Collected Works 3030816249, 9783030816247

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Ulf Rehmann Yuri Tschinkel Editors

Martin Kneser Collected Works

Contemporary Mathematicians Joseph P.S. Kung Editor

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Ulf Rehmann • Yuri Tschinkel Editors

Martin Kneser Collected Works

Editors Ulf Rehmann Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Bielefeld, Nordrhein-Westfalen Deutschland

Yuri Tschinkel Courant Institute of Mathematical Sciences New York University New York, NY, USA

Contemporary Mathematicians ISBN 978-3-030-81624-7 ISBN 978-3-030-81625-4 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-030-81625-4 Mathematics Subject Classification (2020): 06-XX, 11-XX, 12-XX, 14-XX, 18-XX, 20-XX, 22-XX, 28-XX © The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021, Corrected Publication 2022 This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. This book is published under the imprint Birkhäuser, www.birkhauser-science.com by the registered company Springer Nature Switzerland AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Contents

Preface Life and Main Research Areas of Martin Kneser Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 by Ulrich Stuhler List of Publications by Martin Kneser Lectures given by Martin Kneser Review of Kneser’s Work on Algebraic Groups and the Hasse Principle and Subsequent Developments by Raman Parimala Martin Kneser’s Work on Quadratic Forms and Algebraic Groups by Rudolf Scharlau Martin Kneser’s Publications 1. Eibereiche mit geraden Schwerlinien 2. Abhängigkeit von Funktionen 2a. Nachtrag zu der Arbeit “Abhängigkeit von Funktionen” 3. Über den Rand von Parallelkörpern 4. Zum expliziten Reziprozitätsgesetz von I. R. Šafarevič 5. Bemerkung über die Primpolynomzerlegung in endlich vielen Schritten 6. Die Norm einer Algebra 7. Quadratische Formen und Verschlingungsinvarianten von Knoten (jointly with Dieter Puppe) 8. Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen 9. Zur Theorie der Kristallgitter 10. Bestimmung des Zentrums der Cliffordschen Algebren einer quadratischen Form über einem Körper der Charakteristik 2 11. Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen 12. Two remarks on extreme forms 13. Einige Bemerkungen über das Minkowskische Flächenmaß 14. Aufgabe 360 15. Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern 16. Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen 17. Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veränderlichen 18. Klassenzahlen definiter quadratischer Formen 19. Unzerlegbare modulare Darstellungen endlicher Gruppen mit zyklischer p-Sylow-Gruppe (jointly with F. Kasch and H. Kupisch) Martin Kneser · Collected Works

ix 1 1 15 21 25 31 51 51 53 72 73 85 93 97 101 111 137 139 143 149 154 163 165 173 197 207 218 v

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CONTENTS

20. Klassenzahlen quadratischer Formen 21. Kleine Lösungen der diophantischen Gleichung ax2 + by 2 = cz 2 22. Embeddings in groups of countable permutations (jointly with E. Świerczkowski) 23. Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden (jointly with H. Kneser) 24. Über die Darstellung algebraischer Raumkurven als Durchschnitte von Flächen Comment to the preceding article 25. Beispiel einer dimensionserhöhenden analytischen Abbildung zwischen überabzählbaren Mannigfaltigkeiten 26. Darstellungsmaße indefiniter quadratischer Formen 27. Approximationssätze für algebraische Gruppen 28. Schwache Approximation in algebraischen Gruppen 29. Einfach zusammenhängende algebraische Gruppen in der Arithmetik 30. Erzeugende und Relationen verallgemeinerter Einheitengruppen 31. Starke Approximation in algebraischen Gruppen I 32. Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern I 33. Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern II 34. Hasse principle for H 1 of simply connected groups 35. Strong approximation 36. Einige Bemerkungen über ganzzahlige Darstellungen endlicher Gruppen 37. Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen quadratischer Formen 38. Semi-Simple Algebraic Groups 39. Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen endlichen klassischen Gruppen 40. Normal subgroups of integral orthogonal groups 41. Functors between categories of vector spaces (jointly with D. B. A. Epstein) 42. Witts Satz über quadratische Formen und die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen 43. Witts Satz für quadratische Formen über lokalen Ringen 44. Invariante Untermoduln quadratischer Moduln (jointly with A. Kallmann und U. Stuhler) 45. Lineare Abhängigkeit von Wurzeln 46. Representations of positive definite quadratic forms (jointly with John S. Hsia and Yoshiyuki Kitaoka) 47. Konstruktive Lösung p-adischer Gleichungssysteme 48. Normalteiler ganzzahliger Spingruppen vi

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220 233 245 248 251 253 255 257 265 267 280 285 291 307 316 339 345 355 359 368 384 389 393 401 415 425 429 431 443 447

CONTENTS

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49. Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra 50. Erzeugung ganzzahliger orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen 51. Einheitengruppen indefiniter quadratischer Formen 52. Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen Comment to the preceding article 53. Composition of binary quadratic forms 54. Komposition binärer quadratischer Formen 55. Representations of integral quadratic forms Comment to the preceding article 56. Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen (jointly with U. Betke) 57. Composition of quaternary quadratic forms (jointly with M.-A. Knus e.a.) 58. Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984 59. Max Deuring 9.12.1907 bis 20.12.1984 60. Komposition quadratischer Formen 61. Fachverband—Institut—Staat. Streiflichter auf das Verhältnis von Mathematik zu Gesellschaft und Politik in Deutschland seit 1890 unter besonderer Berücksichtigung der Zeit des Nationalsozialismus by Norbert Schappacher, in cooperation with M. Kneser 62. Oswald Teichmüller—Leben und Werk (jointly with Norbert Schappacher e.a.) 63. Martin Eichler (1912–1992) 64. Ernst Witt 26. Juni 1911–3. Juli 1991 65. Einige Bemerkungen zum Vierscheitelsatz 66. Die Akten der alten DMV (jointly with Moritz Epple and Dieter Speck) 67. Ein etwas anderer Zugang zur Exponentialfunktion 68. Another proof of Gauss’ three squares theorem Miscellanea Book Reviews H. H. Ostmann, Additive Zahlentheorie H. Brandt und O. Intrau, Tabellen reduzierter positiver ternärer quadratischer Formen G. L. Watson, Integral Quadratic Forms R. Remmert und P. Ullrich, Elementare Zahlentheorie Problems and Solutions “Aufgabe 360: The Kneser Conjecture” by Günter M. Ziegler Correction to: Martin Kneser Collected Works

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565 647 687 696 699 709 713 719 723 723 723 724 725 726 729 743 C1

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Preface This volume presents the collection of mathematical articles by Martin Kneser, including one yet unpublished. Moreover, we have included an article by R. Parimala discussing Kneser’s work concerning algebraic groups and the Hasse principle, which has been written especially for this volume, as well as an article by Rudolf Scharlau about Kneser’s work on quadratic forms, which has been published elsewhere before. Also, a commentary article by Günter M. Ziegler describes the astounding influence on the field of combinatorics of what was published as “Aufgabe 360” and its subsequent solution in 1955 resp. 1957 in the “Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Volumes 58 resp. 59. However, Kneser’s mathematical interests were much broader, as can easily be seen by looking over the titles of his articles. This has been beautifully discussed in the obituary (Nachruf) by Ulrich Stuhler, which therefore has also been included, and which does contain a list of all of Kneser’s publications. A title list of lectures given by Kneser is appended there as well. The articles themselves have mostly been scanned from Kneser’s personal copies, and some of them did contain his own handwritten annotations, which in many cases we left with editorial comments where we did find that useful. Two of them are commented further, incorporating mathematical remarks by Kneser or by extending further mathematical developments of the topic discussed. The articles are ordered chronologically, except for Kneser’s book reviews and for a few “problems and solutions” from the “Jahresbericht der DMV” and the “American Math. Monthly”, which have been added at the end. We would like to thank the many people who helped getting this volume completed, among them are Péter Frankl, Zoltán Füredi, David Eisenbud, Christiane Gieseking, Gyula Katona, Max Knus, László Lovász, Raman Parimala, Norbert Schappacher, Rudolf Scharlau, Rainer Schulze-Pillot, Birgit Seeliger, Ulrich Stuhler, Stefan Wiedmann, Günter Ziegler, as well as the Birkhäuser Verlag with Sarah Goob, Sabrina Hoecklin, and several others. Ulf Rehmann and Yuri Tschinkel

The original version of this book was revised. Due to a mistake by the publisher, the Book Editor’s name was incorrectly listed as chapter author in the electronic version. The correction to this chapter is available at https://doi.org/10.1007/9783-030-81625-4_8.

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Life and Main Research Areas of Martin Kneser Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 by Ulrich Stuhler

Am sechzehnten Februar 2004 verstarb kurz nach seinem 76. Geburtstag nach jahrelanger schwerer Krankheit Martin Kneser in Göttingen. Sowohl der Großvater Adolf Kneser (1862 – 1930) als auch der Vater Hellmuth Kneser (1898 – 1973) waren herausragende Mathematiker, und wenn man bedenkt, daß der Großvater im Berlin der 1880er Jahre noch bei Kronecker und Weierstraß Vorlesungen gehört hat und der Vater 1921 bei Hilbert promoviert hat, ist offenkundig, daß sich in dieser Familiengeschichte ein beträchtlicher Teil der Mathematik im Deutschland der letzten 130 Jahre widerspiegelt. Adolf Kneser war vorwiegend reeller Analytiker. Auch heute noch bekannt sind zwei einschlägige Lehrbücher von ihm über Variationsrechnung bzw. Integralgleichungen. Hellmuth Kneser war in den zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts wesentlich an der Entwicklung der damals noch jungen Topologie beteiligt, wobei sein Hauptinteresse der niederdimensionalen Topologie galt, einem Gebiet, das nach einem gewissen Dornröschenschlaf, während dessen vor allem die abstrakten algebraischen Methoden entwickelt wurden, seit etwa 30 Jahren wieder im Zentrum des mathematischen Interesses und insbesondere in dem der Topologen steht. Martin Kneser wurde am 21.1.1928 in Greifswald, wo sein Vater seit 1925 ordentlicher Professor war, als erster von drei Brüdern geboren. 1937 zog die Familie nach Tübingen, Ulrich Stuhler, Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 108, No. 1, 45-61 c (2006). Deutsche Mathematiker-Vereinigung and Springer-Verlag GmbH Germany, ein Teil von Springer Nature.Reprinted with permission from Springer Nature.

The original version of this chapter was revised. Due to a mistake by the publisher, the Book Editor’s name was incorrectly listed as chapter author in the electronic version. The correction to this chapter is available at https://doi.org/10.1007/9783-030-81625-4_8. © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021, Corrected Publication 2022 U. Rehmann, Y. Tschinkel (eds.), Martin Kneser Collected Works, Contemporary Mathematicians, https://doi.org/10.1007/978-3-030-81625-4_1

Ulrich Stuhler wohin Hellmuth Kneser einen Ruf erhalten hatte. Nach dem Kriegsabitur 1944 und einem sehr kurzen, aber sicher nicht ungefährlichen Intermezzo als Soldat mit anderen Schulkameraden in “des Führers letztem Aufgebot” konnte Martin Kneser sein Studium im Wintersemester 1945/46 im heimatlichen Tübingen beginnen. Es folgten Studienaufenthalte in Göttingen und Berlin, wo er sich dem Kreis um H. Hasse anschloss, zu dem damals beispielsweise Jehne, Leopoldt und Roquette gehörten. Hier lernte er auch seine Frau Jutta Kneser (geb. Hasse) kennen, die er 1950 heiratete und mit der er drei Kinder hat. Die Familie spielte Zeit seines Lebens eine zentrale Rolle für Kneser, und auch der freundschaftliche Kontakt zu den anderen Mitgliedern des Kreises um Hasse sollte die Jahrzehnte überdauern.

Martin Kneser und seine 3 Kinder; 1959 Da Kneser schon als Student von außerordentlicher mathematischer Brillanz war, ließen Fortschritte nicht lange auf sich warten und so fallen schon in diese Zeit die ersten Veröffentlichungen ([1]– [4] ), übrigens aus sehr verschiedenen mathematischen Gebieten. Die Promotion erfolgte 1950, naheliegenderweise nicht bei Hasse, sondern mit der Arbeit [3] bei Erhardt Schmidt. Die Arbeit [4] zum expliziten Reziprozitätsgesetz, im Alter von nur 23 Jahren geschrieben, gehört bereits zu den großen Leistungen im Werk Martin Knesers. Zeitgleich wurden entsprechende Untersuchungen von Igor Shafarewich veröffentlicht. Beide Arbeiten betreffen ein Thema, das im 19. Jahrhundert bereits Gauss, Jacobi, Eisenstein, Kummer und Kronecker beschäftigt hatte und setzen klassische gemeinsame Untersuchungen von E. Artin und H. Hasse fort. Sie fanden erst einen gewissen Abschluss in der bekannten Dissertation von H. Brückner [Brü] in Hamburg 1964. Anfang 1951 besuchte Kneser mit einem Stipendium die Universität Hamburg. Aus dieser Zeit datiert auch seine Freundschaft mit H. Leptin. 1951 folgte er schließlich F.K. Schmidt als Assistent nach Münster, etwas später, Mitte 1952, nach Heidelberg. Münster war Anfang der fünfziger Jahre die vielleicht aktivste mathematische Fakultät in Deutschland. Auf der einen Seite stand die funktionentheoretische Schule von H. Behnke mit vielen jungen Talenten wie Grauert, Hirzebruch, Remmert und anderen, die sehr 2

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 bald internationale Anerkennung erlangen sollten. Aber auch in der Zahlentheorie hätte man es mit Martin Eichler, der von 1949 bis 1956 in Münster war, kaum besser treffen können. Eichler war damals trotz eines bereits eindrucksvollen mathematischen Werks noch außerordentlicher Professor. Er beschäftigte sich zu dieser Zeit mit der Fertigstellung seines heute klassischen Buches “Quadratische Formen und orthogonale Gruppen” [Eich], in dem er die Zahlentheorie der quadratischen Formen bis hin zum Siegelschen Satz, aber auch bis zu den fundamentalen Beiträgen Heckes über die Beziehungen zur Theorie der Modulfunktionen nach einheitlichen Gesichtspunkten unter Verwendung der von E. Witt begründeten geometrischen Sprache der damals modernen linearen Algebra neu ordnete. Kneser teilte in Münster ein Zimmer mit Eichler und konnte so die Theorie der quadratischen Formen, wie er selber in der Einleitung seines Buches [QF] schreibt, “an der Quelle studieren”. Tatsächlich ging sein Beitrag auch damals schon über eine reine Rezeption weit hinaus, da Eichler wohl etwas impulsiv arbeitete und die Dinge im Detail häufig eine Präzisierung erforderten. Die Theorie der quadratischen Formen wurde so zu einem der mathematischen Lieblingsgebiete Knesers, viele seiner Arbeiten gehören in diesen Bereich, und wir kommen nachher darauf zurück. Habilitiert hat sich Kneser jedoch, bereits in Heidelberg, mit der Arbeit [8] aus der additiven Zahlentheorie. Hierher gehören auch die Arbeiten [11] und [16]. Insbesondere [8] wird heute als klassischer Beitrag zu diesem Teil der Zahlentheorie angesehen. Bekanntlich bewies H. B. Mann 1942 [Ma] für Summenmengen A + B von Teilmengen A, B der Menge der natürlichen Zahlen (inklusive Null) die fundamentale von Schnirelman und Landau vermutete Ungleichung δ(A + B) ≥ min{1, δ(A) + δ(B)} für die sog. finite oder Schnirelmann-Dichte δ(A) := inf

n≥1

N (A; n) , n

dabei ist N (a; n) := |{x ∈ A | x ≤ n}|. Systematischer als die finite Dichte verhält sich die sog. asymptotische Dichte δ ∗ (A), die durch N (A; n) δ ∗ (A) := lim inf n→∞ n gegeben ist. Eine der obigen Ungleichung entsprechende Ungleichung gilt hier nicht, vielmehr gibt es einfache Gegenbeispiele, wenn die Teilmengen A oder B im wesentlichen aus vollen Restklassen modulo einer Zahl g ∈ N bestehen. Knesers Dichtesatz in [8] zeigt nun, daß diese Art Gegenbeispiele die einzigen sind und daß ansonsten ein dem Mannschen Ergebnis völlig entsprechendes Resultat auch für die asymptotische Dichte besteht. Der Beweis ist lang und außerordentlich raffiniert. Die Arbeiten [11] und [16] betreffen verwandte Fragen bis hin zum Brunn-Minkowskischen Satz im Kontext der Maßtheorie und der Theorie der abelschen lokalkompakten topologischen Gruppen. Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler Ebenfalls in diese Zeit fällt die kleine „Aufgabe 360“ [14], ein Beitrag bzw. eine Aufgabenstellung von neun Zeilen mit einer ganz unglaublichen Spätwirkung. Es gibt heute kaum Lehrbücher über diskrete Mathematik, in der die dort eingeführten, heute Kneser-Graphen genannten Graphen, nicht viele, viele Male vorkommen. Bewiesen wurde die in der Aufgabe angesprochene Kneser-Vermutung erst 1978 durch Laszlo Lovasz [Lo] unter Einsatz von Methoden der algebraischen Topologie. Diese Ausrichtung, Verwendung der Methoden der algebraischen Topologie in der Kombinatorik, ist heute eines der zentralen Forschungsgebiete der diskreten Mathematik. Im Sommersemester 2003, im Juli, hatten wir hierzu in Göttingen einen Vortrag von Günter Ziegler im Kolloquium. Kneser konnte noch einmal, zum letzten Mal, am Kolloquium teilnehmen, und die Aufnahme und Weiterführung seiner damaligen beinahe fünfzig Jahre zurückliegenden Fragestellung war eine große Freude für ihn. Den schönen DMV-Artikel [Lon] von Mark de Longueville hat er noch im Krankenhaus kurz vor seinem Tod wahrgenommen, und es ist vermutlich das Letzte gewesen, was ihn mathematisch erreicht und beglückt hat. Doch zurück zu den fünfziger Jahren. In dieser Zeit formte sich sein Interesse an den beiden großen Gebieten, in denen die meisten seiner Arbeiten liegen, der Theorie der quadratischen Formen und der Theorie der algebraischen Gruppen. Sprechen wir zunächst von den quadratischen Formen, von denen ja auch schon oben die Rede war. Wie gesagt war durch das Buch von Eichler eine zeitgemäße Grundlegung der Theorie gegeben, von der aus offene Fragen systematisch angegriffen werden konnten. In nichtchronologischer Reihenfolge lassen sich die hierhergehörigen Arbeiten Knesers vielleicht so beschreiben: Die Arbeiten [15] und [48] studieren die Struktur orthogonaler Gruppen, zunächst in [15] über Zahlkörpern, in [48] dann über arithmetischen Zahlringen. Genauer wird in [15] die Normalteilerstruktur für orthogonale Gruppen über Zahlkörpern bestimmt, wobei die Ergebnisse für den Fall der Dimension größer als 4 vollständig sind. Dabei ist die Situation für isotrope Formen relativ einfach, schwierig ist der Fall anisotroper Formen. Entscheidendes technisches Hilfsmittel ist wieder der starke Approximationssatz von Eichler. Der Fall der Dimensionen 3 und 4, der eng mit Einheitengruppen von Quaternionenschiefkörpern verbunden ist, konnte, wenn alle endlichen Primstellen in der Algebra unverzweigt sind und die Verzweigung also nur in den reellen Primstellen stattfindet, erst viel später von Margulis bzw. Segev und Rapinchuk beantwortet werden. Die hiermit verwandte Untersuchung der Normalteilerstruktur ganzzahliger Spingruppen in [48] hat Kneser bereits in den späteren 60er Jahren aufgegriffen, vermutlich angeregt durch die damaligen Ergebnisse von Mennicke bzw. Bass, Milnor und Serre zum Kongruenzuntergruppenproblem, insbesondere für den Fall der SL(n), ( [Ba], [Me]). Die verwendeten Hilfsmittel sind ähnlich wie in [15], technisch ist diese Arbeit aber noch erheblich anspruchsvoller. Auch heute noch sind die hier vorgelegten Ergebnisse neben denen von Vaserstein [Va] die einzigen zur Normalteilerstruktur anisotroper reduktiver Gruppen über Zahlringen. Veröffentlicht hat Kneser seine Ergebnisse nach der kurzen Ankündigung in [40] erst 1979 in [48]. Ebenfalls methodisch hierher gehört die Arbeit [50], die die Erzeugung durch Spiegelungen bei ganzzahligen orthogonalen Gruppen zu indefiniten Formen (vom Witt Index ≥ 2) 4

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 betrifft und die in Antwort zu gewissen Fragen aus der Theorie der Singularitäten und der Geometrie von K3-Flächen entstanden ist [E]. Die Arbeiten [17] und [18] behandeln das Klassenzahlproblem definiter bzw. indefiniter Formen im Zusammenhang mit der von Eichler entwickelten Technik der Spinorgeschlechter und dem starken Approximationssatz. Im definiten Fall entwickelt Kneser dabei seine Methode der Nachbarbildung (an der Primstelle 2), die darin besteht, zunächst mit Hilfe des starken Approximationssatzes die Situation außerhalb von p = 2 aufzubereiten, und dann, ausgehend von einem lokalen Gitter in p = 2, sukzessive die verschiedenen Nachbarn zu untersuchen. Heute wird man diese auch algorithmisch sehr erfolgreiche Methode im Kontext der Bruhat-Tits Gebäude sehen, man vergleiche dazu etwa die bei Kneser angefertigte Dissertation [Schul] von R. Schulze-Pillot. Ebenfalls hierher gehören Knesers Untersuchungen zum Siegelschen Satz, auf den er in seinen Vorlesungen immer wieder eingegangen ist. In der Arbeit [26] wird hierzu der Fall indefiniter Gitter untersucht, hier bereits mit Verwendung der Theorie der Tamagawa-Maße und der Sprache der Adele. Die Umformulierung des Siegelschen Satzes in einen Satz über die Tamagawa-Maße orthogonaler Gruppen geschah gegen 1960, maßgeblich entwickelt durch Tamagawa, dann aber auch durch A. Weil und Kneser. Ihren ersten Niederschlag fand die neue Sichtweise in den bekannten Lecture Notes [Wei 2] von A. Weil. Besonders hervorgehoben seien noch die Arbeiten [37] und [46] über Darstellungsanzahlen quadratischer Formen. In [46] wird dabei die allgemeinste mögliche Situation der Darstellbarkeit einer definiten Form g durch eine definite Form f untersucht (die Situation bei indefiniten Formen ist auch hier einfacher) und es werden sehr allgemeine, befriedigende Resultate erreicht, sofern dim(f ) ≥ 2 dim(g) + 3 gilt, wobei die globale Darstellbarkeit zurückgeführt wird auf die Frage der lokalen Darstellbarkeit an allen Primstellen sowie auf die zusätzliche Bedingung, daß das Minimum von g in Bezug auf das von f groß genug ist. Dies verallgemeinert klassische Resultate von Kloosterman, Tartakowsky [Tar] und Raghavan [Rag] für die Fälle dim(g) = 1 bzw. dim(g) = 2, die diese analytisch mit Hilfe der Hardy-Littlewoodschen Kreismethode bzw. mit Hilfe der Theorie der Siegelschen Modulformen erhalten. [37] betrifft verwandte Fragen über lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen quadratischer Formen, die sich als lineare Relationen zwischen den zugehörigen Thetareihen widerspiegeln. Erwähnt seien schließlich noch die Folgen von Arbeiten zum Satz von Witt einerseits bzw. zur Kompositionstheorie quadratischer Formen andererseits. Den Wittschen Kürzungssatz mit seinen Varianten hat Kneser in seinen Vorlesungen immer wieder verändert behandelt unter Abschwächung der erforderlichen Voraussetzungen. Dies findet seinen entsprechenden Niederschlag in den Arbeiten [42], [43], [44]. Seine Arbeiten zur Kompositionstheorie quadratischer Formen sind vielleicht auch aus historischem Interesse entstanden, bildet die entsprechende Theorie für binäre Formen doch bereits ein wichtiges Kapitel in den Disquisitiones arithmeticae von Gauss. Heute lässt sich diese Theorie elegant darstellen mit Hilfe von invertierbaren Moduln über Clifford-Algebren und Tensorprodukten solcher Moduln. ([53], [54], [57]). In seinen Vorlesungen zur Theorie der quadratischen Formen, die Kneser häufig gehalten hat, Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler hat er diese schöne Theorie immer weiter perfektioniert. Die von D. Osterholz hergestellte Ausarbeitung der Vorlesung aus dem Jahr 1973/74 war Arbeitsgrundlage für viele Forscher in diesem Gebiet der Zahlentheorie. Ich nehme an, daß er seit langem vorhatte, dies später zu einem Buch auszuarbeiten. Seine langwierige Krankheit hätte dies vielleicht verhindert. Es ist ein Glück, daß durch die wesentliche Mithilfe von Rudolf Scharlau sich dieses Projekt doch noch realisieren ließ, so daß, nachdem Eichlers mehrfach angesprochenes Werk und auch O’Mearas schönes Buch [O’Ma] doch langsam in die Jahre gekommen sind, der mathematischen Gemeinschaft in [QF] ein würdiges Nachfolgewerk zur Verfügung steht. Die andere große mathematische Entwicklung, die Kneser in den späten 50er Jahren faszinierte, war die Theorie der algebraischen Gruppen, zu deren arithmetischem Teil er entscheidende Beiträge geliefert hat. Hervorgegangen ist diese aus der Theorie der Lieschen, oder wie man auch früher sagte, kontinuierlichen Gruppen. Nach ihrer Entstehung und ersten Grundlegung durch Sophus Lie und einer folgenden Phase, in der vor allem E. Cartan, Killing und Weyl zu nennen sind, stand diese Theorie in den frühen 50er Jahren mit ihren vielen Bezügen zu Topologie, Algebra, Analysis und mathematischer Physik im Zentrum des mathematischen Interesses. Claude Chevalley hatte in seinem auch heute noch durchaus modern anmutenden Buch “Lie groups” eine Darstellung der allgemeinen Grundlagen der Theorie gegeben. Eine entsprechende Theorie algebraischer Gruppen über beliebigen Körpern zu schaffen, insbesondere auch solchen endlicher Charakteristik, war danach aus mehreren Gründen eine der drängenden Fragen. Zum einen war ja klar, daß viele der zentralen Beispiele der Theorie, lineare, orthogonale, unitäre, symplektische Gruppen und auch die Einheitengruppen von Algebren in Wirklichkeit durch Polynomgleichungen gegeben wurden und als solche von vornherein ohne Probleme rein algebraisch über beliebigen Körpern definiert werden konnten. Dies war in der Tat längst geschehen und hatte es zum Beispiel ermöglicht, viele neue endliche einfache Gruppen zu konstruieren. Chevalleys Idee war es nun, durch Schaffung einer allgemeinen Theorie auch die Lieschen Gruppen vom Ausnahmetyp einzubeziehen und auf diesem Weg weitere endliche einfache Gruppen zu finden. Ein anderer mächtiger Impetus war weiter, daß eine entsprechende Theorie in der Situation der abelschen Varietäten seit Ende der 40er Jahre in dem gewaltigen Werk von A. Weil ([Wei1]) zum Beweis der Riemannschen Vermutung im Funktionenkörperfall bereits vorlag, in dem dort eine Theorie der abelschen Varietäten (= vollständige algebraische Gruppen) über beliebigen Körpern entwickelt worden war. Chevalleys erster Versuch zur Schaffung einer wie oben beschriebenen Theorie in [Che2] war nur teilweise erfolgreich, da er sich, wie in der transzendenten Theorie, noch zu sehr auf das Hilfsmittel der zur algebraischen Gruppe gehörenden Lie-Algebra verlassen mußte und daher im Fall positiver Charakteristik nur sehr unvollkommene Resultate erhalten konnte. Die Lage besserte sich schlagartig 1956 mit A. Borels fundamentaler Arbeit [Bo1], in der die zentrale Rolle der heute sog. Borel-Gruppen aufgedeckt wurde. Danach ging alles sehr schnell. Chevalley selber bewies, daß in einer zusammenhängenden linearen Gruppe der Normalisator einer Borel-Gruppe mit dieser selber übereinstimmt. Dies war das zentrale zusätzliche technische Resultat, aus ihm folgte alles, wie Chevalley 6

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 sagt, “durch vollständige Induktion” (was die verbleibenden technischen Schwierigkeiten allerdings mit einiger Sicherheit untertreibt). Insgesamt ergibt sich die Klassifikation der (halb)einfachen algebraischen Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beliebiger Charakteristik wie auch im klassischen Lieschen Fall im wesentlichen durch die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Zusammenfassend dargestellt wurden die Ergebnisse im Séminaire Chevalley 1956 – 1958 in [Che3], der sog. “bible”, wobei bei der endgültigen Durchführung eine ganze Reihe bekannter französischer Mathematiker beteiligt waren. Mit diesen Ergebnissen stand die Frage der Klassifikation der halbeinfachen Gruppen über beliebigen Körpern auf der Tagesordnung, und es begann eine Zeit intensivster Fortschritte in einem relativ kurzen Zeitraum. Dabei war von vornherein klar, daß ein wirklich detailliertes Verständnis insbesondere natürlich der sog. anisotropen Gruppen nicht über beliebigen Körpern zu erwarten war, sondern daß es vielmehr um zahlentheoretische Probleme ging, deren Behandlung demselben Muster folgen sollte, wie es sich bei der Behandlung der Zahlentheorie der quadratischen Formen und orthogonalen Gruppen bzw. in der der Algebren herausgebildet hatte, also Klassifikation über endlichen Körpern, über lokalen Körpern und anschließend Zusammensetzung der Ergebnisse durch ein Lokal-Global-Prinzip bzw. Hasse-Prinzip auf die globalen Körper der Arithmetik, d. h. algebraische Zahlkörper und Funktionenkörper mit endlichen Konstantenkörpern. Zwei weitere wichtige Entwicklungen am Ende der fünfziger Jahre kamen als zentrale Hilfsmittel bei diesem Projekt hinzu. Lang und Tate veröffentlichten 1958 ihre Arbeit [LaTa], in der die Methode der Galoiskohomologie, zunächst von E. Artin und Tate für eine systematische Bearbeitung der Klassenkörpertheorie verwendet, auf Fragen der Klassifikation sog. prinzipal homogener Räume angewendet wurde. Es stellte sich unmittelbar heraus, daß dies genau das Hilfsmittel war, um auch Klassifikationsfragen von linear algebraischen Gruppen systematisch in Angriff zu nehmen. Die Fortschritte waren extrem schnell, wie Serre sagt, wusste 1957 niemand etwas über Galoiskohomologie, bereits ein Jahr später war die Methode in allgemeinem Gebrauch. Der kohomologische Formalismus erlaubt auf durchsichtige Art und Weise, die zahlentheoretischen Zusammenhänge zwischen einer einfachen algebraischen Gruppe und ihrer einfach zusammenhängenden Überlagerungsgruppe herauszuarbeiten, und macht insbesondere die zentrale Rolle der einfach zusammenhängenden Gruppen in der Theorie transparent, was zum Beispiel im Fall der orthogonalen Gruppe die besondere Rolle der Spingruppen verständlich macht. Zum anderen erlaubt das von Chevalley schon in den 40er Jahren erfundene Konzept der sog. Adele die Heranziehung der Theorie der lokalkompakten topologischen Gruppen und des Haarschen Maßes. Damit ergab sich die Möglichkeit, auch den Siegelschen Satz in die neue Theorie aufzunehmen, wobei die Maßformel auf eleganteste Art umformuliert werden konnte in die Bestimmung des Haarschen Maßes gewisser homogener Räume. Knesers wichtigste Beiträge sind hier wohl die Arbeiten [31], [32] und [33]. In [32] und [33] wird das schlechthin zentrale Resultat zur Galoiskohomologie p-adischer Gruppen bewiesen. Auch hier ist die Situation bei den einfach zusammenhängenden, Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler einfachen algebraischen Gruppen wieder entscheidend. Das Resultat besagt, daß die nichta¯ G) für eine einfach zusammenhängende einfache belsche Galoiskohomologie H 1 (Gal(K/K), algebraische Gruppe über einem p-adischen Körper K verschwindet oder, konkreter, daß jede prinzipal homogene G-Varietät (oder Torsor in heutiger Sprache) über K einen Krationalen Punkt besitzt. Hat man dieses Hauptresultat zur Verfügung, so lassen sich die meisten derartigen lokalen Fragen für allgemeinere algebraische Gruppen mit Hilfe des Apparats der Galoiskohomologie leicht auf das Knesersche Resultat und einige andere einfachere Aussagen zurückführen. Knesers Beweis ist eine erfindungsreiche Fall-für-Fall-Diskussion unter Benutzung der Chevalleyschen Klassifikation. Eine Skizze eines einheitlichen Beweises, der auch für allgemeinere vollständig bewertete Körper gilt, wurde einige Jahre später von Bruhat und Tits gegeben, die explizite Durchführung dieser Beweisskizze entwickelte sich aber zu einem Riesenprogramm,das erst 1984 mit hunderten von Seiten abgeschlossen wurde. Die Vollendung dieses Ideenkreises durch Bereitstellung eines Hasse-Prinzips für den Fall globaler Körper wurde dann von G. Harder in einer Reihe von Arbeiten geleistet, anfänglich im engen Gedankenaustausch mit Kneser. Wie bekannt, konnte der Fall der Gruppen E8 in der Situation der Zahlkörper zunächst nicht behandelt werden. Er wurde erst sehr viel später von Chernoussov erledigt [Cher]. Kneser selber hat die Ergebnisse zur Galoiskohomologie klassischer algebraischer Gruppen über lokalen und globalen Körpern in den Tata lecture notes [Tata] zusammenfassend dargestellt, einem Buch, das auch heute noch gerne benutzt wird. Der andere zentrale Beitrag Knesers zur Arithmetik algebraischer Gruppen sind die Arbeiten [27], [31] und [35] zur starken Approximation in halbeinfachen algebraischen Gruppen. Auch hier spielen die einfach zusammenhängenden halbeinfachen Gruppen wieder die entscheidende Rolle. Der starke Approximationssatz erlaubt, Klassenzahlfragen bei algebraischen Gruppen in die Sprache der Adele zu übertragen und sie mit dem Problem der rationalen Approximierbarkeit derartiger Adele in Zusammenhang zu bringen, wodurch eine systematische Behandlung dieses Fragenkreises im Kontext der Topologie der entsprechenden lokalkompakten Gruppen ermöglicht wurde. Für den Fall orthogonaler Gruppen oder besser Spin-Gruppen sowie für den Fall der Algebren entspricht dies klassischen Resultaten von Eichler, die teilweise oben schon angesprochen wurden: Kneser war der erste, der den zu Grunde liegenden Mechanismus im Kontext der algebraischen Gruppen verstand. Heute gehören diese Methoden und Ergebnisse zum Arsenal jedes in diesem Gebiet tätigen Mathematikers. Als man zu diesem Ideenkreis noch das Konzept des Tamagawa-Maßes hinzunahm, das die Siegelschen Ideen zusammenfaßt, ergab sich gegen Ende der 60er Jahre eine wunderbare Vereinheitlichung und Systematisierung eines großen Teils des klassischen Bestandes der Zahlentheorie, insbesondere die Theorie der quadratischen Formen und der Algebren war damit auf eine einheitliche Grundlage gestellt. Zusätzlich wurde durch die Untersuchungen vor allem von Borel und Harish-Chandra, Godement sowie von Behr und Harder auch die Reduktionstheorie der klassischen Gruppen, die etwa in Siegels Arbeiten eine so zentrale Rolle spielt, in die neue Theorie eingearbeitet. Von Kneser gibt es zu diesem Fragenkreis die kurze, aber sehr interessante Arbeit [30] über kompakte Erzeugbarkeit und Präsentierbarkeit, die wiederum eine topologische Umformulierung gewisser Endlichkeitsfragen gibt 8

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 und vielleicht auch heute noch nicht ganz ausgeschöpft ist. Wir haben in diesem Bericht den beruflichen Werdegang nach der Habilitation in Heidelberg weit zurückgestellt, um die Mathematik für sich sprechen zu lassen. 1959, gerade 31-jährig, wurde Kneser nach einer kurzen Zwischenstation in Saarbrücken nach München berufen. In München wirkten damals Stein und Heinz, von der älteren Generation waren noch Perron und Tietze präsent. Obwohl die Zeit in München nur von 1959 bis 1962 dauerte, war sie doch sehr folgenreich. Da Kneser in seinen Vorlesungen alles sehr stark aus den Problemen heraus entwickelte und dadurch transparent machte, wie er selber arbeitete, beeindruckte er gerade dadurch die Hörer. Eine ganze Anzahl damaliger Studenten sind so in die mathematische Forschung eingeführt worden. Assistent war damals Danzer; Behr und Pfister sind in dieser Zeit zu seiner Arbeitsgruppe dazugestoßen. In die Münchener Zeit fällt auch die Gründung der dann so genannten Arbeitsgemeinschaft Kneser-Roquette, in der sich ein Kreis meistens relativ junger Mathematiker zweimal im Jahr in Oberwolfach traf, um während einer Woche ein gerade aktuelles oder anderweitig wichtiges Thema zu erarbeiten. Prinzip war dabei, daß das Thema nicht eng aus Zahlentheorie oder Algebra gewählt wurde, sondern daß vielmehr alle mathematischen Gebiete zur Diskussion standen. Auf diese Gründung war Kneser, wie er sagte, ein wenig stolz. Viele später bekannte Mathematiker haben in dieser Arbeitsgemeinschaft aus einem dort gehaltenen Vortrag Anregung für ihre zukünftigen Arbeiten bezogen. Auch heute noch, nach fast 50 Jahren, erfreut sich die Arbeitsgemeinschaft bester Gesundheit und nach wie vor sind die Donnerstag-Abend-Diskussionen um die Auswahl des nächsten Themas, leicht beflügelt durch einen gewissen Alkohol-Konsum, mit Pro- und Contra-Reden und einem komplizierten Abstimmungsritual ein Höhepunkt. Nach Kneser und Roquette, die die AG von 1958 bis in die Mitte der 70er Jahre leiteten, übernahmen Geyer und Harder, dann Deninger und P. Schneider die Leitung. Heute wird die AG von Deninger und Faltings organisiert. 1963 folgte Kneser einem Ruf nach Göttingen als Nachfolger von Reidemeister, wobei Behr und Pfister als Assistenten aus München mitkamen. Die 60er Jahre waren für die Göttinger Mathematik wieder einmal, trotz der nicht allzu weit zurückliegenden politischen Katastrophe, eine gute Zeit und man kann nur bewundern, wieviel auch heute noch aktuelle Mathematik damals in Göttingen entstanden ist. Dementsprechend war das Kolloquium für uns junge Studenten eindrucksvoll. Ich erinnere mich an einen Vortrag von Michael Artin im Kolloquium im Sommer 1968. Unter den Zuhörern waren Siegel, Deuring, Grauert, Heinz, Kneser, von den jüngeren zum Beispiel Behr, Jäger, Mennicke, Pfister, Riemenschneider. In der dem Vortrag folgenden Diskussion ergriff Siegel als erster das Wort und konnte den Bogen von Emil Artins erstem Vortrag in Göttingen um 1920 über seine Dissertation zur Riemannschen Vermutung im Funktionenkörperfall zu dem aktuellen Vortrag von M. Artin schlagen. Gerne denke ich an unser damaliges Oberseminar Ende der 60er Jahre. Geleitet wurde es von Deuring und Kneser, fortgeschrittene und sehr fortgeschrittene Teilnehmer waren Behr, Maus, Miller, Pfister, Tamme, von den jüngeren Teilnehmern zum Beispiel Draxl, Hasemann, Hurrelbrink, Lange, Niemeyer, Pfeuffer, Rehmann, Reiter. In der Regel wurde Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler ein Thema mit möglichst vollständigen Beweisen durchgenommen, “handwaving” und “große Perspektiven” waren eher verpönt. Themen waren 1968 zum Beispiel Tamagawa-Zahlen nach den lecture notes von A. Weil sowie die Arbeiten über Tamagawa-Zahlen von Tori von Ono, Serre’s Buch über l-adische Darstellungen im Wintersemester 1968/69 oder Darstellungstheorie nach dem Buch von Gelfand, Graev und Pyatetskkij-Shapiro 1969. Geradezu berüchtigt am Göttingern Institut waren die Wanderungen des Oberseminars in den Sommersemestern, häufig auf ad hoc herausgesuchten “Abkürzungen” mit hin und wieder erstaunlichen Ergebnissen. Oft endeten die Wanderungen dann aber doch irgendwann zu Hause bei Knesers in der Merkelstraße 39, wobei Frau Kneser mit ihrer Gastfreundschaft das Beste tat, Kranke und Lahme wieder aufzurichten.

