................................. 446

9.3

Polär form av de komplexa talen ............................ 455

9.4

de Moivres formel ........................................ 458

9.5

Andragradsekvationer ..................................... 460

9.6

Allmänt om algebraiska ekvationer .......................... 461

9.7

Ekvationen zn

9.8

Funktionen e" ........................................... 465

= w. Enhetsrötter ............................

463

9.9

TIiiämpning på växelström ................................. 468

9.10 Ett enkelt RC-filter ....................................... 471 9.11 Övningar ............................................... 473

10 Differentialekvationer

478

10.1 Inledning ............................................... 478 10.2 Några problem som leder till differentialekvationer .............. 480 10.3 Riktnings fält ............................................ 485 10.4 Eulers metod ............................................ 486 10.5 Linjära differentialekvationer ............................... 489 10.6 Linjära differentialekvationer av ordning 1 .................... 492 10.7 Separabla differentialekvationer ............................. 495 10.8 Homogena linjära differentialekvationer av ordning 2 ............ 500 10.9 Inhomogena linjära differentialekvationer ..................... 506 10.10

Variation av konstanterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

10.11

Eulers differentialekvation ............................... 514

10.12

Mekaniska och elektriska svängningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

10.13

Linjära differentialekvationer av högre ordning ............... 523

10.14

Övningar ............................................. 527

11 Numerisk lösning av differentialekvationer

538

11.1 Inledning ............................................... 538 11.2 Enstegsmetoder .......................................... 538 11.3 Felanalys ............................................... 543 11.4 Richardsonextrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 11.5 Taylors metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 11.6 Implicita metoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 11.7 Aerstegsmetoder ......................................... 547 11.8 Övningar ............................................... 550

12 System av dift'erentialekvationer 553 12. l Inledning ............................................... 553 12.2 Några exempel .......................................... 553 12.3 Lösning av linjära system genom eliminering .................. 557 7

12.4 Allmänt om system av differentialekvationer ................... 559 12.5 Numeriska metoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 12.6 Matrismetoder ........................................... 563 12. 7 Övningar ............................................... 576

581

13 Serier

13.1 Inledning ............................................... 581 13.2 Positiva serier ........................................... 584 13.3 Serier vars termer har godtyckligt tecken. Absolut konvergens. . ... 590 13.4 Geometrisk serie. Rotkriteriet. .............................. 592 13.5 Potensserier. . ........................................... 593 13.6 Fourierserier ............................................ 597 13.7 övningar ............................................... 597

14 Svar till övningsuppgiftema

600

14. 1 Kapitel 1 ............................................... 600 14.2 Kapitel 2 ............................................... 606 14.3 Kapitel 3 ............................................... 609 14.4 Kapitel 4 ............................. -.................. 614 14.5 Kapitel 5 ............................................... 625 14.6 Kapitel 6 ............................................... 628 14.7 Kapitel 7 ............................................... 632 14.8 Kapitel 8 ............................................... 637 14.9 Kapitel 9 ............................................... 639 14.10

Kapitel 10 ............................................ 643

14.11

Kapitel 11 ............................................ 647

14.12

Kapitel 12 ............................................ 648

14.13

Kapitel 13 ............................................ 650

Sakregister

8

651

Förord Denna lärobok vänder sig i första hand till studerande inom civilingenjörs- och högskoleingenjörsutbildningarna, men är också lämplig för annan högskoleutbildning och för rena självstudier. Detta är en kraftig omarbetning av den tidigare läroboken med samma namn. Den allra synligaste skillnaden är naturligtvis typografin, men texten har genomgående setts över. En anpassning har också skett till förändringar i gymnasieskolans kurser och till de förbättrade och lättillgängliga beräkningshjälpmedlen. Liksom i tidigare versioner läggs stor vikt vid tillämpningar av matematiken. För att belysa och komplettera texten finns vidare ett stort antal lösta exempel och övningar med svar. Författarna anser att numeriska och analytiska metoder bör integreras i inledande kurser i matematisk analys, speciellt för blivande ingenjörer. Boken innehåller därför en del moment och metoder som vid våra högskolor oftast behandlas inom ämnet Numerisk analys. Boken innehåller däremot inte alltid fullständiga och logiskt oantastliga bevis för resultaten. Ibland har dessa istället troliggjorts genom antydningar, intuitiva resonemang och illustrerande exempel.

Vi riktar ett varmt tack till Lena Wassennann och Anne-Christine Liinanki som med skicklighet och tålamod gett texten dess nuvarande utfonnning. Luleå, juni 2000 Håkan Ekblom Anders Grennberg Torbjörn Hedberg Reinhold Näslund

9

Ytterligare läsning Hellström-Morander-Tengstrand: Envariabelanalys (Studentlitteratur) ger en relativt fyllig och stringent framställning av envariabelanalysen och är ett lämpligt komplement till den föreliggande boken för den som önskar fördjupa sig i teorin. Hylten-Cavallius och Sandgren: Matematisk Analys I (Studentlitteratur) kom ut i sin första upplaga år 1957 och är en klassisk och innehållsrik bok som varit inkörsporten till området för många matematikstuderande, främst vid universiteten. I vissa av vår boks kapitel utnyttjas metoder och begrepp från den linjära algebran och läsaren hänvisas till Andersson m.fl.: Linjär algebra med geometri (Studentlitteratur) för ytterligare studier. Elden och Wittmeyer-Koch: Numerisk analys (Studentlitteratur) är lämplig för den som vill gå vidare och lära sig mer om numeriska beräkningsmetoder. Råde-Westergren: BEIA - Mathematics Handbook for Science and Engineering (Studentlitteratur) är en praktisk och pålitlig uppslagsbok.

1 Grunder

1.1 Inledning

'\.\ I~

:::o--::

~

0".

= 0 har en (reell) rot skulle

= 0,

vilket skulle utläsas "det finns ett reellt tal x så att x 2

-

3x + 2 = 0".

Det speciellt praktiskt att använda de logiska kvantorema när man skall formulera negationen av en öppen utsaga. Om vi t.ex har en utsaga Vx E A; P så är dess negation utsagan :3 x E A; icke - P.

1.8 Summa- och produkttecken Ibland har man anledning att addera åtskilliga termer som byggts upp enligt något speciellt mönster. Till exempel 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

(5)

är summan av sju konsekutiva(= på varandra följande) udda heltal. Uttrycket 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 106 + 108 + 110 24

(6)

I .8

Summa- och produkttecken

ger summan av de 55 första jämna positiva heltalen. Varje term i (1.6) är av formen 2k. Den första termen får vi om vi sätter k = 1, den andra om vi sätter k = 2, den tredje med k = 3 osv. till dess att vi kommer till k = 55, som ger 2 • 55 = 110. För att kunna skriva summor med många termer använder man en speciell symbol, den grekiska bokstaven E (stora sigma), på följande sätt: 55

L

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 106 + 108 + 110 =

2k.

k=l

Allmänt låt am, am+ 1, . . . , an vara givna tal. Vi skriver då am

+ am+l + am+2 +

n

... +an

= L

(7)

ak.

k=m

Variabeln k kallas för summationsinde.x och E för summatecken. Högerledet i (1. 7) brukar läsas ut så här: "Summan, då k går från m till n, av ak" eller "summa ak, då k går från m till n". Det är underförstått att k endast antar heltalsvärden. Med hjälp av summatecken kan (1.5) skrivas (parentesen är viktig här!) 10

L (2k + 1),

9 + 11 + 13 + ... + 21 =

k=4

eller 11

9+11+13+ ... +21= L(2k-1). k=5

Beteckningen k för summationsindex kan bytas ut mot någon annan bokstav, som t.ex. i, j, m eller n. En ofta förekommande variant är den grekiska bokstaven v (ny). Vi får för (1.5) 7

7

7

6

10

v=l

i=l

j=l

n=0

m=4

L (2v + 7) = L (2i + 7) = L (2j + 7) = L (2n + 9) = L

(2m + 1).

Exempel 1.22 Med hjälp av E-tecknet får vi möjlighet att skriva följande summor på ett kompakt sätt.

69

2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + ... - 69 =

L (-Il· k,

k=2

2. 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + ... + 104 · 105 + 105 · 106 =

105

L

k(k + 1),

k=2 103

x

+ x2 +

x3

+ ... +

x103

=

L

xk.

k=l

25

Kapitel I.

Grunder

Ofta skriver man

n

n

t

k=l

E ak istället för E

ak, om det inte kan uppstå missförstånd be-

träffande summationsindex. Till exempel kan vi skriva

5

5

5

5

n

5

2 + 4 + 8 + ... + 2n = ~ 2k. Men så snart det är tveksamt vad som är summationsindex så måste man skriva ut

"k = " (eller motsvarande). Uttrycket n

.

Ek' 1

är tvetydigt, eftersom det kan tolkas dels som n

.

L

k'

.

.

.

.

= 1• + 2• + 3• + ... + n •,

k=l

dels som n

L ki = kl + k2 + k3 + k4 + ... + kn. i=l

Observera även 6

4+4+4+4+4+4

= E 4 = 24, k=l

1+ 1+1+

... + 1 + 1 =

n

E 1 = n. k=l

n stycken tenner

För att på motsvarande sätt skriva produkter kortfattat använder man den grekiska bokstaven II (stora pi) precis som man använder E för summor: n

= f1

a1 · a2 • a3 · ... · an

ak.

k=l

Exempel 1.23 Vi kan skriva 17

5 · 7 · 9 · ... · 35

= f1 (2k + 1), k=2

17

f1

4 · 6 · 8 · ... · 34 + 1 =

2k + 1,

k=2

2 - 4 . s -16 - ... - 2048

11

= TI

2k,

k=l n

a • a 2 • a 3 • a 4 · ... ·an

= f1

a1 ,

j=l 18

4 · 8 · 12 · ... · 64 =

f1

j=3

26

16

4(j - 2) =

f1

k=l

4k.

1.9

Aritmetiska och geometriska summor

1.9 Aritmetiska och geometriska summor En aritmetisk summa är en summa av tal som bildar en aritmetisk följd. En aritmetisk följd karakteriseras av att skillnaden mellan två konsekutiva tal hela tiden är konstant. Denna konstanta skillnad kallas den aritmetiska följdens differens.

Exempel 1.24 2, 5, 8, 11, 14, 17 är en aritmetisk följd, vars differens är 3. Första tennen är 2 och sista termen är 17. Följden 2, 5, 7, 10, 12, 15 är däremot inte aritmetisk. Summan av en aritmetisk följd får man genom att man skriver upp följden två gånger i motsatt ordning. Sedan lägger man ihop första och sista, andra och näst sista tennerna, etc. Vi belyser tekniken med ett exempel.

Exempel 1.25 Betrakta följden 1, 3, 5, 7, 9, ... , 2k-1, ... och säg att vi vill räkna ut summan av de nio första talen. Sätt Sg

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17.

Då har vi Sg Sg

2s 9

=

= 1 + 3 + 5 + ... + 15 + 17 = 17 + 15 + 13 + ... + 3 + 1 18 + 18 + 18 + ... + 18 + 18 . 9 stycken tenner som var och en är lika med 18

Härav får vi direkt Sg

9-18 =-2-,

ty antalet tenner är 9 och summan av den första och den nionde är 18. Med samma teknik som i exempel 1.25 visar man att om Sn

= a1 + a2 + ... + an

är en aritmetisk summa så gäller

(8) Exempel 1.26 Ett s.k. amerikanskt lotteri innebär att man har lotter markerade 1, 2, ... , 100 och att varje lott kostar så många kronor som lottens nummer visar. Hur mycket pengar inbringar lottförsäljningen, om alla lotter säljs? Lösning: Det gäller att bestämma en aritmetisk summa med 100 termer med den 100(1 + 100) första tennen 1 och den hundrade tennen 100, dvs. = 5050. Man får 2 alltså in 5050 kr.

27

Kapitel I.

Grunder

Exempel 1.27 Vad är summan av den stycken första positiva udda talen? (Se även beviset på sid. 12.)

Lösning: Vi skall bestämma Ek=l (2k - 1), som är en aritmetisk summa (med differensen 2) med n termer, med den första termen 1 och den n:te termen (2n-1). Vi får enligt formel ( 1.8)

I: (2k _ l) = n(l + 2n - 1) = n

2_

2

k=l

En geometrisk följd är en följd där kvoten mellan ett godtyckligt tal i följden och det närmast föregående talet hela tiden är konstant. En geometrisk summa är summan av en geometrisk följd.

Exempel 1.28 Följden 4, 8, 16, 32, 64, 128 är en geometrisk följd med kvoten 2, medan följden 4, 8, 12, 16, 18, 20, 22 inte är geometrisk. Den allmänna formeln för en geometrisk summa får man enklast genom att först titta på ett specialfall, nämligen följden

där första talet är 1 och kvoten r. Vi betecknar summan av de n med Sn+l dvs.

+ 1 första termerna

n

=L

Sn+l

(9)

rk.

k=O

Då får vi, efter multiplikation med r (r-:/- 0), -

rsn+l - r

Ln

r

k -

-

k=O

Ln

r

k+l -

-

k=O

n+l

L

k

(10)

r .

k=l

Subtraherar vi nu (1.10) från (1.9) så blir resultatet

1+

n

n

L

rk -

k=l

L

rk - rn+l

=1-

rn+l,

k=l

varav följer

Sn+1(l -

r)

= 1-

rn+l_

Om r -:/- 1 ger detta till sist den viktiga och ofta användbara formeln n

Sn+l

=

L

k=O

28

k

1-

rn+l

r = --1- r

(11)

1.9

Aritmetiska och geometriska summor

Observera att antalet termer är n + l. Formeln gäller under förutsättning att kvoten r -:/- l. Fallet r = 1 ger ju en aritmetisk summa (med differensen 0) och behöver strängt taget inte behandlas här. Vi får ur (1.9} med r = 1 insatt n

Bn+l

=

L

n

lk =

k=0

L

1= n

+ l.

k=0

Vi illustrerar användningen av formel (1.11) med några exempel.

Exempel 1.29 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 3°

+ 3 1 + 32 + 3 3 + 3 4 =

1

35

l-=- 3 = 121.

Exempel 1.30

,t (l/ 5l k=0

=

1 - (1/5) 4 1 - (1/5)

=

155. 125

Exempel 1.31 8

k"fo (-5)

k

9

Exempel 1.32 Beräkna

TT

1 - (-5)9 1 + 59 = 1 - (-5) = 1 + 5 = 325521. 511 .

11=0

Lösning: Il

11511 = 50. 51. 52 ..... 59 = 50+1+2+ ... +9 = 5~11 = 545_ 11=0

Exempel 1.33 Enligt sägnen skall shahen av Persien ha erbjudit schackspelets uppfinnare en belöning som uppfinnaren skulle få välja själv. Denne begärde då att få 1 vetekom för brädets första ruta, 2 för den andra, 4 för den tredje, 8 för den fjärde etc., dvs. dubbelt upp för varje ruta till och med den sextiofjärde. Shahen, som tyckte att detta var en blygsam belöning, lämnade gillande sitt medgivande. Han blev emellertid rådlös när han fick veta att det begärda antalet vetekorn överskrider tusentals årsskördar vete på hela jorden! Totala antalet korn blir ju 1 + 2 + 2 2 + 23 + ...

+ 263 =

l - 264 = 264 - 1 = 18446744073709551615. 1-2

(Det lär gå cirka ett par tusen korn på I liter vete .) Om första termen i en geometrisk summa inte är 1 så kan man alltid bryta ut den. Kvar innanför parentesen får man en summa med första termen 1.

29

Kapitel I.

Grunder

Exempel 1.34 4+2+ 1+

1 2

1 4

1 2

1 4

1 8

1 16

- + - = 4(1 + - + - + - + - ) = 4 ·

Anmärkning: Eftersom rn+i ---+ 0 dån---+ (1.11} dra slutsatsen Sn+l

1

---+ - - dån ---+ 1-r

1 - ( ½)5 1 1- 2

31 -

4

oo, om lrl < 1, så kan vi från formeln oo,

om

lrl < 1.

Om lrl ~ 1 så har Sn+l inte något (ändligt) gränsvärde. Vi återkommer till dessa saker i samband med den systematiska behandlingen av gränsvärden i kapitel 2 och av serier i kapitel 13.

1.10 Induktion I detta avsnitt skall vi peka på en bevismetod som ibland är användbar. Vi börjar med ett par inledande exempel.

Exempel 1.35 Betrakta formeln n

2 _

I; k -

2n3

+ 3n2 + n 6

(12)

.

k=l

För n = 1 är båda leden 1 och för n = 2 är båda leden 5. Är likheten sann för alla n E Z+? Då man ska bevisa att ett påstående är sant för heltal är induktion ibland en praktisk bevismetod. Låt oss titta på formeln (1.12}. Vi har genom insättning av n visat att (1.12} är sann för n = 1. Antag nu att (1.12} gäller för ett visst heltal n detta p gäller

t k=l

Vi lägger nu till (p blir då

30

k2

=

2p3

= p, där p

+ 3p2 + p. 6

~ 1.

= 1 i vardera ledet Antag alltså att för

(13)

+ 1) 2 på bägge sidor om likhetstecknet i (1.13}. Vänsterledet

I. JO

Induktion

Låt oss sedan se vad högerledet blir efter denna addition. Vi får:

2p3 +3p2 +p 6

+

(

)2 p+ 1

=

2p3 + 3p2 + p + 6p2 + 12p + 6 6

2p3 + 9p2 + 13p + 6 6 Nu jämför vi det sista uttrycket med högerledet i (1.12) då n ersätts med p + 1. Vi får då

2(p + 1) 3 + 3(p + 1) 2 + (p + 1) 6

2p3 +6p2 +6p+2+3p2 +6p+3+p+ 1 6

2p3 + gp2 + 13p + 6 6 Alltså gäller formel (1.12) även för n = p + 1. Om likheten (1.12) gäller för ett visst heltal n = p, så gäller den alltså även för nästa heltal n = p + 1. Eftersom vi visat att likheten verkligen gäller för n = 1, så måste den alltså gälla för n = 2 också. Men från ett visst n-värde kan vi ju komma till nästa. Alltså måste likheten gälla även för n = 3. Men eftersom den nu gäller för n = 3, så måste den också gälla för nästan-värde, dvs. n = 4 och så vidare.

För att dra slutsatsen att påståendet gäller för alla naturliga tal n 2'. 1 utnyttjar vi nu den grundläggande egenskapen hos de naturliga talen att varje tal nås genom att gå ett steg i taget. Mer precist uttryckt använder vi följande axiom som brukar kallas induktionsaxiomet. Låt Pn vara ett påstående som beror på heltalet n. Antag att

I. P 1 är sant, dvs. att påståndet är sant för n

= 1,

samt att

Il. Pp ⇒ Pp+ 1 , dvs. om påståendet är sant för n n=p+l.

=

p så är det sant även för

Då innebär induktionsaxiomet att påståendet är sant för alla heltal n 2'. 1.

Anmärkning: Byter vi villkoret I mot

I'. Pb är sant, dvs. påståendet är sant för n

= b,

så kan vi dra slutsatsen att påståendet är sant för varje heltal n 2'. b. Denna variant av induktionsaxiomet används ofta. 1 · ås ten å dern D ( n ._,n +n) somvtme · d Antagnuattvtharettp t.ex. •n: L..,k=I k2 = 2n"+3n 6 induktion vill visa är sant för varje heltal n 2'. b. I många (men inte alla!) fall kan man göra så här:

31

Kapitel/.

Grunder

I. Visa att påståendet gäller för n

= b, dvs. att Pb är sant. = p och visa att påståendet i så fall är sant

Il. Antag att påståendet gäller för n också för n = p + 1.

111. Hänvisa till induktionsaxiomet. Exempel 1.36 Visa att för alla n E Z+ gäller n 1

k"fl k(k + 1)

n

(14)

= n + 1·

Lösning: Vårt påstående Pn är här likheten {1.14).

I. För n = 1 gäller

1 1 1 1 VL= 1(1+1) =2ochHL= l+l =2· Alltså är likheten sann för n = 1. Il. Antag att likheten är sann för n = p, dvs. att p 1 p

k"f1 k(k + 1)

(15)

=p+ 1

Vi vill visa att det då måste gälla p+l

1

I:---

_ p+1

(16)

k=1k{k+l) - p+2

Vi observerar nu att om vi adderar (p + 1); + 1 + 1) till vänsterledet i antagandet (1.15) så får vi vänsterledet i påstående (1.16). Vänsterledet i (1.16) kan alltså skrivas p+l

t

1

1 k=l k(k + 1)

I:-k=l k(k + 1)

-----------

1

+------= (p+ l)(p+ 1 + 1)

=;;tr enligt (1.15)

1 p+l + (p+l)(p+2) p(p+2)+1 (p+l) 2 (p+l)(p+2) (p+l)(p+2) p

Vi har alltså kommit fram till "rätt högerled" och har visat att (1.16) gäller. Vi har med andra ord visat att om (1.14) är sann för n = p så är (1.14) sann även för

n=p+l. 111. Enligt induktionsaxiomet följer nu av I och Il att likheten (1.14) gäller för vai:je heltal n ~ 1. 32

I.JO

Induktion

Exempel 1.37 Visa att för alla heltal n ~ 2 gäller

1+

1

1

J2 + ... + .Jii, < 2../n -

1.

(17)

Lösning:

I. För n 1+

= 2 har vi V L = 1 + ~ och H L = 2\1'2 1

J2 < 2\1'2 -

1 {::}

J2 + 1 < 2 · 2 - J2 {::} 2/2 < 3 {::} 8 < 9.

Således är olikheten sann för n

= 2.

Il. Antag nu att olikheten är sann för n 1+

1. Men

= p, dvs. att

1

1

J2 + ... + v'f> < 2..;'f> -

1.

Vi vill visa att i så fall gäller

1 1 1 1 + rn + ... + 1,n + Jp+I < 2y'p+l - 1, v2 vP p+l dvs. att olikheten är sann även för n

1+

= p + 1. Men om

1

1

J2 + ... + v'f> < 2..;'f> -

1

så får vi

1 1 1 1 1 + rn + ... + 1,n + c . , < 2/p- 1 + c . , · v2 vP vP+.1. vP+.1. Vi är således klara om vi kan visa olikheten 1 2..;'f> - 1 + Jp+I < 2y'p+l - 1, som är ekvivalent med

2/py'p+l + 1 < 2(p + 1)

i 2/py'p+l
JT JIOf JJHl.d~f' T.\ SIC 'ffU.

l

l I I ( I l

I

'I

I ' I i I I

..

I

I

I I

I

l

fl' 1 0dl I fla&.LS))tl.t.a1'1,4JI .-.... r-:-,---,..,.,....,,--JWr 1.

--~---:..-;.:.:.:..:.::_

.

1.11 Permutationer och kombinationer Hittills när vi talat om mängder så har vi inte tagit hänsyn till elementens ordning; mängden {1, 2, 3} och {3, 1, 2} är exempelvis samma mängd. Om vi däremot förutsätter att elementen skall räknas upp i en viss ordning så talar vi om en ordnad mängd. Antag nu att vi har en mängd som består av ett ändligt antal element av något slag. Vi antar att antalet element är n och betecknar mängden med A = {a1, a2, ... ,an}. På hur många olika sätt kan denna mängd ordnas? Eller annorlunda uttryckt; hur många olika ordnade mängder kan vi skapa med hjälp av dessa element. Att ordna mängden innebär att vi väljer ett element som det första, sedan ett andra, därefter ett tredje osv. När det gäller att välja det första elementet har vi n olika möjligheter. För var och en av dessa n möjligheter finns det sedan n - 1 olika möjligheter att välja det andra. Vi har med andra ord n( n - 1) olika sätt att välja de två första elementen. För var och en av dessa n( n - 1) möjligheter finns det n - 2 möjligheter att välja det tredje elementet, dvs. det finns n( n - 1)( n - 2) olika sätt att välja de tre första. På detta sätt finner man till sist att det finns n(n - l)(n - 2)(n - 3) • ... • 3 • 2 • 1 sätt att ordna den elementen ak. Uttrycket 1 • 2 • ... • (n - 2)(n - l)n förkommer så ofta att man infört ett särskilt namn och en särskild beteckning.

Definition 1.2 Produkten 1 · 2 · ... · (n - 2)(n - l)n betecknas med n! och utläses "n-f akultet".

Definition 1.3 Låt en ändlig mängd A vara given. En ordnad mängd som består av samtliga element ur A kallas en permutation av elementen i A. 34

I. I I

Permutationer och kombinationer

Med dessa beteckningar och begrepp kan vi fonnulera det vi visat i fonn av följande sats.

Sats 1.2 Antalet olika permutationer av de n elementen a 1 , a 2 , ... , an är n!. Exempel 1.38 Hur många olika ord på sex bokstäver kan man bilda genom att kasta om ordningen av bokstäverna i ordet KIRUNA? Lösning: Varje ord är en pennutation av de sex elementen, dvs. bokstäverna, K, I, R, U, N och A. Antalet olika ord är således 6! = 6 · 5 · 4 . 3 . 2 . 1 = 720. Exempel 1.39 Hur många ord kan man bilda genom att kasta om ordningen av bokstäverna i ordet LULEÅ?

Lösning: Vi ser här att bokstaven L förekommer två gånger. Vi ger först vart och ett av dessa två Len identitet genom indexsiffror, dvs. L 1~EÅ. Dessa fem bokstäver kan enligt ovan pennuteras på 5! sätt. Vi kan sedan gruppera dessa pennutationer parvis, där varje par består av två pennutationer som endast skiljer sig åt genom ordningen på L1 och 4. Antalet olika ord blir alltså 5!/2 = 60. Exempel 1.40 Hur många ord kan man bilda genom att kasta om ordningen av bokstäverna i ordet SALAMANCA?

Lösning: Om vi tänker oss att de 4 A:na har identitet så får vi 9! olika pennutationer. Dessa kan grupperas så att varje grupp består av pennutationer som endast skiljer sig genom ordningen på de fyra A:na. Antalet pennutationer i varje grupp är antalet möjliga pennutationer av fyra element, dvs. 4!. Antalet olika ord är därför 9!/4!=15120. Vi ska nu gå över till ett annat problem, nämligen undersöka på hur många sätt man kan bilda ett mängd bestående av k element, valda ur en mängd bestående av n

element, k

~

n. Vi börjar med ett exempel.

Exempel 1.41 En klass består av 16 elever. Hur många olika fotbollslag (bestående av 11 spelare) kan man bilda i klassen? Lösning: Den första spelaren kan väljas på 16 sätt, den andre på 15 osv., den elfte på 16 - 10 = 6 olika sätt. Om vi skulle ta hänsyn till ordningen betyder det att vi skulle kunna bilda 16-15-14-13-12· 11 · 10·9·8• 7 •6 = 16!/5! lag. Emellertid bryr vi oss inte om ordningen och konstaterar att dessa lag kan grupperas i grupper, där lagen i varje grupp innehåller samma spelare, men skiljer sig åt genom ordningen mellan spelarna. Antalet lag i varje grupp är lika med antalet sätt att permutera 11 spelare, dvs. 1I !. Antalet olika lag är därför ~=4368. 5!-11!

35

Kapitel I.

Grunder

Att välja ut k element bland n givna brukar kallas att välja en kombination bestående av k element. Exakt samma resonemang som i exemplet ovan leder till följande sats.

Sats 1.3 Antalet möjliga kombinationer av k element ur n givna är

n! k!(n - k)!" Dessa tal brukar kallas för binomialkoefficienter och betecknas med (;), dvs. vi har

n n! n (n - 1) · ... • (n - k + 1) (k)= k!(n-k)! = k(k-l)(k-2)· ... ·2·1·

(18)

Vi hart.ex.

7 7-6·5·4·3·2·1 7·6 v y

= ax, a > 0 kallas en exponentialfunktion med

basen a.

För uttrycket ax används även skrivsättet exp0 x eller O exp x. Om basen är talet e = 2.7182 ... (e kommer att definieras i kapitel 2, 121) så skriver vi ex eller expx. När man säger exponentialfunktionen i bestämd form menar man normalt funktionen ex. Exponentialfunktioner förekommer i praktiken i många situationer, t.ex. då man behandlar tillväxt och sönderfall. Basen e visar sig vara speciellt lämplig eftersom funktionen ex är sin egen derivata.

Vi påminner om de viktiga räkneregler som gäller för exponentialfunktioner:

Exempel 1.80 Jordens befolkning antas öka med 3% per är. Hur lång tid tar det innan folkmängden fördubblats?

Lösning: Låt N(t) vara folkmängden vid tiden t. Då gäller N(t + 1) = 1.03N(t), N (t + 2) = 1.032 N(t), ... , N (t + x) = 1.03x N(t), x heltal. Men folkmängden ökar ju inte språngvis efter hela år. Det är därför rimligt att utgå ifrån att formeln gäller för godtyckliga reella tal x. Vi söker det värde på x för vilket

2N(t) = 1.03x N(t) dvs. 1.03x = 2. Med hjälp av miniräknare kan man se att 1.0324 = 2.0328. Det tar alltså knappt 24 är för befolkningen att fördubblas. 64

I. 17

Elementära funktioner

1.17.5 Logaritmfunktionen Från gymnasieskolans kurs bör det vara känt att varje exponentialfunktion med basen a är strängt avtagande om O < a < 1 och strängt växande om basen a > 1. Eftersom varje exponentialfunktion med a / 1 alltså är strängt monoton så existerar inversen .

... X

Definition 1.14 Inversen till en exponentialfunktion med basen a kallas för en logaritmfunktion med basen a. Vi skriver y = log,. x. Vi har

D1og0

= R+ och Viog = 0

R. Basen är normalt ett tal a > 1. Om basen är e = 2. 7182 ... använder vi beteckningen ln x eller log x och talar om den naturliga logaritmen. Om basen är 10 använder man ofta beteckningen lg i stället för log 10 . I vissa sammanhang, t.ex. inom informationsteknik, använder man inte sällan basen 2. Andra baser förekommer knappast i praktiken. Innebörden av logaritmdefinitionen kan uttryckas på följande sätt: y

= ax X= log

0

y.

(30)

Vi kan också skriva

vilket ofta är användbart när man skall behandla uttryck där både bas och expo2 2 nent är variabla. Vi får exempelvis xx = exlnx, x 1fx = e(lnx)/x och generellt

f (x )g(x) = eg(x) In f(x).

Räknelagarna för exponentialfunktionen har sina direkta motsvarigheter i räknelagar för logaritmen:

= 0, loga xy = loga x + loga Y, log xY = y log,. x,

1. log0 1

2. 3.

0

4. log0

1 -

X

=-

log,. x, 65

Kapitel I.

Grunder X

5. log,. -

= log

6. log,.x

= -1 - .

y

0

X -

log0 y,

logbx ogba

Dessa räkneregler visas med hjälp av räknereglerna för exponentialfunktionen.

Exempel 1.81 Visa att log,. xy

= log,. x + log,. y om a > 0, x > 0 och y > 0.

Lösning: Sätt u = log,. x och v = log 0 y. Då gäller enligt (1.30) att x = a" och y = av. Enligt räkneregel 2. för exponentialfunktionen får vi xy = a"av = au.+v. Men enligt ( 1.30) betyder detta att u + v = log0 xy och räkneregel 2 för logaritmen är därmed visad.

= -logbx --• 1ogba x dvs. x = a". Vi kan skriva om a på formen a = b10gb a

Exempel 1.82 Visa att log0 x

Lösning: Sätt u = log0 och får med användning av detta X=

a"

= (blogba)" = bu.logba = blog

Av detta följer enligt (1.30) att logb x

0

:z:-logba.

= log,. x · logb a och regel 6 är därmed visad.

Exempel 1.83 I exempel 1.80 skulle vi ha kunnat använda logaritmer för att bestämma x ur ekvationen 2 = 1.03"'. Logaritmering av båda leden ger nämligen lg 2 = x lg 1.03 dvs. x = lg 2/ lg 1.03 ~ 0.3010/0.0128 ~ 23.51. Exempel 1.84 För radioaktivt sönderfall gäller formeln m = moe-.>.t, där m är ämnets massa vid tiden t, mo ämnets massa vid tiden t = 0 och .X en konstant. Antag nu att ett radioaktivt ämne med massan 230 g sönderfaller så att det efter 150 minuter endast återstår 170 g. Hur mycket återstår efter ytterligare 90 min.? Lösning: Vi har sambanden

170 = 230e-.>. 150och m

= 230e-.>.240 .

Logaritmering (bas e, dvs. den naturliga logaritmen) ger log 170

= log 230 -

150.X och log m

= log 230 -

240.X

vilket i sin tur ger log m

= log 230 -

240 150 (log 230 - log 170)

Med hjälp av miniräknare finner vi m 66

= elogm ~ 142.

~

4.9544.

I. 17

Elementära funktioner

1.17.6 Hyperboliska funktioner De s.k. hyperboliska funktionerna bör man känna till, trots att de egentligen inte innebär något nytt; de är helt enkelt speciella rationella funktioner av ex. Det visar sig emellertid ibland praktiskt att använda dem. Vi har följande definition:

Definition 1.15 Vi definerar

cosh x

.

sinh x

ex+ e-x

= -2 ex - e-x 2

= ---

sinhx coshx coshx cothx=-sinhx

tanh x

= --

cosinus hyperbolicus sinus hyperbolicus tangens hyperbolicus cotangens hyperbolicus , ,I

Man kan exempelvis visa att en fritt hängande jämntjock och perfekt böjlig kabel följer en cosh-kurva.

1.17.7 Trigonometriska funktioner De trigonometriska funktionerna spelar en central roll i många sammanhang, t.ex. då man behandlar svängnings- och rotationsproblem. Vi påminner först om radianmåttet för vinklar. Antag att x är ett reellt tal. Utgående från punkten (1, O) i ett ortonormerat koordinatsystem avsätts längs enhetscirkeln (en cirkel med radie I 67

Kapitel I.

Grunder

och centrum i origo) avståndet lxl i positiv led (moturs) om x > 0 och i negativ led om x < 0. På så sätt fastläggs en punkt P på cirkeln. Drag sedan halvlinjen mellan origo O och P. Vi får en riktad vinkel av storleken x radianer. En rät vinkel svarar således mot 1r /2 radianer och ett helt varv mot 21r radianer.

(ceax,mx) ''

(-1,0)

(t,O)

(o,1)

Vi kan nu definiera de trigonometriska funktionerna. Definition 1.16 Låt x vara ett godtyckligt tal och välj punkten P på enhetscirkeln så att linjen O P bildar vinkeln x med förstaaxeln. Vi säger då att punkten P har koordinaterna (cosx, sin x), dvs. cos x definieras som förstakoordinaten för P och sin x definieras som andrakoordinaten.

Vidare definieras

sinx 1r tanx = - - , x -:f -2 cosx

+ k1r och

Vi ser att sin k7r = 0 och att cos ( J

cosx 1 cotx = - . - = - - , x -:f k1r. smx tanx

+ k7r)

= 0 för alla heltal k.

Vi påminner härnäst om ett antal viktiga trigonometriska formler som vi dock avstår från att bevisa. Sats 1.9 Följande samband gäller:

I. sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa 2. sin(1r - a) = sina, sin (J -

a)

= cosa

3. cos(1r-a)=-cosa, cos(J-a)=sina 4. sin 2 a

+ cos2 a = 1

5. sin2a = 2sinacosa 6. cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a

68

1./7

7. cos 2 a =

Elementiirafunktioner

l+cos2a . 2 1-cos2a , sm a = 2 2

8. sin (a + ,B) = sina cos ,B + cos a sin,B

9. sin {a - ,B) =sina cos ,B - cos a sin,B 10. cos {a + ,B) = cos a cos ,B - sin a sin ,B

11. cos {a - ,B) = cos a cos ,B + sin a sin ,B

12. tan (a

+ ,B) =

tan a + tan ,B 1 - tanatan,B

13. sin a cos ,B =

½(sin (a + ,B) + sin (a

- ,B))

14. cos a cos ,B =

½(cos (a + ,B) + cos (a

- ,B))

15.sinasin,B =

½(-cos (a + ,B) + cos (a - ,B))

16. sina + sin ,B = 2 sin o:~,13 cos 17. cos a + cos ,B = 2 cos o:~,13 cos

0

2,13 0

2,13

18. sina - sin ,B = 2 cos o:~,13 sin ° 2,13

19. cos a - cos ,B = -2 sin o:~,13 sin ° 2,13 Sinus och cosinus är definierade för alla reella tal x och vi talar om sinusfunktionen, cosinusfunktionen respektive tangensfunktionen, definierade genom x n- y = sin x osv. Tangensfunktionen är definierad för alla x =/:- k1r och cotangensfunktionen för alla x =/:- + k1r , k heltal. Av definitionerna framgår att såväl cosinus- som sinusfunktionen är periodisk med (minsta) period 21r. Skall vi rita motsvarande kurvor räcker det alltså att betrakta ett intervall av längd 21r, t.ex. intervallet [O, 21r], för att få en bild. För tangensfunktionen tar vi intervallet ( -1r /2, 1r /2) ty den, liksom

!

69

Kapitel I.

Grunder

cotangensfunktionen, är periodisk med (minsta) period 1r. 2

~

✓

ljCCISI

~-=-~.J.~~!i,,,...:;..-J.~~~_;--..,._~..:•:.:-~...,;ji=-,~it

IL

En titt på sinuskurvan och ett försök att rita in linjen y = x ger anledning att misstänka att denna linje ligger över kurvan för x > 0 och under den för x < 0. Om vi försöker göra motsvarande sak för tangensfunktionen verkar det som om linjen ligger under kurvan y = tan x för x > 0 och över den för x < 0.

1 I

X

-•ft

z

Följande två satser visar att dessa observationer är korrekta. (Se även övningarna 1.96 och 1.97.)

Sats 1.10 För alla x

> 0 gäller att sin x < x.

Bevis: Om x > l är saken klar, ty sin x :::; 1 för alla x. Antag alltså att O < x :::; 1 och betrakta nedanstående figur. En jämförelse mellan areorna ger att arean av triangeln OAP är mindre än arean av cirkelsektom OAP.

är½·

Men triangelns area (längden av OA) •(höjden)=½ -1 ·sinx och cirkelsektoms area (längden av OA) · (längden av bågen AP)= l

är½·

Ur detta följer den sökta olikheten. 70

1.17

Elementära funktioner

'Sats 1.11 För alla x, 0

< x < 1r /2, gäller att tan x > x.

Bevis: Vi jämför återigen areor och ser att arean av sektorn OAP är mindre än arean av triangeln O AT, som är

½tan x. Resultatet följer som i föregående sats.

Funktioner av typen y = A cos wx + B sin wx dyker inte så sällan upp i skilda tekniska tillämpningar, som exempelvis då man behandlar svängningsfenomen. Uttrycket går alltid att skriva om på följande sätt.

Acoswx + Bsinwx = =JA2+n2 (

A

coswx+ B sinwx)= ,-----✓A2 + B2 = A 2 + B 2 (sin.Xcoswx + cos.Xsinwx)

J A2 + B2

J

där vi valt Å så att {

sin.X= JAf+B2 COSÅ

vilket alltid är möjligt eftersom (

= ✓A,+B 2

✓Af+ 82 , ✓ Af+ 82 )

är en punkt på enhetscirkeln.

Men enligt formel 8 i Sats 1.9 68 är sin Å cos wx + cos Å sin wx = sin (wx vi kan alltså skriva

Acoswx + Bsinwx

=J

+ .X) och

A 2 + B 2 sin(wx +.X).

Fördelen med det sista uttrycket är att det ger oss möjlighet att direkt utläsa fasförskjutningen .X och amplituden J A 2 + B 2 .

71

Kapitel I.

Grunder

Exempel 1.85 Bestäm amplitud och fasförskjutning hos y

Lösning: Vi börjar med att bryta ut y

J4 + (-6) 2

2

=

= 4 cos 5x -

J52 =

2 -3 ) = 2\113 ( v'f3 cos5x + v'f3 sin5x

6 sin 5x.

2v'l3 och får

.

Vi ska sedan bestämma >. så att

{

. >. ='7i'3 2 -3 cos >. =7ij· sm

Här kan vi sedan inte räkna exakt, men med hjälp av miniräknare ser vi att 146.3°. Vi har alltså fått y

=

2\113 (sin 146.3° cos 5x

>.

~

+ cos 146.3° sin 5x) =

2v13sin(5x + 146.3°). Amplituden är således 2v'l3 ~ 7.2 och fasförskjutningen är ungefär 146.3°, dvs. ungefär 2.55 radianer.

1.17.8 Inversa trigonometriska funktioner Ingen av de trigonometriska funktionerna har någon invers om funktionerna betraktas på hela det vanliga definitionsornrådet. Emellertid visar det sig praktiskt att titta på intervall, så stora som möjligt, där funktionerna är monotona och därför omvändbara. Man har kommit överens om vilka intervall man ska välja och vi definierar inverserna där.

Definition 1.17 De cyklometriska funktionerna eller arcusfunktionerna är inverser till de trigonometriska funktionerna på vissa speciella intervall, nämligen: y = arccosx är inversen till y = cosx, 0 :S x :S 71', y = arcsin x är inversen till y = sin x, -11' /2 :S x :S 71' /2, y = arctan x är inversen till y = tan x, -11' /2 < x < 11' /2.

Ibland brukar man också införa en arcuscotangensfunktion, som är inversen av y = cot x på intervallet O < x < 11'. Beteckningarna cos- 1 , sin- 1 , respektive tan- 1 förekommer inte sällan i stället för arccos, arcsin respektive arctan . 72

I. I 7

,,. •

Elementära funktioner

)C.

_, -Jt a.

''

~

'J /~-t~111.

I

'

'

I

I!/

,:

:

'/

.

('

"

)I,

...

•

/:

I..., i -r

Ur definitionerna får vi, eftersom funktionens definitionsmängd är inversens värdemängd och tvärtom, att

Darccos

= [-1, 1]

Varccos

= [O, 1r],

Darcsin

=

[-1, 1]

Va,csin

=

Darctan

= R

Varctan

[-1r/2,1r/2], = ( -71" /2, 7r /2) • 73

Kapitel I.

Grunder

X ---

-t

1

Ur definitionerna följer också, eftersom y = f(x) all användning viktiga, samband: y = arccosx

y = arcsinx

y = arctanx



x = 1- 1 (y), följande, för

0 $ y $ 11" och x = cosy, -71"/2 $ y $ 7r/2 och x = siny, -71"/2 < y < 11"/2 och x = tany.

Exempelvis den andra "regeln" kan vi läsa ut på följande sätt: "Arcussinus för ett tal (mellan -1 och 1) är den vinkel mellan -11" /2 och 11" /2 vars sinus är talet."

Exempel 1.86 arccos 1/2 = 71" /3, arcsin ( -1/2) = -71" /6, arccos /3/2 = 71" /6, arctan 1 = 71" / 4. Däremot är inte arcsin 71" definierat. Det finns ju inget y så att

siny

= 71".

Exempel 1.87 De cyklometriska funktionerna kan användas för att uttrycka triangelvinklars storlek (i radianer). Med figurens beteckningar gäller a = arccos 3/5 = arcsin4/5 = arctan4/3 ty O < a < 71"/2 och cosa = 3/5, sina = 4/5 och tana = 4/3.

Exempel 1.88 Visa att följande formel gäller för alla x: arctan x

• = arcsm

X

~

vl +x2

Lösning: Inför beteckningarna u och v genom att sätta u = arctan x och v = arcsin ~ 1x . Då får vi tan u = x och -71" /2 < u < 11" /2 samt sin v = ~ och v1+x· . vi+x· -71" /2 $ v $ 11" /2. Insättning av x = tan u i ✓i:x 2 ger

tanu tanu tanu . -;::===== = --=== = - - = sm u 2 Jl+tan u

Vr-i: oos'Iu.

74

c.!u

1.18

Övningar

Att vi kan säga att J cos 2 u = cos u beror på att cos u > 0 i det aktuella intervallet ( -71" /2, 71" /2) . Alltså gäller sin v = sin u. I det intervall vi betraktar är sinusfunktionen omvändbar och således gäller u = v, vilket skulle bevisas.

Vi kan också göra ett geometriskt bevis. Antag först att x > 0 och rita en rätvinklig triangel med kateterna l och x.

Från triangeln kan vi dra slutsatsen dels att u = arcsin ✓i:x 2 , dels att u = arctan x. Påståndet följer därför för x > 0. Om x = 0 är påståendet uppenbarligen sant. Om x < 0 använder vi att arctanx = -arctan(-x) samt arcsinx = -arcsin(-x) och utnyttjar det vi just visat för positiva x-värden.

1.18 Övningar 1.18.1 Logik och ekvationer 1.1 Nedan anges utsagorna A och B. Skriv implikationspil mellan A och B så att man får korrekt(a) implikation(er). a) A : när mindre än 7. B : när mindre än 12. b) A: t 2 < 4. B: t < 2. c) A: 4x + 3 < 3x - 8. B: x < -11. d) A : m + n är jämnt. B : m och n är udda. 1.2 Kan * ersättas med något av tecknen {=}, ==>, ~? Ange i så fall vilket (eller vilka). a) X+ 3 = 8 * X - 4 = 1, 2 b) JlO - x = 3x * x = 1, c) JlO - x 2 = 3x * x 2 = 1, d) x = 3 * x 2 - 9 = 0, e)cosx=-1 * x=1r, t) x 2 + 3x = 0 * x + 8 = 0.

1.3 För vart och ett av nedanstående påståenden skriv dess negation utan att använda frasen: "Det är inte så att ...". TIii exempel: X : Alla udda tal är delbara med 3.

75

Kapitel I.

Grunder

icke - X : Det finns udda tal som inte är delbara med 3. A: Det finns jämna tal som inte är delbara med 7, B :x ~ 7, C : Inga primtal är jämna, D: Alla tal som slutar på Oär delbara med 10. 1.4 Lös ekvationen a) x 3 = 9x, b) 2x 3 = 32x,

1.5 Lös ekvationssystemet a) { xy = 0 x2 + y 2 = 25 '

c) x 4

= 27x,

d) (x -

2) 3

= 25(x - 2).

b) { (x - 2)(x + y) = O x2 + 2y = 8

.. . { x 2 -xy-20y2 =0 1.6 Los ekvattonssystemet (x2 + y3)(x + y3) = 0 1.7 Skriv utan beloppstecken a) e)

i)

161, le - 1rl ' Iif7 - 21,

b) l-141, f) l41r - 161

1.8 Antag att 2 < x a) d)

lx - 11, lx - 91 ,

lv'7 - 21 , v1 -

d)

J51 ,

h)

15 - /291,

-v'2 - Jial ,

< 5. Skriv utan beloppstecken uttrycket 1-x - 71, c) lx + 31, lx - 31 , f) lx - 41 .

b) e)

1.9 Lös ekvationen a) lx - 61 = 3,

b)

1.10 Lös ekvationen a) l2xl + x = 6,

lx - 51

b) 2x

= 7,

+ lxl

1.11 Lös ekvationen a)

c) g)

, j) l-1r - 131.

l(x+ l)(x -3)1

=

3,

b)

c)

lx + 41 = 9,

d)

lx + 121

= 6.

1:~ 1 4 8

= ~-

1.18.2 Rella tal, olikheter 1.12 Lös olikheten a)

lxl < 6,

b)

lx - 41 < 3,

c)

lx + 81 < 2,

d)

1.13 Skriv med hjälp av absolutbelopp intervallet a) [2, 10], b) (5, 7), c) [3, 12], d) (-8, 12). 76

lx + 41

~ 1.

= -13.

I. I 8

1.14 Antag att för de reella talen x och y gäller lx - Yl ::; 7 och lx + Yl ::; 13.

lx -

31 ::; 4 och

IY -

Övningar

31 ::; 3. Visa att

1.1S u ligger högst 0.05 ifrån 0.9 och v högst 0.08 ifrån 1.2. a) Hur långt ifrån 2.1 ligger då u + v? b) Hur långt ifrån -0.3 ligger u - v?

Ix

2

1.17 Visa att om x > 104 så gäller

I

1.16 Visa att om x

~

3 så gäller

x-2 - cos3x

X

3

I

6 x

::; - •

2x-8 -2x-1

I

::;

10- 1 .

1.18 Visa utgående från olikheterna (1.4) på sidan 21 att för alla a, b E R gäller la+ bl ~

llal- Jbll1.18.3 Summor och produkter 1.19 Skriv med summatecken

a) 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8,

b) 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40,

c) 6 + 12 + 18 + ... + 102,

d) 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 + ... · 19 · 22,

1.20 Skriv utan E

L

k2,

b)

k=l 6

d) }:(i 2

9

7

5

a)

+1),

i=l

L ¼,

k=2

k=l 10 (-l)i

e> j=l L

.+1.

J

1.21 Skriv med produkttecken a) 7 · 9 · 11 · 13,

b) 2 · (-3) · 4 · (-5) · ... · (-69),

c) (-2) · 3 · (-4) · 5 · ... · 69,

1.22 Skriv utan II 4

a)

Il k=l

3k,

d) 1 · 16 · 81 · 256 · ... · 160000.

5

b)

L (3 + 2k),

c)

Il (1- i-), k=2

8

c)

Il (t)k, k=3

n

d)

Il

k.

k=l

1.23 Visa (genom direkt uträkning) att uttrycken IIi= 1 4k och 4IIl= 1 k inte är lika. 77

Kapitel I.

Grunder

1.24 Beräkna

a) 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19,

b) 14 + 19 + 24 + 29 + ... + 79 + 84.

1.25 Femte, trettioförsta och sista termen i en aritmetisk summa är 7, 1/2 resp. -8. Bestäm antalet termer och summans värde.

1.26 Då ett gäng teknologer sammanstrålade tog var och en som anlände samtliga de redan komna i hand. På detta sätt utbyttes sammanlagt 105 handslag. Hur många var teknologerna? (Vi antar att teknologerna anlände en och en.)

1.27 Pröva någon av textens formler för att bestämma värdet av 4

a)

E

3

2k,

k=l

b)

E(-l)i, i=O

10

c)

E

151

1, d)

k=l

E

16

1, e)

j=O

E

2.

v=l

1.28 Använd textens formler för att beräkna a) 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1024,

b) 1 - 4 + 16 - 64 + 256 -1024, d) 2 - 6 + 18 - 54 + 162 - 486.

