Cambridge International AS & A Level Further Mathematics Worked Solutions Manual with Cambridge Elevate Edition [Solution Manual ed.] 1108770185, 9781108770187
Written by an experienced author and teacher team, this print book with Cambridge Elevate edition provides fully-worked
641 93 113MB
English Pages 262 [389] Year 2020
Recommend Papers
![Cambridge International AS & A Level Mathematics Pure Mathematics 1 Worked Solutions Manual with Cambridge Elevate Edition [Solution Manual ed.]
1108613055, 9781108613057](https://ebin.pub/img/200x200/cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-pure-mathematics-1-worked-solutions-manual-with-cambridge-elevate-edition-solution-manualnbsped-1108613055-9781108613057.jpg)
![Cambridge International AS & A Level Mathematics Probability and Statistics 1 Worked Solutions Manual with Cambridge Elevate Edition [Solution Manual ed.]
1108613098, 9781108613095](https://ebin.pub/img/200x200/cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-probability-and-statistics-1-worked-solutions-manual-with-cambridge-elevate-edition-solution-manualnbsped-1108613098-9781108613095.jpg)
![Cambridge International AS & A Level Mathematics Mechanics Worked Solutions Manual with Cambridge Elevate Edition [Solution Manual ed.]
1108758924, 9781108758925](https://ebin.pub/img/200x200/cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-mechanics-worked-solutions-manual-with-cambridge-elevate-edition-solution-manualnbsped-1108758924-9781108758925.jpg)
![Collins Cambridge International AS & A Level Mathematics Pure Mathematics 1 Worked Solutions [First Edition]
9780008257736](https://ebin.pub/img/200x200/collins-cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-pure-mathematics-1-worked-solutions-first-edition-9780008257736.jpg)
![Collins Cambridge International AS & A Level Mathematics Mechanics Worked Solutions [First edition]
9780008257750](https://ebin.pub/img/200x200/collins-cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-mechanics-worked-solutions-first-edition-9780008257750.jpg)
![Collins Cambridge International AS & A Level Mathematics Pure Mathematics 2 and 3 Worked SOLUTIONS [First Edition]
9780008257743, 9780008482961](https://ebin.pub/img/200x200/collins-cambridge-international-as-amp-a-level-mathematics-pure-mathematics-2-and-3-worked-solutions-first-edition-9780008257743-9780008482961.jpg)
![Cambridge International AS & A Level Further Mathematics Worked Solutions Manual with Cambridge Elevate Edition [Solution Manual ed.]
1108770185, 9781108770187](https://ebin.pub/img/200x200/cambridge-international-as-amp-a-level-further-mathematics-worked-solutions-manual-with-cambridge-elevate-edition-solution-manualnbsped-1108770185-9781108770187.jpg)
- Author / Uploaded
- Lee McKelvey
- Martin Crozier
- Muriel James
File loading please wait...
Citation preview
Lee Mckelvey, Martin Crozier and Muriel James