Jutta und Martin Kneser; 1960 Gegen 1970 sah Kneser die arithmetische Theorie der linearen algebraischen Gruppen wohl als zumindest in ihren grundsätzlichen Zügen fertig an. Ihn faszinierten damals die vielen offenen Fragen in der Zahlentheorie der elliptischen Kurven, auch in ihren Bezügen zur Theorie der Modulfunktionen, und er plante, sich in den kommenden Jahren mit diesem Problemkreis zu beschäftigen. Leider ist es dazu wegen vieler widriger Umstände nur in begrenztem Umfang gekommen und man kann nur schwer abschätzen, was hier vielleicht sonst möglich gewesen wäre. Zum einen war die Situation am Göttinger Institut wie auch anderenorts in den späten 60er und den 70er Jahren nicht gerade einfach und erforderte einiges an Umsicht im Umgang sowohl mit der politisch orientierten Studentenschaft als auch einer häufig nicht minder erfindungsreichen Hochschulbürokratie, um dem “common sense” wenigstens gelegentlich zum Sieg zu verhelfen. Entsprechend viel an Mühe und ständig erforderlicher Aufmerksamkeit war in der Institutsarbeit erforderlich. Erschwert wurde die Situation ab 1975 dann durch die vielen sehr ernsten Erkrankungen in seiner Familie. Zunächst litt Knesers Frau seit dieser Zeit an einer schweren Nierenerkrankung, die sich unmittelbar ergebenden Belastungen mit verschiedenen Formen der Dialyse 10

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 zogen sich über viele Jahre hin. Ab 1988 begann dann Knesers eigene Krankheit, die sich nach einiger Zeit als Beginn einer Parkinson-Erkrankung herausstellte. Insgesamt ergibt sich so eine fast 30-jährige Zeit extremster Belastungen. Die Geduld und der Lebensmut, mit dem das Ehepaar dies über so viele Jahre getragen hat, wurde von allen Näherstehenden bewundert. Dieser Bericht wäre unvollständig, ohne Knesers Herausgebertätigkeit bei Crelles Journal zu nennen. Er übernahm die Leitung 1977 und führte die Zeitschrift bis 1991. Sein Geschick und seine Umsicht, Fairness und Organisationsgabe hierbei waren legendär.

Martin Kneser; 1984 Es wäre noch vieles in diesem Bericht zu nennen, mathematisches und anderes. Etwa die Niemeiersche Dissertation [Ni] mit der Konstruktion des heute so genannten Leech-Gitters. Die damit zusammenhängende einfache Gruppe wurde nur kurz vor Fertigstellung der Dissertation von Conway entdeckt. Oder das mit dem leider früh verstorbenen Peter Draxl gemeinsam durchgeführte Seminar [SK1] zu den Arbeiten von Platonov und Draxl Mitte der 70er Jahre. Weiter die Arbeit [24] zur Darstellung von Raumkurven als Durchschnitt algebraischer Flächen, eine Seite lang, mit vielen, vielen Folgearbeiten. Oder auch die Arbeit [13] zum Flächenmaß mit ihrem darin enthaltenen von Kneser so genannten Groschen-Problem, das erst 2002 gelöst wurde ([BeCo]). Eine besonders hübsche Note ist auch seine Arbeit [65] zum Vierscheitelsatz, ein Thema, zu dem alle drei Generationen Kneser Arbeiten veröffentlicht haben, ([AKne], [HKne]) (wie auch zum Fundamentalsatz der Algebra [49]). In seinen letzten Lebensjahren beschäftigte sich Kneser auch sehr mit Fragen der MathematikGeschichte. Das Interesse dafür war, vielleicht keine Überraschung, immer schon vorhanden, die Zeit dafür konnte er sich aber erst jetzt nehmen. Seine bereits genannten Arbeiten [53], [54], [57] zur Kompositionstheorie gehören hierher, ebenso auch seine Arbeit [67], von R. Remmert posthum editiert, die einen sehr einfachen Zugang zur Exponentialfunktion gibt, der in gewisser Weise auf Euler zurückgeht und den Kneser gerne in seiner Anfängervorlesung zur Analysis verwendete. Von ganz anderer Art war seine Zusammenarbeit mit verschiedenen Mathematikern und Mathematik-Historikern, unter ihnen sein Schüler N. Schappacher, zur Geschichte der DMV in der NS-Zeit. Hierzu konnte er wie kein anderer durch seine Kenntnis handelnder Personen Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler sowie durch sein abwägendes und umsichtiges Urteil beitragen. Leicht gefallen ist ihm die Beschäftigung mit dieser furchtbaren Zeit und ihren vielen menschlichen Verirrungen nicht, sein Pflichtbewußtsein und die feste Überzeugung, daß dies notwendig war, erlaubte nichts anderes. Für mich war es unerwartet, nach Studenten- und Assistentenzeit noch einmal beinahe zehn Jahre am selben Institut wie Kneser arbeiten zu können. Heute bedaure ich, dies nicht mehr genutzt zu haben. Es hätte noch viele Fragen gegeben, zu denen er hätte etwas sagen können.

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 Literaturhinweise: [Ba] Bass, H., Milnor, J., J.P. Serre: Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n ≥ 3) and Sp2n (n ≥ 2). Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 33 (1967), 59 – 137 [Be] Behr, H.: Endliche Erzeugbarkeit arithmetischer Gruppen über Funktionenkörpern. Invent.Math. 7 (1969), 1 – 32. [BeCo] Bezdek, K. Connelly, R.: Pushing discs apart – the Kneser-Poulsen conjecture in the plane. J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 221-236. [Bo1] Borel, A.: Groupes linéaires algébriques. Ann. of Math. (2) 64 (1965), 20 – 82. [Bo2] Borel, A., Harish-Chandra: Ann. of Math. (2) 75 (1962), 485 – 535. [Bru] Bruhat, F., Tits, J.: Groupes réductifs sur un corps local II. Schémas en groupes. Existence d’une donnée radicielle valuée. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No 60 (1984), 197 – 376. [Brü] Brückner, H.: Eine explizite Formel zum Reziprozitätsgesetz für Primzahlexponenten. In: Hasse, Roquette. Algebraische Zahlentheorie. Bericht einer Tagung des Math. Inst. Oberwolfach 1964. Bibliographisches Institut, Mannheim 1966. [Che1] Chevalley, C.: The theory of Lie groups, Princeton, Princeton University Press 1946. [Che2] Chevalley, C.: Théorie des groupes de Lie. tome II. Groupes algébriques. Paris, Hermann, 1951 [Che3] Chevalley, C.: Séminaire sur la classification des groupes de Lie algébriques, Paris 1956 – 1958. [Cher] Chernoussov, V. I.: The Hasse principle for groups of type E8 . Dokl. Akad. Nauk SSSR 306 (1989) No 5, 1059 – 1063. [E] Ebeling, W.: Quadratische Formen und Monodroniegruppen von Singularitäten. Dissertation. Bonn (1980). Math. Ann. 255 (1981), 463-498. [Eich] Eichler, M.: Quadratische Formen und orthogonale Gruppen. Springer Verlag. Berlin, Heidelberg (1952), 2. Auflage (1973). [Go] Godement, R.: Domaines fondamentaux des groupes arithmétiques. Sém. Bourbaki 1962/63 fasc. 3, No. 257, 25 pp. (Sém. Bourbaki, vol. 8, exp. 257, 201 – 225, Soc. Math. France, Paris 1995) [Ha] Harder, G.: Über die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen I. Math. Z. 90 (1965), 404 – 428. [Ha2] Harder, G.: Über die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen II. Math. Z. 92 (1966), 396 – 415. [Ha3] Harder, G.: Minkowskische Reduktionstheorie über Funktionenkörpern. Inv. Math. 7 (1969), 33 – 54. Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler [AKne] Kneser, Adolf: Bemerkungen über die Anzahl der Extreme der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht-euklidischen Geometrie. Festschrift Heinrich Weber zum 70. Geburtstag, Leipzig, Berlin (1912), 170 – 180. [HKne] Kneser, Hellmuth: Neuer Beweis des Vierscheitelsatzes. Christiaan Huygens 2 (1922 – 1923), 315 – 318. [LaTa] Lang, S., J. Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties. Amer. J. Math. 80 (1958), 659 – 684 [Lo] Lovasz, L.: Kneser’s conjecture, chromatic number and homotopy. J. Combin. Theory Ser. A (1978), no. 3, 319 – 324. [Lon] de Longueville, Mark: 25 Jahre Beweis der Kneservermutung in der topologischen Kombinatorik Mitt. Dtsch. Math.-Ver. 2003, no. 4, 8 – 11. [Ma] Mann, H. B.: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. of Math. 43 (1942), 523 – 527. [Me] Mennicke, J.: Finite factor groups of the unimodular group. Ann. of Math. 81 (1965), 31-37. [Nie] Niemeier, H.-V.: Definite quadratische Formen der Diskriminante 1 und der Dimension 24. J. Number Theory 5 (1973), 141 – 170; Dissertation Göttingen 1968. [O’Mea] O’Meara, O.T.: Introduction to quadratic forms, Springer-Verlag, New York, 1963. [Pfeu] Pfeuffer, H.: Einklassige Geschlechter totalpositiver quadratischer Formen in totalreellen algebraischen Zahlkörpern. Dissertation, Göttingen 1969. [Rag] Raghavan, S.: Modular forms of degree n and representations by quadratic forms, Ann. of Math. 70 (1959), 446 – 477. [Schul] Schulze-Pillot, R.: Darstellung durch definite ternäre quadratische Formen und das Bruhat-Tits-Gebäude der Spingruppe. Dissertation, Göttingen 1979. [Tar] Tartakowskij, V.: Die Gesamtheit der Zahlen, die durch eine positive quadratische Form F (x1 , . . . , xs ) (s ≥ 4) darstellbar sind. Izv. Akad. Nauk SSSR, 7 (1929), 111-122, 165-195. [Va] Vaserstein, L.N.: The structure of classical arithmetic groups of rank greater than one (russisch). Mat. Sbornik 91 (1973), 268 - 295. Engl. Übersetzung in: Math. USSR Sbornik 20 (1973), 465 - 492. [Wei1] Variètés abeliennes et courbes algèbriques, Herrmann, Paris (1948). [Wei2] Adeles and algebraic groups (Notes by M. Demazur and T. Ono). Princeton. Inst. Adv. Study, 1961.

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Liste der Veröffentlichungen von Martin Kneser [1] Eibereiche mit geraden Schwerlinien. Math.-Phys. Semesterber. 1, (1949). 97–98. [2] Abhängigkeit von Funktionen. Math. Z. 54, (1951). 34–51. [2a] Nachtrag zu [2]. Math. Z. 55 (1952), 400. [3] Über den Rand von Parallelkörpern. Math. Nachr. 5, (1951). 241–251. [4] Zum expliziten Reziprozitätsgesetz von I. R. Šafarevič. Math. Nachr. 6, (1951). 89–96. [5] Bemerkung über die Primpolynomzerlegung in endlich vielen Schritten. Math. Z. 57, (1953). 238–240. [6] Die Norm einer Algebra. Arch. Math. 4, (1953). 97–99. [7] (mit Dieter Puppe) Quadratische Formen und Verschlingungsinvarianten von Knoten. Math. Z. 58, (1953). 376–384 [8] Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. Math. Z. 58, (1953). 459–484. [9] Zur Theorie der Kristallgitter. Math. Ann. 127, (1954). 105–106. [10] Bestimmung des Zentrums der Cliffordschen Algebren einer quadratischen Form über einem Körper der Charakteristik 2. J. Reine Angew. Math. 193, (1954). 123–125. [11] Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen. Math. Z. 61, (1955). 429–434. [12] Two remarks on extreme forms. Canad. J. Math. 7, (1955). 145–149. [13] Einige Bemerkungen über das Minkowskische Flächenmaß. Arch. Math. 6 (1955), 382–390. [14] Aufgabe 360. Jahresbericht der DMV, 58 (2) (1955), 27–27. [15] Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern. J. Reine Angew. Math. 196 (1956), 213–220. [16] Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen. Math. Z. 66 (1956), 88–110. [17] Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veränderlichen. Arch. Math. 7 (1956), 323–332. [18] Klassenzahlen definiter quadratischer Formen. Arch. Math. 8 (1957), 241–250. [19] (mit F. Kasch und H. Kupisch) Unzerlegbare modulare Darstellungen endlicher Gruppen mit zyklischer p-Sylow-Gruppe. Arch. Math. 8, (1957), 320–321. [20] Klassenzahlen quadratischer Formen. Jber. Deutsch. Math. Verein. 61 (1958) Abt. 1, 76–88. [21] Kleine Lösungen der diophantischen Gleichung ax2 + by 2 = cz 2 . Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 23 (1959) 163–173. Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler [22] (mit E. Świerczkowski) Embeddings in groups of countable permutations. Colloq. Math. 7 (1959/1960), 177–179. [23] (mit H. Kneser) Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden. Arch. Math. 11 (1960), 104–106. [24] Über die Darstellung algebraischer Raumkurven als Durchschnitte von Flächen. Arch. Math. 11 (1960), 157–158. [25] Beispiel einer dimensionserhöhenden analytischen Abbildung zwischen überabzählbaren Mannigfaltigkeiten. Arch. Math. 11 (1960), 280–281. [26] Darstellungsmasse indefiniter quadratischer Formen. Math. Z. 77 (1961), 188–194. [27] Approximationssätze für algebraische Gruppen. J. Reine Angew. Math. 209 (1962), 96–97. [28] Schwache Approximation in algebraischen Gruppen. (Colloque sur la théorie des groupes algébriques. Bruxelles, 5-7. Juin 1962. Librairie Universitaire-Louvain (1962), 41–52). [29] Einfach zusammenhängende algebraische Gruppen in der Arithmetik. (1963) Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962) pp. 260–263 Inst. MittagLeffler, Djursholm [30] Erzeugende und Relationen verallgemeinerter Einheitengruppen. J. Reine Angew. Math. 214/215 (1964), 345–349. [31] Starke Approximation in algebraischen Gruppen. I. J. Reine Angew. Math. 218 (1965), 190–203. [32] Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern I. Math. Z. 88 (1965), 40–47. [33] Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern II. Math. Z. 89 (1965), 250–272. [34] Hasse principle for H 1 of simply connected groups. (1966) Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) pp. 159–163 Amer. Math. Soc., Providence, R.I. [35] Strong approximation. (1966) Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) pp. 187–196 Amer. Math. Soc., Providence, R.I. [36] Einige Bemerkungen über ganzzahlige Darstellungen endlicher Gruppen. Arch. Math. (Basel) 17 (1966), 377–379. [37] Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen quadratischer Formen. Math. Ann. 168 (1967) 31–39. [38] Semi-simple algebraic groups. (1967) Algebraic Number. Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) pp. 250–265. Thompson, Washington, D.C. [39] Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen endlichen klassischen Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 31 (1967), 136–140. 16

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 [40] Normal subgroups of integral orthogonal groups. (1969) Algebraic K-Theory and its Geometric Applications (Conf., Hull, 1969), Springer Lect. Notes Math. 108, 67–71 (1969) [41] (mit D. B. A. Epstein) Functors between categories of vector spaces. (1969) Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three) pp. 154–170 Springer, Berlin [42] Witts Satz über quadratische Formen und die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen. Math.-Phys. Semesterber. 17 (1970), 33–45. [43] Witts Satz für quadratische Formen über lokalen Ringen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II (1972), 195–203. [44] (mit A. Kallmann und U. Stuhler) Invariante Untermoduln quadratischer Moduln. J. Reine Angew. Math. 258 (1973), 51–54. [45] Lineare Abhängigkeit von Wurzeln. Acta Arith. 26 (1974/75), no. 3, 307–308. [46] (mit John S. Hsia und Yoshiyuki Kitaoka) Representations of positive definite quadratic forms. J. Reine Angew. Math. 301 (1978), 132–141. [47] Konstruktive Lösung p-adischer Gleichungssysteme. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II (1978), no. 5, 67–69. [48] Normalteiler ganzzahliger Spingruppen. J. Reine Angew. Math. 311/312 (1979), 191–214. [49] Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra. Math. Z. 177 (1981), no. 2, 285–287. [50] Erzeugung ganzzahliger orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen. Math. Ann. 255 (1981), no. 4, 453–462. [51] Einheitengruppen indefiniter quadratischer Formen. Mitt. Math. Ges. Hamburg 11 (1982), no. 1, 129–130. [52] Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen. Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 13–17. [53] Composition of binary quadratic forms. J. Number Theory 15 (1982), no. 3, 406– 413. [54] Komposition binärer quadratischer Formen. Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 41–42. [55] Representations of integral quadratic forms. Quadratic and Hermitian forms, Conf. Hamilton/Ont. 1983, CMS Conf. Proc. 4, 159–172 (1984). [56] (mit U. Betke) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen. J. Reine Angew. Math. 358 (1985), 202–208. [57] (mit M. Ojanguren, M.-A. Knus, R. Parimala und R. Sridharan) Composition of quaternary quadratic forms. Compositio Math. 60 (1986), no. 2, 133–150. [58] Max Deuring 9. 12. 1907 bis 20. 12. 1984. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 89 (1987), no. 3, 135–143. Martin Kneser · Collected Works

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Ulrich Stuhler [59] Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984. Jahresber. Akad. Wiss. Göttingen (1985), 106–108. [60] Komposition quadratischer Formen. Algebra-Tagung Halle 1986, 161–173, Wissensch. Beitr., 33, Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, Halle, 1987 [61] (mit Schappacher, Norbert) Fachverband—Institut—Staat. Streiflichter auf das Verhältnis von Mathematik zu Gesellschaft und Politik in Deutschland seit 1890 unter besonderer Berücksichtigung der Zeit des Nationalsozialismus. (German) [Professional association—institute—state. Glimpses at the relationship of mathematics to society and politics in Germany since 1890 with special reference to the era of National Socialism] With the collaboration of Martin Kneser. Dokumente Gesch. Math., 6, Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990, 1–82, Vieweg, Braunschweig, 1990. [62] (mit K. Hauser, F. Herrlich, H. Opolka, N. Schappacher und E. Scholz) Oswald Teichmüller—Leben und Werk. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 94 (1992), no. 1, 1–39. [63] Martin Eichler (1912–1992). Acta Arith. 65 (1993), no. 4, 293–296. [64] Ernst Witt 26. Juni 1911 – 3. Juli 1991. Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, 1992(1993), 248–250 [65] Einige Bemerkungen zum Vierscheitelsatz. Math. Semesterber. 42 (1995), no. 2, 153–162. [66] (mit Moritz Epple und Dieter Speck) Die Akten der alten DMV. Eine Übersicht über die im Universitätsarchiv Freiburg vorliegenden Bestände. Mitt. Dtsch. Math.-Ver. (1997), no. 1, 50–53. [67] Ein etwas anderer Zugang zur Exponentialfunktion. Math. Semesterber. 51 (2004), 225 – 229. [68] Another proof of Gauss’ three squares theorem. (nicht veröffentlicht). Vorlesungsausarbeitungen, Bücher [Tata] Lectures on Galois cohomology of classical groups. With an appendix by T. A. Springer. Notes by P. Jothilingam. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 47. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1969. [SK1 ] SK1 von Schiefkörpern. Seminar Bielefeld-Göttingen, 1976. Herausgegeben von Peter Draxl and Martin Kneser. Lecture Notes in Mathematics, 778. Springer, Berlin, 1980. 124 pp. [QF] Quadratische Formen (Neu bearbeitet und herausgegeben in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau) Springer-Verlag (2002).

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Martin Kneser 21.1.1928 – 16.2.2004 Buchbesprechungen [1] H. H. Ostmann: Additive Zahlentheorie I, II. Ergebnisse der Math. Springer-Verlag 1956 (Jahresber. DMV 60 (1958), 41–41) [2] Brandt, H., Intrau, O.: Tabellen reduzierter positiver ternärer quadratischer Formen. Abh. d. Sächsischen Akad. der Wiss., Bd. 45, Berlin 1958 (Jahresber. DMV 62 (1960), 21–22) [3] G. L. Watson: Integral quadratic forms. Cambridge texts in Math. and Math. Physics, Nr. 51, Cambridge 1960 (Jahresber. DMV 65 (1963, 4–5) [4] R. Remmert, P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie (Grundstudium Mathematik). Birkhäuser Verlag. 2. korr. Auflage, 1995. (Math. Sem. Ber. Bd. 44 (1997), 104–105)

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Lectures given by Martin Kneser Schüler von Martin Kneser nach Genealogie Helmut Behr, München 1961 Rudolf Borges, München 1961 Vasco Osorio, München 1962 Nguyen Ba, Göttingen 1967 Munibur Chowdhury, Göttingen 1967 Kwong-Shin Chang, Göttingen 1968 Hans-Volker Niemeier, Göttingen 1968 Peter Draxl, Göttingen 1969 Horst Pfeuffer, Göttingen 1969 Jürgen Hurrelbrink Göttingen 1970 Ulrich Stuhler, Göttingen 1970 Ulf Rehmann, Göttingen 1971 Hans Reiter, Göttingen 1973 Hans-Jochen Bartels, Göttingen 1974 Norbert Schappacher, Göttingen 1978 Rainer Schulze-Pillot, Göttingen 1979 Klaus-Peter Sondergeld, Göttingen 1980 Jürgen Biermann, Göttingen 1981 Yuriko Suwa-Bier, Göttingen 1984 Klaus Bartels, Göttingen 1988 Elisabeth Thier, Göttingen 1989 Ehrungen 1966 Mitglied der Leopoldina, Halle 1967 Mitglied der Akademie der Wissenschaften, Göttingen 1981 Gauss Medaille und 1983 korr. Mitglied der Braunschweiger wiss. Ges. 1997 von Staudt-Preis der Otto und Edith-Haupt Stiftung Erlangen Abgelehnte Rufe 1960 M.I.T. 1962 ETH Zürich 1966 Heidelberg 20

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Lectures given by Martin Kneser

Lectures given by Martin Kneser ST = Summer term, WT = Winter term, Lectures delivered in Germany were all given in German language.

In Heidelberg: 1. 2. 3. 4./5. 6. 7. 8./9. 10. 11. 12.

Group Theory, ST 1953, 2 hrs. Foundations of Geometry, WT 1953/4, 3 hrs. Noneuclidean Geometry, ST 1954, 2 hrs. Analytic Geometry I, II, ST 1954, WT 1954/5, 4+2 hrs. each. Set Theory and Lattice Theory, WT 1954/5, 2 hrs. Convex Bodies, ST 1955, 2hrs. Real analysis I, II, ST 1955, WT 1955/6, 4+2 hrs. each Foundations of Analysis, WT 1955/6, 1 hr. Quadratic Forms, ST 1956, 4 hrs. Algebraic Functions, WT 1957/8, 3 hrs. In Saarbrücken:

13. 14. 15.

Complex Analysis II, ST 1958, 4 hrs. Local Algebra, ST 1958, 4 hrs. Number Theory, WT 1958/9, 4+1 hrs. In München:

16. 17. 18. 19./20. 21./22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Elementary Number Theory, WT 1958/9, 4/2 hrs. Analytic Number Theory, ST 1959, 4 hrs. Topological Groups, ST 1959, 2 hrs. Algebraic Geometry I, II, WT 1959/60, ST 1960, 4 hrs. each Higher Mathematics IA, IIA, WT 1959/60, ST1960, 4+2 hrs. each. Foundations of Analysis, WT 1960/1, 2 hrs. Ordinary Differential Equations (HM III), WT 1960/1, 4+2 hrs. Higher Mathematics IIA, ST 1961, 4+2 hrs. General Topology, ST 1961, 2 hrs. Elementary Algebra and Number Theory, WT 1961/2, 4+1 hrs. Lie Groups, WT 1961/2, 3 hrs. Lie-Groups II, ST 1962, 2 hrs. Algebra, ST 1962, 4+2 hrs. Algebraic Matrix Groups, WT 1962/3, 3 hrs.

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Lectures given by Martin Kneser In Göttingen (some in Berkeley, Bombay): 32. 33. 34.-36. 37. 38. 39./40. 41. 42. 43. 44./45. 46. 47. 48./49. 50. 51. 52. 53. 54./55. 56. 57. 58. 59. 60./63.

64./65. 66./67. 68. 69. 70./71. 72. 73. 74. 75.

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Algebraic Groups, WT 1962/3, 2 hrs. Algebraic Matrix Groups, ST 1963, 4 hrs. Real Analysis I-III, ST 1964-ST 1965, 4+2 hrs.each Number Theory, WT 1965/6, 4+1 hrs. Algebraic Number Teory, ST 1966, 4 hrs. Quadratic Forms I, II, WT 1966/7 3 hrs., ST 1967 4 hrs. Galois Cohomology of Classical Groups, Jan.-Feb. 1967, Bombay, Tata Institute. Arithmetic of Classical Groups, WT 1967/8, 4 hrs. Lie Groups (Selected Topics), ST 1968, 4 hrs. Topologiy I, II, WT 1968/9, 4+2 hrs., ST 1969 3hrs. Algebraisc K-Theory, WT 1969/70, 2 hrs. Foundations of Analysis, ST 1970, 2 hrs. Analytic Geometry and Linear Algebra I,II, WT 1970/1, ST1971, 4+2 hrs.each Quadratic Forms, Oct.-Dec. 1971, Berkeley Galois Cohomology of Classical Groups, Jan.-March 1972, Berkeley Number Theory, ST 1972, 4+1 hrs. Algebra, WT 1972/3, 4+2 hrs. Quadratic Forms I,II, ST 1973,WT 1973/4, 4 hrs. each Differential Geometry, ST 1974, 4 hrs. Algebraic Number Theory, WT 1974/5, 4 hrs. Class Field Theory, ST 1975, 4 hrs. Selected Topics of Number Theory (Local Class Field Theory), WT 1975/6, 3 hrs. Real Analysis I,II,III, WT 1976/7,ST 1977, WT 1977/8, 4+2 hrs. each Foundations of Analysis, ST 1977, 2 hrs. Number Theory I,II ST 1978, WT 1978/79, 4 hrs. each Quadratic Forms I,II, ST 1979, WT 1979/80, 4 hrs. each Arithmetic of Classical Groups, ST 1980, 4 hrs. Elliptic Functions and Elliptic Curves, ST 1981, 4 hrs. Analytic Geometry and Linear Algebra I,II, WT 1981/2, ST 1982, 4+2 hrs.each Foundations of Geometry, WT 1982/3, 3 hrs. Complex Analysis, ST 1983, 4+2 hrs. Complex Analysis II (Riemann Surfaces ), WT 1983/4, 4 hrs. Number Theory, ST 1984, 4+2 hrs.

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Lectures given by Martin Kneser 76. 77. 78. 79. 80. 81./82. 83. 84. 85. 86. 87./88. 89./90. 91.

Number Theory II, WT 1984/5, 4+1 hrs. Quadratic Forms, WT 1985/6, 4 hrs. Quadratic Forms II, ST 1986, 4 hrs. Coding Theory I, WT 1986/7, 2 hrs. Coding Theory II, ST 1987, 2 hrs. Real Analysis I,II, WT 1987/8, ST 1988, 4+2 hrs. each Concept of Number and Elementary Set Theory, ST 1988, 2hrs. Algebra, WT 1988/9, 4+2 hrs. Number Theory, ST 1989, 4+2 hrs. Ordinary Differential Equations, ST 1990, 4+2 hrs. Quadratic Forms I,II, WT 1990/1, ST 1991, 4 hrs. each Analytic Geometry and Linear Algebra I,II, WT 1991/2, ST 1992, 4+2 hrs. each. Complex Analysis, WT 1992/3, 4+2 hrs.

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Review of Kneser’s Work on Algebraic Groups and the Hasse Principle and Subsequent Developments by Raman Parimala Let k be a number field. Let Ω denote the set of places of k and for v ∈ Ω, let kv denote the completion of k at v. A classical theorem of Hasse-Minkowski states that a quadratic form q over k represents zero non-trivially provided it represents zero non-trivially over kv for all v ∈ Ω; in particular, two quadratic forms over k are isomorphic if they are isomorphic over kv for all v ∈ Ω. Another classical theorem of Hasse-Brauer-Noether states that two central simple algebras over k are isomorphic if theyL are isomorphic over kv for all v ∈ Ω - a consequence of the injectivity of the map Br(k) → v∈Ω Br(kv ), Br(k) denoting the Brauer group of k. These results can be formulated as a Hasse principle for Galois cohomology. Let k be a field, ks a separable closure of k and Γk the Galois group of ks over k. Let G be a linear algebraic group defined over k. Let H 1 (k, G) = H 1 (Γk , G(ks )) be the first nonabelian Galois cohomology set of equivalence classes of continuous one-cocycles Γk → G(ks ) [Se4, I.§5]. This pointed set classifies isomorphism classes of principal homogeneous spaces for G over k; a principal homogeneous space defines the trivial class if and only if the underlying k-variety has a k-rational point. The set H 1 (k, PGLn ) classifies isomorphism classes of central simple algebras of degree n over k; given a non-degenerate quadratic form q of rank n over k, H 1 (k, O(q)) classifies isomorphism classes of non-degenerate quadratic forms of rank n over k. The results stated above can then be reformulated as the injectivity of the map Y H 1 (k, G) → H 1 (kv , G) v∈Ω

for G = PGLn or O(q). The injectivity is not true in general for a connected linear algebraic group defined over k [Se4, III.§4, Th.8]. One of the main contributions of Kneser around 1960, as pointed out by Serre, was his idea that “simply connected” is significant for arithmetic; ‘he was surely led to that idea by the study of quadratic forms and spinor genera’ [K1]. In [K3], Kneser poses the following conjecture. Conjecture Let G be a semisimple simply connected linear algebraic group defined over a number field. Then the map Y H 1 (k, G) → H 1 (kv , G) v∈Ω∞

is injective, Ω∞ denoting the set of real places of k. In [K2], Kneser proves that if k is a p-adic field, for a semisimple simply connected linear algebraic group defined over k, H 1 (k, G) = 0. The proof for classical groups is related to the The original version of this chapter was revised. Due to a mistake by the publisher, the Book Editor’s name was incorrectly listed as chapter author in the electronic version. The correction to this chapter is available at https://doi.org/10.1007/9783-030-81625-4_8. © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021, Corrected Publication 2022 U. Rehmann, Y. Tschinkel (eds.), Martin Kneser Collected Works, Contemporary Mathematicians, https://doi.org/10.1007/978-3-030-81625-4_2

Raman Parimala classification of quadratic and hermitian forms over p-adic fields. There is a classificationfree proof of this theorem due to Bruhat-Tits [BT]. In view of this theorem, the set Ω∞ in the statement of the conjecture may be replaced by Ω. Kneser [K5] proves that surjectivity is true more generally for any connected semisimple linear algebraic group defined over k. If G = SLA , A a central simple algebra over k, then H 1 (k, SLA ) ' k ∗ /Nrd(A∗ ), Nrd : A → k denoting the reduced norm and A∗ denoting the group of units of k. The conjecture in this case is a theorem of Hasse-Maass and Schilling : λ ∈ k ∗ is a reduced norm from A if it is positive at all real places where D is ramified. A proof due to Eichler is contained in [K5]. For special unitary groups, the conjecture is proved using a theorem of Landherr, which in fact is a Hasse principle for hermitian forms over division algebras with unitary involutions. The simplified proof of Landherr’s theorem given in [K5] was also independently obtained by Springer. The proof of the conjecture for classical groups - groups of type An , Bn , Cn , Dn (D4 non-trialitarian) is due to Kneser [K5]. The proof of the conjecture for all exceptional groups other than E8 is due to Harder [H1]. While the results of Kneser and Harder date to the mid-sixties, the case E8 was settled some twenty years later by Chernousov [Ch]. If k is a global field of positive characteristic and G a semisimple simply connected linear algebraic group defined over k, Harder [H3] proves that H 1 (k, G) = 0. As Kneser points out, the following are consequences of the Hasse principle conjecture for totally imaginary number fields : (i) H 1 (k, G) = 0 if G is semisimple simply connected; (ii) all anisotropic simple groups over k are of type An . Sansuc [Sa, Th. 4.2] studies the Hasse principle for principal homogeneous spaces for connected linear algebraic groups over a number field and shows that the only obstruction to Hasse principle is the BrauerManin obstruction attached to the Brauer group of a smooth compactification. The proof ultimately reduces to the Hasse principle for G semisimple simply connected. Kneser [K5] proves that if G is a semisimple connected linear algebraic group of classical type ˜ → G the simply connected cover with kernel µ, the defined over a number field and p : G 1 2 connecting map δ : H (k, G) → H (k, µ) defined with respect to the exact sequence p

˜ −→ G → 1 1→µ→G is surjective. Sansuc proves [Sa, Cor. 4.5] the surjectivity of δ for any semisimple connected linear algebraic group defined over k; it is a bijection if G is of adjoint type. Borovoi [B1, Th. 7.2, 7.3] proves that a homogeneous space of a semisimple simply connected linear algebraic group defined over a number field with character-free connected geometric isotropy group satisfies Hasse principle for existence of a rational point - existence of rational points over each real completion ensures the existence of a global point. This is an extension of a classical result for smooth affine quadrics of dimension at least 3. Borovoi uses an abelianisation of the second non-abelian Galois cohomology set (cf. [Sp2], [FSS]) to study homogeneous spaces. The final step is to reduce the problem to Kneser’s conjecture. He derives as a consequence a theorem of Harder [H2] which states that the Hasse principle holds for projective homogeneous varieties for a connected linear algebraic group defined over a number field. In [B2] Borovoi proves that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to Hasse principle for homogeneous spaces under connected linear algebraic groups with a connected stabiliser. Totally imaginary number fields are examples of fields of cohomological dimension 2. A field k is said to have cohomological dimension (cd) at most n if H i (k, M ) = 0 for i ≥ n + 1 26

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Algebraic Groups and the Hasse Principle for all finite discrete Γk -modules M [Se4, I.§3.1]. Serre posed in the early sixties ([Se1, §4.2],[Se4, III.§3.1]) the following conjecture, which is a far reaching generalisation of Kneser’s conjecture. Conjecture II Let k be a perfect field of cohomological dimension at most 2. Let G be a semisimple simply connected linear algebraic group defined over k. Then H 1 (k, G) = 0. Conjecture I of Serre concerns H 1 (k, G) = 0 for any connected linear algebraic group G defined over a perfect field with cd(k) ≤ 1; this conjecture was settled by Steinberg [St, Th. 11.12)]. Unlike in the arithmetic case, anisotropic groups of large rank occur in general, in all classical types over fields of cohomological dimension 2; thus the induction techniques from arithmetic case to reduce to lower rank groups cannot be extended to the general case. The first major breakthrough towards the proof of Conjecture II is due to Merkurjev and Suslin [Su] in the early eighties for G = SLA ; their theorem also provides a converse of Conjecture II. Theorem Let k be a perfect field. The following are equivalent (i) cd(k) ≤ 2 (ii) For every finite extension K/k and every central simple algebra A over K, we have Nrd(A∗ ) = K ∗ . More than a decade later, the proof of Conjecture II for other classical groups was given by Eva Bayer and Parimala [BP1]. The proof is via classifying hermitian forms over division algebra with involution by the “classical invariants” - dimension, discriminant and the Clifford invariant. Results on the norm principle for algebraic groups due to Merkurjev [M1] are crucial for handling the image H 1 (k, µ) → H 1 (k, G), µ denoting the center of G. The conjecture is proved if G is of type G2 or F4 ([Se2, §8, §9],[BP1]). If G is the split group of type F4 , H 1 (k, G) classifies isomorphism classes of exceptional central simple Jordan algebras of dimension 27 over k. The proof of the conjecture in this case uses certain Galois cohomological invariants associated to these algebras ([R], [Se2]) and Springer’s classification of “reduced” central simple Jordan algebras [Sp1]. If G is of trialitarian D4 type, a theorem of Garibaldi [G] states that the image of H 1 (k, µ) → H 1 (k, G) is trivial, µ denoting the center of G. Conjecture II in this case is reduced to a classification of trialitarian groups by their Tits algebras. Conjecture II has been proved in several cases under special assumptions on k or G. Gille proves that if G is a group of exceptional type other than E8 , then H 1 (k, G) = 0 if G is quasi-split [Gi, Th. 4] or if index and exponent coincide for central simple algebras of 2-primary and 3-primary exponents over all finite field extension of k [Gi, Th. 8, 9, 10]. The proof in the arithmetic case due to Chernousov can be adapted to show that for simple groups of type E8 , H 1 (k, G) = 0 if cd(k ab ) ≤ 1, k ab denoting the maximal abelian extension of k [Gi, Th. 11]. Index and exponent coincide for central simple algebras over the following classes of fields: (I) ([FS], [CTOP, Th. 2.1]) k is a 2-dimensional strict henselian field - quotient field of a 2-dimensional excellent henselian local domain with residue field algebraically closed of characteristic 0. Martin Kneser · Collected Works

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Raman Parimala (II) ([dJ]) k is of transcendence degree 2 over an algebraically closed field of characteristic 0. It is also proved in [CTOP, §2, Th. 2.3] that if k is a 2-dimensional strict henselian field, then cd(k ab ) ≤ 1, thus leading to Conjecture II for such fields. Several arithmetic properties are satisfied by this class of fields [CTGP]. If G is a simple group of adjoint type over ˜ → G is a simply connected covering and µ = kernel(p), the bijectivity of the k, p : G map [CTGP, Th. 2.1(a)] δ : H 1 (k, G) → H 2 (k, µ) leads to Hasse principle for projective homogeneous varieties over k [CTGP, Th. 5.5]. The proof is an adaption of Borovoi’s proof in the arithmetic case. Colliot-Thélène posed the following conjecture [BP2, pp. 652] analogous to Kneser’s conjecture for perfect fields of virtual cohomological dimension √ 2. A field k is said to have virtual cohomological dimension (vcd) at most n if cd(k( −1)) ≤ n. Number fields are examples of fields of virtual cohomological dimension 2. Conjecture HP Let k be a perfect field with vcd(F ) ≤ 2. Let G be a semisimple simply connected linear algebraic group defined over k. Then the map Y H 1 (k, G) → H 1 (kv , G) v∈Ωk

is injective, Ωk denoting the space of orderings of k and for v ∈ Ωk , kv denoting the real closure of k. Conjecture HP is settled in the affirmative for all classical groups and groups of type G2 and F4 by Eva Bayer and Parimala [BP2]. A Hasse principle for reduced norms analogous to the theorem of Hasse-Maass and Schilling is the first step towards the proof of this theorem. Galois cohomological invariants in degree 3 associated to H 1 (k, G) for simply connected groups G constructed by Rost ([M2]) are used in the construction of invariants to classify hermitian forms over division algebras with involution over fields of virtual cohomological dimension 2.

