Übungen und Klausuren in Mathematik für Ökonomen [Reprint 2017 ed.] 9783486804584, 9783486254631

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Managementwissen für Studium und Praxis Herausgegeben von

Professor Dr. Dietmar Dorn und Professor Dr. Rainer Fischbach Bisher erscl Behrens, Makroökonomie - Wirtschaftspolitik Behrens • Kirspel, Grundlagen der Volkswirtschaftslehre Behrens, Makroökonomie - Wirtschaftspolitik Bichler • Dörr, Personalwirtschaft Einführung mit Beispielen aus SAP® R/3® HR® Blum, Grundzüge anwendungsorientierter Organisationslehre Bontrup, Volkswirtschaftslehre Bontrup, Lohn und Gewinn Bradtke, Mathematische Grundlagen für Ökonomen Bradtke, Übungen und Klausuren in Mathematik für Ökonomen Bradtke, Statistische Grundlagen für Ökonomen Busse, Betriebliche Finanzwirtschaft, 5. Auflage Clausius, Betriebswirtschaftslehre I Clausius, Betriebswirtschaftslehre II Dorn • Fischbach, Volkswirtschaftslehre II, 3. Auflage Ellinghaus, Werbewirkung und Markterfolg Fank, Informationsmanagement Fank • Schildhauer • Klotz, Informationsmanagement: Umfeld - Fallbeispiele Fiedler, Einführung in das Controlling Fischbach, Volkswirtschaftslehre I, 11. Auflage Frodl, Dienstleistungslogistik Haas, Kosten, Investition, Finanzierung Planung und Kontrolle, 3. Auflage Haas, Marketing mit EXCEL, 2. Auflage Hardt, Kostenmanagement Heine • Herr, Volkswirtschaftslehre Hofmann, Globale Informationswirtschaft Hoppen, Vertriebsmanagement Koch, Marketing Koch, Marktforschung, 2. Auflage Koch, Gesundheitsökonomie: Kosten- und Leistungsrechnung Krech, Grundriß der strategischen Unternehmensplanung Kreis, Betriebswirtschaftslehre, Band I, 5. Auflage

nene Werke: Kreis, Betriebswirtschaftslehre, Band II, 5. Auflage Kreis, Betriebswirtschaftslehre, Band III, 5. Auflage Lebefromm, Controlling - Einführung mit Beispielen aus SAP® R/3®, 2. Auflage Lebefromm, Produktionsmanagement Einführung mit Beispielen aus SAP® R/3®, 4. Auflage Martens, Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows Mensch, Kosten-Controlling Olivier, Windows-C - Betriebswirtschaftliche Programmierung für Windows Peto, Einführung in das volkswirtschaftliche Rechnungswesen, 5. Auflage Piontek, Controlling Piontek, Beschaflüngscontrolling, 2. Auflage Piontek, Global Sourcing Posluschny, Kostenrechnung für die Gastronomie Posluschny • von Schorlemer, Erfolgreiche Existenzgründungen in der Praxis Reiter • Matthäus, Marktforschung und Datenanalyse mit EXCEL, 2. Auflage Reiter • Matthäus, Marketing-Management mit EXCEL Rudolph, Tourismus-Betriebswirtschaftslehre Rüth, Kostenrechnung, Band I Sauerbier, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Schaal, Geldtheorie und Geldpolitik, 4. Auflage Scharnbacher • Kiefer, Kundenzufriedenheit, 2. Auflage Schuchmann • Sanns, Datenmanagement mit MS ACCESS Schuster, Kommunale Kosten- und Leistungsrechnung Stahl, Internationaler Einsatz von Führungskräften Steger, Kosten- und Leistungsrechnung, 2. Auflage Stock, Informationswirtschaft Weindl • Woyke, Europäische Union, 4. Auflage Zwerenz, Statistik

Übungen und Klausuren in Mathematik für •• Ökonomen von Professor

Dr. Thomas Bradtke

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bradtke, Thomas: Übungen und Klausuren in Mathematik für Ökonomen / von Thomas Bradtke. - München ; Wien : Oldenbourg, 2000 (Managementwissen für Studium und Praxis) ISBN 3-486-25463-4

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere filr Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: WB-Druck, Rieden ISBN 3-486-25463-4

Inhaltsverzeichnis 0

Statt eines Vorworts

1

Übungsaufgaben 0. Erinnerung an die Schulmathematik 1. Aussagenlogik 2. Mengen und Zahlen 3. Relationen 4. Beweistechniken 5. Funktionen einer Veränderlichen 6. Folgen und Reihen 7. Stetigkeit 8. Differentialrechnung 9. Integralrechnung 10. Matrizen 11. Funktionen von zwei bzw. mehreren Veränderlichen

4 5 8 11 13 15 19 22 25 28 31 34

2

Klausuraufgaben 1. Klausur 1 2. Klausur 2 3. Klausur 3 4. Klausur 4 5. Klausur 5 6. Klausur 6 7. Klausur 7 8. Klausur 8 9. Klausur 9 10. Klausur 10 11. Klausur 11

38 40 42 45 48 50 53 56 59 62 65

12.

68

Klausur 12

1

3

Lösungen zu den Übungsaufgaben

71

4

Lösungen zu den Klausuraufgaben

179

Anhang Zeichenerklärung Die griechischen Buchstaben Literatur

272 273 274

Statt eines Vorworts Von dem Mathematiker Andrew Wiley, der nach über sieben Jahren den Satz von Fermat bewiesen hat, stammt der folgende Ausspruch: "Mathematik ist wie der Gang durch ein dunkles Haus. Man betritt das erste Zimmer, und es ist dunkel, vollkommen dunkel. Erst stolpert man umher und stößt überall an, dann lernt man nach und nach, wo sich die Möbel befinden. Und schließlich, so etwa nach sechs Monaten, entdeckt man den Lichtschalter. Plötzlich ist alles hell, und man kann genau sehen, wo man ist. Dann geht man in das nächste Zimmer ..."

Besonderen Dank für zahlreiche Hinweise bei der Erstellung der Lösungen geht an Herrn Gunnar Reckmann, der als Tutor die Mathematik-Übungen begleitete, sowie an Frau Diplom-Mathematikerin Claudia Messerschmidt, die aufmerksam und kritisch das gesamte Skript auf Fehler untersuchte.

1

Kapitel 1

Übungsaufgaben

0 Erinnerung an die Schulmathematik Übungsaufgabe Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: 1.)

? 9 -x - —x - 2 = 0

2.)

4x 2 - 20x + 25 = 0

3.)

x2-2x- (—I A

B)

3.)

(A

A

B) v (-i A v —iB)

4.)

(A

A

B) «

A

B

(A v -iB)

Übungsaufgabe 1.3 Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? a)

Studieren ist mehr als nur die Vermittlung von Wissen.

b)

Das Berufsbild eines Betriebswirts unterliegt einer permanenten Wandlung.

c)

Warum gibt es so viele arbeitslose Betriebswirte?

d)

Jeder Betriebswirt hat Schwierigkeiten im Bereich des logischen Denkens.

e)

Wie groß ist der Anteil der Studienabbrecher im Bereich Wirtschaft?

f)

Wieviele Betriebswirte gibt es in Deutschland?

g)

Der Fachbereich Wirtschaft ist einer von 14 Fachbereichen an der Fachhochschule Hamburg.

5

Übungsaufgabe 1.4 Verneinen Sie die folgenden Aussagen und untersuchen Sie, ob die so neu gewonnenen Aussagen Tautologien sind: a)

Die Sonne scheint, aber es ist kalt.

b)

Wenn das Unternehmen weiter automatisiert, werden Arbeitskräfte abgebaut.

weitere

Übungsaufgabe 1.5 Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? a)

Für die Veranstaltung Mathematik wird eine durchschnittliche Nachbereitungszeit von vier Stunden veranschlagt.

b)

Reine körperliche Scheinerwerb.

c)

Warum sind bei der letzten Veranstaltung mehr als fünfzig Prozent der Klausurteilnehmer durchgefallen?

d)

Jeder Absolvent des Fachbereichs Wirtschaft hat eine Tätigkeit gefunden.

e)

Warum beendet nicht jeder Studierende sein Studium erfolgreich?

f)

Warum gibt es so viele Betriebswirte in Deutschland?

g)

Der Fachbereich Wirtschaft hat seinen Standort an der Elbe.

Anwesenheit ist nicht ausreichend

für den

Übungsaufgabe 1.6 Seien A und B Aussagen. Ist die folgende Aussage eine Tautologie? [(A v B) =) B]

O

[B => (A

A

B)]

Übungsaufgabe 1.7 Seien A und B Aussagen. Handelt es sich bei den folgenden Aussagen um Tautologien? 1.)

- , (A

B) v B

2.)

- , (-i A v - i B )

A

6

3.)

(A v B) v

4.)

(A v B)

( - 1 A A -I

(A

A

B)

-iB)

Übungsaufgabe 1.8 Verneinen Sie die folgenden Aussagen und untersuchen Sie, ob die so neu gewonnenen Aussagen Tautologien sind: a)

Entweder gibt es neue Software oder die Hardware wird aufgerüstet.

b)

Genau dann, wenn der Service sich verschlechtert, wird das Personal neu geschult.

Übungsaufgabe 1.9 Diskutieren Sie, ob die folgenden Aussagen äquivalent sind: a)

x= 9 «

b)

x2>0 «

c)

x = 0 x = 3 oder x = -3

7

2 Mengen und Zahlen Übungsaufgabe 2.1 a)

Bestimmen Sie die folgenden Mengen explizit: X = {x I x e R

x 2 + x - 20 = 0},

A

Y = {y I y e R A y 2 - 8 y + 16 = 0}. b)

Bestimmen Sie für die obigen Mengen: XuV,XnY,X\Y,Y\X,Xx

YundYxX.

Übungsaufgabe 2.2 Gegeben sind die Mengen: X = {x I x e R A v / 1 6 - x = 3), Y = {y I y € R

A

y 2 + y = 56}.

Ist die Menge X echt in der Menge Y enthalten? Übungsaufgabe 2.3 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung: Ixl - 2 > 3 . Übungsaufgabe 2.4 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung: Ixl < l x - 1 1 .

8

Übungsaufgabe 2.5 a)

b)

Bestimmen Sie die folgenden Mengen explizit: X = {x I x s R

A

x 2 + x - 42 = 0},

Y = {y I y e R

A

4y2 - 32y + 64 = 0|.

Bestimmen Sie für die obigen Mengen: X u Y , X n Y , X\Y, Y\X, X x Y und Y x X.

Übungsaufgabe 2.6 Gegeben sind die Mengen: X = (x I x 6 R A v/25-x = 4}, Y = { y I y E R A y2-18y = -81}. Ist die Menge X echt in der Menge Y enthalten? Übungsaufgabe 2.7 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung: IxI - 4 > 5 . Übungsaufgabe 2.8 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung: Ixl < l x - 3 1 . Übungsaufgabe Z9 Gegeben seien drei Mengen mit A = {a,b}, B = {1, 2,3,4) und C = {A / b / 2}.

9

Geben Sie die folgenden Mengen in expliziter Form ein: A u B, !F(A), A u C , A n B , i^B), A x B, B x A, wobei !P(A) bzw. i(B) die Potenzmenge von A bzw. von B bezeichnet.

10

3 Relationen Übungsaufgabe 3.1 Sei A die Menge der Mitarbeiter eines Unternehmens. Es stehen lediglich und ausschließlich Doppelzimmer als Büros in einem Neubau zur Verfügung. Alle Mitarbeiter werden gefragt, mit wem sie ein Zimmer teilen wollen (jeder Mitarbeiter hat nur eine Wahl). Ist die so beschriebene Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv bzw. vollständig? Übungsaufgabe 3.2 Überprüfen Sie folgende Relation auf R\{0} auf Reflexivität, Transitivität und Symmetrie: „ , x R y gdw.

x2 + y 2 x2 + y2 < . x y

Übungsaufgabe 3.3 Wir betrachten die Menge A = {10,11,12}. Sind die folgenden Relationen auf A reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv bzw. vollständig: a)

Ri = {(10,10), (11,11), (12,12), (11,12), (12,11)},

b)

R 2 = {(11,11), (12,12), (11,12), (12,11)},

c)

R 3 = {(10,10), (11,11)}?

Begründen Sie Ihre Antwort!

11

Übungsaufgabe 3.4 Sei A die Menge aller Angestellten eines Unternehmens. Betrachten Sie auf A die Relation " arbeitet zusammen mit ". Ist die so beschriebene Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv bzw. vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort! Übungsaufgabe 3.5 Überprüfen Sie folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen auf Reflexivität, Transitivität und Symmetrie: x R y gdw. x^ i y2. Übungsaufgabe 3.6 Wir betrachten die Menge A = {1,2,3}. Sind die folgenden Relationen auf A reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv bzw. vollständig: a)

Ri = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3)},

b)

R 2 = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,3)},

c)

R 3 = {(1,1), (3,3)}?

Begründen Sie Ihre Antwort! Übungsaufgabe 3.7 Sei A die Menge aller Angestellten eines Unternehmens. Betrachten Sie auf A die Relation " ist Vorgesetzter von ". Ist die so beschriebene Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv bzw. vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort!

12

4 Beweistechniken Übungsaufgabe 4.1 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 1 gilt: 2n > n Übungsaufgabe 4.2 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 0 gilt: n X 2 - i = 2-2"n i= 0 Übungsaufgabe 4.3 Zeigen oder widerlegen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 1 gilt: £

(2i

_1)2

=

i=l

8n3 2n + 6 6

Übungsaufgabe 4.4 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: " Sind x und y gerade natürliche Zahlen, so ist auch die Summe x + y eine gerade Zahl. " Übungsaufgabe 4.5 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 4 gilt: 2n " 1 > n + 1

13

Übungsaufgabe 4.6 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n

2

i=1

1 (2i-l).(2i

+

l)-2n

+

l

Übungsaufgabe 4.7 Zeigen oder widerlegen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt:

i= 1 Übungsaufgabe 4.8 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: " Sei p eine Primzahl, die echt größer als drei ist. Dann ist p2 - 1 durch die Zahl 24 teilbar" .

14

5 Funktionen einer Veränderlichen Übungsaufgabe 5.1 Es sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen f: D —> R den maximalen Definitionsbereich D und skizzieren Sie den Graphen von f: a)

f(x)

=

X2-6X + 6

b)

f(t)

=

32-16t

c)

f(s)

=

1 S

2

- S - 2

Übungsaufgabe 5.2 Entscheiden Sie, ob es sich bei den folgenden Vorschriften um Abbildungen bzw. Funktionen handelt: a)

f:

{A, B, C}

(B, C, D, E},

mit:

b)

f:

{A,B,C}

f(A) = B,

f(B) = C,

f(C) = D,

f(C) = E.