Cambridge International AS & A Level
Further Mathematics Worked Solutions Manual
α β
αβ
α β
αβ α β
αβ
α β
αβ
α
β α
α β
αβ
β
α α α α α α α α
α
α α
α
α ⇒ α
α
α
⇒ α
α α
α ∴
α β
αβ α
β α β
α β
β β
β
β
β
β α β
αβ α β
α β β
β
β αβ β β
β
β
β
β
⇒ ⇒
α β αβ α β
αβ α
α
β
α β
αβ
α
αβ
β
α β
β
α β α
β
α
β α β
α β α
α
β
β α βαβ
α β αβ α
β
α β
α β
αβ
αβ
α β
αβ
⇒
⇒
α
β α β α β
α β
αβ
αβ
αβ
α β α
β α
α β
αβ
β α βαβ
α β
αβ
α
β α
α
α β
αβ
β β α β
α β γ
αβγ
α β γ
αβγ
α β γ
αβγ
α β γ
αβ αγ βγ
α
α
α
β
α β γ
αβ
α
γ
αβ αγ βγ α
αβ
α
β
α β γ
γ
αβ αβγ
αβ αγ βγ
α
αβγ
αβ α
α β γ
αβγ
β
γ
αβ αγ βγ α
αβ αβγ αβγ
αβ α
α α β γ
β
γ
αβ αβγ
αβ αγ βγ
α
α
αβ
α β γ
αβ αγ βγ
α
β
γ
α
β
β
αβγ αβ
αβγ α
α
γ
⇒
α α β γ
β
γ
αβ αγ βγ
αβγ
α α
αβ αβγ α
α
α
α
αβ
α
α α
β
α
γ
γ
α α β γ αβ αβ αγ βγ α
αβ
αβγ α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
α α β γ β α β γ γ α β γ γ γ α β
α β γ β α
α β γ β α γ γ α β α β γ β α γ γ α β
γ
α α β γ β α β γ γ α β
α β γ β α γ γ α β αβγ αβγ α
α
α
α
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
α β γ α
αβ αγ βγ β
γ
αβγ
αβ αβγ
α α β γ αβ αβ αγ βγ α
αβ αβγ
α
α
β
β
γ
γ
α β γ
αβ αβ αγ βγ α
αβ α
β
γ
αβ αβγ
α β γ δ
αβ αβ αβ αγ αδ βγ βδ γδ
α β γ δ
αβ
α β γ δ
αβ
α α β γ δ αβ α
α
αβ
α αβγ
αβγδ α
αβγ αβγδ αβγ αβγ αβδ αγδ βγδ
α α β γ δ α
β
γ
δ
αβγ αβγδ
αβ α
αβ
α
αβ
αβγδ α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
δ
δ
δ
α α β γ δ α
α
αβ αβ
⇒ α
α
αβγ αβγδ
αβγ
αβγδ
αβγδ α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
δ
δ
δ
α
α
α
α
αβ
αβγ
α α
αβγδ
αβ
αβγ αβγδ
αβγδ α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
δ
δ
δ
α
αβ α
αβγ
αβγδ
αβ
αβγδ α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
γ
δ
δ
δ
δ
α
β
⇒
αβγ αβγδ αβγδ ⇒
α α β γ δ αβγδ αβγδ α
α
αβ
αβ
⇒ α
αβ α
αβγ
αβγδ
αβ αβγδ
α
α
α
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
δ
δ
δ
δ
α
⇒
αβγ αβγδ
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
α
αβ
α
αβ
⇒
α α
β
γ
αα αβ αβγ
α
β
γ
αβγ
αβγ ββ
γγ
⇒
α ⇒
αβ
α
α
αβγ αβγδ
αβ
⇒
α
αβ
α ⇒
⇒
αβ
⇒
⇒
⇒
α α αβ
α
β
β
γ
α
α
β
γ
α
α
α
γ
γ
β
β
β
β
β
α
β
γ
α
γ
α β
α β γ δ
α
α
δ
γ α
β
β γ
α
α
α
β
α
γ
γ
α
β
β
γ β
γ
β
γ
γ
γ
γ
α
β
α
γ
α α
αβ
α
α
α
γ δ
α
α
γ
α
α
β
β
β
γ α
β β
β
α α
β β
γ γ
γ
αβ
δ α
γ
γ
αβ
αβγ αβγδ αβγ
α
β
αβγδ
δ
αβγδ βαγδ γαβδ δαβγ α αβγδ β αβγδ γ αβγδ δ αβγδ α
β
γ
δ αβγδ
αβγδ βαγδ γαβδ δαβγ
γ γ
α β γ
α α β γ
α β γ
α α
α α ⇒
αβγ βγ α
α ⇒α α α
αβγ
→ →
→ →
→ →
→
→
⇒
⇒
→
→
→ →
→ →
→ →
→ →
⩾
→ →
→ →
→ →
→ →
⇒
λ
λ
λ
λ
λ
⇒
→ →
⇒
⇒
⇒
α
β
γ
⇒ ⇒
⩽
⩾ ⩾
∈ℝ
⇒ ⇒
⇒
⇒
→ →
⩾ ⇒
⩾
⇒
⩽
⩽ ⩽
→ →
∈ℝ
⇒
⩾
⩾
⩾
⩾
⩾
→ →
→ →
→ →
→
→
⩾
⩾
⩾
→ → ⇒
→ → ⇒
→ →
→ → ⇒
→ →
⇒ ⩽
⇒
⋯ ⋯
⋯
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒
⇒
⋯
→
→
⇒
⇒ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ → ⋯
⋯
⋯
⇒
⇒
⋯
⇒ ⩾
⋮⋮⋮ → ⋮⋮⋮ → ⋮⋮⋮ → ⋮⋮⋮ → ⋮⋮⋮ → ⋮⋮⋮ → → → ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
↔ → → → → → → → ⋮
⋮ → → → → → → → → → → →
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⩾
→ ′ ′ ⇒
′
⇒
′
′
ʹ
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⋮