1.29 Beräkna värdet av 4

a)

n2k, k=l

3

b) n(-l)i, i=O

10

151

16

c) ni,

d) ni,

e) n2.

j=O

j=O

v=l

1.30 " och bryt inte kedjan, utan sänd utan dröjsmål brev med samma lydelse som detta till tre av Dina vänner, som i sin tur skall skicka brev till tre av sina vänner, etc. Du kommer att tå många brev och bli en lyckligare människa! Din tillgivne KEDjebrev" Lät oss anta att Djebrev i första omgången startade kedjan med att själv sända ut 20 brev. Om ingen bröt kedjan, hur många brev skulle sammanlagt ha sänts ut efter 10 omgångar?

1.31 Hårdkokte Holger har kommit in på Luleå tekniska universitet. För att klara ekonomin under studietiden har han bestämt sig för att lägga upp en sparplan att genomföras under sommaren före studiernas början. Han tänker sig en blygsam uppläggning första månaden som blir juni (30 dagar). Han bestämmer sig att lägga 1 krona i sparbössan första dagen, så 2 kronor andra dagen, 4 kronor tredje dagen osv., så att han varje dag lägger dubbelt så mycket som närmast föregående dag. Hur stort belopp har Holger sparat ihop när månaden är slut?

1.32 Varje människa har 2 föräldrar, 4 far- och morföräldrar etc. Om vi antar att varje generation svarar mot 30 är och går 20 generationer tillbaka i tiden, hur många anfäder har var och en av oss sammanlagt sedan slutet av 1300-talet? 78

1.18

Övningar

1.18.4 Induktion 1.33 Visa att för alla positiva heltal n gäller 2 + 4 + 6 + ...

+ 2n = n2 + n.

1.34 Visa med induktion att summan av de n första positiva udda heltalen är lika med n 2 . (Jämför med exempel 1.27 på sidan 28 där påståendet visas på ett enklare sätt.) 1.35 Visa att för alla n E Z+ gäller

... + n(n + 1) = }n(n + l)(n + 2), = ¼n(n + 1)(2n + 7), c) 1 • 4 + 2 • 5 + 3 • 6 + ... + n(n + 3) = }n(n + l)(n + 5), d) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = ¼n(n + 1)(2n + 1). a) 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 +

b) 1 • 3 + 2 • 4 + 3 • 5 + ... + n(n + 2)

n

1.36 Bevisa formeln

E

k(3k + 1)

= n(n + 1)2, n E Z+.

k=l

1.37 Är nedanstående formel riktig för alla positiva heltal n? Ge bevis eller motexempel.

12 + 22 + 32 + ... (n - 1) 2 + n 2

1

= 6(2n3 + 3n2 + n + 2).

1.38 Visa att för alla n E Z+ gäller

12 - 22

+ 32 -

42 + ... + (-1r-1n2 2n

1.39 Visa att för alla positiva heltal n gäller

E

= (-1r+1 n(\+ 1).

k(k + 1)

= }n(n + 1)(7n + 5).

k=n

1.40 Visa (med induktion) att för alla positiva heltal n gäller 1+ n

1.41 Visa att

E

1

1

1

J2 + v'3 + ... + ,/n ~ vfn.

k 2 • k! < n · (n + 1)! för alla n E Z+·

k=l

1.42 Visa (med induktion) olikheten (1 positiva heltal n.

+ 7i)(l + 72) ... (1 + 7n)

~ n

+ 1 för alla

79

Kapitel I.

Grunder

1.18.5 Permutationer, kombinationer, binomialsatsen b) (y

+ z) 3 ,

+ 2y) 5 och (2x -

3y) 4 .

1.43 Utveckla a) (x 1.44 Utveckla (x 2

+ 1)4,

c) (1- x)4,

d) (a - b) 5 .

1.45 a) Bestäm koefficienten för x 6 i binomialutvecklingen av (x 3

b) Bestäm koefficienten för x 3 i binomialutvecklingen av (x 4

+ ~) 6 , x # 0, -

¾)7, x # 0.

n

1.46 a) Använd binomialsatsen på (I+ I

b) Visa att

r för att visa likheten k=O I: (;) = 2n,

Ln (Z)(-1) k = 0.

k=O

1.18.6 Numeriska beräkningar 1.47 Bestäm de absoluta och relativa felet då a) 0.67, b) 0.66 används som närmevärde till 2/3. 1.48 Ange absoluta och relativa felgränser (inte nödvändigtvis de bästa) då imeras med 22/7.

1r

approx-

1.49 Ange absolutfelgräns, relativfelgräns och ett intervall inom vilket talet ligger om vi har a) 0.05±0.005, b) -1.01 ± 0.01, c) 6300±30. 1.50 Beräkna antalet korrekta decimaler och signifikanta siffror samt approximativ relativfelgräns om vi har a) 2.7±0.05, b) 2.76±0.03, c) 3±0.5, d) 17.175±0.001, e) 49.300±0.0001, f) 77±5. 1.51 Beräkna b + c, b - c, be och b/ c med felgränser då a) b = 4 ± 0.5 och c = 8 ± 1, b) b = 4 ± 0.5 och c = 8.00 ± 0.01. 1.52 Avrunda följande tal till en decimal och ange avrundningsfelet. a) 1.77, b) -2.285, c) -0.047, d) 0.555, e) 0.25, f) -0.35. 1.53 Vi har x

= 37 ± 0.5. Med hur många decimaler räcker det ange 1r då vi ska beräkna

a)x+1r, b)1r-x, c)1rx, d)1r/x?

80

1.18

Övningar

1.54 Sträckan Luleå-Jokkmokk uppges vara 17.3 mil. Bo i Boden litar inte på vägverket utan kör med sin Saab till Luleå och en annan dag med "Merschan" till Jokkmokk och uppmäter sträckorna till 3.8 respektive 14.6 mil. Han vet att mätarna kan slå fel med upp till 5 % respektive 4 %. Bör han ringa vägverket och påstå att de mätt fel?

l.SS En rektangulär gräsyta stegas upp. Sidorna uppmättes till (9 ± 1) m respektive (11 ± 1) m. Ange gräsytans area med felgräns med hjälp av a) Sats l .6, b) experimentell störningsräkning.

1.56 Herr S N Åhlman har upptäckt att man vid kassan i snabbköpet försöker vinna kunder genom att generöst avrunda nedåt till närmaste SO-öring. Han förstår att det kan löna sig att passera kassan med en vara i taget. a) Hur mycket kan man maximalt tjäna om man köper 4 varor? b) Undersök för olika n den maximala vinsten vid köp av n varor. c) Hur många varor måste han köpa för att tjäna minst l 00 kronor? 1.57 Man vill bestämma volymen av två förpackningar. Den ena är en cylindrisk burk med höjden h = (10 ± 0.2) cm och diametern d = (20 ± 0.4) cm. Den andra har formen av en kub med sidans= (100 ± 1) cm. a) Bestäm största och minsta tänkbara värdet på vardera förpackningens volym. b) Om 100 burkar ska packas i kuben och resten fyllas med sågspån, hur mycket sågspån kan det i värsta fall behövas?

l.S8 Ange med feluppskattning fallsträckan s för en kropp som faller i (2.57 ± 0.01) sekunder om man vet att s = gt2 /2 och g = (9.81 ± 0.02) m/s2 .

1.18.7 Funktioner, invers 1.59 Sätt f(x) = 2x - x 2 och Di = [0, 3]. Vad blir VJ ? Rita figur. 81

Kapitel I.

Grunder

=

1.60 Mellan x och y räder sambandet jxj frän R till R?

y 2 • Definierar detta samband en funktion

1.61 Ange största möjliga definitionsmängd för funktionen a) y

= ✓x - 6,

b) y

= 1/(x + 5),

c) y

=

{1/3 - x 2.

1.62 Nedan finns angivet ett samband mellan x och y. Definerar detta samband en funktion x r... y? Motivera med figur. a) y = x 2 + 4, b) x 2 + y 2 = 25, c) jyj 3

= x,

d) y 3

= x.

1.63 Funktionen f definieras enligt nedan. Avgör om f är omvändbar. Motivera med hjälp av figur. b) f(x) = x 4 + 1, -oo < x < oo, a) f(x) = x 3 , -oo < x < oo,

f(x) = x 2 + x, 0 ~ x < oo, e) J(x) = xjxj, -oo < x < oo. c)

1.64 Bestäm inversen av / om a) J(x) = x 3 , -oo < x < oo, c) f(x) = xjxj, -oo < x < oo.

d) f(x)

= x 2 + x, -oo < x < oo,

b) J(x) = x 2

+ x + 1, 0

~ x

< oo,

x/2 för O ~ x < 1, / 9 2 - 2x för I ~ x ~ 2. a) Rita funktionens graf oeh, i samma diagram, inversen J- 1 (x). b) Ange inversen på formen J- 1 (x) = ....

1.65 Funktionen f definieras genom f(x) = {

1.66 Man har f(x) = x 3 - 2, -oo < x < oo. Visa med hjälp av definitionen att f är en omvändbar funktion. Bestäm sedan 1- 1 (6). 1.67 Undersök, med hjälp av definitionen, om funktionen f är monoton på I då a) f(x) = x 2 + 3 och/= [O, 5], b) f(x) = 3/x och I= [-3, -1], c) f(x) = 1- x 2 och I= [-4,4]. 1.68 Visa med hjälp av en figur att funktionen g definierad genom _ {

g(x) -

x2,

Q ~X< 1/2,

x/3 + 1/12, 1/2

~x~1

är strängt monoton på hela sin definitionsmängd. Bestäm inversen. 1.69 Antag att/ är strängt växande. Vad kan man säga om monotonitetsegenskapema hos 1- 1 ? Rita några typiska figurer.

82

I. I 8

Övningar

1.70 Avgör med hjälp av en figur i vilka intervall som f är växande, avtagande, strängt växande eller strängt avtagande om

a)f(x)={ x/2, 3-

X,

0:Sx L

1.71 Ange uttrycket för g o f om a) f(x) = 3x2 - 1 och g(x) = 2x + 2,

b) f(x) = 1 - x och g(x) = 4x 2, c) f(x) = 1 + 1/x och g(y) = 2y - y2, d) f(x) = x 2 - 2x, x 2".: 1 och g(x) = 1 + Jl + x. 1.72 Visa att funktionerna

f och g är varandras inverser om

a) f(x) = x 4 + x 2, x 2".: 0 och g(x) = J-1/2 + Jx + 1/4, x 2".: 0, b) f(x) = J1+JI"=x,x:51 och g(x) = 2x2

-

x 4 , x 2".: 1.

1.73 Bestäm f o g och g o f om a) f(x) = 2x och g(x) = x - 1, b) f(x) = x 2 och g(x) = 2x + 1. 1.74 Bestäm den n:te itererade funktionen f n till f om vi sätter !i = f, Ja = h o f osv. och a) f(x) = 3x, b) f(x) = F, c) J(x) = 2x - 1.

h

=

!i O f,

1.75 Sätt g(x) = 1 - x och bestäm g o g, g o g o g, ... , g o g o ... o g (n st.).

83

Kapitel I.

Grunder

1.18.8 Elementära funktioner 1.76 Vilka av följande uttryck definierar en polynomfunktion x n, y? y = p(x) = 3x 2 - 21x + 30, y = q(x) = 3x- 4 + 8x4, y = r(x) = y'3x 8 - 18x4 + \/'2x 2 - J(r," y = s (x) = (14x 9 + 18x2 - 32) 3 1.77 Ange grad, ledande koefficient och ledande tenn för polynomen i övning 1.76. 1.78 Är något av talen 1, 2 eller 5 ett nollställe till något av polynomen p(x) och s(x) i övning 1.76? 1.79 Bestäm definitionsmängden till den rationella funktionen r definierad genom

r(x)

=

4x8

9x5

-

X

2

-

+ 18x3 1

.

1.80 Finns det rationella funktioner som.inte är polynorri1och som har hela R som definitionsmängd? Motivera svaret. 1.81 Vissa rationella funktioner kan med hjälp av en division skrivas om efter följande modell: 3x2 + x - 1 = 3x - 11 + ~ x+4 x+4 Den givna rationella funktionens täljare har ett gradtal som är större eller lika med nämnarens medan täljarens gradtal understiger nämnarens i den rationella funktionen längst till höger. Skriv på analogt sätt om de rationella funktionerna a)

x 4 + 5x2 + 3x + 4 b) 5x3 - x 2 + 9x x 2 + 2x + 5 x2 + 1 ' x 3 + 2x ' c) x 2 + x + 1 ·

~:t~,

1.82 Betrakta f(x) = där a, b, c och där konstanter. Bestäm alla sådana funktioner f för vilka det gäller att f(f(x)) = x för alla x ED,. 1.83 Hur lång tid skulle det ta innan folkmängden hade i fyrdubblats i den situation som beskrivs i exempel 1.80? 1.84 Finns det några potensfunktioner som är sin egen invers? Bestäm i så fall alla dessa. .. . lg (4x 2 + 7) 1.85 Los ekvationen lg ( 2x + l)

= 2.

1.86 Bestäm utan räknehjälmedel det exakta värdet av a) lofö v'3~~' b) log 5 ~ ' c) ln 12 , d) ln ~e

84

1.18

1.87 Om lg x = t, vad blir, uttryckt i t, a) lg ?fx, b) lg ~ . c) lg 1/x, d) lg ( 1.88 Visa att uttrycket

ln(x+h)-lnx h

Övningar

vx/ /x)? (

h)l/h

kan omformas till ln 1 + ;;

1.89 En aktuell ljudintensitet l brukar jämföras med en referensintensitet lo genom att man anger ljudintensitetsnivån L = 10 lg l / 10 . Den på detta sätt beräknade ljudintensitetsnivån sägs vara angiven i decibel (dB). Ljudintensitetsnivån ett par meter från en viss motor skall sänkas från 70 till 50 dB genom ljuddämpande åtgärder. Bestäm förhållandet mellan ljudintensitetema före och efter åtgärderna. 1.90 Ett radioaktivt grundämne sönderfaller enligt formeln i exempel 1.84, sid. 66, där tiden t nu mäts i dagar. Bestäm värdet på sönderfallskonstanten om ämnets halveringstid är 3.8 dagar. 1.91 Om en kropp med temperaturen T = T0 ° C placeras i ett rum med temperatur 0 så får den efter tiden t minuter temperaturen T. Då gäller Newtons avsvalningslag T = Toe-at, där a är en konstant. I ett visst fall har temperaturen sjunkit från 25° till 20° på 10 minuter Efter hur lång tid ytterligare har den sjunkit till 15°?

1.92 En löntagargrupp hade vid förhandlingar blivit lovad lika många kronors löneförhöjning under två på varandra följande år. Höjningens storlek skulle vara 5% av den nuvarande lönen. När gruppens förhandlare meddelade att man istället kommit överens om 5% höjning första året och 4.9% av den då aktuella lönen året därpå blev många förgrymmade. De blev emellertid gladare när de räknat på höjningarna. Förklara varför. 1.93 Visa att för alla x ER gäller att cosh(-x) = coshx och sinh(-x) = - sinhx. 1.94 Visa att för alla x E R gäller att cosh2 x-sinh2 x

= 1. (Den "hyperboliska ettan".)

1.95 Visa att för alla x E R gäller cosh 2x = cosh2 x 2coshxsinhx.

+ sinh2 x

och sinh 2x =

1.96 Visa hur man direkt ur resultatet av Sats I . IOsid. 70 kan få fram olikheten sin x > X för X< 0. 1.97 Visa hur man ur Sats I.I I, sid. 71 kan få fram olikheten tan x < x för alla x E (-rr/2,0). 1.98 Sats 1.10 sid. 70 gäller givetvis även om man byter ut x mot x/2. Utnyttja detta och vanliga trigonometriska formler för att visa olikheten cos x ~ 1 - x 2 /2 för alla x. För vilka x gäller likhet? 85

Kapitel I.

Grunder X

1

smx

cosx

=/- 0 gäller 1 < -.- < - - .

1.99 Visa att för alla x E ( -1r /2, 1r /2) och x

1.100 Första gången man ritar kurvan y = sin 2 x brukar det bli fel i närheten av origo. Visa hur olikheten i Sats 1.10 kan hjälpa en att få kurvan riktig här. 1.101 Bestäm exakta värden för amplitud och fasförskjutning för

a) y c) y

= 4 cos2x +½sin 2x,

b) y

= cos4x +

v'3sin4x,

= 3cos8x - 3sin8x.

1.102 Bestäm amplitud och fasförskjutning för

a) y c) y

1.103

= 3.1 cos 2x + 6.2sin2x, = 0.5cos 7x + l.2sin 7x.

1.104 Vad är a) arccos (-1), e) arccos 1, i) arctan 1, 1.105 Lös ekvationen a) arccos x = 1r / 4, c) arctanx = 1r/6,

b) y

b) arccos 1/2, t) arccos2, j) arctan \1'3?

= l.2cos3x -

3.7sin3x

c) arcsin (-1), g) arcsin 1,

d) arcsin 1/2, h) arcsin 2,

/

b) arcsin x d) arccos x

= -1r/6, = -1r /6.

1.106 Lös följande ekvationer och ange rötterna med hjälp av cyklometriska funktioner:

a) COSX = 5/13, c) tanx = 4,

b) s-inx = 8/9, d) cosx = 4.

~-- 0 < x < 1.107 Viisa att 1or _ 1 ga··11er arccos x

1.108 Visa att arcsin (-x)

=-

Jl- x2 . = arc t an X

arcsin x och arccos x

1.109 Använd miniräknare för att bestämma a) arcsin0.871, b) arcsin0.996, d) arccos0.846, e) arcsin(-0.63), g) arccos (-0.12), h) arccos(-0.849).

= 1r/2 -

c) arccos 0.510, t) arcsin ( -0.988) ,

1.110 Använd miniräknare för att bestämma a) arctan 0.86, b) arctan 8.6, c) arctan 86, d) arctan 860, e) arccot 0.86, t) arccot 8.6.

86

arcsinx.

2 Gränsvärden och kontinuitet

2.1 Inledning Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga grundbegrepp i analysen som kontinuitet, derivata och integral bygger på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring 1760 av den franske matematikern d' Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 1820-talet av hans landsman Cauchy. Denna definition är dock rätt så abstrakt. Vi kommer därför att i avsnitt 2.2 och 2.3 till stor del att förlita oss på intuitiva och därmed i viss mån oprecisa resonemang. Istället för att ge precisa definitioner av gränsvärdesbegreppet gör vi beskrivningar i termer som vi inte gett någon exakt mening. I avsnitt 2.10 ger vi en kortfattad, men stringent, behandling av gränsvärdesbegreppet som bygger på precisa definitioner.

2.2 Gränsvärde av en funktion då x gränsvärde av en talf"dljd Exempel 2.1 Betrakta f(x)

1

= .jx' x >

--+

0. För stora x är

oo eller - oo,

1

../x litet. Exempelvis

gäller att 0




88

= A eller f(x)-+ A då x-+ -oo.

2.2

Gränsvärde av enfunklion då x

--+

oo eller -oo, gränsvärde av en talföljd

X

Om f(x) -+ A då x-+ oo eller då x-+ -oo sägs linjen y asymptot till kurvan y = f(x).

Exempel 2.3 Bestäm gränsvärdet av

= A vara en horisontell

¾då x -+ oo och då x -+

-oo.

Lösning: Vi inser att 1/ x blir litet när x blir stort och genom att välja x tillräckligt stort kan vi få 1 / x att bli hur litet som helst, dvs. limx--+oo ( 1/ x) = 0 Analogt inser man att limx--+-oo (1/x) = 0.

.. . sinx Exempel 2.4 Beslam limx-+oo - -. X

t

... X

Lösning: Eftersom -1 ~ sin x ~ 1 följer att 1 sinx

1

--X 0 får vi

f(x)

=

J x2

+ Bx _

x

=(

J x 2 + 6x - x) ( J x 2 + 6x Jx 2 +6x+x

(konjugatregeln)

. . . ) (d JVISIOn

=

=

Bx Jx 2 +6x +x

6

=

+ x)

~

v•+!+•

.

Om x är stort så är 6 x litet, dvs. för stora x bör gälla att f(x) ~ 3. Vi gissar därför att limx_, 00 ( x 2 + 6x - x) = 3. För att visa detta utnyttjar vi instängningssatsen samt följande observation:

f(x)

--+

Al

--+

A då x--+ oo

~ lf(x) Vi undersöker alltså IJ(x) 1

Jx 2

+ Bx _

x _ 31

=I

31, dvs.

(Jx 2

+ 6x - (3 + x))

= (konjugatregeln) =

90

0 då x--+ oo.

( Jx 2 + 6x Jx 2 +6x +3+x

+ (3 + x))

9

I

Jx 2

+ 6x + 3 + x 1

.

I=

2.2

Gränsvärde av en funktion då x-+ oo eller -oo, gränsvärde av en talföljd

> 0 så är

Av detta följer genast att för x O :::;

IJ x

2

+ 6x -

x-

31 :::; ~.

Eftersom 9/x ---t O då x - oo så får vi då med hjälp av instängningssatsen att Jx 2 + 6x - x - 3 då x - oo. Det är inte alla funktioner som har ett gränsvärde då x - oo. Anledningen till detta kan t.ex. vara att funktionsvärdena oscillerar utan att närma sig något bestämt tal eller att funktionsvärdena växer över alla gränser då x - oo.

Exempel 2.6 Har cos x något gränsvärde då x - oo? Lösning: Eftersom det finns godtyckligt stora tal för vilka cos x antar värdena 1 och -1 (x = n • 271" respektive x = 71" + n • 271") kan cos x inte närma sig något bestämt tal då x - oo. Detta innebär att cos x saknar gränsvärde då x - oo.

Exempel 2.7 Betrakta f(x) gränsat, dvs. då x -

x3

= - 2- - . Undersök vad som händer då x växer obex

oo.

+1

y

10

5

Lösning: Om x 2: 1 så är x3

x3

-2 - > -2 - -2 x

+1 -

x

+x

x

-

-

2·

Detta innebär att vi kan få J(x) att bli hur stort som helst genom att välja x tillräckligt stort. Vill vi att f(x) > 100000 så räcker det att tax > 200000 och vill vi att J(x) > 106 så räcker det att tax > 2-106 • Funktions värdena närmar sig alltså inget bestämt tal då x - oo, dvs. limx_, 00 xf: 1 existerar inte. Eftersom f(x) växer över alla gränser då x - oo säger man att f har det oegentliga gränsvärdet oändligheten då x - oo. Detta skrivs x3 - 2- - X

+l

oodåx - oo. 91

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Skrivsättet x3

förekommer också, trots att

"'f:

lim - - =oo Z-+00 x 2 + 1 1

inte närmar sig något bestämt tal då x-+ oo.

Den fonnella definitionen av innebörden i uttryck av typen f(x) -+ oo då

x-+ oo och f(x) -+ oo då x-+ -oo ger vi i avsnitt 2.10. Exempel 2.8 Då x -+ oo gäller

X

;y:2:

\/2

Inx-+ oo,

...y=X

... y= lnx

xa -+ oo om a > 0, a"' -+ oo om a

> 1.

..

X

Exempel 2.9 Vi bevisar inte dessa påståenden. Exempel 2.10 Betrakta f(x)

= 1-3x 2

2

+x

. Eftersom

3x2 - 1 3x2 - x 2 -f(x) = - - > - - - = X · 2+x x+x för x > 2 så gäller tydligen att - /(x) -+ oo då x -+ oo. Vi säger därför att/ har det oegentliga gränsvärdet -oo, då x -+ oo. Detta skrivs 1-3x2 f(x)= 2 -+-oo,dåx-+oo. +x

2.2.1 Räkneregler Antag att limz-+oo f(x) = A och att limz-+oo g(x) = B. Detta innebär väsentligen att för stora x ligger f(x) nära A och g(x) nära B. För stora x gäller alltså att Cf(x) liggernära CA,

92

+ g(x)

liggernära

A + B,

f(x)g(x)

ligger nära

AB,

f(x) g(x)

ligger nära

A B

f(x)

(omB=,=O).

2.2

Gränsvärde av en funktion då x-+ oo eller -oo, gränsvärde av en talföljd

Följande sats är därför ingen överraskning. Sats 2.2 (Räkneregler för gränsvärden då x-+ oo.) Om lilllx_... 00 f(x) lim..,_... 00 g( x) = B så gäller I. lim..,_...oo C f (x) = CA för varje tal C,

II. 111.

lim..,_... 00 (f (x) + g (x)) = A + B, lim..,_... 00 f(x)g(x) = AB,

IV.

.. li f(x) 0 m B ,..J. 0 så ar mx-+oo - ( ) gx

= A och

= -BA .

Motsvarande räkneregler gäller för gränsvärden då x

-+

-oo.

Bevis: Se avsnitt 2. I 0 (Sats 2. I 5, sid. I 35). Genom en upprepad användning av räknereglerna I-IV samt instängningsatsen kan man ofta återföra beräkningen av ett komplicerat gränsvärde på beräkningen av ett eller flera sk. standardgränsvärden, vilka härletts en gång för alla. Detta gör att man endast i undantagsfall behöver använda gränsvärdesdefinitionen vid gränsvärdesbestämningar. I avsnitt 2.9 finns en sammanställning av de standardgränsvärden som vi kommer att behandla i detta kapitel. Det enklaste av dessa standardgränsvärden har vi redan diskuterat, nämligen gränsvärdet limx-+oo ~ = 0. (Se exempel 2.3.)

Exempel 2.11 Om när ett positivt heltal så gäller lim..,_... 00 x1n = 0. Detta följer av att lim..,_... 00 ~ = 0 samt räkneregel m. Genom att använda denna så får vi nämligen lim

x-+oo

_!_2

lim 1-

x-+oo

lim

x

x3

x-+oo

!x · x-+oo lim ! = 0 · 0 = 0, x

=

och upprepad användning ger limx-+oo

x~'

= 0.

Anmärkning: Ett liknande resonemang som i exempel 2. I I visar att räknereglerna Il och III kan utsträckas till att gälla för en summa respektive produkt av ändligt många funktioner. Allmänt gäller alltså att gränsvärdet av en summa är lika med summan av gränsvärdena och gränsvärdet av en produkt är lika med produkten av gränsvärdena. Anmärkning: Genom att använda definitionen av gränsvärde kan man visa att

lim _!_ = 0 om a > 0. X--+00

Xa

Det är alltså inte väsentligt att exponenten är ett heltal.

2x3 + llx 2 - 7 Exempel 2.12 Beräkna limx-+oo 7x 3 _ 4 x + 3 93

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Lösning: Vi kan inte direkt tillämpa räkneregel III eftersom limx_, 00 (2x 3 + llx 2 - 7) och limx_, 00 (7x 3 - 4x + 3) inte existerar. Vi bryter därför ut den tenn som växer snabbast i täljaren respektive nämnaren för stora x , dvs. x 3 , och får för x =I- 0

2x 3 + llx 2 - 7 _ x 3 (2 + ~ - ~) _ 2 + ~ - ~ 4 3)4 7x 3 - 4x + 3 - x 3 (7 - 'i'2 +~ 7 - 'i'2 + ~3· Av räkneregel Il följer att 11 7 2 + -; - x 3 -+ 2 + 0 - 0 = 2 då x -+ oo, 7-

i_ +~ x2 x3

-+

7- 0

+ 0 = 7 då x

-+ 00.

Räkneregel IV ger då att det sökta gränsvärdet är 2/7.

~f:~

Den allmänna metoden att bestämma gränsvärden av typen limx-+oo är just att bryta ut den snabbast växande tennen i täljaren respektive nämnaren och sedan använda räknereglerna för gränsvärden. För att kunna göra detta måste man dock veta vilka funktioner som växer snabbast då x -+ oo. Exempelvis gäller ju au och In x båda går mot oändligheten då x -+ oo. För att bestämma gränsvärdet limx_, 00 måste vi alltså veta vilken av funktionerna och In x som växer snabbast då x -+ oo. I avsnitt 2. 7 kommer vi att ge en "rankinglista" för funktioner av olika typer då x -+ oo.

Jx

1Tx

Jx

2.2.2 Gränsvärde av en talföljd Vi har hittills endast betraktat gränsvärden av funktioner. Gränsvärdet av en talföljd a1, a2, ... ,an, ... , dvs. limn_, 00 an definieras analogt med gränsvärdet av en funktion f då x -+ oo. Om limn_, 00 an existerar så sägs talföljden vara konvergent. Existerar inte gränsvärdet så sägs talföljden vara divergent. Räknereglerna för gränsvärden (Sats 2.1 och Sats 2.2) gäller även för gränsvärden av talföljder.

. 1 + 2 + ... ExempeI 2. 13 U nderso.. k om 1lmn-+oo n2

+n

.

existerar.

Lösning: Vi observerar att

1+2+ ... +n=

n(n + 1) 2

enligt fonneln för en aritmetisk talföljds summa. (Se sid. 27.) Alltså är

1 + 2 + ... + n n( n + I) 1 1 ___n_2 _ _ = ---'-2-n-2--'- = 2n + 2· Räknereglerna för gränsvärden ger nu au

r

n!..~ 94

1+2+ ... +n n2

1

= 2·

2.2

Gränsvärde av en funktion då x -+ oo eller -oo, gränsvärde av en talföljd

Exempel 2.14 Om f(x) -+ A då x-+ oo så ligger f(x) "nära" A för alla stora tal x. Speciellt måste då gälla att f(x) ligger "nära" A för alla stora positiva heltal n, dvs. om limx-+oo f(x) = A så är också limn-+oo/(n) = A. Omvändningen gäller dock inte, vilket vi visar genom att välja f(x) = sin rrx. Eftersom f(n) = sin rrn = 0 för varje heltal när även limn-+oo/(n) = 0. Däremot existerar inte limx-+oo sin rrx. (Varför?)

2.2.3 Några viktiga gränsvärden Följande gränsvärden kommer ofta till användning.

I. limn-+oo an

=

0 om lal < 1, { 1 om a = 1, oo om a > 1

(oegentligt gränsvärde).

Om a '.5; -1 så saknas både egentligt och oegentligt gränsvärde.

an 2. lim.i-+oo 1

n.

= 0 för varje a.

3. lim.i-+oo

y'a = 1 om a > 0.

4. liII1n-+oo

y'ri = l.

Bevis: I. Eftersom gränsvärdet i l. är intuitivt "självklart" hoppar vi över beviset av detta. 2. Låt N vara ett fixt heltal större än

O< -

lal . Om n > N

gäller

~ = (~- ~ .... · _la_l) (~ .... · ~) n!

1

N - l

2

N

(ty~< 1, för m m

n

< lalN-l . ~

- (N - 1)!

n

= N, N + l, ... )

Eftersom

lalN-1 . ~-+ 0 dån-+ oo (N -1)!

n

följer nu påståendet av instängningssatsen.

Anmärkning: Enligt l. gäller att an -+ oo dån -+ oo om a > l. Vi säger att fakultetsfunktionen växer snabbare mot oändligheten än varje exponentialfunktion. 3. Vi betraktar först fallet a är (enligt binominalsatsen)

a

> l. Vi

kan då sätta

= (1 + Pnf = 1 + npn +

y'a = 1 + Pn där Pn > 0. Alltså

n • (n - 1) 21

2

· Pn

+ ··· + P~ ~

npn. 95

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Detta ger att O < Pn ::; a/n och då a/n -+ 0 dån -+ oo följer påståendet av instängningssatsen för det fall då a > 1. Om a = 1 så är y'a = 1 för alla n, vilket medför att även gränsvärdet = 1. Om O < a

< 1 så är 1/a > 1 varför Wo-+ 1 dån-+ oo. Eftersom

v'ä = 1/

ff

får vi att y'a -+ 1 då n -+ oo även i detta fall.

'Y

.'7..-Y=X

.·

... --z-y=vx

---~Y=~

1~-=-~~=======-~--~Y=~

4. Kan visas på liknande sätt som 3. Vi väntar dock med beviset till avsnitt 2.7 (exempel 2.55). Exempel 2.15 Bestäm liffin_, 00 v'3n 2 + n. Lösning: Vi gör en instängning. För alla positiva heltal n gäller

y'n '.S v'3n 2 + n ::; v'3n 2 + n2 = y4. ( y'n) 2 . Standardgränsvärdena 3. och 4. samt räkneregeln för gränsvärdet av en produkt visar att de båda ytterleden i olikheten går mot 1 dån -+ oo. Instängningssatsen ger då resultatet lim v'3n2 + n

n-,oo

=

1.

2.2.4 Oegentliga gränsvärden Räknereglerna för gränsvärden gäller i allmänhet inte för oegentliga gränsvärden. Detta beror på att -oo och oo inte är tal. Exempel 2.16 Vi har att

1 x 2 -+ oo då x-+ oo och 2 -+ 0 då x-+ oo. X

96

2.3

Gränsvärde av en funktion då x--+ x 0

Av detta följer inte att

1

2 X

2

. X -+ 0 då X -+ 0 ty O . 00

är inte definierat. I själva verket är ju

-:,r •x 2 = 1 varför gränsvärdet är 1.

Man kan dock visa att bl.a. följande enkla regler gäller för räkning med oegentliga gränsvärden.

I.

/(x)-+oodåx-+oo} g(x)-+ Bdåx-+ oo

2·

f(x) -+ oo då x-+ oo } g(x) -+ B =I- 0 då x-+ oo

=}

=}

3. 1/(x)I-+ oo då X-+ oo

4.

f(x)

f(x)g(x) -+

=}

-+ oo då x-+ oo, {

oo om B > 0 -oo om B < 0 '

dx) -+ 0 då X-+ oo,

=}

f(x) :2: g(x) för x :2'. a } g(x)-+ 00 då X-+ 00

+ g(x)

f(x) -+ oo då x-+ oo.

Motsvarande regler gäller för fallet f(x) -+ -oo då x -+ oo, samt för oegentliga gränsvärden då x -+ -oo. Exempel 2.17 Visa attp(x)

= x3 -

100x2

+ l7x + 1-+ oo då x-+ oo.

Lösning: Vi kan skriva

p(x) = x 3 ( 1 - -100 x

+ -172 + -1) 3 x

x

= x3 g(x)

där

g(x)

= 1-

100 -

X

17

1

+ 2X + 3X

-+ 1 > 0 då x-+ oo.

Eftersom x 3 -+ oo då x-+ oo följer av detta att p(x) -+ oo då x-+ oo.

2.3 Gränsvärde av en funktion då x-+ x 0 Låt / vara en funktion och x 0 en given punkt. Vi ska diskutera vad som bör menas med

lim f(x), X-◄-Xo

dvs. gränsvärdet av / då x -+ xo. Grovt uttryckt kan man säga att om limx ..... xo / (x) A så innebär detta att f(x) ligger nära A då x ligger nära xo. 97

=

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Exempel 2.18 Betrakta f(x)

x-l

= .,fx _

1.

Om vi försöker beräkna /(1) så får vi resultatet Rsom saknar mening. Detta ger upphov till följande problem: Hur uppför sig f(x) då x närmar sig 1? Vi gör en "experimentell" undersökning genom att beräkna f(x) för några x-värden i närheten av 1. X

f(x)

0.81 1.9

0.90 1.94868

0.99 1.99499

0.999 1.99950

1.001 2.00050

1.01 2.00499

1.1 2.04881

Det förefaller av tabellen att döma som om f (x) närmar sig 2 då x närmar sig 1 både från vänster och höger. Att detta är rimligt inser vi om vi gör förlängningen

x-l

~

yx-1

(x-1)(.,/x+l)

r=

= (yx-1 r:: ) ( r:: ) = (konjugatregeln) = v x + l. vx+l y

...

\r -y=vi

1-

1, xt-1

1

1

X

Om x f:. 1 så gäller alltså att f (x) = .,fx + l, och om x ligger nära 1 så ligger .,fx nära 1 , dvs. f(x) ligger nära 2. Alltså bör

. x - l I1m - - - = 2. x ...... 1 .,fx - l Vi måste dock precisera vad som menas med att f(x) närmar sig 2 när x närmar sig 1. Granskar vi resultatet av den experimentella undersökningen så ser vi att det verkar som det bör vara möjligt att få f(x) att ligga godtyckligt nära 2 genom att välja x tillräckligt nära 1. Detta kan också uttryckas på följande sätt. Genom att välja x tillräckligt nära 1 kan man få avvikelsen mellan f(x) och 2, dvs. lf(x) - 21, att bli mindre än vilket som helst på förhand givet positivt tal. Det är detta som är den exakta betydelsen av påståendet

. x - l I1m ----==--.,/x - l

x-+l

= 2.

Låt nu f vara en funktion som är definierad i en omgivning till x dvs. i ett öppet intervall innehållande punkten xo, utom möjligen i xo. Vi gör då följande provisoriska definition.

98

2.3

Gränsvärde av en funktion då x-+ x 0

Definition 2.2 Funktionen f sägs ha gränsvärdet A då x går mot x 0 om det går att få f(x) att ligga godtyckligt nära Aför alla x, tillräckligt nära xo, utom möjligen för x = xo, Detta skrivs limx--+xo f(x)

= A eller f(x)

--+

A då x--+ xo.

För en mera exakt definition av limx--+xo f(x) = A hänvisar vi läsaren till avsnitt 2.10 I definitionen av gränsvärde då x --+ x 0 så förutsätts inte att / är definierad i själva punkten xo. (Jämför med exempel 2.18). Om f är definierad i xo så har funktionsvärdet f(xo) ingen betydelse för existensen och värdet av limx--+xo f(x). Uttalandet: limx--+xo f(x) = A är alltså ett uttalande om hur f "uppför sig" nära x 0 , men det säger ingenting om värdet av/ i xo.

Även för gränsvärden då x --+ x 0 finns en så kallad instängningssats. Den kan formuleras på följande sätt: Antag att limx--+xo J(x) = limx--+xo g(x) = A och att J(x) ~ h(x) ~ g(x) för alla x tillräckligt nära xo, utom möjligen för x = xo, Då är även limx--+xo h(x) = A. Se nedanstående figur. Genom att kombinera instängningssatsen med observationen

lim f(x) = A

x~xo

{::::=>

lim 1/(x) - Al= 0

x---+xo

får man en enkel metod att bestämma vissa gränsvärden .

....

A ~---::::~~-··· I

..

:

y .... f(){)

----+-----=Xo~--,x 99

Kapitel 2.

GriJnsvärden och kontinuitet

x-1

.jx _ 1 = 2.

Exempel 2.19 Visa att lim., ..... 1

Lösning: Vi ska visa att

I.ix-_11 -

21--+

0 då x--+ 1. Eftersom

x-1 ~ = J x + l , x:;i:1 yX-1

(se exempel 2.18) är detta ekvivalent med att visa 1./x - 11 att förlänga med konjugatuttrycket får vi

lvx -11 = Eftersom

--+

0 då x

--+

1. Genom

l(Jx- l)(Jx + 1)1 = lx -11 Jx+l Jx+l

Jx 2:'.: 0 så ser vi att

Uppenbarligen gäller att lx - 11 ingssatsen.

--+

0 då x

--+

1. Påståendet följer då av instängn-

Anmärkning: Som biprodukt av denna diskussion får vi att Jx --+ 1 = y1 då x --+ 1. Man kan visa att .jx --+ ,.fä, då x --+ a för varje tal a 2:'.: 0, dvs. att gränsvärdet av funktionen Jx då x --+ a är lika med funktionens värde i punkterna a. Detta uttrycks genom att säga att rotfunktionen är kontinuerlig. Vi studerar begreppet kontinuitet i avsnitt 2.4. Vi ska nu bestämma det viktiga gränsvärdet .

sinx

Irm-.,..... o X (ett så kallat standardgränsvärde). För att bestämma detta gränsvärde behöver vi olikheterna 0 < sinx < x < tanx,somgällerom0 < x < (Se figuren samt Sats 1.10 och Sats 1.11 sid. 70.) 100

i

2.3

Gränsvärde av en funktion dd x--+ x 0

bNt

.. d l"kh sinx Den vanstra av essa o I eter ger att - •

smx cosx

X

.


O. 117

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Tabellen ovan ger oss vidare anledning att förmoda att talföljden är avtagande. Om vi lyckas visa detta vet vi att liIDn.... 00 an existerar, ty en talföljd som är avtagande och nedåt begränsad är konvergent. Vi ska visa att an+l $ an för alla positiva heltal n, dvs. att an - an+l ~ 0. Nu gäller

Eftersom an > 0 för alla n gäller det tydligen att visa att an ~ J2 för alla positiva heltal n. Detta gör vi med induktion. Påståendet är sant för n = I ty a1 = 2 > J2. Antag att ap ~ J2. Vi ska då visa att även ap+1 ~ J2, dvs. att ap+l - J2 ~ O. Men

Vi vet nu att liIDn.... 00 an existerar. Om vi kallar gränsvärdet för A så gäller

. an+l = 1rm . (an 1 ) = -A + A" I A = l1m -2 + -an 2 n--+00 n--+oo (En smula eftertanke visar nämligen att limn__,. 00 an+l = liIDn.... 00 an = A.) Ekvationen A

I

A=-+2 A ger slutligen att A = J2 eller A = -J2. Men då an > 0 för alla n följer att A = J2. I nedanstående figur har vi visat hur man kan illustrera konvergensen grafiskt.Vi har ritat kurvan y = f(x) = ½(x +~)och linjen y = x. Av rekursionsformeln ser vi att an+1 = /(an)- Eftersom a1 = 2 fås då a2 som y-koordinaten för den punkt P2 på kurvan vars x-koordinat är 2. För att sedan få a 3 ska vi bestämma den punkt P3 på kurvan vars x-koordinat är a2. Hur denna punkt konstrueras framgår av figuren. För att bestämma a4 , a 5 , .•• upprepas konstruktionen. Figuren illustrerar även att talföljden a1, a2, ... an, ... är avtagande och nedåt begränsad och att gränsvärdet svarar mot skärningspunkten mellan kurvan och linjen y = x. 118

2.6

1,3

Il¾ 1.3

Gränsvärden av monotona talföljder

/Va2

1.'t" 1.s

u;

\1\ 1.7

1.8

1.9

2.0

X

'/f Anmärkning: Exempel 2.45 illusterar en iterativ process. (Varje beräkning av typen an+l = f(an) kallas för iteration.) Iterativa metoder används ofta för att bestämma närmevärden i olika sammanhang, speciellt om man har tillgång till en dator. Tekniken är att man startar med en första approximation och sedan med hjälp av denna beräknar man en andra approximation, av den andra beräknas sedan en tredje approximation osv. Processen genererar en talföljd som förhoppningsvis konvergerar mot lösningen av problemet. I avsnitt 4.9 som behandlar numerisk lösning av ekvationer kommer vi att återkomma till denna ide.

Exempel 2.46 Antag att ett kapital ko förräntas efter p % årlig ränta. Om räntan läggs till kapitalet i slutet av varje år så växer kapitalet på t år till ko(l + a )t, där a = p/100. Läggs räntan till kapitalet halvårsvis så växer kapitalet påtår till ko(l + ~ )2t, vilket fås genom att i stället räkna med~% ränta under vart och ett av 2t halvår. Delar man in året i m lika långa perioder och lägger räntan till kapitalet i slutet av varje sådan period så inses på samma sätt att kapitalet efter t år har vuxit till ko(l + -;; Vi sätter

rt.

a 1 m = - , dvs. x = - . m x a

-

119

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Då blir lim ko (1

m-OC>

mt + ~) = x-+ex:> lim ko m

1) 1+ -

(

xat

x

= ko

[

lim

(

x--,.OC>

1) 1+-

x] at

X

under förutsättning att

(1 + .!.)

lim

x

X

X-+(X)

existerar.

Vi undersöker existensen av detta gränsvärde i exempel 2.48, men betraktar då först fallet då x --+ oo genom de positiva heltalen, dvs. vi undersöker huruvida liIIln-+oo ( 1 + ¾ existerar.

r

Exempel 2.47 Undersök om liIIln-+oo ( 1 +

¾)

¾t-

existerar.

n

¾

Lösning: Sätt an = (1 + Eftersom 1 + > 1 för alla n och an --+ oo då n --+ oo om a > I ligger det nära till hands att tro att (1 + --+ oo dån --+ oo. Vi testar denna hypotes genom att beräkna några tal i början av talföljden. a1

= (1 +

a3 ~ llt,4 ~

iy=

2,

a2

= (1+ ~

a5 ~

2.698,

~56 ~

2.712,

r

a10 ~

2.448,

2.37,

¾r

= 2.25, 2.593,

a1024 ~

2.717.

Vårt intuitiva resonemang ser ut att vara felaktigt, och i stället är det förmodligen så att följden är växande och uppåt begränsad och därför konvergent enligt Sats 2.6. För att visa detta utvecklar vi (1 + ¾)n med hjälp av binomialsatsen (Sats 1.4, sid. 38). Enligt binomialsatsen gäller

(1 + x

+

t

= 1 + nx +

n(n - 1)

2!

n(n - I)(n - 2) · ... · (n kl

Sätter vi x

.

n(n - I)(n - 2)

+ k + 1)

x2

3!

k X

+ ... +

x3

+ ... +

n(n - I)(n - 2) · ... · 1

n.I

n X

= 1/n får vi

_ 1 1 n(n - 1) 1 n(n - I)(n - 2) 1 an - + n · -n + 21. · 2n + 31. · 3n + ··· + n(n - I)(n - 2) · ... · (n - k + 1) 1 n(n - I)(n - 2) • ... • 1 1 + kl . k + ·.. + ---'----'--'----'----- · - = . n ~ ~ 1 1 1 1 2 = 1 + 1 + 21. (1 - -n ) + 31. (1 - -n )(1 - -n ) + ... + 1 1 2 k-1 1 1 2 n-1 + kl. (1--)(1-) · ... ·(1- - ) + ... +-1(1- -)(1- -)· ... · ( 1 - - ) . n n n n. n n n 120

2.6

Gränsvärden av monotona talföljder

Alla termer från och med den tredje i denna utveckling växer då n växer. Då dessutom alla termer är positiva och antalet termer växer dån växer följer att talföljden an = (1 + n = 1, 2, ... är strängt växande. Av utvecklingen för an ser vi också att 1 1 1 1 1 1 an < 1 + 1 + 2! + 3! + ... + n! < 1 + 1 + 2 + 22 + ... + 2n- l =

¼t,

(enligt formeln för summan av en geometrisk talföljd) = 1+ l-(l/ 2 )n =3-(!t- 1 2 1 - 1/2 2 . Talföljden är alltså strängt växande och uppåt begränsad av 3. Enligt Sats 2.6 existerar därför liII1n..... 00 (l + ¾)n. Gränsvärdet brukar betecknas med e. Talet e är ett viktigt tal som dyker upp i många olika sammanhang. Bl.a. gäller att e är bas för den naturliga logaritmen. Vår undersökning visar att 2 < e ~ 3. I själva verket gäller att talet e är ett irrationellt tal vars decimalutveckling börjar med 2.7182818284 ....

Exempel 2.48 Visa att ( 1 + ~) x

e då a) x

-+

oo, b) x

-+

-+

-oo.

Lösning: a) Låt n vara heltalsdelen av x dvs. det största heltal som är mindre än eller lika med x. Då är n ~ x ~ n + 1 och att detta följer att för x > 1 så är 1 1 1 1+-- 0),

(2.7)

0

(a > 0),

(2.8)

x--,0+

där (3

> 0 i båda fallen är ett godtyckligt tal.

Exempel 2.53 Beräkna limx_, 00

x3

+ (lnx) 5

---''--....:._

e"' +4x

Lösning: Den snabbast växande termen i täljaren är x 3 (en potens växer snabbare än en logaritm). I nämnaren växer e"' snabbast. Vi bryter ut x 3 och e"' och får

x3

124

+ (lnx) 5

x3

(1+~) {1+4·e~)

2.8

Egenskaper hos lwntinuerligafunktioner

Uttrycken inom parentes går mot 1 då x --+ oo enligt gränsvärdena (2.7) och (2.5). Vidare följer av gränsvärdet (2.5) att x 3 /ex --+ 0 då x--+ oo. Produktregeln ger nu att det sökta gränsvärdet är 0.

Exempel 2.54 Undersök om limx-+O+ xx existerar. Lösning: Eftersom x > 0 kan vi skriva xx = (e 10 x)x = tialfunktionen är kontinuerlig, så får vi att lim

lim

XX=

x-+O+

exlnx

ex 10 x,

och då exponen-

= elim,,_o+(xlnx) = (enligt(2.6)sid. 123) =

e0

= 1.

x-+O+

Exempel 2.55 Visa att lim..-+oo y'n = 1. (Standardgränsvärde). Lösning: Vi använder samma teknik som i exempel 2.54. lim y'n = lim n 1 /n = lim e~ = elim,.n-+ex>

n-+ex>

00

~ = e0 = 1.

n-+oo

Exempel 2.56 Visa att limx-+O ln(l + x) = 1. (Standardgränsvärde.) X

Lösning: 10 (~+x) = ¾- ln(l + x) = ln(l + x)½ = ln (1 + ½)t där t = 1/x. Då x --+ 0+ respektive 0- gäller att t --+ oo resp. -oo. Eftersom In-funktionen är kontinuerlig följer då av exempel 2.48 att

(

t

Exempel 2.57 Visa att limx-+O

ex -

. lnl+x lim ( ) =

x-+O

X

. 1 lim 1n 1 + -

t-+±oo

)t= 1n ( lim. (1 + -1 )t) = lne = 1. t

t-+±oo

1 = 1. (Standardgränsvärde.)

X

Lösning: Sätt t = ex - 1. Då är --+ 0 då x --+ 0 varför

ex

= 1 + t och

x

= ln(l +

t). Vidare inses att

t

ex - 1 t 1 1 lim - - = l i m - - - = l i m - - = - = 1 X t-+O ln(l + t) t-+O ln(l+t) 1

x-+O

t

enligt exempel 2.57. Anmärkning: Resultaten i exempel 2.56 och exempel 2.57 innebär att för små x gäller att ln(l + x):::::: xoch att ex - 1:::::: x, dvs. ex:::::: 1 + x. 125

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

2.8 Egenskaper hos kontinuerliga funktioner En av anledningarna till att man studerar begreppet kontinuitet är att kontinuerliga funktioner uppvisar en del trevliga egenskaper som funktioner i allmänhet inte har. Vi skall i detta avsnitt diskutera tre grundläggande satser för kontinuerliga funktioner definierade på ett slutet begränsat intervall. Bevisen för satserna måste vi (tyvärr) utelämna, eftersom deras bevis kräver en djupare kunskap om de reella talens egenskaper än vad vi har möjlighet att förmedla i denna bok. Lyckligtvis är dock satsernas innehåll sådant att man utan vidare tror på deras riktighet.