(B, C, D, E},

mit: f(A) = B, c)

f: mit:

f(B) = C,

D. {A, B, C} f(C) = (B,C,D,E), f(A) = B,

f(C) = D.

15

Übungsaufgabe 5.3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität und Injektivität: a)

f:

(0,1,2,3,4}

->

{4,5,6,7},

mit: f(0) = 4,

f(l)=5,

f(2) = 6,

f(3) = 7,

f(4) = 6. b)

f:

{0,1,2,3}

{4,5,6,7},

mit:

c)

f:

f(0) = 4,

f(l) = 5,

f(2) = 6,

f(3) = 7.

{0,1,2,3}

{5,6,7,8,9},

mit:

Übungsaufgabe 5.4

f(0) = 5,

f(l) = 6,

f(2) = 7,

f(3) = 8.

Betrachten Sie die Funktionen f: R -» R und g: R + —> R mit f(x) = x 2 + 4 und g(x)= sfx . Bilden Sie (f ° g) und (g ° f). Untersuchen Sie die so neu gebildeten Funktionen auf Surjektivität und Injektivität.

16

Übungsaufgabe 5.5 Ist die Zuordnung

f. R

R

mit I 5x \-2x +1

,x>0 ,x f(Ford) = 1,

{1,2,3,4}, f(VW) = 4.

Übungsaufgabe 5.7 Gegeben sind die Mengen A = {Toshiba, Acer, Apple}, B = {2.000,3.000,4.000}, C = {grau, grün, blau, rot}, sowie die Abbildungen

17

f: B

A

mit f(2.000) = Toshiba, f(3.000) = Acer, f(4.000) = Apple und g:A->C mit g(Toshiba) = grau, g(Acer) = grün, g(Apple) = rot. Sind die Abbildungen g bzw. f injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? Übungsaufgabe 5.8 Betrachten Sie die Funktionen f: R -» R und g: R + —> R mit f(x) = x3 + 1 und g(x) = ,/x +1 . Bilden Sie (f ° g) und (g ° f). Untersuchen Sie die so neu gebildeten Funktionen auf Surjektivität und Injektivität.

18

6 Folgen und Reihen Übungsaufgabe 6.1 Überprüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und geben Sie, falls vorhanden, den Grenzwert an: a)

a n = 2n - 1

b)

bn = 4 +

c)

cn =

,, )

d

,

d

H)n n

n+1 n2-l

n =

6n + 5n ö 2n + 2

Übungsaufgabe 6.2 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: n= lv b)

, 0

1

OO 2 2n n=1 1

1 2

+

1 4

+

1 8

+

'

+

1 ^k

19

+

'"

Übungsaufgabe 6.3 Untersuchen Sie die folgenden Reihen jeweils mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:

n=1 b)

°° 4 Z n=1 n

0

°° 9 n z ^ n=1 n

iticil.

n=1

n

Übungsaufgabe 6.4 Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

*itr-

n=1 Übungsaufgabe 6.5

Überprüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und geben Sie, falls vorhanden, den Grenzwert an: a) b)

a n = 3n - 5 n bn = 6 + H ) n2

C) Cn=J

?7

n -4

20

d)

_ 6n 2 + 5n ^ r r

dn =

Übungsaufgabe 6.6 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

-W n = 1v ' oo

b)

x

C>

£ 3n n= 1 ,

1 1 1 1> + 25 + 125

+

1 625

+

""

Übungsaufgabe 6.7 Untersuchen Sie die folgenden Reihen jeweils mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz: a)

°° 2n £ (n+1)! n=1

b)

7 E l n= 1

c)

5n 5 E n= l(n+D2

Übungsaufgabe 6.8 Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz: 4}n n= 1

21

7 Stetigkeit Übungsaufgabe 7.1 Bestimmen Sie lim x —>-2

o 7 xJ + 4x + x - 6 x +

2

Übungsaufgabe 7.2 Bestimmen Sie, falls vorhanden, die folgenden Grenzwerte: a)

X2-49

lim x -> 7 i-

x

7

x +

14

14

x

x->7

x

c)

"

lim L- 1 x->0 x

Übungsaufgabe 7.3 Betrachten Sie die Funktion f: R -> R mit

Ist diese Funktion stetig?

22

Übungsaufgabe 7.4 Betrachten Sie die Funktion f. R

R

mit 1 - -x + 1

,x>6 ,x-5

x 3 + 13x 2 + 47x + 35 = x +

5

Übungsaufgabe 7.6 Bestimmen Sie, falls vorhanden, die folgenden Grenzwerte: a)

lim x-.ll

M

1lun x-»7

b)

x2 -121 X

X+

49

2 1 ^x

^

3x x-»0 Übungsaufgabe 7.7 Betrachten Sie die Funktion f: R

"

R

mit

23

U

,x 5

8 Differentialrechnung Übungsaufgabe 8.1 Es sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Betrachten Sie die folgenden Funktionen f: D —> R: a)

f(x) = x 2 - 6x + 6

b)

f(t) = 32 - 16t

c)

f(s) =

s - s- 2

Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D, Nullstellen, Polstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Sattelpunkte. Übungsaufgabe 8.2 Untersuchen Sie, ob die Funktion f: R -> R mit

- |x + 1

,x>6

x-7

,x R: a)

f(x) = x2 + 3x + 2

b)

f(t) = 2 - 3t

0

f ( s ) ~

Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D, Nullstellen, Polstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Sattelpunkte. Übungsaufgabe 8.5 Untersuchen Sie, ob die Funktion f: R —> R mit

f(x) =

1 gX + 1

, x> 12

x-7

, x K mit f(x,y) = 2 x 2 + y 2 + 2xy + 3x + 2y unter der Nebenbedingung: y 2 = x + 1. Übungsaufgabe 11.5 Bilden Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnimg für die folgenden Funktionen: a)

f(x,y) = x 2 - y 2 + 4xy für x, y e R,

b)

f(x,y) = x 2 + y 2 + 4xy - x - y + 1 für x, y € R.

Übungsaufgabe 11.6 Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f: R 2 -> R mit f(x,y) = 4x 2 - y 2 Übungsaufgabe 11.7 Bestimmen Sie alle möglichen Extrema der Funktion f: R 2 -» R mit f(x,y) = x 2 + xy + 2y 2 unter der Nebenbedingung: 2x + y = 32.

35

Übungsaufgabe 11.8 Bestimmen Sie alle möglichen Extrema der Funktion f: R 2 -> R mit f(x,y) = x + y unter der Nebenbedingung: xy - 81 = 0.

36

Kapitel 2

Klausuraufgaben

Klausur 1 Klausuraufgabe 1.1 Überprüfen Sie die Reihe n ,3M £ i! i=1 mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz. Klausuraufgabe 1.2 Überprüfen Sie die Reihe

l

n 1 £ i i=1

mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz. Klausuraufgabe 1.3 Überprüfen Sie die Folge n4

+

2

n5-3n2

n -4

n

+1

auf Konvergenz bzw. Divergenz. Klausuraufgabe 1.4 Sei K ein Anfangskapital, r ein Zinsatz, A eine konstante Auszahlung am Ende jeder Anlageperiode n: d.h. für n = 1:

Ki

=K + K r - A = K(1 + r) - A

38

= Einzahlung + Zinsen - Auszahlung n = 2:

K2

= K j + Ki • r - A = K(1 + r)2 - A(1 + r) - A.

Wie sieht der Ausdruck für n = 3 aus und allgemein für das n-te Jahr? Haben Sie eine Idee, wie man mit Hilfe der geometrischen Reihe den Ausdruck für das n-te Jahr vereinfachen kann? Klausuraufgabe 1.5 Zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion f:R

R

mit

f(x) =

0

, für x < 0

2 + lx

, für x > 0

39

Klausur 2 Klausuraufgabe 2.1 Untersuchen Sie die Funktion f: R

R,

mit f(x) = 4x3 + auf Injektivität und Umkehrfunktion an.

16/

Surjektivität

und

geben

Sie,

falls

möglich,

die

Klausuraufgabe 2.2 Untersuchen Sie die Folge an

n+1 n-1

n+2 n+1

auf Konvergenz. Klausuraufgabe 2.3 Ist die Reihe n Sn=

£ -r i= 16

konvergent ? Klausuraufgabe 2.4 Gegeben sei die Funktionsvorschrift

(x -1) (x - 9) Bestimmen Sie die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind.

40

Klausuraufgabe 2.5 Untersuchen Sie in Form einer Kurvendiskussion die Funktionsvorschrift f(x) =

x3 (X-1) '

Klausuraufgabe 2.6 Integrieren Sie

r

Jo

? 9 (x 2 + l) 2xdx

Klausuraufgabe 2.7 Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die Aussage [(A

A

B) B] => (B => A)

eine Tautologie ist. Klausuraufgabe 2.8 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle natürlichen Zahlen n > 2 die Ungleichung n2n > 2 • n! gilt, wobei

n! := 1 • 2 • ... • n

ist. Klausuraufgabe 2.9

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen: a)

f(x,y) = xy

b)

f(x,y) = s/x2 + y2

41

Klausur 3 Klausuraufgabe 3.1 Untersuchen Sie die Funktion f: R —» R, mit f(x) = x 2 + 4 auf Injektivität und Umkehrfunktion an.

Surjektivität

und

geben

Sie,

falls

Klausuraufgabe 3.2 Untersuchen Sie die Folge an =

n2 + 2n+l n -l 2

n+2 n + 1

auf Konvergenz. Klausuraufgabe 3.3 Überprüfen Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, ob die Reihe

sn=

X

'7V

i = lv konvergent ist. Klausuraufgabe 3.4 Gegeben sei die Funktionsvorschrift

{ ( X )

( >

..

(X 2 -25)(X 2 -4) (x + 2) (x - 5)

42

möglich,

die

Bestimmen Sie die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind. Klausuraufgabe 3.5 Untersuchen Sie die Funktion f: R\{2} -> R mit

auf Nullstellen, Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkt), Wendepunkte bzw. Sattelpunkte. Klausuraufgabe 3.6 Integrieren Sie

J

(x + 1) 3 x dx

Klausuraufgabe 3.7 Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die Aussage H P v Q)) «

( - P A -.Q)

eine Tautologie ist. Klausuraufgabe 3.8 Gegeben sind die Matrizen

f !

1 A = 0 ,B = 2

l J

f 21 00 2 3l

l 3 0 4J

und C

3 4 5 1 2 3

Bilden Sie, falls möglich, die Matrizen AB, CB, BC und CA.

43

Klausuraufgabe 3.9 Lösen Sie durch elementare Umformungen das folgende Gleichungssystem: 3x 6x -3 x

+ 4y + 3 y

+ +

44

z 5z 2z

= = =

0 0 0

Klausur 4 Klausuraufgabe 4.1 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung l3

+ 2

3

+ 3

3

+

,„n3=n2(n

+ 1

4

>2

gilt. Klausuraufgabe 4.2 Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen nach x und y der folgenden Funktionen: a)

b)

f(x,y) = x3 - 8x^y + xy2 + . / —

f ( x , y ) = ^ f ^

Klausuraufgabe 4.3 Überprüfen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, ob die Reihe

£ (r(-1,n

n= 1

'

konvergent ist. Klausuraufgabe 4.4 Gegeben sei die Funktionsvorschrift =

(x 2 + 2x + l ) ( x - 2 ) (x + 1)(X-3)(2X 2 -8)

Bestimmen Sie die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind.

45

Klausuraufgabe 4.5 Untersuchen Sie die Funktion f: R

R

mit f(x) =

X

X +1

auf Nullstellen, Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkt), Wendepunkte bzw. Sattelpunkte. Klausuraufgabe 4.6 Integrieren Sie

J

x • sin x dx .

Klausuraufgabe 4.7 Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die Aussage i(P A Q ) O

IP v

IQ

eine Tautologie ist. Klausuraufgabe 4.8 Gegeben sind die Matrizen

Bilden Sie, falls möglich, die Matrizen AB, CB, BC und CA.

46

Klausuraufgabe 4.9 Lösen Sie durch elementare Umformungen das folgende Gleichungssystem: X

+

lly

2x 4x

" +

2y 5y

+ +

47

3z 2z z

= = =

0 0 0

Klausur 5 Klausuraufgabe 5.1 Untersuchen Sie die Folge _ n2-4n 11

n3-2n2

n -2

n2-2n3

2

auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Klausuraufgabe 5.2 Sei A die Menge aller Städte der Bundesrepublik Deutschland. Wir betrachten auf A die Relation "ist durch eine Autobahn verbunden mit". Untersuchen Sie, ob diese Relation symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv bzw. vollständig ist. Klausuraufgabe 5.3 Bestimmen Sie innerhalb der Menge der reellen Zahlen die Lösungsmenge der Ungleichung IxI - 7 < Ix-71. Klausuraufgabe 5.4 Bilden Sie die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f: R2 a)

f(x,y) = 3x3y3

b)

f(x,y)=^

R mit

Klausuraufgabe 5.5 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle natürlichen Zahlen n mit n > 2, gilt: n £ 21 = 2 n + l - 4 . i= 2

48

Klausuraufgabe 5.6 Integrieren Sie

Klausuraufgabe 5.7 Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die Aussage (P Q) o

(-.PvQ)

eine Tautologie ist. Klausuraufgabe 5.8 Gegeben sind die Matrizen

2 f A = 3 4

1 2 2 3 3 4

1

und B =

fl

5 3

6Ì 2 1,

Bilden Sie, falls möglich, AB, AA, BA und BB. Klausuraufgabe 5.9 Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 3x 3x 12 x

+ + +

2y 6y 8y

+ 8z + 12 z

49

1 2 3

Klausur 6 Klausuraufgabe 6.1 Für welche reellen Zahlen x gilt: 1 >31xI - 2 ? Klausuraufgabe 6.2 Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die Aussage (A

A

(A => B)) => A

eine Tautologie ist. Klausuraufgabe 6.3 Untersuchen Sie die Reihe

£ hzl k=l

3k

auf Konvergenz. Klausuraufgabe 6.4 Betrachten Sie die Funktionsvorschrift f(x) =

4x X2-4

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich für die Funktion f in der Menge der reellen Zahlen an, bilden Sie die erste und zweite Ableitung und untersuchen Sie die Funktion f auf Extremstellen.

50

Klausuraufgabe 6.5 Für reelle Zahlen x und y ist die Relation R durch xRy :

1 1+x

3


R mit f(x) =

x - 5x + 6 X2-4

Wie muß f im Punkt 2 ergänzt werden, damit eine auf R\{-2} definierte und stetige Funktion entsteht?