⋮
⋮
→ → → → → → → →
⋮
⇒
⋮
⇒
⋮
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
1
r = 2 – sinθ
–2
2
–3
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
r = 1 – 2 sinθ –1
1 –1 –2 –3
θ
θ
θ θ θ
θ θ
r = sec2θ
–1
1
θ θ≡ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
r = cos2θ
O
1
θ θ
(
r = secθ – π 4 √2
√2
θ θ
)
r = cos3θ
O
1
θ θ
r 2 = tanθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ≡ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ≡
θ
θ θ
θ
θ≡
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
π θ = 2 0.792a
0.957a
0.998a O
θ = 0
0.991a
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
r = 2sinθ (1 – cos2θ) 2.5 2 1.5 1 0.5
–1.5
–1
–0.5
O
0.5
1
θ
1.5
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
⋅ ⋅
α
α
α
α
α
β
α
α
β
αβ
α
α
β
→
→ →
→
→ →
→
→
→
→
→ →
β
→ →
→ →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→ →
→ ⋅
→ ⋅
→
⋅
→ →
→ ⋅
→ ⋅
→
→
→
→
→
→ → →
→ ⋅
→ ⋅
→
⋅
→
→ ⋅
→
→
→
→ →
→
→
→ → →
→ ⋅
→ ⋅
⋅
→
→
→
→
→ ⋅
→
→
→
→
→
→ →
→ ⋅ → ⋅
→ →
⋅
→
→⋅
→
→
→
→
→
→
→⋅ ⋅
→ → →
→
→ →⋅
→
→
→
→⋅
⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒
→
→
⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅ ⋅
θ
θ θ⇒ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
⋅
θ θ θ
⋅ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
→
→ →
→
⋅
⋅
⋅
⋅
→
→ →
⋅
→ ⋅
⋅
⋅
→
→ → ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→
⋅ ⋅
→
→ → ⋅
⋅
→
⋅
⋅
→ →⋅
⋅
⋅
⋅ θ
⋅ θ
⋅
θ
⋅ θ
⋅ θ
θ
θ
⋅ ⋅
⋅ ⋅ Π Π
Π
Π
θ
Π
Π
Π
⋅
⋅
⋅
⋅
→ →⋅
→
⋅
→ →
→ → →⋅
⋅
→
λ
λ
→
→
→⋅
→
→ ⇒
→⋅
λ
λ
λ
λ
⇒
⇒
λ
λ ⇒
λ
→
→
λ →
→
→
→
→
→ →
→
θ
→ → →
→
→ ⋅
→
→
→
→
⋅
⋅
⋅
⋅ Π
Π
Π ⋅
⋅
θ
⋅
θ Π
→
→ → ⋅ ⋅
→ ⋅
⋅ →
→
Π
→ ⋅
→ ⋅
→
→
→
→ →
→ →
→ ⋅
→
→
⋅
⋅ θ
⋅
θ
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾ → →
→
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒ ⩾
⇒
⇒ ⩾
α αβγ α
α
β
β
γ
α α
β
γ
γ
αβ ⇒
⇒
⇒
⇒
α β γ
α
αβ
→
α
⇒
→
⋮
⋮
⋮ →
⋮
⋮
→
⋮ →
⋮
⋮
⋮
y 1.5
1
0.5
O
0.5
1
x
1.5
θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ ⩽θ⩽
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
⋅
θ
⋅ θ ⋅
⋅
⇒ ⩾ α
β
γ α β γ
α β γ
α α
α β γ
α
β
β
γ βγ
β
β
β
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
αβ αβγ α
α
γβγ β
γ γ
⇒ ⇒
α βγ βγ
αβγ
αβγ
⇒ ⇒
→
→
→
→ ⇒ → ⇒ ⇒ ⇒
⇒
⩽
⇒ ⋮
⇒ ⋮
⇒
⋮ →
⋮
⇒
⋮
→ ⋮ ↔
⋮
⋮
⋮ →
⋮
⋮
→
⋮ →
⋮
⋮
⋮ →
⋮
⋮
⋮
→
⇒ ⇒
⇒ ⩾
⩾
y 5
y = –3x2 + 4.5x
O
–5
–5
⩾
5
x
y 0.5
O
2
3
x
y
0.05 O
5
17
⇒
⩽ ⩽
x
⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⇒
⇒
⇒ ⩽
⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽
⇒ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⇒
⇒
⩽ ⩽ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⇒
⩽ ⩽
⩽ ⇒
⇒ ⩽ ⩽ ⇒
⇒
⩽
⩽ ⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⇒ ⇒ ⩽
⇒ ⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⇒
⇒ ⇒
⩽
⩽
⇒
⇒ ⩽ ⩽
⇒ ⩽ ⩽
⇒ ⩽ ⇒
⇒ ⩽ ⩽ ⇒
⇒ ⇒
⩽ ⩽
⩽ ⇒
⇒
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⇒
⇒
⇒
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⇒
⩽ ⩽
⇒
⇒
⇒ ⇒
⩽ ⩽ ⩽ ⇒