Vi började vår diskussion om kontinuerliga funktioner med en beskrivning som innebar att funktionskurvan till en funktion är sammanhängande i varje intervall där funktionen är kontinuerlig. Vår första sats är en kvantitativ beskrivning av detta förhållande.

Sats 2.8 (Satsen om mellanliggande värden.) Om funktionen f är kontinuerlig i ett slutet begränsat intervall [a, b] och Yo ligger mellan f(a) och f(b) så.finns minst ett tal c E [a, b] sådant att f (c) = Yo•

X

Som figuren visar kan det finnas fler än ett sådant tal c. Sats 2.8 säger dock ingenting om hur många c det finns sådana att /(c) = y, eller var i intervallet [a, b] ett visst sådant c ligger. Sats 2.8 är en s.k. existenssats. Ett specialfall av satsen om mellanliggande värden är speciellt viktigt och vi formulerar det som en följdsats.

Sats 2.9 (Följdsats till Sats 2.8) Om f är kontinuerlig i ett slutet begränsad intervall [a, b] och f(a) och f(b) har motsatta tecken så har ekvationen f(x) = Ominst en lösning i intervallet [a, b] . 126

2.8

Egenskaper hos kontinuerliga funkrioner

X

Exempel 2.58 Visa att ekvationen e3' - 2x2

= 0 har minst en rot i intervallet [1, 2].

Lösning: Inför den kontinuerliga funktionen / (x) = ex - 2x 2 • Eftersom / (1) = e - 2 > 0 och /(2) = e2 - 8 ~ 7.389 - 8 < 0 följer påståendet av följdsatsen.

Sats 2.10 Om funktionen f är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall [a, b] sd är f begränsad i detta intervall, dvs. det.finns en konstant C så att 1/(x)J ~ C för alla x i [a, b] . ,,

I

Funktionen i figuren är begränsad på intervallet [a, b] men inte på intervallet (a', b] . Exempel 2.59 Funktionen f(x) = 1/x är kontinuerlig i det halvöppna intervallet (0, 1], men inte begränsad i detta intervall, ty 1/x --+ oo då x--+ 0 +. Däremot är / begränsad i intervallet [a, 1], där O < a < l.

Exempel 2.59 visar att det i Sats 2.10 är väsentligt att intervallet är slutet. Det är också lätt att ge exempel som visar att Sats 2.10 inte behöver gälla om intervallet är obegränsat eller om funktionen inte är kontinuerlig i intervallet i fråga. Observera dock att en funktion kan vara begränsad utan att villkoren i satsen är uppfyllda. Ett enkelt exempel på detta utgör funktionen sin x, x E R. 127

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Sats 2.11 Om funktionen f är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall [a, b], så har f ett största värde M och ett minsta värde m i detta intervall.

Att f har ett största värde M och ett minsta värde m i intervallet [a, b] innebär dels att m ::; f (x) ::; M för alla x E [a, b] , dels att det finns punkter x 1 , x2 i [a, b] så att f(xi) = m och J(x2) = M. Sats 2.11 säger dock ingenting om hur man bestämmer de punkter där största respektive minsta värdet antas. För deriverbara funktioner finns metoder för bestämning av de punkter i vilka funktionen antar sitt minsta respektive största värde (se kapitel 4). Vissa enkla fall kan dock klaras utan användning av derivatan som exempel 2.60 visar.

M -----------------

a

~

X

Exempel 2.60 Undersök om funktionen f definierad genom f(x) = x 2 - 4x har ett minsta och största värde i intervallet [-1, 3] och bestäm i så fall dessa.

+3

Lösning: Eftersom f är kontinuerlig och [-1, 3] är ett slutet begränsat intervall, har

f

ett minsta och största värde i intervallet [-1, 3] . För att bestämma dessa gör vi en kvadratkomplettering

J(x) = x 2 - 4x + 3 = x 2 - 4x + (-2) 2

-

(-2) 2 + 3 = (x - 2) 2

-

1.

Eftersom ( x - 2) 2 2: 0 så är f ( x) 2: -1 med likhet för x = 2 som tillhör intervallet [-1, 3] . Funktionens minsta värde i intervallet [-1, 3] är därför -1. Vidare inses att f(x) '.S /(-1) = 8 i intervallet [-1,3]. Funktionens största värde i intervallet [-1, 3] är alltså 8. 128

2.8

Egenskaper hos kontinuerliga funktioner

-t

-t

Exempel 2.61 Funktionen f(x) = 1/x har ett största värde på intervallet [2, oo), nämligen /(2) = 1/2. Däremot har f inget minsta värde i detta intervall. Exempel 2.61 visar att om något av villkoren i Sats 2.11 inte är uppfyllt så behöver satsens slutsats inte gälla. Dessutom visar exempel 2.61 att omvändningen till Sats 2.11 inte gäller, ty f(x) = 1/x har ett största värde i intervallet [2, oo) som varken är slutet eller begränsat I detta sammanhang ska vi också diskutera egenskaper hos inversa funktioner. Antag att en funktion f är definierad på ett intervall och a) strängt monoton, b) kontinuerlig. Av a) följer att f har en invers 1- 1 . Vårt problem är nu: Följer av b) att 1- 1 är kontinuerlig? Vi erinrar oss att om en funktion f har en invers 1- 1 så är kurvan y = 1- 1 (x) spegelbilden i linjen y = x av kurvan y = f(x).

Om f är kontinuerlig i ett intervall så är kurvan y = f(x) sammanhängande. Intuitivt är det då klart att kurvan y = J-1(x) är sammanhängande, eftersom den är

129

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

spegelbilden av kurvan y är kontinuerlig.

= l(x) i linjen y = x. Detta betyder att funktionen 1- 1

Ovanstående resonemang är dock inget bevis, eftersom begreppet kontinuitet inte är definierat med hjälp av begrepp som sammanhängande kurvor. Med hjälp av satsen om mellanliggande värden kan man dock visa följande sats.

Sats 2.12 Om funktionen I är strängt monoton och kontinuerlig i intervallet så är inversen 1- 1 kontinuerlig.

[a, b]

Av den här satsen följer kontinuiteten hos logaritmfunktionerna av kontinuiteten hos exponentialfunktionerna och kontinuiteten hos arcus-funktionerna av kontinuiteten hos de trigonometriska funktionerna.

2.9

Sammanfattning av vissa definitioner och satser, samt standardgränsvärden

2.9.1 Räkneregler för gränsvärden Om l(x) - A och g(x) -

l(x)

B, då x - oo, så gäller att

+ g(x)

- A

+ Bdåx -

oo,

l(x)g(x) - AB dåx - oo, l(x) A g(x) - B då x - oo förutsatt att B =J. O. Om A = B och I (x) ::; h(x) ::; g(x) i något intervall x 2: a så gäller att h(x) - A, då x - oo (instängningssatsen). Motsvarande gäller för gränsvärden då x - x 0 och x - -oo.

2.9.2 Kontinuitet Funktionen

I är kontinuerlig i xo om limx-+xo l(x) = l(x 0 ).

2.9.3 Gränsvärden av sammansatta funktioner Om I är kontinuerlig i Yo och g(x) - Yo då x l(g(x)) - l(Yo) då x - xo (x - oo). 130

x0

(x -

oo) så gäller att

2. JO

Några bevis

2.9.4 Gränsvärden av monotona talföljder (funktioner) Om talföljden a1,a2, ... är växande (avtagande) och uppåt (nedåt) begränsad så existerar lim,,__.00 an. Motsvarande gäller för "vanliga" funktioner.

2.9.5 Standardgränsvärden limx-+oo .!:_ X

. sinx limx-+O - -

= 0,

X

. ln(l + x) lImx-+0 --X

. ex -1 hmx-+O - -

= 1,

X

.

(lnx).B = 0 om a > 0, X°' x°' limx-+oo -ax = 0 om a > 1,

x°'

hmx_.oo - -

limx-+oo ( 1 + ;

= 1,

)x = e

limx-+oo "e,.,x limx-+O+

= 0 om /3 > 0,

x°' llnxl.B

limn-+oo an

0 ,

= 1,

= 0 om a > 0,

= 0 om lal < 1 { = oo om a > 1

,

existerar ej om a < -1

an lim,,._.oo 1 = 0, n. lim,,__.00 yn = 1.

limn-+oo y'a

= 1, a > 0,

2.10 Några bevis I avsnitt 2.2-2.3 införde vi gränsvärdesbegreppet med hjälp av intuitiva, men oprecisa, begrepp som "godtyckligt nära", "tillräckligt stort", "tillräckligt nära". Vi ska nu ge exakta definitioner som fastlägger innebörden i dessa begrepp. Vi ger först en definition av uttrycket

lim f(x)

X-+00

= A eller f(x)

Definition 2.5 Vi säger att funktionen positivt tal c finns ett tal w sådant att

lf(x) -

f

--+

A då x--+ oo.

har gränsvärdet A då x

Al < c för alla x > w.

--+

oo om till varje

(9)

Detta skrivs

lim f(x)

X-+00

= A eller f(x)

--+

A då x

--+

oo.

Hur litet man än väljer det positiva talet c ska man alltså kunna hitta ett tal w sådant att avvikelsen mellan f(x) och A är mindre än c för alla x > w.

131

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

Den geometriska tolkningen av definitionen visas i nedanstående figur.. Hur smal man än väljer strimlan A - € < y < A + € ska man kunna hitta ett tal w sådant att kurvan y = f(x) för alla x > w ligger i strimlan.

Man bör observera a) Talet w beror i allmänhet av c och ju mindre man väljer allmänhet talet w tas för att (2.9) ska gälla.

€,

desto större måste i

b) Man är inte intresserad av att bestämma det bästa möjliga, dvs. det minsta tal w för vilket (2.9) gäller för ett givet€. Det är fullständigt tillräckligt om man lyckas hitta något sådant tal w. ... 1 d fi . . li 2x2 + x cos x E xempeI 2.62 Viisa med h~a p av e mt1onen att m.,_, 00 2

3x -1

Lösning: Vi ska visa att till varje tal c > 0 finns ett tal w sådant att

2x2 +xcosx 21 1 3x 2 _ 1 - 3 w. Låt därför€

> 0 vara givet.

Vi har

_ ~1 = l3xcosx + 21 I2x 3x+ xcosx 1 3 3 I3x 11 · 2

2 -

2 -

Triangelolikheten ger

l3xcosx + 21 :S 3 lxl · lcosxl + 2 :S 3 lxl + 2. Om x

> 1 är alltså l3xcosx + 21 :S 3x + 2 :S 3x + 2x

Vi uppskattar nu nämnaren nedåt. För exempelvis x

I3x2 - 1I = 3x2 132

1 2: 3x2

-

= 5x.

>

I är

x2

= 2x2 .

= -32 .

2. JO

Några bevis

Alltså gäller för x > 1 att

I2x 3x+2x- cos1 x _ ~3 I -< 6x5x2 = ~. 6x 2

Eftersom 5/6x < c om x > 5/6c har vi alltså visat att om w är det största av talen 1 och 5/2c så gäller

I

2x2 + X COS X 21 3x 2 _ 1 - 3 < c för alla x > w, dvs. lim 2x2 + x cos x x-,oo

3x 2

-

1

2

3·

Defintionen av limx-,-oof(x) = A är analog med definitionen av limx_, 00 f(x) = A och överlämnas åt läsaren. Vi ska nu ge en definition av vad som menas med att f(x) ---+ A då x ---+ x 0 . Den intuitiva innebörden av detta är att f(x) ska ligga "nära" A då x ligger nära xo dvs. att lf(x) - Al är litet. Preciseringen av detta gör vi i definitionen nedan.

Definition 2.6 Vi säger att funktionen f har gränsvärdet A då x varje tal c > 0 finns ett tal o > 0 sådant att

---+

xo om det till

lf(x) - Al < c

(10)

o, dvs. för alla x sådana att 0 < lx - xol < o.

för alla x =f. x 0 vars avstånd till xo är mindre än

Detta skrivs lim f(x)

= A eller f(x)

---+

A då x

---+

xo.

X--+Xo

Anmärkning: Anledningen att man bortser från vad som händer i xo är att man ofta har en funktion som inte är definierad i x 0 , men att man trots detta vill undersöka Iimx-,xo J(x). (Jämfört.ex med exempel 2.18 och 2.20). Exempel 2.63 Visa med hjälp av definitionen att x 2

x

1

+ 2 ---+ 3 då

x

---+

2

Lösning: Vi har att

lx :2 -~I 2

l3x - x 2 - 21 _ lx 2 - 3x + 21 _ 3(x2 + 2) 3(x 2 + 2) . l(x-l)(x-2)1 Jx-11 (faktoruppdelmng) = = Jx - 21 · 3 (x2 + 2) 3(x 2 + 2)

Om Jx - 21 < 1, så är Jx - 11 < 2 ty Jx - 11 = Jx - 2 + 11 ~ Jx - 21 Eftersom dessutom 3(x2 + 2) ? 6 för alla x så gäller alltså

l

+ 1 < 3.

!I

_x_ _ < Jx-21 x2 + 2 3 3 133

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

för alla x sådana att lx - 21 < 1. Låt nu c vara ett godtyckligt positivt tal. Av olikheten ovan följer då att

_ x _!J 0 sådant att 1/(x) - /(xo)I < c för alla x sådana att lx - xol < 8. Definition 2.8 Funktionen f har det oegentliga gränsvärdet oo, då x --+ oo, om det till varje.>. finns ett tal w sådant att /(x) > .>. för alla x > w. Detta skrivs

f(x)--+ oo då x--+ oo eller lim f(x) X-+CXl

På motsvarande sätt definieras uttrycket f(x) gränsvärden då x--+ -oo. x3

Exempel 2.64 Visa att X

Lösning: För x

~

- - --+ 2

+1

oo då x

-oo då x

--+

oo samt oegentliga

oo.

1 gäller att

x3

x3

-2 - > x

Om

--+

--+

= oo.

+1

x2

-

+

x2

-

x 2·

>. är ett godtyckligt (positivt) tal är alltså x3

x2

+1

X

>.>.om

2>

>.,dvs.om x > 2>..

x3

Sätter vi w

= 2>. så är x 2 + 1

> .>. för alla x > w vilket visar påståendet.

Definition 2.9 Vi säger att funktionen / har det oegentliga gränsvärdet oo ( -oo), då x--+ xo, om till varje tal.>. finns ett tal 8 sådant att f(x) > >. (f(x) .)för alla x sådana att O < lx - xol < 8.

1

Exempel 2.65 Visa att 2 X

134

--+

oo då x

--+

0.

2.10

Några bevis

Lösning: Låt .X vara ett godtyckligt positivt tal. Eftersom 1/x2 > .X om 0

< x 2 < 1/ .X dvs.om O < lxl < 1/ J>.. följer att vi kan välja 6 = 1/ J>...

·,

Y1

6

Sats 2.13 (lnstängningssatsen för gränsvärden då x -+ oo.) Antag att limx-+oo f(x) = limx_.oog(x) = A och att f(x) ~ h(x) ~ g(x)föral/a x större än något tal wo. Då gäller att limx_. 00 h(x) = A.

Bevis: Låt c vara ett godtyckligt positivt tal. Vi ska visa att det finns ett tal w sådant att lh(x) - Al < E: för alla x > w. Eftersom både f(x) och g(x) går mot A då x -+ oo finns tal w1 och w2 så au A - E: A-E:

< f(x) < A + E: för alla x > w1 , < g(x)w2.

Låt w vara det största av talen wo, w1 , w2. Eftersom f (x) ~ h( x) ~ g( x) följer då au A - E: < f(x) ~ h(x) ~ g(x) < A + E: för alla x > w, dvs. lh(x) - Al < c för alla x > w och vi är klara. För beviset av räknereglerna för gränsvärden behöver vi följande hjälpsats som även har ett visst egenvärde. Den visar nämligen att om limx_. 00 /(x) existerar så måste funktionen f vara begränsad för stora positiva värden på x. Lemma 2.14 Antag att f(x)-+ Adå x-+ oo. Då.finns ett talwsådantatt 1/(x)I < IAI + lföralla x > w.

Bevis: Till varje tal c > 0 kan vi hitta ett tal w sådant att 1/(x) - Al < c för alla x > w. Väljer vi c = 1 så ger detta och triangelolikheten att 1/(x)I

= l(f(x) -

A) +Al~ 1/(x) - Al+ IAI < 1 + IAI

för alla x > w och vi är klara.

Sats 2.15 (Räkneregler för gränsvärden då x-+ oo.) Antag att limx-+oo f(x) A och att limx_. 00 g(x) = B. Då gäller

=

135

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

= CAförvarjekonstantC,

I.

limx-+cx,C/(x)

Il.

limx-+cx, (f(x) + g(x))

Il/.

limx-+cx, J(x)g(x)

IV.

=A+

B,

= AB, f(x) A hmx-+cx, g(x) = B om B -:/- 0. .

Bevis: Eftersom I egentligen är ett specialfall av 111. visar vi endast Il., III. och IV. Vi låter i alla bevis c vara ett godtyckligt positivt tal. Il. Vi ska visa att det finns ett tal w sådant att

lf(x) + g(x) - (A + B)I < c för alla x > w. Enligt triangelolikheten gäller att

lf(x) + g(x) - (A + B)I Eftersom limx-+cx, f(x) sådana att

=

=

l(f(x) - A) + (g(x) - B)I S

s

lf(x) - Al+ lg(x) - Bl.

A och limx-+cx,g(x)

lf(x)-AI lg(x) - Bl

=B

så finns det tal w1 och w2

< c/2 förallax>w1, < c/2 för alla x > w2.

Om w är det största av talen w 1 och w2 så är alltså

lf(x) + g(x) - (A + B)I < c/2 + w/2 = c för alla x > w, vilket visar Il. III. Vi skall visa att det finns ett tal w sådant att lf(x)g(x) - ABI < c för alla x > w. Omskrivningen f(x)g(x) - AB= (f(x) - A) · g(x) + A (g(x) - B) och triangelolikheten ger

lf(x)g(x) - ABI S lf(x) - Al lg(x)I + IAI lg(x) - Bl. Enligt Lemma 2.14 finns ett tal wo sådant att lg(x)I Vidare finns det tal w1 och w2 sådana att

< IBI + 1 för alla

€

lf(x) - Al


w1,

lg(x) - Bl


w2.

€

(Vi antar att A -:/- 0.) Om w är det största av talen wo, w 1 och w2 så följer då att

lf(x) ( ) -ABI g x

för alla x > w, vilket visar 111. 136


wo.

2. JO IV. Det räcker att visa 1/ g( x) påståendet. Vi har

-+

1 / B då x

-+

Några bevis

oo, ty detta och räkneregel III ger då

1 1 I IB - g(x)I Ig(x) - B = IBI lg(x)I · Eftersom g(x)

-+

B :/- 0 då x-+ oo finns ett tal w0 sådant att lg(x) - Bl < IBI

/2 för alla x > wo.

Om x > wo ger då triangelolikheten

IBI

= l(B -

g(x))

+ g(x)I

~ IB - g(x)I

+ lg(x)I

~ IBI

/2 + lg(x)I,

dvs.

lg(x)I

> l~I

om x

> wo.

Vi kan vidare hitta ett tal w1 sådant att IB - g(x)I w är det största av talen w 0 och w 1 är alltså 1

för alla x

1 1 I e IBl 2 g(x) - B :S -2-.

< e IBl 2/2 för alla x > w 1 . Om 2

IBl2 = e

> w och vi är klara.

Räknereglerna I-IV gäller också för gränsvärdena då x analoga med bevisen ovan utelämnar vi dem.

Sats 2.16 (Substitutionssatsen) Om g(x) nuerlig i Yo så gäller

-+

Yo då x

-+

-+

x 0 . Eftersom bevisen är

oo och om f är konti-

lim f(g(x)) = f(Yo) = f( lim g(x)). X-+00

X-+00

Denna sats gäller också med naturliga ändringar för gränsvärden då x Bevis: Låt e

>

-+

xo.

0 vara givet. Det finns då enligt definitionen på kontinuitet ett tal

b > 0 sådant att

lf(y) - f(yo)I < e för alla y sådana att IY - Yol

< b. Till detta b finns då ett tal w sådant att lg(x) - Yol < b

för alla x

( 11)

> w. Sätt nu y = g(x) i (2.11).

(12)

Av (2.12) följer då att

lf(g(x)) - f(yo)I < e för alla x sådana att x > w. Detta bevisar satsen. Beviset av motsvarande sats för gränsvärden då x -+ xo är analogt. 137

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

När vi visade de viktiga gränsvärdena limx_, 00 limx_, 00

lnx

= 0,

a > 0,

= 0,

a > I,

-

X°' x°' -

ax limx-,o+ x°' ln x

utgick vi från olikheten 1n x Lemma 2.17 1n x


0,

< x, x > 0. Vi ger här ett bevis för denna olikhet.

x för alla x

> 0.

Bevis: Vi observerar först att olikheten är sann om 0 < x $ I, ty då är lnx $ 0. Vi betraktar därför endast x > 1. Välj x 0 > 1 godtyckligt och ett positivt heltal no så att 2n°- 1 $ x 0 < 2n°. Eftersom logaritmfunktionen är strängt växande så är

ln 2no -

1

$ ln Xo

< 1n 2no .

Vidare är 1n 2n = nln2 < n (ty 0 < ln2 < lne = 1) och med induktion kan man visa att n $ 2n-I för alla positiva heltal n. Alltså är lnxo

< ln2no < no $

2no-l $

XQ,

dvs. xo > ln x 0 . Eftersom xo är ett godtyckligt tal är då hjälpsatsen bevisad.

2.11 Övningar 2.11.1 Gränsvärde av funktion 3 oo så gäller att -2 - - -+ 0. x+7 a) Bestäm något (inte nödvändigtvis det minsta) tal w (omega) för vilket det gäller att

2.1 Då x

-+

0

3

< 2x + 7
w.

b) Bestäm det minsta positiva tal w för vilket olikheten i a) gäller. c) Låt c (epsilon) vara ett givet positivt tal. Visa att hur litet man än väljer c så kan man hitta ett tal w sådant att 0 < 2 x~ 7 < c för alla x > w. Anmärkning. Resultatet i c) visar att man kan få avvikelsen mellan 2x~ 7 och 0 att bli godtyckligt liten för alla tillräckligt stora tal x, vilket alltså bevisar påståendet limx_,oo 2x~7 = 0.

138

2. I I

Övningar

2.2 Enligt exempel 2.5 gäller att limx-(X) ( J x 2 + 6x - x) = 3. Bestäm något tal w sådant att avvikelsen mellan Jx 2 + 6x - x och 3, dvs. 1Jx2 + 6x - x - 31 är a) mindre än för alla x > w,

iöo

b) mindre än c för alla x > w, där c är ett godtyckligt litet givet positivt tal. (Ledning: Utnyttja att 9 1Jx 2 +6-x-31= Jx 2 +6x+3+x -O.) x

(Se exempel 2.5).

2.3 a) Gissa utan att göra några beräkningar vad limx-(X) (xv'x2"+1 - x2 ) blir. b) Beräkna värdet av /(x) = xv'x2"+I - x 2 för x = 10,100 och 1000. Stöder resultaten din gissning? c) Använd samma teknik som i exempel 2.5 för att bestämma limx- 1012 gäller att 1/(x) - 131 < 10- 15 _ Gäller att limx- w. X +e-X

2.6 Då x

-+

2.7 Har x sin x ett oegentligt gränsvärde då x

-+

oo ? Motivera ditt svar!

2.8 Beräkna med hjälp av räkneregler a) limx- 1,

något gränsvärde då x ----. 1 ? Ledning: Undersök vänster-och högergränsvärdena var för sig.

143

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

2.34 Undersök

l -2x2 2 då x-+ 1- och x-+ l+, (1 - x) sinx c) -2- då X -+ 0- och X -+ o+,

a)

b)

l -2x2 då x 1-x2

-+

1- och x

-+

sin 1/x d)--2- då X-+ 0-och X-+

1+,

o+.

X

X

2.11.2 Kontinuitet 2.35 I nedanstående figur illustreras 5 funktioner. Avgör med hjälp av figurerna vilken eller vilka av funktionerna a) som är kontinuerlig i punkten xo, b) som har en hävbar diskontinuitet i punkten xo.

30

y

y

Yi

X..

X

X

X

y

X

2.36 Bestäm a så att funktionen / definierad genom

f(x) = { x2

+ a2x - 2 omx 2ax -1 omx

~

1

>1

blir kontinuerlig i x = 1 och så att /(-1) = -5. Rita därefter kurvan y = f(x).

x 4 - x 3 + x -1 för x-:/- -1 och x-:/- l. x 3 -x 2 -x+l Undersök om man kan definiera / i punkterna -1 och 1 så att f blir kontinuerlig i .

2.37 Låt f vara definierad genom f(x)

dessa punkter. 144

=

2. I I

Övningar

2.38 Med l x J menas största heltalet ::s; x. T.ex. så är l7.63J = 7 och l -6.8J = - 7. Sätt

f(x)=x-lxJ.

a) Rita kurvan y = f(x). b) För vilka x är f diskontinuerlig? 2.39 Låt/ vara den funktion som definieras av f(x) = xsin ~, x =I- O.Visa att man kan välja/ (O) så att f blir kontinuerlig i x = 0. Ledning: jsin ti :::; 1 för alla t.

2.40 Funktionen/ definieras genom f(x)

= limn_,

00

För vilka x är funktionen / kontinuerlig ?

2.41 Sätt f(x)

= limn_,oo L

n

1

•

2

l+xn

x2

k=O

(1 + x2)

Visa att f är diskontinuerlig för x

k ·

= 0.

2.11.3 Gränsvärde av sammansatta funktioner 2.42 Bestäm följande gränsvärden a) limx_,oo In( c) li ffix-,oo

ve+ ~ ),

b) limx_,.,,-

x,jx + rxTI

,r::r-:;, vx~-l+x f) limx_, 00 (2ln(l + 2x3 ) - 3ln(l + 3x2 )). 2.43 Beräkna följande gränsvärden (utnyttja att

x sm X sin(x 2

d) limx_, 1

X-

-

1

1)

2 . (1+2x+x d) hmx-, x 2 + 17 ) , 00 arctan

si~ x --+

sin 7x b) limx-,Q --:--18, sm X ) . . 1 e 1lffix-,oo X sm X'

a) limx-,Q -.-2-,

,

Jcos 2 x,

1 då x

--+

0)

. sin(cosx) c) 1lffix-,Q , COSX

sinx

t) limx-,7r - - , ~-X

sina: d .. . . d g) liffia_,o - - , är o: ar angiven I gra er. 0:

2.44 Använd knepet med förlängning med konjugatkvantiteten för att beräkna a) limx_,0

J 4 + 2x + x 2 5x

c) limx-,-oo ( J 4x 2 + 3x

2

,

+ 2x) ,

b) limx-,3

x - 3

Jx + 13 _ 4 ,

d) limx-,oo ( xv'x2+I - x 2 )

.

145

Kapitel 2.

Gränsvärden och kontinuitet

2.45 Bestäm följande gränsvärden

.

a) llffix-+l

1 - VX ( .. 3 r,: satt y 1- ◊x

c)limx-+O (

~-

nr:) , = vx

~) • x

x 1 +x

2.46 Enligt den speciella relativitetsteorin gäller att den kinetiska energin för en partikel med massan m och hastigheten v är

ml? 2 ----;::=== -mc

T(v) =

J1 - (~)2

där c är ljushastigheten. Partikelns kinetiska energi enligt den klassiska mekaniken är ½mv 2 . T(v) . T(v) a) Beräkna limv-o ~/.Slutsats? b) Beräkna hm,,-+(X) ~ 12 . Slutsats? mv

2

mv

2.47 Låt x 1 vara den av rötterna till ekvationen ax 2 - 4x + 3 = 0 som har minsta absolutbeloppet. Beräkna liffia-o x 1 . Vad händer med den andra roten då a -+ 0 ? 2.48 Bestäm följande egentliga och oegentliga gränsvärden

a) limx-+cx, arctan(3x 2 + 1),

b) limx-+O- arctan ( ~) ,

li 1 c) ffix-+0+ 1 + el/x'

d) limx-+0-

. sinx + 2 e) hmx-+1r/2 , 2 COS X

t) limx-+O+ lnx (Sätt x

I a) och b) antas känt att arctanx-+

~

l l/ , 1+e X

= 1/t).

då x-+ oo och-~ då x-+ -oo.

2.11.4 Monotona talföljder 2.49 Talföljden (an) 1 är definierad genom rekursionsformeln

_ l+a~ { an+l - - 2a1

=0

a) Rita en figur som illustrerar rekursionsformeln. (Jämför med exempel 2.45.) b) Visat.ex. med induktion att an ::; 1 för alla n. (Jämför med figuren i a).) c) Visa att talföljden är växande, dvs. att an+l - an 2: 0 för alla n. (Jämför med figuren i a).) d) Om du lyckats klara b) och c) så vet du att limn-+cx, an = A existerar. Beräkna 146

2. I I

Övningar

gränsvärdet genom att "gå i limes med rekursionsformeln". (Jämför med exempel 2.45.) 2.50 Antag att en talföljd (an)'t' är definierad genom { a 1 = l, ~ an+l = y2 + an. Visa att talföljden är växande och uppåt begränsad av 2 (använd induktion) och beräkna gränsvärdet.

rn, ~-..

2.51 Av Sats 2.6 följer att liilln-+oo y'Io existerar, ty talföljden v'IO, är uppenbarligen avtagande och vidare är v'Io > 1 för alla n. Visa att gränsvärdet av talföljden måste vara 1. Ledning: Antag att gränsvärdet är A och att A > 1. Visa att detta leder till en motsägelse. 2.52 Utnyttja standardgränsvärdet limn-+oo(l +-:;)n = e för att bestämma de av följande gränsvärden som existerar. a) liII1n-+oo(l + ¾)2n, b) liII1n-+oo(l + ¾)n+ 2, C) limn-+oo(l + 2~ )n,

e) liII1n-+oo(l +

¾)n

g) liilln-+oo(l -

! )n.

2

,

d) limn-+oo(l + 3n~2)2n-3, t) liII1n-+oo(l + ~

t,

(Ledning för g): Sätt n

=m+

1.)

.. a)liffix-+oo (1 + ;a)x , bli 2.53 Bestam ) ffix-+oo (x+4)-x X + } · 2.54 Bestäm gränsvärdet av talföljden 1.3, 1.0310 , 1.003 100 , 1.0003 1000 ,

2.55 Utnyttja att (1 + -:;)n --+ 1 .0023950 .

e dån--+ oo

...

för att bestämma ett approximativt värde på

2.56 Janne Tappman har bestämt sig för att varje dag under sin n (n 2: 2) dagar långa semester ta sig en smutt ur en flaska innehållande 75 cl 40 procentig alkohol. Han fixerar den dagliga smutten till 100/n cl. För att inte hans dagliga firande ska märkas häller han efter varje smutt tillbaka samma mängd rent vatten. a) Beräkna alkoholkoncentrationen i flaskan vid semesterns slut. (Vi antar att man kan bortse från den volymskontraktion som i realiteten sker, då man blandar alkohol med vatten.) b) Bestäm gränsvärdet av koncentrationen i a) dån --+ oo.

2.11.S Standardgränsvärden

147

Kapitel 2.

Griinsvärden och kontinuitet

2.57 Enligt våra resultat gäller att xlexoo -+ oo då x -+ oo. Trots detta är uttryckets värde för x = 100 ungefär 2.7 • 10- 157 _ Är detta en motsägelse? 2.58 Använd lämpligt standardgränsvärde för att beräkna . ln(n 5 ) b) hII1n--,oo /ri, , xlOOO ) c) limx__, 00 cos ( 1.00P

x · 3x + (lnx) 4

,

d) limx--+oo (4x

. {i27x3 + 8x 2 + (lnx) 7 J"x e) hmx__,oo -::-:-:-----::--:-::-~-;:.===;;=====, 3xl03. e-0.00lx _ y4x2 + 7x 4n + 1 g) liII1n--,oo 2• (2n + n4)

t) limx--,o+

+ 1) 3x + xl7

{IX ln x 4 ,

2.59 Använd omskrivningen f(x)g(x) = eg(x)lnf(x), (f(x) > 0) samt lämpliga standardgränsvärden för att beräkna • .l. • sinx a) hmx--+oo X b) hmx-o+ X X

'

. 2

,

• C) limx-o+

(4)

;; -./x

ex-1 ln(l+x) 2.60 Utnyttja att - - -+ 1 då x -+ 0 och att - - - -+ 1 då x -+ 0 för att X X bestämma de av följande gränsvärden som existerar. . ln(l+4x) . e2x-1 a) hmx--,0 --'---'-, b) limx--+O 3X , X e3x _ e4x d) limx__,o 5x t)li mx~o ln(3+x)-ln3 , X

g) lillln--, 00 n ( v'2 -

1) (Ledning: 2 =

e1n 2 ).

2.61 Vilken av funktionerna xx och ex 2 växer snabbast då x-+ oo?

2.11.6 Egenskaper hos kontinuerliga funktioner 2.62 Visa att ekvationen 8x 3 - 36x2 + 46x -15 [0, l], [l, 2] och [2, 3].

= 0 har en rot i vart och ett av intervallen

2.63 Vi observerar att för funktionen f(x) = x + 1/x gäller att /(-1) = -2 och f (1) = 2. Följer av detta att det finns ett tal c, -1 < c < 1 sådant att / (c) = 0? 148

2.64 Visa att ekvationen (x + l)e-x = 1/2 har minst två reella rötter.

2.65 a) Funktionen/ är kontinuerlig i [0, 1] och 0 < f(x) < 1 för alla x i detta intervall. Visa att det finns minst ett tal c i (0, 1) sådant att /(c) = c. (Undersök funktionen f(x) - x.) b) Den geometriska tolkningen av övning 2.65a) är att kurvan y = f(x) skär den heldragna diagonalen i kvadraten i nedanstående figur. Visa att kurvan y = f(x) även måste skära den streckade diagonalen.

1

X

2.66 Avgör om följande funktioner är begränsade i mängden !l. a)(xsinx) 2 , !l=R,

c)arctan (¾), x

# 0,

e) x 100 + llx3

17, !l

-

b2)x -, 0=(2,oo), -X x4

d)-1- 4 , !l

+x

= [O, 2],

= R,

0 In lcosxl, x #

J + mr.

2.67 Bestäm största och minsta värdena, om de existerar, till funktionen / om 1 a) /(x) = x 2 + x - 6, 1 ::; x ::; 3, b) /(x) = 1 + x 2 , x E R, c) f(x) = lx 2

-

11 - x, -2::; x::; 2,

d) f(x) = sinx + cosx, x ER.

Ledning förd): Skriv f(x) på fonnen Asin(x + 0.

= .,/x, x 2: 0 är deriverbar

Lösning: Vi bildar differenskvoten

f(xo

+ h) h

f(xo) _ -

Jxo+h - Fo h

0

'xo > .

Eftersom både täljaren och nämnaren går mot noll då h går mot noll måste vi omforma differenskvoten innan vi låter h gå mot noll. Om vi förlänger med täljarens konjugatkvantitet får vi

f(xo

+ h) h

f(xo)

(Jxo+7i -

Fo)( Jxo+7i + Fo) h( Jxo + h + Jxo) =

1

1

Jxo+h+Jxo

2Jxo

- - - - - -+ - -

154

då h

-+

0.

3.2

Detta innebär att f'(xo)

Definition av derivata

= - 1- , x 0 > 0. 2Jxo

Exempel 3.8 Undersök om funktionen

f(x)

x sin l om x -f. 0,

={

X

Oomx

är deriverbar för x

= 0,

= 0.

Lösning: /(0 + h) - f(0) h

=

hsin * - 0

. 1

=smh.

h

I exempel 2.21 visade vi att limh-+O sin* inte existerar. Alltså är/ inte deriverbar i x = 0. Detta innebär att kurvan y = f(x) inte har någon tangent i origo. Detta kan också inses geometriskt genom att observera att sekantlinjen genom (0, 0) och (h, f(h)) i nedanstående figur kan ha vilken som helst riktningskoefficient mellan -1 och 1, hur litet vi än väljer h. 1

I

r

{

ll

o

■iD

¾,ll.0 ,,.-o

/

Vi observerar att funktionen i exempel 3.8 är kontinuerlig i x

= 0 eftersom

lim xsin .!. = 0 = /(0).

x-+O

X

Exempel 3.8 visar alltså att det inte räcker med att en funktion är kontinuerlig i en punkt för att den ska vara deriverbar i denna punkt. Däremot gäller att en funktion är kontinuerlig i varje punkt där den är deriverbar, vilket är innehållet i Sats 3.1.

Sats 3.1 Om funktionen f är deriverbar i punkten xo så är f kontinuerlig i xo. (Deriverbarhet medför kontinuitet.)

Bevis: Vi ska visa att limx-+xo f(x)

f(x) = (f(x) - f(xo))

= f(xo). Om x -1- xo kan vi skriva

+ f(xo)

f(x) - f(xo) x-xo

= (x - xo) · .:....;_,:..._.:......:_=..

+ f(xo) 155

Kapitel 3.

Derivator

vilket ger

lim J(x)

x-xo

lim (x - xo) · lim J(x) - f(xo) x-+xo

x-+xo

0 · J'(xo)

X -

+ f(xo) =

Xo

+ J(xo) = f(xo) och vi är klara.

Vi ger ytterligare ett exempel som visar att omvändningen till Sats 3.1 inte gäller.

Exempel 3.9 Visa att funktionen / given av f(x) x

= lxl

är kontinuerlig i punkten

= 0, men inte deriverbar i denna punkt.

Lösning: Eftersom

f(x)

={

xomx2:0 -xomx < 0 '

så inses att f(x) ---t 0 = /(0) då x ---t 0, dvs. f är kontinuerlig i x undersöka deriverbarheten i origo betraktar vi differenskvoten

J(0 + h) - J(0) _ h -

lhl h

= 0.

För att

0 _ { 1 om h > 0 -lom h < 0 .

Av detta följer att vänstergränsvärdet av differenskvoten är -1 och högergränsvärdet är 1. Differenskvoten har därför inget gränsvärde då h ---t 0. y

I exempel 3.9 gällde att höger- och vänstergränsvärdet av differenskvoten existerade, men att dessa inte var lika. (Kurvan y = lxl har ett hörn i origo). För att kunna beskriva sådana situationer inför vi begreppen vänster- och högerderivata.

Definition 3.2 Om lim f(xo h-+0+

+ h) - f(xo) h

existerar sägs detta gränsvärde vara /:s högerderivata i x 0 • Högerderivatan betecknas f~(xo). Vänsterderivata definieras analogt och betecknas f~(x 0 ). Funktionen f(x) = lxl har alltså vänsterderivatan -1 och högerderivatan 1 i punkten x = 0. Man inser att en funktion är deriverbar i en punkt om och endast 156

3.2

Definition av derivata

om vänster- och högerderivatan i punkten existerar och är lika. Om vänster- och högerderivatan existerar i en punkt x 0 , men inte är lika, kan funktionens graf se ut som i figuren nedan (kurvan y = f(x) har ett "hörn" i punkten (x 0 , f(x 0 )). y

tan a • t~(x0 )

tan Il• t~(x0 )

En kontinuerlig funktion f kan sakna derivata i en punkt xo även om dess funktionskurva inte har något hörn i motsvarande punkt, beroende på att differenskvoten

f(xo

+ h) - f(xo) -

oo (eller - oo) då h - 0.

h

Geometriskt innebär detta att kurvan y = f(x) har vertikal tangent i punkten (x 0 , f(x 0 )). Ett konkret exempel på detta utgör funktionen f(x) = ,Vx. I origo saknar/ derivata, ty

f(O

+ h) -

f(O)

h då h - 0. Kurvan y

if1i

1

h

ifhi

=-=---oo

= ,Vx har alltså vertikal tangent i origo. y

X

Vi har ännu så länge studerat derivatan av en funktion i en enstaka punkt xo. Denna punkt kan dock ofta väljas godtyckligt och i stället för xo används då beteckningen X.

157

Kapitel 3.

Derivator

= x 3 så är för varje x

Exempel 3.10 Om f(x)

J'(x)

lim f(x

+ h) - f(x) h

h-+O

lim x3

= lim (x

+ h) 3 -

h-+O

h

+ 3x2h + 3xh2 + h3 -

= lim(3x2 + 3xh + h2) =

x3

h

h-+O

x3 =

h-+O

3x2 . För sådana x att gränsvärdet f'(x) = limh_.u f(x+hz-f(x) existerar definieras en funktion, nämligen den funktion vars värde i punkten x är just f'(x). Denna funktion kallas för derivatan av / och betecknas f'. Ordet derivata har alltså två betydelser - i allmänhet framgår dock av sammanhanget om det är funktionen f' eller dess värde i punkten x, dvs. f'(x), som avses.

Exempel 3.11 Funktionen f definierad genom f(x) genom f'(x) = 3x 2 (se exempel 3.10).

= x 3 har derivatan f' definierad

Förutom beteckningarna/' för derivata och f'(xo) för derivatans värde i punkten xo förekommer flera andra beteckningar. Vi samlar dessa i en tabell.

Derivata

Derivatans värde i xo

f'

f'(xo)

Df

(D J)(xo) eller D f(xo)

df dx y'

y'(xo)

dy dx Med dessa beteckningar skulle vi i exempel 3.1 och 3.2 kunna skriva

ds) (d t t=to ( dQ)

dt

s(to 1. ~~o

r

~:~o

t=to

+ Åt) - s(to) At ~

=v

( ) to ,

Q(to + Åt) - Q(to) Åt

·

Några kommentarer: Vi har genomgående betecknat ett tillskott i variabeln x med h. När beteckningen y = f(x) används brukar man ofta använda Åx i stället för h, och Åy i stället för Å/ = f(x + Åx) - f(x).

f(x

+ Åx) - f(x) Åx

Åy

= Åx·

Om f är deriverbar, så erhålls då derivatan som gränsvärdet lim~x-+O ~ vilket förklarar beteckningen ~ för derivata. Observera dock att ~ inte är att uppfatta

158

3.2

Definition av derivata

som en kvot, utan som en enda symbol, och det är därför som man läser ut ~ som "deydeex" och inte "dy genom dx". Beteckningen~ har den fördelen att den anger den variabel med avseende på vilken derivationen sker. Detta är väsentligt vid praktiska tillämpningar.

Exempel 3.12 Den ursprungliga anledningen till införandet av derivata var att man ville bestämma ekvationen för tangenter till andra kurvor än cirklar, ellipser o.dyl. Numera är man mera intresserad av andra tillämpningar som har att göra med att derivatan är ett mått på en funktions tillväxthastighet. Att så är fallet inses av följande resonemang. Antag att funktionen f är deriverbar i punkten x. Enligt derivatans definition gäller då att f'(x)

= h-+O lim !),,hf där !),,f = f(x + h) -

f(x).

För "små" h bör därför gälla att !),,J:::::: hf'(x). Detta innebär att f'(x) är ett mått på hur kraftigt f(x) påverkas av en ändring av x. Betraktat.ex. f(x) = ,/x. Eftersom f'(x) = 2 (exempel 3.7) följer att tillväxten av f(x) då x ändras från 4 till 4 + h är approximativt lika med 0.25h om h är litet. Kontrollera själv hur pass god denna uppskattning är för h = 0.1. Vi återkommer till approximationer av detta slag i avsnitt 3.7.

Jz

Exempel 3.13 Vatten rinner ut ur en öppen behållare med konstant tvärsnittsarea A = 0.8 m2 (t.ex. ett badkar) genom ett litet hål med arean Ao = 12 cm2 i kärlets botten. Låt h vara vattenytans höjd över hålet. Med vilken hastighet avtar vattennivån då h = 0.4 m? Lösning: Av energiprincipen följer att den teoretiska utströmningshastigheten y är lika med hastigheten hos en fritt fallande kropp som fallit sträckan h, dvs. v = J'lgli,, där g är tyngdkraftsaccelerationen (Torricellis lag). På grund av hastighetsförluster förorsakade av inre friktion i vätskan samt kontraktion hos vätskestrålen blir den utströmmande vattenmängden per tidsenhet emellertid inte lika med Aov utan µA 0 v därµ är den s.k. utströmningskoefficienten. Värdet på µ beror på hålets form men ligger vanligtvis omkring 0.6. Om vätskeytans höjd över hålet vid tiden t är h så är den vätskemängd som strömmar ut under ett kort tidsintervall /),,t (approximativt) lika med µA 0 J'lgli,!),,t. Under samma tid sjunker nivån med -!),,h (ty !),,h < 0) vilket motsvarar volymen -A!),,h. Alltså är -A!),,h !),,h /),,t

Låter vi nu /),,t

--+

=

µAo

figii · /),,t eller

Ao ~ -µ-A y2gh.

0 får vi Ao ~ -dh = -µ-y2gh. dt A

(I)

159

Kapitel 3.

Derivator

µ= 0.6, Ao = 12 cm2 = 12 • 10- 4 m2 , A= 0.8 m2 , g = 9.81 m/s2 ,

Insättning av h = 0.4 m ger

dh dt

:=::::

-2.5 · 10- 3 m/s.

Ekvationen (3.1) är en s.k. differentialekvation. Sådana ekvationer behandlas i kapitel 10, men vi nämner här utan bevis att lösningen till ekvationen ovan är h

=

i (2v'Ji- µAof9t)

2

där H är vattenytans höjd över hålet då t = 0. Av detta kan man bl.a. räkna ut att den tid det tar att tömma kärlet (h = 0) är lika med

f2H

A

µAoVg . Om H

= 0.5 m så blir tömningstiden för kärlet i exempel 3.13 ungefär 6 minuter.

Exempel 3.14 Antag att antalet sålda enheter q av en viss vara är en funktion av priset p per enhet, dvs. q = E(p). Funktionen E kallas för en efterfrågefunktion. Eftersom efterfrågan i allmänhet minskar vid en prishöjning är funktionen E avtagande. Antag att priset ökas med Åp per enhet. Den procentuella prishöjningen är då 1006.p/p. Om motsvarande efterfrågeändring är Åq = E(p + Åp) - E(p) så är den procentuella efterfrågeminskningen lika med -1006.q/q (observera att Åq är negativ om Åp är positiv). Kvoten mellan den procentuella efterfrågeändringen och den procentuella prishöjningen är lika med

p Åq p E(p + D.p) - E(p) -qD.p = - E(p). D.p

(2)

Antag att funktionen E är deriverbar. Vi ser då att kvoten (3.2) har gränsvärdet

e(p)

= _ _}!_ · E'(p) E(p)

då Åp --+ 0. Funktionen e(p) som kallas för efterfrågeelasticiteten är ett mått på efterfrågans känslighet för prisändringar. Om Åp är litet är ju nämligen _!!,Åq:::::

qÅp

e(p),

dvs.

_ Åq ::::: e(p) . Åp. q

p

Elasticiteten e(p) är alltså approximativt lika med den procentuella efterfrågeändringen vid en prishöjning på 1 %.

Vi gör nu följande definition. 160

3.3

Deriveringsregler

Definition 3.3 En funktion J sägs vara deriverbar om den är deriverbar i varje punkt i sin definitionsmängd. Om J är definierad i ett slutet intervall [a, b] så ska ovanstående definition tolkas på följande sätt: J är deriverbar i intervallet [a, b] om f är deriverbar i varje punkt i (a, b) och dessutom har högerderivata i a och vänsterderivata i b. Deriverbara funktioner kan sägas vara de kontinuerliga funktioner vars funktionskurvor inte har några hörn, spetsar eller vertikala tangenter i någon punkt. (Med andra ord: Om J är deriverbar så är kurvan y = f(x) "glatt".) y

y

X

I•

Deriverbar funktion

Kontinuerlig, men ej deriverbar funktion

Anmärkning: Fram till mitten av 1800-talet trodde man allmänt att en kontinuerlig funktion kunde sakna derivata i högst uppräkneligt många punkter. Den tyske matematikern Karl Weierstrass ( 1815-1897) visade dock att det finns kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara i någon punkt. Det är dock svårt att konstruera en sådan funktion och i det närmaste omöjligt att åskådliggöra dess graf.

3.3 Deriveringsregler Vid beräkning av derivator används sällan derivatans definition, utan man utgår från derivatorna av de vanligaste funktionerna (som härleds en gång för alla) samt deriveringsregler för summor, produkter och kvoter. Sats 3.2 Antag att funktionerna

J och g är deriverbara.

d l. Summan av f och g är deriverbar och dx (f(x)

Då gäller följande:

+ g(x)) = J'(x) + g'(x).

d 2. Produkten av f och g ärderiverbaroch dx (f(x)g(x))

= f(x)g'(x)+ f'(x)g(x).

3. Kvoten mellan f och g är deriverbar; förutsatt att g(x) =/:- 0, och

.!!_ (f(x)) = J'(x)g(x) - J(x)g'(x). dx

g(x)

(g(x)) 2 161

Kapitel 3.

Derivator

Bevis: Då dessa räkneregler i huvudsak bör vara kända från gymnasieskolan genomför vi bevisen endast kortfattat. Vi utgår från att f och g är deriverbara i punkten x, dvs.

lim !).f h

= lim

h-+O

f(x

+ h) - f(x) = J'(x) h

h-+O

och

. -!).g -_ lim -'-----'----'--'g(x + h) - g(x) -_ g '( X ) , 1lm h h-+O h

h-+O

samt att f(x+h)

---t

f(x) då h ---t Oeftersom deriverbarhet medför kontinuitet.

I. Överlämnas som övning åt läsaren.

= f(x)g(x). Då är u(x + h) - u(x) f(x + h)g(x + h) -

2. Sätt u(x)

!).u

h=

h

f(x

f(x)g(x)

h

+ h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x)g(x)

- - - - - - - - - - -h - - - - ~ - - - - = = f(x + h). g(x + h) - g(x) + f(x + h) - f(x) . g(x) h

---t

h ---t

f(x) · g'(x)

+ f'(x)g(x) då h ---t 0.