53

Klausuraufgabe 7.4 Bilden Sie, falls möglich, zur Matrix A =

'4 3

4

die inverse Matrix A~l.

Klausuraufgabe 7.5 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsregel das bestimmte Integral ri X

dx.

0

Klausuraufgabe 7.6 Zeigen Sie für jede natürliche Zahl n durch vollständige Induktion: £ (3i - 2) = £Lli?Ilzi2 2 i=l Klausuraufgabe 7.7 Untersuchen Sie die Folgen a)

an =

b)

bn =

18n4-3n2 3n 4 - 4n 3 + n 18n4-3n2 3n 3 + n

auf Konvergenz.

54

Klausuraufgabe 7.8 Betrachten Sie die Funktion f„ f: R 2 -> R, mit: f(x,y) = e* + ey + 7x 2 + 3y3. Bilden Sie für die Funktion f die Hesse-Matrix. Klausuraufgabe 7.9 Bestimmen Sie innerhalb der Menge der reellen Zahlen die Lösungsmenge der Ungleichung 16 (2x-1) I 2

b)

lim 3x + 6 x —> 2

X

2

-2X

Klausuraufgabe 8.2 Negieren Sie die folgende Aussage sowohl formal als auch umgangssprachlich und untersuchen Sie, ob die so neu gewonnene Aussage eine Tautologie ist: "Entweder steigt der Zigarettenkonsum oder die Nachfrage an Getränken sinkt." Klausuraufgabe 8.3 Sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Bestimmen Sie für die Funktion f: D —> R mit

den größtmöglichen Definitionsbereich, Wendepunkte.

56

Nullstellen, lokale Extrema

und

Klausuraufgabe 8.4 Bilden Sie, falls möglich, für die Matrix A mit (

A=

2 4 8

4 -8 -4 6 4 10

die Determinante und A • A. Klausuraufgabe 8.5 Bestimmen Sie mittels der partiellen Integration das Integral

jVe*

dx.

Klausuraufgabe 8.6 Sei a eine reelle Zahl mit a * 1.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für jede natürliche Zahl n gilt:

(i-r

i= 0

' {2,3,4,5} mit f(Februar) = 2 f(März) = 3 zu einer bijektiven Abbildung. Klausuraufgabe 9.8 Betrachten Sie die Mengen X = { x e R I x 2 - 1 = 0} und Y = { y e R I y 2 - 4 y + 4 = 0} und geben Sie explizit an: X u Y , X n Y , X\Y und Y\X.

60

Klausuraufgabe 9.9 Untersuchen Sie die Reihe oo Z

i= 0

16-1

auf Konvergenz und bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert.

61

Klausur 10 Klausuraufgabe 10.1 Untersuchen Sie die Funktion mit

f: R -> R, 3 / f(x) = V x 2 • (x2 - 2x - 6)

auf mögliche Extremstellen. Klausuraufgabe 10.2 Untersuchen Sie die Funktion mit

f: [-1,1] -» R, f(x) = X • \J 1 - x 2

auf mögliche Null- und Extremstellen. Klausuraufgabe 10.3 Bestimmen Sie die möglichen Extrema der Funktion

mit

f: R^ —» R f(x,y) = 16xy

unter der Nebenbedingung x

2 + y 2 = i.

62

Klausuraufgabe 10.4 Betrachten Sie

A =

' 6^ ' 5 2 0 6 2 1 0 und b = 6 1 0 1 V

\ J

a)

Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b.

b)

Bestimmen Sie, falls möglich, die Determinante und die Inverse von A.

Klausuraufgabe 10.5 Bestimmen Sie den durchschnittlichen Erlös (E) einer Firma, der durch f3000 E=

2.000

4.000-x

3.000.0001

dx

1000

gegeben ist. Klausuraufgabe 10.6 Zeigen Sie für jede natürliche Zahl n > 1 durch vollständige Induktion:

2 i ( i^+ l ) i= 1

n+1

Klausuraufgabe 10.7 In einem Bericht der Vereinten Nationen wurde die Bevölkerung Europas über die Funktion f(t) = 6,4t + 641 (in Mio.) geschätzt, wobei t = 0 dem Jahre 1980, t = 1 dem Jahr 1981, etc. entspricht.

63

a)

Schätzen Sie mit Hilfe dieser Funktion die Bevölkerung Europas für das Jahr 2000.

b)

Ist diese Funktion f als Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen injektiv bzw. surjektiv?

Klausuraufgabe 10.8 Betrachten Sie die Mengen

und

X = { x £ R I -2x 2 + lOx - 8= 0} Y = { y e R I y2 = 1}

und geben Sie explizit an: X u Y , X n Y , X\Y und Y\X.

64

Klausur 11 Klausuraufgabe 11.1 Seien A und B Aussagen. Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die folgende Aussage eine Tautologie ist: ((A => B)

A

(B => A)) ((A B) v (B => A))

Klausuraufgabe 11.2 Untersuchen Sie die Funktion f: [-2;2]

mit

R,

f(x) = s j 4 - x 2 auf mögliche Null- und Extremstellen. Klausuraufgabe 11.3 Bestimmen Sie die möglichen Extrema der Funktion f: R^ —> R mit f(x,y) = 16xy unter der Nebenbedingung 2x + y = 20. Klausuraufgabe 11.4 Gegeben sind die Matrizen

f9 A= 5 l

2

7 61 4 3 und B =

1 0/

i l\

V5J

a)

Bilden Sie, falls möglich, AB und BA.

b)

Berechnen Sie die Determinante von A.

65

4

Klausuraufgabe 11.5 Berechnen Sie das bestimmte Integral

f4 24

d

3

Klausuraufgabe 11.6 Überprüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind: n

Xk k!+ 6

k= 1

k= l

2 k

Klausuraufgabe 11.7 Die Produktionsfunktion eines Unternehmens ist gegeben durch f(x) = y = 16x + 300 . a)

Wie groß ist der Output (y) für die Inputgrößen (x) 100, 200, 300 ?

b)

Ist diese Funktion f als Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen injektiv bzw. surjektiv?

Klausuraufgabe 11.8 Betrachten Sie die Mengen und

X = { x e R I 4x -16 = 0} Y = { y s R I y2 = 16}

und geben Sie explizit an:

66

X u Y, X n Y, X\Y und Y\X.

Klausuraufgabe 11.9 Gegeben sei die Funktionsvorschrift f(x)=

( X

-5j(t

4 )

•

Bestimmen Sie innerhalb der reellen Zahlen die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind.

67

Klausur 12 Klausuraufgabe 12.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung: IxI - 1 5 < lx-151 Klausuraufgabe 12.2 Bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert der Folge an =

n2-l n+1

4n2-4n n-1

Klausuraufgabe 12.3 Bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert der Reihe

i= 1

Klausuraufgabe 12.4 Gegeben sind die Matrizen

f 40 A= V

2 4 0

f und C = J

Bestimmen Sie eine Matrix B so, daß AB = C gilt!

68

V

6 9 6

24 1 8 ) 3 3 24 18

/

Klausuraufgabe 12.5 Bestimmen Sie jeweils das unbestimmte Integral a)

J ( 7 x 2 - 7 x + 49)dx,

4 x3

b)

+

?-7x2dx x

Klausuraufgabe 12.6 Bestimmen Sie für die Vorschrift f(x)=

X

x+8

innerhalb der reellen Zahlen den maximalen Definitionsbereich, die möglichen Nullstellen und Extremwerte. Klausuraufgabe 12.7 Bilden Sie für die Funktion f

f: R 3 ->• R mit f(x,y,z) = 2x + 3yz + 4z die ersten und zweiten partiellen Ableitungen. Klausuraufgabe 12.8 Betrachten Sie die Mengen X = { x e R l x 2 + x - 6 = 0} und Y = { y e R I y 2 - y - 1 4 = 16} und geben Sie explizit an: X u Y, X n Y, X\Y und Y\X.

69

Klausuraufgabe 12.9 Untersuchen Sie, ob die Funktion f:R ->• R mit

f(x)= Ix + 21

injektiv bzw. surjektiv ist. Stellen Sie die Funktion graphisch dar.

70

Kapitel 3 Lösungen zu den Übungsaufgaben

0 Erinnerung an die Schulmathematik Übungsaufgabe Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: 1.)

9 9 -x - —x - 2 = 0

2.)

4 x 2 - 20x + 25 = 0

3.)

2




2 X

xR x

symmetrisch: Wir betrachten als Gegenbeispiel die reellen Zahlen 4 und 5. Dann gilt zwar: da

5R4

x 2 + y 2 _ 25 + 16 25 + 16 _ x 2 + y 2 x 5 ~ 4 y Umgekehrt erhalten wir: x 2 + y 2 _ 25 + 16 y 4 somit gilt nicht:

25 + 16 _ x 2 + y 2 5 x

4 R 5.

transitiv: Es gelte für beliebige Zahlen x, y und z e R\(0}:

94

x R y und y R z, dies bedeutet: x2

2 2 x^ 2+ y 4, , y^2 + 2z^ y^ +2 z2 — und < , — < x y y z

1 1 , 1 1 - < - und - < - , x y y z 1 1 - < - , x z 2 x2 + TT


1 gilt: 2n > n Lösung Beweis durch vollständige Induktion: n = 1: n —» n + 1:

21 = 2 > 1 2n+l

= 2 • 2n = 2« + 2n > n+ n > n+ 1

Übungsaufgabe 4.2 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 0 gilt: n £ 2_i = 2-2"n i= 0 Lösung Beweis durch vollständige Induktion: n = 0:

0 E

2 _ i =20 = 1 = 2-1 = 2-20

i= 0 n —> n + 1:

99

n +1 n E 2 - i = E 2 _ i +2-(n+l) i=0 i= 0 = 2 - 2-n + 2-n-l = 2 - 2" n +

2

-n 2

= 2 - 2" n "l =

- 2"(n+l)

2

Übungsaufgabe 4.3 Zeigen oder widerlegen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 1 gilt: £

(2i

_1)2

=

8n3-2n

i=l

+

6

6

Lösung

Beweis durch vollständige Induktion: n = 1: 2 ( 2 i - l ) 2 = ( 2 - 1-1)2 = 1 2 * 2 = ^ ^ 6 i= l n

n + 1: n+1 n X ( 2 i - l ) 2 = £ ( 2 i - l ) 2 +[2(n + l ) - l ] 2 i=l i= 1 8n3-2n + 6

8n3-2n + 6

100

+ (2n +1) 2 6(2n+l)2

laut I.V.

_ 8n3-2n + 6 6

+

6(4n2 + 4n+l) 6

_ 8 n 3 - 2 n + 6 + 24n 2 + 24n + 6 6 _ 8n 3 + 24n 2 + 22n + 12 6 _ 8(n + l ) 3 - 2 ( n + l) + 6 6 Offensichtlich ist der Induktionsschritt (n —» n + 1) gesichert, trotzdem ist die Aussage falsch, da der Induktionsanfang (n = 1) nicht gewährleistet ist. Übungsaufgabe 4.4 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: " Sind x und y gerade natürliche Zahlen, so ist auch die Summe x + y eine gerade Zahl. " Lösung

Beweis: Es seien x und y gerade natürliche Zahlen. Dann gibt es natürliche Zahlen m und n, so daß wir die Zahlen x und y in der Form x = 2m und y = 2n schreiben können. Bilden wir jetzt die Summe, so gilt: x + y = 2m + 2n = 2(m + n). Aus der letzten Darstellung erkennt man, daß (x + y) wieder als ein Vielfaches von 2 darstellbar ist, und somit eine gerade Zahl ist. Damit ist die Aussage bewiesen.

101

Übungsaufgabe 4.5 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 4 gilt: 2n"1 > n+ 1 Lösung Beweis durch vollständige Induktion: n = 4: 2 4 - l = 23 = 8 > 5 = 4 + l n -> n+1:

2(n + 1) -1 = 2 n = 2 •2n"1 > 2 • (n + 1)

(I. V.)

= 2n + 2 > n+ 2 = (n + 1) + 1 Übungsaufgabe 4.6 Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n

1

£ ( 2 i - l ) . 1( 2 i

i= 1

+

l)"2n

+

l

Lösung Beweis durch vollständige Induktion: n = 1:

i

i = 1

1

(2i-l).(2i + l ) - ( 2 . 1 - l ) . ( 2 . 1 _ =

1 (2-l).(2

102

+

l)

+

l)

1-3

3

2 1+1

n —» n+1: n +1

1

ifl =

2

i = 1

( 2 i - l ) ( 2 i + l)

n

2n + l

( 2 - ( n + l ) - l ) ( 2 ( n + l) + l)

• ,, „ . . (2n + 2 - l ) ( 2 n + 2 + l)

n 1 + 2n + l (2n+l)(2n+3) n 2n + 1

2n + 3 2n + 3

1 ( 2 n + l ) ( 2 n + 3)

n ( 2 n + 3)

1

(2n+l)-(2n + 3)

(2n+l)-(2n + 3)

2n 2 + 3n

1

( 2 n + l ) ( 2 n + 3)

(2n + l)-(2n + 3)

2n 2 + 3 n + l ( 2 n + l ) ( 2 n + 3)

(2n + l ) ( n + l ) (2n + l) • (2n + 3)

(2n + 3) Übungsaufgabe 4.7 Zeigen oder widerlegen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt:

103

(I- V.)

£

(_l)i-l.i2=(_1)n-l.nJl±i)

i= l Lösung Beweis d u r c h vollständige Induktion: n = 1: 1 (-i)i"1i2=(-i)1-1i 2 i= 1

2

= (-1)° - 1 = 1

n - » n+1: n +1 Z ( - i ^ i i=1

2

( - l ) i _ 1 i 2 + ( - l ) n . (n + l ) 2

= 2 i=1

=

( _

i r

l . £ ^ ± l )

+ (

.

1 ) n

.

( n +

1)2

= (-l)n - ( n + 1 ) - [ ( - l ) - l . £ + ( n + l)]

= (-!)"•

(n+l).[~+(n+l)]

, , „, r n = (-l)n • (n+1) - [ - 2

= ( - l ) n • (n + 1) • [

2n + 2 , ]

~

(n + l ) ( n + 2) = (-l)n • 1 U L

104

]

Übungsaufgabe 4.8 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: " Sei p eine Primzahl, die echt größer als drei ist. Dann ist p2 - 1 durch die Zahl 24 teilbar" . Lösung

Sei p eine beliebige Primzahl, die echt größer als 3 ist. Der Ausdruck p2-l kann auch in der Form p 2 - l = ( p - l ) - (p + 1) geschrieben werden. Diese simple Umformung mit Hilfe der dritten Binomischen Formel liefert uns eine Darstellung, die durch die folgenden zwei Überlegungen den Beweis vervollständigt: 1.