⩽ ⩽
⇒
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⇒
⇒ ⇒ ⩽ ⩽
⇒
⇒ ⇒
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩾ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⩽ ⩽ ⩽
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⩽ ⩽
∀
∀
⇒
∀
∀
⇒
∀
∀
⇒
∀ ⇒
∀ ⇒
⇒ ∀ ⇒
∀ ⇒
∀ ⇒
∀ ⇒
⇒ ⇒ ∀ ⇒
⇒ ⇒
∀ ⇒
⇒ ⩽ ⩽
∀ ⇒
⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⇒ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽
⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽
⩽
⇒ ⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⇒
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒
⩽ ⩽
⇒
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽
⩾
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒
⩽ ⩽ ⩾ ⩾
⩽ ⩽ ⇒ ⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽
⩾
⩽
⇒
⩽ ⩽ ⇒ ⩽
⩽ ⩽
⇒
⩽
⩽ ⩽ ⇒
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⇒ ⇒ ⩽ ⩽ ⇒
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽
λ λ λ
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⇒
⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
∀
⇒
⇒
⇒
⇒ ∀ λ
⇒
λ
λ
λ
λ
λ
λ
→ λ
λ λ ⇒
λ
⇒ λ ⇒λ λ λ λ ⇒
λ
⇒ λ ⇒
λ λ
λ
→
λ
λ
λ
λ
λ
α
α
α
α
σ
σ
σ
ē
ē
α
α
α α
α α
α α
α α
α α
α
α α
α
⇒α
⇒α
α
⇒α
⇒α
α
⇒α
⇒α
⇒α
⇒α
α
α
α
⇒α
⇒α
α
⇒α
⇒α
α
⇒α
⇒α
α
⇒α
⇒α
α α
α
α
⇒ ⇒
α
α
α
α
α
α
⩽ α
α⩽
χ χ χ χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ χ
χ ν χ
χ χ
χ ν χ
χ
χ
ν χ
χ
χ
χ
⩾
χ ν
⇒
χ
χ
ν χ
χ
χ ν χ λ
χ
χ λ ν χ
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
⇒
⇒
⩽
⩽
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
χ
χ
χ
χ
χ
χ ν χ
ν χ ν χ ν χ
⩾
⩽
⩽
⩽
⩽
⩽
⩾
⩾
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽⩽
⩽ ⩽
χ
χ ν χ
⩽ ⩽
σ
σ
⩽ ⩽
⩽
⩽
⩽
⩽
⩽
⩽ ⩾
χ
χ ν χ
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩾
χ
χ
ν χ
⇒
⇒
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩾
χ
χ ν χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χ ν ν ν
χ
χ
χ
ν χ
χ χ
χ ν
χ
χ
χ
ν χ
χ
χ
ν χ
λ
λ
⩾
χ
χ
ν χ
χ
χ
ν χ
⇒
⇒
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
χ
χ ν χ
⩽ ⇒
⩽ ⩽
⩽ ⇒
⩽ ⩽
⇒
⩽ ⩽
⩽ ⇒
⩽ ⩽
⩾ ⇒
⇒ ⩾
⩾ ⩾
⇒
⩾ ⩾
⇒
⩾ ⩾
⇒
⩾ ⩾
⩾ ⇒ ⩾
⩽
⇒
⩽
⩽
⩽ ⇒
⩽
⇒
⩽
⩾ ⇒
⩾
σ σ
σ σ
σ σ
⩽ ⇒
⩽
⩾ ⇒
⩾
⩾ ⇒
⩾
⩽ ⇒
⩽
⩽ ⩽ ⩽ ⩽
⩽
σ σ
σ
σ
σ
σ
⩽ ⇒
⩽
⩽ ⇒
⩽
⩽ ⇒
⩽
σ
⩾ ⇒
⩾
⩽ ⇒
⩾
⩾ ⇒
⩽
⩾ ⇒
⩾
σ
σ
⇒
⇒
⇒
⇒
σ
⇒
⩽
⇒
⩽
⇒
⇒
σ
⩽
⩽
⇒
⇒
σ
⩾ ⇒
⩾
λ λ
λ λ
λ λ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
′
′ ‴
″
⇒ ″ ″
⇒ ‴ ⩾
⇒
⇒
″
⇒
′ ′ ″ ″
′ ″
′
′
″
′
′
′ ′ ″ ″
′
′
″ ′
′
″
′ ′ ″ ″
′
′
″
′
′
′
″ ′
′
′
″
′ ′ ″ ″ ′
″
′
′
′
″ ′
′
′
″
′ ′ ″ ″
′ ″
′
′
′
″ ′
′ ′ ″
″
′
′
″
′ ″
′
′
′
″ ′
′
′
″
′
′
′
⇒
′
′
′
′
″ ″
′
⇒
⇒
′ ′′
′
⇒
″
′
′ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
′ ′
⇒ ⇒
′
′
′
⇒
′
⇒
″
⇒
′
⇒
″
′ ′ ⇒
″ ⇒
″
″
′
′
″ ″
⇒
″
′ ′
⇒
′
⇒
′ ″ ′
⇒ ′
⇒
′
″ ″
⇒
″
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
′ ′ ′
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⩽
′ ′
⇒
′ ′
″
′
⇒
′
′
′
″ ″
⇒
″
″
′
′
⇒
⇒
⇒′ ⇒′
⇒
⇒
′
′ ′
⇒
″
′ ″
″
″
′
⇒
′
⇒
⇒
⇒
′ ′ ′
″
′
′
′ ″ ″
⇒
⇒
⇒
λ
λ
λ λ λ λ
λ ⇒