3. Vi antar att g(x)-:/= 0 och betraktar först det fall då f(x) = 1 för alla x. Sätt u(x) = l/g(x). Då är

!).u

h=

u(x + h) - u(x) h

1

1

g(x+ii) - g(x)

=

=

h

g(x) - g(x + h) h

1

g(x

+ h)g(x)

---t -

g'(x) då h ---t 0 (g(x))2 ·

Eftersom g(x) -:/= 0 och g kontinuerlig i x, så är även g(x tillräckligt litet.

+ h)

-:j::. O bara

här

För att bevisa det allmänna fallet kombinerar vi nu resultatet ovan med 2. och får

d (

d (f(x))

dx

dx

g(x)

1 )

f(x). g(x)

-g'(x)

= f(x). (g(x))2

+f

f'(x)g(x) - f(x)g'(x) (g(x))2 Exempel 3.15 Om vi tar g(x) d

= c där c är en konstant får vi

dx (cf(x)) = cf'(x) 162

+ f(x) • 0 = cf'(x),

,

1

(x). g(x) =

3.3

Deriveringsregler

eftersom derivatan av en konstant är noll. Sats 3.3 Följande regler gäller:

n = 1,2,3, ... , 2. Dsinx = cosx, 3. Dcosx = -sinx,

5. Dlnx = lX' x

> 0•

Bevis: I. Vi använder induktion. Om n = 1 så är påståendet sant, ty Dx = 1 = 1 • x 0. (Se exempel 3.5.) Antag att påståendet är sant för n = p, dvs. DxP = pxP- 1. Vi ska då visa att DxP+I = (p + 1) xP. Eftersom xP+l = x • xP ger deriveringsregeln för en produkt att

DxP+l = D(x • xP) = x • pxp-l + 1 • xP = pxP + xP = (p + l)xP. Av induktionsaxiomet följer då att påståendet gäller för alla naturliga tal n 2. Differenskvoten blir i detta fall

~

1.

sin(x + h) - sinx h . Av formeln

. . {3 2 o:+/3. o:-{3 sin o: - sm = cos - 2- sm - 2-

följer att sin(x + h) - sinx = 2cos(x +;)sin; vilket ger sin(x + h) - sinx ---'-----'---= COS ( X + -h) · -sin~ h-.

2

h

sint Genom att använda att -t-

--+

1 då t

--+

2

0 samt att cosinusfunktionen är konti-

nuerlig får vi sin(x+h)-sinx . h . sin~ lim---=-----'----= hm cos(x + -) · hm - h - = cosx · 1, h h-+O 2 h-+O 2

h-+O

dvs. Dsinx = cosx. 3. Visas analogt med 2. och överlämnas åt läsaren som övning. 163

Kapitel 3.

Derivator

4. Vi ser att

ex+h - ex

h

eh - 1

= ex · - h -

-+

ex · 1 då h -+ 0, ty

eh 1 lim - - - = 1 (standardgränsvärde). h-+O h

5. Vi har ln(x + h) - lnx h

(enligt en logaritmlag)

1

h •ln(l +

=

h ~) =

.!_ . ::. ln(l + !!:_) = .!_ . ln(l + t)' X h X X t där vi satt ~ = t. Utnyttjar vi nu att h -+ 0 t -+ 0, samt att ln(~+t) t -+ 0 (standardgränsvärde) får vi lim ln(x + h) - lnx =lim.!,. ln(l + t) h t-+O X t

h-+O

= .!.,

dvs. Dlnx

= .!..

X

X

Vi ger nu några exempel på användningen av satserna 3.2 och 3.3. Exempel 3.16

D(3x2 - 7x + 2sinx) = 6x - 7 + 2cosx. Exempel 3.17

D(x 3 • lnx)

x 3 • D lnx + (lnx)Dx 3 x 2 + 3x 2 lnx

= x3

1

•-

+ 3x2 lnx =

X

= x 2 (1 + 3lnx).

3x + 1 Exempel 3.18 Beräkna f'(x) då f(x) = 1 + x 2 . Lösning: Regeln för derivering av en kvot ger

J'(x)

x 2)D(3x + 1) - (3x + l)D(l + x 2 ) (1 + x2)2 2 (1 + x ) · 3 - (3x + 1) · 2x -3x2 -2x+3 (1 + x2)2 (1 + x2)2

= (1 +

Exempel 3.19 Beräkna f'(x) om f(x)

1

=, n positivt heltal. xn

Lösning: Enligt deriveringsregeln för en kvot är 1

f (x) = 164

Xn·0-l·n·xn-l -nxn-l (xn)2 = x2n

n

= - xn+l ·

-+

1 då

3.3

Eftersom -

1

xn

Deriveringsregler

1 = x-n och - - = x-n- l kan detta resultat också skrivas

xn+l

D(x-n)

= -nx-n-l _

Om vi kombinerar detta med Sats 3.3a får vi

Dxn

= n · xn-l,

n heltal

Exempel 3.20 Visa att

1

D tan x

= -2 - = 1 + tan 2 x om x =I- J + mr, n heltal, COS X

Dcot x

= --.-2 - = -(1 + cot 2 x) om x =I- rr, n heltal.

. Lösmng: tanx kvot ger

1

sm x

sinx =- är definierad om x =I- -rr2 + nrr. Deriveringsregeln för en cosx (cosx)Dsinx - (sinx)Dcosx cos 2 x

D (sinx) COSX

= Att D cot x

=

-+ sm x

1 cos 2 x

cos 2 x + sin2 x cos 2 x

sin x + cos x = ------,--= 1 + tan2 X. cos 2 x 2

2

visas analogt.

Deriveringsregeln för en produkt kan utvidgas till en produkt av tre eller flera funktioner som exempel 3.21 visar.

Exempel 3.21 Beräkna f'(x) om f(x)

= x 2 sinxcosx.

Lösning: Vi får

(x 2 sin x)D cos x + cos xD(x 2 sin x) = -x2 sin2 x + cos x(x 2 D sin x + sin xDx 2 ) = -x2 sin2 x + x 2 cos2 x + 2xsinxcosx =

J'(x)

=

x 2 cos 2x + x sin 2x.

Vid beräkning av derivator (även vänster- och högerderivator) kan man ibland använda följande sats.

Sats 3.4 Antag att: I) f är kontinuerlig i xo, 2) f är deriverbar till vänster och höger om xo och 3) limx ..... xo f'(x) = A existerar. Då är f deriverbar i xo och f'(x 0 ) = A. Motsvarande gäller för vänster- respektive högerderivator. Satsen kan bevisas (övning 4.5) med hjälp av medel värdessatsen (Sats 4.3 sid. 202). 165

Kapitel 3.

Derivator

Exempel 3.22 Bestäm talen a och b så att funktionen

f, definierad genom

f(x) = { -x2 + 2x, x::; 2, ax+ b, x > 2, blir kontinuerlig och deriverbar för x

= 2.

Lösning: / är kontinuerlig för x = 2 om limx_.2- f(x) vilket innebär O = 2a + b, dvs. b = -2a.Eftersom

= limx_.2+ f(x) = /(2),

f'(x) = { -2x + 2, x < 2, a,

X>

2,

så följer av Sats 3.4 att f_(2) = -2 och /~(2) = a. Funktionen f är alltså deriverbar i x = 2 om a = -2 (vänsterderivatan= högerderivatan) och b = -2a = 4. 1

{

1 •

♦ 2z -2X ♦ 4

-X 2

< 2

I

X

I

X>

2

3.4 Derivering av inversa funktioner Vi har tidigare påpekat att om en funktion f har invers 1- 1 så gäller att den inversa funktionen "ärver" /:s egenskaper. Så gäller t.ex. att om / är strängt växande så existerar 1- 1 och är strängt växande. Om / dessutom är kontinuerlig så är även 1- 1 kontinuerlig. Ett naturligt problem är då följande: Om / dessutom är deriverbar, gäller då att 1- 1 är deriverbar och hur beräknas i så fall dess derivata? För att komma underfund med hur en formel för inversens derivata bör se ut så gör vi en undersökning av de geometriska förhållandena. Nedanstående figur visar grafen till en omvändbar funktion/ med en tangentlinje l genom punkten (x 0 , y0 ), där Yo = f(xo)Om a är vinkeln mellan x-axeln och tangenten till kurvan y = f(x) i punkten (xo, Yo) så är tano = f'(xo). Eftersom y = f(x) 0 kan vi skriva a

=

a > 0, a E R,

x ER, x > 0.

e1na, vilket ger a"'

= (e1na)"' =

e"' In a.

Kedjeregeln ger då att

= D(exlna) = exlna · D(xlna) = (lna)e"'lna = (lna)a"'. På samma sätt som ovan inses att xa = ea In"' varför Dxa = D(ealnx) = ealnx. D(alnx) = ~. ealnz = ~. xa = a. xa-1. Da"'

X

X

= e så är De"'= (lne)e"' = 1 · e"', som sig bör. Det onödigt att lära sig att Da"' = (ln a )a"', utan man bör istället

Anmärkning 1: Om a

Anmärkning 2: lära sig hur man kommer fram till detta resultat t.ex.

D2"'

= De"' In 2 = e"' In 2 . ln 2 = (ln 2)2"'.

Anmärkning 3: Vi har tidigare visat att Dxa = a • xa-I då a är ett positivt heltal, eller då a = 1/n, där när ett positivt heltal (x > 0). Sats 3.8 är en generalisering av detta.

173

Kapitel 3.

Derivator

Exempel 3.32

= (In 10)10., 2x, n2•inx = (ln2)2sinx. cosx,

I. Dl0x 2

2.

2

•

Exempel 3.33

I Dx 5/4 .

2. Dx" =

3. D (

5 5 5fi = -x5/4-1 = -xl/4 = --, 4 4 4 1r •

x"- 1 ,

1

y'(l

+ x5)2

) = D(l + x 5)- 213 = -!(1 + x 5)- 5/ 3 • 5x4,

4. nJsin3 (x 2 + 1) = D(sin(x2 +1)) 312 = ~(sin(x 2 +1)) 112 -Dsin(x 2 +1) = ~Jsin(x 2 + 1) • cos(x 2 + 1) • 2x = 3xJsin(x2 + 1) cos(x2 + 1).

=

Exempel 3.34 (Implicit derivering) Genom ekvationen y 2 - x 4 = 2 definieras två funktioner y 1 (x) = ✓2 + x 4 ocJ2 (x) = - ✓2 + x 4 , vars derivata kan bestämmas genom derivering av uttrycken 2 + x 4 och - ✓2 + x 4 • Det är emellertid också möjligt att beräkna derivatorna av dessa funktioner genom att derivera båda leden i ekvationen med avseende på x, varvid y betraktas som en funktion av x: dy 3 - 4x dx

2y • -

d = -(2) = 0, dx

dy varav dx

3

= -2xy .

Ovanstående uttryck ger rätt värde för derivatan både av Y1 ( x) y2 (x) = ✓2 + x 4 , då dessa uttryck för y sätts in i högerledet.

✓2+x4 och

Anmärkning: En funktion y(x) sägs vara implicit definierad om den som y 1 (x) = ✓2 + x 4 i exempel 3.34 är given genom att x och y satisfierar någon ekvation. Metoden att bestämma genom att derivera båda leden i den ekvation som definierar y(x) kallas för implicit derivering.

t

Om det finns ett samband mellan två fysikaliska storheter som båda ändras med tiden så är deras ändringshastigheter också kopplade. En vanlig problemtyp är att man känner hastigheten av den ena storheten vid en viss tidpunkt och söker den andra storhetens hastighet vid samma tidpunkt. 174

3.5

= ./x där x är en deriverbar funktion av t. = 9 så är = 3 (enheter: m respektive m/s). Vad är ddy

Exempel 3.35 Antag att y a) Antag att då x

Derivering av sammansatta funktioner

!:

~

d

då?

t

b) Antag . att då x = 4 så är ....J!.. & = 2. Vad är -& då?.

. ) Ked" I dy dy dx 1 dx Lösmng: a ~erege n ger - = - · - = - - · - . För x = 9 så är alltså dt dx dt 2./x dt dy 1 1 dt=2.3· 3 =2· . __ dy 1 dx __ . 1 ~ dx b) Enhgt a) ar -d = r:; ·-.For x = 4 får v1 2 = . - varav - = 8. t 2y x dt 2 · 2 dt dt Exempel 3.36 En 10 m lång stege lutar mot en vägg. Stegens nederdel rör sig från väggen med en hastighet av 2 m/s. Hur snabbt faller stegens överdel då dess nederdel befinner sig 6 m från väggen?

x

-

2 m/s

Lösning: Låt x vara avståndet från väggen till stegens nederdel och y stegens höjd över marken vid tiden t. Vi vet att = 2 och söker ~ då x = 6. (Observera att ~ är negativ. Den hastighet med vilken stegen faller är motsvarande positiva tal.) Tydligen gäller att x 2 + y 2 = 100. Implicit derivering ger (se exempel 3.34)

!~

dx 2 x· dt

+ 2y•

dy dy dt =0, dt

Insättning av x = 6, y = 8 (62

+ 82

x

dx

=-y· dt

(O 0 ln(-x), x < 0 '

3.6

Logaritmisk derivering

> 0 så vet vi att D ln lxl = D lnx = l/x < 0 så är enligt kedjeregeln D ln lxl = D ln(-x) = - 1- . (-1) = 1/x.

som är definierad för alla x =/:- 0. Om x och om x Alltså gäller att

-x

D ln lxl

1

= -X

för alla x =/:- 0.

(3)

Om u är deriverbar i x och u(x) =/:- 0 så följer av (3.3) och kedjeregeln att

D ln lu(x)I

=

u'(x) u(x) .

(4)

(Vi har J(y) = ln IYI där y = u(x).)

Exempel 3.38 D ln lx3 - 4xl 0, dvs. för x =/:- 0, x =/:- ±2.

3x2 -4

1

= 3 • D(x3 - 4x) = 3 x - 4x x-4x

för x3 - 4x =/:-

Av (3.4) följer det användbara sambandet

u'(x)

= u(x)Dln lu(x)I

(logaritmisk derivering)

(5)

Poängen med (3.5) är att det ofta är lättare att derivera logaritmen av en funktions absolutbelopp än funktionen själv. Antag t.ex. att

u(x) = g1(x)g2(x). g3(x)g4(x) Dåär

1n lu(x)I

= 1n lg1(x)I + 1n l92(x)I -

ln lga(x)l - ln lg4(x)I -

Om vi tillämpar (3.4) får vi

u' (x) u(x)

g~ (x)

g[2(x)

= g1(x) + 92(x)

g3(x) g~(x) - g3(x) - g4(x) ·

Multiplikation med u(x) ger sedan u'(x).

Exempel 3.39 Beräkna u'(x) om u(x)

= e-"'

2

Jx3+l'(x - 2) 3 •

Lösning: 1n lu(x)I = -x2 +½ ln lx3 + ll+3ln lx - 21. Derivering av denna likhet ger

u'(x) u(x)

3x 2 3 ti"I' 2 - x + 2(x3 + 1) + x - 2 varav OJer

u'(x)

e

-x2

~

V xu + l(x - 2)

3(

3x2 3 ) -2x + 2(x3 + 1) + x - 2 .

Anmärkning: Att först ta absolutbeloppet av u(x) kan möjligen synas överflödigt, eftersom detta inte "syns" i slututtrycket. Vi måste dock komma ihåg att in-funktionen 177

Kapitel 3.

Derivator

endast är definierad för positiva tal, vilket medför att man måste betrakta ln lu(x)I istället för ln u( x).

Exempel 3.40 Beräkna u'(x) om u(x)

= xx, x > 0.

Lösning: Logaritmering ger lnlu(x)I denna likhet ger

=

u'(x) u(x) Dxx

1 x •-

+ lnx,

lnlxxl

varav u'(x)

=

lnxx

= xlnx.

= xx(l + lnx),

Derivering av

dvs.

X

xx(l

+ lnx) =X· xx-l + (Inx)xx.

(Jämför detta resultat med formlerna Dxb = bxb- l och Dax = (In a )ax).

3.7 DifTerentialer Man är ofta intresserad av att undersöka hur en liten ändring h av variabeln x ändrar funktions värdet för en funktion f. Detta kan naturligtvis göras genom att direkt beräkna differensen l:1/ = f(x 0 +h)- f(xo), men detta medför i allmänhet arbetssamma räkningar. Ofta kan man också nöja sig med en approximation av l:1/, t.ex. vid uppskattningar av hur mätfel påverkar ett försöksresultat (se exempel 3.44). Vi ska i detta avsnitt behandla en metod att approximera l:1/. Antag att f är deriverbar i punkten xo. Sätter vi

c:(h)

=

f(xo

+ ~ - f(xo) _ J'(xo), h-/- 0

så gäller att

l:1/ = f(xo + h) - f(xo)

=

J'(xo)h

+ c:(h)h, h-/- 0.

(6)

Av definitionen på f'(xo) följer att c:(h) --+ 0 då h --+ 0. För "små" positiva eller negativa värden på h gäller alltså att (Jämför med exempel 3. I 2)

l:1/;:::; J'(xo)h. Uttrycket!' (xo)h kallas för differentialen av funktionen f i punkten x 0 och betecknas df (xo) eller kortare df, dvs.

df = J'(xo)h. Differentialen df (som beror av xo och h) är en approximation av

l:1/;

Poängen med denna approximation är att det oftast är enklare att bestämma df än

l:1f. 178

3. 7

Differentialer

Exempel 3.41 Sätt f(x) = x 3 och låt x 0 = 1. a) Bestäm Af och df samt visa att Af= df + c(h) • h där c(h) - Odå h - 0. b) Beräkna Af och df för h = 0.01. Lösning: a) Af = f(l + h) - f(l) = (1 + h) 3 - 1 = 3h + 3h2 + h3 . Eftersom f'(x) = 3x2 är df = f'(l)h = 3h och vi ser att Af= df + (3h + h2 )h, dvs. c(h) = 3h + h 2 - 0 då h - 0. b) Insättning av h = 0.01 ger Af = 0.030301 och df = 0.03, dvs. felet i approximationen Af ~ df är i detta fall ca I%.

Exempel 3.42 Om f(x) = ger

Jx så är f'(x)

1

= 2 VX och approximationen Af~

df

Jxo+h~ JxO+ 2 ~ . Sätter vi x 0

= 1.96 och h = 0.04 så är x 0 + h = 2 och vi får rn

r.-n;:

V~ ~ V

1.96 +

Jämför med tabellvärdet

0.04 r-.nE 2v 1.96

0.02 .

= 1.4 + -1 4

~

1.4142857.

v'2 = 1.4142136 ....

Differentialen df har en enkel geometrisk tolkning. I figuren nedan har vi ritat grafen till en deriverbar funktion f.

Tangenten i punkten (x 0 , f(xo)) har ekvationen

y - f(xo)

= J'(xo)(x -

xo) eller y

= f(xo) + J'(xo)(x -

xo).

Punkten T på tangenten har y-koordinationen f(xo) + f'(xo)(xo + h - xo) f(xo) + hf'(x 0 ). Punkten K på kurvan y = f(x) har y-koordinaten f(xo + h).

179

Kapitel 3.

Derivator

Om här ett litet tal så gäller att y-koordinatema för punkterna K och Tär approximativt lika, dvs.

f(xo

+ h} ~ f(xo) + J'(xo}h eller f(xo + h)

vilket är precis 6./

~

- /(xo) ~ J'(xo}h,

df.

Ovanstående kan också uttryckas på följande sätt: df är tillskottet i y-led längs kurvans tangent, då x får tillskottet h (funktionens linjära tillväxt), medan 6./ är tillskottet i y-led längs kurvan.

3.8 Felfortplantning Differentialer används ofta inom naturvetenskap och teknik vid uppskattning av hur mätfel påverkar försöksresultat (felkalkyl). Problemställningen är följande: Man gör en experimentell bestämning av en storhet x och stoppar in x i en formel för att beräkna en annan storhet y. Vid bestämningen av x gör man i allmänhet mätfel och får i stället för x resultatet Sätter man in det felaktiga värdet i formeln får man i stället för y resultatet ii = f(x).

x.

x

= f(x) så har vi alltså 6.y = f(x) - f(x) = f(x + 6.x) -

Om y

f(x) ~ J'(x). 6.x, där 6.x

=X

-

X.

Med den beteckning för felet som infördes i kapitel I (sid.41) får vi

= =

€x €var

X - X= -6.x, f (x) - f(x).

Vi har här valt att använda ett index var för att markera att det är fråga om ett fel i funktionsvärdet som orsakats av ett fel i variabelns värde. Vi får €var~

J'(x).

€x-

(7)

Vanligtvis känner vi inte felet ex exakt utan bara motsvarande felgräns öx. Det gäller alltså lex I $ öx och detta kan vi utnyttja om vi för in beloppstecken i (3. 7) :

~

1/'(x)J lcxl $ J/'(x)J ÖxVi introducerar felgränsen Övar (dvs. lcvarl $ Övar) och får Övar~ 1/'(x)I Öx/cvarl

(8)

Detta är "den approximativa felfortplantningsformeln".

Exempel 3.43 Vi har mätt upp en storhet x felgräns a) x 2 , b) y1x.

= 4.0±0.4. Beräkna, med approximativ

Lösning: Vi har x = 4 och öx = 0.4. (3.8) ger nu = x 2 ; f'(x} = 2x, Övar ~ 2 · 4 · 0.4 = 3.2.

a) f(x)

180

3.8

b)/{x) =

..jx; f'(x)

1

= 2..jx,

Övar~~·

Felfortplantning

0.4 = 0.1.

Svaret blir således x 2 = 16 ± 3.2 respektive ..fi = 2 ± 0.1. Anmärkning: Direkt instoppning av största och minsta möjliga x-värde låter sig göras i detta enkla fall. Vi får 12.96 ~ x 2 ~ 19.36 och 1.897 ~ ..jx ~ 2.098 och alltså god överensstämmelse med svaret ovan.

Exempel 3.44 Vid resistansbestämning med hjälp av Wheatstones brygga beräknas den okända resistansen y med formeln X

y=R·--

1-x'

där R är resistansen hos jämförelsemotståndet och x ett avstånd, uppmätt i m. Beräkna den sökta resistansen samt uppskatta maximala felet vid ett tillfälle då R = 10 ohm och x uppmättes till 0.800 m med en noggrannhet av 1 mm.

J~:

Lösning: Sätter vi /(x) = så är den sökta resistansen approximativt lika med /(0.8) = 40 ohm. Felet i detta värde är €var = /(0.8) - /(0.8 - ex), En felgräns för detta fel får vi ur (3.8).

lcvarl

~

Övar

10 ~ (l _ 0. 8 )2 · 0.001

= 0.25.

Den sökta resistansen är alltså (40 ± 0.25) ohm. Med hjälp av felfortplantningsformeln kan man visa att uttryck som är matematiskt ekvivalenta inte behöver vara numeriskt ekvivalenta.

Exempel 3.45 J8 kan också skrivas a) ( v'2) 3 , b) ./32/2 . Vi känner närmevärden till J2, J8 och ./32 med 2 korrekta decimaler. Om vi bortser frän beräkningsfel, vilket uttryck bör ge bästa noggrannhet? Lösning: a) Vi har f(x) = x 3 , f'(x) = 3x2 och öx = 0.005. Felfortplantningsformeln ger Övar ~ 3 · x2 · 0.005 ~ 0.030. 181

Kapitel 3.

Derivator

b) Vi har f(x) = x/2, f'(x) = Övar ;:::;; ½· 0.005 = 0.0025. Eftersom närmevärdet till bättre noggrannhet.

½och öx

= 0.005. Felfortplantningsformeln ger

J8 har en felgräns om 0.005 ger tydligen uttrycket .../32/2

Det finns ett besvärligt fenomen vid numeriska beräkningar som går under namnet kancellation. Det betecknar den signifikansförlust som uppstår då två ungefär lika stora tal subtraheras. Om vi t.ex. har c = 7532 ± 0.5 och d = 7530 ± 0.5 blir c - d = 2 ± 1.0. Det relativa felet har ökat dramatiskt och antalet signifikanta siffror har sjunkit från 4 i termerna till O i differensen. Ett klassiskt exempel där kancellation kan uppträda - och undvikas! - gäller andragradsekvationer.

Exempel 3.46 Vi söker rötterna till x 2 - 56x

+1=0

med 5 signifikanta siffror. Med hjälp av en tabell över rötter som ger 3 decimaler får vi X1 = 28 - J783;::::; 28 - 27.982 = 0.018 ± 0.0005, x2 = 28 + J783;::::; 28 + 27.982 = 55.982 ± 0.0005. x 2 har den önskade noggrannheten men x 1 har bara 2 signifikanta siffror. Nu gäller ju att rötternas produkt är lika med den konstanta termen i ekvationen. Ur x 1 x2 = 1 får vi x 1 = l/x2 = 0.01786289. Om x2 har felgränsen 0.0005 får x1 felgränsen Övar=

55.Js22 . 0.0005

= 0.16. 10- 6 .

Avrundning av x 1 till 6 decimaler ger ett avrundningsfel på 0.11 • 10- 6 . Totalfelet blir 0.27 • 10- 6 och vi kan skriva x 1 = 0.017863 ± 0.3 • 10- 6 . Svaret är alltså att rötterna är 55.982 och 0.017863.

Anmärkning: Om x 2 + ax + b = 0 och lbl är mycket mindre än lal kan man vänta sig kancellationsproblem som i exemplet ovan. En bra datorrutin för lösning av andragradsekvationer måste ta hänsyn till denna svårighet.

Vi såg i exempel 3.46 hur det stora relativa fel vi från början hade i x försvann genom en bättre beräkningsmetod. Vi hade ett s.k. metodberoende fel. Ett fel som vi inte kan eliminera genom noggrannare räkningar eller bättre metod kallar vi ett

problemberoende fel. Exempel 3.47 Om b = a 10 och a har relativfelgränsen 10 % (exempelvis a = 1.10 ± 0.11) så får ben felgräns om 100 %. Problemet i sig är sådant att osäkerheten i a kraftigt påverkar b. Det hjälper här inte att leta efter raffinerade beräkningsmetoder, eftersom vi har ett problemberoende fel. Om man vid en analys av det problemberoende felet kommer fram till att detta är den helt dominerande feltypen, är enda botemedlet att skaffa noggrannare indata t.ex. genom att köpa ny utrustning om det är fråga om mätdata.

182

3.9

Högre derivator

3.9 Högre derivator Låt f vara en funktion som är deriverbar i ett intervall, med derivatan f'. Om f' i sin tur är deriverbar, kallas dess derivata för andra derivatan av f. Den betecknas f" (läs "/-biss"). Om f (x) = x 3 så är f' ( x) också beteckningarna

= 3x2 och f" (x) = 6x. För andra derivatan f" används D

2

f

tPJ

eller dx 2 .

Analogt definieras tredjederivatan av f som derivatan av andra derivatan, och allmänt, n:te derivatan av f som derivatan av (n - 1):a derivatan. För n:te derivatan av f används beteckningarna

Eftersom deriverbarhet medför kontinuitet följer att om f(n) (x 0 ) existerar så är alla derivator av lägre ordning kontinuerliga i punkten xo. Detta förklarar följande terminologi. Om n:te derivatan av f är kontinuerlig i ett intervall I säger man att f är n gånger kontinuerligt deriverbar i J och skriver f E c(J).

Exempel 3.48 Beräkna f(n)(x) om f(x)

= lnx.

Lösning:

f'(x)

1

=

- = x-1,

=

(-l)x- 2 , (-1)(-2)x- 3

X

f"(x) /(3)(x)

= (-1) 2 • 2!x- 3

och man gissar att

vilket kan bevisas med induktion.

Exempel 3.49 Antag au en partikel rör sig längs en rät linje så att partikelns läge vid tiden t är s( t). Vi har tidigare sett att s' ( t) kan tolkas som partikelns hastighet, dvs. partikelns lägesändring per tidsenhet. Andra derivatan s"(t) är tydligen ett mått på hur snabbt hastigheten s' (t) ändras och s" (t) kallas för partikelns acceleration (acceleration = hastighetsändring per tidsenhet). Derivator av tredje eller högre ordning dyker inte upp lika ofta i grundläggande fysikaliska teorier. Dock gäller att om s(t) är läget för en partikel vid tiden t så anger tredjederivatan avs hur snabbt accelerationen ändras. 183

Kapitel 3.

Derivator

Exempel 3.50 Harmonisk svängningsrörelse. En fjäder är i sin ena ända fastsatt i en punkt på ett horisontellt bord. I fjäderns andra ände är fästad en partikel med massa m som kan glida utan friktion längs bordet. Atertörancte kraft

~ 0

X

Om man spänner fjädern genom att föra den en viss sträcka från jämviktsläget Ooch sedan släpper den kommer den att utföra svängningar kringjämviktsläget. Antag nu att den kraft som försöker återföra partikeln mot jämviktsläget är proportionell mot avståndet till detta, dvs. F = -kx där kär en positiv konstant. Om partikelns massa är m så gäller enligt mekaniken även att F = ma, där a är partikelns acceleration. Men accelerationen a = x" (t). Alltså gäller

= -kx(t) eller x"(t) + w2 x(t) = 0 där w 2 = k/m. Ekvationen x" + w 2 x = 0 är ett exempel på en ordinär differentialekvation, dvs. mx"(t)

en ekvation som innehåller en eller flera derivator av en obekant funktion av en variabel. Sådana ekvationer behandlas i kapitel IOoch 11.

3.10 Partiella derivator Betrakta en funktion f(x, y) av två variabler x och y. Låt (x 0 , y0 ) vara en punkt i D,. Om vi ger y det fixa värdet Yo får vi en funktion f(x, y0 ) av en variabel x. Antag att denna funktion är deriverbar för x = x 0 , dvs. att gränsvärdet lim f(xo h-+O

+ h, Yo) - f(xo, Yo) h

(9)

existerar. Funktionen / sägs då vara partiellt deriverbar med avseende på x i punkten (xo, Yo) och gränsvärdet (3.9) kallas för partiella derivatan av / med avseende på x i punkten (xo, Yo). Den betecknas med

J;(xo, Yo) eller ( :~) :i:=:i:o,t1=110. Partiella derivatan av/ med avseende på y i punkten (x 0 , y0 ) definieras analogt och betecknas

184

3. JO

Partiella derivator

Om man beräknar de partiella derivatorna i en godtycklig punkt ( x, y) underförstås ofta denna i föregående beteckningar, dvs. man skriver J; och inte J;(x, y) osv. Inte sällan utelämnas också '-tecknet och man skriver / x i stället för osv.

J;

Exempel 3.51 Beräkna J; och J; då f(x, y) ära) x 2 y + x sin y, b) ln(l

+ xy).

Lösning: Vid derivering med avseende på x ska y uppfattas som en konstant och omvänt. Vi får a) J; = 2xy + 1 · sin y och J; = x 2 · 1 + x cos y, b) f' = - 1· y och f' = - 1. x.

l+xy Den partiella derivatan J;(x 0 , Yo) kan tolkas geometriskt på följande sätt. Skär ytan z = f(x, y) med planet y = Yo (se figur). Skärningen blir en kurva z = f(x, y0 ) och J;(xo, Yo) är riktningskoefficienten för tangenten till denna kurva i punkten som svarat mot x = xo, Analogt inses att J;(x 0 , y0 ) är riktningskoefficienten för tangenten till kurvan z = f(xo, y) i punkten y = yo. x

l+xy

Y

De partiella derivatorna J;(xo, yo) och J;(xo, Yo) anger hur funktionen varierar då (x, y) rör sig på två linjer som går genom ( x 0 , Yo) och är parallella med x- respektive y-axeln. Däremot säger de ingenting om hur funktionen uppför sig då punkten ( x, y) varierar på något annat sätt. Partiella derivator för funktioner av tre eller flera variabler definieras analogt. Betrakta t.ex. f (x, y, z) = xy 2 - y In z. Vid derivering med avseende på x håller man y och z fixa och deriverar med avseende på x på vanligt sätt (motsvarande gäller för

185

Kapitel 3.

Derivator

derivering med avseende på y respektive z). Vi får

!~ = y2,

J;

=

2xy - 1n z, y

z Den approximativa felfortplantningsformeln i avsnitt 3.8 låter sig direkt generaliseras. Antag att vi vill beräkna f(x, y), men att vi endast har tillgång till närmevärdena x respektive ii för x respektive y.

Då gäller för felet t:var att

= f(x,y) - f(x, y) ~ f~(x,y)t:x + 1;(x,Y}t:y där t:x = ;:.x och t:y = y - y. Precis som i envariabelfallet gäller oftast att man endast vet att lcxl :'.S öx och lc:yl :'.S öy. Detta och triangelolikheten ger då att lc:varl ~ 1/~(x,y)I Öx + IJ;(x,y)I öy, €var

dvs. (10)

Anmärkning: Uttrycket :~ ~x

+ :~ ~Y kallas för differentialen av/.

Exempel 3.52 Vi kan ur (3.10) få fram de regler som vi känner igen från avsnitt 1.13. Låt f(x,y) = x+y. Vi får J;(x,y) = f~(x,y) = 1 och övar~ öx +öy, dvs.: "Felgränserna adderas vid addition". Låt sedan f(x, y) = x • y. Vi får J;(x, y) = y och f~(x, y)

= x. Av detta följer Övar~ IVI Öx + lxl Öy dvs. Övar

ÖX

öy

lx•Yl ~ lxl + IVI. Detta är regeln "relativa felgränsen adderas vid multiplikation". Har vi tre variabler får vi lägga till en term till:

Övar~ lf~(x,y,z)I · Öx

+ 11;(x,V,z)I · öy + 11;(x,V,z)I · Öz.

oo

Exempel 3.53 Om vi mätt upp de tre sidorna i en låda till x = 10 ± 0.5 dm, y 80 ± 2 dm och z = 25 ± 1 dm, hur stor är volymen (med felgräns)? Lösning: Vi får

f(x, y, z)

x · y · z, y · z, 1; = x • z och 1; = x • y, 0.5, Öy = 4, Öz = 1,

f~ Öx Övar 186

~

80 · 25 · 0.5

+ 10 · 25 · 2 + 10 · 80 · 1 = 2300.

=

3. JO

Partiella derivator

Vi far alltså att volymen = 20.0 ± 2.3 m3 •

Exempel 3.54 Innan man gör ett experiment bör man undersöka vilka storheter som bör bestämmas särskilt noggrant. Antag att man ska bestämma en storhet u som är en funktion av två uppmätta variabler x och y. Om en liten förändring av x medför stor förändring av u så måste x bestämmas med stor noggrannhet. En uppfattning om hur felen i x och y inverkar på slutresultatet kan man få med hjälp av differentialen av u,

au

du= åxf:x

åu

+ åyf:y,

Låt oss t.ex. anta att (a är en konstant)

= ax2 .jy och att x ~ 5,y ~ 100. x2 25 du= a(2x.jy!::::..x + 2./Yt:::..y) ~ a(lO0!::::..x + 20 t:::..y). u

En ändring med en enhet i x (ex = 1) förorsakar en ändring av u med 100a, medan en ändring av y med en enhet (c: 11 = 1) ger ändring av u med 1.25a. Ändringen i x ger alltså 80 gånger större ändring i u än ändringen i y. Man måste därför bestämma x noggrannare än y.

187

Kapitel 3.

Derivator

3.11 Övningar 3.11.1 Inledning och definition 3.1 I figuren nedan är några funktioner åskådliggjorda. Vilka av funktionerna är av figuren att döma inte deriverbara i punkten x = I ? a)

b)

y

a)

f(x

i- 0, c) Vad är !'(3)?

= 1 +X x2 • Beräkna (förenkla så mycket som möjligt)

+ h) - f(x),

3.4 Sätt f(x)

y

= 3x2 + x.

a) Beräkna f(3 + h) - f(3), b) Beräkna !(3 + hI- !(3), h

3.3 Sätt f(x)

cl

y

d)

3.2 Sätt f(x)

y

b) f(x

+ hI- f(x), h i- 0, c) f'(x).

= x(l + Jixf). Bestäm f'(0).

3.5 Sätt f(x) = Jx 2 (x - l)(x + 2). Är f deriverbar i punkten x = 0? 3.6 Uttryck med hjälp av derivator (inför lämpliga beteckningar) a) att en partikels hastighet är omvänt proportionell mot tiden, b) att ett radioaktivt ämnes sönderfallshastighet är proportionell mot den mängd av ämnet som finns kvar, c) att den hastighet med vilken en kropp ändrar sin temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och det omgivande mediets temperatur.

188

3. I I

Övningar

3.7 Med strömmen i en ledare menas den elektriska laddning som per tidsenhet passerar ett tvärsnitt av ledaren. Uttryck detta matematiskt.

3.8 AB är en tunn homogen stång med längden 20 cm. Massan av delen AP är proportionell mot kvadraten på avståndet mellan punkterna A och P och man vet att hela stångens massa är 40 g. Bestäm a) medeldensiteten för delen mellan P0 b) densiteten i punkten Po.

= 3 och P = 3 + fll

3.9 Vätska rinner ut genom en konisk tratt med toppvinkeln o 0.5 cm 2 .

(massa/längdenhet),

= 60°. Pipens area är

a) Hur fort sjunker vätskenivån då h = 5 cm? (µ = 0.6). b) Antag att man samtidigt tillför vätska med hastigheten 20 cm3/sekund. Hur ändras vätskenivån då h = 5 cm? (Se ex 3.13.)

3.10 I en behållare finns 200 I av en lösning som innehåller 0.2 kg/I av ett ämne. Genom ett rör tillförs I 0 I per timme av en lösning som innehåller 0.1 kg/I av ämnet, medan man samtidigt genom ett annat rör tappar av lika stor mängd lösning. Lösningen i behållaren hålls homogen genom omrörning. Låt y(t) vara mängden av ämnet i behållaren vid tiden t. Härled en ekvation för ~-

3.11.2 Deriveringsregler 3.11 Beräkna f'(x) om J(x) är

a)e"'(x 2 -2x+2), d) x 2 e"' ln x,

b)xlnx-x, c)sin2 x, e) lo~ x. (Ledning: uttryck log 0 x i lnx.)

3.12 Beräkna

d (3x+5) a) dx 4x + 6 '

d ( c)du

u2 ) 1 + ue" '

d ( sina ) d) da 1 + cos o ' 189

Kapitel 3.

Derivator

3.13 Beräkna ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a) y = x

x3

+ 1 i punkten (0, 1), b) y = +1

x ln 2 x i punkten (1, 0).

3.14 a) Visa att linjen y = -x är tangent till kurvan y = x 3 - 6x 2 + 8x. Vilken punkt är tangeringspunkt? b) Bestäm de tangenter till kurvan y = x 3 + 3x2 som går genom punkten (1, -4). (Obs! punkten (1, -4) ligger inte på kurvan). c) Bestäm talet a så att linjen y = ax blir tangent till kurvan y = In x. Vilken punkt blir tangeringspunkt?

2x+l 2x -1

2

3.15 Sätt f(x) =--.Beräkna a) f'(x 2 ), b) g'(x) om g(x) = f(x ).

3.16 Visa att om f(x) =--}-- och g(x) = + - s å är f'(x) = g'(x). Förklaring? X -l X -l 3.17 Sätt P(x) = (x - ai)(x - a2)(x - a3). Visa att

P'(x)

1

1

1

- =x-a1 - - + x-a2 --+-. P(x) x-a3 3.18 Om en sten kastas upp i luften med begynnelsehastigheten vo = 10 m/s så ges dess höjd s(t) över marken (i meter) efter t sekunder approximativt av formeln s(t) = lOt - 4.9t 2 . a) Vilken hastighet har stenen då den slår i marken? b) Vilken höjd når stenen? 3.19 Bestäm efterfrågeelasticiteten e(p) om efterfrågan på en vara är a) omvänt proportionell mot priset, b) omvänt proportionell mot priset i kvadrat. (Se exempel 3.14.) 3.20 Vilken formel erhålls genom derivering av likheten

xn -1

a) 1 + x + x 2 + ... + xn-l = - ,x x- 1 b) Använd resultatet i a) för att beräkna

i= l

(summan av en geometrisk talföljd).

I:!~1 k2k.

3.21 Antag att p(x) är ett polynom av grad n 2'.: 2 och att a är ett dubbelt nollställe till polynomet dvs. att p(x) kan skrivas p(x) = (x - a)2 q(x) där q(x) är ett polynom av grad n - 2 och q(a) i= 0. a) Visa att p'(a) = 0. b) Bestäm a så att polynomet p(x) = x 3 + 2x 2 + x + a får ett dubbelt nollställe. 190

3.11

3.22 a) Bestäm talen a och b så att funktionen

f(x)

=

{

f

2x2 -

Övningar

definierad genom

xom x~ I,

~ +bom x > I X

blir kontinuerlig och deriverbar i punkten x = I. b) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = f (x) i punkten ( 1, / ( 1)). c) Rita kurvan y = f(x) samt dess tangent i punkten (1, /(1)).

3.11.3 Derivata av invers funktion 3.23 Funktionen f given av f(x)

= x 3 + x har inversen g. Beräkna g'(lO).

3.24 Bestäm (/- 1 )'(12) om funktionen f definieras genom

= x2 -

2x - 3,x 2: 4, 1 c) f(x) = 13lnx- lnx' x > 1.

a) f(x)

b) /(x)

x+9 =-, X- 2

3.25 Funktionen f definieras genom att f(x) = xex, x > 0. a) Visa att/ har en invers 1- 1 . (Utnyttja att ex är strängt växande.) 1 ) 1 (e). b) Beräkna

u-

3.26 Beräkna f'(x) om f(x) är X

a) 1 + VX,

b)

1 + arctan x 1 - arctan x

d) - - - - ,

x2

+1

fix ,

c) (arcsinx) 2 ,

x 2 arccos x I +x

e) - - - -

3.11.4 Kedjeregeln och logaritmisk derivering 3.27 Bestäm funktioner f och u sådana att s(x)

a)

Jsinx,

b) sin J"x,

d) exp ( si:x) ,

e)

= f(u(x)) om s(x) är c) ln(3x 2 + 1),

~ arctan ( 3xJ5 1 )

,

t) arcsin ( 1

!xx

2) .

3.28 Beräkna derivatorna av funktionerna i övning 3.27. 3.29 Definiera sin° a

d

= sinus för vinkelna given i grader. Bestäm da (sin° a). 191

Kapitel 3.

Derivator

3.30 Derivera

+ et)7f4 -

a) (2sin3x - 3cos3x)e2"',

b) 3(1

c) uarccosu - Jl - u 2 ,

d) x arctan x -

e) 1n (x

+ Ja 2 + x 2), (a konstant),

t)

X

--=--~

7(1

+ et)3/4'

1

2 tn(l + x 2 ), a2

2 Jx2 + a2 + 2

tn(x + Jx 2

+ a 2),

3.31 Beräkna /'(O) om f(x) är a)

b•

d) (x 2

+ x + 1)- 2 / 3 ,

+ x 2)v12,

b) cos y'x (Använd Sats 3.4),

c) (1

e) ( J2)1+x2,

0 (1 + 3"')- 1 .

3.32 Beräkna f'(x) om f(x) är a) sin 2 x 2 , b) cos(ln(l + x 2 )),

c) arccos Jl - x 2 .

3.33 Funktionen f är deriverbar och /(4) = 5, /'(4) = -2. Beräkna g'(2) om g(x) = xf(x2 ). 3.34 Genom ekvationen y3

8

+ xe 2Y

definieras en funktion y(x). Beräkna y'(O)

genom implicit derivering.

= 2 och (x - 4) 2 + (y- 3) 2 = 8 tangerar varandra i punkten (2, 1), (dvs. att de har gemensam tangent i punkten (2, 1)).

3.35 Visa att cirklarna (x -1) 2 + y 2

3x5/2

3.36 Bestäm lutningen hos kurvan - 4 -

y5/2

+4

= 1 i punkten (1, 1).

3.37 Härled derivatan av arctan x genom att derivera ekvationen x = tan( arctan x). 3.38 Betrakta den inversa funktionen J- 1 till funktionen/, definierad genom att f(x) = sinh x. (Se sid. 67). Beräkna dess derivata i punkten 3 / 4 a) genom att bestämma inversen och derivera direkt, b) genom att använda formeln för inversens derivata.

3.39 Bestäm hastigheten hos hinken i figuren som funktion av x. Jeepens hastighet är konstant lika med vo. När x = 0 så sammanfaller A och B med C. 192

3.40 Två fartyg A och B färdas från en punkt O längs riktningar sådana att vinkeln AO B är 120°. Hur snabbt ändras avståndet mellan fartygen i det ögonblick då OA = 8 nautiska mil, 0B = 6 nautiska mil och A har hastigheten 10 knop, B 20 knop? (Ledning: använd cosinussatsen.)

3.41 Figuren nedan visar mekanismen i en kolvmotor. Svänghjulet roterar med den konstanta vinkelhastigheten w (rad/s). Beräkna kolvens hastighet då wt

= 1r/2.

3.42 När luft expanderar adiabatiskt (dvs. utan värmeutbyte med omgivningen) uppfyller trycket p och volymen v sambandet pv1. 4 = konstant. Vid en viss tidpunkt är trycket 5 atm och volymen 56 dm3 • Vid denna tidpunkt ökar volymen med hastigheten 4 dm3 /s. Hur snabbt ändras trycket vid denna tidpunkt?

3.43 Bestäm derivatan av a) In !sin xl, b) In ie 2"'

-

e- 2z I , c) In

ltan i I·

3.44 Bestäm (t.ex. med logaritmisk derivering) f'(x) om f(x) är

a)x/8_,

b)x2 (1+x 4 )- 5 cos3 x,

c)x 2 -x,

d)(y'x)(x~),

g) JxsinxJl - ex.

3.45 Använd omskrivningen ab

= eb

100

(a

> 0) och kedjeregeln för att bestämma f'(x)

om f(x) är

193

Kapitel 3.

Derivator

a)Jl0"' 2 ,

b)x"',

c)x½,

d)x10 "'.

3.11.5 Differentialer och felfortplantning 3.46 Beräkna h = 0.1.

l::,,./ och df om f(x)

= x3 -

3x 2 + 5, x 0

= 1 och h = 0.01 respektive

3.47 Beräkna med hjälp av differentialer närmevärden till a) v'99, b) 1/1001, c) In 1.03, d) (0.983) 10 . 3.48 Använd differentialer för att beräkna närmevärden till rötterna till ekvationen x 2 4x + 3.066 = 0. Ledning: Rötterna till ekvationen x 2 - 4x + b = 0, där b $ 4 kan betraktas som funktioner av b.

3.49 a) Visa med hjälp av differentialräkning att för "små" x gäller ~ X 1 X V

.l ;- ;c :::::::

1+

2 och

✓1 +

X :::::::

1-

2.

b) Visa att absolutbeloppet av felet i den första approximationen är högst x 2 om Jxl < 3/4 och i den andra approximationen högst x 2 om Jxl < 1/4. c) Beräkna närmevärden till Jl.038 respektive 1/J0.989.

x är ett närmevärde med felgräns 6., och kär en (exakt) konstant. Vad blir felgränsen för a) x + k, b) x - k, c) x · k, d) x/k, e) xk?

3.50 Antag att

3.51 Beräkna följande värden med approximativ felgräns: a) x 3 då x = -2.0 ± 0.1, b) ?/x då x = 8 ± 0.5, c) e"' då x = 0 ± 0.00005.

= (J2 - 1) 6 ur närmevärdet 1.4 till J2. Man kan då välja mellan att sätta in närmevärdet i a) eller också i något av följande ekvivalenta uttryck:

3.52 Man önskar beräkna uttrycket a) /

b) ( J2

~ 1)6'

e) 99 - 70J2,

c) (3 - 2J2)3,

1

O

d) (3 + ~J2)3'

y12·

99+70 2 Vilket alternativ bör vara att föredra? Använd felgränsen 0.015 för närmevärdet till J2.

3.53 Man känner cosh 3

3.J.. 0 -3

0

med hjälp av detta e- 3 med fyra signifikanta siffror. 194

3

-3

= ~ = 10.067 och sinh 3 = e 2e = 10.018. Bestäm

.1. I I

Övningar

3.54 Bestäm rötterna till ekvationen x 2 - 200x + 1 = 0 så noggrant som möjligt med hjälp av följande rotvärde: J9999 = 100.00 ± 0.01. 3.55 Sätt an = ( 1 + ~) n. Vi vet att an ::; an+l ::; e för alla n och att an

-+

e=

2.7182818 ... dån-+ oo. Med hjälp av en miniräknare kan man enkelt beräkna an för n = 2k genom k successiva kvadreringar. T.ex. är

Beräkna an för a) n = 210 = 1024, Förklara resultatet.

b) n = 212 = 4096,

c) n = 215 = 32768.

3.56 I en triangel uppmättes två sidor med stor noggrannhet till 5 respektive 3 cm samt mellanliggande vinkel till 30° ± 2°. Beräkna triangelns area samt uppskatta maximala felet.

3.11.6 Högre derivator 3.57 Bestäm f"(x) om f(x) ära) ez 2 , b) In(l + x 2 ), c) tanx. 3.58 Bestäm f(x) om f(x) ära) e3z, b) xez, c) sin2x. 3.59 Visa att funktionen x(t) = Acos(wt + cp) satisfierar differentialekvationen~+ w2 x = 0 för alla värden på konstanterna A och cp (jfr exempel 3.50).

3.60 Bestäm alla polynom p(x) sådana att p(2x) är möjliga för p(x)?

= p'(x)p"(x). Ledning: vilka gradtal

3.61 En differentialekvation av typen y" + 2ay' + by = 0, där a och b är givna reella tal och yen obekant funktion av en variabel x, kallas en linjär homogen differentialek-

vation av andra ordningen med konstanta koefficienter. a) Bestäm r så att y(x) = cerz blir en lösning till ekvationen y" + 2y' - 3y = 0. (c är en godtycklig konstant.) b) Bestäm r så att funktionen y(x) = (c1 + c2 x)erz blir en lösning till ekvationen y" + 6y' + 9y = 0. (c1 och C2 är godtyckliga konstanter.) c) Bestäm a och {3 så att y(x) = ce°'z sin(f3x + cp) blir en lösning till ekvationen y" + 4y' + 13y = 0. (c och cp är godtyckliga konstanter.) 195

Kapitel 3.

Derivator

3 62 Visa att om kurvan y

•

= f(x)

skär x-axeln i en punkt där f"(x) existerar så sker

f'(x)

det under 45° vinkel.