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Published in Contemporary Mathematics 493, American Mathematical Society, Providence, RI, 2009, 493, 339–357, reprinted here by permission of the author.

The original version of this chapter was revised. Due to a mistake by the publisher, the Book Editor’s name was incorrectly listed as chapter author in the electronic version. The correction to this chapter is available at https://doi.org/10.1007/9783-030-81625-4_8. © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021, Corrected Publication 2022 U. Rehmann, Y. Tschinkel (eds.), Martin Kneser Collected Works, Contemporary Mathematicians, https://doi.org/10.1007/978-3-030-81625-4_3

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There are good reasons to date the beginning of the modern arithmetic theory of quadratic forms to Hermann Minkowski in the 1880s. Between 1884 and 1890 Minkowski developed the foundations of a general theory of quadratic forms over the rationals and rational integers. He already proved major results on all questions above in a modern way. A brilliant work of the very young Minkowski is the prize-winning paper Foundations of a theory of quadratic forms with rational coefficients (in German) [Min84]. In the main part of this paper, he develops the local classification of integral quadratic forms. In the context of the prize question on sums of five squares, this was preparatory, but clearly of independent, even greater importance. These investigations were continued in his K¨onigsberg dissertation from 1885 Investigations on quadratic forms. Determination of the number of distinct forms which are contained in a given genus (in German) [Min85]. Minkowski states and proves a version of the mass formula (in German: “Maßformel”, literal translation: “measure formula”) which is already very similar to the modern one. In contrast to the works of previous authors (Eisenstein in the ternary case, Henry John Stephen Smith), the “right hand side” is a product of local densities over all prime numbers. In this context, Minkowski also introduces for the first time (more or less) today’s notion of a genus of quadratic forms (in any number of variables). On the first few pages of the note On positive quadratic forms (in German) [Min86], Minkowski gives a very clear and readable summary of his dissertation and also describes the contributions of Henry J.S. Smith, the other prize winner. Even today, this is useful reading for everyone interested in sums of squares. In those days, the rational theory (classification over Q) still was a by-product of the integral theory. Nevertheless, the paper On the conditions under which two quadratic forms with rational coefficients can be transformed into each other (in German) [Min90] practically contains the main theorem over Q. With every rational quadratic form, Minkowski associates a system of invariants Cp = ±1, one for each prime. He shows that these invariants, together with the discriminant (a rational square class), determine the rational equivalence class. This result contains the “weak” local-global principle (for equivalence, not for representations), but the term is not yet used. The next major step in the theory of quadratic forms is achieved by Helmut Hasse in 1921: He introduces Hensel’s p-adic numbers Qp into the theory of quadratic forms and proves in his dissertation, published as [Has23a], the local-global principle for representations of numbers by rational quadratic forms in today’s form. This principle has later been called “strong Hasse principle”. In the second part of this work, published as [Has23b], he extends this principle to the representation of forms by forms and to the equivalence of forms. The local-global principle for equivalence is today usually called “weak Hasse principle”. It turned out only much later, in the context of Witt rings, that it is actually more elementary in the sense that its proof can avoid norm principles and the existence of primes in arithmetic progressions. In the 1920s, the local and global theory of algebraic number fields was sufficiently far developed to quickly generalize the results to quadratic forms over arbitrary algebraic number fields; Hasse did this in the papers [Has24a] and [Has24b]. Summarizing we can say that Hasse’s work gives full solutions to the (analogues of the) questions (a), (b) and (c) over number fields (not their rings of integers).

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Quadratic Forms and Algebraic Groups MARTIN KNESER’S WORK ON QUADRATIC FORMS AND ALGEBRAIC GROUPS

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The modern approaches (after Minkowski) to the actual questions (a), (b) and (c) make systematic uses of this foundation, in particular of the p-adic numbers, but a considerable extension of the methods is required. Beginning with the 1930s, two major branches in the theory of integral quadratic forms have developed, the “analytic” and the “arithmetic” theory. For more than 20 years (1935 – 1955), almost all progress in the analytic theory of quadratic forms after Minkowski is due to essentially one person, Carl Ludwig Siegel. In three long, fundamental papers On the analytic theory of quadratic forms, parts I, II and III, (in German), he gives a solution to problem (d), also (in III) over number fields, at least to the extent where this is possible without additional assumptions. Any kind of solution of problems (c) and (d) has to take into account the fundamental fact that the direct generalization of the Hasse principle to rings of integers (instead of fields) fails to be true. In order to pass from fields to their rings of integers, one has to replace an individual quadratic form, or lattice M , by its whole genus, that is the set of lattices M 0 which are locally everywhere isometric to M , meaning Zp M ∼ = Zp M 0 for all primes (places) p including infinity. Theorem 1 (Minkowski, Siegel). Let N be a positive definite quadratic lattice of dimension n and M = M1 , . . . , Mh a system of representatives of a genus of positive lattices of dimension m. Then the representation numbers a(N, Mk ) and the local representation densities αp (N, M ) are related by the formula P

X a(N, Mk ) 1 γ(m − n) Y αp (N, M ). = · −1 |O(Mk )| γ(m) |O(Mk )|

k

k

Here, the γ(n) are inductively defined by γ(0) = 1, γ(1) =

1 1 γ(m − 1) , γ(2) = , γ(m) = for m ≥ 3, 2 2π m · ρm

where ρm is the volume of the m-dimensional unit ball. This theorem is proved in [Sie35-37] I or [Kne73]. The local representation numbers, or rather “densities” αp (N, M ) are obtained as follows: for every power pr , the (ordinary) representation number of N modulo pr by M modulo pr is directly defined; a natural normalization of this number is obtained by dividing through n+1 pr(m− 2 )n . This “relative representation number” turns out to be independent of r for large r, by an appropriate version of Hensel’s Lemma. It is the desired density. Notice that the left hand side is a weighted average of ordinary representation numbers. In particular, at least one summand has to be non-zero if the right hand side is non-zero. In this way, the original Hasse principle is contained in Siegel’s theorem, which can be considered as a quantitative version of that principle. We have attributed this theorem to Minkowski and Siegel, because the systematic use of the appropriate notion of genus was introduced by Minkowski, and also he had already stated and proved the (easier) case n = m of the theorem. Although this is a slight detour from our proper subject, we cannot survey the history of quadratic forms in the 20th century without naming Ernst Witt. His habilitation thesis, published as [Witt37], marks the beginning of the “algebraic” theory of quadratic forms, that is, the theory over arbitrary fields. There is no need to repeat here his well known cancellation theorem and the related extension

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theorem for isometries. The resulting uniqueness (up to isometry) of the maximal anisotropic part of a quadratic space is a paradigm for the structure theory of algebraic groups (to be developed more than 20 years later). An important aspect of Witt’s work, that turned out to be relevant also for the integral theory, is the introduction of the geometric language: one deals with spaces, subspaces, lattices, sublattices, vectors and maps instead of polynomial equations, matrices and substitutions. Witt was a very original mathematician. Despite the fundamental nature of his contributions to quadratic forms, his work can by no means be reduced to that. For instance, also in the theory of Lie algebras, in modular forms and in algebraic combinatorics he is still cited for some standard results. Concerning a special topic and a particular result, I want to mention Witt’s paper An identity between modular e 16 and E8 ⊥ E8 forms of degree two (in German) [Witt41]. He shows that for D (the two 16-dimensional even unimodular lattices), not only the ordinary theta series coincide, but also the second degree Siegel theta series. This observation opened a new direction of research on “lattices and modular forms”, which is still active today. We shall come back to this subject later. The second, arithmetic, direction in the investigation of integral quadratic forms has been shaped to a large extent by the work of Martin Eichler. He was the first to bring systematically into play the role of the orthogonal group. More specifically, he introduced the notions of spinor norm and spinor genus which split up the failure of the Hasse principle for integral quadratic forms into two steps. This approach eventually led to a solution of problems (a) to (c) for indefinite forms which is similarly complete as Hasse’s work over fields. In this context, Eichler also proved some initial results on “strong approximation” for the orthogonal group. Practically all of Eichler’s work on these matters is contained in the monograph [Eic52b]. This book probably was not so much used as a text book, since other monographs like [Jo50] or [O’Me63] were easier to read and more accurate. Nevertheless, Eichler’s book was an influential source of inspiration (and of open problems) for subsequent researchers. In particular, it was M. Kneser who brought the subject of approximation to maturity and thus arrived at complete results on the classification of indefinite integral quadratic forms. It should be mentioned that the arithmetic theory of quadratic forms makes up only a part of Eichler’s number theoretical work. His later contributions are primarily devoted to modular forms and their relation to algebraic geometry. Martin Kneser very clearly acknowledges the influence of Eichler on his own work in the introduction of the 2001 book version of his lectures on quadratic forms: “F¨ ur all dies vergleiche man das einflußreiche Werk Quadratische Formen und orthogonale Gruppen” 1. Continuing, Kneser makes precise in what sense the book was influential on himself: “Schließlich ein pers¨ onliches Wort. Es ist ziemlich genau 50 Jahre her, daß ich als junger Assistent nach M¨ unster kam, bald an Eichlers Seminar teilnahm, wo gerade die neuesten Ergebnisse aus seinem Buch Quadratische Formen und orthogonale Gruppen besprochen wurden. Da ich im Institut mein Arbeitszimmer mit Eichler teilte, hatte ich die besten M¨ oglichkeiten,

1For all this, compare the influential work Quadratic Forms and Orthogonal Groups.

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von einer Seminarsitzung zur n¨ achsten die offen gebliebenen Fragen zu kl¨ aren und so die quadratischen Formen an der Quelle zu studieren.” 2 There is little doubt that Kneser describes his own part in the interaction (or rather cooperation?) with Eichler too modestly. 2. Martin Kneser: Quadratic forms and the arithmetic of algebraic groups 1955 – 1970 In the mid 1950s, the theory of algebraic groups and the (arithmetic) theory of quadratic forms were still rather unrelated areas of research. On the side of groups, the classification of (semi)simple algebraic groups over algebraically closed fields was known by work of Claude Chevalley. Parallel to these achievements, Jacques Tits had (essentially) introduced the structures later called buildings which give a uniform geometrical interpretaion of all these groups, including the exceptional ones. Already by the end of the 1950s, a completely new area of research had emerged, after Armand Borel had proved his fundamental theorem on the existence and conjugacy of maximal connected solvable subgroups. This made the classification of semisimple groups over arbitrary fields accessible, which was then rather quickly carried out mainly by Borel and Tits. They used k-split tori and the relative root system to reduce the question essentially to the anisotropic kernel, in analogy with the Witt decomposition of quadratic forms. Over number fields, this approach embedded the earlier studies of algebras with involution, hermitian forms, Cayley octaves and Jordan algebras into a uniform theory. In this situation it was perfectly natural (after work of Lang and Tate) to introduce non-abelian Galois cohomology (H 0 , H 1 , abelian H 2 ) to treat such classification questions. Jean-Pierre Serre’s course at the Coll`ege de France 1962-63, leading to the famous Lecture Notes No. 5 Cohomologie Galoisienne, demonstrates how quickly the new method had been established. The theory of semisimple groups over number fields in turn laid the foundations for a general treatment of arithmetic subgroups of algebraic groups, the fundamentals for which were developed by Borel and Harish-Chandra. Clearly, many substantial results had been obtained (much) earlier, mainly by Siegel, but the framework had dramatically changed, already by work of Weil in the late 1950s. We now want to look at some of Martin Kneser’s work as part of this general picture. We shall consider the following five fundamental contributions: (1) Class numbers of indefinite quadratic forms [Kne56] (2) Class numbers of definite quadratic forms [Kne57] (3) Representation measures of indefinite quadratic forms [Kne61] (4a) Strong approximation (Boulder Proceedings) [Kne65a] (4b) Strong approximation in algebraic groups I [Kne65c] (5) Galois cohomology of semisimple algebraic groups over p-adic fields, I and II [Kne65d]. 2Finally a personal remark. Almost exactly 50 years have passed since I came as a young assistant to M¨ unster, soon participated in Eichler’s seminar, where at that time the latest results of his book Quadratic Forms and Orthogonal Groups were discussed. Since I shared my office in the institute with Eichler, I had the best opportunity to clarify from one seminar meeting to the next the remaining open questions and thus to study quadratic forms at the source.

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All these papers except for (4a) are written in German, which was still the standard for German authors until the early or mid 1980s (at least in number theory). In the following three subsections, we shall sketch the contents of those papers and complement this by a quick report on the general developments at that time. The last subsection deals with smaller, scattered contributions by Kneser, which partly turned out to anticipate later developments in the constructive theory of integral quadratic forms of the 1980s and 90s. 2.1. Strong approximation and class numbers. In the paper (1), the strong approximation theorem for representations and for the orthogonal group is proved. In this context, the adelic orthogonal group is introduced for the first time. Later, in the 1960s, this developed into a new chapter in the theory of algebraic groups over number fields. In the present paper, the emphasis lies on the application to spinor genera and class numbers. It is shown that the number of spinor genera in a genus, which is a power of 2, can be interpreted as a group index. For this purpose, one has to compute local spinor norms which in turn leads to the question of generation of local orthogonal groups by reflections. Considerations of this kind go partly back to Eichler and were later continued and refined by various authors, including Kneser himself. In the paper (2), Kneser introduces the method of neighbouring lattices as a new tool for the classification of positive definite lattices. The key observation on which this method is based had already been made by Eichler: if (V, q) is isotropic at p, then Z[1/p]-lattices on (V, q) behave like indefinite lattices. More precisely, taking Z[1/p] as the ground ring, every spinor genus consists of only one class. In [Eic52a], the term “arithmetically indefinite” had been introduced to describe this setup. Kneser obtains this result as an immediate consequence of the strong approximation theorem from the previous paper (1), applied to the set of places S = {∞, p}. As a consequence, for any two classes in the same spinor genus, there are representatives L, M s.t. Z[1/p]L = Z[1/p]M. It is elementary to see that such L and M can be connected by a chain L = L0 , L1 , . . . , Li , . . . , Ls = M of lattices such that (Li−1 : Li−1 ∩ Li ) = (Li : Li−1 ∩ Li ) = p, for all i (i.e., Li−1 and Li are p-neighbours). The resulting “neighbour method” is used in (2) to calculate the class number of the unit lattice In (sums of squares) up to dimension 16. It has been widely applied since then, also over number fields, for hermitian forms, and in computer implementations. The paper (3) to my knowledge is the first publication on quadratic forms which makes full use of the adelic method. It demonstrates very well the elegance and effectiveness of this technique for the classical problem of representations by integral quadratic forms. Kneser considers classes, spinor genera and genera of representations of a number a by lattices M on a quadratic vector space of dimension n over a number field k. Extending earlier work of Siegel, who used analytic methods, and Eichler, he deals with the representation measure of a by M (or by the class of M ) which generalizes the finite representation number of a by M for definite M . By definition, this number is a sum of measures of “representations”, that is, of (classes of) pairs (x, M ), where x ∈ M with f (x) = a. Analogously (just by summing up) one defines the representation measure of a by a spinor genus or a genus of lattices. Alternatively, these representation measures can be seen as measures of certain subsets of the adelic coset space OA (V, x)/O(V, x). The first theorem of (3) says that for n ≥ 5 or n = 4 and a 6= 0, each genus of representations contributes

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the same amount to the representation measures of the different spinor genera in some genus of lattices, which therefore coincide. This is essentially already Siegel’s result (who had given very long and complicated proofs), and Eichler in [Eic52a] had already done the crucial step of translating the question into arithmetic terms. The adelic setting simplifies Eichler’s proof considerably and allows for the removal of some unnessecary restricitions. Kneser’s paper sheds new light on Siegel’s Main Theorem by viewing it as a result about an average over a genus of representations, not just a genus of lattices. In the second theorem of (3), Kneser uses this approach to prove a new result, not accessible by analytic methods, in the case n = 3. It involves the new concept of half-genera of ternary lattices. Concerning the paper (3), see also the remarks below at the end of subsection 2.3. The papers (4a) and (4b) extend the investigation of strong approximation and class numbers from the theory of quadratic (and hermitian) forms to arbitrary (reductive) algebraic groups, whose structure theory over number fields then had just become available, by work of Borel and Tits. We need more notation and some definitions to describe the results precisely. Notation k an algebraic number field o the ring of integers of k p, `, v, . . . places (equivalence classes of valutations of k) kp , o p the completion of k, resp. o at p p ∈ op a prime element for p, if p is finite Sk the set of all places of k S a finite set of places of k Q Ak ⊂ p∈Sk kp the ring of adeles of k (a` )`∈Sk a typical element of A, so a` ∈ ol f.a.a. ` A(S) ⊂ A the S-integral ideles, so a` ∈ o` for ` ∈ /S V a finite-dimensional vector space over k L a lattice in V G a linear algebraic group defined over o G(R) for any over-ring R ⊇ o the group of R-points in G in particular G(Ak ) the adele-group of G over k G(k) ⊂ G(Ak ) diagonally embedded The adele group of the general linear group GL(V ) acts on the set of all lattices on V , since any of its elements g = (gv ) stabilizes almost all localizations Lp := op K of L and thus gL is well-defined by (gL)p := gp Lp . Definition 1. Suppose that G is represented as a subgroup of GL(V ). The G-class of the lattice L is the G(k)-orbit of L. The G-genus of L is the G(Ak )-orbit of L. The G-class number of L is the number of G-classes in the G-genus of L. Definition 2 (Strong Approximation). Let G be an algebraic group over k and S be a finite set of places of k. We say that strong approximation holds for the pair (G, S) if G(k)G(A(S)) is dense in G(Ak ). Partial results on strong approximation (not exactly in this language) for the various types of classical groups were already known by work of Eichler and Kneser from the 50s (see above for orthogonal groups). In the beginning 60s, Kneser started to relate the question to the structure theory of algebraic groups, and in particular

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found out that strong approximation in the above simple sense can hold only for simply connected groups. It took considerable effort to prove that this assumption is actually also sufficient (in the anisotropic case): Theorem 2 (Kneser 1965, Platonov 1969). Strong approximation holds for all pairs (G, S), where G is simply connected almost k-simple and G(kv ) is not compact for at least one v ∈ S. Actually, Kneser proves for classical groups in [Kne65c] that strong approximation holds for every simply connected almost k-simple group G for which the Hasse principle is true. After the announcement of the general case (under the same hypothesis) it turned out by work of Platonov that there is a different, eventually simpler proof of the strong approximation theorem, based on the Kneser-Tits hypothesis on generation by rational unipotent elements. This proof is independent of the Hasse principle; see [PlRa94]. 2.2. Local-global principles and Galois cohomology. We now come to the last entry (5) of our above list. It is a contribution to various questions put forward by Serre in his course Cohomologie Galoisienne mentioned above. Definition 3. The Hasse principle holds for an algebraic group G over k if the canonical map Y H 1 (k, G) → H 1 (kv , G) v∈Sk

is injective. The following result is fundamental for the application of this principle to classification problems since it allows one to replace the right hand side in Definition 3 by the finite product over all real places of k; see also the comment below after Theorem 4. Theorem 3 (Kneser 1965). If G is a semisimple simply connected group over a local field kp of characteristic 0, then H 1 (kp , G) = 0. The proof of Theorem 3 uses the classification and structure theory of semisimple groups, but also a lot of case-by-case investigations. The desire for a uniform proof without case distinctions could only be satisfied about 20 years later; apparently, one has to pay the price of using some of the advanced parts of the Bruhat-Tits theory of group schemes over local fields [BrTi87]. The result holds if the residue field of k has cohomological dimension ≤ 1; in particular, the hypothesis on the characteristic of k is not needed. It had been generally conjectured after Serre’s course Cohomologie Galoisienne (see [Ser65]) that the Hasse principle should hold for large classes of semisimple groups over number fields, including all simply connected ones. Because of longstanding technical difficulties with the exceptional groups of type E8 , it took about 25 years until the following theorem was eventually proved completely. Theorem 4 (Kneser 1965, Harder 1965/66, Chernousov 1989). The Hasse principle holds for all semisimple simply connected algebraic groups. The isomorphism classes of k-forms of an object defined over an algebraic number field k are in one-to-one correspondence with the Galois cohomology H 1 of its automorphism group, whose connected component often is not simply connected.

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e denotes the universal cover of a connected semisimple group G, the exact But if G cohomology sequence e e → H 1 (k, G) → H 2 (k, Z) 1 → Z(k) → G(k) → G(k) → H 1 (k, Z) → H 1 (k, G) allows for the derivation from Theorems 3 and 4 of immediate consequences also about H 1 (k, G) and the H 1 (kv , G). See [Kne65b], [Ser65] or Springer’s article in [Boulder65]. The proof of Theorem 4 has been given by Kneser for the classical groups in [Kne65b], see [Kne69] for details, and by G¨ unter Harder in [Har65] and [Har66] for the exceptional forms of type D4 and for the types E6 and E7 , partly also for E8 (the cases G2 and F4 are easy). The proof for groups of type E8 could eventually be completed by Chernousov in his paper [Che89]. Here are some rough remarks about the strategy of the proof of Theorem 4 (and also of Theorem 3). Properties, and possibly vanishing of cohomology classes ¯ where G ¯ ,→ Aut G is the adjoint group, are studied via properties ξ ∈ H 1 (k, G), of the twisted group Gξ . Cohomology classes can have at most the order 2 · 3 · 5, correspondingly the groups split over extensions of degree at most 30 (depending on the type, at most 6 for type 6= E8 ). The proof also uses induction on the dimension of G. It is shown that every cohomology class is in the image of H 1 (k, T ) or H 1 (k, H) for some k-split torus T , respectively an appropriate reductive subgroup H of G (see [Har65]). As Harder points out, certain simplifications can be obtained by making use of his later paper [Har75] (in which he treats primarily the case of function fields). A complete proof of Theorem 4 is contained in the book [PlRa94]. 2.3. Siegel’s theorem and Tamagawa numbers. We have mentioned earlier that the theorem of (Minkowski and) Siegel can be viewed as a quantitative version of the Hasse principle for quadratic forms. This raises the question for a quantitative or numerical variant of the Hasse principle for semisimple groups. An answer is given by the notion of Tamagawa number of an algebraic group and its computation, which we shall briefly sketch now. The Tamagawa measure on the adelic points of a semisimple algebraic group G defined over a number field is a certain, canonically normalized product measure. It induces an invariant measure on the coset space G(Ak )/G(k), whose volume is actually finite. The Tamagawa number of G is defined as τ (G) := | disc k|− dim G/2 vol G(Ak )/G(k). The first detailed treament of these notions was given by Andr´e Weil in a course at Princeton in 1961; see [Weil61]; he calculated the Tamagawa number for various groups and conjectured the following: Theorem 5. The Tamagawa number of any semisimple simply connected algebraic group is equal to one: τ (G) = 1. The eventual full proof of this theorem required the effort of several people over a long period. For most of the classical groups, a case-by-case verification had been given by Weil around 1960; see the notes quoted above. For split groups, the theorem was proved by Langlands [Lan65], using his notion of Eisenstein series for adele groups. This work was extended to quasi-split groups by Lai only in 1980 [Lai80]. The general case was finally proved by Kottwitz in 1988; as an essential step he showed a certain invariance property under inner twists.

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Here are a few more remarks on the history of Siegel’s theorem and Tamagawa numbers. It seems that the theory of adelic algebraic groups starts with work of Takashi Ono, who treated first the commutative case, using Chevalley’s idele theoretic approach to class field theory (see his contribution in the Boulder Proceedings [Boulder65] for a survey). In the late 1950s, Tamagawa introduced adelic algebraic varieties, the Tamagawa measure and thus (implicitly) the Tamagawa number of an algebraic group over a number field. He himself did not publish much about it, but apparently he knew that Siegel’s theorem is equivalent to τ (SO) = 2. To my knowledge, the first published exposition of these concepts is a talk by Andr´e Weil in the S´eminaire Bourbaki in May 1959. Of course, Weil was not only surveying Tamagawa’s work; a considerable part of his own research at that time dealt with the relations between discrete groups and number theory, and more specifically with putting Siegel’s work on arithmetic groups into an algebraic-geometric framework. We have already mentioned Weil’s Princeton lectures from 1961, where he presents his own results on the calculation of τ (G) for all classical groups. I could not figure out to what extent Kneser contributed to the question of Tamagawa numbers. However, to my best knowledge he was the first who had realized that one can conveniently use the adelic orthogonal group for a proof of the Minkowski-Siegel formula. This remark is contained as a footnote already in his paper (1) = [Kne56] on p. 326. There Kneser comments on his definition of “Spaltvektoren” and “Spaltautomorphismen” (these are ideles without infinite components; the terminology did not come into later use) as follows: “Die unendlichen Primstellen haben wir außer Betracht gelassen, da wir sie nicht brauchen; nimmt man sie mit hinzu, so erh¨ alt man das genaue Analogon zu den Chevalleyschen Idelen, das man mit Vorteil beim Beweis des Siegelschen Hauptsatzes u ¨ber quadratische Formen verwenden kann.” 3 In the paper (3) = [Kne61], this remark is made precise: in formula (2) of that paper, which roughly reads µ = µ∞ · µ0 , Kneser considers the representation of a vector x (or the form value f (x)) in a quadratic space over a number field by a lattice uM in the genus of the lattice M in V , where u is an element of the adelic orthogonal group. The number µ is the Haar measure of (the image of) a double coset containing u in the adelic homogeneous space OA (V, x)/O(V, x) (stabilizer of x), and µ∞ is the measure of representation of x by M on which we have reported above. The factor µ0 is the Haar measure of O0 (V, x)∩OA (M, x), where O0 denotes the finite part of the adele group; in particular, µ0 depends only on the genus of M . In the first footnote on p. 191 Kneser gives further explanations on µ0 : “Dieser Faktor stellt sich als das Inverse des Produkts von p-adischen Darstellungsdichten heraus. Summiert man u ¨ber die verschiedenen Doppelnebenklassen, so erh¨ alt man (. . . ) Siegels Satz, vorausgesetzt . . . ” 4 (he then refers to [Weil61] for some further details). In the definite case over the rationals, the details of this proof have been carried out by Kneser in his lectures at the university of G¨ ottingen; see [Kne73]. In the continuation of this footnote, Kneser in addition explains how one has to modify the proof in order to obtain the representation numbers for 3We have not considered the infinite primes since we do not need them; if one takes them into account, one obtains the exact analogue of Chevalley’s ideles which can be used advantageously in the proof of Siegel’s main theorem on quadratic forms. 4This factor turns out to be the inverse of the product of p-adic representation densities. By summing over the different double cosets, one obtains (. . . ) Siegel’s theorem, provided . . .

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representations with congruence conditions: “Ersetzt man im Falle definiter Formen mit rationalen Koeffizienten OA (M, x) durch die Gruppe derjenigen u ∈ OA (V, x), die nicht nur M , sondern mit einer beliebigen aber festen Zahl v alle Restklassen von M mod vM festlassen, so erh¨ alt man die Verallgemeinerung von van der Blij [Blij49].” 5 2.4. Outlook I: Constructive theory of integral quadratic forms. With the results we have reported on so far, the arithmetic theory of quadratic forms and orthogonal groups had reached a certain degree of completion. This is certainly true for the construction of the general foundational theories. Almost surely, this is the main (but not the only) reason why Kneser had only few publications on quadratic forms after the mid 1970s (not counting a couple of papers of essentially historical nature). The developments concerning integral quadratic forms after 1970 are not our theme here, but roughly summarizing one can say that the investigation of individual objects or restricted situations, often in interaction with other fields (finite group theory, modular forms, invariant theory, theory of singularities, topology) gained more attention. Like in other parts of mathematics, general theories, as opposed to concrete objects, were no more the only serious goal. These general changes of attitude have been particularly striking in the theory of finite (simple) groups, but can also be observed in quadratic forms. This development paralleled new developments in combinatorial mathematics and a renaissance of classical fields like extremal problems in geometry of numbers. Also, the dramatically improving facilities for performing concrete computations led to new activities and shed new light on theories where general finiteness results are important, like class numbers of quadratic forms. With this general picture of some number theoretic and algebraic developments in mind, we will now have a brief look at three further papers by Kneser (still from the same period of the mid 50s to the early 70s), and also at some later work initiated by him. In the note On the theory of crystal lattices (in German) [Kne54], Kneser gives a short and conceptual proof of the well known fact that every positive definite lattice uniquely decomposes into orthogonally indecomposable lattices. The proof is achieved by regarding an appropriate set of generating vectors as a graph, where by definition any two non-orthogonal vectors are connected by an edge. The desired components of the lattice now are found as the sublattices generated by the connected components of that graph. From today’s point of view, such an approach can be considered as more or less straightforward. But in those days, the combinatorial or graph-theoretic way of thinking was not yet common. This short paper is a good example of Kneser’s general ability of bringing matters to the point. His search for conceptual, if at all possible “perfect” proofs is characteristic for all his publications, no matter what the mathematical subject is. A similar example is the paper Two remarks on extreme forms [Kne55], where Kneser gives a new proof of the classical theorem of Korkine, Zolotareff and Voronoi that an integral quadratic form is extreme if and only if it is perfect and eutactic. Almost at the same time and independently, also Barnes gave a new proof of 5In the case of definite forms with rational coefficients, if one replaces O (M, x) by the A group of those u ∈ OA (V, x) that preserve not only M , but also all cosets of M mod vM for some arbitrary but fixed v, one obtains the generalization of van der Blij [Blij49].

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Voronoi’s theorem, which was the basis for later variations and extensions of the theory by various authors. But if one is just interested in the original theorem, Kneser seems to offer the shortest proof. The paper Linear relations between representation numbers of quadratic forms (in German) [Kne67] was dedicated to Carl Ludwig Siegel on the occasion of his 70th birthday. It takes up the question treated by Witt in the above-mentioned paper [Witt41], but uses completely different methods. By direct calculation with (sub- and over-)lattices Kneser shows that not only for n = 2, but also for n = 3, there are as many n-dimensional sublattices of a given isometry class in the lattice e 16 as there are in E8 ⊥ E8 . That is, the represention numbers of ternary sublatD e 16 and for tices, in other words, the Siegel theta series of degree 3, coincide for D E8 ⊥ E8 . That these computations are possible by hand, and in an understandable way, of course relies on the high symmetry of the two big, representing lattices, but also on the fact the the configurations of roots (norm 2 vectors) of all involved lattices suffice to control the situtation. The method of describing certain lattices by their root system and “glue vectors” (in the dual lattice) had come into general use only 25 years later (popularized by Conway and Sloane). The paper under consideration shows that Kneser was aware of these ideas and was able to apply them in a masterful way, long before more ambitious classification programs for lattices were initiated, and sophisticated techniques of various kinds were developed by B.B. Venkov, H.-G. Quebbemann, and later by many others. It would be simplistic to reduce the recent (in the sense of this section) theory of integral quadratic forms to constructive aspects. Another feature is a renewed emphasis on analytic aspects, in particular on the study of theta series. Since the 1980s, one could even speak of a certain convergence of the arithmetic and the analytic theory of quadratic forms, including questions about Siegel modular forms and the study of related objects like weight enumerators of various kinds of codes. An important question which historically belonged to the realm of analytic methods is the problem of representability of numbers or forms by an individual positive definite form (not just a genus of forms). A classical theorem of Kloostermann and Tartakovskii says that a form of rank m ≥ 5 represents every number which satisfies the necessary local conditions and in addition is larger than some appropriate constant C (depending on the form). The original proof uses the circle method of Hardy and Littlewood. The theorem can also be derived from Siegel’s main theorem, phrased in terms of theta series, together with estimates for the Fourier coefficients of cusp forms. In his lectures at the University of G¨ ottingen in 1973/74, Kneser gives a purely arithmetical proof of that theorem, which is related to his proof of the Minkowski-Siegel Theorem presented in the same course (cf. the end of subsection 2.3 above). Also, a variation of the theorem for primitive representations is given. These results are merged with an analogous result by J. Hsia over number fields and results by Y. Kitaoka about representations of forms of rank n ≥ 1 (by forms of rank m, as above) into the influential paper [H-K-K78]. It is shown that the conclusion of the Kloostermann-Tartakovskii theorem remains true, provided m ≥ 2n + 3. Using analytic methods, this result could be proved only for n ≤ 2, by work of Y. Kitaoka; for larger n, the estimate for m is weaker. Also, the arithmetic method allows to treat representations with congruence conditions and primitive representations. Only recently, an alternative method, namely ergodic theory for the orthogonal group and its homogeneous spaces, became available, by

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work of J. Ellenberg and A. Venkatesh. It gives a better bound m ≥ n + 5, but so far it guarantees merely the existence of the above constant C and does not give any method to produce an explicit C. To finish this partial overview of Kneser’s work, I want to report briefly on four of the in total 21 doctoral dissertations which were supervised by him. This is my personal choice. (As earlier, the titles are translated from German.) Hans-Volker Niemeier: Definite quadratic forms of discriminant 1 and dimension 24 (1968) Horst Pfeuffer: One-class genera of totally positive quadratic forms in totally real algebraic number fields (1969) J¨ urgen Biermann: Lattices with small automorphism group in genera of Z-lattices with positive definite quadratic form (1981) Yuriko Suwa-Bier: Positive definite quadratic forms with equal representation numbers (1984) In the dissertation of H.-V. Niemeier, the complete list of all positive definite even unimodular lattices in dimension 24 is derived. For many well known reasons, coming e.g. from modular forms, coding theory, finite group theory, this is the most natural of all classication problems for integral quadratic forms (excluding comparatively trivial cases like the corresponding problem in dimensions 8 and 16). At that time, the Leech lattice was known for a couple of years, and the neighbour method did exist, so it was quite natural, although tedious, to apply this method to enumuerate the whole genus and to derive in this way the uniqueness of the Leech lattice as an even unimodular lattice in dimension 24 with minimal norm 4. On the way, Niemeier describes the gluing theory for the root lattices in a complete and fully explicit fashion. Later, great insight into the classification of this particular genus of lattices was gained by work of Boris Venkov, who gave an a priori determination of the root systems of the minimum 2 lattices, and John Conway, who proved the uniqueness of the Leech lattice more directly. But the list of all lattices is due to Niemeier, and since Venkov leaves the proof of uniqueness of the lattice, for each given root system, as a tedious case-by-case verification to the reader, in my opinion Niemeier’s work was indispensable also after Venkov’s work. Alternatively, one could (and did, Conway and Sloane) determine the orders of the orthogonal groups of all known lattices and check the completeness of the list with the mass formula. H. Pfeuffer’s dissertation deals with the growth of the class number h = h(G) of genera G of lattices in totally positive definite quadratic spaces over totally real number fields. Roughly speaking (suppressing certain problems coming from non-free lattices), the result is that h tends to infinity in any of the three parameters dimension of the space, norm of the determinant (volume) ideal and the field discriminant. The special case of the field Q had been treated thirty years earlier by W. Magnus. The result is derived from Minkowski’s mass formula and its generalization by Ph Siegel to number fields. Recall that the mass is defined as mass G = i=1 |O(Li )|−1 , where the Li run over a set of representatives for the isometry classes in G; so it is the inverse of the quantity of Theorem 1 for M = N ∈ G. The size of the mass depends on the three mentioned parameters. It is classical and relatively easy to see (cf. growth of Bernoulli numbers) that the mass tends to infinity rapidly, in fact exponentially, with the dimension. With more work, involving the estimation

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of local densities at primes dividing the determinant, one can also see that the mass grows with the determinant of the genus. It was Pfeuffer’s contribution to extend these computations and estimates to arbitrary number fields, where a major technical difficulty is the determination of the local densities at dyadic (ramified) primes. For this, refined versions of Hensel’s lemma due to Kneser are used; see eg. [Kne73]. The estimation of the mass from below in terms of the field discrimant is easy. The growth of the class number then follows from the trivial estimate mass(G) ≤ 21 · h(G). The dissertation by J. Biermann on small automorphism groups also belongs to the realm of consequences of the Minkowski-Siegel mass formula. With the result of Magnus and Pfeuffer on the growth of class numbers in the background, one asks for the orders of the orthogonal groups O(L) of the lattices L in one genus. The naive question of how good or bad the estimate |O(L)| ≥ 2, used to derive the growth of the class number h(G) from the growth of mass(G), actually is, leads, after hard work, to a reasonable answer: for fixed dimension and large determinant, most lattices in G have trivial orthogonal group, i.e. O(L) = {± id}, and thus the estimate converges to the truth. A more precise statement is the following: Theorem 6 (J. Biermann, 1981). For a genus G of totally definite integral quadratic forms, let h0 (G) := card{[L] ∈ G | O(L) = {± id}}. Then, for fixed dimension n ≥ 3 of the lattices, h0 (G) → 1, if det G → ∞. h(G) In my opinion, this thesis has been an important contribution to the literature on quadratic forms which would certainly have deserved publication in a journal. It looks plausible, but cannot be read off easily from Biermann’s work, that the same holds for max{n, det} → ∞. I am not aware of any serious hints that, over number fields, h0 /h tends to 1 also as a function of the field discriminant. But certainly this is a natural guess. The genera of even unimodular lattices of fixed dimension n = 4 over real quadratic fields of discriminant d → ∞ could supply a first, manageable test case. Unlike in the previous three cases, I have chosen the dissertation of Suwa-Bier not for its results, but for the problem itself. The question treated in this work is a very natural one and has been studied by various authors in quite different contexts: to what extent is an integral quadratic form determined by its representation numbers, or, more geometrically, a lattice L in Euclidean space Rn determined by the norms of its vectors, including multiplicities. In differential geometric terms, this problem had been studied as the problem of isospectral flat tori Rn /L already by John Milnor in the 1960s, and he had used the above 16-dimensional example put forward already by Witt. Later, examples of “isospectral” lattices of dimensions 12 and 8 were given by Kneser and Y. Kitaoka, respectively. The latter considered theta series and used the theory of modular forms. In 1988 the dimension of such examples was pushed down to 4 by Alexander Schiemann and independently by Ken-Ichi Shiota. Schiemann made exhaustive computer tabulations to approach systematically the smallest determinant 1729 for which such an example

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exists. Shiota found his examples in the course of the investigation of theta series as generators for certain spaces of modular forms of weight 2. See [Schi90, Shi91]. In dimension 2, our problem is elementary and has essentially nothing to do with modular forms: it is readily seen that the first three values of the spectrum and their multiplicities determine the three coefficients of a reduced Gram matrix and thus also the isometry class of a lattice. It was generally believed, after no counterexampes could be found, that a similar approach should work in dimension 3. Suwa-Bier could prove that the number of non-isometric lattices with the same spectrum is bounded by a constant only depending on the dimension, and is at most four in dimension 3. But a classical proof of the desired sharp result, with paper and pencil and based on hand-made case distinctions, eventually appeared to be impossible. The actual solution was given by Alexander Schiemann in his dissertation, supervised by F. Grunewald, in 1993 at the University of Bonn: a three-dimensional lattice is indeed determined up to isometry by its representation numbers [Schi93]. Roughly speaking, the strategy of the proof is as follows: a certain list of “good cases”, distinguished by appropriate inequalities for pairs of reduced positive definite 3 × 3-matrices, is generated on a computer; this list turns out to cover eventually all cases. To formulate it a little bit more precisely, the 12-dimensional cone of pairs of reduced positive definite 3 × 3-matrices is covered by a (large) number of subcones, each defined by inequalities coming from vectors representing one of the successive minima, and such that the desired uniqueness is by construction true on each subcone.