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
⩽ ⩾ α⩽
σ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ′ ′ ′ ″
′
′
′ ″ ″
⇒
″
′
′
⇒
′
′
⇒
⇒
′
″
′
′
′
″
′
⇒
″
⇒
″
χ
χ ν
χ
′
′
″
″
⇒
⇒
⇒
⇒
⩽ ⩽ ⩽
⩽
⩽ ⩽
⩽ ⩽ ⇒ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽ ⩽
∀ ⇒ ∀
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
χ
χ ν χ
⇒
⩾
⇒
⩾
θ
θ ⇒
θ ⇒
⇒ θ
θ ⇒
⇒
θ
θ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒θ
⇒
⇒
θ ⇒
θ
⇒
⇒
θ
θ
⇒
⇒θ
⇒
⇒
⇒
v
4m
⇒
⇒
h
10 m s–1 30°
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
15° 5 m s–1 30 m
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
θ
θ
⇒
⇒
θ
θ
⇒
⇒
θ
θ⇒
⇒
⇒
θ
θ⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
θ
⇒
⇒
θ
⇒θ
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
20° 14 m s–1 45° 35 m
vx v
vy
⇒
⇒
⇒
⇒
β β ⇒
β
β
⇒ β
β
β
θ ⇒
θ
β
β
β
β
θ⇒ θ
θ ⇒
θ
θ⇒ θ
θ
θ
θ
θ
⇒θ θ
⇒
⇒θ
α
α
α
α
α α
α
β
β
β
θ θ
⇒
β
β≡
β ⇒ β
α≡
α ⇒
α
α α
θ⇒
θ
θ ⇒
θ
θ
θ ⇒
θ
θ⇒
θ ⇒
θ
⇒
θ
θ θ
θ
⇒
θ
θ
⇒
O
17.8 m
38.4 m
θ ⇒
⇒
θ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒
α
θ
θ
⇒ ⇒ ⇒
⇒
θ θ
⇒
θ
θ
θ
θ
θ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
α ⇒
α
⇒α
1.2 m A
0.35 m
1.55 m B
C
4 g N
8 g N
mg
⇒ ⇒
0.5 m A
0.2 m
0.7 m B
C
3 g N
6 g N
mg
⇒ ⇒
0.3 m
0.25 m C 4g N
kg
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
0.15 m A
0.05 m
0.2 m
C
8 g N
B 5 g N
mg
⇒ ⇒
1.2m
A Mg
1.3m C
2.5m B
12g N
mg
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
5a
3a 4a
3a
ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒ ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
1.5
12
4.5 12
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
ρ
ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ ⇒ ⇒
=
–
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
G
4r π 4
B
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
α α
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
ρ
⇒ ⇒
1m A
G
1m
ρ ρ
ρ
ρ
αα αα
ρ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
α
α α
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
a – b
h
b h
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ⇒ ⇒ ⇒
ρ
ρ ρ
⇒ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
r 4r
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
6r
2r r
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒ y 2r
O
2r x
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ 4r
r
C1
C2
1.5 r
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
10 r
r r
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒ ρ
ρ ⇒
⇒ ⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
α ⇒α ⇒α
7r a 2r a
α ⇒α ⇒α
A
S 30° 2a
2a 2 mg
R
F B
⇒ ⇒
⩽ ⩽ ⩾
2a
C
a
B
Vertical
5a
α ⇒α ⇒α B a 4a
2a 4a
A
C
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
ρ ⇒ ⇒
α ⇒α ⇒α B
S 30°
a
a – x mg 8mg F
x R A
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
θ θ θ 4r
6r
r
2r
r =
– r – 3
ρ ρ
ρ
ρ
⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
α ⇒α
α ⇒
α
⇒α
R
A x
mgcos45 mgsin45 F