Der Ausdruck (p2 - 1) ist durch die Zahl 3 teilbar, da p als Primzahl keine Teiler, also auch nicht den Teiler 3, besitzt, müssen entweder (p - 1) oder (p + 1) durch 3 teilbar sein: drei aufeinanderfolgende Zahlen sind durch 3 teilbar.

2.

Betrachten wir (p - 1), p und (p + 1), so ist, da p nicht durch die Zahl 2 teilbar ist, (p - 1) und (p + 1) jeweils durch 2 teilbar. Eine der zwei Zahlen muß sogar durch 4 teilbar sein.

Aus diesen zwei Unterpunkten können wir zusammenfassend erkennen, daß der Ausdruck (p2 - 1) durch 3 und durch 8 teilbar ist. Somit ist gezeigt, daß die Zahl durch 24 teilbar ist.

105

5 Funktionen einer Veränderlichen Übungsaufgabe 5.1 Es sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen f: D —» R den maximalen Definitionsbereich D und skizzieren Sie den Graphen von f: a)

f(x)

=

X2-6X + 6

b)

f(t)

=

32-16t

c)

f(s) =

~z s - s- 2

Lösung a)

Wir erhalten als maximalen Definitionsbereich D m a x = R. X

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

f(x)

33

22

13

6

1

-2

-3

-2

1

6

Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

106

Wir erhalten als maximalen Definitionsbereich D m a x = R. t

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

f(t)

80

64

48

32

16

0

-16

-32

-48

-64

Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

3 4 5 6 7 8

-8-7-6-5-4-3-2-1^ - 2

-3 -4 -5 - 6

-7 - 8

Wir erhalten als maximalen Definitionsbereich D m a x = R\{-1, 2}. s

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(s)

0,1

0,25

-

-0,5

-0,5

-

0,25

0,1

Mit Hilfe der Wertetabelle ergibt sich folgendes Aussehen der Funktion:

107

-8-7-6-5-4-3-2-:

2 3 4 5 6 7 8

-

2 -

•

3456-

-•8-

Übungsaufgabe 5.2 Entscheiden Sie, ob es sich bei den folgenden Vorschriften um Abbildungen bzw. Funktionen handelt: a)

f:

{A,B,C}

{B,C,D,E},

mit:

b)

f:

{A,B,C}

f(A) = B,

f(B) = C,

f(C) = D,

f(C) = E.

{B,C,D,E},

mit: f(A) = B,

f(B) = C,

f(C) = D. c)

f: mit:

{A, B, C}

{B, C, D, E}, f(A)=B,

f(C) = D.

108

Lösung Lediglich die unter b) beschriebene Vorschrift ist eine Abbildung. Im Fall a) wird entgegen der Definition einer Funktion der Wert C sowohl auf D als auch auf E abgebildet. Im Fall c) wird der Wert B nicht abgebildet. Übungsaufgabe 5.3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität und Injektivität: a)

f:

{0,1,2,3,4}

->

{4,5,6,7},

mit: f(0)=4,

f(l) = 5,

f(2) = 6,

f(3) = 7,

f(4) = 6. b)

f:

{0,1,2,3}

{4,5,6,7},

mit:

c)

f:

f(0) = 4,

f(l) = 5,

f(2) = 6,

f(3) = 7.

{0,1,2,3}

{5,6,7,8,9},

mit:

Lösung a)

f:

f(0) = 5,

f(l) = 6,

f(2) = 7,

f(3) = 8.

{0,1,2,3,4}

{4,5,6,7},

mit: f(0)=4,

f(l) = 5,

f(2) = 6,

f(3) = 7,

f(4) = 6. 109

Die Funktion f ist surjektiv, da alle Werte aus {4, 5, 6, 7} getroffen werden. Die Funktion ist nicht injektiv, da die Werte 2 und 4 dem gleichen Wert ( = 6) zugeordnet werden. b)

f:

{0,1,2,3}

mit:

-»

{4,5,6,7},

f(0) = 4,

f(l)=5,

f(2) = 6,

f(3) = 7.

Jeder Wert im Bildbereich wird getroffen (also surjektiv) und zwei unterschiedliche Punkte aus dem Definitionsbereich werden auf unterschiedliche Werte im Bildbereich abgebildet (also injektiv). Somit ist die Funktion f bijektiv, d.h. sie ist injektiv und surjektiv. c)

f: mit:

{0,1,2,3}

{5,6,7,8,9}, f(0) = 5,

f(l) = 6,

f(2) = 7,

f(3) = 8.

Die Funktion f ist injektiv, aber sie ist nicht surjektiv, da der Wert 9 nicht getroffen wird. Übungsaufgabe 5.4 Betrachten Sie die Funktionen f: R

R und g: R + —> R mit

f(x) = x2 + 4 und g(x)= J x . Bilden Sie (f ° g) und (g ° f). Untersuchen Sie die so neu gebildeten Funktionen auf Surjektivität und Injektivität. Lösung

Die Funktionen f und g haben folgendes Aussehen:

110

a)

f ° g : R + —» R mit: (fog)(x) = f(g(x)) = f(^T)

=x+4 f ° g ist nicht surjektiv, da negative Werte nicht getroffen werden, f o g ist injektiv: Seien a und a' reelle Zahlen mit: a * a'. Dann gilt auch: a + 4 * a' + 4, und somit: (fog)(aMfog)(a').

111

b)

gof:R

R mit: (g°f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 4) = \/x2 + 4

g o f ist nicht surjektiv, da im Bildbereich keine negativen Werte angenommen werden. g o f ist nicht injektiv: Betrachte die Zahlen a = -2 und a'= +2. Dann gilt: a * a'. aber: (g°f)(a) = (g = f)(-2) = / 8 =(gof)(2) = (gof)(a') Übungsaufgabe 5.5 Ist die Zuordnung

f: R —» R

mit W

I 5x ,x>0 " ]-2x +1 , x < 0

eine Funktion? Lösung

Die oben beschriebene Zuordnung ist keine Abbildung, da für den Punkt x = 0 gilt:

und

f(0) = 0

obere Zuordnung

f(0) = 1

untere Zuordnung

112

Dies ist aber bei einer Abbildung nicht zulässig. Übungsaufgabe 5.6 Entscheiden Sie, ob es sich bei den folgenden Vorschriften um Abbildungen bzw. Funktionen handelt: a)

f:

{Ford, BMW, VW} ->

{1,2,3,4},

mit:

b)

f:

f(Ford) = 1,

f(BMW) = 2,

f(VW) = 3,

f(VW) = 4.

{Ford, BMW, VW}

{1,2,3,4},

mit: f(Ford) = 1,

f(BMW) = 2,

f(VW) = 3. c) Lösung

a)

f: mit: f: mit:

{Ford, BMW, VW} -H> f(Ford) = 1,

{1,2,3,4}, f(VW) = 4.

{Ford, BMW, VW}

{1,2,3,4},

f(Ford) = 1,

f(BMW) = 2,

f(VW) = 3,

f(VW) = 4.

Dies ist keine Abbildung bzw. Funktion, da "VW" sowohl auf die 3 als auch auf die 4 abgebildet wird. b)

f:

{Ford, BMW, VW}

{1,2,3,4},

mit: f(Ford) = 1,

f(BMW) = 2,

f(VW) = 3. Dies ist eine Abbildung, da jeder Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet wird.

113

c)

f: mit:

{Ford, BMW, VW} -» f(Ford) = 1,

(1,2,3,4}, f(VW) = 4.

Hier wird dem Wert BMW aus dem Definitionsbereich zugeordnet, also ist dies keine Abbildung.

nichts

Übungsaufgabe 5.7 Gegeben sind die Mengen A = {Toshiba, Acer, Apple}, B = {2.000,3.000,4.000}, C = {grau, grün, blau, rot}, sowie die Abbildungen f: B —> A mit f(2.000) = Toshiba, f(3.000) = Acer, f(4.000) = Apple und

g: A —» C

mit g(Toshiba) = grau, g(Acer) = grün, g(Apple) = rot. Sind die Abbildungen g bzw. f injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? Lösung

Wir betrachten zunächst die Abbildung f. Diese Abbildung ist surjektiv, da alle Marken (Toshiba, Acer und Apple) getroffen werden. Ferner ist die Abbildung auch injektiv, da unterschiedliche Beträge (2.000; 3.000; 4.000) unterschiedlichen Bilder zugeordnet werden. Für die Abbildung g gilt, daß sie zwar injektiv (Begründung siehe Abbildung f) ist, aber die Abbildung ist nicht surjektiv, da im Bildbereich der Wert "blau" nicht getroffen wird.

114

Übungsaufgabe 5.8 Betrachten Sie die Funktionen f: R —> R und g: R + —» R mit f(x) = x3 + 1 und

g(x) = y/x + 1 .

Bilden Sie (f ° g) und (g ° f). Untersuchen Sie die so neu gebildeten Funktionen auf Surjektivität und Injektivität. Lösung Wir bilden in einem ersten Schritt die Kompositionen: f ° g: R +

R

mit

und g o f: R + -> R mit

(gof)(x)=g(f( X )) = g(X3 + l)

Die Abbildung f ° g ist injektiv, aber nicht surjektiv:

115

Die Abbildung g o f ist injektiv, aber nicht surjektiv:

8 7 6 5 4 3 2• 1

/

/ / / /

J

-8-7-6-5-4-3-2-1, -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

^

1 2 3 4 5 6 7 8 • •

•

116

6 Folgen und Reihen Übungsaufgabe 6.1 Überprüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und geben Sie, falls vorhanden, den Grenzwert an: a)

a n = 2n - 1

b)

bn = 4 +

c)

cn =

d)

_ 6 n 3 + 5n2 dn = 2n3 + 2

a)

an = (2n-l)

H)n n

n+1 n2-l

Lösung

d.h. die Folge divergiert.

b)

b n = 4 + ^ - L - - » 4, somit konvergiert die Folge gegen den Wert 4. n+1

C)

C n _

_

n+1

1

^ I 7 " ( n + l) ( n - l ) " ( n ^ l ) ^

'

d.h. die Folge strebt gegen den Wert 0, ist also eine Nullfolge. JX

d)

dn =

6n + 5n 2n + 2

> 3, dies bedeutet, daß die Folge gegen den Wert 3 konvergiert.

117

Übungsaufgabe 6.2 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

.)

i n= 1

j

b)

£ 2n n= 1

. c) '

, 1 1 1 1 1 + - + -7 + — + . . . + —k + ... 2 4 8 2

Lösung a)

Es gilt mit dem Quotientenkriterium: n+1 »n + l

1 2

l\n

1 1,

somit divergiert die Reihe, da der Grenzwert größer als 1 ist. c)

Dies ist eine geometrsiche Reihe mit:

k=0

.2

'

als Grenzwert ergibt sich:

118

1

1-

1 2

=1=2. 1 2

Übungsaufgabe 6.3 Untersuchen Sie die folgenden Reihen jeweils mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz: (- l ) n • 4 r

a)

£ n =1

b)

X n =1 n

\

0

°° 9 n E n=1 n

d)

£ (-D n =1

n+1

Lösung

Jeweils mit dem Quotientenkriterium gilt: a)

(_ ^ n + 1. 4 n + 1 ä

n +1

(n+1)! (- l ) n • 4 n n! (-l)n+1-4n (n+1)! (-1)4 n+1

+ 1

n+1

also konvergiert die Reihe.

119

n! (- l ) n • 4 r

->0 1 = 1,

somit ist mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung möglich 3n

»n + 1

+1 9n+l

( n +1) 9n

(n + 1)

n2 2

9n

( n +1)

„2

9-

n + 2n + 1

-> 9>1,

also divergiert die Reihe. d) n+1

n+2 (-D (n + 1)" n +1 (-D

n +2 (-1) (n + 1)2

(n + 1)"

(-l)n+1

n + 2n + 1

1 = 1,

somit ist mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung möglich Übungsaufgabe 6.4 Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

£ n=1

120

Lösung Mit dem Wurzelkriterium gilt:

VM

=

n

» 0 < 1,

also konvergiert die Reihe. Übungsaufgabe 6.5 Überprüfen Sie die Folgen auf Konvergenz und geben Sie, falls vorhanden, den Grenzwert an: a)

a n = 3n - 5

b)

(-l)n b n = 6 + —=— n''

c)

cn =

d)

dn =

a)

a n = 3n - 5 -» für n —> ,

n+ 2 n2-4 6n 2 + 5n 2n + 2

Lösung

d.h. die Folge konvergiert nicht bzw. ist divergent. b)

H)n bn = 6 + — — >

6 für n —> °°,

die vorliegende Folge strebt gegen den Wert 6. c)

cn:

n+2 2_4

n

n+2 ( n - 2 ) • (n + 2)

1 (n-2)

0 für n —> oo,

also ist die Folge c n eine Nullfolge.

121

d)

dn =

6 n 2 + 5n

> oo für n - »

2n + 2

die Folge d n ist divergent.

Übungsaufgabe 6.6 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

» b)

. C)

n= 1

Z 3n n= 1 1

1 5

+

25

+

1 125

+

1 625

+

""

Lösung a)

Es gilt mit dem Quotientenkriterium:

ä

(if-fi) „ (I)

n +1

also konvergiert die Reihe, b)

Mit dem Wurzelkriterium erhalten wir:

somit divergiert die Reihe, c)

Dies ist eine geometrsiche Reihe mit:

X k= 0

\k

122

als Grenzwert ergibt sich: 1

_ 1_ _ 5 1 " 4 "4' 5 5

Übungsaufgabe 6.7 Untersuchen Sie die folgenden Reihen jeweils mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz: a)

b)

0

2n X (n+1)! n=1 Z : n=1 5n E n = l(n+Dz

Lösung

a)

Z (n+1)! n=1 2 a

n+l

n +1

((n + l ) + l ) !

n

2n (n+1)!

a

2

(n+1)!

2 n + 1 (n+1)! (n + 2)! 2n 2 n + 1 (n + 1)! 2n (n + 2)! (n+1)! (n + 2)!

123

n +1

(n + 2)! 2n

= 2-, (n + 2)

0 für n -» « ,

also konvergiert die Reihe. b)

7 * n n= l

a

n +1 a

n

7 n+1 7 n

_

7 n+1 7 n

7 n n+ 1 7 7 n 7 n+ 1 n+1

1 für n —» °°,

also ist mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung möglich, ob die Reihe konvergiert. c)

E n= l(n+D2

ä

n +1

5n+1

cn+1

((n + l) + l) 2

((n + l) + l ) 2

( n +1)

( n +1)

=n + 1 ((n+l) + l)2 ( n +1)

124

5n

(n + 2) 5

(n+1)2

+ 1

5n

2

n + 1

(n+1)2

5n

(n + 2) 2

= 5-

= 5-

(n+l)J (n + 2) 2 n z + 2n + l

—» 5 für n —» °°,

n 2 + 4n + 4

also divergiert die Reihe. Übungsaufgabe 6.8 Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

n=lv

'

Lösung Mit dem Wurzelkriterium gilt:

Vw

=

also konvergiert die Reihe.