3.63 Legendres polynom Pn(x) definieras genom

Pn(x)

= -2n 1-· n! dxn 0. Således gäller att f(x) = f (l) = arctan 1 + arctan 1 = 2 arctan 1 = 2 • ¾= I. Vi har också därmed visat att arctan x + arctan 1/x = 1r /2 för x > 0. Vid beräkning av integraler i kapitel 6 används följande viktiga sats.

Sats 4.5 Om f och g är två kontinuerliga funktioner i intervallet I och om f'(x) X

= g'(x)föra/la inre punkter x, så.finns en konstant C så att f(x) = g(x)+C,

E /.

Bevis: Låt h(x) = f(x) - g(x) för x E /. Enligt förutsättningarna om f och g gäller då för alla inre punkter x att h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0. Av Sats 4.4 följer då att här konstant i/, dvs det finns en konstant C så att h(x) = C för alla x i I. Detta ger att f(x) = g(x) + h(x) = g(x) + C för alla x i I. 204

4.3

Medelvärdessatsen

Vi skall nu utnyttja medelvärdessatsen för att visa hur man med hjälp av derivatans tecken kan avgöra om en funktion växer eller avtar.

Sats 4.6 Låt funktionen f vara kontinuerlig i ett intervall I. I. Om f' (x) · 2'. 0 för alla inre punkter x i I så är f växande i I. Il. Om f'(x) > 0för alla inre punkter x i I så är f strängt växande i I. 111. Om /' (x) ::; 0 för alla inre punkter x i I så är f avtagande i I. IV. Om f' (x) < 0 för alla inre punkter x i I så är f strängt avtagande i I. Bevis: Vi visar Il. De övriga påståendena visas analogt. Låt x 1 och x 2 vara godtyckliga punkter i J sådana att x 1 < x2. Medelvärdessatsen kan användas på intervallet [x1,x2], vilket ger att det finns ett eE (x 1, x 2 ) så att

f(x2) - f(xi)

= (x2 -

x1) · J'(e).

Eftersom e E J så gäller att /'(e) > 0. Alltså är /(x 1 ) < f(x2) och f strängt växande i/. Anmärkning 1: Observera att punkten ei beviset av Sats 4.6 ligger i det inre av/. Därför behöver man bara göra förutsättningar om f' i det inre av/. Anmärkning 2: Ett vanligt specialfall är att / är kontinuerlig i ett slutet intervall [a, b] med f'(x) > 0 för alla x i det öppna intervallet (a, b). Sats 4.6 ger då att/ är strängt växande i det slutna intervallet [a, b]. Anmärkning 3: Av Anmärkning 2 följer att Sats 4.6 gäller även om förutsättningarna inte gäller i ändligt många inre punkter. Om t.ex. / är kontinuerlig i [a, b] och f'(x) > 0 i (a, b) utom i ett antal inre punkter a1, a2, ... , aN så följer att/ är strängt växande i intervallen [a,a1], [a 1,a2], . .. [aN, b] och således i hela [a, b]. (Se figur.)

X

Anmärkning 4: Intervallen I i Satserna 4.4, 4.5 och 4.6 får vara oändliga. Exempel 4.3 Låt f(x) = x •e-x, x 2'. 0. Här är f'(x) = e-x - xe-x. Vi ser att/' > I och positiv då O < x < 1. Sats 4.6 visar alltså att / är strängt växande i [0, I] och strängt avtagande i [l, oo).

är negativ då x

205

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

Exempel 4.4 f(x)

= ex - l -

x. Visa att f är strängt växande i [O,oo).

Lösning: f'(x) = ex - l > e0 - 1 = 0 för x > 0 ty ex är växande. Sats 4.6 ger alltså önskad slutsats. Vi ser också att f'(x) < 0 om x < 0 varför f är strängt avtagande i (-oo, OJ.

4.4 Tillräckliga villkor för lokal extrempunkt Vi är nu beredda att försöka bestämma tillräckliga villkor för lokala extrempunkter, dvs. villkor på funktionen f som garanterar att xo är lokal extrempunkt till f. Låt oss inledningsvis betrakta figuren på sidan 199, och därvid inskränka oss till att betrakta en omgivning av x 6 . Vi ser att funktionen f är växande till vänster om X6 och avtagande till höger om x6. Detta villkor förenat med kontinuitet i punkten måste naturligtvis vara tillräckligt.

Sats 4.7 I. Om f är växande i ett intervall [a, xo] och avtagande i ett intervall [xo, b] och kontinuerlig i xo så har fett lokalt maximum i xo. (Vänstra.figuren nedan.)

Il. Om f är avtagande i ett intervall [a,xo] och växande i ett intervall [xo,b] och kontinuerlig i xo så har fett lokalt minimum i x 0 . (Högra.figuren nedan.) fil. Om monotonitetema i I och Il är stränga gäller att f har stränga lokala extrempunkter.

Denna självklara sats borde vi ju ha kunnat formulera redan i avsnitt 4.2. Problemet med denna sats ligger i svårigheten att undersöka om en funktion är monoton. Men vi fick i avsnitt 4.3 med hjälp av medelvärdessatsen fram samband mellan monotonitet och derivatans tecken som gör att vi kan formulera satsen i en mer användbar form.

Sats 4.8 låt f vara deriverbar i ett intervall U kring x 0 , utom eventuellt i x 0 , samt låt f vara kontinuerlig i xo. Då gäller

I. Om f'(x) '?. 0för x < xo, x EU och f'(x) ~ 0förx > xo, x EU så har f lokalt maximum i xo. Il. Om f'(x) ~ 0för x 206

< xo,

x E U och f'(x) '?, 0för x

> x 0,

x E U så har f

4.4

1illräckliga villkor för lokal extrempunkt

lokalt minimum i xo. 111. Om olikheterna för trempunkter.

f

i I och Il är stränga gäller att

f

har stränga lokala ex-

Vi bör således göra teckenstudier av f' när vi skall bestämma lokala extrempunkter. Vi vet från avsnitt 4.2 att endast punkter, där f' är noll eller inte existerar samt ändpunkter är av intresse. Man kan också visa att en derivata inte kan ha "språng" varför det följer att om f' har teckenbyte i x 0 och om f' existerar i x 0 så måste f' vara kontinuerlig i xo, vilket i sin tur medför att f'(xo) = 0, jämför Sats 3.4, sid. 165.

Exempel 4.5 Bestäm alla lokala extrempunkter till funktionen

f(x)

= lx2 - 11 + x3 -

x, x E [-2,3]

samt skissera funktionens graf. Lösning: Funktionen f är sammansatt av kontinuerliga funktioner varför f är kontinuerlig i [- 2, 3]. Beloppsfunktionen är dock inte deriverbar där den är O varför f är deriverbar i (-2, 3) utom eventuellt för x = ± 1. Vi får då följande intressanta intervall: (-2, -1), (-1, 1) och (1, 3).

l.xE(-2,-1).

f(x)

x2

-

1 + x3

-

x, 0

~

-

1 = (3x - l)(x + 1) > 0.

Vi markerar i en tabell de punkter där f' är noll och de punkter där !' eventuellt inte existerar, samt ändpunkterna. 207

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata X

3x - 1

_x_+_l 3x + 1 X -

f'(x)

1 +

? +

/Ej/

f

Min extrem ~x Min

Vi finner således att och i 3.

f

Max

har lokala minima i -2 och i 1 samt lokala maxima i -1/3

X

J

Vi har visat att då f är kontinuerlig gäller att teckenbyte hos f' medför lokal extrempunkt. Förändringar hos funktioner studeras ju med hjälp av derivatbegreppet, varför vi borde kunna misstänka att /":s derivata säger något om teckenbyte hos f'. Antag att

f" existerar i den stationära punkten xo.

Då är

J"(xo) = lim f'(x) - f'(xo) = lim f'(x) , x-+xo

ty

X -

Xo

x-+xo X -

XQ

f' (xo) = 0.

Nämnaren x - xo har teckenväxlingen - 0 + kring xo. Om nu f" (x 0 ) > 0 så måste täljaren f'(x) också ha teckenväxlingen - 0 +, dvs. f har strängt lokalt minimum. Om f"(xo) < 0 får vi analogt att f' har teckenväxlingen+ 0 -, vilket ger strängt lokalt maximum i xo. Om f"(xo) = 0 kan vi inte säga något om tecknet hos f' i en omgivning av x 0 • Vi har dock visat följande sats.

208

4.4

Tillräckliga villkor för lokal extrempunkt

Sats 4.9 Antag att f" existerar i den stationära punkten x 0 . Då gäller I. f"(xo)

> 0 ===} f

har strängt lokalt minimum i xo.

Il. f"(xo) < 0 ===} f har strängt lokalt maximum i xo,

Exempel 4.6 För funktionen i exempel 4.5 gällde att -1/3 var enda stationära punkten. Vi hade f'(x) = -2x + 3x2 -1 i en omgivning av -1/3, vilket ger f"(x) = -2 + 6x och f"(-1/3) = -2 - 2 = -4 < 0, dvs. f har lokalt max i -1/3, vilket stämmer med exemplet.

Anmärkning 1: Om vi hade förutsatt att f" existerade i en omgivning av x 0 och vore kontinuerlig skulle vi ha kunnat resonera något enklare. Om t.ex. f"(xo) > 0, så följer av kontinuiteten hos f" att f"(x) > 0 i en omgivning av x 0 vilket innebär att f' är strängt växande i denna omgivning. Om nu f'(x 0 ) = 0, så måste f' ha teckenbytet -0+, vilket innebär att f har lokalt minimum i xo. Analogt om

f"(xo) < 0. Anmärkning 2: Sats 4.9 är lämplig då andraderivatan lätt kan beräknas i en stationär punkt, men man bör tänka på att satsen ger ett tillräckligt villkor för lokalt extremvärde. Detta villkor är inte nödvändigt, varför vi mycket väl kan ha att andraderivatan är noll i en lokal extrempunkt. Det kan också gälla att derivatan till en funktion inte har teckenväxling i en lokal extrempunkt. Se exempel 4.7 och exempel 4.8.

Exempel 4.7 Vi vill undersöka de lokala extrempunkterna till f(x) = x 4 • Funktionen f har lokalt minimum för x = 0, ty /(0) = 0 och f(x) ~ 0 för alla x. Men f'(x) = 4x3 och f" (x) = 12x2 ger f'(0) = 0 och f" (0) = 0.

Vi ska nu ge ett exempel på en funktion som är sådan att derivatan inte ens har teckenväxling i en lokal extrempunkt.

Exempel 4.8 Definiera

f

genom

{

f(x)

f(O)

= x 2 sin2 ;,x =/- 0, = 0. 209

Kapitel 4.

Hur man kan anvilnda derivata '1

Vi ser att f(x) ~ 0 för alla x medan /(0) = 0. Funktionen f har således ett lokalt minimum för x = 0. Att x = 0 är en stationär punkt till f framgår av att

f'(0) = lim f(x) - f(O) = lim x sin2 .!. = 0. z--+0

X -

0

z--+0

X

Förx/0tärvi

1

. 1 1 ( 1) =2sm,21( 1) . - x-cot-

/'(x)=2xsin2 -+x2 -2sm-•cos-· - 2 X X X X

X

X

Då x är nära 0 är det tecknet på cot ; som avgör tecknet hos /' ( x). I punkterna

= 1/ (¾ + mr) gäller att cot; = 1 varför/' ( (¾ + mr)- 1 ) < 0, n E Z+· I punkterna x = 1/ ( -¾ + mr) gäller att cot ; = -1 varför x

Godtyckligt nära 0 finns såväl punkter x = 1/ (¾ + mr) > 0 som punkter x = 1/ ( -¾ + mr) > 0 i vilka f' har olika tecken. Derivatan f' kan således inte ha teckenväxling i 0.

4.5 Största och minsta värde Problem där det gäller att bestämma det största eller minsta värde som en funktion kan anta dyker ofta upp i tekniska och fysikaliska tillämpningar av matematiken.

Exempel 4.9 Det resultat en kulstötare uppnår beror bl.a. av elevationsvinkeln o. Hur ska o väljas för att han ska stöta så långt som möjligt om kulan lämnar hans hand på höjden h m över marken med begynnelsehastigheten v0 m/s ? Hur långt kan han maximalt stöta? (övning 4.12).

210

4.5

,,)

.,. r

\);,----

Största och minsta värde

'IS

--

~

c, -

' ( I

f

t.

..

Exempel 4.10 Rörelsen hos en kropp med massan m som utför en dämpad svängningsrörelse under inverkan av en yttre kraft Fo cos wt kan under vissa villkor beskrivas (se sid. 521) av ekvationen y

Fo = --;======= cos (wt / m (w5 - w2)2 + c2w2

cp)

där wo är det odämpade systemets s.k. egenfrekvens och y avvikelsen från jämviktsläget. Uttrycket

Fo

/m (w5 - w2)2 + c2w2 är den tvungna svängningens amplitud (dvs. maximala avvikelsen från jämviktsläget). Om den yttre kraftens vinkelhastighet w varierar kommer också amplituden att variera. För vilket värde på w blir amplituden störst? (Övning 4.12.)

:

-1Jämviktsläge

r J.,

7

L.-..J-

Från matematisk synpunkt består problem av denna typ av följande delproblem: I) Under vilka betingelser har en funktion f ett största eller minsta värde i ett intervall I ? 211

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

2) I vilka punkter kan en funktion anta ett största eller minsta värde ? Om man lyckats lösa dessa två problem kan man sedan i allmänhet lätt bestämma största eller minsta värdet (under förutsättning att de existerar). Om vi först betraktar frågan om existensen av ett största och minsta värde så erinrar vi oss följande sats: Om f är kontinuerlig i ett slutet begränsat intervall [a, b] så har och ett minsta värde i [a, b]. (Sats 2.11, sid. 128)

f

både ett största

Observera att det är väsentligt att alla tre förutsättningarna(/ kontinuerlig, intervallet slutet och intervallet begränsat) är uppfyllda för att man säkert ska veta att f har ett största och ett minsta värde.

1 Exempel 4.11 Låt f(x) = 1 + x 2 , J = R. Funktionen f har ett största värde, nämligen f (0) = 1, men inget minsta värde i R. Fråga 2 är också lätt att besvara ty största och minsta värdet är naturligtvis lokala extremvärden och vi har funnit att en funktion kan ha lokala extremvärden i följande punkter: a) i stationära punkter (där f'(x)

= 0),

b) i punkter där derivatan inte existerar, c) i de intervalländpunkter som tillhör definitionsmängden.

y

y

b

.. X

a

X

Funktionen i den vänstra figuren har sitt största värde i en stationär punkt och sitt minsta i en ändpunkt. Den högra har sitt största värde i en punkt där derivatan inte existerar och sitt minsta värde i en stationär punkt. Om speciellt I är ett slutet och begränsat intervall och f är kontinuerlig i I så kan man alltså bestämma funktionens minsta och största värde i J genom att jämföra funktionens värden i dessa punkter. Man behöver alltså inte avgöra den lokala karaktären hos punkterna. 212

4.5

Största och minsta värde

Om I inte är slutet och begränsat blir problemet besvärligare, eftersom man då inte på förhand vet om f har ett minsta och största värde. För att avgöra existensen av dessa kan man t.ex. studera funktionens monotonitetsegenskaper. Se exempel 4.14.

Exempel 4.12 Undersök om funktionen f definierad genom

f(x)={ (x+2)e:r, -4~x 0 får vi att f" (x) > 0 för x > 0 och då f' är kontinuerlig i O gäller f'(x) > f'(O) = 0 för x > 0. På samma sätt som i Alt. I följer då att f(x) > 0 för

x>0. Alternativ JII. Den som inte ens erinrar sig att sin x < x för x > 0 behöver inte heller ge upp. Vi har nämligen att /" ( x) = - cos x + 1 2: 0 varför f" är växande. Då f" är strängt växande it.ex. [0, 2rr] och kontinuerlig i 0 följer att f"(x) > f"(0) = 0 för x > 0. Detta ger att f'(x) är strängt växande osv.

4.6 Funktionskurvor Figurer är nödvändiga hjälpmedel både för teoretiska resonemang och vid praktiska tillämpningar. Ofta ritar man en kurva utgående från vissa kända fakta (punkter, 218

4.6

Funktionskurvor

monotonitetsegenskaper etc.) och använder sedan kurvan för att läsa av okända värden. Vid sådana tillfällen är det nödvändigt att rita figuren noga (med linjal och eventuella andra hjälpmedel). Andra gånger kan det emellertid vara bättre med en frihandsskiss - speciellt då man vill illustrera ett teoretiskt resonemang eller begrepp. Då överbetonar man gärna vissa detaljer i figuren för att framhäva det som man avser att illustrera. l

--+-----➔l-9 Jt

Den vänstra figuren är en frihandsskiss som kan användas för att illustrera begreppen lokal maximipunkt och lokal minimipunkt. Den högra kurvan y = är däremot ritad noggrant. Med hjälp av denna figur kan vi exempelvis läsa av att Jf.2 ~ 1.1.

Jx

I detta avsnitt skall vi syssla med det noggranna ritandet av kurvor. Vi inleder med ett varnande exempel.

y

X

y

0 1 -1 2 -2 0.5 -0.5 1.5 -1.5

0 2.5 -5.5 26 -38 0.125 -0.875 10.125 16.875

I'

r

Exempel 4.20 Vi skall rita kurvan y = 4x 3 - 3x2 /2 genom att sätta upp en värdetabell över samhörande x- och y-värden, sedan pricka ut motsvarande punkter och slutligen förbinda dessa med en rimlig kurva. Vi använder s.k. plottning. Resultatet visas ovan. Sedan ritar vi kurvan på nytt, men utnyttjar denna gäng teorin, dvs. använder derivatan för att bestämma intervall där funktionen växer respektive avtar. 219

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

Derivering ger y' eller x = 1/4.

= 12x2 -

3x

= 12x (x -

1/4} och vi ser att y'

=0

x

=0

Teckenstudium av derivatan: 1/4

0

J(

X

+

+

0

X

0

+

0

+

lok

I

1/4

-

y'

+

0

y

I

max

lok

=O

\

min - 1/32

Mönstret överensstämmer inte med kurvan i figuren som alltså är fel. Värdetabellen bör enligt teckenschemat omfatta främst x-värden i närheten av O och 1/4 - det är ju där som "det händer något". Vi får X

-0.125

0

y

-0.031

0

0.125

0.25

-0.016 -0.031

0.375 0

Exempel 4.21 Funktionen/ definieras genom /(x) = x 5 / 3 + 5x 2 / 3 . Bestäm funktionens största möjliga definitionsmängd och rita kurvan y = f(x) i stora drag. Lösning: Både x 5 / 3 och x 213 kan definieras för alla x eftersom 3 är udda, dvs.

D f = R. Faktoriseringen y

= x5f3 + 5x2f3 = x2f3 (x + 5)

visar att nollställena är -5 och 0. Derivering ger vidare

5

y' = 3x2f3

10 + 3x-1/3 =

5 3x-1/3 (x

+ 2).

Alltså får vi y' = 0 x = -2. Vi ser också att derivatan inte existerar för x men att f är kontinuerlig där. 220

= O,

4.6 -2

0

x-1/3 X

+

+ 2

+

+

0

y

I

max

-6

y

-62/3

"'

-3.3

lok

-5 0

+

+

0

y'

X

Funktionskurvor

\a

-4

lok min

-3

'

-2

42/3

2• 32/3

3•22/3

2.5

4.2

4.8

-1

0

1

4

0

6

2 7•22/3 11. 1

Då man räknar ut värdena är det ofta fördelaktigt att faktorisera uttrycket för f(x). I detta fall ger x213 (x +5) enklare räkningar än x5 / 3 + 5x2 13 .

5/a 2/3 j•X +5X

I

X

I För att kunna jämföra olika kurvors utseenden är det lämpligt att använda samma skala på båda axlarna (dvs. ON-system). Givetvis är detta inte alltid möjligt (se nedanstående figur).

-r

Det finns naturligtvis många situationer då olika skalor på axlarna är att föredra men vi kommer så långt det är möjligt att använda ON-system med tanke på att detta avsnitt går ut på att ge en känsla för de elementära funktionernas kurvor. Därför är alltså jämförelseaspekten väsentlig.

221

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

4.6.1 Asymptoter Man kan ibland ha intresse av att veta hur en funktionskurva y = f(x) ser ut då antingen x eller y befinner sig långt från origo. Av speciellt intresse är då huruvida man kan approximera kurvan med en linje.

)

:'

X

Om t.ex. lim,,-+ 00 /(x) = A kan kurvan y = f(x) approximeras med linjen y = A då x är stort. Om limx-+a-f(x) = oo kan kurvan y = f(x) approximeras med linjen x = a då x < a och x nära a.

222

4.6

Funktionskurvor

Linjerna y = A och x = a kallas då asymptoter (vågrät respektive lodrät). Vi har mer allmänt följande definition.

Definition 4.4 Om f(x) - (kx + b) --+ 0, då x--+ +oo eller då x linjen y = kx +b vara en sned asymptot till kurvan y = f(x).

--+

oo, så sägs

Om -oo < a < oo och 1/(x)I --+ oo, då x --+ a+ eller x --+ a-, så sägs linjen = a vara en lodrät asymptot till kurvan y = f(x). När vi skall söka eventuella sneda asymptoter kan man ibland skriva om uttrycket för f(x) så att man "ser" asymptoten.

x

Exempel 4.22 Bestäm eventuella asymptoter till kurvan y = f(x), där

f(x)

=

x3 +3x2 -4 x 2 + 2x + 1 ·

Lösning: Eventuella lodräta asymptoter fås där nämnaren är 0. Detta inträffar här endast då x = -1. Vi har

f(x)

= x3 + 3x2 (x + 1) 2

4.

Då x går mot -1 gäller att täljaren går mot - 2 och nämnaren går mot O+ . Alltså gäller lim f(x)

x--1

=

-oo.

I uttrycket för f(x) är täljarens gradtal en enhet högre än nämnarens. Om vi utför divisionen får vi som kvot ett förstagradspolynom (rät linje) och som rest ett annat förstagradspolynom. Vi kan nämligen skriva

f(x) =X+ 1 -

3x+5 2 (x + 1)

varav

/(x)-(x+l)=-

3x+5 2· (x + 1)

Om nu x --+ +oo eller x --+ -oo så går högerledet mot 0- resp 0+ varför linjen y = x + 1 är en asymptot till y = f(x) då x--+ ±oo.

Vi kan nu skissera kurvan y

= f(x)

då x nära -1 och då

lxl stort. 223

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

;y

fLr-x+I

För en noggrannare figur behövs en monotonitetsundersökning av funktionen. Det är inte alltid det går att direkt se vilka de eventuella sneda asymptoterna är. Vi kan då istället använda en indirekt metod enligt det följande.

Vi antar att linjen y = kx +bär asymptot till y = f (x) då x - oo, dvs. att

f(x) - (kx

+ b)

- 0, då x - oo.

Division med x ger då att

f(x) - k - !!_ - 0, då x - oo. X

X

Eftersom b/x - 0 då x - oo följer att

f(x)

- - - k, då X

X -

00.

Detta innebär att om det finns någon sned asymptot så måste dess riktningskoefficient vara gränsvärdet av kvoten f(x)/x. Man kan alltså först bestämma ett eventuellt k-värde och sedan undersöka om f(x) - kx också har något gränsvärde. Detta ger i så fall ett b-värde. Givetvis gäller motsvarande för fallet x - -oo. Den systematiska arbetsgången för att avgöra om en funktionskurva har någon (sned) asymptot då x - oo skulle således kunna se ut på följande sätt:

l. Undersök om limx-+oo f(x) existerar. X

2. Om det finns ett gränsvärde så kalla det k.

3. Undersök om limx-+oo (f(x) - kx) existerar. 4. Om detta gränsvärde finns så kalla det b.

5. Finns k och b så är linjen y = kx +ben asymptot till kurvan y = f(x).

Exempel 4.23 Undersök om kurvan y = f(x) = J4x 2 + x har någon asymptot då X - 00. 224

4.6

Lösning: Vi har för x > O f(x)

J4x 2

+x

-- = ---- = X

Funktionskurvor

R

4+ - --+ 2dåx--+ oo.

X

X

Vi får

f(x) - 2x

2x

(✓1 + 4x1 -

1)

= 2x . _!_ . 4x

1 1 - - - - - - --+ - då

2 ( ✓1 +

Alltså är linjen y

4~

+ 1)

--+

X

Jl +

1 1 4x

+

1

00.

4

= 2x + ¼asymptot till kurvan då x

--+ oo. Detta innebär att

J 4x2 + x ~ 2x + ~ för stora x. Exempel 4.24 Har kurvan y

= f(x) = y'x +

3x, x;::: 0, några asymptoter?

Lösning: f(x) -- ft+3x -- _1 ;;; + 3 --+ 3 , då X --+ X

X

00.

yX

Om det finns någon (sned) asymptot så måste den ha riktningskoefficienten 3. Enligt arbetsgången ovan måste vi emellertid undersöka f(x) - 3x innan vi kan dra några slutsatser. Vi får

f(x) - 3x =

.Jx + 3x -

3x =

VX,

som saknar gränsvärde då x --+ oo. Alltså har kurvan ingen sned asymptot. Att det inte finns några lodräta följder vidare av att alla ändliga x-värden ger ändliga funktions värden. Man kan också se på asymptoter på ett mindre geometriskt sätt. Antag t.ex. att vi vill veta om f(x) för stora x kan approximeras med ett linjärt uttryck, dvs. med ett förstagradsuttryck, så att felet går mot noll. Om y = f (x) har en asymptot y = kx +b då x --+ oo, så är villkoret i definition 4.4 på sid. 223 uppfyllt och följaktligen går det bra att välja förstagradsuttrycket kx + b som approximation till f(x).

Exempel 4.25 Om vi vill approximera J4x 2 + x med ett linjärt uttryck för stora x så skall vi välja 2x +1/4 enligt uträkningen i exempel 4.23 ovan.

Exempel 4.26 Approximera ln (e 4 x + 2) med ett linjärt uttryck för stora x.

Lösning: Vi har ln(e 4 x+2) = lne 4 x+ln {1 + 2e- 4 x) = 4x+ln(l +2e- 4 x). Alltså gäller ln(e 4 x + 2) - 4x = ln(l + 2e- 4 x). Det sista uttrycket går mot Odå x--+ oo, 225

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

vilket enligt definitionen innebär att y = 4x är asymptot till y = In(e 4"' + 2). För stora x kan vi alltså approximera ln(e 4 "' + 2) med det linjära uttrycket 4x.

Exempel 4.27 Undersök om det för stora x går att approximera f(x) = lnx + J9x 2 + 1 med ett linjärt uttryck.

Lösning: Vi följer arbetsplanen ovan och får: f(x)

= lnx + ✓9x2 + 1 = lnx + 3 ✓1 +

X

X

Men In x

+ J9x 2 + l

1

- 3x

-+

3, då x-+ oo.

9x 2

X

= In x + ✓

9x

2

1

+ 1 +3x

saknar gränsvärde då x -+ oo, varför alltså asymptot saknas. Följaktligen kan man inte approximera f(x) med något linjärt uttryck. Om en kurva upprepar sig, dvs. är periodisk, behöver man bara rita kurvan inom perioden för att veta hur kurvan beter sig överallt.

Exempel 4.28 Rita funktionskurvan y

= 2 sin x + sin 2x.

Lösning: sin x har minsta period 2rr och sin 2x har minsta period rr. Alltså är den givna funktionen periodisk med minsta period 2rr. Vi behöver alltså bara rita kurvan i ett intervall av längd 2rr. Antag i fortsättningen att vi har O ::; x ::; 2rr. Vi får y' = 2 cos x + 2 cos 2x = 2( cos x + 2 cos2 x - l) =

= 4(cosx + l)(cosx -

1/2).

Alltså är y' = 0 om och endast om cos x = - l eller cos x = l /2 vilket i sin tur är ekvivalent med att x = rr eller x = 11" /3 eller x = 5rr /3, eftersom vi antagit att O ::; x ::; 2rr. Ett studium av derivatans teckenväxling visar att vi har ett lokalt maximum för x = 11" /3, en terrasspunkt för x = rr och ett lokalt minimum för x = 5rr /3. Kurvans utseende framgår av följande figur:

1

226

4.6

Funktionskurvor

4.6.2 Konvexitet Om f" (x) > 0 i ett intervall så gäller att f' är växande i intervallet. Derivatan av /' är ju /". Eftersom f'(x) ger ett mått på tangentens lutning, så innebär växande derivata att tangentens lutning ökar då x ökas. Varje tangent måste således ligga under kurvan i ett intervall där f"(x) > 0.

a Man säger att kurvan är (nedåt) konvex i intervallet. Se figuren. Ett liknande resonemang kan föras om f"(x) < 0 i ett intervall. Då är f' avtagande och tangentens lutning minskar med ökande x. Kurvan sägs vara (nedåt) konkav. Vårt resonemang visar att följande gäller:

1. f"(x) 2'. 0 i (a,b)

::::}

y

2. f"(x) :'.S O i (a, b)

::::}

y

= f(x) = f(x)

konvex i (a, b). konkav i (a, b).

En utförligare analys av begreppet konvexitet finns t.ex. i Hylten-Cavallius/Sandgren. En punkt som är sådan att kurvan på ena sidan om punkten är konvex och på den andra konkav kallas för en inflexionspunkt.

X

I en sådan punkt skär kurvans tangent igenom kurvan. Om andraderivatan existerar i en inflexionspunkt så måste den vara O där, ty en derivata kan inte ha språng. Men andraderivatan måste dessutom växla tecken i punkten. Vi illustrerar med ett exempel.

227

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

= J(x) = x 3 -3x och y = g(x) = x 4 . Då gäller f'(x) = 3 och f" (x) = 6x. Vi har alltså f"(0) = 0 och f"(x) > 0 för x > 0 och f"(x) < 0 för x < 0 och ser att andraderivatan växlar tecken i punkten 0. Origo är således en inflexionspunkt, ty f är konkav till vänster och konvex till höger. Vidare får vi g'(x) = 4x 3 och g"(x) = 12x 2 vilket visar att g"(0) = 0. Men i detta fall har vi g"(0) > 0 för alla x =/- 0 och origo är således ingen inflexionspunkt. Kurvan y = g(x) är konvex överallt. Exempel 4.29 Sätt y

3x 2

-

X.

Exempel 4.30 Rita kurvan y

= xx.

Lösning: Definitionsmängden är R+ och funktionen saknar nollställen. Innan vi deriverar bör vi skriva om på e-bas, dvs. skriva funktionen på formen y = ex 10 x. Derivering ger y' = xx(lnx + 1) och y" = xx(Inx + 1) 2 + xx-i_ Vi ser att derivatans nollställen ges av 1n x + 1 = 0 dvs. x = e- 1 . Vidare ser vi att y" > 0 för alla x > 0, dvs. kurvan är konvex. Vi har alltså en lokal minimipunkt i x = e- 1 . Med hjälp av detta och en enkel "värdetabell" kan vi skissera kurvan:

f

X

- o+

e- 1 ~ 0.4 - t +oo

228

-t

e-l/e -t

1 ~

0.7 +oo

4. 7

Exempel 4.31 Rita kurvan y ning).

Ekvationer: En inledande orientering

= 2e-x cos x (som representerar en dämpad sväng-

Lösning: Nollställena är desamma som för cos x, dvs. x = 1r /2 + n1r. Derivatan är y' = -2e-x(cosx + sinx) och dess nollställen x = -1r/4 + n1r.

Vidare är y" = 4e-x sinx. Teckenbestämmande faktor i y' är parentesen och i y" bestämmer faktorn sin x tecknet. Vi kan dra slutsatsen att x = -1r / 4+ 2n1r är lokala max-punkter och x = -1r/4 + (2n + 1) 1r är lokala min-punkter (n godtyckligt heltal). Situationen är alltså den följande: Vi har lokala maximipunkter x = -1r / 4+ 2n1r som ger funktionsvärdet ./2e1r/4 - 2n1r och lokala minimipunkter x = -1r/4 + (2n + l)1r med motsvarande funktionsvärden -./2e1r/4 -(2n+l)1r. Vidare har funktionen nollställen x = 1r/2 + n1r. Vi ser också att funktionen är strängt avtagande på intervallen ... ,[-91r/4,-51r/4], [-1r/4,31r/4], ... osv. och strängt växande på ... [-51r / 4, -1r / 4] , (31r / 4, 71r / 4], ... Funktionen är konvex på intervallen (0, 1r) , (21r, 31r), (41r, 51r), ... och konkav på (-1r, 0), (1r, 21r), (31r, 41r), ....

I

I I

4.7 Ekvationer: En inledande orientering Exempel 4.32 Antag att vi fått till uppgift att dimensionera en konservburk med viss volym V (och en viss tjocklek på plåten) så att det går åt så lite plåt som möjligt.

229

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

Q

2«1'

lsln

+

2 sba

Med stöd av figuren ser vi att burkens area är A = 21rr2 +21rrh. Volymen V= 1rr 2 h är fix och vi skall alltså söka minimum av funktionen 2V A(r) = 21rr2 + - , (r > 0). r Villkoret

!: =

0 ger ekvationen

2V 41rr - 2 r

= 0 0 och där finns också ett enda nollställe. Är dessa två nollställen de enda ? Enligt figurerna kan det förefalla så, men ex växer snabbare än 5x2 och dessa kurvor kommer att skära varandra för något stort x. Vi har

x 5x2 ex 4 80 55 5 125 148

f(x) 25 -23

Derivatan f' är negativ i intervallet [4, 5] så det finns tydligen enligt Sats 4.11 exakt en rot i detta intervall.

Vi skall nu avsluta detta avsnitt med en enkel metod som bygger direkt på Sats 4.10. Vi utgår från att vi stängt in en rot till f(x) = 0 i ett intervall (a, b] genom att vi funnit att f(a) och f(b) har olika tecken. Vi väljer nu ett tal c i [a, b]. Om f(c) och f(b) har olika tecken finns roten i [c, b], annars i [a, c]. Resultatet lir i båda fallen att roten är instängd i ett mindre intervall än tidigare. Förfarandet kan sedan upprepas för detta mindre intervall och vi får då den intervallförkortningsmetod, som kan beskrivas så här:

while (b - a

> tol) do

choose a value c in [a, b] if sign f(a)

= sign f(c) then

a=c else

b=c end

end Beräkningen avbryts när längden av det intervall, där roten är instängd, blivit mindre än det på förhand valda talet tol. Om man skriver ett datorprogram för metoden

236

4.9

Fixpunktsiteration

är det enklast att som ny punkt välja c = (a + b) /2, dvs. som mittpunkten av intervallet [a, b]. Detta kallas interval/halveringsmetoden ("bisection" på engelska).

Exempel 4.41 Stäng in nollstället till f(x) 0.05. (Jämför med exempel 4.39.)

= x3 + x -

Lösning: Vi sättera = 0 och b = l, som ger f(a) beskrivs lämpligen av följande tabell.

= 0.5 = 0.7 c=0.6 C = 0.65 C C

ger ger ger ger

f(c) f(c) f(c) f(c)

0 0. Vi prövar några olika sätt att skriva om ekvationen på formen x = g(x). a) x 3 +x - l = 0 {::::::::} x = l - x 3. Vi har då att xo = 0. 7 ger X1 = 0.66, x2 = 0.71, x 3 = 0.64, x 4 = 0.74, ... , x 17 = 0.12. Detta verkar vara en misslyckad omskrivning. Detta kan också konstateras med hjälp av Sats 4.13; vi har g(x) = 1 - x 3 och g'(x) = -3x2. I intervallet [0.6,0.75] är alltså lg'(x)I 2: 1.08 > 1 varför vi inte kan få konvergens. b) x3 +x - l = 0 {::::::::} x = -Vl - x. Vi får au xo = 0.7 ger x1 = 0.67,x2 = 0.69, x 4 = 0.677, .... Vi verkar nu att närma oss roten sakta men säkert. Vi har 1 g = -Vl - x och g'(x) = - 3 / • 3y(l-x)2 I intervallet [0.6, 0.75] är lg'(x)I ::; 3 ~

1

1

= 3 . 0 _39685

::; 0. 84 .

0.'7

0.7o

Av exempel 4.44 framgår au valet av g(x) är väsentligt för om man ska få konvergens eller inte. Att även valet av startvärde är viktigt ser vi om vi i stället för x 0 = 0.7 väljer x 0 = 1 i iterationsformeln i exempel 4.44b. Vi har nämligen au xo = 1 ger x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, dvs. vi får inte längre konvergens. Sats 4. I 3 har begränsad praktisk användning. Det vanligaste sättet att avgöra om en iterationsmetod fungerar är trots allt att räkna några iterationssteg och se om de beräknade värdena närmar sig något tal. Däremot är satsen viktig när det gäller att hitta förklaringar till att en iterationsmetod misslyckas.

Vi inför nu ett mycket viktigt begrepp.

Definition 4.6 Om iterationen avbryts efter n steg är trunkeringsfelet Xn 240

-

a.

4. JO

Några speciella iterationsmetoder

Trunkera betyder avbryta, och med trunkeringsfel betecknas de fel som uppstår då en gränsvärdesprocess avbryts innan man kommit till gränsen. Iterationsformeln (4.6) på sid. 239 beskriver ju egentligen en oändlig process, som vi i praktiken måste avbryta efter ett ändligt antal steg. Ett annat vanligt fall där trunkeringsfel uppstår är då ett icke-linjärt uttryck approximeras med ett linjärt. I vissa speciella fall kan det vara ide att på egen hand plocka fram en iterationsformel. Det normala är ändå att man förlitar sig på någon allmän metod att göra omskrivningen av f(x) = 0 till formen x = g(x).

4.10 Några speciella iterationsmetoder En mycket ofta använd princip vid konstruktion av numeriska algoritmer (beräkningsmetoder med ett ändligt antal steg) är linearisering. Det innebär att ett ickelinjärt uttryck ersätts med ett linjärt. I vårt fall innebär denna princip att funktionskurvan f(x) approximeras med en rät linje. Vi skall studera följande två möjligheter.

il

SekantJnetoden

X

X

I den vänstra figuren utgår vi från ett närmevärde xo till a och drar tangenten i motsvarande punkt på kurvan. Nästa (och förhoppningsvis bättre) närmevärde till roten får då bli x-koordinaten för tangentens skärning med x-axeln. Vi kallar detta värde för x 1. Vi får således x1

= xo - f

(xo) / !' (xo).

Sedan upprepar vi det hela med x 1 i den roll som xo hade tidigare. Den nya tangentens skärningspunkt med x-axeln blir det nya närmevärdet x2:

241

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

Ingenting hindrar att vi fortsätter och beräknar x3, x 4 osv. efter samma ide. Formeln för beräkningen blir alltså

f(xn) Xn+l = Xn - -(-)' n = 0, 1,2, .... f' Xn

(8)

Formel (4.8) beskriver Newton-Raphsons metod. För att komma igång med iterationerna krävs ett startvärde x 0 , dvs. ett närmevärde till roten, som vi får försöka gissa så bra som möjligt.

Anmärkning: Newton-Raphsons metod kan även motiveras utgående från medelvärdessatsen. Vi har

f (xo) - f (a) Om f(a)

= (xo -

a) · f' (~) för något~ mellan xo och a.

= 0 så gäller a

I (xo) = xo - f, (~) .

Om vi här ersätter~ med x 0 får vi ett närmevärde till a. Kallar vi detta närmevärde för x 1 så gäller x 1 = xo - f(xo)/ f'(xo) precis som ovan. I den högra figuren ovan utnyttjar vi två närmevärden xo och x1 till roten. Genom motsvarande punkter på kurvan drar vi en rät linje. Linjens ekvation blir

f (x1) = f (xi) - f (xo) · (x - x1). X1 -Xo Skärningen med x-axeln (y = 0) låter vi bli nästa närmevärde x2 : X1 -Xo x2 = x1 - f (xi) _ f (xo) · f (x1). y -

Sedan kan vi låta x2 och x 1 överta den roll som x 1 respektive x 0 hade tidigare och beräkna ett, som vi hoppas, ännu bättre värde x3 :

x2 -x1 x3 = x2 - f (x 2) _ f (xi) · f (x2). Vi kan naturligtvis fortsätta på samma sätt;

Xn+i

= Xn -

Xn - Xn-1 f (xn) _ f (Xn-l) · f (xn), n

= 1, 2, 3...

.

(9)

För att få igång iterationen krävs två startvärden x 0 och x 1. Nya värden i talföljden får vi genom att sätta n = 1, 2, 3, ... i (4.9). Detta är sekantmetoden. Det är en tvåstegsmetod, eftersom vi utnyttjar två tidigare funktionsvärden för att få fram ett nytt närmevärde till roten. För att illustrera hur de båda metoderna fungerar ska vi starta med ett exempel som är mycket enkelt, nämligen beräkning av J2 med hjälp av de fyra vanliga räknesätten.

242

4.10

Ndgra speciella iterationsmetoder

Exempel 4.45 Härled Newton-Raphsons metod för x 2

-

2

= 0 och beräkna y'2

med 7 decimaler.

Lösning: Vi får

Xn+i = Xn - xt~ 2 =

½( Xn + X2n) .

Iterationsfonneln är identisk med fonneln i exempel 2.45 sid. 117. Vi har där redan sett att den fungerar bra för x 0 = 2 och prövar nu några andra startvärden: Valet xo

X5

= 1 ger x1 = 1.5,

x2

= 1.4167,

x3

= 1.414216,

x 4 = 1.41421356,

= 1.41421356, ....

= 0.1 ger x1 = 100, x2 = 5.1, x3 = 2.75, x 4 = 1.74, x5 = 1.4447, = 1.414535, X7 = 1.41421350, Xs = 1.41421356, Xg = 1.41421356, ...

Valet xo

X5

Vi ser att konvergensen är mycket snabb nära roten. Vi har

g(x) =

v'2)

½(x + ~)

och g' (x) =

½- :

2•

Tydligen är g' ( = 0, vilket förklarar den snabba konvergensen. Visserligen är lg'(x)I > 1 om lxl < men det går trots det att visa att talföljden alltid konvergerar mot roten oberoende av vilket startvärde xo > 0 vi valt. Svaret på uppgiften är = 1.4142136.

/273.

v'2

Vi ska nu se hur sekantmetoden fungerar på samma problem.

Exempel 4.46 Beräkna

v'2 med sekantmetoden (startvärden 1 och 2 och 5 itera-

tioner).

Lösning: Betrakta återigen ekvationen f(x)

= x2 -

2. Med xo

= 1 och x1 = 2 får

vi

2-1 4 X2 = 2 - 2 _ (-l) · 2 = 3 OSV. Det kan vara lämpligt att ställa upp räkningarna i ett räkneschema:

n

Xn

f (xn)

0

1

1

2

2

1.333 1.400 1.41467 1.4142117 1.4142136

-1 2 -0.223 -0.040 0.00129 -0.000005

3 4 5 6 Svaret blir

Xn - Xn-l · f (xn) f (xn) - f (xn-d -0.667 0.0669

0.01467 -0.000458 -0.00000188

v'2 = 1.4142136. 243

Kapitel 4.

Hur man kan anviinda derivata

De iterationsfonnler, som beskriver Newton-Raphsons metod och sekantmetoden, genererar en oändlig talföljd. I praktiken måste vi naturligtvis avbryta räknandet. Räknar vi med ett fixt antal siffrors nogrannhet kan vi oftast hålla på tills vi inte får någon förändring av närmevärdet till roten. Alternativt avbryter vi när beloppet av korrektionen krupit under en given toleransnivå. Om funktionskurvan är väldigt flack nära roten är det dock inte alldeles säkert att felet i verkligheten är under föreskriven toleransnivå. Se nedanstående figur.

!:f

Exempel 4.47 Antag, att vi som i exempel 4.41 genom intervallförkortningsteknik kommit fram till att ekvationen x 3 + x -1 = 0 har en rot i [0.65, 0. 70]. Bestäm roten med ett fel om högst 10- 5 genom a) sekantmetoden, b) Newton-Raphsons metod. Lösning: a) Räkningarna presenterade i form av ett räkneschema blir

n

Xn

0 0.65 1 0.70 2 0.6818 3 0.68232 4 0.682328

f (xn)

Xn - Xn-1

f (xn) - f (xn-1)

-0.0754 0.0430 -0.00126 -0.000019

. f (xn)

-0.0182 0.00052 0.000008

Vi uppskattar att beloppet av trunkeringsfelet är mindre än 0.000008. Avrundning till 5 decimaler ger ett fel om 0.000002 och vi får o: = 0.68233 ± 10- 5 . b) Även här bör vi använda räkneschema:

n Xn 0 0.70 1 0.6826 2 0.682329 3 0.682328 Vi får svaret: o:

f' (xn)

f (xn)

-f (xn) / f' (xn)

2.47 2.40 2.40

0.043 0.00065 0.00000287

-0.0174 -0.000271 -0.000001

= 0.682328 ± 10-6 .

Om vi studerar figurerna på sidan 241 kan vi misstänka att det är fördelaktigt att kurvan y = f(x) lutar brant där den skär x-axeln. Detta är liktydigt med att 1/'(x)I

244

4.10

N/Jgra speciella iterationsmetoder

inte bör vara alltför liten i närheten av roten. Vi ska för Newton-Raphsons metod visa att denna misstanke är riktig. Newton-Raphsons metod kan ses som ett specialfall av fixpunktsiterationsmetoden Xn+l

= g(xn)

med

g(x)

=x -

f (x) f' (x)"

Derivering ger

, (x) = 1 _ /' (x) · f' (x) - f" (x) · f (x) = g f'(x)·f'(x)

f" (x) • f(x) f'(x)2

Om nu f(o.) = 0 och f'(o.) =/:. 0, så blir g'(o.) = 0, vilket förklarar varför denna metod konvergerar snabbt nära roten. Vi ser dock samtidigt att om IJ'(x)I är liten nära roten kan vi riskera att få 19' (x) I ganska stor inte långt ifrån roten. Detta kan för talföljden x 1 , x2, ... innebära långsam konvergens (figuren sid. 244), konvergens mot fel rot (vänstra figuren nedan) eller i värsta fall ingen konvergens alls (högra figuren nedan). Det bör nämnas att sekantmetoden kan råka ut för precis samma svårigheter.

Exempel 4.48 Beräkna ffe med Newton-Raphsons metod och startvärde 1 a) för c = 15, b) för c = 0.000015. Lösning: Vi söker nollstället till f(x)

Xn+l

=!

3

(2xn

= x3 -

c. Newton-Raphsons metod innebär:

+ -;.) , n = 0, l, 2.... Xn

a) c = 15. Startvärdet x 0 = 1 insatt i iterationsformeln ger x1 = 5.67, x2 = 3.91, x 3 = 2.93, x 4 = 2.54, x 5 = 2.47, x 6 = 2.466, ... (Med tre decimaler är det korrekta värdet -Yi5 = 2.466). 245

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

b) c = 0.000015. Startvärdet x 0 = 1 insatt i iterationsfonneln ger x2 = 0.67, x2 = 0.45, X3 = 0.30, X4 = 0.20, X5 = 0.13, X6 = 0.087, X7 = 0.059, Xg = 0.041, x 9 = 0.031, x 10 = 0.0256. (Det korrekta värdet är 0.02466.) Konvergensen är långsammare i b) än i a) trots att startvärdet ligger nännare roten. Detta är inte förvånande eftersom f'(a) ~ 0.0018 i detta fall, mot J'(a) ~ 18 i a). Studerar vi g(x) = ½(2x+~) finner vi att g'(x) = i(l-~) är nära i under i_nång~ iterationer i b). Detta kan tolkas så att felet bara avtar med ungefär en tredjedel 1 varje iteration.

4.11 Avslutande synpunkter på ekvationslösning Det är naturligt att ställa frågan: När är sekantmetoden att föredra framför NewtonRaphsons metod? Om f(a) = 0 och f' (a) # 0 gäller följande då nännevärdena ligger nära roten: För Newton-Raphsons metod: lxn+l - al ~ c • lxn För sekantmetoden: lxn+l - al ~ c · lxn - al 1. 62 .

- al 2 -

Vi låter här c beteckna någon konstant. Vi säger att Newton-Raphsons metod har kvadratisk konvergens medan sekantmetoden har superlinjär korwergens. NewtonRaphsons metod har därför högre konvergenshastighet än sekantmetoden. Sekantmetoden har å andra sidan den fördelen att man i varje iterationssteg bara behöver beräkna ett nytt funktionsvärde, medan Newton-Raphsons metod kräver både ett funktions- och ett derivatavärde. Antag att vi söker ett nollställe till en funktion / för vilken derivatan är besvärlig att beräkna. Trots att sekantmetoden nonnalt kräver fler iterationssteg kan den i varje steg ge så mycket mindre räknande att det totala beräkningsarbetet blir mindre än för Newton-Raphsons metod. Resonemanget ovan illustrerar en vanlig situation då ett problem skall lösas numeriskt; för att klara problem av en viss typ kan det vara befogat att ha flera olika beräkningsmetoder. I diskussionen ovan tog vi bara hänsyn till beräkningsekonomin. För andra problemtyper kommer en rad andra aspekter med i bilden och det är då möjligt att det behövs ett helt batteri av metoder för ett enda problemområde. Att göra jämförelser mellan olika beräkningsmetoder hör till det allra viktigaste inom vetenskapen numerisk analys. Vid valet av algoritm gäller att säkerhet är viktigare än effektivitet. Exempelvis kan sekantmetoden göras säkrare på så sätt att man alltid arbetar med iterationsvärden som svarar mot olika tecken på funktionsvärdena. Metoden kallas regula falsi och kan ses som en raffinerad intervallförkortningsmetod.

Exempel 4.49 Beräkna 246

J2 med regula falsi (xo = 1,

x1

= 2, 3 iterationer).

4.11

Avslutande synpunkter på ekvations/ösning

Lösning: Vi arbetar till att börja med som i exempel 4.46. Efter två iterationer behåller vi inte x2 och x3 för att beräkna x4, eftersom f(x 2) och f(x 3) har samma tecken. Istället går vi vidare med x 1 och x 3 och beräknar

Figuren nedan illustrerar en situation där regula falsi är att föredra framför sekantmetoden. Priset för säkrare konvergens är minskad effektivitet nära roten; Regula falsi har bara linjär konvergens: lxn+1 - al ~ c · lxn - al.