P 45°
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
α
α
α
α
α
⇒ ⇒
α ⇒
α ⇒ ⇒
X
β
Y
β β ⇒β
⇒ ⇒
⇒
⇒
⩽ ⩽ ⇒ ⩾
α
⇒
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ P C d
R mg
F
⇒ ⇒ ⇒
ω ω ⇒ω
ω
⇒
ω
⇒ ⇒
ω
⇒
ω
⇒ω
ω
⇒ ⇒ω
ω ω ω
ω ω ⇒ ⩾ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
τ
ω
ω
ω
τ ω
⇒ ⇒ ⇒
τ τ τ
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⩽ ⩽
⩽ ⩽
⇒
⇒ ⇒
⇒
ω ω
⇒ω
⇒
ω ω
⇒ω
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ θ θ θ
⇒
θ
θ ⇒
ω
⇒
ω
⇒ω
ω
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
θ
θ
θ θ ⇒
θ
⇒θ
θ
θ ⇒
θ
⇒
θ
θ ⇒
θ
⇒
θ θ θ
⇒ ⇒θ
θ
θ
θ ⇒
θ θ θ
⇒
θ
θ
θ ⇒
θ
θ
⇒θ
θ
θ ⇒
θ θ
⇒ ⇒
θ
θ θ
θ
θ θ θ⩽ ⇒ ⩽
θ
θ ⇒
θ θ
⇒
θ
⇒
θ θ θ
θ
θ ⇒
α
α
α
α ⇒ ⇒
α
θ
θ ⇒
θ θ
⇒
θ
θ θ
⇒
θ
θ
⇒θ
⩾
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
θ
θ ⇒
θ θ
⇒
θ
θ
⇒
θ
θ ⇒ ⇒ θ ⇒
θ
θ
ω
θ θ
θ
⇒ ⇒
ω
θ ω θ θ
⇒
θ
⇒
θ θ
⇒
θ≡
θ ⇒
θ θ
⇒ ⇒ θ ⇒
ω
⇒ω ⇒ω
ω
ω
⇒
⇒
α α ⇒
α α α
⇒
α
⇒
α
α
α
⇒ ⇒
α
α
ω
α ⇒
ω
⇒ω ⇒ω
θ θ ⇒
θ θ
⇒
θ
θ
θ θ ⇒
θ
⇒θ θ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
λ λ λ λ
λ
λ ⇒ ⇒λ
λ
λ λ
λ ⇒ ⇒ ⇒
λ λ ⇒
λ λ
⇒λ
λ λ
⇒
λ λ
⇒λ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
λ λ
⇒ λ
λ
⇒
λ
⇒
λ
⇒ ⇒ ⇒λ
λ
λ
λ
⇒λ
λ ⇒
λ
⇒λ
⇒
λ
⇒
λ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
λ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
λ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
λ
λ ⇒
⇒
λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ ⇒λ
λ
⇒ ⇒
λ λ
⇒λ
λ
⇒ ⇒
⇒ ⇒
λ ⇒ ⇒
λ ⇒ ⇒ λ ⇒
⇒ ⇒ λ ⇒ ⇒
⇒
⇒
λ
⇒ ⇒
λ ⇒
λ ⇒
⇒ λ
⇒
λ ⇒
⇒
⇒
⇒
λ ⇒ ⇒
λ ⇒
⇒
⇒
λ ⇒ ⇒
λ
⇒
⇒
⇒ ⇒
λ
⇒
⇒ ⇒
λ ⇒ ⇒
λ
⇒
⇒
λ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒
λ
ω θ
⇒
θ
θ
θ ⇒ λ ⇒ ⇒ λ
θ θ ⇒ ⇒
λ ⇒
⇒
⇒ α α ⇒ ⇒
λ
⇒ ⇒λ
λ λ
⇒
⇒ ⇒
α α ⇒
⇒
λ
⇒λ
⇒
⇒
λ
λ
⇒
λ λ
⇒λ
λ λ
λ
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ →
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ → →
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⩽ ⇒
⩽
⩽
⩽
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ → →
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⩽ ⩽
⇒ ⇒
⇒
⇒
θ ⇒
θ
⇒θ
⇒
⇒ ⇒
⩽ ⩽ ⩽
⩽
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
θ θ θ
θ θ
θ θ ⇒ ⇒
θ
θ
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
α ⇒
α
α
⇒
α ⇒ ⇒
α
⇒ ⩽ α
⇒
⇒ ⇒ ⇒
α
α α
⩽ ⇒α⩾
α
α α⩽
α
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 0
vB
vC
A
B
C
⩾ ⩾ ⩾ ⇒ ⇒ ⩽
⩾
λ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∴
ρ
ρ
ρ ρ ρ α
α α
ρ ρ
ρ ρ
ρ ⇒ ρ
⇒
⇒ ⇒
⇒ θ
⇒
θ
⇒ ⇒
θ
⇒θ
⇒
⇒
⇒
⇒ →
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
→
θ θ⇒
θ⇒
θ
θ θ
θ
θ ⇒
θ
θ
θ ⇒
θ
⇒
θ
⇒
⇒
⇒
⇒
θ
θ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ θ
⇒
⇒θ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
≡
≡
≡
≡ ≡
≡
≡
≡
≡
≡
⩽
⩾
≡
≡
≡
≡
⩾
⩾
⩾
⩾
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ ∴ ∴ λ
λ ∴ ∴ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ
λ
λ λ λ
∴
λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
∴
λ λ λ
λ
λ
∴
λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
∴