2.5. Outlook II: Small class numbers. In the 1980s, the question of class numbers of lattices, or arithmetic groups, came up (again) in a geometric context: finite group theorists and geometers (Tits, Kantor, Timmesfeld, Stroth, Ronan, Meixner, Wester and others) worked on the classification of certain classes of (locally) finite incidence geometries belonging to a Coxeter diagram (and more general diagrams), together with an automorphism group acting transitively on the maximal flags of the geometry. The maximal flags are called “chambers”; the description of a geometry as a “chamber system” is also common. The Coxeter diagram says that the chamber systems in question locally look like finite buildings. There exists an appropriate covering theory for chamber systems (related to group amalgamations), and the universal 2-cover under rather general assumptions is a building. If the diagram belongs to the known list of affine Coxeter-Dynkin-diagrams and the rank is ≥ 4, then this building is known to be a Bruhat-Tits building. Also, a chamber transitive automorphism group lifts to a chamber transitive group on the universal cover, which is a discrete subgroup of the (known) full automorphism group of the affine building. This lifted group is in principle known: it is arithmetic. A general survey of these works is given in the paper [Kan90] by William M. Kantor. To describe the relation with class numbers precisely, we maintain the general notation introduced previously, and specifically we consider the following:

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k o, p, kp , op G ⊂ GL(V )

a totally real algebraic number field as before simply connected semisimple, almost simple over k anisotropic at the infinite places p a fixed finite place of k s.t. rkkp G ≥ 2 k¯p := o/po the residue field at p ∆ := ∆(G(kp )) the Bruhat-Tits building of G(kp ). L a lattice in V s.t. op L =: Lp defines a vertex of ∆ ∆0 ∼ = ∆(G(k¯p )) the residue (star, link) of L in ∆. Γ := G(o[ p1 ]) a {p}-arithmetic discrete subgroup of G(kp ) Γ0 := G(o) the finite stabilizer of L in G(k). The following proposition makes precise the relation between class numbers and chamber transitivity of discrete groups as indicated on p. 40 of Kantor’s abovementioned paper. Proposition 1. Under the above assumptions, the following properties of the lattice L (resp. the arithmetic groups Γ, Γ0 ) are equivalent: (1) Γ acts chamber transitively on ∆. (2) (i) Γ0 acts chamber transitively on ∆0 , (ii) hG (L) = 1. Proof: “=⇒”: (i) is obvious from the assumption, since the chambers of ∆0 are exactly the chambers of ∆ containing the vertex L. For (ii), we have to show that (2.1)

G(Ak ) = G(k) · G(A(∞)).

Since G is isotropic at p, we can use strong approximation for the set of places ∞ ∪ {p}: (2.2)

G(Ak ) = G(k) · G(A(∞ ∪ {p})).

Since Γ acts chamber transitively on ∆ it also acts vertex transitively on the vertices of a given type, which for “type L” translates as (2.3)

1 G(kp ) = Γ · G(op ) = G(o[ ]) · G(op ). p

Given an arbitrary adele (σ` ) ∈ G(Ak ), first use (2) and write it as σ · (τ` ) with σ ∈ G(k) and τ` ∈ G(o` ) for all ` 6= p. Then use (3) and write τp = γ · δ with γ ∈ G(o[ p1 ]) and δ ∈ G(op ). Now replace the original decomposition of (σ` ) by σ` = (σγ) · (γ −1 τ` ) for all `. Since p is a unit in all o` , ` 6= p, we have γ ∈ G(o` ) for all ` 6= p and thus γ −1 τ` is still in G(o` ). Furthermore, γ −1 τp = δ is in G(op ) by construction. Thus the second factor of the new decomposition is in G(o` ) for all `, and therefore the given adele is a member of the right hand side of (1). “⇐=”: Because of assumption (i), we only have to show the transitivity of Γ on the vertices of “type L”, that is, the vertices in the orbit G(kp )L ⊂ ∆. But this transitivity is equivalent to (3), as has already been used. To prove (3), just apply assumption (1) to adeles which are 1 outside p: for any given σp ∈ G(kp ), there exists σ ∈ G(k) and an adele (τ` ) with τ` ∈ G(o` ) for all ` s.t. σp = σ · τp and

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σ · τ` = 1 for all ` 6= p. But this means σ ∈ G(op ) for all ` 6= p, thus σ ∈ G(o[ p1 ]), as desired.  This proof is completely analogous to the derivation of the neighbour method from strong approximation. See in particular equation (3) and compare Kneser’s 1957 paper. As a consequence of the above result, discrete chamber transitive groups on affine buildings are very rare. Examples had been found in the works of Kantor and Meixner/Wester mentioned above. A full classification has been announced by Kantor, Liebler and Tits in [KLT87]. The “generic case” of the proof deals with the non-existence of such a subgroup for almost all algebraic groups G. It is briefly sketched in that announcement (see also Kantor’s survey quoted above). It uses only condition (i) (or rather the chamber transtivity on residues of all types). This condition alone is already very restrictive, by a theorem of Gary Seitz. A complete proof of the classification is not published. Shortly after the appearance of [KLT87], a proof of the finiteness result based on the computation of covolumes of S-arithmetic groups has been given by Borel and Prasad in [BoPr89] and [Pra89]. Since covolumes and class numbers are related by the (known) Tamagawa numbers, a concrete application of these results for particular classes of groups would probably lead one back to Proposition 1. For instance, for orthogonal groups the finiteness of similarity classes of lattices satisfying condition (ii) follows from Pfeuffer’s result described above. For spin groups and for unitary groups one could use the results on the growth of class numbers of the 1971 dissertation of Ulf Rehmann [Reh71], again supervised by M. Kneser. Over the rationals, the finite list of all positive definite lattices of rank ≥ 3 and class number 1 is known from the work of G.L. Watson. (To be precise, in his published work Watson restricts himself to lattices which are “square free”. This is a local condition, for every prime p, and is irrelevant for our actual problem since it is fulfilled for all lattices representing a vertex of the Bruhat-Tits building.) This list is rather long (going up to dimension 10) but practically all lattices (and primes) are then immediately ruled out by condition (i). Over number fields, the list of lattices with class number 1 is probably shorter, but it is presently unknown. It is an open question whether one could use a clever combination of the transitivity condition (i) and the class number, or covolume condition (ii) effectively for a revision of the KLT-classification.

References Bie81. J.Biermann: Gitter mit kleiner Automorphismengruppe in Geschlechtern von Z-Gittern mit positiv-definiter quadratischer Form, Dissertation, G¨ ottingen 1981 Blij49. F. van der Blij: On the theory of quadratic forms. Annals of Math. 50 (1949), 875–883 BoPr89. A. Borel, G. Prasad: Finiteness theorems for discrete subgroups of bounded covolume in semi-simple groups. Publ. Math. I.H.E.S. 69 (1989), 119–171; Addendum, ibid. 71 (1990), 173–177 Boulder65. A. Borel, G.D. Mostow (eds.): Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, Symposium on Algebraic Groups, July 5 – August 6, 1965, Boulder Co. ; Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 1966 BrTi87. F. Bruhat, J. Tits: Groupes alg´ ebriques sur un corps local Chapitre III. Compl´ ements et applications ` a la cohomologie galoisienne. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 34 (1987), 671–698 Che89. V.I. Chernousov: On the Hasse principle for groups of type E8 , Dokl. Akad. Nauk. SSSR 306 (1989), 1059–1063; English translation in Soviet Math. Dokl. 39 (1989), no. 3, 592–596

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Quadratic Forms and Algebraic Groups MARTIN KNESER’S WORK ON QUADRATIC FORMS AND ALGEBRAIC GROUPS

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Martin Kneser’s Publications Math.-Phys. Semesterber. 1, (1949). 97–98.

Martin Kneser, Eibereiche mit geraden Schwerlinien, Math.-Phys. Semesterber., 1, 97–98, (1949). c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted by permission of Springer Nature.

The original version of this chapter was revised. Due to a mistake by the publisher, the Book Editor’s name was incorrectly listed as chapter author in the electronic version. The correction to this chapter is available at https://doi.org/10.1007/9783-030-81625-4_8. © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021, Corrected Publication 2022 U. Rehmann, Y. Tschinkel (eds.), Martin Kneser Collected Works, Contemporary Mathematicians, https://doi.org/10.1007/978-3-030-81625-4_4

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Abhängigkeit von Funktionen

Comment. This article is reproduced here from Kneser’s personal preprint copy, which had, on it’s front page, the handwritten note, signed ‘MK’: “Liest sich’s noch so schauderbar, s’ist gedruckt, denn es ist wahr.” which means: “Even if it reads terribly, it is printed, since it is true.”

c Springer-Verlag GmbH Martin Kneser, Abhängigkeit von Funktionen, Math. Z., 54, 34–51, (1951). Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01175134

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c SpringerMartin Kneser, Nachtrag zur Arbeit “Abhängigkeit von Funktionen. Math. Z. 55, 400 (1952). Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // link. springer. com/ article/ 10. 1007/ BF01181138

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Über den Rand von Parallelkörpern

Math. Nachr. 5, (1951). 241–251.

Martin Kneser, Über den Rand von Parallelkörpern, Math. Nachr., 5, 241–251, (1951). Reprinted with permission from Wiley-VCH, Weinheim. https: // doi. org/ 10. 1002/ mana. 19510050309

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Zum expliziten Reziprozitätsgesetz von I. R. Šafarevič

Math. Nachr. 6, (1951). 89–96.

Martin Kneser, Zum expliziten Reziprozitätsgesetz von I. R. Šafarevič, Math. Nachr., 6, 89–96, (1951). Reprinted with permission from Wiley-VCH, Weinheim. https: // doi. org/ 10. 1002/ mana. 19510060204.

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Primpolynomzerlegung in endlich vielen Schritten

Martin Kneser, Bemerkung über die Primpolynomzerlegung in endlich vielen Schritten, Math. Z., 57, c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission 238–240, (1953). from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01192925

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Die Norm einer Algebra

Arch. Math. 4, (1953). 97–99.

c Springer Nature Switzerland Martin Kneser, Die Norm einer Algebra, Arch. Math., 4, 97–99, (1953). AG. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01899668

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Quadratische Formen und Verschlingungsinvarianten. . .

Martin Kneser and Dieter Puppe, Quadratische Formen und Verschlingungsinvarianten von Knoten, Math. c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with Z., 58, 376–384, (1953). permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01174153

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Abschätzung der asymptotischen Dichte von. . .

Martin Kneser, Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen, Math. Z., 58, 459–484, c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from (1953). Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01174162

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Zur Theorie der Kristallgitter

c Springer-Verlag Martin Kneser, Zur Theorie der Kristallgitter, Math. Ann., 127, 105–106, (1954). GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01361112

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Bestimmung des Zentrums der Cliffordschen. . .

Martin Kneser, Bestimmung des Zentrums der Cliffordschen Algebren einer quadratischen Form über einem Körper der Charakteristik 2, J. Reine Angew. Math., 193, 123–125, (1954). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1954. 193. 123

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Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen. . .

Martin Kneser, Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen, Math. c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with Z., 61, 429–434, (1955). permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01181357

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Two remarks on extreme forms Canad. J. Math. 7, (1955). 145–149.

Martin Kneser, Two remarks on extreme forms, Can. J. Math., 7, 145–149, (1955). Reprinted with permission from Cambridge University Press. https: // doi. org/ 10. 4153/ CJM-1955-018-2

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Einige Bemerkungen über das Minkowskische. . .

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Martin Kneser, Einige Bemerkungen über das Minkowskische Flächenmaß, Arch. Math., 6, 382–390, (1955). c Springer Nature Switzerland AG. Reprinted with permission from Springer Nature.

https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01900510

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Editorial Comment: The conjecture after “Satz 6” (by Kneser sometimes called the “Groschenproblem”, as in the plane it can be visualized by small coins) has been proved for the plane (n = 2) not earlier than 2002, see: Bezdek, Károly; Connelly, Robert: Pushing disks apart – the Kneser-Poulsen conjecture in the plane. J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 221–236. For higher dimensions it seems still being open!

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Aufgabe 360

Aufgabe 360, Jahresbericht DMV 58 (2) (1955) 27 The details including a description of the impacts, seen from today’s scientific view, are discussed by an article by Günter Ziegler in the chapter “Miscellanea” of this volume. We quote from its abstract: Kneser’s “Aufgabe 360” from 1955/56 asked about partitions of the k-subsets of an n-set, but it is easily and naturally reformulated as
a graph coloring problem. In this version, formed by the k-subsets of an n-set taken it asks to show that the Kneser graph KG [n] k as the vertices of the graph, while two k-sets are connected by an edge if the subsets are disjoint, cannot be vertex-colored by less than n − 2k + 2 colors (for n ≥ 2k − 1). The solution of the Kneser conjecture by László Lovász in 1978 is famous as it unexpectedly employed the Borsuk–Ulam theorem from Algebraic Topology. The similar and related solutions by Imre Bárány and by Lex Schrijver from the same year also used variants of the Borsuk–Ulam theorem. The solution of the Kneser conjecture became an important starting point for the field of Topological Combinatorics, where topological tools are employed to solve problems in Combinatorics and in Discrete Geometry.

c Deutsche Martin Kneser, Aufgabe 360, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 58, 2. Abt., Heft 4, 27, (1956). Mathematiker-Vereinigung and Springer-Verlag GmbH Germany, ein Teil von Springer Nature. Reprinted with permission from Springer Nature.

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Orthogonale Gruppen über algebraischen . . .

Martin Kneser, Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern, J. Reine Angew. Math., 196, 213–220, (1956). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1956. 196. 213

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Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen

Martin Kneser, Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen, Math. Z., 66, 88–110, (1956). c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from Springer

Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01186598

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Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen

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Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in. . .

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Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in. . .

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Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in. . .

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Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in. . .

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c Springer Martin Kneser, Klassenzahlen definiter quadratischer Formen, Arch. Math., 8, 241–250, (1957). Nature Switzerland AG. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01898782

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Klassenzahlen definiter quadratischer Formen

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Klassenzahlen definiter quadratischer Formen

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Klassenzahlen definiter quadratischer Formen

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Kleine Lösungen der diophantischen. . .

Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 23 (1959) 163–173.

Martin Kneser, Kleine Lösungen der diophantischen Gleichung. Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 23, 163–173, (1959). Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF02941032

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Kleine Lösungen der diophantischen. . .

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Kleine Lösungen der diophantischen. . .

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Kleine Lösungen der diophantischen. . .

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Kleine Lösungen der diophantischen. . .

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Embeddings in groups of countable permutations

Colloq. Math. 7 (1959/1960), 177–179.

Martin Kneser and S. Świerczkowski, Embeddings in groups of countable permutations, Colloq. Math., 7, 177–179, (1960). Reprinted with permission from Polish Academy of Sciences (PAN), Institute of Mathematics, Warsaw. https: // doi. org/ 10. 4064/ cm-7-2-177-179

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M.K. (jointly with E. Świerczkowski)

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Reell-analytische Strukturen der. . .

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M.K. (jointly with H. Kneser) Arch. Math. 11 (1960), 104–106. (mit H. Kneser)

Hellmuth. Kneser and Martin Kneser, Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der c Springer Nature Switzerland AG. Reprinted Alexandroff-Geraden, Arch. Math., 11, 104–106, (1960). with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01236917

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Reell-analytische Strukturen der. . .

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Über die Darstellung algebraischer Raumkurven. . . Arch. Math. 11 (1960), 157–158.

Martin Kneser, Über die Darstellung algebraischer Raumkurven als Durchschnitte von Flächen, Arch. c Springer Nature Switzerland AG. Reprinted with permission from Springer Math., 11, 157–158, (1960). Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01236924

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Comment to the preceding article by Ulf Rehmann1 This article is embedded in a very interesting history over almost 120 years. A theorem of Kronecker [1882] states that every system of polynomial equations in n variables can always be replaced by a system of n + 1 polynomial equations, or, in other words, every algebraic variety in n-space can be described as an intersection of at most n + 1 varieties of codimension 1. In particular, every algebraic curve in 3-space is an intersection of at most four algebraic surfaces. As Kneser mentions, for some considerable time it was believed that this number was best possible even for n = 3, thanks to a given example by K.Th. Vahlen of a 3-dimensional curve in 1891, which was hold valid for half a century. Hence it came as a surprise in 1941 that O. Perron was able to show that, for this example, three surfaces would suffice, a result, which was commented by B. L. van der Waerden in Zentralbatt für Math. [vdW], where the author as well sketched a first “modern” proof of Kronecker’s theorem. In his note from 1960, Kneser generalized Perron’s result to arbitrary irreducible curves in projective 3-space, and since he intended to dedicate this note to O. Perron’s 80th birthday, before publication, he did ask in a letter to van der Waerden, whether more details might be known concerning this problem, and in particular he did ask whether possibly two surfaces would always be enough to get any curve as their intersection: Let me quote from Kneser’s letter: “Ist Ihnen ... ein Beitrag zu der Frage bekannt, ob sich algebraische Raumkurven als Durchschnitt von drei (oder gar zwei) Flächen darstellen lassen?” which says: “Do you know ... some result concerning the question, whether algebraic curves in (three dimensional) space can be represented as an intersection of three (or even two) surfaces?” In his written answer, van der Waerden only says that he had always conjectured that three surfaces should suffice, and did not comment on the parenthesized additional part of the question. But he had mentioned this as an open problem in [vdW] already. Kneser’s result (and proof) has found several generalizations to higher dimensions, for the affine case in 1972 by Storch [St], and, in 1973, by Eisenbud and Evans [EE] for the projective case as well, and both publications depend heavily on Kneser’s approach, as Storch’s work says so already in its title, and Eisenbud-Evans’ paper emphasizes in its introduction: “Our proofs of Theorems 1 and 2 rely on a modification (really an algebraization) of Kneser’s idea.” In fact it seems that still up to now this question is open, as David Eisenbud explained to me upon my request, saying the following 1I

would like to thank the IMU archivist Birgit Seeliger (Berlin) for pointing me to the Kneser-van der Waerden correspondence, also Max Knus from ETH Zürich for providing the whole documentation of that correspondence, and David Eisenbud from Berkeley for communicating the actual state of the problem discussed in this article.

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U. Rehmann The question of “2 hypersurfaces” for curves in P 3 is still open – even for the smooth rational quartic (parametrized by (s, t) 7→ (s4 , s3 t, st3 , t4 )). The best general result is probably that of Cowsik and Nori, for the corresponding (but easier) problem in affine 3-space [CN]: and then quoting from the abstract of this article: We prove here that any curve in the affine n-space over a field k of positive characteristic p is a set theoretic complete intersection. Szpiro proved that a curve which is a local complete intersection in affine 3-space is a set theoretic complete intersection. See, Ferrand [F], Szpiro [Sz]. A consequence of Mohan Kumar’s paper [KM] is that any local complete intersection curve in any affine nspace is a set theoretic complete intersection. We here first prove the result in the complete local case and use that to prove the general result. . .

References [CN]

Cowsik, R.C., Nori, M.V.: Affine curves in characteristic p are set theoretic complete intersections. Invent Math 45, 111–114 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01390268

[EE]

Eisenbud, David; Evans, E. Graham, Jr.: Every algebraic set in n-space is the intersection of n hypersurfaces. Invent. Math. 19 (1973), 107–112.

[F]

Ferrand, D.: Les Modules projectifs de type fini sur un anneau de Polynomes sur on corps sont libres; Seminaire N. Bourbaki 484 (1976)

[KM] Kumar, N. Mohan: On two conjectures about polynomial rings. Invent. Math. 46 (1978), no. 3, 225–236. [St]

Storch, Uwe: Bemerkung zu einem Satz von M. Kneser. Arch. Math. (Basel) 23 (1972), 403–404.

[Sz]

Szpiro, L.: Lectures on equations defining space curves. Notes by N. Mohan Kumar. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; by Springer-Verlag, Berlin-New York, 1979. v+81 pp. ISBN: 3-540-09544-6

[vdW] Van der Waerden, B. L.: Review. Zentralblatt für Math. 24, 276 (1941).

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Beispiel einer dimensionserhöhenden. . . Arch. Math. 11 (1960), 280–281.

Martin Kneser, Beispiel einer dimensionserhöhenden analytischen Abbildung zwischen überabzählbaren c Mannigfaltigkeiten, Arch. Math., 11, 280–281, (1960). Springer Nature Switzerland AG. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01236945

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Darstellungsmaße indefiniter quadratischer. . .

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Darstellungsmaße indefiniter quadratischer. . .

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Approximationssätze für algebraische Gruppen

J. Reine Angew. Math. 209 (1962), 96–97.

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Schwache Approximation in algebraischen Gruppen Colloque sur la théorie des groupes algébriques. Bruxelles, 5-7. Juin 1962. Librairie Universitaire-Louvain (1962), 41 - 52.

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Schwache Approximation in algebraischen Gruppen

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Einfach zusammenhängende algebraische Gruppen. . .

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Erzeugende und Relationen verallgemeinerter. . .

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Martin Kneser, Erzeugende und Relationen verallgemeinerter Einheitengruppen, J. Reine Angew. Math., 214/215, 345–349, (1964). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1964. 214-215. 345

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Erzeugende und Relationen verallgemeinerter. . .

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Starke Approximation in algebraischen Gruppen I

Starke Approximation in algebraischen Gruppen I

von Martin Kneser

J. Reine Angew. Math. 218 (1965), 190–203

Martin Kneser, Starke Approximation in algebraischen Gruppen. I, J. Reine Angew. Math., 218, 190–203, (1965). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1965. 218. 190

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Starke Approximation in algebraischen Gruppen I

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Starke Approximation in algebraischen Gruppen I

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Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen I

Galois-Kohomologie halbeinfacher

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von Martin Kneser

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Martin Kneser, Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern. I, c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with Math. Z., 88, 40–47, (1965). permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01112691

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Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen II

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Hasse principle for H 1 of simply connected groups (1966) Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), pp. 159–163 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

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Strong Approximation

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c AMS Martin Kneser, Strong approximation, from AMS Proc. Sympos. Pure Math. 9, 187-196 (1966). 1966. Reprinted with permission from the American Mathematical Society..

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Einige Bemerkungen über ganzzahlige. . .

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Semi-Simple Algebraic Groups

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M.K. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 31 (1967), 136–140.

Martin Kneser, Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen endlichen klassischen Gruppen, Abh. Math. c The Author(s), under exclusive licence to Mathematisches Semin. Univ. Hamb., 31, 136–140, (1967). Seminar der Universität Hamburg. Reprinted with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF02992391

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Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen. . .

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Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen. . .

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Normal subgroups of integral orthogonal groups

Normal Subgroups of Integral Orthogonal Groups Retyped from: Algebraic K-Theory and its Geometric Applications (Conf., Hull, 1969) Springer Lect. Notes Math. 108, (1969) 67–71 Let K be an algebraic number field, S a finite set of places of K containing all archimedean places, and I the ring of elements in K which are in the valuation ring of v for all v ∈ / S. In particular, if S contains only the archimedean places, I is the ordinary ring of integers in K. For a linear K-algebraic group G, considered in a fixed embedding G ⊆ GLn , an S-congruence subgroup of G(I), is a subgroup containing all matrices x ≡ 1 mod a in G(I) for some non-zero ideal a of I. These S-congruence subgroups have finite index in G(I). The congruence subgroup problem is the question whether conversely every subgroup of finite index is an S-congruence subgroup. If G is semi-simple and connected, and G(I) is not finite, it is easily seen that this can be true only if G is simply connected, cf [6]. We therefore restrict our attention to simply connected semi-simple groups. The congruence subgroup problem has been solved for Chevalley groups (cf [1,3,4,6,7]). and in [8], some results for Spin groups of quadratic forms of Witt index ≥ 2 are given. Since every subgroup of finite index contains a normal subgroup of finite index it suffices to consider these. In fact, one can get information about all normal subgroups of G(I). In this note we announce some partial results on normal subgroups of G(I) for Spin groups of quadratic forms of arbitrary Witt index (including index 0). There seems to be no essential difficulty to prove theorems similar to the one below for other classical groups. Let X be a vector space of finite dimension n over K with a non-degenerate quadratic form q, i(X) P its Witt index, i.e. the dimension of a maximal isotropic subspace of X, and iS (X) = v∈S i(X ⊗ Kv ). For any subset Y of X, denote by Y ⊥ the subspace of all vectors in X, orthogonal to Y . Let G be the Spin group of (X, q), operating on X in the natural way, and Hn an S-congruence subgroup of G(I). On X we introduce the S-congruence topology with the non-zero ideals of I as a basis of neighbourhoods of 0. This induces a topology on the set of rational points of any affine K-algebraic variety. All our results depend on the following crucial Lemma. Let x ∈ X, q(x) 6= 0, Kx⊥ = Y , and N a non-central normal subgroup of Hn . Assume n ≥ 5, and iS (X) ≥ 2, iS (Y ) ≥ 1. (1) Then the map g 7→ gx of N into G(K)x is open in the S-congruence topology. If Hn−1 is an S-congruence subgroup of the Spin group of Y , considered as a subgroup of G(K), then N ∩ Hn−1 is a non-central subgroup of Hn−1 . The proof is technical and uses ideas of [2] together with strong approximation in the Spin group of Y . Martin Kneser, Normal Subgroups of Integral Orthogonal Groups, Springer Lect. Notes Math. 108, (1969) c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission from 67–71. Springer Nature.

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M.K. Consequences. i) N Hn−1 is an S-congruence subgroup. By induction on n − m we get ii) Let X be the orthogonal direct sum of a subspace Y of dimension m ≥ 4 and another subspace Z, assume (1), and let Hm be an S-congruence subgroup of the Spin group of Y . Then Hm N is an S-congruence subgroup. iii) Under the assumptions of ii), the smallest normal subgroup L of Hn containing Hm is an S-congruence subgroup. Theorem. Assume dim X = n ≥ 8, iS (X) ≥ 2, and N a non-central normal subgroup of Hn . Then there exists an S-congruence subgroup L, depending only on Hn , (not on N ), and another one M , depending on N , such that N contains the mixed commutator subgroup [L, M ]. Proof. Write X as an orthogonal direct sum as in ii) with iS (Y ) ≥ 1, iS (Z) ≥ 1, and define L as in iii). Let Hn−m be an S-congruence subgroup of the Spin group of Z and M a normal S-congruence subgroup contained in Hn−m N . Since Hm and Hn−m commute, Hm and M commute modulo N . Since M and N are normal, all the conjugates of Hm commute with M modulo N , and so [L, M ] ⊆ N . Let us finally translate some of these results into the language of group extensions (cf [1],[3],[5],[6]). On G(K) we consider two topologies: The S-congruence topology with the S-congruence subgroups as a basis of neighbourhoods of 1, and the S-arithmetic ¯ ˆ be topology with the subgroups of G(I) of finite index as a basis. Let G(K) resp. G(K) the completion of G(K) in these topologies. The identity mapping of G(K) induces a ¯ ˆ homomorphism G(K) → G(K), which is surjective and has a certain kernel C S (G). This kernel is {1} if and only if every subgroup of G(I) of finite index is an S-congruence subgroup. The theorem above, together with [2], implies that C S (G) is contained in the centre of ˆ if dim X ≥ 8, iS (X) ≥ 2. G(K), Under the assumptions of ii), denote by Gn resp. Gm the Spin group of X resp. Y . The inclusion Gm → Gn induces a homomorphism C S (Gm ) → C S (Gn ), and ii) implies that this is surjective. Now C S (G) is known [3] whenever n ≥ 5 and X has maximal Witt index, namely with µ(K) the group of roots of unity contained in K, we have  1 if S contains a real or a non-archimedean place C S (G) = (2) µ(K) if S contains only complex places If i(X) ≥ 2, X contains a five-dimensional space of maximal Witt index and is contained in such a space of dimension 2n. So by the argument above, (2) holds in this case too (cf [8]). If i(X) = 1, Serre’s results [7] about SL2 and the isomorphisms of four-dimensional Spin groups may be used to get the following: C S (G) = {1}

if i(X) = 1, and S contains a real place v with i(X ⊗ Xv ) ≥ 2, or a non archimedean place, C S (G) = µ(K) if i(X) = 1 and S contains only complex places, C S (G) is finite if i(X) = 1, iS (X) ≥ 2. 390

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Normal subgroups of integral orthogonal groups

References [1] H. Bass, J. Milnor, and J-P. Serre, Solution of the Congruence subgroup problem for SLn (n ≥ 3) and Sp2n (n ≥ 2), Publ. Math. I.H.E.S. no. 33 (1967) 59–137 [2] M. Kneser, Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern, J. reine u. angew. Math. 196 (1956) 213–220 [3] H. Matsumoto, Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 4e`me serie, t. 2 (1969) 1–62 [4] J. Mennicke, Finite factor groups of the unimodular group, Annals of Math. 81 (1965) 31–37 [5] C. Moore, Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. I.H.E.S. no. 35 (1968) 5-74 [6] J-P. Serre, Groupes de congruence, vol. 10, Exp. No. 330 Sém. Bourbaki (1966/67) 275–291 [7] J-P. Serre, Le problème des groupes de congruence pour SL2 , Annals of Math. (2) 92 (1970) 489—527 [8] L. I. Vaserstein, Subgroups of finite index in Spin groups of rank greater than or equal to 2 (Russian), Mat. Sbornik 75 (1968) 178–184 University of Göttingen Lecture Notes in Mathematics Berlin usw.: Springer 1969. Bd. 108, 68–71

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Functors between categories of vector spaces

Functors between categories of vector spaces by D. B. A. Epstein University of Warwick Coventry England

and

M. Kneser University of Goettingen Germany

retyped from: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three) pp. 154–170 Springer, Berlin. Let K and L be fields. We consider the problem of classifying functors from V (K), the category of finite dimensional K-vector spaces and K-linear maps, to V (L). For any two categories A and B and for any object B of B, we have a functor from A to B, which assigns to each object of A the object B, and to each morphism of A the identity map 1B . Any functor isomorphic to such a functor will be called a constant functor. The following results are substantial improvements on the results in [2]. Theorem 1. Let F : V (K) → V (L) be a non-constant functor, and let K be infinite. Then K and L have the same characteristic and L is infinite. If K is finite then Theorem 1 is false. For we have the forgetful functor from V (K) to the category of finite sets, and for any field L there are many functors from the category of finite sets to V (L). This remark is due to A. Borel. We shall therefore assume throughout this paper that K is infinite. Theorem 2. Let K and L have characteristic zero and let F : V (K) → V (L) be a non-constant functor. Then for each integer n ≥ 0, there exists a functor Gn : V (K) × . . . × V (K) = V (K)n → V (L) and a functor Fn : V (K) → V (L), such that i) Gn is additive in each of its n variables ii) Fn is a subfunctor of Gn ◦ ∆n where ∆n : V (K) → V (K)n is the diagonal functor iii) F = ⊕Fn . Note. When n = 0, V (K)n is defined as the category with one object and one morphism. So G0 , ∆0 and F0 are constant functors. D. B. A. Epstein and Martin Kneser, Functors between categories of vector spaces, from Springer Category Theory Homology Theory Appl., Proc. Conf. Seattle Res. Center Battelle Mem. Inst. 1968, Vol. 3, Lect. c Springer-Verlag GmbH 1969. Reprinted with permission from Springer Notes Math. 99, 154-170 (1969)., Nature.

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M.K. (jointly with D. B. A. Epstein) Corollary 3. K can be embedded in a finite field extension of L. Corollary 4. If K = Q, the field of rationals, then F is a polynomial functor. Such functors are completely classified in [2]. Corollary 3 is a consequence of Theorem 2. The easy proof is given in Lemma 5. Corollary 4 follows from [2] Lemma 7.2. Since F V is naturally isomorphic to F 0 ⊕ ker(F V → F 0), we may assume without loss of generality that F 0 = 0. (The constant functor V 7→ F 0 corresponds to the case n = 0 in Theorem 2. That is F0 V = F 0.) We now commence the proofs of the theorems. Lemma 5. Let G be an abelian group and W a finite dimensional vector space over L. Let θ : G → AutL W be a homomorphism. Then the smallest extension field L1 of L, which contains all eigenvalues of θg for all g ∈ G, is a finite extension. Morevover there is a basis of W ⊗L L1 with respect to which all elements of θG are upper triangular. Proof. We use induction on the dimension of W . Suppose that for some element g ∈ G, θg is not scalar multiplication. Let λ be an eigenvalue of θg. Without loss of generality, we may suppose that λ ∈ L. Then W 6= W1 = {w ∈ W | (θg)w = λw} = 6 0 is a representation space for G. We apply the induction hypothesis to W1 and W/W1 . This completes the proof. We use this lemma to show that Theorem 2 implies Corollary 3. Since F is not constant, Gn 6= 0 for some n ≥ 1. Therefore M = Gn (K, . . . , K) 6= 0. Now M is an L-vector space which is also a vector space over K (via the action on the first variable, for example). By Lemma 5 we may find a finite field extension L1 of L and an L1 -basis for M ⊗L L1 , with respect to which the action of any element k ∈ K is upper triangular. Each diagonal position then gives rise to a field embedding of K in L1 . Lemma 6. Let G be a nilpotent group und let L be an algebraically closed field. Let W be a finite dimensional vector space and let θ : G → AutL W be a homomorphism. Suppose that G has no finite cyclic quotient group. Then it is possible to choose a basis for W , so that each element g ∈ G acts as an upper triangular matrix. Proof. We need only show that G acts by scalar multiplication for every simple G-module W which is finite dimensional over L. Let {1} = G0 < G1 < . . . < Gr = G be a central series for G, and suppose we have shown by induction on i, that Gi acts on W by scalar multiplication. Let θ : G → AutL W be the representation. Let x ∈ Gi+1 and g ∈ G. Then xgx−1 g −1 ∈ Gi and so we can define λ(x, g) ∈ L∗ by λ(x, g) = θ(xgx−1 g −1 ) or θx · θg = θg · θxλ(x, g) . Taking determinants, we see that λ(x, g) is a k th root of unity, where k = dim W . It is obvious that for fixed x, λ(x, ) gives a homomorphism of G into L∗ and hence into the group of k th roots of unity in L. But the k th roots of unity form a finite cyclic group, and 394

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Functors between categories of vector spaces so λ(x, g) = 1 for all x ∈ Gi+1 and all g ∈ G. Hence θx commutes with the action of G on W . By Schur’s Lemma, θx is therefore scalar multiplication. This completes the proof of the lemma. We recall that a linear map A : W → W is called unipotent if (A − 1) is nilpotent, i. e. if (A − 1)r = 0 for large enough r. This is equivalent to being able to find a basis for W , with respect to which A is unitriangular (upper triangular with ones down the diagonal). Theorem 7. Let K be an infinite field and let dimK V > 2. Let SL(V, K) be the group of automorphisms with determinant one. Let θ : SL(V, K) → AutL W be a non-trivial homomorphism. Then i) L is infinite; ii) K and L have the same characteristic; iii) θ maps unipotent elements to unipotent elements. iv) In fact, if we fix a basis for V , then there exists a basis for W such that θ maps unitriangular matrices to unitriangular matrices, but we do not prove this. Proof. Every normal subgroup of SL(V, K) is contained in the group of scalar multiplications by the rth roots of unity (dim V = r) [1] p. 38. So SL(V, K) has only trivial homomorphisms into finite groups. In particular L must be infinite. Let K have characteristic p. Then the unipotent elements are exactly those whose order is a power of p. So if L has characteristic p, then unipotent elements are mapped to unipotent elements. The matrices of the form 1 + xE12 (x ∈ K) form an infinite abelian group H of ¯ so that θH consists of upper exponent p. By Lemma 5, we may choose a basis for W ⊗L L, triangular matrices. The diagonal entries of an element of θH are pth roots of unity. Hence the subgroup S of H consisting of elements mapping under θ to unitriangular elements, is non-trivial. On the other hand, if the characteristic of L is not p, S = 1. It follows, as in the first paragraph, that θ is trivial. So we have proved that if K has characteristic p, then so has L, and unipotent elements are mapped to unipotent elements. Now let K have characteristic zero. Without loss of generality, we may suppose that L is algebraically closed (which would not be legitimate if we were proving iv). We now apply Lemma 6, to deduce that unitriangular matrices in SL(V, K) are sent to upper triangular matrices in AutL W . Let i < j < k. Then the commutator (1 + λEij )(1 + Ejk )(1 − λEij )(1 − Ejk ) = 1 + λEik

.