En del iterativa metoder, exempelvis Newton-Raphsons metod eller sekantmetoden, har en underbar förmåga att - i viss utsträckning - vara självkorrigerande. Innebörden i detta är att vi kan göra några mindre tabbar under räkningarnas gång och ändå komma till rätt svar, normalt till priset av extra iterationer.

Exempel 4.50 Om vi vid beräkningen av v'15 enligt exempel 4.48 a) råkar få x 1 till 6.57 istället för 5.67 får det inga allvarliga följder. Vi har då x 0 = 1, x 1 = 6.57, X2 = 4.50, X3 = 3.25, X4 = 2.64, X5 = 2.477, X6 = 2.466, ... (rätt med 3 decimaler).

Denna självkorrigerande förmåga får konsekvenser för det praktiska räknandet. Vi kant.ex. utan större risk arbeta med ganska få decimaler i de första iterationerna. Vidare kan vi observera att om vi använder Newton-Raphsons metod och har kommit nära roten, så varierar derivatan ganska lite mellan iterationerna. Om vi i det läget struntar i att beräkna nya derivatavärden och använder det senast beräknade, har vi gått över till en variant av Newton-Raphsons metod som kallas metoden med fix riktning.

247

Kapitel 4.

Hur man kan anvllnda derivata

De förenklade räkningarna i varje steg bör då kompensera att fler iterationssteg kan behöva användas, eftersom konvergensen nu är linjär.

4.12 Övningar 4.12.1 Max.-min., medelvärdessatsen 4.1 Bestäm alla punkter där / kan misstänkas ha lokalt extremum samt ange skälen till misstanke då / är given genom a) f(x) = x 3 - 3x + 2, -2 $ x $ 2, b) f(x) = x · e":2- 2:i:, x3

c)

f(x)

e)/(x)

= x2 -

4'

= v?"+x+ Jx 2 -x,

g)

f(x) =

i)

f(x)

l~I -

cosx,

d) f(x)

= lx2 - 11 + lxl, -2 $

x $ 2,

1

0/(x)=---, sinx - cosx h) f(x) =

Jixi - v1f"=x2,

!

= 1 1+ lx + 31- ln lxl.

Anmärkning: Om ingen definitionsmängd anges förutsättes denna vara den största möjliga mängd där högerledet är meningsfullt.

4.2 Bestäm först grafiskt (genom att rita) och sedan analytiskt den eller de punkter (e,/(e)) på kurvan y = f(x) där tangenten är parallell med kordan genom ändpunkterna då / ges av a) f(x) = x2 , x E [-1,2], b) f(x) = x 3 , x E [-2,3], c)

f(x)

= cosx, x E [0,7r].

4.3 Ange de intervall där funktionen / är strängt växande respektive strängt avtagande. 248

4.12

a) f(x) = x 2 + 2x - 1, c) f(x) = xe-x, 1 e)f(x) =x+--.

b) f(x) =

Övningar

x, d) f(x) = cos2x, 0 :S x :S 271", x3 -

l+x

4.4 Visa genom att studera derivator att för någon konstant C gäller att . arcsm x

= arctan

+ C , -1

X

~

vl - x 2

< x < I.

Bestäm sedan C.

4.5 Visa med hjälp av medelvärdessatsen att om f är kontinuerlig till höger i x 0 och om limx-:z:o f'(x) = A så har f högerderivata i x 0 med värdet A. 4.6 Antag att f är en funktion som uppfyller f'(x) = 1/x, x > 0, och f(l) = 0. Visa att f(xy) = f(x) + f(y), x > 0, y > 0. Ledning: Sätt g(x) = f(xa) och h(x) = f(x) + f(a), a fix konstant. Visa att h'(x) = g'(x). Slutsats? 4.7 Antag att det finns en funktion

f

som uppfyller

{ f'(x) = f(x) f(O) = 1. a) Visa att f(x)

g(x)

för alla x

# 0 för alla x och f(-x) = 1/ f(x). Ledning:

Undersök funktionen

= f(x)f(-x).

b) Visa att f bestäms entydigt av villkoren (4.10). Ledning: Antag att h(x) också uppfyller(4.IO). Studerag(x) = f(x)/h(x). c) f(x + y) = f(x)f(y) för alla x, y. Ledning: Studera g(x) = f(x + a), a fix konstant.

4.8 Bestäm alla lokala extrempunkter, avgör deras karaktär och skissera kurvorna då a) f(x) = 3x - x 2, lxl :S 2, b) f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x + 2, lxl :S 3, c)

f(x)

e)

f(x)

g)

J(x)

i)

f(x)

= x · lnx, = x-:!:: ,x 2: 1, = lxl + sinx, x+l = x 2 + 1 - arctanx.

lnx

= -X , = x2. e0.5:z:2-3:z:+1,

d)

f(x)

t)

f(x)

h)

f(x)=e-:z: 212x-11,

4.12.2 Största och minsta värde 4.9 Bestäm största och minsta värdet av följande funktioner i intervallet I : 249

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

= x 3 - 6x 2 + 9x - 3, = 3sin2 x + 4cos3 x,

a)

f(x)

b)

f(x)

c)

f(x) = Jx + 2 + Jl - 2x, I= [-2, 1/2], J(x)=x 2 /2-lx 2 -xl, l=[-1,2], J(x) = (x + 4) fix, I= [-8, 1].

d) e)

I= [0, 2], I= [-11', 7r],

4.10 Undersök om följande funktioner har något största och minsta värde i intervallet I och bestäm i så fall dessa. (Observera att J inte är slutet och begränsat.) a)

f(x)=(x 4 +5x2 +8x+8)cx 1 1

1=[0,oo),

b)

f(x)=l+lxl+l+lx-21

l=(-00,00),

c)

f(x)=xx,

1=(0,1].

4.11 Man vill tillverka en cylindrisk konservburk (utan lock) med volymen V och minsta möjliga area. Bestäm burkens radie och höjd.

4.12 a) Lös problemet i exempel 4.9. Kastparabelns ekvation är gx2

2 y=xtana-2Vo2 (l+tan a).

Ledning: Sätt y

= -h i kastparabelns ekvation.

Detta ger kastvidden l som implicit

funktion av tan a. Bestäm -dl d genom implicit derivering.)

tana

b) Bestäm w så att amplituden blir maximal i svängningsrörelsen i exempel 4.10. 4.13 För vilket naturligt tal n antar an = n 4 Ledning: Studera J(x) = x 4 - 6x 3 .

4.14 Vilket av talen y'n, n Ledning: Studera f(x)

-

6n3 sitt minsta värde?

= 2, 3, ... är störst? = x 1 fx, x > 0.

4.15 En person befinner sig i en roddbåt i en sjö 2 km från stranden som kan anses rätlinjig. Han vill så snabbt som möjligt förflytta sig till en punkt P på stranden genom att först ro till stranden och sedan gå den eventuellt resterande sträckan till P. Avståndet mellan S och Pär 6 km. Mot vilken punkt ska han ro, om han ror med 6 km/h och går 10 km/h?

250

4.12

Övningar

s

p

4.16 Sätt för x > 0, f(x) = 5x 2 + Ax- 5 där A är en positiv konstant. Bestäm det minsta värde på A för vilket f(x) 2'.: 7 för alla x > 0. 4.17 Av 4 lika brädor vill man göra en ränna med lodräta sidobrädor. Vilken vinkel ska bottenbrädorna bilda med varandra för att rännan ska rymma så mycket som möjligt.

4.18 Bestäm den mest ekonomiska hastigheten och den minsta kostnaden för en 300 km lång transport med lastbil under följande förutsättningar. Chaufförens timpenning är 21.50 euro och olja och drivmedel kostar 1.50 euro per liter. Vid hastigheten x km/timme förbrukar lastbilen 2 + x 2 /300 liter olja och drivmedel per timme. Vidare antas att 30 :'.S x :'.S 90. 4.19 En telefonkabel skall förbinda två huvudstäder A i I-land och B i U-land. Det multinationella bolaget KOMMEKON som fått uppdraget vill minimera kostnaderna. På grund av olika arbetslöner, skatter m m, räknar bolaget med en kostnad på k1 kronor per meter i I-land och k2 kronor per meter i U-land. Ifrågavarande gräns mellan I-land och U-land är rätlinjig.

Visa att för den billigaste kabelsträckningen gäller beteckningar enligt figur. (Jfr exempel 4. I 5.)

k1

sin

01

= k2 sin 02 med

251

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

4.20 Visa att a) ex cosx ~ 1förO:5x:51r/3, 2(1 - x) b) In (1 + x 2 ) + 2 ) - ½> 0 för alla x, l+x x3 .. c) x - 3 < arctanx < x for x > 0. 4.21 Visa att a) 1 +

2 < ~1 + x < 1 + =- för x > 0. =.3 - ~x 3 9

b) Utnyttja olikheterna i a) för att bestämma ett så bra närmevärde som möjligt på v'i]9 och uppskatta felet i detta närmevärde. c) Samma som i b) men för ~ 4.22 Bestäm det största värdet på a för vilket ex tolkning.

~

ax för alla x. Ge en geometrisk

4.23 a) Visa att In x :5 x - 1 för x

> 0.

n

b) Låt a1, a2, ... , an vara positiva tal och A

= ¼L

ak. Visa med hjälp av resultatet

k=l

i a) att n

n

'°' 1n A :5 '°' A - n = o. ak

L., k=l

L., ak k=l

c) Visa att resultatet i b) är ekvivalent med olikheten A ~ y1a 1a2 ... an (olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde).

4.12.3 Kurvor 4.24 Rita kurvan a) y = x 2/ (1 + x 2) , c)

y

= (1 -

x 2) /

(1 + x 2 )

b)

y = 2x/ (1 + x 2) ,

•

4.25 Rita funktionskurvan y = x 2/(x 2 + 2x + 3). Ange eventuella lokala maxima och minima, intervall där funktionen är växande respektive avtagande och eventuella asymptoter. 4.26 Bestäm största möjliga definitionsmängd och rita funktionskurvan i stora drag då f(x) = 3xl/2 - x3/2_

252

4.12

Övningar

4.27 Bestäm eventuella asymptoter, stationära punkter och intervall där funktionen växer respektive avtar då y = x 3 / ( x + I )2 . 4.28 Bestäm definitionsmängden till funktionen f (x) = J x 2 - 1. Undersök om kurvan y = f(x) har några asymptoter samt rita kurvan i stora drag. 4.29 Rita funktionskurvan y

= sinx + ½sin3x.

4.30 Undersök funktionen f(x) = 2cosx min-punkter. Rita kurvan i stora drag. 4.31 Rita kurvan y

= x + sinx.

4.32 Rita funktionskurvan y

+ cos2x med avseende på lokala max- och

Är linjen y

= x asymptot till kurvan?

= x 413 + 4x 113 och ange speciellt de intervall där funktio-

nen är konvex respektive konkav och samtliga inflexionspunkter.

4.33 Rita kurvan y

= lxlx.

4.34 Rita kurvan y

=x

l/x.

4.35 Funktionen f definieras genom f(x) = 2x e-x 2 +x, -oo < x < oo. Bestäm de intervall där f är växande och de intervall där f är avtagande. Har f något största respektive minsta värde? Ange dessa i så fall. Rita kurvan y = f(x). 4.36 Skissera grafen till funktionen f(x) = ex 3 - 4x2 +4x, -2 ::; x ::; 5/2. Ange de intervall där f är växande respektive avtagande. Ange funktionens största och minsta värde. 4.37 Sätt f(x) = xxlnx, x > 0. Bestäm funktionens eventuella lokala extremvärden. Rita motsvarande kurva i dess huvuddrag och ange funktionens värdemängd. 4.38 Bestäm samtliga inflexionspunkter till kurvan y

= x / (x 2 + 1).

4.39 Visa att maximipunkten, minimipunkten och inflexionspunkten på kurvan y px + q, p > 0, q godtycklig, ligger i rät linje.

= x3 -

4.40 Polynomet p är av tredje graden och kurvan y = p(x) har en inflexionspunkt i (-1, 8) och en minimipunkt i (0, 6). Bestäm p(x). 4.41 Avgör om funktionen f kan approximeras med ett linjärt uttryck för stora x så att felet går mot noll om a)

f(x)

2 /9 + x, = Jx---= 5x + lnx,

b)

f(x)

= ln (e 2x + x), = J4x 2 + 1 + lnx.

c) f(x) d) f(x) Ange i förekommande fall det linjära uttrycket.

253

Kapitel 4.

Hur man kan använda derivata

4.12.4 Ekvationer och nollställen 4.42 Hur många reella rötter kan det finnas till f(x) a) grad 4, b) grad 5? 4.43 Hur många rötter har x 3

-

12x + a

= 0 om f

är ett polynom av

= 0 för olika värden på a ?

4.44 Beräkna 2x4 - 3x3 + 4x 2 - 5x +6 för x beskrivits i slutet av avsnitt 4.7.

=

3, 4 och 5 med den teknik som

4.45 a) Visa att funktionen f(x) = x 3 - x - 0.1 har precis ett nollställe i vart och ett av intervallen [-1,-0.5], [-0.5,0] och [1,2]. b) Stäng in varje nollställe i ett intervall av längd högst 0.1. 4.46 Bestäm antalet rötter till a) x3 + 2x - 2 = 0, b)

lOOlnx - x

= 0,

(x > 0).

4.47 Använd intervallförkortning för att stänga in det positiva nollstället till a) f(x) = sin x -0.5x2 i ett intervall av längd 0.001, b) f(x) = x -lOoe-x i ett intervall av längd 0.01. 4.48 a) Hur många rötter har ekvationen x = c · 1n x för olika värden på c ? b) Stäng in samtliga rötter till ekvationen x = 4 ln x i intervall av längd 0.01. 4.49 Undersök om det går att lösa ekvationen i exempel 4.44 genom fixpunktsiteration med följande omskrivningar: a) x = (1 + x - x 3 )/2, b) x = x 3 + 2x - 1.

Vi vet enligt exemplet att roten finns i [0.65, 0. 70]. Pröva att göra några iterationssteg med startvärdet 0. 7. 4.50 Vi vet att 1.4 $ J2 $ 1.5. För att få ett noggrannare värde på J2 vill vi pröva en iterationsmetod som bygger på någon av följande omskrivningar av ekvationen

x 2 -2=0: a) x = l + x - x 2 /2,

b)

x = x2

+x -

2,

x=2/x, d) x=(x+~)/2. Avgör först med hjälp av Sats 4.13 vilka varianter som kan fungera respektive inte fungera och vilken som verkar bäst. Pröva sedan att göra 3 iterationssteg med vardera formeln och startvärdet 1.5. c)

4.51 Vi tänker använda iterationsfonneln Xn+l = g(xn ) för att bestämma den rot till x = g(x) som ligger närmast origo. Avgör (med grafisk metod) om vi kommer att lyckas med något av startvärdena a, b och c enligt

254

a) vänstra figuren, b) högra figuren.

4.52 Man använder iterationsformeln Xn+1 = g(xn) med y = g(x) enligt figuren nedan och startvärdet x 0 . Bestäm x 3 grafiskt.

·i

4.53 En långdistanslöpare har genom flitigt tävlande kommit fram till att hans genomsnittshastighet efter t timmars löpning under normala förhållanden brukar vara 15 ( 1 -

!o)

km/h (1 :::; t :::; 4) .

Bestäm vilken sluttid han skall räkna med om han ställer upp i a) ett 30-kilometerslopp, b) ett maratonlopp (42195 m). 4.54 För att beräkna ..je har följande formel använts på datorer:

Xn+l

= 0.5 (xn + Xcn)

(n

= 0, 1,2 ... )

med t.ex. xo

= l. 255

Kapitel 4.

Hur man kan anviinda derivata

a) Visa att detta är Newton-Raphsons metod på ekvationen x 2 b) Använd formeln för beräkning av /3 (4 iterationer). c) Använd sekantmetoden för att beräkna /3 (4 iterationer).

-

c = 0.

4.55 Illustrera geometriskt de första iterationerna då v'[5 beräknas a) med Newton-Raphsons metod och xo = 0.25, b) med sekantmetoden, xo = 0, x1 = l. 4.56 Både i datorernas barndom och på senare tid har det funnits datorer med inbyggd aritmetik för multiplikation (av flyttal) men däremot inte för division. Visa hur 1/c kan beräknas iterativt utan divisioner och pröva formeln för c = 3 med startvärde 0.5. 4.57 a) Härled en iterationsformel för att beräkna 1//3. Ledning: TIiiämpa NewtonRaphsons metod på cx2 - 1 = 0. b) Använd formeln i a) för att beräkna 1//3 med 5 korrekta decimaler. 4.58 Ekvationen x 3 -3x -1 = 0 har en rot i (-0.4, -0.2] och en rot i (1.8, 1.9]. Bestäm med en noggrannhet (felgräns) om 10- 4 a) den negativa roten med Newton-Raphsons metod, b) den positiva roten med sekantmetoden. 4.59 Vi söker det nollställe till /(x) = x 3 -3x 2 + 1 som ligger närmast origo. a) Visa att det måste finnas minst två nollställen i intervallet (-1, l]. b) Genomför en iteration med Newton-Raphsons metod och startvärde 0.01, en med Newton-Raphsons metod och startvärde -0.01 samt en med sekantmetoden och startvärden 0.01 och -0.01. Förklara noggrant med hjälp av en figur, varför de tre iterationsformlema ger så dåliga värden i början. c) Genom att beräkna funktionsvärdet för x = 0.6 och x = -0.6 kan man se vilket tecken den sökta roten har. Beräkna därefter den sökta roten med 5 korrekta decimaler. 4.60 En kubisk behållare skall tillverkas så att den rymmer precis 10 liter då den är fylld till 5 cm från behållarens övre kant. Beräkna med tre korrekta decimaler vilken kantlängd behållaren skall ha. 4.61 Bestäm minimipunkten till /(x) = ex - x 3 /3 - x 2 - 2x - 1 (x ~ 0) med ett fel om högst 10- 3 a) med Newton-Raphsons metod, b) med sekantmetoden. 4.62 Bestäm samtliga extrempunkter till /(x) malers noggrannhet. 4.63 Bestäm minsta roten till e-x 256

= x 4 /4 +x2 /2 -

x/10 + 17 med 3 deci-

= sin x med 3 decimalers noggrannhet.

4. I 2

Övningar

4.64 Burkdimensionering med beteckningar som i exempel 4.32. Beräkna den optimala radien med 3 siffrors noggrannhet då V = 500, a = b = c = 0.5. Utnyttja "den idealiserade burken" för att få ett bra startvärde. 4.65 Beräkna med 3 decimalers noggrannhet det minsta a-värde för vilket a.jx ~ sin x för alla x > 0. 4.66 Bestäm det största o-värde för vilket x 11° ~ 1n x, x > 0. För större värden på o är olikheten inte uppfylld i ett visst intervall av x. Bestäm med 2 decimalers noggrannhet det o-värde, för vilket intervallets längd är 100.

f

4.67 Ett klot med densiteten p och radien r har massan 1rr3 p. Det flyter i vatten (densitet = 1). Om klotet når ned till djupet h under vattenytan är volymen av det undanträngda vattnet 1r(3rh2 - h 3 )/3. Sätt h = c • r och bestäm c med två korrekta decimaler i fallet p = 0.4. 4.68 En oljetank som har formen av en horisontellt liggande cylinder med radien r skall fyllas till en fjärdedel med olja. Beräkna vilken oljenivå h detta motsvarar.

257

5 Approximation med polynom. Taylors formel

5.1 Inledning Polynom är ur många synpunkter lämpliga att använda vid beräkningar. Man kan lätt beräkna funktionsvärdet i en godtyckligt vald punkt enbart med hjälp av de elementära räknesätten. Med hjälp av en enkel miniräknare med ett minne kan man, utan att behöva notera mellanresultat eller mata in koefficienter och x-värde mer än en gång, beräkna funktionsvärdet. Enligt en mycket berömd sats (Weierstrass approximationssats) kan varje kontinuerlig funktion i ett slutet begränsat intervall approximeras godtyckligt bra med polynom. Man vill därför ofta approximera en given funktion (t.ex. J(x) = sinx) med polynom för att lättare kunna beräkna funktionsvärden. Såväl miniräknare som stora datorer använder sådana approximationer istället för att lagra stora tabeller för att beräkna värden av de elementära funktionerna. Vanligt är att funktionens värden beräknas mycket noga i ett litet intervall med en approximerande funktion, vanligen ett polynom eller en rationell funktion. Sedan använder man funktionens egenskaper för att klara av beräkningarna för variabelvärden utanför intervallet. TIii exempel kan man få alla värden till sinusfunktionen genom att (via trigonometriska formler) beräkna funktions värden i intervallet [O, 1r /2]. Approximationen kan göras enligt flera olika principer. Vi kommer i detta kapitel mest att studera approximation med så kallade Taylorpolynom och interpolationspolynom. Vid Taylorapproximation använder man funktionens och dess derivators värden i en enda punkt medan man vid interpolation använder funktionens värden i flera olika punkter. I kapitlets sista avsnitt skall vi beröra ytterligare en metod som använder så kallade splinefunktioner. En central fråga vid approximation av funktionen f i ett intervall I är hur stort felet blir. Man vill alltså undersöka funktionen Rn+ 1 , som då x ligger i intervallet J definieras av

258

5.2

Taylorpolynom

för olika gradtal n hos det approximerande polynomet Pn.

5.2 Taylorpolynom Om man vill approximera en funktion f i en omgivning I av punkten x 0 är det ju enklast att notera att f(x) ::::: f(x 0 ) om f är kontinuerlig i x 0 . Som approximerande polynom av grad Obör vi välja polynomet Po där

Po(x)

= f(xo).

Man gör då ett fel, som kan uppskattas med medelvärdessatsen (om il),

!::,.f

= f(x)

- f(xo)

= (x -

f

är deriverbar

xo)f'(e) där e E [xo, x].

Alltså gäller att

f(x) = f(xo)

+ (x - xo)f'(e)

= Po(x)

+ R1(x).

R1 (x) kallar vi restterm av ordning I.

Pi får vara förstagradspolynomet Pi(x) = f(xo)

+ (x - xo) · J'(xo).

Om derivatan f' är kontinuerlig och x ligger nära x är f'(e) ::::: f'(x) och alltså även f(x) ::::: Pi (x). Eftersom (x - x 0 ) f' (x 0 ) är differentialen df av f i punkten xo innebär detta att f approximeras med sin tangent.

__ c:r~•PiOC>

flf '1Y•f!(x) X

X

Vi ser i figuren att P1 bättre ansluter till f än Po och att approximationen är bäst nära x 0 • Vi gör dock fortfarande ett fel R 2 vid approximationen. Vi låter x = xo + h och sätter

R2

f(xo + h) - f(xo) - hf'(xo) = hf'(e) - hf'(xo) = h(f'(e) - J'(xo)) 259

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

där eär som ovan. Om vi antar att J" existerar och tillämpar medelvärdessatsen på /' får vi

R2 = h · (e - xo) · J"{e 1), där e 1 E [xo, e] C [xo, Xo + h]. Nu måste gälla att

le -

xol < h varför 1n21 < h2 I!" Xo

f(n+ll(xo)

= (n + l)'.

eftersom vi har antagit att f(n+l) är kontinuerlig i xo. Vi kan sammanfatta ovanstående resonemang i en sats.

Sats 5.2 Låt f vara n + 1 gånger kontinuerligt deriverbar i ett slutet intervall I kring xo. Då gäller att

där Pn är Taylorpolynomet till f av ordning n kring xo och

Rn+1(x) = (x - xot+l B(x) där B(x) är en begränsad funktion i I.

Exempel S.S Låt f(x) = e"' och xo = 0. Maclaurinutveckla f. Lösning: f kan deriveras oändligt många gånger och alla derivator är kontinuerliga. Alltså blir resttermen enligt Sats 5.2

Rn+1(x)

= xn+l B(x)

där B(x) är en begränsad funktion i en omgivning av 0. Vi får alltså den allmänna utvecklingen med hjälp av exempel 5.4

x

e"'

= 1+ 1!

x2 x3 xn + 2! + 3! + ... + n! +xn+lB(x)

där B(x) är begränsad i en omgivning av 0.

Anmärkning: Det finns flera andra sätt att skriva resttermen i Taylors formel. Den intresserade hänvisas till utförligare läroböcker i matematisk analys. 264

5.5

Standardutvecklingar

5.5 Standardutvecklingar Vissa funktioners Maclaurinutvecklingar används ofta vid approximationer. Flera av dem har en så enkel form att man lätt kommer ihåg dem. Några exempel är

l

cosx

1-

+ x)

+ x)

0

+

x2

2! +

1- x X -

x -

3

+

2!

3

x - 3!

arctanx

(1

X

sinx

1 l+x ln(l

2 X

+x+

X

X

3!

5

X

+ ... + x n+l B(x), 7

+ ... + x

5! - 7!

x4

x6

2n+l

(5.2) (5.3)

B(x),

+ ... + x2n B(x),

4! - 6!

(5.4)

+ x 2 - x 3 + ... + xn+l B(x),

x2

x3

x4

3

5

7

(5.5)

2 + 3 - 4 + ... +xn+lB(x),

(5.6)

X X X 2n+l B(x), 3 + 5 - 7 + ... + x

1 +ax+

a(a - 1)

2!

x2 +

a(a - l)(a - 2)

3!

(5.7)

x3 +

... + xn+l B(x). (5.8)

Vi använder här B(x) som beteckning för en funktion som är begränsad för x nära 0. B(x) står för olika funktioner i de olika formlerna. Resttermen i formlerna (5.2) till (5.8) är alltså alltid av formen xk B(x) där gradtalet kär minst en enhet högre än den sista termen i Maclaurinpolynomet. I sådana utvecklingar som saknar varannan potens av x är k två enheter större än gradtalet hos sista ternien i polynomet. Därför är utvecklingen av ex till ordning 5

ex

=l+

x 1!

x2

+ 2! +

x3 3!

+

x4 4!

+

x5 5!

+ x6 B(x). 265

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

medan utvecklingen av sin x till ordning 3 är

x3 sinx = x - 3! + x 5 B(x). Observera att Maclaurinpolynomet till sin x av ordning 4 är x - x 3/3!, dvs. detsamma som för ordning 3. Detta beror på att fjärdederivatan av sin x i punkten 0 är 0 . Ovanstående utvecklingar finns i de flesta matematiska standardtabellverk, t.ex. BETA eller Tefyma. Av dessa formler har vi redan visat (5.2) i exempel 5.5. Bevis av (5.3). Låt f(x) = sin x. Då är/'(x) = cosx, f"(x) = -sinx, f"'(x) = - cos x och j< 4 >(x) = f(x) = sinx. Följden av derivator blir

/(0) = j< 4 >(o) = j< 8 l(0) = ... = sin0 = 0 f'(0) = j< 5 l(0) = j< 9 l(0) = ... = cos0 = 1 f"(0) = j< 6l(0) = ... = - sin0 = 0 f"'(O) = /< 7l(0) = ... = -cos0 = -1 Taylors formel ger alltså, eftersom f( 2kl(0) = 0 för k = 1, 2, ... ,

. 1 0 2 -1 3 0 4 1 5 0 6 -1 7 smx=0+ l!x+ 2,x +3!x + 4 ,x + 5 ,x + 6 ,x +7!x + ... ...

+

(-ll x2k+1 +x2k+3B(x) (2k+l)! .

Här är

B(x) =

cos~

± (2k + 3 )!

.. där valet av tecken beror av k.

Talet~ ligger mellan 0 och x. Vi kan skriva detta som formel (5.3). Vi har även visat att resten har en potens av x som är två enheter större än sista termen i polynomet. På liknande sätt visas formel (5.4) och (5.8). Även formlerna (5.5) och (5.6) kan visas på detta sätt. Att Taylorutvecklingen är den enda av sitt slag visas av följande sats som vi ger utan bevis. För beviset hänvisas till större läroböcker i analys, t.ex. Hellström-MoranderTengstrand. Sats 5.3 (Entydighetssatsen för Taylorutvecklingar) Antag att f har n + 1 kontinuerliga derivator i en omgivning av xo, Antag vidare att det.finns tal ao, a 1, a2, ... , an och en funktion B(x), begränsad i en omgivning av xo, så att

f(x) = ao + a1(x - xo) + a2(x - xo) 2 + .... • • • + an(x - xot + (x - xo)n+l B(x). 266

5.5

Standardutvecklingar

Då är detta Taylorutvecklingen av f kring x 0 , dvs.

_ . _ f'(xo). _ f"(xo). . _ J(nl(xo) ao - /(xo),a1 1 ,a2 - - 2-1. - , ••. ,an n.1 Med hjälp av Sats 5.3 kan man härleda formlerna (5.5), (5.6) och (5.7). Med standardutvecklingama kan man lätt konstruera Maclaurinutvecklingar av enkla sammansatta funktioner.

Exempel 5.6 Låt f(x) och ange restterm.

= ln(l + 2x). Maclaurinutveckla till polynom av ordning 3

Lösning: Enligt (5.6) är ln(l + t) = t - ~ en omgivning av 0. Med t = 2x får man ln(l

+ 2x)

4x 2 2x - -

2

+ ~ + t 4 B(t), där B(t) är begränsad i

8x 3

+ - 3 + l6x 4 • B(2x) =

8 2x - 2x 2 + 3x 3

+ x 4 • C(x) där C(x) = l6B(2x).

Eftersom 2x - 0 då x - 0 och B(t) är begränsad då tär nära O måste C(x) vara begränsad då x är nära 0. Sats 5.3 visar att vi har konstruerat Maclaurinutvecklingen till / av ordning 3.

Exempel 5.7 Vi söker Maclaurinutvecklingen med rest av ordning 4 till f(x) = x ln(l + x).

Lösning: Enligt (5.6) gäller att ln(l

+ x) = x -

x 2/2

+ x 3 B(x),

där B(x) är

begränsad i en omgivning av 0. Då gäller alltså att

Eftersom B(x) är begränsad i en omgivning av O och f kan deriveras åtminstone fem gånger måste enligt Sats 5.3 detta vara den sökta Maclaurinutvecklingen.

Exempel 5.8 Låt f(x) kring

X=

= xln(l + x).

Taylorutveckla till polynom av ordning 2

2. 267

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

Lösning: Sätt x = 2 + t, dvs. x - 2 = t. Vi får

xln(l +x)

=

(2+t)ln(3+t) = (2+t) (1n3+ln (1 +i))=

½-½(½)' +t'A(t))-

(2+t) ( ln3+ 2t t 3-9

2

2ln3 +

+ 2t3 A(t) + tln3 +

~ + In 3) t + 2:

2 ln 3 + (

2

t 32

t3

4 18 + t A(t) =

+ t 3 B (t)

där B(t) = 2A(t) - 1/18 + tA(t). Då t--+ 0 är A(t) begränsad varför även B(t) är det. Vi får alltså, om vi återgår till x, 2

xln(l + x) = 2ln3 + ( 3 + ln3)(x - 2) +

2

9(x -

2) 2 + (x - 2) 3 B(x - 2)

där B är begränsad då x --+ 2. Sats 5.3 visar att detta är den sökta Taylorutvecklingen. (Man kan naturligtvis också få fram den genom deriveringar. Gör detta som övning.)

Exempel 5.9 Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 4 till f(x) = sin(x + x 2 ).

Lösning: Enligt (5.3) finns en begränsad funktion B(t) i en omgivning av t

=

0

sådan att

t3 sint=t- 3! +t 5 B(t). Vi sätter nu t

= x + x 2 och ser att om x ligger nära noll så gör också t det. Vi får

sin(x + x 2 )

(x

5

-

x + x2

-

6(x 3 + 3x4 + 3x5 + x6 ) + x 5 (1 + x) 5 B(x + x2 )

x + x2

-

~

6

x3

x

+ (x + x 2 ) B(x + x 2 ) =

1

3

=

+ x2) 3

(x + x 2 )

4

-

=

1

~ + x5 · (- 2 - i+ (1 + x) 5 B(x + x2 )) = x4

+ x 2 - 6 - 2 + x 5 C(x).

-½ - I

där C(x) = + (1 + x) 5 B(x + x 2 ). Funktionen C(x) är begränsad då x tillhör en omgivning av O eftersom B(x + x 2 ) är det. Funktionen f har hur många kontinuerliga derivator som helst. Sats 5.3 visar då att Maclaurinpolynomet av ordning 4 är

268

5.6

Tillämpningar av Taylors fonnel

5.6 Tillämpningar av Taylors formel 5.6.1 Gränsvärdesberäkningar Ett vanligt problem är att beräkna gränsvärden av typen

lim f(x) g(x)

x-+a

där både f och g går mot 0 då x närmar sig a. Ett sådant gränsvärde sägs vara av typen 0/0. Med hjälp av Taylors formel kan man ofta lösa sådana problem. Man skaffar sig, oftast med metoden i exempel 5.9, approximerande polynom till f och gav formen

g(x)

=

N(x - ar+ (x - a)m+l H(x) = (x - ar(N + (x - a)H(x)),

f(x)

=

T(x - at

+ (x -

= (x -

at+ 1 K(x)

at(T + (x - a)K(x)).

där H(x) och K(x) är begränsade nära a och N och Tär tal skilda från 0. I kvoten f (x) / g( x) kan man sedan förkorta med potenser av ( x - a) och få ett enklare problem. Vi illustrerar metoden med några exempel.

.

cosx-l

Exempel 5.10 Beräkna hmx-+O

X

2

Lösning: Det gäller att cosx = 1 - x 2 /2 + x 4 B(x) där B(x) är begränsad i en omgivning av 0. Täljaren kan alltså skrivas cosx -1 = -x2 /2 +x4 B(x) och alltså gäller

dvs.

lim cosx -1 x-+O

= _!, 2

x2

ty att B(x) är begränsad medför att x 2 • B(x) - 0, då x - 0.

Exempel 5.11 Visa att

lim xex

+ 2~n(l + x) -

x-+O

Slll X -

3x

= _7 _

X

Lösning: Täljare och nämnare går mot 0 då x - 0. För nämnaren gäller att

sinx - x

3

x + x s A(x) =x - 6

x

1 3 + x sA( x ) , = -6x 269

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

där A(x) är begränsad då x -+ 0. Vi utvecklar täljaren på liknande sätt och ser till att få korrekt term av grad 3 och restterm av högre ordning: xex

+ 2 ln(l + x) -

=x

(

l

3x =

x2

)

x2

x3

+ x + 2 + x 3 • B(x) + 2(x - 2 + 3 + x

4

· C(x)) - 3x

=

= 67 x 3 + x 4 • (B(x) + 2C(x)) där B(x) och C(x) är begränsade då x-+ 0. Alltså gäller xex+21n(l+x)-3x = i+x(B(x)+2C(x))-+ i =-? sinx - x -} + x 2 A(x) -} då x-+ 0. Exempel 5.12 Existerar gränsvärdet lim

ex-l-x

x-+O

X

3

?

Lösning: Vi har (1+x

+ ~ + x 3 A (x))

- 1- x _

x3

=

-

~ +x3 A(x) _ ½+xA(x) x3

X

Täljaren går mot½ då x-+ 0, eftersom A (x) är begränsad för x nära 0. Nämnaren går mot 0. Följaktligen existerar inte gränsvärdet ex-l-x lim---x3

x-+O

Liknande metoder kan också användas för gränsvärden då x-+ oo.

+ 2 - 4x 2 ). x-2

Exempel 5.13 Beräkna limx-+ 1 blir "resttennen" den till beloppet största tennen i Maclaurinutvecklingen.

Ovanstående figur visar/ (x) = arctanx och tre av dess Maclaurinpolynom. T1 har grad 7 etc. Observera att då Jxl > 1 blir anslutningen mellan funktion och polynom snarast sämre för högre gradtal. En vanlig användning av Taylors formel är att skapa approximationer till komplicerade formler.

Exempel 5.17 Figuren nedan visar en tung vikt med massa m upphängd i en vajer av längd l som hålls ut av en kraft F. Hur stor måste F vara för att hålla vikten sträckan x från sitt jämviktsläge? Exempel 5.18 Lösning: Enligt elementär mekanik gäller F = S sin 0 och mg =

S cos 0. Alltså är -

F - tan 0 -

mg -

-

X ---;:::;=::::;;: -

Jz2 _ x2 -

X ( -

l

x2

1- -

z2

)-½ 273

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

Vi förutsätter att l > x. Vi kan använda binomialutvecklingen (5.8) sid. 265 med a= och får då följande approximationer:

-½

F

X

~

T=Pi(x),

~

2 -X - ( 1 + -1 · -x ) = l 2 l2

~

4 2 -x - ( 1 + -x + -3x ) = P3 (x) etc. l 2l 2 8l 4

mg

F mg

F mg

Vanligen är x mycket mindre än l och då duger

P2

P2

(x),

eller t.o.m. P1 ganska bra.

Vi avslutar med ett exempel på hur Taylors formel kan användas för att eliminera svårigheter vid numeriska beräkningar.

Exempel 5.19 Sinus hyperbolicus definieras som

sinhx =

e"' - e-x 2

(9)

Om vi räknar med 7 siffrors noggrannhet och har x = 10-s, så kommer både e"' och e-x att representeras av talet I. Det rätta värdet på sinh (10- 8 ) är nära 10- 8 , men formeln (5.9) ger oss värdet 0. Genom att Maclaurinutveckla e"' och e-x får VI

sinhx = x +

x3

6

x5

+ 120 + ....

Vi kan alltså istället använda x +x 3 /6 för att representera sinh x då lxl ::; 0.01. Det ger ett relativt fel som till beloppet är mindre än 10- 10 . Den signifikansförlust som uppstår när två nästan lika stora tal subtraheras har beskrivits i kapitel 3 och kallas för kancellation. När beräkningsalgoritmer utformas är det av högsta vikt att se till att inte allvarlig kancellation kan uppträda. 274

5.8

Interpolation

5.8 Interpolation Många numeriska ~toder grundar sig på interpolationspolynom, dvs. polynom som interpolerar en funktion i ett antal stödpunkter. Linjär interpolation innebär att en rät linje genom de båda givna punkterna får ersätta funktionskurvan. Det förefaller rimligt att om vi utnyttjar fler än två punkter så bör vi kunna få ett mindre fel. Genom t.ex. tre punkter kan vi lägga en andragradskurva som bättre ansluter sig till funktionskurvan.

X

--+..,__ _,_____.....,_~ X

Redan den gamle greken Euklides slog fast att det bara finns en linje som går genom två givna punkter. Limericken om Euklides

Euklides frln Alexandria han lovar It alla en tia som lyckas att fl tvi linjer att gl precis genom punkterna I A Text: Bengt Klefsjö Hlkan Ekblom Bild: Andrejs Dunkels

Hur är det då vid interpolation genom fler än två punkter? Antag att vi har n + 1 st stödpunkter givna och att vi kräver överensstämmelse mellan polynomet Pn (x) och funktion f (x) i alla stödpunkter. Följande sats gäller.

Sats 5.4 Antag att vi har n + 1 st punkter xo, x 1 , ... ett polynom Pn av grad högst n som uppfyller

, Xn

givna. Det finns då exakt (10)

Vi kallar i fortsättningen detta polynom för "interpolationspolynomet av ordning ,, n.

275

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

Exempel 5.20 Ange interpolationspolynomet av ordning 2 genom a)

f (0) = 0, f (1) = 1, / (2) = 4,

b) / (0)

c)/(0)

= 1, = 1,

/ (1)

/(1)

= 2, = 1,

/ (2)

/(2)

= 3, = 1.

Lösning: Det är inte svårt att se att = x 2, b) P2 (x) = x + 1, c) P2 (x)

a) P2 (x)

= 1 duger.

Det verkar kanske intuitivt rimligt i t.ex. fallet c) att det skulle kunna finnas något annat interpolationspolynom P (x) = ax 2 + bx + c, där a eller b eller båda är skilda från noll. Sats 5.4 säger oss dock att i och med att vi hittat ett polynom av grad :'.S 2, lönar det sig inte att leta efter fler av den sorten. Det finns inga! Om man vill visa att finns "en enda" av någonting är det - i matematiska sammanhang - ofta lämpligt att visa dels att det finns minst en ("existens") och dels högst en ("entydighet"). Vi startar med det senare (i ett specialfall) och anger sedan en metod att konstruera polynomet.

Bevis för entydigheten i Sats 5.4 då n = 2 : Vi använder indirekt bevis. Antag att det finns två polynom, P och Q, båda av grad högst 2, som interpolerar / i stödpunktema. Det gäller alltså att P (xi) = Q (xi) = f (xi) för i = 0, 1, 2. Bildar vi R = P - Q så är detta polynom av grad högst 2 med 3 nollställen, nämligen i xo, x 1 , x2. Nu kan ett normalt polynom av grad 2 ha högst 2 nollställen. Enda möjligheten är att R är nollpolynomet, dvs. identiskt lika med 0. Men då är P = Q, och vi har visat att det inte kan finnas två olika polynom av grad högst 2 som uppfyller (5.10) dån = 2. Polynomet Pn kan skrivas på olika former. Framställningen Pn (x) = bo + b1 x + ... + bnxn visar srg ofta opraktisk. Enklare räkningar får man om man använder följande form på interpolationspolynomet.

Definition 5.1 Newtons form på interpolationspolynomet:

Pn (x) = ao + a1 (x - xo) + a2 (x - xo) (x - x1) + +a3 (x - xo) (x - x1) (x - x2)+ ...... +an (x - xo) (x - x1) ... (x - Xn-d. Vi kan successivt bestämma de okända koefficienterna a0 , a 1 , ... , an genom att utnyttja interpolationsegenskapema Pn (xi) = f (xi) för i = 0, 1, ... , n;

f (xo) (x1) (x2)

f f

= ao, = ao + a1 (x1 -

xo),

= ao + a1 (x2 - xo) + a2 (x2 - xo) (x2 -

x1), osv.

Exempel 5.21 Vi har/ (1) = 1, / (2) = 3, / (3) = 4. Tar vi n = 2, x 0 = 1, x1 = 2och x2 = 3och sätter P2 (x) = ao+a 1 (x -1) +a2 (x -1) (x - 2) får 276

5.8

Interpolation

beräkningen av koefficienterna följande utseende

X= 1: x = 2: x = 3:

1 =ao, = ao + a1 (2 - 1}, vilket ger a 1 = 2, = ao + a1 (3 - 1} + a2 (3- 1)(3 - 2), vilket ger a2

3 4

= -0.5.

Interpolationspolynomet av ordning 2 blir alltså P2

(x)

= 1 + 2 (x -

1) - 0.5 (x - 1} (x - 2).

Pic11l =

/t-2(1-1) -os(,-t)(x-1,I

::,. - l

+ 3.S" X -

Om vi nu vill ha ett polynom som även går genom punkten / (4) beräkning som ovan, men med tillägget

x = 4: 5 = ao + a1 (4 - 1} + a2 (4 - 1} (4 - 2)

= 1/6. Vi får alltså = 1 + 2 (x - 1} - 0.5 (x -

+ a3 (4 -

=

o..r x2·

= 5 får vi samma

1} (4 - 2} (4 - 3),

vilket ger a3 P 3 (x)

1} (x - 2)

+ 1/6 (x -

1} (x - 2) (x - 3).

{cic >= Pz (x) + tcx-1)(,-J.)(r-3) = = -3+f,c

Om vi istället haft / (4) = 4 så hade vi fått a3 punkter skall ju vara högst 3.

--f,cz. ... t,~.3

= 0 och P3 = P2. Gradtalet vid 4 277

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

Vi ser från exempel 5.21 att det är mycket lätt att lägga till en stödpunkt till de tidigare givna; det ger bara upphov till en ny term i polynomet. Den direkta användningen av interpolationspolynomet är naturligtvis att polynomet för något värde x skall approximera funktionen, dvs. vi sätter/ (x) ~ Pn (x). Om vi inte från början lagt fast något värde på n, bör vi som xo ta stödpunkten närmast x, som x 1 den näst närmaste osv. Vi har inte någonstans gjort något förutsättning om en viss ordning på stödpunktema. Har vi bestämt oss för hur många stödpunkter vi skall använda, spelar det ingen roll hur vi döper dem.

Exempel 5.22 / (0) = 1 och / (1) = 3. Vi sätter först xo = 0, x1 = 1 och P1 (x) = ao + a1x. Vi får lätt Pi (x) = 1 + 2x. Tar vi istället xo = l och x 1 = 0 blir Q1 (x) =bo+ b1 (x - 1). Vi får

3 = f (l) = Q1 (1) = bo, alltså bo = 3, 1 = / (0) = Q1 (0) = bo - b1, alltså b1 = 2, dvs. Q1 ( x) = 3 + 2 ( x - l) = 1 + 2x och Pi = Q1. För linjär interpolation, dvs. n = l, är det lätt att ta fram ett explicit uttryck för interpolationspolynomet:

x-xo

f (xo) + -..........:.... (! (x1)

- f (xo)). Xo Här ska x ligga mellan x 0 och x 1. Observera att linjär interpolation ger god möjlighet till rimlighetskontroll; det framräknade värdet skall ligga mellan de båda givna funktionsvärdena. P1 (x) =

X1 -

Hur stort blir trunkeringsfelet då/ (x) ersätts av P 1 (x)? Med hjälp av Rolles sats kan man visa att P1 (x) - f (x)

=-

(x - xo) (x - xi)

½f" (~),

(11)

för något~ mellan xo och x 1. Eftersom vi inte känner~ (som ju beror av x) är det praktiskt att gå över till absolutbelopp och maximera andraderivatans belopp. IP1 (x) -

f

(x)I::; lx - xol lx - x1I ·½max lf"I,

(12)

I högerledet till (5.12) skall maximum av f" tas över det intervall som begränsas av xo och x1. Det går att arbeta vidare med uttrycket lx - xol · lx - x 11 i (5.12) och plocka fram en enklare felgräns för trunkeringsfelet. Vi sätter h = x 1 - x 0 och s = (x - x 0 ) / h, där O::; s::; 1. Vi kan då skriva x = xo + s · h och x = x 1 + (s - 1) • h, vilket ger lx - xo I lx - x1 I = h 2 · s (1 - s)

(0 ::; s ::; 1) .

Vi skall nu göra oss oberoende av det aktuella värdet på s och skaffa oss en fonnel som är bekväm att arbeta med. Vi utnyttjar att s (1 - s) kan skrivas 1/4-(s - 1/2)2 och alltså har sitt maximum= 1/4 förs= 1/2.

278

5.8

Interpolation

S(t-s)

Tydligen gäller att h2

lx - xol · lx - x1I::;

4.

Använder vi denna olikhet i (5.12) får vi följande uppskattning för trunkeringsfelet IP1 (x) -

h2

f (x)I ::; 8 · max lf"I -

(13)

Maximum av /" skall som tidigare tas över det intervall som begränsas av x 0 och X1.

Det finns stora likheter mellan interpolationspolynom och Taylorpolynom. Vi antar att vi har tre ekvidistanta stödpunkter xo ( = x 1 - h) , x 1, och x2 ( = x 1 + h) och räknar fram explicita uttryck för koefficienterna ao, a 1 och a 2 i P2 (x) = ao+ +a1 (x - xo) + a2 (x - xo) (x - x1). Det ger f (xo)

= ao,

f (xi) f (x2)

= ao + a1h, = ao + a12h + a22h 2 ,

P2 (x)

=f

(xo)

+

dvs. a1 = (! (x1) - f (xo)) /h. dvs. a2 = (! (x2) - 2/ (xi) + f (xo)) /2h2.

f (x1) - f (xo) h

+f

(x2)

· (x - xo)

+

~:1) + f

-2/

(xo). ~ (x _ xo) (x -xi).

Låter vi xo, x 1 och x2 smälta samman genom att h -+ 0, övergår P2 (x) i Taylorpolynomet av ordning 2 kring xo. Storheterna a 1 och 2a2 används också som approximationer till första- respektive andraderivatan (se vidare kapitel 8).

= 2 visas ha följande utseende: (~) (x - xo) (x - xi) (x = -!"'~

Trunkeringsfelet kan för n P2 (x) - f (x)

x2), ~ E /.

Intervallet/ innehåller xo, x 1 , x2 och x. Även här kommer vi över till Taylorpolynomets restterm om vi låter x0 och x2 sammanfalla med x1.

Har vi möjlighet, väljer vi stödpunktema xo, x 1 , ... , Xn så att det värde x, för vilket vi tänker använda interpolationsformeln, ligger inne bland stödpunktema. Ibland 279

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

tvingas vi dock ha alla stödpunktema på en och samma sida om x. Vi kallas detta extrapolation. L. X

1-.!

X

11

110 X

X

interpolation

extrapolation

En mycket vanlig situation, där extrapolation måste tillgripas, är när vi i någon numerisk metod arbetar med olika (positiva) steglängder h. Det värde vi söker svarar mot h = 0, men dessvärre ökar räknearbetet drastiskt då vi låter h avta. Vi vill därför kombinera värden svarande mot några positiva h för att göra en kvalificerad gissning av vad värdet är för h = 0. Vi behöver då också en ide om hur felet beror av h.

Exempel 5.23 Låt oss anta att vi vill bestämma arean av en ellips. Ett ungefärligt värde på arean få vi genom att lägga ett rutnät över figuren och räkna alla rutor som helt och hållet faller innanför konturen och addera hälften av dem som skärs av konturen. Sätt rutans sida = h. Med h = 0.5 cm har vi fått arean 39 cm2 och med h = I cm arean 42 cm 2 • Hur kan man förbättra värdet? : -•- - , .. : : I

,~

-~

;I'::_ _I_ -

'

~ I

I

.

I

-

- r --I

'

-,-

- -

'

~

I

I

I'

I

I

i"""

'

I

I

...

~ iti,., - - - - -

--· - - - - - -

-

-

-- - - -

- --

,-· -~

V

I

'

-

-

~""""""'--

'

I

\;

, -_,_

)

5""

--

V ../ ~

Lösning: Eftersom en halvering av sidlängden ger 4 gånger så många rutor är det nog rimligt att anta att felet blir ungefär fjärdedelen så stort. Låt A ( h) beteckna arean vid sidlängd h. Vårt antagande innebär då (A (0) är det exakta värdet) att A (h) ~ A (0) + Ch2 (C konstant). Vi har tydligen ett speciellt andragradspolynom där förstagradsterm saknas. Stoppar vi nu in värdena för h = 0.5 och h = I så kan vi eliminera C och får

A (0) ~ A (0.5)

+ A (0. 5)3- A (l) = 38 cm2 .