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
∴
λ λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ λ
∴
λ
λ λ
λ λ λ λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ λ λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
∴
λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
⩽ ⩽ ⩽ ⩾
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
∴
λ λ
λ
∴
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
∴
λ
λ
∴
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
⋮
⋮
⋮
→
→
⋮
⋮
⋮
⋮
→
→
→
⋮
⋮
⋮
⋮
α⋮
→
→
⋮
⋮β
α ⋮
α
→ ⋮
→
β
α α
β
α
β α
β α
α
β α
βϵℝ ⋮
→
⋮
→ ⋮
→ ⋮
⋮ →
→
→
→
→
⋮
⋮ →
⋮
→ ⋮
→ →
⋮
→ ⋮
⋮
→
⋮
→
⋮
⋮
→
→
⋮
→ ⋮
⋮
→
⋮ →
⋮
→
→
⋮ →
→
⋮
→
→
⋮
⋮
→
→
→
→
→ ⋮
⋮
⋮
⋮ →
⋮
→
⋮ →
→
→
→ ⋮
⋮
⋮
⋮ →
⋮
→
→
→
→ ⋮
⋮
⋮ ⋮
→
→
→
⋮ →
⋮
→
⋮
⋮
→ ⋮
⋮ →
⋮ →
→
⋮
→ ⋮
→
→
⋮ →
⋮
⋮
→
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ ∴λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
α β
⋮
⋮
→
⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
⋮ ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮ ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
→
→
γ
→
⋮
→
→
β
γ
⋮
→
λ
λ
λ α
⋮
↔ ⋮
⋮ →
⋮ ⋮
⋮
⋮ →
⋮ ⋮
→
⋮ ⋮ ⋮
⋮
⋮ ⋮
⋮
α β α α α β αα α α α
α
α α
α
α α
α α
α α α α α
α α α
α α α α α
α
α
α
α α α αα α α
α α α
α
α α
α α α αα
α α
α α α α αα α α
′ ″ ‴
′ ″
‴
′
″
‴
⋯
′
′
′ ″ ″ ‴
‴
′
″
‴
′
⋯
⋯
′
″
″
‴
‴
′
″
‴ ⋯
′
′
″
″
″
‴
‴
‴
′
″
‴
′
″
‴
′ ′ ″ ‴
″ ‴
‴
′
′
″
″
‴
‴ ′
″
‴
⩽
⩽
′ ′ ″
″
‴
‴
′
″
′
‴
″ ′
‴ ″
‴
⋯ ⋯ ′
″
‴
⋯
′
″
′
‴
″ ‴
⋯
⋯
′
″
‴
′ ″ ‴
′ ″ ‴
⋯
⋯
⋯
′ ′ ″ ″ ‴ ‴
′
″
‴
′ ′ ″
″ ‴
′
″
‴
‴
′ ′
″ ″ ‴
‴ ′
″
‴
′
θ
′
∴
⩾
⩾
⩾
⩾
⩾
′
′
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ θ
′ θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
′
θ
⩾
⩾ ′ →
→
⩽
⩽
→ → ⩾
′
→
→
⩽
⩾
→ →
→
→
→ → →
⩾
⩾
⇒
⇒
⇒
⩾
θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ωω ω ω
ω
ω ω ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
θ
θ
θ
θ
θ
θ
∈ℚ θ∈ℝ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
ω ω
θ θ ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
⇒ ⇒ ⇒
θ ⋯
θ
θ
θ
θ ⋯
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ ⋯
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
⋯
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ≡ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
ω
ω
ω
ω ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
θ θ
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∴
∴
∴
∴
∴
′ ′
′
∴
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
α
α α
θ
α
α
α
α
θ
λθ
θ
λ λθ
θ λ
λθ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λθ
λθ λ λθ
λ
λ
λ λ θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
λθ
θ →
θ→
θ θ
θ→
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α
α α
β β
α
α
β
β
γ
γ
α
β
α
β
α
α α
λ
β
β
γ
γ
γ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ α
β α
α
λ
λ λ
α
β
β α
α β
α
β
α
β
β α
β
α
β
β
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
α
α
α α
α
α
α
γ
γ
λ
λ λ
λ λ