125

n

> 0 < 1,

7 Stetigkeit Übungsaufgabe 7.1 Bestimmen Sie xJ + 4x

lim x—>-2

x +

+ x- 6 2

Lösung

Es gelten folgende Umformungen:

lim x ->-2

x^ + 4 x 2 + x - 6 x +

2

lim

(x - 1 ) • (x + 2) • (x + 3)

x—>-2 =

x +

2

lim ^ - ^ ) = ( - 3 ) . l 1 x—>-2

= -3

Übungsaufgabe 7.2 Bestimmen Sie, falls vorhanden, die folgenden Grenzwerte: a)

u\

lim x —» 7 i-

X2-49 x

x +

"

7

14

b)

x —> 7 1 4 ^x

c)

lim x —»0

l m

x u

-

x

Lösung

Es gelten folgende Umformungen:

126

a)

lim x—»7

x2-49 (X + 7 ) - ( X - 7 ) — = lim x " 7 x " 7 x —» 7 = lim £ ± Z > 1 x —»7 = 14

b)

lim x —» 7

x + 14 1 4

~

x

x + 14 1 4

~x

7 + 14 14-7 21 7 =3 x

c)

lim i - 1 x->0 x Dieser Grenzwert existiert nicht, da, abhängig, ob wir uns von links oder von rechts der Null nähern, wir als jeweilige Grenzwerte +1 bzw. -1 erhalten.

Übungsaufgabe 7.3 Betrachten Sie die Funktion f: R —> R mit x+2 I

,x< 6 ,x>6

¿.

Ist diese Funktion stetig? Lösung Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

127

9

Nein, diese Funktion ist nicht stetig, da der links- und der rechtsseitige Grenzwert im Punkt 6 nicht übereinstimmt. Nähern wir uns von links dem Punkt 6, so gilt: lim f(x) = 8 x-»6_ Bei Annäherung von rechts an den Wert 6 erhalten wir: lim f(x) = 5 x-»6+

Übungsaufgabe 7.4 Betrachten Sie die Funktion f: R —» R mit ,x>6 f(x) =

x 6_ und für den rechtsseitigen Grenzwert erhalten wir: lim f(x) = -l x-»6+ Offensichtlich stimmen beide Grenzwerte überein, und somit ist die Funktion f auch im Punkt 6 stetig. Übungsaufgabe 7.5 Bestimmen Sie lim x->-5

x 3 + 13X2 + 47X + 35 x+5

Es gelten folgende Umformungen:

129

lim x —>-5

X 3 + 13X2 + 47X + 35 x + 5

=

=

lim x—»-5

(x + 5)-(x + 7)-(x + 1) =

- lim x->-5 (X+7

x + 5

VX

+ 1)

1

= 2 • (-4) = -8 Fassen wir den Term x 3 + 13x2 + 47x + 35 x+5 als Funktionsvorschrift auf, so sieht der Graph dieser Abbildung folgendermaßen aus:

Übungsaufgabe 7.6 Bestimmen Sie, falls vorhanden, die folgenden Grenzwerte: a)

lim x->ll

w

rl u n 7 x->7

b)

x 2 -121 x

"

n

x + 49

130

3x C)

x —i> 0 n

^

Lösung Es gelten folgende Umformungen: a)

lim X —> 11

x

~

n

lim X —> 11

X

~

U

+

,

lim

X —> 11

^±II>

= 2 2

1

x + 49 x -> 7 |3x| C)

T n0 x "-¥

^

Dieser Grenzwert existiert nicht, da, abhängig, ob wir uns von links oder von rechts der Null nähern, wir als jeweilige Grenzwerte +1 bzw. -1 erhalten. Übungsaufgabe 7.7 Betrachten Sie die Funktion f: R

R

mit

x+1

,x 5

Ist diese Funktion stetig? Lösung Nein, diese Funktion ist nicht stetig, da der links- und der rechtsseitige Grenzwert im Punkt 5 nicht übereinstimmen: lim f(x) = 5,5 x-»5+

131

lim f(x) = 6 x->5_ Zur Verdeutlichung werfen wir einen Blick auf den Graphen der Funktion:

Übungsaufgabe 7.8 Betrachten Sie die Funktion f: R

R

mit f-x + 1 f(x) = / I x-7

,x>6 ,x R: a)

f(x) = x2 - 6x + 6

b)

f(t) = 32 - 16t

c)

f(s) =

1 ,2

s

-s-2

Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D, Nullstellen, Polstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Sattelpunkte. Lösung a)

f(x) = x 2 - 6x + 6 In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung:. f (x) = 2x - 6 f'(x) = 2 Definitionsbereich: Nullstellen:

xi = 3 +

Polstellen:

keine

Extremstellen:

xg = 3 ,

Wendepunkte:

keine.

Die Funktion hat folgendes Aussehen:

134

= 4,732 und X2 = 3 - ^ 3 = 1,268

f"(3) = 2 > 0 , also Minimum.

6 5 432-

1-

-8-7-6-5-4-3-2-^ ^ 1 - 2 -

-3-4-5-6-7- 8 -

b)

f(t) = 32 - 16t In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung:, f (t) = -16 f"(t) = 0 Definitionsbereich:

Dmax -

Nullstellen:

X

Polstellen:

keine

Extremstellen:

keine

Wendepunkte:

keine.

N

R

= 2

Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

135

-8-7-6-5-4-3-2-1. 1

1 1 3 4 5 6 7 8

- 2

-3 -4 -5 - 6

-7 - 8

c)

f(s) = S

2

- S - 2

In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel:.

f(8)

0-(s2-s-2)-l-(2s-l)

1 -2s

f"(s)

( - 2) • (s 2 - s - 2) 2 - (l - 2s) • (2s - 1 ) - 2 • (s 2 - s - 2)

(^f

(-2)(s2-s-2]-(l-2s)(2s-l)-2

136

=

( - 2 ) ( s 2 - s - 2 ) - 2 - ( 2 s - l - 4 s 2 + 2sj

M

(-2)(s2-S-2)-2-(4S-1-4S2)

( - 2 s 2 + 2s + 4) + ( - 8s + 2 + 8s 2 )

_ - 2 s 2 + 2s + 4 - 8s + 2 + 8s 2

_ + 6s - 6s + 6

d(s2-s

+ i)

Definitionsbereich:

D m a x = R\{-l;2}; Die Werte -1 und 2 werden ausgeschlossen, da diese die Nullstellen des Nenners der gebrochen rationalen Funktion sind.

Nullstellen:

keine

Polstellen:

xi = -1 und X2 = 2

Extremstellen:

se = 0/5 32 es gilt: f'(0,5) = - — = - 0 , 3 9 5 < 0 , also ist der Punkt x = 0,5 ein Maximum,

Wendepunkte:

keine

137

-8-7-6-5-4-3-2-

2 3 4 5 6 7 8 2-

- 3-

A-

-

5-

-

6 -

- 7-

138

Übungsaufgabe 8.2 Untersuchen Sie, ob die Funktion f: R -> R mit

- ^x + 1

,x>6

x-7

,x 6 +

f(x)-f(x Q ) x-x0

139

(-|x + l ) - ( - l ) =

=

lim x -> 6 +

lim

x

(

"tX

x—»6 +

x

-

~6

1 ; — =-—

+ 2)

6

3

Bei einer Annäherung von links an den Wert 6 erhalten wir: f(x)-f(x 0 ) (X_7)_(_i) lim = lim x ~ x 0 x _ 6 x 6_ x —»6_ =

lim x —>6_

x

-

6

=1

Da der Grenzwert n i c h t existiert, ist die Funktion f im Punkt 6 n i c h t differenzierbar. Übungsaufgabe 8.3 Entwickeln Sie für die Funktion f: R + -> R mit f(x) = v/x + 25 das Taylorpolynom 2-ten Grades im Punkt xq = 0. Lösung Zuerst bilden wir die ersten zwei Ableitungen: M f(x) = (x + 25)1/2 1 f (x) = \ • (x + 2 5 f 1 / 2 • (1) = 2 v 1 2y x + 25

140

f"(x) = - i . ( x

+

25)-3/2.(l) =

* \ J (x + 25)"

Somit erhalten wir als Taylorpolynom im Punkt xq = 0: Tf(x)

=

f(0)

= S +

=

c

+

^

il

x

+

X

+

(

1

m

x

2

"8^25)X2 1

To x " lööö

2

Übungsaufgabe 8.4 Es sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Betrachten Sie die folgenden Funktionen f: D —» R: a)

f(x) = x2 + 3x + 2

b)

f(t) = 2 - 3t

0

f(s) =

^ 2

Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich Polstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Sattelpunkte.

D,

Nullstellen,

Lösung

a)

f(x) = x2 + 3x + 2 In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung:. f'(x) = 2x + 3 f'M = 2 Definitionsbereich: Nullstellen:

Dmax = R = -2 und X2 = -1

141

Polstellen:

keine

Extremstellen:

xe = -1,5 ,

f"(l,5) = 2 > 0 , somit ist der Punkt

xg = -1,5 ein Minimum Wendepunkte:

keine.

Der Graph der Funktion:

\

30 \

20

10

\

-8-7-6-5-4-3-2-1

J

/

/

1 2 3 4 5 6 7 8

»

-10

b)

f(t) = 2 - 3t In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung:, f(t) = -3 f"(t) = 0 Definitionsbereich:

Dmax -

Nullstellen:

xjsj = 0,666

Polstellen:

keine

Extremstellen:

keine

Wendepunkte:

keine.

Der Graph der Funktion: 142

R

0

f ( s ) ~ In einem ersten Schritt bilden wir die erste und zweite Ableitung: f'(s)

0-(s-2)-ll M f

(s-f

r(s) =

•\2 0(s-t-(-l).2.(s-2) (s-2)«

(s-lf Definitionsbereich:

D m a x = RM2}; Der Wert 2 wird ausgeschlossen, da dieser die Nullstelle des Nenners der gebrochen rationalen Funktion ist.

Nullstellen:

keine

Polstellen:

x=2

143

Extremstellen:

keine

Wendepunkte:

keine

Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

5

-8-7-6-5-4-3-2-T~

2 3 4 5 6 7 8

-5

-

-10

•

Übungsaufgabe 8.5 Untersuchen Sie, ob die Funktion f: R

(

R mit

ix+1

, x > 12

x-7

, x < 12

auf ganz R differenzierbar ist. Lösung

Offensichtlich ist die Funktion f auf R\{12} differenzierbar. Um zu überprüfen, ob die Funktion f auch im Punkt XQ = 12 differenzierbar ist, bilden wir den Differentialquotienten: Nähern wir uns von rechts dem Wert 12, so gilt:

144

lim x - » 12.•+

(Ix + l)-(5)

f(x)-f(x 0 ) X - X Q

lim

x-12

3

Bei einer Annäherung von links an den Wert 12 erhalten wir: lim x - » 12

f(x)-f(x 0 ) x _ x

0

Da der linksseitige und der rechtsseitge Grenzwert im Punkt xg = 12 nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht und die Funktion f ist im Punkt 12 nicht differenzierbar. Übungsaufgabe 8.6 Entwickeln Sie für die Funktion f: R + -» R mit f(x) = v/x + 121 das Taylorpolynom 2-ten Grades im Punkt xq = 0. Lösung Zuerst bilden wir die ersten zwei Ableitungen:

145

2 - V x + 121 f'(x) = - i

• (x + 12l)-3/2 • (1) 1 4- N /(x + 12l) 3

Somit erhalten wir als Taylorpolynom im Punkt xg = 0: Tf ( x)

=

f ( 0 ) +

= 11 +

m

x +

m

x

2

^X+(-8^331)x2

= 11 + — x 22

— x2 10648

Übungsaufgabe 8.7 Bestimmen Sie für die Funktion f:R

R

mit f(x) = ln(4 + x 2 ) die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Lösung Wir bilden die erste und zweite Ableitung: f(x)

"

f (x)

4 + x2

• 2x=

731

4 + x2

2 • (4 + x 2 ) - 2x • (2x)

,

=

(4

146

+

>2

x2)

8 + 2X2-4X2 (4

+

x f

8-2x2

(4 + x f Wir kommen jetzt zur Bestimmung der Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte: Nullstellen: Es existieren keine Nullstellen. Extremstellen: In einem ersten Schritt setzen wir die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu bestimmen: f(x) = 0 2x 4 + x2 =>

xE = 0

Im zweiten Schritt untersuchen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:

(4+of

1 6

2

also handelt es sich bei dem Wert xg = 0 um ein Minimum. Wendepunkte: Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich Null: f"(x) = 0 R-?*2

= 0

( 4 + x2) 8 -2x2 = 0

147

=>

4-X2 = 0

=>

2

=

= "2

Es muß ferner gelten, daß ein Vorzeichenwechsel in den jeweiligen Punkten bzgl. der zweiten Ableitung vorliegt: 2

f " ( x W l + e) =

(XW!

4+ ( x W i

8 - 2 -

f ^ x y ^ - e) =

) |2

+ £ 2

•("Wff

(

4 +

)

+ £ 2

x

w r f )

8 - 2 - (2 + e) 2

0

(4+(2-

somit handelt es sich beim Punkt x w j = 2, da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, um einen Wendepunkt. 8 - 2 -

(xw2+e)2

f " ( x W 2 + e): +

8 - 2

f"(xw2" ) =

(xw2+ej"

(

x

w2-f

£

+

(xw2"f)

8 - 2 - ( - 2 + e)2

>0,

4 + ( - 2 + e) )

2 2

8 - 2 (-2-e)2

io2-

b)

f4 J 43xdx

c)

f5 J (3x - 6) dx

Lösung

•> b)

£

x^ dx

16 =4

4X

Hier gilt, daß die Funktion f(x) = 3x im Punkt XQ = 0 eine Nullstelle besitzt.Damit müssen die Integralgrenzen in die beiden Intervalle [-4;0) und [0;4] aufgesplittet werden. f 4 3x dx J-4

= f ° 3xdx + f 4 3x dx J- 4 JO

151

9I0 1-4 = 24 + 24

T|4 10

= 48 c)

Die Funktion f(x) = 3x - 6 hat eine Nullstelle xq im Punkt xo = 2. Aus diesem Grunde spalten wir das urpsrüngliche Integral in zwei Integrale auf, wobei wir als Integralgrenzen einmal -2 und 2 und beim zweiten Integral 2 und 5 einsetzen.