(Ellipsens area är 2.4 • 5 • 1r ~ 37. 7 cm2 .) Tekniken i exempel 5.23 kallas Richardsonextrapolation. Vi återkommer till den i kapitel 8. 280

5.9

Andra möjligheter vid polynomapproximation

5.9 Andra möjligheter vid polynomapproximation Taylorpolynom och interplationspolynom är inte de enda sätten att göra polynomapproximation. Vi skall studera detta i ett enkelt exempel.

Exempel S.24 Vi vill ersätta e"' i intervallet [0, 1] med ett förstagradspolynom P (x) a + bx. Att det är två storheter, a och b, som skall bestämmas är liktydigt med att vi kan lägga på två villkor på interpolationslinjen. Taylorutveckling innebär att vi koncentrerar villkoren till en punkt, medan en annan möjlighet är att kräva interpolation i två stödpunkter. För att överhuvudtaget kunna diskutera vilket alternativ som är bäst måste vi bestämma oss för hur vi skall mäta det fel som uppstår. I många sammanhang är det naturligt att sträva efter att få beloppet av det maximala felet så litet som möjligt. För Maclaurinpolynomet, P (x) = 1 + x, är det lätt att se att beloppet av felet, le"' - P (x)I blir störst för x = 1. (figur a) nedan). Om P (x) är ett interpolationspolynom får vi göra undersökning av största och minsta värdet av funktionen e"' - P (x), men inte heller det blir särskilt svårt i detta fall. Vi ger nu en tabell över några möjliga sätt att välja P (x) och skall så diskutera den sista varianten lite närmare. Studera även nedanstående figurer.

Bakgrund a) Maclaurinutveckling b) Taylorutveckling i x = 0.5 c) Interpolation i Ooch 1 d) Interpolation i 0.85 och 0.15 e) Minimering av maximala felet

P(x) l+x

0.82 + 1.65x 1 + 1.72x 0.91 + 1.69x 0.90 + 1.72x

max le"' - P(x)I 0.72 0.24 0.20 0.12 0.10

I e) har vi tagit fasta på det maximumkriterium vi valt och räknat fram det förstagradspolynom P (x) som gör max le"' - P (x)I så litet som möjligt i [0, 1]. Det är för den funktion e"' vi valt inte svårt att se att detta maximala fel uppstår dels i ändpunkterna och dels i en inre punkt. Vi får på så sätt tillräckligt många villkor för att bestämma såväl a, b som maximalfelet. I detta enkla fall går det alltså relativt lätt att beräkna det optimala polynomet. För högre gradtal på P (x) är detta bästa polynom dock lite jobbigare att bestämma än ett interpolationspolynom. Det finns teori för hur man bör välja stödpunkterna vid interpolation för att få ett polynom som är nästan lika bra som det bästa. Polynomet d) är tillämpning av den teorin. Vid interpolation bör man vanligtvis undvika alltför högt gradtal på polynomet. Detta är speciellt viktigt vid ekvidistant interpolation, dvs. då steget mellan stödpunkterna är fixt. Det kan t.o.m. inträffa att vi får allt sämre värden, ju fler stödpunkter vi har. Exempel 5.25 nedan är klassiskt.

281

=

Kapitel 5.

Approximation med polynom. Taylors formel

hJ

3

y=(j)f

2

y=~l2+t.Ch

0.5 3

0.5

t

C)

dJ

3

2

l.

Bevis: I exempel 6.78 visas att integralen är divergent om a = l. Om af. 1 gäller

Om a > l gäller alltså att F (T) -+ 0 ~ 1 då T -+ oo, vilket innebär konvergens. Däremot medföra < l att F (T) -+ oo, dvs. divergens. Klart.

Vi har nu tillåtit generaliserade integraler av en begränsad funktion/ över ett obegränsat intervall. Ett annat sätt att utvidga integralbegreppet är att tillåta / att vara obegränsad (men integrera över begränsat intervall).

Exempel 6.81

1:

1n xdx är ingen Riemannintegral, ty integranden ln x är obe-

gränsad i integrationsintervallet. Dock gäller för varje positivt 8 att

1 1

16 1

lnxdx

1 · 1n xdx

= (partiell integration) = [x 1n x]! - f

16

1

x • ..!:.dx

=

X

[xlnx - x]! = -1- olno + 8-+ -1-0 + 0 = -1,då 8-+ 0+ (standardgränsvärde). Vi säger då att

1 1

0

lnxdx = lim

6- 0 +

f

16

1

lndx = -1.

Allmänt leds vi till följande definition som illustreras i figuren nedan. 336

6.16

Generaliserade integraler

a Definition 6.7 Antag att [a, b] är ett begränsat intervall. Låt/ vara en kontinuerlig men ej begränsad funktion i det öppna intervallet (a, b). Om lim f (x) dx 6-+0+ a+

J.b 6

existerar säger vi att den generaliserade integralen b

J:+6

t f (x) dx är konvergent och a

att J0 f (x) dx = limr,-+o+ f (x) dx. Om gränsvärdet ej existerar säges den generaliserade integralen vara divergent. Anmärkning: Integralen sägs vara generaliserad i a.

Exempel 6.82

8-o+.

1 1

-dx är divergent, ty

1 1

1 -dx

r, X

O X

[lnx]!

-ln8 -

oo, då

1

dx - är konvergent om och endast om a < 1. O xa 1

Exempel 6.83 Visa att

Lösning: Om a -:j; 1 gäller

1 -1 oma < 1, -a då8-0+. oooma > 1,

Integralen är således konvergent om a < 1 och divergent om a > 1. Enligt föregående exempel är integralen vidare divergent om a = 1 vilket tillsammans ger det önskade resultatet. Ibland är en integral generaliserad på flera sätt. Man delar då upp den i flera delintegraler och kräver att varje del för sig skall konvergera.

1 Jx +1 00

Exempel 6.84 /

I =

1 v1x 1

0

e-x -dx

=

-X

0

00

1

dx är generaliserad i Ooch i oo. Vi gör uppdelningen

e-x r::dx = / 1

+ /2.

För att I skall vara konvergent krävs

yX

337

Kapitel 6.

Integration i en dimension

både /i och /2 är konvergenta.

1 1

e-x -dx = [

= t2 dx = 2tdt x

] =

!

1

2e- t2 dt --. 2

1 1

2

e -t dt.

,/x ,fi o Detta visar att /i är konvergent, ty efter variabelsubstitution fick vi en vanlig Riernannintegral som gränsvärde. Samma substitution ger för /2 :

I VX

-x ~dx =2

T

1~

e-t 2 dt --. 2

1

1°"

e-t 2 dt.

1

1

Den sista integralen är generaliserad och skall senare i exempel 6.87 visas vara konvergent. Ofta kan man förenkla beräkningen av en generaliserad integral genom att dra bort en "singulär del av integranden" som i följande exempel.

Exempel 6.85

1:

~dx. Denna integral är generaliserad i 0. Då x är nära Ogäller

att integranden är ungefär

ex

7x. Vi gör då en omskrivning:

ex-1

1

ex-1

1

,/x = ,/x + ,/x = ,/x + g (x) där g (x) = ,/x för x > 0. För små värden på x gäller att ex gäller att g

(x)

= 1 + x + x 2 A (x) där A (x) är begränsad.

= Jx + xvxA (x)--. 0,

Alltså

då x--. 0 +.

g (x) är alltså kontinuerlig och begränsad i det öppna intervallet (0, 4) och blir kontinuerlig även i 0 om vi låter g (0) = 0. Vi får

14

~dx

=

14

)xdx +

14

exix 1 dx

= 2v'4 +

14

g

(x) dx.

Den sista integralen kan beräknas med godtycklig noggrannhet med hjälp av någon lämplig numerisk metod (se kapitel 8).

Anmärkning: Genom substitutionen från föregående exempel kan vi visa att integralens värde är 2 et 2 dt.

Jg

Ibland kan man inte finna någon enkel primitiv funktion då man skall beräkna en generaliserad integral eller avgöra om den är konvergent. Man kan dock ändå med hjälp av nästa sats avgöra konvergensfrågor, åtminstone för vissa funktioner.

Sats 6.16 ( Jämförelsekriterium för generaliserade integraler av positiva funktioner) Antag att f (x) och g (x) är två positiva integrerbara funktioner och att 0 :S f (x) '.S g (x) för alla x ~ a. Då gäller

J~

338

f (x) dx

'.SJ~

g

(x) dx.

6. 16

Detta innebär att a) Om b) Om

J~ J~

J~ J~

g (x) dx är konvergent så är

f (x) dx är divergent så är

Generaliserade integraler

f (x) dx konvergent.

g (x) dx divergent.

Bevis: Vi bevisar endast a). Med liknande metod visas b).

Låt F (T)

=

1:

f (x) dx. Eftersom/ är positiv måste F vara växande och

=

F(T)

1T

f (x)dx::;

1T

g(x)dx::;

1

00

g(x)dx

< oo

för alla T > a. Enligt den sats om begränsade monotona funktioner som nämns på sid. 116, i kapitel 2 i anslutning till Sats 2.6, måste då limr-oo F (T) existera, dvs. vår generaliserade integral konvergerar. Vi ser också att

J~

f (x) dx ::; /~ g (x) dx.

Anmärkning: I fall b) är bägge leden i olikheten i satsen oändliga.

!

dx 1 är konvergent ty 1 x + nx 1 1 0::; f (x) = 2 ::; = g (x) för x x +lnx 2x 00

Exempel 6.86

2

~

I

och 00 /

g(x)dx =

/

1

00

1

21 dx = 1. X

Sats 6.16a) ger slutsatsen. Vi ser också att

f

Exempel 6Jf1

J~

00

1 x2

dx

+ ln x

< / 00 dx = 1. - 11

x2

e-x 2 dx är konvergent ty 2

2

0 ::; / (x) = 1 · e-x ::; 2xe-x = g (x) 339

Kapitel 6.

Integration i en dimension

och T g I 1

(x) dx

= IT1 2xe-x 2dx = [-e-x2] T1 = e- 1 -

e- T2

--+

e- l , då T--+ oo,

dvs. / ~ g ( x) dx är konvergent. Sats 6.16 kan också användas för att beräkna generaliserade integraler.

Exempel 6.88 /~ e-x 2 dx är enligt föregående exempel konvergent. Uppenbarligen är

I

=

f~

e-x 2 dx

=

1:

e-x 2 dx

+

f~

e-x 2 dx

också konvergent. Vi vill beräkna I med ett fel högst 5 • 10- 1 . Dela upp integralen i två delar:

X Här väljes b så stort att / 2 blir försumbart, t.ex. så att II2I gäller 0


1 - - . Ledning: Studera 1 - - - . 1 + xn n+ 1 + xn 0 1

6.22 Visa att

/

6.19.7 Rationella funktioner och partialbråk 6.23 Bestäm

b)

a) j(x - 2)7dx,

d) g)

J J X +x+ x-1 --dx, x+l 2

2

1

6dx,

J

l

(x - 1)

~

3 dx,

J~ o/ X+ ~x+

c)

dx,

e) /

x 2 + x+l

h) /

2x + 2 dx x 2 +2x+7'

)

1

c (x2 - 1)2'

·)J X+x+7x+ I

(x + 1)2 (x 2 + 2x + 2)2'

348

d)

1

x2 + 2.

xdx,

2

6.24 Gör en korrekt partialbråksansats för 1 1 a)-----, b)-----,,------

(x + 1) (x + 2)

1

2

2

5 dx, 7

dX.

6.19

Övningar

6.25 Partialbråksuppdela följande funktioner:

1 a) (x + 1) (x - 1)' ~

x2

X

b) (x + 2)(x + 3)'

1

c) (x

+ 1) (x -

t) (x

+ 1) (x 2 + 4)"

1

X

(x + 1) (x + 2) (x + 3)'

+ l)(x + 2) (x + 3)'

e) (x

2)'

6.26 Partialbråksuppdela följande funktioner: x4 x 3 -1 a) x 2 + 1' b) x (x 2 + 1)' x

+1

+ 4)'

c) (x - l)(x 2

d

1

) x (x

+ 1) 2 ·

6.27 Beräkna

a)/ ! 1 + I + X

2

-

2

d)

o (x

X 2

1) (x - 3)

x+2

- 2--dx,

/

dx,

e) /

1 2

I

X

2

x 2 +1 5x+ 6dx, -

x3

0 X 3

h)

c)

+x

1 X

1

1~ (x - 1) dx,

(x 2

g)

2

b)

x+ 2 dx,

2

+ 3x+ 2dx,

dx dx. vx+ 1 r,;

6.19.8 Trigonometrisk substitution 6.28 Beräkna

a) d)

1:

b) / sin2 2xdx,

c)

sin3 xdx,

e) / cos5 3xdx,

f)

(sin 2 3x + cos2 3x) dx,

h) /

cos2 1rxdx

J

g) /

J

(cosx - sinx)2 dx,

!1r/4 0

tan2 xdx,

l dx. 1 - cosx

6.29 Beräkna

1r/2

a)

/

0

cos3 x sin4 xdx,

1-dx, d)fcosx g)

I

sin2xd x,

-3COS

X

b) / sin5xcosxdx,

e) h)

!1r/4 0

tan3 xdx,

c) 1:1r cos 3x cos 4xdx, f)

! 1r 2

cosx

1r

l+sin x

2

dx,

1 / ----dx. sinx + cosx

349

Kapitel 6.

Integration i en dimension

6.19.9 Hjälpmedel 6.30 Beräkna med hjälp av formelsamlingen

a)/ I + )3 I Jx2+3dx, 1

J2x 2 +3

d

)

(1

dx,

c) /

b)JJ4-6x-x2 dx,

l d 3x2 x,

e) /

cos4 5xdx,

h) /

(4 - x 2 ) 512 dx.

x2

g)

I

t)

e- 2x (cos3x) 3 dx, x2

J4 - 3x2dx,

6.31 Beräkna de primitiva funktionerna i övning 6.30 med hjälp av Maple eller något annat symbolhanterande datorprogram. 6.32 Visa att

J

J

cosn xdx = cosn-l xsinx + (n - 1) cosn- 2 xsin 2 xdx. b) Visa att resultatet i a) kan skrivas på formen

a)

/ cosn xdx

n-11

=;;:1 cosn-l xsinx + -n-

c) Visa att

/ sinn xdx

n:

= -~ sinn-l xcosx +

cosn- 2 xdx.

1 / sinn- 2 xdx.

6.33 Bestäm följande primitiva funktioner (använd vid behov reduktionsformlerna ovan samt formelsamlingen) a) cos6 xdx, b) sin6 xdx, c) sin4 x cos 2 xdx,

J

d)

J

Jcos5 xsin4 xdx,

J

2

e) /

x 4 J4 - x 2 dx,

t)

/

0

3 (~

dx.

6.19.10 Medelvärdessatsen, huvudsatsen 6.34 Beräkna derivatan till a)

S (x) =

1:

sin2 tdt, b) S (x)

6.35 Beräkna derivatan av S(x)

1:

ecostdt, c) S (x) =

1:

t 4 dt.

= J/'x t 4 dt. Ledning: Skriv S (x) som

S (x) 350

=

=

1 1

x

r..rx t dt

t 4 dt + } 1

4

6.19

Övningar

och tillämpa kedjeregeln på den andra integralen. Kontrollera resultatet genom att "integrera fram" S (x) och därefter derivera. 6.36 Sa-·tt f (x) -- { xx2', 01 ~~ xx ~~ 12 . Bestäm en primitiv funktion till f. 6.37 Definiera funktionen H genom

H (x) H (x)

= =

0, -1 ~ x ~ 0, 1, 0 < x ~ 2.

a) Visa att det finns en funktion F så att F'(x) = H(x) för x -I 0. b) Visa att det inte finns någon funktion F (x) så att F' (x) = H (x) för -1 2. (Kravet på kontinuitet i Sats 6.13 är alltså väsentligt).

= It ½dt.

6.38 Visa formeln ln ~ ning: Derivera.

=-

6.39 Visa formeln ln x"

= aln x genom att använda definitionen ln x = It ½dt.

6.40 Sätt~ (x)

=

.!. /"' et X

2

ln x genom att använda definitionen ln x

~

x ~

Led-

dt, x > 0. Visa att funktionen~ är strängt växande.

0

6.41 Bestäm alla lokala max.- och rnin.-punkter till funktionen {"' sin t f(x)=Jo l+t 2 dt,x~0.

6.42 Visa olikheten /~ 1 et 2 dt 6.43 Visa olikheten

"' /

O

2

et dt

> ;~ , x3

x

> 3 + x,

~ 1. x

> 0.

351

Kapitel 6.

Integration i en dimension

6.19.11 Generaliserade integraler Avgör om de generaliserade integralerna i övningarna 6.44 - 6.46 är konvergenta och försök beräkna deras värde. 6.44

1 I~ 1

dx

00

a) d)

l

g)

b)

X

x 2 e-xdx,

e)

dx -ln2

00

2

1 I~ 1

dx

00

3'

X

h)

2

loo 1 I~

lnx dx'

l

X

dx

00

x 3 e-x2 dx,

O

dx

00

X

c)

o 1 + x2'

i)

-ln' X X

O (x

+ l)(x + 2)'

cosxe-xdx.

6.45

I ov'f-=-i l 1 ,Vx' I I J1 I 1 1 71, 1 l oo + I~ ~ 8

a)

6.46 a)

b)

o l

d)

ldx

dx

0X l

X

00

e-xdx, b)

-oo

1

ox·

dx

d)

-oo

b) 0 $ / (x) $

1

X

dx

0999"

00

0

x 2dx _ 1·

f (x) dx då man vet att / (x) för x

uppfyller villkoret 1 a) 1 ~ / (x) ~ ;, d) 0 $ / (x) $ -

0

00

e-x 2 dx,c)

-oo

6.47 Vad kan sägas om

----==,

l

---dx, o -x2

e)

~dx, o vl - x-

dx

l

c)

2'

1

e) - ~ /

2,

X

(x) ~

1

1 är kontinuerlig och

1 c) -1 $ / (x) $ x2 ,

#' 1

0

r,:;, XyX

1

4 r,:; ~ / x{,x

(x) ~

1

r,:;· XyX

Huvudalternativ: Konvergens, divergens, ingen slutsats. Om konvergens, försök ge en uppskattning av värdet.

6.48 Beräkna 00 arctan x a) 0 l+x2 dx,b)

1 loo 1

1

00

1

dx x 2 +3x+2'c)

6.49 Visa att a)

o ex

00

c)

l

352

dx

+ sin2 x

< 1, b) -

loo

1

00

0

dx Jl+ex'd)

xdx < 1, 1 x 3 + ln x -

1 x- 8 sin2 xdx $ - - förs S -1

> 1.

1

00

dx o y'x(l+x)"

6.19

Övningar

6.50 Vilka av följande generaliserade integraler är konvergenta? a)

dx loo --===dx, ln x 11/2o -../xdx-ln ,x d) 11 -x +-dxsin-x. b) c) l oo --===, Jl + x ✓'l+x3 4

1

1

O

6.51 Hur stort måste man välja M för att "svansen" i uppdelningen

foo _l_dx -

lo

1 + x9 skall blir mindre än 10- 5 ?

{M __.!!:::_ +

lo

-

1 + x9

r'° __.!!:::_

1M

1 + x9

6.52 Kurvan y = 1/x, x ~ 1, roteras kring x-axeln. Då uppkommer en oändlig "tratt". Beräkna dess volym. 6.53 Den så kallade Laplacetransformen av en funktion formeln

F(s)

=

1

00

f, definierad för x

~

0, ges av

e-sxf (x)dx.

a) Visa att om f (x) = sinx så existerar transformen förs> 0. Beräkna F (s). b) Samma uppgift för f (x) = cos x. c) Samma uppgift för f (x) = xe 3 x. Laplacetransformer används ofta i tekniska sammanhang, t.ex. inom reglertekniken.

6.19.12 Blandade övningar 6.54 Beräkna

a) 13+5~ dx, X3 c)

--dx, 1 l+x ~

6.55 Beräkna sinx dx, a) 1 2 1 COS X+

c) 1 (ln lxl) 2 dx,

b) 1

x2 2 dx, (1 + x 3 )

d) 1

dx . xvx+T

b) 1 e2x cos3xdx, d)

1

x-1 x (x2 + 1/x.

6.56 Beräkna

a) 1

x 3 dx, (x 2 - 1)

c) 1 sin3 xcos4 xdx,

b)

11r/2

d) 1

0

!sin 2xl dx,

e2x dx. 4 l+ex 353

Kapitel 6.

Integration i en dimension

6.57 Beräkna a)

c)

!

dx

1/4

o

j

-;====;.:, 4x 2

v'l 3

Ja2x -

dx, x2

b) d)

6.58 Beräkna 27'

a)

/

0

sin x cos 3xdx,

c) /~ 2 lx2 - x -

354

21 dx,

J

a

x+l 2

+

b2

X

2

dx,aochb/O,

J~1r sin xcos xdx. 3

b)J d)

2

dx 1 + tanx'

1:

Jx (x

+ 2)dx.

7 Tillämpningar av integraler och derivator

7.1 Inledning Det grundproblem som ledde till införandet av begreppet integral var vår önskan att bestämma arean av området mellan en funktionskurva y = f (x) och x-axeln. Den väsentliga iden bakom lösningen av detta problem var uppdelningen av området i många "små" rektanglar. Denna uppdelning medförde att problemet att beräkna arean av hela området i princip återfördes på problemet att beräkna arean av en sådan rektangel samt på problemet att summera rektangelareor.

Den streckade rektangeln i figuren har höjden f({k) och bredden Åxk och dess area är / ({k)Åxk. Arean av hela området approximerade vi med en summa av sådana rektangelareor, dvs. med n

/({ 1)Åx1

+ /({ 2)Åx2 + ... + f({n)Åxn = L f({k)Åxk. k=l

Om f är tillräckligt snäll, t.ex. om f är kontinuerlig, så konvergerar denna summa (definitionsmässigt) mot integralen f (x) dx då indelningen görs allt finare (dvs.

J:

355

Kapitel 7.

7illilmpningar av integraler ochderivator

då rektangelbreddema l::i.xk - 0 och antalet rektanglar går mot oändligheten). Vi har alltså

där den sista likheten också är en definition. Vi ska i detta kapitel visa att den princip vi använde vid areaberäkningen kan tillämpas i många andra, och ur tillämpningssynpunkt viktigare, sammanhang. Den centrala sats som vi kommer att stödja oss på är Sats 6.1 sid. 297. Denna sats säger ju att om f är kontinuerlig i intervallet [a, b] så gäller att summor av typen E;=l f(f;k)l::i.xk, Xk-l :5 (;k :5 Xk, k = I, 2, ... , n (s.k. Riemannsummor) konvergerar mot ett och samma tal oberoende av valet av punkterna (;k, nämligen f (x) dx, då indelningen görs allt finare.

J;

Då vi i fortsättningen studerar begrepp som volym, båglängd, arbete, tyngdpunkt mm. så är det denna sats som leder till resultat. I samtliga dessa fall approximerar vi den sökta storheten med en summa som visar sig vara en Riemannsumma för en viss integral. Som definition på den sökta storheten väljer vi då denna integral. I detta kapitel kommer vi dessutom att studera ytterligare en del tillämpningar av derivator, som exempelvis krökning. Anledningen till att vi tar upp tillämpningar av derivator i detta sammanhang är att vi kommer att använda oss av den koppling mellan derivator och integraler som ges av formeln d

dx

r

la

f(u)du

= f(x)

som gäller om / är kontinuerlig i punkten x (Sats 6.12 sid. 331 ).

7.2 Beräkning av volymer Betrakta en kropp sådan att arean av varje plant snitt vinkelrät mot en viss linje är en känd funktion av snittets läge. Välj linjen till x-axel och låt A (x) vara arean av ett plant snitt vinkelrät mot axeln genom punkten x. Vi antar att funktionen A (x) är kontinuerlig. Vi ska beräkna volymen V av den del av kroppen som ligger mellan planen x = a och x = b. Gör en indelning a = x 0 < x 1 < x2 < ... < Xk-l < Xk < ... < Xn-1 < Xn = b av intervallet [a, b]. Skär kroppen med plan vinkelräta mot axeln genom delningspunkterna. I figuren nedan är skärningen mellan kroppen och planen genom Xk-1 och xk inritade. Låt l::i.Vk vara volymen av den del av kroppen som ligger mellan planen genom Xk-1 och Xk. Om Am och AM är minsta respektive största värdet av tvärsnittsarean A(x) mellan Xk-l och xk så ser vi att (under vissa förutsättningar, t.ex. som i figuren) Aml::i.Xk :5 l::i.Vk :5 AMl::i.Xk

356

7.2

Beräkning av volymer

eller (enligt satsen om mellanliggande värden) 6Vk

= A(xk)Äxk

därxk ären lämpligt vald punkt i intervallet [xk-l, xk]-

För den totala volymen V får vi då n

V=

I: A(xk)Åxk. k=l

Problemet är nu att vi inte känner punkterna xk. Väljer vi istället förxk en godtycklig punkt ~k mellan Xk-1 och Xk så får vi emellertid en approximation av den sökta volymen V ~ E;=l A(~k)Åxk = In.

J:

Men In är en Riemannsumma för integralen I = A (x) dx så In konvergerar mot I då indelningen görs allt finare. Men om indelningen görs allt finare så bör approximationen V ~ I bli allt bättre. Vi definierar därför kroppens volym V genom V=

1b

A(x)dx.

(I)

Anmärkning: Formeln (7. I) brukar ibland kallas för skivformeln. Anledningen till detta är att man grovt uttryckt kan säga att den ger den sökta volymen som volymen av "oändligt" många "oändligt" tunna skivor, med basarean A (x) och höjden dx. Vid användning av formeln (7.1) för beräkning av volymen av en given kropp måste funktionen A ( x) bestämmas först. Detta är i allmänhet ingen lätt uppgift. I ett viktigt specialfall, nämligen då kroppen är en rotationskropp, är det dock lätt au bestämma A (x). Antag att rotationskroppen uppkommit genom att det område, som begränsas av kurvan y = f (x), där funktionen f är kontinuerlig och ickenegativ i intervallet [a, b], x-axeln samt linjerna x = a och x = b, roterar ett varv kring x-axeln (se nedanstående figur).

357

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

Y

A~)=ntio

/

', I

,.=roo

,~

--~----t ............. .

~ I I

X X

Snittytan i detta fall är en cirkelyta med radie/ (x) och alltså är A (x) Rotationskroppens volym är följaktligen

V= 1r

1b

= 1r (f (x))2.

(f(x)) 2 dx.

Exempel 7.1 Ett klot delas av ett plan i två kroppar som kallas klotsegment. Beräkna volymen av ett klotsegment med höjd h. Klotets radie är R.

ll-h

Lösning: Klotsegmentet kan tänkas uppkomma genom att området som begränsas av kurvan y = ✓ R 2 - x 2 , x-axeln samt linjerna x = R - h och x = R roterar ett varv kring x-axeln. I detta fall är

A(x)

= 7r ( JR2 -x2)2 = 1r(R2 -

x2).

Volymen är

V= fb A(x)dx Ja 358

= {R JR-h

1r (R2 - x 2) dx

= 1r

[R2x - x 3] R. 3 R-h

= 1rh2 (R -

!::.) 3

7.2

För h

Beräkning av volymer

= 2R får vi hela klotets volym 4,r R3 /3.

Exempel 7.2 Beräkna volymen av en pyramid vars basyta har arean B och vars höjd är h.

Lösning: Vi väljer origo som pyramidens spets, och låter dess höjd ligga efter den positiva x-axeln. Likformighet ger A (x) / B = (x/h) 2 (ty areaskalan = kvadraten på längdskalan). Pyramidens volym är alltså V=

[b

la

A(x)dx

t

Bx 2 Bh = lo h2dx = 3 .

Exempel 7.3 Axlarna till två raka cirkulära cylindrar med radien R skär varandra under rät vinkel. Beräkna volymen av den kropp som består av cylindrarnas gemensamma del. (1/8 av kroppen visas i figuren nedan.)

..,

Lösning: För att bestämma snittytans area väljer vi ett fixt x , 0 :S x < R. Av symrnetriskäl (se figuren) inses att snittytan är en kvadrat med sidan J R 2 - x 2 och 359

Kapitel 7.

1illlimpningar av integraler ochderivator

arean A (x) = ( JR2 - x 2 ) 2 = R 2

x 2 • Kroppens volym är [R [R 16.R3 V= 8 lo A(x)dx = lo (R2 - x 2 ) dx = - 3-. -

I exemplen 7.4-7.6 visar vi hur man kan beräkna volymen av en rotationskropp då rotationen skett omkring y-axeln. Exempel 7.4 Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då det område som begränsas av kurvan y = x 2 /5+ 1, y-axeln samt linjerna y = 1 och y = 6 roterar ett varv kring y-axeln.

5

X

Lösning: Snittytan är i detta fall en cirkel med radie x, dvs. arean av snittytan är 1rx2 • Kroppens volym (observera att integrationsvariabeln är y) är V

= J; 1rx2 dy.

För att kunna beräkna denna integral så måste vi uttrycka x som funktion av y. Vi har y = x 2 /5 + 1 dvs. x 2 = 5(y - 1). Detta ger V= 1r J; 5 (y - 1) dy= 62.51r. Exempel 7.S Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då området som begränsas av kurvan y = x 2 /5 + 1, x-axeln samt linjerna x = 0 och x = 5 roterar ett varv kring y-axeln.

Lösning: Den sökta volymen kan uttryckas som differensen mellan volymen av en rak cirkulär cylinder med radie 5 och höjd 6 och volymen av kroppen i föregående exempel. (Se figuren nedan.) Vi får V = 1r52 • 6 - 62.51r = 87.51r. t

7=

\

i' +1 =f 0) eller minskar (b < 0) med 21rlbl, skruvlinjens stigning.I den linjära algebran visas att ekvationen för en linje i parameterform X= Xo + o.t Y = Yo + {3t z = zo +-yt

{

är ekvivalent med en vektorekvation r = ro + tv, där r = (x, y, z) är ortsvektorn för punkten (x, y, z), där ro = (xo, Yo, zo) är ortsvektorn för punkten (x 0 , y0 , zo) och där v = (o., {3, -y) är en riktningsvektor för linjen. Analogt inses att om

x(t) y = y(t) z = z(t)

X= {

är ekvationen för en kurva i parameterform, om r är ortsvektorn för punkten (x, y, z) och om vektorn (x(t), y(t), z(t)) betecknas F(t) så kan kurvans ekvation skrivas

r

= F(t).

Funktionen F sägs vara en vektorvärd funktion av en reell variabel t (eller kortare en vektorfunktion) och ekvationen r = F(t) sägs vara en vektorekvation för kurvan ifråga. Man kan tänka sig att man för varje t ritar upp vektorn F(t) med origo som begynnelsepunkt. Vektorns spets kommer då att genomlöpa kurvan i ovanstående figur då t genomlöper de reella talen.

Exempel 7.13 Skriv på vektorform ekvationen för kurvan 2 +2t { yx=t = t - 2 , t ER.

Lösning: Diskussionen ovan gällde rymdkurvor, men den fungerar naturligtvis även för plana kurvor. Funktionen F är här (t 2 + 2t, t - 2) och kurvans ekvation på vektorform ärr= (t 2 + 2t, t - 2) .. 365

Kapitel 7.

7illämpningar av integraler ochderivator

Med en vektorfunktion F menar vi alltså en funktion som tillordnar en vektor F(t) till varje reellt tal t i ett intervall. Dessa funktioner uppkommer på ett naturligt sätt t.ex. vid beskrivningen av läget av en punkt P som i exempel 7.13 ovan. I fysikaliska och tekniska sammanhang har man ofta anledning att syssla med vektorfunktioner. Antag t.ex. att en partikel rör sig under påverkan av en kraft som varierar med tiden t (eller partikelns läge). Denna kraft kan då uppfattas som en vektorfunktion. Derivatan av en vektorfunktion F definieras analogt med derivatan av en "vanlig funktion", dvs. F'(to)

= lim F(t) - F(to). t-+to

Om F(t)

t - to

= (x(t), y(t), z(t)) så får man F(t) - F(to)

= (x(t)-x(to), y(t)-y(to), z(t)-z(to)).

t-to

t-t 0

t-to

t-t 0

För att vänstra ledet ska närma sig en bestämd vektor då t -+ t 0 krävs att gränsvärdet av alla tre differenskvoterna i högra ledet existerar. Derivatan av F i t 0 är då F'(to) =(x'(to), y'(to), z'(to)) vilket innebär att man deriverar koordinatvis. Observera att F' (t) är en vektor.

Exempel 7.14 OmF(t) = (t 2 ,t3 ,0) såärF'(t) = (2t,3t 2 ,0). Vi ska nu göra en geometrisk tolkning av en vektorfunktions derivata. Betrakta följande figur som visar kurvan r = F(t) där F är en deriverbar vektorfunktion. Vi antar att F'(t 0 ) =fi 0.

FCt>-Ft

.,

0

Låt Po och P vara de punkter på kurvan som svarar mot parametervärdena t 0 och t. Vektorn PoP = F(t) - F(to) är då en riktningsvektor för linjen genom punkterna 366

7.3

Kurvor i parameterfonn

Po och P. Vidare gäller att vektorn F(t) - F(to)

t - to är parallell med vektorn PoP och alltså även den en riktnings vektor för linjen genom punkterna Po och P. Eftersom F'(t0 ) existerar och är f:. O (enligt våra förutsättningar) följer att då t -:-+ to så kommer linjen genom Po och P närma sig en linje som går genom Po och som har riktningsvektorn F'(t0 ). Denna linje sägs definitionsmässigt vara kurvans tangent i P. Tangentens riktning anges alltså av vektorn F'(to) =(x'(to), y' (to), z'(to)) som sägs vara en tangentvektor till kurvan. Detta innebär att tangenten i punkten (xo, Yo, z0 ) på kurvan

x(t) y = y(t) z = z(t)

X= {

där xo

= x(to), Yo = y(to) , zo = z(to) kan skrivas x = xo + sx'(to) { Y = Yo + sy'(to) , z = zo + sz'(to)

där s är en parameter.

= 2 (4> - sin 4>) y=2(1-cos)

·d

Exempel 7.15 Bestäm tangenten till cykloiden { x som svarar mot 4>

t

enpun

kt

= 1r /2.

Lösning: = rr/2 ger x = 1r - 2 och y = 2. Vidare är x'() = 2 - 2cos och y'() = 2sin, varför tangentvektorn i punkten (x(rr/2), y(rr/2)) är (2, 2). . ar .. a Il ts å { x 11angentens e kvat1on y

= 1r - 2 + 28 = 2 + 2s

e Il er y

=x +4 -

1r.

Exempel 7.16 Antag att en partikel rör sig längs en kurva i planet och att partikelns läge vid tiden t ges av r = r(t) = (x(t), y(t)). (Jfr exempel 7.10.) Derivatan r'(to) kan här tolkas som partikelns hastighet vid tiden t = t 0 . Hastigheten är alltså en vektor, som anger partikelns rörelseriktning. Längden av denna vektor kallas för partikelns fart, och anger hur fort partikeln rör sig i den riktningen. Analogt inses att r"(t) kan tolkas som partikelns acceleration vid tiden t = to. Exempel 7.17 Antag att en partikel rör sig i en cirkelformad bana med radien R och konstant vinkelhastighet w (rad/s) (w > 0). Partikelns ortsvektor kan skrivas r = R(coswt,sinwt).Hastighetsvektorn är r' = R(-w sinwt, w oos wt) = wR(- sinwt, coswt). Eftersom r • r' = (Rcoswt)(-wRsinwt) + (Rsinwt)(wRcoswt) = 0 följer att hastighetsvektorn r' är ortogonal mot r. Om vi deriverar ytterligare en gång tar 367

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

vi accelerationsvektom r" = wR(-wcoswt,-wsinwt) = -w 2 R(coswt,sinwt) = -w 2 r. Av sista ledet följer att accelerationsvektom har motsatt riktning mot r. Den är alltså riktad mot cirkelns medelpunkt. För absolutbeloppen v respektive a av r' och r" får VI V

lr'I = J(wR) 2 ((- sinwt) 2

a

lr"I = I - w2 rl

= w2 R =

+ (coswt) 2 ) = J(wR) 2 =

w2R2

lwl R = wR,

v2

- - = -.

R

R

X.

7.4 Båglängd Antag att vi har givet en kurva i planet {

X=

y

x(t)

= y(t)

, a S. t S. b,

där funktionerna x(t) och y(t) har kontinuerliga derivator i intervallet [a, b]. Vårt problem är nu att definiera längden s av kurvan. För att lösa detta problem så delar vi in kurvstycket i smådelar, uppskattar längden Ås av varje liten del, summerar och gör gränsövergång.

Vi gör en indelning

a = to < t1 < ... < ti-1 < ti < ... < tn = b av t-intervallet [a, b]. I figuren finns ti-l och ti samt motsvarande punkter Pi-I och Pi på kurvan inritade.

Vi approximerar sedan kurvan med ett polygontåg P0Pi---Pi-1Pi·••Pn genom delningspunktema på kurvan. Om indelningen är fin så bör man kunna approximera 368

7.4

Båg/ängd

längden Åsi av kurvbiten mellan P;-1 och Pi med längden Åli av linjestycket mellan dessa punkter. Pythagoras sats ger Äli

a•

= J(x (ti) - x (ti_i)) 2 + (y (ti) -

I

I

y (ti-1))2.

_,

Om vi tillämpar Lagranges medelvärdessats (Sats 4.3, sid. 202) på var och en av de två termerna under rottecknet får vi

= J(x' (~i) 6.ti} 2 + (y' (rJi) 6.ti) 2 för något ~i respektive 'r/i i intervallet [ti-1, ti], Åti = ti - ti-l• Äli

Om vi summerar samtliga längder 6.li får vi en rimlig uppskattning avs. Uttrycket för Åli ovan ger S

=

t

ÅSi

~

t

Åli

=

t

J(x' (~i)} 2 + (y' (rJi}} 2 Åti = In.

i=l i=l i=l Men In är en Riemannsumma för integralen

I=

1b J(x'

(t)) 2

+ (y' (t)) 2 dt

frånsett att ~i inte säkert är samma punkt som 'r/i· Denna svårighet kan emellertid övervinnas, dvs. man kan visa att approximationerna In av s konvergerar mot I då indelningen av [a, b] görs finare. Vårt resonemang motiverar därför följande definition.

Definition 7.1 Längden av kurvan x = x (t) . y y(t) antas ha kontinuerliga derivator, är

s=

1b J(x'

(t)) 2

= y(t), a :S t :S

+ (y' (t)) 2 dt.

b, där x(t) och

(2)

Anmärkning: Ett ändligt antal diskontinuiteter hos x'(t) och y'(t) (som motsvaras av ändligt många hörn på kurvan) kan också tillåtas. 369

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

För en kurva i rummet X= {

y z

x(t)

= y(t) = z(t)

, a $ t $ b,

finner man på likartat sätt att följande definition är rimlig.

Definition 7.2 Längden av kurvan x = x (t), y = y(t), z = z (t), a $ t $ b, där funktionerna x(t) , y(t) och z(t) antas ha kontinuerliga derivator, är

x Exempel 7.18 Beräkna längden av kurvan { y

3t = = cos sin3 t

, 0 $ t $ 21r.

-1 Lösning: Vi får x'(t) = -3cos2 tsint och y'(t) = 3sin 2 tcost. Av symmetrin följer att kurvans längd är

r12

410

✓{-3cos 2 tsint) 2 + (3sin2 tcost) 2 dt = r12

= 410 r12

= 410

✓9 sin2 t cos2 t (cos2 t + sin2 t)dt =

3 lsintcostl dt

r12

= 6 lo

Som tidigare påpekats kan en funktionskurva y en parameterkurva med x = t, y = f (t). 370

sin2tdt

= f(x)

= [-3cos2t]~/ 2 = 6.

, a $ x $ b, uppfattas som ·

7.4

a Längden av kurvstycket y

=

s

X

h

= f (x), a ::; x

::; b, är alltså

1b J1 + f'

(x) 2dx.

Exempel 7.19 Beräkna längden av den båge av kurvan y mot 1 ::; x ::; 4.

= x/2 -

= x2

-

4

lnx som svarar

2

X

1 Lösning: Vi har y'

Båg/ängd

1/ (2x). Fonneln (7.2) sid. 369 ger

(=+ _!_) 2

1 1

~

41= 2

+ _!_I dx = 2x

14 1

(= 2

+ _!_) dx = 2x

[x2 4

+ lnx]4 = 2

1

2x

15 4

2

dx

=

+ ln2;::::

4.443.

Låt nu övre gränsen i integralen i (7.2) variera, säg b funktion av t, dvs.

s

= s(t) =

1t

J(x' (u)) 2

= t.

Då är båglängden sen

+ (y' (u)) 2 du

Eftersom integranden är kontinuerlig följer att funktionen s(t) är deriverbar och att (se Sats 6. I 2, sid. 331) (3)

371

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

Analogt inses i fallet y

= f (x), a :'.S x ds

där s(x)

=

1: J1

dx

=

:'.S b, att

J1 + f' (x)2,

+ f' (u) 2 du.

Formlerna (7.2) och (7.3) har en användbar tolkning i det fall då parametern t står för tiden. Ekvationerna {

x(t) y = y(t)

X=

anger då läget vid tiden t för en i planet rörlig partikel. Partikelns hastighet v( t) vid tiden tär v(t) = (x'(t), y'(t)) och dess fart v(t) är hastighetsvektorns belopp, dvs.

v(t)

= lv(t)I =

(dx) dt + (dy) dt 2

2

Detta innebär att den sträcka som partikeln tillryggalagt under tidsintervallet [a, b] är lika med integralen av partikelns fart, dvs.

Formel (7.3) uttrycker att derivatan avs är lika med partikelns fart, vilket är rimligt ur fysikalisk synpunkt.

Exempel 7.20 Betrakta en partikel med massan m som glider längs en friktionsfri kurva i ett vertikalplan under inverkan av tyngdkraften. Hur lång tid tar det för partikeln att glida från punkten P0 till punkten Pi på kurvan?

Lösning: Vi väljer origo som begynnelsepunkten Po och låter y-axeln peka nedåt. Antag att kurvans ekvation kan skrivas y = y (x).

372

7.4

Båg/ängd

X

Partikelns fart v bestäms av energiprincipen: (g är tyngdaccelerationens belopp) 1 -mv 2 = mgy 2 varav v = ../Igy (observera att y ~ 0). Om s är kurv~ns längd mätt från origo så gäller alltså sambandet ds r,;-:::_ v=dt=y2gy. Kedjeregeln och satsen om derivatan av invers ger d dt _ Jf+yi2 dt VS. dx ..figy dx Eftersom t = 0 då x = 0 får vi att den tid T det tar för partikeln att glida längs kurvan från origo till punkten {x 1 , y 1 ) ges av formeln

ds = ds dx = dt dx dt

v'f+i?2

- _l_ T- ~

Lz, Jf'+i?2 dx.

v~u o

r.;

vY

Anmärkning: Ett klassiskt problem med anknytning till exempel 7.20 ovan är följande: Bestäm bland alla de kurvor i planet som förenar två givna punkter P1 och P2 den kurva som minimerar tiden T i exempel 7.20. Lösningen av detta problem är inte som man möjligen skulle kunna tro en rät linje, utan en båge av en cykloid (se exempel 7.11 sid. 363).

Exempel 7.21 Betrakta en fritt hängande, böjlig, otänjbar, homogen lina upphängd i sina ändpunkter. Vilken form antar linan?

373

Kapitel 7.

\

Tillämpningar av integraler ochderivator

I

;:-o::: It'

.....,

Lösning: Vi väljer linans plan till xy-plan och koordinatsystemet väljer vi så att linans lägsta punkt P ligger på y-axeln. Låt P = (x, y) vara en godtycklig punkt på linan och s (x) vara längden av bågen PoP. Vi undersöker villkoren för att delen P0 P ska befinna sig i jämvikt. Eftersom linan är böjlig måste spänningen i varje punkt på linan vara tangentiellt riktad. Av detta följer att spänningen i Po är parallell med x-axeln. Vi betecknar beloppet av spänningen i P med T och vidare låter vi Tx respektive Ty vara komponenterna av spänningen i P. Låt linans massa per längdenhet vara >.. Vi får då följande jämviktsekvationer för delen PoP: Tx = To { Ty = >.gs(x) = ).g Jl + y' 2 dt

1:

där y

= y (x) är ekvationen för den sökta kurvan. Vidare måste gälla att

Ty Tx eftersom spänningen är tangentiellt riktad. Av dessa två samband får vi I

y =-

). lax J1

1x

+ y12 dt = -l Jl + y'2 dt (4) To o a o där a = To/ >.g. Om vi deriverar båda leden i (7.4) får vi 1 y" = - ✓1 + y'2 a vilket är en differentialekvation för den kurva som bildas av linan. Man kan visa att om man väljer koordinatsystemet så att y = a då x = 0 så är lösningen till denna ekvation y = exfa + e-x/a) = acosh ~y'

= _J_

i(

(Se övning 7.27.) Denna kurva kallas för en kedjelinje. (Jfr sid. 67.)

7.5 Krökning och krökningsradie En kurva kan vara mer eller mindre krokig. I detta avsnitt ska vi definiera begreppet krökning som ett mått på hur en kurva kröker sig i en given punkt. Vår intuition säger oss att begreppet krökning bör ha följande egenskaper:

374

7.5

Krökning och krökningsradie

a) Krökningen bör ange hur snabbt en kurvas riktning ändras i förhållande till den tillryggalagda sträckan under riktningsändringen (en vridning om 180" som tar en kilometer att fullborda är mindre skarp än 90° riktningsändring i ett gathörn). I figuren har vi stor krökning i P och liten krökning i Q.

p

A b) En rät linje har krökningen noll i varje punkt. c) En cirkel har konstant krökning, och en liten cirkel har större krökning än en större.

Vi betraktar för enkelhets skull en kurva i planet med parameterframställningen

x(t) a < t < b { xy = = y(t) ' - - ' där funktionerna x(t) och y(t) antas vara två gånger deriverbara. I figuren nedan har vi dragit tangenterna till kurvan i två närbelägna punkter P och Q. Tangenternas riktningsvinklar är o: respektive o: + ~o:. Längden av bågen PQ betecknar vi med ~s. Den genomsnittliga riktningsändringen per längdenhet vid förflyttningen från P till Q är

1~.

1~

Krökningen i punkten P kan då definieras som gränsvärdet av kvoten då ~s 0 , dvs. som ~~. Vi väljer dock att definiera krökningen "' ("kappa") som

--+

Detta innebär att vi inte tar hänsyn till åt vilket håll kurvan kröker sig. 375

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

I allmänhet är det dock svårt att använda definitionen för att bestämma en kurvas krökning. (Se dock övning 7.33.) Vi ska därför härleda ett mer användbart uttryck för krökningen "'· Enligt kedjeregeln och satsen om derivatan av invers får vi

da: ds

da: dt dtds

do: dt ds· dt

_

Enligt föregående avsnitt gäller att

ds = Jx' (t)2 + y' (t)2 dt da: och det återstår nu-att beräkna dt. Eftersom vektorn (x'(t), y'(t)) är en tangentvektor till kurvan (se nedanstående figur) följer att

tana:

= y' (t) x' (t)

förutsatt au x'(t) -f 0. Genom att derivera båda leden i denna ekvation med avseende på t kan vi bestämma ~~. Vi får

d dt

d da: (tana:) - = (1 da: dt

- (tana:) = -

da: x' (t)2 + y' (t)2 da: + tan 2 a:) - = ----'--'--__;;_----'-''2 dt

x' (t)

Men derivering ger också

!!:_ (y' (t)) = x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) dt

x' (t)

x'(t)2

Kombinerar vi dessa två uttryck får vi

da: _ x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) dt x'(t) 2 + y'(t)2 376

·

dt .

7.5

Krökning och krökningsradie

Sammanfattar vi det ovanstående så får vi följande fonnel för krökningen:

"'= Ida I = lx'y" - x"y'I ds

(x'2

(5)

+ y'2)3/2 ·

Exempel 7.22 För cirkeln

{ x=Rcost y = Rsint

finner vi x' = -Rsint, y' = Rcost, x" = -Rcost, y" = -Rsint och = "'

JR2 sin2 t+R2 cos 2 tJ

(R 2 sin2

t + R 2 cos2 t)

_

3/2 -

..!_ R'

Detta innebär att även villkoret c) är uppfyllt. Vi ser också att då cirkelns radie växer över alla gränser, och cirkeln "plattas" ut och blir mer och mer lik en rät linje så gäller att krökningen går mot noll. Sambandet"'= 1/R för en cirkel ger oss anledning att göra följande definition.

1 Definition 7 .3 En kurvas krökningsradie i en viss punkt är p = - , där "' är kurvans K,

krökning i punkten. Anmärkning: Om "' = 0 i en punkt så är p inte definierad i denna punkt. Med en kurvas krökningscirkel i en viss punkt menas den cirkel som uppfyller följande tre villkor: a) den tangerar kurvan i punkten, b) dess radie är lika med kurvans krökningsradie i punkten, c) dess medelpunkt ligger på kurvans konkava sida.

377

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

Krökningscirkelns medelpunkt kallas för kurvans krökningscentrum i punkten ifråga. Krökningscirkeln är den av alla cirklar som (i viss mening) bäst ansluter sig till en kurva i en given punkt. Den kallas ibland för en oskulerande ("kyssande") cirkel.

Exempel 7.23 För en funktionskurva y

= f (x)

reduceras formel (7.5) till

IY"I K=-~~(1

~

+ yf2)3/2

och definitionen av krökningsradie ger

(1 + yf2)3/2

IY"I helt enkelt t = p

=

För att erhålla detta sätter vi x och får x' = 1, y' = f' (x), x" = 0, y" = f" (x). Insättning i (7.5) ger sedan formeln ovan.

f' (t)

Exempel 7 .24 a) Beräkna krökningsradien till kurvan y = 1n x i punkten x =I. b) Bestäm den punkt på kurvan y = 1n x där krökningen är störst.

Lösning: a) Vi har y' = 1/x och y" = -1/x 2 och K får vi K = l-11 (1 + 1)- 3/ 2 = 1/..,/8.