γ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α α α
β
α
α
β
α
γ
β
→
γ
→
→
→
→ →
→
→
λ λ
λ
λ λ λ
λ
γ
α
β
→
β
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
α
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α
β
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
α
β
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α
α
α
α α
α
α
α
α
α
α α
α α
α
α
α
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
α
α
α
λ
α
α
α α
α
α
α
α
α
α
α
α α
α
α
α
α
α α
α α
α α α
α
α α
α
α α
α
α
α
λ λ
λ
λ
β
α α α
γ
α
β α
α
β
γ
α β
β β
β α
β β
γ α
β
γ γ
β
α
θ
θ
θ
α
λ λ
λ
α
α α
α
α
λ λ
α
θ
λ
λ
α
λθ λ
λθ
λ λθ
λ
α
θ αθ
αθ α
θ αθ
θ
θ
βθ
θ
λ
θ
θ β β θ
θ θ
θ βθ
βθ
βθ
θ
θ
θ θ
θ
α
α
θ
αθ
θ θ
θ
θ
θ
β
θ αθ
θ
θ
βθ
β
θ
βθ
θ
θ
θ
β θ
θ
∴
λ λ
λ
λθ
λ
λ αθ
θ α
λ λθ
λθ
λθ λ
θ
λ λ
λ
λ λ λ
λ α α
α α
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
α
λ
λ
λ α
α
λ
β
α
β α
β
γ β
γ α
γ
α α
β
α
β
α β
γ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α
α α
α
α
α
α
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ α
α α α
α α
β β
β
α
β
α
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ α
β
α α α
β
α β
α
α
β
λ
≡
λ λ
λ
⇒
λ
≡
λ
λ
λ
λ
λ
λ
α
α α α α
α
α
α α
α α
α α
α
α
α α
α
α
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ α
α α α
λ
β
β β
β
α
β
α
β α
β
α
β
α
β
α
β
α β
β α
λ
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
⩾
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
λ
θ
λ
λ
θ
θ
λ
λ
θ
θ
θ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
θ
θ
θ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
⇒ ⩾
α
β
Σα
⋮
Σαβ
⋮
αγ
ΣαβΣαβγ
⇒
α
γ
β γ α γ α β αβ α β α β γ αβ αγ βγ α β γ α β γ
⋮ →
⋮
⇒
α β γ βγ β γ α β γ α β γ
βγ
γ
⇒
⋮
→ ⋮ →
⋮
⋮
⋮ →
⋮
⋮
→
⋮ ⇒
⇒
⇒
θ
θ
⇒
θ
θ
⇒
θ
⇒
α
β γ αβ αγ
θ θ ⇒
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ y 0.28 0.24 0.2 0.16 0.12 0.08 0.04
–0.12 –0.08 –0.04
O
0.04
0.08
θ
0.12
0.16
0.2
0.24
0.28 x
θ θ θ≡
θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ
θ
⇒
θ
θ ⇒ θ θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ θ ⇒
Π ⋅ ⋅
⋅ ⋅
θ
⋅
⋅
θ
θ
→
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⩾
⇒
⩾
⇒
′ ″
′
′
″ ⇒
″
⇒
⇒ ′ ′
⇒ ″
′ ′
′
″ ⇒
″
⇒
′
⇒
′
ν χ
∀ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ ⩽ ⇒
⇒
⩽ ⇒
⇒
⩽ ⩽ ⇒
⩽
⇒
⩽
⩽
⩽ ⇒
⩽ ⇒ ⇒
⇒
⩽ ⇒ ⇒ ⩽
⇒
⇒
⇒ ⩽
⩽
θ ⇒
θ
⇒
⇒
⇒
θ ⇒
θ
⇒θ
ρ ρ
ρ
⇒
θ ⇒θ ⇒ ⇒ ⇒
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒
q
1.5a R v
mg
u
θ
⇒
θ
θ
θ⇒ ⩾
θ ⇒
θ
θ
θ ⩾
⇒
⩾
⇒ ⩾
θ
⇒ θ
O 1.5 m
e
T
x
2g N
λ ⇒ ⇒
⇒
ω
⇒ω
⇒
⇒
3u
ω
⇒ vP
0
vQ
P
Q
P
Q
2m
5m
2m
5m
before
⇒
after
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⋮ →
⋮
→ →
⋮
⋮ ∈ℝ
⩾
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ α β
α
α
α β
α
β α β α β
α
α
α α
α
α
β α β
α β α β α
α β α β α
β α
β α α
β
λ
α β
β
α α
α α
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ θ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ λ λ λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ ∴
λ λ
λ
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