It follows that θ(1 + λEik ) is a commutator of upper triangular matrices and is therefore unitriangular. So θ(1 + λEik ) is unipotent. Changing the basis of V , we see that θ(1 + λEij ) is unipotent for all i 6= j. It follows that for i < j, θ(1 + λEij ) is unitriangular. Since the elements 1 + λEij generate the group of unitriangular matrices in SL(V ; K), we see that θ maps unitriangular matrices to unitriagnular matrices, and hence unipotent elements to unipotent elements. Martin Kneser · Collected Works

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M.K. (jointly with D. B. A. Epstein) P We therefore have θ(1 + xE12 ) = 1 + i 0, we define Fi V = {w ∈ F V | (F λV − λi )N w = 0 all λ ∈ Q and N = dim F V }. It is easy to see that if α : V → W is linear, then Fα carries Fi V into Fi W . We have ∼ ⊕ i Fi . F = For the sake of completeness, we repeat some material contained in [2] concerning deviation functors, which is a notion due to Eilenberg and MacLane [3]. Let C be an arbitrary category with finite products and a zero object, and let A be an abelian category. Let F : C → A be a functor such that F 0 = 0. If C and D are two objects in C, we have canonical injections and projections i : C → C × D, j : D → C × D, p : C × D → C, q : C × D → D

,

such that pi = 1C , qj = 1D , pj = 0DC , qi = 0CD . Let F 1 (C, D) = ker F p ∩ ker F q. We have a direct sum decomposition, which is natural for morphisms C → C 1 and D → D1 . 10.

F (X × D) ∼ = F C ⊕ F D ⊕ F 1 (C, D)

.

The projections on to the three factors are F p, F q and 1 − F j.F q − F i.F p. The injections are F i, F j and inclusion. Lemma 11. If F1 → F2 is a morphism of functors, then we obtain an induced morphism (F1 )1 → (F2 )1 of functors from C 2 = C × C to A, which respects the direct sum decomposition 10. If G : C k → A is a functor of k variables, one can perform the above process on the ith variable for some fixed i, to obtain a functor Gi : C k+1 → A. (We use Lemma 11 for this.) Suppose F is as above, and we have defined F I : C k+1 → A, where I = {i1 , . . . , ik } is a k-tuple of integers such that 1 ≤ ij ≤ j for each j. Then we define F J = (F I )j : C k+2 → A where J = {i1 , . . . , ik , j} and 1 ≤ j ≤ k + 1. If C = C1 × . . . × Cn and K is a subset of {1, 2, . . . , n}, we denote by ψK : C → C the morphism such that pi ψK = pi for i ∈ K and pi ψK = 0 for i 6∈ K. Let |K| be the number of elements of K. It is easy to prove, by induction on the length n of n-tuple I = {i1 , . . . , in } such that 1 ≤ ij ≤ j for each j, that F I (C1 , . . . , Cn ) = Im(ΣK (−1)|K| F (ψK )) ⊂ F C Martin Kneser · Collected Works

, 397

M.K. (jointly with D. B. A. Epstein) where K runs over all the subsets of {1, . . . , n}. Hence F I depends only on the length of I and is independent of the order of the variables C1 , . . . , Cn . We define F (n) (C1 , . . . , Cn ) = Im(Σk (−1)|K| F (ψK ))

.

F (n) is called the nth deviation of F . We obviously have: Lemma 12. F (n) is additive in each variable if and only if F (n+1) = 0. Now we turn to functors F : V (K) → V (L), and we suppose that F 0 = 0, as we can do (see just before Lemma 5). A functor F will be called homogeneous of degree i if for each vector space V over K, and each λ ∈ Q, the eigenvalues of F λV are all equal to λi . We have shown above (just before the section on deviation functors), that if K and L have characteristic zero, then every functor is the direct sum of homogeneous functors. In order to prove Theorem 2, we may therefore assume F is homogeneous. Lemma 13. If F is homogeneous of degree n, then F (n) 6= 0 and F (n+1) = 0. Proof. If A and B are commuting endomorphisms of a vector space, then every eigenvalue of AB is the product of an eigenvalue of A and an eigenvalue of B. Regarding F (k) as a functor of the ith variable only, we have shown that F (k) (1, . . . , 1, λ, 1, . . . , 1) (λ ∈ Q) has each of its eigenvalues of the form λni . It follows that the eigenvalues of F (k) (λ, . . . , λ) are of the form λn1 +n2 +...+nk . Since F (k) (V, . . . , V ) is a subfunctor of F (V ⊕ . . . ⊕ V ), it follows that n1 + . . . + nk = n. Since ni ≥ 1 for 1 ≤ i ≤ k, we deduce that F (n+1) = 0. Let k be the largest integer such that F (k) 6= 0. Then F (k) is additive in each variable by Lemma 12 and so each ni is equal to one. Lemma 14. Let F : V (K) → V (L) be homogeneous of degree n. Then F can be embedded in the direct sum G of (n − 1)! copies of F (n) ◦ ∆n , where ∆n : V (K) → V (K)n is the diagonal functor. This embedding is natural in F — that is, if α : F1 → F2 is a morphism of functors of degree n, then we have a commutative diagram αF2 F1

? G1

β -

? G2

where β is induced by α(n) . Proof. Consider the composition

∆ V 398

V ⊕V @ @m @ R 2 - @ V

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Functors between categories of vector spaces where ∆ is the diagonal and m is addition. We have F (2V ) expressed as the composition F∆

Fm

F V −→ F V ⊕ F V ⊕ F (2) (V, V ) −→ F V

,

which is equal to F 1V + F 1V + F m.γV

.

where γV : F V → F (2) (V, V ) is equal to (1 − F i F p − F j F q)F ∆ = F ∆ − F i − F j

.

So γV gives rise to a morphism of functors γ from V (K) to V (L). Moreover, if α : F1 → F2 is a morphism of functors, then we have a commutative diagram αF1 V F2 V γ

γ

? (2) F1 (V, V )

α(2)-

? (2) F2 (V, V )

We know that F (2V ) = 1F V + 1F V + F m.γV . Without loss of generality, we may suppose that n > 1. Then all the eigenvalues of F m.γV are equal to 2n − 2 and so γV is a monomorphism for each V . Hence F is embedded in F (2) ◦ ∆2 . The lemma is now proved by induction on n. We can write F

(2)

=

n−1 M

Tr,n−r

,

r=1

where Tr,n−r : V (K) × V (K) → V (L) has degree r in the first variable and degree n − r in the second variable. This is done by regarding F (2) as a functor of the first variable only and writing it as a sum of homogeneous functors. (We recall that F (2) (V, V ) ⊂ F (V ⊕ V ), so that the degrees in the two variables must add up to n.) Let G : V (K)2 = V (K) × V (K) → V (L). We define G(r,s) : V (K)r+s → V (L) by taking the rth deviation with respect to the first variable and the sth deviation with respect to the second variable. By induction on n, using the naturality of the embeddings for lower values of n, we embed Tr,n−r in (r − 1)!(n − r − 1)! copies of (Tr,n−r )(r,n−r) ◦ (∆r × ∆n−r ). From Lemma 13, it follows that (Tr,n−r )(r,n−r) = (F (2) )(r,n−r) = F (n)

.

Hence Tr,n−r may be embedded in (r −1)!(n−r −1)! (≤ (n−2)!) copies of F (n) ◦∆r ×∆n−r . It follows that Tr,n−r ◦ ∆2 my be embedded in the direct sum of (r − 1)!(n − r − 1)! copies Martin Kneser · Collected Works

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M.K. of F (n) ◦ ∆n . Therefore F ⊂ F (2) ◦ ∆2 may be embedded in (n − 1)! copies of F (n) ◦ ∆n . This completes the proof of Theorem 2. References 1. J. Dieudonné, “Sur la géométrie des groupes classiques”, Springer, 1955. 2. D. B. A. Epstein, “Group representations and functors”, to appear in Am. J. Math. 3. S. Eilenberg and S. MacLane, “On the groups H(π, n), II”, Annals of Math., 60, (1954), pp. 75-83.

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Witts Satz über quadratische Formen . . . Math.-Phys. Semesterber. 17 (1970), 33–45.

Martin Kneser, Witts Satz über quadratische Formen und die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch c Springer-Verlag GmbH Germany, Spiegelungen, Math.-Phys. Semesterber., N. F., 17, 33–45, (1970). part of Springer Nature. Reprinted by permission of Springer Nature.

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Witts Satz für quadratische Formen über. . .

Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II (1972), 195–203.

Martin Kneser, Witts Satz für quadratische Formen über lokalen Ringen, Nachr. Akad. Wiss. Gött., II. Math.-Phys. Kl., 1972, 195–203, (1972). Reprinted with permission from Akademie der Wissenschaften, Göttingen.

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Witts Satz für quadratische Formen über. . .

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Invariante Untermoduln quadratischer Moduln

J. Reine Angew. Math. 258 (1973), 51–54.

A. Kallmann and Martin Kneser and U. Stuhler, Invariante Untermoduln quadratischer Moduln, J. Reine Angew. Math., 258, 51–54, (1973). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1973. 258. 51

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M.K. (jointly with A. Kallmann und U. Stuhler)

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Invariante Untermoduln quadratischer Moduln

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M.K.

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Lineare Abhängigkeit von Wurzeln

Acta Arith. 26 (1974/75), no. 3, 307–308.

Martin Kneser, Lineare Abhängigkeit von Wurzeln., Acta Arith., 26, 307–308, (1975). Reprinted with permission from Polish Academy of Sciences (PAN), Institute of Mathematics, Warsaw. https: // doi. org/ 10. 4064/ aa-26-3-307-308

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M.K. (jointly with John S. Hsia and Yoshiyuki Kitaoka)

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Representations of positive definite quadratic. . .

Representations of positive definite quadratic forms

by John S. Hsia, Yoshiyuki Kitaoka and Martin Kneser

J. Reine Angew. Math. 301 (1978), 132–141.

John S. Hsia and Yoshiyuki Kitaoka and Martin Kneser, Representations of positive definite quadratic forms, J. Reine Angew. Math., 301, 132–141, (1978). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1978. 301. 132

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Konstruktive Lösung p-adischer. . .

Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II (1978), no. 5, 67–69.

Martin Kneser, Konstruktive Lösung p-adischer Gleichungssysteme, Nachr. Akad. Wiss. Gött., II. Math.Phys. Kl., 1978, 67–69, (1978). Reprinted with permission from Akademie der Wissenschaften, Göttingen.

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Normalteiler ganzzahliger Spingruppen J. Reine Angew. Math. 311/312 (1979), 191–214.

Martin Kneser, Normalteiler ganzzahliger Spingruppen, J. Reine Angew. Math., 311-312, 191–214, (1979). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin. https: // doi. org/ 10. 1515/ crll. 1979. 311-312. 191

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Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser. . . Math. Z. 177 (1981), no. 2, 285–287.

Martin Kneser, Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra, c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted Math. Z., 177, 285–287, (1981). with permission from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01214206

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Erzeugung ganzzahliger orthogonaler Gruppen. . . Math. Ann. 255 (1981), no. 4, 453–462.

Martin Kneser, Erzeugung ganzzahliger orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen, Math. Ann., 255, c Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. Reprinted with permission 453–462, (1981). from Springer Nature. https: // doi. org/ 10. 1007/ BF01451927

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Einheitengruppen indefiniter quadratischer Formen Mitt. Math. Ges. Hamburg 11 (1982), no. 1, 129–130.

Martin Kneser, Einheitengruppen indefiniter quadratischer Formen, Mitt. Math. Ges. Hamb., 11, 129–130, (1982). Reprinted with permission from Mathematische Gesellschaft in Hamburg

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Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 13–17.

Martin Kneser, Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 33, 13–17, (1982). Reprinted with permission from Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft.

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Editorial comment to the preceding article Some progress on the last example has been achieved since: In [DS-P] it was shown that the given list of exceptions is indeed finite but doesn’t give an explicit bound for its members. In [OS] it has been shown that, under some generalized Riemannian hypothesis for DirichletL-functions of quadratic characters and quadratic twists of Hasse-Weil L-functions of elliptic curves over the rationals, the given explicit list is indeed complete.

References [DS-P] Duke, William, and Schulze-Pillot, Rainer; Representation of integers by positive ternary quadratic forms and equidistribution of lattice points on ellipsoids. Invent. Math. 99 (1990), no. 1, 49–57. [OS]

Ono, Ken, and Soundararajan, K.; Ramanujan’s ternary quadratic form. Invent. Math. 130 (1997), no. 3, 415–454.

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M.K. J. Number Theory 15 (1982), no. 3, 406–413.

Martin Kneser, Composition of binary quadratic forms, J. Number Theory, 15, 406–413, (1982). Reprinted with permission from Elsevier. https: // doi. org/ 10. 1016/ 0022-314X( 82) 90041-5

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Komposition binärer quadratischer Formen

Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 41–42.

Martin Kneser, Komposition binärer quadratischer Formen, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 33, 41–42, (1982). Reprinted with permission from Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft.

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Representations of integral quadratic forms

Retyped from Quadratic and Hermitian forms (Hamilton, Ont., 1983), 159–172, CMS Conf. Proc., 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.

Representations of Integral Quadratic Forms 1. Introduction Representations of quadratic forms is an old topic in number theory. Geometrically it amounts to embedding one quadratic lattice into another. The methods to attack this problem are quite similar to those used for the classification of lattices, but while classification is treated systematically in (O), Chap. X, e. g., the situation for the representation problem, in particular for indefinite forms, is less satisfactory. Some basic notions have been introduced in (K4) and more fully in (S1), and there are the earlier results of James (J), but neither can be considered complete. On the other hand Nikulin (N2) has developed the technique of discriminant forms to an effective tool for concrete calculations. We do not include this technique here, because there has recently been a Bourbaki Seminar talk (D) on Nikulin’s work. The purpose of the present report is to give a systematic presentation of the relevant notions and basic results. We have taken care to include representations of degenerate lattices (which are important in some applications, cf. (B)), and lattices over arbitrary global rings, even of characteristic 2, the latter not for their particular importance, but as a check to have the “right” notions. In the last section we treat two concrete examples. 2. Notations. F a global field in the sense of (O), but allowing function fields of characteristic 2, S a finite set of spots on F containing all archimedean ones, / S (except in R the ring of S-integers in F , i. e. elements in F integral at all spots p ∈ sections 8 and 9) U, V, . . . vector spaces over F with quadratic form q(x) and associated bilinear form b(x, y) = q(x + y) − q(x) − q(y), ker U = {x ∈ U ∩ U ⊥ | q(x) = 0} the kernel of U . In characteristic different from 2, of course this is just the radical rad U = U ∩ U ⊥ of U . In general ker U is the largest Martin Kneser, Representations of integral quadratic forms, from CMS Quadratic and Hermitian forms, Conf. Hamilton/Ont. 1983, CMS Conf. Proc. 4, 159-172 (1984)., (1984). Reprinted with permission from the Canadian Mathematical Society.

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M.K. subspace U 0 of U such that q(x) depends only on x modulo U 0 . The quotient U/ ker U with the induced quadratic form will be denoted by U 0 . K, L, . . . R-lattices on U, V, . . . . We call K regular, resp. nondegenerate if the map, induced by b, from K to its dual is bijective, resp. injective. If K is free, this means that the discriminant of a basis is invertible, resp. non-zero. Fp , Rp , Up , . . . , Kp . . . completions at p. For p ∈ S, we put Rp = Fp , Kp = Up . O(B), resp. SO(B) the orthogonal, resp. special orthogonal group of a space or lattice B. If C is a subset of B, we denote by O(B; C) resp. SO(B; C) the subgroup fixing all elements in C. SOA (V ) the adelization of SO(V ) with SOA (L) =

Q

SO(Lp ) as an open subgroup,

p

SN

the spinor norm from the special orthogonal group to the group of square classes. We abbreviate SN (SO(. . .)) = SN (. . .) and SN (SOA (. . .)) = SNA (. . .).

O0 (. . .) = ker SN

the spinor kernel in the respective special orthogonal group. 3. Representations.

A representation of a lattice K on U by a lattice L on V is an injective homomorphism t : K → L respecting the quadratic form. It is called primitive if L/tK is torsion-free. Since general (not necessarily primitive) representations of K by L correspond to primitive representations by L of some bigger lattice K 0 ⊇ K on U , we consider mainly primitive ones. Also we always assume L and V nondegenerate, while K and U may be (and in important applications are) degenerate. In practice (for instance in the theory of Minkowski and Siegel) one is often forced to consider representations of a lattice K not only by a fixed L but by different lattices on the same space V . Two such representations t : K → L and t0 : K → L0 with L, L0 ⊆ V are called equivalent (resp. properly equivalent) and are said to belong to the same class (resp. proper class) of representations if there is an automorphism u ∈ O(V ) (resp. SO(V )) with (1)

uL = L0 , ut = t0

.

t and t0 belong to the same genus (resp. proper genus) if, for every spot p of F , there is an automorphism up ∈ O(Vp ) (resp. SO(Vp )) with (2)

up Lp = Lp0 , up t = t0

.

t and t0 belong to the same spinor genus if there are automorphisms u ∈ SO(V ), and vp ∈ O0 (Vp ) such that (3) 504

uvp Lp = L0p , uvp t = t0

.

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Representations of integral quadratic forms These relations between representations t and t0 obviously imply (and in the special case K = {0} are equivalent to) the corresponding ones between the lattices L and L0 . An immediate consequence of the theorem of Minkowski and Hasse is Theorem 1. Given lattices K on U , L on V and for each spot p of F a primitive representation tp : Kp → Lp , there is a unique genus of primitive representations t0 : K → L0 ⊂ V such that the induced representation t0p : Kp → Lp0 is equivalent over Rp to tp . Remark. If q does not vanish identically on the orthogonal complement t0 (U )⊥ of t0 (U ) in V , then t0 can be chosen in such a way that t0p is properly equivalent to tp , and then the proper genus of t0 is unique. Theorem 1 reduces questions about genera to purely local problems, which will be dealt with in section 8 below. 4. Special Representations and Adeles. If the lattice K on U admits a representation by L on V , then necessarily U is isomorphic to a subspace of V . It is therefore no loss of generality to make, from now on, the general Assumption: U is a subspace of V . In this situation we single out a special class of representations t of K on U by L on V . t is called a special representation if K is contained in L and t is the injection map. For an arbitrary (non special) representation t we can use Witt’s theorem to extend t to an automorphism u of V . Multiplying t by u−1 we get Theorem 2. Every representation t is equivalent to a special representation. Remark. If q(U ⊥ ) 6= {0}, t is even properly equivalent to a special representation. Each class of representations t : K → L consists of one or two proper classes, depending on whether O(L; tK) 6= or = SO(L; tK). A similar remark applies to genera and proper genera, but while for lattices we always have O(Lp ) 6= SO(Lp ), so that genera and proper genera coincide (cf. (O) §102 A), for representations we may well have O(Lp ; tKp ) = SO(Lp ; tKp ). In any case it is usually easy to go from classes or genera to the proper ones and back. So from now on we restrict our attention to proper classes and genera whenever these are easier to handle. Moreover theorem 2 allows us to consider only special representations. Now fix K ⊂ U ⊆ V . If t and t0 are special, the conditions ut = t0 in (1) for proper equivalence resp. up t = t0 in (2) just mean u ∈ SO(V ; U ) resp. up ∈ SO(Vp ; Up ). Similarly for (3) we have uvp ∈ SO(Vp ; Up ), and it can be shown that it is even possible to choose separately u ∈ SO(V ; U ) and vp ∈ O0 (Vp ; Up ). With these remarks in mind we let the adele group SOA (V ; U ) operate on the set of special representations of K by lattices on V in the following way. If t is the injection of K into L and uA = (up ) an adele in SOA (V ; U ), so up ∈ SO(Vp ; Up ), and up ∈ SO(Lp ; Kp ) for almost all p, then the image t0 = uA t of t under uA is the injection of K into the lattice L0 = uA L whose completions are given Martin Kneser · Collected Works

505

M.K. by L0p = up Lp . The transitivity classes by definition are just the Q proper genera of special representations, the stabilizer of t : K → L is SOA (L; K) = SO(Lp ; Kp ). The special p

representations t0 = uA t in the proper genus of t therefore correspond bijectively to the cosets uA SOA (L; K) , the proper classes of such representations to the double cosets (4)

SO(V ; U )uA SOA (L; K)

,

the spinor genera to the double cosets (5)

0 (V ; U )uA SOA (L; K) SO(V ; U )OA

,

while the proper genus corresponds to all of SOA (V ; U )

(6)

.

5. Basic Results. Recall the definition U 0 = U/ ker U and the assumption that U = F K is a subspace of V = F L. Theorem 3. If dim(U ⊥ )0 ≥ 3, i. e. (7)

dim V ≥ dim U + dim ker U + 3

,

and (U ⊥ )0p is isotropic for at least one p ∈ S, then each spinor genus of representations of K by lattices on V consists of one single proper class. For K = {0} this is old (cf. (E) §15, (K1)), for number fields see (S 1), 9.2. The proof in general is quite similar, using strong approximation for O0 (V ; U ) and the fact that (4) is open in (6). In characteristic different from 2, SO(V ; U ) is the semidirect product of a split unipotent normal subgroup with a subgroup isomorphic to SO((U ⊥ )0 ), so strong approximation holds for the elements of spinor norm 1 (see (K3) for number fields, (P) for function fields.) The case of characteristic 2 needs some extra care since the algebraic group SO((U ⊥ )0 ) need not be semisimple anymore. If (U ⊥ )0p is anisotropic for every p ∈ S (the “definite” case), the situation about classes in a spinor genus is completely different — see section 7 below. Also for dim(U ⊥ )0 = 2 different behaviour occurs. The special case K = {0}, e. g., is essentially equivalent to determining class numbers of quadratic field extensions. For the relation between spinor genera and genera of representations, i. e. between (5) 0 and (6), we observe that OA (V ; U ) contains the commutator subgroup of SOA (V ; U ), so 0 that (5) is simply a coset of the subgroup SO(V ; U )OA (V ; U )SOA (L; K) of (6), and the 506

Martin Kneser · Collected Works

Representations of integral quadratic forms number of spinor genera of representatons in the genus under consideration equal to its 0 index in (6). Since this subgroup contains the spinor kernel OA (V ; U ) we get, with the notations of section 2, Theorem 4. The number of spinor genera in the proper genus of a special representation t : K → L equals the group index (8)

[SNA (V ; U ) : SN (V ; U )SNA (L; K)]

.

In order to evaluate this group index we have to determine three groups of spinor norms. For the first two we assume (7) as already in theorem 3. Then (O), 91:7, resp. 101:8, apply (at least in characteristic different from 2), and we get the Remark. Let T ⊆ S be the (possibly empty) set of real spots p of F such that (U ⊥ )0p is anisotropic, and assume (7). Then SNA (V ; U ), resp. SN (V ; U ), is the group modulo squares of those F -ideles, resp. elements in F × , which are positive for each p ∈ T . For SNA (L; K) we need the groups SN (Lp ; Kp ). By our general assumption L is nondegenerate, so Lp is regular for almost all p. On the other hand, because of (8), L contains a non-degenerate sublattice of rank at least 2 (even 3 in characteristic different from 2), which is orthogonal to K. Mp is regular for almost all p, and for these we have SN (Mp ) ⊆ SN (Lp ; Kp ) ⊆ SN (Lp )

.

The first and third term, and so the middle term too, equal the group Rp× Fp×2 /Fp×2 of square classes of units in Rp (cf. (O) 92:5 for the non-dyadic, (E) p. 102 for the general case). The finitely many remaining groups, in particular the dyadic ones, may be more difficult to determine. In section 9 below we shall comment on this local question, in particular give sufficient conditions for (9)

SN (Lp ; Kp ) ⊇ Rp× Fp×2 /Fp×2

to hold. Here we content ourselves with giving a criterion, using (9), for a genus of / S. Then representations to consist of one class only. Assume that (9) holds for every p ∈ by the remark above the index (8) is a kind of ideal class number. More precisely, with T as in the remark, define the T -class group of R as the multiplicative group of fractional R-ideals modulo principal ideals Ra, with a positive for all p ∈ T . From theorems 3 and 4 together we then get Theorem 5. Let R have odd T -class number, assume (7), (U ⊥ )0p isotropic for at least one p ∈ S, and (9) for every p ∈ / S. Then the proper genus of the special representation K → L consists of one proper class. Remark. If R = Z there are the two possibilities T = ∅ and T = {∞}. In either case the T -class number is 1. Martin Kneser · Collected Works

507

M.K. 6. Representations by Lattices from a Fixed Spinor Genus. Each class, resp. spinor genus, resp. genus of representations K → L determines its class, resp. spinor genus, resp. genus of lattices L. In the setup of section 4 this means that the double cosets (4), resp. (5) in (6) determine the double cosets SO(V )uA SOA (L), resp. 0 SO(V )OA (V )uA SOA (L), in SOA (V ), or for spinor genera as in theorem 4, the cosets of SN (V ; U )SNA (L; K) in SNA (V ; U ) determine those of SN (V )SNA (L) in SNA (V ). If again (7) holds, the remark after theorem 4 implies that every coset in SNA (V ) modulo SN (V )SNA (L) contains a representative from SNA (V ; U ). We thus get (H, K2) Theorem 6. Let t : K → L be a special representation and assume (7). The number of spinor genera of representations t0 : K → L0 in the proper genus of t by lattices L0 from some fixed spinor genus G in the genus of L is the same for all possible G’s. It equals the group index [(SN (V )SNA (L)) ∩ SNA (V ; U ) : SN (V ; U )SNA (L; K)]

.

7. The “Definite” Case We remarked in section 5 that the situation is completely different from that described in theorem 3 if (U ⊥ )0p is anisotropic for every p ∈ S or if dim(U ⊥ )0 ≤ 2. A typical example is the case R = Z, K = {0}, V positive definite. It is well known that then the class number in a genus may be quite large while the number of spinor genera usually is small. In this situation different tools are needed which we’ll describe briefly. The results which in a slightly different language are contained in (N2) §1, are valid without any assumption of “definiteness”, but in general the theorems of section 5 give more precise answers whenever they apply. For simplicity assume K non-degenerate, so that V is the orthogonal sum of U and its complement W = U ⊥ . Write M = L∩W , denote by K ∗ , M ∗ the projections of L onto U, W respectively, and by K # , L# , M # the dual lattices of K, L, M in U, V, W . Any R-linear form on K can be extended to an R-linear form on L, so L# projects onto K # , and we get a surjective map L# /L → K # /K ∗ . In particular if L# = L, i. e. if L is unimodular, we have K ∗ = K # and similarly M ∗ = M # . Moreover in general an isomorphism between K ∗ /K and M ∗ /M is established by matching x in K ∗ mod K to y in M ∗ mod M if x + y ∈ L, and so SO(L; K) is canonically isomorphic to the group SO(M ∗ ; M ∗ /M ) of orthogonal transformations u ∈ SO(M ∗ ) fixing every coset modulo M in M ∗ . In fact in the definite case we shall prefer to work with ordinary classes and genera, not the proper ones, and so use with similar notations the isomorphisms O(L; K) ∼ = O(M ∗ ; M ∗ /M ), ∗ ∗ ∗ ∗ ∼ ∼ O(Lp ; Kp ) = O(Mp ; Mp /Mp ), and OA (L; K) = OA (M ; M /M ). If instead of t : K → L we consider another special representation t0 = uA t with uA ∈ OA (V ; U ) ∼ = OA (W ), then M is replaced by M 0 = uA M , and apparently every lattice M 0 in the genus of M occurs this way. In order to classify the special representations t0 in the genus of t we may thus first classify the lattices M 0 in the genus of M and then the representations 508

Martin Kneser · Collected Works

Representations of integral quadratic forms t0 with M 0 from a fixed class in the genus of M . For those t0 with M 0 from the class of M itself this amounts to decomposing O(W )OA (M ) into double cosets O(W )uA OA (M ∗ ; M ∗ /M ) or equivalently OA (M ) into double cosets O(M )uA OA (M ∗ ; M ∗ /M ). If in particular L is unimodular we have M ∗ = M # , and OA (M # ; M # /M ) is a normal subgroup of OA (M ), so that the number of these double cosets is simply the group index (10)

[OA (M ) : O(M )OA (M # ; M #Q/M )] = [O(M ) : O(M # ; M # /M )]−1 [O(Mp ) : O(Mp# ; Mp# /Mp )] . p

It may be noticed in passing that similar constructions occur already in Minkowski’s Paris prize memoir. If a primitive representation of quadratic forms is associated to an embedding K → L, then Minkowski’s “adjungierte Darstellung” (see his Gesammelte Abhandlungen, vol. I, p. 91) is associated essentially with the embedding K ⊥ ∩ L# → L# . 8. Local Representations. In order to apply our results, two problems of a local nature remain to be dealt with, and this will be done in the next two sections. One is the question of local representations, needed in section 3, the other in section 5 the determination of local spinor norms. In this section and the next we change notations slightly. R will denote a complete discrete valuation ring with finite residue field, p a prime element. K, L, . . . will be Rlattices in quadratic spaces as before. We assume q(K), q(L), . . . ⊆ R, so b(K, K) ⊆ R ¯ = R/Rp is the residue field, K ¯ = K/pK, etc. A bar denotes reduction modulo p, so R q¯(¯ x) = q(x) mod Rp. Basic and well known (cf. (E), §25, e. g.) is ¯ is regular too), a primitive representation K → L Theorem 7. If L is regular (so L ¯ represents K ¯ over the residue field, and then any two primitive exists if and only if L representations of K by L are R-equivalent. Remark. If t : K → L is special, any other primitive representation of K by L is even properly equivalent to t provided there is a vector x ∈ L orthogonal to K with q(x) ∈ R× . This happens if and only if (11)

¯ +1 ¯ + dim ker K ¯ ≥ dim K dim L

.

For representations of quadratic forms over finite fields we have ¯ is a regular quadratic space over a finite field and (11) holds, then L ¯ Theorem 8. If L ¯ represents K. For lattices K, L over a global ring as in section 3, on vector spaces U, V with dim V ≥ dim U + dim ker U + 1, theorems 7 and 8 apply to almost all completions. For the remaining p’s dividing the discriminant d(L) in principle (E), Satz 25.2 reduces the problem to a finite set of congruence conditions, but if d(L) contains a high power of p calculations may become quite messy. Martin Kneser · Collected Works

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M.K. Some information can be obtained from the Jordan decomposition of L and K (but remember that K may be degenerate). Denote by K i the sublattice of vectors x ∈ K with ¯ i the quotient K ¯ = K/pK, by K ˜ i the image of K i in K ˜ i /K ˜ i+1 and b(x, K) ⊂ Rpi , by K i ˜i ¯i similarly L , L , L . We have ˜i K ¯i K

= = ∼ =

∼ K i /K i ∩ pK = K i /pK i−1 K i + pK/pK = i+1 i ∼ ˜ ˜ /K K = K i + pK/K i+1 + pK K i /K i ∩ (K i+1 + pK) = K i /K i+1 + pK i−1

,

¯ ˜ i and K ¯ i . We have and so p−i b induces bilinear forms ¯bi on the R-vector spaces K ¯bi (K ¯ i . If R is non-dyadic we have q(K i ) ⊆ Rpi , ˜ i+1 ) = 0, and ¯bi is non-degenerate on K ˜ i, K ¯ i . If on the other hand p|2, in general we and so get quadratic forms q¯i on K i and K i i ˜ i and K ˜ ¯ i only if in addition we assume have only 2q(K ) ⊆ Rp , so we can define q¯i on K j j ˜ q(K ) ⊆ Rp for j = i − 1, i, i + 1. If K has a Jordan decomposition K = ⊥ Ki ⊥ K∞ i ¯i ∼ with pi -modular components Ki and b = 0 on K∞ , then K = Ki /pKi , but notice that Ki is not uniquely determined by K and therefore not invariant under automorphisms, while ¯ i are. ˜ i, K K i, K ¯ ¯ → L. Now let t : K → L be a primitive representation with corresponding injection t¯ : K i i ¯−1 ˜ i −1 i ˜ ¯ Then obviously t L ⊆ K , t L ⊆ K , and t induces a representation (with respect to ¯ i . The chain of subspaces ˜ i+1 by L ˜ i /t¯−1 L q¯i ) of t¯−1 L ˜ r = {0} ˜ 1 ⊇ . . . ⊇ t¯−1 L ¯ = t¯−1 L ˜ 0 ⊇ t¯−1 L K is an invariant of the class. It is therefore interesting to know which chains occur and to what extent they determine the class of t. A partial answer is given by ˜ r = {0}, i. e. Theorem 9.2 Let K, L be quadratic R-lattices, L non-degenerate, and L L has no pi -modular component with i ≥ r in its Jordan decomposition. If p|2 assume ¯0 ⊇ K ¯ =K ¯ r = {0} ¯1 ⊇ ... ⊇ K in addition q(K i ) ⊆ Rpi , q(Li ) ⊆ Rpi for i ≤ r. Let K i i ¯ ⊆K ¯ with K ˜ . A primitive representation t : K → L with be a chain of subspaces of K ˜i = K ¯ i for i = 1, . . . , r − 1 exists if and only if for i = 0, 1, . . . , r − 1 the quadratic t¯−1 L ¯ i+1 , q¯i ) is represented by L ¯ i /K ¯ i . In case r = 2 the class of t is uniquely determined space (K 1 ¯ . by K The uniqueness part follows from (MS). For a slightly more general treatment of the case r = 2, p|2 see (S2). Remark 1. More refined (but less tractable) invariants for the class of t than the vector ˜ i are the sublattices t−1 Li . Of these t−1 L1 is determined by t¯−1 L ˜ 1 and the spaces t¯−1 L −1 i −1 i−1 −1 1 fact that pK ⊆ t L , while for i ≥ r we have t L = pt L . This to some extent 2 Editorial

comment: Kneser’s personal copy of this article had a handwritten page attached to it where he had outlined in short notation two counterexamples to the “only if” part of Theorem 9 for r > 2 and an assertion in the text leading up to that theorem. Details are given in the comment appended to this article.