J5

(3x - 6) dx =

J"2

(3X - 6) dx +

7

= l,5x^ - 6x

|2 1-2

J 5 (3x - 6) dx

? |5 + l,5x^ - 6x

12

= 24 +13,5 = 37,5 Übungsaufgabe 9.3 Berechnen Sie mittels Substitution die unbestimmten Integrale: a)

b)

f j s i -+ x dx

:• V 5 + x2: d x

Lösung

Sei c jeweils eine beliebige reelle Zahl, a)

Wir substituieren: u = 5 + x. Dann gilt:

152

bzw. du = dx und wir erhalten: J v/5 + x dx b)

= J v / ü d u = J u ^ d u = | • u3/2 = | • s/(5 + x)3

+
y) = 6y+ e*

fxy(x,y) = 6x + 1 + 6y

fyx(x,y) = 6x + 1 + 6y

fyy(x,y) = 6x + eY

Übungsaufgabe 11.2 Bestimmen Sie die möglichen Extrema der Funktion f: R 2

R

mit f(x,y) = x 2 + y + y 2 - 30x. Lösung Wir bilden die ersten und zweiten partiellen Ableitungen und erhalten: fx(x,y) = 2x-30 fy(x,y) = 1 + 2y

fxx =

fxy = 0

2

fyx = 0

f

yy=2

Setzen wir die ersten partiellen Ableitungen gleich Null, so erhalten wir: fx(x,y) = 2x-30 = 0 fy(x,y) = l + 2y = 0 und als Lösungen dieser zwei Gleichungen: x = 15

und

y = - 0,5.

Im nächsten Schritt wird geprüft, ob der der Punkt (15; -0,5) ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist. Wir erhalten: f x x (15;-0^) = 2 > 0 IH(15; 0,5)1 =

171

2 0 = 4>0 0 2

Somit ist der Punkt (15; -0,5) ein globales Minimum. Übungsaufgabe 11.3 Bestimmen Sie alle möglichen Extrema der Funktion f: R 2 —> R mit f(x,y) =xy unter der Nebenbedingung: x + y = 40. Lösung

Wir bilden die Lagrange-Funktion: L(x,y,X) = xy + X(x + y -40). Zur Bestimmung möglicher Extrema bilden wir die ersten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion und setzen diese jeweils gleich Null: Lx(x,y,Ä,) = y + X = 0, Ly(x,y,X) = x + X = 0, L}l(x,yA) = x + y - 4 0 = 0, Lösen wir dieses Gleichungssystem, so ergibt sich als mögliches Extremum der Punkt (x = 20; y = 20) mit X = -20.

Übungsaufgabe 11.4 Bestimmen Sie alle möglichen Extrema der Funktion f: R 2 —» R mit f(x,y) = 2 x 2 + y 2 + 2xy + 3x + 2y unter der Nebenbedingung: 172

y 2 = x + 1. Lösung Wir bilden die Lagrange-Funktion: L(x,y,X) = 2x 2 + y 2 + 2xy + 3x + 2y + X(y 2 - x - 1). Als erste partielle Ableitungen erhalten wir: L x (x,y,\) = 4x + 2y + 3 - X, Ly(x,y,X) = 2y + 2x + 2 + 2Xy, Lx(x,yA) = y 2 - x - l = 0, Setzen wir diese partiellen Ableitungen gleich Null, so erhalten wir ein Gleichungssystem mit den Lösungen:

und (x = - l ; y = 0) Übungsaufgabe 11.5 Bilden Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnung für die folgenden Funktionen: a)

f(x,y) = x 2 - y 2 + 4xy für x, y e R,

b)

f(x,y) = x 2 + y 2 + 4xy - x - y + 1 für x, y 6 R.

Lösung a)

f(x,y) = x 2 - y 2 + 4xy Als erste partielle Ableitungen erhalten wir: f x (x,y) = 2x + 4y

173

fy(x,y) = -2y + 4x Die zweiten partiellen Ableitungen lauten: fxx(x,y) = 2

fxy(x,y) =

yx( x 3 • — > 1 e

n+1

Somit ist die Reihe nicht konvergent.

180

= (n+l)-3-

(n + l) :n n + 1

Klausuraufgabe 1.2 Überprüfen Sie die Reihe n

i= 1

1 i

mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz. Lösung ä

Wir betrachen den Ausdruck

n+1

n +1

n+1 1. n 1 n n+1 1

n+1 Da der Quotient gegen den Wert 1 strebt, ist mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung über das Konvergenzverhalten der Reihe möglich. Klausuraufgabe 1.3 Überprüfen Sie die Folge

n

~

n4 + 2 n -4

n5-3n2 —5 n+1

auf Konvergenz bzw. Divergenz. Lösung n4 + 2

n5-3n2

n2 -4

n3 + l

n4 + 2 n3 + l n2-4

181

n3 + l

n5-3n2

n2-4

n3 + l

n2-4

n 7 + n 4 + 2n 3 + 2


0 Lösung

Wir erhalten für einige ausgewählte Werte: X

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0

0

0

0

0

3

4

5

6

7

Dann hat der Graph der Funktion folgendes Aussehen:

183

Klausur 2 Klausuraufgabe 2.1 Untersuchen Sie die Funktion f: R

R,

mit f(x) = 4x3 + 1 6 / auf Injektivität und Umkehrfunktion an.

Surjektivität

und geben

Sie, falls

möglich,

Lösung Injektivität:

Seien x, x' reelle Zahlen mit x * x'. Dann muß gelten: f(x)*f(x') Seien x, x' reelle Zahlen mit x * x'. Dann gilt auch: x 3 * (x') 3 =>

4x 3 * 4(x')3

=>

4x3 + 16 * 4(x')3 + 16

=»

f(x)*f(x')

Also ist die Funktion f injektiv. Surjektivität:

Sei y eine beliebige reelle Zahl. Gibt es eine reelle Zahl x mit f(x) = y? Es gilt: f(x) = y = 4x3 + 16 =>

y -16 = 4x3

184

die

Somit haben wir gezeigt, da die 3-te Wurzel für positive und negative Zahlen erklärt ist, daß jede reelle Zahl y durch die Funktion f getroffen wird, womit die Funktion f surjektiv ist. Da die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion f bijektiv. Klausuraufgabe 2.2 Untersuchen Sie die Folge _ n+ 1 n+2 " " " I T T " ^ auf Konvergenz. Lösung

3n

_ n +1 n + 2 _ n +1 n + 1 n + 2 n-1 ~ n-1 " n + 1 ~ n-1 ' n + 1 "n + 1 ' n-1 _ (n + 1) • (n + 1) - (n + 2) • (n - 1 ) (n-1) -(n + 1) _ n2 + 2 n + l - n 2 + n-2n + 2 ~ (n-1)-(n+1) n+ 3 (n -1) • (n + 1 )

0

Die Folge a n konvergiert also gegen den Wert Null. Klausuraufgabe 2.3 Ist die Reihe

sn=

£ -7 i = l 61

185

konvergent ? Lösung

Wir ziehen zur Untersuchung das Quotientenkriterium heran: n+1 a

n +1

6

n + 1

n

6

Da die Folge

i+l n+l

6n n

n+1 n

6

n+1 n

~Z 6

n+ l

1

1

,

t6 < 1

gegen einen Wert ( = \ ) konvergiert, der kleiner als 1 ist, ist n ° die Reihe konvergent. n + a

Klausuraufgabe 2.4 Gegeben sei die Funktionsvorschrift f(x)=

(X"3)(X2"1) (X-1)2(X2-9)

Bestimmen Sie die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind. Lösung

Wir versuchen die Funktionsvorschrift f(x) zu vereinfachen und können folgende Gleichungen aufstellen: f(x)

-

(X"3)(X2"1) (X-1)2(X2-9)

186

_ (x - 3) • (x -1) • (x +1) ( x - 1 ) 2 - ( X - 3 ) ( X + 3) (x + 1) ( x -1) • (x + 3) Somit ist lediglich x = 3 eine hebbare Polstelle. Klausuraufgabe 2.5 Untersuchen Sie in Form einer Kurvendiskussion die Funktionsvorschrift f(x) =

x3 (x-1) •

Lösung Wir bilden in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion f: f(x)

3x 2 - ( x - l ) - x 3 (x-1)

!

2

3x3-3x2-x3 (x-1) 2 2x 3 - 3x 2 (x-1) 2 X 2 . (2x-3) (x-1) 2

f"(x)

(öx 2 - 6x) • (x - 1 ) 2 - (2x 3 - 3x 2 ) • 2 • (x -1) • 1 (x-1) 4 (6x2-6x) • ( x - l ) - ( 2 x 3 - 3 x 2 ) - 2 1 (x-1) 3 (öx2-6x) (x-1)-(2x3-3x2)• 2 (x-1) 3

187

6x 3 - 6x2 - 6x 2 + 6x - 4x 3 + 6x 2 (x-1) 3 2x 3 - 6x2 + 6x (x-1) 3 x • ^2x2 - 6x + ö) (x-1) 3 Nullstellen:

Um die Nullstellen der Funktion f(x) zu bestimmen, setzen wir den x3 Zähler des Ausdrucks f(x) = -—— gleich Null: ix -1}

=>

x3 = 0

=>

xNl =0

Als einzige Nullstelle der Funktion f(x) ergibt sich somit der Wert Null. Extremwerte:

Um die Extremwerte der Funktion f(x) zu bestimmen, setzen wir den x2(2x-3) Zähler der ersten Ableitung f (x) = — g l e i c h Null: (x-1) 2

f(x) =

x 2 -(2x-3) (x-1) 2

=>

X2(2X-3)=0

=>

xgj = 0

=0

xg 2 = 1/5

Um die möglichen Extremwerte auf Maximum oder Minimum zu untersuchen, setzen wir die Werte xg^ und x j ^ in die zweite Ableitung

188

der Funktion f(x) ein, und abhängig davon, ob dieser Wert größer oder kleiner als Null ist, sind xg^ bzw. x j ^ Maxima oder Minima: f"(xEl)

= f"(0)

(x-l)3

also ist xg^ weder Maximum oder Minimum. f"(x E 2 )

= f"(l,5)

(x-1) 3

(1,5-1) 3 1,5 ( 2 - 2 , 2 5 - 9 + 6) (0,5 ) 3 1,5 • (4,5 - 9 + 6) (0,5) 3 _ 1,5 • 1,5 0,125 _ 2,25 ~ 0,125 = 18 > 0, also ist x^2 ein Minimum.

189

ndepunkte: Um die Wendepunkte der Funktion f(x) zu bestimmen, setzen wir den X - ( 2 X 2 - 6 X + 6)

Zähler der zweiten Ableitung f'(x) = —

= (x-1) 3

gleich Null:

x f 2 x 2 - 6 x + 6) f ' ( x ) = —i 5 >- = 0 (x-1) 3 =>

x • (2x 2 - 6x + 6) = 0

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist, also erhalten wir also erste Nullstelle: xWl = 0 Weitere möglichen Nullstellen ergeben sich aus dem Term 2x 2 - 6x + 6: 2x2 -6x + 6 = 0 =>

x 2 -3x + 3 = 0

=>

x w 2 3 = l/ 5 ± v/2,25-3 x\V2 3 = 1/5 ±

~ 0/75

Da wir die Wurzel aus einer negativen Zahl innerhalb der reellen Zahlen nicht ziehen können, erhalten wir keine weiteren Nullstellen. Es bleibt als einziger Kandidat für einen Wendepunkt der Wert xWl = 0 Um zu entscheiden, ob dies nun wirklich ein Wendepunkt ist, untersuchen

wir eine e-Umgebung

von

xyj ^ = 0 auf einen

Vorzeichenwechsel in bezug auf die zweite Ableitung: f'Xxwj + e) = f'(0 + e) = f'(e) : • ^2e2 - 6e + öj (e-1) 3

190

2

n —> n + 1: l 3 + 2 3 + 3 3 + ... n 3 + (n + l ) 3 _

n

2

(n +1)

2

(n

+

n 2 (n + l ) 2

laut Induktionsvorauss.

+

4 (n + l ) 3

=

(H±l>!(n2 + 4(n + l))

=

(il±l)!(n2

= ^ ( ( n

+

4n + 4) = ^

+

l)

203

+

l)2

(

n

+

2)2

Klausuraufgabe 4.2 Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen nach x und y der folgenden Funktionen: a)

b)

f(x,y) = x3 - 8x 2 y + xy 2 + \

v

—

x

y

=

Lösung a)

Nach x abgeleitet erhalten wir 1 f

1

x(x>y) = 3 x 2 - 16xy + y 2 - - y(xy)" 2 ,

nach y abgeleitet ergibt sich:

, 1 1 fy(x,y) = -8x2 + 2xy - - x ( x y ) 2

b) =

(l-x)(6x + 2y2)-(-l)(3x2 ( i - x )\2

+

2xy 2 )

6 x - 3 x 2 + 2y 2 (1-x)2

Klausuraufgabe 4.3 Überprüfen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, ob die Reihe

£ (r(-1,n

n= 1

'

konvergent ist. Lösung

204

Wir bilden den Quotienten *n + l j m + l + i-l)1n + 1 an

n + l ^ ( - l )n + 1 ,\ 2 ,J

+1

(-Dn

2J

-i)

n+1

(ll ( v2 y

Für n ungerade gilt:

a n , -j \ a_ , i " = — und n gerade gilt: " = 2.

Somit ist mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung möglich. Klausuraufgabe 4.4 Gegeben sei die Funktionsvorschrift f(x)= (x^ + 2x + 1) (x - 2) (x + 1) (x - 3)(2x - 8) Bestimmen Sie die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind. Lösung Die Funktion hat Polstellen in den Punkten folgende Umformung: ( X 2 + 2X + 1 ) ( X - 2 )

(X +1) (x - 3)(2x 2 - 8)

-1, 3, 2 und -2. Wir betrachten

(X + 1 ) 2 ( X - 2 )

(x + 1) (x - 3) 2(x 2 - 4) (x +1) (x - 2) 2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)

205

(x + 1) 2 (x - 3) (x + 2) Somit sind die Punkte -1 und 2 hebbare Polstellen, während die Punkte 3 und -2 echte Polstellen sind. Klausuraufgabe 4.5 Untersuchen Sie die Funktionsvorschrift

X +1 auf Nullstellen, Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkt), Wendepunkte bzw. Sattelpunkte. Lösung Wir bilden die ersten zwei Ableitungen der Funktion f: f(x) =

x2 + l - x ( 2 x )

X2 + 1 - 2 X 2

-x2 + l

(x 2 + l ) 2

(x 2 + l ) 2

(x 2 + l ) 2

Als Extremwerte erhalten wir somit die Punkte +1 und -1.

f"(x) =

(x 2 + 1) ( - 2x) - 2(x 2 + 1) 2x (1 - x 2 ) 9 4 (x 2 + l) (x 2 + 1)(- 2x) - 4x (1 - x 2 )

- 2X315 - 2x - 4x + 4x',3 9 3 (x2+l)

Wendepunkte: 2 x 3 . 6x = 0

206

=>

x • (2x2 . 6) = o.