= IY"I (1 + y 12 )- 312 . I punkten x = l

b) Enligt a) är krökningen i punkten x K

l -1/x 21 = _.,___...:..__,__ = X ( 1 + X 2)-3/2 • (1 + 1/x2)3/2

Derivering ger

dK dx

1-2x2 (l + x2)5/2 ·

Enda stationära punkten är x = 1/ J2 (ty x > 0). Eftersom ~: har teckenväxlingen +0- i punkten x = 1/J2 följer att krökningen har ett lokalt maximum för x = 1/J2. Vidare ser vi att K (x) --+ 0 både då x --+ 0+ och då x --+ oo. Slutsatsen blir att kurvans krökning är störst i punkten (1/J2, 1n 1/J2) och Kmax = 2J3/9 vilket ger det önskade svaret. 378

..

7.5

Krökning och krökningsradie

., 1 ... X

I teorin för balkars böjning spelar begreppet krökning en stor roll roll. Betrakta en balk som obelastad ligger längs x-axeln.

Belastar vi balken så kommer den att böjas. Vi antar att balken i obelastat tillstånd är rak och att dess tvärsnitt har ett symmetriplan, samt att de böjande krafterna verkar i detta symmetriplan och är vinkelräta mot balkens längdriktning.

Eftersom den övre delen av balken kommer att förkortas, och den undre delen förlängas, finns det ett skikt vars längd är oförändrad. Detta skikt kallas för neutrallagret, och neutrallagrets skärning med balkens symmetriplan bildar en krökt kurva, säg y = y (x). Denna kurva kallas för balkens elastiska linje. Krökningen hos elastiska linjen beror av a) belastningen på balken, b) tvärsnittets geometriska form (kvadratiskt, cirkulärt etc.), c) materialet i balken (trä, stål etc). I hållfasthetsläran härleds följande samband mellan dessa storheter:

"'=

IMxl

(7)

El ' där "' är elastiska linjens krökning, E är en materialkonstant (elasticitetsmodulen), I är balkens s.k. axiella yttröghetsmoment (som beror på balkens geometriska form)

379

Kapitel 7.

1illämpningar av integraler oclulerivator

och Mx är de yttre krafternas böjande moment i punkten x (momentet räknas positivt om böjningen sker medurs). Men enligt formel (7.6) så gäller även att K,

IY"I = (1 + y'2)3/2.

Ofta gäller att nedböjningen och därmed y' är liten. Vi kan i så fall försumma y 12 i jämförelse med 1, dvs. vi har med god approximation "' = IY"I- Då man kan visa att Mx och y" alltid har motsatta tecken ger detta och (7.7)

Mx

= -Ely".

Ekvationen kallas för elastiska linjens differentialekvation. Känner man Mx som funktion av x, så kan man lösa denna ekvation, dvs. man kan bestämma balkens nedböjning i varje punkt. Vi kan dock inte här diskutera hur man bestämmer Mx och hur man löser ekvationen utan hänvisar till hållfasthetsläran.

7.6 Polära koordinater Vi har hittills angett läget av en punkt i ett plan med hjälp av rektangulära koordinater (dvs. i ett ON-system). Vissa problem är dock enklare att behandla om man använder sig av s.k. polära koordinater. Läget av en punkt beskrivs då på följande sätt. Vi väljer en punkt O och en från O utgående stråle l, grundriktningen. Läget av en punkt P bestäms då entydigt av dess avstånd IOPI = r från 0, samt av den vinkel 0 som OP bildar med strålen (vinkeln räknas som i trigonometrin positiv moturs).

Talen r och 0 kallas för polära koordinater för punkten P (ibland kallas r för radius vektor och 0 för argument). Punkten O kallas för det polära koordinatsystemets pol och strålen l för dess grundriktning (eller polaraxel). Observera att r ~ O och att vinkeln 0 inte bestäms entydigt av punkten P, ty om P har de polära koordinaterna (r, 0), så är också (r, 0 + n2rr) för varje heltal n polära koordinater för P. (I vissa texter tillåter man även negativa r och tolkar då t.ex. punkten (-2, 0) som (2, 0+rr). Vi använder endast positiva r.) Vi lägger nu in ett ON-system med origo i O och så att x-axeln sammanfaller med grundriktningen. 380

7.6

X

Polära koordinater

X

Av figuren framgår att om en punkt P har de rätvinkliga koordinaterna (x, y) och de polära koordinaterna (r, 0) så gäller

{ x=rcos0

y=rsin0 ·

Exempel 7.25 Bestäm de polära koordinaterna för den punkt vars rätvinkliga koordinater är (2,3). 7

Lösning: Av figuren framgår att r = J2 2 + 32 = v'l3, tan0 = 3/2. Eftersom 0 ligger i l:a kvadranten duger 0 = arctan3/2 (~ 56.3°). Punktens polära koordinater är alltså ( v'l3, arctan 3/2).

7.6.1 Kurvor i polära koordinater En kurva i planet kan ibland beskrivas i polära koordinater genom en ekvation av formen

r

= f(0),där

f(0) 2:: 0.

Exempel 7.U, Rita kurvan r =I+ cos 0 ,-1r

~

0~

1r.

Lösning: Eftersom cos( -0) = cos 0 fås samma värde på r för 0 och -0, vilket innebär att kurvan är symmetrisk med avseende på polaraxeln. Det räcker därför dr att betrakta intervallet 0 ~ 0 ~ 1r. Av d0 = - sin 0 följer att r är en avtagande

funktion av 0 i intervallet [0, rr]. Vi får vidare följande värdetabell:

0 r

0 2

1r /3

1r /2

1.5

1

2rr /3 0.5

1r

0 381

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

Kurvans utseende framgår av nedanstående figur. (Kurvan kallas ibland för Pascals snäcka).

Exempel 7.27 Bestäm ekvationen i polära koordinater för cirkeln med centrum i (1, 0) och radie 1, dvs. (x - 1) 2 + y 2 = 1. Se vänstra figuren nedan.

X

Lösning: Insättning av x eller, efter förenkling,

= rcos0, y = rsin0 ger (rcos0 -1) 2 + (rsin0) 2 = 1 r

= 2 cos 0,

-1r /2

::; 0 ::; 1r /2.

Exempel 7.28 Bestäm ekvationen i rätvinkliga koordinater för den kurva som i polära koordinater har ekvationen r = I cos 20 I, 0 ::; 0 ::; 21r.

Lösnin : Eftersom cos 20 = cos2 0 - sin2 0, x x 2 + y 2 får vi (förr -1- 0)

= r cos 0,

y

= r sin 0 och r =

x2 y2 I J x2 + y2 = I_____ :...__ x2

+ y2

x2

+ y2

eller (x 2 + y 2 )312 = lx 2 - y 2 1. Kurvans utseende visas i den högra figuren ovan; den är en s.k. rosettkurva. 382

7.6

Poläm koordinater

7 .6.2 Area i polära koordinater Vi ska nu härleda en formel för att beräkna arean A av ett område som begränsas av kurvan r = f(0) samt två strålar som utgår från origo. Vi antar att funktionen f (0) är kontinuerlig och ickenegativ i intervallet [o:, ,B]. Precis som i fallet med rektangulära koordinater delar vi in intervallet [o:, .B] där O :S .B - o: :S 21r i delintervall genom delningspunkter o: = 0o < 0 1 < ... < 0n = ,B. I varje delintervall [0k-l, 0k] väljer vi ett värde ~k på 0.

Arean av området OPk-lpk approximerar vi med arean av en cirkelsektor med radie f(~k) och medelpunktsvinkel !::,,.0k = 0k - 0k-I, dvs. med

1 2 -~_! (~k)!::,,.0k. Summering och gränsövergång leder oss sedan till formeln

A=

1:

½

(8)

f 2 ( 0) d0.

Exempel 7.29 Vi testar giltigheten av formeln (7.8) genom att med den beräkna arean av cirkeln r = 2cos0. (Se exempel 7.27.)

Lösning: Vi får A =

½/

1r/2 -n/2

4 cos2 0d0 =

/1r/2

(1

+ cos 20) d0

= 1r, som sig

-n/2

bör. 383

Kapitel 7.

Ttllämpningar av integraler ochderivator

7.6.3 Båglängd i polära koordinater Om vi vill bestämma längden av en kurva r = f (0) mellan 0 = a och 0 = vi tänka oss 0 som parameter. Vi har ju

{

/3 kan

x=rcos0=f(0)cos0 y = rsin0 = f(0)sin0

vilket är en parameterframställning av kurvan med 0 som parameter. Längden av kurvan är således S

1/3

= ~

(dx) d0

2

+ (dy) d0

2

d0 .

Här är

dx d0

.

dr

= -rsm0 + d0 cos0

dy

och d0

dr .

= rcos0 + d0 sm0.

Insättning ger

(9) Anmärkning: I diskussionen ovan förutsätter vi att funktionen f (0) är kontinuerligt deriverbar. I figuren nedan illustreras en minnesregel för formel (7.9).

ds

= J(rd0) 2 + (dr) 2 eller

Exempel 7.30 Beräkna längden av kurvan r

= 1 + cos 0, -1r S 0 S

1r

(se exempel

7.26 sid. 381 ).

Lösning: Vi får 2

384

lo"

dr

d0 = - sin 0. Av symmetrin följer att kurvans längd är

r2

+ ( ~~)

2

d0

=

lo" J2 (1 + cos 0)d0 = 4 lo" lcos; Id0 = 4 fo" cos ;d0 = 8 2

7.7

där vi utnyttjat formeln cos 2 0 på intervallet

=

Arbete och kurvintegraler

l+cos0 och, på den sista raden, att cos 2

!~O

[O, rr] .

7. 7 Arbete och korvintegraler 7.7.1 Arbete Om en partikel flyttas sträckans under påverkan av en konstant kraft F som verkar i förflyttningens riktning, så sägs kraften ha utfört arbetet W = Fs, där F = IFI, Bildar den konstanta kraften F vinkeln a med förflyttningens riktning, så är det endast kraftens komponent F8 i rörelseriktningen som uträttar arbete.

Vi ser att F 8 = F cos a och alltså är i detta fall A = (F cos a) s. Om vi uppfattar sträckan s som en vektor s så ser vi att arbetet också kan skrivas W = F • s (skalärprodukt). Om kraften varierar och förflyttningen inte längre sker längs en rät linje måste definitionen av arbete modifieras. Denna modifikation kommer att leda till olika typer av bestämda integraler. Låt oss först betrakta det fall då en partikel förflyttas rätlinjigt av en kraft vars storlek varierar, men vars riktning är konstant. Vi kan tänka oss att förflyttningen sker längs x-axeln från x = a till x = b. Kraften som påverkar partikeln i punkten x antar vi vara en kontinuerlig funktion av partikelns läge, säg F (x ), och vidare antar vi att kraften är riktad i förflyttningens riktning. Vårt problem är att beräkna det arbete som kraften uträttar.

,.....,.,,.......,,-•--••X

-•~1,-.-~1+1--+----tl-+l.,_I_____

8

~-1

\~

I,

Om vi delar in intervallet [a, b] i korta delintervall [xk-1, xk] med längden 6.xk = xk - Xk-l så är kraften approximativt konstant i varje sådant delintervall. Arbetet under förflyttningen från Xk-l till Xk är då approximativt F({k)l:lxk, där {k är en godtycklig punkt i intervallet [xk-1, xk]- Det totala arbetet W kan skrivas som 385

Kapitel 7.

TIilämpningar av integraler ocluferivator

summan av arbetena i varje delintervall n

L F({k)Llxk, Eftersom denna summa konvergerar mot J: F (x) dx då indelningen görs finare leds W ~

k=l

vi till definitionen W

=

1b

F(x)dx.

Exempel 7.31 En hink med sand som väger 150 kg är fäst till ena änden av en lina. Linans andra ände är fast till ett vindspel 12 m ovanför hinken. Hinken vinschas upp med en konstant hastighet av 5 m/minut. Genom ett hål i hinken läcker sanden ut med en konstant hastighet av 20 kg/minut. Linan väger 3 kg/m. Beräkna det arbete som åtgår för att lyfta hinken 12 m.

Lösning: Per meter läcker 4 kg sand ut. Då hinken lyfts x meter återstår alltså (150 - 4x) kg sand. Av linan återstår då (12 - x) meter som väger 3(12 - x) kg. Av detta följer att den kraft som krävs är 150 - 4x + 3(12 - x) = (186 - 7x)g N. Arbetet är

fb

la

F(x)dx =

/12 lo (186- 7x)gdx =

1728g Nm.

J:

~xempel 7.32 Med hjälp av formeln W = F(x)dx kan vi visa en viktig regel 1 mekaniken som säger att det utförda arbetet är lika med ökningen i partikelns kinetiska energi.

Antag att partikeln vid tiden t befinner sig i punkten x 386

= x(t).

7.7

•

Arbete och kurvintegraler

•

Enligt kraftekvationen gäller

F (x) = F(x(t)) = mv'(t)

(10)

där v(t) = x'(t) är partikelns hastighet. Multiplicerar vi båda leden i ekvation (7. IO) med v(t) och integrerar får vi

1t 2

F(x(t))x'(t)dt

=

t1

1t

2

mv(t)v'(t)dt.

2

F(x)dx

t1

Men

1 t

2

F(x(t))x'(t)dt

t1

=

1"'

=W

Zt

och

Eftersom partikelns kinetiska energi är mt? /2 så är regeln därmed visad.

Anmärkning: I exempel 7.32 förutsätter vi att kraften F (x) är kontinuerlig och att x(t) är två gånger kontinuerligt deriverbar.

7.7 .2 Kurvintegraler i planet Vi betraktar nu en partikel som rör sig från en punkt A till en punkt B längs en kurva L i xy-planet.

L

A Antag att partikeln i punkten (x, y) påverkas av en kraft F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Kraften varierar alltså till både storlek och riktning från punkt till punkt. Vi ska 387

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

beräkna det arbete som kraften uträttar under förflyttningen. Antag att kurvan har parameterframställningen = x((t)) , a _!__. b eller r(t) = (x(t), y(t)). { xy=yt Pilen anger att då t genomlöper parameterintervallet från a till b så genomlöper partikeln kurvan från A till B. Vi antar att kurvan är kontinuerligt deriverbar, dvs. att x(t) och y(t) har kontinuerliga derivator, och att tangentvektorn r'(t) = (x'(t), y'(t)) -:/- 0 i alla punkter

på kurvan. Vidare antar vi att kraften F är kontinuerlig.

X Av definitionen på derivata får vi att för små Åt gäller approximativt att

År= r(t + Åt) - r(t) ~ r'(t)Åt. Arbetet under förflyttningen från r(t) till r(t + Åt) är alltså approximativt lika med F(x(t),y(t)) ·År= F(r(t)) •År~ F(r(t)) · r'(t)Åt (skalärprodukt). Vi gör nu en indelning av [a, b] , säg a = to < t 1 < ... < tn = b och sätter Åti = ti - ti-1 • Det arbete som F uträttar under förflyttningen från A till B är då approximativt n

n

LF(r(ti)) · Åri ~ LF(r(ti)) · r'(ti)Åti, i=l

i=l

Då indelningen görs finare så blir denna approximation bättre och bättre. Vi definiera därför arbetet W som gränsvärdet av summan ovan då indelningen görs finare, dvs. som integralen W = 1b F(r(t)) · r'(t)dt.

(11)

Om vi sätter in att F(r(t)) = (P(x(t), y(t)), Q(x(t), y(t))) = (P, Q) och r'(t) ( ~~, ~) samt utvecklar skalärprodukten får vi W

388

= 1b(Pdx a

dt

Qdy)d

+ dt t.

=

(12)

7.7

Arbete och kurvintegraler

Integralerna i (7.11) och (7.12) som ger arbetet W kallas för kurvintegralen av F längs kurvan L. Flera andra beteckningssätt förekommer också, t.ex. W

= [

W

F-dr (skalärprodukt) eller

[ Pdx+Qdy.

Dessa beteckningar motiveras av integralerna i (7.11) respektive (7.12) om vi inför

dx dy dt dt, dy = dt dt,

dx dr

=

r'(t)dt= (!dt, !~dt) =(dx,dy).

Exempel 7.33 Beräkna det arbete som kraften F = (P, Q) = (-x, -y) utför vid förflyttning av en partikel från punkten {2,4) till punkten (I, I) längs kurvan y = x 2. (2,'1}

Lösning: Vi kan parameterframställa kurvan genom att sätta

{;=t; ,

2 !.+ 1.

På L har vi att P = -x = -t, dx = ~:dt = ldt och Q = -y = -t2, dy = !fjf dt = 2tdt. Arbetet blir alltså.

W= [Pdx+Qdy=

h 1

((-t)l+(-t 2 )2t)dt=9.

Exempel 7.34 En elektrisk ledare med konstant strömstyrka placeras längs z-axeln. En magnetisk enhetspol i punkten (x, y, 0) påverkas då av en kraft i xy-planet som är vinkelrät mot vektorn (x, y) och till storlek är omvänt proportionell mot avståndet till origo, dvs.

F

C

( (-y,x) )

J x2 + y2 J x2 + y2

-

C(-y,x) x2 + y2 389

Kapitel 7.

1illämpningar av integraler ochderivator

J

där C är en konstant. (Faktorn C / x 2 + y 2 ger storleken och den andra faktorn riktningen.) Beräkna fältets arbete då enhetspolen förflyttas ett varv moturs runt cirkelperiferin L : x 2 + y 2 = R 2.

Lösning: L ges t.ex. genom x = R cos t, y = R sin t, 0 ~ 21r. Vidare är Cy Cx P = - - ' - - och Q = 2. x2 + y2

x2 + y

Vi får alltså att

lo[

w

21r (-CRsintR( . ) CRcostR t) dt R2 -smt + R2 cos =

fo2

1r (

C sin2 t + C cos2 t) dt = 21rC.

Anmärkning: Detta resultat kan inses direkt genom att observera att F är parallell med vägen i varje punkt, att vägens längd är 21r R och IFI = dvs. IFI är konstant. Därför är W = 21rR = 21rC.

i

i

7.7.3 Kurvintegraler i rummet Problemet ovan, dvs. att beräkna ett kraftfälts arbete vid en plan förflyttning, kan generaliseras till en förflyttning i rummet, dvs. längs en kurva

x(t) y = y(t) , a ~ b eller r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)). z = z(t)

X=

L:

{

Om kraften är F(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) och motsvarande förutsättningar som i det tvådimensionella fallet är uppfyllda så visar det sig att samma approximationsförfarande leder till följande definition:

W =

1 b

a

dx (Pdt

dy dt

dz dt

+ Q- + R- )dt

I denna formel ska P, Q och R uttryckas som funktioner av t.

Exempel 7.35 Beräkna det arbete som kraften F = (P, Q, R) = (-y, x, 2) utför vid en förflyttning längs kurvan x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = t, 0 ~ 21r.

Lösning:

w

[27f

lo

[27f

lo 390

(-y(-2sint) + x · 2cost + 2 - l)dt = (4sin2 t+4cos 2 t+2)dt=

[27f

lo

6dt=l21r.

7.8

Medelvärde av en funktion

Analogt med tidigare beteckningar skriver vi också

W

[ Pdx + Qdy + Rdz eller

W

[

F-dr.

7.8 Medelvärde av en funktion Med det aritmetiska medelvärdet av n st reella tal Y1, Y2, ... , Yn menas som bekant talet Y1

+ Y2 + ··· +Yn n

Om talen Y1, Y2,···, Yn är värdena av en kontinuerlig funktion f i n st distinkta punkter, säg Yk = f (ek), så är

det aritmetiska medelvärdet av funktionsvärdena J(e 1 ), f (e 2 ), ... , J(en). Vi ska nu utvidga detta begrepp till att gälla medelvärdet av f :s samtliga värden i ett intervall

[a,b]. Dela in intervallet [a, b] in lika delar så att varje del får längden (b - a) I

a

.

I I

Välj sedan i varje delintervall en punkt f (e2), .... !(en). Vi får

ek och bilda medelvärdet av talen J(e 1 ),

1 n

1

~ L f (ek) = b -

n

a

k=l

L f (ek) ÅX. k=l

(Högerledet följer av sambandet nÅx mot oändligheten så ser vi att 1 b- a

/n = Åx.

= b-

a.) Låter vi nu antalet delintervall gå

L f (ek) Åx-+ b -1 a 1b f(x)dx. n

k=l

a

Vi definierar därför medelvärdet fm av f i intervallet [a, b] som denna integral, dvs. som fm

I b- a

=-

1b a

f(x)dx. 391

Kapitel 7.

1illämpningar av integraler oclulerivator

I kapitel 6 bevisade vi den s.k. medelvärdessatsen för integraler (Sats 6.11 sid. 330) som sa att om f är kontinuerlig i det slutna begränsade intervallet [a, b] så finns ett tal ~ mellan a och b så att

1b f

(x) dx

= !(~) (b -

Talet~ i denna sats är alltså sådant att!(~)

= f m·

Den geometriska tolkningen i det fall då f (x)

2: 0 i [a, b] visas i figuren nedan.

1

I

a).

b

X

Arean av rektangeln med höjden fm och bredden b - a är lika med arean under kurvan.

Exempel 7.36 Medelvärdet av x 2 i intervallet [1, 3] är

_1_ {3 x2dx 3 - l }1

= 13. 3

Ji3/3

JI3/3

Vi observerar att x 2 = 13/3 om x = ~ 2.08 och att 1 < < 3 som är i överensstämmelse med vad medelvärdessatsen för integraler förutsäger.

Exempel 7.37 Antag att en partikel som befinner sig i punkten x påverkas av en kraft F (x). Ge en tolkning av medelvärdet Fm av F (x) i intervallet [a, b].

J:

J;

Lösning: Vi har Fm = b~a F (x) dx eller Fm·(b - a) = F (x) dx. Medelvärdet av F (x) är alltså den konstanta kraft som uträttar samma arbete som den variabla kraften vid förflyttningen av partikeln från a till b. Exempel 7.38 Betrakta en partikel som rör sig längs en rät linje med hastigheten

v(t). Medelvärdet av hastigheten under ett tidsintervall [t 1 , t 2 ] är -1t2 - t1

1t2 v(t)dt. t,

Om partikeln vid tiden t har rört sig sträckan s(t) så gäller att v(t) gralen ovan är då lika med

_1_ [s(t)]! 2

t2 - t1 392

I

= s(t2) -

s(t 1) t2 - tl

= s'(t).

Inte-

7.9

Masscentrum

dvs. vår definition överensstämmer med den vanliga definitionen på medelhastighet.

Exempel 7.39 Ett s.k. vridjärnsinstrument för mätning av elektrisk ström är konstruerat så att dess utslag är proportionellt mot strömmen i kvadrat, förutsatt att instrumentet genomflyts av en konstant ström. Om en sinusformad växelström i = io sinwt sänds genom instrumentet så kan det emellertid inte följa med strömmens kvadrerade momentanvärde, beroende på tröghet hos det rörliga systemet. Instrumentets utslag kommer i detta fall att vara proportionellt mot medelvärdet av kvadraten på strömstyrkan under en period. Beräkna detta medelvärde.

Lösning: Mellan strömmens vinkelfrekvens w och dess period T råder sambandet wT = 2rr, dvs. T = 2rr /w. Medelvärdet blir alltså ( i·2) m

11T

= -T

0

sm wt dt = -2w 71"

·2 . 2

i0

1 (1 + 2

0

1rfw •2 i0

cos2wt) dt = -i~ . 2 2

Kvadratroten ur (i 2 )m, dvs. io/./2, kallas för växelströmmens effektivvärde och betecknas ie. (Förklaringen till denna benämning ges i övning 7.76b).

7 .9 Masscentrum Antag att n st partiklar med massorna m 1, m2, ... , mn är fastsatta vid en stång som i nedanstående figur.

•••""' Var ska stången understödjas för att vara i jämvikt? (Stångens egen vikt försummas.) För att lösa detta problem inför vi först en x-axel längs stången. Om vi understödjer stången i en punkt a så kommer partiklarna till höger om denna punkt att vilja vrida stången medurs, medan de till vänster om punkten kommer att vrida stången moturs. Vridningsförmågan hos varje partikel kallas dess moment kring punkten a. Partikel k:s moment omkring punkten a definieras som (g är tyngdkraftsaccelerationen) mkg · (xk - a)

(kraft· hävarm).

Partikelsystemets totala moment omkring a är summan av alla partiklarnas moment, dvs. n

M

= L mkg · (xk -

a).

k=l

393

Kapitel 7.

7illämpningar av integraler oclulerivator

Om stången ska befinna sig i jämvikt, så måste detta totala moment vara noll. Om punkten a är sådan att M = 0 kallas a för systemets masscentrum eller tyngdpunkt och betecknas med xr. Alltså gäller n

0

= L mkg · (xk -

xr).

k=l

Löser vi ut xr ur denna ekvation får vi XT

=

E;-1 ffikXk n Lk=l mk

Betrakta nu en tunn platta med konstant tjocklek och densitet (se figuren nedan). I vilken punkt ska plattan understödjas för att befinna sig i jämvikt, dvs. var ligger plattans masscentrum? För att bestämma detta approximerar vi plattan med rektangulära plattor och utnyttjar att tyngdpunkten i en rektangel ligger i rektangelns mittpunkt (diagonalernas skärningspunkt). Den i:te rektangeln i figuren har sin mittpunkt i punkten (xi, + Yi)).

½(~

Om rektangelns bredd är Åxi och massbeläggningen per areaenhet är p (enhet t.ex. kg/m 2 ) så är rektangelns moment omkring en linje x = c lika med

---------9P (~ - Yi) Åxi(xi - c). kraft

hävarm

Summering och gränsövergång ger att plattans totala moment omkring linjen x är

1b

gp(x -c) (Y -y)dx

=

1b

gpx(Y -y)dx - c

1b

gp(Y -y)dx.

Villkoret för jämvikt är alltså att

1b 394

gpx(Y -y)dx - c

1b

gp(Y -y)dx

=O

=c

7.9

Masscentrum

dvs. att (g och p är konstanter).

J: x (Y -y) dx

c_ -

b

fa (Y -y)dx

Eftersom områdets area A är lika med

=

A

1b

(Y - y) dx

har vi alltså funnit att x-koordinaten för områdets masscentrum ges av formeln

1 [b Aja x(Y-y)dx.

xr=

Analogt inses att momentet för den i:te rektangeln omkring en linje y =där

kraft

hävarm

Plattans totala moment omkring linjen y = där alltså

1b = 1b

pg (Y - y)

pg½ (Y 2

(½ (Y + y) -

y 2 ) dx - d

-

1b

d) dx

=

pg (Y - y) dx.

Vi ser att detta moment är O om d

t

1 (Y - y ) dx = _a.......,2b,-----~2

2

fa (Y-y)dx

Detta innebär att y-koordinaten för områdets masscentrum ges av formeln

1 [b

YT

= A Ja ½(Y2 -

y2) dx.

(13)

I diskussionen ovan har vi förutsatt att funktionerna Y (x) och y ( x) är kontinuerliga i intervallet [a, b] samt att Y (x) > y (x) i detta intervall.

Exempel 7.40 Bestäm masscentrum för det område som begränsas av parabeln y = x 2 och linjen y = 2 - x. 395

Kapitel 7.

1illämpningar av integraler oclulerivator

Lösning: Här är Y = 2 - x och y = x 2 • Vi får då

A

=

1 11 2.1 1

(2-x-x 2 )dx=;,

-2

-1

A _2

YT

1

=

A

-2

x(2 - x - x 2 )dx

1 = --, 2

!((2-x)2-(x2 ) 2 )dx=~-

2

Områdets masscentrum har alltså koordinaterna (-1/2, 8/5).

Exempel 7.41 Antag att funktionen

h (x) 2:: fi(x) 2:: 0 i intervallet [a, b].

Om området i figuren roterar ett varv kring x-axeln bildas en kropp med volymen

V

1b

1b

=

1r

=

{enligt (7.13)} = 21ryrA.

fi.(x)dx - 1r

J;(x)dx

=

Ovanstående fonnel kallas för Guldins andra regel. Den kan i ord uttryckas på följande sätt: Rotationskroppens volym är lika med produkten av ytans area och dess masscentrums väg.

+ (y - b) 2

= r 2 (r < b) roterar ett varv kring x-axeln, varvid en ringfonnad kropp (en s.k. torus) uppkommer. Beräkna torusens volym.

Exempel 7.42 Cirkelnx2

396

7.10

Kinetisk energi, tröghetsmoment

Lösning: Av symmetrin följer att cirkelskivans masscentrum är (0, b). Eftersom arean av cirkelskivan är 1rr 2 ger Guldins andra regel (se exempel 7.41 ovan) V= 21rb · 1rr2 . (Jämför med övning 7.3.)

7.10 Kinetisk energi, tröghetsmoment Betrakta en partikel med massan m som roterar omkring en axel med vinkel hastigheten = rw och partikelns

w. Om partikelns avstånd från axeln är r så är dess fart v kinetiska energi Tär lika med mv 2

m(rw) 2

2

2

Genom att utnyttja denna formel samt att kinetiska energin för ett partikelsystem är lika med summan av partiklarnas kinetiska energier kan man bestämma kinetiska energin för en kropp som roterar kring en axel.

--h V

cp

X

Exempel 7.43 En tunn homogen, rektangulär skiva med kantlängdema a och b och massan m roterar med vinkelhastigheten w kring en axel som går genom skivans ena kant (se höger figur ovan). Bestäm skivans kinetiska energi.

Lösning: Betrakta ett masselement med bredden ~x på avståndet x från axeln. Elementets massa är pa~x. där p = m/(ab) är massbeläggningen per areaenhet. Elementets fart är wx. Dess kinetiska energi är alltså

L~a~x(wx)2 = w2mx2~x_ 2ab

2b 397

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler oclulerivator

Summering och gränsövergång ger då att skivans totala kinetiska energi är

Vi ska nu generalisera iden i exempel 7.43. Antag att vi har en tunn platta som roterar med vinkelhastigheten w kring en axel L i skivans plan.Vi antar att plattan har konstant tjocklek och att denna är liten jämfört med plattans övriga mått samt att massbeläggningen per areaenhet p är konstant. Betrakta masselementet i figuren. Kinetiska energin hos detta är approximativt lika med

!h(x)~xp 2..__., ·

(lx___... - cl· w)

massa

fart

2

L Summering och gränsövergång ger att skivans totala kinetiska energi Tär lika med

1b2 l

2

2

w p · (x - c) h(x)dx

1 2 1b = -w p • (x 2

c)2 h(x)dx.

a

J:

Integralen p (x - c)2 h(x)dx kallas för skivans masströghetsmoment med avseende på axeln L och betecknas h. Vi kan alltså skriva

Exempel 7.44 Av exempel 7.43 får vi direkt att tröghetsmomentet för en tunn rektangulär platta med avseende på en axel längs en sida är mb2 /3.

398

7.11

Blandade exempel

7.11 Blandade exempel Vid praktisk användning av integraler genomför man ofta inte gränsvärdesresonemanget med hjälp av Riemannsummor i detalj. I detta avsnitt ska vi visa några typiska exempel på sådana förenklade resonemang.

Exempel 7.45 Två punktformiga elektriska laddningar Q 1 och Q2 påverkar varandra med en kraft F som är proportionell mot vardera laddningen och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan laddningarna (Coulombs lag). Alltså gäller F

= kQ1Q2 r2

där r är avståndet mellan partiklarna och k en konstant. Vidare gäller att laddningarna repellerar varandra om de har samma tecken och attraherar varandra om de har olika tecken. Antag nu att vi har en tunn homogen stav med laddningen q per längdenhet. Beräkna den kraft med vilken staven attraherar en punktformig laddning Q2 med motsatt tecken som befinner sig i stavens förlängning på avståndet a från stavens närmaste punkt. Stavens längd är l.

Lösning: Vi väljer x-axel så att stavens ändpunkter har koordinaterna Ooch l. Elementet i figuren har laddningen qt::..x och befinner sig på avståndet a + (l - x) från laddningen Q2 Det lilla elementet attraherar därför Q2 med kraften

kQ2q!::..x (a + l - x) 2 · Summering och gränsövergång ger då att totala kraften är

[' }0

där Q 1

kQ2q dx _ [ kQ2q ] 1 2 (a + l - x) a +l - x O

kQ2ql a (a + l)

= ql är stavens totala laddning.

Exempel 7.46 Om en konstant likström I passerar genom ett motstånd med resistansen R så utvecklas under tiden t värmeenergin R/2 t. Antag nu att en variabel ström, t.ex. en sinusformad växelström i(t) = io sinwt, flyter genom motståndet. Hur stor energi utvecklas under tidsintervallet [t1, t2]? 399

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

Lösning: Under ett kort tidsintervall ~t utvecklas (approximativt) energin Ri 2 (t)~t och man inser att under tidsintervallet [t 1, t2] utvecklas vänneenergin

1t 2

1

Ri 2(t)dt =

Rig

1t

2

ti

sin2 wtdt =

Ri 2 ( sin 2wt2 - sin 2wt1 ) • 2w 2 t2 - t1 -

°

Anmärkning: I fysikalisk och teknisk litteratur skriver man ofta dx och dt istället för ~x respektive ~t redan från början. Vanligt är också att man säger att dx är en infinitesimal sträcka ("oändligt kort") och att dt är ett infinitesimalt tidsintervall. Detta är en kvarleva från 1700-talets synsätt på dessa problem och får inte uppfattas alltför bokstavligt (oändligt korta sträckor finns naturligtvis inte). Diskussioner av detta slag (även våra ovan) är praktiska minnesregler, men de är inga matematiska bevis.

Exempel 7.47 En oljetank i form av en rät cirkulär cylinder med radie R och horisontell axel är till hälften fylld med olja med densiteten p. a) Bestäm totala tryckkraften på en av behållarens plana sidor. b) Bestäm angreppspunkten för den totala tryckkraften.

,.,..,..,..,..,.,..,..,..ji-,-

~--...,___L

lt

ll'f

Lösning: a) För att lösa denna uppgift utnyttjar vi att: (I) På djupet h i en vätska med densiteten p är vätsketrycket p = pgh. (2) I en godtycklig punkt i en vätska är vätsketrycket samma i alla riktningar. (3 ) Den totala tryckkraften på en plan yta med arean A som utsätts för ett konstant tryck p är pA.

I vårt problem varierar dock trycket. Vi kan därför inte direkt utnyttja (3) för att bestämma totala tryckkraften men om vi delar in ytan i lämpliga ytelement kan vi använda (3) för att få en approximation av kraften på ett sådant element. Vi väljer koordinatsystem som i figuren.Som ytelement väljer vi "smala" rektanglar, paral-

400

7.11

Blandade exempel

lella med vätskeytan. Kraften på en sådan rektangel är approximativt pgy2x!:l.y = 2pgyJR2 - y 2!:l.y. Totala kraften blir då

f

= [-2pg (n:-y')'I'[ = 2p;R"

2pgyJW -y'dy

b) Tryckkraftens angreppspunkt kallas för tryckcentrum. För att bestämma läget av tryckcentrum använder vi oss av momentlagen, som säger att totala tryckkraftens moment med avseende på en axel är lika med summan av delkrafternas moment med avseende på samma axel. Av symmetrin följer genast att tryckcentrum ligger på y-axeln. För att bestämma y-koordinaten för tryckcentrum betraktar vi momentet med avseende på x-axeln. Tryckkraften på ytelementet i figuren är approximativt 2pgyJR2 - y2f:l.y

och momentet med avseende på x-axeln är approximativt 2pgyJR2 - y 2!:l.y • y (kraft• hävarm).

Summering och gränsövergång ger då att totala momentet med avseende på x-axeln är

foR 2pgyJR2 [-2pg

y 2 • ydy = (partiell integration)=

(n:- y

2

1\ [

)'

+ 2i'

f

(Il' _

y')

3/2 dy

=

= O+ 2pg 31r R4 = pg1r R4 Den sista integralen beräknas med hjälp av substitutionen y i övning 6.32b på sid. 350.

3 16 8 . = R sina samt formeln

Om tryckcentrums y-koordinat är y får vi följande ekvation F

- pg1rR4 Yc B ·

Men enligt a) är F

= 2pgR3 3

Alltså är Yc = 31rR/l6 ~ 0.59R. Detta kan jämföras med tyngdpunktens ykoordinat som är 4R/ (31r) ~ 0.42R (se övning 7.61). Tryckcentrum ligger alltså på större djup än tyngdpunkten. Detta beror på att trycket ökar med djupet under vätskeytan. Exempel 7.48 En krona som förtjänas idag är mera värd än en krona som förtjänas om ett år. Detta påstående är sant även om man bortser från inflationen, beroende på 401

Kapitel 7.

Ttllämpningar av integraler ochderivator

förräntning. I exempel 2.50 sid. 122 visade vi att ett kapital ko vid s.k. kontinuerlig kapitalisering med räntan p % efter tiden t vuxit till k(t) = koept/too_ Av detta följer att nuvärdet av ett kapital som vid tiden tär värt k(t) är ko = k(t)e-pt/too (förutsatt att kapitaliseringen sker kontinuerligt). Betrakta nu ett företag som genom att investera en viss summa pengar idag räknar med att göra en vinst som efter tår är f(t) kr/år. Under ett litet tidsintervall l::,,.t är då vinsten approximativt f(t)l::,,.t kronor. Nuvärdet av detta belopp är f(t)e-pt/IOOt::,,,t och totala nuvärdet av vinsten i tidsintervallet [O, T] är således

lT

f (t)e-pt/1oodt.

Avslutningsvis ska vi diskutera en allmän princip om vilka problem som kan tänkas leda till integraler. Flera fysikaliska, tekniska och andra storheter beräknas som produkter av två andra storheter. Typiska exempel utgör arean (av en rektangel)= höjden-basen arbetet= kraften-vägen vägen= farten-tiden energiförbrukningen= effekten-tiden. Ovanstående samband gäller om faktorerna i högerleden är konstanter. Om dessa varierar så gäller dock fortfarande att begreppen i vänsterleden har mening. Ofta gäller då att det kan beräknas genom integration. Betrakta t.ex. sista likheten ovan som i formelspråk kan skrivas W = P(t2 - t 1 ), där W är energiförbrukningen, P effekten och t 2 - t 1 tiden. Om effektuttaget P varierar med tiden så att P = P(t) så gäller

1 t2

W

=

P(t)dt.

I

För att en sådan generalisering ska fungera krävs dock att storheten i vänsterledet är additiv. I exemplet med energiförbrukning vid konstant effektuttag, så innebär detta villkor att om vi delar in tidsintervallet [t 1 , t2] i ett antal delintervall så ska totala energiförbrukningen vara lika med summan av energiförbrukningen i dessa delintervall. Att så är fallet är genast klart.

402

7.12 Övningar 7.12.1 Volymer

7.1 Beräkna volymen av de rotationskroppar som uppstår då följande kurvor roterar kring x-axeln a) y = Jx, 0 ~ x ~ h (paraboloid), b) y = sin ,r /2 ~ x ~ ,r,

i,

c) y

= 1n x, 1 ~ x

~

x2 d) a 2

e,

y2

+ b2 = 1 (rotationsellipsoid).

7.2 Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då kurvan X

y

= 1 + x2' 0 ~

x ~ a,

roterar kring x-axeln. Bestäm även gränsvärdet av volymen då a

-+

oo.

7.3 Beräkna volymen av den ringformade kropp (en s.k. torns) som uppkommer då cirkeln x 2 + (y - 4) 2 = 4 roterar kring x-axeln.

7.4 a) Beräkna volymen av en rak cirkulär kon med basradie R och höjd h. Ledning: Låt ett lämpligt valt linjestycke rotera omkring x-axeln. b) Beräkna volymen av en parallellt stympad rak cirkulär kon med höjden h och basradierna r respektive R. c) Ett glas i form av en parallellt stympad rak cirkulär kon är fyllt till höjden h/2. Beräkna hur stor del av glaset som är fyllt om R = 3r.

a

---

7h

~ ..._:·.:'l___....l

403

Kapitel 7.

1illämpningar av integroler ochderivator

7.5 Beräkna volymen av tetraedern i nedanstående figur(vänster). I,

y

(a,0,c)

(t,t ,o) X

7.6 I ovanstående figur (höger) visas en kropp sådan att varje snitt genom kroppen vinkelrät mot z-axeln är ett parallelltrapets (urartat för z = 2). a) Bestäm tvärsnittsarean A(z), b) Beräkna kroppens volym. 7.7 Beräkna volymen av de båda delarna av det snett avskurna rätblocket i följande figur (vänster)

z

y X

7.8 Beräkna volymen av kroppen i den högra av ovanstående figurer (en rät cirkulär cylinder avskuren av ett plan genom en diameter i basytan). 7.9 Genom ett klot med radie R är borrat ett cylindriskt hål med radien r. Hålets axel är diameter i klotet. 404

a) Beräkna volymen av den återstående delen av klotet om r = R/3. Ledning: Välj hålets axel till x-axel. b) Vilken radie ska hålet ha för att volymen av den återstående delen av klotet ska vara hälften av hela klotets volym?

7.10 En ny typ av specialkil enligt nedanstående ritning skall gjutas av stål. Till hur många kilar räcker I m3 stål om man vid gjutningen räknar med 0.2 % spill som inte går att återanvända?

'

1+-~-~-+

(lllipa) _ _ _ __..

Sl

.......,

Del.•nr

2/'S/'lC&C. Mocl.•nr ne DIIM!lllon

-AD 7.11 Det område i första kvadranten som begränsas av kurvan y = 2x4 + 1 , linjerna y =

3, y = 9 samt y-axeln roterar kring y-axeln. Beräkna volymen av den uppkomna rotationskroppen.

7.12 a) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då området som begränsas av kurvan y = x 2 e-x 2 , positiva x-axeln samt linjen x = a roterar kring y-axeln. b) Beräkna gränsvärdet av volymen då a-+ oo.

7.13 Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer då det område som begränsas av kurvan y = sin2 x, 0 ~ x ~ rr, och x-axeln roterar kring y-axeln.

405

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

7.14 Skissera följande kurvor. Eliminera parametern t i de fall detta är möjligt och ange om kurvan är en funktionskurva. X=

t3

a) { Y

= t2

x c) { y

= cos22 t = sin t

,

x

-2 :'.S t :'.S 2,

'

O< t

-

y

x

0, b)r = cos0, -1r/2 S 0 S 1r/2, c)r = e8 1( 21rl,d)r = l+sin20.

C

7.36 En smal stång roterar omkring en punkt O på stången med 1.5 varv/s. På stången befinner sig en larv som kryper mot O med den konstanta farten 0.5 cm/s. Antag att larven startar i punkten r = 60 (enhet: cm), 0 = 0 i ett polärt koordinatsystem där 0 är pol (origo). Bestäm larvens bana i planet på formen r = /(0). 7.37 Rita den i polära koordinater givna kurvan a) r = sin2 0, b) r = 1r/0, 0 > 0.

7.38 Skriv ekvationen för kurvan r . { 7.39 Skri v e kvattonen

x

y

= sin 0 i rätvinkliga koordinater.

= e2t2t cos t . t = e SID

.

1 po

I"ara koord'mater.

7.40 Bestäm i polär form ekvationen för kurvan 4x 2 + 4y 2

= (2 -

x) 2 . 409

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

7.41 Bestäm arean av följande områden: a) En ögla av kurvan r = lcos 201 . (Se exempel 7.28.) b) Det område som begränsas av kurvan r = 1 + cos 9, 7.26.) c) Den gemensamma delen av cirklarna r = cos 9 och r

-1r

~9~

1r.

(Se exempel

= sin 9. (Rita figur!)

7.42 Bestäm längden av a) spiralen r = e- 9 mellan 9 = 0 och 9 = 21r, b) kurvan r = 202 mellan 9 = 0 och 9 = Js, c) kurvan r = sin3 mellan 9 = 0 och 9 = 31r.

!

7.43 Två partiklar startar från origo och rör sig i xy-planet. Den första rör sig längs en rät linje med okänd riktning och med konstant fart. Den andra partikeln startar en sekund senare och med dubbelt så stor fart. Vilken kurva ska den andra partikeln följa för att säkert kollidera med den första?

7.12.5 Arbete och kurvintegraler 7.44 En kropp förflyttas längs x-axeln från x = 1 till x Beräkna det uträttade arbetet. (Enheter: m och N).

= 3 av kraften F (x)

= sin2 1r3z.

7.45 När en fjäder sträcks eller trycks ihop så är kraften (i stort sett) proportionell mot fjäderns längdändring x (Hookes lag).

F För en viss fjäder gäller att när fjädern belastas med 250 N så förlängs den 5 cm. Beräkna det arbete som krävs för att tänja ut fjädern I Ocm.

7.46 Enligt Newtons gravitationslag gäller att jordens dragningskraft på en kropp med massan m som befinner sig på avståndet x från jordens medelpunkt är F (x) = GmM / x 2 , x ~ R, där G är den s.k. gravitationskonstanten, M är jordens massa och R dess radie. a) Om x = R så är dragningskraften lika med kroppens tyngd vid jordytan, dvs. mg, där g är tyngdkraftsaccelerationen. Använd detta för att visa att F (x) = mgR2 /x 2 ,

410

7.12

Övningar

x2::R. b) Beräkna hur stort arbete som (minst) krävs för att sända upp en kropp med massan m till höjden h ovanför jordytan. Förflyttningen antas ske rätlinjigt. Luftmotståndet

försummas.

c) Hur stort blir arbetet om man räknar med konstant tyngdkraft mg? Jämför med resultatet i b). Slutsats? d) Bestäm den minsta hastighet som kroppen i b) måste ha för att kunna frigöra sig från jordens dragningskraft. Ledning: Använd exempel 7.32 sid. 386.

7.47 I en cylindrisk behållare försedd med en lättrörlig kolv är luft instängd. När trycket p är 20 N/cm2 är luftens volym V lika med 10 dm 3 • Bestäm det arbete som krävs för att komprimera luften till volymen 5 dm 3 a) om kompressionen sker vid konstant temperatur. I detta fall gäller Boyles lag: p V = konstant. b) om kompressionen sker adiabatiskt, dvs. utan värmeutbyte med omgivningen. I detta fall gäller pV1. 4 = konstant.

••

•: r•••• • • I

'-••••

Ledning: Om cylinderns tvärsnittsarea är A så är kraften på kolven pA. 7.48 En flotte av trä i form av ett rätblock med bredden b = 1 m, höjden h = 0.5 m och längden l = 2 m flyter i vatten. Flottens densitet är p =800 kg/m3 och vattnets densitet är 1000 kg/m 3 . a) Beräkna det arbete som krävs för att lyfta flotten upp ur vattnet. b) Beräkna det arbete som krävs för att pressa ner flotten så att den befinner sig helt under vattenytan. Ledning: Enligt Archimedes princip är vattnets lyftkraft lika med tyngden av den undanträngda vattenmassan.

411

Kapitel 7.

Tillämpningar av integraler ochderivator

t

7 49 En partikel rör sig längs kurvan{ x = 21 t t 2 från punkten ( 1,2) till punkten • y= t + + (2,5) under inverkan av kraften F = (x 2 + y, 2x). Beräkna det utförda arbetet.

7.50 Beräkna arbetet när en partikel förflyttas längs en halvcirkel i xy-planet från (R, 0) till ( - R, O). Kraften attraherar partikeln mot punkten ( - R, 0) och dess belopp är proportionellt mot avståndet mellan partikeln och punkten ( -R, 0). Proportionalitetskonstanten är k.

(R,o)

:X

7.51 En partikel glider längs skruvlinjen x=acos +

i sin(/>).

De Moivres formel ger att (9.4) är ekvivalent med

lzln (cosn0 +

i sin n0) =

lwl (cos (/>+i sin(/>).

Denna ekvation i sin tur är ekvivalent med

{ lzln = lwl' n0 = (/> + 2k1r, k = 0, ±l, ±2, ... , dvs. med

{

lzl = lwll/n, 0=(/>/n+2k7r/n, k=0,±1,±2, ...

För k = 0, l, 2, ... , n - l får vin st. olika rötter nämligen

2k7r) + ism .. ((/>-;;_- + --:;;2k7r))

,,/i:'::i z= v rw1 ( cos ((/>-;;_- + --:;;-

464

9.8

Funktionen ez

och detta uttryck ger alltså den rötterna till ekvationen {9.4). Rötterna har samma absolutbelopp och deras argument är

0

u 91(.t)

T

0

Vi förutsätter att inspänningen modell.

uin

R.

"'

(t) är sinusfonnad och övergår till en komplex

~I ~T

0

ui't\ 0

0

uut

Här är Uin och Uut komplexa spänningar och deras belopp och fas kan skrivas

Uin

= IUinl ei(wt+cp,,.),

Uut

= IUutl ei(wt+cp,.,),

Vid analysen förutsätter vi att utgången är obelastad, dvs. i praktiken att utgången belastas av en förstärkare, ett instrument etc. med mycket hög impedans. Genom att beräkna spänningen över R och C och förenkla får vi 1

Ywc

Uut = R

+ ·le Uin JW

1

= l

+ jwRCUin

vilket ger

{

IUutl = ✓

l 1 + (wRC)2

IUinl

'Put = 'Pin - arctan (wRC) Förstärkningen

I~:~,

som här blir :S 1, och fasvridningen 'Put - 'Pin visas i nedan-

stående figurer.

O+----------.---► ~

1/(RQ

472

9.11 Övningar 9.11.1 Definition och räknelagar 9.1 Skriv följande tal på formen a + bi, a och b reella. a) (1 + i) (2 + 3i)2,

b) (1 + i) 4 t)

9.2 Beräkna a) Im (5 - i) (4 +i), 9.3 Låt z

i)

1+ g) ( 1 - i

·4 i

1

c) ; : ;i,

,

'

d) -:-, i

3

_ (~)

3

1+i

'

b) Re ( (1 + i) (1 - i) + i (1 + 2i)).

= x + iy, x, y reella. Beräkna a) Re z2 , b) Im (iz) .

9.4 Beräkna a) 12 - 5il, b)

I!~!! I,

c)

1(1 + 2i) 2 (12 -

5i)I.

(1 - 3i) (1 + i) 17 9.5 Bestäm beloppet av - - - - - i (3 - i) 5 9.6 Bestäm de komplexa tal med belopp 1 för vilka det gäller att Il+ izl 9.7 Visa att om z är ett komplext tal med belopp I så gäller 1 2z z _- 2l Utnyttja att lwl 2 = w · w.

1

= 1.

= 1. Ledning:

9.8 Bestäm beloppet av 1 + cos