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Martin Kneser · Collected Works

Representations of integral quadratic forms ˜ 1 alone. On the other hand explains why for r = 2 the class of t is determined by t¯−1 L −1 i for r > 2 even the knowledge of the lattices t L in general does not suffice to classify representations. This can happen already in the nondyadic case with K of rank 1 and L = L0 ⊥ L2 an orthogonal sum of a unimodular and a p2 -modular component, cf. (JR). Remark 2. In case p|2, theorem 9, because of the conditions on K, does not completely cover theorem 7. We may extend theorem 9 to include theorem 7 completely in the following way. We keep the conditions q(Li ) ⊆ Rpi on L but don’t make any assumptions on K (except the general assumption q(K) ⊆ R). Instead we consider the sublattice of all vectors ˆ i . Then p−i q induces quadratic ¯ by K x ∈ K i with q(x) ∈ Rpi , and denote its image in K i i ˆ i+1 ˆ ˜ i replaced by K ˆ i. ˆ forms q¯i on K and K /K , and theorem 9 remains valid with K 9. Local Spinor Norms. We keep the notations from the previous section, so R is still a complete discrete valuation ¯ We consider a special representation ring with quotient field F and finite residue field R. t : K → L, so K is a primitive sublattice of L, and we are interested in the group of spinor norms SN (L; K). Let us first consider the case of a regular lattice L. As was already remarked in section 5, SN (L) = R× F ×2 /F ×2 , and SN (L; K) = SN (L) if L contains a regular sublattice of rank at least 2 orthogonal to K. This happens if and only if over the residue field (12)

¯ ≥ dim K ¯ + dim radK ¯ +2 dim L

¯ ¯ =K ¯ ∩K ¯ ⊥ the radical of K. holds with radK ¯×R ¯ ×2 , the group of square If R is non-dyadic, then R× F ×2 /F ×2 is isomorphic to R ¯ and the problem is reduced to determining the group classes of the residue field R, ¯ which is trivial if (12) does not hold. If however p|2 and (12) is not satisfied, we ¯ K) SN (L; ¯ is insufficient. In fact ¯ and considering only L ¯ + dim radK ¯ = dim K necessarily have dim L ¯ and still have an arbitrary class orthogonal transformations may induce the identity on L in R× F ×2 /F ×2 as spinor norm. If, e. g., K = K 0 ⊥ K 00 has an orthogonal component K 0 of rank 2 with q on K 0 divisible by p and such that p−1 q on K 0 is regular, then it can be shown by arguments as in the proof of theorem 1.2 in (N1) that SN (L; K) = R× F ×2 /F ×2 . The general case of a not necessarily regular lattice L again is easier if R is non-dyadic. ¯ ¯ i defined in section L The problem then essentially amounts to determining on the R-spaces ¯ 8 the subgroups of the orthogonal groups O(Li ) induced by O(L; K). The dyadic case may be quite complicated as can be seen already from the treatment in (EH) of the special case p = 2, K = {0}. Fortunately often, as in the examples of section 10, an estimate for SN (L; K) from below is sufficient. We content ourselves here with stating sufficient conditions for the validity of property (9) in section 5. Theorem 10. Assume b(L, L) ⊆ R (not necessarily q(L) ⊂ R if p|2). If L contains a sublattice M of rank 2 orthogonal to K and such that either q is regular on M or p|2 with Martin Kneser · Collected Works

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M.K. q on M divisible by p and such that p−1 q is regular on M , then SN (L; K) ⊇ R× F ×2 /F ×2 . ¯ 0 ≥ dim K ¯ + dim radK ¯ 0 as ¯ + 2 with L This holds in particular if q(L) ⊆ R and dim L defined in the previous section. For regular L this is just (12). 10. Examples. In many cases the results explained above yield a classification of representations of one lattice by another. In general the procedure will be as follows. Given K and L, first determine the local representations Kp → Lp , using section 8, and so by theorem 1 the genera of representations. Next check whether theorem 3 applies. If not, go to section 7. Otherwise inequality (7) holds, so (11) and (12) are valid for almost all p ∈ / S, and we may apply the results of section 9 to determine the index (8) of theorem 4 and thus the class number in a genus. We explain the procedure with two examples from a recent letter of Y. Namikawa, thereby answering some of his questions. We use the following notations. An and E8 denote the lattices generated by the corresponding root system, with q, b so normalized that b(e, e) = 2q(e) = 2 for any root e. Their respective discriminants are n + 1, 1, and for the dual lattice An# of An we ∼ Z/(n + 1)Z. H is a hyperbolic plane with basis e, f , quadratic form have An# /An = q(xe + yf ) = xy and discriminant −1. If K is a lattice, mK denotes the orthogonal sum of m copies of K. In all our examples the base ring is R = Z. Example 1. Let L = 2E8 ⊥ 3H be the unique regular (i. e. even unimodular) lattice of ∼ signature (19,3), K = 2A4 ⊥ 3A2 ⊥ 4A1 positive definite of rank 18. We have K # /K = ¯ p of K modulo p, the radical (Z/5Z)2 × (Z/3Z)3 × (Z/2Z)4 , and so for the reduction K ¯ p has Fp -dimension 4, 3, 2, and 0 respectively for p = 2, 3, 5, and all the other primes rad K ¯ 2 is the image of the component 4A1 which is 2-modular of p. Moreover the radical of K rank 4. It follows that the inequality (11) holds for all primes p, including p = 2, and so theorems 7 and 8 apply. By theorem 1 we have a unique proper genus of primitive representations. 6 2, 3, but also for p = 2, since by section 7 Further theorem 10 certainly applies for p = the orthogonal complement of K2 in L2 like K2 has a 2-modular Jordan component of rank 4, and so M as required in theorem 10 exists. Now for p 6= 3 we have SN (Lp ; Kp ) = ×2 ×2 Z× p Qp /Qp , and so the group index (8) in theorem 4 turns out to be 1, the missing square class (−1)Q3×2 /Q3×2 in SNA (L; K) being made up for by the global class (−1)Q×2 /Q×2 in SN (V ; U ). So by theorems 4 and 3 our genus contains only one proper class. Example 2. L = 2E8 ⊥ 3H as before, but now K = 2A4 ⊥ 2A3 ⊥ 2A2 ⊥ A1 positive ¯p = 2 definite of rank 19, K # /K ∼ = (Z/5Z)2 × (Z/3Z)2 × (Z/4Z)2 × (Z/2Z), and dim ker K for p = 2, 3, 5, otherwise = 0. By theorems 7, 8, and 1 we again have one genus, but now theorem 3 does not apply since the orthogonal complement M of K in L is negative definite, so we turn to section 7. In order to determine the genus of M , we construct for p = 2, 3, 5 primitive embeddings of Kp into Lp . For p = 2, A3 resp. A1 are primitively contained in A4 resp. H with one-dimensional orthogonal complements of discriminants 20 resp. −2, and so K2 can be primitively embedded into 4A4 ⊥ 2A2 ⊥ H. Over Z2 this lattice is isomorphic 512

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Representations of integral quadratic forms to L2 since both are regular and their discriminants differ by a square factor in Z2 . For p = 3 similarly we embed A2 into A3 with one-dimensional complement of discriminant 12, and A1 into H, so K into 2A4 ⊥ 4A3 ⊥ H which is isomorphic to L3 , since both lattices are regular and their discriminants differ by a square factor in Z3 . Finally for p = 5 we embed A4 into A5 with one-dimensional complement of discriminant 30, and A1 into H, ∼ L5 over Z5 . For the bilinear form on M2 , M3 , and so K5 into 2A5 ⊥ 2A3 ⊥ 2A2 ⊥ H = M5 we thus get diagonal matrices with entries (−2, 20, 20), (−2, 12, 12), and (−2, 30, 30) respectively. Unfortunately the discriminant −25 · 32 · 52 = −7200 is too big for M to be contained in the tables (BI) of Brandt and Intrau. We therefore consider the adjoint form, i. e. the lattice M # with quadratic form −23 · 3 · 5 · q to which correspond over Z2 , Z3 , and Z5 diagonal matrices with entries (10, 10, −4), (−1, −1, −3), and (1, 1, 10) respectively. Here square factors in Zp have been deleted. The discriminant now is 24 · 3 · 5 = 240, or 120 in the notation of (BI). These tables show two orders of discriminant 120 with four genera each. Ours is from the second order the first and so has two classes represented by diagonal matrices with entries (2, 2, 60) and (4, 6, 10). The possible classes for M therefore correspond to diagonal matrices (−2, −60, −60) and (−12, −20, −30). From this we get [O(M ) : O(M # ; M # /M )] = 8 in both cases, and since [O(Mp ) : O(Mp# ; Mp# /Mp )] = 8 for p = 2, 3, and 5, the index (10) in section 7 equals 64. Altogether there are 128 classes of primitive representations of K by L. Bibliography

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Representations of integral quadratic forms

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R. Schulze-Pillot Comment to the preceding article (by Rainer Schulze-Pillot) Kneser’s personal copy of this article had a handwritten page attached to it on which he had outlined in short notation two counterexamples to the “only if” part of Theorem 9 and an assertion in the text leading up to that theorem. We discuss these examples here, ˜ i etc. are as in Section 8 of the article. expanding that note. Notations like L Example 1: Let p be an odd prime, R = Zp , let K = Ru with b(u, u) = p2 + p3 and let L = Rx ⊥ Ry with b(x, x) = 1, b(y, y) = p3 , for L we have then r = 4 in Kneser’s notation. ¯ ¯ →L By t(u) = px + y we define the primitive representation t : K → L and obtain t¯ : K ¯ ¯ = y¯ by reduction modulo p . with tu ˜ 3 = {0} and L ¯ y and hence t¯−1 (L ˜ 3 ) 6⊆ K ˜ 3 = R¯ ˜ 3 = {0}. We see K This shows that there exist representations t : K → L for which the the condition ˜i ⊆ K ¯ i := t¯−1 L ˜ i in the theorem is not satisfied for all i, contrary to the claim “Then K i −1 ˜ i ” in the paragraph preceding Theorem 9. Without this condition it ˜ )⊆K obviously t¯ (L ¯ i+1 with a ¯ i /K is, however, not possible to equip (as done in the theorem) the quotient K i ˜ . quadratic form, using the form q¯i which is defined on K Example 2: For p = 3 and R = Z3 we set K = Ru with b(u, u) = 2p2 and L = Rx ⊥ Ry with b(x, x) = 1, b(y, y) = p2 . Let the primitive representation t : K → L be given by ˜1 = K ˜2 = t(u) = px + y. With Kneser’s notation we have r = 3 for the lattice L and K 1 3 2 ˜3 ¯ ¯ ˜ ¯ ˜ ˜ u, K = {0}, L = R¯ K = R¯ y = L , L = {0}. i ¯ i := t¯−1 (L ˜i) ⊆ K ˜ i then satisfy the condition K ˜ and the L ˜ i for all i, The chains of the K 3 2 ¯ = R¯ ¯ u becomes a quadratic space with the form q¯i induced from ¯ /K and the quotient K ˜ 2 , let ¯b2 denote the associated bilinear form induced by p−2 b. K ¯ 2 /K ¯3 → ¯ 2 := L ¯ y we see ¯b2 (¯ ˜ 3 = R¯ ˜ 2 /L y , y¯) = 1¯. The map t¯ : K u, u We have ¯b2 (¯ ¯) = 2¯, and for L ¯ 2 is hence not a representation with respect to q¯2 , and we have a counterexample to the L “only if”-part of Theorem 9. It is, however, not difficult to check that Theorem 9 and the remarks preceding it are indeed valid if L satisfies r = 2.

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Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen

Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen

von U. Betke und M. Kneser

J. Reine Angew. Math. 358 (1985), 202–208.

U. Betke and M. Kneser, Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math., 358, 202–208, (1985). Reprinted with permission from De Gruyter, Berlin.

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M.K. (jointly with U. Betke)

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Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen

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Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen

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Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen

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M.K. (jointly with U. Betke)

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Composition of quaternary quadratic forms Compositio Math. 60 (1986), no. 2, 133–150.

M. Kneser and M.-A. Knus and M. Ojanguren and R. Parimala and R. Sridharan, Composition of quaternary quadratic forms, Compos. Math., 60, 133–150, (1986). Reprinted with permission from Foundation Compositio Mathematica.

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M.K. (jointly with M.-A. Knus e.a.)

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Composition of quaternary quadratic forms

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M.K. (jointly with M.-A. Knus e.a.)

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Composition of quaternary quadratic forms

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Composition of quaternary quadratic forms

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M.K. (jointly with M.-A. Knus e.a.)

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Composition of quaternary quadratic forms

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M.K. (jointly with M.-A. Knus e.a.)

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Composition of quaternary quadratic forms

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M.K. (jointly with M.-A. Knus e.a.)

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Composition of quaternary quadratic forms

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Composition of quaternary quadratic forms

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Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984

Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984.

von Martin Kneser

Jahresber. Akad. Wiss. Göttingen (1985), 106–108.

M. Kneser, Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984, Reprinted with permission from Akademie der Wissenschaften, Göttingen.

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Max Deuring 9. Dezember 1907 - 20. Dezember 1984

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Max Deuring 9.12.1907 bis 20.12.1984

c M. Kneser, Max Deuring 9.12.1907 - 20.12.1984, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 89, 135–143, (1987). Deutsche Mathematiker-Vereinigung and Springer-Verlag GmbH Germany, ein Teil von Springer Nature. Reprinted with permission from Springer Nature.

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Max Deuring 9.12.1907 bis 20.12.1984

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Max Deuring 9.12.1907 bis 20.12.1984

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Komposition quadratischer Formen

Komposition quadratischer Formen von Martin Kneser Retyped from: Algebra-Tagung Halle 1986, 161–173, Wissensch. Beitr., 33, Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, Halle, 1987

Heinrich Brandt hat in seiner Dissertation begonnen, eine allgemeine Theorie der Komposition quaternärer quadratischer Formen zu entwickeln. Er hat diese in einer Reihe weiterer Arbeiten präzisiert und zu einem gewissen Abschluß gebracht und schließlich über die Idealtheorie in Quaternionenalgebren in neuem Licht erscheinen lassen. Auch zur Komposition binärer Formen hat er in seiner Habilitationsschrift einen Beitrag geleistet. So scheint es angemessen, an dieser Stelle einemal einen Rückblick auf die Entwicklung der Komposition quadratischer Formen von den Anfängen bis zu neueren Ergebnissen zu werfen. Dabei kann keinesfalls Vollständigkeit angestrebt werden — in seiner “History of the Theory of Numbers” berichtet Dickson auf 20 Seiten allein über die Literatur bis etwa 1920 zum binären Fall. Im Gegenteil, wir wollen nur einige markante Punkte herausgreifen und die jeweilige Situation mit modernen Begriffen beschreiben, auch wenn diese den damaligen Autoren nicht zur Verfügung standen. Urahn aller Kompositionsformeln ist die Multiplikationsformel für die Summe zweier Quadrate (1)

(x12 + y12 )(x22 + y22 ) = (x1 x2 ± y1 y2 )2 + (x1 y2 ∓ y1 x2 )2

und auch etwas allgemeinere wie diese (x12 − cy12 )(x22 − cy22 )

= (x1 x2 ± cy1 y2 )2 − c(x1 y2 ± y1 x2 )2

(2) (ax12 + cy12 )(x22 + acy22 )

=

a(x1 x2 − cy1 y2 )2 + c(ax1 y2 + y1 x2 )2

sind schon alt; die letzte wird in Eulers “Vollständigen Anleitung zur Algebra” mit Hilfe der Relation √ √ √ √ √ (x1 a ± y1 −c)(x2 ± y2 −ac) = (x1 x2 − cy1 y2 ) a ± (ax1 y2 + y1 x2 ) −c Martin Kneser, Komposition quadratischer Formen. (Composition of quadratic forms), from Wiss. Beitr., Martin-Luther-Univ. Halle Wittenberg 1987/33(M 48), 161-173 (1987)., (1987). Reprinted with permission from Universitätsbibliothek, Martin-Luther-Univ. Halle Wittenberg,

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M.K. hergeleitet. Weiteres über Kompositionsformeln und ihre Stellung innerhalb der Zahlentheorie bis hin zu Legendre findet man in Weils “Number Theory, an approach through history, from Hammurapi to Legendre”. Ihre große Bedeutung für die Zahlentheorie bekommt die Komposition binärer quadratischer Formen durch Gauss in den “Disquisitiones Arithmeticae”. Er fragt zunächst ganz allgemein nach Formeln der Art q1 (x1 , y1 )q2 (x2 , y2 ) = q(x, y) für nicht ausgeartete ganzzahlige binäre quadratische Formen q1 , q2 , q, in denen x und y ganzzahlige bilineare Ausdrücke in (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) sind, oder in heutiger geometrischalgebraischer Sprechweise nach freien Z-Moduln M1 , M2 , M vom Rang 2 mit ganzzahligen quadratischen Formen q1 , q2 , q und einer bilinearen Abbildung µ : M1 × M2 → M

,

die q1 (z1 )q2 (z2 ) = q(µ(z1 , z2 )) erfüllt. Ziehen wir aus q1 einen etwa vorhandenen gemeinsamen Zahlfaktor heraus, ebenso aus q2 , so können und wollen wir die quadratischen Formen primitiv3 annehmen. Die erste Feststellung ist nun, daß die Diskriminanten von q1 bzw. q2 sich von der von q um ganzzahlige quadratische Faktoren unterscheiden. Will man wie Gauss aus den Klassen von Formen durch Komposition eine Gruppe machen, so kommen hierfür ersichtlich nur Fälle infrage, in denen die drei Diskriminanten alle den gleichen Wert d 6= 0 haben. Auch das setzen wir von jetzt ab voraus. Von grundlegender Bedeutung ist die Beobachtung, daß zwei quadratische Formen gleicher Diskriminante in der Regel zwei wesentlich verschiedene Kompositionen gestatten, die z. B. im Falle, daß M1 , M2 Ideale in einem quadratischen Zahlkörper, q1 und q2 die Normen sind, durch die beiden Abbildungen (z1 , z2 ) → z1 z2 und z1 , z2 ) → z1 z¯2 (¯ z2 konjugiert zu z2 ) repräsentiert werden. Diese Beobachtung hatte schon Legendre gemacht, daraus aber nicht wie Gauss die Konsequenz gezogen, quadratische Formen als eigentlich äquivalent zu betrachten, wenn sie durch ganzlineare Transformation mit Determinante +1 zusammenhängen (während Legendre auch −1 zuläßt). Gauss verlangt nun, daß gewisse in den Kompositionsformeln auftretende Determinanten positiv sind und erreicht dadurch, daß die (eigentliche) Äquivalenzklasse von q durch die von q1 und q2 eindeutig bestimmt ist. In geometrischer Sprechweise bedeutet dies, daß M1 und M2 und M mit Orientierungen versehen und die Abbildungen z1 → µ(z1 , z2 ) für festes 6 0 bzw. z2 → µ(z1 , z2 ) für festes z1 6= 0 bezüglich dieser Orientierungen eigentliche z2 = Ähnlichkeitstransformationen sein sollen. Damit wird bei festem d die Menge der eigentlichen Äquivalenzklassen zu einer endlichen abelschen Gruppe. Was das für Konsequenzen für die Zahlentheorie hat, wissen wir alle. Von der Sache her ist so ein entscheidender Schritt getan. Schlägt man aber die Disquisitiones Arithmeticae auf und sieht bei der Behandlung der Komposition lange Serien von Formeln — beim Beweis der Assoziativität z. B. 37 auf einen Schlag — , deren 3 dabei

setzen wir, da dann die Darstellung einfacher wird, nicht wie Gauss die mittleren Koeffizienten als gerade voraus.

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Komposition quadratischer Formen Herleitung häufig auch noch “brevitatis causa” dem Leser überlassen bleibt, so kann man verstehen, wenn Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage der von ihm herausgegebenen Dirchletschen “Vorlesungen über Zahlentheorie” schreibt, er habe sich entschlossen “die großen Schwierigkeiten hinwegzuräumen, welche beim Eindringen in dieselbe” (nämlich die Composition der Formen)” sich dem Anfänger entgegenstellen. Er tut dies in seinem X., in den späteren Auflagen auch in dem berühmten XI. Supplement, und zwar auf zwei verschiedene Weisen. Die erste beruht auf Ideen aus Dirichlets Berliner Antrittsvorlesung und verwendet Kompositionsformeln der Art (a1 x12 + bx1 y1 + a2 cy12 )(a2 x22 + bx2 y2 + a1 cy22 ) = a1 a2 x2 + bxy + cy 2 , x = x1 x2 − cy1 y2 , y = a1 x1 y2 + a2 y1 x2 + by1 y2 , zusammen mit der Tatsache, daß man zu zwei gegebenen Formen gleicher Diskriminante immer zwei äquivalente finden kann, auf die diese speziellen Formeln anwendbar sind. Von größerer Bedeutung ist die zweite Behandlung der Komposition, bei der Dedekind in heute geläufiger Weise Äquivalenzklassen binärer quadrtischer Formen zu (engen) Klassen invertierbarer Ideale in Ordnungen quadratischer Zahlkörper in Beziehung setzt und die Komposition als Multiplikation der Ideale deutet. Seitdem wird überhaupt meist die Komposition binärer quadratischer Formen durch Überlegungen mit Idealen ersetzt. Immerhin ist es interessant zu bemerken, daß manche Computer-Rechnungen in quadratischen Zahlkörpern mit Hilfe der alten Gaußschen Kompositionsformeln durchgeführt werden [S,L]. Übrigens gibt es Anzeichen dafür, daß Gauss selber die Komposition nicht so gefunden hat, wie sie in den Disquisitiones Arithmeticae dargestellt ist — man vergleiche dazu die Fußnote zu Abschnitt 8.3 seiner Dissertation (Werke III, S. 14), einen Brief Kummers (Coll. Papers I, S. 98-99) an Kronecker und die Gesamtdarstellung in [N]. Auch in moderne Lehrbücher sind die beiden Konstruktionsmethoden eingegangen, die erste z. B. in Cassels, Rational Quadratic Forms, die zweite in Borewicz/Šafarevič, Zahlentheorie. Vom Standpunkt der Arithmetik aus gesehen ist der Fragenkreis damit eigentlich abgeschlossen, auch wenn Dickson in seiner “History” in Vol. III, Chap. III zu diesem Thema u. a. noch weitere Arbeiten von Dedekind, Heinrich Weber, Speiser und Brandt verzeichnet. Vom Standpunkt der Algebra bleiben hingegen Fragen offen. Die expliziten Kompositionsformeln haben ja nicht nur für rationale Zahlen sondern auch in beliebigen kommutativen Ringen einen Sinn, und es fragt sich, ob man nicht eine Kompositionstheorie für allgemeinere Ringe aufbauen kann. Dies hat Kaplansky [Ka1] 1968 für Bezout-Ringe (also insbesondere für Hauptidealringe) der Charakteristik 6= 2 getan, und es hat eine Reihe weiterer Ansätze zur Verallgemeinerung gegeben [BE, DB, T]. Zwei Schwierigkeiten treten dabei auf. Erstens zeigt in [BE] das Beispiel 5.6, daß das Kompositionsprodukt zweier freier Moduln im allgemeinen nicht wieder frei ist. Als Ausweg bietet sich die konsequente Verwendung projektiver Moduln an. Zweitens gibt es auch in Charakteristik 2 Kompositionsformeln, z. B. für die Normform einer separablen quadratischen Körpererweiterung, während der Begriff der Orientierung hier hinfällig wird. Beide Schwierigkeiten lassen Martin Kneser · Collected Works

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M.K. sich in erstaunlich einfacher Weise mit Hilfe von Clifford-Algebren überwinden. Um diese Ergebnisse zu beschreiben, brauchen wir einige Definitionen. Über einem kommutativen Ring R (mit Eins) betrachten wir projektive Moduln vom Rang 2 mit quadratischer Form q : M → R und zugehöriger Bilinearform b(x, y) = q(x + y) − q(x) − q(y). Wir setzen q als primitiv — d. h. Rq(M ) = R — und nicht ausgeartet voraus — d. h. aus b(x, M ) = 0 soll x = 0 folgen. Dann wollen wir (M, q) oder kürzer M einen binären Modul nennen. Als quadratische R-Ordnung bezeichnen wir eine R-Algebra C (mit Eins), die als R-Modul projektiv vom Rang 2 ist, zusammen mit einem c in Automorphismus c → c¯ der Ordnung 2, für den Spur s(c) = c + c¯ und Norm n(c) = c¯ R liegen. Er ist durch diese Forderung eindeutig bestimmt, und n ist eine quadratische Form auf C, die wir als nicht ausgeartet voraussetzen. Ein binärer Modul M heiße vom Typ C, wenn er eine Struktur als projektiver C-Modul vom Rang 1 trägt und q(cx) = n(c)q(x)

(c ∈ C, x ∈ M )

gilt. C ist dann notwendig isomorph zur geraden Clifford-Algebra C + (M ), aber zu jeder solchen Ordnung C lassen sich M — jedenfalls wenn R ein Integritätsbereich ist — auf zwei verschiedene Weisen C-Typen aufprägen, die sich durch Dazwischenschalten des Automorphismus c → c¯ unterscheiden. Eine eventuell auf M (vom Typ C) vorhandene Orientierung überträgt sich auf C und umgekehrt, während in Charakteristik 2 die Vorgabe eines C-Typs einen Ersatz für die Orientierung liefert. Die Hauptergebnisse der Arbeit [Kn] können jetzt so zusammengefaßt werden. 1. Zu gegebenen binären Moduln (M1 , q1 ), (M2 , q2 ) vom Typ C läßt sich das Tensorprodukt M = M1 ⊗C M2 (über C!) so zu einem binären Modul (M, q) vom Typ C machen, daß q(x1 ⊗ x2 ) = q1 (x1 )q2 (x2 ) gilt, die Tensormultiplikation also eine Kompositionsabbildung wird. 2. Zu jeder Komposition µ : M1 × M2 → M zwischen binären R-Moduln gleicher Diskriminanten gibt es eine quadratische R-Ordnung C und C-Typ-Strukturen auf ∼ M1 ⊗C M2 und µ isomorph der Tensormultiplikation M1 .M2 , M derart, daß M = wird. 3. Die Isomorphieklassen binärer R-Moduln vom Typ C bilden bei festem C eine abelsche Gruppe. 4. Jeder binäre R-Modul M ist vom Typ C für geeignetes C (nämlich für C ∼ = C + (M )). Im Spezialfall R = Z ist diese Konstruktion natürlich im wesentlichen äquivalent mit der Dedekindschen, abgesehen davon, daß sich der Fall quadratischer Diskriminante (wo C Nullteiler hat) hier zwanglos unterordnet. Nun zur Komposition quaternärer quadratischer Formen! Die Entwicklung ist hier in erstaunlichem Maß parallel zu der bei binären Formen verlaufen, wenn auch mit zum Teil 560

Martin Kneser · Collected Works

Komposition quadratischer Formen erheblichem zeitlichen Abstand. Der Grundformel (1) entspricht natürlich Eulers berühmte Multiplikationsformel für die Summen von vier Quadraten. Den Formeln (2) kann man entweder solche für x21 + ax22 + bx23 + abx24 zur Seite stellen oder etwas allgemeinere bei Hermite (Oeuvres I, S. 212-213) vorkommende für gewisse Formen der Art ax12 + g(x2 , x3 , x4 ) mit quadratischer Diskriminante. Die systematische Theorie beginnt — zunächst noch nicht ganz befriedigend — mit Brandts Dissertation [B1] und wird dann von ihm in der ersten Hälfte der Zwanzigerjahre in einer Reihe von Arbeiten [B2, 3, 4, 5] ausgebaut. In diesem Zusammenhang prägt er auch den Begriff des Gruppoids [B6]. Dedekinds idealtheoretischer Behandlung des binären Falls entspricht bei Brandt die Arithmetik der Quaternionenalgebren [B7] (vgl. auch den späteren zusammenfassenden Bericht [B8]), allerdings nur für den Spezialfall von Maximalordnungen. Bei den neueren Arbeiten hat Kaplansky seiner Arbeit [Ka1] über binäre Formen eine weitere [Ka2] über Quaternionenalgebren folgen lassen, und den Ergebnissen der Arbeit [Kn] entsprechen im quaternären Fall die aus [KKOPS], über die ich anschließend kurz berichten möchte. Zuvor muß ich aber auf einige Unterschiede zwischen binären und quaternären Formen eingehen, die dafür verantwortlich sind, daß sich die Ergebnisse im einen Fall nicht unmittelbar auf den anderen übertragen lassen. Es handelt sich um vier Phänomene. A) Im binären Fall lassen sich je zwei Formen gleicher Diskriminante stets zu einer Form eben dieser Diskriminante komponieren. Bei Formen in vier Variablen ist das nicht der Fall. Hier ist eine Form genau dann überhaupt mit irgend einer anderen in dieser Weise komponierbar, wenn ihre Diskriminante ein Quadrat δ 2 und ihre adjungierte Form durch δ teilbar ist. Brandt nennt in [B2] solche Formen K-Formen. Wir wollen sagen, sie erfüllen die Brandtsche Bedingung. B) Verzichtet man zunächst auf Ganzzahligkeit, betrachtet also z. B. Kompositionsformeln über Q, stellt aber wie bei binären Formen Orientierungsforderungen, so gibt es trotzdem noch zwei wesentlich verschiedene Kompositionsmöglichkeiten. Ist M1 = M2 = M eine Quaternionenalgebra, q1 = q2 = q die Normform, so werden sie durch die Abbildungen (x1 , x2 ) → x1 x2 und (x1 , x2 ) → x2 x1 repräsentiert. Brandt zeichnet eine dieser Möglichkeiten durch eine weitere Positivitätsbedingung aus und sagt dann, die Komposition sei “von positiver Art” ([B2], S. 304-305). C) Erfüllen zwei quaternäre Formen die Brandtsche Bedingung A), so brauchen sie doch noch nicht (und insbesondere nicht von positiver Art) miteinander komponierbar zu sein. Sind z. B. q1 und q2 (bis auf Zahlfaktoren) die Normformen zweier Ideale M1 und M2 in einer Quaternionenalgebra, so muß dazu notwendig die Rechtsordnung B1 von M1 isomorph der Linksordnung B2 von M2 sein, und die Quaternionenmultiplikation beschreibt dann und nur dann eine Komposition, wenn sogar B1 = B2 ist. Wie wir von Herrn Eichler gehört haben, war diese Feststellung ein Ausgangspunkt für Brandts Beitrag zur Arithmetik nicht kommutativer Algebren und hat außerdem zur Formung des Gruppoid-Begriffs geführt. D) Selbst wenn alle Bedingungen A) bis C) erfüllt sind, eine Komposition von q1 und q2 zu q also existiert, so ist — im Gegensatz zu den binären Formen — im allgemeinen die Klasse von q durch die von q1 und q2 nicht eindeutig bestimmt. Das hatte Martin Kneser · Collected Works

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M.K. Brandt in seiner Dissertation übersehen, in der späteren Arbeit [B2] aber durch Beispiele belegt.4 Diese Tatsache hat zur Folge, daß in einer Quaternionenalgebra zwar die (zu Maximalordnungen gehörigen) Ideale ein Gruppoid bilden, nicht aber die Idealklassen, wenn man zwei ideale zur selben Klasse zählt, sobald sie sich nur um links und rechts angefühte Quaternionenfaktoren unterscheiden. Brandt sah sich daher in [B7] gezwungen, den Äquivalenzbegriff zu variieren und so Gruppoide von Idealklassen zu bekommen, die zwar zur Beschreibung der Komposition herangezogen werden können, im allgemeinen aber nicht mehr bijektiv den Klassen quaternärer Formen zugeordnet sind. Für die Erläuterung der Hauptergebnisse der Arbeit [KKOPS] brauchen wir wie im binären Fall zunächst drei Definitionen. Ein quaternärer Modul wird wie ein binärer definiert, nur daß der Rang eben 4 und nicht 2 sein soll. Eine Quaternionenordnung C über R ist eine R-Algebra (mit Eins), als R Modul projektiv vom Rang 4, mit einem involutorischen Antiautomorphismus c → c¯ derart, daß Spur s(c) = c+¯ c in R liegen und c und Norm n(c) = c¯ die quadratische Form n auf C nicht ausgeartet ist. Sind A und B Quaternionenordnungen, so heißt ein quaternärer Modul vom Typ (A, B), wenn A von links, B von rechts auf M operiert, M als A-Linksmodul projektiv (d. h. lokal frei) vom Rang 1 ist, ebenso als B-Rechtsmodul, und außerdem q(axb) = n(a)q(x)n(b) gilt. Die Ergebnisse: 1) Zu gegebenen quaternären Moduln M1 bzw. M2 vom Typ (A, B) bzw. (B, C) läßt sich das Tensorprodukt M = M1 ⊗B M2 (über B!) so zu einem quaternären Modul vom Typ (A, C) machen, daß q(x1 ⊗ x2 ) = q1 (x1 )q2 (x2 ) gilt, die Tensormultiplikation also Kompositionsabbildung wird. 2) Zu jeder Komposition µ : M1 × M2 → M zwischen quaternären R-Moduln gleicher Diskriminanten gibt es Quaternionenordnungen A, B, C über R und auf M1 , M2 , M ∼ M1 ⊗B M2 und µ Strukturen vom Typ (A, B), (B, C), (A, C) derart, daß M = isomorph zur Tensormultiplikation wird. 3) Die Isomorphieklassen quaternärer R-Moduln vom Typ (A, B) für geeignete Vertreter A, B der Isomorphieklassen von Quaternionenordnungen über R bilden ein Gruppoid, das in den von Brand in [B7] behandelten Fällen in engem Zusammenhang mit den dort definierten Gruppoiden von Idealklassen steht. 4) Ist R ein ganz-abgeschlossener Integritätsbereich und seine Charakteristik nicht 2, so ist ein quaternärer R-Modul M genau dann komponierbar, nach 1) und 2) also vom Typ (A, B) für geeignete Quaternionenordnungen A, B, wenn M lokal die Brandtsche Bedingung A) erfüllt. Über beliebigen Ringen R ist diese Bedingung zwar noch notwendig, im allgemeinen aber nicht mehr hinreichend. Eine (kompliziertere) notwendige und hinreichende Bedingung unter Verwendung von Clifford-Algebra und Arf-Invariante findet sich in der Arbeit [KKOPS] selbst. 4 Als

Kuriosum sei vermerkt, daß es eine mathematische Dissertation gibt, deren Autor zwar Brandt [B2] zitiert, trotzdem aber davon ausgeht, daß q durch q1 und q2 bestimmt ist.

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Komposition quadratischer Formen Zum Abschluß sei noch auf die Kompositions-Tabellen [I] hingewiesen sowie auf drei Komplexe, die hier gar nicht angesprochen wurden. Erstens: Der Satz von Hurwitz [H], daß bilineare Komposition nur in den Dimensionen 1,2,4 und 8 möglich ist und seine moderne Erweiterung zur Theorie der Kompositionsalgebren (s. z. B. [J], [BS]). Zweitens: Pfisters (nicht mehr bilineare) Komposition in Dimensionen 2n (n beliebig), aus der sich eine umfangreiche Theorie entwickelt hat, deren Grundlagen z. B. in T. Y. Lams Buch “The Algebraic Theory of Quadratic Forms” dargestellt sind. Drittens: Die Komposition von zerlegbaren Formen höheren Grades, wozu man die Darstellung in Borewicz/Safarevic, Zahlentheorie, Kap. II und die an [Kn] anschließende Arbeit [W] vergleichen kann. Erwähnte Artikel aus mathematischen Fachzeitschriften [BS] F. van der Blij and T. A. Springer, The arithmetics of octaves and the group G2 , Indag. Math. 21 (1959), 406-418. [B1] H. Brandt, Zur Komposition der quaternären quadratischen Formen, J. reine angew. Math. 143 (1913) 106-127. [B2] — , Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen, Math. Ann. 91 (1924) 300-315. [B3] — , Die Hauptklassen in der Kompositionstheorie der quaternären quadratischen Formen, Math. Ann. 94 (1925) 166-175. [B4] — , Über die Komponierbarkeit der quaternären quadratischen Formen, Math. Ann. 94 (1925) 179-197. [B5] — , Über das assoziative Gesetz bei der Komposition der quaternären quadratischen Formen, Math. Ann. 96 (1926) 353-359. [B6] — , Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Ann. 96 (1926) 360-366. [B7] — , Idealtheorie in Quaternionenalgebren, Math. Ann. 99 (1928) 1-29. [B8] — , Zur Zahlentheorie der Quaternionen, Jber. DMV 53 (1943) 23-57. [Be] H. S. Butts and D. Estes, Modules and binary quadratic forms over integral domains, Lin. Alg. App. 1 (1968) 153-180. [DB] B. J. Dulin and H. S. Butts, Composition of binary quadratic forms over integral domains, Acta Arith. 20 (1972) 223-251. [H] A. Hurwitz, Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, Mathematische Werke II, 565-571. Martin Kneser · Collected Works

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M.K. [I] O. Intrau, Kompositionstafeln quaternärer quadratischer Formen, Abh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Bd. 50, H. 2, 1970. [J] N. Jacobson, Composition algebras and their automorphisms, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 7 (1958) 55-80. [Ka1] I. Kaplansky, Composition of binary quadratic forms, Studia Math. 31 (1968) 523-530. [Ka2] — , Submodules of quaternion algebras, Proc. London Math. Soc. (3) 19 (1969) 219-232. [Kn] M. Kneser, Composition of binary quadratic forms, J. Number Theory 15 (1982) 406-413. [KKOPS] M. Kneser, M.-A. Knus, M. Ojanguren, R. Parimala, R. Sridharan, Composition of quaternary quadratic forms, erscheint in Compositio Mathematica [L] H. W. Lenstra, Jr., On the calculation of regulators and class numbers of quadratic fields, Journées Arithmétiques 1980, Exeter, 123-150. [N] O. Neumann, Bemerkungen aus heutiger Sicht über Gauß’ Beiträge zu Zahlentheorie, Algebra und Funktionentheorie, NTM-Schriftenr. Gesch. Naturwiss., Technik, Med. 16 (1979) 2, S. 22-39; 2. Teil: 17 (1980) 1, S. 32-48. [P] A. Pfister, Multiplikative quadratische Formen, Arichv d. Math. 16 (1965) 363-370. [S] D. Shanks, Class number, a theory of factorization, and genera, 1969 Number Theory Institute, Proc. Symp. Pure Math. XX, 415-440. [T] J. Towber, Composition of oriented binary quadratic form-classes over commutative rings, Advances Math. 36 (1980) 1-107. [W] W. C. Waterhouse, Composition of norm-type forms, J. reine angew. Math. 353 (1984) 85-97.

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Fachverband—Institut—Staat. Streiflichter auf. . . Dokumente Gesch. Math., 6, Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990, 1–82, Vieweg, Braunschweig, 1990.

Norbert Schappacher and Martin Kneser, Fachverband – Institut – Staat. Streiflichter auf das Verhältnis von Mathematik zu Gesellschaft und Politik in Deutschland . . . , from Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990. Festschrift zum Jubiläum der DMV, 1–82, (1990). Reprinted with permission from Springer Nature.