Somit haben wir die Wendepunkte 0, + >/3 und - R

mit: f(x,y) = e* + eY + 7x 2 + 3y3. Bilden Sie für die Funktion f die Hesse-Matrix. Lösung Wir erhalten als erste partielle Ableitungen: f x = e>< + 14x, fy = eY + 9y2.

Als Hesse-Matrix ergibt sich: fxx = ex+14/

^

= 0,

fyy = eY + 18y.

229

Klausuraufgabe 7.9 Bestimmen Sie innerhalb der Menge der reellen Zahlen die Lösungsmenge der Ungleichung 16(2x-1)I 0

16 (2x-1)I

6 (2x -1) < 30

=>

2x - 1 < 5

=>

2x < 6

=>

x< 3

2. Fall: 6 • (2x - 1) < 0

16(2x-1)I

-6 (2x - 1 ) < 30

=>

2x - 1 > -5

=>

2x > -4

=>

x > -2

Als Lösungsmenge erhalten wir somit: L = { x e R I -2 < x < 3}.

230

Klausur 8 Klausuraufgabe 8.1 Bestimmen Sie: a)

lim x—»2

b)

lim x—>2

a)

lim

X

- 2 X

2

3 x

X

2

~6

-2X

3x +

6

Lösung

,

b

)

lim 3 X

2

lim x —> 2

~

X - > 2

6

x2-2x 3x + 6

X ( X 3 ( X

"

2

>

2 )

-

X 3

3

'

0 „ = — = 0. 12

Klausuraufgabe 8.2 Negieren Sie die folgende Aussage sowohl formal als auch umgangssprachlich und untersuchen Sie, ob die so neu gewonnene Aussage eine Tautologie ist: "Entweder steigt der Zigarettenkonsum oder die Nachfrage an Getränken sinkt." Lösung Sei P: "Der Zigarettenkonsum steigt." Q: "Die Nachfrage an Getränken sinkt." Somit lautet die ursprüngliche Aussage: P v Q.

231

Formal erhalten wir als Negation: —.(P v Q) = - , P a

-,Q

Eine mögliche Sprachregelung für obige Aussage wäre: "Der Zigarettenkonsum steigt nicht und die Nachfrage an Getränken sinkt auch nicht." Wir betrachten die Wahrheitstafel p

Q

1

l

1

P

Q

->(P v Q)

-,P

-Q

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

V

—i P

A

-iQ

Aus der letzten Spalte der Wahrheitstafel erkennt man, daß die vorliegende Aussage keine Tautologie ist. Klausuraufgabe 8.3 Sei D eine Teilmenge der reellen Zahlen. Bestimmen Sie für die Funktion f: D - » R mit

den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema Wendepunkte.

und

Lösung

Als Definitionsbereich ergibt sich: D = R\{0). Nullstellen existieren nicht, da gilt: ex > 0

für alle x e R.

Um mögliche Extrema und Wendepunkte zu bestimmen, bilden wir die erste und zweite Ableitung der Funktion f:

232

f (X) =

ex(ex-l)-exe M

x

2

e

2x_ex_e2x

M 2'

. e x • (e x - 1 ) 2 + e x (2 (e x - 1 ) • e: f"(x)

FT - e x ( e x - l ) + ex-(2ex) M

5

_ e 2 x + ex + 2 e

M

2 x

e2x + ex

V^f

Aus der 1. und 2. Ableitung erkennt man unmittelbar, daß die Funktion f weder Extrema noch Wendepunkte besitzen kann. Klausuraufgabe 8.4 Bilden Sie, falls möglich, für die Matrix A mit

A =

' 2 4-8^ 4 - 4 6 8 4 10

233

die Determinante und A • A. Lösung Wir berechnen zunächst die Determinante von A: 2 1 AI = 4 8

4 -8 -4 6 = 2 • (-4) • 10 + 4 • 6 • 8 + (-8) - 4 - 4 4 10 -[4 • 4 • 10 + 2 • 6 • 4 + (-8) • (-4) • 8 ] = -80 +192 -128 -[ 160 + 48 +256] = -16-464 = - 480.

Für A • A ergibt sich:

A • A=

2 4 - 8 4 - 4 6 8 4 10

2 4 8

4 -4 4

"81 J 6 10

f - 4 4

=

V

40 112

-40 -72Ì 56 4 56 6 0

J

Klausuraufgabe 8.5 Bestimmen Sie mittels der partiellen Integration das Integral

J

x 2 • e x dx.

Lösung Mit Hilfe der partiellen Integration betrachten wir: u(x) = x^ und v'(x) = e x , dann gilt: u'(x) = 2x und v(x) = e x / und wir erhalten: | x 2 • e x dx

= X 2 • e x - 1 2x • e x dx

Da wir das neu erhaltene Integral nicht unmittelbar bestimmen können, wenden 234

wir die Methode der partiellen Integration ein weiteres Mal an, wobei wir jetzt die folgenden Funktionen bilden:

u(x) = 2x und v'(x) = e*, dann gilt: u'(x) = 2 und v(x) = e x , und wir erhalten, wobei c eine beliebige relle Zahl ist: J x 2 • e x dx

= x 2 • e* - J 2x • e x dx

= x2 • e x - [ 2 x • e x - J 2 exdx ] = x 2 • e x - 2x • e* + 2 • e* = eX[x2-2x + 2 ] . Klausuraufgabe 8.6 Sei a eine reelle Zahl mit a * 1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n-1

/„ , i \ „ n . „

E (i + 1) • a1 = --- ( n 'a i= 0 (l-a)2

„n + l a

Lösung n = 1: 2 2 E° (i + -n 1) 1)-•i a1 i= 1 M = * '—l ~= a + a — i=0 (l-af (l-af

1 - 22-•a a++l 1 • a 2 (l-a)2

235

l-(l + l ) a 1 + l a 1

+ 1

M2

n -> n + 1: n n-1 Z (i + lj-a^ £ (i + 1) • a* + (n + 1) a n i=O i=O l-(n + l ) a n + n a

n + 1

+ (n + 1) a n

(1-a f

(n +1) • a n •(I-) 2

n n+ 1 1 - (n + 1)• a• a+ n+.na • a'

(1-a)2

(1-a)2

^ l-(n + l ) a n + n a

n + 1

(1-a)2

(n + 1) • a n • (l-2a + a 2 ) +

l-(n + l ) a n + n a

(1-a)2

n + 1

(1-a)2 (n +1) • a n - 2a • (n + 1) • a n + a 2 • (n + 1) • a n (1-a f + ;l ) a n «+ n a 1 = l-(n

n + 1

+

(1-a)2 (n + 1) • a n - 2 • (n + 1) • a n +

1

+ (n + 1) • a n +

(1-a)2

=

l-(n + l)an + n a 5

n + 1

-

+

(1-a)2 (n + l ) a n - 2 ( n + l ) a n + 1 + (n + l ) a n + (1-a f

236

2

2

l-(n + 2)an

+ 1

+ (n + l ) a n

+

2

(1-af Klausuraufgabe 8.7 Sei No die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Null. Seien f und g Funktionen mit f, g: No -> N 0 und f(x) = x2 und g(x) = x + 4. Ist die Funktion f ° g injektiv bzw. surjektiv? Lösung

Die Funktion (fog)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = (x + 4)2 ist injektiv, aber nicht surjektiv: injektiv: x 9t x'

surjektiv:

=>

(x + 4) * (x' + 4)

=>

(x + 4) 2 * (x' + 4)2

=>

(fog)(x)*(f°g)(x')

Man betrachte die Zahl 5. Es gibt keine natürliche Zahl x e N(j mit: (fog)(x) = 5

237

Klausuraufgabe 8.8 Maximieren Sie die Funktion f: R 2

R

mit: f(x,y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung x + y = 40. Lösung Wir bilden die Lagrange-Funktion L(x,y,Ä,): L(x,yA) = x 2 + y 2 + X(x + y - 40) und setzen die ersten partiellen Ableitungen gleich Null: L(x,y,A.)x = 2x + X = 0, L(x,yA) y = 2y + X = 0, L(x,yA)x = x + y - 40 = 0. Als mögliche Extremstellen erhalten wir, wie nicht anders erwartet: y = 20.

x = 20, Klausuraufgabe 8.9

Bestimmen Sie innerhalb der Menge der reellen Zahlen die Lösungsmenge der Ungleichung 1x3-11

x

l , 2 = 0,5 ± ^0,25 - 0,25

x n = 0,5 c)

Extremstellen: Wir bilden die ersten zwei Ableitungen der Funktion f: f (x) = 1 - 2x f"(x) = -2. Setzen wir die erste Ableitung gleich Null, so gilt: f'(x) = 0

=>

1 - 2x = 0

=>

*E

=

0/5

Da für die zweite Ableitung von f gilt: f " ( x E ) = f'(0,5) = -2 < 0

239

ist XE ein Hochpunkt. d)

Wendepunkte: Es gilt allgemein: f"(x) = - 2 * 0 , also gibt es keine Wendepunkte.

Klausuraufgabe 9.2 Seien A, B und C Aussagen. Untersuchen Sie, ob [(A

A

B) v C] [(A A C) v (A v B)]

eine Tautologie ist. Lösung Wir betrachten die Wahrheitstafel A

"V"

A v B

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

B

c

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

A

B

J .

A

(AAB)VC

II

II

A

A

C

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Aus der " "-Spalte der Wahrheitstafel erkennt man, daß die vorliegende Aussage keine Tautologie ist. Klausuraufgabe 9.3 Bestimmen Sie für die Funktion f: r 2 —» R mit f(x,y) = 2x2 + 3y 3 + exy. die Hesse-Matrix.

240

Lösung Wir bilden die ersten partiellen Ableitungen: f

x(x>y) = 4 x + ye*y /

f y (x,y) = 9y 2 + xe*y. Aus den zweiten partiellen Ableitungen ergibt sich die Hesse-Matrix H: f x x (x / y) = 4 + y 2 . e*y,

fxy(x'y)=yxeXy+leXy = exy(l + y x ) ,

fyx(x,y) = y x-e x y + l e^y

fyy(x /y ) = 18y + X 2 . e * y ,

= e y(l + y x ) x

also ergibt sich als Hesse-Matrix H: f H =

e x y(l + yx) \

4+ y2.exy exy(l+yx)

18y + x 2 e x y

Klausuraufgabe 9.4 Bilden Sie, falls möglich, zur Matrix A =

' 6 3

12A 6

die inverse Matrix A"1 und die Determinante von A. Lösung Als Determinante IAI erhalten wir: I AI =

6 3

12 = 36 - 36 = 0. 6

Damit es eine inverse Matrix A~1 gibt, muß gelten:

241

Daraus resultieren die folgenden vier Gleichungen: 6a + 12c

=

1

(1)

6b + 12d =

0

(2)

3a + 6c

=

0

(3)

3b + 6d

=

1

(4)

3a + 6c

=

0,5.

Aus Gleichung (1) folgt:

Dies ist aber ein Widerspruch zu Gleichung (3), und somit gibt es keine Matrix A~1 . Klausuraufgabe 9.5 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsregel das unbestimmte Integral f x•e x 2 dx. Lösung

Wir substituieren dann gilt:

t = x2 dt „ di=2X'

bzw. dt j =— dx 2x

x ^dx = —2 dt

und wir erhalten, wobei c eine beliebige reelle Zahl ist: j"x.e*2d*

= J V f

242

dt i t = - et + c

= ^ e * 2 + c.

Klausuraufgabe 9.6 Zeigen Sie für jede natürliche Zahl n > 1 durch vollständige Induktion: n+1 2 2 1 = 2 n + 2 - 4. i=2 Lösung n = 1: 1 +1

2

I 2' = Z 2 ' =22 = 4 = 21+2-4. i=2 i=2 n —> n + 1: n+2 Z 2{ i=2

n+1 = E 2 ' + 2n+2 i=2 = 2n+2 - 4 + 2n+2

(I.V.)

= 2 • 2n+2 - 4 = 2(n+l)+2.4

Klausuraufgabe 9.7 Ergänzen Sie die Abbildungsvorschrift f f: {Februar, März, April, Mai) mit

f(Februar) = 2

243

{2,3,4,5}

f(März) = 3 zu einer bijektiven Abbildung. Lösung Eine mögliche Lösung wäre: f(Februar) = 2 f(März) = 3 f(April) = 4 f(Mai) = 5. Klausuraufgabe 9.8 Betrachten Sie die Mengen X = { x e R I x2 - 1 = 0} und Y = { y e R I y 2 - 4 y + 4 = 0} und geben Sie explizit an: X u Y, X n Y, X\Y und Y\X. Lösung X u Y = {-1,1,2), X n Y = {), X\Y = {-1,1}, Y\X = { 2 }. Klausuraufgabe 9.9 Untersuchen Sie die Reihe oo

Z

i=0

16"1

auf Konvergenz und bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert.

244

Lösung

Die obige Reihe können wir auch in der Form:

£W

i - o W

schreiben. Aus dieser Darstellung wird deutlich, daß es sich um eine geometrische Reihe mit a =

16

< 1 handelt. Also ist diese Reihe konvergent mit

dem Grenzwert g

~

1

_ J _ _ 16

_ J L ~ 15 " 15 '

16

16

245

Klausur 10 Klausuraufgabe 10.1 Untersuchen Sie die Funktion mit

f: R —» R, 3 / f(x) = V X 2 • ( X 2 - 2 X - 6 )

auf mögliche Extremstellen. Lösung

Wir bilden die erste Ableitung der Funktion f: f(x)

=

|

~ 3

x

5/3.^

x

2/3.^

x

-1/3

x5/3 - — x 2 / 3 _4x-1/3 3

= g x - 1 / 3 • (4x2. 5 X .6) Die Funktion hat Extremstellen in X

E1 = 0,

X

E2 = 2/

x E 3 = -0,75. Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

246

Klausuraufgabe 10.2

Untersuchen Sie die Funktion mit

f: [-1,1] -» R, f(x) = x-

\/l-x2

auf mögliche Null- und Extremstellen. Lösung Nullstellen: f(x) = 0 x • \/l-x2

=0

x N i = 0, X

N2 = 1
B) A (B

A)) O ((A O B) v (B => A))

Lösung A

B

A => B

B => A

A B

B => A

" v "

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

"A"

Es handelt sich um k e i n e Tautologie, wie man aus der mittleren eingerahmten Spalte erkennen kann.