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by Norbert Schappacher, in cooperation with M. Kneser

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Norbert Schappacher unter Mitwirkung von Martin Kneser

Richtungskampfen innerhalb der DMV unter den Vorzeichen des Nationalsozialismus 1933-35 geben wir relativ viel Raum, in den Abschnitten 4.1 und 4.3-4.5; das VerhaIten der DMV gegeniiber ihren Mitgliedern jiidischer Abstammung ab 1938 wird in 4.6 besprochen; ein AbriB der Entwicklung nach dem Zweiten WeItkrieg findet sich in dem zeitraffenden letzten Abschnitt 5. Insgesamt sind also die Abschnitte 1 und 4 wesentlich der Verbandsgeschichte gewidmet. Auch sie aber streben keineswegs eine Chronik der DMV an. I Vielmehr haben wir besonders solche Ereignisse herausgegriffen, die die allgemeine politisch-soziale Lage der Mathematik in Deutschland innerhalb der Vereinigung widerspiegeln, oder sich mindestens auf dem Hintergrund dieser allgemeinen Lage schildern und einordnen lassen. Dies erklart z. B. auch die in den Abschnitt 4 eingeschobene Riickblende 4.2 auf Auseinandersetzungen zwischen Mathematikern wahrend der Weimarer Republik, bei denen die DMV als Organisation der beteiligten Mathematiker zwar nicht bemiiht wurde, die aber in bemerkenswerter Weise Politik und mathematische Fachpolitik mischten und damit bestimmte Muster fUr die Auseinandersetzungen in den Gremien der DMV 1933-35 bildeten. Wir geben jetzt einen nach den Epochen der politis chen Geschichte geordneten Oberblick iiber den weiteren InhaIt unseres Artikels. In der wilhelminischen Zeit dominierte FELIX KLEIN eindeutig als mathematischer Fachpolitiker. Wir widmen uns Aspekten seiner Tatigkeit als Forschungsorganisator; die Entwicklung der Mathematik in dieser Periode behandeln wir jedoch nicht. 2 1m Mittelpunkt von Abschnitt 2 stehen KLEINS hochschulpolitische Bemiihungen urn eine Offnung der Universitaten in Richtung auf die Ingenieurwissenschaften und auf die Anwendungen. Diese Plane KLEINS waren eine Provokation fUr das Selbstverstandnis sowohl der Universitaten wie der Technischen Hochschulen. Schon das rechtfertigt unser Eingehen hierauf. Uns interessiert aber auch die zeittypische (wenn auch insgesamt einmalig gebliebene) Art, mit der KLEIN seine Ideale wenigstens in Gottingen weitgehend verwirklichen konnte: die Griindung und Arbeit der Gottinger Vereinigung, deren Ziel die durch industrielle Geldgeber gefOrderte Grundlagenforschung war. - In diesem Abschnitt stiitzten wir uns auf bekannte Sekundarliteratur. Die Weimarer Republik wird im Hinblick auf unsere allgemeine Fragestellung durch die mindestens de facto politischen Verhaltensweisen charakterisiert, die viele deutsche Wissenschaftler nach dem Schock des verlorenen Krieges und 1 Eine solche liegt in knapper Form in [Gericke 1980) vor. 2 Bei Fertigstellung dieser Arbeit erfahren wir von einem neuen, breit angelegten Manuskript H. MEHRTENS' zur Gesamtentwicklung der Mathematik in dieser Zeit.

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angesichts eines politischen Systems entwickelten, mit dem sie sich mehrheitlich nicht identifizieren konnten. Auf dieser allgemeinen Ebene bieten wir nichts Neues; daher nur die oben schon erwahnte Riickblende in 4.2, die mehr oder weniger Bekanntes resiimiert. 1m Hinblick auf einen Ort allerdings, was das Ausnahmephiinomen des G6ttinger Mathematischen Instituts angeht, gehen wir iiber die einschlagige Sekundarliteratur hinaus. Diese Darstellung des politischen Hintergrundes aus Weimarer Zeit der ZerstOrung des Gottinger Mathematischen Instituts 1933 findet sich, ebenfalls in Form einer Riickblende, im Abschnitt 3.3. Auf der Zeit des Nationalsozialismus liegt das Schwergewicht dieser Arbeit. Dies war urspriinglich nicht beabsichtigt: wegen unSerer beschrankten Zeit und Krafte haben wir uns aber anderen Epochen nicht mehr mit derselben Intensitat wid men konnen wie der, mit deren Bearbeitung wir begonnen hatten. Trotzdem ist die entstandene Betonung des "Dritten Reiches" im Lichte unserer Fragestellung natiirlich nicht sinnlos, weil zu keiner anderen Zeit die Mathematiker in Deutschland so unmittelbar mit politis chen Anforderungen konfrontiert wurden. Nach einem Uberblick iiber die verschiedenartigen Auswirkungen des Nationalsozialismus auf die Mathematik in Deutschland, im Vorspann zu Abschnitt 3, konzentrieren wir uns auf den universitaren Bereich und dort insbesondere auf die Vertreibungen von Universitiitsmathematikern unter dem Nationalsozialismus. Abschnitt 3.1 gibt die globale Statistik. Die weitere Darstellung ist in erster Linie nach den stufenweisen gesetzgeberischen MaBnahmen der Nationalsozialisten gegliedert: 3.2, 3.6, 3.9. Innerhalb jeder Entlassungsphase besprechen wir wichtige Mathematische Institute und die Einzelschicksale bestimmter Mathematiker, die in der jeweiligen Phase besonders betroffen waren. Neben den Orten Gottingen (3.3), Berlin (3.4), Frankfurt (3.7) und Heidelberg (3.8), deren Instituten jeweils ein eigener Abschnitt gewidmet ist, werden in 3.5 die Institutsgeschichten von Aachen, Breslau, Freiberg (Sachsen), Leipzig, Miinchen und Konigsberg kurz angerissen; Bonn wird in 3.6 erwahnt, Hamburg und Tiibingen in 3.9 kurz gestreift. Insgesamt ergibt sich ein im Detail bemerkenswert uneinheitliches Spektrum der Auswirkungen des Nationalsozialismus auf die Entwicklung Mathematischer Institute. Wenn wir bei der Diskussion eines Nazigesetzes oder bei der Behandlung eines Instituts auf eine Person naher eingehen, so entweder aufgrund ihrer Bedeutung fUr die Mathematik, oder wei I wir neue Aspekte zu ihrer Geschichte beitragen konnen. Eine Vollstandigkeit wie in der Sammlung von Einzelschicksalen durch MAX PINL [Pinl 19**] ist nicht angestrebt. Wie schon erwahnt, wird die ideologische EinfluBnahme des Nationalsozialismus auf die DMV im Abschnitt 4 behandelt.

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by Norbert Schappacher, in cooperation with M. Kneser

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Norbert Schappacher unter Mitwirkung von Martin Kneser

Die Abschnitte 3 und 4 erganzen sich also gegenseitig und uberschneiden sich chronologisch. Sie ergeben zusammengenommen ein Mosaik politischer Elemente im Leben der Mathematiker in Deutschland zwischen den beiden Weltkriegen. Dieses Mosaik ist allerdings keineswegs vollstandig. So haben wir, urn nur ein Beispiel zu nennen, darauf verzichtet, die Geschichte der mathematischen Referatenorgane einzuweben - d. h. des Jahrbuchs fiber die Fortschritte der Mathematik, des Zentralblatts und der 1939 in den USA als Reaktion auf diskriminierende Regeln beim Zentralblatt gegriindeten Mathematical Reviews. Diese Geschichte wurde sich nahtlos in die im Abschnitt 4 - besonders 4.2 und 4.6 - nachgezeichneten Kontroversen und Entwicklungen einfUgen. Siehe hierzu [Alberts 1989], [Mehrtens 1987, 216f], [Reingold 1981, § 6], [Siegmund-Schultze 1984a]. Fur die Zeit nach dem Zweiten Weltkrieg geben wir nur einen geddingten und in vieler Hinsicht unvollsHindigen Uberblick in Abschnitt 5. Fur grof3zugige Hilfestellung bei der Ubermittlung von Dokumenten und fUr zahlreiche auf3erordentlich nutzliche Bemerkungen in Briefen oder Gesprachen sind wir folgenden Herren zu besonderem Dank verpflichtet: K. R. Biermann, H.J. Dahms, H. Mehrtens, W. Scharlau, R. Siegmund-Schultze. Herrn Barner danken wir herzlich fur die M6glichkeit zu gemeinsamer Arbeit im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach wahrend mehrerer Wochen im Jahre 1988.

1 Griindung der DMV Obwohl die Zeit reif war, bedurfte es fast eines Vierteljahrhunderts und der ausdauernden Initiative mehrerer Mathematiker, damit 1890 schlief3lich die Deutsche Mathematiker- Vereinigung (DMV) in Bremen aus der Taufe gehoben werden konnte. Die Zeit war reif; denn die Mathematik hatte seit Anfang des 19. Jahrhunderts inhaltlich eine Vielzahl einzelner Disziplinen hervorgebracht, die ihr zusammengenommen eine neue Unabhangigkeit und Bedeutung gegenuber den Naturwissenschaften gaben; und entsprechend war auf3erlich schon im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts die Professionalisierung der Mathematik im Wesentlichen in der Form etabliert, wie sie uns noch heute gelaufig ist. Versucht man grof3e Zuge in der komplizierten Geschichte zu erkennen, so fallt fur die erste Halfte des 19. Jahrhunderts besonders die Herausbildung einer eigenstandigen, professionellen Reinen Mathematik, ohne unmittelbaren Anwendungsbezug und geleitet von internen Qualitatsmaf3staben, auf. So stand in der Mitte des 19. Jahrhunderts in Berlin eine Universitat neuen Typs bereits in ihrer ersten BIute, die besonders in der Mathematik die Funktionen einer Lehranstalt urn die Anleitung zum Forschen erweiterte. Genauer: "Die ,Ehre' der Wissenschaft wird [an der Berliner Universitat] ab etwa 1830 mehr oder weniger in der Pflege der ,reinen' Mathema-

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tik erblickt, die nicht nach Nutzen oder iiberhaupt nach Beziehungen zur Praxis fragt. Die Anwendungen werden der Physik zugerechnet oder den technischen Hochschulen zugewiesen.,,3 Die Mathematiker, die den wachsenden Ruhm der Berliner Vniversitat begriindeten - DIRICHLET, JACOBI, EISENSTEIN, KUMMER, KRONECKER, WEIERSTRASS - waren unter den ersten, die in Deutschland zu dem ausdriicklichen Zweck angestellt wurden, die neu sich entfaltende reine Mathematik in Forschung und Lehre zu vertreten. Diese Etablierung der reinen Mathematik sollte allerdings bald ihre Erganzung finden in der Weiterentwicklung der angewandten Mathematik, die besonders gegen Ende des 19. Jahrhunderts zunehmend an Bedeutung gewann - vgl. Abschnitte 2.2, 2.3 unten. DaB die Zeit fUr eine Mathematikervereinigung reif war, und das nicht nur in Deutschland, wird einerseits durch die Griindung zahlreicher ortlicher mathematischer Vereinigungen belegt,4 und andererseits durch vergleichbare Griindungen nationaler Gesellschaften im Ausland: das Moskowskoe Matematitscheskoe Obedinenie 1864, die London Mathematical Society 1865, die Societe Mathematique de France 1872 und die New York Mathematical Society 1888 (ab 1894: American Mathematical Society) [Gericke 1980, 3]. Erstaunlicherweise wird in dem ersten ausfUhrlichen Bericht iiber die Griindung und die ersten Jahre der DMV: [Gutzmer 1904], an keiner Stelle ein Blick iiber die Grenzen der Nation riskiert. Der erste Anlauf zur Griindung der DMV ist der personlichen Initiative A. CLEBSCHS zu verdanken, der 1867 auf der Jahrestagung der Gesellschaft deutscher Naturforscher und A.rzte (GdNA.) fUr eine Abspaltung der dort vertretenen Mathematiker pladierte. 5 Die darauf folgenden separaten Mathematikertreffen zur Vorbereitung der Griindung einer eigenen Vereinigung setzten sich durch ihren betont "ungezwungenen" Stil von den offiziellen Tagungen der GdNA. ab, strebten aber gleichzeitig eine straffere Organisation als die der GdNA. an. 6 Auf dem ersten derartigen Treffen allerdings, einer Pfingstwanderung 1868 an der Bergstra13e, wurde nicht die DMV, sondern eine neue Fachzeitschrift ins Leben gerufen: die Mathematischen Annalen. Vnd die nachste Zusammenkunft kam erst Ostern 1872 in Berlin zustande. KRONECKER war dabei und FELIX KLEIN hielt eine programmatische Rede. Ein dreizehnkopfiges Griindungskommitee wurde eingesetzt, das im September 1872 in Gottingen tagte und fUr Ostern 1873 eine allgemeine Mathematikerversammlung dorthin einberief. Diese verlief auBerlich erfolgreich, fand aber schon statt, nachdem CLEBSCH 39jahrig an Diphtherie gestorben war und die auf ihr beschlossenen weiteren Schritte wurden nie getan. Das dort von BRILL im Namen des Kommitees verkiindete Griindungspro gramm stellt die DMV in erster Linie als einen losen Zusammenschlu13 zum "zeit3 [Biermann 1988), S. 240. Vgl. auch [Richenhagen 1985), S. 86-89, der auf einen - unseres Erachtens nicht gar so graBen - Unterschied zwischen KUMMER und (spater) WEIERSTRASS in dieser Frage hinweist. 4 [Tobies 19821, insbesondere Tabelle 3. 5 Hier und im folgenden halten wir uns, soweit nicht anders vermerkt, an [Gutzmer 1904). 6 Vgl. [Gericke 1980, 1.3) fiir eine politisch-historische Erklarung der losen Organisationsform der GdNA, aus der die DMVentstand.

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weilige[n] Austausche in zwangloser Unterhaitung" dar. Das Bediirfnis hierzu wird aus dem "ins Unermel3liche anwachsenden Stoffe" abgeleitet, und BRILL auBert die Erwartung, daB durch regelmaBige Tagungen kollegiale Spannungen und MiBverstandnisse ausgeraumt werden konnten. Erst hiernach werden die angestrebten Treffen auch als "Sammelpunkt fUr gemeinniitzige wissenschaftliche Untersuchungen" und als "eine nicht zu unterschatzende Macht" dargestellt. Diese zuletzt erwahnte fachpolitische Rolle solie die zu griindende Vereinigung "iiber den Parteien und Privatinteressen" stehend wahrnehmen, mit "vielleicht" als "einzige[r] Einseitigkeit ... einem ausgepragten nationalen BewuBtsein" [Gutzmer 1904, Anhang 1, S. 20fj. Als Griinde fUr das Scheitern dieses ersten Anlaufs fUhrt GUTZMER [Gutzmer 1904, 3] nur "personliche MiBverstandnisse und Verstimmungen" an. Durch den neueren Fund von Briefen FELIX KLEINS an ADOLPH MAYER laBt sich etwas mehr sagen [Tobies 1986]: Auf der Gottinger Versammlung waren eine Reihe von Kollegen nieht anwesend, deren Mitwirken KLEIN (wie auch KIEPERT und MAX NOETHER) fUr wiehtig hieiten. 7 Und es gelang offenbar auch danach durch direktes Ansprechen nicht, aile mathematischen Richtungen in dem Griindungsprojekt zu versammeln.

GEORG CANTOR

Der zweite, erfolgreiche Anlauf zur Griindung der DMV war das Werk GEORG CANTORS. Es mag sein, daB er wegen der schleppenden Anerkennung seiner Mengenlehre durch die Kollegen (insbesondere darf man einen Streit mit LEOPOLD KRONECKER annehmen 8 ) mehr als andere Mathematiker eine freie Vereinigung wiinschte, die ja auch ein Forum fUr seine Ideen sein konnte. Sein Engage7 Nach der Aufzahlung im Brief yom 25. 1. 1873: RICHELOT, HEINE, ARONHOLD, "die Berliner" [das waren zu dieser Zeit: KRONECKER, KUMMER, WEIERSTRAssl, FUCHS, SCHWARZ, HESSE, CHRISTOFFEL, REYE, WEBER, LIPSCHITZ, FIEDLER, GRASSMANN, SCHLAEFLI. Siehe [Tobies 1986, 114J. 8 Siehe etwa [Purkert, Ilgauds 1987).

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Griindungsversammlung der DMV 1890

ment fur die DMV pal3t aber auch ohne dieses Eigeninteresse durchaus zur vielseitig interessierten, aufgeschlossenen und vor aHem ausdauernd-grundlichen Personlichkeit Cantors. Auf der lahrestagung 1889 der GdNA wurde auf CANTORS Betreiben hin eine Absichtserklarung der Mathematiker zur Griindung einer eigenen Vereinigung beschlossen. Fur die folgende lahrestagung im September 1890 in Bremen wurde dann der Grundungsakt vorbereitet. KLEINS erste Reaktion war durchaus skeptisch: " ... die Erlebnisse 1872-74 lasten noch zu schwer auf mir; ich wurde auch ablehnen, jetzt bei dieser Sache einen hervorragenden Antheil zu haben.,,9 Die Briefe DYCKS an KLEIN aus dem Sommer 1890 geben weitere Eindriicke von den Schwierigkeiten, die CANTOR bei KoHegen zu uberwinden hatte, denen seine Plane zu grol3artig vorkamen. IO CANTORS Prioritaten fUr die DMV waren demnach nicht so gewichtet wie die oben wiedergegebene Aufzahlung der Vereinsziele in BRILLS Griindungsprogramm. Auch die Einladung zum Beitritt yom Dezember 9 Brief an MAYER vom 30. to. 1889, zitiert nach [Tobies 1986, 115]. 10 [Purkert, Ilgauds 1987, Dok. Nr. 34, S. 211-214]. Etwa S. 212, DYCK an KLEIN 22.6. 1890: " ... so glaube ich hat Cantor iiberhaupt eine Deutsche Mathematische Gesellschaft nach Art der Pariser Societe Math. de France im Auge." Vgl. DYCKs AuBerung iiber die "weitgehenden und etwas zu groBartig aussehenden" Plline CANTORS, loc cit. S. 213. - Siehe auch [Purkert, Ilgauds 1987, Dok. Nr. 36, S. 2141']: CANTORS Brief vom 14.7. 1891 an den Ver1eger Hirschfeld zur Vorbereitung der VerOffentlichung des Jahresberichts der noch kein Jahr alten DMV.

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Beri.ht tiber die wia.enachaftlichen Sitsungen

der Deutschen Kathematiker-Vereinigung, in Verbindung mit der ersten Abteilung fiir Mathematik und Astronomie der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Aeute, abgehaJten auf der Versawmlung zu Halle, 22-26. September 1891. 1. Sebreiben von L. Kronecker zur Einleitung . . 2. C. Neumann. Einfaeher Beweis eines F.Neumann'schen Satzes (BriefIiche Mitteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. R. De de kin d. Ueber Gleichungen mit rationalen Coefficienten (Briefliehe Mitteilung) . . . . . . . . . 4. F. Klein. Ueber neuere engliscbe Arbeiten zur Mechanik . 5. E. Papperitz. Ueber das System der rein matbematischen Wissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 6. M. Simon. Ueber das Parallelenaxiom . . . 7. S. Finsterwalder. Ueber die Bilder dioptrischer Systeme grosserer Oefl'nung und gri:isseren GesichtBfeldes . . . . . . . . . . . 8. C. Ro h n. Modelle der rationalen RauLDcurven vierter Ordnung und ihrer Developpabeln. . . . . 9. H. Wiener. Ueher Grundlagen und Aufbau der Geometrie . . 10. H. Schubert. Mitteilungen aus der abzii.hlenden Geometrie p-dimensiODaler Rii.ume eraten tmd neiten Grades . . It. V. Eberhard. Grundztige einer Gestaltenlehre der Polyeder . . .

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18. 19. ZOo 4!L :lZ. 23. 24..

L. Boltzmann. Ueber ain mecbanisches Hodell zur Versinnlicbung der Anwendung der Lagrange'scben Bewegungsgleiehungen in der und Elektricitltslehre . K. Hensel. Ueber den Fundamentalsatz der Theorie der al,..ebraischen Function einer Variabelo }O'. Mii lIer. Ueber litterarische Unternehmunge'n, welebe gaeiguet sind, das Studium der Mathematik zu erleichtern . . . . W. Dyck. Gestaltliches liber den Verlanf der Haupttangentencurven einer algebraischen Fliche • D. Hilbert. Ueher volle IO'lariantensysteme A. Schon flies. Ueber Configurationen, welche sicb aus gegebenen Raumelementen durch blosses Scbneiden und Verbinden ableiten lassen . . H. Minkowski. Ueher Geometrie der Zahlen . . . F. Kotter. Ueber das Kowalevski'sche RotatioDsproblem. . A. Piltz. Mitteilung iiber das Dreikorperproblem . • . . . . . . P. Stickel. Ueber bedingte Biegungen bummer Fllchen . . . . A. Wangerin. Ueber die Abwickelung VOn Rotationsfllchen mit constantem negativen Kriimmungsmass auf einander . . . E. Wiltheiss. Ueber die Differentialgleichungen der hyperelliptiscben Thetafuncticmen . . . . . . . . . . G. Cantor. Ueber eine elementare Frage der MannigfaltigkeitBlebre

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Verzeichnis der Mitteilungen auf der DMV-Jahrestagung 1891

1890, die die in Bremen tatsachlich gegriindete DMV aussandte, war nach CANTORS Vorstellungen abgefaf3t [Jber. DMV 1 (1890-91), S. 3f]. In KRONECKERS Brief an CANTOR vom 18.9. 1890 (der geschrieben wurde, weil KRONECKER nach dem Tode seiner Frau nicht seIber nach Bremen kommen und seinen angekiindigten Vortrag iiber EISENSTEIN halten konnte) klingt es dagegen wieder ahnlich wie bei BRILL: "Die Hauptsache ist die Gelegenheit zur Einleitung personlicher Verbindungen, zur miindlichen Diskussion, ... " II Die erste regulare Jahrestagung der neugegriindeten DMV - weiter zusammen mit dem Treffen der GdNA; ein Brauch, der bis 1931 im wesentlichen beibehalten wurde [Gericke 1980, 7] - fand 1891 in Halle statt, mit CANTOR als eigentlichem Gastgeber. Hier wurden die vorbereiteten Statuten und die Geschaftsordnung verabschiedet. Die Liste der Mitteilungen [Jber. DMV 1 (1890-91), 26-78] auf diesem Treffen dokumentiert, in welchem Maf3e die Mitglieder der jungen Vereinigung sich neue Ergebnisse mitzuteilen hatten. Besonders die schnell eingefiihrte Praxis, Berichte iiber einzelne Gebiete der Mathematik in Auftrag zu geben und zu veroffentlichen, forderte die Anerkennung mancher neuen mathematischen Entwicklung - z. B. der Mengenlehre [Tobies 1986, 1150 - und bereicherte bald die mathematische Literatur urn teilweise bedeutende Werke. 12 In den ersten Jahren ihres Bestehens entwickelte die DMV schnell internationale Anziehungskraft. Die Mitgliederliste von 1902 [Jber. DMV 12 (1903), 1 fO zahlt neben 368 Deutschen: 63 Mathematiker aus Osterreich-Ungarn, 25 Schweizer, 15 Mathematiker aus dem damaligen Ruf3land (incl. Polen und Finnland), 12 Italiener, 9 Hollander, 9 Mathematiker aus Grof3britannien, 6 Franzosen, 22 Mathematiker aus anderen europaischen Landern, 50 (Nord-)Amerikaner und vier 11 Auszugsweise abgedruckt in Jber. DMV 1 (1890-91), S. 23-25. Zitat S. 24. 12 Man denke nur an HILBERTs einfluBreichen Zahlbericht von 1897. - Zur Tatigkeit der DMV in ihren ersten Jahren siehe [Gutzmer 1904]; vgl. [Gericke 1980] und natiirlich die laufenden Bande des Jahresberichts.

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Mathematiker aus Asien. Die niedrige Zahl franzosischer Mitglieder (von denen ubrigens die meisten keine Universitatsmathematiker sondern Verlagsvertreter waren) verwundert auf dem Hintergrund der Zeitumstande weniger als der hohe Anteil von Amerikanern. 13 Unter den insgesamt fast 600 Mitgliedern findet sich genau eine Frau, 14 CHARLOTTE ANGAS SCOTT yom Bryn Mawr College, Pennsylvania.

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FELIX KLEIN

und die Anwendungen der Mathematik

In den ersten drei lahrzehnten des Bestehens der DMV war FELIX KLEIN der Mathematiker in Deutschland mit den am weitesten reichenden fachpolitischen Zielen. In dies em Beitrag, der allgemein den gesellschaftlichen und politischen Rahmenbedingungen der Mathematik gewidmet ist, findet KLEIN daher einen naturlichen Platz. Wir beschranken uns aber auf seine hochschulpolitischen Vorhaben, unter Einschlul3 seiner Aktivitaten in Gottingen, aber ohne sein Engagement fUr die Schulmathematik.

2.1 Gottingen versus Berlin: Berufung und das Jahr 1892

KLEINS

1866 wurde das Konigreich Hannover, und damit Gottingen, von Preul3en annektiert. Die Universitat Gottingen mul3te sich danach zunachst in die Rolle einer preul3ischen Provinzuniversitat mit reduziertem Budget fUgen. Dann aber begann FRIEDRICH ALTHOFF - seit 1882 Dezernent, ab 1897 bis zum Rucktritt 1907 Ministerialdirektor im preul3ischen Kultusministerium - allmahlich seine dezentralen Reformplane fUr die preul3ischen Universitaten zu entwickeln und mit wachsender Macht in die Tat umzusetzen. Danach sollten in Gottingen Mathematik und Naturwissenschaften besonders gefOrdert werden, wahrend er aus Berlin ein Zentrum der Altertums- und Geschichtswissenschaft machen wollte. 15 Bereit, sich bei wichtigen Berufungen personlich einzuschalten,16 reiste ALTHOFF im Marz 1885 nach Leipzig, urn FELIX KLEIN fUr Gottingen zu gewinnen. KLEIN kam im gleichen lahr nach Gottingen. Ais einen Grund zu diesem Entschlul3 no13 Eine Fortsetzung dieser Zahlen tiber auslandische Mitglieder in der DMV bis 1931 findet sich tabellarisch in [Tobies 1986, 134]. Vgl. auch die Berufsstatistik der DMV-Mitglieder fUr denselben Zeitraum in [Tobies 1986, 134]. 14 Genauer gesagt ist jedenfalls nur eine Frau als solche durch ihren ausgeschriebenen Vornamen erkennbar. 15 So [Biermann 1988, 177), mit Verweis auf [Sachse 1907]. Vgl. [Manegold 1970,98]. Zu ALTHOFF allgemein siehe auch [v. Brocke 1980) und [Manegold 1970, 159-162]. 16 Vgl. etwa [Biermann 1988, 168].

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tierte er spater die "Anziehung der Althoffschen Personlichkeit; seine Andeutungen, mir in Preussen eine ausgedehnte Wirksamkeit zu erOffnen".17 Wir werden in diesem Abschnitt sehen, wie umstritten der nach aul3en stets mit grol3er Entschiedenheit auftretende, innerlich haufig von Selbstzweifeln geplagte FELIX KLEIN war. Er seIber empfand seinen gesundheitIichen Zusammenbruch im Herbst 1882 als das Ende seiner grol3en mathematischen Produktivitat und bezeichnete seine wachsenden organisatorischen und politischen Aktivitaten einmal als "Ersatz fUr das verlorene Genie". 18 Auch seine Tatigkeit in Gottingen machte sich wesentIich in organisatorischen Leistungen bemerkbar. So schuf er gleich im Dezember 1885 das Lesezimmer, die Prasenzbibliothek fUr Studenten und Mitarbeiter und grundete (1892 mit HEINRICH WEBER) die Mathematische Gesellschaft, das standige Kolloquium fUr Gastvortrage. 19 Den grol3ten Einflul3 auf die Gottinger Mathematik hatte aber seine Berufungspolitik. Allerdings war dabei in KLEINS ersten Gottinger Jahren (und haufiger auch noch bis Ende 1896) das Zusammenwirken mit ALTHOFF nicht stets eintrachtig. Vnd KLEINS Stellung in Gottingen war anfangs durch Reibereien mit Kollegen, besonders mit HERMANN AMANDUS SCHWARZ, stark beeintrachtigt. 20 Die entscheidende Weichenstellung, die KLEIN in Gottingen freie Hand gab, und in der Folge fUr vierzig Jahre Gottingen ein Ubergewicht in der traditionellen Rivalitat mit Berlin sicherte, geschah im Jahre 1892, an das wir gleich etwas genauer erinnern werden. 1895 holte KLEIN dann DAVID HILBERT nach Gottingen. Dieser blieb dort bis zu seiner Emeritierung 1930, trotz zweier Rufe nach Berlin. Anlal3lich seines ersten Rufs nach Berlin 1902 wurde fUr HERMANN MINKOWSKI, den Begriinder der Geometrie der Zahlen und Jugendfreund HILBERTS, ein neues Ordinariat eigens geschaffen. 1904 konnte ein Ordinariat fiir CARL RUNGE neu eingerichtet werden (s. u., 2.3). Ein deutIiches Zeichen fiir die iiberragende Bedeutung Gottingens als mathematischer Anziehungspunkt im ersten Drittel unseres Jahrhunderts - neben der grol3ziigigen Personalausstattung - ist die aul3erordentIich grol3e Anzahl von Mathematikern, die eine Phase ihrer Ausbildung oder Karriere an dieser Vniversitat verbracht haben. 21 17 [Klein 1977], Personliche Notizen Seite I, FuBnote. Die drei vorangehenden Griinde sind: "Anhang1ichkeit an Gottingen, bez. meine dortigen Freunde. Abneigung gegen die groBe Stadt [= Leipzig], wo es mir u[nd] d[en] meinigen auch gesundheitlich schlecht geht. Vereinsamung in der iiberalterten Leipziger Fakultat." 18 [Klein 1977], Vorliiufiges iiber Leipzig, S. 3,5; KLEIN zur Ursache des Zusammenbruchs 1882: siehe etwa [Klein 1977], Vorliiufiges iiber Leipzig, S. 2. 19 Zum Lesezimmer: [Klein 1977], Vorliiufiges iiber Leipzig (Fortsetzung 1885), S. 5. Zur Mathematischen Gesellschaft: [Tobies 1981,60]. 20 [Klein 1977], Pers6nliche Notizen, S. 3, 1890: "Starke Spannung mit der Mehrzahl der Gottinger Kollegen". Vgl. [Manegold 1970, III, I c]; [Frei 1984,248]; [Tobies 1981,57]; [Rowe 1986, 432f]. - SCHWARZ und SCHERING hatten sich in Separatvoten gegen die Berufung KLEINS ausgesprochen. Die treibende Kraft dafor in Gottingen war der Physiker EDUARD RIECKE, ein Freund KLEINS, gewesen. DaB SCHWARZ an fangs die Berufung KLEINS angeregt haben soli - so [Frei 1984, 246] -, konnten wir nicht belegen. 21 Siehe etwa die Tabellen iiber Gottingen in [Scharlau 1989].

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FRIEDRICH ALTHOFF

AniaB ffir die Ereignisse des Jahres 1892 war der Tod LEOPOLD KRONECKERS in Berlin am 29. 12. 1891. Danach regelte WEIERSTRASS dort sowohl KRONECKERS als auch seine eigene Nachfolge. Wohl auch eingedenk der alten Animositaten zwischen der WEIERSTRAssschen und der (von KLEIN propagierten) RIEMANNschen Schule der Funktionentheorie, und in direkter Anspielung auf KLEINS organisatorische Aktivitaten und seine auf eine gewisse Breitenwirkung angeiegten Publikationen wurde KLEIN bei der BeschluBfassung fiber die beiden Berufungslisten mit geradezu beleidigenden Attributen bedacht ["Blender, Faiseur". Sein Buch fiber das Ikosaeder sei eine "Compilation von Schwarz und Fuchs im Feuilletonstil".] und so als Kandidat von vornherein ausgeschlossen. 22 Es wurden FROBENIUS und H. A. SCHWARZ berufen. In G6ttingen wurde SCHWARZ' Stelle mit HEINRICH WEBER besetzt. 23 Die auf den ersten Blick erstaunlichste Einschatzung, die die Berliner 1892 zu Papier brachten, war, daB KLEINS "ganze Wirksamkeit ... in Schrift und Lehre mit der ... Tradition [der Berliner] Universitat im Widerspruch" stehe, derzufolge die "Studierenden zu ernster und selbstloser Vertiefung in die mathematischen Probleme" angeleitet werden sollten. [Biermann 1988, 307 fl. Dies ist erstaunlich; denn FELIX KLEIN war 1892 vielleicht der erfolgreichste akademische Lehrer der Mathematik in Deutschland. So waren etwa allein aus Kleins sechs Jahren in Leipzig (1880-1885) 16 Dissertationen und 3 Habilitatio22 [Biermann 1988, 151,305-309). - 1889 hat ALTHOFF KLEIN eine Professur in Berlin angeboten und dazu gesagt, er habe auch HELMHOLTZ' Zustimmung zu diesem Plan. KLEIN lehnte mit dem Hinweis ab, er bleibe lieber in Giittingen: Siehe [Klein 1977), Personliche Notizen, S. 3, April 1889. [Frei 1984, 248) erklart diese Ablehnung durch Verweis auf das KLEIN angenehmere Leben in der kleinen Stadt; [Manegold 1970, 113) durch KLEINs universitatspolitischen Plane (s. u.). (Zu MANEGOLDS Interpretation vgl. al\gemein [Rowe 1985b).) - Laut [Manegold 1970, 114, FuBn. 35) hat ALTHOFF auch 1892 bei den Berliner Neubesetzungen wieder an KLEIN gedacht. HELMHOLTZ' protokollierte AuBerungen in [Biermann 1988,305307) lassen 1892 aUerdings kein Eintreten fiir KLEIN erkennen. Miiglicherweise hatte KLEIN es 1892 begriil3t, einen Ruf nach Berlin zu bekommen. Siehe [Biermann 1988, 151, Ful3note 5). 23 KLEIN seIber hatte hier FROBENIUS oder HURWITZ vorgezogen. Siehe [Rowe 1986,433 fl.

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nen entstanden, und acht von ihm betreute Dissertationen wurden bis 1892 in Gottingen abgeschlossen.24 Aber die Berliner fallten dennoch nicht einfach ein blindes Fehlurteil iiber Klein. Ihre Beurteilung hat vielmehr einen konkreten Hintergrund in der von Klein verfolgten, gegen die neuhumanistische Griindungsidee der Berliner Universitat gerichteten Politik der Vermittlung zwischen Universitaten und technischen Disziplinen - der wir uns jetzt zuwenden.

2.2 Universitaten, Technische Hochschulen, Gro8industrie Mit der 1794 als Folge der Revolution gegriindeten Pariser Ecole Polytechnique iibernahm in Frankreich in der ersten Halfte des 19. Jahrhunderts eine iiberaus erfolgreiche Institution die besondere Pflege der modernen Natur- und Technikwissenschaften. Sie stand im bewuBten Gegensatz zur Tradition der mittelalterlichen Universitat. Die Griindung der Berliner Universitat (einschlief3lich ihrer Vorgeschichte) im erst en Viertel des 19. Jahrhunderts war demgegeniiber ahnlich wie die Konzeption des humanistischen Gymnasiums - von neuhumanistischen Idealen gepragt. Den Naturwissenschaften wurde insofern Platz eingeraumt, als reine Erkenntnis ihr Ziel war. Eine Vermischung mit den unmittelbar anwendungsbezogenen Lehrinhalten von Spezialschulen wurde organisatorisch strikt vermieden. So war eine prinzipielle Trennung dieser beiden Typen von Hochschulen vorgezeichnet, die dann auch von den bald gegriindeten Technischen Lehranstalten ihrerseits als Teil ihrer Selbstbestimmung angesehen wurde. 25 Am 27. Mai 1888 entwickelte FELIX KLEIN in einem Brief an ALTHOFF seinen Plan, die Technischen Hochschulen mit den Universitaten zu verschmelzen [Manegold 1970, 85 ff]. Schon 1872, zum SchluB seiner Erlanger Antrittsrede, hatte er nach einem Vergleich der Lehrangebote den aufriittelnd gemeinten, aus dem Munde eines Universitatsprofessors hochst ungewohnlichen Rat fOr Mathematikstudenten formuliert, "die ersten beiden Jahre auf einem Polytechnikum zuzubringen" [Rowe 1985a, 135]. In seiner Zeit an der TH Miinchen (1875-1880) war er dann technischen Anwendungen naher gekommen - besonders auch durch personliche Kontakte, wie etwa zu CARL LINDE, der ab 1879 industrieller Kaltefabrikant war.26

24 [Tobies 1981,50); [Klein 1923, Anhang, 12-13). 25 [Manegold 1970, 18-43). Die folgenden Absatze sttitzen sich, wie schon aus der Struktur der Verweise erkennbar ist, wesentlich auf die grundlegende Studie [Manegold 1970). Erganzend zu unserer knappen Darstellung sei dem Leser der Essay [Rowe 1985 b) zur Gesamtorientierung tiber FELIX KLEIN und zur Einordnung von MANEGOLDs Buch empfohlen. 26 [Tobies 1981,42); [Manegold 1970, 128f].

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Plane zur Verschmelzung von Universitaten und Technischen Hochschulen standen aber nicht nur in Gegensatz zu den Grundungsidealen der Berliner Universitat,27 sondern vor all em zum Selbstverstandnis nahezu aller Professoren an beiden Typen von Hochschulen. So stieB KLEINS Brief yom Mai 1888 beim Kultusminister VON GOBLER - milde gesagt - auf Unverstandnis und blieb unbeantwortet [Manegold 1970, 102]. ALTHOFF selbst war in der Foige eher geneigt, KLEIN zu stiitzen. Aber sowohl KLEINS erste konkrete Plane fUr die Eingliederung der Technischen Hochschule Hannover in die Universitat Gottingen, wie sein Vorschlag fUr eine Neuorganisation der Gottinger Akademie der Wissenschaften unter Aufnahme von Technikwissenschaftlern stieBen auf den erbitterten Widerstand der iiberwiegenden Mehrzahl seiner Kollegen aus der Gottinger Philosophischen Fakultat, die damals, noch ungeteilt, die Naturwissenschaften und die Mathematik mit umfaBte. Diese Opposition in wei ten Teilen der FakuItat sollte ihn bis zu seiner Emeritierung begleiten. 28 Auch abgeschwachte Plane KLEINS fiir eine Annaherung von Universitat und Technikdisziplinen trafen auf fast ausnahmslose, meist heftige Abwehr von seiten der Universitat wie der Ingenieure. Insbesondere seine Idee, an den Universitaten Ingenieure mit besonderem wissenschaftlichen Uberblick ("Generalstabsoffiziere der Technik" im Gegensatz zu deren "Frontoffizieren") auszubilden, wurde an den Technischen Hochschulen als der Versuch empfunden, sie zu LehranstaIten zweiter Klasse in der Ingenieurausbildung zu degradieren. Daran anderten auch KLEINS Beitritt 1895 (als erster deutscher Universitatsordinarius) zum Verein Deutscher Ingenieure und sein Auftreten auf der Aachener Tagung des VOl im gleichen Jahr nichts. Vielmehr muBte er schlieBlich im Sommer 1900 jeglichem Versuch, einen noch so kleinen Teil der Ingenieurausbildung an die Universitat zu ziehen, gewissermaBen offiziell abschworen. [Manegold 1970, 128144 und 213 fl. 1m AnschluB an seine erste USA-Reise 1893 begann KLEIN, beeindruckt ebenso von Maschinenlaboratorien, die er dort in Universitaten besichtigt hatte, wie iiberhaupt von der engen Verflechtung zwischen Privatindustrie und Hochschulen in den USA, auch in Deutschland fUr privat mitfinanzierte Universitatslaboratorien einzutreten. 1m ersten Anlauf allerdings lehnte es insbesondere FRIEDRICH ALFRED KRUPP 1895 ab, beim Aufbau eines groBangeiegten, der Universitat angegliederten physikalisch-technischen Instituts mitzuhelfen. 1897 jedoch, im Jahr nach KLEINS zweiter USA-Reise, konnte dann, durch VermittIung von LINDE und ALTHOFF, das Vorstandsmitglied der Bayer-AG, HENRY THEODOR BOTTINGER dazu bewegt werden, mit LINDE und dem Lokomotivfabrikanten KRAUSS zusammen zunachst die verhaItnismaBig geringe Summe von 20000 Mark zur VerfUgung zu 27 In der Tat wollte KLEIN fUr Berlin selbst nicht die Vereinigung der beiden Hochschulen, sondern nur eine v611ige Gleichstellung der Technischen Hochschule. - [Manegold 1970, 107]. 28 [Manegold 1970, 103-115]; vgl. etwa [Pohlenz 1940,51].

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stell en fUr die Einrichtung eines kleinen Maschinenlabors (ein Gasmotor und eine Dampfmaschine) als neuer Technischer Abteilung des Gottinger Physikalischen Instituts [Manegold 1970, 157-168]. Diese Zusammenarbeit KLEINS mit industriellen Geldgebern fUhrte Anfang 1898 zur Griindung der Gottinger Vereinigung zur Forderung der angewandten Physik (im Dezember 1900 erweitert zur Gottinger Vereinigung zur Forderung der angewandten Physik und Mathematik), eines Zusammenschlusses von zunachst 7 Industriellen (an der Spitze Bottinger, aber unter ihnen jetzt auch ein Krupp-Vertreter) mit 5 Gottinger Ordinarien (ihnen voran KLEIN, als einziger beteiligter Mathematiker) und 2 Extraordinarien, sowie der neue, KLEIN tiberaus hilfreiche Universitatskurator HOPFNER. 29 AuBerhalb Gottingens ward KLEINS vielseitigem Engagement urn Neugrtindungen oder Weiterentwicklung von Technischen Hochschulen bzw. technischen Fakultaten oder Instituten an Universitaten bestenfalls bescheidener Erfolg zuteil. Abgesehen von lena, wo mit der Carl-Zeiss-StiJtung ein kleineres Pendant zur Gottinger Vereinigung entstand, konnte sich KLEINS Konzeption, obwohl sie im ersten lahrzehnt unseres lahrhunderts mehr und mehr diskutiert wurde, und obwohl KLEIN tiber ALTHOFF und ab 1909 als Mitglied im preuBischen Herrenhaus einen wachsenden EinfluB in der gesamten preuBischen Hochschulpolitik austiben konnte, nirgends durchsetzen [Manegold 1970, III 6]. In Gottingen allerdings war die Vereinigung sehr erfolgreich. Sie erhielt im Laufe der lahre Zuwachs sowohl von seiten der Industrie wie aus den Reihen der Gottinger Professoren (1903 zahlten aile Ordinarien der Mathematik, Physik und Chemie zu den Mitgliedern) [Manegold 1970, 231]. Den Aktivitaten der Vereinigung ist der Aufbau einer Reihe wichtiger Gottinger Institute wesentlich mitzuverdanken. Ihre vielen finanziellen und organisatorischen Einzelleistungen bis zum Beginn des Weltkrieges sind in ihrer Gesamtbedeutung fUr den Ausbau der N aturwissenschaften an der Universitat Gottingen kaum zu tiberschatzen. 30 Bei all ihren groBen lokalen Erfolgen blieb die Gottinger Vereinigung aber ein vollig singulares Phanomen, ohne Vorganger und ohne eigentliche Nachfolger; sie ging 1922 in der auf Reichsebene neugegriindeten Helmholtzgesellschaft 29 [Manegold 1970, 168-180]. Vgl. [Tobies 1982, 137f, Tab. I]. 30 Vgl. [Manegold 1970,232 ff]; vgl. die im Teubner Verlag erschienenen Festschriften der Gottinger Vereinigung: "Die physikalischen Institute der Universitlit Gottingen", 1906; sowie "Zum 20jlihrigen Bestehen der G.V.", 1918. Die Gesamtsumme der Beitrlige, Schenkungen und Stiftungen nach der Liste aller Beitragsptlichtigen Mitglieder bis 31. 7. 1921 betrug laut [Tobies 1986, 130-132]2318900 "Mark". Allerdings ist aus dieser Aufstellung nicht zu entnehmen, welche Beitrlige aus welcher Zeit stammen. In [Manegold 1970,241] ist von "mehr als 1 Million Goldmark" die Rede, die die Gottinger Vereinigung im Laufe ihrer Existenz aufbrachte. - Nach der Technischen Abteilung des Physikalischen Instituts konnten z. B. 1905 ein gro/3zugiges neues Hauptgebliude des Physikalischen Instituts und ein neues Institut fur Angewandte Elektrizitlit eingeweiht werden. Auch PRANDTLs 1908 fertiggestellter erster Gottinger Windkanal wurde mit wesentlicher Unterstutzung der Vereinigung realisiert. Ein vorbereitetes Neubauprojekt fur das Mathematische Institut wurde durch den Krieg verhindert.

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Symbol der Gallinger Vereinigung (Bundesschluf3 von Merkur und Minerva unter dem Baum, der goldene Friichte tragI. 1m Hintergrund Gottingen vom Hainberg aus gesehen.)

zur Forderung der physikalisch technischen Forschung auf. Einerseits war zwar die Zeit des ausgehenden 19. lahrhunderts fOr die Griindung lokaler und nationaler mathematischer oder naturwissenschaftlicher Zusammenschliisse giinstig. Und ein Teil dieser Vereine bezog die Anwendungen durchaus in ihr Beschaftigungsfeld ein [Tobies 1982, 136f]. Ihnen fehlte jedoch die Unterstiitzung durch die Industrie. Auf der anderen Seite wuchs zwar, besonders nach der lahrhundertwende, die Bereitschaft auf seiten der Industrie, Geld fiir Zwecke der Grundlagenforschung zu stiften. Die Griindung der Kaiser- Wilhelm-Gesellschaft 1911 mag hier als Beleg dafiir geniigen. 31 Aber wenn die Griindung der Kaiser- Wilhelm-Gesellschaft auch mitinspiriert war von der Gottinger Vereinigung [Manegold 1970,242], so schuf doch auch sie nirgends wieder eine mit Privatmitteln geforderte Initiative, die wie die Gottinger Vereinigung gleichzeitig: (i)

(ii) (iii)

der Ausbildung von Studenten, insbesondere Lehramtskandidaten diente das unterschied sie von den Kaiser- Wilhelm-Instituten; Grundlagenforschung mit starkem Anwendungsbezug forderte; eingebettet war in einen vielseitigen, nicht auf ein Spezialgebiet angelegten Ausbau der naturwissenschaftlich-mathematischen Forschung und Lehre einer Universitat - das unterscheidet sie von der Idee der Sonderforschungsbereiche.

2.3 Aogewaodte Mathematik uod Mechaoik Die enger mit der Mathematik verkniipfte Forderung angewandter Forschung und Lehre in Gottingen durch FELIX KLEIN wurde am handgreiflichsten in den Berufungen von LUDWIG PRANDTL und CARL RUNGE erreicht, sowie (wenn auch in dieser Form erst als verspatete Erfiillung KLEINscher Plane und aul3erhalb der Gottinger Vereinigung) in der Griindung von PRANDTLS Kaiser31 Siehe etwa [Wendel 1975).

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Wilhelm-Institut fur Stromungsforschung mit der Aerodynamischen Versuchsanstalt

(AVA).32

RUNGES Berufung 1904 als erster Ordinarius fUr Angewandte Mathematik in Deutschland muG im Sinne von KLEINS PHinen als Idealfall gelten. Dieser eigenwillige und bewegliche Mathematiker war in Berlin unter KRONECKER und WEIERSTRASS sozusagen als reiner Mathematiker groG geworden; hatte sich dann aber, nach seiner Berufung 1886 zum Ordinarius an die Technische Hochschule Hannover, mit spektralanalytischen Forschungen und anderen Fragen aus Physik, Astronomie und Geodasie beschaftigt. Ihm verdankt man wesentlich die Etablierung numerischer Approximations- und Rechenverfahren - einschlieGlich ihrer praktischen Durchfiihrung mit Hilfe von Rechenmaschinen - als eigene Disziplin innerhalb der Mathematik. Seine Vielseitigkeit und seine Fahigkeit zur Zusammenarbeit mit anderen Wissenschaftlern, nicht nur Mathematikern, sicherten seinen stark besuchten Vorlesungen und der Arbeit an dem fUr ihn eingerichteten Institut fUr Angewandte Mathematik (gegeniiber der Gottinger UniversiHitsbibliothek) eine iiber Gottingen hinausreichende Vorbildrolle. 33 So stellte auch die Berliner Fakultat im Juni 1918, auf Initiative von ERHARD SCHMIDT, den Antrag auf Einrichtung eines Ordinariats fUr Angewandte Mathematik. In dem Antrag wurde verstarkend auch das ungeahnte, durch den Krieg zu Tage getretene Bediirfnis nach praktisch und theoretisch durchgebildeten Mathematikern zitiert [Biermann 1988, 186]. Der Antrag der Berliner Fakultat wurde abschlagig beschieden, was in der unmittelbaren Nachkriegszeit nicht verwunderlich war. 1920 aber wurde RICHARD VON MISES als Nachfolger auf dem Extraordinariat KNOPPS zum personlichen Ordinarius berufen. Noch im gleichen Jahr wurde sein Institut for Angewandte Mathematik gegriindet [Biermann 1988, 190fJ, dessen Konzeption dem RUNGESchen Vorbild in Gottingen nachempfunden war. v. MISES war eine nicht weniger vielseitige und agile Personlichkeit als RUNGE. Eine umfassende Biographie, die diesem hochinteressanten Mann gerecht wird, steht noch aus. Die allgemein empfundene wachsende Bedeutung der Angewandten Mathematik als eigenstandiger Disziplin fUhrte 1922 zur Griindung einer eigenen Fachvereinigung, der Gesellschaft for Angewandte Mathematik und Mechanik, GAMM. Vorher wurden die Belange der Angewandten Mathematik und Mechanik yom VOl und in starkem MaGe auch von der DMV wahrgenommen. [Tobies 1982, Abschnitt 3]. Schon 1921 wurde yom VOl eine neue Zeitschrift for Angewandte Mathematik und Mechanik, ZAMM, initiiert, deren Schriftleitung VON MISES iibernahm. Dieser arbeitete dann mit PRANDTL und H. J. REISSNER (TH Berlin) auf 32

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Was PRANDTL und die AVA angeht, siehe etwa [Kraemer 1975] und [Tollmien 1987], sowie dort angeffihrte weitergehende Literatur. PRANDTL wurde 1904 zum Extraordinarius ffir Technische Physik berufen. Ab 1907 war er Ordinarius fUr Angewandte Mechanik, ab 1909 mit einem zusatzlichen Lehrauftrag fUr Aeronautik, dem ersten seiner Art in Deutschland. Zu RUNGE verweisen wir auf die sehr personliche Biographie aus der Feder der altesten Tochter [Runge 1949], sowie auf die Studie [Richenhagen 1985]. Vgl. auch [Courant 1927].

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eine eigene Fachvertretung hin, die sich, wie 32 Jahre zuvor die DMV, anHiBlich einer Jahrestagung der GdNA zunachst gewissermaBen nur als eigene Sektion und ohne die Intention einer Abspaltung von der DMV konstituierte. Vgl. [Gericke 1972].

3 Folgen des Nationalsozialismus filr die Mathematik an den U niversitaten Die Einstellung des Nationalsozialismus zur Mathematik war insgesamt gekennzeichnet durch die Ambivalenz zwischen ideologischer Verachtung und prak tischer Anerkennung ihrer Unentbehrlichkeit. Soweit iiberhaupt eine geschlossene Ideologie des Nationalsozialismus existierte, griindete sie wesentlich auf irrational en, nicht auf (vorgeblich) wissenschaftlichen Prinzipien und raumte den Naturwissenschaften und der Mathematik nur eine Randstellung ein. 34 Die Umsetzung dieser ideologischen Vorgabe in der Hochschulpolitik verlief aber keineswegs geradlinig - wir werden sehen, wie stark z. B. die Entwicklung verschiedener Mathematischer Institute je nach den lokalen Besonderheiten differierte. Immerhin lassen sich die wichtigsten Folgen des Nationalsozialismus fUr die (Mathematik an den) Universitaten zur vorlaufigen Gesamtorientierung leicht zusammenfassen: (i)

Die Studentenzahlen gingen insgesamt stark zuriick; in der Mathematik aber war dieser Riickgang geradezu katastrophal. Die Gesamtzahl aller Studenten an den deutschen Universitaten hatte im Sommer 1931 (bei den Technischen Hochschulen im Winter 1930/31) ihr absolutes Maximum zwischen den Weltkriegen erreicht und begann ab 1932 stetig zu sinken. Sie fie! von 98852 im Sommer 1932 auf 40716 im Sommer 1939, was einen Riickgang auf 41,20/0 bedeutet. Bei den Technischen Hochschulen stiegen demgegeniiber die Studentenzahlen seit Sommer 1937 wieder, so daB dort von Sommer 1932 auf Sommer 1939 nur ein Riickgang auf 600/0 zu verzeichnen ist [Titze 1987, 30]. Der allgemeine Riickgang ist wohl nicht in erster Linie eine Auswirkung der nationalsozialistischen Hochschulpolitik. Vielmehr diirften die Geburtenschwache der Weltkriegsjahrgange und, als indirekte Einwirkung des Nationalsozialismus, die Altersverzogerung durch Arbeitsdienst und (ab Mai 34 So heii3t es etwa in Hitlers Mein Kampf [2. Band, Miinchen 1927, S. 452): "Der volkische Staat hat ... seine gesamte Erziehungsarbeit in erster Linie nicht auf das Einpumpen bloi3en Wissens einzustellen, sondern auf das Heranziichten kerngesunder Korper. Erst in zweiter Linie kommt dann die Ausbildung der geistigen Flihigkeiten. Hier aber wieder an der Spitze die Entwicklung des Charakters, besonders die Forderung der Willens- und Entschlui3kraft, verbunden mit der Erziehung zur Verantwortungsfreudigkeit und erst als Letztes die wissenschaftliche Schulung."

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(ii)

Norbert Schappacher unter Mitwirkung von Martin Kneser 1935) Wehrdienst wichtige Faktoren sein: vgl. [Titze 1987, 203f]. Inwieweit die neue Belastung des studentischen Alitags mit nicht-akademischen Ptlichten [Dahms 1987 a, 33-35] eine abschreckende Wirkung ausiibte, ist schwer abzuschatzen. Die Zahl der Mathematikstudenten an den deutschen Universitaten sank rapide von 4245 im Sommer 1932, iiber 1778 im Sommer 1934 und 1514 im Sommer 1936, aufnur 306 im Sommer 1939 [Titze 1987, 147].35 Von Sommer 1932 bis Sommer 1939 stellt das einen Riickgang auf 7,2% dar! Dieser steile Abfall hat keine Parallele in den Naturwissenschaften: Mathematik und Naturwissenschaften insgesamt gingen an den deutschen Universitaten zwischen Sommer 1932 und Sommer 1939 auf 25,7% zuruck. Ebenso teilte sich die Zahl der Physikstudenten [Titze 1987, 148], und auch z. B. die aller Studenten der Sprach- und Kulturwissenschaften [Titze 1987, 89], von 1932 auf 1939 nicht ganz durch 4. 1m Fach Chemie an den Universitaten gab es ab 1937/38 sogar wieder eine Aufwartsentwicklung, so daB es im Sommer 1939 immerhin 54,2% so viele Studenten der Chemie gab wie im Sommer 1932 [Titze 1987, 89]. Obrigens waren die Fachbereiche (im Sinne der Einteilung bei [Titze 1987]) mit den geringsten zahlenmaBigen StudenteneinbuBen die Medizin und die Wirtschafts-, Agrar- und Forstwissenschaften [Titze 1987, 89]. Ein genaues Verstandnis der dramatischen Entwicklung der Studentenzahlen in Mathematik bleibt ein wichtiges Desiderat der historischen Forschung. ledenfalls muB das Mathematikstudium fUr junge Leute im nationalsozialistischen Staat besonders unattraktiv gewesen sein. Es scheint plausibel, daB dies ebenso ein Reflex der ambienten Ideologie war, wie der sich bietenden Berufsmoglichkeiten, insbesondere auBerhalb des LehrerberufS. 36 Die Lehrkapazitat im Fach Mathematik wurde an den meisten Hochschulen herabgesetzt, wenn auch in der Regel nicht drastisch, jedenfalls bei weitem nicht im MaBe des Riickgangs der Studentenzahlen. Das wichtigste Element hierbei ist aber nicht wissenschaftsspezifisch, sondern es ist die allgemeine nationalsozialistische Beamtenpolitik mit ihren konsequent durchgefUhrten Entlassungen aus rassischen und politischen Grunden. Ihre Folgen fUr die Mathematik werden wir in diesem Abschnitt sowohl global als auch in ihrer ortlichen Differenziertheit genauer darstellen. Haufig wurden dann Stell en, 35 Diese und die folgenden Angaben beziehen sich nur auf die Universitaten. In der Mathematik andert sich aber das Bild qualitativ nicht, wenn man aile deutschen Hochschulen betrachtet: siehe [Lorenz 1943, 42-45J. 36 Die nationalsozialistische Hochschulreform im Fach Mathematik besprechen wir nicht naher, wei 1 sie zu spat einsetzte, urn sichtbare Folgen fiir die Mathematikerausbildung an den Universitaten zu zeitigen. Allerdings verdankt man ihr z. B. das Mathematikdiplom und die Einrichtung der angewandten Mathematik als eigenes Priifungsfach. Diese formale Aufwertung der angewandten Mathematik wurde aber an den Universitaten keineswegs inhaltlich verwirklicht: vgl. etwa die Entwicklungen von Gottingen und Berlin, Abschnitte 3.3, 3.4 unten.

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deren Inhaber aus rassischen oder politischen Grunden entlassen waren, gestrichen oder herabgestuft. Eine Statistik tiber solche Stellenverluste liegt uns allerdings nicht vor, und noch weniger existieren Untersuchungen etwa tiber die Budgetentwicklung Mathematischer Institute im Nationalsozialismus. Weil die beiden Entwicklungen (i) und (ii) so verschieden stark waren, entstand gegen Ende der dreiBiger Jahre in der Mathematik ein zahlenmal3iges Lehrer-Schiiler-Verhaltnis, das man normalerweise als geradezu idyllisch bezeichnen wtirde. - Siehe die mit feiner Ironie geschriebenen Seiten [Adam 1977, 154-159]. (iii)

(iv)

Sei es als Gegenbewegung zu der marginalen Rolle, die der Mathematik von der Ideologie zugedacht war, sei es im Interesse einer genuinen Politisierung und Ideologisierung der Mathematik, versuchten einige Mathematiker, ein spezifisches, mit der nationalsozialistischen Ideologie vertragliches Ideal der Mathematik oder wenigstens ihrer Austibung und Lehre zu entwickeln und zu propagieren. Diese Versuche faBt man unter dem Titel "Deutsche Mathematik" zusammen. LUDWIG BIEBERBACH in Berlin war der bekannteste Vertreter solcher Ansatze. Die hochschulpolitische Bedeutung der "Deutschen Mathematik" war nach 1935 insgesamt sehr gering und ortlich im wesentlichen auf Berlin und Heidelberg beschrankt. Wir werden Aspekte der "Deutschen Mathematik" schon in diesem Abschnitt bei unserer Behandlung der Institute in Gottingen, Berlin und Heidelberg antreffen, und im Abschnitt 4 wird BIEBERBACHS "Deutsche Mathematik" kurz in den historischen Rahmen des Streits urn Nationalismus versus Internationalismus in der Mathematik wahrend der Weimarer Republik gestellt, sowie der von BIEBERBACH angezettelte Streit in der DMV eingehend behandelt. Auf einer eher alltaglichen Basis gab es eine (von Ort zu Ort verschieden ausgepragte) Politisierung des Universitats- und Institutslebens. Dies ist nattirlich keine Besonderheit des universitaren Bereichs im NS-Staat, wenn sie auch von der nationalsozialistischen Hochschulreform systematisch unterstiitzt wurde. Wir werden an verschiedenen Beispielorten die Skala dessen, was hier moglich war, andeuten.

Die in (iii) angesprochenen Ideologisierungsversuche lassen keine Verquikkung mit den beamtenrechtlichen Entlassungen von Punkt (ii) erkennen. Es gab zwar einen EinfluB politischer Kriterien bei der Auswahl von Stellenbewerbern das flillt unter (iv) -; es gab aber insgesamt keine planmaBige Bevorzugung oder Benachteiligung bestimmter mathematischer Gebiete unter ideologischem Vorzeichen. Dies gilt unbeschadet der Tatsache, daB in einer Hochburg "Deutscher Ma thematik" wie Berlin z. B. die Reduzierung der Algebra durch BIEBERBACH wohl auch ideologisch interpretierbar ist - siehe 3.4 unten -; daB sich mitunter vorgesetzte Stell en eine ideologische Bewertung mathematischer Disziplinen zueigen machen konnten - siehe z. B. FuBnote 92 unten -; daB schlieBlich Gebiete wie etwa die Mathematische Statistik - vgl. das entsprechende Kapitel dieses Bandes -,

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oder auch die Grundlagen der Mengenlehre, als offenbar unbeabsichtigter Nebeneffekt der nationalsozialistischen Amtsverdrangungen in Deutschland nahezu ausgerottet wurden. Wir fassen zusammen: Die Mathematik an den Universitiiten wurde im Nationalsozialismus - vor allem durch Entlassung von Mathematikern judischer Abstammung - erheblich dezimiert und war durch den politisch-ideologischen Rahmen in ihrer Ausubung mehr oder weniger eingeengt. Der Effekt des Nationalsozialismus war aber vor allem in der Forschung nicht der einer veritablen "Kulturrevolution" von der Art, daB die Mathematik an den Universitaten insgesamt ver6dete. Diesem insgesamt jedenfalls nicht rosigen Bild der Mathematik an den Universitaten stand die Verwendung von Mathematikern fUr die praktischen Bedurfnisse der AufrOstung, insbesondere in der Flugzeugtechnologie, gegenuber. Sie fand in der Regel nicht an der Universitat statt, sondern in Forschungsgruppen, die direkt einem Ministerium - etwa dem Reichsluftfahrtministerium - oder einer militarischen Dienststelle - etwa dem Oberkommando der Wehrmacht (OKW) oder der Kriegsmarine (OKM) - unterstanden. Diese Forschungsgruppen erfreuten sich haufig eines relativen politisch-ideologischen Freiraums, was sich dahin deuten laBt, daB ihre Effektivitat dem Regime wichtiger war als enge politische Reglementierung. Auf diese Weise wurden in der zweiten Halfte der Herrschaft des Nationalsozialismus viele und bedeutende Forschungsarbeiten in angewandter Mathematik geleistet, auf die wir hier nur summarisch verweisen. 37 Eine Zwischenstellung zwischen den Mathematischen InstituteD an den Universitaten und den eben erwahnten Forschungsgruppen nahmen einige Mathematische Institute an Technischen Hochschulen ein. An erster Stelle steht hier das auBerst erfolgreiche Institut fUr praktische Mathematik (IPM) ALWIN WALTHERS in Darmstadt: ein Recheninstitut, das prototypisch eine ganze Periode der Vorgeschichte der heutigen Informatik reprasentiert. Es bearbeitete Rechenauftrage verschiedener Forschungsgruppen und delegierte seinerseits Aufgaben an andere, kleinere Rechenburos. Neben dem IPM gab es z. B. an der TH Braunschweig eine bemerkenswerte mathematische Arbeitsgruppe. Vgl. zu diesem Komplex [Mehrtens 1986]. 1m Kriege verlief einerseits die nationalsozialistische Hochschulreform im Sande. Insbesondere wurden auch Frauen wieder im Lehrbetrieb eingesetzt, nachdem sie vorher z. B. von der venia legendi ausgeschlossen gewesen waren - siehe Ende von Abschnitt 3.7 unten. Andererseits waren nicht einberufene oder freigestellte Universitatsmathematiker und auch ganze Mathematische Institute haufig aufgerufen, kriegswichtige Rechenaufgaben oder unmittelbare Zweckforschung fur auBeruniversitare Stell en auszufUhren. Diese Arbeiten waren in der Regel viel weniger anspruchsvoll als die oben angesprochenen angewandten Arbeiten in Forschungsgruppen oder an den Technischen Hochschulen. 37 Siehe [Mehrtens 1986]; vgl. [Weissinger 1985].

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3.1 Vertreibungen von Mathematikern, Gesamtiiberblick Wir beginnen mit der statistisehen Gesamtbilanz der nationalsozialistisehen Vertreibungen in der Mathematik. Wir besehranken uns dabei grundsatzlieh auf soIche Mathematiker, die durd. den EinfluB des Nationalsozialismus eine akademisehe Stellung - d. h. wenigstens eine venia legendi - verloren, oder vorzogen eine soIche aufzugeben. Dieser Personenkreis laBt sieh vergleiehsweise leieht iiberblieken. 38 Weiterhin sehlieBen wir im Folgenden emeritierte Ordinarien von der Betraehtung aus, urn die Auswirkungen der nationalsozialistisehen Politik auf das Funktionieren der Institute in den Zahlen klarer hervortreten zu lassen. 39 In seinem Stiehjahr 1931 zahlt das Tabellenwerk [Ferber 1956] an den deutsehen Universitaten, Teehnisehen Hoehsehulen und Bergakademien im Faeh Mathematik (unter EinsehluB des Gebietes Gesehiehte der Teehnik) insgesamt 18 Emeriti, 95 Ordinarien, 2 ordentliehe Honorarprofessoren, 7 beamtete und 38 nieht beamtete Extraordinarien, sowie 55 Privatdozenten. Wir zahlen ordentliehe Honorarprofessoren und personliehe Ordinarien als Ordinarien. So erhalten wir die erste Zeile der folgenden Tabelle. Vertreibung von Universitatsmathematikern im Nationalsozialismus 1933-1937

Bestand 1931 Verluste: 1933-1934 1935-1936 1937 Summe

Gesamt

Ordinarien

197

97

35 (30) 19 (16) 5 (0)

15 (11) 11 (10) 3 (0)

59 (46)

29 (21)

38 Wir lassen hier also aile Mathematiker methodisch auBer Acht, die durch EinfluB des Nationalsozialismus nach abgeschlossenem Hochschulstudium eine zu erwartende akademische Stellung nicht erlangten, und erst recht z. B. aile diejenigen, die ohne abgeschlossenes Studium (etwa als Kinder) Deutschland verlieBen und dann in der Emigration als Mathematiker wirkten. - Von we iter ausgreifenden Untersuchungen sind zu nennen: an erster Stelle das grundlegende Nachschlagewerk [ROder, StrauB 1980ff], Band II. Eine nach Universitaten und Fachern geordnete Zusammenstellung daraus ist in [Kroner 1983] versucht worden. 1m Faile der Mathematik ist aber, was die Menge erfaBter Individuen angeht, [Pinl, Furtmiiller 1973] vollstandiger; geht insbesondere iiber den von uns betrachteten Personenkreis hinaus. 39 Es sollte aber nicht unerwahnt bleiben, daB die Nationalsozialisten es fUr angebracht hielten, Emeriti jiidischer Abstammung die venia zu entziehen. Der Entzug geschah in der Regel Anfang 1936 nach dem Reichsbiirgergesetz (siehe 3.6 unten). Allerdings wurden zunachst aile Emeriti im Dezember 1935 reichsweit mit Berufung auf dessen Erste DurchfUhrungsverord· nung in den Ruhestand versetzt. Noch vor Weihnachten 1935 besann man sich aber und entschied, daB Emeriti nicht Beamte im Sinne dieser Verordnung seien. So wurde allen ihr Entpflichtetenstatus riickwirkend wieder zuerkannt. Dieser Vorgang ist in den jewei1igen Personalakten dokumentiert. - Betroffen waren in erster Linie ALFRED PRINGSHEIM in Miin-

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Hier enthalt die erste Spalte die Gesamtzahl der Betroffenen des abgegrenzten Personenkreises, die zweite die der Ordinarien. In Klammern stehen die Zahlen der jeweils betroffenen Mathematiker jiidischer Abstammung. 1m Vergleich zum Bestand 1931 ergibt sich also ein zahlenmaBiger Verlust von etwa 30%, sowohl insgesamt unter den Universitatsmathematikern als auch bei den Ordinarien. An dies em Bild diirfte sich auch durch wei teres Nachrecherchieren der hier verwendeten Daten nichts Wesentliches andern.40 Die Bilanz ist also schon auf dieser abstraktesten Ebene der Totalzahlen, auf der man noch nicht sieht, daB z. B. ein HERMANN WEYL und ein EMIL ARTIN Deutschland verlieBen, die eines schweren Eingriffs in das Leben der Mathematik in Deutschland - wenn es auch moglich ist, daB er durch die zeitliche Staffelung manchen Zeitgenossen an bestimmten Orten als nur wenig mehr erschien denn der natiirliche Generationenwechsel. Unsere zeitliche Abgrenzung 1933-1937 entspricht der jetzt zu schildernden Abfolge beamtenrechtlicher Gesetze und Erlasse. Sie ist auBerdem so gewahlt, daB wir die osterreichischen Universitaten sowie die Universitat Prag nicht behandeln. Wir erwahnen aber hier einen spaten, bedeutenden Emigranten aus dem Deutschen Reich in den Grenzen von 1937, der durch unsere Zeitbeschrankung nicht miterfaBt ist: CARL LUDWIG SIEGEL. Er ging erst im Friihjahr 1940, wei I er den Krieg ablehnte, von Gottingen iiber Norwegen in die USA. 41 chen (der 1933 nicht weniger als 83 Jahre alt war), KURT HENSEL in Marburg (*1861), LUDWIG SCHLESINGER in Gie13en (*1864) (und nach dem "Anschlu13" 1938 ALFRED TAUBER (*1866) in Wien. - Zu Wien allgemein vgl. [Einhorn 1985].) Aber auch aile Ordinarien, die in Foige der nationalsozialistischen Entlassungspolitik bis Herbst 1935 emeritiert worden waren, wurden dann noch einmal in ihren, allerdings sowieso schon illusorisch gewordenen, Rechten beeintrachtigt; so z. B. die formal auf eigenen Antrag emeritierten RICHARD COURANT (Gottingen, mittlerweile USA) und ISSAI SCHUR (Berlin). 40 Die insgesamt wohl vollstandigste Aufstellung von Mathematikern, die unter dem Nationalsozialismus zu leiden hatten, ist [Pinl, Furtmiiller 1973], eine Uberarbeitung und der Versuch einer Auswertung der von MAX PINL fiir den Jahresbericht der DMV [Pinl 19**] gesammelten Lebenslaufe. Leider sind die von PINL miihevoll zusammengetragenen biographischen Angaben haufig ungenau oder fehlerhaft. Wir konnten bei unseren Recherchen mitunter von der Vorbereitung des Bandes [Scharlau 1989] profitieren, wofiir wir herzlichen Dank sagen. Urn dem Leser die Vergleichsmoglichkeit zu geben, listen wir hier die in [Pinl, Furtmiiller 1973] beriicksichtigten Personen auf, die in unsere Zahlen eingegangen sind. Kursiv sind die Namen von Ordinarien geschrieben. 1933/34: BAER, BARRUCH/BARNECK, ST. BERGMANN, BERNAYS, F. BERNSTEIN, BLUMEN THAL, BOCHNER, R. BRAUER, BREUER, COHN-VOSSEN, COURANT, FELLER, FRAENKEL, GUMBEL, HERTZ, L. HOPF, JOACHIMSTHAL, KORN, LANDAU, H. LEWY, LICHTENSTEIN, LOEWY, V. MISES, NEUGEBAUER, E. NOETHER, F. NOE THER, POLLACZEK-GEIRINGER (lMISES), PRAGER, RADEMACHER, REIDEMEI STER, REMAK, SZASZ, WEINSTEIN, WEYL, WILLERS. 1935/36: A. BRAUER, DEHN, EpSTEIN, GRELL, GROTZSCH, HAMBURGER, HARTOGS, HAUS DORFF, HELLINGER, F. W. LEVI, LIEBMANN, ROGOSINSKI, ROSENTHAL, ROTHE, SCHUR, STERNBERG, SZEGO, TOEPLlTZ, ZERMELO. 1937: ARTlN, FRIEDRICHS, KAMKE, J.O. MOLLER, POSCHL. 41 [Pinl, Furtmiiller 1973] erwahnen auch noch den 1938 vorzeitig pensionierten Kolner Ordinarius teilweise jiidischer Abstammung ERNST FISCHER, der durch unsere Zeitbeschrankung in der Tabelle unberiicksichtigt bleibt. Inhaltlich gehort dieser Fall in die zweite Entlassungsphase, siehe 3.6.

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3.2 Das Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums (BBG) Dieses Gesetz yom 7.4. 1933 war mit seinem "Arier"-Paragraphen § 3 das erste von den Nationalsozialisten erlassene Judengesetz. Vorrang vor der obligatorischen Entlassung eines "nicht-arischen" Beamten gemaB § 3 hatte aber in jedem Einzelfall die Prufung, ob er aus Griinden ,politischer Unzuverliissigkeit' (§§ 2 a, 4) entlassen werden konne. 42 Insbesondere gab § 4 die Moglichkeit, Beamte zu entlassen, die nicht die Gewahr dafUr bot en, "jederzeit ruckhaItlos fiir den Nationalen Staat einzutreten". Der Gummiparagraph § 6 erlaubte die Versetzung in den Ruhestand "zur Vereinfachung der Verwaltung": als iiberfliissig erachtete Stellen konnten kassiert werden. § 5 gab die Moglichkeit einer Herabstufung und/oder Versetzung von Beamten an andere Orte. Von ihm wurde im schulischen Bereich starker Gebrauch gemacht als an der Universitat. Er lieB aber jedenfalls eine direktere EinfluBnahme des Ministeriums bei der personellen Besetzung der einzelnen Universitaten vorausahnen. Durch eine Intervention Hindenburgs wahrend des Gesetzgebungsverfahrens wurden "Nicht-Arier", die entweder schon vor August 1914 Beamte oder Frontkampfer im Ersten WeItkrieg gewesen waren, yom § 3 ausgenommen. (Eine ebenfalls diskutierte Ausnahmeregelung fUr "hervorragende Wissenschaftler" kam aus uns unbekannten Grunden nicht zustande.) Die Foige davon war die Praxis, z. B. AItbeamte jiidischer Abstammung, die also nach § 3 nicht entlassen werden konnten, nach § 6 und damit doch nach dem BBG in den Ruhestand zu versetzen, wenn man einen AniaB zu diesem Schritt fand. Hatte man zu dieser MaBnahme gegriffen, so war allerdings die Stelle des EntIassenen im Prinzip nicht wieder besetzbar. Das wurde dann in einigen Fallen durch ad hoc Entscheidungen wieder zuriickgenommen. Urspriinglich war das Gesetz wohl als Handhabe fUr EntIassungen in einer beschrankten Anzahl fiir wichtig gehaItener Faile gedacht. Dazu gehorten besonders die Professoren, die den nationalsozialistisch denkenden Studenten oder Universitatsangehorigen nicht genehm waren. Hier sollte spontanen Aktionen der "Basis" durch hoheitIiche MaBnahmen zuvorgekommen werden. Insofern ist das BBG einer der ersten wichtigen Schritte zur Umlenkung des MiBverstandnisses der Machtergreifung als Revolution in obrigkeitsstaatIiche Bahnen. Seiner beschrankten Aufgabe entsprechend war die GeItung des BBG zunachst auf den Zeitraum bis Ende September 1933 beschrankt. Nachdem man aber dann doch darangegangen war, aile Faile aufzurollen, wurde seine Anwendung auf anhangige EntIassungsfalie in insgesamt sechs Anderungsgesetzen schliel3lich bis zum Inkrafttreten des neuen deutschen Beamtengesetzes (1. 7. 1937) ermoglicht. Dies schuf systematisch ein Klima groBer Unsicherheit an den an fangs von EntIassungen verschonten Instituten, das allerdings nicht in der anfanglichen Absicht des Gesetzes gelegen hatte. 43 42 Die Entlassung nach § 4 war im Hinblick auf Ruhegehaltsanspriiche nachteiliger als die nach § 3.

43 Vgl. etwa [Mommsen 1966], [Vezina 1982], [Dahms 1987 a, S. 26f].

Martin Kneser · Collected Works

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by Norbert Schappacher, in cooperation with M. Kneser

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Norbert Schappacher unter Mitwirkung von Martin Kneser

Martin Kneser · Collected Works

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