Klausuraufgabe 11.2 Untersuchen Sie die Funktion f: [-2;2] -> R, mit f(x) =

s/4-x2

auf mögliche Null- und Extremstellen. Lösung Nullstellen: f(x) = 0 -0

sjA-x2 X N1 = X N2

2/

= "2 •

254

fett

Extremstellen: Wir bilden die erste Ableitung der Funktion f:

y 4-x Dies führt durch Nullsetzen des Zählers zu: xE = 0. Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

Klausuraufgabe 11.3 Bestimmen Sie die möglichen Extrema der Funktion f: R^ —» R mit f(x,y) = 16xy unter der Nebenbedingung 2x + y = 20. Lösung Wir betrachten die Lagrange-Funktion: 255

L(x,y,A,) = 16xy + A,(2x + y - 20) und bilden die ersten partiellen Ableitungen, die wir jeweils gleich Null setzen: L x (x / yA) = 16y + 2X = 0 /

(I)

Ly(x,y,X) = 16x + X = 0 ,

(II)

U(x,yA) = 2x + y - 2 0 = 0 .

(IE)

Aus der dritten Gleichung (III) folgt:

2x + y - 20 = 0

2x = 20 - y

20-y Durch Einsetzen des letzten Terms in die zweite Gleichung (II) folgt: 1 6 ( ^ y £ ) + A. = 0 bzw.

160 - 8y + Ä. = 0

oder 320 - 16y + 2X = 0 Addieren wir die letzte Gleichung zur Gleichung (I), so erhalten wir: 4X = -320 bzw. X = -80

Dies führt unmittelbar durch Einsetzen in die nach x bzw. nach y aufgelöste Gleichungen zu:

256

x= 5 und y = 10 Als Punkt (x,y) für ein mögliches Extremum erhalten wir somit: (x;y) = (5;10) Klausuraufgabe 11.4 Gegeben sind die Matrizen

9 f A= 5

l

7 6 f l\ 1 4 3 und B = 4 1 0

V

2

a)

Bilden Sie, falls möglich, AB und BA.

b)

Berechnen Sie die Determinante von A.

Lösung a)

Wir erhalten:

AB =

' 67^

36

V

6

J

BA ist nicht möglich. b)

Es gilt: IAI =-3

Klausuraufgabe 11.5 Berechnen Sie das bestimmte Integral

f4

24

3

x J

d

257

5

J

Lösung

3

24 f4 o —^ dx = 24x~ ö dx x3 &

24 ( - i x " 2 )

= - 12x'- 2

:

"12

[

i " l

] =

'

1 2

[

li4

Klausuraufgabe 11.6 Überprüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind:

X~kk+T6

k= l

iL

)

b

2 4

k= r

Lösung Wir nutzen in beiden Aufgaben das Quotientenkriterium: k+ 7 a a)

k + 1 _ (k+1)! ak ~ k + 6

=

k+ 7 k! _ k + 7 1 (k + l)! k + 6 ~ ( k + l ) ' k + 6

258

k+7 (k +1) • (k + 6)

k 2 + 7k + 6 1 b)

a

k + l^ 2 ak " J_

k + 1

1 ~ 2k +1

=

1

Somit ist mit dem Quotientenkriterium in beiden Fällen gezeigt, daß die jeweilige Reihe konvergiert. Klausuraufgabe 11.7 Die Produktionsfunktion eines Unternehmens ist gegeben durch f(x) = y = 16x + 300 . a)

Wie groß ist der Output (y) für die Inputgrößen (x) 100, 200, 300 ?

b)

Ist diese Funktion f als Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen injektiv bzw. surjektiv?

Lösung a)

f(100) = 1.900 f(200) = 3.500 £(300) = 5.100

b)

surjektiv: nein, es wird z. B. nicht f(x) = 10,1 getroffen, injektiv: ja, denn aus f(x) = f(x') folgt: 16x + 300 = 16x' + 300

259

also:

x = x'

Klausuraufgabe 11.8 Betrachten Sie die Mengen

und

X = { x e R I 4x - 1 6 = 0} Y = { y € R I y 2 = 16}

und geben Sie explizit an: X u Y , X n Y , X\Y und Y\X. Lösung X = {4}, Y = {-4,4}, X u Y = {-4,4}, X n Y = {4), X\Y = { } , Y\X = {-4}. Klausuraufgabe 11.9 Gegeben sei die Funktionsvorschrift f(x)=

( X - 5 j ( t 4 ) • (x - 5) (x 2 - 1 6 )

Bestimmen Sie innerhalb der reellen Zahlen die Polstellen von f(x) und untersuchen Sie, ob diese hebbar (unecht) sind. Lösung Wir betrachten den Nenner der Funktionsvorschrift Nullstellen und damit als Polstellen dieses Ausdrucks: X

N1 = 5< X N2 = " 4 und X N3 =

260

4

und

erkennen

als

Die Nullstellen des Zählers sind: X

N4 = 5 / XN5 = "2 und x^g = 2

Somit sind die Polstellen nicht hebbar.

261

Klausur 12 Klausuraufgabe 12.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung: IxI - 1 5 ^ lx-151 Lösung Wir u n t e r s c h e i d e n vier Fälle. D a m i t v e r b u n d e n erhalten wir vier Teillösungsmengen, die zusammen die Lösungsmenge der Ungleichung darstellen: 1. Fall: x > 0 und (x - 15) > 0 Betrachten wir die Ausgangsbedingung für den 1. Fall genauer, so können wir beide Ungleichungen zusammenfassen zu: x > 15 Für die zu betrachtende Ungleichung ergibt sich: IxI - 1 5 < lx-151 =>

x -15 < x -15

=>

0

L i = { x e R I x > 15}

2. Fall: x > 0 und (x - 15) < 0 Betrachten wir die Ausgangsbedingung für den 2. Fall genauer, so können wir beide Ungleichungen zusammenfassen zu: 0 < x < 15 Für die zu betrachtende Ungleichung ergibt sich: Ixl - 1 5 < lx-151 =>

x - 1 5 < -(x -15)

=>

x - 1 5 < -x + 15

262

=>

2x < 30

=>

x < 15

=>

L2 = { x e R I 0 < x < 15}

3. Fall: x < 0 und (x - 1 5 ) > 0 Aufgepaßt, keine Zahl kann gleichzeitig die erste Ungleichung erfüllen, also erhalten wir in diesem Fall:

und

zweite

l3 = U 4. Fall: x < 0 und (x - 1 5 ) < 0 Betrachten wir wir die Ausgangsbedingung für den 4. Fall genauer, so können wir beide Ungleichungen zusammenfassen zu: x

-x - 15 < -(x - 1 5 )

=>

-x - 15 < -x + 15

=>

- 1 5

L4 = { x e R I x < 0}

Als Lösungsmenge L für die Ungleichung ergibt sich aus den vier Fällen: L=R

Klausuraufgabe 12.2 Bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert der Folge

a n =

n2-l lTiT

+

Lösung Den Ausdruck a n formen wir um:

263

4n2-4n n-1

_ n2-l ~ n+1

+

4n2-4n n-1

_ (n+1) • ( n - 1 ) + n+1

4n • ( n - 1 ) n-1

= (n - 1) + 4n —> °° für n -> °° Klausuraufgabe 12.3 Bestimmen Sie, falls vorhanden, den Grenzwert der Reihe

Lösung Die Reihe können wir auch in der folgenden Form schreiben: DO

oO

OO

i ß - . - z ß3 - i ß T . i=il V i=r

i = i j

offensichtlich ist dies aber eine geometrische Reihe, so daß gilt: OO

OO

OO

z ßi qi w z t" " e U Mu z i "i " r3

i=l

J

i=i

I

i= i

Somit können wir festhalten, daß die obige Reihe konvergiert. Wir können die Aussage dahingehend verschärfen, indem wir sagen, daß die Reihe gegen den Wert 12 konvergiert.

264

Klausuraufgabe 12.4 Gegeben sind die Matrizen

(0 A =

4

°1 2 und C =

4

V

°J

f

6 24 18 Ì 9 3 3 6 24 18 V y

Bestimmen Sie eine Matrix B so, daß AB = C gilt! Lösung Die Matrix muß von folgendem Typ sein:

B=

b

ll

b

12

b

13

b

21

b

22

b

23l

Nach der Multiplikation von AB muß gelten: '

4b

ll

4b

21 4b^

12

4b

13^

2b 22 2b 23 4b^2 4b 13

2b

'

6 24 18^ 9 3 3 6 24 18

Dies führt zu folgenden Werten für die Matrix B:

B=

11

d

12

d

13

21

b

22

b

23

D b

Klausuraufgabe 12.5 Bestimmen Sie jeweils das unbestimmte Integral a)

J ( 7 x 2 - 7 x + 49)dx,

265

1,5 4,5

6 1,5

4,5 1,5

b)

4 7 —= + — ,7x z dx 3 x x

Lösung Sei c jeweils eine beliebige reelle Zahl. Dann gilt: a)

J ( 7 x 2 - 7 x + 49)dx 7 3 7 2 = TiXJ - ^rX + 49x + c

b)

v3

+ - - 7x 2 dx, x

2 7 • + 71nlxl - ^ x 3 + c 1:5 x2 Klausuraufgabe 12.6 Bestimmen Sie für die Vorschrift f(x) =

x+8

innerhalb der reellen Zahlen den maximalen Definitionsbereich, die möglichen Nullstellen und Extremwerte. Lösung maximaler

Definitionsbereich: Dmax = R M - 8 } .

Nullstellen: Wir betrachten die Funktionsvorschrift und setzen diese gleich Null: f(x)=

X

x+8

Dies führt durch Nullsetzen des Zählers zu:

266

x N = 0. Extremwerte:

In einem ersten Schritt bilden wir die erste Ableitung: f(x)

1 • (x + 8) - x • 1

Mf

x+8-x (x + 8)

2

8 (x + 8)2

Da der Zähler des Ausdrucks 8

(x + 8)2 immer ungleich Null ist bzw. nie gleich Null werden kann, gibt es keine Extremwerte. Der Graph der Funktion hat folgendes Aussehen:

267

Klausuraufgabe 12.7 Bilden Sie für die Funktion f

f: R 3

R

mit f(x,y,z) = 2x + 3yz + 4z die ersten und zweiten partiellen Ableitungen. Lösung Als erste partielle Ableitungen erhalten wir: f x (x,y,z) = 2 f y (x,y,z) = 3z f z (x,y,z) = 3y + 4

Als zweite partielle Ableitungen erhalten wir:

fxx( x 'Y' z ) = 0

fxy(x,y,z) = 0

fxz(x'Y>z)

fyx( x 'Y' z ) = 0

fyy(x,y,z) = 0

fyZ(x,y,z)

f zx( x -y/Z) =

fZy(x,y,z) = 3

fzz(x/Y/z)

0

Klausuraufgabe 12.8 Betrachten Sie die Mengen X = {xe

R I

X

2 +

x

- 6 = 0}

und Y = { y e R I y2 - y - 1 4 = 16} und geben Sie explizit an: X u Y , X n Y , X\Y und Y\X.

268

Lösung X = 1-3,2}, Y={-5,6}, X u Y = {-5, -3,2,6}, X n Y = {), X\Y = { -3,2}, Y\X = (-5,6|. Klausuraufgabe 12.9 Untersuchen Sie, ob die Funktion mit

f: R -> R f(x)= lx + 21

injektiv bzw. surjektiv ist. Stellen Sie die Funktion graphisch dar. Lösung Die obige Funktion ist weder injektiv noch surjektiv, wie ein kurzer Blick auf den Graphen der Funktion verdeutlicht:

269

Anhang

Zeichenerklärung V 3 3! nicht 3

für alle es existiert es gibt genau ein es gibt kein

:= I

ist definiert durch mit der Eigenschaft

xe M xe M

x ist Element der Menge M x ist nicht Element der Menge M

-i A A A

nicht Aussage A Aussage A und Aussage B Aussage A oder Aussage B die Aussage A impliziert die Aussage B; aus Aussage A folgt die Aussage B Aussage A und Aussage B sind äquivalent; Aussage A ist gleichbedeutend mit Aussage B

A A B v B => B

A B

< < > > * =

kleiner kleiner oder gleich größer größer oder gleich nicht gleich, ungleich gleich

n Z a; i=1

al

AxB

{(x,y) I x e A, y e B}

k I I Aj i=1

A j XA2 x... x A j j

+ a2

+

- + an

272

Die griechischen Buchstaben Das griechische Alphabet besteht aus 24 Zeichen: Alpha

A

a

Beta

B

ß

Gamma

r

Y

Delta

A

S

Epsilon

E

e

Zeta

Z

ç

Eta

H

il

Thêta

0

e

Iota

I

Kappa

K

K

Lambda

A

X

Mu

M

H

Nu

N

V

Xi

s

%

Omikron

o

0

Pi

n

71

Rho

p

P

Sigma

Z

a

Tau

T

T

Ypsilon

Y

U

Phi

4>

Chi

X

X

Psi

*F

V

Oméga

a

(0

273

Literatur Anton, Howard; Kolman, Bernard; Averbach, Bonnie Applied Finite Mathematics, Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, Fourth Edition, 1988. Blatter, Christian Analysis 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, 1991. Bosch, Karl Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Eine Einführung, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 9. Auflage, 1994. Breitung, Karl; Filip, Pavel Einführung in die Mathematik für Ökonomen, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 2. Auflage, 1990. Finkbeiner, Daniel T . ; Lindstrom, Wendell D. A Primer of Discrete Mathematics, W. H. Freeman and Company, New York, 1987. Hauptmann, Harry Mathematik für Betriebs- und Volkswirte, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 2. Auflage, 1988. Jegenhorst, Reinhard Aufgabensammlung zur Mathematik, FOS Wirtschaft / Technik mit Lösungen, Handwerk und Technik, 1995. Labuch, Dieter Aufgaben zur Linearen Algebra für Fachhochschulen, B. I. -Wissenschafts-verlag, Mannheim, Wien, Zürich, 1982. Nollau, Volker Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig, 1993. Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter J. Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall International Editions, 1995. Wetzel, Wolfgang; Skarabis, Horst; Naeve, Peter; Büning, Herbert Mathematische Prodädeutik für Wirtschaftswissenschaftler, 1972.

274